Tuyển tập câu hỏi trắc nghiệm môn Toán 10 có đáp án và lời giải

Giới thiệu Tuyển tập câu hỏi trắc nghiệm môn Toán 10 có đáp án và lời giải

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Tuyển tập câu hỏi trắc nghiệm môn Toán 10 có đáp án và lời giải.

Tài liệu môn Toán 10 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu Tuyển tập câu hỏi trắc nghiệm môn Toán 10 có đáp án và lời giải

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 10 tại đây

KỲ THI TRUNG HỌC QUỐC GIA 2019-2020 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Th.s NGUYỄN CHÍN EM Mục lục I ĐẠI SỐ 1 MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1 2 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 Mệnh đề chứa biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 Mệnh đề phủ định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 5 Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mệnh đề tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 6 Các kí hiệu ∀ và ∃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 } Dạng 1. Mệnh đề có nội dung đại số và số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . } Dạng 2. Mệnh đề có nội dung hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 10 } Dạng 3. Thành lập mệnh đề – Mệnh đề phủ định . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TẬP HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 35 C 1 Tập hợp và phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 Cách xác định tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 4 Tập hợp rỗng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tập con. Hai tập hợp bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 35 5 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 } Dạng 1. Xác định tập hợp – phần tử của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . } Dạng 2. Tập hợp rỗng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 40 } Dạng 3. Tập con. Tập bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 68 B C 3 2 MỆNH ĐỀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 2 1 MỤC LỤC MỤC LỤC B 1 Giao của hai tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2 Hợp của hai tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3 Hiệu và phần bù của hai tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } Dạng 1. Tìm giao và hợp của các tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 69 } Dạng 2. Hiệu và phần bù của hai tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 } Dạng 3. Sử dụng biểu đồ Ven và công thức tính số phần tử của tập hợp A ∪ B C 4 để giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 82 CÁC TẬP HỢP SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 1 2 B Các tập hợp số đã học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Các tập con thường dùng của R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 } Dạng 1. Xác định giao – hợp của hai tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 } Dạng 2. Xác định hiệu và phần bù của hai tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . 118 } Dạng 3. Tìm m thỏa điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 C 5 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 SỐ GẦN ĐÚNG – SAI SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 A B Số gần đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Quy tròn số gần đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1 176 ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 A B Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 1 Hàm số và tập xác định của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 2 Cách cho hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 3 Đồ thị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4 5 Sự biến thiên của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Tính chẵn lẻ của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 } Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 } Dạng 2. Tính giá trị của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 } Dạng 3. Dùng định nghĩa xét tính đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . . . . . 181 } Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 } Dạng 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 2 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 HÀM SỐ Y = AX + B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 3/2406 ‡ GeoGebra MỤC LỤC MỤC LỤC } Dạng 1. Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 } Dạng 2. Xác định hệ số a và b của số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 } Dạng 3. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất có chứa giá trị tuyệt đối 283 } Dạng 4. Vẽ đồ thị hàm số cho bởi hệ nhiều công thức . . . . . . . . . . . . . . . 286 } Dạng 5. Sự tương giao giữa các đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 C 3 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 HÀM SỐ BẬC HAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 A B Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 1 Hàm số bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 2 Đồ thị của hàm số bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 3 Chiều biến thiên của hàm số bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 4 5 Phương trình hoành độ giao điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 Định lý Vi-ét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 6 Một vài công thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 } Dạng 1. Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số bậc hai . . . . . . . . . . 371 } Dạng 2. Tìm tọa độ của đỉnh và các giao điểm của parabol với các trục tọa độ. Tọa độ giao điểm giữa parabol (P ) và một đường thẳng. . . . . . . . . . . . . 375 } Dạng 3. Dựa vào đồ thị biện luận theo m số giao điểm của parabol (P ) và đường thẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 } Dạng 4. Xác định hàm số bậc hai khi biết các yếu tố liên quan. . . . . . . . . . 379 } Dạng 5. Các bài toán liên quan đồ thị hàm số trị tuyệt đối của một hàm bậc hai 384 } Dạng 6. Các bài toán liên quan đồ thị hàm số đối với trị tuyệt đối của biến . . 385 C } Dạng 7. Tính đơn điệu của hàm bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 3 PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1 524 MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 A Tìm tập xác định của phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 B } Dạng 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . 524 Phương trình hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 2 Các phép biến đổi dẫn đến phương trình hệ quả thường gặp . . . . . . . . . . 529 3 Phương pháp giải phương trình dựa vào phương trình hệ quả . . . . . . . . . 530 } Dạng 2. Khử mẫu (nhân hai vế với biểu thức) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 } Dạng 3. Bình phương hai vế (làm mất căn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 C Phương trình tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 } Dạng 4. Phương pháp chứng minh hai phương trình tương đương . . . . . . . . 538 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 D 2 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI . . . . . . . . . 583  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 4/2406 ‡ GeoGebra MỤC LỤC MỤC LỤC A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 } Dạng 1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 } Dạng 2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 } Dạng 3. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . 594 } Dạng 4. Phương trình chứa ẩn ở mẫu. Phương trình bậc bốn trùng phương . . . 603 } Dạng 5. Biện luận theo m có áp dụng định lí Viète . . . . . . . . . . . . . . . . 607 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN . . . . . . . . . 727 A B Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 1 2 Phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 3 Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728 } Dạng 1. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728 } Dạng 2. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733 } Dạng 3. Giải và biện luận hệ 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn có chứa tham số (PP C 4 Crame) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745 HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811 A Hệ phương trình gồm các phương trình bậc nhất và bậc hai . . . . . . . . . . . . . 811 B C Hệ phương trình đối xứng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814 Hệ phương trình đối xứng loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818 } Dạng 1. Giải hệ phương trình đối xứng loại 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818 } Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số thỏa điều kiện cho trước. . . . . . . . . . . 821 D E Hệ phương trình đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824 Hệ phương trình hai ẩn khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829 4 BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1 840 BẤT ĐẲNG THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840 1 2 B Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841 } Dạng 1. Sử dụng phép biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841 } Dạng 2. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844 } Dạng 3. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852 } Dạng 4. Sử dụng các bất đẳng thức hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853 } Dạng 5. Chứng minh bất đẳng thức dựa vào tọa độ véc -tơ . . . . . . . . . . . . 855  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 5/2406 ‡ GeoGebra MỤC LỤC MỤC LỤC } Dạng 6. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856 C 2 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN . . . . . . . . . . . 898 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898 1 Giải và biện luận bất phương trình ax + b > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898 2 B Giải và biện luận bất phương trình ax + b ≤ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898 } Dạng 1. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898 } Dạng 2. Giải và biện luận bất phương trình bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . . . 904 } Dạng 3. Tìm giá trị của tham số để bất phương trình có tập nghiệm thỏa điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906 } Dạng 4. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908 } Dạng 5. Giải và biện luận hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . 909 } Dạng 6. Tìm giá trị của tham số để hệ bất phương trình có tập nghiệm thỏa điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912 3 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917 DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983 A B Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983 1 Nhị thức bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983 2 3 Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983 Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985 } Dạng 1. Xét dấu tích – thương các nhị thức bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . 985 } Dạng 2. Xét dấu nhị thức có chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 990 } Dạng 3. Giải bất phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995 } Dạng 4. Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức . . . . . . . . . . . . . . . . 998 } Dạng 5. Giải bất phương trình bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối. . . . . . . . 1002 4 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054 1 B Bất phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054 2 Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054 } Dạng 1. Biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . 1054 } Dạng 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 1057 5 } Dạng 3. Các bài toán thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1060 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073 1 Tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073 2 Định lí về dấu của tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 6/2406 ‡ GeoGebra MỤC LỤC MỤC LỤC B 3 Định lí về dấu của tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073 4 Bất phương trình bậc hai một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073 } Dạng 1. Xét dấu tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073 } Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để tam thức bậc hai luôn mang một dấu . . 1076 } Dạng 3. Giải bất phương trình bậc hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078 } Dạng 4. Bài toán có chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1090 5 THỐNG KÊ 1209 1 BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209 1 B Bảng phân bố tần số và tần suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209 2 Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209 } Dạng 1. Bảng phân bố tần số và tần suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209 } Dạng 2. Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp . . . . . . . . . . . . . . 1213 2 BIỂU ĐỒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219 B 1 Biểu đồ tần suất hình cột . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219 2 Đường gấp khúc tần suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219 3 Biểu đồ hình quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1220 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1220 } Dạng 1. Vẽ biểu đồ tần số và tần suất hình cột . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1220 } Dạng 2. Biểu đồ đường gấp khúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224 3 } Dạng 3. Biểu đồ hình quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229 SỐ TRUNG BÌNH CỘNG. SỐ TRUNG VỊ. MỐT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233 A B Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233 1 Số trung bình cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233 2 3 Số trung vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233 Mốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234 } Dạng 1. Số trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234 } Dạng 2. Số trung vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235 } Dạng 3. Mốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237 4 PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244 } Dạng 1. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng số liệu KHÔNG ghép lớp . 1244 } Dạng 2. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng số liệu ghép lớp . . . . . . 1247  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 7/2406 ‡ GeoGebra MỤC LỤC MỤC LỤC 6 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1 1254 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254 1 Khái niệm cung và góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254 2 B Số đo của cung và góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256 } Dạng 1. Liên hệ giữa độ và rađian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256 } Dạng 2. Độ dài cung lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257 } Dạng 3. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác . . . . . . . . . . 1259 C 2 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276 B 1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276 2 Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276 3 4 Ý nghĩa hình học của tang và côtang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277 Công thức lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277 5 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . 1278 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279 } Dạng 1. Dấu của các giá trị lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279 } Dạng 2. Tính giá trị lượng giác của một cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282 } Dạng 3. Sử dụng cung liên kết để tính giá trị lượng giác . . . . . . . . . . . . . 1285 } Dạng 4. Rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . 1287 3 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325 A Công thức cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325 } Dạng 1. Công thức cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325 B C Công thức nhân đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329 } Dạng 2. Tính các giá trị lượng giác của các góc cho trước . . . . . . . . . . . . 1329 } Dạng 3. Rút gọn biểu thức cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1330 D } Dạng 4. Chứng minh đẳng thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1330 Công thức biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333 } Dạng 5. Biến đổi một biểu thức thành một tổng hoặc thành một tích . . . . . . 1333 } Dạng 6. Chứng minh một đẳng thức lượng giác có sử dụng nhóm công thức biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337 } Dạng 7. Dùng công thức biến đổi để tính giá trị (rút gọn) của một biểu thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1342 } Dạng 8. Nhận dạng tam giác. Một số hệ thức trong tam giác . . . . . . . . . . 1346 E Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1361  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 8/2406 ‡ GeoGebra MỤC LỤC MỤC LỤC HÌNH HỌC II 1394 1 VEC-TƠ 1 1395 CÁC ĐỊNH NGHĨA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395 A B Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395 1 Định nghĩa, sự xác định véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395 2 Hai véc-tơ cùng phương, cùng hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396 3 Hai véc-tơ bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397 } Dạng 1. Xác định một véc-tơ, phương hướng của véc-tơ, độ dài của véc-tơ . . . 1397 } Dạng 2. Chứng minh hai véc-tơ bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399 C 2 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421 B 1 Định nghĩa tổng và hiệu hai véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421 2 Quy tắc hình bình hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422 3 Các tính chất của phép cộng, trừ hai véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422 } Dạng 1. Xác định véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422 } Dạng 2. Xác định điểm thỏa đẳng thức véc-tơ cho trước . . . . . . . . . . . . . 1426 } Dạng 3. Tính độ dài của tổng và hiệu hai véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1430 } Dạng 4. Chứng minh đẳng thức véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434 C 3 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494 A B Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495 } Dạng 1. Các bài toán sử dụng định nghĩa và tính chất của phép nhân véc-tơ với một số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495 } Dạng 2. Phân tích một véc-tơ theo hai véc-tơ không cùng phương . . . . . . . . 1497 } Dạng 3. Chứng minh đẳng thức véc-tơ có chứa tích của véc-tơ với một số . . . . 1502 } Dạng 4. Chứng minh tính thẳng hàng, đồng quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510 } Dạng 5. Xác định M thoả mãn đẳng thức véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1513 C D 4 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612 } Dạng 1. Tìm tọa độ của một điểm và độ dài đại số của một véc-tơ trên trục . 1612 } Dạng 2. Xác định tọa độ của một véc-tơ và một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy1616 } Dạng 3. Tính tọa độ trung điểm – trọng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 9/2406 ‡ GeoGebra MỤC LỤC MỤC LỤC } Dạng 4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, điểm thuộc đường thẳng . . . . . . . 1622 C Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627 D Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG 1 ◦ 1695 ◦ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0 ĐẾN 180 . . . . . . . . . 1695 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695 B 1 Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0◦ đến 180◦ . . . . . . . . . . . . . . 1695 2 Góc giữa hai vec-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696 } Dạng 1. Tính các giá trị lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696 } Dạng 2. Tính giá trị các biểu thức lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698 } Dạng 3. Chứng minh đẳng thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1700 2 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737 3 Tích vô hướng của hai véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737 A B Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737 1 2 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737 Các tính chất của tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737 3 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738 4 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738 } Dạng 1. Các bài toán tính tích vô hướng của hai véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . 1738 } Dạng 2. Tính góc giữa hai véc-tơ -góc giữa hai đường thẳng-điều kiện vuông góc 1742 } Dạng 3. Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng hoặc về độ dài. . . . . . . . . 1745 } Dạng 4. Ứng dụng của biểu thức toạ độ tích vô hướng vào tìm điểm thoả mãn điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1750 } Dạng 5. Tìm tọa độ các điểm đặc biệt trong tam giác – tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm lên đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754 4 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC . . . . . . . . . . . . . 1827 A B Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827 1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827 2 3 Định lý hàm số cosin, công thức trung tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827 Định lý sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828 4 Các công thức diện tích tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1829 } Dạng 1. Một số bài tập giúp nắm vững lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . 1829 } Dạng 2. Xác định các yếu tố còn lại của một tam giác khi biết một số yếu tố về cạnh và góc của tam giác đó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835 } Dạng 3. Diện tích tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1840  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 10/2406 ‡ GeoGebra MỤC LỤC MỤC LỤC } Dạng 4. Chứng minh hệ thức liên quan giữa các yếu tố trong tam giác . . . . . 1842 } Dạng 5. Nhận dạng tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847 } Dạng 6. Nhận dạng tam giác cân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1850 } Dạng 7. Nhận dạng tam giác đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1853 } Dạng 8. Ứng dụng giải tam giác vào đo đạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1861 3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 1 1949 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949 A B Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949 1 Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949 2 3 Phương trình tham số của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949 Phương trình chính tắc của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949 4 Véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949 5 Phương trình tổng quát của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1950 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1950 } Dạng 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . 1950 } Dạng 2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . 1951 } Dạng 3. Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . 1954 } Dạng 4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng . . . . . . . . . . . . . 1957 } Dạng 5. Viết phương trình đường phân giác của góc do ∆1 và ∆2 tạo thành . . 1959 } Dạng 6. Phương trình đường thẳng trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . 1962 C 2 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1970 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079 A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2080 B 1 Phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính . . . . . . . . . . . . . . . 2080 2 Dạng khác của phương trình đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2080 3 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2080 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2080 } Dạng 1. Tìm tâm và bán kính đường tròn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2080 } Dạng 2. Lập phương trình đường tròn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2082 } Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm . . . . . . . 2089 } Dạng 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi một điểm . . . . . . . 2092 } Dạng 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2097 } Dạng 6. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn . . . . . . . . . . . . . 2104 } Dạng 7. Vị trí tương đối của hai đường tròn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2109 } Dạng 8. Phương trình đường thẳng chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 2110 } Dạng 9. Phương trình đường tròn chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 11/2406 ‡ GeoGebra } Dạng 10. Tìm tọa độ một điểm thỏa một điều kiện cho trước . . . . . . . . . . 2117 C 3 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2129 ĐƯỜNG ELIP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178 A B Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178 1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178 2 Phương trình chính tắc của Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178 3 Hình dạng của elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2179 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2180 } Dạng 1. Xác định các yếu tố của elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2180 } Dạng 2. Viết phương trình đường Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2183 } Dạng 3. Tìm điểm thuộc elip thỏa điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . 2186 C III Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197 ĐỀ KIỀM HKI 2225 1 Đề HK1, Bình Phú, Hồ Chí Minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2226 2 3 Đề HK1 T10, Chuyên Trần Phú, Hải Phòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2230 Đề HK1, THPT Trần Phú, Hà Nội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2242 4 HK1, Toán 10, Sở GD & ĐT Bắc Giang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2251 5 Trung Học Thực Hành Sư Phạm-HCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2259 6 7 Phước Vĩnh, Bình Dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2263 HK1, Chuyên QH Huế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2271 8 Đề HK1, Trần Quốc Tuấn, Gia Lai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2281 9 Đề thi HK1 Toán 10, Nguyễn Việt Dũng, Cần Thơ . . . . . . . . . . . . . . . 2284 10 Đề HK1 Toán 10, Phước Thạnh, Tiền Giang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2290 IV ĐỀ KIỀM HKII 2302 11 Đề HK2 (2016-2017), Chuyên Hạ Long, Quảng Ninh . . . . . . . . . . . . . . 2303 12 Đề HK2, THPT Long Mỹ, Hậu Giang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2318 13 Đề HK2, THPT Hải An – Hải Phòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2326 14 Đề HK2, Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Phúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2332 15 Đề HK2, Sở Giáo dục & Đào tạo An Giang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2338 16 Đề GHK2, THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai . . . . . . . . . . . . . 2350 17 Đề GHK2, THPT Nguyễn Trãi, Khánh Hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2363 18 Đề HK2, THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2370 19 Đề HK2, THPT Nguyễn Trãi, Ba Đình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2385 20 Đề HK2, THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai . . . . . . . . . . . . . . 2393 PHẦN I ĐẠI SỐ 1 Chương 1: MỆNH ĐỀ TẬP HỢP §1 MỆNH ĐỀ A 1 TÓM TẮT LÍ THUYẾT MỆNH ĐỀ Định nghĩa. Mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai. • Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai. • Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai. Những điểm cần lưu ý. • Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh không phải là mệnh đề. • Mệnh đề thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa. Ví dụ: Q:“6 chia hết cho 3”. • Một câu mà chưa thể nói đúng hay sai nhưng chắc chắn nó chỉ đúng hoặc sai, không thể vừa ! đúng vừa sai cũng là một mệnh đề. Ví dụ: “Có sự sống ngoài Trái Đất” là mệnh đề. • Trong thực tế, có những mệnh đề mà tính đúng sai của nó luôn gắn với một thời gian và địa điểm cụ thể: đúng ở thời gian hoặc địa điểm này nhưng sai ở thời gian hoặc địa điểm khác. Nhưng ở bất kì thời điểm nào, địa điểm nào cũng luôn có giá trị chân lí đúng hoặc sai. Ví dụ: Sáng nay bạn An đi học. 2 MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Định nghĩa. Những câu khẳng định mà tính đúng-sai của chúng tùy thuộc vào giá trị của biến gọi là những mệnh đề chứa biến. Å ã 1 2 Ví dụ: Cho P (x) : x > x với x là số thực. Khi đó P (2) là mệnh đề sai, P là mệnh đề đúng. 2 3 MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH Định nghĩa. Cho mệnh đề P . Mệnh đề “Không phải P ” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P . 2 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ • Mệnh đề P và mệnh đề phủ định P là hai câu khẳng định trái ngược nhau. Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng. • Mệnh đề phủ định của P có thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, xét mệnh đề P : “2 là số chẵn”. Khi đó, mệnh đề phủ định của P có thể phát biểu là P : “2 không phải là số chẵn” hoặc “2 là số lẻ”. 4 MỆNH ĐỀ KÉO THEO VÀ MỆNH ĐỀ ĐẢO Định nghĩa. Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo. • Kí hiệu là P ⇒ Q. • Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng Q sai. • P ⇒ Q còn được phát biểu là “ P kéo theo Q”, “P suy ra Q” hay “Vì P nên Q”. Chú ý • Trong toán học, định lí là một mệnh đề đúng, thường có dạng: P ⇒ Q. Khi đó ta nói P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hoặc P là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q là điều kiện cần ! để có P . • Trong logic toán học, khi xét giá trị chân lí của mệnh đề P ⇒ Q người ta không quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề P , Q. Không phân biệt trường hợp P có phải là nguyên nhân để có Q hay không mà chỉ quan tâm đến tính đúng, sai của chúng. Ví dụ: “Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở châu Âu” là một mệnh đề đúng. Vì ở đây hai mệnh đề P : “Mặt trời quay xung quanh trái đất” và Q: “Việt Nam nằm ở châu Âu” đều là mệnh đề sai. Định nghĩa. Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q. Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q. ! Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là một mệnh đề đúng. 5 MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG Định nghĩa. Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương. • Kí hiệu là P ⇔ Q • Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P cùng đúng hoặc cùng sai. (Hay P ⇔ Q đúng khi cả hai mệnh đề P và Q cùng đúng hoặc cùng sai) • P ⇔ Q còn được phát biểu là “P khi và chỉ khi Q”, “P tương đương với Q”, hay “P là điều kiện cần và đủ để có Q”. ! Hai mệnh đề P , Q tương đương với nhau hoàn toàn không có nghĩa là nội dung của chúng như nhau, mà nó chỉ nói lên rằng chúng có cùng giá trị chân lí (cùng đúng hoặc cùng sai). Ví dụ: “Hình vuông có một góc tù khi và chỉ khi 100 là số nguyên tố” là một mệnh đề đúng.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 3/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 6 1. MỆNH ĐỀ CÁC KÍ HIỆU ∀ VÀ ∃ • Kí hiệu ∀ (với mọi): “∀x ∈ X, P (x)” hoặc “∀x ∈ X : P (x)”. • Kí hiệu ∃ (tồn tại): “∃x ∈ X, P (x)” hoặc “∃x ∈ X : P (x)”. Chú ý ! B • Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ X, P (x)” là mệnh đề “∃x ∈ X, P (x)”. • Phủ định của mệnh đề “∃x ∈ X, P (x)” là mệnh đề “∀x ∈ X, P (x)”. CÁC DẠNG TOÁN | Dạng 1. Mệnh đề có nội dung đại số và số học ccc BÀI TẬP DẠNG 1 ccc Ví dụ 1. Tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: √ a) A : “ 6 là số hữu tỉ”. b) B : “n chia hết cho 3 và 5 thì n chia hết cho 15”. c) C : “∀x ∈ N : x2 + x + 3 > 0”. x y d) D : “∃x ∈ N, ∃y ∈ R : + = 2”. y x Lời giải. √ a) A : “ 6 không là số hữu tỉ”. b) B : “n không chia hết cho 3 hoặc n không chia hết cho 5 thì nó không chia hết cho 15 ”. c) C : “∃x ∈ N : x2 + x + 3 ≤ 0”. x y d) D : “∀x ∈ N, ∀y ∈ R : + 6= 2”. y x  Ví dụ 2. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó: a) ∀x ∈ R : x2 + 6 > 0. b) ∃x ∈ R : x2 + x + 1 = 0. c) ∃x ∈ R : x > x2 . Lời giải. a) Mệnh đề đúng. Phủ định là A : ∃x ∈ R : x2 + 6 ≤ 0. b) Mệnh đề sai vì phương trình x2 + x + 1 = 0 vô nghiệm trong R. Phủ định là B : “∀x ∈ R : x2 + x+ 6= 0. 1 c) Mệnh đề đúng, ví dụ x = . 2 Phủ định là ∀x ∈ R : x ≤ x2   Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 4/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ Ví dụ 3. Điều chỉnh các mệnh đề sau để được các mệnh đề đúng: a) ∀x ∈ R : 3x − 1 = 0. b) ∀x ∈ R : x2 − 4x = 0. c) ∃x ∈ R : x2 + 1 < 0. 1 d) ∀x ∈ R : x > . x Lời giải. a) ∃x ∈ R : 3x − 1 = 0. b) ∃x ∈ R : x2 − 4x = 0. c) ∃x ∈ R : x2 + 1 > 0 hoặc ∀x ∈ R : x2 + 1 > 0. 1 d) ∃x ∈ R : x > . x  Ví dụ 4. Chứng minh “Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.” Lời giải. Giả sử n là số lẻ ⇒ n = 2k + 1, k ∈ N ⇒ n2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2 (2k 2 + 2k) + 1 ⇒ n2 là số lẻ (trái giả thiết). Vậy n là số chẵn.  Ví dụ 5. Chứng minh rằng: a) Với mọi số nguyên n thì n3 − n chia hết cho 3. b) Với mọi số nguyên n thì n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho 6. Lời giải. a) Ta có: n3 − n = n(n2 − 1) = n(n − 1)(n + 1) = (n − 1)n(n + 1). Do n − 1, n, n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3. Khi đó (n − 1)n(n + 1) chia hết cho 3 hay n3 − n chia hết cho 3. b) Ta có n − 1, n là 2 số nguyên liên tiếp nên tích n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho 2. Xét 3 số nguyên liên tiếp n − 1, n, n + 1, trong 3 số này có ít nhất 1 số chia hết cho 3. • Nếu 1 trong 2 số n − 1, n cho hết cho 3 thì tích n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho 3. • Nếu n+1 chia hết cho 3 thì 2n−1 = 2(n+1)−3 cũng chia hết cho 3. Suy ra tích n(n−1)(2n−1) chia hết cho 3. Vậy tích n(n − 1)(2n − 1) vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 nên chia hết cho 6.  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Hãy xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau đây và tìm mệnh đề phủ định của chúng: a) A : “∀x ∈ R : x2 > 1”.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 5/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ b) B : “∃x ∈ Z : 6×2 − 13x + 6 = 0”. c) C : “∀x ∈ N, ∃y ∈ N : y = x + 2”. x y d) D : “∀x ∈ R, ∀y ∈ R : + ≥ 0”. y x Lời giải. a) Mệnh đề sai, ví dụ như x = 0. Phủ định là A : “∃x ∈ R : x2 ≤ 1”.  3 x=  2 , cả hai nghiệm đều không thuộc Z. b) Mệnh đề sai vì 6×2 − 13x + 6 = 0 ⇔  2 x= 3 Phủ định là B : “∀x ∈ Z : 6×2 − 13x + 6 6= 0”. c) Mệnh đề đúng. Phủ định là C : “∃x ∈ N, ∀y ∈ N : y 6= x + 2”. d) Mệnh đề sai, ví dụ x = 1, y = −2. x y Phủ định là D : “∃x ∈ R, ∃y ∈ R : + < 0”. y x  Bài 2. Xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau. Nếu mệnh đề sai hãy sửa lại cho đúng: a) ∀x ∈ R : x > 4 ⇒ x > 16. b) ( ∀x ∈ R : x2 > 36 ⇒ x > 6. ax2 + bx + c = 0 c) có nghiệm kép ⇔ ∆ = b2 − 4ac = 0. a 6= 0 ( a>b ⇔ a > c. d) ∀a, b, c ∈ R : b>c  a … 3 . ⇔ ab .. 6. e) ∀a, b ∈ Z : .  . b.2 Lời giải. a) Mệnh đề đúng. b) Mệnh đề sai, ví dụ x = −7. Sửa lại là ∀x ∈ R : x > 6 ⇒ x2 > 36 hoặc ∃x ∈ R : x2 > 36 ⇒ x > 6. c) Mệnh đề đúng. ( a>b d) Mệnh đề ⇒ a > c là đúng. b>c ( a>b Mệnh đề a > c ⇒ là sai, vì dụ như a = 3, c = 1, b = 0. b>c ( 2 ax + bx + c = 0 Như vậy mệnh đề có nghiệm kép ⇔ ∆ = b2 − 4ac = 0 là sai. a 6= 0 ( a>b Sửa lại mệnh đề đúng là ∀a, b, c ∈ R : ⇒ a > c. b>c  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 6/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP e) Mệnh đề  a … 3  .. b.2 1. MỆNH ĐỀ . ⇒ ab .. 6 là đúng. . Mệnh đề ab .. 6 ⇒  a … 3  .. b.2 là sai, ví dụ như a = 6, b = 1.  a … 3 . ⇔ ab .. 6 là sai. Như vậy mệnh đề ∀a, b ∈ Z :  .. b.2  a … 3 . ⇒ ab .. 6 Sửa lại mệnh đề đúng là ∀a, b ∈ Z :  .. b.2  Bài 3. Xét tính đúng – sai các mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của chúng: a) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : (a + b)2 = a2 − 2ab + b2 . b) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : a2 + 2 > b2 + 1. c) ∃a ∈ R, ∃b ∈ R : a + b > 1. d) ∃a ∈ R, ∀b ∈ R : a2 < b. e) ∀a ∈ R, ∃b ∈ R : a2 = b + 1. f) ∀a, b, c ∈ R mà a + b + c = 0 thì − a2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca. 2 Lời giải. a) Mệnh đề sai vì (a + b)2 = a2 − 2ab + b2 . Phủ định là ∃a ∈ R, ∃b ∈ R : (a + b)2 6= a2 − 2ab + b2 . b) Mệnh đề sai, ví dụ a = 0, b = 2. Phủ định là ∃a ∈ R, ∃b ∈ R : a2 + 2 ≤ b2 + 1. c) Mệnh đề đúng. Phủ định là ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : a + b ≤ 1. d) Mệnh đề sai, ví dụ a = 3, b = 1. Phủ định là ∀a ∈ R, ∃b ∈ R : a2 ≥ b. e) Mệnh đề đúng, số b xác định bởi b = a2 − 1, ∀a ∈ R. Phủ định là ∃a ∈ R, ∀b ∈ R : a2 6= b + 1. f) Mệnh đề đúng vì a + b + c = 0 ⇔ (a + b + c)2 = 0 ⇔ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) = 0 a2 + b 2 + c 2 ⇔− = ab + bc + ca. 2 a2 + b 2 + c 2 Phủ định là ∃a, b, c ∈ R mà a + b + c 6= 0 thì − 6= ab + bc + ca. 2 Bài 4. Chứng minh rằng ∀a, b > 0 :  a b + ≥ 2. b a Lời giải. a b + < 2 ⇒ a2 + b2 < 2ab ⇒ (a − b)2 < 0 b a (vô lý). Giả sử:  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 7/2406  ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP Vậy ∀a, b > 0 : 1. MỆNH ĐỀ a b + ≥ 2. b a Bài 5. a) Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1. b) Nếu x 6= −1 và y 6= −1 thì x + y + xy 6= −1. c) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn. d) Nếu x2 + y 2 = 0 thì x = 0 và y = 0. Lời giải. a) Giả sử a ≥ 1 và b ≥ 1, suy ra a + b ≥ 2 (trái giả thiết). Vậy nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1. " b) Giả sử: x + y + xy = 1 ⇒ x + 1 + y + xy = 0 ⇒ (x + 1)(y + 1) = 0 ⇒ x = −1 y = −1 (trái giả thiết). Vậy nếu x 6= −1 và y 6= −1 thì x + y + xy 6= −1. c) Giả sử tổng a + b là số lẻ thì một trong hai số a, b có 1 số là số lẻ còn số còn lại là số chẵn nên tích a.b là số chẵn (trái giả thiết). Vậy nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn. d) Giả sử x 6= 0 hoặc y 6= 0. • Nếu x 6= 0 ⇒ x2 > 0 ⇒ x2 + y 2 > 0 (trái giả thiết). • Nếu y 6= 0 ⇒ y 2 > 0 ⇒ x2 + y 2 > 0 (trái giả thiết). Vậy nếu x2 + y 2 = 0 thì x = 0 và y = 0.  Bài 6. Chứng minh rằng ( |x| < 1 |y| < 1 ⇒ |x + y| < |1 + xy|. Lời giải. Giả sử |x + y| ≥ |1 + xy| ⇒ (|x + y|)2 ≥ (|1 + xy|)2 ⇒ x2 + y 2 + 2xy ≥ 1 + x2 y 2 + 2xy ⇒ (1 − x2 ) (1 − y 2 ) ≤ 0 ( (  1 − x2 ≤ 0 |x| ≥ 1    1 − y2 ≥ 0  |y| ≤ 1   ⇒ ( ⇒⇒  ( (trái giả thiết) 2  1−x ≥0  |x| ≤ 1   1 − y2 ≤ 0 Vậy ( |x| < 1 |y| < 1 |y| ≥ 1 ⇒ |x + y| < |1 + xy|. Bài 7. Chứng minh √ a+  √ √ a + 2 < 2 a + 1, ∀a > 0. Lời giải. Giả sử √ √ a + a + 2 ≥ 2 a + 1, ∀a > 0 2 2 √ √ √ ⇒ a+ a+2 ≥ 2 a+1 p ⇒ a + 2 a(a + 2) + a + 2 ≥ 4(a + 1) p ⇒ a(a + 2) ≥ a + 1, với a + 1 > 0 √  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 8/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ ⇒ a2 + 2a ≥ a2 + 2a + 1 ⇒ 0 > 1 (vô lí) √ √ √ Vậy ∀a > 0 : a + a + 2 < 2 a + 1.  Bài 8. Chứng minh rằng nếu ac > 2(b + d) thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm x2 + ax + b = 0 (1) x2 + cx + d = 0 (2) Lời giải. Giả ( sử cả2 hai phương trình đều vô nghiệm, khi đó ta có ∆1 = a − 4b < 0 ⇒ a2 + c2 < 4(b + d) 2 ∆2 = c − 4d < 0 ⇒ a2 + c2 < 2ac (do 2(b + d) ≤ ac) ⇒ (a − c)2 < 0 (vô lí). Vậy ít nhất 1 trong 2 phương trình đã cho có nghiệm.  Bài 9. Chứng minh khi ta nhốt n + 1 con gà vào n cái lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa ít nhất 2 con gà. Lời giải. Giả sử không có lồng nào chứa nhiều hơn 1 con gà. Khi đó số gà sẽ không nhiều hơn số lồng. Vậy có nhiều nhất là n con gà. Điều này mâu thuẫn với giải thiết có n + 1 con gà. Vậy khi ta nhốt n + 1 con gà vào n cái lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa ít nhất 2 con gà.  Bài 10. Chứng minh với mọi số tự nhiên n: a) n2 + n + 1 không chia hết cho 9. b) n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49. Lời giải. a) Giả sử n2 + n + 1 chia hết cho 9, khi đó n2 + n + 1 = 9k, với k là số nguyên. Như vậy phương trình n2 + n + 1 − 9k = 0 (1) sẽ có nghiệm nguyên. Xét ∆ = 1 − 4(1 − 9k) = 36k − 3 = 3(12k − 1). Ta thấy ∆ chia hết cho 3, 12k − 1 không chia hết cho 3 nên ∆ không chia hết cho 9, do đó ∆ không là số chính phương nên phương trình (1) không có nghiệm nguyên (mâu thuẫn giả thiết). Vậy n2 + n + 1 không chia hết cho 9. b) Giả sử n2 + 11n + 39 chia hết cho 49, khi đó n2 + 11n + 39 = 49k, với k là số nguyên. Như vậy phương trình n2 + 11n + 39 − 49k = 0 (1) sẽ có nghiệm nguyên. Xét ∆ = 112 − 4(39 − 49k) = 196k − 35 = 7(28k − 5). Ta thấy ∆ chia hết cho 7, 28k − 5 không chia hết cho 7 nên ∆ không chia hết cho 49, do đó ∆ không là số chính phương nên phương trình (1) không có nghiệm nguyên (mâu thuẫn giả thiết). Vậy n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49.   Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 9/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ | Dạng 2. Mệnh đề có nội dung hình học ccc BÀI TẬP DẠNG 2 ccc Ví dụ 1. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: a) P : “Hai véc-tơ bằng nhau thì có độ dài bằng nhau”. b) Q : “Hai véc-tơ bằng nhau nếu chúng có độ dài bằng nhau”. Lời giải. a) Mệnh đề P là mệnh đề đúng theo định nghĩa hai véc-tơ bằng nhau. b) Mệnh đề Q là mệnh đề sai. Hai véc-tơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau. Như vậy còn thiếu điều kiện về hướng của hai véc-tơ.  Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: a) Nếu AB 2 + AC 2 = BC 2 thì tam giác ABC vuông tại B. b > B. “ b) Nếu AB > AC thì C c) Tam giác ABC đều khi và chỉ khi nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện AB = AC và b = 600 . A Lời giải. a) Mệnh đề sai. Mệnh đề đúng là: “Nếu AB 2 + AC 2 = BC 2 thì tam giác ABC vuông tại A”. b) Mệnh đề đúng theo mối liên hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác. c) Mệnh đề đúng theo dấu hiệu nhận biết tam giác đều.  Ví dụ 3. Cho tứ giác lồi ABCD. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: a) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó thỏa mãn AC = BD. b) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nếu nó có ba góc vuông. Lời giải. a) Mệnh đề sai. Mệnh đề có cấu trúc P ⇔ Q trong đó mệnh đề P ⇒ Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì AC = BD” là mệnh đề đúng còn mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề sai. b) Mệnh đề đúng, theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: #» #» a) Hai véc-tơ #» a và b cùng hướng với véc-tơ #» c thì #» a , b cùng hướng. #» b) Trong ba véc-tơ khác véc-tơ 0 và cùng phương thì có ít nhất hai véc-tơ cùng hướng. Lời giải. a) Mệnh đề đúng theo cách hiểu về hướng của véc-tơ.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 10/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ #» #» b) Mệnh đề đúng. Thật vậy: Xét ba véc-tơ #» a , b , #» c khác véc-tơ 0 và cùng phương. Khi đó có 2 trường hợp: #» Trường hợp 1. Hai véc-tơ #» a , b cùng hướng Trường hợp này phù hợp kết luận. #» Trường hợp 2. Hai véc-tơ #» a , b ngược hướng #» Khi đó nếu véc-tơ #» c ngược hướng với véc-tơ #» a thì #» c và b cùng hướng.  Bài 2. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. b) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nó có một góc bằng 60◦ và hai đường trung tuyến bằng nhau. Lời giải. a) Mệnh đề sai vì hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau nhưng ngược lại, hai tam giác có diện tích bằng nhau thì có thể không bằng nhau. Ví dụ một tam giác vuông có cạnh góc vuông là 2 và 8, tam giác vuông thứ hai có cạnh góc vuông là 4 và 4 có cùng diện tích nhưng hai tam giác không bằng nhau. b) Mệnh đề đúng. Thật vậy, xét tam giác ABC tùy ý. +) Nếu tam giác ABC đều thì cả ba góc bằng 60◦ và cặp trung tuyến nào cũng bằng nhau. +) Ngược lại, giả sử có hai trung tuyến BM và CN bằng nhau. Khi đó hình thang BCM N có “= C b và góc một hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân. Do đó tam giác ABC có B góc bằng 60◦ nên tam giác ABC đều.  Bài 3. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: a) Một tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi nó có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau. b) Một tứ giác là hình bình hành khi và chỉ nó có hai đường chéo bằng nhau. Lời giải. a) Mệnh đề đúng, theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành. b) Mệnh đề sai. Chẳng hạn hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau nhưng không nhất thiết phải là hình bình hành.  Bài 4. Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề: P : “Tứ giác ABCD là hình vuông”. Q: “Tứ giác ABCD là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau”. Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng hai cách và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai. Lời giải. Phát biểu mệnh đề: Cách 1. “Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi nó là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau”. Cách 2. “Tứ giác ABCD là hình vuông là điều kiện cần và đủ để nó là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau”. Mệnh đề này đúng theo tính chất và dấu hiệu nhận biết hình vuông.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 11/2406  ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ Bài 5. Xét các tập hợp: X: tập hợp các tứ giác. A: Tập hợp các hình vuông. B: Tập hợp các hình chữ nhật. D: Tập hợp các hình thoi. E: Tập hợp các tứ giác có trục đối xứng. Phát biểu thành lời nội dung các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng. a) ∀x ∈ X, x ∈ B ⇒ x ∈ A. b) ∀x ∈ X, x ∈ A ⇒ x ∈ D. c) ∀x ∈ X, x ∈ E ⇒ x ∈ B. d) ∀x ∈ X, x ∈ D ⇒ x ∈ E. e) ∃x ∈ E : x ∈ / B. Lời giải. a) Phát biểu: “Mọi hình chữ nhật đều là hình vuông”. Mệnh đề này sai vì hai cạnh của hình chữ nhật không phải lúc nào cũng bằng nhau. b) Phát biểu: “Mọi hình vuông đều là hình thoi”. Mệnh đề này đúng vì mọi hình vuông đều là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. c) Phát biểu: “Mọi tứ giác có trục đối xứng đều là hình chữ nhật”. Mệnh đề này sai, ví dụ hình thang cân có trục đối xứng nhưng hình thang cân có các góc có số đo không nhất thiết phải bằng 90◦ . d) Phát biểu: “Mọi hình thoi đều có trục đối xứng”. Mệnh đề này đúng vì mỗi hình thoi đều có ít nhất hai trục đối xứng là hai đường chéo. e) Phát biểu: “Tồn tại một tứ giác có trục đối xứng mà không phải là hình chữ nhật”. Mệnh đề này đúng, chẳng hạn hình thang cân có góc ở đáy bằng 60◦ .  | Dạng 3. Thành lập mệnh đề – Mệnh đề phủ định a) Phát biểu thành lời khi cho cho một mệnh đề dạng kí hiệu. b) Dùng kí hiệu ∀, ∃ phát biểu một mệnh đề. c) Xét tính Đúng – Sai của các mệnh đề. d) Phủ định một mệnh đề. ccc BÀI TẬP DẠNG 3 ccc Ví dụ 1. Phát biểu thành lời các mệnh đề sau đây: a) “∀x ∈ R, x2 6= 0”. 1 b) “∃x ∈ R, x2 < ”. 2 1 c) “∀x ∈ R, ≥ x”. x √ d) “∃x ∈ R, x > x”. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 12/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ a) Mọi số thực đều có bình phương khác không. 1 . 2 c) Mọi số thực đều có nghịch đảo lớn hơn hoặc bằng chính nó. b) Tồn tại một số thực mà bình phương của nó nhỏ hơn d) Tồn tại một số thực sao cho căn bậc hai của nó lớn hơn nó.  Ví dụ 2. Dùng các kí hiệu ∀, ∃ phát biểu các mệnh đề sau: a) Tồn tại một số tự nhiên chia hết cho 9. b) Mọi số không âm đều lớn hơn không. c) Tồn tại một số thực không là số dương cũng không là số âm. Lời giải. . a) “∃n ∈ N, n .. 9”. b) “∀x ≥ 0, x > 0”. c) “∃x ∈ R, x = 0”.  Ví dụ 3. Xét tính Đúng – Sai của các mệnh đề sau: a) “∀x ∈ R, x2 > 0”. b) “∀n ∈ N, n2 > n”. Lời giải. a) ∃x = 0 ∈ R, 02 = 0 ⇒ Mệnh đề sai. b) ∃n = 1 ∈ N, 12 = 1 ⇒ Mệnh đề sai.  Ví dụ 4. Phủ định các mệnh đề sau đây: a) Tất cả bài tập trong sách này đều dễ. b) Có ít nhất một hình thang nội tiếp được trong đường tròn. c) “∃x ∈ R, x + 3 = 5”. d) “∀x ∈ R, x > 5”. Lời giải. a) Tồn tại một bài tập trong sách không dễ. b) Mọi hình thang đều không nội tiếp được trong đường tròn. c) “∀x ∈ R, x + 3 6= 5”. d) “∃x ∈ R, x ≤ 5”.  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Phát biểu thành lời các mệnh đề sau đây: 1 a) “∃x ∈ R, = x”. x  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 13/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ 1 ∈ N”. n2 c) “∀x ∈ R, x − 4x + 8 > 0”. b) “∃n ∈ N, d) “∃x ∈ Z, x2 + 5x ≤ 0”. Lời giải. a) Tồn tại một số thực mà nghịch đảo của nó bằng với nó. b) Tồn tại số tự nhiên sao cho nghịch đảo của nó thuộc tập số tự nhiên. c) Với mọi số thực ta đều có bình phương của nó hiệu bốn lần nó và cộng thêm 8 lớn hơn 0. d) Tồn tại một số nguyên mà tổng bình phương của nó với năm lần nó bé hơn hoặc bằng 0.  Bài 2. Dùng các kí hiệu ∀, ∃ phát biểu các mệnh đề sau: a) Có một số tự nhiên khác không mà căn bậc hai của nó thuộc tập số tự nhiên khác không. b) Mọi số nguyên đều là số tự nhiên. c) Có một số tự nhiên không là số nguyên. d) Mọi số tự nhiên đều là số thực. e) Tồn tại một số thực không có nghịch đảo. Lời giải. √ a) “∃n ∈ N∗ , n ∈ N∗ ”. b) “∀n ∈ Z, n ∈ N”. c) “∃n ∈ N, n ∈ / Z”. d) “∀n ∈ N, n ∈ R”. e) “∃x ∈ R, không tồn tại 1 ”. x  Bài 3. Phủ định các mệnh đề sau: a) Mọi học sinh trong lớp em đều biết dùng máy tính. b) Có một học sinh trong lớp em chưa được leo núi. c) Mọi học sinh trong lớp em không biết đá bóng. d) Có một học sinh trong lớp em thích bóng chuyền. Lời giải. a) Có một học sinh trong lớp em không biết dùng máy tính. b) Mọi học sinh trong lớp em đều được leo núi. c) Có một học sinh trong lớp em biết đá bóng. d) Mọi học sinh trong lớp em không thích bóng chuyền.  Bài 4. Xét xem các mệnh đề sau đúng hay sai và nêu các mệnh đề phủ định của chúng. a) “∀x ∈ R, x2 − 7x + 15 > 0”. b) “∃x ∈ R, x3 + 2×2 + 8x + 16 = 0”. c) “∀x ∈ R, ∀y ∈ R, 2x + 3y = 5”. d) “∃x ∈ R, ∃y ∈ R, x2 + y 2 − 2x − 4y = −1”. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 14/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ a) Ta có: Å ã 49 49 7 2 11 11 7 + 15 − = x− + ≥ > 0 ∀x ∈ R. x − 7x + 15 = x − 2. .x + 2 4 4 2 4 4 Vậy mệnh đề đúng. 2 2 Mệnh đề phủ định: “∃x ∈ R, x2 − 7x + 15 ≤ 0”. b) ∃x = −2 ∈ R, (−2)3 + 2.(−2)2 + 8.(−2) + 16 = 0 ⇒ Mệnh đề đúng. Mệnh đề phủ định: “∀x ∈ R, x3 + 2×2 + 8x + 16 6= 0”. c) ∃x = 0 ∈ R, ∃y = 0 ∈ R, 2.0 + 3.0 = 0 6= 0 ⇒ Mệnh đề sai. Mệnh đề phủ định: “∃x ∈ R, ∃y ∈ R, 2x + 3y 6= 0”. d) ∃x = 1 ∈ R, ∃y = 0 ∈ R, 12 + 02 − 2.1 − 4.0 = −1 ⇒ Mệnh đề đúng. Mệnh đề phủ định: “∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x2 + y 2 − 2x − 4y = −1”.  Bài 5. Tìm hai giá trị thực của x đề từ mỗi câu sau ta được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. a) x2 < x. b) x = 5. c) x2 > 0. 1 d) x > . x Lời giải. 1 thì mệnh đề đúng. 2 Với x = 1 thì mệnh đề sai. b) Với x = 5 thì mệnh đề đúng. a) Với x = Với x = 0 thì mệnh đề sai. c) Với x = 1 thì mệnh đề đúng. Với x = 0 thì mệnh đề sai. d) Với x = 2 thì mệnh đề đúng. 1 Với x = thì mệnh đề sai. 2  BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 6. Chứng minh rằng: Nếu nhốt 25 con thỏ vào 6 cái chuồng thì sẽ có ít nhất một chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ. Lời giải. Ta định nghĩa mệnh đề Q. Q : Ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ. Suy ra mệnh đề Q : Tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ. Giả sử mệnh đề Q đúng, tức là tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ. Khi đó số thỏ sẽ có tối đa là 4.6 = 24 con, mâu thuẫn với giả thiết số thỏ là 25 con. Suy ra mệnh đề Q sai, do đó mệnh đề Q đúng. Vậy nếu nhốt 25 con thỏ vào 6 cái chuồng thì sẽ có ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ.  Bài 7. Cho các mệnh đề chứa biến P (n) : “n là số chẵn” và Q(n) : “7n + 4 là số chẵn”.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 15/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ a) Phát biểu và chứng minh mệnh đề “∀n ∈ N, P (n) ⇒ Q(n)”. b) Phát biểu và chứng minh mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu 1. Lời giải. a) Với mọi số tự nhiên n, nếu n là số chẵn thì 3n + 4 cũng là số chẵn. Chứng minh: Với mọi số tự nhiên n chẵn, ta có: 3n và 4 là các số chẵn. Suy ra 3n + 4 là một số chẵn. Vậy mệnh đề đúng. b) Với mọi số tự nhiên n, nếu 3n + 4 là số chẵn thì n cũng là số chẵn. Chứng minh: Với mọi số tự nhiên n mà 3n + 4 là số chẵn thì ta suy ra 3n là số chẵn (do 4 là số chẵn). Khi đó n là một số chẵn. Vậy mệnh đề đảo đúng.   Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 16/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP C 1. MỆNH ĐỀ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề? A. Buồn ngủ quá!. B. Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau. C. 8 là số chính phương. D. Băng Cốc là thủ đô của Mianma. Lời giải. Câu cảm thán không phải là mệnh đề  Chọn đáp án A Câu 2. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu không phải là mệnh đề? a) Huế là một thành phố của Việt Nam. b) Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế. c) Hãy trả lời câu hỏi này! d) 5 + 19 = 24. e) 6 + 81 = 25. f) Bạn có rỗi tối nay không? g) x + 2 = 11 A. 1. Lời giải. B. 2. C. 3. D. 4. Các câu c), f) không phải là mệnh đề vì không phải là một câu khẳng định.  Chọn đáp án B Câu 3. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề? a) Hãy đi nhanh lên! b) Hà Nội là thủ đô của Việt Nam. c) 5 + 7 + 4 = 15. d) Năm 2018 là năm nhuận. A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. Lời giải. Câu a) là câu cảm thán không phải là mệnh đề  Chọn đáp án B Câu 4. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề? a) Cố lên, sắp đói rồi! b) Số 15 là số nguyên tố. c) Tổng các góc của một tam giác là 180◦ d) x là số nguyên dương. A. 3. B. 2. C. 4. D. 1. Lời giải. Câu a) không là mệnh đề Chọn đáp án A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Trang 17/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ Câu 5. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A. Đi ngủ đi!. B. Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới. C. Bạn học trường nào?. D. Không được làm việc riêng trong giờ học. Lời giải. Chọn đáp án B  Câu 6. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn. B. Tích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn. C. Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ. D. Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ. Lời giải. B là mệnh đề sai: Ví dụ: 2 · 3 = 6 là số chẵn nhưng 3 là số lẻ. C là mệnh đề sai: Ví dụ: 1 + 3 = 4 là số chẵn nhưng 1 và 3 là số lẻ.  Chọn đáp án B Câu 7. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề đúng? A. Nếu a ≥ b thì a2 ≥ b2 . B. Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3. C. Nếu em chăm chỉ thì em thành công. D. Nếu một tam giác có một góc bằng 60◦ thì tam giác đó đều. Lời giải. Mệnh đề A là một mệnh đề sai vì b ≤ a < 0 thì a2 ≤ b2 . a = 9n, n ∈ Z . . Mệnh đề B là mệnh đề đúng. Vì a..9 ⇒ ⇒ a..3. . 9..3 Câu C chưa là mệnh đề vì chưa khẳng định được tính đúng, sai. Mệnh đề D là mệnh đề sai vì chưa đủ điều kiện để khẳng định một tam giác là đều Chọn đáp án B  Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. −π < −2 ⇔ π 2 < 4. √ √ C. 23 < 5 ⇒ 2 23 < 2.5. B. π < 4 ⇔ π 2 < 16. √ √ D. 23 < 5 ⇒ −2 23 > −2.5. Lời giải. Ta có: π 2 < 4 ⇔ |π| < 2 ⇔ −2 < π < 2 Suy ra mệnh đề −π < −2 ⇔ π 2 < 4 sai.  Chọn đáp án A Câu 9. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một góc bằng nhau. B. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi chúng có 3 góc vuông. C. Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại. D. Một tam giác là đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng 60◦ . Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 18/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ Đáp án A sai vì hai tam giác đồng dạng thì các góc tương ứng bằng nhau. Hai tam giác đồng dạng bằng nhau khi chúng có cặp cạnh tương ứng bằng nhau  Chọn đáp án A Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A. Nếu số nguyên n có chữ số tận cùng là 5thì số nguyên n chia hết cho 5. B. Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác ABCD là hình bình hành. C. Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau. D. Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Lời giải. Xét mệnh đề đảo của đáp án A: “Nếu số nguyên n chia hết cho 5 thì số nguyên n có chữ số tận cùng là 5”. Mệnh đề này sai vì số nguyên n cũng có thể có chữ số tận cùng là 0. Xét mệnh đề đảo của đáp án B: “Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”. Mệnh đề này đúng.  Chọn đáp án B Câu 11. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A. Nếu số nguyên n có tổng các chữ số bằng 9 thì số tự nhiên n chia hết cho 3. B. Nếu x > y thì x2 > y 2 . C. Nếu x = y thì t · x = t · y. D. Nếu x > y thì x3 > y 3 . Lời giải. Xét mệnh đề đảo của đáp án A: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 3 thì số nguyên n có tổng các chữ số bằng 9”. Mệnh đề này sai vì tổng các chữ số của n phải chia hết cho 9 thì n mới chia hết ” cho 9. x>y Xét mệnh đề đảo của đáp án B: “Nếu x2 > y 2 thì x > y” sai vì x2 > y 2 ⇔ |x| > |y| ⇔ . x < −y Xét mệnh đề đảo của đáp án C: “Nếu t.x = t.y thì x = y” sai với t = 0 ⇒ x, y ∈ R  Chọn đáp án D Câu 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. "ABC là tam giác đều ⇔ tam giác ABC cân". B. "ABC là tam giác đều ⇔ tam giác ABC cân và có một góc 60◦ ". C. "ABC là tam giác đều ⇔ ABC là tam giác có ba cạnh bằng nhau". D. "ABC là tam giác đều ⇔ tam giác ABC có hai góc bằng 60◦ ". Lời giải. Mệnh đề kéo théo "ABC là tam giác đều ⇒ tam giác ABC cân" là mệnh đề đúng, nhưng mệnh đề đảo "Tam giác ABC cân ⇒ ABC là tam giác đều" là mệnh đề sai. Do đó, 2 mệnh đề "ABC là tam giác đều" và "tam giác ABC cân" không phải là 2 mệnh đề tương đương.  Chọn đáp án A Câu 13. Mệnh đề nào sau đây là phủ định của mệnh đề “Mọi động vật đều di chuyển”?  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 19/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ A. Mọi động vật đều không di chuyển. B. Mọi động vật đều đứng yên. C. Có ít nhất một động vật không di chuyển. D. Có ít nhất một động vật di chuyển. Lời giải. Phủ định của mệnh đề "∀x ∈ K, P (x)" là mệnh đề "∃x ∈ K, P (x)". Do đó, phủ định của mệnh đề “Mọi động vật đều di chuyển” là mệnh đề “Có ít nhất một động vật không di chuyển”  Chọn đáp án C Câu 14. Phủ định của mệnh đề "Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn tuần hoàn" là mệnh đề nào sau đây? A. Mọi số vô tỷ đều là số thập phân vô hạn tuần hoàn. B. Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. C. Mọi số vô tỷ đều là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. D. Mọi số vô tỷ đều là số thập phân tuần hoàn. Lời giải. Phủ định của mệnh đề "∃x ∈ K, P (x)" là mệnh đề "∀x ∈ K, P (x)". Do đó, phủ định của mệnh đề “Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn tuần hoàn” là mệnh đề “Mọi số vô tỷ đều là số thập phân vô hạn không tuần hoàn”  Chọn đáp án C Câu 15. Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề: “ Số 6 chia hết cho 2 và 3”. A. Số 6 chia hết cho 2 hoặc 3. B. Số 6 không chia hết cho 2 và 3. C. Số 6 không chia hết cho 2 hoặc 3. D. Số 6 không chia hết cho 2 và chia hết cho 3. Lời giải. Phủ định của mệnh đề “ Số 6 chia hết cho 2 và 3” là mệnh đề: “Số 6 không chia hết cho 2 hoặc 3” Chọn đáp án C  Câu 16. Viết mệnh đề phủ định P của mệnh đề P : “ Tất cả các học sinh khối 10 của trường em đều biết bơi ”. A. P : “ Tất cả các học sinh khối 10 trường em đều biết bơi ”. B. P : “ Tất cả các học sinh khối 10 trường em có bạn không biết bơi ”. C. P : “Trong các học sinh khối 10 trường em có bạn biết bơi”. D. P : “Tất cả các học sinh khối 10 trường em đều không biết bơi”. Lời giải. Chọn đáp án D  Câu 17. Kí hiệu X là tập hợp các cầu thủ x trong đội tuyển bóng rổ, P (x) là mệnh đề chứa biến "x cao trên 180 cm". Mệnh đề "∀x ∈ X, P (x)" khẳng định rằng A. Mọi cầu thủ trong đội tuyển bóng rổ đều cao trên 180 cm. B. Trong số các cầu thủ của đội tuyển bóng rổ có một số cầu thủ cao trên 180 cm. C. Bất cứ ai cao trên 180 cm đều là cầu thủ của đội tuyển bóng rổ. D. Có một số người cao trên 180 cm là cầu thủ của đội tuyển bóng rổ. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 20/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ Mệnh đề “∀x ∈ X, x cao trên 180 cm” khẳng định: “Mọi cầu thủ trong đội tuyển bóng rổ đều cao trên 180 cm.”  Chọn đáp án A Câu 18. Mệnh đề "∃x ∈ R, x2 = 2" khẳng định rằng: A. Bình phương của mỗi số thực bằng 2. B. Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 2. C. Chỉ có một số thực mà bình phương của nó bằng 2. D. Nếu x là một số thực thì x2 = 2. Lời giải.  Chọn đáp án B Câu 19. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Không có số chẵn nào là số nguyên tố. B. ∀x ∈ R, −x2 < 0. C. ∃n ∈ N, n(n + 11) + 6 chia hết cho 11. D. Phương trình 3x2 − 6 = 0 có nghiệm hữu tỷ. Lời giải. . Với n = 4 ∈ N ⇒ n(n + 11) + 6 = 4(4 + 11) + 6 = 66..11  Chọn đáp án C Câu 20. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? A. ∃x ∈ Z, 2x2 − 8 = 0. B. ∃n ∈ N, (n2 + 11n + 2) chia hết cho 11. D. ∃n ∈ N, (n2 + 1) chia hết cho 4. C. Tồn tại số nguyên tố chia hết cho 5. Lời giải. Với k ∈ N, ta có: • Khi n = 4k ⇒ n2 + 1 = 16k 2 + 1 không chia hết cho 4. • Khi n = 4k + 1 ⇒ n2 + 1 = 16k 2 + 8k + 2 không chia hết cho 4. • Khi n = 4k + 2 ⇒ n2 + 1 = 16k 2 + 16k + 5 không chia hết cho 4. • Khi n = 4k + 3 ⇒ n2 + 1 = 16k 2 + 24k + 10 không chia hết cho 4. ⇒ ∀n ∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 4.  Chọn đáp án D Câu 21. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? A. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x + y 2 ≥ 0. B. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x + y 2 ≥ 0. C. ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x + y 2 ≥ 0. D. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x + y 2 ≤ 0. Lời giải. Với x = −1 ∈ R, y = 0 ∈ R thì x + y 2 = −1 + 0 < 0. Chọn đáp án C  Câu 22. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Với mọi số thực x, nếu x < −2 thì x2 > 4. B. Với mọi số thực x, nếu x2 < 4 thì x < −2. C. Với mọi số thực x, nếu x < −2 thì x2 < 4. Lời giải. D. Với mọi số thực x, nếu x2 > 4 thì x > −2.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 21/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ • B sai vì x = 1 ⇒ x2 = 1 < 4 nhưng 1 > −2. • C sai vì x = −3 < −2 nhưng x2 = 9 > 4. • D sai vì x = −3 ⇒ x2 = 9 > 4 nhưng −3 < −2.  Chọn đáp án A Câu 23. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. ∃x ∈ R, x2 < x. B. ∀x ∈ R, x2 > x. D. ∀x ∈ R, x2 ≥ x. C. ∀x ∈ R, |x| > 1 ⇒ x > 1. Lời giải. 1 1 1 Với x = ∈ R, x2 = < = x. 2 4 2 Chọn đáp án A  Câu 24. Cho x là số thực, mệnh đề nào sau đây đúng? √ √ √ √ A. ∀ x, x2 > 5 ⇒ x > 5 hoặc x < − 5. B. ∀ x, x2 > 5 ⇒ − 5 < x < 5. √ √ √ C. ∀ x, x2 > 5 ⇒ x > ± 5. D. ∀ x, x2 > 5 ⇒ x ≥ 5 hoặc x ≤ − 5. Lời giải. ” √ √ 5 x > Đáp án A đúng vì ∀ x, x2 > 5 ⇒ |x| > 5 ⇒ √ x < − 5.  Chọn đáp án A Câu 25. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ∀x ∈ N∗ , x2 − 1 là bội số của 3. B. ∃x ∈ Q, x2 = 3. C. ∀x ∈ N, 2x + 1 là số nguyên tố. D. ∀x ∈ N, 2x ≥ x + 2. Lời giải. √ • Đáp án B sai vì x2 = 3 ⇔ x = ± 3 là số vô tỉ. • Đáp án C sai với x = 3 ⇒ 23 + 1 = 9 là hợp số. • Đáp án D sai với x = 0 ⇒ 20 = 1 < 0 + 2 = 2.  Chọn đáp án A Câu 26. Mệnh đề P (x) : “∀x ∈ R, x2 − x + 7 < 0 ”. Phủ định của mệnh đề P là A. ∃x ∈ R, x2 − x + 7 > 0. C. ∀x ∈ / R, x2 − x + 7 ≥ 0. B. ∀x ∈ R, x2 − x + 7 > 0. D. ∃x ∈ R, x2 − x + 7 ≥ 0. Lời giải. Phủ định của mệnh đề P là P (x) : “∃x ∈ R, x2 − x + 7 ≥ 0”.  Chọn đáp án D Câu 27. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P (x) : “x2 + 3x + 1 > 0 với mọi x” là A. Tồn tại x sao cho x2 + 3x + 1 > 0. B. Tồn tại x sao cho x2 + 3x + 1 ≤ 0. C. Tồn tại x sao cho x2 + 3x + 1 = 0. D. Tồn tại x sao cho x2 + 3x + 1 < 0. Lời giải. Phủ định của mệnh đề P (x) là P (x): “Tồn tại x sao cho x2 + 3x + 1 ≤ 0”. Chọn đáp án B  Câu 28. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P (x) : “∃x ∈ R : x2 + 2x + 5 là số nguyên tố” là A. ∀x ∈ / R : x2 + 2x + 5 là hợp số.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. ∃x ∈ R : x2 + 2x + 5 là hợp số. Trang 22/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ C. ∀x ∈ R : x2 + 2x + 5 là hợp số. D. ∃x ∈ R : x2 + 2x + 5 là số thực. Lời giải. Phủ định của mệnh đề P (x) là P (x) : “∀x ∈ R : x2 + 2x + 5 là hợp số”.  Chọn đáp án C Câu 29. Phủ định của mệnh đề P (x) : “∃x ∈ R, 5x − 3x2 = 1” là A. “∃x ∈ R, 5x − 3x2 = 1”. B. “∀x ∈ R, 5x − 3x2 = 1”. C. “∀x ∈ R, 5x − 3x2 6= 1”. D. “∃x ∈ R, 5x − 3x2 ≥ 1”. Lời giải. Phủ định của mệnh đề P (x) là P (x) : “∀x ∈ R, 5x − 3x2 6= 1”  Chọn đáp án C Câu 30. Cho mệnh đề P (x) : “∀x ∈ R, x2 + x + 1 > 0”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P (x) là A. “∀x ∈ R, x2 + x + 1 < 0”. B. “∀x ∈ R, x2 + x + 1 ≤ 0”. C. “∃x ∈ R, x2 + x + 1 ≤ 0”. D. “x ∈ R, x2 + x + 1 > 0”. Lời giải. Phủ định của mệnh đề P (x) là: P (x) : “∃x ∈ R, x2 + x + 1 ≤ 0” Chọn đáp án C  Câu 31. Mệnh đề nào sau đây có mệnh đề đảo là mệnh đề đúng? A. Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c. B. Nếu a > b thì a2 > b2 . C. Nếu số nguyên chia hết cho 14 thì chia hết cho cả 7 và 2. D. Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau. Lời giải. Xét từng mệnh đề ta có các mệnh đề đảo tương ứng là • “Nếu a + b chia hết cho c thì a và b cùng chia hết cho c”, đây là mệnh đề sai. • “Nếu a2 > b2 thì a > b”, đây là mệnh đề sai. • “Nếu một số nguyên chi hết cho cả 7 và 2 thì số nguyên đó chia hết cho 14”, đây là mệnh đề đúng. • “Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau”, đây là mệnh đề sai.  Chọn đáp án C Câu 32. Với giá trị nào của x thì “x2 − 1 = 0, x ∈ N ” là mệnh đề đúng? A. x = 0. B. x = −1. C. x = ±1. D. x = 1. Lời giải. ” Ta có x2 − 1 = 0 ⇔ x=1∈N x = −1 6∈ N. Vậy mệnh đề chứa biến đã cho trở thành mệnh đề đúng khi và chỉ khi x = 1. Chọn đáp án D  Câu 33. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu không phải là mệnh đề? (1) Huế là một thành phố của Việt Nam. (2) Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 23/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ (3) Hãy trả lời câu hỏi này! (4) 4 + 19 = 24. (5) 6 + 81 = 25. (6) Bạn có rỗi tối nay không? (7) x + 2 = 11. A. 4. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Có 3 câu không phải là mệnh đề, gồm (3), (6), (7). Chọn đáp án D  Câu 34. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. −π < −2 ⇔ π 2 < 4. √ √ C. 23 < 5 ⇒ 2 23 < 2 · 5. B. π < 4 ⇔ π 2 < 16. √ √ D. 23 < 5 ⇒ −2 23 > −2 · 5. Lời giải. • Ta có −π < −2 là mệnh đề đúng, π 2 < 4 là mệnh đề sai. Suy ra mệnh đề −π < −2 ⇔ π 2 < 4 là mệnh đề sai. • Ta có π < 4 là mệnh đề đúng, π 2 < 16 là mệnh đề đúng. Suy ra π < 4 ⇔ π 2 < 16 là mệnh đề đúng. √ √ • Ta có 23 < 5 là mệnh đề đúng, 2 23 < 2 · 5 là mệnh đề đúng. √ √ Suy ra mệnh đề 23 < 5 ⇒ 2 23 < 2 · 5 đúng. √ √ • Ta có 23 < 5 là mệnh đề đúng, −2 23 > −2 · 5 là mệnh đề đúng. √ √ Suy ra mệnh đề 23 < 5 ⇒ −2 23 > −2 · 5 đúng.  Chọn đáp án A Câu 35. Mệnh đề ∀x ∈ R, x2 − 2 + a > 0, với a là số thực cho trước. Tìm a để mệnh đề đúng. A. a < 2. B. a = 2. C. a > 2. D. a ≤ 2. Lời giải. Ta có x2 − 2 + a > 0 ⇔ x2 > 2 − a. Do đó, mệnh đề đã cho đúng khi và chỉ khi 2 − a < 0 ⇔ a > 2.  Chọn đáp án C Câu 36. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. ∃x ∈ Z : x2 = −2x. B. ∀x ∈ N : x2 > 0. C. ∀x ∈ N∗ : x2 > 0. D. ∃x ∈ Z : x2 ≤ x. Lời giải. ∀x ∈ N : x2 > 0 là mệnh đề sai, chẳng hạn tại x = 0 ∈ N thì x2 = 0 > 0 sai. Chọn đáp án B  Câu 37. Cho mệnh đề P : “∀x ∈ R : 9×2 − 1 6= 0 ”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là A. P : “∃x ∈ R : 9×2 − 1 = 0”. C. P : “∃x ∈ R : 9×2 − 1 > 0”. B. P : “∃x ∈ R : 9×2 − 1 ≤ 0”. D. P : “∀x ∈ R : 9×2 − 1 = 0”. Lời giải. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P : “∀x ∈ R : 9×2 − 1 6= 0” là P : “∃x ∈ R : 9×2 − 1 = 0”.  Chọn đáp án A Câu 38. Cho mệnh đề “∀x ∈ R, x2 + 1 > 0”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho là  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 24/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ A. “∀x ∈ R, x2 + 1 ≤ 0”. B. “∀x ∈ R, x2 + 1 < 0”. C. “∃x ∈ R, x2 + 1 ≤ 0”. D. “∃x ∈ R, x2 + 1 > 0”. Lời giải. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ R, x2 + 1 > 0” là “∃x ∈ R, x2 + 1 ≤ 0”. Chọn đáp án C  Câu 39. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “2018 là số tự nhiên chẵn” là A. 2018 là số chẵn. C. 2018 không là số tự nhiên chẵn. B. 2018 là số nguyên tố. D. 2018 là số chính phương. Lời giải. Phủ định của mệnh đề đã cho là “2018 không là số tự nhiên chẵn”.  Chọn đáp án C Câu 40. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ R, x2 + x + 13 = 0” là A. “∀x ∈ R, x2 + x + 13 6= 0”. B. “∃x ∈ R, x2 + x + 13 > 0”. C. “∀x ∈ R, x2 + x + 13 = 0”. D. “∃x ∈ R, x2 + x + 13 6= 0”. Lời giải. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ R, x2 + x + 13 = 0 ” là “∀x ∈ R, x2 + x + 13 6= 0”.  Chọn đáp án A Câu 41. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? √ A. 6 2 là số hữu tỷ. B. Phương trình x2 + 7x − 2 = 0 có 2 nghiệm trái dấu. C. 17 là số chẵn. D. Phương trình x2 + x + 7 = 0 có nghiệm. Lời giải. √ √ Vì 2 là số vô tỷ nên 6 2 là số vô tỷ. Phương trình x2 + 7x − 2 = 0 có a · c = 1 · (−2) < 0 nên có 2 nghiệm trái dấu. 17 là số lẻ. Vì x2 + x + 7 = (x + 2)2 + 3 ≥ 3 > 0 nên phương trình x2 + x + 7 = 0 vô nghiệm. Chọn đáp án B  Câu 42. Cho mệnh đề P : “9 là số chia hết cho 3”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là A. P : “9 là ước của 3”. C. P : “9 là số không chia hết cho 3”. B. P : “9 là bội của 3”. D. P : “9 là số lớn hơn 3”. Lời giải. Mệnh đề P : “9 là số chia hết cho 3”có mệnh đề phủ định là P : “9 là số không chia hết cho 3”.  Chọn đáp án C Câu 43. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. x + y > 0 ⇒ xy ” > 0. x>0 C. x + y > 0 ⇒ . y>0 Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. (x + y)2 ≥ x2 + y 2 . D. x ≥ y ⇒ x2 ≥ y 2 . Trang 25/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ Ta xét các mệnh đề • x + y > 0 ⇒ xy > 0 sai ví dụ x = 2 và y = −1 không thỏa mệnh đề. • (x + y)2 ≥ x2″+ y 2 sai ví dụ x = 2 và y = −1 không thỏa mệnh đề. x>0 • x+y > 0 ⇒ đúng vì nếu ngược lại thì cả hai x và y đều không dương thì x + y ≤ 0 vô lý. y>0 • x ≥ y ⇒ x2 ≥ y 2 sai ví dụ x = 1 và y = −2 không thỏa mệnh đề.  Chọn đáp án C Câu 44. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. ∃x ∈ Q, 4×2 − 1 = 0. B. ∃n ∈ N, n2 + 1 chia hết cho 4. C. ∀x ∈ N, n2 > n. D. ∀x ∈ R, (x − 1)2 6= x − 1. Lời giải. Có 4×2 − 1 = 0 ⇔ x2 = 1 1 ⇔ x = ± ∈ Q. 4 2  Chọn đáp án A Câu 45. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Số 141 chi hết cho 3 ⇒ 141 chia hết cho 9. √ B. 81 là số chính phương ⇒ 81 là số nguyên. C. 7 là số lẻ ⇒ 7 chia hết cho 2. D. 3 · 5 = 15 ⇒ Bắc Kinh là thủ đô của Hàn Quốc. Lời giải. √ Có 81 là số chính phương là mệnh đề đúng, 81 = 9 là số nguyên cũng là mệnh đề đúng. √ Do đó 81 là số chính phương ⇒ 81 là số nguyên là mệnh đề đúng. Chọn đáp án B Câu 46. Trong các câu sau, câu nào không phải mệnh đề? √ A. 2×2 + 1 > 0. B. 17 − 3 > 0. C. 2 − 3 = 4. Lời giải.  D. Đẹp quá!. Câu “Đẹp quá!” không phải mệnh đề vì câu này không có tính đúng sai.  Chọn đáp án D Câu 47. Cho các phát biểu sau. (1) Hôm nay các em có khỏe không? (2) Số 1320 là một số lẻ. (4) 2018 là một số chẵn. (5) Chúc các em kiểm tra đạt kết quả tốt! (3) 13 là một số nguyên tố. (6) x2 + 8x + 12 ≥ 0. Trong các phát biểu trên có tất cả bao nhiêu phát biểu là mệnh đề? A. 4. Lời giải. B. 3. C. 5. D. 2. Ta có (1), (5), (6) không phải là mệnh đề. Vậy có tất cả 4 mệnh đề.  Chọn đáp án A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 26/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ Câu 48. Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề P : “∀x ∈ R, x2 − x + 1 > 0”. A. P : “∀x ∈ R, x2 − x + 1 ≤ 0”. B. P : “∀x ∈ R, x2 − x + 1 < 0”. C. P : “∃x ∈ R, x2 − x + 1 < 0”. D. P : “∃x ∈ R, x2 − x + 1 ≤ 0”. Lời giải. Ta có P : “∃x ∈ R, x2 − x + 1 ≤ 0”.  Chọn đáp án D Câu 49. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Để tứ giác T là một hình vuông, điều kiện cần là nó có bốn cạnh bằng nhau.. B. Một tam giác là đều khi và chỉ khi nó có hai đường trung tuyến bằng nhau và một góc 60◦ . C. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau. D. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông. Lời giải. Xét tam giác ABC có AB = 4; BC = 3; AC = 2 và tam giác DEF có EF = 4; F D = 6; DE = 8. Dễ thấy tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF và AB = EF nhưng hai tam giác này không bằng nhau. Do đó mệnh đề "Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau" là mệnh đề sai.  Chọn đáp án C Câu 50. Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề "∃n ∈ N, n2 + 1 chia hết cho 3". A. “∀n ∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 3”. B. “∀n ∈ N, n2 + 1 chia hết cho 3”. C. “∃n ∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 3”. D. “∀n ∈ / N, n2 + 1 không chia hết cho 3”. Lời giải. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃n ∈ N, n2 + 1 chia hết cho 3”là mệnh đề “∀n ∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 3”.  Chọn đáp án A Câu 51. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A. Số 345 có chia hết cho 3 không?. C. Kết quả của bài toán này rất đẹp. B. Số 625 là số chính phương. D. Bạn Hoa thật xinh. Lời giải. Câu "Số 625 là số chính phương" là mệnh đề.  Chọn đáp án B Câu 52. Cho mệnh đề P : "∀x ∈ R|x2 + x + 1 > 0, mệnh đề phủ định của mệnh đề P là A. P : ” ∃x ∈ R|x2 + x + 1 < 0". B. P : " ∀x ∈ R|x2 + x + 1 < 0". C. P : " ∃x ∈ R|x2 + x + 1 ≤ 0". D. P : " ∀x ∈ R|x2 + x + 1 ≤ 0". Lời giải. P : " ∃x ∈ R|x2 + x + 1 ≤ 0".  Chọn đáp án C Câu 53. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. ∃x ∈ Z, x2 < 0. B. ∃x ∈ R, x2 + 1 = 0.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 27/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ C. ∃x ∈ N, 2x2 − 1 < 0. D. ∃x ∈ Q, x2 − 2 = 0. Lời giải. Mệnh đề ∃x ∈ N, 2x2 − 1 < 0 đúng vì tồn tại x = 0 thoả mãn 2x2 − 1 < 0.  Chọn đáp án C Câu 54. Câu nào trong các câu sau không phải là mệnh đề? A. π có phải là một số vô tỷ không?. √ C. 2 là một số hữu tỷ. B. 2 + 2 = 5. 4 D. = 2. 2 Lời giải. “π có phải là một số vô tỷ không?” là câu hỏi, nên không phải là mệnh đề.  Chọn đáp án A Câu 55. Phủ định của mệnh đề “∃x ∈ Q : 2x2 − 5x + 2 = 0” là A. “∃x ∈ Q : 2x2 − 5x + 2 > 0”. B. “∃x ∈ Q : 2×2 − 5x + 2 6= 0”. C. “∀x ∈ Q : 2×2 − 5x + 2 6= 0”. D. “∀x ∈ Q : 2×2 − 5x + 2 = 0”. Lời giải. Phủ định của mệnh đề “∃x ∈ Q : 2×2 − 5x + 2 = 0” là “∀x ∈ Q : 2×2 − 5x + 2 6= 0”.  Chọn đáp án C Câu 56. Cho P ⇔ Q là mệnh đề đúng. Khẳng định nào sau đây sai? A. P ⇔ Q sai. Lời giải. B. P ⇔ Q đúng. Ta có P ⇔ Q là mệnh đề đúng ⇔ C. Q ⇔ P sai. D. P ⇔ Q sai. ” P đúng và Q đúng P sai và Q sai. • Ta có P đúng ⇔ P sai ⇔ Q sai ⇔ Q đúng. • Ta có P sai ⇔ P đúng ⇔ Q đúng ⇔ Q sai. Vậy P ⇔ Q là mệnh đề đúng.  Chọn đáp án D Câu 57. Trong các câu sau câu nào không phải là mệnh đề? √ A. 11 là số vô tỷ. B. Hai vec-tơ cùng phương thì chúng cùng hướng. C. Tích của một vec-tơ với một số thực là một vec-tơ. D. Hôm nay lạnh thế nhỉ!. Lời giải. “Hôm nay lạnh thế nhỉ!” không phải là một câu khẳng định.  Chọn đáp án D Câu 58. Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ Q : 2×2 − 5x + 2 = 0”. A. “∀x ∈ Q : 2×2 − 5x + 2 = 0”. B. “∃x ∈ Q : 2×2 − 5x + 2 > 0”. C. “∀x ∈ Q : 2×2 − 5x + 2 6= 0”. D. “∃x ∈ Q : 2×2 − 5x + 2 6= 0”. Lời giải. P : “∃x ∈ Q : 2×2 − 5x + 2 = 0” ⇒ P : “∀x ∈ Q : 2×2 − 5x + 2 6= 0”.  Chọn đáp án C  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 28/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ Câu 59. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? . . A. ∀n ∈ N, n2 .. 9 ⇒ n .. 9. B. ∀n ∈ N, n2 . . C. ∀n ∈ N, n2 .. 2 ⇒ n .. 2. D. ∀n ∈ N, n2 .. . . 3 ⇒ n .. 3. .. . . 6 ⇒ n .. 6. Lời giải. . . . . Ta có 32 .. 9 nhưng 3 6 .. 9. Bởi vậy, mệnh đề “∀n ∈ N, n2 .. 9 ⇒ n .. 9” sai.  Chọn đáp án A Câu 60. Phát biểu nào sau đây không phải là mệnh đề? A. 5 là số nguyên tố. B. Năm 2016 là năm nhuận. C. Đề thi trắc nghiệm môn toán hay quá !. D. Hà Nội là thủ đô của Việt Nam. Lời giải. Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai. Câu “Đề thi trắc nghiệm môn toán hay quá !” không thể nói là đúng hay sai nên không phải là mệnh đề.  Chọn đáp án C Câu 61. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ R, x2 = 2x ” là A. “∀x ∈ R, x2 = 2x ”. B. “∃x ∈ R, x2 6= 2x ”. C. “∃x ∈ R, x2 > 2x ”. D. “∀x ∈ R, x2 6= 2x ”. Lời giải.  Chọn đáp án D Câu 62. Cho mệnh đề P (x) : “∀x ∈ R, x2 + x + 1 > 0”. Mệnh đề phủ định của P (x) là A. “∃x ∈ R, x2 + x + 1 6 0”. B. “ 6 ∃x ∈ R, x2 + x + 1 > 0”. C. “∀x ∈ R, x2 + x + 1 6 0”. D. “∀x ∈ R, x2 + x + 1 < 0”. Lời giải. Với P (x) : “∀x ∈ R, x2 + x + 1 > 0” thì phủ định của P (x) là P (x) : “∃x ∈ R, x2 + x + 1 > 0” hay “∃x ∈ R, x2 + x + 1 6 0”.  Chọn đáp án A Câu 63. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P : “∀x ∈ R : x3 + 1 > x” là A. P : “∃x ∈ R : x3 + 1 < x”. B. P : “∃x ∈ R : x3 + 1 6 x”. C. P : “∃x ∈ R : x3 + 1 > x”. D. P : “∀x ∈ R : x3 + 1 6 x”. Lời giải. Với P : “∀x ∈ R : x3 + 1 > x” ta có P : “∃x ∈ R : x3 + 1 > x” hay P : “∃x ∈ R : x3 + 1 6 x”. Chọn đáp án B  Câu 64. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A. Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9. B. Nếu a và b chia hết cho c thì a + b chia hết cho c. C. Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5. D. Nếu hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau. Lời giải. Mệnh đề “Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9” có mệnh đề đảo là “Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3”. Mệnh đề đảo là đúng.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 29/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ Số chia hết cho 9 có dạng 9k, với mọi k ∈ N. Mà 9k = 3 · (3k) nên nó chia hết cho 3. Mệnh đề “Nếu a và b chia hết cho c thì a + b chia hết cho c” có mệnh đề đảo là “Nếu a + b chia hết cho c thì a và b chia hết cho c”. Mệnh đề đảo là sai. Ví dụ 2 + 6 chia hết cho 4 nhưng cả 2 và 6 đều không chia hết cho 4. Mệnh đề “Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5” có mệnh đề đảo là “Nếu một số chia hết cho 5 thì số đó có tận cùng là 0”. Mệnh đề đảo là sai. Ví dụ 15 chia hết cho 5 nhưng không có tận cùng là 0. Mệnh đề “Nếu hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau” có mệnh đề đảo là “Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau thì hai tam giác bằng nhau”. Mệnh đề đảo là mệnh đề sai.  Chọn đáp án A Câu 65. Có bao nhiêu số nguyên dương n để mệnh đề chứa biến P (n) : “2n − 7 < 0” là một mệnh đề đúng? A. 3. B. 2. C. 4. D. 1. Lời giải. Ta có 2n − 7 < 0 ⇔ n < 7 ⇒ n ∈ {1; 2; 3}. 2 Vậy có 3 giá trị nguyên dương của n thỏa mãn đề bài. Chọn đáp án A 1 Câu 66. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ Z, x ≤ ” là x 1 1 1 A. “∀x ∈ Z, x ≥ ”. B. “∃x ∈ Z, x > ”. C. “∀x ∈ Z, x > ”. x x x Lời giải.  D. “∃x ∈ Z, x ≤ Phủ định của mệnh đề “∃x ∈ R ” là “∀x ∈ R ”. 1 1 Phủ định của “x ≤ ” là “x > ”. x x Chọn đáp án C 1 ”. x  Câu 67. Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ Q : 3×2 + 3 ≥ 0” là A. “∃x ∈ Q : 3×2 + 3 ≤ 0”. B. “∃x ∈ Q : 3×2 + 3 6= 0”. C. “∃x ∈ Q : 3×2 + 3 < 0”. D. “∀x ∈ Q : 3x2 + 3 ≤ 0”. Lời giải. Mệnh đề phủ định “∃x ∈ Q : 3x2 + 3 < 0”.  Chọn đáp án C Câu 68. Câu nào sau đây là mệnh đề? A. Thời gian làm bài kiểm tra học kì I môn Toán là 90 phút. B. Phải ghi mã đề vào giấy làm bài. C. Đề kiểm tra lần này dễ quá!. D. Có được sử dụng tài liệu khi kiểm tra không?. Lời giải. • Đề kiểm tra lần này dễ quá! Là câu cầu khiến nên không phải là mệnh đề. • Có được sử dụng tài liệu khi kiểm tra không? Câu hỏi nên không phải là mệnh đề.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 30/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ • Phải ghi mã đề vào giấy làm bài. Câu cảm thán nên không phải là mệnh đề.  Chọn đáp án A Câu 69. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Đồ thị của hàm số chẵn nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng. B. Đồ thị của hàm số lẻ nhận trục tung làm trục đối xứng. C. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. D. Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục hoành làm trục đối xứng. Lời giải. Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.  Chọn đáp án C Câu 70. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A. n2 là số nguyên tố. C. 5 + x = 2. B. Hôm nay là thứ mấy?. D. 7 là số vô tỉ. Lời giải. “7 là số vô tỉ”là khẳng định sai nên nó là mệnh đề. Chọn đáp án D  Câu 71. Xét ba mệnh đề: P : “∀x ∈ R, x2 > 0”; S : “∀x ∈ R, √ 3 x > 0” và T : “∃x ∈ R, |x| ≤ 0”. Hỏi trong ba mệnh đề đã cho có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 2. Lời giải. B. 3. • Với x = −1 ⇒ √ 3 C. 1. D. 0. −1 = −1 < 0. Vậy mệnh đề S sai. 2 • Với x = 0 ⇒ 0 = 0 > 0 sai. Vậy mệnh đề P không đúng với mọi x. • Với x = 0 mệnh đề T đúng. Vậy trong ba mệnh đề trên chỉ có một mệnh đề đúng.  Chọn đáp án C Câu 72. Trong các mệnh đề sau đây mênh đề nào đúng? A. ∀x ∈ R, |x| < 3 ⇔ x < 3. B. ∃x ∈ R, x2 + x + 1 = 0. C. ∃n ∈ N, n2 + 1 chia hết cho 5. D. ∀n ∈ N, n2 + 2 không chia hết cho 3. Lời giải. Mệnh đề “∀x ∈ R, |x| < 3 ⇔ x < 3” sai do ∀x ∈ R, |x| < 3 ⇔ −3 < x < 3. Mệnh đề “∃x ∈ R, x2 + x + 1 = 0” sai do x2 + x + 1 = 0 vô nghiệm. Mệnh đề “∃n ∈ N, n2 + 1 chia hết cho 5” đúng vì với n = 3 ⇒ n2 + 1 = 10 chia hết cho 5. Mệnh đề “∀n ∈ N, n2 + 2 không chia hết cho 3” sai vì n = 2 thì 22 + 2 chia hết cho 3.  Chọn đáp án C Câu 73. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A. a + b = c. B. x2 + x = 0. C. 15 là số nguyên tố. D. 2n + 1 chia hết cho 3. