Xác định góc giữa hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG – HAI MẶT PHẲNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1) Góc giữa hai đường thẳng Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác.   Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: nếu u và v lần lượt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì góc  của hai đường thẳng này được xác định bởi công thức  u.v   cos   cos u, v    . u.v   2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: a a’ P Muốn xác định góc của đường thẳng a và  P  ta tìm hình chiếu vuông góc a của a trên  P  .  a, a ‘ Khi đó,  a,  P      3) Góc giữa hai mặt phẳng: Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a , b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng   và    . Khi đó, góc giữa   và    là    ,     a , b . Tính góc a ,b .       Phương pháp 2: β b φ c a α  Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng   và    .  Dựng hai đường thẳng a , b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến c tại một điểm trên c . Khi đó:    ,     a ,b .     Trang 162 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Cách khác: Ta xác định mặt phẳng phụ    vuông góc với giao tuyến c mà        a ,   ,       a ,b .        b . Suy ra   4) Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian: Chọn hệ trục thích hợp và cụ thể hóa tọa độ các điểm.   a) Giả sử đường thẳng a và b lần lượt có vectơ chỉ phương là a, b .  a .b a, b       a, b  Khi đó: cos a.b  b) Giả sử đường thẳng a có vectơ chỉ phương là a và  a .n Khi đó: sin  a,  P        a,  P   a.n P  có vectơ pháp tuyến là n .   c) Giả sử mặt phẳng   và    lần lượt có vectơ pháp tuyến là a, b .  a .b   Khi đó: cos   ,            ,     a.b BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  a 2 (minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABCD  bằng: A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Xác định hình chiếu của SC trên mặt phẳng  ABCD  B2: Tính góc giữa SC và hình chiếu của nó. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Trang 163 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Lời giải Chọn A S A D B C Ta có: SA   ABCD  nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng  ABC  .  . Do đó:  SC ,  ABCD     SC , AC   SCA Xét hình vuông ABCD ta có: AC  a 6.  Xét SAC vuông tại A , ta có: tan SCA SA a 2 1   30 o.    SCA AC a 6 3 Bài tập tương tự và phát triển: Câu 17.1: Cho một hình thoi ABCD cạnh a và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa hình thoi sao cho SA  a và vuông góc với  ABC  . Tính góc giữa SD và BC A. 60 . B. 90 . C. 45 . D. 30 . Lời giải Chọn C S A B D C   450 . SD, BC    SD, AD   ADS Ta có: AD / / BC   Câu 17.2: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với BC  2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  3a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng SD và BC nằm trong khoảng nào? Trang 164 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A.  20;30  . 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 B.  30; 40  . C.  40;50 . D.  50;60  . Lời giải Chọn D  ( Do SAD vuông tại A nên SDA   90o ) Ta có: BC / / AD   SD, BC    SD, AD   SDA  Xét SAD vuông tại A , ta có: tan SDA SA 3a 3   arctan 3  56o.    SDA AD 2a 2 2 Câu 17.3: Cho tứ diện ABCD có AC  BD  2 a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm BC , AD . Biết rằng MN  a 3. Tính góc của AC và BD . A. 450. B. 30 0 . C. 600 . D. 900 . Lời giải Chọn C A I N a a 3 a 2a B 2a D M C Gọi I là trung điểm của AB . Ta có IM  IN  a . Áp dụng định lý cosin cho IMN ta có:  cos MIN 1 IM 2  IN 2  MN 2 a 2  a 2  3a 2   1200 .     