Tuyển tập các bài toán hình học không gian – Châu Ngọc Hùng

Giới thiệu Tuyển tập các bài toán hình học không gian – Châu Ngọc Hùng

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Tuyển tập các bài toán hình học không gian – Châu Ngọc Hùng CHƯƠNG MẶT NÓN – MẶT TRỤ – MẶT CẦU.

Tuyển tập các bài toán hình học không gian – Châu Ngọc Hùng

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Tuyển tập các bài toán hình học không gian – Châu Ngọc Hùng

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Tuyển tập các bài toán hình học không gian – Châu Ngọc Hùng
CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN CHO THI ĐẠI HỌC 1 – Khối chóp Bài 1.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác S AB đều và ƒ S AD = 900 . J là trung điểm SD . Tính theo a thể tích khối tứ diện ACD J và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (AC J). Giải: S J I B A C D ( + AD ⊥ S A AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ (S AB) + Gọi I là trung điểm AB thì AD ⊥ SI (1). Mà ∆S AB đều nên SI ⊥ AB (2) p 1 a 3 1 Từ (1) và (2) suy ra SI ⊥ (ABCD). Do đó d(J, (ACD)) = d(S, (ABCD)) = SI = 2 2 4 p p 1 1 2 a 3 a3 3 = . Từ đó suy ra VACD J = . .a . 3 2 4 24 5a2 ∆BCI vuông tại B nên CI 2 = CB2 + BI 2 = 4 ∆SIC vuông tại I nên SC 2 = SI 2 + IC 2 = 2a2 Tương tự SD 2 = SC 2 = 2a2 SC 2 + CD 2 SD 4 ∆SCD có C J là đường trung tuyến nên C J = − = a2 2 4 p a 3 Xét ∆ J AC có J A = p ; AC = a 2; C J = a nên tính được cosA = 4 p 2 p p 2 7 7 7 1 a a Từ đó sinƒ J AC = nên dt(J AC) = . p . = 4 2 4 8 2 p a3 3 p 3. a 21 24 Vậy d(D, (J AC)) = 2 p = 7 a 7 2  8 Nhận xét: Có thể tính diện tích tam giác JAC bằng cách lấy hình chiếu của J trên mặt đáy (là trung điểm H của DI). Trong mặt đáy, kẻ HK vuông góc với AC (hay HK song song với BD) với K thuộc AC thì chỉ ra được JK vuông góc với AC và tính được JK là đường cao tam giác JAC. p Bài 1.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = 2 3a, BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùngpvuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (S AB) bằng theo a. http://boxmath.vn/ a 3 , tính thể tích khối chóp S.ABCD 4 1 Giải: S I A D O H K C B p Từ giả thiết AC = 2a 3; BD = 2a và AC, BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi p đường chéo. Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = a 3; BO = a, do đó ƒ ABD = 60 o hay tam giác ABD đều. Từ giả thiết hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD). Do tam giác ABD đều nên với H là trungpđiểm của AB, K là trung điểm của HB ta có DH ⊥ AB p 1 a 3 ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK) Gọi I là hình chiếu của 2 2 O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (S AB), hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng 1 1 a 1 = + ⇒ SO = Diện tích (S AB). Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao ⇒ 2 2 2 2 OI OK SO p a đáy S ABCD = 4S∆ ABO = 2.O A.OB = 2 3a2 ; đường cao của hình chóp SO = . 2 p 3 1 3a Thể tích khối chóp S.ABCD : VS.ABCD = S ABCD .SO =  3 3 và DH = a 3; OK//DH và OK = DH = Bài 1.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 3cm , các cạnh S A = SB = SC = 3cm. Tam giác SBD có diện tích bằng 6cm2 .Tính thể tích của khối chóp S.ABCD . Giải: S A D H O C B Gọi H là hình chiếu của S trên (ABCD) suy ra H nằm trên BD (Vì S A = SB == SC, BD là trung trực của AC ). Do đó SH đường cao của hình chóp cũng là đường cao của tam giác SBD ; Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì S A = SC = D A = DC nên SO = DO suy ra tam giác SBD là tam 12 . p p5 5 11 5 11 ABCD là hình thoi có AD = 3, DO = nên AO = suy ra dt(ABCD) = . 2 2 2 giác vuông tại S. Vì dt(SBD) = 6 và SB = 3 nên SD = 4; suy ra BD = 5, SH = http://boxmath.vn/ 2 p 1 VS.ABCD = SH.dt(ABCD) = 2 11. 3 p Vậy thể tích khối chóp S.ABCD bằng 2 11(cm3 ).  Bài 1.4. Cho hình chóp S.ABC có S A = 3a (với a > 0); S A tạo với đáy (ABC) một góc bằng 600 . Tam giác ABC vuông tại B, ƒ ACB = 300 .G là trọng tâm tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB) và (SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a. Giải: S A C G K B ƒ Gọi K là trung điểm BC. Ta có SG ⊥ (ABC); S AG = 600 , AG = p 9a 3a 3 Từ đó AK = ; SG = . 4 2 p Trong tam giác ABC đặt AB = x ⇒pAC = 2x; BC = x 3. 9a 7 Ta có AK 2 = AB2 + BK 2 nên x = 14 1 243 3 Vậy VS.ABC = SG.dt(ABC) = a . 3 112 3a . 2  Bài 1.5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác S AB là tam giác cân tại đỉnh S. Góc giữa đường thẳng S A và mặt phẳng đáy bằng 450 , góc giữa mặt phẳng (S AB) và mặt phẳng đáy bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng cách p giữa hai đường thẳng CD và S A bằng a 6. Giải: S P D A M N H B C Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy, M là trung điểm AB và do tam giác S AB cân tại S nên SM vuông góc với AB và kết hợp với SH vuông góc với đáy suy ra AB vuông góc p ƒ với mặt phẳng SMN nên theo giả thiết ta được: (S A,á (ABCD)) = S AH = 450 ⇒ S A = SH 2. á á ƒ = 600 ⇒ SM = SH. p2 . ((S AB), (ABCD)) = (SM, MH) = SMH 3 http://boxmath.vn/ 3 Từ điểm N kẻ NP vuông góc với SM thì dễ thấy NP là khoảng cách giữa hai đường thẳng S A p p p và CD suy ra NP = a 6. Ta có SH.MN = NP.SM ⇐⇒ SH.AB = a 6.SH ⇐⇒ AB = 2 2a Trong tam giác S AM ta có S A 2 = AM 2 + SM 2 ⇐⇒ 2.SH 2 = p p a 3.8a2 8 3a3 1 = . Vậy VS.ABCD = SH.dt(ABCD) = 3 3 3 p 4SH 2 + 2a2 ⇐⇒ SH = a 3. 3  Bài 1.6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, BC = 2a. Cạnh bên S A vuông góc với mặt đáy, S A = a. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Tính thể tích khối chóp H.ACD theo a và côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). Giải: S K H D A E B C Kẻ HE//S A(E ∈ AB) ⇒ HE ⊥ (ABCD). BH AB2 1 HE a Trong tam giác SAB có AB = BH.SB ⇒ = = = ⇒ HE = 2 SB SB 2 SA 2 Diện tích ∆ ACD là S∆ ACD = 12 AD.CD = a2 ⇒ thể tích H.ACD là VH.ACD = 31 HE.S∆ ACD = 2 a3 6 S A ⊥ (ABCD) ⇒ S A ⊥ BC mà BC ⊥ AB nên BC ⊥ (S AB) ⇒ BC ⊥ H A mà H A ⊥ SB nên H A ⊥ (SBC) tương tự gọi K là hình chiếu của A trên SD thì AK ⊥ (SCD) do vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là góc giữa AH và AK. p p 1 a 2 1 1 a 2 trong tam giác vuông SAB có , S A 2 = SH.SB ⇒ SH = = + ⇒ AH = 2 2 2 2 2 AH AB SA 2a a tương tự AK = p , SK = p 5 5 2 2 2 SB + SD − BD SH 2 + SK 2 − HK 2 a2 = ⇒ HK 2 = cos ƒ BSD = 2.SB.SD 2.SH.SK 2 p p 2 2 2 AH + AK − HK 10 10 ƒ= á = > 0 ⇒ cos((SBC), Trong ∆ AHK có cos AHK (SCD)) = 2.AH.AK 5 5  Bài 1.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . Mặt bên S AB là tam giác cân tại S , mặt phẳng (S AB) vuông góc với đáy, mặt phẳng (SCD) tạo với đáy góc 600 và cách đường thẳng AB một khoảng là a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Giải: http://boxmath.vn/ 4 S K D A H I C B Gọi H, I lần lượt là trung điểm AB và CD Do S AB cân tại S nên SH ⊥ AB mà (S AB) ⊥ (ABCD) do đó SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ CD, H I ⊥ CD nên CD ⊥ (SH I), kẻ HK ⊥ SI, CD ⊥ HK nên HK ⊥ (SCD) ⇒ HK = d(H, (SCD)) = d(AB, (SCD))  =a  H I ⊥CD   á à  ⇒ ((SCD), (ABCD) = ( H I, SI) = SI H = 600 CD ⊥ (SH I) ⇒ SI ⊥CD   CD = (SCD) ∩ (ABCD)  HK 2a = p = BC . Trong ∆ HSI có SH = H I.tan600 = 2a 0 sin60 3 4a2 diện tích ABCD là S ABCD = BC 2 = 3 1 8a3 Thể tích S.ABCD là VS.ABCD = SH.S ABCD = . 3 9 Trong ∆HK I có H I =  Bài 1.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành thỏa mãn AB = 2a, BC = p p a 2, BD = a 6. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm của tam giác BCD. Tính theo α thể tích khối chóp S.ABCD , biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng a. Giải: S K M D O H A C B Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD), M là trung điểm CD và O là tâm của đáy ABCD . Do AO là trung tuyến của tam giác ABD nên AO 2 = AB2 + AD 2 BD 2 3a2 − = ⇒ 2 4 2 p p a 6 AO 2a 6 AO = ⇒ AH = AO + = 2 3 3 p 2 2 2 2 2 p 2a 3 BD + BC CD 6a + 2a 4a2 2 2 BM = − = − = 3a ⇒ BM = a 3 ⇒ BH = 2 4 2 4 3 http://boxmath.vn/ 5 Ta có AH 2 +BH 2 = 4a2 = AB2 ⇒ AH ⊥BH , kết hợp với AH vuông góc với SH ta được AH ⊥ (SHB). Kẻ HK vuông góc với SB, theo chứng minh trên ta được AH ⊥ (SHB) suy ra AH ⊥ HK ⇒ HK là đoạn vuông góc chung của AC và SB suy ra HK = a. 1 1 1 = + ⇒ SH = 2a 2 2 HK SH HB2 p 1 4 1 4 2a3 1 Ta có VS.ABCD = SH.S ABCD = SH.4.SO AB = SH. O A.BH = 3 3 3 2 3 Trong tam giác vuông SHB ta có 2  – Khối lăng trụ Bài 2.1. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A 1 B1 C1 có đáy là tam giác đều cạnh 2a, điểm A 1 cách đều ba điểm A, B, C. Cạnh bên A 1 A tạo với mặt phẳng đáy một góc α. Hãy tìm α , biết p thể tích khối lăng trụ ABC.A 1 B1 C1 bằng 2 3a3 . Giải: A1 B1 C1 A B I G H C p Ta có tam giác ABC đều cạnh 2a nên S ABC = a2 3 Mặt khác A 1 A = A 1 B = A 1 C ⇒ A 1 .ABC là hình chóp tam giác đều đỉnh A 1 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta cópA 1 G là đường cao. 2 3 Trong tam giác ABC có AG = AH = 2a 3 3 p 2a 3 à Trong tam giác vuông A 1 AG có: A 1 AG = α; A 1 G = AG.tanα = .tanα. 3 p 3 p Thể tích khối lăng trụ V = A 1 G.S ABC = 2 3a ⇒ tanα = 3 ⇒ α = 60 o .  Bài 2.2. Cho lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, góc ƒ = 1200 , cạnh bên BB0 = a . Gọi I là trung điểm của CC 0 . Chứng minh tam giác AB0 I BAC vuông tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB0 I). Giải: http://boxmath.vn/ 6 A0 B0 C0 A B I C p Ta có BC = ap3. Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông ACI, ABB0 , B0 C 0 I p p 5 13 a, AB0 = 2a, B0 I = a 2 2 0 Do đó AI 2 + AB02 =p B0 I 2 Vậy tam giác p AB I vuông tại A 1 10 2 3 2 a , S ABC = a . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB0 I). Tam S AB0 I = AI.AB0 = 2 4 4 0 giác ABC là hình chiếu vuông tam giác ABr I. p góc của p 10 3 3 cos α = ⇔ cos α =  suy ra S A 0 BI cos α = S ABC ⇔ 4 4 10 p Bài 2.3. (DB1 A 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A 1 B1 C1 có AB = a, AC = 2a, A A 1 = 2a 5 và ƒ = 1200 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC 1 . Chứng minh MB ⊥ M A 1 và tính khoảng BAC Suy ra AI = cách từ điểm A tới mặt phẳng (A 1 BM). Giải: A1 C1 B1 M A C B + Ta có A 1 M 2 = A 1 C12 + C1 M 2 = 9a2 , BC 2 = AB2 + AC 2 − 2AB.AC. cos 1200 = 7a2 ; BM 2 = BC 2 + CM 2 = 12a2 ; A 1 B2 = A 1 A 2 + AB2 = 21a2 = A 1 M 2 + MB2 ⇒ MB vuông góc với M A 1 + Hình chóp M ABA 1 và C ABA 1 có chung đáy là tam giác ABA 1 và đường cao bằng nhau nên thể tích bằng nhau. 1 1 p A A 1 .S ABC = a3 15 3 3 p 6V a 5 = = MB.M A 1 3 ⇒ V = VM ABA 1 = VC ABA 1 = ⇒ d(a, (MBA 1 ) ) = 3V S MBA 1 http://boxmath.vn/  7 Bài 2.4. Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1 B1 C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 300 . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh A trên mặt phẳng (A 1 B1 C1 ) thuộc đường thẳng B1 C1 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A 1 B1 C1 và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A A 1 và B1 C1 theo a. Giải: B A D C B1 A1 H C1 a à A A 1 H = 300 , AH = A A 1 . sin 300 = 2 p a3 3 Thể tích khối lăng trụ ABC.A 1 B1 C1 : V = AH.dt(A 1 B1 C1 ) = 8 p p a 3 a 3 0 . Do ∆ A 1 B1 C1 đều cạnh a, H thuộc B1 C1 và A 1 H = ∆ A A 1 H vuông, A 1 H = a.cos30 = 2 2 nên A 1 H ⊥B1 C1 Có AH ⊥B1 C1 do đó B1 C1 ⊥(A A 1 H). Kẻ đường cao HK của ∆ A A 1 H thì HK chính là khoảng cách giữa A A 1 và B1 C1 p Ta có A A 1 .HK = AH.A 1 H , ⇒ HK = A 1 H.AH a 3 = . A A1 4  Bài 2.5. Cho hình lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A 0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm O của tam giác ABC . Một mặt phẳng (P) p chứa BC và vuông góc với A A 0 , cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng thể tích khối lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 theo a. a2 3 . Tính 8 Giải: C0 A0 B0 H A C O M B Gọi M là trung điểm của BC, gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên A A 0 , Khi đó (P) ≡ (BCH). 0 AM nhọn nên H nằm giữa A A 0 . Thiết diện của lăng trụ cắt bởi (P) là tam giác BCH . à Do góc A http://boxmath.vn/ 8 p p a 3 2 a 3 Do tam giác ABC đều cạnh a nên AM = , AO = AM = 2 3 p 3 p p 1 a2 3 a 3 a2 3 ⇒ HM.BC = ⇒ HM = , Theo bài ra S BCH = 8 2 8 4 s p 3a2 3a2 3a AH = AM 2 − HM 2 = − = 4 16 4 A 0 O HM Do hai tam giác A 0 AO và M AH đồng dạng nên = AO AH p p AO.HM a 3 3 a a 4 suy ra A 0 O = = = AH 3 4 3a 3 p p 1aa 3 a3 3 1 0 0 a= . Thể tích khối lăng trụ: V = A O.S ABC = A O.AM.BC = 2 23 2 12 3  – Khối tròn xoay p Bài 3.1. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và đường cao bằng a 2. a) M và N là hai điểm lưu động trên hai đáy sao cho góc của MN và đáy bằng α . Tính khoảng cách từ trục đến MN . b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ tam giác đều ngọai tiếp hình trụ Giải: C0 N O0 B0 A0 C N0 O H B M A à a) Kẻ đường sinh N N 0 ta có N MN 0 = α, kẻ OH ⊥ MN 0 thì OH bằng khỏang cách giữa trục OO 0 và MN . p Ta có: MN 0 = N N 0 .cotα = a. 2. cot α a2 a2 ∆OMH vuông : OH 2 = OM 2 − MH 2 = a2 − cot2 α = (2 − cot2 α) 2 2 s 2 2 − cot α ⇒ OH = a 2 b) Gọi x là cạnh của tam giác ngọai tiếp đường tròn đáy của hình trụ. p đềup 1 1 x 3 x 3 6R 6a Ta có: O 0 N = R = AN = = ⇒x= p = p 3 2p 6 3 3 p3 2 2 p p x 3 36a 3 VABC.A 0 B0 C 0 = .OO 0 = .a 2 = 3a2 . 6. 4 12 http://boxmath.vn/ 9 p 18a p S xq = 3x.OO 0 = p .a 2 = 6a2 6. 3  Bài 3.2. Cho hình nón đỉnh S có đường sinh là a, góc giữa đường sinh và đáy là α . a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón. b) Một mặt phẳng hợp với đáy một góc 600 và cắt hình nón theo hai đường sinh S A và SB. Tính diện tích tam giác S AB và khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt phẳng này. Giải: S K B O H A a) Tính V và S xq . ∆S AO vuông : SO = a.sinα, AO = a.cosα 1 1 V = π.AO 2 .SO = π.a3 . cos2 α. sin α 3 3 Sxq = π.AO.S A = π.a2 . cos α b) + Tính S S AB ƒ = 600 Kẻ OH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ AB, do đó SOH p ∆SOH vuông :OH = SO.cot.600 = a 3. sin α 3 AOH vuông : AH 2 = AO 2 − OH 2 = a2 .cos2 α − 3a2 . sin α 9 a p ⇒ AH = p 3 cos2 α − sin2 α 3 p 1 2a2 . sin α 3 cos2 α − sin2 α Vậy S S AB = AB.SH = 2 3 + Tính d(O, (S AB)) Kẻ OK ⊥SH ⇒ OK ⊥(S AB) p p a 3 sin α 3 a. sin α OKH vuông : OK = OH.sin60 = . = 3 2 2 0  Bài 3.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và có cạnh bên S A vuông góc với đáy. a) Xác định tâm mặt cầu ngọai tiếp hình chóp S ABCD . b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt AB, SC, SD lần lượt tại B0 , C 0 , D 0 . Chứng tỏ rằng bảy điểm A, B, C, D, B0 , C 0 , D 0 cùng nằm trên một mặt cầu. Giải: http://boxmath.vn/ 10 S D0 C0 I B0 D A O B a) Ta có : BC ⊥ AB BC ⊥S A Tương tự CD ⊥SD C ) ⇒ BC ⊥SB Vậy các điểm A, B, D đều nhìn đọan SC dưới một góc vuông, do đó tâm mặt cầu ngọai tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm I của SC . b)Ta có : AC 0 ⊥SC tại C 0 AB0 ⊥SC và AB0 ⊥BC ( vì BC ⊥(S AB)) nên AB0 ⊥(SBC) ⇒ AB0 ⊥B0 C Tương tự AD 0 ⊥D 0 C Vậy các điểm B0 , C 0 , D 0 , D, B cùng nhìn đọan AC dưới một góc vuông, do đó bảy điểm A, B, C, D, B0 , C 0 , D 0 cùng nằm trên mặt cầu đường kính AC .  4 – Bài tập tự luyện có đáp số p 1. (CĐ 2012) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB = a 2, S A = SB = SC. Góc giữa đường thẳng S A và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và pbán kính mặt p cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a. * Đáp số: V = 3a3 2a 3 ,R = 3 3 2. (D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 có đáy là hình vuông, tam giác A 0 AC vuông cân, A 0 C = a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB0 C 0 và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD 0 ) theo p a. p * Đáp số: V = a3 2 a 6 ,d = 48 6 3. (B 2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với S A = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối p chóp S.ABH theo a. * Đáp số: V = 7 11a3 96 4. (A 2012)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho H A = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường p S A và BC theo a. p thẳng * Đáp số: V = http://boxmath.vn/ a3 7 a 42 ,g= 12 8 11 5. (CĐ 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, S A vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300 . Gọi M là trung điểmpcủa cạnh SC . Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a. * Đáp số: V = a3 3 36 6. (A 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (S AB) và (S AC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC , cắt AC tại N . Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.BCN M và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB p và SN theo a. p * Đáp số: V = a3 3, d = 2a 39 13 7. (B 2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A 1 B1 C1 D 1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = p a, AD = a 3. Hình chiếu vuông góc của điểm A 1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD . Góc giữa hai mặt phẳng (ADD 1 A 1 ) và (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho p và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A 1 BD) theo a. * Đáp số: V = 3a3 a 3 ,d = 2 2 8. (D 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; p  = 300 . Tính mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC thể tích khối chóp S.ABC và p khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (S AC) theo a. p * Đáp số: V = 2 3a3 , d = 6a 7 7 9. (A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD ; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH p vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3. Tính thể tích khối chóp S.CDN M và tính khoảng cách giữa p hai đường p thẳng DM và SC theo a. * Đáp số: V = 5 3a3 2 3a ,d = p 24 19 10. (D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH = AC . Gọi CM là đường cao của tam giác S AC. Chứng minh M là trung điểm của S A và 4 tính thể tích khối p tứ diện SMBC theo a. a3 14 * Đáp số: V = 48 11. (CĐ 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt phẳng đáy, S A = SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD . p * Đáp số: a3 5 6 12. (B 2010) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A 0 B0 C 0 có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A 0 BC) và (ABC) bằng 600 . Gọi G là trọng tâm tam giác A 0 BC . Tính thể tích khối lăngptrụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G ABC theo a. * Đáp số: V = http://boxmath.vn/ 3a3 3 7a ,R = 8 12 12 p 13. (CĐ 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, S A = a 2. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh S A, SB và CD . Chứng minh đường thẳng MN vuông góc với đường thẳngpSP. Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP. * Đáp số: V = a3 6 48 14. (A 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (CSI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối p chóp S.ABCD theo a. * Đáp số: V = 3 15a3 5 15. (B 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A 0 B0 C 0 có BB0 = a, góc giữa đường thẳng BB0 và ƒ = 600 . Hình chiếu vuông mặt phẳng (ABC) bằng 600 ; tam giác ABC vuông tại C và BAC góc của điểm B0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính thể tích khối tứ diện A 0 ABC theo a. 9a3 * Đáp số: V = 208 16. (D 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, A A 0 = 2a, A 0 C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A 0 C 0 , I là giao điểm của AM và A 0 C . Tính theo a thể tích khối tứ diện I ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). p * Đáp số: V = 2a 5 4a3 ,d = 9 5 ƒ=ƒ 17. (CĐ 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD ABC = 900 , AB = BC = a, AD = 2a, S A vuông góc với đáy và S A = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của S A, SD. Chứng minh rằng BCN M là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCN M theo a. * Đáp số: V = a3 3 18. (A 2008) Cho lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác p vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A 0 trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích khối chóp A 0 .ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng A A 0 , B0 C 0 . * Đáp số: V = a3 1 , cosϕ = 2 4 p 19. (B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, S A = a, SB = a 3 và mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, p pDN. * Đáp số: V = a3 3 5 , cosϕ = 3 5 20. (D 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, p cạnh bên A A 0 = a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích của khối http://boxmath.vn/ 13 lăng trụ ABC.A 0p B0 C 0 và p khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B0 C. 7a a3 2 * Đáp số: V = ,d = 2 7 21. (A 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên S AD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP . p 3a3 * Đáp số: V = 96 22. (B 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của S A, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC . Chứng minh MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. p * Đáp số: d = a 2 4 ƒ = 900 , BA = BC = 23. (D 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ƒ ABC = BAD p a, AD = 2a. Cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). a * Đáp số: d = 3 24. (A 2006) Cho hình trụ có đáy là hai hình tròn tâm O và O 0 , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O 0 lấypđiểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO 0 AB. * Đáp số: V = 3a3 12 25. (B 2006) cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, p AD = a 2, S A = a và S A vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC . Chứng minh mặt phẳng (S AC) p vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện AN IB. * Đáp số: V = 2a3 36 26. (D 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, S A = 2a và S A vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường p thẳng SB và SC . Tính thể tích của khối chóp A.BCN M. * Đáp số: V = 3 3a3 50 27. (B 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ϕ((00 < ϕ < 900 ). Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (ABCD) theo ϕ. Tính thể tích khối chóp p S.ABCD theo a và ϕ. p * Đáp số: tanα = 2tanϕ, V = 2a3 tanϕ 6 28. (D 2003) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng ∆. Trên ∆ lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C , trong mặt http://boxmath.vn/ 14 phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a. p p * Đáp số: R = a 2 a 3 ,d = 2 2 29. (B 2002) Cho hình lập phương ABCD.A 1 B1 C1 D 1 có cạnh bằng a. a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A 1 B và B1 D. b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1 , CD, A 1 D 1 . Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C1 N. a * Đáp số: d = p , g = 900 6 30. (D 2002) Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm; AB = 3cm;p BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD). * Đáp số: d = 6 34 17 p ƒ= 31. (DB1 A 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A 1 B1 C1 có AB = a, AC = 2a, A A 1 = 2a 5 và BAC 1200 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC 1 . Chứng minh MB ⊥ M A 1 và tính khoảng cách từ điểm A tới mặt p phẳng (A 1 BM). * Đáp số: d = a 5 3 32. (DB2 A 2007) Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 , hai tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (S AC). 3a * Đáp số: d = p 13 33. (DB1 B 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , S A vuông p góc với đáy. Cho AB = a, S A = a 2. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh SC ⊥ (AHK) và tính thể tích khối chóp O AHK. * Đáp số: V = 2a3 27 34. (DB2 B 2007) Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R . Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (SBC) bằng 600 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC . Chứng minh tam giác AHK vuông và tính thể tích khối tứ diệnpS ABC theo R . * Đáp số: V = R3 6 12 35. (DB1 D 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A 1 B1 C1 có đáy ABC là tam giác vuông AB = AC = p a, A A 1 = a 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A A 1 , BC 1 . Chứng minh MN là đường vuông góc chungpcủa các đường thẳng A A 1 và BC1 . Tính thể tích khối tứ diện M A 1 BC1 . * Đáp số: V = a3 2 12 36. (DB2 D 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A 1 B1 C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của A A 1 . Chứng minh BM ⊥ B1 C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM http://boxmath.vn/ 15 và B1 C . p a 30 * Đáp số: d = 10 37. (DB1 A 2008) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC; M là điểm di động trên tia đối của ƒ = α(α < 900 ) và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC . Tính tia BA sao cho góc ECM thể tích khối tứ diện EH I J theo a, α và tìm α để thể tích đó lớn nhất. * Đáp số: V = 5a3 sin2α 8 38. (DB2 A 2008) Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, S A = SB = SC = a. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng của S qua E ; I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN). Chứng minh AD ⊥ SI và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI. * Đáp số: V = a3 36 p 39. (DB1 B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A = a 3 và S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối tứ diện S ACD và tính cosin của góc giữa haipđường thẳng p SB và AC . * Đáp số: V = a3 3 2 , cosα = 6 4 40. (DB2 B 2008) Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau. Hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo của gócpgiữa hai đường thẳng AD, BC . * Đáp số: ĐS V = 5 a3 2 , g = 600 12 - Các bài toán về khoảng cách Phạm vi những bài tập này tôi sẽ đề cập một phương pháp xuyên suốt để giải các bài toán về khoảng cách trong không gian đó là quy về bài toán cơ bản: Tính khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt của hình chóp. Trước hết ta cần nắm chắc bài toán: Cho hình chóp S ABC có S A vuông góc với đáy ABC . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) • Việc tính khoảng cách này là rất đơn giản nhưng nó là chìa khóa để giải quyết mọi bài toán liên quan đến khoảng cách: Ta kẻ AM ⊥BC, AH ⊥SM ⇒ AH ⊥(SBC) ⇒ d A/(SBC) = AH Trong tam giác vuông S AM ta có 1 1 AS.AM 1 = + ⇒ AH = p AH 2 AS 2 AM 2 AS 2 + AM 2 • Tính chất quan trọng - Nếu đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) thì khoảng cách từ mọi điểm trên (d) đến mặt phẳng (P) là như nhau http://boxmath.vn/ 16 −−→ −−→ - Nếu AM = kBM thì d A/(P) = |k| d B/(P) trong đó (P) là mặt phẳng đi qua M - Nếu a, b là hai đường thẳng chéo nhau. Gọi (P) là mặt phẳng chứa b và (P)ka thì d a/b = d a/(P) = d M ∈a/(P) Trên cơ sở các tính chất trên. Khi cần tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , hay tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta luôn quy được về bài toán cơ bản. Ta xét các bài toán sau: Bài 5.1. ƒ = 90 o , BA = BC = a, AD = 2a. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang ƒ ABC = BAD p Cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a 2, góc tạo bởi SC và (S AD) bằng 30 o . Gọi G là trọng tâm tam giác (S AB). Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SCD) Giải: Kẻ CE vuông góc với AD thì E là trung điểm của AD và CE ⊥(S AD) p p ⇒ C ŜE = 300 ⇒ SE = CE. tan 60 = a 3 ⇒ S A = a 2 Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AE . Ta có BE song song với (SCD), MN 3 4 cũng song song với (SCD). Ta có ND = AD 2 2 2 3 1 2 GS = MS ⇒ dG/(SCD) = d M/(SCD) = .d N/(SCD) = . d A/(SCD) = d A/(SCD) 3 3 3 3 4 2 Vì tam giác ACD vuông cân tại C nên CD vuông góc với (S AC). Hạ AH vuông góc với SC thì AH ⊥(SCD) ⇒ d A/(SCD) = AH = p S A.SC S A 2 + SC 2 (Ta cũng có thể lập luận tam giác S AC vuông cân suy ra AH = a) =a  Bài 5.2. p Cho hình lăng trụ ABC A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A cạnh huyền BC = a 2 cạnh bên A A 0 = 2a, biết A 0 cách đều các đỉnh A, B, C . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A A 0 , AC . Tính thể tích khối chóp C 0 MNB và khoảng cách từ C 0 đến mặt phẳng (MNB) Giải: - Tính thể tích: Vì A 0 cách đều A, B, C nên chân đường cao hạ từ A 0 lên mặt phẳng (ABC) là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi H là trung điểm của BC suy ra A 0 H ⊥(ABC) 1 3 Gọi K = MN ∩ AC 0 ⇒ AK = C 0 K ⇒ VC0 MNB = 3VAMNB 1 3 Gọi E là trung điểm của AH ⇒ ME ⊥(ABC) ⇒ VM ANB = ME.dt(ANB) p p 1 0 1 a 14 a 14 Tính được: ME = A H = = 2 p 2 2p 4 p 1 a 14 a2 14a3 14a3 Suy ra: VM ANB = . . = . Vậy VC0 MNB = 3 4 4 48 16 Ta thấy rằng việc tính trực tiếp khoảng cách từ điểm C 0 đến mặt phẳng (BMN) là tương đối khó. Để khắc phục khó khăn này ta sẽ tạo ra bài toán cơ bản tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng (BMN) bằng cách dựng đường cao ME của khối chóp ABMN . - Tính khoảng cách: d C0 /(BMN) = 3d A/(BMN) . Gọi F là trọng tâm tam giác ABC 2 1 1 1 1 Ta có: AF = AH; EH = AH ⇒ EF + AH = AH ⇒ EF = AH ⇒ d A/(BMN) = 4d E/(BMN) 3 2 3 2 6 Như vậy d C0 /(BMN) = 3d A/(BMN) = 12d E/(BMN) http://boxmath.vn/ 17 ( Hạ EP ⊥BN EQ ⊥ MP. ⇒ EQ ⊥(MNB) ⇒ d E/(MNB) = EQ = p EP.EM EP 2 + EM 2 EP EF BH.EF Ta có ∆EPF đồng dạng với ∆BHF ⇒ = ⇒ EP = BH BF p p BF p a 2 1 1 2 1 a 2 a 5 Tính được BH = ; EF = AF = . AH = AH = ; BF = 4 4 3 12 3 p 6 p 2 a 5 EP.EM 994a = Suy ra: EP = ⇒ EQ = p 2 2 20 EP p + EM p 284 994a 3 994a = Vậy d C0 /(BMN) = 12d E/(BMN) = 12. 284 71  Qua ví dụ trên ta thấy rõ tầm quan trọng của bài toán cơ bản Bài 5.3. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Chân đường cao hạ từ S lên −−→ −−→ mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc AB sao cho H A = −2HB. Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 o . Tính thể tích khối chóp S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng S A, BC theo a. Giải: - Tính thể tích: Vì SH ⊥(ABCD) nên HC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD). ƒ = 60 o . Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABCD) là SCH Xét tam giác BHC theo định lý hàm số cosin ta có 2 2 ƒ = HB2 + BC 2 − 2HB.BC. cos 60 o = a + a2 − 2. a .a. 1 = 7a HC 2 = HB2 + BC 2 − 2HB.BC. cos HBC 9 3 2 9 p p p p a 7 a a 7 21 ƒ= Suy ra HC = ⇒ SH = HC. tan SCH . 3= 3 3 p p 33 1 a 21 1 7a 1 . a.a. sin 60 o = ( ĐVTT) Ta suy ra VS ABC = SH.S ∆ ABC = 3 3 3 2 12 - Tính khoảng cách: Gọi E là trung điểm của BC , D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD 3 2 Ta có AD//BC nên d S A/BC = d BC/(S AD) = d B/(S AD) = d H/(S AD) ( Kẻ HF ⊥ AD ⇒ HK ⊥(S AD) ⇒ d H/(S AD) = HK HK ⊥SF 1 1 1 HF.HS Trong tam giác vuông SHF ta có = + ⇒ HK = p 2 2 2 HF HS HS 2 + HF 2 p p HK 2 2a 3 3a Mặt khác HF = AE = = . 3 3 2 3 p p 3a a 21 p . HF.HS 42 3 3 Suy ra HK = p =r = a 12 3 2 21 2 HS 2 + HF 2 a + a 9 9 p p 3 42 42 Vậy d S A/BC = . a= a 2 12 8 6  - Giải toán Hình không gian bằng Phương pháp tọa độ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT J Phương pháp http://boxmath.vn/ 18 • Bước 1: Chọn hệ trục tọa Ox yz. Xác định một góc tam diện vuông trên cơ sở có sẵn của hình (như tam diện vuông, hình hộp chữ nhật, hình chóp tứ giác đều . . . ), hoặc dựa trên các mặt phẳng vuông góc dựng thêm đường phụ. • Bước 2: Tọa độ hóa các điểm của hình không gian. Tính tọa độ điểm liên quan trực tiếp đến giả thiết và kết luận của bài toán. Cơ sở tính toán chủ yếu dựa vào quan hệ song song, vuông góc cùng các dữ liệu của bài toán. • Bước 3: Chuyển giả thiết qua hình học giải tích. Lập các phương trình đường, mặt liên quan. Xác định tọa độ các điểm, véc tơ cần thiết cho kết luận. • Bước 4: Giải quyết bài toán. Sử dụng các kiến thức hình học giải tích để giải quyết yêu cầu của bài toán hình không gian. Chú ý các công thức về góc, khoảng cách, diện tích và thể tích . . . J Cách chọn hệ tọa độ một số hình không gian. H Tam diện vuông, hình hộp chữ nhật, hình lập phương. • Xét tam diện vuông S.ABC có S A = a, SB = b, SC = c. Chọn hệ trục tọa độ Ox yz sao cho −−→ −−→ −−→ S ≡ O, S A, SB, SC lần lượt cùng hướng với các tia Ox, O y, Oz. Tọa độ các điểm khi đó là S(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). • Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 có độ dài các cạnh là AB = a, AD = b, A A 0 = −−→ −−→ −−→ c. Chọn hệ trục tọa độ Ox yz sao cho A ≡ O, AB, AD, A A 0 lần lượt cùng hướng với các tia Ox, O y, Oz. Tọa độ các điểm khi đó là A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), A 0 (0; 0; c), C(a; b; 0), B0 (a; 0; c), D 0 (0; b; c), C 0 (a; b; c). H Hình chóp tứ giác đều, tam giác đều. • Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là giao của hai đường chéo và SO = h, AC = 2a, BD = −−→ −−→ −−→ 2b. Chọn hệ trục tọa độ Ox yz sao cho O A, OB, OS lần lượt cùng hướng với các tia Ox, O y, Oz. Tọa độ các điểm khi đó là O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(−a; 0; 0), D(0; − b; 0). • Hình chóp tam giác đều S.ABC có O là tâm của tam giác ABC và SO = h, BC = a. Chọn −−→ −−→ −−→ hệ trục tọa độ Ox yz sao cho O A, CB, OS lần lượt cùng hướng với các tia Ox, O y, Oz. Tọa độ các điểm khi đó là ! à p ! à p ! à p a 6 a a 6 a a 3 ; 0; 0 , B − ; ;0 , C − ;− ;0 . O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A 3 3 2 3 2 J Tùy vào từng bài toán mà có thể thay đổi linh hoạt cách chọn hệ tọa độ. Trong nhiều trường hợp, phải biết kết hợp kiến thức hình không gian tổng hợp và kiến thức hình giải tích nhằm thu gọn lời giải.. B. CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA Bài 6.1. Cho hình chóp S.ABC , trong đó S A vuông góc với mặt đáy ABC . Đáy là tam giác cân tại A , đồ dài trung tuyên AD = a,; cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc α và tạo với mặt phẳng (S AD) góc β. Tìm thể tích hình chóp S.ABC . Giải: http://boxmath.vn/ 19 Chọn hệ trục tọa độ Ox yz như hình vẽ. Tọa độ các đỉnh A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A 0 (0; 0; a), C(a; a; 0), D 0 (0; a; a), B0 (a; 0; a), C 0 (a; a; a). a) Ta có h−−→ −−→i −−0→ −−→ −−−→ A B(a; 0; −a), B0 D(−a; a; −a), A 0 B0 (a; 0; 0) ⇒ A 0 B, B0 D = (a2 ; 2a2 ; a2 ) ¯h−−→ −−→i −−−→¯ ¯ 0 ¯ ¯ A B, B0 D . A 0 B0 ¯ a 0 0 Khoảng cách giữa hai đường thẳng là d(A B, B D) = ¯h−−→ −−→i¯ = p . ¯ ¯ 0 6 ¯ A B, B0 D ¯ b) Tọa độ các điểm M, N, P là ³ ´ ³ a ´ ³a a´ M a; 0; , N ; a; 0 , P 0; ; a . 