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 31/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ • Các câu “a + b = c”, “x2 + x = 0”, “2n + 1 chia hết cho 3” là các mệnh đề chứa biến, các câu này cần một giá trị cụ thể của các biến để xác định tính đúng sai và trở thành mệnh đề. • Câu “15 là số nguyên tố” là một mệnh đề, đây là mệnh đề sai.  Chọn đáp án C Câu 74. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề sai? A. Số π không phải là một số hữu tỉ. B. Tổng của hai cạnh một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba. C. Số 12 chia hết cho 3. D. Số 21 không phải là số lẻ. Lời giải. Rõ ràng số 21 là số lẻ.  Chọn đáp án D Câu 75. Mệnh đề phủ định của “∀x ∈ N : x2 − 2 6= 0” là A. ∀x ∈ N : x2 − 3 = 0. B. ∃x ∈ N : x2 − 3 = 0. C. ∃x ∈ N : x2 − 3 ≤ 0. Lời giải. D. ∃x ∈ N : x2 ≥ 3. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ N : x2 − 2 6= 0” là mệnh đề “∃x ∈ N : x2 − 2 = 0”.  Chọn đáp án B Câu 76. Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề P : “∀x ∈ R, x ≥ x2 ”? A. P : “∃x ∈ R, x ≤ x2 ”. B. P : “∀x ∈ R, x ≤ x2 ”. C. P : “∃x ∈ R, x 6= x2 ”. D. P : “∃x ∈ R, x < x2 ”. Lời giải. Phủ định của mệnh đề P : “∀x ∈ R, x ≥ x2 ” là P : “∃x ∈ R, x < x2 ”. Chọn đáp án D  Câu 77. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Một số thực có bình phương là số dương khi và chỉ khi số thực đó khác 0. B. Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi tứ giác đó có hai đường chéo vuông góc nhau. C. Một số tự nhiên chia hết cho 10 khi và chỉ khi số tự nhiên đó có chữ số tận cùng là 0. D. Một tam giác có ba góc bằng nhau khi và chỉ khi tam giác đó có ba cạnh bằng nhau. Lời giải. Một tứ giác là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc nhau. Chiều ngược lại không đúng.  Chọn đáp án B Câu 78. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. 1 < 0 ⇒ 3 > 2. C. ∃n ∈ N, 2n ≥ n + 2. B. ∀x ∈ R, (x + 1)2 ≥ x2 . D. ∃x ∈ Z, −x > x. Lời giải. Mệnh đề ∀x ∈ R, (x + 1)2 ≥ x2 sai, chẳng hạn khi x = −3.  Chọn đáp án B  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 32/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ Câu 79. Cho mệnh đề P : “∃x ∈ R, x2 + x + 1 là số nguyên tố”. Mệnh đề phủ định của P là mệnh đề nào sau đây? A. “∀x ∈ R, x2 + x + 1 là số nguyên tố”. B. “∃x ∈ R, x2 + x + 1 không là số nguyên tố”. C. “∀x ∈ R, x2 + x + 1 không là số nguyên tố”. Lời giải. D. “∃x ∈ R, x2 + x + 1 là số chẵn”. Phủ định của mệnh đề “∃x ∈ R, x2 + x + 1 là số nguyên tố” là mệnh đề “∀x ∈ R, x2 + x + 1 không là số nguyên tố”.  Chọn đáp án C Câu 80. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ R : 2×2 + 1 > 0” là A. “∀x ∈ R : 2×2 + 1 ≤ 0”. B. “∃x ∈ R : 2×2 + 1 ≤ 0”. C. “∀x ∈ R : 2×2 + 1 ≥ 0”. D. “∃x ∈ R : 2×2 + 1 < 0”. Lời giải. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ R : 2x2 + 1 > 0” là “∃x ∈ R : 2×2 + 1 ≤ 0”.  Chọn đáp án B Câu 81. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. ∃n ∈ N : n2 = n. B. ∀x ∈ R : x2 ≥ 0. C. ∀n ∈ Z thì n < 2n. D. ∃x ∈ R : x2 − 3x + 2 = 0. Lời giải. Mệnh đề “∀n ∈ Z thì n < 2n” sai vì tồn tại −2 ∈ Z mà −2 > 2 · (−2). Chọn đáp án C  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 33/2406  ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ ĐÁP ÁN 1. A 11. D 2. B 12. A 3. B 13. C 4. A 14. C 5. B 15. C 6. B 16. D 7. B 17. A 8. A 18. B 9. A 19. C 10. B 20. D 21. C 22. A 23. A 24. A 25. A 26. D 27. B 28. C 29. C 30. C 31. C 32. D 33. D 34. A 35. C 36. B 37. A 38. C 39. C 40. A 41. B 51. B 42. C 52. C 43. C 53. C 44. A 54. A 45. B 55. C 46. D 56. D 47. A 57. D 48. D 58. C 49. C 59. A 50. A 60. C 61. D 62. A 63. B 64. A 65. A 66. C 67. C 68. A 69. C 70. D 71. C 72. C 73. C 74. D 75. B 76. D 77. B 78. B 79. C 80. B 81. C  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 34/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP §2 TẬP HỢP A 1 TÓM TẮT LÍ THUYẾT TẬP HỢP VÀ PHẦN TỬ • Tập hợp (gọi tắt là tập) là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa. • Ta thường dừng các chữ cái in hoa để kí hiệu cho tập hợp. • Cho tập hợp A và phần tử x. Nếu x có mặt trong tập A ta nói x là một phần tử của tập A hay x thuộc A, kí hiệu x ∈ A hoặc A 3 x. Nếu x không có mặt trong tập A ta nói x không thuộc A, kí hiệu x ∈ / A hoặc A 63 x. 2 CÁCH XÁC ĐỊNH TẬP HỢP • Liệt kê các phần tử của tập hợp. • Chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp. 3 TẬP HỢP RỖNG Định nghĩa. Tập hợp rỗng, kí hiệu là ∅, là tập hợp không chứa phần tử nào. 4 TẬP CON. HAI TẬP HỢP BẰNG NHAU • Tập hợp A gọi là tập con của tập hợp B, kí hiệu A ⊂ B nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc B. Với kí hiệu đó, ta có A ⊂ B ⇔ (∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B) • Tập rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu là ∅. Qui ước : ∅ ⊂ A với mọi tập hợp A. • Hai tập hợp A và B gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B nếu mỗi phần tử của A là một phần tử của B và ngược lại. Với định nghĩa đó, ta có A = B ⇔ A ⊂ B và B ⊂ A 5  TÍNH CHẤT Tính chất 1. a) ∅ ⊂ A, với mọi A. b) A ⊂ A, với mọi A c) Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 35/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP B 2. TẬP HỢP CÁC DẠNG TOÁN | Dạng 1. Xác định tập hợp – phần tử của tập hợp • Liệt kê các phần tử của tập hợp (giải phương trình nếu cần). • Nêu đặc trưng của tập hợp. ccc BÀI TẬP DẠNG 1 ccc Ví dụ 1. Xác định tập hợp A gồm 10 số nguyên tố đầu tiên bằng phương pháp liệt kê Lời giải. A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29}  Ví dụ 2. a) Tập hợp A các số thực lớn hơn 1 và nhỏ hơn 3 là A = {x ∈ R | 1 < x < 3}. b) Tập hợp S gồm các nghiệm của phương trình x8 + 9 = 0 là S = {x ∈ R | x8 + 9 = 0}. Ví dụ 3. Liệt kê các phần tử của các tập hợp sau: a) A = {n ∈ N | n < 5}. b) B là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 0 và nhỏ hơn 5. c) C = {x ∈ R | (x − 1)(x + 2) = 0}. Lời giải. a) A = {0; 1; 2; 3; 4}. b) B = {1; 2; 3; 4}. " c) Ta có (x − 1)(x + 2) = 0 ⇔ x=1 x = −2. Mà x ∈ R nên C = {−2; 1}.  Ví dụ 4. Liệt kê các phần tử của các tập hợp sau: a) A = {x ∈ Z | (2x2 − 3x + 1)(x + 5) = 0}. b) B = {x ∈ Q | (x2 − 2)(x2 − 3x + 2) = 0}. Lời giải. a) Ta có:  x=1  1  (2x2 − 3x + 1)(x + 5) = 0 ⇔ x =  2 x = −5. Vì x ∈ Z nên A = {1; −5}.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 36/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP b) Ta có:  x= √ 2 √  x = − 2  (x2 − 2)(x2 − 3x + 2) = 0 ⇔  x = 1  x = 2. Vì x ∈ Q nên B = {1; 2}.  Ví dụ 5. Viết các tập hợp sau bằng phương pháp liệt kê: a) A = {x ∈ Q | (x2 − 2x + 1)(x2 − 5)} = 0. b) B = {x ∈ N | 5 < n2 < 40}. c) C = {x ∈ Z | x2 < 9}. d) D = {x ∈ R | |2x + 1| = 5}. Lời giải. a) A = {1}. b) B = {3; 4; 5; 6}. c) C = {−2; −1; 0; 1; 2}. " d) Ta có |2x + 1| = 5 ⇔ x=2 x = −3. Vậy C = {2; −3}.  Ví dụ 6. Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau: a) Tập hợp A các số chính phương không vượt quá 50. b) Tập hợp B = {n ∈ N | n(n + 1) ≤ 30}. Lời giải. A = {0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49} B = {1; 2; 3; 4; 5}  Ví dụ 7. Viết các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó. a) A = {0; 4; 8; 12; 16; . . . ; 52}. b) B = {3; 6; 9; 12; 15; . . . ; 51}. c) C = {2; 5; 8; 11; 14; . . . ; 62}. Lời giải. ß ™ .. a) A = x ∈ N | 0 ≤ x ≤ 16 và x . 4 . ß ™ .. b) B = x ∈ N | 3 ≤ x ≤ 51 và x . 3 .  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 37/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP ß ™ .. c) C = x ∈ N | 2 ≤ x ≤ 62 và (x − 2) . 3 .  Ví dụ 8. Viết các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó. a) A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17}. b) B = {−2; 4; −8; 16; −32; 64}. Lời giải.  a) A = x ∈ N | x ≤ 17 và x là số nguyên tố . b) B = {x = (−2)n | n ∈ N, 1 ≤ n ≤ 6}.  Ví dụ 9. Tìm một tính chất đặc trưng xác định các phần tử của mỗi tập hợp sau A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} B = {0; 7; 14; 21; 28} Lời giải. A = {x ∈ N∗ | x ≤ 9} . B = {x ∈ N | x .. 7 và x ≤ 28}  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. A là tập hợp các số nguyên tố nhỏ hơn 20. Liệt kê các phần tử của tập hợp A. Lời giải. A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}.  Bài 2. Cho tập hợp A = {0; 2; 4; 6; 8; 10} Hãy xác định tập hợp A bằng cách chỉ ra một tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó. Lời giải. A là tập hợp các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn hoặc bằng 10.  Bài 3. Cho A = x ∈ N | x là ước của 8 . Liệt kê các phần tử của tập hợp A. Lời giải.  A = {1; 2; 4; 8}.   Bài 4. Cho A = x ∈ Z | x là ước của 15 . Liệt kê các phần tử của tập hợp A. Lời giải. A = {−15; −5; −3; −1; 1; 3; 5; 15}.  Bài 5. Cho A = x ∈ N | x là ước chung của 30 và 20 . Lời giải.  A = {1; 2; 5; 10}.   Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 38/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP  Bài 6. Cho A = x ∈ N | x là bội chung của 15 và 20, x ≤ 60 . Lời giải. A = {0; 30; 60}.  Bài 7. Viết các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó. a) A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. b) B = {0; 2; 4; 5; 6; 8}. Lời giải. a) A = {x ß ∈ N | 1 ≤ x ≤ 6}. ™ . b) B = x ∈ N | x .. 2 và x ≤ 8 .  Bài 8. Tìm một tính chất đặc trưng xác định các phần tử của mỗi tập hợp sau a) A = {0; 2; 7; 14; 23; 34; 47} √ √ b) B = {−1 + 3; −1 − 3} Lời giải. A = {n2 − 2 | n ∈ N, 1 ≤ n ≤ 7} B = {x ∈ R | x2 + 2x − 2 = 0}  Bài 9. Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau a) A = {x ∈ Z | |x| < 8} 21 b) B = {x ∈ Z | 2 < |x| < } 4 Lời giải. A = {−7; −6; −5; −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} B = {−5; −4; −3; 3; 4; 5}  Bài 10. Cho tập hợp X = {n ∈ N | −5 < 5n + 2 < 303}. Tìm số phần tử của tập hợp X. Lời giải. −5 < 5n + 2 < 303 ⇔ −1 ≤ n ≤ 60. Vậy số phần tử của tập hợp X là 62.  Bài 11. Liệt kê các phần tử của tập hợp A = x ∈ Z (x2 − 4x)(x4 − 6x2 + 5) = 0 . Lời giải.  x=0 " 2  x = ±1 x − 4x = 0  2 4 2 Ta có (x − 4x)(x − 6x + 5) = 0 ⇔ ⇔ . 4 2 x = 4 x − 6x + 5 = 0  √ x=± 5 Từ đó ta có A = {0; −1; 1; 4} chứa 4 phần tử.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 39/2406   ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP | Dạng 2. Tập hợp rỗng ccc BÀI TẬP DẠNG 2 ccc Ví dụ 1. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng? A = {x ∈ R | x2 − x + 1 = 0} . B = {x ∈ R | 2x2 + 1 = 0} . C = {x ∈ Z | |x| < 1}. Lời giải. Các tập hợp rỗng là A, B.  Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của m để các tập hợp sau là tập hợp rỗng. a) A = {x ∈ R | x < m và x > 2m + 1}. b) B = {x ∈ R | x2 − 2x + m = 0} Lời giải. a) Để A là tập rỗng thì m ≥ 2m + 1 ⇔ m ≤ −1. b) Để B là tập rỗng thì phương trình x2 −2x+m = 0 phải vô nghiệm, tức là ∆0 = 1−m < 0 ⇔ m > 1.  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng? ¶ © √ A = x ∈ N | x2 − 2 = 0 . ß ™ 1 2 B= x∈Z|x − =0 . 4 2 C = {x ∈ Q | x ≤ 0}. Lời giải. Tập hợp A, B.  Bài 2. Cho tập hợp A = {x ∈ N | x = m} . Tìm m để A = ∅. Lời giải. Để A = ∅ thì m 6∈ N.  Bài 3. Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để các tập hợp sau là tập hợp rỗng. a) A = {x ∈ R | x < m + 3 và x > 4m + 3}. b) B = {x ∈ R | x2 − 2x + m + 9 = 0} Lời giải. a) Để A là tập rỗng thì m + 3 ≥ 4m + 3 ⇔ m ≤ 0. Vậy m thuộc tập hợp các số nguyên không dương. b) Để B là tập rỗng thì phương trình x2 − 2x + m = 0 phải vô nghiệm, tức là ∆0 = −8 − m < 0 ⇔ m > −8. Vậy m thuộc tập hợp các số nguyên lớn hơn −8.   Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 40/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1. Viết tập hợp sau dưới dạng liệt kê các phần tử. a) A = {x ∈ Z | (x2 − 3x + 2)(2×2 + 3x + 1) = 0}. b) B = {x ∈ N | |x| < 3}. Lời giải. a) A = {1; 2; −1}. b) B {0; 1; 2}.  Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của m để tập hợp A = {x ∈ N | x < m} là tập hợp rỗng. Lời giải. Để A = ∅ thì m ≤ 0.  Bài 3. Cho A = {x ∈ N | 1 < x − m < 3}. Tìm tất cả các giá trị của m để A = {1}. Lời giải. Để A = {1} thì 1 − m = 2 ⇔ m = −1.  Bài 4. Cho A = {x ∈ N | −4 < x < 3}. Liệt kê tất cả các phần tử của A. Lời giải. Ta có A = {0; 1; 2}.  Bài 5. Tìm tất cả các giá trị của m để A = {x ∈ N | 1 < x − m < 3} là tập hợp rỗng. Lời giải. Ta có A = (m + 1; m + 3) ∩ N. Do đó, A = ∅ ⇔ m + 3 ≤ 0 ⇔ m ≤ −3.  ™ ß a2 + b 2 + c 2 , với a, b, c là các số thực dương . Tìm số nhỏ nhất Bài 6. Cho tập hợp A = y ∈ R y = ab + bc + ca của tập hợp A. Lời giải. Ta có a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ⇔ là 1. a2 + b2 + c2 ≥ 1. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Vậy số nhỏ nhất ab + bc + ca  | Dạng 3. Tập con. Tập bằng nhau • Tập hợp A là tập con của tập hợp B nếu mọi phần tử của A đều có trong B. A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ A ⇒ x ∈ B). • ∅ ⊂ A, với mọi tập hợp A. • A ⊂ A, với mọi tập hợp A. n • Có tập A gồm ( có n phần tử (n ∈ N). Khi đó, tập A có 2 tập con. A⊂B • A=B⇔ . B⊂A ccc BÀI TẬP DẠNG 3 ccc Ví dụ 1. Tìm tất cả các tập con của tập A = {a, 1, 2}.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 41/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Lời giải. Tập A có 23 = 8 tập con. • 0 phần tử: ∅. • 1 phần tử: {a}, {1}, {2}. • 2 phần tử: {a, 1}, {a, 2}, {1, 2}. • 3 phần tử: {a, 1, 2}.  Ví dụ 2. Tìm tất cả các tập con có 2 phần tử của tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Lời giải. {1, 2},{1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {2, 6}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}.  Ví dụ 3. Xác định tập hợp X biết {1, 2} ⊂ X ⊂ {1, 2, 5}. Lời giải. Ta có • Vì {1, 2} ⊂ X nên tập hợp X có chứa các phần tử 1, 2. • Vì X ⊂ {1, 2, 5} nên các phần tử của tập hợp X có thể là 1, 2, 5. Khi đó tập hợp X có thể là {1, 2}, {1, 2, 5}.  Ví dụ 4. Xác định tập hợp X biết {a, 1} ⊂ X ⊂ {a, b, 1, 2}. Lời giải. Ta có • Vì {a, 1} ⊂ X nên tập hợp X có chứa 2 phần tử là a, 1. • Vì X ⊂ {a, b, 1, 2} nên các phần tử của tập hợp X có thể là a, b, 1, 2. Suy ra, tập hợp X có 2 phần tử, 3 phần tử hoặc 4 phần tử. Khi đó, tập hợp X có thể là {a, 1}, {a, 1, 2}, {a, b, 1}, {a, b, 2}, {a, b, 1, 2}.  Ví dụ 5. Cho ba tập hợp A = {2; 5}, B = {x; 5} và C = {x; y; 5}. Tìm các giá trị của x, y sao cho A = B = C. Lời giải. A = B ⇔ x = 2. Khi x = 2, ta có C = {2; y; 5}. Khi đó, ta có {2; y; 5} ⊂ {2; 5} và {2; y; 5} ⊃ {2; 5}. Từ đây, suy ra y = 2 hoặc y = 5. Vậy (x; y) = (2; 2) hoặc (x; y) = (2; 5) thỏa yêu cầu bài toán.  Ví dụ 6. Cho hai tập hợp A = {x ∈ Z | x chia hết cho 3 và 2} và B = {x ∈ Z | x chia hết cho 6}. Chứng minh rằng A = B. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 42/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Trước hết, ta cần chứng minh A ⊂ B. Thật vậy, với x ∈ A bất kì, ta luôn có x chia hết cho 2 và x chia hết cho 3. Vì 2, 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên x chia hết cho 6. Suy ra, x ∈ B. Mặt khác, vì 6 = 2.3 nên với phần tử x ∈ B bất kì, ta luôn có x chia hết cho 2 và 3. Suy ra, x ∈ A. Do đó, B ⊂ A.  Ví dụ 7. Cho biết x là một phần tử của tập hợp A, xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau: a) x ∈ A. b) {x} ∈ A. c) x ⊂ A. d) {x} ⊂ A. Lời giải. a) x ∈ A: đúng. b) {x} ∈ A: sai về quan hệ giữa hai tập hợp. c) x ⊂ A: sai về quan hệ giữa phần tử và tập hợp. d) {x} ⊂ A: đúng.  Ví dụ 8. Xác định tất cả các tập hợp con của mỗi tập hợp a) A = {x; y}. b) B = {1; 2; 3} Lời giải. a) Các tập hợp con của tập hợp A = {x; y} là: ∅; {x}; {y}; {x; y}. b) Các tập hợp con của tập hợp B = {1; 2; 3} là: ∅; {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3} và {1; 2; 3}.  Ví dụ 9. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Tìm tất cả các tập con có 3 phần tử của tập hợp A sao cho tổng các phần tử này là một số lẻ. Lời giải. Để tổng của ba số nguyên là một số lẻ thì trong ba số chỉ có một số lẻ hoặc cả ba số đều lẻ. Nói cách khác tập con này của A phải có một số lẻ hoặc ba số lẻ. Chỉ có một tập con gồm ba số lẻ của A là {1; 3; 5}. Các tập con gồm ba số của A trong đó có một số lẻ là: {1; 2; 4}; {1; 2; 6}; {1; 4; 6};{3; 2; 4}; {3; 2; 6}; {3; 4; 6}; {5; 2; 4}; {5; 2; 6}; {5; 4; 6}.  Ví dụ 10. Trong hai tập hợp A và B dưới đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại? Hai tập hợp A và B có bằng nhau không? a) A là tập hợp các hình chữ nhật B là tập hợp các hình bình hành. b) A = {n ∈ N | n là một ước chung của 12 và 18} B = {n ∈ N | n là một ước của 6} Lời giải. a) Tất cả các hình chữ nhật đều là hình bình hành nên A ⊂ B.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 43/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP b) A = {1; 2; 3; 6}. B = {1; 2; 3; 6} Rõ ràng ta thấy A ⊂ B và B ⊂ A nên A = B.  Ví dụ 11. Cho A = {n ∈ N | n là ước của 2}; B = {x ∈ R | (x2 − 1)(x − 2)(x − 4) = 0}. Tìm tất cả các tập hợp X sao cho A ⊂ X ⊂ B. Lời giải. Liệt kê các phần tử của tập hợp A và B ta được : A = {1; 2}; B = {−1; 1; 2; 4}. Muốn tìm tập X thỏa điều kiện A ⊂ X ⊂ B đầu tiên ta lấy X = A, sau đó ghép thêm các phần tử thuộc B mà không thuộc A. Với cách thực hiện như trên, ta có các tập hợp X thỏa mãn yêu cầu bài toán là: X = A = {1; 2}, rồi ghép thêm vào một phần tử ta được: {−1; 1; 2};{4; 1; 2} Ghép thêm vào A hai trong bốn phần tử còn lại của B ta được : X = B = {−1; 1; 2; 4}  Ví dụ 12. Cho A = {8k + 3 | k ∈ Z}; B = {2k + 1 | k ∈ Z}. Chứng minh rằng A ⊂ B. Lời giải. Ta cần chứng minh mọi phần tử của A đều thuộc B. Giả sử x ∈ A, x = 8k + 3. Khi đó ta có thể viết x = 8k + 2 + 1 = 2(4k + 1) + 1. Đặt l = 4k + 1, x được viết thành x = 2l + 1. Vậy x ∈ B.  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm tất cả các tập con của mỗi tập hợp sau: a) A = {1; 2}. b) B = {a; b; c}. Lời giải. a) Các tập hợp con của tập hợp A = {1; 2} là: ∅; {1}; {2}; {1; 2}. b) Các tập hợp con của tập hợp B = {a; b; c} là: ∅; {a}; {b}; {c}; {a; b}; {a; c}; {b; c}; và {a; b; c}.  Bài 2. Cho các tập hợp A = {2; 3; 5}; B = {−4; 0; 2; 3; 5; 6; 8}; C = {x ∈ R | x2 − 7x + 10 = 0}. Hãy xác định xem tập nào là tập con của tập còn lại. Lời giải. " Ta có x2 − 7x + 10 = 0 ⇔ x=2 ⇒ C = {2; 5}. Vậy C ⊂ A ⊂ B.  x=5 Bài 3. Cho hai tập hợp A = {x ∈ R | (x − 1)(x − 2)(x − 4) = 0};  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 44/2406 B = {n ∈ N | n là một ước của 4}. ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Hai tập hợp A và B, tập hợp nào là tập con của tập còn lại? Hai tập hợp A và B có bằng nhau không? Lời giải. Ta có A = {1; 2; 4}; B = {1; 2; 4}. Ta thấy A ⊂ B; B ⊂ A, nên A = B  Bài 4. Cho các tập hợp:  A = x ∈ R | x2 + x − 6 = 0 hoặc 3x2 − 10x + 8 = 0  B = x ∈ R | x2 − x − 2 = 0 và 2x2 − 7x + 6 = 0 . a) Viết tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử của nó. b) Tìm tất cả các tập X sao cho B ⊂ X và X ⊂ A. Lời giải. Ta giải các phương trình: " x2 + x − 6 = 0 ⇔ x=2 x = −3  x=2 3x2 − 10x + 8 = 0 ⇔  4 x= 3 " x = −1 x2 − x − 2 = 0 ⇔ x=2  x=2 2  2x − 7x + 6 = 0 ⇔ 3. x= 2 ß ™ 4 a) A = 2; −3; ; B = {2}. 3 ß ™ ß ™ 4 4 b) X là những tập hợp sau: {2} ; {2; −3} ; 2; ; 2; −3; . 3 3  Bài 5. Tìm tập hợp a) có đúng một tập con. b) có đúng hai tập con. Lời giải. a) Tâp hợp có đúng một tập con là ∅. b) Tập A = {a}. A có đúng hai tập con là A và ∅.  Bài 6. Cho hai tập hợp   A = x ∈ Z | x là bội của 3 và 4 , B = x ∈ Z | x là bội của 12 . Chứng minh rằng A = B. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 45/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Giả sử x ∈ B, khi đó x chia hết cho 12, suy ra x chia hết cho 3 và x chia hết cho 4, suy ra x ∈ A, do đó B ⊂ A. Giả sử x ∈ A, khi đó x chia hết cho 3 và x chia hết cho 4, mà 3 và 4 nguyên tố cùng nhau nên suy ra x chia hết cho 3.4, hay x chia hết cho 12, suy ra x ∈ B, do đó A ⊂ B. Vậy A = B.  Bài 7. Gọi A là tập hợp các tam giác đều, B là tập hợp các tam giác có góc 60◦ , C là tập hợp các tam giác cân, D là tập hợp các tam giác vuông có góc 30◦ . Hãy nêu mối quan hệ giữa các tập hợp trên. Lời giải. Vì tam giác đều là tam giác có ba góc bằng 60◦ nên A ⊂ B. Tam giác đều cũng là tam giác cân nên A ⊂ C. Tam giác vuông có góc 30◦ thì góc còn lại là 600 nên D ⊂ B.  Bài 8. Cho A = {3k + 2 | k ∈ Z}; B = {6k + 2 | k ∈ Z} a) Chứng minh rằng 2 ∈ A, 7 ∈ / B. Số 18 có thuộc tập A không? b) Chứng minh rằng B ⊂ A. Lời giải. a) Ta có 2 = 2 + 3.0 ⇒ 2 ∈ A. Ta thấy x ∈ B thì x có dạng x = 6k + 2 chia hết cho 2 nên −7 ∈ / B. 16 Giả sử số 18 ∈ A ⇒ 18 = 3k + 2 ⇒ k = (vô lý) vì k ∈ Z. Vậy 18 ∈ / A. 3 b) Xét x ∈ B. Ta có x = 2 + 6k với k ∈ Z. Suy ra x = 2 + 3(2k). Do 2k ∈ Z nên x ∈ A. Vậy B ⊂ A.  Bài 9. Tìm tất cả các tập con của tập hợp B = {a, b, 2, 5}. Lời giải. Vì tập hợp B có 4 phần tử nên tập B có 24 = 16 tập con. • 0 phần tử: ∅. • 1 phần tử: {a}, {b}, {2}, {5}. • 2 phần tử: {a, b}, {a, 2}, {a, 5}, {b, 2}, {b, 5}, {2; 5}. • 3 phần tử: {a, b, 2}, {a, b, 5}, {a, 5, 2}, {5, b, 2}. • 4 phần tử : {a, b, 2, 5}  Bài 10. Tìm tất cả các tập con có 3 phần tử của tập hợp D = {2, 3, 4, 6, 7}. Lời giải. {2, 3, 4}, {2, 3, 6}, {2, 3, 7},{2, 4, 6}, {2, 4, 7}, {2, 6, 7}, {3, 4, 6}, {3, 4, 7},{3, 6, 7}, {4, 6, 7}.  Bài 11. Xác định tập hợp X biết {a} ⊂ X ⊂ {a, 3, 4}. Lời giải. Tập hợp X có thể là {a}, {a, 3}, {a, 4}, {a, 3, 4}.  Bài 12. Xác định tập hợp X biết {a, 9} ⊂ X ⊂ {a, b, 7, 8, 9} và tập hợp X có 3 phần tử. Lời giải. Tập hợp X có thể là {a, 9, b}, {a, 7, 9, }, {a, 8, 9}.  Bài 13. Cho hai tập hợp A = {x ∈ Z | x chia hết cho 2 và 5} và B = {x ∈ Z | x có chữ số tận cùng bằng 0}. Chứng minh rằng A = B.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 46/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Lời giải. Trước hết, ta cần chứng minh A ⊂ B. Thật vậy, với x ∈ A bất kì, ta luôn có x chia hết cho 2 và x chia hết cho 5. Vì 2, 5 là hai số nguyên tố cùng nhau nên x chia hết cho 10. Suy ra, x ∈ B. Mặt khác, với phần tử x ∈ B bất kì, vì x có chữ số tận cùng là 0 nên x chia hết cho 2 và 5. Suy ra, x ∈ A. Do đó, B ⊂ A.  Bài 14. Tìm giá trị các tham số m và n sao cho {x ∈ R | x3 − mx2 + nx − 1 = 0} = {1; 2}. Lời giải. Đặt A = {x ∈ R | x3 − mx2 + nx − 1 = 0} và B = {1; 2}. Vì 1 ∈ A nên −m + n = 0. Vì 2 ∈ A nên −4m + 2n = −7. 7 Từ đây, ta có hệ phương trình m = n = . 2 7 7 7 Ngược lại, với m = n = , ta có A = {x ∈ R | x3 − x2 + x − 1 = 0} = {1; 2} = B.  2 2 2 Bài 15. Cho A là tập hợp tất cả các tứ giác lồi, B là tập hợp tất cả các hình thang, C là tập hợp tất cả các hình bình hành, D là tập hợp tất cả các hình chữ nhật. Xác định mối quan hệ giữa các tập hợp đã cho. Lời giải. D ⊂ C ⊂ B ⊂ A.  BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1. Cho các tập hợp A = {1; 2}; B = {x ∈ R | x2 − 3x + 2 = 0}; C = {x ∈ N | x < 3}. Hãy xác định mối quan hệ giữa các tập hợp trên. Lời giải. Ta có B = {1; 2}; C = {0; 1; 2} Vậy A ⊂ C; B ⊂ C; A = B.  Bài 2. Cho A là tập hợp các số nguyên chia cho 3 dư 2, B là tập hợp các số nguyên chia cho 6 dư 2 hoặc dư 5. Chứng minh rằng A = B. Lời giải. Ta chứng minh mọi phần tử của A đều là phần tử của B và ngược lại. Trước hết ta thấy rằng một số chia hết cho 3 thì chia cho 6 dư 0 hoặc dư 3 nên một số chia cho 3 dư 2 thì chia cho 6 dư 2 hoặc dư 5. Tức là nếu x ∈ A, x = 3k + 2 thì x có thể viết thành x = 6l + 2 hoặc x = 6l + 5 hay x ∈ B. Ngược lại, x ∈ B xét hai trường hợp: • Nếu x = 6k + 2 = 3(2k) + 2. Đặt l = 2k ⇒ x = 3l + 2 ⇒ x ∈ A • Nếu x = 6k + 5 = 3(2k + 1) + 2. Đặt l = 2k + 1 ⇒ x = 3l + 2 ⇒ x ∈ A Vậy A ⊂ B và B ⊂ A nên A = B (điều phải chứng minh).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 47/2406  ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP C 2. TẬP HỢP CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “7 là số tự nhiên”? A. 7 ⊂ N. B. 7 ∈ N. C. 7 < N. D. 7 ≤ N. Lời giải.  Chọn đáp án B √ Câu 2. Kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “ 2 không phải là số hữu tỉ ”? √ √ √ √ B. 2 6⊂ Q. C. 2 ∈ / Q. D. 2 ∈ Q. A. 2 6= Q. Lời giải.  Chọn đáp án C Câu 3. Cho A là một tập hợp. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. A ∈ A. B. ∅ ∈ A. C. A ⊂ A. D. A ∈ {A}. Lời giải.  Chọn đáp án C Câu 4. Cho x là một phần tử của tập hợp A. Xét các mệnh đề sau: (I) x ∈ A (II) {x} ∈ A (III) x ⊂ A (IV) {x} ⊂ A Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng? A. I và II. B. I và III. C. I và IV. D. II và IV. Lời giải.  Chọn đáp án C Câu 5. Mệnh đề nào sau đây tương đương với mệnh đề A 6= ∅? A. ∀x, x ∈ A. B. ∃x, x ∈ A. C. ∃x, x ∈ / A. D. ∀x, x ⊂ A. Lời giải. Chọn đáp án B  Câu 6. Hãy liệt kê các phần tử của tập X = {x ∈ R |2x2 − 5xß+™3 = 0} 3 A. X = {0}. B. X = {1}. C. X = . 2 Lời giải.  ß ™ x=1∈R 3 2  Ta có 2x − 5x + 3 = 0 ⇔ nên X = 1; . 3 2 x= ∈R 2 Chọn đáp án D ß ™ 3 D. X = 1; . 2  Câu 7. Cho tập X = {x ∈ N |(x2 − 4)(x − 1)(2x2 − 7x + 3) = 0}. Tính tổng S các phần tử của tập X. A. S = 4. 9 B. S = . 2 C. S = 5. D. S = 6. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 48/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP  x = −2 ∈ /N   2 x = 2 ∈ N x −4=0    x = 1 ∈ N Ta có (x2 − 4)(x − 1)(2x2 − 7x + 3) = 0 ⇔  ⇔ .  x − 1 = 0   1  x = ∈ 2x2 − 7x + 3 = 0 /N  2 x=3∈N Suy ra S = 2 + 1 + 3 = 6.  Chọn đáp án D n o î ó √ √ Câu 8. Ch tập X = x ∈ Z (x2 − 9) · x2 − (1 + 2)x + 2 = 0 . Hỏi tập X có bao nhiêu phần tử? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải.  x=3∈Z " 2  x = −3 ∈ Z î √ ó √ x −9=0  ⇔ Ta có (x2 − 9). x2 − (1 + 2)x + 2 = 0 ⇔ √ √ 2 x = 1 ∈ Z x − (1 + 2)x + 2  √ x= 2∈ / Z. Suy ra tập X có ba phần tử là −3; 1; 3.  Chọn đáp án C Câu 9. Hãy liệt kê các phần tử của tập X = {x ∈ Q |(x2 − x − 6)(x2 − 5) = 0 }. ¶√ © ¶ √ √ © A. X = 5; 3 . B. X = − 5; −2; 5; 3 . ¶ √ √ © C. X = {−2; 3}. D. X = − 5; 5 . Lời giải.  x=3∈Q " 2  x = −2 ∈ Q x −x−6=0  . Ta có (x2 − x − 6)(x2 − 5) = 0 ⇔ ⇔ √ 2 x = 5 ∈ x −5=0 / Q  √ x=− 5∈ /Q Do đó X = {−2; 3}. Chọn đáp án C  Câu 10. Hãy liệt kê các phần tử của tập X = {x ∈ R |x2 + x + 1 = 0} A. X = 0. B. X = {0}. C. X = ∅. D. X = {∅}. Lời giải. Vì phương trình x2 + x + 1 = 0 vô nghiệm nên X = ∅  Chọn đáp án C Câu 11. Cho tập hợp A = {x ∈ N|x là ước chung của 36 và 120}. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A. A. A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}. B. A = {1; 2; 4; 6; 8; 12}. C. A = {2; 4; 6; 8; 10; 12}. D. A = {1; 36; 120}. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 49/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP Ta có  36 = 22 · 32 120 = 23 · 3 · 5 2. TẬP HỢP . Do đó A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.  Chọn đáp án A Câu 12. Hỏi tập hợp A = {k 2 + 1 |k ∈ Z, |k| ≤ 2 } có bao nhiêu phần tử? A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. Lời giải. Vì k ∈ Z và |k| ≤ 2 nên k ∈ {−2; −1; 0; 1; 2} do đó (k 2 + 1) ∈ {1; 2; 5}. Vậy A có 3 phần tử  Chọn đáp án D Câu 13. Tập hợp nào sau đây là tập rỗng? A. A = {∅}. B. B = {x ∈ N |(3x − 2)(3x2 + 4x + 1) = 0}. C. C = {x ∈ Z |(3x − 2)(3x2 + 4x + 1) = 0}. D. D = {x ∈ Q |(3x − 2)(3x2 + 4x + 1) = 0}. Lời giải. Ta có A = {∅}. Tập hợp này có 1 phần tử ∅ do đó không phải là tập rỗng.  2 x=  3  2 Ta có (3x − 2)(3x + 4x + 1) = 0 ⇔  x = −1 .  1 x=− 3   2  C = x ∈ Z (3x − 2)(3x + 4x + 1) = 0 = {−1}    ß ™   2 1 2 Do đó D = x ∈ Q (3x − 2)(3x + 4x + 1) = 0 = ; −1; −  3 3    B = x ∈ N (3x − 2)(3x2 + 4x + 1) = 0 = ∅.  Chọn đáp án B Câu 14. Cho tập M = {(x; y)|x, y ∈ N và x + y = 1}. Hỏi tập M có bao nhiêu phần tử? A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Lời giải. Ta có x, y ∈ N và x + y = 1 nên ( 0≤x≤1 " ⇒ x = 0, y = 1 0≤y≤1 x = 1, y = 0. Do đó ta suy ra M = {(0; 1), (1; 0)} nên M có 2 phần tử.  Chọn đáp án C Câu 15. Cho tập M = {(x; y)|x, y ∈ R và x2 + y 2 ≤ 0}. Hỏi tập M có bao nhiêu phần tử? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải. ( 2 x ≥ 0, ∀x ∈ R Ta có ⇒ x2 + y 2 ≥ 0 2 y ≥ 0, ∀x ∈ R 2 Mà x + y 2 ≤ 0 nên chỉ xảy ra khi x2 + y 2 = 0 ⇔ x = y = 0 Do đó ta suy ra M = {0; 0} nên M có 1 phần tử.  Chọn đáp án B Câu 16. Hình nào sau đây minh họa tập A là con của tập B?  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 50/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP A B B A A. B. A B B C. A D. Lời giải.  Chọn đáp án D Câu 17. Cho tập X = {2; 3; 4} Hỏi tập X có bao nhiêu tập hợp con? A. 3. B. 6. C. 8. D. 9. Lời giải. Các tập hợp con của X là: ∅; {2} ; {3} ; {4} ; {2; 3} ; {3; 4} ; {2; 4} ; {2; 3; 4}. Cách trắc nghiệm: Tập X có 3 phần tử nên có số tập con là 23 = 8.  Chọn đáp án C Câu 18. Cho tập X = {1; 2; 3; 4} Khẳng định nào sau đây đúng? A. Số tập con của X là 16. C. Số tập con của X chứa số 1 là 6. B. Số tập con của X có hai phần tử là 8. D. Số tập con của X chứa 4 phần tử là 0. Lời giải. Số tập con của X là 24 = 16.  Chọn đáp án A Câu 19. Tập A = {0; 2; 4; 6} có bao nhiêu tập hợp con có đúng hai phần tử? A. 4. B. 6. C. 7. D. 8. Lời giải. Các tập con có hai phần tử của tập A là: A1 = {0; 2}; A2 = {0; 4}; A3 = {0; 6}; A4 = {2; 4}; A3 = {2; 6}; A6 = {4; 6}.  Chọn đáp án B Câu 20. Tập A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} có bao nhiêu tập hợp con có đúng hai phần tử? A. 30. B. 15. C. 10. D. 3. Lời giải. Các tập con có hai phần tử của tập A là A1 = {1; 2} ; A2 = {1; 3} ; A3 = {1; 4} ; A4 = {1; 5} ; A5 = {1; 6} ; A6 = {2; 3} ; A7 = {2; 4} ; A8 = {2; 5} ; A9 = {2; 6} ; A10 = {3; 4} ; A11 = {3; 5} ; A12 = {3; 6} ; A13 = {4, 5} ; A14 = {4; 6} ; A15 = {5; 6} . Chọn đáp án B  Câu 21. Cho tập X = {α; π; ξ; ψ; ρ; η; γ; σ; ω; τ }. Số các tập con có ba phần tử trong đó có chứa α, π của X là  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 51/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP A. 8. 2. TẬP HỢP B. 10. C. 12. D. 14. Lời giải. Tập X có 10 phần từ. Gọi Y = {α; π; x} là tập con của X trong đó x ∈ X. Có 8 cách chọn x từ các phần tử còn lại trong C. Do đó, có 8 tập con thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn đáp án A  Câu 22. Cho hai tập hợp X = {n ∈ N|n là bội của 4 và 6}, Y = {n ∈ N|n là bội của 12}. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Y ⊂ X. B. X ⊂ Y . C. ∃n : n ∈ X và n ∈ / Y. D. X = Y . Lời giải.  Chọn đáp án C Câu 23. Trong các tập hợp sau, tập nào có đúng một tập hợp con? A. ∅. B. {1}. C. {∅}. D. {∅; 1}. Lời giải. Tập ∅ có một tập con là ∅  Chọn đáp án A Câu 24. Trong các tập hợp sau, tập nào có đúng hai tập hợp con? A. ∅. B. {1}. C. {∅}. D. {∅; 1}. Lời giải. Tập {1} có đúng hai tập con là ∅ và {1} Chọn đáp án B  Câu 25. Trong các tập hợp sau, tập nào có đúng hai tập hợp con? A. {x; y}. Lời giải. B. {x}. C. {∅; x}. D. {∅; x; y}. Tập {x} có hai tập con là ∅ và {x}  Chọn đáp án B Câu 26. Cho hai tập hợp A = {1; 2; 3} và B = {1; 2; 3; 4; 5} Có tất cả bao nhiêu tập X thỏa A ⊂ X ⊂ B? A. 4. B. 5. C. 6. D. 8. Lời giải. Ta có A ⊂ X nên X có ít nhất 3 phần tử {1; 2; 3} Ta có X ⊂ B nên X phải X có nhiều nhất 5 phần tử và các phần tử thuộc X cũng thuộc B Do đó các tập X thỏa mãn là {1; 2; 3} , {1; 2; 3; 4} , {1; 2; 3; 5} , {1; 2; 3; 4; 5} ⇒ có 4 tập thỏa mãn.  Chọn đáp án A Câu 27. Cho hai tập hợp A = {1; 2; 5; 7} và B = {1; 2; 3} Có tất cả bao nhiêu tập X thỏa X ⊂ A và X ⊂ B? A. 1. Lời giải. B. 2. C. 3. D. 4. Các tập X thỏa mãn là {∅} , {1} , {2} , {1; 2} ⇒ có 4 tập X thỏa mãn.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 52/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP  Chọn đáp án D Câu 28. Cho các tập hợp sau M = {x ∈ N|x là bội số của 2}, P = {x ∈ N|x là ước số của 2}, N = {x ∈ N|x là bội số của 6}, Q = {x ∈ N|x là ước số của 6}. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M ⊂ N . B. N ⊂ M . D. Q ⊂ P . C. P = Q. Lời giải. Ta có M = {0; 2; 4; 6; ...} , N = {0; 6; 12; ...} , P = {1; 2} , Q = {1; 2; 3; 6}. Suy ra N ⊂ M và P ⊂ Q  Chọn đáp án B Câu 29. Cho ba tập hợp E, F và G Biết E ⊂ F, F ⊂ G và G ⊂ E. Khẳng định nào sau đây đúng. A. E 6= F . Lời giải. B. F 6= G. C. E 6= G. D. E = F = G. Lấy x bất kì thuộc F, vì F ⊂ G nên x ∈ G mà G ⊂ E nên x ∈ E do đó F ⊂ E. Lại do E ⊂ F nên E = F . Lấy x bất kì thuộc G, vì G ⊂ E nên x ∈ E mà E ⊂ F nên x ∈ F . Do đó G ⊂ F . Lại do F ⊂ G nên F = G. Vậy E = F = G Chọn đáp án D  Câu 30. Tìm x, y để ba tập hợp A = {2; 5} , B = {5; x} và C = {x; y; 5} bằng nhau. A. x = y = 2. C. x = 2, y = 5. B. x = y = 2 hoặc x = 2, y = 5. D. x = 5, y = 2 hoặc x = y = 5. Lời giải. Vì A = B nên x = 2 Lại do B = C nên y = x = 2 hoặc y = 5. Vậy x = y = 2 hoặc x = 2, y = 5.  Chọn đáp án B Câu 31. Cho tập A = {0; 2; 4; 6; 8} ; B = {3; 4; 5; 6; 7}. Tập AB là A. {0; 6; 8}. B. {0; 2; 8}. C. {3; 6; 7}. D. {0; 2}. Lời giải. Ta có AB = {0; 2; 8}  Chọn đáp án B Câu 32. Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào là tập hợp rỗng? A. {x ∈ R| − x2 + 5x − 2 = 0}. B. {x ∈ Z||x| < 1}. C. {x ∈ (0; +∞)|x2 − 4x = 0}. D. {x ∈ (−∞; −1)|x2 − 2x − 3 = 0}. Lời giải. " Xét tập hợp {x ∈ (−∞; −1)|x2 − 2x − 3 = 0}, ta có x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 x = 3. Mà x ∈ (−∞; −1) nên loại cả hai giá trị. Vậy nên {x ∈ (−∞; −1)|x − 2x − 3 = 0} = ∅. 2  Chọn đáp án D Câu 33. Cho tập hợp B = {n ∈ N∗ | 3 < n2 < 100}. Số phần tử của B là A. 6. B. 7. C. 8. D. 5. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 53/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP ( n ∈ N∗ ⇔ n ∈ {2; 3; . . . ; 9}. 3 < n2 < 100 Vậy số phần tử của B là 8. Ta có  Chọn đáp án C Câu 34. Cho tập hợp A = {a, b, c, d}. Số tập con của A có hai phần tử là A. 6. B. 7. C. 8. D. 5. Lời giải. Các tập con có hai phần tử của A là {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}.  Chọn đáp án A Câu 35. Cho tập hợp A = {3k|k ∈ Z, −2 < k ≤ 3}. Khi đó tập A được viết dưới dạng liệt kê các phần tử là A. {−1; 0; 1; 2; 3}. C. {−3; 0; 3; 6; 9}. Lời giải. B. {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3}. D. {−6; −3; 0; 3; 6; 9}. Ta có A = {−3; 0; 3; 6; 9}.  Chọn đáp án C Câu 36. Cho tập A có 3 phần tử. Số tập con của tập A bằng A. 6. B. 3. C. 8. D. 4. Lời giải. Gọi A = {a; b; c}. Khi đó các tập con của A là ∅, A, {a}, {b}, {c}, {a; b}, {a; c}, {b; c}. Vậy số tập con của A bằng 8.  Chọn đáp án C Câu 37. Cho tập hợp M = {1; 2; 3; 4; 5}. Số các tập con của M luôn chứa cả ba phần tử 1, 3, 5 là A. 4. B. 8. C. 2. D. 3. Lời giải. Các tập con của M luôn chứa cả ba phần tử 1, 3, 5 là {1; 3; 5}, {1; 3; 5; 2}, {1; 3; 5; 4}, {1; 3; 5; 2; 4}.  Chọn đáp án A #» #» #» #» #» #» #» Câu 38. Trên mặt phẳng tọa độ (O; i , j ), cho các véc-tơ #» a = i + 4 j và b = −2 j + 3 i . Tọa độ #» véc-tơ #» a + b là #» #» #» #» A. #» a + b = (−3; −1). B. #» a + b = (4; 2). C. #» a + b = (−1; 7). D. #» a + b = (3; 1). Lời giải. #» #» #» #» #» #» #» #» a + b = i +4j −2j +3 i = 4 i +2j .  Chọn đáp án B Câu 39. Hãy liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp X = {x ∈ N|x2 + 2x − 3 = 0}. A. X = {1; −3}. B. X = R. C. X = {0}. D. X = {1}. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 54/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP " Giải phương trình x2 + 2x − 3 = 0 ⇔ x=1∈N x = −3 ∈ / N. Vậy X = {1}.  Chọn đáp án D Câu 40. Cho tập A = {a; b; 5}. Số tập con của tập A là A. 5. B. 8. C. 7. D. 4. Lời giải. Tập con của A là ∅, {a}, {b}, {5}, {a; b}, {a; 5}, {b; 5}, {a; b; 5}. Vậy số tập con của A là 8.  Chọn đáp án B Câu 41. Cho hai số thực a và b thỏa mãn a < b, cách viết nào sau đây là đúng? A. {a} ∈ [a; b]. B. a ∈ (a; b]. C. a ⊂ [a; b]. D. {a} ⊂ [a; b]. Lời giải. Tập {a} là tập hợp chứa phần tử a nên nó con của tập [a; b]  Chọn đáp án D Câu 42. Cho các tập hợp sau M = {1; 2; 3}, N = {x ∈ N/x < 4}, P = (0; +∞), Q = {x ∈ R/x2 − 7x + 3 = 0}. Khẳng định nào sau đây đúng nhất? A. M ⊂ N ; M ⊂ P ; Q ⊂ P . B. N ⊂ P ; Q ⊂ P . C. M ⊂ N . D. M ⊂ N ; M ⊂ P . Lời giải. ® Tập N và Q được viết dưới dạng liệt kê là N = {0; 1; 2; 3}, Q = 7+ √ 37 7 − ; √ 37 ´ . 2 2 Dễ thấy các phần tử của tập M đều nằm trong tập N và tập P ; Tập Q có hai số thực dương đều thuộc P . Suy ra M ⊂ N ; M ⊂ P ; Q ⊂ P .  Chọn đáp án A Câu 43. Liệt kê tất cả các phần tử của tập M = {x ∈ N∗ |x < 4}. A. M = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. C. M = {1; 2; 3; 4}. Lời giải. B. M = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. D. M = {1; 2; 3}. Ta có M = {x ∈ N∗ |x < 4} = {1; 2; 3}.  Chọn đáp án D Câu 44. Liệt kê các phần tử của tập hợp H = {x ∈ Z| − 2 ≤ x < 3}. A. H = {−2; −1; 0; 1; 2}. B. H = {−1; 0; 1; 2}. C. H = {−2; −1; 0; 1; 2; 3}. D. H = {0; 1; 2; 3}. Lời giải. Vì x ∈ Z nên H = {−2; −1; 0; 1; 2}.  Chọn đáp án A Câu 45. Hãy liệt kê các phần tử của tập M = {x : x| là ước nguyên dương của 6}?  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 55/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP A. {1; 2; 3; 6}. 2. TẬP HỢP B. {1; 2}. C. {1; 6}. D. {1; 3; 4}. Lời giải. Các ước nguyên dương của 6 là 1; 2; 3; 6.  Chọn đáp án A Câu 46. Tập hợp nào sau đây có đúng một tập con? A. {0}. B. {0; 1}. C. ∅. D. {1}. Lời giải. Tập rỗng chỉ có đúng một tập con là chính nó. Các tập có một phần tử luôn có ít nhất hai tập con là rỗng và chính nó.  Chọn đáp án C Câu 47. Cho tập hợp A = {1; 2; 3}, số tập con của A là A. 3. B. 5. C. 8. D. 6. Lời giải. Tập A có 3 phần tử nên số tập con của A là 23 = 8. Có thể liệt kê như sau: • Tập con có 0 phần tử ∅, • Tập con có 1 phần tử {1}, {2}, {3}, • Tập con có 2 phần tử {1; 2}, {1; 3}, {2; 3}, • Tập con có 3 phần tử A.  Chọn đáp án C Câu 48. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào rỗng? A. {x ∈ R|x2 + 5x − 6 = 0}. B. {x ∈ Q|3x2 − 5x + 2 = 0}. C. {x ∈ Z|x2 + x − 1 = 0}. D. {x ∈ R|x2 + 5x − 1 = 0}. Lời giải. {x ∈ R|x2 + 5x − 6 = 0} = {1; −6}. 2 {x ∈ Q|3x2 − 5x + 2 = 0} = {1; }. 3 {x ∈ Z|x2 + x − 1 = 0} = ∅. ® √ ´ −5 ± 29 2 {x ∈ R|x + 5x − 1 = 0} = . 2 Chọn đáp án C  Câu 49. Hai tập hợp P và Q nào bằng nhau? A. P = {x ∈ R | 2x2 − x + 2 = 0}, Q = {x ∈ N | x4 − x2 − 2 = 0}. B. P = {−1; 2}, Q = {x ∈ R | x2 − 3x + 2 = 0}. C. P = {1}, Q = {x ∈ R | x2 − x = 0}. D. P = {x ∈ R | x(x + 2) = 0}, Q = {x ∈ R | x2 − 2x = 0}. Lời giải. Xét đáp án A, ta có phương 2x2 − x + 2 = 0 vô"nghiệm " trình √ ⇒ P = ∅. 2 x = −1 (vô nghiệm) x= 2∈ /N Lại có, x4 − x2 − 2 = 0 ⇔ ⇔ ⇒ Q = ∅. √ x2 = 2 x=− 2∈ /N  Chọn đáp án A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 56/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Câu 50. Cho tập hợp A = {n ∈ N | n2 + n − 6 = 0}, khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tập hợp A có hai phần tử. B. Tập hợp A = ∅. C. Tập hợp A có một phần tử. D. Tập hợp A có ba phần tử. Lời giải. " Xét n2 + n − 6 = 0 ⇔ (n + 3)(n − 2) = 0 ⇔ n = −3 (loại) . n=2 Do đó A = {n ∈ N | n2 + n − 6 = 0} = {2}. Vậy tập hợp A có một phần tử.  Chọn đáp án C Câu 51. Cho tập hợp A = {x ∈ Z|(x + 4)(x2 − 3x + 2) = 0}. Viết tập hợp A bằng cách liệt kê các phần tử. A. A = {1; 2; 4}. B. A = {−1; 2; 3}. C. A = {1; 2; −4}. D. A = {1; 2; 3}. Lời giải. Ta có  x = −4  (x + 4)(x2 − 3x + 2) = 0 ⇔  x = 1 x = 2. Vậy A = {1; 2; −4}.  Chọn đáp án C Câu 52. Cho tập hợp A = {1; 2; 3}. Số tập con gồm 2 của A là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Số tập con của A gồm 2 phần tử là 3, đó là {1; 2}, {2; 3}, {1; 3}. Chọn đáp án C  Câu 53. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4}. Hãy chọn mệnh đề sai. A. ∅ ⊂ A. B. {1; 2; 4} ⊂ A. C. {−1; 0; 1} ⊂ A. D. 0 ∈ A. Lời giải. Mệnh đề {−1; 0; 1} ⊂ A sai vì với A = {0; 1; 2; 3; 4} ta có −1 ∈ / A.  Chọn đáp án C Câu 54. Tập hợp nào sau đây là tập hợp rỗng? A. {0}. B. {x ∈ R | x2 − 2x + 3 = 0}. D. {x ∈ R | x2 − 3x + 2 = 0}. C. {x ∈ R | x − 1 = 0}. Lời giải. Do phương trình x2 − 2x + 3 = 0 có ∆0 = −2 < 0 nên vô nghiệm, từ đó {x ∈ R | x2 − 2x + 3 = 0} = ∅.  Chọn đáp án B Câu 55. Cho tập hợp A = {1; 2; 3}. Số tập con của tập A là A. 5. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. 6. C. 7. Trang 57/2406 D. 8. ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Số tập con của tập có n phần tử là 2n . Tập A có 3 phần tử nên có số tập con là 23 = 8.  Chọn đáp án D Câu 56. Tập hợp hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} có bao nhiêu tập hợp con gồm 2 phần tử? A. 30. B. 15. C. 10. D. 3. Lời giải. Các tập con gồm 2 phần tử của tập hợp A là: {1; 2}, {1; 3}. {1; 4}, {1; 5}, {1; 6}, {2; 3}, {2; 4}, {2; 5}, {2; 6}, {3; 4}, {3; 5}, {3; 6}, {4; 5}, {4; 6}, {5; 6}. Vậy có tất cả 15 tập con.  Chọn đáp án B Câu 57. Số tập con gồm 3 phần tử có chứa e, f của tập hợp M = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} là A. 8. B. 10. C. 14. D. 12. Lời giải. Tập con gồm 3 phần tử có chứa e, f của tập hợp M = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} là {a; e; f }, {b; e; f }, {c; e; f }, {d; e; f }, {g; e; f }, {h; e; f }, {i; e; f }, {j; e; f }. Vậy có tất cả 8 tập hợp.  Chọn đáp án A Câu 58. Tập hợp A = {x ∈ R| − 1 < x ≤ 2} bằng với tập hợp nào sau đây? A. A = {−1; 0; 1; 2}. B. A = (−1; 2]. C. A = {0; 1; 2}. D. A = [−1; 2]. Lời giải. Ta có: x ∈ A ⇔ ( x∈R −1 0. Lời giải. B có đúng 2 tập con và B ⊂ A khi và chỉ khi phương trình mx2 − 4x + m − 3 = 0 (1) có đúng một nghiệm dương. 3 • Trường hợp 1. m = 0, phương trình (1) trở thành −4x − 3 = 0 ⇔ x = − . 4 Do đó, m = 0 không thỏa đề bài. • Trường hợp 2. m 6= 0, khi đó phương trình (1) có đúng một nghiệm dương khi và chỉ khi  ( 0 4 − m(m − 3) = 0 ∆ =0 ⇔ m = 4. ⇔ 4 >0 S>0 m Vậy m = 4 là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài.  Chọn đáp án B Câu 63. Cho tập hợp A = {x ∈ N | x ≤ 5}. Tập A được viết dươi dạng liệt kê là A. A = {0, 1, 2, 3, 4}. B. A = C. A = {1, 2, 3, 4, 5}. D. A = [0; 5]. {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Lời giải. Tập hợp A gồm các phần tử là số tự nhiên không lớn hơn 5 được viết dưới dạng liệt kê là A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Chọn đáp án B  Câu 64. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. R ⊂ Q. Lời giải. B. Z ⊂ N. C. Q ⊂ Z. D. N ⊂ R. Ta có N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.  Chọn đáp án D Câu 65. Tập X = {x ∈ N∗ |x4 − 2×2 = 0} có bao nhiêu phần tử? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Lời giải. ” Ta có x4 − 2×2 = 0 ⇔ x2 (x2 − 2) = 0 ⇔ x2 = 0 x2 − 2 = 0 ” ⇔ x=0∈ / N∗ √ x=± 2∈ / N∗ . Vậy X = ∅. Chọn đáp án D  Câu 66. Cho hai tập khác rỗng A = [m − 3; 1), B = (−3; 4m + 5) với m ∈ R. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tập A là tập con của tập B. A. m ≥ 0. B. 0 < m < 4. C. m ≥ −1. D. m > 0. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 59/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Vì A, B khác rỗng và A ⊂ B nên   m−3<1      − 3 < 4m + 5  −3 −2 ⇔ 0 < m < 4.  m>0      m ≥ −1 Vậy giá trị m cần tìm là 0 < m < 4. Chọn đáp án B  Câu 67. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào có đúng một tập hợp con? A. {a, b}. C. {a, b, c}. B. ∅. D. {a}. Lời giải. Ta có ∅ ⊂ ∅. Do đó tập ∅ có đúng một tập con.  Chọn đáp án B Câu 68. Cho tập hợp A = {x ∈ R | 2x2 + x + 3 = 0}. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. A = {0}. B. A = 0. C. A = ∅. D. A = {1, 2, 3}. Lời giải. Phương trình 2x2 + x + 3 = 0 có biệt thức ∆ = 12 − 4 · 2 · 3 = −23 < 0 nên phương trình vô nghiệm. Vậy A = ∅.  Chọn đáp án C Câu 69. Cho N, Z, Q, R là các tập hợp số. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Q ⊂ R. B. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. C. N ⊂ Z ⊂ Q. D. R ⊂ Z. Lời giải. Theo mối quan hệ giữa các tập hợp số, ta có N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.  Chọn đáp án D Câu 70. Cho tập hợp A = {x ∈ R|(x2 − 1)(x2 + 2) = 0}. Tập hợp A là tập hợp nào sau đây? ¶ √ √ © A. {−1} . B. {1} . C. − 2; −1; 1; 2 . D. {−1; 1} . Lời giải. Ta có (x2 − 1)(x2 + 2) = 0 ⇔ x2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1. Vậy A = {−1; 1}.  ß ™ (a + b + c)2 Câu 71. Cho tập hợp A = y ∈ R y = 2 , với a, b, c là các số thực dương . Tìm số lớn a + b2 + c 2 nhất của tập hợp A. Chọn đáp án D A. 1. Lời giải. B. 2. Ta có (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2 ) ⇔ C. 3. D. 4. (a + b + c)2 ≤ 3. Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. a2 + b 2 + c 2 Vậy số lớn nhất là 3.  Chọn đáp án C  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 60/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP  Câu 72. Cho tập hợp A = x ∈ N (x3 − 8x2 + 15x)2 + (3x2 − 10x + 3)2 = 0 . Tổng các phần tử của tập A bằng bao nhiêu? A. 3. B. 8. C. 13. D. 25 . 3 Lời giải. Ta có (x3 − 8x2 + 15x)2 + (3x2 − 10x + 3)2 = 0 ⇔ ( 3 x − 8x2 + 15x = 0 3x2 − 10x + 3 = 0 ⇔ x = 3. Từ đó suy ra A = {3}, nên tổng các phần tử của tập A bằng 3. Chọn đáp án A  Câu 73. Gọi A là tập hợp tất cả các ước số nguyên dương lớn hơn 1 của số 20170. Biết rằng 2017 là số nguyên tố, hỏi A có bao nhiêu phần tử? A. 2017. Lời giải. B. 3. C. 7. D. 8. Dùng máy tính Casio phân tích số 20170 thành tích của các thừa số nguyên tố là 2017 = 2 · 5 · 2017. Từ đó suy ra A = {2, 5, 2017, 2 · 5, 2 · 2017, 5 · 2017, 2 · 5 · 2017} có 7 phần tử.  Chọn đáp án C  Câu 74. Số phần tử của tập hợp A = x ∈ Z (x2 − x)(x4 − 6x2 + 5) = 0 là A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải.  x=0 2  x − x = 0 Ta có (x2 − x)(x4 − 6x2 + 5) = 0 ⇔ ⇔ x = ±1 . Từ đó ta có A = {0, −1, 1} chứa √ x4 − 6x2 + 5 = 0 x=± 5 3 phần tử. "  Chọn đáp án A Câu 75. Cho tập hợp X = {n ∈ N | −3 < 3n + 2 < 302}. Tính tổng tất cả các số thuộc tập hợp X. A. 5049. Lời giải. B. 4949. C. 5050. D. 4950. 5 −3 < 3n + 2 < 302 ⇔ − < n < 1000 ≤ n ≤ 99 (vì n ∈ N). 3 99(1 + 99) Vậy tổng tất cả các số là = 4950. 2 Chọn đáp án D  Câu 76. Cho ba tập hợp: X = (−4; 3), Y = {x ∈ R : 2x + 4 > 0, x < 5}, Z = {x ∈ R : (x + 3)(x − 4) = 0}. Chọn câu đúng nhất? A. X ⊂ Y . B. Z ⊂ X. C. Z ⊂ X ∪ Y . D. Z ⊂ Y . Lời giải. Ta có: Y (= {x ∈ R : 2x + 4 > 0, x < 5} = (−2; 5); Z = {−3; 4}. −3∈X ⇒ X 6⊂ Y . −3∈ /Y  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 61/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP ( 4∈Z ⇒ Z 6⊂ X. 4∈ /X ( −3∈Z ⇒ Z 6⊂ Y . −3∈ /Y - X ∪ Y = (−4; 5) ⇒ {−3; 4} ⊂ (−4; 5). Vậy Z ⊂ X ∪ Y . Vậy Z ⊂ X ∪ Y .  Chọn đáp án C Câu 77. Tìm tất cả các giá trị của m để tập hợp (1; m) (với m > 1) chứa đúng 2 số nguyên dương. A. m ∈ (3; 4). Lời giải. B. m > 2. C. m ∈ [3; 4]. D. m ∈ (3; 4]. Với x ∈ (1; m) ⇒ 1 < x < m. Mà các số nguyên lớn hơn 1 là 2, 3, 4, · · · Do đó để tập hợp (1; m) chứa đúng hai số nguyên thì m ∈ (3; 4].  ß ™ . Câu 78. Cho tập hợp X = n ∈ Z | −101 < 2n + 1 < 53 và n..5 . Tập hợp X có bao nhiêu phần Chọn đáp án D tử? A. 25. Lời giải. B. 26. C. 27. −101 < 2n + 1 < 53 ⇔ −51 < n < 26 ⇔ −50 ≤ n ≤ 25. Vậy số các phần tử là D. 31. 25 + 50 + 1 = 26. 5  Chọn đáp án B Câu 79. Tìm số phần tử của tập hợp A = {x ∈ R | (x − 1)(x + 2)(x3 − 4x) = 0}. A. 3. B. 2. C. 4. D. 5. Lời giải.  x=1  x = −2  (x − 1)(x + 2)(x3 − 4x) = 0 ⇔  x = 0  x = 2. Vậy A có 4 phần tử. Chọn đáp án C  Câu 80. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng? A. T1 = {x ∈ N | x2 + 3x − 4 = 0}. C. T1 = {x ∈ N | x2 = 2}. B. T1 = {x ∈ R | x2 − 3 = 0}. D. T1 = {x ∈ Q | (x2 + 1)(2x − 5) = 0}. Lời giải. √ 2∈ /N Vì x2 = 2 ⇔ . √ x=− 2∈ /N " x=  Chọn đáp án C  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 62/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Câu 81. Cho tập hợp X = {x ∈ R | x > −1} . Tập hợp nào trong các tập hợp sau đây không chứa tập hợp X? A. A = [−3; 7). C. B = [−3; +∞). B. R. D. C = [−1; +∞). Lời giải. X = {x ∈ R | x > −1} = (−1; +∞) 6⊂ A nên tập A không chứa tập X.  Chọn đáp án A Câu 82. Cho các tập hợp A là tập hợp các tam giác, B là tập hợp các tam giác đều, C là tập hợp các tam giác cân. Khẳng định nào sau đây đúng? B. A ⊂ B. A. A = B. C. A ⊂ C. D. B ⊂ A. Lời giải. Tam giác đều là trường hợp đặc biệt của các tam giác thường nên B ⊂ A. Chọn đáp án D   Câu 83. Cho hai đa thức f (x) và g (x) có cùng tập xác định và ba tập hợp A = x ∈ R f (x) = 0 ,   B = x ∈ R g (x) = 0 và C = x ∈ R f (x) .g (x) = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. A ⊂ B. Lời giải. B. A ⊂ C. ” f (x) .g (x) = 0 ⇔ C. C ⊂ A. D. C ⊂ B. f (x) = 0 g(x) = 0. Suy ra A ⊂ C.  Chọn đáp án B Câu 84. Tập hợp Y = {2; 3; 4} có bao nhiêu tập hợp con? A. 8. B. 5. C. 3. D. 1. Lời giải. • Số tập con của Y gồm 0 phần tử là 1. • Số tập con của Y gồm 1 phần tử là 3. • Số tập con của Y gồm 2 phần tử là 3. • Số tập con của Y gồm 3 phần tử là 1. Vậy có tất cả 8 tập con của Y . Chọn đáp án A  Câu 85. Tập hợp A = {1; 2; 3} có bao nhiêu tập con gồm hai phần tử? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Số tập con của A gồm 2 phần tử là 3, đó là {1; 2}, {2; 3}, {1; 3}.  Chọn đáp án C Câu 86. Tập hợp Y = {1; 2; 3} có bao nhiêu tập con? A. 3. Lời giải. B. 6. C. 7. D. 8. • Số tập con của Y gồm 0 phần tử là 1. • Số tập con của Y gồm 1 phần tử là 3.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 63/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP • Số tập con của Y gồm 2 phần tử là 3. • Số tập con của Y gồm 3 phần tử là 1. Vậy có tất cả 8 tập con của Y .  Chọn đáp án D  Câu 87. Cho hai đa thức P (x) và Q(x). Xét các tập hợp sau A = x ∈ R P (x) = 0 và   B = x ∈ R Q(x) = 0 , C = x ∈ R P 2 (x) + Q2 (x) = 0 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. A ⊂ C. B. B ⊂ C. C. C ⊂ A. D. A ⊂ B. Lời giải. Ta có P 2 (x) + Q2 (x) = 0 ⇔ ( P (x) = 0 ⇒ C gồm những phần tử để P (x) = 0 và Q(x) = 0 Q(x) = 0 ⇒ C ⊂ A.  Chọn đáp án C Câu 88. Có bao nhiêu tập hợp X thoả mãn điều kiện {a, b} ⊂ X ⊂ {a, b, c, d, e}? A. 2. B. 4. C. 8. D. 10. Lời giải. Từ điều kiện {a, b} ⊂ X ⊂ {a, b, c, d, e} ta suy ra X phải chứa các phần tử a, b và chỉ có thể thêm các phần tử c, d, e nên chọn X là một trong các tập hợp sau: {a, b}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, b, c, d}, {a, b, d, e}, {a, b, e, c}, {a, b, c, d, e}. Vậy có 8 tâp hợp X thoả mãn yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án C Câu 89. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Số tập hợp con có đúng 2 phần tử của A là A. 5. B. 9. C. 45. D. 90. Lời giải. Cách 1: Số tập con của tập A gồm 2 phần tử là số cách lấy ra bộ 2 số từ A. 10 · 9 Do đó có số tập con là = 45 ( Bộ hai số lấy ra a, b trùng với b, a). 2 Cách 2: Số tập hợp con có đúng 2 phần tử của A bằng số các số tự nhiên có hai chữ số ab, với a > b (∗). Số các số tự nhiên có hai chữ số là 100 − 10 = 90 số. Trong đó, có 9 số 10; 20; . . . ; 90 thỏa mãn (∗); có 90 − 9 − 9 9 số 11; 22; . . . ; 99 không thỏa mãn (∗); và số các số còn lại thỏa mãn (∗) là = 36. Vậy tổng 2 số các số thỏa mãn (∗) là 9 + 36 = 45. Chọn đáp án C  Câu 90. Cho hàm số bậc nhất y = f (x) có f (−1) = 2 và f (2) = −3. Hàm số đó là −5x − 1 −5x + 1 A. y = −2x + 3. B. y = . C. y = . D. y = 2x − 3. 3 3 Lời giải.  5 (  a = − −a+b=2 3. Đặt y = f (x) = ax + b. Ta có hệ phương trình ⇔ 1  2a + b = −3 b = 3 5 1 Vậy hàm số đó là y = − x + . 3 3 Chọn đáp án C   Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 64/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Câu 91. Cho tập hợp P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, số các tập con của P chứa cả ba phần tử 3, 4, 5 là A. 3. B. 5. C. 6. D. 8. Lời giải. Ta thấy P = {3, 4, 5} ∪ {1, 2, 6} suy ra số tập con của P chứa cả ba phần tử 3, 4, 5 cũng bằng số tập con của tập hợp {1, 2, 6}. Bằng cách liệt kê các tập con ta thấy tập hợp {1, 2, 6} có tất cả 8 tập con. Vậy có 8 tập hợp theo yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án D Câu 92. Cho tập X có n + 1 phần tử (n ∈ N ). Số tập con của X có hai phần tử là n(n + 1) n(n − 1) . C. n + 1. D. . A. n(n + 1). B. 2 2 Lời giải. Lấy một phần tử của X, ghép với n phần tử còn lại được n tập con có hai phần tử. Vậy có (n + 1)n tập. Nhưng mỗi tập con đó được tính hai lần nên số tập con của X có hai phần tử là n(n + 1) . 2  Chọn đáp án D Câu 93. Cho hai tập hợp A = [1; 3] và B = [m; m+1]. Tìm tất cả giá trị của tham số m để B ⊂ A. A. m = 1. Lời giải. Ta có: B ⊂ A ⇔ B. 1 < m < 2. ( m>1 ⇔ m+163 ( m>1 m62 C. 1 6 m 6 2. D. m = 2. . Vậy 1 6 m 6 2.  Chọn đáp án C Câu 94. Cho ba tập hợp E: “Tập hợp các tứ giác” F : “Tập hợp các hình thang” G: “Tập hợp các hình thoi” Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. F ⊂ E. B. E ⊂ G. C. E ⊂ F . D. F ⊂ G. Lời giải. Căn cứ vào khái niệm tập con.  Chọn đáp án A Câu 95. Có bao nhiêu tập A để {m; n} ⊂ A ⊂ {m; n; x; y}? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Lời giải. Các tập A thỏa mãn là {m; n}, {m; n; x}, {m; n; y} và {m; n; x; y}.  Chọn đáp án D Câu 96. Cho tập hợp P . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau. A. P ⊂ P . B. ∅ ⊂ P . C. P ∈ {P }. D. P ∈ P . Lời giải. • Với mọi tập hợp P ta luôn có ∅ ⊂ P và P ⊂ P .  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 65/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP • Với tập hợp {P } thì P là một phần tử của {P } nên ta viết P ∈ {P }.  Chọn đáp án D Câu 97. Cho tập hợp A = {a, b, c, d}. Tập A có mấy tập con? A. 15. B. 12. C. 16. D. 10. Lời giải. Số tập hợp con của tập hợp có 4 phần tử là 24 = 16 tập hợp con.  Chọn đáp án C  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 66/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP ĐÁP ÁN 1. B 11. A 2. C 12. D 3. C 13. B 4. C 14. C 5. B 15. B 6. D 16. D 7. D 17. C 8. C 18. A 9. C 19. B 10. C 20. B 21. A 22. C 23. A 24. B 25. B 26. A 27. D 28. B 29. D 30. B 31. B 32. D 33. C 34. A 35. C 36. C 37. A 38. B 39. D 40. B 41. D 51. C 42. A 52. C 43. D 53. C 44. A 54. B 45. A 55. D 46. C 56. B 47. C 57. A 48. C 58. B 49. A 59. C 50. C 60. C 61. C 62. B 63. B 64. D 65. D 66. B 67. B 68. C 69. D 70. D 71. C 72. A 73. C 74. A 75. D 76. C 77. D 78. B 79. C 80. C 81. A 91. D 82. D 92. D 83. B 93. C 84. A 94. A 85. C 95. D 86. D 96. D 87. C 97. C 88. C 89. C 90. C  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 67/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP §3 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP A 1 TÓM TẮT LÍ THUYẾT GIAO CỦA HAI TẬP HỢP Định nghĩa. Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc tập hợp A, vừa thuộc tập hợp B được gọi là giao của A và B. Kí hiệu C = A ∩ B. Vậy A ∩ B = {x|x ∈ A và x ∈ B}. A ( ! 2 x∈A∩B ⇔ B x∈A x ∈ B. HỢP CỦA HAI TẬP HỢP Định nghĩa. Tập hợp C gồm các phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B được gọi là hợp của A và B. Kí hiệu C = A ∪ B. A ∪ B = {x|x ∈ A hoặc x ∈ B}. A ” ! x∈A∪B ⇔ 3 B x∈A x ∈ B. HIỆU VÀ PHẦN BÙ CỦA HAI TẬP HỢP AB = {x|x ∈ A và x ∈ / B}.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 68/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP A B • Phép lấy phần bù: Cho A ⊂ E. Phần bù của A trong E là CE A = EA. B CÁC DẠNG TOÁN | Dạng 1. Tìm giao và hợp của các tập hợp Dựa vào định nghĩa giao và hợp của hai tập hợp để tìm kết quả. ccc BÀI TẬP DẠNG 1 ccc Ví dụ 1. Cho hai tập hợp A = {1; 2; 3; 5; 7} và B = {n ∈ N| n là ước số của 12}. Tìm A ∩ B và A ∪ B. Lời giải. Ta có: B = {1; 2; 3; 4; 6; 12}. Vậy: A ∩ B = {1; 2; 3} và A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 12}.  Ví dụ 2. Cho tập hợp B = {x ∈ Z| − 4 < x ≤ 4} và C = {x ∈ Z| x ≤ a}. Tìm số nguyên a để tập hợp B ∩ C = ∅. Lời giải. Ta có B = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4}, C = {. . . , a − 1, a}. Để B ∩ C = ∅ thì a ≤ −4.  Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu A ⊂ B thì A ∩ B = A. Lời giải. • x ∈ A ∩ B⇒ x ∈ A, suy ra A ∩ B ⊂ A. x ∈ A • x∈A⇒ ⇒ x ∈ A ∩ B, suy ra A ⊂ A ∩ B. x ∈ B (do A ⊂ B) Vậy A ∩ B = A.  Ví dụ 4. Cho A là tập hợp học sinh lớp 12 của trường Buôn Ma Thuột và B là tập hợp học sinh của trường Buôn Ma Thuột dự kiến sẽ lựa chọn thi khối A vào các trường đại học. Hãy mô tả các học sinh thuộc tập hợp sau a) A ∩ B. b) A ∪ B. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 69/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP a) A ∩ B là tập hợp các học sinh lớp 12 thi khối A của trường Buôn Ma Thuột. b) A ∪ B là tập hợp các học sinh hoặc lớp 12 hoặc chọn thi khối A của trường Buôn Ma Thuột.  Ví dụ 5. Cho hai tập hợp A, B biết : A = {a; b}, B = {a; b; c; d}. Tìm tập hợp X sao cho A ∪ X = B. Lời giải. X = {c; d}; {b; c; d}; {a; c; d}; {a; b; c; d}.  Ví dụ 6. Xác định tập hợp A ∩ B biết A = {x ∈ N| x là bội của 3}, B = {x ∈ N| x là bội của 7}. Lời giải. Ta có A ∩ B = {x ∈ N| x là bội của 3 và bội của 7} = {x ∈ N| x là bội của 21}.  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho hai tập hợp A và B. Tìm A ∩ B, A ∪ B biết a) A = {x|x là ước nguyên dương của 12} và B = {x|x là ước nguyên dương của 18}. b) A = {x|x là ước nguyên dương của 27} và B = {x|x là ước nguyên dương của 15}. Lời giải.  A ∩ B = {1; 2; 6} a) A = {1; 2; 4; 6; 12}, B = {1; 2; 3; 6; 9; 18} ⇒ A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18}  A ∩ B = {1; 3} b) A = {1; 3; 9; 27}, B = {1; 3; 5; 15}⇒ A ∪ B = {1; 3; 5; 9; 15; 27}  Bài 2. Cho A là tập hợp các số tự nhiên chẵn không lớn hơn 10, B = {n ∈ N|n ≤ 6} và C = {n ∈ N|4 ≤ n ≤ 10}. Hãy tìm A ∩ (B ∪ C). Lời giải. Ta có A = {0; 2; 4; 6; 8; 10}; B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} và C = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} B ∪ C = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} nên A ∩ (B ∪ C) = {0; 2; 4; 6; 8; 10}  Bài 3. Cho hai tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} và B = {0; 2; 4}. Xác định A ∩ B, A ∪ B. Lời giải. Ta có A ∩ B = {2; 4} và A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4; 5}.  Bài 4. Cho các tập hợp A = {x ∈ R|(2x − x2 )(2x2 − 3x − 2) = 0} và B = {n ∈ N|3 < n2 < 30}. Tìm T A B. Lời giải. ß ™ T 1 Ta có: A = 0; 2; − , B = {2; 3; 4; 5} nên A B = {2}. 2  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 70/2406  ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Bài 5. Cho a là số nguyên. Tìm a để giao của hai tập hợp ™ ß 3a − 4 A = {x ∈ Z x ≤ a}, B = x ∈ Z x > 2 bằng rỗng. Lời giải. 3a − 4 ⇔ a ≥ 4. 2 Bài 6. Cho hai tập hợp bất kì A, B. Chứng minh rằng A ∪ B = A ∩ B ⇔ A = B. Ta có A ∩ B = ∅ ⇔ a ≤  Lời giải. • Nếu A = B thì A ∩ B = A, A ∪ B = A nên A ∪ B = A ∩ B. • Ngược lại, giả sử A ∪ B = A ∩ B. Lấy một phần tử bất kì x ∈ A ta suy ra x ∈ A ∪ B. Vì A ∪ B = A ∩ B nên x ∈ A ∩ B. Từ đó suy ra x ∈ B nên A ⊂ B. Tương tự ta cũng có B ⊂ A. Vậy A = B.  Bài 7. Cho các tập hợp A = {x ∈ N|x < 8} và B = {x ∈ Z| − 3 ≤ x ≤ 5}. Tìm A ∩ B; A ∪ B. Lời giải. Ta có A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}; B = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}. Vậy A ∩ B = {0; 1; 2; 3; 4; 5} và A ∪ B = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.  Bài 8. Tìm điều kiện cần và đủ để hợp của hai tập hợp A = {n ∈ Z | n < a} và B = {m ∈ Z | m > 2a + 1} bằng Z. Lời giải. Ta có A ∪ B = Z ⇔ 2a + 1 < a ⇔ a < −1.  Bài 9. Cho tập A = {0; 1; 2} và tập B = {0; 1; 2; 3; 4}. Tìm tập C sao cho A ∪ C = B. Lời giải. Đầu tiên ta tìm tập C có số phần tử ít nhất thỏa yêu cầu bài toán đó là tập C0 = BA = {3, 4}. Kế tiếp ta ghép các phần tử của tập A vào. Vậy các tập cần tìm là C1 = {3; 4, 0} , C2 = {3; 4, 1} , C3 = {3; 4, 2} , C4 = {3; 4; 0; 1} , C5 = {3; 4; 0; 2} , C6 = {3; 4; 1; 2} , C7 = {3; 4; 0; 1; 2} . Tổng cộng có 8 tập thỏa yêu cầu bài toán.  Bài 10. Cho các tập hợp A = {x ∈ Z |x − 1| < 4}, B = {x ∈ Z |x − 1| > 2}. Tìm A ∩ B. Lời giải. Ta có |x − 1| < 4 ⇔ −4 < x − 1 < 4 ⇔ −3 < x < 5, A = {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4}. Lại có |x − 1| > 2 ⇔ x < −1 ∨ x > 3, B = {. . . ; −3; −2; 4; 5; 6; . . .} nên A ∩ B = {−2; 4}.  Bài 11. Cho các tập hợp A = {x ∈ Z | 2m − 1 < x < 2m + 3}, B = {x ∈ Z |x| < 2}. Tìm m để A ∩ B = ∅. Lời giải. Ta có B = {x ∈ " Z | − 2 < x < 2} ="{−1; 0; 1} và A = {2m, . . . , 2m + 2}. 2m + 2 ≤ −2 m ≤ −2 A∩B =∅⇔ ⇔ 2m ≥ 2 m≥1  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 71/2406  ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Bài 12. Cho tập hợp A = {x ∈ N | x < 4} và tập hợp B = {n ∈ N∗ | n là số nguyên tố n ≤ 5}. Xác định tập hợp A ∩ B và A ∪ B. Lời giải. A = {0; 1; 2; 3} và B = {2; 3; 5}. Khi đó A ∩ B = {2; 3} và A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 5}.  Bài 13. Cho tập S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Tìm các tập con A, B của tập S sao cho A ∪ B = {1; 2; 3; 4} và A ∩ B = {1; 2}. Lời giải. • A có hai phần tử A = {1; 2} ⇒ B = {1; 2; 3; 4}. • A có ba phần tử A = {1; 2; 3} ⇒ B = {1; 2; 4}. • A có ba phần tử A = {1; 2; 4} ⇒ B = {1; 2; 3}. • A có bốn phần tử A = {1; 2; 3; 4} ⇒ B = {1; 2} . Vậy ta có 4 cặp tập A, B thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Bài 14. Cho tập hợp A = {x ∈ R | x2 − 4x + m + 2 = 0} và tập hợp B = {1; 2}. Tìm m để A ∩ B = ∅. Lời giải. • TH1: A = ∅ tương đương pt: x2 − 4x + m + 2 = 0 vô nghiệm, tức là ∆0 < 0 ⇔ m > 2. • TH2: A 6= ∅ tương đương pt: x2 − 4x + m + 2 = 0 có 2 nghiệm khác 1, 2 ⇔ m 6= 1; m 6= 2; m ≤ 2. • Vậy kết hợp lại ta có m 6= 1; m 6= 2.  | Dạng 2. Hiệu và phần bù của hai tập hợp Dựa vào định nghĩa hiệu và phần bù của hai tập hợp để tìm kết quả. ccc BÀI TẬP DẠNG 2 ccc Chú ý ! • Nếu A ⊂ B thì BA = CB A. • Nếu A = ∅ thì AB = ∅ với mọi tập hợp B. Ví dụ 1. Cho A = {1, 2, 3, 4, 5} và B = {1, 3, 5, 7}. Tìm các tập hợp AB, BA. Lời giải. Các phần tử 2, 4 thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B nên AB = {2, 4}. Chỉ có phần tử 7 thuộc tập hợp B nhưng không thuộc tập hợp A nên BA = {7}  Ví dụ 2. Cho A là tập hợp các tự nhiên lẻ. Tìm phần bù của A trong tập N các số tự nhiên. Lời giải. Các số tự nhiên chẵn thuộc tập hợp N nhưng không thuộc tập hợp A nên phần bù của A trong N là tập hợp các số tự nhiên chẵn. Do đó CN A = {2k/k ∈ N}.  Ví dụ 3. Chứng minh rằng AB = ∅ thì A ⊂ B. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 72/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Lấy x ∈ A. Nếu x ∈ / B thì x ∈ AB (mâu thuẫn). Do đó x ∈ B. Vậy A ⊂ B.  Ví dụ 4. Cho các tập hợp A = {4, 5} và B = {n ∈ N |n ≤ a} với a là số tự nhiên. Tìm a sao cho AB = A. Lời giải. Ta có B = {0, 1, · · · , a}. Để AB = A thì các phần tử của A không thuộc B. Suy ra a ≤ 3. Vậy a ∈ {0, 1, 2, 3}.  Ví dụ 5. Cho hai tập hợp A, B. Biết AB = {1, 2}, BA = {3} và B = {3, 4, 5}. Tìm tập hợp A. Lời giải. Ta có AB = {1, 2} nên 1, 2 ∈ A. Mà BA = {3} nên 3 ∈ / A và 4, 5 ∈ A. Suy ra A = {1, 2, 4, 5}.  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho A là tập hợp các học sinh của một lớp và B là tập hợp các học sinh giỏi Toán của lớp. Hãy mô tả tập hợp CA B. Lời giải. CA B là tập hợp các học sinh không giỏi Toán của lớp.  Bài 2. Cho A là tập hợp các ước nguyên dương của 12 và B là tập hợp các ước nguyên dương của 18. Tìm các tập hợp AB và BA. Lời giải. Ta có A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} và B = {1, 2, 3, 6, 9, 18} nên AB = {4, 12}, BA = {9, 18}.  Bài 3. Chứng minh rằng AB = BA thì A = B. Lời giải. Lấy x ∈ AB = BA thì x ∈ A, x ∈ / B và x ∈ B, x ∈ / A. Suy ra AB = BA = ∅. Suy ra A ⊂ B và B ⊂ A. Vậy A = B.  Bài 4. Cho hai tập hợp A, B. Biết AB = {a, b, c}, BA = {d, e} và B = {d, e, f }. Tìm tập hợp A. Lời giải. A = {a, b, c, f }.  Bài 5. Cho các tập hợp A = {n ∈ N |2 < n ≤ 7} và B = {n ∈ N |n ≤ a} với a là số tự nhiên. Tìm a sao cho: a) AB = A. b) AB = ∅. Lời giải. A = {3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, · · · , a}. a) Ta có AB = A khi mọi phần tử của A đều không thuộc B. Suy ra a ≤ 2. Vậy a ∈ {0, 1, 2}. b) Ta có AB = ∅ khi A ⊂ B. Suy ra a ≥ 7.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 73/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP  Bài 6. Cho hai tập hợp A = {2k + 1|k ∈ N} và B = {3k|k ∈ N}. Tìm tập hợp BA. Lời giải. BA = {6k|k ∈ N}.  | Dạng 3. Sử dụng biểu đồ Ven và công thức tính số phần tử của tập hợp A ∪ B để giải toán • Phương pháp biểu đồ Ven: +o Sử dụng các hình tròn giao nhau để mô tả các đại lượng và mối quan hệ giữa chúng. +o Biểu đồ Ven cho ta cách nhìn trực quan và mối quan hệ giữa các đại lựợng từ đó tìm ra các yếu tố chưa biết. • Công thức số phần tử |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. ccc BÀI TẬP DẠNG 3 ccc Ví dụ 1. Trong năm vừa qua, trường THPT A có 25 bạn thi học sinh giỏi 2 môn Văn và Toán. Trong đó có 14 bạn thi Toán và 16 bạn thi Văn. Hỏi trường có bao nhiêu bạn thi cả 2 môn Văn và Toán. Lời giải. Cách 1: Sử dụng sơ đồ Ven như hình vẽ 16 ? 14 - Ta thấy Số bạn thi toán mà không thi văn là 25 − 16 = 9 (bạn). - Số bạn thi cả 2 môn ( phần giao nhau) là 14 − 9 = 5 (bạn). Cách 2: Gọi A, B lần lượt là tập hợp các bạn thi học sinh giỏi Toán và Văn. Ta có |A| = 14, |B| = 16, |A ∪ B| = 25. Theo công thức ta có |A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∪ B| = 14 + 16 − 25 = 5 (bạn).  Ví dụ 2. Lớp 10A có 15 bạn thích môn Văn, 20 bạn thích môn Toán. Trong số các bạn thích văn hoặc toán có 8 bạn thích cả 2 môn. Trong lớp vẫn còn 10 bạn không thích môn nào trong 2 môn Văn và Toán. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn. Lời giải. Ta sử dụng sơ đồ Ven để giải bài toán.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 74/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 10 7 8 12 - Hình tròn to thể hiện số học sinh cả lớp. Như vậy, ta có: - Số bạn chỉ thích Văn là 15 − 8 = 7(bạn). - Số bạn chỉ thích Toán là 20 − 8 = 12(bạn). - Số học sinh cả lớp là tổng các phần không giao nhau: 7 + 8 + 12 + 10 = 37.  Ví dụ 3. Mỗi học sinh của lớp 10A đều chơi bóng đá hoặc bóng chuyền. Biết rằng có 25 bạn chơi bóng đá, 20 bạn chơi bóng chuyền và 10 bạn chơi cả 2 môn thể thao. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu học sinh. Lời giải. Ngoài sơ đồ Ven ta có thể dùng công thức số phần tử. Gọi A là tập hợp các học sinh chơi bóng đá, B là tập các học sinh chơi bóng chuyền. Do đó A ∩ B là tập các học sinh chơi cả hai môn. Ta có |A| = 25, |B| = 20, |A ∩ B| = 10. Số học sinh cả lớp là số phần tử của tập A ∪ B. Theo công thức ta có |A ∪ B| = 25 + 20 − 10 = 35 (học sinh).  BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Cho mỗi dạng) Bài 1. Một lớp có 40 học sinh, mỗi học sinh đều đăng ký chơi ít nhất 1 trong 2 môn thể thao là bóng đá hoặc cầu lông. Có 30 học sinh có đăng ký môn bóng đá, 25 học sinh có đăng ký môn cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đăng ký cả 2 môn. Lời giải. Số học sinh đăng ký cả hai môn là 30 + 25 − 40 = 15 (học sinh).  Bài 2. Ở xứ sở của thần Thoại ngoài các vị thần thì còn có các sinh vật gồm 27 con người, 311 con yêu quái một mắt, 205 con yêu quái tóc rắn và yêu quái vừa một mắt vừa tóc rắn. Tìm số yêu quái vừa một mắt vừa tóc rắn biết có tổng số sinh vật là 500 con. Lời giải. • Số sinh vật không phải con người là 500 − 27 = 473 (con). • Gọi A, B lần lượt là tập hợp yêu quái một mắt và yêu quái tóc rắn. Khi đó |A| = 311, |B| = 205, |A ∪ B| = 473. • Vậy số yêu quái vừa một mắt vừa tóc rắn là |A ∩ B| = 311 + 205 − 473 = 43 (con).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 75/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP  Bài 3. Trong 45 học sinh lớp 10A có 20 bạn xếp học lực giỏi, 15 bạn đạt hạnh kiểm tốt, trong đó có 7 bạn vừa đạt hạnh kiểm tốt vừa có học lực giỏi. Hỏi a) Lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết muốn được khen thưởng thì hoặc học sinh giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt. b) Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa được xét học lực giỏi và hạnh kiểm tốt. Bài 4. Một lớp có 25 học sinh khá các môn tự nhiên, 24 học sinh khá các môn xã hội, 10 học sinh khá cả 2 và 3 học sinh không khá môn nào. Hỏi: a) Lớp có bao nhiêu học sinh chỉ khá tự nhiên. b) Lớp có bao nhiêu học sinh chỉ khá xã hội. c) Lớp có bao nhiêu họăc khá tự nhiên hoặc khá xã hội. d) Lớp có bao nhiêu em học sinh. Bài 5. Lớp 10A có 35 bạn học sinh làm kiểm tra toán. Đề bài gồm 3 bài toán. Sau khi kiểm tra, cô giáo tổng hợp kết quả như sau: có 20 em giải được bài toán thứ nhất; 14 em giải đuợc bài toán 2; 10 em giải được bài toán 3; 5 em giải đuợc bài toán 2 và bài toán 3; 2 em giải đuợc bài toán 1 và bài toán 2; 6 em giải được bài toán 1 và bài toán 3, chỉ có 1 học sinh đạt được điểm 10 vì giải được cả 3 bài. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh không giải được bài nào. Lời giải. Đáp số: 3 bạn.  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 6. Cho tập hợp F = {n ∈ N | − 2 < n < 3} và tập hợp Z các số nguyên. Xác định tập hợp F ∩ Z. Lời giải. F ∩ Z = {0; 1; 2}  Bài 7. Cho X = {1; 2; 3; 4; 5; 6} biết tập A ⊂ X, A ∩ {2; 4; 6} = {2} và A ∪ {2; 4; 6} = {2; 3; 4; 5; 6}. Tìm tập A. Lời giải. Ta thấy 2 ∈ A và {3; 5} ⊂ A và các số 1 ∈ / A; 4 ∈ / A; 6 ∈ / A. Vậy tập A = {2; 3; 5}.  Bài 8. Cho hai tập hợp A = {−3; −2; 0; 1; 2; 5; 9}, B = {−2; 0; 3; 8; 15}. Hãy xác định các tập hợp A ∪ B, A ∩ B, AB, BA. Lời giải. Ta có: A ∪ B = {−3; −2; 0; 1; 2; 3; 5; 8; 9; 15} , A ∩ B = {−2; 0} AB = {−3; 1; 2; 5; 9} , BA = {3; 8; 15} .   Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 76/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Bài 9. Kí hiệu H là tập hợp các học sinh của lớp 10A; T là tập hợp các học sinh nam và G là tập hợp các học sinh nữ của lớp 10A. Hãy xác định các tập hợp sau: a) T ∪ G; b) T ∩ G; c) HT ; d) GT ; e) CH G. Lời giải. a) T ∪ G là tập hợp các học sinh trong lớp 10A, T ∪ G = H. b) T ∩ G = ∅. c) HT = G. d) GT = G. e) CH G = HG = T .  2 Bài 10. Cho các tập hợp A = {x ∈ Z |x + 2| < 3}, B = {x ∈ Z x ∈ Z}. Tìm A ∪ B. x+2 Lời giải. Ta có |x + 2| < 3 ⇔ −5 < x < 1 nên A = {−4; −3; −2; −1; 0}. x2 4 x2 4 Lại có =x−2+ nên ∈Z⇔ ∈ Z. x+2 x+2 x+2 x+2 Từ đó suy ra x + 2 ∈ {−4; −2; −1; 1; 2; 4} nên B = {−6; −4; −3; −1; 0; 2}. Vì vậy A ∪ B = {−6; −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2}  Bài 11. Cho A là tập hợp các số tự nhiên chẵn và không lớn hơn 10, B = {n ∈ N|n ≤ 6} và C = {n ∈ N|4 ≤ n ≤ 10}. Hãy tìm a) A ∩ (B ∪ C); b) (AB) ∪ (AC) ∪ (BC). Lời giải. A = {0; 2; 4; 6; 8; 10}, B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}, C = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}. a) B ∪ C = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} ⇒ A ∩ (B ∪ C) = {0; 2; 4; 6; 8; 10}. b) Ta có: AB = {8; 10}, AC = {0; 2}, BC = {0; 1; 2; 3}. Vậy: (AB) ∪ (AC) ∪ (BC) = {0; 1; 2; 3; 8; 10}.  Bài 12. Cho A, B, C là ba tập hợp rời nhau đôi một. X là tập hợp sao cho các tập X ∩ A, X ∩ B, X ∩ C có đúng 1 phần tử. Hỏi tập X có ít nhất là bao nhiêu phần tử? Lời giải. Giả sử X ∩ A = {a} , X ∩ B = {b} , X ∩ C = {c} . Khi đó a, b, c ∈ X. Do A, B, C rời nhau đôi một nên a, b, c phải khác nhau đôi một. Vậy tập X có ít nhất là 3 phần tử.  Bài 13. Cho A = {1; 2; 3} , B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} . a) Xác định tập hợp BA. b) Tìm tất cả các tập hợp X sao cho A ⊂ X và X ⊂ B.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 77/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Lời giải. a) Ta có BA = {4; 5; 6} . b) Vì A ⊂ X nên 1, 2, 3 thuộc X, do đó, để X ⊂ B thì các tập hợp X thỏa mãn đầu bài là: X = {1; 2; 3} , X = {1; 2; 3; 4} , X = {1; 2; 3; 5} , X = {1; 2; 3; 6} , X = {1; 2; 3; 4; 5} , X = {1; 2; 3; 4; 6} , X = {1; 2; 3; 5; 6} , X = {1; 2; 3; 4; 5; 6} .  Bài 14. Cho tập hợp A thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây: A ∪ {1; 2; 3} = {1; 2; 3; 4} , (1) A ∩ {1; 2; 3} = {1; 2} . (2) Hãy xác định tập hợp A. Lời giải. Từ (1) suy ra A ⊂ {1; 2; 3; 4}. Từ (2) suy ra {1; 2} ⊂ A và 3 ∈ / A. Điều kiện (1) cho ta 4 ∈ A. Vậy ta có: A = {1; 2; 4}.  Bài 15. Hãy xác định tập hợp X biết rằng: {1; 3; 5; 7} ⊂ X, {3; 5; 9} ⊂ X, X ⊂ {1; 3; 5; 7; 9} . Lời giải. Từ giả thiết {1; 3; 5; 7} ⊂ X, {3; 5; 9} ⊂ X, ta có: {1; 3; 5; 7} ∪ {3; 5; 9} ⊂ X ⇒ {1; 3; 5; 7; 9} ⊂ X. (1) Mặt khác, theo giả thiết ta có: X ⊂ {1; 3; 5; 7; 9} . (2) Từ (1) và (2) suy ra: X = {1; 3; 5; 7; 9}.  Bài 16. Cho tập hợp X = {a; b; c; d; e; g}. a) Hãy xác định tập hợp Y sao cho Y ⊂ X và XY = {b; c; e}. b) Hãy xác định hai tập hợp A và B sao cho: A ∪ B = X, BA = {d; e} và AB = {a; b; c} . Lời giải. a) XY = {b; c; e} nên b, c, e không thuộc tập Y . Hơn nữa do Y ⊂ X nên Y = {a; d; g}. b) Từ AB = {a; b; c} ta suy ra A chứa a, b, c và B không chứa a, b, c. Từ BA = {d; e} ta suy ra B chứa d, e và A không chứa d, e. Lại có A ∪ B = X nên phần tử g thuộc A hoặc thuộc B. Ngoài ra g ∈ / AB và g ∈ / BA nên g ∈ A và g ∈ B. Do đó: A = {a; b; c; g} , B = {d; e; g} .  ™ ß 2x − 1 Bài 17. Cho hai tập hợp A = x ∈ Z| ∈ Z , B = {4; 6; 8; 10} . Tìm A ∩ B và A ∪ B. x+3  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 78/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 7 2x − 1 2x − 1 = 2− . Do đó với x ∈ Z và x 6= −3 thì ∈ Z khi và chỉ khi x + 3 là x+3 x+3 x+3 ước của 7, tức là   x = −2 x+3=1    x = −4  x + 3 = −1  ⇔  x=4  x+3=7   x + 3 = −7 x = −10. Giải. Ta có Vậy A = {−2; −4; 4; −10}, suy ra: A ∪ B = {−2; −4; −10; 4, 6, 8, 10} , A ∩ B = {4}. Bài 18. Cho tập hợp S = {1; 2; 3; 4; 5; 6} . a) Tìm các tập hợp con A, B của S sao cho: A ∪ B = {1; 2; 3; 4} , A ∩ B = {1; 2} . b) Tìm các tập C sao cho: C ∪ (A ∩ B) = A ∪ B. Lời giải. a) Từ A ∩ B = {1; 2} ta có A và B phải có chung đúng hai phần tử 1 và 2. Từ A ∪ B = {1; 2; 3; 4} suy ra hai phần tử 3 và 4 phải thuộc một và chỉ một trong hai tập A và B. Do đó có bốn kết quả sau đây: ( A = {1; 2; 3} B = {1; 2; 4} , ( A = {1; 2; 4} B = {1; 2; 3} , ( A = {1; 2; 3; 4} B = {1; 2} , ( A = {1; 2} B = {1; 2; 3; 4} . b) Vì C ∪ (A ∩ B) = A ∪ B mà A ∪ B = {1; 2; 3; 4} , A ∩ B = {1; 2} nên 3, 4 ∈ C. Do đó các tập C thỏa mãn yêu cầu bài toán là: {3; 4} , {1; 3; 4} , { 2; 3; 4} , {1; 2; 3; 4} .  Bài 19. Xét X và Y là hai tập hợp con của tập hợp {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} và thỏa mãn ba điều kiện: (1) X ∩ Y = {4; 6; 9}. (2) X ∪ {3; 4; 5} = {1; 3; 4; 5; 6; 8; 9}. (3) Y ∪ {4; 8} = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. a) Hãy chỉ ra rằng từ điều kiện (1) và (2) ta suy ra 1 ∈ X và 1 ∈ / Y , 8 ∈ X và 8 ∈ / Y, 7∈ / X. b) Xác định các tập hợp X và Y mà thỏa mãn các điều kiện (1), (2) và (3). Lời giải. a) Vì 1 ∈ X ∪ {3; 4; 5} nên 1 ∈ X và vì 1 ∈ / X ∩ Y nên 1 ∈ / Y . Tương tự ta có 8 ∈ X và 8 ∈ / Y . Từ (3) suy ra 7 ∈ Y , do đó 7 ∈ / X vì nếu 7 ∈ X thì mâu thuẫn với (1). b) Ta có: • 1 ∈ X và 1 ∈ / Y; • 2∈ / X (do (2)) và 2 ∈ Y (do (3)); • 3 ∈ Y (do (3)) và 3 ∈ / X (do (1)); • 4 ∈ X và 4 ∈ Y (do (1));  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 79/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP • 5 ∈ Y (do (3)) và 5 ∈ / X (do (1)); • 6 ∈ X và 6 ∈ Y (do (1)); • 7 ∈ Y (do (3)) và 7 ∈ / X (do (1)); • 8 ∈ X và 8 ∈ / Y (do câu a)); • 6 ∈ X và 6 ∈ Y (do (1)). Từ các điều kiện trên, ta đi tới: X = {1; 4; 6; 8; 9}, Y = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 9}.    Bài 20. Cho các tập hợp A = x ∈ R x2 + x − m = 0 , B = x ∈ R x2 − mx + 1 = 0 (m là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị của m để A ∩ B 6= ∅ Lời giải. Vì A ∩ B 6= ∅ nên tồn tại a ∈ A ∩ B. Khi đó  " a2 + a − m = 0 m = −1 ⇒ (1 + m)a − (1 + m) = 0 ⇒ a2 − ma + 1 = 0 a=1 • Nếu m = −1 thử lại thấy B = ∅ nên không thỏa. • Nếu a = 1 thay vào tập A tìm được m = 2. Thử lại khi m = 2 thấy A ∩ B = {1}. Vậy m = 2.  Bài 21. Cho 3 tập hợp: A = {x|x = 3n − 2, n ∈ N∗ } B = {x|x = 1003 − 2m, m ∈ N∗ } C = {x|x = 6p + 1, p ∈ Z, 0 ≤ p ≤ 166} . Chứng minh rằng A ∩ B = C. Giải. Cần chứng minh A ∩ B ⊂ C và C ⊂ A ∩ B. • Giả sử x ∈ A ∩ B, cần chỉ ra x ∈ C. Thực vậy, nếu x ∈ A ∩ B thì x ∈ A và x ∈ B, tức là tồn tại các số nguyên dương m, n sao cho: x = 3n − 2 = 1003 − 2m. 1005 − 3n n−1 Khi đó: m = ⇔ m = 502 − n − . Vì m, n là những số nguyên dương nên suy ra 2 2 n−1 = p ∈ Z. Từ đó n = 2p + 1 và 2 m = 502 − (2p + 1) − p = 501 − 3p. Vì m, n là những số nguyên dương nên ( 2p + 1 ≥ 1   p≥0 ⇒ 0 ≤ p ≤ 166. ⇒  p ≤ 500 501 − 3p ≥ 1 3 Nhưng x = 3n − 2 = 3(2p + 1) − 2 = 6p + 1, suy ra x ∈ C ⇒ A ∩ B ⊂ C.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 80/2406 (1) ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP • Chứng minh C ⊂ A ∩ B. Giả sử x ∈ C, cần chứng minh x ∈ A ∩ B. Thực vậy, nếu x ∈ C thì tồn tại p ∈ Z, 0 ≤ p ≤ 166, sao cho x = 6p + 1. Ta sẽ chỉ ra rằng x có thể được viết dưới dạng x = 3n − 2, n ∈ N∗ . Ta có x = 6p + 1 = (6p + 3) − 2 = 3(2p + 1) − 2 = 3n − 2, với n = 2p + 1 ∈ N∗ , suy ra x ∈ A. Ta còn phải chứng minh x ∈ B. x = 6p + 1 = 1003 − (1002 − 6p) = 1003 − 2(501 − 3p) = 1003 − 2m, với m = 501 − 3p. Ta có: 0 ≤ p ≤ 166 ⇒ 0 ≤ 3p ≤ 498 ⇒ 501 − 3p ≥ 3 ⇒ m = 501 − 3p ∈ N∗ . Như vậy x ∈ B. Từ x ∈ A và x ∈ B suy ra x ∈ A ∩ B ⇐ C ⊂ A ∩ B. (2) Từ (1) và (2) suy ra A ∩ B = C, điều phải chứng minh.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 81/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP C 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho hai tập hợp A = {1; 5} và B = {1; 3; 5} Tìm A ∩ B. A. A ∩ B = {1}. B. A ∩ B = {1; 3}. C. A ∩ B = {1; 3; 5}. D. A ∩ B = {1; 5}. Lời giải. Tập hợp A ∩ B gồm những phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B ⇒ A ∩ B = {1; 5}.  Chọn đáp án D Câu 2. Cho hai tập hợp A = {a; b; c; d; m} , B = {c; d; m; k; l}. Tìm A ∩ B. A. A ∩ B = {a; b}. B. A ∩ B = {c; d; m}. C. A ∩ B = {c; d}. D. A ∩ B = {a; b; c; d; m; k; l}. Lời giải. Tập hợp A và tập hợp B có chung các phần tử c, d, m. Do đó A ∩ B = {c; d; m}  Chọn đáp án B Câu 3. Cho hai tập A = {x ∈ R |(2x − x2 )(2x2 − 3x − 2) = 0 } và B = {n ∈ N∗ |3 < n2 < 30}. Tìm A∩B A. A ∩ B = {2; 4}. B. A ∩ B = {2}. C. A ∩ B = {4; 5}. D. A ∩ B = {3}. Lời giải.  x=0 ß ™  1 x = 2 2 2 ⇒ A = − ; 0; 2 . Ta có (2x − x )(2x − 3x − 2) = 0 ⇔   2 1 x=− 2 ( ( ∗ ∗ n∈N n∈N Và ⇔ √ √ ⇒ B = {2; 3; 4; 5}. Suy ra A ∩ B = {2} 3 < n < 30 3 < n2 < 30 Chọn đáp án B  Câu 4. Cho các tập hợp M = {x ∈ N|x là bội của 2}, N = {x ∈ N|x là bội của 6}, P = {x ∈ N|x là ước của 2}, Q = {x ∈ N|x là ước của 6} Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M ⊂ N . B. Q ⊂ P . C. M ∩ N = N . D. P ∩ Q = Q. Lời giải.   M = {x |x = 2k, k ∈ N∗ } = {2; 4; 6; 8; 10; . . .}     N = {x |x = 6k, k ∈ N∗ } = {6; 12; 18; 24; . . .} Ta có các tập hợp .  P = {1; 2}      Q = {1; 2; 3; 6} Do đó P ∩ Q = Q. Chọn đáp án D  Câu 5. Gọi Bn là tập hợp các bội số của n trong N. Xác định tập hợp B2 ∩ B4 ? A. B2 . B. B4 . C. ∅. D. B3 . Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 82/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP Ta có các tập hợp 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP ( B2 = {x |x = 2k, k ∈ N∗ } = {2; 4; 6; 8; 10; . . .} B4 = {x |x = 4k, k ∈ N∗ } = {4; 8; 12; 16; . . .} Do đó B2 ∩ B4 = B4 . .  Chọn đáp án B Câu 6. Cho hai tập hợp A = {1; 3; 5; 8} , B = {3; 5; 7; 9}. Xác định tập hợp A ∪ B. A. A ∪ B = {3; 5}. B. A ∪ B = {1; 3; 5; 7; 8; 9}. C. A ∪ B = {1; 7; 9}. D. A ∪ B = {1; 3; 5}. Lời giải.  Chọn đáp án B Câu 7. Cho các tập hợp A = {a; b; c}, B = {b; c; d}, C = {b; c; e}. Khẳng định nào sau đây đúng? A. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C. B. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). C. (A ∪ B) ∩ C = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). D. (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ B) ∩ C. Lời giải. ( A ∪ (B ∩ C) = {a, b, c} Ta có (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = {a, b, c, d} ∩ {a, b, c, e} = {a, b, c} ⇒ A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)  Chọn đáp án B Câu 8. Gọi Bn là tập hợp các bội số của n trong N. Xác định tập hợp B3 ∪ B6 . A. B3 ∪ B6 = ∅. B. B3 ∪ B6 = B3 . C. B3 ∪ B6 = B6 . D. B3 ∪ B6 = B12 . Lời giải. Ta có các tập hợp ( B3 = {x |x = 3k, k ∈ N} = {3; 6; 9; 12; 15; . . .} B6 = {x |x = 6k, k ∈ N∗ } = {6; 12; 18; . . .} ⇒ B3 ∪ B6 = B3  Chọn đáp án B Câu 9. Cho hai tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4} , B = {2; 3; 4; 5; 6}. Xác đinh tập hợp AB. A. AB = {0}. B. AB = {0; 1}. C. AB = {1; 2}. D. AB = {1; 5}. Lời giải. Tập hợp AB gồm những phần tử thuộc A nhưng không thuộc B ⇒ AB = {0}. Chọn đáp án A  Câu 10. Cho hai tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4} , B = {2; 3; 4; 5; 6}. Xác đinh tập hợp BA. A. BA = {5}. B. BA = {0; 1}. C. BA = {2; 3; 4}. D. BA = {5; 6}. Lời giải. Tập hợp BA gồm những phần tử thuộc B nhưng không thuộc A ⇒ BA = {5; 6}.  Chọn đáp án D Câu 11. Cho hai tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4} , B = {2; 3; 4; 5; 6}. Tìm X = (AB) ∩ (BA). A. X = {0; 1; 5; 6}. B. X = {1; 2}. C. X = {5}. D. X = ∅. Lời giải. ( AB = {0; 1} Ta có ⇒ (AB) ∩ (BA) = ∅. BA = {5; 6}  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 83/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP  Chọn đáp án D Câu 12. Cho hai tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4} , B = {2; 3; 4; 5; 6}. Xác định tập hợp X = (AB) ∪ (BA). A. X = {0; 1; 5; 6}. B. X = {1; 2}. C. X = {2; 3; 4}. D. X = {5; 6}. Lời giải. ( AB = {0; 1} Ta có ⇒ (AB) ∪ (BA) = {0; 1; 5; 6}. BA = {5; 6}  Chọn đáp án A Câu 13. Cho hai tập hợp A = {1; 2; 3; 7} , B = {2; 4; 6; 7; 8}. Khẳng định nào sau đây đúng? A. A ∩ B = {2; 7} và A ∪ B = {4; 6; 8}. C. AB = {1; 3} và BA = {2; 7}. B. A ∩ B = {2; 7} và AB = {1; 3}. D. AB = {1; 3} và A ∪ B = {1; 3; 4; 6; 8}. Lời giải.   A ∩ B = {2; 7}     A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8} Ta có   AB = {1; 3}    BA = {4; 6; 8} Chọn đáp án B  Câu 14. Cho A là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình x2 − 4x + 3 = 0; B là tập hợp các số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 4. Khẳng định nào sau đây đúng? A. A ∪ B = A. B. A ∩ B = A ∪ B. C. AB = ∅. D. BA = ∅. Lời giải. Ta có x2 − 7x + 6 = 0 ⇔ ( x=1 ⇒ A = {1; 3} B = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3}. x=3 Do đó AB = ∅ Chọn đáp án C  Câu 15. Cho hai tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4} , B = {1; 3; 4; 6; 8} Mệnh đề nào sau đây đúng? A. A ∩ B = B. Lời giải. B. A ∪ B = A. C. AB = {0; 2}. D. BA = {0; 4}.  Chọn đáp án C Câu 16. Cho hai tập hợp A = {0; 2} và B = {0; 1; 2; 3; 4}. Có bao nhiêu tập hợp X thỏa mãn A∪X =B A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải. Vì A ∪ X = B nên X chắc chắn có chứa các phần tử 1; 3; 4 Các tập X có thể là {1; 3; 4} , {1; 3; 4; 0} , {1; 3; 4; 2} , {1; 3; 4; 0; 2} Chọn đáp án C  Câu 17.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 84/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Cho A, B là hai tập hợp được minh họa như hình vẽ. Phần tô đen trong hình vẽ là tập hợp nào sau đây? A. A ∩ B. B. A ∪ B. C. AB. D. BA. A B Lời giải. Chọn đáp án A  Câu 18. Cho A, B là hai tập hợp được minh họa như hình vẽ. Phần không bị tô đen trong hình vẽ là tập hợp nào sau đây? A. A ∩ B. B. A ∪ B. C. AB. D. BA. B A Lời giải.  Chọn đáp án D Câu 19. Cho A, B, C là ba tập hợp được minh họa như hình vẽ bên. Phần tô đen trong hình vẽ là tập hợp nào sau đây? A. (A ∪ B)C. C. (AC) ∪ (AB). A B. (A ∩ B)C. D. A ∩ B ∩ C. B C Lời giải.  