MIN 2.IM .IN 2.a.a 2 Trang 165 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 AC , BD    IM , IN   1800  1200  600 . Vì IM / / AC , IN / / BD   Câu 17.4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD . Gọi M là trung điểm CD . Tính cosin góc của AC và BM . A. 3 . 4 B. 3 . 6 3 . 2 C. D. 2 . 2 Lời giải Chọn B      AC. CM  CB AC.BM    cos  AC , BM   cos AC , BM     a 3 AC . BM a. 2      AC.CM  AC.CB    a2 3 2  a2 a2 a a2   a. cos1200  a.a.cos1200 4 2 3 2    24  . 2 2 6 a 3 a 3 a 3 2 2 2 Câu 17.5: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  2 a , BC  a . Các cạnh bên của hình chóp cùng bằng a 2 . Khi đó, góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng: A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn A S A D M B C  . Ta có: AB //CD nên  AB , SC  CD , SC  SCD     Gọi M là trung điểm của CD . Tam giác SCM vuông tại M và có SC  a 2 , CM  a nên   45 . Vậy  là tam giác vuông cân tại M nên SCD AB , SC  45 .   Câu 17.6: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N , I lần lượt là trung điểm của BC , AD và AC . Cho AB  2a , CD  2 a 2 và MN  a 5 . Tính góc    AB, CD  A. 135 . B. 60 .  C. 90 . D. 45 . Lời giải Trang 166 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Chọn D A N 2a I a a 5 D B 2a 2 M C 1   IN / / CD; IN  2 CD  a 2 Theo tính chất đường trung bình trong tam giác:   IM / / AB; IM  1 AB  a  2     AB, CD    IM , IN  . Áp dụng định lý cosin ta có: cos   IM 2  IN 2  MN 2 2 2       450 . 2.IM .IN 2 2 Câu 17.7: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AD  a 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  2a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng SC và BD nằm trong khoảng nào? A.  30; 40  . B.  40;50  . C.  50; 60  . D.  60;70  . Lời giải Chọn D Trang 167 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Gọi O  AC  BD và M là trung điểm SA . BD  Xét hình chữ nhật ABCD , ta có: OB  OA  2 AB 2  AD 2 a 2  3a 2 2 a    a. 2 2 2 Xét MAB vuông tại A , ta có: MB  AB 2  MA2  a 2  a 2  a 2. Xét MAO vuông tại A , ta có: MO   Xét MBO , ta có: cos MOB AO 2  MA2  a 2  a 2  a 2. OB 2  OM 2  BM 2 a 2  2a 2  2a 2 1   69o.    MOB 2.OB.OM 2.a.a 2 2 2   69o ( Do MOB   90o ). SC , BD    MO, BD   MOB Ta có: SC / / MO   Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ     Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với A  0; 0;0  , B  a; 0;0  , C a; a 3;0 , D 0; a 3; 0 và S  0;0; 2a  .   Ta có: SC  a; a 3; 2a  SC có một vectơ chỉ phương là u  1; 3; 2 .   BD   a; a     3; 0  BD có một vectơ chỉ phương là v  1; 3; 0 .     u.v 2 1 SC , BD         SC , BD   69o. Suy ra: cos  2 2.2 2 2 u.v Câu 17.8: Cho hình chóp S . ABC có các ABC và SBC là các tam giác đều và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Góc giữa đường thẳng SA và  ABC  bằng A. 45 . B. 75 . C. 60 . D. 30 . Trang 168 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Lời giải Chọn A S A C H B Theo giả thiết ta có  ABC    SBC  . Trong mặt phẳng  SBC  kẻ SH  BC  SH   ABC  nên AH là hình chiếu của SA trên . SA,  ABC     SA, AH   SAH  ABC  . Do đó,  Giả sử AB  a. Ta có: SBC và ABC là tam giác đều nên H là trung điểm của BC và AH  SH   Xét tam giác vuông SHA ta có tan SAH a 3 . 2 SH   45 .  