Tuyển tập câu hỏi trắc nghiệm môn Toán 12 có đáp án và lời giải

KỲ THI TRUNG HỌC QUỐC GIA 2019-2020 TUYỂN TẬP CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Th.s NGUYỄN CHÍN EM Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 MỤC LỤC PHẦN I GIẢI TÍCH & ĐẠI SỐ 1 CHƯƠNG 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀMĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 1. Xét sự đồng biến – nghịch biến của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 2. Điều kiện của tham số để một hàm số đơn điệu trên mọi khoảng xác định Dạng 3. Tìm các khoảng đơn điệu; chứng minh hàm số đơn điệu trên tập K . . . . Dạng 4. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước Dạng 5. Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc ba có khoảng đơn điệu có độ dài cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 4 4 12 15 18 24 35 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Dạng 1. Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Dạng 2. Cực trị có tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 3 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 Dạng 1. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn . . . . . . . . 374 Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng . . . . . . 377 Dạng 3. Sử dụng GTLN, GTNN để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 Dạng 4. Sử dụng GTLN, GTNN để chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 C 4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 A B 5 Dạng 5. Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số vào bài toán thực tế389 Dạng 6. Một số ứng dụng sự biến thiên của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609 KHẢO SÁT HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713 A Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713 Dạng 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713 Dạng 2. Khảo sát hàm số bậc 4 trùng phương và các bài toán liên quan . . . . . . . . . . 723 Dạng 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ . . . . . . . . . . . . 732 MỤC LỤC MỤC LỤC i Tuyển tập Toán 12 THPT B C CHƯƠNG 2 Kỳ thi THQG 2020 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743 Mức độ vận dụng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858 HÀM SỐ LŨY THỪAHÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT 917 1 LŨY THỪA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918 Dạng 1. Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918 Dạng 2. Chứng minh đẳng thức lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922 Dạng 3. So sánh các biểu thức chứa lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927 Dạng 4. Bài toán lãi kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934 2 HÀM SỐ LŨY THỪA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980 A Lý thuyết cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980 B Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981 Dạng 1. Tính toán – Rút gọn biểu thức lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981 Dạng 2. So sánh lũy thừa hay căn số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983 Dạng 3. Bài toán lãi kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 990 3 LÔGARIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036 Dạng 1. Tính giá trị của biểu thức chứa logarit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036 Dạng 2. Biểu diễn logarit theo các tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039 Dạng 3. Tìm giá trị của x thỏa mãn hệ thức lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046 Dạng 4. Chứng minh đẳng thức chứa lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051 4 HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147 Dạng 1. Tính giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số logarit . . . . . . . . . . . . . . . 1147 Dạng 2. Các bài toán liên quan đến đạo hàm hàm số mũ và hàm số logarit . . . . . . . 1148 Dạng 3. Đồ thị hàm số mũ và đồ thị hàm số logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1151 Dạng 4. Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161 5 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1320 A Phương trình mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1320 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1320 Dạng 1. Đưa về phương trình mũ cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1320 Dạng 2. Đưa về cùng cơ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322 Dạng 3. Lôgarit hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324 Dạng 4. Đặt một ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327 Dạng 5. Đặt ẩn phụ với phương trình đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1331 Dạng 6. Đặt ẩn phu khi tích hai cơ số bằng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334 ii Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT C 6 Kỳ thi THQG 2020 Dạng 7. Đặt hai ẩn phụ và Đặt ẩn phụ không hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337 Dạng 8. Phương pháp hàm số giải phương trình mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1342 Dạng 9. Phương trình mũ chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346 Dạng 10. Phương trình logarit cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1351 Dạng 11. Phương pháp đưa về cùng cơ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352 Dạng 12. Đặt một ẩn phụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1357 Dạng 13. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1360 Dạng 14. Mũ hóa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1362 Dạng 15. Phương pháp hàm số giải phương trình lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364 Dạng 16. Phương trình lôgarit có chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523 A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523 Dạng 1. Bất phương trình mũ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523 Dạng 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1526 Dạng 3. Giải bất phương trình logagit dạng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528 Dạng 4. Giải bất phương trình logagit bằng cách đưa về cùng cơ số . . . . . . . . . . . . . . 1530 Dạng 5. Bất phương trình mũ và logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . 1533 Dạng 6. Phương pháp đặt ẩn phụ trong bất phương trình logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . 1541 Dạng 7. Phương pháp sử dụng hàm số và bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545 CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂNVÀ ỨNG DỤNG 1709 1 NGUYÊN HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1709 A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1709 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1711 Dạng 1. Nguyên hàm đổi biến số loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1711 Dạng 2. Nguyên hàm đổi biến số loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714 Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1723 Dạng 4. Nguyên hàm hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726 Dạng 5. Nguyên hàm của hàm vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1730 Dạng 6. Nguyên hàm có yếu tố mũ và lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1735 Dạng 7. Sử dụng biến đổi lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1739 Dạng 8. Phương pháp đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1743 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1747 2 TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1849 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1849 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1849 Dạng 1. Tính tích phân cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1849 Dạng 2. Phương pháp đổi biến dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1852 Dạng 3. Phương pháp đổi biến dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1859 Dạng 4. Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1864 Dạng 5. Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1872 Dạng 6. Lớp các tích phân đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1877 MỤC LỤC MỤC LỤC iii Tuyển tập Toán 12 THPT C 3 Kỳ thi THQG 2020 Dạng 7. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1884 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1902 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2055 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2055 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056 Dạng 1. Diện tích hình giới hạn bởi: đồ thị hàm số – trục hoành và hai cận . . . . . . . 2056 Dạng 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 2061 Dạng 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2073 Dạng 4. Thể tích khối tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2080 Dạng 5. Bài toán thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2086 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2094 CHƯƠNG 4 SỐ PHỨC 2391 1 SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2391 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2391 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2392 Dạng 1. Xác định phần thực – phần ảo của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2392 Dạng 2. Xác định mô-đun của số phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2393 Dạng 3. Hai số phức bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2394 Dạng 4. Tìm tập hợp điểm biểu diễn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2395 Dạng 5. Số phức liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2398 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2403 2 CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2457 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2457 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2458 Dạng 1. Cộng trừ hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2458 Dạng 2. Phép nhân hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2462 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2472 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2571 A Lý thuyết cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2571 B Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2571 Dạng 1. Phép chia số phức đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2571 Dạng 2. Các bài toán tìm phần thực và phần ảo của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2573 Dạng 3. Một số bài toán xác định môđun của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2577 Dạng 4. Tìm tập hợp điểm-GTNN-GTLN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2579 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2587 Phép chia số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2623 4 5 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2667 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2667 Dạng 1. Giải phương trình bậc hai hệ số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2667 Dạng 2. Phương trình bậc cao với hệ số thực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2669 B Dạng 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2672 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2678 iv Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT PHẦN II Kỳ thi THQG 2020 HÌNH HỌC CHƯƠNG 1 KHỐI ĐA DIỆN 2749 2751 1 KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2751 A Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2751 B Hai đa diện bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2752 C Phân chia và lắp ghép khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2754 D Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2758 2 KHỐI ĐA DIỆN LỒI, KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2814 3 A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2814 B C D E CÁC VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2817 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2820 Mức độ thông hiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2841 Mức độ thông hiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2869 KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2897 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2897 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2898 Dạng 1. Thể tích khối chóp tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2898 Dạng 2. Thể tích khối chóp tứ giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2901 Dạng 3. Thể tích khối lăng trụ đứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2903 Dạng 4. Thể tích khối lăng trụ xiên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2905 Dạng 5. Tỉ số thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2909 C Dạng 6. Ứng dụng thể tích để tính khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2912 Dạng 7. Thể tích khối đa diện liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất . . . 2917 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2928 CHƯƠNG 2 MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU 3125 1 MẶT NÓN, MẶT TRỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3125 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3125 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3126 Dạng 1. Thiết diện qua trục hình trụ, hình nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3126 Dạng 2. Thiết diện không qua trục hình trụ, hình nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3129 Dạng 3. Góc và khoảng cách trong nón và trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3133 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3143 2 MẶT CẨU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3330 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3330 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3331 Dạng 1. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy (hình chóp đều) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3331 Dạng 2. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy (hình chóp khác) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3335 MỤC LỤC MỤC LỤC v Tuyển tập Toán 12 THPT C Kỳ thi THQG 2020 Dạng 3. Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp, nội tiếp hình chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3339 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3346 CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁPTỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 3523 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3523 A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3523 Dạng 1. Sự cùng phương của hai véc-tơ. Ba điểm thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3527 Dạng 2. Tìm tọa độ điểm thỏa điều kiện cho trước. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3534 Dạng 3. Một số bài toán về tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3540 B Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3546 2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3716 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3716 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3717 Dạng 1. Sự đồng phẳng của ba vec-tơ, bốn điểm đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3717 Dạng 2. Diện tích của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3723 Dạng 3. Thể tích khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3724 Dạng 4. Thể tích khối hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3726 Dạng 5. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3727 Dạng 6. Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 3727 Dạng 7. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có cặp vectơ chỉ phương cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3728 Dạng 8. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và song song mặt phẳng cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3729 Dạng 9. Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng 3730 Dạng 10. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3731 Dạng 11. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3731 Dạng 12. Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt phẳng cắt nhau cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3732 Dạng 13. Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm cho trước . . . 3733 Dạng 14. Viết phương trình của mặt phẳng liên quan đến mặt cầu và khoảng cách3733 Dạng 15. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc hoặc liên quan đến tam giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3740 Dạng 16. Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3745 Dạng 17. Ví trí tương đối của hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3750 Dạng 18. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3751 Dạng 19. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Tìm hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng. Tìm điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng. . . . . . 3753 Dạng 20. Tìm tọa độ hình chiếu của điểm trên mặt phẳng. Điểm đối xứng qua mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3755 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3760 vi Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT 3 Kỳ thi THQG 2020 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4014 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4014 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4014 Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng khi biết một điểm thuộc nó và một véc-tơ chỉ phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4014 Dạng 2. Viết phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước . . . . . . . . . . . 4016 Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M cho trước và vuông góc với mặt phẳng (α) cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4017 Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và song song với một đường thẳng cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4018 Dạng 5. Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P ) và (Q). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4019 Dạng 6. Đường thẳng d qua M song song với mp(P ) và vuông góc với d0 (d0 không vuông góc với ∆). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4022 Dạng 7. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4025 Dạng 8. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4028 Dạng 9. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4031 Dạng 10. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4034 Dạng 11. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P ) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4036 Dạng 12. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4038 Dạng 13. Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đều hai đường thẳng song song cho trước và nằm trong mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó. . . . . . . . . . . 4040 Dạng 14. Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4042 Dạng 15. Viết phương trình tham số của đường thẳng d0 là hình chiếu của đường thẳng d trên mặt phẳng (P ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4046 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4049 PHẦN III MỤC LỤC ĐỀ THI THQG 4365 MỤC LỤC vii Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 PHẦN I GIẢI TÍCH & ĐẠI SỐ 1 Tuyển tập Toán 12 THPT 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Kỳ thi THQG 2020 Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 CHƯƠNG 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Tính đơn điệu của hàm số Định nghĩa 1. Cho hàm số y = f (x) xác định trên K (K ⊂ R là một khoảng). Ta nói • Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f (x1 ) nhỏ hơn f (xx ), tức là x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ). • Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f (x1 ) lớn hơn f (xx ), tức là x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ). Định lí 1. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K .  Nếu f 0 (x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f (x) đồng biến trên K .  Nếu f 0 (x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f (x) nghịch biến trên K . Định lí 2. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K . Nếu f 0 (x) ≥ 0 (f 0 (x) ≤ 0) với mọi x thuộc K và f 0 (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f (x) đồng biến (nghịch biến) trên K . 2 Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số  Tìm tập xác định.  Tính đạo hàm f 0 (x). Tìm các điểm xi (i = 1, 2, ..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.  Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.  Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 B CÁC DẠNG TOÁN { DẠNG 1. Xét sự đồng biến - nghịch biến của hàm số Phương pháp giải. Để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f (x) ta thực hiện các bước giải như sau:  Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số.  Bước 2: Tính y 0 . Tìm các điểm thuộc D mà tại đó y 0 = 0 hoặc y 0 không xác định.  Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số.  Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = −x3 + 6x2 − 9x + 4. Lời giải. Hàm số y = −x + 6x − 9x + 4 có tập xác định D = R. 3 2 " Ta có y 0 = −3x2 + 12x − 9. Cho y 0 = 0 ⇔ −3x2 + 12x − 9 = 0 ⇔ x=1 x = 3. Bảng biến thiên x −∞ 1 y0 − 0 +∞ 3 + +∞ 0 − 4 y −∞ 0 Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; 1), (3; +∞) và đồng biến trên khoảng (1; 3).  Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = −x4 + 4x2 − 3. Lời giải. Tập xác định của hàm số y = −x + 4x − 3 là D = R. 2 Ta có y 0 = −4x3 + 8x. Cho y 0 ="0 ⇔ −4x3 + 8x = "0 ⇔ 4x(−x" + 2) = 0 4x = 0 x=0 x=0 ⇔ ⇔ ⇔ √ − x2 + 2 = 0 x2 = 2 x = ± 2. Bảng biến thiên √ √ x −∞ 0 − 2 2 4 y0 + 2 0 − 0 + 1 0 +∞ − 1 y −∞ −3 √ √ Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; − 2) và (0; 2), √ √ hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (− 2; 0) và ( 2; +∞). 4 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em −∞  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ví dụ 3. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x4 − 6x2 + 8x + 1. Lời giải. Hàm số y = x − 6x + 8x + 1 có tập xác định D = R. 4 2 2 Ta có y 0 = 4x3 − 12x + 8 = 0 = 4(x − 1) " (x + 2). x = −2 Cho y 0 = 0 ⇔ 4(x − 1)2 (x + 2) = 0 ⇔ x = 1. Bảng biến thiên −∞ x y0 −2 − +∞ 1 + 0 + 0 +∞ +∞ y −23 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −2) và đồng biến trên khoảng (−2; +∞). Ví dụ 4. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =  3 − 2x . x+7 Lời giải. −2x + 3 3 − 2x = có tập xác định D = R {−7}. Hàm số y = x+7 x+7 −17 Ta có y 0 = < 0, ∀x 6= −7. (x + 7)2 Bảng biến thiên x −∞ y0 −7 − +∞ − +∞ −2 y −2 −∞ Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; −7) và (−7; +∞). Ví dụ 5. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =  x2 − x + 1 . x−1 Lời giải. 2 x −x+1 có tập xác định D = R {1}. x−1 2 x − 2x Ta có y 0 = , ∀x ∈ D. (x − 1)2 " 2 x=0 x − 2x Cho y 0 = 0 ⇔ = 0 ⇔ x2 − 2x = 0 ⇔ 2 (x − 1) x = 2. Hàm số y = Bảng biến thiên CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 5 Tuyển tập Toán 12 THPT x Kỳ thi THQG 2020 −∞ y0 0 + 1 − 0 +∞ 2 − + 0 +∞ −1 +∞ y −∞ −∞ 3 Hàm số đồng biến biến trên mỗi khoảng (−∞; 0) và (2; +∞) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (0; 1) và (1; 2).  Ví dụ 6. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x + √ 16 − x2 . Lời giải. Tập xác định: D = [−4; 4]. √ 16 − x2 − x x Đạo hàm: y 0 = 1 − √ = √ . 2 2 ( 16 − x (√ 16 − x ( 2 = x √ 16 − x x > 0 x>0 ⇔ Cho y 0 = 0 ⇔ ⇔ ⇔ x = 2 2. 16 − x2 > 0 0 < 16 − x2 = x2 x2 = 8 Bảng biến thiên x −∞ √ 2 2 −4 y0 + 0 √ 4 2 +∞ 4 − y −4 4 √ √ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−4; 2 2) và nghịch biến trên khoảng (2 2; 4).  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = −2x4 + 4x2 . Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = R. Ta có y 0 = −8x3 + 8x. Cho y 0 = 0" ⇔ −8x3 + 8x = 0"⇔ 8x(−x2"+ 1) = 0 8x = 0 x=0 x=0 ⇔ ⇔ ⇔ − x2 + 1 = 0 x2 = 1 x = ±1. Bảng biến thiên x −∞ y0 −1 + 0 0 − 0 2 +∞ 1 + 0 − 2 y −∞ 6 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 0 −∞ Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; −1) và (0; 1), hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−1; 0) và (1; +∞).  Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x4 − 2x2 − 3. Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = R. 2 Ta có y 0 = 4x3 − 4x. Cho y 0 = 0 ⇔"4x3 − 4x = 0 ⇔ " 4x(x − 1)" = 0 4x = 0 x=0 x=0 ⇔ ⇔ ⇔ x2 − 1 = 0 x2 = 1 x = ±1. Bảng biến thiên x −∞ −1 y0 − 0 0 + +∞ 0 +∞ 1 − 0 + +∞ −3 y −4 −4 Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−1; 0) và (1; +∞) , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; −1) và (0; 1).  Bài 3. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x4 + 4x3 − 1. Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên D = R. Ta có y 0 = 4x3 + 12x2 = 0 = 4x2 (x " + 3). x=0 Cho y 0 = 0 ⇔ 4x2 (x + 3) = 0 ⇔ x = −3. Bảng biến thiên x −∞ y0 −3 − 0 +∞ 0 + 0 +∞ + +∞ y −28 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −3) và đồng biến trên khoảng (−3; +∞).  Bài 4. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x4 + 4x + 6. Lời giải. Tập xác định: D = R. Ta có y 0 = 4x3 + 4. Cho y 0 = 0 ⇔ 4x3 + 4 = 0 ⇔ x = −1. Bảng biến thiên CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 7 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x −∞ y0 −1 − 0 +∞ + +∞ +∞ y 3 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1) và đồng biến trên khoảng (−1; +∞).  Bài 5. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x3 − x2 − x + 1. Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên D = R.  x=1 0 2 0 2  Ta có y = 3x − 2x − 1. Cho y = 0 ⇔ 3x − 2x − 1 = 0 ⇔ 1 x=− . 3 Bảng biến thiên x −∞ 1 3 0 − y0 + +∞ 1 − 0 + +∞ 32 27 y −∞ 0 ã Å ã Å 1 1 Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng −∞; − , (1; +∞) và nghịch biến trên khoảng − ; 1 .  3 3 Bài 6. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x3 + 3x2 + 3x + 2. Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên D = R. Ta có y 0 = 3x2 + 6x + 3. Cho y 0 = 0 ⇔ 3x2 + 6x + 3 = 0 ⇔ x = −1. Bảng biến thiên x −∞ y0 −1 + 0 +∞ + +∞ y −∞  Vậy hàm số đồng biến trên R. Bài 7. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = √ x2 − 2x. Lời giải. 8 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 " Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi x2 − 2x > 0 ⇔ x≤0 x > 2. Tập xác định: D = (−∞; 0] ∪ [2; +∞). x−1 , ∀x ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞). Ta có y 0 = √ x2 − 2x Hàm số không có đạo hàm tại x = 0 và x = 2. x−1 Cho y 0 = 0 ⇔ √ =0⇒x−1=0⇔x=1∈ / D. x2 − 2x Bảng biến thiên: −∞ x y0 0 +∞ 2 − + +∞ +∞ y 0 0 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) và đồng biến trên khoảng (2; +∞).  3x + 1 . 1−x Lời giải. Bài 8. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = Hàm số xác định và liên tục trên D = R {1}. 4 > 0, ∀x 6= 1. Ta có y 0 = (1 − x)2 Bảng biến thiên: x −∞ y0 +∞ 1 + + +∞ −3 y −3 −∞ Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).  −x2 + 2x − 1 . x+2 Lời giải. Bài 9. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = Hàm số đã cho xác định trên D = R {−2}. −x2 − 4x + 5 Ta có y 0 = , ∀x ∈ D. (x + 2)2 ” 2 x = −5 −x − 4x + 5 Cho y 0 = 0 ⇔ = 0 ⇔ −x2 − 4x + 5 = 0 ⇔ 2 (x + 2) x = 1. Bảng biến thiên CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 9 Tuyển tập Toán 12 THPT x Kỳ thi THQG 2020 −∞ y0 −5 − −2 + 0 + 0 +∞ +∞ +∞ 1 − 0 y −∞ −∞ 12 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; −5) và (1; +∞) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−5; −2) và (−2; 1). Bài 10. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = √  x+2 . x2 − x + 3 Lời giải. Hàm số đã cho xác định khi x2 − x + 3 > 0 (đúng với mọi x ∈ R). Hàm số đã cho xác định trên D = R. √ (x + 2)(2x − 1) x2 − x + 3 − √ −5x + 8 2 x2 − x + 3 √ = . Ta có y 0 = 2 2 x −x+3 2(x − x + 2) x2 − x + 2 −5x + 8 8 √ Cho y 0 = 0 ⇔ = 0 ⇔ −5x + 8 = 0 ⇔ x = . 5 2(x2 − x + 2) x2 − x + 2 Bảng biến thiên: x 8 5 0 −∞ y0 − +∞ + 6 √ 11 y −1 1 Å 8 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng −∞; 5 ã Å và nghịch biến trên khoảng ã 8 ; +∞ . 5  √ Bài 11. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = (4 − 3x) 6×2 + 1. Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên D = R. √ 6x(4 − 3x) −36×2 + 24x − 3 √ = . Ta có y 0 = −3 6×2 + 1 + √ 6×2 + 1 6×2 + 1  x= −36x + 24x − 3  √ Cho y 0 = 0 ⇔ = 0 ⇔ −36×2 + 24x − 3 = 0 ⇔  6×2 + 1 x= 2 1 2 1 . 6 Bảng biến thiên 10 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT x Kỳ thi THQG 2020 −∞ y0 + 1 6 0 √ 7 42 12 1 2 0 − +∞ + +∞ y √ 5 10 4 −∞ Å 1 Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng −∞; 6 Å ã 1 1 Hàm số nghịch biến trên khoảng ; . 6 2 ã Å và ã 1 ; +∞ . 2  Bài 12. Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y = |x2 − 2x − 3|. Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = R. » 2(x2 − 2x − 3)(2x − 2) (x2 − 2x − 3)(2x − 2) » = Ta có y = |x2 − 2x − 3| = (x2 − 2x − 3)2 nên y 0 = |x2 − 2x − 3| 2 (x2 − 2x − 3)2 (x2 − 2x − 3)(2x − 2) y0 = 0 ⇔ =0⇔x=1 |x2 − 2x − 3| (hàm số không có đạo hàm tại x = −1 và x = 3) Bảng biến thiên: x −∞ y0 −1 − 1 + +∞ 0 +∞ 3 − + +∞ 4 y 0 0 Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (−∞; −1) và (1; 3), hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 1) và (3; +∞).  Bài 13. hình bên. Hãy xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f (2 − x). −1 1 y = f0 ( x) y Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R. Hàm số y = f 0 (x) có đồ thị như O 4 x Lời giải. Ta có (f (2 − x))0 = (2 − x)0 .f 0 (2 − x) = −f 0 (2 − x) Dựa vào đồ thị hàm số f 0 (x) thì CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 11 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ”
0  f (2 − x) > 0 ⇔ f 0 (2 − x) < 0 ⇔ 2 − x < −1 " ⇔ x>3 . −2 0 ⇔ ⇔ . 2−x>4 x < −2 Vậy hàm số f (x) đồng biến trên mỗi khoảng (−2; 1) và (3; +∞). 1<2−x<4 Hàm số f (x) nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; −2) và (1; 3).  { DẠNG 2. Điều kiện của tham số để một hàm số đơn điệu trên mọi khoảng xác định Phương pháp giải. A. Lý thuyết chung Cho hàm số y = f (x) liên tục trên K (một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng) đồng thời phương trình f 0 (x) vô nghiệm trên K hoặc có nghiệm rời rạc trên K. Khi đó  Hàm số f (x) đồng biến trên K ⇔ f 0 (x) > 0, ∀x ∈ K.  Hàm số f (x) nghịch biến trên K ⇔ f 0 (x) ≤ 0, ∀x ∈ K. B. Kiến thức bổ trợ Cho tam thức bậc hai h(x) = ax2 + bx + c (a 6= 0). Khi đó  h(x) > 0, ∀x ∈ R ⇔ ( a>0  h(x) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ ≤ 0. ( a<0 ∆ ≤ 0. Lưu ý: khi đã chắc chắn a 6= 0, hai công thức trên đây mới được sử dụng. Ví dụ 7. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − 3x2 + 3(m + 2)x + 3m − 1 đồng biến trên R. Lời giải. Hàm số y = x − 3x + 3(m + 2)x + 3m − 1 có tập xác định D = R. 3 2 Hàm số đồng biến trên R ⇔ y 0 ( = 3x2 − 6x + ( 3(m + 2) > 0, ∀x ∈ R. a>0 3>0 ⇔ ⇔ ⇔ m > −1 ∆0 ≤ 0 9 − 9(m + 2) ≤ 0 Vậy với m > −1 thì hàm số đồng biến trên R.  1 Ví dụ 8. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = (3 − m)x3 − (m + 3)x2 + (m + 2)x − 3 3 đồng biến trên R. Lời giải. 1 Hàm số y = (3 − m)x3 − (m + 3)x2 + (m + 2)x − 3 có tập xác định D = R. 3  Xét a = 3 − m = 0 ⇔ m = 3. Khi đó hàm số trở thành y = −6×2 + 5x − 3. Đây là hàm số bậc hai, có lúc tăng, lúc giảm khi xét trên R. Do đó ta loại m = 3. 12 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Xét a = 3 − m 6= 0 ⇔ m 6= 3. Hàm số luôn tăng trên R ⇔ y 0 = (3 − m)x2 − 2(m + 3)x + (m + 2) > 0 ( m < 3 a=3−m>0 3 ⇔ ⇔ − ≤ m ≤ −1. ⇔ 3 0 2  − ≤ m ≤ −1 2 ∆ = 2m + 5m + 3 ≤ 0 2 3 Vậy với − ≤ m ≤ −1 thì hàm số đồng biến trên R. 2 Ví dụ 9. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y =  mx + m − 7 đồng biến trên mọi khoảng 5x − m + 3 của tập xác định. Lời giải. ™ m−3 . Tập xác định: D = R 5 −m2 − 2m + 35 Ta có y 0 = . (5x − m + 3)2 Hàm số đồng biến trên mọi khoảng xác định khi và chỉ khi m−3 y 0 > 0, ∀x 6= ⇔ −m2 − 2m + 35 > 0 ⇔ m ∈ (−7; 5). 5 Vậy, với m ∈ (−7; 5) thì hàm số đồng biến trên mọi khoảng xác định của nó. ß  BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1 Bài 14. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + mx2 + 4x + 3 đồng biến tren R. 3 Lời giải. Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y 0 = 3×2 + 2mx + 4 có ∆0y0 = m2 − 12. ( ( √ a > 0 3 > 0 : hiển nhiên Hàm số đồng biến trên R ⇔ y 0 > 0, ∀x ∈ R ⇔ ⇔ ⇔ |m| ≤ 2 3. ∆0y0 ≤ 0 m2 − 12 ≤ 0 î √ √ ó Vậy, với m ∈ −2 3; 2 3 thì hàm số đồng biến trên R.  Bài 15. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = −x3 + 3×2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − 1 nghịch biến trên R. Lời giải. Hàm số y = −x3 + 3×2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − 1 có tập xác định D = R. 0 Hàm số luôn giảm trên R ⇔ y( = −3×2 + 6x + 3(m2 − 1) ≤ 0, ∀x ∈ R a = −3 < 0 ⇔ ⇔ m = 0. ∆0 = 9 + 3.3(m2 − 1) = 9m2 ≤ 0 Vậy với m = 0 thì hàm số nghịch biến trên R. Bài 16. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y =  mx − 2 nghịch biến trên từng khoảng xác x−m+1 định của nó. Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 13 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 mx − 2 có tập xác định D = R {m − 1}. x−m+1 −m2 + m + 2 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định ⇔ y 0 = < 0, ∀x 6= m − 1 (x"− m + 1)2 m < −1 ⇔ −m2 + m + 2 < 0 ⇔ m > 2. Vậy với m ∈ (−∞; −1) ∪ (2; +∞) thì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Hàm số y =  Bài 17. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = x + m cos x đồng biến trên R. Lời giải. Hàm số y = x + m cos x có tập xác định D = R. Ta có y 0 = 1 − m sin x. Hàm số đồng biến trên R ⇔ y 0 > 0, ∀x ∈ R ⇔ 1 − m sin x > 0, ∀x ∈ R ⇔ m sin x ≤ 1, ∀x ∈ R (*) Với m = 0 thì (*) luôn đúng. 1 1 , ∀x ∈ R ⇔ 1 ≤ ⇔ 0 < m ≤ 1. m m 1 1 Với m < 0 thì (*) ⇔ sin x > , ∀x ∈ R ⇔ −1 > ⇔ −1 ≤ m < 0. m m Vậy −1 ≤ m ≤ 1 là các giá trị của tham số m thỏa yêu cầu của bài toán. Với m > 0 thì (*) ⇔ sin x ≤  (m + 1)x2 − 2mx + 6m . Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến x−1 trên mọi khoảng của tập xác định hàm số. Bài 18. Cho hàm số y = Lời giải. Tập xác định của hàm số: D = R {1}. Ta cần xét hai trường hợp 4 2x − 6 và y 0 = > 0 với mọi x ∈ D. x−1 (x − 1)2 Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định. Vậy, m = −1 thỏa yêu cầu bài toán. (m + 1)x2 − 2(m + 1)x − 4m  TH2: Khi m 6= −1, ta có y 0 = . (x − 1)2 Đặt g(x) = (m + 1)x2 − 2(m + 1)x − 4m và ta có y 0 cùng dấu với g(x). 0 Hàm ( số0 đồng biến 2trên mỗi khoảng xác định ( ⇔ y > 0, ∀x ∈ D ⇔ g(x) > 0, ∀x ∈ D ∆g = (m + 1) + 4m(m + 1) ≤ 0 (m + 1)(5m + 1) ≤ 0 1 ⇔ ⇔ ⇔ −1 < m ≤ − . 5 m+1>0 m > −1 ï ò 1 Vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa yêu cầu của bài toán là −1; − . 5  TH1: Khi m = −1, ta có hàm số y =  Bài 19. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = (m + 2) x3 − (m + 2)x2 − (3m − 1)x + m2 đồng 3 biến trên R. Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = R. Ta có y 0 = (m + 2)x2 − 2(m + 2)x − 3m + 1. Vì đạo hàm không thể triệt tiêu tại vô hạn điểm nên hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi y 0 > 0, ∀x ∈ R ⇔ (m + 2)x2 − 2(m + 2)x − 3m + 1 > 0, ∀x ∈ R (1) 14 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  TH1: Nếu m = −2 khi đó (1) luôn đúng với mọi x ⇒(m = −2 thỏa bài toán. a=m+2>0  TH2: Nếu m 6= −2 khi đó (1) thỏa với mọi x ∈ R ⇔ ∆0 = (m + 2)(4m + 1) ≤ 0 ( m+2>0 1 ⇔ ⇔ −2 < m ≤ − . 4 4m + 1 ≤ 0 Kết hợp cả hai trường hợp, ta có −2 ≤ m ≤ − 1 là những giá trị cần tìm. 4  1 Bài 20. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = (m2 − 1)x3 + (m + 1)x2 + 3x luôn đồng biến 3 trên R. Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = R. Ta có y 0 = (m2 − 1)x2 + 2(m + 1)x + 3 và có ∆0 = 2(−m2 + m + 2). Hàm số y đồng biến trên R khi và chỉ khi ⇔ y 0 > 0, ∀x ∈ R.  Xét m2 − 1 = 0 ⇔ m = ±1. 3 + m = 1 ⇒ y 0 = 4x + 3. Ta có y 0 > 0 ⇔ x > − ⇒ m = 1 không thoả yêu cầu. 4 + m = 1 ⇒ y 0 = 3 > 0, ∀x ∈ R ⇒ m = −1 thoả mãn yêu cầu bài toán.  Xét m2 − 1 6= 0 ⇔ m 6= ±1. Trường hợp này, hàm số đồng ( biến trên R khi và chỉ khi a = m2 − 1 > 0 ∆0 = 2(−m2 + m + 2) ≤ 0 ” ⇔ m < −1 m > 2. Vậy với m ≤ −1 hoặc m > 2 thì hàm số y đồng biến trên R.  { DẠNG 3. Tìm các khoảng đơn điệu; chứng minh hàm số đơn điệu trên tập K Phương pháp giải. Phương pháp  Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số hoặc xét hàm số trên tập K .  Bước 2: Tính đạo hàm y 0 = f 0 (x).  Bước 3: Xét dấu f 0 (x).  Bước 4: Kết luận. Ví dụ 10. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = √ x+1+ √ 5 − x. Lời giải. Tập xác định của hàm số D = √ [−1; 5]. √ 1 1 5−x− x+1 y0 = √ − √ = p ; 2 x+1 2 5−x 2 (x + 1)(5 − x) Cho y 0 = 0 ⇔ x = 2. Bảng biến thiên CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 15 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x −1 2 y0 + 0 √ 2 3 5 − y √ 6 2 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 2) và nghịch biến trên khoảng (2; 5). Ví dụ 11. Xét chiều biến thiên của hàm số y = 2x − 1 −  √ 3x − 5. Lời giải. ï ã 5 Tập xác định của hàm số D = ; +∞ . √ 3 4 3x − 5 − 3 3 √ = ; Ta có y 0 = 2 − √ 2 3x − 5 2 3x − 5 89 Cho y 0 = 0 ⇔ x = . 48 Bảng biến thiên 5 3 x y0 − Å Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng . + 47 24 5 89 ; 3 48 Ví dụ 12. Chứng minh rằng hàm số y = +∞ +∞ 7 3 y 89 48 0 ã Å và đồng biến trên khoảng √ 89 ; +∞ 48 ã  4x − x2 đồng biến trên đoạn [0; 2]. Lời giải. Hàm số y = 4x − x2 liên tục trên đoạn [0; 2]. 2−x Ta có y 0 = √ > 0 ∀x ∈ [0; 2]. 4x − x2 Do đó hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2]. √  Ví dụ 13. Chứng minh hàm số y = √ √ x2 − 1 nghịch biến trên nửa khoảng (−∞; −1]. Lời giải. Hàm số y = x2 − 1 liên tục trên nửa khoảng (−∞; −1]. x Ta có y 0 = √ < 0 ∀x ∈ (−∞; −1). 2 x −1 Do đó hàm số nghịch biến trên nửa khoảng (−∞; −1].  16 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ví dụ 14. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = cos 2x + 4 cos x trên đoạn [0; 2π]. Lời giải. Hàm số y = cos 2x + 4 cos x liên tục trên đoạn [0; 2π]. Ta có y 0 = −2 sin 2x − 4 sin x = −4 sin x(cos x + 1). Trên đoạn [0; 2π], y 0 = 0 có nghiệm x = 0, x = π, x = 2π. Bảng biến thiên x 0 y0 0 π − 2π + 0 5 0 5 y −3 Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (0; π) và đồng biến trên khoảng (π; 2π).  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 21. Xét chiều biến thiên của hàm số y = √ x+2+ √ 2 − x. Lời giải. Tập xác định √ của hàm√số D = [−2; 2]. 2−x− x+2 √ Ta có y 0 = . Cho y 0 = 0 ⇔ x = 0. 2 4 − x2 Bảng biến thiên x −2 y0 0 + 0 √ 2 2 2 − y 2 2 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; 2). Bài 22. Xét chiều biến thiên của hàm số y = x + √  1 − x2 . Lời giải. Tập xác định của hàm số D√= [−1; 1]. √ x 1 − x2 − x 1 Ta có y 0 = 1 − √ = √ . Cho y 0 = 0 ⇔ 1 − x2 = x ⇔ x = √ . 1 − x2 1 − x2 2 Bảng biến thiên CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 17 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x −1 y0 + 1 √ 2 0 √ 2 1 − y −1 1 ã Å Å ã 1 1 và nghịch biến trên khoảng √ ; 1 . Vậy hàm số đồng biến trên khoảng −1; √ 2 2 √ Bài 23. Chứng minh hàm số y = x2 − 25 đồng biến trên khoảng (5; +∞).  Lời giải. Hàm số liên tục trên khoảng (5; +∞). x > 0 ∀x ∈ (5; +∞). Ta có y 0 = √ 2 x2 − 25 Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (5; +∞).  x + cos x trên đoạn [0; π]. 2 Lời giải. Bài 24. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x Hàm số y = + cos x trên đoạn [0; π]. 2 1 0 Ta có y = − sin x. 2 π 5π Trên đoạn [0; π], y 0 = 0 có nghiệm x = 0, x = , . 6 6 Bảng biến thiên x y0 0 + π 6 0 − 5π 6 0 π + √ π 3 + 12 2 π −1 2 y √ 5π 3 − 1 12 2 Å ã Å ã  π 5π π 5π Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng 0; ; π ; hàm số nghịch biến trên khoảng ; và . 6 6 6 6  { DẠNG 4. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước Phương pháp giải. Có hai phương pháp chính để giải các bài toán.  Phương pháp 1: Cô lập tham số, lập bảng biến thiên, từ đó rút ra điều kiện của tham số.  Phương pháp 2: Lập bảng biến thiên trực tiếp để tìm các khoảng đơn điệu cụ thể, từ đó rút ra kết luận. 18 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ví dụ 15. Tìm m để hàm số y = −x3 + 3×2 + 3mx − 1 nghịch biến trên (0; +∞). Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Ta có y 0 = −3×2 + 6x + 3m. Hàm số nghịch biến trên (0; +∞) khi và chỉ khi y 0 ≤ 0, ∀x ∈ (0; +∞). Hay −3×2 + 6x + 3m ≤ 0, ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ m ≤ x2 − 2x, ∀x ∈ (0; +∞) (1). Xét hàm số f (x) = x2 − 2x trên (0; +∞) có f 0 (x) = 2x − 2; f 0 (x) = 0 ⇔ x = 1. Bảng biến thiên x 0 f 0 (x) +∞ 1 − 0 + +∞ 0 f (x) −1 Từ bảng biên thiên ta có (1) ⇔ m ≤ −1. Vậy với m ≤ −1 thì hàm số đã cho nghịch biến trên (0; +∞).  1 Ví dụ 16. Tìm m để hàm số y = − x3 + (m − 1) x2 + (m + 3) x + 4 đồng biến trên (0; 3). 3 Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Ta có y 0 = −x2 + (m − 1) x + m + 3. Hàm số đồng biến trên (0; 3) khi và chỉ khi y 0 > 0, ∀x ∈ (0; 3). Hay −x2 + 2 (m − 1) x + m + 3 > 0, ∀x ∈ (0; 3) ⇔ m (2x + 1) > x2 + 2x − 3, ∀x ∈ (0; 3). x2 + 2x − 3 Trên (0; 3) ta có 2x + 1 > 0 nên chia hai vế cho 2x + 1 được m > , ∀x ∈ (0; 3) (2). 2x + 1 2×2 + 2x + 8 x2 + 2x − 3 0 Xét hàm số f (x) = trên [0; 3] có f (x) = > 0, ∀x ∈ [0; 3]. 2x + 1 (2x + 1)2 Bảng biến thiên x 0 f 0 (x) 3 + f (x) −3 12 7 12 Từ bảng biến thiên ta có (2) ⇔ m > . 7 12 Vậy với m > , hàm số đã cho luôn đồng biến trên (0; 3). 7 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  19 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ví dụ 17. Tìm m để hàm số y = x3 − (2m + 1) x2 + (m2 + 2m) x + 1 đồng biến trên (0; +∞). Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Ta có: y 0 = 3×2 − 2 (2m + 1) x + m2 + 2m; ∆0y0 = (2m + 1)2 − 3 (m2 + 2m) = (m − 1)2 . Với m = 1, ta có y 0 > 0, ∀x ∈ R ⇒ hàm số luôn đồng biến trên R nên đồng biến trên (0; +∞). Do đó m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.  2m + 1 − |m − 1|   x1 =  3 . Với m 6= 1, ta có y 0 = 0 ⇔     2m + 1 + |m − 1| x2 = 3 Bảng biến thiên x x1 −∞ f 0 (x) + 0 y1 x2 − f (x) 0 +∞ + +∞ y2 −∞ Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên (0; +∞) khi và chỉ khi x2 ≤ 0. 2m + 1 + |m − 1| ≤ 0 ⇔ |m − 1| ≤ −2m − 1. Hay 3 Với m > 1, ta có |m − 1| ≤ −2m − 1 ⇔ m − 1 ≤ −2m − 1 ⇔ m < 0 (loại). Với m < 1, ta có |m − 1| ≤ −2m − 1 ⇔ −m + 1 ≤ −2m − 1 ⇔ m < −2 (thỏa mãn). Vậy với m ≤ −2 hoặc m = 1, hàm số đã cho đồng biến trên (0; +∞).  Ví dụ 18. Tìm m để hàm số y = x2 − 2mx + 2m2 − 2 đồng biến trên (1; +∞). x−m Lời giải. x − 2mx + 2 Tập xác định D = R {m}. Ta có y 0 = . (x − m)2  y 0 > 0, ∀x ∈ (1; +∞) Hàm số đồng biến trên (1; +∞) khi và chỉ khi m ∈ / (1; +∞) 2 . x2 + 2 , ∀x ∈ (1; +∞) (4). 2x √ x2 + 2 2×2 − 4 0 Xét hàm số f (x) = trên [1; +∞) có f 0 (x) = ; f (x) = 0 ⇔ x = 2. 2x 4×2 Bảng biến thiên Hay m ≤ 1 và x2 − 2mx + 2 > 0, ∀x ∈ (1; +∞) ⇔ m ≤ 20 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x √ 2 1 f 0 (x) f (x) Từ bảng biến thiên ta có (4) ⇔ − 0 +∞ + +∞ 3 2 √  m ≤ √ 2 2 ⇔ m ≤ 1. m ≤ 1 Vậy với m ≤ 1, hàm số đã cho đồng biến trên (1; +∞).  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 25. Tìm m để hàm số y = x3 + 3×2 − mx − 4 nghịch biến trên (−∞; 0). Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Ta có y 0 = 3×2 + 6x − m. Hàm số đồng biến trên (−∞; 0) khi và chỉ khi y 0 > 0, ∀x ∈ (−∞; 0). Hay 3×2 + 6x − m > 0, ∀x ∈ (−∞; 0) ⇔ m ≤ 3×2 + 6x, ∀x ∈ (−∞; 0) (1). Xét hàm số f (x) = 3×2 + 6x trên (−∞; 0] có f 0 (x) = 6x + 6; f 0 (x) = 0 ⇔ x = −1. x −∞ f 0 (x) −1 − 0 0 + +∞ 0 f (x) −3 Từ bảng biên thiên ta có (1) ⇔ m ≤ −3. Vậy với m ≤ −3 thì hàm số đã cho đồng biến trên (−∞; 0).  1 1 Bài 26. Tìm m để hàm số y = mx3 − (m − 1) x2 + 3 (m − 2) x + đồng biến trên [2; +∞). 3 3 Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Ta có y 0 = mx2 − 2(m − 1)x + 3(m − 2) = m (x2 − 2x + 3) + 2x − 6. Hàm số đồng biến trên [2; +∞) khi và chỉ khi y 0 > 0, ∀x ∈ [2; +∞). −2x + 6 Hay m (x2 − 2x + 3) + 2x − 6 > 0, ∀x ∈ [2; +∞) ⇔ m > 2 , ∀x ∈ [2; +∞) (2). x − 2x + 3 √ −2x + 6 2×2 − 12x + 6 0 Xét hàm số f (x) = 2 trên [2; +∞) có f 0 (x) = ; f (x) = 0 ⇔ x = 3 ± 6. 2 x − 2x + 3 (x2 − 2x + 6) CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 21 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x 2 f 0 (x) f (x) 3+ − √ +∞ 6 0 + 0 2 3 √ 2− 6 2 2 Từ bảng biên thiên ta có (2) ⇔ m > . 3 2 Vậy với m > thì hàm số đã cho đồng biến trên [2; +∞). 3  Bài 27. Tìm m để hàm số y = x4 − 8mx2 + 9m đồng biến trên (2; +∞). Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Ta có y 0 = 4×3 − 16mx = 4x (x2 − 4m). Hàm số đồng biến trên (2; +∞) khi và chỉ khi y 0 > 0, ∀x ∈ (2; +∞). x2 Hay 4x (x2 − 4m) > 0, ∀x ∈ (2; +∞) ⇔ m ≤ , ∀x ∈ (2; +∞) (3). 4 x2 x Xét hàm số f (x) = trên [2; +∞) có f 0 (x) = > 0, ∀x ∈ (2; +∞). 4 2 Do đó (3) ⇔ m ≤ f (2) ⇔ m ≤ 1. Vậy với m ≤ 1 thì hàm số đã cho đồng biến trên (2; +∞).  mx + 4 nghịch biến trên (−∞; 1). x+m Lời giải. 2 m −4 Tập xác định D = R {−m}. Ta có y 0 = . (x + m)2 0 Hàm số nghịch biến trên (−∞;  1) khi và chỉ khi y < 0, ∀x ∈ (−∞; 1).             / (−∞; 1)  −m ∈  −m > 1 ⇔ −2 < m ≤ −1. ⇔ Hay           2    −2 < m < 2  m −4<0 Bài 28. Tìm m để hàm số y = Vậy với m ∈ (−2; −1], hàm số đã cho luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.  mx2 + 6x − 2 nghịch biến trên [1; +∞). x+2 Lời giải. mx2 + 4mx + 14 m(x2 + 4x) + 14 Hàm số xác định và liên tục trên [1; +∞). Ta có y 0 = = . (x + 2)2 (x + 2)2 Bài 29. Tìm m để hàm số y = 22 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Hàm số nghịch biến trên [1; +∞) khi và chỉ khi y 0 ≤ 0, ∀x ∈ [1; +∞). m(x2 + 4x) + 14 −14 , ∀x ∈ [1; +∞) (5). Hay ≤ 0, ∀x ∈ [1; +∞) ⇔ m ≤ 2 2 (x + 2) x + 4x −14 28x + 56 Xét hàm số f (x) = 2 trên [1; +∞) có f 0 (x) = 2 > 0, ∀x ∈ [1; +∞). x + 4x (x + 4x)2 14 Do đó (5) ⇔ m ≤ f (1) ⇔ m ≤ − . 5 14 Vậy với m ≤ − , hàm số đã cho luôn nghịch biến trên [1; +∞). 5 x2 − 2ax + 4a2 đồng biến trên (2; +∞). x − 2a Lời giải. 2 x − 4ax . Tập xác định D = R {2a}. Ta có y 0 = (x − 2a)2 Hàm số đồng biến trên (2; +∞) ⇔ y 0 ≥ 0, ∀x ∈ (2; +∞).   2a ∈ a ≤ 1 2a ≤ 2 / (2; +∞) ⇔ Hay ⇔ a ≤ x , ∀x ∈ (2; +∞) x2 − 4ax > 0, ∀x ∈ (2; +∞) a ≤ 1 4 2 1 Vậy với m ≤ , hàm số đồng biến trên (2; +∞). 2  Bài 30. Tìm a để hàm số y = 1 ⇔a≤ . 2  Bài 31. Tìm m để hàm số y = x3 + 3×2 + (m + 1) x + 4m đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; −2) và (2; +∞). Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Ta có y 0 = 3×2 + 6x + m + 1. Hàm số đồng biến trên (−∞; −2) và (2; +∞) khi và chỉ khi y 0 > 0, ∀x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞). Hay 3×2 + 6x + m + 1 > 0, ∀x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞) ⇔ m > −3×2 − 6x − 1, ∀x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞) (7). Xét hàm số f (x) = −3×2 − 6x − 1 trên (−∞; −2] ∪ [2; +∞) có f 0 (x) = −6x − 6; f 0 (x) = 0 ⇔ x = −1. Bảng biến thiên x −∞ 0 f (x) −2 +∞ 2 + + −1 −25 f (x) −∞ −∞ Từ bảng biến thiên ta có (7) ⇔ m > −1. Vậy với m > −1, hàm số đồng biến trên (−∞; −2) và (2; +∞).  Bài 32. Tìm a để hàm số y = x3 − 3 (a − 1) x2 + 3(a − 2)x + 1 đồng biến trên mỗi khoảng có hoành độ thỏa 1 ≤ |x| ≤ 2. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 23 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Ta có 1 ≤ |x| ≤ 2 ⇔ x ∈ [−2; −1] ∪ [1; 2]. Đạo hàm y 0 = 3×2 − 6(a − 1)x + 3(a − 2) = a(−6x + 3) + 3×2 + 6x − 6. Hàm số đồng biến trên [−2; −1] và [1; 2] khi và chỉ khi y 0 > 0, ∀x ∈ [−2; −1] ∪ [1; 2]. x2 + 2x − 2 Trên [−2; −1] ta có y 0 > 0 ⇔ a(−6x + 3) + 3×2 + 6x − 6 > 0 ⇔ a > (1). 2x − 1 x2 + 2x − 2 Trên [1; 2] ta có y 0 > 0 ⇔ a(−6x + 3) + 3×2 + 6x − 6 > 0 ⇔ a ≤ (2). 2x − 1 x2 + 2x − 2 trên [−2; −1] ∪ [1; 2]. Xét hàm số f (x) = 2x − 1 2×2 − 2x + 2 0 Ta có f (x) = > 0, ∀x ∈ [−2; −1] ∪ [1; 2]. (2x − 1)2 Do đó (1) ⇔ a > f (−1) ⇔ 1 và (2) ⇔ a ≤ f (1) ⇔ a ≤ 1. Kết hợp ta có a = 1, hàm số đồng biến khi 1 ≤ |x| ≤ 2.  { DẠNG 5. Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc ba có khoảng đơn điệu có độ dài cho trước Phương pháp giải. Để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (a < 0); nghịch biến (a > 0) (x1 ; x2 ) bằng l  Bước 1: Tính y 0 .  Bước 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến  a 6= 0 (1) ∆ > 0.  Bước 3: Biến đổi |x2 − x1 | = l (2) thành (x1 + x2 )2 − 4×1 · x2 = l2 .  Bước 4: Sử dụng định lí Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo tham số.  Bước 5: Giải phương trình, so sánh với điều kiện (1) để chọn kết quả thỏa mãn. Ví dụ 19. Tìm a để hàm số y = x3 + 3×2 + ax + a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Ta có: y 0 = 3×2 + 6x + a; ∆0y0 = 9 − 3a. Với 9 − 3a ≤ 0 ⇔ a > 3 ⇒ y 0 > 0, ∀ ∈ R ⇒ hàm số luôn đồng biến trên R, mâu thuẫn giả thiết. Do đó a > 3 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với 9 − 3a > 0 ⇔ a < 3 ⇒ y 0 có hai nghiệm x1 , x2 (x1 < x2 ). Bảng biến thiên 24 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x x1 −∞ f 0 (x) + 0 y1 x2 − f (x) 0 +∞ + +∞ y2 −∞ Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi và chỉ khi 4a 9 |x1 − x2 | = 1 ⇔ (x1 + x2 )2 − 4x1 · x2 = 1 ⇔ 4 − = 1 ⇔ a = (thỏa mãn). 3 4 9 Vậy với a = , hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. 4  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 33. Tìm m để hàm số y = 1 (m + 1) x3 + (2m − 1) x2 − (3m + 2) x + m nghịch biến trên đoạn có 3 độ dài bằng 4. Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Với m = −1, ta có y = −3x2 + x − 1 nên không thể nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 4. Với m 6= 1, ta có y 0 = (m + 1)x2 + 2(2m − 1)x − (3m + 2). Suy ra ∆0y0 = (2m − 1)2 + (m + 1)(3m + 2) = 7m2 + m + 3 > 0, ∀m ∈ R. 2(2m − 1) 3m + 2 Khi đó giả sử y 0 có hai nghiệm x1 , x2 (x1 < x2 ) ta có x1 + x2 = − , x1 · x2 = − . m+1 m+1 Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 4 khi và chỉ khi m > −1 và |x1 − x2 | = 4. 4(2m − 1)2 4(3m + 2) 2 + = 16. Bình phương hai vế được (x1 + x2 ) − 4×1 · x2 = 16 ⇔ (m + 1)2 m+1 √ 7 ± 61 2 2 2 2 Hay 4m −4m+1+3m +5m+2 = 4m +8m+4 ⇔ 3m −7m−1 = 0 ⇔ m = (thỏa mãn). 6 √ 7 ± 61 Vậy với m = , hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 4. 6  1 Bài 34. Tìm m để hàm số y = − x3 + x2 + (3m + 2) x + m − 3 đồng biến trên đoạn có độ dài nhỏ 3 hơn 4. Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Ta có y 0 = −x2 + 2x + 3m + 2; ∆0y0 = 3m + 3. Với m ≤ −1, ta có y 0 ≤ 0, ∀x ∈ R nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với m > −1, giả sử y 0 có hai nghiệm x1 , x2 (x1 < x2 ), ta có x1 + x2 = 2, x1 · x2 = −3m − 2. Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 4 khi và chỉ khi |x1 − x2 | ≤ 4. 1 Bình phương hai vế được (x1 + x2 )2 − 4x1 · x2 ≤ 16 ⇔ 12m + 12 ≤ 16 ⇔ m ≤ . 3 Å ò 1 Kết hợp ta có m ∈ −1; , hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 4. 3 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  25 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 35. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số y = −x3 + 3x2 + 4. Lời giải. Tập xác định D = R Đạo hàm y 0 = −3x2 + 6x = −3x(x − 2) và y 0 = 0 ⇔ x = 2; x = 0. Các giá trị y(0) = 4, y(2) = 8. Bảng biến thiên x −∞ y0 0 − 0 +∞ 2 + +∞ 0 − 8 y −∞ 4 Vậy hàm số đồng biến trên (0; 2) và nghịch biến trên (−∞; 0) và (2; +∞).  Bài 36. Xét tính đơn điệu của hàm số y = x3 − 3x + 2 trên tập xác định. Lời giải. Tập xác định D = R Đạo hàm y 0 = 3x2 − 3 = 3(x2 − 1) và y 0 = 0 ⇔ x = 1; x = −1. Các giá trị y(−1) = 4, y(1) = 0. Bảng biến thiên x −∞ y0 −1 + 0 +∞ 1 − 0 + +∞ 4 y −∞ 0 Vậy hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞), nghịc biến trên khoảng (−1; 1). Bài 37. Xét tính đơn điệu của hàm số y =  √ 2 + x − x2 . Lời giải. Tập xác định D = [−1; 2] Å ã 1 − 2x 1 − 2x 1 1 3 0 0 Đạo hàm y = √ và y = 0 ⇔ √ = 0 ⇔ x = . Giá trị y = 2 2 2 2 2 + x − x2 2 2 + x − x2 Bảng biến thiên x −1 y0 + 1 2 0 2 − 3 2 y 0 26 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 0 Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Å ã Å ã 1 1 Vậy hàm số đồng biến trên −1; ; nghịch biến trên ;2 2 2 Bài 38. Xét tính đơn điệu của hàm số y =  2x − 1 . x−1 Lời giải. Tập xác định D = R {1} −1 Đạo hàm y 0 = và y 0 < 0, ∀x ∈ D. (x − 1)2 2x − 1 2x − 1 = ±∞, lim =2 Giới hạn lim± x→±∞ x − 1 x→1 x−1 Bảng biến thiên x −∞ y0 +∞ 1 − − +∞ 2 y −∞ 2 Vậy hàm số luôn nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). Bài 39. Xét tính đơn điệu của hàm số y =  √ √ x − 1 + 3 − x. Lời giải. Tập xác định D = [1; 3]. √ √ 1 3−x− x−1 4 − 2x 1 0 − √ = p = p Đạo hàm y = √
. √ √ 2 x−1 2 3−x 2 (x − 1) (3 − x) 2 (x − 1) (3 − x) 3 − x + x − 1 y 0 = 0 ⇔ x = 2 ; y(2) = 2 ; y 0 không xác định tại x = 1 và x = 3. √ √ Giới hạn lim+ y = 2; lim− y = 2. x→1 x→3 Bảng biến thiên: x 1 y0 2 + 0 3 − 2 y √ √ 2 2 Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2) và nghịch biến trên khoảng (2; 3).  Bài 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 − 2x2 + mx + 1 đồng biến trên R. Lời giải. Tập xác định D = R. Đạo hàm y 0 = 3x2 − 4x + m ⇒ y 0 ≥ 0 ⇔ 3x2 − 4x ≥ −m CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 27 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 2 Hàm số đồng biến trên ÅR khi ã −m ≤ 3x − 4x = g(x) với ∀x ∈ R. 4 4 2 =− ⇒m≥ ⇔ −m ≤ min g(x) = g R 3 3 3 Bài 41. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =  1 3 x + (m + 1)x2 − (m + 1)x + 1 3 đồng biến trên tập xác định của nó. Lời giải. Tập xác định D = R Đạo hàm y 0 = x2 + 2(m + 1)x − (m + 1). Hàm số đồng biến trên tập xác định khi y 0 ≥ 0 với ∀x ∈ R. ⇔ x2 + 2(m + 1)x − (m + 1) ≥ 0 với ∀x ∈ R ⇔ ∆0 = (m + 1)2 + (m + 1) ≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ −1.  Bài 42. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx3 + mx2 + (m − 1)x − 3 đồng biến trên R. Lời giải. Tập xác định D = R Đạo hàm y 0 = 3mx2 + 2mx + m − 1 Để hàm số đồng biến trên R thì y 0 ≥ 0 với ∀x ∈ R. Ta xét các trường hợp sau:  Trường hợp m = 0 ⇒ y 0 = −1 < 0 với ∀x ∈ R ⇒ Hàm số nghịch biến trên R. ⇒ m = 0 không thỏa yêu cầu. ( m>0  Trường hợp m 6= 0, khi đó điều kiện để hàm số đồng biến trên R là ∆0 = m2 − 3m(m − 1) ≤ 0 ( ï ã m>0 3 ⇔ ⇔ m ∈ ; +∞ 2 − 2m2 + 3m ≤ 0  Bài 43. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx − (m + 1) cos x đồng biến trên R. Lời giải. Tập xác định D = R Đạo hàm y 0 = m + (m + 1) sin x ⇒ y 0 ≥ 0 ⇔ m + (m + 1) sin x ≥ 0 (1) Hàm số đã cho đồng biến trên R nếu y 0 ≥ 0 với ∀x ∈ R. Ta xét các trường hợp sau:  Trường hợp 1: m = −1 ⇒ (1) vô nghiệm ⇒ m = −1 không thỏa yêu cầu. m  Trường hợp 2: m > −1, khi đó (1) ⇔ sin x ≥ − m+1 m Để y 0 ≥ 0 với ∀x ∈ R thì − ≤ −1 ⇔ m ≥ m + 1 (vô nghiệm). m+1 m  Trường hợp 3: m < −1, khi đó (1) ⇔ sin x ≤ − m+1 m 1 Để y 0 ≥ 0 với ∀x ∈ R thì − ≥ 1 ⇔ −m ≤ m + 1 ⇔ m ≥ − (vô nghiệm) m+1 2 28 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Bài 44. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x + m(sin x + cos x) đồng biến trên R. Lời giải. Tập xác định D = R Đạo hàm y 0 = 1 + m(cos x − sin x) 0 Hàm số đồng biến  thì y ≥ 0 với mọi x ∈ R.  trênπ R √ ≥ −1 với mọi x ∈ R. Khi đó 2m cos x + 4 • Nếu m = 0, ta có kết luận đúng. √  √ √ 1 2 π 1 • Nếu m > 0, ta có 2 cos x + ≥ − với mọi x ∈ R ⇔ − 2 ≥ − ⇔ 0 < m ≤ . 4 m m 2 √  √ √ π 1 1 2 • Nếu m < 0, ta có 2 cos x + ≤ − với mọi x ∈ R ⇔ 2 ≤ − ⇔ 0 > m ≥ − . 4 m m 2 √ √ 2 2 Vậy − ≤m≤ . 2 2 Bài 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =  mx − 4 nghịch biến trên (0; +∞). x−m Lời giải. ◦ Tập xác định: D = R {m}. −m2 + 4 . Đạo hàm: y 0 = (x − m)2 Hàm số nghịch biến trên (0; +∞) khi và chỉ khi ( ( ( m≤0 m≤0 m≤0 ⇔ ⇔ ⇔ m < −2. y 0 < 0 ∀x ∈ (0; +∞) 4 − m2 < 0 m2 > 4 Với m ∈ (−∞; −2) thì hàm số nghịch biến trên (0; +∞). Bài 46. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =  mx + 1 đồng biến trên (2; +∞). x+m Lời giải. Tập xác định D = R {m}. m2 − 1 y0 = , x 6= −m. (x + m)2 mx + 1 Hàm số y = đồng biến trên (2; +∞) khi và chỉ khi y 0 > 0 với mọi x ∈ (2; +∞) x + m( m ≥ −2 (  −m≤2 ⇔ ⇔  m < −1 ⇔ m ∈ [−2; 1) ∪ (1; +∞) . m2 − 1 > 0 m>1  Bài 47. Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số y = −mx3 + x2 − 3x + m − 2 nghịch biến trên (−3; 0). Lời giải. Tập xác định D = R. Đạo hàm y 0 = −3mx2 + 2x − 3. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3; 0) khi y 0 ≤ 0 với ∀x ∈ (−3; 0) y 0 ≤ 0 ⇔ −3mx2 + 2x − 3 ≤ 0 (1) CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 29 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ãÅ ã Å 2 3 1 3 Do x ∈ (−3; 0) nên (1) ⇔ −3m ≤ − + 2 = +1 −3 +1 x x ãÅ ãx x Å 1 3 +1 − 3 > 0 với ∀x ∈ (−3; 0) và lim g(x) = 0. Mặt khác g(x) = x→−3 x x 1 Nên y 0 ≤ 0 với ∀x ∈ (−3; 0) ⇔ −3m ≤ 1 ⇔ m ≥ − 3 Bài 48. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y =  x+1 nghịch biến x2 + x + m trên khoảng (−1; 1). Lời giải. 2 Điều kiện x + x + m 6= 0. −x2 − 2x − 1 + m Đạo hàm y 0 = (x2 + x + m)2 ( Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1) nếu: − x2 − 2x − 1 + m ≤ 0, ∀x ∈ (−1; 1) (1) x2 + x + m 6= 0, ∀x ∈ (−1; 1) (2) 2 (1) ⇔ m ≤ (x + 1) với ∀x ∈ (−1; 1) ⇔ m ≤ 0. 1 Xét hàm số g(x) = x2 + x trên khoảng (−1; 1), có g 0 (x) = 2x + 1 = 0 ⇔ x = − . 2 Bảng biến thiên: x −1 y0 1 2 0 − − 1 + 0 2 y − 1 4   m ≤ −2  ⇒ Phương trình g(x) = −m vô nghiệm trên khoảng (−1; 1) khi  ⇔ 1 1 −m≤− m≥ 4 4  m ≤ −2 ⇒ (2) ⇔  1 m≥ 4 ⇒ Với m ≤ −2 thì số đã cho nghịch biến trên khoảng (−1; 1) −m≥2  Bài 49. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số y = x3 + 3×2 − mx − 4 đồng biến trên khoảng (−∞; 1). Lời giải. Tập xác định: D = R. Ta có y 0 = 3×2 + 6x − m, yêu cầu bài toán tương đương m ≤ 3×2 + 6x, ∀x ∈ (−∞; 1] ⇔ m ≤ min (3×2 + 6x) = −3  (−∞;1] Bài 50. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − 2×2 − (m − 1)x + 2 đồng biến trên (0; +∞) . Lời giải. 30 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ta có y 0 = 3×2 − 4x − (m − 1). Yêu cầu bài toán tương đương 3×2 − 4x − m + 1 ≥ 0∀x > 0 ⇔ m ≤ 3×2 − 4x + 1∀x > 0 ⇔ m ≤ min (3×2 − 4x + 1). (0;+∞) 1 Lập bảng biến thiên ta có min (3×2 − 4x + 1) = − . (0;+∞) 3  Bài 51. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f (x) = 2×2 + 3x + m + 1 đồng biến x+1 trên mỗi khoảng xác định. Lời giải. Ta có: TXĐ D = R {−1}. 2×2 + 4x + 2 − m f 0 (x) = . (x + 1)2 Để f (x) đồng biến trên TXĐ ⇒ f 0 (x) > 0, ∀x 6= −1. ⇔ 2×2 + 4x + 2 − m > 0 ( . a>0 ⇔ ⇔ 2m < 0 ⇔ m < 0. ∆<0 Bài 52. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =  mx + 4 đồng biến trên (1; +∞). x+m Lời giải. 2 m −4 . (x + m)2( ( 2 ( m −4>0 m > 2 ∨ m < −2 y 0 > 0, ∀x ∈ (1; +∞) ⇔ ⇔ ⇔ Hàm số đồng biến trên (1; +∞) khi −m∈ / (1; +∞) −m≤1 m ≥ −1 m > 2.  TXĐ: D = R {−m}, y 0 = Bài 53. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = √ x2 − x + 1 − mx đồng biến trên R. Lời giải. Tập xác định: D = R. 2x − 1 y0 = √ − m. 2 x2 − x + 1 2x − 1 Hàm số đồng biến trên R ⇔ y 0 ≥ 0; ∀x ∈ R ⇔ m ≤ p ; ∀x ∈ R (2x − 1)2 + 3 3 t Xét hàm số f (t) = √ có f 0 (t) = » > 0; ∀t ∈ R và lim f (t) = −1. 2 t→−∞ t +3 (t2 + 3)3 Do đó: (1) ⇔ m ≤ −1. (1).  √ Bài 54. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx + (m + 1) x − 2 nghịch biến trên D = [2; +∞). Lời giải. √ m+1 Ta có: y = mx + (m + 1) x − 2 ⇒ y 0 = m + √ , y 0 xác định trên khoảng (2; +∞). 2 x−2 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 31 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 1 Nhận xét: khi x nhận giá trị trên (2; +∞) thì √ nhận mọi giá trị trên (0; +∞). 2 x−2 Å ã 1 0 Yêu cầu bài toán ⇔ y ≤ 0, ∀x ∈ (2; +∞) ⇔ (m + 1)t + m ≤ 0, ∀t ∈ (0; +∞) đặt t = √ . 2 x − 2 ( m+1≤0 ⇔ ⇔ m ≤ −1. m + (m + 1) · 0 ≤ 0  m − 2 sin x Bài 55. ‘Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = f (x) = nghịch biến 1 + cos2 x  π . trên khoảng 0; 6 Lời giải.
−2 cos x sin2 x + 2 − m sin x . Ta có: y 0 = 2 2  π(1+ cos x)  π 2 0 Vậy y ≤ 0 ∀x ∈ 0; ⇔ sin x + 2 − m sin x ≥ 0 ∀x ∈ 0; . 6  6  2 sin x + 2 π ⇔m≤ ∀x ∈ 0; . sin x ã6 Å 1 . Đặt t = sin x ⇒ t ∈ 0; 2 Å ã t2 + 2 1 Vậy ⇔ m ≤ = g(t)∀t ∈ 0; . t 2 9 9 Ta có: Ñminé g(t) = . Vậy m ≤ .  2 2 1 0; 2 Bài 56. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y =  π cos x + 1 đồng biến trên 0; . 2 cos x − m 2 Lời giải. cos x + 1 (m + 2)sinx ⇒ y0 = 2. 2 cos x − m  (2 cos x − m)  π π Vì sin x 6= 0 ∀x ∈ 0; nên hàm đồng biến trên 0; khi và chỉ khi 2 2   m+2>0  m > −2   ”    m ” −22     m  m>2 ≥1 2 (m − 1) sin x − 2 Bài 57. Cho hàm số y = . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch sin x − m  π . biến trên khoảng 0; 2 Lời giải. y= Điều kiện: sin x 6= m. ”  π m≥1 (m − 1) sin x − 2 Điều kiện cần để hàm số y = nghịch biến trên khoảng 0; là . sin x − m 2 m≤0 (2 + m − m2 ) cos x 0 Ta có: y = . (sin x − m)2  π cos x Ta thấy > 0 ∀x ∈ 0; . 2 (sin x − m)2 32 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020   0 2 + m − m2 < 0 y < 0         " " (m − 1) sin x − 2 π . Để ham số y = nghịch biến trên khoảng 0; là m≥1 m≥1 ⇔   sin x − m 2     m≤0 m≤0 "  m>2    ”   m < −1 m>2 ⇔ ” ⇔ .   m < −1  m ≥ 1     m≤0 cot x − 1 Bài 58. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = đồng biến trên khoảng m cot x − 1 π π  ; . 4 2 Lời giải. 2 (1 + cot2 x) (1 − m) − (1 + cot x) (m cot x − 1) + m (1 + cot2 x) (cot x − 1) = . Ta có: y 0 = cotx − 1)2 (m cot x − 1)2 (m π π Hàm số đồng biến trên khoảng ; khi và chỉ khi  π π  4 2  (  m cot x − 1 6= 0, ∀x ∈ 4 ; 2 m≤0∨m≥1   ⇔m≤0  ⇔ 2 y 0 = (1 + cot x) (1 − m) > 0, ∀x ∈ π ; π 1 − m > 0   4 2 (m cot x − 1)2 √ Bài 59. Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y = x2 + 1 − mx − 1 đồng biến trên khoảng (−∞; +∞). Lời giải. x − m. +1 x Hàm số đồng biến trên (−∞; +∞) khi và chỉ khi: y 0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ √ ≥ m, ∀x ∈ R. (1). 2 x +1 √ x2 x2 + 1 − √ x 1 x2 + 1 Xét hàm số f (x) = √ , ta có f 0 (x) = = Ä√ Ä ä ä3 > 0, ∀ ∈ R. √ 2 2 2 x2 + 1 x +1 x +1 Tập xác định: D = R. y 0 = √ x2 Suy ra f (x) đồng biến trên R. Mặt khác, lim f (x) = −1, lim f (x) = 1. Từ đó, (1) ⇔ m ≤ −1. x→−∞ x→−∞  1 Bài 60. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = − x3 + (m − 1)x2 + (m + 3)x − 10 đồng biến 3 trên khoảng (0; 3). Lời giải. Ta có: y 0 = −x2 + 2(m − 1)x + m + 3 = g(x) 0 Do y là hàm số bậc ba với ( hệ số a < 0 nên hàm ( số đồng biến trên (0; 3) ⇔ y = 0 có hai nghiệm x1 , x2 − 1 · g(0) ≤ 0 m+3≥0 12 thỏa x1 ≤ 0 < 3 ≤ x2 ⇔ ⇔ ⇔m≥  7 − 1 · g(3) ≤ 0 7m − 12 ≥ 0 x2 − 4x đồng biến trên [1; +∞). Bài 61. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x+m Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 33 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x2 + 2mx − 4m . 2 (x + m) ( −m<1 Hàm số đã cho đồng biến trên [1; +∞) ⇔ x2 + 2mx − 4m ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞) Tập xác định: D = R {−m} và y 0 =  −4≤m≤0  "    2  m > 0 ∆≤0 m + 4m ≤ 0      ( (   2 2   ⇔   m < −4 x + 2mx − 4m ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞) ⇔  ∆ > 0 ⇔  m + 4m > 0  √  m ≥ −1  x1 < x2 ≤ 1 − m + m2 + 4m ≤ 1     m ≤ 1 2 1 Kết hợp với điều kiện m > −1 ta được −1 < m ≤ .  2 34 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 Mức độ nhận biết Câu 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên (1; +∞)? A. y = x4 + 2x2 + 1. x3 C. y = − x2 − 3x + 1. 2 B. y = −x3 + 3x2 − 3x + 1. √ D. y = x − 1. Lời giải. 3 0 2 2 Ta có: y = −x + 3x − 3x + 1 ⇒ y = −3x + 6x − 3. Cho y 0 = 0 ⇔ −3x2 + 6x − 3 = 0 ⇔ x = 1. Bảng biến thiên −∞ x y +∞ 1 0 − +∞ y −∞ Vậy hàm số nghịch biến trên R nên hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞).  Chọn đáp án B x3 x2 3 − − 6x + . 3 2 4 A. Đồng biến trên (−2; 3). B. Nghịch biến trên (−2; 3). C. Nghịch biến trên (−∞; −2). D. Đồng biến trên (−2; +∞). Câu 2. Hàm số y = Lời giải. Tập xác định: D = R. " Ta có: y 0 = x2 − x − 6 = 0 ⇔ x=3 x = −2 . Bảng biến thiên x −∞ y0 −2 + 0 − 0 −∞ + +∞ 97 12 y +∞ 3 − 51 4 Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên (−2; 3).  Chọn đáp án B Câu 3. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm khoảng đồng biến của hàm số. A. (−∞; −2) và (0; +∞). B. (−3; +∞). C. (−∞; −3) và (0; +∞). D. (−2; 0). CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 35 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y 4 2 −3 −2 O x 1 Lời giải. Từ đồ thị của hàm số y = f (x) ta có hàm số f (x) đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; +∞).  Chọn đáp án A Câu 4. Cho hàm số y = x4 − 8x2 − 4. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng. A. (−2; 0) và (2; +∞). B. (−∞; −2) và (0; 2). C. (−2; 0) và (0; 2). D. (−∞; −2) và (2; +∞). Lời giải. TXĐ: D = R. y 0 = 4x3 − 16x. " Ta có: y 0 < 0 ⇔ 4x3 − 16x < 0 ⇔ x < −2 . 0 0, ∀x 6= 2. Do đó hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng Ta có y = 2−x −x + 2 (−x + 2)2 (−∞; 2) và (2; +∞)  Chọn đáp án A Câu 9. Cho hàm số y = x3 − 3x + 1. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−1; 3). B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−1; 1). C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và khoảng (1; +∞). D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−2; 1). Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 37 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Tập xác định là R. Ta có y 0 = 3×2 − 3, y 0 = 0 ⇔ x = ±1. Bảng xét dấu của y 0 như sau x y0 −∞ −1 + 0 +∞ 1 − + 0 Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞) và nghịch biến trên (−1; 1).  Chọn đáp án C Câu 10. Hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên. y Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−2; 1). B. (−1; 2). C. (−2; −1). D. (−1; 1). 1 1 −2 O −1 −1 x −3 Lời giải. Dựa vào đồ thị, hàm số đồng biến trên (−2; −1).  Chọn đáp án C Câu 11. Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số y = 2x + 1 là đúng? x+1 A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). B. Hàm số luôn luôn đồng biến trên R {−1}. C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). D. Hàm số luôn luôn nghịch biến trên R {−1}. Lời giải. 1 Ta có y = > 0, ∀x ∈ R {−1}. (x + 1)2 Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). 0  Chọn đáp án A Câu 12. Hàm số y = A. (−5; 1) . x−7 đồng biến trên khoảng x+4 B. (1; 4) . C. (−∞; +∞) . D. (−6; 0) . Lời giải. Tập xác định: D = R {−4}. 11 Ta có y 0 = > 0, ∀x ∈ D. (x + 4)2 x−7 Do đó hàm số y = đồng biến trên khoảng (−∞; −4) và (−4; ∞). x+4 x−7 Vậy hàm số y = đồng biến trên khoảng (1; 4). x+4 Chọn đáp án B  Câu 13. Hàm số y = −x3 − 3×2 + 9x + 20 đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (3; +∞). B. (1; 2). 38 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. (−∞; 1). D. (−3; 1). Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. ” Ta có y 0 = −3×2 − 6x + 9 = 0 ⇔ x=1 ; y 0 > 0 ⇔ −3 < x < 1. x = −3 Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (−3; 1).  Chọn đáp án D Câu 14. y Cho hàm số f (x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm khoảng đồng biến của hàm số. A. (3; +∞). B. (−∞; 1) và (0; +∞). C. (−∞; −2) và (0; +∞). D. (−2; 0). 4 x −2 O Lời giải. Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; +∞).  Chọn đáp án C 2x + 1 . Mệnh đề đúng là x+1 A. Hàm số nghịch biến trên (−∞; −1) và (−1; +∞). Câu 15. Cho hàm số y = B. Hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞), nghịch biến trên (−1; 1). C. Hàm số đồng biến trên R. D. Hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (−1; +∞). Lời giải. 1 > 0, ∀x ∈ R{−1}. Ta có y 0 = (x + 1)2 Vậy hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (−1; +∞).  Chọn đáp án D Câu 16. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây? y 3 −1 O x 1 −1 A. (−∞; −1). B. (0; 1). C. (1; +∞). D. (−∞; +∞). Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 39 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Phương pháp: Sử dụng cách đọc đồ thị hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến. Xét từ trái qua phải trên khoảng (a; b) nếu đồ thị đi xuống thì hàm số nghịch biến trên(a; b), nếu đồ thị đi lên thì hàm số đồng biến trên(a; b). Cách giải: Từ hình vẽ ta thấy: Xét từ trái qua phải thì đồ thị hàm số đi lên trên khoảng (−1; 1). Nên hàm số đồng biến trên (−1; 1) suy ra hàm số đồng biến trên (0; 1). Chọn đáp án B 8x − 5 Câu 17. Cho hàm số y = . Kết luận nào sau đây là đúng? x+3 A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −3) ∪ (−3; +∞).  B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2). C. Hàm số đồng biến trên R. D. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. Lời giải. Tập xác định: D = R {−3}. 29 Ta có y 0 = > 0, ∀x ∈ D. (x + 3)2 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. Chọn đáp án D  Câu 18. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau x −∞ f (x) 0 −1 0 + 0 0 − +∞ 1 0 + −1 − −1 f (x) −∞ −2 −∞ Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào sau đây A. (0; 1). B. (−1; 0). C. (−∞; 1). Lời giải. D. (1; +∞). Từ bẳng biến thiên suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (0; 1).  Chọn đáp án A Câu 19. Cho hàm số y = f (x) có bẳng biến thiên như sau: x −∞ y0 − −1 0 + −∞ 0 0 − 1 0 +∞ + −∞ 3 y 0 0 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (−∞; 0). B. (0; 3). 40 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. (−1; 0). D. (0; 1). Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y = f (x) đồng biến trên các khoảng (−1; 0) và (1; +∞).  Chọn đáp án C Câu 20. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x y0 y −∞ − −1 0 0 0 + +∞ +∞ 1 0 − + +∞ 5 2 0 0 Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. (0; +∞). B. (−∞; 0). D. (−∞; −2). C. (−1; 0). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên (−∞; −1) và (0; 1) nên chọn đáp án D. Chọn đáp án D  Câu 21. −∞ x y0 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên dưới đây. Khẳng định nào sau đây sai? 0 − − +∞ + +∞ +∞ A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1). 1 0 +∞ y −∞ B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1). −2 C. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; +∞). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta có: hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0), (0; 1) và đồng biến trên khoảng (1; +∞). Do đó, khẳng định “Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; +∞)” sai. Chọn đáp án D 4 Câu 22. biếnã trên khoảng nào? Å Hàmãsố y = x − x nghịch Å 1 1 A. −∞; . B. ; +∞ . C. (0; +∞). 2 2 Lời giải.  D. (−∞; 0). Ta có: y 0 = 4×3 . Cho y 0 = 0 ⇔ x = 0. Bảng biến thiên: x −∞ y0 +∞ − 0 0 +∞ + +∞ y CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 41 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0).  Chọn đáp án D Câu 23. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau x y −∞ 0 0 + 0 +∞ 2 − + 0 +∞ 1 y −3 0 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (2; +∞). B. (−∞; 1). C. (0; +∞). D. (0; 2). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).  Chọn đáp án A Câu 24. Hàm số y = −x3 − 3×2 + 9x + 20 đồng biến trên khoảng A. (−3; 1). B. (1; 2). C. (−3; +∞). D. (−∞; 1). Lời giải. 0 2 2 Ta có y = −3x − 6x + 9 = −3(x + 2x − 3). Khi đó y 0 ≥ 0 ⇔ x2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ x ≤ 1 ⇔ x ∈ (−3; 1).  Chọn đáp án A Câu 25. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình x −∞ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào y0 + dưới đây? A. (−∞; −1). C. (1; +∞). 0 0 − 0 −∞ +∞ 1 + 0 y B. (−1; 1). D. (0; 1). −1 0 − 0 −1 −∞ Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên (−1; 0) và (1; +∞).  Chọn đáp án C Câu 26. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên toàn trục số? A. y = x3 − 3×2 + 4. B. y = −x4 − 2×2 − 3. C. y = x3 + 3x. D. y = −x3 + 3×2 − 3x + 2. Lời giải. Ta có y = −3x + 6x − 3 = −3 (x − 2x + 1) = −3 (x − 1)2 ≤ 0, ∀x ∈ R. 0 2 2 Do đó hàm số y = −x3 + 3×2 − 3x + 2 nghịch biến trên toàn trục số. Chọn đáp án D  x+2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x−1 A. Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). Câu 27. Cho hàm số y = B. Hàm số đồng biến trên R {1}. 42 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 C. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). D. Hàm số nghịch biến trên R {1}. Lời giải. 3 . 1 y0 = − (x − 1)2 2 Bảng biến thiên −∞ x y0 +∞ 1 − − +∞ 1 y −∞ 1 Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).  Chọn đáp án C Câu 28. Cho hàm số y = f (x). Biết rằng f (x) có đạo hàm là f 0 (x) và hàm số y = f 0 (x) y có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây sai? 4 A. Hàm y = f (x) nghịch biến trên khoảng (−∞; −2). B. Hàm y = f (x) đồng biến trên khoảng (1; +∞). C. Trên (−1; 1) hàm y = f (x) luôn tăng. D. Hàm y = f (x) giảm trên đoạn có độ dài bằng 2. Lời giải. −2 O −1 1 x Từ đồ thị của hàm số y = f 0 (x), ta có  f 0 (x) > 0 khi −2 < x < 1 hoặc x > 1.  f 0 (x) < 0 khi x < −2. Do đó hàm số y = f (x) đồng biến trên (−2; 1), (1; +∞); nghịch biến trên (−∞; −2).  Chọn đáp án D Câu 29. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là sai? x y0 −∞ −1 0 − + +∞ 3 0 +∞ − 6 y −∞ 0 A. f (x) nghịch biến trên khoảng (−∞; −1). B. f (x) đồng biến trên khoảng (0; 6). C. f (x) nghịch biến trên khoảng (3; +∞). D. f (x) đồng biến trên khoảng (−1; 3). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số y = f (x) đồng biến trên (−1; 3); hàm số y = f (x) nghịch biến trên (−∞; −1), (3; +∞). Chọn đáp án B CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  43 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 30. Hàm số y = x3 + 3x2 − 4 nghịch biến trên khoảng nào? A. (−∞; −2). B. (0; +∞). C. (−2; +∞). D. (−2; 0). Lời giải. " Ta có : y 0 = 3x2 + 6x = 0 ⇔ x=0 x = 2. Ta có bảng biến thiên −∞ x y0 0 0 + 2 0 − +∞ + +∞ y −∞ Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).  Chọn đáp án D Câu 31. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây −∞ x y0 −2 0 + 2 0 − +∞ + +∞ 3 y −∞ 0 Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (2; +∞). B. (−2; 2). C. (−∞; 3). D. (0; +∞). Lời giải. Dựa bào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).  Chọn đáp án A Câu 32. Cho hàm số phù hợp với bảng biến thiên sau. x y0 −∞ + −1 0 0 − − 1 0 +∞ 11 +∞ + +∞ y −1 −∞ 5 Mệnh đề nào đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1) ∪ (1; +∞) và nghịch biến trên (−1; 0) ∪ (0; 1). B. Hàm số đồng biến trên hai khoảng (−∞; −1) ; (11; +∞) và nghịch biến trên (−1; 11). C. Hàm số đồng biến trên hai khoảng (−∞; −1) ; (1; +∞) và nghịch biến trên khoảng (−1; 1). 44 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 D. Hàm số đồng biến trên hai khoảng (−∞; −1) ; (1; +∞) và nghịch biến trên hai khoảng (−1; 0) ; (0; 1). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên hai khoảng (−∞; −1) ; (1; +∞) và nghịch biến trên hai khoảng (−1; 0) ; (0; 1).  Chọn đáp án D Câu 33. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi f 0 (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b). B. Nếu f 0 (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b). C. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi f 0 (x) > 0, ∀x ∈ (a; b). D. Nếu f 0 (x) > 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (a; b). Lời giải. Nếu f 0 (x) > 0 ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (a; b) là mệnh đề đúng.  Chọn đáp án D Câu 34. Hàm số y = x3 − 3×2 + 5 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0; 2). B. (0; +∞). C. (−∞; 2). D. (−∞; 0) và (2; +∞). Lời giải. Tập xác định: D = R. ” x=0 y 0 = 3×2 − 6 = 0 ⇔ . x=2 Bảng biến thiên x y0 −∞ + 0 0 − 2 0 +∞ + +∞ 5 y −∞ 1 Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞). Chọn đáp án D  Câu 35. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 45 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y Cho hàm số y = f (x) xác định trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. 6 Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−1; 0) và (1; +∞). B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; −1) và (0; 1). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1). D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−1; 0) và (1; +∞). −1 −2 1 2 O x −2 −3 Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0) và (1; +∞).  Chọn đáp án A Câu 36. Hàm số nào dưới đây luôn tăng trên R? A. y = 2018. B. y = x4 + x2 + 1. C. y = x + sin x. D. y = x−1 . x+1 Lời giải. Xét hàm số y = x + sin x trên R. Ta có y 0 = 1 + cos x. Vì 1 + cos x ≥ 0 với mọi x ∈ R. Dấu đẳng thức xảy ra tại đếm được điểm nên hàm số luông đồng biến trên R.  Chọn đáp án C Câu 37. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−∞; 0). C. (−2; 0). x y0 −∞ + −2 0 0 0 3 y −∞ B. (0; 2). − + 2 0 +∞ − 3 −1 −∞ D. (2; +∞). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2). Chọn đáp án B  Câu 38. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f 0 (x) như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng về hàm số y = f (x)? 46 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y 1 −1 2 x O A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 0). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞). Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số y = f 0 (x) ta thấy f 0 (x) > 0, ∀x ∈ (−1; 0). Suy ra hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (−1; 0). Chọn đáp án A  3−x . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 2x −Å1 ã 1 A. Hàm số nghịch biến trên −∞; . B. Hàm số đồng biến trên R. 2 Å ã 1 C. Hàm số đồng biến trên ; +∞ . D. Hàm số nghịch biến trên R. 2 Lời giải. ß ™ 1 . Tập xác định D = R 2 −5 Ta có y 0 = < 0, ∀x ∈ D. (2x − 1)2 ã Å ã Å 1 1 , ; +∞ . Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định −∞; 2 2 Chọn đáp án A  Câu 39. Cho hàm số y = Câu 40. Cho hàm số f (x) có đồ thị hàm số như hình vẽ. Khẳng định nào sai? y 2 O −2 −1 1 2 x −2 A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 1). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞). D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞). Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 47 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Phương pháp: Dựa vào đồ thị hàm số xác định các khoảng đơn điệu của hàm số. Cách giải: Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 1) là khẳng định sai.  Chọn đáp án B x3 − 3x2 + 5x + 2019 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? 3 A. (5; +∞). B. (−∞; 1). C. (2; 3). D. (1; 5). Lời giải. " x=1 Ta có y 0 = x2 − 6x + 5; y 0 = 0 ⇔ . Dấu của y 0 : x=5 Câu 41. Hàm số y = 1 − + Từ dấu của y 0 suy ra hàm số y = 5 + x3 − 3x2 + 5x + 2019 nghịch biến trên (1; 5). 3  Chọn đáp án D Câu 42. Hàm số y = 2x4 + 3 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (3; +∞). B. (0; +∞). C. (−∞; −3). Lời giải. D. (−∞; 0). Ta có y 0 = 8x3 . y 0 < 0 ⇔ x3 < 0 ⇔ x < 0.  Chọn đáp án D Câu 43. y 1 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số y = f (x)? −1 A. Đồng biến trên khoảng (−3; 1). B. Nghịch biến trên khoảng (0; 2). 2 1 O −1 x C. Nghịch biến trên khoảng (−1; 0). D. Đồng biến trên khoảng (0; 1). −3 Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số y = f (x) đồng biến trên miền (−1; 1).  Chọn đáp án D Câu 44. Hàm số y = −x3 + 3x2 − 4 đồng biến trên tập hợp nào trong các tập hợp được cho dưới đây? A. (−∞; 0) và (2; +∞). B. (−∞; 0). C. (0; 2). D. (2; +∞). Lời giải. Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y 0 = −3x2 + 6x. " Xét y 0 = 0 ⇔ −3x2 + 6x = 0 ⇔ x=0 x=2 Bảng biến thiên: 48 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x y0 −∞ 0 0 − +∞ 2 0 + +∞ − 0 y −4 −∞ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2).  Chọn đáp án C Câu 45. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên x −∞ y0 1 − 0 +∞ 3 + +∞ − 0 2 y −1 −∞ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng A. (−∞; 1). B. (−1; 2). C. (3; +∞). D. (1; 3). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3).  Chọn đáp án D Câu 46. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0 (x) = x(x − 1)2 (x − 2). Tìm khoảng nghịch biến của đồ thị hàm số y = f (x). A. (−∞; 0) và (1; 2). B. (0; 1). C. (0; 2). D. (2; +∞).  Lời giải. x=0  Ta có f 0 (x) = 0 ⇔ x(x − 1)2 (x − 2) = 0 ⇔  x = 1 x = 2. Bảng xét dấu x y0 −∞ + 0 0 1 1 − − 2 2 +∞ + Vậy hàm số nghịch biến trên (0; 2).  Chọn đáp án C Câu 47. Các khoảng nghịch biến của hàm số y = A. (−∞; +∞) {1}. B. (−∞; 1). 2x + 1 là x−1 C. (−∞; 1 và (1; +∞). D. (1; +∞). Lời giải. Phương pháp ax + b Hàm số y = (ad 6= bc) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định của hàm số. cx + d CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 49 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Công thức tính nhanh đạo hàm của hàm số là y 0 = ad − bc . (cx + d)2 Cách giải Tập xác định D = R {1}. 3 2 · (−1) − 1 · 1 = − < 0, ∀x ∈ D. Ta có y 0 = (x − 1)2 (x − 1)2 Vậy hàm số luôn nghịch biến trên (−∞; 1) và (1; +∞).  Chọn đáp án C Câu 48. Cho hàm số y = x4 − 2x2 + 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +∞). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞). Lời giải. Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y 0 = 4x3 − 4x.  x=1⇒y=1  Xét y 0 = 0 ⇔ 4x3 − 4x = 0 ⇔  x = 0 ⇒ y = 2 x = −1 ⇒ y = 1. Bảng biến thiên: x −∞ −1 y0 − 0 0 + +∞ 0 +∞ 1 − 0 + +∞ 2 y 1 1 Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).  Chọn đáp án D Câu 49. Hàm số y = 2x4 + 1 đồng ã khoảng nàoÅtrong cácãkhoảng dưới đây? Å biến trên 1 1 C. −∞; − . D. (−∞; 0). A. (0; +∞). B. − ; +∞ . 2 2 Lời giải. Tập xác định: D = R. Ta có y 0 = 8x3 . Cho y 0 = 0 ⇔ x = 0 x −∞ y0 +∞ 0 − 0 + +∞ +∞ y 1 Dựa vào bảng biến thiên thì hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞). Chọn đáp án A  Câu 50. 50 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên R có x bảng biến thiên như hình bên. Hàm số y = f (x) đồng y0 biến trên khoảng nào sau đây? A. (−∞; 0). B. (0; 2). C. (0; 4). −∞ 0 − +∞ 2 + 0 +∞ 0 − 4 y D. (2; +∞). −∞ 0 Lời giải. Dựa vào bảng biên thiên, hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (0; 2).  Chọn đáp án B Câu 51. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như x hình vẽ bên. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? y0 A. (1; +∞). B. (0; 1). C. (−∞; 3). D. (−4; +∞). −∞ 0 + +∞ 1 − 0 0 + +∞ 3 y −∞ −4 Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f (x) đồng biến trên miền (1; +∞).  Chọn đáp án A Câu 52. Hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau −∞ x f (x) 0 0 0 − + +∞ 2 0 +∞ − 5 f (x) −∞ 1 Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1; 5). B. (0; 2). C. (2; +∞). D. (−∞; 0). Lời giải. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (0; 2).  Chọn đáp án B x+1 , y = x4 + 2x2 + 2, y = −x3 + x2 − 3x + 1. Trong các hàm số trên, x−1 có bao nhiêu hàm số đơn điệu trên R Câu 53. Cho các hàm số y = A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. Lời giải. x+1 −2 Ta có y = ⇒ y0 = < 0 ∀x 6= 1. x−1 (x − 1)2 y = x4 + 2x2 + 2 ⇒ y 0 = 4x3 + 4x = 4x(x2 + 1) ⇒ hàm số đồng biến khi ïx > 0, nghịch òbiến khi x < 0. 2 1 8 y = −x3 + x2 − 3x + 1 ⇒ y 0 = −3x2 + 2x − 3 = −3(x2 − x + 1) = −3 (x − )2 + < 0 ∀x ∈ R 3 3 9 nên hàm số đơn điệu trên R. Chọn đáp án B CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  51 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 54. Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên R? √ x−1 C. y = . A. y = x2 − 3x + 2. B. y = x4 + x2 + 1. x+1 Lời giải. √ Hàm số y = x2 − 3x + 2 có tập xác định là (−∞; 1] ∪ [2; +∞). D. y = x3 + 5x + 13. Hàm số y = x4 + x2 + 1 là hàm số bậc bốn trùng phương. x−1 có tập xác định là R{−1}. Hàm số y = x+1 Các hàm số trên đều không đồng biến trên R. Đồng thời với y = x3 + 5x + 13 thì y 0 = 3x2 + 5 > 0, ∀x ∈ R. Do đó hàm số này đồng biến trên R.  Chọn đáp án D Câu 55. Hàm số f (x) = −x3 + 3×2 + 9x + 1 đồng biến trong khoảng nào sau đây? A. (3; +∞). B. (−1; +∞). C. (−1; 3). D. (−∞; 3). Lời giải. 0 2 f (x) = −3x + 6x + 9 > 0 ⇔ −1 < x < 3. Vậy hàm số f (x) đồng biến trên (−1; 3).  Chọn đáp án C Câu 56. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình x bên. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào y0 dưới đây? -∞ 0 − 0 + +∞ A. (−∞; 2). C. (1; 2). B. (−∞; 0). D. (0; +∞). +∞ 2 0 − 5 y −∞ 1 Lời giải. Nhìn bảng biến thiên thấy hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2).  Chọn đáp án C Câu 57. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau x −∞ y0 −1 0 − + 0 +∞ 1 + 2 0 − 2 y −∞ 1 −∞ Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−∞; −1). B. (0; 1). C. (−1; 1). D. (−1; 0). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 0). Chọn đáp án D  Câu 58. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: 52 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 −∞ x −1 f 0 (x) − 0 +∞ 3 + +∞ − 0 4 f (x) −1 −∞ Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên (−∞; 3). B. Hàm số y = f (x) đồng biến trên (−1; 3). C. Hàm số y = f (x) đồng biến trên (−1; 4). D. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên (−1; +∞). Lời giải. Từ bảng biến thiên ta dễ dàng nhận thấy hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (−1; 3).  Chọn đáp án B Câu 59. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau x −∞ y0 −1 − 0 0 + +∞ 0 +∞ 1 − 0 + +∞ 2 y 1 1 Xác định số điểm cực tiểu của hàm số y = f (x). A. 3. B. 6. C. 2. D. 1. Lời giải. Hàm số có hai điểm cực tiểu là x1 = −1 và x2 = 1.  Chọn đáp án C x+1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2−x A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. Câu 60. Cho hàm số y = B. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. C. Hàm số đồng biến trên (−∞; 2) ∪ (2; +∞). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞). Lời giải. Tập xác định: D = R {2}. 3 Đạo hàm y 0 = > 0, ∀x ∈ D nên hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định. (2 − x)2 Chọn đáp án B  Câu 61. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 53 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên. Khi đó f (x) đồng biến trên các khoảng A. (−∞; −1) , (1; +∞). B. (−∞; −1) , (−1; 0). 2 C. (−1; 0) , (1; +∞). −2 −1 1 2 D. (−1; 0) , (0; 1). O x Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−1; 0) , (1; +∞).  Chọn đáp án C 1+x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2−x A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞). Câu 62. Cho hàm số y = B. Hàm số đồng biến trên R. C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞). D. Hàm số đồng biến trên khoảng R{2}. Lời giải. 3 > 0, ∀x 6= 2. Ta có: y 0 = (2 − x)2 Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; 2) và (2; +∞).  Chọn đáp án C 2x . Mệnh đề nào sau đây đúng? x−1 A. Hàm số đồng biến trên R {1}. Câu 63. Cho hàm số y = B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1). C. Hàm số nghịch biến trên R. D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). Lời giải. −2 Vì y 0 = < 0, ∀x 6= 1 nên hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). (x − 1)2 Chọn đáp án D  Câu 64. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên x −∞ y0 −2 + 0 0 − 0 3 +∞ 2 + 0 − 3 y −∞ −1 −∞ Số khoảng đồng biến của hàm số y = f (x) là A. 4. B. 2. C. 1. D. vô số. Lời giải. 54 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; 2) nên nó sẽ đồng biến trên bất kì khoảng nào là tập con của một trong hai khoảng này.  Chọn đáp án D Câu 65. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau: x −∞ y0 −2 + +∞ 0 − 0 0 + +∞ 0 y −∞ −4 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−4; +∞). B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; +∞). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 0). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy y 0 < 0, ∀x ∈ (−2; 0) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 0).  Chọn đáp án D Câu 66. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau x −∞ f 0 (x) 0 − +∞ 2 + 0 +∞ 0 − 5 f (x) −∞ 1 Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (0; 1). B. (−1; 7). C. (1; 3). D. (−5; 1). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số f (x) đồng biến trên (0; 2) do đó cũng đồng biến trên khoảng (0; 1). Chọn đáp án A  Câu 67. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 55 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0; 2). B. (−2; 2). C. (−∞; 0). D. (2; +∞). 1 1 2 x O −2 Lời giải. Khoảng đồng biến là (0; 2).  Chọn đáp án A Câu 68. Cho hàm số y = A. 0. 2017 có đồ thị (H). Số đường tiệm cận của (H) là x−2 B. 2. C. 3. D. 1. Câu 69. Hàm số y = f (x) có đạo hàm y 0 = x2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên (−∞; 0) và nghịch biến trên (0; +∞). B. Hàm số đồng biến trên R. C. Hàm số nghịch biến trên R. D. Hàm số nghịch biến trên (−∞; 0) và đồng biến trên (0; +∞). Lời giải. Vì y ≥ 0, ∀x ∈ R và y 0 = 0 khi và chỉ khi x = 0 nên y = f (x) luôn đồng biến trên R.  Chọn đáp án B x−2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x+3 A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −3) ∪ (−3; +∞). Câu 70. Cho hàm số y = B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −3) và (−3; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −3) và (−3; +∞). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −3) ∪ (−3; +∞). Lời giải. 5 Tập xác định D = R {−3}. Ta có y 0 = > 0, ∀x ∈ D. (x + 3)2 Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −3) và (−3; +∞).  Chọn đáp án B Câu 71. Cho hàm số y = x3 − 3x + 1. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Hàm số đồng biến trên (1; 2). B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên (−1; 1). D. Hàm số nghịch biến trên (−1; 2). Lời giải. Tập xác định: D = R. 56 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ” Ta có y 0 = 3×2 − 3, y 0 = 0 ⇔ x = −1 x = 1. Bảng xét dấu −∞ x −1 y0 + +∞ 1 − 0 + 0 Vậy hàm số nghịch biến trên (−1; 1) nên khẳng định hàm số nghịch biến trên (−1; 2) là sai.  Chọn đáp án D Câu 72. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ y0 −2 + +∞ 0 − 0 + 0 +∞ 1 y −∞ −3 Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−3; 1). C. (−∞; −2). B. (0; +∞). D. (−2; 0). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy y 0 < 0, ∀x ∈ (−2; 0). Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 0).  Chọn đáp án D Câu 73. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau x −∞ f 0 (x) 0 − − 0 +∞ 2 +∞ 2 + +∞ f (x) −∞ 2 Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. (−∞; 2). B. (0; 2). C. (2; +∞). D. (0; +∞). Lời giải. Hàm số nghịch biến trên (0; 2). Chọn đáp án B  Câu 74. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 57 Tuyển tập Toán 12 THPT x Kỳ thi THQG 2020 −∞ 0 y0 − +∞ 1 + 0 +∞ 0 − 3 y −1 −∞ Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0 : +∞). B. (0; 1). C. (−∞; 0). D. (−1; 1). Lời giải. Dựa vào BBT ta có hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (0; 1).  Chọn đáp án B Câu 75. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f (x) nghịch y biến trên khoảng nào dưới đây? 1 A. (1; +∞). B. (−∞; −2). C. (−1; 0). D. (−2; 1). −2 −1 1 O 2 x −1 −2 −3 −4 Câu 76. Cho hàm số y = x+3 . Khẳng định nào sau đây đúng? x+2 A. Hàm số đồng biến trên R. B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (−2; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên R {2}. D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −2) và (−2; +∞). Lời giải. Tập xác định D = R {−2}. −1 y0 = − < 0, ∀x ∈ D. (x + 2)2 Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −2) và (−2; +∞). Chọn đáp án D  Câu 77. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: 58 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT x Kỳ thi THQG 2020 −∞ y0 −1 − 0 +∞ 0 + 0 +∞ 1 − + 0 +∞ 5 2 y 0 0 Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−∞; 0). B. (0; 1). C. (−1; 1). D. (1; +∞). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên khoảng nghịch biến là (0; 1).  Chọn đáp án B 4 Câu 78. Å Hàm sốã y = 2x + 1 đồng Å biến trên ã khoảng 1 1 B. − ; +∞ . C. (0; +∞). A. −∞; − . 2 2 Lời giải. Ta có y 0 = 8x3 , suy ra 0 D. (−∞; 0). x 3 y = 0 ⇔ 8x = 0 ⇔ x = 0. Bảng biến thiên (như hình bên) −∞ y0 +∞ 0 − 0 + +∞ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞). +∞ y 1  Chọn đáp án C Câu 79. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R? A. y = x2 + x. B. y = x4 + x2 . C. y = x3 + x. D. y = x+1 . x+3 x+1 . Khẳng định sau đây đúng? x−1 A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). Câu 80. Cho hàm số y = B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞) . C. Hàm số nghịch biến trên R {1}. D. Hàm số nghịch biến trên R. Lời giải. −2 < 0, ∀x 6= 1. Ta có y 0 = (x − 1)2 Từ đó hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). Chọn đáp án A  Câu 81. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 59 Tuyển tập Toán 12 THPT x Kỳ thi THQG 2020 −∞ y0 −2 + 0 − 0 +∞ 2 + 0 − 0 3 3 y −∞ −1 −∞ Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0; 3). C. (−∞; −2). B. (0; +∞). D. (−2; 0). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; 2).  Chọn đáp án C Câu 82. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau x −∞ y0 −1 − +∞ 2 + 0 − 0 +∞ 4 y −3 −∞ Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? B. (−∞; −1). A. (−3; 4). C. (2; +∞). D. (−1; 2). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số tăng trên khoảng (−1; 2).  Chọn đáp án D 1 Câu 83. Cho hàm số y = x4 − 2x2 + 3. Khẳng định nào sau đây đúng? 4 A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−2; 0) và (2; +∞). B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; 2). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0). D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (2; +∞). Câu 84. Hàm số y = −x3 + 3x − 5 đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (−∞; −1). B. (−1; 1). C. (1; +∞). D. (−∞; 1). Câu 85. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. x y0 −∞ + −1 0 0 − − +∞ y −∞ 60 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 1 0 +∞ + +∞ −∞ Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. (−1; 0). C. (−∞; −1). B. (−1; 1). D. (0; +∞). Lời giải. Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng (−1; 0) và (0; 1).  Chọn đáp án A Câu 86. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f (x) đồng biến trên y khoảng nào dưới đây? A. (−2; 2). B. (−∞; 0). 2 C. (0; 2). D. (2; +∞). O 12 x −2 Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số, hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (−2; 2).  Chọn đáp án A Câu 87. Hàm số y = x2 ln x đạt cực trị tại điểm √ 1 A. x = e. B. x = 0, x = √ . C. x = 0. e Lời giải. 1 D. x = √ . e Hàm số đã cho có tập xác định là D = (0; +∞). Do đó 1 y 0 = 0 ⇔ x(1 + 2 ln x) = 0 ⇔ x = √ . e 1 1 Mặt khác y 0 đổi dấu khi x đi qua x = √ nên x = √ là điểm cực trị của hàm số đã cho. e e Chọn đáp án D  Câu 88. Hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau x −∞ y0 +∞ 2 − − +∞ 2 y −∞ 2 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên R {2}. B. Hàm số đồng biến trên (−∞; 2); (2; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2); (2; +∞). D. Hàm số nghịch biến trên R. Lời giải. Theo bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞). Chọn đáp án C CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  61 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 89. Cho hàm số f (x) xác định trên R {1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình dưới đây. x −∞ −1 y0 + 1 − 0 − + 0 +∞ −2 y +∞ 3 −∞ +∞ −∞ 2 A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 3). B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (2; +∞). C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (3; +∞). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1). Lời giải. 1 Sai vì khoảng (−1; 3) không nằm trong tập xác định. 2 Sai vì trong khoảng (2; +∞) thì khoảng (2; 3) hàm nghịch biến. 3 Đúng. 4 Sai vì trong khoảng (−1; 0) hàm nghịch biến.  Chọn đáp án C Câu 90. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình dưới đây: x −∞ y0 −4 + 0 y −1 + − 3 0 −∞ 0 +∞ −∞ Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 3). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −2). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−4; −1). Lời giải. Theo bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng (−4; −1).  Chọn đáp án D Câu 91. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng xác định của chính nó? A. y = x3 + x2 − x − 1. B. y = x3 − x2 + 2x − 1. x+1 D. y = . x−1 Lời giải. C. y = x4 − 2x2 + 3. Xét hàm số y = x3 − x2 + 2x − 1. Tập xác định D = R. ã 1 2 5 Ta có y = 3x − 2x + 2 = 3 x − + > 0, ∀x ∈ R. 3 3 Suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định R. 0 2 Å Chọn đáp án B 62 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 92. Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau. x −∞ y0 −2 + 0 0 − +∞ 2 − 0 + Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −2). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 0). Lời giải. Từ bảng xét dấu đạo hàm suy ra y < 0, ∀x ∈ (0; 2) ⇒ hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2). 0  Chọn đáp án C Câu 93. Hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + 1 đồng biến trên khoảng? B. (−∞; −1) và (1; 3). A. (−∞; 3) và (3; +∞). D. (−∞; −1) và (3; +∞). Lời giải. C. (−1; 3) và (3; +∞). Tập xác định: D = R. Ta có y 0 = 3x2 − 6x − 9, y 0 > 0 ⇔ x2 − 2x − 3 > 0 ⇔ ” x < −1 x > 3. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và (3; +∞).  Chọn đáp án D Câu 94. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0; 2). B. (−2; 2). C. (2; +∞). y 2 D. (−∞; 0). O −1 1 2 x −2 Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2), nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞). Chọn đáp án A  2x + 1 . Mệnh đề đúng là x+1 A. Hàm số đồng biến trên tập R. B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). Câu 95. Cho hàm số y = C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞), nghịch biến trên (−1; 1). Lời giải. 1 Ta có y 0 = > 0, (x + 1)2 Chọn đáp án B ∀x ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; +∞). CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  63 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 96. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ −2 f 0 (x) + 0 − 0 +∞ 2 − 0 + +∞ −2 +∞ f (x) −∞ +∞ 6 Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 2). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −2). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0). Lời giải. Theo bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2).  Chọn đáp án A Câu 97. y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng A. (−1; +∞). B. (−1; 1). C. (−∞; 1). 3 D. (−∞; −1). 2 1 −2 −1 O 1 2 3 x −1 −2 Lời giải. Trên khoảng (−∞; −1) đồ thị hàm số “đi lên” từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên (−∞; −1).  Chọn đáp án D Câu 98. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ y0 0 + 0 +∞ 2 − 0 + +∞ 4 y −∞ 0 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hàm số đồng biến trên tập (−∞; 0) ∪ (2; +∞). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 4). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 4). 64 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 D. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; 0) và (2; +∞). Lời giải. Từ bảng biến thiên của hàm số f (x) suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).  Chọn đáp án D Câu 99. Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên R? x−2 A. y = . B. y = x3 + 3x + 5. C. y = x4 + 2×2 + 3. x+1 D. y = tan x. Câu 100. Cho hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình bên. Mệnh đề y nào sau đây sai? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0). 3 B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1). 2 C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞). O 1 x Lời giải. Dựa vào đồ thị ta có hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0) và (1; +∞), hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1). Chọn đáp án B CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  65 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ĐÁP ÁN 1. B 11. A 2. B 12. B 3. A 13. D 4. B 14. C 5. D 15. D 6. B 16. B 7. D 17. D 8. A 18. A 9. C 19. C 10. C 20. D 21. D 22. D 23. A 24. A 25. C 26. D 27. C 28. D 29. B 30. D 31. A 32. D 33. D 34. D 35. A 36. C 37. B 38. A 39. A 40. B 41. D 51. A 42. D 52. B 43. D 53. B 44. C 54. D 45. D 55. C 46. C 56. C 47. C 57. D 48. D 58. B 49. A 59. C 50. B 60. B 61. C 62. C 63. D 64. D 65. D 66. A 67. A 68. B 69. B 70. B 71. D 72. D 73. B 74. B 75. C 76. D 77. B 78. C 79. C 80. A 81. C 91. B 82. D 92. C 83. B 93. D 84. B 94. A 85. A 95. B 86. A 96. A 87. D 97. D 88. C 98. D 89. C 99. B 90. D 100. B 66 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 2 Mức độ nhận thông hiểu Câu 1. Giá trị của m để hàm số y = ” A. m≤0 1≤m<2 . π π  cot x nghịch biến trên ; là cot x − m 4 2 B. 1 ≤ m < 2. C. m ≤ 0. D. m > 2. Lời giải. 2−m −1 2−m · (cot x)0 = · . Ta có y 0 = 2 2 x − m) (cot x − m) sin2 x  π π   π(cot π ; thì cot x ∈ (0; 1) Để hàm số đồng biến trên ; thì Khi x ∈ 4 2 4 2 ( cot x − m 6= 0 y0 > 0  ( m ∈ π π  / (0; 1) m≤0 π π  ⇔ , ∀x ∈ ; ⇔ 2 − m > 0, ∀x ∈ 4 2 ; 1 ≤ m < 2. 4 2  Chọn đáp án A Câu 2. Trong hai hàm số f (x) = x4 + 2x2 + 1 và g(x) = (−∞; −1)? x Hàm số nào nghịch biến trên khoảng x+1 A. Không có hàm số nào cả. B. Chỉ g(x). C. Cả f (x) và g(x). D. Chỉ f (x). Lời giải. Ta có f (x) = x4 + 2x2 + 1 xác định trên R, f 0 (x) = 4x3 + 4x. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0). Suy ra hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (−∞; −1). x 1 xác định trên khoảng (−∞; −1) ∪ (−1; +∞) và g 0 (x) = > 0 với mọi Hàm số g(x) = x+1 (x + 1)2 x ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; +∞). x Do đó hàm số g(x) = đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). x+1  Chọn đáp án C Câu 3. Cho hai hàm số y = f (x) và y = g(x) có đồ thị của hàm y = f 0 (x), y = g 0 (x) như hình vẽ. Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = f (x) − g(x). A. (−1; 0) và (1; +∞). B. (−∞; −1) và (0; 1). C. (1; +∞) và (−2; −1). D. (−2; +∞). CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 67 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y 4 2 −2 1 1 O 2 x −2 Lời giải. 0 0 0 Ta có y = f (x) − g (x) Dựa vào đồ thị hàm số y = f 0 (x) và y = g 0 (x) ta có BBT x y0 −∞ − −1 0 + 0 0 − 1 0 +∞ + +∞ +∞ y KL: Hàm số đồng biến trên (−1; 0) và (1; +∞).  Chọn đáp án A Câu 4. y Cho hàm số f (x) xác định trên R và có đồ thị hàm số y = f 0 (x) là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (1; 2). B. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (−2; 1). C. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (−1; 1). −2 O 2 x D. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (0; 2). Lời giải. 0 Từ đồ thị của y = f (x), ta có với x ∈ (0; 2), f 0 (x) < 0. Suy ra f (x) nghịch biến trên khoảng (0; 2).  Chọn đáp án D Câu 5. Cho hàm số y = 2x − 1 . Khẳng định nào sau đây đúng? x+1 68 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 A. Hàm số luôn nghịch biến trên R. B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). D. Hàm số luôn đồng biến trên R. Lời giải. Tập xác định: D = R {−1}. 3 Ta có: y 0 = > 0, ∀x ∈ D. (x + 1)2 Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).  Chọn đáp án B Câu 6. Hàm số y = −x3 − 3×2 + 9x + 20 đồng biến trên các khoảng nào? A. (−3; 1). B. (−∞; 1). C. (−3; +∞). Lời giải. D. (1; 2). Tập xác định: D = R. y 0 = −3×2 − 6x + 9 y 0 > 0 ⇔ −3×2 − 6x + 9 > 0 ⇔ −3 < x < 1 Vậy hàm số đồng biến trên (−3; 1).  Chọn đáp án A 1 Câu 7. Cho hàm số y = − x4 + x2 + 2. Tìm khoảng đồng biến của hàm số đã cho? 4 Ä √ ä Ä √ ä A. (0; 2). B. −∞; − 2 và 0; 2 . Ä √ ä Ä√ ä C. − 2; 0 và 2; +∞ . D. (−∞; 0) và (2; +∞). Lời giải. Tập xác định: D = R. √ x=− 2  y 0 = −x3 + 2x = 0 ⇔  x = 0 √ x= 2 Bảng xét dấu y 0 : x √ − 2 −∞ y0 + 0 √ 0 − 0 + +∞ 2 0 − Ä Ä √ ä √ ä Vậy hàm số đồng biến trên khoảng −∞; − 2 và 0; 2 .  Chọn đáp án B 1 Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = − x3 − 2 (2m + 3) x + 4 nghịch biến trên 3 R? A. −1 ≤ m ≤ 3. B. −3 < m < 1. C. −1 < m < 3. D. −3 ≤ m ≤ 1. Lời giải. Ta có y 0 = −x2 + 2mx − 2m − 3. Để hàm số nghịch biến trên R thì y 0 = −x2 + 2mx − 2m − 3 ≤ 0∀x ∈ R ⇔ ∆0 ≤ 0 ⇔ m2 − 2m − 3 ≤ 0 ≤⇔ −1 ≤ m ≤ 3. Chọn A. Chọn đáp án A CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  69 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 9. Cho các hàm số f (x) = x4 + 2018, g(x) = 2x3 − 2018 và h(x) = 2x − 1 . Trong các hàm số đã x+1 cho, có tất cả bao nhiêu hàm số không có khoảng nghịch biến? A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. Lời giải. *f (x) = x4 + 2018 (TXĐ: D = R) ⇒ f 0 (x) = 4x3 ; f 0 (x) = 0 ⇔ x = 0. Bảng biến thiên: −∞ x y0 +∞ 0 0 − + +∞ +∞ y Hàm số nghịch biến trên (−∞; 0) , do đó hàm số không thỏa mãn đề bài. *g(x) = x3 − 2018 (TXĐ: D = R) ⇒ g 0 (x) = 6x2 ≥ 0 (∀x ∈ R). Suy ra hàm số luôn đồng biến trên R, do đó hàm số thỏa mãn đề bài. 2x − 1 3 *h(x) = (TXĐ: D = R {−1}) ⇒ h0 (x) = > 0 (∀x ∈ D). x+1 (x + 1)2 Suy ra hàm số luôn đồng biến trên (−∞; −1) và (−1; +∞), do đó hàm số thỏa mãn đề bài. Vậy có hai hàm số không có khoảng nghịch biến.  Chọn đáp án A Câu 10. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây A. (0; 1). B. (−∞; −1). C. (−1; 1). D. (−1; 0). y −1 1 x O −1 −2 Lời giải. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0), (1; +∞)  Chọn đáp án D Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x4 − 2(m − 1)x2 + m − 2 đồng biến trên khoảng (1; 3)? A. m ∈ (−∞; −5). B. m ∈ [5; 2). C. m ∈ (2; +∞). D. m ∈ (−∞; 2]. Lời giải. Tập xác định D = R. y 0 = 4×3 − 4(m − 1)x.  Trường hợp 1: m ≤ 1 ⇒ y 0 = 0 ⇔ x = 0. Bảng biến thiên 70 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x y0 −∞ − +∞ 0 0 + +∞ +∞ y f (0) Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (1; 3).  Trường hợp” 2: m > 1 x=0 ⇒ y0 = 0 ⇔ √ x = ± m − 1. Bảng biến thiên √ x −∞ − m−1 f 0 (x) − + 0 +∞ f (x) √ 0 0 − m−1 + 0 f (0) +∞ +∞ √ f (− m − 1) √ f ( m − 1) √ Từ bảng biến thiên ta thấy để hàm số đồng biến trên (1; 3) ⇒ m − 1 ≤ 1 ⇔ m ≤ 2. Suy ra m ∈ (1; 2] thì hàm số đồng biến trên (1; 3). Vậy m ∈ (−∞; 1] ∪ (1; 2] = (−∞; 2] thì hàm số đã cho đồng biến trên (1; 3).  Chọn đáp án D Câu 12. Cho hàm số y = f (x). y Hàm số y = f 0 (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y = f (x2 ) có bao nhiêu khoảng nghịch biến. A. 5. B. 3. C. 4. D. 2. −1O 1 4 x Lời giải. / Ta có y 0 = [f (x2 )] = 2x.f 0 (x2 ). Ta có (  ( x>0 x>0 ”  0 2
  f x <0  x2 < −1 ∨ 1 < x2 < 4 1 4 f 0 x2 > 0 Vậy hàm số y = f (x2 ) có 3 khoảng nghịch biến. Chọn đáp án B  Câu 13. Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên khoảng (−∞; +∞), có bảng biến thiên như hình sau: CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 71 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x y0 −∞ + −1 0 1 0 − +∞ + +∞ 2 y −∞ −1 Mệnh đề sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −3) . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞) . C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; +∞) . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) . Lời giải. Hàm số đồng biến trên (−∞; −1) nên đồng biến trên (−∞; −3).  Chọn đáp án A Câu 14. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R? A. y = −x4 + 2×2 + 1. B. y = sin x. C. y = x+2 . x−1 D. y = −x3 − 2x. Lời giải. Đáp án A sai vì hàm bậc bốn trùng phương không nghịch biến Å trên R (nó luôn cóã cực trị). π 3π Đáp án B sai vì hàm y = sin x nghịch biến trên mỗi khoảng + k2π; + k2π . 2 2 x+2 Đáp án C sai và hàm số y = nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). x−1 Đáp án D đúng vì hàm số y = −x3 − 2x có nên hàm số nghịch biến trên R.  Chọn đáp án D Câu 15. Tìm tất cá các giá trị thực của tham số m để hàm số y = trên R. A. 0 < m < 1. B. −1 ≤ m ≤ 1. 1 3 x − 2mx2 + 4x − 5 đồng biến 3 C. 0 ≤ m ≤ 1. D. ˘1 < m < 1. Lời giải. 0 2 Ta có y = x − 4mx + 4. Để hàm số đồng biến trên R ⇔ y 0 > 0, ∀x ∈ R ⇔ ( a=1>0 ∆0 = (−2m)2 − 4 6 0 ⇔ −1 6 m 6 1.  Chọn đáp án B Câu 16. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng (1; +∞) ? x−2 3−x A. y = x4 − x2 + 3. B. y = . C. y = −x3 + x − 1. D. y = . 2x − 3 x+1 Lời giải. Phương pháp: Tìm các khoảng đồng biến của mỗi hàm số ở các đáp án và đối chiếu kết quả. Cách giải: a) Xét hàm số y = x4 − x2 + 3. Ta có y 0 = 4×3 −  2x = 2x (2×2 − 1) 1 −√ 0 ⇔   1 x> √ 2 72 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Å ã Å ã 1 1 Nên hàm số đồng biến trên các khoảng − √ ; 0 và √ ; +∞ ⊃ (1; +∞), chúng ta nhận hàm 2 2 số này. x−2 . b) Xét hàm số y = 2x − 3 Å ã Å ã 1 3 3 0 ⇒y = > 0, ∀x ∈ −∞; ∪ ; +∞ 2 2 (2x − 3)2 Å ã Å ã 3 3 Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng −∞; và ; +∞ 2 2 Cả hai khoảng này đều không chứa khoảng (1; +∞) nên không nhận hàm số này. c) Xét hàm số y = −x3 + x − 1 1 1 ⇒ y 0 = −3×2 + 1 > 0 ⇔ − √ < x < √ . 3 Å3 ã 1 1 Do đó hàm số đồng biến trên khoảng − √ ; √ . 3 3 Khoảng này không chứa khoảng(1; +∞) nên loại hàm số này. 3−x d) Xét hàm số y = x+1 −4 0 < 0, ∀x ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; +∞) ⇒y = (x + 1)2 Do đó hàm số không đồng biến.  Chọn đáp án A Câu 17. y Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R và đồ thị hàm số y = f 0 (x) như hình vẽ. Khẳng định sau đây là sai? 4 A. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (1; +∞). B. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (−2; −1). 2 C. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng (−1; 1). D. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng (−∞; −2). −2 O 1 x Lời giải. Từ đồ thị của hàm y = f 0 (x) ta có bảng biến thiên x −∞ f (x) 0 − −2 0 +∞ + 1 0 +∞ + +∞ f (x) f (−2) Chọn đáp án C  Câu 18. Cho hàm số y = −x3 + 3x2 − 3x + 2. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) và đồng biến trên khoảng (1; +∞). B. Hàm số luôn đồng biến trên R. C. Hàm số luôn nghịch biến trên R. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 73 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞). Lời giải. Tập xác định D = R. Ta có y 0 = −3x2 + 6x − 3 = −3(x − 1)2 ≤ 0, ∀x ∈ R. Vậy hàm số đã cho luôn nghịch biến trên R.  Chọn đáp án C Câu 19. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 1 y = − x3 − mx2 + (2m − 3)x − m + 2 3 luôn nghịch biến trên R. A. m ∈ (−∞; −3) ∪ (1; +∞). B. −3 ≤ m ≤ 1. C. m ≤ 1. D. −3 < m < 1. Lời giải. Tập xác định D = R. Ta có y 0 = −x2 − 2mx + 2m − 3. Hàm số đã cho là hàm bậc ba nên hàm số luôn nghịch biến trên R khi chỉ khi ( a<0 y 0 ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆0 ≤ 0 ⇔ m2 + 2m − 3 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ m ≤ 1.  Chọn đáp án B Câu 20. Hàm số y = A. (0; 2). √ 4 − x2 nghịch biến trên khoảng nào? B. (−2; 0). C. (0; +∞). D. (−2; 2). Lời giải. Tập xác định D = [−2; 2]. −x Ta có y 0 = √ , y 0 = 0 ⇔ x = 0. 4 − x2 Bảng biến thiên x y0 −2 0 0 2 + y 2 − 0 0 Vậy hàm số nghịch biến trên (0; 2).  Chọn đáp án A Câu 21. Hàm số nào trong các hàm số sau đây nghịch biến trên tập R? A. y = −x3 + x2 − 10x + 1. x+1 C. y = √ . x2 + 1 B. y = x4 + 2x2 − 5. D. y = cot 2x. Lời giải. 3 2 0 2 Ta xét y = −x + x − 10x + 1 có y = −3x + 2x − 10 < 0 với mọi x ∈ R. Suy ra bảng biến thiên 74 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x −∞ f (x) 0 +∞ − +∞ f (x) −∞ Vậy y = −x3 + x2 − 10x + 1 nghịch biến trên R.  Chọn đáp án A Câu 22. x −∞ f (x) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên 0 như hình vẽ bên. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−1; 5). B. (−∞; 5). C. (−∞; −1). + −1 0 a 5 0 − +∞ + +∞ f (x) −∞ D. (−1; +∞). b Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên miền (−1; 5).  Chọn đáp án A Câu 23. Å Hàmãsố y = 3 A. −∞; . 2 √ −x2 + 3x Å đồng ã đây? ã biến trên khoảngÅnào sau 3 3 B. 0; . C. ;3 . 2 2 Lời giải. Å D. ã 3 ; +∞ . 2 Tập xác định D = [0; 3]. −2x + 3 3 Ta có y 0 = √ . Xét y 0 = 0 ⇒ x = . Bảng biến thiên 2 2 −x2 + 3x x 0 f 0 (x) + 3 2 0 3 − 3 2 f (x) 0 0 Å ã 3 Do đó hàm số đồng biến trên khoảng 0; . 2 Chọn đáp án B  Câu 24. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = (m − 1)x3 + (m − 1)x2 − (2m + 1)x + 5 nghịch biến trên tập xác định. 5 2 7 A. − ≤ m ≤ 1. B. − ≤ m < 1. C. − ≤ m < 1. 4 7 2 Lời giải. 2 D. − ≤ m ≤ 1. 7 Tập xác định D = R. Ta có y 0 = 3(m − 1)x2 + 2(m − 1)x − (2m + 1). + Xét m = 1. Ta có y 0 = −3 < 0 ∀x ∈ R nên hàm số nghịch biến trên tập xác định. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 75 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 + Xét m 6= 1. Để hàm số trên nghịch biến trên tập xác định khi và chỉ khi ( m−1<0 0 2 ∆ = (m − 1) + 3(m − 1)(2m + 1) ≤ 0 ⇔ ( m<1 2 ⇔ − ≤ m < 1. 7 7m − 5m − 2 ≤ 0 2 2 Vậy, với − ≤ m < 1 thì hàm số đã cho nghịch biến trên tập xác định. 7 Chọn đáp án D Câu 25. Tìm tập các giá trị của tham số m để hàm số y =  x3 + x2 + (m − 1) x + 2018 đồng biến trên 3 R. A. [1; +∞). C. (−∞; 2]. B. [1;2]. D. [2; +∞). Lời giải. 0 2 Ta có: y = x + 2x + m − 1. Hàm số đồng biến trên R ⇔ y 0 ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔ ∆0 ≤ 0 ⇔ m ≥ 2.  Chọn đáp án D Câu 26. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x+2−m nghịch biến trên các x+1 khoảng mà nó xác định? A. m ≤ 1. C. m < −3. B. m < 1. D. m ≤ −3. Lời giải. Tập xác định D = R {−1} . m−1 Có y 0 = . (x + 1)2 Hàm số nghịch bến trên mỗi khoảng của tập xác định ⇔ m−1 < 0, ∀x ∈ D ⇔ m < 1. (x + 1)2  Chọn đáp án B Câu 27. Số giá trị nguyên của m để hàm số y = A. 4. B. 5. mx − 2 nghịch biến trên khoảng −2x + m C. 3. D. 2. Lời giải. Å ã 2 mx − 2 1 m − 4 0 . Hàm số y = nghịch biến trên khoảng ; +∞ Ta có y = (−2x + m)2 −2x + m 2       2   m −4<0 ⇔ ⇔ −2 < m ≤ 1. Vì m ∈ Z nên m ∈ {−1; 0; 1}.     m 1   ≤  2 2 Chọn đáp án C Å ã 1 ; +∞ là 2  1 Câu 28. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y = − x3 − mx2 + (2m − 3) x − m + 2 nghịch biến 3 trên R? " m ≤ −3 A. −3 ≤ m ≤ 1. B. m ≤ 1. C. . D. −3 < m < 1. m≥1 Lời giải. 76 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Tập xác định: D = R. Ta có y 0 = −x2 − 2mx + 2m − 3. Để hàm số nghịch(biến trên R ( thì: ay 0 < 0 −1<0 y 0 ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ⇔ ⇔ −3 ≤ m ≤ 1 ∆0 ≤ 0 m2 + 2m − 3 ≤ 0  Chọn đáp án A Câu 29. Cho hàm số y = −x3 + 3x2 − 3x + 2. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số đồng biến trên R. B. Hàm số nghịch biến trên R. C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) và đồng biến trên khoảng (1; +∞). Lời giải. TXĐ: D = R. Ta có y 0 = −3x2 + 6x − 3 = −3 (x − 1)2 ≤ 0, ∀x ∈ R.  Chọn đáp án B Câu 30. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên khoảng (−∞; +∞) , có bảng biến thiên như hình sau: −∞ x y0 + −1 0 − 1 0 +∞ + +∞ 2 y −∞ −1 Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞). Lời giải. Phương pháp Dựa vào BBT để kết luận tính đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách giải: Dựa vào BBT ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞) , hàm số nghịch biến trên (−1; 1).  Chọn đáp án B 1 Câu 31. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = − x3 − (m + 1)x2 + (4m − 8)x + 2 3 nghịch biến trên toàn trục số? A. 9. B. 7. C. Vô số. D. 8. Lời giải. y 0 = −x2 − 2(m + 1)x + 4m − 8. Hàm số nghịch biến trên toàn trục số ⇔ y 0 ≤ 0, ∀x ∈ R. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 77 Tuyển tập Toán 12 THPT Ta có y 0 ≤ 0 ∀x ∈ R ⇔ Kỳ thi THQG 2020  a = −1 < 0 ∆0 ≤ 0 ⇔ m2 + 6m − 7 ≤ 0 ⇔ −7 ≤ m ≤ 1. Mà m ∈ Z nên m ∈ {−7; −6; . . . ; −1; 0; 1}.  Chọn đáp án A 1 Câu 32. Hàm số y = − x4 + 2x2 + 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 4 A. (−2; 0). B. (0; +∞). C. (2; +∞). D. (0; 1). Lời giải.  x=0  1 Ta có y 0 = −x3 + 4x = 0 ⇔  x = −2 . x=2 2 Bảng xét dấu đạo hàm x −∞ −2 0 + y 0 0 0 − + 2 0 +∞ − Từ bảng xét dấu ta có hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; 1).  Chọn đáp án D Câu 33. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R? A. y = x3 − 3x2 + 3x − 10. B. y = −x3 + x2 − 3x + 1. C. y = x4 + x2 + 1. D. y = x3 + 3x2 + 1. Lời giải. Cả bốn hàm số trong bốn phương án đều có tập xác định là R.  Hàm số y = x3 − 3x2 + 3x − 10 có y 0 = 3x2 − 6x + 3 = 3(x − 1)2 ≥ 0, ∀x ∈ R và y 0 = 0 khi x = 1. Vậy hàm số y = x3 − 3x2 + 3x − 10 đồng biến trên R.  Hàm số y = −x3 +x2 −3x+1 có y 0 = −3x2 +2x−3 < 0, ∀x ∈ R. Vậy hàm số y = −x3 +x2 −3x+1 luôn nghịch biến trên R.  Hàm số y = x4 + x2 + 1 có y 0 = 4x3 + 2x = 2x(2x2 + 1) và y 0 > 0 khi x ∈ (0; +∞). Vậy hàm số y = x4 + x2 + 1 chỉ đồng biến trên (0; +∞).  Hàm số y = x3 + 3×2 + 1 có y 0 = 3×2 + 6x và y 0 > 0 khi x ∈ (−∞; −2) ∪ (0; +∞). Vậy hàm số y = x3 + 3×2 + 1 đồng biến trên (−∞; −2) và (0; +∞).  Chọn đáp án A Câu 34. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = 1 3 x − mx2 + (2m + 15)x + 7 luôn đồng biến 3 trên R. A. −3 ≤ m ≤ 5. B. m ≤ −3 hoặc m ≥ 5. C. −3 < m < 5. D. m < −3 hoặc m > 5. Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = R. Ta có y 0 = x2 − 2mx + 2m + 15. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên R khi ( 1>0 x2 − 2mx + 2m + 15 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ⇔ m2 − 2m − 15 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ m ≤ 5. 2 m − 2m − 15 ≤ 0 78 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 1 Vậy −3 ≤ m ≤ 5 hàm số y = x3 − mx2 + (2m + 15)x + 7 luôn đồng biến trên R. 3 Chọn đáp án A  Câu 35. Hàm số y = −x4 − 2×2 + 1 đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (0; +∞). B. (−1; 1). D. (−∞; −1) và (0; 1). C. (−∞; 0). Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = R. Ta có y 0 = −4×3 − 4x = −4x(x2 + 1). y 0 > 0 ⇔ −4x(x2 + 1) > 0 ⇔ −4x > 0 ⇔ x < 0. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (−∞; 0).  Chọn đáp án C −2x + 1 . Khẳng định nào sau đây đúng? x−1 A. Hàm số đồng biến trên (−∞; 1) và (1; +∞). Câu 36. Cho hàm số y = B. Hàm số nghịch biến trên R {1}. C. Hàm số nghịch biến trên (−∞; 1) và (1; +∞). D. Hàm số đồng biến trên R {1}. Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = R {1}. 1 Ta có y 0 = > 0, ∀x 6= 1. (x − 1)2 Vậy hàm số đã cho luôn đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; 1), (1; +∞).  Chọn đáp án A x3 x2 3 Câu 37. Hàm số f (x) = − − 6x + 3 2 4 A. đồng biến trên khoảng (−2; +∞). B. nghịch biến trên khoảng (−∞; −2). C. nghịch biến trên khoảng (−2; 3). D. đồng biến trên (−2; 3). Lời giải. 0 2 Ta có f (x) = x − x − 6. ” f 0 (x) = 0 ⇔ x2 − x − 6 = 0 ⇔ x = −2 x = 3. Bảng biến thiên x y0 −∞ + −2 0 − 3 0 +∞ + +∞ y −∞ Suy ra hàm số nghịch biến trên (−2; 3) và đồng biến trên (−∞; −2); (3; +∞). Chọn đáp án C CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  79 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 38. Trong các hàm số sau, hàm số đồng biến trên R là A. y = x4 + 3×2 − 1. B. y = x3 − 3×2 + 6x + 2. 3 − 2x . D. y = x+1 Lời giải. C. y = x4 − 3×2 − 5. Hàm số y = x3 − 3×2 + 6x + 2 có y 0 = 3×2 − 6x + 6 > 0, ∀x ∈ R nên hàm số này đồng biến trên R.  Chọn đáp án B Câu 39. Hàm số y = −x3 + 6×2 + 2 luôn đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (2; +∞). B. (0; +∞). C. (0; 4). D. (−∞; 0). Lời giải. Ta có y = −x3 + 6×2 + 2 ⇒ y”0 = −3×2 + 12x. x=0 y 0 = 0 ⇔ −3×2 = 12x = 0 ⇔ . x=4 Bảng biến thiên x −∞ y0 0 − 0 +∞ 4 + +∞ 0 − 34 y −∞ 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 4).  Chọn đáp án C mx + 1 đồng biến trên khoảng (2; +∞). x+m B. m ≤ −1 hoặc m > 1. D. m < −1 hoặc m ≥ 1. Câu 40. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = A. −2 ≤ m < −1 hoặc m > 1. C. −1 < m < 1. Lời giải. Tập xác định D = R{−m}. m2 − 1 Ta có y 0 = . (x + m)2 Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞) ⇔ ( 0 y > 0, ∀x ∈ (2; +∞) −m∈ / (2; +∞) ” m < −1  ( 2 "   m −1>0 − 2 ≤ m < −1 ⇔ ⇔ . m>1 ⇔  −m≤2 m>1   m ≥ −2 Chọn đáp án A  Câu 41. Cho hàm số có f (x) đạo hàm trên khoảng I. Xét các mệnh đề sau (I) Nếuf 0 (x) < 0 ∀x ∈ I, thì hàm số nghịch biến trên I. (II) Nếu f 0 (x) ≤ 0 ∀x ∈ I (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I ) thì hàm số nghịch biến trên I. 80 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 (III) Nếu f 0 (x) ≤ 0 ∀x ∈ I thì số nghịch biến trên khoảng I. (IV) Nếu f 0 (x) ≤ 0 ∀x ∈ I và f 0 (x) = 0 tại vô số điểm trên I thì hàm số f (x) không thể nghịch biến trên khoảng I. Trong các mệnh đề trên. Mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai? A. (I), (II) và (IV) đúng, còn (III) sai. B. (I), (II), (III) và (IV) đúng. C. (I) và (II) đúng, còn (III) và (IV) sai. D. (I), (II) và (III) đúng, còn (IV) sai. Lời giải.  Câu (III) sai vì thiếu dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I.  Câu (IV) sai vì có thể vô số điểm trên I xuất hiện rời rạc thì vẫn có thể nghịch biến trên khoảng I.  Chọn đáp án C Câu 42. Cho hàm số y = f (x)có đạo hàm y 0 = x2 (x − 2). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên R. B. Hàm số đồng biến trên (0; 2). C. Hàm số nghịch biến trên (−∞; 0) và (2; +∞). D. Hàm số đồng biến trên (2; +∞). Lời giải. Phương pháp: Hàm số đồng biến trên (a; b) ⇔ y 0 ≥ 0, ∀x ∈ (a; b). Hàm số nghịch biến trên(a; b) ⇔ y 0 ≤ 0, ∀x ∈ (a; b). Giải phương trình y 0 = 0 và lập BBT, từ đó chọn " đáp án đúng. x=0 Cách giải: Ta có: y 0 = 0 ⇔ x2 (x − 2) = 0 ⇔ . x=2 −∞ x y0 − 0 0 + 2 0 +∞ − Dựa vào BBT ta thấy hàm số nghịch biến trên (−∞; 2) và đồng biến trên (2; +∞).  Chọn đáp án D Câu 43. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = 3x + m(sin x + cos x + m) đồng biến trên R? A. 3. B. Vô số. C. 4. D. 5. Lời  giải. √ π Ta có y 0 = 3 + m(cos x − sin x) = 3 + m 2 cos x + . 4 Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi √ 3 y 0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ min y 0 ≥ 0 ⇔ 3 − |m 2| ≥ 0 ⇔ |m| ≤ √ ⇔ m ∈ {0; −1; 1; −2; 2} . R 2 Vậy có 5 giá trị nguyên của m. Chọn đáp án D CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  81 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 44. x y0 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−1; +∞). B. (−1; 1). C. (−∞; 1). D. (1; +∞). −∞ + −1 0 +∞ 1 0 − + +∞ 3 y −∞ −2 Lời giải. 0 Từ bảng biến thiên ta thấy y > 0, ∀x > 1 suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞). Chọn đáp án D  Câu 45. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0 (x) = x2 (x2 − 1), ∀x ∈ R. Hàm số y = 2f (−x) đồng biến trên khoảng A. (2; +∞). B. (−∞; −1). C. (−1; 1). Lời giải. D. (0; 2). Ta có y 0 = −2f 0 (−x). Mà f 0 (x) = x2 (x2 − 1) ⇒ y 0 = −2(−x)2 [(−x)2 − 1] = −2×2 (x2 − 1). ” 2 ” x = 0 x=0 y0 = 0 ⇔ ⇔ x2 − 1 = 0 x = ±1. Kết luận hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 1). Chọn đáp án C  Câu 46. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đồng biến y trong khoảng nào dưới đây? A. (2; 4). B. (0; 3). 3 C. (2; 3). D. (−1; 4). 1 −1 O −1 3 4 x Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trong (1; 3). Từ đó suy ra trong khoảng (2; 3) hàm số y = f (x) đồng biến. Chọn đáp án C √ Câu 47. Cho hàm số y = x2 − 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).  B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞). Lời giải. Tập xác định D = (−∞; −1] ∪ [1; +∞). x y0 = √ > 0, ∀x ∈ (1; +∞) nên hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞). x2 − 1 x y0 = √ < 0, ∀x ∈ (−∞; −1) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1). 2 x −1 82 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Chọn đáp án C Câu 48. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R và f 0 (x) > 0, ∀x > 0. Biết f (1) = 2, hỏi khẳng định nào sau đây có thể xảy ra? A. f (2) + f (3) = 4. B. f (−1) = 2. C. f (2) = 1. D. f (2018) > f (2019). Lời giải. Ta có f 0 (x) > 0, ∀x > 0 ⇒ y = f (x) đồng biến trên (0; +∞). Suy ra 2 = f (1) < f (2) < f (3) và f (2018) < f (2019). Do đó các khẳng định f (2) + f (3) = 4; f (2) = 1; f (2018) > f (2019) là sai. Vậy khẳng định f (−1) = 2 có thể xảy ra.  Chọn đáp án B Câu 49. Số nghiệm của phương trình x4 + 2×3 − 2 = 0 là: A. 0. B. 4. C. 2. D. 3. Lời giải. Xem số nghiệm của phương trình là số giao điểm của y = f (x) = x4 + 2×3 − 2 với đường thẳng y = 0 Đặt x y0 −∞ − 0 0 +∞ + +∞ f (x) = x4 + 2×3 − 2; +∞ y f 0 (x) = 4×3 + 6×2 = 2x (x2 + 3) = 0 ⇔ x = 0 Bảng xét dấu: −2 Dựa vào bảng biến thiên thì số nghiệm là 2.  Chọn đáp án C Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x+2−m nghịch biến trên mỗi x+1 khoảng xác định của nó. A. m < −3. B. m ≤ −3. C. m ≤ 1. D. m < 1. Lời giải. Tập xác định D = R {−1}. −1 + m Ta có y 0 = . (x + 1)2 Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng xác định khi và chỉ khi: −1 + m < 0; ∀x ∈ D (x + 1)2 ⇔ −1 + m < 0 y0 = ⇔ m < 1.  Chọn đáp án D Câu 51. Cho hàm số y = mx − 4 (với m là tham số) có bảng biến thiên dưới đây x+1 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 83 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 −∞ x y0 −1 + +∞ + +∞ −2 y −2 −∞ Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Với m = 3 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. B. Với m = 9 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. C. Với m = 6 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác đinh. D. Với m = −2 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác đinh. Lời giải. m+4 Ta có y = . Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi m + 4 > 0 ⇔ m > −4. (x + 1)2 Dựa vào bảng biến thiên suy ra lim y = −2 ⇔ m = −2 (thỏa mãn m > −4). 0 x→+∞ Vậy m = −2 thì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.  Chọn đáp án D Câu 52. Xét hàm số y = √ 4 − 3x trên đoạn [−1; 1]. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số có cực trị trên khoảng (−1; 1). B. Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [−1; 1]. C. Hàm số đồng biến trên đoạn [−1; 1]. D. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 1 và đạt giá trị lớn nhất tại x = −1. Câu 53. Trong bốn hàm số sau:(1)y = sin 2x; (2)y = cos 4x; (3)y = tan 2x; (4)y = cot 3x có mấy hàm số tuần hoàn với chu kỳ π2 ? A. 0. B. 2. C. 3. D. 1. Câu 54. Hàm số y = x3 − 3x + 1 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0; 2). C. (∞; −1). B. (1; +∞). D. (−1; 1). Lời giải. 0 0 2 Ta có y = 3x − 3 nên y = 0 ⇔ x = −1; x = 1. Bảng biến thiên x −∞ f 0 (x) −1 + 0 +∞ 1 − 0 + +∞ 3 f (x) −∞ −1 Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1). Chọn đáp án D 84 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 55. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu f 0 (x) < 0 với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số f (x) nghịch biến trên (a; b). B. Nếu hàm số f (x) đồng biến trên (a; b) thì f 0 (x) > 0 với mọi x thuộc (a; b). C. Nếu hàm số f (x) đồng biến trên (a; b) thì f 0 (x) ≥ 0 với mọi x thuộc (a; b). D. Nếu f 0 (x) > 0 với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số f (x) đồng biến trên (a; b). Lời giải. Mệnh đề “Nếu hàm số f (x) đồng biến trên (a; b) thì f 0 (x) > 0 với mọi x thuộc (a; b)” là mệnh đề sai vì f 0 (x) có thể bằng 0. Xét hàm f (x) = x3 ⇒ f 0 (x) = 3×2 ≥ 0 ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 1) nhưng f 0 (x) = 0 khi x = 0 ∈ (−1; 1).  Chọn đáp án B Câu 56. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó? A. y = x − sin2 x. B. y = cot x. C. y = sin x. D. y = −x3 . Lời giải. Xét hàm số y = x − sin2 x có tập xác định là D = R. Ta có y 0 = 1 − 2 sin x · cos x = 1 − sin 2x ≥ 0, ∀x ∈ R. Khi đó, hàm số đồng biến trên tập xác định R.  Chọn đáp án A Câu 57. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = 3x + m2 + 3m đồng biến x+1 trên từng khoảng xác định của nó? A. 4. B. 2. C. 1. Lời giải. D. 3. Tập xác định là D = R {−1}. m2 + 3m 3(x + 1)2 − (m2 + 3m) Ta có y 0 = 3 − = . (x + 1)2 (x + 1)2 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi y 0 > 0, ∀x ∈ R {−1} ⇔3(x + 1)2 > m2 + 3m, ∀x ∈ R {−1} ⇔m2 + 3m ≤ 0 ⇔ − 3 ≤ m ≤ 0. Vì m là số nguyên nên m ∈ {−3; −2; −1; 0}. Vậy số giá trị nguyên của m thỏa mãn bài là 4.  Chọn đáp án A Câu 58. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R? A. y = −x3 − x − 2. x−1 . x+3 D. y = x3 + x2 + 2x + 1. B. y = C. y = x4 + 2×2 + 3. Lời giải. Å ã 1 2 5 Xét hàm số y = x + x + 2x + 1. Ta có y = 3x + 2x + 2 = 3 x + + > 0, ∀x ∈ R. 3 3 3 2 Nên hàm số y = x + x + 2x + 1 đồng biến trên R. 3 2 0 2 Chọn đáp án D CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  85 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 59. Khoảng nghịch biến của hàm số y = x3 + 3×2 + 4 là A. (−∞; 0). B. (−∞; −2) và (0; +∞). C. (2; +∞). D. (−2; 0). Lời giải. ” Ta có y 0 = 3×2 + 6x = 0 ⇔ x=0 x = −2. Bảng biến thiên x −∞ y0 −2 + 0 +∞ 0 − 0 + +∞ 8 y −∞ 4 Suy ra hàm số nghịch biến trên (−2; 0).  Chọn đáp án D Câu 60. Hàm số nào trong các hàm số sau đồng biến trên tập xác định? 2 − 3x A. y = . B. y = x4 + 3×2 + 18. 1 + 5x C. y = x3 + 2×2 − 7x + 1. D. y = x3 + 3×2 + 9x − 20. Lời giải. 3 2 Xét hàm số y = x + 3x + 9x − 20 có tập xác định là R. y 0 = 3×2 + 6x + 9 ≥ 0 với mọi x ∈ R nên hàm số y = x3 + 3×2 + 9x − 20 đồng biến trên tập xác định.  Chọn đáp án D x−m nghịch biến trên (−∞; 1). (m − 1)x − 2 C. m ∈ [1; 2). D. m ∈ (1; 2]. Câu 61. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = A. m ∈ (−1; 2). B. m ∈ (−1; 3]. Lời giải. 1 1 Với m = 1 thì y = − x là hàm số nghịch biến trên (−∞; 1). 2 2 m2 − m − 2 Với m 6= 1. Ta có y 0 = . Hàm số nghịch biến trên (−∞; 1) [(m − 1)x − 2]2  2 m − m − 2 < 0 m −m−2 ⇔ < 0, ∀x ∈ (−∞; 1) ⇔ ⇔ 1 < m < 2.  2 ≥1 [(m − 1)x − 2]2 m−1 2 Vậy m ∈ [1; 2). Chọn đáp án C  Câu 62. 86 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Hàm số y = f (x) có đồ thị y = f 0 (x) như hình vẽ y (đồ thị f 0 (x) cắt Ox ở các điểm có hoành độ lần lượt là 1, 2, 5, 6). Chọn khẳng định đúng: A. f (x) nghịch biến trên khoảng (1; 2). 1 2 5 6 x O B. f (x) đồng biến trên khoảng (5; 6). C. f (x) nghịch biến trên khoảng (1; 5). D. f (x) đồng biến trên khoảng (4; 5). Lời giải. Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên như sau x −∞ 0 f (x) 1 − 0 2 + 0 5 − 0 +∞ 6 + 0 − f (x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trong khoảng (5; 6).  Chọn đáp án B Câu 63. Cho hàm số y = ax + b có đồ thị như hình vẽ. Chọn cx + d y khẳng định đúng. A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. B. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. C. Hàm số đồng biến trên tập xác định. 1 D. Hàm số đồng biến trên R. O x −1 Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.  Chọn đáp án B 1 mx2 Câu 64. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y = x3 − + 2x + 2017 đồng biến trên R. 3 2√ √ √ B. −2 2 6 m . A. −2 2 6 m 6 2 2 . √ √ √ C. m 6 2 2 . D. −2 2 < m < 2 2 . Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 87 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Tập xác định D = R. Để hàm số đồng biến trên R thì y 0 ≥ 0, ∀x ∈ R. Ta có x2 + mx + 2 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆≤0 ⇔ m2 − 8 ≤ 0 √ √ ⇔ −2 2 ≤ m ≤ 2 2.  Chọn đáp án D Câu 65. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến x y0 −∞ 0 − + +∞ 1 0 + +∞ 2 trên khoảng nào sau đây? A. (−3; 2). B. (−∞; 0) và (1; +∞). C. (−∞; −3). D. (0; 1). y −∞ −3 Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1).  Chọn đáp án D Câu 66. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R? A. y = x4 + x. C. y = (x − 1)2018 . B. y = x4 − x. D. y = (x − 1)2019 . Lời giải. 2019 Xét y = (x − 1) . TXĐ: D = R, y = 2019(x − 1)2018 ≥ 0 và chỉ bằng 0 tại x = 1, ∀x ∈ R nên hàm 0 số đồng biến trên R.  Chọn đáp án D Câu 67. y Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−∞; −1). B. (−1; 1). C. (−∞; 0). −1 D. (0; +∞). 1 −1 O x −2 Lời giải. Từ đồ thị của hàm số ta có hàm số y = f (x) nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (0; 1).  Chọn đáp án A Câu 68. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đồng biến " a = b; c > 0 A. . B. b2 − 3ac ≤ 0 88 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em trên R khi ” a=b=c=0 a > 0; b2 − 3ac < 0 . Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT " C. a = b = 0; c > 0 a > 0; b2 − 3ac ≤ 0 Kỳ thi THQG 2020 ” D. . a = b = 0; c > 0 a > 0; b2 − 3ac ≥ 0 . Lời giải. Ta xét hai trường hợp a = 0 và a 6= 0.  Chọn đáp án C Câu 69. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R? x A. y = . x+1 2 C. y = (x2 − 1) − 3x + 2. x . x2 + 1 D. y = tan x. B. y = √ Lời giải. Ta có phân tích các hàm số như sau x  Hàm số y = có tập xác định D = R {−1} nên không thế đồng biến trên R. x+1 x , xác định trên R, ta tính đạo hàm như sau  Hàm số y = √ 2 x +1 √ x x2 + 1 − x · √ 1 x2 + 1 √ y0 = = > 0, ∀x ∈ R, 2 x +1 (x2 + 1) x2 + 1 nên hàm số đồng biến trên R. Lưu ý. Hàm y = tan x tuần hoàn chu kì π, nên không thể luôn đồng biến trên R.  Chọn đáp án B Câu 70. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0 (x) = (x + 2)2 (x − 2)3 (3 − x). Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (2; 3). B. (−2; 2). D. (−∞; −2). C. (3; +∞). Lời giải. 0 Bảng xét dấu của f (x) x −∞ f 0 (x) −2 − 0 2 − 0 +∞ 3 + 0 − Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (2; 3).  Chọn đáp án A Câu 71. Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu y 0 như hình vẽ. x y0 −∞ −1 + 0 3 − +∞ 4 − 0 + Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −2). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (5; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 0). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 4). Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 89 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y 0 không xác định tại x = 3 ∈ (1; 4) nên khẳng định: Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 4) là khẳng định sai.  Chọn đáp án D x3 + 3×2 − 5x + 1. Mệnh đề nào dưới đây sai? 3 A. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 5). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1). Câu 72. Cho hàm số y = − C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 5). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (5; +∞). Lời giải. ” x=5 y 0 = −x2 + 6x − 5; y 0 = 0 ⇔ . x=1 Bảng biến thiên: x −∞ y0 1 − 0 + +∞ y − +∞ 5 0 − 28 3 4 3 −∞ Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 5). Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) và (5; +∞). Chọn đáp án C  Câu 73. Cho hàm số y = −x3 + 3×2 + 9x − 5. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên (−1; 3); nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; −1) , (3; +∞). B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; −3) , (1; +∞); nghịch biến trên (−3; 1). C. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; −1) , (3; +∞); nghịch biến trên (−1; 3). D. Hàm số đồng biến trên (−1; 3); nghịch biến trên (−∞; −1) ∪ (3; +∞). Ta có y 0 = −3×2 + 6x + 9, x Lời giải. y 0 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3. Bảng biến thiên −∞ y0 −1 − 0 +∞ +∞ 3 + 0 − 22 y −10 −∞ Chọn đáp án A  Câu 74. Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến trên R? x A. y = √ . B. y = (x2 − 1)2 − 3x + 2. 2 x +1 x C. y = . D. y = tan x. x+1 Lời giải. 90 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 √ x y=√ ⇒ y0 = 2 x +1 Nên hàm số y = √ x2 1 x2 + 1 =» > 0(∀x ∈ R). 2 x +1 (x2 + 1)3 x2 + 1 √ x là hàm đồng biến trên R. +1 x2  Chọn đáp án A Câu 75. Hàm số y = x4 − 2×2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (−1; 0). B. (0; 1). D. (−∞; −1). C. (0; +∞). Lời giải. Tập xác định của hàm số là D =”R. x=0 Ta có y 0 = 4×3 − 4x ⇒ y 0 = 0 ⇔ x = ±1. Bảng biến thiên −∞ x y0 −1 0 − + +∞ y 0 0 +∞ 1 0 − + +∞ 0 −1 0 Từ đó ta có hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 0).  Chọn đáp án A Câu 76. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên R? x+2 A. y = . B. y = −x4 − x2 − 1. x−1 C. y = −x3 + x2 − 3x + 11. D. y = cot x. Lời giải. 3 0 2 Xét hàm số y = −x + x − 3x + 11 ⇒ y = −3×2 + 2x − 3 < 0, ∀x ∈ R. Do đó hàm số y = −x3 + x2 − 3x + 11 nghịch biến trên R.  Chọn đáp án C Câu 77. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = mx + 25 nghịch biến trên khoảng x+m (−∞; 1)? A. 11. B. 4. C. 5. D. 9. Lời giải. Tập xác định D = R {−m}. m2 − 25 Ta có y 0 = . (x + m)2 Để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) khi và chỉ khi ( 2 m − 25 < 0 −m≥1 ⇔ −5 < m ≤ −1. Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Chọn đáp án B  Câu 78. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 91 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên R, có đồ thị ở hình bên. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0; 1). B. (−∞; 0). C. (1; 2). D. (2; +∞). −1 O 1 2 x Lời giải. Nhận thấy đồ thị đi xuống trong khoảng (0; 1), suy ra hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng (0; 1). Chọn đáp án A  √ Câu 79. Hàm số y = x2 − 2x nghịch biến trên khoảng nào? A. (1; +∞). B. (−∞; 0). C. (2; +∞). D. (−∞; 1). Lời giải. Tập xác định của hàm số đã cho là D = (−∞; 0] ∪ [2; +∞). Ta có y 0 = √ x−1 , nên y 0 < 0 với mọi x2 − 2x x ∈ (−∞; 0). Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên (−∞; 0). Chọn đáp án B 1 Câu 80. Cho hàm số y = x3 − (m − 1)x2 + x + m. Tìm m để hàm số đồng biến trên R. 3 A. 0 < m < 2. B. m > 2 hoặc m < 0. C. m ≥ 2 hoặc m ≤ 0. D. 0 ≤ m ≤ 2.  Lời giải. 0 2 Ta có: y = x − 2(m − 1)x + 1. YCBT⇔ ∆0 > 0 ⇔ (m − 1)2 − 1 > 0 ⇔ ⇔ m > 0 hoặc m < 0.  Chọn đáp án B Câu 81. Cho bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây sai? x y0 −∞ + − 2 0 +∞ + +∞ 3 A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞; 1). B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; 3). C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2; +∞). 1 0 y −∞ 0 D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3; +∞). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta có các kết luận sau:  Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1), (2; +∞).  Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2).  Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và giá trị cực đại của hàm số bằng 3.  Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu của hàm số bằng 0. Do đó, xét hàm số trên khoảng (0; 3) thì hàm số đồng biến trên các khoảng (0; 1), (2; 3) và nghịch biến trên khoảng (1; 2).  Å ã 2 Câu 82. Giá trị m nguyên lớn nhất để hàm số y = x3 + (3 − 2m)x2 + m − x + 5 đồng biến trên 3 R thuộc tập hợp nào sau đây? Chọn đáp án B 92 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT A. [1; 2). Kỳ thi THQG 2020 B. (−2; 1]. ï ò 3 C. 1; . 2 Lời giải. D. (1; 3). Tập xác định D = R. 2 Ta có y 0 = 3x2 + 2(3 − 2m)x + m − . 3 Å ã 2 0 0 2 Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên R ⇔ y ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ = (3 − 2m) − 3 m − ≤0⇔ 3 11 4m2 − 15m + 11 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ m ≤ · 4 Vậy giá trị m nguyên lớn nhất là 2.  Chọn đáp án D Câu 83. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó? A. y = x3 + x − 5. B. y = x4 + 3x2 + 4. C. y = x2 + 1. D. y = 2x − 1 . x+1 Lời giải. Ta có y 0 = 3x2 + 1 > 0 với mọi x ∈ R nên y = x3 + x − 5 đồng biến trên D = R.  Chọn đáp án A Câu 84. Hàm số y = x3 − 3×2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−1; 1). B. (−∞; 1). C. (2; +∞). D. (0; 2). Lời giải. Xét hàm số y = x3 − 3×2″có tập xác định D = R x=0 y 0 = 3×2 − 6x; y 0 = 0 ⇔ . x=2 Bảng biến thiên: x −∞ 0 0 + y 0 − 2 0 +∞ + +∞ 0 y −∞ −4 Vậy hàm số nghịch biến trên (0; 2).  Chọn đáp án D Câu 85. Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên R? Å ã−x  e x 2 A. y = . B. y = log 1 x. C. y = . 3 3 2 Lời giải.  e x e Ta có 0 < < 1 nên hàm số y = nghịch biến trên R. 3 3 Chọn đáp án A D. y = log5 x.  Câu 86. Khoảng đồng biến của hàm số y = −x3 + 3x2 + 9x − 1 là A. (−3; 1). B. (−∞; −1) ∪ (3; +∞). C. (−1; 3). D. (−∞; −1). Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 93 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y 0 = −3x2 + 6x + 9 " y 0 = 0 ⇔ −3x2 + 6x + 9 = 0 ⇔ x = −1 x=3 Bảng xét dấu của y 0 x −∞ −1 y0 − 0 +∞ 3 + − 0 Vậy y đồng biến trên khoảng (−1; 3) .  Chọn đáp án C Câu 87. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (1; 5). B. (−∞; 0). C. (0; 2). D. (2; +∞). x y0 y −∞ − 0 0 + +∞ 2 0 +∞ − 5 −∞ 1 Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy y 0 > 0, ∀x ∈ (0; 2) nên hàm số f (x) đồng biến trên (0; 2).  Chọn đáp án C 1 Câu 88. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 + (m + 1) x2 + (m + 1) x − 1 3 đồng biến trên tập xác định của nó. A. −1 < m < 0. B. m ∈ (−∞; −1) ∪ (0; +∞). C. −1 ≤ m ≤ 0. D. m ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞). Lời giải.  Tập xác định D = R.  Ta có: y 0 = x2 + 2 (m + 1) x + (m + 1) .  Hàm số đã cho đồng biến trên R ⇔ y 0 ≥ 0, ∀x ∈ R.  y 0 là tam thức bậc hai có hệ số a = 1 > 0 nên y 0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆0 y0 ≤ 0 ⇔ (m + 1)2 − (m + 1) ≤ 0 ⇔0≤m+1≤1 ⇔ −1 ≤ m ≤ 0.  Chọn đáp án C Câu 89. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R? √ A. y = − 2 · x + 1. B. y = x3 − 3x + 1. C. y = x2 + 1. D. y = x3 + 3x + 1. Lời giải. 3 0 2 Hàm số y = x + 3x + 1 có đạo hàm y = 3x + 3 > 0, ∀x ∈ R nên hàm số này đồng biến trên R.  Chọn đáp án D Câu 90. Cho hàm số y = x+3 . Khẳng định nào sau đây đúng? x−3 94 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 3) và (3; +∞). B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 3) và (3; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên R {3}. D. Hàm số đồng biến trên R {3}. Lời giải. −6 > 0 ∀x ∈ (−∞; 3) ∪ (3; +∞). (x − 3)2 Do đó, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; 3) và (3; +∞). Hàm số đã cho có tập xác định là (−∞; 3) ∪ (3; +∞), và y 0 =  Chọn đáp án B Câu 91. Hàm số y = x3 + 3×2 − 4 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. (−∞; −2). B. (0; +∞). C. (−2; 0). D. R. Lời giải. ” y 0 = 3×2 + 6x ⇒ y 0 = 0 ⇔ x=0 x = −2. Dễ thấy hàm số nghịch biến trên (−2; 0).  Chọn đáp án C 3 x − 3×2 + 5x − 2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? 3 A. (−∞; 1) ∪ (5; +∞). B. (−∞; 1). C. (5; +∞). D. (1; 5). Lời giải. ” x=1 Ta có y 0 = x2 − 6x + 5 = 0 ⇔ x = 5. Từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 5). Câu 92. Hàm số y =  Chọn đáp án D Câu 93. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx − sin x đồng biến trên R. A. m > 1. B. m ≤ −1. C. m ≥ 1. D. m ≥ −1. √ Câu 94. Cho hàm y = x2 − 6x + 5. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (5; +∞). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (3; +∞). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 3). Câu 95. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó? x−1 2x + 1 x−2 x+5 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . x+1 x−3 2x − 1 −x − 1 Lời giải. x−1 2 0  Với y = ⇒y = > 0. x+1 (x + 1) 2x + 1 −7  Với y = ⇒ y0 = < 0 ⇒ hàm số nghịch biến. x−3 (x − 3)2 Chọn đáp án B  x3 x2 3 − − 6x + · Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 3 2 4 A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 3). B. Hàm số nghịch biến trên (−∞; −2). C. Hàm số đồng biến trên (−2; +∞). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 3). Câu 96. Cho hàm số f (x) = Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 95 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 " Có y 0 = x2 − x − 6 = 0 ⇔ x=3 x = −2 . Bảng xét dấu đạo hàm x −∞ y0 −2 + +∞ 3 − 0 0 + Nhìn vào bảng xét dấu ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 3).  Chọn đáp án D Câu 97. y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó? A. Nghịch biến trên khoảng (−3; 0). B. Đồng biến trên khoảng (0; 2). C. Đồng biến trên khoảng (−1; 0). D. Nghịch biến trên khoảng (0; 3). 3 2 −1 O x −3 Lời giải. Theo chiều từ trái sang phải, đồ thị hàm số đồng biến là một đường “đi lên”, đồ thị hàm số nghịch biến là một đường “đi xuống”. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 0).  Chọn đáp án C Câu 98. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0 (x) = x2 − 2x, ∀x ∈ R. Hàm số y = −2f (x) đồng biến trên khoảng A. (0; 2). C. (−∞; −2). B. (2; +∞). D. (−2; 0). Lời giải. Ta có: y 0 = −2f 0 (x) = −2x2 + 4x > 0 ⇔ x ∈ (0; 2). Suy ra hàm số y = −2f (x) đồng biến trên khoảng (0; 2).  Chọn đáp án A Câu 99. Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f 0 (x) = x2 − 5x + 4, ∀x ∈ R. Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞; 3). B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (3; +∞). C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (2; 3). D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1; 4). Lời giải. x=1 Ta có f 0 (x) = 0 ⇔ x2 − 5x + 4 = 0 ⇔ Bảng biến thiên x = 4. ” 96 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT x Kỳ thi THQG 2020 −∞ f 0 (x) 1 + 0 +∞ 4 − 0 + +∞ f (1) f (x) −∞ f (4) Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (2; 3).  Chọn đáp án C Câu 100. Hàm số y = −x4 + 2×2 + 1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1; +∞). B. (−∞; −1). C. (−∞; 0). D. (0; +∞). CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 97 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ĐÁP ÁN 1. A 11. D 2. C 12. B 3. A 13. A 4. D 14. D 5. B 15. B 6. A 16. A 7. B 17. C 8. A 18. C 9. A 19. B 10. D 20. A 21. A 22. A 23. B 24. D 25. D 26. B 27. C 28. A 29. B 30. B 31. A 32. D 33. A 34. A 35. C 36. A 37. C 38. B 39. C 40. A 41. C 51. D 42. D 52. D 43. D 53. B 44. D 54. D 45. C 55. B 46. C 56. A 47. C 57. A 48. B 58. D 49. C 59. D 50. D 60. D 61. C 62. B 63. B 64. D 65. D 66. D 67. A 68. C 69. B 70. A 71. D 72. C 73. A 74. A 75. A 76. C 77. B 78. A 79. B 80. B 81. B 91. C 82. D 92. D 83. A 93. C 84. D 94. A 85. A 95. B 86. C 96. D 87. C 97. C 88. C 98. A 89. D 99. C 90. B 100. B 98 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 3 Mức độ vận dụng thấp Câu 1. Cho hàm số y = A. m > 2. mx + 4 . Giá trị của m để hàm số đồng biến trên (2; +∞) là? x + m” m < −2 B. . C. m ≤ −2. D. m < −2. m>2 Lời giải. Điều kiện xác định của hàm số x 6= m. m2 − 4 . Đạo hàm y 0 = (x + m)2 Hàm số đã cho đồng biến trên (2; +∞) khi và  chỉ” khi ” m>2 m>2   ( 2     m − 4 > 0 y 0 > 0, ∀x ∈ (2; +∞) ⇔ ⇔ m < −2 ⇔ m < −2 ⇔ m > 2.   −m∈ / (2; +∞)     −m≤2 m ≥ −2 Vậy khi m > 2 thì hàm số đã cho đồng biến trên (2; +∞).  Chọn đáp án A Câu 2. y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f 0 (x) như hình vẽ bên dưới. Hàm số y = f (3 − 2x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? x −2 A. (−1; +∞). C. (−∞; −1). B. (0; 2). O 2 5 D. (1; 3). Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số f 0 (x) ta thấy f 0 (x) > 0 ⇔ x ∈ (−2; 2) ∪ (5; +∞) và f 0 (x) < 0 ⇔ x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; 5). Xét hàm số y = f (3 − 2x) có y 0 = −2 · f 0 (3 − 2x). Hàm số y = f (3 − 2x) nghịch biến ⇔ −2 · f 0 (3 − 2x) < 0 ⇔ f 0 (3 − 2x) > 0 1 ” 5 5 x < −1. Å ã 1 5 Vậy hàm số y = f (3 − 2x) nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và ; . 2 2 Chọn đáp án C  Câu 3. Cho hàm số y = 2x3 − 3(3m + 1)x2 + 6(2m2 + m)x − 12m2 + 3m + 1. Tính tổng tất cả giá trị nguyên dương của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3). A. 0. B. 3. C. 1. D. 2. Lời giải. Ta có y 0 = 6x2 − 6(3m + 1)x + 6(2m2 + m). CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 99 Tuyển tập Toán 12 THPT " y0 = 0 ⇔ Kỳ thi THQG 2020 x=m x = 2m + 1 Vì m nguyên dương nên m < 2m + 1. Để hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3) ⇔ m 6 1 < 3 6 2m + 1 ⇔ m = 1.  Chọn đáp án C Câu 4. Gọi S là tập hợp các số nguyên m để hàm số y = f (x) = x + 2m − 3 đồng biến trên khoảng x − 3m + 2 (−∞; −14). Tính tổng T của các phần tử trong S? A. T = −10. B. T = −9. C. T = −6. D. T = −5. Lời giải. Tập xác định: D = R {3m − 2}. −5m + 5 Ta có f 0 (x) = . (x − 3m + 2)2 ( Hàm số đồng biến trên (−∞; −14) ⇔ ⇔ ⇔ − 5m + 5 > 0 3m − 2 ∈ / (−∞; −14) ( m<1 3m − 2 ≥ −14 ( m<1 m ≥ −4 ⇔ −4 ≤ m < 1. Vậy S = {−4; −3; −2; −1; 0} ⇒ T = −4 − 3 − 2 − 1 = −10.  Chọn đáp án A Câu 5. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R? x . x+1 x D. y = √ . x2 + 1 Lời giải. A. y = tan x. B. y = 2 C. y = (x2 − 1) − 3x + 2. Phương pháp: Hàm số y = f (x) có: + Tập xác định D = R. + y 0 ≥ 0, ∀x và y 0 = 0 tại hữu hạn điểm. Cách giải: nπ o + kπ, k ∈ Z . y = tan x: loại vì D = R 2 x y= : loại vì D = R {−1}. x+1 2 y = (x2 − 1) − 3x + 2: loại vì y 0 = 2.2x (x2 − 1) − 3 = 4x3 − 4x − 3 có khoảng mang dấu dương, có khoảng mang dấu âm. √ x2 + 1 − √xx2 +1 x 1 √ y=√ : thỏa mãn vì y 0 = = > 0, ∀x ∈ R. x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 (x2 + 1) Chọn đáp án D 100 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 mx + 2 , m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của 2x + m tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1). Tìm số phần tử của S. Câu 6. Cho hàm số y = A. 1. B. 5. C. 2. D. 3. Lời giải. n mo 2 m − 4 Tập xác định: D = R − . y0 = . 2 (2x+ m)2    −2 0, có y 0 = 3×2 − 6mx + 3. Do đó y đồng biến trên R nếu và chỉ nếu phương trình y 0 = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔ ∆0 = 9m2 − 9 ≤ 0. Vậy m ∈ [−1; 1].  Chọn đáp án A Câu 9. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = −x3 − 6×2 + (4m − 9)x + 4 nghịch biến trên khoảng (−∞; −1) là ï A. (−∞; 0]. B. ã 3 − ; +∞ . 4 Å ò 3 C. −∞; − . 4 Lời giải. D. [0; +∞). Tập xác định D = R. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 101 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Để hàm số y = −x3 − 6×2 + (4m − 9)x + 4 nghịch biến trên khoảng (−∞; −1) tương đương y 0 = −3×2 − 12x + 4m − 9 ≤ 0, ∀x ∈ (−∞; −1) ⇔ 4m ≤ 3×2 + 12x + 9, ∀x ∈ (−∞; −1). Đặt g(x) = 3×2 + 12x + 9 ⇒ g 0 (x) = 6x + 12, suy ra min g(x) = g(−2) = −3. (−∞;−1] 3 Vậy 4m ≤ −3 ⇔ m ≤ − . 4 Chọn đáp án C  Câu 10. Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau x −∞ f 0 (x) 1 − 0 2 + 0 3 + 0 +∞ 4 − Hàm số y = 3f (x + 2) − x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây ? A. (1; +∞). B. (−∞; −1). C. (−1; 0). 0 + D. (0; 2). Lời giải. 0 0 0 2 0 Ta có y = 3f (x + 2) − 3x + 3, y = 0 ⇔ f (x + 2) − x2 + 1 = 0 0 (1) Đặt t = x + 2, khi đó (1) ⇔ f (t) + (−t + 4t − 3) = 0 Để hàm số đồng biến thì y 0 > 0 Ta chọn t saor cho ( ( 0 14 f (t) > 0 ⇔ − t2 + 4t − 3 > 0 11  ( (  ” a=m−1>0 m>1 • TH2: ⇔ ⇔ m ≥ 2 ⇔ m ≥ 2.  ∆0y0 = (3m)2 − 3(m − 1)(4m + 4) ≤ 0 − 3m2 + 12 ≤ 0   m ≤ −2 Vì m là số nguyên và m ∈ [−2019; 2019] ⇒ m = {2; 3; 4; . . . ; 2019}. • TH1: m − 1 = 0 ⇔ m = 1 thì y 0 = 6x + 8 ≥ 0 ⇔ x ≥ − Vậy có 2018 số nguyên m thuộc khoảng m ∈ [−2019; 2019].  Chọn đáp án C Câu 13. Cho hàm số f (x) = x3 − 3×2 + 8. Tính tổng các giá trị nguyên của m để phương trình f (|x − 1|) + m = 2 có đúng 3 nghiệm phân biệt. A. −2. B. −6. C. 8. D. 4. Lời giải. Phương pháp: – Đặt t = |x − 1| (t ≥ 0) đưa phương trình về ẩn t. – Phương trình đã cho có 3 nghiệm ⇔ phương trình ẩn t có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương. Cách giải: Đặt t = |x − 1| (t ≥ 0) ta được f (t) + m = 2 ⇔ f “(t) = 2 − m. t = 0 ∈ [0; +∞) Có f (t) = t3 − 3t2 + 8 ⇒ f 0 (t) = 3t2 − 6t = 0 ⇔ t = 2 ∈ [0; +∞) Bảng biến thiên của hàm số f (t) = t3 − 3t2 + 8 t 0 y0 0 +∞ 2 − 0 + +∞ 8 y 4 Phương trình đã cho có 3 nghiệm ⇔ phương trình ẩn t có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương ⇔ đường thẳng y = 2 − m cắt đồ thị hàm số tại một điểm có hoành độ bằng 0 và điểm còn lại có hoành độ dương. Quan sát bảng biến thiên ta thấy 2 − m = 8 ⇔ m = −6. Vậy tổng các giá trị của m là −6. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 103 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Chọn đáp án B Câu 14. Cho hàm số y = −x3 − mx2 + (4m + 9)x + 5 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞)? A. 7. B. 6. C. 5. D. 8. Lời giải. Ta có y 0 = −3×2 − 2mx + 4m + 9. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞) ⇔ y 0 ≤ 0, ∀x ∈ (−∞; +∞) ⇔ −3×2 − 2mx + 4m + 9 ≤ 0, ∀x ∈ (−∞; +∞) ( ( a<0 −3<0 ⇔ ⇔ ∆0 ≤ 0 m2 + 12m + 27 ≤ 0 ⇔ −9 ≤ m ≤ −3 ⇒ m ∈ {−9; −8; −7; −6; −5; −4; −3} (vì m là số nguyên)  Chọn đáp án A 1 1 Câu 15 (2D1K1-3). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số y = x4 − m2 x2 +2m 4 2 đồng biến trên (1; +∞). Tính tổng tất cả các phần tử của S. A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. Lời giải. Do hàm số đã cho liên tục trên R nên nếu hàm số đồng biến trên (1; +∞) thì cũng đồng biến trên [1; +∞). Ta có y 0 = x3 − m2 x. x3 , ∀x ∈ [1; +∞). x min f (x). Yêu cầu bài toán ⇔ y 0 ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞) ⇔ m2 ≤ ⇔ m2 ≤ f (x) = x2 , ∀x ∈ [1; +∞) ⇔ m2 ≤ x∈[1;+∞) ⇔ m2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ m ≤ 1. Do m nguyên nên m ∈ {−1; 0; 1} ⇒ S = −1 + 0 + 1 = 0.  Chọn đáp án A 1 1 Câu 16. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số f (x) = m2 x5 − mx3 − 10x2 − 5 3 (m2 − m − 20) x đồng biến trên R. Tích giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng 3 1 A. −2. B. −5. C. . D. . 2 2 Lời giải. Ta có hàm số f (x) đồng biến trên R khi và chỉ khi
f 0 (x) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ m2 x4 − mx2 − 20x − m2 − m − 20 ≥ 0, ∀x ∈ R 
 ⇔ (x − 1) m2 x3 + m2 x2 + m2 − m x + m2 − m − 20 ≥ 0, ∀x ∈ R (∗) . Xét g(x) = m2 x3 + m2 x2 + (m2 − m) x + m2 − m − 20. Nếu g(x) = 0 không có nghiệm x = 1 thì f 0 (x) sẽ đổi dấu khi x đi qua 1, nên muốn (∗) thỏa thì điều 104 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  5 m= 2 2 . kiện cần là g(1) = 1 ⇔ 2m − m − 10 = 0 ⇔  m = −2 Ta cần kiểm tra xem hai giá trị tìm được có thỏa (∗)không. 25 25 15 65 5 5 = (x − 1) (5x2 + 10x + 13), thỏa (∗). Nếu m = thì g(x) = x3 + x2 + x − 2 4 4 4 4 4 Nếu m =ß−2 thì™g(x) = 4x3 + 4x2 + 6x − 14 = (x − 1) (4x2 + 8x + 14), thỏa (∗). 5 Vậy S = ; −2 . 2 Chọn đáp án B  mx + 2 , m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của Câu 17. Cho hàm số y = 2x + m tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1). Tìm số phần tử của S. A. 2. B. 3. C. 1. D. 5. Lời giải. n mo Tập xác định D = R − . 2 mx + 2 m2 − 4 Ta có y = ⇒ y0 = . 2x + m (2x + m)2 Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1) khi và chỉ khi y 0 < 0, ∀x ∈ (0; 1)     −2 < m < 2   −1. D. m > 1. 2 Lời giải. π π π π 1 t−1 Vì − < x < nên − < 2x < . Đặt t = sin 2x ⇒ − < t < 1. Khi đó ta có y = . 12 4 6 2 2 t+m   1 1 m≥ −m≤− 1 2 ⇔ 2 Điều kiện t 6= −m. Do − < t < 1 nên  2 −m≥1 m ≤ −1.  CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 105 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  π π m+1 t−1 0 0 Ta có = nên để hàm số y = đồng · tx . Mà tx = 2 cos 2x > 0 với mọi x ∈ − ; 2 6 2 t+m Å (t + m) ã 1 biến trên − ; 1 thì điều kiện cần và đủ là 2  m+1   >0   + m)2   (t  1 ⇔m≥ . m ≤ −1  2     1   m≥ 2 yx0  Chọn đáp án B Câu 20. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số y = f 0 (x) có đồ thị như hình bên. y Hàm số g(x) = f (|3 − x|) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng −1 sau? A. (4; 7). B. (2; 3). O D. (−∞; −1). C. (−1; 2). 4 x 1 Lời giải.  Với x > 3, ta có g(x) = f (x − 3) ⇒ g (x) = f 0 (x − 3). 0 Hàm số g(x) đồng biến khi và chỉ khi ” g 0 (x) > 0 ⇔ f 0 (x − 3) > 0 ⇔ −14 ” ⇔ 2 7. Vì x > 3 nên g(x) đồng biến trên khoảng (3; 4) hoặc (7; +∞).  Với x < 3, ta có g(x) = f (3 − x) ⇒ g 0 (x) = −f 0 (3 − x). Hàm số g(x) đồng biến khi và chỉ khi 0 0 g (x) > 0 ⇔ f (3 − x) < 0 ⇔ " 3 − x < −1 1<3−x<4 " ⇔ x>4 − 1 < x < 2. Vì x < 3 nên g(x) đồng biến trên khoảng (−1; 2).  Chọn đáp án C Câu 21. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = x2 + (5 − 2m)x − 1 − 3 đồng biến trên x+1 (−1; +∞). A. ∀m ∈ R. B. m ≤ 6. C. m ≥ −3. D. m ≤ 3. Lời giải. Tập xác định D = R {−1}. Khoảng cần xét thuộc vào tập xác định của hàm số với mọi số thực m. 1 Đạo hàm: y 0 = 2x + 5 − 2m + . (x + 1)2 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−1; +∞) khi và chỉ khi y 0 ≥ 0, ∀x ∈ (−1; +∞) ⇔ 2x + 5 − 2m + 106 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 1 ≥ 0, ∀x ∈ (−1; +∞) (x + 1)2 Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ⇔ 2x + 5 + 1 ≥ 2m, ∀x ∈ (−1; +∞). (x + 1)2 Để hàm số đồng biến trên (−1; +∞) thì 2m ≤ min với g(x) = 2x + 5 + (−1;+∞) 1 . (x + 1)2 1 Ta xét hàm số g(x) = 2x + 5 + trên khoảng (−1; +∞). (x + 1)2 2 2x3 + 6x2 + 6x Đạo hàm: g 0 (x) = 2 − = . (x + 1)3 (x + 1)3 Xét g 0 (x) = 0 ⇔ 2x3 + 6x2 + 6x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ g(0) = 6. Bảng biến thiên x −1 +∞ 0 0 − g (x) 0 + +∞ +∞ g(x) 6 Dựa vào bảng biến thiên, ta có 2m ≤ 6 ⇔ m ≤ 3.  Chọn đáp án D Câu 22. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (−2019; 2020) để hàm số y = 2x3 − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 2019 đồng biến trên khoảng (2; +∞)? A. 2021. B. 2020. C. 2018. D. 2019. Lời giải. Ta có y 0 = 6x2 − 6(2m + 1)x + 6m2 + 6m. Xét y 0 = 0 ⇔ x2 − (2m + 1)x + m2 + m = 0, có ∆ = (2m + 1)2 − 4 (m2 + m) = 1 > 0, ∀m ∈ R. Suy ra phương trình y 0 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt: x1 = m; x2 = m + 1. Dễ thấy x1 < x2 . Bảng biến thiên x −∞ y0 m + 0 m+1 − + 0 +∞ +∞ y(m) y y(m + 1) −∞ Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; m); (m + 1; +∞). Vì thế, hàm số đồng biến trên (2 : +∞) khi m + 1 ≤ 2 ⇔ m ≤ 1. Suy ra có 2020 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.  Chọn đáp án B 1 Câu 23. Tập hợp S tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = x3 −(m+1)x2 +(m2 +2m)x−3 3 nghịch biến trên khoảng (−1; 1) là A. S = ∅. B. S = [0; 1]. C. S = [−1; 0]. D. S = {−1}. Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 107 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ta có y 0 = x2 − 2(m + 1)x + m2 + 2m. " x=m Khi đó y 0 = 0 ⇔ x2 − 2(m + 1)x + m2 + 2m = 0 ⇔ . x=m+2 Bảng biến thiên −∞ x y0 m + − 0 +∞ m+2 0 + +∞ y(m) y y(m + 2) −∞ Để hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1) thì ( m ≤ −1 m+2≥1 ⇔ ( m ≤ −1 m ≥ −1 ⇔ m = −1.  Chọn đáp án D Câu 24. Cho hàm số y = (m − 1)x3 − 3(m + 2)x2 − 6(m + 2)x + 1. Tập giá trị của m để y 0 ≥ 0∀x ∈ R là A. [3; +∞). √ C. [4 2; +∞). B. ∅. D. [1; +∞). Lời giải. Ta có y 0 = 3(m − 1)x2 − 6(m + 2)x − 6(m + 2). Nếu m = 1 ⇒ y 0 = −18x − 18 ≥ 0 ⇔ x ≤ −1. Do đó m = 1 không thỏa mãn yêu cầu. Nếu m = 6 1 thì  ( m > 1 m−1>0 ⇔ m ∈ ∅. ⇔ y 0 ≥ 0∀x ∈ R ⇔ −2≤m≤ 6 ∆ = 9(m + 2)2 + 24(m − 1)(m + 2) ≤ 0 33 Vậy m ∈ ∅. Chọn đáp án B  Câu 25. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số f 0 (x) như hình vẽ y bên. Hàm số g (x) = f (1 − 2x) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (−1; 0). C. (0; 1). B. (−∞; 0). D. (1; +∞). −1 O 1 2 4 x Lời giải. Ta có g 0 (x) = −2f 0 (1 − 2x). Để hàm số g (x) = f (1 − 2x) đồng biến suy ra g 0 (x) ≥ 0 hay −2f 0 (1 − 2x) ≥ 0 ⇔ f 0 (1 − 2x) ≤ 0.  ” x≥1 1 − 2x ≤ −1  Dựa vào đồ thị suy ra ⇔ 1 1 ≤ 1 − 2x ≤ 2 − ≤ x ≤ 0. 2 108 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).  Chọn đáp án D Câu 26. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R và có đạo hàm f 0 (x) thỏa mãn f 0 (x) = (1 − x)(x + 2)g(x) + 2018 với g(x) < 0, ∀x ∈ R. Hàm số y = f (1 − x) + 2018x + 2019 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (3; +∞). B. (−∞; 3). C. (1; +∞). D. (0; 3). Lời giải. Ta có y 0 = −f 0 (1 − x) + 2018 = −x(3 − x) · g(1 − x). " Suy ra y 0 ≤ 0 ⇔ −x(3 − x) · g(1 − x) ≤ 0 ⇔ x(3 − x) ≤ 0 ⇔ x≤0 x ≥ 3. (do g(1 − x) < 0 nên −g(1 − x) > 0, ∀x ∈ R). Vậy hàm số y = f (1 − x) + 2018x + 2019 nghịch biến trên (3; +∞).  Chọn đáp án A Câu 27. Cho hàm số y = −x3 − mx2 + (4m + 9)x + 5, với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến R? A. 6. B. 4. C. 7. D. 5. Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Ta có y 0 = −3m2 − 2mx + 4m + 9. Do phương trình y 0 = 0 có hữu hạn nghiệm nên hàm số nghịch biến trên R ⇔ y 0 < 0, ∀x ∈ R. ⇔ −3x2 − 2mx + 4m + 9 ≤ 0, ∀x ∈ R. ⇔ ∆0 = m2 + 12m + 27 ≤ 0 (do a = −3 < 0) ⇔ −9 ≤ m ≤ −3. Do m ∈ Z nên m ∈ {−9; −8; −7; −5; −4; −3}. Vậy có 7 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án C Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = mx + 4 nghịch biến trên x+m khoảng (−∞; 1)? A. −2 < m ≤ −1. B. −2 ≤ m ≤ −1. C. −2 ≤ m ≤ 2. D. −2 < m < 2. Lời giải. 2 m −4 Tập xác định D = R{−m}. Ta có y 0 = . (x + m)2 Để  hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) ⇔ y 0 < 0, ∀x ∈ (−∞; 1) m2 − 4 < 0 ⇔ ⇔ −2 < m ≤ −1. 1 ≤ −m Chọn đáp án A CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  109 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 29. Cho hàm số f (x) có f (2) = f (−2) = 0 và có x −∞ bảng xét dấu của đạo hàm như hình bên. Hàm số y0 2 y = [f (3 − x)] nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (2; 5). B. (1; +∞). −2 + 0 1 − C. (−2; −1). 0 +∞ 2 + 0 − D. (1; 2). Lời giải. Dựa vào bảng xét dấu f 0 (x) ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f (x) như sau x −∞ y0 −2 + 0 1 − 0 0 y +∞ 2 + 0 − 0 Từ đó suy ra f (x) ≤ 0, ∀x ∈ R. Đặt g(x) = [f (3 − x)]2 ⇒ g 0 (x) = −2f (3 − x)f 0 (3 − x).      −2 < 3 − x < 1  22 x<1 Nhận xét: Bài này đề ra không chính xác vì chọn được cả phương án A và C.  Chọn đáp án A 1 Câu 30. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 − (m − 1)x2 − 4mx đồng biến 3 trên đoạn [1; 4]. 1 1 A. m ∈ R. B. m ≤ . C. < m < 2. D. m ≤ 2. 2 2 Lời giải. Ta có y 0 = x2 − 2(m − 1)x − 4m. Hàm số đồng biến trên [1; 4] khi và chỉ khi y 0 ≥ 0, ∀x ∈ [1; 4] ⇔ x2 − 2(m − 1)x − 4m ≥ 0, ∀x ∈ [1; 4] ⇔ x2 + 2x ≥ 2m(x + 2), ∀x ∈ [1; 4] ⇔ x ≥ 2m, ∀x ∈ [1; 4] x ⇔ m ≤ , ∀x ∈ [1; 4] 2 1 ⇔m≤ . 2 Chọn đáp án B  Câu 31. 110 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Cho hàm số f (x) Đồ thị hàm số y = f 0 (x) như hình vẽ bên. Hàm số y g(x) = f (3 − 2x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? −2 A. (0; 2). C. (−∞; −1). B. (1; 3). O 5 x 2 D. (−l; +∞). Lời giải. Phương pháp Dựa vào đồ thị hàm số y = f 0 (x) suy ra tính đơn điệu của hàm số y = f (x) và chọn đáp án đúng. Cách giải: Ta có: " −2 0 ⇔ x>5 g 0 (x) = [f (3 − 2x)]0 = −2f 0 (3 − 2x) 1 ” 5 5 x < −1  Chọn đáp án C Câu 32. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới . Để đồ thị hàm y số h(x) = |f 2 (x) + f (x) + m| có số điểm cực trị ít nhất thì giá trị nhỏ nhất của tham số m = m0 . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: O A. m0 ∈ (0; 1). B. m0 ∈ (−1; 0). C. m0 ∈ (−∞; −1). 1 3 x D. m0 ∈ (1; +∞). Lời giải. Phương pháp Dựa vào đồ thị hàm số khảo sát sự biến thiên của hàm số f (x) sau đó xác định sự biến thiên của hàm số h(x) và chọn đáp án đúng. Cách giải: Xét hàm số: g(x) = f 2 (x) + f (x) + m ⇒ g 0 (x) = 2f (x).f 0 (x) + f 0 (x) = f 0 (x) [2f (x) + 1]  0 " 0 f (x) = 0 f (x) = 0 0  g (x) = 0 ⇔ ⇔ 1 2f (x) = −1 f (x) = − 2 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 111 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 "  x=1 f 0 (x) = 0 ⇔  x=3 Dựa vào đồ thị hàm số ta có:   1 f (x) = − ⇔ x = a (a < 0) 2  2  g(1) = f (1) + f (1) + m = m > m    2 ⇒ g(3) = f (3) + f (3) + m = m    g(a) = f 2 (a) + f (a) + m = m − 1 4 Ta có bảng biến thiên: x y0 −∞ a − 0 + +∞ 1 0 − 3 0 +∞ + +∞ g(1) y g(a) m Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số g(x) có 3 điểm cực trị. ò ï 1 1 2 2 ⇒ h(x) = |g(x)| = |f (x) + f (x) + m| = f (x) + +m− có điểm cực trị ít nhất là 3. 2 4 Đồ thị hàm số g(x) nằm phía trên trục Ox ( kể cả trường hợp tiếp xúc với Ox) 1 1 ⇒ m ≥ ⇒ x0 = 4 4  Chọn đáp án A Câu 33. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R là f 0 (x) = (x − 1)(x + 3). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−10; 20] để hàm số y = f (x2 + 3x − m) đồng biến trên khoảng (0; 2) ? A. 18. B. 17. C. 16. D. 20. Lời giải. Đặt g(x) = f (x2 + 3x − m), suy ra g 0 (x) = (2x + 1)f 0 (x2 + 3x − m). Hàm số đồng biến trên (0; 2) khi ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ g 0 (x) ≤ 0 với mọi x ∈ (0; 2)
(2x + 1)f 0 x2 + 3x − m ≤ 0 với mọi x ∈ (0; 2)
f 0 x2 + 3x − m ≤ 0 với mọi x ∈ (0; 2) ” 2 x + 3x − m ≤ −3 với mọi x ∈ (0; 2) x2 + 3x − m ≥ 1 ” 2 x + 3x + 3 ≤ m với mọi x ∈ (0; 2) x2 + 3x − 1 ≥ m ” m ≥ 13 m ≤ −1. 112 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Do m thuộc đoạn [−10; 20] nên có 18 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu đề bài.  Chọn đáp án A Câu 34. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = mx + 10 nghịch biến trên khoảng 2x + m (0; 2)? A. 4. B. 5. C. 6. D. 9. Lời giải.  m2 − 20 < 0 mx + 10 Hàm số y = nghịch biến trên khoảng (0; 2) ⇔ − m ∈ 2x + m / (0; 2) 2 √  √  √ √ − 20 < m < 20  − 20 < m < 20   " √    m " − 20 < m ≤ −4 − ≤0 ⇔ ⇔ ⇔ √ m ≥ 0 2    0 ≤ m < 20.      −m ≥2 m ≤ −4 2 Vậy m ∈ {−4; 0; 1; 2; 3; 4; }.  Chọn đáp án C m 3 1 x − (m − 1)x2 + 3(m − 2)x + , với m là tham số, đồng biến trên (2; +∞) thì 3 3 m thuộc tập nào sau đây? Ç å √ Å ã 2+ 6 2 A. m ∈ ; +∞ . B. m ∈ −∞; . 2 3 Ç √ å −2 − 6 C. m ∈ (−∞; −1). D. m ∈ −∞; . 2 Câu 35. Hàm số y = Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = R. Ta có y 0 = mx2 − 2(m − 1)x + 3(m − 2).  Với m = 0 ta được y 0 = 2x − 6 và y 0 > 0 khi x > 3. Vậy hàm số chỉ đồng biến trên khoảng (3; +∞). Do đó m = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Với m 6= 0, ta có ∆0y0 = (m − 1)2 − 3m(m − 2) = −2m2 + 4m + 1. ◦ Dễ thấy m < 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. ◦ Xét trường hợp m > 0. √ 2+ 6 Nếu ≤ 0 hay m ≥ thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên R, cho nên nó đồng 2 biến trên (2; +∞). √ 6 2 + Nếu ∆0y0 > 0 hay 0 < m < , gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình y 0 = 0, thì yêu 2 cầu bài toán thỏa mãn khi ∆0y0  √  6 2 +   0 0 ∀t ∈ [0; 1]. Ta có bảng biến thiên t f 0 (t) 0 1 + 1 f (t) −1 Từ bảng biến thiên, ta thấy phương trình (∗) có một nghiệm t ∈ [0; 1]. Nên phương trình đã cho có một nghiệm. (Chú ý: Ta có thể xét hàm số f (x) = x6 + x2 − 1 trên đoạn [0; 1]).  Chọn đáp án C Câu 37. Hàm số y = A. m < 1. x−2 đồng biến trên khoảng (0; +∞) khi x+m−3 B. m = 1. C. m ≥ 3. m−3+2 m−1 y0 = = . 2 (x + m − 3) (x + m − 3)2 D. m 6= 1. Lời giải. Hàm số đồng biến trên (0; +∞) khi và chỉ khi ( m−1>0 x=3−m∈ / (0; +∞) ⇔ m ≥ 3.  Chọn đáp án C √ √ √ Câu 38. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình 3 x − 1 − m x + 1 = 2 4 x2 − 1 có nghiệm là 1 1 1 1 A. m < − . B. − < m ≤ 1. C. − ≤ m < 1. D. − < m < 1. 3 3 3 3 Lời giải. 114 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Điều kiện x ≥ 1. √ √ … … √ √ √ 3 x − 1 2 4 x2 − 1 x−1 x−1 4 2 − √ =3 −24 . Ta có 3 x − 1 − m x + 1 = 2 x − 1 ⇔ m = √ x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 … x−1 x−1 2 2 x−1 Đặt t = 4 , (0 ≤ t < 1) , (vì =1− mà 0 < ≤ 1, ∀x ≥ 1 nên 0 ≤ < 1). x+1 x+1 x+1 x+1 x+1 1 Ta được m = 3t2 − 2t = f (t) , (0 ≤ t < 1); f 0 (t) = 6t − 2, f 0 (t) = 0 ⇔ t = . 3 Bảng biến thiên x 1 3 −∞ f 0 (t) − 0 +∞ + +∞ f (t) +∞ − 1 3 1 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm ⇔ − ≤ m < 1. 3 Chọn đáp án C  Câu 39. Cho hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (a, b). Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Hàm số y = f (x + 1) đồng biến trên khoảng (a; b). B. Hàm số y = −f (x) + 1 nghịch biến trên khoảng (a; b). C. Hàm số y = f (x) + 1 đồng biến trên khoảng (a; b). D. Hàm số y = −f (x) − 1 nghịch biến trên khoảng (a; b). Lời giải. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (a, b) nên f 0 (x) ≥ 0, ∀ x ∈ (a, b) và dấu bằng chỉ xảy ra hữu hạn điểm thuộc (a, b). Hàm số y = −f (x) + 1 và y = −f (x) − 1 có đạo hàm bằng f 0 (x) ≤ 0, ∀ x ∈ (a, b) nên hai hàm số trên nghịch biến trên (a, b). Hàm số y = f (x) + 1 có đạo hàm bằng f 0 (x) ≥ 0, ∀ x ∈ (a, b) nên hàm số đồng biến trên (a, b). Hàm số y = f (x + 1) đồng biến trên khoảng (a − 1; b − 1).  Chọn đáp án A √ Câu 40. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = 6 x2 − 6x + 12 + 6x − x2 − 4. Tính tích các nghiệm của phương trình f (x) = M . A. −6. B. 3. √ C. −3. D. 6. Lời giải. » x2 − 6x + 12 = (x − 3)2 + 3 ≥ 3 tìm GTLN của hàm số f (t) với t ≥ 3. Phương pháp: Đặt t = √ f (x) = 6 x2 − 6x + 12 + 6x − x2 − 4 Cách giải: . √ f (x) = 6 x2 − 6x + 12 − (x2 − 6x + 12) + 8 » √ 2 Đặt t = x − 6x + 12 = (x − 3)2 + 3 ≥ 3, khi đó ta có f (t) = −t2 + 6t + 8, ∀x ≥ 3. Ta có f 0 (t) = −2t + 6 = 0 ⇔ t = 3. BBT: CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 115 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x f (t) +∞ 3 0 − 17 f (t) −∞ ⇒ max f (t) = 17 ⇔ t = 3 ⇔ » [ 3;+∞) (x − 3)2 + 3 = 3 ⇔ x = 3 . ⇒ maxf (x) = 17 = M ⇔ x = 3 Vậy phương trình f (x) = M có nghiệm duy nhất x = 3, do đó tích các nghiệm của chúng bằng 3.  Chọn đáp án B Câu 41. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm y 0 = x2 − 3x + m2 + 5m + 6. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên (3; 5). A. m ∈ (−∞; −3) ∪ (−2; +∞). B. m ∈ (−∞; −3] ∪ [ −2; +∞). C. m ∈ [−3; −2]. D. Với mọi m ∈ R. Lời giải. Phương pháp: Hàm số đồng biến trên (a; b) ⇔ y 0 ≥ 0, ∀x ∈ (a; b). Cách giải: Hàm số y = f (x) đồng biến trên (3; 5) ⇔ y 0 > 0∀x ∈ (3; 5). ⇔ x2 − 3x + m2 + 5m + 6 ≥ 0, ∀x ∈ (3; 5) . ⇔ x2 − 3x ≥ −m2 − 5m − 6, ∀x ∈ (3; 5)(∗) Đặt g(x) = x2 − 3x. (∗) ⇔ g(x) ≥ −m2 − 5m − 6, ∀x ∈ (3; 5) ⇒ −m2 − 5m − 6 ≤ min g(x) (3;5) Khảo sát hàm số g(x) = x2 − 3x ta được: x −∞ 0 g (x) 3 2 − + 0 3 0 + +∞ 5 0 10 +∞ + +∞ 0 g(x) − 94 ” −m2 − 5m − 6 ≤ 0 ⇔ m2 + 5m + 6 ≥ 0 ⇔ m ≥ −2 m ≤ −3  Chọn đáp án B Câu 42. Gọi S là tập các giá trị nguyên của m sao cho hàm số y = x3 x2 +(m2 + 2018m − 1)· −2019m 3 2 tăng trên (−∞; −2018). Tổng tất cả các giá trị của tập hợp S là A. −2039189. B. −2039190. C. −2019. D. −2018. Lời giải. Tập xác định D = R. Ta có y 0 = x2 + (m2 + 2018m − 1) x. 116 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Để hàm số tăng trên khoảng (−∞; −2018) khi và chỉ khi y 0 ≥ 0, ∀x ∈ (−∞; −2018)
⇔ x2 + m2 + 2018m − 1 x ≥ 0, ∀x ∈ (−∞; −2018)
⇔ x ≤ − m2 + 2018m − 1 , ∀x ∈ (−∞; −2018) . Suy ra − (m2 + 2018m − 1) ≥ −2018 ⇔ −2019 ≤ m ≤ 1. Vậy tổng số các phần tử của tập hợp S là −2019 − 2018 − 2017 − · · · − 1 + 0 + 1 = (−2019 + 1) 2021 = −2039189. 2  Chọn đáp án A Câu 43. Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f 0 (x) có bảng biến thiên như sau: −∞ +∞ x y0 −2 +∞ 1 0 −1 −∞ Bất phương trình f (x) > 2x + m đúng với mọi x ∈ (−1; 1) khi và chỉ khi: 1 A. m > f (1) − 2. B. m ≤ f (1) − 2. C. m ≤ f (−1) − . 2 Lời giải. 1 D. m > f (−1) − . 2 Từ f (x) > 2x + m ⇔ f (x) − 2x > m . Đặt g(x) = f (x) − 2x ⇒ g 0 (x) = f 0 (x) − 2x ln 2 < 0, ∀x ∈ (−1, 1) vì theo bảng biến thiên f 0 (x) < 0, ∀x ∈ (−1, 1) và 2x ln 2 > 0. Khi đó g(x) > g(1) = f (1) − 2, ∀x ∈ (−1, 1) . Do đó bất phương trình f (x) > 2x + m, ∀x ∈ (−1; 1) ⇔ m ≤ g(1) = f (1) − 2.  Chọn đáp án B 1 Câu 44. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = − x3 + x2 + mx − 2019 nghịch 3 biến trên khoảng (0; +∞) là: A. m ≤ −1. B. m < −1. C. m > −1. D. m ≤ 1. Lời giải. Tập xác định D = R. Ta có y = −x + 2x + m. Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi và chỉ khi 0 2
y 0 ≤ 0, ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ m ≤ x2 − 2x, ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ m ≤ min x2 − 2x ⇔ m ≤ −1. (0;+∞)  Chọn đáp án A Câu 45. Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x y0 −∞ − −1 0 − 2 0 +∞ + Hàm số y = f (x2 − 2) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−2; −1). B. (2; +∞). C. (0; 2). D. (−1; 0). CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 117 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. 0 Từ bảng biến thiên ta thấy f (x) ≤ 0 ⇔ x ≤ 2; f 0 (x) ≥ 0 ⇔ x ≥ 2. Xét hàm số y = f (x2 − 2). 0 Ta có y 0 = [f (x2 − 2)] = 2x · f 0 (x2 − 2). ( 2x ≤ 0 
 f 0 x2 − 2 ≥ 0  y0 ≤ 0 ⇔  (  2x ≥ 0 
f 0 x2 − 2 ≤ 0 ( x≤0   x2 − 2 ≥ 2  ⇔ (  x≥0  x2 − 2 ≤ 2 ” ⇔ x ≤ −2 0 ≤ x ≤ 2. Vì vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −2); (0; 2).  Chọn đáp án C A. m ∈ (−∞; −4). mx + 16 đồng biến trên (0; +∞). x+m B. m ∈ (−∞; −4) ∪ (4; +∞). C. m ∈ [4; +∞). D. m ∈ (4; +∞). Câu 46. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = R {−m}. m2 − 16 . Yêu cầu bài toán tương đương với Hàm số đã cho có đạo hàm là y 0 = (x + m)2 ” m>4  ( 2   m − 16 > 0 ⇔ m < −4 ⇔ m > 4.  −m∈ / (0; +∞)   −m≤0  Chọn đáp án D 1 Câu 47. Cho hàm số y = − x3 + mx2 + (3m + 2) x − 5. Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm 3 số nghịch biến trên (−∞; +∞) là [a; b]. Khi đó a − 3b bằng A. 5. B. 1. C. 6. D. −1. Lời giải. Phương pháp: Hàm số bậc ba nghịch biến trên (−∞; +∞) khi và chỉ khi         a <0 .        ∆ ≤0 1 Cách giải: y = − x3 + mx2 + (3m + 2) x − 5 ⇒ y 0 = −x2 + 2mx + 3m + 2. 3 118 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Hàm số bậc ba nghịch biến trên (−∞; +∞) khi và chỉ khi ( −1 < 0 ∆≤0 ⇔ m2 + 3m + 2 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ −1 ⇒ a = −2, b = −1 ⇒ a − 3b = 1.  Chọn đáp án B Câu 48. Cho hàm số y = f (x) biết hàm số f (x) có đạo hàm f 0 (x) và hàm số y = f 0 (x) có đồ thị như hình vẽ. Đặt g(x) = f (x + 1). Kết luận nào sau đây là đúng? y O 1 2 3 4 5 x A. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (3; 4). B. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (0; 1). C. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (4; 6). D. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (2; +∞). Lời giải. Phương pháp: Xét dấu của g 0 (x) dựa vào dấu của f 0 (x). Cách giải: g (x) = f (x + 1) ⇒ g 0 (x) = f 0 (x + 1). Với x ∈ (0; 1) thì x + 1 ∈ (1; 2) , f 0 (x + 1) > 0, ∀x ∈ (0; 1) ⇒ g 0 (x) > 0, ∀x ∈ (0; 1).  Chọn đáp án B Câu 49 (2D1K1-4). Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Đặt g (x) = f (x2 ). Tìm số nghiệm của phương trình g 0 (x) = 0. A. 5. B. 4. C. 3. Lời giải. D. 2. y 3 2 1 0 −3 −2 −1O 0 1 2 3 4 x −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 119 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y Ta có g 0 (x) = 2x · f 0 (x);  x=0 ” ”  x = 0 x=0 ” g 0 (x) = 0 ⇔ 2x · f 0 (x) = 0 ⇔ ⇔ ⇔ . x = 0  f 0 (x) = 0 x=c x=c (với 2 < c < 3 được biểu diễn bởi hình vẽ trên) Vậy, phương trình g 0 (x) = 0 có 2 nghiệm. Chọn đáp án D 3 2 1 c 0 −3 −2 −1O 0 1 2 3 4 x −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7  Câu 50. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f (x3 − 3x) = m có 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−1; 2]? y 6 5 4 3 2 1 −2 −1 O 1 2 3 x −1 −2 A. 2. B. 6. C. 3. D. 7. Lời giải. Đặt t = g (x) = x3 − 3x, x ∈ [−1; 2] " x=1 g 0 (x) = 3x2 − 3 = 0 ⇔ x = −1 Bảng biến thiên của hàm số g (x) trên [−1; 2] 120 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x g (x) −1 0 1 0 − 2 + 2 2 g(x) −2 Suy ra Với t = −2, có 1 giá trị của x thuộc đoạn [−1; 2]. t ∈ (−2; 2], có 2 giá trị của x thuộc đoạn [−1; 2]. Phương trình f (x3 − 3x) = m có 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−1; 2] khi và chỉ khi phương trình f (t) = m có 3 nghiệm phân biệt thuộc (−2; 2]. (1) Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) và m nguyên ta có hai giá trị của m thỏa mãn điều kiện (1) là: m = 0, m = −1.  Chọn đáp án A Câu 51. Cho hàm số f (x) liên tục trên R có f (0) = 0 và đồ thị hàm số y = f 0 (x) như hình vẽ bên. y 4 1 O 1 2 3 x Hàm số y = |3f (x) − x3 | đồng biến trên khoảng A. (2; +∞). B. (−∞; 2). C. (0; 2). D. (0; 2). Lời giải. Đặt g(x) = 3f (x) − x3 . Hàm số ban đầu có dạng y = |g(x)|.  x=0  Ta có g 0 (x) = 3f 0 (x) − 3x2 . Cho g 0 (x) = 0 ⇔  x = 1 . x=2 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 121 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y 4 3 2 1 −2 −1 O 1 2 x 3 Dễ thấy g(0) = 0. Ta có bảng biến thiên x −∞ g 0 (x) 0 − 1 + 0 + 0 2 a 0 − +∞ +∞ +∞ y = |g(x)| y=0 0 0 −∞ Dựa vào BBT suy ra hàm số y = |g(x)| đồng biến trên khoảng (0; 2) và (a; +∞) với g(a) = 0.  Chọn đáp án C x−1 đồng biến trên khoảng (0; +∞). x+m C. (0; +∞). D. [−1; +∞). Câu 52. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = A. (−1; +∞). B. [0; +∞). Lời giải. m+1 . Tập xác định D = R {−m}, y = 2 (x + m)( −m≤0 Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) ⇔ ⇔ m ≥ 0. m+1>0 0  Chọn đáp án B mx3 + 7mx2 + 14x − m + 2 Câu 53. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 3 nghịchÅbiến trên [1; +∞)? ã Å ò ï ò ï ã 14 14 14 14 A. −∞; − . B. −∞; − . C. −2; − . D. − ; +∞ . 15 15 15 15 Lời giải. Tập xác định : D = R. Ta có y 0 = mx2 + 14mx + 14 = m(x2 + 14x) + 14. mx3 Hàm số y = + 7mx2 + 14x − m + 2 nghịch biến trên [1; +∞) 3 ⇔ y 0 ≤ 0, ∀x ∈ [1; +∞) ⇔ m(x2 + 14x) + 14 ≤ 0, ∀x ∈ [1; +∞)
14 vì x2 + 14x > 0, ∀x ∈ [1; +∞) ⇔ m≤− 2 x + 14x 122 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em (∗) Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Xét hàm số g(x) = − x2 Kỳ thi THQG 2020 14 trên nửa khoảng [1; +∞). Ta có + 14x g 0 (x) = 14(2x + 14) > 0, ∀x ∈ [1; +∞) . (x2 + 14x)2 Bảng biến thiên x y0 +∞ 1 + 0 y − 14 15 Dựa vào bảng biến thiên ta có (∗) ⇔ m ≤ − 14 . 15  Chọn đáp án B Câu 54. Tính số giá trị nguyên của tham số m trên khoảng (−2019; 2019) để hàm số y = x4 − 2mx2 − 3m + 1 đồng biến trên khoảng (1; 2). A. 2020. B. 2. C. 2019. D. 1. Lời giải. Xét hàm số y = x4 − 2mx2 − 3m + 1. Ta có y 0 = 4×3 − 4mx. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2) ⇔ y 0 ≥ 0, ∀x ∈ (1; 2) ⇔ 4×3 − 4mx ≥ 0, ∀x ∈ (1; 2). ⇔ x2 − m ≥ 0, ∀x ∈ (1; 2) ⇔ x2 ≥ m, ∀x ∈ (1; 2). Mà x2 > 1, ∀x ∈ (1; 2). Do đó m ≤ 1. Lại có m ∈ (−2019; 2019) và m ∈ Z nên m ∈ {−2018; −2017; . . . ; −1; 0; 1}. Vậy có 2020 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án A Câu 55. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − mx2 + 3x − 2 đồng biến trên R là A. (−3; 3). Å B. [−3; 3]. C. ã 3 3 ; . 2 2 ï D. ò 3 3 ; . 2 2 Lời giải. Ta có: y 0 = 3×2 − 2mx + 3. Hàm số đã cho đồng biến trên R ⇔ y 0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆0 ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ m2 − 9 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ m ≤ 3. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 123 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Chú ý: Chỉ kết luận ∆0 > 0 là chưa đủ, học sinh có thể thử lại khi m = ±3 để chắc chắn.  Chọn đáp án B Câu 56. Tìm các giá trị thực của tham số m hàm số f (x) = x3 + 3×2 − (m2 − 3m + 2) x + 5 đồng biến trên khoảng (0; 2). A. 1 < m < 2. C. 1 ≤ m ≤ 2. B. m < 1, m > 2. D. m ≤ 1, m ≥ 2. Lời giải. Tập xác định của D = R. Ta có f 0 (x) = 3×2 + 6x − (m2 − 3m + 2). Để hàm số f (x) = x3 + 3×2 − (m2 − 3m + 2) x + 5 đồng biến trên khoảng (0; 2) khi f 0 (x) ≥ 0 với mọi x ∈ (0; 2) và dấu đẳng thức xảy ra tại hữu hạn điểm. Suy ra 3×2 + 6x − (m2 − 3m + 2) ≥ 0, ∀x ∈ (0; 2) ⇔ 3×2 + 6x ≥ (m2 − 3m + 2) , ∀x ∈ (0; 2). Xét hàm số g (x) = 3×2 + 6x trên (0; 2). Ta có bảng biến thiên x 0 2 24 g(x) 0 Dựa vào bảng biến thiên suy ra m2 − 3m + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ m ≤ 2.  Chọn đáp án C Câu 57. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − mx2 − (m − 6)x + 1 đồng biến trên khoảng (0; 4). A. (−∞; 6]. B. (−∞; 3). C. (−∞; 3]. D. [3; 6]. Lời giải. Hàm số y = x3 − mx2 − (m − 6)x + 1 đồng biến trên (0; 4) khi và chỉ khi y 0 ≥ 0, ∀x ∈ (0; 4). 3×2 + 6 ⇔ 3×2 − 2mx − (m − 6) ≥ 0, ∀x ∈ (0; 4) ⇔ m ≤ , ∀x ∈ (0; 4). 2x + 1 3×2 + 6 6×2 + 6x − 12 Xét hàm số f (x) = , với x ∈ [0; 4] ta có f 0 (x) = . 2x + 1 (2x + 1)2 f 0 (x) = 0 ⇒ x = 1 ∈ [0; 4]. Ta có: f (0) = f (4) = 6; f (1) = 3 ⇒ min f (x) = 3 và max f (x) = 6. x∈[0;4] x∈[0;4] Từ đó suy ra m ≤ min f (x) ⇒ m ≤ 3. x∈[0;4] Chọn đáp án C  Câu 58. 124 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị y = f 0 (x) trên R như hình vẽ (trên R thì đồ thị y = f 0 (x) là một nét liền và chỉ có 4 điểm chung với Ox tại các điểm có hoành độ lần lượt là −1, 1, 2, 4). Đặt g(x) = f (1 − x). Chọn khẳng định đúng: −1 1 2 4 x O A. g(x) đồng biến trên (−3; 0). B. g(x) đồng biến trên (−4; −3). C. g(x) nghịch biến trên (−1; 0). D. g(x) đồng biến trên (−4; −3) và (0; 2). Lời giải. Ta có g 0 (x) = −f 0 (1 − x).   1 − x < −1 x>2     g 0 (x) > 0 ⇔ f 0 (1 − x) < 0 ⇔  1 < 1 − x < 2 ⇔  − 1 < x < 0 1−x>4 x < −3. Hàm số đồng biến trên khoảng " (−∞; −3), (−1; 0), (2; " +∞). −1<1−x<1 0 0 ⇔ ⇔ 2<1−x<4 − 3 < x < −1. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2), (−3; −1). Ta thấy hàm số g(x) đồng biến trong khoảng (−4; −3).  Chọn đáp án B Câu 59. Cho phương trình 2x2 − 2(m + 1)x + 4 − m = 0 với m là tham số thực. Biết rằng ï đoạn ò [a; b] 3 là tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm thực thuộc đoạn 0; . Tính 2 a + b. √ √ √ √ A. 3 + 11. B. 2 + 11. C. 2 + 3 11. D. 2 − 11. Lời giải. ò 3 Trên đoạn 0; , phương trình tương đương với 2 ï 2x2 − 2x + 4 m= . 2x + 1 ï ò 3 2x2 − 2x + 4 Xét hàm số f (x) = , trên đoạn 0; . Ta có 2x + 1 2 f 0 (x) = (4x − 2)(2x + 1) − 2(2x2 − 2x + 4) 4x2 + 4x − 10 = ; (2x + 1)2 (2x + 1)2 √ ï ò −1 − 11 3 ∈ / 0; x = 2 2  0 2 √ f (x) = 0 ⇔ 4x + 4x − 10 = 0 ⇔  ï ò.  −1 + 11 3 x= ∈ 0; 2 2  Bảng biến thiên CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 125 Tuyển tập Toán 12 THPT x Kỳ thi THQG 2020 √ −1 + 11 2 0 f 0 (x) − 3 2 + 0 4 11 8 f (x) −2 + √ 11 ï ò √ 3 Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm trên đoạn 0; khi −2 + 11 ≤ m ≤ 4. 2 √ Do đó a + b = 2 + 11.  Chọn đáp án B Câu 60. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4x √ 8) 4x − m có hai nghiệm thực phân biệt? A. 4. B. 5. √ C. 8.