Chọn đáp án B Câu 20. Lớp 10B1 có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý, 6 học sinh giỏi Hóa, 3 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 2 học sinh giỏi cả Lý và Hóa, 1 học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10B1 là A. 9. Lời giải. B. 10. C. 18. D. 28. Ta dùng biểu đồ Ven để giải:  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 85/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Giỏi Toán + Lý Lý Toán 1 2 Giỏi Hóa + Lý 1 1 1 3 1 Giỏi Toán + Hóa Hóa Nhìn vào biểu đồ, số học sinh giỏi ít nhất 1 trong 3 môn là: 1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 = 10 Chọn đáp án B  Câu 21. Lớp 10A1 có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý, 6 học sinh giỏi Hóa, 3 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 2 học sinh giỏi cả Lý và Hóa, 1 học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi đúng hai môn học của lớp 10A1 là A. 6. B. 7. C. 9. D. 10. Lời giải. Giỏi Toán + Lý Lý Toán 1 2 1 Giỏi Hóa + Lý 1 1 3 1 Giỏi Toán + Hóa Hóa Dựa vào biểu đồ ven trên, ta có số học sinh giỏi đúng hai môn học là 2 + 1 + 3 = 6  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 86/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP  Chọn đáp án A Câu ß22. Cho hai đa thức ™ f (x) và g(x). Xét các tập hợp A = {x ∈ R|f (x) = 0}, B = {x ∈ R|g(x) = 0}, f (x) = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? C = x ∈ R| g(x) A. C = A ∪ B. B. C = A ∩ B. C. C = AB. D. C = BA. Lời giải. ( f (x) = 0 f (x) Ta có: =0⇔ hay C = {x ∈ R|f (x) = 0, g(x) 6= 0} nên C = AB. g(x) g(x) 6= 0  Chọn đáp án C Câu 23. Cho hai đa thức f (x)và g(x). Xét các tập hợp A = {x ∈ R|f (x) = 0}, B = {x ∈ R|g(x) = 0}, C = {x ∈ R|f 2 (x) + g 2 (x) = 0}. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. C = A ∪ B. B. C = A ∩ B. C. C = AB. D. C = BA. Lời giải. Ta có f 2 (x) + g 2 (x) = 0 ⇔ ( f (x) = 0 g(x) = 0 nên C = {x ∈ R|f (x) = 0, g(x) = 0} nên C = A ∩ B.  Chọn đáp án B Câu 24. Cho các tập hợp E = {x ∈ R|f (x) = 0}, F = {x ∈ R|g(x) = 0} và H = {x ∈ R| f (x) · g(x) = 0}. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. H = E ∩ F . B. H = E ∪ F . C. H = EF . D. H = F E. Lời giải. " Ta có f (x)g(x) = 0 ⇔ f (x) = 0 . g(x) = 0 Vì H = {x ∈ R|f (x) = 0 ∨ g(x) = 0} nên H = E ∪ F .  Chọn đáp án B Câu 25. Cho tập hợp A 6= ∅. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. A∅ = ∅. B. ∅A = A. C. ∅∅ = A. D. AA = ∅. Lời giải.  Chọn đáp án D Câu 26. Cho tập hợp A 6= ∅. Mệnh đề nào sau đây sai? A. A ∪ ∅ = ∅. B. ∅ ∪ A = A. C. ∅ ∪ ∅ = ∅. D. A ∪ A = A. Lời giải. Ta có A ∪ ∅ = ∅ ∪ A = A.  Chọn đáp án A Câu 27. Cho tập hợp A 6= ∅. Mệnh đề nào sau đây sai? A. A ∩ ∅ = A. B. ∅ ∩ A = ∅. C. ∅ ∩ ∅ = ∅. D. A ∩ A = A. Lời giải. Ta có A ∩ ∅ = ∅.  Chọn đáp án A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 87/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Câu 28. Cho M, N là hai tập hợp khác rỗng. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M N ⊂ N . B. M N ⊂ M . C. (M N ) ∩ N 6= ∅. D. M N ⊂ M ∩ N . Lời giải. Ta có x ∈ (M N ) ⇔ ( x∈M x∈ / N.  Chọn đáp án B Câu 29. Cho hai tập hợp M, N thỏa mãn M ⊂ N . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M ∩ N = N . B. M N = N . C. M ∩ N = M . D. M N = M . Lời giải. N M  Chọn đáp án C Câu 30. Mệnh đề nào sau đây sai? A. A ∩ B = A ⇔ A ⊂ B. B. A ∪ B = A ⇔ B ⊂ A. C. AB = A ⇔ A ∩ B = ∅. D. AB = ∅ ⇔ A ∩ B 6= ∅. Lời giải.  Chọn đáp án D Câu 31. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. A. N ∪ N∗ = N∗ . B. N∗ ∩ R = N∗ . C. Z ∪ Q = Q. D. Q ∩ R = Q. Lời giải. Do N∗ ⊂ N nên N ∪ N∗ = N. Chọn đáp án A  Câu 32. Cho hai tập hợp A =[− 1; 5) và B = [2; 10]. Khi đó tập hợp A ∩ B bằng A. [2; 5). Lời giải. B. [−1; 10]. C. (2; 5) . D. [−1; 10). Biểu diễn hai tập A và B trên cùng trục số ta được A ∩ B = [2; 5).  Chọn đáp án A Câu 33. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. A. N ∪ N∗ = N∗ . B. N∗ ∩ R = N∗ . C. R∗ ∪ N = R∗ . D. N ∩ R∗ = N. Lời giải. Vì N∗ ⊂ N nên N ∪ N∗ = N  Chọn đáp án A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 88/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Câu 34. Cho 2 tập hợp M = (2; 11] và N = [2; 11). Khi đó M ∩ N là A. (2;11). B. [2;11]. C. 2. D. 11. Lời giải. Ta có: M ∩ N = (2; 11). Chọn đáp án A  Câu 35. Cho A = {a; b; c} và B = {a; c; d; e}. Hãy chọn khẳng định đúng. A. A ∩ B = {a; b; c; d; e}. C. A ∩ B = {a; c}. B. A ∩ B = {a}. D. A ∩ B = {d; e}. Lời giải. Ta có A = {a; b; c} và B = {a; c; d; e} nên A ∩ B = {a; c}.  Chọn đáp án C Câu 36. Số phần tử của tập hợp {−4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5} N∗ bằng A. 4. B. 6. C. 5. D. 0. Lời giải. {−4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5} N∗ = {−4; −3; −2; −1; 0}. Chọn đáp án C  Câu 37. Tập hợp A = (−2; 3] ∪ (1; 6] là tập A. (−2; 1]. B. (−2; 6). C. (−2; 6]. D. (1; 3]. Lời giải. A = (−2; 3] ∪ (1; 6] = (−2; 6].  Chọn đáp án C Câu 38. Cho X là tập hợp các số nguyên tố nhỏ hơn 9, Y là tập hợp các số nguyên dương chẵn nhỏ hơn 10, K là tập hợp các ước nguyên dương của 12. Tập hợp X ∪ (Y ∩ K) được viết dưới dạng liệt kê phần tử là A. {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. B. {2; 3; 4; 6}. C. {2; 3; 5; 7}. D. {2; 3; 4; 5; 6; 7}. Lời giải. X = {2; 3; 5; 7}, Y = {2; 4; 6; 8}, K = {1; 2; 3; 4; 6; 12}. Khi đó Y ∩ K = {2; 4; 6}, X ∪ (Y ∩ K) = {2; 3; 4; 5; 6; 7}.  Chọn đáp án D Câu 39. Cho hai tập hợp E = (−∞; 6] và F = [−2; 7]. Khi đó E ∩ F là A. E ∩ F = [−2; 6]. B. E ∩ F = (−∞; 7]. C. E ∩ F = [6; 7]. Lời giải. Ta có E ∩ F = [−2; 6]. D. E ∩ F = (−∞; −2).  −2   6 7  Chọn đáp án A Câu 40. Cho A = (−∞; −2], B = [3; +∞), C = (0; 4). Tìm tập (A ∪ B) ∩ C. A. [3; 4). B. [3; 4]. C. (−∞; −2] ∪ (3; +∞). D. (−∞; −2) ∪ [3; +∞).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 89/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Lời giải. Ta có A ∪ B = (−∞; −2] ∪ [3; +∞) ⇒ (A ∪ B) ∩ C = [3; 4).  Chọn đáp án A Câu 41. Cho hai tập hợp A = (−3; 3) và B = (0; +∞). Tìm A ∪ B. A. A ∪ B = (−3; +∞). B. A ∪ B = [−3; +∞). C. A ∪ B = [−3; 0). D. A ∪ B = (0; 3). Lời giải. Tập hợp A = (−3; 3) có biểu diễn là ( ) −3 3 / / / / / / / / / / / −∞ Tập hợp B = (0; +∞) có biểu diễn là / / / / / / / / / / +∞ / / / / / / / / / / / / / / / / ( −∞ +∞ 0 Do đó A ∪ B = (−3; +∞).  Chọn đáp án A Câu 42. Cho hai tập hợp A = [−2; 3] và B = (1; +∞). Tìm A ∩ B. A. A ∩ B = [−2; +∞). B. A ∩ B = (1; 3]. C. A ∩ B = [1; 3]. D. A ∩ B = (1; 3). Lời giải. Tập hợp A = [−2; 3] có biểu diễn là [ ] −2 3 / / / / / / / / / / −∞ Tập hợp B = (1; +∞) có biểu diễn là / / / / / / / / / +∞ / / / / / / / / / / / / / / / / ( −∞ +∞ 1 Do đó A ∩ B = (1; 3].  Chọn đáp án B Câu 43. Cho hai tập hợp A = (−∞; 2] và B = (0; +∞). Tìm A B. A. A B = (−∞; 0]. B. A B = (2; +∞). C. A B = (0; 2]. D. A B = (−∞; 0). Lời giải. Tập hợp A = (−∞; 2] có biểu diễn là ] −∞ Tập hợp B = (0; +∞) có biểu diễn là / / / / / / / / / +∞ 2 / / / / / / / / / / / / / / / / ( −∞ +∞ 0 Do đó A B = (−∞; 0].  Chọn đáp án A Câu 44. Cho A = {x ∈ R | |mx − 3| = mx − 3}, B = {x ∈ R | x2 − 4 = 0}. Tìm m để B A = B. 3 3 A. − ≤ m ≤ . 2 2 Lời giải. 3 B. m < . 2 3 3 C. − < m < . 2 2 3 D. m ≥ − . 2 3  m • Ta có |mx − 3| = mx − 3 ⇔ mx − 3 ≥ 0 ⇔  3 m < 0, x ≤ . m   Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em m > 0, x ≥ Trang 90/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Å ò ï ã 3 3 Do đó, nếu m < 0 thì A = −∞; ; nếu m > 0 thì A = ; +∞ . m m • Ta có x2 − 4 = 0 ⇔ m = ±2 ∈ R. Do đó B = {−2; 2}.  A=∅ (1) ( • Ta có B A = B ⇔   − 2 6∈ A (2) 2 6∈ A. TH1. (1) ⇔ m = 0.  3  −2> m ⇒ −2 > 3 ⇔ m > − 3 . TH2. Nếu m < 0 thì (2) ⇔  m 2 2 > 3 m 3 Tóm lại, − < m < 0 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2  3  −2< m ⇒ 2 < 3 ⇔ m < 3. TH3. Nếu m > 0 thì (2) ⇔ 3  m 2 2 < m 3 Tóm lại, 0 < m < thì thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 3 3 Kết hợp ba trường hợp, vậy − < m < thì thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 2 Chọn đáp án C  Câu 45. Cho A = {2; 5}, B = {2; 3; 5} tập hợp A ∪ B bằng tập hợp nào sau đây? A. {2; 3; 5}. B. {2; 5}. C. {2; 3}. D. {5}. Lời giải. Có A ∪ B = {2; 3; 5}.  Chọn đáp án A Câu 46. Tập hợp D = [0; 5] ∩ (2; 7) là tập hợp nào sau đây? A. (2; 5]. Lời giải. B. (−4; 9]. C. (−6; 2]. D. [−6; 2]. Ta có D = [0; 5] ∩ (2; 7) = (2; 5].  Chọn đáp án A Câu 47. Cho hai tập hợp X = {7; 8; 9} và Y = {1; 3; 7; 4}. Tập hơp X ∪ Y bằng tập hợp nào sau đây? A. {1; 2; 3; 4; 8; 9; 7}. B. {1; 3; 4; 7; 8; 9}. C. {1; 3}. D. {2; 8; 9; 12}. Lời giải. Ta có X ∪ Y = {7; 8; 9} ∪ {1; 3; 7; 4} = {1; 3; 4; 7; 8; 9}. Chọn đáp án B  Câu 48. Cho hai tập hợp A = {−1; 0; 2; 5} và B = {1; 2; 3; 5}. Xác định tập hợp A B. A. A B = {−1; 0}. C. A B = {−1; 0; 1; 2; 3; 5}. B. A B = {1; 3}. D. A B = {2; 5}. Lời giải. Ta có A B = {−1; 0}.  Chọn đáp án A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 91/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Câu 49. Cho A = {1; 2; 3; 4; 6; 12} và B = {1; 2; 3; 6; 9}. Tập A ∩ B là tập nào? A. {1; 3; 6}. B. {4; 9; 12}. C. {1; 2; 3; 4; 6}. D. {1; 2; 3; 6}. Lời giải. Ta có: A ∩ B = {x|x ∈ A và x ∈ B} ⇒ A ∩ B = {1; 2; 3; 6} Chọn đáp án D  Câu 50. Cho tập hợp số sau A = (−2; 5], B = (2; 9]. Tập hợp A ∩ B là A. (−2; 2]. Lời giải. B. (−2; 9]. C. (−2; 2). D. (2; 5]. Biểu diễn hai tập hợp A, B trên trục số ( −2 ( 2 ] 5 ] 9 Từ đó, ta có A ∩ B = (2; 5].  Chọn đáp án D Câu 51. Cho tập hợp A = (2; 5], B = (3; 8). Tập hợp A B là A. (3; 5). B. (2; 8]. C. (2; 3]. D. [3; 5]. Lời giải. Ta có: A B = {x ∈ A|x ∈ / B} ⇒ A B = (2; 3] Chọn đáp án C  Câu 52. Cho tập hợp A = [−2; 1] và B = (0; +∞). Tập A ∪ B là tập nào? A. [−2; +∞). B. [1; +∞). C. [−2; 0). D. (0; 1]. Lời giải. Ta có: A ∪ B = {x|x ∈ A hoặc x ∈ B} ⇒ A ∪ B = [−2; +∞)  Chọn đáp án A Câu 53. Cho A = {x ∈ N|x ≤ 3}, B = {0; 1; 2; 3}. Tập A ∩ B bằng A. {1; 2; 3}. B. {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3}. C. {0; 1; 2}. D. {0; 1; 2; 3}. Lời giải. Ta có A = {0; 1; 2; 3}. Do đó A ∩ B = {0; 1; 2; 3}. Chọn đáp án D  Câu 54. Cho các tập hợp A, B, C được minh họa bằng biểu đồ Ven như hình bên. Phần tô màu xám trong hình là biểu diễn của tập hợp nào sau đây? A. A ∩ B ∩ C. B. (A C) ∪ (A B). C. (A ∪ B) C. Lời giải. A B C D. (A ∩ B) C. Phần tô màu xám trong hình là biểu diễn của tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc tập hợp A, vừa thuộc tập hợp B và không thuộc tập hợp C, tức là tập hợp (A ∩ B) C.  Chọn đáp án D  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 92/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Câu 55. Cho A = {0; 1; 2; 3; 4}; B = {2; 3; 4; 5; 6}. Tập hợp A B bằng A. {1; 5}. B. {0}. C. {1; 2}. D. {0; 1}. Lời giải. Ta có A B = {0; 1}. Chọn đáp án D  −1 Câu 56. Cho hai tập hợp A = ; 1; 2 ß ™ ß 2 ™ −1 −1 A. . B. ;1 . 2 2 Lời giải. ß ™ và B = {x ∈ Z | 2x2 − x − 1 = 0}. Khi đó A ∩ B là C. {1}. D. {1; 2}.  ™ ß x=1 1 2 Xét phương trình 2x − x − 1 = 0 ⇔ (x − 1)(2x + 1) = 0 ⇔  1 . Suy ra B = 1; − 2 . x=− 2 ß ™ −1 Do đó A ∩ B = ;1 . 2 Chọn đáp án B  Câu 57. Một lớp học có 50 học sinh trong đó có 30 em biết chơi bóng chuyền, 25 em biết chơi bóng đá, 10 em biết chơi cả bóng đá và bóng chuyền. Hỏi có bao nhiêu em không biết chơi môn nào trong hai môn ở trên? A. 15. B. 5. C. 20. D. 45. Lời giải. Gọi tập A là tập học sinh biết chơi bóng chuyền. Tập B là tập học sinh biết chơi bóng đá. Khi đó số học sinh biết chơi ít nhất một trong hai môn bóng chuyền hoặc bóng đá là |A ∪ B| = 30 + 25 − 10 = 45. Vậy số học sinh không biết chơi môn nào là 50 − 45 = 5.  Chọn đáp án B Câu 58. Cho tập hợp A = {1; 2; 4; 5}, B = {2; 4; 6}. Xác định tập hợp A ∪ B. A. {1; 2; 4; 5; 6}. B. {1; 5}. C. {1; 2; 3; 4; 5; 6}. D. {2; 4}. Lời giải. A ∪ B = {1; 2; 4; 5; 6} .  Chọn đáp án A Câu 59. Cho hai tập hợp A = (−∞; 1 − m]; B = [1; +∞). Tìm tất cả các giá trị của m để A ∩ B = ∅. A. m > 0. B. m ≥ 0. C. m 6= 0. D. m < 0. Lời giải. A ∩ B = ∅ ⇔ 1 − m < 1 ⇔ m > 0.  Chọn đáp án A Câu 60. Cho hai tập hợp A = {x ∈ N|x2 < 15} ; B = {x ∈ Z| − 2 ≤ x ≤ 2}. Tập hợp A B có bao nhiêu phần tử?  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 93/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP A. 1. 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP B. 3. C. 4. D. 2. Lời giải. √ √ Ta có: x2 < 15 ⇔ − 15 < x < 15. Mà x ∈ N nên x ∈ {0; 1; 2; 3}. ⇒ A =({0; 1; 2; 3}. x∈Z Ta có: ⇔ x ∈ {−2; −1; 0; 1; 2}. −2≤x≤2 ⇒ B = {−2; −1; 0; 1; 2}. Vậy A B = {3}. ⇒ Số phần tử của A B là 1.  Chọn đáp án A Câu 61. Cho A = {x ∈ R | x + 1 ≥ 0}, B = {x ∈ R | 4 − x ≥ 0}. Khi đó A B là A. [−1; 4]. B. [4; +∞). C. (4; +∞). D. (−∞; −1). Lời giải. A = {x ∈ R | x + 1 ≥ 0} = [−1; +∞); B = {x ∈ R | 4 − x ≥ 0} = (−∞; 4] Nên A B = (4; +∞).  Chọn đáp án C √ √ Câu 62. Cho hai tập hợp A = [−1; 3) và B = [ 2; 3]. Mệnh đề nào sau đây là đúng? √ √ √ A. A ∩ B = ( 2; 3). B. A B = [−1; 2]. √ C. B A = [ 3; 3]. D. A ∪ B = R (−1; 3). Lời giải. Ta có √ √ • A ∩ B = [ 2; 3). √ • A B = [−1; 2). • A ∪ B = [−1; 3]. √ • B A = [ 3; 3].  Chọn đáp án C Câu 63. Cho tập X = {−2; −1; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, Y = {−1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 9; 10}. Tập hợp X Y là tập hợp nào sau đây? A. {−2}. B. {−2; 6; 7; 8}. C. {6; 7; 8}. D. {9; 10}. Lời giải. Ta có X Y = {−2; 6; 7; 8}.  Chọn đáp án B Câu 64. Cho tập hợp X = {x ∈ R|x ≤ 10} và tập hợp Y = {x ∈ R|x ≥ 5}. Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào bằng X ∩ Y ? A. (5; 10). B. (−∞; 5]. C. [10; +∞). D. [5; 10]. Lời giải. Ta có X = (−∞; 10], Y = [5; +∞). Suy ra X ∩ Y = [5; 10].  Chọn đáp án D  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 94/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Câu 65. Cho X = {2; 4; 6; 8; 10} và Y = {1; 2; 3; 4}. Tìm X ∩ Y . A. X ∩ Y = {2; 4}. B. X ∩ Y = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 10}. C. X ∩ Y = {1; 3}. D. X ∩ Y = {6; 8; 10}. Lời giải. X ∩ Y = {2; 4}.  Chọn đáp án A Câu 66. Cho hai tập hợp A = {3; 5; 7} và B = {2; 4; 6}.Tìm A ∪ B. A. A ∪ B = {3; 5; 7}. B. A ∪ B = {2; 4; 6}. C. A ∪ B = {2; 3; 4; 5; 6; 7}. D. A ∪ B = ∅. Lời giải. A ∪ B = {2; 3; 4; 5; 6; 7}. Chọn đáp án C  Câu 67. Cho tập A = {1; 2; 3; 4; 5};B = {3; 4; 5; 6; 7}. Tìm A B. A. A B = {6; 7}. B. A B = {3; 4; 5}. C. A B = {1; 2}. Lời giải. D. A B = {1; 2; 3; 4; 5}. A B = {1; 2}. Chọn đáp án C  Câu 68. Cho các tập hợp A = (−∞; m) và B = [3m − 1; 3m + 3]. Tìm m để A ∩ B = ∅. 1 1 1 1 A. m > . B. m ≥ . C. m < . D. m ≤ . 2 2 2 2 Lời giải. 1 A ∩ B = ∅ ⇔ m ≤ 3m − 1 ⇔ m ≥ . 2 Chọn đáp án B  Câu 69. Cho hai tập hợp A = {−1; 0; 2; 4; 6; 10}, B = {−1; 0; 3; 4; 6; 8}. Tìm khẳng định sai. A. A ∩ B = {−1; 0; 4; 6}. B. A ∩ B = {2; 4; 6; 10}. C. AB = {2; 10}. D. A ∪ B = {−1; 0; 2; 3; 4; 6; 8; 10}. Lời giải. Dễ thấy phần chung của A và B là tập hợp các phần tử {−1; 0; 4; 6} nên khẳng định A ∩ B = {2; 4; 6; 10} là sai.  Chọn đáp án B Câu 70. Cho tập hợp A = (−∞; 3] và B = (1; +∞). Tập hợp A ∪ B là A. (−∞; 1]. Lời giải. A B B. (−∞; 3]. C. (−∞; 1) ∪ (1; 3]. ] 3 D. (−∞; +∞). A∪B ( 1  Chọn đáp án D Câu 71. Cho tập hợp A = (−∞; 4] và B = (1; +∞). Tập hợp BA là  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 95/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP A. (4; +∞). Lời giải. A 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP B. (−∞; 1). C. [1; +∞). ] 4 BA ( 1 B D. [4; +∞). ( 4  Chọn đáp án A Câu 72. Cho hai tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4} và B = {2, 3, 4, 5, 6}. Tìm tập hợp (A B) ∪ (B A). A. {0, 1, 5, 6}. Lời giải. B. {1, 2}. C. {2, 3, 4}. D. {5, 6}. Ta có A B = {0, 1} , B A = {5, 6}. Suy ra (A B) ∪ (B A) = {0, 1, 5, 6}.  Chọn đáp án A   Câu 73. Cho hai tập hợp A = x ∈ R x + 2 ≥ 0 và B = x ∈ R 5 − x ≥ 0 . Tìm tập hợp AB. A. [−2; 5]. B. [−2; 6]. C. (5; +∞). D. (2; +∞). Lời giải. Ta có A = [−2; +∞) , B = (−∞; 5]. Suy ra A B = (5; +∞).  Chọn đáp án C Câu 74. Cho ba tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 9}, B = {0; 2; 4; 6; 8; 9}, C = {3; 4; 5; 6; 7}. Tính tích các phần tử của tập hợp A ∩ (B C). A. 18. B. 11. C. 2. D. 7. Lời giải. Ta có BC = {0; 2; 8; 9}. Khi đó A ∩ (BC) = {2; 9}. Vậy tích các phần tử là 2 · 9 = 18. Chọn đáp án A  Câu 75. Cho A = {2; 4; 6; 9} và B = {1; 2; 3; 4}. Khi đó tập hợp A B là tập nào sau đây? A. ∅. Lời giải. B. {6; 9; 1; 3}. C. {1; 2; 3; 5}. D. {6; 9}. A B = {x| x ∈ A và x ∈ / B}. Từ giả thiết ta có A B = {6; 9}.  Chọn đáp án D Câu 76. Nếu (−3; 5)(−∞; b) = ∅ thì b phải thoả điều kiện nào sau đây. A. b ≤ −3. B. b > 5. C. b ≤ 5. D. −3 < b < 5. Lời giải. Để (−3; 5)(−∞; b) = ∅ thì b ≤ −3. Chọn đáp án A  Câu 77. Cho tập A = {0; 2; 4; 6; 8}; B = {3; 4; 5; 6; 7}. Tập A B là A. {0; 6; 8}.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. {0; 2; 8}. C. {3; 6; 7}. Trang 96/2406 D. {0; 2}. ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Lời giải. Ta có A B = {0; 2; 8}.  Chọn đáp án B Câu 78. Tập hợp nào sau đây chỉ gồm các số vô tỷ? A. Q N∗ . B. R Q. C. Q Z. D. R {0}. Lời giải. Tập hợp chỉ gồm các số vô tỷ là R Q.  Chọn đáp án B Câu 79. Cho các tập hợp A, B, C được minh họa bằng biểu đồ Ven như hình bên. Phần tô màu trong hình là biểu diễn của tập hợp nào sau đây? B A A. A ∩ B ∩ C. B. (A C) ∪ (A B). C C. (A ∪ B) C. D. (A ∩ B) C. Lời giải. Sử dụng phép toán giao hai tập hợp để tìm A ∩ B, từ đó suy ra đáp án (A ∩ B) C.  Chọn đáp án D Câu 80. Cho A, B là các tập khác rỗng và A ⊂ B. Khẳng định nào sau đây sai? A. A ∩ B = A. B. A ∪ B = A. C. B A 6= ∅. D. A B = ∅. Lời giải. Vì A ⊂ B nên A ∪ B = B. Vậy mệnh đề A ∪ B = A sai. Chọn đáp án B  Câu 81. Cho A = (−∞; −2], B = [3; +∞), C = (0; 4). Khi đó tập (A ∪ B) ∩ C là A. (−∞; −2] ∪ (3; +∞). B. (−∞; −2) ∪ [3; +∞). C. [3; 4). D. [3; 4]. Lời giải. Ta có A ∪ B = (−∞; −2] ∪ [3; +∞). Suy ra (A ∪ B) ∩ C = [3; 4). Chọn đáp án C  Câu 82. Trong lớp 10A có 35 học sinh, trong đó có 15 em thích môn Văn, 17 em thích môn Toán, 7 em không thích môn nào. Số học sinh thích cả hai môn là A. 13 học sinh. B. 11 học sinh. C. 3 học sinh. D. 4 học sinh. Lời giải. Số học sinh thích ít nhất một trong hai môn Văn và Toán là 35 − 7 = 28 học sinh. Số học sinh thích cả hai môn là 15 + 17 − 28 = 4 học sinh.  Chọn đáp án D  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 97/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Câu 83. Cho các tập A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} và C = {3, 4, 5, 6}. Tìm tập hợp (A ∪ B)∩C. A. (A ∪ B) ∩ C = {3, 4, 5, 6}. B. (A ∪ B) ∩ C = {4, 5, 6}. C. (A ∪ B) ∩ C = {3, 5, 6}. D. (A ∪ B) ∩ C = {3, 4, 6}. Lời giải. Ta có A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8} ⇒ (A ∪ B) ∩ C = {3, 4, 6}. Chọn đáp án D Å Câu 84. Tìm tất cả các giá trị thực âm của tham số m để hai khoảng (−∞; 2m) và  ã 2 ; +∞ có m giao khác rỗng. A. −1 < m < 0. B. −1 < m < 1. C. m < 0. Lời giải. 2 luôn có nghĩa. Với m < 0 thì m Giao của hai tập đã cho khác rỗng khi hai tập hợp này có phần tử chung 2 ⇔ 2m2 < 2 (vì m < 0) ⇔ 2(m − 1)(m + 1) < 0. ⇔ 2m > m Vì m < 0 nên ta xét các trường hợp sau D. m < −1. • Nếu m < −1 thì m + 1 < 0, m − 1 < 0, suy ra 2(m − 1)(m + 1) > 0. Vậy m < −1 không thỏa yêu cầu bài toán. • Nếu −1 < m < 0 thì m + 1 > 0, m − 1 < 0, suy ra 2(m − 1)(m + 1) < 0. Vậy giá trị cần tìm của m là −1 < m < 0.  Chọn đáp án A Câu 85. Cho ba tập hợp A, B, C khác rỗng. Khẳng định nào sau đây đúng? A. (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = A. C. (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ⊂ B. B. (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ⊂ A. D. (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ⊂ C. Lời giải. Ta có (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C ⊂ C.  Chọn đáp án D Câu 86. Cho tập E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} và hai tập A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8}. Tìm CE (A ∪ B). A. CE (A ∪ B) = {5, 6, 7}. B. CE (A ∪ B) = {5, 7, 9}. C. CE (A ∪ B) = {6, 7, 8}. D. CE (A ∪ B) = {7, 8, 9}. Lời giải. Ta có A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8} ⇒ CE (A ∪ B) = {5, 7, 9}.  Chọn đáp án B Câu 87. Cho tập E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} và hai tập A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8}. Tìm CE A ∩ CE B. A. CE A ∩ CE B = {5, 6, 7}. C. CE A ∩ CE B = {5, 7, 9}. B. CE A ∩ CE B = {5, 7, 8}. D. CE A ∩ CE B = {7, 8, 9}. Lời giải. ( CE A = {5, 6, 7, 8, 9} Ta có ⇒ CE A ∩ CE B = {5, 7, 9}. CE B = {1, 3, 5, 7, 9}  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 98/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP  Chọn đáp án C Câu 88. Xét các tập hợp X, Y có cùng số phần tử. Biết rằng số phần tử của tập hợp X ∪ Y và X Y lần lượt là 35 và 15. Tìm số phần tử của tập hợp X. A. 35. B. 20. C. 50. D. 15. Lời giải. Có 15 phần tử của tập X không phải là phần tử của tập Y nên số phần tử của tập hợp X ∪ Y bằng số phần tử sẵn có của Y cộng thêm số phần tử thuộc tập X Y . Do đó, tập X và tập Y cùng có 20 phần tử.  Chọn đáp án B Câu 89. Cho hai tập hợp A và B thỏa A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5}, A ∩ B = {2} và A B = {4; 5}. Khi đó tập hợp B là A. {3}. B. {1; 2; 3}. C. {2; 3}. D. {2; 5}. Lời giải. Ta có A = (A B) ∪ (A ∩ B) = {2; 4; 5}. Mặt khác A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5} và A ∩ B = {2} ⇒ B = {1; 2; 3}. Chọn đáp án B  Câu 90. Cho A = {x ∈ R | |mx − 3| = mx − 3}, B = {x ∈ R | x2 − 4 = 0}. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để B A = B. 3 3 3 A. − 6 m 6 . B. m < . 2 2 2 Lời giải. 3 3 C. − < m < . 2 2 " Ta có x ∈ A ⇔ mx − 3 > 0. Và x ∈ B ⇔ 3 D. m > − . 2 x=2 x = −2.  m=0    m > 0 m=0    3   3 3 3 > 2 ⇔ 0 < m < Ta có B A = B ⇔ B ∩ A = ∅ ⇔  ⇔ − < m < .  m  2 2 2   3  m < 0  − −1. Tìm tất cả các giá trị của a để A∩B 6= ∅.  5 5 a> a< 1 5   2 . 2 . B.  C. − 6 a < . A.  1 1 3 2 a>− a<− 3 3 Lời giải. " Å ã ï ã 5 ≤ 2a 1 5 ⇔ a ∈ −∞; − A∩B =∅⇔ ∪ ; +∞ . 3 2 3a + 1 < 0 ï ã 1 5 Suy ra A ∩ B 6= ∅ ⇔ a ∈ − ; thỏa mãn điều kiện a > −1. 3 2 Chọn đáp án C 1 5 D. − 6 a 6 . 3 2  Câu 95. Lớp 10A có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý, 6 học sinh giỏi Hoá, 3 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hoá, 2 học sinh giỏi cả Lý và Hoá, 1 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hoá. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán hoặc Lý hoặc Hoá) của lớp 10A là A. 9. B. 18. C. 10. D. 28. Lời giải. Vẽ biểu đồ Ven biểu diễn cho mỗi liên hệ giữa các tập hợp học sinh giỏi Toán, Lý, Hoá. Và gọi a, b, c, x, y, z, m là số phần tử của mỗi tập hợp thành phần (như trênhình vẽ).    x + m = 3 x=2         y + m = 2 y = 1 Theo giả thiết ⇔   z+m=4 z=3           m=1 m = 1.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 100/2406 Toán a Lý x b m y z Hoá c ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP     a + x + z + m = 7 a=1     Cũng theo giả thiết b + x + y + m = 5 ⇒ b = 1       c+y+z+m=6 c = 1. Vậy số học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn Toán, Lý, Hoá là a + b + c + x + y + z + m = 10.  Chọn đáp án C   Câu 96. Cho hai tập hợp A = x ∈ R (x2 − 1) (x2 − 3x + 4) = 0 và B = x ∈ Z |x| ≤ 2 . Tìm tập hợp A ∪ B. A. {−2, −1, 0, 1, 2}. C. {−1, 1}. B. {−2, −1, 0, 1, 2, −4}. D. {−2, 0, 2}. Lời giải. Ta có A = {−1, 1} , B = {−2, −1, 0, 1, 2}. Suy ra A ∪ B = {−2, −1, 0, 1, 2}.  Chọn đáp án A   Câu 97. Cho tập hợp A = x ∈ R (x2 − 1)(x2 − 4) = 0 và tập hợp B = x ∈ Z |x| ≤ 2 . Khi đó, tập A ∪ B là A. {−2, −1, 0, 1, 2}. B. {−4, −2, −1, 0, 1, 2, 4}. C. {−2, −1, 1, 2}. Lời giải. D. {−2, 0, 2}. A = {−2, −1, 1, 2} , B = {−2, −1, 0, 1, 2}. Nên A ∪ B = {−2, −1, 0, 1, 2}  Chọn đáp án A Câu 98. Cho tập hợp B = x ∈ N∗ x ≤ 4 và tập hợp A gồm những số tự nhiên lẻ không lớn hơn 8. Tìm tập hợp A ∩ B.  A. {1, 3}. B. {1, 2, 3, 4}. C. {0, 1, 3, 5}. D. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}. Lời giải. A = {1, 3, 5, 7} ; B = {1, 2, 3, 4}. Nên A ∩ B = {1, 3}. Chọn đáp án A Câu 99. Biểu diễn trên [ 0 A. ) 0 C. Lời giải.  trục số của tập hợp R ((−3; 4) ∩ [0; 2)) là hình nào? ( ) − 3 2 B. ] [ [ − 3 2 2 D. ] 4 Ta có (−3; 4) ∩ [0; 2) = [0; 2) ⇒ R ((−3; 4) ∩ [0; 2)) = (−∞; 0) ∩ [2; +∞) nên được biểu diễn trên trục số là ) 0 [ 2  Chọn đáp án C Câu 100. Cho A là tập các số nguyên dương và chia hết cho 6, B là tập hợp các số nguyên chia hết cho 2, C là tập hợp các số nguyên chia hết cho 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 101/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP A. A ∩ B = ∅. Lời giải. Ta có ∀x ∈ B ∩ C ⇔ 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP B. A ∪ B = C. C. A ∩ C = B. D. B ∩ C = A.  x … 2 . ⇔ x .. 6 ⇔ x ∈ A ⇒ A = B ∩ C. ⇔  .. x∈C x.3 ( x∈B  Chọn đáp án D Câu 101. Cho các tập hợp A = {a, b}, B = {1, 2, 3}, C = {b, c} và D = {2, 3, 4}, trong đó a, b, c ∈ R và a, b, c ∈ / B, D là các phần tử khác nhau từng đôi một. Tìm tập hợp E = (A ∪ B) ∩ (C ∪ D). A. E = {a, 2, 3}. B. E = {b, 2, 3}. C. E = {2, 3, 4}. D. E = {a, b, c}. Lời giải. ( A ∪ B = {a, b, 1, 2, 3} Ta có ⇒ E = (A ∪ B) ∩ (C ∪ D) = {b, 2, 3}. C ∪ D = {b, c, 2, 3, 4} Chọn đáp án B  Câu 102. Cho các tập hợp A = {a, b}, B = {1, 2, 3}, C = {b, c} và D = {2, 3, 4}, trong đó a, b, c ∈ R và a, b, c ∈ / B, D là các phần tử khác nhau từng đôi một. Tìm tập hợp E = (A ∩ B) ∪ (C ∩ D). A. E = {a, c}. B. E = {b, 2}. C. E = ∅. D. E = {b, 2, 3}. Lời giải. ( A∩B =∅ ⇒ E = (A ∩ B) ∪ (C ∩ D) = ∅. Ta có C ∩D =∅  Chọn đáp án C Câu 103. Với giả thiết nào dưới đây thì có thể kết luận A ∩ B = A ∪ B? A. A B = ∅. B. B ⊂ A. C. A ⊂ B. D. A = B. Lời giải. Khi A = B thì A ∩ B = A ∩ A = A và A ∪ B = A ∪ A = A. Do đó A ∩ B = A ∪ B.  Chọn đáp án D Câu 104. Để phục vụ cho hội nghị quốc tế, ban tổ chức cần huy động các phiên dịch viên tiếng Anh và tiếng Pháp. Biết rằng trong những người này có 25 người phiên dịch được tiếng Anh, 12 người phiên dịch được tiếng Pháp, trong đó có 8 người phiên dịch được cả hai thứ tiếng. Hỏi ban tổ chức đã huy động tất cả bao nhiêu phiên dịch viên? A. 45. Lời giải. B. 37. C. 33. D. 29. • Số người chỉ phiên dịch được tiếng Anh là S1 = 25 − 8 = 17 người. • Số người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp là S2 = 12 − 8 = 4 người. • Số người phiên dịch được cả tiếng Anh và tiếng Pháp là S3 = 8 người. Vậy ban tổ chức đã huy động tất cả S = S1 + S2 + S3 = 17 + 4 + 8 = 29 người.  Chọn đáp án D Câu 105. Cho 2 tập hợp A = {x ∈ R | (2x − x2 )(2×2 − 3x − 2) = 0}, B = {n ∈ N | 3 < n2 < 30}, chọn mệnh đề đúng? A. A ∩ B = {2}. B. A ∩ B = {5; 4}. C. A ∩ B = {2; 4}. D. A ∩ B = {3}. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 102/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Xét tập hợp A = {x ∈ R | (2x − x2 )(2x2 − 3x − 2) = 0} ta có  x=0 ™ ß 2  2x − x = 0 1 1  2 2 . (2x − x )(2x − 3x − 2) = 0 ⇔ ⇔ x = − ⇒ A = 0; 2; −  2 2 2x2 − 3x − 2 = 0 x=2 " Xét tập hợp B = {n ∈ N|3 < n2 < 30} = {2; 3; 4; 5}. Vậy A ∩ B = {2}.  Chọn đáp án A Câu 106. Cho A = (−∞; m + 1]; B = (−1; +∞). Điều kiện để A ∪ B = R là A. m > −1. Lời giải. B. m > −2. C. m > 0. D. m > −2. Ta có: (A ∪ B) = R ⇔ −1 6 m + 1 ⇔ m > −2.  Chọn đáp án B Câu 107. Tập hợp nào dưới đây là giao của hai tập hợp A = {x ∈ R : − 1 6 x < 3}, B = {x ∈ R : |x| < 2} ? A. (−1; 2). B. [0; 2). C. (−2; 3). D. [−1; 2). Lời giải. Ta viết lại hai tập hợp như sau: A = {x ∈ R : − 1 6 x < 3} = [−1; 3). B = {x ∈ R : |x| < 2} = (−2; 2). Suy ra A ∩ B = [−1; 2).  Chọn đáp án D Câu 108. Cho hai tập hợp A = [1 − 2m; m + 3], B = {x ∈ R | x > 8 − 5m} với m là một tham số thực. Tìm tất cả các giá trị m để A ∩ B = ∅. 5 2 5 2 5 A. m > . B. m < − . C. m 6 . D. − 6 m < . 6 3 6 3 6 Lời giải. Ta có A = [1 − 2m; m + 3], B = [8 − 5m; +∞).  5 ( (  m < m + 3 < 8 − 5m 6m < 5 6 ⇔ −2 6 m < 5. A∩B =∅ ⇔ ⇔ ⇔  3 6 1 − 2m 6 m + 3 3m > −2 m > − 2 3  Chọn đáp án D Câu 109. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. A ∪ A = A. B. A ∪ ∅ = A. C. Nếu A ⊂ B thì A ∪ B = B. D. Nếu A ⊂ B thì A ∪ B = A. Câu 110. Một lớp 10 có 35 học sinh giỏi môn Anh Văn hoặc Văn. Trong đó có 20 học sinh giỏi Anh Văn, 24 học sinh giỏi Văn. Số học sinh giỏi cả hai môn là A. 9. B. 8. C. 6. D. 7. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 103/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Gọi A, B lần lượt là tập hợp học sinh giỏi Anh Văn, Văn. Ta có A ∪ B là tập hợp học sinh giỏi Anh Văn hoặc Văn. Suy ra: A ∪ B = A + B − (A ∩ B). Vậy (A ∩ B) = A + B − (A ∪ B). Số học sinh giỏi cả hai môn là 9.  Chọn đáp án A Câu 111. Cho (P ) : y = 2×2 + bx + c. Xác định b, c biết (P ) nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng và đi qua điểm A(−2; 5). Lời giải.  (  −b = 1 b = −4 Ta có hệ: ⇔ 4  8 − 2b + c = 5 c = −11 Vậy (P ) : y = 2×2 − 4x − 11.  Câu 112. Cho P ⇔ Q là mệnh đề đúng. Khẳng định nào sau đây là sai? A. P ⇔ Q sai. B. P ⇔ Q đúng. C. P ⇔ Q sai. D. Q ⇔ P . Lời giải. Ta có: P ⇔ Q là mệnh đề đúng thì P ⇒ Q đúng và Q ⇒ P đúng. Khi đó: P ⇒ Q đúng và Q ⇒ P đúng. Suy ra P ⇔ Q đúng. Vậy đáp án A sai.  Chọn đáp án A Câu 113. Cho A = {1; 2; 3; 4; 6; 8}, B là tập các ước nguyên dương của 18. Số phần tử của A ∪ B là A. 6. B. 4. C. 8. D. 5. Lời giải. Ta có B = {1; 2; 3; 6; 9; 18}. Vậy A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 18}. Số phần tử của A ∪ B.  Chọn đáp án C Câu 114. Lớp 10A7 có 10 học sinh giỏi Toán, 15 học sinh giỏi Tiếng Anh, 5 học sinh giỏi cả hai môn và 17 học sinh không giỏi môn nào. Tính số học sinh lớp 10A7. A. 37. B. 42. C. 47. D. 32. Câu 115. Kết quả nào sau đây là sai? A. (−2; 5] ∪ (1; 9) = (−2; 9). C. (−2; 5] ∩ (1; 9) = (1; 5]. B. R(1; +∞) = (−∞; 1). D. (−2; 5] ∩ (−9; −2) = ∅. Lời giải. Ta có R(1; +∞) = (−∞; 1]  Chọn đáp án B Câu 116. Tất cả các học sinh lớp 10A đều tham gia tập luyện bóng rổ hoặc cầu lông. Trong đó có 18 học sinh tập bóng rổ, 12 học sinh tập cầu lông và 3 học sinh tập cả hai môn. Lớp 10A có bao nhiêu học sinh? A. 27. B. 30. C. 33. D. 24. Câu 117. Cho AB = {0; 2; 5; 9}, B A = {1; 3; 4; 7; 8} và A∪B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} thì  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 104/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP A. A = {0; 2; 5; 6; 9} và B = {1; 3; 4; 7; 8; 10}. B. A = {0; 2; 5; 6; 9; 10} và B = {1; 3; 4; 6; 7; 8; 10}. C. A = {0; 2; 5; 6; 9; 10} và B = {1; 3; 4; 7; 8}. D. A = {0; 2; 5; 9; 10} và B = {1; 3; 4; 6; 7; 8}. Câu 118. Gọi A là tập hợp các học sinh của một lớp học có 53 học sinh, B và C lần lượt là tập hợp các học sinh thích môn Toán, tập hợp các học sinh thích môn Văn của lớp này. Biết rằng có 40 học sinh thích môn Toán và 30 học sinh thích môn Văn. Tìm số phần tử lớn nhất có thể có của tập hợp B ∩ C. A. 31. B. 29. C. 30. D. 32. Lời giải. ( n(B ∩ C) ≤ n(B) Ta có n(B ∩ C) ≤ n(C). Suy ra max n(B ∩ C) = min{n(B), n(C)} = 30. 53 40 max =? 30  Chọn đáp án C Câu 119. Lớp 10A có 10 học sinh giỏi Toán, 15 học sinh giỏi Văn, 5 học sinh giỏi cả hai môn và 17 học sinh không giỏi môn nào. Tính số học sinh lớp 10A. A. 37. B. 42. C. 47. D. 32. Lời giải. • Số học sinh giỏi môn Toán hoặc môn Văn là 10 + 15 − 5 = 20. • Học sinh lớp 10A gồm học sinh giỏi Toán hoặc giỏi Văn và học sinh không giỏi môn nào. Vậy số học sinh của lớp là 20 + 17 = 37.  Chọn đáp án A Câu 120. Trong số 42 học sinh của lớp 10A có 13 bạn được xếp loại học lực giỏi, 22 bạn được xếp loại hạnh kiểm tốt, trong đó 7 bạn vừa học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng? Biết rằng muốn được khen thưởng thì bạn đó phải có học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt. A. 35. Lời giải. B. 20. C. 28. D. 7. Gọi tập hợp các học sinh học lực giỏi là G, tập hợp các bạn học sinh hạnh kiểm tốt là T . Khi đó tập hợp các bạn học sinh vừa có học lực giỏi là, vừa có hạnh kiểm tốt là G ∩ T , tập hợp các bạn học sinh đạt học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt là G ∪ T . Ta có |G| = 13, |T | = 22, |G ∩ T | = 7. Do đó |G ∪ T | = |G| + |T | − |G ∩ T | = 13 + 22 − 7 = 28.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 105/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP  Chọn đáp án C ã 4 ; +∞ 6= ∅ là Câu 121. Cho số thực a < 0. Điều kiện cần và đủ để (−∞; 9a) ∩ a 2 3 2 3 A. − < a < 0. B. − < a < 0. C. − 6 a < 0. D. − 6 a < 0. 3 4 3 4 Lời giải.  2 ã Å a> 4 4  3 ; +∞ 6= ∅ ⇔ 9a > ⇔  (−∞; 9a) ∩ 2 a a − < a < 0. 3 2 Vì a < 0 nên giá trị của a cần tìm là − < a < 0. 3 Chọn đáp án A Å  Câu 122. Lớp 10A có 10 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý, 11 học sinh giỏi Hóa, 6 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 5 học sinh giỏi cả Hóa và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 3 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A là A. 19. B. 18. C. 31. D. 49. Lời giải. Theo giả thiết đề bài cho, ta có biểu đồ Ven A B 3 3 2 3 1 2 5 C Dựa vào biểu đồ Ven, ta có học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) lớp 10A là 3 + 3 + 3 + 1 + 2 + 2 + 5 = 19.  Chọn đáp án A Câu 123. Cho tập hợp A 6= ∅. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. A ∪ ∅ = A. Lời giải. B. A ∪ ∅ = ∅. C. A ∪ A = ∅. D. ∅ ∪ A = ∅. • A ∪ ∅ = A (đúng). • A ∪ ∅ = A nên A ∪ ∅ = ∅ (sai). • A ∪ A = A nên A ∪ A = ∅ (sai). • ∅ ∪ A = A nên ∅ ∪ A = ∅ (sai).  Chọn đáp án A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 106/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Câu 124. Cho hai tập hợp X = {7, 2, 8, 4, 9, 12} và Y = {1, 3, 7, 4}. Tìm tập hợp X ∩ Y . A. {1, 2, 3, 4, 8, 9, 7, 12}. B. {2, 8, 9, 12}. C. {4, 7}. D. {1, 3}. Lời giải. Ta có X ∩ Y = {4, 7}.  Chọn đáp án C Câu 125. Cho hai tập hợp X = {2, 4, 6, 9} và Y = {1, 2, 3, 4}. Tìm tập hợp X ∪ Y . A. {1, 3} . B. {6, 9}. C. {1, 2, 3, 4, 6, 9}. D. {2, 4}. Lời giải. Ta có X ∪ Y = {1, 2, 3, 4, 6, 9}.  Chọn đáp án C Câu 126. Cho hai tập hợp A = {−2, 0, 1, 4, 6, 8} và B = {−2, 1, 4, 5, 6, 7}. Tìm tập hợp A ∩ B. A. {−2, 1, 4, 6}. B. {−2, 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8}. C. {0, 1, 8}. Lời giải. D. {1, 4, 7}. Ta có A ∩ B = {−2, 1, 4, 6}.  Chọn đáp án A ß Câu 127. Cho hai tập hợp M = ™ 1 , 1, 5, 7, 9 và N = {−2, 0, 5, 7, 8}. Tìm tập hợp M ∪ N . 2 ß ™ 1 B. −2, 0, , 9 . ß ™2 1 D. , 1, 9 . 2 A. {−2, 0, 5, 9}. ™ ß 1 C. −2, 0, , 1, 5, 7, 8, 9 . 2 Lời giải. ß ™ 1 Ta có M ∪ N = −2, 0, , 1, 5, 7, 8, 9 . 2 Chọn đáp án C  Câu 128. Cho hai tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4} và B = {−2, 0, 3, 4, 6}. Tìm tập hợp A ∩ B. A. {0, 3, 4}. Lời giải. B. {−2, 0, 3}. C. {0, 3, 6}. D. {0, 3, 4, 6}. Ta có A ∩ B = {0, 3, 4}.  Chọn đáp án A Câu 129. Cho hai tập hợp A = {−1, 0, 5} và B = {1, 2, 3, 4}. Tìm tập hợp A ∪ B. A. {0, 1, 2, 3, 4, 5}. B. {−1, 0, 1, 2, 3, 4}. C. {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. D. {−1, 0, 5}. Lời giải. Ta có A ∪ B = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Chọn đáp án C  Câu 130. Cho các tập hợp A = {1; 2; 3; 4}, B = {2; 4; 5; 8}. Tìm tập hợp A ∪ B. A. A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 8}. C. A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8}. B. A ∪ B = {1; 2; 3; 5; 8}. D. A ∪ B = {1; 3; 4; 5; 8}. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 107/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Theo định nghĩa của hợp hai tập hợp A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 8}.  Chọn đáp án A Câu 131. Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau về tập hợp A ∩ B. A. Tập hợp A ∩ B gồm các phần tử thuộc A mà không thuộc B. B. Tập hợp A ∩ B gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B. C. Tập hợp A ∩ B gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B. D. Tập hợp A ∩ B gồm các phần tử thuộc B mà không thuộc A. Lời giải. • Tập hợp A ∩ B gồm các phần tử thuộc A mà không thuộc B. Sai vì các phần tử thuộc A mà không thuộc B là tập hợp A B. • Tập hợp A ∩ B gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B. Sai vì các phần tử thuộc A hoặc thuộc B là tập hợp A ∪ B. • Tập hợp A ∩ B gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B. Đúng • Tập hợp A ∩ B gồm các phần tử thuộc B mà không thuộc A. Sai vì các phần tử thuộc B mà không thuộc A là tập hợp B A. Chọn đáp án C  Câu 132. Cho hai tập hợp A = {5; 7; 9} và B = {2; 3; 5; 8; 9}. Tìm tập hợp A ∩ B. A. A ∩ B = {5; 9}. B. A ∩ B = {5; 7; 9}. C. A ∩ B = {7}. D. A ∩ B = {2; 3; 8}. Lời giải. Ta có A ∩ B = {5; 9}.  Chọn đáp án A Câu 133. Cho tập hợp A = (−10; 2), B = [−5; 4). Tập A ∩ B là tập nào sau đây? A. (2; 4). Lời giải. B. (−10; 4). C. [−5; 2). D. (−5; 2). Ta có A ∩ B = [−5; 2).  Chọn đáp án C Câu 134. Cho hai tập hợp X = {1; 2; 4; 7; 9} và X = {−1; 0; 7; 10}. Tập hợp X ∪ Y có bao nhiêu phần tử? A. 9. B. 7. C. 8. D. 10. Lời giải. Ta có X ∪ Y = {−1; 0; 1; 2; 4; 7; 9; 10}. Do đó X ∪ Y có 8 phần tử. Chọn đáp án C   Câu 135. Cho các tập hợp A = {−2; 0; 2; 3; 4}, B = {−1; 0; 1; 2} và C = n = 3k /k ∈ N ∧ n < 82 . a) Xác định các tập hợp A ∪ B, A ∩ B, AB và BA. b) Liệt kê các phần tử của tập hợp C. Lời giải. a) A ∪ B = {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4}, A ∩ B = {0; 2}, AB = {−2; 3; 4} và BA = {−1; 1}. b) C = {1; 3; 9; 27; 81}.   Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 108/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Câu 136. Số lượng tập con của tập A = {a; b; c; d} có hai phần tử là A. 6. B. 8. C. 12. D. 4. Câu 137. Cho A = {x ∈ Z : |x| < 5} và B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Tập hợp A ∩ B có số phần tử là A. 6. B. 4. C. 5. D. 9. Lời giải. Ta có A = {−4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4}, suy ra A ∩ B = {1; 2; 3; 4}.  Chọn đáp án B Câu 138. Cho các tập hợp: A = {1; 2; 5; 8}, B = {2; 4; 5; 6; 7; 9}. Hãy tìm A ∪ B, A ∩ B. Lời giải. + A ∪ B = {1; 2; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. + A ∩ B = {2; 5}.  Câu 139. Cho hai tập hợp A = {a; b; c} và B = {a; d; e}. Tìm A ∪ B. A. A ∪ B = {a; b; e}. B. A ∪ B = {a; b; d; e}. C. A ∪ B = {a; b; c; d; e}. D. A ∪ B = {a; b; d}. Lời giải. Ta có A ∪ B = {a; b; c; d; e}.  Chọn đáp án C Câu 140. Cho hai tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4} và Y = {2, 3, 4, 5, 6}. Tìm tập hợp X Y . A. {0}. B. {0, 1}. C. {1, 2}. D. {1, 5}. Lời giải. Ta có X Y = {0, 1}.  Chọn đáp án B Câu 141. Cho hai tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} và B = {−2, 1, 4, 6}. Tìm tập hợp A B. A. {0, 2, 3, 5}. B. {0, 1, 2, 3, 4}. C. {1, 4}. D. {−2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Lời giải. Ta có A B = {0, 2, 3, 5}.  Chọn đáp án A Câu 142. Cho hai tập hợp A = {0, 2, 4, 6, 8} và B = {0, 2, 4}. Tìm tập hợp CA B. A. {0, 2, 4, 6}. B. {0, 2, 4, 8}. C. {2, 4}. D. {6, 8}. Lời giải. Ta có B ⊂ A và A B = {6, 8} ⇒ CA B = {6, 8}.  Chọn đáp án D Câu 143. Cho hai tập hợp X = {1, 5} và Y = {1, 3, 5}. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. CY X = {3}. B. CY X = {1}. C. CY X = {1, 3, 5}. D. CY X = {1, 3, 5}. Lời giải. Ta có X ⊂ Y và Y X = {3} ⇒ CY X = {3}.  Chọn đáp án A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 109/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Câu 144. Cho hai tập hợp A = {1, 2, 3, 4} và B = {2, 4, 6, 8}. Tìm tập hợp A B. A. {1, 2, 3}. B. {1, 3}. C. {6, 8}. D. {2, 4, 6}. Lời giải. Ta có A B = {1, 3}. Chọn đáp án B  Câu 145. Cho hai tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} và B = {2, 4, 6}. Tìm tập hợp CA B. A. {2, 4, 6}. Lời giải. B. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. C. {1, 2, 3, 4, 5, 6}. D. {1, 3, 5, 7}. Ta có CA B = A B = {1, 3, 5, 7}.  Chọn đáp án D Câu 146. Cho hai tập hợp A = {−3, 20, 2, 0, 5}, B = {−3, 2, 0}. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. A B = {20, 5}. B. A ∩ B = {−3, 20}. C. A ∪ B = {−3, 20, 0, 5}. D. A ∪ B = {−3, 2, 0}. Lời giải.  / B = {20, 5}. Ta có A B = x x ∈ A, x ∈ Chọn đáp án A  √ Câu 147. Kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân của 3 7 = 1, 912931183 là A. 1, 91. B. 1, 92. C. 1, 913. D. 1, 912. Lời giải. √ Do làm tròn đến hai chữ số thập phân nên ta có 3 7 ≈ 1,91  Chọn đáp án A Câu 148. Kết quả làm tròn đến chữ số hàng nghìn của x = 268342534 là A. 268340000. B. 2683432000. C. 268343000. D. 268342500. Lời giải. Làm tròn đến chữ số hàng nghìn ta được x ≈ 268343000.  Chọn đáp án C √ Câu 149. Kết quả làm tròn đến ba chữ số thập phân của 3 100 ≈ 4, 641588834 là A. 4, 641. B. 4, 642. C. 4, 6416. D. 4, 64. Lời giải. Làm tròn đến ba chữ số thập phân ta được x ≈ 4, 642. Chọn đáp án B  Câu 150. Kết quả làm tròn đến đến hàng phần trăm của số 284, 85472 là A. 284, 86. B. 284, 85. C. 284, 855. D. 284, 8547. Lời giải. Làm tròn đến hàng phần trăm của 284, 85472 là 284, 85.  Chọn đáp án B Câu 151. Theo thống kê dân số thế giới tính đến ngày 16/01/2017, dân số Việt Nam có 94970587 người. Kết quả làm tròn đến chữ số hàng nghìn của dân số nước ta là  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 110/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP A. 94970600. 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP B. 94971000. C. 94970500. D. 94970000. Lời giải. Làm tròn đến chữ số hàng nghìn của 94970587 là 94971000.  Chọn đáp án B Câu 152. Cho a = 1, 7059 ± 0, 001, kết quả làm tròn số a = 1, 7059 là A. 1, 71. B. 1, 706. C. 1, 7. D. 1, 705. Lời giải. Do d = 0, 001 nên ta làm tròn đến hàng phần trăm, do đó a ≈ 1, 71. Chọn đáp án A  Câu 153. Cho a = 123564 ± 100. Kết quả làm tròn số x = 123564 là A. 12360. Lời giải. B. 123000. C. 123570. D. 124000. Do d = 100 nên ta làm tròn đến chữ số hàng nghìn.  Chọn đáp án D Câu 154. Cho a = 472539 ± 200, kết quả quy tròn của số a = 472539 là A. 472000. B. 472500. C. 472600. D. 473000. Lời giải. Do d = 200 nên ta làm tròn đến chữ số hàng nghìn.  Chọn đáp án D Câu 155. Cho a = 4, 72539 ± 0, 001. Kết quả quy tròn của số 472539 là A. 4, 73. B. 4, 725. C. 4, 72. D. 4, 726. Lời giải. Do d = 0, 001 nên ta làm tròn đến chữ số hàng phần trăm. Chọn đáp án A  Câu 156. Cho số gần đúng x = 6341275 với độ chính xác d = 300. Kết quả quy tròn của x là A. 6341300. Lời giải. B. 6341280. C. 6341000. D. 6342000. Vì độ chính xác đến hàng trăm (d = 300) nên ta quy tròn a đến hàng nghìn theo quy tắc làm tròn.  Chọn đáp án C  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 111/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP ĐÁP ÁN 1. D 11. D 2. B 12. A 3. B 13. B 4. D 14. C 5. B 15. C 6. B 16. C 7. B 17. A 8. B 18. D 9. A 19. B 10. D 20. B 21. A 22. C 23. B 24. B 25. D 26. A 27. A 28. B 29. C 30. D 31. A 32. A 33. A 34. A 35. C 36. C 37. C 38. D 39. A 40. A 41. A 51. C 42. B 52. A 43. A 53. D 44. C 54. D 45. A 55. D 46. A 56. B 47. B 57. B 48. A 58. A 49. D 59. A 50. D 60. A 61. C 62. C 63. B 64. D 65. A 66. C 67. C 68. B 69. B 70. D 71. A 72. A 73. C 74. A 75. D 76. A 77. B 78. B 79. D 80. B 81. C 91. D 82. D 92. B 83. D 93. D 84. A 94. C 85. D 95. C 86. B 96. A 87. C 97. A 88. B 98. A 89. B 99. C 90. C 100. D 101. B 102. C 103. D 104. D 105. A 106. B 107. D 108. D 109. D 110. A 112. A 113. C 114. A 115. B 116. A 117. B 118. C 119. A 120. C 121. A 122. A 132. A 123. A 133. C 124. C 134. C 125. C 136. A 126. A 137. B 127. C 139. C 128. A 140. B 129. C 141. A 130. A 142. D 131. C 143. A 144. B 145. D 146. A 147. A 148. C 149. B 150. B 151. B 152. A 153. D 154. D 155. A 156. C  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 112/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ §4 CÁC TẬP HỢP SỐ A 1 TÓM TẮT LÍ THUYẾT CÁC TẬP HỢP SỐ Đà HỌC Định nghĩa. Tập hợp các số tự nhiên N = {0, 1, 2, 3, . . .} và N∗ = {1, 2, 3 . . .}. Định nghĩa. Tập hợp các số nguyên Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}. a với a, b ∈ Z, b 6= 0. b Định nghĩa. Tập hợp các số thực kí hiệu R, gồm các số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn và vô Định nghĩa. Tập hợp các số hữu tỉ kí hiệu Q, là số viết được dưới dạng phân số hạn không tuần hoàn. Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ. 2 CÁC TẬP CON THƯỜNG DÙNG CỦA R Trong toán học ta thường gặp các tập hợp con sau đây của tập hợp các số thực R a. Khoảng  (a; b) = {x ∈ R|a < x < b} a (a; +∞) = {x ∈ R|a < x} a b  (−∞; b) = {x ∈ R|x < b} b b. Đoạn [a; b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}   a b c. Nửa khoảng [a; b) = {x ∈ R|a ≤ x < b} (a; b] = {x ∈ R|a < x ≤ b} [a; +∞) = {x ∈ R|a ≤ x}   a b  a  b a  (−∞; b) = {x ∈ R|x ≤ b} b Kí hiệu +∞ đọc là dương vô cực (hoặc dương vô cùng), kí hiệu −∞ đọc là âm vô cực (hoặc âm ! vô cùng).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 113/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP B 4. CÁC TẬP HỢP SỐ CÁC DẠNG TOÁN | Dạng 1. Xác định giao - hợp của hai tập hợp a) Xác định giao của hai tập hợp ta làm như sau • Biểu diễn các tập hợp lên trục số. • Dùng định nghĩa giao để xác định các phần tử của tập hợp. b) Cho hai tập con của tập số thực A và B. Tìm A ∪ B ta làm như sau • Biểu diễn tập A trên trục số, gạch chéo phần không thuộc A. • Làm tương tự đối với tập B. • Phần không gạch chéo trên hình là A ∪ B. " c) Đối với hai tập A và B khác để tìm A ∪ B ta nhớ rằng x ∈ A ∪ B ⇔ x∈A x∈B ccc BÀI TẬP DẠNG 1 ccc Ví dụ 1. Xác định tập hợp (0; 3) ∪ (−3; 2) và biểu diễn trên trục số Lời giải. • Biểu diễn tập hợp A trên trục số  0 3 • Biểu diễn tập B trên trục số  −3 2 • Kết hợp hai trục số trên ta được tập A ∪ B = (−3; 3).  −3 3  Ví dụ 2. Cho m > 5. Xác định tập hợp [−2; m) ∪ [0; 4). Lời giải. Vì m > 5 nên m > 4 ⇒ [0; 4) ⊂ [−2; m) ⇒ [−2; m) ∪ [0; 4) = [−2; m).  Ví dụ 3. Cho hai tập hợp A = {x ∈ R| − 1 ≤ x ≤ 3}, B = {x ∈ R| − 2 < x < 2}. Tìm A ∩ B. −1 h 3i A Lời giải. −2  2  B ⇒ A ∩ B = [−1; 2).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Trang 114/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ Ví dụ 4. Xác định các tập hợp sau đây và biểu diễn chúng trên trục số. a) (0; 3) ∩ (2; 4) . b) R ∩ (−1; 1) . Lời giải. 0  3  a) 2  4  ⇒ (0; 3) ∩ (2; 4) = (2; 3) . b) −1  1  ⇒ R ∩ (−1; 1) = (−1; 1) .  Ví dụ 5. Cho các tập hợp A = {x ∈ R||x + 2| < 2}, B = {x ∈ R||x + 4| ≥ 3}, C = [−5; 3). Tìm các tập hợp a) A ∩ B. b) B ∩ C. c) A ∩ B ∩ C. d) A ∪ B. e) A ∩ B ∪ C. f) (A ∪ B) ∩ (B ∪ C). Lời giải. |x + 2| < 2 ⇔ −2 " 1 ” x ≤ −3 • 9 − x2 ≤ 0 ⇔ . Do đó B = (−∞; −3] ∪ [3; +∞). x≥3 x + 1  2x + 4 (   ≥ −1 ≥0   x ∈ (−∞; −3) ∪ [−2; +∞) x+1 x+1 x + 3 x + 3 • ≤1⇔ ⇔ ⇔ . ≤ 1 ⇔ −1 ≤   x+3 x+3 x ∈ (−3; −∞) x + 1 ≤ 1  −2 ≤ 0 x+3 x+3 Do đó C = [−2; +∞). Biểu diễn tập A trên trục số: ] ( −1 1 Biểu diễn tập B trên trục số: ] [ −3 3 Biểu diễn tập C trên trục số: [ −2 a) A ∩ B ∩ C = [3; +∞). b) (A ∪ B) = (−∞; −1] ∪ (1; +∞). (A ∪ B) ∩ C = [−2; −1] ∪ (1; +∞). c) (A ∪ C) = R. (A ∪ C) ∩ B = B = (−∞; −3] ∪ [3; +∞). d) (B ∪ C) = (−∞; −3] ∪ [−2; +∞) A ∩ (B ∪ C) = (−∞; −3] ∪ (1; +∞).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 116/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Xác định tập hợp [0; 5) ∪ (−4; 2) và biểu diễn trên trục số. Lời giải. Lần lượt biểu diễn hai tập hợp [0; 5) và (−4; 2) từ đó thu được tập hợp [0; 5) ∪ (−4; 2) = (−4; 5). được biểu diễn trên trục số sau  −4 5  Bài 2. Cho hai tập hợp A = [m + 1; 10) với m < 0 và tập hợp B = (5; 8). Hãy xác định tập hợp A ∪ B. Lời giải. Vì m < 0 ⇒ m + 1 < 1 < 5 ⇒ A ∪ B = [m + 1; 10) ∪ (5; 8) = [m + 1; 10).  Bài 3. Cho hai tập hợp A = {x ∈ R|1 < x ≤ 4}, B = {x ∈ R| − 3 < x}. Tìm A ∩ B. 1 4i  A Lời giải. −3  B ⇒ A ∩ B = (1; 4].  Bài 4. Cho A = [−2; 4] , B = (2; +∞) , C = (−∞; 3). Xác định các tập hợp sau đây và biểu diễn chúng trên trục số. a) A ∩ B, B ∩ C. b) R ∩ A, R ∩ B. Lời giải. −2 h 4i 2  A B 3  C a) A ∩ B = (2; 4] , B ∩ C = (2; 3). b) R ∩ A = [−2; 4] , R ∩ B = (2; +∞).   Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 117/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ Bài 5. Cho các tập hợp A = {x ∈ R| |2x − 1| ≤ 1}, B = {x ∈ R| |3x − 6| > 3}, C = [1; 2]. Tìm các tập hợp a) A ∩ B ∩ C. b) A ∪ B ∪ C. c) (A ∩ B) ∪ C. d) A ∪ (B ∩ C). Lời giải. a) A ∩ B ∩ C = ∅. b) A ∪ B ∪ C = (−∞; 2] ∪ (3; +∞). c) (A ∩ B) ∪ C = [0; 2]. d) A ∪ (B ∩ C) = [0; 1].  2 Bài 6. Cho các tập hợp A = {x ∈ R| x −4 1 − 3x ≥ 2}, C = [0; 3]. Tìm các tập > 0}, B = {x ∈ R| 2 1+x x+2 hợp a) A ∩ B ∩ C. b) A ∪ B ∪ C. c) (A ∩ B) ∪ C. d) A ∪ (B ∩ C). e) B ∩ (A ∪ C). f) (A ∪ B) ∩ C. Lời giải. a) A ∩ B ∩ C = ∅. 3 b) A ∪ B ∪ C = (−∞; −2) ∪ (−2; − ) ∪ [0; +∞). 5 c) (A ∩ B) ∪ C = (−∞; −2) ∪ [5; +∞) ∪ [0; 3]. d) A ∪ (B ∩ C) = (−∞; −2) ∪ (2; +∞). e) B ∩ (A ∪ C) = (−∞; −2) ∪ [5; +∞). f) (A ∪ B) ∩ C = (2; 3].  | Dạng 2. Xác định hiệu và phần bù của hai tập hợp • Biểu diễn các tập hợp lên trục số. • Dùng định nghĩa các phép toán hiệu, phần bù để xác định các phần tử của tập hợp. ccc BÀI TẬP DẠNG 2 ccc Ví dụ 1. Cho hai tập hợp A = {x ∈ R| − 1 ≤ x ≤ 3}, B = {x ∈ R| − 2 < x < 2}. Tìm A B, B A. −1 h 3i A Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 118/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ −2  2  B ⇒ A B = [2; 3] , B A = (−2; −1).  Ví dụ 2. Cho hai tập hợp A = {x ∈ R|1 < x ≤ 4}, B = {x ∈ R| − 3 < x}. Tìm CB A. 1  4i Lời giải. −3  A B ⇒ CB A = (−3; 1] ∪ (4; +∞).  Ví dụ 3. Xác định các tập hợp sau đây và biểu diễn chúng trên trục số. a) (0; 3) (2; 4) . b) R (−1; 1) . Lời giải. 0  3  a) 2  4  ⇒ (0; 3) (2; 4) = (0; 2] . b) −1  1  ⇒ R (−1; 1) . = (−∞; −1] ∪ [1; +∞) .  Ví dụ 4. Xác định các tập hợp sau đây và biểu diễn chúng trên trục số. a) R ((0; 1) ∪ (2; 3)). b) R ((3; 5) ∩ (4; 6)). Lời giải. a) 0  1  2  3  ⇒ R ((0; 1) ∪ (2; 3)) = (−∞; 0] ∪ [1; 2] ∪ [3; +∞). b) Ta có ((3; 5) ∩ (4; 6)) = (4; 5).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 119/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ 4  5  ⇒ R ((3; 5) ∩ (4; 6)) = (−∞; 4] ∪ [5; +∞).  Ví dụ 5. Cho hai nửa khoảng A = (−1; 0] , B = [0; 1). Tìm A B và CR A. Lời giải. −1  0i 0h A 1  B ⇒ A B = (−1; 0) và CR A = (−∞; −1] ∪ (0; +∞).  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho hai tập hợp A = {x ∈ R|x ≤ 2}, B = {x ∈ R| − 2 < x}. Tìm A B, B A. 2i A Lời giải. −2  B ⇒ A B = (−∞; −2] , B A = (2; +∞).  Bài 2. Cho hai tập hợp A = {x ∈ R| − 2 < x < 0 và 2 < x ≤ 4}, B = {x ∈ R| − 3 < x}. Tìm CB A. −2 0 2 4i    A Lời giải. −3  B ⇒ CB A = (−3; −2] ∪ [0; 2] ∪ (4; +∞).  Bài 3. Cho a, b, c, d là những số thực và a < b < c < d. Tìm (a; d) (b; c) và (b; d) (a; c). a c b d   | | Lời giải. a c b d   | | ⇒ (a; d) (b; c) = (a; b] ∪ [c; d).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 120/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP a | a  4. CÁC TẬP HỢP SỐ b  c b c  | d  | d | ⇒ (b; d) (a; c) = [c; d).  Bài 4. Cho A = [−2; 4] , B = (2; +∞) , C = (−∞; 3). Xác định các tập hợp sau đây và biểu diễn chúng trên trục số. a) A B, B A. b) R A, R B, R C. Lời giải. −2 h 4i A 2  B 3  C a) A B = [−2; 2] , B A = (4; +∞). b) R A = (∞; −2) ∪ (4; +∞) , R B = (−∞; 2] , R C = [3; +∞).  Bài 5. Cho hai nửa khoảng A = (0; 2] , B = [1; 4). Tìm CR (A ∪ B) và CR (A ∩ B). Lời giải. 0 4   A∪B 1h 2i A∩B ⇒ CR (A ∪ B) = (−∞; 0] ∪ [4; +∞) và CR (A ∩ B) = (−∞; 1) ∪ (2; +∞).  | Dạng 3. Tìm m thỏa điều kiện cho trước ccc BÀI TẬP DẠNG 3 ccc Ví dụ 1. Cho A = (−∞; m], B = [6; +∞). Tìm m để a) A ∩ B 6= ∅. b) (A ∩ B) ⊂ [1; 8]. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 121/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ a) Biểu diễn tập hợp A = (−∞; m] trên trục số: ] m Biểu diễn tập hợp B = [6; +∞) trên trục số: [ 6 A ∩ B 6= ∅ ⇔ m ≥ 6. b) Với m ≥ 6 : A ∩ B = [6; m]. (A ∩ B) ⊂ [1; 8] ⇔ m ≤ 8. Vậy 6 ≤ m ≤ 8 thỏa yêu cầu bài toán.  Ví dụ 2. Tìm m biết a) (−1; 3) ∩ (m; +∞) = ∅. b) (5; m) ∪ (3; 9) = (3; 9). c) (4; 12) (−∞; m) = ∅. Lời giải. a) Biểu diễn tập hợp (−1; 3) trên trục số: ( ) −1 3 Biểu diễn tập hợp (m; +∞) trên trục số: ( m (−1; 3) ∩ (m; +∞) = ∅ ⇔ m ≥ 3. b) Biểu diễn tập hợp (5; m) trên trục số: ( ) 5 m Biểu diễn tập hợp (3; 9) trên trục số: ( ) 3 9 (5; m) ∪ (3; 9) = (3; 9) ⇔ 5 ≤ m ≤ 9. c) Biểu diễn tập hợp (4; 12) trên trục số: ( ) 4 12 Biểu diễn tập hợp (−∞; m) trên trục số: ) m (4; 12) (−∞; m) = ∅ ⇔ m ≥ 12.   Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 122/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ Ví dụ 3. Cho 2 tập khác rỗng: A = (m − 1; 5] và B = (−3; 2m + 3); m 6= R. Tìm m để a) A ∩ B 6= ∅. b) A ⊂ B. c) B ⊂ A. d) (A ∩ B) ⊂ (−2; 4). Lời giải. Đầu tiên ta cần xét(điều kiện để 2 tập A, B khác ∅ là: ( m−1<5 m<6 ⇔ ⇔ −3 < m < 6 (∗). 2m + 3 > −3 m > −3 Với điều kiện (∗) ta có: a) A ∩ B 6= ∅ ⇔ 2m + 3 > m − 1 ⇔ m > −4. Đối chiếu với ( điều kiện (∗), các ( giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là m − 1 ≥ −3 m ≥ −2 b) A ⊂ B ⇔ ⇔ ⇔ m > 1. 2m + 3 > 5 m>1 Đối chiếu với ( điều kiện (∗), các ( giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là m − 1 ≤ −3 m ≤ −2 c) B ⊂ A ⇔ ⇔ ⇔ m ≤ −2. 2m + 3 ≤ 5 m≤1 Đối chiếu với điều kiện (∗), các giá trị m  thỏa yêu cầu bài toán là ( m ≥ −1 m − 1 ≥ −2 1 d) (A ∩ B) ⊂ (−2; 4) ⇔ ⇔ 1 ⇔ −1 ≤ m ≤ 2  2m + 3 ≤ 4 m≤ 2 ï Ví dụ 4. Cho tập A = m − 1; −3 < m < 6. 1 < m < 6. −3 < m ≤ −2. (thỏa yêu cầu điều kiện (∗)).  ò m+1 , B = (−∞; −3) ∪ [3; +∞). Tìm m để 2 a) A ⊂ B. b) (A ∩ B) = ∅. Lời giải. Trước tiên ta cần tìm điều kiện để tồn tại tập A là: m − 1 ≤ m+1 ⇔ m ≤ 3 (∗) 2 Biểu diễn tập hợp A trên trục số: [ ] m+1 m−1 2 Biểu diễn tập hợp B trên trục số: ) [ −3 3 " < −3 " m < −7 ⇔ 2 ⇔ . A ⊂ [3; +∞) m ≥ 4 m−1≥3 Đối chiếu điều kiện (∗), ta có m < −7 thỏa yêu cầu bài toán. a) A ⊂ B ⇔ A ⊂ (−∞; −3) m + 1  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 123/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ  ( m − 1 ≥ −3 m ≥ −2 b) A ∩ B = ∅ ⇔ m + 1 ⇔ ⇔ −2 ≤ m < 5.  m<5 <3 2 Đối chiếu điều kiện (∗), ta có −2 ≤ m ≤ 3 thỏa yêu cầu bài toán.  Ví dụ 5. Cho A = (−∞; m), B = [2m − 1; 2m + 2). Tìm m để a) A ∩ B = ∅. b) B ⊂ A. c) A ⊂ CR B. d) CR A ∩ B 6= ∅. Lời giải. Biểu diễn tập hợp A trên trục số: ) m Biểu diễn tập hợp B trên trục số: [ ) 2m − 1 2m + 2 a) A ∩ B = ∅ ⇔ m ≤ 2m − 1 ⇔ m ≥ 1. b) B ⊂ A ⇔ 2m + 2 < m ⇔ m < −2. c) CR B = (−∞; 2m − 1) ∪ (2m + 2; +∞). A ⊂ CR B ⇔ m ≤ 2m − 1 ⇔ m ≥ 1. d) CR A = [m; +∞). CR A ∩ B 6= ∅ ⇔ m ≤ 2m + 2 ⇔ m ≥ −2.  Ví dụ 6. Cho A = (m; m + 1), B = (4; 6). Tìm m để A ∪ B là 1 khoảng. Hãy xác định khoảng đó. Lời giải. Biểu diễn tập hợp A trên trục số: ( ) m m+1 Biểu diễn tập hợp B trên trục số: ( ) 4 6 ( 42+n Từ trên ta suy ra: A ∩ B = ∅ ⇔ n − 3 ≤ m ≤ 2 + n.  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm m để a) (1; m] ∩ (3; +∞) 6= ∅. b) (−∞; −2) ∪ [2m + 1; +∞) = R. c) (m − 2; 3) ⊂ [−1; 5]. Lời giải. a) 1 < m < 2. 3 b) m < − . 2 c) 1 ≤ m < 5.  Bài 2. Cho A = (−∞; m), B = [5m − 2; 5m + 5]. Tìm m để a) A ∩ B = ∅. b) B ⊂ A. c) A ⊂ (R B). d) (R A) ∩ B 6= ∅. Lời giải. 1 a) m ≥ . 2 5 b) m < − . 4 1 c) m ≥ . 2 5 d) m ≥ − . 4  ï ò m+3 Bài 3. Cho A = m − 3; , B = (−∞; −4) ∪ [4; +∞). Tìm m để 2 a) A ⊂ B. b) A ∩ B = ∅.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 125/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ Lời giải. " m < −11 a) . 7≤m<9 b) −1 ≤ m < 5.  BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 4. Cho các tập hợp A = {x ∈ R|x ≤ 3}; B = {x ∈ R| − 3 ≤ x ≤ 7}; C = {x ∈ N∗ |x ≤ 3} và D = {x ∈ Z| − 4 ≤ x ≤ 4}. Biểu diễn các tập A, B, C, D trên trục số và xác định tập hợp (A∩B)(C ∩D). Lời giải. Biểu diễn các tập trên trục số như sau • Tập A = {x ∈ R|x ≤ 3} = (−∞; 3]  3 • Tập B = {x ∈ R| − 3 ≤ x ≤ 7} = [−3; 7]   −3 7 • Tập A ∩ B = [−3; 3]   −3 3 • Tập C = {x ∈ N∗ |x ≤ 3} = {1, 2, 3} • Tập D = {x ∈ Z| − 4 ≤ x ≤ 4} = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} . ⇒ C ∩ D = {1, 2, 3} Từ đó ta có tập (A ∩ B)(C ∩ D) = [−3; 3] {1, 2, 3} = {x ∈ R| − 3 ≤ x ≤ 3, x 6= 1, 2, 3} .  a  Bài 5. Cho a > 0. Hãy xác định tập hợp (0; a] ∩ ; 2a {a}. 2 Lời giải. a  ; 2a trên trục số và nhớ rằng a > 0 thu được Ta lần lượt biểu diễn từng tập (0; a], 2 a  a i a  (0; a] ∩ ; 2a {a} = ; a {a} = ;a . 2 2 2   Bài 6. Cho a > 0. Hãy xác định tập hợp h a 3 ; 5a i ∪ (0; a) ∩ (3a; 6a) . Lời giải. i a Lần lượt biểu diễn các tập hợp ; 5a , (0; a), (3a; 6a) trên trục số và nhớ rằng a > 0 thu được 3 h a i  ; 5a ∪ (0; a) ∩ (3a; 6a) = (0; 5a] ∩ (3a; 6a) = (3a; 5a]. 3   Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 126/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM C Câu 1. Cho tập hợp X = (−∞; 2] ∩ (−6; +∞) Khẳng định nào sau đây đúng? A. X = (−∞; 2]. B. X = (−6; +∞). C. X = (−∞; +∞). D. X = (−6; 2]. Lời giải.  Chọn đáp án D Câu 2. Cho tập hợp X = {2011} ∩ [2011; +∞) Khẳng định nào sau đây đúng? A. X = {2011}. B. X = [2011; +∞). C. X = ∅. D. X = (−∞; 2011]. Lời giải.  Chọn đáp án A Câu 3. Cho tập hợp A = {−1; 0; 1; 2} Khẳng định nào sau đây đúng? A. A = [−1; 3) ∩ N. B. A = [−1; 3) ∩ Z. C. A = [−1; 3) ∩ N∗ . D. A = [−1; 3) ∩ Q. Lời giải. Ta có • [−1; 3) ∩ N = {0; 1; 2}. • [−1; 3) ∩ Z = {−1; 0; 1; 2}. • [−1; 3) ∩ N∗ = {1; 2}. • [−1; 3) ∩ Q là tập hợp các số hữu tỉ trong nửa khoảng [−1; 3).  Chọn đáp án B Câu 4. Cho A = [1; 4] , B = (2; 6) và C = (1; 2). Xác định X = A ∩ B ∩ C. A. X = [1; 6). B. X = (2; 4]. C. X = (1; 2]. D. X = ∅. Lời giải. Ta có A ∩ B = (2; 4] ⇒ A ∩ B ∩ C = ∅.  Å ã 1 Câu 5. Cho A = (−2; 2), B = (−1; −∞) và C = −∞; . Gọi X = A ∩ B ∩ C. Mệnh đề nào sau 2 đây đúng? ß ™ ß ™ 1 1 A. X = x ∈ R −1 ≤ x ≤ . B. X = x ∈ R −2 < x < . 2™ 2™ ß ß 1 1 C. X = x ∈ R −1 < x ≤ . D. X = x ∈ R −1 < x < . 2 2 Lời giải. Å ã 1 Ta có A ∩ B = (−1; 2) ⇒ A ∩ B ∩ C = −1; . 2 Chọn đáp án D  Chọn đáp án D Câu 6. Cho các số thực a, b, c, d thỏa a < b < c < d. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. (a; c) ∩ (b; d) = (b; c). B. (a; c) ∩ (b; d) = [b; c]. C. (a; c) ∩ (b; d] = [b; c]. D. (a; c) ∪ (b; d) = (b; d). Lời giải.  Chọn đáp án A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 127/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ Câu 7. Cho hai tập hợp A = {x ∈ R, x + 3 < 4 + 2x} và B = {x ∈ R, 5x − 3 < 4x − 1}. Có bao nhiêu số tự nhiên thuộc tập A ∩ B? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Ta có: x + 3 < 4 + 2x ⇔ x > −1 ⇒ A = (−1; +∞). 5x − 3 < 4x − 1 ⇔ x < 2 ⇒ B = (−∞; 2). Suy ra A ∩ B = (−1; 2) ⇒ có hai số tự nhiên là 0 và 1.  Chọn đáp án C Câu 8. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Q ∩ R = Q. B. N∗ ∩ R = N∗ . C. Z ∪ Q = Q. D. N ∪ N∗ = N∗ . Lời giải.  Chọn đáp án D Câu 9. Cho tập hợp A = [−4; 4] ∪ [7; 9] ∪ [1; 7). Khẳng đinh nào sau đây đúng? A. A = [−4; 7). B. A = [−4; 9]. C. A = (1; 8). D. A = (−6; 2]. Lời giải. Chọn đáp án B  Câu 10. Cho A = [1; 5), B = (2; 7) và C = (7; 10). Xác định X = A ∪ B ∪ C. A. X = [1; 10). B. X = {7}. C. X = [1; 7) ∪ (7; 10). D. X = [1; 10]. Lời giải.  Chọn đáp án C Câu 11. Cho A = (−∞; −2], B = [3; +∞) và C = (0; 4). Xác định X = (A ∪ B) ∩ C. A. X = [3; 4]. B. X = [3; 4). C. X = (−∞; 4). D. X = [−2; 4). Lời giải. Ta có A ∪ B = (−∞; −2] ∪ [3; +∞) ⇒ (A ∪ B) ∩ C = [3; 4).  Chọn đáp án B Câu 12. Cho hai tập hợp A = [−4; 7] và B = (−∞; −2) ∪ (3; +∞). Xác định X = A ∩ B. A. X = [−4; +∞). B. X = [−4; −2) ∪ (3; 7]. C. X = (−∞; +∞). D. X = [−4; 7]. Lời giải. Ta có A ∩ B = [−4; 7] ∩ (−∞; −2) ∪ (3; +∞) = [−4; −2) ∪ (3; 7]. Chọn đáp án B  Câu 13. Cho A = (−5; 1], B = [3; +∞) và C = (−∞; −2) Khẳng định nào sau đây đúng? A. A ∪ B = (−5; +∞). C. B ∩ C = ∅. B. B ∪ C = (−∞; +∞). D. A ∩ C = [−5; −2]. Lời giải. • A ∪ B = (−5; 1] ∪ [3; +∞) = (−5; +∞)(1; 3). • B ∪ C = [3; +∞) ∪ (−∞; −2) = (−∞; +∞)[−2; 3). • B ∩ C = [3; +∞) ∩ (−∞; −2) = ∅. • A ∩ C = (−5; 1] ∩ (−∞; −2) = (−5; −2)  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 128/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ  Chọn đáp án C Câu 14. Hình vẽ nào sau đây (phần không bị gạch) minh họa cho một tập con của tập số thực. Hỏi tập đó là tập nào? ) −3 A. R[−3; +∞). [ 3 B. R[−3; 3). C. R(−∞; 3). D. R(−3; 3). Lời giải.  Chọn đáp án B Câu 15. Hình vẽ nào sau đây (phần không bị gạch) minh họa cho tập A = {x ∈ R ||x| ≥ 1}? ] [ [ ] −1 1 −1 1 A. B. [ 1 1 C. D. Lời giải. " Ta có |x| ≥ 1 ⇔ x≥1 x ≤ −1 nên hình minh họa cho tập A đáp án A.  Chọn đáp án A Câu 16. Cho hai tập hợp A = {x ∈ R |x2 − 7x + 6 = 0} và B = {x ∈ R ||x| < 4 }. Khẳng định nào sau đây đúng? A. A ∪ B = A. B. A ∩ B = A ∪ B. C. (AB) ⊂ A. D. BA = ∅. Lời giải. " • x2 − 7x + 6 = 0 ⇔ x=1 ⇒ A = {1; 6} x=6 • |x| < 4 ⇒ −4 < x < 4 ⇒ B = (−4; 4). Do đó, AB = {6} ⊂ A.  Chọn đáp án C Câu 17. Cho A = [0; 3] , B = (1; 5) và C = (0; 1) Khẳng định nào sau đây sai? A. A ∩ B ∩ C = ∅. C. (A ∪ C)C = (1; 5). B. A ∪ B ∪ C = [0; 5). D. (A ∩ B)C = (1; 3]. Lời giải. • A ∩ B = [0; 3] ∩ (1; 5) = (1; 3] → − A ∩ B ∩ C = (1; 3] ∩ (0; 1) = ∅. • A ∪ B = [0; 3] ∪ (1; 5) = [0; 5) → − A ∪ B ∪ C = [0; 5) ∪ (0; 1) = [0; 5). • A ∪ C = [0; 3] ∪ (0; 1) = [0; 3] → − (A ∪ C)C = [0; 3](0; 1) = {0} ∪ [1; 3]. • A ∩ B = (1; 3] ⇒ (A ∩ B)C = (1; 3](0; 1) = (1; 3]  Chọn đáp án C Câu 18. Cho tập X = [−3; 2). Phần bù của X trong R là tập nào trong các tập sau? A. A = (−3; 2]. B. B = (2; +∞). C. C = (−∞; −3] ∪ (2; +∞).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em D. D = (−∞; −3) ∪ [2; +∞). Trang 129/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ Lời giải. Ta có CR A = RA = (−∞; −3) ∪ [2; +∞)  Chọn đáp án D Câu 19. Cho tập A = {∀x ∈ R ||x| ≥ 5}. Khẳng định nào sau đây đúng? A. CR A = (−∞; 5). B. CR A = (−∞; 5]. C. CR A = (−5; 5). D. CR A = [−5; 5]. Lời giải. Ta có A = {∀x ∈ R||x| ≥ 5} = (−∞; −5] ∪ [5; +∞) ⇒ A = (−5; 5).  Chọn đáp án C Câu 20. Cho CR A = (−∞; 3) ∪ [5; +∞) và CR B = [4; 7). Xác định tập X = A ∩ B. A. X = [5; 7). B. X = (5; 7). C. X = (3; 4). D. X = [3; 4). Lời giải. • CR A = (−∞; 3) ∪ [5; +∞) ⇒ A = [3; 5). • CR B = [4; 7) ⇒ B = (−∞; 4) ∪ [7; +∞). Suy ra X = A ∩ B = [3; 4).  Chọn đáp án D Câu 21. Cho hai tập hợp A = [−2; 3] và B = (1; +∞). Xác định CR (A ∪ B) A. CR (A ∪ B) = (−∞; −2]. B. CR (A ∪ B) = (−∞; −2). C. CR (A ∪ B) = (−∞; −2] ∪ (1; 3]. D. CR (A ∪ B) = (−∞; −2) ∪ [1; 3). Lời giải. Ta có A ∪ B = [−2; +∞) ⇒ CR (A ∪ B) = (−∞; −2).  Chọn đáp án B Câu 22. Cho hai tập hợp A = [−3; 7) và B = (−2; 4]. Xác định phần bù của B trong A A. CA B = [−3; 2) ∪ [4; 7). B. CA B = (−3; 2) ∪ [4; 7]. C. CA B = (−3; 2] ∪ (4; 7]. D. CA B = [−3; 2] ∪ (4; 7). Lời giải.  Chọn đáp án D Câu 23. Cho hai tập hợp A = (−4; 3) và B = (m − 7; m). Tìm giá trị thực của tham số m để B ⊂ A. A. m ≤ 3. B. m ≥ 3. C. m = 3. D. m > 3. Lời giải. Điều kiện: m ∈ R. Để B ⊂ A khi và chỉ khi ( m − 7 ≥ −4 m≤3 ⇔ ( m≥3 m≤3 ⇔ m = 3.  Chọn đáp án C 4 Câu 24. Cho số thực a < 0 và hai tập hợp A = (−∞; 9a), B = ( ; +∞). Tìm tất cả các giá trị thực a của tham số a để A ∩ B 6= ∅. 2 2 2 2 A. a = − . B. − ≤ a < 0. C. − < a < 0. D. a < − . 3 3 3 3 Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 130/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ 4 4 Để hai tập hợp A và B giao nhau khác rỗng khi và chỉ khi 9a > ⇔ 9a2 < 4 (do a < 0) ⇔ a2 < ⇔ a 9 2 − < a < 0. 3 Chọn đáp án C  Câu 25. Cho hai tập hợp A = [−2; 3) và B = [m; m + 5). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để A ∩ B 6= ∅ A. −7 < m ≤ −2. Lời giải. B. −2 < m ≤ 3. C. −2 ≤ m < 3. D. −7 < m < 3. Nếu giải trực tiếp thì hơi khó một chút. Nhưng ta đi giải mệnh đề phủ định thì đơn giản hơn, tức là đi tìm m để A ∩ B ="∅. " m≥3 m≥3 Ta có A ∩ B = ∅ ⇔ ⇔ thì A ∩ B = ∅. m+5<2 m ≤ −7 Suy ra để A ∩ B 6= ∅ thì −7 < m < 3. Chọn đáp án D  Câu 26. Cho hai tập hợp A = [−4; 1] và B = [−3; m]. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để A ∪ B = A. A. m ≤ 1. B. m = 1. C. −3 ≤ m ≤ 1. D. −3 < m ≤ 1. Lời giải. Điều kiện: m > −3. Để A ∪ B = A khi và chỉ khi B ⊂ A, tức là m ≤ 1. Đối chiếu điều kiện, ta được −3 < m ≤ 1. Chọn đáp án D  Câu 27. Cho hai tập hợp A = (−∞; m] và B = (2; +∞). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để A ∪ B = R. A. m > 0. Lời giải. B. m ≥ 2. C. m ≥ 0. D. m > 2.  Chọn đáp án B Câu 28. Cho hai tập hợp A = (m − 1; 5) và B = (3; +∞). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để AB = ∅. A. m ≥ 4. B. m = 4. C. 4 ≤ m < 6. D. 4 ≤ m ≤ 6. Lời giải. Điều kiện: m − 1 < 5 ⇔ m < 6. Để AB = ∅ khi và chỉ khi A ⊂ B, tức là 3 ≤ m − 1 ⇔ m ≥ 4. Đối chiếu điều kiện, ta được 4 ≤ m < 6  Chọn đáp án C Câu 29. Cho hai tập hợp A = (−∞; m) và B = [3m − 1; 3m + 3]. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để A ⊂ CR B. 1 1 1 1 A. m = − . B. m ≥ . C. m = . D. m ≥ − . 2 2 2 2 Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 131/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ Ta có CR B = (−∞; 3m − 1) ∪ (3m + 3; +∞). 1 Do đó, để A ⊂ CR B ⇔ m ≤ 3m − 1 ⇔ m ≥ . 2 Chọn đáp án B  Câu 30. Cho hai tập hợp A = [−1; 5) và B = [2; 10]. Khi đó tập hợp A ∩ B bằng A. [2; 5). Lời giải. B. [−1; 10]. C. (2; 5). D. [−1; 10). Ta có A ∩ B = [2; 5).  Chọn đáp án A Câu 31. Cho hai tập hợp A = [−1; 5) và B = [2; 10]. Khi đó tập hợp A ∩ B bằng A. [2; 5). B. [−1; 10]. C. (2; 5). D. [−1; 10). Lời giải. Biểu diễn hai tập A và B trên cùng trục số ta được A ∩ B = [2; 5). Chọn đáp án A  Câu 32. Cho hai tập hợp CR A = (0; +∞) và CR B = (−∞; −5) ∪ (−2; +∞). Xác định tập A ∪ B. A. A ∩ B = (−2; 0). B. A ∩ B = (−5; −2). C. A ∩ B = (−5; 0]. D. A ∩ B = [−5; −2]. Lời giải. Ta có CR A ∪ CR B = CR (A ∩ B) = (−∞; −5) ∪ (−2; +∞), suy ra A ∩ B = [−5; −2].  Chọn đáp án D Câu 33. Cho A = {x ∈ R|x ≤ 5}. Tập A là tập nào trong các tập hợp sau A. (−∞; 5). B. (5; +∞). C. (−∞; 5]. D. [−∞; 5). Lời giải. Theo định nghĩa về nửa khoảng ta có A = (−∞; 5].  Chọn đáp án C Câu 34. Cho hai tập hợp A = (−∞; 2m − 7) và B = (13m + 1; +∞). Số nguyên m nhỏ nhất thỏa mãn A ∩ B = ∅ là A. 2. B. −1. C. 0. D. 1. Lời giải. Ta có A ∩ B = ∅ ⇔ 2m − 7 ≤ 13m + 1 ⇔ 11m ≥ −8 8 ⇔ m≥− . 11 Do đó số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn A ∩ B = ∅ là m = 0. Chọn đáp án C  Câu 35. Cho hai tập hợp khác rỗng A = (m − 1; 4] và B = (−2; 2m + 2), với m ∈ R. Tìm m để A ∩ B 6= ∅. A. m < 5. B. −3 < m < 5. C. −3 < m. D. −2 < m < 5. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 132/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP Hai tập A, B khác rỗng ⇔ 4. CÁC TẬP HỢP SỐ ( m−1<4 ⇔ −2 < m < 5. 2m + 2 > −2 Ta có A ∩ B = ∅ ⇔ 2m + 2 ≤ m − 1 ⇔ m ≤ −3. (1) (2) Từ (1) và (2) suy ra A ∩ B 6= ∅ ⇔ −2 < m < 5.  Chọn đáp án D Câu 36. Cho tập hợp M = [−3; 6] và N = (−∞; −2) ∪ (3; +∞). Khi đó M ∩ N là A. (−∞; −2) ∪ [3; 6]. B. [−3; −2) ∪ (3; 6]. C. (−∞; −2) ∪ [3; +∞). Lời giải. D. (−3; −2) ∪ (3; 6). M ∩ N = [−3; −2) ∪ (3; 6].  Chọn đáp án B ï ã ï ã √ 3 3 √ và B = − ; 5 . Tập A ∪ B là Câu 37. Cho tập A = − 3; 2ï 2 ï ã ã î √ √ ä 3 √ 3 3 A. ; 5 . B. − ; . C. − 3; 5 . 2 2 2 Lời giải. î √ √ ä A ∪ B = − 3; 5 . ï ò √ 3 D. − 3; − . 2  Chọn đáp án C Câu 38. Cho hai tập hợp I = (−10; 1) và J = (−1; 10]. Hãy xác định I ∪ J. A. I ∪ J = (−10; −1]. B. I ∪ J = [1; 10]. C. I ∪ J = (−1; 1). D. I ∪ J = (−10; 10]. Lời giải. Ta có I ∪ J = (−10; 10].  Chọn đáp án D Câu 39. Xác định kết quả của (−∞; 1] ∩ [−2; 3]. A. (−∞; 3]. B. (1; 3]. C. (−∞; −2). D. [−2; 1]. Lời giải. Ta có (−∞; 1] ∩ [−2; 3] = [−2; 1].  Chọn đáp án D Câu 40. Cho hai tập hợp M = {x ∈ R| x ≤ 4} và N = [m + 1; 10), với m là tham số. Tìm giá trị của m để M ∩ N là một đoạn có độ dài bằng 10. A. m = 5. Lời giải. C. m = −7. B. m > 3. D. m ≤ 3. + Nếu m + 1 > 4 ⇔ m > 3 thì M ∩ N = ∅, suy ra loại. + Nếu m + 1 ≤ 4 ⇔ m ≤ 3 thì M ∩ N = [m + 1; 4]. Để M ∩ N là một đoạn có độ dài bằng 10 khi và chỉ khi 4 − (m + 1) = 10 ⇔ m = −7. Chọn đáp án C  Câu 41. Cho A = (−1; 3), B = [0; +∞). Khẳng định nào sau đây đúng? A. A ∩ B = [0; 3]. Lời giải. B. A ∪ B = (3; +∞). C. A B = (−1; 0). D. B A = [3; +∞). Khẳng định đúng là B A = [3; +∞).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 133/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ  Chọn đáp án D Câu 42. Cho tập hợp A = {x ∈ Z|1 < x ≤ 2}, cách viết nào sau đây đúng? A. A = [1; 2]. B. A = (1; 2]. C. A = {1; 2}. D. A = {2}. Lời giải. Ta có tập A = {2}.  Chọn đáp án D Câu 43. Cho tập hợp A = {x ∈ Z| − 3 < x < 2}. Tập hợp A là B. A = {−3; −2; −1; 0; 1; 2}. D. A = (−3; 2). A. A = [−3; 2]. C. A = {−2; −1; 0; 1}. Lời giải. Tập A = {−2; −1; 0; 1}.  Chọn đáp án C Câu 44. Cho hai tập hợp A = (−3; 2] và B = (−1; +∞). Các tập hợp A ∩ B, A B lần lượt là A. (−1; 2] và (−3; −1). B. (−1; 2) và (−3; −1). C. (−1; 2] và (−3; −1]. Lời giải. D. (−1; 2) và (−3; −1]. Ta có • A ∩ B = (−1; 2]. • A B = (−3; −1]. Chọn đáp án C  Câu 45. Cho hai tập hợp A = (−3; 2] và B = [m; m+1). Tìm tất cả các giá trị của m để A∩B = ∅ A. m ∈ (−∞; −4] ∪ (2; +∞). B. m ∈ [−4; 2). C. m ∈ (−4; 2). D. m ∈ (−4; 2]. Lời giải. Ta có " A∩B =∅⇔ " m>2 m + 1 ≤ −3 ⇔ m>2 m ≤ −4 ⇔ m ∈ (−∞; −4] ∪ (2; +∞).  Chọn đáp án A Câu 46. Cho hai tập hợp A = {x ∈ R| − 3 < x ≤ 2}, B = (−1; 3). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. A ∩ B = (−1; 2]. C. CR B = (−∞; −1) ∪ [3; +∞). B. A B = (−3; −1). D. A ∪ B = {−2; −1; 0; 1; 2}. Lời giải. A = {x ∈ R| − 3 < x ≤ 2} = (−3; 2]. Do đó A ∩ B = (−1; 2].  Chọn đáp án A Câu 47. Cho hai tập hợp A = [1; 3] và B = [m; m+1]. Tìm tất cả giá trị của tham số m để B ⊂ A. A. m = 1. Lời giải. C. 1 ≤ m ≤ 2. B. 1 < m < 2. D. m = 2. Để B ⊂ A thì 1 ≤ m < m + 1 ≤ 3 ⇔ 1 ≤ m ≤ 2.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 134/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ  Chọn đáp án C Câu 48. Kết quả của phép toán (−∞; 1) ∩ [−1; 2) là A. (1; 2). Lời giải. B. (−∞; 2). C. [−1; 1). D. (−1; 1). Ta có (−∞; 1) ∩ [−1; 2) = [−1; 1).  Chọn đáp án C Câu 49. Cho m là tham số thực và hai tập hợp A = [m − 1; m + 3], B = {x ∈ R|x ≥ 8 − 5m}. Tìm tất cả các giá trị m để A ∩ B = ∅. 5 3 3 5 B. m ≤ . C. m ≤ . D. m < . A. m < . 6 6 2 2 Lời giải. Ta có B = [8 − 5m; +∞). Khi đó 5 A ∩ B = ∅ ⇔ m + 3 < 8 − 5m ⇔ m < . 6 5 thỏa mãn. 6 Chọn đáp án A Vậy m <  Câu 50. Cho hai tập A = {x ∈ R|x + 3 < 4 + 2x}; B = {x ∈ R|5x − 3 < 4x − 1}. Tất cả các số tự nhiên thuộc cả hai tập A và B là A. không có số nào. B. 0. C. 0 và 1. D. 1. Lời giải. Ta có • A = {x ∈ R|x + 3 < 4 + 2x} = {x ∈ R|x > −1}. • B = {x ∈ R|5x − 3 < 4x − 1} = {x ∈ R|x < 2}. Do đó A ∩ B = {x ∈ R| − 1 < x < 2}. Bởi vậy, có hai số tự nhiên thuộc cả hai tập A và B là 0 và 1.  Chọn đáp án C Câu 51. Cho tập hợp X = {−1; 0; 1; 2}. Hãy chọn khẳng định đúng. A. X = N∗ ∩ [−1; 3). B. X = Z ∩ [−1; 3). C. X = Q ∩ [−1; 3). D. X = N ∩ [−1; 3). Lời giải. ∀x ∈ X ta có ( x∈Z x ∈ [−1; 3). Chọn đáp án B  Câu 52. Cho tập hợp M = [−4; 7] và N = (−∞; −2) ∪ (3; +∞). Tìm M ∩ N . A. [−4; +∞). B. (−∞; +∞). C. [−4; 2) ∪ (3; 7). D. [−4; −2) ∪ (3; 7]. Lời giải. Có [−4; 7] ∩ [(−∞; −2) ∪ (3; +∞)] = [−4; −2) ∪ (3; 7]. Chọn đáp án D Å Câu 53. Với a là số thực âm, cho tập hợp A = (−∞; 9a) và B =  ã 4 ; +∞ . Tìm điều kiện cần và đủ a để A ∩ B 6= ∅.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 135/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2 A. − 6 a < 0. 3 Lời giải. A ∩ B 6= ∅ ⇔ 4. CÁC TẬP HỢP SỐ 2 B. − < a < 0. 3  a < 0 ⇔ 9a > 4 a 3 C. − 6 a < 0. 4 3 D. − < a < 0. 4  a < 0 2 ⇔ − < a < 0. ⇔ 2 2 2 − −2. b ≤ −2. Lời giải. Ta có ” (a; b) ∩ (−2; 5) = ∅ ⇔ a≥5 b ≤ −2.  Chọn đáp án C Câu 70. Cho hai tập hợp A = (−3; 2], B = [0; 5]. Tìm A ∪ B. A. A ∪ B = [−3; 5). B. A ∪ B = [−3; 5]. C. A ∪ B = (−3; 5). D. A ∪ B = (−3; 5]. Lời giải. A ∪ B = (−3; 5]. Chọn đáp án D  Câu 71. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. A. x ∈ [−4; 1) ⇔ −4 < x < 1. B. x ∈ [−4; 1) ⇔ −4 ≤ x < 1. C. x ∈ [−4; 1) ⇔ −4 < x ≤ 1. Lời giải. D. x ∈ [−4; 1) ⇔ −4 ≤ x ≤ 1. Áp dụng định nghĩa tập con của tập số thực R. Ta có [a; b) = {x ∈ R|a ≤ x < b}.  Chọn đáp án B Câu 72. Tìm hai tập hợp A và B sao cho A ∩ B = (1; 2), A B = (−3; 1], B A = [2; 4). A. A = (−3; 2], B = [1; 4). B. A = (−3; 2), B = (1; 4). C. A = (1; 4), B = (−3; 2). D. A = [1; 4), B = (−3; 2]. Lời giải. ( A ∩ B = {x ∈ A và x ∈ B} Ta có . Ta có thể chứng minh được A = (A ∩ B) ∪ (A B). Do đó A B = {x ∈ A và x ∈ / B} A = (−3; 2) và B = (1; 4).  Chọn đáp án B Câu 73. Cho hai tập khác rỗng A = (m − 1; 4), B = (−2; 2m + 2), m ∈ R. Tìm tất cả các giá trị của m để A ∩ B 6= ∅. " m ≤ −2 A. m > −3. B. −2 < m < 5. C. . D. m ≤ −3. m>5 Lời giải.     m−1<4 m<5     A ∩ B 6= ∅ ⇔ 2m + 2 > −2 ⇔ m > −2 ⇔ −2 < m < 5.       2m + 2 > m − 1 m > −3  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 139/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ  Chọn đáp án B Câu 74. Cho hai tập hợp A = {x ∈ R | x − 1 < 2x}, B = {x ∈ R | 3x − 1 < 2x + 1}. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên thuộc cả hai tập A và B. Khẳng định nào sau đây đúng? A. S = {0; 1}. B. S = {1}. C. S = {0}. D. S = ∅. Lời giải. • x − 1 < 2x ⇔ x > −1. Do đó, A = (−1; +∞). • 3x − 1 < 2x + 1 ⇔ x < 2. Do đó, B = (−∞; 2). Suy ra A ∩ B = (−1; 2), suy ra S = {0; 1}. Chọn đáp án A Å Câu 75. Cho số thực m < 0. Điều kiện cần và đủ để hai khoảng (−∞; 2m) và tập rỗng là A. m > −2. B. −2 < m < 0. C. m < 0.  ã 8 ; +∞ có giao khác m D. m < −2. Lời giải. Với m < 0 ta có Å ã 8 8 (−∞; 2m) ∩ ; +∞ 6= ∅ ⇔ 2m > ⇔ m2 < 4 ⇒ −2 < m < 0. m m  Chọn đáp án B Câu 76. Cho tập hợp A = [m; m + 1], B = [1; 3]. Tập hợp tất cả các giá trị của m để A ⊂ B là A. m ≤ 1 hoặc m ≥ 2. B. 1 ≤ m ≤ 2. C. 1 < m < 2. D. 0 ≤ m ≤ 2. Lời giải. Để A ⊂ B thì ( m≥1 m+1≤3 ⇔ 1 ≤ m ≤ 2.  Chọn đáp án B Câu 77. Cho tập A = [−3; 8) và tập B = (1; 11). Hãy chọn đáp án đúng. A. A ∪ B = [−3; 1). B. A B = [−3; 11). C. A ∩ B = (1; 8). D. B A = (0; 11). Lời giải. Ta có A ∪ B = [−3; 11), A B = [−3; 1], A ∩ B = (1; 8), B A = [8; 11). Chọn đáp án C Câu 78. Tập hợp A = {x ∈ R|1 < x ≤ 2} bằng tập hợp nào sau đây? A. [1; 2]. B. (1; 2). C. [1; 2).  D. (1; 2] . Lời giải. Ta có A = {x ∈ R|1 < x ≤ 2} = (1; 2).  Chọn đáp án D Câu 79. Cho A = [0; 4], B = (1; 5), C = (−3; 1). Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. B ∩ C = {1}. B. A ∪ B = [0; 5) . C. B ∪ C = (−3; 5) . D. A ∩ C = [0; 1]. Lời giải. Ta có A ∪ B = [0; 4] ∪ (1; 5) = [0; 5).  Chọn đáp án B  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 140/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ Câu 80. Cho hai tập hợp A = [10; 2016) và B = (15; 2020). Tập hợp A ∩ B bằng tập hợp nào sau đây? A. [15; 2016). B. (10; 15). C. [10; 2020). D. (15; 2016) . Lời giải. A ∩ B = [10; 2016) ∩ (15; 2020) = (15; 2016).  Chọn đáp án D Câu 81. Tập hợp (−2; 3) [1; 5] bằng tập hợp nào sau đây? A. (−2; 1]. B. (−3; −2). C. (−2; 1) . D. (−2; 5). Lời giải. Ta có (−2; 3) [1; 5] = (−2; 1).  Chọn đáp án C Câu 82. Cho hai tập hợp A = [2; 6], B = [4; +∞). Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau. A. A ∩ B = [4; 6]. B. A B = [2; 4). C. A ∪ B = [2; 4]. D. R B = (−∞; 4). Lời giải. Ta có A ∩ B = [4; 6], A B = [2; 4), R B = (−∞; 4), A ∪ B = [2; +∞).  Chọn đáp án C Câu 83. Cho tập hợp A = (2; +∞). Tìm phần bù của tập hợp A trong tập hợp các số thực R. A. [2; +∞). Lời giải. B. (2; +∞). C. (−∞; 2]. D. (−∞; −2]. Phần bù của tập hợp A trong tập số thực là (−∞; 2].  Chọn đáp án C  Câu 84. Cho hai tập hợp A = x x ∈ R và B = (0; +∞). Tìm tập hợp A B. A. (−∞; 0]. B. [0; +∞). C. (0; +∞). D. (−∞; 0). Lời giải. Ta có A = R, suy ra A B = (−∞; 0].  Chọn đáp án A Câu 85. Hãy xác định tập hợp [−2; 2] [1; 2] . A. [−2; 1]. B. [−2; 1). C. (−2; 1]. D. (−2; 1). Lời giải. A B = {x | x ∈ A và x 6∈ B}. Vậy [−2; 2] [1; 2] = [−2; 1).  Chọn đáp án B Câu 86. Cho các tập hợp A = (−2; 3) và B = (1; 5). Khi đó A B là tập hợp nào sau đây? A. (−2; 5). Lời giải. B. [3; 5). C. (−2; 1]. D. (1; 3). A B = (−2; 3) (1; 5) = (−2; 1].  Chọn đáp án C  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 141/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ Câu 87. Cho tập hợp A = (−1; +∞). Khi đó CR A là tập hợp nào sau đây? A. (−∞; 0]. C. (−∞; −1]. B. (−∞; 0). D. (−∞; −1). Lời giải. Vì A ⊂ R nên ta có: CR A = R A = R (−1; +∞) = (−∞; −1].  Chọn đáp án C Câu 88. Tập hợp A = (−2; 3] (1; 6] là tập hợp nào sau đây? A. (−2; 6]. B. (1; 3]. C. (−2; 1]. D. (−2; 1). Lời giải. Ta có A = (−2; 3] (1; 6] = (−2; 1].  Chọn đáp án C Câu 89. Cho hai tập hợp A = (−1; +∞), B = (−∞; 3]. Hãy chọn khẳng định đúng. A. A B = (3; +∞). B. A B = (−1; 3). C. A B = [3; +∞). D. A B = (−∞; 1]. Lời giải. A B = {x | x ∈ A và x 6∈ B}. Vậy A B = (3; +∞).  Chọn đáp án A Câu 90. Cho hai tập hợp A = [0; 2018) và B = (−∞; 2016). Xác định tập hợp K = A B. A. K = [2016; 2018). Lời giải. B. K = [2016; 2018]. C. K = [0; 2016). D. K = [0; 2016]. Ta có K = A B = [2016; 2018).  Chọn đáp án A Câu 91. Cho a, b, c, d là các số thực và a < b < c < d. Tập (b; d) (a; c) là tập hợp nào? A. [c; d) . B. (b; c) . C. (a; d) . D. (c; d) . Lời giải. Tập (b; d) (a; c) là tập hợp [c; d). Chọn đáp án A  Câu 92. Cho các tập A = {x ∈ R | x ≥ −1}, B = {x ∈ R | x < 3}. Tập R (A ∩ B) là A. (−∞; −1) ∪ [3; +∞). B. (−1; 3]. D. (−∞; −1] ∪ (3; +∞). C. [−1; 3). Lời giải. Ta có A = [−1; +∞), B = (−∞; 3). B h A  −1 3 Suy ra A ∩ B = [−1; 3). h A∩B −1  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  3 Trang 142/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ Từ đó R (A ∩ B) = R [−1; 3) = (−∞; −1) ∪ [3; +∞).  Chọn đáp án A Câu 93. Phần bù của tập hợp [−2; 1) trong R là B. (−∞; −2) ∪ [1; +∞). A. (−∞; 1]. C. (−∞; −2). Lời giải. D. 2; +∞.   −2 1 Phần bù của [−2; 1) trong R là R [−2; 1) = (−∞; −2) ∩ [1; +∞). Chọn đáp án B î √ √ ä Câu 94. Cho tập hợp A = − 3; 5 . Tập hợp CR A bằng Ä ä Ä ä √ ó Ä√ √ ä Ä√ A. −∞; − 3 ∪ 5; +∞ . B. −∞; − 3 ∪ 5; +∞ . Ä ä Ä ä √ ó î√ √ ä î√ C. −∞; − 3 ∪ 5; +∞ . D. −∞; − 3 ∪ 5; +∞ .  Lời giải. Ä ä √ ä î√ Ta có CR A = R A = −∞; − 3 ∪ 5; +∞ . Chọn đáp án D  Câu 95. Phần bù của [−2; 1) trong R là A. (−∞; 1]. B. (−∞; −2) ∪ [1; +∞). C. (−∞; −2). D. (2; +∞). Lời giải. CR B = R B = (−∞; −2) ∪ [1; +∞).  Chọn đáp án B Câu 96. Cho A = [−1; 3]; B = (2; 5). Tìm mệnh đề sai. A. B A = (3; 5). B. A ∩ B = (2; 3]. C. A B = [−1; 2]. D. A ∪ B = [−1; 5]. Lời giải. Mệnh đề đúng là A ∪ B = [−1; 5). Chọn đáp án D  Câu 97. Cho các tập A = {x ∈ R | x > −1}, B = {x ∈ R | x < 3}. Tập R (A ∩ B) là A. (−∞; −1) ∪ [3; +∞). B. (−1; 3]. D. (−∞; −1] ∪ (3; +∞). C. [−1; 3). Lời giải. Ta có A = [−1; +∞); B = (−∞; 3). Khi đó A ∩ B = [−1; 3) ⇒ R (A ∩ B) = (−∞; −1) ∪ [3; +∞). Chọn đáp án A Ä√ ä Câu 98. Cho hai tập hợp A = 2; +∞ và B = ñ√ ô Ä√ ä 5 √ A. ; 2 . B. 2; +∞ . 2 Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em √ ô 5 −∞; . Khi đó (A ∩ B) ∪ (B A) là 2 Ç Ç √ ô √ å 5 5 C. −∞; . D. −∞; . 2 2  Ç Trang 143/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ √ 2 i √ 5 2 √ ô 5 . Ta có A ∩ B = ∅, B A = −∞; 2 Ç √ ô 5 Do đó (A ∩ B) ∪ (B A) = −∞; . 2 Ç  Chọn đáp án C Câu 99. Cho A = (−1; 3) và B = [0; 5]. Khi đó (A ∩ B) ∪ (A B) là A. (−1; 3). C. (−1; 3) {0}. B. [−1; 3]. D. (−1; 3]. Lời giải. Cách 1: Ta có A ∩ B = [0; 3) và A B = (−1; 0). Do đó (A ∩ B) ∪ (A B) = [0; 3) ∪ (−1; 0) = (−1; 3). Cách 2: Ta có (A ∩ B) ∪ (A B) = A nên (A ∩ B) ∪ (A B) = (−1; 3).  Chọn đáp án A Câu 100. Xác định phần bù của tập hợp (−∞; −2) trong (−∞; 4). A. (−2; 4). B. (−2; 4]. C. [−2; 4). D. [−2; 4]. Lời giải. Ta có C(−∞;4) (−∞; −2) = (−∞; 4) (−∞; −2) = [−2; 4).  Chọn đáp án C Câu 101. Xác định phần bù của tập hợp (−∞; −10) ∪ (10; +∞) ∪ {0} trong R. A. [−10; 10). B. [−10; 10] {0}. C. [−10; 0) ∪ [0; 10). D. [−10; 0) ∪ (0; 10). Lời giải. Ta có R (−∞; −10) ∪ (10; +∞) ∪ {0} = [−10; 10] {0}.  Chọn đáp án B Câu 102. Cho hai tập hợp X, Y thỏa mãn X Y = {7; 15} và X ∩ Y = (−1; 2). Xác định số phần tử là số nguyên của X. A. 2. B. 5. C. 3. D. 4. Lời giải. Do X Y = {7; 15} ⇒ {7; 15} ⊂ X. Mà X ∩ Y = (−1; 2) ⇒ (−1; 2) ⊂ X. Suy ra X = (−1; 2) ∪ {7; 15}. Vậy số phần tử nguyên của tập X là 4.  Chọn đáp án D Câu 103. Cho A = (−∞; 2] và B = (0; +∞). Tìm A B. A. A B = (−∞; 0]. B. A B = (2; +∞). C. A B = (0; 2]. D. A B = (−∞; 0). Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 144/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ Biểu diễn hai tập hợp A và B lên trục số ta có kết quả A B = (−∞; 0].  Chọn đáp án A Câu 104. Cho hai tập hợp A = {x ∈ R | −3 < x 6 2}, B = (−1; 3). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. A ∩ B = (−1; 2]. B. A B = (−3; −1). C. CR B = (−∞; −1) ∪ [3; +∞). D. A ∪ B = {−2; −1; 0; 1; 2}. Lời giải. Ta có A = {x ∈ R | −3 < x 6 2} = (−3; 2] ⇒ (−3; 2] ∩ (−1; 3) = (−1; 2].  Chọn đáp án A Câu 105. Cho tập hợp X = {x ∈ R |x| ≤ 3}. Biểu diễn tập hợp X trên trục số ta được (phần không bị gạch chéo). ] − 3 A. ] −3 C. ( 3 [ 3 . B. ) −3 [ 3 . . D. ) −3 ( 3 . Lời giải. " Ta có |x| ≤ 3 ⇔ x≤3 x ≥ −3 ⇒ tập hợp X được biểu diễn như sau (phần không bị gạch chéo) ] −3 [ 3  Chọn đáp án C Câu 106. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (m − 7; m) ⊂ (−4; 3). A. m > 3. B. m < 3. C. m = 3. D. Không tồn tại m. Lời giải. Ta có (m − 7; m) ⊂ (−4; 3) ⇔ ( m − 7 ≥ −4 m≤3 ⇔ ( m≥3 m≤3 ⇔ m = 3.  Chọn đáp án C Å ã 4 Câu 107. Cho số thực a < 0. Điều kiện cần và đủ để (−∞; 9a) ∩ ; +∞ 6= ∅ là a 2 2 3 3 A. − < a < 0. B. − ≤ a < 0. C. − < a < 0. D. − ≤ a < 0. 3 3 4 4 Lời giải. 4 4 2 2 Điều kiện thỏa đề bài 9a > ⇔ a2 < ⇔ |a| < ⇔ − < a < 0. a 9 3 3 Chọn đáp án A  Câu 108. Cho hai tập hợp A = [m; m + 2] ; B = [−1; 2]. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để A ⊂"B. m ≤ −1 A. . m≥0 Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em " B. −1 ≤ m ≤ 0. C. 1 ≤ m ≤ 2. D. m < −1 . m>2 Trang 145/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP Để A ⊂ B thì ( m ≥ −1 m+2≤2 4. CÁC TẬP HỢP SỐ ⇔ ( m ≥ −1 m ≤ 0.  Chọn đáp án B Câu 109. Cho hai tập hợp A = (−∞; m − 1] , B = [1; +∞). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để A ∩ B = ∅. A. m > −1. B. m ≥ −1. C. m ≤ 2. D. m < 2. Lời giải. Để A ∩ B = ∅ thì m − 1 < 1 ⇒ m < 2.  Chọn đáp án D Câu 110. Cho các tập B = {x ∈ R | − 5 ≤ x ≤ 5};C = {x ∈ R | x ≤ a} , và D = {x ∈ R | x ≥ b}. Xác định a, b biết C ∩ B và D ∩ B là các đoạn có độ dài lần lượt bằng 5 và 9. A. a = 0; b = −4. B. a = 5; b = 9. C. a = −4; b = 0. D. a = −5; b = 5. Lời giải. Ta có B = [−5; 5] ; C = (−∞; a] ; D = [b; +∞). Do C ∩ B và D ∩ B là(các đoạn có độ( dài lần lượt bằng 5 và 9 nên C ∩ B = [−5; a] và D ∩ B = [b; 5] a+5=5 a=0 Theo yêu cầu đề bài: hay . 5−b=9 b = −4  Chọn đáp án A Câu 111. Với giá trị nào của m thì (m − 7; m) ∩ (−4; 3) = (m − 7; m)? A. m ∈ ∅. B. m < 3. C. m = 3. D. m > 3. Lời giải. (m − 7; m) ∩ (−4; 3) = (m − 7; m) ⇔ (m − 7; m) ⊂ (−4; 3) ⇔ ( m − 7 ≥ −4 m≤3 ⇔ ( m≥3 m≤3 ⇔ m = 3.  Chọn đáp án C Câu 112. Cho hai số thực x, y thoả mãn x ∈ [1; 2], y ∈ [5; 7]. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất m và lớn nhất M của biểu thức P = |2x − y|. A. m = 1, M = 5. B. m = 1, M = 6. C. m = 2, M = 6. D. m = 3, M = 5. Lời giải. Từ giả thiết suy ra 2x ∈ [2; 4] và y ∈ [5; 7], P chính là khoảng cách giữa 2 số 2x và y trên trục số. P nhỏ nhất khi 2x = 4 và y = 5; P lớn nhất khi 2x = 2 và y = 7. Vậy ta có m = 1 và M = 5.  Chọn đáp án A 2 Câu 113. Cho hai tập hợp A = (2m + 3; 1 − m) và B = (m − 3; −3 − 2m) với m < − . Tìm m để 3 A ∪ B là một khoảng. 3 3 A. −6 ≤ m ≤ −4. B. m ≤ −6. C. −4 ≤ m < − . D. m < − . 2 2 Lời giải. 2 Vì m < − nên 2m + 3 < 1 − m và m − 3 < −3 − 2m, tức là A và B luôn là các khoảng. 3 Xét các trường hợp sau:  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 146/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ • Nếu(m − 3 ≤ 2m + 3 < 1 −(m ≤ −3 − 2m 2m + 3 ≥ m − 3 m ≥ −6 ⇔ ⇔ ⇔ −6 ≤ m ≤ −4. 1 − m ≤ −3 − 2m m ≤ −4 Khi đó A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B, đương nhiên là một khoảng. • Nếu(2m + 3 ≤ m − 3 < −3(− 2m ≤ 1 − m 2m + 3 ≤ m − 3 m ≤ −6 ⇔ ⇔ (vô lý) 1 − m ≥ −3 − 2m m ≥ −4 •  Nếu 2m + 3 ≤ m − 3 <  1 − m ≤ −3 − 2m   2m + 3 ≤ m − 3 m ≤ −6     ⇔ m < 2 ⇔ m ≤ −6. m−3<1−m       1 − m ≤ −3 − 2m m ≤ −4 Khi đó A ∪ B = (2m + 3; −3 − 2m) là một khoảng. • Nếu m − 3 ≤ 2m + 3 < −3  − 2m ≤ 1 − m   m ≥ −6   m − 3 ≤ 2m + 3     3 3 2m + 3 < −3 − 2m ⇔ m < − ⇔ −4 ≤ m < − .   