1  SAH AH  Vậy  SA,  ABC    45 . Câu 17.9: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  a 2 (minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  SAB  bằng: A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn A Trang 169 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020  BC  SA Ta có:   BC   SAB  nên SB là hình chiếu của SC trên mặt phẳng  SAB  .  BC  AB  . Do đó:  SC ,  SAB     SC , SB   BSC Xét SAB vuông tại A , ta có: SB  SA2  AB 2   Xét SBC vuông tại B , ta có: tan BSC a 2  2  a 2  a 3. BC a 1   30o.    BSC SB a 3 3 Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ   Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với A  0; 0;0  , B  a;0; 0  , C  a; a;0  và S 0; 0; a 2 .  Ta có:  SAB  : y  0  vectơ pháp tuyến của  SAB  là j   0;1;0  .   SC  a; a; a 2  SC có một vectơ chỉ phương là u  1;1;  2 .      j.u 1  Suy ra: sin  SC ,  SAB         SC ,  SAB    30 o. j .u 2 Câu 17.10:Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  a 3 (minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng  SAB  bằng: Trang 170 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A. 30 . B. 45 . 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn A Ta có: AD   SAB  nên SA là hình chiếu của SD trên mặt phẳng  SAB  .  Do đó:  SD,  SAB     SD, SA    ASD. Xét SAD vuông tại A , ta có: tan  ASD  AD a 1    ASD  30o. SA a 3 3 Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ   Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với A  0; 0;0  , B  a;0; 0  , D  0; a; 0  và S 0; 0; a 3 .  Ta có:  SAB  : y  0  vectơ pháp tuyến của  SAB  là j   0;1;0  .   SD  0; a; a 3  SD có một vectơ chỉ phương là u  0;1;  3 .      j.u 1 Suy ra: sin  SD,  SAB         SD,  SAB    30 o. j .u 2 Trang 171 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Câu 17.11:Cho hình chóp S. ABC có SA   ABC  , SA  a , ABC đều cạnh a . Tính góc giữa SB và  ABC  A. 30o. B. 60 . C. 45 . D. 90 . Lời giải Chọn C S C A B Ta có SA   ABC   AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng ASB   SD, AD   450 .  ABC      Câu 17.12:Cho hình chóp S. ABC có SA   ABC  , SA  a , ABC đều cạnh a . Gọi  là góc giữa SC và mặt phẳng  SAB  . Khi đó, tan  bằng A. 3 . 5 B. 5 . 3 1 . 2 C. D. 2. Lời giải Chọn A S a a A C a I B CI  AB Gọi I là trung điểm của AB . Ta có:   CI   SAB  CI  SA Trang 172 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020   SI là hình chiếu của SC trên mặt phẳng  SAB    SC ,  SAB     SC , SI   CSI   CI   tan   tan CSI SI CI 2 SA  AI 2 a 3 2  a a2    2  2 3 . 5 Câu 17.13:Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với  ABCD  cà SA  a 6 . Tính sin của góc tạo bởi AC và mặt phẳng  SBC  . A. 1 . 3 B. 1 6 . C. 1 7 . D. 3 . 7 Lời giải Chọn D Kẻ AH  SB  BC  AH  AH   SBC   . AC , HC   ACH  AH là hình chiếu của AC lên mặt phẳng  SBC    AC ,  SBC     Tam giác SAB vuông  AH  SA. AB a 6.a a 6   SB a 7 7 AH 3 ACH   Vì AHC vuông tại H  sin  . AC 7 Câu 17.14:Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh đá a 2 , cạnh bên 2a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng: A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . Trang 173 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Lời giải Chọn C Ta có: góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc giữa SD và  ABCD  . Gọi O  AC  BD. Vì S . ABCD là hình chóp đều nên SO   ABCD  .  OD là hình chiếu của SD trên  ABCD  . . Do đó:  SD,  ABCD     SD, OD   SDO Xét hình vuông ABCD ta có: OD  BD AB 2 a 2 2    a. 2 2 2  Xét SOD vuông tại O , ta có: cos SDO OD a 1   60o.    