4x − m − 2 = x3 + (m − D. 6. Lời giải. Điều kiện: 4x − m ≥ 0.
√ √ √ √ Ta có: 4x 4x − m − 2 = x3 + (m − 8) 4x − m ⇔ x3 + 8x = 4x 4x − m − (m − 8) 4x − m.
3 √ √ √ ⇔ x3 + 8x = 4x − m(4x − m + 8) ⇔ x3 + 8x = 4x − m + 8 4x − m (1). Từ (1) suy ra x ≥ 0. Xét hàm số f (t) = t3 + 8t trên [0; +∞) ta có: f 0 (t) = 3t2 + 8 > 0, ∀t ≥ 0, suy ra f (t) đồng biến trên ( [0; +∞). x≥0
√ √ Do đó (1) ⇔ f (x) = f 4x − m ⇔ x = 4x − m ⇔ . x2 − 4x + m = 0 (2) Phương trình (1) có hai nghiệm phân( biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt 4−m>0 không âm, điều này tương đương với ⇔ 0 ≤ m < 4. m≥0 Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án A Câu 61. y Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f 0 (x) có đồ thị như hình vẽ sau. Hàm số y = f (x2 ) đồng biến trên khoảng y = f 0 (x) A. (−2; +∞). B. (−1; 1). C. (1; 2). D. (−2; −1). −1 1 O 4 x Lời giải. 126 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  x=0  x = 0 2 Ta có y 0 = 2xf 0 (x2 ) ⇒ y 0 = 0 ⇔ ⇔ x = 1 0 2 f (x ) = 0 x2 = 4. ( ( x ≥ 0 x≤0 Để hàm số nghịch biến thì y 0 ≤ 0 ⇔ hoặc f 0 (x2 ) ≤ 0 f 0 (x2 ) ≥ 0. ( ( x≥0 x≥0 Ta có ⇔ ⇔ 1 ≤ x ≤ 2. f 0 (x2 ) ≤ 0 1 ≤ x2 ≤ 4 ( ( ( x≤0 x≤0 x≤0 và ⇔ hoặc ⇔ x ≤ −2 hoặc −1 ≤ x ≤ 0. f 0 (x2 ) ≥ 0 0 ≤ x2 ≤ 1 x2 ≥ 4 "  Chọn đáp án C Câu 62. Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số y = −(m2 − 1)x3 − (m − 1)x2 + x − 7 đồng biến trên khoảng (−∞; +∞)? A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải. 0 2 2  Ta có y = −3 (m − 1) x − 2(m − 1)x + 1. YCBT⇔ y 0 ≥ 0, ∀x ∈ (−∞; +∞).  TH 1: a = 0 ⇔ m = ±1. • Với m = 1 ⇒ y 0 = 1 > 0, ∀x ∈ (−∞; +∞) ⇒ m = 1 (nhận). • Với m = −1 ⇒ y 0 = 4x + 1 > 0, ∀x ∈ (−∞; +∞)(sai)⇒ m = −1 (loại).  TH 2: a 6= 0 ⇔ m 6= ±1.  ( (
2 −10 −3 m −1 >0 1 ⇔ − ≤ m ≤ 1. YCBT⇔ ⇔ ⇔ 1 −− ≤m≤1 2 ∆≤0 16m2 − 8m + −8 ≤ 0 2 1  Vậy − < m ≤ 1 ⇒ m = 1. 2 Chọn đáp án A  Câu 63. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ y0 +∞ 1 + + +∞ −1 y −1 −∞ Số nghiệm của phương trình f (x) − x2 + 2x − 1 = 0 là A. vô số. B. 0. C. 2. D. 1. Lời giải. 2 Ta có f (x) − x + 2x − 1 = 0 ⇔ f (x) = (x − 1)2 . (1) Với x > 1 thì f (x) < 0 mà (x − 1)2 ≥ 0 nên phương trình (1) không có nghiệm x > 1. Với x < 1 thì hàm số g(x) = f (x) − x2 + 2x − 1 có đạo hàm g 0 (x) = f 0 (x) − 2x + 2 > 0 nên g(x) là hàm số đồng biến và liên tục trên (−∞; 1). Lại có lim g(x) = −∞; lim− g(x) = +∞ nên phương trình có x→−∞ x→1 một nghiệm duy nhất trên (−∞; 1). CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 127 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Chọn đáp án D x+1 , với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m x−m nhỏ hơn 2 để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (2; 3)? Câu 64. Cho hàm số y = A. 3. B. 4. C. 1. D. 2. Lời giải. Tập xác định của hàm số đã cho là D = R {m}. −m − 1 Ta có y 0 = , ∀x ∈ D. (x − m)2  −m−1<0  ( 0 "  " y < 0 ∀x ∈ (2; 3) −1 0 ⇔ m ≥ −x − , ∀x > 0 ⇔ m ≥ max −x − . x>0 x x … 1 1 1 1 Mặt khác, với x > 0, theo bất đẳng thức Cauchy ta có x2 + + ≥ 3 3 x2 · · = 3. x x x x ß ™ 2 2 Suy ra max −x2 − = −3 ( vì với x ∈ (0; +∞) thì −x2 − < 0). x>0 x x Suy ra m ≥ −3.  Chọn đáp án B Câu 66. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − 3mx2 − 9m2 x nghịch biến trên (0; 1). 1 A. m > . 3 1 C. m ≥ hoặc m ≤ −1. 3 B. m < −1. 1 D. −1 < m < . 3 Lời giải. " x = −m Ta có y 0 = 3x2 − 6mx − 9m2 = 3(x + m)(x − 3m) = 0 ⇔ x = 3m.  Nếu m = 0 thì y 0 = 3x2 > 0, ∀x ∈ (0; 1), nên hàm số đồng biến trên (0; 1). Do đó m = 0 không thỏa mãn.  Nếu m < 0 thì y 0 ≤ 0, ∀x ∈ [3m; −m]. Do đó, hàm số nghịch biến trên (0; 1) khi và chỉ khi 3m ≤ 0 < 1 ≤ −m ⇒ m ≤ −1.  Nếu m > 0 thì y 0 ≤ 0, ∀x ∈ [−m; 3m]. Do đó, hàm số nghịch biến trên (0; 1) khi và chỉ khi 1 −m ≤ 0 < 1 ≤ 3m ⇒ m ≥ . 3 128 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 1 hoặc m ≤ −1. 3 Chọn đáp án C  Vậy: m ≥ Câu 67. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = mx + 10 nghịch biến trên 2x + m khoảng (0; 2)? A. 6. B. 5. C. 9. D. 4. Lời giải.  m  m2 − 20 0 Ta có tập xác định D = −∞; − ∪ − ; +∞ và đạo hàm y = . 2 2 (2x + m)2 Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) khi và chỉ khi m   m "  2≤− m ≤ −4   " √   2   − 2 5 < m ≤ −4 m ⇔ ⇔ ⇔ m≥0 √ ≤ 0 −   2 5. y 0 < 0, ∀x ∈ D 0 ≤ m < 2   √ √    2 − 2 5 < m < 2 5 m − 20 < 0 ( (0; 2) ⊂ D Vậy có 6 giá trị nguyên của m là {−4; 0; 1; 2; 3; 4}.  Chọn đáp án A Câu 68. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x3 + (m + 2)x2 + 3x − 3 đồng biến trên khoảng (−∞; +∞)? A. 6. B. 7. C. 8. D. 5. Lời giải. y 0 = 3x2 + 2(m + 2)x + 3. YCBT tương đương với y 0 ≥ 0, ∀x ∈ R. Ta có y 0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆0 ≤ 0 ⇔ (m + 2)2 − 9 ≤ 0 ⇔ −5 ≤ m ≤ 1. Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn YCBT.  Chọn đáp án B Câu 69. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = mx + 4 giảm trên khoảng x+m (−∞; 1)? A. 2. C. 1. B. Vô số. D. 0. Lời giải. Điều kiện xác định x 6= −m. m2 − 4 y0 = · (x + m)2 Hàm số giảm trên khoảng (−∞; 1) khi ( 0 y < 0, ∀x ∈ (−∞; 1) −m∈ / (−∞; 1) ⇔ ( 2 m −4<0 −m≥1 ( ⇔ −2 0) x ⇔ ≤ m, ∀x ∈ (0; 1) 2 1 ⇔m≥ . 2 Chọn đáp án A CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  131 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 75. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = (m − 1)x3 − 3(m − 1)x2 + 3x + 2 đồng biến trên R A. 1 < m ≤ 2. C. 1 ≤ m ≤ 2. B. 1 < m < 2. D. 1 ≤ m < 2. Lời giải. 0 2 y = 3(m − 1)x − 6(m − 1)x + 3  m = 1, y 0 = 3 > 0  m= 6 1 ycbt ⇔ ( m−1>0 ∆0 = 9(m − 1)2 − 3(m − 1) · 3 ≤ 0 ⇔ 1 < m ≤ 2. Vậy 1 ≤ m ≤ 2.  Chọn đáp án C Câu 76. Cho hàm số y = −x3 − mx2 + (4m + 9)x + 5, với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên (−∞; +∞)? A. 5. B. 6. C. 7 . D. 4. Lời giải. Hàm số y = −x3 − mx2 + (4m + 9)x + 5 là hàm bậc 3 có hệ số a = −1 < 0 nên điều kiện cần và đủ để y = −x3 − mx2 + (4m + 9)x + 5 nghịch biến trên (−∞; +∞) là y 0 = −3x2 − 2mx + 4m + 9 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆0 = m2 + 12m + 27 ≤ 0 ⇔ −9 ≤ m ≤ −3  Chọn đáp án C Câu 77. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Bảng biến thiên của hàm số y = f 0 (x) được cho như hình vẽ dưới đây. x −1 0 1 2 3 f 0 (x) 3 4 1 2 −1 x + x nghịch biến trên khoảng Hàm số y = f 1 − 2 A. (2; 4). B. (0; 2). C. (−2; 0).  D. (−4; −2). Lời giải. Từ bảng biến thiên suy ra phương trình f 0 (x) = 2 có hai nghiệm phân biệt là x = 2 và x = a với −1 < a < 0.  x 1 0 x 0 Đặt g(x) = f 1 − + x thì g (x) = − f 1 − + 1. 2 2 2  x Ta có g 0 (x) < 0 ⇔ f 0 1 − > 2. 2   x x  f0 1 − > 2 ⇒ 2 < 1 − < 3 ⇔ −4 < x < −2. 2 2  x x 0  f 1− > 2 ⇒ −1 < 1 − < a ⇔ 2 − 2a < x < 4. 2 2 Vì −1 < a < 0 nên 2 < 2 − 2a < 4. Do đó (2 − 2a; 4) ⊂ (2; 4). 132 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  x Vậy hàm số y = f 1 − + x nghịch biến trên (−4; −2). 2 Chọn đáp án D  1 Câu 78. Có bao nhiêu số nguyên của tham số m trên đoạn [−1; 5] để hàm số y = x3 − x2 + mx + 1 3 đồng biến trên khoảng (−∞; +∞)? A. 7. B. 6. C. 5. D. 4. Lời giải. Tập xác định: D = R. Ta có y = x − 2x + m. 0 2 Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞) ⇔ y 0 ≥ 0, ∀x ∈ (−∞; +∞). Yêu cầu bài toán tương đương ∆y0 ≤ 0 ⇔ 4 − 4m ≤ 0 ⇔ m ≥ 1. Mặt khác, do m ∈ Z và m ∈ [−1; 5] nên suy ra m ∈ {1; 2; 3; 4; 5}. Vậy có 5 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án C 1 Câu 79. Tìm m để hàm số y = x3 + mx + 2 ln x đồng biến trên (0; +∞). 3 A. m ≤ −3. B. m ≥ −3. C. m ≥ 3. D. m ≤ 3. Lời giải. 2 Ta có y 0 = x2 + m + . x ß ™ 2 2 2 0 2 . Yêu cầu bài toán ⇔ y ≥ 0, ∀x > 0 ⇔ m ≥ −x − , ∀x > 0 ⇔ m ≥ max −x − x>0 x x … 1 1 1 1 Mặt khác, với x > 0, theo bất đẳng thức Cauchy ta có x2 + + ≥ 3 3 x2 · · = 3. x x x x ß ™ 2 Suy ra max −x2 − = −3. Suy ra m ≥ −3. x>0 x Chọn đáp án B Câu 80. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y =  x2 − mx + ln (x − 1) đồng 2 biến trên khoảng (1; +∞)? A. 2. B. 4. C. 3. D. 1. Lời giải. TXĐ: D = (1; +∞). Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞) khi và chỉ khi y 0 ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞). 1 Ta có x + ≥ m, ∀x ∈ (1; +∞). x−1 x2 − 2x 1 1 0 Xét hàm g(x) = x + (x > 1), g (x) = 1 − = . x−1 (x − 1)2 (x − 1)2 x 1 g 0 (x) +∞ 2 − 0 +∞ + +∞ g(x) 3 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 133 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Vậy điều kiện của m là m ≤ 3.  Chọn đáp án C π π  cot x − 2 nghịch biến trên khoảng ; . Câu 81. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = cot x − m 4 2 ” m≤0 A. m > 2. B. . C. 1 ≤ m < 2. D. m ≤ 0. 1≤m<2 Lời giải. m − 2 . Ta có y 0 = sin2 x(cot x − m)2 π π  Hàm số nghịch biến trên khoảng ; khi và chỉ khi 4 2  ( " m − 2 < 0 π π  m < 2 m≤0 π π  ⇔ ; ⇔ y 0 < 0 ∀x ∈ ⇔ .  cot x − m 6= 0 ∀x ∈ 4 2 ; m∈ / (0; 1) 1≤m<2 4 2  Chọn đáp án B Câu 82. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số y = 1 3 x − mx2 + (8 − 2m)x + m + 3 đồng 3 biến trên R. B. m = −2. A. m = 2. C. m = 4. D. m = −4. Lời giải. Ta có y 0 = x2 − 2mx + 8 − 2m, hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi y 0 ≥ 0∀x ∈ R ⇔ ∆0 = m2 + 2m − 8 ≤ 0 ⇔ −4 ≤ m ≤ 2. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của m để hàm số đã cho đồng biến trên R là m = 2.  Chọn đáp án A Câu 83. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = x3 − 2mx2 − (m2 − 5m + 6)x + m + 1 đồng biến trên trên (−∞; 0). A. 0. B. 1. C. Vô số. D. 3. Lời giải. 0 2 2 Ta có y = 3x − 4mx − (m − 5m + 6). ∆ = 7m2 − 15m + 18 > 0 với mọi m Gọi x1 , x2 là hai nghiệm 0 của ( y = 0. Do đó(để hàm số đồng biến trên (−∞; 0) thì x1 + x2 > 0 m>0 ⇔ ⇔ m ∈ (2; 3). x1 x2 > 0 m2 − 5m + 6 < 0 Vậy không tồn tại m nguyên thỏa mãn đề bài.  Chọn đáp án A Câu 84. Cho hàm số y = (2m − 1)x − (3m + 2) cos x. Gọi X là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao cho hàm số đã cho nghịch biến trên R. Tổng giá trị tất cả các phần tử của X bằng A. 6. B. −6. C. −3. D. 0. Lời giải. 134 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 TXĐ: D = R. y 0 = (2m − 1) + (3m + 2) sin x. Để hàm số nghịch biến trên R thì: y 0 ≤ 0, ∀x ∈ D ⇔ m (2 + 3 sin x) ≤ 1 − 2 sin x Đặt t = sin x. Điều kiện −1 ≤ t ≤ 1. Bất phương trình trở thành : m(2 + 3t) ≤ 1 − 2t 2 Trường hợp 1: t = − . Bất phương trình (1) luôn đúng. 3 2 1 − 2t Trường hợp 2: t < − ⇒ m ≥ = g(t) 3 ã ï 2 + 3t −7 2 g 0 (t) = < 0, ∀t ∈ −1; − . 2 (3t + 2) 3 g(−1) = −3; lim − = −∞ ⇒ m ≥ −3 (2) x→−( 23 ) 2 1 − 2t Trường hợp 3: t > − ⇒ m ≤ = g(t) 3 ã ï 2 + 3t −7 2 . g 0 (t) = < 0, ∀t ∈ −1; − (3t + 2)2 3 1 g(−1) = −3; lim + = +∞ ⇒ m ≤ − (3) 5 x→−( 23 ) 1 Từ (2) và (3) suy ra −3 ≤ m ≤ − . Mà m ∈ Z nên m ∈ {−3; −2; −1}. 5 Tổng các giá trị của m là −6. (1)  Chọn đáp án B Ä Ä √ äx 2 √ äx 2 2 Câu 85. Số giá trị nguyên của tham số thực m để phương trình 7 − 3 5 + m 7 + 3 5 = 2x −1 có đúng hai nghiệm thực phân biệt là A. 2. B. 5. C. 3. D. 1. Lời giải. Ç x2 Ç √ åx2 √ åx2 7−3 5 7+3 5 1 +m = 2 2 2 Chia cả hai vế của phương trình cho 2 ta được: √ √ √ 7−3 5 7+3 5 7+3 5 1 √ . Ta có · =1⇔ = 2 2 2 7−3 5 2 Ç √ åx2 7−3 5 Đặt t = . Điều kiện 0 < t ≤ 1. 2 Ç √ åx2 7+3 5 1 Lúc đó ⇒ = . 2 t m 1 1 Phương trình (1) tương đương với t + = ⇔ m = t − t2 = f (t). t 2 2 1 1 0 0 f (t) = − 2t ⇒ f (t) = 0 ⇔ t = . 2 4 Ta có bảng biến thiên sau: (1) CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 135 Tuyển tập Toán 12 THPT t Kỳ thi THQG 2020 1 4 0 f 0 (t) + 0 1 − 1 16 f (t) − 0 1 2 Với mỗi giá trị của t 6= 1, t > 0 thì phương trình sẽ có 2 nghiệmcủa x. 1 m=  16   Như vậy để phương trình có đúng 2 nghiệm thực phân biệt thì  m ≤ 0 .  m ≥ − 1 2 Do m nguyên nên m = 0. Œ 1 ln 2√ . Thử lại: Khi m = 0 thì phương trình có hai nghiệm x = ± 7−3 5 ln 2 Chọn đáp án D  π Câu 86. Gọi K là tập hợp tât cả các giá trị của tham số m để phương trình sin 2x+ 2 sin(x+ )−2 = m 4 Å ã 3π có đúng hai nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng 0; . K là tập con của tập hợp nào sau đây? 4 Ç ñ √ å √ å  π Ä √ ä √ 2 2 √ A. 0; . B. 1 − 2; 2 . C. − 2; . D. − ; 2 . 2 2 2 Lời giải. √ Ta có: √ π 2 sin(x + ) − 2 = m 4 √ π 2 2 ⇔ sin x + cos x + 2 sin x cos x + 2 sin(x + ) − 3 = m 4 √ π 2 ⇔ (sin x + cos x) − 2 sin(x + ) − 3 = m 4 √ π 2 √ π ⇔ 2 sin(x + ) + 2 sin(x + ) − 3 = m (1) 4 4 sin 2x + √ π 2 sin(x + ). Å4 ã  3π π  π  Điều kiện: Do x ∈ 0; ⇒ x+ ∈ ;π . 4 4 4Å ã  π 3π Xét đồ thị hàm số y = sin x + với x ∈ 0; . 4 4 Đặt t = √ y 2 1 O −1 π 4 136 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em π 2 y = sin x 3π x 4 Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 √ Å ã 3π Từ đồ thị ta thấy: Với mỗi giá trị của t mà 1 < t < 2 thì sẽ có 2 giá trị của x ∈ 0; thỏa mãn 4 Å ã  √ 3π π . Với mỗi giá trị của t mà 0 < t ≤ 1 thì sẽ có một giá trị của x ∈ 0; hoặc t = 2 t = sin x + 4 4  π thỏa mãn thỏa mãn t = sin x + . 4 Phương trình (1) tương đương với : f (t) = t2 + t − 3 = m. Ä √ ó Ä √ ó f 0 (t) = 2t + 1 > 0, ∀t ∈ 0; 2 Suy ra f (t) là hàm đồng biến trên 0; 2 Ta có bảng biến thiên của hàm f (t) như sau: t √ 2 0 f 0 (t) + √ 2−1 f (t) −3 Phương trình m = f (t) chỉ có 1 nghiệm duy nhất. Ä √ ä √ √ Để phương trình có đúng 2 nghiệm thì t ∈ 1; 2 ⇔ f (1) < m < f ( 2) ⇔ −1 < m < 2 − 1. Ç √ å √ 2 . Vậy tập hợp của m là tập con của − 2; 2 Chọn đáp án C Câu 87. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên. Tìm mệnh đề sai trong  y các mệnh đề sau A. Hàm số nghịch biến trong khoảng (x1 ; x2 ). B. f 0 (x) > 0, ∀x ∈ (x2 ; b). C. Hàm số nghịch biến trong khoảng (a; x2 ). D. f 0 (x) < 0, ∀x ∈ (a; x2 ). O a x1 x2 b x Lời giải. Tại x1 tiếp tuyến song song với trục hoành nên f 0 (x1 ) = 0. Suy ra khẳng định sai là f 0 (x) < 0, ∀x ∈ (a; x2 ).  Chọn đáp án D Câu 88. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = −x3 − mx + (0; +∞). 15 15 15 ≤ m ≤ 0. C. m ≥ − . D. − < m ≤ 0. 4 4 4 Lời giải. 3 3 Ta cần có y 0 ≤ 0, ∀x > 0 ⇔ −3×2 − 8 − m ≤ 0, ∀x > 0 ⇔ m ≥ −3×2 − 8 , ∀x > 0 4x 4x 3 2 Như vậy m ≥ max f (x) với f (x) = −3x − 8 . x>0 4x 6 15 15 0 Ta có f (x) = 9 − 6x = 0 ⇔ x = 1. Nên max f (x) = − . Vậy m ≥ − . x>0 x 4 4 A. m ≤ − 15 . 4 3 nghịch biến trên 28×7 B. − CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 137 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Chọn đáp án C Câu 89. y Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R thỏa f (2) = f (−2) = 0 và đồ thị của hàm số y = f 0 (x) có dạng như hình bên. Hàm số y = (f (x))2 nghịch biến trên khoảng nào trong cácÅkhoảng ã sau 3 . C. (−1; 1). D. (−2; −1). A. (1; 2). B. −1; 2 Lời giải. −2 −1 1 O 2 3 x 2 Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số f (x) −∞ x f 0 (x) −2 + 0 1 − +∞ 2 + 0 0 0 − 0 f (x) f (1) −∞ −∞ Suy ra f (x) ≤ 0 với mọi x và f (x) = 0 ⇔ x = ±2. Ta có y 0 = 2f 0 (x).f (x). Dấu của y 0 chính là dấu của −f 0 (x). Do đó ta có y 0 < 0 ⇔ x < −2 hoặc 1 < x < 2.  Chọn đáp án A Câu 90. Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số y = (0; π) A. 2. B. 3. 1 cos3 x − 4 cot x − (m + 1) cos x đồng biến trên 3 C. 5. D. vô số. Lời giải. Ta có y 0 = − sin x. cos2 x + 4 4 + (m + 1) sin x = sin3 x + + m sin x. 2 sin x sin2 x Hàm số đồng biến trên khoảng (0; π) khi và chỉ khi y 0 ≥ 0 ∀x ∈ (0; π), hay sin3 x + với t = sin x. Xét hàm số f (t) = t2 + 4 4 + m sin x ≥ 0 ∀x ∈ (0; π) ⇔ t2 + 3 ≥ −m ∀t ∈ (0; 1], 2 t sin x 4 , t ∈ (0; 1],ta có t3 f 0 (t) = 2t − 12 2(t5 − 6) = < 0 ∀t ∈ (0; 1] ⇒ min f (t) = f (1) = 5. (0;1] t4 t4 Do đó ta có 5 ≥ −m ⇔ m ≥ −5. Suy ra m ∈ {−5, −4, −3, −2, −1} nên có 5 giá trị của m.  Chọn đáp án C Câu 91. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = ln(16x2 + 1) − (m + 1)x + m + 2 nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞). A. m ∈ (−∞; 3]. B. m ∈ [−3; 3]. C. m ∈ [3; +∞). D. m ∈ (−∞; −3). Lời giải. 138 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 32x − m − 1. 16x2 + 1 32x Để hàm số nghịch biến trên (−∞; +∞) thì − m − 1 ≤ 0, ∀x ∈ R. 16x2 + 1 32x − 1 ≤ m, ∀x ∈ R. Hay f (x) = 16x2 + 1 32(1 − 16x2 ) . Ta có f 0 (x) = 2 2  (16x + 1) 1 x=−  4 f 0 (x) = 0 ⇔  1 x= 4 Ta xét bảng biến thiên của f (x): Ta có y 0 = x − 14 −∞ y 0 (x) − 0 1 4 + −1 0 +∞ − 3 y −5 −1 Từ bảng biến thiên thì m ≥ 3. Vậy m ≥ 3.  Chọn đáp án C Câu 92. y Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Hàm số y = f 0 (x) có đồ thị như hình vẽ. Khi đó hàm số y = f (3 − 2x) + 2018 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng bên dưới? A. (1; 2). B. (2; +∞). C. (−∞; 1). D. (−1; 1). −1 1 4 O x Lời giải. Đặt g(x) = f (3 − 2x) + 2018 ta có g 0 (x) = [f (3 − 2x) + 2018]0 = −2f 0 (3 − 2x). Ta có g 0 (x) < 0 ⇔ −2f 0 (3 − 2x) < 0 ⇔ f 0 (3 − 2x) > 0.  ” 1 4 x<− Å2 ã 1 Vậy hàm số y = f (3 − 2x) + 2018 nghịch biến trên −∞; − và (1; 2). 2 Chọn đáp án A  Câu 93. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 139 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Hàm số y = f 0 (x) có đồ thị như hình vẽ. Khi đó hàm số y = f (3 − 2x) + 2018 nghịch biến −1 trên khoảng nào trong các khoảng bên dưới? A. (1; 2). B. (2; +∞). C. (−∞; 1). O 1 D. (−1; 1). 4 x Lời giải. Đặt g(x) = f (3 − 2x) + 2018 ta có g (x) = [f (3 − 2x) + 2018]0 = −2f 0 (3 − 2x). Ta có g 0 (x) < 0 ⇔ −2f 0 (3 − 2x) < 0 ⇔ f 0 (3 − 2x) > 0.  ” 1 4 x<− Å2 ã 1 Vậy hàm số y = f (3 − 2x) + 2018 nghịch biến trên −∞; − và (1; 2). 2 Chọn đáp án A 0  x3 + (m − 2) x2 + (2m + 3) x + 1. Giá trị nguyên lớn nhất của m để hàm số 3 đã cho nghịch biến trên (0; 3) là Câu 94. Cho hàm số y = A. −1. B. 0 . D. −2. C. 1 . Lời giải. Hàm số xác định trên R. Ta có y 0 = x2 + 2(m − 2)x + 2m + 3, hàm số nghịch biến trên (0; 3) khi và chỉ khi −x2 + 4x − 3 , ∀x ∈ (0; 3) x+1 −x2 + 4x − 3 , ∀x ∈ (0; 3). ⇔ 2m ≤ g(x) = x+1 " √ 2 x = −1 − 8 −x − 2x + 7 g 0 (x) = , g 0 (x) = 0 ⇔ √ . 2 (x + 1) x = −1 + 8 y 0 ≤ 0, ∀x ∈ (0; 3) ⇔ 2m ≤ x 0 f 0 (x) −1 + + √ 8 0 3 − √ 6−2 8 f (x) −3 0 3 Từ đó suy ra m ≤ − . Vậy m nguyên lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là m = −2. 2 Chọn đáp án D  1 Câu 95. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R và f 0 (x) > 0, ∀x > 2018 . Biết f (1) = 3, khi đó 2 mệnh đề nào có thể xảy ra? A. f (2018 · 2020) > f (20192 ). B. f (3) Å + f (4) ã = 6. √ 1 C. f (2) = 10 − 1. D. f − = 2. 2018 140 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. 0 Ta có f (x) > 0, ∀x >  1 22018 Å suy ra hàm số đồng biến trên ã ; +∞ . 22018 1 ( f (3) > f (1) ⇒ f (3) + f (4) > 6 nên loại đáp án f (3) + f (4) = 6. f (4) > f (1) √  f (2) > f (1) nên loại đáp án f (2) = 10 − 1.  2018 · 2020 < 20192 ⇒ f (2018 · 2020) < f (20192 ) nên loại đáp án f (2018 · 2020) > f (20192 ).  Chọn đáp án D Câu 96. Số giá trị nguyên của tham số m thuộc [−2; 4] để hàm số y = 1 (m2 − 1) x3 +(m + 1) x2 +3x−1 3 đồng biến trên R là A. 3. B. 5. C. 0. D. 2. Lời giải. Tập xác định D = R. Ta có y 0 = (m2 − 1) x2 + 2 (m + 1) x + 3. TH1: Với m2 − 1 = 0 ⇔ m = ±1. Khi m = −1 thì y 0 = 3 > 0∀x ∈ R, suy ra hàm số đồng biến trên R. −3 Khi m = 1 thì y 0 = 4x + 3 > 0∀x > , suy ra hàm số không đồng biến trên R. 4 TH2: Với m2 − 1 6= 0 ⇔ m 6= ±1. 1 Hàm số y = (m2 − 1) x3 + (m + 1) x2 + 3x − 1 đồng biến trên R ⇔ y 0 ≥ 0, ∀x ∈ R 3 ”  m>1    ( 2 ” (   m < −1 a>0 m −1>0 m≥2 ⇔ ⇔ ⇔ ” ⇔
2  ∆0 ≤ 0 (m + 1) − 3 m2 − 1 ≤ 0 m < −1.  m ≤ −1     m≥2 Từ hai trường hợp trên, suy ra m ∈ (−∞; −1] ∪ [2; +∞). Vì m nguyên và m thuộc [−2; 4] nên m ∈ {−2; −1; 2; 3; 4}. Vậy có 5 giá trị m thỏa mãn.  Chọn đáp án B Câu 97. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 − (m − 1)x2 − 4mx đồng biến 3 trên đoạn [1; 4]. 1 A. m ≤ . 2 B. ∀m ∈ R. C. 1 < m < 2. 2 D. m ≤ 2. Lời giải. Ta có y 0 = x2 − 2(m − 1)x − 4m. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 141 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Điều kiện cần và đủ để hàm số đã cho đồng biến trên đoạn [1; 4] là y 0 = x2 − 2(m − 1)x − 4m ≥ 0, ∀x ∈ [1; 4] ⇔ x2 + 2x ≥ 2m(x + 2), ∀x ∈ [1; 4] ⇔ 2m ≤ x, ∀x ∈ [1; 4] ⇔ 2m ≤ 1 1 ⇔ m≤ . 2 x3 1 thì hàm số y = − (m − 1)x2 − 4mx đồng biến trên đoạn [1; 4]. 2 3 Chọn đáp án A Vậy, với m ≤ Câu 98. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [−2018; 2018] để hàm số y =  √ x2 + 1 − mx − 1 đồng biến trên (−∞; +∞)? A. 2017. B. 2019. C. 2020. D. 2018. Lời giải. Đạo hàm của hàm số đã cho có hữu hạn nghiệm nên nó đồng biến trên R khi và chỉ khi đạo hàm của nó không âm trên R hay x f (x) = √ ≥ m, ∀x ∈ R. x2 + 1 1 √ > 0 nên f (x) đồng biến trên R. Mặt khác, ta có lim f (x) = −1 nên x→−∞ (x2 + 1) x2 + 1 f (x) ≥ m, ∀x ∈ R khi và chỉ khi m ≤ −1. Vậy có 2018 số nguyên m thỏa mãn bài toán. Ta có f 0 (x) =  Chọn đáp án D Câu 99. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = 3 4 1 x − (m − 1)x2 − 4 4 4x đồng biến trên khoảng (0; +∞)? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Ta thấy Hàm số y đồng biến trên (0; +∞) 1 ⇔ 3×3 − 2(m − 1)x + 5 ≥ 0, ∀ x ∈ (0; +∞) x 1 2 ⇔ 3x + 6 ≥ 2(m − 1), ∀ x ∈ (0; +∞) x Å ã 1 2 ⇔ 2(m − 1) ≤ min 3x + 6 . (0;+∞) x (1.1) Ta có 3×2 + 1 1 = x2 + x2 + x2 + 6 6 x x … ≥ 4· 4 x2 · x2 · x2 · 1 x6 ≥ 4 (1.2) 142 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Å ã 1 2 Từ (2) ta được min 3x + 6 = 4. (0;+∞) x Từ (1) ta được 2(m − 1) ≤ 4 ⇔ m ≤ 3. Vậy m ∈ {1; 2; 3}.  Chọn đáp án C Câu 100. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = đồng biến trên khoảng (1; +∞)? A. 5. B. 4. C. 3. x3 x2 −(m+1) +(m+1)x−3 3 2 D. 2. Lời giải. Ta có: y 0 = x2 − (m + 1)x + (m + 1). Do tam thức bậc 2 luôn có hữu hạn nghiệm nên để hàm số đồng biến trên đoạn (1; +∞) thì y 0 ≥ 0 ∀x ∈ (1; +∞) ⇔x2 − (m + 1)x + (m + 1) ≥ 0 ∀x ∈ (1; +∞) ⇔x2 ≥ (m + 1)(x − 1) ∀x ∈ (1; +∞) 1 ≥ m ∀x ∈ (1; +∞). ⇔x + x−1 1 Xét hàm số g(x) = x + trên (1; +∞), ta có: x−1 1 g 0 (x) = 1 − . (x − 1)2 g 0 (x) = 0 ⇔ (x − 1)2 = 1 ⇔ x = 2. Bảng biến thiên: x 1 y0 y +∞ 2 − 0 +∞ + +∞ 3 Vậy m ≤ 3 hay có 3 giá trị nguyên dương của m. Chọn đáp án C CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  143 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ĐÁP ÁN 1. A 11. A 2. C 12. C 3. C 13. B 4. A 14. A 5. D 15. A 6. C 16. B 7. A 17. A 8. A 18. B 9. C 19. B 10. C 20. C 21. D 22. B 23. D 24. B 25. D 26. A 27. C 28. A 29. A 30. B 31. C 32. A 33. A 34. C 35. A 36. C 37. C 38. C 39. A 40. B 41. B 51. C 42. A 52. B 43. B 53. B 44. A 54. A 45. C 55. B 46. D 56. C 47. B 57. C 48. B 58. B 49. D 59. B 50. A 60. A 61. C 62. A 63. D 64. D 65. B 66. C 67. A 68. B 69. C 70. A 71. D 72. C 73. B 74. A 75. C 76. C 77. D 78. C 79. B 80. C 81. B 91. C 82. A 92. A 83. A 93. A 84. B 94. D 85. D 95. D 86. C 96. B 87. D 97. A 88. C 98. D 89. A 99. C 90. C 100. C 144 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 4 Mức độ vận dụng cao √ Câu 1. Cho phương trình x3 − 3×2 − 2x + m − 3 + 2 3 2×3 + 3x + m = 0. Tập S là tập hợp các giá trị của m nguyên để phương trình có ba nghiệm phân biệt. Tính tổng các phần tử của S. A. 15. B. 9. C. 0. D. 3. Lời giải. √ Ta có: x3 −3×2 −2x+m−3+2 2×3 + 3x + m = 0 ⇔ (2×3 +3x+m)+2 3 2×3 + 3x + m = x3 +3×2 +5x+3 √ ⇔ (2×3 + 3x + m) + 2 3 2×3 + 3x + m = (x + 1)3 + 2(x + 1) (1) √ 3 Xét hàm số f (t) = t3 + 2t, TXĐ: D = R có f 0 (t) = 3t2 + 2 > 0, ∀t ∈ R ⇒ y = f (t) đồng biến trên R. Ä√ ä √ Do đó: (1) ⇔ f 3 2×3 + 3x + m = f (x + 1) ⇔ 3 2×3 + 3x + m = x + 1 ⇔ m = −x3 + 3×2 + 1 (2). ” x=0 Xét hàm số g(x) = −x3 + 3×2 + 1, ∀x ∈ R, ta có: g 0 (x) = −3×2 + 6x, g 0 (x) = 0 ⇔ x=2 Bảng biến thiên: x −∞ g (x) 0 − 0 0 + +∞ 2 0 +∞ − 5 g(x) −∞ 1 Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt ⇔ 1 < m < 5. X Do m ∈ Z ⇒ m ∈ S = {2; 3; 4} ⇒ m = 2 + 3 + 4 = 9.  Chọn đáp án B Câu 2. Cho hàm số y = |x3 − mx + 1|. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên m sao cho hàm số đồng biến trên [1; +∞). Tìm số phân tử của S. A. 3. B. 10. C. 1. D. 9. Lời giải. Cách giải: Xét hàm số y = f (x) = x3 − mx + 1, f 0 (x) = 3x2 − m. Nhận xét: Đồ thị hàm số y = |f (x)| = |x3 − mx + 1| được dựng từ đồ thị hàm số y = f (x) bằng cách giữ lại phần đồ thị hàm số phái trên trục Ox và lấy đối xứng phần phái dưới Ox qua trục Ox (xóa bỏ phần đồ thị của y = f (x) nằm phái dưới Ox). TH1: Với m = 0 ta có hàm số y = f (x) = x3 + 1 đồng biến trên R. Có f (1) = 2 > 0 ⇒ Hàm số y = |f (x)| = |x3 − mx + 1| đồng biến trên [1; +∞). ⇒ m = 0: thỏa mãn. TH2: Với m > 0 ta có: f 0 (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 (x1 < x2 ). Bảng biến thiên CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 145 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x x1 −∞ y0 + 0 x2 − +∞ + 0 +∞ f (x1 ) y f (x2 ) −∞ Để hàm số y = |x3 − mx + 1| đồng biến trên [1; +∞) thì    m>0   x1 < x2 ≤ 1    f (1) ≥ 0   m > 0   m ⇔ − +1≥0  3   2 − m ≥ 0 ⇔ 0 < m ≤ 2. Mà m ∈ N ⇒ m ∈ {1; 2}. Vậy, S = {0; 1; 2}. Số phần tử của S là 3.  Chọn đáp án A Câu 3. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đạo hàm f 0 (x) = x2 (x − 2)(x2 − 6x + m) với mọi x ∈ R. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [−2019; 2019] để hàm số g(x) = f (1 − x) nghịch biến trên khoảng (−∞; −1)? A. 2010. B. 2012. C. 2011. D. 2009. Lời giải. Ta có   g 0 (x) = −f 0 (1 − x) = −(1 − x)2 (1 − x − 2) (1 − x)2 − 6(1 − x) + m = −(x − 1)2 (−1 − x)(x2 + 4x + m − 5) = (x − 1)2 (x + 1)(x2 + 4x + m − 5). Hàm số g(x) nghịch biến trên (−∞; −1) ⇔ g 0 (x) ≤ 0 với mọi x ∈ (−∞; −1) ⇔ (x + 1)(x2 + 4x + m − 5) ≤ 0 với mọi x ∈ (−∞; −1) ⇔ x2 + 4x + m − 5 ≥ 0 với mọi x ∈ (−∞; −1) (Do x ∈ (−∞; −1) ⇒ x + 1 < 0) ⇔ h(x) = x2 + 4x − 5 ≥ −m với mọi x ∈ (−∞; −1) ⇔ −m ≤ min h(x). x∈(−∞;−1] Ta có h0 (x) = 2x + 4, h0 (x) = 0 ⇔ x = −2. Bảng biến thiên của hàm số h(x) như sau x h0 (x) −∞ +∞ 0 − 0 + h(x) −9 146 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Do đó −m ≤ −9 ⇔ m ≥ 9. Mặt khác m ∈ [−2019; 2019] và m nguyên nên m ∈ {9; 10; 11; · · · ; 2019} hay có 2019 − 9 + 1 = 2011 giá trị của m thỏa mãn.  Chọn đáp án C Câu 4. Cho hàm số f (x) = x3 + ax2 + bx + c. Nếu phương trình f (x) = 0 có ba nghiệm phân biệt thì phương trình 2f (x) · f 00 (x) = [f 0 (x)]2 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm? A. 1 nghiệm. B. 4 nghiệm. C. 3 nghiệm. D. 2 nghiệm. Lời giải. Xét đa thức bậc 4 g(x) = 2f (x)f 00 (x) − (f 0 (x)0 )2 . Ta có g 0 (x) = 2f (x)f 000 (x) = 12f (x). Vì g(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt nên g(x) = 0 có tối đa bốn nghiệm. Vậy phương trình 2f (x)f 00 (x) = [f 0 (x)]2 có tối đa bốn nghiệm. Giả sử x1 < x2 < x3 là ba nghiệm của f (x) = 0. Mà các nghiệm này đều phân biệt nên ta có f 0 (x1 ), f 0 (x2 ), f 0 (x3 ) đều khác 0. Ta có x g (x) −∞ 0 − x1 0 +∞ g(x) x2 0 + − x3 0 +∞ + +∞ g(x2 ) g(x1 ) g(x3 ) Nhận thấy: 2 2 2 2 2 2 g(x1 ) = 2f (x1 )f 00 (x1 ) − (f 0 (x1 )) = − (f 0 (x1 )) < 0 g(x2 ) = 2f (x2 )f 00 (x2 ) − (f 0 (x2 )) = − (f 0 (x2 )) < 0 g(x3 ) = 2f (x3 )f 00 (x3 ) − (f 0 (x3 )) = − (f 0 (x3 )) < 0 Nên từ bảng biến thiên suy ra phương trình g(x) = 0 có đúng hai nghiệm phân biệt. Do đó phương trình 2f (x)f 00 (x) = [f 0 (x)]2 có đúng hai nghiệm phân biệt.  Chọn đáp án B Câu 5. y 4 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f 0 (x) được cho như hình vẽ bên. Hàm số g (x) = f (2x4 − 1) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? Å ã 3 B. 1; . 2 A. (1; +∞). Å C. (−∞; −1). D. f 0 (x) ã 1 ;1 . 2 −1 O 3 x Lời giải. 0 3 0 4 Ta có g (x) = 8x · f (2x − 1) TH1: x ≥ 0. Để hàm số g (x) đồng biến thì CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 147 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 f 0 (2x4 − 1) ≥ 0 ⇔ −1 ≤ 2x4 − 1 ≤ 3 ⇔ 0 ≤ x4 ≤ 2 ⇔ 0 ≤ x2 ≤ î √ ó √ ⇒ 0 ≤ x ≤ 4 2 ⇔ x ∈ 0; 4 2 . √ √ √ 2⇔−42≤x≤ 42 TH2: x < 0. Để hàm số g (x) đồng thì " biến " " √ 4 4 2x − 1 ≤ −1 x ≥ 2 x = 0(L) 0 4 ⇔ f (2x − 1) ≤ 0 ⇔ ⇔ √ √ 4 2x4 − 1 ≥ 3 x ≤ − 2. x2 ≥ 2 Ä ó √ √ So sánh với điều kiệnx < 0 ⇒ x ≤ − 4 2 ⇔ x ∈ −∞; − 4 2 . î √ ó Ä √ ó Vậy hàm số g (x) đồng biến trên 0; 4 2 và −∞; − 4 2 .  Chọn đáp án D −x Câu 6. Tìm tất cả các giá trị khác nhau của tham số m để hàm số y = 5 +2 đồng biến trên 5−x − m (−∞; 0). A. m < −2. B. m ≤ −2. C. −2 < m ≤ 1. Lời giải. D. −2 < m < 1. ĐK: 5−x 6= m. Đặt t = 5−x là hàm nghịch biến trên (−∞; 0) (1), suy ra t ∈ (1; +∞). t+2 0 −m − 2 Xét hàm số y = f (t) = , f (t) = . t−m (t − m)2 t+2 5−x + 2 đồng biến trên (−∞; 0) thì hàm số f (t) = nghịch biến trên Do (1), để hàm số y = −x 5 −m t−m (1; +∞) ( ( m > −2 − m − 2 < 0 ⇔ ⇔ −2 < m ≤ 1. ⇔ f 0 (t) < 0, ∀t ∈ (1; +∞) ⇔ m∈ / (1, +∞) m≤1  Chọn đáp án C Câu 7. Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu của đạo hàm như bên dưới x f 0 (x) −∞ −1 + 0 1 − 0 2 + 0 +∞ 5 + 0 Hàm số y = 3f (x + 3) − x3 + 12x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−1; 0). B. (0; 2). C. (−∞; −1). − D. (2; +∞). Lời giải. Ta có: y 0 = 3.f 0 (x + 3) − 3x2 + 12. Đặt t = x + 3 ⇒ x = t − 3 ta có y 0 = 3f 0 (t) − 3 (t − 3)2 + 12 = 3f 0 (t) − 3t2 + 18t − 15. Để hàm số nghịch ( biến thì y 0 < 0 ⇔ 3.f(0 (t) − 3t2 + 18t − 15 < 0 "⇔ f 0 (t) < t2 − 6t + 5. f 0 (t) < 0 −15 −1 0 t<1∨t>5 t > 5. ” ” ” −15 x+3>5 x > 2. 3 Vậy hàm số y = 3f (x + 3) − x + 12x nghịch biến trên (−4; 2) và (2; +∞). Chọn đáp án D  1 Câu 8. Cho hai hàm số f (x) = x3 − (m + 1)x2 + (3m2 + 4m + 5)x + 2019 và g(x) = (m2 + 2m + 5)x3 − 3 (2m2 + 4m + 9)x2 − 3x + 2 (với m là tham số). Hỏi phương trình g(f (x)) = 0 có bao nhiêu nghiệm? 148 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT A. 9. Kỳ thi THQG 2020 B. 0. C. 3. D. 1. Lời giải. Ta có
g(x) = 0 ⇔ (x − 2) (m2 + 2m + 5)x2 + x − 1 = 0        =2  x ⇔      2 2   (m + 2m + 5)x + x − 1 = 0 (∗) Phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt khác 2 với ∀m vì Vậy g(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt        m2 + 2m + 5        > 0, ∀m ∆ = 1 + (m2 + 2m + 5) > 0, ∀m            2 2   (m + 2m + 5).2 + 2 − 1 6= 0, ∀m (1). Mặt khác, xét hàm số y = f (x) ta có : f 0 (x) = x2 − 2(m + 1)x + (3m2 + 4m + 5) = (x − (m + 1))2 + 2(m2 + m + 2) > 0∀m ⇒ y = f (x) luôn đồng biến trên R với ∀m Do y = f (x) là hàm đa thức bậc 3 và đồng biến trên nên phương trình f (x) = k luôn có 1 nghiệm duy nhất với mỗi số k ∈ R (2) Từ (1) và (2) suy ra phương trình g(f (x)) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.  Chọn đáp án C  2x−y − 2y + x = 2y Câu 9. Cho hệ phương trình 2x + 1 = (m2 + 2) .2y .p1 − y 2 (1), m là tham số. Gọi S là tập các giá trị nguyên để hệ (1) có một nghiệm duy nhất. Tập S có bao nhiêu phần tử? A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. Lời giải. Phương pháp: + Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ để đưa về dạng f (u) = f (v) mà f là hàm đơn điệu nên suy ra u = v. Từ đó ta tìm được mối liên hệ giữa x và y. + Thay vào phương trình thứ hai ta được phương trình ẩn y. Lập luận phương trình này có nghiệm duy nhất thì hệ ban đầu sẽ có nghiệm duy nhất. + Biến đổi để chỉ ra nếu y0 là nghiệm thì −y0 cùng là nghiệm của phương trình ẩn y, từ đó suy ra CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 149 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y0 = 0. Thay vào phương trình để tìm m. + Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để thử lại m. Cách giải: Điều kiện 1 − y 2 ≥ 0 ⇔ y ∈ [−1; 1]. + Xét phương trình 2x−y − 2y + x = 2y ⇔ 2x−y + x − y = 2y + y. Xét hàm số f (t) = 2t + t ⇒ f 0 (t) = 2t · ln 2 + 1 > 0; ∀t nên hàm số f (t) đồng biến trên R. Từ đó 2x−y + x − y = 2y + y ⇒ f (x − y) = f (y) ⇔ x − y = y ⇔ x = 2y. p + Thay x = 2y vào phương trình 2x + 1 = (m2 + 2) · 2y · 1 − y 2 , ta được p p

22y + 1 = m2 + 2 · 2y · 1 − y 2 ⇔ 4y + 1 = m2 + 2 · 2y · 1 − y 2 (∗) Để hệ phương trình (1) có một nghiệm duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất y ∈ [−1; 1] Giả sử y0 ∈ [−1; 1] là một nghiệm của phương trình (*) thì ta có
4y0 + 1 = m2 + 2 · 2y0 · sqrt1 − y02 (∗∗) » Xét với −y0 ta có 4−y0 + 1 = (m2 + 2) · 2−y0 · 1 − (−y0 )2 1 p 1 ⇔ y0 + 1 = (m2 + 2) y0 1 − y02 4 2 p ⇔ 4y0 + 1 = (m2 + 2) · 2y0 · 1 − y02 (đúng do (**) hay −y0 cũng là nghiệm của phương trình (*). Do vậy để (*) có nghiệm duy nhất thì y0 = −y0 ⇔ y0 = 0. √ Thay y = 0 vào (*) ta được 40 + 1 = (m2 + 2) · 20 1 − 02 ⇔ m2 + 2 = 2 ⇔ m = 0. p p 1 Thử lại: Thay m = 0 vào (*) ta được 4y + 1 = 2 · 2y 1 − y 2 ⇔ 2y + y = 2 1 − y 2 (***) 2 1 Cô-si √ y 1 y Nhận thấy rằng vế trái (***) = 2 + y ≥ 2 2 · y ⇔ V T (∗ ∗ ∗) ≥ 2. 2 2 1 y Dấu “=” xảy ra ⇔ 2 = y ⇔ y = 0 2 p Và V P (∗ ∗ ∗) = 2 1 − y 2 ≤ 2 ⇔ V P (∗ ∗ ∗) = 2 ⇔ y = 0. Vậy phương trình (***) có nghiệm duy nhất y = 0. Kết luận: Với m = 0 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất nên tập S có một phần tử. Chú ý: Các em có thể làm bước thử lại như sau: Thay m = 0 vào (*) ta được Ä ä2 p p p 4y + 1 = 2.2y 1 − y 2 ⇔ (2y )2 − 2.2y 1 − y 2 + 1 − y 2 + y 2 = 0 ⇔ 2y − 1 − y 2 + y 2 = 0   p 2y − 1 − y 2 = 0 20 − √1 − 0 = 0 ⇔ ⇔ ⇔ y = 0. y = 0 y 2 = 0 Chọn đáp án B  Câu 10. 150 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y 2 Cho hai hàm số y = f (x), y = g(x) liên tục và có đạo hàm trên R và có đồ thị lần lượt là (C1 ) , (C2 ) như hình vẽ bên. (C1 ) 1 Hàm số y = f (x).g(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−∞; 0). B. (4; 5). C. (2; 3). D. (0; 1). (C2 ) −2 −1 O −1 1 2 5 x 4 −2 Lời giải. y 2 (C2 ) 1 (C1 ) f (x2 ) f (x1 ) −2 −1 O 1 2x1x2 3 4 5x −1 −2 g(x1 ) g(x2 ) −3 Ta xét khoảng (2; 3), với mọi x1 , x2 ∈ (2; 3), x1 < x2 ta có:    0 < f (x ) < f (x )  0 < f (x ) < f (x ) 1 2 1 2 ⇒  0 < −g (x ) < −g (x ) .  0 > g (x ) > g (x ) 1 2 1 2 ⇒ f (x1 ) . [−g (x1 )] < f (x2 ) . [−g (x2 )] ⇒ f (x1 ) .g (x1 ) > f (x2 ) .g (x2 ) . ⇒ y (x1 ) > y (x2 ) . Hay hàm số nghịch biến trên (2; 3). Chọn đáp án C  Câu 11. Cho hàm số f (x) = mx4 + nx3 + px2 + qx + r trong đó m, n, p, q, y r ∈ R. Biết rằng hàm số y = f 0 (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tập nghiệm của phương trình f (x) = 16m + 8n + 4p + 2q + r có tất cả −1 O bao nhiêu phần tử? A. 5. B. 3. C. 4. 1 4 x D. 6. Lời giải. 0 Dựa vào đồ thị ta thấy f (x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt là −1, 1 và 4. Suy ra m 6= 0. Khi đó f 0 (x) = 4m(x + 1)(x − 1)(x − 4) = 4m(x3 − 4×2 − x + 4). Suy ra Å ã 16 3 4 2 f (x) = m x − x − 2x + 16x + C. 3 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 151 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  16m   n=−   3    p = −2m Đồng nhất với f (x) = mx4 + nx3 + px2 + qx + r ta được .   q = 16m      r=C Từ đó, f (x) = 16m + 8n + 4p + 2q + r Å ã 16m 16m 3 2 4 x − 2mx + 16mx + r = 16m + 8 · − + 4 · (−2m) + 2.16m + r ⇔ mx − 3 3 16m 3 8 16 8 ⇔ mx4 − x − 2mx2 + 16mx + m = 0 ⇔ x4 − x3 − 2×2 + 16x + = 0 (vì m 6= 0). 3 3 3 3 16 3 8 4 2 Xét hàm số g(x) = x − x − 2x + 16x + . Ta có 3 3 ” x = ±1 g 0 (x) = 4 (x + 1) (x − 1) (x − 4) = 0 ⇔ x = 4. Bảng biến thiên: x −∞ g0 −1 − 0 0 + +∞ 0 +∞ 4 − 0 + +∞ 37 3 g −9 − 152 3 Dựa vào bảng biến thiên suy ra: g(x) = 0 có 4 nghiệm.  Chọn đáp án C Câu 12. Tìm các mối liên hệ giữa các tham số a và b sao cho hàm số y = f (x) = 2x + a sin x + b cos x luôn tăng trên R? √ √ 1+ 2 1 1 B. a + 2b ≥ . C. a2 + b2 ≤ 4. D. a + 2b = 2 3. A. + = 1. a b 3 Lời giải. Ta có y 0 = f 0 (x) = 2 + a cos x − b sin x. Hàm số đã cho đồng biến trên R khi chỉ khi y 0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ 2 + a cos x + b sin x ≥ 0, ∀x ∈ R (∗) √ a b Mà 2 + a cos x + b sin x ≥ 2 − a2 + b2 , ∀x ∈ R (dấu “=” xảy ra khi = < 0). cos x sin x √ Do đó min f 0 (x) = 2 − a2 + b2 . R √ Suy ra (∗) ⇔ 2 − a2 + b2 ≥ 0 ⇔ a2 + b2 ≤ 4. Chọn đáp án C  Câu 13. 152 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y Cho hàm số f (x) liên tục trên R, hàm số y = f 0 (x) có đồ thị như hình vẽ. Xét hàm số h(x) = 2f (3x + 1) − 9x2 − 6x + 4. Hãy chọn khẳng định đúng. A. Hàm số h(x) nghịch biến trên R. Å ã 1 B. Hàm số h(x) nghịch biến trên −1; . 3 Å ã 1 C. Hàm số h(x) đồng biến trên −1; . 3 D. Hàm số h(x) đồng biến trên R. y = f 0 (x) 4 2 −2 2 O 4 x −2 Lời giải. y Ta có h0 (x) = 6f 0 (3x + 1) − 6(3x + 1). Xét bất phương trình y = f 0 (x) h0 (x) > 0 ⇔ 6f 0 (3x + 1) − 6(3x + 1) > 0 ⇔ f 0 (3x + 1) > 3x + 1 (∗). y=x 4 Từ đồ thị trên ta vẽ thêm đường thẳng y = x. Quan sát hình vẽ ta thấy: Xét trên khoảng (−2; 4) thì f 0 (x) > x ⇔ −2 < x < 2. 1 Do đó (∗) ⇔ −2 < 3x + 1 < 2 ⇔ −1 < x < . Å ã 3 1 Vậy hàm số h(x) đồng biến trên −1; . 3 2 −2 2 O 4 x −2  Chọn đáp án C Câu 14. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị của hàm số y y = f 0 (x) cắt Ox tại điểm (2; 0) như hình vẽ. Hàm số y = f (x) đồng biến 4 trên khoảng nào sau đây? A. (−1; +∞). B. (−∞; 0). 2 D. (−∞; −1). C. (−2; 0). −1 O 1 2 x Lời giải. Tập xác định của hàm số y = f (x) là D = R. Từ đồ thị đã cho ta có: f 0 (x) = 0 ⇔ " x = −1 . x=2 Bảng biến thiên. x −∞ y0 +∞ − −1 0 + 2 0 +∞ + +∞ y Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f (x) ta nhận thấy hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 153 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 (−1; +∞).  Chọn đáp án A Câu 15. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y y = f 0 (x) như hình bên. Hàm số g(x) = f (−2x+1)+(x+1)(−2x+4) 5 đồng biến khoảng nào dưới đây? Å trên ã 1 A. −2; − . B. (−∞; −2). 2 ã Å Å ã 1 1 C. − ; +∞ . D. − ; 2 . 2 2 2 −3 x O 2 5 −3 Lời giải. Ta có g 0 (x) = −2f 0 (−2x + 1) − 4x + 2 nên y g 0 (x) > 0 ⇔ f 0 (−2x + 1) < −2x + 1 ⇔ f 0 (t) < t. 5 Xét hàm số y = f 0 (t) có đồ thị như hình vẽ và đường thẳng y = t.  t = −3  Ta có f 0 (t) = t ⇔  t = 2 t = 5. " 2 0 ⇔ − 2x + 1 < −3 x > 2. y=t 2 −3 x O 2 5 −3  Chọn đáp án A Câu 16. y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f 0 (x) như hình bên. x2 Hàm số y = f (1 − x) + − x nghịch biến trên khoảng nào dưới 2 đây? 3 −1 −3 O 1 3 2 3 x − 12 −1 −3 −5 ; A. (−3; 1). B. (−2; 0). C. (1; 3). Å ã 3 D. −1; . 2 Lời giải. 154 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y Ta có y 0 = −f 0 (1 − x) + x − 1. 3 Hàm số đã cho nghịch biến khi và chỉ khi y0 ≤ 0 ⇔ −f 0 (1 − x) + x − 1 ≤ 0 −1 −3 ⇔ f 0 (1 − x) ≥ −(1 − x) O 1 3 2 3 − 21 −1 Đặt t = 1 − x, ta có f 0 (t) ≤ −t. ” t ≤ −3 Dựa vào đồ thị f 0 (t) ≥ −t ⇔ 1 ≤ t ≤ 3. x −3 −5  t ≤ −3 ⇒ 1 − x ≤ −3 ⇔ x ≥ 4. ;  1 ≤ t ≤ 3 ⇒ 1 ≤ 1 − x ≤ 3 ⇔ −2 ≤ x ≤ 0. Vậy hàm số nghịch biến trên [−2; 0] và [4; +∞).  Chọn đáp án B Câu 17. Cho hàm số f (x) có đồ thị của hàm số y = f 0 (x − 2) + 2 như hình vẽ. Hỏi hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? y 2 O 2 1 3 x −1 Å A. (−1; 1). B. (−∞; 2). C. ã 3 5 ; . 2 2 D. (2; +∞). Lời giải. 1 Cách 1: y  Từ đồ thị (C1 ) của hàm số y = f 0 (x − 2) + 2 ta thu được đồ thị đồ thị (C0 ) bằng cách tiện tiến theo véc-tơ #» u = (−2; −2). (C0 ) −1 O (C1 ) 1 2 0  Từ đồ thị (C0 ) của y = f (x) ta thấy f 0 (x) < 0 ⇔ −1 < x < 1 nên hàm số nghịch biến trên x −1 khoảng (−1; 1). −3 2 Cách 2: CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 155 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Hàm số nghịch biến khi f 0 (x) < 0 ⇔ f 0 (x + 2 − 2) + 2 < 2 (1). y Đặt t = x + 2 thì (1) trở thành f 0 (t − 2) + 2 < 2 ⇔ 1 < t < 3. Ta được 1 < x + 2 < 3 ⇔ −1 < x < 1. 2 O 2 1 x 3 −1  Chọn đáp án A 1 1 Câu 18. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số f (x) = m2 x5 − mx3 + 10x2 − 5 3 (m2 − m − 20)x đồng biến trên R. Tổng các giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng 5 1 3 A. . B. −2. C. . D. . 2 2 2 Lời giải. Ta có y 0 = m2 x4 − mx2 + 20x − m2 + m + 20   = (x + 1) m2 x3 − m2 x2 + (m2 − m)x − m2 + m + 20   = (x + 1) (x + 1)(m2 x2 − 2m2 x + 3m2 − m) − 4m2 + 2m + 20 . " y0 = 0 ⇔ x+1=0 (1) . (x + 1)(m2 x2 − 2m2 x + 3m2 − m) − 4m2 + 2m + 20 = 0 (2) Hàm số đồng biến trên R tương đương với y 0 ≥ 0 với mọi x ∈ R. Suy ra x = −1  là nghiệm kép của m = −2 0 2  y = 0 tức là x = −1 là nghiệm của phương trình (2) ⇒ −4m + 2m + 20 = 0 ⇒ 5 . m= 2 Với m = −2, ta có f 0 (x) = (x + 1)2 · (4x2 − 8x + 14) ≥ 0, ∀x ∈ R. 5 5 Với m = , ta có f 0 (x) = (x + 1)2 · (5x2 − 10x + 13) ≥ 0, ∀x ∈ R. 2 4 5 1 Vậy m = −2 và m = đều thỏa yêu cầu bài toán. Do đó tổng cần tìm bằng . 2 2 Chọn đáp án C  Câu 19. Cho hàm số y = f (x)có đạo hàm trên R và có đồ thị của hàm số y = f 0 (x) y như hình vẽ bên. Xét hàm số g(x) = f (x2 − 2). Mệnh đề nào sau đây sai? 2 1 −2 −1O −1 1 2 x −2 −3 −4 A. Hàm số g(x) nghịch biến trên (0; 2). B. Hàm số g(x) đồng biến trên (2; +∞). C. Hàm số g(x) nghịch biến trên (−∞; −2). D. Hàm số g(x) nghịch biến trên (−1; 0). Lời giải. 156 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Xét g(x) = f (x2 − 2) g 0 (x) = f 0 (x2 − 2) .2x   " x=0 x=0   x = 0 2  g 0 (x) = 0 ⇔ ⇔
x − 2 = −1 ⇔ x = ±1 0 2 f x −2 =0 x2 − 2 = 2 x = ±2 0 Bảng xét dấu g (x): x g 0 (x) −∞ + −2 0 −1 0 + + 0 0 − 1 0 − +∞ 2 0 + Suy ra hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (−1; 0) là sai.  Chọn đáp án D Câu 20. y Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Nhận xét nào đúng về hàm số g(x) = f 2 (x)? A. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (−∞; +∞). B. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (−∞; 1). C. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (2; +∞). D. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (−∞; 2). O −1 1 2 x Lời giải. Từ đồ thị hàm số y = f (x) ta có Phương trình f (x) = 0 có hai nghiệm Phương trình f 0 (x) = 0 có hai nghiệm " x = −1 trong đó x = −1 là nghiệm kép. x=2 " x = −1 và f 0 (x) > 0 khi −1 < x < 1. x=1 Xét hàm số g(x) = f (x) có g (x) = 2f (x).f 0 (x). 2 0 Giải phương trình      0 g (x) = 0 ⇔       x = −1       x=2 f (x) = 0  ⇔    0  x = −1 f (x) = 0      x=1 Ta có bảng xét dấu CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 157 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x −∞ f (x) f 0 (x) g 0 (x) + − − −1 0 0 0 1 + + + 0 0 + − − 2 0 0 +∞ − − + Từ bảng xét dấu ta có g 0 (x) > 0 khi x ∈ (−1; 1) ∪ (2; +∞) nên hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞) Chọn đáp án C  √ √ √ √ Câu 21. Tìm số nghiệm của phương trình x − 1+2 x + 4+ 2x − 9+4 3x + 1 = 25. A. 2 nghiệm. B. 3 nghiệm. C. 4 nghiệm. D. 1 nghiệm. Lời giải. √ √ √ √ Đặt f (x) = x − 1 + 2 x + 4 + ï 2x −ã9 + 4 3x + 1. 9 Tập xác định của hàm số D = ; +∞ . 2 ã Å 1 1 1 6 9 0 ; +∞ . Ta có f (x) = √ +√ +√ +√ > 0, ∀x ∈ 2 2 x−1 2xã− 9 x + 4ï 3x + 1 ï ã 9 9 Lại có hàm số f (x) liên tục trên ; +∞ , nên hàm số f (x) đồng biến trên ; +∞ . 2 2 ï ã 9 Do đó trên ; +∞ , phương trình f (x) = 25 có tối đa một nghiệm. 2 Vì x = 5 thỏa mãn phương trình nên x = 5 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.  Chọn đáp án D Câu 22. Cho hệ phương trình ( 3 x − y 3 + 3y 2 − 3x − 2 = 0 p √ x2 + 1 − x2 − 3 2y − y 2 + m = 0. (1) (2) Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hệ phương trình trên có nghiệm? A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Lời giải. Điều kiện −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2. Phương trình (1) ⇔ (x + 1)3 − 3(x + 1)2 = y 3 − 3y 2 . (3) Do −1 ≤ x ≤ 1 nên 0 ≤ x + 1 ≤ 2. Xét hàm số f (t) = t3 − 3t2 trên [0; 2]. Ta có f 0 (t) = 3t2 − 6t ≤ 0, ∀t ∈ [0; 2] (dấu bằng chỉ xảy ra tại t = 0 hoặc t = 2). Suy ra f (t) nghịch biến trên [0; 2]. Suy ra phương trình (3) ⇔ f (x + 1) = f (y) ⇔ y = x + 1. √ √ Thay vào phương trình (2) ta được x2 − 2 1 − x2 + m = 0 ⇔ (1 − x2 ) + 2 1 − x2 = m + 1 √ Đặt t = 1 − x2 , (0 ≤ t ≤ 1). Khi đó (∗) có dạng t2 + 2t = m + 1. (∗). Ycbt ⇔ Tìm m để phương trình t2 + 2t = m + 1 có nghiệm t ∈ [0; 1]. Ta có hàm f (t) = t2 + 2t đồng biến trên [0; 1] nên phương trình có nghiệm trên [0; 1] khi và chỉ khi 0 ≤ m + 1 ≤ 3 ⇔ −1 ≤ m ≤ 2. Vậy có 4 giá trị nguyên. Chọn đáp án D 158 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 23. y Cho hàm số y = f (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e , đồ thị hình bên là đồ thị của hàm số y = f 0 (x) . Xét hàm số g(x) = f (x2 − 2). Mệnh đề nào dưới đây sai? −1 1 O x −4 A. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (0; +∞). B. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (−∞; −2). C. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (0; 2). D. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (−1; 0) . Lời giải. 0 0 2 2 0 0 2 Ta có g (x) = f (x − 2) · (x − 2) = 2xf (x − 2). Từ đồ thị ta có f 0 (x) > 0 ⇔ x > 2 và f 0 (x) < 0 ⇔ x < 2 và x 6= 1. Hàm số g(x) nghịch biến thì
g 0 (x) < 0 ⇔ 2xf 0 x2 − 2 < 0 ( x>0   f 0 (x2 − 2) < 0  ⇔ (  x<0  f 0 (x2 − 2) > 0   x > 0  2  x −2<2    ⇔  x 6= −1 (  x<0  x2 − 2 > 2   x > 0   −2 2   x < −2 " 0 3 ( m 6= 3 |m − 3| > 3  m 6= 3   ” ⇔ m−3>3    m − 3 < −3  m 6= 3   " ⇔ m>6    m < 0. Vậy m ∈ (−∞; 0) ∪ (6; +∞). Do m nguyên dương nên m ∈ {7; 8; 9 . . . 2017}. Do đó có 2011 số m thỏa đề bài. Chọn đáp án C  3 Câu 25. Cho hàm số y = x − 3 cos2 x − m cos x. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho  2 cos  π . nghịch biến trên khoảng 0; 2 ï ã Å ã Å ã Å ò 3 3 3 3 A. m ∈ − ; +∞ . B. m ∈ −2; . C. m ∈ ;2 . D. m ∈ −∞; − . 2 2 2 2 Lời giải. Cách 1: y 0 = −6 cos2 x sin x + 6 cos x sin x + m sin x = sin (−6 cos2 x + 6 cosx + m) π Hàm số y = 2 cos3 x − 3 cos2 x − m cos x nghịch biến trên khoảng 0; . 2  π π ⇔ sin x (−6 cos2 x + 6 cos x + m) ≤ 0, ∀x ∈ 0; (vì sin x > 0, ∀x ∈ 0; ) 2 2   π π ⇔ −6 cos2 x + 6 cos x ≤ −m, ∀x ∈ 0; ⇔ (−6 cos2 x + 6 cos x + m) ≤ 0, ∀ 0; 2 2 π 2 Xét f (x) = −6 cos x + 6 cos x, ∀x ∈ 0; . 2  π Đặt t = cos x. Vì x ∈ 0; ⇒ cos x ∈ (0; 1). 2 160 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em (1) Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Å 2 Ta có f (t) = −6t + 6t, ∀t ∈ (0; 1) là Parabol có đỉnh I 1 3 ; 2 2 ã và hệ số a < 0 nên có giá trị lớn nhất 3 1 tại t = . 2 2 3 3 Để (1) xảy ra ⇔ max f (x) ≤ −m ⇔ ≤ −m ⇔ m ≤ − (0;1 2  π 2 Cách 2: Đặt t = cos x. Vì x ∈ 0; ⇒ cos x ∈ (0; 1). 2 Ta có y = 2t3 − 3t2 − mt ⇔ y 0 = 6t2 − 6t − m. là  π thì y = 2t3 − 3t2 − mt đồng Hàm số y = 2 cos3 x − 3 cos2 x − m cos x nghịch biến trên khoảng 0; 2 biến trên khoảng (0; 1) ⇔ y 0 ≥ 0, ∀t ∈ (0; 1) ⇔ 6t2 − 6t − m ≥ 0, ∀t ∈ (0; 1) ⇔ f (t) = 6t2 − 6t ≥ m, ∀t ∈ (0; 1). 1 Xét f (t) = 6t2 − 6t, ∀t ∈ (0; 1); f 0 (t) = 12t2 − 6 = 0 ⇔ t = 2 t 1 2 0 f 0 (t)0 + 0 1 − 3 2 f (t) 0 0 3 Dựa vào bảng biến thiên suy ra m ≤ − . 2 Chọn đáp án D  3 2 Câu 26. Tìm tất ï cả các ò giá trị thực của tham số m để hàm số y = sin x − 3 cos x − m sin x − 1 đồng 3π biến trên đoạn π; 2 A. m ≥ −3. B. m ≥ 0. C. m ≤ −3. D. m ≤ 0. Lời giải. ï ò 3π  Ta có y = f (x) = sin x + 3 sin x − m sin x − 4 (1). Đặt t = sin x, do x ∈ π; ⇒ t ∈ [−1; 0]. 2 3 2  Hàm số (1) trở thành y = g(t) ï = tò + 3t − mt − 4. (2) 3π khi và chỉ khi hàm số (2) nghịch biến trên [−1; 0] ⇔ g 0 (t) ≤  Hàm số (1) đồng biến trên π; 2 0, ∀t ∈ [−1; 0] (g 0 (t) = 0 tại hữa hạn điểm). 3 2  Xét hàm số y = g(t) = t3 + 3t2 − mt − 4 trên [−1; 0]. Ta có g 0 (t) = 3t2 + 6t − m. Suy ra g 0 (t) ≤ 0, t ∈ [−1; 0] ⇔ 3t2 + 6t − m ≤ 0 ∀t ∈ [−1; 0] ⇔ 3t2 + 6t ≤ m, ∀t ∈ [−1; 0].  Xét hàm số y = h(t) = 3t2 + 6t trên đoạn [−1; 0]. Ta có h0 (t) = 6t+6 ≥ 0, t ∈ [−1; 0] ⇒ h(t) đồng biến trên [−1; 0]. Vậy max lim h(t) = h(0) = 0. [−1;0] 0 Tức là g (t) ≤ 0, t ∈ [−1; 0] ⇔ max lim h(t) ≤ m, t ∈ [−1; 0]. Đo đó, m ≥ 0. ï ò [−1;0] 3π Hàm số (1) đồng biến trên π; khi và chỉ khi m ∈ [0; +∞). 2 Chọn đáp án B CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  161 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 27. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y = y f (x2 − 2x + 1) + 2018 giảm trên khoảng A. (−∞; 1). B. (2; +∞). C. (0; 1). 3 D. (1; 2). 1 1 −2 −1 O 2 x −1 Lời giải. Xét hàm số y = f (x2 − 2x + 1) + 2018 khi đó y 0 = 2 (x − 1) f 0 (x2 − 2x + 1). Để hàm số nghịch biến khi y 0 ≤ 0 ⇔ 2 (x − 1) f 0 (x2 − 2x + 1) ≤ 0, ở đó dấu đẳng thức xảy ra tại một số hữu hạn điểm. Nếu x − 1 > 0 ⇔ x > 1 suy ra
f 0 x2 − 2x + 1 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x2 − 2x + 1 ≤ 1 ( 2 x − 2x + 2 ≥ 0 ⇔ x2 − 2x ≤ 0 ⇔ x2 − 2x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2). Chọn đáp án D  Câu 28. y Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình 3
f 16 cos2 x + 6 sin 2x − 8 = f (m (m + 1)) có nghiệm x ∈ R? A. 10. 2 1 B. 4. C. 8. D. 6. −2 −1 O 1 −1 2 x Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) suy ra hàm số đồng biến trên R. Do đó
f 16 cos2 x + 6 sin 2x − 8 = f (m (m + 1)) ⇔ 16 cos2 x + 6 sin 2x − 8 = m (m + 1) ⇔ 8 (cos 2x + 1) + 6 sin 2x − 8 = m (m + 1) ⇔ 8 cos 2x + 6 sin 2x = m (m + 1) . Để phương trình có nghiệm x ∈ R khi và chỉ khi m2 (m + 1)2 ≤ 82 + 62 ⇔ m2 (m + 1)2 ≤ 100 162 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ⇔ ( m (m + 1) ≤ 10 ⇔ ( 2 m + m − 10 ≤ 0 m2 + m + 10 ≥ 0 √ √ −1 + 41 1 + 41 2 ≤m≤ . ⇔ m + m − 10 ≤ 0 ⇔ − 2 2 m (m + 1) ≥ −10 Do m ∈ Z suy ra m ∈ {−3; −2; −1; 0; 1; 2}. Vậy có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn.  Chọn đáp án D Câu 29. 1 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và có f (1) = 1, f (−1) = − . 3 Đặt g (x) = f 2 (x) − 4f (x). Cho biết đồ thị của y = f 0 (x) có dạng như 4 hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 A. Hàm số g (x) có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất trên R. B. Hàm số g (x) có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên R. C. Hàm số g (x) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên R. y 2 1 0 −2 −1 O 0 −1 D. Hàm số g (x) không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên R. 1 x 2 −2 Lời giải. Từ hình vẽ suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f (x) như sau: x −∞ f (x) 0 + −1 0 + 1 0 +∞ − 1 f (x) − 1 3 Từ bảng biến thiên suy ra f (x) ≤ 1∀x ∈ R. Ta có g (x) = f 2 (x) − 4f (x) ⇒ g 0 (x) = 2f (x) · f 0 (x) − 4f 0 (x) = 2f 0 (x) · (f (x) − 2). Vì f (x) ≤ 1∀x ∈ R nên f (x) − 2 < 0, ∀x ∈ R, ta có bảng biến thiên của hàm số y = g (x) như sau: x −∞ g (x) 0 − −1 0 − 1 0 +∞ + g(x) −3 Từ bảng biên thiên suy ra hàm số có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên R. Chọn đáp án B  Câu 30. Cho hàm số y =  sin3 x − m sin x + 1 . Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên m sao cho π hàm số đồng biến trên 0; . Tính số phần tử của S. 2 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 163 Tuyển tập Toán 12 THPT A. 1. Kỳ thi THQG 2020 B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải. π Trên khoảng 0; , hàm số y = sin x đồng biến. 2 π Đặt t = sin x, x ∈ 0; ⇒ t ∈ (0; 1). 2  π 3 Khi đó hàm số y = sin x − m sin x + 1 đồng biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi y = f (t) = 2 |t3 − mt + 1| đồng biến trên (0; 1).  Xét hàm số y = f (t) = |t3 − mt + 1| trên khoảng (0; 1) có f 0 (t) = 3t2 − m.  Khi m = 0 : f 0 (x) = 3x2 > 0, ∀x ⇒ y = f (x) = x3 + 1 đồng biến trên (0; 1). Và đồ thị hàm số y = f (x) = x3 + 1 cắt Ox tại điểm duy nhất x = −1. ⇒ y = g (x) = |x3 − mx + 1| đồng biến trên (0; 1)…⇒ m = 0 … thoả mãn. m m  m > 0 : f 0 (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 = − , x2 = . 3 … ã Å… ã Å3 m m 3 và ; +∞ . Hàm số y = f (x) = x − mx + 1 đồng biến trên các khoảng −∞; − 3 3 … ã Å… ã Å m m Nhận xét: (0; 1) 6⊂ ; +∞ , (0; 1) 6⊂ −∞; − , ∀m > 0. 3 … … 3 m m TH1:− <0< <1⇔0 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ [−2; 2]? Có bao A. 1. B. 3. C. 0. √ Đặt g(x) = mx + m2 5 − x2 + 2m + 1. −2 −1 O D. 2. 1 3 x Lời giải. Từ đồ thị của y = f (x) ta thấy f (x) đổi dấu khi qua x = 1 nên suy ra g(x) cũng phải đổi dấu khi qua x = 1. Mặt khác g(x) liên tục nên g(x) = 0 có nghiệm x = 1. Kiểm tra: Với m = −1 √ Å ã
1+x √ Ta có g(x) · f (x) = −x + 5 − − 1 f (x) = (1 − x) + 1 f (x). 2 + 5 − x2 √ 1+x 3 + x + 5 − x2 √ √ Nhận xét: +1= > 0, ∀x[−2; 2]. 2 + 5 − x2 2 + 5 − x2 Khi đó quan sát đồ thị f (x), ta thấy  Với x ∈ [1; 2] thì f (x) 6 0 nên (1 − x)f (x) > 0. x2  Với x ∈ [−2; 1] thì f (x) > 0 nên (1 − x)f (x) > 0. Do đó trong cả hai trường hợp ta luôn có g(x) · f (x) > 0, ∀x ∈ [−2; 2]. Vậy m = −1 là giá trị cần tìm. Chọn đáp án A  Câu 32. Hàm số y = f (x). Hàm số y = f 0 (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi hàm số y = f (x − 3) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (2; 4). B. (1; 3). C. (−1; 3). y D. (5; 6). −1 O 1 3 x Lời giải. Đặt g (x) = f (x − 3). Ta có g 0 (x) = (x − 3)0 · f 0 (x − 3) = f 0 (x − 3). ” Hàm số g (x) đồng biến khi g 0 (x) > 0 ⇔ f 0 (x − 3) > 0 ⇔ x − 3 < −1 1 0 ⇒ Loại đáp án A. Xét đáp án A ta có: g 0 4 Å2 ã −3 Xét đáp án C ta có: g 0 = 2f 0 (0) > 0 ⇒ Loại đáp án C. 2 Å ã Å ã 7 0 21 0 Xét đáp án D ta có: g − = −5f > 0 ⇒ Loại đáp án D. 2 4  Chọn đáp án B Câu 35. Cho số thực α sao cho phương trình 2x − 2−x = 2 cos(αx) có đúng 2019 nghiệm thực. Số nghiệm của phương trình 2x + 2−x = 4 + 2 cos(αx) là A. 2019. B. 2018. C. 4037. D. 4038. Lời giải.  x x αx − 2 − 2 2 = 2 cos  x 2 (1) x 2 αx − 2 Ta có: 2x + 2−x = 4 + 2cos(αx) ⇔ 2 2 − 2 2 = 4 cos2 ⇔ x x αx 2 2 2 − 2− 2 = −2 cos (2) 2 Thay x = 0 vào phương trình (1) ta có 20 − 20 = 2 cos 0 ⇔ 0 = 1 (Vô lí), kết hợp với giả thiết ta có phương trình (1) có 2019 nghiệm thực khác 0. Với x0 là nghiệm của phương trình (1) (−x0 ) −(−x0 ) x0 x0 αx0 α(−x0 ) ⇔ 2 2 − 2− 2 = 2 cos ⇔ 2 2 −2 2 = −2 cos ⇒ −x0 là nghiệm của phương trình 2 2 (2). Thay x = −x0 vào phương trình (1) ta có: 166 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT x0 Kỳ thi THQG 2020 x0 −x0 x0 0) ⇔ 2− 2 − 2 2 = 2 cos α(−x = 2 cos αx2 0 = 2 2 − 2 2 2 x0 −x0 −x0 x0 x0 x0 ⇔ 2 · 2 2 = 2 · 2 2 ⇔ 2 2 +1 = 2 2 +1 ⇔ + 1 = − + 1 ⇔ x0 = 0 ( vô lí do x0 6= 0 ) ⇒ −x0 1 1 không là nghiệm của phương trình (1), điều đó đảm bảo mọi nghiệm của phương trình (2) không trùng với nghiệm của phương trình (1). Do đó phương trình (2) cũng có 2019 nghiệm. Vậy phương trình ban đầu có 2019 · 2 = 4038 nghiệm.  Chọn đáp án D Câu 36. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình √ √

e3m + eïm = 2 x + ã 1 − x2 1 +Åx 1 − xã2 có nghiệm ? Å ò 1 1 1 ln 2; +∞ . B. 0; ln 2 . C. −∞; ln 2 . A. 2 2 2 Lời giải. Å ã 1 D. 0; . e Phương pháp: √  Đặt x + 1 − x2 = t, tìm khoảng giá trị của t.  Đưa bài toán về dạng m = f (t). Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Cách giải: ĐKXĐ: 1 − x2 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. √ √ √ √ t2 − 1 . Đặt x + 1 − x2 = t ta có t2 = x2 + 1 − x2 + 2x 1 − x2 = 1 + 2x 1 − x2 ⇒ x 1 − x2 = 2 √ √ x 1 − x2 − x Ta có: t (x) = x + 1 − x2 , x ∈ [−1; 1] ⇒ t0 (x) = 1 − √ = √ =0 2 2 1 − x 1 − x  ( √ x ≥ 0 x≥0 √ 2 ⇔x= . ⇔ ⇔ 1 − x2 = x ⇔ 1 2 2 x 2 = 2 1−x =x 2 BBT: √ x 2 2 −1 t0 (x) + 0 √ 2 1 − t (x) −1 1 î √ ó Từ BBT ta có: t ∈ −1; 2 . Å ã t2 − 1 Khi đó phương trình trở thành: e + e = 2t 1 + = t (t2 + 1) = t3 + t (∗) 2 Xét hàm số f (t) = t3 + t ta có f 0 (t) = 3t2 + 1 > 0 ∀t ⇒ Hàm số đồng biến trên R ⇒ Hàm số đồng Ä √ ä biến trên −1; 2 . Å ã Ä √ ä 1 m m Từ (∗) ⇒ f (e ) = f (t) ⇔ e = t ⇔ m = ln t ⇒ m ∈ 0; ln 2 = 0; ln 2 . 2 3m m Chọn đáp án B  Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc h π ikhoảng (−2019; 2019) để hàm số 3 2 y = sin x − 3 cos x − m sin x − 1 đồng biến trên đoạn 0; ? 2 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 167 Tuyển tập Toán 12 THPT A. 2020. Kỳ thi THQG 2020 B. 2019. C. 2028. D. 2018. Lời giải. Phương pháp:  Sử dụng công thức cos2 x = 1 − sin2 x, đặt ẩn phụ t = sin x.  Để hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) ⇒ f 0 (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b). Cách giải:
y = sin3 x − 3 cos2 x − m sin x − 1 = sin3 x − 3 1 − sin2 x − m sin x − 1. y = sin3 x + 3 sin2 x − hm sinix − 4. π Đặt t = sin x, với x ∈ 0; ⇒ t ∈ [0; 1]. 2 Bài toán trở thành tìm m để hàm số y = t3 + 3t2 − mt − 4 đồng biến trên [0; 1]. TXĐ: D = R. Ta có y 0 = 3t2 + 6t − m. Để hàm số đồng biến trên [0; 1] ⇒ y 0 ≥ 0 ∀t ∈ [0; 1] ⇒ 3t2 + 6t − m ≥ 0 ∀t ∈ [0; 1] ⇔ m ≤ 3t2 + 6t ∀t ∈ [0; 1]. ⇒ m ≤ f (t) = 3t2 + 6t ∀t ∈ [0; 1] ⇔ m ≤ min f (t). [0;1] Xét hàm số f (t) = 3t2 + 6t, ta có f (0) = 0, f (1) = 9 ⇒ min f (t) = 0 ⇔ m ≤ 0. [0;1] ( m ∈ (−2019; 0] Kết hợp điều kiện đề bài ⇒ ⇒ Có 2019 giá trị của m thoả mãn. m∈Z  Chọn đáp án B x nghịch biến trên [1; +∞). x−m C. 0 ≤ m < 1. D. 0 < m < 1. Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = A. m > 1. B. 0 < m ≤ 1. Lời giải. Hàm số xác định trên [1; +∞) khi m < 1 −m . Phải có y 0 < 0, ∀x ∈ [1; +∞) ⇔ −m < 0 ⇔ m > 0. y0 = (x − m)2 Kết hợp điều kiện (∗) ta được 0 < m < 1. Chọn đáp án D (∗)  1 − 2 sin x Câu 39. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = đồng biến trên khoảng 2 sin x + m π  ;π . 2 A. m > 0. B. m < −1. C. m ≥ −1. D. m ≥ 0. Lời giải.  m "   − ≤0 m≥0 π π 2 < x < π ⇒ 0 < sin x < 1. Để hàm số xác định trên ; π thì  m ⇔ (∗). 2 2 m ≤ −2 − ≥1 2 −2(m + 1) cos x y0 = . (2 sin x + m)2  π  Phải có y 0 > 0, ∀x ∈ ; π ⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > −1. Kết hợp điều kiện (∗) được m ≥ 0. 2 Nhận xét: Ta có thể giải bài này bằng cách thử lần lượt m = 0, m = −1 để chọn được phương án đúng. Chọn đáp án D  Câu 40. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = 2×3 − mx2 + 2x đồng biến trên khoảng (−2; 0). 168 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT A. m ≥ 13 . 2 Kỳ thi THQG 2020 √ B. m ≤ 2 3. C. m ≥ − 13 . 2 √ D. m ≥ −2 3. Lời giải. 0 2 Yêu cầu bài toán tương đương với y = 6x − 2mx + 2 ≥ 0, ∀x ∈ (−2; 0) √ 3×2 + 1 ⇔m≥ = g(x), ∀x ∈ (−2; 0) ⇔ m ≥ max g(x) ⇔ m ≥ −2 3. (−2;0) x Chọn đáp án D  1 3 x − (m − 1)x2 + (m − 3)x + 2017. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị 3 thực của tham số m để hàm số đồng biến trên các khoảng (−3; −1) và 2; 3 là đoạn T = [a; b]. Tính Câu 41. Cho hàm số y = a + 5b. A. a + 5b = 0. C. a + 5b = −2. B. a + 5b = 9. D. a + 5b = 10. Lời giải.  Chọn đáp án D Câu 42. Tìm m để hàm số y = −x3 + 3mx2 + 3(1 − 2m)x − 1 nghịch biến trên R. A. m ≥ 1. B. m ∈ ∅. C. m = 1. D. m 6= 1. Lời giải. y 0 = −3×2 + 6mx + 3(1 − 2m). Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi ( a<0 ∆≤0 ⇔ m = 1.  Chọn đáp án C 4 3 sin x + 2 cos2 x − (2m2 − 5m + 2) sin x − 2017. Gọi S là tập hợp tất cả các 3  π giá trị nguyên của m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng 0; . Tìm số phần tử của S. 2 A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 43. Cho hàm số y = Lời giải. 4 3 Ta có y = sin x + 2(1 − sin2 x) − (2m2 − 5m + 2) sin x − 2017. 3   2 y 0 = 4 sin2 x − 4 sin x − (2m  −π 5m  +2) cos x.  π  2 0 2 Ta có ycbt ⇔ y ≥ 0, ∀x ∈ 0; ⇔ 4 sin x − 4 sin x − (2m − 5m + 2) cos x ≥ 0, ∀x ∈ 0; . 2  π  2π  Do x ∈ 0; nên cos x > 0, suy ra ycbt ⇔ 4 sin2 x − 4 sin x − (2m2 − 5m + 2) ≥ 0, ∀x ∈ 0; . 2 2 Đặt t = sin x ⇒ 0 < t < 1, ycbt ⇔ 2m2 − 5m + 2 ≤ 4t2 − 4t, ∀t ∈ (0; 1). 3 ⇔ 2m2 − 5m + 2 ≤ min (4t2 − 4t) ⇔ 2m2 − 5m + 2 ≤ −1 ⇔ 1 ≤ m ≤ . Vậy S có 1 phần tử. t∈(0,1) 2 Chọn đáp án B  √ √ √ Câu 44. Bất phương trình 2x3 + 3x2 + 6x + 16 − 4 − x ≥ 2 3 có tập nghiệm là [a; b]. Hỏi tổng a + b có giá trị bao nhiêu? A. 5. B. -2. C. 4. D. 3. Lời giải. p √ √ √ √ √ Đặt f (x) = 2x3 + 3x2 + 6x + 16 − 4 − x − 2 3 = (x + 2)(2x2 − x + 18) − 4 − x − 2 3 với x ∈ [−2; 4] 6x2 + 6x + 6 1 + √ > 0 ∀x ∈ [−2; 4] f0 = √ 3 2 2 2x + 3x + 6x + 16 2 4 − x CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 169 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ⇒ f (x) đồng biến trên [−2; 4]. Ta có: f (1) = 0 ⇒ Bất phương trình có nghiệm x ∈ [1; 4] ⇒ a + b = 5.  Chọn đáp án A 40 3 m, 7 thùng tôn hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, không nắp. Trên thị trường, giá tôn làm đáy thùng Câu 45. Một người bán gạo muốn đóng một thùng tôn đựng gạo thể tích không đổi bằng V = là 10$/1m2 , giá tôn làm mặt xung quanh thùng là 7$/1m2 . Hỏi người bán gạo đó đóng thùng đựng gạo với cạnh đáy bằng bao nhiêu sao cho chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất? A. 1 m. B. 2 m. C. 1, 5 m. D. 3 m. Lời giải. Gọi cạnh đáy, cạnh bên của hình hộp chữ nhật có độ dài lần lượt là là a (m) và b (m). 40 40 Khi đó thể tích hình hộp là V = a2 .b = ⇒b= . 7 7.a2 Diện tích một đáy hình hộp là Sa = a2 m2 . 40 40 2 Diện tích một mặt bên của hình hộp chữ nhật là Sb = a.b = a. 2 = m. 7.a 7.a 40 160 Tổng kinh phí tiền mua tôn dùng để làm thùng là T = 10.a2 + 4.7. = 10a2 + ⇒ min T = 120 7a a khi a = 2.  Chọn đáp án B a sin x − 2 Câu 46. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số y = đồng biến trên khoảng 2 sin x − a ã Å π 2π ; . 2 3 ” √ a>2 A. −2 < a ≤ 3. B. −2 ≤ a ≤ 2. C. . D. −2 < a < 2. a < −2 Lời giải. 2 (4 − a ) cos x . (2 sin x − a)2   ã Å 0 y 0 > Ç π 2π å √ Hàm số đồng biến trên ; ⇔ a 3  2 3 / ;1  ∈ 2 2 Ta có y 0 = ” ⇔ a>2 a < −2 . Chọn đáp án C  Câu 47. Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đồng biến trên R khi nào? " " a = b = 0, c > 0 a = b = c = 0, A. . B. . a > 0, b2 − 3ac ≤ 0 a > 0, b2 − 3ac < 0 " " a = b = 0, c > 0 a = b = 0, c > 0 C. . D. . b2 − 3ac ≤ 0 a > 0, b2 − 3ac ≥ 0 170 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 hàm y y f (x). Đồ thị hàm Ä√ ä √ 0 2 2 số y = f (x) như hình bên. Hàm số g(x) = f x + 2x + 3 − x + 2x + 2 Câu 48. Cho số = 2 đồng biến trên khoảng nào sau đây? ã Å 1 . B. −∞; 2 A. (−∞; −1). ã Å 1 ; +∞ . C. 2 x O D. (−1; +∞). 1 2 Lời giải.ã Ä√ ä √ 1 1 Ta có g 0 (x) = (x + 1) √ −√ f0 x2 + 2x + 3 − x2 + 2x + 2 . x2 + 2x + 3 x2 + 2x + 2 1 1  √ −√ < 0 với mọi x ∈ R. (1) 2 2 x + 2x + 3 x + 2x + 2 √ √ 1 1 p 6 √  0 < u = x2 + 2x + 3 − x2 + 2x + 2 = p < 1 2 2 2+1 (x + 1) + 2 + (x + 1) + 1 Å theo đồ thị f 0 (x) −−−−−−−−−→ f 0 (u) > 0, ∀x ∈ R. (2) Từ (1) và (2), suy ra dấu của g 0 (x) phụ thuộc vào dấu của nhị thức x + 1 (ngược dấu) Bảng biến thiên x g 0 (x) −∞ +∞ 1 + 0 − g(x) Chọn đáp án A  sin x + 1 Câu 49. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = nghịch biến trên sin x − m  π khoảng 0; ? 2 ” ” m>1 m≥1 A. . B. . C. m ≥ 1. D. m > −1. −1 −1 −1 0, b > 0, c > 0, d < 0. B. a > 0, b > 0, c < 0, d < 0. C. a < 0, b > 0, c < 0, d < 0. D. a > 0, b < 0, c < 0, d < 0. Lời giải.  (C) ∩ Oy tại điểm có tung độ âm ⇒ d < 0.  Hàm số nghịch biến trên (x; x2 ) ⇒ a > 0.  Hàm số có 2 điểm cực trị x1 .x2 < 0 ⇒ ac < 0 ⇒ c < 0. 2b  Vì x1 ∈ (−2; −1), x2 ∈ (0; 1) ⇒ x1 + x2 < 0 ⇒ − < 0 ⇒ ab < 0 ⇒ b > 0 3a Chọn đáp án B  −2 sin x − 1 Câu 53. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = đồng biến trên sin x − m  π khoảng 0; . 2 1 1 A. m ≥ − . B. m > . 2 2 1 1 C. − < m < 0 hoặc m > 1. D. − < m ≤ 0 hoặc m ≥ 1. 2 2 Lời giải. −2t − 1 Đặt t = sin x, t ∈ (0; 1). Hàm số trở thành g(t) = . Do t = sin x là hàm số đồng biến  π  π t − m trên 0; nên hàm số đã cho đồng biến trên 0; khi hàm số g(t) đồng biến trên (0; 1), suy ra 2 2  ( 0 1 − 0  2 . ⇒ m 6∈ (0; 1) m≥1  Chọn đáp án D h Câu 54. Để phương trình −2 sin2 x + 3 sin x + 1 = m có hai nghiệm phân biệt trên 0; πi 2 . Ta phải có tập giá trị của m là 172 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT ã 17 A. 2; . 8 Kỳ thi THQG 2020 ï Å B. ã 17 1; . 8 Å ã 17 C. −∞; . 8 Å D. ã 17 ; +∞ . 8 Lời giải. Đặt t = sin x, t ∈ [0; 1]. Khí đó, phương trình đã cho trở thành −2t2 + 3t + 1 = m. Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để −2t2 + 3t + 1 = m có hai nghiệm phân biệt t ∈ [0; 1] Xét f (t) = −2t2 + 3t + 1; t ∈ [0; 1] 3 f 0 (t) = −4t + 3 = 0 ⇔ t = . 4 Ta có bảng biến thiên x 3 4 0 0 f 0 (x) + 1 − 17 8 f (x) 1 2 ï ⇒ m có tập giá trị là 2; 17 8 ã  Chọn đáp án A mx − 4m + 5 với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên x + 3m của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S. Câu 55. Cho hàm số y = A. 2. B. 4. C. 3. D. 5. Lời giải. 2 y0 = 3m + 4m − 5 . (x + 3m)2 Để hàm số nghịch biến thì 3m + 4m − 5 < 0 ⇔ 2− √ √ 2 + 19 19 0 ⇔ 6f 0 (3x + 1) − 6(3x + 1) > 0 ⇔ f 0 (3x + 1) > 3x + 1 (∗). y=x 4 Từ đồ thị trên ta vẽ thêm đường thẳng y = x. Quan sát hình vẽ ta thấy: Xét trên khoảng (−2; 4) thì f 0 (x) > x ⇔ −2 < x < 2. 1 Do đó (∗) ⇔ −2 < 3x + 1 < 2 ⇔ −1 < x < . Å ã 3 1 Vậy hàm số h(x) đồng biến trên −1; . 3 2 −2 2 O 4 x −2  Chọn đáp án C Câu 60. Hàm số y = f (x). Hàm số y = f 0 (x) có đồ thị như hình vẽ bên. y Hỏi hàm số y = f (x − 3) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (2; 4). B. (1; 3). C. (−1; 3). D. (5; 6). −1 O 1 3 x Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 175 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Đặt g (x) = f (x − 3). Ta có g 0 (x) = (x − 3)0 · f 0 (x − 3) = f 0 (x − 3). " Hàm số g (x) đồng biến khi g 0 (x) > 0 ⇔ f 0 (x − 3) > 0 ⇔ x − 3 < −1 1 −1 m ≥ −1 A. . B. −2 ≤ m ≤ −1. C. . D. −2 < m < −1. m < −2 m ≤ −2 Lời giải. Ta có y 0 = −x2 + 2mx + (3m + 2). Hàm số nghịch biến trên R khi ∆0 ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ −2 ≤ m ≤ −1.  Chọn đáp án B Câu 64. Phương trình x3 − A. 2. √ 1 − x2 = 0 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? B. 6. C. 1. D. 3. Lời giải.  Ta có x3 − √ √ 1 − x2 = 0 ⇔ x 3 = 1 − x2 ⇔ ( x≥0 x6 = 1 − x2 ⇔ ( x≥0 x6 + x2 − 1 = 0.  Xét hàm số f (x) = x6 + x2 − 1 trên [0; +∞) f 0 (x) = 6x5 + 2x ≥ 0 ∀ x ∈ [0; +∞), f 0 (x) = 0 ⇔ x(6x4 + 2) = 0 ⇔ x = 0. Bảng biến thiên: x f (x) +∞ 0 0 + +∞ f (x) −1 Dựa vào bảng biến thiên, ta có đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng y = 0 có duy nhất 1 điểm chung trên [0; +∞) hay phương trình x6 + x2 − 1 = 0 có duy nhất 1 nghiệm trên [0; +∞).  Chọn đáp án C Câu 65. Tập hợp nghiệm của hệ bất phương trình A. (−∞; −4). B. [−4; −1]. ( 2 x + 5x + 4 ≤ 0 x3 + 3x2 − 9x − 10 > 0 C. [−4; 1]. là D. [−1; +∞). Lời giải.  Tập xác định D = R.  x2 + 5x + 4 ≤ 0 ⇔ x ∈ [−4; −1].  Xét hàm số f (x) = x3 + 3×2 − 9x −”10 trên [−4; −1]. x = 1 6∈ [−4; −1] f 0 (x) = 3×2 + 6x − 9, f 0 (x) = 0 ⇔ x = −3 ∈ [−4; −1]. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 177 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Bảng biến thiên f (x) trên [−4; −1]: x f (x) −4 0 −3 0 + −1 − 17 f (x) 10 1 Dựa vào bảng biến thiên, ta có f (x) > 0, ∀ x ∈ [−4; −1].  Vậy hệ bất phương trình có tập nghiệm là [−4; −1].  ( 3 x − y 3 + 3y 2 − 3x − 2 = 0 (1) Câu 66. Cho hệ phương trình . Hỏi có bao nhiêu giá trị p √ x2 + 1 − x2 − 3 2y − y 2 + m = 0 (2) nguyên của m để hệ phương trình trên có nghiệm? Chọn đáp án B A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Lời giải. Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2. Phương trình (1) ⇔ (x + 1)3 − 3(x + 1)2 = y 3 − 3y 2 (3). Do −1 ≤ x ≤ 1 nên 0 ≤ x + 1 ≤ 2. Xét hàm số f (t) = t3 − 3t2 trên [0; 2]. Ta có f 0 (t) = 3t2 − 6t ≤ 0, ∀ t ∈ [0; 2] (dấu bằng chỉ xảy ra tại t = 0 hoặc t = 2). Suy ra f (t) nghịch biến trên [0; 2]. Suy ra (3) ⇔ f (x + 1) = f (y) ⇔ y = x + 1. √ √ Thay vào (2) ta được x2 − 2 1 − x2 + m = 0 ⇔ (1 − x2 ) + 2 1 − x2 = m + 1 √ Đặt u = 1 − x2 , (0 ≤ u ≤ 1). (∗). Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình u2 + 2u = m + 1 có nghiệm u ∈ [0; 1]. Ta có hàm g(u) = u2 + 2u đồng biến trên [0; 1] nên phương trình có nghiệm trên [0; 1] khi và chỉ khi g(0) ≤ m + 1 ≤ g(1) ⇔ 0 ≤ m + 1 ≤ 3 ⇔ −1 ≤ m ≤ 2. Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Chọn đáp án D  sin x + 3 Câu 67. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = nghịch biến trên sin x + m  π 0; . 2 ” m ≤ −1 A. 0 ≤ m < 3. B. m ≤ −1. C. m ≥ 3. D. . 0≤m<3 Lời giải.   π (m − 3) cos x π 0 Ta có y = . Vì cos x > 0∀x ∈ 0; nên hàm số nghịch biến trên 0; khi và chỉ khi (sin x + m)2 2 2  m − 3 < 0  π (m − 3) cos x   < 0 ∀x ∈ 0; ⇔  sin x = −m không có nghiệm thuộc 0; π (sin x + m)2 2 2 178 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020   m<3    "    | − m| > 1 m ≤ −1 ⇔  ⇔ .  −m=1 0 ≤ m < 3       −m≤0  Chọn đáp án D Câu 68. y Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Nhận xét nào sau đây đúng về hàm g(x) = f 2 (x)? A. Hàm số g(x) đồng biến trên (−∞; +∞). B. Hàm số g(x) nghịch biến trên (−∞; 1). 2 C. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (2; +∞). −1 D. Hàm số g(x) đồng biến trên (−∞; 2). 1 O x Lời giải. Từ đồ thị hàm số y = f (x) suy ra " x = −1 , trong đó x = −1 là nghiệm kép.  f (x) = 0 ⇔ x=2 " x = −1 và f 0 (x) > 0 ⇔ −1 < x < 1.  f 0 (x) = 0 ⇔ x=1 Xét hàm số g(x) = f 2 (x) có g 0 (x) = 2f (x)f 0 (x). " 0 g (x) = 0 ⇔ f (x) = 0 f 0 (x) = 0 " ⇔ x = ±1 x = 2. Ta có bảng xét dấu x −∞ f (x) f 0 (x) g 0 (x) + − − −1 0 0 0 1 + + + 0 + − − 2 0 0 +∞ − − + Từ bảng xét dấu ta có g 0 (x) > 0 khi x ∈ (−1; 1) ∪ (2; +∞) nên hàm số g(x) đồng biến trên (2; +∞).  Chọn đáp án C Câu 69. Cho hàm số y = − (0; 3). A. a ≥ 12 . 7 x3 + (a − 1)x2 + (a + 3)x − 4. Tìm a để hàm số đồng biến trên khoảng 3 B. a < −3. C. a ≤ −3. D. a > 12 . 7 Lời giải. Hàm số đồng biến trên (0; 3) khi và chỉ khi y 0 = −x2 + 2(a − 1)x + a + 3 ≥ 0 ∀x ∈ (0; 3) ⇔ a ≥ x2 + 2x − 3 2x + 1 ∀x ∈ (0; 3). CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 179 Tuyển tập Toán 12 THPT Xét hàm g(x) = Kỳ thi THQG 2020 2×2 + 2x + 8 x2 + 2x − 3 có g 0 (x) = > 0 ∀x ∈ [0; 3]. 2x + 1 (2x + 1)2 Suy ra a≥ x2 + 2x − 3 2x + 1 ∀x ∈ (0; 3) ⇔ a ≥ maxg(x) ⇔ a ≥ g(3) ⇔ a ≥ [0;3] 12 . 7  Chọn đáp án A √ Câu 70. Cho phương trình x3 − 3×2 − 2x + m − 3 + 2 3 2×3 + 3x + m = 0. Tập S là tập hợp các giá trị nguyên của m để phương trình có ba nghiệm phân biệt. Tính tổng các phần tử của S. A. 15. √ 3 B. 9. C. 0. D. 3. Lời giải. 3 2×3 3 Đặt t = + 3x + m ⇒ t = 2x + 3x + m. (3 t = 2×3 + 3x + m Ta có ⇒ t3 + 2t = (x + 1)3 + 2(x + 1). 3 2 x − 3x − 2x + m − 3 + 2t = 0 Xét hàm số y = f (u) = u3 + 2u ⇒ f 0 (u) = 3u2 + 2 > 0, ∀u ∈ R. Do đó hàm số liên tục và đồng biến trên R. Suy ra t = x + 1 ⇒ 2×3 + 3x + m = (x + 1)3 ⇔ x3 − 3×2 − 1 = “−m. x=0 Xét g(x) = x3 − 3×2 − 1 ⇒ g 0 (x) = 3×2 − 6x. Giải g 0 (x) = 0 ⇔ x = 2. Bảng biến thiên x y0 −∞ + 0 0 − 2 0 +∞ + +∞ −1 y −∞ −5 Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi −5 < −m < −1 ⇒ 1 < m < 5. Vì m ∈ Z nên m ∈ S = {2; 3; 4}. Vậy tổng các phần tử của S bằng 9.  Chọn đáp án B Câu 71. Cho phương trình √ √ sin x(2 − cos 2x) − 2(2 cos3 x + m + 1) 2 cos3 x + m + 2 = 3 2 cos3 x + m + 2. Có ï baoã nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có đúng một nghiệm x thuộc 2π 0; ? 3 A. 1. B. . C. 4. D. 2. 3 Lời giải. 180 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ta có ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ √ √ sin x(2 − cos 2x) − 2(2 cos3 x + m + 1) 2 cos3 x + m + 2 = 3 2 cos3 x + m + 2 √ √ sin x(2 − cos 2x) = 2(2 cos3 x + m + 1) 2 cos3 x + m + 2 + 3 2 cos3 x + m + 2 √   sin x(2 sin2 x + 1) = 2 cos3 x + m + 2 2(2 cos3 x + m + 1) + 3 √   sin x(2 sin2 x + 1) = 2 cos3 x + m + 2 2(2 cos3 x + m + 2) + 1 Ä√ ä3 √ 2 sin3 x + sin x = 2 2 cos3 x + m + 2 + 2 cos3 x + m + 2. Xét hàm số f (t) = 2t3 + t có f 0 (t) = 6t2 + 1 > 0 với mọi t nên hàm số f luôn đồng biến. Do đó Ä√ ä f (sin x) = f 2 cos3 x + m + 2 √ ⇔ sin x = 2 cos3 x + m + 2 ⇔ sin2 x = 2 cos3 x + m + 2 ⇔ 1 − cos2 x = 2 cos3 x + m + 2 ⇔ − 2 cos3 x − cos2 x − 1 = m. (∗) ò Å 1 Đặt u = cos x, với u ∈ − ; 1 , phương trình (∗) trở thành −2t3 − t2 − 1 = m. 2 Å ò 1 3 2 Xét hàm số g(u) = −2u − u − 1 trên − ; 1 . 2 1 Ta có g 0 (u) = −6u2 − 2u và g 0 (u) = 0 có các nghiệm u = 0, u = − . 3 Bảng biến thiên x − 1 2 y0 1 3 0 − − 0 + −1 0 1 − −1 y − 28 27 −4 ï ã 2π Phương trình đã cho có đúng một nghiệm thuộc 0; khi phương trình (∗) có đúng một nghiệm 3 Å ò 1 28 thuộc − ; 1 . Dựa vào bảng biến thiên ta được m = −1 hoặc −4 ≤ m < − . 2 27 Vì m nguyên nên m ∈ {−4; −3; −2; −1}.  Chọn đáp án B tan x − 2 Câu 72. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = đồng biến trên tan x − m  π khoảng 0; . 4 A. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2. B. m ≤ 0. C. 1 ≤ m < 2. D. m ≥ 2. Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 181 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 1 1 (tan x − m) − (tan x − 2) 2 2−m cos2 x Ta có y 0 = cos x = 2. 2 (tan x −m)  cos2 x (tan x− m)  π π π Hàm số đồng biến trên khoảng 0; ⇔ hàm số xác định trên 0; và y 0 ≥ 0 ∀x ∈ 0; . 4 4  4π   " m 6= tan x ∀x ∈ 0; m≤0 4 ⇔ Từ đó suy ra 2 − m ≥ 0 1 ≤ m ≤ 2.  π Khi m = 2 thì hàm số đã cho là hàm hằng trên 0; .  π 4 khi và chỉ khi m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; 4 Chọn đáp án A Câu 73. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =  1 3 x − 2x2 + (m + 5)x + 2m − 5 3 đồng biến trên khoảng (3; +∞). A. m ≤ 2. B. m > −2. C. m < 2. D. m ≥ −2. Lời giải. 0 2 y = x − 4x + m + 5. Để hàm số đồng biến trên (3; +∞) thì x2 − 4x + m + 5 ≥ 0 với mọi x ∈ (3; +∞). Hay m ≥ −x2 + 4x − 5 với mọi x ∈ (3; +∞). ⇔ m ≥ max (−x2 + 4x − 5) = −2 x∈(3;+∞)  Chọn đáp án D cot 2x + m + 2 Câu 74. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = đồng biến trên khoảng cot 2x − m π π  ; . 6 4 A. m ∈ (−∞; −1). B. m ∈ (−1; +∞).Ç √ å å ñ√ 3 3 ; +∞ . D. m ∈ (−1; 0) ∪ ; +∞ . C. m ∈ (−1; 0] ∪ 3 3 Lời giải. Ç √ å π π  3 Đặt u(x) = cot 2x ∈ 0; , u0 (x) < 0 với mọi x ∈ ; . 3 6 4 2m + 2 Ta có y 0 = −u(x). . (u(x) − m)2   2m + 2 >Ç0 π π  √ å Do đó, để hàm số đồng biến trên ; thì 3 .  6 4 m ∈ R 0; 3 ñ√ å 3 Vậy m ∈ (−1; 0] ∪ ; +∞ . 3  Chọn đáp án C π π  cot x − 2 Câu 75. Giá trị m để hàm số y = nghịch biến trên ; là cot x − m 4 2 ” m≤0 A. . B. 1 ≤ m < 2. C. m ≤ 0. 1≤m<2 Lời giải. π π  ; ⇒ t ∈ (0; 1) . Đặt t = cot x, x ∈ 4 2 182 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em D. m > 2. Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 t−2 . t−m π π  cot x − 2 t−2 Để hàm số y = nghịch biến trên ; , thì hàm số y = đồng biến trên (0; 1) . cot x − m 4 2 t−m 2−m t−2 ta có y 0 = Xét hàm số y = . t−m (t − m)2 ( m∈ / (0; 1) t−2 Để hàm số y = đồng biến trên (0; 1) thì t−m y 0 > 0, ∀t ∈ (0; 1) . 0 Suy ra ” y > 0 ⇔ 2 − m > 0 ⇔ m < 2. m≤0 Vậy là giá trị cần tìm. 1≤m<2 Ta có y =  Chọn đáp án A 2 cos x + 1 đồng biến trên khoảng (0; π). cos x − m 1 1 B. m > − . C. m > − . 2 2 Lời giải. Câu 76. Tìm m để hàm số y = A. m 6 1. D. m > 1. Vì x ∈ (0; π) nên cos x ∈ (−1; 1). Điều kiện: cos x − m 6= 0 ⇔ m ∈ / (−1; 1)(*). −2 sin x (cos x − m) + sin x (2 cos x + 1) (2m + 1) sin x Ta có: y 0 = = . 2 (cos x − m) (cos x − m)2 Trên khoảng (0; π) ta thấy, sin x > 0, ∀x ∈ R. 1 Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (0; π) khi y 0 > 0 ⇔ 2m + 1 > 0 ⇔ m > − . 2 Kết hợp với điều kiện (*) ta có: m > 1.  Chọn đáp án D Câu 77. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (−9; 12) sao cho hàm số y = mx + 9 x+m đồng biến trên khoảng (−6; +∞)? A. 14. B. 16. C. 7. D. 6. Câu 78. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị của hàm số y = f 0 (x) như hình vẽ bên. Xét hàm số g(x) = f (x2 − 2). Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (0; 2). y B. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (−∞; −2). 2 C. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (2; +∞). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 0). 1 −1 O 2 x −2 Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 183 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ” Từ đồ thị ta thấy f 0 (x) = 0 ⇔ x = −1 ” ⇒ f 0 (x2 − 2) = 0 ⇔ x2 − 2 = −1 . x2 − 2 = 2   x=0 x=0   2  Từ g(x) = f (x2 − 2) ⇒ g 0 (x) = 2xf 0 (x2 − 2) = 0 ⇔  x − 2 = −1 ⇔ x = ±1 x2 − 2 = 2 x = ±2 Bảng xét dấu x=2 x −∞ g (x) 0 −2 0 − + −1 0 + 0 0 − 1 0 +∞ 2 0 − + Từ bảng xét dấu g 0 (x) ta thấy g 0 (x) > 0, ∀x ∈ (−1; 0).  Chọn đáp án D Å ã mx − 1 1 Câu 79. Tìm m để hàm số y = nghịch biến trên khoảng −∞; . m − 4x 4 A. −2 ≤ m ≤ 2. B. −2 < m < 2. C. m > 2. D. 1 ≤ m < 2. Å ãLời giải. Å ã 1 1 Để hàm số nghịch biến trên khoảng −∞; thì hàm số phải xác định trên −∞; và y 0 < 0, ∀x ∈ 4 4 Å ã 1 −∞; . Ta có: 4  m2 − 4  ( 2  <0 y 0 = m −4<0 2 (m − 4x) ⇔ 2 ≤ m < 2. ⇔  m 1 m ≥ 1   ≥ 4 4  Chọn đáp án D Câu 80. Hàm số y = A. m ∈ ∅. m2 − 1 3 x + (m + 1)x2 + 3x + 5 đồng biến trên R khi 3 " m ≤ −1 B. m ≥ 2. C. . m≥2 Lời giải. D. m ≤ −1. Tập xác định D = R. Ta có: y 0 = (m2 − 1)x2 + 2(m + 1)x + 3. Hàm số đồng biến trên R ⇔ y 0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ (m2 − 1)x2 + 2(m + 1)x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ R (∗). Trường hợp 1: m2 − 1 = 0 ⇔ m = ±1. − Với m = 1 ta có: (∗) ⇔ 4x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ R (không thỏa ∀x ∈ R). Ta loại giá trị m = 1. − Với m = −1 ta có: (∗) ⇔ 3 ≥ 0, ∀x ∈ R (luôn đúng). Ta nhận giá trị m = −1. Trường hợp 2: (∗) ⇔ ( a>0 ∆0 ≤ 0 ⇔ ( 2 m −1>0 (m + 1)2 − 3(m2 − 1) ≤ 0 ” m ≤ −1 Kết hợp cả 2 trường hợp ta được: . m≥2 Chọn đáp án C 184 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em ⇔ ( m < −1 ∨ m > 1 (m + 1)(4 − 2m) ≤ 0 ” ⇔ m < −1 m≥2  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 81. y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị y = f 0 (x) như hình vẽ. 3 3 1 Xét hàm số g(x) = f (x) − x3 − x2 + x + 2017. 3 4 2 Cho các mệnh đề dưới đây: 3 (I) g(0) < g(1). (II) min g(x) = g(−1). x∈[−3;1] 1 (III) Hàm số g(x) nghịch biến trên (−3; −1). (IV) max g(x) = max{g(−3), g(1)}. −1 −3 O 1 x x∈[−3;1] Số mệnh đề đúng là −2 A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Lời giải. 1 3 3 2 3 Đặt h(x) = x + x − x − 2017. 3 4 2 3 3 Ta có h0 (x) = x2 + x − . 2 2 Trên đoạn [−3; 1], đồ thị của hàm số f 0 (x) và h0 (x) trên cùng hệ y 3 trục toạ độ Oxy có dạng như hình bên. Mặt khác, ta có g(x) = f (x) − h(x)." ⇒ g 0 (x) = 0 ⇔ f 0 (x) − h0 (x) = 0 ⇔ 1 x = ±1 −1 . x = −3 Dựa vào đồ thị, ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) trên [−3; 1] như sau x −3 g 0 (x) −1 − 0 −3 O 1 x −2 1 + g(−3) g(1) g(x) g(−1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: - Hàm số g(x) đồng biến trên (−1; 1) nên g(0) < g(1). - Hàm số g(x) có min g(x) = g(−1). x∈[−3;1] - Hàm số g(x) nghịch biến trên (−3; −1). - Hàm số g(x) có max g(x) = max {g(−3); g(1)}. x∈[−3;1] Chọn đáp án D  1 m−1 2 Câu 82. Cho hàm số y = x3 − x + mx + m − 1. Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho 3 2 hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài đúng bằng 1. Tính số phần tử của S. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 185 Tuyển tập Toán 12 THPT A. 1. Kỳ thi THQG 2020 B. 3. C. 2. D. 0. Lời giải. Ta có: y 0 = x2 − (m − 1)x + m. Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1 ⇔ y 0 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 đồng thời |x1  − x2 | = 1  ( ( 2 "  ∆ > 0 (m − 1)2 − m > 0 m − 3m + 1 > 0 m=0 √ ⇔ √ ⇔ ⇔ ⇔ m2 − 3m = 0 ⇔ ∆  ∆=1 m2 − 3m + 1 = 1 m = 3.   a =1 Số phần tử của S bằng 2.  Chọn đáp án C Câu 83. Cho a và b Å là hai số dương mãnã2(a2 + b2 ) + ab = (a + b)(ab + 2). Biết giá trị nhỏ nhất Åthỏa 3 3ã 2 m a b a b2 m (với m, n là các số nguyên, n > 0 và là của biểu thức P = 4 3 + 3 − 9 2 + 2 là S = b a b a n n phân số tối giản). Hãy tính m + n. A. −18. B. −19. C. −20. D. −17. Lời giải. Với a, b là số dương ta có 2(a2 + b2 ) + ab = (a + b)(ab + 2) ⇔ 2(a2 + b2 ) + ab = a2 b + ab2 + 2(a + b) ã Å ã Å 1 1 a b + 1 = (a + b) + 2 ⇔ 2 + + b a a b ã ã Å Å Å ã 1 1 1 1 a b ≥ 2 2(a + b) =2 2 Mặt khác (a + b) + 2 + + + +2 . a b a b b a Å Å ã ã a b a b a b 5 Suy ra 2 + +1≥2 2 + +2 ⇒ + ≥ . b a b a b a 2 5 a b Đặt t = + , t ≥ suy ra P = 4(t3 − 3t) − 9(t2 − 2) = 4t3 − 9t2 − 12t + 18. b a 2 5 Xét hàm số f (t) = 4t3 − 9t2 − 12t + 18, với t ≥ . 2 Å ã −23 5 5 0 2 = . Ta có f (t) = 6(2t − 3t − 2) > 0, với ∀t ≥ suy ra h min  f (t) = f 5 2 2 4 ;+∞ 2 −23 Vậy min P = ⇒ m + n = −19. 4 Chọn đáp án B  Câu 84. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx − sin x đồng biến trên R. A. m > 1. B. m ≤ −1. C. m ≥ 1. D. m ≥ −1. Lời giải. Ta có y 0 = m − cos x. Theo đề bài, y 0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ m − cos x ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ m ≥ cos x, ∀x ∈ R ⇔ m ≥ 1. 186 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Chọn đáp án C Câu 85. Tập nghiệm của bất phương trình (x + 2) A. (1; +∞). B. (1; 2). îp ó Ä√ ä (x + 2)2 + 3 + 1 + x x2 + 3 + 1 > 0 là C. (−1; +∞). D. (−1; 2). Lời giải. Bất phương trình đã cho có dạng Ä√ ä f (x + 2) > f (−x) trong đó f (t) = t t2 + 3 + 1 . Ä√ ä Xét f (t) = t t2 + 3 + 1 , t ∈ R; Å ã √ √ t t2 0 2 > 0∀t ∈ R. Ta có f (t) = t + 3 + 1 + t √ = t2 + 3 + 1 + √ t2 + 3 t2 + 3 Do đó f (t) đồng biến trên R. Từ đó f (x + 2) > f (−x) ⇔ x + 2 > −x ⇔ x > −1 Chọn đáp án C  Câu 86. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = (m2 − 1) x4 − 2mx2 đồng biến trên khoảng (1; +∞). √ 1+ 5 A. m ≤ −1. B. m = −1 hoặc m > . 2 √ 1+ 5 . D. m ≤ −1 hoặc m > 1. C. m ≤ −1 hoặc m ≥ 2 Lời giải. Ta có y 0 = 4(m2 − 1)x3 − 4mx.  Với m = −1 ⇒ y 0 = 4x > 0, ∀x ∈ (1; +∞) ⇒ y tăng trên khoảng (1; +∞).  Với m = 1 ⇒ y 0 = −4x < 0, ∀x ∈ (1; +∞) ⇒ y giảm trên khoảng (1; +∞).  Với m 6= ±1, để hàm số tăng trên (1; +∞) thì ((m2 − 1)x2 − m) x ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞). 2m 2 ∈ (1; +∞)(∗) + Nếu m2 − 1 < 0, (∗) ⇔ x2⇔≤(m 2 − 1)x , ∀x≥∈m, (1;∀x +∞) (không có m thỏa bài toán). m −1 m m , ∀x ∈ (1; +∞) ⇔ 2 ≤ 1. + Nếu m2 − 1 > 0, (∗) ⇔ x2 ≥ 2 m −1 m√− 1  ( 2 1+ 5 m −1>0 m ≥ 2 Giá trị m thỏa mãn hệ ⇔ m2 − m − 1 ≥ 0 m < −1. √ 1+ 5 Vậy m ≥ hoặc m ≤ −1. 2 Chọn đáp án C  2 sin x − 1 đồng biến trên khoảng Câu 87. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = sin x − m  π 0; . 2 A. m < 1. B. m ≤ 0. C. m ≥ 1. D. m > −1. Lời giải.  π  π (1 − 2m) cos x Ta có y 0 = . Vì cos x > 0, ∀x ∈ nên hàm số đồng biến trên 0; khi và chỉ 0; (sin x − m)2 2 2 khi  1 − 2m > 0   (1 − 2m) cos x π   > 0, ∀x ∈ 0; ⇔  sin x = m không có nghiệm thuộc 0; π (sin x − m)2 2 2 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 187 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  1    m< 1    2   m<      2 " |m| > 1 ⇔  ⇔ m ≤ 0 ⇔ m ≤ 0.   m = 1         m≥1   m≤0  Chọn đáp án B Câu 88. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R và có đạo hàm f 0 (x) thỏa mãn f 0 (x) = (1 − x)(x + 2) · g(x) + 2018 trong đó g(x) < 0, ∀x ∈ R. Hàm số y = f (1 − x) + 2018x + 2019 nghịch biến trên khoảng nào? A. (1; +∞). B. (0; 3). C. (−∞; 3). D. (3; +∞). Lời giải. Đặt t = 1 − x, ta được hàm số h(t) = f (t) − 2018t + 4037. Khi đó, ta có: h0 (t) = f 0 (t) − 2018 = (1 − t)(t + 2)g(t). " Suy ra y 0 = −x(3 − x) · g(x); y 0 < 0 ⇔ −x(3 − x) · g(x) < 0 ⇔ 3x − x2 < 0 ⇔ x<0 x > 3. Do đó hàm số y = f (1 − x) + 2018x + 2019 nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (3; +∞).  Chọn đáp án D Câu 89. Tất cả các giá trị của m để hàm số y = 1 B. m ≤ . 2 1 A. m < . 2  π 2 sin x − 1 đồng biến trên khoảng 0; là sin x − m 2 C. m ≤ 0. D. m < 0. Lời giải. 2t − 1 π nên t ∈ (0; 1). Hàm số đã cho trở thành y = . Đặt t = sin x. Vì x ∈ 0; 2 t−m Tập xác định D = R {m}. 1 − 2m Ta có y 0 = . (t − m)2 2t − 1 Hàm số y = đồng biến trên khoảng (0; 1) khi và chỉ khi t−m   1 − 2m   m < 1 > 0, ∀t ∈ (0; 1) 2 (t − m) 2 ⇔ ⇔ m < 0.   m ∈ m∈ / (0; 1) / (0; 1)   Chọn đáp án D Câu 90. Cho cấp số cộng (an ), cấp số nhân (bn ) thỏa mãn a2 > a1 ≥ 0; b2 > b1 ≥ 1 và hàm số f (x) = x3 − 3x sao cho f (a2 ) + 2 = f (a1 ) và f (log2 b2 ) + 2 = f (log2 b1 ). Số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho bn > 2018 · an là A. 16. B. 15. C. 17. D. 18. Lời giải. Ta có f 0 (x) = 3×2 − 3. Ta có bảng biến thiên của hàm số f (x) như sau 188 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT x Kỳ thi THQG 2020 −∞ f 0 (x) + −1 0 1 0 − 0 +∞ + +∞ 2 f (x) 0 −∞ Từ bảng biến thiên ta có −2 ( f (x) nghịch biến trên [0; 1] f (1) + 2 = f (0). ( a1 = 0 Ta có ⇒ ⇒ an = n − 1. f (a2 ) + 2 = f (a1 ) a2 = 1. ( ( ( 1 ≤ b1 < b2 log2 b1 = 0 b1 = 1 Ta có ⇒ ⇒ ⇒ bn = 2n−1 . f (log2 b2 ) + 2 = f (log2 b1 ) log2 b2 = 1 b2 = 2 n−1 Khi đó bn > 2018 · an ⇒ 2 > 2018 · (n − 1). Xét f (t) = 2t − 2018 · t với t ≥ 0. 2018 . Ta có f 0 (t) = 2t · ln 2 − 2018. Ta được f 0 (t) = 0 ⇔ t = log2 ln 2 Ta có bảng biến thiên của hàm số f (t) như sau ( 0 ≤ a1 < a2 t log2 0 f 0 (t) 2018 ≈ 11,5 ln 2 − t0 14 15 +∞ + 0 +∞ 1 2498 0 f (t) -11868 ≈ −20310,73 Theo bảng biến thiên, ta thấy giá trị t = 15 là số nguyên dương nhỏ nhất để f (t) > 0. Vậy ta có n = 16 là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho bn > 2018 · an . Chọn đáp án A  Câu 91. Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn 2f (x) > 1 và 1 m2 x2 + + m(1 − x) 2f (x) − 1 4 = 1 2mx − 1 f 2 (x) − f (x) + m + 4 với m > 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f (x) − 9m + 8 đồng biến trên x−m từng khoảng xác định của nó? A. 8. B. 9. C. 6. D. 7. Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 189 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 1 m2 x2 + + m(1 − x) 2f (x) − 1 (2mx − 1)2 + 4m 4 Với m > 0, ta có = = > 0. 1 2mx − 1 [2f (x) − 1]2 + 4m 2 f (x) − f (x) + m + 4 Mà 2f (x) > 1 ⇒ 2mx − 1 > 0. Ta lại có 1 m2 x2 + + m(1 − x) 2f (x) − 1 (2mx − 1)2 + 4m 2f (x) − 1 4 = = ⇔ 1 2mx − 1 2mx − 1 [2f (x) − 1]2 + 4m f 2 (x) − f (x) + m + 4 ⇔ [2f (x) − 1]3 + 4m[2f (x) − 1] = (2mx − 1)3 + 4m(2mx − 1) ⇔ 2f (x) − 1 = 2mx − 1 ⇔ f (x) = mx (vì hàm số g(t) = t3 + 4mt đồng biến trên R). mx − 9m + 8 . x−m mx − 9m + 8 −m2 + 9m − 8 Xét hàm số y = , ta có y 0 = . x−m (x − m)2 Do đó hàm số đã cho trở thành y = Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó ⇔ y 0 > 0, ∀x ∈ D ⇔ −m2 + 9m − 8 > 0 ⇔ 1 < m < 8. Suy ra giá trị nguyên của m là 2, 3, 4, 5, 6, 7.  Chọn đáp án C Câu 92. x4 − y= 4 A. 1. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số thực m sao cho hàm số 3 2 mx2 + 2x + 2 đồng biến trên nửa khoảng [1; +∞). Số phần tử của tập S là 2 x B. 2. C. 0. D. 6. Lời giải. 4 Ta có y 0 = x3 − 3mx + 2 − 3 . Vì hàm số liên tục trên [1; +∞) và có đạo hàm trên (1; +∞) nên hàm x số đồng biến trên nửa khoảng [1; +∞) khi y 0 ≥ 0, ∀x > 1. 4 2 4 x3 − 3mx + 2 − 3 ≥ 0, ∀x > 1 ⇔ x2 + − 4 ≥ 3m, ∀x > 1 (1). x x x 2 16 2 4 2 Xét hàm số g(x) = x + − 4 , x > 1, g 0 (x) = 2x − 2 + 5 > 0, ∀x > 1. Bảng biến thiên của hàm số x x x x g(x) x +∞ 1 g 0 (x) + +∞ g(x) −1 1 Từ bảng biến thiên suy ra (1) ⇔ 3m ≤ −1 ⇔ m ≤ − . 3 Chọn đáp án C 190 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Å ã − cos x + m 3π Câu 93. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = nghịch biến trên khoảng π; . cos x + m 2 A. m ≥ 0. B. m ≤ −1. C. m ≥ 1. D. m < 0. ã Å ã ÅLời giải. 2m sin x 3π 3π 0 Ta có y = nên hàm số đã cho nghịch biến trên π; . Vì sin x < 0, ∀x ∈ π; (cos x + m)2 2 2 ã Å 2m 3π ⇔ > 0 ∀x ∈ π; (cos x + m)2 2   m > 0 ⇔   cos x = −m không có nghiệm thuộc  m>0   ” ⇔ − m ≤ −1 ⇔ m ≥ 1.    −m≥0 Å ã 3π π; 2  Chọn đáp án C cot2 x − 2m cot x + 2m2 − 1 , có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn cot x − m π π  ; ? [−2018; 2018] để hàm số đã cho nghịch biến trên 4 2 A. 2018. B. 2020. C. 2019. D. 0. Câu 94. Cho hàm số y = Lời giải. Đặt t = cot x, t ∈ (0; 1). t2 − 2mt + 2m2 − 1 đồng biến trên (0; 1). Ta cần tìm m để y = t−m t2 − 2mt + 1 Ta có y 0 = . (t − m)2 Để hàm số đồng biến trên (0; 1) thì  2   t + 1 ≥ 2m, ∀t ∈ (0; 1) (1) t ⇔  m ≤ 0 hoặc m ≥ 1 m ≤ 0 hoặc m ≥ 1. (2) ( 0 y ≥ 0, ∀t ∈ (0; 1) Đặt g(t) = t2 + 1 1 ⇒ g 0 (t) = 1 − 2 . t t Ta có t 0 g (t) 0 1 − +∞ g 0 (t) = 0 ⇔ t = ±1. g(t) Hàm số g(t) bảng biến thiên trên (0; 1) như hình bên. 2 Từ (1) suy ra 2m ≤ 2 ⇔ m ≤ 1. Kết hợp (2) ta được m ≤ 0 hoặc m = 1. Vậy có 2020 giá trị nguyên của m nằm trong đoạn [−2018; 2018] thỏa bài toán. Chọn đáp án B  Câu 95. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 191 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y Cho hàm số f (x) có đạo hàm là hàm số f 0 (x) trên R. Biết rằng hàm số y = f 0 (x − 2) + 2 có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng 2 nào? A. (−∞; 2). Å B. (−1; 1). C. ã 3 5 ; . 2 2 D. (2; +∞). O 2 3 x 1 −1 Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số y = f 0 (x − 2) + 2 có dạng y = g(x) = ax2 + bx + c. Theo đồ thị ta có    g(1) = 2   a+b+c=2 a=3       g(2) = −1 ⇔ 4a + 2b + c = −1 ⇔ b = −12 .          g(3) = 2 9a + 3b + c = 2 c = 11 0 2 0 Vậy f (x − 2) + 2 = 3x − 12x + 11 ⇔ f (x − 2) = 3×2 − 12x + 9. Đặt t = x − 2 ⇒ f 0 (t) = 3(t + 2)2 − 12(t + 2) + 9 = 3t2 − 3 ⇒ f 0 (x) = 3×2 − 3. Hàm số y = f (x) nghịch biến khi và chỉ khi f 0 (x) < 0 ⇔ 3x2 − 3 < 0 ⇔ x ∈ (−1; 1).  Chọn đáp án B Câu 96. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. x Hàm số y = f (x2 − 1) nghịch biến trên các f 0 (x) khoảng nào sau đây? √ √ A. (− 3; 3). C. (−2; 0). −∞ −1 + 0 − 0 + +∞ 3 B. (0; +∞). D. (−∞; −2). +∞ 2 f (x) −∞ 1 Lời giải. 0 Ta có [f (x2 − 1)] = f 0 (x2 − 1) (2x). Dựa vào đồ thị hàm số f 0 (x) ta có " 