2 2      − 3 − 2m ≤ 1 − m m ≥ −4 Khi đó A ∪ B = (m − 3; 1 − m) là một khoảng. 3 Vậy các giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán là m < − . 2 Chọn đáp án D  Câu 114. Cho hai tập hợp A = [−1; +∞) ; B = [a; a + 3]. Tập hợp tất cả các giá trị của a để B ⊂ A là A. R {−1}. B. [−1; +∞]. C. (1; +∞). D. (−1; +∞). Lời giải.  Chọn đáp án B Câu 115. Cho Å ã số thực a 6= 0. Điều kiện cần và đủ để giao của hai tập hợp A = (−∞; a) và B = 3a − 4 ; +∞ khác tập ∅ là 2 A. 0 ≤ a < 4. B. 0 < a < 4. C. a < 4. D. a ≤ 4. Lời giải.  Chọn đáp án C Câu 116. Cho hai tập hợp A = (−2; 2), B = [a; 3]. Tìm a để A ∩ B = ∅. A. a ≥ 2. B. a > 2. C. 2 < a < 3. D. 2 ≤ a ≤ 3. Lời giải. A ∩ B = ∅ ⇔ 2 ≤ a.  Chọn đáp án A Ä √ ä √ ä Câu 117. Cho các tập hợp CR A = −3; 8 và CR B = −2; 11 . Tìm tập hợp CR (A ∩ B). î Ä Ä î √ ó √ ä √ ä √ ä A. −2; 8 . B. −2; 8 . C. −3; 11 . D. −3; 11 . î Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 147/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ î î√ ä √ ä Tập hợp CR A = −3; 8 ⇒ A = (−∞; −3) ∪ 8; +∞ . î√ ä Ä √ ä Tập hợp CR B = −2; 11 ⇒ B = (−∞; −2] ∪ 11; +∞ . î√ ä î √ ä Tập hợp A ∩ B = (−∞; −3) ∪ 11; +∞ ⇒ CR (A ∩ B) = −3; 11 .  Chọn đáp án D Ä√ √ ä √ ä 3; 13 . Tìm tập hợp CR (A ∩ B). Câu 118. Biết rằng CR A = −4; 7 và CR B = (−6; 2) ∪ Ä Ä √ ä √ ä A. CR (A ∩ B) = −4; 3 . B. CR (A ∩ B) = −6; 13 . Ä Ä√ √ ä √ ä 3; 7 . D. CR (A ∩ B) = −4; 13 . C. CR (A ∩ B) = (−4; 2) ∪ î Lời giải. î î√ ä √ ä Ta có CR A = −4; 7 ⇒ A = (−∞; −4) ∪ 7; +∞ . î√ ä Ä√ √ ä Ä √ ä 3; 13 = −6; 13 ⇒ B = (−∞; −6] ∪ 13; +∞ . CR B = (−6; 2) ∪ î√ ä Suy ra A ∩ B = (−∞; −6] ∪ 13; +∞ . Ä √ ä Vậy CR (A ∩ B) = R (A ∩ B) = −6; 13 .  Chọn đáp án B Câu 119. Tìm tập hợp X, biết CR X = Y ∪ [−1; 0) và R Y = (−∞; 0). A. X = (0; +∞). B. X = (−∞; 0). C. X = (−∞; −1). D. X = (−1; +∞). Lời giải. Từ giả thiết ta có Y = [0; +∞) nên CR X = Y ∪ [−1; 0) = [0; +∞) ∪ [−1; 0) = [−1; +∞). Lại có CR X = R X = [−1; +∞) ⇒ X = R [−1; +∞) = (−∞; −1). Chọn đáp án C  Câu 120. Biểu diễn trên trục số của tập hợp [−3; 1) ∩ (−2; 4] là hình nào? ( ) [ − 2 1 − 3 A. B. [ ) ( − 3 1 − 2 C. D. ] 4 ] 4 Lời giải. Ta có [−3; 1) ∩ (−2; 4] = (−2; 1) do đó được biểu diễn trên trục số là ( −2 ) 1  Chọn đáp án A Câu 121. Biểu diễn trên trục số của tập hợp (0; 2) ∪ [−1; 1) là hình nào? ( ] [ − 1 2 − 1 B. A. ( ) [ − 1 2 − 1 C. D. Lời giải. ] 2 ) 2 Ta có (0; 2) ∪ [−1; 1) = [−1; 2) do đó được biểu diễn trên trục số là [ −1  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em ) 2 Trang 148/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ  Chọn đáp án D   Câu 122. Cho hai tập hợp A = x ∈ R x + 2 ≥ 0 và B = x ∈ R 5 − x ≥ 0 . Tìm tập hợp A∩B. A. [−2; 5]. B. [−2; 6]. Lời giải. (  A = x ∈ R x + 2 ≥ 0 = [−2; +∞) Ta có  B = x ∈ R 5 − x ≥ 0 = (−∞; 5]. Khi đó A ∩ B = [−2; +∞) ∩ (−∞; 5] = [−2; 5]. C. [−5; 2]. D. (−2; +∞).  Chọn đáp án A Câu 123. Cho các tập hợp M = [1; 4], N = (2; 6) và P = (1; 2). Tìm tập hợp (M ∩ N ) ∩ P . A. [0; 4]. B. [5; +∞). C. (−∞; 1). D. ∅. Lời giải. Ta có M ∩ N = (2; 4] ⇒ M ∩ N ∩ P = (2; 4] ∩ (1; 2) = ∅. Chọn đáp án D  Câu 124. Cho hai tập hợp X = [−4; 7] và Y = (−∞; −2) ∪ (3; +∞). Tìm tập hợp X ∩ Y . A. [−4; −2) ∪ (3; 7]. C. (−∞; 2] ∪ (3; +∞). B. [−4; −2) ∪ (3; 7). D. (−∞; −2) ∪ [3; +∞). Lời giải. Ta có X ∩ Y = (−∞; −2) ∪ (3; +∞) ∩ [−4; 7] = [−4; −2) ∪ (3; 7].  Chọn đáp án A Câu 125. Cho các tập hợp M = (−∞; −2], N = [3; +∞) và P = (0; 4). Tìm tập hợp (M ∪N )∩P . A. [3; 4]. B. (−∞; −2] ∪ (3; +∞). C. [3; 4). D. (−∞; −2) ∪ [3; +∞). Lời giải. Ta có (M ∪ N ) ∩ P = ((−∞; −2] ∩ (0; 4)) ∪ ([3; +∞) ∩ (0; 4)) = [3; 4).  Chọn đáp án C Câu 126. Cho ba tập hợp A =  x ∈ R | x ≤ −3 hoặc x > 6 , B = {x ∈ R | − 5 ≤ x ≤ 5} và C = (2; 10). Tìm tập hợp (A ∩ B) ∪ C. A. [−5; −3]. B. (2; 10). C. [−5; 10). D. [−5; −3] ∪ (2; 10). Lời giải. Ta có A = (−∞; −3] ∪ (6; +∞) và B = [−5; 5] Do đó A ∩ B = [−5; −3]. Vậy (A ∩ B) ∪ C = [−5; −3] ∪ (2; 10) Chọn đáp án D  Câu 127. Cho các số thực a, b, c, d và a < b < c < d. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. (a; c) ∩ (b; d) = (b; c). C. (a; c) ∩ [b; d) = [b; c]. B. (a; c) ∩ [b; d) = [b; c]. D. (a; c) ∪ (b; d) = (b; c). Lời giải. Ta có (a; c) ∩ (b; d) = (b; c).  Chọn đáp án A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 149/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ Câu 128. Cho hai tập hợp A = {x ∈ R x + 3 < 4 + 2x} và B = {x ∈ R 5x − 3 < 4x − 1}. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên thuộc cả hai tập A và B? A. 2. B. 1. C. 3. D. Không có số nào. Lời giải. Ta có x ∈ A ∩ B ⇔ ( x + 3 < 4 + 2x ( x > −1 ⇔ 5x − 3 < 4x − 1 x < 2. Do đó có hai số tự nhiên thỏa mãn là 0; 1.  Chọn đáp án A   Câu 129. Cho hai tập hợp A = x ∈ R 2 < x < 4 và B x ∈ R 3 < x < 4 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?  A. A ∩ B = x ∈ R 3 ≤ x ≤ 4 .  C. A ∪ B = x ∈ R 2 < x < 4 . Lời giải. B. B ⊂ A.  D. A B = x ∈ R 2 < x ≤ 3 .   Ta có A = (2; 4) và B = (3; 4). Do đó A ∩ B = x ∈ R 3 < x < 4 nên A ∩ B = x ∈ R 3 ≤ x ≤ 4 sai.  Chọn đáp án A Câu 130. Cho các số thực a, b, c, d và a < b < c < d. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. (a; c) ∩ (b; d) = (b; c). B. (a; c) ∩ [b; d) = [b; c]. C. (a; c) ∪ [b; d) = [b; c]. Lời giải. D. (a; c) ∪ (b; d) = (b; c). Giả sử miền được chọn là miền gạch (gạch chéo, gạch đứng). Không làm mất tính tổng quát giả sử chọn a = 1 < b = 2 < c = 3 < d = 4. Khi đó 1 2   3 4 Do đó (a; c) ∩ (b; d) = (b; c). Chọn đáp án A Å Câu 131. Cho số thực a < 0. Điều kiện cần và đủ để hai khoảng (−∞; 9a) và tập rỗng là 2 A. − < a < 0. 3 Lời giải. 2 B. − ≤ a < 0. 3 3 C. − < a < 0. 4  ã 4 ; +∞ có giao khác a 3 D. − ≤ a < 0. 4 Điều kiện cần vàđủ để hai tập giao khác rỗng là    a < 0 a < 0 a < 0 2 ⇔ 4 ⇔ 4 − 9a2 ⇔ ⇔ − < a < 0. 2 2  < 9a  − −1; 5x − 3 < 4x − 1 ⇔ x < 2 suy ra A ∩ B = {x ∈ N − 1 < x < 2}. Vậy 0 và 1 là hai số tự nhiên thuộc cả hai tập hợp A và B.  Chọn đáp án D Câu 138. Cho các tập hợp A = [−4; 9] và B = (−∞; −2) ∪ (4; +∞). Khi đó tập hợp A ∩ B là A. [−4; −2) ∪ (4; 9). B. [−4; −2) ∪ (4; 9]. C. [−∞; 2) ∪ (4; +∞]. D. [−∞; −2) ∪ (4; +∞]. Lời giải. Ta có A ∩ B = (A ∩ (−∞; −2)) ∪ (A ∩ (4; +∞)) = [−4; −2) ∪ (4; 9]. Biểu diễn trên trục số như sau Tập hợp A   −4 9 Tập hợp B  −2 4 Tập hợp A ∩ B   −4 −2  4 9  Chọn đáp án B Câu 139. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. (1; 2) ∪ [2; 5) = (1; 5). B. [−3; 0) ∩ (0; 5) = {0}. C. (1; 2) (2; 3) = (1; 3). D. (1; 2) ∪ (2; 3) = (1; 3). Lời giải. Biểu diễn các tập hợp trên trục số như sau ta được (1; 2) ∪ [2; 5) = (1; 5). ( ) 1 2  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 152/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP [ 2 ( 1 4. CÁC TẬP HỢP SỐ ) 5 ) 5  ã Å 1 . Khi đó tập hợp A ∩ B ∩ C Câu 140. Cho các tập hợp A = (−3; 3), B = (−2; +∞) và C = −∞; 2 là ß ™ ß ™ 1 1 A. ex ∈ R − 2 < x < . B. x ∈ R − 3 < x < . 2™ 2™ ß ß 1 1 C. x ∈ R − 2 < x ≤ . D. x ∈ R − 2 ≤ x ≤ . 2 2 Lời giải. Å ã 1 Biểu diễn các tập hợp A, B, C trên trục số, từ đó suy ra A ∩ B ∩ C = −2; . 2 ( ) −3 3 Chọn đáp án A ( −2 ) 1 2  Chọn đáp án A Câu 141. Cho các tập hợp A = (−3; 1), B = [−1; 5] và C = (−∞; −2] ∪ [2; +∞). Khi đó (A ∪ B) ∩ C bằng tập hợp nào sau đây? A. (−3; 2) ∪ (2; 5). ( − 3 Lời giải. [ −1 B. (−3; −2] ∪ [2; 5]. ) 1 C. (−3; 5). D. [−1; 1). ] 5 Biểu diễn tập hợp A, B trên trục số, từ đó ta có A ∪ B = (−3; 5]. ( ] −3 5 ] −2 [ 2 Biểu diễn các tập hợp A ∪ B và C lên trục số, ta có (A ∪ B) ∩ C = (−3; −2] ∪ [2; 5].  Chọn đáp án B Å ã 10 Câu 142. Giá trị của a để (1; a) ∩ (2; 5) = 2; là 3 10 A. a = . B. a = 5. C. a = 2. 3 ( ) 1 a Lời giải. ( ) 2 5  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 153/2406 D. a = 10 . 6 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ Å ã 10 10 (1; a) ∩ (2; 5) = 2; ⇔a= . 3 3 Chọn đáp án A  Câu 143. Tìm m để (0; 2] ∩ [m; m + 1] = ∅. " m ≤ −1 A. . B. m ∈ ∅. C. m > 2. m>2 Lời giải. ” ” m>2 m ≤ −1 Để giao của hai tập trên là rỗng, thì hay m+1≤0 m > 2. D. m ≤ −1.  Chọn đáp án A ï ò Câu 144. Cho các tập hợp khác rỗng m − 1; m+3 và B = (−∞; −3) ∪ [3; +∞). Tập hợp các giá 2 trị thực của m để A ∩ B 6= ∅ là A. (−∞; −2) ∪ [3; +∞). B. (−2; 3). C. (−∞; −2) ∪ [3; 5). D. (−∞; −9) ∪ (4; +∞). Lời giải.  m+3    m−1< m<5     2  " Để A ∩ B 6= ∅ thì điều kiện là m − 1 < −3 ⇔ m < −2          m+3 >3 m > 3. 2 Vậy m ∈ (−∞ − 2) ∪ [3; 5).  Chọn đáp án C Câu 145. Cho các tập hợp khác rỗng A = (−∞; m) và B = [2m − 2; 2m + 2]. Tìm m ∈ R để CR A ∩ B 6= ∅. A. m > 2 . B. m < −2. C. m > −2 . D. m < 2 . Lời giải. Ta có CR A = [m; +∞). Để CR A ∩ B 6= ∅ ⇔ 2m + 2 > m ⇔ m > −2.  Chọn đáp án C Câu 146. Cho hai tập hợp A = [1; 3] và B = [m; m + 1]. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để B ⊂ A. A. m = 1. B. m = 2. C. 1 < m < 2. D. 1 6 m 6 2. Lời giải. Ta có B ⊂ A khi và chỉ khi ( m≥1 m+1≤3 ⇔ 1 ≤ m ≤ 2.  Chọn đáp án D Câu 147. Tìm ã tập xác định của hàm số y = ï 1 A. − ; +∞ . B. [3; +∞). 3  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em √ √ 3x + 1 + ï x − 3. ò 1 C. − ; 3 . 3 Trang 154/2406 D. (−∞; 3]. ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ Câu 148. ò hai tập hợp A =ï (−2;ã1) ∪ [3; +∞) và B = {x ∈ R|3x − 1 ≥ 0}. Tìm ï A ∩ B. ã Å Cho 1 1 1 B. ; 1 ∪ [3; +∞). C. ∅. D. ; +∞ . A. −2; . 3 3 3 Lời giải. ï ã 1 Ta có B = ; +∞ . Biểu diễn hai tập hợp A, B trên cùng một trục số ta được kết quả. 3 Chọn đáp án B  Câu 149. Cho m là một tham số thực và hai tập hợp A = [1 − 2m; m + 3],B = {x ∈ R, x ≥ 8 − 5m}. Tất cả các giá trị m để A ∩ B = ∅ là 2 2 5 A. m < − . B. − ≤ m < . 3 3 6 Lời giải.  8 − 5m > m + 3 Ta có A ∩ B = ∅ khi và chỉ khi m + 3 ≥ 1 − 2m 5 C. m ≥ . 6 5 D. m ≤ . 6 2 5 ⇔− ≤m< . 3 6  Chọn đáp án B Câu 150. Cho m < n. Tìm m, n để [5; 9) ∩ [m; n] bằng tập có một phần tử A. n = 5. B. m = 5. C. m = 9 ∨ n = 5. D. m = 9 và n = 5. Lời giải. Do [5; 9) ∩ [m; n] bằng tập có một phần tử nên tập này là 5, mà m < n nên n = 5. Chọn đáp án A  Câu 151. Å Cho ò tập A = {x ∈ R|2x Å + 7 ã> 0} và B = {x ∈ÅR|4 − 3xã≥ 0}. Tìm tậpÅA ∩ B. ã 7 4 7 4 7 4 A. − ; . B. − ; . C. −∞; − . D. ; +∞ . 2 3 2 3 2 3 Lời giải. Å ò ã Å 7 4 Ta có A = − ; +∞ , B = −∞; . 2Å 3 ò 7 4 Do đó A ∩ B = − ; . 2 3 Chọn đáp án A  Câu 152. Cho các tập hợp A = [−3; 2) , B = (1; 6). Tìm CR (A ∪ B). A. [−3; +∞). B. (−∞; −3] ∪ [6; +∞). C. (−∞; −3) ∪ [6; +∞). D. (−∞; 6]. Lời giải. Ta có: A = [−3; 2) , B = (1; 6) nên A ∪ B = [−3; 6). Suy ra CR (A ∪ B) = (−∞; −3) ∪ [6; +∞).  Chọn đáp án C Câu 153. Cho A = (−1; 3), B = [0; 2]. Tìm tập hợp CR A ∩ CR B. A. (−∞; −1] ∪ [3; +∞). B. [2; +∞). C. (−∞; −1]. D. (−∞; −1) ∪ (2; +∞). Lời giải. Ta có CR A = R(−1; 3) = (−∞; −1] ∪ [3; +∞) và CR B = (−∞; 0) ∪ (2; +∞) nên CR A ∩ CR B = (−∞; −1] ∪ [3; +∞)  Chọn đáp án A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 155/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ Câu 154. Cho tập hợp A = {−1; 0; 1}. Chọn phát biểu đúng. A. A = [−2; 2] ∩ Z. B. A = (−1; 1) ∩ Z. C. A = [−2; 2] ∩ R. D. A = (−2; 2) ∩ Z. Lời giải.  Chọn đáp án D Câu 155. Cho các tập hợp A = [−2; 2] , B = (1; 5] và C = [0; 1). Tìm tập hợp (AB) ∩ C. A. {0; 1}. Lời giải. C. {0}. B. [0; 1). D. [−2; 5]. Ta có AB = [−2; 1] ⇒ (AB) ∩ C = [−2; 1] ∩ [0; 1) = [0; 1).  Chọn đáp án B Câu 156. Cho các tập hợp A = [−2; 2] , B = (1; 5] , C = [0; 1). Tìm tập hợp (A B) ∩ C là A. {0; 1}. B. [0; 1). C. [−2; 1]. D. [−2; 5]. Lời giải. Ta có AB = [−2; 1] ⇒ (AB) ∩ C = [−2; 1] ∩ [0; 1) = [0; 1).  Chọn đáp án B Câu 157. Cho hai tâp hợp A = [−5; 3) ; B = [0; 2). Tìm tập hợp R (B ∩ A). A. (−∞; 0) ∪ [2; +∞). B. [0; 2). C. [2; +∞). D. (−∞; 0). Lời giải. Do A ∩ B = [0; 2) nên R (A ∩ B) = (−∞; 0) ∪ [2; +∞) Chọn đáp án A  Câu 158. Cho tập hợp A = (0; 1). Hãy xác định tập hợp CR A. A. CR A = (−∞; 0) ∪ (1; +∞). C. CR A = (−∞; 0] ∪ [1; +∞). B. CR A = (−∞; 0] ∪ (1; +∞). D. CR A = (−∞; 0) ∪ [1; +∞). Lời giải. CR A = {x | x ∈ R và x ∈ / A} = (−∞; 0] ∪ [1; +∞). Chọn đáp án C √ ô ä Ä√ 5 Câu 159. Cho hai tập hợp A = 2; +∞ và B = −∞; . Kết quả của (A ∩ B)∪(B A) là 2 ñ√ ô Ç Ç √ ô √ å Ä√ ä 5 √ 5 5 A. ; 2 . B. 2; +∞ . C. −∞; . D. −∞; . 2 2 2 Lời giải. Ç √ ô 5 Ta có A ∩ B = ∅ và B A = −∞; . 2 Ç √ ô 5 Vậy (A ∩ B) ∪ (B A) = −∞; . 2 Chọn đáp án C  Ç  Câu 160. Trục số sau đây (phần không bị gạch) biểu diễn tập hợp nào? ] −2  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em ( 2 Trang 156/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ A. (−∞; −2] ∪ [2; +∞). B. (−∞; −2] ∪ (2; +∞). C. (−∞; −2) ∪ [2; +∞). D. (−∞; −2) ∪ (2; +∞). Lời giải. Trục số trên biểu diễn hợp của hai tập hợp (−∞; −2] và (2; +∞). Chọn đáp án B  Câu 161. Cho hai tập hợp X = (−∞; 3] và Y = (2; +∞). Tìm tập hợp X ∪ Y . A. [2; +∞). Lời giải. B. (−3; 2]. C. R. D. ∅. Ta có X ∪ Y = (−∞; 3) ∪ (2; +∞) = R.  Chọn đáp án C Câu 162. Cho hai tập hợp X = (−∞; 1] và Y = (1; +∞). Tìm tập hợp X ∩ Y . A. [3; +∞). B. R. C. ∅. D. {3}. Lời giải. Ta có X ∩ Y = (−∞; 1] ∩ (1; +∞) = ∅.  Chọn đáp án C Câu 163. Cho các tập hợp A = [−2; 3] ; B = (1; 5]. Tìm tập hợp A ∪ B. A. [−2; 5]. B. (1; 3]. C. [−2; 1]. D. (3; 5]. Lời giải. Ta có A ∪ B = [−2; 3] ∪ (1; 5] = [−2; 5]. Chọn đáp án A  Câu 164. Cho các tập hợp A = (−∞; 3] ; B = [3; +∞). Tìm tập hợp B ∩ A. A. R. Lời giải. B. {3}. C. ∅. D. [3; +∞). Ta có B ∩ A = (−∞; 3] ∩ [3; +∞) = {3}.  Chọn đáp án B Câu 165. Cho tập hợp A = {x ∈ R 1 < x < 5}. Biểu diễn A dưới dạng tập con của tập số thực là A. A = (1; 5). B. A = [1; 5). C. A = [1; 5]. D. A = (1; 5]. Lời giải. A = {x ∈ R 1 < x < 5} = (1; 5) Chọn đáp án A  Câu 166. Xác định tập hợp A = (−2; 5) ∩ [2; 7] A. A = (−2; 2). B. A = (2; 5). C. A = (2; 5]. D. A = [2; 5). Lời giải. A = (−2; 5) ∩ [2; 7] = [2; 5).  Chọn đáp án D Câu 167. Cho hai tập hợp A = (−3; 5), B = [2; 7). Hãy chọn đáp án đúng. A. A ∩ B = (5; 7). B. A ∩ B = (2; 5). C. A ∩ B = (−3; 2]. D. A ∩ B = [2; 5).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 157/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ Lời giải.  Ta có A ∩ B = x x ∈ A, x ∈ B = [2; 5).  Chọn đáp án D Câu 168. Cho hai tập hợp A = (−10; 2), B = [−5; 4). Tập A ∪ B là tập nào sau đây? A. [−10; 4). B. (−5; 2). C. (2; 4). D. (−10; 4). Lời giải. A ∪ B = (−10; 2) ∪ [−5; 4) = (−10; 4).  Chọn đáp án D Câu 169. Cho A = [−1; 3) và B = [2; 5). Tập hợp A ∪ B là A. {−1; 0; 1; 2; 3; 4}. B. [−1; 5]. C. [−1; 5). D. [2; 3). Lời giải. A ∪ B = [−1; 5).  Chọn đáp án C Câu 170. Cho tập hợp M = {x ∈ R | 2 ≤ x < 5}. Hãy viết tập M dưới dạng khoảng, đoạn. A. M = [2; 5). Lời giải. B. M = (2; 5). C. M = [2; 5]. D. M = (2; 5]. Ta có M = {x ∈ R|2 ≤ x < 5} = [2; 5).  Chọn đáp án A Câu 171. Cho A = [−1; 3], B = (2; 5). Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau. A. B A = (3; 5). B. A ∩ B = (2; 3]. C. A B = [−1; 2]. D. A ∪ B = [−1; 5]. Lời giải. Ta có A ∪ B = [−1; 5).  Chọn đáp án D Câu 172. Tập (−∞; −3) ∩ [−5; 2) bằng A. [−5; −3). B. (−∞; −5]. C. (−∞; −2). D. (−3; −2). Lời giải. Ta có (−∞; −3) ∩ [−5; 2) = [−5; −3).  Chọn đáp án A Câu 173. Kết quả của phép toán (−∞; 1) ∩ [−1; 2) là A. (1; 2). B. (−∞; 2). C. (−1; 1). D. [−1; 1). Câu 174. Cho A = [3; 8], B = (−1; 5]. Khi đó A ∩ B là A. (5; 8]. B. (−1; 8]. C. [3; 5]. D. (−1; 3]. Lời giải. Ta có A ∩ B = [3; 5].  Chọn đáp án C Câu 175. Cho A = (−10; 4), B = [−6; 1). Khi đó CAB là A. (−10; −6). Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. (1; 4). C. (−6; 1). Trang 158/2406 D. (−10; −6) ∪ [1; 4). ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ CAB = AB = (−10; 4)[−6; 1) = (−10; −6) ∪ [1; 4).  Chọn đáp án D Câu 176. Cho A = (−3; 8) và B = [5; 14]. Tìm A ∪ B, B A. Lời giải. • A ∪ B = (−3; 14]. • B A = [8; 14].  Câu 177. Cho hai tập hợp X = [−2; 3] và Y = (1; 5]. Tìm tập hợp X Y . A. [−2; 1]. B. (3; 5]. C. [−2; 1). D. (−2; 1]. Lời giải. Ta có X Y = [−2; 3] (1; 5] = [−2; 1]. Chọn đáp án A  Câu 178. Cho tập hợp A = (2; +∞). Tìm tập hợp CR A. A. [2; +∞). B. (2; +∞). C. (−∞; 2]. D. (−∞; −2]. Lời giải. Ta có CR A = R A = (−∞; 2].  Chọn đáp án C Câu 179. Cho các tập hợp sau A = (−1; 5] , B = (2; 7). Tìm tập hợp A B. A. (−1; 2]. B. (2; 5]. C. (−1; 7). D. (−1; 2). Lời giải. Ta có A B = (−1; 5] (2; 7) = (−1; 2].  Chọn đáp án A Câu 180. Cho các tập hợp A = [−2; 3] , B = (1; 5]. Tìm tập hợp B A. A. (3; 5]. B. [−2; 5]. C. (1; 3]. D. [−2; 1]. Lời giải. Ta có B A = [−2; 3] (1; 5] = (3; 5]. Chọn đáp án A  Câu 181. Cho tập hợp A = [−2; 3). Tập hợp CR A bằng. A. (−∞; −2) ∪ [3; +∞). C. (−∞; −2). Lời giải. B. [3; +∞). D. (−∞; −2] ∪ (3; +∞). Ta có CR A = (−∞; −2) ∪ [3; +∞).  Chọn đáp án A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 159/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 4. CÁC TẬP HỢP SỐ ĐÁP ÁN 1. D 11. B 2. A 12. B 3. B 13. C 4. D 14. B 5. D 15. A 6. A 16. C 7. C 17. C 8. D 18. D 9. B 19. C 10. C 20. D 21. B 22. D 23. C 24. C 25. D 26. D 27. B 28. C 29. B 30. A 31. A 32. D 33. C 34. C 35. D 36. B 37. C 38. D 39. D 40. C 41. D 51. B 42. D 52. D 43. C 53. B 44. C 54. C 45. A 55. B 46. A 56. B 47. C 57. A 48. C 58. B 49. A 59. C 50. C 60. A 61. B 62. D 63. C 64. A 65. A 66. D 67. A 68. B 69. C 70. D 71. B 72. B 73. B 74. A 75. B 76. B 77. C 78. D 79. B 80. D 81. C 91. A 82. C 92. A 83. C 93. B 84. A 94. D 85. B 95. B 86. C 96. D 87. C 97. A 88. C 98. C 89. A 99. A 90. A 100. C 101. B 102. D 103. A 104. A 105. C 106. C 107. A 108. B 109. D 110. A 111. C 112. A 113. D 114. B 115. C 116. A 117. D 118. B 119. C 120. A 121. D 131. A 122. A 132. A 123. D 133. D 124. A 134. D 125. C 135. A 126. D 136. C 127. A 137. D 128. A 138. B 129. A 139. A 130. A 140. A 141. B 142. A 143. A 144. C 145. C 146. D 147. B 148. B 149. B 150. A 151. A 152. C 153. A 154. D 155. B 156. B 157. A 158. C 159. C 160. B 161. C 171. D 162. C 172. A 163. A 173. D 164. B 174. C 165. A 175. D 166. D 177. A 167. D 178. C 168. D 179. A 169. C 180. A 170. A 181. A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 160/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 5. SỐ GẦN ĐÚNG - SAI SỐ §5 SỐ GẦN ĐÚNG - SAI SỐ A SỐ GẦN ĐÚNG Ví dụ 1. Khi tính diện tích của hình tròn bán kính r = 2 cm theo công thức S = πr2 . Nam lấy một giá trị gần đúng của π là 3, 1 và được kết quả S = 3, 1.4 = 12, 4 cm 2 Minh lấy một giá trị gần đúng của π là 3, 14 và được kết quả S = 3, 14.4 = 12, 56 cm2 . 2 cm O Vì π = 3, 14592653 . . . là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn, nên ta chỉ viết được gần đúng kết quả phép tính π.r2 bằng một số thập phân hữu hạn. B QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG a) Ôn tập quy tắc làm tròn số Trong sách giáo khoa Toán 7 tập một ta đã biết quy tắc làm tròn đến một hàng nào đó (gọi là hàng quy tròn) như sau Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bởi chữ số 0. Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như trên, nhưng cộng thêm một đơn vị vào chữ số hàng quy tròn. Chẳng hạn Số quy tròn đến hàng nghìn của x = 2 841 675 là x = 2 842 000, của y = 432 415 là y ≈ 432 000. Số quy tròn đến hàng trăm của x = 12, 4253 là x ≈ 12, 43 , của y = 4, 1521 là y ≈ 4, 15. b) Cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước Ví dụ 2. Cho số gần đúng a = 2 841 275 có độ chính xác d = 300. Hãy viết số quy tròn của số a. Giải. Vì độ chính xác đến hàng trăm (d = 300) nên ta quy tròn a đến hàng nghìn theo quy tắc làm tròn ở trên. Vậy số quy tròn của a là 2 841 000. Ví dụ 3. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a = 3, 1463 biết: ā = 3,1463 ± 0,001. Giải. Vì độ chính xác đến hàng phần nghìn (độ chính xác là 0, 001) nên ta quy tròn số 3, 1463 đến hàng trăm theo quy tắc làm tròn ở trên. Vậy số quy tròn của a là 3, 15.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 161/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP C 5. SỐ GẦN ĐÚNG - SAI SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho số gần đúng a = 23748023 với độ chính xác d = 101. Hãy viết số quy tròn của số a. A. 23749000. B. 23748000. C. 23746000. D. 23747000. Lời giải. Độ chính xác d = 101 (hàng trăm), nên ta làm tròn số a = 23748023đến hàng nghìn, được kết quả là a = 23748000. Chọn đáp án B  Câu 2. Cho giá trị gần đúng của π là a = 3, 141592653589 với độ chính xác 10−10 . Hãy viết số quy tròn của số a. A. a = 3, 141592654. Lời giải. B. a = 3, 1415926536. C. a = 3, 141592653. D. a = 3, 1415926535. Độ chính xác d = 10−10 nên ta làm tròn số a = 3, 141592653589 chính xác đến hàng của d.10 = 10−9 (9 chữ số thập phân), kết quả là a = 3, 141592654000.  Chọn đáp án A Câu 3. Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của A. 1,7320. B. 1,732. √ 3 chính xác đến hàng phần nghìn. C. 1,733. D. 1,731. Lời giải. √ 3 = 1, 7320508076 . . . nên ta làm tròn đến hàng phần nghìn ta được kết quả: 1, 732 Chọn đáp án B  Câu 4. Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của π 2 chính xác đến hàng phần nghìn. A. 9,873. Lời giải. B. 9,870. C. 9,872. D. 9,871. π 2 = 9, 8696044011 . . . làm tròn đến hàng phần nghìn ta được kết quả: 9, 870.  Chọn đáp án B Câu 5. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a = 17658 biết ā = 17658 ± 16. A. 17700. B. 17800. C. 17500. D. 17600. Lời giải. ā = 17658 ± 16 ⇒ d = 16(hàng chục) do đó ta làm tròn số a = 17658 đến hàng trăm, kết quả là: 17700  Chọn đáp án A Câu 6. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a = 15, 318 biết ā = 15, 318 ± 0, 056. A. 15,3. B. 15,31. C. 15,32. D. 15,4. Lời giải. ā = 15, 318 ± 0, 056 ⇒ d = 0, 056 ⇒làm tròn số a = 15, 318 chính xác đến hàng của d.10 = 0, 56 (hàng phần trăm), kết quả là: 15, 32.  Chọn đáp án C Câu 7. Đo độ cao một ngọn cây là h = 347, 13m ± 0, 2m. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng 347,13. A. 345.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. 347. C. 348. Trang 162/2406 D. 346. ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 5. SỐ GẦN ĐÚNG - SAI SỐ Lời giải. h = 347, 13m ± 0, 2m ⇒ d = 0, 2 ⇒ nên ta làm tròn số h = 347, 13 đến hàng d.10 = 2 (hàng đơn vị), kết quả là 347.  Chọn đáp án B Câu 8. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh: a = 12 cm ± 0, 2 cm; b = 10, 2 cm ± 0, 2 cm; c = 8 cm ± 0, 1 cm Tính chu vi P của tam giác đã cho. A. P = 30, 2 cm ± 0, 2 cm. C. P = 30, 2 cm ± 0, 5 cm. B. P = 30, 2 cm ± 1 cm. D. P = 30, 2 cm ± 2 cm. Lời giải. Chu vi tam giác là: P = a + b + c = (12 + 10, 2 + 8) ± (0, 2 + 0, 2 + 0, 1) = 30, 2 ± 0, 5.  Chọn đáp án C Câu 9. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng x = 43m ± 0, 5m và chiều dài y = 63m ± 0, 5m. Tính chu vi P của miếng đất đã cho. A. P = 212m ± 4m. Lời giải. B. P = 212m ± 2m. C. P = 212m ± 0, 5m. D. P = 212m ± 1m. Chu vi của miếng đất là P = 2 [x + y] = 2. [(43 ± 0, 5) + (63 ± 0, 5)] = 2. [(43 + 63) ± (0, 5 + 0, 5)] = 212 ± 2.  Chọn đáp án B Câu 10. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài là x = 23m ± 0, 01m và chiều rộng là y = 15m ± 0, 01m. Tính diện tích S của thửa ruộng đã cho. A. S = 345m ± 0, 001m. C. S = 345m ± 0, 01m. B. S = 345m ± 0, 38m. D. S = 345m ± 0, 3801m. Lời giải. Diện tích của thửa ruộng là S = xy = (23 ± 0, 01) · (15 ± 0, 01) = 23.15 ± (23.0, 01 + 15.0, 01 + 0, 012 ) = 345 ± 0, 3801. Chọn đáp án D √ Câu 11. Kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân của 3 7 = 1, 912931183 là A. 1, 91. B. 1, 92. C. 1, 913. D. 1, 912. Lời giải. Do làm tròn đến hai chữ số thập phân nên ta có √ 3  7 ≈ 1,91  Chọn đáp án A Câu 12. Kết quả làm tròn đến chữ số hàng nghìn của x = 268342534 là A. 268340000. B. 2683432000. C. 268343000. D. 268342500. Lời giải. Làm tròn đến chữ số hàng nghìn ta được x ≈ 268343000.  Chọn đáp án C √ Câu 13. Kết quả làm tròn đến ba chữ số thập phân của 3 100 ≈ 4, 641588834 là A. 4, 641. B. 4, 642. C. 4, 6416. D. 4, 64. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 163/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 5. SỐ GẦN ĐÚNG - SAI SỐ Làm tròn đến ba chữ số thập phân ta được x ≈ 4, 642.  Chọn đáp án B Câu 14. Kết quả làm tròn đến đến hàng phần trăm của số 284, 85472 là A. 284, 86. B. 284, 85. C. 284, 855. D. 284, 8547. Lời giải. Làm tròn đến hàng phần trăm của 284, 85472 là 284, 85.  Chọn đáp án B Câu 15. Theo thống kê dân số thế giới tính đến ngày 16/01/2017, dân số Việt Nam có 94970587 người. Kết quả làm tròn đến chữ số hàng nghìn của dân số nước ta là A. 94970600. B. 94971000. C. 94970500. D. 94970000. Lời giải. Làm tròn đến chữ số hàng nghìn của 94970587 là 94971000.  Chọn đáp án B Câu 16. Cho a = 1, 7059 ± 0, 001, kết quả làm tròn số a = 1, 7059 là A. 1, 71. Lời giải. B. 1, 706. C. 1, 7. D. 1, 705. Do d = 0, 001 nên ta làm tròn đến hàng phần trăm, do đó a ≈ 1, 71.  Chọn đáp án A Câu 17. Cho a = 123564 ± 100. Kết quả làm tròn số x = 123564 là A. 12360. B. 123000. C. 123570. D. 124000. Lời giải. Do d = 100 nên ta làm tròn đến chữ số hàng nghìn. Chọn đáp án D  Câu 18. Cho a = 472539 ± 200, kết quả quy tròn của số a = 472539 là A. 472000. B. 472500. C. 472600. D. 473000. Lời giải. Do d = 200 nên ta làm tròn đến chữ số hàng nghìn.  Chọn đáp án D Câu 19. Cho a = 4, 72539 ± 0, 001. Kết quả quy tròn của số 472539 là A. 4, 73. Lời giải. B. 4, 725. C. 4, 72. D. 4, 726. Do d = 0, 001 nên ta làm tròn đến chữ số hàng phần trăm.  Chọn đáp án A Câu 20. Cho số gần đúng x = 6341275 với độ chính xác d = 300. Kết quả quy tròn của x là A. 6341300. B. 6341280. C. 6341000. D. 6342000. Lời giải. Vì độ chính xác đến hàng trăm (d = 300) nên ta quy tròn a đến hàng nghìn theo quy tắc làm tròn.  Chọn đáp án C  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 164/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 5. SỐ GẦN ĐÚNG - SAI SỐ Câu 21. Cho số a = 97975463 ± 150. Số quy tròn của số 97975400 là A. 97975460. B. 97975500. C. 97975400. D. 97975000. Lời giải. Số a có độ chính xác đến hàng trăm nên ta quy tròn số 97975400 đến hàng nghìn. Vậy Số quy tròn của số 97975400 là 97975000.  Chọn đáp án D Câu 22. Khi sử dụng máy tính bỏ túi với 10 chữ số thập phân ta tính được √ trị gần đúng của 3 quy tròn đến hàng phần trăm là A. 1,70. Lời giải. Giá trị gần đúng của Chọn đáp án C B. 1,72. √ C. 1,73. √ 3 = 1,732050808. Giá D. 1,71. 3 quy tròn đến hàng phần trăm là 1,73.  8 là 0,47. Sai số tuyệt đối của số 0,47 là 17 B. 0,003. C. 0,002. D. 0,004. Câu 23. Cho giá trị gần đúng của A. 0,001. Lời giải. 8 8 < 0,471 nên − 0,47 < |0,471 − 0,470| = 0,001. 17 17 Vậy sai số tuyệt đối của số 0,47 là 0,001. Ta có 0,470 <  Chọn đáp án A Câu 24. Cho số a = 367 653 964 ± 213. Số quy tròn của số gần đúng 367 653 964 là A. 367 653 960. B. 367 653 000. C. 367 654 000. D. 367 653 970. Lời giải. Vì độ chính xác đến hàng trăm nên ta quy tròn số gần đúng đến hàng nghìn. Do đó, số quy tròn của số gần đúng 367 653 964 là 367 654 000.  Chọn đáp án C Câu 25. Độ dài các cạnh của một đám vườn hình chữ nhật là x = 7,8 m ±2 cm và y = 25,6 m ±4 cm. Cách viết chuẩn của diện tích (sau khi quy tròn) là A. 200 m2 ± 0,9 m2 . B. 199 m2 ± 0,8 m2 . C. 199 m2 ± 1 m2 . D. 200 m2 ± 1 cm2 . Lời giải. Diện tích đám vườn hình chữ nhật là S = xy = 199,68 m2 . 2 1 4 1 Sai số tương đối của các cạnh là δx = = ; δy = = . 780 390 2560 640 103 Sai số tương đối của diện tích S là δS = δx + δy = . 24960 Sai số tuyệt đối của diện tích S là ∆S = S · δS = 0,824 m2 ⇒ 0,5 < ∆S < 0,9. Vậy cách viết chuẩn là S = 200 m2 ± 0,9 m2 .  Chọn đáp án A Câu 26. Cho số a = 37975421 ± 150. Số quy tròn của số 37975421 là A. 37975000. B. 37976000. C. 37970000. D. 37975400. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 165/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 5. SỐ GẦN ĐÚNG - SAI SỐ Vì độ chính xác d = 150 đến hàng trăm nên ta quy tròn a = 37975421 đến hàng nghìn. Do đó, số quy tròn của số 37975421 là 37975000.  Chọn đáp án A Câu 27. Chiều dài của một cái cầu là l = 1745,25 ± 0,01 m. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng 1725,25. A. 1745,3. B. 1745,25. C. 1725,2. D. Tất cả đều sai. Lời giải. Ta phải quy tròn số 1725,25. Ta thấy 0,01 < 0,1 nên ta phải quy tròn số 1725,25 đến hàng đơn vị. Kết quả là 1725,3.  Chọn đáp án D Câu 28. Trong một cuộc điều tra dân số, người ta báo cáo số dân của tỉnh A là 1.279.425 ± 300 người. Hãy viết số quy tròn số dân của tỉnh A? A. 1.270.000 người. B. 1.279.000 người. C. 1.279.400 người. D. 1.280.000 người. Lời giải. 1000 100 = 50 < 300 < 500 = nên chữ số hàng trăm (chữ số 4) không phải là chữ số chắc, còn chữ Vì 2 2 số hàng nghìn (chữ số 9) là chữ số chắc. Vậy số quy tròn số dân của tỉnh A là 1.279.000. Chọn đáp án B  Câu 29. Ký hiệu khoa học của số 0,000567 là A. 567 · 10−6 . B. 56,7 · 10−5 . C. 5,67 · 10−4 . D. 5,7 · 10−4 . Lời giải. Kí hiệu khoa học của số 0,000567 là 5,67 · 10−4 .  Chọn đáp án C Câu 30. Một hình chữ nhật có diện tích S = 108, 57 cm2 ± 0, 06 cm2 . Số quy tròn của S có bao nhiêu chữ số ở phần thập phân? A. 5. B. 1. C. 3. D. 2. Lời giải. Số quy tròn của S là 108, 6 có 1 chữ số thập phân. Chọn đáp án B  Câu 31. Các nhà thiên văn tính được thời gian để trái đất quanh một vòng quanh mặt trời là 365 1 ngày. Kết quả này có độ chính xác là ngày. Khẳng định nào sau đây đúng về sai số tuyệt đối của 4 phép đo này ? 1 1 1 A. ∆ < 1. B. ∆ < . C. ∆ < . D. ∆ < . 3 2 4 Lời giải. 1 1 Độ chính xác là nên ∆ < . 4 4 Chọn đáp án D  √ Câu 32. Trong các số dưới đây, giá trị gần đúng của 30 − 5 với sai số tuyệt đối bé nhất là A. 0,476.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. 0,477. C. 0,478. Trang 166/2406 D. 0,479. ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 5. SỐ GẦN ĐÚNG - SAI SỐ Lời giải. Dùng máy tính cầm tay ta tính được giá trị gần đúng của √ 30 − 5 là 0,477225 nên giá trị gần đúng của nó với sai số tuyệt đối bé nhất trong bốn đáp án trên là 0,477.  Chọn đáp án B Câu 33. Độ cao của một ngọn núi được ghi lại như sau h = 1372,5m ± 0,2m. Độ chính xác d của phép đo trên là A. d = 0,1m. B. d = 1m. C. d = 0,2m. D. d = 2m. Lời giải. Độ chính xác d = 0,2m.  Chọn đáp án C Câu 34. Đo chiều dài của một cây thước, ta được kết quả a = 45 ± 0,3(cm). Khi đó sai số tuyệt đối của phép đo được ước lượng là A. ∆45 = 0,3. B. ∆45 6 0,3. C. ∆45 6 −0,3. D. ∆45 = −0,3. Lời giải. Ta có độ dài dài gần đúng của cây thước là a = 45 với độ chính xác d = 0,3 Nên sai số tuyệt đối ∆45 6 d = 0,3. Chọn đáp án B  Câu 35. Chiều cao của một ngọn đồi là h = 347,13m ± 0,2m. Độ chính xác d của phép đo trên là: A. d = 347,33m. B. d = 0,2m. C. d = 347,13m. D. d = 346,93m. Lời giải. Ta có độ cao gần đúng của ngọn đồi là a = 347,13m với độ chính xác d = 0,2m.  Chọn đáp án B 8 là 0, 47. Sai số tuyệt đối của số 0, 47 là 17 B. 0, 003. C. 0, 002. D. 0, 004. Câu 36. Cho giá trị gần đúng của A. 0, 001. Lời giải. 8 − 0, 47 = 0, 00058 < 0, 001. 17 Chọn đáp án A Ta có ∆a =  Câu 37. Theo thống kê, dân số Việt Nam năm 2002 là 79715675 người. Giả sử sai số tuyệt đối của số liệu thống kê này nhỏ hơn 10000 người. Hãy viết số quy tròn của số trên. A. 79710000 người. Lời giải. B. 79716000 người. C. 79720000 người. D. 79700000 người. Vì sai số tuyệt đối của số liệu thống kê này nhỏ hơn 10000 người nên độ chính xác đến hàng nghìn nên ta quy tròn đến hàng chục nghìn. Vậy số quy tròn của số trên là 79720000 người. Chọn đáp án C  1 Câu 38. Cho a = (0 < x < 1). Giả sử ta lấy a = 1 − x làm giá trị gần đúng của a. Khi đó, sai 1+x số tương đối của a theo x bằng x2 x x2 x A. . B. . C. . D. . 2 1−x 1−x 1−x 1 − x2  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 167/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 5. SỐ GẦN ĐÚNG - SAI SỐ Lời giải. x2 1 ∆a x2 − (1 − x) = . Vậy sai số tương đối là δa = = . 1+x 1+x |1 − x| 1 − x2 Chọn đáp án A Ta có ∆a =  Câu 39. Số a được cho bởi giá trị gần đúng a = 5,7824 với sai số tương đối không vượt quá 0,05%. Khi đó, sai số tuyệt đối của a không vượt quá A. 0,0028912. B. 0,0027912. C. 0,0026912. D. 0,0025912. Lời giải. ∆a ≤ 0,0005 ⇒ ∆a ≤ 0,0005 · 5,7824 = 0,0028912. |a| Chọn đáp án A Ta có δa =  22 để xấp xỉ số π. Hãy đánh giá sai 7 số tuyệt đối ∆ của giá trị gần đúng này, biết 3,1415 < π < 3,1416. A. ∆ < 0,0012. B. ∆ < 0,0014. C. ∆ < 0,0013. D. ∆ < 0,0011. Câu 40. Các nhà toán học cổ đại Trung Quốc đã dùng phân số Lời giải. 22 22 22 Ta có < 3,1429 và −π < −3,1415 nên ∆ = π − = − π < 3,1429 − 3,1415 = 0,0014. 7 7 7 Chọn đáp án B 8 Câu 41. Cho giá trị gần đúng của là 0,47 thì sai số tuyệt đối không vượt quá 17 A. 0,01. B. 0,02. C. 0,03. D. 0,04.  Lời giải. 8 8 = 0,4705882.... Do 0,47 < = 0,4705882... < 0,48 nên Ta có 17 17 ∆= 8 − 0,47 < |0,48 − 0,47| = 0,01. 17  Chọn đáp án A 3 Câu 42. Cho giá trị gần đúng của là 0,429 thì sai số tuyệt đối không vượt quá 7 A. 0,002. B. 0,001. C. 0,003. D. 0,004. Lời giải. 3 Ta có = 0,428571.... 7 3 3 Do 0,428 < = 0,428571... < 0,429 nên ∆ = 0, 429 − < |0,429 − 0,428| = 0,001. 7 7 Chọn đáp án B  Câu 43. Nếu lấy 3,14 làm giá trị gần đúng cho số π thì sai số tuyệt đối không vượt quá A. 0,01. Lời giải. B. 0,02. C. 0,03. D. 0,04. Ta có π = 3,141592654.... Do 3,14 < π = 3,141592654... < 3,15 nên ta có ∆ = |π − 3,14| < |3,15 − 3,14| = 0,01.  Chọn đáp án A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 168/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 5. SỐ GẦN ĐÚNG - SAI SỐ Câu 44. Nếu lấy 3, 1416 làm giá trị gần đúng cho π thì sai số tuyệt đối không vượt quá A. 0, 0002. B. 0, 0003. C. 0, 0001. D. 0, 0004. Lời giải. Ta có π = 3, 141592654.... Do 3, 1415 < π = 3, 141592654... < 3, 1416 nên ta có ∆ = |3, 1416 − π| < |3, 1416 − 3, 1415| = 0, 0001.  Chọn đáp án C Câu 45. Một vật có thể tích V = 180, 37 cm3 ± 0, 05 cm3 . Nếu lấy 180, 37 cm3 làm giá trị gần đúng cho V thì sai số tương đối của giá trị gần đúng đó không vượt quá A. 0, 03%. B. 0, 01%. C. 0, 02%. D. 0, 001%. Lời giải. ∆ d 0, 05 ≤ = ≈ 0, 03%. |V | |V | 180, 37 Chọn đáp án A Ta có δ =  Câu 46. Một hình chữ nhật có các cạnh là x = 4, 2 m ± 1 cm và y = 7 m ± 2 cm. Tính chu vi của hình chữ nhật đó và độ chính xác của kết quả đó. A. 22, 4 m và 3 cm. B. 22, 4 m và 6 cm. C. 22, 4 m và 2 cm. D. 22, 4 m và 1 cm. Lời giải. Ta có P = 2(x + y) = 22, 4 m ± 6 cm.  Chọn đáp án B Câu 47. Đường kính d của một đồng hồ cát là 8, 52 m với độ chính xác đến 1 cm. Dùng giá trị gần đúng của π là 3, 14 thì cách viết chuẩn của chu vi (sau khi quy tròn) là A. 26, 5. B. 26, 9. C. 26, 6. D. 26, 8. Lời giải. Ta có d = 8, 52 m ± 1 cm ⇒ 8, 51 m ≤ d ≤ 8, 53 m. Khi đó, chu vi C = πd ⇒ 26, 7214 m ≤ C ≤ 26, 7842 m ⇒ C = 26, 7528 m ± 0, 0314 m. Do 0, 0314 < 0, 1 0, 05 = nên dạng chuẩn của chu vi là 26, 8. 2 Chọn đáp án D  Câu 48. Cho phương trình 2x2 + 5x − 8 = 0. Gọi x1 là nghiệm âm của phương trình. Số quy tròn nghiệm x1 với độ chính xác d = 0, 002 bằng A. −3, 61. B. −3, 60. C. −3, 608. D. −3, 6085. Lời giải. √ −5 − 89 Phương trình 2x2 + 5x − 8 = 0 có nghiệm âm là ≈ −3, 61 (với độ chính xác d = 0, 002). 4 Chọn đáp án A  Câu 49. Cho a = 0, 2253, b = 1, 7739. Kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân của a + b bằng A. 2, 00. B. 1, 99. C. 1, 98. D. 2, 01. Lời giải. Ta có 0, 2253 + 1, 7739 = 1, 9992 nên làm tròn bằng 2, 00 (đến hai chữ số thập phân).  Chọn đáp án A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 169/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 5. SỐ GẦN ĐÚNG - SAI SỐ Câu 50. Tính độ dài đường chéo hình vuông có cạnh bằng 3 cm, biết √ 2 ≈ 1, 41421 (lấy kết quả 3 chữ số thập phân). A. 4, 242 cm. B. 4, 243 cm. C. 4, 2426 cm. D. 4, 24 cm. Lời giải. √ Ta có a = 3 × 2 ≈ 4, 24263. Vậy a ≈ 4, 243.  Chọn đáp án B Câu 51. Biết rằng tốc độ ánh sáng trong chân không là 300000 km/s. Hỏi mỗi năm (365 ngày) ánh sáng đi được trong chân không là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng tỷ)? A. 9461.109 km. B. 9460.109 km. C. 9.1012 km. D. 10.1012 km. Lời giải. Ánh sáng đi được trong chân không trong thời gian 1 năm là : 365 × 24 × 60 × 60 × 300000 = 9, 4608.1012 ≈ 9461.109 km.  Chọn đáp án A Câu 52. Cho tam giác với ba cạnh a = 6, 3 cm ± 0, 1 cm, b = 10 cm ± 0, 2 cm và c = 15 cm ± 0, 2 cm. Kết quả quy tròn của chu vi tam giác trên là A. 31 cm. B. 30 cm. C. 32 cm. D. 31, 3 cm. Lời giải. Chu vi tam giác là P ≈ 6, 3 + 10 + 15 = 31, 3 cm. Độ chính xác là d = 0, 1 + 2.0, 2 = 0, 5 cm. Vậy P ≈ 31 cm. Chọn đáp án A  Câu 53. Đo độ dài ba cạnh a, b, c của một tam giác, được kết quả a = 6,3 cm±0,1 cm, b = 10 cm±0,2 cm, c = 15 cm ± 0,2 cm. Chu vi của tam giác có thể có số đo lớn nhất là bao nhiêu cm? A. 31,3 cm. Lời giải. B. 31,8 cm. C. 30,8 cm. D. 32 cm. Giá trị lớn nhất của chu vi tam giác có thể là C = 6,3 cm + 0,1 cm + 10 cm + 0,2 cm + 15 cm ± 0,2 cm = 31,8 cm.  Chọn đáp án B Câu 54. Cho a là số gần đúng của số đúng a. Khi đó ∆a = |a − a| được gọi là A. số quy tròn của a. B. sai số tương đối của số gần đúng a. C. sai số tuyệt đối của số gần đúng a. D. số quy tròn của a. Lời giải. ∆a = |a − a| được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.  Chọn đáp án C Câu 55. Cho số a là số gần đúng của số a. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. a > a. B. a < a. C. |a − a| > 0. D. −a < a < a. Lời giải. Do a là số gần đúng của số a nên a > a hoặc a < a. Suy ra |a − a| > 0. Chọn đáp án C  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Trang 170/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 5. SỐ GẦN ĐÚNG – SAI SỐ Câu 56. Cho số a là số gần đúng của a với độ chính xác d. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. a = a + d. B. a = a − d. C. a = a. D. a = a ± d. Lời giải. Nếu a là số gần đúng của a với độ chính xác d thì a = a ± d. Chọn đáp án D  Câu 57. Đo chiều dài của một cây thước, ta được kết quả ā = 45 cm ± 0,3 cm. Khi đó sai số tuyệt đối của phép đo được ước lượng là A. ∆45 = 0,3. B. ∆45 ≤ 0,3. C. ∆45 ≤ −0,3. D. ∆45 = −0,3. Lời giải. Sai số tuyệt đối của phép đo được ước lượng là ∆45 ≤ 0,3.  Chọn đáp án B √ Câu 58. Kết quả làm tròn số a = 10 13 đến hàng đơn vị là A. a ≈ 40. B. a ≈ 36. C. a ≈ 36, 1. D. a ≈ 36, 06. Lời giải. √ Có a = 10 13 ≈ 36,0555. Vậy làm tròn đến hàng đơn vị ta được a ≈ 36.  Chọn đáp án B √ Câu 59. Kết quả làm tròn số b = 500 7 đến chữ số thập phân thứ hai là A. b ≈ 132, 88. B. b ≈ 1322, 87. C. b ≈ 1322, 8. D. b ≈ 1322, 9. Lời giải. √ Có b = 500 7 ≈ 1322,875656. Do làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai nên ta có b ≈ 1322,88.  Chọn đáp án A Câu 60. Kết quả làm tròn của số c = 76324753, 3695 đến hàng nghìn là A. c ≈ 76324000. B. c ≈ 76325000. C. c ≈ 76324753, 369. D. c ≈ 76324753, 37. Lời giải. Làm tròn đến hàng nghìn của c = 76324753, 3695 ta được c ≈ 76325000. Chọn đáp án B  Câu 61. Kết quả làm tròn số x = 76324, 7533695 đến hàng phần chục nghìn là A. x ≈ 76324, 75336. Lời giải. B. x ≈ 76324, 75337. C. x ≈ 76324, 7533. D. x ≈ 76324, 7534. Do làm tròn đến hàng chục nghìn nên ta lấy 4 số sau dấu ,. Suy ra x ≈ 76324, 7534.  Chọn đáp án D Câu 62. Viết số quy tròn của số gần đúng a = 505360, 996 biết a = 505360, 996 ± 100. A. a ≈ 505. B. a ≈ 5054. C. a ≈ 505400. D. a ≈ 505000. Lời giải. Do a = 505360, 996 ± 100 nên ta làm tròn đến hàng nghìn. Suy ra a ≈ 505000.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 171/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 5. SỐ GẦN ĐÚNG – SAI SỐ  Chọn đáp án D Câu 63. Viết số quy tròn số gần đúng b = 3257, 6254 với độ chính xác d = 0, 01. A. b ≈ 3257, 63. Lời giải. B. b ≈ 3257, 62. C. b ≈ 3257, 6. D. b ≈ 3257, 7. Do d = 0, 01 nên ta làm tròn đến hàng phần đơn vị. Do đó b ≈ 3257, 6.  Chọn đáp án C Câu 64. Cho giá trị gần đúng của số π là x = 3, 141592653589 với độ chính xác 10−10 . Hãy viết số quy tròn của x. A. x ≈ 3, 141592654. B. x ≈ 3, 1415926535. C. x ≈ 3, 1415926536. D. x ≈ 3, 141592653. Lời giải. Do độ chính xác là 10−10 nên ta làm tròn đến chữ số thứ 9 sau dấu ,. Chọn đáp án A  Câu 65. Viết số quy tròn của số gần đúng y = 505360996 biết y = 505360996 ± 104 . A. y ≈ 505300000. B. y ≈ 505400000. C. y ≈ 505360000. D. y ≈ 505370000. Lời giải. Do y = 505360996 ± 104 nên ta làm tròn đến hàng phần trăm nghìn.  Chọn đáp án B Câu 66. Độ cao của một ngọn núi được ghi lại là h = 1372,5 m ± 0,2 m. Độ chính xác d của phép đo trên là bao nhiêu? A. d = 0,1 m. B. d = 1 m. C. d = 0,2 m. D. d = 2 m. Lời giải. Với h = 1372,5 m ± 0,2 m thì độ chính xác d = 0,2 m. Chọn đáp án C  Câu 67. Cho số gần đúng a = 23748023 với độ chính xác d = 101. Hãy viết số quy tròn của số a. A. 23749000. B. 23748000. C. 23746000. D. 23747000. Lời giải. Độ chính xác d = 101 (hàng trăm), nên ta làm tròn số a = 23748023đến hàng nghìn, được kết quả là a = 23748000.  Chọn đáp án B Câu 68. Cho giá trị gần đúng của π là a = 3, 141592653589 với độ chính xác 10−10 . Hãy viết số quy tròn của số a. A. a = 3, 141592654. B. a = 3, 1415926536. C. a = 3, 141592653. D. a = 3, 1415926535. Lời giải. Độ chính xác d = 10−10 nên ta làm tròn số a = 3, 141592653589 chính xác đến hàng của d.10 = 10−9 (9 chữ số thập phân), kết quả là a = 3, 141592654000.  Chọn đáp án A √ Câu 69. Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của 3 chính xác đến hàng phần nghìn. A. 1,7320. B. 1,732. C. 1,733. D. 1,731.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 172/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 5. SỐ GẦN ĐÚNG – SAI SỐ Lời giải. √ 3 = 1, 7320508076 . . . nên ta làm tròn đến hàng phần nghìn ta được kết quả: 1, 732  Chọn đáp án B Câu 70. Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của π 2 chính xác đến hàng phần nghìn. A. 9,873. B. 9,870. C. 9,872. D. 9,871. Lời giải. π 2 = 9, 8696044011 . . . làm tròn đến hàng phần nghìn ta được kết quả: 9, 870. Chọn đáp án B  Câu 71. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a = 17658 biết ā = 17658 ± 16. A. 17700. B. 17800. C. 17500. D. 17600. Lời giải. ā = 17658 ± 16 ⇒ d = 16(hàng chục) do đó ta làm tròn số a = 17658 đến hàng trăm, kết quả là: 17700  Chọn đáp án A Câu 72. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a = 15, 318 biết ā = 15, 318 ± 0, 056. A. 15,3. B. 15,31. C. 15,32. D. 15,4. Lời giải. ā = 15, 318 ± 0, 056 ⇒ d = 0, 056 ⇒làm tròn số a = 15, 318 chính xác đến hàng của d.10 = 0, 56 (hàng phần trăm), kết quả là: 15, 32.  Chọn đáp án C Câu 73. Đo độ cao một ngọn cây là h = 347, 13m ± 0, 2m. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng 347,13. A. 345. B. 347. C. 348. D. 346. Lời giải. h = 347, 13m ± 0, 2m ⇒ d = 0, 2 ⇒ nên ta làm tròn số h = 347, 13 đến hàng d.10 = 2 (hàng đơn vị), kết quả là 347.  Chọn đáp án B Câu 74. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh: a = 12 cm ± 0, 2 cm; b = 10, 2 cm ± 0, 2 cm; c = 8 cm ± 0, 1 cm Tính chu vi P của tam giác đã cho. A. P = 30, 2 cm ± 0, 2 cm. B. P = 30, 2 cm ± 1 cm. C. P = 30, 2 cm ± 0, 5 cm. Lời giải. D. P = 30, 2 cm ± 2 cm. Chu vi tam giác là: P = a + b + c = (12 + 10, 2 + 8) ± (0, 2 + 0, 2 + 0, 1) = 30, 2 ± 0, 5.  Chọn đáp án C Câu 75. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng x = 43m ± 0, 5m và chiều dài y = 63m ± 0, 5m. Tính chu vi P của miếng đất đã cho. A. P = 212m ± 4m. B. P = 212m ± 2m. C. P = 212m ± 0, 5m. D. P = 212m ± 1m. Lời giải. Chu vi của miếng đất là P = 2 [x + y] = 2. [(43 ± 0, 5) + (63 ± 0, 5)] = 2. [(43 + 63) ± (0, 5 + 0, 5)] = 212 ± 2.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 173/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 5. SỐ GẦN ĐÚNG – SAI SỐ  Chọn đáp án B Câu 76. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài là x = 23m ± 0, 01m và chiều rộng là y = 15m ± 0, 01m. Tính diện tích S của thửa ruộng đã cho. A. S = 345m ± 0, 001m. B. S = 345m ± 0, 38m. C. S = 345m ± 0, 01m. D. S = 345m ± 0, 3801m. Lời giải. Diện tích của thửa ruộng là S = xy = (23 ± 0, 01) · (15 ± 0, 01) = 23.15 ± (23.0, 01 + 15.0, 01 + 0, 012 ) = 345 ± 0, 3801.  Chọn đáp án D  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 174/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 5. SỐ GẦN ĐÚNG – SAI SỐ ĐÁP ÁN 1. B 11. A 2. A 12. C 3. B 13. B 4. B 14. B 5. A 15. B 6. C 16. A 7. B 17. D 8. C 18. D 9. B 19. A 10. D 20. C 21. D 22. C 23. A 24. C 25. A 26. A 27. D 28. B 29. C 30. B 31. D 32. B 33. C 34. B 35. B 36. A 37. C 38. A 39. A 40. B 41. A 51. A 42. B 52. A 43. A 53. B 44. C 54. C 45. A 55. C 46. B 56. D 47. D 57. B 48. A 58. B 49. A 59. A 50. B 60. B 61. D 62. D 63. C 64. A 65. B 66. C 67. B 68. A 69. B 70. B 71. A 72. C 73. B 74. C 75. B 76. D  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 175/2406 ‡ GeoGebra Chương 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ A 1 TÓM TẮT LÍ THUYẾT HÀM SỐ VÀ TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ Định nghĩa. Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số. Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x. Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số. 2 CÁCH CHO HÀM SỐ a) Hàm số cho bằng bảng b) Hàm số cho bằng biểu đồ c) Hàm số cho bằng công thức Khi cho hàm số bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định của nó thì ta quy ước: ! Tập xác định của hàm số y = f (x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f (x) có nghĩa. 3 ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Định nghĩa. Đồ thị của hàm số y = f (x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M (x; f (x)) trên mặt phẳng tọa độ với mọi x thuộc D. Ta thường gặp trường hợp đồ thị của hàm số y = f (x) là một đường (đường thẳng, đường cong,…). Khi đó, ta nói y = f (x) là phương trình của đường đó. 4 SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa. Hàm số y = f (x) gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) nếu ∀x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ). 176 CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Hàm số y = f (x) gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) nếu ∀x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ). Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch biến ! của hàm số đó. 5 TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ Định nghĩa. Cho hàm số y = f (x) với tập xác định D. Hàm số y = f (x) gọi là hàm số chẵn nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f (−x) = f (x). Hàm số y = f (x) gọi là hàm số lẻ nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f (−x) = −f (x). Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm ! đối xứng. B CÁC DẠNG TOÁN | Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số Để tìm tập xác định của hàm số y = f (x), ta làm như sau: + Tìm điều kiện để f (x) có nghĩa. + Tập hợp các giá trị x thoả mãn f (x) có nghĩa tìm được chính là tập xác định của hàm số. Một số trường hợp thường gặp: p f (x) có nghĩa ⇔ f (x) ≥ 0. 1 có nghĩa ⇔ f (x) 6= 0. f (x) 1 p có nghĩa ⇔ f (x) > 0. f (x) ccc BÀI TẬP DẠNG 1 ccc Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số y = −x3 + 3x + 2017. Lời giải. Điều kiện −x3 + 3x + 2017 có nghĩa ⇔ x ∈ R. Vậy tập xác định của hàm số là R.  Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số y = x − 2 . x−3 Lời giải. 2 có nghĩa ⇔ x 6= 3. x−3 Vậy tập xác định của hàm số là R {3}. Điều kiện x −   Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 177/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Ví dụ 3. Tìm tập xác định của hàm số y = x + √ x + 1. Lời giải. √ Điều kiện x + x + 1 có nghĩa ⇔ x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1. Vậy tập xác định của hàm số là [−1; +∞).  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số y = x4 + x2 − 2. Lời giải.  Tập xác định của hàm số là R. Bài 2. Tìm tập xác định của hàm số y = 4×2 x+2 . + 5x − 9 Lời giải. 9 Tập xác định của hàm số là R {− ; 1}. 4 Bài 3. Tìm tập xác định của hàm số y =  x2 3+x . + 2x + 5 Lời giải. Tập xác định của hàm số là R.  Tập xác định của hàm số là [−4; 2) ∪ (2; +∞).  √ x+4 Bài 4. Tìm tập xác định của hàm số y = . x−2 Lời giải. Bài 5. Tìm tập xác định của hàm số y = 2x + 3 . (2x − 1)(x + 3) Lời giải. ™ ß 1 . Tập xác định của hàm số là R −3; 2  Tập xác định của hàm số là [2; 3) ∪ (3; +∞).  √ x−2 Bài 6. Tìm tập xác định của hàm số y = . x−3 Lời giải. Bài 7. Tìm tập xác định của hàm số y = 1 x + . x−1 x+2 Lời giải. Tập xác định của hàm số là R {−2; 1}. Bài 8. Tìm tập xác định của hàm số y =  √ 4x + 2 + √ x . −x + 1 Lời giải. ï ã 1 Tập xác định của hàm số là − ; 1 . 2 Bài 9. Tìm tập xác định của hàm số y =  x+2 . |x − 1| + |x − 2| Lời giải.  Tập xác định của hàm số là R.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 178/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Bài 10. Tìm tập xác định của hàm số y = 2 . |x| − 3 Lời giải. Tập xác định của hàm số là R {−3; 3}.  | Dạng 2. Tính giá trị của hàm số tại một điểm – Để tính giá trị của hàm số f (x) tại x = x0 ta thay thế x bởi x0 vào công thức f (x) để tính f (x0 ). – Đối với các hàm số được cho bởi hai hay nhiều công thức với các miền xác định đã cho, chẳng hạn: y = f (x) = ( f1 (x) với x ∈ D1 f2 (x) với x ∈ D2 Khi tính giá trị hàm số f (x) tại x = x0 , tùy theo x0 thuộc D1 hay D2 mà ta sử dụng công thức f (x) = f1 (x) hay f (x) = f2 (x) để tính f (x0 ). ccc BÀI TẬP DẠNG 2 ccc Với hàm số f (x) được cho bởi công thức phức tạp, để tính một cách nhanh và chính xác giá trị f (x0 ) ta sử dụng máy tính cầm tay để tính. Quy trình bấm máy: ! • Nhập công thức f (x); • Bấm r; • Nhập giá trị x0 ; • Bấm =. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Cho hàm số y = f (x) = 2×2 − 3x − 1. Tính giá trị của hàm số đó tại x = −2. Lời giải. Ta có f (−2) = 2(−2)2 − 3(−2) − 1 = 13. Ví dụ 2. Cho hàm số f (x) = ( 3x − 2  với x ≥ 1 1 − 2×2 với x < 1. Tính f (1), f (2), f (0), f (−3). Lời giải. Ta có f (1) = 1, f (2) = 4, f (0) = 1, f (−3) = −17.   2 x − 2x − 1 với x ≤ 0 Ví dụ 3. Cho hàm số f (x) =  x+1 với x > 0. x2 + x + 1 Tính giá trị của hàm số đó tại x = 1; x = 0; x = −2. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 179/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ 2 Ta có f (1) = ; f (0) = −1; f (−2) = 4. 3  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho hàm số f (x) = −x2 − 4x + 5. Tính f (−2). Lời giải. Đáp số: f (−2) = 9.  Bài 2. Cho hai hàm số f (x) = x2 − 2x và g(x) = 1 − x. Tính giá trị f (−1) . g(2) Lời giải. f (−1) Đáp số: = −3. g(2)  Bài 3. Cho hàm số f (y) = 4 − √ y. Tính f (4y 2 ). Lời giải. Đáp số: f (4y 2 ) = 4 − 2y, với y ≥ 0. (√ 5 − x với x < 3 Bài 4. Cho hàm số f (x) = √ x + 5 với x ≥ 3. Tính f (−4), f (1), f (4). Lời giải. Đáp số: f (−4) = 3, f (1) = 2, f (4) = 3.   − 2x + 3 với x < −1   Bài 5. Cho hàm số f (x) = 3 với − 1 ≤ x < 1  √   2 x − 1 với x ≥ 1. Tính f (−2), f (−1), f (0), f (1), f (2). Lời giải. √ Đáp số: f (−2) = 7, f (−1) = 3, f (0) = 3, f (1) = 0, f (2) = 3.  2(x − 1) với x ≤ 2 Bài 6. Cho hàm số f (x) = »  x2 − 2√2 với x > 2. √ √ √ Tính f (1), f ( 2), f ( 3), f ( 2 + 1).    Lời giải. √ √ √ √ √ √ Đáp số: f (1) = 0, f ( 2) = 2 2 − 2, f ( 3) = 2 3 − 2, f ( 2 + 1) = 3.   2x + 1 với − 4 ≤ x < −1   Bài 7. Cho hàm số f (x) = − x2 + 2 với − 1 ≤ x ≤ 2    2−x với x > 2. √ √ Tính f (0), f ( 2), f (−1), f ( 2), f (3). Lời giải. √ Đáp số: f (0) = 2, f ( 2) = 0, f (−1) = 1, f (3) = −1. Bài 8. Cho hàm số f (x) =   1 f (x) − f (3) . Tính , với x 6= 3. 2 x x−3 Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 180/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Đáp số: 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ f (x) − f (3) x+3 =− . x−3 9×2  Bài 9. Cho hàm số f (x) = −x2 + 2x + 3. Tính f (a), f (x + 2) (với a là một số thực). Lời giải. Đáp số: f (a) = −a2 + 2a + 3, f (x + 2) = −x2 − 2x + 3.  Bài 10. Cho hàm số f (x) = x2 − 2. Tìm giá trị của số thực a sao cho f (a − 1) = 2. Lời giải. Ta có: f (a − 1) = a2 − 2a − 1 = 2 ⇒ a = −1, a = 3.  Bài 11. Cho hàm số f (x) = 2x + m, với m là tham số. Tính m để f (1) = 4. Lời giải. Ta có: f (1) = 2 + m = 4 ⇒ m = 2.  | Dạng 3. Dùng định nghĩa xét tính đơn điệu của hàm số Cho hàm số y = f (x) xác định trên K. • Hàm số y = f (x) đồng biến trên K khi và chỉ khi ∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) ⇔ ∀x1 , x2 ∈ K : x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) − f (x2 ) > 0. x1 − x2 • Hàm số y = f (x) nghịch biến trên K khi và chỉ khi ∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) ⇔ ∀x1 , x2 ∈ K : x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) − f (x2 ) < 0. x1 − x2 ccc BÀI TẬP DẠNG 3 ccc Ví dụ 1. Dùng định nghĩa chứng minh hàm số y = 2x + 3 đồng biến trên R. Lời giải. - Gọi x1 , x2 là hai giá trị phân biệt tùy ý thuộc R, ta có f (x1 ) − f (x2 ) (2x1 + 3) − (2x2 + 3) 2(x1 − x2 ) = = = 2 > 0. x1 − x2 x1 − x2 x1 − x2 – Vậy hàm số y = 2x + 3 luôn đồng biến trên R.  Ví dụ 2. Dùng định nghĩa xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số y = x2 + 10x + 9 trên (−5; +∞). Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 181/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ – Gọi x1 , x2 là hai giá trị phân biệt tùy ý thuộc (−5; +∞), ta có f (x1 ) − f (x2 ) (x21 + 10×1 + 9) − (x22 + 10×2 + 9) (x1 − x2 )(x1 + x2 + 10) = = = x1 + x2 + 10. x1 − x2 x1 − x2 x1 − x2 – Do x1 > −5, x2 > −5 nên x1 + x2 > −10 ⇔ x1 + x2 + 10 > 0, từ đó suy ra f (x1 ) − f (x2 ) > 0. x1 − x2 – Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−5; +∞).  Ví dụ 3. Dùng định nghĩa xét tính đơn điệu của hàm số y = 4 trên (−1; +∞). x+1 Lời giải. – Gọi x1 , x2 là hai giá trị phân biệt tùy ý thuộc (−1; +∞), ta có 4(x2 − x1 ) 4 4 − −4 f (x1 ) − f (x2 ) (x + 1)(x2 + 1) x + 1 x2 + 1 = 1 = 1 = . x1 − x2 x1 − x2 x1 − x2 (x1 + 1)(x2 + 1) – Do x1 > −1, x2 > −1 nên (x1 + 1)(x2 + 1) > 0, từ đó suy ra f (x1 ) − f (x2 ) < 0. x1 − x2 - Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên (−1; +∞).  Ví dụ 4. Dùng định nghĩa xét sự biến thiên của hàm số y = √ x − 1 trên tập xác định. Lời giải. - Tập xác định: D = [1; +∞). - Gọi x1 , x2 là hai giá trị phân biệt tùy ý thuộc [1; +∞), ta có √ √ 1 f (x1 ) − f (x2 ) x1 − 1 − x2 − 1 √ = =√ > 0. x1 − x2 x1 − x2 x1 − 1 + x 2 − 1 – Vậy hàm số đã cho luôn đồng biến trên tập xác định. – Bảng biến thiên x +∞ 1 +∞ y 0  Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = m nghịch biến trên từng x−2 khoảng xác định. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 182/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ – Tập xác định: D = (−∞; 2) ∪ (2; +∞). – Gọi x1 , x2 là hai giá trị phân biệt tùy ý thuộc (−∞; 2), ta có m m − f (x1 ) − f (x2 ) −m x − 2 x2 − 2 = 1 = . x1 − x2 x1 − x2 (x1 − 2)(x2 − 2) – Do x1 < 2, x2 < 2 nên (x1 − 2)(x2 − 2) > 0, từ đó suy ra để hàm số nghịch biến trên (−∞; 2) thì m > 0. – Gọi x1 , x2 là hai giá trị phân biệt tùy ý thuộc (2; +∞), ta có m m − f (x1 ) − f (x2 ) −m x − 2 x2 − 2 = 1 = . x1 − x2 x1 − x2 (x1 − 2)(x2 − 2) – Do x1 > 2, x2 > 2 nên (x1 − 2)(x2 − 2) > 0, từ đó suy ra để hàm số nghịch biến trên (2; +∞) thì m > 0. – Tóm lại m > 0 thì hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định.  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Dùng định nghĩa xét tính đơn điệu của hàm số y = −x + 5 trên R. Lời giải. – Gọi x1 , x2 là hai giá trị phân biệt tùy ý thuộc R, ta có f (x1 ) − f (x2 ) (−x1 + 5) − (−x2 + 5) = = −1 < 0. x1 − x2 x1 − x2  - Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên R. Bài 2. Dùng định nghĩa xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số y = 2x2 + 4x + 1 trên (−∞; −1), (−1; +∞). Lời giải. - Xét f (x1 ) − f (x2 ) (2x21 + 4x1 + 1) − (2x22 + 4x2 + 1) = = 2(x1 + x2 + 2). x1 − x2 x1 − x2 - Trường hợp x1 , x2 phân biệt cùng thuộc (−∞; −1) thì x1 + x2 + 2 < 0 suy ra hàm số nghịch biến. - Trường hợp x1 , x2 phân biệt cùng thuộc (−1; +∞) thì x1 + x2 + 2 > 0 suy ra hàm số đồng biến.  1+x Bài 3. Dùng định nghĩa xét tính đơn điệu của hàm số y = trên (−∞; 1). 1−x Lời giải. – Gọi x1 , x2 là hai giá trị phân biệt tùy ý thuộc (−∞; 1), ta có 1 + x1 1 + x2 − 2 f (x1 ) − f (x2 ) 1 − x1 1 − x2 = = . x1 − x2 x1 − x2 (1 − x1 )(1 − x2 )  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 183/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ – Do x1 < 1, x2 < 1 nên (1 − x1 )(1 − x2 ) > 0, từ đó suy ra f (x1 ) − f (x2 ) > 0. x1 − x2 – Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (−∞; 1).  √ Bài 4. Dùng định nghĩa xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số y = 3 − x trên tập xác định. Lời giải. – Tập xác định: D = (−∞; 3]. – Gọi x1 , x2 là hai giá trị phân biệt tùy ý thuộc D = (−∞; 3], ta có √ √ f (x1 ) − f (x2 ) 3 − x1 − 3 − x2 −1 √ = =√ < 0. x1 − x2 x1 − x2 3 − x 1 + 3 − x2  - Vậy hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định. Bài 5. Dùng định nghĩa xét sự biến thiên của hàm số y = |x − 3| trên tập xác định. Lời giải. - Tập xác định: D = R. - Xét |x1 − 3| − |x2 − 3| f (x1 ) − f (x2 ) = . x1 − x2 x1 − x2 f (x1 ) − f (x2 ) (3 − x1 ) − (3 − x2 ) • Với x1 , x2 ∈ (−∞; 3) thì = = −1 < 0. x1 − x2 x 1 − x2 Từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên (−∞; 3). f (x1 ) − f (x2 ) (x1 − 3) − (x2 − 3) = = 1 > 0. • Với x1 , x2 ∈ (3; +∞) thì x1 − x2 x1 − x2 Từ đó suy ra hàm số đồng biến trên (3; +∞). – Bảng biến thiên x −∞ 3 +∞ +∞ +∞ y 0  Bài 6. Dùng định nghĩa xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số y = Lời giải. √ 2 − x + 1 trên tập xác định. – Tập xác định: D = (−∞; 2]. – Gọi x1 , x2 là hai giá trị tùy ý thuộc (−∞; 2], ta có √ √ 2 − x1 + 1 − 2 − x2 + 1 f (x1 ) − f (x2 ) −1 √ = =√ < 0. x1 − x2 x1 − x2 2 − x1 + 2 − x2 - Vậy hàm số đã cho luôn nghịch biến trên tập xác định.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 184/2406  ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Bài 7. Dùng định nghĩa xét tính đơn điệu của hàm số y = x2 x trên (0; 1), (1; +∞). +1 Lời giải. - Xét biểu thức f (x1 ) − f (x2 ) = x1 − x2 x2 x1 − 2 + 1 x2 + 1 = 1 − x1 x2 . x1 − x2 x21 • Trường hợp x1 , x2 ∈ (0; 1) suy ra 0 < x1 , x2 < 1 ⇒ 1 − x1 x2 > 0, từ đó ta có f (x1 ) − f (x2 ) > 0. x 1 − x2 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; 1). • Trường hợp x1 , x2 ∈ (1; +∞) suy ra x1 , x2 > 1 ⇒ 1 − x1 x2 < 0, từ đó ta có f (x1 ) − f (x2 ) < 0. x 1 − x2 Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1; +∞).  Bài 8. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = (m − 2)x + 5 đồng biến trên tập xác định. Lời giải. - Tập xác định: D = R. - Gọi x1 , x2 là hai giá trị phân biệt tùy ý thuộc R, ta có ((m − 2)x1 + 5) − ((m − 2)x2 + 5) (m − 2)(x1 − x2 ) f (x1 ) − f (x2 ) = = = m − 2. x 1 − x2 x1 − x2 x1 − x2 - Để hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi m − 2 > 0 ⇔ m > 2. – Vậy m > 2.  m Bài 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = đồng biến trên từng khoảng xác x−2 định. Lời giải. – Tập xác định: D = (−∞; 2) ∪ (2; +∞). – Xét biểu thức m m − f (x1 ) − f (x2 ) −m x − 2 x2 − 2 = 1 = . x1 − x2 x1 − x2 (x1 − 2)(x2 − 2) – Nhận thấy trên từng khoảng xác định (−∞; 2), (2; +∞) thì tích (x1 − 2)(x2 − 2) > 0, từ đó ta có để f (x1 ) − f (x2 ) hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì > 0 ⇔ −m > 0 ⇔ m < 0. x1 − x2 - Vậy với m < 0 thì hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định.   Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 185/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Bài 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = định. m+1 đồng biến trên từng khoảng xác x Lời giải. - Tập xác định: D = (−∞; 0) ∪ (0; +∞). - Xét biểu thức m+1 m+1 − f (x1 ) − f (x2 ) −(m + 1) x1 x2 = = . x 1 − x2 x1 − x2 x 1 x2 - Nhận thấy trên từng khoảng xác định (−∞; 0), (0; +∞) thì tích x1 x2 > 0, từ đó ta có để hàm số f (x1 ) − f (x2 ) đồng biến trên từng khoảng xác định thì > 0 ⇔ −(m + 1) > 0 ⇔ m < −1. x1 − x2 - Vậy với m < −1 thì hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định.  | Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm bậc nhất a) Sự biến thiên của hàm số y = ax + b trên R. • Khi a > 0 hàm số đồng biến trên R. x −∞ +∞ +∞ y −∞ • Khi a < 0 hàm số nghịch biến trên R. x −∞ +∞ +∞ y −∞ b) Sự biến thiên của ( hàm số y = |x| trên R. x khi x ≥ 0 - Ta có y = |x| = . −x khi x < 0 - Do đó, khi x ≥ 0 thì y = x là hàm số đồng biến, khi x < 0 thì y = −x là hàm số nghịch biến. - Bảng biến thiên x −∞ 0 +∞ +∞ +∞ y 0 ccc BÀI TẬP DẠNG 4 ccc Ví dụ 1. Xét sự biến thiên của hàm số y = 2x − 3. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 186/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ - Tập xác định: D = R. - Do a = 2 > 0 nên hàm số luôn đồng biến trên R. – Bảng biến thiên x −∞ +∞ +∞ y −∞  Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của hàm số y = |1 − x|. Lời giải. – Tập xác định: D = R. ( x − 1 khi x ≥ 1 . – Ta có y = |1 − x| = 1 − x khi x < 1 - Dó đó, khi x ≥ 1 thì y = x − 1 là hàm số đồng biến, còn khi x < 1 thì y = 1 − x là hàm số nghịch biến. - Bảng biến thiên x −∞ 1 +∞ +∞ +∞ y 0  Ví dụ 3. Xét sự biến thiên của hàm số y = |x + 2| + |x − 2|. Lời giải. - Tập xác định: D = R.   2x khi   - Ta có y = |x + 2| + |x − 2| = 4 khi    −2x khi - Do đó, khi x < −2 thì y = −2x là hàm x≥2 − 2 ≤ x < 2. x < −2 số nghịch biến, khi −2 ≤ x < 2 thì y = 4 là hàm hằng, còn khi x ≥ 2 thì y = 2x là hàm đồng biến. - Bảng biến thiên  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 187/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ x −∞ −2 2 +∞ +∞ +∞ y 4 4  Ví dụ 4. Cho hàm số y = (1 − 2m)x + (3m + 2). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên tập xác định. Lời giải. - Tập xác định: D = R. - Để hàm số y = (1 − 2m)x + (3m + 2) nghịch biến trên R khi và chỉ khi 1 1 − 2m < 0 ⇔ 1 < 2m ⇔ m > . 2 – Vậy với m > 1 thì hàm số đã cho nghịch biến trên D = R. 2  BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1 Bài 1. Xét tính đơn điệu của hàm số y = − x + 5. 2 Lời giải. – Tập xác định: D = R. 1 – Do a = − < 0 nên hàm số đã cho nghịch biến trên R. 2 Bài 2. Xét tính đơn điệu của hàm số y = 3x − 1. Lời giải.  - Tập xác định: D = R. - Do a = 3 > 0 nên hàm số đã cho đồng biến trên R.  Bài 3. Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số y = |2x − 1|. Lời giải. – Tập xác định: D = R. 1  1 − 2x khi x < 2. - Ta có y = |2x − 1| =  2x − 1 khi x ≥ 1 2 - Từ đó ta có 1 + Với x < thì hàm số y = 1 − 2x nghịch biến. 2 1 + Với x ≥ thì hàm số y = 2x − 1 đồng biến. 2  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 188/2406  ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Bài 4. Xét sự biến thiên của hàm số y = √ x2 + 6x + 9. Lời giải. - Tập xác định: D = R. p - Ta có y = (x + 3)2 = |x + 3|. - Với x < −3 thì y = −x − 3 là hàm nghịch biến. - Với x ≥ −3 thì y = x + 3 là hàm số đồng biến.  Bài 5. Xét sự biến thiên của hàm số y = |1 − x| + |2x + 4|. Lời giải. - Tập xác định: D = R. - Với x < −2 thì y = −3x − 3 là hàm số nghịch biến. - Với −2 ≤ x ≤ 1 thì y = x + 5 là hàm số đồng biến. - Với x > 1 thì y = 3x + 3 là hàm số đồng biến. √ Bài 6. Xét sự biến thiên của hàm số y = x2 − 4x + 4 − 2|x − 1|. Lời giải. – Tập xác định: D = R. – Ta có y = |x − 2| − 2|x − 1| =         x khi x < 1 −3x + 4 khi 1 ≤ x < 2 . −x khi x ≥ 2 - Bảng biến thiên x −∞ 1 2 +∞ 1 y −2 −∞ −∞  Bài 7. Xác định a để hàm số y = (2a + 3)x + a − 1 đồng biến trên tập xác định. Lời giải. - Tập xác định: D = R. 3 - Để hàm số đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi 2a + 3 > 0 ⇔ 2a > −3 ⇔ a > − . 2 3 – Vậy với a > − thì hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định.  2 Bài 8. Cho hàm số y = (m − 1)x + (2 − m). Biện luận tính đơn điệu của hàm số đã cho theo tham số m. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 189/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ – Tập xác định: D = R. – Ta có, khi m − 1 < 0 ⇔ m < 1 thì hàm số nghịch biến, khi m − 1 > 0 ⇔ m > 1 thì hàm số đồng biến, còn khi m = 1 thì y = 1 là hàm hằng.  | Dạng 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số • Hàm số y = f (x) có tập xác định D được gọi là hàm số chẵn khi và chỉ khi ( ∀x ∈ D thì − x ∈ D, ∀x ∈ D, f (−x) = f (x). • Hàm số y = f (x) có tập xác định D được gọi là hàm số lẻ khi và chỉ khi ( ∀x ∈ D thì − x ∈ D, ∀x ∈ D, f (−x) = −f (x). • Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục Oy. • Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. ccc BÀI TẬP DẠNG 5 ccc Ví dụ 1. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = x2 + 3. Lời giải. TXĐ D = R do đó với x ∈ R ⇒ −x ∈ R; f (−x) = (−x)2 + 3 = x2 + 3 = f (x). Vậy hàm đang xét là hàm chẵn.  Ví dụ 2. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = 1 . x3 Lời giải. TXĐ D = R{0} suy ra x ∈ D thì −x ∈ D; f (−x) = hàm lẻ. Ví dụ 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = 1 1 = − 3 = −f (x). Vậy hàm đang xét là 3 (−x) x  √ 2x − 3. Lời giải. ï ã 3 TXĐ D = ; +∞ , do đó x = 4 ∈ D thì −x = −4 ∈ / D. Vậy hàm đang xét không chẵn, không lẻ.  2 Ví dụ 4. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = 3. Lời giải. TXĐ D = R, f (−x) = 3 = f (x), ∀x. Vậy hàm đang xét là hàm chẵn.  Ví dụ 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = x4 + 3×3 − 2.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 190/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Lời giải. TXĐ D = R, f (−x) = (−x)4 + 3(−x)3 − 2 = x4 − 3×3 − 2 6= ±f (x). Vậy hàm đã cho không chẵn,  không lẻ. Ví dụ 6. Có hàm số nào vừa chẵn, vừa lẻ không? Lời giải. Hàm số y = 0.  Ví dụ 7. Tìm m để hàm số y = x2 + (m + 1)x + 2 là hàm chẵn. Lời giải. TXĐ D = R. Hàm đã cho là hàm số chẵn khi f (−x) = f (x) ∀x ∈ R hay (m − 1)x = 0, ∀x ∈ R hay m = 1.  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau √ a) f (x) = 3x − 4 2×2 − 4 b) f (x) = x x3 + 1 c) f (x) = 2 x −4 d) f (x) = −5 e) f (x) = 0 f) f (x) = −x4 + 5x − 3 −x4 + x2 + 1 g) f (x) = 3x h) f (x) = −5×3 + 7x i) f (x) = | − x + 5| − |x + 5| j) f (x) = |7 − 5x| + |5x + 7| |x + 3| + |x − 3| k) f (x) = |x + 3| − |x − 3| √ x−4 x+4 l) f (x) = x2 − 9 + + x+4 x−4 ( 5 − x, x ≥ 0 m) f (x) = 5 + x, x < 0. Bài 2. Tùy theo m, hãy xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau 1 . a) y = f (x) = 2 mx + 2(m − 1)x − m 1 b) y = f (x) = . 2 (m + 1)x + mx − 1 Bài 3. Cho hàm số y = f (x) = x3 + (m2 − 1)x2 + m − 1. Tìm m để hàm số là hàm lẻ. BÀI TẬP TỔNG HỢP  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 191/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Bài 4. Cho hàm số f (x) = x2 − x + 1. Tính f (x + h) − f (h) (với h là một số thực). Lời giải. Đáp số: f (x + h) − f (h) = x2 + 2xh − x.  Bài 5. Một quả bóng chày được đánh lên ở độ cao 1 mét so với mặt đất. Đường đi của quả bóng chày được cho bởi hàm số y = f (x) = −0, 0097x2 + x + 1. Trong đó x và f (x) được tính bằng mét. Hỏi quả bóng có bay qua được một hàng rào cao 4 mét và nằm cách vị trí người đánh bóng 100 mét hay không? Lời giải. Vì hàng rào cách người đánh bóng 100 mét nên ta tính độ cao quả bóng tại vị trí x = 100. Ta có f (100) = 4. Ta thấy ở tại vị trí hàng rào thì độ cao của quả bóng cao hơn hàng rào nên quả  bóng sẽ bay qua được hàng rào. Bài 6. Cho hàm số y = f (x) = p √ 5 + x + 2 x + 4. a) Tìm tập xác định của hàm số. b) Xét tính chẵn lẻ của hàm số. c) Xét tính đơn điệu của hàm số. d) Lập bảng biến thiên của hàm số. e) Tính các giá trị f (−5), f (−4), f (−3), f (0). Lời giải. ( ( x ≥ −4 ⇔ x ≥ −4. √ 5+x+2 x+4≥0 ( x + 4 + 1)2 ≥ 0 Vậy ta có tập xác định của hàm số D = [−4; +∞). a) Hàm số xác định khi √ x+4≥0 ⇔ b) Hàm số không lẻ do 4 ∈ D nhưng −4 6∈ D. » √chẵn cũng không √ 2 c) Ta có y = ( x + 4 + 1) = x + 4 + 1. Với mọi x1 , x2 phân biệt lớn hơn −4 ta có √ √ f (x1 ) − f (x2 ) ( x1 + 4 + 1) − ( x2 + 4 + 1) 1 √ > 0. = =√ x1 − x2 x1 − x2 x1 + 4 + x2 + 4 Vậy hàm số đã cho luôn đồng biến trên tập xác định. d) Bảng biến thiên x −4 +∞ +∞ y 1 e) Ta có • f (−5) không xác định do −5 6∈ D. • f (−4) = 1. • f (−3) = 2. • f (0) = 3.  Bài 7.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 192/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. y 2 a) Tìm các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số. b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 2]. x −2 −1 O 1 2 −2 Lời giải. a) Từ đồ thị, ta có hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞). Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1). b) Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−1; 1] là 2 và −2  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 193/2406  ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI C 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y = A. M1 (2; 1). B. M2 (1; 1). 1 ? x−1 C. M3 (2; 0). D. M4 (0; −2). Lời giải. 1 1 ta được 1 = ta thấy đúng nên nhận Xét điểm M1 , thay x = 2 và y = 1 vào hàm số y = x−1 2−1 M1 . Chọn đáp án A  √ x2 − 4x + 4 Câu 2. Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số y = ? x ã Å 1 . C. C (1; −1). D. D (−1; −3). A. A (2; 0). B. B 3; 3 Lời giải. √ x2 − 4x + 4 Thay từng đáp án vào hàm số y = . √x 22 − 4.2 + 4 • Với x = 2 và y = 0, ta được 0 = (đúng). √ 2 1 1 32 − 4 · 3 + 4 • Với x = 3 và y = , ta được = (đúng). 3 3 3√ 12 − 4 · 1 + 4 ⇔ −1 = 1 (sai). • Với thay x = 1 và y = −1, ta được −1 = 1 Chọn đáp án C  Câu 3. Cho hàm số y = f (x) = | − 5x|. Khẳng định nào sau đây là sai? A. f (−1) = 5. B. f (2) = 10. C. f (−2) = 10. Å ã 1 = −1. D. f 5 Lời giải. Ta có • f (−1) = | − 5 · (−1)| = |5| = 5. • f (2) = | − 5 · 2| = | − 10| = 10. • f (−2) Å ã = | − 5 · (−2)| = |10| = 10. 1 1 • f = −5 · = | − 1| = 1 5 5 Å ã 1 = −1 là sai. Cách khác: Vì hàm đã cho là hàm trị tuyệt đối nên không âm. Do đó f 5 Chọn đáp án D   2  , x ∈ (−∞; 0)   x−1 √ Câu 4. Cho hàm số f (x) = . Tính giá trị của f (4). x + 1 , x ∈ [0; 2]    2 x − 1 , x ∈ (2; 5] √ 2 D. Không tính được. A. f (4) = . B. f (4) = 15. C. f (4) = 5. 3 Lời giải. Do 4 ∈ (2; 5] nên f (4) = 42 − 1 = 15.  Chọn đáp án B  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 194/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ  √  2 x+2−3 ,x ≥ 2 Câu 5. Cho hàm số f (x) = . Tính P = f (2) + f (−2). x−1  2 x +1 ,x < 2 8 5 A. P = . B. P = 4. C. P = 6. D. P = . 3 3 Lời giải. √ 2 2+2−3 • Khi x ≥ 2 thì f (2) = = 1. 2−1 • Khi x < 2 thì f (−2) = (−2)2 + 1 = 5. Vậy f (2) + f (−2) = 6.  Chọn đáp án C 3x − 1 . 2x − 2 B. D = (1; +∞). C. D = R {1}. Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y = A. D = R. D. D = [1; +∞). Lời giải. Hàm số xác định khi 2x − 2 6= 0 ⇔ x 6= 1. Vậy tập xác định của hàm số là D = R {1}.  Chọn đáp án C 2x − 1 Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số y = . (2x ß ™ + 1)(x − 3) Å ã 1 1 A. D = (3; +∞). B. D = R − ; 3 . C. D = − ; +∞ . 2 2 Lời giải.  ( x 6= − 1 2x + 1 6= 0 2 Hàm số xác định khi ⇔  x − 3 6= 0 x 6= 3. ™ ß 1 Vậy tập xác định của hàm số là D = R − ; 3 2 Chọn đáp án B x2 + 1 . x2 + 3x − 4 B. D = R {1; −4}. C. D = R {1; 4}. D. D = R.  Câu 8. Tìm tập xác định D của hàm số y = A. D = {1; −4}. D. D = R. Lời giải. Hàm số xác định khi x2 + 3x − 4 6= 0 ⇔ ( x 6= 1 x 6= −4 Vậy tập xác định của hàm số là D = R {1; −4}. .  Chọn đáp án B Câu 9. Tìm tập xác định D của hàm số y = A. D = R {1}. B. D = {−1}. x+1 . (x + 1)(x2 + 3x + 4) C. D = R {−1}. D. D = R. Lời giải. ( x + 1 6= 0 ⇔ x 6= −1. x2 + 3x + 4 6= 0 Vậy tập xác định của hàm số là D = R {−1}. Hàm số xác định khi  Chọn đáp án C  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 195/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ 2x + 1 . − 3x + 2 B. D = R {−2; 1}. C. D = R {−2}. Câu 10. Tìm tập xác định D của hàm số y = A. D = R {1; 2}. x3 D. D = R. Lời giải. Hàm số xác định khi x3 − 3x + 2 6= 0 ⇔ (x − 1)(x2 + x − 2) 6= 0  x 6= 1  ( (  ( x − 1 6= 0 x 6= 1 ⇔ ⇔ ⇔ x = 6 1  x2 + x − 2 6= 0 x 6= −2.   x 6= −2 Vậy tập xác định của hàm số là D = R {−2; 1}.  Chọn đáp án B Câu 11. Tìm tập xác định D của hàm số y = A. D = [−3; +∞). B. D = [−2; +∞). √ √ x + 2 − x + 3. C. D = R. D. D = [2; +∞). Lời giải. ( x+2≥0 ( x ≥ −2 ⇔ ⇔ x ≥ −2. x+3≥0 x ≥ −3 Vậy tập xác định của hàm số là D = [−2; +∞). Chọn đáp án B √ √ Câu 12. Tìm tập xác định D của hàm số y = 6 − 3x − x − 1. Hàm số xác định khi A. D = (1; 2). Lời giải. B. D = [1; 2]. ( 6 − 3x ≥ 0 C. D = [1; 3].  D. D = [−1; 2]. ( x≤2 ⇔ ⇔ 1 ≤ x ≤ 2. x−1≥0 x≥1 Vậy tập xác định của hàm số là D = [1; 2]. Hàm số xác định khi Chọn đáp án B  √ 3x − 2 + 6x √ Câu 13. Tìm tập xác định D của hàm số y = . 4 − 3x ï ï ã ï ã ã 2 4 3 4 2 3 A. D = ; . B. D = ; . C. D = ; . 3 3 2 3 3 4 Lời giải.  2 (  x ≥ 3x − 2 ≥ 0 3 ⇔ 2 ≤ x < 4. Hàm số xác định khi ⇔  3 3 4 − 3x > 0 x < 4 ï ã3 2 4 Vậy tập xác định của hàm số là D = ; . 3 3 Chọn đáp án A Câu 14. Tìm tập xác định D của hàm số y = √ A. D = (−∞; −2) ∪ (2; +∞). C. D = (−∞; −4) ∪ (4; +∞). Å ã 4 D. D = −∞; . 3  x+4 . x2 − 16 B. D = R. D. D = (−4; 4). Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 196/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ " Hàm số xác định khi x2 − 16 > 0 ⇔ x2 > 16 ⇔ x>4 . x < −4 Vậy tập xác định của hàm số là D = (−∞; −4) ∪ (4; +∞).  Chọn đáp án C √ √ Câu 15. Tìm tập xác định D của hàm số y = x2 − 2x + 1 + x − 3. A. D = (−∞; 3]. B. D = [1; 3]. C. D = [3; +∞). D. D = (3; +∞). Lời giải. ( 2 x − 2x + 1 ≥ 0 ( (x − 1)2 ≥ 0 ( x∈R ⇔ ⇔ ⇔ x ≥ 3. x−3≥0 x−3≥0 x≥3 Vậy tập xác định của hàm số là D = [3; +∞). Chọn đáp án C √ √ 2−x+ x+2 . Câu 16. Tìm tập xác định D của hàm số y = x A. D = [−2; 2]. B. D = (−2; 2) {0}. C. D = [−2; 2] {0}. D. D = R. Lời giải.   2 − x ≥ 0 x ≤ 2     Hàm số xác định khi x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2       x 6= 0 x 6= 0. Vậy tập xác định của hàm số là D = [−2; 2] {0}. Hàm số xác định khi  Chọn đáp án C √ x+1 Câu 17. Tìm tập xác định D của hàm số y = 2 . x −x−6 A. D = {3}. B. D = [−1; +∞) {3}. C. D = R.  D. D = [−1; +∞). Lời giải.   ( x ≥ −1  x ≥ −1 Hàm số xác định khi ⇔ x 6= 3 ⇔  x 6= 3. x2 − x − 6 6= 0   x 6= −2 Vậy tập xác định của hàm số là D = [−1; +∞) {3}. Chọn đáp án B √ 2x + 1 √ Câu 18. Tìm tập xác định D của hàm số y = 6 − x + . 1+ x−1 A. D = (1; +∞). B. D = [1; 6]. C. D = R. ( x+1≥0  D. D = (1; 6). Lời giải.   ( 6−x≥0   x≤6 Hàm số xác định khi x − 1 ≥ 0 ⇔ ⇔ 1 ≤ x ≤ 6.  x ≥ 1  √   1 + x − 1 6= 0 luôn đúng Vậy tập xác định của hàm số là D = [1; 6]. Chọn đáp án B x+1 √ Câu 19. Tìm tập xác định D của hàm số y = . (x − 3) 2x − 1  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 197/2406  ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Å ã 1 B. D = − ; +∞ {3}. Å 2 ã 1 D. D = ; +∞ {3}. 2 A. D = R. ï ã 1 C. D = ; +∞ {3}. 2 Lời giải.  ( x 6= 3 x − 3 6= 0 Hàm số xác định khi ⇔ x > 1 . 2x − 1 > 0 2ã Å 1 Vậy tập xác định của hàm số là D = ; +∞ {3}. 2 Chọn đáp án D √ x+2 Câu 20. Tìm tập xác định D của hàm số y = √ . x x2 − 4x + 4 A. D = [−2; +∞) {0; 2}. B. D = R.  C. D = [−2; +∞). D. D = (−2; +∞) {0; 2}. Lời giải.       x ≥ −2 x+2≥0 x+2≥0       Hàm số xác định khi x 6= 0 ⇔ x 6= 0 ⇔ x 6= 0          2 x 6= 2. (x − 2)2 > 0 x − 4x + 4 > 0 Vậy tập xác định của hàm số là D = [−2; +∞) {0; 2}.  Chọn đáp án A Câu 21. Tìm tập xác định D của hàm số y = A. D = [0; +∞) {3}. ¶√ © 3 . C. D = [0; +∞) x √ . x− x−6 B. D = [0; +∞) {9}. D. D = R {9}. Lời giải. ( ( ( x≥0 x≥0 x≥0 Hàm số xác định khi ⇔ √ ⇔ √ x − x − 6 6= 0 x 6= 3 x 6= 9. Vậy tập xác định của hàm số là D = [0; +∞) {9}. Chọn đáp án B √ 3 x−1 Câu 22. Tìm tập xác định D của hàm số y = 2 . x +x+1 A. D = (1; +∞). B. D = {1}. C. D = R.  D. D = (−1; +∞). Lời giải. Hàm số xác định khi x2 + x + 1 6= 0 luôn đúng với mọi x ∈ R. Vậy tập xác định của hàm số là D = R. Chọn đáp án C √ x−1+ 4−x Câu 23. Tìm tập xác định D của hàm số y = . (x − 2) (x − 3) A. D = [1; 4]. B. D = (1; 4) {2; 3}. C. D = [1; 4] {2; 3}. √  D. D = (−∞; 1] ∪ [4; +∞). Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 198/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI   x − 1 ≥ 0    4 − x ≥ 0 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ   x ≥ 1    x ≤ 4   1≤x≤4   Hàm số xác định khi ⇔ ⇔ x 6= 2    x − 2 6= 0 x 6= 2         x 6= 3.     x − 3 6= 0 x 6= 3 Vậy tập xác định của hàm số là D = [1; 4] {2; 3}.  Chọn đáp án C »√ x2 + 2x + 2 − (x + 1). Câu 24. Tìm tập xác định D của hàm số y = A. D = (−∞; −1). B. D = [−1; +∞). C. D = R {−1}. Lời giải. Hàm số xác định khi √ x2 D. D = R. » + 2x + 2 − (x + 1) ≥ 0 ⇔ (x + 1)2 + 1 ≥ x + 1 ( x+1<0   (x + 1)2 + 1 ≥ 0  ⇔ (  x+1≥0  " ⇔ x+1<0 x+1≥0 ⇔ x ∈ R. (x + 1)2 + 1 ≥ (x + 1)2 Vậy tập xác định của hàm số là D = R.  Chọn đáp án D Câu 25. Tìm tập xác định D của hàm số y = √ 3 A. D = R {3}. C. D = (−∞; 1) ∪ (2; +∞). Lời giải. Hàm số xác định khi √ 3 x2 − 3x + 2 − 2018 √ . x2 − 3x + 2 − 3 x2 − 7 B. D = R. D. D = R {0}. √ 3 x2 − 7 6= 0 ⇔ √ 3 x2 − 3x + 2 6= √ 3 x2 − 7 ⇔ x2 − 3x + 2 6= x2 − 7 ⇔ 9 6= 3x ⇔ x 6= 3. Vậy tập xác định của hàm số là D = R {3}.  Chọn đáp án A |x| . |x − 2| + |x2 + 2x| B. D = R {−2; 0}. C. D = R {−2; 0; 2}. D. D = (2; +∞). Câu 26. Tìm tập xác định D của hàm số y = A. D = R. Lời giải. Hàm số xác định khi |x − 2| + |x2 + 2x| = 6 0.( ( |x − 2| = 0 x=2 Xét phương trình |x − 2| + |x2 + 2x| = 0 ⇔ ⇔ x2 + 2x = 0 x = 0 ∨ x = −2. Vậy không có giá trị x làm cho |x − 2| + |x2 + 2x| = 0, do đó |x − 2| + |x2 + 2x| 6= 0 đúng với mọi x ∈ R. Vậy tập xác định của hàm số là D = R.  Chọn đáp án A 2x − 1 Câu 27. Tìm tập xác định D của hàm số y = p . x|x − 4| A. D = R {0; 4}. B. D = (0; +∞). C. D = [0; +∞) {4}. D. D = (0; +∞) {4}. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 199/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI ( Hàm số xác định khi x|x − 4| > 0 ⇔ 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ |x − 4| = 6 0 ⇔ x>0 Vậy tập xác định của hàm số là D = (0; +∞) {4}. ( x 6= 4 x > 0.  Chọn đáp án D p 5 − 3 |x| . Câu 28. Tìm tập xác định D của hàm số y = 2 x + 4x + 3 ò ï 5 5 {−1}. B. D = R. A. D = − ; Å 3 3ã ï ò 5 5 5 5 C. D = − ; {−1}. D. D = − ; . 3 3 3 3 Lời giải.   5 5 5      − ≤x≤ |x| ≤ (    − 5 ≤x≤ 5  3 3 3 5 − 3 |x| ≥ 0 3 3 Hàm số xác định khi ⇔ ⇔ x 6= −1 ⇔ x 6= −1    x2 + 4x + 3 6= 0   x 6= −1.     x 6= −3 x 6= −3 ò ï 5 5 {−1}. Vậy tập xác định của hàm số là D = − ; 3 3 Chọn đáp án A   1 ;x ≥ 1 2−x Câu 29. Tìm tập xác định D của hàm số f (x) = √  2 − x ; x < 1. A. D = R. Lời giải. B. D = (2; +∞). C. D = (−∞; 2).  D. D = R {2}. ( ( x≥1 x≥1 ( x≥1    2 − x 6= 0  x 6= 2    Hàm số xác định khi  ( ⇔ ( ⇔  x 6= 2  x<1  x<1   x < 1. 2−x≥0 x≤2 Vậy xác định của hàm số là D = R {2}.  Chọn đáp án D   1 Câu 30. Tìm tập xác định D của hàm số f (x) = x  √ A. D = {−1}. ;x ≥ 1 x + 1 ; x < 1. C. D = [−1; +∞). B. D = R. D. D = [−1; 1). Lời giải. ( x≥1   x 6= 0  Hàm số xác định khi  (  x<1   x≥1 ( ⇔  x<1 x ≥ −1. x+1≥0 Vậy xác định của hàm số là D = [−1; +∞).  Chọn đáp án C Câu 31. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = √ x−m+1+ √ 2x xác −x + 2m định trên khoảng (−1; 3).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 200/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ A. Không có giá trị m thỏa mãn. B. m ≥ 2. C. m ≥ 3. D. m ≥ 1. Lời giải. ( x−m+1≥0 ( x≥m−1 ⇔ − x + 2m > 0 x < 2m. Tập xác định của hàm số là D = [m − 1; 2m) với điều kiện m − 1 < 2m ⇔ m > −1. Hàm số xác định khi Hàm số đã cho xác định trên  (−1; 3) khi và chỉ khi (−1; 3) ⊂ [m − 1; 2m) m ≤ 0 ⇔ m − 1 ≤ −1 < 3 ≤ 2m ⇔ m ≥ 3 . 2 Vậy không có giá trị m thỏa bài toán.  Chọn đáp án A Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = (−1; 0)." A. m>0 m < −1 Lời giải. " . B. m ≤ −1. C. m≥0 m ≤ −1 x + 2m + 2 xác định trên x−m D. m ≥ 0. . Hàm số xác định khi x − m 6= 0 ⇔ x 6= m. Tập xác định của" hàm số là D = R {m}. m≥0 Hàm số xác định trên (−1; 0) khi và chỉ khi m ∈ / (−1; 0) ⇔ m ≤ −1.  Chọn đáp án C Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = √ mx xác định trên x−m+2−1 (0; 1). Å ò 3 A. m ∈ −∞; ∪ {2}. 2 C. m ∈ (−∞; 1] ∪ {3}. B. m ∈ (−∞; −1] ∪ {2}. D. m ∈ (−∞; 1] ∪ {2}. Lời giải. ( ( x−m+2≥0 x≥m−2 Hàm số xác định khi √ ⇔ x − m + 2 − 1 6= 0 x 6= m − 1. Tập xác định của hàm số là D = [m − 2; +∞) {m − 1}. Hàm số xác định trên (0; 1) khi và(chỉ khi (0; 1) ⊂ [m − 2; +∞) {m − 1}  m≤2 " "  m=2 m−2≤0<1≤m−1 ⇔ ⇔  m≥2 ⇔ m−1≤0 m ≤ 1. m≤1  Chọn đáp án D Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = trên (0; +∞). A. m ≤ 0. B. m ≥ 1. C. m ≤ 1. √ √ x − m + 2x − m − 1 xác định D. m ≤ −1. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 201/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ  x ≥ m Hàm số xác định khi (∗). ⇔ x ≥ m + 1 2x − m − 1 ≥ 0 2 m+1 • Nếu m ≥ ⇔ m ≥ 1 thì (∗) ⇔ x ≥ m. 2 Tập xác định của hàm số là D = [m; +∞). Khi đó, hàm số xác định trên (0; +∞) khi và chỉ khi (0; +∞) ⊂ [m; +∞) ⇔ m ≤ 0 ⇒ Không thỏa mãn điều kiện m ≥ 1. m+1 m+1 • Nếu m ≤ ⇔ m ≤ 1 thì (∗) ⇔ x ≥ . 2 2 ã ï m+1 ; +∞ . Khi đó, hàm số xác định trên (0; +∞) khi và Tập xác định của hàm số là D = 2 ï ã m+1 m+1 chỉ khi (0; +∞) ⊂ ; +∞ ⇔ ≤ 0 ⇔ m ≤ −1. 2 2 ⇒ Thỏa mãn điều kiện m ≤ 1. ( x−m≥0 Vậy m ≤ −1 thỏa yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án D 2x + 1 Câu 35. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = √ xác định trên x2 − 6x + m − 2 R. A. m ≥ 11. B. m > 11. C. m < 11. D. m ≤ 11. Lời giải. Hàm số xác định khi x2 − 6x + m − 2 > 0 ⇔ (x − 3)2 + m − 11 > 0. Hàm số xác định với ∀x ∈ R ⇔ (x − 3)2 + m − 11 > 0 đúng với mọi x ∈ R ⇔ m − 11 > 0 ⇔ m > 11.  Chọn đáp án B Câu 36. Cho hàm số f (x) = Å 4 − 3x. Khẳng định nào sau đây đúng? ã Å ã 4 4 A. Hàm số đồng biến trên −∞; . B. Hàm số nghịch biến trên ; +∞ . 3 Å 3 ã 3 C. Hàm số đồng biến trên R. D. Hàm số đồng biến trên ; +∞ . 4 Lời giải. TXĐ: D = R. Với mọi x1 , x2 ∈ R và x1 < x2 , ta có f (x1 ) − f (x2 ) = (4 − 3x1 ) − (4 − 3x2 ) = −3 (x1 − x2 ) > 0. Suy Åra f (x1 )ã> f (x2 ). Do đó, hàm số nghịch biến trênÅR. ã 4 4 Mà ; +∞ ⊂ R nên hàm số cũng nghịch biến trên ; +∞ . 3 3 Chọn đáp án B  Câu 37. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số f (x) = x2 − 4x + 5 trên khoảng (−∞; 2) và trên khoảng (2; +∞). Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2), đồng biến trên (2; +∞). B. Hàm số đồng biến trên (−∞; 2), nghịch biến trên (2; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞). D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞). Lời giải. Ta có f (x1 )−f (x2 ) = (x21 − 4×1 + 5)−(x22 − 4×2 + 5) = (x21 − x22 )−4 (x1 − x2 ) = (x1 − x2 ) (x1 + x2 − 4).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 202/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Với mọi x1 , x2 ∈ (−∞; 2) và x1 < x2 . Ta có ( x1 < 2 ⇒ x1 + x2 < 4. x2 < 2 (x1 − x2 ) (x1 + x2 − 4) f (x1 ) − f (x2 ) = = x1 + x2 − 4 < 0. Suy ra x1 − x2 x1 − x2 Vậy hàm số nghịch biến trên (−∞; 2). ( x1 > 2 Với mọi x1 , x2 ∈ (2; +∞) và x1 < x2 . Ta có ⇒ x1 + x2 > 4. x2 > 2 f (x1 ) − f (x2 ) (x1 − x2 ) (x1 + x2 − 4) Suy ra = = x1 + x2 − 4 > 0. x1 − x2 x1 − x2 Vậy hàm số đồng biến trên (2; +∞).  