2 2 2 Do đó ´ −−→ −−−→ a a ´ −−−→0 ³ a −−→ ³ ; 0; a ⇒ MP. NC 0 = 0. MP −a; ; , NC 2 2 2 Vậy góc giữa hai đường thẳng bằng 900 . c) Ta có µ 2 2 ¶ a a ´ −−−→0 ³ a ´ h−−→ −−−→0 i a ´ −−−→ ³ a a a −−→ ³ 2 MP −a; ; ; −a . , MC 0; a; , MN − ; a; − ⇒ MP, MC = − ; 2 2 2 2 2 4 2 1 ¯¯h−−→ −−−→0 i −−−→¯¯ 3 3 Thể tích khối tứ diện C MNP là VC0 MNP = ¯ MP, MC . MN ¯ = a . 6 16 0  Bài 6.2. (Đề thi tuyển sinh đại học, khối A năm 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (S AD) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP. Giải: Vì tam giác S AD là tam giác đều và (S AD)⊥(ABCD) nên gọi O là trung điểm của AD thì SO ⊥(ABCD). Chọn hệ trục tọa độ Ox yz như hình vẽ (O y song song với AB). Tọa độ các đỉnh p ! ³ ´ ³ a ´ ³a ´ ³ a ´ a 3 a O(0; 0; 0), S 0; 0; , D ; 0; 0 , A − ; 0; 0 , C ; a; 0 , B − ; a; 0 . 4 2 2 2 2 à à p ! ³a a ´ a a a 3 Nên các trung điểm P ; ; 0 , N (0; a; 0) , M − ; ; . 2 2 4 2 4 à p ! −−→ a a a 3 −−→ ³ −−→ −−→ a2 a2 a ´ Ta có AM ; ; , BP a; − ; 0 nên AM.BP = − + 0 = 0. 4 2 4 2 4 4 Vậy AM vuông góc với BP. Mặt khác à à ! p ! p ´ −−→ ³ a a a 3 −−→ ³ a a ´ h−−−→ −−→i a2 3 a2 −−−→ a NM − ; − ; , NC ; 0; 0 , NP ; − ; 0 ⇒ N M, NC = 0; ; . 4 2 4 2 2 2 8 4 p 1 ¯¯h−−−→ −−→i −−→¯¯ a3 3 Do đó thể tích khối tứ diện CMNP là VCMNP = ¯ N M, NC . NP ¯ = . 6 96 http://boxmath.vn/  20 Bài 6.3. p Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, A A 0 = a 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn A A 0 và BC 0 . Chứng minh MN là đường vuông góc chung của A A 0 và BC 0 . Tính thể tích khối tứ diện M A 0 BC 0 . Giải: Chọn hệ trục tọa độ Ox yz như hình vẽ. Tọa độ các điểm là ³ ³a a a´ a´ A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(0; a; 0)A 0 (0; 0; a), B0 (a; 0; a), C 0 (0; a; a), M 0; 0; , N ; ; . 2 2 2 2 −−→ −−→ BC 0 .− p −−→0 p MN = 0 −−→0 −−−→ ³ a a ´ Ta có MN ; ; 0 và BC (a; −a; a 2), A A (0; 0; a 2). Do đó −−→ −−−→ ,  A A 0 . MN = 0 2 2 hay MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng A A 0 và BC 0 . Mặt khác à à à p ! p ! p ! −−−→0 a 2 −−−→0 a 2 a 2 −−→ , MB 0; a; − , MC a; 0; M A 0; 0; 2 2 2 Do đó à p ! h−−−→ −−→i 2 a 2 M A 0 , MB = ; 0; 0 , 2 ¯h−−−→ −−→i −−−→¯ a3 p2 1 ¯ ¯ nên thể tích khối tứ diện M A 0 BC 0 là VM A 0 BC0 = ¯ M A 0 , MB . MC 0 ¯ = . 6 2  Bài 6.4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD có AB = BC = CD = a, p S A ⊥(ABCD), S A = a 3. Điểm M chia đoạn SB theo tỷ số −3, điểm I chia đoạn DS theo 4 3 tỷ số − . Mặt phẳng (AM I) cắt SC tại N. a) Chứng minh N là trung điểm của SC. b) Chứng minh SD ⊥(AM I) và AMN I thuộc một đường tròn. c) Tính khoảng cách từ trung điểm của AD đến mặt phẳng (AMN I). Giải: Chọn hệ trục tọa độ Ox yz như hình vẽ, gốc tọa độ là trung điểm của AD, trục Ox là trục đối xứng của hình thang ABCD, trục Oz song song với S A. Tọa độ các điểm là à p ! à p ! ³ p ´ a 3 a a 3 a A(0; −a; 0)B ; − ; 0 , D(0; a; 0), C ; ; 0 , S 0; −a; a 3 . 2 2 2 2 à p p ! à p ! −−→ 4 −→ 3 3a 5a 3a a 4 3a −−→ −→ ;− ; , I 0; − ; . Vì MS = −3 MB, ID = − IS nên M 3 8 8 4 7 7 à p à p ! p ! −−→ 3 3a 3a 2 3a −→ 6a 4 3a a) Ta có AM ; ; , AI 0; ; 8 8 8 7 7 p Nên mặt phẳng (AM I) cóÃphương trình 2y − 3z + 2a = 0. p p ! 3a a 3a Trung điểm của SC là N ;− ; thuộc mặt phẳng(AM I). 4 4 2 Vậy mặt phẳng (AM I) cắt SC tại trung điểm của SC. p p −−→ −−→ ~ b) Ta có SD(0; 2a; − a 3), n (0; 2; − 3) ⇒ SD = a.~ n (AM I) nên SD ⊥(AM I). (AM I) à p p ! −−→ −−→ 27a 9 3a −−→ 3 3a I = 90 o . ;− ;− nên AM. I M = 0, hay ƒ AM I = 90 o . Tương tự AN 8 56 28 Vì I M http://boxmath.vn/ 21 Vậy các điểm tứ giác AMN I nội tiếp trong đường tròn đường kính AI. p |2a| c) Khoảng cách cần tìm là d(O, (AM I)) = q p 2 02 + 22 + (− 3) = 2 7 a. 7  Bài 6.5.  = 60 o , BS  Cho hình chóp S.ABC có ƒ ASC = 90 o , CSB A = 120 o , S A = SB = SC = a. a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (S AC) và (SBC). b) Gọi M, N lần lượt chia đoạn SB, CS theo tỷ số −3. Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng AN, CM. Giải: p p Ta có C A = a 2, CB = a, AB = a 3 nên tam giác ABC vuông tại C. Mặt khác S A = SB = SC nên hình chiếu của điểm S trên mặt đáy là trung điểm O của AB. Chọn hệ trục tọa độ Ox yz (hình vẽ), Ox//BC, O y//AC. Tọa độ các đỉnh của hình chóp là ! à ! à ! à p p p ³ a 2 a a 2 a´ a a 2 a ;0 ,B − ; ;0 ,C ; ;0 . S 0; 0; ,A ;− 2 2 2 2 2 2 2 a) Ta có à p ! h−−→ −−→i p a2 a2 2 SB, SC = 0; − ; − ⇒~ n (SBC) = (0; 1; 2), 2 2 ! à p h−−→ −−→i p a2 2 a2 n (S AB) = ( 2; 1; 0). ; ; 0 ⇒~ S A, SB = 2 2 Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (S AC) và (SBC). Khi đó cos ϕ = ¯cos(~ n (S AB) , ~ n (SBC) )¯ = ¯ −−→ ¯ −−→ −−→ −−→ 1 1 ⇒ ϕ = arccos . 3 3 b) Vì MS = −3 MB, NC = −3 NS nên tọa độ các điểm M, N là ! à ! p p a a 2 3a 3a 3a 2 a ; ,N ; ; . M − ; 8 8 8 8 8 8 à Ta có à ! à ! p p ´ p −−→ 3a 5a 2 3a −−→ 7a a 2 a −−→ ³ , CM − ; − , AC 0; a 2; 0 AN − ; ; ; 8 8 8 8 8 8 Ãp ! p h−−→ −−→i 2a2 9a2 19 2.a2 ⇒ AN, CM = ;− ; . 8 32 32 ¯h−−→ −−→i −−→¯ ¯ ¯ r ¯ AN, CM . AC ¯ 2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng d(AN, CM) = ¯¯h−−→ −−→i¯¯ = 9 . 835 ¯ AN, CM ¯ p ¯ ¯ 7p221 − − → − − → 7 221 ¯ ¯ á Góc giữa hai đường thẳng cos (AN, CM) = ¯cos( AN, CM)¯ = ⇒ ϕ = arccos . 1768 1768 http://boxmath.vn/  22 Bài 6.6. ƒ = 60 o . Đường thẳng SO vuông Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, BAD 3a . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, BE. 4 a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = b) Tính góc giữa hai đường thẳng AE và SF. c) Mặt phẳng (α) chứa AD và vuông góc với (SBC) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện. Tính diện tích thiết diện đó. Giải: Vì O A, OB, OS đôi một vuông góc nên chọn hệ trục tọa độ Ox yz (hình vẽ). Tọa độ các điểm ! à p ! à p ¶ ³ ³ a ´ µ a ´ a 3 3a a 3 ; 0; 0 , D 0; − ; 0 , C − ; 0; 0 , B 0; ; 0 , S 0; 0; . A 2 2 2 2 4 à p ! µ ¶ h−−→ −−→i a2 p3 ¡ p ¢ −−→ a 3a −−→ a 3 3a a) Ta có SB 0; ; − , SC − ; 0; − nên SB, SC = − 3; 3; 2 2 4 2 4 8 p Phương trình mặt phẳng (SBC) là (SBC) : −2 3x + 6y + 4z − 3a ¯ ¯ = 0. ¯ p ap3 ¯ ¯ ¯ + 6.0 + 4.0 − 3a¯ ¯−2 3. ¯ ¯ 3 2 Khoảng cách cần tìm d(A, (SBC)) = = a. q p 2 4 2 2 (−2 3) + 6à + 4 ! à p ! p a 3 a a 3 a b) Vì E, F lần lượt là trung điểm của BC, BE nên E − ; ;0 ,F − ; ;0 . 4 2 8 2 à ! à ! p p −−→ 3a 3 a −−→ a 3 Do đó AE − ; ; 0 , BF − ; 0; 0 , nên 4 2 8 p ¯ ¯ 3p93 − − → 3 93 − − → ¯ ¯ á cos (AE, BF) = ¯cos( AE, BF)¯ = ⇒ ϕ = arccos . 31 31 p p p c) Phương trình mặt phẳng (α) là (α) : 2x − 2 3y + 4 3z − a 3 = 0. Phương trình các đường thẳng       x = 0 x = 2t       SB : y = 2t , SC : y = 0     3a 3a p     z = z = − 3t + 3t 4 4 à p ! µ ¶ a 3 a 3a 3a Do đó (α) ∩ SB = M 0; ; , (α) ∩ SC = N − ; 0; . 4 8 4 8 . Thiết diện là hình thang ADN M có chiều cao bằng khoảng cách từ A đến (SBC) 1 2 nên diện tích của thiết diện là S ADN M = (AD + MN).d(A, (SBC)) = 9a2 . 16  Bài 6.7. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, BC = BS = a, BS ⊥(ABC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh S A và BC. a) Tính độ dài đoạn thẳng MN. b) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, MN. Giải: http://boxmath.vn/ 23 Chọn hệ trục tọa độ Ox yz (hình vẽ), với O ≡ B, trục Oz chứa BS, trục O y chứa BC. Tọa độ các điểm B(0; 0; 0), C(0; a; 0), S(0; 0; a), A ³a a a´ ³ a ´ ³a a ´ ; ; 0 ,M ; ; , N 0; ; 0 . 2 2 4 4 2 2 p a´ a 6 −−−→ ³ a a a) Ta có MN − ; ; − Nên MN = . 4 4 2 µ 42 2 2 ¶ ³ ´ h i −−→ a a −−→ −−−→ a a a b) Vì BA ; ; 0 nên BA, MN = − ; ; . 2 2 4 4 4 −−→ −−−→ á Ta có BA. MN = 0 nên (AB, MN) = 900 . ¯h−−→ −−−→i −−→¯ ¯ ¯ p ¯ BA, MN .BM ¯ a 3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng là d(AB, MN) = ¯¯h−−→ −−−→i¯¯ = . 4 ¯ BA, MN ¯  Bài 6.8. Cho hai đường thẳng ∆, ∆0 chéo nhau và vuông góc với nhau nhận AB làm đường vuông góc chung (A ∈ ∆, A 0 ∈ ∆0 ). Gọi M, N là các điểm di chuyển trên ∆ và ∆0 sao cho MN = AM + BN. a) Chứng minh rằng tích AM.BN và thể tích khối tứ diện ABMN là những đại lượng không đổi. b) Chứng minh rằng MN luôn tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB. Giải: Chọn hệ trục tọa độ Ox yz (hình vẽ), với O ≡ A, trục Oz chứa AB, trục Ox chứa đường thẳng a, trục O y//b. Đặt AB = h, AM = a, và AN = b, (h, a, b > 0). Tọa độ các điểm A(0; 0; 0), B(0; 0; h), M(a; 0; 0), N(0; b; h). p Vì MN = AM + BN nên h2 + a2 + b2 = a + b ⇔ 2a.b = h2 . a) Ta có h2 . 2 h−−→ −−→i −−→ −−→ −−→ +) AB(0; 0; h), AM(a; 0; 0), AN(0; b; h) ⇒ AB, AM = (0; ah; 0). 1 1 ¯¯h−−→ −−→i −−→¯¯ 1 Thể tích khối tứ diện ABMN là VABMN = ¯ AB, AM . AN ¯ = abh = h3 . 6 6 12 Vì h = AB không đổi nên tích AM.BN và thể tích khối tứ diện ABMN là những đại lương +) AM.BN = a.b = không đổi. ¶ h . 2 ¶ ¶ µ h−−−→ −−→i µ hb ha h −−−→ −−→ nên MN, I M = − ; ; −ab . Ta có MN(−a; b; h), I M a; 0; 2 2 2 Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng MN là ¯h−−−→ −−→i¯ s s s ¯ ¯ ¯ MN, I M ¯ h2 b2 + h2 a2 + 4a2 b2 2ab3 + 2ba3 + 4a2 b2 ab h AB ¯−−−→¯ = = = . d(I, MN) = = = 2 2 2 2 2 2 ¯ ¯ 2 2 2 4(a + b + h ) 4(a + b + h ) ¯ MN ¯ µ b) Gọi trung điểm của AB là I 0; 0; Vậy đường thẳng MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB. http://boxmath.vn/  24 Bài 6.9. Trên các tia Ox, O y, Oz của góc tam diện vuông Ox yz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho p O A = a, OB = a 2, OC = c, (a, c > 0). Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đoạn BC. Mặt phẳng (α) qua A, M cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với đường thẳng AM. a) Gọi E là giao điểm của (α) với đường thẳng OC. Tính độ dài đoạn thẳng OE. b) Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt phẳng (α). c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (α). Giải: Chọn hệ trục tọa độ Ox yz (hình vẽ). Tọa độ các điểm p p O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; a 2; 0), D(a; a 2; 0), C(0; 0; c). à ! p a 2 c a) Vì M là trung điểm của BC nên M 0; ; . 2 2 h−−→ −−→i p p −−→ −−→ Ta có OC(0; 0; c), OD(a; a 2; 0) ⇒ OC; OD = (−ac 2; ac; 0). p Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (OCD) là ~ n (OCD) (− 2; 1; 0). Gọi F =Ã(α) ∩ CD thì!EF là giao tuyến của (α) với (OCD), ta có EF ⊥ AM. p h p −−→i c a 2 c ; n (OCD) , AM = (1; 2; 0), nên ~ 2 2 2 p do đó một véc tơ chỉ phương của EF là ~ u EF (1; 2; 0). h p −−→i 1 p u EF , AM = (c 2; − c; 3 2a) nên phương trình mặt phẳng (α) là Ta có ~ 2 p p p 2cx − c y + 3 2az − ac 2 = 0. −−→ Vì AM −a; c c´ ⇒ OE = . à 3 p !3 2a 2 2a c CF 2 b) Ta có (α) ∩ CD = F ; ; = . Mà VCO ADB = 2VC AOD = 2VCBOD nên ⇒ 3 3 3 CD 3 ³ Do đó (α) ∩ Oz = E 0; 0; µ ¶ VCE AF M VC AEF VCMEF 1 CE CF CM CE CF 1 = + = . + . . = VCO ADB 2VC AOD 2VCBOD 2 CO CD CB CO CD 3 Do đó tỷ số thể tích hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AODB bởi mặt phẳng (α) là 1 (hay 2). 2 ¯ p p ¯ p ¯3 2ac − ac 2¯ 2 6ac c) Khoảng cách cần tìm d(C, (α)) = p = p . 2c2 + c2 + 18a2 3 c2 + 6a2  Chú ý: +) Nếu để ý EF//OD thì việc tìm véc tơ chỉ phương của EF sẽ gọn hơn. +) Hoàn toàn có thể tính tỷ số của câu b bằng phương pháp hình giải tích nhưng sẽ dài và phức tạp. http://boxmath.vn/ 25 Bài 6.10. Cho hai hình chữ nhật ABCD ( AC là đường chéo), ABEF ( AE là đường chéo) không cùng p nằm trong một mặt phẳng và thỏa mãn các điều kiện AB = a, AD = AF = a 2, đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng BF. Gọi HK là đường vuông góc chung của AC, BF ( H thuộc AC, K thuộc BF ). a) Gọi I là giao điểm của đường thẳng DF với mặt phẳng chứa AC và song song với BF. Tính DI tỷ số . DF b) Tính độ dài đoạn HK. c) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABHK. Giải: Chọn hệ trục tọa độ Ox yz (hình vẽ). Tọa độ các điểm p p A ≡ O(0; 0; 0), B(0; 0; a), D(0; a 2; 0), C(0; a 2; a). Gọi F(x; y; 0), x > 0. Ta có AF 2 = x2 + y2 = 2a2 . p p −−→ −−→ −−→ −−→ 2; a), BF(x; y; − a) nên AC. BF = 0 ⇔ y.a 2 − a2 = 0 Mặt khác AC ⊥ BF và AC(0; a à p ! à p ! p p p p a 2 a 6 a 6 a 2 a 6 a 2 ⇒x= , hay F ; ; 0 ,E ; ;a . 2 2 2 2 2 2 p p a) Mặt phẳng (α) chứa AC và song song với BF có phương trình 3x − y + 2z = 0.  p  x = 3t  ! à p p   p a 6 3a 2 ; ;0 . Đường thẳng DF y = a 2 − t Vì thế DF ∩ (α) = I nên I  4 4   z = 0 DI 1 Do đó = , hay I là trung điểm của DF. DF 2   p   x = 0   x = 3.t     p . b) Đường thẳng AC và BF có phương trình là AC : y = 2.t , BF : y = t       z = t  z = a − p2.t p p p p p −−→ p Vì vậy H(0; 2m; m), K( 3n; n; a − 2n) nên HK( 3n; n − 2m; a − 2n − m)  p p −−→ ~  u AC . HK = 0 2n − 2m + a − 2n − m = 0 Mà HK là đường vuông góc chung nên ⇔ −−→ ~ 3n + n − p2m − p2a + 2n + p2m = 0 u BF . HK = 0 à p ! p p a 2 −−→ a 6 a 2 a a Giải hệ phương trình ta có m = , n = ⇒ HK ;− ; 3 6 6 6 3 p a 3 Vậy độ dài đoạn HK là HK = . 3 Do đó y = c) Ta có à ! à p ! p p −−→ −−→ a 2 a −−→ a 6 a 2 2a AB(0; 0; a), AH 0; ; , AK ; ; , 3 3 6 6 3 à p ! à ! p p a 2 a −−→ a 2 2a −−→ a 6 HK ;− ; , BH 0; ;− . 6 6 3 3 3 p 1 ¯¯h−−→ −−→i −−→¯¯ a3 3 Thể tích khối tứ diện ABHK là VABHK = ¯ AB, AH . AK ¯ = . 6 3 p p p a2 a2 a2 2 a2 2 a2 (1 + 2) Diện tích các mặt S AHK = , S BHK = , S ABH = , S ABK = ⇒ S tp = . 6 6 6 3 p 6p 3VABHK a( 6 − 3) Bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABHK là r = = . S tp 6 http://boxmath.vn/  26 Bài 6.11. Cho hình lập phương ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 và mặt cầu (S) nội tiếp trong hình lập phương đó. Mặt phẳng (P) quay quanh A, tiếp xúc với mặt cầu (S) và cắt hai cạnh A 0 B0 và A 0 D 0 lần lượt tại M, N. Tìm tập hợp tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A A 0 MN. Giải: Giả sử cạnh của hình lập phương là 1 đơn vị. Chọn hệ trục tọa độ Ox yz (hình vẽ). Tọa độ các đỉnh O ≡ A 0 , B0 (1; 0; 0), D 0 (0; 1; 0), A(0; 0; 1). Xét hai điểm bất kỳ M, N nằm trong các cạnh A 0 B0 , A 0 D 0 ta có M(m; 0; 0), N(0; n; 0), 0 < m, n < 1. Phương trình mặt phẳng (AMN) là (AMN) : y x + + z = 1. m n Mặt cầu nội tiếp hình lập phương có phương trình 1 (S) : x − 2 µ ¶2 1 + y− 2 µ ¶2 1 + z− 2 µ ¶2 1 = . 4 Tứ diện A A 0 MN có góc tam diện đỉnh A 0 vuông µ ¶ m n 1 nên tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp A A MN là I ; ; . 2 2 2 Mặt phẳng (AMN) tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 1 1 ¯ ¯ + + − 1 ¯ 2m 2n 2 ¯ 1 µ 1 1 1 ¶2 1 1 1 d(I, (AMN)) = ⇔ r + − = 2 + 2 +1 ⇔ m+n = 1 = ⇔ 2 2 m n 2 m n 1 1 + 2 +1 2 m n 0 Tức là x I + yI = 1 = zI 2 0 < x I , yI < 1 ¶ µ ¶ 1 1 1 1 nên quỹ tích của điểm I là đoạn thẳng I 1 I 2 trừ hai điểm I 1 ; 0; ; I 2 0; ; 2 2 2 2 Các điểm I 1 ; I 2 đó chính là trung điểm các đoạn thẳng AB0 , AD 0 . µ  Bài 6.12. Tứ diện đều ABCD có tâm là S và có độ dài các cạnh bằng 2. Gọi A 0 , B0 , C 0 , D 0 theo thứ tự là hình chiếu của các đỉnh A, B, C, D trên đường thẳng nào ∆ đó đi qua S. Tìm tất cả các vị trí của đường thẳng ∆ sao cho S A 0 4 + SB0 4 + SC 0 4 + SD 0 4 đạt giá trị lớn nhất. Giải: Ngoại tiếp tứ diện đều ABCD bằng hình lập phương AB1 CD 1 .C1 D A 1 B. Chọn hệ trục tọa độ Ox yz (hình vẽ). p p p Tọa độ các điểm A(à p2; 0;p0), B(0; 2; 0), C(0; 0; à p2), p à p p p ! p ! p ! p p p −−→ 2 2 2 ; ; . Suy ra S A 2 2 2 à p à p p p ! p p ! −−→ 2 2 2 −−→ 2 2 2 SC − ;− ; , SD − ;− ;− . 