SDO SD 2a 2 Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ Gọi O  AC  BD. Vì S . ABCD là hình chóp đều nên SO   ABCD  . Ta có: AC  BD  AB 2  2a và SO  SD 2  OD 2  4 a 2  a 2  a 3.   Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ với O  0; 0; 0  , C  a;0; 0  , D  0; a; 0  và S 0;0; a 3 .  Ta có:  ABCD  : z  0   ABCD  có một vectơ pháp tuyến là k   0; 0;1 .   SD  0; a; a 3  SD có một vectơ chỉ phương là u  0;1;  3 .      k .u 3    SD,  ABCD    60o. Suy ra: sin  SD,  ABCD       2 k .u Trang 174 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 17.15:Cho hình chóp S . ABCD 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AD  2 AB  2BC  2a; SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  2a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng  SAC  bằng: A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn A Gọi M là trung điểm AD. Ta có: ACM và DCM vuông cân tại M .   45o  45o  90o  CD  AC mà CD  SA nên CD   SAC  .  ACD   ACM  DCM  SC là hình chiếu của SD trên mặt phẳng  SAC  . . SD,  SAC     SD, SC   CSD Do đó:  Xét ACD vuông cân tại C , ta có: AC  CD  a 2. Xét SAC vuông tại A , ta có: SC  SA2  AC 2  4a 2  2a 2  a 6.  Xét SCD vuông tại C , ta có: tan CSD CD a 2 1   30o    CSD SC a 6 3 Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với A  0; 0;0  , B  a;0;0  , C  a; a; 0  , D  0; 2 a; 0  và S  0; 0; 2a  . Trang 175 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020   Ta có: SD   0; 2a; 2a   SD có một vectơ chỉ phương là u   0;1; 1 .    AS   0;0; 2a   2 2     AS , AC    2 a ; 2 a ; 0  AC   a; a; 0      SAC  có một vectơ pháp tuyến là n   1;1;0  .  u .n 1   Suy ra: sin  SD,  SAC         SD,  SAC    30o. u.n 2 Câu 17.16:Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD cạnh đáy bằng a và SA  SB  SC  SD  a . Khi đó, cosin góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SAD  bằng A. 1 . 4 B. 1 . 3 3 . 2 C. 1 D.  . 3 Lời giải Chọn B S I A D B C Gọi I là trung điểm SA .  BI  SA  Do tam giác SAD và SAB đều nên    SAB  ,  SAD   BI , DI . DI  SA      Áp dụng định lý cosin cho tam giác BID ta có: 2 2  3   3  a   a  a 2  2 2 2 2 2 IB  ID  BD      cos BID  2 IB.ID 3 3 2. a. a 2 2   2 1  . 3 1 Vậy cos  SAB  ,  SAD   . 3   Câu 17.17:Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB  a , trên đường thẳng d vuông góc với  ABC  tại điểm A ta lấy một điểm D sao cho DBC đều. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  DBC  nằm trong khoảng nào? Trang 176 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A.  40o ;50o  . 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 B.  50o ; 60o  . C.  60o ;70o  . D.  70 o ;80o  . Lời giải Chọn B D a A C a a 2 M B Gọi M là trung điểm BC.  BC  DM  BC   DMA  Ta có:   BC  DA  ABD    DBC   BC   DMA  BC  Mặt khác:    AM , DM   DMA  ABC  ,  DBC      DMA   ABC   AM  DMA  DBC  DM     Ta có: AM  BC AB 2 a 2 BC 3 a 6   , DM   2 2 2 2 2 Xét ADM vuông tại A , ta có: cos  AMD  AM 3 3   AMD  arccos  54 o. DM 3 3 Cách khác: Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  DBC  . Theo công thức diện tích hình chiếu của đa giác. Ta có: S ABC  S DBC .cos  Mà: S DBC  1 1 3 a2 3 DB.DC .sin 60 0  a 2.a 2.  2 2 2 2 Mặt khác: S ABC   cos   1 1 AB. AC  a 2 2 2 S ABC 3 3     arccos  54 o. S DBC 3 3 Trang 177 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Câu 17.18:Cho hình chóp đều S .ABCD có cạnh 2a , cạnh bên a 3 (minh họa như hình vẽ). Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng: A. 30 . C. 60 . B. 45 . D. 90 . Lời giải Chọn B Ta có: góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc giữa  SCD  và  ABCD  . Gọi O  AC  BD. Vì S. ABCD là hình chóp đều nên SO   ABCD  .  Gọi M là trung điểm CD. Ta có: CD  SM  CD   SOM  . CD  OM CD   SOM   SCD    ABCD   CD . Do đó:    SM , OM   SMO  SCD  ,  ABCD     SOM    SCD   SM    SOM    ABCD   OM Xét hình vuông ABCD ta có: OM  a và OD  BD AB 2 2a 2    a 2. 2 2 2 Xét SOD vuông tại O , ta có: SO  SD 2  OD 2   Xét SOM vuông tại O , ta có: tan SMO 2 a 3   a 2  2  a. SO a   45o.   1  SMO OM a Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ Gọi O  AC  BD. Vì S. ABCD là hình chóp đều nên SO   ABCD  . Ta có: AC  BD  AB 2  2a 2 và SO  SD 2  OD 2  3a 2  2a 2  a. Trang 178 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020     Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ với O  0; 0; 0  , C a 2; 0; 0 , D 0; a 2;0 và S  0; 0; a  .  Ta có:  ABCD  : z  0   ABCD  có một vectơ pháp tuyến là k   0; 0;1 . z  1  x  y  2z  a 2  0 a 2 a 2 a    SCD  có một vectơ pháp tuyến là n  1;1; 2 .  SCD  : x  y     k .n 2    Suy ra: cos   SCD  ,  ABCD        SCD  ,  ABCD    45o. 2 k.n Câu 17.19:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a 2 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  a 3 (minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng  SBD  và  ABCD  bằng: A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn C  Gọi O  AC  BD. Ta có: BD  SA  BD   SAC  . BD  AC Trang 179 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020  BD   SAC   SBD    ABCD   BD    Do đó:     SBD  ,  ABCD     SO, AC   SOA. SAC    SBD   SO    SAC    ABCD   AC Xét hình vuông ABCD ta có: OA  AC AB 2 a 2 2    a. 2 2 2 SA a 3   60o.   3  SOA OA a  Xét SAO vuông tại A , ta có: tan SOA Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ       Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với A  0; 0;0  , B a 2; 0; 0 , D 0; a 2; 0 và S 0; 0; a 3 .  Ta có:  ABCD  : z  0   ABCD  có một vectơ pháp tuyến là k   0; 0;1 .  SBD  : x a 2  y a 2  z a 3  1  3x  3 y  2 z  a 6  0    SBD  có một vectơ pháp tuyến là n    3; 3; 2 .  k.n 1   Suy ra: cos   SBD  ,  ABCD          SBD  ,  ABCD    60 o. k.n 2 Câu 17.20:Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB  2a , AD  2a 3 , SA vuông góc với 3 mặt phẳng đáy, SA  a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng  SBD  và  ABCD  bằng: Trang 180 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A. 30 . 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 C. 60 . B. 45 . D. 90 . Lời giải Chọn B  Vẽ AM  BD tại M . Ta có: BD  SA  BD   SAM  . BD  AM  BD   SAM   SBD    ABCD   BD . Do đó:    SM , AM   SMA  SBD  ,  ABCD     SAM  SBD  SM       SAM    ABCD   AM Xét ABD vuông tại A , ta có: 1 1 1 1 3 1    2  2  2  AM  a. 2 2 2 AM AB AD 4a 4a a  Xét SAM vuông tại A , ta có: tan SMA SA a   45o.   1  SMA AM a Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ  2a 3  Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với A  0; 0;0  , B  2 a; 0; 0  , D  0; ; 0  và S  0;0; a  . 3    Ta có:  ABCD  : z  0   ABCD  có một vectơ pháp tuyến là k   0; 0;1 . x y z    1  x  3 y  2 z  2a  0 2 a 2a 3 a 3    SBD  có một vectơ pháp tuyến là n  1; 3; 2 .  SBD  :   Trang 181 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020  k .n 1 Suy ra: cos   SBD  ,  ABCD          SBD  ,  ABCD    45o. 2 k .n Trang 182