0 f x2 − 1 = 0 ⇔
f 0 x2 − 1 = 0 x=0  2 " √ x − 1 = −1  2 x=± 3 ⇔ x − 1 = 2 ⇔ x = 0. x=0 Bảng biến thiên của hàm số y = x2 − 1: x √ − 3 −∞ 0 √ 3 +∞ +∞ +∞ x2 − 1 2 2 −1 0 Từ đó, ta có bảng xét dấu của [f (x2 − 1)] 192 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 √ − 3 −∞ x 2x − f 0 (x2 − 1) + 0 − − 0 + 0 [f (x2 − 1)] √ 0 − 0 0 +∞ 3 + + − 0 + − 0 + Từ bảng xét dấu, ta có hàm số y = f (x2 − 1) nghịch biến trên (−∞; −2).  Chọn đáp án D Câu 97. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số y = 3x + m(sin x + cos x + m) đồng biến trên R? A. 5. B. 4. C. 3. D. Vô số. Lời giải. 0 Ta có y = 3 + m(cos x − sin x). Hàm số đồng biến trên R khi y 0 ≥ 0 với mọi x ∈ R ⇔ 3 + m(cos x − sin x) ≥ 0, ∀x ∈ R  √ π 2m cos x + ≥ −3, ∀x ∈ R ⇔ 4 (1).  Với m = 0, (1) luôn đúng.  Với m > 0,  π 3 (1) ⇔ cos x + ≥ − √ , ∀x ∈ R 4 2m 3 3 ⇔ −1 ≥ − √ ⇔m≤ √ 2m 2 ⇔ m = 1, m = 2 (vì m ∈ Z).  Với m < 0,  π 3 (1) ⇔ cos x + ≤ − √ , ∀x ∈ R 4 2m 3 3 ⇔ 1 ≤ −√ ⇔ m ≥ −√ 2m 2 ⇔ m = −2, m = −1 (vì m ∈ Z). Vậy có 5 giá trị nguyên m thỏa bài toán.  Chọn đáp án A Câu 98. Cho hàm số y = |x3 − mx + 1|. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên m sao cho hàm số đồng biến trên [1; +∞). Tìm tổng các phần tử của S. A. 3. Ta có: y = B. 1. C. 9. ( f (x) = x3 − mx + 1 Lời giải. , nếu x − mx + 1 ≥ 0 D. 10. 3 . g(x) = −x3 + mx − 1 , nếu x3 − mx + 1 < 0 Để hàm số đồng biến trên [1; +∞) thì mọi nghiệm của f (x) = 0 không lớn hơn 1, hay f (x) ≥ 0, ∀x ≥ 1. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 193 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x3 + 1 x3 + 1 , ∀x ≥ 1 ⇒ m ≤ min = 2. x≥1 x x Dễ dàng kiểm tra được với m ∈ {0; 1; 2} thì hàm số đồng biến trên [1; +∞) nên S = {0; 1; 2}. Khi đó ta có: m ≤  Chọn đáp án A √ √ √ √
Câu 99. Biết rằng bất phương trình m |x| + 1 − x2 + 1 ≤ 2 x2 − x4 + x2 + 1 − x2 + 2 có Ä ó √ nghiệm khi và chỉ khi m ∈ −∞; a 2 + b với a, b ∈ Z. Tính giá trị của T = a + b. A. T = 0. B. T = 1. C. T = 2. D. T = 3. Lời giải. Điều kiện xác định −1 ≤ x ≤ 1. Khi đó ta có √ √ √ √ 2 x2 − x4 + 1 + x2 + 1 − x2 + 1 2 x2 − x4 + 1 √ √ m≤ = + 1. |x| + 1 − x2 + 1 |x| + 1 − x2 + 1 Vì −1 ≤ x ≤ 1 nên ta có thể đặt x = sin t, khi đó biểu thức (1) tương đương 2 |sin t. cos t| + 1 (|sin t| + |cos t|)2 m≤ = . |sin t| + |cos t| + 1 |sin t| + |cos t| + 1 Ä √ ó u2 u2 + 4u Đặt u = |sin t| + |cos t| . Xét hàm số f (u) = với u ∈ 0, 2 có f 0 (u) = > 0. u+2 (u + 2)2 √ Hàm số f (u) đồng biến trên (0; 2]. √ √ √ 2(2 − 2) 2 √ = Suy ra m ≤ f (u) ≤ f ( 2) = = 2 − 2. 2 2+ 2 Vậy a = −1, b = 2 nên a + b = 1. Chọn đáp án B Câu 100. Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số y = (1)  2x − m2 x−m−4 đồng biến trên khoảng (2021; +∞). Khi đó, giá trị của S bằng bao nhiêu? A. 2035144. B. 2035145. C. 2035146. D. 2035143. Lời giải. Tập xác định D = R {m + 4}. ” 2 m < −2 m − 2m − 8 0 y0 = . Theo đề y > 0 ⇔ (x − m − 4)2 m > 4. Hàm số đồng biến trên (2021; +∞) ⇔ m + 4 ≤ 2021 ⇔ m ≤ 2017. Kết hợp điêu kiện ta được m ∈ (4; 2017]. x −∞ y0 +∞ m+4 + + +∞ 2 y 2 −∞ Khi đó S = 5 + 6 + · · · + 2017 (5 + 2017) · 2013 = = 2035143. 2 Chọn đáp án D 194 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ĐÁP ÁN 1. B 11. C 2. A 12. C 3. C 13. C 4. B 14. A 5. D 15. A 6. C 16. B 7. D 17. A 8. C 18. C 9. B 19. D 10. C 20. C 21. D 22. D 23. D 24. C 25. D 26. B 27. D 28. D 29. B 30. A 31. A 32. D 33. C 34. B 35. D 36. B 37. B 38. D 39. D 40. D 41. D 51. A 42. C 52. B 43. B 53. D 44. A 54. A 45. B 55. C 46. C 56. C 47. A 57. B 48. A 58. C 49. B 59. C 50. A 60. D 61. B 62. C 63. B 64. C 65. B 66. D 67. D 68. C 69. A 70. B 71. B 72. A 73. D 74. C 75. A 76. D 77. D 78. D 79. D 80. C 81. D 91. C 82. C 92. C 83. B 93. C 84. C 94. B 85. C 95. B 86. C 96. D 87. B 97. A 88. D 98. A 89. D 99. B 90. A 100. D CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 195 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 2 BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 Định nghĩa Định nghĩa 1. Hàm số f (x) xác định trên D ⊆ R. X Điểm x0 ∈ D được gọi là điểm cực đại của hàm số f (x) nếu tồn tại một khoảng (a; b) ⊂ D sao cho x0 ∈ (a; b) và f (x0 ) > f (x), ∀x ∈ (a, b) {x0 }. X Điểm x1 ∈ D được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f (x) nếu tồn tại một khoảng (a; b) ⊂ D sao cho x1 ∈ (a; b) và f (x1 ) < f (x), ∀x ∈ (a, b) {x0 }. 2 Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị Định lí 1 (Điều kiện cần). Nếu hàm số f (x) đạt cực trị tại điểm x0 và hàm số có đạo hàm tại x0 , thì f 0 (x0 ) = 0. Tuy nhiên hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm, chẳng hạn với hàm y = |x|, đại cực trị tại x0 = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó. Định lí 2 (Điều kiện đủ). Ta có X Nếu f 0 (x) < 0, ∀x ∈ (a, x0 ) và f 0 (x) > 0, ∀x ∈ (x0 ; b) thì f (x) đạt cực tiểu tại x0 . X Nếu f 0 (x) > 0, ∀x ∈ (a, x0 ) và f 0 (x) < 0, ∀x ∈ (x0 ; b) thì f (x) đạt cực đại tại x0 . Tức là, nếu đạo hàm của hàm số y = f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0 x x0 −∞ f 0 (x) − 0 +∞ + +∞ +∞ f (x) yCT Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là M (x0 , yCT ). Nếu đạo hàm của hàm số y = f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x1 . x x0 −∞ f 0 (x) + 0 +∞ − yCĐ f (x) −∞ 196 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em −∞ Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ta nói đồ thị hàm số có điểm cực đại là M (x0 ; yCĐ ). Chú ý: Không cần xét hàm số y = f (x) có hay không đạo hàm tại x0 . Ví dụ 1. Xét hàm số y = |x| =        −x nếu x ∈ (−∞; 0)       x ⇒ y0 = nếu x ∈ (0; +∞)        −1 < 0 nếu x ∈ (−∞; 0)        1>0 nếu x ∈ [0; +∞) Nên hàm số đạt cực tiểu tại x0 = 0. Định lí 3. Hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp một trên (a; b) chứa x0 mà f 0 (x0 ) = 0 và y = f (x) có đạo hàm cấp hai khác không tại x0 . Khi đó, X Nếu f 00 (x0 ) > 0 thì hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại x0 . X Nếu f 00 (x0 ) < 0 thì hàm số y = f (x) đạt cực đại tại x0 . Từ đây, ta có phương pháp tìm cực trị của hàm số. X Tính đạo hàm y 0 , tìm những điểm mà tại đó y 0 = 0 hoặc y 0 không xác định. X Xét dấu y 0 dựa vào định lí 2 để kết luận điểm cực đại, cực tiểu. Hoặc xét dấu y 00 (x0 ) (x0 là nghiệm của y 0 ) dựa vào định lí 3 để kết luận. ax + b Chú ý: Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất y = cx + d ß ™ d Ta có D = R − . c ad − bc y0 = (cx + d)2 Dấu của đạo hàm không phụ thuộc vào x, hay độc lập với x nên hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. Do đó hàm số luôn không có cực trị. 3 Bài toán cực trị với hàm đa thức bậc ba Cho hàm số bậc ba y = ax3 + bx3 + cx + d (a 6= 0) có đồ thị là (C). Ta có y 0 = 3ax2 + 2bx + c (a 6= 0). Số lượng điểm cực trị Hàm số bậc ba có đạo hàm là một tam thức bậc hai nên  Hàm số có cực trị ⇔ có cực đại ⇔ có cực tiểu ⇔ có cả cực đại và cực tiểu ⇔ có hai cực trị ⇔ phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0.  Hàm số không có cực trị ⇔ phương trình y 0 = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔ ∆ ≤ 0. 4 ! Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Trong trường hợp hàm số có hai điểm cực trị, ta viết được đường thẳng đi qua hai điểm cực trị như sau: X Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức: y = ax3 + bx2 + cx + d cho y 0 = 3ax2 + 2bx + c được thương là q (x) và phần dư là r (x) = mx + n, ta được: y = y 0 · q (x) + r (x) CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 197 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 X Bước 2: Chứng minh đường thẳng (d) : y = r (x) = mx + n là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Giả sử hai điểm cực trị là M (x1 ; y1 ), N (x2 , y2 ), trong đó x1 , x2 là nghiệm của phương trình y 0 = 0 nên y 0 (x1 ) = y 0 (x2 ) = 0. Khi đó, vì M , N thuộc (C) nên y1 = y 0 (x1 ) · q (x1 ) + r (x1 ) = r (x1 ) ⇒ y1 = mx1 + n ⇒ M ∈ (d) . y2 = y 0 (x2 ) · q (x2 ) + r (x2 ) = r (x2 ) ⇒ y2 = mx2 + n ⇒ N ∈ (d) . Tức là (d) là đường thẳng đi qua hai cực trị. 4 Bài toán cực trị với hàm bậc 4 trùng phương Cho hàm số bậc 4 trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0) có y 0 = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b).  x=0 y0 = 0 ⇔  b . 2 x =− 2a Số lượng điểm cực trị Hàm số bậc bốn luôn luôn có cực trị  Hàm số có ba cực trị ⇔ có cả cực đại và cực tiểu ⇔ phương trình y 0 = 0 có ba nghiệm phân biệt −b ⇔ > 0. 2a −b  Hàm số có một cực trị ⇔ phương trình y 0 = 0 có đúng một nghiệm duy nhất ⇔ ≤ 0. 2a å Ç … å Ç… b b ! Khi hàm số có 3 điểm cực trị A(0; c), B − ; y1 , C − − ; y2 thì: 4 2a 2a  y1 = y2 .  B và C đối xứng nhau qua trục Oy, điểm A nằm trên trục Oy. Do đó tam giác ABC cân tại A. B CÁC DẠNG TOÁN { DẠNG 1. Cực trị của hàm số Phương pháp giải. Quy tắc 1. Lập bảng biến thiên suy ra kết luận về cực trị.  Tìm f 0 (x).  Tìm các điểm xi (i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó f 0 (xi ) = 0 hoặc tại đó hàm số f liên tục nhưng không có đạo hàm.  Lập bảng biến thiên. Xét sự đổi dấu của f 0 (x) khi x đi qua xi , từ đó suy ra cực trị của hàm số. Quy tắc 2: Dựa vào đạo hàm cấp 2.  Tính f 0 (x).  Giải phương trình f 0 (x) = 0 và tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, . . . , n).  Tính f 00 (x) và f 00 (xi ) (i = 1, 2, . . . , n) + f 00 (xi ) < 0 ⇒ hàm số đạt cực đại tại xi . 198 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 + f 00 (xi ) > 0 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại xi . Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số y = x3 − 3×2 − 9x + 5. Lời giải. Tập xác định: D = R. ” Ta có: y 0 = 3×2 − 6x − 9 ⇒ y 0 = 0 ⇔ 3×2 − 6x − 9 = 0 ⇔ x = −1 x = 3. Bảng biến thiên x −∞ y0 −1 + +∞ 3 − 0 + 0 +∞ 10 y −∞ −22 Hàm số đạt cực đại tại x = −1, yCĐ = 10. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, yCT = −22.  Ví dụ 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (−1; 1) và vuông góc với đường thẳng đi qua điểm cực trị của (C) : y = x3 − 6×2 + 9x − 2. Lời giải. Tập xác định: D = R. ” Ta có: y 0 = 3×2 − 12x + 9 ⇒ y 0 = 0 ⇔ 3×2 − 12x + 9 = 0 ⇔ x=1 x = 3. Bảng biến thiên x −∞ y0 1 + 0 +∞ 3 − + 0 +∞ 2 y −∞ −2 # » Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là A(1; 2), B(3; −2) ⇒ AB = (2; −4). Phương trình đường thẳng d đi qua M (−1; 1) và vuông góc với AB là d : 2(x + 1) − 4(y − 1) = 0 ⇒ d : x − 2y + 3 = 0.  Ví dụ 4. Tìm cực trị của hàm số y = x4 − 2×2 + 3. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 199 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. Tập xác định: D = R. Ta có: y 0 = 4×3 − 4x.  x = −1 ⇒ y = 2  Giải y 0 = 0 ⇔ 4×3 − 4x = 0 ⇔  x = 0 ⇒ y = 3 x=1⇒y=2 Bảng biến thiên x −∞ y0 −1 − 0 + 0 − 0 +∞ +∞ 1 0 + +∞ 3 y 2 2 Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 3. Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, yCT = 2. Ví dụ 5. Tìm cực trị của hàm số y =  x2 + 4 . x Lời giải. Tập xác định: D = R {0}. 4 4 x2 − 4 0 Ta có: y = x + ⇒ y = 1 − 2 = . x x2 “x x = −2 ⇒ y = −4 Giải y 0 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y = 4. Bảng biến thiên x −∞ y0 −2 + 0 0 − − 0 +∞ −4 +∞ 2 + +∞ y −∞ −∞ 4 Hàm số đạt cực đại tại x = −2, yCĐ = −4. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = 4.  Ví dụ 6. Tìm cực trị của hàm số y = 2 sin x + 1 trong đoạn [−π; π] . Lời giải. Tập xác định: D = R. 200 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 π Ta có: y 0 = 2 cos x. Giải y 0 = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = + kπ, k ∈ Z. 2 π π 0 Suy ra y = 0 có nghiệm x = − và x = thuộc đoạn [−π; π]. 2 2 Ta có:y 00 =−2 sin x. π π Vì y 00 − = 2 > 0 ⇒ x = − là điểm cực tiểu của hàm số và yCT = −1. 2  2 π 00 π Vì y = −2 < 0 ⇒ x = là điểm cực đại của hàm số và yCĐ = 3. 2 2  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm cực trị của hàm số y = −x3 + 3x − 4. Lời giải. Tập xác định: D = R. Ta có: y 0 = −3x2 + 3. Giải y 0 = 0 ⇔ −3x2 + 3 = 0 ⇔ x = ±1. Bảng biến thiên x −∞ y0 −1 − +∞ 1 + 0 +∞ 0 − −2 y −6 −∞  Hàm số đạt cực đại tại x = 1, yCĐ = −2. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1, yCT = −6. Bài 2. Gọi A, B lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 − 3x. Tính độ dài đoạn thẳng AB. Lời giải. Tập xác định: D = R. Ta có: y 0 = 3x2 − 3. Giải y 0 = 0 ⇔ 3x2 − 3 = 0 ⇔ x = ±1. x −∞ y0 −1 + 0 +∞ 1 − 0 + +∞ 2 y −∞ −2 √ # » Từ bảng biến thiên suy ra A(−1; 2), B(1; −2) ⇒ AB = (2; −4) ⇒ AB = 2 5. Bài 3. Tìm cực trị của hàm số y =  −x2 + 2x − 1 . x+1 Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 201 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Tập xác định: D = R {−1}. −x2 − 2x + 3 Ta có: y 0 = . (x + 1)2 " Giải y 0 = 0 ⇔ −x2 − 2x + 3 = 0 ⇔ x=1 x = −3. Bảng biến thiên x −∞ −3 y0 − −1 + 0 + − 0 +∞ +∞ +∞ 1 0 y −∞ −∞ 8 Hàm số đạt cực đại tại x = 1, yCĐ = 0. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −3, yCT = 8.  Bài 4. Tìm cực trị của hàm số y = 2 sin 2x + 1. Lời giải. Tập xác định: D = R.  π x = + kπ 4 , k ∈ Z. Ta có: y 0 = 4 cos 2x. Giải y 0 = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔  π x = − + kπ 4 Ta có:y 00 = −8sin 2x. π π + kπ = −8 < 0 ⇒ x = + kπ là các điểm cực đại của hàm số và yCĐ = 3. Vì y 00 4 4 π  π 00 Vì y − + kπ = 8 > 0 ⇒ x = − + kπ là các điểm cực tiểu của hàm số và yCT = −1. 4 4 √ Bài 5. Tìm cực trị của hàm số y = x + 2x − x2 .  Lời giải. Tập xác định: D = [0; 2]. 1−x Ta có: y 0 = 1 + √ , x ∈ (0; 2). 2x − x2 ( √ x−1≥0 √ 2 0 Giải y = 0 ⇔ 2x − x2 = x − 1 ⇔ ⇔x=1+ . 2 2x − x2 = (x − 1)2 Bảng biến thiên √ x 0 y0 1+ + 2 2 0 √ 1+ 2 2 − y 0 202 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 2 Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 √ √ 2 , yCĐ = 1 + 2. 2 Hàm số đạt cực đại tại x = 1 +  4×2 + 2x − 1 . 2×2 + x − 3 Lời giải. ß ™ 3 Tập xác định: D = R − ; 1 . 2 −20x − 5 Ta có: y 0 = . (2×2 + x − 3)2 1 Giải y 0 = 0 ⇔ x = − . 4 Bảng biến thiên Bài 6. Tìm cực trị của hàm số y = x −∞ y0 − 3 2 + − + +∞ 1 4 0 −∞ 2 − − +∞ 2 5 y +∞ 1 −∞ 2 1 2 Hàm số đạt cực đại tại x = − , yCĐ = . 4 5  { DẠNG 2. Cực trị có tham số Phương pháp giải. 1 Ví dụ 7. Cho hàm số y = x3 − 2mx2 + 4mx. Xác định m để: 3 1 Hàm số có cực đại và cực tiểu. 2 Hàm số có các điểm cực đại và điểm cực tiểu x1 , x2 ∈ [2; +∞). Lời giải. 1 Tập xác định: D = R. Ta có y 0 = x2 − 4mx + 4m. Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình x2 − 4mx + 4m = 0 có hai nghiệm phân biệt và y 0 đổi dấu khi x qua hai nghiệm đó, hay ∆0 = 4m2 − 4m > 0 ⇔ m < 0 hoặc m > 1. 2 Trong trường hợp hàm số có cực đại, cực tiểu, ta có y 0 = 0 ⇔ x2 − 4mx + 4m = 0 √ ⇔x = 2m ± 2 m2 − m, điều kiện m2 − m > 0. (*) Gọi x1 , x2 (x1 < x2 ) là hai nghiệm của phương trình (*), ta có bảng biến thiên CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 203 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x1 −∞ x f 0 (x) + x2 − 0 +∞ + 0 yCĐ +∞ f (x) yCT −∞ Hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu x1 , x2 ∈ [2; +∞) khi và chỉ khi √ √ 2m − 2 m2 − m ≥ 2 ⇔ m2 − m ≤ m − 1 ( ( m−1≥0 m≥1 ⇔ ⇔ ⇔ m = 1. 2 2 m − m ≤ m − 2m + 1 m≤1 Mà m = 1 không thỏa mãn điều kiện m2 − m > 0 nên không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.  Ví dụ 8. Cho hàm số f (x) = x3 − 3mx2 + (m − 1)x + 2. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Lời giải. Tập xác định: D = R. Ta có f (x) = 3x − 6mx + m − 1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại điểm 0 2 x = 2 là f 0 (2) = 0, hay 12 − 12m + m − 1 = 0 ⇔ 11m = 11 ⇔ m = 1. Thử lại: Cách 1. Khi m = 1, ta có f 0 (x) = 3×2 − 6x, f 00 (x) = 6x − 6, f 0 (2) = 0, f 00 (2) = 12 − 6 = 6 > 0. Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2. Vậy m = 1 thỏa mãn các yêu cầu đề bài. Cách 2. Khi m = 1, ta có ” 3 0 2 0 2 f (x) = x − 3x + 2, f (x) = 3x − 6x, f (x) = 0 ⇔ x=0 x = 2. x −∞ f 0 (x) 0 + 0 +∞ 2 − 0 + +∞ yCĐ = 2 f (x) −∞ yCT = −2 Hàm số đạt cực đại tiểu tại x = 2. Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu đề bài. 204 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ví dụ 9. Xác định m để: x2 − mx + 1 1 Hàm số y = đạt cực đại tại điểm x = 3; x−m 2 Hàm số y = −x4 − mx2 − 2m2 đạt cực tiểu tại điểm x = 1. Lời giải. 1 Tập xác định: D = R {m}. Ta có y0 = (2x − m)(x − m) − x2 + mx − 1 x2 − 2mx + m2 − 1 = ; (x − m)2 (x − m)2 y 0 = 0 ⇔ x2 − 2mx + m2 − 1 = 0 ⇔ x = m − 1 hoặc x = m + 1. x −∞ y0 m m−1 + 0 − − yCĐ +∞ m+1 0 +∞ + +∞ y −∞ yCT −∞ Vậy điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 3 là m − 1 = 3 ⇔ m = 4. Kết luận: hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3 khi và chỉ khi m = 4. 2 Tập xác định: D = R. Ta có y 0 = −4×3 − 2mx. • Điều kiện cần: Nếu hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1 thì y 0 (1) = 0 ⇔ −4 − 2m = 0 ⇔ m = −2. • Điều kiện đủ (thử lại): Với m = −2 ta có y 00 = −12×2 + 4, y 00 (1) = −8 < 0. Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 1. Kết luận: Không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1.  Ví dụ 10. Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số f (x) = −x3 + ax2 + bx + c đạt cực trị bằng 4 tại x = 2 và đồ thị của hàm số đi qua điểm M (1; 2). Lời giải. Tập xác định: D = R; f 0 (x) = −3x2 + 2ax + b. Yêu cầu bài toán là   0   f (2) = 0   − 12 + 4a + b = 0   f (2) = 4 ⇔ − 8 + 4a + 2b + c = 4 ⇔ (a; b; c) = (3; 0; 0).       f (1) = 2 −1+a+b+c=2 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 205 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Thử lại thấy thỏa mãn. 4 Đối với bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f (x), ta tiến hành như sau: !  Cách 1. Tìm tọa độ hai điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số y = f (x). Sau đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B.  Cách 2. Tọa độ (x; y) của điểm cực trị của đồ thị hàm số thỏa mãn hệ phương trình ( y = f (x) f 0 (x) = 0. Từ hệ này ta dùng phép thế để dẫn tới phương trình y = ax + b, đó là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Ví dụ 11. Xét hàm số (Cm ) : y = −x2 + mx − m2 (m là tham số). x−m 1 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. 2 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (Cm ). Lời giải. Hàm số xác định ⇔ x 6= m. Hàm số viết lại: y = −x − m2 . x−m m2 −x2 + 2mx = . Bởi vậy, hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi (x − m)2 (x − m)2 phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt, tức là phương trình g(x) = −x2 + 2mx = 0 có hai 1 Ta có y 0 = −1 + nghiệm phân biệt khác m, hay ( 0 ∆ = m2 > 0 g(m) = m2 6= 0 ⇔ m 6= 0. 2 Cách 1. Khi m 6= 0, hàm số có hai điểm cực trị là nghiệm của phương trình ” 0 2 y = 0 ⇔ −x + 2mx = 0 ⇔ −x(x − 2m) = 0 ⇔ x=0 x = 2m. # » Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là A(0; m), B(2m; −3m). Ta có AB = (2m; −4m). Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số sẽ đi qua điểm A(0; m), nhận #» n = (2; 1) làm vectơ pháp tuyến, có phương trình tổng quát 2(x − 0) + 1(y − m) = 0 ⇔ y = −2x + m. Cách 2. Toạ độ (x; y) của điểm cực trị của đồ thị thoả mãn hệ phương trình:   m2 m2     y = −x − y = −x − (1)   x−m x − m ⇔ m2   m2   −1+  = 0 = x − m (2) (x − m)2 x−m 206 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Thay (2) vào (1) ta được y = −x − (x − m) ⇔ y = −2x + m. Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là d : y = −2x + m.  4 !  Thường thì cách 2 sẽ cho lời giải ngắn gọn hơn, đặc biệt là khi nghiệm của phương trình y 0 = 0 “không đẹp”.  Cách 2 có ưu điểm là không cần tìm tọa độ điểm cực trị của đồ thị.  Dù trong đề bài không yêu cầu, nhưng ta vẫn phải tìm điều kiện để hàm số có cực trị.  Đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x0 ; y0 ), nhận #» n = (A; B) làm vectơ pháp tuyến, có phương trình tổng quát: ∆ : A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 7. Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số f (x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực trị bằng 2 tại x = 1 và đồ thị hàm số đi qua điểm M (−1; 0). Điểm x = 1 là điểm cực đại hay điểm cực tiểu của hàm số ứng với a, b, c vừa tìm được. Lời giải. Tập xác định: D = R; f 0 (x) = 3×2 + 2ax + b. Yêu cầu của bài toán:  −3    0  a=    f (1) = 0 3 + 2a + b = 0    2    ⇔ b=0 f (1) = 2 ⇔ 1 + a + b + c = 2           f (−1) = 0 −1+a−b+c=0 c = 5 . 2 3 5 3 5 Khi a = − , b = 0, c = , hàm số là f (x) = x3 − x2 + . Ta có 2 2 2 2 f 0 (x) = 3×2 − 3x, f 00 (x) = 6x − 3, f 00 (1) = 3 > 0. 5 3 Vậy x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số f (x) = x3 − x2 + . 2 2  Bài 8. Tìm m để hàm số f (x) = x3 − 3×2 + mx − 1 có hai điểm cực trị. Gọi x1 , x2 là hai điểm cực trị đó, tìm m để x21 + x22 = 3. Lời giải. Ta có: f 0 (x) = 3×2 − 6x + m, ∀x ∈ R. Vậy: f 0 (x) = 0 ⇔ 3×2 − 6x + m = 0. (1)  Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 là (1) có hai nghiệm phân biệt, hay ∆ = 36−12m > 0, tức là m < 3. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 207 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Khi đó x1 , x2 là hai nghiệm của (1) nên: x1 + x2 = 2, x1 x2 = m . 3  Theo giả thiết: x21 + x22 = 3 ⇔ (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = 3 2m 2m 3 ⇔ 4− =3⇔ = 1 ⇔ m = (thỏa mãn m < 3). 3 3 2 3 Vậy yêu cầu bài toán là: m = . 2  3 Bài 9. Cho hàm số y = x3 − (m − 2)x2 − 3(m − 1)x + 1 có đồ thị (Cm ), m là tham số thực. Tìm 2 m > 0 để hàm số đã cho có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu lần lượt là yCĐ , yCT thỏa mãn điều kiện 2yCĐ + yCT = 4. Lời giải. Phân tích.  Tính y 0 ; phương trình y 0 = 0 có dạng a − b + c = 0 nên ta dễ dàng tìm được hai nghiệm x1 = −1 và x2 = m − 1.  Với điều kiện m > 0, ta có x1 , x2 phân biệt và x1 < x2 . Dựa vào bảng biến thiên của hàm số đã cho, ta suy ra xCĐ = x1 và xCT = x2 , do đó yCĐ = y(x1 ); yCT = y(x2 ).  Từ giả thiết 2yCĐ + yCT = 4, ta suy ra một phương trình ẩn m, giải phương trình này tìm m. Giải. Tập xác định D = R. Ta có y 0 = 3x2 − 3(m − 2)x − 3(m − 1). " x1 = −1 y0 = 0 ⇔ ⇒ x1 < x2 (do m > 0). x2 = m − 1 Bảng biến thiên: x −∞ f 0 (x) −1 + 0 m−1 − 0 +∞ + yCĐ +∞ f (x) yCT −∞ Khi đó, hàm số đạt cực đại tại x1 = −1 và đạt cực tiểu tại x2 = m − 1. Do đó: yCĐ = y(−1) = 3m 1 , yCT = y(m − 1) = − (m + 2)(m − 1)2 + 1. 2 2 Từ giả thiết, ta có: 2· 3m 1 − (m + 2)(m − 1)2 + 1 = 4 ⇔ 6m − 6 − (m + 2)(m − 1)2 = 0 2 2 208 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  2  ⇔(m − 1)(m + m − 8) = 0 ⇔  m=1 √ −1 ± 33 . m= 2 Đối chiếu với yêu cầu m > 0, ta có giá trị của m là √ −1 + 33 m = 1, m = . 2  Bài 10. Cho hàm số: y = 2×3 − 3(m + 1)x2 + 6mx (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2. Lời giải. Ta có y 0 = 6×2 − 6(m + 1)x + 6m = 6[x2 − (m + 1)x + m]. • Điều kiện để hàm số (1) có hai cực trị là phương trình y 0 = 0 hay x2 − (m + 1)x + m = 0 (2) có hai nghiệm phân biệt, tức là ∆ > 0, hay (m + 1)2 − 4m > 0 ⇔ m2 − 2m + 1 > 0 ⇔ (m − 1)2 > 0 ⇔ m 6= 1. ” x=m • Khi m 6= 1, ta có (1) ⇔ x = 1. Hai điểm cực trị của đồ thị là A(1; 3m − 1), B(m; −m3 + 3m2 ). # » Ta có AB = (m − 1; −m3 + 3m2 − 3m + 1). Đường thẳng y = x + 2 có vectơ chỉ phương #» u = (1; 1). Yêu cầu bài toán là # » AB · #» u = 0 ⇔ m − 1 − m3 + 3m2 − 3m + 1 = 0 ⇔ m3 − 3m2 + 2m = 0 ⇔ m ∈ {0, 1, 2}. Kết hợp với điều kiện ta được m = 0, m = 2.  Bài 11. Cho hàm số y = x3 − 3mx + 1, với m là tham số thực. Cho điểm A(2; 3). Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị B, C sao cho tam giác ABC cân tại A. Lời giải. 0 2 Ta có: y = 3x − 3m.  Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị ⇔ phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ m > 0. ” √ m √ x = − m. Tọa độ các điểm cực trị B và C là: √ √ √ √ √ √ # » B(− m; 2 m3 + 1), C( m; −2 m3 + 1), BC = (2 m; −4 m3 ).  Khi đó: y 0 = 0 ⇔ 3×2 = 3m ⇔ x= CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 209 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 #» Gọi I là trung điểm BC. Khi đó: I(0; 1), AI = (−2; −2). Điều kiện để tam giác ABC cân tại A là: #» # » AI ⊥ BC ⇔ AI · BC = 0 √ √ √ √ ⇔8 m3 − 4 m = 0 ⇔ 2m m − m = 0  “√ m=0 m=0 √  ⇔ m(2m − 1) = 0 ⇔ ⇔ 1 2m − 1 = 0 m= . 2 (loại) (nhận) Vậy điều kiện để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị B, C sao cho tam giác ABC cân tại A là 1 m= .  2 Bài 12. Cho hàm số y = x3 − 3×2 + 2. Tìm m để trong hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho, có một điểm cực trị nằm trong và một điểm cực trị nằm ngoài đường tròn: (Cm ) : x2 + y 2 − 2mx − 4my + 5m2 − 1 = 0. Lời giải. Phân tích.  Ta nhớ lại rằng, đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R có phương trình: (x − a)2 + (y − b)2 = R2 .  Cho điểm A(xA ; yA ) và đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R. Khi đó: • A nằm trong (C) ⇔ IA < R. • A nằm ngoài (C) ⇔ IA > R. ” Giải. Tập xác định: D = R. Ta có: y 0 = 3×2 − 6x; y 0 = 0 ⇔ x=0 x = 2. Hai điểm cực trị của đồ thị là A(0; 2), B(2; −2). Ta có: x2 + y 2 − 2mx − 4my + 5m2 − 1 = 0 ⇔(x − m)2 + (y − 2m)2 = 1. Như vậy (Cm ) có tâm I(m; 2m), bán kính R = 1. Ta có: » √ IB = (m − 2)2 + (2m + 2)2 = 5m2 + 4m + 8 Å ã 2 2 36 6 = 5 m+ + ≥ √ > 1. 5 5 5 Do đó IB > R, suy ra B nằm ngoài (Cm ). Như vậy: A nằm trong (Cm ) ⇔ IA < 1 ⇔ 3 ⇔5m2 − 8m + 3 < 0 ⇔ < m < 1. 5 210 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em » m2 + (2 − 2m)2 < 1 Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  4 Ta thường dùng định lí Viet sau đây: Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 b c (a 6= 0) thì x1 + x2 = − , x1 x2 = . a a ! Bài 13. Cho hàm số y = x3 − 3(m − 3)x2 + 3(m2 − 3m + 5)x + 1 có đồ thị là (Cm ), m là tham số thực. Tìm m để hàm số đã cho đạt cực đại, cực tiểu tại x1 , x2 thỏa mãn: |x1 + x2 − x1 x2 | < 7. Lời giải. Phân tích.  Tính y 0 . Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆0 > 0.  Với điều kiện trên, phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .  Để ý rằng biểu thức trong trị tuyệt đối có chứa x1 + x2 và x1 x2 , do đó áp dụng định lí Vi-ét ta suy ra kết quả. Giải. Tập xác định D = R. Ta có y 0 = 3×2 − 6(m − 3)x + 3(m2 − 3m + 5). 4 Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ ∆0 = 9(4 − 3m) > 0 ⇔ m < . 3 ( x1 + x2 = 2(m − 3) Khi đó, theo định lí Vi-ét, ta có x1 · x2 = m2 − 3m + 5. Do đó: (*) |x1 + x2 − x1 x2 | < 7 ⇔ |2(m − 3) − m2 + 3m − 5| < 7 ( 2 m − 5m + 11 < 7 ⇔|m2 − 5m + 11| < 7 ⇔ m2 − 5m + 11 > −7 ( 2 m − 5m + 4 < 0 ⇔ 1 < m < 4. ⇔ m2 − 5m + 18 > 0 4 Kết hợp với điều kiện (*), ta có giá trị phải tìm của m là 1 < m < . 3  4 ! Với a > 0 thì |f (x)| < a ⇔ −a < f (x) < a. Bài 14. Cho hàm số f (x) = x3 + 2(m − 1)x2 + (m2 − 4m + 1)x − 2(m2 + 1). 1 1 1 + = (x1 + x2 ). x1 x2 2 Lời giải. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1 , x2 thoả mãn CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 211 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Tập xác định: D = R. Ta có f 0 (x) = 3x2 + 4(m − 1)x + (m2 − 4m + 1). Điều kiện để hàm số có hai cực trị x1 , x2 là phương trình f 0 (x) = 0 có hai nghiệm phân biệt, tức là 4(m − 1)2 − 3(m2 − 4m + 1) > 0 ” √ m < −2 − 3 ⇔m2 + 4m + 1 > 0 ⇔ √ m > −2 + 3. Khi đó x1 + x2 = (1) 4(1 − m) m2 − 4m + 1 , x1 x2 = . Xét điều kiện 3 3  x1 x2 6= 0      x1 x2 6= 0   1 1 1 x 1 + x2 = 0 ⇔ + = (x1 + x2 ) ⇔ x1 + x2 1    1 x1 x2 2 = (x1 + x2 )   1   x1 x2 2 = .  x1 x2 2    2 m2 − 4m + 1 6= 0    m − 4m + 1 6= 0   m=1     m=1 ”  ⇔  Tức là ⇔ 1−m=0 m = −1   m = −1       m = 5.  m2 − 4m + 1 = 6  m=5 Kết hợp với điều kiện (1) ta được các giá trị m cần tìm là m = 5, m = 1.  1 1 Bài 15. Cho hàm số y = mx3 − (m − 1)x2 + 3(m − 2)x + . Tìm m để: 3 3 1 Hàm số có cực trị. 2 Hàm số đạt cực trị tại x1 , x2 thoả mãn x1 + 2×2 = 1. Lời giải. 0 2 Tập xác định R. Ta có y = mx − 2(m − 1)x + 3(m − 2). 1 Khi m = 0 thì y 0 = 2x − 6, y 0 = 0 ⇔ 2x − 6 = 0 ⇔ x = 3. Khi x đi qua điểm x0 = 3 thì y 0 đổi dấu, do đó hàm số có cực trị, suy ra m = 0 thoả mãn. Xét m 6= 0. Hàm số có cực trị ⇔ y 0 đổi dấu, tức là ∆0 = (m − 1)2 − 3m(m − 2) > 0 ⇔ −2m2 + 4m + 1 > 0 √ √ 6 6 2 − 2 + ⇔2m2 − 4m − 1 < 0 ⇔ 0, ∀m ∈ R nên hàm số đã cho luôn có hai cực trị. Khi đó, phương trình y 0 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt: √ 3(m + 1) − 9m2 + 15m + 9 ; x1 = √3 3(m + 1) + 9m2 + 15m + 9 . x2 = 3  Với hai nghiệm có hình thức khá phức tạp như thế này, ta không nên thay trực tiếp vào hàm số đã cho để tính cụ thể tọa độ của hai điểm cực trị A, B. Trong những trường hợp như vậy, tốt nhất ta giả sử A(x1 ; y1 ), B(x2 ; y2 ), sau đó sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng để tính d1 = d(A, ∆); d2 = d(B, ∆), suy ra d1 · d2 . Biến đổi tích d1 · d2 theo x1 + x2 và x1 · x2 , rồi sử dụng định lí Vi-ét, suy ra kết quả. Giải. Tập xác định D = R. Ta có: y 0 = 3×2 − 6(m + 1)x + m. Vì ∆0 = 9m2 + 15m + 9 > 0, ∀m ∈ R nên (Cm ) luôn có hai điểm cực trị với mọi m. Lúc đó, với mọi m m thì phương trình y 0 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa x1 + x2 = 2(m + 1) và x1 · x2 = . Giả sử 3 (Cm ) có hai điểm cực trị là A(x1 ; y1 ), B(x2 ; y2 ). Gọi d1 , d2 lần lượt là khoảng cách từ A, B đến đường thẳng ∆ thì d1 = |x1 + 1|; d2 = |x2 + 1|. Theo giả thiết, ta có: d1 · d2 = 10 ⇔ |x1 + 1| · |x2 + 1| = 10 ⇔ |(x1 + 1) · (x2 + 1)| = 10 m ⇔|x1 x2 + x1 + x2 + 1| = 10 ⇔ + 2(m + 1) + 1 = 10 3  ” m=3 7m + 9 = 30  ⇔|7m + 9| = 30 ⇔ ⇔ 39 7m + 9 = −30 m=− . 7 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 213 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Các giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài là: m = 3, m = − 39 . 7  Bài 17. Cho hàm số y= x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m (m là tham số). x+2 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O. Lời giải. 2 Hàm số được viết lại y = x + 2m + m . Ta có x+2 y0 = 1 − m2 x2 + 4x + 4 − m2 = . (x + 2)2 (x + 2)2 Điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu là phương trình g(x) = x2 + 4x + 4 − m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác −2, tức là ( 0 ∆ = 4 − (4 − m2 ) > 0 g(−2) 6= 0 ⇔ ( 2 m >0 − m2 6= 0 ⇔ m 6= 0. Khi đó ” y 0 = 0 ⇔ x2 + 4x + 4 − m2 = 0 ⇔ x = −2 − m x = −2 + m. Vậy hai điểm cực trị của đồ thị (1) là A(−2 − m; −2) , B(−2 + m; 4m − 2). Do đó # » #» # » #» OA = (−2 − m; −2) 6= 0 , OB = (−2 + m; 4m − 2) 6= 0 . # » # » Bởi vậy ba điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông tại O khi và chỉ khi OA · OB = 0. Tức là ” √ 6 m = −4 − 2 −m2 − 8m + 8 = 0 ⇔ √ (thỏa mãn m khác 0). m = −4 + 2 6  1 Bài 18. Cho hàm số y = x4 − (3m + 1)x2 + 2(m + 1) có đồ thị (Cm ), với m là tham số thực. Tìm m 4 để đồ thị (Cm ) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ O. Lời giải. Phân tích.  Ta có: y 0 = x3 − 2(3m + 1)x = x[x2 − 2(3m + 1)]. Do đó: ” x=0 y0 = 0 ⇔ x2 = 2(3m + 1). 214 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Hàm số có ba cực trị ⇔ phương trình x2 = 2(3m + 1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 hay 2(3m + 1) > 0.  Với điều kiện trên, phương trình y 0 = 0 có ba nghiệm phân biệt √ √ x1 = 0; x2 = − 6m + 2; x3 = 6m + 2.  Thay các nghiệm trên vào hàm số đã cho, ta tìm được tung độ của ba điểm cực trị A, B, C.  ∆ABC luôn cân tại A thuộc trục Oy; B, C đối xứng nhau qua trục Oy và trung tuyến kẻ từ A trùng với Oy. Như vậy O là trọng tâm của ∆ABC khi và chỉ khi yA + yB + yC yO = ⇔ yA + 2yB = 0 (do yB = yC ). 3 Giải. Tập xác định D = R. Ta có: ” y 0 = x3 − 2(3m + 1)x = x[x2 − 2(3m + 1)]; y 0 = 0 ⇔ x=0 x2 = 2(3m + 1). Hàm số có ba cực trị ⇔ y 0 = 0 có ba nghiệm phân biệt, tức là: 1 2(3m + 1) > 0 ⇔ m > − . 3 (*)  x=0 » Khi đó: y 0 = 0 ⇔  x = ± 2(3m + 1). Bảng biến thiên: x √ − 6m + 2 −∞ f 0 (x) − 0 √ 0 + 0 − 0 yCĐ +∞ +∞ 6m + 2 + +∞ f (x) yCT yCT Khi đó, (Cm ) có ba điểm cực trị là: √ √ A(0; 2m + 2), B(− 6m + 2; −9m2 − 4m + 1), C( 6m + 2; −9m2 − 4m + 1). Dễ thấy tam giác ABC cân tại A thuộc trục Oy; B, C đối xứng nhau qua trục Oy và trung tuyến kẻ từ A trùng với Oy. Do đó điều kiện để O là trọng tâm tam giác ABC là: yA + yB + yC yO = ⇔ yA + 2yB = 0 (do yB = yC ) 3 ⇔2m + 2 + 2(−9m2 − 4m + 1) = 0  2 m=−  3 ⇔9m2 + 3m − 2 = 0 ⇔  1 m= . 3 1 Kết hợp với điều kiện (*), ta suy ra giá trị của m là m = . 3 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ  215 Tuyển tập Toán 12 THPT 4 ! Kỳ thi THQG 2020 Xét phương trình x2 = a :  Nếu a < 0, phương trình vô nghiệm.  Nếu a = 0, phương trình có nghiệm kép x = 0. √  Nếu a > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 = ± a. −x2 + 3x + m . x−4 1 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho. 2 Tìm m để hàm số có |yCĐ − yCT | = 4. Bài 19. Cho hàm số y = Lời giải. Tập xác định: D = R {4}. Hàm số viết lại: y = −x − 1 + m−4 . x−4 1 Ta có y 0 = −1 − m−4 −x2 + 8x − 16 − m + 4 −x2 + 8x − m − 12 = = . (x − 4)2 (x − 4)2 (x − 4)2 Điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu là phương trình g(x) = −x2 + 8x − m − 12 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 4, tức là ( 0 ∆ = 16 − m − 12 > 0 g(4) 6= 0 ⇔ ( 4−m>0 4 − m 6= 0 (1) ⇔ m < 4. (2) Với điều kiện (2), tọa độ (x; y) của hai điểm cực trị của đồ thị hàm số thỏa mãn   m−4 m−4     y = −x − 1 + y = −x − 1 + x−4 x−4 ⇒ m − 4 m − 4     =0 = −1  −1− 2 (x − 4) (x − 4)2  m−4  y = −x − 1 + x−4 ⇒ ⇒ y = −x − 1 + 4 − x ⇒ y = −2x + 3.  m − 4 = 4 − x x−4 Vậy khi m < 4 thì hàm số có cực đại và cực tiểu, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là ∆ : y = −2x + 3. 2 Khi m < 4, gọi điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị là A, B. Vì xA và xB là nghiệm của phương trình (1) nên theo định lí Viet, ta có xA + xB = 8, xA xB = m + 12. Vì ∆ đi qua A, B nên yA = −2xA + 3, yB = −2xB + 3. Điều kiện để |yCĐ − yCT | = 4 là |yA − yB | = 4 ⇔ |2xA − 2xB | = 4 ⇔ |xA − xB | = 2 ⇔(xA − xB )2 = 4 ⇔ (xA + xB )2 − 4xA xB = 4 ⇔82 − 4(m + 12) = 4 ⇔ 4m = 12 ⇔ m = 3 (thỏa mãn (2)). 216 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  4 ! √ √ 2 ∆0 = 2| 4 − m| mà không cần dùng định lí Viet. Cách này ngắn  Có thể sử dụng |xA − xB | = a gọn hơn nhưng khó hiểu hơn.  Nhiều khi ta tiến hành theo chiều ngược lại, sẽ thu được lời giải ngắn gọn hơn, đó là lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị, rồi từ đó suy ra tọa độ của điểm cực trị. Bài 20. Cho hàm số y = x3 − 3x2 − 3m(m + 2)x − 1 (1) (m là tham số thực). 1 Tìm m để hàm số (1) có hai cực trị cùng dấu. 2 Khi đồ thị hàm số có hai điểm cực trị, hãy viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó. Lời giải. 1 Tập xác định: D = R. Ta có y = 3x − 6x − 3m(m + 2). Hàm số (1) có hai cực trị cùng dấu khi 0 2 và chỉ khi y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu, hay ( 0 ( 2 ∆ = 9 + 9m(m + 2) > 0 m + 2m + 1 > 0 ⇔ P = −m(m + 2) > 0 m(m + 2) < 0 ( (m + 1)2 6= 0 ⇔ m ∈ (−2; 0) {−1}. ⇔ m ∈ (−2; 0) 2 Toạ độ (x; y) của các điểm cực trị thoả mãn điều kiện ( y = x3 − 3x2 − 3m(m + 2)x − 1 3x2 − 6x − 3m(m + 2) = 0  Å ã  y = [3x2 − 6x − 3m(m + 2)] x − 1 − 2 (m + 1)2 x − (m + 1)2 3 3 ⇒  3x2 − 6x − 3m(m + 2) = 0 ⇒y = −2 (m + 1)2 x − (m + 1)2 . Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là ∆ : y = −2(m + 1)2 x − (m + 1)2 .  4 Qua bài tập trên ta thấy rằng đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đa thức bậc ba y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d là y = αx + β, trong đó f (x) = f 0 (x) · P (x) + αx + β. Còn cách trình ! bày thì ta trình bày như bài tập trên là ngắn gọn nhất. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 217 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Bài 21. Cho hàm số y = x3 + 3mx2 − 3x. 1 Chứng minh rằng hàm số có cực đại, cực tiểu với mọi m. 2 Xác định m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường thẳng d : y = −4x + 1. Lời giải. 1 Tập xác định: D = R. Ta có y 0 = 3x2 + 6mx − 3. Phương trình y 0 = 0 ⇔ 3x2 + 6mx − 3 = 0 có ∆0 = 9m2 + 9 > 0 với mọi m nên luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , do đó hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm x1 , x2 . 1 2 Chia y cho y 0 ta được: y = (x + m)y 0 − 2(m2 + 1)x + m. Tọa độ (x; y) của điểm cực trị của đồ 3 thị hàm số thỏa mãn  y = 1 (x + m)(3×2 + 6mx − 3) − 2(m2 + 1)x + m 3  2 3x + 6mx − 3 = 0 ⇒y = −2(m2 + 1)x + m. Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là ∆ : y = −2(m2 + 1)x + m. Điều kiện để ∆ k d là ( − 2(m2 + 1) = −4 m 6= 1 ⇔ ( 2 m =1 m 6= 1 ⇔ m = −1.  Bài 22. Cho hàm số y = x3 − 3×2 + m2 x + m. (1) 1 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (1). 2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng 1 5 d:y = x− . 2 2 Lời giải. Tập xác định: D = R. Ta có y = 3x − 6x + m2 . Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình 0 2 3×2 − 6x + m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt, hay √ √ ∆0 = 9 − 3m2 > 0 ⇔ m2 < 3 ⇔ − 3 < m < 3. (2) 1 2 m2 (x − 1)(3x2 − 6x + m2 ) + (m2 − 3)x + + m. Khi m thoả mãn (2) thì toạ độ (x; y) 3 3 3 của điểm cực trị thoả mãn  2  y = 1 (x − 1)(3x2 − 6x + m2 ) + 2 (m2 − 3)x + m + m 3 3 3  3x2 − 6x + m2 = 0 1 Ta có y = 218 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 m2 2 + m. ⇒y = (m2 − 3)x + 3 3 2 m2 Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là ∆ : y = (m2 − 3)x + + m. 3 3 2 Giả sử hai điểm cực trị là A(x1 , y1 ), B(x2 ; y2 ). Khi đó x1 + x2 = 2 và m2 2 m2 2 + m, y2 = (m2 − 3)x2 + + m, y1 = (m2 − 3)x1 + 3 3 3 3 4 2 2m2 y1 + y2 = (m − 3) + + 2m = 2m2 + 2m − 4. 3 3 Trung điểm AB là I(1; m2 + m − 2). Yêu cầu bài toán là AB vuông góc với đường thẳng d và I thuộc đường thẳng d, nghĩa là  ( 2  2 (m2 − 3) · 1 = −1 m − 3 = −3 3 2 ⇔ ⇔ m = 0 (thỏa mãn (2)).  2 m(m + 1) = 0 m + m − 2 = −2  x2 − (3m + 2)x + m + 4 có đồ thị (Cm ), với m là tham số thực. Tìm m để x−1 hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị (Cm ) nhỏ Bài 23. Cho hàm số y = hơn 3. Lời giải. Phân tích. x2 − 2x + 2m − 2 . (x − 1)2 2  Hàm ( số0 có cực đại và cực tiểu ⇔ g(x) = x − 2x + 2m − 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ∆ >0 ⇔ g(1) 6= 0.  Để ý rằng nghiệm của phương trình g(x) = 0 có hình thức khá phức tạp, do đó ta không nên thay  Ta có y 0 = trực tiếp các nghiệm đó vào hàm số đã cho để tìm tung độ của các điểm cực trị. Trong những tình huống như vậy, ta thường viết đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (Cm ): Giả sử (Cm ) có các điểm cực đại, cực tiểu là A(x1 ; y1 ), B(x2 ; y2 ) thì x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình g(x) = 0. Lấy đạo hàm tử thức chia cho đạo hàm mẫu thức, ta được y= (x2 − (3m + 2)x + m + 4)0 = 2x − 3m − 2. (x − 1)0 Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình là AB : y = 2x − 3m − 2.  Do A, B ∈ AB nên ta có thể biểu diễn y1 , y2 lần lượt qua x1 , x2 : y1 = 2×1 − 3m − 2; y2 = 2×2 − 3m − 2. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 219 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Dùng công thức tính độ dài đoạn thẳng để tính AB và biến đổi nó theo x1 + x2 , x1 x2 . Sử dụng định lí Vi-ét, suy ra kết quả. x2 − 2x + 2m − 2 . (x − 1)2 2 Hàm ( số0 có cực đại và cực tiểu ⇔ g(x) = x − 2x + 2m − 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ∆ = 3 − 2m > 0 3 (*) ⇔ ⇔m< . 2 g(1) = 2m − 3 6= 0 Giải. Tập xác định D = R {1}. Ta có y 0 = Giả sử (Cm ) có các điểm cực đại, cực tiểu là A(x1 ; y1 ), B(x2 ; y2 ). Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình là AB : y = 2x − 3m − 2. Do A, B ∈ AB nên y1 = 2x1 − 3m − 2; y2 = 2x2 − 3m − 2. Theo định lí Vi-ét, ta có x1 + x2 = 2; x1 x2 = 2m − 2. Theo giả thiết, ta có: AB < 3 ⇔ AB 2 < 9 ⇔(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 < 9 ⇔(x1 − x2 )2 + [(2x1 − 3m − 2) − (2x2 − 3m − 2)]2 < 9 ⇔5(x1 − x2 )2 < 9 ⇔ 5[(x1 + x2 )2 − 4x1 x2 ] < 9 ⇔5[22 − 4(2m − 2)] < 9 ⇔ 60 − 40m < 9 51 ⇔m > . 40 3 51 0 ⇔ . m>1 ( x1 + x2 = 2m Áp dụng định lí Vi-et, ta có . x1 · x2 = m Giả sử A (x1 ; y1 ) và B (x2 ; y2 ) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho. Vì các điểm cực trị cách đều đường thẳng x = 2 nên ta có 220 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ” |x1 − 2| = |x2 − 2| ⇔ x1 = x 2 . x1 + x2 = 4 Vì đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nên ta chỉ xét trường hợp x1 + x2 = 4. Ta có x1 + x2 = 4 ⇔ 2m = 4 ⇔ m = 2 ( thỏa ycbt).  Bài 25. Cho hàm số y = x3 − 3×2 + 2 có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số nằm về hai phía của đường tròn (α) : x2 + y 2 − 2ax − 4ay + 5a2 − 1 = 0. Lời giải. Tập xác đinh D = R. Ta có y 0 = 3×2 − 6x. ” y 0 = 0 ⇔ 3×2 − 6x = 0 ⇔ 3x (x − 2) = 0 ⇔ x=0 . x=2 Bảng biến thiên của hàm số đã cho x −∞ f 0 (x) 0 + 0 +∞ 2 − 0 + +∞ 2 f (x) −∞ −2 Đồ thị hàm số có điểm cực đại là M1 (0; 2) và điểm cực tiểu là M2 (2; −2). Đường tròn (α) : x2 + y 2 − 2ax − 4ay + 5a2 − 1 = 0 ⇔ (x − a)2 + (x − 2a)2 = 1 có tâm I (a, 2a) và bán kính R = 1. # » # »2 IM1 = (−a; 2 − 2a) ⇒ IM1 = a2 + (2 − 2a)2 = 5a2 − 8a + 4. # » IM2 = (2 − a; −2 − 2a) ⇒ IM22 = (2 − a)2 + (−2 − 2a)2 = 5a2 + 4a + 8. Ta có một điểm M bất kì nằm phía trong đường tròn (α) thì IM < R ⇔ IM 2 < R2 ⇔ IM 2 −R2 < 0. Tương tự, điểm M nằm phía ngoài (α) thì IM > R ⇔ IM 2 > R2 ⇔ IM 2 − R2 > 0. Do đó, để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm về hai phía của đường tròn thì

IM1 2 − R2 IM2 2 − R2 < 0

⇔ 5a2 − 8a + 4 − 1 5a2 + 4a + 8 − 1 < 0

⇔ 5a2 − 8a + 4 − 1 5a2 + 4a + 8 − 1 < 0 ⇔ 5a2 − 8a + 3 < 0 3 < a < 1. ⇔ 5 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 221 Tuyển tập Toán 12 THPT Vậy Kỳ thi THQG 2020 3 < a < 1 thỏa mãn yêu cầu đề bài. 5  Bài 26. Tìm giá trị tham số m sao cho đồ thị hàm số y = −x3 + 3mx + 1 có hai điểm cực trị A, B thỏa mãn tam giác OAB vuông tại O (O là gốc tọa độ). Lời giải. y 0 = −3x2 + 3m. Đồ thị hàm số có 2 cực trị thì y 0 phải có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0. Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị x1 , x2 là y = 2mx + 1. Suy ra y1 = 2mx1 + 1, y2 = 2mx2 + 1. Giả sử A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ). Khi đó, tam giác OAB là tam giác vuông tại O. # » # » OA · OB = 0 ⇔ x1 x2 + y1 y2 = 0 ⇔ x1 x2 + (2mx1 + 1)(2mx2 + 1) = 0 ⇔ (4m2 + 1)x1 x2 + 2m(x1 + x2 ) + 1 = 0 Theo định lí Vi-ét, ta có x1 x2 = −m và x1 + x2 = 0 1 Do đó (4m2 + 1)x1 x2 + 2m(x1 + x2 ) + 1 = 0 ⇔ −4m3 − m + 1 = 0 ⇔ m = (thỏa mãn đk). 2 1 Vậy m = . 2  1 Bài 27. Cho hàm số y = x3 − mx2 − x + m + 1 (Cm ). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m 3 để (Cm ) có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị là nhỏ nhất. Lời giải. Tập xác định D = R. y 0 = x2 − 2mx − 1. Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆0 = m2 + 1 > 0 (đúng ∀m ∈ R). 2 2 1 (x − m) · y 0 − (m2 + 1) x + m + 1. 3 3 3 Gọi M1 (x1 ; y1 ), M2 (x2 ; y2 ) là các điểm cực trị của (Cm ), ta có y 0 (x1 ) = y 0 (x2 ) = 0. Do đó
2 2 y1 = − m2 + 1 x1 + m + 1 3 3 Thực hiện phép chia y cho y 0 ta được y = và y2 = −
2 2 m2 + 1 x2 + m + 1 3 3 Khi đó ï M1 M2 = Theo định lí Vi-ét, Suy ra M1 M2 = ( x1 + x2 = 2m x1 x2 = −1 òî ó 4 2 2 1 + (m + 1) (x1 + x2 )2 − 4×1 x2 . 9 . ï ò 4 2 1 + (m2 + 1) (4m2 + 4). 9 222 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ò 4 2 2 Để M1 M2 nhỏ nhất thì f (m) = 1 + (m + 1) (4m2 + 4) phải đạt giá trị nhỏ nhất. 9 ï ã ò Å
2
4 52 4 2 2 f (m) = 1 + ·4= . m +1 4m + 4 ≥ 1 + 9 9 9 ï 52 khi m = 0. 9 Vậy với m = 0 thì thỏa mãn yêu cầu đề bài. Suy ra min f (m) =  Bài 28. Cho hàm số y = x4 − 2(m + 1)x2 + m2 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông. Lời giải. Tập xác định D = R. y = 4x −”4(m + 1)x. x=0 y 0 = 0 ⇔ 4x(x2 − m − 1) = 0 ⇔ . x2 = m + 1 Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình y 0 = 0 phải có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 3 m + 1 > 0 ⇔ m > −1. √ √ Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A(0; m2 ), B( m + 1; −2m − 1) và C(− m + 1; −2m − 1). Ta thấy điểm B và C đối xứng nhau qua trục Oy và điểm A nằm trên trục Oy. Do đó, tam giác ABC cân tại A. # » # » Để tam giác ABC vuông thì nó phải vuông tại A. Do đó, AB ⊥ AC ⇔ AB · AC = 0 (*) √ √ # » AB = ( m + 1; −(m + 1)2 ); AC = (− m + 1; −(m + 1)2 ). ” m=1 (loại)   (∗) ⇔ −(m + 1) + (m + 1)4 = 0 ⇔ (m + 1) (m + 1)3 − 1 = 0 ⇔ m = 0 ( thỏa mãn). Vậy với m = 0 thì thỏa mãn yêu cầu đề bài.  Bài 29. Cho hàm số y = x4 − 2mx2 + m − 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị, sao cho đường tròn đi qua ba điểm cực trị đó có bán kính bằng 1. Lời giải. Tập xác định D = R. y 0 = 4×3 −4mx = 4x(x2 − m)   x=0  0 y =0⇔    2 x =m Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình y 0 = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ m > 0. √ Khi đó, ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(0; m − 1) , B(− m; −m2 + m − 1) và √ C( m; −m2 + m − 1). CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 223 Tuyển tập Toán 12 THPT x Kỳ thi THQG 2020 √ − m −∞ f 0 (x) − 0 √ 0 + +∞ − 0 +∞ m + 0 +∞ m−1 f (x) −m2 + m − 1 −m2 + m − 1 Ta thấy B và C đối xứng nhau qua trục Oy, Oy là đường trung trực của BC. Do đó, tâm I của đường tròn (C) qua ba điểm cực trị A , B , C sẽ nằm trên Oy và nằm bên dưới điểm A. Giả sử I(0; k) , (k < m − 1). Để (C) có bán kính bằng 1 thì IA = IB = IC = 1 ⇔ ( IA = 1 . IB = 1 √ #» Ta có IB = (− m; m2 + m − 1 − k) ⇒ IB 2 = m + (−m2 + m − 1 − k)2 . IB = 1 ⇒ m + (−m2 + m − 1 − k)2 = 1. #» IA = (0; m − 1 − k) ⇒ IA2 = (m" − 1 − k)2 . k = m − 2 < m − 1 (thỏa mãn) IA2 = 1 ⇒ (m − 1 − k)2 = 1 ⇔ k =m>m−1 (loại). Thế k = m − 2 thế vào (*) ta được: m + (−m2 + m − 1 − m + 2)2 = 1 ⇔ m − 1 + (m2 − 1)2 = 0 ⇔ (m2 − m)(m2 + m − 1) = 0 −1 + Giải phương trình kết hợp với điều kiện ta được m = 1 , m = 2 √ 5 thỏa mãn yêu cầu đề bài.  Bài 30. Cho hàm số y = x4 − 2mx2 + 2m + m4 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích S = 4. Lời giải. Tập xác định D = R. y 0 = 4×3 − 4mx. ” y 0 = 0 ⇔ 4x(x2 − m) = 0 x=0 x2 = m. Để hàm số có ba điểm cực trị thì y 0 = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ m > 0 Khi đó, ba điểm cực trị của √ √ đồ thị hàm số là A(0; 2m + m4 ), B( m; m4 − m2 + 2m) và C(− m; m4 − m2 + 2m). Ta thấy hai điểm B, C đối xứng nhau qua trục Oy, điểm A nằm trên trục Oy. Do đó, tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC, suy ra AM là trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác ABC 1 ⇒ SABC = AM · BC = 4 (∗) 2 224 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 # » Ta có M (0; m4 − m2 + 2m) và AM = (0; −m2 ) ⇒ AM = m2 √ √ # » BC = (−2 m; 0) ⇒ BC = 2 m. ” √ 5 m = 16 √ 1 2 √ 2 5 (∗) ⇔ m · 2 m = 4 ⇔ m m = 4 ⇔ m = 16 ⇔ √ 5 2 m = − 16 √ Vậy với m = 5 16 thì thỏa mãn yêu cầu đề bài. (thỏa mãn) (loại).  Bài 31. Cho hàm số y = x4 − 2×2 . Gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho và có hệ số góc m. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho tổng các khoảng cách từ hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho đến ∆ nhỏ nhất. Lời giải. ” x=0 Ta có y 0 = 4×3 − 4x = 0 ⇔ . x = ±1 Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là A(1; −1) và B(−1; −1). Đồ thị hàm số có một điểm cực đại O(0; 0). Phương trình đường thẳng ∆ đi qua O nhận m là hệ số góc là y = mx ⇔ mx − y = 0 Tổng khoảng cách từ A, B đến ∆ là: |m − 1| |m − 1| + |m + 1| |m + 1| √ +√ = = g(m). d= √ m2 + 1 m2 + 1 m2 + 1 2m  Nếu m ≥ 1 thì g(m) = √ . m2 + 1 √ 2m2 2 m2 + 1 − √ 2 m2 + 1 √ = Suy ra g 0 (m) = > 0, ∀m ≥ 1 2 2 m +1 (m + 1) m2 + 1 √ Do đó, min g(m) = g(1) = 2. (1) [1;+∞) −2m  Nếu m ≤ −1 thì g(m) = √ . m2 + 1 √ 2m2 −2 m2 + 1 + √ −2 m2 + 1 √ Suy ra g 0 (m) = = . 2 m +1 (m2 + 1) m√2 + 1 Do đó, g 0 (m) < 0, ∀m ≤ −1 ⇒ min g(m) = g(−1) = 2. (2) (−∞;−1] 2 . m2 + 1 m −2 Suy ra g 0 (m) = ·√ = 0 ⇔ m = 0. 2 2 (m + 1) m √ +1 min g(m) = g(−1) = g(1) = 2.  Nếu −1 ≤ m ≤ 1 thì g(m) = √ (3) [−1;1] Từ (1), (2) và (3), ta có m = ±1 thỏa yêu cầu bài toán.  CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 225 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 Mức độ nhận biết Câu 1. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (a; b) chứa x0 . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. Nếu f 0 (x0 ) = 0 thì hàm số đạt cực trị tại x = x0 . B. Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 thì f 00 (x0 ) < 0. C. Nếu hàm số đạt cực trị tại x = x0 thì f 0 (x0 ) = 0. D. Hàm số đạt cực trị tại x = x0 khi và chỉ khi f 0 (x0 ) = 0. Lời giải. 0 Đáp án “Nếu f (x0 ) = 0 thì hàm số đạt cực trị tại x = x0 ” và “Hàm số đạt cực trị tại x = x0 khi và chỉ khi f 0 (x0 ) = 0” cùng sai. Chẳng hạn xét hàm số f (x) = x3 có f 0 (x) = 3x2 , f 0 (0) = 0 ⇔ x = 0 nhưng hàm số không đạt cực trị tại x = 0. Đáp án “Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 thì f 00 (x0 ) < 0” sai vì ít nhất ta cần có f 0 (x) = 0 hoặc f 0 (x0 ) không xác địnhchứ không phải f 00 (x) < 0.  Chọn đáp án C Câu 2. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên [−2; 2] và có đồ thị là đường y cong trong hình vẽ bên. Hàm số f (x) đạt cực tiểu tại điểm 4 B. x = −2. A. x = 1. D. x = −1. C. x = 2. 2 −2 −1 O 1 2 x Lời giải. Căn cứ vào đồ thị, ta có f 0 (x) < 0, ∀x ∈ (−2; −1) và f 0 (x) > 0, ∀x ∈ (−1, 0) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = −1. f 0 (x) > 0, ∀x ∈ (0; 1) và f 0 (x) < 0, ∀x ∈ (1; 2) suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 1.  Chọn đáp án D 3 7 Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x4 − 2mx2 + có cực tiểu mà không có 2 3 cực đại. A. m ≥ 0. B. m ≤ 0. C. m ≥ 1. D. m = −1. Lời giải. 0 3 2 Ta có y = 6x − 4mx = 2x(3x − 2m). Do đó hàm số trùng phương có cực tiểu mà không có cực đại khi phương trình y 0 = 0 có nghiệm duy nhất x = 0, tương đương m ≤ 0.  Chọn đáp án B Câu 4. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số. A. 3. B. 0. 226 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 1. D. 2. Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 −∞ x y0 −2 0 − + 0 0 − +∞ 2 0 + y Lời giải. Dựa vào BBT suy ra hàm số có 3 điểm cực trị.  Chọn đáp án A Câu 5. Hàm số y = f (x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. x −∞ y0 + 1 0 +∞ 2 − + +∞ 3 y −∞ 0 Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị. B. Hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị. C. Hàm số đã cho không có giá trị cực tiểu. D. Hàm số đã cho không có giá trị cực đại. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 2. Vậy hàm số có hai điểm cực trị.  Chọn đáp án A Câu 6. Điểm cực tiểu của hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + 2 là A. x = 25. B. x = 3. D. x = −1. C. x = 7. Lời giải. 2 Ta có: y 0 = " 3x − 6x − 9 x = −1 y0 = 0 ⇔ x = 3. Bảng biến thiên: Do đó điểm cực tiểu của hàm số là x = 3. x −∞ y0 + −1 0 − 3 0 +∞ + y  Chọn đáp án B Câu 7. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta xét các khẳng định sau: 1) Nếu hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm x0 ∈ (a; b) thì f (x0 ) là giá trị lớn nhất của f (x) trên đoạn [a; b]. 2) Nếu hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm x0 ∈ (a; b) thì f (x0 ) là giá trị nhỏ nhất của f (x) trên đoạn [a; b] 3) Nếu hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm x0 và đạt cực tiểu tại điểm x1 (x0 , x1 ∈ (a; b)) thì ta luôn có f (x0 ) > f (x1 ). CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 227 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Số khẳng định đúng là? A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải. Chọn đáp án C.  Chọn đáp án C Câu 8. Hàm số y = x3 − 3×2 + 3x − 4 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải. 0 2 2 Ta có y = 3x − 6x + 3 = 3 (x − 1) ≥ 0, ∀x ∈ R. Hàm số đã cho có đạo hàm không đổi dấu trên R nên nó không có cực trị.  Chọn đáp án C Câu 9. Tìm cực trị của hàm số y = 2×3 + 3×2 + 4? A. xCĐ = −1, xCT = 0. B. xCĐ = 5, xCT = 4. C. xCĐ = 0, xCT = −1. D. xCĐ = 4, xCT = 5. Lời” giải. x=0 +Ta có y 0 = 6×2 + 6x = 6x (x + 1) ⇒ y 0 = 0 ⇔ . x = −1 +Bảng biến thiên: x y0 −∞ −1 0 + +∞ 0 0 − + +∞ 5 y −∞ 4 Từ bảng biến thiên suy ra yCĐ = 5; yCT = 4. Trắc nghiệm: Bài toán hỏi cực trị hàm số nên loại A, C. Mặt khác yCĐ > yCT .  Chọn đáp án B Câu 10. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau. Giá trị cực đại của hàm số bằng A. 1. B. 2. C. 0. D. 5. x y0 −∞ y +∞ − 0 0 1 + 2 0 5 +∞ − −∞ Lời giải. Giá trị cực đại của hàm số bằng 5.  Chọn đáp án D Câu 11. Cho hàm số y = x4 − x2 + 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu. B. Hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu. C. Hàm số có 1 điểm cực trị. D. Hàm số có 2 điểm cực trị. Lời giải. 228 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Do hàm số trùng phương có hệ số a > 0 và ab < 0, suy ra hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.  Chọn đáp án A Câu 12. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 − 3x + 5 là điểm A. M (1; 3). B. N (−1; 7). D. P (7; −1). C. Q(3; 1). Lời giải. " Ta có y 0 = 3x2 − 3. y 0 = 0 ⇔ x=1 . x = −1 y 00 = 6x. Ta có y 00 (1) = 6 > 0 và y(1) = 3. Do đó điểm cực tiểu của đồ thị là M (1; 3).  Chọn đáp án A Câu 13. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau: x −∞ y0 −2 + +∞ 2 − 0 + 0 +∞ 3 y −∞ 0 Tìm giá trị cực đại yCĐ và giá trị cực tiểu yCT của hàm số đã cho A. yCĐ = −2 và yCT = 2. B. yCĐ = 3 và yCT = 0. C. yCĐ = 2 và yCT = 0. D. yCĐ = 3 và yCT = −2. Lời giải. Từ bảng biến thiên ta có yCĐ = 3 và yCT = 0.  Chọn đáp án B Câu 14. y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm kết 5 luận đúng 4 3 2 1 x −2 −1 O 1 2 A. Hàm số y = f (x) có điểm cực tiểu là x = 2. B. Hàm số y = f (x) có giá trị cực đại là −1. C. Hàm số y = f (x) có điểm cực đại là x = 4. D. Hàm số y = f (x) có giá trị cực tiểu là 0. Lời giải. Phương pháp: Dựa vào cách đọc đồ thị hàm số để tìm điểm cực trị. Ở đây cần lưu ý giá trị cực trị của hàm số là trung độ điểm cực trị của đồ thị hàm số, điểm cực trị của hàm số là hoành độ điểm cực trị của đồ thị hàm số. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 229 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Cách giải: Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số nhận (1; 0) làm điểm cực tiểu và điểm (−1; 4) làm điểm cực đại. Nên hàm số y = f (x) có giá trị cực tiểu là yCT = 0.  Chọn đáp án D Câu 15. y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. Hàm số không có cực trị. B. Giá trị cực đại dương. C. Điểm cực tiểu âm. D. Giá trị cực tiểu dương. O x Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: • Hàm số có hai cực trị ⇒ A sai. • Điểm cực đại nằm phía trên trục hoành ⇒ Giá trị cực đại dương ⇒ B đúng. • Điểm cực tiểu nằm phía bên phải trục tung ⇒ Điểm cực tiểu dương ⇒ C sai. • Điểm cực tiểu nằm phía dưới trục hoành ⇒ Giá trị cực tiểu âm ⇒ D sai.  Chọn đáp án B Câu 16. y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho có mấy điểm cực trị? A. 0. B. 4. C. 2. D. 1. x O Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị.  Chọn đáp án C Câu 17. y Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R. Hàm số y = f 0 (x) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Đồ thị hàm số y = f (x) có hai điểm cực trị. 1 B. Đồ thị hàm số y = f (x) có ba điểm cực trị. C. Đồ thị hàm số y = f (x) có bốn điểm cực trị. D. Đồ thị hàm số y = f (x) có một điểm cực trị. O 3 2 x Lời giải. Vì phương trình f 0 (x) = 0 có 3 nghiệm và khi qua 3 nghiệm f 0 (x) đều đổi dấu nên nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị. Chọn đáp án B  Câu 18. 230 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 −∞ x y0 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên dưới đây. Khẳng định nào sau đây là khẳng 2 0 + +∞ 4 0 − + +∞ 3 định đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2. y −∞ B. Hàm số đạt cực đại tại x = −2. −2 C. Hàm số đạt cực đại tại x = 4. D. Hàm số đạt cực đại tại x = 3. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 4.  Chọn đáp án A Câu 19. y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Giá trị cực đại của hàm số bằng A. −2. C. −1. B. 0. −1 O D. 1. 1 −1 x −2 Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số ta suy ra giá trị cực đại bằng −1.  Chọn đáp án C Câu 20. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị y của hàm số đã cho là A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. O x Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số, số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2.  Chọn đáp án A Câu 21. Đồ thị hàm số y = −x3 + 3x có điểm cực tiểu là A. (−1; 0). C. (1; −2). B. (1; 0). D. (−1; −2). Lời giải. 0 2 2 Ta có y = −3x + 3 = 3(1 − x ). Khi đó y 0 = 0 ⇔ x = ±1. Bảng biến thiên x y0 −∞ − −1 0 +∞ + 1 0 +∞ − 2 y −2 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ −∞ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 231 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Chọn đáp án D Câu 22. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. y 2 −1 O x 1 Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. Lời giải. Đồ thị hàm số có 5 cực trị.  Chọn đáp án B Câu 23. Họ nghiệm của phương trình sin x = 1 là π π −π A. x = + kπ. B. x = + k2π. C. x = + k2π. 2 2 2 Lời giải. π Ta có sin x = 1 ⇔ x = + k2π(k ∈ Z). 2 Chọn đáp án B D. x = kπ.  Câu 24. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình x −∞ bên. Phát biểu nào sau đây đúng? y0 A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2. B. Hàm số đạt cực đại tại x = 4. −2 + 0 0 − − 0 4 −∞ C. Hàm số có 3 cực tiểu. + 0 2 y +∞ 2 −∞ 1 D. Hàm số có giá trị cực tiểu là 0. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 2.  Chọn đáp án A Câu 25. Đồ thị hàm số y = −x4 − x2 + 3 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Lời giải. Đạo hàm đổi dấu từ + sang − khi qua x = 0 nên x = 0 là điểm cực trị duy nhất của hàm số.  Chọn đáp án C Câu 26. y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f (x). A. 3. B. 1. C. 4. 1 D. 2. O −1 1 2 3 4 x −1 232 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. Dựa vào đồ thị ta có hàm số có 3 cực trị, trong đó có 2 cực tiểu và một cực đại.  Chọn đáp án A Câu 27. x y0 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số có điểm cực tiểu x = 0. −∞ + 0 0 5 − 1 0 +∞ + +∞ y B. Hàm số có điểm cực đại x = 5. −∞ −1 C. Hàm số có điểm cực tiểu x = −1. D. Hàm số có điểm cực tiểu x = 1. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có điểm cực tiểu x = 1.  Chọn đáp án D 1 Câu 28. Hàm số y = − x4 − 2×2 + 2 có bao nhiêu điểm cực trị? 4 A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. Lời giải. 0 3 Ta có y = −x − 4x = 0 ⇐⇒ x = 0. Ta có bảng biến thiên −∞ x y0 + y 0 0 2 −∞ +∞ − −∞ Vậy hàm số có một điểm cực trị.  Chọn đáp án B Câu 29. Hàm số y = x3 − 9×2 + 1 có hai điểm cực trị là x1 , x2 . Tính x1 + x2 . B. −106. A. 6. C. 0. D. −107. Lời giải. ” y 0 = 3×2 − 18x = 0 ⇔ x=0 x=6 . Vậy x1 + x2 = 0 + 6 = 6.  Chọn đáp án A Câu 30. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0 (x) = x(x − 1)2 (x + 1). Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 3. C. 2. D. 0. Lời giải.  x=0  1 f 0 (x) = 0 ⇔  x = 1 . x = −1 2 Bảng xét dấu đạo hàm CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 233 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 −∞ x f 0 (x) −1 + 0 − 0 0 +∞ 1 + + 0 Vậy hàm số có hai điểm cực trị là x = −1 và x = 0.  Chọn đáp án C Câu 31. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. x y0 −∞ 1 − + +∞ 2 0 − 2 y −∞ −∞ Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số có giá trị cực đại bằng 1. B. Hàm số có đúng hai cực trị. C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 2. D. Hàm số không xác định tại x = 1. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại x = 1 và giá trị cực đại của hàm số bằng 2.  Chọn đáp án C Câu 32. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số y = f (x) có mấy y điểm cực trị? 4 A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. −1 O 2 x Lời giải. Dựa vào hình vẽ thì đồ thị hàm số y = f (x) có hai điểm cực trị.  Chọn đáp án B Câu 33. Đồ thị hàm số nào sau đây có ba điểm cực trị? 2 A. y = 2×4 − 4×2 + 3. B. y = (x2 + 2) . C. y = −x4 − 3×2 . D. y = x3 − 6×2 + 9x − 5. Lời giải. Hàm bậc ba chỉ có tối đa 2 điểm cực trị ⇒ do đó loại hàm số y = x3 − 6×2 + 9x − 5. Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c có 3 điểm cực trị ⇔ a · b < 0 do đó chọn đáp án y = 2x4 − 4x2 + 3. Chọn đáp án A  Câu 34. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi hàm số y = f (x) có bao nhiêu điểm cực trị? 234 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT x y0 Kỳ thi THQG 2020 −∞ + −1 0 0 − +∞ 1 0 + 2 − 3 y −∞ A. Có một điểm. −1 −1 B. Có ba điểm. 2 C. Có hai điểm. Lời giải. D. Có bốn điểm. Từ bảng biến thiên ta có hàm số có hai điểm cực trị là x = −1 và x = 1.  Chọn đáp án C Câu 35. Cho hàm số y = A. 2. x3 − x − 11. Giá trị cực tiểu của hàm số là 3 −1 −5 B. . C. . 3 3 Lời giải. D. −1. Tập xác định D = R. " Ta có y 0 = x2 − 1. Do đó y 0 = 0 ⇔ x2 − 1 = 0 ⇔ x=1 x = −1. Bảng biến thiên x −∞ y0 −1 + 0 − y − 0 + +∞ 1 3 − −∞ Giá trị cực tiểu của hàm số là +∞ 1 5 3 −5 . 3  Chọn đáp án C Câu 36. Cho hàm số y = f (x), có đạo hàm là f 0 (x) liên tục trên R và hàm số f 0 (x) y có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số y = f (x) có bao nhiêu cực trị? A. 1. B. 0. 2 C. 3. 1 D. 2. −2 −1 1 2 x −1 −2 −3 Lời giải.  x=a  Ta có f 0 (x) = 0 ⇔  x = b (trong đó −2 < a < 0 < b < c < 2). x=c Ta có bảng xét dấu CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 235 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x −∞ f 0 (x) a + c b − 0 + 0 +∞ − 0 Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số y = f (x) có 3 cực trị.  Chọn đáp án C Câu 37. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng? A. Hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại điểm x0 khi và chỉ khi đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0 . B. Nếu f 0 (x) = 0 và f 00 (x) < 0 thì x0 là cực tiểu của hàm số y = f (x). C. Nếu f 0 (x) = 0 và f 00 (x) = 0 thì x0 không phải là cực trị của hàm số đã cho. D. Hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại điểm x0 khi và chỉ khi x0 là nghiệm của đạo hàm. Lời giải. Theo định nghĩa ta có: Hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại điểm x0 khi và chỉ khi đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0  Chọn đáp án A Câu 38. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm A. x = 1. B. x = 5. C. x = 2. x y0 −∞ − 0 0 + +∞ D. x = 0. 2 0 +∞ − 5 y −∞ 1 Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy y đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 0 nên x = 0 là điểm cực 0 tiểu của hàm số y = f (x).  Chọn đáp án D Câu 39. Điểm cực trị của đồ thị hàm số y = −x3 + x2 +Å5x − 5ãlà 5 40 ; . A. (−1; −8). B. (0; −5). C. 3 27 Lời giải. D. (1; 0). Tập xác định D = R. Ta có y 0 = −3x2 + 2x + 5.  x = −1 0 2  Xét y = 0 suy ra −3x + 2x + 5 = 0 ⇔ 5 x= . 3 Xét dấu y 0 x y0 −∞ −1 − 0 + 5 3 0 +∞ − Dựa vào bảng xét dấu y 0 suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 suy ra yCT = −8. Vậy tọa độ điểm cực tiểu là (−1; −8). Chọn đáp án A 236 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 40. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ y0 −2 + 0 0 − + 0 0 3 y +∞ 2 − 3 −∞ −1 Giá trị cực đại của hàm số bằng: A. −2. B. −1. −∞ C. 2. D. 3. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số là 3.  Chọn đáp án D Câu 41. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng? x −∞ y0 − −1 0 + +∞ 0 0 − 1 0 +∞ + +∞ 0 y −3 −3 A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng −1 bằng 1. C. Hàm số đạt cực đại tại x = 0. B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. D. Hàm số có đúng hai điểm cực trị. Lời giải. Phương pháp: Đánh giá dấu của f 0 (x) và chỉ ra cực đại, cực tiểu của hàm số y = f (x).  Cực tiểu là điểm mà tại đó f 0 (x) đổi dấu từ âm sang dương.  Cực đại là điểm mà tại đó f 0 (x) đổi dấu từ dương sang âm. Cách giải: Hàm số đạt cực đại tại x = 0.  Chọn đáp án C Câu 42. Cho hàm số y = −x4 + 2x2 + 3 có giá trị cực tiểu lần lượt là y1 , y2 . Khi đó y1 + y2 bằng A. 7. B. 1. D. −1. C. 3. Lời giải. Phương pháp: Lập bảng biến thiên của hàm số.  x=0  Cách giải: y = −x4 + 2x2 + 3 ⇒ y 0 = −4x3 + 4x ⇒ y 0 = 0 ⇔  x = 1 x = −1. Bảng biến thiên: x −∞ y0 + −1 0 − 0 0 4 + 1 0 +∞ − 4 y −∞ CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3 −∞ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 237 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Hàm số y = −x4 + 2x2 + 3 có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu lần lượt là y1 = 4, y2 = 3 ⇒ y1 + y2 = 7. Chú ý: Cần phân biệt điểm cực đại và giá trị cực đại cũng như điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu của hàm số.  Chọn đáp án A Câu 43. y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số y = f (x) có 5 4 3 2 1 mấy điểm cực trị? A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. −1O −1 1 2 3 4x Lời giải. Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số y = f (x) có 2 điểm cực trị.  Chọn đáp án B Câu 44. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không có cực trị? A. y = x3 + 2. B. y = x4 − x2 + 1. C. y = x3 − 3x2 + 3. D. y = −x4 + 3. Lời giải. 3 Xét hàm số y = x + 2. Ta có y 0 = 3x2 ≥ 0, ∀x ∈ R. Suy ra hàm số y = x3 + 2 không có cực trị.  Chọn đáp án A Câu 45. Cho hàm số y = f (x) có tập xác định (−∞; 2] và bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây sai về hàm số đã cho ? x −∞ −1 0 2 1 2 2 f (x) −∞ −1 1 A. Giá trị cực đại bằng 2. B. Hàm số có 2 điểm cực tiểu. C. Giá trị cực tiểu bằng −1. D. Hàm số có 2 điểm cực đại. Lời giải. Dựa vào tập xác định và bảng biến thiên của hàm số y = f (x) ta thấy hàm số có 1 điểm cực tiểu là x = 0.  Chọn đáp án B Câu 46. Giá trị cực đại yCĐ của hàm số y = x3 − 12x + 20 là A. yCĐ = 4. C. yCĐ = −4. B. yCĐ = 36. D. yCĐ = −2. Lời giải. Tập xác định D = R. Ta có y 0 = 3x2 − 12. 238 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 " Xét y 0 = 0 suy ra 3x2 − 12 = 0 ⇔ x=2 x = −2 . Xét dấu y 0 −∞ x y 0 −2 + +∞ 2 − 0 + 0 Hàm số đạt cực đại tại x = −2 suy ra yCĐ = 36.  Chọn đáp án B Câu 47. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? y 3 1 −1 O −1 2 x A. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng −1. B. Điểm cực tiểu của hàm số là −1. C. Điểm cực đại của hàm số là 3. D. Giá trị cực đại của hàm số là 0. Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy:  Đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực đại bằng −1.  Chọn đáp án A Câu 48. y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên. Hàm số đã cho đạt cực đại tại A. x = −1. 2 B. x = 2. D. x = −2. C. x = 1. −1 O 1 x −2 Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = −1.  Chọn đáp án A Câu 49. Hàm số y = −x4 − x2 + 1 có mấy điểm cực trị? A. 3. B. 0. C. 1. D. 2. Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 239 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ta có y 0 = −4x3 − 2x. Phương trình y 0 = 0 ⇔ −2x(2x2 + 1) = 0 ⇔ x = 0. Bảng xét dấu x y0 −∞ 0 0 + +∞ − Vậy hàm số có 1 cực trị.  Chọn đáp án C Câu 50. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. x y0 −∞ 1 − + +∞ 2 0 +∞ − 0 y −1 −∞ Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 1. B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng −1. C. Hàm số có đúng một cực trị. D. Hàm số có giá trị cực đại bằng 2. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta có, dấu của y 0 đổi từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại x = 2 và dấu của y 0 đổi từ dương sang âm nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng −1, giá trị cực đại của hàm số bằng 0.  Chọn đáp án A Câu 51. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau. x −∞ f 0 (x) 2 + +∞ 4 − 0 0 + +∞ 3 f (x) −∞ −2 Hàm số đạt cực đại tại điểm nào trong các điểm sau đây? A. x = −2. B. x = 3. C. x = 2. D. x = 4. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại điểm x = 2. Chọn đáp án C 240 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 52. Phát biểu nào sau đây đúng? A. Nếu f 00 (x0 ) = 0 và f 0 (x0 ) = 0 thì x0 không phải là điểm cực trị của hàm số. B. Nếu f 0 (x) đổi dấu khi x qua điểm x0 và f (x) liên tục tại x0 thì hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 . C. Nếu f 00 (x0 ) > 0 và f 0 (x0 ) = 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 . D. Hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 khi và chỉ khi f 0 (x0 ) = 0. Lời giải.  Nếu f 00 (x0 ) = 0 và f 0 (x0 ) = 0 thì x0 không phải là điểm cực trị của hàm số là phát biểu sai. Chẳng hạn, hàm số y = x4 có f 0 (0) = f 00 (0) = 0 và x = 0 là điểm cực trị của hàm số.  Nếu f 0 (x) đổi dấu khi x qua điểm x0 và f (x) liên tục tại x0 thì hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 là phát biểu đúng.  Nếu f 00 (x0 ) > 0 và f 0 (x0 ) = 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 là phát biểu sai do không thỏa mãn dấu hiệu nhận biết điểm cực đại.  Hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 khi và chỉ khi f 0 (x0 ) = 0 là phát biểu sai vì khi f 0 (x) = 0 thì x = x0 chưa chắc là điểm cực trị vì f 0 (x) có thể không đổi dấu khi x qua điểm x0 .  Chọn đáp án B Câu 53. Hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau x y0 −∞ − 0 0 + +∞ +∞ 2 0 − 5 y −∞ 1 Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 1. B. 2. C. 0. D. 5. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 5.  Chọn đáp án D √ Câu 54. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = a 3. Tam giác ABC vuông cân tại B, AC = 2a. Thể tích khối chóp S.ABC √ bằng 3 √ a 3 A. a3 3. B. . 6 √ 2a3 3 C. . 3 Lời giải. Trong tam giác ABC vuông cân tại B có: √ AC AB = BC = √ = a 2. 2 √ Đường cao hình chóp: SA = a 3. 1 Diện tích đáy S∆ABC = AB.BC = a2 . 2 √ 1 a3 3 Vậy thể tích khối chóp: VS.ABC = SA · S∆ABC = . 3 3 √ a3 3 D. . 3 S A C B CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 241 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Chọn đáp án D Câu 55. Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) có tối đa bao nhiêu cực trị? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 56. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ y0 y −1 + +∞ 3 − 0 + 0 +∞ 5 −∞ 1 Cực đại của hàm số bằng A. 5. B. −1. C. 3. D. 1. Lời giải. Chú ý cực đại là giá trị yCĐ , dựa vào bảng biến thiên ta có 5 là cực đại của hàm số  Chọn đáp án A Câu 57. Hàm số y = x4 − 4×2 + 1 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0. B. 1. C. 3. D. 2 . Câu 58. Hàm số y = x3 + 3 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 0. C. 1. D. 2 . Câu 59. Hàm số y = x3 − 3×2 + 1 đạt cực tiểu tại điểm nào? A. x = −2. B. x = 2. C. x = 0. D. x = 3 . Câu 60. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên −∞ x −3 +∞ 0 như hình bên. y0 Chọn khẳng định sai. − 0 +∞ − + 3 y −∞ A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0. 0 B. Hàm số có hai điểm cực trị. C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −3. D. Hàm số có giá trị cực tiểu y = −3. Câu 61. Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị? A. y = x4 + 2×2 . B. y = x4 − 2×2 − 1. C. y = 2×4 + 4×2 − 4. D. y = −x4 − 2×2 − 1. 1 mx2 Câu 62. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = − x3 + + 4 đạt cực đại tại x = 2. 3 3 A. m = 1. B. m = 2. C. m = 3. D. m = 4. Câu 63. Hàm số nào sau đây không có cực trị? A. y = 2×3 − 3×2 . B. y = x4 + 2. C. y = x+1 . x−2 D. y = −x4 + 2×2 + 1. Lời giải. Chọn đáp án C 242 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 64. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ: x y −∞ 0 −1 1 − + 0 +∞ 3 − + +∞ +∞ 3 y −∞ −1 −∞ Số điểm cực trị của hàm số y = f (x) là: A. 0. B. 2. C. 3. D. 1. Lời giải.  Chọn đáp án D Câu 65. Hàm số y = x4 + 2×2 − 3 có giá trị cực tiểu yCT bằng mấy? A. yCT = −5. B. yCT = −4. C. yCT = −3. D. yCT = 0. Câu 66. Tìm điểm cực tiểu của hàm số y = x4 + x2 + 1. A. x = 0. B. x = −2. C. x = −1. D. x = 1. Lời giải. y 0 = 4×3 + 2x = 2x(2×2 + 1). Phương trình y 0 = 0 có nghiệm duy nhất x = 0 và y 0 đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x = 0. Nên điểm cực tiểu của của hàm số là x = 0.  