2 2 2 2 2 2 Và D( 2; 2; 2), S 2 2 2 −−→ 2 2 2 ;− ;− , SB − ; ;− , 2 2 2 2 2 2 Gọi ~e(x; y; z) là véc tơ đơn vị của đường thẳng ∆. Khi đó ¯ −−→¯ ¯ −−→¯ ¯ −−→¯ ¯ −−→¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 0 S A = ¯~ e.S A ¯ , SB = ¯~ e.SB¯ , SC = ¯~ e.SC ¯ , SD = ¯~ e.SD ¯ 0 http://boxmath.vn/ 27 Vì x2 + y2 + z2 = 1 nên 4 4 4 4 4T = 4(S A 0 + SB0 + SC 0 + SD 0 ) = (− x + y + z)4 + (x − y + z)4 + (x + y − z)4 + (x + y + z)4 = 4 + 16(x2 y2 + y2 z2 + z2 x2 ) ≤ 4 + 16 2 2 (x + y2 + z2 ) 3 7 3 Hay T ≤ . p 1 3 Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi x = y = z = ⇔ | x| = | y| = | z| = . 3 3 7 Vậy giá trị lớn nhất của T là đạt được khi ∆ là các đường thẳng đi qua các đỉnh của tứ diện 3 đều ABCD.  2 2 2 C. BÀI TẬP Bài 6.13. Cho hình chóp O.ABC có O A, OB, OC đôi một vuông góc và O A = a, OB = b, OC = c. a) Chứng minh rằng OH ⊥(ABC), H ∈ (ABC) khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. b) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC). c) Tính khoảng cách từ O đến tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC. d) Cho M là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng (ABC), không trùng với A, B, C, H ( H trực tâm tam giác ABC ). Chứng minh rằng HM 2 AM 2 BM 2 CM 2 + + = 2 + . AO 2 BO 2 CO 2 HO 2 e) Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa các mặt bên với mặt đáy. Chứng minh rằng sin2 α sin2 β sin2 γ 6 + + ≥ . 1 + sin β sin γ 1 + sin γ sin α 1 + sin α sin β 5 Giải: Kết luận:  Bài 6.14. p Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 có AB = a, AD = 2a, A A 0 = a 2, M là một điểm thuộc đoạn AD, K là trung điểm của B0 M. a) Đặt AM = m (0 ≤ m ≤ 2a). Tính thể tích khối tứ diện A 0 K ID theo a và m, trong đó I là tâm của hình hộp. Tìm vị trí của điểm M để thể tích đó đạt giá trị lớn nhất. b) Khi M là trung điểm AD. Tính diện tích thiết diện cắt hình hộp bởi mặt phẳng (B0 CK). c) Khi M là trung điểm AD. Chứng minh rằng đường thẳng B0 M tiếp xúc với mặt cầu đường kính A A 0 . Giải: Kết luận:  Bài 6.15. p ƒ = 120 o . Gọi M Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có AB = a, AC = 2a, A A 0 = 2a 5 và BAC là trung điểm của CC 0 . Chứng minh MB⊥ M A 0 và tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A 0 BM). Giải: http://boxmath.vn/ 28 Kết luận:  Bài 6.16. (Đề thi tuyển sinh đại học, khối D năm 2007) ƒ = 900 . Cạnh Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, BA = BC = a, AD = 2a, ƒ ABC = BAD p bên S A vuông góc với đáy và S A = a 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). Giải: Kết luận:  Bài 6.17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, S A vuông góc với đáy hình p chóp. Cho AB = a, S A = a 2. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh SC ⊥(AHK) và tính thể tích khối chóp O AHK. Giải: Kết luận:  Bài 6.18. p Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A = a 3 và vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối tứ diện S ACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC. Giải: Kết luận:  Bài 6.19. (Đề thi tuyển sinh đại học, khối D năm 2008) p Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, A A 0 = a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B0 C. Giải: Kết luận:  Bài 6.20. (Đề thi tuyển sinh đại học, khối D năm 2009) 0 0 0 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, A A 0 = 2a, A 0 C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A 0 C 0 , I là giao điểm của AM và A 0 C. Tính theo a thể tích khối tứ diện I ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). Giải: Kết luận:  Bài 6.21. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của S A, SC. Tính thể tích khối chóp và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết rằng BM ⊥ AN. Giải: Kết luận: http://boxmath.vn/  29 Bài 6.22. Cho tam giác ABC vuông tại C. Tìm các điểm M trong không gian thỏa mãn M A 2 + MB2 ≤ MC 2 . Giải: Kết luận:  Bài 6.23. Cho tứ diện đều A 1 A 2 A 3 A 4 có cạnh bằng c. Gọi (P) là mặt phẳng quay quanh tâm của tứ diện. Gọi B1 , B2 , B3 , B4 lần lượt là hình chiếu của A 1 , A 2 , A 3 , A 4 trên mặt phẳng (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng T = A 1 B41 + A 2 B42 + A 3 B43 + A 4 B44 theo c và xác định vị trí của mặt phẳng (P) khi đó. Giải: Kết luận:  Bài 6.24. Cho tứ diện đều ABCD. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ đó đến các mặt của tứ diện bằng k2 cho trước. Giải: Kết luận: . 7  - Một số bài toán tổng hợp Bài 7.1. Cho hình lăng trụ ABC.A 1 B1 C1 có M là trung điểm cạnh AB, BC = 2a, ƒ ACB = 90 o và ƒ ABC = o o 60 , cạnh bên CC 1 tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45 , hình chiếu vuông góc của C 1 lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CM . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (ACC1 A 1 ). Giải: o à á Gọi H là trung điểm CM . Từ giả thiết ⇒ C1 H ⊥(ABC) ⇒ C 1 CH = (CC 1 ; (ABC)) = 45 . p 1 Từ tam giác vuông ABC với BC = 2a, ƒ ABC = 60 o ⇒ AC = 2a 3, AM = 4a, CM = AB = 2a p 2 p ⇒ CH = a ⇒ C 1 H = CH tan 45 o = a. VABC.A 1 B1 C1 = C 1 H.S ABC = a.2a2 3 = 2 3a3 . á à Kẻ HK ⊥ AC ⇒ đường xiên C1 K ⊥ AC ⇒ ((ABC); (ACC 1 A 1 )) = C 1 K H. a ƒ ƒ Tam giác MC A cân tại M ⇒ MC A=M AC = 30 o ⇒ HK = HC. sin 30 o = 2 CH à á ⇒ tan(C 1 K H) = = 2 ⇒ ((ABC); (ACC 1 A 1 )) = arctan 2. HK  Bài 7.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AD = DC, AB = 2AD, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh 2a và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và S A theo a. http://boxmath.vn/ 30 Giải: p Gọi M là trung điểm AB, H là trung điểm BC . Ta có SH ⊥BC ⇒ SH ⊥(ABCD), SH = a 3. Tứ giác AMCD là hình vuông nên CM = AM = MB. Suy ra 4CMB vuông cân. p p p Do đó CM = a 2, AB = 2a 2, CD = a 2. p (AB + CD).CM 1 = 3a2 . Thể tích VS.ABCD = SH.S ABCD = 3a3 . 2 3 Kẻ đường thẳng ∆ đi qua A , ∆//BC. Hạ H I ⊥∆ (I ∈ ∆). Diện tích S ABCD = Suy ra BC//(S AI). Do đó d(BC, S A) = d(BC, (S AI)) = d(H, (S AI)). Hạ HK ⊥SI (K ∈ SI). Suy ra HK ⊥(S AI). Do đó d(H, (S AI)) = HK. Ta có CM = AM = MB nên tam giác ACBpvuông tại C . Suy ra H I = AC = 2a. Do đó d(BC, S A) = HK = p H I.SH H I 2 + SH 2 = 2 21a . 7  Bài 7.3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AB. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 45 o . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM theo a. Giải: Gọi H, K lần lượt là trung điểm AB, BM . Ta có SH ⊥(ABC), HK k AM p AM a 3 = . 2 4 p 1 a2 3 1 a3 Diện tích S ABC = AM.BC = . Thể tích VS ABC = SH.S ABC = . 2 4 3 16 Gọi N là trung điểm AC ⇒ MN k AB ⇒ ABk(SMN) ⇒ d(AB, SM) = d(AB, (SMN)) = d(H, (SMN)). ƒ = 45 o nên SH = HK = suy ra HK ⊥BC ⇒ SHK Gọi I là giao điểm của CH là MN . Suy ra I là trung điểm của CH và p MN ⊥CH. 1 2 Hạ H J ⊥SI ⇒ H J ⊥(SMN) ⇒ d(H, (SMN)) = H J. Ta có H I = CH = p a 6 . nên d(AB, SM) = H J = p = 8 H I 2 + SH 2 a 3 4 H I.SH  Bài 7.4. ƒ = α với cos α = 3 , cạnh Cho hình hộp đứng ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 có đáy là hình thoi cạnh a, BAD 4 −−→ −−→ 0 0 bên A A = 2a. Gọi M là điểm thỏa mãn DM = k.D A và N là trung điểm của cạnh A B . Tính 0 thể tích khối tứ diện C 0 MD 0 N theo a và tìm k để C 0 M ⊥D 0 N. Giải: 1 3 1 3 1 2p r 1 1 a3 9 a3 7 = .2a. .a.a. sin α = 1− = . 3 2 3 16 12 −−→ − −−→ − −−→ → * Đặt AB = → x , AD = −y , A A 0 = → z . Ta có −−0−→ −−0−→0 −−− → −−→ −−→ −−−→ −−−→ −x − → −z − k→ −y − −y + 1 → −x . 0 C M = C D + D D + DM = −→ D 0 N = D 0 A 0 + A 0 N = −→ 2¶ µ ¡→ ¢ 1→ −−0−→ −−− → − → − → − − → − 0 0 0 Khi đó C M ⊥D N ⇔ C M.D N = 0 ⇔ x + k y + z x − y =0 2 µ ¶ µ ¶ ¯ − ¯2 1 ¯− ¯¯2 k −x → −y = 0 ⇔ 1 a2 − ka2 + k − 1 .a.a. 3 = 0 ⇔ k = − 2 . ⇔ ¯→ x − k¯→ y¯ + −1 → 2 2 2 2 4 5 * Ta có VC0 MD 0 N = d(M, (A 0 B0 C 0 D 0 )).S C0 ND = d(M, (A 0 B0 C 0 D 0 )). S ABCD http://boxmath.vn/  31 Bài 7.5. p Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 có AB = a, AD = a 2, A A 0 = 2a. Gọi M là điểm thỏa −−→ −−→ mãn DM = k.D A và N là trung điểm của cạnh A 0 B0 . Tính thể tích khối tứ diện C 0 MD 0 N theo a và tìm k để C 0 M ⊥D 0 N. Giải: p p ¢ ¢ 1 1 ¡ 1 ¡ 1 1 a3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ta có V = d M, (A B C D ) .S C ND = d M, (A B C D ) . S ABCD = .2a. .a.a 2 = . 3 3 2 3 2 3 − − → −−→ → − − → −y , A A 0 = → −z . Đặt AB = −x , AD = → −−−→ −−−→ −−−→ −−→ −−→ −−−→ −−−→ −x . −x − → −z − k→ −y − −y + 1 → Ta có C 0 M = C 0 D 0 + D 0 D + DM = −→ D 0 N = D 0 A 0 + A 0 N = −→ 2 µ ¶ ¡− −−−→ −−−→ −y + → −z ¢ 1 → −x − → −y = 0 Khi đó C 0 M ⊥D 0 N ⇔ C 0 M.D 0 N = 0 ⇔ → x + k→ 2 ¯ − ¯2 1 1 1 ¯− ¯¯2 x − k¯→ y ¯ = 0 ⇔ a2 − 2ka2 = 0 ⇔ k = .  ⇔ ¯→ 2 2 4 C 0 MD 0 N Bài 7.6. p Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 3, tam giác SBC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SBC) một góc bằng 60 o . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Giải: Vì (SBC)⊥(ABCD), CD ⊥BC, CD ⊂ (ABCD) nên CD ⊥(SBC) ⇒ ƒ DSC = (SD; (SBC)) = 60 o p ⇒ SC = CD. cot 60 o = a. Suy ra SB = a p2. Kẻ SH ⊥BC ⇒ SH ⊥(ABCD). p a3 6 1 . 3 3 3 ƒ Kẻ SK ⊥BD. Khi đó hình chiếu HK ⊥BD. Suy ra (SBD, ABCD) = SK H. p 2 SB 2a a 2 Từ tam giác vuông SBC ta có BH = = p ⇒ HK = BH. sin 45 o = p . BC 3 3 ƒ Suy ra ∆SHK vuông cân tại H . Do đó SK H = 45 o . Vậy (SBD, ABCD) = 45 o . a 2 Từ tam giác SBC vuông ta có SH = p . Suy ra VS ABCD = SH.S ABCD =  Bài 7.7. Cho hình chóp S.ABCD có SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thoi ƒ = 120 o . Đường thẳng S A tạo với mặt phẳng (SBD) một góc bằng α với cot α = 3. cạnh a có BAD Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (S AC) theo a. Giải: ƒ = 120 o Gọi O = AC ∩ BD. Từ giả thiết suy ra AC ⊥(SBD) tại O nên ƒ ASOp= (S A; (SBD) p = α. BAD a2 3 a 3 a và DO = , AO = . 2 2 p 2 p 3a a 3 Do đó SO = AO. cot α = ⇒ SD = SO 2 − OD 2 = p . 2 2 p 3 3 1 a a 2 Suy ra VS ABCD = SD.S ABCD = p = . 3 4 2 2 Kẻ DH ⊥SO. Vì AC ⊥(SBD) nên AC ⊥DH p . Suy ra DH ⊥(S AC) (1) a 2 Ta có 4SDO vuông tại D nên DH = (2) 2 Vì O là trung điểm BD nên d(B; (S AC)) =pd(D; (S AC)) (3) a 2 Từ (1), (2) và (3) ta suy ra d(B; (S AC)) = . 2 ⇒ƒ ADC = 60 o ⇒ 4 ADC đều cạnh a. Suy ra S ABCD = 2S ADC = http://boxmath.vn/  32 Bài 7.8. p Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (ABkCD), AB = 2CD = 4a, BC = a 10. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt bên S AB là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và BC . Giải: Gọi H là hình chiếu của C trên AB; M, N là trung điểm của AB, CD . AB − CD = a ⇒ CH = 3a ⇒ OM = 2a, ON = a nên ∆O AB vuông cân. 2 p p p 1 Suy ra O A = OB = 2a 2. Do đó SO = OB = 2a 2. Suy ra VS.ABCD = SO.S ABCD = 6a3 2. 3 á á BC kDM nên (SD, BC) = (SD, DM) = α ∈ [0, π2 ]. p p p p Ta có DM = BC = a 10, SD = SO 2 + OD 2 = a 10, SM = 2a 3. ƒ = 2 . Vậy cos α = 2 . Suy ra cos SDM 5 5 Ta có HB =  Bài 7.9. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có AC = a, BC = 2a, ƒ ACB = 120 o và đường thẳng A 0 C tạo với mặt phẳng (ABB0 A 0 ) góc 30 o . Gọi M là trung điểm BB0 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, CC 0 theo a. Giải: 0 0 à Kẻ CH ⊥ AB. Vì A A ⊥(ABC) nên A A ⊥CH ⇒ CH ⊥(ABB0 A 0 ) ⇒ C A 0 H = (A 0 C, (ABB0 A 0 )) = 30 o . p Sử dụng định lí cosin và công thức diện tích cho ∆ ABC ta có AB = A 7, r r r 2S ABC A.2A. sin 120 o = =A p AB A 7 p 3 3 . ⇒ C A 0 = 2CH = 2A ⇒ A A 0 = A 0 C 2 − AC 2 = A 7 r 7 p p 2 3 5 a 3 a 105 . = . Thể tích lăng trụ là V = A A 0 .S ABC = a 7 2 14 0 Mặt phẳng (ABB0 A 0 ) chứa AM và song r song CC p 3 a 21 ⇒ d(AM, CC 0 ) = d(C, (ABB0 A 0 )) = CH = a = 7 7 CH = 5 . 7  Bài 7.10. p Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, góc giữa hai mặt phẳng (S AC) và (ABCD)bằng 60 o . Gọi H là trung điểm của AB. Biết mặt bên S AB là tam giác cân tại đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHC. Giải: Từ giả thiết suy ra SH ⊥(ABCD). Vẽ HF ⊥ AC (F ∈ AC) ⇒ SF ⊥ AC p (đlí ba đường vuông góc). 1 2 a 2 ƒ Suy ra SF H = 60 o . Kẻ BE ⊥ AC (E ∈ AC). Khi đó HF = BE = p . 2 3 p a 2 1 a3 Ta có SH = HF. tan 60 o = . Suy ra VS.ABCD = SH.S ABCD = . 2 3 3 Gọi J, r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC . p AH.HC.AC AH.HC.AC 3a 3 Ta có r = = = p . Kẻ đường thẳng ∆ qua J và ∆kSH. 4S AHC 2S ABC 4 2 Khi đó tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHC là giao điểm của đường trung trực đoạn SH và ∆ trong mặt s phẳng (SH J). p Ta có I H = I J 2 + JH 2 = http://boxmath.vn/ SH 2 + r 2 . Suy ra bán kính mặt cầu là R = a 4 r 31 . 32  33 Bài 7.11. ƒ=à Cho hình hộp ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a > 0 và BAD D A A0 = 0 AB = 60 o . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A A 0 , CD. Chứng minh MN k(A 0 C 0 D) và tính ƒ A cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng MN và B0 C. Giải: 1 2 0 0 0 0 I, A 0 D) á Suy ra MN k A I . Do đó MN k(D A C ). Vì MN k AI, B0 C k A 0 D nên (MN, B0 C) = (Aá Gọi I là trung điểm DC 0 . Vì N I kCC 0 và N I = CC 0 nên N I = M A 0 và N I k M A 0 . (1) p Sử dụng giả thiết và định lí cosin cho các tam giác p ta thu được A D = a, DC = A C = a 3. 02 2 0 2 0 02 DC 5a a 5 A D +A C − = ⇒ A0 I = . Suy ra A 0 I 2 = 2 4 4 2 0 2 0 2 2 A D + A I − DI 3 ƒ Trong 4 A 0 D I ta có cos D A0 I = = (2) p 2A 0 D.A 0 I 2 5 p 3 3 5 ƒ Từ (1) và (2) suy ra cos(MN, B0 C) = | cos D A0 I | = p = . 10 2 5 0 0 0 0  Bài 7.12. Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (S AC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có S A = SB = p SC = 2a, AB = 3a, BC = a 3 (a > 0). Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a. Giải: Kẻ SH ⊥ AC . Do S A = SC nên H là trung điểm AC (1) Vì (S AC)⊥(ABC) nên SH ⊥(ABC) ⇒ H A = HC = HB (2) Từ (1) và (2) suy ra 4 ABC vuông tại B có H là tâm đường tròn nội tiếp. p p p Do đó AC = AB2 + BC 2 = 2 3a ⇒ SH = S A 2 − AH 2 = a. SH là trục đường tròn ngoại tiếp 4 ABC , trong mặt phẳng (S AC) đường trung trực của S A cắt SH tại O là tâm mặt cầu. Gọi K là trung điểm S A . Khi đó hai tam giác vuông SOK và S AH SK.S A SO SK = . Suy ra bán kính mặt cầu R = SO = = 2a. S A SH SH Suy ra diện tích mặt cầu là S = 4πR 2 = 16πa2 . đồng dạng nên  Bài 7.13. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O 0 ; OO 0 = a. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy tâm O, điểm A 0 thuộc đường tròn đáy tâm O 0 sao cho O A , OB vuông góc với nhau và A A 0 là đường sinh của hình trụ. Biết góc giữa đường thẳng AO 0 và mặt phẳng (A A 0 B) bằng 30 o . Tính thể tích khối trụ theo a. Giải: Gọi B0 thuộc đường tròn (O 0 ) sao cho BB0 k A A 0 ; M là trung điểm của A 0 B0 . 0 AM = 30 o . à Ta có 4 A 0 B0 O 0 vuông cân tại O 0 . Suy rapO 0 M ⊥ A 0 B0 . Do đó O 0 M ⊥(A A 0 B). Suy ra O p O0 M 2 0 0 0 0 0 Ta có AO = = 2.O M. Mà O M = O A nên A O = 2.O 0 A 0 . o sin 30 2 Trong tam giác A A 0 O ta có AO 0 2 = A A 0 2 + A 0 O 0 2 ⇔ O 0 A 0 = a. Vậy V = πa3 . 0  Bài 7.14. Cho hình lăng trụ ABC.A 1 B1 C1 có A A 1 = 3a, BC = a, A A 1 ⊥BC, khoảng cách giữa hai đường thẳng A A 1 và B1 C bằng 2a (a > 0). Tính thể tích khối lăng trụ theo a. Giải: 1 3a2 Từ giả thiết suy ra BB1 C là tam giác vuông tại B và S BB1 C = BB1 .BC = . 2 2 http://boxmath.vn/ 34 Mặt phẳng (BB1 C) chứa B1 C và song song với A A 1 nên d(A A 1 ; B1 C) = d(A ; BB1 C) = 2a. 1 VA.BB1 C = d(A ; BB1 C).S BB1 C = a3 . 3 Vì chung đáy và chung đường cao nên V lăng trụ = 3.VB1 .ABC = 3.VA.BB1 C = 3a3 Suy ra  Bài 7.15. Cho hình chóp S.ABC có SC ⊥(ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Biếtr rằng AB = a, AC = p a 3 (a > 0) và góc giữa hai mặt phẳng (S AB), (S AC) bằng α với tan α = 13 . Tính thể tích 6 khối chóp S.ABC theo a. Giải: Gọi H, K là hình chiếu của C lên S A, SB. Ta chứng minh được CK ⊥(S AB), S A ⊥(CHK). ƒ Suy ra 4CHK K và S A ⊥K H . Do đó α = CHK. r vuông tại r Từ tan α = 13 ⇒ sin α = 6 CK 2 13 13 ⇔ = 19 CH 2 19 (1) 1 1 1 3a2 x2 2 Đặt SC = x > 0. Trong tam giác vuông S AC ta có = + ⇒ CH = 2 . CH 2 C A 2 CS 2 3a + x2 2 2 2a x Tương tự, trong tam giác vuông SBC ta có CK 2 = 2 2 . 2a + x 2(3a2 + x2 ) 13 Do đó từ (1) ⇒ = ⇔ x = 6a, vì x > 0. 3(2a2 + x2 ) 19 p 1 1 1 Suy ra VS ABC = SC.S ABC = SC. AB.BC = 2 a3 . 3 3 2  Bài 7.16. b = 90 o , AB = AD = 2a, Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông, Ab = D CD = a, góc giữa mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SCD) bằng 60 o , mặt bên S AD là tam giác cân tại S , mặt phẳng (S AD) vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) theo a. Giải: Vì ∆S AD cân tại S , nên gọi H là trung điểm của AD thì SH ⊥ AD , mặt khác (S AD) ⊥ (ABCD) nên SH là đường cao hình chóp S.ABCD . ƒ Kẻ HK ⊥BC thì SK ⊥BC , tức SK H là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD). p ƒ Suy ra: SK H = 60 o Ta có: SH = HK. t an60 o = HK 3. p p 3a 5 . 