Chọn đáp án A Câu 38. Xét sự biến thiên của hàm số f (x) = 3 trên khoảng (0; +∞). Khẳng định nào sau đây x đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞). C. Hàm số vừa đồng biến, vừa nghịch biến trên khoảng (0; +∞). D. Hàm số không đồng biến, cũng không nghịch biến trên khoảng (0; +∞). Lời giải. 3 3 3 (x2 − x1 ) 3 (x1 − x2 ) − = =− . x1 x2 x1 x2 ( x1 x2 x1 > 0 Với mọi x1 , x2 ∈ (0; +∞) và x1 < x2 . Ta có ⇒ x1 · x2 > 0. x2 > 0 f (x1 ) − f (x2 ) 3 Suy ra =− < 0 ⇒ f (x) nghịch biến trên (0; +∞). x1 − x2 x1 x2  Chọn đáp án B 1 Câu 39. Xét sự biến thiên của hàm số f (x) = x + trên khoảng (1; +∞). Khẳng định nào sau đây x đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞). Ta có f (x1 ) − f (x2 ) = B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞). C. Hàm số vừa đồng biến, vừa nghịch biến trên khoảng (1; +∞). D. Hàm số không đồng biến, cũng không nghịch biến trên khoảng (1; +∞). Lời giải. Å ã Å ã Å ã Å ã 1 1 1 1 1 Ta có f (x1 ) − f (x2 ) = x1 + − x2 + = (x1 − x2 ) + − = (x1 − x2 ) 1 − . x1 x2 x1 x2 x 1 x2 ( x1 > 1 1 Với mọi x1 , x2 ∈ (1; +∞) và x1 < x2 . Ta có ⇒ x1 · x2 > 1 ⇒ < 1. x1 · x2 x2 > 1 f (x1 ) − f (x2 ) 1 Suy ra =1− > 0 ⇒ f (x) đồng biến trên (1; +∞). x1 − x2 x1 x2 Chọn đáp án A  Câu 40. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số f (x) = x−3 trên khoảng (−∞; −5) và trên x+5 khoảng (−5; +∞). Khẳng định nào sau đây đúng?  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 203/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ A. Hàm số nghịch biến trên (−∞; −5), đồng biến trên (−5; +∞). B. Hàm số đồng biến trên (−∞; −5), nghịch biến trên (−5; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −5) và (−5; +∞). D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −5) và (−5; +∞). Lời giải. Ta có ã Å ã x1 − 3 x2 − 3 − x1 + 5 x2 + 5 (x1 − 3) (x2 + 5) − (x2 − 3) (x1 + 5) (x1 + 5) (x2 + 5) 8 (x1 − x2 ) . (x1 + 5) (x2 + 5) ( ( x1 < −5 x1 + 5 < 0 có ⇔ x2 < −5 x2 + 5 < 0. Å f (x1 ) − f (x2 ) = = = Với mọi x1 , x2 ∈ (−∞; −5) và x1 < x2 . Ta 8 f (x1 ) − f (x2 ) = > 0 ⇒ f (x) đồng biến trên (−∞; −5). x1 − x2 (x1 + 5) (x2 + 5) ( ( x1 + 5 > 0 x1 > −5 ⇔ . Với mọi x1 , x2 ∈ (−5; +∞) và x1 < x2 . Ta có x2 > −5 x2 + 5 > 0 f (x1 ) − f (x2 ) 8 Suy ra > 0 ⇒ f (x) đồng biến trên (−5; +∞). = x1 − x2 (x1 + 5) (x2 + 5) Chọn đáp án D √ Câu 41. Cho hàm số f (x) = Å2x − 7. ã Khẳng định nào sau đây đúng? Å ã 7 7 A. Hàm số nghịch biến trên ; +∞ . B. Hàm số đồng biến trên ; +∞ . 2 2 C. Hàm số đồng biến trên R. D. Hàm số nghịch biến trên R. Suy ra  Lời giải. ï ã 7 Tập xác định là D = ; +∞ nên ta loại đáp án C và D. 2 √ √ 2 (x1 − x2 ) √ Xét f (x1 ) − f (x2 ) = 2×1 − 7 − 2×2 − 7 = √ . 2×1 − 7 + 2×2 − 7 Å ã 7 f (x1 ) − f (x2 ) 2 √ Với mọi x1 , x2 ∈ ; +∞ và x1 < x2 , ta có =√ > 0. 2 x1 − x2 2×1 − 7 + 2×2 − 7 Å ã 7 Vậy hàm số đồng biến trên ; +∞ . 2 Chọn đáp án B  Câu 42. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−3; 3] để hàm số f (x) = (m + 1) x + m − 2 đồng biến trên R? A. 7. Lời giải. B. 5. C. 4. D. 3. Tập xác định D = R. Với mọi x1 , x2 ∈ D và x1 < x2 . Ta có f (x1 ) − f (x2 ) = [(m + 1) x1 + m − 2] − [(m + 1) x2 + m − 2] = (m + 1) (x1 − x2 ) . f (x1 ) − f (x2 ) Suy ra = m + 1. x1 − x2  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 204/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ m∈[−3;3] Để hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi m + 1 > 0 ⇔ m > −1 −−−−−→ m ∈ Z ⇒ m ∈ {0; 1; 2; 3}. Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn.  Chọn đáp án C Câu 43. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = −x2 + (m − 1) x + 2 nghịch biến trên khoảng (1; 2). A. m < 5. B. m > 5. C. m < 3. D. m > 3. Lời giải. Với mọi x1 6= x2 , ta có [−x21 + (m − 1) x1 + 2] − [−x22 + (m − 1) x2 + 2] f (x1 ) − f (x2 ) = = − (x1 + x2 ) + m − 1. x1 − x2 x1 − x2 Để hàm số nghịch biến trên (1; 2) ⇔ − (x1 + x2 ) + m − 1 < 0, với mọi x1 , x2 ∈ (1; 2) ⇔ m < (x1 + x2 ) + 1, với mọi x1 , x2 ∈ (1; 2) ⇔ m < (1 + 1) + 1 = 3.  Chọn đáp án C Câu 44. Cho hàm số y = f (x) có tập xác định là [−3; 3] và đồ thị của nó y được biểu diễn bởi hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? 4 A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−3; −1) và (1; 3). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−3; −1)và (1; 4). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−3; 3). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 0). 1 −3 O x −1 3 −1 Lời giải. Trên khoảng (−3; −1) và (1; 3) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (−3; −1) và (1; 3) .  Chọn đáp án A Câu 45. Cho đồ thị hàm số y = x3 như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai? y A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞). D. Hàm số đồng biến tại gốc tọa độ O. O x Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến trên toàn miền xác định. Nhưng không thể đồng biến chỉ tại đúng một điểm.  Chọn đáp án D Câu 46. Trong các hàm số y = 2015x, y = 2015x + 2, y = 3x2 − 1, y = 2x3 − 3x có bao nhiêu hàm số lẻ?  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 205/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A. 1. B. 2. 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ C. 3. D. 4. Lời giải. • Xét f (x) = 2015x có D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có f (−x) = 2015 (−x) = −2015x = −f (x) ⇒ f (x) là hàm số lẻ. • Xét f (x) = 2015x + 2 có D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có f (−x) = 2015 (−x) + 2 = −2015x + 2 6= ±f (x) ⇒ f (x) không chẵn, không lẻ. • Xét f (x) = 3x2 − 1 có D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có f (−x) = 3(−x)2 − 1 = 3x2 − 1 = f (x) ⇒ f (x) là hàm số chẵn. • Xét f (x) = 2x3 − 3x có D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có f (−x) = 2(−x)3 − 3 (−x) = −2x3 + 3x = −f (x) ⇒ f (x) là hàm số lẻ. Vậy có hai hàm số lẻ.  Chọn đáp án B Câu 47. Cho hai hàm số f (x) = −2x3 + 3x và g(x) = x2017 + 3. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. f (x) là hàm số lẻ; g(x) là hàm số lẻ. B. f (x) là hàm số chẵn; g(x) là hàm số chẵn. C. Cả f (x) và g(x) đều là hàm số không chẵn, không lẻ. D. f (x) là hàm số lẻ; g(x) là hàm số không chẵn, không lẻ. Lời giải. • Xét f (x) = −2x3 + 3x có D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có f (−x) = −2(−x)3 + 3 (−x) = 2x3 − 3x = −f (x) ⇒ f (x) là hàm số lẻ. • Xét g(x) = x2017 + 3 có D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có g(−x) = (−x)2017 + 3 = −x2017 + 3 6= ±g(x) ⇒ g(x) không chẵn, không lẻ. Vậy f (x) là hàm số lẻ; g(x) là hàm số không chẵn, không lẻ. Chọn đáp án D  Câu 48. Cho hàm số f (x) = x2 − |x|. Khẳng định nào sau đây là đúng. A. f (x) là hàm số lẻ. B. f (x) là hàm số chẵn. C. Đồ thị của hàm số f (x) đối xứng qua gốc tọa độ. D. Đồ thị của hàm số f (x) đối xứng qua trục hoành. Lời giải. Tập xác định: D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có f (−x) = (−x)2 − | − x| = x2 − |x| = f (x) ⇒ f (x) là hàm số chẵn.  Chọn đáp án B Câu 49. Cho hàm số f (x) = |x − 2| . Khẳng định nào sau đây là đúng. A. f (x) là hàm số lẻ. B. f (x) là hàm số chẵn. C. f (x) là hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. D. f (x) là hàm số không chẵn, không lẻ. Lời giải. Tập xác định: D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có f (−x) = |(−x) − 2| = |x + 2| = 6 ±f (x) ⇒ f (x) không chẵn, không lẻ. Lưu ý: Hàm số vừa chẵn, vừa lẻ chỉ có một hàm duy nhất là f (x) = 0.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 206/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ  Chọn đáp án D Câu 50. Trong các hàm số nào sau đây, hàm số nào là hàm số lẻ? √ A. y = x2018 − 2017. B. y = 2x + 3. √ √ C. y = 3 + x − 3 − x. D. y = |x + 3| + |x − 3|. Lời giải. • Xét f (x) = x2018 − 2017 có D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. 2018 Ta có f (−x) = (−x)2018 − 2017 ï = x ã− 2017 = f (x) ⇒ f (x) là hàm số chẵn. √ 3 • Xét f (x) = 2x + 3 có D = − ; +∞ . 2 Ta có x0 = 2 ∈ D nhưng −x0 = −2 ∈ / D ⇒ f (x) không chẵn, không lẻ. √ √ • Xét f (x) = 3 + x − 3 − x có D = [−3; 3] nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D.  √ √ √ √ Ta có f (−x) = 3 − x − 3 + x = − 3 + x − 3 − x = −f (x) ⇒ f (x) là hàm số lẻ. • Xét f (x) = |x + 3| + |x − 3| có D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có f (−x) = |−x + 3| + |−x − 3| = |x − 3| + |x + 3| = f (x) là hàm số chẵn.  Chọn đáp án C Câu 51. Trong các hàm số nào sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn? A. y = |x + 1| + |x − 1|. 3 C. y = 2x − 3x. B. y = |x + 3| + |x − 2|. D. y = 2x4 − 3x2 + x. Lời giải. Xét f (x) = |x + 1| + |x − 1| có D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có f (−x) = |−x + 1| + |−x − 1| = |x − 1| + |x + 1| = f (x) ⇒ f (x) là hàm số chẵn.  Chọn đáp án A Câu 52. Trong các hàm số y = |x + 2| − |x − 2|, y = |2x + 1| + |x + 2015| + |x − 2015| y= có bao nhiêu hàm số lẻ? |x + 2015| − |x − 2015| A. 1. B. 2. C. 3. Lời giải. √ 4x2 − 4x + 1, y = x (|x| − 2), D. 4. • Xét f (x) = |x + 2| − |x − 2| có D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có f (−x) = |(−x) + 2| − |(−x) − 2| = | − x + 2| − | − x − 2| = |x − 2| − |x + 2| = −(|x + 2| − |x − 2|) = −f (x). ⇒ f (x) là hàm số lẻ. » √ 2 • Xét f (x) = |2x + 1| + 4x − 4x + 1 = |2x + 1| + (2x − 1)2 = |2x + 1| + |2x − 1|. D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có f (−x) = |2 (−x) + 1| + |2 (−x) − 1| = |−2x + 1| + |−2x − 1| = |2x − 1| + |2x + 1| = |2x + 1| + |2x − 1| = f (x). ⇒ f (x) là hàm số chẵn. • Xét f (x) = x (|x| − 2) có D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có f (−x) = (−x) (|−x| − 2) = −x (|x| − 2) = −f (x) ⇒ f (x) là hàm số lẻ. |x + 2015| + |x − 2015| • Xét f (x) = có D = R {0} nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. |x + 2015| − |x − 2015|  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 207/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ | − x + 2015| + | − x − 2015| |x − 2015| + |x + 2015| = | − x + 2015| − | − x − 2015| |x − 2015| − |x + 2015| |x + 2015| + |x − 2015| = −f (x). =− |x + 2015| − |x − 2015| ⇒ f (x) là hàm số lẻ. Ta có f (−x) = Vậy có tất cả 3 hàm số lẻ.  Chọn đáp án C   − x3 − 6 ; x ≤ −2   Câu 53. Cho hàm số f (x) = |x| ; −2 < x < 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?    3 x −6 ;x ≥ 2 A. f (x) là hàm số lẻ. B. f (x) là hàm số chẵn. C. Đồ thị của hàm số f (x) đối xứng qua gốc tọa độ. D. Đồ thị của hàm số f (x) đối xứng qua trục hoành. Lời giải. Tập xác định D  = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D.   x3 − 6 ;x ≥ 2 − (−x)3 − 6 ; (−x) ≤ −2      Ta có f (−x) = |−x| ; −2 < x < 2 = f (x). ; −2 < −x < 2 = |x|       − x3 − 6 ; x ≤ −2 (−x)3 − 6 ; (−x) ≥ 2 Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Chọn đáp án B  Câu 54. Tìm điều kiện của tham số để các hàm số f (x) = ax2 + bx + c là hàm số chẵn. A. a tùy ý, b = 0, c = 0. B. a tùy ý, b = 0, c tùy ý. C. a, b, c tùy ý. D. a tùy ý, b tùy ý, c = 0. Lời giải. Tập xác định D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Để f (x) là hàm số chẵn ⇔ f (−x) = f (x), ∀x ∈ D. ⇔ a(−x)2 + b (−x) + c = ax2 + bx + c, ∀x ∈ R ⇔ 2bx = 0, ∀x ∈ R ⇔ b = 0. Cách giải nhanh. Hàm f (x) chẵn khi hệ số của mũ lẻ bằng 0 ⇔ b = 0.  Chọn đáp án B Câu 55. Biết rằng khi m = m0 thì hàm số f (x) = x3 + (m2 − 1) x2 + 2x + m − 1 là hàm số lẻ. Mệnh đề nào sau đây Å đúng? ã 1 A. m0 ∈ ;3 . 2 Lời giải. ï ò 1 B. m0 ∈ − ; 0 . 2 Å ò 1 C. m0 ∈ 0; . 2 D. m0 ∈ [3; +∞). Tập xác định D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có f (−x) = (−x)3 + (m2 − 1) (−x)2 + 2 (−x) + m − 1 = −x3 + (m2 − 1) x2 − 2x + m − 1. Để hàm số đã cho là hàm số lẻ khi f (−x) = −f (x), với mọi x ∈ D. ⇔ −x3 + (m2 − 1) x2 − 2x + m − 1 = − [x3 + (m2 −(1) x2 + 2x + m − 1], với mọi x ∈ D. Å ã m2 − 1 = 0 1 2 2 ⇔ 2 (m − 1) x + 2 (m − 1) = 0, với mọi x ∈ D ⇔ ⇔m=1∈ ;3 . 2 m−1=0  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 208/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Cách nhanh. Hàm f (x) lẻ khi hệ số của mũ chẵn bằng 0 và hệ số tự do cũng bằng 0 ( giải ã Å 2 m −1=0 1 ⇔ ;3 . ⇔m=1∈ 2 m−1=0  Chọn đáp án A Câu 56. Cho hàm số y = f (x) = |x + 2|. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Hàm số f (x) là hàm số chẵn. B. Hàm số f (x) không tòn tại đạo hàm tại điểm x = −2. C. Hàm số f (x) liên tục trên R. D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) bằng 0. Lời giải. Xét f (−1) = | − 1 + 2| = 1, f (1) = |1 + 2| = 3. Ta nhận thấy f (−1) 6= f (1) do đó f (x) không phải là hàm số chẵn.  p p √ √ Câu 57. Tập xác định của hàm số y = x + 2 x − 1 + 5 − x2 − 2 4 − x2 có dạng [a; b]. Tìm a + b. Chọn đáp án A A. −3. B. −1. C. 3. D. 0. Lời giải. » √ p √ 2 » √ 2 √ x + 2 x − 1 + 5 − x2 − 2 4 − x2 = x−1+1 + 4 − x2 − 1 . ( ( x>1 x−1>0 ⇔ ⇔ 1 6 x 6 2. Như vậy hàm số (*) xác định khi và chỉ khi 4 − x2 > 0 −26×62 Tập xác định của hàm số (*) là D = [1; 2] ⇒ a = 1, b = 2 ⇒ a + b = 3. Ta có y = p (*)  Chọn đáp án C x+1 là x−1 B. D = R {−1}. Câu 58. Tập xác định của hàm số y = A. D = R {1}. C. D = R {±1}. D. (1; +∞). Lời giải. Tập xác định của hàm số y = x+1 là D = R {1}. x−1   √   2 x + 2 − 3 khi x ≥ 2 x−1 Câu 59. Cho hàm số f (x) = . Khi đó, giá trị của f (2) + f (−2) bằng bao  x 2 + 1 khi x < 2 nhiêu? 5 8 A. 6. B. 4. C. . D. . 3 3 Lời giải. √ 2 2+2−3 Ta có f (2) + f (−2) = + (−2)2 + 1 = 1 + 4 + 1 = 6. 2−1 Chọn đáp án A  Chọn đáp án A Câu 60. Trong các hàm số sau y = nhiêu hàm số có tập xác định là R? A. 2. B. 4.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em x+3 x2 + 2x − 3 , y = x4 − 3x2 + 2, y = x3 − 3x, y = có bao x−1 x+1 C. 1. Trang 209/2406 D. 3. ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Lời giải. x+3 có TXĐ : D = R {1}. x−1 • Hàm số y = x4 − 3x2 + 2 có TXĐ : D = R. • Hàm số y = x3 − 3x có TXĐ : D = R. x2 + 2x − 3 có TXĐ : D = R {−1}. • Hàm số y = x+1 • Hàm số y = .  Chọn đáp án A Câu 61. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = 2x3 + 2(m2 − 4)x2 + (4 + m)x + 3m − 6 là hàm số lẻ. A. m = −2. C. m = −4. B. m = 2. D. m = ±2. Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = R, x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Hàm số y = f (x) là hàm số lẻ ⇔ f (−x) = −f (x), ∀x ∈ R   ⇔ − 2x3 + 2(m2 − 4)x2 − (4 + m)x + 3m − 6 = − 2x3 + 2(m2 − 4)x2 + (4 + m)x + 3m − 6 , ∀x ∈ R ⇔ 2(m2 − 4)x2 + 3m − 6 = 0, ∀x ∈ R ( 2 m −2=0 ⇔ 3m − 6 = 0 ⇔ m = 2.  Chọn đáp án B Câu 62. Tập xác định của hàm số y = √ −x2 + 2x + 3 là A. (1; 3). B. (−∞; −1) ∪ (3; +∞). C. [−1; 3]. D. (−∞; −1] ∪ [3; +∞). Lời giải. Điều kiện xác định −x2 + 2x + 3 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 3. Suy ra TXĐ của hàm số là D = [−1; 3].  Chọn đáp án C √ 1 Câu 63. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = √ + −x + 2m + 6 xác định trên x−m (−1; 0). A. −6 < m ≤ −1. B. −6 ≤ m < −1. C. −3 ≤ m < 1. D. −3 ≤ m ≤ −1. Lời giải. ( x−m>0 ⇔ m < x ≤ 2m + 6. − x + 2m + 6 ≥ 0 Để hàm số có tập xác định D 6= ∅ thì ta phải có m < 2m + 6 ⇔ m > −6 (∗). Khi đó hàm số có tập Điều kiện hàm số đã cho xác định là: xác định là (m; 2m + 6]. Hàm số xác định trên (−1; 0) khi và chỉ khi (−1; 0) ⊂ (m; 2m + 6], điều này tương đương với. ( m ≤ −1 ⇔ −3 ≤ m ≤ −1. Kết hợp với (∗) ta được −3 ≤ m ≤ −1. 2m + 6 ≥ 0 Vậy với −3 ≤ m ≤ 1 thì hàm số đã cho xác định trên (−1; 0).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 210/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ  Chọn đáp án D Câu 64. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = (−1; 0).” A. m>0 m < −1 Lời giải. " . B. m ≤ −1. C. m≥0 m ≤ −1 x2 + 2m + 2 xác định trên khoảng x−m . D. m ≥ 0. Điều kiện xác định của hàm số là x − m 6= 0 ⇔ x 6= m. " Để hàm số xác định trên khoảng (−1; 0) thì m ∈ / (−1; 0) ⇔ m ≤ −1 m ≥ 0.  Chọn đáp án C Câu 65. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là hàm số lẻ? √ A. y = x2018 − 2017. B. y = 2x + 3. √ √ D. y = |x + 3| + |x − 3|. C. y = 3 + x − 3 − x. Lời giải. √ √ • Xét hàm số y = 3 + x − 3 − x. Tập xác định của hàm số là D = [−3; 3]. Với mọi x ∈ D thì −x ∈ D. √ √ √ √ Ta có y(−x) = 3 − x − 3 + x = −( 3 + x − 3 − x) = −y(x). √ √ Vậy hàm số y = 3 + x − 3 − x là hàm số lẻ trên D. √ • Xét hàm số y = 2x + 3. ï ã 3 Tập xác định của hàm số là D = − ; +∞ . 2 Lấy x = 2 ∈ D nhưng −x = −2 ∈ / D. √ Do đó hàm số y = 2x + 3 là hàm số không chẵn, không lẻ trên D. • Xét hàm số y = x2018 − 2017. Tập xác định của hàm số là D = R. Với mọi x ∈ D thì −x ∈ D. Ta có y(−x) = (−x)2018 − 2017 = x2018 − 2017 = y(x). Vậy hàm số y = x2018 − 2017 là hàm số chẵn trên D. • Xét hàm số y = |x + 3| + |x − 3|. Tập xác định của hàm số là D = R. Với mọi x ∈ D thì −x ∈ D. Ta có y(−x) = | − x + 3| + | − x − 3| = |x − 3| + |x + 3| = y(x). Vậy hàm số y = |x + 3| + |x − 3| là hàm số chẵn trên D.  Chọn đáp án C Câu 66. Tìm điều kiện của tham số a, b, c để hàm số f (x) = ax2 + bx + c là hàm số chẵn. A. a tùy ý, b = 0, c = 0. B. a và c tùy ý, b = 0. C. a, b, c tùy ý. D. a và b tùy ý, c = 0. Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = R.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 211/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Với mọi x ∈ D thì −x ∈ D. Để hàm số f (x) = ax2 + bx + c là hàm số chẵn trên D thì f (−x) = f (x). Hay a(−x)2 + b(−x) + c = ax2 + bx + c ⇔ 2bx = 0 ⇔ b = 0.  Chọn đáp án B Câu 67. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn? A. y = |x + 1| + |x − 1|. B. y = |x + 3| + |x − 2|. 3 D. y = 2x4 − 3x2 + x. C. y = 2x − 3x. Lời giải. • Xét hàm số y = |x + 1| + |x − 1|. Tập xác định của hàm số là D = R. Với mọi x ∈ D thì −x ∈ D. Ta có y(−x) = | − x + 1| + | − x − 1| = |x − 1| + |x + 1| = y(x). Vậy hàm số y = |x + 1| + |x − 1| là hàm số chẵn trên D. • Xét hàm số y = |x + 3| + |x − 2|. Tập xác định của hàm số là D = R. Với mọi x ∈ D thì −x ∈ D. Ta có y(3) = 7 và y(−3) = 5 nên y(3) 6= y(−3). Vậy hàm số y = |x + 3| + |x − 2| là hàm số không chẵn, không lẻ trên D. • Xét hàm số y = 2x3 − 3x. Tập xác định của hàm số là D = R. Với mọi x ∈ D thì −x ∈ D. Ta có y(3) = 45 và y(−3) = −45 nên y(3) 6= y(−3). Vậy hàm số y = 2x3 − 3x là hàm số không chẵn, không lẻ trên D. • Xét hàm số y = 2x4 − 3x2 + 2. Tập xác định của hàm số là D = R. Với mọi x ∈ D thì −x ∈ D. Ta có y(3) = 138 và y(−3) = 132 nên y(3) 6= y(−3). Vậy hàm số y = 2x4 − 3x2 + 2 là hàm số không chẵn, không lẻ trên D. Chọn đáp án A  Câu 68. Cho hàm số f (x) = −2x3 + 3x và g(x) = x2017 + 3. Mệnh đề nào sau đây ĐÚNG? A. f (x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số lẻ. B. f (x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số chẵn. C. Cả f (x) và g(x) đều là hàm số không chẵn, không lẻ. D. f (x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số không chẵn, không lẻ. Lời giải. • Xét hàm số f (x) = −2x3 + 3x. Tập xác định của hàm số là D = R. Với mọi x ∈ D thì −x ∈ D. Ta có f (−x) = −2(−x)3 + 3(−x) = 2x3 − 3x = −(−2x3 + 3x) = −f (x). Vậy hàm số f (x) = −2x3 + 3x là hàm số lẻ trên D.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 212/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ • Xét hàm số g(x) = x2017 + 3. Tập xác định của hàm số là D = R. Với mọi x ∈ D thì −x ∈ D. Khi đó g(1) = 4 và g(−1) = 2, suy ra g(1) 6= g(−1). Vậy hàm số g(x) = x2017 + 3 là hàm số không chẵn, không lẻ trên D.  Chọn đáp án D √ 3 − 2x + 6x √ Câu 69. Tìm tập xác định của hàm số y = . 4 − 3x ï ã ï ã ï ã 2 4 3 4 2 3 A. D = ; . B. D = ; . C. D = ; . 3 3 2 3 3 4 Lời giải.  3 (  x ≤ 3 − 2x ≥ 0 2 ⇔ x < 4. Điều kiện xác định của hàm số là ⇔  3 4 − 3x > 0 x < 4 3 ã Å 4 . Vậy tập xác định của hàm số là D = −∞; 3 Chọn đáp án D Câu 70. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = Å ã 4 D. D = −∞; . 3  √ x−m+1+ √ 2x xác −x + 2m định trên khoảng (−1; 3). B. m ≥ 2. A. Không có giá trị m thỏa mãn. C. m ≥ 3. Lời giải. D. m ≥ 1. Điều kiện xác định của hàm số là ( x−m+1≥0 − x + 2m > 0 Trường hợp 1: Xét m − 1 ≥ 2m ⇔ m ≤ −1. ⇔ ( x≥m−1 x < 2m. Khi đó tập xác định của hàm số là D = ∅. Suy ra m ≤ −1 không thỏa yêu cầu bài toán. Trường hợp 2: Xét m − 1 < 2m ⇔ m > −1. Khi đó tập xác định của hàm số là D = [m − 1; 2m). Theo yêu cầu bài toán,hàm số xác định trên (−1; 3) thì (−1; 3) ⊂ D. ( m ≤ 0 m − 1 ≤ −1 ⇔ ⇔ m ∈ ∅. Hay m ≥ 3 2m ≥ 3 2 Suy ra không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn đáp án A Câu 71. Hàm số nào sau đây có tập xác định là R? √ C. y = A. y = 3×3 − 2 x − 3. B. y = 3×3 − 2x − 3.  √ x . x2 + 1 D. y = x . x2 − 1 Lời giải. Nhìn vào hàm số thấy y = 3×3 − 2x − 3 tồn tại giá trị với mọi x ∈ R.  Chọn đáp án B Câu 72. Cho các hàm số: y =  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em √ 4 20 − x2 , y = −7×4 + 2 |x| + 1, y = Trang 213/2406 x + 10 , y = |x + 2| + |x − 1| , y = x ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI √ 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ √ x4 − x + x4 + x . Trong các hàm số đó, có bao nhiêu hàm số chẵn? |x| + 4 A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. Lời giải. Các hàm số chẳn: √ √ 4−x+ √ x x4 + x 4 y = 20 − x2 , y = −7x + 2 |x| + 1, y = . |x| + 4 Chọn đáp án A  Câu 73. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? B. y = x2018 − 2017. √ √ D. y = 3 + x − 3 − x. A. y = |x + 3| + |x − 3|. √ C. y = 2x + 3. Lời giải. +) Xét hàm số y = f (x) = |x + 3| + |x − 3| có tập xác định D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Lại có f (−x) = | − x + 3| + | − x − 3| = |x + 3| + |x − 3| = f (x) nên hàm số đã cho là hàm chẵn. +) Xét hàm số y = f (x) = x2018 − 2017 có tập xác định D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Lại có f (−x) = (−x)2018 − 2017 = x2018 − 2017 = ïf (x) nên ã hàm số đã cho là hàm số chẵn. √ −3 +) Xét hàm số y = 2x + 3 có tập xác định D = ; +∞ , giả sử ta lấy 2 ∈ D ⇒ −2 ∈ D nên hàm 2 số đã cho không là hàm số lẻ. √ √ +) Xét hàm số y = f (x) = 3 + x − 3 − x có D = [−3; 3] nên với ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D (1). p  √ √ √ √ √ Xét f (−x) = 3 − x − 3 − (−x) = 3 − x − 3 + x = − 3 + x − 3 − x = −f (x) (2) Từ (1) và (2) suy ra hàm số hàm số đã cho là hàm số lẻ.  Chọn đáp án D 1 có tập xác định là R. + 2x + m C. m ≤ 1. D. m ∈ R. Câu 74. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = A. m ≥ 1. B. m > 1. x2 Lời giải. Hàm số đã cho có TXĐ là R ⇔ x2 + 2x + m 6= 0; ∀x ∈ R. ⇔ x2 + 2x + m = 0 vô nghiệm ⇔ ∆0 < 0 ⇔ 1 − m < 0 ⇔ m > 1. Vậy m > 1 là tất cả giá trị cần tìm.  Chọn đáp án B Câu 75. Tập xác định của hàm số y = Å ò 2 A. D = −∞; − {−4}. 3ã ï 2 C. D = − ; +∞ {4}. 3 Lời giải. Hàm số xác định khi √ −3x − 2 − x2 x+1 là − 3x − Å4 ò 2 B. D = −∞; − {−1}. 3ã ï 2 D. D = − ; +∞ . 3  2    x≤−   x ≤ − 2 3 − 3x − 2 ≥ 0 3 ⇔ x 6= −1 ⇔   x2 − 3x − 4 6= 0  x 6= −1.   x 6= 4 (  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 214/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Å ò 2 Vậy tập xác định của hàm số là D = −∞; − {−1} 3 Chọn đáp án B  Câu 76. Cho hàm số y = f (x) = |x+2018|+|x−2018|. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau. A. Đồ thị hàm số y = f (x) nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. B. Hàm số y = f (x) là hàm số chẵn. C. Đồ thị hàm số y = f (x) nhận trục tung làm trục đối xứng. D. Hàm số y = f (x) có tập xác định là R. Lời giải. Tập xác định: D = R. Ta có • ∀x ∈ D ⇒ (−x) ∈ D. • f (−x) = | − x + 2018| + | − x − 2018| = |x − 2018| + |x + 2018| = f (x), ∀x ∈ D. Vậy hàm số y = f (x) là hàm số chẵn, và nhận trục tung làm trục đối xứng. Suy ra mệnh đề sai là “Đồ thị hàm số y = f (x) nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng”.  Chọn đáp án A  2    x − 1 Câu 77. Cho hàm số f (x) = √x + 1     2 x −1 2 A. . B. 15. 3 Lời giải. khi x < 0 khi 0 ≤ x ≥ 2 . Tính giá trị của f (4) ta được kết quả khi 2 < x ≤ 5 C. √ 5. D. 7. Vì 4 ∈ (2; 5] nên f (4) = 42 − 1 = 15.  Chọn đáp án B Câu 78. Xét tính chẵn, lẻ của hai hàm số f (x) = |x + 2| − |x − 2|, g(x) = −|x| trên tập xác định R ta được kết quả nào trong các kết quả sau? A. f (x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số chẵn. C. f (x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số lẻ. B. f (x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số chẵn. D. f (x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ. Lời giải. Với mọi x ∈ R ta có   −x∈R   f (−x) = | − x + 2| − | − x − 2| = |x − 2| − |x + 2| = −f (x)    g(−x) = −| − x| = −|x| = g(x). Do đó f (x) là hàm số lẻ và g(x) là hàm số chẵn trên R.  Chọn đáp án B Câu 79. Cho hàm số y = f (x) = ax2 + bx + c. Đặt g(x) = f (x + 3) − 3f (x + 2) + 3f (x + 1). Tính g(1). A. g(1) = a − b − c. B. g(1) = a + b − c. C. g(1) = a − b + c. D. g(1) = a + b + c. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 215/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Ta có g(1) = f (4) − 3f (3) + 3f (2) = (16a + 4b + c) − 3(9a + 3b + c) + 3(4a + 2b + c) = a + b + c.  Chọn đáp án D x+1 Câu 80. Hàm số y = xác định trên [0; 1) khi và chỉ khi x − 2m + 1 1 1 A. m < hoặc m ≥ 1. B. m ≥ 2 hoặc m < 1. C. m < . D. m ≥ 1. 2 2 Lời giải. x+1 có nghĩa ⇔ x 6= 2m − 1. Ta có x − 2m + 1 Suy ra tập xác định của hàm số là D = (−∞; 2m − 1) ∪ (2m − 1; +∞). Do đó, hàm số xác định trên [0; 1) khi và chỉ khi  " " m≥1 [0; 1) ⊂ (−∞; 2m − 1) 2m − 1 ≥ 1 ⇔ ⇔ 1 [0; 1) ⊂ (2m − 1; +∞) 2m − 1 < 0 m< . 2 1 hoặc m ≥ 1. 2 Chọn đáp án A Vậy m <  Câu 81. Tập xác định D và tính chẵn lẻ của hàm số y = x3 + 5x là A. D = R, hàm số chẵn. B. D = R {0}, hàm số lẻ. C. D = R, hàm số không chẵn không lẻ. Lời giải. D. D = R, hàm số lẻ. Hàm số y = x3 + 5x có tập xác định là D = R. Ta thấy y(−x) = (−x)3 + 5(−x) = −(x3 + 5x) = −y(x), ∀x ∈ D. Suy ra hàm số đã cho là hàm số lẻ. Chọn đáp án D  √ Câu 82. Tập ò của hàm số yÅ= 1 −ã3x là ï ã Å ã Å xác định 1 1 1 1 B. D = −∞; . C. D = ; +∞ . D. D = ; +∞ . A. D = −∞; . 3 3 3 3 Lời giải. Å ò √ 1 1 Hàm số y = 1 − 3x xác định khi và chỉ khi 1 − 3x ≥ 0 ⇔ x ≤ ⇔ x ∈ −∞; . 3 3  Chọn đáp án A x+1 Câu 83. Tập xác định của hàm số y = là x(x2 + 4) A. R (−∞; 0). B. R {0; 2; −2}. C. R {0}. D. R (−∞; 0]. Lời giải. Điều kiện xác định: x(x2 + 4) 6= 0 ⇔ x 6= 0. Tập xác định hàm số là: R {0}.  Chọn đáp án C  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 216/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Câu 84. Tìm tập xác định D của hàm số y = √ 2x − 6 − A. D = (−3; +∞) {3}. C. D = R {3}. Lời giải. 3 . x−3 B. D = (3; +∞). D. D = [3; +∞). ( 2x − 6 ≥ 0 ⇔ x − 3 6= 0 Vậy tập xác định của hàm số là D = (3; +∞). Hàm số xác định khi và chỉ khi ( x≥3 x 6= 3 ⇔ x > 3.  Chọn đáp án B Câu 85. Trong các hàm số sau đây, có bao nhiêu hàm số chẵn? (1) f (x) = x4 + 10 ; x (2) f (x) = (3) f (x) = −7×4 + 2|x| + 1; A. 2. Lời giải. 1 ; 20 − x2 (4) f (x) = |x + 2| − |x − 2|. B. 3. C. 1. D. 4. Xét các hàm số (1), (2), (3), (4), ta có x4 + 10 . a) Hàm số f (x) = x + Có tập xác định là D = R {0} nên nếu x0 ∈ D ⇒ −x0 ∈ D. (−x)4 + 10 x4 + 10 + Có f (−x) = =− = −f (x), với mọi x ∈ D. −x x x4 + 10 Vậy f (x) = là hàm số lẻ. x 1 . b) Hàm số f (x) = 20 − x2 ¶ √ √ © + Có tập xác định là D = R 2 5; −2 5 nên nếu x0 ∈ D ⇒ −x0 ∈ D. 1 1 + Có f (−x) = = = f (x), với mọi x ∈ D. 20 − (−x)2 20 − x2 1 Vậy f (x) = là hàm số chẵn. 20 − x2 c) Hàm số f (x) = −7×4 + 2|x| + 1. + Có tập xác định là D = R nên nếu x0 ∈ D ⇒ −x0 ∈ D. + Có f (−x) = −7(−x)4 + 2 |−x| + 1 = −7×4 + 2 |x| + 1 = f (x), với mọi x ∈ D. Vậy f (x) = −7×4 + 2|x| + 1 là hàm số chẵn. d) Hàm số f (x) = |x + 2| − |x − 2|. + Có tập xác định là D = R nên nếu x0 ∈ D ⇒ −x0 ∈ D. + Có f (−x) = |−x + 2| − |−x − 2| = |x − 2| − |x + 2| = −f (x), với mọi x ∈ D. Vậy f (x) = |x + 2| − |x − 2| là hàm số lẻ. Vậy trong bốn hàm số trên có 2 hàm số chẵn và 2 hàm số lẻ.  Chọn đáp án A Câu 86. Tìm tập xác định của hàm số y = A. D = (−∞; 3). √ x−3+ B. D = (3; +∞). 1 . x−3 C. D = R {3}. D. D = [3; +∞). Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 217/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Hàm số xác định ⇔ 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ ( x−3≥0 ⇔ x − 3 > 0 ⇔ x > 3. x − 3 6= 0 Vậy tập xác định của hàm số là D = (3; +∞).  Chọn đáp án B Câu 87. Cho hàm số f (x) = |2x + 1| + |2x − 1| và g(x) = 2×3 + 3x. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng? A. f là hàm số lẻ, g là hàm số chẵn. B. f và g đều là hàm số lẻ. C. f và g đều là hàm số chẵn. D. f là hàm số chẵn, g là hàm số lẻ. Lời giải. • Xét hàm số f (x) = |2x + 1| + |2x − 1| có tập xác định Df = R. ( ∀x ∈ Df ⇒ −x ∈ Df Ta có f (−x) = |2(−x) + 1| + |2(−x) − 1| = | − (2x − 1)| + | − (2x + 1) = f (x). ⇒ f là hàm số chẵn. • Xét hàm số g(x) = 2×3 + 3x có tập xác định Dg = R. ( ∀x ∈ Dg ⇒ −x ∈ Dg Ta có g(−x) = 2(−x)3 + 3(−x) = −(2×3 + 3x) = −g(x). ⇒ g là hàm số lẻ.  Chọn đáp án D √ √ Câu 88. ò định của hàmÅsố y = ã1 + 2x + 6 +ïx là ã ï Tập xác 1 1 1 B. − ; +∞ . C. − ; +∞ . D. [−6; +∞). A. −6; − . 2 2 2 Lời giải.  ( x ≥ − 1 1 + 2x ≥ 0 1 2 ⇔x≥− . Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi ⇔  2 6+x≥0 x ≥ −6 ï ã 1 Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = − ; +∞ . 2 Chọn đáp án C 3x + 1 Câu 89. Tìm tập xác định D của hàm số y = . x−1 A. D = [1; +∞). B. D = R. C. D = (1; +∞). D. D = R {1}. Lời giải.  Hàm số xác định khi x − 1 6= 0 ⇔ x 6= 1. Vậy D = R {1}.  Chọn đáp án D Câu 90. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? A. y = x2 + x. B. y = x2 . C. y = x + 3. D. y = x3 + x. Lời giải. • Hàm số y = x2 + x có tập xác định D = R, ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có y(−1) = 0 6= 2 = y(1) nên hàm số không chẵn. • Hàm số y = x2 có tập xác định D = R, ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có y(−x) = (−x)2 = x2 = y(x) nên hàm số chẵn.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 218/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ • Hàm số y = x + 3 có tập xác định D = R, ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có y(−1) = 2 6= 4 = y(1) nên hàm số không chẵn. • Hàm số y = x3 + x có tập xác định D = R, ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có y(−1) = −2 6= 2 = y(1) nên hàm số không chẵn. Chọn đáp án B  4 Câu 91. Trong các hàm số sau, có bao nhiêu hàm số lẻ y = 2|x+1|−|x−1|, y = x− , y = x2 −2x, y = x 1 3 +x . x A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải. 4 1 Đặt f (x) = 2|x + 1| − |x − 1|, g(x) = x − , h(x) = x2 − 2x, t(x) = + x3 . x x • Xét hàm số f (x) = 2|x + 1| − |x − 1| có tập xác định là D = R nên ∀x ∈ D thì −x ∈ D. Hơn nữa, f (−1) = 2| − 1 + 1| − | − 1 − 1| = −2, mà f (1) = 4 nên hàm số f (x) = 2|x + 1| − |x − 1| không là hàm số lẻ. 4 có tập xác định là D = R {0} nên ∀x ∈ D thì −x ∈ D. x Å ã 4 4 4 Hơn nữa, g(−x) = −x + = − x − = −g(x), nên hàm số y = x − lẻ. x x x 1 • Xét hàm số t(x) = + x3 có tập xác định là D = R {0} nên ∀x ∈ D thì −x ∈ D. x ã Å 1 1 1 3 3 Hơn nữa, ∀x ∈ D, t(−x) = − − x = − + x = −t(x), nên hàm số t(x) = + x3 lẻ. x x x • Xét hàm số h(x) = x2 − 2x có tập xác định là D = R nên ∀x ∈ D thì −x ∈ D. • Xét hàm số g(x) = x − Hơn nữa, h(−1) = 1 + 2 = 3, mà h(1) = −1 nên hàm số h(x) = x2 − 2x không là hàm số lẻ. Vậy có hai hàm số lẻ. Chọn đáp án B  Câu 92. Xét tính chẵn, lẻ của hai hàm số f (x) = |x + 10| + |x − 10|, g(x) = −|x|2 . A. f (x) là hàm chẵn, g(x) là hàm số lẻ. C. f (x) là hàm lẻ, g(x) là hàm số chẵn. Lời giải. B. f (x) là hàm chẵn, g(x) là hàm số chẵn. D. f (x) là hàm lẻ, g(x) là hàm số lẻ. Ta có hàm f (x) và g(x) đều có tập xác định là D = R. Có f (−x) = |−x + 10| + |−x − 10| = |x − 10| + |x + 10| = f (x). Do đó f (x) là hàm chẵn. Có g(−x) = − |−x|2 = − |x|2 = g(x). Do đó g(x) cũng là hàm số chẵn.  Chọn đáp án B Câu 93. Trong các hàm số sau, hàm số nào có tập xác định D = R? 2×2 − 5x 2×2 − 5x 2×2 − 5x 2×2 − 5x . B. y = . C. y = 3 . D. y = . A. y = 2 x +x+1 x+1 x +1 x−1 Lời giải. 2×2 − 5x có tập xác định là D = R. Ta có phương trình x2 + x + 1 = 0 vô nghiệm nên hàm số y = 2 x +x+1  Chọn đáp án A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 219/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Câu 94. Trong các hàm số sau, hàm số nào tăng trên khoảng (−1; 0). A. y = x. C. y = x2 . B. y = |x|. D. y = 1 . x Lời giải. Hàm số y = x với hệ số a = 1 > 0 nên nó đồng biến trên R. Suy ra hàm số này đồng biến trên khoảng (−1; 0).  √ 3x − 2a Câu 95. Cho hàm số y = . Tìm tất cả các giá trị thực của a để hàm số xác định với mọi x−a+2 x > −1. 3 3 A. a ≤ 1. B. a ≤ − . C. a < 1. D. a < − . 2 2 Lời giải. ï ã 2 Tập xác định D = a; +∞ {a − 2}. 3   2 a ≤ −1 3 Để hàm số xác định với mọi x > −1 thì 3 ⇔a≤− .  2 a − 2 ≤ −1 Chọn đáp án B  Chọn đáp án A Câu 96. Cho (P ) : y = 2×2 + x − 3. Điểm nào sau đây thuộc đồ thì hàm số? A. (0; −3). B. (−2; 1). C. (−1; 0). D. (3; −7). Lời giải. Thử tọa độ các điểm vào hàm số ta được điểm (0; −3) thuộc đồ thị hàm số.  Chọn đáp án A 3 . x−1 C. [−2; +∞). Câu 97. Tập hợp nào sau đây là tập xác định của hàm số y = A. (−2; +∞) {1}. B. (1; +∞). D. R {1}. Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi x − 1 6= 0 ⇔ x 6= 1 ⇒ tập xác định của hàm số là D = R {1}.  Chọn đáp án D Câu 98. Tìm tập xác định D của hàm số y = A. D = R {−2}. Lời giải. B. D = R {2}. x2 + 1 . x−2 C. D = R {0}. D. D = R. Điều kiện x − 2 6= 0 ⇔ x 6= 2. Tập xác định là D = R {2}.  Chọn đáp án B √ Câu 99. Tìm tập xác định D của hàm số y = 2 x + 4 − 1. A. D = (−3; +∞). B. D = [−4; +∞). C. D = [−3; +∞). D. D = (−4; +∞). Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ −4. Vậy tập xác định của hàm số là D = [−4; +∞).  Chọn đáp án B  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 220/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ 4 có đồ thị (C ). Điểm nào dưới đây không thuộc (C )? x+1 B. M (3; 2). C. P (0; 4). D. N (1; 0). Câu 100. Cho hàm số y = f (x) = √ A. Q(15; 1). Lời giải. Điểm N (1; 0) không thuộc (C ). Chọn đáp án D √  x+4   Câu 101. Cho hàm số y = f (x) = x2 + 1    2x − 1 A. −2. B. 2.  khi x > 1 khi − 1 ≤ x ≤ 1 . Giá trị f (0) bằng khi x < −1 C. −1. D. 1. Lời giải. Ta có f (0) = 02 + 1 = 1.  Chọn đáp án D 2017 là x−1 B. D = (−∞; 1). Câu 102. Tập xác định của hàm số y = A. D = [1; +∞). Lời giải. C. D = R {1}. D. D = R. Tập xác định D = R {1}.  Chọn đáp án C Câu 103. Hàm số nào trong các hàm số sau không phải là hàm số lẻ? √ A. y = x + 1. B. y = x. C. y = x|x|. D. y = 2 . x3 Lời giải. √ Hàm số y = x + 1 có tập xác định là D = [−1; +∞). Ta có x = 2 ∈ D, nhưng −x = −2 6∈ D. √ Vậy y = x + 1 không phải hàm số lẻ.  Chọn đáp án A √ x+2 Câu 104. Tập xác định của hàm số y = √ + 3 − x là x−1 A. [1; 3]. B. (1; 3]. C. (−∞; 3]. D. (1; +∞). Lời giải. √ x+2 √ + 3 − x có nghĩa ⇔ x−1 ( x−1>0 3−x≥0 ⇔ 1 < x ≤ 3. Vậy tập xác định của hàm số đã cho là (1; 3].  Chọn đáp án B Câu 105. Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn? √ A. y = 1 − x. B. y = |x| + x. C. y = 1 . x2 D. y = x3 + 1. Lời giải. 1 có tập xác định D = R {0}. x2 Với mọi x ∈ D, ta có Hàm số y = • −x ∈ D;  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 221/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI • f (−x) = Vậy y = 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ 1 1 = 2 = f (x). 2 (−x) x 1 là hàm số chẵn. x2  √ x2 + m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho tập xác Câu 106. Cho hàm số y = 2 x − 2x − m + 2 định của hàm số là R. A. m ∈ (−∞; 1). Lời giải. B. m ∈ [0; 1). C. m ∈ [0; +∞). √ x2 + m có nghĩa khi và chỉ khi x2 − 2x − m + 2 D. m ∈ [0; 1]. ( 2 x ≥ −m x2 − 2x − m + 2 6= 0. Do đó, hàm số có tập xác định là R khi và chỉ khi ( 2 ( ( x ≥ −m, ∀x ∈ R −m≤0 m≥0 ⇔ ⇔ ⇔ m ∈ [0; 1). x2 − 2x − m + 2 6= 0, ∀x ∈ R ∆0 = m − 1 < 0 m<1  Chọn đáp án B √ √ Câu 107. Tập xác định của hàm số y = 4 − x + 5 − x là A. ∅. Lời giải. B. (−∞; 4]. Điều kiện để hàm số xác định là C. [5; +∞). ( 4−x≥0 5−x≥0 Vậy tập xác định của hàm số là (−∞; 4]. ⇔ ( x≤4 x≤5 D. [4; 5]. ⇔ x ≤ 4.  Chọn đáp án B √ Câu 108. Tập xác định của hàm số y = x + 5 là A. (−5; +∞). B. (5; +∞). C. R. Lời giải. √ Biểu thức x + 5 có nghĩa khi x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ −5. D. [−5; +∞). Vậy D = [−5; +∞).  Chọn đáp án D Câu 109. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? A. y = |x + 2| + |x − 2|. √ C. y = x2 x + 1. B. y = |x| + x. D. y = x3 + 1. Lời giải. • Xét hàm số f (x) = |x + 2| + |x − 2|, tập xác định của f (x) là D = R. Ta có f (−x) = | − x + 2| + | − x − 2| = |x − 2| + |x + 2| = f (x). Vậy hàm số trên là hàm số chẵn. • Xét hàm số f (x) = |x| + x, tập xác định của hàm số D = R. Ta có f (−1) = | − 1| + (−1) = |1| − 1 = 0 6= 2 = f (1). Do đó hàm số này không là hàm chẵn. √ • Xét hàm số f (x) = x2 x + 1, tập xác định của hàm số D = [−1; +∞). Tập xác định này không đối xứng nên hàm số đã cho không phải là hàm số chẵn.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 222/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ • Xét hàm số f (x) = x3 + 1, tập xác định của f (x) là D = R. Ta có f (−1) = (−1)3 + 1 = −13 + 1 = 0 6= 2 = f (1). Do đó hàm số trên không phải là hàm số chẵn.  Chọn đáp án A Câu 110. Hàm số nào trong các hàm số sau là hàm số lẻ? A. y = x3 + x. B. y = x4 + x2 − 2. C. y = √ 2x + 8. D. y = x2 . Lời giải. Hàm số y = f (x) = x3 + x là hàm số lẻ, vì • D = R, • f (−x) = (−x)3 + (−x) = −(x3 + x) = −f (x).  Chọn đáp án A Câu 111. Điểm nào dưới đây không thuộc đồ thị hàm số y = −4x + 6? A. N (1; 2). C. P (3; −6). B. M (2; 2). D. Q(−3; 18). Lời giải. Điểm M (2; 2) không thuộc đồ thị hàm số y = −4x + 6 vì 2 6= −4 · 2 + 6. Chọn đáp án B √ 3−x−x √ Câu 112. Tìm tập xác định của hàm số y = . (x − 4) 1 + x A. (−1; 3]. B. (−1; 4). C. [−1; 3] {0}.  D. (−1; −3) {0}. Lời giải.   3−x≥0   Điều kiện 1 + x > 0 ⇔ −1 < x ≤ 3. Vậy hàm số có tập xác định là (−1; 3].    x − 4 6= 0  Chọn đáp án A Câu 113. Tập xác định của hàm số y = B. {1; 3}. A. (1; 3). 2x − 1 là x2 − 4x + 3 C. R {1}. D. R {1; 3}. Lời giải. Điều kiện xác định x2 − 4x + 3 6= 0 ⇔ ( x 6= 1 x 6= 3. Vậy tập xác định của hàm số là R {1; 3}.  Chọn đáp án D Câu 114. Hàm số y = √ A. (−∞; 2). Lời giải. Điều kiện xác định x−1 có tập xác định là 2−x B. (2; +∞). C. R {2}. 3x − 6 + ( 3x − 6 ≥ 0 2 − x 6= 0 D. (−∞; 2]. ⇔ x > 2. Vậy tập xác định của hàm số là (2; +∞).  Chọn đáp án B Câu 115. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A. y = |2x − 1| + |2x + 1|.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. y = |2x − 1| − |2x + 1|. Trang 223/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI C. y = (2x + 1)|2x − 1| + |2x + 1|. 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ D. y = (2x − 1)|2x − 1| + |2x + 1|. Lời giải. Hàm số y = |2x − 1| + |2x + 1| có tập xác định R và thoả mãn ∀x ∈ R, y(−x) = | − 2x − 1| + | − 2x + 1| = |2x − 1| + |2x + 1| = y(x) nên là hàm số chẵn. Chọn đáp án A √ Câu 116. Tập xác định của hàm số y = 8 − 2x − x là A. (−∞; 4]. Lời giải. B. [4; +∞). C. [0; 4].  D. [0; +∞). Điều kiện xác định của hàm số là 8 − 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4. Do đó tập xác định là D = (−∞; 4].  Chọn đáp án A  2x + 3   khi x ≥ 0  x+1 √ . Ta có kết quả nào sau đây đúng? Câu 117. Cho hàm số f (x) = 3  2 + 3x   khi − 2 ≤ x < 0 x−2 √ 1 7 A. f (−1) = ; f (2) = . B. f (0) = 2; f (−3) = 7. 3 3 √ 11 D. f (−1) = 8; f (3) = 0. C. f (−1) không xác định; f (−3) = − . 24 Lời giải. p 3 2 + 3(−1) 1 = . f (−1) = −1 − 2 3 2·2+3 7 f (2) = = . 2+1 3 2·0+3 f (0) = = 3. 0+1 f (−3) không xác định. 9 2·3+3 = . f (3) = 3+1 4 Chọn đáp án A   − x3 − 6, x ≤ −2   Câu 118. Cho hàm số f (x) = |x|, − 2 < x < 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?    3 x − 6, x≥2  A. Đồ thị của hàm số f (x) nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng. B. Đồ thị của hàm số f (x) nhận trục hoành là trục đối xứng. C. Hàm số f (x) là hàm lẻ. D. Hàm số f (x) là hàm chẵn. Lời giải. Hàm số f (x) có tập xác định là D = R. Ta có ∀x ∈ D, −x ∈ D. • ∀x ≤ −2 ⇒ −x ≥ 2, do đó f (−x) = (−x)3 − 6 = −x3 − 6 = f (x). • ∀x ≥ 2 ⇒ −x ≤ −2, do đó f (−x) = −(−x)3 − 6 = x3 − 6 = f (x). • ∀x : − 2 < x < 2 ⇒ −2 < −x < 2, do đó f (−x) = | − x| = |x| = f (x). Vậy ∀x ∈ D, ta có f (−x) = f (x). Suy ra hàm số f (x) là hàm chẵn. Chọn đáp án D  Câu 119. Cho hàm số y = f (x) = |−5x|, kết quả nào sau đây là sai?  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 224/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A. f (−1) = 5. 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ B. f (−2) = 10. C. f (2) = 10. Å ã 1 D. f = −1. 5 Lời giải. Å ã Å ã 1 1 1 = 1. Do đó, kết quả “f = −5 · = −1” sai. Ta có f 5 5 5 Chọn đáp án D √ √ Câu 120. Tập xác định của hàm số y = 2 − x + 7 + x là A. [2; +∞). B. [−7; 2]. C. (−7; 2). Lời giải. √ √ Hàm số y = 2 − x + 7 + x xác định khi và chỉ khi ( ( 2−x≥0 x≤2 ⇔ ⇔ −7 ≤ x ≤ 2. 7+x≥0 x ≥ −7  D. R {−7; 2}. Vậy, tập xác định của hàm số là D = [−7; 2].  Chọn đáp án B Câu 121. Cho hàm số y = x2 − 3x + 5, chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. Hàm số không chẵn không lẻ. C. Là hàm số chẵn. B. Là hàm số lẻ. D. Điểm M (0; 4) thuộc đồ thị hàm số. Lời giải. Xét hàm số y = f (x) = x2 − 3x + 5. Tập xác định D = R. Lấy x0(= 2 ∈ D ⇒ −x0 = −2 ∈ D, f (2) = 3, f (−2) = 15. f (−2) 6= f (2) Ta có f (−2) 6= −f (2). Do đó hàm số y = f (x) = x2 − 3x + 5 không chẵn không lẻ.  Chọn đáp án A Câu 122. Tìm tập giá trị của hàm số y = î √ ó î √ ó A. 3; 3 2 . B. 0; 3 2 . Lời giải. √ 6−x+ √ x + 3. î √ ó C. 3; 2 3 . D. [0; 3]. Tập xác định D = [−3; 6]. » 2 y = 9 + 2 (6 − x)(x + 3) ⇒ y 2 > 9 ⇒ y > 3( do y ≥ 0, ∀x ∈ D). Theo bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm (6 − x); (x + 3) ta được » √ √ 2 (6 − x)(x + 3) 6 (6 − x) + (x + 3) = 9 ⇔ y 2 6 18 ⇔ −3 2 ≤ y 6 3 2. (1) (2) √ Từ (1) và (2) suy ra 3 6 y 6 3 2.  Chọn đáp án A 1 √ là 1− x B. D = R {1}. C. D = [0; +∞) {1}. D. D = (0; +∞) {1}. Câu 123. Tập xác định của hàm số y = A. D = [0; +∞).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 225/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Lời giải. ( ( x≥0 x≥0 Điều kiện xác định của hàm số là √ ⇔ x 6= 1 x 6= 1. Do đó tập xác định của hàm số là D = [0; +∞) {1}. Chọn đáp án C  Câu 124. Với những giá trị nào của m thì hàm số y = −2×4 + 3(m2 − 4)x + 2016 là hàm số chẵn? A. m = 0. C. m = −2. B. m = 2. D. m = ±2. Lời giải. Tập xác định D = R. Khi đó ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có: f (−x) = −2×4 − 3(m2 − 4)x + 2016. Hàm số đã cho là hàm số chẵn khi : f (−x) = f (x), ∀x ∈ R ⇔ m2 − 4 = 0 ⇔ m = ±2.  Chọn đáp án D Câu 125. Tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số y = √ 1 x−m+1+ √ xác định trên 2m − x khoảngÅ(0; 1) ã là Å ò ï ã ï ò 1 1 1 1 A. ;1 . B. ;1 . C. ;1 . D. ;1 . 2 2 2 2 Lời giải. √ 1 Hàm số y = x − m + 1 + √ xác định trên khoảng (0; 1) khi và chỉ khi 2m − x ( ( x−m+1≥0 m−1≤0 1 ∀x ∈ (0, 1) ⇔ ⇔ ≤ m ≤ 1. 2 2m − x > 0 2m ≥ 1  Chọn đáp án D Câu 126. Tìm tập xác định của hàm số y = A. (−∞; −2]. Lời giải. B. [−2; +∞). √ 3x + 6. C. [2; +∞). D. (−2; +∞). Điều kiện xác định 3x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2.  Chọn đáp án B Câu 127. Cho (P ) : y = −x2 + 2x + 3. Chọn khẳng định đúng. A. Hàm số đồng biến trên (−∞; 1) và nghịch biến trên (1; +∞). B. Hàm số đồng biến trên (1; +∞) và nghịch biến trên (−∞; 1). C. Hàm số đồng biến trên (−1; +∞) và nghịch biến trên (−∞; −1). D. Hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và nghịch biến trên (−1; +∞). Lời giải. Xét hàm số y = f (x) = −x2 + 2x + 3 có tập xác định D = R; a = −1 < 0, b = 2, c = 3 nên có tọa độ đỉnh là I (1; 4). Bảng biến thiên  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 226/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ −∞ x 1 +∞ 4 f (x) −∞ −∞ Do đó, hàm số đồng biến trên (−∞; 1) và nghịch biến trên (1; +∞). Chọn đáp án A  Câu 128. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? A. y = x4 . B. y = x4 + x. C. y = x3 . D. y = x3 + 1. Lời giải. Ta thấy rằng các hàm số trên có tập xác định là D = R. Ta có ∀x ∈ D thì −x ∈ D. • Xét hàm số y = f (x) = x4 , khi đó f (−x) = (−x)4 = x4 = f (x), ∀x ∈ D. Do đó, hàm số y = x4 là hàm số chẵn. • Xét hàm số y = f (x) = x4 + x, khi đó f (−x) = (−x)4 + (−x) = x4 − x, ∀x ∈ D. Do đó, hàm số y = x4 + x là hàm số không chẵn, không lẻ. • Xét hàm số y = f (x) = x3 , khi đó f (−x) = (−x)3 = −x3 = −f (x), ∀x ∈ D. Do đó, hàm số y = x3 là hàm số lẻ. • Xét hàm số y = f (x) = x3 + 1, khi đó f (−x) = (−x)3 + 1 = −x3 + 1, ∀x ∈ D. Do đó, hàm số y = x3 + 1 là hàm số không chẵn, không lẻ.  Chọn đáp án A √ Câu 129. Tập xác định của hàm số y = x + 3 là A. D = [−3; +∞). B. D = (3; +∞). C. D = R. D. D = (−∞; 3). Lời giải. Điều kiện xác định x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ −3.  Chọn đáp án A √ 2017 là x−1+ x−3 A. D = [1; +∞) {3}. B. D = R {3}. C. D = [1; +∞). Câu 130. Tập xác định của hàm số y = D. D = R. Lời giải. Điều kiện xác định ( x−1≥0 x − 3 6= 0 ⇔ ( x≥1 x 6= 3.  Chọn đáp án A x−1 là x2 − x + 3 B. (−∞; 1). C. R {1}. Câu 131. Tập xác định của hàm số y = A. R. D. ∅. Lời giải. x−1 có nghĩa khi và chỉ khi x2 − x + 3 6= 0 ⇔ x ∈ R. 2 x −x+3 x−1 Vậy tập xác định của hàm số y = 2 là D = R. x −x+3 Hàm số y =  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 227/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ  Chọn đáp án A √ Câu 132. Tập xác định của hàm số y = 5 − x là A. [−5; 5]. B. (−∞; 5]. C. R {5}. Lời giải. √ Hàm số y = 5 − x có nghĩa khi và chỉ khi 5 − x > 0 ⇔ x 6 5. √ Vậy tập xác định của hàm số y = 5 − x là D = (−∞; 5]. D. R.  Chọn đáp án B Câu 133. Cho hàm số y = f (x) = 3×4 − x2 + 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. y = f (x) là hàm số không chẵn và không lẻ. B. y = f (x) là hàm số chẵn trên R. C. y = f (x) là hàm số lẻ trên R. D. y = f (x) là hàm số vừa chẵn vừa lẻ trên R. Lời giải. Hàm số y = f (x) = 3×4 − x2 + 2 có tập xác định D = R (hiển nhiên −x ∈ R, ∀x ∈ R). Ta có f (−x) = 3(−x)4 − (−x)2 + 2 = 3×4 − x2 + 2 = f (x), ∀x ∈ D. Vậy y = f (x) là hàm số chẵn trên R.  Chọn đáp án B Câu 134. Cho hai hàm số f (x) = x3 − 3x và g(x) = −x3 + x. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. f (x) chẵn trên R; g(x) lẻ trên R. B. f (x) và g(x) cùng lẻ trên R. C. f (x) lẻ, g(x) không chẵn không lẻ. Lời giải. D. f (x) lẻ trên R, g(x) chẵn trên R. Cả hai(hàm số f (x) = x3 − 3x và g(x) = −x3 + x đều có tập xác định D = R f (−x) = (−x)3 − 3(−x) = −(x3 − x) = −f (x), ∀x ∈ D Ta có g(−x) = −(−x)3 + (−x) = −(−x3 + x) = −g(x), ∀x ∈ D. Vậy f (x) và g(x) cùng lẻ trên R.  Chọn đáp án B √ Câu 135. Tập xác định của hàm số y = 2 − x là A. [−2; 2]. B. R. C. (−∞; 2]. D. R {2}. Lời giải. Điều kiện 2 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2. Suy ra tập xác định là D = (−∞; 2]. Chọn đáp án C  Câu 136. Tập xác định của hàm số y = f (x) = A. (1; 3). B. [1; 3). √ 1 là 3−x C. (1; 3]. x−1+ √ D. [1; 3]. Lời giải. ( ( x−1≥0 x≥1 Điều kiện ⇔ . 3−x>0 x<3 Suy ra tập xác định D = [1; 3).  Chọn đáp án B  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 228/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ 5−x Câu 137. Tập xác định của hàm số y = √ là x−3 A. (3; 5]. B. [3; 5]. C. [3 : ∞). D. (3; +∞). Lời giải. 5−x Hàm số y = √ xác định khi x − 3 > 0 ⇔ x > 3. Vậy tập xác định của hàm số là (3; +∞). x−3 Chọn đáp án D  Câu 138. Cho đồ thị hàm số y = f (x) như hình vẽ y 3 2 1 x −3 −2 −1 O 1 2 3 Kết luận nào trong các kết luận sau là đúng? A. Hàm số y = f (x) đồng biến trên R. B. Hàm số y = f (x) là hàm số lẻ trên R. C. Hàm số y = f (x) là hàm số chẵn trên R. Lời giải. D. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên R. Từ đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng. Do đó, hàm số đã cho là hàm chẵn trên R.  Chọn đáp án C Câu 139. Hàm số nào trong các hàm số sau đây là hàm số lẻ? √ A. y = x2 . B. y = 1 − 2x. √ √ C. y = 3 2 − x − 3 2 + x. D. y = |2 − x| + |2 + x|. Lời giải. √ √ Hàm số y = 3 2 − x − 3 2 + x có tập xác định là R và thỏa mãn y(x) = −y(−x), nên hàm số √ √ y = 3 2 − x − 3 2 + x là hàm số lẻ.  Chọn đáp án C Câu 140. Cho hàm số y = ( 2x + 1 khi x ≤ 2 x2 − 3 khi x > 2 . Trong các điểm sau đây, điểm nào thuộc đồ thị hàm số? A. (0; 1). B. (0; −3). C. (3; 7). D. (−3; 6). Lời giải. Điểm (0; 1) thuộc đồ thị hàm số. Chọn đáp án A  √ x−2 là x+1 B. (2; +∞) {−1}. C. [2; +∞). Câu 141. Tập xác định của hàm số y = A. (−∞; 2].  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 229/2406 D. (2; +∞). ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Lời giải. Hàm số đã cho xác định ⇔ ( x−2≥0 x + 1 6= 0 ⇔ ( x≥2 x 6= −1 ⇔ x ≥ 2.  Chọn đáp án C |x − 3| là x+4 B. D = R {4}. C. D = R. Câu 142. Tập xác định của hàm số y = A. D = (3; +∞). D. D = R {−4}. Lời giải. Hàm số xác định khi x + 4 6= 0 ⇔ x 6= −4. Vậy tập xác định D = R {−4}.  Chọn đáp án D √ 2x + 2 − x Câu 143. Tìm tập xác định của hàm số y = √ . x+2−1 A. D = (−2; 2). B. D = [−2; 2] {−1}. C. D = (−2; 2) {−1}. D. D = (−2; 2]. Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi     ( ( x≤2 2 − x ≥ 0     −2≤x≤2 −2≤x≤2 ⇔ x ≥ −2 ⇔ ⇔ x+2≥0   x + 2 6= 1 x 6= −1.   √ √ x + 2 − 1 6= 0 x + 2 6= 1 Suy ra tập xác định D = [−2; 2] {−1}.  Chọn đáp án B Câu 144. Cho hàm số y = x (x4 − 3×2 − 5). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. Hàm số lẻ. B. Hàm số chẵn. C. Hàm số không chẵn, không lẻ. D. Hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. Lời giải. Tập xác định D = R. Do đó ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có, y(−x) = −x (x4 − 3×2 − 5) = −y(x), ∀x ∈ D. Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ. Chọn đáp án A  √ Câu 145. Tìm tập xác định của hàm số y = ï ã 3 A. D = ; +∞ . 2 2x − 3 . x+1 C. D = R {−1}. ß ™ 3 B. D = R −1; . Å ã2 3 D. D = −∞; {−1}. 2 Lời giải. Để hàm số xác định thì  ï ã x ≥ 3 3 3 2 ⇔ ⇒ x ≥ . Vậy D = ; +∞ .  2 2 x + 1 6= 0 x 6= −1 ( 2x − 3 ≥ 0  Chọn đáp án A √ Câu 146. Tập xác định của hàm số y = 3 1 − x là  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 230/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A. D = R{1}. Lời giải. Hàm số y = √ 3 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ B. D = R. C. D = (−∞; 1]. D. D = [1; +∞). 1 − x xác định trên R.  Chọn đáp án B Câu 147. Tìm tập xác định D của hàm số y = A. D = (−∞; 0). B. D = R. x2 + 1 . x C. D = (0; +∞). D. D = R{0}. Lời giải. y xác định khi x 6= 0. Do đó, tập xác định D = R{0}.  Chọn đáp án D x−2 là x2 + 1 B. D = R {−1, 0}. C. D = R {−1}. Câu 148. Tập xác định của hàm số y = f (x) = A. D = R {±1}. Lời giải. D. D = R. Điều kiện: x2 + 1 6= 0 đúng ∀x ∈ R. Vậy tập xác định của hàm số là D = R.  Chọn đáp án D Câu 149. √ Hàm số nào sau đây có tập xác định là (3; +∞)? √ x−3 2x − 1 A. y = . B. y = 3×2 + x − 3. C. y = √ . x−2 3−x Lời giải. ( x 6= 0 1 Biểu thức √ xác định khi và chỉ khi ⇔ x > 3. x x−3 x−3>0 1 D. y = √ . x x−3  Chọn đáp án D Câu 150. Trong ba hàm số f (x) = x3 − x + 1, g(x) = hàm số lẻ? A. 1. B. 0. √ 3+x− √ 3 − x, h(x) = x2 |x|. Có bao nhiêu C. 3. D. 2. Lời giải. • f (x) =(x3 − x + 1 có tập xác định D = R. ∀x ∈ R ⇒ −x ∈ R Khi đó ⇒ f (x) không là hàm chẵn cũng không là f (−x) = −x3 + x + 1 6= f (x) và f (−x) 6= −f (x) hàm lẻ. √ √ • g(x) =( 3 + x − 3 − x có tập xác định D = [−3; 3]. ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D Khi đó ⇒ g(x) là hàm số lẻ. √ √ g(−x) = 3 − x − 3 + x = −g(x) • h(x) =(x2 |x| có tập xác định D = R. ∀x ∈ R ⇒ −x ∈ R Khi đó ⇒ h(x) là hàm số chẵn. h(−x) = (−x)2 · |−x| = x2 |x| = h(x)  Chọn đáp án A 1 là tập nào sau đây? x−1 B. R {1}. C. [10; +∞). Câu 151. Tập xác định của hàm số y = A. (−∞; −1).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 231/2406 D. (1; +∞). ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Lời giải. 1 là x − 1 6= 0 ⇔ x 6= 1. x−1 1 Suy ra tập xác định của hàm số y = là D = R {1}. x−1 Chọn đáp án B x+1 là Câu 152. Tập xác định D của hàm số y = ß 2x − ™3 3 A. D = R. B. D = R −1, . C. D = R {−1}. 2 Lời giải. 3 Hàm số xác định khi 2x − 3 6= 0 ⇔ x 6= . 2 ß ™ 3 . ⇒ Tập xác định D = R 2 Chọn đáp án D Điều kiện xác định của hàm số y =  ß ™ 3 D. D = R . 2  Câu 153. Cho hàm số y = f (x) = 3×4 − 4×2 + 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. y = f (x) là hàm số không có tính chẵn lẻ. B. y = f (x) là hàm số lẻ trên R. C. y = f (x) là hàm số vừa chẵn vừa lẻ. D. y = f (x) là hàm số chẵn trên R. Lời giải. Tập xác định: D = R. Ta có f (−x) = 3(−x)4 − 4(−x)2 + 3 = 3×4 − 4×2 + 3 = f (x) ∀x ∈ R và f (−1) 6= −f (1). Vậy y = f (x) là hàm số chẵn trên R.  Chọn đáp án D Câu 154. Tập xác định D của hàm số y = √ x−3+ 1 là x−3 C. D = (3; +∞). A. D = [3; +∞). B. D = R {3}. D. D = (−∞; 3). Lời giải. ( x−3≥0 Điều kiện xác định ⇔ x > 3. Vậy tập xác định của hàm số là D = (3; +∞). x − 3 6= 0  Chọn đáp án C 3 là tập hợp nào sau đây? −x−6 B. D = R {2; −3} . C. D = R {2; 3} . D. D = R {−2; 3} . Câu 155. Tập xác định của hàm số y = A. D = R {−2; −3}. Lời giải. x2 Hàm số xác định khi và chỉ khi x2 − x − 6 6= 0 ⇔ ( x 6= 3 x 6= −2. Vậy tập xác định D = R {−2; 3}. Chọn đáp án D  Câu 156. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? A. y = x3 + 1 . C. y = |x + 2| + |x − 2|. Lời giải. √ B. y = x2 x + 1. D. y = |x| + x. Xét hàm số y = f (x) = |x + 2| + |x − 2|. Ta có  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 232/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ • Tập xác định D = R. • ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. • f (−x) = |−x + 2| + |−x − 2| = |x + 2| + |x − 2| = f (x). Vậy hàm số y = |x + 2| + |x − 2| là hàm số chẵn. Chọn đáp án C  Câu 157. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? A. y = x4 + x2 − 2017. C. y = x2 − x + 1. B. y = x3 − x . D. y = x2 − 2017x + 2016. Lời giải. Xét hàm số y = x3 − x. Ta có • Tập xác định D = R. • ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. • f (−x) = (−x)3 − (−x) = −(x3 − x) = −f (x). Vậy hàm số y = x3 − x là hàm số lẻ.  Chọn đáp án B Câu 158. Tìm tập xác định D của hàm số y = A. D = R {−5}. B. D = R. 4 + 7x . x+5 C. D = (−5; +∞). D. D = (−∞; −5). Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi x + 5 6= 0 ⇔ x 6= −5.  Chọn đáp án A √ Câu 159. Tìm tập xác định D của hàm số y = x + 3 − 2x. A. D = R. Lời giải. B. D = [3; +∞). C. D = (−3; +∞). D. D = [−3; +∞). Hàm số xác định khi và chỉ khi x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ −3. Vậy tập xác định của hàm số là D = [−3; +∞).  Chọn đáp án D Câu 160. Tập hợp D = {0} ∪ [1; +∞) là tập xác định của hàm số nào? p √ √ 2 x2 . B. y = √ . C. y = x2 (x − 1). D. y = x + x − 1. A. y = x−1 x x−1 Lời giải. ” 2 ” p x =0 x=0 Hàm số y = x2 (x − 1) xác định khi và chỉ khi ⇔ . Vậy tập xác định của hàm số x−1≥0 x≥1 là D = {0} ∪ [1; +∞).  Chọn đáp án C Câu 161. Tìm tập xác định của hàm số y = A. (1; 3). B. {1; 3}. x2 2x − 1 . − 4x + 3 C. R {1}. D. R {1; 3}. Lời giải. Hàm số xác định khi x2 − 4x + 3 6= 0 ⇔ (x − 1)(x − 3) 6= 0 ⇔  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 233/2406 ( x 6= 1 x 6= 3 . ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Vậy tập xác định của hàm số D = R {1; 3}.  Chọn đáp án D Câu 162. Hàm số nào đồng biến trên R? B. y = 2×2 + 4. A. y = −x + 2. C. y = x2 . D. y = x+3 . 5 Lời giải. Ta thấy • Hàm số f (x) = −x + 2 có f (0) > f (1) nên không đồng biến trên R. • Hàm số f (x) = 2×2 + 4 có f (−1) > f (0) nên không đồng biến trên R. • Hàm số f (x) = x2 có f (−1) > f (0) nên không đồng biến trên R. x+3 Xét f (x) = . ∀x1 , x2 ∈ R, x1 < x2 ta có 5 f (x2 ) − f (x1 ) = x2 − x1 > 0 ⇒ f (x2 ) > f (x1 ). 5 Vậy hàm số này đồng biến trên R. Chọn đáp án D  Câu 163. Tìm hàm số chẵn trong các hàm số sau. A. y = 3×4 + x2 + 5. √ C. y = x + 1. Lời giải. B. y = |x − 1| − |x + 1|. D. y = 2×2 + x. Xét hàm số y = f (x) = 3×4 + x2 + 5 ta có ( ∀x ∈ R ⇒ −x ∈ R f (−x) = 3(−x)4 + (−x)2 + 5 = 3×4 + x2 + 5 = f (x) . Vậy y = f (x) = 3×4 + x2 + 5 là hàm chẵn.  Chọn đáp án A √  x − 2, khi x ≥ 1 Câu 164. Tìm tập xác định của hàm số y = .  1 , khi x < 1 x−1 A. (−∞; 1) ∪ [2; +∞). B. (−∞; 1]. C. (−∞; 1] ∪ [2; +∞). D. [2; +∞). Lời giải. Khi x ≥ 1 điều kiện xác định của y là x ≥ 2 do đó x ≥ 2. Khi x < 1 điều kiện xác định của y là x 6= 1 do đó x < 1. Vậy tập xác định của hàm số là D = (−∞; 1) ∪ [2; +∞).  Chọn đáp án A Câu 165. Tìm tập xác định của hàm số y = A. R{3}. B. [2; +∞). x−2 √ + 4 − x. x−3 C. (−∞; 4]{3}. D. (−∞; 3){2}. Lời giải. • Hàm số xác định khi  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em ( x 6= 3 4−x≥0 ⇔ ( x 6= 3 x ≤ 4. Trang 234/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ • Vậy tập xác định của hàm số là (−∞; 4]{3}.  Chọn đáp án C Câu 166. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = 3|x3 | − 5x2 − 2. A. Hàm số chẵn. C. Hàm số không chẵn, không lẻ. B. Hàm số lẻ. D. Hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. Lời giải. • Hàm số có tập xác định D = R. Do đó x ∈ D ⇒ −x ∈ D. • Có y(−x) = 3|(−x)3 | − 5(−x)2 − 2 = 3|x3 | − 5x2 − 2 = y(x). Vậy hàm số là hàm số chẵn.  Chọn đáp án A Câu 167. Tìm tập xác định của hàm số y = A. R{0}. B. [2; +∞). 3x − 3 √ + 2 − x. x C. (−∞; 2]{0}. D. (−∞; 3]{0}. Lời giải. • Hàm số xác định khi ( x 6= 0 ( x 6= 0 ⇔ 2−x≥0 x ≤ 2. • Vậy tập xác định của hàm số là (−∞; 2]{0}.  Chọn đáp án C x+a chứa đoạn [0; 1]. Câu 168. Tìm tất cả giá trị của tham số a để tập giá trị của hàm số y = 2 x +1 3 A. a ∈ R. B. a ≥ 2. C. a ≥ . D. a < 2. 4 Lời giải. x+a Xét hàm số y = 2 ⇔ yx2 − x + y − a = 0. x +1 Tập giá trị của hàm số chứa đoạn [0; 1] ⇔ với mọi y ∈ [0; 1] thì phương trình trên luôn có nghiệm. Với y = 0 ta có phương trình x + a = 0 ⇔ x = −a. Do đó phương trình luôn có nghiệm. 4y 2 − 1 Với 0 < y ≤ 1 thì phương trình có nghiệm ⇔ 1 − 4y (y − a) ≥ 0 ⇔ 4y 2 − 1 ≤ 4ay ⇔ ≤ a. 4y 4y 2 − 1 Yêu cầu bài toán tương đương với max ≤ a. (0;1] 4y Å ã Å ã 4y 2 − 1 1 1 3 1 3 3 Ta có = (y − 1) + − + = (y − 1) 1 + + ≤ với mọi y ∈ (0; 1]. 4y 4 4y 4 4y 4 4 3 Vậy a ≥ . 4  Chọn đáp án C √ p x x+2 Câu 169. Hàm số y = 9 − 3 |x| + √ có tập xác định D1 và hàm số y = có tập xác x |x| + 4 9x2 − 1 định D2 . Khi đó số phần tử của tập A = Z ∩ (D1 ∩ D2 ) là A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. Lời giải. p x Xét hàm số y = 9 − 3 |x| + √ xác định khi: 2−1 9x  1 ( ï ã Å ò 0 −3≤x<− 3  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 235/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ √ x+2 xác định khi: x |x| + 4(  −2≤x≤0 ( "   − x2 + 4 6= 0 x+2≥0 −20 x |x| + 4 6= 0 x > 0  Hàm số y = x2 + 4 6= 0 ⇒ A = Z ∩ (D1 ∩ D2 ) = {−1; 1; 2; 3}. Vậy tập A gồm 4 phần tử.  Chọn đáp án A Câu 170. Cho hàm số f (x) = Giá trị a + b =? A. 2. √ x + 2m − 1 + … 4 − 2m − B. 3. x xác định với mọi x ∈ [0; 2] khi m ∈ [a; b]. 2 C. 4. D. 5. Lời giải. ( … x ≥ 1 − 2m x Hàm số f (x) = x + 2m − 1 + 4 − 2m − xác định khi 2 x ≤ 8 − 4m. ï ò 3 1 3 1 Hàm số xác định trên [0; 2] nên 1 − 2m ≤ 0 < 2 ≤ 8 − 4m ⇔ ≤ m ≤ ⇒ m ∈ ; . 2 2 2 2 Do đó a + b = 2. √  Chọn đáp án A Câu 171. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số sau có tập xác định là R 2018x + 2019 y=p . (m − 1) x2 + 2 (m − 1) x + 4 A. 2. Lời giải. B. 3. C. 4. D. 5. Hàm số có tập xác định là R⇔ f (x) = (m − 1) x2 + 2 (m − 1) x + 4 > 0 với mọi x ∈ R. Với m = 1, ta có f (x) = 4 > 0 với mọi x ∈ ( R. Do đó m = 1 thỏa mãn. ( m>1 m>1 Với m 6= 1, yêu cầu bài toán thỏa mãn khi ⇔ (m − 1)2 − 4 (m − 1) < 0 1 < m < 5. Do đó 1 ≤ m < 5. Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.  p Câu 172. Cho hàm số y = (m + 1) x + 2m + 3 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của Chọn đáp án C tham số m để hàm số đã cho xác định trên [−3; −1]. A. 2. Lời giải. B. 3. C. 1. D. Vô số. Hàm số xác định trên [−3; −1] ⇔ f (x) = (m + 1) x + 2m + 3 ≥ 0 với mọi x ∈ [−3; −1]. Nhận xét: Đồ thị hàm số y = f (x) trên đoạn [−3; −1] là đoạn thẳng AB với A (−3; −m) và B (−1; m + 2). Do đó f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ [−3; −1] khi và chỉ khi đoạn AB không có điểm nào nằm phía dưới trục hoành ( −m≥0 ⇔ ⇔ −2 ≤ m ≤ 0. m+2≥0  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 236/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Vậy có 3 giá trị nguyên của m là −2; −1; 0.  Chọn đáp án B Câu 173. Tìm m để hàm số y = A. m ≤ −1. Lời giải. √ √ x − m+ 2x − m − 1 xác định với mọi x thuộc khoảng (0; +∞). B. −2 ≤ m ≤ 2. C. m ≤ 0. D. m ≤ 1.  x ≥ m Hàm số xác định khi ⇔ (∗) x ≥ m + 1 . 2x − m − 1 ≥ 0 2 m+1 Trường hợp 1: Nếu m ≥ ⇔ m ≥ 1 thì (∗) ⇔ x ≥ m. 2 Khi đó tập xác định của hàm số là D = [m; +∞). ( x−m≥0 Yêu cầu bài toán ⇔ (0; +∞) ⊆ [m; +∞) ⇔ m ≤ 0: không thỏa mãn m ≥ 1. m+1 m+1 Trường hợp 2: Nếu m ≤ ⇔ m ≤ 1 thì (∗) ⇔ x ≥ . 2 2 ï ã m+1 Khi đó tập xác định của hàm số là D = ; +∞ . 2ã ï m+1 m+1 Yêu cầu bài toán ⇔ (0; +∞) ⊆ ; +∞ ⇔ ≤ 0 ⇔ m ≤ −1: thỏa mãn điều kiện m ≤ 1. 2 2 Vậy m ≤ −1 thỏa yêu cầu bài toán.  √ x−2 2 x − 2m + 3 +√ Câu 174. Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y = xác 3 (x − m) −x + m + 5 định trên khoảng ï ò (0; 1). 3 A. m ∈ 1; . B. m ∈ [−3; 0]. 2 ò ï 3 C. m ∈ [−3; 0] ∪ [0; 1]. D. m ∈ [−4; 0] ∪ 1; . 2 Lời giải. √ 2 x − 2m + 3 x−2 Gọi D là tập xác định của hàm số y = +√ . 3 (x − m) −x + m + 5 Khi đó     x − 2m + 3 ≥ 0 x ≥ 2m − 3     x ∈ D ⇔ x − m 6 =0 ⇔ x 6= m       −x+m+5>0 x 0 x < 2m + 5.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 238/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ √ x − 4m + 3 3x − 1 xác định trên khoảng (0; 1) ⇔ (0; 1) ⊆ D. Hàm số y = +√ x − 2m 5 + 2m − x  3    m≤    4m − 3 ≤ 0   4   −2 ≤ m ≤ 0 ⇔ 2m ∈ / (0; 1) ⇔ m ≤ 0 hay m ≥ 1 ⇔  1 3   ≤ m ≤ .   2   2 4  2m + 5 ≥ 1  m ≥ −2  Chọn đáp án A Câu 178. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = f (x) xác định trên √ 1 (1; 2) ∪ [4; +∞), biết y = f (x) = x + m − . 2x − m + 1 A. 6. B. 7. C. 8. D. 9. Lời giải. Điều kiện xác định của hàm số là    −m≤1   m ≥ −1   (    m − 1 " x ≥ −m x+m≥0 ⇔ ⇔ m≤3 m − 1 ⇔  2 ≤ 1   ⇔ m ∈ [−1; 3] ∪ [5; 9). 2x − m + 1 6= 0   x 6=    2  2≤ m−1 <4 5≤m<9 2 Do m là các số nguyên dương nên m ∈ {1; 2; 3; 5; 6; 7; 8}.  p 2 2 Câu 179. Gọi S là tậpÅtất cả ã các giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số y = −m x + 2|m|x + 3 1 1 xác định trên khoảng . Khi đó số các phần tử của S là ; 3 2 A. 0. B. 4. C. 8. D. 9. Chọn đáp án B Lời giải. Ta có −m2 x2 + 2|m|x + 3 ≥ 0 ⇔ −(|m|x − 1)2 + 4 ≥ 0 ⇔ |(|m|x − 1)| ≤ 2 ⇔ −2 ≤ |m|x − 1 ≤ 2 ⇔ −1 ≤ |m|x ≤ 3. Nhận thấy nếu m = 0 thì luôn thỏa mãn. 1 3 Nếu m 6= 0, ta có − ≤x≤ . |m| Å |m| ã Å ã ï ò 1 2 1 2 1 3 −1 Để hàm số xác định trên ; ⇔ ; ⊂ − ; . Ta có < 0, ∀m 6= 0 nên 3 3 3 3 |m| |m| |m|  |m| ≤ 9 2 3 2 ≤ ⇔ m 6= 0. 3 |m| Vậy m ∈ {−4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4}. Do đó, số phần tử của S là 8.  Chọn đáp án C  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 239/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Câu 180. Cho hàm số f (x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m để hàm số 1 có tập xác định là R. y=p f (x) − 2m + 2 y −1 O 1 3 x −3 −4 A. m = −2. B. m = −1. C. m = −4. D. m = 0. Lời giải. 1 Hàm số y = p có tập xác định là R khi và chỉ khi f (x) − 2m + 2 f (x) − 2m + 2 > 0, ∀x ∈ R ⇔ 2m − 2 < min f (x). Từ đồ thị hàm số, ta có min f (x) = −4. Suy ra 2m − 2 < −4 ⇔ m < −1. Vậy giá trị nguyên lớn nhất của m là m = −2.  √ √ Câu 181. Tìm số giá trị nguyên của tham số m ∈ [−2018; 2019] để hàm số y = x − m+ 2x − m − 1 Chọn đáp án A xác định với mọi x ∈ (0; +∞). A. 4038. B. 2018. C. 2019. D. 2020. (Đinh Thị Duy Phương ) Lời giải.  ï ã x ≥ m m+1 Điều kiện xác định ⇔ x ∈ [m; +∞)∩ ; +∞ . Hàm số xác định với mọi x ∈ (0; +∞) x ≥ m + 1 2 2  m+1  m <  2  m+1   ≤0  2 ⇔ ⇔ m ≤ −1.  m + 1   ≤m  2  m≤0 Vậy có 2018 giá trị nguyên của m cần tìm.  Chọn đáp án B  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 240/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Câu 182. Cho hàm số y = 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ p √ x4 − x2 + 1 − mx 2x4 + 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có tập ï xác ò định là tập số thực ï R. ò 1 1 1 A. m ∈ 0; . B. m ∈ − ; . 2 4 4 Lời giải. ï ò 1 1 C. m ∈ − ; . 2 2 D. m ∈ [−1; 1]. Hàm số đã cho có tập xác định là R √ ⇔ x4 − x2 + 1 + mx 2x4 + 2 ≥ 0, ∀x ∈ R Ä√ ä2 √ √ √ ⇔ 2 x4 + 1 + 2m( 2x) x4 + 1 − ( 2x)2 ≥ 0, ∀x ∈ R Ç √ å2 √ 2x 2x ⇔ 2 + 2m √ − √ ≥ 0, ∀x ∈ R x4 + 1 x4 + 1 å2 Ç √ √ 2x 2x √ − 2m √ − 2 ≤ 0, ∀x ∈ R. (1) ⇔ 4 4 x +1 x +1 √ √ 2x | 2x| 2x2 Đặt t = √ thì |t| = √ = √ ≤ 1, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2 = 1. x4 + 1 x4 + 1 x4 + 1 Khi đó, phương trình (1) trở thành t2 − 2mt − 2 ≤ 0, ∀t ∈ [−1; 1]. (2) 2 Xét hàm số f (t) = t − 2mt − 2. Đây là hàm số bậc hai có hệ số a > 1 nên ( ( f (−1) ≤ 0 2m − 1 ≤ 0 1 1 (2) ⇔ ⇔ ⇔− ≤m≤ . 2 2 f (1) ≤ 0 2m + 1 ≥ 0  Chọn đáp án B Câu 183. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trên đoạn [−2018; 2018] để hàm số y = √ x m−x+2− √ xác định trên [0; 1)? −x + 1 − 2m A. 2018. B. 2019. C. 4036. D. 4037. Lời giải. ( x≥2−m Điều kiện xác định ⇔ x ∈ (−∞; 1 − 2m) ∩ [m − 2; +∞). x < 1 − 2m     m<1 m − 2 < 1 − 2m     ⇔ m ≤ 2 ⇔ m ≤ 0. Hàm số xác định trên [0; 1) ⇔ m − 2 ≤ 0       1 − 2m ≥ 1 m≤0 Vậy có 2019 giá trị của m thỏa yêu cầu đề bài.  Chọn đáp án B Câu 184. Tìm số giá trị nguyên của tham số k để hàm số y = √ 2x − 3k + 4 + x−k xác định x+k−1 trên khoảng (0; +∞). A. 1. B. 2. Lời giải. ( 2x − 3k + 4 ≥ 0 Điều kiện . x + k − 1 6= 0 C. 3. D. 4.  ï ò −k+1≤0 4 Hàm số xác định trên (0; +∞) ⇔ 3k − 4 ⇔ k ∈ 1; .  3 ≤0 2  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 241/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Chọn đáp án A 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ  √ 3x + 1 + x − 1 đi qua điểm nào dưới đây? x−2 B. N (−2; 1). C. P (0; −1). Câu 185. Đồ thị hàm số y = A. M (1; −2). Lời giải. D. Q(1; 2). Do y(1) = −2 ⇒ Điểm M (1; −2) thuộc đồ thị hàm số đã cho. Chọn đáp án A  Câu 186. Điểm M (1; −1) thuộc đồ thị hàm số nào dưới đây? √ x 2x − 1 . C. y = 5 − x − x. . D. y = A. y = x3 − 3x + 2. B. y = x−2 x+1 Lời giải. 2x − 1 2x − 1 Xét hàm số y = có y(1) = −1 ⇒ Điểm M (1; −1) thuộc đồ thị hàm số y = x−2 x−2 Chọn đáp án B  Câu 187. Điểm A(−1; 2) không thuộc đồ thị hàm số nào dưới đây? A. y = x4 + 1. B. y = |x| + 1. C. y = −x4 + x + 4. D. y = x4 + |x| − 2. Lời giải. Xét hàm số y = x4 + |x| − 2 có y(−1) = 0 ⇒ Điểm A(−1; 2) không thuộc đồ thị hàm số y = x4 + |x| − 2.  Chọn đáp án D Câu 188. Điểm A(−1; −2) thuộc đồ thị hàm số nào sau đây? x−1 A. y = . B. y = x4 − 1. 2x + 3 x3 − 1 C. y = 2 . D. y = x3 + 3x2 − 4x − 6. x −2 Lời giải. x−1 x−1 có y(−1) = −2 ⇒ Điểm A(−1; −2) thuộc đồ thị hàm số y = . Xét hàm số y = 2x + 3 2x + 3 Chọn đáp án A  Câu 189. Cho hàm số y = x − |x|. Trên đồ thị của hàm số lấy điểm A có hoành độ là −2. Tọa độ của điểm A là A. A(−2; 4). B. A(−2; −4). C. A(−2; 0). D. A(−2; 2). Lời giải. Ta có y(−2) = −2 − | − 2| = −4 ⇒ A(−2; −4).  Chọn đáp án B Câu 190. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = −x4 + (2m − 1)x + 2 đi qua điểm A(1; 0)? 1 A. m = 1. B. m = 0. C. m > 0. D. m = . 2 Lời giải. Điểm A(1; 0) thuộc đồ thị hàm số y = −x4 + (2m − 1)x + 2 nếu 0 = −(1)4 + (2m − 1) · (1) + 2 ⇔ m = 0  Chọn đáp án B  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 242/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Câu 191. Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) trong hình bên. Tính y 3 f (3). A. f (3) = 0. B. f (3) = 3. 2 C. f (3) = 2. 1 x D. f (3) = 1 . −2 −1 O 1 2 3 4 Lời giải. Ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm (3; 2) nên f (3) = 2.  Chọn đáp án C Câu 192. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y = x4 + x3 − 2×2 + 1? A. M (−2; 1). Lời giải. B. N (1; 6). C. P (−1; 1). D. Q(0; −1). Điểm M (−2; 1) thuộc đồ thị hàm số vì (−2)4 + (−2)3 − 2 · (−2)2 + 1 = 1.  Chọn đáp án A Câu 193. Cho hàm số y = f (x) = | − 5x|. Khẳng định nào sau đây là sai? A. f (−1) = 5. B. f (2) = 10. C. f (−2) = 10. Å ã 1 D. f = −1. 5 Lời giải. Å ã Å ã 1 1 Ta có f = 1 nên f = −1 là sai. 5 5 Chọn đáp án D  Câu 194. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y = 2|x − 1| + 3|x| − 2? A. M (2; 6). B. N (1; −1). C. P (−2; −10). D. Q(0; −4). Lời giải. Ta thay tọa độ các điểm M, N, P, Q vào y = 2|x − 1| + 3|x| − 2 chỉ thấy tọa độ điểm M (2; 6) thỏa mãn.  Chọn đáp án A Câu 195. Cho hàm số f (x) = A. f (3) = 7. ( x+1 với x ≥ 2 x2 − 2 vớix < 2 B. f (3) = 1. . Khi đó giá trị f (3) là C. f (3) = 1. D. f (3) = 4. Lời giải. Vì 3 ≥ 2 nên f (3) = 3 + 1 = 4.  Chọn đáp án D   − 2x + 1 khi x 6 −3 Câu 196. Cho hàm số y = x + 7 . Biết f (x0 ) = 5 thì x0 là  khi x > −3 2 A. −2. B. 3. C. 0. D. 1. Lời giải. TH1. x0 6 −3: Với f (x0 ) = 5 ⇔ −2×0 + 1 = 5 ⇔ x0 = −2 (loại). x0 + 7 TH2. x0 > −3: Với f (x0 ) = 5 ⇔ = 5 ⇔ x0 = 3 (nhận). 2  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 243/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Chọn đáp án B   2x + 3   khi x > 0  x + 1 . Ta có kết quả nào sau đây đúng? Câu 197. Cho hàm số f (x) = √ 3  2 + 3x   khi − 2 6 x < 0 x−2 √ 1 7 A. f (−1) = ; f (2) = . B. f (0) = 2; f (−3) = 7. 3 3 √ 11 C. f (−1): không xác định; f (−3) = − . D. f (−1) = 8; f (3) = 0. 24 Lời giải. √ 3 1 2.2 + 3 7 2−3 = ; f (2) = = . f (−1) = −1 − 2 3 2+1 3 Chọn đáp án A  Câu 198. Hàm số nào sau đây luôn đồng biến trên tập R? A. y = x2 . C. y = −x2 + 3x − 1. B. y = 2x + 1. D. y = 1 . x Lời giải. Hàm số y = 2x + 1 có hệ số a = 2 > 0 nên luôn đồng biến trên R.  Chọn đáp án B Câu 199. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên. Kết luận nào sau đây là sai? y 4 A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (3; 4). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 4). x O 1 3 4 Lời giải. Vì hàm số nghịch biến trên (1; 3) và (1; 3) ⊂ (1; 4) nên hàm số không thể đồng biến trên (1; 4).  Chọn đáp án D Câu 200. Cho hàm số f (x) và g(x) là hai hàm số đồng biến trên R. Phương án nào sau đây là đúng? A. Hàm số f (x) − g(x) là hàm số đồng biến trên R. B. Hàm số f (x).g(x) là hàm số nghịch biến trên R. C. Hàm số f (x) − g(x) là hàm số nghịch biến trên R. D. Hàm số −f (x) − g(x) là hàm số nghịch biến trên R. Lời giải. Vì hàm số f (x) và g(x) là hai hàm số đồng biến trên R nên hàm số f (x) + g(x) cũng đồng biến trên R. Suy ra hàm số − (f (x) + g(x)) nghịch biến trên R. Chọn đáp án D  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 244/2406  ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Câu 201. Phương án nào sau đây là đúng? A. Hàm số y = x2 − 2x + 3 đồng biến trên khoảng (−∞; 1) . B. Hàm số y = x2 − 2x + 3 nghịch biến trên khoảng (−∞; 2) . C. Hàm số y = x2 − 2x + 3 đồng biến trên khoảng (1; +∞) . D. Hàm số y = x2 − 2x + 3 nghịch biến trên khoảng (2; +∞) . Lời giải. Xét hàm số y = x2 − 2x + 3. Với mọi x1 , x2 thuộc (1; +∞) và x1 < x2 , ta có   f (x2 ) − f (x1 ) = x22 − 2x22 + 3 − x21 − 2x21 + 3 = (x2 − x1 )(x2 + x1 − 2) > 0, ∀x ∈ (1 + ∞). Vậy hàm số y = x2 − 2x + 3 đồng biến trên khoảng (1; +∞). Chọn đáp án C  Câu 202. Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới. Khẳng định nào dưới đây là đúng? y 1 2 x O −3 A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 3). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 3). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1). Lời giải. Từ hình vẽ ta có: Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) là khẳng định đúng.  Chọn đáp án B Câu 203. Cho hai hàm số y = f (x) và y = g(x) cùng đồng biến trên khoảng (a; b) cho trước. Xét tính đơn điệu của hàm số h(x) = f (x) + g(x) trên khoảng (a; b). A. Hàm số h(x) nghịch biến trên khoảng (a; b). B. Hàm số h(x) đồng biến trên khoảng (a; b). C. Hàm số h(x) không đổi trên khoảng (a; b). D. Không xác định được. Lời giải. Hai hàm số y = f (x) và y = g(x) cùng đồng biến trên khoảng (a; b) nên ∀x1 , x2 ∈ (a; b) và x1 < x2 thì f (x1 ) < f (x2 ) và g(x1 ) < g(x2 ). Suy ra f (x1 ) + g(x1 ) < f (x2 ) + g(x2 ) ⇔ h(x1 ) < h(x2 ). Do đó hàm số h(x) = f (x) + g(x) đồng biến trên khoảng (a; b).  Chọn đáp án B Câu 204. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng (−1; 0)? 1 A. y = x. B. y = . C. y = 1 − 2x. x  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 245/2406 D. y = x2 . ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Lời giải. Ta có hàm số y = x làm hàm số bậc nhất với hệ số a = 1 > 0 nên đồng biến trên R. Do đó y đồng biến trên (−1; 0).  Chọn đáp án A Câu 205. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x), mệnh đề nào sau đây sai? A. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (−∞; 0). B. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (0; +∞). y f (x) O 2 x C. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (2; +∞). D. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng (0; 2). −4 Lời giải. Dựa vào đồ thị ta có mệnh đề “ Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (0; +∞)” là mệnh đề sai. Chọn đáp án B  Câu 206. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số f (x) = (m − 1) x + m2 − 3 đồng biến trên R. B. m ≥ 1. A. m > 1. Lời giải. C. m < 1. D. m ≤ 1. Hàm số f (x) = (m − 1) x + m2 − 3 đồng biến trên R khi và chỉ khi a = m − 1 > 0 ⇔ m > 1.  Chọn đáp án A Câu 207. Khẳng định nào sau đây về hàm số y = x2 là khẳng định đúng? A. Hàm số đồng biến trên [0; +∞). B. Hàm số nghịch biến trên [0; +∞). C. Hàm số đồng biến trên R. D. Hàm số nghịch biến trên R. Lời giải. Å ã b Hàm số y = x có hệ số a = 1 > 0 nên hàm đồng biến trên − ; +∞ hay [0; +∞) (vì hàm số chỉ 2a bằng 0 tại một điểm là x = 0). 2  Chọn đáp án A Câu 208. Trong các hàm số sau, hàm số √ nào đồng biến trên khoảng (−3; 2) . 1− 3 √ x − 1. A. y = |x + 2|. B. y = C. y = −x2 − 6x + 10. D. y = x2 + 6x + 10. 2+ 2 Lời giải. Ta có hàm số y = x2 + 6x + 10 đồng biến trên miền (−3; +∞) nên đồng biến trên miền (−3; 2). Hàm số y = |x +√ 2| đồng biến trên trên miềm (−2; +∞). 1− 3 √ x − 1 nghịch biến trên R. Hàm số y = 2+ 2 3 Hàm số y = −x2 − 6x + 10 đồng biến trên miền (−∞; − ). 2 Chọn đáp án D  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 246/2406  ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Câu 209. Cho đồ thị hàm số y = f (x) như hình bên. Những giá trị x âm làm cho y giá trị của hàm số y = f (x) âm là 2 B. −3 ” < x < −2. − 3 < x < −2 D. . x>1 A. x < 0. C. −3 < x < 0. 1 O −3 −2 −1 1 x −1 Lời giải. " Giá trị của f (x) âm khi đồ thị nằm dưới trục hoành. Khi đó − 3 < x < −2 x > 1.  Chọn đáp án B Câu 210. Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) trong hình bên. Tìm tập hợp S gồm tất cả các giá trị nguyên của x để y −4 f (x) > 0. −3 −2 A. S = ∅. −1 O 1 2 3 x B. S = {−4, −3, 1, 2, 3}. C. S = {−2, −1, 0}. D. S = {−2, 1}. Lời giải. Giá trị của f (x) dương khi đồ thị nằm trên trục hoành. Khi đó x = −2, x = −1, x = 0. Chọn đáp án C 2x − 1 có bao nhiêu điểm có tọa độ là các số nguyên? Câu 211. Trên đồ thị hàm số y = x−1 A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải. Ta có y =  2x − 1 1 =2+ . x−1 x−1 ” Để y nguyên thì x − 1 phải là ước của 1 ⇔ x−1=1 x − 1 = −1 ” ⇔ x=2 x = 0. Vậy có 2 điểm có tọa độ là các số nguyên.  Chọn đáp án C 3 x 11 + x2 + 3x − có đồ thị (C ). Giả sử M (a; b), N (c; d) là hai điểm 3 3 phân biệt, thuộc (C ) và đối xứng nhau qua trục tung. Tính b + d. 16 16 32 32 A. . B. − . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải. Theo giả thiết ta có M (a; b), khi đó N (−a; b) (điều kiện a 6= 0). Ta có:  ( a3 11   b = − + a2 + 3a − (1) M (a; b) ∈ (C ) 3 3 ⇔ 3  N (−a; b) ∈ (C ) b = a + a2 − 3a − 11 . (2) 3 3 Câu 212. Cho hàm số y = −  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 247/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Cộng (1) và (2) theo vế ta được b = a2 − 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ 11 , thay vào (2) ta được: 3 11 a3 11 a3 = + a2 − 3a − ⇔ − 3a = 0 3 3 3 “3 a = 0 (loại) ⇔a3 − 9a = 0 ⇔ a(a2 − 9) = 0 ⇔ a = ±3. a2 − 32 16 . Vậy b + d = 2b = . 3 3 Chọn đáp án C Khi đó b =  Câu 213. Cho hàm số y = x3 − 3×2 + m (m là tham số). Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ. A. m < 0. B. m = 1. C. m > 0. D. m ≥ 0. Lời giải. Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi và chỉ khi: ∃x0 6= 0 : −y(x0 ) = y(−x0 ) ⇔∃x0 6= 0 : −(x30 − 3×20 + m) = −x30 − 3×20 + m ⇔∃x0 6= 0 : m = 3×20 ⇔ m > 0.  Chọn đáp án C Câu 214. Cho hàm số bậc bốn f (x) = ax4 +bx3 +cx2 +dx+e (a 6= 0). Biết rằng các hệ số a, b, c, d, e là các số nguyên không âm và không lớn hơn 8 và f (9) = 32078. Tính tổng các hệ số S = a+b+c+d+e. A. S = 4. B. S = 10. C. S = 12. D. S = 14. Lời giải. Ta có f (9) = 6561a + 729b + 81c + 9d + e = 32078. . Suy ra 32078 − e = 6561a + 729b + 81c + 9d ⇒ (32078 − e) .. 9. Mà e ∈ N, 0 ≤ e ≤ 8 nên suy ra e = 2. Vậy ta có 6561a + 729b + 81c + 9d = 32076 ⇔ 729a + 81b + 9c + d = 3564. . ⇒ d = 3564 − (729a + 81b + 9c + d) .. 9. Mà d ∈ N, 0 ≤ d ≤ 8 nên suy ra d = 0. . Từ đó ta có 729a + 81b + 9c = 3564 ⇒ 81a + 9b + c = 396 ⇒ c = 396 − (81a + 9b) .. 9. mà c ∈ N, 0 ≤ c ≤ 8 nên c = 0. Suy ra 81a + 9b = 396 ⇒ 9a + b = 44 ⇒ 9a = 44 − b. Vì b ∈ N, 0 ≤ b ≤ 8 nên suy ra 36 ≤ 9a ≤ 44 ⇒ a = 4, b = 8. Vậy S = 14. Chọn đáp án D  √ Câu 215. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx2 − 3mx + 3m − 2 có tập xác định là R. 4 A. m > . 3 Lời giải. B. m > 0. 8 C. m ≥ . 3 D. m ∈ R. Yêu cầu bài toán tương đương Å ã 3 2 3 mx − 3mx + 3m − 2 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ m x − + m − 2 ≥ 0, ∀x ∈ R (1). 2 4 2  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 248/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ TH1. m ≤ 0, thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn. TH2. m > 0, khi đó ã2 − 3 m + 2 Å 3 8 3 ≥ 4 , ∀x ∈ R ⇔ − m + 2 ≤ 0 ⇔ m ≥ . (1) ⇔ x − 2 m 4 3 Chọn đáp án C √ Câu 216. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = |x2  2+ x−2 có tập xác − 2mx| + |x2 − 3x + 2m| định là [2; +∞). A. m ∈ R. B. m ∈ R {0}. C. m ∈ R {1}. D. m ∈ R {0; 1}. Lời giải. √ √ 2+ x−2 Ta có x − 2 xác định khi x ∈ [2; +∞). Do đó, hàm số y = 2 có tập xác |x − 2mx| + |x2 − 3x + 2m| định là khoảng [2; +∞) khi mẫu số vô nghiệm có nghiệm x 6∈ ( [2; +∞). ( hoặc 2 x − 2mx = 0 x(x − 2m) = 0 (1) Khi đó |x2 − 2mx| + |x2 − 3x + 2m| = 0 ⇔ ⇔ . x2 − 3x + 2m = 0 x2 − 3x + 2m = 0 (2) ” x=0 Ta có (1) ⇔ x = 2m. √ 2+ x−2 có tập xác định là TH1. Với x = 0 thay vào (2) được m = 0. Khi m = 0, hàm số y = 2 |x | + |x2 − 3x| [2; +∞) (thỏa yêu cầu). ” m=0 TH2. Với x = 2m thay vào (2) ta được 4m2 − 6m + 2m = 0 ⇔ m = 1. √ 2+ x−2 Khi m = 1, hàm số y = 2 có tập xác định là (2; +∞) (không thỏa yêu cầu). |x − 2x| + |x2 − 3x + 2| Tóm lại m ∈ R {1}.  Chọn đáp án C Câu 217. Cho hàm số y = x2 x − 2m . Tìm m để hàm số xác định trên D = [−2; 5). − (2m + 1)x + m2 + m A. m < −2 hoặc m ≥ 4. B. m < −3 hoặc m ≥ 5. C. m < −3 hoặc m ≥ 4. Lời giải. D. m < −2 hoặc m ≥ 5. Viết lại hàm số dưới dạng y = x − 2m . Từ đó suy ra, hàm số xác định với mọi x 6= m và (x − m)(x − m − 1) x 6= m + 1. Vì thế, để hàm số xác định trên D = [−2; 5) thì m ∈ / D và m + 1 ∈ / D. Muốn vậy ta cần có:   m < −2        m≥5    m + 1 < −2       m+1≥5  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em   m < −2        m≥5 ⇔    m < −3       m ≥ 4. Trang 249/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ ) −2 [ 5 ) −3 [ 4 Vậy các giá trị cần tìm của m là m < −3 hoặc m ≥ 5.  Chọn đáp án B  5   √ với x > 1     x1 − m với x = 1 Câu 218. Cho hàm số y =  m+2  2  x    2 với x < 1. x − (2m + 15)x + m2 + 15m + 54 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số trên xác định với mọi x ∈ R? A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. Lời giải. 5 + Với x > 1 thì y = √ có điều kiện xác định lúc này là x − m > 0 ⇔ x > m. x−m Để hàm số xác định với mọi x > 1 ⇔ m ≤ 1. 1 + Với x = 1 thì y = có điều kiện xác định lúc này là m 6= −2. m+2 Do đó để hàm số xác định tại x = 1 ⇔ m 6= −2. (1) (2) ( x 6= m + 6 x2 + Với x < 1 thì y = 2 có điều kiện xác định lúc này là . 2 x − (2m + 15)x + m + 15m + 54 x 6= m + 9 Để hàm số xác định với mọi x < 1 ⇔ m + 6 ≥ 1 ⇔ m ≥ −5.  (3) −5 ≤ m ≤ 1 Từ (1), (2), (3) suy ra hàm số trên xác định với mọi x ∈ R ⇔ m 6= −2. Vậy có 6 giá trị nguyên của m để hàm số đã cho xác định với mọi x ∈ R. Chọn đáp án C  Câu 219. Có bao nhiêu giá trị nguyên m ∈ [−10; 10] để hàm số sau xác định với mọi x ∈ [2; 5]?  6   p    |x − 2m| 1 y=   m−2    √x + 2m A. 11. B. 12. với x<3 với x=3 với x > 3. C. 18. D. 20. Lời giải. 6 + Với x < 3 thì y = p có điều kiện xác định lúc này là x − 2m 6= 0 ⇔ x 6= 2m. |x − 2m|  " m<1 2m < 2 Để hàm số xác định với mọi x ∈ [2; 3) thì ⇔ 3 2m ≥ 3 m≥ . 2 1 + Với x = 3 thì y = có điều kiện xác định lúc này là m 6= 2. m−2  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 250/2406 (1) ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Do đó để hàm số xác định tại x = 3 thì m 6= 2. √ + Với x > 3 thì y = x + 2m có điều kiện xác định lúc này là x + 2m ≥ 0 ⇔ x ≥ −2m. −3 . Để hàm số xác định với mọi x ∈ (3; 5] thì −2m ≤ 3 ⇔ m ≥ 2 (2) (3)   1 3 2  − 3 2 −3 ≤m<1  2  Từ (1), (2), (3) suy ra hàm số đã cho xác định với mọi x ∈ [2; 5] khi và chỉ khi  m ≥ 3  2 m 6= 2. Vậy có 12 giá trị nguyên của m ∈ [−10; 10] để hàm số đã cho xác định với mọi x ∈ [2; 5]. Chọn đáp án B   2 Câu 220. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x +x+m−5 đồng biến trên x+3 khoảng (−3; +∞). A. m ∈ (−∞; −1]. B. m ∈ (−1; +∞). C. m ∈ (1; +∞). D. m 6= −1. Lời giải. x2 + x + m − 5 m+1 =x−2+ . x+3 x+3 Xét x1 ; x2 ∈ (−3; +∞) với x1 < x2 , ta có: Ta có y = Å y2 − y1 > 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ã 1 1 x2 − x1 + (m + 1) − >0 x2 + 3 x1 + 3 x1 − x 2 x2 − x1 + (m + 1) >0 (x1 + 3)(x2 + 3) ï ò m+1 (x2 − x1 ) 1 − >0 (x1 + 3)(x2 + 3) (x1 + 3)(x2 + 3) − m − 1 >0 (x1 + 3)(x2 + 3) (x1 + 3)(x2 + 3) > m + 1. Để y2 − y1 > 0 với mọi x1 , x2 ∈ (−3; +∞) thì m + 1 ≤ 0 ⇔ m ≤ −1. Chọn đáp án A Câu 221. Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = A. R.  √ 2018 B. (0; +∞). x . x + 2018 C. (−∞; 0). √ 2018 D. (−1; +∞). Lời giải. Tập xác định của hàm số là: D = [0; +∞).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 251/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Xét x1 , x2 ∈ D, x1 < x2 , ta có: 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ √ √ 2018 x x2 1 − 2018 >0 √ √ 2018 x + 2018 x + 2018 2 1 √ √ √ √ 2018 x2 ( 2018 x1 + 2018) − 2018 x1 ( 2018 x2 + 2018) > 0 √ √ 2018( 2018 x2 − 2018 x1 ) > 0 √ √ 2018 x2 > 2018 x1 2018 y2 − y1 > 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x2 > x1 . Do đó khoảng đồng biến của hàm số là (0; +∞).  Chọn đáp án B 4+x Câu 222. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y = xác định trên [0; 1). x − 2m + 1 1 1 1 A. m < hoặc m ≥ 1. B. m < . C. < m < 1. D. m ≥ 1. 2 2 2 Lời giải. 4+x 4+x Hàm số y = xác định khi và chỉ khi x 6= 2m − 1. Do đó, hàm số y = xác định x − 2m + 1 x − 2m + 1 trên [0; 1) khi và chỉ khi  " 1 m< 2m − 1 < 0 2 ⇔ 2m − 1 ≥ 1 m ≥ 1.  p Câu 223. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f (x) = 1 − |2x2 + mx + m + 15| xác định Chọn đáp án A trên đoạn [1; 3]. A. m = −8. B. m = −6. C. m = −4. D. m = −2. Lời giải. Hàm số có nghĩa khi và chỉ khi 1 − |2x2 + mx + m + 15| ≥ 0 ⇔ |2x2 + mx + m + 15| ≤ 1. (∗) Bài toán trở thành tìm điều kiện cần và đủ để (*) có nghiệm đúng với mọi x ∈ [1, 3]. Điều kiện cần: (∗) đúng với mọi x ∈ [1; 3], suy ra (*) đúng với x = 1, x = 2. Khi đó, ta có  (  − 9 ≤ m ≤ −8 |2m + 17| ≤ 1 ⇒ m = −8. ⇔  − 8 ≤ m ≤ − 22 |3m + 23| ≤ 1 3 2 Điều kiện đủ: Với m = −8, (∗) trở thành |2x − 8x + 7| ≤ 1 ⇒ 1 ≤ x ≤ 3. Vậy m = −8 thỏa yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án A Câu 224. Cho hàm số y = √ x−a+ √ 2x − a − 1 với a là tham số. Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số đã cho xác định trên khoảng (0; +∞). A. a ≤ −1. B. a ≥ 1. Lời giải. C. 0 ≤ a ≤ 1. D. −1 ≤ a ≤ 1. √ 2x − a − 1.  x ≥ a √ √ Hàm số y = x − a + 2x − a − 1 xác định khi và chỉ khi x ≥ a + 1 . 2 Gọi D là tập xác định của hàm số y =  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em √ x−a+ Trang 252/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ (1) Nếu a ≥ 1 (∗) thì D = [a; +∞). Do đó, hàm số đã cho xác định trên khoảng (0; +∞) khi và chỉ khi a ≤ 0. Kết hợp (∗), không tồn tại ã số a thỏa yêu cầu bài toán. ï giá trị tham a+1 ; +∞ . Do đó, hàm số đã cho xác định trên khoảng (0; +∞) khi (2) Nếu a ≤ 1 (∗∗) thì D = 2 a+1 và chỉ khi ≤ 0 ⇔ a ≤ −1. 2 Kết hợp với (∗∗), ta có a ≤ −1 thỏa yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án A Câu 225. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y = −x2 + (m − 1)x + 2 nghịch biến trên khoảng (1; 2). A. m < 3. B. 1 ≤ m ≤ 2. C. m ≤ 3. D. m < 1 hoặc m > 2. Lời giải. f (x1 ) − f (x2 ) = (m − 1) − (x1 + x2 ). x1 − x2 Để hàm số y = −x2 + (m − 1)x + 2 nghịch biến trên khoảng (1; 2) thì (m − 1) − (x1 + x2 ) < 0 với Với mọi x1 , x2 ∈ (1; 2), x1 6= x2 , ta có mọi x1 , x2 ∈ (1; 2). Vì x1 , x2 ∈ (1; 2) nên 2 < x1 + x2 < 4. Ta suy ra (m − 1) − (x1 + x2 ) < m − 3. Do đó, m − 3 ≤ 0 ⇔ m ≤ 3 thỏa yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án C Câu 226. Cho hàm số y = f (x) có tập xác định D, gọi (C) là đồ thị hàm số. Trên trục hoành lấy điểm A có hoành độ là a, qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với trục Ox. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Đường thẳng d cắt (C) nếu a = 0. B. Nếu a ∈ D thì đường thẳng d cắt (C) tại ít nhất hai điểm. C. Nếu a ∈ D thì đường thẳng d cắt (C) tại duy nhất một điểm. D. Nếu a ∈ / D thì đường thẳng d vẫn có thể cắt đồ thị (C). Lời giải. Với mỗi giá trị x ∈ D thì có duy nhất một giá trị f (x). Nếu a ∈ D thì đường thẳng d cắt (C) tại duy nhất một điểm. Chọn đáp án C √ x − 2m + 3 3x − 1 +√ xác định trên khoảng (0; 1). Câu 227. Tìm m để hàm số y = x − m −x + m + 5 ï ò 3 A. m ∈ 1; . B. m ∈ [−3; 0]. 2 ï ò 3 C. m ∈ [−3; 0] ∪ [0; 1]. D. m ∈ [−4; 0] ∪ 1; . 2 Lời giải. √ x − 2m + 3 3x − 1 +√ . Gọi D là tập xác định của hàm số y = x−m −x + m + 5     x − 2m + 3 ≥ 0 x ≥ 2m − 3     x ∈ D ⇔ x − m 6= 0 ⇔ x 6= m       −x+m+5>0 x < m + 5.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 253/2406  ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ √ x − 2m + 3 3x − 1 xác định trên khoảng (0; 1) Hàm số y = +√ x−m −x + m + 5  3  m≤     2   2m − 3 ≤ 0   ï ò   3 m ≥ −4 ⇔ (0; 1) ⊂ D ⇔ m + 5 ≥ 1 ⇔ " ⇔ m ∈ [−4; 0] ∪ 1; .   2     m≥1  m∈ / (0; 1)    m≤0  Chọn đáp án D x+m+2 Câu 228. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số y = xác định trên (−1; 2). x−m ( " " m ≤ −1 m ≤ −1 m < −1 A. . B. . C. . D. −1 < m < 2. m≥2 m≥2 m>2 Lời giải. x+m+2 xác định khi x 6= m. Hàm số y = x−m ” m ≤ −1 x+m+2 Để hàm số y = xác định trên (−1; 2) khi và chỉ khi x−m m ≥ 2.  Chọn đáp án B Câu 229. Hàm số y = |2x + 2017| − |2x − 2017| đồng biến trên khoảng có độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu? A. 2. B. 2017. C. 4034. D. 2017 . 2 Lời giải. Ta có  2017   (2x + 2017) − (2x − 2017) với x ≥   2   2017 2017 y = |2x + 2017| − |2x − 2017| = (2x + 2017) + (2x − 2017) với − ≤x<  2 2    2017  −(2x + 2017) + (2x − 2017) với x < − 2  2017   4034 với x ≥   2   2017 2017 = 4x với − ≤x<  2 2    2017  −4034 với x < − 2 Å ã 2017 2017 Do hàm số y = 4x đồng biến trên khoảng − ; , nên hàm số y = |2x + 2017| − |2x − 2017| 2 2 ã Å 2017 2017 đồng biến trên khoảng − ; có độ dài bằng 2017. 2 2 Chọn đáp án B  x2 − 3x + m − 2 Câu 230. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = đồng biến trên x+1 khoảng (−1; +∞).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 254/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A. m ∈ (−∞; −2]. 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ B. m ∈ (2; +∞). C. m ∈ (−1; +∞). D. m 6= −2. Lời giải. m+2 x2 − 3x + m − 2 =x−4+ . Xét x1 , x2 ∈ (−1; +∞) và x1 < x2 , ta có x+1 x+1 Å ã 1 1 y2 − y1 > 0 ⇔ x2 − x1 + (m + 2) − >0 x2 + 1 x1 + 1 Å ã m+2 (x1 + 1)(x2 + 1) − m − 2 ⇔ (x2 − x1 ) 1 − >0⇔ >0 (x1 + 1)(x2 + 1) (x1 + 1)(x2 + 1) ⇔ (x1 + 1)(x2 + 1) > m + 2. Ta có y = Để y2 − y1 > 0 với mọi x1 , x2 ∈ (−1; +∞) thì m + 2 ≤ 0 ⇔ m ≤ −2.  Chọn đáp án A Câu 231. Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = A. (0; +∞). B. (−1; +∞). |x|2017 . |x|2017 + 1 C. (−∞; 1). D. (−∞; +∞). Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = R. Xét x1 , x2 ∈ D, x1 < x2 (1), ta có y1 = |x1 |2017 và y2 = |x1 |2017 + 1 |x2 |2017 . |x2 |2017 + 1 Khi đó, |x1 |2017 |x2 |2017 − |x1 |2017 |x2 |2017 − > 0 ⇔ >0 |x2 |2017 + 1 |x1 |2017 + 1 (|x1 |2017 + 1)(|x2 |2017 + 1) ⇔ |x2 |2017 − |x1 |2017 > 0 ⇔ |x2 | > |x1 | (2). y2 − y1 > 0 ⇔ Từ (1) và (2) ta được x2 > x1 > 0. Do đó, khoảng đồng biến của hàm số là (0; +∞).  Chọn đáp án A mx đồng biến trên (1; +∞). x−1 C. S = (0; +∞). D. S = (1; +∞). Câu 232. Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của m để hàm số y = A. S = (−∞; 0). B. S = (−∞; 1). Lời giải. Với 1 < x1 < x2 , ta có: y1 − y2 = m(x2 − x1 ) . Mà y1 − y2 < 0 ⇒ m < 0. (x1 − 1)(x2 − 1)  Chọn đáp án A Câu 233. Cho hàm số y = f (x) là hàm số chẵn trên R. Điểm M (−2; 4) thuộc đồ thị hàm số đã cho, hỏi điểm nào dưới đây cũng thuộc đồ thị hàm số? A. (−2; −4). Lời giải. B. (2; −4). C. (2; 4). D. (−2; 0). Ta có tính chất hàm chẵn f (−x) = f (x). Do M (−2; 4) thuộc đồ thị hàm số nên f (−2) = f (2) suy ra điểm (2; 4) đối xứng với M qua trục tung cũng thuộc đồ thị hàm số.  Chọn đáp án C Câu 234. Cho hàm số y = f (x) là hàm số lẻ trên R. Điểm N (1; −3) thuộc đồ thị hàm số đã cho, hỏi điểm nào dưới đây cũng thuộc đồ thị hàm số? A. (1; 0).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. (1; 3). C. (−1; −3). Trang 255/2406 D. (−1; 3). ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Lời giải. Ta có tính chất hàm lẻ f (−x) = −f (x). Do N (1; −3) thuộc đồ thị hàm số nên f (1) = −f (1) suy ra điểm (−1; 3) đối xứng với N qua gốc tọa độ O cũng thuộc đồ thị hàm số.  Chọn đáp án D Câu 235. Cho hàm số y = f (x) là hàm số lẻ trên R. Khẳng định nào dưới đây sai? A. f (−x) = −f (x) ∀x ∈ R. B. f (1) + f (−1) = 0. C. f (0) = 0. D. f (1) + f (−1) = 2f (1) = 2f (−1). Lời giải. Ta có hàm số y = f (x) là hàm số lẻ trên R suy ra f (−x) = −f (x) ⇒ f (−x) + f (x) = 0.  Chọn đáp án D Câu 236. Cho hàm số y = f (x) là hàm số chẵn trên R. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f (−x) = −f (x) ∀x ∈ R. B. f (2) + f (−2) = 2f (2) = 2f (−2). C. f (1) + f (−1) = 0. D. f (0) = 0. Lời giải. Ta hàm số y = f (x) là hàm số chẵn trên R suy ra f (−x) = f (x) ⇒ f (−x) + f (x) = 2f (x) = 2f (−x).  Chọn đáp án B Câu 237. Cho hàm số y = f (x) lẻ trên đoạn [−5; 5] và f (−4) = 7. Đặt P = f (−1) + f (1) + f (4). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. P = 7. Lời giải. B. P ∈ / {−7; 7}. C. P không tồn tại. D. P = −7. Ta có P = f (−1) + f (1) + f (4) = 0 − f (−4) = −7.  Chọn đáp án D Câu 238. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? √ A. y = x − 1. y x −2 B. y = x − 1. −1 O 1 2 −1 C. y = x3 . D. y = x4 − 2x2 − 1. −2 Lời giải. Nhìn hình thấy đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng nên hàm số là hàm chẵn. Trong các hàm số đang xét thì chỉ có hàm số y = x4 − 2x2 − 1 là hàm chẵn. Vậy chọn hàm số y = x4 − 2x2 − 1.  Chọn đáp án D Câu 239. Cho hàm số f (x) = (m2 + 3m − 4)x2019 + m2 − 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số f là hàm số chẵn trên R. A. m = 1. B. m = 4. C. m = −4. D. m = 1, m = −4. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 256/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Hàm số f (x) = (m2 + 3m − 4)x2019 + m2 − 7 là hàm số chẵn trên R khi và chỉ khi f (−x) = f (x), ∀x ∈ R hay   m2 + 3m − 4 x2019 + m2 − 7 = m2 + 3m − 4 (−x)2019 + m2 − 7, ∀x ∈ R  ⇔ m2 + 3m − 4 x = 0, ∀x ∈ R " m=1 ⇔ m2 + 3m − 4 = 0 ⇔ m = −4. Vậy m = 1, m = −4.  Chọn đáp án D Câu 240. Cho hàm số f (x) = (m2 + 3m − 4)x2017 + m2 − 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số f là hàm số lẻ trên R. √ A. m = 1. B. m = 7. √ √ C. m = − 7, m = 7. D. m = 1, m = −4. Lời giải. Hàm số f (x) = (m2 + 3m − 4)x2017 + m2 − 7 là hàm số lẻ trên R khi và chỉ khi f (−x) = −f (x), ∀x ∈ R hay   m2 + 3m − 4 (−x2017 ) + m2 − 7 = − m2 + 3m − 4 x2017 − m2 + 7, ∀x ∈ R " √ m = 7 √ ⇔ m2 − 7 = 0 ⇔ m = − 7.  Chọn đáp án C Câu 241. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số y = x3 + 3 (m2 − 1) x2 + 3x + m − 1 là hàm số lẻ. A. m = 1. B. m = −1. C. m = 0. D. m = 2. Lời giải. Hàm(số f (x) = x3 + 3 (m2 − 1) x2 + 3x + m − 1 là hàm số lẻ khi và chỉ khi f (−x) = −f (x), ∀x ∈ R m2 − 1 = 0 hay ⇔ m = 1. m−1=0  Chọn đáp án A x x − trên tập Z {0} (Biết rằng với a 6= 0, x là Câu 242. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số f (x) = x 1−2 2 1 −x số nguyên thì a = x ). a A. f (x) là hàm số chẵn. B. f (x) là hàm số lẻ. C. f (x) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ. D. f (x) vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ. Lời giải. Hàm số f (x) = x x − xác định trên D = Z {0}. Với mọi x ∈ D, ta có −x ∈ D và x 1−2 2 f (−x) =  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em −x −x − = −x 1−2 2 −x x −x2x x + = x + 1 2 2 −1 2 1− x 2 Trang 257/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ x2x x − x (1 − 2x ) x x = + + 1 − 2x 2 1 − 2x 2 x x x x = −x+ = − = f (x). 1 − 2x 2 1 − 2x 2 = Vậy f là hàm số chẵn trên D.  Chọn đáp án A Câu 243. Biết rằng điều kiện để hàm số f (x) = 3x2 + (m2 − 5m − 1) x + m = a hoặc m = b. Tính a3 + b3 . A. 110. B. 125. C. 130. √ x2 + 1 là hàm số chẵn là D. 140. Lời giải. Hàm số đã cho là hàm số chẵn khi và chỉ khi f (−x) = f (x), ∀x ∈ R hay m2 − 5m − 1 = 0. (1) Như vậy a và b là nghiệm của phương trình (1), do đó theo định lí Viet, ta có a + b = 5, ab = −1. Vì thế nên a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) = 125 + 15 = 140.  Chọn đáp án D Câu 244. Cho hàm số y = f (x) chẵn trên D và hàm số y = g(x) lẻ trên D. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f (x) · g(x) trên D. A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ. C. Hàm số không chẵn, không lẻ. D. Hàm số vừa chẵn vừa lẻ. Lời giải. - Gọi h(x) = f (x) · g(x). Ta có hàm số y = h(x) xác định trên D và x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Mặt khác ta có h(−x) = f (−x) · g(−x) = −f (x) · g(x), ∀x ∈ D. - Vậy hàm số y = f (x) · g(x) lẻ trên D.  Chọn đáp án B Câu 245. Cho hàm số y = f (x) chẵn trên D, hàm số y = g(x) lẻ trên D và cả hai hàm số này đều có tập giá trị là D. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? A. Hàm số y = f (g(x)) lẻ trên D. B. Hàm số y = g (f (x)) lẻ trên D. C. Hàm số y = f (g(x)) chẵn trên D. D. Hàm số y = g (f (x)) không chẵn, không lẻ trên D. Lời giải. Xét hàm số y = f (g(x)), có y(−x) = f (g(−x)) = f (−g(x)) = f (g(x)) , ∀x ∈ D. Vậy hàm số y = f (g(x)) là hàm số chẵn. Tương tự ta có y = g (f (x)) chẵn.  Chọn đáp án C Câu 246. Cho hàm số y = ( x+1 nếu x ≥ 0 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã mx + 1 nếu x < 0 cho là hàm số chẵn. A. m = 1. B. m = −1. C. m 6= −1. D. m < 0. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 258/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ + Điều kiện cần f (1) = f (−1) ⇔ 2 = −m + 1 ⇔ m = −1. + Với m = −1, thay vào hàm số ta được hàm chẵn. Vậy m = −1.  Chọn đáp án B   x−1 nếu x ≥ 1   Câu 247. Cho hàm số y = 0 nếu − 1 < x < 1.    mx + 1 nếu x ≤ −1 hàm số đã cho là hàm số lẻ. B. m = −1. A. m = 1. Lời giải. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để C. m 6= 1. D. m > 1. + Điều kiện cần f (2) = −f (−2) ⇔ 1 = −(−2m + 1) ⇔ m = 1. + Với m = 1, thay vào hàm số ta được hàm lẻ. Vậy m = 1.  Chọn đáp án A Câu 248. Biết rằng hàm số f là hàm số chẵn trên R và thỏa mãn f (xy) − f (x)f (y) = 3 [f (x + y) − 2xy − 1] , ∀x, y ∈ R. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. f (x) = x2 − f (0), ∀x ∈ R. B. f (x) = x2 + 2f (0), ∀x ∈ R. C. f (x) = x2 + f (0), ∀x ∈ R. D. f (x) = −x2 + f (0), ∀x ∈ R. Lời giải. Theo giả thiết hàm số f thỏa mãn: f (xy) − f (x)f (y) = 3 [f (x + y) − 2xy − 1] , ∀x, y ∈ R. Từ (1) thay x bởi Từ (1) thay x bởi x x và y bởi ta được 2 2 Å 2ã ï ò   x2 x 2 x −f f = 3 f (x) − − 1 , ∀x, y ∈ R. 4 2 2 x x và y bởi − ta được 2 2 Å 2ã ï ò x  x x x2 f − −f f − = 3 f (0) + − 1 , ∀x, y ∈ R. 4 2 2 2 Do f là hàm chẵn nên (3) viết lại Å 2ã ï ò   x x2 2 x f −f = 3 f (0) + − 1 , ∀x, y ∈ R. 4 2 2 Lấy (2) trừ (4) theo vế ta được: f (x) = x2 + f (0), ∀x ∈ R. Thử lại thấy thỏa mãn. Chọn đáp án C (1) (2) (3) (4)  Câu 249. Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x + y) = f (x) + f (y) ∀x, y ∈ R. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số y = f (x) là hàm số chẵn.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 259/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ B. Hàm số y = f (x) là hàm số lẻ. C. Hàm số y = f (x) là hàm số không chẵn, không lẻ. D. Đồ thị của hàm số y = f (x) nhận trục tung làm trục đối xứng. Lời giải. – Ta có f (0 + 0) = 2f (0) suy ra f (0) = 0. – Từ đó suy ra 0 = f (x − x) = f (x) + f (−x) ⇒ f (−x) = −f (x). – Ta lại có ∀x ∈ R thì −x ∈ R. Vậy hàm số y = f (x) là hàm số lẻ. Chọn đáp án B  Câu 250. Cho y = f (x) là một hàm số tùy ý xác định trên R. Hàm số ϕ(x) = f (x) − f (−x) thuộc 2 loại nào? A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ. C. Hàm số y = f (x) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ. D. Vừa là hàm chẵn, vừa là hàm lẻ. Lời giải. – Ta có ∀x ∈ R thì −x ∈ R và ϕ(−x) = f (−x) − f (x) f (x) − f (−x) =− = −ϕ(x). 2 2  Chọn đáp án B Câu 251. Cho hàm số f (x) xác định trên tập số thực R. Đặt F (x) = 1 [f (x) − f (−x)]. Khẳng định 2 nào sau đây là khẳng định đúng? A. F (x) là hàm số chẵn. C. F (x) là hàm số không chẵn, không lẻ. B. F (x) là hàm số lẻ. D. F (x) vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ. Lời giải. Hàm số F (x) có tập xác định là R. F (−x) = 1 [f (−x) − f (x)] = −F (x). Vậy F (x) là hàm số lẻ. 2  Chọn đáp án B Câu 252. Điểm nào dưới đây thuộc đồ thị hàm số y = 2|x − 1| + 3|x| − 2? A. (2; −6). B. (1; −1). C. (−2; −10). D. (2; 6). Lời giải. • Xét (2; −6), ta có −6 = 2|2 − 1| + 3|2| − 2 ⇔ −6 = 6 (vô lý). • Xét (1; −1), ta có −1 = 2|1 − 1| + 3|1| − 2 ⇔ −1 = 1 (vô lý). • Xét (−2; −10), ta có −10 = 2| − 2 − 1| + 3| − 2| − 2 ⇔ −10 = 10 (vô lý). • Xét (2; 6), ta có 6 = 2|2 − 1| + 3|2| − 2 ⇔ 6 = 6 (đúng). Chọn đáp án D  2  với x ∈ (−∞; 0)   x − 1 √ Câu 253. Cho hàm số y = f (x) = . Kết quả nào dưới đây đúng? x + 1 với x ∈ [0; 2]     2 x − 1 với x ∈ (2; 5] √ 2 2 A. f (4) = . B. f (4) = 15. C. f (4) = 5. D. f (4) = − . 3 3 Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 260/2406  ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Ta có f (4) = 42 − 1 = 15.  Chọn đáp án B Câu 254. Quy tắc nào sau đây không phải là một hàm số xác định trên D = {1; 2; 3; 4; 5}. x x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 A. C. f (x) 3 2 3 1 5 x 1 2 3 4 5 f (x) 1 2 3 4 5 B. D. f (x) 1 x 1 2 3 4 5 5 f (x) 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 Lời giải. Theo định nghĩa về khái niệm hàm số, hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là f (x). Chọn đáp án D  Câu 255. Gọi (G) là đồ thị của hàm số y = x3 + ax2 + bx + 1. Tìm giá trị của hai tham số a, b để đồ thị (G) đi qua hai điểm M (1; −3), N (−1; 5). A. a = 0, b = −5. B. a = −5, b = 0. C. a = 5, b = 0. D. a = 0, b = 5. Lời giải. Ta có đồ thị (G) qua M , N suy ra ( ( ( ( − 3 = 13 + a · 12 + b · 1 + 1 a + b = −5 a=0 M ∈ (G) ⇒ ⇔ ⇔ N ∈ (G) 5 = (−1)3 + a · (−1)2 + b · (−1) + 1 a−b=5 b = −5.  Chọn đáp án A Câu 256. Đường trong hình nào dưới đây không phải là đồ thị của một hàm số? y x O A. y B. y O x O y x O C. Lời giải. x D. Ta có tập hợp điểm có tọa độ (x; f (x)) với x ∈ D, được gọi là đồ thị của hàm số f . Trong trường hợp y x O Đồ thị là đường thẳng x = x0 . Chọn đáp án A √  7−x √ Câu 257. Tìm tập xác định D của hàm số y = . (3x + 1) 2x + 3 ß ™ Å ò ß ™ 1 3 3 1 A. D = R − ; − ; 7 . B. D = − ; 7 − . 3 2 2 3  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 261/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ ß ™ 1 3 C. D = R − ; − . 3 2 Lời giải.    x≤7    7−x≥0     1 Điều kiện xác định 3x + 1 6= 0 ⇔ x 6= − 3        2x + 3 > 0 x > − 3 . 2 Chọn đáp án B Å ã ß ™ 3 1 D. D = − ; +∞ − . 2 3  Câu 258. Cho điểm I(2; 5) nằm trên đồ thị hàm số y = f (x). Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y = −f (x + 4)? A. M (−2; 5). B. N (−2; −5). C. P (−2; 4). D. Q(−2; 4). Lời giải. • Đồ thị hàm số y = f (x + 4) được suy ra bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f (x) song song với trục Ox theo hướng từ phải sang trái 4 đơn vị, do đó điểm I(2; 5) biến thành điểm J(−2; 5). • Đồ thị hàm số y = −f (x + 4) được suy ra bằng cách lấy đối xứng đồ thị hàm số y = f (x + 4) qua trục Oy, do đó điểm J(−2; 5) biến thành điểm N (−2; −5). Chọn đáp án B √ √ Câu 259. Tập xác định của hàm số y = x − 3 − 1 − 2x làï ò 1 A. D = ∅. B. D = ; 3 . ò Å2 1 ∪ [3; +∞). C. D = R. D. D = −∞; 2 Lời giải.  ( x ≥ 3 x−3≥0 Điều kiện ⇔ ⇒ @x. x ≤ 1 1 − 2x ≥ 0 2 Do đó tập xác định của hàm số đã cho là D = ∅.   Chọn đáp án A Câu 260. Cho hàm số y = f (x) có tập xác định là [−3; 3] và đồ thị như hình vẽ 4 y 3 2 1 0 1 −3 −2 −1 −1 2 3 x Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−3; 1) và (1; 4). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 1).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 262/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−3; −1) và (1; 3). D. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Lời giải. Trên [−3; 3] hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (−3; −1) và (1; 3); ngịch biến trên khoảng (−1; 1); Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.  Chọn đáp án C Câu 261. Miền giá trị của hàm số y = ò ï 3 B. [1; 2]. A. −1; . 4 Lời giải. 3×2 + 2x + 3 là x2 + 1 C. [−2; 4]. D. [2; 4]. 3×2 + 2x + 3 xác định với mọi x ∈ R. • Cách 1 Do x + 1 > 0; ∀x ∈ R nên hàm số y = x2 + 1 Gọi y0 là giá trị tùy ý, ta có phương trình: 3×2 + 2x + 3 = y0 ⇔ 3×2 + 2x + 3 = y0 (x2 + 1) ⇔ 3×2 + 2x + 3 = y0 x2 + y0 x2 + 1 ⇔ (3 − y0 )x2 + 2x + 3 − y0 = 0 (1). 2 +o Nếu y0 = 3 thì phương trình (1) trở thành: 2x = 0 ⇔ x = 0. Vậy phương trình (1) có nghiệm y0 = 3 (∗). +o Nếu y0 6= 3 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai, nên nó có nghiệm khi và chỉ khi ∆0 = 12 − (3 − y0 )2 > 0 ⇔ −y02 + 6y0 − 8 > 0 ⇔ 2 6 y0 6 4. Vậy phương trình (1) có nghiệm ⇔ ( 2 6 y0 6 4 (∗∗). y0 6= 3 +o Kết hợp (∗), (∗∗) thì phương trình (1) có nghiệm ⇔ 2 6 y0 6 4. 3×2 + 2x + 3 Vậy: Miền giá trị của hàm số y = là [2; 4]. x2 + 1 • Cách 2 Ta có 3×2 + 2x + 3 x2 + 2x + 1 + x2 + 2 (x + 1)2 + 2(x2 + 1) (x + 1)2 = = = 2 + > 2. x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 Suy ra GTNN của A = 2 khi và chỉ khi x = −1. −x2 + 2x − 1 + 4×2 + 4 −(x − 1)2 + 4(x2 + 1) (x − 1)2 3×2 + 2x + 3 Mặt khác = = = 4 − 6 4. x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 Suy ra GTLN của A = 4 khi và chỉ khi x = 1. Vậy miền giá trị của hàm số là [2; 4].  Chọn đáp án D Câu 262. Cho f (x) là hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) cho trước. Phương án nào sau đây là đúng? A. Hàm số f 2 (x) đồng biến trên khoảng (a; b). B. Hàm số |f (x)| đồng biến trên khoảng (a; b). p C. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (a; b). D. Hàm số f 3 (x) đồng biến trên khoảng (a; b). Lời giải. f (x) đồng biến trên khoảng (a; b) nên với mọi x1 , x2 ∈ (a; b) và x1 < x2 thì f (x1 ) < f (x2 ) ⇔ f 3 (x1 ) < f 3 (x2 ). Do đó f 3 (x) đồng biến trên khoảng (a; b).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 263/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ  Chọn đáp án D Câu 263. Cho hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng (a; b). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số y = f (x) + 2017 đồng biến trên khoảng (a; b) . B. Hàm số y = 2017f (x) đồng biến trên khoảng (a; b). C. Hàm số y = |f (x)| đồng biến trên khoảng (a; b). D. Hàm số y = −f (x) đồng biến trên khoảng (a; b). Lời giải. Hàm số f (x) nghịch biến trên (a; b) nên với mọi x1 , x2 thuộc (a; b) và x1 < x2 , ta có f (x1 ) > f (x2 ) ⇔ −f (x1 ) < −f (x2 ). Do đó hàm số y = −f (x) đồng biến trên khoảng (a; b).  Chọn đáp án D Câu 264. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng (1; +∞)? 1 1 . B. y = 2 . A. y = C. y = x2 − 1. x+2 x Lời giải. Xét hàm số y = x2 − 1 trên khoảng (1; +∞). Ta có √ D. y = − x + 1. ∀x1 , x2 ∈ (1; +∞) và x1 < x2 thì y(x2 ) − y(x1 ) = x22 − 1 − (x21 − 1) = (x2 − x1 )(x2 + x1 ) > 0. Do đó hàm số y = x2 − 1 đồng biến trên khoảng (1; +∞).  Chọn đáp án C Câu 265. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng (1; +∞)? 1 1 2 A. y = . B. y = −x2 . C. y = . D. y = . x−1 x+1 1−x Lời giải. 2 trên khoảng (1; +∞). Ta có Xét hàm số y = 1−x 2 2 2(x2 − x1 ) ∀x1 , x2 ∈ (1; +∞) và x1 < x2 thì y(x2 ) − y(x1 ) = − = > 0. 1 − x2 1 − x1 (1 − x2 )(1 − x1 ) 2 đồng biến trên khoảng (1; +∞). Do đó hàm số y = 1−x Chọn đáp án D ax Câu 266. Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số y = đồng biến trên khoảng (2; +∞). x−2 A. a > 0. B. a > 2. C. a < 0. D. a < 2. Lời giải. ax 2a Ta có y = =a+ . x−2 x−2 Với mọi x1 , x2 ∈ (2; +∞), x1 6= x2 , ta có  2a 2a − f (x1 ) − f (x2 ) 2a x − 2 x2 − 2 K= = 1 =− . x1 − x2 x1 − x2 (x1 − 2) (x2 − 2) ax đồng biến trên khoảng (2; +∞) thì K > 0, ∀x ∈ (2; +∞). Mặt khác, (x1 − 2) (x2 − 2) > x−2 0, với mọi x1 , x2 ∈ (2; +∞), x1 6= x2 . Do đó Đề hàm số y = K > 0, ∀x ∈ (2; +∞) ⇔ −2a > 0 ⇔ a < 0.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 264/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Vậy a < 0 thỏa yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án C Câu 267. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f (x) = A. f (x) là hàm số chẵn. √ 1 + x. B. f (x) là hàm số lẻ. C. f (x) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ. D. f (x) vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ. Lời giải. TXĐ: D = [−1; +∞). Do tập D không có tính đối xứng nên hàm số y = f (x) không phải hàm số chẵn cũng không phải hàm số lẻ. Chọn đáp án C  Câu 268. Hàm số f (x) = |x + 1| + |−x + 1| A. là hàm số chẵn. B. là hàm số lẻ. C. là hàm số hằng. D. đồng biến trên R. Lời giải. TXĐ: D = R. Ta có ∀x ∈ R ⇒ −x ∈ R và f (−x) = | − x + 1| + |x + 1| = f (x) nên hàm số y = f (x) là hàm số chẵn.  Chọn đáp án A Câu 269. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số lẻ? A. y = 5x3 − 3x + 1. B. y = 2x4 − 7x2 + 2. √ √ C. y = 4 + x − 4 − x. D. y = |x + 7| + |x − 7|. Lời giải. Ta có: • Hàm số y = 5x3 − 3x + 1 có TXĐ D = R và mệnh đề f (−x) = −f (x), ∀x ∈ R là mệnh đề sai nên hàm số y = 5x3 − 3x + 1 không phải là hàm số lẻ. • Hàm số y = 2x4 − 7x2 + 2 có TXĐ D = R nên ∀x ∈ D thì −x ∈ D và mệnh đề f (−x) = −f (x), ∀x ∈ R là mệnh đề sai nên hàm số y = 2x4 − 7x2 + 2 không phải là hàm số lẻ. • Hàm số y = |x + 7| + |x − 7| có TXĐ D = R nên ∀x ∈ D thì −x ∈ D và mệnh đề f (−x) = −f (x), ∀x ∈ R là mệnh đề sai nên hàm số y = |x + 7| + |x − 7| không phải là hàm số lẻ. √ √ • Hàm số y = 4 + x + 4 − x có TXĐ D = [−4; 4]. √ √ √ √ ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D và f (−x) = 4 − x − 4 + x = −f (x) nên hàm số y = 4 + x + 4 − x là hàm số lẻ.  Chọn đáp án C Câu 270. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số lẻ? A. y = x3 + 1. B. y = x3 − x. C. y = x3 + x. D. y = 1 . x Lời giải. Ta có • Hàm số y = x3 − x có TXĐ D = R nên ∀x ∈ D thì −x ∈ D và mệnh đề f (−x) = −f (x), ∀x ∈ R là mệnh đề đúng nên hàm số y = x3 − x là hàm số lẻ.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 265/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ • Hàm số y = x3 + x có TXĐ D = R nên ∀x ∈ D thì −x ∈ D và mệnh đề f (−x) = −f (x), ∀x ∈ R là mệnh đề đúng nên hàm số y = x3 + x là hàm số lẻ. 1 • Hàm số y = có TXĐ D = R{0} nên ∀x ∈ D thì −x ∈ D và mệnh đề f (−x) = −f (x), ∀x ∈ x R{0} là mệnh đề đúng nên hàm số y = x3 + x là hàm số lẻ. • Hàm số y = f (x) = x3 + 1 có TXĐ D = R và mệnh đề f (−x) = −f (x), ∀x ∈ R là mệnh đề sai nên hàm số y = x3 + 1 không phải là hàm số lẻ.  Chọn đáp án A Câu 271. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn? A. y = |x + 5| + |x − 5|. C. y = 3x3 − 7x. Lời giải. B. y = |x + 3| + |x − 2|. D. y = x4 − 2x2 + x. Ta có • Hàm số y = |x + 3| + |x − 2| có TXĐ D = R và mệnh đề f (−x) = f (x), ∀x ∈ R là mệnh đề sai nên hàm số y = |x + 3| + |x − 2| không phải là hàm số chẵn. • Hàm số y = f (x) = 3x3 − 7x có TXĐ D = R và mệnh đề f (−x) = f (x), ∀x ∈ R là mệnh đề sai nên hàm số y = 3x3 − 7x không phải là hàm số chẵn. • Hàm số y = f (x) = x4 − 2x2 + x có TXĐ D = R và mệnh đề f (−x) = f (x), ∀x ∈ R là mệnh đề sai nên hàm số y = x4 − 2x2 + x không phải là hàm số chẵn. • hàm số y = f (x) = |x + 5| + |x − 5| có TXĐ D = R nên ∀x ∈ D thì −x ∈ D và mệnh đề f (−x) = f (x), ∀x ∈ R là mệnh đề đúng nên hàm số y = |x + 5| + |x − 5| là hàm số chẵn.  Chọn đáp án A Câu 272. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số chẵn? A. y = |x + 1| + |1 − x|. C. y = |x2 − 1| + |x2 + 1|. Lời giải. B. y = |x + 1| − |x − 1|. D. y = |x2 + 1| − |1 − x2 |. Ta có • Hàm số y = |x + 1| + |1 − x| có TXĐ D = R nên ∀x ∈ D thì −x ∈ D và mệnh đề f (−x) = f (x), ∀x ∈ R là mệnh đề đúng nên hàm số y = |x + 1| + |1 − x| là hàm số chẵn. • Hàm số y = |x2 − 1| + |x2 + 1| có TXĐ D = R nên ∀x ∈ D thì −x ∈ D và mệnh đề f (−x) = f (x), ∀x ∈ R là mệnh đề đúng nên hàm số y = |x2 − 1| + |x2 + 1| là hàm số chẵn. • Hàm số y = |x2 + 1| − |1 − x2 | có TXĐ D = R nên ∀x ∈ D thì −x ∈ D và mệnh đề f (−x) = f (x), ∀x ∈ R là mệnh đề đúng nên hàm số y = |x2 + 1| − |1 − x2 | là hàm số chẵn. • Hàm số y = f (x) = |x + 1| − |x − 1| có TXĐ D = R và mệnh đề f (−x) = f (x), ∀x ∈ R là mệnh đề sai nên hàm số y = f (x) = |x + 1| − |x − 1| không phải là hàm số chẵn  Chọn đáp án B Câu 273. Trong các hàm số dưới đây có bao nhiêu hàm số chẵn? i) y = |x| x2 + 4x ii) y = |x| − 2 −x4 + 2x2 iii) y = x2 + 1  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 266/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A. 0. 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. −x4 + 2x2 đều có tập xác định là R và thỏa mãn ∀x ∈ R thì Dễ thấy các hàm số y = |x| và y = x2 + 1 ( −x∈R nên chúng đều là các hàm số chẵn. f (−x) = f (x) x2 + 4x Hàm số y = có tập xác định D = R{−2; 2} và mệnh đề f (−x) = f (x), ∀x ∈ R là mệnh đề |x| − 2 sai nên nó không phải là hàm số chẵn.  Chọn đáp án C Câu 274. Trong các hàm số dưới đây có bao nhiêu hàm số lẻ? a) y = x|x| b) y = x5 − x3 + 2x c) y = |2x − 1| − |2x + 1| A. 0. Lời giải. B. 1. C. 2. D. 3. • Xét y = x|x|, có tập xác định D = R. Ta có f (−x) = −x| − x| = −x|x| = −f (x). Suy ra hàm số lẻ. • Xét y = x5 − x3 + 2x, có tập xác định D = R. Ta có f (−x) = (−x)5 − (−x)3 + 2(−x) = −x5 + x3 − 2x = −(x5 − x3 + 2x) = −f (x). Suy ra hàm số lẻ. • Xét y = |2x − 1| − |2x + 1|, có tập xác định D = R. Ta có f (−x) = |2(−x) − 1| − |2(−x) + 1| = |2x + 1| − |2x − 1| = −f (x). Suy ra hàm số lẻ Chọn đáp án D  Câu 275. Chỉ ra khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. Hàm số y = x2 là hàm số chẵn. √ √ B. Hàm số y = 1 + x + 1 − x là hàm số chẵn. C. Hàm số y = x2 + 1 là hàm số chẵn. D. Hàm số y = (x + 1)2 là hàm số chẵn. Lời giải. • Xét hàm số y = x2 có tập xác định D = R, lại có f (−x) = f (x) suy ra hàm số chẵn. √ √ • Xét hàm số y = 1 + x + 1 − x có tập xác định D = [−1; 1]. √ √ Ta có ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D, xét f (−x) = 1 − x + 1 + x = f (x) suy ra hàm số chẵn. • Xét hàm số y = x2 + 1 có tập xác định D = R, lại có f (−x) = (−x)2 + 1 = x2 + 1 = f (x) suy ra hàm số chẵn. • Xét hàm số y = (x + 1)2 có tập xác định D = R, lại có f (−x) = (−x + 1)2 6= f (x) suy ra hàm số không phải là hàm số chãn.  Chọn đáp án D Câu 276. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f (x) = |x − 2| + |x + 2| . |x| A. f (x) là hàm số chẵn.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 267/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ B. f (x) là hàm số lẻ. C. f (x) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ. D. f (x) vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ. Lời giải. Tập xác định D = R {0}. Ta có ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Xét | − x − 2| + | − x + 2| | − x| |x + 2| + |x − 2| = |x| = f (x). f (−x) = Vậy f (x) là hàm số chẵn. Chọn đáp án A  Câu 277. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? −x2 + 1 i) Hàm số y = là hàm số chẵn trên tập xác định. |x| − 1 ii) Hàm số y = −x3 + 1 là hàm số lẻ trên tập xác định. A. (i) đúng, (ii) sai. B. (i) sai, (ii) đúng. C. (i) sai, (ii) sai. D. (i) đúng, (ii) đúng. Lời giải. −x2 + 1 có tập xác định D = R {±1}. |x| − 1 Ta có ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Xét • Xét hàm số y = f (−x) = −(−x)2 + 1 −x2 + 1 = = f (x). | − x| + 1 |x| + 1 Đây là hàm số chẵn. • Xét hàm số y = −x3 + 1 có tập xác định D = R. Ta có ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Xét f (−x) = −(−x)3 + 1 = x3 + 1. Ta thấy ( f (−x) 6= f (x) f (−x) 6= −f (x) . Vậy hàm số không chẵn không lẻ.  Chọn đáp án A Câu 278. Xét tính chẵn lẻ của hai hàm số f (x) = |x + 2| − |x − 2|, g(x) = −|x|. A. f (x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số chẵn. C. f (x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ. B. f (x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số chẵn. D. f (x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số lẻ. Lời giải. • Xét hàm số f (x) = |x + 2| − |x − 2| có tập xác định D = R. Ta có ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Xét f (−x) = | − x + 2| − | − x − 2| = |x − 2| − |x + 2| = − (|x + 2| − |x − 2|) = −f (x). Vậy f (x) là hàm số lẻ.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 268/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ • Xét hàm số g(x) = −|x| có tập xác định D = R. Ta có ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Xét g(−x) = −| − x| = −|x| = g(x). Vậy g(x) là hàm số chẵn.  Chọn đáp án B Câu 279. Cho hai hàm số f (x) = x2017 và g(x) = (x − 2)3 + (x + 2)3 . Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f (g(x)). A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ. C. Hàm số không phải là hàm số chẵn cũng không phải hàm số lẻ. D. Hàm số vừa chẵn vừa lẻ. Lời giải. Hai hàm số f (x) và g(x) đều có tập xác định là D = R. Ta có ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Xét f (g(−x)) = (g(−x))2017 = (−g(x))2017 = −(g(x))2017 = −f (g(x)). Vậy hàm số y = f (g(x)) là hàm số lẻ.  Chọn đáp án B Câu 280. Dựa vào tính đối xứng của đồ thị hàm số y = f (x) trong hình y bên. Hãy xét tính chẵn lẻ của hàm số đó. x O A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ. C. Hàm số không phải là hàm số chẵn cũng không phải hàm số lẻ. D. Hàm số vừa chẵn vừa lẻ. Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng, nên hàm số chẵn. Chọn đáp án A  Câu 281. Dựa vào tính đối xứng của đồ thị hàm số y = f (x) trong hình bên. Hãy xét tính chẵn lẻ của hàm số đó. y O A. Hàm số chẵn. x B. Hàm số lẻ. C. Hàm số không phải là hàm số chẵn cũng không phải hàm số lẻ. D. Hàm số vừa chẵn vừa lẻ. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 269/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng, nên hàm số lẻ.  Chọn đáp án B Câu 282. Dựa vào tính đối xứng của đồ thị hàm số y = f (x) trong hình bên. Hãy xét tính chẵn lẻ của hàm số đó. A. Hàm số chẵn. y x O B. Hàm số lẻ. C. Hàm số không phải là hàm số chẵn cũng không phải hàm số lẻ. D. Hàm số vừa chẵn vừa lẻ. Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số không đối xứng qua trục tung Oy, không nhận gốc O làm tâm đối xứng. Nên hàm số không chẵn không lẻ.  Chọn đáp án C Câu 283. Biết đồ thị hàm số y = f (x) trùng với trục hoành như hình y bên. Hỏi hàm số đã cho thuộc loại nào (hãy chọn khẳng định x O đúng)? A. Hàm số chẵn và không phải là hàm số lẻ. B. Hàm số lẻ và không phải là hàm số chẵn. C. Hàm số không phải là hàm số chẵn cũng không phải hàm số lẻ. D. Hàm số vừa chẵn vừa lẻ. Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số vừa đối xứng qua trục tung, vừa nhận gốc O làm tâm đối xứng. Nên hàm số vừa chẵn vừa lẻ.  Chọn đáp án D Câu 284. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? √ A. y = |x − 1|. B. y = 3x + 5. Lời giải. C. y = x5 − x3 + 1. D. y = x4 + x2 + |x|. Hàm số y = f (x) = x4 + x2 + |x| có tập xác định D = R. Với mọi x ∈ D ta có −x ∈ D. Ta có f (x) = (−x)4 + (−x)2 + |−x| = x4 + x2 + |x| = f (x). Vậy hàm số y = x4 + x2 + |x| là hàm số chẵn.  Chọn đáp án D Câu 285. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ? A. y = x3 + x2 . B. y = x2 − x. C. y = x3 − x. D. y = x3 − |x|. Lời giải. Xét hàm số y = x3 − x. Tập xác định của hàm số là D = R.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 270/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Ta có với mọi x thuộc D thì −x cũng thuộc D. f (−x) = (−x)3 − (−x) = −x3 + x = −f (x). Vậy hàm số y = x3 − x là hàm số lẻ.  Chọn đáp án C Câu 286. Đồ thị hàm số nào sau đây nhận trục Oy làm trục đối xứng? A. y = x3 − x. B. y = x2 − x. C. y = x3 − |x|. D. y = x2 − |x|. Lời giải. • Hàm số y = x3 − x là hàm số lẻ do đó không nhận trục Oy làm trục đối xứng. • Hàm số y = x2 − x và y = x3 − |x| không phải là hàm chẵn, hàm lẻ do đó không nhận trục Oy làm trục đối xứng. • Hàm số y = x2 − |x| là hàm số chẵn do đó nhận trục Oy làm trục đối xứng.  Chọn đáp án D Câu 287. Cho hàm số y = f (x) = |x + 1| + |x − 1|. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Hàm số y = f (x) có tập xác định là R. B. Đồ thị hàm số y = f (x) nhận trục Oy là trục đối xứng. C. Hàm số y = f (x) là hàm số chẵn. D. Đồ thị hàm số y = f (x) nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng. Lời giải. Xét hàm số y = f (x) = |x + 1| + |x − 1|. • Tập xác định là D = R. • Tính chẵn, lẻ của hàm số ∀x ∈ D thì −x ∈ D. Và f (−x) = | − x + 1| + | − x − 1| = | − (x − 1)| + | − (x + 1)| = |x − 1| + |x + 1| = f (x). Do đó hàm số y = f (x) là hàm số chẵn. • Tính đối xứng: Vì hàm số y = f (x) là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận trục Oy làm trục đối xứng.  Chọn đáp án D   − x3 − 6 khi x 6 −2   Câu 288. Cho hàm số f (x) = |x| khi − 2 < x < 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?    3 x −6 khi x > 2 A. Đồ thị của hàm số f (x) đối xứng qua gốc tọa độ. B. Đồ thị của hàm số f (x) đối xứng qua trục hoành. C. f (x) là hàm số lẻ. D. f (x) là hàm số chẵn. Lời giải. TXĐ: D = R. Đồ thị của hàm số f gồm 3 phần: Phần 1: f (x) = −x3 − 6, x 6 −2. Phần 2: f (x) = |x|, −2 < x < 2.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 271/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Phần 3: f (x) = x3 − 6, x > −2. Ta thấy: +) Phần 2 là hàm số chẵn +) Kết hợp phần 1 và phần 3 ta được đồ thị của hàm số g(x) = |x3 | − 6 là hàm số chẵn. Vậy hàm số f (x) đã cho là hàm chẵn.  Chọn đáp án D Câu 289. Hàm số f (x) có tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu A. ∀x ∈ D thì f (−x) = −f (x). B. ∀x ∈ D thì f (−x) = f (x). C. ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f (−x) = −f (x). D. ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f (−x) = f (x). Lời giải. Theo định nghĩa của hàm số chẵn, ta chọn D. Chọn đáp án D  Câu 290. Hàm số f (x) có tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu A. ∀x ∈ D thì f (−x) = −f (x). B. ∀x ∈ D thì f (−x) = f (x). C. ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f (−x) = −f (x). Lời giải. D. ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f (−x) = f (x). Theo định nghĩa của hàm số lẻ, ta chọn D.  Chọn đáp án C Câu 291. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau: I. Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. II. Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O(0; 0) làm tâm đối xứng. III. Đồ thị hàm số lẻ nhận trục tung làm trục đối xứng. VI. Đồ thị hàm số chẵn nhận gốc tọa độ O(0; 0) làm tâm đối xứng. A. Mệnh đề I, II, III đúng; mệnh đề VI sai. B. Mệnh đề I, II đúng; mệnh đề III, VI sai. C. Mệnh đề I, III đúng; mệnh đề II, VI sai. D. Mệnh đề II đúng; mệnh đề I, III, VI sai. Lời giải. Từ định nghĩa của các hàm số chẵn và hàm số lẻ suy ra đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O(0; 0) làm tâm đối xứng. Xét hai hàm số f (x) = x và g(x) = x2 , dễ thấy hai mệnh đề III và VI đều sai.  Chọn đáp án B Câu 292. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f (x) = −2×3 + x. A. f (x) là hàm số chẵn. B. f (x) là hàm số lẻ. C. f (x) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ. D. f (x) vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ. Lời giải. Tập xác định D = R. Khi đó: • ∀x ∈ D, suy ra −x ∈ D ; • Với mọi x ∈ D, ta có f (−x) = −2(−x)3 + (−x) = − (−2×3 + x) = −f (x).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 272/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.  Chọn đáp án B Câu 293. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f (x) = x4 − 3×2 + 1. A. f (x) là hàm số chẵn. B. f (x) là hàm số lẻ. C. f (x) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ. D. f (x) vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ. Lời giải. Tập xác định D = R. Khi đó: • ∀x ∈ D, suy ra −x ∈ D ; • Với mọi x ∈ D, ta có f (−x) = (−x)4 − 3(−x)2 + 1 = x4 − 3×2 + 1 = f (x). Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.  Chọn đáp án A Câu 294. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f (x) = x2 |x|. A. f (x) là hàm số chẵn. B. f (x) là hàm số lẻ. C. f (x) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ. D. f (x) vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ. Lời giải. Tập xác định D = R. Khi đó: • ∀x ∈ D, suy ra −x ∈ D ; • Với mọi x ∈ D, ta có f (−x) = (−x)2 | − x| = x2 |x| = f (x). Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Chọn đáp án A  Câu 295. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f (x) = x3 + 2×2 − 1. A. f (x) là hàm số chẵn. B. f (x) là hàm số lẻ. C. f (x) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ. D. f (x) vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ. Lời giải. Ta có f (−1) = 0 và f (1) = 2. Suy ra f (−1) 6= f (1), f (−1) 6= −f (1). Do đó hàm số đã cho không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ.  Chọn đáp án C 2019 Câu 296. Xét tính chẵn lẻ của hàm số f (x) = A. Hàm số vừa chẵn vừa lẻ. C. Hàm số lẻ. (x − 1) + (x + 1) 2019 . x2017 B. Hàm số không chẵn không lẻ. D. Hàm số chẵn. Lời giải. Tập xác định D = R {0}. Khi đó: • ∀x ∈ D, suy ra −x ∈ D ;  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 273/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ • Với mọi x ∈ D, ta có [(−x) − 1]2019 + [(−x) + 1]2019 (−x)2017 −(x + 1)2019 − (x − 1)2019 = −x2017 (x − 1)2019 + (x + 1)2019 = x2017 = f (x). f (−x) = Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.  Chọn đáp án D Câu 297. Hàm số nào dưới đây là hàm số lẻ? A. y = 2. B. y = x3 + 2×2 . C. y = −x4 + 2×2 + 1 . D. y = x4 − 4×2 . x Lời giải. Xét hàm số ở phương án C, đặt y = f (x) = • ∀x ∈ D, suy ra −x ∈ D ; • Với mọi x ∈ D, ta có f (−x) = −x4 + 2×2 + 1 . Ta có tập xác định D = R {0}. Khi đó: x −(−x)4 + 2(−x)2 + 1 −x4 + 2×2 + 1 =− = −f (x). −x x Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.  Chọn đáp án C Câu 298. Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn? A. y = x3 + x. B. y = 3. C. y = x+4 . 2x − 2 D. y = x4 + 2×2 − 5 . x Lời giải. Xét hàm số ở phương án B, đặt y = f (x) = 3. Ta có tập xác định D = R. Khi đó: • ∀x ∈ D, suy ra −x ∈ D ; • Với mọi x ∈ D, ta có f (−x) = 3 = f (x). Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Chọn đáp án B  Câu 299. Xét tính chất chẵn lẻ của hàm số y = f (x) = 2×3 + 3x + 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. y = f (x) là hàm số chẵn. B. y = f (x) là hàm số lẻ. C. y = f (x) là hàm số không có tính chẵn lẻ. D. y = f (x) là hàm số vừa chẵn vừa lẻ. Lời giải. TXĐ: D = R Ta có ∀x ∈ R ⇒ −x ∈ R và f (−x) = 2(−x)3 + 3(−x) + 1 = −2×3 − 3x + 1 ⇒ Hàm số y = f (x) không có tính chẵn lẻ.  Chọn đáp án C Câu 300. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? A. y = x2 + 2. B. y = 2x. C. y = x3 . D. y = x − 1. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 274/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Hàm số y = f (x) = x2 + 2 có tập xác định là R và f (x) = f (−x) nên f (x) là hàm số chẵn.  Chọn đáp án A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 275/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ ĐÁP ÁN 1. A 11. B 2. C 12. B 3. D 13. A 4. B 14. C 5. C 15. C 6. C 16. C 7. B 17. B 8. B 18. B 9. C 19. D 10. B 20. A 21. B 22. C 23. C 24. D 25. A 26. A 27. D 28. A 29. D 30. C 31. A 32. C 33. D 34. D 35. B 36. B 37. A 38. B 39. A 40. D 41. B 51. A 42. C 52. C 43. C 53. B 44. A 54. B 45. D 55. A 46. B 56. A 47. D 57. C 48. B 58. A 49. D 59. A 50. C 60. A 61. B 62. C 63. D 64. C 65. C 66. B 67. A 68. D 69. D 70. A 71. B 72. A 73. D 74. B 75. B 76. A 77. B 78. B 79. D 80. A 81. D 91. B 82. A 92. B 83. C 93. A 84. B 94. A 85. A 95. B 86. B 96. A 87. D 97. D 88. C 98. B 89. D 99. B 90. B 100. D 101. D 102. C 103. A 104. B 106. B 107. B 108. D 109. A 110. A 111. B 112. A 113. D 114. B 115. A 116. A 117. A 118. D 119. D 120. B 121. A 122. A 132. B 123. C 133. B 124. D 134. B 125. D 135. C 126. B 136. B 127. A 137. D 128. A 138. C 129. A 139. C 130. A 140. A 131. A 141. C 142. D 143. B 144. A 145. A 146. B 147. D 148. D 149. D 150. A 151. B 152. D 153. D 154. C 155. D 156. C 157. B 158. A 159. D 160. C 161. D 162. D 172. B 163. A 173. A 164. A 174. D 165. C 175. A 166. A 176. A 167. C 177. A 168. C 178. B 169. A 179. C 170. A 180. A 171. C 181. B 182. B 183. B 184. A 185. A 186. B 187. D 188. A 189. B 190. B 191. C 192. A 193. D 194. A 195. D 196. B 197. A 198. B 199. D 200. D 201. C 202. B 203. B 204. A 205. B 206. A 207. A 208. D 209. B 210. C 211. C 212. C 222. A 213. C 223. A 214. D 224. A 215. C 225. C 216. C 226. C 217. B 227. D 218. C 228. B 219. B 229. B 220. A 230. A 221. B 231. A 232. A 233. C 234. D 235. D 236. B 237. D 238. D 239. D 240. C 241. A 242. A 243. D 244. B 245. C 246. B 247. A 248. C 249. B 250. B 251. B 252. D 262. D 253. B 263. D 254. D 264. C 255. A 265. D 256. A 266. C 257. B 267. C 258. B 268. A 259. A 269. C 260. C 270. A 261. D 271. A 272. B 273. C 274. D 275. D 276. A 277. A 278. B 279. B 280. A 281. B 282. C 283. D 284. D 285. C 286. D 287. D 288. D 289. D 290. C 291. B 292. B 293. A 294. A 295. C 296. D 297. C 298. B 299. C 300. A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 276/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI §2 HÀM SỐ Y = AX + B A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa. Hàm số y = ax + b với a 6= 0 gọi là hàm số bậc nhất. • Hàm số y = ax + b đồng biến trên R nếu a > 0, nghịch biến trên R nếu a < 0. • Đồ thị của hàm số y = ax + b, a 6= 0 là một đường thẳng không song song và không trùng với các trục toạ độ. Đồ thị hàm số y = ax + b còn gọi là đường thẳng y = ax + b, trong đó a gọi là hệ số góc của đường thẳng. • Hai đường thẳng y = ax + b và y = a0 x + b0 song song với nhau nếu a = a0 và b 6= b0 . • Hai đường thẳng y = ax + b, a 6= 0 và y = a0 x + b0 , a0 6= 0 vuông góc với nhau nếu aa0 = −1. Định nghĩa. Hàm số y = b gọi là hàm số hằng. • Hàm số y = b có giá trị không đổi trên R. • Đồ thị của hàm số y = b là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành. B CÁC DẠNG TOÁN | Dạng 1. Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất Để vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b, ta tìm hai điểm phân biệt mà đồ thị đi qua. Sau b đó vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm đó. Thông thường ta chọn hai điểm (0; b) và (− ; 0). a Đặc biệt: Đồ thị của hàm số hằng y = b là một đường thẳng vuông góc và cắt trục tung tại điểm (0; b). ccc BÀI TẬP DẠNG 1 ccc Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của hàm số y = 3x − 4. Lời giải. 4 Đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm (0; −4) và ( ; 0). 3 y O 4 3 x −4  2 Ví dụ 2. Vẽ đồ thị của hàm số y = − x + 2. 3 Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 277/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm (0; 2) và (3; 0). y 2 1 O 1 2 3 x  Ví dụ 3. Vẽ đồ thị của hàm số y = √ 2x. Lời giải. √ Đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm (0; 0) và (1; 2). y √ 2 x 1 O  √ Ví dụ 4. Vẽ đồ thị của hàm số y = − 3. Lời giải. √ Đồ thị hàm số đã cho vuông góc với trục tung tại điểm (0; − 3). y x O √ − 3  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Vẽ đồ thị của hàm số y = −2x + 5. Lời giải. y Đồ thị như hình vẽ 5 O 5 2 x  1 Bài 2. Vẽ đồ thị của hàm số y = x − 1. 2 Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 278/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI y Đồ thị như hình vẽ x 2 O −1  √ Bài 3. Vẽ đồ thị của hàm số y = 3 2 − 1. Lời giải. y Đồ thị như hình vẽ √ 3 2−1 x O  Bài 4. Vẽ đồ thị của hàm số y = Lời giải. √ 3(x − 2). y Đồ thị như hình vẽ 2 O x √ −2 3  7 Bài 5. Vẽ đồ thị của hàm số y = − x. 2 Lời giải. y Đồ thị như hình vẽ 1 x O − 72  Bài 6. Vẽ đồ thị của hàm số y = −2(x − 1) + 1. Lời giải. y Đồ thị như hình vẽ 3 O 3 2 x  Bài 7. Vẽ đồ thị của hàm số y =  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 2x − 3 . 2 Trang 279/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Lời giải. y Đồ thị như hình vẽ 3 2 x O − 32  | Dạng 2. Xác định hệ số a và b của số bậc nhất Phương pháp: Dựa vào các yếu tố điểm thuộc đường, lý thuyết hai đường song song, vuông góc, hệ số góc, giao điểm của hai đường để tìm ra mối quan hệ giữa a và b. Những điểm cần chú ý: • Nếu có hai tham số a, b chưa biết thì ta cần tìm hai quan hệ của a, b độc lập để giải hệ phương trình tìm a, b. • Nếu điểm M (xM ; yM ) thuộc đường thẳng d : y = ax + b thì ta có yM = axM + b. • Cho (d) : y = ax +(b và (d0 ) : y = a0 x + b0 . a = a0 Nếu (d) ∥ (d0 ) thì . b 6= b0 −1 Nếu (d) ⊥ (d0 ) thì a0 = . a • Nếu cho hệ số góc k tức là cho hệ số a của đường thẳng (d) : y = ax + b. • Nếu cho góc của đường thẳng (d) : y = ax + b tạo với trục hoành là α thì ta hiểu là cho a = tan(α). ccc BÀI TẬP DẠNG 2 ccc Ví dụ 1. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = x + b. Tìm b biết (d) đi qua điểm M (1; 2). Lời giải. Vì M ∈ (d) nên ta có 2 = 1 + b ⇔ b = 1. Vậy: b = 1 tức là (d) có phương trình là y = x + 1.  Ví dụ 2. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax+b. Tìm a, b biết (d) đi qua điểm A(−1; 2) và B(2; 3). Lời giải.  1  a = 3. Vì A, B ∈ (d) nên ta có ⇔ ⇔  3 = a.2 + b 2a + b = 3 b = 7 3 1 7 1 7 Vậy: a = và b = tức là (d) có phương trình là y = x + . 3 3 3 3 ( 2 = a.(−1) + b ( −a + b = 2  Ví dụ 3. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm a, b biết (d) đi qua điểm A(−1; −2) và có hệ số góc là 3. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 280/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Vì A ∈ (d) nên ta có −2 = a.(−1) + b. Mặt khác ta có hệ số góc là 3 nên a = 3 ⇒ b = 1. Vậy: a = 3 và b = 1 tức là (d) có phương trình là y = 3x + 1.  Ví dụ 4. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm phương trình (d) biết (d) đi qua điểm A(−3; 2) và song song với (∆) : y = −x + 2. Lời giải. Vì A ∈ (d) nên ta có 2 = a.(−3) + b. Mặt khác ta có ∆ ∥ (d) nên a = −1 ⇒ b = −1(nhận vì b 6= 2). Vậy:(d) có phương trình là y = −x − 1.  Ví dụ 5. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm phương trình (d) biết (d) đi 1 qua điểm M (2; 5) và vuông góc với (∆) : y = − x + 2. 2 Lời giải. Vì M ∈ (d) nên ta có 5 = a.2 + b. −1 Mặt khác ta có ∆ ⊥ (d) nên a = −1 = 2 ⇒ b = 1. 2 Vậy:(d) có phương trình là y = 2x + 1.  Ví dụ 6. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm phương trình (d) biết (d) cắt Ox tại điểm có hoành độ là 3 và đi qua điểm A(1; 2). Lời giải. b b Vì (d) cắt Ox tại điểm có hoành độ là 2 ⇒ x = − = 3 ⇒ a = − . a 3 và A ∈ (d) nên 2 = a.1 + b. ( a + b = 2 a = −1 Do đó ⇔ .  a = −b b=3 3 Vậy:(d) có phương trình là y = −x + 3.  Ví dụ 7. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = f (x) = ax + b. Tìm a, b biết đường thẳng d đi qua giao điểm của (d1 ) : y = x + 1 và (d2 ) : y = −2x + 1 và điểm B(−1; 2). Lời giải. Gọi A ( là giao điểm của ( d1 và d2 . x − y = −1 x=0 Ta có ⇔ ⇒ A(0, 1) nên 1 = a.0 + b ⇔ b = 1. 2x + y = 1 y=1 Mặt khác B ∈ (d) ⇒ 2 = a(−1) + b ⇒ a = −1. 3 9 3 9 Vậy:a = − ; b = tức là (d) có phương trình là y = − x + . 4 4 4 4  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 281/2406  ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Ví dụ 8. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = f (x) = ax + b. Tìm a, b biết phương trình f (x + 1) = 0 có nghiệm là x = 2 và f (2x + 1) = 3 là có nghiệm là x = −1. Lời giải. Vì phương trình f (x + 1) = 0 có nghiệm là x = 2 nên a(2 + 1) + b = 0 ⇔ 3a + b = 0. và phương trình f (2x + 1) = 3 là x = −1 nên a(2.(−1) + 1) + b = 3 ⇔ −a + b = 3. 3 (  a = − 3a + b = 0 4. Do đó ⇔  −a + b = 3  b= 9 4 3 9 3 9 Vậy:a = − ; b = tức là (d) có phương trình là y = − x + . 4 4 4 4  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm a, b biết (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất và đi qua điểm A(3; 1). Lời giải. Vì A ∈ (d) nên ta có 1 = a.3 + b và (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất (y = x) nên a = 1 ⇒ b = −2. Vậy: a = 1, b = −2.  Bài 2. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm a, b biết (d) đi qua điểm A(1, 2) và gốc toạ độ O. Lời giải. Vì A, O ∈ (d) nên ta có ( 2 = a.1 + b ⇔ ( a+b=2 0 = a.0 + b ⇔ ( a=2 b=0 . b=0 Vậy: a = 2 và b = 0.  Bài 3. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm a, b biết (d) đi qua điểm A(1; −2) và (d) tạo với Ox một góc là 45◦ . Lời giải. Vì A ∈ (d) nên ta có −2 = a.1 + b. Mặt khác ta có hệ số góc là a = tan(45◦ ) = 1 ⇒ b = −3. Vậy: a = 1 và b = −3 tức là (d) có phương trình là y = x − 3.  Bài 4. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm phương trình (d) biết (d) đi qua điểm A(3, 2) và song song với Ox. Lời giải. Vì A ∈ (d) nên ta có 2 = a.3 + b. Mặt khác ta có (Ox) ∥ (d) nên a = 0 ⇒ b = 2(nhận vì b 6= 0). Vậy:(d) có phương trình là y = 2.  Bài 5. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm phương trình (d) biết (d) đi qua điểm M (2, 1) và vuông góc với (∆) : y = 3x + 2.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 282/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Lời giải. Vì M ∈ (d) nên ta có 1 = a.2 + b. −1 1 5 Mặt khác ta có ∆ ⊥ (d) nên a = =− ⇒b= . 3 3 3 1 5 Vậy:(d) có phương trình là y = − x + .  3 3 Bài 6. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm phương trình (d) biết (d) cắt Ox tại điểm có hoành độ là 2 và cắt trục Oy với tung độ là 3. Lời giải. b b Vì (d) cắt Ox tại điểm có hoành độ là 2 ⇒ x = − = 2 ⇒ a = − . a 2 và (d) cắt Oy tại điểm có tung độ là 3 ⇒ y = a.0 + b = b = 3. 3 Do đó a = − 2 3 Vậy:(d) có phương trình là y = − x + 3.  2 Bài 7. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = f (x) = ax + b. Tìm phương trình a, b biết phương trình f (x + 1) = 0 có nghiệm là x = 1 và f (2) = 3. Lời giải. Vì phương trình f (x + 1) = 0 có nghiệm là x = 1 nên a(1 + 1) + b = 0 ⇔ 2a + b = 0. và f (−1) ( = 3 ⇔ −a + b(= 3. 2a + b = 0 a = −1 Do đó ⇔ . −a + b = 3 b=2 Vậy:a = −1; b = 2 tức là (d) có phương trình là y = −x + 2.  | Dạng 3. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất có chứa giá trị tuyệt đối Để vẽ đồ thị hàm số y = |x| ta sử dụng định nghĩa của giá trị tuyệt: ( x nếu x ≥ 0 y= − x nếu x < 0 Sau đó ta xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho trên từng khoảng (−∞; 0) và (0; +∞). ccc BÀI TẬP DẠNG 3 ccc CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của hàm số y = 3|x| − 2. Lời giải. ( Ta có y = 3|x| − 2 = 3x − 2 nếu x ≥ 0 − 3x − 2 nếu x < 0. Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; −2), (−1; 1) và (1; 1). y 1 −1 O 1 x −2  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 283/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI  Ví dụ 2. Vẽ đồ thị của hàm số y = |x| − 2x. Lời giải. ( Ta có y = |x| − 2x = −x nếu x ≥ 0 y − 3x nếu x < 0. Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 0), (−1; 3) và (1; −1). 3 1 x −1 O −1  Ví dụ 3. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = |2x + 3|. Lời giải. Ta có y = |2x + 3| =   2x + 3   − 2x − 3 3 2 3 nếu x < − . 2 nếu x ≥ − y 3 Bảng biến thiên x −∞ − 32 +∞ +∞ −3 +∞ − 32 x O y 0 3 Đồ thị hàm số đi qua các điểm (− ; 0), (0; 3) và (−3; 3). 2  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Vẽ đồ thị của hàm số y = 2|x| + 1. Lời giải. y Đồ thị như hình vẽ. 3 1 −1 O 1x  Bài 2. Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x + |x|. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 284/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI y Đồ thị như hình vẽ. 3 −1 O 1 −1 x  Bài 3. Vẽ đồ thị của hàm số y = |3x − 4|. Lời giải. y Đồ thị như hình vẽ. 4 O 4 3 x 8 3  Bài 4. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = −3|x + 1|. Lời giải. y Bảng biến thiên −2 x −∞ −1 −1 x O +∞ 0 y −∞ −3 −∞  3 1 Bài 5. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = − |2x + 1| + . 2 2 Lời giải. y Bảng biến thiên x −∞ − 21 3 2 +∞ −2 3 2 y −∞ 1 − 12 O −1 x −∞  BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 6. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = |x| − 2|x + 1| + 1. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 285/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI y Bảng biến thiên 2 x −∞ −1 +∞ 0 1 2 −3 y −1 −1 x O −1 −∞ −2 −∞  Bài 7. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 2|x + 1| − |x − 1|. Lời giải. Bảng biến thiên y 5 x −∞ −1 4 +∞ 1 +∞ +∞ y 1 4 −3 −1 O 1 −2 2 x −2  | Dạng 4. Vẽ đồ thị hàm số cho bởi hệ nhiều công thức Vẽ đồ thị hàm số trùng với từng đồ thị hàm số thành phần tương ứng với điều kiện x ở phía sau. ccc BÀI TẬP DẠNG 4 ccc Ví dụ 1. Vẽ đồ thị hàm số: y = ( x nếu x ≥ 0 − x nếu x < 0 . Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 286/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Đồ thị hàm số y = ( x nếu x ≥ 0 − x nếu x < 0 là sự "lắp ghép" y của 2 đồ thị: • Đồ thị hàm số y = x (chỉ lấy phần ứng với x ≥ 0). • Đồ thị hàm số y = −x (chỉ lấy phần ứng với x < 0). 1 Ta dễ dàng thấy được, đồ thị của hàm số đã cho là sự lắp ghép của 2 tia phân giác của góc phần tư thứ (I) và (II), chúng đối xứng với nhau qua trục Oy. −1 x 1    − 2x + 3   Ví dụ 2. Vẽ đồ thị hàm số: y = − 1    x+2 nếu x > 2 nếu − 3 ≤ x ≤ 2 . nếu x < −3 Lời giải.    − 2x + 3  Đồ thị hàm số y = − 1    x+2 • Trùng với đồ thị hàm số y • Trùng với đồ thị hàm số y nếu x > 2 nếu − 3 ≤ x ≤ 2 . nếu x < −3 = −2x + 3 trên (2; +∞]. = −1 trên [−3; 2]. • Trùng với đồ thị hàm số y = x + 2 trong (−∞; −3). y −4 −3 2 3 x −1 −2 −3   Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 287/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI   2x + 4 nếu x ≤ −1   Ví dụ 3. Cho hàm số: y = f (x) = − 2x nếu − 1 < x ≤ 1 .    x−3 nếu x > 1 a. Tìm tập xác định và vẽ đồ thị hàm số trên. b. Cho biết sự biến thiên của hàm số đã cho trên mỗi khoảng (−∞; 1); (−1; 1); (1; +∞) và lập bảng biến thiên. Lời giải. a. TXĐ: D = R   nếu x ≤ −1 2x + 4  Đồ thị hàm số y = f (x) = − 2x nếu − 1 < x ≤ 1 .    x−3 nếu x > 1 • Trùng với đồ thị hàm số y = 2x + 4 nếu x ≤ −1. • Trùng với đồ thị hàm số y = −2x nếu −1 < x ≤ 1. • Trùng với đồ thị hàm số y = x − 3 nếu x > 1. y 2 −2 1 2 3 x −1 −1 −2 b. Trên khoảng (−2; −1) và (1; 3) hàm số đồng biến. Trên khoảng (−1; 1) hàm số nghịch biến. Bảng biến thiên x −∞ −1 1 +∞ +∞ 2 y −2 −∞  BÀI TẬP TỰ LUYỆN  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 288/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Bài ( 1. Vẽ đồ thị hàm số: 3x − 6 nếu x ≥ 2 y= . 6 − 3x nếu x < 2 Lời giải. Với x ≥ 2: Đồ thị hàm số trùng với đường thẳng y = 3x − 6. Với x < 2: Đồ thị hàm số trùng với đường thẳng y = 6 − 3x.  Bài  2. Vẽ đồ thị hàm số:  x + 1 nếu 0 ≤ x < 2    1 y = − x + 4 nếu 2 ≤ x ≤ 4 .  2    2x − 6 nếu 4 < x ≤ 5 Lời giải. Với 0 ≤ x < 2: Đồ thị hàm số trùng với đường thẳng y = x + 1. 1 Với 2 ≤ x ≤ 4: Đồ thị hàm số trùng với đường thẳng y = − x + 4. 2 Với 4 < x ≤ 5: Đồ thị hàm số trùng với đường thẳng y = 2x − 6.   2x + 4 nếu − 2 ≤ x < −1   Bài 3. Cho hàm số: y = f (x) = − 2x nếu − 1 ≤ x ≤ 1 .    x−3 nếu 1 < x ≤ 3 a. Tìm tập xác định và vẽ đồ thị hàm số trên.  b. Cho biết sự biến thiên của hàm số đã cho trên mỗi khoảng (−∞; −2); (−2; 4); (4; +∞) và lập bảng biến thiên. | Dạng 5. Sự tương giao giữa các đường thẳng Phương pháp: • Cho 2 đường thẳng d1 : y = a1 x + b1 và d2 : y = a2 x + b2 (a1 6= 0; a2 6= 0) • d1 cắt d2 ⇔ a1 6= a2 . • d1 ∥ d1 ⇔ a1 = a2 và b1 6= b2 . • d1 ≡ d2 ⇔ a1 = a2 và b1 = b2 . • d1 ⊥ d2 ⇔ a1 .a2 = −1. • d1 cắt d2 tại một điểm trên trục tung ⇔ a1 6= a2 và b1 = b2 . • Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy, ta chứng minh 2 trong 3 đường thẳng cắt nhau và giao điểm của chúng thuộc đường còn lại. ccc BÀI TẬP DẠNG 5 ccc Ví dụ 1. Tìm các cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng đã cho sau đây.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 289/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI x a. d1 : y = 3 + . 2 b. d2 : 3y − 6x + 1 = 0. d. d4 : 2y + x = 6. e. d5 : 2x − y = 1. c. d3 : y = −0, 5x − 4. f. d6 : y = 0, 5x + 1. Lời giải. Đưa mỗi đường thẳng về dạng: y = ax + b x a. d1 : y = 3 + . 2 1 b. d2 : y = 2x − . 3 c. d3 : y = −0, 5x − 4. 1 d. d4 : − x + 6. 2 e. d5 : y = 2x − 1. f. d6 : y = 0, 5x + 1. Các cặp đường thẳng song song là d1 và d6 ; d2 và d5 ; d3 và d4 .  Ví dụ 2. Tìm giao điểm của 2 đường thẳng d1 : y = x − 5 và d2 : y = 1 + 3x. Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và d2 : x − 5 = 1 + 3x ⇔ 2x = −6 ⇔ x = −3. Giao điểm của d1 và d2 là (−3; −8).  Ví dụ 3. Tìm giao điểm của đường thẳng d : y = 1 + 2x với a. Trục Ox. b. Trục Oy. Lời giải. a. Trục Ox : y = 0. 1 Giao điểm của đường thẳng d : y = 1 + 2x với Ox là A(− ; 0). 2 b. Trục Oy : x = 0. Giao điểm của đường thẳng d : y = 1 + 2x với Oy là B(0; 1).  Ví dụ 4. Cho 2 đường thẳng: d1 : y = mx + 3 và d2 : y = (2m + 1)x − 5. Tìm m để a. d1 ∥ d2 . b. d1 cắt d2 . Lời giải.   m = 2m + 1     3 6= 5   m = −1    a. d1 ∥ d2 ⇔ ⇔ m 6= 0 ⇔ m = −1.   m = 6 0      m 6= − 1   2 2m + 1 6= 0 b. d1 cắt d2 ⇔ m 6= 2m + 1 ⇔ m 6= −1.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 290/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI  Ví dụ 5. Cho d1 : y = mx − m + 2; d2 : y = (m − 3)x + m. Tìm m để d1 cắt d2 tại 1 điểm trên trục tung. Lời giải. d1 cắt ( d2 tại 1 điểm trên ( trục tung m 6= m − 3 0 6= −3 ⇔ ⇔ ⇔ m = 1. −m + 2 = m 2m = 2  Ví dụ 6. Cho d1 : y = 2x − 6; d2 : y = −x + 3. a. Tìm tọa độ giao điểm A của d1 và d2 . b. d1 và d2 cắt trục tung tại B và C. Tính diện tích ∆ABC. Lời giải. a. Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và d2 là 2x − 6 = −x + 3 ⇔ x = 3. Với x = 3 ⇒ y = 0. Vậy tọa độ giao điểm A của d1 và d2 là (3; 0). b. d1 và d2 lần lượt cắt trục tung tại B và C. Dễ dàng suy ra được tọa độ của B và C là B(0; −6) và C(0; 3). 1 1 27 Diện tích S∆ABC = AO.BC = .3.9 = (đvdt). 2 2 2  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho đường thẳng d : y = (m2 − 2)x + m − 1. Xác định giá trị của m sao cho a. d song song với d1 : y = 2x + 1. b. d cắt d2 : y = m(2x − 1) + 3 + x. Lời giải. a. m ( = −2. m 6= −1 b. . m 6= −3  Bài 2. Cho 2 đường thẳng: (d1 ) : y = (m + 2)x − 3; (d2 ) : y = 4x + 2m + 1. Tìm m để d1 cắt d2 tại 1 điểm trên trục tung. Lời giải. Không tồn tại giá trị m thỏa mãn điều kiện bài toán.  Bài 3. Cho 3 đường thẳng: (d1 ) : y = 2x; (d2 ) : y = x + 1; (d3 ) : y = (m − 2)x + 2m + 1. Tìm m để a. d1 ⊥ d3 . b. d1 , d2 , d3 đồng quy. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 291/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3 a. m = . 2 b. m = 1.  Bài 4. Tìm m để 3 đường thẳng sau phân biệt và đồng quy. a. d1 : y = 2x, d2 : y = −3 − x, d3 : y = mx + 5. b. d1 : y = −5(x + 1), d2 : y = mx + 3, d3 : y = 3x + m. c. d1 : y = x + 2m, d2 : y = 3x + 2, d3 : y = −mx + 2. Lời giải. a. m = 7. b. m = −13. c. m = 1.  BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 5. Cho (d) có phương trình y = ax + b và (d1 ) : y = x + 1; (d2 ) : y = 2x + 1. a) Tìm giao điểm M của (d1 ) và (d2 ). b) Tìm phương trình đường thẳng (d), biết (d) cắt (d1 ) tại A(1, 2) và cắt (d2 ) tại B(−1, 3). Lời giải. ( y =x+1 ( ( x=0 −x + y = 1 ⇔ ⇔ . y = 2x + 1 −2x + y = 1 y=1 Vậy: M (0, 1) là giao điểm cửa (d1 ) và (d2 ). b) Vì (d) cắt (d1 ) tại A(1, 2) ⇒ A(1, 2) ∈ (d) ⇒ 2 = a + b. a) Xét và (d) cắt (d1 ) tại B(−1, 3) ⇒ B(−1, 3) ∈(d) ⇒ 3 = −a + b. 1 ( (  a = − a+b=2 1 = 2a + b 2. Do đó: ⇔ ⇔  3 = −a + b −a + b = 3  b= 5 2 1 5 Vậy: (d) : y = − x + . 2 2  Bài 6. Cho (d) có phương trình y = ax + b và (d1 ) : y = x − 1; (d2 ) : y = −2x − 1. a) Tìm giao điểm N của (d1 ) và (d2 ). b) Xác định phương trình đường thẳng d, biết (d); (d1 ); (d2 ) đồng qui và (d) đi qua A(1, −5). Lời giải. ( a) Xét y =x−1 ⇔ ( −x + y = −1 ( ⇔ x=0 y = −2x − 1 2x + y − 1 y = −1 Vậy: N (0, −1) là giao điểm cửa (d1 ) và (d2 ). . b) Vì (d); (d1 ); (d2 ) đồng qui nên N (0, −1) ∈ (d) ⇒ −1 = a.0 + b ⇒ b = −1. và A ∈ (d) ⇒ −5 = a + b ⇒ a = −4. Vậy: (d) : y = −4x − 1.   Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 292/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Bài 7. Cho (d) có phương trình y = ax + b và A(6, −2). a) Tìm d sao cho d đi qua A và gốc toạ độ O. b) Xác định phương trình đường thẳng d, biết (d) đi qua A và cắt Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác OBC có diện tích là 3. Lời giải. a) Vì O ∈ (d) nên b = 0. 1 Mặt khác A ∈ (d) nên −2 = 6a + b ⇒ a = − . 3 1 Vậy: (d) : y = − x. 3 b b) Ta có: A ∈ (d) nên −2 = 6a + b và B(0, b); C(− , 0). a  b2 a = − 6 1 −b . Do đó: Diện tích tam giác OCB là |b|| | = 3 ⇒   2 a b2 a= 6    6a + b = −2   6a + b = −2    b2     2 a = −  b  6 Vì vậy ta được a = − 6 ⇔         6a + b = −2  b2    a= b2  6  a= 6   1 2  −b + b − 2 = 0 b = −1; a = −   3  2 ⇔  b  4 a=−  b = 2; a = −  6 3 . Vậy: (d) : y = − 1 x − 1 hay (d) : y = − 4 x + 2 ⇔   3 3   b 2 + b − 2 = 0   b2 (Vô nghiệm)   a= 6  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 293/2406  ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm m để hàm số y = (2m + 1)x + m − 3 đồng biến trên R. 1 1 1 B. m < . C. m < − . A. m > . 2 2 2 Lời giải. 1 D. m > − . 2 1 Hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến khi a > 0 nên suy ra 2m + 1 > 0 ⇔ m > − . 2 Chọn đáp án D Câu 2. Tìm m để hàm số y = m(x + 2) − x(2m + 1) nghịch biến trên R. 1 C. m > −1. A. m > −2. B. m < − . 2 Lời giải. Viết lại y = m(x + 2) − x(2m + 1) = (−1 − m)x + 2m.  1 D. m > − . 2 Hàm số bậc nhất y = ax + b nghịch biến khi a < 0 nên suy ra −1 − m < 0 ⇔ m > −1.  Chọn đáp án C Câu 3. Tìm m để hàm số y = − (m2 + 1) x + m − 4 nghịch biến trên R. A. m > 1. B. Với mọi m. C. m < −1. D. m > −1. Lời giải. Hàm số bậc nhất y = ax + b nghịch biến khi a < 0 ⇔ − (m2 + 1) < 0 ⇔ m ∈ R.  Chọn đáp án B Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2017; 2017] để hàm số y = (m − 2)x + 2m đồng biến trên R? A. 2014. B. 2016. D. 2015. C. Vô số. Lời giải. Hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến khi a > 0 ⇔ m − 2 > 0 ⇔ m > 2 ⇒ m ∈ {3; 4; 5; . . . ; 2017}. Vậy có 2017 − 3 + 1 = 2015 giá trị nguyên của m cần tìm.  Chọn đáp án D Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2017; 2017] để hàm số y = (m2 − 4) x + 2m đồng biến trên R? A. 4030. B. 4034. D. 2015. C. Vô số. Lời giải. ” Hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến khi a > 0 ⇔ m2 − 4 > 0 ⇔ m>2 m < −2 ⇒ m ∈ {−2017; −2016; −2015; . . . ; −3} ∪ {3; 4; 5; . . . ; 2017}. Vậy có 2 × (2017 − 3 + 1) = 2 × 2015 = 4030 giá trị nguyên của m cần tìm. Chọn đáp án A √ Câu 6. Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng y = 2x? √ √ 1 A. y = 1 − 2x. B. y = √ x − 3. C. y + 2x = 2. 2 Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 294/2406  2 D. y − √ x = 5. 2 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Hai đường thẳng song song khi có hệ số góc bằng nhau nên ta nhận đường thẳng √ 2 y − √ x = 5 ⇔ y = 2x + 5. 2  Chọn đáp án D Câu 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = (m2 − 3) x + 2m − 3 song song với đường thẳng y = x + 1. B. m = ±2. A. m = 2. C. m = −2.. D. m = 1. Lời giải. Đường thẳng y = (m2 − 3) x + 2m − 3 song song với đường thẳng y = x + 1 khi và chỉ khi ( 2 ( m −3=1 m = ±2 ⇔ ⇔ m = −2. 2m − 3 6= 1 m 6= 2  Chọn đáp án C Câu 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = 3x + 1 song song với đường thẳng y = (m2 − 1) x + (m − 1). A. m = ±2. C. m = −2. B. m = 2. D. m = 0. Lời giải. Đường thẳng y = (m2 − 1) x + (m − 1) song song với đường thẳng y = 3x + 1 khi và chỉ khi ( 2 ( m −1=3 m = ±2 ⇔ ⇔ m = −2. m − 1 6= 1 m 6= 2  Chọn đáp án C Câu 9. Biết rằng đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm M (1; 4) và song song với đường thẳng y = 2x + 1. Tính tổng S = a + b. A. S = 4. B. S = 2. D. S = −4. C. S = 0. Lời giải. Đồ thị hàm số đi qua điểm M (1; 4) nên 4 = a × 1 + b. (1) Mặt khác, đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 2x + 1 nên Từ (1) và (2), ta có hệ ( 4=a×1+b ⇔ a=2 ( a=2 ( a=2 b 6= 1. (2) ⇒ a + b = 4. b=2  Chọn đáp án A Câu 10. Biết rằng đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm E(2; −1) và song song với đường thẳng ON với O là gốc tọa độ và N (1; 3). Tính giá trị biểu thức S = a2 + b2 . A. S = −4. B. S = −40. C. S = −58. D. S = 58. Lời giải. Đồ thị hàm số đi qua điểm E (2; −1) nên −1 = a × 2 + b. (1) Gọi y = a0 x + b0 là đường thẳng đi qua hai điểm O(0; 0) và N (1; 3) nên  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 295/2406 ( 0 = a0 × 0 + b 0 3 = a0 × 1 + b 0 ⇔ ( 0 a =3 b0 = 0. ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Đồ thị hàm số song song với đường thẳng ON nên ( Từ (1) và (2), ta có hệ −1=a·2+b a=3 ⇔ ( a = a0 = 3 ( a=3 b = −7 b 6= b0 = 0. (2) ⇒ S = a2 + b2 = 58.  Chọn đáp án D Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = (3m + 2)x − 7m − 1 vuông góc với đường ∆ : y = 2x − 1. 5 1 5 C. m < . D. m > − . A. m = 0. B. m = − . 6 6 2 Lời giải. 5 Đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng d khi và chỉ khi 2(3m + 2) = −1 ⇔ m = − . 6 Chọn đáp án B  Câu 12. Biết rằng đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm N (4; −1) và vuông góc với đường thẳng 4x − y + 1 = 0. Tính tích P = ab. A. P = 0. 1 B. P = − . 4 1 C. P = . 4 1 D. P = − . 2 Lời giải. Đồ thị hàm số đi qua điểm N (4; −1) nên −1 = a × 4 + b. (1) Mặt khác, đồ thị hàm số vuông góc với đườngthẳng y = 4x + 1 nên 4 × a = −1. (2) ( a = − 1 −1=a×4+b 4 ⇒ P = ab = 0. ⇔ Từ (1) và (2), ta có hệ  4a = −1 b=0  Chọn đáp án A Câu 13. Tìm a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua các điểm A(−2; 1), B(1; −2). A. a = −2 và b = −1. Lời giải. B. a = 2 và b = 1. D. a = −1 và b = −1. C. a = 1 và b = 1. Đồ thị hàm số đi qua các điểm A(−2; 1), B(1; −2) nên ( 1 = a × (−2) + b −2=a×1+b ⇔ ( a = −1 b = −1.  Chọn đáp án D Câu 14. Biết rằng đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm M (−1; 3) và N (1; 2). Tính tổng S = a + b. 1 5 A. S = − . B. S = 3. C. S = 2. D. S = . 2 2 Lời giải.  1 (  a = − −a+b=3 2 ⇒ S = a + b = 2. Đồ thị hàm số đi qua các điểm M (−1; 3), N (1; 2) nên ⇔ 5  a+b=2 b = 2 Chọn đáp án C  Câu 15. Biết rằng đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(−3; 1) và có hệ số góc bằng −2. Tính tích P = ab. A. P = −10. B. P = 10. C. P = −7. D. P = −5. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 296/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Hệ số góc bằng −2 ⇒ a = −2. Đồ thị đi qua điểm A(−3; 1) ⇒ −3a + b = 1 ⇒ b = −5. Vậy P = ab = (−2) × (−5) = 10.  Chọn đáp án B Câu 16. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y = A. (0; −1). B. (2; −3). 1 − 3x và y = − + 1 là: 4Å 3 ã 1 C. 0; . D. (3; −2). 4 x  Lời giải. Phương trình hoành độ của hai đường thẳng là x  5 5 1 − 3x =− + 1 ⇔ − x + = 0 ⇔ x = 3 ⇒ y = −2. 4 3 12 4  Chọn đáp án D Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng y = m2 x+2 cắt đường thẳng y = 4x+3. A. m = ±2. Lời giải. B. m 6= ±2. C. m 6= 2. D. m 6= −2. Để đường thẳng y = m2 x + 2 cắt đường thẳng y = 4x + 3 khi và chỉ khi m2 6= 4 ⇔ m 6= ±2.  Chọn đáp án B Câu 18. Cho hàm số y = 2x + m + 1. Tìm giá trị thực của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. A. m = 7. B. m = 3. C. m = −7. D. m = ±7. Lời giải. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 ⇒ A(3; 0) thuộc đồ thị hàm số ⇒ 0 = 2 × 3 + m + 1 ⇔ m = −7.  Chọn đáp án C Câu 19. Cho hàm số y = 2x + m + 1. Tìm giá trị thực của m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −2. A. m = −3. B. m = 3. C. m = 0. D. m = −1. Lời giải. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −2 ⇒ B(0; −2) thuộc đồ thị hàm số ⇒ −2 = 2 × 0 + m + 1 ⇔ m = −3.  Chọn đáp án A Câu 20. Tìm giá trị thực của m để hai đường thẳng d : y = mx − 3 và ∆ : y + x = m cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung. A. m = −3. B. m = 3. C. m = ±3. D. m = 0. Lời giải. Gọi(A(0; a) là giao thẳng nằm trên trục tung. ( điểm hai đường ( A∈d a=0×m−3 a = −3 ⇒ ⇒ ⇔ A∈∆ a+0=m m = −3.  Chọn đáp án A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 297/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Câu 21. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hai đường thẳng d : y = mx − 3 và ∆ : y + x = m cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành. √ √ A. m = 3. B. m = ± 3. √ C. m = − 3. D. m = 3. Lời giải. Gọi(B(b; 0) là giao thẳng nằm ” trên trục hoành ( điểm hai đường ( √ 2 B∈d 0=m×b−3 b =3 b=m= 3 ⇒ ⇒ ⇔ ⇔ √ b = m = − 3. B∈∆ 0+b=m b=m Chọn đáp án B  Câu 22. Cho hàm số bậc nhất y = ax + b. Tìm a và b, biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm M (−1; 1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 5. 1 5 1 5 1 5 A. a = ; b = . B. a = − ; b = − . C. a = ; b = − . 6 6 6 6 6 6 Lời giải. Đồ thị hàm số đi qua điểm M (−1; 1) ⇒ 1 = a × (−1) + b. (1) 1 5 D. a = − ; b = . 6 6 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 5 ⇒ 0 =  a × 5 + b. (2) 1 ( (  a = − −a+b=1 1 = a × (−1) + b 6 ⇔ ⇔ Từ (1) và (2), ta có hệ 5  5a + b = 0 0=a×5+b b = . 6 Chọn đáp án D  Câu 23. Cho hàm số bậc nhất y = ax + b. Tìm a và b, biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng ∆1 : y = 2x + 5 tại điểm có hoành độ bằng −2 và cắt đường thẳng ∆2 : y = −3x + 4 tại điểm có tung độ bằng −2. 3 1 A. a = ; b = . 4 2 Lời giải. 3 1 B. a = − ; b = . 4 2 3 1 C. a = − ; b = − . 4 2 3 1 D. a = ; b = − . 4 2 Với x = −2 thay vào y = 2x + 5, ta được y = 1. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng ∆1 tại điểm có hoành độ bằng −2 nên đi qua điểm A(−2; 1). Do đó ta có 1 = a × (−2) + b. (1) Với y = −2 thay vào y = −3x + 4, ta được x = 2. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = −3x + 4 tại điểm có tung độ bằng −2 nên đi qua điểm B(2; −2). Do đó ta có −2 = a × 2 + b. (2)  3 ( (  a = − 1 = a × (−2) + b − 2a + b = 1 4 Từ (1) và (2), ta có hệ ⇔ ⇔ 1  −2=a×2+b 2a + b = −2 b = − . 2 Chọn đáp án C  Câu 24. Tìm giá trị thực của tham số m để ba đường thẳng y = 2x, y = −x − 3 và y = mx + 5 phân biệt và đồng qui. A. m = −7. B. m = 5. C. m = −5. D. m = 7. Lời giải. Tọa ( độ giao điểm(A của hai đường thẳng y = 2x và y = −x − 3 là nghiệm của hệ y = 2x x = −1 ⇔ ⇒ A(−1; −2). y = −x − 3 y = −2  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 298/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Để ba đường thẳng đồng quy thì đường thẳng y = mx + 5 đi qua A ⇒ −2 = −1 × m + 5 ⇒ m = 7. Thử lại, với m = 7 thì ba đường thẳng y = 2x; y = −x − 3 ; y = 7x + 5 phân biệt và đồng quy.  Chọn đáp án D Câu 25. Tìm giá trị thực của tham số m để ba đường thẳng y = −5 (x + 1), y = mx+3 và y = 3x+m phân biệt và đồng qui. A. m 6= 3. C. m = −13. B. m = 13. D. m = 3. Lời giải. Để ba đường thẳng phân biệt khi m 6= 3 và m 6= −5. Tọa ( độ giao điểm(B của hai đường thẳng y = mx + 3 và y = 3x + m là nghiệm của hệ y = mx + 3 x=1 ⇔ ⇒ B(1; 3 + m). y = 3x + m y =3+m Để ba đường thẳng đồng quy thì đường thẳng y = −5(x + 1) đi qua B(1; 3 + m) ⇒ 3 + m = −5 (1 + 1) ⇒ m = −13.  Chọn đáp án C Câu 26. Cho hàm số y = x − 1 có đồ thị là đường ∆. Đường thẳng ∆ tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích S bằng bao nhiêu? 1 B. S = 1. A. S = . 2 Lời giải. C. S = 2. 3 D. S = . 2 Giao điểm của ∆ với trục hoành, trục tung lần lượt là A (1; 0) , B (0; −1). 1 1 Ta có OA = 1, OB = 1 ⇒ Diện tích tam giác OAB là SOAB = × OA × OB = . 2 2 Chọn đáp án A  Câu 27. Tìm phương trình đường thẳng d : y = ax + b. Biết đường thẳng d đi qua điểm I(2; 3) và tạo với hai tia Ox, Oy một tam giác vuông cân. A. y = x + 5. B. y = −x + 5. C. y = −x − 5. D. y = x − 5. Lời giải. Đường thẳng d : y Å = ax +ãb đi qua điểm I(2; 3) ⇒ 3 = 2a + b (∗) b Ta có d ∩ Ox = A − ; 0 ; d ∩ Oy = B(0; b). a b b Suy ra OA = − = − và OB = |b| = b (do A, B thuộc hai tia Ox, Oy). a a ” b=0 b Tam giác OAB vuông tại O. Do đó, ∆OAB vuông cân khi OA = OB ⇒ − = b ⇒ a a = −1. • Với b = 0 ⇒ A ≡ B ≡ O(0; 0) không thỏa mãn bài toán. ( ( 3 = 2a + b a = −1 • Với a = −1, kết hợp với (∗) ta được hệ phương trình ⇔ a = −1 b = 5. Vậy đường thẳng cần tìm là d : y = −x + 5. Chọn đáp án B  Câu 28. Tìm phương trình đường thẳng d : y = ax + b. Biết đường thẳng d đi qua điểm I(1; 2) và tạo với hai tia Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 4. A. y = −2x − 4.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. y = −2x + 4. C. y = 2x − 4. Trang 299/2406 D. y = 2x + 4. ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Lời giải. Đường thẳng d : y Å = ax +ãb đi qua điểm I(1; 2) ⇒ 2 = a + b. (1) b Ta có d ∩ Ox = A − ; 0 ; d ∩ Oy = B(0; b). a b b Suy ra OA = − = − và OB = |b| = b (do A, B thuộc hai tia Ox, Oy). a a Tam giác OAB vuông tại O. Do đó, ta có Å ã 1 1 b S4ABC = OA × OB = 4 ⇒ × − × b = 4 ⇒ b2 = −8a. (2) 2 2 a Từ (1) suy ra b = 2 − a. Thay vào (2), ta được (2 − a)2 = −8a ⇔ a2 − 4a + 4 = −8a ⇔ a2 + 4a + 4 = 0 ⇔ a = −2. Với a = −2 ⇒ b = 4. Vậy đường thẳng cần tìm là d : y = −2x + 4.  Chọn đáp án B x y + = 1, a 6= 0; b 6= 0 đi qua điểm M (−1; 6) tạo với các tia Ox, Oy một a b tam giác có diện tích bằng 4. Tính S = a +√ 2b. 38 −5 + 7 7 A. S = − . B. S = . C. S = 10. D. S = 6. 3 3 Lời giải. x y −1 6 Đường thẳng d : + = 1 đi qua điểm M (−1; 6) ⇒ + = 1. (1) a b a b Ta có d ∩ Ox = A(a; 0); d ∩ Oy = B(0; b). Suy ra OA = |a| = a và OB = |b| = b (do A, B thuộc hai tia Ox, Oy). 1 1 Tam giác OAB vuông tại O. Do đó, ta có S4ABC = OA × OB = 4 ⇒ ab = 4. (2) 2 2  1 6 (  − + =1 6a − b − ab = 0 a b Từ (1) và (2) ta có hệ ⇔  ab = 8  1 ab = 4 2   b = 6a − 8  ( (    6a − b − 8 = 0 b = 6a − 8 a=2 ⇔ ⇔ ⇔   ab = 8 a(6a − 8) − 8 = 0    a = −2. 3 Do A thuộc tia Ox ⇒ a = 2. Khi đó, b = 6a − 8 = 4. Suy ra a + 2b = 10. Câu 29. Đường thẳng d :  Chọn đáp án C Câu 30. Tìm phương trình đường thẳng d : y = ax + b. Biết đường thẳng d đi qua điểm I(1; 3), cắt √ hai tia Ox, Oy và cách gốc tọa độ một khoảng bằng 5. A. y = 2x + 5. B. y = −2x − 5. C. y = 2x − 5. D. y = −2x + 5. Lời giải. Đường thẳng d : y Å = ax +ãb đi qua điểm I(1; 3) ⇒ 3 = a + b. (1) b Ta có d ∩ Ox = A − ; 0 ; d ∩ Oy = B(0; b). a b b Suy ra OA = − = − và OB = |b| = b (do A, B thuộc hai tia Ox, Oy). a a  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 300/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng d. Xét tam giác AOB vuông tại O, có đường cao OH nên ta có a2 1 1 1 1 1 = = + ⇔ + ⇔ b2 = 5a2 + 5. (2) OH 2 OA2 OB 2 5 b 2 b2  a = −2 Từ (1) suy ra b = 3 − a. Thay vào (2), ta được (3 − a)2 = 5a2 + 5 ⇔ 4a2 + 6a − 4 = 0 ⇔  1 a= . 2 1 b b 5 • Với a = , suy ra b = . Suy ra OA = − = − = −5 < 0 (Loại). 2 2 a a • Với a = −2, suy ra b = 5. Vậy đường thẳng cần tìm là d : y = −2x + 5.  Chọn đáp án D Câu 31. Đồ thị hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 1 x 1 O B. y = −x + 2. A. y = x + 1. D. y = −x + 1. C. y = 2x + 1. Lời giải. Đồ thị đi xuống từ trái sang phải ⇒ hệ số góc a < 0. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 1). Do đó, hàm số y = −x + 1 thỏa bài toán.  Chọn đáp án D Câu 32. Hàm số y = 2x − 1 có đồ thị là hình nào trong bốn hình sau? y y y O x O 1 x 1 −1 A. x O −1 . B. y O 1 −1 . C. x 1 −1 . D. . Lời giải. Å ã 1 Giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x − 1 với trục hoành là ;0 . 2 Giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x − 1 với trục tung là (0; −1). Chỉ có A thỏa mãn  Chọn đáp án A Câu 33.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 301/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Cho hàm số y = ax + b có đồ thị là hình bên. Tìm a và b. 3 A. a = −2 và b = 3. B. a = − và b = 2. 2 3 C. a = −3 và b = 3. D. a = và b = 3. 2 y 3 −2 x O Lời giải. Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A (−2; 0) suy ra −2a + b = 0. (1) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm B (0; 3) suy rab = 3. (2) ( ( a = 3 − 2a + b = 0 2a = 3 2 Từ (1) và (2) suy ra ⇔ ⇔  b=3 b=3 b = 3.  Chọn đáp án D Câu 34. Đồ thị hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn y phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y = |x|. B. y = −x. C. y = |x| với x > 0. D. y = −x với x < 0. 1 x −1 O Lời giải. Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn “bên trái” trục tung. Đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải ⇒ a < 0. Nên nhận hàm số y = −x với x < 0.  Chọn đáp án D Câu 35. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở y bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y = |x|. B. y = |x| + 1. C. y = 1 − |x|. D. y = |x| − 1. 1 x −1 O 1 Lời giải. Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 1). Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là (−1; 0) và (1; 0). Nên nhận hàm số y = 1 − |x|.  Chọn đáp án C Câu 36. Đồ thị hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y = |x| + 1. B. y = 2|x| + 1. C. y = |2x + 1|. y 3 D. y = |x + 1|. 1 −1 O  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 302/2406 x 1 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Lời giải. Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 3). Đồ thị hàm số không có điểm chung với trục hoành. Nên nhận hàm số y = 2|x| + 1.  Chọn đáp án B Câu 37. Đồ thị hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn y phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y = |2x + 3|. B. y = |2x + 3| − 1. C. y = |x − 2|. 2 D. y = |3x + 2| − 1. − 23 O x −2 −1 Lời giải. Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 2). Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là (−2; 0). Nên nhận hàm số y = |2x + 3| − 1.  Chọn đáp án B Câu 38. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án (A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó ( là hàm số nào? 2x − 3 khi x ≥ 1 2x − 3 khi x < 1 A. f (x) = . B. f (x) = . x − 2 khi x < 1 x − 2 khi x ≥ 1 ( 3x − 4 khi x ≥ 1 . D. y = |x − 2|. C. f (x) = −x khi x < 1 y O 1 2 x −1 −3 Lời giải. Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là (2; 0). Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; −3). Nên nhận hàm số f (x) = Chọn đáp án B ( 2x − 3 khi x < 1 x−2 . khi x ≥ 1  Câu 39. Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây? A. y = 2x − 1. B. y = |2x − 1|. x −∞ C. y = 1 − 2x. 1 2 +∞ D. y = −|2x − 1|. +∞ +∞ y 0 Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 303/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Dựa vào bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía trên trục Ox. Nên nhận hàm số y = |2x − 1|.  Chọn đáp án B Câu 40. Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây? A. y = |4x + 3|. B. y = |4x − 3|. x C. y = | − 3x + 4|. 4 3 −∞ +∞ D. y = |3x + 4|. +∞ +∞ y 0 Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta có x = 4 thì y = 0. Nên nhận hàm số y = | − 3x + 4|. 3  Chọn đáp án C Câu 41. Cho hàm số y = 2x − 3 có đồ thị là đường thẳng d. Xét các phát biểu sau (I). Hàm số y = 2x − 3 đồng biến trên R. (II). Đường thẳng d song song với đồ thị hàm số 2x + y − 3 = 0. (III). Đường thẳng d cắt trục Ox tại A (0; −3). Số các phát biểu đúng là A. 2. Lời giải. B. 0. C. 3. D. 1. Hàm số y = 2x − 3 có hệ số a = 2 > 0 nên hàm số đồng biến trên R ⇒(I) đúng. ( x = 3 y = 2x − 3 2 ⇒ d cắt đồ thị hàm số Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình ⇔  2x + y − 3 = 0 y=0 Å ã 3 2x + y − 3 = 0 tại điểm ; 0 ⇒ (II) sai. 2 Å ã 3 3 Giao Ox cho y = 0 ⇔ 2x − 3 = 0 ⇔ x = ⇒ d giao Ox tại điểm ; 0 ⇒ (III) sai. 2 2 Vậy số các phát biểu đúng là 1. Chọn đáp án D  Câu 42. Cho hàm số y = 2x − 3 có đồ thị là đường thẳng d. Xét các phát biểu sau (I) Hàm số y = 2x − 3 đồng biến trên R. (II) Đường thẳng d song song với đồ thị hàm số 2x + y − 3 = 0. (III) Đường thẳng d cắt trục Ox tại A(0; −3). Số các phát biểu đúng là A. 2. Lời giải. B. 0. C. 3. D. 1. • Hàm số y = 2x − 3 có hệ số a = 2 > 0 nên hàm số đồng biến trên R nên (I) đúng.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 304/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI • Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình  x = 3 2 suy ra d cắt đồ ⇔  2x + y − 3 = 0 y=0 ( y = 2x − 3 Å ã 3 thị hàm số 2x + y − 3 = 0 tại điểm ; 0 nên (II) sai. 2 Å ã 3 3 • Giao Ox: cho y = 0 ⇔ 2x − 3 = 0 ⇔ x = ⇒ giao Ox tại điểm ; 0 nên (III) sai. 2 2 Vậy số các phát biểu đúng là 1. Chọn đáp án D  Câu 43. Tìm phương trình đường thẳng d : y = ax + b, biết đường thẳng d đi qua điểm I(1; 3) và tạo với hai tia Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 6. √ √ A. y = −3x + 6. B. y = (9 − 72)x + 72 − 6. √ √ C. y = (9 + 72)x − 72 − 6. D. y = 3x + 6. Lời giải. d qua I(1; 3) nên 3 = a + b Å(1). ã b b d cắt Ox và Oy lần luợt tại A − ; 0 và B (0; b) với − > 0 và b > 0 hay a < 0 và b > 0. a a b · b = 12 (2). Diện tích 4OAB bằng 6 nên OA · OB = 12 ⇔ a ( a = −3 Từ (1), (2) suy ra b = 6. Vậy phương trình đường thẳng là d : y = −3x + 6.  Chọn đáp án A Câu 44. Gọi M , N là giao điểm của đường thẳng d : y = x − 1 và đường cong (C ) : y = 2x − 1 . Hoành x+5 độ trung điểm I của đoạn thẳng M N bằng A. 1. B. −1. C. −2. D. 2. Lời giải. Hoành độ của 2 điểm M , N là nghiệm của phương trình 2x − 1 = x − 1, x 6= −5 x+5 ⇔ 2x − 1 = (x − 1)(x + 5), x 6= −5 ⇔ x2 + 2x − 4 = 0, x 6= −5 ” √ x = −1 − 5 ⇔ √ x = −1 + 5. Do đó trung điểm I của đoạn M N có hoành độ là xI = −1 − √ 5 + (−1 + 2 √ 5) = −1.  