Chọn đáp án A 1 Câu 67. Cho hàm số y = x4 − 2×2 + 1. Hàm số có 4 A. một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại. B. một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu. C. một điểm cực tiểu và một điểm cực đại. D. một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu. Lời giải. 4 Chú ý rằng hàm số trùng phương y = ax + bx2 + c (a 6= 0) có đặc điểm về cực trị như sau  Nếu ab < 0 thì hàm số có 3 điểm cực trị. Khi đó: − Nếu hệ số a > 0 thì hàm số có 1 điểm cực đại (chính là điểm trên Oy), 2 điểm cực tiểu. − Nếu hệ số a < 0 thì hàm số có 1 điểm cực tiểu (chính là điểm trên Oy), 2 điểm cực đại.  Nếu ab ≥ 0 thì hàm số có 1 điểm cực trị. Khi đó: − Nếu hệ số a > 0 thì hàm số có 1 điểm cực tiểu. − Nếu hệ số a < 0 thì hàm số có 1 điểm cực đại. 1 Từ hàm số đề bài, ta có ab < 0 và a = > 0 nên chọn đáp án B. 4 Chọn đáp án B  Câu 68. Tìm giá trị cực tiểu của hàm số y = x2 − 2x + 3. A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. C. y = −x2 + 2x + 1. D. y = −x4 + 2×2 + 1. Câu 69. Hàm số nào sau đây có đúng một cực tiểu. A. y = x3 − 1. B. y = x4 − 5×2 + 2. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 243 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 70. Cho hàm số y = x3 . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Hàm số có tập xác định D = R. B. Hàm số đồng biến trên R. C. Hàm số nghịch biến trên R. D. lim y = +∞ và lim y = −∞ . x→+∞ x→−∞ Câu 71. Cho hàm số y = 3×4 + 4×2 + 5. Khẳng định nào sau đây là đúng A. Hàm số có cực đại mà không có cực tiểu. B. Hàm số không có cực trị. C. Hàm số có cả cực đại và cực tiểu. D. Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. Câu 72. Giá trị cực tiểu của hàm số y = 2×3 + 3×2 − 12x + 2 là A. −5. B. −6. C. −21. −2x + 1 Câu 73. Hàm số y = có bao nhiêu điểm cực trị? x−3 A. 1. B. 0. C. 3. D. 6. D. 2. Lời giải. 5 Có y = . Suy ra hàm số không có cực trị. (x − 3)2 Chọn đáp án B 0  Câu 74. Điểm cực đại của hàm số y = x4 − 8×2 − 3 là A. (0; −3). C. x = ±2. B. x = 0. Ta có y 0 = 4×3 − 16×2 . Cho y 0 = 0 ⇔ D. y = 0. Lời giải. ” x=0 x = ±2. Ta có bảng biến thiên x −∞ −2 y0 − 0 0 + 0 +∞ +∞ 2 − + 0 +∞ −3 y −19 −19 Vậy điểm cực đại của hàm số là x = 0.  Chọn đáp án B Câu 75. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? x −∞ f 0 (x) 0 + 0 +∞ 2 − 0 + +∞ 2 f (x) −∞ A. yCD = 0. B. max y = 2. R 244 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em −2 C. min y = −2. D. yCT = −2. R Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta có: yCD = 2, yCT = −2. Do lim y = +∞ nên hàm số không có giá trị lớn nhất. x→+∞ Do lim y = −∞ nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất. x→−∞  Chọn đáp án D Câu 76. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ dưới. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? y 1 −1 A. 1. O B. 4. x 1 C. 2. D. 3. Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.  Chọn đáp án D Câu 77. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị cực tiểu của hàm số y = f (x) bằng A. 0. B. 1. C. −2. y 2 D. 2. 2 x O −2 Lời giải. Nhìn vào đồ thị hàm số ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số là y(2) = −2.  Chọn đáp án C Câu 78. y Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d ∈ R) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. x O Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra hàm số có đúng 2 điểm cực trị.  Chọn đáp án B Câu 79. Giá trị cực đại yCĐ của hàm số y = x3 − 12x + 20 là A. yCĐ = 4. B. yCĐ = 36. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ C. yCĐ = −4. D. yCĐ = −2. 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 245 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. Tập xác định D = R. Ta có y 0 = 3×2 − 12. ” Xét y 0 = 0 suy ra 3×2 − 12 = 0 ⇔ x=2 x = −2 . Xét dấu y 0 x y −∞ 0 −2 + +∞ 2 − 0 0 + Hàm số đạt cực đại tại x = −2 suy ra yCĐ = 36.  Chọn đáp án B 2 1 Câu 80. Tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x + . 2 x A. N (−2; −2). B. x = −2. C. M (2; 2). D. x = 2. Lời giải. 1 2 y = x + (TXĐ D = R {0}) 2 x 1 2 x2 − 4 0 ⇒y = − 2 = . 2 x 2×2 ” x=2 Có y 0 = 0 ⇔ x2 − 4 = 0 ⇔ ; y 0 không xác định ⇔ x = 0. x = −2 BBT −∞ x y0 + −2 0 0 − − 2 0 +∞ + +∞ −2 +∞ y −∞ −∞ 2 Hàm số đạt cực đại tại điểm x = −2 ⇒ y = −2. Vậy đồ thị hàm số có điểm cực đại là N (−2; −2).  Chọn đáp án A Câu 81. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây sai? x −∞ f 0 (x) −1 + 0 4 0 − 0 +∞ 1 + 0 4 − f (x) −∞ 3 −∞ A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 3. B. Hàm số có hai điểm cực đại. C. Hàm số có ba điểm cực trị. D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 0. Lời giải. 246 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Từ bảng biến thiên của hàm số y = f (x) ta thấy mện đề “Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 0” là mệnh đề sai.  Chọn đáp án D Câu 82. Đồ thị hàm số y = −x3 + 3x có điểm cực tiểu là A. (−1; 0). C. (1; −2). B. (1; 0). D. (−1; −2). Lời giải. 0 2 00 Ta có y = −3x + 3, y = −6x. ( ( x = ±1 − 3×2 + 3 = 0 ⇔ − 6x > 0 x<0 Với x = −1 ⇒ y = −2. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (−1; −2). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x thỏa mãn ⇔ x = −1.  Chọn đáp án D Câu 83. Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 + 3. A. 3. B. 2. C. 4. D. 1. Lời giải. " x=0 ; y(0) =3 y 0 = 0 ⇔ 4x3 − 4x = 0 ⇔ x = ±1 ; y(±1) = 2 Như vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị: (0; 3), (−1; 2); (1, 2).  Chọn đáp án A Câu 84. Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm số y = x3 − 3x2 + 1. A. yCĐ = 0. C. yCĐ = −3. B. yCĐ = 1. D. yCĐ = 2. Lời giải. " y 0 = 0 ⇔ 3x2 − 6x = 0 ⇔ x=0 · x=2 Bằng cách sử dụng dạng đồ thị của hàm số, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = y(0) = 1.  Chọn đáp án B Câu 85. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm nào dưới đây? y 1 O −1 A. x = −1. B. x = 1. 1 −2 x C. y = 0. D. x = 0. Lời giải. Quan sát hình vẽ, ta thấy điểm cực đại của hàm số y = f (x) là x = 0. Chọn đáp án D CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ −4  2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 247 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 86. Hàm số nào sau đây luôn có điểm cực trị? ax + b . B. y = ax3 + bx2 + cx + d, a 6= 0. A. y = cx + d ax2 + bx + c C. y = ax4 + bx2 + c, a 6= 0. D. y = . cx + d Lời giải. ax + b Hàm số y = có thể không có cực trị. Ví dụ chọn a = c = 0, d 6= 0, ta được hàm hằng. cx + d Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có thể không có cực trị. Ví dụ hàm số y = x3 không có điểm cực trị. ax2 + bx + c có thể không có cực trị. Ví dụ chọn a = b = c = 0, d 6= 0 ta được hàm hằng. Hàm số y = cx + d Phương án C đúng: Hàm số y = ax4 + bx2 + c, a 6= 0 luôn có một điểm cực trị là x = 0.  Chọn đáp án C Câu 87. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [−2; 3], có bảng biến thiên như hình vẽ x −2 −1 f 0 (x) + 0 1 − 3 + 1 5 f (x) −2 0 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Giá trị cực tiểu của hàm số là 0. B. Giá trị cực đại của hàm số là 5. C. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1. D. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1. Lời giải. Hàm số đã cho có đạo hàm không xác định tại x = 1 nhưng đổi dấu qua x = 1 nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.  Chọn đáp án D Câu 88. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = x3 + 3x2 + 1. A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải. " Ta có y 0 = 3x2 + 6x, y 0 = 0 ⇔ x=0 x = −2 . Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị.  Chọn đáp án B Câu 89. Hàm số nào sau đây có hai điểm cực đại? 1 1 A. y = x4 − 2x2 − 3. B. y = − x4 + 2x2 − 3. 4 2 C. y = 2x4 + 2x2 − 3. D. y = −x4 − 2x2 + 3. Lời giải. Hàm số y = ax4 + bx2 + c có hai điểm cực đại khi và chỉ khi ( a<0 . Trong các hàm số đã cho, chỉ có ab < 0 1 hàm số y = − x4 + 2x2 − 3 thoả mãn. 2 248 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Chọn đáp án B Câu 90. y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm khoảng đồng biến của hàm 4 số A. (−∞; −2) và (0; +∞). B. (−3; +∞). C. (−3; +∞) và (0; +∞) . D. (−2; 0). −3 x −2 O Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; +∞).  Chọn đáp án A Câu 91. Hàm số y = f (x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị. B. Hàm số đã cho không có giá trị cực đại. x −∞ y0 + C. Hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị. D. Hàm số đã cho không có giá trị cực tiểu. 1 0 +∞ 2 − + +∞ 3 y −∞ 0 Lời giải. Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có hai điểm cực trị.  Chọn đáp án A 2 Câu 92. Cho hàm số y = x4 − x3 − x2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 5 2 A. Hàm số có hai giá trị cực tiểu là − và − . 3 48 B. Hàm số chỉ có một giá trị cực tiểu. C. Hàm số có giá trị cực tiểu là 0. D. Hàm số có giá trị cực tiểu là − 2 5 và giá trị cực đại là − . 3 48 Lời giải. f 0 (x) = 4x3 − 2x2 − 2x. 1 f 0 (x) = 0 ⇔ x = − ∨ x = 1 ∨ x = 0 2 2 f 00 (x) = 12x − Å ã 4x − 2 1 Ta có f 00 − = 3 > 0, f 00 (1) = 6 > 0, f 00 (0) = −2 < 0. 2 1 Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại x = − và x = 1, đạt cực đại tại x = 0. Các giá trị cực tiểu lần lượt là 2 Å ã 1 5 2 f − =− và f (1) = − . Giá trị cực đại là f (0) = 0. 2 48 3 Chọn đáp án A  x3 2 Câu 93. Cho hàm số y = − 2x2 + 3x + . Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số. 3 3 Å ã 2 A. 3; . B. (−1; 2). C. (1; 2). D. (1; -2). 3 Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 249 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ta có: y 0 = x2  − 4x + 3. x = 1 ⇒ y(1) = 2 Cho y 0 = 0 ⇔  2 x = 3 ⇒ y(3) = 3 Ta có bảng biến thiên như hình bên. Vậy tọa độ điểm cực đại là (1; 2) −∞ x y0 1 + 0 +∞ 3 − + 0 +∞ 2 y 2 3 −∞  Chọn đáp án C Câu 94. Số điểm cực trị của hàm số y = x4 − 3x2 + 1 là A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. Câu 95. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như dưới đây x −∞ f (x) 0 + 0 0 − 1 0 +∞ + +∞ 5 f (x) −∞ −1 Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số có điểm cực tiểu x = 0. B. Hàm số có điểm cực đại x = 5. C. Hàm số có điểm cực tiểu x = −1. D. Hàm số có điểm cực tiểu x = 1. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có điểm cực tiểu x = 1.  Chọn đáp án D 1 Câu 96. Hàm số y = − x4 − 2x2 + 2 có bao nhiêu điểm cực trị? 4 A. 2. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải. Tập xác định D = R. Ta có y 0 = −x3 − 4x = −x(x2 + 4). Vì x2 + 4 > 0 với mọi số thực x nên y 0 chỉ đổi dấu khi qua x = 0. Suy ra hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị.  Chọn đáp án B Câu 97. Hàm số y = x3 − 9×2 + 1 có hai điểm cực trị là x1 , x2 . Tính x1 + x2 . A. 6. B. −106. C. 0. D. −107. Lời giải. Tập xác định D = R, y 0 = 3×2 − 18x. Hai điểm cực trị x1 , x2 là nghiệm của phương trình y 0 = 0 nên x1 + x2 = 6.  Chọn đáp án A Câu 98. Tìm tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y = −2×3 + 3×2 + 18. A. 38. B. 37. C. 40. D. 39. Lời giải. 250 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ” Ta có y 0 = −6×2 + 6x = −6x(x − 1) = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = 18 x = 1 ⇒ y = 19 . Suy ra tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số là 18 + 19 = 37.  Chọn đáp án B 1 Câu 99. Điểm cực tiểu của hàm số y = x4 − 2×2 − 3 là 2 √ A. x = 2. B. x = ±2. C. x = ± 2. D. x = 0. Lời giải. 0 00 3 2 Ta có y = 2x − 4x, y = 6x ” − 4. x=0 y 0 = 0 ⇔ 2×3 − 4x = 0 ⇔ √ x = ± 2. √ √ Mà y 00 (0) = −4 < 0, y 00 ( 2) = y 00 (− 2) = 8 > 0. √ 1 Suy ra điểm cực tiểu của hàm số y = x4 − 2×2 − 3 là x = ± 2. 2 Chọn đáp án C  Câu 100. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có đạo hàm f 0 (x) = x3 (x + 1)2 (x − 2). Hỏi hàm số f (x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 điểm cực trị. B. 2 điểm cực trị. C. 1 điểm cực trị. D. Không có cực trị. Lời giải.  x=0  Ta có f 0 (x) = 0 ⇔  x = −1 . x=2 Ta có bảng biến thiên x −∞ y0 −1 + 0 0 + 0 +∞ 2 − 0 + +∞ CĐ y −∞ CT  Chọn đáp án B CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 251 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ĐÁP ÁN 1. C 11. A 2. D 12. A 3. B 13. B 4. A 14. D 5. A 15. B 6. B 16. C 7. C 17. B 8. C 18. A 9. B 19. C 10. D 20. A 21. D 22. B 23. B 24. A 25. C 26. A 27. D 28. B 29. A 30. C 31. C 32. B 33. A 34. C 35. C 36. C 37. A 38. D 39. A 40. D 41. C 51. C 42. A 52. B 43. B 53. D 44. A 54. D 45. B 55. B 46. B 56. A 47. A 57. C 48. A 58. B 49. C 59. B 50. A 60. D 61. B 62. C 63. C 64. D 65. C 66. A 67. B 68. D 69. A 70. C 71. D 72. A 73. B 74. B 75. D 76. D 77. C 78. B 79. B 80. A 81. D 91. A 82. D 92. A 83. A 93. C 84. B 94. A 85. D 95. D 86. C 96. B 87. D 97. A 88. B 98. B 89. B 99. C 90. A 100. B 252 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 2 Mức độ thông hiểu Câu 1. Cho hàm số y = x3 + 3mx2 − 2x + 1. Hàm số có điểm cực đại tại x = −1, khi đó giá trị của tham số m thỏa mãn A. m ∈ (−1; 0). B. m ∈ (0; 1). C. m ∈ (−3; −1). D. m ∈ (1; 3). Lời giải. Tập xác định D = R. y = x3 + 3mx2 − 2x + 1 ⇒ y 0 = 3×2 + 6mx − 2, y 00 = 6x + 6m. 1 Hàm số có điểm cực đại tại x = −1 ⇒ y 0 (−1) = 0 ⇒ 1 − 6m = 0 ⇔ m = . 6 ( 0 y (−1) = 0 1 Với m = ⇒ ⇒ Hàm số đạt cực đại tại x = −1. 6 y 00 (−1) < 0  Chọn đáp án B Câu 2. Cho hàm số y = A. m = −1. x3 − (m + 1)x2 + mx − 2. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = −1. 3 B. m = 1. C. không có m. D. m = −2. Lời giải. Tập xác định: D = R. y 0 = x2 − 2(m + 1)x + m; y 00 = 2x − 2(m + 1). Vì hàm số đã cho là hàm số bậc ba nên Hàm số có điểm cực đại là x = −1 khi và chỉ khi ( m = −1 m > −2 ( 0 y (−1) = 0 y 00 (−1) < 0 ⇔ ( 1 + 2(m + 1) + m = 0 − 2 − 2(m + 1) < 0 ⇔ ⇔ m = −1.  Chọn đáp án A Câu 3. Giá trị cực tiểu của hàm số y = x4 − 2x2 − 3 là: B. yCT = −3. A. yCT = 3. D. yCT = −4. C. yCT = 4. Lời giải. Tập xác định: D = R. Đạo hàm  y 0 = 4x3 − 4x. x = −1  y0 = 0 ⇔  x = 0 x = 1. Dấu y 0 x y0 −∞ − −1 0 + 0 0 − 1 0 +∞ + Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 và x = 1 ; yCT = −4.  Chọn đáp án D Câu 4. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 253 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số f (x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. x O Lời giải. Dựa vào hình vẽ ta có đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.  Chọn đáp án C 2 1 Câu 5. Tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x + . 2 x A. N (−2; −2). B. x = −2. C. M (2; −2). D. x = 2. Lời giải. 1 2 y = x + (TXĐ: D = R {0}) 2 x 1 2 x2 − 4 0 ⇒y = − 2 = . 2 x 2x2 " x=2 Có y 0 = 0 ⇔ x2 − 4 = 0 ⇔ ; y 0 không xác định ⇔ x = 0. x = −2 Bảng biến thiên: x y0 −∞ + −2 0 0 − − 2 0 +∞ + −2 y Hàm số đạt cực đại tại điểm x = −2 ⇒ y = −2. Vậy đồ thị hàm số có điểm cực đại là N (−2; 2).  Chọn đáp án A Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 + (6m − 4)x2 + 1 − m có 3 điểm cực trị 2 A. m ≥ . 3 2 B. m ≤ . 3 2 C. m > . 3 Lời giải. 2 D. m < . 3 Ta có: y = x4 + (6m − 4)x2 + 1 − m (1) 2 Để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị khi: 6m − 4 < 0 ⇔ m < . 3 Chọn đáp án D  Câu 7. Hàm số nào sau đây không có điểm cực trị? A. y = x3 + 3x + 1. B. y = x2 − 2x. C. y = x4 + 4x2 + 1. Lời giải. D. y = x3 − 3x − 1. Xét hàm số y = x3 + 3x + 1. Ta có y 0 = 3x2 + 3 > 0 với mọi x ∈ R. Vậy hàm số không có cực trị. Chọn đáp án A 254 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 8. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f 0 (x) = (x − 1)(x − 2)2 (x − 3)3 (x − 4)4 , ∀x ∈ R. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3. B. 5. C. 2. Lời giải. D. 4.  x=1  x = 2  Ta có f 0 (x) = 0 ⇔  x = 3  x = 4. Bảng biến thiên của hàm số f (x) như sau x −∞ f (x) 0 + 1 0 2 0 − 3 0 − +∞ 4 0 + + f (x) Vậy số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2.  Chọn đáp án C Câu 9. Trong các hàm số sau đây hàm số nào có cực trị? √ A. y = x. B. y = x4 − 2×2 + 3. 3 x 2x + 1 C. y = − x2 + 3x − 1. D. y = . 3 x−2 Lời giải. Do hàm số trùng phương y = x4 − 2×2 + 3 có hệ số a = 1 > 0 và ab = −2 < 0, suy ra hàm số có cực trị. Chọn đáp án B  x2 + x + 1 , mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? x+1 A. f (x) có giá trị cực đại là −3. B. f (x) đạt cực đại tại x = −2. Câu 10. Cho hàm số f (x) = C. M (−2; −2) là điểm cực đại. D. M (0; 1) là điểm cực tiểu. Lời giải.  Tập xác định D = R {−1}. x2 + 2x  Đạo hàm y 0 = . 2 (x + 1) " x = −2 ⇒ y = −3  y0 = 0 ⇔ x=0⇒y=1  Bảng biến thiên x −∞ 0 + y −2 0 −1 − − 0 0 +∞ −3 +∞ + +∞ y −∞ −∞ 1 Vậy mệnh đề sai là M (−2; −2) là điểm cực đại.  Chọn đáp án C CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 255 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 1 Câu 11. Gọi M , N là các điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x4 − 8x2 + 3. Độ dài đoạn thẳng M N 4 bằng A. 10. B. 6. C. 8. D. 4. Lời giải.  Tập xác định D = R.  Đạo hàm "y 0 = x3 − 16x. x=0⇒y=3  y0 = 0 ⇔ x = ±4 ⇒ y = −61  Giới hạn lim y = +∞. x→±∞  Bảng biến thiên x y0 −∞ − −4 0 0 0 + +∞ 4 0 − +∞ + +∞ 3 y −61 −61 # »  Ta có M (−4; −61), N (4; −61) suy ra M N = (8; 0) nên M N = 8.  Chọn đáp án C Câu 12. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f 0 (x) = (x + 1)2 (x + 2)3 (2x − 3). Tìm số điểm cực trị của f (x). A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. Lời giải. 3 Ta có f (x) = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = −2 ∨ x = . 2 Chọn đáp án B 0  Câu 13. Giá trị thực của tham số m để hàm số y = −x3 + mx2 + (m2 − 12) x + 2 đạt cực tiểu tại x = −1 thuộc khoảng nào dưới đây? A. (−4; 0). B. (5; 9). C. (0; 3). D. (3; 6). Lời giải. Ta có y 0 = −3x2 + 2mx + m2 − 12 và y 00 = −6x + 2m. Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 là y 0 (−1) = 0 ⇔ −3 − 2m + m2 − 12 = 0 ⇔ m2 − 2m − 15 = 0 ⇔ " m=5 m = −3. Với m = −3 thì y 0 = −3x2 − 6x − 3 = −3(x + 1)2 ≤ 0, ∀x ∈ R nên hàm số không đạt cực tiểu tại x = −1. Với m = 5 thì y 00 (−1) = 16 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = −1. Vậy giá trị m cần tìm là m = 5 ∈ (3; 6).  Chọn đáp án D Câu 14. Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị? A. y = x3 − 6×2 + 9x − 5. 256 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 2 B. y = (x2 + 1) . Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 C. y = 2×4 − 4×2 + 1. D. y = −x4 − 3×2 + 4. Lời giải. 0 2  Đáp án A: y = 3x − 6x + 9 = 0 vô nghiệm nên hàm số không có cực trị. Loại A.  Đáp án B: y 0 = 4x (x2 + 1) = 0 ⇔ x = 0 nên hàm số có 1 cực trị. Loại B.  Đáp án C: Đây là hàm trùng phương có ab = −8 < 0 nên hàm số có 3 cực trị. Chọn C.  Đáp án D: Đây là hàm trùng phương có ab = 3 > 0 nên hàm số có 1 cực trị. Loại D.  Chọn đáp án C Câu 15. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f 0 (x) = x2 (x + 1)3 (x + 2). Hàm số f (x) có mấy điểm cực trị? A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. Lời giải. 0 2 3 Do f (x) = x (x + 1) (x + 2) có các nghiệm x = 0 (bội 2) nên loại. Ngoài ra f 0 (x) = 0 có hai nghiệm bội lẻ, đó là x1 = −1; x2 = −2. Vậy hàm số có có 2 điểm cực trị.  Chọn đáp án B Câu 16. Hàm số y = 2×3 − x2 + 5 có điểm cực đại là 1 A. x = . B. x = 5. C. x = 3. 3 Lời giải. D. x = 0. Phương pháp: – Tính y 0 tìm nghiệm của y 0 = 0. – Tính y 00 và tìm giá trị của y 00 tại các điểm vừa tìm được. Hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai tại điểm x0 thì điểm x0 là điểm cực đại của hàm số trên nếu  f 0 (x ) = 0 0 f 00 (x ) < 0. 0 Cách giải:  x=0 Ta có y 0 = 6x2 − 2x = 0 ⇔  1 x= . 3Å ã 1 00 00 y = 12x − 2 ⇒ y (0) = −2 < 0; y 00 = 2 > 0. 3 Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0.  Chọn đáp án D Câu 17. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f 0 (x) = x (x − 1)2 (x − 2)3 (x − 3)4 . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. Lời giải. Phương pháp: Xét phương trình f 0 (x) = 0, nếu x0 là nghiệm bội bậc chẵn của phương trình thì x0 không phải là điểm cực trị của hàm số, nếu x0 là nghiệm bội bậc lẻ của phương trình thì x0 là điểm cực trị của hàm số. Cách giải: CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 257 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  x=0  x = 1  2 3 4 0 Xét phương trình f (x) = x (x − 1) (x − 2) (x − 3) = 0 ⇔  x = 2  x=3 Trong đó x = 0, x = 2 là các nghiệm bội bậc lẻ nên hàm số y = f (x) có hai điểm cực trị. (còn x = 1; x = 3 là các nghiệm bội bậc chẵn nên không phải là điểm cực trị của hàm số y = f (x)). Chú ý: Các em có thể lập bảng biến thiên của hàm y = f (x) rồi kết luận số điểm cực trị. Chọn đáp án A  Câu 18. Hàm số y = x3 − (m + 2)x + m đạt cực tiểu tại x = 1 khi: A. m = −1. C. m = −2. B. m = 2. D. m = 1. Lời giải. Ta có y 0 = 3×2 − m − 2, y 00 = 6x. Vì hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 nên y 0 (1) = 0 ⇔ 3 − m − 3 = 0 ⇔ m = 1. Với m = 1 ta có y 00 (1) = 6 > 0. Vậy hàm số y = x3 − (m + 2)x + m đạt cực tiểu tại x = 1 khi m = 1  Chọn đáp án D Câu 19. Cho hàm số y = x3 = 3×2 − 9x + 2. Chọn kết luận đúng? A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3. B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1. C. Hàm số đạt cực đại tại x = 1. D. Hàm số đạt cực đại tại x = 3. Lời giải. Tập xác định D = R. ” y 0 = 3×2 − 6x − 9, cho y 0 = 0 ⇒ 3×2 − 6x − 9 = 0 ⇔ x = −1 x = 3. Bảng biến thiên x y0 −∞ + −1 0 − 3 0 +∞ + +∞ 7 y −∞ −25 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.  Chọn đáp án A Câu 20. Cho hàm số y = x − sin 2x + 3. Chọn kết luận đúng. π π A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = . B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = − . 3 6 π π C. Hàm số đạt cực đại tại x = . D. Hàm số đạt cực đại tại x = − . 6 6 Lời giải. π Ta có y 0 = 1 − 2 cos 2x ⇒ y 0 = 0 ⇔ x = ± + kπ. 6 Và y 00 = 1 +4 sin 2x √ π π  y 00 = 1 + 2 3 > 0 ⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x = . 6 6 π √ π 00  y − = 1 − 2 3 < 0 ⇒ Hàm số đạt cực đại tại x = − . 6 6 258 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Chọn đáp án D Câu 21. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f 0 (x) = (x + 1)(x2 − x)(x − 1). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 1. B. 3. C. 2. D. 0. Lời giải. Ta thấy f 0 (x) = (x + 1)(x2 − x)(x − 1) = x(x + 1)(x − 1)2 .  x=0  f 0 (x) = 0 ⇔  x = −1 x = 1. Bảng xét dấu đạo hàm: −∞ x f 0 (x) −1 0 + 0 0 − +∞ 1 0 + + Từ bảng xét dấu suy ra hàm số đạt cực trị tại hai điểm x = −1 và x = 0.  Chọn đáp án C Câu 22. Giá trị cực tiểu của hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + 2 là C. −25. D. 3. Lời giải. " x = −1 Ta có y 0 = 3x2 − 6x − 9; y 0 = 0 ⇔ 3x2 − 6x − 9 = 0 ⇔ . Bảng biến thiên x=3 A. 7. B. −20. x y0 −∞ + −1 0 3 0 − +∞ + +∞ 7 y −∞ −25 Nhìn vào BBT ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số là −25.  Chọn đáp án C Câu 23. Biết đồ thị hàm số y = x3 − 3x + 1 có hai điểm cực trị A, B. Khi đó phương trình đường thẳng AB là A. y = 2x − 1. B. y = x − 2. C. y = −x + 2. D. y = −2x + 1. Lời giải. 1 Ta có y 0 = 3x2 − 3. Lấy y chia cho y 0 ta được y = x(3x2 − 3) − 2x + 1. Suy ra đường thẳng đi qua hai 3 điểm cực trị là y = −2x + 1. Chọn đáp án D  Câu 24. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đạo hàm f 0 (x) = (x + 1)(x − 2)2 (x − 3)(x + 5)4 Hàm số y = f (x) có mấy điểm cực trị? CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 259 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 A. 4. B. 2. C. 5. D. 3. Lời giải. Ta có  x = −1 (nghiệm đơn)  x = 2 (nghiệm kép bội chẵn)  f 0 (x) = 0 ⇔  x = 3 (nghiệm đơn)  x = −5 (nghiệm kép bội chẵn) Vì f 0 (x) đổi dấu khi x qua các điểm x = −1, x = 3 nên hàm số có 2 cực trị.  Chọn đáp án B Câu 25. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = 3x4 − 4x3 − 6x2 + 12x + 1 là điểm M (x0 ; y0 ). Tính tổng T = x0 + y 0 . A. T = 8. C. T = −11. B. T = 4. Ta có y 0 = 12x3 − 12x2 − 12x + 12, y 0 = 0 ⇔ D. T = 3. Lời " giải. x = −1 (nghiệm đơn) . x = 1 (nghiệm kép) Bảng biến thiên −∞ x y0 − −1 0 + 1 0 +∞ + −∞ +∞ y −10 Dựa vào điểm biến thiên suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là M (−1; −10), suy ra x0 = −1, y0 = −10. Do đó, T = −11.  Chọn đáp án C Câu 26. Đồ thị hàm số y = x3 − 2mx2 + m2 x + n có tọa độ điểm cực tiểu là (1; 3). Khi đó, m + n bằng A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải. 0 2 2 00 Ta có y = 3x − 4mx + m , y = 6x − 4m Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (1; 3), suy ra ( m=1 ( 0 ( 2   n=3 y (1) = 0 m − 4m + 3 = 0  ⇔ ⇔ ( 2  m=3 y(1) = 3 m − 2m + n + 1 = 3  n = −1 Với ( m=1 , ta có y 00 (1) = 2 > 0 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x = 1. Do đó, m = 1, n = 3 thỏa yêu cầu n=3 bài toán. Vậy m + n = 4. 260 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Với ( m=3 Kỳ thi THQG 2020 , ta có y 00 (1) = −6 < 0 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x = 1. Do đó, m = 3, n = −1 không n = −1 thỏa yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án A Câu 27. Hàm số nào sau đây không có cực trị? A. y = x3 − 1. B. y = x3 + 3x2 + 1. C. y = x3 − x. D. y = x4 + 3x2 + 2. Lời giải. Ta xét 1 y = x3 − 1, có y 0 = 3x2 ≥ 0. Suy ra bảng biến thiên x −∞ f (x) 0 + 0 0 +∞ + +∞ −1 f (x) −∞ Vậy y = x3 − 1 không có cực trị. 2 y = x3 + 3x2 + 1, có y 0 = 3x2 + 6x. Xét y 0 = 0 ⇒ x = 0, x = −2. Suy ra bảng biến thiên x −∞ f (x) 0 + −2 0 − 0 0 +∞ + +∞ 5 f (x) −∞ 1 Vậy y = x3 + 3x2 + 1 có 2 cực trị. 1 3 3 y = x3 − x, có y 0 = 3x2 − 1. Xét y 0 = 0 ⇒ x = ± √ . Suy ra bảng biến thiên x −∞ f 0 (x) + 1 −√ 3 0 − +∞ + +∞ 2 √ 3 3 f (x) 1 √ 3 0 2 − √ 3 3 −∞ Vậy y = x3 − x có 2 cực trị. 4 y = x4 + 3x2 + 2, có y 0 = 4x3 + 6x. Xét y 0 = 0 ⇒ x = 0. Suy ra bảng biến thiên x −∞ f 0 (x) − 0 0 +∞ + +∞ +∞ f (x) 2 Vậy y = x4 + 3x2 + 2 có 1 cực trị.  Chọn đáp án A Câu 28. Cho hàm số y = f (x). Khẳng định nào sau đây đúng? CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 261 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 A. Hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 thì f 00 (x0 ) > 0 hoặc f 00 (x0 ) < 0. B. Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại x0 hoặc f 0 (x0 ) = 0. C. Hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 thì f 0 (x0 ) = 0. D. Hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 thì nó không có đạo hàm tại x0 . Lời giải. Trong các khẳng định trên thì khẳng định “Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại x0 hoặc f 0 (x0 ) = 0”.  Chọn đáp án B Câu 29. Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 2. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = −2. B. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2. C. Hàm số đạt cực đại tại x = −2 và cực tiểu tại x = 0. D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và cực tiểu tại x = 0. Lời giải. Tập xác định D = R. Ta có y 0 = 3x2 − 6x. Xét y 0 = 0 ⇒ x = 0, x = 2. Suy ra bảng biến thiên x −∞ 0 f (x) + 0 0 − 2 0 +∞ + +∞ 2 f (x) −∞ −2 Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2. Chọn đáp án B  Câu 30. Cho hàm số y = x4 − 2x2 − 3. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số không có cực trị. B. Hàm số chỉ có đúng ba điểm cực trị. C. Hàm số chỉ có đúng hai điểm cực trị. D. Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị. Lời giải. Ta có y = 4x − 4x. Xét y = 0 ⇒ x = 0, x = ±1. Suy ra bảng biến thiên 0 0 3 x −∞ f (x) 0 − −1 0 + +∞ 0 0 − 1 0 +∞ + +∞ −3 f (x) −4 −4 Vậy hàm số có ba cực trị. Chọn đáp án B  Câu 31. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có đạo hàm f 0 (x) = (x + 1)(x − 2)2 (x − 3)3 . Hỏi hàm số f (x) có mấy điểm cực trị? A. 2. B. 3. 262 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 1. D. 5. Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lờigiải. x = −1  Xét f 0 (x) = 0 ⇔ (x + 1)(x − 2)2 (x − 3)3 = 0 ⇔  x = 2 . Lập bảng biến thiên như sau: x=3 x −∞ −1 f 0 (x) + 0 2 − +∞ 3 − 0 0 + f (−1) f (x) f (3) Vậy hàm số f (x) có đúng 2 điểm cực trị. Chọn đáp án A  Câu 32. Hàm số nào sau đây đạt cực đại tại x = 1? √ B. y = x5 − 5x2 + 5x − 13. A. y = 2 x − x. 1 C. y = x4 − 4x + 3. D. y = x + . x Lời giải. √ Hàm số y = 2 x − x có tập xác định D = [0; +∞), liên tục và có đạo hàm trên (0; +∞). 1 1 Ta có y 0 = √ − 1 = 0 ⇔ x = 1 và y 00 = − √ ⇒ y 00 (1) < 0. Do đó xCĐ = 1. x 2x x Chọn đáp án A  Câu 33. Giá trị cực tiểu của hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + 2 là A. 7. B. −25. C. −20. D. 3. Lời giải. Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y 0 = 3x2 − 6x − 9. " Xét y 0 = 0 ⇔ 3x2 − 6x − 9 = 0 ⇔ x = 3 ⇒ y = −25 x = −1 ⇒ y = 7 . Bảng biến thiên: x −∞ y0 + −1 0 − 3 0 +∞ + +∞ 7 y −∞ −25 Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là −25.  Chọn đáp án B Câu 34. Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như hình vẽ? CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 263 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 −∞ x y0 + −1 0 1 0 − +∞ + +∞ 2 y −∞ A. y = x3 − 3x. −2 B. y = x3 − 3x − 1. C. y = x3 + 3x. D. y = x4 − 2x2 . Lời giải. Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 2 cực trị nên loại C và D. Đồ thị hàm số đi qua điểm (−1; 2) nên chọn A.  Chọn đáp án A 3 Câu 35. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0 (x) = x2 (x − 1) (x2 − 1) , ∀x ∈ R. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 2. B. 1. C. 8. D. 3. Lời giải. Ta có f 0 (x) = x2 (x − 1) [(x − 1)(x + 1)]3 = x2 (x − 1)(x − 1)3 (x + 1)3 = x2 (x − 1)4 (x + 1)3 . Suy ra f 0 (x) có x = 0 là nghiệm bội 2, x = 1 là nghiệm bội 4 và x = −1 là nghiệm bội 3. Do đó f 0 (x) chỉ đổi dấu khi đi qua điểm x = −1. Vậy hàm số có duy nhất 1 điểm cực trị x = −1.  Chọn đáp án B Câu 36. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y = x3 − mx2 + (2m − 3) x − 3 đạt cực đại tại x = 1? A. m ≤ 3. B. m = 3. Để hàm số đạt cực đại tại x = 1 thì C. m < 3. Lời giải. ( 0 y (1) = 3.12 − 2m.1 + 2m − 3 = 0 y 00 (1) = 6.1 − 2m < 0 D. m > 3. ⇔ m > 3.  Chọn đáp án D Câu 37. Đồ thị hàm số nào sau đây có đúng 1 điểm cực trị? A. y = −x4 − 3×2 + 4. B. y = x3 − 6×2 + 9x − 5. C. y = x3 − 3×2 + 3x − 5. D. y = 2×4 − 4×2 + 1. Lời giải. Phương pháp Số cực trị của đồ thị hàm số y = f (x) là số nghiệm bội lẻ của phương trình f 0 (x) = 0 Cách giải: +) Xét đáp án A ta có: y 0 = −4×3 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ đồ thị hàm số có đúng 1 điểm cực trị. Chọn đáp án A  Câu 38. 264 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây. Mệnh y đề nào sau đây đúng? x O A. a < 0, b > 0, c > 0 . B. a < 0, b > 0, c < 0 . C. a > 0, b < 0, c > 0 . D. a < 0, b < 0, c > 0 . Lời giải. Phương pháp Dựa vào đồ thị hàm số nhận xét số điểm cực trị, các điểm thuộc đồ thị hàm số và các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và đưa ra kết luận đúng. Cách giải: Ta thấy đồ thị hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu ⇒ a < 0 và y 0 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.  x=0 Có: y 0 = 4ax3 + 2bx = 0 ⇔ 2x (2ax2 + b) = 0 ⇔  b x2 = − (1) a Phương trình y 0 = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ Pt(1) có 2 nghiệm phân biệt 6= 0 b b ⇔ − > 0 ⇔ < 0 mà a < 0 ⇒ b > 0 a a Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 0 ⇒ c > 0 .  Chọn đáp án A Câu 39. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − 3×2 + mx + 1 có hai điểm cực trị. A. m ≤ 3. B. m > 3. C. m > −3. D. m < 3. Lời giải. 1 TXĐ: D = R. 2 y 0 = 3x2 − 6x + m. 3 Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ( a=3>0 ∆0 = 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3.  Chọn đáp án D Câu 40. Tính giá trị cực đại yCĐ của hàm số y = x3 − 6x2 + 9x + 2. A. yCĐ = 2. B. yCĐ = 1. C. yCĐ = 4. D. yCĐ = 6. Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = R. Ta có y 0 = 3x2 − 12x + 9 và y 0 = 0 có nghiệm x = 1, x = 3. Mặt khác y 00 = 6x − 12 và y 00 (1) = −6, y 00 (3) = 6. Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 1 và giá trị cực đại của hàm số bằng 6.  Chọn đáp án D CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 265 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 41. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 2x + 1 nhận điểm x = 1 làm điểm cực tiểu. A. Không tồn tại m. 5 B. m = . 2 5 D. m = . 6 C. Có vô số m. Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = R. Ta có y 0 = 3x2 − 6mx + 2 và y 00 = 6x − 6m. 5 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 nên 3 · 12 − 6m · 1 + 2 = 0 hay m = . 6 5 00 00 Với m = thì y = 6x − 5 và y (1) = 6 · 1 − 5 = 1 > 0, cho nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số. 6 5 Vậy m = là giá trị cần tìm. 6  Chọn đáp án D Câu 42. Hàm số y = −x3 − 3×2 + 2 có giá trị cực tiểu bằng A. 2. C. −4. Lời giải. B. 4. D. −2. Tập xác định của hàm số là D = R. Ta có y 0 = −3×2 − 6x và y 0 = 0 có nghiệm x = 0, x = −2. Mặt khác y 00 = −6x − 6 và y 00 (0) = −6, y 00 (−2) = 6. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = −2 và giá trị cực đại của hàm số bằng −2.  Chọn đáp án D √ Câu 43. Cho hàm số y = x + 12 − 3×2 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x = −1. C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1. B. Hàm số đạt cực đại tại x = 1. D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1. Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = [−2; 2]. √ (12 − 3×2 )0 3x 12 − 3×2 − 3x 0 √ Với mọi x ∈ (−2; 2) ta có y = 1 + √ =1− √ = . 2 12 − 3×2 12 − 3×2 12 − 3×2 ( √ x>0 0 ⇔ x = 1. y = 0 ⇒ 12 − 3×2 − 3x = 0 ⇔ 12×2 = 12 Bảng biến thiên x y0 −2 + 1 0 2 − 4 y −2 2 Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 1. Chọn đáp án B  Câu 44. Đồ thị của hàm số y = 3×4 − 4×3 − 6×2 + 12x + 1 đạt cực tiểu tại M (x1 ; y1 ). Khi đó giá trị của tổng x1 + y1 bằng bao nhiêu? 266 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT A. 6. Kỳ thi THQG 2020 C. −13. B. 7. D. −11. Lời giải. Tập xác định D = R. Ta có y 0 = 12×3 − 12×2 − 12x + 12. ” Xét y 0 = 0 ⇔ 12×3 − 12×2 − 12x + 12 = 0 ⇔ 12 (x + 1) (x − 1)2 = 0 ⇔ x = −1 ” ⇔ x=1 y = −10 y = 6. Bảng biến thiên x y0 −∞ − −1 0 + 1 0 +∞ + +∞ +∞ y 6 −10 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm M (−1; −10). Vậy x1 + y1 = −1 − 10 = −11.  Chọn đáp án D Câu 45. y Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình bên (I). Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1). (II). Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 2). (III). Hàm số có ba điểm cực trị. 2 (IV). Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2. −1 O 1 x Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là A. 4. B. 2. C. 3. D. 1. Lời giải. Từ đồ thị hàm số ta thấy  Đồ thị đi xuống trên khoảng (0; 1) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1). Do đó (I) đúng.  Đồ thị đi lên trên khoảng (−1; 0), đi xuống trên khoảng (0; 1) và đi lên trên khoảng (1; 2) nên trên khoảng (−1; 2) hàm số không hoàn toàn đồng biến. Do đó (II) sai.  Đồ thị hàm số có ba điểm hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại nên (III) đúng.  Giá trị lớn nhất của hàm số là tung độ của điểm cao nhất của đồ thị hàm số nên (IV) sai. Như vậy ta có hai mệnh đề đúng là (I) và (III).  Chọn đáp án B Câu 46. Cho hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 267 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y y y y O x (I) O O x (II) x (III) O x (IV ) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Đồ thị (III) xảy ra khi a > 0 và f 0 (x) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. B. Đồ thị (IV ) xảy ra khi a > 0 và f 0 (x) = 0 có có nghiệm kép. C. Đồ thị (II) xảy ra khi a 6= 0 và f 0 (x) = 0 có hai nghiệm phân biệt. D. Đồ thị (I) xảy ra khi a < 0 và f 0 (x) = 0 có hai nghiệm phân biệt. Lời giải. Đồ thị (III) đi lên từ trái qua phải nên a > 0 và hàm số không có cực trị nên f 0 (x) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.  Chọn đáp án A Câu 47. Giá trị cực tiểu của hàm số y = x3 − 3×2 − 9x + 2 là A. −25. B. 3. C. 7. D. −20. Lời giải. y 0 = 3×2 − 6x − 9 = 3 (x2 − 2x − 3) = 3 (x + 1) (x − 3), từ đó xCT = 3 nên yCT = y (3) = −25.  Chọn đáp án A Câu 48. Hàm số f (x) có đạo hàm f 0 (x) = x2 (x + 1)3 (x + 2). Số điểm cực trị của hàm số là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Hàm số có 2 điểm cực trị là x = −1 và x = −2. Chú ý rằng f 0 (0) = 0 nhưng f 0 (x) không đổi dấu khi qua điểm x = 0 nên x = 0 không là cực trị của hàm số.  Chọn đáp án C 1 Câu 49. Tập hợp các giá trị của m để hàm số y = x3 − 6×2 + (m − 2)x + 11 có hai điểm cực trị trái 3 dấu là A. (−∞; 38). B. (−∞; 2). C. (−∞; 2]. D. (2; 38). Lời giải. Ta có y 0 = x2 − 12x + m − 2. Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi và chỉ khi m − 2 < 0 ⇔ m < 2.  Chọn đáp án B Câu 50. Hàm số nào sau đây đạt cực tiểu tại x = 0? A. y = x3 + 2. B. y = x2 + 1. 268 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. y = −x3 + x − 1. D. y = x3 − 3x2 + 2. Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. Xét(hàm số y = x2 + 1 có y 0 = 2x và y 00 = 2. y 0 (0) = 0 Vì nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. y 00 (0) = 2 > 0  Chọn đáp án B Câu 51. Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị? 2x − 3 . B. y = x4 . C. y = −x3 + x. D. y = |x + 2|. A. y = x+2 Lời giải. 2x − 3 Xét hàm số y = . x+2  Tập xác định D = (−∞; −2) ∪ (−2; +∞). 7  y0 = > 0, ∀x ∈ D nên hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định. Do đó hàm số (x + 2)2 không có cực trị.  Chọn đáp án A Câu 52. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R, có đạo hàm f 0 (x) = (x − 1)(x2 − 2)(x4 − 4). Số điểm cực trị của hàm số y = f (x) là A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. Lời giải. Ta có f 0 (x) = (x − 1)(x2 − 2)(x4 − 4) = (x − 1)(x2 − 2)2 (x2 + 2). Suy ra f 0 (x) chỉ qua điểm và đổi dấu tại x = 1. Vậy hàm số chỉ có một cực trị tại x = 1.  Chọn đáp án B Câu 53. Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = A. 4. B. 1. x−2 . x+1 C. 0. D. 3. Lời giải. 3 . Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞) nên không tồn tại cực Ta có y 0 = (x + 1)2 trị.  Chọn đáp án C Câu 54. Điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x3 − 6×2 + 9x có tổng hoành độ và tung độ bằng A. 5. B. 1. C. 3. D. −1. Lời giải. Tập xác định D = R. ” y 0 = 3×2 − 12x + 9, y 0 = 0 ⇔ x=1 x = 3. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 269 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x −∞ y0 1 0 + − +∞ 3 0 + +∞ 4 y −∞ 0 Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số có tọa độ là (1; 4), nên tổng hoàng độ và tung độ bằng 5.  Chọn đáp án A Câu 55. Cho hàm số f (x) có f 0 (x) = (x + 1)(x + 2)(x − 1)2 , ∀x ∈ R. Số cực trị của hàm số đã cho là A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. Lời giải.  x = −1  0 Phương trình f (x) = 0 ⇔  x = −2 x = 1. x y0 −∞ + −2 0 − −1 0 + 1 0 +∞ + +∞ CĐ y −∞ CT Vậy số cực trị của hàm số đã cho là 2.  Chọn đáp án C Câu 56. Hàm số f (x) = x3 + ax2 + bx + 2 đạt cực tiểu tại điểm x = 1 và f (1) = −3. Tính b + 2a. A. 3. C. −15. B. 15. D. −3. Lời giải. 0 2 Ta có f (x) = 3x + 2ax + b. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x = 1 và f (1) = −3 nên suy ra ( 0 f (1) = 0 f (1) = −3 ⇔ ( 2a + b = −3 a + b = −6 ⇔ ( a=3 b = −9. Thử lại ta thấy với a = 3, b = −9 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1. Vậy b + 2a = −9 + 2 · 3 = −3.  Chọn đáp án D Câu 57. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [−3; 3] và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. x y0 −3 −1 + 0 0 − 0 270 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 1 − 0 2 + 0 3 − Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Mệnh đề nào sau đây sai về hàm số đó? A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1. B. Hàm số đạt cực đại tại x = −1. C. Hàm số đạt cực đại tại x = 2. D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. Lời giải. Dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm ta thấy f 0 (0) = 0 và đạo hàm không đổi dấu khi x qua x0 = 0 nên hàm số đã cho không đạt cực tiểu tại x = 0.  Chọn đáp án D Câu 58. Gọi x1 , x2 , x3 là các điểm cực trị của hàm số y = −x4 + 4×2 + 2019. Tổng x1 + x2 + x3 bằng √ A. 0. B. 2 2. C. −1. D. 2. Lời giải. ” y 0 = −4×3 + 8x, y 0 = 0 ⇔ x=0 √ x = ± 2. x −∞ y0 + √ − 2 0 − 0 0 √ + 2 0 +∞ − Vậy x1 + x2 + x3 = 0.  Chọn đáp án A Câu 59. Trong tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = (m − 1) x4 đạt cực đại tại x = 0 là A. m < 1. B. m > 1. C. Không tồn tại m. D. m = 1. Lời giải.  Với m = 1, hàm số trở thành y = 0 không có cực trị, do đó m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán.  Với ( m 6= 1, ta có y 0 = 4(m − 1)x3 , y 0 = 0 ⇔ x = 0, suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0 khi chỉ y 0 > 0, ∀x ∈ (−∞; 0) khi ⇔ m − 1 < 0 ⇔ m < 1. y 0 < 0, ∀x ∈ (0; +∞)  Chọn đáp án A 1 Câu 60. Gọi x1 , x2 là hai điểm cực trị của hàm số f (x) = x3 − 3x2 − 2x. Giá trị của x21 + x22 bằng 3 A. 13. B. 32. C. 40. D. 36. Lời giải. 0 2 0 2 Ta có: f (x) = x − 6x − 2 ⇒ f (x) = 0 ⇔ x − 6x − 2 = 0 (*) Có x1 ; x2 là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f (x) ⇒ x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (*). ( x1 + x2 = 6 Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: x1 x2 = −2 2 2 2 ⇒ x1 + x2 = (x1 + x2 ) − 2x1 x2 = 62 − 2 · (−2) = 40.  Chọn đáp án C 2019 Câu 61. Hàm số f (x) = C02019 + C12019 x + C22019 x2 + · · · + C2019 có bao nhiêu điểm cực trị? 2019 x A. 0. B. 2018. C. 1. D. 2019. Lời giải. Phương pháp CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 271 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f (x) là số nghiệm bội lẻ của phương trình f 0 (x) = 0.  Sử dụng công thức C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cnn xn = (x + 1)n . Cách giải 2019 Ta có f (x) = C02019 + C12019 x + · · · + C2019 = (x + 1)2019 2019 x ⇒ f 0 (x) = [(x + 1)2019 ] = 2019(x + 1)2018 . Ta có f 0 (x) = 0 ⇔ 2019(x + 1)2018 = 0 ⇔ x = −1. Vì x = 1 là nghiệm bội 2018 nên x = −1 không phải là điểm cực trị của hàm số đã cho.  Chọn đáp án A Câu 62. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = −2x3 +3x2 +1. B. y = −x + 1. A. y = x + 1. C. y = x − 1. D. y = −x − 1. Lời giải.  TXĐ: D = R. "  y 0 = −6x2 + 6x ⇒ y 0 = 0 ⇔ −6x2 + 6x = 0 ⇔ x=0 x = 1. Ta có bảng xét dấu như sau: x −∞ f (x) 0 0 - + 1 0 +∞ - Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0. Giá trị cực tiểu yCT = 1. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1. Giá trị cực đại yCĐ = 2. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình y−1 x−0 = ⇔ x = y − 1 ⇔ y = x + 1. 1−0 2−1  Chọn đáp án A Câu 63. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 khi và chỉ khi x0 là nghiệm của đạo hàm. B. Nếu f 0 (x0 ) = 0 và f 00 (x0 ) > 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 . C. Nếu f 0 (x0 ) = 0 và f 00 (x0 ) = 0 thì x0 không phải là cực trị của hàm số y = f (x) đã cho. D. Nếu f 0 (x) đổi dấu khi x qua điểm x0 và f (x) liên tục tại x0 thì hàm số y = f (x) đạt cực trị tại điểm x0 . Câu 64. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ y0 0 + 0 +∞ 2 − 0 + +∞ 3 y −∞ 1 Hàm số đã cho đạt cực đại tại giá trị nào của x? 272 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT A. 2. Kỳ thi THQG 2020 B. 1. C. 0. D. 3. Lời giải. Dự vào bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0.  Chọn đáp án C Câu 65. Hàm số f (x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f (1) = −3 và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Tính T = a + b + c. A. T = 9. C. T = −2. B. T = 1. D. T = −4. Lời giải. Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên f (0) = 2 ⇔ c = 2. Ta có f 0 (x) = 3×2 + 2ax + b. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1 và f (1) = −3 nên ( 0 f (1) = 0 f (1) = −3 ⇔ ( 3 + 2a + b = 0 1 + a + b + c = −3 ⇔ ( ( 2a + b = −3 a = 3 a + b = −6 b = −9 . Vậy T = a + b + c = 3 − 9 + 2 = −4. Đề bài cho thừa giả thiết vì chỉ cần sử dụng f (1) = −3 ⇔ 1 + a + b + c = −3 ⇔ a + b + c = −4.  Chọn đáp án D Câu 66. y Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f 0 (x) có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên. Trong các khẳng định sau, có tất cả bao nhiêu f 0 (x) khẳng định đúng? x1 (I). Trên K, hàm số y = f (x) có hai điểm cực trị. x3 x O (II). Hàm số y = f (x) đạt cực đại tại x3 . (III). Hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại x1 . A. 3. x2 B. 0. C. 1. D. 2. Lời giải. Từ đồ thị hàm số suy ra bảng biến thiên x x1 −∞ y0 − 0 +∞ x2 + 0 x3 − 0 +∞ − f (x2 ) y f (x1 ) −∞ Khẳng định (I) đúng vì trên khoảng K, hàm số có 2 điểm cực trị. Khẳng định (II) sai vì x = x3 không phải là điểm cực trị của hàm số. Khẳng định (III) đúng vì hàm số đạt cực tiểu tại x = x1 .  Chọn đáp án D CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 273 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 1 Câu 67. Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x4 − 3×2 + 2 là 2 ã Å ã Å √ √ 5 5 3; − . B. − 3; − . C. (0; 2). D. (2; 0). A. 2 2 Lời giải. ” x=0 y 0 = 2×3 − 6x. Cho y 0 = 0 ⇔ √ x = ± 3. y 00 = 6×2 − 6. √ √ √ • Với x = ± 3 ⇒ y 00 (± 3) = 12 > 0 ⇒ x = ± 3 là điểm cực tiểu của hàm số. • Với x = 0 ⇒ y 00 (0) = −6 < 0 ⇒ x = 0 là điểm cực đại của hàm số. Vậy (0; 2) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.  Chọn đáp án C Câu 68. Cho hàm số y = x3 − 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm ). Tìm m sao cho (Cm ) có hai điểm cực trị có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn x31 + x32 = 5. √ 3 A. m = 3 2. B. m = − . 2 3 4 C. m = . D. m = − . 2 3 Lời giải. y 0 = 3x2 − 6x + m. Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ ∆0 > 0 ⇔ 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3. x 1 + x 2 = 2 x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 3x2 − 6x + m = 0. Theo hệ thức Vi-ét có x 1 x 2 = m . 3 3 x31 + x32 = 5 ⇔ (x1 + x2 )3 − 3x1 x2 (x1 + x2 ) = 5 ⇔ 8 − 2m = 5 ⇔ m = . 2 Chọn đáp án C  Câu 69. Số điểm cực trị của hàm số f (x) = −x4 + 2x2 − 3 là A. 0. B. 2. C. 3. D. 1. Lời giải. " Tập xác định D = R. Ta có f 0 (x) = −4x3 + 4x và f 0 (x) = 0 ⇔ x=0 x = ±1. Bảng biến thiên x −∞ f 0 (x) −1 + 0 0 − 0 +∞ 1 + −2 0 − −2 f (x) −∞ −3 −∞ Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị. Cách khác: Vì a · b < 0 nên hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.  Chọn đáp án C Câu 70. Cho hàm số y = x3 − 6x2 + 9x − 2 có đồ thị (C). Đường thẳng đi qua điểm A(−1; 1) và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) là 1 3 −1 3 A. y = x + 3 . B. y = x + . C. y = x+ . 2 2 2 2 274 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em D. x − 2y − 3 = 0 . Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải.ã Å 1 2 y 0 = 3x2 − 12x + 9, y = x3 − 6x2 + 9x − 2 = x− (3x2 − 12x + 9) + (−2x + 4). 3 3 Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị của (C) có phương trình là y = −2x + 4. 1 Đường thẳng vuông góc với y = −2x + 4 có phương trình là y = x + b. 2 1 3 Đường thẳng qua A(−1; 1) suy ra 1 = · (−1) + b ⇔ b = . 2 2 3 1 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = x + . 2 2 Chọn đáp án B  Câu 71. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f (x) = −x3 +2(2m−1)x2 −(m2 −8)x+2 đạt giá trị cực tiểu tại điểm x = −1. A. m = −2. B. m = 3. D. m = −9. C. m = 1. Lời giải. Ta có f 0 (x) = −3x2 + 4(2m − 1)x − (m2 − 8) ⇒ f 00 (x) = −6x +" 4(2m − 1). m=1 Hàm số đạt giá trị cực tiểu tại điểm x = −1 thì f 0 (−1) = 0 ⇔ m = −9. 00  Với m = 1, ta có f (−1) = 10 > 0 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x = −1.  Với m = −9, ta có f 00 (−1) = −70 < 0 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x = −1. Vậy m = 1 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = −1.  Chọn đáp án C Câu 72. Cho hàm số y = x3 − 3x + 2. Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là A. B(−1; 4). B. D(2; 4). C. C(0; 2). D. A(1; 0). Lời giải. y 0 = 3x2 − 3, y 0 = 0 ⇔ x = ±1, y 00 = 6x, y 00 (1) = 6 > 0, y 00 (−1) = −6 < 0 nên A(1; 0) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.  Chọn đáp án D Câu 73. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R có x −∞ 1 +∞ 3 bảng biến thiên dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2. B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −4. C. Hàm số đạt cực đại tại x = 1. D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0. y0 + 0 − 0 + +∞ 2 y −∞ −4 Lời giải. Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại x = 1.  Chọn đáp án C 1 Câu 74. Gọi (C) là parabol đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x4 − mx2 + m2 , tìm m để 4 (C) đi qua điểm A(2; 24). A. m = −4. B. m = 6. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ C. m = 4. D. m = 3. 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 275 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. 0 3 y = x − 2mx √ √ Phương trình y 0 = 0 có ba nghiệm x = 0, x = 2m, x = − 2m, với m > 0. Do đó đồ thị hàm số có ba √ √ điểm cực trị là M (0; m2 ), N ( 2m; 0), P (− 2m; 0). Giả sử phương trình parabol cần tìm  có dạng y = ax2 + bx + c.  m  a=−   c = m2   2   √ Ta có: a · 2m + b · 2m + c = 0 ⇔ b = 0 .   √     c = m 2 a · 2m − b · 2m + c = 0 Parabol có phương trình y = mx2 + m2 , parabol đi qua điểm A(2; 24) nên m = 6.  Chọn đáp án B Câu 75. Cho hàm số y = (m + 1)x4 − (m − 1)x2 + 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số có một điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải. 2  Với m = −1 hàm số có dạng: y = 2x + 1. y 0 = 2x; y 00 = 2 > 0, ∀x ∈ R. y 0 = 0 ⇔ x = 0. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇒ m = −1 (loại).  Với m 6= −1 để hàm số có một cực đại không có cực tiểu thì ( − (m + 1)(m − 1) ≥ 0 ( ⇔ m+1<0 −1≤m≤1 m < −1 ⇔ m ∈ ∅.  Chọn đáp án D Câu 76. Biết m0 là giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − 3x2 + mx − 1 có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho x21 + x22 − x1 x2 = 13. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m0 ∈ (−15; −7). B. m0 ∈ (−1; 7). C. m0 ∈ (7; 10). D. m0 ∈ (−7; −1). Lời giải. Tập xác định: D = R. y 0 = 3x2 − 6x + m, cho y 0 = 0 ⇔ 3x2 − 6x + m = 0. Hàm số có hai cực trị x1 ,x2 thì ∆0 > 0 ⇔ 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3. x 1 + x 2 = 2 Theo định lí Vi-ét ta có x 1 x 2 = m . 3 Ta có x21 + x22 − x1 x2 = 13 ⇔ (x1 + x2 )2 − 3x1 x2 − 13 = 0 ⇒ 4 − m = 13 ⇔ m = −9 (thỏa mãn). Chọn đáp án A  Câu 77. Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp 2 trên khoảng K và x0 ∈ K . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Nếu hàm số đạt cực đại tại x0 thì f 00 (x0 ) < 0. B. Nếu hàm số đạt cực đại tại x0 thì tồn tại a < x0 để f 0 (a) > 0. C. Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì f 0 (x0 ) = 0. 276 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 D. Nếu f 0 (x0 ) = 0 và f 00 (x0 ) 6= 0 thì hàm số đạt cực trị tại x0 . Lời giải. Ta có định lý “Nếu f 00 (x0 ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại x0 ”. Chiều ngược lại không đúng.  Chọn đáp án A Câu 78. Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 1. Tích các giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số bằng A. 0. C. −6. B. 6. D. −3. Lời giải. " y 0 = 3x2 − 6x; y 0 = 0 ⇔ x=0 . x=2 Ta có bảng biến thiên: x −∞ y0 0 + 0 +∞ 2 − + 0 +∞ 1 y −∞ −3 Từ bảng biến thiên suy ra yCĐ · yCT = −3.  Chọn đáp án D 2 Câu 79. Đồ thị hàm số y = A. (1; 2). 2x + x có hai điểm cực trị A, B. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB. x+1 B. (1; 3). C. (−1; −3). D. (−1; −2). Lời giải. 2 2x + 4x + 1 Ta có y 0 = . (x + 1)2 −4 Ta được xA + xB = = −2 ⇒ xI = −1. 2 Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A, B là y = 4x + 1. (1) (2) Từ (1) và (2) ta được yI = 4 · xI + 1 = −3. Chọn đáp án C  Câu 80. Tìm m để hàm số y = mx3 − 2mx2 + 3x − 1 có cực đại và cực tiểu. 9 9 A. m > 2. B. m < 2. C. m < 0 ∨ m > . D. 0 < m < . 4 4 Lời giải. Ta thấy m = 0 hàm số suy biến thành y = 3x − 1 không có cực trị. ( m 6= 0 9 Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ ⇔m<0∨m> . 4 4m2 − 9m > 0  Chọn đáp án C 3 Câu 81. Cho hàm số y = A. (1; 2). Ta có y 0 = x2 − 4x + 3, x 2 − 2×2 + 3x + . Toạ độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là 3 3 Å ã 2 B. (−1; 2). C. 3; . D. (1; −2). 3 Lời giải. y 0 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 3. Bảng biến thiên CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 277 Tuyển tập Toán 12 THPT x Kỳ thi THQG 2020 −∞ y0 1 + 0 +∞ 3 − 0 + +∞ 2 y 2 3 −∞  Chọn đáp án A Câu 82. Số điểm cực trị của hàm số f (x) = 21×4 + 5×2 + 2018 là A. 1. B. 3. C. 2. D. 0. Lời giải. 0 3 2 Ta có f (x) = 84x + 10x = 2x · (42x + 5). Phương trình f 0 (x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 0 và f 0 (x) đổi dấu qua nghiệm này. Vậy hàm số có 1 cực trị.  Chọn đáp án A Câu 83. Trong các hàm số sau hàm số nào có cực đại, cực tiểu và xCT < xCĐ ? A. y = −x3 + 9x2 + 3x + 2. B. y = −x3 − 3x − 2. C. y = x3 − 9x2 − 3x + 5. D. y = x3 + 2x2 + 8x + 2. Lời giải.  Hàm số y = −x3 − 3x − 2 và y = x3 + 2x2 + 8x + 2 không có cực trị.  Hàm số y = x3 − 9x2 − 3x + 5 có hai cực trị, vì hệ số a > 0 nên xCT > xCĐ .  Hàm số y = −x3 + 9×2 + 3x + 2 có hai cực trị, vì hệ số a < 0 nên xCT < xCĐ .  Chọn đáp án A Câu 84. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? x −∞ f 0 (x) −1 + 0 0 − + 2 +∞ 1 0 − 3 f (x) −∞ A. Có ba điểm. −1 −1 B. Có bốn điểm. C. Có một điểm. −∞ D. Có hai điểm. Lời giải. Theo định nghĩa về cực trị, nhìn trên bảng biến thiên ta thấy chỉ có x = −1 và x = 1 là thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện. Vậy hàm số có hai điểm cực trị.  Chọn đáp án D Câu 85. Tổng số giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y = x3 − 3x2 + 1 là A. 6. B. 2. 278 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 4. D. −2. Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. " x=0 Ta có y 0 = 3x2 − 6x ⇒ y 0 = 0 ⇔ 3x2 − 6x = 0 ⇔ . x=2 x −∞ 0 y0 + +∞ 2 − 0 0 + +∞ 1 y −∞ −3 Từ bảng biến thiên ta thấy yCĐ + yCT = 1 + (−3) = −2.  Chọn đáp án D Câu 86. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên [−1; 1] và có bảng biến thiên như sau: x −∞ y0 +∞ 0 + 0 − 1 y 0 0 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0. B. Hàm số có đúng một cực trị. C. Hàm số đạt cực đại tại x = 1. D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1. Lời giải. Dễ thấy hàm số chỉ có đúng một cực trị.  Chọn đáp án B Câu 87. Tìm giá trị cực đại của hàm số y = x3 − 3x2 + m (với m là tham số thực). A. 0. B. m. C. 2. D. −4 + m. Lời giải. Tập xác định của hàm số là D ="R. x=0 Ta có y 0 = 3x2 − 6x ⇒ y 0 = 0 ⇔ x = 2. 00 Ta có y = 6x − 6.  Do y 00 (0) < 0, suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0, suy ra cực đại hàm số là y(0) = m.  Do y 00 (2) > 0, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.  Chọn đáp án B Câu 88. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R và có bảng biến thiên như sau CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 279 Tuyển tập Toán 12 THPT x Kỳ thi THQG 2020 −∞ f 0 (x) −1 0 0 − || − +∞ 1 + +∞ 0 − 3 f (−1) f (x) −1 −∞ Hỏi mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0). B. Hàm số có 3 điểm cực trị. C. Đồ thị hàm số y = f (x) không có tiệm cận ngang. D. Điểm cực tiểu của hàm số là x = 0. Lời giải. 0 Do y đổi dấu khi x qua 0 và 1 nên hàm số có hai điểm cực trị.  Chọn đáp án B Câu 89. Hàm số nào dưới đây chỉ có cực tiểu và không có cực đại? x+1 . A. y = −x4 + x2 . B. y = x−1 C. y = x4 + 1. D. y = x3 + x2 + 2x − 1. Lời giải. 4 0 3 0 Hàm số y = x + 1 có y = 4x , y = 0 ⇔ x = 0. y 0 đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 0 nên hàm số chỉ có cực tiểu không có cực đại.  Chọn đáp án C Câu 90. Điểm cực đại của hàm số y = x3 − 3x + 1 là A. x = 3. B. x = 1. C. x = 0. D. x = −1. Lời giải. ” Ta có y 0 = 3×2 − 3 = 0 ⇔ x = −1 x = 1. Do y 00 = 6x, suy ra y 00 (−1) = −6 < 0, từ đó ta được hàm số đạt cực đại tại x = −1.  Chọn đáp án D Câu 91. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0 (x) = 2018(x − 1)2017 (x − 2)2018 (x − 3)2019 . Tìm số điểm cực trị của f (x). A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Lời giải. 0 Đạo hàm f (x) có đổi dấu khi đi qua các điểm x1 = 1, x = 3 nên hàm số f (x) có hai điểm cực trị.  Chọn đáp án A 1 Câu 92. Hàm số y = x3 − (m − 3)x + 2018 luôn đồng biến trên R thì 3 A. m ≤ 4. B. m ≤ 3. C. m ≤ 2018. D. m ≤ 9. Lời giải. Hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi y 0 = x2 − (m − 3) ≥ 0, ∀x ∈ R. Điều này tương đương m − 3 ≤ 0 hay m ≤ 3. 280 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Chọn đáp án B Câu 93. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới x y0 −∞ 0 − + +∞ 1 0 + +∞ 0 y −∞ −1 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số có đúng một cực trị. B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1. C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1. D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:  Dấu của y 0 đổi từ dương sang âm khi qua điểm x = 0 (tính từ trái sang phải) nên hàm số đạt cực đại tại x = 0 và giá trị cực đại của hàm số bằng 0.  Dấu của y 0 đổi từ âm sang dương khi qua điểm x = 1 (tính từ trái sang phải) nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu của hàm số bằng −1.  Chọn đáp án D Câu 94. Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng (a, b) và có đồ thị như hình bên dưới. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? y a O x1 x2 x3 b x A. Hàm số y = f (x) có đạo hàm trong khoảng (a; b). B. f 0 (x1 ) > 0. C. f 0 (x2 ) > 0. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 281 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 D. f 0 (x3 ) = 0. Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có đạo hàm và nghịch biến trong khoảng (c; d) chứa x2 , suy ra f 0 (x2 ) ≤ 0.  Chọn đáp án C Câu 95. Cho các hàm số (I) : y = x2 + 3; (II) : y = x3 + 3×2 + 3x − 5; (III) : y = x − 1 ; x+2 (IV ) : y = (2x + 1)7 . Các hàm số không có cực trị là A. (I) , (II) , (III). B. (II) , (III) , (IV ). C. (III) , (IV ) , (I). D. (IV ) , (I) , (II). Câu 96. Hàm số nào sau đây có ba điểm cực trị? 1 A. y = x3 − 3x + 7x + 2. 3 C. y = −x4 − 2×2 + 1. B. y = −x4 + 2×2 . 2x − 1 D. y = . x+1 Lời giải. 3 Xét y = −x4 + 2×2 có y 0 = −4x + 4x  x = −1  y 0 = 0 ⇔ −4×3 + 4x = 0 ⇔  x = 0 . x=1  Chọn đáp án B 3x + 1 trên [−1; 1]. Khi đó, giá trị của m là x−2 2 C. −4. D. − . 3 Lời giải. Câu 97. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = A. 2 . 3 B. 4. TXĐ: D = R {2} y0 = −7 < 0, ∀x 6= 2 (x − 2)2 2 y(1) = −4 ; y(−1) = . 3 Vậy m = −4.  Chọn đáp án C Câu 98. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số y = f (x) đạt cực x y0 tiểu tại giá trị nào sau đây? A. x = −1. B. x = 2. C. x = 0. −∞ + −2 0 0 0 − 3 y −∞ + 2 0 +∞ − 3 −1 −∞ D. x = −2. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.  Chọn đáp án C Câu 99. Trong các hàm số sau, hàm số nào có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu? A. y = −x4 − x2 + 3. B. y = x4 − x2 + 3. C. y = −x4 + x2 + 3. D. y = x4 + x2 + 3. Lời giải. 282 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Hàm trùng phương có ba cực trị nên a·b < 0 do đó ta loại hai hàm số y = −x4 −x2 +3 và y = x4 +x2 +3. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu nên hệ số a < 0.  Chọn đáp án C Câu 100. Cho hàm số f (x) có đạo hàm là f 0 (x) = (x2 − 1)(x − √ 3)2 . Số điểm cực trị của hàm số này là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Vì f 0 (x) có 3 nghiệm x = −1, x = 1, x = 3. Trong đó, các nghiệm x = −1, x = 1 là các nghiệm đơn, √ √ còn nghiệm x = 3 là nghiệm kép nên đạo hàm không đổi dấu khi qua điểm x = 3. Vậy, hàm số f (x) √ có 2 điểm cực trị.  Chọn đáp án B CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 283 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ĐÁP ÁN 1. B 11. C 2. A 12. B 3. D 13. D 4. C 14. C 5. A 15. B 6. D 16. D 7. A 17. A 8. C 18. D 9. B 19. A 10. C 20. D 21. C 22. C 23. D 24. B 25. C 26. A 27. A 28. B 29. B 30. B 31. A 32. A 33. B 34. A 35. B 36. D 37. A 38. A 39. D 40. D 41. D 51. A 42. D 52. B 43. B 53. C 44. D 54. A 45. B 55. C 46. A 56. D 47. A 57. D 48. C 58. A 49. B 59. A 50. B 60. C 61. A 62. A 63. D 64. C 65. D 66. D 67. C 68. C 69. C 70. B 71. C 72. D 73. C 74. B 75. D 76. A 77. A 78. D 79. C 80. C 81. A 91. A 82. A 92. B 83. A 93. D 84. D 94. C 85. D 95. B 86. B 96. B 87. B 97. C 88. B 98. C 89. C 99. C 90. D 100. B 284 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 3 Mức độ vận dụng thấp Câu 1. Cho đồ thị hàm số y = f (x) có dạng hình vẽ bên. Tính tổng tất cả giá trị nguyên của m để hàm số y = |f (x) − 2m + 5| có 7 điểm cực trị. A. 6. B. 3. C. 5. D. 2. y 2 −2 −1 1 2 x O −2 Lời giải. Đồ thị hàm số y = f (x) − 2m + 5 có được bằng cách tịnh tiến theo trục Oy là −2m + 5 đơn vị. Muốn đồ thị y = |f (x) − 2m + 5| có đủ 7 cực trị thì đồ thị hàm số y = f (x) − 2m + 5 phải cắt Ox như 7 3 vậy thì −2 < −2m + 5 < 2 ⇔ < m < do m nguyên nên chọn m = 2; m = 3. Vậy có 2 giá trị m 2 2 thỏa mãn.  Chọn đáp án C √ Câu 2. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là f 0 (x) = (x − 2)4 (x − 1)(x + 3) x2 + 3. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f (x). A. 1. B. 2. C. 6. D. 3.  Lời giải. x = 2(nghiemboichan)  √ f 0 (x) = (x − 2)4 (x − 1)(x + 3) x2 + 3 ⇔  x = 1(nghiemdon) x = −3(nghiemdon) ⇒ Hàm số có hai điểm cực trị.  Chọn đáp án B Câu 3. Cho hàm số y = x4 − 2(m + 2)x2 + 3(m + 2)2 . Đồ thị của hàm số trên có ba cực trị tạo thành tam giác đều. Tìm mệnh đề đúng. A. m ∈ (−1; 0). B. m ∈ (0; 1). C. m ∈ (1; 2). D. m ∈ (−2; −1). Lời giải. Ta có y 0 = 4x3 − 4(m + 2)x. Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ y 0 = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ 4x3 − 4(m + 2)x = 0 có 3 nghiệm phân biệt(1) " x=0 Lại có 4x3 − 4(m + 2)x = 0 ⇔ x2 = m + 2 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 285 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Do đó (1) " ⇔ m + 2 > 0 ⇔ m > −2 (*) x=0 Khi đó √ x=± m+2

√ √ 2 Gọiba điểm cực trị đó là A(0; 3(m + 2) ), B m + 2; 2(m + 2)2 , C − m + 2; 2(m + 2)2 ä » # » Ä√ 2   AB = m + 2; −(m + 2) AB = m + 2 + (m + 2)4      # » Ä √ ä » ⇒ AC = − m + 2; −(m + 2)2 ⇒ AC = m + 2 + (m + 2)4     ä   # » Ä √ BC = 2√m + 2 BC = −2 m + 2; 0 Như vậy AB = AC nên ta chỉ cần ép cho AB = BC ” m = −2 ⇒ m + 2 + (m + 2)4 = 4(m + 2) ⇔ (m + 2)4 = 3(m + 2) ⇔ √ 3 m= 3−2 √ Kết hợp với (*) ta được m = 3 3 − 2 thỏa mãn.  Chọn đáp án A 1 Câu 4. Cho hàm số y = f (x) = x3 − (m + 1)x2 + (m + 3)x + m − 4. Tìm m để hàm số y = f (|x|) có 3 5 điểm cực trị? A. −3 < m < −1. B. m > 1. C. m > 4. D. m > 0. Lời giải. Có y = f (|x|) là hàm số chẵn. Nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng. 1 Xét y = f (x) = x3 − (m + 1)x2 + (m + 3)x + m − 4. Có f 0 (x) = x2 − 2(m + 1)x + (m + 3). 3 Hàm số y = f (|x|) có 5 điểm cực trị ⇔ y = f (x) có 2 điểm cực trị có hoành độ dương. ⇔ f 0 (x) = 0 có 2 nghiệm  phân biệt x1 > 0;x2 > 0. 0    m ∈ (−∞; −2) ∪ (1; +∞) m2 + m − 2 > 0 ∆ >0       ⇔ m > −1 ⇔ x1 + x2 > 0 ⇔ m + 1 > 0          m > −3. x1 x2 > 0 m+3>0 ⇔ m > 1.  Chọn đáp án B Câu 5. Biết m0 là giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − 3×2 + mx − 1 có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho x21 + x22 − x1 x2 = 13. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m0 ∈ (−1; 7). B. m0 ∈ (−15; −7). C. m0 ∈ (7; 10). D. m0 ∈ (−7; −1). Lời giải. Tập xác định D = R. Ta có y 0 = 3×2 − 6x + m. Hàm số có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi y 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆0 > 0 ⇔ 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3.  x 1 + x 2 = 2 Khi đó x1 , x2 là 2 nghiệm của y 0 . Theo định lý Vi-ét ta có x 1 x 2 = m . 3 Theo đề bài ra x21 + x22 − x1 x2 = 13 ⇔ (x1 + x2 )2 − 3x1 x2 = 13 ⇔ 4 − m = 13 ⇔ m = −9. Vậy m0 = −9. Chọn đáp án B 286 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 1 Câu 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương nhỏ hơn 5 của tham số m để hàm số y = x3 + (m − 1)x2 + 3 2 (2m − 3)x − đồng biến trên khoảng (1; +∞)? 3 A. 5. B. 3. C. 6. D. 4. Lời giải. 1 3 2 Hàm số y = x + (m − 1)x2 + (2m − 3)x − đồng biến trên (1; +∞) 3 3 0 2 ⇔ y = x + 2(m − 1)x + (2m − 3) ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞) ⇔ x2 − 2x − 3 ≥ −2mx − 2m, ∀x ∈ (1; +∞) ⇔ x2 − 2x − 3 ≥ −2m(x + 1), ∀x ∈ (1; +∞) x2 − 2x − 3 ≥ −2m, ∀x ∈ (1; +∞) x+1 ⇔ x − 3 ≥ −2m, ∀x ∈ (1; +∞) ⇔ ⇔ m ≥ 1. Mà m ∈ Z, m < 5 ⇒ m ∈ {1; 2; 3; 4}. Suy ra có 4 giá trị của tham số m.  Chọn đáp án D Câu 7. y Cho hàm số f (x) có đạo hàm f 0 (x) có đồ thị như hình vẽ bên. x3 Hàm số g(x) = f (x) − + x2 − x + 2 đạt cực đại tại điểm nào? 3 A. x = 2. B. x = 0. C. x = 1. D. x = −1. 1 −1 1 O x 2 −2 Lời giải. y Ta có: g 0 (x) = f 0 (x) − x2 + 2x − 1.  x=0  g 0 (x) = 0 ⇔ f 0 (x) = x2 − 2x + 1 ⇔  x = 1 . (như hình vẽ). x=2 y = f (x) y = x2 − 2x + 1 1 −1 1 O 2 x −2 Bảng xét dấu của g 0 (x): x g (x) 0 −∞ − 0 0 + 1 0 2 0 − +∞ + Từ bảng xét dấu của g 0 (x) suy ra hàm số g(x) đạt cực đại tại x = 1.  Chọn đáp án C 1 Câu 8. Giá trị của m để hàm số y = x3 − (m − 1)x2 + (m2 − 3m + 2) x + 5 đạt cực đại tại 0 là 3 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 287 Tuyển tập Toán 12 THPT A. m = 1. Kỳ thi THQG 2020 B. m = 1 hoặc m = 2. C. m = 6. D. m = 2. Lời giải. Phương pháp: Tính y 0 và y 00 . Hàm số đạt cực trị tại x0 thì y 0 (x0 ) = 0 ⇔ m = mi , i = 1, 2, . . . Với các giá trị mi tính y 00 (x0 ). + Nếu y 00 (x0 ) < 0 thì x0 là điểm cực đại. + Nếu y 00 (x0 ) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu. + Nếu y 00 (x0 ) = 0 chưa kết luận gì, ta sẽ thay giá trị m = mi tương ứng vào hàm số kiểm tra. Cách giải: 1 y = x3 − (m − 1)x2 + (m2 − 3m + 2) x + 5. 3 ⇒ y 0 = x2 − 2(m − 1)x + m2 − 3m + 2. ⇒ y 00 = 2x − 2(m − 1).    m=1  0 2 Ta có y (0) = 0 ⇔ m − 3m + 2 = 0 ⇔  .    m=2 1 +) Với m = 1 ta có y 00 (0) = 0 chưa thể kết luận nên ta thay m = 1 vào đề bài được y = x3 + 5 hàm 3 này không có cực trị nên m = 1 loại. +) Với m = 2 ta có y 00 (0) = −2 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = 0. Vậy m = 2 nhận. Chọn đáp án D  Câu 9. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? A. Hàm số y = −x3 + 3x2 + 1 có cực đại, cực tiểu. B. Hàm số y = x3 + 3x + 1 có cực trị. 1 C. Hàm số y = −2x + 1 + không có cực trị. x+2 1 D. Hàm số y = x − 1 + có 2 cực trị. x+1 Lời giải. Phương pháp: Quy tắc 1: - Tìm TXĐ của hàm số. - Tính f 0 (x). Tìm các điểm mà tại đó f 0 (x) = 0 hoặc không xác định. - Lập bảng xét dấu f 0 (x). - Đưa ra kết luận về cực trị. Quy tắc 2: - Tìm TXĐ của hàm số. 288 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 - Tính f 0 (x). Giải phương trình f 0 (x) = 0 tìm các nghiệm xi , i = 1, 2, 3, . . . - Tính f 00 (x) và f 00 (xi ). - Dựa vào dấu f 00 (xi ) đưa ra kết luận về cực trị. Cách giải:    x=0  ⇒ Hàm số y = −x3 + 3x2 + 1 có cực +) y = −x3 + 3x2 + 1 ⇒ y 0 = −3x2 + 6x ⇒ y 0 = 0 ⇔     x=2 đại, cực tiểu. +) y = x3 + 3x + 1 ⇒ y 0 = 3x2 + 3 > 0, ∀x ⇒ Hàm số y = x3 + 3x + 1 không có cực trị. Vậy, khẳng định ở câu B là sai. 1 1 +) y = −2x + 1 + , (D = R{−2}) ⇒ y 0 = −2 − < 0, ∀x ∈ D ⇒ Hàm số y = x+2 (x + 2)2 1 không có cực trị. −2x + 1 + x+1 1 1 +) y = x − 1 + x−1 , (D = R{−1}) ⇒ y 0 = 1 − . (x − 1)2    x=0∈D  0 2 y = 0 ⇔ (x − 1) = 1 ⇔     x = 2 ∈ D. Dễ dàng kiểm tra y 0 = 0 đổi dấu tại x = 0; x = 2. Suy ra hàm số y = x − 1 + 1 có 2 cực trị. x+1  Chọn đáp án B Câu 10. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m đồ thị (C) của hàm số y = x4 −2m2 x2 +m4 +5 có ba cực trị, đồng thời ba điểm cực trị với gốc tọa độ tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tìm số phần tử của S. A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. Lời giải. Phương pháp: Sử dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp. Cách giải: y A B C O CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ x 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 289 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020    x=0     4 2 2 4 0 3 2 0 Ta có: y = x − 2m x + m + 5 ⇒ y = 4x − 4m x ⇒ y = 0 ⇔   x=m      x = −m. Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì m 6= 0. Khi đó, tọa độ ba điểm cực trị là: A(0; m4 + 5), B(−m; 5), C(m; 5). “ = C. b Dễ dàng chứng minh: ∆ABO = ∆ACO ⇒ B “+ C b = 180◦ ⇒ B “= C b = 90◦ . Mà tứ giác ABOC nội tiếp, nên B Khi đó    m = 0 (ktm)  # »# » 4 4 2 2 2 AB.OB = 0 ⇔ (−m).(−m) + (−m ).5 = 0 − 5m + m = 0 ⇔ m (1 − 5m ) = 0 ⇔     1 m = ± √ (tm). 5 1 Vậy tập hợp S tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài có 2 phần tử là ± √ . 5 Chọn đáp án B  1 (3m + 2)x2 Câu 11. Cho hàm số y = x3 − + (2m2 + 3m + 1)x + m − 2 (1). Gọi S là tập hợp tất cả 3 2 các giá trị của tham số m sao cho hàm số (1) có cực đại, cực tiểu xCĐ , xCT sao cho 3x2CĐ = 4xCT . Khi đó, tổng các phần√tử của tập S bằng √ −4 − 7 4+ 7 A. S = . B. S = . 6 6 √ −4 + 7 C. S = . 6 Lời giải. " x = 2m + 1 Ta có y 0 = x2 − (3m + 2)x + (2m2 + 3m + 1), y 0 = 0 ⇔ . x=m+1 Hàm số có cực đại, cực tiểu khi chỉ khi m 6= 0. √ 4− 7 D. S = . 6  Trường hợp m > 0. Khi đó, xCĐ = m + 1, xCT = 2m + 1.  m = 1 (nhận) Ta có 3x2CĐ = 4xCT ⇔ 3(m + 1)2 = 4(2m + 1) ⇔ 3m2 − 2m − 1 = 0 ⇔  . 1 m = − (loại) 3  Trường hợp m < 0. Khi đó, xCĐ = 2m + 1, xCT = m + 1. √  −2 + 7 (loại) m = 6√ Ta có 3x2CĐ = 4xCT ⇔ 3(2m + 1)2 = 4(m + 1) ⇔ 12m2 + 8m − 1 = 0 ⇔  .  −2 − 7 m= (nhận) 6 √ √ √ −2 − 7 −2 − 7 4− 7 Vậy S = {1; }. Do đó, tổng 1 + = . 6 6 6 Chọn đáp án D  290 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 12. Cho hàm số f (x) = ax3 +bx2 +cx+d thỏa mãn a, b, c, d ∈ R ; a > 0 và ( d > 2019 8a + 4b + 2c + d − 2019 < 0 Số cực trị của hàm số y = |f (x) − 2019| bằng A. 3. B. 2. C. 1. D. 5. Lời giải. Ta có hàm số g (x) = f (x) − 2019 là hàm số bậc ba liên tục trên R. Do a > 0 nên lim g (x) = −∞; lim g (x) = +∞. x→−∞ x→+∞ Để ý g (0) = d − 2019 > 0; g (2) = 8a + 4b + 2c + d − 2019 < 0. Nên phương trình g (x) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên R. Khi đó đồ thị hàm số g (x) = f (x) − 2019 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số y = |f (x) − 2019| có đúng 5 cực trị.  Chọn đáp án D Câu 13. Tìm các số thực m để hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx − 5 có cực trị. " " m 6= 2 m < −3 A. . B. −3 < m < 1. C. . D. −2 < m < 1. −31 Lời giải. Với m = −2, hàm số trở thành y = 3×2 − 2x − 5. 1 y 0 = 6x − 2, y 0 = 0 ⇒ x = − . 3 Vì y 0 = 0 có nghiệm và đổi dấu khi đi qua nghiệm nên với m = −2 hàm số có cực trị. Với m 6= −2, y 0 = 3(m + 2)x2 + 6x + m. Để hàm số có cực trị thì ∆0 > 0 ⇒ 9 − 3m(m + 2) > 0 ⇔ m2 + 2m − 3 < 0 ⇔ −3 < m < 1. Kết hợp cả hai trường hợp suy ra −3 < m < 1.  Chọn đáp án B Câu 14. y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Trên khoảng (−1; 3) đồ thị hàm số y = f (x) có mấy điểm cực trị? A. 0. B. 2. 4 C. 3. D. 1. −1 O 2 x Lời giải. Từ đồ thị hàm số y = f (x) ta có trên khoảng (−1; 3) có hai điểm cực trị.  Chọn đáp án B Câu 15. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f 0 (x) = (x − 1)2 (x − 5)(3x + 2). Số điểm cực trị của hàm số f (x) là A. 4 . B. 3 . C. 1 . D. 2 . Lời giải. f 0 (x) = (x − 1)2 (x − 5)(3x + 2). Ta thấy f 0 (x) đổi dấu tại các điểm có hoành độ là x = 5 và x = − 2 3 nên số điểm cực trị của hàm số là 2. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 291 . Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Chọn đáp án D Câu 16. y Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f 0 (x) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm y = f 0 (x) cực trị của hàm số y = f (x) bằng A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. x O Lời giải. 0 Đồ thị hàm số y = f (x) cắt trục hoành tại ba điểm lần lượt là x1 , x2 , x3 (với x1 < x2 < x3 ). Từ đồ thị của hàm số y = f 0 (x) ta có bảng biến thiên: x x1 −∞ f 0 (x) − 0 x2 + 0 x3 + 0 +∞ + Ta thấy f 0 (x) đổi dấu từ âm qua dương khi qua điểm x1 này nên số điểm cực trị của hàm số y = f (x) bằng 1.  Chọn đáp án D Câu 17. Cho hàm số f (x) = (m − 2) x3 − 2(2m − 3)x2 + (5m − 3) x − 2m − 2 với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = |f (x)| có 5 điểm cực trị? A. 0. B. 3. C. 1. D. 2. Lời giải. Trường hợp 1: m = 2 thì hàm số f (x) = −2x2 + 7x − 6 thì rõ ràng hàm số y = |f (x)| có nhiều nhất 3 cực trị. Ta loại trường hợp này. Trường hợp 2: m 6= 2 thì hàm số y = f (x) là hàm số bậc 3. Do đó, hàm số y = |f (x)| có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số y = f (x) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. ⇔ f (x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt. ⇔ (x − 2) [(m − 2) x2 + (2 − 2m) x + m + 1] = 0 có 3 nghiệm phân biệt. 2 ⇔ (m  − 2) x + (2 − 2m) x + m + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2.  m − 2 6= 0   ⇔ ∆0 = (m − 1)2 − (m − 2)(m + 1) > 0    (m − 2)22 + (2 − 2m)2 + m + 1 6= 0 ( m 6= 2 ⇔ . m<3 Kết hợp cả 2 trường hợp trên và điều kiện m nguyên dương ta suy ra m = 1. Chọn đáp án C  1 Câu 18. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m để hàm số y = x3 − (m + 1)x2 + (m − 2)x + 2m − 3 3 đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 thỏa mãn x21 + x22 = 18. Tính tổng P của tất cả các giá trị m trong S. 3 A. P = −4. B. P = 1. C. P = − . D. P = −5. 2 292 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. 0 0 2 Ta có y = x − 2(m + 1)x + (m − 2), ∆ = (m + 1)2 − (m − 2) = m2 + m + 3. Hàm số đã cho là hàm bậc ba nên có hai điểm cực trị khi chỉ khi ∆0 > 0 ⇔ m2 + m + 3 > 0 (luôn đúng với mọi m ∈ R). Theo định lý Vi-ét, ta có x1 + x2 = 2(m + 1), x1 x2 = m − 2.  m=1 Mà x21 + x22 = 18 ⇔ (x1 + x2 )2 − 2×1 x2 = 18 ⇔ 4m2 + 6m − 10 = 0 ⇔  5. m=− 2 Vì m chỉ nhận giá trị nguyên nên m = 1. Vậy P = 1.  Chọn đáp án B Câu 19. Giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − 3×2 + mx − 1 có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x21 + x22 = 6. B. −1. A. 1. D. −3. C. 3. Lời giải. Ta có y 0 = 3×2 − 6x + m = 0. Để hàm số có hai cực trị x1 , x2 thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt (1) ⇔ ∆0 > 0 ⇔ 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3. x 1 + x 2 = 2 Theo Viet ta có x 1 x 2 = m . 3 m 2 2 Mà x1 + x2 = 6 ⇔ (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = 6 ⇔ 4 − 2 · = 6 ⇔ m = −3 (thỏa mãn điều kiện m < 3). 3 Vậy m = −3.  Chọn đáp án D Câu 20. Cho đồ thị (C) của hàm số y 0 = (1 + x) (x + 2)2 (x − 3)3 (1 − x2 ) . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai. A. (C) có một điểm cực trị. B. (C) có ba điểm cực trị. C. (C) có hai điểm cực trị. D. (C) có bốn điểm cực trị. Lời giải.  x = −2  x = −1  Ta có y 0 = (1 + x)2 (x + 2)2 (x − 3)3 (1 − x) nên y 0 = 0 ⇔  . x = 1  x=3 Bảng xét dấu x y0 −∞ − −2 0 − −1 0 − 1 0 + 3 0 +∞ − Ta thấy đạo hàm đổi dấu hai lần nên hàm số có hai điểm cực trị suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. Trắc nghiệm: Ta thấy phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm đơn hoặc bội lẻ nên đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.  Chọn đáp án C CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 293 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 21. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 − 3x2 + mx đạt cực tiểu tại x = 2. A. m = 0. B. m = 1. D. m = −2. C. m = 2. Lời giải. Tập xác định: D = R. Ta có: y 0 = 3x2 − 6x + m. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Suy ra y 0 (2) = 0 ⇔ 3 · 22 − " 6.2 + m = 0 ⇔ m = 0. x=0 Với m = 0 ta có y 0 = 3x2 − 6x; y 0 = 0 ⇔ 3x2 − 6x = 0 ⇔ . x=2 Bảng biến thiên. x −∞ y0 + 0 0 − 2 0 +∞ + +∞ 0 y −∞ −4 Dựa vào bảng biến thiên, ta nhận thấy với m = 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 . Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.  Chọn đáp án A Câu 22. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + 2m2 − m có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. A. Vô số. C. 1. B. Không có. D. 4. Lời giải. Tập xác định: D = R. Ta có y 0 = 4x3 − 4mx = 4x(x2 − m)." Khi đó y 0 = 0 ⇔ 4x(x2 − m) = 0 ⇔ x=0 x2 = m. Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi m > 0 (∗). Khi đó hàm số có ba điểm cực trị là A(0; 2m2 − √ √ m), B( m; m2 − m), C( m; m2 − m). √ √ √ # » # » Ta có AB = ( m; m2 ), AC = (− m; m2 ) ⇒ AB = AC = m + m4 . Vậy ∆ABC cân tại A nên ∆ABC vuông cân tại A. ” m=0 # » # » Ta có AB · AC = 0 ⇔ −m + m4 = 0 ⇔ m(m3 − 1) = 0 ⇔ m = 1. Kết hợp với (∗) ta có m = 1.  Chọn đáp án C 1 Câu 23. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2017; 2018] để hàm số y = x3 − 3 mx2 + (m + 2)x có hai điểm cực trị nằm trong khoảng (0; +∞). A. 2015. B. 2016. C. 2018. D. 4035. Lời giải. Ta có y 0 = x2 − 2mx + m + 2. Từ yêu cầu bài toán ta phải tìm m để hàm số có hai điểm cực trị dương hay phương trình y 0 = 0 có 294 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 hai nghiệm dương phân biệt. Khi đó            m < −1 1 = 6 0            0 2    (m − 1)(m − 2) > 0      4 = m − m − 2 > 0  ⇔ 2m > 0 ⇔  m > 2 ⇔ m > 2. −b    >0 S=       a   m + 2 > 0     c    P = > 0  m > 0 a   m > −2 Vì m ∈ R và m ∈ [−2017; 2018] ⇒ m ∈ {3; 4; 5; …; 2018} nên ta có 2018 − 3 + 1 = 2016 giá trị m thỏa mãn ycbt.  Chọn đáp án B Câu 24. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (−1000; 1000) để hàm số y = 2×3 − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 đồng biến trên khoảng (2; +∞)? A. 999. B. 1001. C. 1998. D. 1000. Lời giải. Ta có y 0 = 6×2 − 6(2m + 1)x + 6m(m + 1) = 6 [x2 − (2m + 1)x + m(m + 1)] . Xét phương trình y 0 = 0 ⇔ x2 − (2m + 1)x + m(m + 1) = 0 có 4 = (2m + 1)2 − 4m(m + 1) = 1 > 0, ∀m ∈ R. 2m + 1 + 1 2m + 1 − 1 = m; x2 = = m + 1. Suy ra phương trình y 0 = 0 luôn có hai nghiệm x1 = 2 2 Dễ thấy x1 = m < m + 1 = x2 và a = 1 > 0 nên hàm số đồng biến trong khoảng (m + 1; +∞) và (−∞; m). Bài toán thỏa mãn ⇔ m + 1 ≤ 2 ⇔ m ≤ 1. Do m ∈ Z và m ∈ (−1000; 1000) nên m ∈ {−999; −998; …; 0; 1}. Vậy có [1 − (−999)] : 1 + 1 = 1001 giá trị của m thỏa mãn bài toán.  Chọn đáp án B Câu 25. Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3 (m2 − 1) x − m3 với m là tham số. Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng khi m thay đổi, điểm cực tiểu của đồ thị (C) luôn nằm trên một đường thẳng d cố định. Xác định hệ số góc k của đường thẳng d. 1 1 A. k = −3. B. k = . C. k = 3. D. k = − . 3 3 Lời giải. ” x=m−1 Ta có y 0 = 3×2 − 6mx + 3 (m2 − 1) .y 0 = 0 ⇔ x=m+1 Vì là hàm số bậc ba với hệ số a = 1 > 0 nên điểm cực tiểu của hàm số là A (m + 1; −3m − 2). Lại có −3m−2 = −3 (m + 1)+1 nên điểm cực tiểu của hàm số luôn thuộc đường thẳng d : y = −3x+1, hệ số góc k = −3.  Chọn đáp án A Câu 26. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x4 − 2m2 x2 + 1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. A. m = 1. B. m ∈ {−1; 1}. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ C. m ∈ {−1; 0; 1}. D. m ∈ {0; 1}. 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 295 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. ” 1 y 0 = 4×3 − 4m2 x = 0 ⇔ x=0 2 2 . Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình y 0 = 0 x =m phải có ba nghiệm phân biệt, suy ra m 6= 0. 2 Khi đó, đồ thị có ba điểm cực trị là A(0; 1), B (m; −m4 + 1), C (−m; −m4 + 1). # » # » √ √ m2 + m8 , AC = m2 + m8 . Do đó tam giác ABC luôn cân ở A. Vậy để tam giac ABC ” vuông thì tam giác ABC phải vuông ở A. m=1 # » # » 4 AB · AC = 0 ⇔ −m2 + m8 = 0 ⇔ m6 − 1 = 0 ⇔ . m = −1 3 Ta có AB = (m; −m4 ), AC = (−m; −m4 ). Suy ra AB =  Chọn đáp án B Câu 27. Cho hàm số y = x4 + 2mx2 + 3m2 , với m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị lập thành tam giác nhận G(0; 2) làm …trọng tâm. 2 A. m = 1. B. m = − . C. m = −1. 7 Lời giải. … D. m = − 6 . 7 Tập xác định của hàm số là D = R. Ta có y 0 = 4×3 + 4mx = 4x(x2 + m). Đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số đã cho có ba điểm cực trị hay phương trình x2 + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là m < 0.