5 p p 1 1 3a3 15 3a 15 Suy ra: SH = Do đó : VS.ABCD = .S ABCD .SH = (AB + CD) .AD.SH = 5 3 6 5 Kẻ H I ⊥SK(I ∈ SK), suy ra: H I ⊥ (SBC).Gọi E là giao điểm của AD và BC . 2 2 2 Dễ thấy: DE = HE ⇒ d (D; (SBC)) = d (H; (SBC)) = H I 3 3 p 3 p 1 1 1 250 9a 2 3a 2 Do = + = ⇒ HI = . Vậy d (D; (SBC)) = . 10 5 H I 2 SH 2 HK 2 135a2 Dễ thấy BC = a 5 và do HK.BC = 2S HBC , S HBC = S ABCD − (S H AB − S HCD ) nên HK =  Bài 7.17. Cho hình chóp S.ABCD ,đáy là hình chữ nhật có AB = 3, BC = 6,mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt phẳng đáy,các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) các góc p bằng nhau.Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng S A và BD bằng 6.Tính thể tích khối chóp S.ABCD và côsin góc giữa hai đường thẳng S A và BD . Giải: http://boxmath.vn/ 35 Hạ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) (do (S AB) ⊥ (ABCD) = AB) Kẻ HK ⊥CD ⇒ tứ giác HBCK là hình chữ nhật. ƒ = ((SBC) , (ABCD)), CD ⊥ (SHK) ⇒ SK ƒ Ta thấy BC ⊥ (S AB) ⇒ SBH H = ((SCD) , (ABCD)) ƒ ƒ theo gt SBH = SK H ⇒ ∆SHB = ∆SHK (gcg) ⇒ HB = HK = BC = 6 do đó A là trung điểm HB. Ta thấy ABDK là hình bình hành⇒ BD k AK ⇒ BD k (S AK) p mà S A ∈ (S AK) ⇒ d (BD, S A) = d (BD, (S AK)) = d (D, (S AK)) = d (H, (S AK))= 6 = h 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + = + + h2 HS 2 H A 2 HK 2 6 HS 2 9 36 1 1 ⇒ SH 2 = 36 ⇒ SH = 6⇒ VS.ABCD = SH.dt ABCD = .6.3.6 = 36 (đvị dt). 3 3 Gọi β là góc giữa hai đường thẳng BD và S A ⇒ β = (BD, S A) = (AK, S A) p p Ta có SK = 6 2, S A = AK = 3 5. AS 2 + AK 2 − SK 2 45 + 45 − 72 1 ƒ Trong tam giác S AK : cos S AK = = p p = 2AS.AK 2.3 5.3 5 5 1 ƒ Vậy β = S AK = arccos 5 Do tam diện H.S AK vuông tại H ⇒  Bài 7.18. p Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, S A = SB = a, SD = a 2 và mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD . Giải: Theo giả thiết (ABCD) ∩ (SBD) theo giao tuyến BD . Do đó nếu dựng AO ⊥(SBD) thì O ∈ BD . Mặt khác AS = AB = AD ⇒ OS = OB = OD hay SBD là tam giácsvuông tại S . p p p Từ đó: BD = SB2 + SD 2 = a2 + 2a2 = a 3 AO = p AB2 − OB2 = a2 − 3a2 a = 4 2 Suy ra thể tích khối chóp S.ABD được tính bởi: p p a a3 2 1 1 1 VS.ABD = VA.SBD = S SBD .AO = SB.SD.AO = a.a 2. = 3 6 6 2 12 p a3 2 ⇒ VS.ABCD = 2VS.ABD = (đvtt). 6 Trong 4SBD dựng OH ⊥SD tại H (1), nên H là trung điểm của SD . Theo chứng minh trên AO ⊥(SBD) ⇒ AO ⊥OH (2) (1) và (2) chứng tỏ OH là đoạn vuông góc chung của AC và SD 1 2 Vậy d(AC, BD) = OH = SB = a 2  Bài 7.19. Cho lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu của A trên (A 0 B0 C 0 ) trùng với trọng tâm G của 4 A 0 B0 C 0 . Mặt phẳng (BB0 C 0 C) tạo với (A 0 B0 C 0 ) góc 60 o . Tính thể tích lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 theo a. Giải: 0 0 0 Gọi M, M lần lượt là trung điểm BC, B C ⇒ A 0 ,G, M 0 thẳng hàng và A A 0 M 0 M là hình bình hành. A 0 M 0 ⊥B0 C 0 , AG ⊥B0 C 0 ⇒ B0 C 0 ⊥(A A 0 M 0 M). Suy ra góc giữa (BCC 0 B0 ) và (A 0 B0 C 0 ) là góc giữa 0 M A = 60 o . à A 0 M 0 và MM 0 bằng M p p x 3 x 3 = A0 M 0 , A0G = . 2 p p p 3 a 3 a x 3 a 3 Trong4 A A 0 G vuông có AG = A A 0 sin 60 o = ; A 0 G = A A 0 cos 60 o = = ⇔x= . 2 2 3 2 Đặt x = AB. Ta có4 ABC đều cạnh x có AM là đường cao. ⇒ AM = http://boxmath.vn/ 36 p p à p !2 p 2 2 1 x 3 3 3 3a 3 a S 4 ABC = AB.AC. sin 60 o = = = . 2 4 4 2 16 p p a 3 3a2 3 9a3 VABC.A 0 B0 C 0 = AG.S ∆ ABC = = . 2 16 32  Bài 7.20. Đề thi thử ĐH lần 1 khối D-2012-THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu-Đồng Tháp Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc ƒ ABC = 600 , hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (ABCD) bằng 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng S A , CD theo a. Giải: S K D A H M I C B Gọi I là tâm hình thoi ABCD , khi đó (S AC) ∩ (SBD) = SI . Vì hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy ABCD nên suy ra SI ⊥ mp(ABCD). 0 ƒ 4 ABC cân đỉnh B và p ABC = 60 nên 4 ABC là tam giác đều cạnh a. Do đó gọi M là trung điểm a 3 AB thì BI = CM = . 2 Kẻ I H ⊥ AB tại H , thì ta có SH ⊥ AB. Bởi vậy: p 1 a 3 0 á  (mp(S AB); mp(ABCD)) = SH I = 30 và I H = CM = 2 4 p a 3 a I = SI = I H tan SH tan 300 = 4p p4 1 1 1 a 3 a a3 3 . = . Vậy: VS.ABCD = dt(ABCD).SI = .AC.BI.SI = .a. 3 3 3 2 4 24 Kẻ IK ⊥ SH tại K , khi đó IK ⊥ mp(S AB). Trong tam giác vuông SI H , ta có: p a 3 Suy ra: IK = . 8 Do nên 1 1 16 16 64 1 = + = 2+ 2= 2 2 2 2 IK SI IH a 3a 3a CD ∥ mp(S AB) d(SpA; CD)p= d(CD; mp(S AB)) = d(C; mp(S AB)) = 2d(I; mp(S AB)) = 2IK a 3 a 3 Vậy: d(S A; CD) = 2 = 8 p 4 p a3 3 a 3 Kết luận: VS.ABCD = ; d(S A; CD) = 24 4 http://boxmath.vn/  37 Bài 7.21. Đề thi thử ĐH QX 4 p Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo AC = 2 3a, BD = 2a và cắt nhau tại O ; hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết p khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (S AB) bằng theo a. Giải: a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD 4 S H D A O M C B Vì mp(S AC) ∩ mp(SBC) = SO và mp(S AC) ⊥ mp(ABCD), mp(SBD) ⊥ mp(ABCD) nên suy ra SO ⊥ mp(ABCD) Kẻ OM ⊥ AB tại M , kẻ OH ⊥ SM tại H . Khi đó AB ⊥ mp(SOM) =⇒ AB ⊥ OH , do đó OH ⊥ mp(S AB). p a 3 Bởi vậy: OH = d(O; mp(S AB)) = . 4 1 1 1 1 1 4 = + = 2+ 2= 2 2 2 2 OM OA OB 3a a 3a 1 1 1 1 1 1 16 4 4 Trong tam giác vuông SOM , ta có: = + =⇒ = + = − = . OH 2 OM 2 SO 2 SO 2 OH 2 OM 2 3a2 3a2 a2 a Hay: SO = . 2 p p 1 1 1 a3 3 a3 3 Vậy: VS.ABCD = .dt(ABCD).SO = . .AC.BD.SO = . Kết luận: VS.ABCD =  3 3 3 3 3 Trong tam giác vuông O AB, ta có: Bài 7.22. Đề thi ĐH – CĐ 2012 – THPT Đô Lương 4 – Nghệ An Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D . Biết AB = 2a, AD = a, DC = a(a > 0) và S A vuông góc với mặt đáy (ABCD). Góc tạo bởi giữa mặt phẳng (SBC) với đáy bằng 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mp(SCD) theo a. Giải: á Từ giả thiết ta có BC ⊥ AC và BC ⊥ S A , nên BC ⊥ mp(S AC). Do vậy: ((SBC); (ABCD)) = ƒ SC A = 0 45 . p 0 ƒ 2 Từ S A ⊥ mp(ABCD) suy ra 4S AC vuông tại A , kết hợp với SC A = 45 ,ta có S A = AC = a p a3 2 . 2 Kẻ AH ⊥ SD tại H , dễ dàng chứng minh được AH ⊥ mp(SCD). Trong tam giác S AD vuông tại 1 3 1 6 Vậy: VS.ABCD = dt(ABCD).S A = .(AB + CD).AD.S A = http://boxmath.vn/ 38 p 1 1 3 a 6 1 = + = . Suy ra: AH = A , ta có: Do AB ∥ CD =⇒ AB ∥ mp(SCD), nên: 3 AH 2 S A 2 AD 2 2a2 p a 6 d(B; mp(SCD)) = d(A; mp(SCD)) = AH = 3 p p a3 2 a 6 Kết luận:VS.ABCD = và d(B; mp(SCD)) = 2 3 S H A B C D  Bài 7.23. Đề thi thử ĐH – CĐ 2012 – THPT Triệu Sơn 4 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên tạo với mặt đáy một góc 600 . Mặt phẳng (P) chứa AB và tạo với mặt đáy một góc 300 cắt SC , SD lần lượt tại M và N . Tính thể tích khối chóp S.ABMN . Giải: S N H M A D L K O C B Gọi O là tâm hình vuông ABCD thì SO ⊥ mp(ABCD). Gọi K , L lần lượt là trung điểm AB, CD , ƒ á gọi H là trung điểm SL, khi đó AB ⊥ mp(SK L). Do đó: SK H = (mp(S AB); mp(ABCD)) = 600 . http://boxmath.vn/ 39 ƒ Hình chóp S.ABCD là hình chóp đềupnên SK p = SL, kết hợp với SK H = 600 ⇒ tam giác SK L là a 3 KL 3 ƒ = và SH ⊥ K L, HK L = 300 . 2 2 á ƒ Từ đó ta có mp(ABH); mp(ABCD) = HK L = 300 , hay mp(P) trùng với mp(ABH). tam giác đều cạnh a. Bởi vậy HK = Vì AB ∥ CD và H là trung điểm SL nên mặt phẳng (P) cắt SC , SD lần lượt tại M và N thì CD a = . Mặt khác, do AB ⊥ mp(SK L) nên 2 2 HK ⊥ AB, HK ⊥ CD . p p 1 1 a a 3 a a3 3 1 . = . Vậy: VS.ABMN = .dt(ABMN).SH = .(AB + MN).HK.SH = .(a + ). 3 6 6 2 2 2 16 p a3 3 Kết luận: VS.ABMN =  16 M , N lần lượt là trung điểm SC , SD . Suy ra MN = Bài 7.24. Đề thi thử ĐH QX 4 p Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo AC = 2 3a, BD = 2a và cắt nhau tại O ; hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết p khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (S AB) bằng theo a. Giải: a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD 4 S H D A O M C B Vì mp(S AC) ∩ mp(SBC) = SO và mp(S AC) ⊥ mp(ABCD), mp(SBD) ⊥ mp(ABCD) nên suy ra SO ⊥ mp(ABCD) Kẻ OM ⊥ AB tại M , kẻ OH ⊥ SM tại H . Khi đó AB ⊥ mp(SOM) =⇒ AB ⊥ OH , do đó OH ⊥ mp(S AB). p a 3 . Bởi vậy: OH = d(O; mp(S AB)) = 4 1 1 1 1 1 4 = + = 2+ 2= 2 2 2 2 OM OA OB 3a a 3a 1 1 1 1 1 1 16 4 4 Trong tam giác vuông SOM , ta có: = + =⇒ = + = 2 − 2 = 2. 2 2 2 2 2 2 OH OM SO SO OH OM 3a 3a a a Hay: SO = . 2 p p 1 1 1 a3 3 a3 3 Vậy: VS.ABCD = .dt(ABCD).SO = . .AC.BD.SO = . Kết luận: VS.ABCD =  3 3 3 3 3 Trong tam giác vuông O AB, ta có: http://boxmath.vn/ 40 Bài 7.25. Đề thi thử ĐH – CĐ 2012 – THPT Chuyên Nguyễn Huệ p ƒ = 600 và Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. S A = a, SB = a 3, BAD mp(S AB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M , N là trung điểm của AB, BC . Tính thể tích tứ diện NSDC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN . Giải: S K A L D H I M N B C p Từ AB = 2a, S A = a, SB = a 3 ⇒ 4S AB vuông tại S . Kẻ SH ⊥ AB tại H , do mp(S AB) ⊥ mp(ABCD) nên suy ra SH ⊥ mp(ABCD) ⇒ SH là đường cao của tam giác vuông p S AB.pTừ đó: S A.SB a.a 3 a 3 = = . AB 2a 2 p 2 1 1 a 3 ƒ = .2a.a. sin 600 = Mặt khác: dt(4CDN) = .CD.CN. sin DCN . 2 2 2 p p 1 1 a2 3 a 3 a3 Do vậy: VNSDC = VS.CDN = .dt(4CDN).SH = . . = . 3 3 2 2 4 Gọi K là trung điểm AD , L là trung điểm AK , I là trung điểm ML. Do S A = SM = a và SH ⊥ AB SH = nên suy ra H là trung điểm AM . p ƒ = 3a2 ⇒ BK = a 3. Ta có: BK 2 = BA 2 + AK 2 − 2.BA.AK. cos BAK Từ đó: BK 2 + AK 2 = 3a2 + a2 = 4a2 = AB2 ⇒ 4 ABK vuông tại K ⇒ BK ⊥ AD ⇒ ML ⊥ AD ⇒ ML ⊥ HI Từ ML ⊥ H I và ML ⊥ SH ⇒ MLp ⊥ SI . Bởi vậy: ƒ= cos SML MI ML BK 3 = = = SM 2SM 4SM 4 p á á ƒ , với cos SML ƒ = 3. Vì ML ∥ BK ∥ DN nên (SM; DN) = (SM; ML) = SML 4 p a3 á ƒ , với cos SML ƒ = 3. Kết luận: VNSDC = và (SM; DN) = SML 4 4  Bài 7.26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, điểm M nằm trên p cạnh SC sao cho MC = 2MS , AB = a, BC = 2AD = 2a 3. Tính thể tích khối chóp M.ABCD theo a. Biết rằng S A = SB = SC và góc tạo bởi cạnh bên SC và mặt đáy là 600 . http://boxmath.vn/ 41 Giải: S M N B C H D A Gọi N là trung điểm BC thì DN ⊥ BC và DN = AB = a, CN = p DN 2 + CN 2 = a2 + (a 3)2 = 4a2 ⇒ CD = 2a ⇒ BD = 2a. p BC = a 3. Bởi vậy: CD 2 = 2 Gọi H là trung điểm BD , do tam giác ABD vuông tại A nên H A = HB = HD , kết hợp với giả thiết S A = SB = SD suy ra SH ⊥ mp(ABCD). Từ đó: á á ƒ = 600 . = (SC; CH) = SCH (SC; mp(ABCD)) p BC 2 + DC 2 BD 2 − = 7a2 ⇒ CH = a 7. 2 p p 4 ƒ = a 7. tan 600 = a 21. Do đó: SH = CH tan SCH Mặt khác: CH 2 = Vì MC = 2MS nên: p 2 2 2a 21 d (M; mp(ABCD)) = .d (S; mp(ABCD)) = .SH = . 3 3 3 Bởi vậy: p 1 1 (AD + BC).AD 2 VM.ABCD = .dt(ABCD).d (M; mp(ABCD)) = . . .SH = a3 7 Kết luận:VM.ABCD = 3 3 2 3 p a3 7  Bài 7.27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D . Biết AB = 2a, AD = CD = a, S A = 3a(a > 0) và S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.BCD và tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) theo a. Giải: S B A D 1 2 Ta có: dt(4BCD) = .CD.AD = http://boxmath.vn/ C a2 . 2 42 1 a2 a3 .3a = . 3 2 2 1 3 Nên: VS.BCD = .dt(4BCD).S A = . Do  CD ⊥ S A CD ⊥ AD nên CD ⊥ SD . p p 1 a2 10 Mặt khác: SD = = a 10 ⇒ dt(4SCD) = .CD.SD = . 2 2 p 3VS.BCD 3a 10 Từ đó: d(B; mp(SCD)) = = dt(4SCD) 10 p 3 3a 10 a và d(B; mp(SCD)) = Kết luận:VS.BCD = 2 10 p S A 2 + AD 2  Bài 7.28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên p của hình chóp bằng nhau và bằng a 2. 1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 2. Gọi M , N , E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD , SC , SD . Chứng minh SN ⊥ mp(MEF) Giải: S F K E N C D I H A B p 1. Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD . Vì S A = SB = SC = SD = a 2 nên suy ra SI ⊥ mp(ABCD). p p p p a 5 AC Ta có: AC = BD = AB2 + BC 2 = (2a)2 + a2 = a 5 ⇒ I A = = . p 2 a 3 Trong tam giác vuông SI A , ta có: SI = S A 2 − I A 2 = 2 Do vậy: p 1 1 a3 3 VS.ABCD = .dt(ABCD).SI = .AB.BC.SI = 3 3 3 p 2 2. Gọi K là giao điểm của EF với SN thì K là trung điểm của SN . p Ta có: SM 2 = S A 2 − AM 2 = (a 2)2 − a2 = a2 ⇒ SM = MN = a ⇒ tam giác MSN cân đỉnh M . Do vậy: MK ⊥ SN . Mặt khác, tam giác SCD cân đỉnh S và N là trung điểm CD nên suy ra SN ⊥ CD . Mà EF ∥ CD ⇒ SN ⊥ EF . http://boxmath.vn/ 43 Từ  SN ⊥ MK SN ⊥ EF ⇒ SN ⊥ mp(MEF) p a3 3 Kết luận: VS.ABCD = 3  Bài 7.29. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AD = 4a, các cạnh bên của p hình chóp bằng nhau và bằng a 6. Tìm côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích S.ABCD lớn nhất. Giải: S D C O A B p Gọi O là tâm hình bùnh hành ABCD . Do S A = SB = SC = SD = a 6 nên suy ra SO ⊥ mp(ABCD). p Từ S A = SB = SC = SD = a 6 và SO ⊥ mp(ABCD), suy ra O A = OB = OC = OD ⇒ ABCD là hình chữ nhật. p p 16a2 + b2 . 2 p 2 2 2 2 16a + b 8a − b 8a2 − b2 Do vậy: SO 2 = S A 2 − O A 2 = 6a2 − = ⇒ SI = . 4 4 4 p 1 2 2 16a3 Từ đó: VS.ABCD = .AB.AD.SO = .2a.b. 8a2 − b2 ≤ .a.(b2 + 8a2 − b2 ) = . 3 3 3 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi b = 2a. Giả sử AB = b, khi đó BD = 16a2 + b2 ⇒ O A = Vậy thể tích S.ABCD lớn nhất khi AB = 2a, khi đó SO = a. Chọn hệ trục tọa độ Ox yz sao cho: O(0; 0; 0); S(0; 0; a); B(2a; a; 0); C(−2a; a; 0); D(−2a − a; 0). −−→ −−→ −−→ Ta SB(2a; a; −a), SC(h−2a; a; −ia), SD(−2a; −a; −a) h−−→có: i −−→ −−→ −−→ SB; SC = (0; 4a2 ; 4a2 ), SC; SD = (−2a2 ; 0; 4a2 ) − Từ đó ta tìm được vectơ pháp tuyến của mp(SBC) là → n (0; 1; 1), vectơ pháp tuyến của mp(SCD) → − là n (1; 0; −2). Góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là: |1.0 + 0.1 + (−2).1| 2 cos ϕ = p =p p 10 0 + 1 + 1. 1 + 0 + (−2)2 2 Kết luận: cos ϕ = p 10 http://boxmath.vn/  44 Bài 7.30. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A 0 B0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Điểm A 0 cách đều ba điểm A , B, C ; cạnh bên A A 0 tạo với mặt đáy một góc 600 . Tính thể tích khối lăng trụ và chứng minh mặt bên BCC 0 B0 là hình chữ nhật. Giải: C0 A0 M0 B0 C A H M B Gọi H là trọng tâm tam giác ABC , do tam giác ABC đều và A 0 A = A 0 B = A 0 C nên A 0 H ⊥ mp(ABC). Do đó: (A A 0á ; mp(ABC)) = à A 0 AH = 60 o . 2 3 Nên: A 0 H = AH tan à A 0 AH = .AM. tan 60 o = a p p p a2 3 a3 3 a3 3 Từ đó, ta có:VABC.A 0 B0 C0 = dt(4 ABC).A H = .a = . Vậy VABC.A 0 B0 C0 = 4 4 4 Gọi M , M 0 lần lượt là trung điểm BC , B0 C 0 , khi đó MM 0 ∥ BB0 ∥ A A 0 . 0 0 0 Tam ( giác ABC đều nên AM ⊥ BC . A H ⊥ mp(ABC) ⇒ A H ⊥ BC . Từ AM ⊥ BC A 0 H ⊥ BC ⇒ BC ⊥ A A 0 ⇒ BC ⊥ BB0 . Nên BCC 0 B0 là hình chữ nhật.  Bài 7.31. p ƒ = 600 . Cho hình hộp đứng ABCD.A 1 B1 C1 D 1 có các cạnh AB = AD = 2, A A 1 = 3 và góc BAD Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh A 1 D 1 và A 1 B1 . 1. Chứng minh rằng AC1 vuông góc với mặt phẳng (BDMN). 2. Tính thể tích khối chóp A.BDMN Giải: http://boxmath.vn/ 45 C1 D1 M F B1 N A1 C D E K A B ƒ = 600 nên ABCD là hình thoi và 1. Do hình bình hành ABCD có AB = AD = 2 và góc BAD BD ( = 2, BD ⊥ AC . BD ⊥ AC suy ra BD ⊥ AC1 (1). BD ⊥ A A 1 1 −−→ −−−→ ³−−−→ −−−→ −−→´ ³−−→ −−→ −−−→´ 1 −−→ −−→ 1 −−→ −−−→ Ta có: MD. AC1 = M A 1 + A 1 A + AD AB + AD + A A 1 = AD. AD + AD 2 − A A 1 2 = .2.2. cos 600 + 2 2 2 1 2 ¡p ¢2 .2 − 3 = 0 2 Suy ra AC1 ⊥ MD (2). Từ Từ (1) và (2) suy ra AC1 ⊥ mp(BDMN). 2. Gọi E là giao điểm của AC và BD , F là giao điểm của A 1 C1 và MN . Do BD ⊥ mp(ACC1 A 1 ) nên BD ⊥ EF , MN ⊥ EF . Kẻ A 1 K ∥ EI (K thuộc AC ) thì K là trung điểm AE Gọi I là giao điểm của A 1 K và AC1 ; H là giao điểm của AC1 và EF , thì I là trung điểm của AH . Trong tam giác A 1 AK vuông tại K , ta có: à p !2 ¶2 ¢ ¡p AE 2 3 15 2 A 1 K 2 = A 1 A 2 + AK 2 = A 1 A 2 + = 3 + = 2 4 4 p 15 Suy ra EF = A 1 K = 2 p 1 3 15 Từ đó dt(BDMN) = (BD + MN).EF = . 2 4 A A 1 .AK 3 Mặt khác AI = =p A1 K 15 6 Nên AH = 2AI = p 15 1 3 Vậy VA.BDMN = dt(BDMN).AH = 3 2 µ http://boxmath.vn/  46 Bài 7.32. Cho hình lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A 0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC . Một mặt phẳng (P) chứa BC và p a2 3 vuông góc với A A , cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng . Tính thể tích khối 8 0 0 0 lăng trụ ABC.A B C . 0 Giải: A0 B0 C0 H A B O M C Do tam giác ABC đều và hình chiếu của A 0 trùng với tâm O của tam giác ABC nên suy ra A0 A = A0B = A0C. Gọi M là trung điểm BC , H là hình chiếu của M trên A A 0 , khi đó mp(BCH) ⊥ A A 0 , suy ra mp(P) chính là mp(BCH). 