Chọn đáp án B Câu 45. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [−3; 3] để hàm số f (x) = (m + 1)x + m − 2 đồng biến trên R. A. 7. B. 5. C. 4. D. 3. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 305/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Để hàm số f (x) = (m + 1)x + m − 2 đồng biến trên R thì m + 1 > 0 ⇔ m > −1. Do m ∈ [−3; 3] nên các giá trị nguyên của tham số m là 0, 1, 2, 3. Vậy có 4 giá trị nguyên thỏa yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án C Câu 46. Tìm m để hàm số y = m(x + 2) − x(2m + 1) nghịch biến trên R. 1 A. m > −2. B. m < − . C. m > −1. 2 Lời giải. 1 D. m > − . 2 Ta có y = m(x + 2) − x(2m + 1) = mx + 2m − x(2m + 1) = (−m − 1)x + 2m. Để hàm số nghịch biến trên R thì −m − 1 < 0 ⇔ m > −1. Chọn đáp án C  Câu 47. Biết rằng đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua điểm M (1; 4) và song song với đường thẳng y = 2x + 1. Tính tổng S = a + b. A. S = 4. Lời giải. B. S = 2. C. S = 0. Do đồ thị của hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = 2x + 1 nên D. S = −4. ( a=2 b 6= 1. Mặt khác đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua điểm M (1; 4) nên a + b = 4 ⇒ b = 2. Vậy S = a + b = 4. Chọn đáp án A  Câu 48. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = (3m + 2)x − 7m − 1 vuông góc với đường thẳng ∆ : y = 2x − 1. A. m = 0. 5 B. m = − . 6 5 C. m < . 6 1 D. m > − . 2 Lời giải. Để đường thẳng d : y = (3m + 2)x − 7m − 1 vuông góc với đường thẳng ∆ : y = 2x − 1 thì 2(3m + 2) = 5 −1 ⇒ m = − . 6  Chọn đáp án B Câu 49. Biết rằng đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(−3; 1) và có hệ số góc bằng k = −2. Tính tích P = ab. A. P = −10. Lời giải. C. P = −7. B. P = 10. D. P = −5. Do đồ thị hàm số y = ax + b có hệ số góc k = −2 nên a = −2. Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(−3; 1) nên 1 = −3a + b ⇒ b = −5. Vậy P = ab = 10. Chọn đáp án B  Câu 50. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y = A. (0; −1). B. (2; −3). x  1 − 3x và y = − + 1 là 4Å 3 ã 1 C. 0; . D. (3; −2). 4 Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 306/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI x  1 − 3x và y = − + 1 là Phương trình hoành độ giao điểm của y = 4 3 x  1 − 3x =− + 1 ⇒ x = 3. 4 3 Khi x = 3 thì y = −2. x  1 − 3x Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y = và y = − + 1 là (3; −2). 4 3 Chọn đáp án D  Câu 51. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = m2 x + 2 cắt đường thẳng y = 4x + 3. A. m = ±2. B. m 6= ±2. C. m 6= 2. D. m 6= −2. Lời giải. Để đường thẳng y = m2 x + 2 cắt đường thẳng y = 4x + 3 thì m2 6= 4 ⇔ m 6= ±2.  Chọn đáp án B Câu 52. Cho hàm số bậc nhất y = ax + b. Tìm a và b, biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm M (−1; 1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5. 5 1 5 1 B. a = − ; b = − . A. a = ; b = . 6 6 6 6 Lời giải. 1 5 C. a = ; b = − . 6 6 1 5 D. a = − ; b = . 6 6 Để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm M (−1; 1) thì −a + b = 1. Do đồ thị hàm số y = ax + b cắt trục hoành tạiđiểm có hoành độ bẳng 5 nên 5a + b = 0. 1 (  a = − −a+b=1 6 Do đó ta có hệ phương trình ⇔ 5  5a + b = 0 b = . 6 Chọn đáp án D  Câu 53. Tìm giá trị thực của tham số m để ba đường thẳng y = 2x, y = −x − 3 và y = mx + 5 phân biệt và đồng quy. A. m = −7. B. m = 5. C. m = −5. D. m = 7. Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 2x và y = −x − 3 là 2x = −x − 3 ⇔ x = −1. Với x = −1 thì y = −2. Để ba đường thẳng y = 2x, y = −x − 3 và y = mx + 5 phân biệt và đồng quy thì đường thẳng y = mx + 5 đi qua điểm (−1; −2) nên −2 = −m + 5 ⇒ m = 7. Chọn đáp án D  Câu 54.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 307/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Đồ thị hình vẽ dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt y kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y = |x| + 1. B. y = 2|x| + 1. C. y = |2x + 1|. D. y = x + 1. 3 1 −1 O x 1 Lời giải. Với x ( > 0. Gọi đường(thẳng d : y = ax + b. Khi đó d đi qua điểm (0; 1) và (1; 3) nên ta có hệ phương b=1 a=2 trình ⇒ a+b=3 b = 1. Vậy y = 2x + 1. Với x < 0, ta thấy phần đường thẳng này đối xứng với đường thẳng d qua trục Oy nên hàm số đã cho là y = 2|x| + 1. Chọn đáp án B  Câu 55. Đồ thị hình vẽ dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được y liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số 1 nào? A. f (x) = C. f (x) = ( 2x − 3 , x ≥ 1 x − 2 ,x < 1 ( 3x − 4 , x ≥ 1 −x ( 2x − 3 , x < 1 . B. f (x) = . D. f (x) = |x − 2|. x−2 ,x ≥ 1 . −1 O 1 2 x −1 ,x < 1 −3 Lời giải. Trường hợp 1: x < 1. Gọi d : y = ax + b. Khi đó d đi qua điểm (0; −3) và (1; −1) nên ta có hệ ( b = −3 a + b = −1 ⇔ ( a=2 b = −3. Vậy d : y = 2x − 3. Trường hợp 2: x ≥ 1. Gọi d0 : y = ax + b. Khi đó d0 đi qua điểm (2; 0) và (1; −1) nên ta có hệ ( 2a + b = 0 a + b = −1 ⇔ ( a=1 b = −2. 0 Vậy d : y = x − 2.  Chọn đáp án B Câu 56. Cho phương trình đường thẳng y = ax + b có đồ thị đi qua điểm E(2; −1) và song song với đường thẳng ON với O là gốc tọa độ và N (1; 3). Tính giá trị biểu thức S = a2 + b2 .  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 308/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A. S = −4. B. S = −40. C. S = −58. D. S = 58. Lời giải. Phương trình đường thẳng ON : y = 3x. Do đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng ON nên ( a=3 b 6= 0. Do đường thẳng y = ax + b đi qua điểm E(2; −1) nên −1 = 2a + b ⇒ b = −7. Vậy giá trị biểu thức S = a2 + b2 = 32 + (−7)2 = 58.  Chọn đáp án D Câu 57. Tìm các giá trị thực của tham số m để hai đường thẳng d : y = mx − 3 và ∆ : y + x = m cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung. A. m = −3. B. m = 3. C. m = ±3. D. m = 0. Lời giải. Ta có ∆ : y = −x + 3. Để đường thẳng d và ∆ cắt nhau thì m 6= −1. Phương trình hoành độ giao điểm của d và ∆ là mx − 3 = −x + m ⇔ x = Do d và ∆ cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung nên m+3 . m+1 m+3 = 0 ⇔ m + 3 = 0 ⇔ m = −3. m+1  Chọn đáp án A Câu 58. Cho hàm số y = x − 1 có đồ thị là đường thẳng ∆. Đường thẳng ∆ tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích S bằng bao nhiêu? 1 3 A. S = . B. S = 1. C. S = 2. D. S = . 2 2 Lời giải. Đường thẳng ∆ : y = x − 1 cắt trục Ox tại A(1; 0) và cắt trục Oy tại B(0; −1). 1 1 1 Khi đó 4OAB vuông tại O. Vậy S = · OA · OB = · 1 · 1 = . 2 2 2 Chọn đáp án A  Câu 59. Tìm phương trình đường thẳng d : y = ax + b. Biết đường thẳng d đi qua điểm I(2; 3) và tạo với hai tia Ox, Oy một tam giác vuông cân. A. y = x + 5. B. y = −x + 5. C. y = −x − 5. D. y = x − 5. Lời giải. Do đường thẳng d đi Å qua I(2; 3)ãnên 3 = 2a + b ⇒ b = 3 − 2a. Suy ra d : y = ax + 3 − 2a (a 6= 0). 2a − 3 Ta có d cắt Ox tại A ; 0 và cắt trục Oy tại B(0; 3 − 2a). a Do I(2; 3) thuộc góc phần tư thứ nhất và do d tạo với hai tia Ox, Oy một tam giác vuông cân nên  3 a= 2a − 3 2 = 3 − 2a ⇒  a a = −1. 3 Khi đó phương trình đường thẳng d : y = −x + 5 hoặc d : y = x. 2 Chọn đáp án B   Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 309/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Câu 60. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2018; 2018] để hàm số y = (m − 2)x + 2 đồng biến trên R ? A. 2017. B. 2015. C. Vô số. D. 2016. Lời giải. Hàm số y = (m − 2)x + 2 đồng biến trên R ⇔ m − 2 > 0 ⇔ m > 2 Mà m ∈ [−2018; 2018]; m ∈ Z nên m ∈ {3; 4; 5; 6; …; 2018}. Vậy có 2016 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.  Chọn đáp án D D Câu 61. Một hàm số bậc nhất y = f (x) thỏa mãn f (−1) = 2 và f (2) = −3. Hàm số đó là −5x + 1 −5x − 1 . B. y = . C. y = 2x − 3. D. y = −2x + 3. A. y = 3 3 Lời giải. Đặt f (x) = ax + b. Từ giả thiết ta được hệ phương trình  5 (  a = − −a+b=2 3 ⇔ 1  2a + b = −3 b = . 3 Vậy y = f (x) = −5x + 1 . 3  Chọn đáp án B B Câu 62. Cho hai đường thẳng d1 : mx + (m − 1)y − 2(m + 2) = 0 và d2 : 3mx − (3m + 1)y − 5m − 4 = 0. 1 Khi m = thì d1 và d2 3 A. trùng nhau. B. cắt nhau tại một điểm. C. vuông góc với nhau. D. song song với nhau. Lời giải. 1 1 2 14 1 17 1 17 ta được d1 : x − y − = 0 ⇔ y = x − 7 và d2 : x − 2y − =0⇔y = x− . 3 3 3 ( 3 2 3 2 6 0 a=a Ta thấy, hai đường thẳng này có nên d1 ∥ d2 . b 6= b0 Khi m =  Chọn đáp án D D Câu 63. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(−1; 2) và B(3; 1) là 3x 7 3x 1 x 1 A. y = + . B. y = − + . C. y = + . 2 2 2 2 4 4 Lời giải. x 7 D. y = − + . 4 4 Phương trình đường thẳng có dạng d : y = ax + b. Do d đi qua A, B nên ta có  1  a = − 4 ⇔ 7  1 = 3a + b b = . 4 ( 2 = −a + b  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 310/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI x 7 Vậy d : y = − + . 4 4 Chọn đáp án D  D Câu 64. Hàm số y = (m − 1)x + m2 + 2 đồng biến trên R khi A. m > 1. B. m ≤ 1. C. m ≥ 1. D. m < 1. Lời giải. • Nếu m = 1 thì hàm số trở thành y = 3 là đường thẳng song song với trục hoành nên hàm số không đồng biến trên R. • Nếu m 6= 1 thì y = (m − 1)x + m2 + 2 là hàm bậc nhất nên đồng biến trên R khi m − 1 > 0 ⇔ m > 1.  Chọn đáp án A A Câu 65. Cho đường thẳng có phương trình y = ax + b đi qua hai điểm M (1; 3), N (2; −4). Giá trị của a và b là A. a = −7; b = −10. B. a = 7; b = 10. C. a = 7; b = −10. D. a = −7; b = 10. Lời giải. Đường thẳng y = ax + b đi qua M (1; 3) nên ta có a + b = 3. Đường thẳng qua M (2; −4) nên ta có 2a + b = −4. ( y = ax + b đi ( a+b=3 a = −7 Ta có hệ ⇔ . 2a + b = −4 b = 10  Chọn đáp án D D Câu 66. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào luôn đồng biến trên R? x x 1 3 A. y = − 2. B. y = − + 2. C. y = x2 + 2. D. y = + 2. 3 3 3 x Lời giải. x 1 Hàm số y = − 2 là hàm số bậc nhất có hệ số a = > 0 nên hàm số đó đồng biến trên R. 3 3 Chọn đáp án A  A Câu 67. Trên một hệ trục tọa độ Oxy, độ dài được tính theo đơn vị cm, đường thẳng y = 2x − 2 tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng A. 3 cm2 . B. 4 cm2 . C. 2 cm2 . D. 1 cm2 . Lời giải. Gọi d là đường thẳng y = 2x − 2. Có d ∩ Ox = A(1; 0), d ∩ Oy = B(0; −2). 1 1 S∆OAB = OA · OB = |1|| − 2| = 1 (cm2 ). 2 2 Chọn đáp án D D  Câu 68. Cho hàm số y = −x2 + 4x + 2. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số giảm trên khoảng (3; +∞).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. Hàm số giảm trên khoảng (−∞; +∞). Trang 311/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI C. Hàm số giảm trên khoảng (−∞; 2). D. Hàm số tăng trên khoảng (−∞; 6). Lời giải. Ta có a = −1, b = 4, c = 2, suy ra − b = 2. 2a Ta có bảng biến thiên x −∞ 2 +∞ 6 f (x) −∞ −∞ Vậy hàm số giảm trên khoảng (3; +∞).  Chọn đáp án A A Câu 69. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = (3m + 4)x + 5m đồng biến trên R. 4 4 4 4 B. m > − . C. m 6= − . D. m = − . A. m < − . 3 3 3 3 Lời giải. 4 Hàm số y = (3m + 4)x + 5m đồng biến trên R khi và chỉ khi 3m + 4 > 0 ⇔ m > − . 3 Chọn đáp án B  B Câu 70. Đường thẳng đi qua điểm A(1; 3) và song song với đường thẳng y = x + 1 có phương trình là A. y = x − 2. B. y = x + 2. C. y = 2x + 1. D. y = −x + 4. Lời giải. Đường thẳng d song song với đường thẳng y = x + 1 có dạng y = x + b với b 6= 1. Vì A(1; 3) ∈ d nên b = 2. Vậy d : y = x + 2.  Chọn đáp án B B Câu 71. Đồ thị hàm số y = x + 1 đi qua điểm nào sau đây? A. (0; 1). B. (2; −1). C. (0; 2). D. (1; 0). Lời giải. Đồ thị hàm số y = x + 1 đi qua điểm (0; 1).  Chọn đáp án A A Câu 72. Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(1; 5) và B(−2; 8) thì a, b bằng A. −1; 6. B. 1; 6. C. 1; 6. D. −1; −6. Lời giải. Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(1; 5) và B(−2; 8) nên ( ( a+b=5 a = −1 ⇔ − 2a + b = 8 b = 6.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 312/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI  Chọn đáp án A A Câu 73. Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 2m + 1 cắt hai trục tọa độ tạo ra một tam giác có diện tích 25 . bằng 2 A. 2; 4. B. −2; 3. C. −2. D. 2; 3. Lời giải. Đồ thị hàm số y = x − 2m + 1 cắt hai trục tại hai điểm A(0; −2m + 1) và B(2m − 1; 0). 25 Vì diện tích tam giác OAB bằng nên 2 ” m = −2 1 25 OA · OB = ⇔ (2m − 1)2 = 25 ⇔ 2 2 m = 3.  Chọn đáp án B B Câu 74. Đường thẳng y = 4x + 5 song song với đường thẳng nào sau đây A. y = 4x − 3. B. y = −3x + 2. C. y = 3x + 1. D. y = 4x + 5. Lời giải. Đường thẳng y = 4x + 5 song song với đường thẳng y = 4x − 3.  Chọn đáp án A A Câu 75. Xác định hàm số y = ax + b, biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm A (1; −3) và B (−1; 5). A. y = 4x + 1. B. y = −4x − 1. C. y = 4x − 1. D. y = −4x + 1. Lời giải. Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A và B ⇔ ( a + b = −3 −a+b=5 ⇔ ( a = −4 . b=1 Vậy hàm số đã cho là y = −4x + 1.  Chọn đáp án D D Câu 76. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y = 2x − 3? A. N (1; 1). B. P (−2; −7). C. M (0; 3). D. Q(−1; 5). Lời giải. Thay tọa độ điểm M, N , P , Q vào hàm số y = 2x − 3. Ta thấy −7 = 2 · (−2) − 3 ⇒ P thuộc đồ thị hàm số y = 2x − 3.  Chọn đáp án B B Câu 77.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 313/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên? y A. y = −3x − 4. B. y = 2x − 3. C. y = 3x − 4. D. y = −2x + 1. −1 O 1 x −1 −2 −3 −4 Lời giải. Theo hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đồng biến, suy ra hệ số góc a > 0, từ đó ta loại hàm số y = −3x−4 và y = −2x + 1. Bên cạnh đó, đồ thị hàm số qua điểm (0; −4), suy ra hàm số cần tìm là y = 3x − 4. Chọn đáp án C  C Câu 78. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghịch biến trên R? A. y = −2x + 1. B. y = 2x − 1. C. y = −x2 + 2. D. y = −5. Lời giải. Hàm số y = −2x + 1 nghịch biến trên R.  Chọn đáp án A A x Câu 79. Đồ thị của hàm số y = − + 2 là hình nào? 2 y y −4 2 x O 4 x −2 A. B. y O y 4 O 2 x −4 −2 C. D. O x Lời giải. x Đồ thị hàm số y = − + 2 cắt trục Ox tại điểm (4; 0) và cắt trục Oy tại điểm (0; 2). 2 Chọn đáp án B  B Câu 80.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 314/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Hình vẽ bên là của đồ thị hàm số nào? y A. y = x − 2. B. y = −x − 2. C. y = −2x − 2. D. y = 2x − 2. 1 O x −2 Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy • Hàm số đồng biến nên a > 0. • Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (1; 0), cắt trục Oy tại điểm (0; −2). Đối chiếu với các phương án ta được hàm số cần tìm là y = 2x − 2. Chọn đáp án D  D Câu 81. Tìm hai số thực a, b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(1; 2) và B(−2; 4). 5 3 4 10 3 2 8 A. a = và b = − . B. a = − và b = . C. a = − và b = 4. D. a = − và b = . 2 4 3 3 2 3 3 Lời giải. Vì đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(1; 2) và B(−2; 4) nên ta có  2 (  a = − a+b=2 3 ⇔ 8  − 2a + b = 4 b = . 3  Chọn đáp án D D Câu 82. Hàm số nào trong bốn phương án liệt kê ở các đáp án A, B, C, D có đồ thị như hình bên? A. y = −x + 2. C. y = x + 1. y B. y = 2x + 1. D. y = −x + 1. 1 O 1 x Lời giải. Đồ thị hàm số đã cho đi qua 2 điểm (1; 0) và (0; 1). Do đó hàm y = −x + 1 thỏa mãn.  Chọn đáp án D D Câu 83. Hàm số bậc nhất y = f (x) có f (−1) = 2 và f (2) = −3. Hàm số đó là −5x + 1 −5x − 1 A. f (x) = −2x + 3. B. f (x) = . C. f (x) = 2x − 3. D. f (x) = . 3 3 Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 315/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI y = f (x) là hàm số bậc nhất nên có dạng y = ax + b, a 6= 0. Ta có  5 ( (  a = − f (−1) = 2 −a+b=2 3 ⇒ ⇒ 1  f (2) = −3 2a + b = −3 b = . 3 −5x + 1 . 3 Chọn đáp án B Vậy f (x) =  B Câu 84. Đường thẳng d : y = (m − 3)x − 2m + 1 cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB cân. Khi đó, số giá trị của m thỏa mãn là A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. Lời giải. 2m − 1 . m−3 d : y = (m − 3)x − 2m + 1 cắt Oy tại B(0; b) nên b = (m − 3) · 0 − 2m + 1 = −2m + 1. d : y = (m − 3)x − 2m + 1 cắt Ox tại A(a; 0) nên 0 = (m − 3)a − 2m + 1 ⇒ a = Vì 4OAB vuông tại O nên 4OAB cân tại O.  1 m=  2 2m − 1  Do đó OA = OB ⇔ = | − 2m + 1| ⇔ | − 2m + 1|(|m − 3| − 1) = 0 ⇔ m = 4  m−3 m = 2. Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn bài toán.  Chọn đáp án C C Câu 85. Giá trị nào của k thì hàm số y = (k − 1)x + k − 2 nghịch biến trên tập xác định của hàm số A. k < 2. B. k > 1. C. k < 2. D. k < 1. Lời giải. Hàm số y = (k − 1)x + k − 2 nghịch biến trên tập xác định của nó khi và chỉ khi k − 1 < 0 ⇔ k < 1. Chọn đáp án D  D Câu 86. Đường x A. y = − + 4 Lời giải. thẳng đi qua hai điểm A(−1; 2), B(3; 1) có phương trình nào sau đây? 7 x 1 3x 7 3x 1 . B. y = + . C. y = + . D. y = − + . 4 4 4 2 2 2 2 Gọi (d) là đường thẳng có phương trình y = ax  + b. 1 (  a = − −a+b=2 4 (d) qua A(−1; 2), B(3; 1) nên ⇔ 7  3a + b = 1 b = . 4 x 7 Vậy đường thẳng (d) có phương trình y = − + . 4 4 Chọn đáp án A  A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 316/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Câu 87. Cho hai đường thẳng d1 : y = mx + 2 và d2 : y = (2m + 1)x. Để d1 ∥ d2 thì giá trị của m là A. m = −1. B. m = 1. C. m = 0. D. m tùy ý. Lời giải. Ta có d1 ∥ d2 ⇔ m = 2m + 1 ⇔ m = −1.  Chọn đáp án A A Câu 88. Tìm a để đường thẳng y = ax − 1 đi qua điểm M (1; 3). A. a = 2. B. a = 4. C. a = 1. D. a = 0. Lời giải. Đường thẳng y = ax − 1 đi qua điểm M (1; 3) nên 3 = a · 1 − 1 ⇔ a = 4. Chọn đáp án B  B Câu 89. Điểm nào dưới đây thuộc đồ thị hàm số y = 3x − 1. A. (1; 1). Lời giải. B. (2; 5). C. (2; 3). D. (0; 1). Ta có • Với x = 0 thì y = 3 · 0 − 1 = −1. • Với x = 1 thì y = 3 · 1 − 1 = 2. • Với x = 2 thì y = 3 · 2 − 1 = 5. Vậy điểm thuộc đồ thị hàm số y = 3x − 1 là (2; 5).  Chọn đáp án B B Câu 90. Hàm ( số y = |2x + 10| là hàm số nào sau đây? ( 2x + 10 nếu x > −5 2x + 10 nếu x > −5 A. y = . B. y = . 2x − 10 nếu x < −5 − 2x + 10 nếu x < −5 ( ( 2x + 10 nếu x > 5 2x + 10 nếu x > −5 C. y = . D. y = . − 2x − 10 nếu x < 5 − 2x − 10 nếu x < −5 Lời giải. ( ( 2x + 10 nếu 2x + 10 > 0 2x + 10 nếu x > −5 Ta có y = |2x + 10| = = − (2x + 10) nếu 2x + 10 < 0 − 2x − 10 nếu x < −5.  Chọn đáp án C C Câu 91. Hàm ( số y = |−6x + 12| bằng hàm số nào sau đây? ( − 6x + 12 nếu x 6 2 − 6x + 12 A. y = . B. y = − 6x − 12 nếu x > 2 6x − 12 ( ( − 6x + 12 nếu x 6 2 − 6x + 12 C. y = . D. y = 6x − 12 nếu x > 2 − 6x − 12 Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 317/2406 nếu x > 2 . nếu x < 2 nếu x > 2 . nếu x < 2 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI ( Ta có y = |−6x + 12| = − 6x + 12 nếu − 6x + 12 > 0 − (−6x + 12) nếu − 6x + 12 < 0 ( = − 6x + 12 nếu x 6 2 6x − 12 nếu x > 2.  Chọn đáp án C C Câu 92. Cho parabol (P ) : y = −2×2 + 4x − 7, (P ) có trục đối xứng là A. x = 1. B. y = −1. C. x = −1. D. y = 1. Lời giải. Trục đối xứng của (P ) là x = − 4 , hay x = 1. 2 · (−2)  Chọn đáp án A A Câu 93. Tính diện tích S của tam giác tạo bởi đồ thị hàm số y = 2x − 1 với hai trục tọa độ Ox, Oy. 1 A. S = . 2 Lời giải. B. S = 2. C. S = 4. 1 D. S = . 4 Å ã 1 Đồ thị hàm số đã cho cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A ; 0 , B(0; −1). Suy ra diện tích tam giác 2 1 1 cần tìm là SOAB = · OA · OB = . 2 4 Chọn đáp án D  D Câu 94. Cho hàm số y = (2 + m)x + 3 (với m là tham số). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. Hàm số nghịch biến khi m < −2. B. Hàm số nghịch biến khi m > 2. C. Hàm số nghịch biến khi m = 2. D. Hàm số nghịch biến khi m > −2. Lời giải. Hàm số y = (2 + m)x + 3 nghịch biến trên R khi 2 + m < 0 ⇔ m < −2.  Chọn đáp án A A Câu 95. Đồ thị hàm số y = A. Q(0; −3). Lời giải. ( 2x + 1 khi x ≤ 2 x2 − 3 khi x > 2 B. M (0; 1). đi qua điểm nào sau đây? C. N (0; 3). D. P (−3; 0). Dựa vào cách cho hàm số, ta có hoành độ của các điểm Q, M , N , P đều nhỏ hơn 2 nên lần lượt thay tọa độ các điểm trên vào hàm số g(x) = 2x + 1, ta có được M (0; 1) thỏa mãn.  Chọn đáp án B B Câu 96. Cho hàm số y = (2k − 4)x − 2 có đồ thị (d). Tìm tất cả các giá trị của k để (d) song song với trục hoành. A. k < 2. B. k = −2. C. k = 2. D. k > 2. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 318/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Để đường thẳng (d) song song với trục hoành, ta có ( 2k − 4 = 0 − 2 6= 0 ⇒ k = 2. Vậy k = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án C C Câu 97. Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ. y A. y = |x| + 1. B. y = −|x| + 1. C. y = |x| − 1. D. y = |x|. 1 −1 1 x O Lời giải. Cho x = 0 thì y = 1 loại y = |x| − 1 và y = |x|. Cho y = 0 thì x = ±1 loại y = |x| + 1 và chọn y = −|x| + 1.  Chọn đáp án B B Câu 98. Khẳng định nào về hàm số y = −2x + 3 là sai? A. Hàm số có đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 3). B. Hàm số đồng biến trên R. Å C. hàm số có đồ thị cắt trục hoành tại điểm ã 3 ;0 . 2 D. Hàm số nghịch biến trên R. Lời giải. Hàm số bậc nhất y = −2x + 3 có hệ số a = −2 < 0 nên nghịch biến trên R. Chọn đáp án B  B Câu 99. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b, biết nó có hệ số góc bằng −2 và đồ thị của nó đi qua điểm A(−3; 1). A. y = 2x + 7. B. y = −2x − 5. C. y = 2x + 2. D. y = −2x + 1. Lời giải. Vì hệ số góc bằng −2 nên a = −2. Mặt khác đồ thị đi qua điểm A(−3; 1) nên −2 · (−3) + b = −1 ⇔ b = −5. Vậy y = −2x − 5.  Chọn đáp án B B Câu 100. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hai đường thẳng (d1 ) : y = mx + 3m + 1 và (d2 ) : y = m(m + 2)x + 2m + 1 song song nhau? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 319/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng (d1 ) và (d2 ) là mx + 3m + 1 = m(m + 2)x + 2m + 1 ⇔ (m2 + m)x = m (∗). Ta có (d1 ) ∥ (d2 ) khi và chỉ(khi phương trình (∗) vô nghiệm. m2 + m = 0 Điều kiện tương đương là ⇔ m = −1. m 6= 0 Vậy hai đường thẳng (d1 ) và (d2 ) song song với nhau khi và chỉ khi m = −1.  Chọn đáp án B B Câu 101. Hàm số nào trong các hàm số sau đồng biến trên R? √ 1 B. y = −3x + 5. C. y = − 3x + 5. A. y = x − 5. 3 Lời giải. Hàm số y = ax + b (a 6= 0) đồng biến trên R khi và chỉ khi a > 0. 1 Trong các hàm số đã cho, hàm số đồng biến trên R là y = x − 5. 3 Chọn đáp án A D. y = 1 − 1 x. 23  A Câu 102. Cho các đường thẳng (d1 ) : y = 2x − 1, (d2 ) : y = −x + 2. Tìm tọa độ giao điểm của (d1 ), (d2 ). Å ã Å ã 1 1 1 5 A. (1; 1). B. ; . C. (−1; 3). D. − ; . 3 3 3 3 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (d1 ) và (d2 ) là 2x − 1 = −x + 2 ⇔ x = 1. Thay x = 1 vào phương trình của (d1 ) ta được y = 1. Vậy tọa độ giao điểm của (d1 ) và (d2 ) là (1; 1).  Chọn đáp án A A Câu 103. Đồ thị bên cạnh là đồ thị của một trong các hàm số ở các phương án A, B, C, D. Hỏi đó là hàm số nào? A. y = −2x + 1. B. y = 2x − 1. 1 1 C. y = − x + 1. D. y = x + 1. 2 2 y 2 1 x O 1 2 3 −1 Lời giải. 1 Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (2; 0) nên hàm số cần tìm là y = − x + 1. 2 Chọn đáp án C C  Câu 104. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình: y = kx + k 2 − 3. Tất cả các giá trị của k để đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ là  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 320/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI √ 3. √ C. k = 2. √ B. k = − 2. √ √ D. k = 3 hoặc k = − 3. A. k = Lời giải. √ (d) đi qua gốc tọa độ ⇔ k 2 − 3 = 0 ⇔ k = ± 3. Chọn đáp án D  D √ Câu 105. Đường thẳng song song với đường thẳng y = − 3x + 6 có phương trình là √ √ √ A. y = x. B. y = 3x − 6. C. y + 3x = 0. D. y = 3x + 8. Lời giải. Áp lý thuyết: Hai đường thẳng y = ax + b và y = a0 x + b0 song song với nhau khi và chỉ khi ( dụng a = a0 b 6= b0 .  Chọn đáp án C C Câu 106. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(3; 1), B(−2; 6) là A. y = x − 4. B. y = −x + 6. C. y = −x + 4. D. y = 2x + 2. Lời giải. Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b. Theo đề bài, ta có hệ phương trình ( ( a = −1 3a + b = 1 ⇔ − 2a + b = 6 b = 4. Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(3; 1), B(−2; 6) là y = −x + 4. Chọn đáp án C  C Câu 107. Tất cả những giá trị của tham số m để hàm số f (x) = (2 − m)x + 3 nghịch biến trên R là ( ( m<2 m>2 A. B. C. m < 2. D. m > 2. m 6= 3. m 6= 3. Lời giải. Hàm số đã cho nghịch biến trên R ⇔ 2 − m < 0 ⇔ m > 2.  Chọn đáp án D D Câu 108. Cho hai đường thẳng d1 : y = 2x + 3 và d2 : y = x + 4. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trên là A. (−1; 1). B. (2; 7) . C. (1; 5) . D. (−2; 2) . Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và d2 là 2x + 3 = x + 4 ⇔ x = 1. Do đó tọa độ giao điểm của d1 và d2 là (1; 5). Chọn đáp án C  C  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 321/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Câu 109. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) : y = kx + k 2 − 3. Tìm k để đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ. √ A. k = ± 3. B. k = √ 3. C. k = √ 2. √ D. k = − 2. Lời giải. √ Đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ nên 0 = k · 0 + k 2 = 3 ⇔ k = ± 3.  Chọn đáp án A A Câu 110. Đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2) và B(−1; 0) có phương trình là A. y = x + 1. C. y = x − 1. B. y = 2x + 1. D. y = 2x − 1. Lời giải. Phương trình đường thẳng d có dạng y = ax + b (a 6= 0). ( a+b=2 Vì A, B thuộc d nên ⇔ a = b = 1. −a+b=0 Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình y = x + 1.  Chọn đáp án A A Câu 111. Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A(3; 1), B(−2; 6) là. A. y = x − 4. B. y = −x + 6. C. y = 2x + 2. D. y = −x + 4. Lời giải. Phương trình đường thẳng d có dạng y =(ax + b (a 6= 0). ( a = −1 3a + b = 1 ⇔ . Vì A, B thuộc d nên − 2a + b = 6 b=4 Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình y = −x + 4.  Chọn đáp án D D Câu 112. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |x − 1| + |2x − 3|. 1 A. min y = −1. B. min y = 5. C. min y = . D. min y = −10. 2 Lời giải. Å ã 3 3 1 1/ Xét x ≥ ta có y = x − 1 + 2x − 3 = 3x − 4 ≥ do x ≥ . 2 2 2 2/ Xét x ≤ 1 ta có y = 1 − x − 2x + 3 = −3x + 4 ≥ 1 (do x ≤ 1). Å ã 3 1 3 3/ Xét 1 < x < ta có y = x − 1 + 3 − 2x = −x + 2 ⇒ < y < 1 do 1 < x < . 2 2 2 1 3 Vậy min y = khi x = . 2 2 Chọn đáp án C C  Câu 113. Cho x, y, z ∈ [0; 2]. Tìm giá trị lớn nhất của T = 2(x + y + z) − (xy + yz + zx). A. T = 3. B. T = 0. C. T = 4. D. T = 2. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 322/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Ta có T = f (x) = (2 − y − z)x + 2(y + z) − yz. Nếu y + z = 2 thì f (x) = 4 − yz ≤ 4 do −yz ≤ 0. Nếu y + z 6= 2 thì f (x) là hàm số bậc nhất. Ta có f (0) = −(2 − y)(2 − z) + 4 ≤ 4 và f (2) = −yz + 4 ≤ 4. Vậy max T = 4 khi x = 0, y = z = 2 hoặc x = 2, y = z = 0.  Chọn đáp án C C  m m Câu 114. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(−1; 1) và B(−2; 3). Điểm M 0; (với n n là phân số tối giản, n > 0) nằm trên trục tung thỏa mãn tổng khoảng cách từ M tới hai điểm A và B là nhỏ nhất. Tính S = m + 2n. A. S = 1. B. S = 11. C. S = 4. D. S = 3. Lời giải. Ta có A, B nằm cùng phía so với Oy. Lấy điểm B 0 (2; 3) đối xứng với điểm B qua Oy. Ta có: M A + M B = M A + M B 0 . Do đó, để M A + M B nhỏ nhất thì 3 điểm M , A, B 0 thẳng hàng. 2 5 Phương trình đường thẳng đi qua A và B 0 là: y = x + . 3 ã3 Å 5 0 ⇔ m = 5; n = 3 ⇔ m + 2n = 11. Đường thẳng AB cắt trục tung tại điểm M 0; 3 Chọn đáp án B  B Câu 115. Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [0; 1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a(1 − b) + b(1 − c) + c(1 − a). 5 . 4 Lời giải. B. 1. A. C. 5 . 6 D. 3 . 2 Biểu thức P được viết lại dưới dạng P = (1 − b − c) a + b + c − bc Xét hàm số f (x) = (1 − b − c) x + b + c − bc với x ∈ [0; 1] . Do f (x) là hàm số bậc nhất trên đoạn [0; 1] nên ta có f (x) ≤ max{f (0), f (1)}, ∀x ∈ [0; 1]. Lại có f (0) = b + c − bc = −(1 − b)(1 − c) + 1 ≤ 1, ∀b, c ∈ [0; 1] và f (1) = 1 − bc ≤ 1, ∀b, c ∈ [0; 1].  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 323/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Do đó f (x) ≤ 1, ∀x ∈ [0; 1] ⇒ f (a) ≤ 1. Đẳng thức xảy ra chẳng hạn tại a = 1, b = 0, c ∈ [0; 1]. Vậy max P = 1.  Chọn đáp án B B Câu 116. Cho bất phương trình mx + 4 > 0 đúng với |x| < 8 khi m thuộc đoạn [a, b]. Tính a + b? 1 1 C. − . D. 3. A. 0. B. . 2 2 Lời giải. Yêu cầu bài toán tương đương với f (x) = mx + 4 > 0, ∀x ∈ (−8; 8) ⇔ đồ thị của hàm số y = f (x) trên khoảng (−8; 8) nằm phía trên trục hoành ⇔ hai đầu mút của đoạn thẳng đó đều nằm phía trên trục hoành. Ta có ( f (−8) ≥ 0 f (8) ≥ 0  1  m ≤ − 8m + 4 ≥ 0 2 ⇔ −1 ≤ m ≤ 1. ⇔  2 2 8m + 4 ≥ 0 m ≥ − 1 2 ( ⇔ Khi đó a + b = 0.  Chọn đáp án A A Câu 117. Tìm số giá trị nguyên của m ∈ [−2018; 2018] để phương trình |x + 2| + m |x − 1| = 3 có nghiệm duy nhất. A. 2017. B. 2018. C. 4034. Lời giải. TH 1: Với m < −1 ta có bảng biến thiên: x D. 4036. −∞ −2 Khi đó phương trình f (x) = 3 luôn có nghiệm duy +∞ 1 3 nhất x = 1 với mọi m < −1. 3m f (x) −∞ TH 2: Với −1 < m < 1 ta có bảng biến thiên: Khi đó phương trình f (x) = 3 có nghiệm duy nhất x −∞ −∞ −2 +∞ 1 +∞ khi và chỉ khi 3m = 3 ⇔ m = 1 (không thỏa mãn). +∞ f (x) 3 3m TH 3: Với m > 1 ta có bảng biến thiên: x Khi đó phương trình f (x) = 3 luôn có nghiệm duy nhất x = 1 với mọi m > 1. −∞ −2 +∞ 1 +∞ f (x) +∞ 3m 3 TH4: Với m = −1 ta có f (x) = 3 với mọi x ≥ 1 không thỏa mãn điều kiện có nghiệm duy nhất. TH5: Với m = 1 ta có f (x) = 3 với mọi x ∈ [−2; 1) không thỏa mãn điều kiện có nghiệm duy nhất.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 324/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Vậy với m < −1 hoặc m > 1 thì phương trình f (x) = 3 có nghiệm duy nhất. Lại do m ∈ [−2018; 2018] và m ∈ Z nên m ∈ {−2018; −2017; . . . ; −2; 2; . . . ; 2017; 2018} Vậy có 4034 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án C C Câu 118. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R? 2 A. y = 3. B. y = + 4. x Lời giải. C. y = −x + 5. 1 D. y = x + 3. 2 • y = 3 là hàm hằng. 2 • y = + 4 là hàm nghịch biến trên từng khoảng xác định do x 2 2(x2 − x1 ) 2 − = > 0 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ), +) Với mọi x1 < x2 ∈ (0; +∞) ta có f (x1 ) − f (x2 ) = x1 x2 x1 x2 từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞). 2 2 2(x2 − x1 ) +) Với mọi x1 < x2 ∈ (−∞; 0) ta có f (x1 ) − f (x2 ) = − = > 0 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ), x1 x2 x1 x2 từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0). • y = −x + 5 là hàm nghịch biến do hệ số a = −1 < 0. 1 1 • y = x + 3 là hàm đồng biến do hệ số a = > 0. 2 2 Chọn đáp án D  D Câu 119. Cho hàm số y = 2x + 1. Khẳng định nào sau đây sai? A. Tập xác định của hàm số trên là D = R. B. Hàm số đã cho nghịch biến trên R. D. Đồ thị hàm số trên đi qua điểm (0; 1). C. Hàm số đã cho đồng biến trên R. Lời giải. Xét hàm số y = 2x + 1. +) Tập xác định D = R. +) Do a = 2 > 0, nên hàm số đồng biến trên R. +) Đồ thị hàm số đi qua điểm (0; 1) do 1 = 2 · 0 + 1.  Chọn đáp án B B Câu 120. Hàm số y = (m − 1)x + m − 2 nghịch biến trên R khi A. m = 1. B. m > 1. C. m < 1. D. m 6= 1. Lời giải. Hàm số y = (m − 1)x + m − 2 nghịch biến trên R khi và chỉ khi m − 1 < 0 ⇔ m < 1.  Chọn đáp án C C Câu 121. Hệ số góc của đồ thị hàm số y = 2x − 1 là A. −1. B. 1. C. 2. D. 1 . 2 Lời giải. Đồ thị hàm số y = 2x − 1 có hệ số góc là 2.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 325/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI  Chọn đáp án C C Câu 122. Hàm số y = (−2 + m)x + 3m đồng biến trên R khi A. m = 2. B. m < 2. C. m > 2. D. m > −2. Lời giải. Đồ thị hàm số y = (−2 + m)x + 3m đồng biến trên R khi và chỉ khi (−2 + m) > 0 ⇔ m > 2.  Chọn đáp án C C Câu 123. Hàm số y = ax + b (a 6= 0) nghịch biến nếu A. b < 0. B. a < 0. C. b > 0. D. a > 0. Lời giải. Hàm số y = ax + b nghịch biến khi và chỉ khi a < 0.  Chọn đáp án B B Câu 124. Với những giá trị nào của m thì hàm số f (x) = (m + 1)x + 2 đồng biến trên R? A. m = 0. B. m = 1. C. m < 0. D. m > −1. Lời giải. Hàm số đồng biến trên R khi m + 1 > 0 ⇔ m > −1.  Chọn đáp án D D Câu 125. Hàm số y = (1 − 2m)x + 3 nghịch biến khi 1 1 A. m > . B. m > 2. C. m < . 2 2 Lời giải. 1 Hàm số nghịch biến trên R khi 1 − 2m < 0 ⇔ m > . 2 Chọn đáp án A A 1 D. m > − . 2  Câu 126. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị trên đoạn [−2; 4] như hình vẽ. Xét trên đoạn [−2; 4], mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−2, 2) và (3, 4). B. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là −2. y 3 C. Hàm số đạt giá trị lớn nhất là 3. 2 D. Chỉ có hai giá trị của x thoả mãn f (x) = 1. −2 1 O 1 2 3 4 x −1 Lời giải. Trên đoạn [−2; 4] của đồ thị, tồn tại điểm M (4; 3) có tung độ cao nhất. Do đó giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [−2; 4] là 3.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 326/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI  Chọn đáp án C C Câu 127. Khẳng định nào sau đây về hàm số y = x − 2 là khẳng định sai? A. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. B. Hàm số nghịch biến trên tập R. C. Hàm số có tập xác định là R. D. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −2. Lời giải. Hàm số y = x − 2 có • Tập xác định là R. • Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. • Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −2.  Chọn đáp án B B Câu 128. Cho hàm số y = (m + 2)x + √ 2 − m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên R? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải. Điều kiện cần và đủ để hàm số đã cho đồng biến trên R là ( 2−m≥0 ⇔ −2 < m ≤ 2. m+2>0 Vậy các giá trị nguyên của m thỏa đề bài là m ∈ {−1; 0; 1; 2}.  Chọn đáp án C C Câu 129. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = (3 − m)x + 2 nghịch biến trên R. A. m > 0. B. m = 3. C. m > 3. D. m < 3. Lời giải. Hàm số y = (3 − m)x + 2 có dạng hàm số bậc nhất. Để hàm số nghịch biến trên R thì 3 − m < 0 ⇔ m > 3.  Chọn đáp án C C Câu 130. Tìm m để hàm số y = (−2m + 1)x + m − 3 đồng biến trên R. 1 1 A. m < . B. m > . C. m < 3. D. m > 3. 2 2 Lời giải. 1 5 Khi −2m + 1 = 0 ⇔ m = ⇒ y = − < 0 nên nghịch biến trên R 2 2 1 Vậy hàm số y = (−2m + 1)x + m − 3 đồng biến trên R khi và chỉ khi −2m + 1 > 0 ⇔ m < . 2 Chọn đáp án A  A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 327/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Câu 131. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = (3m + 4)x + 5m đồng biến trên R 4 4 4 4 B. m > − . C. m 6= − . D. m = − . A. m < − . 3 3 3 3 Lời giải. 4 Xét hàm số y = (3m + 4)x + 5m đồng biến trên R khi 3m + 4 > 0 ⇔ m > − . 3 Chọn đáp án B  B Câu 132. Cho hàm số f (x) = (m − 2)x + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên R ?; nghịch biến trên R ? A. Với m 6= 2 thì hàm số đồng biến trên R; m > 2 thì hàm số nghịch biến trên R. B. Với m 6= 2 thì hàm số đồng biến trên R; m < 2 thì hàm số nghịch biến trên R. C. Với m < 2 thì hàm số đồng biến trên R; m = 2 thì hàm số nghịch biến trên R. D. Với m > 2 thì hàm số đồng biến trên R; m < 2 thì hàm số nghịch biến trên R. Lời giải. Hàm số f (x) = (m − 2)x + 1 đồng biến khi m − 2 > 0 ⇔ m > 2. Hàm số f (x) = (m − 2)x + 1 nghịch biến khi m − 2 < 0 ⇔ m < 2.  Chọn đáp án D D Câu 133. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = (2m + 3)x + m + 3 nghịch biến trên R. 3 3 3 3 A. m 6 − . B. m > − . C. m > − . D. m < − . 2 2 2 2 Lời giải. Hàm số y = (2m + 3)x + m + 3 có dạng hàm số bậc nhất. 3 Để hàm số nghịch biến trên R ⇔ 2m + 3 < 0 ⇔ m < − . 2 Chọn đáp án D  D √ Câu 134. Hàm số y = (m − 1)x − 2 − m đồng biến trên khoảng (−∞; +∞) khi A. 1 < m 6 2. B. m 6 2. C. m < 1. D. m > 1. Lời giải. √ 2 − m(có dạng hàm số bậc nhất. m−1>0 Để hàm số đồng biến trên R ⇔ ⇔ 1 < m 6 2. 2−m≥0 Hàm số y = (m − 1)x −  Chọn đáp án A A Câu 135. Hàm số f (x) = ax − A. 0 < a < 1. √ 1 − a đồng biến trên R khi và chỉ khi B. a < 1. C. 0 < a 6 1. D. a > 0. Lời giải. Hàm số f (x) = ax − √ 1 − a đồng biến trên R khi và chỉ khi 1−a>0 ⇔ 0 < a 6 1.  Chọn đáp án C  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em ( a>0 Trang 328/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI C Câu 136. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = (m − 2)x + 2m đồng biến trên R. A. m 6 2. Lời giải. B. m > 2. C. m > 2. D. m < 2. Hàm số y = (m − 2)x + 2m đồng biến trên R khi và chỉ khi m − 2 > 0 ⇔ m > 2.  Chọn đáp án B B Câu 137. Tìm m để hàm số y = (3 − m)x + 2 nghịch biến trên R. A. m > 0. B. m = 3. C. m > 3. D. m < 3. Lời giải. Hàm số y = (3 − m)x + 2 có dạng hàm số bậc nhất. Để hàm số nghịch biến trên R thì 3 − m < 0 ⇔ m > 3.  Chọn đáp án C C Câu 138. Cho hàm số f (x) = R? A. 2. Lời giải. Để hàm số f (x) = Vậy m ∈ {0; 1; 2}. Ä√ B. 4. Ä√ ä 7 − m x + 3. Có bao nhiêu số tự nhiên m để f (x) đồng biến trên C. 3. D. vô số. ä √ √ 7 − m x + 3 đồng biến trên R khi 7 − m > 0 ⇔ m < 7  Chọn đáp án C C Câu 139. Hàm số nào sau đây không phải là hàm số bậc nhất? x 2 A. y = 1 − x. B. y = . C. y = . 2 x Lời giải. x • Các hàm số bậc nhất là y = 1 − x, y = , y = x + 2. 2 2 • Hàm số hữu tỷ là y = . x Chọn đáp án C C Câu 140. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? √ 1 mx + 1 A. y = . B. y = 7x + 1. C. y = . x+2 x Lời giải. 1 mx + 1 • y= và y = là hàm số hữu tỷ. x+2 x √ • y = 7x + 1 là hàm số bậc nhất. √ • y = 2x + m + 1 là hàm số vô tỷ.  D. y = √ 2x + m + 1.  Chọn đáp án B B  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em D. y = x + 2. Trang 329/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Câu 141. Hàm số y = (m − 1)x + 2m + 2 là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi A. m = 1. B. m > 1. D. m 6= 1. C. m < 1. Lời giải. Hàm số y = (m − 1)x + 2m + 2 là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi m − 1 6= 0 ⇔ m 6= 1. Chọn đáp án D  D Câu 142. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số bậc nhất có hệ số góc bằng 2 và đi qua gốc tọa độ? A. M (1; 2). B. N (0; 2). C. P (2; 0). D. Q(0; 2). Lời giải. d đi qua gốc tọa độ và có hệ số góc bằng 2 nên (d) có phương trình d : y = 2x. Thay tọa độ M (1; 2) vào phương trình thỏa mãn nên M (1; 2) ∈ d.  Chọn đáp án A A Câu 143. Đồ thị của hàm số nào sau đây đối xứng với đồ thị hàm số y = −4x + 4 qua trục tung? 1 A. y = 4x + 4. B. y = x + 4. C. y = x + 3. D. y = 2x + 2. 4 Lời giải. d : y = −4x + 4 cắt Ox, Oy lầ lượt tại điểm (1; 0) và (0; 4). Đường thẳng ∆ đối xứng với d qua Oy thì ∆ qua (−1; 0) và (0; 4) suy ra phương trình đường thẳng ∆ : y = 4x + 4. Chọn đáp án A  A √ Câu 144. Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của m để hàm số y = mx+ 1 + m là hàm số bậc nhất. A. S = (−∞; −1). B. S = (−1; +∞). C. S = R {0}. D. S = [−1; +∞) {0}. Lời giải. Hàm số y = mx + √ 1 + m là hàm bậc nhất khi ( m 6= 0 1+m>0 ⇔ ( m 6= 0 m > −1. Suy ra S = [−1; +∞) {0}.  Chọn đáp án D D Câu 145. Xác định hàm số y = ax + b, biết đồ thị của nó qua hai điểm M (2; −1) và N (1; 3). A. y = −4x + 7. B. y = −3x + 5. C. y = 3x + 7. D. y = 4x − 9. Lời giải. Do đồ thị hàm số đi qua hai điểm M (2; −1) và N (1; 3) nên ta có hệ phương trình ( ( 2a + b = −1 a = −4 ⇔ a+b=3 b = 7.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 330/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Vậy hàm số đã cho có phương trình là y = −4x + 7.  Chọn đáp án A A Câu 146. Đường thẳng d đi qua hai điểm M (−2; 2) và N (4; −1) có phương trình là 1 D. y = 2x + 1. A. y = 3x + 2. B. y = x − 1. C. y = − x + 1. 2 Lời giải. Giả sử đường thẳng có phương trình d : y = ax + b với a 6= 0. ( a = − 1 − 2a + b = 2 2 Vì d đi qua M và N nên ta có hệ ⇔  4a + 1 = −1 b=1 1 Khi đó đường thẳng d có phương trình y = − x + 1. 2 Chọn đáp án C  C Câu 147. Giá trị của a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua A(1; 3) và B(−2; 9) là A. a = 1; b = 2. B. a = 2; b = −5. C. a = −2; b = 5. D. a = −3; b = 3. Lời giải. Vì đường thẳng y = ax + b đi qua A(1; 3) và B(−2; 9) nên có hệ phương trình ( ( ( 3=a+b 3a = −6 a = −2 ⇔ ⇔ 9 = −2a + b b=3−a b = 5. Vậy y = −2x + 5.  Chọn đáp án C C Câu 148. Tìm phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng y = 3x − 2 và đi qua điểm M (2; 3). A. d : y = −3x − 3. B. d : y = 3x − 3. 1 C. d : y = − x − 3. 3 D. d : y = 3x + 3. Lời giải. Đường thẳng d song song với đường thẳng y = 3x − 2 có dạng d : y = 3x + b (b 6= −2). Vì d đi qua điểm M (2; 3) nên ta có phương trình 3 = 3 · 2 + b ⇔ b = −3 (nhận). Vậy d : y = 3x − 3. Chọn đáp án B  B Câu 149. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(1; 5) và điểm B(−2; −1).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 331/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A. a = −2, b = 3. B. a = 2, b = 3. C. a = −2, b = −3. D. a = 3, b = 2. Lời giải. Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(1; 5) và điểm B(−2; −1) nên ta có hệ phương trình ( ( a+b=5 a=2 ⇔ − 2a + b = −1 b = 3.  Chọn đáp án B B Câu 150. Cho hàm số y = ax + b có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng? A. a < 0, b < 0. B. a > 0, b > 0. C. a < 0, b > 0. D. a > 0, b < 0. y x Lời giải. • Đường thẳng đi xuống từ trái sang phải nên a < 0; • Đường thẳng cắt trục tung tại tung độ âm nên b < 0. Vậy a < 0, b < 0.  Chọn đáp án A A Câu 151. Đường thẳng y = ax + b có hệ số góc bằng 2 và đi qua điểm A(−3; 1) là A. y = −2x + 1. B. y = 2x + 7. C. y = 2x + 5. D. y = −2x − 5. Lời giải. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b là a nên a = 2, suy ra phương trình của đường thẳng có dạng y = 2x + b. Mặt khác đường thẳng này đi qua điểm A(−3; 1) nên 1 = −6 + b hay b = 7. Vậy phương trình của đường thẳng cần tìm là y = 2x + 7.  Chọn đáp án B B Câu 152. Một hàm số bậc nhất y = f (x) có f (−1) = 2 và f (2) = −3. Hàm số đó là −5x + 1 −5x − 1 A. y = −2x + 3. B. f (x) = . C. y = 2x − 3. D. f (x) = . 3 3 Lời giải. Hàm số đã cho có dạng y = f (x) = ax + b.  5 ( (   a=− f (−1) = 2 a.(−1) + b = 2 3 . Vậy f (x) = −5x + 1 . Ta có ⇔ ⇔  3 f (2) = −3 a.2 + b = −3 b = 1 3 Chọn đáp án B  B  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 332/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Câu 153. Hàm số y = 2x − 1 có đồ thị là hình nào trong các hình sau? y y y −1 1 O O 1 x O 1 x O x 1 −1 −1 Hình 1 Hình 2 Hình 3 B. Hình 4. C. Hình 3. A. Hình 2. y x 1 Hình 4 D. Hình 1. Lời giải. Å Đồ thị hàm số y = 2x − 1 đi qua hai điểm có tọa độ (0; −1) và ã 1 ;0 . 2 Do đó chỉ có hình 1 thỏa mãn.  Chọn đáp án D D Câu 154. Đường thẳng y = ax + b có hệ số góc bằng 2 và đi qua điểm A(−3; 1) là A. y = −2x + 1. B. y = 2x + 7. C. y = 2x + 5. D. y = −2x − 5. Lời giải. Đường thẳng có hệ số góc bằng 2 ⇔ a = 2 ⇒ y = 2x + b và đi qua điểm A(−3; 1). Nên 1 = 2.(−3) + b ⇔ b = 7. Vậy hàm số cần tìm là y = 2x + 7.  Chọn đáp án B B Câu 155. Å Đồãthị hàm số y = 3x + 2 cắt trục tung tại điểm 2 B. (0; 3). C. (0; 2). A. − ; 0 . 3 Lời giải. Å ã 2 D. 0; − . 3 Cho x = 0 suy ra y = 3 · 0 + 2 = 2, từ đó suy ra đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 2).  Chọn đáp án C C Câu 156. Đồ thị hàm số y = −x + 4 cắt trục hoành tại điểm A. (−4; 0). B. (0; 4). C. (4; 0). D. (0; −4). Lời giải. Cho y = 0 suy ra 0 = −x + 4 ⇔ x = 4, từ đó suy ra đồ thị cắt trục hoành tại điểm (4; 0).  Chọn đáp án C C Câu 157. Đường thẳng (d) : y = 2x + 1 vuông góc với đường thẳng 1 1 A. y = −2x + 9. B. y = − x + 3. C. y = x + 4. 2 2 Lời giải. D. y = 2x − 4. 1 Giả sử đường thẳng y = ax + b vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1, suy ra 2a = −1 ⇔ a = − . 2 1 Vậy đường thẳng y = − x + 3 vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1. 2  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 333/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI  Chọn đáp án B B Câu 158. Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 2x − 1 và y = 3x + 2 là A. (−3; 7). B. (3; 11). C. (3; 5). D. (−3; −7). Lời giải. Ta có phương trình hoành độ giao điểm 2x − 1 = 3x + 2 ⇔ x = −3. Từ đó suy ra y = 2(−3) − 1 = −7. Vậy tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là (−3; −7).  Chọn đáp án D D Câu 159. Cho hai đường thẳng d1 : y = 1 x + 100 và d2 : y = −2x + 100. Trong các mệnh đề sau, 2 mệnh đề nào đúng? A. d1 và d2 trùng nhau. B. d1 và d2 cắt nhau nhưng không vuông góc. C. d1 và d2 song song với nhau. D. d1 và d2 vuông góc với nhau. Lời giải. 1 Ta có a1 · a2 = · (−2) = −1, suy ra hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc với nhau. 2 Chọn đáp án D  D Câu 160. Cho bốn đường thẳng d1 : y = √ Cặp đường thẳng nào song song với nhau? A. d1 và d3 . B. d3 và d4 . √ 2 2x+1, d2 : y = − 2x+2, d3 : y = √ x−1, d4 : y = 2x+1. 2 C. d1 và d2 . D. d2 và d3 . Lời giải.  √ 2   2= √ 2 , suy ra d1 ∥ d3 . Nhận thấy  1 6= −1  Chọn đáp án A A Câu 161. Å Giao ã điểm của hai đường thẳng y = 3x − 1 vàÅy = 5x −ã2 có toạ độ là 1 1 1 5 A. ; . B. (2; 5). C. − ; − . D. (−2; −5). 2 2 2 2 Lời giải. 1 3 1 Ta có phương trình hoành độ giao điểm 3x − 1 = 5x − 2 ⇔ x = ⇒ y = − 1 = . 2 2 2 Å ã 1 1 Vậy tọa độ giao điểm là ; . 2 2 Chọn đáp án A  A Câu 162. Cho hàm số (I) : y = ax + b với a 6= 0, đồ thị của hàm số (I) song song với đồ thị của hàm số y =( cx + b2 thì a=c A. . b 6= 0  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. ( a=c b 6= 1 . C. a = c. Trang 334/2406 D. ( a=c b 6= 0 và b 6= 1 . ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Lời giải. Đồ thị hàm số (I) và (II) song song khi ( a=c b 6= b2 ⇔ ( a=c b 6= 0 và b 6= 1 .  Chọn đáp án D D Câu 163. Cho hàm số (I) : y = ax + b với a 6= 0, đồ thị của hàm số (I) vuông góc với đồ thị của hàm số y =( cx + b2 thì ( ( a · c = −1 a · c = −1 a · c = −1 A. . B. . C. a · c = −1. D. . b 6= 0 b 6= 1 b 6= 0 và b 6= 1 Lời giải. Đồ thị hàm số (I) và (II) vuông góc khi a · c = −1.  Chọn đáp án C C 1 Câu 164. Cho hai hàm số y = 2x + 2 và y = x + 3. Đồ thị của hai hàm số này sẽ 2 A. vuông góc nhau. B. song song nhau. C. trùng nhau. D. cắt nhau. Lời giải. Do a = 2 6= a0 = 1 nên đồ thị hai hàm số này cắt nhau. 2  Chọn đáp án D D Câu 165. Trong các cặp hàm số sau đây, cặp hàm số nào có đồ thị là hai đường thẳng song song nhau √ √ √ 3 1 6−2 3 √ . A. d1 : y = √ x − 2 3 và d2 : y = x+ 3 3 1 + √3 √ 1 3 6+2 3 √ . B. d1 : y = √ x + 2 3 và d2 : y = √ x + 3 1 + √3 √3 √ 6+2 3 1 3 √ . x+ C. d1 : y = √ x + 2 3 và d2 : y = 3√ 3 1 + 3√ √ 1 6+2 3 3 √ . D. d1 : y = − √ x + 2 3 và d2 : y = x+ 3 3 1− 3 Lời giải. √ √ √ √ √ 6−2 3 3 1 1 √ = 4 3 − 6 6= −2 3 và √ = Ta có nên đường thẳng d1 : y = √ x − 2 3 song song với 3 1+ 3 3 3 √ √ 3 6−2 3 √ . x+ đường thẳng d2 : y = 3 1+ 3  Chọn đáp án A A 1 Câu 166. Cho hai đường thẳng d1 : y = −x + 1000 và d2 : y = − x − 10. Khẳng định nào là khẳng 2 định đúng? A. d1 song song d2 . B. d1 trùng với d2 . C. d1 cắt nhưng không vuông góc với d2 .  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em D. d1 vuông góc với d2 . Trang 335/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Lời giải. Å ã 1 1 Ta có −1 6= − ⇒ d1 cắt d2 . Mặt khác, ta có −1 · − 6= −1 ⇒ d1 không vuông góc d2 . 2 2 Vậy d1 cắt nhưng không vuông góc với d2 . Chọn đáp án C  C Câu 167. Cho hai đường thẳng d1 : y = −3x + 6 và d2 : y = 2x + 1. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là A. (2; 5). B. (1; 3). C. (−1; 9). D. (0; 6). Lời giải. Hoành độ giao điểm của d1 và d2 là nghiệm của phương trình −3x + 6 = 2x + 1 ⇔ x = 1. Khi đó thay vào d1 ta được y = −3 · 1 + 6 = 3. Vậy giao điểm của d1 và d2 có tọa độ (1; 3)  Chọn đáp án B B Câu 168. Biết đường thẳng đi qua hai điểm A(1; −2), B(2; −1) cắt trục tung tại điểm M . Tìm tung độ của điểm M . −31 A. yM = . B. yM = 3. C. yM = 0. D. yM = −3. 2 Lời giải. Gọi đường thẳng đi qua hai điểm A, B là d : y = ax + b ta có hệ phương trình ( ( a + b = −2 a=1 ⇔ 2a + b = −1 b = −3. Suy ra d : y = x − 3. Vì d ∩ Oy = M nên xM = 0 ⇒ yM = −3.  Chọn đáp án D D Câu 169. Biết ba đường thẳng d1 : y = 2x − 1, d2 : y = 8 − x, d3 : y = (3 − 2m)x + 2 đồng quy. Giá trị của m bằng 3 A. m = − . 2 Lời giải. B. m = 1. C. m = −1. 1 D. m = . 2 Gọi M là d1 và d2 . ( giao điểm của ( ( y = 2x − 1 − 2x + y = −1 x=3 Xét hệ: ⇔ ⇔ ⇒ M (3; 5). y =8−x x+y =8 y=5 M ∈ d3 nên ta có: 5 = (3 − 2m).3 + 2 ⇔ 5 = 9 − 6m + 2 ⇔ 6m = 6 ⇔ m = 1.  Chọn đáp án B B 1 Câu 170. Đường thẳng đi qua điểm M (2; −1) và vuông góc với đường thẳng y = − x + 5 có phương 3 trình là A. y = 3x − 7. B. y = 3x + 5. C. y = −3x − 7. D. y = −3x + 5.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 336/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Lời giải. 1 Gọi d là đường thẳng cần tìm. Do d vuông góc với đường thẳng y = − x + 5 nên d : y = 3x + m. 3 Do d đi qua điểm M (2; −1) nên −1 = 3.2 + m ⇔ m = −7. Vậy d : y = 3x − 7.  Chọn đáp án A A Câu 171. Điểm A có hoành độ xA = 1 và thuộc đồ thị hàm số y = mx + 2m − 3. Tìm m để điểm A nằm trong nửa mặt phẳng tọa độ phía trên trục hoành (không chứa trục hoành). A. m > 0. B. m > 0. C. m > 1. D. m < 0. Lời giải. Từ giả thiết điểm A nằm trong nửa mặt phẳng tọa độ phía trên trục hoành (không chứa trục hoành) nên yA > 0 ta có yA = mx + 2m − 3 = m.1 + 2m − 3 = 3m − 3 > 0 ⇔ m > 1.  Chọn đáp án C C Câu 172. Cho hai đường thẳng (d1 ) : y = 1 1 x + 100 và (d2 ) : y = − x + 100. Mệnh đề nào sau đây 2 2 đúng? A. (d1 ) và (d2 ) trùng nhau. C. (d1 ) và (d2 ) cắt nhau. B. (d1 ) và (d2 ) vuông góc nhau. D. (d1 ) và (d2 ) song song với nhau. Lời giải. Cách 1: Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số gốc của (d1 ) và (d2 ). 1 1 1 Vì k1 = và k2 = − ⇒ k1 · k2 = − nên (d1 ) và (d2 ) không vuông góc nhau. 2 2 4   1 1 (   y = x + 100  − x + y = 100 x=0 2 2 Xét hệ: ⇔ ⇔   y = 100. y = − 1 x + 100  1 x + y = 100 2 2 Vậy (d1 ) và (d2 ) cắt nhau. 1 1 Cách 2: Ta thấy 6= − nên (d1 ) và (d2 ) cắt nhau. 2 2 Chọn đáp án C  C Câu 173. Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = (m2 − 3)x + 3m + 1 song song với đường thẳng y = x − 5 ? A. m = ±2. √ B. m = ± 2. C. m = −2. D. m = 2. Lời giải. 2 Đường 3)x + 3m(+ 1 song song với đường thẳng y = x − 5 khi và chỉ khi ( 2 thẳng y = (m ( − 2 m −3=1 m =4 m = −2 hoặc m = 2 ⇔ ⇔ ⇔ m = 2. 3m + 1 6= −5 3m 6= −6 m 6= −2  Chọn đáp án D D Câu 174. Cho hàm số y = f (x) = (2m + 1)x − 3m − 2. Gọi m1 và m2 lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của m làm cho f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [−3; 4]. Giá trị của m21 + m22 là  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 337/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 949 . 2025 Lời giải. A. B. Có f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [−3; 4] ⇔ 661 . 225 ( f (−3) ≤ 0 f (4) ≤ 0 C. ( ⇔ 436 . 2025 − 9m − 5 ≤ 0 5m + 2 ≤ 0 D. 249 . 225 2 5 ⇔− ≤m≤− . 9 5 949 Vậy m21 + m22 = . 2025 Chọn đáp án A  A Câu 175. Xác định hàm số y = ax + b, biết đồ thị hàm số song song với đường thẳng (d) : y = 2x + 4 và tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4. A. y = 2x + 4. B. y = 2x − 4. C. y = x + 2. D. y = −x + 2. Lời giải. + Gọi đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng ∆. Vì ∆ ∥ (d) nên a = 2 và b 6= 4. + Phương trình ∆Å: y = 2x ã + b (b 6= 4). b + ∆ cắt Ox tại A − ; 0 2 + ∆ cắt Oy tại B (0; b). + Vì ∆OAB vuông tại O nên: ” b = 4 (loại) 1 1 1 b . SOAB = OA.OB ⇔ OA.OB = 4 ⇔ .|b|. = 4 ⇔ b2 = 16 ⇒ 2 2 2 2 b = −4 Vậy hàm số cần tìm là y = 2x − 4.  Chọn đáp án B B Câu 176. Cho đường thẳng (d) : y = ax + b (b > 0). Xác định a và b biết (d) song song với đường √ thẳng ( (∆) : y = 3x + 5 và cắt 2(trục tọa độ tại A và B sao ( cho AB = 2 10. ( a=3 a=3 a=2 a=3 A. . B. . C. . D. . b=6 b = −6 b=6 b=8 Lời giải. Vì (d) ∥ (∆) nên aÅ= 3 vàãb 6= 5. b + ∆ cắt Ox tại A − ; 0 3 + ∆ cắt Oy tại B (0; b) Ta có: ” 2 √ b=6 b AB = 2 10 ⇔ AB 2 = 40 ⇔ OA2 + OB 2 = 40 ⇔ + b2 = 40 ⇔ 9 b = −6 (loại). Vậy a = 3 và b = 6.  Chọn đáp án A A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 338/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Câu 177. Cho hàm số bậc nhất y = (m − 2)x + 4 (m 6= 2). Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với tia Ox một góc 135◦ . A. m = 2. B. m = 0. C. m = 5. D. m = 1. Lời giải. Gọi a là hệ số góc của đường thẳng, α là góc tạo bởi đường thẳng và tia Ox, α0 là góc kề bù với α. Theo đề bài α = 135◦ nên α0 = 45◦ . Ta có: −a = tan α0 = tan 45◦ = 1 nên a = −1. Do đó: m − 2 = −1 ⇔ m = 1.  Chọn đáp án D D Câu 178. Trên đồ thị của hàm số y = x − |x| lấy hai điểm A và B có hoành độ lần lượt là −2 và 1. Phương trình đường thẳng AB là 4x 4 3x 3 − . B. y = − . A. y = 4 4 3 3 Lời giải. C. y = −3x 3 + . 4 4 D. y = − 3x 1 + . 2 2 Ta có A(−2; −4), B(1; 0). Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax +  b. 4 (  a = − 2a + b = −4 3 . ⇔ Do AB đi qua A và B nên ta có  a+b=0 b = − 4 3 4 4 Vậy AB : y = x − . 3 3 Chọn đáp án B B  Câu 179. Cho họ đường thẳng dm : (m + 1)x − 2(m − 2)y + 3 = 0 và các mệnh đề I. dm luôn đi qua hai điểm cố định. II. d1 ∥ d5 . III. d1 ⊥ d3 . IV. d5 là đường phân giác thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề trên. A. I. Lời giải. B. I, III. C. II, III. D. I, II, III, IV. I. Gọi (x0 ; y0 ) là điểm cố định của họ dm . Ta có  ( x0 = −1 x0 − 2y0 = 0 m(x0 − 2y0 ) + (x0 + 4y0 + 3) = 0, ∀m ⇔ ⇔ y0 = − 1 x0 + 4y0 + 3 = 0 2 II. d1 : 2x + 2y + 3 = 0 và d5 : 6x − 6y + 3 = 0 ⇒ d1 không song song với d5 . III. d1 : 2x + 2y + 3 = 0 và d3 : 4x − 2y + 3 = 0 ⇒ d1 cắt d3 và không vuông góc. IV. d5 : 6x − 6y + 3 = 0 ⇒ d5 không phải là phân giác thứ nhất của hệ tọa độ Oxy.  Chọn đáp án D D Câu 180. Cho hai họ đường thẳng dm : mx−x+2my−3y−m−1 = 0 và ∆m : 3mx+6x+3y+2m−1 = 0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 339/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A. dm luôn đi qua một điểm cố định. B. ∆m luôn đi qua một điểm cố định. C. ∆ 3 ⊥ d 3 . D. d1 ⊥ Oy. 2 2 Lời giải. • Gọi (x0 ; y0 ) là điểm cố định của họ dm . Ta có ( ( x0 + 2y0 − 1 = 0 x0 = 5 m(x0 + 2y0 − 1) + (−x0 − 3y0 − 1) = 0, ∀m ⇔ ⇔ − x0 − 3y0 − 1 = 0 y0 = −2 • Gọi (x0 ; y0 ) là điểm cố định của họ ∆m . Ta có  2 (  x 0 = − 3×0 + 2 = 0 3 m(3×0 + 2) + (6×0 + 3y0 − 1) = 0, ∀m ⇔ ⇔ 5  6×0 + 3y0 − 1 = 0 y 0 = 3 1 5 21 x + 3y + 2 = 0 ⇒ d 3 cắt ∆ 3 và hai đường thẳng không vuông góc. • d 3 : x − = 0, ∆ 3 : 2 2 2 2 2 2 2 • d1 : y + 2 = 0 ⇒ d1 ⊥ Oy. Chọn đáp án C  C Câu 181. Gọi M (a; b) là điểm mà đồ thị hàm số y = mx + 1 + x luôn đi qua dù m nhận bất kì giá trị thực nào. Khi đó a.b bằng bao nhiêu? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Vì M (a, b) là điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi giá trị thực ( của m nên ( a=0 a=0 b = am + 1 + a, ∀m ∈ R ⇔ a.m + (1 + a − b) = 0, ∀m ∈ R ⇔ ⇔ . 1+a−b=0 b=1  Chọn đáp án A A Câu 182. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y = mx + 4 trên đoạn [−1, 2] luôn nằm phía trên trục hoành? A. 0. Lời giải. B. 1. C. 5. ( y(−1) > 0 ( −m + 4 > 0 ⇔ ⇔ y(2) > 0 2m + 4 > 0 Hơn nữa, do m nguyên nên có tất cả 5 giá trị của m. Yêu cầu bài toán tương đương với D. 8. ( m<4 m > −2 .  Chọn đáp án C C Câu 183. Cho hàm số y = 2x có đồ thị là đường thẳng d. Tịnh tiến d sang phải 2 đơn vị để được đường thẳng d0 . Tính diện tích của tứ giác tạo bởi d, d0 , trục Ox và đường thẳng y = 4. A. 16. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. 8. C. 12. Trang 340/2406 D. 4. ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Do tịnh tiến d sang phải 2 đơn vị nên d0 : y = 2(x − 2). y M 0 d cắt Ox tại C(2; 0) và d cắt đường thẳng y = 4 tại A(2; 4). A B y=4 Diện tích của tứ giác OABC là SOABC = AC · OC = 8 O x C 4  Chọn đáp án B B Câu 184. Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên? 6 A. y = |3x + 9|. 4 B. y = |3x − 9|. x C. y = − + 9 . 3 D. y = |9x + 3|. 2 y x O 2 4 6 Lời giải. Nhận xét: đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 3 làm trục đối xứng và đi qua các điểm (2; 3), (4; 3), (3; 0) nên khi ta tịnh tiến đồ thị hàm số song song với trục Ox sang trái 3 đơn vị thì ta sẽ được một hàm chẵn f (x), đồng thời đồ thị hàm số f (x) sẽ đi qua các điểm (−1; 3), (1; 3) và (0; 0) ⇒ f (x) = 3|x|. Do vậy, đồ thị hàm số ban đầu được suy ra bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số f (x) = 3|x| song song với trục Ox sang phải 3 đơn vị, ta được f (x − 3) = 3|x − 3| = |3x − 9|.  Chọn đáp án B B Câu 185. Xác định m để ba đường thẳng (d1 ) : y = 2x − 1; (d2 ) : y = 8 − x và (d3 ) : y = (3 − 2m)x + 2 đồng quy. A. m = −1. 1 B. m = . 2 3 D. m = − . 2 C. m = 1. Lời giải. + Giao điểm của (d1 ) và (d2 ) là A(3; 5) + Vì (d1 ); (d2 ); (d3 ) đồng quy nên A ∈ d3 : (3 − 2m)3 + 2 = 5 ⇔ m = 1.  Chọn đáp án C C Câu 186. Tìm m để ba đường thẳng d1 : y = 2x − 1, d2 : y = 8 − x, d3 : y = (3 − 2m)x + 2 đồng quy. A. m = 1. 1 C. m = . 2 B. m = −1. 3 D. m = − . 2 Lời giải. Tọa độ giao điểm của d1 và d2 là nghiệm của hệ: ( y = 2x − 1 y =8−x ⇔ ( x=3 y=5 Thay x = 3; y = 5 vào d3 ta được m = 1.  Chọn đáp án A A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 341/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Câu 187. Tìm m để đường thẳng dm : y = (2 − m)x + 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, 1 B phân biệt sao cho tam giác OAB có diện tích bằng . 2 A. m = 1, m = 3. B. m = −1, m = −3. C. m = 1, m = −3. D. m = −1, m = 3. Lời giải. Điều kiện Åđể dm cắtãcác trục Ox, Oy tại hai điểm A, B phân biệt là m 6= 2. 1 1 Tọa độ A ; 0 và B(0; 1) ⇒ OA = và OB = 1. m−2 |m − 2| 1 1 Diện tích tam giác OAB: = .OA.OB ⇒ |m − 2| = 1 ⇒ m = 1; m = 3. 2 2 Chọn đáp án A A  Câu 188. Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A(2; 3) và chắn hai tia Ox, Oy tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất. Khi đó a.b bằng bao nhiêu? A. 6. B. −9. C. 10. D. 12. Lời giải. Vì A(2; 3) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b nên 3Å= 2a +ãb hay b = 3 − 2a. b Đồ thị hàm số cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại A − ; 0 , B(0, b) trong đó a < 0, b > 0. a … b2 (3 − 2a)2 9 9 Suy ra SOAB = − = − = + (−2a) + 6 ≥ 2 .(−2a) + 6 = 12. 2a 2a −2a −2a 9 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi = −2a. −2a 3 Kết hợp với điều kiện a < 0 ta giải được a = − và từ đó được b = 6. Vậy a.b = −9. 2 Chọn đáp án B  B Câu 189. Cho hàm số bậc nhất y = ax + b với a < 0 có đồ thị là đường thẳng d. Biết rằng d đi qua điểm M (2; −4) và cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho OA = 2OB. Tính giá trị của tổng a2 + b2 . 37 37 101 101 A. . B. . C. hay 4. D. hay 4. 4 4 4 4 Lời giải.  Å ã b=0 b b Có A − ; 0 và B(0; b) nên OA = 2OB ⇔ − = 2 |b| ⇔  1 a a a=± . 2  a = −2; b = 0  1  a = ; b = −5 Lại có M thuộc đồ thị nên 2a + b = −4. Từ đó giải ra được   2  1 a = − ; b = −3. 2 1 37 2 2 Ta nhận cặp số a = − ; b = −3 nên a + b = . 2 4 Chọn đáp án B  B Câu 190. Nếu hai đường thẳng d1 : y = x − 2 và d2 : y = 2x − m + 1 cắt nhau tại một điểm trên trục Oy thì giá trị của m là  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 342/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A. m = −3. B. m = 5. C. m = 2. D. m = 3. Lời giải. Ta có (d1 ) cắt trục Oy tại điểm M (0; −2). Khi đó điểm M ∈ d2 ⇒ −m + 1 = −2 ⇒ m = 3.  Chọn đáp án D D Câu 191. Đồ thị hàm số y = x − 2m + 1 tạo với hệ trục tọa độ Oxy tam giác có diện tích bằng 25 . 2 Khi đó m bằng A. m = 2; m = 3. B. m = 2; m = 4. C. m = −2; m = 3. D. m = −2. Lời giải. Gọi: A, B lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số y = x − 2m + 1 với trục hoành và trục tung Suy ra A(2m − 1; 0); B(0; 1 − 2m). 25 Theo giả thiết thì tam giác có diện tích bằng là tam giác OAB vuông tại O. 2 1 25 Do đó: SOAB = · OA · OB = 2 2 ⇔ OA · OB = 25 ⇔ |2m − 1| · |1 − 2m| = " " 25 ⇔ |2m − 1| · |2m − 1| = 25 2m − 1 = 5 m=3 ⇔ (2m − 1)2 = 25 ⇔ ⇔ 2m − 1 = −5 m = −2.  Chọn đáp án A A Câu 192. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình x2 − 4x + 6 + 3m = 0 có nghiệm thuộc đoạn [−1; 3]. 2 11 11 2 2 A. ≤ m ≤ . B. − ≤ m ≤ − . C. −1 ≤ m < − . 3 3 3 3 3 Lời giải. Ta có: x2 − 4x + 6 + 3m = 0⇔ 3m = −x2 + 4x − 6. D. − 11 ≤ m ≤ −1. 3 Số nghiệm của phương trình x2 − 4x + 6 + 3m = 0 là số nghiệm của đường thẳng y = 3m và parabol y = −x2 + 4x − 6. Bảng biến thiên của hàm số y = −x2 + 4x − 6 trên đoạn [−1; 3]: x −1 2 3 −2 y −11 −3 Phương trình có nghiệm thuộc đoạn [−1; 3] ⇔ −11 ≤ 3m ≤ −2 ⇔ − 11 2 ≤m≤− . 3 3  Chọn đáp án B B Câu 193. Xác định m để phương trình m = |x2 − 6x − 7| có 4 nghiệm phân biệt. A. m ∈ (−16; 16). Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. m ∈ (0; 16). C. m ∈ ∅. Trang 343/2406 D. m ∈ [0; 16]. ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI m = |x2 − 6x − 7| là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị (C) : y = |x2 − 6x − 7|. Vẽ (P ) : y = x2 − 6x − 7, lấy đối xứng phần phía dưới Ox của (P ) lên trên Ox và xóa đi phần phía dưới Ox (vì y = |x2 − 6x − 7| ≥ 0, ∀x ∈ R), ta được đồ thị (C). y 16 7 −1 O 3 7x Dựa vào đồ thị: phương trình m = |x2 − 6x − 7| có 4 nghiệm phân biệt khi m ∈ (0; 16)  Chọn đáp án B B Câu 194. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho parabol (P ): y = x2 − 4x + m cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn OA = 3OB. Tính tổng T các phần tử của S. 3 A. T = 3. B. T = −15. C. T = . D. T = −9. 2 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (P ) và Ox: x2 − 4x + m = 0 (1) Để P cắt Ox tại hai điểm phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ( 0 ( ∆ >0 4−m>0 ⇔ ⇔ ⇔ m < 4. a 6= 0 1 6= 0 Giả sử A (x1 ; 0), B (x2 ; 0) và x1 + x2 "= 4, x1 x2 = m. x1 = 3x2 Ta có OA = 3OB ⇔ |x1 | = 3 |x2 | ⇔ . x1 = −3x2 ( x1 = 3 Trường hợp 1: x1 = 3x2 ⇒ ⇒ m = 3 (thỏa mãn) x2 = 1 ( x1 = 6 Trường hợp 2: x1 = −3x2 ⇒ ⇒ m = −12 (thỏa mãn) x2 = −2 Vậy S = −12 + 3 = −9. Chọn đáp án D  D Câu 195. Cho hàm số y = x2 − 2x − 2 có đồ thị P , và đường thẳng d có phương trình y = x + m. Tìm m để d cắt P tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA2 + OB 2 đạt giá trị nhỏ nhất.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 344/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 5 B. m = . 2 5 A. m = − . 2 Lời giải. C. m = 1. D. m = 2. Phương trình hoành độ giao điểm: x2 − 2x − 2 = x + m⇔ x2 − 3x − 2 − m = 0 17 d cắt P tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ ∆ > 0 ⇔ 17 + 4m > 0 ⇔ m > − . 4 # » A (x1 ; x1 + m) ⇒ OA = (x1 ; x1 + m). # » B (x2 ; x2 + m) ⇒ OB = (x2 ; x2 + m). OA2 + OB 2 = x21 + x22 + (x1 + m)2 + (x2 + m)2 = 2(x1 + x2 )2 − 4×1 x2 + 2m (x1 + x2 ) + 2m2 = 18 − 4 (2 − m) + 6m + 2m2 = 2m2 + 10m + 10 Å ã 5 2 15 15 17 = 2 m+ + ≥ với m > − . 2 2 2 4 5 15 khi m = −  2 2 Câu 196. Người ta bơm nước vào một cái bể hình lập phương có cạnh bằng 1 (m) với lưu lượng 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của OA2 + OB 2 là lít/giây. Trong các hình vẽ sau, hình vẽ nào thể hiện sự thay đổi chiều cao cột nước trong bể theo thời gian trong khoảng thời gian 30 phút kể từ lúc bắt đầu bơm nước vào bể? (Giả sử lưu lượng nước bơm vào là như nhau tại mọi thời điểm trong khoảng thời gian nói trên và khi nước đầy bể thì bơm sẽ tự ngắt). m3 m3 30 A. phút B. m3 C. Lời giải. 30 phút 30 phút m3 30 phút D. Ta có thể tích của bể là 1 m3 = 1000 lít. Suy ra thời gian để nước đầy bể là 1000 giây = 50 phút < 30 phút. Do đó trong khoảng thời gian còn 3 lại, chiều cao cột nước là không đổi.  Chọn đáp án A A Câu 197. Với giá trị nào của m thì hàm số y = (m − 2)x + 3 đồng biến trên R? A. m < 2. B. m = 2. C. m 6= 2. D. m > 2. Lời giải. Hàm số đã cho đồng biến trên R khi m − 2 > 0 ⇔ m > 2.  Chọn đáp án D D Câu 198. Hàm số y = mx − A. 0 < m < 2.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em √ 2 − m đồng biến trên R khi B. m > 0. C. m ≥ −1. Trang 345/2406 D. 0 < m ≤ 2. ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Lời giải. Hàm số đồng biến trên R khi ( m>0 2−m≥0 ⇔ ( m>0 m≤2 ⇔ 0 < m ≤ 2.  Chọn đáp án D D Câu 199. Cho hàm số bậc nhất y = Ä√ ä 2 − 1 x + 2. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai? √ B. Giá trị của y khi x = 2 + 1 bằng 3. √ √ D. Giá trị của x khi y = 2 bằng − 2. A. Hàm số đã cho đồng biến trên R. C. Hàm số đã cho nghịch biến trên R. Lời giải. √ Ta thấy 2 − 1 > 0 nên hàm số đã cho đồng biến trên R. Chọn đáp án C  C Câu 200. Tìm các giá trị của m để hàm số y = (1 − m2 )x + 2m − 3 đồng biến trên R? 3 B. m = −1. C. m = 1. D. −1 < m < 1. A. −1 < m < . 2 Lời giải. Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi 1 − m2 > 0 ⇔ −1 < m < 1  Chọn đáp án D D Câu 201. Cho hàm số (I) : y = x − 2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số (I) đồng biến trên R. C. Hàm số (I) đồng biến trên (2; +∞). B. Hàm số (I) đồng biến trên (0; +∞). D. Hàm số (I) đồng biến trên (−∞; 2). Lời giải. Ta có hàm số y = x − 2 = ( x−2 khi x≥2 − x + 2 khi x<2 . Do đó, hàm số đồng biến trên (2; +∞).  Chọn đáp án C C Câu 202. Đường thẳng đi qua điểm A (1; 3) và song song với đường thẳng (d) : y = x + 1 có phương trình là A. y = x − 2. B. y = −x − 2. C. y = −x + 2. D. y = x + 2. Lời giải. Gọi đường thẳng cần viết là ∆. Vì đường thẳng ∆ song song với (d) nên phương trình đường thẳng ∆ có dạng y = x + m. Mặt khác ∆ đi qua điểm A(1; 3) nên 3 = 1 + m ⇔ m = 2. Vậy phương trình đường thẳng ∆ cần tìm là y = x + 2.  Chọn đáp án D D 1 Câu 203. Đường thẳng đi qua M (−1; 4) và vuông góc với đường thẳng (d) : y = − x + 2 có phương 2 trình là  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 346/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A. y = 2x + 6. B. y = −2x + 6. C. y = 2x − 6. D. y = −2x − 6. Lời giải. Gọi đường thẳng cần viết là ∆. Vì đường thẳng ∆ vuông góc với (d) nên phương trình đường thẳng ∆ có dạng y = 2x + m. Mặt khác ∆ đi qua điểm M (−1; 4) nên 4 = −2 + m ⇔ m = 6. Vậy phương trình đường thẳng ∆ cần tìm là y = 2x + 6.  Chọn đáp án A A Câu 204. Đồ thị hàm số đi qua A (0; 1) và B (1; 2) có phương trình là A. y = x + 1. B. y = 3x − 1. C. y = 3x + 2. D. y = 3x + 1. Lời giải. Giả sử hàm số cần viết có phương trình là y = ax + b. Đồ thị hàm số đi qua A(0; 1) nên 1 = 0 · x + b ⇒ b = 1. Đồ thị hàm số đi qua B(1; 2) nên 2 = a · 1 + b ⇒ a = 2 − 1 = 1. Vậy hàm số cần tìm là y = x + 1.  Chọn đáp án A A Câu 205. Xác định đường thẳng y = ax + b, biết hệ số góc của đường thẳng bằng −2 và đường thẳng đi qua A (−3; 1). A. y = −2x + 1. B. y = 2x + 7. C. y = 2x + 2. D. y = −2x − 5. Lời giải. Hệ số góc của đường thẳng bằng −2, nên phương trình đường thẳng là y = −2x + m. Đường thẳng đi qua A(−3; 1) nên ta có 1 = 6 + m ⇒ m = −5. Vậy phương trình đường thẳng là y = −2x − 5.  Chọn đáp án D D Câu 206. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2; 1) và song song với đường thẳng y = 2x + 3. A. y = 2x − 3. B. y = −2x − 2. C. y = 2x + 4. D. y = 2x + 2. Lời giải. Do đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng y = 2x + 3 nên có dạng y = 2x + m. Đường thẳng đi qua điểm A(2; 1) nên ta có 1 = 4 + m ⇒ m = −3. Vậy hàm số cần tìm là y = 2x − 3.  Chọn đáp án A A Câu 207. Cho điểm M (1; 5) và đường thẳng d : y = −3x + 1. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau. A. Đường thẳng qua M và song song với d có phương trình y = −3x + 8. 1 14 B. Đường thẳng qua M và vuông góc với d có phương trình y = x + . 3 3  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 347/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI C. Đường thẳng qua M và song song với Oy có phương trình y = 5. Å ã 1 D. Tọa độ giao điểm của d với Ox là ;0 . 3 Lời giải. Ta có điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng y = −3x + 8 nên mệnh đề "Đường thẳng qua M và song song với d có phương trình y = −3x + 8" là đúng. 1 14 Ta có điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng y = x + nên mệnh đề "Đường thẳng qua M và vuông góc 3 3 1 14 với d có phương trình y = x + " là đúng. 3 3 Đường thẳng đi qua điểm M (1; 5) song song với trục Oy có phương trình x = 1. Do đó mệnh đề "Đường thẳng qua M và song song với Oy có phương trình y = 5" là mệnh đề sai.  Chọn đáp án C C Câu 208. Cho đường thẳng d : y = 2x + 1. Tìm a, b để đường thẳng y = ax + b song song với d và đi qua điểm M (1; −3). A. a = −1, b = 2. B. a = 2, b = −5. C. a = −5, b = 2. D. a = 2, b = −1. Lời giải. Đường thẳng y = ax + b song song với d nên có dạng y = 2x + b. Đi qua điểm M (1; −3) nên ta có −3 = 2 + b ⇒ b = −5. Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình là y = 2x − 5.  Chọn đáp án B B Câu 209. Cho đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm M (2; −2) và N (−1; 4). Khi đó tổng a + b là A. 2. Lời giải. B. 1. C. 3. D. 0. Đồ thị y = ax + b đi qua điểm M (2; −2) nên ta có 2a + b = −2. (1) Đồ thị y = ax + b đi qua nên ta có −a + b = 4. ( điểm N (−1; 4) ( 2a + b = −2 a = −2 Từ (1) và (2) ta có hệ ⇔ . −a+b=4 b=2 Do đó a + b = 0. (2)  Chọn đáp án D D Câu 210. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(−1; −1) và B(4; −3) là 2 2 7 7 2 7 2 A. y = − x. B. y = − x − . C. y = − x + . D. y = − x − . 5 5 5 5 5 5 5 Lời giải. Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y = ax + b. Ta có d qua A(−1; −1) nên ta có −a + b = −1. (1) d qua B(4; −3) nên ta có 4a + b = −3. (2)  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 348/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI  2  a = − − a + b = −1 5. Từ (1) và (2) ta có hệ ⇔ 7  4a + b = −3 b = − 5 2 7 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là y = − x − . 5 5 Chọn đáp án B (  B Câu 211. Đường thẳng y = kx + b đi qua điểm M (2; −2) và song song với đường thẳng y = khi 1 5 A. k = , b = − . 4 2 Lời giải. 1 5 B. k = , b = . 4 2 1 5 C. k = − , b = − . 4 2 x +2 4 D. k = 2, b = −6. Vì đường thẳng y = kx + b đi qua điểm M (2; −2) và song song với đường thẳng y = x + 2 nên ta có 4   1  2k + b = −2 k = 4 ⇔ k = 1  b = − 5 . 4 2  Chọn đáp án A A x Câu 212. Đường thẳng đi qua điểm M (−1; 4) và vuông góc với đường thẳng y = − + 2 có phương 2 trình là A. y = −2x + 6. B. y = 2x + 6. C. y = 2x − 6. D. y = −2x − 6. Lời giải. Giả sử đường thẳng cần tìm là ∆ có dạng y = ax + b. Vì đường thẳng đi qua điểm M (−1; 4) và vuông x góc với đường thẳng y = − + 2 nên ta có 2  ( (  a · (−1) + b = 4 − a + b = 4 a=2 Å ã ⇔ ⇔ 1  = −1 a=2 b = 6. a · − 2 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = 2x + 6.  Chọn đáp án B B Å ã 1 Câu 213. Đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua các điểm A(0; −1), B ; 0 . Tính P = a + 5b. 5 A. P = 0. B. P = 4. C. P = −6. D. P = 3. Lời giải.  ( b = −1 a=5 Ta có hệ phương trình 1 ⇔ ⇒ P = a + 5b = 0.  a+b=0 b = −1 5 Chọn đáp án A A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 349/2406  ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Câu 214. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(3; 1), B(−2; 6) là A. y = −x + 4. B. y = −x + 6. C. y = 2x + 2. D. y = x − 4. Lời giải. Giả sử ∆ : y = ax + b là(đường thẳng cần ( tìm. 3a + b = 1 a = −1 Ta có hệ phương trình ⇔ − 2a + b = 6 b = 4.  Chọn đáp án A A Câu 215. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình y = mx + m2 − 3. Tìm m để đường thẳng d đi qua gốc toạ độ là √ √ A. m = 3. B. m = 2. √ C. m = − 2. √ D. m = ± 3. Lời giải. √ Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ khi m2 − 3 = 0 ⇔ m = ± 3. Chọn đáp án D  D Câu 216. Đường thẳng y = ax + b cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Tính P = −3a + b. A. P = −2. B. P = 4. C. P = 0. D. P = 9. Lời giải. Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A(0; 2) và B(3; 0) nên ta có hệ phương trình  ( a = − 2 a.0 + b = 2 3 ⇒ P = −3a + b = 4. ⇔  3a + 2 = 0 b=2  Chọn đáp án B B Câu 217. Phương trình đường thẳng đi qua giao điểm 2 đường thẳng y = 2x + 1, y = 3x − 4 và song √ song với đường thẳng y = 2x + 15 là √ √ √ A. y = 2x + 11 − 5 2. B. y = x + 5 2. √ √ √ C. y = 2( 3x − 5). D. y = 4x + 2. Lời giải. √ PT đường thẳng có dạng d : y = 2x + b. ( ( y = 2x + 1 x = −5 Giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình ⇔ . y = 3x − 4 y = 11 √ √ Mặt khác, đường thẳng d đi qua giao điểm này nên 11 = 5 2 + b ⇔ b = 11 − 5 2. √ √ Vậy d : y = 2x + 11 − 5 2.  Chọn đáp án A A Câu 218. Xét hàm số y = x + x − 1 − 1, lấy hai điểm A và B trên đồ thị hàm số lần lượt có hoành độ là 2 và −3. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 350/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 6 8 A. y = x − . 5 5 Lời giải. 2 6 B. y = x − . 5 5 2 6 C. y = x + . 5 5 8 6 D. y = x + . 5 5 Ta có toạ độ A(2; 2), B(−3; 0). Giả sử d là đường thẳng qua A, B và có phương trình y = kx + m. Vì các điểm A, B thuộc d nên ta có  2  k = 5 ⇔  0 = −3k + m m = 6 . 5 ( 2 = 2k + m 2 6 Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B là y = x + . 5 5 Chọn đáp án C  C Câu 219. Cho f (x) và g(x) là hai hàm số bậc nhất đồng biến trên R. Khẳng định nào sau đúng? A. f (x) − g(x) là hàm số đồng biến trên R. B. f (x) + g(x) là hàm số đồng biến trên R. C. f (x) · g(x) là hàm số đồng biến trên R. D. f 2 (x) + g 2 (x) là hàm số đồng biến trên R. Lời giải. Mệnh đề “f (x) + g(x) là hàm số đồng biến trên R” là mệnh đề đúng.  Chọn đáp án B B Câu 220. Đường thẳng d : y = 2x + m đi qua điểm A(1; 2) khi m nhận giá trị nào sau đây? A. m = 1. B. m = −2. C. m = −3. D. m = 0. Lời giải. Vì d đi qua A ⇒ 2 = 2 · 1 + m ⇔ m = 0.  Chọn đáp án D D Câu 221. Hàm số bậc nhất có đồ thị đi qua điểm (−4; 3) và tạo với trục hoành một góc bằng góc giữa đường thẳng y = −2x + 7 và trục hoành là A. y = 2x + 5. B B. y = −2x − 5. C. y = 2x − 1. D. y = −2x + 1. Câu 222. Biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm (1; 4) và có hệ số góc bằng −3. Tích P = ab ? A. P = 13. B. P = 21. C. P = 4. D. P = −21. Lời giải. Vì y = ax + b có hệ số góc bằng −3 nên a = −3. Mà y = ax + b đi qua nên y = −3x + b ⇔ 4 = −3.1 + b ⇔ b = 7. Do đó P = a.b = −3.7 = −21.  Chọn đáp án D D Câu 223.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 351/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? y A. y = |x|. 1 B. y = |x| + 1. C. y = 1 − |x|. D. y = |x| − 1. −1 1 O x Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số trên bao gồm ( 1 − x với x ≥ 1 1 + x với x ≤ 1 . Đây chính là đồ thị của hàm số y = 1 − |x|.  Chọn đáp án C C Câu 224. Cho hai hàm số y = (a − 1)x − 2; y = −4x + 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Å A. Hai đồ thị của các hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau tại điểm 1 1 ;− 3 3 ã khi a = 6. B. Hàm số y = (a − 1)x − 2 đồng biến khi a > 1 . C. Hàm số y = −4x + 1 nghịch biến trên R. D. Đồ thị của hai hàm số đã cho song song với nhau khi và chỉ khi a 6= −3. Lời giải. Đồ thị của hai hàm số đã cho song song với nhau khi ( a − 1 = −4 − 2 6= 1 (luôn đúng) ⇔ a = −3.  Chọn đáp án D D Câu 225. Cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình mx + (m − 1)y − 2(m + 2) = 0 và 3mx − (3m + 1)y − 5m − 4 = 0 1 thì d1 và d2 3 A. song song với nhau. B. cắt nhau tại một điểm. C. vuông góc nhau. D. trùng nhau. Khi m = Lời giải. 1 2 14 − 1 2 14 17 1 Khi m = ⇒ d1 : x − y + = 0 và d2 : x − 2y − = 0 nên ta có: 3 = 3 6= 3 . 17 3 3 3 3 3 1 2 − 3 ⇒ d1 song song d2  Chọn đáp án A A Å ã Å ã 1 5 1 5 2 Câu 226. Cho ba điểm A(3; 0), B − ; − , C ; . Đồ thị của hàm số y = x − 2 là 2 3 2 3 3  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 352/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A. đường thẳng AB. B. đường thẳng AC. C. đường thẳng BC. D. một đường thẳng khác ba đường thẳng trên. Lời giải. ã Å ã Å 1 5 2 1 5 ; vào đường thẳng d : y = x − 2 ta thấy Thay lần lượt tọa độ các điểm A(3; 0), B − ; − , C 2 3 2 3 3 2 • · 3 − 2 = 0 ⇒ A ∈ d. 3 Å ã 2 1 7 5 • · − = − 6= − ⇒ B ∈ / d. 3 2 3 3 2 1 5 5 • · − 2 = − 6= ⇒ C ∈ / d. 3 2 3 3 Vậy đường thẳng d không phải là một trong các đường AB, AC, BC.  Chọn đáp án D D Câu 227. Điểm thuộc đường thẳng y = (m − 2)x − 1 với mọi m là A. (2; −1). B. (0; −1). C. (0; 1). D. (−1; 0). Lời giải. Ta có y = (m−2)x−1 ⇔ mx−(2x+y +1) = 0. Do đó điểm (x0 ; y0 ) thuộc đường thẳng y = (m−2)x−1 với mọi m khi và chỉ khi ( x0 = 0 ⇔ 2×0 + y0 + 1 = 0 ( x0 = 0 y0 = −1. Điểm cần tìm có tọa độ (0; −1).  Chọn đáp án B B Câu 228. Gọi M (a; b) là điểm thuộc đồng thời cả hai đồ thị của các hàm số y = 3x − 1 và y = 4 − 5x. Khi đó, giá trị của tổng a + b là 5 A. −6. B. . 2 Lời giải. C. 3 . 2 7 D. − . 4 Điểm M (a; b) thuộc hai đồ thị hàm số y = 3x − 1; y = 4 − 5x suy ra  5 (  a = b = 3a − 1 8 ⇔ 7  b = 4 − 5a b = . 8 3 Vậy a + b = . 2  Chọn đáp án C C Câu 229. Cho hàm số y = ax + b với a 6= 0 có đồ thị là đường thẳng đi qua M (−2, 1) và vuông góc với đồ thị của hàm số y = 4 − 3x. Giá trị của a · b là 5 1 5 A. . B. . C. . 9 9 6 Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 353/2406 D. 2. ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Điểm M (−2; 1) ∈ d : y = ax + b suy ra −2a + b = 1 (1). 1 Đường thẳng y = ax + b vuông góc với đường thẳng y = 4 − 3x suy ra a = . 3 5 Thay vào (1) ta được b = . 3 5 Vậy a · b = . 9 Chọn đáp án A  A Câu 230. Đồ thị của hàm số y = f (x) = ( 2x − 3 với x ≥ 1 −x với x < 1 y là y x A. x B. y x C. y x D. Lời giải. Đồ thị hàm số bị phân nhánh tại điểm (1; −1). Nhánh bên phải điểm (1; −1) ứng với đồ thị hàm số y = 2x − 3 hướng lên, nhánh bên trái điểm (1; −1) ứng với đồ thị hàm số y = −x hướng xuống và đi qua gốc tọa độ.  Chọn đáp án B B Câu 231. ( Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số y(= ax + b. Kết luận nào sau đây đúng? a>0 a<0 A. . B. . b>0 b>0 ( ( a>0 a<0 C. . D. . b<0 b<0 y x Lời giải. Từ hướng của đồ thị ta thấy hàm số nghịch biến, suy ra a < 0. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên ta có b > 0.  Chọn đáp án B B  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 354/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI ( Câu 232. Trong các đồ thị sau, đâu là đồ thị của hàm số y = y 1 −2x + 1 với x ≥ 0 x+1 với x < 0 ? y 1 x y x 1 A. Lời giải. B. y 1 x x C. D. Hàm số nghịch biến trên (0; +∞) nên loại 2 phương án. Nhánh phải cắt Ox tại điểm có hoành độ 1 , 2 nhánh trái cắt Ox tại điểm có hoành độ −1.  Chọn đáp án D D Câu 233. Trong các đồ thị sau, đâu là đồ thị của hàm số y = |x − 1| + 1? y y y x x y x A. B. x C. D. Lời giải. Từ y = |x − 1| + 1, cho x = 0 ta được y = 2. Đồ thị hàm số phải đi qua điểm (0; 2).  Chọn đáp án C C Câu 234. Biết rằng một trong bốn hàm số được cho ở các phương đồ thị như(hình bên. Hỏi đó là hàm số nào? ( −x + 2 nếu x ≥ 1 x+2 A. y = . B. y = 1 nếu x < 1 1 ( ( −x + 2 nếu x ≤ 1 x−2 . D. y = C. y = 1 nếu x > 1 1 Lời giải. án A, B, C, D có y 4 nếu x ≤ 1 . nếu x > 1 nếu x ≥ 1 nếu x < 1 . 1 −2 1 4x Từ đồ thị ta thấy y = 1, ∀x > 1. Cũng từ đồ thị, nhánh trái có hệ số góc âm. Do đó, y = ( −x + 2 nếu x ≤ 1 1 nếu x > 1.  Chọn đáp án C C Câu 235. Cho hàm số y = f (x) xác định trên [−4; 4] có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai?  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 355/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. 4 y B. Hàm số nghịch biến trên (0, 1). 2 C. Hàm số đồng biến trên (−2; 2). D. Giá trị lớn nhất của hàm số trên [−4, 2] là 2. x −4 2 −2 4 Lời giải. Dựa vào đồ thị, hàm số đồng biến trên (−2; 0) và nghịch biến trên (0; 2).  Chọn đáp án C C Câu 236. Gọi S là tập hợp tất cả những giá trị thực của m để đồ thị hàm số y = (m − 1)x + y m(m + 1) − 12 song song với đường thẳng được cho ở đồ thị bên dưới. Khi đó A. S = {1}. C. S = {3}. 2 B. S = {2}. D. S = ∅. x 1 Lời giải. Đường thẳng cho ở hình vẽ bên có phương trình y = 2x. Từ đó suy ra m − 1 = 2 ⇔ m = 3. Thay lại ta được y = 2x trùng với đường thẳng cho sẵn trong hình vẽ. Vậy không có m thoả mãn yêu cầu đề bài.  Chọn đáp án D D √ Câu 237. Đồ thị của hàm số y = x2 + 2x − 1 là hình nào dưới đây? y y y x A. x B. y x C. x D. Lời giải. Ta có y = √ x2 + 2x − 1 = |x| + 2x − 1 = ( 3x − 1 với x ≥ 0 x−1 với x < 0.  Chọn đáp án B B Câu 238. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây? y A. y = |2x + 1|. B. y = |x| + 1. C. y = 2|x| − 1. O D. y = 2|x − 1|.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em −1 Trang 356/2406 1 x ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Lời giải. Từ đồ thị ta thấy hàm số đi qua điểm (0; −1) nên suy ra nó là đồ thị của hàm số y = 2|x| − 1.  Chọn đáp án C C Câu 239. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1 ) : y = x + 2 và (d2 ) : y = 2x − 3 là A. (−5; 7). B. (5; −7). C. (5; 7). D. (−5; −7). Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (d1 ) và (d2 ) là x + 2 = 2x − 3 ⇔ x = 5 ⇒ y = 7. Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là (5; 7).  Chọn đáp án C C Câu 240. Cho hàm số y = 2x + 4 có đồ thị là đường thẳng ∆. Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm số đồng biến trên R. B. ∆ cắt trục Ox tại điểm A (2; 0). C. ∆ cắt trục tung tại điểm B (0; 4). D. Hệ số góc của ∆ bằng 2. Lời giải. Vì a = 2 > 0 nên hàm số đồng biến trên R. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 4), cắt trục hoành tại điểm (−2; 0). Hệ số góc của đường thẳng bằng 2. Vậy kết luận ∆ cắt trục Ox tại điểm A (2; 0) là sai. Chọn đáp án B  B Câu 241. Giá trị của m để hai đường thẳng d1 : y = 2x − 3 và dm : y = −x + 2m − 1 cắt nhau tại một điểm trên trục Oy là A. m = −1. B. m = 1. C. m = 2. D. m = 0. Lời giải. Đường thẳng (d1 ) cắt trục tung tại điểm A(0; −3). (dm ) cắt (d1 ) tại A khi và chỉ khi −3 = −0 + 2m − 1 ⇒ m = −1. Chọn đáp án A  A 1 Câu 242. Đồ thị hai hàm số y = x − 1 và y = − x + 2 cắt nhau tại điểm có tọa độ 2 A. (2; 2). B. (1; 1). C. (2; 1). D. (1; 2). Lời giải. 1 Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình x − 1 = − x + 2 ⇔ x = 2 ⇒ y = 1. 2 Vậy tọa độ giao điểm là (2; 1).  Chọn đáp án C C Câu 243. Điểm đồng quy của ba đường thẳng y = 3 − x, y = x + 1, y = 2 có tọa độ là A. (1; −2). B. (1; 2). C. (−1; 2). D. (−1; −2). Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 357/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Tọa độ điểm đồng quy của ba đường thẳng y = 3 − x, y = x + 1, y = 2 là nghiệm của hệ phương trình   ( y =3−x   x=1 y =x+1 ⇔  y = 2.   y=2  Chọn đáp án B B Câu 244. Với giá trị nào của m thì các đường thẳng y = 3x + (m − 1) và y = 2x − (m − 3) cắt nhau tại một điểm trên trục tung? A. m = 1. Lời giải. B. m = −3. C. m = 2. D. m = 4. Hai đường thẳng y = 3x + (m − 1) và y = 2x − (m − 3) cắt nhau tại một điểm trên trục tung khi và chỉ khi các tung độ gốc của chúng bằng nhau, tức là m − 1 = −(m − 3) ⇔ 2m = 4 ⇔ m = 2.  Chọn đáp án C C Câu 245. Tìm m để đường thẳng (d1 ) : y = x − 2 và đường thẳng (d2 ) : y = 2x − m + 1 cắt nhau tại một điểm trên trục Oy. A. m = −2. Lời giải. B. m = 2. C. m = 5. D. m = 3. + (d1 ) cắt Oy tại A(0; −2). + Vì (d1 ) cắt (d2 ) tại A nên A ∈ (d2 ): −2 = −m + 1 ⇔ m = 3.  Chọn đáp án D D Câu 246. Cho hàm số y = (m2 + 1)x − 2m với m > 0. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Đồ thị của hàm số là một đường thẳng đi lên theo chiều từ trái sang phải. B. Đồ thị của hàm số luôn cắt hai trục tọa độ tại hai điểm phân biệt. C. Tung độ giao điểm của đồ thị hàm số với Oy luôn dương với mọi m > 0. D. Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với Ox luôn bé hơn 2 với mọi m > 0. Lời giải. Từ biểu thức của hàm số, cho x = 0, ta được y = −2m. Do đó, đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm M (0; −2m). Do m > 0 nên ung độ −2m âm.  