√ √ Khi đó đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là A(0; 3m2 ), B − −m; 2m2 , C −m; 2m2 . Tam giác ABC nhận G(0; 2) làm trọng tâm nên  √ √ −m) + −m 0 + (−  …   =0 6 3 ⇔ 7m2 = 6 ⇔ m = ± . 2 2 2  7 3m + 2m + 2m   =2 3 … 6 Kết hợp điều kiện m < 0 ta được m = − là giá trị cần tìm. 7 Chọn đáp án D  Câu 28. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R và đồ thị hàm số y = f 0 (x) trên y R như hình vẽ bên dưới. Khi đó trên R hàm số y = f (x) x O A. có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu. B. có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu. C. có 2 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu. D. có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu. Lời giải. 296 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Từ đồ thị hàm số y = f 0 (x) ,ta lập bảng biến thên của hàm số y = f (x) : −∞ x y0 + x1 0 0 + x2 − 0 y1 0 +∞ + y y2 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.  Chọn đáp án B Câu 29. Cho hàm số f 0 (x) = (x − 2)2 (x2 − 4x + 3) với mọi x ∈ R. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = f (x2 − 10x + m + 9) có 5 điểm cực trị? A. 17. B. 18. C. 15. D. 16. Lời giải. 0 2 Ta có [f (x2 − 10x + m + 9)] = (2x − 10) (x2 − 10x + m + 7) (x2 − 10x + m + 8) (x2 − 10x + m + 6). Hàm số y = f (x2 − 10x + m + 9) có 5 điểm cực trị điều kiện cần và đủ là các phương trình x2 − 10x + 2 m+  8 = 0 (1) và x − 10x + m  + 6 = 0 (2) đều có hai nghiệm phân biệt khác 5, điều kiện tương đương 0 ∆1 > 0  17 − m > 0         ∆0 > 0 19 − m > 0 2 là ⇔ ⇔ m < 17.   25 − 50 + m + 8 = 6 0 m = 6 17           25 − 50 + m + 6 6= 0 m 6= 19  Chọn đáp án D Câu 30. Gọi S là tập các giá trị dương của tham số m sao cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 27x + 3m − 2 đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn |x1 − x2 | ≤ 5. Biết S = (a; b]. Tính T = 2b − a. √ √ √ √ A. T = 51 + 6. B. T = 61 + 3. C. T = 61 − 3. D. T = 51 − 6. Lời giải. 0 0 2 2 Ta có y = 3x − 6mx + 27 và y = 0 ⇔ 3x − 6mx + 27 = 0 ⇔ x2 − 2mx + 9 = 0. (1) Để hàm số đạt cực trị tại x1 , x2 thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt. Điều đó tương đương với " ∆0 > 0 ⇔ m2 − 9 > 0 ⇔ m < −3 (2) m > 3. Theo định lí Vi-ét, ta có ( x1 + x2 = 2m x1 x2 = 9. Khi đó |x1 − x2 | ≤ 5 ⇔ (x1 − x2 )2 ≤ 25 ⇔ (x1 + x2 )2 − 4×1 x2 − 25 ≤ 0 √ √ 61 61 2 ⇔ 4m − 61 ≤ 0 ⇔ − ≤m≤ . 2 2 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (3) 297 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Kết hợp (2), (3) và m dương ta được   a = 3 61 √ ⇒ T = 2b − a = √61 − 3. ⇒ 61  2 b = 2 √ 3 0. Lời giải. Phương pháp: Dựa vào lý thuyết về các điểm cực trị của hàm số. Cách giải: 0 Nếu ( 0 x = x0 là điểm cực trị của hàm số thì f (x0 ) = 0. Nếu x = x0 là điểm cực trị của hàm số thì f (x0 ) = 0 . f 00 (x0 ) > 0  Ä ä √ 3 Câu 32. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0 (x) = x (x2 + 2x) x2 − 2 , ∀x ∈ R. Số điểm cực trị Chọn đáp án C của hàm số là A. 4. B. 1. C. 2. Lời giải. D. 3. Xét f 0 (x) = 0 suy ra x x2 + 2x Ä äÄ ä √ √
3 Ä 2 √ ä 4 4 x − 2 = 0 ⇔ x4 (x + 2)3 x − 2 x − 2 = 0   x=0   x + 2 = 0 x = −2   ⇔ ⇔  √ √ 4 x − 2 = 0 x = 4 2   √ √ 4 4 x+ 2=0 x = − 2. x=0 Xét dấu f 0 (x) x 0 f (x) −∞ √ −42 −2 − 0 + 0 √ 4 0 − 0 − +∞ 2 0 + Dựa bảng xét dấu suy ra hàm số có 3 cực trị.  Chọn đáp án D Câu 33. Cho hàm số y = f (x) có đúng ba điểm cực trị 0; 1; 2 và có đạo hàm liên tục trên R. Khi đó hàm số y = f (4x − 4×2 ) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5. B. 2. 298 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 3. D. 4. Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. 0 Ta có [f (4x − 4x )] = (4x − 4x ) · f (4x − 4×2 ) = 4(1 − 2x) · f 0 (4x − 4×2 ).  1  1 x= x=  2   2 4x − 4×2 = 0  0 2 0   [f (4x − 4x )] = 0 ⇔  ⇔ x = 0; x = 1 4x − 4×2 = 1  1  (kép). x = 2 4x − 4×2 = 2 2 0 2 0 1 Do đó, hàm số y = f (4x − 4×2 ) có ba điểm cực trị là 0; 1; . 2 Chọn đáp án C  Câu 34. Cho hàm số f (x) với bảng biến thiên dưới đây: −∞ x −1 f 0 (x) − 0 + 0 +∞ 0 +∞ 2 − + 0 +∞ 3 f (x) −2 −4 Hỏi hàm số y = |f (|x|)| có bao nhiêu cực trị? A. 5. B. 3. C. 1. D. 7. Lời giải. Phương pháp: + Cách 1: Dựa vào BBT, vẽ BBT của đồ thị hàm số y = |f (|x|)| và suy ra số các điểm cực trị của hàm số. + Cách 2: Từ BBT suy ra công thức hàm số y = f (x) từ đó vẽ đồ thị hàm số y = |f (|x|)| và suy ra số các điểm cực trị của hàm số. Cách giải: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f (x) có 3 điểm cực trị (−1; −2) , (0; 3) , (2; −4). Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = |f (|x|)| như sau x −∞ −1 − f 0 (x) +∞ 0 2 0 + 0 3 +∞ 2 − 0 4 + +∞ f (x) y=0 −2 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ −4 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 299 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Bảng biến thiên của hàm số y = |f (|x|)| là x −∞ −2 − f 0 (x) +∞ 0 0 + 0 4 +∞ 2 − 0 3 + +∞ 4 f (x) y=0 −4 −4 Như vậy hàm số y = |f (|x|)| có 7 điểm cực trị.  Chọn đáp án D Câu 35. Cho hàm số f (x) = mx3 − 3mx2 + (3m − 2)x + 2 − m với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [−10; 10] để hàm số g(x) = |f (x)| có 5 điểm cực trị? A. 9. B. 7. C. 10. D. 11. Lời giải. Phương pháp: Hàm số g(x) = |f (x)| có 5 điểm cực trị ⇔ f (x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Cách giải: Hàm số g(x) = |f (x)| có 5 điểm cực trị ⇔ f (x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Xét”mx3 − 3mx2 + (3m − 2)x + 2 − m − 0 ⇔ (x − 1)(mx2 − 2mx + m − 2) = 0. x=1 ⇔ . mx2 − 2mx + m − 2 = 0 (1) f (x)  có 2 nghiệm phân biệt khác 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (1)   m 6= 0 m 6= 0     ⇔ m2 − m (m − 2) > 0 ⇔ 2m > 0 ⇔ m > 0.       2 −2 6= 0 m · 1 − 2m · 1 + m − 2 6= 0 Mà m ∈ [−10; 10] , m ∈ Z ⇒ m ∈ {1; 2; 3; . . . ; 10}. Có 10 giá trị của m thỏa mãn.  Chọn đáp án C Câu 36. Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 +x2 +mx−1 nằm bên phải trục tung. A. m < 0. 1 B. 0 < m < . 3 1 C. m < . 3 Lời giải. D. Không tồn tại. Tập xác định D = R. y 0 = 3x2 + 2x + m. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆0 = 1 − 3m > 0 ⇔ m < 300 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 1 3 (1). Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Khi đó phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1 và x2 . 2 m Theo định lí Vi-ét ta có x1 + x2 = − , x1 x2 = . 3 3 2 Vì x1 + x2 = − < 0 nên để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung thì phương trình 3 y 0 = 0 có hai nghiệm trái dấu. m ⇔ x1 x2 < 0 ⇔ <0⇔m<0 (2). 3 Từ (1) và (2) suy ra m < 0.  Chọn đáp án A Câu 37. Cho hàm số f (x) xác định trên R, có đạo hàm f 0 (x) = (x + 1)3 (x − 2)5 (x + 3)3 . Số điểm cực trị của hàm số f (|x|) là A. 3. B. 5. C. 1. D. 2. Lời giải.  Hàm số y = f (|x|) là hàm chẵn nên đồ thị của hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.  Gọi n là số điểm cực trị của hàm số y = f (x) trên miền x > 0. Khi đó số điểm cực trị của hàm số y = f (|x|) là 2n + 1.  x = −1   Ta có f 0 (x) = 0 ⇔ (x + 1)3 (x − 2)5 (x + 3)3 = 0 ⇔  x = 2 ( nghiệm bội lẻ ) x = −3 ⇒ Số điểm cực trị của hàm số y = f (x) trên miền x > 0 là 1. ⇒ Số điểm cực trị của hàm số y = f (|x|) là 2 · 1 + 1 = 3.  Chọn đáp án A Câu 38. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = |x3 − 3x + m| có 5 điểm cực trị? A. 5. B. 3. C. 1. D. vô số. Lời giải. Hàm số y = |x3 − 3x + m|có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số y = x3 − 3x + m có 2 cực trị nằm về hai phía của trục Ox. Ta có: ” y 0 = x3 − 3x + m ⇔ x = 1 ⇒ y = −2 + m . x = −1 ⇒ y = 2 + m Hai điểm cực trị nằm về 2 phía trục Ox ⇔ (−2 + m) (2 + m) < 0 ⇔ m2 − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2. Kết hợp điều kiện m ∈ Z ⇒ m ∈ {−1; 0; 1}. Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án B Câu 39. Có 3 bao nhiêu 2 giá 2 trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số 2 y = x − (m + 1)x + (m − 2)x − m + 3 có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về hai phía khác nhau đối với trục hoành? A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 301 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y = x3 − (m + 1)x2 + (m2 − 2) x − m2 + 3 TXĐ: D = R. Ta có: y 0 = 3x2 − 2(m + 1)x + m2 − 2. Để hàm số có 2 điểm cực trị ⇔ phương trình y 0 = 0 có 2 nghiệm phân √ biệt. √ 1 − 15 1 + 15 2 0 2 2 ⇔ ∆ = (m + 1) − 3 (m − 2) > 0 ⇔ −2m + 2m + 7 > 0 ⇔ 0 x = 3 27 0 2  √ √ (ktm). Khi đó y = 3x − 2x − 2 = 0 ⇔  1− 7 61 + 14 7 x= ⇒y= >0 3 27 +) Với m = 1 ta có y = x3 − x2 − x + 2. √ √ 2+ 7 20 − 14 7 ⇒y= <0 x = 3√ 27 √ Khi đó y 0 = 3x3 − 4x − 1 = 0 ⇔  (tm).  20 + 14 7 2− 7 ⇒y= <0 x= 3 27 3 2 +) Với m = 2 ta có y = x − 3x + 2x − 1. √ √ 3+ 3 9+2 3 ⇒y=− <0 x = 3 27 0 3  √ √ (ktm). Khi đó y = 3x − 6x + 2 = 0 ⇔  −9 + 2 3 3− 3 ⇒y= <0 x= 3 9 Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn là m = 1.  Chọn đáp án B Câu 40. Cho hàm số y = f (x) có bảng biên thiên như sau −∞ x y0 −1 0 + 3 0 − +∞ + +∞ 5 y −∞ 1 Hàm số y = |f (x)| có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 5. C. 2. D. 4. Lời giải. Từ bảng biến thiên đã cho, ta có bảng biến thiên của hàm số y = |f (x)| như sau x −∞ x0 +∞ −1 3 +∞ +∞ 5 |f (x)| 0 302 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 1 Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Khi đó từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 cực trị.  Chọn đáp án A Câu 41. y Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = f (x). Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên không âm của tham số m để hàm số y = |f (x−2019)+m−2| 2 có 5 điểm cực trị. Số các phần tử của S bằng A. 3. B. 4. C. 2. D. 5. −3 x O −6 Lời giải. Đồ thị hàm số y = f (x − 2019) được tạo thành bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f (x) theo chiều song song với trục Ox sang bên phải 2019 đơn vị. Đồ thị hàm số y = f (x−2019)+m−2 được tạo thành bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f (x−2019) theo chiều song song với trục Oy lên trên m − 2 đơn vị. Đồ thị hàm số y = |f (x − 2019) + m − 2| được tạo thành bằng cách giữ nguyên phần đồ thị y = f (x − 2019) + m − 2 phía trên trục Ox, lấy đối xứng toàn bộ phần đồ thị phía dưới trục Ox qua trục Ox và xóa đi phần đồ thị phía dưới trục Ox. Do đó để đồ thị hàm số y = |f (x−2019)+m−2| có 5 điểm cực tị thì đồ thị hàm số y = f (x−2019)+m−2 có yCĐ · yCT ≤ 0 ⇔ −3 + m − 2 ≥ 0 > −6 + m − 2 ⇔ m−5≥0>m−8 ⇔ 5 ≤ m < 8. ⇒ có 3 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án A y Câu 42. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R có đồ thị của hàm số y = f 0 (x) như hình vẽ. Hỏi hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0; 1). B. (2; +∞). C. (1; 2). D. (0; 1) và (2; +∞). O 1 2 x Lời giải. 0  Phương pháp: Lập BXD của f (x) và kết luận các khoảng đơn điệu của hàm số.  Cách giải: Ta có BXD của f 0 (x) như sau: x −∞ +∞ 1 2 f 0 (x) − − + 0 0 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 303 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Dựa vào BXD ta có: Hàm số nghịch biến trên (−∞; 1) , (1; 2) và đồng biến trên (2; +∞). Dựa vào đồ thị của hàm số y = f 0 (x) ta thấy f 0 (x) đồng biến trên khoảng (2; +∞) ⇒ y = f (x) đồng biến trên (2; +∞) Chọn đáp án B  Câu 43. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R và đồ thị hàm số y = f 0 (x) trên R như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là đúng? y 2 −1 1 0 x A. Hàm số y = f (x) có 1 điểm cực tiểu và không có cực đại. B. Hàm số y = f (x) có 1 điểm cực đại và không có cực tiểu. C. Hàm số y = f (x) có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu. D. Hàm số y = f (x) có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu. Lời giải. Phương pháp: Dựa vào đồ thị hàm số để xét dấu của hàm số y = f 0 (x) và số nghiệm của phương trình f 0 (x) = 0 để kết luận tính đơn điệu và số điểm cực trị của hàm số y = f (x). Cách giải: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số y = f 0 (x) cắt trục Ox tại 1 điểm qua điểm đó hàm số y = f 0 (x) đổi dấu từ âm sang dương nên điểm đó là điểm cực tiểu của hàm số.  Chọn đáp án A Câu 44. y Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là hàm số liên tục trên R. Đồ thị của hàm số y = f 0 (x) cắt trục hoành tại đúng ba điểm có hoành độ a, b, c như hình vẽ bên. Biết f (a) ≥ 0, hỏi đồ thị hàm số y = f (x) cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm? A. 3. B. 2. C. 0. a b c O x D. 4. Câu 45. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0 (x) = x2 (x2 − 4), x ∈ R. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị. B. Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2. C. Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị. D. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = −2. Câu 46. Biết rằng đồ thị hàm số y = f (x) = ax4 + bx2 + c có hai điểm cực trị A(0; 2) và B(2; −14). Tính f (1). 304 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT A. f (1) = −5. Kỳ thi THQG 2020 C. f (1) = −6. B. f (1) = 5. D. f (1) = −7. Lời giải. A, B thuộc đồ thị hàm số nên có ( c=2 (1) 16a + 4b + c = −14 (2) Ta có f (x) = 4ax + 2bx. B là cực trị của đồ thị nên f 0 (2) = 0 ⇔ 32a + 4b = 0 0 3 (3). Từ (1), (2), (3) tìm được a = 1, b = −8, c = 2. Vậy f (1) = a + b + c = −5.  Chọn đáp án A Câu 47. Giá trị của m nằm trong khoảng nào để đồ thị hàm số y = 2x4 + mx2 + m có ba điểm cực trị và ba điểm này tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. A. (−12; −6). B. (−6; 0). C. (−6; −5). D. (2; 6). Lời giải. 3 2 5 Áp dụng công thức 32a S + b = 0 ta có 32.23 .22 + m5 = 0 ⇔ m5 = −1024 ⇔ m = −4.  Chọn đáp án B 3 Câu 48. Tìm tham số m để các điểm cực trị của hàm số y = trong khoảng (−5; 3). A. −3 < m < 2. B. −2 < m < 2. " Ta có y 0 = x2 − 4mx + 4m2 − 1 = 0 ⇔ x − 2mx2 + (4m2 − 1)x + 1 đều nằm 3 C. −2 < m < 1. D. −3 < m < 1. Lời giải. x = 2m + 1 x = 2m − 1. ( Để các điểm cực trị của hàm số đều nằm trong khoảng (−5; 3) khi và chỉ khi −5 < 2m + 1 < 3 −5 < 2m − 1 < 3. Giải ra ta được −2 < m < 1.  Chọn đáp án C Câu 49. Gọi A, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 + 2. Tính diện tích của tam giác ABC. 1 A. . 2 B. 2. C. √ 3. D. 1. Lời giải.  x = −1  Ta có y 0 = 4x3 − 4x = 0 ⇔  x = 0 x = 1. Vậy ta có A(−1; 1), B(0; 2); C(1; 1) và diện tích tam giác ABC là S = |ycđ − yct |.|xct | = 1.  Chọn đáp án D Câu 50. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − mx + 3 có hai cực trị. A. m = 0. B. m > 0. C. m < 0. D. m 6= 0. Câu 51. Cho đồ thị hàm số y = x3 − 6x2 + 9x − 1 có hai điểm cực trị là A và B. Đường thẳng AB đi qua điểm nào sau đây? A. M (4; 3). B. P (3; 4). C. Q(3; −4). D. N (4; −3). Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 305 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = −2x + 5. Khi đó đường thẳng đi qua N (4; −3).  Chọn đáp án D π Câu 52. Biết rằng hàm số y = a sin 2x + b cos 2x − x (0 < x < π) đạt cực trị tại các điểm x = và 6 π x = . Tính giá trị của biểu thức T = a − b. 2√ √ √ √ 3+1 3−1 . B. . C. 3 − 1. D. 3 + 1. A. 2 2 Lời giải. y 0 = 2a cos 2x − 2b sin 2x − 1. π π Hàm số đạt cực trị tại các điểm x = và x = nên ta có 6 2    1 π  ( √   y 0 a = − =0 3b − 1 = 0 a − 6 √2 . π ⇔ ⇔   0 3 − 2a − 1 = 0 y  =0 b = 2 2 √ 3−1 . Vậy T = a − b = 2 Chọn đáp án B  Câu 53. y Cho hàm số y = f (x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn [−5; 4] và đồ thị hàm số y = f 0 (x) như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số y = f (x) trên đoạn [−5; 4] là A. 3. B. 5. C. 2. D. 4. −5 O 4 x Lời giải. Nhìn hình ta thấy f 0 (x) đổi dấu 2 lần nên có 2 điểm cực trị. Chọn đáp án C  Câu 54. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + m − 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Áp dụng công thức giải nhanh cực trị, ta có:    (   m=1 ab < 0  − 2m < 0 m>0  √ 3 3 ⇔ b − 8a ⇔  −8m − 8 ⇔ 5−1 3  − 8m + 16m − 8 = 0 R = 1 = m= 8 |a| b 8.(−2m) 2 Vậy có 2 giá trị thực m thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn đáp án B 306 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 55. Tìm tất cả các giá trị số m để hàm số y = x3 + 3×2 + mx + m − 2 có cực đại và cực tiểu. A. m > 3. B. m ≥ 3. D. m ≤ 3. C. m < 3. Câu 56. Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 2(m + 1)x2 + m có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đó O là gốc toạ độ, A là điểm cực trị trên trục tung và B, C là hai điểm cực trị còn lại. Tích của tất cả các phần tử trong tập S bằng A. 8. B. −8. D. −4. C. 4. Lời giải. Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi m + 1 > 0 ⇔ m > −1. √ Khi đó ta có A(0; m), BC = 2 m + 1. ” √ m=2+2 2 √ Vậy OA = BC ⇔ |m| = 2 m + 1 ⇔ √ (thoả mãn m > −1). m=2−2 2 ¶ √ √ © Suy ra S = 2 − 2 2; 2 + 2 2 và tích các phần tử trong S bằng −4.  Chọn đáp án D Câu 57. Tìm tất cả các giá trị số m để đồ thị hàm số y = 2x − m đối xứng qua điểm có tọa độ x+m (1; 2). A. m = 2. B. m = 1. C. m = −1. D. m = −2. Lời giải. 2x  Trường hợp m = 0 : hàm số trở thành y = có tập xác định D = R 0, đồ thị không đối xứng x qua điểm (1; 2).  Trường hợp m 6= 0: đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −m, tiệm cận ngang là y = 2. Đồ thị hàm số đối xứng qua điểm I(−m; 2) là giao điểm của hai đường tiệm cận ⇒ −m = 1 ⇔ m = −1. Vậy m = −1.  Chọn đáp án C Câu 58. Tìm m để hàm số y = mx3 + 3×2 + 12x + 2 đạt cực đại tại x = 2. A. m = −2. B. m = −3. D. m = −1. C. m = 0. Lời giải. y 0 = 3mx2 + 6x + 12 và y 00 = 6mx + 6. Hàm ( 0 số đạt cực đại tại x = 2 khi và chỉ khi y (2) = 0 ⇔ m = −2 y 00 (2) < 0  Chọn đáp án A Câu 59. Hàm số y = x3 − 3x2 + mx đạt cực tiểu tại điểm x = 2 khi A. m = 0. B. m < 0. C. m > 0. D. m 6= 0. Câu 60. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0 (x) = −2017(x − 1)(x + 2)3 (x − 3)2 . Hàm số f (x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 307 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  x=1  0 Ta có f 0 (x) = 0 ⇔  x = −2 . Bảng xét dấu của y như sau: x=3 −∞ x y0 −2 − 0 1 + 0 +∞ 3 − − 0  Chọn đáp án B Câu 61. Hàm số y = x − sin 2x + 3 thỏa mãn tính chất nào sau đây π π A. Nhận điểm x = − làm điểm cực tiểu. B. Nhận điểm x = làm điểm cực đại. 6 2 π π D. Nhận điểm x = − làm điểm cực tiểu. C. Nhận điểm x = − làm điểm cực đại. 6 2 Lời giải. Tập xác có y 0 = 1 − 2 cos 2x, y” = 4 sin 2x.  π định D = R.  Ta  π Vì y 0 6= 0 và y 0 − 6= 0 nên loại đáp án B, D. 2  2   π  y 0 − =0 π  6π  Ta có nên hàm số đạt cực đại tại x = − . √  6 y” − = −2 3 < 0 6 Chọn đáp án C  Câu 62. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 2(m − 1)x2 + m4 − 3m2 + 2017 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32. A. m = 2. B. m = 3. C. m = 4. D. m = 5. Lời giải. Hàm số có ba cực trị khi −2(m − 1)" < 0 ⇔ m > 1. x=0 Ta có y 0 = 4×3 − 4(m − 1)x = 0 ⇔ . √ x=± m−1 √ Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(0; m4 − 3m2 + 2017), B( m − 1, −(m − 1)2 + m4 − 3m2 + 2017), √ C(− m − 1, −(m − 1)2 + m4 − 3m2 + 2017). Gọi H là trung điểm của BC, suy ra H(0, −(m − 1)2 + m4 − 3m2 + 2017).
5 √ √ 1 1 Diện tích của tam giác ABC là · AH · BC = (m − 1)2 2 m − 1 = m − 1 = 32. 2 2 Suy ra m = 5.  Chọn đáp án D Câu 63. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y = x = 3. B. m = −1. A. m = 1. 1 3 x − mx2 + (m2 − 4) x + 3 đạt cực đại tại 3 D. m = −7. C. m = 5. Lời giải. 0 2 2 Ta có, y = x − 2mx + (m − 4) y 00 = 2x − 2m ” Để hàm số đạt cực đại tại x = 3 ⇒ y 0 (3) = 0 ⇔ m2 − 6m + 5 = 0 ⇔ m=1 m=5 + Với m = 1 thử vào y (3) = 6 − 2 = 4 > 0 nên m = 1 không thỏa đề bài. 00 308 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 + Với m = 5 thử vào y 00 (3) = 6 − 10 = −4 < 0 nên m = 5 thỏa đề bài. Vậy m = 5 hàm số đạt cực đại tại x = 3.  Chọn đáp án C Câu 64. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R và có f 0 (x) = (x − 1)2017 . (x2 − 1) . (2x + 3)3 . Hàm số y = f (x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 4. C. 2. D. 3. Lời giải.  x=1   f 0 (x) = 0 ⇔  x = −1 . Ta có bảng biến thiên sau:  −3 x= 2 x −∞ y0 −3/2 + −1 − 0 0 +∞ 1 + 0 + +∞ f (−3/2) y −∞ f (−1) Nên hàm số đã cho có hai cực trị.  Chọn đáp án C Câu 65. Biết rằng đồ thị hàm số: y = x4 − 2mx2 + 2 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân. Tính giá trị của biểu thức P = m2 + 2m − 1. A. P = 1. B. P = 3. C. P = 0. D. P = 2. Lời giải. Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi −2m < 0 ⇔ m > 0 √ √ Khi đó, tọa độ ba điểm cực trị lần lượt là: A (0; 2) , B (− m; −m2 + 2) , C ( m; −m2 + 2) # » # » Để A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân khi và chỉ khi AB · AC = 0 ” m=0 ⇔ −m + m4 = 0 ⇔ m=1 Theo điều kiện suy ra m = 1; Vậy P = 2.  Chọn đáp án D Câu 66. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0 (x) = x2 (x − 1)(x2 − 4). Số điểm cực trị của hàm số y = f (x) là: A. 4. B. 1. C. 2. Lời giải. D. 3.  x=0  Ta có: f 0 (x) = 0 ⇔  x = 1 . x = ±2 Mà x = 0 là nghiệm kép nên f 0 (x) không đổi dấu qua x = 0. ⇒ Hàm số y = f (x) có 3 điểm cực trị. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 309 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Chọn đáp án D Câu 67. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − 3×2 + mx đạt cực tiểu tại x = 2? B. m 6= 0. A. m = 0. C. m > 0. D. m < 0. Lời giải. 0 2 00 Ta có: y = 3x − 6x + m; y = 6x − 6. Điều kiện cần: Hàm số đã cho đạt cực tiểu x = 2 ⇒ y 0 (2) = 0 ⇒ m = 0. Điều kiện đủ: Với m = 0 ta có: y 0 (2) = 0; y 00 (2) = 6 > 0 ⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Vậy m = 0.  Chọn đáp án A Câu 68. Cho hàm số f (x) = sin x − cos x + 2x. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số y = f (x) đồng biến trên R. B. Hàm số y = f (x) là hàm số lẻ trên R.  π . C. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên (−∞; 0). D. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên 0; 2 Lời giải. Ta có: f 0 (x) = cos x + sin x + 2 ≥ 0 ∀x ∈ R. Dấu “=” xảy ra ⇔ sin x + cos x = −2 ⇒ sin x = cos x = −1 (vô nghiệm). Do đó: f 0 (x) > 0 ∀x ∈ R. ⇒ Hàm số y = f (x) đồng biến trên R.  Chọn đáp án A Câu 69. Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các số thực và a 6= 0 có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. Lời giải. Ta có: y 0 = 3ax2 + 2bx + c. Phương trình y 0 = 0 là phương trình bậc 2 ⇒ Có tối đa 2 nghiệm. ⇒ Hàm số đã cho có tối đa 2 điểm cực trị.  Chọn đáp án C Câu 70. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = x3 + 3×2 − 9m2 x − 1 đạt cực tiểu tại x = 1. A. m = 1. B. m = −1. C. m = 0. D. m = ±1. Lời giải. ( 0 y (1) = 0 Để hàm số đạt cực tiểu tại x0 = 1 ⇒ ⇒ m = ±1. y 00 (1) > 0  Chọn đáp án D Câu 71. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = −x4 − (m − 1)x2 + 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. √ √ A. m = 1 − 2 3 3. B. m = 1 + 2 3 3. C. m = 1. √ D. m = 1 ± 2 3 3. Câu 72. 310 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 −∞ Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có bảng biến x thiên như hình bên. Trong các khẳng định dưới đây, 0 y khẳng định nào sai? A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2. 0 − 0 +∞ 2 + +∞ 0 − 1 y − B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 1. 1 3 −∞ C. Hàm số có hai điểm cực trị. 1 D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = − . 3 Câu 73. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = cực trị x1 , x2 thỏa mãn x21 + x22 − 3×1 x2 = 12. √ A. m = ±4 2. B. m = 8. √ C. m = ±2 2. 1 3 x − mx2 + 4x − 1 có hai điểm 3 D. m = 0. Lời giải. ” Có y 0 = x2 − 2mx + 4 ⇒ để có 2 cực trị thì m2 − 4 > 0 ⇒ m < −2 . m>2 Theo định lí vi-ét ta có √ 0 ⇔ m = ±2 2. ( x1 + x2 = 2m x1 .x2 = 4 ⇒ x21 + x22 − 3×1 x2 = 12 ⇔ (x1 + x2 )2 − 5×1 x2 = 12 ⇒ m2 − 8 =  Chọn đáp án C Câu 74. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có f 0 (x) = x2 (x2 − 4)(x2 − 3x + 2)(x − 3). Hàm số có tất cả bao nhiêu điểm cực đại? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 75. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + 3x − 2. Tìm các giá trị của a và b, biết hàm số đạt cực trị tại x = 3 và y(3) = −2. 1 2 1 B. a = , b = −2. C. a = 3, b = −2. D. a = 1, b = − . A. a = , b = 2. 4 3 3 Lời giải. Ta có y 0 = 3ax2 + 2bx + 3. Yêu cầu bài  toán thỏa mãn khi: ( ( 0 a = 1 27a + 6b = −3 y (3) = 0 3 ⇔ ⇔  y(3) = −2 27a + 9b = −9 b = −2.  Chọn đáp án B Câu 76. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = (2m + 1)x − m + 3 vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 − 3×2 + 1. 1 3 1 3 A. m = − . B. m = . C. m = − . D. m = . 2 2 4 4 Lời giải. 1 Ta có: y 0 = 3×2 − 6x. Khi đó y = (x − 1) · y 0 − 2x + 1. 3 Do đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 − 3×2 + 1 là y = −2x + 1. Đường thẳng y = (2m + 1)x − m + 3 vuông góc với đường thẳng y = −2x + 1 khi: 1 −2(2m + 1) = −1 ⇔ m = − . 4 Chọn đáp án C CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ  311 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 1 Câu 77. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 − mx2 + (m2 − m + 1)x + 1 đạt cực đại 3 tại điểm x = 1. A. m = 2. B. m = 3. C. m = 1. D. m = −2. Lời giải. 0 2 2 Ta có: y = x − 2mx + m − m + 1. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 thì y 0 (1) = 0 ⇔ m2 − 3m + 2 = 0 ⇔ ” m=1 m = 2. Thử lại ta nhận m = 2.  Chọn đáp án A Câu 78. Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c có điểm cực tiểu là (0; 3) và điểm cực đại là (1; 5). Khi đó tổng S = a + 2b + c bằng A. 3. B. 9. C. 12. D. 6. x+1 có tiệm cận Câu 79. Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị của hàm số y = √ mx2 + 2017 ngang? A. m < 0. B. Đáp án khác. C. m > 0. D. m = 0. Câu 80. Cho hàm số y = x3 + (m − 1)x2 + (m + 2)x − m. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1. A. m = −1. C. m < −2. B. m = 0. D. m ∈ ∅. Câu 81. Đồ thị hàm số y = x3 − 3x + 1 có hai điểm cực trị A, B. Viết phương trình đường thẳng AB. A. y = −2x + 1. B. y = −x + 2. C. y = x − 2. D. y = 2x − 1. Câu 82. Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 6x đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 . Tính S = x21 + x22 . A. −8. B. −10. C. 8. D. 10. 1 Câu 83. Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 + (m + 3)x2 + 4(m + 3)x + m3 − m 3 đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn −1 < x1 < x2 . " m < −3 7 7 B. −3 < m < 1. C. − < m < −2. D. . A. − < m < −3. 2 2 m>1 Câu 84. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 4m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4, với O là gốc tọa độ. A. m = −1; m = 1. C. m 6= 0. B. m = 1. 1 1 D. m = − √ ,m = √ . 4 4 2 2 Lời giải. y 0 = 3×2 −” 6mx = 3x(x − 2m) x=0 y0 = 0 ⇔ x = 2m Để hàm số có hai cực trị thì m 6= 0 . Với điều kiện m 6= 0, thì hàm số có hai cực trị A(0; 4m3 ) và B(2m; 0). 1 S4OAB = .|4m3 |.|2m| = 4 ⇔ m4 = 1 ⇔ m = −1; m = 1. 2 Chọn đáp án A 312 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 85. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0 (x) = x2 (x2 − 4)(x − 5)4 , x ∈ R. Hàm số có mấy điểm cực trị? A. 4. B. 3. C. 2. D. 5. Lời giải. Với mọi x ∈ R, ta có x2 ≥ 0 và (x − 5)4 ≥. Do đó f 0 (x) chỉ đổi dấu khi đi qua hai nghiệm của x2 − 4. Suy ra hàm số đã cho có hai điểm cực trị.  Chọn đáp án C Câu 86. Gọi m0 là giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 + 2mx2 + 4 có 3 điểm cực trị nằm trên các trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây đúng? A. m0 ∈ (1; 3). Å ã 3 B. m0 ∈ (−5; −3). C. m0 ∈ − ; 0 . 2 Lời giải. Å ã 3 D. m0 ∈ −3; − . 2 Ta có y 0 = 4×3 + 4mx, y 0 = 0 ⇔ 4×2 (x2 + m) = 0. Để hàm số có 3 cực trị thì phương trình x2 + m = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0, tức là m < 0. √ √ Khi đó, đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là A(0; 4), B(− −m; m2 − 4), C( −m; m2 − 4). Nhận thấy rằng đồ thị hàm số luôn có điểm cực đại A(0; 4) thuộc Oy nên đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thuộc các trục tọa độ khi và chỉ khi B, C ∈ Ox, tức là m2 − 4 = 0 ⇔ m = ±2. Vì m < 0 nên m = −2.  Chọn đáp án D Câu 87. Đồ thị hàm số y = |x3 + 3x2 | có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 3. C. 0. D. 2. Câu 88. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y = x4 + 2 (m + 2) x2 − 4 (m + 3) x + 1 có ba điểm cực trị. 13 A. m > − . 4 Å ã 11 C. m ∈ (−∞; −5) ∪ −5; − . 4 13 . 4 11 D. m < − . 4 Lời giải. B. m < Ta có y 0 = 4x3 + (4m + 8) x − 4m − 12 và y 0 = 0 ⇔ (x − 1) .4. (x2 + x + m + 3) = 0. Để hàm số có 3 cực trị thì phương trình x2 + x + m + 3 = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1, tức là m 6= −5 và ∆ = 1 − 4 (m + 3) > 0. 11 Vậy m 6= −5 và m < − . 4 Chọn đáp án C  Câu 89. Đồ thị của hàm số y = −x3 + 3x2 + 5 có hai điểm cực trị A và B. Tính diện tích S của tam giác OAB với O là gốc tọa độ. A. S = 10. B. S = 10 . 3 C. S = 9. D. S = 5. Lời giải. Ta có: y 0 = −3x2 + 6x. y 0 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2. Từ đó tìm được tọa độ hai điểm cực trị là A(0; 5), B(2; 9). Ta có O, A ∈ Oy nên cạnh OA của tam giác nằm trên trục Oy. 1 Do đó d(B, OA) = d(B, Oy) = |xB | = 2 ⇒ SOAB = .d(B, Oy).OA = 5. 2 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 313 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Chọn đáp án D Câu 90. Tính khoảng cách d giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 2. √ √ √ A. d = 2 5. B. d = 4. C. d = 10. D. d = 2 2. Câu 91. Cho hàm số y = x3 − 3x2 + m − 1. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để khoảng √ cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ bằng 5. ¶ √ © B. m ∈ {4; 6}. A. m ∈ 4; 1 − 5 . ¶ ¶ √ √ © √ © C. m ∈ 1 − 5; 1 + 5 . D. m ∈ 6; 1 + 5 . Câu 92. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = mx4 + (m2 − 1) x2 + 2 có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu?    m < −1  . A.     m>0 B. m < −1. C. m > 1. D. m < 1. Câu 93. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f 0 (x) = x.(x + 1)2 .(x + 2)3 .(x + 3)2017 . Tìm số điểm cực trị của hàm số f (x). A. 3. B. 1. C. 3. D. 4. Lời giải. Ta có: f 0 (x) = 0 ⇔ x = 0, x = −1, x = −2, x = −3. Lập bảng biến thiên ta có f 0 (x) đổi dấu qua x = 0, x = −2, x = −3. Suy ra hàm số có 3 điểm cực trị.  Chọn đáp án A 1 Câu 94. Cho hàm số y = 4x + (1). Gọi y1 , y2 lần lượt là giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm x số (1). Tính P = y1 + 2y2 . 1 1 A. P = −4. B. P = 4. C. P = − . D. P = . 2 2 Lời giải. 1 1 Ta có: y 0 = 4 − 2 = 0 ⇔ x = ± ⇔ yCT = 4, yCĐ = −4 ⇒ P = −4. x 2 Chọn đáp án A  Câu 95. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = −x4 + 2(m − 1)x2 − m + 7 có ba điểm cực trị. A. m > 1. B. m ≥ 1. C. m < 1. D. m ≤ 1. Lời giải. Ta có: y 0 = −4x3 + 4(m − 1)x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x2 = m − 1 > 0 ⇔ m > 1. Chọn đáp án A  Câu 96. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0 (x) có đồ thị như hình bên. 314 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y Số điểm cực trị của hàm số y = f (x) là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. x O Câu 97. Cho hàm số y = f (x). Hình vẽ bên là đồ thị hàm số f 0 (x). Tìm số điểm cực y 4 trị của hàm số g(x) = f (x) − 2x. A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. 2 O −1 x 1 Lời giải. y Ta có đồ thị hàm số g 0 (x) = f 0 (x) − 2 thu được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số f 0 (x) xuống dưới hai đơn vị. Từ đồ thị hàm số g 0 (x) ta thấy g 0 (x) có ba nghiệm phân biệt và đều đổi dấu x qua các nghiệm đó nên hàm số g(x) có ba điểm cực trị. O  Chọn đáp án A 1 3 x + mx2 + (m2 + m + 1)x + 1 (m là tham số). Với giá trị nào của tham 3 số m hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1? A. m = −1, m = −2. B. Không tồn tại m. Câu 98. Cho hàm số y = C. m = −2. D. m = 1, −1 < m < 1. Lời (giải. ( 0 y (1) = 0 m2 + 3m + 2 = 0 Hàm số đạt cực đại tại x = 1 khi ⇒ ⇒ m = −2. y 00 (1) < 0 2m + 2 < 0  Chọn đáp án C Câu 99. Cho hàm số y = x5 − 2x4 + x3 − 1. Số điểm cực trị của hàm số là A. 2. B. 0. C. 1. D. 4. Câu 100. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên R, có đạo hàm f 0 (x). Biết đồ y 1 0 thị hàm số f (x) như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f (x) + x là −1 A. 2. B. 3. C. 0. 1 D. 1. 2 x O −1 −2 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 315 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải.  x=0  Ta có: g 0 (x) = f 0 (x) + 1; g 0 (x) = 0 ⇔ f 0 (x) = −1 ⇔  x = 1 . x=2 Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên sau: x y0 −∞ − 0 0 − 1 0 + 2 0 +∞ − g(2) y g(1) Kết luận: Số điểm cực trị của hàm số g(x) là 2. Chọn đáp án A 316 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ĐÁP ÁN 1. C 11. D 2. B 12. D 3. A 13. B 4. B 14. B 5. B 15. D 6. D 16. D 7. C 17. C 8. D 18. B 9. B 19. D 10. B 20. C 21. A 22. C 23. B 24. B 25. A 26. B 27. D 28. B 29. D 30. C 31. C 32. D 33. C 34. D 35. C 36. A 37. A 38. B 39. B 40. A 41. A 51. D 42. B 52. B 43. A 53. C 44. B 54. B 45. A 55. C 46. A 56. D 47. B 57. C 48. C 58. A 49. D 59. A 50. B 60. B 61. C 62. D 63. C 64. C 65. D 66. D 67. A 68. A 69. C 70. D 71. A 72. D 73. C 74. B 75. B 76. C 77. A 78. B 79. C 80. D 81. A 91. B 82. C 92. B 83. A 93. A 84. A 94. A 85. C 95. A 86. D 96. C 87. B 97. A 88. C 98. C 89. D 99. A 90. A 100. A CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 317 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 4 Mức độ vận dụng cao √ Câu 1. Cho phương trình x3 − 3x2 − 2x + m − 3 + 2 3 2x3 + 3x + m = 0. Tập S là tập hợp các giá trị của m nguyên để phương trình có ba nghiệm phân biệt. Tính tổng các phần tử của S. A. 15. B. 9. C. 0. D. 3. Lời giải. √ Ta có: x3 −3x2 −2x+m−3+2 2x3 + 3x + m = 0 ⇔ (2x3 +3x+m)+2 3 2x3 + 3x + m = x3 +3x2 +5x+3 √ ⇔ (2x3 + 3x + m) + 2 3 2x3 + 3x + m = (x + 1)3 + 2(x + 1) (1) √ 3 Xét hàm số f (t) = t3 + 2t, TXĐ: D = R có f 0 (t) = 3t2 + 2 > 0, ∀t ∈ R ⇒ y = f (t) đồng biến trên R. Ä√ ä √ Do đó: (1) ⇔ f 3 2×3 + 3x + m = f (x + 1) ⇔ 3 2×3 + 3x + m = x + 1 ⇔ m = −x3 + 3×2 + 1 (2). ” x=0 Xét hàm số g(x) = −x3 + 3×2 + 1, ∀x ∈ R, ta có: g 0 (x) = −3×2 + 6x, g 0 (x) = 0 ⇔ x=2 Bảng biến thiên: x −∞ g (x) 0 − 0 0 + +∞ 2 0 +∞ − 5 g(x) −∞ 1 Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt ⇔ 1 < m < 5. X Do m ∈ Z ⇒ m ∈ S = {2; 3; 4} ⇒ m = 2 + 3 + 4 = 9.  Chọn đáp án B Câu 2. Cho hàm số y = |x3 − mx + 1|. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên m sao cho hàm số đồng biến trên [1; +∞). Tìm số phân tử của S. A. 3. B. 10. C. 1. D. 9. Lời giải. Cách giải: Xét hàm số y = f (x) = x3 − mx + 1, f 0 (x) = 3x2 − m. Nhận xét: Đồ thị hàm số y = |f (x)| = |x3 − mx + 1| được dựng từ đồ thị hàm số y = f (x) bằng cách giữ lại phần đồ thị hàm số phái trên trục Ox và lấy đối xứng phần phái dưới Ox qua trục Ox (xóa bỏ phần đồ thị của y = f (x) nằm phái dưới Ox). TH1: Với m = 0 ta có hàm số y = f (x) = x3 + 1 đồng biến trên R. Có f (1) = 2 > 0 ⇒ Hàm số y = |f (x)| = |x3 − mx + 1| đồng biến trên [1; +∞). ⇒ m = 0: thỏa mãn. TH2: Với m > 0 ta có: f 0 (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 (x1 < x2 ). Bảng biến thiên 318 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x x1 −∞ y0 + 0 x2 − +∞ + 0 +∞ f (x1 ) y f (x2 ) −∞ Để hàm số y = |x3 − mx + 1| đồng biến trên [1; +∞) thì    m>0   x1 < x2 ≤ 1    f (1) ≥ 0   m > 0   m ⇔ − +1≥0  3   2 − m ≥ 0 ⇔ 0 < m ≤ 2. Mà m ∈ N ⇒ m ∈ {1; 2}. Vậy, S = {0; 1; 2}. Số phần tử của S là 3.  Chọn đáp án A Câu 3. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đạo hàm f 0 (x) = x2 (x − 2)(x2 − 6x + m) với mọi x ∈ R. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [−2019; 2019] để hàm số g(x) = f (1 − x) nghịch biến trên khoảng (−∞; −1)? A. 2010. B. 2012. C. 2011. D. 2009. Lời giải. Ta có   g 0 (x) = −f 0 (1 − x) = −(1 − x)2 (1 − x − 2) (1 − x)2 − 6(1 − x) + m = −(x − 1)2 (−1 − x)(x2 + 4x + m − 5) = (x − 1)2 (x + 1)(x2 + 4x + m − 5). Hàm số g(x) nghịch biến trên (−∞; −1) ⇔ g 0 (x) ≤ 0 với mọi x ∈ (−∞; −1) ⇔ (x + 1)(x2 + 4x + m − 5) ≤ 0 với mọi x ∈ (−∞; −1) ⇔ x2 + 4x + m − 5 ≥ 0 với mọi x ∈ (−∞; −1) (Do x ∈ (−∞; −1) ⇒ x + 1 < 0) ⇔ h(x) = x2 + 4x − 5 ≥ −m với mọi x ∈ (−∞; −1) ⇔ −m ≤ min h(x). x∈(−∞;−1] Ta có h0 (x) = 2x + 4, h0 (x) = 0 ⇔ x = −2. Bảng biến thiên của hàm số h(x) như sau x −∞ h0 (x) +∞ 0 − 0 + h(x) −9 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 319 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Do đó −m ≤ −9 ⇔ m ≥ 9. Mặt khác m ∈ [−2019; 2019] và m nguyên nên m ∈ {9; 10; 11; · · · ; 2019} hay có 2019 − 9 + 1 = 2011 giá trị của m thỏa mãn.  Chọn đáp án C Câu 4. Cho hàm số f (x) = x3 + ax2 + bx + c. Nếu phương trình f (x) = 0 có ba nghiệm phân biệt thì phương trình 2f (x) · f 00 (x) = [f 0 (x)]2 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm? A. 1 nghiệm. B. 4 nghiệm. C. 3 nghiệm. D. 2 nghiệm. Lời giải. Xét đa thức bậc 4 g(x) = 2f (x)f 00 (x) − (f 0 (x)0 )2 . Ta có g 0 (x) = 2f (x)f 000 (x) = 12f (x). Vì g(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt nên g(x) = 0 có tối đa bốn nghiệm. Vậy phương trình 2f (x)f 00 (x) = [f 0 (x)]2 có tối đa bốn nghiệm. Giả sử x1 < x2 < x3 là ba nghiệm của f (x) = 0. Mà các nghiệm này đều phân biệt nên ta có f 0 (x1 ), f 0 (x2 ), f 0 (x3 ) đều khác 0. Ta có x g (x) −∞ 0 − x1 0 + +∞ g(x) x2 0 − x3 0 +∞ + +∞ g(x2 ) g(x1 ) g(x3 ) Nhận thấy: 2 2 2 2 2 2 g(x1 ) = 2f (x1 )f 00 (x1 ) − (f 0 (x1 )) = − (f 0 (x1 )) < 0 g(x2 ) = 2f (x2 )f 00 (x2 ) − (f 0 (x2 )) = − (f 0 (x2 )) < 0 g(x3 ) = 2f (x3 )f 00 (x3 ) − (f 0 (x3 )) = − (f 0 (x3 )) < 0 Nên từ bảng biến thiên suy ra phương trình g(x) = 0 có đúng hai nghiệm phân biệt. Do đó phương trình 2f (x)f 00 (x) = [f 0 (x)]2 có đúng hai nghiệm phân biệt.  Chọn đáp án B Câu 5. y 4 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f 0 (x) được cho như hình vẽ bên. Hàm số g (x) = f (2x4 − 1) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? Å ã 3 B. 1; . 2 A. (1; +∞). Å C. (−∞; −1). D. f 0 (x) ã 1 ;1 . 2 −1 O 3 x Lời giải. 0 3 0 4 Ta có g (x) = 8x · f (2x − 1) TH1: x ≥ 0. Để hàm số g (x) đồng biến thì 320 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 f 0 (2x4 − 1) ≥ 0 ⇔ −1 ≤ 2x4 − 1 ≤ 3 ⇔ 0 ≤ x4 ≤ 2 ⇔ 0 ≤ x2 ≤ î √ ó √ ⇒ 0 ≤ x ≤ 4 2 ⇔ x ∈ 0; 4 2 . √ √ √ 2⇔−42≤x≤ 42 TH2: x < 0. Để hàm số g (x) đồng thì " biến " " √ 4 4 2x − 1 ≤ −1 x ≥ 2 x = 0(L) 0 4 ⇔ f (2x − 1) ≤ 0 ⇔ ⇔ √ √ 4 2x4 − 1 ≥ 3 x ≤ − 2. x2 ≥ 2 Ä ó √ √ So sánh với điều kiệnx < 0 ⇒ x ≤ − 4 2 ⇔ x ∈ −∞; − 4 2 . î √ ó Ä √ ó Vậy hàm số g (x) đồng biến trên 0; 4 2 và −∞; − 4 2 .  Chọn đáp án D −x Câu 6. Tìm tất cả các giá trị khác nhau của tham số m để hàm số y = 5 +2 đồng biến trên 5−x − m (−∞; 0). A. m < −2. B. m ≤ −2. C. −2 < m ≤ 1. Lời giải. D. −2 < m < 1. ĐK: 5−x 6= m. Đặt t = 5−x là hàm nghịch biến trên (−∞; 0) (1), suy ra t ∈ (1; +∞). t+2 0 −m − 2 Xét hàm số y = f (t) = , f (t) = . t−m (t − m)2 t+2 5−x + 2 đồng biến trên (−∞; 0) thì hàm số f (t) = nghịch biến trên Do (1), để hàm số y = −x 5 −m t−m (1; +∞) ( ( m > −2 − m − 2 < 0 ⇔ ⇔ −2 < m ≤ 1. ⇔ f 0 (t) < 0, ∀t ∈ (1; +∞) ⇔ m∈ / (1, +∞) m≤1  Chọn đáp án C Câu 7. Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu của đạo hàm như bên dưới x f 0 (x) −∞ −1 + 0 1 − 0 2 + 0 +∞ 5 + 0 Hàm số y = 3f (x + 3) − x3 + 12x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−1; 0). B. (0; 2). C. (−∞; −1). − D. (2; +∞). Lời giải. Ta có: y 0 = 3.f 0 (x + 3) − 3x2 + 12. Đặt t = x + 3 ⇒ x = t − 3 ta có y 0 = 3f 0 (t) − 3 (t − 3)2 + 12 = 3f 0 (t) − 3t2 + 18t − 15. Để hàm số nghịch ( biến thì y 0 < 0 ⇔ 3.f(0 (t) − 3t2 + 18t − 15 < 0 "⇔ f 0 (t) < t2 − 6t + 5. f 0 (t) < 0 −15 −1 0 t<1∨t>5 t > 5. ” ” ” −15 x+3>5 x > 2. 3 Vậy hàm số y = 3f (x + 3) − x + 12x nghịch biến trên (−4; 2) và (2; +∞).  Chọn đáp án D 1 Câu 8. Cho hai hàm số f (x) = x3 − (m + 1)x2 + (3m2 + 4m + 5)x + 2019 và g(x) = (m2 + 2m + 5)x3 − 3 (2m2 + 4m + 9)x2 − 3x + 2 (với m là tham số). Hỏi phương trình g(f (x)) = 0 có bao nhiêu nghiệm? CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 321 Tuyển tập Toán 12 THPT A. 9. Kỳ thi THQG 2020 B. 0. C. 3. D. 1. Lời giải. Ta có
g(x) = 0 ⇔ (x − 2) (m2 + 2m + 5)x2 + x − 1 = 0        =2  x ⇔      2 2   (m + 2m + 5)x + x − 1 = 0 (∗) Phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt khác 2 với ∀m vì Vậy g(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt        m2 + 2m + 5        > 0, ∀m ∆ = 1 + (m2 + 2m + 5) > 0, ∀m            2 2   (m + 2m + 5).2 + 2 − 1 6= 0, ∀m (1). Mặt khác, xét hàm số y = f (x) ta có : f 0 (x) = x2 − 2(m + 1)x + (3m2 + 4m + 5) = (x − (m + 1))2 + 2(m2 + m + 2) > 0∀m ⇒ y = f (x) luôn đồng biến trên R với ∀m Do y = f (x) là hàm đa thức bậc 3 và đồng biến trên nên phương trình f (x) = k luôn có 1 nghiệm duy nhất với mỗi số k ∈ R (2) Từ (1) và (2) suy ra phương trình g(f (x)) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.  Chọn đáp án C Câu 9. Cho hệ phương trình  2x−y − 2y + x = 2y 2x + 1 = (m2 + 2) .2y .p1 − y 2 (1), m là tham số. Gọi S là tập các giá trị nguyên để hệ (1) có một nghiệm duy nhất. Tập S có bao nhiêu phần tử? A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. Lời giải. Phương pháp: + Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ để đưa về dạng f (u) = f (v) mà f là hàm đơn điệu nên suy ra u = v. Từ đó ta tìm được mối liên hệ giữa x và y. + Thay vào phương trình thứ hai ta được phương trình ẩn y. Lập luận phương trình này có nghiệm duy nhất thì hệ ban đầu sẽ có nghiệm duy nhất. + Biến đổi để chỉ ra nếu y0 là nghiệm thì −y0 cùng là nghiệm của phương trình ẩn y, từ đó suy ra 322 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y0 = 0. Thay vào phương trình để tìm m. + Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để thử lại m. Cách giải: Điều kiện 1 − y 2 ≥ 0 ⇔ y ∈ [−1; 1]. + Xét phương trình 2x−y − 2y + x = 2y ⇔ 2x−y + x − y = 2y + y. Xét hàm số f (t) = 2t + t ⇒ f 0 (t) = 2t · ln 2 + 1 > 0; ∀t nên hàm số f (t) đồng biến trên R. Từ đó 2x−y + x − y = 2y + y ⇒ f (x − y) = f (y) ⇔ x − y = y ⇔ x = 2y. p + Thay x = 2y vào phương trình 2x + 1 = (m2 + 2) · 2y · 1 − y 2 , ta được p p

22y + 1 = m2 + 2 · 2y · 1 − y 2 ⇔ 4y + 1 = m2 + 2 · 2y · 1 − y 2 (∗) Để hệ phương trình (1) có một nghiệm duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất y ∈ [−1; 1] Giả sử y0 ∈ [−1; 1] là một nghiệm của phương trình (*) thì ta có
4y0 + 1 = m2 + 2 · 2y0 · sqrt1 − y02 (∗∗) » Xét với −y0 ta có 4−y0 + 1 = (m2 + 2) · 2−y0 · 1 − (−y0 )2 1 p 1 ⇔ y0 + 1 = (m2 + 2) y0 1 − y02 4 2 p ⇔ 4y0 + 1 = (m2 + 2) · 2y0 · 1 − y02 (đúng do (**) hay −y0 cũng là nghiệm của phương trình (*). Do vậy để (*) có nghiệm duy nhất thì y0 = −y0 ⇔ y0 = 0. √ Thay y = 0 vào (*) ta được 40 + 1 = (m2 + 2) · 20 1 − 02 ⇔ m2 + 2 = 2 ⇔ m = 0. p p 1 Thử lại: Thay m = 0 vào (*) ta được 4y + 1 = 2 · 2y 1 − y 2 ⇔ 2y + y = 2 1 − y 2 (***) 2 1 Cô-si √ y 1 y Nhận thấy rằng vế trái (***) = 2 + y ≥ 2 2 · y ⇔ V T (∗ ∗ ∗) ≥ 2. 2 2 1 y Dấu “=” xảy ra ⇔ 2 = y ⇔ y = 0 2 p Và V P (∗ ∗ ∗) = 2 1 − y 2 ≤ 2 ⇔ V P (∗ ∗ ∗) = 2 ⇔ y = 0. Vậy phương trình (***) có nghiệm duy nhất y = 0. Kết luận: Với m = 0 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất nên tập S có một phần tử. Chú ý: Các em có thể làm bước thử lại như sau: Thay m = 0 vào (*) ta được Ä ä2 p p p 4y + 1 = 2.2y 1 − y 2 ⇔ (2y )2 − 2.2y 1 − y 2 + 1 − y 2 + y 2 = 0 ⇔ 2y − 1 − y 2 + y 2 = 0   p 2y − 1 − y 2 = 0 20 − √1 − 0 = 0 ⇔ ⇔ ⇔ y = 0. y = 0 y 2 = 0  Chọn đáp án B Câu 10. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 323 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y 2 Cho hai hàm số y = f (x), y = g(x) liên tục và có đạo hàm trên R và có đồ thị lần lượt là (C1 ) , (C2 ) như hình vẽ bên. (C1 ) 1 Hàm số y = f (x).g(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−∞; 0). B. (4; 5). C. (2; 3). (C2 ) −2 D. (0; 1). −1 O −1 1 2 4 5 x −2 Lời giải. y 2 (C2 ) 1 (C1 ) f (x2 ) f (x1 ) −2 −1 O 1 2x1x2 3 4 5x −1 −2 g(x1 ) g(x2 ) −3 Ta xét khoảng (2; 3), với mọi x1 , x2 ∈ (2; 3), x1 < x2 ta có:    0 < f (x ) < f (x )  0 < f (x ) < f (x ) 1 2 1 2 ⇒  0 > g (x ) > g (x )  0 < −g (x ) < −g (x ) . 1 2 1 2 ⇒ f (x1 ) . [−g (x1 )] < f (x2 ) . [−g (x2 )] ⇒ f (x1 ) .g (x1 ) > f (x2 ) .g (x2 ) . ⇒ y (x1 ) > y (x2 ) . Hay hàm số nghịch biến trên (2; 3). Chọn đáp án C  Câu 11. Cho hàm số f (x) = x3 + ax2 + bx − 2 thỏa mãn ( a+b>1 . Số điểm cực trị của hàm 3 + 2a + b < 0 số y = |f (|x|)| là A. 9. B. 11. C. 2. D. 5. Lời giải. y y O 2 1 x −2 2 O 324 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 1 2 x Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Dễ thấy f (0) = −2 < 0, f (1) = a + b − 1 > 0, f (2) = 2(2a + b + 3) < 0 và lim = +∞ nên phương x→+∞ trình f (x) = 0 có ba nghiệm phân biệt lần lượt thuộc các khoảng (0; 1), (1; 2), (2; +∞). Do đó, đồ thị hàm số f (x) có hai điểm cực trị, một điểm nằm trên trục hoành một điểm nằm dưới trục hoành (xem hình vẽ). Từ đó, hàm số y = |f (|x|)| có tất cả 11 điểm cực trị.  Chọn đáp án B Câu 12. Tìm các mối liên hệ giữa các tham số a và b sao cho hàm số y = f (x) = 2x + a sin x + b cos x luôn tăng trên R? 1 1 A. + = 1. a b √ 1+ 2 B. a + 2b ≥ . C. a2 + b2 ≤ 4. 3 Lời giải. √ D. a + 2b = 2 3. Ta có y 0 = f 0 (x) = 2 + a cos x − b sin x. Hàm số đã cho đồng biến trên R khi chỉ khi y 0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ 2 + a cos x + b sin x ≥ 0, ∀x ∈ R (∗) √ a b Mà 2 + a cos x + b sin x ≥ 2 − a2 + b2 , ∀x ∈ R (dấu “=” xảy ra khi = < 0). cos x sin x √ Do đó min f 0 (x) = 2 − a2 + b2 . R √ Suy ra (∗) ⇔ 2 − a2 + b2 ≥ 0 ⇔ a2 + b2 ≤ 4.  Chọn đáp án C Câu 13. y Cho hàm số f (x) liên tục trên R, hàm số y = f 0 (x) có đồ thị như hình vẽ. Xét hàm số h(x) = 2f (3x + 1) − 9x2 − 6x + 4. Hãy chọn khẳng định y = f 0 (x) đúng. 4 A. Hàm số h(x) nghịch biến trên R. ã Å 1 . B. Hàm số h(x) nghịch biến trên −1; 3 Å ã 1 C. Hàm số h(x) đồng biến trên −1; . 3 D. Hàm số h(x) đồng biến trên R. 2 −2 2 O 4 x −2 Lời giải. Ta có h0 (x) = 6f 0 (3x + 1) − 6(3x + 1). Xét bất phương trình y y = f 0 (x) h0 (x) > 0 ⇔ 6f 0 (3x + 1) − 6(3x + 1) > 0 ⇔ f 0 (3x + 1) > 3x + 1 (∗). Quan sát hình vẽ ta thấy: Xét trên khoảng (−2; 4) thì f 0 (x) > x ⇔ −2 < x < 2. 1 Do đó (∗) ⇔ −2 < 3x + 1 < 2 ⇔ −1 < x < . Å ã 3 1 Vậy hàm số h(x) đồng biến trên −1; . 3 y=x 4 Từ đồ thị trên ta vẽ thêm đường thẳng y = x. 2 −2 2 O 4 −2  Chọn đáp án C CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ x 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 325 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 14. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị của hàm số y y = f 0 (x) cắt Ox tại điểm (2; 0) như hình vẽ. Hàm số y = f (x) đồng biến 4 trên khoảng nào sau đây? A. (−1; +∞). B. (−∞; 0). D. (−∞; −1). C. (−2; 0). 2 −1 O 1 x 2 Lời giải. " Tập xác định của hàm số y = f (x) là D = R. Từ đồ thị đã cho ta có: f 0 (x) = 0 ⇔ x = −1 . x=2 Bảng biến thiên. x −∞ y0 − −1 0 + 2 0 +∞ + +∞ +∞ y Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f (x) ta nhận thấy hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (−1; +∞).  Chọn đáp án A Câu 15. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y y = f 0 (x) như hình bên. Hàm số g(x) = f (−2x+1)+(x+1)(−2x+4) 5 đồng biến khoảng nào dưới đây? Å trên ã 1 A. −2; − . B. (−∞; −2). 2 ã Å Å ã 1 1 C. − ; +∞ . D. − ; 2 . 2 2 2 −3 x O 2 5 −3 Lời giải. 326 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ta có g 0 (x) = −2f 0 (−2x + 1) − 4x + 2 nên y g 0 (x) > 0 ⇔ f 0 (−2x + 1) < −2x + 1 ⇔ f 0 (t) < t. 5 Xét hàm số y = f 0 (t) có đồ thị như hình vẽ và đường thẳng y = t.  t = −3  Ta có f 0 (t) = t ⇔  t = 2 t = 5. " 2 0 ⇔ ⇔ − 2x + 1 < −3 x > 2. y=t 2 −3 x O 2 5 −3  Chọn đáp án A y Câu 16. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f 0 (x) như hình bên. x2 Hàm số y = f (1 − x) + − x nghịch biến trên khoảng nào dưới 2 đây? 3 −1 −3 O 1 3 2 3 x − 12 −1 −3 −5 ; A. (−3; 1). B. (−2; 0). ã Å 3 . D. −1; 2 C. (1; 3). Lời giải. y Ta có y 0 = −f 0 (1 − x) + x − 1. Hàm số đã cho nghịch biến khi và chỉ khi 3 y0 ≤ 0 ⇔ −f 0 (1 − x) + x − 1 ≤ 0 −1 −3 ⇔ f 0 (1 − x) ≥ −(1 − x) Đặt t = 1 − x, ta có f 0 (t) ≤ −t. ” t ≤ −3 Dựa vào đồ thị f 0 (t) ≥ −t ⇔ 1 ≤ t ≤ 3. O 1 3 2 3 − 21 −1 x −3 −5  t ≤ −3 ⇒ 1 − x ≤ −3 ⇔ x ≥ 4. ;  1 ≤ t ≤ 3 ⇒ 1 ≤ 1 − x ≤ 3 ⇔ −2 ≤ x ≤ 0. Vậy hàm số nghịch biến trên [−2; 0] và [4; +∞). CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 327 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Chọn đáp án B Câu 17. Cho hàm số f (x) có đồ thị của hàm số y = f 0 (x − 2) + 2 như hình vẽ. y Hỏi hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 2 O 2 1 3 x −1 Å A. (−1; 1). B. (−∞; 2). C. ã 3 5 ; . 2 2 D. (2; +∞). Lời giải. 1 Cách 1: y  Từ đồ thị (C1 ) của hàm số y = f 0 (x − 2) + 2 ta thu được đồ thị đồ thị (C0 ) bằng cách tiện tiến theo véc-tơ #» u = (−2; −2).  Từ đồ thị (C0 ) của y = 0 f (x) ta (C0 ) −1 (C1 ) O 1 2 thấy x f 0 (x) < 0 ⇔ −1 < x < 1 nên hàm số nghịch biến trên −1 khoảng (−1; 1). −3 2 Cách 2: Hàm số nghịch biến khi f 0 (x) < 0 ⇔ f 0 (x + 2 − 2) + 2 < 2 (1). Đặt t = x + 2 thì (1) trở thành f 0 (t − 2) + 2 < 2 ⇔ 1 < t < 3. Ta được 1 < x + 2 < 3 ⇔ −1 < x < 1. y 2 O 2 1 3 x −1 Chọn đáp án A  1 1 Câu 18. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số f (x) = m2 x5 − mx3 + 10x2 − 5 3 (m2 − m − 20)x đồng biến trên R. Tổng các giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng 5 1 3 A. . B. −2. C. . D. . 2 2 2 Lời giải. 328 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ta có y 0 = m2 x4 − mx2 + 20x − m2 + m + 20   = (x + 1) m2 x3 − m2 x2 + (m2 − m)x − m2 + m + 20   = (x + 1) (x + 1)(m2 x2 − 2m2 x + 3m2 − m) − 4m2 + 2m + 20 . y0 = 0 ⇔ " x+1=0 (1) . (x + 1)(m2 x2 − 2m2 x + 3m2 − m) − 4m2 + 2m + 20 = 0 (2) Hàm số đồng biến trên R tương đương với y 0 ≥ 0 với mọi x ∈ R. Suy ra x = −1  là nghiệm kép của m = −2 0 2  y = 0 tức là x = −1 là nghiệm của phương trình (2) ⇒ −4m + 2m + 20 = 0 ⇒ 5 . m= 2 Với m = −2, ta có f 0 (x) = (x + 1)2 · (4x2 − 8x + 14) ≥ 0, ∀x ∈ R. 5 5 Với m = , ta có f 0 (x) = (x + 1)2 · (5x2 − 10x + 13) ≥ 0, ∀x ∈ R. 2 4 5 1 Vậy m = −2 và m = đều thỏa yêu cầu bài toán. Do đó tổng cần tìm bằng . 2 2 Chọn đáp án C  Câu 19. Cho hàm số y = f (x)có đạo hàm trên R và có đồ thị của hàm số y = f 0 (x) y như hình vẽ bên. Xét hàm số g(x) = f (x2 − 2). Mệnh đề nào sau đây sai? 2 1 −2 −1O −1 1 2 x −2 −3 −4 A. Hàm số g(x) nghịch biến trên (0; 2). B. Hàm số g(x) đồng biến trên (2; +∞). C. Hàm số g(x) nghịch biến trên (−∞; −2). D. Hàm số g(x) nghịch biến trên (−1; 0). Lời giải. 2 Xét g(x) = f (x − 2) g 0 (x) = f 0 (x2 − 2) .2x   " x=0 x=0   x = 0 2  g 0 (x) = 0 ⇔ ⇔
x − 2 = −1 ⇔ x = ±1 0 2 f x −2 =0 x = ±2 x2 − 2 = 2 Bảng xét dấu g 0 (x): x g (x) 0 −∞ + −2 0 + −1 0 + 0 0 − 1 0 − 2 0 +∞ + Suy ra hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (−1; 0) là sai.  Chọn đáp án D Câu 20. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 329 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Nhận xét nào đúng về hàm số g(x) = f 2 (x)? A. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (−∞; +∞). B. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (−∞; 1). C. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (2; +∞). D. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (−∞; 2). O −1 1 2 x Lời giải. Từ đồ thị hàm số y = f (x) ta có " Phương trình f (x) = 0 có hai nghiệm Phương trình f 0 (x) = 0 có hai nghiệm x = −1 trong đó x = −1 là nghiệm kép. x=2 " x = −1 và f 0 (x) > 0 khi −1 < x < 1. x=1 Xét hàm số g(x) = f (x) có g (x) = 2f (x).f 0 (x). 0 2 Giải phương trình      g 0 (x) = 0 ⇔       x = −1       x=2 f (x) = 0  ⇔    0  x = −1 f (x) = 0      x=1 Ta có bảng xét dấu x −∞ f (x) f 0 (x) g 0 (x) + − − −1 0 0 0 1 + + + 0 0 + − − 2 0 0 +∞ − − + Từ bảng xét dấu ta có g 0 (x) > 0 khi x ∈ (−1; 1) ∪ (2; +∞) nên hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞) Chọn đáp án C  Câu 21. Tìm số nghiệm của phương trình A. 2 nghiệm. √ √ √ √ x − 1+2 x + 4+ 2x − 9+4 3x + 1 = 25. B. 3 nghiệm. C. 4 nghiệm. D. 1 nghiệm. Lời giải. √ √ √ √ Đặt f (x) = x − 1 + 2 x + 4 + 2x − 9 + 4 3x + 1. ï ã 9 Tập xác định của hàm số D = ; +∞ . 2 330 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Å ã 1 6 1 1 9 +√ +√ Ta có f (x) = √ +√ > 0, ∀x ∈ ; +∞ . 2 2 x−1 2xã− 9 x + 4ï 3x + 1 ï ã 9 9 Lại có hàm số f (x) liên tục trên ; +∞ , nên hàm số f (x) đồng biến trên ; +∞ . 2 2 ï ã 9 Do đó trên ; +∞ , phương trình f (x) = 25 có tối đa một nghiệm. 2 Vì x = 5 thỏa mãn phương trình nên x = 5 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. 0  Chọn đáp án D Câu 22. Cho hệ phương trình ( 3 x − y 3 + 3y 2 − 3x − 2 = 0 p √ x2 + 1 − x2 − 3 2y − y 2 + m = 0. (1) (2) Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hệ phương trình trên có nghiệm? A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Lời giải. Điều kiện −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2. Phương trình (1) ⇔ (x + 1)3 − 3(x + 1)2 = y 3 − 3y 2 . (3) Do −1 ≤ x ≤ 1 nên 0 ≤ x + 1 ≤ 2. Xét hàm số f (t) = t3 − 3t2 trên [0; 2]. Ta có f 0 (t) = 3t2 − 6t ≤ 0, ∀t ∈ [0; 2] (dấu bằng chỉ xảy ra tại t = 0 hoặc t = 2). Suy ra f (t) nghịch biến trên [0; 2]. Suy ra phương trình (3) ⇔ f (x + 1) = f (y) ⇔ y = x + 1. √ √ Thay vào phương trình (2) ta được x2 − 2 1 − x2 + m = 0 ⇔ (1 − x2 ) + 2 1 − x2 = m + 1 √ Đặt t = 1 − x2 , (0 ≤ t ≤ 1). Khi đó (∗) có dạng t2 + 2t = m + 1. (∗). Ycbt ⇔ Tìm m để phương trình t2 + 2t = m + 1 có nghiệm t ∈ [0; 1]. Ta có hàm f (t) = t2 + 2t đồng biến trên [0; 1] nên phương trình có nghiệm trên [0; 1] khi và chỉ khi 0 ≤ m + 1 ≤ 3 ⇔ −1 ≤ m ≤ 2. Vậy có 4 giá trị nguyên.  Chọn đáp án D Câu 23. y Cho hàm số y = f (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e , đồ thị hình bên là đồ thị của hàm số y = f 0 (x) . Xét hàm số g(x) = f (x2 − 2). Mệnh đề nào dưới đây sai? −1 1 O x −4 A. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (0; +∞). B. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (−∞; −2). C. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (0; 2). CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 331 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 D. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (−1; 0) . Lời giải. Ta có g 0 (x) = f 0 (x2 − 2) · (x2 − 2)0 = 2xf 0 (x2 − 2). Từ đồ thị ta có f 0 (x) > 0 ⇔ x > 2 và f 0 (x) < 0 ⇔ x < 2 và x 6= 1. Hàm số g(x) nghịch biến thì