0 AM nhọn, suy ra H nằm giữa A A 0 . dt(4BCH) = à Vì p hình chóp A 0 .ABC là hìnhpchóp đều nên A a2 3 1 a 3 = BC.HM =⇒ HM = 8 2 4 p 3a 2 2 AH = AM − HM = 4 p 2 a 3 Vì tam giác ABC đều cạnh a nên O A = AM = 3 3 Ta có 4 MH A v 4 A 0 O A nên HM AH HM.O A a 0 = =⇒ O A = = O A0 O A AH 3 p p a2 3 a a3 3 0 Vậy: VABC.A 0 B0 C0 = dt(4 ABC).A O = . = 4 3 12  Bài 7.33. Cho hình lập phương ABCD.A 1 B1 C1 D 1 có độ dài cạnh bằng a. Trên các cạnh AB và CD lấy lần lượt các điểm M , N sao cho BM = CN = x. Xác định vị trí điểm M sao cho khoảng cách a giữa hai đường thẳng A 1 C và MN bằng . 3 Giải: Do MN ∥ BC nên MN ∥ mp(A 1 BC). Kẻ MK ⊥ A 1 B với K nằm trên A 1 B, ⇒ MK ⊥ mp(A 1 BC). Bởi vậy: d(A 1 C; MN) = d(MN; mp(A 1 BC)) = d(M; mp(A 1 BC)) = MK http://boxmath.vn/ 47 Gọi I là giao điểm của AB1 với A 1 B, thì MK ∥ A 1 I và: p x p BM = a 2. = x 2 AB a p p a a 2 a Vì thế d(A 1 C; MN) = ⇐⇒ x 2 = ⇐⇒ x = 3 3 6 p a 2 Hay BM = 6 MK = AI. C1 D1 B1 A1 I N C D K A M B  Bài 7.34. p ƒ = 1200 . Gọi M là Cho lăng trụ đứng ABC.A 1 B1 C1 có AB = a, AC = 2a, A A 1 = 2a 5 và BAC trung điểm của cạnh CC1 . Chứng minh MB ⊥ M A 1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mp(A 1 BM). Giải: p −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−−→ −−→ −−→ −−→ −−−→ −−−−→ Ta có: MB. M A 1 = ( MC + AB − AC)( MC1 + C1 A 1 ) = − MC 2 − AB. AC + AC 2 = −(a 5)2 + a2 + (2a)2 = 0 ⇒ MB ⊥ M A 1 Kẻ CH ⊥ AB tại H thì CH ⊥ mp(ABA 1 ) p ƒ ⇒ d(M; mp(ABA 1 )) = CH = AC. sin H AC = a 3 p p 1 1 dt(4 ABA 1 ) = .AB.A A 1 = .a.2a 5 = a2 5 Bởi vậy: VABA 1 M = 13 dt(4 ABA 1 ).d(M; mp(ABA 1 )) = 2 2 p a3 15 3 p p p 2 + BC 2 = 2 + AB2 + AC 2 − 2AB.AC cos BAC ƒ = a 12 Ta có: MB = MC MC q MC 12 + C 1 A 21 = 3a p 1 ⇒ dt(4 M A 1 B) = .MB.M A 1 = 3a2 3 2 p 3VABA 1 M a 5 Từ đó: d(A; mp(A 1 BM)) = = dt(4 M A 1 B) 3 M A1 = http://boxmath.vn/ 48 C B A M H C1 B1 A1  Bài 7.35. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A 1 B1 C1 có đáy là tam giác đều cạnh 2a, điểm A 1 cách đều ba điểm A, B, C . Cạnh bên A 1 A tạo với mặt đáy góc α. Hãy tìm α, biết thể tích khối lăng trụ p ABC.A 1 B1 C 1 bằng 2 3a3 . Giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Do điểm A 1 cách đều ba điểm A, B, C và ABC là tam giác đều nên suy ra A 1 G ⊥ mp(ABC) à Bởi vậy: (A 1 A;á mp(ABC))p= (Aá 1 A; AG) = A 1 AG = α p (2a)2 3 = a2 3 4p VABC.A 1 B1 C1 2 3a3 ⇒ A1G = = p = 2a dt( a2 3 p 4 ABC) p 2 2a 3 AG = = 2a 33 3 2 Ta có: dt(4 ABC) = à Trong tam giác vuông A 1 G A , ta có: tan A 1 AG = http://boxmath.vn/ p A1G p = 3 ⇒ tan α = 3 ⇒ α = 600 AG 49 C1 A1 B1 M A C G B  Bài 7.36. p ƒ Cho lăng trụ đứng ABC.A 1 B1 C1 có các cạnh A A 1 = 3a, AB = a 3, AC = 2a và góc BC A = 600 . Gọi M là trung điểm cạnh BB1 , N là trung điểm cạnh A 1 B1 , G là trọng tâm tam giác BB1 C1 . Hãy tính thể tích khối tứ diện AMNG . Giải: 2 2 2 ƒ Ta có: AB = AC + BC − 2AC.BC. cos BC A ⇐⇒ BC 2 − 2a.BC + a2 = 0 ⇐⇒ BC = a Tam giác ABC có AC 2 = AB2 + BC 2 nên tam giác ABC vuông tại B ⇒ C1 B1 ⊥ mp(ABB1 A 1 ) Kẻ GH ⊥ BB1 (với H nằm trên cạnh BB1 ), khi đó GH ∥ C1 B1 . a Bởi vậy: GH ⊥ mp(ABB1 A 1 ) và GH = . 3 p p p 1 a 3 1 3a a 3 dt(4 AMN) = dt(ABB1 A 1 ) − dt(A A 1 N) − dt(B1 N M) − dt(ABM) = 3a.a 3 − .3a. − . . − 2 2 2 2 2 p 2 1 p 3a 9 3a .a 3. = 2 2 8 p p 1 1 9 3a2 a a3 3 Vậy: VAMNG = dt(4 AMN).GH = . . = 3 3 8 3 8 http://boxmath.vn/ 50 C1 A1 N B1 G H M A C B  Bài 7.37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, B. Hai mặt phẳng (S AB), (S AD) p cùng vuông góc với đáy. Biết AB = 2a, S A = BC = a, CD = 2a 5. Tính thể tích khối chóp S.ABCD . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ACD . Giải: S I O R A E 4a 2a B a J D p 2a 5 C Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD tại E , suy ra tứ giác ABCE là hình chữ nhật nên AE = a và 4CED vuông tại E . Theo định lí Pitago ta có: DE 2 = CD 2 − CE 2 = 20a2 − 4a2 = 16a2 ⇒ DE = 4a. Vậy AD là đáy lớn của hình thang và AE = a + 4a = 5a. Diện tích hình thang ABCD là S ABCD = http://boxmath.vn/ (BC + AD)AB (a + 5a).2a = = 6a2 (đvdt). 2 2 51 1 3 Tam giác ACD vuông ở C , trong mp(S AD) gọi O là giao của đường thẳng vuông góc với S A tại Thể tích khối chóp S.ABCD là : V = S A.S ABCD = 2a3 . trung điểm I của S A và đường thẳng vuông góc với AD tại trung điểm J của AD suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện p S ACD (O là trung điểm của SD ), p suy ra: R = O A = OI 2 + AI 2 = a 26 . 2  Bài 7.38. Cho hình lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnh a, đỉnh A 0 cách đều các điểm A, B, C . Mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với A A 0 cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện p tích bằng a2 3 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 . 8 Giải: A0 C0 B0 H A C O M B Do A 0 A = A 0 B = A 0 C nên hình chiếu vuông góc của A 0 lên (ABC) trùng với trọng tâm O của tam giác ABC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên A A 0 , Khi đó (P) ≡ (BCH). 0 AM nhọn H nằm giữa A A 0 . Thiết diện của à Gọi M là trung điểm của BC thì MH ⊥ A A 0 và A lăng trụ khi cắt bởi (P) là tam p giác BCH . p p a 3 2 a 3 4 ABC đều cạnh a nên AM = , AO = AM = ; HB = HC = a2 + AH 2 ⇒ HM ⊥BC 2 3 p 3 p p a2 3 1 a2 3 a 3 Theo bài ra: S BCH = ⇒ HM.BC = ⇒ HM = . 8 2 8 4 s p 3a2 3a2 3a AH = AM 2 − HM 2 = − = 4 16 4 0 A O HM Hai tam giác A 0 AO và M AH đồng dạng = AO AH p p AO.HM a 3 a 3 4 a 0 Suy ra A O= = = . AH 3 4 p 3a 33p 3 1 1 a a a 3 Thể tích khối lăng trụ : V = A 0 O.S ABC = A 0 O.AM.BC = a= (đvtt) 2 23 2 12  Bài 7.39. Cho hình chóp O ABC có 3 cạnh O A, OB, OC vuông góc với nhau đôi một tại O , p OB = a, OC = O A = a 3. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC). b. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và OM . Giải: http://boxmath.vn/ 52 z p a 3 A N Cp a 3 O y M B a x Trong tam giác OBC , vẽ đường cao OK . Trong tam giác O AK , vẽ đường cao OH . Chứng minh OH vuông góc mp (ABC). 1 1 1 1 1 5 1 = + = + + = 2. 2 2 2 2 2 2 OH OA OK OA OB OC p a a 5 Suy ra d(O, (ABC)) = OH = . 5 p p Chọn hệ trụcÃtọa độ như hình vẽ. Khi đó O(0; 0; 0), A(0; 0; a 3); B(a; 0; 0), C(0; a 3; 0), ! à ! à ! à p p p p ! p p −−→ a 3 a 3 −−→ a 3 a 3 a a 3 a a 3 ; 0 , N 0; ; ; 0 , ON = 0; ; M ; , OM = ; 2 2 2 2 2 2 2 2 à ! p p h−−→ −−→i 2 2 2 p 3a a 3 a 3 → − OM; ON = ; ; n = ( 3; 1; 1) là VTPT của mp(OMN) 4 4 4 p → − Phương trình mặt phẳng Opvới vectơ pháp tuyến n : 3x + y + zp= 0 ¯ ¯p (OMN) qua p ¯ 3.a + 0 + 0¯ a 3 a 15 a 15 = p = . Vậy: d(B; (NOM)) = . Ta có: d(B; (OMN)) = p 5 5 3+1+1 5 MN là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ AB pk MN ⇒ ABk(OMN) a 15 ⇒ d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (NOM)) = . 5  Bài 7.40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = a; AD = 2a. Các mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Biết góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (ABCD) bằng 60 o . Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SB. Giải: 1 3 ƒ = 60 o . Kẻ HE ⊥ AB ⇒ AB⊥(SHE) ⇒ g((S AB); (ABCD)) = SEH p p 1 2a 2a 3 1 a3 3 Mà HE = AD = ⇒ SH = ⇒ VS ABCD = .SH.S ABCD = 3 3 3 3 3 Gọi H = AC ∩ BD ⇒ SH ⊥(ABCD)&BH = BD 1 Gọi O là trung điểm AD ⇒ ABCO là hv cạnh a ⇒ 4 ACD có trung tuyến CO = AD 2 CD ⊥ AC ⇒ CD ⊥(S AC) và BO kCD hay CD k(SBO)&BO ⊥(S AC). d(CD; SB) = d(CD; (SBO)) = d(C; (SBO)). p p 1 a 2 p Tính chất trọng tâm tam giác BCO ⇒ I H = IC = ⇒ IS = I H 2 + HS 2 = 3 6 kẻ CK ⊥SI mà CK ⊥BO ⇒ CK ⊥(SBO) ⇒ d(C; (SBO)) = CK p 1 2 1 2 Trong tam giác SIC có : S SIC = SH.IC = SI.CK ⇒ CK = http://boxmath.vn/ 5a 2 6 SH.IC 2a 3 = SI 5 53 p 2a 3 Vậy d(CD; SB) = 5  Bài 7.41. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB = 2, tam giác ACB vuông tại C , p các tam giác S AC và SBD là các tam giác đều cạnh bằng 3 . Tính thể tích của hình chóp S.ABCD . Giải: p Vì tam giác S AC và SBD đều cạnh 3 nên AC = BD hay tứ giác ABCD là hình thang cân. Lại có góc ACB vuông nên hình thang ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB. Gọi H là trung điểm AB khi đó SH vuông góc (ABCD) hay SH là đường cao của hình chóp. p p p Ta có BC = 4 − 3p= 1 nên SH = SB2 − HB2 = 2. 3 3 (Do ABCD là nửa lục giác đều) 4p p 1 3 3p 6 Vậy VS.ABCD = . . 2= (đvtt). 3 4 4 Lại có S ABCD =  Bài 7.42. p Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AD = a 2, CD = 2a, S A ⊥(ABCD). Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60 o . Gọi M là trung điểm của CD , N là giao điểm của BM và AC . Tính thể tích khối chóp S.ABM . Chứng minh các điểm S, A, D, M, N thuộc một mặt cầu. Giải: Kết luận:  Bài 7.43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B, AB = BC = a; AD = 2a. Cạnh bên S A vuông góc với đáy (ABCD) và S A = a. Gọi E là trung điểm của AD . Tính thể tích khối chóp S.CDE và tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.CDE . Giải: a3 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SE và SC 6 ta có mặt phẳng (ABN M) là mặt phẳng trung trực của SE . Dễ dàng tính được V = Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SCDE là giao điểm của mặt phẳng (ABMN) và trục đường tròn ngoại tiếp đáy CDE . Gọi ∆ là đường thẳng qua I là trung điểm của CD và song song với S A . Gọi K là trung điểm của AB thì K N k AM . K N và ∆ đồng phẳng suy ra K N ∩ ∆ = O là điểm cần tìm. p p BC + AD 3a CD a 2 = ; CD = a 2; IC = = . 2 2p 2 2 9a2 2a2 11a2 a 11 Ta có OC 2 = OI 2 + IC 2 = + = ⇒ R = OC = . 4 4 4 2 Tam giác OIK vuông cân nên OI = IK =  Bài 7.44. p a 3 ƒ = 60 o . M, N lần Cho hình hộp đứng ABCD A 1 B1 C1 D 1 có AB = AD = a; A A 1 = (a > 0); BAD 2 lượt là trung điểm của A 1 D 1 và A 1 B1 . a. Chứng minh: AC1 ⊥(BDMN) b. Tính thể tích khối chóp A.BDMN . Giải: http://boxmath.vn/ 54 Kết luận:  Bài 7.45. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 có đáy ABCD là hình bình hành có góc BA D bằng 45 o . Các đường chéo AC 0 và DB0 lần lượt tạo với mặt phẳng chứa đáy các góc 45 o và 60 o . Biết A A 0 = 2a. Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho. Giải: Kết luận:  Bài 7.46. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC , mặt phẳng (S AC) tạo với đáy (ABC) một góc 60 o . Tính thể tích hình chóp và khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (S AC) theo a, với I là trung điểm SB. Giải: Gọi H, J lần lượt là trung điểm của BC, AC , Ta có ) SH ⊥(ABC) H J ⊥ AC ⇒ AC ⊥S J , p p AB 2a 6 BC p o = , SH = H J. tan 60 = a AB = p = 2a, H J = 2 2p 2 2 p 3 AB.AC 1 6 ¡p ¢2 3 6a 1 = . . 2 .a = . VS.ABC = SH. 3 2 6 2 6 ) HE ⊥S J Gọi E là hình chiếu của H lên S J , khi đó ta có ⇒ HE ⊥(S AC). HE ⊥ AC Mặt khác, do I H kSC ⇒ I H k(S AC), p 6 o nên d(I, (S AC)) = d(H, (S AC)) = HE = H J. sin 60 = a. 4 ƒ nên S JH = 60 o .  Bài 7.47. p Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC = 2 3a, BD = 2a và cắt nhau tại O ; hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết p khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (S AB) bằng theo a. Giải: a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD 4 Kết luận:  Bài 7.48. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có AC = a, BC = 2a, ƒ ACB = 120 o và đường thẳng A 0 C tạo ¡ ¢ với mặt phẳng ABB0 A 0 góc 30 o . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng A 0 B, CC 0 theo a. Giải: ¡ ¢ Trong (ABC), kẻ CH ⊥ AB(H ∈ AB), suy ra CH ⊥ ABB0 A 0 nên A 0 H là hình chiếu vuông góc của A 0 C lên (ABB0 A 0 ). p 0 C, A 0 H) = C à Do đó: [A 0 C,á A 0 H = 300 . (ABB0 A 0 )] = (Aá http://boxmath.vn/ S ∆ ABC = 1 a2 3 AC.BC. s in1200 = , 2 2 55 p p 21 2.S a ∆ ABC AB2 = AC 2 + BC 2 − 2AC.BC. cos 1200 = 7a2 ⇒ AB = a 7,CH = = . AB 7 p p p CH 2a 21 a 35 0 0 0 0 2 2 Suy ra: A C = = . Xét tam giác vuông A A C ta được: A A = A C − AC = . sin 30 o 7p 7 ¢ ¡ a3 105 Suy ra: V = S∆ ABC .A A 0 = . Do CC 0 //A A 0 ⇒ CC 0 // ABB0 A 0 . 14 p ¢¢ ¢¢ ¡ ¡ ¢ ¡ ¡ ¡ 0 a 21 0 0 0 0 0 0 Suy ra: d A B, CC = d CC , ABB A = d C, ABB A = CH = .  7 Bài 7.49. Cho hình lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A 0 lên mặt phẳng trùng với tâm O của tam giác ABC . Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc p a2 3 với A A 0 , cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng . Tính thể tích khối lăng trụ 8 0 0 0 ABC.A B C . Giải: 0 0 Gọi M là trung điểm của BC , do A O ⊥(ABC) nên BC ⊥(A 0p AM). Gọi p K là điểm thuộc A A sao 2 a 3 a 3 = ; 3 2 3 p p p K M.BC a2 3 a 3 a2 3 nên = ⇒ KM = K BC có diện tích 8 2 8 4 Xét A 0 AM có 2 đường cao A 0 M và MK nên A 0 O.AM = K M.A A 0 s(∗) : p p 2 a a 3 a 3 đặt A 0 O = x > 0 khi đó từ (∗) ta có: x.AM = A A 0 .K M ⇔ x. = x2 + . ( Do A 0 AO vuông 2 3 4 s p a2 a2 a a2 a 3 2 2 2 2 ) hay 2x = x + ⇔ 4x = x + ⇔ 3x = ⇔x= . tại O và AO = 3 3 3 3 3 p p 1 a 3 a2 3 Ta có diện tích đáy ABC bằng .a. = ( Diện tích tam giác đều cạnh a). 2 p 2 4 p a a2 3 a3 3 Vậy VABC.A 0 B0 C0 = A 0 O.S ABC = . = .  3 4 12 cho K B⊥ A A 0 , nối K C thì A A 0 ⊥(K BC) ⇒ A A 0 ⊥K M AO = . Bài 7.50. p ƒ = 60 o . Gọi M, N Cho hình hộp đứng ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 , cạnh AB = AD = 2, A A 0 = 3, góc BAD lần lượt là trung điểm các cạnh AD, AB. Chứng minh A 0 C vuông góc với mặt phẳng (B0 D 0 MN). Tính thể tích khối chóp A 0 B0 D 0 MN . Giải: 0 0 Giả sử A C cắt O J tại H ( hình vẽ )⇒ H là giao điểm của A 0 C với mp(B0 D 0 MN) Xét hình chữ nhật ACC 0 A 0 có A 0 C 0 = 2A A 0 A 0 O 0 O A là hình vuông. Từ đó chứng minh được A 0 I ⊥O 0 J hay A 0 C ⊥O 0 J ( 4). Từ (3) và (4): A 0 C ⊥ mp(B0 D 0 MN) đpcm p Tứ giác B0 D 0 MN p là hình thang cân có đường cao là O 0 Jp . Ta có: B0 N = B0 B2 + BN 2 = 2 15 1 3 15 ⇒ S B0 D 0 MN = (B0 D 0 + MN).O 0 J = (5) 2 2 4 p p 3 4 A 0 O 0 I vuông tại O 0 có A 0 O 0 = 3, O 0 I = . 2 p 3 3 12 2 3 0 2 0 2 0 02 0 2 0 Từ đó tính được : O H = ⇒ A H = A O − O H = 3 − = ⇒A H= p 5 5 5 5 1 0 3 Từ đó: VA 0 B0 D 0 MN = A H.S B0 D 0 MN = . 3 2 Tính được O 0 J = http://boxmath.vn/  56 Bài 7.51. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân, đáy lớn AB bằng bốn lần đáy nhỏ CD , chiều cao của đáy bằng a. Bốn đường cao của bốn mặt bên ứng với đỉnh S có độ dài bằng nhau và bằng b. Tính thể tích của khối chóp theo a, b. Giải: Gọi H là chân đường cao của chóp thì H phải cách đều các cạnh của đáy và trong trường hợp này ta chứng minh được H nằm trong đáy. Suy ra hình thang cân ABCD có đường tròn nội tiếp tâm H là trung điểm đoạn MN với M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD và MN = a a Đường tròn đó tiếp xúc với BC tại E thì HM = HN = HE = là bán kính đường tròn 2 a´ 1p 2 2 và SE = SM = SN = b b > ⇒ SH = 4b − a 2 2 Đặt CN = x thì BM = 4x, CE = x, BE = 4x. Tam giác HBC vuông ở H a2 a a 5a2 nên HE 2 = EB.EC ⇔ = 4×2 ⇔ x = ⇒ CD = , AB = 2a,suy ra S ABCD = . 4 4 2 4 1 5a2 1 p 2 5a2 p 2 Vậy VS.ABCD = . 4b − a2 = 4b − a2 (đvtt) . 3 4 2 24 ³  Bài 7.52. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = 2a, AD = 4a. Cạnh S A = 4a vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của S AvăSD . Tính thể tích khối chóp S.BCN M . Giải: Kẻ SH ⊥BM . Vì MN k AD; AD ⊥(S AB) nên MN ⊥(S AB) ⇒ MN ⊥SH . Từ đó SH ⊥(BCN M). Vậy SH là đường cao hình chóp S.BCN M . Kẻ AK ⊥BM , suy ra AK = SH . Tam giác ABM vuông cân tại A p suy ra AB = AM = 2a ⇒ AK = SH = a 2 . p p BCN M là hình chữ nhật với diện tích: S BCN M = BC.BM = 2a.2a 2 = 4a2 2 . p 1 3 p Vậy : VSBCN M = S BCN M .SH = 4a2 2.a 2 = 8a3 .  Bài 7.53. Huỳnh Bảo Toàn Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và ƒ ABC = 60 o . Mặt bên SBC là tam giác cân tại C , cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a. Gọi M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BM = 2MC . Mặt phẳng (α) qua SM và song song với AB cắt SC tại N . Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng (α) và thể tích khối chóp S.BMN . Giải: Chọn hệ trục tọa độ Ax yz có các điểm B, C, S lần lượt nằm trên các tia Ax, A y, Az như hình vẽ. Trong hệ trục này, ta có A (0; 0; 0), S (0; 0; a) và đặt B (t; 0; 0), với t > 0. p p ¡ p ¢ −−→ ¡ ¢ Khi đó, AC = AB tan 60 o = t 3 ⇒ C 0; t³ 3; 0p ,CB´= t; − t 3; 0 . −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ Do AM = AC + CM = AC + 13 CB nên M 3t ; 2 3 3 t; 0 . 4SBC cân tại C nên CB = CS ⇔ q t2 + ¡p ¢2 3t = q ¡p ¢2 3t + a2 ⇔ t = a. Mặt phẳng (α) qua SM và song song với AB cắt SC tại N nên MN song song với AB và −−→ 2 −−→ AN = 3 AC ³, p ´ −−→ suy ra N 0; 2 3 3 a; 0 . Ta có SM = ³ ´ p a 2 3 ; a; − a , 3 3 h−−→ −−→i ³ ´ −−→ p SM; SN = 0; 13 a2 ; 2 9 3 a2 , SB = (a; 0; −a). http://boxmath.vn/ ´ −−→ ³ 2p3 SN = 0; 3 a; −a , 57 p p Phương trình (SMN) là 3y + 2 3z − 2 3a = 0. ¯ p p ¯ p ¯3 3a − 2 3a¯ a 7 Khoảng cách từ C tới (SMN) là d(C, (SMN)) = q = . ¡ p ¢2 7 2 3 + 2 3 p ¯ h 1 ¯−−→ −−→ −−→i¯¯ a 3 Thể tích khối chóp S.BMN là VS.BMN = ¯SB. SM; SN ¯ = (đvtt). 