Chọn đáp án C C Câu 247. Cho hàm số y = x − 3, đồ thị hàm số tạo với trục hoành một tam giác có diện tích là bao nhiêu? A. 18. B. 9. √ C. 9 2. √ D. 18 2. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 358/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI ( Ta có y = |x| − 3 = x−3 nếu x ≥ 0 y −x − 3 nếu x < 0. Đồ thị hàm số y = |x| − 3 cắt trục hoành tại 2 điểm A(−3; 0) và B(3; 0); cắt trục tung tại C(0; −3). Tam giác ABC có OC là đường cao kẻ từ C. Ta có AB = 6, OC = 3. Diện tích tam 1 giác ABC là AB · OC = 9. 2 A B x O C  Chọn đáp án B B Câu 248. Cho hàm số y = (3m − 2)x + 2m2 − 2m + 1 có đồ thị là đường thẳng vuông góc với đường thẳng y = 1 − x. Khi đó, giá trị của A = m2 − 3m + 1 là A. 2. C. −1. B. 5. D. không xác định được. Lời giải. Hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau khi và chỉ khi −1 · (3m − 2) = −1 ⇔ m = 1. Khi đó m2 − 3m + 1 = −1. Chọn đáp án C  C Câu 249. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Đồ thị của hàm số bậc nhất luôn cắt trục hoành. B. Đồ thị của hàm số bậc nhất luôn cắt trục tung. C. Có đúng một hàm số bậc nhất có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. D. Từ đồ thị của hàm số bậc nhất ta có thể thấy được chiều biến thiên của hàm số đó. Lời giải. Å ã b • Đồ thị hàm số bậc nhất dạng y = ax + b, với a 6= 0 luôn cắt trục hoành tại − ; 0 . a • Đồ thị hàm số bậc nhất dạng y = ax + b, với a 6= 0 luôn cắt trục tung tại (0; b). • Có vô số hàm số bậc nhất dạng y = ax (với a tuỳ ý khác 0) là hàm lẻ và có đồ thị nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng. • Từ hướng của đồ thị hoàn toàn có thể suy ra chiều biến thiên của hàm số bậc nhất.  Chọn đáp án C C Câu 250. Đồ thị hàm số y = 2 − x chắn hai trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu? A. 1. B. 2. C. 4. √ D. 4 + 2 2. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 359/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Đồ thị hàm số y = 2 − x cắt trục tung tại A(0; 2) và cắt trục hoành tại B(2; 0). Do đó diện tích tam 1 giác OAB là · OA · OB = 2. 2 Chọn đáp án B  B Câu 251. Cho đồ thị hàm số y = ax + b song song với đồ thị hàm số y = x và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ âm. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào có thể sai? A. a + b > 0. Lời giải. B. a + b 6= 0. C. a.b > 0. D. a − b > 0. Vì đồ thị hàm số y = ax + b song song với đồ thị hàm số y = x nên ta có a = 1. Ta có đồ thị hàm số y = x + b cắt trục hoành tại điểm (−b; 0) có hoành độ âm, suy ra b > 0. Khi đó, 1 − b > 0 có thể sai vì chưa chắc a = 1 > b. Chọn đáp án D  D Câu 252. Gọi m0 là giá trị của m để d1 : y = x + 2m, d2 : y = 3x + 2, d3 : y = −mx + 2 phân biệt và đồng quy. Khi đó m0 gần nhất với giá trị nào sau đây? A. −3. Lời giải. B. 0. C. 3. D. 6. Giả sử 3 đường thẳng đã cho đồng quy tại I(x0 ; y0 ). Vì I thuộc d1 và d2 nên ta có ( ( y0 = x0 + 2m x0 = m − 1 ⇔ y0 = 3×0 + 2 y0 = 3m − 1. Mặt khác I cũng thuộc d3 nên 3m − 1 = −m(m − 1) + 2 ⇔ ” m=1 m = −3. • Với m = 1 thì hệ số góc của 3 đường khác nhau đôi một. Do đó nhận m = 1. • Với m = −3 thì d2 và d3 trùng nhau. Do đó loại m = −3.  Chọn đáp án B B Câu 253. Cho đồ thị hàm số y = −x + 2 cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A và B. Tính diện tích S của tam giác OAB, với O là gốc toạ độ. A. S = 4. B. S = 8. C. S = 2. D. S = 6. Lời giải. Giao điểm của đồ thị hàm số y = −x + 2 và trục hoành là A(2; 0) ⇒ OA = 2. Giao điểm của đồ thị hàm số y = −x + 2 và trục tung là B(0; 2) ⇒ OB = 2. 1 1 Diện tích của tam giác OAB là S = · OA · OB = · 2 · 2 = 2. 2 2  Chọn đáp án C C  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 360/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Câu 254. Giá trị của a để các đường thẳng y = −5(x + 1), y = ax + 3, y = 3x + a đồng quy là A. −10. B. −11. C. −12. D. −13. Lời giải. Vì a = 3 thì hai đường thẳng y = ax + 3; y = 3x + a trùng nhau nên a 6= 3. Gọi A là giao điểm của đường thẳng y = −5(x + 1) và y = 3x + a. Khi đó hoành độ điểm A là nghiệm của phương trình −5x − 5 = 3x + a ⇔ x = Å ã −a − 5 5a − 15 Suy ra A , . 8 8 Vì ba đường thẳng đồng quy nên A ” thuộc đường thẳng y = ax + 3. a = 3 (loại) 5a − 15 −a − 5 Suy ra =a· +3⇔ . 8 8 a = −13 (nhận) −a − 5 . 8 Vậy a = −13.  Chọn đáp án D D Câu 255. Tìm m để Parabol (P ) : y = x2 − 2(m + 1)x + m2 − 3 cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 sao cho x1 · x2 = 1. A. m = 2. B. Không tồn tại m. C. m = −2. D. m = ±2. Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (P ) với trục hoành: x2 − 2(m + 1)x + m2 − 3 = 0 (1). Parabol (P ) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 sao cho x1 · x2 = 1. ⇔( (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa ( x1 · x2 = 1. 0 2 2 ∆ = (m + 1) − (m − 3) > 0 m > −2 ⇔ ⇔ ⇔ m = 2. m2 − 3 = 1 m = ±2  Chọn đáp án A A Câu 256. Cho hàm số bậc nhất y = (m2 − 4m − 4)x + 3m − 2 có đồ thị là (d). Tìm số giá trị nguyên dương của m để đường thẳng (d) cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB là tam giác cân (O là gốc tọa độ). A. 3. Lời giải. B. 1. C. 2. D. 4. Đường thẳng (d) tạo với trục hoành và trục tung một tam giác OAB là tam giác vuông cân ⇒ đường thẳng (d) tạo với chiều dương trục hoành bằng 45◦ hoặc 135◦ . ⇔ hệ số góc tạo của (d) bằng 1 hoặc −1.  ” 2 ” 2 m = −1  m − 4m − 4 = 1 m − 4m − 3 = 0 ⇔ ⇔ ⇔ m = 5 √ m2 − 4m − 4 = −1 m2 − 4m − 5 = 0 m = 2 ± 7. Thử lại với m = 5 thì (d) không đi qua O. Vậy có duy nhất một giá trị m = 5 nguyên dương thỏa ycbt.  Chọn đáp án B B  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 361/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Câu 257. Đường thẳng d : y = (m − 3)x − 2m + 1 cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB cân. Khi đó, số giá trị của m thỏa mãn là A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. Lời giải. Vì A = d ∩ Ox nên tọa độ A  là nghiệm của hệ: ( Å ã x = 2m − 1 y = (m − 3)x − 2m + 1 2m − 1 m − 3 nên A ⇔ ;0 .  m−3 y=0 y=0 Vì B = d ∩ Oy nên tọa độ B ( là nghiệm của hệ: ( y = (m − 3)x − 2m + 1 x=0 ⇔ nên B(0; −2m + 1). x=0 y = −2m + 1 Å ã 1 2m − 1 = | − 2m + 1| ⇔ |2m − 1| −1=0 Ta có OA = OB ⇔ m−3 |m − 3|  ” 1 m= 2m − 1 = 0 2 ⇔ ⇔ |m − 3| = 1 m = 4, m = 2. 1 Nhận xét: Với m = thì A ≡ B ≡ O (0; 0) nên không thỏa mãn. 2 Vậy m = 4, m = 2.  Chọn đáp án D D Câu 258. Các đường thẳng y = −5(x + 1); y = 3x + a; y = ax + 3 đồng quy với giá trị của a là A. −11. B. −10. C. −12. D. −13. Lời giải. Gọi d1 : y = −5x − 5, d2 : y = 3x + a, d3 : y = ax + 3 (a 6= 3). −a − 5 Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và d2 : −5x − 5 = 3x + a ⇔ x = . 8 Å ã −a − 5 5a − 15 Giao điểm của d1 và d2 là A . ; 8 8 Đường thẳng d1 , d2 và d3 đồng qui khi và chỉ khi ” a=3 −a − 5 5a − 15 2 =a· + 3 ⇔ a + 10a − 39 = 0 ⇔ ⇒ a = −13 (vì a 6= 3). A ∈ d3 ⇔ 8 8 a = −13  Chọn đáp án D D Câu 259. Đồ thị bên thể hiện quãng đường đi được của một ô tô đang chuyển động thẳng đều trong khoảng thời gian 9 giây từ lúc quan sát. Hỏi kể từ lúc quan sát tại thời điểm giây thứ 6, ô tô đã đi được bao mét 150 nhiêu mét? 9 A. 60 mét. B. 90 mét. C. 100 mét. giây D. 120 mét. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 362/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Đường thẳng trong hình vẽ có phương trình dạng y = ax. Đường thẳng này qua điểm (9; 150) nên 50 50 150 = 9a ⇔ a = . Ta có y = x. Cho x = 6 ta được y = 100. 3 3 Chọn đáp án C  C Câu 260. Một người vay 100 triệu đồng tại một ngân hàng với lãi suất 0,8%/tháng. Người đó lên kế hoạch trả hết nợ trong thời gian 2 năm (bao gồm cả vốn và lãi suất phải trả cho ngân hàng). Số tiền mỗi tháng người đó trả cho ngân hàng là như nhau. Hỏi số tiền mỗi tháng người này phải trả cho ngân hàng là bao nhiêu (đồng)? A. 4.596.050 đồng. B. 4.815.620 đồng. C. 4.632.820 đồng. D. 4.854.150 đồng. Lời giải. • Gọi X là số tiền phải trả hàng tháng, r là lãi suất hàng tháng, A là số tiền vay ban đầu. Khi đó, tổng số tiền phải trả là Sn = A(1 + r)n . • Tổng số tiền trả sau n tháng là  (1 + r)n − 1 (1 + r)n − 1 Tn = X 1 + (1 + r) + (1 + r)2 + · + (1 + r)n−1 = X · =X· . (1 + r) − 1 r A(1 + r)n r (1 + r)n − 1 ⇔X= . r (1 + r)n − 1 • Áp dụng với n = 24 (tháng), r = 0,8%/tháng, A = 100 (triệu đồng) ta có • Sau n tháng trả hết nợ nên Sn = Tn ⇔ A(1 + r)n = X · X= 100(1 + 0,008)24 · 0,008 ≈ 4,59605 (triệu đồng). (1 + 0,008)2 4 − 1  Chọn đáp án A A Câu 261. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số y = mx + 2 nghịch biến trên R. A. m ≤ 1. B. m ≤ 0. C. m < 1. D. m < 0. Lời giải. Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi m < 0.  Chọn đáp án D D Câu 262. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R? A. y = 3 − 2x. B. y = 3x + 1. C. y = −3. x D. y = 2 − . 2 Lời giải. Ta có y = 3x + 1 là hàm bậc nhất có a = 3 > 0 nên hàm số đồng biến trên R. Chọn đáp án B  B Câu 263. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó? A. y = 1 − x. Lời giải. B. y = 2x + 3. C. x + y − 2 = 0. D. 3x + 5y + 1 = 0. y = 2x + 3 là hàm số bậc nhất có hệ số a = 2 > 0. Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 363/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI  Chọn đáp án B B Câu 264. Cho hàm số y = −3x Å + 1. Hãy ã chọn khẳng định đúng. Å ã 1 1 A. Hàm số đồng biến trên −∞; và nghịch biến trên ; +∞ . 3 ã Å Å3 ã 1 1 B. Hàm số nghịch biến trên −∞; và đồng biến trên ; +∞ . 3 3 C. Hàm số đồng biến trên R. D. Hàm số nghịch biến trên R. Lời giải. Vì −3 < 0 nên hàm số y = −3x + 1 nghịch biến trên R.  Chọn đáp án D D Câu 265. Tất cả các giá trị của m để hàm số y = (2 − m)x + 5m nghịch biến trên R. A. m > 2. B. m 6= 2. C. m = 2. D. m < 2. Lời giải. • Nếu m = 2 thì y = 10 là hàm số hằng. • Nếu m 6= 2 thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất, do đó hàm số nghịch biến trên R ⇔ 2 − m < 0 ⇔ m > 2.  Chọn đáp án A A Câu 266. Cho hàm số y = 3x + 6. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên (−2; +∞). C. Hàm số đồng biến trên R. B. Hàm số nghịch biến trên R. D. Hàm số nghịch biến trên (−∞; −2). Lời giải. Hàm số y = 3x + 6 có a = 3 > 0 nên hàm số đồng biến trên R.  Chọn đáp án C C Câu 267. Tìm m để hàm số y = (3 − m)x + 2 nghịch biến trên R. A. m > 0. B. m = 3. C. m > 3. D. m < 3. Lời giải. Hàm số y = (3 − m)x + 2 nghịch biến trên R khi 3 − m < 0 hay m > 3.  Chọn đáp án C C Câu 268. Khẳng định nào về hàm số y = 3x + 5 là sai? Å A. Hàm số đồng biến trên R. C. Đồ thị cắt Oy tại (0; 5). Lời giải. ã 5 B. Đồ thị cắt Ox tại − ; 0 . 3 D. Hàm số nghịch biến trên R. Hàm số y = 3x + 5 có hệ số a = 3 > 0 nên đồng biến trên R.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 364/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI  Chọn đáp án D D Câu 269. Cho hàm số y = (m + 2)x + biến trên R ? A. 2. √ 2 − m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đồng B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải. Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi ( m+2>0 2−m≥0 ⇔ ( m > −2 m ≤ 2. Mặt khác do m ∈ Z nên m ∈ {−1; 0; 1; 2}. Vậy có 4 giá trị nguyên của m.  Chọn đáp án C C Câu 270. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? 3 A. y = . B. y = 2x − 4. C. y = (x + 1)(3 − x). x−2 Lời giải. D. y = x2 − 3x + 2. y = 2x − 4 là hàm số bậc nhất. Chọn đáp án B  B Câu 271. Hàm số f (x) = (m − 1)x + 2m + 2 là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi A. m 6= −1. B. m > 1. C. m 6= 1. D. m 6= 0. Lời giải. Hàm số f (x) = (m − 1)x + 2m + 2 là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi m − 1 6= 0 ⇔ m 6= 1.  Chọn đáp án C C Câu 272. Hệ số góc của đồ thị hàm số y = 2018x − 2019 bằng 2019 A. − . B. 2018. C. −2019. 2018 Lời giải. D. − 2018 . 2019 . Chọn đáp án B  B 1 Câu 273. Điểm nào trong các điểm dưới đây không thuộc đồ thị hàm số y = x − 2? 3 Å ã 1 A. (3; 1). B. 5; − . C. (−15; −7). D. (66; 20). 3 Lời giải. 1 Ta có · 3 − 2 = −1 6= 1 nên (3; 1) không thuộc đồ thị hàm số. 3 Chọn đáp án A  A Câu 274.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 365/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình vẽ? A. y = |x| − 1. B. y = |x − 1|. C. y = x − 1. D. y = −x + 1. x −∞ +∞ 1 +∞ +∞ f (x) 0 Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên nhận thấy giá trị y ≥ 0, ∀x ∈ R. Do đó chỉ có y = |x − 1| thỏa mãn yêu cầu.  Chọn đáp án B B Câu 275. Hàm số nào cho dưới đây có đồ thị như hình bên? A. y = −2x + 2. B. y = x + 2. C. y = −x + 2. D. y = 2x + 2. y 2 O x 1 y = f (x) Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho dạng y = ax + b đi qua hai điểm A(1; 0), B(0; 2), do đó ( ( a = −2 a+b=0 ⇔ 0a + b = 2 b = 2. Vậy y = −2x + 2. Chọn đáp án A  A Câu 276. Đồ thị của hàm số y = f (x) = A. (0; −3). ( 2x + 1 −3 B. (3; 7). khi x 6 2 đi qua điểm nào sau đây? khi x > 2 C. (2; −3). D. (0; 1). Lời giải. Thử lần lượt từng phương án A,B,C,D với chú ý về điều kiện ta được: f (0) = 2.0 + 1 = 1 6= −3, đồ thị không đi qua điểm (0; −3). f (3) = −3 6= 7, đồ thị không đi qua điểm (3; 7). f (2) = 2.2 + 1 = 5 6= −3, đồ thị không đi qua điểm (2; −3). f (0) = 2.0 + 1 = 1, đồ thị không đi qua điểm (0; 1). Chọn đáp án D  D Câu 277.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 366/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Hàm số nào cho dưới đây có đồ thị như hình vẽ bên A. y = −2x + 2. B. y = x + 2. C. y = −x + 2. D. y = 2x + 2. y 2 O 1 x Lời giải. Đồ thị hàm số cắt Ox và Oy lần lượt tạ A(1; 0) và B(0; 2).  Chọn đáp án A A √ Câu 278. Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng y = 2x? √ 2 1 A. y = √ x − 5. B. y = 1 − 2x. C. y = √ x − 3. 2 2 Lời giải. Hai đường thẳng song song khi hai hệ số góc bằng nhau. Chọn đáp án A √ D. y = − 2x + 2.  A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 367/2406 ‡ GeoGebra 2. HÀM SỐ Y = AX + B CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI ĐÁP ÁN 1. D 11. B 2. C 12. A 3. B 13. D 4. D 14. C 5. A 15. B 6. D 16. D 7. C 17. B 8. C 18. C 9. A 19. A 10. D 20. A 21. B 22. D 23. C 24. D 25. C 26. A 27. B 28. B 29. C 30. D 31. D 32. A 33. D 34. D 35. C 36. B 37. B 38. B 39. B 40. C 41. D 51. B 42. D 52. D 43. A 53. D 44. B 54. B 45. C 55. B 46. C 56. D 47. A 57. A 48. B 58. A 49. B 59. B 50. D  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 368/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI §3 HÀM SỐ BẬC HAI A 1 TÓM TẮT LÍ THUYẾT HÀM SỐ BẬC HAI Định nghĩa. Hàm số bậc hai được cho bởi công thức y = ax2 + bx + c (a 6= 0). Tập xác định của hàm số này là D = R. 2 ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI 2 Định Å nghĩa.ã Đồ thị của hàm số y = ax + bx + c (a 6= 0) là một đường parabol có đỉnh là điểm b −∆ b I − ; , có trục đối xứng là đường thẳng x = − . Parabol này quay bề lõm lên trên nếu 2a 4a 2a a > 0, xuống dưới nếu a < 0. * Cách vẽ đồ thị hàm số bậc Å hai. ã b −∆ . a) Xác định tọa độ của đỉnh I − ; 2a 4a b b) Vẽ trục đối xứng x = − . 2a c) Lập bảng giá trị x x1 x2 y y (x1 ) y (x2 ) b − 2a −∆ 4a x3 x4 y (x3 ) y (x4 ) Đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a 6= 0) cắt trục tung tại điểm (0; c). ! Đồ thị của hàm số y = ax + bx + c (a 6= 0) cắt trục hoành (nếu có) tại điểm có tọa độ (x ; 0) 2 0 2 với x0 là nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0. d) Vẽ Parabol ! Khi vẽ cần chú ý đến dấu của hệ số a (a > 0 bề lõm quay lên trên, a < 0 bề lõm quay xuống dưới). 3 CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI Dựa vào đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a 6= 0), ta có bảng biến thiên của nó trong hai trường hợp a > 0 và a < 0 như sau + Với a > 0  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 369/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI x 3. HÀM SỐ BẬC HAI −∞ − b 2a +∞ +∞ +∞ y −∆ 4a + Với a < 0 x b 2a −∆ 4a −∞ − y −∞ +∞ −∞ Từ đó ta có định lí sau Å ã b Định lí 1. Nếu a > 0 thì hàm số y = ax + bx + x nghịch biến trên khoảng −∞; − , đồng biến 2a Å ã b trên khoảng − ; +∞ . 2a Å ã b 2 Nếu a < 0 thì hàm số y = ax + bx + x đồng biến trên khoảng −∞; − , nghịch biến trên khoảng 2a Å ã b − ; +∞ . 2a 2 4 PHƯƠNG TRÌNH HOÀNH ĐỘ GIAO ĐIỂM Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là (C1 ) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C2 ). Khi đó, nếu M (x; y) là giao điểm của (C1 ) và (C2 ) thì tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: ( y = f (x) ⇒ f (x) = g(x). (∗) y = g(x) Phương trình (∗) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C1 ) và (C2 ). Và nếu giao điểm M có mang những đặc điểm, tính chất nào đó thì phương trình (∗) cũng sẽ tồn tại những đặc điểm tương ứng với các đặc tính đó. Từ đây suy ra, để giải một bài toán về tính chất giao điểm của hai đồ thị (C1 ) và (C2 ), ta có thể tiến hành theo các bước sau: a) Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C1 ) và C2 (tức là phương trình (∗)). b) Biến đổi phương trình về dạng bậc hai đơn giản. c) Dựa vào điều kiện ban đầu của bài toán để chuyển về điều kiện cho phương trình hoành độ giao điểm. 5 ĐỊNH LÝ VI-ÉT Định lí 2. Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0).  b  S = x 1 + x 2 = − a. a) Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 và x2 thì ta có:  P = x 1 x 2 = c a b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 370/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI    M> 0  c) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi: S > 0 .    P >0   M> 0   d) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi: S < 0 .    P >0 ( M> 0 e) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác x0 khi và chỉ khi: . ax20 + bx0 + c 6= 0 MỘT VÀI CÔNG THỨC CẦN NHỚ 6 ! ã M b . Đồ thị của hàm số y = ax + bx + c (a 6= 0) là một đường parabol có đỉnh là điểm I − ; − 2a 4a Å 2 Đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a 6= 0) cắt trục tung tại điểm (0; c) (lấy x = 0 thế vào hàm ! số). Đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a 6= 0) cắt trục hoành (nếu có) tại điểm có tọa độ (x0 ; 0) với !x là nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c = 0 (1). Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị với trục hoành. B 0 CÁC DẠNG TOÁN | Dạng 1. Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số bậc hai Vẽ đồ thị của hàm số bậc hai ta thực hiện theo bốn bước như trên. Để lập bảng biến thiên của hàm số bậc hai ta cần xem xét dấu của hệ số a, tính tọa độ của đỉnh và điền vào bảng thích hợp. ccc BÀI TẬP DẠNG 1 ccc Ví dụ 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x2 − 2x. Lời giải. Ta có a = 1, b = −2, c = 0. Suy ra tọa độ đỉnh là I (1; −1). Vậy bảng biến thiên là x −∞ 1 +∞ +∞ +∞ y −1  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 371/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) và đồng biến trên khoảng (1; +∞). *Vẽ đồ thị: Ta có đỉnh là I (1; −1) và trục đối xứng là x = 1. Bảng giá trị x −1 y 3 0 1 0 −1 2 3 0 3 Ta có đồ thị của hàm số y = x2 − 2x là y 3 1 2 3 x −1O −1  1 Ví dụ 2. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = − x2 + 2x − 2. 2 Lời giải. 1 Ta có a = − , b = 2, c = −2. Suy ra tọa độ đỉnh là I (2; 0). 2 Vậy bảng biến thiên là x −∞ +∞ 2 0 y −∞ −∞ Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 2) và nghịch biến trên khoảng (2; +∞). *Vẽ đồ thị: Ta có đỉnh là I (2; 0) và trục đối xứng là x = 2. Bảng giá trị x −2 0 y −8 −2 2 4 6 0 −2 −8 1 Ta có đồ thị của hàm số y = − x2 + 2x − 2 là 2 y −2 O −2 2 4 6x −8  Ví dụ 3. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = −3×2 + 2x − 1. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 372/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI Å Ta có a = −3, b = 2, c = −1. Suy ra tọa độ đỉnh là I ã 1 2 ;− . 3 3 Vậy bảng biến thiên là x 1 3 2 − 3 −∞ y +∞ −∞ −∞ Å Å ã ã 1 1 Do đó hàm số đồng biến trên khoảng −∞; và nghịch biến trên khoảng ; +∞ . 3 3 Å ã 1 2 1 *Vẽ đồ thị: Ta có đỉnh là I ;− và trục đối xứng là x = . 3 3 3 Bảng giá trị x y 1 3 2 −6 −1 − 3 −1 0 2 5 3 3 −1 −6 Ta có đồ thị của hàm số y = −3×2 + 2x − 1 là y −1 O −1 1 3 5 3 2 3 x −6  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y = −x2 + 2x + 3. b) y = −x2 + 2x − 2. c) y = 3×2 − 2x + 1. d) y = −3×2 + 2x − 1. Lời giải. a) Đồ thị y 4 −1 O  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 1 2 Trang 373/2406 3 x ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI b) Đồ thị y −1 O −1 1 2 3 x c) Đồ thị y 2 3 O 1 x 3 d) Đồ thị y 1 O 3 − 23 x  Bài 2. Cho hàm số y = −x2 + 2x + 3. a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P ) của hàm số. b) Tìm các giá trị của x để y > 0 và y < 0. Lời giải. a) Đồ thị  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 374/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI y 4 O −1 3 x 1 b) Để y > 0 thì x ∈ (−1; 3) và y < 0 thì x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞).  Bài 3. Cho hàm số y = x2 − 4x + 3. a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P ) của hàm số. b) Tìm các giá trị của x để y > 0 và y < 0. Lời giải. a) Đồ thị y O 1 2 3 x −1 b) Để y > 0 thì x ∈ (−∞; 1) ∪ (3; +∞) và y < 0 thì x ∈ (1; 3).  | Dạng 2. Tìm tọa độ của đỉnh và các giao điểm của parabol với các trục tọa độ. Tọa độ giao điểm giữa parabol (P ) và một đường thẳng. Phương pháp: • Dựa vào các công thức cần nhớ để tìm tọa độ của đỉnh, giao điểm của parabol với các trục b tọa độ. Tuy nhiên, khi tìm tọa độ của đỉnh I thì ta chỉ cần tìm hoành độ x0 = − . Rồi 2a sau đó thế x0 vào hàm số ban đầu để tìm y0 = ax0 2 + bx0 + c là tung độ của đỉnh I. • Dựa vào phương trình hoành độ giao điểm để xác định giao điểm của parabol (P ) với đường thẳng. ccc BÀI TẬP DẠNG 2 ccc Ví dụ 1. Cho hàm số y = x2 − 4x + 3 có đồ thị là parabol (P ). Tìm tọa độ của đỉnh, giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hoành. Lời giải. Từ đề ta có: a = 1, b = −4, c = 3. Vậy hoành độ của đỉnh I là: x0 = − ⇒ y0 = 22 − 4.2 + 3 = −1. Vậy đỉnh I(2; −1).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 375/2406 −4 b =− = 2. 2a 2.1 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI Giao điểm của (P ) và trục Oy: Cho x = 0 ⇒ y = 3. Vậy (P ) cắt trục "Oy tại điểm A(0; 3). x=1 Giao điểm của (P ) với trục Ox: Xét phương trình: x2 − 4x + 3 = 0 ⇔ . Vậy (P ) cắt trục Ox tại x=3 hai điểm B(1; 0) và C(3; 0).  Ví dụ 2. Cho hàm số y = −x2 − 3x + 1 có đồ thị là parabol (P ). Tìm tọa độ của đỉnh, giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hoành. Lời giải. −3 3 b =− . Từ đề ta có: a = −1, b = −3, c = 1. Vậy hoành độ của đỉnh I là: x0 = − = − 2a −2.1 2 Å ã2 Å ã Å ã 3 3 13 3 13 ⇒ y0 = − − − 3. − + 1 = . Vậy đỉnh I − ; . 2 2 4 2 4 Giao điểm của (P ) và trục Oy: Cho x = 0 ⇒ y = 1. Vậy (P ) cắt trục Oy tại điểm A(0; √ 1). −3 + 13 x=  2 √ . Vậy (P ) cắt Giao điểm của (P ) với trục Ox: Xét phương trình: −x2 − 3x + 1 = 0 ⇔   −3 − 13 x= 2 Ç å Ç å √ √ −3 + 13 −3 − 13 ; 0 và C ;0 .  trục Ox tại hai điểm B 2 2 Ví dụ 3. Cho hàm số y = −x2 + x + 2 có đồ thị (P ) và đường thẳng d: 4x + y − 3 = 0. Tìm giao điểm của đồ thị (P ) và đường thẳng d. Lời giải. Đường thẳng d: y = −4x + 3. Xét phương" trình hoành độ giao điểm: x=0⇒y=1 . Vậy đồ thị (P ) và đường thẳng d cắt nhau −x2 + x + 2 = −4x + 3 ⇔ x2 − 5x = 0 ⇔ x = 5 ⇒ y = 11 tại hai điểm: A(0; 1) và B(5; 11).  Ví dụ 4. Cho hàm số y = −x2 − x + 2 có đồ thị (P ) và đường thẳng d: x − y + 3 = 0. Tìm giao điểm của đồ thị (P ) và đường thẳng d. Lời giải. Đường thẳng d: y = x + 3. Xét phương trình hoành độ giao điểm: −x2 − x + 2 = x + 3 ⇔ x2 + 2x + 1 = 0 ⇔ x = −1 ⇒ y = 2. Vậy (P ) và d tiếp xúc với nhau tại điểm A(−1; 2).  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm tọa độ đỉnh, giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của các parabol sau: a) y = x2 + 4x − 1. 1 b) y = − x2 + 2x − 4. 2 Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 376/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI a) Đáp số: Tọa độ đỉnh I(−2; −5); giao điểm của parabol (P ) với trục tung và trục hoành lần lượt √ √ là: A(0; −1); B(−2 + 5; 0); C(−2 − 5; 0). b) Đáp số: Tọa độ đỉnh I(2; −2); giao điểm của parabol (P ) với trục tung là: A(0; −4); đồ thị không cắt trục hoành.  Bài 2. Tìm giao điểm của parabol (P ) và đường thẳng d trong các trường hợp sau: a) y = −x2 và y = x − 2. 1 b) y = − x2 − 2x và y = −3x + 3. 2 c) y = x2 − x − 3 và y = x − 4. d) y = x2 + 6x + 4 và y = −x + 1. Lời giải. a) Số giao điểm của (P ) và d là số nghiệm của phương trình: " x = 1 ⇒ y = −1 −x2 = x − 2 ⇔ x2 + x − 2 = 0 ⇔ . Vậy (P ) và d cắt nhau tại 2 điểm A(1; −1) x = −2 ⇒ y = −4 và B(−2; −4). b) (P ) và d không cắt nhau. c) (P ) và d tiếp xúc với nhau tại A(1; −3). d) (P ) và d không cắt nhau.  Bài 3. Cho parabol (P ): y = x2 − 4x + 3. Dùng (P ) tìm tập hợp các giá trị của x để y ≤ 0. Lời giải. y O 1 2 3 x Đáp số: Từ hình vẽ ta có: 1 ≤ x ≤ 3.  | Dạng 3. Dựa vào đồ thị biện luận theo m số giao điểm của parabol (P ) và đường thẳng. CÂU DẪN • Sử dụng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình. • Sử dụng phương trình hoành độ giao điểm để đưa bài toán tìm giao điểm về bài toán biện luận số nghiệm của phương trình. ccc BÀI TẬP DẠNG 3 ccc  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 377/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI Ví dụ 1. Cho parabol (P ): y = x2 − x − 2. Dùng đồ thị (P ), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x2 − x − (m − 2) = 0. Lời giải. y −1 O 1 2 x 2 y=m −2 Xét phương trình: x2 − x − (m − 2) = 0 ↔ x2 − x − 2 = m (1). Nghiệm số của phương trình là hoành độ giao điểm của 2 đường parabol (P ) : y = x2 − x − 2 và đường thẳng ∆: y = m. Theo đồ thị ta có kết quả: 9 • m < − : (∆) và (P ) không có điểm chung ⇒ phương trình (1) vô nghiệm. 4 9 • m = − : (∆) tiếp xúc với (P ) ⇒ phương trình (1) có nghiệm kép. 4 9 • m > − : (∆) cắt (P ) tại 2 điểm ⇒ phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. 4  Ví dụ 2. Cho parabol (P ): y = x(2 − x) + 3 và đường thẳng d: y = −x + m. Định m để: a) d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt. b) d và (P ) tiếp xúc. c) d và (P ) không có điểm chung. Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P ): x(2 − x) + 3 = −x + m ⇔ x2 − 3x + m − 3 = 0 (1). ∆ = 9 − 4(m − 3) = −4m + 21 a) d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: 21 ⇔ ∆ = −4m + 21 > 0 ⇔ m < . 4 21 b) d và (P ) tiếp xúc ⇔ phương trình (1) có nghiệm kép: ⇔ ∆ = −4m + 21 = 0 ⇔ m = . 4 21 c) d và (P ) không có điểm chung ⇔ phương trình (1) vô nghiệm: ⇔ ∆ = −4m + 21 < 0 ⇔ m > . 4  BÀI TẬP TỰ LUYỆN  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 378/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI Bài 1. Cho hàm số: y = x2 − 2x − 3 có đồ thị là parabol (P ) và đường thẳng d: y = 4x + m. Biện luận theo m số giao điểm của d và (P ). Lời giải. HD: Sử dụng phương trình hoành độ giao điểm để đưa bài toán về biện luận theo m số nghiệm của phương trình. Đáp số: m > −12: d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt; m = −12: d tiếp xúc với (P ); m < −12: d và (P )  không có điểm chung. 1 Bài 2. Cho parabol y = − x2 và đường thẳng y = x + m. Với giá trị nào của m thì parabol và đường 4 thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt? Lời giải. m < 1 thì parabol và đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt.  1 Bài 3. Cho parabol y = x2 . Tìm giá trị của m và n để đường thẳng y = mx + n đi qua điểm (0; −1) 2 và tiếp xúc với parabol. Lời giải. Đáp số: m = √ √ 2; n = −1 và m = − 2; n = −1.  2 Bài 4. Cho hai parabol y = −x2 + 2x + 3 và y = hai parabol. Lời giải. x − 4x + 3. Tìm m để đường thẳng y = m cắt cả 2 HD: vẽ hai parabol trên 1 hệ trục tọa độ. Đáp số: −5 ≤ m ≤ 4.  | Dạng 4. Xác định hàm số bậc hai khi biết các yếu tố liên quan. Ta thực hiện theo các bước sau. Bước 1: Giả sử parabol (P ) : y = ax2 + bx + c với a 6= 0. Bước 2: Dựa vào giả thiết đề bài để xác định a, b, c. Một số giả thiết thường gặp ở bước này và cách xử lí. • Parabol đi qua điểm M (x0 ; y0 ) ⇒ y0 = ax20 + bx0 + c. b • Parabol có trục đối xứng x = x0 ⇒ x0 = − . 2a  b  x 0 = − 2a . • Parabol có đỉnh I(x0 ; y0 ) ⇒   y0 = − ∆ 4a • Parabol có giá trị nhỏ nhất (hoặc giá trị lớn nhất) bằng y0 ⇒ Ñ hoặc  a<0 y = − ∆ 0 4a Bước 3: Kết luận.  a>0 y = − ∆ 0 4a é . ccc BÀI TẬP DẠNG 4 ccc  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 379/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI Ví dụ 1. Xác định parabol y = ax2 + bx + 3, biết rằng parabol đi qua hai điểm A(1; 2) và B(−2; 11). Lời giải. Parabol (P ) : y = ax2 + bx + 3 (a 6= 0). Ta có c = 3. Vì (P ) đi qua A(1; 2) nên 2 = a + b + 3 ⇔ a + b = −1 (1). Vì (P ) đi qua B(−2;(11) nên 11 = 4a −(2b + 3 ⇔ 4a − 2b = 8 (2). a + b = −1 a=1 Từ (1) và (2) ta có ⇔ . 4a − 2b = 8 b = −2 Vậy parabol (P ) : y = x2 − 2x + 3.  Ví dụ 2. Cho parabol (P ) : y = −x2 + bx + c. Xác định b, c biết (P ) đi qua điểm M (−2; 4) và có trục đối xứng x = −2. Lời giải. Parabol (P ) : y = −x2 + bx + c. Ta có a = −1. b Vì (P ) có trục đối xứng x = −2 nên − = −2 ⇔ b = 4a = 4.(−1) = −4. 2a Vì M (−2; 4) ∈ (P ) nên 4 = −(−2)2 + b.(−2) + c ⇔ 4 = −4 − 2b + c ⇔ −2b + c = 8. Mà b = −4 nên 8 + c = 8 ⇔ c = 0. Vậy (P ) : y = −x2 − 4x.  Ví dụ 3. Cho parabol (P ) : y = ax2 − 2x + c. Xác định parabol (P ) biết (P ) có đỉnh I(1; −3). Lời giải. Parabol (P ) : y = ax2 − 2x + c. Ta có b = −2. Cách 1: Vì (P ) có đỉnh I(1; −3) nên (P ) có trục đối xứng x = 1. b 2 Khi đó − = 1 ⇔ = 1 ⇔ a = 1. 2a 2a 2 2 Hơn nữa, vì đỉnh I(1; −3) ∈ (P ) nên −3 = 1.1 − 2.1 + c ⇔ c = −2. Vậy (P ) : y = x − 2x − 2. b (  − =1 b = −2a 2a Cách 2: Vì (P ) có đỉnh I(1; −3) nên ⇔  b2 − 4ac = 12a  − ∆ = −3 ( ( ( 4a − 2 = −2a a=1 a=1 ⇔ ⇔ ⇔ . Vậy (P ) : y = x2 − 2x − 2. (−2)2 − 4ac = 12a 4 − 4c = 12 c = −2  Ví dụ 4. Cho parabol (P ) : y = ax2 + bx + c. Xác định a, b, c biết (P ) có giá trị nhỏ nhất bằng −5 và đi qua hai điểm M (1; −1), N (0; 4). Lời giải. Parabol (P ) : y = ax2 + bx + c (a 6= 0). Vì M (1; −1) ∈ (P ) nên −1 = a + b + c (1). Vì N (0; 4) ∈ (P ) nên 4 = c (2).  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 380/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI  ( a > 0 a>0 Vì (P ) có giá trị nhỏ nhất bằng −5 nên ⇔ . ∆ − b2 − 4ac = 20a (3) = −5 ( (4a ( a + b + 4 = −1 a + b = −5 a = −5 − b Từ (1), (2) và (3), ta có ⇔ ⇔ b2 − 16a = 20a b2 − 36a = 0 b2 − 36.(−5 − b) = 0 ( ( ( a = −5 − b b = −6 b = −30 ⇔ ⇔ hoặc . b2 + 36b + 180 = 0 a = 1 (nhận) a = 25 (nhận) Vậy (P1 ) : y = x2 − 6x + 4 và (P2 ) : y = 25×2 − 30x + 4.  Ví dụ 5. Cho hàm số y = x2 − mx + m + 1 với m ∈ R. Xác định m để đồ thị hàm số là parabol có đỉnh nằm trên đường thẳng y = x sao cho hoành độ đỉnh không âm. Lời giải. Với giá  trị m cố định, gọi I(x0 ; y0 ) là đỉnh của parabol (x0 ≥ 0). x 0 = − b = m m2 m2 2a 2 − + m + 1. Khi đó . Suy ra y0 =  4 2 2 y0 = x0 − mx0 + m + 1 ” √ m=1+ 5 m2 m2 m Vì đỉnh I nằm trên đường thẳng y = x nên y0 = x0 ⇔ − +m+1= ⇔ √ . 4 2 2 m=1− 5 √ Vì x0 ≥ 0 nên m ≥ 0, do đó m = 1 + 5.  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho parabol (P ) : y = ax2 + bx + 4. Xác định a, b biết: a) (P ) đi qua hai điểm M (−1; 7) và N (−4; 4). b) (P ) có trục đối xứng x = 3 và đi qua điểm A(2; −4). 9 c) (P ) có tung độ đỉnh bằng và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 4. 2 Lời giải. ( ( a−b=3 a = −1 a) Thay tọa độ điểm M , N vào (P ) ta có hệ phương trình ⇔ . 16a − 4b = 0 b = −4 b) (P ) có trục đối xứng x = 3 nên b = −6a. Mà A(2; −4) ∈ (P ) nên −4 = 4a + 2b + 4 ⇔ −8a = −8 ⇔ a = 1. Suy ra b = −6. ∆ 9 b2 c) Hoành độ đỉnh x = − = ⇔ b2 − 4ac = −18a ⇔ b2 = −2a ⇔ a = − . 4a 2 2  b=1 (P ) cắt Ox tại điểm có tọa độ (4; 0) nên 0 = 16a + 4b + 4 ⇔ −8b2 + 4b + 4 = 0 ⇔  1. b=− 2 1 1 1 Với b = 1 thì a = − . Với b = − thì a = − . 2 2 8  Bài 2. Cho parabol (P ) : y = −x2 + bx + c. Xác định b, c biết: a) (P ) có đỉnh I(1; 4). b) (P ) đối xứng qua trục tung và có giá trị lớn nhất bằng 3. c) (P ) có hoành độ đỉnh bằng tung độ đỉnh và đi qua gốc tọa độ O.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 381/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI Lời giải.   − ( b =1 b=2 2.(−1) ⇔ . a) Vì (P ) có đỉnh I(1; 4) nên  c=3 4 = −1 + b + c b b) Vì (P ) đối xứng qua trục tung nên − = 0 ⇔ b = 0. −2 Mà (P ) có giá trị lớn nhất bằng 3 nên b2 − 4ac = −12a ⇔ 4c = 12 ⇔ c = 3. c) Vì (P ) đi qua gốc tọa độ O nên c = 0. Mà hoành độ đỉnh bằng tung độ đỉnh nên − ” b=0 b − 4.(−1).0 b =− ⇔ 2b = b2 ⇔ . −2 −4 b=2 2  Bài 3. Cho parabol (P ) : y = ax2 + 3x + c. Xác định a, c biết: a) (P ) có hoành độ đỉnh bằng −1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4. b) (P ) có tung độ đỉnh gấp 2 lần hoành độ đỉnh và đi qua điểm A(1; 4). 9 c) (P ) đạt giá trị nhỏ nhất bằng − và đi qua gốc tọa độ O. 2 Lời giải. a) Vì (P ) cắt trục tung tại điểm (0; 4) nên c = 4. 3 3 Mà (P ) có hoành độ đỉnh bằng −1 nên − = −1 ⇔ a = . 2a 2 b) Vì A(1; 4) ∈ (P ) nên a + 3 + c = 4 ⇔ a + c = 1 ⇔ a = 1 − c (1). −∆ −b 9 − 4ac 3 Mà (P ) có tung độ đỉnh gấp 2 lần hoành độ đỉnh nên = 2. ⇔ = 4a 2a 4a a ” a = 0 (loại) ⇔ 9a − 4a2 c = 12a ⇔ 4a2 c = −3a ⇔ . 4ac = −3 (2)  3 1 c=− ⇒a=  2 2. Thay (1) vào (2) ta có 4(1 − c)c = −3 ⇔ 4c2 − 4c − 3 = 0 ⇔  3 1 c= ⇒a=− 2 2 c) Vì O ∈ (P ) nên c = 0.   − ∆ = −9 1 9 4a 2 ⇔a= . Mà (P ) đạt giá trị nhỏ nhất bằng − nên  2 2 a>0  Bài 4. Xác định parabol (P ) biết: a) (P ) đi qua ba điểm A(1; 7), B(0; 5) và C(4; 1). (−x2 + 3x + 5) b) (P ) có trục đối xứng x = 3 và đi qua hai điểm M (−1; 0), N (0; 7). c) (P ) có đỉnh nằm trên trục hoành và đi qua hai điểm H(−2; 1), K(0; 9). Lời giải. a) (P ) đi qua ba điểm A(1; 7), B(0; 5) và C(4; 1) nên ta có hệ phương trình     a + b + c = 7 a = −1     ⇔ b=3 . c=5       16a + 4b + c = 1 c=5  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 382/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI b) (P ) có trục đối xứng x = 3 nên b = −6a. Mà (P ) đi qua hai điểm M (−1; 0), N (0; 7) nên ( a−b+c=0 c=7 ⇔ ( c=7 ⇔ 7a + c = 0 ( c=7 a = −1 . Suy ra b = 6. ∆ c) Vì (P ) có đỉnh nằm trên trục hoành nên − = 0 ⇔ b2 − 4ac = 0. 4a ( 4a − 2b + c = 1 Mà (P ) đi qua H(−2; 1), K(0; 9) nên . c=9  ( ( 2 ( a = b − 4 b = 12 b − 36a = 0 b=6 2 ⇔ Do đó ta có hoặc ⇔ .  2 a = 4 4a − 2b = −8 a = 1 b − 18b + 72 = 0  Bài 5. Cho parabol (P ) : y = ax2 − 2ax + 2a với (a 6= 0). Xác định a để (P ) có đỉnh nằm trên đường thẳng 2x − y = 0. Lời giải. (P ) có đỉnh I(1; a). Vì I nằm trên đường thẳng 2x − y = 0 nên 2 − a = 0 ⇔ a = 2.  Bài 6. Xác định parabol (P ) biết (P ) có đỉnh I cách đều hai trục tọa độ, đi qua gốc tọa độ O(0; 0) 1 và nhận x = làm trục đối xứng. 2 Lời giải. Giả sử (P ) : y = ax2 + bx + c với a 6= 0. Vì (P ) đi qua điểm O nên c = 0. 1 b 1 Vì (P ) nhận x = làm trục đối xứng nên − = ⇔ b = −a. 2 2a 2 |b| b 1 ∆ Vì (P ) cách đều hai trục tọa độ nên − ⇔ |b| = 2 ⇔ b = ±2. = − ⇔ = 2a 4a 2 4 Với b = 2 thì a = −2, với b = −2 thì a = 2.  Bài 7. Xác định parabol (P ) biết (P ) đi qua điểm A(0; 1) và có đỉnh I thuộc đường thẳng x+y −3 = 0 sao cho độ dài đoạn IM ngắn nhất, biết M (−1; 3). Lời giải. Giả sử (P ) : y = ax2 + bx + c với a 6= 0. Gọi I(x0 ; y0 ) là đỉnh của parabol. Vì I thuộc đường thẳng x + y − 3 = 0 nên y0 = 3 − x0 . Do đó » » » 2 2 2 2 IM = (x0 + 1) + (y0 − 3) = (x0 + 1) + (−x0 ) = 2×20 + 2×0 + 1. Å ã 1 2 1 1 1 Vì + 2×0 + 1 = 2 x0 + + ≥ với mọi x0 ∈ R, nên IM ngắn nhất khi x0 = − . 2 2 ã 2 Å2 1 7 7 Suy ra y0 = . Nên (P ) có đỉnh I − ; . 2 2 2  b 1 (  − =− 2a 2 ⇔ b=a Vì A(0; 1) ∈ (P ) nên c = 1. Hơn nữa ta có  b2 − 4a = −14a − ∆ = 7 4a 2 ( ( ( b=a b=0 b = −10 ⇔ ⇔ hoặc . b2 = −10b a = 0 (loại) a = −10 2×20  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 383/2406  ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI | Dạng 5. Các bài toán liên quan đồ thị hàm số trị tuyệt đối của một hàm bậc hai Xét hàm số y = |ax2 + bx + c| có đồ thị là (P1 ). Để ý rằng  ax2 + bx + c nếu ax2 + bx + c ≥ 0 y = |ax2 + bx + c| = −(ax2 + bx + c) nếu ax2 + bx + c ≤ 0, nên để vẽ (P1 ), ta làm như sau. a) Vẽ đồ thị (P ) của hàm số y = ax2 + bx + c. b) Giữ nguyên phần của (P ) mà ở phía trên trục hoành. c) Lấy đối xứng qua trục hoành đối với phần của (P ) mà ở dưới trục hoành (sau đó bỏ đi phần của (P ) mà ở dưới trục hoành). ccc BÀI TẬP DẠNG 5 ccc Ví dụ 1. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình |x2 − 4x + 3| = m. Lời giải. Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = |x2 − 4x + 3| với đường thẳng (nằm ngang) y = m. Ta vẽ (P ) : y = x2 − 4x + 3 (Hình 1). Từ đó, ta suy ra đồ thị (P1 ) của hàm số y = |x2 − 4x + 3| (Hình 2). Từ đồ thị (P2 ), ta có kết luận như sau. a) m < 0: phương trình vô nghiệm. b) m = 0 hoặc m > 1: hai nghiệm. c) 0 < m < 1: 4 nghiệm. d) m = 1: 3 nghiệm. y y x=2 x=2 3 3 1 O −1 1 2 3 x O Hình 1 1 2 3 x Hình 2  BÀI TẬP TỰ LUYỆN  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 384/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI Bài 1. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình |x2 + 3x| = m. Lời giải. Giải tương tự ví dụ 1. Đáp số: a) m < 0: phương trình vô nghiệm. 9 b) m = 0 hoặc m > : hai nghiệm. 4 9 c) 0 < m < : 4 nghiệm. 4 9 d) m = : 3 nghiệm. 4  | Dạng 6. Các bài toán liên quan đồ thị hàm số đối với trị tuyệt đối của biến Xét hàm số y = ax2 + b|x| + c. Khi x ≥ 0 hoặc x ≤ 0, hàm số trở thành hàm số bậc hai. Hơn nữa, hàm số đã cho là hàm số chẵn, nên đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng. Do đó, ta có thể vẽ đồ thị (P2 ) của hàm số y = ax2 + b|x| + c như sau. a) Vẽ đồ thị (P ) của hàm số y = ax2 + bx + c. b) Bỏ phần của (P ) ở bên trái trục tung. Sau đó lấy đối xứng qua trục tung đối với phần của (P ) mà ở bên phải trục tung. Lưu ý: Ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = ax2 + b|x| + c từ đồ thị hàm số y = ax2 − bx + c. ccc BÀI TẬP DẠNG 6 ccc Ví dụ 1. a) Vẽ đồ thị hàm số y = x2 − 4x + 3. b) Tìm m để phương trình x2 − 4|x| + 3 = m có 4 nghiệm phân biệt. Lời giải. a) Xem hình 3. b) Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số y = x2 − 4|x| + 3 và đường thẳng y = m. Từ đồ thị hàm số y = x2 − 4x + 3 ở câu a), ta suy ra đồ thị của hàm số y = x2 − 4|x| + 3 như ở hình 4. Từ đó, ta suy ra tất cả các giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là −1 < m < 3.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 385/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI y y x=2 3 3 1 O 2 3 x x O −1 −1 Hình 3 Hình 4  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm m để phương trình 2x2 − |x| = m có đúng 3 nghiệm. Lời giải. Giải tương tự ví dụ 2. Đáp số: m = 0.  Bài 2. Hỏi phương trình |2x2 − |x|| = m có tối đa bao nhiêu nghiệm? Lời giải. Ta vẽ đồ thị hàm số y = |2x2 − |x||. Trước hết, vẽ đồ thị hàm số y = 2x2 − x (hình 5), rồi suy ra đồ thị hàm số y = 2x2 − |x| (hình 6), từ đó, vẽ được đồ thị hàm số y = |2x2 − |x|| (hình 7). Đáp số: phương trình đã cho có tối đa 6 nghiệm. y y x= 1 4 O 1 2 O − 18 x − 12 Hình 5  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em − 18 1 2 x Hình 6 Trang 386/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI y 1 8 − 12 x 1 2 O Hình 7  | Dạng 7. Tính đơn điệu của hàm bậc hai Sự biến thiên của hàm số y = ax2 + bx + c (a 6= 0). • Tập xác định: D = R. Å ã b • Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng −∞; − và đồng biến (tăng) 2a Å ã b trên khoảng − ; +∞ . 2a Bảng biến thiên b x −∞ +∞ − 2a +∞ +∞ y − ∆ 4a Å ã b • Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng −∞; − và nghịch biến (giảm) 2a Å ã b trên khoảng − ; +∞ . 2a Bảng biến thiên b x −∞ +∞ − 2a ∆ − 4a y −∞ −∞ ccc BÀI TẬP DẠNG 7 ccc Ví dụ 1. Xét sự biến thiên của hàm số y = x2 − 2x + 3. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 387/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI - Tập xác định: D = R. ∆ b - Ta có x = − = 1 và y = − = −4. 2a 4a - Do a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) và đồng biến trên khoảng (1; +∞). – Bảng biến thiên x −∞ 1 +∞ +∞ +∞ y −4  Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của hàm số y = −x2 + 2x − 3. Lời giải. – Tập xác định: D = R. b – Ta có x = − = 1. 2a – Do a = −1 < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞).  Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của hàm số y = x2 + 2|x|. Lời giải. - Tập xác định: D = R. ( x2 − 2x khi x < 0 - Ta có y = x2 + 2|x| = x2 + 2x khi x ≥ 0 - Mặt khác, hàm số y = x2 − 2x nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) và đồng biến trên khoảng (1; +∞), hàm số y = x2 + 2x nghịch biến trên (−∞; −1) và đồng biến trên khoảng (−1; +∞). - Từ đó suy ra hàm số y = x2 + 2|x| nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x ≥ 0.  Ví dụ 4. Tìm tât cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x2 + (m − 3)x + m đồng biến trên khoảng (1; +∞). Lời giải. - Tập xác định: D = R. b 3−m - Ta có x = − = . 2a 2 - Để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞) khi và chỉ khi 3−m ≤ 1 ⇔ 3 − m ≤ 2 ⇔ m ≥ 1. 2  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 388/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI - Vậy m ≥ 1.  Ví dụ 5. Cho hàm số y = (m − 1)x2 + 4x − 5 với m 6= 1. Tìm m sao cho hàm số đồng biến trên (1; 7). Lời giải. Å • Với m > 1 thì hàm số đồng biến trên khoảng ã −2 ; +∞ . Vậy, để hàm số đồng biến trên m−1 −2 ⇔ m ≥ −1. Kết hợp điều kiện ta được m > 1. m−1 Å ã −2 • Với m < 1 thì hàm số đồng biến trên khoảng −∞; . Vậy, để hàm số đồng biến trên m−1 −2 5 (1; 7) thì 7 ≤ ⇔ 7m − 7 ≥ −2 ⇔ m ≥ . 7 ãm − 1 ï 5  Tóm lại m ∈ ; 1 ∪ (1; +∞). 7 khoảng (1; 7) thì 1 ≥ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Xét sự biến thiên của hàm số y = x2 − 6x − 5. Lời giải. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 3) và đồng biến trên khoảng (3; +∞).  Bài 2. Xét tính đơn điệu của hàm số y = −x2 + 2017. Lời giải. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; +∞).  Bài 3. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y = x|x − 2|. Lời giải. - Ta có y = x|x − 2| = ( 2x − x2 khi x < 2 . x2 − 2x khi x ≥ 2 - Mặt khác, hàm số y = −x2 + 2x đồng biến trên khoảng (−∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞), hàm số y = x2 − 2x nghịch biến trên (−∞; 1) và đồng biến trên khoảng (1; +∞). Từ đó suy ra + Hàm số y = x|x − 2| đồng biến trên các khoảng (−∞; 1), [2; +∞). + Hàm số y = x|x − 2| nghịch biến trên các khoảng (1; 2).  Bài 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = −x2 + (2m − 3)x + 1 đồng biến trên khoảng (−∞; −5). Lời giải. - Tập xác định: D = R. b 2m − 3 - Ta có x = − = . 2a 2 - Do a = −1 < 0, nên để hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −5) khi và chỉ khi −  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em b 2m − 3 7 = ≥ −5 ⇔ m ≥ − . 2a 2 2 Trang 389/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI 7  - Vậy m ≥ − . 2 Bài 5. Cho hàm số y = (m−1)x2 +4x−5 với m 6= 1. Tìm m sao cho hàm số nghịch biến trên (−5; 2). Lời giải. ã −2 • Với m < 1 thì hàm số nghịch biến trên khoảng ; +∞ . Vậy, để hàm số nghịch biến trên m−1 −2 7 khoảng (−5; 2) thì −5 ≥ ⇔ −5m + 5 ≤ −2 ⇔ m ≥ , điều này mâu thuẫn với điều kiện. m−1 5ã Å −2 • Với m > 1 thì hàm số nghịch biến trên khoảng −∞; . Vậy, để hàm số nghịch biến trên m−1 −2 (−5; 2) thì 2 ≤ ⇔ 2m − 2 ≤ −2 ⇔ m ≤ 0, điều này mâu thuẫn với điều kiện. m−1 Vậy không tồn tại giá trị của m.  Å BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 6. Cho hàm số y = f (x) = ( 2 x − 4x + 3 khi x ≥ 0 x−1 . Biện luận theo m số nghiệm của phương khi x < 0 trình f (x) = m. Lời giải. y O 1 y =x−1 2 3 x y=m Dựa vào hình vẽ ta có: m ≤ −1: phương trình có 1 nghiệm; m > −1: phương trình có 2 nghiệm phân  biệt. Bài 7. Cho hàm số y = x2 − 2mx + m2 − 1 có đồ thị là (Cm ). Chứng minh rằng (Cm ) luôn cắt xx0 tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm m để A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. Lời giải. Để (Cm ) luôn cắt Ox tại 2 điểm phân biệt thì ∆ > 0, ∀m. Để A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O thì m = 0.  Bài 8. Cho hàm số y = x2 − 4mx + 4m + 3 (Pm ) với m ∈ R. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với đường thẳng ∆ : y = x − 1 và đi qua điểm cố định của họ parabol (Pm ). Lời giải. Gọi M (x0 ; y0 ) là điểm cố định mà họ parabol (Pm ) luôn đi qua. Khi đó y0 = x20 − 4mx0 + 4m + 3, với mọi m.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 390/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI 2 Suy ra ( y0 − x0 − 3 = 4m(1(− x0 ), với mọi m. 1 − x0 = 0 x0 = 1 Nên ⇔ . Vậy M (1; 4). y0 − x20 − 3 = 0 y0 = 4 Vì d vuông góc với đường thẳng ∆ : y = x − 1 nên d : y = −x + b, với b 6= −1. Mà M (1; 4) ∈ d nên 4 = −1 + b ⇔ b = 5. Vậy d : y = −x + 5.  Bài 9. Cho hàm số y = x2 − (m − 1)x + m − 2 (Pm ) với m ∈ R. Tìm tất cả các giá trị của m để khoảng 1 cách từ đỉnh của (Pm ) đến trục hoành bằng . 2 Lời giải. Với m tùy ý, gọi I(x0 ; y0 ) là đỉnh của (Pm ). (m − 1)2 − 4(m − 2) Khi đó khoảng cách từ đỉnh của (Pm ) đến trục hoành bằng |y0 | = . 4 2 (m − 1) − 4(m − 2) 1 1 Theo giả thiết |y0 | = ⇔ = ⇔ m2 − 6m + 9 = 2 ⇔ m = 7 hoặc m = −1. 2 4 2  Bài 10. a) Vẽ đồ thị hàm số y = x2 + 4x + 3. b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x2 − 4|x| + 3 = m. Lời giải. Gợi ý câu b). Ở bên trái trục tung, đồ thị hàm số y = x2 − 4|x| + 3 cũng chính là đồ thị của hàm số y = x2 + 4x + 3. Hơn nữa, đồ thị hàm số y = x2 − 4|x| + 3 nhận trục tung làm trục đối xứng.  Bài 11. Tìm m để phương trình x|x − 1| = m có đúng 2 nghiệm. Lời giải. Số nghiệm của phương trình bằng với số giao điểm của đồ thị hàm số y = x|x − 2| + 1 và đường thẳng y = m. Đồ thị hàm số y = x|x − 1| bao gồm hai phần: phần của parabol y = x(x − 2) + 1 với x ≥ 2, và phần của parabol y = x(2 − x) + 1 với x ≤ 2 (đường nét liền trong hình 6). Từ đó, ta suy ra giá trị m phải tìm là m = 1 hoặc m = 2. y x=1 2 1 O 1 2 x Hình 8   Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 391/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM C Câu 1. Hàm số y = 2×2 + 4x − 1 A. đồng biến trên khoảng (−∞; −2) và nghịch biến trên khoảng (−2; +∞). B. nghịch biến trên khoảng (−∞; −2) và đồng biến trên khoảng (−2; +∞). C. đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và nghịch biến trên khoảng (−1; +∞). D. nghịch biến trên khoảng (−∞; −1) và đồng biến trên khoảng (−1; +∞). Lời giải. Å ã b 2 Hàm số y = ax + bx + c với a > 0 đồng biến trên khoảng − ; +∞ , nghịch biến trên khoảng 2a Å ã b −∞; − . 2a b Áp dụng: Ta có − = −1. 2a Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1) và đồng biến trên khoảng (−1; +∞).  Chọn đáp án D Câu 2. Cho hàm số y = −x2 + 4x + 1. Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +∞) và đồng biến trên khoảng (−∞; 2). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (4; +∞) và đồng biến trên khoảng (−∞; 4). C. Trên khoảng (−∞; −1) hàm số đồng biến. D. Trên khoảng (3; +∞) hàm số nghịch biến. Lời giải. ã Å b Hàm số y = ax + bx + c với a < 0 nghịch biến trên khoảng − ; +∞ , đồng biến trên khoảng 2a ã Å b . −∞; − 2a b Áp dụng: Ta có − = 2. 2a Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +∞) và đồng biến trên khoảng (−∞; 2). Do đó A đúng, B 2 sai. Đáp án C đúng vì hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 2) thì đồng biến trên khoảng con (−∞; −1). Đáp án D, đúng vì hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +∞) thì nghịch biến trên khoảng con (3; +∞).  Chọn đáp án B Câu 3. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng (−∞; 0)? √ √ √ A. y = 2x2 + 1. B. y = − 2x2 + 1. C. y = 2(x + 1)2 . Lời giải. Xét hàm số y = √ 2x2 + 1, ta có − √ D. y = − 2(x + 1)2 . b = 0 và có a > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) và 2a nghịch biến trên khoảng (−∞; 0).  Chọn đáp án A Câu 4. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng (−1; +∞)? √ √ √ A. y = 2×2 + 1. B. y = − 2×2 + 1. C. y = 2(x + 1)2 . √ D. y = − 2(x + 1)2 . Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 392/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI √ √ √ √ √ b = −1 và có Xét hàm số y = − 2(x + 1)2 , ta có y = − 2(x + 1)2 = − 2×2 − 2 2x − 2 nên − 2a a < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và nghịch biến trên khoảng (−1; +∞). Chọn đáp án D  Câu 5. Cho hàm số y = ax2 + bx + cÅ(a > 0). Khẳng định nào sau đây là sai? ã b A. Hàm số đồng biến trên khoảng − ; +∞ . ã Å 2a b . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng −∞; − 2a b C. Đồ thị của hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x = − . 2a D. Đồ thị của hàm số luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Lời giải. Ví dụ trường hợp đồ thị có đỉnh nằm phía trên trục hoành thì khi đó đồ thị hàm số không cắt trục hoành (hoặc xét phương trình hoành độ giao điểm ax2 + bx + c = 0, phương trình này không phải lúc nào cũng có hai nghiệm). Chọn đáp án D  Câu 6. Cho hàm số y = ax2 + bx + c có đồ thị (P ) như hình vẽ. Khẳng định nào y 4 sau đây là sai? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 3). −1 B. (P ) có đỉnh là I (3; 4). C. (P ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1. 7x 3 D. (P ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Lời giải. Đồ thị hàm số đi lên trên khoảng (−∞; 3) nên đồng biến trên khoảng đó. Do đó A đúng. Dựa vào đồ thị ta thấy (P ) có đỉnh có tọa độ (3; 4). Do đó B đúng. (P ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ −1 và 7. Do đó D đúng. Dùng phương pháp loại trừ thì C là đáp án sai. Cách giải tự luận. Gọi parabol cần tìm là (P ) : y = ax2 + bx + c. Do bề lõm(quay xuống nên a < 0. a−b+c=0 Vì (P ) cắt trục hoành tại hai điểm (−1; 0) và (7; 0) nên 49a + 7b + c = 0. b Mặt khác (P ) có trục đối xứng x = 3 → − = 3 ⇔ −b = 6a và đi qua điểm (3; 4) nên 9a + 3a + c = 4. 2a ã Å 1 2 Kết hợp các điều kiện ta tìm được I − ; − . Å3 ã3 1 2 3 7 7 Vậy y = − x + x + ⇒ P ∩ Oy = 0; . 4 2 4 4  Chọn đáp án C Câu 7. ÅCho hàm ãsố y = ax2 + bxÅ+ c (a 6= 0) ã có đồ thị (PÅ). Tọa độ đỉnh ã của (P ) làÅ ã b ∆ b ∆ b ∆ b ∆ A. I − ; . B. I − ; − . C. I − ; − . D. I ; . 2a 4a a 4a 2a 4a 2a 4a Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 393/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Hoành độ đỉnh x = − 3. HÀM SỐ BẬC HAI ∆ b ; tung độ đỉnh y = − . 2a 4a  Chọn đáp án C Câu 8. Trục đối xứng của parabol (P ) : y = 2x2 + 6x + 3 là 3 3 B. y = − . C. x = −3. A. x = − . 2 2 Lời giải. b 3 Trục đối xứng x = − = − . 2a 2 Chọn đáp án A Câu 9. Trục đối xứng của parabol (P ) : y = −2x2 + 5x + 3 là 5 5 5 A. x = − . B. x = − . C. x = . 2 4 2 Lời giải. b 5 Trục đối xứng x = − = . 2a 4 Chọn đáp án D D. y = −3.  5 D. x = . 4  Câu 10. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị nhận đường x = 1 làm trục đối xứng? A. y = −2x2 + 4x + 1. B. y = 2x2 + 4x − 3. C. y = 2x2 − 2x − 1. D. y = x2 − x + 2. Lời giải. Xét hàm số y = −2x2 + 4x + 1, ta có − b = 1. 2a  Chọn đáp án A Câu 11.Å Đỉnh ã của parabol (P ) : Å y = 3x2 −ã2x + 1 là Å ã 1 2 1 2 1 2 . B. I − ; − . C. I ;− . A. I − ; 3 3 3 3 3 3 Lời giải. Å ã Å ã b ∆ 1 2 Ta có công thức I − ; − = ; . 2a 4a 3 3 Chọn đáp án D Å D. I ã 1 2 ; . 3 3  Câu 12. Hàm số nào sau đây có đồ thị là parabol có đỉnh I (−1; 3)? A. y = 2x2 − 4x − 3. B. y = 2x2 − 2x − 1. C. y = 2x2 + 4x + 5. Lời giải. Å ã b ∆ Ta có công thức I − ; − nên nhận hàm số y = 2x2 + 4x + 5. 2a 4a Chọn đáp án C D. y = 2x2 + x + 2.  Câu 13. Tìm giá trị nhỏ nhất ymin của hàm số y = x2 − 4x + 5. A. ymin = 0. B. ymin = −2. C. ymin = 2. D. ymin = 1. Lời giải. Cách 1. Ta có y = x2 − 4x + 5 = (x − 2)2 + 1 ≥ 1 ⇒ ymin = 1. Dấu bằng xảy ra khi x = 2. Cách 2. b (−4) =− = 2. 2a 2 Vì hệ số a > 0 nên hàm số có giá trị nhỏ nhất ymin = y(2) = 22 − 4 × 2 + 5 = 1. Hoành độ đỉnh x = −  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 394/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI  Chọn đáp án D √ Câu 14. Tìm giá trị lớn nhất ymax của hàm số y = − 2×2 + 4x. √ √ B. ymax = 2 2. C. ymax = 2. A. ymax = 2. Lời giải. D. ymax = 4. Cách 1. √ √ Ä √ ä2 √ √ √ Ta có y = − 2×2 + 4x = − 2 x − 2 + 2 2 ≤ 2 2 ⇒ ymax = 2 2. √ Dấu bằng xảy ra khi x = 2. Cách 2. √ b Hoành độ đỉnh x = − = 2. 2a Ä√ ä √ 2 = 2 2. Vì hệ số a < 0 nên hàm số có giá trị lớn nhất ymax = y Chọn đáp án B  3 Câu 15. Hàm số nào sau đây đạt giá trị nhỏ nhất tại x = ? 4 3 3 2 2 A. y = 4x − 3x + 1. B. y = −x + x + 1. C. y = −2x2 + 3x + 1. D. y = x2 − x + 1. 2 2 Lời giải. 3 b Ta cần có hệ số a > 0 và − = . 2a 4 Chọn đáp án D  Câu 16. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = f (x) = x2 − 3x trên đoạn [0; 2]. 9 A. M = 0; m = − . 4 Lời giải. 9 B. M = ; m = 0. 4 9 C. M = −2; m = − . 4 9 D. M = 2; m = − . 4 b 3 Hàm số y = x2 − 3x có a = 1 > 0 nên bề lõm hướng lên. Hoành độ đỉnh x = − = ∈ [0; 2]. Vậy 2a 2  Å ã 9 3  m = min y = f =− 2 4 .  M = max y = max {f (0), f (2)} = max {0, −2} = 0  Chọn đáp án A Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = f (x) = −x2 − 4x + 3 trên đoạn [0; 4]. A. M = 4; m = 0. Lời giải. B. M = 29; m = 0. C. M = 3; m = −29. D. M = 4; m = 3. Hàm số y = −x2 − 4x + 3 có a = −1 < 0 nên bề lõm hướng xuống. b Hoành độ đỉnh x = − = −2 ∈ / [0; 4]. 2a ( f (4) = −29 Ta có ⇒ m = min y = f (4) = −29; M = max y = f (0) = 3. f (0) = 3  Chọn đáp án C Câu 18. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = f (x) = x2 − 4x + 3 trên đoạn [−2; 1]. A. M = 15; m = 1.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. M = 15; m = 0. C. M = 1; m = −2. Trang 395/2406 D. M = 0; m = −15. ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI Lời giải. Hàm số y = x2 − 4x + 3 có a = 1 > 0 nên bề lõm hướng lên. b Hoành độ đỉnh x = − = 2 ∈ / [−2; 1]. 2a ( f (−2) = 15 Ta có ⇒ m = min y = f (1) = 0; M = max y = f (−2) = 15. f (1) = 0 Chọn đáp án B  Câu 19. Tìm giá trị thực của tham số m 6= 0 để hàm số y = mx2 − 2mx − 3m − 2 có giá trị nhỏ nhất bằng −10 trên R. A. m = 1. Lời giải. Ta có x = − C. m = −2. B. m = 2. D. m = −1. 2m b = = 1, suy ra y = −4m − 2. 2a 2m  m > 0 . Để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −10 khi và chỉ khi  − ∆ = −10 4a ( m>0 ⇔ m = 2. Vậy ta có − 4m − 2 = −10 Chọn đáp án B  Câu 20. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) = 4×2 − 4mx + m2 − 2m trên đoạn [−2; 0] bằng 3. Tính tổng T các phần tử của S. 3 1 9 3 A. T = − . B. T = . C. T = . D. T = . 2 2 2 2 Lời giải. m Parabol có hệ số theo x2 là 4 > 0 nên bề lõm hướng lên. Hoành độ đỉnh xI = . 2 m < −2 ⇔ m < −4 thì xI < −2 < 0. Suy ra f (x) đồng biến trên đoạn [−2; 0]. • Nếu 2 Do đó min f (x) = f (−2) = m2 + 6m + 16. [−2;0] Theo yêu cầu bài toán m2 + 6m + 16 = 3 (vô nghiệm). m ≤ 0 ⇔ −4 ≤ m ≤ 0 thì xI ∈ [0; 2]. Suy ra f (x) đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh. • Nếu −2 ≤ 2 m Do đó min f (x) = f = −2m. [−2;0] 2 3 Theo yêu cầu bài toán −2m = 3 ⇔ m = − (thỏa mãn −4 ≤ m ≤ 0). 2 m • Nếu > 0 ⇔ m > 0 thì xI > 0 > −2. 2 Suy ra f (x) nghịch biến trên đoạn [−2; 0]. Do đó min f (x) = f (0) = m2 − 2m. [−2;0] ” m = −1 (loại) Theo yêu cầu bài toán: m2 − 2m = 3 ⇔ . m = 3 thỏa mãn ß ™ 3 3 3 Vậy S = − ; 3 ⇒ T = − + 3 = . 2 2 2 Chọn đáp án D  Câu 21. Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây?  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 396/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI −∞ x +∞ 2 +∞ +∞ y −5 A. y = −x2 + 4x − 9. Lời giải. B. y = x2 − 4x − 1. C. y = −x2 + 4x. D. y = x2 − 4x − 5. Bảng biến thiên có bề lõm hướng lên. Đỉnh của parabol có tọa độ là (2; −5). Chỉ có hàm số y = x2 − 4x − 1 thỏa mãn.  Chọn đáp án B Câu 22. Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây? x −∞ − 1 2 +∞ 3 2 y −∞ A. y = 2×2 + 2x − 1. −∞ B. y = 2×2 + 2x + 2. C. y = −2×2 − 2. D. y = −2×2 − 2x + 1. Lời giải. Bảng biến thiên có bề lõm hướng Å xuống. ã Loại đáp án A và B. 1 3 Đỉnh của parabol có tọa độ là − ; . Chỉ có hàm số y = −2×2 − 2x + 1 thỏa mãn. 2 2 Chọn đáp án D  Câu 23. Bảng biến thiên của hàm số y = −2×2 + 4x + 1 là bảng nào trong các bảng được cho sau đây ? x −∞ 2 +∞ x +∞ +∞ +∞ y 1 A. −∞ 1 . B. x +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ 3 +∞ 3 y C. 2 1 y x −∞ . +∞ y −∞ −∞ . D. 1 . Lời giải. Hệ số a = −2 < 0 ⇒ bề lõm hướng xuống. Loại B,D. b Ta có − = 1 và y(1) = 3. Do đó C thỏa mãn. 2a Chọn đáp án C  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 397/2406  ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI Câu 24. Đồ thị hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương y án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? O1 A. y = x2 − 4x − 1. C. y = −2x2 − 4x − 1. B. y = 2x2 − 4x − 1. D. y = 2x2 − 4x + 1. x −1 −3 Lời giải. Parabol có bề lõm hướng lên. Đỉnh của parabol là điểm (1; −3). Chỉ có hàm số y = 2x2 − 4x − 1 thỏa mãn.  Chọn đáp án B Câu 25. Đồ thị hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án y A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y = −x2 + 3x − 1. C. y = 2x2 − 3x + 1. B. y = −2x2 + 3x − 1. D. y = x2 − 3x + 1. 1 O x 1 Lời giải. Parabol có bề lõm hướng lên. Parabol cắt trục hoành tại điểm (1; 0). Chỉ có hàm số y = 2x2 − 3x + 1 thỏa mãn.  Chọn đáp án C Câu 26. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương y án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y = −3x2 − 6x. 2 C. y = x + 2x + 1. B. y = 3x2 + 6x + 1. 1 −1 2 D. y = −x − 2x + 1. x O Lời giải. Parabol có bề lõm hướng lên. Parabol cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm. Chỉ có hàm số y = 3x2 + 6x + 1 thỏa mãn.  Chọn đáp án B Câu 27. Đồ thị hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được y liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 3 A. y = x2 − 2x + . 2 C. y = x2 − 2x. 1 B. y = − x2 + x + 2 1 D. y = − x2 + x + 2 5 . 2 3 . 2 1 −1 3 x O Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 398/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI Parabol có bề lõm hướng xuống. 3 1 Parabol cắt trục hoành tại 2 điểm (3; 0) và (−1; 0). Chỉ có hàm số y = − x2 + x + thỏa mãn. 2 2 Chọn đáp án D  Câu 28. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn y phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y = −2x2 + x − 1. C. y = x2 + x + 3. B. y = −2x2 + x + 3. 1 D. y = −x2 + x + 3. 2 1 x −1 O Lời giải. Bề lõm quay xuống nên loại C. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt nên loại A. Vì phương trình hoành độ giao điểm của đáp án A là −2x2 + x − 1 = 0 vô nghiệm.  x = −1 Xét phương trình hoành độ giao điểm của đáp án B, ta có −2x2 + x + 3 = 0 ⇔  3 x= . 2 Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số không cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng −1. Do đó đáp án B không phù hợp. Dùng phương pháp loại trừ, thì D là đáp án đúng.  Chọn đáp án D Câu 29. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y = −x2 + 2x.. B. y = −x2 + 2x − 1. C. y = x2 − 2x. D. y = x2 − 2x + 1. y O 1 x Lời giải. Bề lõm quay xuống nên loại C, D. Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 0) nên chỉ có B phù hợp.  Chọn đáp án B Câu 30. Cho hàm số y = ax2 + bx + c có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây y đúng? A. a > 0, b < 0, c < 0. C. a > 0, b > 0, c > 0. B. a > 0, b < 0, c > 0. D. a < 0, b < 0, c > 0. x O Lời giải. b > 0 nên b < 0. 2a Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên c > 0. Bề lõm hướng lên nên a > 0. Hoành độ đỉnh parabol x = −  Chọn đáp án B  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 399/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI Câu 31. Cho hàm số y = ax2 + bx + c có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây y đúng? O A. a > 0, b < 0, c < 0. C. a > 0, b > 0, c > 0. x B. a > 0, b < 0, c > 0. D. a < 0, b < 0, c > 0. Lời giải. Bề lõm hướng lên nên a > 0. Hoành độ đỉnh parabol x = − b > 0 nên b < 0. 2a Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên c < 0. Chọn đáp án A  Câu 32. Cho hàm số y = ax2 + bx + c có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng? A. a > 0, b > 0, c < 0. B. a > 0, b < 0, c > 0. C. a < 0, b > 0, c < 0. D. a < 0, b > 0, c > 0. y O x Lời giải. Bề lõm hướng xuống nên a < 0. Hoành độ đỉnh parabol x = − b > 0 nên b > 0. 2a Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên c < 0.  Chọn đáp án C Câu 33. Cho hàm số y = ax2 + bx + c có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng? y O A. a > 0, b < 0, c > 0. C. a < 0, b > 0, c > 0. x B. a < 0, b < 0, c < 0. D. a < 0, b < 0, c > 0. Lời giải. Bề lõm hướng xuống nên a < 0. Hoành độ đỉnh parabol x = − b < 0 nên b < 0. 2a Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên c > 0.  Chọn đáp án D Câu 34. Cho parabol (P ) : y = ax2 + bx + c, (a 6= 0). Xét dấu hệ số a và biệt thức ∆ khi (P ) y hoàn toàn nằm phía trên trục hoành. A. a > 0, ∆ > 0. B. a > 0, ∆ < 0. C. a < 0, ∆ < 0. D. a < 0, ∆ > 0. O x Lời giải. (P ) hoàn toàn nằm phía trên trục hoành khi bề lõm hướng lên và đỉnh có tung độ dương  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 400/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI  ( a > 0 a>0 ⇔ ⇔ ∆ − ∆ < 0. >0 4a Chọn đáp án B  Câu 35. Cho parabol (P ) : y = ax2 + bx + c, (a 6= 0). Xét dấu hệ số a và biệt thức ∆ khi cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía trên trục hoành. A. a > 0, ∆ > 0. B. a > 0, ∆ < 0. C. a < 0, ∆ < 0. D. a < 0, ∆ > 0. Lời giải. (P ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi ∆ > 0. ∆ Đỉnh của (P ) nằm phía trên trục hoành khi − > 0 ⇒ a < 0. 4a Chọn đáp án D  Câu 36. Tìm parabol (P ) : y = ax2 + 3x − 2, biết rằng parabol cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 2. A. y = x2 + 3x − 2. B. y = −x2 + x − 2. C. y = −x2 + 3x − 3. D. y = −x2 + 3x − 2. Lời giải. Vì (P )(cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 2 nên điểm A (2; 0) thuộc (P ). x=2 vào (P ), ta được 0 = 4a + 6 − 2 ⇔ a = −1. Thay y=0 Vậy (P ) : y = −x2 + 3x − 2. Chọn đáp án D  Câu 37. Tìm parabol (P ) : y = ax2 + 3x − 2, biết rằng parabol có trục đối xứng x = −3. 1 1 1 A. y = x2 + 3x − 2. B. y = x2 + x − 2. C. y = x2 + 3x − 3. D. y = x2 + 3x − 2. 2 2 2 Lời giải. b 3 1 Vì (P ) có trục đối xứng x = −3 nên − = −3 ⇔ − = −3 ⇔ a = . 2a 2a 2 1 2 Vậy (P ) : y = x + 3x − 2. 2 Chọn đáp án D  Å ã 1 11 Câu 38. Tìm parabol (P ) : y = ax2 + 3x − 2, biết rằng parabol có đỉnh I − ; − . 2 4 A. y = x2 + 3x − 2. B. y = x2 + x − 4. C. y = 3x2 + x − 1. D. y = 3x2 + 3x − 2. Lời giải. Å 1 11 Vì (P ) có đỉnh I − ; − 2 4 Vậy (P ) : y = 3x2 + 3x − 2. ã  1 b ( (  − =− b=a 3=a 2a 2 ⇔ ⇔ ⇔ a = 3. nên ta có  ∆ = 11a 9 + 8a = 11a  − ∆ = − 11 4a 4  Chọn đáp án D Câu 39. Tìm giá trị thực của tham số m để parabol (P ) : y = mx2 − 2mx − 3m − 2, (m 6= 0) có đỉnh thuộc đường thẳng y = 3x − 1. A. m = 1. B. m = −1. C. m = −6. D. m = 6. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 401/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI 2m b = = 1. Suy ra tung độ đỉnh y = −4m − 2. 2a 2m Do đó tọa độ đỉnh của (P ) là I (1; −4m − 2). Theo giả thiết, đỉnh I thuộc đường thẳng y = 3x − 1 nên −4m − 2 = 3 × 1 − 1 ⇔ m = −1. Hoành độ đỉnh của (P ) là x = −  Chọn đáp án B Câu 40. Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho parabol (P ) : y = x2 − 4x + m cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn OA = 3OB. Tính tổng T các phần tử của S. 3 D. T = −9. A. T = 3. B. T = −15. C. T = . 2 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: x2 − 4x + m = 0. (∗) Để (P ) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B thì (∗) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆0 = 4 − m > 0 ⇔ m < 4. " xA = 3xB Theo giả thiết OA = 3OB ⇒ |xA | = 3 |xB | ⇔ xA = −3xB .   x = 3xB   A TH1. xA = 3xB ⇒ xA + xB = 4 ⇒ m = xA × xB = 3.    x × xB = m A  x = −3xB   A TH2. xA = −3xB ⇒ xA + xB = 4 ⇒ m = xA × xB = −12, thỏa mãn (∗).    xA × xB = m Do đó S = {−12; 3} ⇒ (−12) + 3 = −9.  Chọn đáp án D Câu 41. Xác định parabol (P ) : y = ax2 + bx + 2, biết rằng (P ) đi qua hai điểm M (1; 5) và N (−2; 8). A. y = 2x2 + x + 2. B. y = x2 + x + 2. C. y = −2x2 + x + 2. D. y = −2x2 − x + 2. Lời giải. Vì (P ) đi qua hai điểm M (1; 5) và N (−2; 8) nên ta có hệ ( a+b+2=5 4a − 2b + 2 = 8 ⇔ ( a=2 b = 1. 2 Vậy (P ) : y = 2x + x + 2.  Chọn đáp án A Câu 42. Xác định parabol (P ) : y = 2x2 + bx + c, biết rằng (P ) có đỉnh I (−1; −2). A. y = 2x2 − 4x + 4. B. y = 2x2 − 4x. C. y = 2x2 − 3x + 4. D. y = 2x2 + 4x. Lời giải. b = −1 ⇒ b = 4. Do I ∈ P ⇒ −2 = 2 × (−1)2 − 4 + c ⇒ c = 0. 2a Vậy (P ) : y = 2x2 + 4x. Trục đối xứng −  Chọn đáp án D Câu 43. Xác định parabol (P ) : y = 2x2 + bx + c, biết rằng (P ) đi qua điểm M (0; 4) và có trục đối xứng x = 1. A. y = 2x2 − 4x + 4.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. y = 2x2 + 4x − 3. C. y = 2x2 − 3x + 4. Trang 402/2406 D. y = 2x2 + x + 4. ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI Lời giải. Ta có M ∈ P ⇒ c = 4. Trục đối xứng − Vậy (P ) : y = 2x2 − 4x + 4. b = 1 ⇒ b = −4. 2a  Chọn đáp án A Câu 44. Biết rằng (P ) : y = ax2 − 4x + c có hoành độ đỉnh bằng −3 và đi qua điểm M (−2; 1). Tính tổng S = a + c. A. S = 5. B. S = −5. C. S = 4. D. S = 1. Lời giải.   − b = −3 2a Vì (P ) có hoành độ đỉnh bằng −3 và đi qua M (−2; 1) nên ta có hệ  4a + 8 + c = 1  2 (  a = − − 4 = 6a 3 ⇒ S = a + c = −5. ⇔ ⇒ 13  4a + c = −7 c = − 3 Chọn đáp án B  1 Câu 45. Biết rằng (P ) : y = ax2 + bx + 2 (a > 1) đi qua điểm M (−1; 6) và có tung độ đỉnh bằng − . 4 Tính tích T = ab. A. P = −3. Lời giải. B. P = −2. C. P = 192. D. P = 28. 1 Vì (P ) đi qua điểm M (−1; 6) và có tung độ đỉnh bằng − nên ta có hệ 4  ( ( ( a − b + 2 = 6 a−b=4 a=4+b a=4+b ⇔ ⇔ ⇔ ∆ 1 − b2 − 4ac = a b2 − 8(4 + b) = 4 + b b2 − 9b − 36 = 0 =− 4a 4 ( ( a = 16 a=1 ⇔ (thỏa mãn a > 1) hoặc (loại). Suy ra T = ab = 16 × 12 = 192. b = 12 b = −3  Chọn đáp án C Câu 46. Xác định parabol (P ) : y = ax2 + bx + c, biết rằng (P ) đi qua ba điểm A(1; 1), B(−1; −3) và O(0; 0). A. y = x2 + 2x. Lời giải. B. y = −x2 − 2x. C. y = −x2 + 2x. D. y = x2 − 2x.     a + b + c = 1 a = −1     Vì (P ) đi qua ba điểm A(1; 1), B(−1; −3), O(0; 0) nên có hệ a − b + c = −3 ⇔ b = 2 .       c=0 c=0 2 Vậy (P ) : y = −x + 2x.  Chọn đáp án C Câu 47. Xác định parabol (P ) : y = ax2 + bx + c, biết rằng (P ) cắt trục Ox tại hai điểm có hoành độ lần lượt là −1 và 2, cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng −2. 1 A. y = −2×2 + x − 2. B. y = −x2 + x − 2. C. y = x2 + x − 2. D. y = x2 − x − 2. 2 Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 403/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI Gọi A và B là hai giao điểm cuả (P ) với trục Ox có hoành độ lần lượt là −1 và 2. Suy ra A(−1; 0), B(2; 0). Gọi C là giao điểm của (P ) với trục Oy có tung độ bằng  −2. Suy ra C(0; −2).    a − b + c = 0 a=1     Theo giả thiết, (P ) đi qua ba điểm A, B, C nên ta có 4a + 2b + c = 0 ⇔ b = −1       c = −2 c = −2. 2 Vậy (P ) : y = x − x − 2.  Chọn đáp án D Câu 48. Xác định parabol (P ) : y = ax2 + bx + c, biết rằng (P ) có đỉnh I (−2; −1) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −3. 1 B. y = − x2 − 2x − 3. 2 D. y = −x2 − 2x − 3. A. y = x2 − 2x − 3. 1 C. y = x2 − 2x − 3. 2 Lời giải.  b (  − = −2 b = 4a 2a Vì (P ) có đỉnh I(−2; −1) nên ta có ⇔ . (1)  b2 − 4ac = 4a  − ∆ = −1 4a Gọi A là giao điểm của (P ) với Oy tại điểm có tung độ bằng −3. Suy ra A (0; −3). Theo giả thiết, A (0; −3) thuộc (P ) nên a × 0 + b × 0 + c = −3⇔ c = −3. (2)   1     a=− a = 0 (loại) b = 4a       2 hoặc b = −2 Từ (1) và (2), ta có hệ 16a2 + 8a = 0 ⇔ b = 0           c = −3 c = −3 c = −3. 1 Vậy (P ) : y = − x2 − 2x − 3. 2 Chọn đáp án B  Câu 49. Biết rằng (P ) : y = ax2 + bx + c, đi qua điểm A (2; 3) và có đỉnh I (1; 2). Tính tổng S = a2 + b 2 + c 2 . A. S = 2. B. S = 4. C. S = 6. D. S = 14. Lời giải. Vì (P ) đi qua điểm A (2; 3)  nên 4a + 2b + c = 3. (1) ( − b =1 − b = 2a 2a Và (P ) có đỉnh I (1; 2) nên ⇔ . (2)  a + b + c = 2 a+b+c=2     4a + 2b + c = 3 c=3     Từ (1) và (2), ta có hệ − b = 2a ⇔ b = −2 ⇒ S = a2 + b2 + c2 = 14.       a+b+c=2 a=1  Chọn đáp án D Câu 50. Xác định parabol (P ) : y = ax2 + bx + c, biết rằng (P ) có đỉnh thuộc trục hoành và đi qua hai điểm M (0; 1), N (2; 1). A. y = x2 − 2x + 1.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. y = x2 − 3x + 1. C. y = x2 + 2x + 1. Trang 404/2406 D. y = x2 + 3x + 1. ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI Lời giải. ∆ = 0 ⇔ ∆ = 0 ⇔ b2 − 4ac = 0. 4a ( c=1 Hơn nữa, (P ) đi qua hai điểm M (0; 1), N (2; 1) nên ta có 4a + 2b + c = 1.     2 2     b − 4ac = 0 b − 4a = 0 a = 0 (loại) a=1         Từ đó ta có hệ c = 1 ⇔ c=1 ⇔ b=0 hoặc b = −2 .             4a + 2b + c = 1 4a + 2b = 0 c=1 c=1 Vậy (P ) : y = x2 − 2x + 1. Vì (P ) có đỉnh nằm trên trục hoành nên −  Chọn đáp án A Câu 51. Cho parabol (P ) : y = ax2 + bx + c, biết rằng (P ) đi qua M (−5; 6) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −2. Hệ thức nào sau đây đúng? A. a = 6b. B. 25a − 5b = 8. C. b = −6a. D. 25a + 5b = 8. Lời giải. Vì (P ) qua M (−5; 6) nên ta có 6 = 25a − 5b + c. (1) Lại có, (P ) cắt Oy tại điểm có tung độ bằng −2 nên −2 = a × 0 + b × 0 + c ⇔ c = −2. (2) Từ (1) và (2), ta có 25a − 5b = 8.  Chọn đáp án B Câu 52. Biết rằng hàm số y = ax2 + bx + c, (a 6= 0) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại x = 2 và có đồ thị hàm số đi qua điểm A (0; 6). Tính tích P = abc. A. P = −6. B. P = 6. C. P = −3. 3 D. P = . 2 Lời giải.   a>0     b =2 Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại x = 2 nên − 2a      − ∆ = 4. 4a Đồ thị hàm số đi qua điểm A (0; 6) nên ta có c = 6.   a>0     a>0     b     − b = −4a =2 2a Từ đó ta có hệ ⇔ 2 ∆     − b − 4ac = −16a =4     4a    c=6  c=6    a>0 1      a=    b = −4a 2 ⇔ ⇒ b = −2 ⇒ P = abc = −6.   16a2 − 8a = 0        c=6  c=6  Chọn đáp án A Câu 53. Biết rằng hàm số y = ax2 + bx + c, (a 6= 0) đạt giá trị lớn nhất bằng 3 tại x = 2 và có đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; −1). Tính tổng S = a + b + c.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 405/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A. S = −1. B. S = 4. 3. HÀM SỐ BẬC HAI C. S = 4. D. S = 2. Lời giải.    a<0      a < 0 a<0       b       − b = −4a b = −4a =2 2a Từ giả thiết ta có hệ ⇔ ⇔ 2 ∆    b − 4ac = −12a 16a2 + 16a = 0    −   =3       4a     c = −1 c = −1  c = −1     a = 0 (loại) a = −1     ⇔ b=0 hoặc b = 4 ⇒ S = a + b + c = 2.       c = −1 c = −1  Chọn đáp án D Câu 54. Biết rằng hàm số y = ax2 + bx + c, (a 6= 0) đạt giá trị lớn nhất bằng 5 tại x = −2 và có đồ thị đi qua điểm M (1; −1). Tính tổng S = a2 + b2 + c2 . A. S = −1. B. S = 1. C. S = 13. D. S = 14. Lời giải.  b   − = −2   2a 2 8 7 Từ giả thiết, ta có hệ 4a − 2b + c = 5 ⇔ a = − ; b = − ; c = ⇒ S = a2 + b2 + c2 = 13.  3 3 3    a + b + c = −1  Chọn đáp án C Câu 55. Biết rằng hàm số y = ax2 + bx + c, (a 6= 0) đạt giá trị lớn nhất bằng 1 3 tại x = và tổng lập 4 2 phương các nghiệm của phương trình y = 0 bằng 9. Tính P = abc. A. P = 0. B. P = 6. C. P = 7. D. P = −6. Lời giải. 1 3 b 3 Hàm số y = ax2 + bx + c, (a 6= 0) đạt giá trị lớn nhất bằng tại x = nên ta có − = , (a < 0) 4 2 2a 2 Å ã 3 1 9 3 1 và điểm thuộc đồ thị ⇒ a + b + c = . ; 2 4 4 2 4 Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình y = 0. Å ã3 Å ã  c b b 3 3 3 Theo giả thiết, x1 + x2 = 9 ⇔ (x1 + x2 ) − 3x1 x2 (x1 + x2 ) = 9 ⇒ − −3 − = 9. a a a   b 3    − =   b = −3a   2a 2     a = −1     9 3 1 9 3 1 a+ b+c= a + b + c = ⇔ b = 3 ⇒ P = abc = 6. Từ đó ta có ⇔ 4 2 4 4 2 4       Å ã Å ã  c  3 c   b b c = −2   = 2   − −3 − =9 a a a a  Chọn đáp án B Câu 56. Tọa độ giao điểm của (P ) : y = x2 − 4x với đường thẳng d : y = −x − 2 là A. M (−1; −1), N (−2; 0).. C. M (0; −2), N (2; −4). Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. M (1; −3), N (2; −4). D. M (−3; 1), N (3; −5). Trang 406/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI Phương trình hoành độ giao điểm của (P ) và d là " x2 − 4x = −x − 2 ⇔ x2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = −3 x = 2 ⇒ y = −4. Vậy tọa độ giao điểm là M (1; −3), N (2; −4).  Chọn đáp án B Câu 57. Gọi A (a; b) và B (c; d) là tọa độ giao điểm của (P ) : y = 2x − x2 và ∆ : y = 3x − 6. Giá trị b + d bằng : A. 7. B. −7. D. −15. C. 15.. Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (P ) và ∆ là " ( x = 2 ⇒ y = 0 b=0 2x − x2 = 3x − 6 ⇔ x2 + x − 6 = 0 ⇔ ⇒ ⇒ b + d = −15. x = −3 ⇒ y = −15 d = −15  Chọn đáp án D Câu 58. Đường thẳng nào sau đây tiếp xúc với (P ) : y = 2x2 − 5x + 3? A. y = x + 2. B. y = −x − 1. D. y = −x + 1. C. y = x + 3. Lời giải. Xét các đáp án: • Xét đáp án A. √ 3± 7 Phương trình hoành độ giao điểm là 2x − 5x + 3 = x + 2 ⇔ 2x − 6x + 1 = 0 ⇔ x = . 2 Vậy A sai. • Xét đáp án B. 2 2 Phương trình hoành độ giao điểm là 2x2 − 5x + 3 = −x − 1 ⇔ 2x2 − 4x + 4 = 0 (vô nghiệm). Vậy B sai. • Xét đáp án C. " Phương trình hoành độ giao điểm là 2x2 − 5x + 3 = x + 3 ⇔ 2x2 − 6x = 0 ⇔ x=0 . Vậy C sai. x=3 • Xét đáp án D. Phương trình hoành độ giao điểm là 2x2 − 5x + 3 = −x + 1 ⇔ 2x2 − 4x + 2 = 0 ⇔ x = 1. Vậy D đúng. Chọn đáp án D  Câu 59. Parabol (P ) : y = x2 + 4x + 4 có số điểm chung với trục hoành là A. 0. Lời giải. B. 1. C. 2. D. 3. Phương trình hoành độ giao điểm của (P ) với trục hoành là x2 + 4x + 4 = 0 ⇔ (x + 2)2 = 0 ⇔ x = −2. Vậy (P ) có 1 điểm chung với trục hoành.  Chọn đáp án B  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 407/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI Câu 60. Giao điểm của hai parabol y = x2 − 4 và y = 14 − x2 là: Ä√ ä A. (2; 10) và (−2; 10). B. 14; 10 và (−14; 10). Ä√ ä Ä √ ä C. (3; 5) và (−3; 5). D. 18; 14 và − 18; 14 . Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol là " x2 − 4 = 14 − x2 ⇔ 2x2 − 18 = 0 ⇔ x = −3 ⇒ y = 5 x = 3 ⇒ y = 5. Vậy có hai giao điểm là (−3; 5) và (3; 5). Chọn đáp án C  Câu 61. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số b để đồ thị hàm số y = −3x2 + bx − 3 cắt trục hoành tại hai"điểm phân biệt. b < −6 A. . b>6 Lời giải. ” B. −6 < b < 6. C. b < −3 . D. −3 < b < 3. b>3 Xét phương trình hoành độ giao điểm:−3×2 + bx − 3 = 0. (1) Đồ thị hàm số cắt trục ” hoành tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt b < −6 ⇔ ∆ = b2 − 36 > 0 ⇔ b > 6.  Chọn đáp án A Câu 62. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình −2×2 − 4x + 3 = m có nghiệm. A. 1 ≤ m ≤ 5. B. −4 ≤ m ≤ 0. C. 0 ≤ m ≤ 4. D. m ≤ 5. Lời giải. Xét phương trình: −2×2 − 4x + 3 − m = 0. (1) Để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ∆0 ≥ 0 ⇔ −2m + 10 ≥ 0 ⇔ m ≤ 5.  Chọn đáp án D Câu 63. Cho parabol (P ) : y = x2 + x + 2 và đường thẳng d : y = ax + 1. Tìm tất cả các giá trị thực của a để (P ) tiếp xúc với d. A. a = −1; a = 3. B. a = 2. C. a = 1; a = −3. D. Không tồn tại a. Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (P ) với d là x2 + x + 2 = ax + 1 ⇔ x2 + (1 − a)x + 1 = 0. (1) Để (P ) tiếp xúc với d khi và chỉ khi (1) có nghiệm kép ” a = −1 ⇔ ∆ = (1 − a)2 − 4 = 0 ⇔ a2 − 2a − 3 = 0 ⇔ a = 3.  Chọn đáp án A Câu 64. Cho parabol (P ) : y = x2 − 2x + m − 1. Tìm tất cả các giá trị thực của m để parabol không cắt Ox. A. m < 2.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. m > 2. C. m ≥ 2. Trang 408/2406 D. m ≤ 2. ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (P ) và trục Ox là x2 − 2x + m − 1 = 0 ⇔ (x − 1)2 = 2 − m. (1) Parabol không cắt Ox khi và chỉ khi (1) vô nghiệm ⇔ 2 − m < 0 ⇔ m > 2.  Chọn đáp án B Câu 65. Cho parabol (P ) : y = x2 − 2x + m − 1. Tìm tất cả các giá trị thực của m để parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. A. 1 < m < 2. B. m < 2. C. m > 2. D. m < 1. Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (P ) và trục Ox là x2 − 2x + m − 1 = 0. (1) Parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm dương phân  ( ∆0 = 2 − m > 0   m<2 biệt ⇔ S = 2 > 0 ⇔ ⇔ 1 < m < 2.  m>1   P =m−1>0  Chọn đáp án A Câu 66. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = mx cắt đồ thị hàm số (P ) : y = x3 − 6×2 + 9x tại ba điểm phân biệt. A. m > 0 và m 6= 9. Lời giải. C. m < 18 và m 6= 9. B. m > 0. D. m > 18. Phương trình hoành độ giao điểm của (P ) với d là ” x=0  x3 − 6×2 + 9x = mx ⇔ x x2 − 6x + 9 − m = 0 ⇔ x2 − 6x + 9 − m = 0. (1) (P )(cắt d tại ba điểm phân biệt ( khi và chỉ (1)(có hai nghiệm phân biệt khác 0 0 ∆ >0 m>0 m>0 ⇔ ⇔ ⇔ 02 − 6.0 + 9 − m 6= 0 9 − m 6= 0 m 6= 9.  Chọn đáp án A Câu 67. Tìm giá trị thực của m để phương trình |2×2 − 3x + 2| = 5m − 8x − 2×2 có nghiệm duy nhất. A. m = 7 . 40 2 B. m = . 5 C. m = 107 . 80 D. m = 7 . 80 Lời giải. Ta thấy 2×2 − 3x + 2 > 0, ∀x ∈ R nên |2×2 − 3x + 2| = 2×2 − 3x + 2. Do đó phương trình đã cho tương đương với 4×2 + 5x + 2 − 5m = 0. (∗) Khi đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (∗) có nghiệm duy nhất 7 ⇔ ∆ = 0 ⇔ 25 − 16(2 − 5m) = 0 ⇔ m = . 80 Chọn đáp án D  Câu 68. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình x4 − 2×2 + 3 − m = 0 có nghiệm. A. m ≥ 3. B. m ≥ −3. C. m ≥ 2. D. m ≥ −2. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 409/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI Đặt t = x2 , t ≥ 0. Khi đó, phương trình đã cho trở thành: t2 − 2t + 3 − m = 0. (∗) Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (∗) có nghiệm không âm. Ta xét hai trường hợp • Phương trình (∗) vô nghiệm khi và chỉ khi ∆0 < 0 ⇔  m − 2 < 0 ⇔ m < 2.  ∆0 = m − 2 ≥ 0   • Phương trình (∗) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi S = 2 < 0 ⇔ m ∈ ∅.    P =3−m>0 Do đó, phương trình (∗) có nghiệm không âm khi và chỉ khi m ≥ 2. Chọn đáp án C  Câu 69. Cho parabol (P ) : y = x2 − 4x + 3 và đường thẳng d : y = mx + 3. Tìm tất cả các giá trị thực 9 của m để d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng . 2 A. m = 7. B. m = −7. C. m = −1, m = −7. D. m = −1. Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (P ) và d là ” x2 − 4x + 3 = mx + 3 ⇔ x (x − (m + 4)) = 0 ⇔ x=0 x = m + 4. Để d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi 4 + m 6= 0 ⇔ m 6= −4. Với x = 0 ⇒ y = 3 ⇒ A(0; 3) ∈ Oy. Với x = 4 + m ⇒ y = m2 + 4m + 3 ⇒ B (4 + m; m2 + 4m + 3). Gọi H là hình chiếu của B lên OA. Suy ra BH = |xB | = |4 + m|. Theo giả thiết bài toán, ta có S4OAB ” m = −1 1 9 1 9 9 = ⇔ OA × BH = ⇔ × 3 × |m + 4| = ⇔ |m + 4| = 3 ⇔ 2 2 2 2 2 m = −7.  Chọn đáp án C Câu 70. Cho parabol (P ) : y = x2 − 4x + 3 và đường thẳng d : y = mx + 3. Tìm giá trị thực của tham số m để d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn x31 + x32 = 8. A. m = 2. B. m = −2. C. m = 4. D. Không có m. Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (P ) và d là x2 − 4x + 3 = mx + 3 ⇔ x(x − (m + 4)) = 0 ⇔ ” x=0 x = m + 4. d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi 4 + m 6= 0 ⇔ m 6= −4. Khi đó, ta có x31 + x32 = 8 ⇔ 0 + (4 + m)3 = 8 ⇔ 4 + m = 2 ⇔ m = −2.  Chọn đáp án B Câu 71. Cho hàm số f (x) = ax2 + bx + c có bảng biến thiên như sau:  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 410/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI x 3. HÀM SỐ BẬC HAI −∞ +∞ 2 +∞ +∞ y −1 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f (x) − 1 = m có đúng hai nghiệm. A. m > −1. Lời giải. C. m > −2. B. m > 0. D. m ≥ −1. Phương trình f (x) − 1 = m ⇔ f (x) = m + 1. Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng y = m + 1 (song song hoặc trùng với trục hoành). Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm khi và chỉ khi m + 1 > −1 ⇔ m > −2.  Chọn đáp án C Câu 72. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x2 − 5x + 7 + 2m = 0 có nghiệm thuộc đoạn [1; 5]. 3 7 3 A. ≤ m ≤ 7. B. − ≤ m ≤ − . C. 3 ≤ m ≤ 7. 4 2 8 Lời giải. Ta có x2 − 5x + 7 + 2m = 0 ⇔ x2 − 5x + 7 = −2m. (∗) D. 3 7 ≤m≤ . 8 2 Phương trình (∗) là phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P ) : y = x2 − 5x + 7 và đường thẳng y = −2m (song song hoặc trùng với trục hoành). Ta có bảng biến thiên của hàm số y = x2 − 5x + 7 trên [1; 5] như sau: x −∞ 5 2 1 5 +∞ y +∞ +∞ 3 7 3 4 ï ò 3 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy x ∈ [1; 5] thì y ∈ ; 7 . 4 7 3 3 Do đó để phương trình (∗) có nghiệm x ∈ [1; 5] ⇔ ≤ −2m ≤ 7 ⇔ − ≤ m ≤ − . 4 2 8 Chọn đáp án B  Câu 73. Cho hàm số f (x) = ax2 + bx + c có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f (x) + m − 2018 = 0 có duy nhất một nghiệm. A. m = 2015. Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. m = 2016. C. m = 2017. Trang 411/2406 D. m = 2019. ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI Phương trình f (x) + m − 2018 = 0 ⇔ f (x) = 2018 − m. y Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và đường 2 thẳng y = 2018 − m (có phương song song hoặc trùng với trục hoành). x Dựa vào đồ thị, ta có yêu cầu bài toán 2018 − m = 2 ⇔ m = 2016. O1  Chọn đáp án C Câu 74. Cho hàm số f (x) = ax2 + bx + c đồ thị như hình. Hỏi với những giá trị nào y của tham số thực m thì phương trình |f (x)| = m có đúng 4 nghiệm phân 3 biệt. A. 0 < m < 1. B. m > 3. C. m = −1, m = 3. D. −1 < m < 0. O 2 x −1 Lời giải. Ta có y = |f (x)| = ( f (x) ; f (x) ≥ 0 − f (x) ; f (x) < 0 (C) từ đồ thị hàm số y = f (x) như sau: . Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số y • Giữ nguyên đồ thị y = f (x) phía trên trục hoành. • Lấy đối xứng phần đồ thị y = f (x) phía dưới trục hoành qua trục hoành (bỏ phần dưới). Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số y = |f (x)| như hình vẽ. 1 x 2 O Phương trình |f (x)| = m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = |f (x)| và đường thẳng y = m (song song hoặc trùng với trục hoành). Dựa vào đồ thị, ta có yêu cầu bài toán ⇔ 0 < m < 1.  Chọn đáp án A Câu 75. Cho hàm số f (x) = ax2 + bx + c đồ thị như hình bên. Hỏi với những giá y trị nào của tham số thực m thì phương trình f (|x|) − 1 = m có đúng 3 3 nghiệm phân biệt. A. m = 3. C. m = 2. B. m > 3. D. −2 < m < 2. O 2 x −1 Lời giải.  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 412/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 3. HÀM SỐ BẬC HAI Ta có f (|x|) = f (x) nếu x ≥ 0. Hơn nữa hàm f (|x|) là hàm số y chẵn. Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số (C) từ đồ thị hàm số 3 y = f (x) như sau: • Giữ nguyên đồ thị y = f (x) phía bên phải trục tung. • Lấy đối xứng phần đồ thị y = f (x) phía bên phải trục tung O qua trục tung. 2 x Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số y = f (|x|) như hình vẽ. −1 Phương trình f (|x|) − 1 = m ⇔ f (|x|) = m + 1 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f (|x|) và đường thẳng y = m + 1 (song song hoặc trùng với trục hoành). Dựa vào đồ thị, ta có yêu cầu bài toán ⇔ m + 1 = 3 ⇔ m = 2.  Chọn đáp án A Câu 76. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(2; 9) và trục đối xứng song v I 9 song với trục tung như hình vẽ. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm 2 giờ 30 phút sau khi vật bắt đầu chuyển động gần bằng giá trị nào nhất trong các giá trị sau? A. 8,7(km/h). B. 8,8(km/h). C. 8,6(km/h). 6 D. 8,5(km/h). 2 O 3 t 3 t Lời giải. Giả sử vận tốc của vật chuyển động có phương trình là v(t) = at2 + bt + c. Ta có v(2) c = 9; v(0) = 6 ⇔c = 6.  = 9 ⇔ 4a + 2b + ( −b  a = −3 4a +