g 0 (x) < 0 ⇔ 2xf 0 x2 − 2 < 0 ( x>0   f 0 (x2 − 2) < 0  ⇔ (  x<0  f 0 (x2 − 2) > 0   x > 0  2  x −2<2    ⇔  x 6= −1 (  x<0  x2 − 2 > 2   x > 0   −2 2   x < −2 " 0 3 ( m 6= 3 |m − 3| > 3  m 6= 3   ” ⇔ m−3>3    m − 3 < −3  m 6= 3   " ⇔ m>6    m < 0. Vậy m ∈ (−∞; 0) ∪ (6; +∞). Do m nguyên dương nên m ∈ {7; 8; 9 . . . 2017}. Do đó có 2011 số m thỏa đề bài.  Chọn đáp án C 3 Câu 25. Cho hàm số y = x − 3 cos2 x − m cos x. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho  2 cos  π nghịch biến trên khoảng 0; . 2 ã Å ò ã Å ã Å ï 3 3 3 3 . C. m ∈ B. m ∈ −2; ;2 . D. m ∈ −∞; − . A. m ∈ − ; +∞ . 2 2 2 2 Lời giải. Cách 1: y 0 = −6 cos2 x sin x + 6 cos x sin x + m sin x = sin (−6 cos2 x + 6 cosx + m) π Hàm số y = 2 cos3 x − 3 cos2 x − m cos x nghịch biến trên khoảng 0; . 2  π π ⇔ sin x (−6 cos2 x + 6 cos x + m) ≤ 0, ∀x ∈ 0; (vì sin x > 0, ∀x ∈ 0; ) 2 2   π π 2 2 ⇔ (−6 cos x + 6 cos x + m) ≤ 0, ∀ 0; ⇔ −6 cos x + 6 cos x ≤ −m, ∀x ∈ 0; (1) 2 2 π Xét f (x) = −6 cos2 x + 6 cos x, ∀x ∈ 0; . 2  π Đặt t = cos x. Vì x ∈ 0; ⇒ cos x ∈ (0; 1). 2 Å ã 1 3 2 ; và hệ số a < 0 nên có giá trị lớn nhất Ta có f (t) = −6t + 6t, ∀t ∈ (0; 1) là Parabol có đỉnh I 2 2 3 1 là tại t = . 2 2 3 3 Để (1) xảy ra ⇔ max f (x) ≤ −m ⇔ ≤ −m ⇔ m ≤ − (0;1 2  π 2 Cách 2: Đặt t = cos x. Vì x ∈ 0; ⇒ cos x ∈ (0; 1). 2 Ta có y = 2t3 − 3t2 − mt ⇔ y 0 = 6t2 − 6t − m.  π 3 2 Hàm số y = 2 cos x − 3 cos x − m cos x nghịch biến trên khoảng 0; thì y = 2t3 − 3t2 − mt đồng 2 biến trên khoảng (0; 1) ⇔ y 0 ≥ 0, ∀t ∈ (0; 1) ⇔ 6t2 − 6t − m ≥ 0, ∀t ∈ (0; 1) ⇔ f (t) = 6t2 − 6t ≥ m, ∀t ∈ (0; 1). 1 Xét f (t) = 6t2 − 6t, ∀t ∈ (0; 1); f 0 (t) = 12t2 − 6 = 0 ⇔ t = 2 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 333 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 t 1 2 0 f 0 (t)0 + 0 1 − 3 2 f (t) 0 0 3 Dựa vào bảng biến thiên suy ra m ≤ − . 2 Chọn đáp án D  3 2 Câu 26. Tìm tất ò giá trị thực của tham số m để hàm số y = sin x − 3 cos x − m sin x − 1 đồng ï cả các 3π biến trên đoạn π; 2 A. m ≥ −3. B. m ≥ 0. C. m ≤ −3. D. m ≤ 0. Lời giải. ò 3π  Ta có y = f (x) = sin x + 3 sin x − m sin x − 4 (1). Đặt t = sin x, do x ∈ π; ⇒ t ∈ [−1; 0]. 2 3 2  Hàm số (1) trở thành y = g(t) ï = tò + 3t − mt − 4. (2) 3π  Hàm số (1) đồng biến trên π; khi và chỉ khi hàm số (2) nghịch biến trên [−1; 0] ⇔ g 0 (t) ≤ 2 0, ∀t ∈ [−1; 0] (g 0 (t) = 0 tại hữa hạn điểm). 3 ï 2  Xét hàm số y = g(t) = t3 + 3t2 − mt − 4 trên [−1; 0]. Ta có g 0 (t) = 3t2 + 6t − m. Suy ra g 0 (t) ≤ 0, t ∈ [−1; 0] ⇔ 3t2 + 6t − m ≤ 0 ∀t ∈ [−1; 0] ⇔ 3t2 + 6t ≤ m, ∀t ∈ [−1; 0].  Xét hàm số y = h(t) = 3t2 + 6t trên đoạn [−1; 0]. Ta có h0 (t) = 6t+6 ≥ 0, t ∈ [−1; 0] ⇒ h(t) đồng biến trên [−1; 0]. Vậy max lim h(t) = h(0) = 0. [−1;0] 0 Tức là g (t) ≤ 0, t ∈ [−1; 0] ⇔ max lim h(t) ≤ m, t ∈ [−1; 0]. Đo đó, m ≥ 0. ò [−1;0] ï 3π khi và chỉ khi m ∈ [0; +∞). Hàm số (1) đồng biến trên π; 2 Chọn đáp án B  Câu 27. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y = y f (x2 − 2x + 1) + 2018 giảm trên khoảng A. (−∞; 1). B. (2; +∞). C. (0; 1). 3 D. (1; 2). 1 1 −2 −1 O 2 x −1 Lời giải. Xét hàm số y = f (x2 − 2x + 1) + 2018 khi đó y 0 = 2 (x − 1) f 0 (x2 − 2x + 1). Để hàm số nghịch biến khi y 0 ≤ 0 ⇔ 2 (x − 1) f 0 (x2 − 2x + 1) ≤ 0, 334 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ở đó dấu đẳng thức xảy ra tại một số hữu hạn điểm. Nếu x − 1 > 0 ⇔ x > 1 suy ra
f 0 x2 − 2x + 1 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x2 − 2x + 1 ≤ 1 ( 2 x − 2x + 2 ≥ 0 ⇔ x2 − 2x ≤ 0 ⇔ x2 − 2x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).  Chọn đáp án D Câu 28. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình y
f 16 cos2 x + 6 sin 2x − 8 = f (m (m + 1)) 2 3 1 có nghiệm x ∈ R? A. 10. B. 4. C. 8. −2 −1 D. 6. O 1 −1 2 x Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) suy ra hàm số đồng biến trên R. Do đó
f 16 cos2 x + 6 sin 2x − 8 = f (m (m + 1)) ⇔ 16 cos2 x + 6 sin 2x − 8 = m (m + 1) ⇔ 8 (cos 2x + 1) + 6 sin 2x − 8 = m (m + 1) ⇔ 8 cos 2x + 6 sin 2x = m (m + 1) . Để phương trình có nghiệm x ∈ R khi và chỉ khi m2 (m + 1)2 ≤ 82 + 62 ⇔ m2 (m + 1)2 ≤ 100 ( ( 2 m (m + 1) ≤ 10 m + m − 10 ≤ 0 ⇔ ⇔ m (m + 1) ≥ −10 m2 + m + 10 ≥ 0 √ √ 1 + 41 −1 + 41 2 ⇔ m + m − 10 ≤ 0 ⇔ − ≤m≤ . 2 2 Do m ∈ Z suy ra m ∈ {−3; −2; −1; 0; 1; 2}. Vậy có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn.  Chọn đáp án D Câu 29. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 335 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 1 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và có f (1) = 1, f (−1) = − . 3 Đặt g (x) = f 2 (x) − 4f (x). Cho biết đồ thị của y = f 0 (x) có dạng như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số g (x) có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất trên R. B. Hàm số g (x) có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên R. C. Hàm số g (x) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên R. D. Hàm số g (x) không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên R. y 4 3 2 1 0 −2 −1 O 0 −1 1 2 x −2 Lời giải. Từ hình vẽ suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f (x) như sau: x −∞ f (x) 0 + −1 0 + 1 0 +∞ − 1 f (x) − 1 3 Từ bảng biến thiên suy ra f (x) ≤ 1∀x ∈ R. Ta có g (x) = f 2 (x) − 4f (x) ⇒ g 0 (x) = 2f (x) · f 0 (x) − 4f 0 (x) = 2f 0 (x) · (f (x) − 2). Vì f (x) ≤ 1∀x ∈ R nên f (x) − 2 < 0, ∀x ∈ R, ta có bảng biến thiên của hàm số y = g (x) như sau: x −∞ g (x) 0 − −1 0 − 1 0 +∞ + g(x) −3 Từ bảng biên thiên suy ra hàm số có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên R. Chọn đáp án B  Câu 30. Cho hàm số y =  sin3 x − m sin x + 1 . Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên m sao cho π . Tính số phần tử của S. hàm số đồng biến trên 0; 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải. π Trên khoảng 0; , hàm số y = sin x đồng biến. 2 π Đặt t = sin x, x ∈ 0; ⇒ t ∈ (0; 1). 2  π 3 khi và chỉ khi y = f (t) = Khi đó hàm số y = sin x − m sin x + 1 đồng biến trên khoảng 0; 2 |t3 − mt + 1| đồng biến trên (0; 1).  Xét hàm số y = f (t) = |t3 − mt + 1| trên khoảng (0; 1) có f 0 (t) = 3t2 − m. 336 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Khi m = 0 : f 0 (x) = 3x2 > 0, ∀x ⇒ y = f (x) = x3 + 1 đồng biến trên (0; 1). Và đồ thị hàm số y = f (x) = x3 + 1 cắt Ox tại điểm duy nhất x = −1. ⇒ y = g (x) = |x3 − mx + 1| đồng biến trên (0; 1)…⇒ m = 0 … thoả mãn. m m , x2 = .  m > 0 : f 0 (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 = − 3 … ã Å3 Å… ã m m 3 Hàm số y = f (x) = x − mx + 1 đồng biến trên các khoảng −∞; − và ; +∞ . 3 3 … Å… ã Å ã m m Nhận xét: (0; 1) 6⊂ ; +∞ , (0; 1) 6⊂ −∞; − , ∀m > 0. 3 … … 3 m m TH1:− <0< <1⇔0 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ [−2; 2]? Có y bên. bao 2 A. 1. B. 3. C. 0. √ Đặt g(x) = mx + m2 5 − x2 + 2m + 1. D. 2. −2 −1 O 1 3 x Lời giải. Từ đồ thị của y = f (x) ta thấy f (x) đổi dấu khi qua x = 1 nên suy ra g(x) cũng phải đổi dấu khi qua CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 337 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x = 1. Mặt khác g(x) liên tục nên g(x) = 0 có nghiệm x = 1. Kiểm tra: Với m = −1 √ Å ã
1+x √ Ta có g(x) · f (x) = −x + 5 − − 1 f (x) = (1 − x) + 1 f (x). 2 + 5 − x2 √ 3 + x + 5 − x2 1+x √ √ +1= > 0, ∀x[−2; 2]. Nhận xét: 2 + 5 − x2 2 + 5 − x2 Khi đó quan sát đồ thị f (x), ta thấy x2  Với x ∈ [1; 2] thì f (x) 6 0 nên (1 − x)f (x) > 0.  Với x ∈ [−2; 1] thì f (x) > 0 nên (1 − x)f (x) > 0. Do đó trong cả hai trường hợp ta luôn có g(x) · f (x) > 0, ∀x ∈ [−2; 2]. Vậy m = −1 là giá trị cần tìm.  Chọn đáp án A Câu 32. Hàm số y = f (x). Hàm số y = f 0 (x) có đồ thị như hình vẽ bên. y Hỏi hàm số y = f (x − 3) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (2; 4). B. (1; 3). C. (−1; 3). D. (5; 6). −1 O 1 3 x Lời giải. Đặt g (x) = f (x − 3). Ta có g 0 (x) = (x − 3)0 · f 0 (x − 3) = f 0 (x − 3). ” Hàm số g (x) đồng biến khi g 0 (x) > 0 ⇔ f 0 (x − 3) > 0 ⇔ x − 3 < −1 1 0 ⇒ Loại đáp án A. 4 Å2 ã −3 = 2f 0 (0) > 0 ⇒ Loại đáp án C. Xét đáp án C ta có: g 0 2 Å ã Å ã 7 0 0 21 Xét đáp án D ta có: g − = −5f > 0 ⇒ Loại đáp án D. 2 4  Chọn đáp án B Câu 35. Cho số thực α sao cho phương trình 2x − 2−x = 2 cos(αx) có đúng 2019 nghiệm thực. Số nghiệm của phương trình 2x + 2−x = 4 + 2 cos(αx) là A. 2019. B. 2018. C. 4037. D. 4038. Lời giải.  x x αx − 2 − 2 2 = 2 cos  x 2 (1) x 2 − 2 x −x 2 αx  2 2 Ta có: 2 + 2 = 4 + 2cos(αx) ⇔ 2 − 2 = 4 cos ⇔ x x αx 2 2 2 − 2− 2 = −2 cos (2) 2 Thay x = 0 vào phương trình (1) ta có 20 − 20 = 2 cos 0 ⇔ 0 = 1 (Vô lí), kết hợp với giả thiết ta có phương trình (1) có 2019 nghiệm thực khác 0. Với x0 là nghiệm của phương trình (1) (−x0 ) −(−x0 ) x0 x0 αx0 α(−x0 ) ⇔ 2 2 − 2− 2 = 2 cos ⇔ 2 2 −2 2 = −2 cos ⇒ −x0 là nghiệm của phương trình 2 2 (2). Thay x = −x0 vào phương trình (1) ta có: x0 x0 x0 −x0 0) ⇔ 2− 2 − 2 2 = 2 cos α(−x = 2 cos αx2 0 = 2 2 − 2 2 2 x0 −x0 x0 −x0 x0 x0 ⇔ 2 · 2 2 = 2 · 2 2 ⇔ 2 2 +1 = 2 2 +1 ⇔ + 1 = − + 1 ⇔ x0 = 0 ( vô lí do x0 6= 0 ) ⇒ −x0 1 1 không là nghiệm của phương trình (1), điều đó đảm bảo mọi nghiệm của phương trình (2) không trùng với nghiệm của phương trình (1). Do đó phương trình (2) cũng có 2019 nghiệm. Vậy phương trình ban đầu có 2019 · 2 = 4038 nghiệm.  Chọn đáp án D Câu 36. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình √ √

e3m + em = 2 x + 1 − x2 1 + x 1 − x2 có nghiệm ? CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 339 Tuyển tập Toán 12 THPT ï A. ã 1 ln 2; +∞ . 2 Phương pháp:  Đặt x + √ Kỳ thi THQG 2020 Å ã 1 B. 0; ln 2 . 2 Å ò 1 C. −∞; ln 2 . 2 Lời giải. Å ã 1 D. 0; . e 1 − x2 = t, tìm khoảng giá trị của t.  Đưa bài toán về dạng m = f (t). Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Cách giải: ĐKXĐ: 1 − x2 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. √ √ √ √ t2 − 1 Đặt x + 1 − x2 = t ta có t2 = x2 + 1 − x2 + 2x 1 − x2 = 1 + 2x 1 − x2 ⇒ x 1 − x2 = . 2 √ √ 1 − x2 − x x Ta có: t (x) = x + 1 − x2 , x ∈ [−1; 1] ⇒ t0 (x) = 1 − √ = √ =0 2 2 1 − x 1 − x  ( √ x ≥ 0 x≥0 √ 2 ⇔ 1 − x2 = x ⇔ ⇔ ⇔x= . 1 2 2 x 2 = 2 1−x =x 2 BBT: √ x 2 2 −1 t0 (x) + 0 √ 2 1 − t (x) −1 1 î √ ó Từ BBT ta có: t ∈ −1; 2 . Å ã t2 − 1 Khi đó phương trình trở thành: e + e = 2t 1 + = t (t2 + 1) = t3 + t (∗) 2 Xét hàm số f (t) = t3 + t ta có f 0 (t) = 3t2 + 1 > 0 ∀t ⇒ Hàm số đồng biến trên R ⇒ Hàm số đồng Ä √ ä biến trên −1; 2 . Å ã Ä √ ä 1 m m Từ (∗) ⇒ f (e ) = f (t) ⇔ e = t ⇔ m = ln t ⇒ m ∈ 0; ln 2 = 0; ln 2 . 2 3m m  Chọn đáp án B Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc h π ikhoảng (−2019; 2019) để hàm số 3 2 y = sin x − 3 cos x − m sin x − 1 đồng biến trên đoạn 0; ? 2 A. 2020. B. 2019. C. 2028. D. 2018. Lời giải. Phương pháp:  Sử dụng công thức cos2 x = 1 − sin2 x, đặt ẩn phụ t = sin x.  Để hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) ⇒ f 0 (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b). Cách giải:
y = sin3 x − 3 cos2 x − m sin x − 1 = sin3 x − 3 1 − sin2 x − m sin x − 1. y = sin3 x + 3 sin2 x − hm sinix − 4. π ⇒ t ∈ [0; 1]. Đặt t = sin x, với x ∈ 0; 2 340 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Bài toán trở thành tìm m để hàm số y = t3 + 3t2 − mt − 4 đồng biến trên [0; 1]. TXĐ: D = R. Ta có y 0 = 3t2 + 6t − m. Để hàm số đồng biến trên [0; 1] ⇒ y 0 ≥ 0 ∀t ∈ [0; 1] ⇒ 3t2 + 6t − m ≥ 0 ∀t ∈ [0; 1] ⇔ m ≤ 3t2 + 6t ∀t ∈ [0; 1]. ⇒ m ≤ f (t) = 3t2 + 6t ∀t ∈ [0; 1] ⇔ m ≤ min f (t). [0;1] Xét hàm số f (t) = 3t2 + 6t, ta có f (0) = 0, f (1) = 9 ⇒ min f (t) = 0 ⇔ m ≤ 0. [0;1] ( m ∈ (−2019; 0] Kết hợp điều kiện đề bài ⇒ ⇒ Có 2019 giá trị của m thoả mãn. m∈Z  Chọn đáp án B x Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = nghịch biến trên [1; +∞). x−m A. m > 1. B. 0 < m ≤ 1. C. 0 ≤ m < 1. D. 0 < m < 1. Lời giải. Hàm số xác định trên [1; +∞) khi m < 1 −m y0 = . Phải có y 0 < 0, ∀x ∈ [1; +∞) ⇔ −m < 0 ⇔ m > 0. (x − m)2 Kết hợp điều kiện (∗) ta được 0 < m < 1. (∗)  Chọn đáp án D 1 − 2 sin x Câu 39. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = đồng biến trên khoảng 2 sin x + m π  ;π . 2 A. m > 0. B. m < −1. C. m ≥ −1. D. m ≥ 0. Lời giải.  m "   − ≤0 m≥0 π π 2 (∗). < x < π ⇒ 0 < sin x < 1. Để hàm số xác định trên ; π thì  m ⇔ 2 2 m ≤ −2 − ≥1 2 −2(m + 1) cos x 0 y = . (2 sin x + m)2  π  ; π ⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > −1. Kết hợp điều kiện (∗) được m ≥ 0. Phải có y 0 > 0, ∀x ∈ 2 Nhận xét: Ta có thể giải bài này bằng cách thử lần lượt m = 0, m = −1 để chọn được phương án đúng. Chọn đáp án D  Câu 40. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = 2×3 − mx2 + 2x đồng biến trên khoảng (−2; 0). A. m ≥ 13 . 2 √ B. m ≤ 2 3. C. m ≥ − 13 . 2 √ D. m ≥ −2 3. Lời giải. Yêu cầu bài toán tương đương với y = 6x − 2mx + 2 ≥ 0, ∀x ∈ (−2; 0) √ 3×2 + 1 ⇔m≥ = g(x), ∀x ∈ (−2; 0) ⇔ m ≥ max g(x) ⇔ m ≥ −2 3. (−2;0) x Chọn đáp án D  1 Câu 41. Cho hàm số y = x3 − (m − 1)x2 + (m − 3)x + 2017. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị 3 thực của tham số m để hàm số đồng biến trên các khoảng (−3; −1) và 2; 3 là đoạn T = [a; b]. Tính 0 2 a + 5b. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 341 Tuyển tập Toán 12 THPT A. a + 5b = 0. Kỳ thi THQG 2020 C. a + 5b = −2. B. a + 5b = 9. D. a + 5b = 10. Lời giải.  Chọn đáp án D Câu 42. Tìm m để hàm số y = −x3 + 3mx2 + 3(1 − 2m)x − 1 nghịch biến trên R. A. m ≥ 1. B. m ∈ ∅. C. m = 1. Lời giải. D. m 6= 1. y 0 = −3×2 + 6mx + 3(1 − 2m). Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi ( a<0 ∆≤0 ⇔ m = 1.  Chọn đáp án C 4 3 sin x + 2 cos2 x − (2m2 − 5m + 2) sin x − 2017. Gọi S là tập hợp tất cả các 3  π . Tìm số phần tử của S. giá trị nguyên của m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2 A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 43. Cho hàm số y = Lời giải. 4 3 Ta có y = sin x + 2(1 − sin2 x) − (2m2 − 5m + 2) sin x − 2017. 3   2 y 0 = 4 sin2 x − 4 sin x − (2m − 5m + 2) cos x.  π  π   0 Ta có ycbt ⇔ y ≥ 0, ∀x ∈ 0; ⇔ 4 sin2 x − 4 sin x − (2m2 − 5m + 2) cos x ≥ 0, ∀x ∈ 0; . 2  π  2π  Do x ∈ 0; nên cos x > 0, suy ra ycbt ⇔ 4 sin2 x − 4 sin x − (2m2 − 5m + 2) ≥ 0, ∀x ∈ 0; . 2 2 Đặt t = sin x ⇒ 0 < t < 1, ycbt ⇔ 2m2 − 5m + 2 ≤ 4t2 − 4t, ∀t ∈ (0; 1). 3 ⇔ 2m2 − 5m + 2 ≤ min (4t2 − 4t) ⇔ 2m2 − 5m + 2 ≤ −1 ⇔ 1 ≤ m ≤ . Vậy S có 1 phần tử. t∈(0,1) 2 Chọn đáp án B  √ √ √ Câu 44. Bất phương trình 2x3 + 3x2 + 6x + 16 − 4 − x ≥ 2 3 có tập nghiệm là [a; b]. Hỏi tổng a + b có giá trị bao nhiêu? A. 5. B. -2. C. 4. D. 3. Lời giải. p √ √ √ √ √ 3 2 Đặt f (x) = 2x + 3x + 6x + 16 − 4 − x − 2 3 = (x + 2)(2x2 − x + 18) − 4 − x − 2 3 với x ∈ [−2; 4] 1 6x2 + 6x + 6 + √ > 0 ∀x ∈ [−2; 4] f0 = √ 2 2×3 + 3×2 + 6x + 16 2 4 − x ⇒ f (x) đồng biến trên [−2; 4]. Ta có: f (1) = 0 ⇒ Bất phương trình có nghiệm x ∈ [1; 4] ⇒ a + b = 5.  Chọn đáp án A 40 3 m, 7 thùng tôn hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, không nắp. Trên thị trường, giá tôn làm đáy thùng Câu 45. Một người bán gạo muốn đóng một thùng tôn đựng gạo thể tích không đổi bằng V = là 10$/1m2 , giá tôn làm mặt xung quanh thùng là 7$/1m2 . Hỏi người bán gạo đó đóng thùng đựng gạo với cạnh đáy bằng bao nhiêu sao cho chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất? A. 1 m. B. 2 m. 342 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 1, 5 m. D. 3 m. Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. Gọi cạnh đáy, cạnh bên của hình hộp chữ nhật có độ dài lần lượt là là a (m) và b (m). 40 40 ⇒b= Khi đó thể tích hình hộp là V = a2 .b = . 7 7.a2 Diện tích một đáy hình hộp là Sa = a2 m2 . 40 40 2 Diện tích một mặt bên của hình hộp chữ nhật là Sb = a.b = a. 2 = m. 7.a 7.a 40 160 Tổng kinh phí tiền mua tôn dùng để làm thùng là T = 10.a2 + 4.7. = 10a2 + ⇒ min T = 120 7a a khi a = 2.  Chọn đáp án B a sin x − 2 đồng biến trên khoảng Câu 46. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số y = 2 sin x − a Å ã π 2π ; . 2 3 ” √ a>2 A. −2 < a ≤ 3. B. −2 ≤ a ≤ 2. C. . D. −2 < a < 2. a < −2 Lời giải. 2 (4 − a ) cos x . Ta có y 0 = (2 sin x − a)2  " y 0 > 0 ã Å  a>2 π 2π Ç√ å ⇔ a ; Hàm số đồng biến trên ⇔ . 3  2 3 / ;1 a < −2  ∈ 2 2  Chọn đáp án C 3 2 Câu 47. " Hàm số y = ax + bx + cx + d đồng biến trên "R khi nào? a = b = 0, c > 0 a = b = c = 0, A. . B. . a > 0, b2 − 3ac ≤ 0 a > 0, b2 − 3ac < 0 " " a = b = 0, c > 0 a = b = 0, c > 0 C. . D. . b2 − 3ac ≤ 0 a > 0, b2 − 3ac ≥ 0 sin x + 1 Câu 48. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = nghịch biến trên sin x − m  π khoảng 0; ? 2 ” ” m>1 m≥1 A. . B. . C. m ≥ 1. D. m > −1. −1 −1 −1 0, b > 0, c > 0, d < 0. B. a > 0, b > 0, c < 0, d < 0. C. a < 0, b > 0, c < 0, d < 0. D. a > 0, b < 0, c < 0, d < 0. Lời giải.  (C) ∩ Oy tại điểm có tung độ âm ⇒ d < 0.  Hàm số nghịch biến trên (x; x2 ) ⇒ a > 0.  Hàm số có 2 điểm cực trị x1 .x2 < 0 ⇒ ac < 0 ⇒ c < 0. 2b  Vì x1 ∈ (−2; −1), x2 ∈ (0; 1) ⇒ x1 + x2 < 0 ⇒ − < 0 ⇒ ab < 0 ⇒ b > 0 3a Chọn đáp án B  −2 sin x − 1 đồng biến trên Câu 53. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = sin x − m  π khoảng 0; . 2 1 1 B. m > . A. m ≥ − . 2 2 1 1 C. − < m < 0 hoặc m > 1. D. − < m ≤ 0 hoặc m ≥ 1. 2 2 Lời giải. −2t − 1 Đặt t = sin x, t ∈ (0; 1). Hàm số trở thành g(t) = . Do t = sin x là hàm số đồng biến  π  π t − m trên 0; nên hàm số đã cho đồng biến trên 0; khi hàm số g(t) đồng biến trên (0; 1), suy ra 2 2  ( 0 1 − 0 ⇒ 2 . m 6∈ (0; 1) m≥1  h πi Câu 54. Để phương trình −2 sin2 x + 3 sin x + 1 = m có hai nghiệm phân biệt trên 0; . Ta phải có 2 tập giáï trị của m là ã Å ã Å ã Å ã 17 17 17 17 A. 2; . B. 1; . C. −∞; . D. ; +∞ . 8 8 8 8 Lời giải. Chọn đáp án D Đặt t = sin x, t ∈ [0; 1]. Khí đó, phương trình đã cho trở thành −2t2 + 3t + 1 = m. Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 345 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 −2t2 + 3t + 1 = m có hai nghiệm phân biệt t ∈ [0; 1] Xét f (t) = −2t2 + 3t + 1; t ∈ [0; 1] 3 f 0 (t) = −4t + 3 = 0 ⇔ t = . 4 Ta có bảng biến thiên 3 x 0 4 0 f (x) + 0 1 − 17 8 f (x) 1 2 ï ⇒ m có tập giá trị là 2; 17 8 ã  Chọn đáp án A mx − 4m + 5 với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên x + 3m của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S. Câu 55. Cho hàm số y = A. 2. B. 4. C. 3. D. 5. Lời giải. 3m2 + 4m − 5 . y0 = (x + 3m)2 Để hàm số nghịch biến thì 3m + 4m − 5 < 0 ⇔ 2− √ 19 3 0 ⇔ 6f 0 (3x + 1) − 6(3x + 1) > 0 ⇔ f 0 (3x + 1) > 3x + 1 (∗). y=x 4 Từ đồ thị trên ta vẽ thêm đường thẳng y = x. Quan sát hình vẽ ta thấy: 2 Xét trên khoảng (−2; 4) thì f 0 (x) > x ⇔ −2 < x < 2. 1 Do đó (∗) ⇔ −2 < 3x + 1 < 2 ⇔ −1 < x < . ã 3 Å 1 . Vậy hàm số h(x) đồng biến trên −1; 3 −2 2 O 4 x −2  Chọn đáp án C Câu 60. Hàm số y = f (x). Hàm số y = f 0 (x) có đồ thị như hình vẽ bên. y Hỏi hàm số y = f (x − 3) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (2; 4). B. (1; 3). C. (−1; 3). D. (5; 6). −1 O 1 3 x Lời giải. Đặt g (x) = f (x − 3). Ta có g 0 (x) = (x − 3)0 · f 0 (x − 3) = f 0 (x − 3). " Hàm số g (x) đồng biến khi g 0 (x) > 0 ⇔ f 0 (x − 3) > 0 ⇔ x − 3 < −1 1 −1 m ≥ −1 A. . B. −2 ≤ m ≤ −1. C. . D. −2 < m < −1. m < −2 m ≤ −2 Lời giải. Ta có y 0 = −x2 + 2mx + (3m + 2). Hàm số nghịch biến trên R khi ∆0 ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ −2 ≤ m ≤ −1.  Chọn đáp án B CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 349 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 64. Phương trình x3 − A. 2. √ 1 − x2 = 0 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? B. 6. C. 1. D. 3. Lời giải.  Ta có x3 − √ √ 1 − x2 = 0 ⇔ x3 = 1 − x2 ⇔ ( x≥0 x6 = 1 − x2 ⇔ ( x≥0 x6 + x2 − 1 = 0.  Xét hàm số f (x) = x6 + x2 − 1 trên [0; +∞) f 0 (x) = 6x5 + 2x ≥ 0 ∀ x ∈ [0; +∞), f 0 (x) = 0 ⇔ x(6x4 + 2) = 0 ⇔ x = 0. Bảng biến thiên: x f (x) +∞ 0 0 + +∞ f (x) −1 Dựa vào bảng biến thiên, ta có đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng y = 0 có duy nhất 1 điểm chung trên [0; +∞) hay phương trình x6 + x2 − 1 = 0 có duy nhất 1 nghiệm trên [0; +∞).  Chọn đáp án C Câu 65. Tập hợp nghiệm của hệ bất phương trình A. (−∞; −4). B. [−4; −1]. ( 2 x + 5x + 4 ≤ 0 là x3 + 3x2 − 9x − 10 > 0 C. [−4; 1]. D. [−1; +∞). Lời giải.  Tập xác định D = R.  x2 + 5x + 4 ≤ 0 ⇔ x ∈ [−4; −1].  Xét hàm số f (x) = x3 + 3×2 − 9x −”10 trên [−4; −1]. x = 1 6∈ [−4; −1] f 0 (x) = 3×2 + 6x − 9, f 0 (x) = 0 ⇔ x = −3 ∈ [−4; −1]. Bảng biến thiên f (x) trên [−4; −1]: x f 0 (x) −4 + −3 0 −1 − 17 f (x) 10 1 Dựa vào bảng biến thiên, ta có f (x) > 0, ∀ x ∈ [−4; −1].  Vậy hệ bất phương trình có tập nghiệm là [−4; −1].  ( 3 x − y 3 + 3y 2 − 3x − 2 = 0 (1) Câu 66. Cho hệ phương trình . Hỏi có bao nhiêu giá trị p √ x2 + 1 − x2 − 3 2y − y 2 + m = 0 (2) nguyên của m để hệ phương trình trên có nghiệm? Chọn đáp án B 350 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT A. 1. Kỳ thi THQG 2020 B. 3. C. 2. D. 4. Lời giải. Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2. Phương trình (1) ⇔ (x + 1)3 − 3(x + 1)2 = y 3 − 3y 2 (3). Do −1 ≤ x ≤ 1 nên 0 ≤ x + 1 ≤ 2. Xét hàm số f (t) = t3 − 3t2 trên [0; 2]. Ta có f 0 (t) = 3t2 − 6t ≤ 0, ∀ t ∈ [0; 2] (dấu bằng chỉ xảy ra tại t = 0 hoặc t = 2). Suy ra f (t) nghịch biến trên [0; 2]. Suy ra (3) ⇔ f (x + 1) = f (y) ⇔ y = x + 1. √ √ Thay vào (2) ta được x2 − 2 1 − x2 + m = 0 ⇔ (1 − x2 ) + 2 1 − x2 = m + 1 √ Đặt u = 1 − x2 , (0 ≤ u ≤ 1). (∗). Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình u2 + 2u = m + 1 có nghiệm u ∈ [0; 1]. Ta có hàm g(u) = u2 + 2u đồng biến trên [0; 1] nên phương trình có nghiệm trên [0; 1] khi và chỉ khi g(0) ≤ m + 1 ≤ g(1) ⇔ 0 ≤ m + 1 ≤ 3 ⇔ −1 ≤ m ≤ 2. Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn.  Chọn đáp án D sin x + 3 nghịch biến trên Câu 67. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = sin x + m  π 0; . 2 ” m ≤ −1 . A. 0 ≤ m < 3. B. m ≤ −1. C. m ≥ 3. D. 0≤m<3 Lời giải.  π  π (m − 3) cos x . Vì cos x > 0∀x ∈ 0; nên hàm số nghịch biến trên 0; khi và chỉ khi Ta có y 0 = (sin x + m)2 2 2  m − 3 < 0  π (m − 3) cos x   < 0 ∀x ∈ 0; ⇔  sin x = −m không có nghiệm thuộc 0; π (sin x + m)2 2 2   m<3    "    | − m| > 1 m ≤ −1 ⇔  ⇔ .  −m=1 0 ≤ m < 3       −m≤0  Chọn đáp án D Câu 68. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ y bên. Nhận xét nào sau đây đúng về hàm g(x) = f 2 (x)? A. Hàm số g(x) đồng biến trên (−∞; +∞). B. Hàm số g(x) nghịch biến trên (−∞; 1). C. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (2; +∞). D. Hàm số g(x) đồng biến trên (−∞; 2). CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2 −1 O 1 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ x 351 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. Từ đồ thị hàm số "y = f (x) suy ra x = −1  f (x) = 0 ⇔ , trong đó x = −1 là nghiệm kép. x=2 " x = −1  f 0 (x) = 0 ⇔ và f 0 (x) > 0 ⇔ −1 < x < 1. x=1 Xét hàm số g(x) = f 2 (x) có g 0 (x) = 2f (x)f 0 (x). " " f (x) = 0 x = ±1 g 0 (x) = 0 ⇔ ⇔ f 0 (x) = 0 x = 2. Ta có bảng xét dấu x −∞ f (x) f 0 (x) g 0 (x) −1 0 0 0 + − − 1 + + + 0 2 0 + − − 0 +∞ − − + Từ bảng xét dấu ta có g 0 (x) > 0 khi x ∈ (−1; 1) ∪ (2; +∞) nên hàm số g(x) đồng biến trên (2; +∞).  Chọn đáp án C Câu 69. Cho hàm số y = − (0; 3). A. a ≥ 12 . 7 x3 + (a − 1)x2 + (a + 3)x − 4. Tìm a để hàm số đồng biến trên khoảng 3 B. a < −3. C. a ≤ −3. D. a > 12 . 7 Lời giải. Hàm số đồng biến trên (0; 3) khi và chỉ khi y 0 = −x2 + 2(a − 1)x + a + 3 ≥ 0 ∀x ∈ (0; 3) ⇔ a ≥ Xét hàm g(x) = x2 + 2x − 3 2x + 1 ∀x ∈ (0; 3). x2 + 2x − 3 2×2 + 2x + 8 có g 0 (x) = > 0 ∀x ∈ [0; 3]. 2x + 1 (2x + 1)2 Suy ra a≥ x2 + 2x − 3 2x + 1 ∀x ∈ (0; 3) ⇔ a ≥ maxg(x) ⇔ a ≥ g(3) ⇔ a ≥ [0;3] 12 . 7  Chọn đáp án A √ Câu 70. Cho phương trình x3 − 3×2 − 2x + m − 3 + 2 3 2×3 + 3x + m = 0. Tập S là tập hợp các giá trị nguyên của m để phương trình có ba nghiệm phân biệt. Tính tổng các phần tử của S. A. 15. √ 3 B. 9. C. 0. D. 3. Lời giải. 2×3 3 3 Đặt t = + 3x + m ⇒ t = 2x + 3x + m. (3 t = 2×3 + 3x + m Ta có ⇒ t3 + 2t = (x + 1)3 + 2(x + 1). 3 2 x − 3x − 2x + m − 3 + 2t = 0 352 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Xét hàm số y = f (u) = u3 + 2u ⇒ f 0 (u) = 3u2 + 2 > 0, ∀u ∈ R. Do đó hàm số liên tục và đồng biến trên R. Suy ra t = x + 1 ⇒ 2×3 + 3x + m = (x + 1)3 ⇔ x3 − 3×2 − 1 = “−m. x=0 Xét g(x) = x3 − 3×2 − 1 ⇒ g 0 (x) = 3×2 − 6x. Giải g 0 (x) = 0 ⇔ x = 2. Bảng biến thiên x y0 −∞ + 0 0 − +∞ 2 0 + +∞ −1 y −∞ −5 Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi −5 < −m < −1 ⇒ 1 < m < 5. Vì m ∈ Z nên m ∈ S = {2; 3; 4}. Vậy tổng các phần tử của S bằng 9. Chọn đáp án B  Câu 71. Cho phương trình √ √ sin x(2 − cos 2x) − 2(2 cos3 x + m + 1) 2 cos3 x + m + 2 = 3 2 cos3 x + m + 2. Có ï baoã nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có đúng một nghiệm x thuộc 2π 0; ? 3 A. 1. B. . C. 4. D. 2. 3 Lời giải. Ta có ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ √ √ sin x(2 − cos 2x) − 2(2 cos3 x + m + 1) 2 cos3 x + m + 2 = 3 2 cos3 x + m + 2 √ √ sin x(2 − cos 2x) = 2(2 cos3 x + m + 1) 2 cos3 x + m + 2 + 3 2 cos3 x + m + 2 √   sin x(2 sin2 x + 1) = 2 cos3 x + m + 2 2(2 cos3 x + m + 1) + 3 √   sin x(2 sin2 x + 1) = 2 cos3 x + m + 2 2(2 cos3 x + m + 2) + 1 Ä√ ä3 √ 2 sin3 x + sin x = 2 2 cos3 x + m + 2 + 2 cos3 x + m + 2. Xét hàm số f (t) = 2t3 + t có f 0 (t) = 6t2 + 1 > 0 với mọi t nên hàm số f luôn đồng biến. Do đó Ä√ ä f (sin x) = f 2 cos3 x + m + 2 √ ⇔ sin x = 2 cos3 x + m + 2 ⇔ sin2 x = 2 cos3 x + m + 2 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 353 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ⇔ 1 − cos2 x = 2 cos3 x + m + 2 ⇔ − 2 cos3 x − cos2 x − 1 = m. (∗) ò Å 1 Đặt u = cos x, với u ∈ − ; 1 , phương trình (∗) trở thành −2t3 − t2 − 1 = m. 2 Å ò 1 3 2 Xét hàm số g(u) = −2u − u − 1 trên − ; 1 . 2 1 Ta có g 0 (u) = −6u2 − 2u và g 0 (u) = 0 có các nghiệm u = 0, u = − . 3 Bảng biến thiên x − 1 2 y0 1 3 0 − − 0 + −1 0 1 − −1 y − 28 27 −4 ã 2π khi phương trình (∗) có đúng một nghiệm Phương trình đã cho có đúng một nghiệm thuộc 0; 3 Å ò 1 28 thuộc − ; 1 . Dựa vào bảng biến thiên ta được m = −1 hoặc −4 ≤ m < − . 2 27 Vì m nguyên nên m ∈ {−4; −3; −2; −1}. ï  Chọn đáp án B tan x − 2 đồng biến trên Câu 72. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = tan x − m  π khoảng 0; . 4 A. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2. B. m ≤ 0. C. 1 ≤ m < 2. D. m ≥ 2. Lời giải. 1 1 (tan x − m) − (tan x − 2) 2 2−m cos2 x Ta có y 0 = cos x = 2 2. (tan x −m)  cos2 x (tan x− m)  π π π Hàm số đồng biến trên khoảng 0; ⇔ hàm số xác định trên 0; và y 0 ≥ 0 ∀x ∈ 0; . 4 4  4π   " m 6= tan x ∀x ∈ 0; m≤0 4 ⇔ Từ đó suy ra 2 − m ≥ 0 1 ≤ m ≤ 2.  π . Khi m = 2 thì hàm số đã cho là hàm hằng trên 0;  π 4 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2. 4 Chọn đáp án A  1 Câu 73. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 − 2x2 + (m + 5)x + 2m − 5 3 đồng biến trên khoảng (3; +∞). A. m ≤ 2. B. m > −2. C. m < 2. D. m ≥ −2. Lời giải. y 0 = x2 − 4x + m + 5. Để hàm số đồng biến trên (3; +∞) thì x2 − 4x + m + 5 ≥ 0 với mọi x ∈ (3; +∞). Hay m ≥ −x2 + 4x − 5 với mọi x ∈ (3; +∞). 354 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ⇔ m ≥ max (−x2 + 4x − 5) = −2 x∈(3;+∞)  Chọn đáp án D cot 2x + m + 2 đồng biến trên khoảng Câu 74. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = cot 2x − m π π  ; . 6 4 A. m ∈ (−∞; −1). B. m ∈ (−1; +∞).Ç √ ñ√ å å 3 3 C. m ∈ (−1; 0] ∪ ; +∞ . D. m ∈ (−1; 0) ∪ ; +∞ . 3 3 Lời giải. Ç √ å π π  3 0 Đặt u(x) = cot 2x ∈ 0; , u (x) < 0 với mọi x ∈ ; . 3 6 4 2m + 2 Ta có y 0 = −u(x). . (u(x) − m)2  2m + 2 > 0  π π  Ç √ å Do đó, để hàm số đồng biến trên ; thì 3 .  6 4 m ∈ R 0; 3 ñ√ å 3 Vậy m ∈ (−1; 0] ∪ ; +∞ . 3  Chọn đáp án C π π  cot x − 2 nghịch biến trên ; là Câu 75. Giá trị m để hàm số y = cot x − m 4 2 ” m≤0 . B. 1 ≤ m < 2. C. m ≤ 0. D. m > 2. A. 1≤m<2 Lời giải. π π  Đặt t = cot x, x ∈ ; ⇒ t ∈ (0; 1) . 4 2 t−2 . Ta có y = t−m π π  cot x − 2 t−2 Để hàm số y = nghịch biến trên ; , thì hàm số y = đồng biến trên (0; 1) . cot x − m 4 2 t−m t−2 2−m Xét hàm số y = ta có y 0 = . t−m (t − m)2 ( m∈ / (0; 1) t−2 Để hàm số y = đồng biến trên (0; 1) thì t−m y 0 > 0, ∀t ∈ (0; 1) . 0 Suy ra ” y > 0 ⇔ 2 − m > 0 ⇔ m < 2. m≤0 Vậy là giá trị cần tìm. 1≤m<2  Chọn đáp án A 2 cos x + 1 đồng biến trên khoảng (0; π). cos x − m 1 1 B. m > − . C. m > − . 2 2 Lời giải. Câu 76. Tìm m để hàm số y = A. m 6 1. D. m > 1. Vì x ∈ (0; π) nên cos x ∈ (−1; 1). Điều kiện: cos x − m 6= 0 ⇔ m ∈ / (−1; 1)(*). CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 355 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 −2 sin x (cos x − m) + sin x (2 cos x + 1) (2m + 1) sin x = . 2 (cos x − m) (cos x − m)2 Trên khoảng (0; π) ta thấy, sin x > 0, ∀x ∈ R. Ta có: y 0 = 1 Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (0; π) khi y 0 > 0 ⇔ 2m + 1 > 0 ⇔ m > − . 2 Kết hợp với điều kiện (*) ta có: m > 1.  Chọn đáp án D Câu 77. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (−9; 12) sao cho hàm số y = mx + 9 x+m đồng biến trên khoảng (−6; +∞)? A. 14. B. 16. C. 7. D. 6. Câu 78. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị của hàm số y = f 0 (x) như hình vẽ bên. Xét hàm số g(x) = f (x2 − 2). Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (0; 2). B. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (−∞; −2). y C. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (2; +∞). 1 2 D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 0). −1 O 2 x −2 Lời giải. ” 0 Từ đồ thị ta thấy f (x) = 0 ⇔ x = −1 ” 0 2 ⇒ f (x − 2) = 0 ⇔ x2 − 2 = −1 . x2 − 2 = 2   x=0 x=0   2  Từ g(x) = f (x2 − 2) ⇒ g 0 (x) = 2xf 0 (x2 − 2) = 0 ⇔  x − 2 = −1 ⇔ x = ±1 x2 − 2 = 2 x = ±2 Bảng xét dấu x=2 x −∞ g (x) 0 − −2 0 + −1 0 + 0 0 − 1 0 − 2 0 +∞ + Từ bảng xét dấu g 0 (x) ta thấy g 0 (x) > 0, ∀x ∈ (−1; 0).  Chọn đáp án D Å ã mx − 1 1 Câu 79. Tìm m để hàm số y = nghịch biến trên khoảng −∞; . m − 4x 4 A. −2 ≤ m ≤ 2. B. −2 < m < 2. C. m > 2. D. 1 ≤ m < 2. Å ãLời giải. Å ã 1 1 Để hàm số nghịch biến trên khoảng −∞; thì hàm số phải xác định trên −∞; và y 0 < 0, ∀x ∈ 4 4 356 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Å ã 1 −∞; . Ta có: 4    y 0 = m2 − 4 ( 2 <0 m −4<0 2 (m − 4x) ⇔ ⇔ 2 ≤ m < 2.  1 m m ≥ 1   ≥ 4 4  Chọn đáp án D Câu 80. Hàm số y = A. m ∈ ∅. m2 − 1 3 x + (m + 1)x2 + 3x + 5 đồng biến trên R khi 3 " m ≤ −1 B. m ≥ 2. C. . m≥2 D. m ≤ −1. Lời giải. Tập xác định D = R. Ta có: y 0 = (m2 − 1)x2 + 2(m + 1)x + 3. Hàm số đồng biến trên R ⇔ y 0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ (m2 − 1)x2 + 2(m + 1)x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ R (∗). Trường hợp 1: m2 − 1 = 0 ⇔ m = ±1. − Với m = 1 ta có: (∗) ⇔ 4x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ R (không thỏa ∀x ∈ R). Ta loại giá trị m = 1. − Với m = −1 ta có: (∗) ⇔ 3 ≥ 0, ∀x ∈ R (luôn đúng). Ta nhận giá trị m = −1. Trường hợp 2: (∗) ⇔ ( a>0 ∆0 ≤ 0 ⇔ ( 2 m −1>0 (m + 1)2 − 3(m2 − 1) ≤ 0 Kết hợp cả 2 trường hợp ta được: ” m ≤ −1 m≥2 ⇔ ( m < −1 ∨ m > 1 ” (m + 1)(4 − 2m) ≤ 0 ⇔ m < −1 m≥2 .  Chọn đáp án C Câu 81. y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị y = f 0 (x) như hình vẽ. 1 3 3 Xét hàm số g(x) = f (x) − x3 − x2 + x + 2017. 3 4 2 Cho các mệnh đề dưới đây: 3 (I) g(0) < g(1). (II) min g(x) = g(−1). x∈[−3;1] 1 (III) Hàm số g(x) nghịch biến trên (−3; −1). −1 −3 (IV) max g(x) = max{g(−3), g(1)}. O 1 x x∈[−3;1] Số mệnh đề đúng là A. 2. −2 B. 1. C. 3. D. 4. Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 357 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 1 3 3 Đặt h(x) = x3 + x2 − x − 2017. 3 4 2 3 3 Ta có h0 (x) = x2 + x − . 2 2 Trên đoạn [−3; 1], đồ thị của hàm số f 0 (x) và h0 (x) trên cùng hệ y 3 trục toạ độ Oxy có dạng như hình bên. Mặt khác, ta có g(x) = f (x) − h(x)." ⇒ g 0 (x) = 0 ⇔ f 0 (x) − h0 (x) = 0 ⇔ 1 x = ±1 −1 . −3 x = −3 Dựa vào đồ thị, ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) trên [−3; 1] O x 1 −2 như sau x −3 g 0 (x) −1 − 0 1 + g(−3) g(1) g(x) g(−1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: - Hàm số g(x) đồng biến trên (−1; 1) nên g(0) < g(1). - Hàm số g(x) có min g(x) = g(−1). x∈[−3;1] - Hàm số g(x) nghịch biến trên (−3; −1). - Hàm số g(x) có max g(x) = max {g(−3); g(1)}. x∈[−3;1]  Chọn đáp án D m−1 2 1 x + mx + m − 1. Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho Câu 82. Cho hàm số y = x3 − 3 2 hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài đúng bằng 1. Tính số phần tử của S. A. 1. B. 3. C. 2. D. 0. Lời giải. 0 2 Ta có: y = x − (m − 1)x + m. Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1 ⇔ y 0 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 đồng thời |x1  − x2 | = 1  ( ( 2 "  ∆ > 0 (m − 1)2 − m > 0 m − 3m + 1 > 0 m=0 √ ⇔ ⇔ √ ⇔ ⇔ m2 − 3m = 0 ⇔ ∆  ∆=1 m2 − 3m + 1 = 1 m = 3.   a =1 Số phần tử của S bằng 2.  Chọn đáp án C Câu 83. Cho a và b Å là hai số dương thỏa mãnã2(a2 + b2 ) + ab = (a + b)(ab + 2). Biết giá trị nhỏ nhất ã Å a3 b 3 a2 b 2 m m của biểu thức P = 4 3 + 3 − 9 2 + 2 là S = (với m, n là các số nguyên, n > 0 và là b a b a n n phân số tối giản). Hãy tính m + n. A. −18. B. −19. 358 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. −20. D. −17. Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. Với a, b là số dương ta có 2(a2 + b2 ) + ab = (a + b)(ab + 2) ⇔ 2(a2 + b2 ) + ab = a2 b + ab2 + 2(a + b) ã Å ã Å 1 1 a b + + 1 = (a + b) + 2 + ⇔ 2 b a a b Å ã Å ã Å ã 1 1 1 1 a b Mặt khác (a + b) + 2 + ≥ 2 2(a + b) + =2 2 + +2 . a b a b b a ã Å ã Å a b a b 5 a b + +1≥2 2 + +2 ⇒ + ≥ . Suy ra 2 b a b a b a 2 a b 5 Đặt t = + , t ≥ suy ra P = 4(t3 − 3t) − 9(t2 − 2) = 4t3 − 9t2 − 12t + 18. b a 2 5 Xét hàm số f (t) = 4t3 − 9t2 − 12t + 18, với t ≥ . 2 Å ã 5 5 −23 0 2 Ta có f (t) = 6(2t − 3t − 2) > 0, với ∀t ≥ suy ra h min  f (t) = f = . 5 2 2 4 ;+∞ 2 −23 Vậy min P = ⇒ m + n = −19. 4 Chọn đáp án B  Câu 84. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx − sin x đồng biến trên R. A. m > 1. B. m ≤ −1. C. m ≥ 1. D. m ≥ −1. Lời giải. Ta có y 0 = m − cos x. Theo đề bài, y 0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ m − cos x ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ m ≥ cos x, ∀x ∈ R ⇔ m ≥ 1.  Chọn đáp án C Câu 85. Tập nghiệm của bất phương trình (x + 2) A. (1; +∞). B. (1; 2). îp ó Ä√ ä (x + 2)2 + 3 + 1 + x x2 + 3 + 1 > 0 là C. (−1; +∞). D. (−1; 2). Lời giải. Bất phương trình đã cho có dạng Ä√ ä f (x + 2) > f (−x) trong đó f (t) = t t2 + 3 + 1 . ä Ä√ Xét f (t) = t t2 + 3 + 1 , t ∈ R; Å ã √ √ t t2 0 2 2 √ √ Ta có f (t) = t + 3 + 1 + t = t +3+1+ > 0∀t ∈ R. t2 + 3 t2 + 3 Do đó f (t) đồng biến trên R. Từ đó f (x + 2) > f (−x) ⇔ x + 2 > −x ⇔ x > −1  Chọn đáp án C Câu 86. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = (m2 − 1) x4 − 2mx2 đồng biến trên khoảng (1; +∞). CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 359 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 √ 1+ 5 B. m = −1 hoặc m > . 2 A. m ≤ −1. √ 1+ 5 C. m ≤ −1 hoặc m ≥ . 2 D. m ≤ −1 hoặc m > 1. Lời giải. 0 2 3 Ta có y = 4(m − 1)x − 4mx.  Với m = −1 ⇒ y 0 = 4x > 0, ∀x ∈ (1; +∞) ⇒ y tăng trên khoảng (1; +∞).  Với m = 1 ⇒ y 0 = −4x < 0, ∀x ∈ (1; +∞) ⇒ y giảm trên khoảng (1; +∞).  Với m 6= ±1, để hàm số tăng trên (1; +∞) thì ((m2 − 1)x2 − m) x ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞). 2m 2 ∈ (1; +∞)(∗) + Nếu m2 − 1 < 0, (∗) ⇔ x2⇔≤(m 2 − 1)x , ∀x≥∈m, (1;∀x +∞) (không có m thỏa bài toán). m −1 m m , ∀x ∈ (1; +∞) ⇔ 2 ≤ 1. + Nếu m2 − 1 > 0, (∗) ⇔ x2 ≥ 2 m −1 m√− 1  ( 2 1+ 5 m −1>0 m ≥ 2 Giá trị m thỏa mãn hệ ⇔ m2 − m − 1 ≥ 0 m < −1. √ 1+ 5 Vậy m ≥ hoặc m ≤ −1. 2 Chọn đáp án C  2 sin x − 1 đồng biến trên khoảng Câu 87. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = sin x − m  π 0; . 2 A. m < 1. B. m ≤ 0. C. m ≥ 1. D. m > −1. Lời giải.  π  π (1 − 2m) cos x Ta có y 0 = . Vì cos x > 0, ∀x ∈ 0; nên hàm số đồng biến trên 0; khi và chỉ (sin x − m)2 2 2 khi  1 − 2m > 0   (1 − 2m) cos x π   > 0, ∀x ∈ 0; ⇔  sin x = m không có nghiệm thuộc 0; π (sin x − m)2 2 2  1   m < 1    2   m<      2 " |m| > 1 ⇔ ⇔  m ≤ 0 ⇔ m ≤ 0.        m = 1    m≥1   m≤0 Chọn đáp án B  Câu 88. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R và có đạo hàm f 0 (x) thỏa mãn f 0 (x) = (1 − x)(x + 2) · g(x) + 2018 trong đó g(x) < 0, ∀x ∈ R. Hàm số y = f (1 − x) + 2018x + 2019 nghịch biến trên khoảng nào? A. (1; +∞). B. (0; 3). C. (−∞; 3). D. (3; +∞). Lời giải. Đặt t = 1 − x, ta được hàm số h(t) = f (t) − 2018t + 4037. Khi đó, ta có: h0 (t) = f 0 (t) − 2018 = (1 − t)(t + 2)g(t). " Suy ra y 0 = −x(3 − x) · g(x); y 0 < 0 ⇔ −x(3 − x) · g(x) < 0 ⇔ 3x − x2 < 0 ⇔ x<0 x > 3. 360 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Do đó hàm số y = f (1 − x) + 2018x + 2019 nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (3; +∞).  Chọn đáp án D Câu 89. Tất cả các giá trị của m để hàm số y = 1 B. m ≤ . 2 1 A. m < . 2  π 2 sin x − 1 đồng biến trên khoảng 0; là sin x − m 2 C. m ≤ 0. D. m < 0. Lời giải. π 2t − 1 Đặt t = sin x. Vì x ∈ 0; nên t ∈ (0; 1). Hàm số đã cho trở thành y = . 2 t−m Tập xác định D = R {m}. 1 − 2m Ta có y 0 = . (t − m)2 2t − 1 Hàm số y = đồng biến trên khoảng (0; 1) khi và chỉ khi t−m   1 − 2m   m < 1 > 0, ∀t ∈ (0; 1) (t − m)2 2 ⇔ ⇔ m < 0.   m ∈ m∈ / (0; 1) / (0; 1)   Chọn đáp án D Câu 90. Cho cấp số cộng (an ), cấp số nhân (bn ) thỏa mãn a2 > a1 ≥ 0; b2 > b1 ≥ 1 và hàm số f (x) = x3 − 3x sao cho f (a2 ) + 2 = f (a1 ) và f (log2 b2 ) + 2 = f (log2 b1 ). Số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho bn > 2018 · an là A. 16. B. 15. C. 17. D. 18. Lời giải. Ta có f 0 (x) = 3×2 − 3. Ta có bảng biến thiên của hàm số f (x) như sau x −∞ f 0 (x) + −1 0 1 0 − 0 +∞ + +∞ 2 f (x) 0 −∞ Từ bảng biến thiên ta có −2 ( f (x) nghịch biến trên [0; 1] f (1) + 2 = f (0). ( a1 = 0 Ta có ⇒ ⇒ an = n − 1. f (a2 ) + 2 = f (a1 ) a2 = 1. ( ( ( 1 ≤ b1 < b2 log2 b1 = 0 b1 = 1 Ta có ⇒ ⇒ ⇒ bn = 2n−1 . f (log2 b2 ) + 2 = f (log2 b1 ) log2 b2 = 1 b2 = 2 n−1 Khi đó bn > 2018 · an ⇒ 2 > 2018 · (n − 1). t Xét f (t) = 2 − 2018 · t với t ≥ 0. 2018 . Ta có f 0 (t) = 2t · ln 2 − 2018. Ta được f 0 (t) = 0 ⇔ t = log2 ln 2 Ta có bảng biến thiên của hàm số f (t) như sau ( 0 ≤ a1 < a2 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 361 Tuyển tập Toán 12 THPT t Kỳ thi THQG 2020 log2 0 f 0 (t) − 2018 ≈ 11,5 ln 2 t0 14 15 +∞ + 0 +∞ 1 2498 0 f (t) -11868 ≈ −20310,73 Theo bảng biến thiên, ta thấy giá trị t = 15 là số nguyên dương nhỏ nhất để f (t) > 0. Vậy ta có n = 16 là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho bn > 2018 · an . Chọn đáp án A  Câu 91. Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn 2f (x) > 1 và 1 m2 x2 + + m(1 − x) 2f (x) − 1 4 = 1 2mx − 1 f 2 (x) − f (x) + m + 4 với m > 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f (x) − 9m + 8 đồng biến trên x−m từng khoảng xác định của nó? A. 8. B. 9. C. 6. Lời giải. D. 7. 1 m2 x2 + + m(1 − x) 2f (x) − 1 (2mx − 1)2 + 4m 4 Với m > 0, ta có = = > 0. 1 2mx − 1 [2f (x) − 1]2 + 4m 2 f (x) − f (x) + m + 4 Mà 2f (x) > 1 ⇒ 2mx − 1 > 0. Ta lại có 1 m2 x2 + + m(1 − x) 2f (x) − 1 2f (x) − 1 (2mx − 1)2 + 4m 4 = ⇔ = 1 2mx − 1 2mx − 1 [2f (x) − 1]2 + 4m f 2 (x) − f (x) + m + 4 ⇔ [2f (x) − 1]3 + 4m[2f (x) − 1] = (2mx − 1)3 + 4m(2mx − 1) ⇔ 2f (x) − 1 = 2mx − 1 ⇔ f (x) = mx (vì hàm số g(t) = t3 + 4mt đồng biến trên R). mx − 9m + 8 . x−m mx − 9m + 8 −m2 + 9m − 8 Xét hàm số y = , ta có y 0 = . x−m (x − m)2 Do đó hàm số đã cho trở thành y = Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó ⇔ y 0 > 0, ∀x ∈ D ⇔ −m2 + 9m − 8 > 0 ⇔ 1 < m < 8. 362 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Suy ra giá trị nguyên của m là 2, 3, 4, 5, 6, 7.  Chọn đáp án C Câu 92. x4 − y= 4 A. 1. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số thực m sao cho hàm số 3 2 mx2 + 2x + 2 đồng biến trên nửa khoảng [1; +∞). Số phần tử của tập S là 2 x B. 2. C. 0. D. 6. Lời giải. 4 Ta có y = x − 3mx + 2 − 3 . Vì hàm số liên tục trên [1; +∞) và có đạo hàm trên (1; +∞) nên hàm x số đồng biến trên nửa khoảng [1; +∞) khi y 0 ≥ 0, ∀x > 1. 4 2 4 x3 − 3mx + 2 − 3 ≥ 0, ∀x > 1 ⇔ x2 + − 4 ≥ 3m, ∀x > 1 (1). x x x 2 4 2 16 Xét hàm số g(x) = x2 + − 4 , x > 1, g 0 (x) = 2x − 2 + 5 > 0, ∀x > 1. Bảng biến thiên của hàm số x x x x g(x) 0 3 x +∞ 1 g 0 (x) + +∞ g(x) −1 1 Từ bảng biến thiên suy ra (1) ⇔ 3m ≤ −1 ⇔ m ≤ − . 3 Chọn đáp án C  ã − cos x + m 3π Câu 93. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = nghịch biến trên khoảng π; . cos x + m 2 A. m ≥ 0. B. m ≤ −1. C. m ≥ 1. D. m < 0. Å ÅLời giải. ã Å ã 3π 3π 2m sin x 0 Ta có y = . Vì sin x < 0, ∀x ∈ π; nên hàm số đã cho nghịch biến trên π; (cos x + m)2 2 2 Å ã 2m 3π ⇔ > 0 ∀x ∈ π; (cos x + m)2 2   m > 0 ã Å ⇔ 3π  π;  cos x = −m không có nghiệm thuộc 2  m>0   ” ⇔ − m ≤ −1 ⇔ m ≥ 1.    −m≥0  Chọn đáp án C 2 2 cot x − 2m cot x + 2m − 1 , có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn cot x − m π π  [−2018; 2018] để hàm số đã cho nghịch biến trên ; ? 4 2 A. 2018. B. 2020. C. 2019. D. 0. Câu 94. Cho hàm số y = CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 363 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. Đặt t = cot x, t ∈ (0; 1). t2 − 2mt + 2m2 − 1 đồng biến trên (0; 1). Ta cần tìm m để y = t−m t2 − 2mt + 1 Ta có y 0 = . (t − m)2 Để hàm số đồng biến trên (0; 1) thì  2   t + 1 ≥ 2m, ∀t ∈ (0; 1) (1) t ⇔  m ≤ 0 hoặc m ≥ 1 m ≤ 0 hoặc m ≥ 1. (2) ( 0 y ≥ 0, ∀t ∈ (0; 1) Đặt g(t) = t2 + 1 1 ⇒ g 0 (t) = 1 − 2 . t t t 0 g (t) 1 0 Ta có − +∞ g 0 (t) = 0 ⇔ t = ±1. g(t) Hàm số g(t) bảng biến thiên trên (0; 1) như hình bên. 2 Từ (1) suy ra 2m ≤ 2 ⇔ m ≤ 1. Kết hợp (2) ta được m ≤ 0 hoặc m = 1. Vậy có 2020 giá trị nguyên của m nằm trong đoạn [−2018; 2018] thỏa bài toán.  Chọn đáp án B Câu 95. y Cho hàm số f (x) có đạo hàm là hàm số f 0 (x) trên R. Biết rằng hàm số y = f 0 (x − 2) + 2 có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng 2 nào? A. (−∞; 2). Å B. (−1; 1). C. ã 3 5 . ; 2 2 D. (2; +∞). O −1 2 1 3 x Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số y = f 0 (x − 2) + 2 có dạng y = g(x) = ax2 + bx + c. Theo đồ thị ta có       a=3 g(1) = 2 a + b + c = 2       g(2) = −1 ⇔ 4a + 2b + c = −1 ⇔ b = −12 .          c = 11 g(3) = 2 9a + 3b + c = 2 Vậy f 0 (x − 2) + 2 = 3×2 − 12x + 11 ⇔ f 0 (x − 2) = 3×2 − 12x + 9. Đặt t = x − 2 ⇒ f 0 (t) = 3(t + 2)2 − 12(t + 2) + 9 = 3t2 − 3 ⇒ f 0 (x) = 3×2 − 3. Hàm số y = f (x) nghịch biến khi và chỉ khi f 0 (x) < 0 ⇔ 3x2 − 3 < 0 ⇔ x ∈ (−1; 1). Chọn đáp án B  Câu 96. 364 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như −∞ x −1 +∞ 2 hình vẽ bên. f 0 (x) Hàm số y = f (x2 − 1) nghịch biến trên các khoảng nào sau đây? √ √ A. (− 3; 3). B. (0; +∞). + − 0 + +∞ 3 f (x) D. (−∞; −2). C. (−2; 0). 0 −∞ 1 Lời giải. 0 Ta có [f (x − 1)] = f (x − 1) (2x). Dựa vào đồ thị hàm số f 0 (x) ta có 2 0 2 " 
0 f x2 − 1 = 0 ⇔
f 0 x2 − 1 = 0 x=0  2 " √ x − 1 = −1  2 x=± 3 ⇔ x − 1 = 2 ⇔ x = 0. x=0 Bảng biến thiên của hàm số y = x2 − 1: √ − 3 −∞ x √ 3 0 +∞ +∞ +∞ x2 − 1 2 2 −1 0 Từ đó, ta có bảng xét dấu của [f (x2 − 1)] √ − 3 −∞ x 2x − f 0 (x2 − 1) + 0 − − 0 + 0 [f (x2 − 1)] √ 3 0 − 0 0 + +∞ + − 0 + − 0 + Từ bảng xét dấu, ta có hàm số y = f (x2 − 1) nghịch biến trên (−∞; −2).  Chọn đáp án D Câu 97. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số y = 3x + m(sin x + cos x + m) đồng biến trên R? A. 5. B. 4. C. 3. D. Vô số. Lời giải. 0 Ta có y = 3 + m(cos x − sin x). Hàm số đồng biến trên R khi y 0 ≥ 0 với mọi x ∈ R ⇔ 3 + m(cos x − sin x) ≥ 0, ∀x ∈ R  √ π ⇔ 2m cos x + ≥ −3, ∀x ∈ R 4 (1).  Với m = 0, (1) luôn đúng. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 365 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Với m > 0, π 3 (1) ⇔ cos x + ≥ − √ , ∀x ∈ R 4 2m 3 3 ⇔ −1 ≥ − √ ⇔m≤ √ 2m 2 ⇔ m = 1, m = 2 (vì m ∈ Z).   Với m < 0,  π 3 (1) ⇔ cos x + ≤ − √ , ∀x ∈ R 4 2m 3 3 ⇔ 1 ≤ −√ ⇔ m ≥ −√ 2m 2 ⇔ m = −2, m = −1 (vì m ∈ Z). Vậy có 5 giá trị nguyên m thỏa bài toán.  Chọn đáp án A Câu 98. Cho hàm số y = |x3 − mx + 1|. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên m sao cho hàm số đồng biến trên [1; +∞). Tìm tổng các phần tử của S. A. 3. Ta có: y = B. 1. C. 9. ( f (x) = x3 − mx + 1 Lời giải. , nếu x − mx + 1 ≥ 0 D. 10. 3 . g(x) = −x3 + mx − 1 , nếu x3 − mx + 1 < 0 Để hàm số đồng biến trên [1; +∞) thì mọi nghiệm của f (x) = 0 không lớn hơn 1, hay f (x) ≥ 0, ∀x ≥ 1. x3 + 1 x3 + 1 Khi đó ta có: m ≤ , ∀x ≥ 1 ⇒ m ≤ min = 2. x≥1 x x Dễ dàng kiểm tra được với m ∈ {0; 1; 2} thì hàm số đồng biến trên [1; +∞) nên S = {0; 1; 2}. Chọn đáp án A √  √ √ √ 1 − x2 + 1 ≤ 2 x2 − x4 + x2 + 1 − x2 + 2 có
Câu 99. Biết rằng bất phương trình m |x| + Ä ó √ nghiệm khi và chỉ khi m ∈ −∞; a 2 + b với a, b ∈ Z. Tính giá trị của T = a + b. A. T = 0. B. T = 1. C. T = 2. D. T = 3. Lời giải. Điều kiện xác định −1 ≤ x ≤ 1. Khi đó ta có √ √ √ √ 2 x2 − x4 + 1 + x2 + 1 − x2 + 1 2 x2 − x4 + 1 √ √ m≤ = + 1. |x| + 1 − x2 + 1 |x| + 1 − x2 + 1 Vì −1 ≤ x ≤ 1 nên ta có thể đặt x = sin t, khi đó biểu thức (1) tương đương (1) 2 |sin t. cos t| + 1 (|sin t| + |cos t|)2 = . |sin t| + |cos t| + 1 |sin t| + |cos t| + 1 Ä √ ó u2 u2 + 4u > 0. Đặt u = |sin t| + |cos t| . Xét hàm số f (u) = với u ∈ 0, 2 có f 0 (u) = 2 u + 2 (u + 2) √ Hàm số f (u) đồng biến trên (0; 2]. √ √ √ 2 2(2 − 2) √ = Suy ra m ≤ f (u) ≤ f ( 2) = = 2 − 2. 2 2+ 2 Vậy a = −1, b = 2 nên a + b = 1. m≤ Chọn đáp án B 366 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 100. Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số y = 2x − m2 x−m−4 đồng biến trên khoảng (2021; +∞). Khi đó, giá trị của S bằng bao nhiêu? A. 2035144. B. 2035145. C. 2035146. D. 2035143. Lời giải. Tập xác định D = R {m + 4}. ” 2 m < −2 m − 2m − 8 0 y0 = . Theo đề y > 0 ⇔ (x − m − 4)2 m > 4. Hàm số đồng biến trên (2021; +∞) ⇔ m + 4 ≤ 2021 ⇔ m ≤ 2017. Kết hợp điêu kiện ta được m ∈ (4; 2017]. x −∞ y0 +∞ m+4 + + +∞ 2 y 2 −∞ Khi đó S = 5 + 6 + · · · + 2017 (5 + 2017) · 2013 = 2035143. = 2  Chọn đáp án D CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 367 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ĐÁP ÁN 1. B 11. B 2. A 12. C 3. C 13. C 4. B 14. A 5. D 15. A 6. C 16. B 7. D 17. A 8. C 18. C 9. B 19. D 10. C 20. C 21. D 22. D 23. D 24. C 25. D 26. B 27. D 28. D 29. B 30. A 31. A 32. D 33. C 34. B 35. D 36. B 37. B 38. D 39. D 40. D 41. D 51. A 42. C 52. B 43. B 53. D 44. A 54. A 45. B 55. C 46. C 56. C 47. A 57. B 48. B 58. C 49. A 59. C 50. B 60. D 61. B 62. C 63. B 64. C 65. B 66. D 67. D 68. C 69. A 70. B 71. B 72. A 73. D 74. C 75. A 76. D 77. D 78. D 79. D 80. C 81. D 91. C 82. C 92. C 83. B 93. C 84. C 94. B 85. C 95. B 86. C 96. D 87. B 97. A 88. D 98. A 89. D 99. B 90. A 100. D 368 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT BÀI Kỳ thi THQG 2020 3 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 Định nghĩa Định nghĩa 1. Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D. 1 Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên tập D nếu i) ∀x ∈ D : f (x) ≤ M ; ii) ∃x0 ∈ D : f (x0 ) = M . Kí hiệu M = max f (x). D 2 Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên tập D nếu i) ∀x ∈ D : f (x) ≥ m; ii) ∃x0 ∈ D : f (x0 ) = m. Kí hiệu m = min f (x). D Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = x − 5 + 1 trên khoảng (0; +∞). x Lời giải. 2 1 x −1 Trên khoảng (0; +∞), ta có y 0 = 1 − 2 = ; x x2 y 0 = 0 ⇔ x2 − 1 = 0 ⇔ x = 1. Bảng biến thiên x y0 0 − 1 0 +∞ +∞ + +∞ y −3 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (0; +∞) hàm số có giá trị cực tiểu duy nhất, đó cũng là giá trị nhỏ nhất của hàm số. Vậy min f (x) = −3 tại x = 1. Không có giá trị lớn nhất của f (x) trên khoảng (0; +∞). (0;+∞)  2 Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn Định lí 1. Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn Nhận xét. Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0 (x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b] thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó, f (x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 369 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 đầu mút của đoạn. Quy tắc Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [a; b] ta làm như sau:  Tìm f 0 (x) và tìm các điểm x1 , x2 , . . . , xn trên khoảng [a; b] mà tại đó f 0 (x) = 0 hoặc f 0 (x) không xác định.  Tính f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn ), f (a), f (b).  Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó M = max f (x); m = min f (x). [a;b] [a;b] Ví dụ 2. [Cao Thành Thái][2D1B3] Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2×3 + 3×2 − 12x + 2 trên đoạn [−1; 2]. Lời giải. 0 2 Ta có: y = 6x + 6x − 12.    x =1  0 2 y = 0 ⇔ 6x + 6x − 12 = 0 ⇔     x = −2. Trên đoạn [−1; 2] ta có: y(−1) = 15; y(1) = −5; y(2) = 6. Vậy max y = 15 tại x = −1 và min y = −5 tại x = 1. [−1;2] 4 !  [−1;2] Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = 1 trên khoảng (0; 1). x Lời giải. 1 Trên khoảng (0; 1), ta có f (x) = − 2 < 0. x Bảng biến thiên 0 x f 0 (x) 0 1 − +∞ f (x) 1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (0; 1) hàm số không có giá trị lớn nhất, cũng không có  giá trị nhỏ nhất. Một số phương pháp khác tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Cho hàm số y = f (x). 1 Phương pháp miền giá trị 370 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Xem y = f (x) là phương trình đối với ẩn số x và y là tham số;  Tìm điều kiện của y để phương trình y = f (x) có nghiệm;  Từ điều kiện trên, biến đổi đưa đến dạng m ≤ y ≤ M . Xét dấu “=” xảy ra và kết luận. 2 Phương pháp đạo hàm  Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f (x);  Dựa vào bảng biến thiên để kết luận. 3 Phương pháp dùng bất đẳng thức  Dùng các bất đẳng thức quen thuộc để chứng minh f (x) ≤ M hoặc f (x) ≥ m.  Phải chỉ ra tồn tại x1 , x2 ∈ D sao cho f (x1 ) = M , f (x2 ) = m. Khi đó M = max f (x); m = min f (x). D D 3 Các ví dụ áp dụng Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x4 − 18x2 + 2 trên đoạn [−1; 4]. Lời giải. Ta có: f 0 (x) = 4x3 − 36x.    x =0  0 3 2 f (x) = 0 ⇔ 4x − 36x = 0 ⇔ 4x(x − 9) = 0 ⇔     x = ±3. Trên đoạn [−1; 4] ta có: f (−1) = −15; f (3) = −79; f (4) = −30. Vậy max f (x) = −15 tại x = −1 và min f (x) = −79 tại x = 3. [−1;4]  [−1;4] 9 1 Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x6 − 3x4 + x2 + trên đoạn 4 4 [−1; 1]. Lời giải. 9 Ta có: y 0 = 6x5 − 12x3 + x. 2      x =0  x =0       √   9 4 2 0 5 3  6 y = 0 ⇔ 6x − 12x + x = 0 ⇔ x(12x − 24x + 9) = 0 ⇔  x2 = 3 ⇔   x =± 2   2 2     √     2 1 2 x = x =± . 2 2 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 371 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ç √ å Ç√ å 3 1 3 1 1 2 2 = ; y(0) = ; y = ; y(1) = . Trên đoạn [−1; 1] ta có: y(−1) = ; y − 2 2 4 4 2 4 2 √ 3 2 1 Vậy max y = tại x = ± và min y = tại x = 0. [−1;1] [−1;1] 4 2 4 ï ò 1 1 Ví dụ 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + trên đoạn ;2 . x 2  Lời giải. 2 Với x 6= 0 ta có: y 0 = 1 − 1 x −1 = . 2 x x2 y0 = 0 ⇔ x2 − 1 = 0 ⇔ x2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1. x2 ò Å ã 1 5 5 1 ; 2 ta có: y = ; y(1) = 2; y(2) = . Trên đoạn 2 2 2 2 1 5 Vậy max y = tại x = hoặc x = 2 và min y = 2 tại x = 1. 2 2 [ 12 ;2] [ 12 ;2] ï  Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = √ x2 − 4x + 5 trên đoạn [−2; 3]. Lời giải. x−2 Ta có: f 0 (x) = √ . x2 − 4x + 5 x−2 = 0 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2. f 0 (x) = 0 ⇔ √ x2 − 4x + 5 √ √ Trên đoạn [−2; 3] ta có: f (−2) = 17; f (2) = 1; f (3) = 2. √ Vậy max f (x) = 17 tại x = −2 và min f (x) = 1 tại x = 2. [−2;3] [−2;3]  x+1 Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = √ trên khoảng (−∞; +∞). x2 + 1 Lời giải. 1 − x √ Ta có y 0 = 0 ⇔ = 0 ⇔ x = 1. (x2 + 1) x2 + 1 Bảng biến thiên: x −∞ y0 +∞ 1 + 0 √ 2 − y −1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số là 372 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 1 √ 2.  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ví dụ 9. Cho bất phương trình (x + 2)(x + 4)(x2 + 6x + 10) ≥ m, với m là tham số. Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R. Lời giải. Xét hàm số f (x) = (x + 2)(x + 4)(x2 + 6x + 10) = (x2 + 6x + 8)(x2 + 6x + 10). Tập xác định của hàm số f (x) là D = R. Ta có: f 0 (x) = (2x + 6)(2x2 + 12x + 18) = 4(x + 3)3 . f 0 (x) = 0 ⇔ 4(x + 3)3 = 0 ⇔ x = −3. Bảng biến thiên: x −∞ f 0 (x) −3 − 0 +∞ + +∞ +∞ f (x) −1 Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x thuộc R khi min f (x) ≥ m ⇔ m ≤ −1.  R Ví dụ 10. Cho một tấm nhôm hình vuông có chu vi là 36 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Khi đó, khối hộp nhận được có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu? Lời giải. 9 Gọi x (cm) là độ dài cạnh hình vuông bị cắt (0 < x < ). 2 Khi đó, thể tích khối hộp nhận được là V (x) = (9 − 2x)2 x = 4x3 − 36x2 + 81x. Ta có V 0 (x) = 12x2 − 72x + 81; V 0 (x) = 0 ⇔ Bảng biến thiên: CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 373 Tuyển tập Toán 12 THPT x Kỳ thi THQG 2020 3 2 0 V 0 (x) + 9 2 − 0 27 V (x)  B CÁC DẠNG TOÁN { DẠNG 1. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn Phương pháp giải. Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f (x) trên đoạn [a; b] ta thực hiện như sau:  Tìm các điểm xi ∈ (a; b) mà tại đó f 0 (x) bằng 0 hoặc không xác định.  Tính các giá trị f (a), f (xi ), f (b).  Tìm số lớn nhất M , số nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó M = max f (x), m = min f (x). [a;b] [a;b] Ví dụ 11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x3 + 3x2 − 12x + 2 trên đoạn [−1; 2]. Lời giải. Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [−1; 2]. " Đạo hàm: y 0 = 6x2 + 6x − 12; y 0 = 0 ⇔ 6x2 + 6x − 12 = 0 ⇔ x = 1 ∈ (−1; 2) x = −2 ∈ / (−1; 2). Ta có y(−1) = 15, y(1) = 5, y(2) = 6. Vậy max y = 15 = y(−1), min y = 5 = y(1). [−1;2]  [−1;2] Ví dụ 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x4 − 2x2 trên đoạn [−2; 3]. Lời giải. Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [−2; 3]. " Đạo hàm: y 0 = 4x3 − 4x; y 0 = 0 ⇔ 4x3 − 4x = 0 ⇔ Ta có y(−2) = 8, y(3) = 63, y(0) = 0, y(±1) = −1. Vậy max y = 63 = y(3), min = −1 = y(±1). [−2;3] [−2;3] 374 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em x = 0 ∈ (−2; 3) x = ±1 ∈ (−2; 3).  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020   x2 − 2x − 2 Ví dụ 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên đoạn − 21 ; 4 . x+1 Lời giải.   Hàm số đã cho liên tục trên đoạn − 12 ; 4 . " 2 x = −2 x + 2x Đạo hàm: y 0 = ; y0 = 0 ⇔ . 2 (x + 1) x=0
Ta có y − 21 = − 32 , y(0) = −2, y(4) = 56 . Vậy max y = 65 = y(4), min = −2 = y(0). [− 12 ;4] [− 21 ;4] Ví dụ 14. Cho hàm số y =  16 x+m với m là tham số thực. Tìm m để max y + min y = . [1;2] [1;2] x+1 3 Lời giải. Tập xác định: D = R {−1}. 1−m Đạo hàm y 0 = . (x + 1)2 Do hàm số đã cho liên tục và đơn điệu trên [1; 2] nên max y + min y = [1;2] [1;2] m = 5. 1+m 2+m 16 16 ⇔ + = ⇔ 3 2 3 3  x+1 trên đoạn [−1; 2]. Ví dụ 15. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = √ x2 + 1 Lời giải. x+1 Hàm số y = √ liên tục trên đoạn [−1; 2]. x2 + 1 1−x √ Đạo hàm: y 0 = ; y 0 = 0 ⇔ x = 1. 2 (x + 1) x2 + 1 √ √ 3 5 Ta có y(−1) = 0, y(1) = 2, y(2) = . 5 √ Vậy max y = 2 = y(1), min y = 0 = y(1). [−1;2]  [−1;2] Ví dụ 16. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x + p 2 − sin2 x. Lời giải. Tập xác định: D = R. Đặt t = sin x, −1 ≤ t ≤ 1. Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số √ y = t + 2 − t2 trên đoạn [−1; 1]. ( √ 2−t t≥0 √ t 2 − t = √ ; y 0 = 0 ⇔ 2 − t2 = t ⇔ ⇔ t = 1. Đạo hàm: y 0 = 1 − √ 2 − t2 2 − t2 2 − t2 = t2 Ta có y(−1) = 0, y(1) = 2. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2, giá trị nhỏ nhất bằng 0. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ  375 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ví dụ 17. Cho hàm số f (x) = 4x2 − 4ax + a2 − 2a với a là tham số thực. Tìm a để min f (x) = 2. [−2;0] Lời giải. a Đạo hàm: f 0 (x) = 8x − 4a; f 0 (x) = 0 ⇔ x = . Xét các trường hợp sau: 2 a TH1: Nếu > 0 ⇔ a > 0 thì min f (x) = f (0) = a2 − 2a. [−2;0] 2 √ √ Theo đề ta có a2 − 2a = 2 ⇔ a = 1 ± 3. Vì a > 0 nên chọn a = 1 + 3. a TH2: Nếu < −2 ⇔ a < −4 thì min f (x) = f (−2) = a2 − 6a + 16. [−2;0] 2 Theo đề ta có a2 − 6a + 16 = 0 ⇔ a2 − 6a + 14 = 0 (vô nghiệm). a a TH3: Nếu 0 ≤ ≤ 0 ⇔ −4 ≤ a ≤ 0 thì min f (x) = f = −2a. [−2;0] 2 2 Theo đề ta có −2a = 2 ⇔ a = −1 thỏa −4 ≤ a ≤ 0. √ Vậy min f (x) = 2 khi a = 1 + 3 và a = −1.  [−2;0] BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 3x + 1 trên đoạn [−1; 2]. Lời giải. Ta có max y = 3 = y(2), min y = −1 = y(1). [−1;2]  [−1;2] Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x + nó. √ 4 − x2 trên tập xác định D của Lời giải. Tập xác định của hàm số: D = [−2; 2]. √ Ta có max f (x) = 2 2, min f (x) = −2. [−2;2]  [−2;2] 3 Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x6 + 4 (1 − x2 ) trên đoạn [−1; 1]. Lời giải. Đặt t = x2 , 0 ≤ t ≤ 1 ta đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g(t) = t3 + 4(1 − t)3 trên đoạn [0; 1]. Đáp số: Giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng 4 . 9 Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y =  2 (cos x − 1) . cos 2x + 2 cos x + 5 Lời giải. cos x − 1 Biến đổi hàm số đã cho thành y = . cos2 x + cos x + 2 Đặt t = cos x, −1 ≤ t ≤ 1, ta đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số t−1 y= 2 , −1 ≤ t ≤ 1. t +t+2 Đáp số: Giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng −1.  376 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = 2 sin6 x + 3 cos 2x. 4 Lời giải.