6 27  Bài 7.54. Huỳnh Bảo Toàn Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A , AB = a. Cạnh bên S A vuông góc với đáy p và S A = a 3. Trên các cạnh SB, BC và CS lần lượt lấy các điểm M, N và P sao cho SM = 23 SB, p a3 6 . Hãy tính thể tích của BN = và CP = Biết hình chóp A.MNP có thể tích bằng 27 hình chóp đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng S A và NP . 2 3 BC 1 3 CS . Giải: Đặt AC = t > 0 và chọn hệ trục tọa độ Ax yz như hình vẽ. p Trong hệ trục này, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(0; 0; a 3). à t; 0), S(0; p ! 2a a 3 ; 0; 3 3 à p ! µ ¶ 2a a 3 −−→ −−→ −−→ −−→ 2 −−→ a 2t nên M , AN = AB + BN = AB + BC = ; ; 0 ; 0; 3 3 3 3 3 à p ! ¶ µ −−→ −−→ −−→ −−→ 1 −−→ 2t a 3 a 2t nên N ; ; 0 , AP = AC + CP = AC + CS = 0; ; 3 3 3 3 3 ! à à p ! h p p h−−→ −−→i −−→ 2a2 tp3 i 2 2 −−→ −−→ 2t a 3 2a 3 a 3 4at ; ; . nên P 0; ; . AM, AN = − và AM, AN . AP = 3 3 9 9 9 9 p p p 1 ¯¯h−−→ −−→i −−→¯¯ a2 t 3 a3 6 Thể tích khối chóp A.MNP là VA.MNP = ¯ AM, AN . AP ¯ = = ⇔ t = a 2. 6 27 27 p a3 6 Ta dễ dàng tính được thể tích khối chóp S.ABC là VS.ABC = (đvtt). 6 Bây giờ, ta sẽ cách giữa Ãhai đường thẳng S A và NP . à tính khoảng ! p ! p p h−−→ −−→i −−→ a a 3 h−−→ −−→i a2 3 2a3 6 −−→ Ta có NP = − ; 0; , AS, NP = 0; − ; 0 , AS, NP . AN = − . 3 3 3 9 ¯h−−→ −−→i −−→¯ ¯ ¯ p ¯ AS, NP . AN ¯ 2a 2 . Khoảng cách cần tính d(S A, NP) = ¯¯h−−→ −−→i¯¯ = 3 ¯ AS, NP ¯ −−→ −−→ −−→ −−→ 1 −−→ 3 Ngoài ra, AM = AB + BM = AB + BS =  Bài 7.55. Huỳnh Bảo Toàn o Cho khối chóp tam giác đều S.ABC cópcạnh bên tạo với đáy một góc 60 và khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) bằng tạo bởi hai mặt bên. 6a 13 . Tính thể tích khối chóp đã cho và cosin của góc 13 Giải: Gọi O là tâm của tam giác đều ABC, M là trung điểm của BC . Chọn hệ trục tọa độ góc là độ! dài của cạnh AB. à vuông ! Mx yz như hình vẽ. Gọi t (t à > 0)p p µ ¶ µ ¶ t 3 t t t 3 Ta có M (0; 0; 0), A 0; − ; 0 , B ; 0; 0 , C − ; 0; 0 và O 0; − ;0 . 2 2 2 6 ƒ Vì SO ⊥(ABC) nên góc giữa S A và mặt phẳng (ABC) bằng góc S à AO . p ! −−→ −−→ −−→ −−→ t 3 Do đó SO = AO. tan 60 o = t nên OS = (0; 0; t) và MS = MO + OS = 0; − ;t 6 http://boxmath.vn/ 58 à p ! p ! h−−→ −−→i t 3 t2 t2 3 hay S 0; − ; t . Khi đó MB, MS = 0; − ; − 6 2 12 p nên phương trình mặt phẳng (SBC) p p là 6y + 3z = 0. 3t 3 6a 13 Vậy nên d(A, (SBC)) = p = ⇔ t = 2a. 13 à à ! à ! p 39 ! p p −−→ −−→ −−→ 2a 3 a 3 a 3 Lúc này S A = 0; − ; −2a , SB = a; ; −2a , SC = −a; ; −2a , 3 3 3 à à ! ! p p h−−→ −−→i 2 p 2 p 2 3 h−−→ −−→i 2a2 3 2 2a 2 S A, SB = 2 3a ; −2a ; , S A, SC = 2 3a ; 2a ; − . 3 3 p 1 ¯¯−−→ h−−→ −−→i¯¯ 2 3 3 Thể tích khối chóp S.ABC là VS.ABC = . ¯SB. S A, SC ¯ = a (đvtt). 6 3 ¯h−−→ −−→i h−−→ − − →i¯¯ ¯ ¯ S A, SB . S A, SC ¯ 5 Gọi α là góc giữa (SAB) va (SAC) thì cos α = ¯¯h−−→ −−→i¯¯ ¯¯h−−→ −−→i¯¯ = . ¯ S A, SB ¯ . ¯ S A, SC ¯ 13 à  Bài 7.56. Huỳnh Bảo Toàn Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình p vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy. Biết khoảng cách giữa AC và SD bằng a 3 . Hãy tính thể tích của hình chóp đã cho và góc giữa 3 hai đường thẳng AC và SD . Giải: Kết luận:  Bài 7.57. Huỳnh Bảo Toàn Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, S A vuông góc với mặt phẳng o (ABCD). Cạnh bên SC p tạo với đáy một góc 45 . Biết rằng khoảng cách từ điểm A tới mặt 2a 21 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SD . Tính thể tích khối 7 chóp S.ABCD và cosin của góc giữa hai đường thẳng MN và AC . phẳng (SCD) bằng Giải: Kết luận:  Bài 7.58. Huỳnh Bảo Toàn p 2 Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích mặt bên bằng a 3, cạnh bên hợp với đáy một góc 45 o . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC . Tính thể tích của khối chóp S.MND , từ đó suy ra khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng(SMN). Giải: Kết luận:  Bài 7.59. Huỳnh Bảo Toàn Cho hình lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = a. Hình chiếu của A 0 trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC , cạnh bên A A 0 tạo với đáy một góc 600 và A 0 C = 2a. a. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A 0 C . http://boxmath.vn/ 59 Giải: Kết luận:  Bài 7.60. Huỳnh Bảo Toàn Cho lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh AB và N là điểm thuộc cạnh AC sao cho AN = 2CN , E là giao của BN và CM . Đường thẳng đi qua E , song song với BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại P và Q . Tính thể tích khối chóp A 0 .B0 PQ , và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A 0 P và C 0 Q . Giải: Kết luận: 8  – Một số bài tập tổng hợp Bài 8.1. Diễn đàn onluyentoan.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. H là trung điểm AB. Hai mặt phẳng (SHD), (SHC) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD , biết khối chóp có ba mặt bên là ba tam giác vuông. a3 ĐS: V = đvtt 6 Bài 8.2. Diễn đàn boxmath.vn 0 0 0 0 0 0 Cho hình hộp ABCD.A B C D . Gọi G là giao điểm của AC với mp(A BD). Tính tỉ số k = VG.CB0 D 0 VABCD.A 0 B0 C 0 D 0 . ĐS: k = 1 6 Bài 8.3. Diễn đàn boxmath.vn p Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, S A = a và S A vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC ; I là giao điểm của BM và AC . Chứng minh rằng mặt phẳng (S AC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện AN IB. p a3 2 ĐS: V = 36 Bài 8.4. Diễn đàn onluyentoan.vn 0 Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A , trên đường tròn đáy tâm O 0 lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO 0 AB. p a3 3 ĐS: V = 12 http://boxmath.vn/ 60 Bài 8.5. Diễn đàn onluyentoan.vn Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, S A = 2a và S A vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC . Tính thể tích của khối chóp A.BCN M . p 3a3 3 ĐS: V = 50 Bài 8.6. Diễn đàn boxmath.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên S AD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD . Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP . p a3 3 ĐS: V = 96 Bài 8.7. Diễn đàn onluyentoan.vn Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của S A , M là trung điểm của AE , N là trung điểm của BC . Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC . ĐS: HQ 2 Bài 8.8. Diễn đàn onluyentoan.vn ƒ = 90 o , BA = BC = a, AD = 2a. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, góc ƒ ABC = BAD p Cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). ĐS: d(H; (SCD)) = a 3 Bài 8.9. Diễn đàn boxmath.vn Cho lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A , p AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A 0 trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích khối chóp A 0 .ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng A A 0 , B0 C 0 . 0 BH, ƒ ĐS: ϕ = B cos ϕ = 1 4 Bài 8.10. Diễn đàn onluyentoan.vn p Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, S A = a, SB = a 3 và mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN . ƒ ĐS: ϕ = SME, 1 cos ϕ = p 5 Bài 8.11. Diễn đàn boxmath.vn p Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên độ dài bằng a 5, các mặt bên cùng tạo với mặt đáy một góc 60 o . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S.ABCD theo a. http://boxmath.vn/ 61 p a 3 ĐS: R = 3 Bài 8.12. Diễn đàn boxmath.vn 0 0 0 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C . Biết 4 ABC vuông tại B. AB = a; BC = b; A A 0 = c(a2 + b2 < c2 ) . Gọi (P) là phẳng đi qua A và vuông góc với A 0 C . Xác định thiết diện của lăng trụ khi bị cắt bởi phẳng (P). Tính diện tích thiết diện theo a, b, c. p ab a2 + b2 + c2 ĐS: S = 2c Bài 8.13. Diễn đàn boxmath.vn 0 0 0 Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao là a. Dựng thiết diện của lăng trụ tạo bởi mặt phẳng đi qua B0 và vuông góc với cạnh A 0 C . Tính diện tích của thiết diện. p 3 15 2 ĐS: S = a 8 Bài 8.14. Diễn đàn onluyentoan.vn 0 0 0 Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A 0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC . Một p mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với A A 0 cắt lăng trụ theo 1 thiết diện có diện tích a2 3 Tính thể tích khối lăng trụ. 8 p a3 3 ĐS: V = 36 Bài 8.15. Diễn đàn onluyentoan.vn 0 0 0 0 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh 2a, cạnh bên A A 0 = 3a, Q, I lần lượt là trung điểm các đường thẳng DD 0 , OB. mặt phẳng α qua IQ song song với AC chia hình hộp ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích 2 phần đó. ĐS: 25 V1 = V2 119 Bài 8.16. Diễn đàn onluyentoan.vn Cho lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = a, cạnh bên 3a A A 0 = p . M là điểm trên cạnh A A 0 sao cho A A 0 = 3AM . Tính thể tích của khối tứ diện 2 MB0 BC 0 . Tính khoảng cách từ B0 đến mặt phẳng (C 0 BM). p a 3 ĐS: d(B0 , (BC 0 M)) = 2 Bài 8.17. Diễn đàn onluyentoan.vn 0 0 0 0 0 Cho lăng trụ ABC.A B C có A A = A B, đáy ABC là một tam giác vuông tại B, BC = a, AB = p a 3. Mặt bên (ACC 0 A 0 ) vuông góc với đáy, góc tạo bởi mặt phẳng (A 0 BC) và (ACC 0 A 0 ) là α sao cho tan α = 2. Tính thể tích của khối chóp A 0 .BCC 0 B0 và khoảng cách giữa A 0 B và B0 C theo a. p a 3 ĐS: d(A B; B C) = 2 0 http://boxmath.vn/ 0 62 Bài 8.18. Diễn đàn onluyentoan.vn 0 0 0 ƒ Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có đáy là tam giác vuông tại B, BAC = 30 o , cạnh AC bằng 2a. Cạnh bên A A 0 tạo với đáy một góc 60 o và chân đường vuông góc hạ từ A 0 xuống mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 và khoảng cách giữa hai đường thẳng B0 C 0 và A A 0 p ĐS: a 3 Bài 8.19. Diễn đàn boxmath.vn 0 0 0 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a. Góc giữa đường thẳng A 0 B với mặt phẳng (ABC) bằng 60 o . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 theo a. p ĐS: a3 3 2 Bài 8.20. Diễn đàn boxmath.vn Cho hình nón đỉnh S nội tiếp trong mặt cầu tâm O bán kính R và đáy là đường tròn giao tuyến của mặt cầu đó với một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OS tại H sao cho SH = x(0 < x < 2R). Tính theo R và x thể tích V và diện tích xung quanh S của hình nón đó; từ đó tìm một hệ thức liên hệ giữa ba đại lượng V , S và R . ĐS: S2 = 6πR V Bài 8.21. Diễn đàn onluyentoan.vn p 0 0 0 0 Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình thang cân có đáy lớn AD = ap 2. Biết góc hợp bởi BC 0 và (ABCD) bằng 60 o , góc hợp bởi A 0 D với (ABCD) là ϕ sao cho tan ϕ = 3 , 2 CD ⊥(ABB0 A 0 ), A 0 B0 ⊥(CDD 0 C 0 ). Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB0 và CD 0 . p 3 6a3 . ĐS: V = 16 p 3 78a d((AB ), (CD )) = 26 0 0 Bài 8.22. Toán học tuổi trẻ số 400 p Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại A , AB = a, AC = a 3, D A = DB = DC . Biết rằng DBC là tam giác vuông. Tính thể tích tứ diện ABCD . p 3 3 ĐS: V = a 6 Bài 8.23. Toán học tuổi trẻ số 401 Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy bằng a và khoảng cách giữa cạnh bên và cạnh đối diện bằng m. ĐS: V = p a3 m 6 3a2 − 4m2 à p ! a 3 ĐK m < 2 Bài 8.24. Toán học tuổi trẻ số 402 Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là điểm bất kì nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A . Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD khi S A = 2a. http://boxmath.vn/ 63 p ĐS: V = πa3 6 Bài 8.25. Toán học tuổi trẻ số 403 Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình vuông, đường cao S A . Gọi M là trung điểm SC ; N, P lần lượt nằm trên SB và SD sao cho SP 2 SN = = . Mặt phẳng (MNP) chia hình SB SD 3 chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó. ĐS: 1 2 Bài 8.26. Toán học tuổi trẻ số 404 o ƒ Cho hình chóp S.ABC có AB = BC = a; ABC = 90 ; S A ⊥(ABC); số đo góc nhị diện cạnh SC là 60 o . Kẻ AM ⊥SB, AN ⊥SC . Tính thể tích của hình chóp S.AMN ĐS: V = a3 36 Bài 8.27. Toán học tuổi trẻ số 405 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , cạnh BC = a ƒ ABC = 30 o . Hai mặt phẳng (S AB) và (S AC) cùng tạo với đáy một góc 60o . Biết rằng hình chiếu của đỉnh S trên mặt đáy thuộc cạnh BC . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. p (3 − 3)a3 ĐS: V = 32 Bài 8.28. Toán học tuổi trẻ số 406 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Hai mặt phẳng (S AB) p và (S AD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy . Biết AB = 2a, S A = BC = a, CD = 2a 5. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ACD . p ĐS: V = 2a3 , R = a 26 2 Bài 8.29. Toán học tuổi trẻ số 408 Cho hình chóp tam giác đều có góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 60 o . Khoảng cách giữa mặt bên và đỉnh đổi diện bằng 6. Hãy tính thể tích hình chóp. p 26 39 ĐS: V = 3 Bài 8.30. Toán học tuổi trẻ số 412 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , có đáy ABCD là hình bình hành, AD = 4a, các cạnh bên của p hình chóp bằng nhau và bằng a 6. Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của khối chóp S.ABCD lớn nhất. 2 ĐS: cos ϕ = p 10 Bài 8.31. Toán học tuổi trẻ số 413 Cho hình chóp S.ABC có S A = 3a (với a > 0); S A tạo với đáy (ABC) một góc 60 o . Tam giác ABC vuông tại B, ƒ ACB = 30 o . G là trong tâm của tam giác ABC . Hai mặt phẳng (SGB) và (SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a. http://boxmath.vn/ 64 ĐS: V = Bài 8.32. 243 3 a 112 Toán học tuổi trẻ số 414 Cho hình trụ với đáy là hai đường tròn (O; R); (O 0 ; R 0 ); có chiều cao OO 0 = 2R và đường sinh 3 AB. Tính thể tích tứ diện đều ABCD biết rằng C, D nằm trên mặt trụ. ĐS: V = p 2R 3 (3 + 2 2) 81 Bài 8.33. Toán học tuổi trẻ số 415 0 0 0 0 Cho hình hộp ABCD.A B C D . M và N là hai điểm lần lượt thuộc cạnh AB và AD sao cho 3 2 AB; AN = AD . E và F là hai điểm lần lượt thuộc cạnh B0 N và A 0 M sao cho EF k AC . 3 4 EB0 Hãy xác định tỉ số . NB0 EB0 12 ĐS: = . NB0 29 AM = Bài 8.34. Toán học tuổi trẻ số 416 ABC = 120 o . Cạnh S A vuông Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ƒ góc với mặt phẳng (ABCD) và S A = a. Gọi C 0 là trung điểm của cạnh SC . Mặt phẳng (α) đi qua AC 0 và song song với BD cắt các cạnh SB, SD lần lượt B0 , D 0 . Tính thể tích khối chóp S.AB0 C 0 D 0 . p ĐS: V = a3 3 18 Toán học tuổi trẻ số 417 p a 3 Cho hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có cạnh AB = và các cạnh còn lại đều bằng a. 2 Bài 8.35. Tính thể tích hình cầu đó. p 13 13 3 πa ĐS: V = 162 Bài 8.36. Toán học tuổi trẻ số 418 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (S AB) là tam giác đều và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính thể tích khối nón có đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và đỉnh của khối nón nằm trên mặt phẳng (SDC). ĐS: V = 2πa3 27 Bài 8.37. Toán học tuổi trẻ số 419 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 1 B1 C1 , đáy ABC là tam giác vuông có C A = CB = a, góc giữa đường thẳng BA 1 và mặt phẳng (ACC1 A 1 ) bằng 30 o . Gọi M là trung điểm cạnh A 1 B1 . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (A 1 BC). p a 6 ĐS: 6 http://boxmath.vn/ 65 Bài 8.38. Toán học tuổi trẻ số 420 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a. Mặt bên (SBC) là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . Biết góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (ABC) bằng 30 o . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB theo a. p a3 3 ĐS: V = , d((SC), (AB)) = a 9 p Đề dự bị I khối A-2006 a 3 Cho hình hộp đứng ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 có cạnh AB = AD = a, A A 0 = và góc (BAD) = 60 o . Gọi 2 M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A 0 D 0 và A 0 B0 . Chứng minh AC 0 vuông góc với Bài 8.39. mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN . ĐS: V = 3a3 16 Bài 8.40. Đề dự bị II khối B-2006 0 0 0 0 Cho hình lăng trụ ABC.A B C có A .ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên A A 0 = b. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A 0 BC). Tính tan α và thể tích khối chóp A 0 BB0 CC 0 . p p a2 3b2 − a2 2 3b2 − a2 ;V = ĐS: tan α = a 6 Bài 8.41. Dự bị 2 khối A-2006 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh Sp A vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với đáy một góc 60 o . Trên S A lấy điểm M sao cho AM = phẳng mặt BCM cắt SD tại N . Tính thể tích khối chóp S.BCN M . a 3 . Mặt 3 p 10 3a3 ĐS: V = 27 Bài 8.42. Đề dự bị 2 khối A-2007 á Cho hình chóp S.ABC có góc (SBC, ABC) = 60 o , ABC là SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (S AC). 