3 3 3 Đưa hàm số về dạng f (x) = 2 sin x + 1 − 2 sin2 x = 2 sin6 x − sin2 x + . 4 2 4 3 3 2 3 Đặt t = sin x, 0 ≤ t ≤ 1 ta được hàm số g(t) = 2t − t + . 2 4 1 5 Từ đó tìm được giá trị lớn nhất bằng và giá trị nhỏ nhất bằng . 4 4 6  Bài 6. Cho x ≥ 0, y ≥ 0 thỏa x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x y + y+1 x+1 Lời giải. (x + y)2 − 2xy + x + y 2 − 2xy x2 + x + y 2 + y = = . Ta có P = xy + x + y + 1 x + y + 1 + xy 2 + xy (x + y)2 1 1 Đặt t = xy, vì 0 ≤ xy ≤ = nên 0 ≤ t ≤ . 4 4 4 2 − 2t 1 −6 1 0 Xét hàm số f (t) = với 0 ≤ t ≤ . Ta có f (t) = < 0, ∀t ∈ 0 ≤ t ≤ . 2 2+t 4 (2 + t) 4 2 Suy ra max P = max f (t) = 1, min P = min f (t) = . 3 [0; 14 ] [0; 41 ]  { DẠNG 2. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng Phương pháp giải. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên khoảng (a; b) ta lập bảng biến thiên của hàm số f (x) trên khoảng (a; b). Ví dụ 18. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x3 − 2x2 + x − 6 trên khoảng (−1; 1). Lời giải. Tập xác định: D = R, ta chỉ xét trên khoảng (−1; 1).  x=1 Đạo hàm: y 0 = 3x2 − 4x + 1; y 0 = 0 ⇔  1. x= 3 Bảng biến thiên: x 1 3 −1 y0 + 0 1 − − 158 27 y −10 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ −6 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 377 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Å ã 158 1 Từ bảng biến thiên ta có max y = − =y . (−1;1) 27 3  Ví dụ 19. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x3 (1 − x)2 trên nửa khoảng ï ã 1 ; +∞ . 2 Lời giải. ï ã 1 Tập xác định: D = R, ta chỉ xét trên nửa khoảng ; +∞ . 2 3 Đạo hàm: f 0 (x) = x2 (1 − x)(3 − 5x); f 0 (x) = 0 ⇔ x = 0, x = 1, x = . 5 Bảng biến thiên: x 1 2 f 0 (x) 3 5 + 0 +∞ 1 − 0 + +∞ 108 3215 f (x) 1 32 0 Từ bảng biến thiên cho ta: min f (x) = f (1) = 0 và max f (x) không tồn tại vì lim f (x) = +∞. x→+∞ [ 21 ;+∞) [ 12 ;+∞) Ví dụ 20. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) =  x trên R. 4 + x2 Lời giải. Tập xác định: D = R. 4 − x2 Đạo hàm: f 0 (x) = ; f 0 (x) = 0 ⇔ x = ±2. (4 + x2 )2 Bảng biến thiên: x −∞ f 0 (x) −2 − 0 0 +∞ 2 + 0 − 1 4 f (x) − 14 Vậy min f (x) = f (−2) = − R 0 1 1 và max f (x) = f (2) = . R 4 4  √ √ Ví dụ 21. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = 2 x + 1 − x − 2 trên tập xác định của nó. Lời giải. Tập xác định: D = [2; +∞). √ √ 1 x − 2 − x−1 1 2 √ Đạo hàm: f 0 (x) = √ − √ = √ , x > 2. x+1 2 x−2 2 x+1· x−2 378 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 √ √ √ √ Ta có f 0 (x) = 0 ⇔ 2 x − 2 − x − 1 ⇔ 2 x − 2 = x + 1 ⇔ 4(x − 2) = x + 1 ⇔ x = 3 > 2. Bảng biến thiên: x 2 y0 +∞ 3 − 0 + y 3 Vậy min f (x) = f (3) = 3.  [2;+∞) Ví dụ 22. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x2 + y 2 + 6z 3 . Lời giải. 2 2 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có x2 + y 2 ≥ 2xy = . Khi đó T ≥ + 6z 3 . z z 2 3 Xét hàm số f (z) = + 6z với z > 0. z 2 2 1 1 0 Đạo hàm f (z) = − 2 + 18z 2 ; f 0 (z) = 0 ⇔ 18z 2 = 2 ⇔ z 4 = ⇒ z = √ (vì z > 0). z z 9 3 Bảng biến thiên: x √1 3 0 f 0 (z) − f (z) 0 +∞ + √ 8 3 3 √ √ √ Ä√ ä 8 3 8 3 8 3 nên T ≥ ⇒ min T = . Từ bảng biến thiên suy ra f (z) ≥ f 3 = 3 3 3 √ 1 Dấu “=” xảy ra khi z = √ hay x = y = 4 3. 3  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3×4 − 4×3 + 1 trên tập xác định của nó. Lời giải. Đáp số: min y = y(1) = 0.  R Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x2 + 2 trên khoảng (0; +∞). x Lời giải. Đáp số: max f (x) = 3.  (0;+∞) 6x − 1 trên nửa khoảng [2; +∞). Bài 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = √ x2 + 1 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 379 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. x+6 √ . +√ 1) x2 + 1 11 5 Đáp số: min f (x) = = f (2). [2;+∞) 5 Đạo hàm: f 0 (x) = (x2  Bài 10. Cho các số thực x, y thỏa mãn x2 + 2xy + 3y 2 = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = (x − y)2 . Lời giải. TH1: nếu x = 0, y = 0 (loại). TH2: nếu x 6= 0, y = 0 thì P = 4. ã2 x −1 4 4 (x − y)2 y . TH3: nếu y 6= 0 thì P = 2 = Å ã2 x + 2xy + 3y 2 2x x + +3 y y x 4(t − 1)2 Đặt t = , ta có P = 2 . Suy ra max P = 12. y t + 2t + 3 Å  { DẠNG 3. Sử dụng GTLN, GTNN để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Phương pháp giải. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b). Khi đó: 1. Phương trình f (x) = m có nghiệm thuộc đoạn [a; b] ⇔ min f (x) ≤ m ≤ max f (x). [a;b] [a;b] 2. Bất phương trình f (x) ≥ m có nghiệm thuộc đoạn [a; b] ⇔ max f (x) ≥ m. [a;b] 3. Bất phương trình f (x) ≤ m có nghiệm thuộc đoạn [a; b] ⇔ min f (x) ≤ m. [a;b] 4. Bất phương trình f (x) ≥ m nghiệm đúng với mọi x ∈ [a; b] ⇔ min f (x) ≥ m. [a;b] 5. Bất phương trình f (x) ≤ m nghiệm đúng với mọi x ∈ [a; b] ⇔ max f (x) ≤ m. [a;b] Ví dụ 23. Giải phương trình √ 4 x−2+ √ 4 4 − x = 2. Lời giải. √ √ Đặt f (x) = 4ñx − 2 + 4 4 − x với 2 ≤ xô≤ 4 1 1 1 p ⇒ f 0 (x) = −p = 0 ⇔ x − 2 = 4 − x ⇔ x = 3. 4 4 3 4 (x − 2) (4 − x)3 Bảng biến thiên: 380 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x 2 f 0 (x) 3 + 4 − 0 2 f (x) f (2) f (4) Nhìn bảng biến thiên suy ra f (x) ≤ f (3) = 2, ∀x ∈ [2; 4] √ √ ⇒ phương trình 4 x − 2 + 4 4 − x = 2 có nghiệm duy nhất x = 3.  Ví dụ 24. √ a) Tìm m để phương trình x + 2×2 + 1 = m có nghiệm. √ b) Tìm m để x + 2×2 + 1 > m, ∀x ∈ R. Lời giải. 2x Đặt f (x) = x + 2×2 + 1 ⇒ f 0 (x) = 1 + √ 2×2 + 1 √ 1 Ta có f 0 (x) = 0 ⇔ 2×2 + 1 = −2x ⇔ x = − √ . 2 Bảng biến thiên: √ x 1 −√ 2 −∞ f 0 (x) − 0 +∞ f (x) +∞ + +∞ 1 √ 2 Å ã 1 1 a) Nhìn bảng biến thiên suy ra phương trình f (x) = m có nghiệm ⇔ m ≥ f − √ =√ . 2 2 Å ã √ 1 1 b) f (x) = x + 2×2 + 1 > m, ∀x ∈ R ⇔ m < min f (x) ⇔ m < f − √ =√ . 2 2   π 16 π2 Ví dụ 25. Tìm nghiệm x ∈ 0; của phương trình π 2 x − x3 = . 2 3 6 sin 2x Lời giải.  π 2 16 π Đặt f (x) = π 2 x − x3 và g(x) = với x ∈ 0; . 3 6 sin 2x 2  π π Ta có f 0 (x) = π 2 − 16x2 = 0 ⇔ x = ∈ 0; . 4 2 Bảng biến thiên: CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 381 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x π 4 0 f 0 (x) + 0 π 2 − π3 6 f (x) f (0) f π  2  π  π3 = . Nhìn bảng biến thiên suy ra max f (x) = f 4 6   π2 π3 π π3 Mặt khác g(x) = ≥ , ∀x ∈ 0; ⇒ f (x) ≤ ≤ g(x) 6 sin 2x 6 2 6 π ⇒ phương trình f (x) = g(x) có đúng 1 nghiệm x = . 4  √ Ví dụ 26. Tìm m để bất phương trình m 2x2 + 9 < x + m nghiệm đúng ∀x ∈ R. Lời giải. Ä√ ä √ x m 2x2 + 9 < x + m ⇔ m 2x2 + 9 − 1 < x ⇔ m < f (x) = √ 2x2 + 9 − 1 √ 2 9 − 2x + 9 Ä√ ä Ta có f 0 (x) = √ 2x2 + 9 2x2 + 9 − 1 √ f 0 (x) = 0 ⇔ 2x2 + 9 = 9 ⇔ x = ±6. x −∞ −6 1 1 lim f (x) = lim … =√ . f 0 (x) − 0 x→+∞ x→+∞ 1 9 2 2+ 2 − x x 1 −1 −1 −√ =√ . lim f (x) = lim … 2 f (x) x→−∞ x→−∞ 3 9 1 2 − 2+ 2 − 4 x x 3 Nhìn bảng biến thiên suy ra min f (x) = f (−6) = − . 4 3 Để f (x) > m, ∀x ∈ R thì minf (x) > m ⇔ m < − . x∈R 4 +∞ 6 + 0 − 3 4 1 √ 2  h π πi Ví dụ 27. Tìm m để phương trình 2 + 2 sin 2x = m(1 + cos x)2 (1) có nghiệm x ∈ − ; . 2 2 Lời giải. h π πi x h π πi x Do x ∈ − ; ⇒ ∈ − ; nên đặt tan = t ∈ [−1; 1] 2 2 2 4 4 2 1 − t2 2t ⇒ cos x = ; sin x = . Khi đó (1) ⇔ 2(sin x + cos x)2 = (1 + cos x)2 2 2 1+t ã Å Å1 + t ã2 2 2t + 1 − t2 1 − t2 2 ⇔2 =m 1+ ⇔ f (t) = (2t + 1 − t2 ) = 2m (2) 1 + t2 1 + t2 " t=1 Ta có f 0 (t) = 2 (2t + 1 − t2 ) (2 − 2t) = 0 ⇔ √ t = 1 − 2. Bảng biến thiên: 382 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x −1 f 0 (x) 1− − √ 0 1 2 + 4 4 f (x) 0 Nhìn bảng biến thiên suy ra: Để (2) có nghiệm t ∈ [−1; 1] thì min f (t) ≤ 2m ≤ max f (t) ⇔ 0 ≤ t∈[−1;1] t∈[−1;1] 2m ≤ 4 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2. h π πi thì m ∈ [0; 2]. Vậy để (1) có nghiệm x ∈ − ; 2 2  35   sin x cos y = m3 − m2 − 6m + 4 Ví dụ 28. Tìm m ≥ 0 để hệ 33   cos x sin y = m2 − 6m + 4  (1) có nghiệm. Lời giải.   3  sin x cos y + cos x sin y = m − 12m + 17  sin(x + y) = m3 − 12m + 17 (1) ⇔ ⇔ (2)  sin x cos y − cos x sin y = m3 − 2m2 + 1  sin(x − y) = m3 − 2m2 + 1 2 2 Xét f (m) = m3 − 12m + 17. Ta có: f 0 (m) = 3m2 − 12 = 0 ⇔ m = 2 > 0. Bảng biến thiên: m 0 f 0 (m) +∞ 2 − 0 + +∞ 17 f (m) 1 Nhìn bảng biến thiên suy ra f (m)  ≥ f (2) = 1, ∀m ≥ 0. Mặt khác do sin(x + y) ≤ 1 nên để hệ (2) có  sin(x + y) = 1 nghiệm thì m = 2, khi đó (2) ⇔ (3).  sin(x − y) = 1 2  π x = 3 làm nghiệm. Vậy (1) có nghiệm khi m = 2. Ta thấy hệ (3) nhận  y = π 6 ( 2 x − 3x ≤ 0 Ví dụ 29. Tìm m để hệ bất phương trình (1) có nghiệm. x3 − 2x |x − 2| − m2 + 4m ≥ 0 Lời giải. (1) ⇔ ( 0≤x≤3 f (x) = x3 − 2x |x − 2| ≥ m2 − 4m CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ (2) 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 383 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ( 2 3x + 4x − 4 , ∀x ∈ [0; 2) 2 ; f 0 (x) = 0 ⇔ x = . 3 3×2 − 4x + 4 , ∀x ∈ (2; 3] Bảng biến thiên: Ta có f 0 (x) = x 2 3 0 f 0 (x) − 0 2 + 3 + 0 21 f (x) CT Nhìn bảng biến thiên suy ra max f (x) = f (3) = 21. x∈[0;3] Để (2) có nghiệm thì max f (x) ≥ m2 − 4m ⇔ m2 − 4m ≤ 21 ⇔ −3 ≤ m ≤ 7.  x∈[0;3] BÀI TẬP TỰ LUYỆN √ Bài 11. Tìm m để phương trình 4x − 2 + 3 21 − 4x − x2 = m: a) Có nghiệm. b) Có đúng 1 nghiệm. c) Có 2 nghiệm phân biệt. Lời giải. √ 3(2 + x) = TXĐ: D = [−7; 3]. Xét hàm số f (x) = 4x − 2 + 3 21 − 4x − x2 , ta có f 0 (x) = 4 − √ 2 21 − 4x − x ” x = −6 0⇔ x = 2. Bảng biến thiên: x −7 f 0 (x) −6 + 0 2 + 0 3 − 15 f (x) −30 10 Nhìn bảng biến thiên của hàm số f (x), ta suy ra: a) Phương trình đã cho có nghiệm khi min f (x) ≤ m ≤ max f (x) ⇔ −30 ≤ m ≤ 15. x∈[−7;3] x∈[−7;3] ” − 30 ≤ m < 10 b) Phương trình có đúng 1 nghiệm khi m = 15. c) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi 10 ≤ m < 15. 384 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 
Bài 12. Tìm m để phương trình 4 sin4 x + cos4 x + (5 − 2m) cos 2x + 9 − 3m = 0 : a) Có nghiệm. h πi b) Có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn 0; . 3 Lời giải. Đặt t = cos 2x với −1 ≤ t ≤ 1. Phương trình trở thành 2t2 + 5t + 11 = m. 2t + 3  7 t = − (loại) 2t + 5t + 11 4t + 12t − 7  2 Xét hàm số f (t) = , −1 ≤ t ≤ 1. Ta có f 0 (t) = =0⇔ . 2 1 2t + 3 (2t + 3) t= 2 Bảng biến thiên: 2 2 t 1 2 −1 f 0 (t) − 0 8 1 + 18 5 f (t) 7 2 Nhìn bảng biến thiên ta suy ra: 7 a) Phương trình có nghiệm khi min f (t) ≤ m ≤ max f (t) ⇔ ≤ m ≤ 8. t∈[−1;1] 2 ï t∈[−1;1] ò h πi h πi 2π 1 b) Khi x ∈ 0; thì 2x ∈ 0; hay − ≤ t ≤ 1. Phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn 0; 3 3 2 3 ï ò 1 7 18 khi phương trình ẩn t có 2 nghiệm t thuộc đoạn − ; 1 hay < m ≤ . 2 2 5  Bài 13. Tìm m để bất phương trình: −x3 + 3mx − 2 < −1 nghiệm đúng ∀x ≥ 1. x3 Lời giải. 1 1 2 BPT ⇔ 3mx < x3 − 3 + 2, ∀x ≥ 1 ⇔ 3m < x2 − 4 + = f (x), ∀x ≥ 1. x x√ x Å ã 4 2 4 2 4 2−2 Ta có f 0 (x) = 2x + 5 − 2 ≥ 2 2x 5 − 2 = > 0, ∀x 6= 0. x x x x x2 Suy ra f (x) đồng biến trên khoảng (1; +∞). 2 Ycbt ⇔ f (x) > 3m, ∀x ≥ 1 ⇔ minf (x) = f (1) = 2 > 3m ⇔ m < . x≥1 3 
√ √ √ √ Bài 14. Tìm m để phương trình x x + x + 12 = m 5 − x + 4 − x có nghiệm. Lời giải. Đối với bài toán này, nếu ta tính f 0 (x) rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ dẫn đến sai sót. Để đơn giản, ta làm như sau: TXĐ: D = [0; 4]. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 385 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 √ √ 3√ 1 Đặt g(x) = x x + x + 12 > 0 ⇒ g 0 (x) = x+ √ > 0, 2 2 x + 12 √ √ −1 1 − √ < 0. h(x) = 5 − x + 4 − x > 0 ⇒ h0 (x) = √ 2 5−x 2 4−x 1 Suy ra g(x) > 0 và tăng còn h(x) > 0 và giảm hay > 0 và tăng h(x) g(x) ⇒ f (x) = tăng ⇒ f (x) = m có nghiệm ⇔ min f (x) ≤ m ≤ max f (x) ⇔ f (0) ≤ m ≤ f (4) ⇔ x∈[0;4] x∈[0;4] h(x) ä Ä√ √ 15 − 12 ≤ m ≤ 12.  2  1 1   x + + y + = 5 x y Bài 15. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 1 1   x3 + 3 + y 3 + 3 = 15m − 10. x y Lời giải.  1  ã Å ã Å x + = u 1 1 1 3 1 x 3 . Ta có x + 3 = x + x+ = u3 − 3u Đặt − 3x · 1  x x x x y + = v y 1 1 1 1 1 1 và |u| = x + = |x| + ≥ 2 |x| · = 2, |v| = y + = |y| + ≥ 2 |y| · = 2. x x x y y y ( ( u+v =5 u+v =5 ⇔ ⇔ u, v là nghiệm của Khi đó hệ đã cho trở thành u3 + v 3 − 3(u + v) = 15m − 10 uv = 8 − m phương trình bậc hai f (t) = t2 − 5t + 8 = m. ( |t1 | ≥ 2 Hệ có nghiệm ⇔ f (t) = m có 2 nghiệm t1 , t2 thỏa mãn |t2 | ≥ 2. Bảng biến thiên: t −∞ f 0 (t) −2 5 2 2 − − +∞ 0 +∞ + +∞ 2 f (t) 7 4 22 7 ≤m≤2 Nhìn bảng biến thiên ta suy ra: Hệ đã cho có nghiệm ⇔  4 m ≥ 22.  { DẠNG 4. Sử dụng GTLN, GTNN để chứng minh bất đẳng thức Phương pháp giải. Kiến thức lý thuyết sử dụng trong dạng này tương tự như trong phần sử dụng GTLN, GTNN để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình. 386 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Ví dụ 30. Cho Kỳ thi THQG 2020 √ a b c 3 3 . . Chứng minh rằng: 2 + + ≥ b + c 2 c 2 + a2 a2 + b 2 2 a2 + b 2 + c 2 = 1 ( a, b, c > 0 Lời giải. b2 c2 a b c a2 + + . Ta có T = + + = 1 − a2 1 − b 2 1 − c 2 a (1 − a2 ) b (1 − b2 ) c (1 − c2 ) Xét hàm số f (x) = x (1 − x2 ) với x > 0. 1 Ta có f 0 (x) = 1 − 3×2 = 0 ⇔ x = √ > 0. 3 Bảng biến thiên: x 1 √ 3 0 f 0 (x) + 0 +∞ − 2 √ 3 3 f (x) −∞ 0 2 Nhìn bảng biến thiên suy ra f (x) ≤ √ , ∀x > 0. 3 3 √ √ b2 c2 3 3 2 3 a2 3 + + ≥ (a + b2 + c2 ) = . Khi đó ta có T = f (a) f (b) f (c) 2 2 ( 2y ≥ x2 Ví dụ 31. Cho . Chứng minh rằng x2 + y 2 ≤ 2. 2 y ≤ −2x + 3x ( 2y ≥ x2  y ≥ 0 ⇔ ⇔ x2 0 ≤ x ≤ 6 .  5×2 − 6x ≤ 0  ≤ −2×2 + 3x 5 2 2 Ta có x2 + y 2 ≤ f (x) = x2 + (−2×2 + 3x) . Ta sẽ chứng minh f (2) ≤ 2. Thật vậy, biến đổi f (x) = ” x=1 4×4 − 12×3 + 10×2 ⇒ f 0 (x) = 4x(x − 1)(x − 5) = 0 ⇔ x = 5 (loại). Bảng biến thiên: y ≤ −2×2 + 3x ⇒ Lời giải. ( y≥0   y ≥ 0  x 0 f 0 (x) 6 5 1 + 0 − 2 f (x) f (0) Å ã 6 f 5 Nhìn bảng biến thiên suy ra max f (x) = f (1) = 2 ⇒ x2 + y 2 ≤ 2. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 1. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ  387 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 16. Cho x, y, z ∈ (0; 4], x ≤ y; x ≤ z và thỏa mãn xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = x2 + y 2 + z 2 + x + y + z − 2(xy + yz + zx) Lời giải. Xét P = f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + x + y + z − 2(xy + yz + zx). √ √
√ √ Ta có f (x, y, z) − f x, yz, yz = y 2 + z 2 + y + z − 2(yz + xy + zx) − 2 yz + 4x yz = (y − z)2 + √
2 √
2 √
2 √ √ √ √
y − z − 2x y − z = y− z y + z − 2x + 1 + 2 Åyz ≥ 0, ã vì x ≤ y; x ≤ z. 1 1 1 1 1 1 4 √ √
√ Đặt t = yz ⇒ x = 2 , t = √ ≥ . Khi đó f x, yz, yz = f 2 , t, t = 4 + 2 + 2t − = g(t). tã Å t t t t xã 2 Å 4 1 Ta có g 0 (t) = 2 + 2 1 − 3 = 0 ⇔ t = 1. t t Bảng biến thiên: t 0 +∞ 1 g 0 (t) − 0 + +∞ +∞ g(t) 0 Từ bảng biến thiên suy ra min P = min g(t) = g(1) = 0 xảy ra khi x = y = z = 1.  Bài 17. Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa x + y + z = 3. Chứng minh rằng P = x2 + y 2 + z 2 + xyz ≥ 4 Lời giải. Không mất tính tổng quát ta giả sử x = min(x, y, z) ⇒ 3x ≤ x + y + z = 3 ⇒ x ≤ 1. Khi đó ta có P − 4 = x2 + (y + z)2 − 2yz + xyz − 4 = (x − 2)yz + x2 + (3 − x)2 − 4 = f (t) =  y + z 2 Å 3 − x ã2 2 (x − 2)t + 2x − 6x + 5; 0 ≤ t = yz ≤ = . 2 ñ 2Å ã2 ô 3−x Vậy ta tìm GTNN của f (t) trên đoạn 0; , ta có f (t) là hàm số nghịch biến do x − 2 < 0. 2 ñÅ ãô 3−x 2 1 = (x − 1)2 (x + 2) ≥ 0 ⇒ P ≥ 4. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy P − 4 = f (t) ≥ f 2 4 x = y = z = 1.  388 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Bài 18. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a ≥ b ≥ c và a2 + b2 + c2 = 5. Chứng minh rằng (a − b)(b − c)(c − a)(ab + bc + ca) ≥ −4 Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với (a − b)(b − c)(a − c)(ab + bc + ca) ≤ 4 (∗). Đặt vế trái của BĐT (∗) là P . Nếu ab + bc + ca < 0 thì P ≤ 0, ta có điều phải chứng minh. Xét ab + bc + ca ≥ 0, đặt Å x = ab + bc + ã ca. a − b + b − c 2  a − c 2 1 Ta có: (a − b)(b − c) ≤ = ⇒ (a − b)(b − c)(a − c) ≤ (a − c)3 . 2 2 4 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 Mặt khác ta có: a +b +c −ab−bc−ca = (a−b) + (b−c) + (a−c) ≥ (a−c)2 + (a−b+b−c)2 . 2 2 2 4 … 2 3 4 (5 − x) ; 0 ≤ x ≤ 5. Suy ra 5 − x ≥ (a − c)2 ⇒ a − c ≤ 3 Ç4… å3 √ 1 4 2 3 p Suy ra P ≤ x (5 − x) = x (5 − x)3 . 4 3 9 √ 2 3 p x (5 − x)3 trên đoạn [0; 5] Xét hàm số f (x) = 9 " √ Å ã x=5 √ 5 3 10 Ta có f 0 (x) = · 5−x· − x =0⇔ 3 3 3 x = 2. Bảng biến thiên: x 0 f 0 (x) 2 + 0 5 − 0 4 f (x) 0 0   a=2   Nhìn bảng biến thiên ta suy ra max f (x) = f (2) = 4. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = 1 .  x∈[0;5]   c=0  { DẠNG 5. Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số vào bài toán thực tế Phương pháp giải. Để giải quyết được các bài toán ở dạng này, ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Phân tích giả thiết và gọi biến (chẳng hạn x) có liên quan. Bước 2: Tìm điều kiện của x. Bước 3: Lập hàm f (x) theo giả thiết. Bước 4: Tìm max, min của f (x) và kết luận. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 389 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ví dụ 32. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được thể tích lớn nhất. Lời giải. Khi gập tấm nhôm lại lại như hình vẽ ta được một cái hộp không nắp có đáy là hình vuông cạnh 12 − 2x (0 < x < 6). Khi đó, thể tích hình hộp nhận được là: V = x (12 − 2x) (12 − 2x) = x(12 − 2x)2 , ∀x ∈ (0; 6) Xét hàm f (x) = x (12 − 2x)2 , ∀x ∈ (0; 6). Ta có: f 0 (x) = (12" − 2x)2 − 4x (12 − 2x) = (12 − 2x) (12 − 6x). x = 2 ∈ (0; 6) Xét f 0 (x) = 0 ⇔ x=6∈ / (0; 6) . Bảng biến thiên: x −∞ f 0 (x) 2 + 0 6 − 0 128 f (x) f (6) −∞ Nhìn bảng biến thiên ta suy ra Vmax = 128 cm3 khi x = 2.  Ví dụ 33. Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm một bể nước bằng gạch có dạng hình hộp có đáy là hình chữ nhật chiều dài d (m) và chiều rộng r (m) với d = 2r. Chiều cao bể nước là h (m) và thể tích bể là 2 m3 . Hỏi chiều cao bể nước như thế nào thì chi phí xây dựng là thấp nhất? Lời giải. Gọi x (x > 0) là chiều rộng của đáy. Suy ra thể tích bể nước bằng V = 2×2 · h = 2 ⇔ h = 390 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 1 x2 Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 6 Diện tích xung quanh hồ và đáy bể là S = 6x · h + 2×2 = + 2×2 (x > 0) x 6 2 Xét hàm số f (x) = + 2x với x > 0. x … −6 −6 + 4×3 3 0 Ta có f (x) = 2 + 4x = =0⇔x= 3 . 2 x x 2 Bảng biến thiên: … x 3 0 f 0 (x) − 3 2 +∞ + 0 +∞ +∞ f (x) Ç… å 3 f 3 2 … Nhìn bảng biến thiên ta suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 1 h= 2 = x 3 1 2 Å ã2 = 3 3 2 … 3 3 . Vậy chiều cao cần xây là 2 2 (m) 3  Ví dụ 34. Một đại lý xăng dầu cần xây một bồn chứa dầu hình trụ có đáy hình tròn bằng thép có thể tích 49π (m3 ) và giá mỗi mét vuông thép là 500 ngàn đồng. Hỏi giá tiền thấp nhất mà đại lý phải trả gần đúng với số tiền nào nhất? Lời giải. Gọi bán kính đáy là x (m) (x > 0), chiều cao bồn chứa là h (m). 49 Khi đó thể tích chứa của bồn là V = πx2 · h = 49π ⇔ h = 2 (m). x Do là bồn chứa dầu nên phải có nắp nên diện tích cần xây của bồn chứa là: 2πx2 + 2πx · h = 2πx2 + 98π (m2 ) x Để chi phí xây dựng thấp nhất thì diện tích xây cũng phải thấp nhất. 98π Xét hàm số f (x) = 2πx2 + (x > 0). x … 49 98π 4πx3 − 98π 0 Ta có f (x) = 4πx − 2 = =0⇔x= 3 . 2 x x 2 Bảng biến thiên: CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 391 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 … x 3 0 f 0 (x) − 49 2 +∞ + 0 +∞ +∞ f (x) Ç… 3 f 49 2 Ç… 3 Nhìn bảng biến thiên ta suy ra GTNN của f (x) là f å 49 2 å ≈ 159,005 (m2 ).  Ví dụ 35. Một khách sạn có 50 phòng. Hiện tại mỗi phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng một ngày thì toàn bộ phòng được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá thêm 20 ngàn đồng thì có thêm 2 phòng trống. Giám đốc phải chọn giá phòng mới là bao nhiêu để thu nhập của khách sạn trong ngày là lớn nhất? Lời giải. Gọi x (ngàn đồng) là giá phòng khách sạn cần đặt ra, x > 400 (đơn vị: ngàn đồng). Giá chênh lệch sau khi tăng là x − 400. (x − 400) · 2 x − 400 Số phòng cho thuê giảm với giá x là: = (phòng). 20 10 x − 400 x Số phòng cho thuê với giá x là 50 − = 90 − (phòng). 10 10  x2 x = − + 90x (ngàn đồng). Tổng doanh thu trong ngày là: f (x) = x 90 − 10 10 x Ta có: f 0 (x) = − + 90 ⇒ f 0 (x) = 0 ⇔ x = 450. 5 Bảng biến thiên: x 400 f 0 (x) +∞ 450 + 0 − 20250 f (x) f (400) −∞ Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f (x) đạt giá trị lớn nhất khi x = 450. Vậy nếu cho thuê với giá 450 ngàn đồng thì sẽ có doanh thu cao nhất trong ngày là 20.250.000 đồng.  Ví dụ 36. Một doanh nghiệp bán xe gắn máy trong đó có loại xe A bán ế nhất với giá mua vào mỗi chiếc xe là 26 triệu VNĐ và bán ra 30 triệu VNĐ, với giá bán này thì số lượng bán một năm là 600 chiếc. Cửa hàng cần đẩy mạnh việc bán được loại xe này nên đã đưa ra chiến lược kinh doanh giảm giá bán và theo tính toán của CEO nếu giảm 1 triệu VNĐ mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Hỏi cửa hàng định giá bán loại xe đó bao nhiêu 392 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 thì doanh thu loại xe đó của cửa hàng đạt lớn nhất? Lời giải. Gọi x (triệu VNĐ) là số tiền cần giảm cho mỗi chiếc xe (0 ≤ x ≤ 4). Số lượng xe bán ra được trong một năm sau khi giảm giá là: 200x + 600 (chiếc). Số lợi nhuận thu được từ việc bán xe trong một năm sau khi giảm giá là: (200x + 600) (4 − x) Xét hàm số f (x) = (200x + 600) (4 − x) = 200 (−x2 + x + 12) (0 ≤ x ≤ 4). 1 Ta có f 0 (x) = 200(−2x + 1) = 0 ⇔ x = . 2 Bảng biến thiên: x 1 2 0 f 0 (x) + 4 − 0 2450 f (x) f (0) f (4) 1 Nhìn bảng biến thiên ta suy ra f (x) đạt giá trị lớn nhất là 2450 khi x = . 2  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 19. Công ty du lịch Ban Mê dự định tổ chức một tua xuyên Việt. Công ty dự định nếu giá tua là 2 triệu đồng thì sẽ có khoảng 150 người tham gia. Để kích thích mọi người tham gia, công ty quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá tua 100 ngàn đồng thì sẽ có thêm 20 người tham gia. Hỏi công ty phải bán giá tua là bao nhiêu để doanh thu từ tua xuyên Việt là lớn nhất? Lời giải. Gọi x (triệu đồng) là giá tua. Điều kiện: 0 < x < 2. Giá đã giảm so với ban đầu là 2 − x. (2 − x) 20 = 400 − 200x. 0,1 Số người sẽ tham gia nếu bán giá x là: 150 + (400 − 200x) = 550 − 220x. Số người tham gia tăng thêm nếu bán với giá x là: Tổng doanh thu là: f (x) = x (550 − 200x) = −200x2 + 550x. 11 Ta có: f 0 (x) = −400x + 550 ⇒ f 0 (x) = 0 ⇔ x = . 8 Bảng biến thiên: CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 393 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x 11 8 0 f 0 (x) + 0 2 − 378,125 f (x) f (2) 0 11 = 1,375. 8 Vậy công ty cần đặt giá tua 1.375.000 đồng thì tổng doanh thu sẽ cao nhất là 378.125.000 đồng. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f (x) đạt giá trị lớn nhất khi x =  Bài 20. Ông A muốn mua một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 384 m2 để xây nhà. Nhưng vợ ông muốn có khuôn viên sân vườn đẹp nên ông mua thêm về hai phía chiều dài mỗi chiều 3 m và về hai phía chiều rộng mỗi chiều 2 m. Vậy, để ông A mua được mảnh đất có diện tích nhỏ nhất (tiết kiệm chi phí) thì mảnh đất đó chu vi là bao nhiêu? Lời giải. Gọi x, y là chiều dài, chiều rộng phần đất xây nhà. Ta có  Å ã 384  (  +4 S = (x + 6) S = (x + 6)(y + 4) x ⇔  384 x · y = 384  y = x ã Å 384 + 4 với x > 0. Xét hàm số S(x) = (x + 6) x 384 384x + 4×2 − 384x − 2304 4×2 − 2304 384 + 4 − 2 (x + 6) = = = 0 ⇔ x = 24. Ta có S 0 (x) = x x x2 x2 Bảng biến thiên: x 0 S 0 (x) +∞ 24 − 0 +∞ + +∞ S(x) 600 Nhìn vào bảng biến thiên ta suy ra S(x) nhỏ nhất bằng 600 khi x = 24 ⇒ y = 16. Vậy mảnh đất cần mua có chiều dài là: 24 + 6 = 30 (m). Chiều rộng là: 16 + 4 = 20 (m). Khi đó chu vi mảnh đất là 100 (m). 394 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Bài 21. Một đĩa tròn bằng thép trắng có bán kính bằng R. Người ta phải cắt đĩa theo một hình quạt, sau đó gấp lại thành hình nón để làm một cái phễu. Cung tròn của hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để thể tích cái phễu lớn nhất? Lời giải. Gọi 0 < x < 2πR là độ dài đường tròn đáy của cái phễu (bằng chu vi đĩa tròn trừ đi độ dài cung hình x (r là bán kính đường tròn đáy hình nón). quạt bị cắt đi) ⇒ x = 2πr ⇒ r = 2π Đường sinh của hình nón chính bằng bán … kính đĩa là R. √ x2 2 2 2 Đường cao hình nón: h = R − r = R − 2 4π … 2 2 √ x 1 x2 1 2 x 4π 2 R2 − x2 . ⇒ V = πr · h = π 2 · R2 − 2 = 3 3 4π 4π 24π 2 x = 0 (loại) −3x3 + 8π 2 R2 x  √ 0 0 √ V (x) = , V (x) = 0 ⇔  2 6πR . 2 2 2 2 24π 4π R − x x= 3 Bảng biến thiên: √ 2 6πR x 0 2πR 3 V 0 (x) 0 + − 0 å Ç √ 2 6πR V 3 V (x) 0 0 √ 2 6πR . Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy V đạt GTLN khi x = 3 √ 2 6πR √ 2πR − 2 6πR 3 Suy ra, độ dài cung hình quạt bị cắt là: 2πR − ⇒α= · 360◦ ≈ 66◦ . 3 2πR  Bài 22. Chi phí về nhiên liệu của một tàu được chia làm hai phần. Trong đó phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 ngàn đồng/giờ. Phần thứ hai tỷ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi v = 10 (km/h) thì phần thứ hai bằng 30 ngàn đồng/giờ. Hãy xác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên 1 km đường là nhỏ nhất? Lời giải. 1 Gọi x (km/h) là vận tốc của tàu ⇒ thời gian tàu đi 1 km là giờ. x 480 1 Phần chi phí thứ nhất là: 480 · = (ngàn). x x y Giả sử phần chi phí thứ 2 kí hiệu là y thì y = kx3 ⇒ k = 3 . x 1 3 Với x = 10 ⇒ y = · 30 = 3 (ngàn) ⇒ k = = 0,003 ⇒ y = 0,003x3 . 10 1000 480 Do đó, tổng chi phí là T = + 0,003x3 . x … −480 + 0,009x4 160000 0 =0⇔x= 4 . Ta có T (x) = 2 x 3 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 395 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Bảng biến thiên: x » 4 0 T 0 (x) 160000 3 − +∞ + 0 +∞ +∞ T (x) T Ä» 160000 3 4 ä … Nhìn vào bảng biến thiên ta ta thấy T đạt GTNN khi x = 4 160000 ≈ 15 (km/h). 3  −1 4 t + 3t2 − 2t − 4, trong đó t 4 tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m). Tại thời điểm nào, vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn Bài 23. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S(t) = nhất? Lời giải. " Ta có vận tốc v(t) = S 0 (t) = −t3 + 6t − 2 ⇒ v 0 (t) = −3t2 + 6 = 0 ⇔ t= √ 2 √ t = − 2 < 0 (loại). Bảng biến thiên: t √ 0 v 0 (t) + 0 v +∞ 2 − Ä√ ä 2 v(t) v(0) −∞ Nhìn vào bảng biến thiên ta có v(t) đạt giá trị lớn nhất khi t = √ 2.  Bài 24. Một tấm thiếc hình chữ nhật dài 45 (cm), rộng 24 (cm) được làm thành một cái hộp không nắp bằng cách cắt bốn hình vuông bằng nhau từ mỗi góc và gấp mép lên. Hỏi các hình vuông được cắt ra có cạnh là bao nhiêu để hộp nhận được có thể tích lớn nhất? Lời giải. Gọi x (cm) (0 < x < 12) là cạnh của các hình vuông bị cắt rời ra. Khi đó, chiều cao của hộp là x, chiều dài là 45 − 2x và chiều rộng là 24 − 2x. Thể tích V (x) = x (45 − 2x) (24 − 2x) = 4x3 − 138x2 + 1080x. Suy ra V 0 (x) = 12x2 − 276x + 1080. Cho V 0 (x) = 0, suy ra được giá trị x cần tìm là x = 5. 396 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 V 00 (x) = 24x − 276 ⇒ V 00 (5) = −156 < 0. Do đó x = 5 là điểm cực đại. Vậy các hình vuông được cắt ra có cạnh bằng 5 cm thì hộp nhận được có thể tích lớn nhất.  Bài 25. Một sợi dây có chiều dài 28 (m) được cắt thành hai đoạn để làm thành một hình vuông và một hình tròn. Tính chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông được cắt ra sao cho tổng diện của hình vuông và hình tròn là tối thiểu? Lời giải. Gọi l (0 < l < 28) là chiều dài đoạn dây làm thành hình vuông. Khi đó đoạn dây làm thành hình tròn có chiều dài là 28 − l. l 1 Cạnh hình vuông là , bán kính hình tròn là (28 − l). 4 2π 2 1 l 1 l + (28 − l)2 , suy ra S 0 (l) = − (28 − l). Tổng diện tích S(l) = 16 4π 8 2π 112 28π Cho S 0 (l) = 0, ta được l = , suy ra chiều dài đoạn dây còn lại là . 4+π 4+π ã Å 112 > 0. Kiểm tra lại bằng đạo hàm cấp 2, S 00 π+4 196 112 Vậy S đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi l = . 4+π 4+π  Bài 26. Một hãng dược phẩm cần một số lọ đựng thuốc dạng hình trụ với dung tích 16π (cm3 ). Tính bán kính đáy R của lọ để ít tốn nguyên liệu sản xuất lọ nhất? Lời giải. 16 Ta có V = πR2 h = 16π ⇒ h = 2 (cm2 ). R Để ít tốn nguyên liệu nhất thì diện tích toàn phần của lọ phải nhỏ nhất. Do đó ta có: Stp = 2πR2 + 2πRh = 2πR2 + Xét hàm số S(R) = 2πR2 + 32π R2 32π với R > 0. R2 4πx4 − 64π = 0 ⇔ R = 2. x3 Bảng biến thiên: Ta có S 0 (R) = R 0 S 0 (R) +∞ 2 − 0 +∞ + +∞ S(R) 16π Nhìn vào bảng biến thiên ta suy ra S(R) nhỏ nhất bằng 16π ≈ 50,24 (cm2 ) khi R = 2.  Bài 27. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 397 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ng Hỏi ông An cần ít nhất bao nhiêu tiền để sản xuất thang? (Kết quả ha bên). Giả sử kinh phí để sản xuất thang là 300.000 đồng/1 mét dài. 1m C it cá Ông muốn cái thang phải luôn được đặt qua vị trí C, biết rằng điểm C cao 2 m so với nền nhà và điểm C cách tường nhà 1 m (như hình vẽ tường nhà Ông An cần sản xuất một cái thang để trèo qua một bức tường nhà. 2m làm tròn đến hàng nghìn đồng). nền nhà Lời giải. B 1m E C 2m A F D Đặt BC = x. Ta có 4BCE v 4CDF ⇒ 4×2 2x . ⇔ CD = √ 2 x −1 x2 − 1 BC CE x 1 ⇔ x2 (CD2 − 4) = CD2 ⇔ CD2 = = ⇔ = √ CD DF CD CD2 − 4 Å ã 2x Vậy chi phí sản xuất thang là f (x) = x + √ .3.105 với x > 1. 2 x − Ü ê1 2 √ 2x ! 2 x2 − 1 − √ 2−1 −2 x 5 5 = 3 · 10 1 + √ Ta có f 0 (x) = 3 · 10 1+
3 . x2 − 1 x2 − 1 f 0 (x) = 0 ⇔ » p√ √ 3 3 (x2 − 1)3 = 2 ⇔ (x2 − 1) = 4 ⇔ x2 = 3 4 + 1 ⇔ x = 4 + 1. Bảng biến thiên: x p√ 1 f 0 (x) 3 − +∞ 4+1 + 0 +∞ +∞ f (x) f îp√ 3 4+1 ó Nhìn vào bảng biến thiên ta suy ra chi phí thấp nhất để sản xuất thang là f đồng. 398 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em îp√ ó 3 4 + 1 ≈ 1.249.000  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Bài 28. Cho hàm số y = x4 − 2×2 . Gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho và có hệ số góc m. Hãy tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho tổng các khoảng cách từ hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho đến ∆ là nhỏ nhất. Lời giải. y = x4 − 2×2 . TXĐ: D = R.  x=0 
y 0 = 4×3 − 4x = 4x x2 − 1 ; y 0 = 0 ⇔  x = −1 x=1 Bảng biến thiên: x −∞ f 0 (x) −1 − 0 +∞ 0 + 0 +∞ 1 − 0 + +∞ 0 f (x) −1 −1 Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là gốc tọa độ O (0; 0). Các điểm cực tiểu là A (−1; −1) và B (1; −1). Phương trình đường thẳng ∆ thỏa đề bài có dạng y = mx, hay mx − y = 0. |−m + 1| |m + 1| |−m + 1| + |m + 1| √ S = d [A; (∆)] + d [B; (∆)] = √ +√ = . m2 + 1 m2 + 1 m2 + 1 2 (m2 + 1) + 2 |−m2 + 1| |−m2 + 1| 0 S2 = = 2 + 2. ≥ 2 + 2. 2 = 2. 2 2 m +1 m +1 m +1 Vậy S 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi −m2 + 1 = 0 hay m = ±1. Vì S > 0 nên ta kết luận S đạt giá √ trị bé nhất là 2 khi m = ±1.  Bài 29. Một vùng đất hình chữ nhật ABCD có AB = 25 km, BC = 20 km và M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Một người cưỡi ngựa xuất phát từ A đi đến C bằng cách đi thẳng từ A đến một điểm X thuộc đoạn M N rồi lại đi thẳng từ X đến C. Vận tốc của ngựa khi đi trên phần ABN M là 15 km/h, vận tốc của ngựa khi đi trên phần M N CD là 30 km/h. Thời gian ít nhất để ngựa di chuyển từ A đến C là mấy giờ? Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 399 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 4+ √ 29 ≈ 1,56; f (25) = 6√ 2 5 Vậy hàm số đạt GTNN bằng tại x = 5. 3 Tính các giá trị f (0) = 1+ A 25 km B 20 km Gọi M X = x (km) với 0 ≤ x ≤ 25. √ Quãng đường AX = x2 + 102 ⇒ thời gian tương ứng √ x2 + 100 h. 15 » Quảng đường CX = (25 − x)2 + 102 ⇒ thời gian tương √ x2 − 50x + 725 ứng h. 30 √ √ x2 + 100 x2 − 50x + 725 Tổng thời gian f (x) = + 15 30 với x ∈ [0; 25], ta tìm giá trị nhỏ nhất của f (x): x − 25 x √ √ + Ta có f 0 (x) = , 2 2 30 x − 50x + 725 15 x + 100 f 0 (x) = 0 ⇔ x = 5. 15 km/h X M N x 30 km/h D C √ √ 29 2 5 ≈ 2,13; f (5) = ≈ 1,49. 3 3  Bài 30. Một xe buýt của hãng xe A có sức chứa tối đa là 50 hành khách. Nếu một chuyến xe buýt  x 2 (nghìn đồng). Hỏi một chuyến xe chở x hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách là 20 3 − 40 buýt thu được lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu? Lời giải. Số tiền của chuyến xe buýt chở x hành khách là ã Å x 2 x3 3×2 f (x) = 20x · 3 − + (0 < x ≤ 50) = 20 9x − 40 20 1600  Ta có " Å ã x = 40 3x 3x2 0 f (x) = 20 9 − ⇔ f (x) = 0 ⇔ + 10 1600 x = 120. 0 Bảng biến thiên: x 0 f 0 (x) 40 + 0 50 − 3200 f (x) f (0) f (50) Vậy một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất là 3.200.000 (đồng).  BÀI TẬP TỔNG HỢP 400 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x5 − 5x4 + 5x3 + 2 trên đoạn [−1; 1]. Lời giải. Ta có: y 0 = 5x4 − 20x3 + 15x2 .    x =0     0 4 3 2 2 2 y = 0 ⇔ 5x − 20x + 15x = 0 ⇔ 5x (x − 4x + 3) = 0 ⇔   x =1      x = 3. Trên đoạn [−1; 1] ta có: y(−1) = −9; y(0) = 2; y(1) = 3. Vậy max y = 3 tại x = 1 và min y = −9 tại x = −1. [−1;1]  [−1;1] ï ò 1 3 Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + trên đoạn ;3 . x−1 2 Lời giải. 2 x − 2x 1 = . Với x 6= 1 ta có: y 0 = 1 − (x − 1)2 (x − 1)2    x =0  x − 2x 0 2 y =0⇔ = 0 ⇔ x − 2x = 0 ⇔   2 (x − 1)   x = 2. 2 ò Å ã 7 7 3 3 = ; y(2) = 3; y(3) = . Trên đoạn ; 3 ta có: y 2 2 2 2 7 3 Vậy max y = tại x = hoặc x = 3 và min y = 3 tại x = 2. 2 2 [ 32 ;3] [ 32 ;3] ï  Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x + 1 + 1 trên đoạn [1; 2]. 2x + 1 Lời giải. 2 1 2 8x + 8x Với x 6= − ta có: y 0 = 2 − = . 2 2 (2x + 1) (2x + 1)2    x =0  8x + 8x 0 2  y =0⇔ = 0 ⇔ 8x + 8x = 0 ⇔  (2x + 1)2   x = −1. 2 10 26 Trên đoạn [1; 2] ta có: y (1) = ; y(2) = . 3 5 26 10 Vậy max y = tại x = 2 và min y = tại x = 1. [1;2] [1;2] 5 3 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 401 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = √ −x2 + 5x + 6. Lời giải. Tập xác định của hàm số: D = [−1; 6]. −2x + 5 Với −1 < x < 6 ta có: f 0 (x) = √ . 2 −x2 + 5x + 6 −2x + 5 5 f 0 (x) = 0 ⇔ √ ⇔ −2x + 5 = 0 ⇔ x = . 2 2 2 −x + 5x + 6 Å ã 5 7 Trên đoạn [−1; 6] ta có: f (−1) = 0; f = ; f (6) = 0. 2 2 6 5 Vậy max f (x) = tại x = và min f (x) = 0 tại x = −1 hoặc x = 6. [−1;6] [−2;3] 2 2 Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = √  1 trên đoạn [0; 1]. −x2 + x + 6 Lời giải. Hàm số đã cho luôn xác định trên đoạn [0; 1]. √
0 2+x+6 −x 2x − 1 √ = . Ta có: y 0 = − 2 2 −x + x + 6 2(−x + x + 6) −x2 + x + 6 2x − 1 1 √ = 0 ⇔ 2x − 1 = 0 ⇔ x = . 2 2(−x2 + x + 6) −x2 + x + 6 √ √ Å ã 1 2 6 6 ;y = ; y(1) = . Trên đoạn [0; 1] ta có: y(0) = 6 2 5 6 √ 6 2 1 Vậy max y = tại x = 0 hoặc x = 1 và min y = tại x = . [0;1] [0;1] 6 5 2 y0 = 0 ⇔ Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x +  √ 4 − x2 . Lời giải. Tập xác định của hàm số: D = [−2; 2]. √ x 4 − x2 − x 0 Với −2 < x < 2 ta có: y = 1 − √ = √ . 4 − x2 4 − x2  √ x ≥ 0 √ 4 − x2 − x 0 2 √ y =0⇔ =0⇔ 4−x =x⇔ 2x2 − 4 = 0 4 − x2 ⇔x= Ä√ ä √ Trên đoạn [−2; 2] ta có: y(−2) = −2; y 2 = 2 2; y(2) = 2. √ √ Vậy max y = 2 2 tại x = 2 và min y = −2 tại x = −2. [−2;2]  [−2;2] Bài 7. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = √ 2. √ 2 − x2 − x. Lời giải. 402 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 î √ √ ó Tập xác định của hàm số: D = − 2; 2 . √ √ x − 1. Với điều kiện − 2 < x < 2, ta có: y 0 = − √ 2 − x2  x ≤ 0 √ x y0 = 0 ⇔ − √ − 1 = 0 ⇔ 2 − x2 = −x ⇔ 2x2 − 2 = 0 2 − x2 ⇔ x = −1. î √ √ ó √ √ √ √ Trên đoạn − 2; 2 ta có: y(− 2) = 2; y(−1) = 2; y( 2) = − 2. √ √ Vậy max y = 2 tại x = −1 và min y = − 2 tại x = 2. D D √ Do đó, tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 − 2. Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x + √  î √ √ ó 5 − x2 trên đoạn − 5; 5 . Lời giải. î √ √ ó Tập xác định của hàm số: D = − 5; 5 . √ √ x Với điều kiện − 5 < x < 5 ta có: y 0 = 1 − √ . 5 − x2  x ≥ 0 √ x = 0 ⇔ 5 − x2 = x ⇔ y =0⇔1− √ 2x2 − 5 = 0 5 − x2 0 î √ √ ó Ä √ ä Ä√ ä √ √ Trên đoạn − 5; 5 ta có: y − 5 = − 5; y 5 = 5; y … √ 5 . 10 tại x = Vậy max √ √ y = 2 [− 5; 5] … ⇔x= 5 . 2 Ç… å √ 5 = 10. 2  Bài 9. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x + sin2 x trên đoạn [0; π]. Lời giải. 0 Ta có: y = 1 + sin 2x. y 0 = 0 ⇔ sin 2x = −1 ⇔ x = − π + kπ(k ∈ Z). 4 3π . 4 Å ã 3π 3π 1 Trên đoạn [0; π] ta có: y(0) = 0; y = + ; y(π) = π. 4 4 2 Vậy max y = π tại x = π. Vì x ∈ [0; π] nên x = [0;π]  √ x + 1 + 9x2 Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = , với x > 0. 8×2 + 1 Lời giải. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng (0; +∞). √ x + 1 + 9×2 9×2 + 1 − x2 1 Ä ä √ y= = = . √ 8×2 + 1 9×2 + 1 − x (8×2 + 1) 9×2 + 1 − x CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 403 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0; +∞) khi hàm số f (x) = √ 9×2 + 1 − x đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0; +∞). 9x − 1. Ta có: f 0 (x) = √ 9×2 + 1  x > 0 √ f 0 (x) = 0 ⇔ 9×2 + 1 = 9x ⇔ 72×2 = 1 1 ⇔x= √ . 6 2 Bảng biến thiên: x 0 f 0 (x) − 1 √ 6 2 0 +∞ + +∞ 1 √ 2 2 3 f (x) √ 2 2 1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min (0; +∞)f (x) = tại x = √ . Do đó hàm số đã cho có giá 3 6 2 √ 3 2 1  trị lớn nhất là max y = tại x = √ . (0;+∞) 4 6 2 Bài 11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất y = |x3 − 3×2 + 1| trên đoạn [−2; 1]. Lời giải. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [−2; 1]. Đặt g(x) = x3 − 3×2 + 1, với x ∈ [−2; 1]. Ta có: g 0 (x) = 3×2 − 6x.    x =0  0 2 g (x) = 0 ⇔ 3x − 6x = 0 ⇔     x = 2. Trên đoạn [−2; 1] ta có: g(−2) = −19; g(0) = 1; g(1) = −1. Vậy max g(x) = 1 tại x = 0 và min g(x) = −19 tại x = −2. [−2;1] [−2;1] Như vậy với x ∈ [−2; 1] thì g(x) ∈ [−19; 1]. Suy ra y = |g(x)| ∈ [0; 19]. Do đó max y = 19 và min y = 0. [−2;1] [−2;1] Bài 12. Cho hàm số y =  mx − 1 (với m là số thực). Tìm m để hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn x+m [1; 4] bằng 1. Lời giải. 404 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Tập xác định của hàm số: D = R {−m}. m2 + 1 Ta có: y 0 = > 0, ∀x ∈ D nên hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. (x + m)2 Do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất (nếu có) tại x = 4, tức là 5 4m − 1 = 1 ⇔ 4m − 1 = 4 + m ⇔ m = . 4+m 3 Thử lại ta thấy m = 5 là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3  Bài 13. Tìm m để hàm số y = x3 − 6×2 + 9x + m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 2] bằng −4. Lời giải. 0 2 Ta có: y = 3x − 12x + 9.    x =1  0 2 y = 0 ⇔ 3x − 12x + 9 = 0 ⇔     x = 3. Trên đoạn [0; 2] ta có: f (0) = m, f (1) = 4 + m, f (2) = 2 + m. Vì m < m + 2 < m + 4 (với mọi số thực m) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 2] là m. Theo bài ta có m = −4.  Bài 14. Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số y = |x2 + 2x + a − 4| trên đoạn [−2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [−2; 1]. y = x2 + 2x + a − 4 = (x + 1)2 + a − 5 . Đặt t = (x + 1)2 . Với x ∈ [−2; 1] thì t ∈ [0; 4]. Xét hàm số f (t) = |t + a − 5| trên đoạn [0; 4]. Vì f (t) ≥ 0, ∀t ∈ [0; 4] nên ta có: max y = max f (t) = max {f (0), f (4)} = max {|a − 5|, |a − 1|} . x∈[−2;1] t∈[0;4] t∈[0;4] t∈[0;4]  |a − 5| ≥ |a − 1| ⇔ a ≤ 3 thì max f (t) = |a − 5| = 5 − a. t∈[0;4]  |a − 5| ≤ |a − 1| ⇔ a ≥ 3 thì max f (t) = |a − 1| = a − 1. t∈[0;4] Mặt khác  5 − a ≥ 5 − 3 = 2, ∀a ≤ 3 a − 1 ≥ 3 − 1 = 2, ∀a ≥ 3 ⇒ max f (t) ≥ 2, ∀a ∈ R. t∈[0;4] Vậy giá trị nhỏ nhất của max f (t) bằng 2 khi a = 3.  t∈[0;4] CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 405 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x + sin x + 1. 2 Lời giải. Bài 15. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos x Vì hàm số y = 2 cos + sin x + 1 tuần hoàn với chu kì 4π nên ta chỉ cần xét hàm số trên đoạn [0; 4π]. 2 x 0 Ta có: y = − sin + cos x. 2   x = −π + k4π, k ∈ Z x  sin = −1 π  x x  2 x = + k4π, k ∈ Z y 0 = 0 ⇔ − sin + 1 − 2 sin2 = 0 ⇔  ⇔  3 x 1 2 2  sin = 5π 2 2 x= + k4π, k ∈ Z. 3 ™ ß π 5π ; ; 3π . Vì x ∈ [0; 4π] nên x ∈ 3 3  π  2 + 3√3 Å 5π ã 2 − 3√3 Trên đoạn [0; 4π] ta có: y (0) = 3; y = ;y = ; y (3π) = 1; y (4π) = 3. 3 2 3 2 √ 2−3 3 Vậy min y = .  2 Bài 16. Tìm tất cả các giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = 2x + m − 1 trên đoạn x+1 [1; 2] bằng 1. Lời giải. 3 − m . Ta có f 0 (x) = (x + 1)2 Nếu m = 3 thì f (x) = 2, ∀x ∈ [1; 2] (không thỏa bài toán). m+1 = 1 ⇒ m = 1 (nhận). [1;2] 2 m+3 Nếu m > 3 thì f 0 (x) < 0, ∀x ∈ [1; 2]. Do đó min f (x) = f (2) = = 1 ⇒ m = 0 (loại). [1;2] 3 Vậy m = 1. Nếu m < 3 thì f 0 (x) > 0, ∀x ∈ [1; 2]. Do đó min f (x) = f (1) =  Bài 17. Cho bất phương trình (x − 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) > m, với m là tham số. Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x > −1. Lời giải. (x − 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) > m ⇔(x2 + 4x − 5)(x2 + 4x + 3) > m (1). Đặt t = x2 + 4x − 5 ⇒ x2 + 4x + 3 = t + 8, ta được bất phương trình t(t + 8) > m ⇔ t2 + 8t > m (2). Ta có: t = x2 + 4x − 5 nên t0 = 2x + 4 = 0 ⇔ x = −2. t0 = 0 ⇔ 2x + 4 = 0 ⇔ x = −2. 406 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Bảng biến thiên x −1 t0 +∞ + +∞ t −8 Với x > −1 thì t > −8, do đó (1) đúng với mọi x > −1 khi và và chỉ khi (2) đúng với mọi t > −8. Xét f (t) = t2 + 8t. Ta có: f 0 (t) = 2t + 8. f 0 (t) = 0 ⇔ 2t + 8 = 0 ⇔ t = −4. Bảng biến thiên x −8 − t0 −4 0 +∞ + +∞ 0 t −16 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi t > −8 khi min f (t) > t∈(−8;+∞) m ⇔ m < −16. Vậy m < −16 là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Bài 18. Cần bắc một chiếc thang tựa vào tường tại vị trí C và mặt đất tại vị trí √ A thông qua một cột đỡ có đỉnh là vị trí B. Cột đỡ có chiều cao 3 3 m và khoảng cách từ tường đến cột đỡ bằng 1 m, như hình vẽ bên. Hỏi chiều dài ngắn nhất có thể có của chiếc thang là bao nhiêu? C K B 1 √ 3 3 H A Lời giải. √ Gọi CK = x > 0, AH = y > 0 ⇒ AC = (x + 3 3)2 + (y + 1)2 . Ç √ å2 √ √ x 1 3 3 3 3 Mặt khác: √ = ⇒ y = ⇒ AC 2 = (x + 3 3)2 + +1 . y x x 3 3 Ç √ å2 √ 2 3 3 Đặt f (x) = (x + 3 3) + +1 x Ç √ å Ç √ å Ç √ å √ √ 3 3 3 3 3 3 ⇒ f 0 (x) = 2(x + 3 3) + 2 +1 . − 2 = 2(x + 3 3) 1 − 3 x x x √ √ 0 f (x) = 0 ⇔ x = 3. Lập bảng biến thiên suy ra f (x) có giá trị nhỏ nhất bằng 64 tại x = 3. 2 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 407 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x √ 3 0 y0 − +∞ + 0 +∞ +∞ y 64 Vậy AC nhỏ nhất bằng 8.  Bài 19. Một người đàn ông muốn chèo thuyền từ vị trí X đến vị trí Z về phía hạ lưu bờ đối diện càng nhanh càng tốt, trên một dòng sông thẳng rộng 3 km (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông để đến H rồi sau đó chạy đến Z, hay có thể chèo thuyền trực tiếp đến Z, hoặc anh ta có thể chèo thuyền từ một điểm Y giữa H và Z và sau đó chạy đến Z. Biết anh ấy chèo thuyền với vận tốc 6 km/h, chạy với vận tốc 8 km/h, quãng đường HZ = 8 km và tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn ông đó đến Z. X 3 km 8 kmY H √ √ Độ dài XZ = XH 2 + HZ 2 = 73. √ Đặt a = XY . Với 3 ≤ a ≤ 73. Thời gian để người đó đi từ X đến Y là: Z Lời giải. X a (giờ). 6 a 3 km p Thời gian để người đó đi từ Y đến Z là 8− √ H a2 − a2 − 32 8 km Y Z 32 (giờ). 8 Thời gian để người √ đó đi tới Z được tính theo hàm số a 8 − a2 − 32 f (a) = + . 6 8 1 a f 0 (a) = − √ . 6 8 a2 − 32 √ √ 1 a 12 7 f 0 (a) = 0 ⇔ − √ = 0 ⇔ 8 a2 − 9 = 6a ⇔ a = . 2 2 6 8 a −3 7 √ √ √ √ 3 7 73 Ta có f (3) = , f (3 2) = 1 + , f ( 73) = . 2 8 6 408 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 √ 7 Vậy thời gian ngắn nhất đề người đó đi tới Z là 1 + giờ. 8  4xy 2 Bài 20. Cho các số thực dương x, y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = Ä ä3 . p 2 2 x + x + 4y Lời giải.  y 2 4 4xy 2 x = . Ç ä3 … p  y 2 å3 2 2 x + x + 4y 1+ 1+4 x …  y 2  y 2 t2 − 1 t−1 = , t ≥ 1 thì 4 = t2 − 1. Khi đó, P = Đặt t = 1 + 4 x x (1 + t)3 (t + 1)2 t−1 Xét hàm số f (t) = , t ≥ 1. (t + 1)2  Ta có P = Ä   t −1 (loại)  −t + 2t + 3 0 0 Ta có f (t) = , f (t) = 0 ⇔   4 (t + 1)   t = 3. 2 t 1 f 0 (t) +∞ 3 + 0 − 1 8 f (t) 0 0 1 Vậy max P = max f (t) = . t∈[1;+∞) 8  Bài 21. A Một đoàn cứu trợ lũ lụt đang ở vị trí A của một tỉnh miền trung muốn đến xã C để tiếp tế lương thực và thuốc men, phải đi theo con đường từ A đến B và từ B đến C (như hình vẽ). Tuy nhiên, do nước ngập con đường từ A đến B nên đoàn cứu trợ không thể đến C bằng xe, 5km nhưng đoàn cứu trợ có thể chèo thuyền từ A đến vị trí D với vận tốc 4km/h, rồi đi bộ đến C với vận tốc 6km/h. B D C 7km Biết A cách B một khoảng 5km, B cách C một khoảng 7km. Hỏi vị trí điểm D cách A bao xa để đoàn cứu trợ đi đến xã C nhanh nhất? Lời giải. Gọi x (đơn vị km) là độ dài √đoạn BD. Khi đó thời gian y (đơn vị giờ) để đoàn cứu trợ đi theo lộ trình 25 + x2 (7 − x) từ A qua D đến C là y = + với x ∈ [0; 7]. 4 6 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 409 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x 1 Ta có y 0 = √ − . 2 6 4 25 + x √ y 0 = 0 ⇔ x = 2 5. √ √ Thay các giá trị vào kiểm tra ta được thời gian ngắn nhất khi x = 2 5 tức là AD = 3 5.  1 Bài 22. Một vật chuyển động theo quy luật s = − t3 + 6t2 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ 2 khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? Lời giải. 3 Ta có: v = s0 = − t2 + 12t, t ∈ [0; 6]. 2 Đạo hàm: v 0 (t) = −3t + 12 ⇒ v 0 (t) = 0 ⇔ t = 4. Ta có: ⇒ max v = 24. [0;6]  Bài 23. Cho hàm số y = x+m . Tìm m để min y = 4. [2;4] x−1 Lời giải. TXĐ: D = R {1}. −1 − m Ta có y 0 = . Xét các trường hợp (x − 1)2  Xét −1 − m = 0 ⇔ m = −1 thì y = 1 (không thỏa mãn YCBT).  Xét −1 − m > 0 ⇔ m < −1 ⇒ min y = 4 ⇔ y(2) = 4 ⇔ 2 + m = 4 ⇔ m = 2(Loại). [2;4]  Xét −1 − m < 0 ⇔ m > −1 ⇒ min y = 4 ⇔ y(4) = 4 ⇔ [2;4] 4+m = 4 ⇔ m = 8 (Thỏa mãn). 3 Vậy để thỏa mãn bài ra thì m = 8.  Bài 24. Tìm m để bất phương trình x − Xét f (x) = x − √ √ x − 1 < m có nghiệm. Lời giải. x − 1 với x ≥ 1 1 f 0 (x) = 1 − √ 2 x−1 5 f 0 (x) = 0 ⇔ x = 4 Bất phương trình có nghiệm Å ã 5 3 ⇔ m > min f (x) ⇔ m > f ⇔m> . 4 4 410 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Bài 25. Biết rằng các số thực a, b thay đổi sao cho hàm số f (x) = −x3 + (x + a)3 + (x + b)3 luôn đồng biến trên khoảng (−∞; +∞). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + b2 − 4a − 4b + 2. Lời giải. Ta có f 0 (x) =3×2 + 3(x + a)2 + 3(x + b)2 =3(x2 + 2(a + b)x + a2 + b2 ). Hàm số đã cho đồng biến trên R ⇔ ∆0 ≤ 0 ⇔ ab ≤ 0. Không mất tính tổng quát giả sử a ≥ 0, b ≤ 0. Khi đó b(b − 4) ≥ 0, nên P =(a − 2)2 + b(b − 4) − 2 ≥ − 2. Đẳng thức xảy ra khi a = 2, b = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là −2.  x+2y Bài 26. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 5 5xy 3 + 3−x−2y + y(x − 2). Tìm + xy + x + 1 = 3 5 giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x + 2y. Lời giải. Ta có 3 5xy + x + 1 = + 3−x−2y + y(x − 2) 3xy 5 3 1 ⇔ 5x+2y + xy + x + 1 = 5xy−1 + x+2y + xy − 2y 3 3 1 1 ⇔ 5x+2y − x+2y + x + 2y = 5xy−1 − xy−1 + xy − 1 (∗) 3 3 1 Xét hàm số f (t) = 5t − t + t với t ∈ R có f 0 (t) = 5t . ln 5 + 3−t . ln 3 + 1 > 0, ∀t ∈ R. 3 Suy ra f (t) đồng biến trên R. 5x+2y + Do đó (∗) ⇔ f (x + 2y) = f (xy − 1) ⇔ x + 2y = xy − 1 ⇔ x(y − 1) = 2y + 1 ⇔ x = với x > 0 ⇒ y > 1. Khi đó T = x + 2y = 2y + 1 y−1 1 + 2y 2 . y−1 1 + 2y 2 trên khoảng (1; +∞), ta có y−1 √ 2 2y − 4y − 1 2 + 6 f 0 (y) = =0⇔x= 2 (y − 1) 2 √ 2 + 6 y 1 2 0 − f 0 Xét hàm số f (y) = +∞ f CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ +∞ + +∞ √ 4+2 6 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 411 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 √ Vậy min T = 4 + 2 6.  Bài 27. Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 6. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [0; 3] bằng 2 khi Lời giải. Tập xác định D = R. y 0 = 3×2 −6mx.   x =0  0 . Các giá trị cực trị tương ứng là 6 và −4m3 + 6. y =0⇔    x = 2m 3 Trường hợp 1: m ≥ . 2 Khi đó, hàm số nghịch biến trên [0; 3], do đó GTNN đạt được khi x = 3, và là 33 − 27m. 31 Giải phương trình 33 − 27m = 2, ta thu được m = (loại). 27 Trường hợp 2: m ≤ 0. Khi đó, hàm số đồng biến trên [0; 3], suy ra GTNN đạt được khi x = 0, và là 6 (loại). 3 Trường hợp 3: 0 < m < . Hàm số khi đó đạt cực đại tại x = 0, đạt cực tiểu tại x = 2m. 2 Ta có f (0) = 6, f (3) = 33 − 27m, f (2m) = −4m3 + 6. 3 Khi 0 < m < thì −4m3 + 6 < 33 − 27m < 6. Do đó GTNN đạt được là −4m3 + 6. Giải phương trình 2 −4m3 + 6 = 2, ta thu được m = 1 (thỏa).  BÀI TẬP TỔNG HỢP DẠNG ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ VÀ GTLN, GTNN { DẠNG 6. Một số ứng dụng sự biến thiên của hàm số Phương pháp giải. Ứng dụng sự biến thiên của hàm số ta có thể xác định số nghiệm của phương trình trong một số trường hợp, hỗ trợ giải phương trình, bất phương trình và chứng minh bất đẳng thức. 1 Xác định số nghiệm của phương trình: trước hết ta đưa phương trình về dạng f (x) = c với c là hằng số; sau đó lập bảng biến thiên, để ý các giá trị cực trị của hàm số trong khoảng cho trước để xác định số nghiệm phương trình. 2 Giải phương trình: trước hết ta cần đoán được các nghiệm của phương trình; sau đó dùng tính chất biến thiên để xác nhận đủ nghiệm đối với phương trình đã cho. 3 Giải bất phương trình: trước hết ta cũng đưa về dạng f (x) > c (tương tự với các dấu bất phương trình khác) với c là hằng số; sau đó dựa vào bảng biến thiên để đánh giá và lấy tập nghiệm của bất phương trình. 4 Chứng minh bất đẳng thức: chẳng hạn f (x) > 0, ứng dụng cách làm bài giá trị lớn nhất, nhỏ nhất để xác định giá trị nhỏ nhất của f (x) trên khoảng đã cho và chứng tỏ giá trị nhỏ 412 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 nhất đó lớn hơn 0. Ví dụ 37. Tìm m để phương trình x3 − 6×2 − 4m = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Lời giải. 3 Phương trình đã cho tương đương với x − 6×2 = 4m, là phương trình hoành độ giao điểm của hàm số y = f (x) = x3 − 6×2 và y = 4m. ” x=0 Ta có f 0 (x) = 3×2 − 12x = 0 ⇔ , f (0) = 0, f (4) = −32. x=4 Ta có bảng biến thiên x −∞ y0 0 + 0 +∞ 4 − 0 + +∞ 0 y −∞ −32 Mặt khác y = 4m là đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại điểm có tung độ 4m. Từ bảng biến thiên ta suy ra để phương trình f (x) = 4m có 3 nghiệm thì −32 < 4m < 0 ⇔ −8 < m < 0.  Ví dụ 38. Giải phương trình x = sin x. Lời giải. Với x ≤ −1 hoặc x ≥ 1 thì phương trình vô nghiệm. Ta xét phương trình đã cho trên (−1; 1). Ta có x = sin x ⇔ x − sin x = 0. Nhận xét x = 0 là nghiệm của phương trình. Đặt f (x) = x − sin x, ta có f 0 (x) = 1 − cos x ≥ 0, f 0 (x) = 0 ⇔ x = k2π (k ∈ Z. Với x ∈ (−1; 1) thì phương trình f 0 (x) = 0 có duy nhất 1 nghiệm x = 0. Do đó f (x) là hàm số đồng biến trên (−1; 1) vì thế có duy nhất 1 nghiệm trên (−1; 1) là x = 0.  Ví dụ 39. Giải bất phương trình 2x + cos2 x ≥ 1 Lời giải. Đặt f (x) = 2x + cos2 x, ta có f 0 (x) = 2 − sin 2x > 0 ∀x ∈ R nên f (x) luôn đồng biến trên R, lại có f (0) = 1, do đó f (x) ≥ 1 ⇔ x ≥ 0.  x2 Ví dụ 40. Chứng minh bất đẳng thức cos x > 1 − (x 6= 0). 2 Lời giải. x2 Bất đẳng thức đã cho tương đương với cos x + − 1 > 0. Đặt f (x) bằng vế trái. Ta có f 0 (x) = 2 − sin x + x = 0 ⇔ x = 0 (xem ví dụ trên). Khi đó ta có bảng biến thiên CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 413 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 −∞ x f 0 (x) +∞ 0 − 0 + +∞ +∞ f (x) 0 Từ đó suy ra f (x) > 0 với mọi x 6= 0.  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 28. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình bên. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình f (x) = m − 1 có ba nghiệm thực phân biệt. x −∞ y0 −2 + +∞ 0 − 0 0 + +∞ 0 y −∞ −4 Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình f (x) = m − 1 có 3 nghiệm phân biệt thì −4 < m − 1 < 0 ⇔ −3 < m < 1.  Bài 29. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng y = m không cắt đồ thị hàm số y = f (x) = −2x4 + 4x2 + 2. Lời giải. " Ta có f 0 (x) = −8x3 + 8x = 0 ⇔ x −∞ y0 x=0 x = ±1 , f (0) = 2, f (1) = f (−1) = 4. Ta có bảng biến thiên sau: −1 + 0 0 − 0 +∞ 1 + 4 0 − 4 y −∞ −∞ 0 Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra được để y = m không cắt đồ thị hàm số y = f (x) thì m > 4.  Bài 30. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm x3 + 3×2 − 1 ≤ m 414 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em √ x− √
3 x−1 Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải.


3 √ √ √ √ 3 x + x − 1 . x3 + 3×2 − 1 ≤ m, khi x ≥ 1 hàm số x3 + 3×2 − m ≤ m x − x − 1 ⇔

3 √ √ f (x) = x + x − 1 . x3 + 3×2 − 1 đồng biến nên bất phương trình có nghiệm khi m ≥ f (1) = 3.  ã Å π π . Bài 31. Giải phương trình tan x = x với x ∈ − ; 2 2 Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với tan x − x = 0 Đặt vế trái bằng f (x). Å ã π π Ta có f (x) = tan x + 1 − 1 = tan x ≥ 0 ∀x ∈ − ; , f 0 (x) = 0 ⇔ x = 0. 2 2 Å ã π π Do đó, f (x) là hàm số luôn tăng trên − ; mà ta có x = 0 thỏa mãn phương trình nên x = 0 2 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.  0 2 2 Bài 32. Giải bất phương trình cos 2x − 3x ≥ 1. Lời giải. Đặt vế trái của bất phương trình là f (x). Ta có f 0 (x) = −2 sin 2x − 3 < 0 ∀x ∈ R nên f (x) là hàm số nghịch biến trên R. Mặt khác f (0) = 1 nên f (x) ≥ 1 ⇔ f (x) ≥ f (0) ⇔ x ≤ 0.  Bài 33. Chứng minh rằng với mọi x ∈ (−2; 2) thì ta luôn có x + √ √ 4 − x2 ≤ 2 2. Lời giải. √ √ x 0 Xét hàm số f (x) = x + 4 − x2 , ta có f (x) = 1 − √ = 0 ⇔ x = ± 2. Ta có bảng biến thiên 4 − x2 sau: x √ − 2 −2 f 0 (x) − 0 2 √ 2 + 0 √ 2 2 2 − f (x) 0 2  Từ bảng biến thiên, suy ra điều phải chứng minh. Å ò 1 9 Bài 34. Chứng minh rằng với mọi x ∈ 0; , ta luôn có 9x + ≥ 82. 9 x Lời giải. 9 Đặt f (x) = 9x + . x Å ò Å ò Å ã 9 1 1 1 0 Ta có f (x) = 9 − 2 < 0 ∀x ∈ 0; tức là f (x) giảm trên 0; , suy ra f (x) ≥ f = 82.  x 9 9 9 Bài 35. Phương trình √ 2−x− √ 2+x− CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ √ 4 − x2 = m có hai nghiệm phân biệt khi 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 415 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2. √ √ 1 1 − √ Đặt t = 2 − x − 2 + x ⇒ t0 = − √ < 0 với −2 < x < 2 ⇒ −2 ≤ t ≤ 2 và 2 2−x 2 2+x √ 4 − t2 . 4 − x2 = 2 t2 Xét f (t) = + t − 2 trên đoạn [−2; 2], có 2 f 0 (t) = t + 1 = 0 ⇒ t = −1. Ta có bảng biến thiên x −2 −1 f 0 (t) − 0 2 + −2 2 f (t) − 5 2 5 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì − < m < −2. 2  ã π Bài 36. Tìm m để hàm số y = f (x) = cos x + cos x − m cos x − 4 đồng biến trên khoảng 0; . 2 Lời giải. ã Å π ⇒ t ∈ (0; 1). Đặt t = cos x, x ∈ 0; 2 Å ã Å ã π π Ta có hàm cos x nghịch biến trên 0; nên để y = f (x) đồng biến trên x ∈ 0; tức là 2 2 x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) thì hàm số g(t) = t3 + t2 − mt − 4 phải nghịch biến trên (0; 1). Ta có 3 Å 2 g 0 (t) = 3t2 + 2t − m. Å ã 1 1 1 = − , h(0) = Đặt h(t) = 3t + 2t xét trên (0; 1). Ta có h (t) = 6t + 2 = 0 ⇔ t = − , h − 3 3 3 0, h(1) = 5. Ta được bảng biến thiên 0 2 x 0 y0 − 1 3 0 0 1 + 5 y − 1 3 g(t) nghịch biến trên (0; 1) tương đương với g 0 (t) < 0 trên (0; 1), tức là h(t) < m trên (0; 1), dựa vào bảng biến thiên suy ra m ≥ 5. 416 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 Mức độ nhận biết Câu 1. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x(5 − 2x)2 trên [0; 3] là 250 250 A. . B. 0. C. . 3 27 Lời giải. D. 125 . 27 Ta có y =4x3 − 10x2 + 25x ⇒ y 0 = 12x2 − 40x + 25. 5 x = ∈ [0; 3]  2 y0 = 0 ⇔  . 5 x = ∈ [0; 3] 6Å ã Å ã 5 5 250 Ta có y(0) = 0; y = 0; y = ; y(3) = 3. 6 27 Å ã2 250 5 = . Vậy max y = y [0;3] 6 27 Chọn đáp án C √ Câu 2. Cho hàm số f (x) = x − x2 xác định trên tập D = [0; 1]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?  A. Hàm số f (x) có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất trên D. B. Hàm số f (x) có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất trên D. C. Hàm số f (x) có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên D. D. Hàm số f (x) không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D. Lời giải. 1 1 − 2x ; f 0 (x) = 0 ⇔ x = ∈ [0; 1]. Ta có f (x) = x − x2 ⇔ f 0 (x) = √ 2 2 Å ã 2 x−x 1 1 = . Ta có f (0) = 0; f (1) = 0; f 2 2 " x=0 1 1 Vậy max y = khi x = , min y = 0 khi . [0;1] 2 2 [0;1] x=1 √  Chọn đáp án A Câu 3. Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 3x2 + 1 trên đoạn [1; 2]. Khi đó tổng M + N bằng B. −2. A. 2. D. −4. C. 0. Lời giải. " Ta có y = f (x) = x3 − 3x2 + 1 ⇒ y 0 = 3x2 − 6x = 0 ⇒ x=0∈ / [1; 2] x = 2 ∈ [1; 2]. f (1) = −1, f (2) = −3. Suy ra N = min f (x) = f (2) = −3, N = max f (x) = f (1) = −1. [1;2] [1;2] Vậy M + N = −4.  Chọn đáp án D Câu 4. Giá trị lớn nhất của hàm số y = A. 3. B. 2. x2 − 3x trên đoạn [0; 3] bằng: x+1 C. 0. D. 1. Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 417 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x2 − 3x trên D = [0; 3]. x+1 " 2 x = −3 ∈ /D x2 − 3x x + 2x − 3 0 y= ⇒ y0 = ⇒ y = 0 ⇔ x+1 (x + 1)2 x = 1 ∈ D. Xét hàm số y = Ta có: y(0) = y(3) = 0, y(1) = −1. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên [0; 3] bằng 0.  Chọn đáp án C Câu 5. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 3x + 5 trên đoạn [2; 4] là: A. miny = 3. B. miny = 7. [2;4] C. miny = 5. [2;4] D. miny = 0. [2;4] [2;4] Lời giải. ( x = 1 ∈ / [2; 4] f (2) = 7 Ta có: y 0 = 3x2 − 3 ⇒ y 0 = 0 ⇔ mà ⇒ miny = 7. [2;4] x = −1 ∈ / [2; 4] f (4) = 57 "  Chọn đáp án B î √ √ ó Câu 6. Cho hàm số y = f (x) xác định trên đoạn − 3; 5 và có bảng biến thiên như hình vẽ. x y0 √ − 3 + −1 0 1 0 − √ 5 + √ 2 5 2 y −2 0 Khẳng định nào sau đây là đúng? √ max y = 2. C. max y = 2 5. √ √ √ √ [− 3; 5] [− 3; 5] Lời giải. √ Dựa vào bảng biến thiên có max √ √ y = 2 5. [− 3; 5] Chọn đáp án C A. min √ √ y = 0. [− 3; 5] B. Câu 7. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 1 A. − . 3 B. −5. 3x − 1 trên đoạn [0; 2]. x−3 C. 5. D. min √ √ y = 2. [− 3; 5]  D. 1 . 3 Lời giải. −8 1 Ta có y 0 = < 0, ∀x ∈ [0; 2] mà y(0) = , y(2) = −5. 2 (x − 3) 3 1 Vậy max y = y(0) = . x∈[0;2] 3 Chọn đáp án D  Câu 8. Gọi M , N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 3x2 + 1 trên [1; 2]. Khi đó tổng M + N bằng A. 2. B. −4. C. 0. D. −2. Lời giải. Ta có y 0 = 3x2 − 6x; y 0 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2. Do f (1) = −1, f (2) = −3 suy ra max y = y(1) = −1 và min y = y(2) = −3. x∈[1;2] x∈[1;2] Vậy M + N = −4. 418 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Chọn đáp án B Câu 9. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng lim x→(−3)+ f (x) = −5, lim− f (x) = 3 và x→2 có bảng biến thiên như sau x y0 −3 −1 0 + 1 0 − 2 + 0 3 y −5 −2 Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (−3; 2). B. Giá trị cực đại của hàm số bằng 0. C. Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng (−3; 2) bằng 0. D. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng −2. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên (−3; 2).  Chọn đáp án C Câu 10. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [−3; 2] và có bảng biến thiên như sau x −3 −1 0 1 3 2 2 f (x) −2 0 1 Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [−1; 2]. Tính M + m. A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Lời giải. Phương pháp: Quan sát bảng biến thiên và tìm GT LN , GT N N của hàm số trên đoạn [−1; 2] rồi kết luận. Cách giải: Quan sát bảng biến thiên ta thấy trên đoạn [−1; 2] thì hàm số đạt GT N N bằng 0 tại x = 0 và đạt GT LN bằng 3 tại x = −1. Do đó M = 3; m = 0 ⇒ M + m = 3 + 0 = 3.  Chọn đáp án A Câu 11. Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x3 − 3x + 4 trên đoạn [−2; 2] bằng A. 10. B. 6. C. 24. D. 4. Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 419 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 " Ta có f 0 (x) = 3x2 − 3; f 0 (x) = 0 ⇔ x=1 . x = −1 Mặt khác: f (−2) = −2; f (2) = 6; f (1) = 2; f (−1) = 6. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [−2; 2] là 6.  Chọn đáp án B Câu 12. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x3 − 8x2 + 16x − 9 trên đoạn [1; 3]. 13 C. max f (x) = −6. D. max f (x) = 0. A. max f (x) = 5. B. max f (x) = . [1;3] [1;3] [1;3] [1;3] 27 Lời giải. Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [1; 3]. Ta có  0 2 f (x) = 3x − 16x + 16 = 0 ⇔  x=4∈ / [1; 3] 4 x = ∈ [1; 3] 3 Å ã 4 13 Mà f (1) = 0, f = , f (3) = −6. 3 27 13 Vậy max f (x) = . [1;3] 27 Chọn đáp án B  Câu 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = A. min y = −3. [2;3] B. min y = 3. x+1 trên đoạn [2; 3] x−1 C. min y = 2. [2;3] D. min y = 4. [2;3] [2;3] Lời giải. −2 Ta có y 0 = < 0 ⇒ Hàm số đã cho nghịch biến trên [2; 3]. (x − 1)2 Suy ra min y = y(3) = 2. [2;3]  Chọn đáp án C 3x − 1 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số x+2 trên đoạn [0; 2]. Khi đó 4M − 2m bằng Câu 14. Cho hàm số y = A. 10. B. 6. C. 5. D. 4. Lời giải. 7 Ta có y 0 = > 0, ∀x 6= −2. Do đó hàm số đồng biến trên [0; 2]. (x + 2)2 1 5 Suy ra m = y (0) = − ; M = y (2) = − . Do đó 4M − 2m = 6. 2 4  Chọn đáp án B   Câu 15. Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2×3 + 3×2 − 1 trên đoạn − 12 ; 1 bằng A. max y = 4. 1 − ;1 2 B. max y = 6. 1 − ;1 2 C. max y = 3. 1 − ;1 2 D. max y = 5. 1 − ;1 2 Lời giải.  Tập xác định D = R. 420 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ” x=0  Ta có y 0 = 6×2 + 6x. Xét y 0 = 0 ⇔ . x = −1 (loại) . Å ã 1 1 = − , y(0) = −1, y(1) = 4.  Ta có y − 2 2  Vậy max y = 4. 1 − ;1 2  Chọn đáp án A Câu 16. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 3×2 + 3 trên đoạn [1; 3]. Giá trị T = 2M + m bằng A. 3. B. 5. C. 4. D. 2. Lời ” giải. x=0∈ / [1; 3] Ta có y 0 = 3×2 − 6x và y 0 = 0 ⇔ 3×2 − 6x = 0 ⇔ x = 2 ∈ [1; 3]. Ta tính được y(1) = 1, y(3) = 3, y(2) = −1. Hàm số đã cho liên tục trên R nên liên tục trên [1; 3]. Do đó, M = max y = 3 = y(3), m = min y = −1 = y(2). x∈[1;3] x∈[1;3] Vậy T = 2M + m = 2 · 3 − 1 = 5.  Chọn đáp án B x+3 trên đoạn [2; 5] bằng Câu 17. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x − 3 7 8 A. . B. . C. 5. 8 7 Lời giải. D. 2 . 7 Phương pháp: Để tìm GTNN, GTLN của hàm số y = f (x) trên đoạn [a; b] ta làm như sau:  Tìm các điểm x1 , x2 , . . . , xn thuộc khoảng (a; b) mà tại đó hàm số y = f (x) có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.  Tính f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn ), f (a), f (b).  So sánh các giá trị vừa tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của y = f (x) trên đoạn [a; b], số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của y = f (x) trên đoạn [a; b]. x+3 9 Cách giải: y = ⇒ y0 = − < 0, ∀x ∈ [2; 5]. 2x − 3 (2x − 3)2 x+3 ⇒ hàm số y = nghịch biến trên [2; 5]. 2x − 3 8 ⇒ min y = y(5) = x∈[2;5] 7 Chọn đáp án B  Câu 18. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 + 2x + 5 trên nửa khoảng [−4; ∞) là B. min y = −17. A. min y = 5. [−4;∞) C. min y = 4. [−4;∞) D. min y = −9. [−4;∞) [−4;∞) Lời giải. 2 0 Ta có: y = x + 2x + 5 ⇒ y = 2x + 2 = 0 ⇔ x = −1. Hàm số y = x2 + 2x + 5 liên tục trên [−4; +∞) có y (−4) = 13, y (−1) = 4, lim y = +∞. x→+∞ Vậy min y = 4. [−4;+∞) CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 421 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Chọn đáp án C Câu 19. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x4 − 3x2 + 2 trên đoạn [0; 3] bằng A. 57. B. 55. C. 56. D. 54. Lời giải. Hàm số y liên tục trên đoạn [0; 3] và có đạo hàm y 0 = 4x3 − 6x. x=0  … Ta có y 0 = 0 ⇔ 4x3 − 6x = 0 ⇔  3 . x=± 2 Ç… å 3 1 Ta có y(0) = 2, y(3) = 56, y =− . 2 4 4 Do đó giá trị lớn nhất của hàm số y = x − 3x2 + 2 trên đoạn [0; 3] bằng 56.  Chọn đáp án C Câu 20. y Cho hàm số y = f (x) liên tục tên đoạn [−1; 3] có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã 3 2 cho trên đoạn [−1; 3]. Giá trị của M − m bằng A. 0. B. 1. C. 4. D. 5. 1 2 −1 3 O x −2 Lời giải. Dựa vào đồ thị ta có M = 3, m = −2. Do đó M − m = 5.  Chọn đáp án D A. M = 7. √ x2 − 2x + 8 trên đoạn [−2; 2]. √ √ D. M = 3 + 7. C. M = 3 + 2 2. Câu 21. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = 3 + B. M = 9. Lời giải. x−1  y0 = √ . 2 x − 2x + 8  y 0 = 0 ⇔ x = 1. Suy ra M = 7.  Chọn đáp án A Câu 22. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình dưới đây x −∞ y0 0 + 0 +∞ 2 − 0 + +∞ −1 y −∞ 422 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em −5 Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Khẳng định nào sau đây đúng? A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng −1. B. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là x = 0. C. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (2; −5). D. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là x = 2. Lời giải. Từ BBT suy ra khẳng định đúng là: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (2; −5).  Chọn đáp án C Câu 23. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 2x3 + 3x2 − 12x + 2 trên đoạn [−1; 2]. A. max y = 10. B. max y = 6. [−1;2] C. max y = 11. [−1;2] D. max y = 15. [−1;2] [−1;2] Lời giải. " y 0 = 6x2 + 6x − 12 = 0 ⇔ x = 1 ∈ [−1; 2] x = 2 ∈ [−1; 2] f (−1) = 15, f (1) = −5, f (2) = 6. . Vậy max y = 15. [−1;2]  Chọn đáp án D Câu 24. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R và x có bảng biến thiên như hình bên. Tìm số nghiệm của y0 −∞ 0 + A. 0. B. 5. − 0 phương trình 3|f (x)| − 7 = 0. +∞ 2 0 + +∞ 1 C. 4. D. 6. y −∞ −5 Lời giải. 7 3|f (x)| − 7 = 0 ⇔ |f (x)| = (∗). 3 Từ bảng biến thiên của y = f (x) ta có bảng biến thiên của y = |f (x)|: x x1 −∞ (|f (x)|)0 − x2 0 − + +∞ x3 2 − + 1 +∞ + +∞ 5 |f (x)| 0 0 0 Từ BBT của y = |f (x)| suy ra phương trình (∗) có 4 nghiệm.  Chọn đáp án C Câu 25. Cho a là số thực dương. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 A. log2 a3 = 3 log2 a. B. log2 a3 = log2 a. C. log2 a3 = log a. 3 2 Lời giải. D. log2 a3 = 3 log a. Ta có công thức loga bα = α loga b. Do đó log2 a3 = 3 log2 a.  Chọn đáp án A Câu 26. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 − 5x2 + 3x − 1 trên đoạn [2; 4]. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 423 Tuyển tập Toán 12 THPT A. M = −10. Kỳ thi THQG 2020 B. M = −7. C. M = −5. D. M = 1. Lời giải. Hàm số liên tục trên [2; 4]  1  x = ∈ / [2; 4]  3 0 2 0 . y = 3x − 10x + 3, y = 0 ⇔     x = 3 ∈ [2; 4] f (2) = −7, f (4) = −5, f (3) = −10 nên M = max y = −5. [2;4]  Chọn đáp án C Câu 27. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = x3 + x2 − x − 2 trên đoạn [−1; 100]. 59 17 A. m = −2. B. m = − . C. m = −4. D. m = − . 4 8 Câu 28. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên cho dưới đây. −∞ x f 0 (x) −1 + 0 1 + 0 − +∞ 2 − 0 + +∞ 9 20 f (x) 3 5 −∞ Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 9 3 A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng và giá trị nhỏ nhất bằng − . 20 5 B. Hàm số có ba cực trị. C. Hàm số đồng biến trên (−∞; 1). D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 1. √ Câu 29. Giá trị lớn nhất của hàm số y = 1 − x2 bằng A. 1. Ta có y = C. −1. B. 0. √ D. 2. Lời giải. 1− x2 ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1]. Do vậy giá trị lớn nhất của hàm số y = √ 1 − x2 là 1 tại x = 0.  Chọn đáp án A Câu 30. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 − 2x2 trên đoạn [−1; 1] là A. −3. B. −1. C. 1. D. 0.  Lời  giải.  x=0    4 ⇔ x = 0. Trên khoảng (−1; 1): y 0 = 3x2 − 4x = 0 ⇔ y=  3    −1 f (x2 ). Như vậy max f (x) = f (a), min f (x) = f (b). [a;b] [a;b]  Chọn đáp án B Câu 34. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2×3 + 3×2 − 12x + 2 trên đoạn [−1; 2]. Tìm tổng bình phương của M và m. A. 250. B. 100. C. 509. Lời giải. ” x = 1 ∈ [−1; 2] y 0 = 0 ⇔ 6×2 + 6x − 12 = 0 ⇔ · x = −2 ∈ / [−1; 2] CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ D. 289. 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 425 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ta có: y(−1) = 15; y(2) = 6; y(1) = −5. Vậy m = −5, M = 15 và M 2 + m2 = 250.  Chọn đáp án A Câu 35. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = −x3 + 12x + 2 trên đoạn [1; 4] là bao nhiêu? A. 18. B. 13. D. −14. C. 2. Lời giải. ” y 0 = 0 ⇔ −3×2 + 12 = 0 ⇔ x = 2 ∈ [1; 4] x = −2 ∈ / [1; 4] · Ta có: y(1) = 13, y(4) = −14, y(2) = 18. Vậy min y = −14. [1;4]  Chọn đáp án D Câu 36. Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2×3 + 3×2 − 12x + 2 trên đoạn [−1; 2] là A. 15. B. 66. C. 11. D. 10. Lời giải. f 0 (x) = 6×2 + 6x − 12 f 0 (x) = 0 ⇔ x = 1 (nhận) ∨ x = −2 (loại) Ta có f (−1) = 15, f (1) = −5, f (2) = 6. Vậy max f (x) = 15, đạt tại x = −1. x∈[−1;2]  Chọn đáp án A √ Câu 37. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 1 − x2 . Khi đó, giá trị của M − m bằng A. 1. B. 2. C. 4. D. 3. Lời giải. √ Xét hàm số f (x) = x 1 − x2 , D = [−1; 1]. √ −x2 1 − 2×2 f 0 (x) = 1 − x2 + √ =√ . 2 1 − x2 √1 − x 2 . f 0 (x) = 0 ⇔ x = ± 2 Ç √ å Ç√ å 2 1 2 1 Ta có: f (−1) = 0, f (1) = 0, f = ,f − =− . 2 2 2 2 1 1 Do đó M = , m = − . Vậy M − m = 1. 2 2 Chọn đáp án A Câu 38. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = A. 1. B. −2. 2x + 1 trên đoạn [2; 3]. 1−x C. 0.  D. −5. Lời giải. 3 Ta có y 0 = > 0 trên [2; 3] ⇒ Hàm số đồng biến nên min y = y(2) = −5. [2;3] (1 − x)2 Chọn đáp án D  Câu 39. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau: 426 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 −∞ x 1 y0 + +∞ 3 − 0 + +∞ 2 y −∞ −1 Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số có đúng một cực trị. B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 1. C. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 3. D. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 3. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy  lim y = +∞, lim y = −∞ nên hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. x→+∞ x→−∞  Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, giá trị cực tiểu là −1 và hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại là 2.  Chọn đáp án D Câu 40. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau x y0 −∞ − −1 0 + +∞ 0 0 − 1 0 +∞ + +∞ 3 y 0 0 Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−1; 1] bằng A. 1. C. −1. B. 3. D. 0. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên trên [−1; 1], ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đó là 0, đạt khi x = 1 hoặc x = −1.  Chọn đáp án D Câu 41. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 − 3×2 + 2 trên [1; 5]. A. 52. B. −2. C. 56. D. 2. Lời giải. Trên [1; 5] ta có: ”  y 0 = 3×2 − 6x = 0 ⇔ x=0∈ / [1; 5] x = 2 ∈ [1; 5] .  f (1) = 0;  f (2) = −2; CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 427 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  f (5) = 52. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên [1; 5] là 52.  Chọn đáp án A Câu 42. Cho bảng biến thiên của hàm số y = f (x). Mệnh đề nào sau đây sai ? x −∞ f0 -1 + 0 0 − 0 +∞ 1 + 0 0 − 0 f −∞ -1 −∞ A. Giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên tập R bằng 0. B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên tập R bằng −1. C. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên (−1; 0) và (1; +∞). D. Hàm số y = f (x) không có đường tiệm cận. Lời giải. Do lim f (x) = −∞ nên hàm số y = f (x) không có giá trị nhỏ nhất. x→+∞  Chọn đáp án B Câu 43. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |x + 2| trên đoạn [−3; 3]. A. −1. C. −5. B. 0. D. 1. Lời giải. Ta có |x + 2| ≥ 0, ∀x ∈ [−3; 3] . min y = 0 khi x = −2.  Chọn đáp án B 1 Câu 44. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 + 2×2 − 5x + 1 trên đoạn [0; 2018] bằng 3 5 A. −5. B. − . C. 0. D. 1. 3 Lời giải. Từ y 0 = x2 + 4x − 5 = 0 ta được x = 1 (nhận) và x = −5 (loại). 5 f (0) = 1, f (1) = − , f (2018) = 2747451170. 3 5 Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 2018] là − . 3 Chọn đáp án B  Câu 45. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = x3 − 3×2 trên đoạn [−1; 1]. B. M = −2. A. M = 2. C. M = 0. D. M = 4. Lời giải. ” y 0 = 3×2 − 6x, y 0 = 0 ⇔ x = 0 ∈ [−1; 1] x=2∈ / [−1; 1]. y(−1) = −3; y(0) = 0; y(1) = −2. Vậy M = max y = y(0) = 0. [−1;1] Chọn đáp án C 428 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 46. Tính giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = 1 A. max f (x) = . [1;4] 3 x trên đoạn [1; 4]. x+2 2 B. max f (x) = . C. max f (x) = 1. [1;4] [1;4] 3 Lời giải. D. Không tồn tại. 2 2 . > 0, ∀x ∈ [1; 4] nên hàm số đồng biến trên [1; 4] và max f (x) = f (4) = [1;4] (x + 2)2 3 Chọn đáp án B  2x + 1 trên đoạn [2; 3] bằng 1−x 3 7 A. . B. −5. C. − . D. −3. 4 2 Lời giải. 3 7 0 Ta có y = > 0, ∀x ∈ R. Ta có y(2) = −5, y(3) = − . Suy ra min y = −5. 2 x∈[2;3] (1 − x) 2 Chọn đáp án B  Ta có y 0 = Câu 47. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = Câu 48. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị trên đoạn [−2; 4] như hình vẽ y bên. Tìm max |f (x)|. 2 [−2;4] A. |f (0)|. 1 −2 −1 B. 2. C. 3. O 2 −1 4 x D. 1. −3 Lời giải. Ta có m = min f (x) = −3, M = max f (x) = 2. Do đó max |f (x)| = max{|m|, |M |} = 3. [−2;4] [−2;4] [−2;4]  Chọn đáp án C Câu 49. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = A. 2 . 3 B. 1 . 5 x trên đoạn [2; 4] là x+2 4 C. . 3 Lời giải. D. 1 . 2 2 > 0, ∀x 6= −2 nên hàm số luôn đồng biến trên (−∞; −2) và (−2; +∞). (x + 2)2 4 2 Do đó max y = y(4) = = . [2;4] 6 3 Chọn đáp án A Ta có y 0 =  Câu 50. Hàm số y = x4 + 2×2 − 3 A. không có cả giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. B. không có cực trị. C. có giá trị nhỏ nhất. D. có giá trị lớn nhất. Lời giải. Tập xác định: D = R. y 0 = 4×3 + 6x = 2x(x2 + 3). y 0 = 0 ⇔ x = 0. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 429 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Bảng biến thiên: x −∞ +∞ 0 y0 − + 0 +∞ +∞ y −3 Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất là −3 khi x = 0, có cực trị và không có giá trị lớn nhất.  Chọn đáp án C Câu 51. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình bên. Chọn khẳng định đúng. A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 8, giá x trị nhỏ nhất bằng 4. B. Hàm số đạt cực đại tại điểm y = 8, cực y0 tiểu tại điểm y = 4. C. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực −∞ 0 − 0 +∞ 2 + 0 +∞ − 8 y tiểu tại x = 2. D. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 2, cực −∞ 4 tiểu tại điểm x = 0. Lời giải. Dễ dàng nhận thấy hàm số đạt cực đại tại điểm x = 2, đạt cực tiểu tại điểm x = 0.  Chọn đáp án D Câu 52. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = −x3 + 3x trên đoạn [0; 2]. A. max y = 2. C. max y = −2. B. max y = 1. [0;2] [0;2] [0;2] D. max y = 0. [0;2] Lời giải. 0 0 2 Ta có y = −3x + 3. Trên đoạn [0; 2], y = 0 có nghiệm x = 1. Mà y(0) = 0, y(1) = 2, y(2) = −2 nên max y = 2. [0;2]  Chọn đáp án A Câu 53. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x4 − 2×2 trên đoạn [0; 1]. A. −1. B. 0. C. 1. D. −2. Lời giải. 4 2 Hàm số y = x − 2x liên tục trên [0; 1].  x = 0 ∈ [0; 1]  y 0 = 4×3 − 4x = 0 ⇔  / [0; 1] . x = −1 ∈ x = 1 ∈ [0; 1] 0 y(0) = 0, y (1) = −1. Suy ra max y = y(0) = 0. [0;1] Chọn đáp án B 430 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 54. Tìm giá trị nhỏ nhất K của hàm số y = A. K = −3. B. K = −2. x−2 trên đoạn [0; 2]. x+1 C. K = 0. D. K = 2. Lời giải. 3 Ta có y 0 = > 0 nên K = y(0) = −2. (x + 1)2 Chọn đáp án B  Câu 55. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x4 − x2 + 13 trên đoạn [−2; 3]. 51 49 51 . B. 13. C. . D. . A. 2 4 4 Lời giải.  x=0  • y = 4x − 2x. Ta có y = 0 ⇔  1 . x = ±√ 2Å Å ã ã 1 51 1 51 51 • y(−2) = 25, y − √ = , y(0) = 13, y √ = , y(3) = 85. Vậy min y = . [−2;3] 4 4 4 2 2 Chọn đáp án C 0 0 3  √ Câu 56. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 1 − x2 . A. min y = 2. B. min y = 1. C. min y = −1. 1 D. min y = − . 2 Lời giải. Tập xác định D = [−1; 1]. y0 = 0 ⇔ √ x =0 1 − x2 − x · √ 1 − x2 ⇒ 1 − 2×2 = 0 1 ⇔ x = ±√ 2 Å 1 Có y(±1) = 0, y √ 2 Chọn đáp án D ã Å ã 1 1 1 1 = , y −√ = − . Vậy min y = − · 2 2 2 2  Câu 57. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 1 + A. min y = 4. x∈[1;3] B. min y = x∈[1;3] 16 . 3 4 trên [1; 3]. x C. min y = 5. x∈[1;3] D. min y = 6. x∈[1;3] Lời giải. ” x = −2, 4 Tập xác định D = R{0}. Ta có y 0 = 0 ⇔ 1 − 2 = 0 ⇔ x x = 2. 16 nên min y = y(2) = 5. Ta có y(1) = 6; y(2) = 5; y(3) = x∈[1;3] 3 Chọn đáp án C  Câu 58. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 431 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 1]. 2 A. max y = 2; min y = 1. [0;1] [0;1] 1 B. max y = 0; min y = −2. [0;1] −1 [0;1] C. max y = 2; min y = −2. [0;1] x [0;1] D. max y = 2; min y = 0. [0;1] 2 O 1 −2 [0;1] Lời giải. Vì hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [0; 1] nên nó có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Theo đồ thị ta có hàm số hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1) hay f 0 (x) ≤ 0 với mọi x thuộc [0; 1]. Do đó max y = 2 tại x = 0 và min y = 0 tại x = 1. [0;1] [0;1]  Chọn đáp án D Câu 59. Hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên khoảng x (2; +∞) và có bảng biến thiên như sau. Tìm giá trị f 0 (x) nhỏ nhất của hàm số trên khoảng đã cho. A. min f (x) = 5.. (2;+∞) C. min f (x) = 1. (2;+∞) −∞ 2 − 0 +∞ B. min f (x) = −4. (2;+∞) +∞ 5 + +∞ f (x) D. min f (x) = 2. (2;+∞) −4 Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta có min f (x) = −4. (2;+∞)  Chọn đáp án B Câu 60. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 2×3 + 3×2 − 12x + 2 trên [−1; 2]. A. 6. B. 10. C. 15. D. 11. Lời giải. ” Có y 0 = 6×2 + 6x − 12, y 0 = 0 ⇔ x=1 . x = −2 Ta có f (−1) = 15, f (1) = −5, f (2) = 6. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là f (−1) = 15. Chọn đáp án C  ï ò 1 1 Câu 61. Giả sử M, m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số y = x + trên ; 3 . Khi đó M + m x 2 bằng 9 35 7 16 A. . B. . C. . D. . 2 6 2 3 Lời giải. ï ò 1 1 Hàm số y = x + xác định và liên tục với mọi x ∈ ; 3 . x 2 ï ò  1 x = 1 ∈ 2 ; 3 1 0 ï ò y =0⇔1− 2 =0⇔  1 x x = −1 ∈ / ;3 . 2 Å ã 1 5 10 10 16 y = ; y(3) = ; y(1) = 2. Suy ra M = , m = 2 và do đó M + m = . 2 2 3 3 3 432 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Chọn đáp án D Câu 62. x Cho bảng biến thiên của hàm số −∞ −2 y = f (x) như hình bên. Gọi M = max y và 3 y +∞ +∞ 2 [−2;3] m = min y. Tìm giá trị của M và m. [−2;3] ( ( M =3 M =0 A. . B. . m = −2 m=3 ( ( M =2 M =1 C. . D. . m = −1 m = −1 0 1 −∞ −1 Lời giải. Từ bảng biến thiên ta có m = −1 và M = 2.  Chọn đáp án C √ Câu 63. Giá trị lớn nhất M của hàm số y = x4 + 3×2 − 5 trên đoạn [−2; 2] là A. M = 23. B. M = 25. C. M = 5. D. M = 28. Lời giải. 0 3 Ta có y = 4x + 6x. y0 = 0  ⇔ x = 0.  y(−2) = 23  Ta có y(0) = −5    √ y( 2) = 5. Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là M = 23.  Chọn đáp án A Câu 64. Trên khoảng (0; +∞) thì hàm số y = −x3 + 3x + 1 A. có giá trị nhỏ nhất là −1. B. có giá trị lớn nhất là −1. C. có giá trị lớn nhất là 3. D. có giá trị nhỏ nhất là 3. Lời giải. Hàm số y = −x3 + 3x + 1 xác định và liên tục trên khoảng (0; +∞). y 0 = −3×2 + 3, y 0 = 0 ⇔ x = ±1. x 0 y0 +∞ 1 + 0 − 3 y −∞ 1 Vậy max y = 3 tại x = 1. (0;+∞)  Chọn đáp án C Câu 65. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục và có bảng biến thiên. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 433 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 −∞ x y0 1 − 0 +∞ 3 + +∞ 0 − 1 y − 1 3 −∞ Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có hai điểm cực trị. 1 B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1, và có giá trị nhỏ nhất bằng − . 3 C. Đồ thị hàm số không cắt trục hoành. D. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3. Lời giải. Khẳng định đúng là “Hàm số có hai điểm cực trị”.  Chọn đáp án A √ Câu 66. Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = −4 3 − x là A. −4. B. 0. C. 3. D. −3. Lời giải. Tập xác định D = (−∞; 3]. √ Ta có −4 3 − x ≤ 0. Dấu bằng xảy ra khi x = 3. Vậy giá trị lớn nhất của f (x) là 0.  Chọn đáp án B Câu 67. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 3×2 − 9x + 2 trên [−2; 2] lần lượt là A. 7 và −20. B. 7 và 2. ” Ta có y 0 = 3×2 − 6x − 9 = 0 ⇔ C. 7 và −1. D. 7 và 0. Lời giải. x = −1 ∈ [−2; 2] x=3∈ / [−2; 2]. y(−2) = 0; y (−1) = 7; y (2) = −20. 0 0 Vậy max y = 7; min y = −20. [−2;2] [−2;2]  Chọn đáp án A Câu 68. Hàm số nào sau đây không có GTLN, GTNN trên [−2; 2]? x−1 A. y = . B. y = x2 . C. y = −x + 1. x+1 Lời giải. Xét D. y = x3 + 2. x−1 . x+1 Điều kiện xác định x 6= −1. 2 Ta có y 0 = > 0, với mọi x 6= −1. (x + 1)2 x−1 x−1 lim − = +∞, lim + = −∞. Ta có bảng biến thiên x→−1 x + 1 x→−1 x + 1 1 y= 434 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x −2 −1 y0 2 + + +∞ 1 3 y −∞ 3 Vậy hàm số y = 2 y = x2 . x−1 không có GTLN và GTNN trên đoạn [−2; 2]. x+1 Điều kiện xác định x ∈ R. Ta có y 0 = 2x. Do đó, y 0 = 0 ⇔ x = 0. Ta có bảng biến thiên x −2 0 y0 y − 0 2 + 4 4 0 Do đó trên đoạn [−2; 2], GTLN của hàm số là 4 và GTNN của hàm số là 0. 3 y = −x + 1. Điều kiện xác định x ∈ R. Ta có y 0 = −1 < 0. Ta có bảng biến thiên x −2 2 y0 y − 3 −1 Do đó trên đoạn [−2; 2], GTLN của hàm số là 3 và GTNN của hàm số là −1. 4 y = x3 + 2. Điều kiện xác định x ∈ R. Ta có y 0 = 3x2 ≥ 0. Ta có bảng biến thiên x −2 y 2 0 + 10 y −6 Do đó trên đoạn [−2; 2], GTLN của hàm số là 10 và GTNN của hàm số là −6.  Chọn đáp án A Câu 69. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + 35 trên đoạn [−4; 4]. Khi đó M − m nhận kết quả nào sau đây? A. M − m = 1. B. M − m = 86. C. M − m = 76. D. M − m = 81. Lời giải. y 0 = 3x2 − 6x − 9. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 435 Tuyển tập Toán 12 THPT " y0 = 0 ⇔ Kỳ thi THQG 2020 x = −1 ∈ [−4; 4] x = 3 ∈ [−4; 4] . y(−1) = 40, y(3) = 8, y(−4) = −41, y(4) = 15. ⇒ M = 40, m = −41. Vậy M − m = 81. Chọn đáp án D  2x + 1 trên đoạn [2; 3] bằng Câu 70. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1−x 3 7 A. . B. −5. C. − . D. −3. 4 2 Lời giải. 3 Ta có y 0 = > 0, ∀x 6= 1, suy ra hàm số đồng biến trên [2; 3]. Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm (1 − x)2 số trên [2; 3] là f (2) = −5.  Chọn đáp án B Câu 71. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R và có x bảng biến thiên như hình bên. y0 −∞ 1 − + Tìm khẳng định đúng? 0 −∞ + +∞ 1 y +∞ 2 0 A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 0. B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1 . C. Hàm số có đúng một cực trị. D. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 2.. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 2.  Chọn đáp án D 1 2 Câu 72. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x3 − 3×2 + 5x − trên đoạn [0; 3] bằng 3 3 5 11 A. . B. −9. C. − . D. −2. 3 3 Lời giải. Ta có f 0 (x) =” x2 − 6x + 5. x = 1 (nhận) f 0 (x) = 0 ⇔ x = 5 (loại). 5 11 2 Có f (0) = − , f (1) = , f (3) = − . 3 3 3 11 Vậy min f (x) = − . x∈[0;3] 3 Chọn đáp án C  Câu 73. Tìm giá trị nhỏ nhất N của hàm số y = x3 − 3×2 + 3x + 2 trên đoạn [−1; 2]. A. N = 3. B. N = 2. C. N = 4. D. N = −5. Lời giải. 436 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y 0 = 3×2 − 6x + 3 = 3(x − 1)2 ≥ 0 với mọi x ∈ [1; 2]. y(1) = 3, y(2) = 4. Vậy N = 3.  Chọn đáp án A Câu 74. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R{2}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng? −∞ x y0 0 + 0 +∞ 2 − + 3 10 y −∞ −3 0 A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 10. B. Giá trị cực đại của hàm số là yCĐ = 10. C. Giá trị cực tiểu của hàm số là yCT = −3. D. Giá trị cực đại của hàm số là yCĐ = 3. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số xác định và có đạo hàm đổi dấu từ + sang − tại x = 0 nên hàm số đại cực đại tại x = 0, yCĐ = 3.  Chọn đáp án D Câu 75. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x4 − 2×2 + 5 trên đoạn [−2; 2]. A. max f (x) = 14. B. max f (x) = 13. [−2;2] C. max f (x) = −4. [−2;2] D. max f (x) = 23. [−2;2] [−2;2] Lời giải. 0 Ta có y = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1. y(0) = 5; y(−1) = y(1) = 4; y(−2) = y(2) = 13. Vậy max f (x) = 13. [−2;2]  Chọn đáp án B Câu 76. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = √ 5 − 4x trên đoạn [−1; 1]. Khi đó M − m bằng A. 9. B. 3. C. 1. D. 2. Câu 77. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2×3 + 3×2 − 1 trên đoạn [−1; 1]. A. min y = −2. [−1;1] C. min y = −1. B. min y = 4. [−1;1] [−1;1] D. min y = 0. [−1;1] Lời giải. 0 2 Ta có y =” 6x + 6x. x = 0 ∈ [−1; 1] y0 = 0 ⇔ x = −1 ∈ [−1; 1]. Ta có: y(−1) = 0, y(0) = −1, y(1) = 4 suy ra min y = y(0) = −1. [−1;1]  Chọn đáp án C 2x − 5 trên đoạn [0; 2]. x−3 5 B. max y = 2. C. max y = . x∈[0;2] x∈[0;2] 3 Lời giải. Câu 78. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = A. max y = 3. x∈[0;2] CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ D. max y = 1. x∈[0;2] 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 437 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 −1 5 2 ⇒ hàm số nghịch biến trên [0; 2] ⇒ max y = y (0) = . x∈[0;2] 3 (x − 3) Chọn đáp án C Ta có y 0 =  Câu 79. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 3x + 5 trên đoạn [2; 4] là A. min y = 0. [2;4] B. min y = 5. C. min y = 7. [2;4] D. min y = 3. [2;4] [2;4] Lời giải. 0 2 Ta có y =” 3x − 3 x = 1 ∈ [2; 4] y0 = 0 ⇔ x = −1 ∈ / [2; 4] . Lại có y(1) = 3; y(2) = 7; y(4) = 57. Suy ra min y = y(1) = 3. [2;4]  Chọn đáp án D Câu 80. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2×3 + 3×2 − 12x + 2 trên đoạn [−1; 1] đạt tại x = x0 . Giá trị x0 bằng A. 1. C. −2. B. 2. Câu 81. Đồ thị của hàm số nào dưới đây không có tiệm cận đứng? 2 x2 + 3x + 2 x3 + 2×2 − 1 . B. y = . C. y = . A. y = x x−2 x+1 Lời giải. x3 + 2×2 − 1 1 Hàm số y = có tiệm cận đứng x = 0. x 2 2 Hàm số y = có tiệm cận đứng x = 2. x−2 x2 + 3x + 2 3 Hàm số y = không có tiệm cận đứng. x+1 x3 − 1 4 Hàm số y = có tiệm cận đứng x = −1. x+1 Chọn đáp án C D. −1. x3 − 1 D. y = . x+1  Câu 82. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x4 − 4×2 + 5 trên đoạn [−1; 2] bằng A. 2. B. 1. C. 5. D. 3. Lời giải. Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [−1; 2]. Ta có y 0 = 4×3 − 8x = 4x(x2 − 2).  x=0  √ x = 0 y0 = 0 ⇔ ⇔ x = 2  √ x2 − 2 = 0 x=− 2∈ / [−1; 2]. ” Và y(−1) = 2; y(0) = 5; y Ä√ ä √ 2 = 1; y(2) = 5 ⇒ min y = 1 khi x = 2. [−1;2]  Chọn đáp án B Câu 83. Tìm GTLN của hàm số y = x3 − 3×2 + 2 trên đoạn [0; 4]. A. 2. B. 20. 438 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 18. D. −2. Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. 0 2 0 Ta có y = 3x − 6x, y = 0 khi x = 0 hoặc x = 2. Ta có y(0) = 2; y(4) = 18; y(2) = −2. Vậy GTLN của hàm số đã cho trên đoạn [0; 4] là 18.  Chọn đáp án C 2x − 1 Câu 84. Giá trị lớn nhất của hàm số y = trên đoạn [−1; 3] là x+5 5 3 1 A. . B. − . C. − . 3 4 5 Lời giải. 11 Ta có y 0 = > 0, ∀x ∈ R {−5}. (x + 5)2 5 Xét trên đoạn [−1; 3] thì max y = y(3) = . x∈[−1;3] 8 Chọn đáp án D D. 5 . 8  Câu 85. Tìm giá trị m nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 7×2 + 11x − 2 trên đoạn [0; 2]. A. m = −2. B. m = 11. C. m = 0. D. m = 3. Lời giải.  x=1 Ta có y 0 = 3×2 − 14x + 11 ⇒ y 0 = 0 ⇔ 3×2 − 14x + 11 = 0 ⇔  11 . x= 3 Khi đó y (0) = −2, y (1) = 3 và y (2) = 0 ⇒ min y = y (0) = −2. x∈[0;2]  Chọn đáp án A Câu 86. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = x4 − 6×2 − 1 trên đoạn [−1; 3]. A. m = −11. B. m = −1. C. m = −10. D. m = −26. Lời giải. 0 3 Ta có y = 4x − 12x. Phương trình  x = 0 (nhận)  √ y 0 = 0 ⇔ 4×3 − 12x = 0 ⇔  x = 3 (nhận)  √ x = − 3 (loại). Khi đó y(0) = −1; y Ä√ ä 3 = −10; y(−1) = −6; y(3) = 26. Vậy m = min y = −10. x∈[−1;3]  Chọn đáp án C Câu 87. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 1 A. − . 3 B. −5. 3x − 1 trên đoạn [0; 2]. x−3 C. 5. D. 1 . 3 Lời giải. −8 Ta có y = < 0 với mọi x ∈ [0; 2] nên hàm số nghịch biến trên [0; 2]. Từ đó suy ra max y = [0;2] (x − 3)2 1 y(0) = . 3 0 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 439 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020  Chọn đáp án D Câu 88. Gọi M , N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 3x2 + 1 trên [1; 2]. Khi đó tổng M + N bằng A. 2. B. −4. C. 0. D. −2. Lời giải. " Ta có y 0 = 3x2 − 6x; y 0 = 0 ⇔ x=0∈ / [1; 2] . x = 2 ∈ [1; 2] Ta lại có y(1) = −1 và y(2) = −3 nên min y = −3 và max y = −1. Do đó M + N = −4. [1;2] [1;2]  Chọn đáp án B Câu 89. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = −2x4 + 4x2 + 3 trên đoạn [0; 2] lần lượt là A. 6 và −12. B. 6 và −13. C. 5 và −13. D. 6 và −31. Lời giải.  x = −1  Ta có f 0 (x) = −8x3 + 8x = 0 ⇔  x = 0 x = 1. Nhận thấy f (0) = 3, f (1) = 5 và f (2) = −13, từ đó suy ra trên đoạn [0; 2] giá trị lớn nhất của hàm số là 5 và giá trị nhỏ nhất là −13.  Chọn đáp án C Câu 90. Tính giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = −x4 − 3x2 + 2017 trên R. A. max f (x) = 2017. x∈R B. max f (x) = 2016. x∈R C. max f (x) = 2015. x∈R D. max f (x) = 2014. x∈R Lời giải. Ta có f (x) ≤ 2017, ∀x ∈ R. Đẳng thức xảy ra khi x = 0. Vậy max f (x) = 2017. x∈R  Chọn đáp án A Câu 91. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = A. min y = −3. x∈[2;3] B. min y = 3. x+1 trên đoạn [2; 3]. x−1 C. min y = 2. x∈[2;3] x∈[2;3] D. min y = 4. x∈[2;3] Lời giải. x+1 Xét hàm số y = trên đoạn [2; 3]. x−1 (x − 1) − (x + 1) −2 = . Ta có y 0 = 2 (x − 1) (x − 1)2 Dễ thấy y 0 < 0, ∀x ∈ [2; 3] do đó hàm số nghịch biến trên [2; 3]. Khi đó min y = y (3) = 2. x∈[2;3]  Chọn đáp án C ï ò 3 3 Câu 92. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 3x + 3 trên đoạn −3; là 2 A. −20. B. 5. C. −15. D. 1. Lời giải. 440 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ta có: y 0 = 3x2 − 3; y 0 = 0 ⇔ x = ±1. Å ã 3 15 y(−3) = −15; y(−1) = 5; y(1) = 1; y = . 2 8 ò ï ò ï 3 3 3 Vì hàm số liên tục trên −3; , Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 3x + 3 trên đoạn −3; 2 2 là: −15.  Chọn đáp án C Câu 93. y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn [−1; 2] bằng A. 5. B. 2. C. 1. D. Không xác định. 5 1 −1 −2 1 O 2 x −1 Lời giải. Từ đồ thị ta thấy max f (x) = f (2) = 5. [−1;2]  Chọn đáp án A 3x − 1 Câu 94. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = trên đoạn [0; 2]. x−3 1 A. − . B. −5. C. 5. 3 Lời giải. −8 0 < 0, ∀x 6= 3. Ta có y = (x − 3)2 1 Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0; 2] là y(0) = . 3 Chọn đáp án D D. 1 . 3  Câu 95. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 3x + 5 trên đoạn [2; 4] là A. 0. B. 5. C. 7. Lời giải. D. 3. Tập xác định D = R. " Ta có y 0 = 3x2 − 3, khi đó y 0 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = −1 . x=1 Ta có bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [2; 4] như sau x y0 2 4 + 57 y 7 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 441 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [2; 4] là y(2) = 7.  Chọn đáp án C Câu 96. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = −x3 + 3x2 + 12 trên đoạn [−3; 1]. A. 66. B. 72. C. 10. D. 12. Lời  "giải.  x=0   0 2 0 Ta có y = −3x + 6x. Trên (−3; 1), y = 0 ⇔ ⇔ x = 0. x=2    −3