3a ĐS: p 13 Bài 8.43. Đề thi hsg tỉnh Bình Phước -2012 Cho hình lập phương ABCD.A 1 B1 C1 D 1 cạnh a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BC và CD . a. Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A 1 EF) và hình lập phương. b. Tính thể tích hai phần của hình lập phương do mặt phẳng (A 1 EF) cắt ra và tỉnh tỉ số thể tích hai phần đó. ĐS: V = http://boxmath.vn/ 47a3 25a3 &V= 72 72 66 Bài 8.44. Đề thi hsg vòng tỉnh Bình Phước-2011 0 0 0 0 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Trên cạnh AB lấy điểm M , trên OC lấy điểm N , trên A 0 D 0 lấy điểm P sao cho AM = CN = D 0 P = x (0 ≤ x ≤ a). a. Chứng minh rắng tam giác MNP đều. Tính diện tích tam giác MNP theo a và x. Tìm x để diện tích ấy nhỏ nhất. a b. Cho x = , tính thể tích khối tứ diện B’MNP và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 2 này. p a 3a2 3 khi x = . ĐS: a. V = 8 2 p 3a3 5a 3 b. V = ,R = 16 12 Bài 8.45. Diễn đàn boxmath.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm SC . Mặt phẳng AK cắt SB, SD tại M, N . Đặt V 0 = VS AMNK và V = VS ABCD . Chứng minh: 1 V0 3 ≤ ≤ 3 V 8 HD: Dùng đạo hàm và bảng biến thiên để chứng minh Bài 8.46. Đề thi thử THPT Phan Bội Châu – Phú Yên p Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo AC = 2 3a; BD = 2a cắt nhau tại O ; hai mặt phẳng (S AC) và (SBD) cùng vuông p góc với mặt phẳng (ABCD) . Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (S AB) bằng theo a. a 3 . Tính thể tích hình chóp S.ABCD 4 p a3 3 ĐS: V = 3 Bài 8.47. Đề thi thử THPT Lê Lợi-Thanh Hóa Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , với AB = 3a, AD = 2a. Cạnh bên S A vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 60 o . Gọi M là trung điểm của CD . Tính thể tích khối chóp S ABM và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AM . p 3 3a3 ĐS: V = 8 Bài 8.48. Đề thi thử THPT Hồng Quang-Hải Dương 0 0 0 0 Cho lăng trụ ABC.A B C , biết A .ABC là hình chóp đều có cạnh đáy bằng a. Góc giữa hai mặt phẳng (A 0 BC) và (BCC 0 B0 ) bằng 90 o .Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 và khoảng cách giữa hai đường thẳng A A 0 và B0 C theo a. p a3 2 a ĐS: V = . Khoảng cách bằng 8 2 Bài 8.49. Đề thi thử THPT Minh Khai – Hà Tỉnh Cho hình trụ có đáy lần lượt là các đường tròn (O), (O 0 ) . Mặt phẳng (α) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng OO 0 tạo với đáy góc 60 o cắt đáy trên theo dây cung AB, cắt đáy dưới theo dây cung CD biết ABCD là hình vuông cạnh a. Tính diện tích toàn phần của hình trụ theo a. p p 2π 5a2 p ĐS: S = (2 3 + 5) 16 http://boxmath.vn/ 67 Bài 8.50. Đề thi thử THPT Trần Hưng Đạo- Hưng Yên Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a. Mặt phẳng (S AD) vuông ƒ góc với mặt phẳng (ABCD) ,tam giác S AD vuông tại S và S AD = 60 o . Điểm M là trung điểm của cạnh SC . Tính thể tích của khối chóp M.BCD và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng AC và DM . p p ĐS: V = a3 3 14 , cos α = 6 28 Bài 8.51. Diễn đàn boxmath.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết đường thẳng BD chia mặt phẳng (ABCD) thành hai nữa mặt phẳng, hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) p thuộc nữa mặt phẳng chứa điểm A . Cạnh bên SB vuông góc với BD và có độ dài là 2a 2, mặt phẳng (SBD) tạo với mặt đáy góc 60 o . Tính thể tích hình chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC theo a. p p a3 6 a 14 ĐS: V = , khoảng cách bằng . 3 7 Bài 8.52. Diễn đàn boxmath.vn Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của S A, SC . Biết góc tạo bởi đường thẳng BM và ND bằng 60 o . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. p 30a3 ĐS: 18 Bài 8.53. Diễn đàn boxmath.vn 0 0 0 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giácrvuông AB = BC = a, mặt phẳng (AB0 C) tạo với mặt phẳng (BCC 0 B0 ) góc α sao cho tanα = 3 . Gọi M là trung điểm của 2 BC .Tính thể tích khối chóp M A 0 B0 C và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B0 ACM theo a. p 3 2a ĐS: V = 12 Bài 8.54. Diễn đàn boxmath.vn p Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a đường chéo BD = a 3 Biết S A vuông góc BD , cạnh bên SB vuông góc AD và (SBD) tạo với mặt đáy góc 60 o . Tính thể tích hình chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo a. p 3a3 3 30 ĐS: V = , K/cách bằng a 4 20 Bài 8.55. Diễn đàn boxmath.vn Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B. Biết AB = BC = a; AD = 2a, S AC là tam giác cân tại S và (S AC) vuông góc với đáy. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Giả sử mặt phẳng (P) qua O song song với SC cắt S A ở M . Tính thể tích khối chóp MBCD và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD). p p a3 6 a 2 ĐS: V = , K/cách bằng 54 6 http://boxmath.vn/ 68 Bài 8.56. Diễn đàn boxmath.vn 0 0 0 Cho hình lặng trụ tam giác đềupABC.A B C có cạnh đáy bằng a. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A 0 C bằng a 15 . Tính thể tích của khối lăng trụ. 5 ĐS: V = a3 4 Bài 8.57. Diễn đàn boxmath.vn Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B0 C 0 D 0 có cạnh A A 0 = a. Đường thẳng B0 C tạo với đường thẳng AD một góc 60 o , đường chéo B0 D tạo với mặt bên (BCC 0 B0 ) một góc 30 o . Tính thể tích khối chóp ACB0 D 0 và cosin góc tạo bởi AC và B0 D . p 3 3a 1 ĐS: V = , cos = p . 27 4 7 Bài 8.58. Diễn đàn boxmath.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có S A ⊥(ABCD). Gọi O là tâm của hình thoi. M là trung điểm của SC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng S A và BM . Biết p p SO = 2 2, AC = 4, AB = 5. ĐS: Bài 8.59. Diễn đàn boxmath.vn Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, có SC vuông góc ƒ = 60 o ; S A hợp với (ABCD) góc 45 o . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và (ABCD), góc BAD khoảng cách giữa S A và BD . p a3 21 ĐS: V = , 3 p a 77 K/cách . 11 Bài 8.60. Diễn đàn boxmath.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A(AD kBC), AB = BC = 2a, AD = 3a. Gọi M là trung điểm AD, N là trung điểm CM , biết (SN A) và (SNB) cùng vuông góc với a mặt phẳng đáy và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, CD bằng . Tính thể tích khối chóp 2 đã cho và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SCD). 25a3 ĐS: V = p 3 236 , 15a K/cách p 4 41 . Bài 8.61. Diễn đàn boxmath.vn ƒ = 60 o . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, BAD Cạnh S A = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi AM, AN, BP lần lượt vuông góc với BC, DC, SC tương ứng (M 0 BC, N 0 DC, P 0 SC). Tính thể tích khối tứ diện AMNP và khoảng cách giữa hai đường thẳng NP, AC theo a. p 5a3 3 ĐS: V = , 64 p 10a 2829 K/cách . 943 Phương pháp tính thể tích trực tiếp http://boxmath.vn/ 69 Bài 8.62. Tính thể tích khối chóp ta giác đều S.ABC trong các trường hợp sau: a. Cạnh đáy bằng a, góc ƒ ABC b. AB = a, S A = m. c. S A = m,Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng α p p s p a3 2 a2 a2 3 m2 sinα 3 2 ĐS: a. VS ABC = m − ; c. VS ABC = ; b. VS ABC = . p 12 12 3 3 sin2 α + 4) sin2 α + 4 Bài 8.63. Cho hình lăng trụ ABC.A 0 B0 C 0 có đọ dài cạnh bên bằng 2a, tam giác ABC vuông p tại A, AB =a, AC = a 3. Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm của BC. Tính VA 0 ABC . ĐS: a2 2 Bài 8.64. Cho hình chóp S ABC có S A ⊥(ABCD), SA =a. δ ABC vuông cân có AB = BC = a. B’ là trung điểm của SB. C’ là chân đường cao hạ từ A của ∆S AC . a. Tính VS ABC b. Chứng minh AB⊥(AB0 C 0 ). Tính VS AB0 C0 . ĐS:a.VS ABC a3 a3 b.VS AB0 C 0 = 6 36 Bài 8.65. Cho lăng trụ xiên ABCA’B’C’, đáy ABC là tam giác đầu có tâm O. Hính chiếu của C’ lên (ABC) trùng O. TÍnh thể tích khối lăng trụ biết khảng cách từ O đến CC’ là a và góc giữa (ACC’A’) và (BCC’B’) bằng 2α 27a3 tan3 α ĐS: p 4 2tan2 α − 1 Bài 8.66. Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC =a và ƒ ACB = α. Đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc β. Tính thể tích lăng trụ. p 1 a3 tanα sin(α − β)sin(α + β) ĐS: . 2 cosα sinβ Bài 8.67. Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, Góc A = α và chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy (ABCD) trùng với giao điểm O của hai đường chéo. Cho BB’ =a. Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp. 3 α 2 ĐS:V = a cos sinα; S xq = 4a cos 2 α 2 r 1 + sin2 α 2 Bài 8.68. Cho lăng trụ đứng ABC A 1 B1 C1 có đáy ABC là tam giác vuông AB=AC =a, A A 1 = p a 2. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của đoạn A A 1 và BC 1 . Chứng minh MN là đường vuông góc chưng của các dường thẳng A A 1 và BC1 . Tính VM A 1 BC1 ĐS: Bài 8.69. Cho hình nón có đỉnh là S, đáy là đường trọn tâm O, SA và SB là hai đường sinh biết SO=3cm, khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng 1cm, diện tích tam giác SAB bằng 18 cm2 . Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón đã cho. ĐS: http://boxmath.vn/ 70 Bài 8.70. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, canh SA vuông góc với p đáy .ƒ ACB = 600 , BC = a, S A = a 3. Gọi M là trung điểm của của cạnh SB. Chứng minh rằng (S AB)⊥(SBC) . TÍnh thể tích khối tứ diện MABC. ĐS: Bài 8.71. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC lần lượt tại B’, C’ . biết C’ là trung điểm của SC, tính tỉ số giữa SB’ và B’B. ĐS: Bài 8.72. Cho hình chóp S.ABC có đáy AB = AC = a, BC = SB0 =2 B0 B p a AB = ƒ S AC = 300 . .S A = a 3, S 2 Tính thể tích khối chóp S.S ABC . ĐS: a3 16 Bài 8.73. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD =2a. Cạnh S A vuông góc với mặtpphẳng đáy, cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 . Trên SA lấy M sao cho AM = a 3 , mặt phẳng (BCM ) cắt cạnh SD tại N . Tính thể tích chóp SBCMN. 3 p 10 3a3 ĐS: 27 Bài 8.74. Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AB= SA =a, BC =2a. Một mặt phẳng qua A vuông góc với SC tại H và cắt SB tại K. Tính diện tích tam giác AHK theo a. p a2 6 ĐS: 12 p Bài 8.75. cho hình chóp SABCD có SB = a 2 các cạnh còn lại đều bằng a. Tính thể tích khối chóp theo a. ĐS: Bài 8.76. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật S A ⊥(ABCD); AB = S A = p 1; AD = 2. Gọi M, N là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIB. p 2 ĐS: 36 p a 3 ƒ= Bài 8.77. Cho hình hộp ABCD A B C D , đáy ABCD là hình thoi cạnh a, A A = và BAD 3 ƒ BA A0 = à D A A 0 = 600 . Tính thể tích khối hộp theo a. p a3 6 ĐS: 6 0 0 0 0 0 Bài 8.78. Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’, có AB =a, BC=2a, AA’ =a. Lấy M trên AD sao cho AM=3MD. Tính thể tích khối chóp M.AB’C và khoảng cách từ M đến (AB’C). ĐS:VM.AB0 C = http://boxmath.vn/ a3 a ; d(M, (AB0 C)) = 4 2 71 ƒ = 600 . Hai mặt Bài 8.79. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. BAD phẳng (SAC) và (SBD ) cùng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm canh BC và SD. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh bên SC tại E. Biết MN vuông góc với AN. Tính thể tích khối đa diện ADN.MCE theo a. p 5a 3 ĐS: 9 Bài 8.80. Cho tứ diện ABCD có AB=6, CD =7, khoảng cách giữa AB và CD bằng 8, góc giữa AB và CD bằng 600 . Tính thể tích khối tứ diện ABCD. p ĐS:28 3 Bài 8.81. Cho hình lăng trụ đứng ABC A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông với AB=BC=a, p −−→ −−→ canh bên A A 0 = a 2. M là điểm trên AA’ sao cho AM = 31 AA0 . Tính thể tích khối tứ diện MA’BC’. p ĐS: a3 2 9 Bài 8.82. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu của A trên (A’B’C’) trùng với trọng tâm G của tam giác A’B’C’. Mặt phẳng (BB’C’C) tạo với (A’B’C’) góc 600 . Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a. 3 ĐS: VABC.A 0 B0 C0 = 9a 32 Bài 8.83. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh 2a, điểm A1 cách đều ba điểm A, B, C. Cạnh bên A1A tạo với mặt phẳng đáy một góc α. Hãy tìm α, biết p thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 bằng 2 3a3 . ĐS:α = 600 Bài 8.84. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang vuông tại A, AB =AD=a, DC=2a , ,SA=a 3 hai mặt bên (SDC) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . 1. Tính thể tích của khốichóp S.ABCD theo a . 2. G là ttrọng tâm của tam giác DBC . Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC) p a3 2 a ĐS:1.VS ABCD = ; 2. 2 3 Bài 8.85. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng a. p a3 7 7 ĐS: 18 LĂNG TRỤ XIÊN Lưu ý: Cần nắm vững kĩ thuật xác định chân đường cao đã học. Bài 8.86. Cho lăng trụ ABC A’B’C’có các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bên bằng 2a hợp với đáy ABCD một góc 45 o . Tính thể tích lăng trụ. p ĐS: V = a3 2 http://boxmath.vn/ 72 Bài 8.87. Cho lăng trụ ABCD A’B’C’D’có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên bằng 8 hợp với đáy ABC một góc 30o .Tính thể tích lăng trụ. ĐS: V = 336 Bài 8.88. Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’có AB =a;AD =b;AA’ = c và ∠BAD = 300 và biết cạnh bên AA’ hợp với đáy ABC một góc 60 o .Tính thể tích lăng trụ. p abc 3 ĐS: V = 4 Bài 8.89. Cho lăng trụ tam giác p ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A’ 2a 3 cách đều A,B,C biết A A 0 = .Tính thể tích lăng trụ. 3 p a3 3 ĐS: V = 4 Bài 8.90. : Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A’ có hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bên (BB’C’C) hợp với đáy (ABC) một góc60 o . 1) Chứng minh rằng BB’C’C là hình chữ nhật. 2) Tính thể tích lăng trụ ABC A’B’C’. p 3a3 3 ĐS: V = 8 Bài 8.91. Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC’ = a hợp với đáy (ABC) 1 góc 60 o và C’ có hình chiếu trên ABC trùng với O . 1) Chứng minh rằng AA’B’B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA’B’B. 2) Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’. p p a2 3 3a3 3 , 2.V = ĐS: 1.S = 2 8 Bài 8.92. Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông góc hạ từ A’ trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA’ = a. 1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ. 2) Tính thể tích lăng trụ. p a3 3 ĐS: 1.30 ; V = 8 0 Bài 8.93. Cho lăng trụ xiên ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C’ trên (ABC) là O. Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC’ là a và 2 mặt bên AA’C’Cvà BB’C’C hợp với nhau một góc 90 o http://boxmath.vn/ 73 27a3 ĐS: V = p 4 2 Bài 8.94. Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABCD) nằm trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với nhau một góc60 o . 1) Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD. 2) Tính diện tích các mặt chéo ACC’A’ và BDD’B’. 3) Tính thể tích của hộp. p 3 p ĐS: S ACC0 A 0 = a2 2; S BDD 0 B0 = a2 , V = a 2 2 Bài 8.95. Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A = 60 o ,chân đường vuông góc hạ từ B’ xuông ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết BB’ = a. 1)Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy. 2)Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp. p 3 ĐS: 1.600 , V = 3a4 & S = a2 15 Bài 8.96. B – 2002 : Cho hình lập phương ABCD.A 1 B1 C1 D 1 có cạnh bằng a 1)Tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng A 1 B và B1 D . 2) Gọi M ,N , P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1 , CD, A 1 D 1 . Tính góc giữa 2 đường thẳng MP và C1 N. p ĐS: 1.d(A 1 B, B1 D) = a 6 6 , 2.900 Bài 8.97. B 2009 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600 ; tam giác ABC vuông tại C và ∠BAC = 600 . Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. ĐS: 9a3 /208 Bài 8.98. D-09: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). p 2a 5 4a3 ĐS: V = ,d = 9 5 Bài 8.99. (B-11) cho hình lăng trụ ABCD A 1 B1 C1 D 1 có đáy BAC là hình chữ nhật, AB=a, p AD = a 3. Hình chiếu vuông góc của A 1 lên (ABCD) trung với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD 1 A 1 ) và (ABCD) bằng 600 . TÍnh thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ B1 đến mặt phẳng (A 1 BD) theo a. http://boxmath.vn/ 74 p 3a3 a 3 ĐS: V = ,d = 2 2 Bài 8.100. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Các điểm E và F lần lượt là trung điểm của C’B’ và C’D’. 1.Dựng thiết diện của khối lập phương khi cắt bởi mp(AEF). 2.Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lập phương bị chia bởi mặt phẳng (AEF). http://boxmath.vn/ 75
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top