Tuyển tập 100 đề thi học sinh giỏi môn Toán 8 – Hồ Khắc Vũ

Giới thiệu Tuyển tập 100 đề thi học sinh giỏi môn Toán 8 – Hồ Khắc Vũ

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Tuyển tập 100 đề thi học sinh giỏi môn Toán 8 – Hồ Khắc Vũ.

Tài liệu Học sinh giỏi Toán 8 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi học sinh giỏi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu Tuyển tập 100 đề thi học sinh giỏi môn Toán 8 – Hồ Khắc Vũ

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 8 tại đây

TUYỂN TẬP 100 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 8 Họ và tên: ……………………………………………………………………………………………………. Lớp: ……………………………………………………………………………………………………………. Trường: …………………………………………………………………………………………….. Người biên soạn: Hồ Khắc Vũ Quảng Nam, tháng 11 năm 2016 UBND THµNH PHè HuÕ kú thi CHäN häc sinh giái tHµNH PHè líp 8 thCS – n¨m häc 2007 – 2008 PHßNG Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o M«n : To¸n Thêi gian lµm bµi: 120 phót §Ò chÝnh thøc Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö: 1. x2  7 x  6 2. x4  2008×2  2007 x  2008 Bµi 2: (2®iÓm) Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 1. x2  3x  2  x  1  0 2 2 2 1 1  1  1 2    2. 8  x    4  x 2  2   4  x 2  2  x     x  4  x x  x  x    Bµi 3: (2®iÓm) 1. C¨n bËc hai cña 64 cã thÓ viÕt d-íi d¹ng nh- sau: 64  6  4 Hái cã tån t¹i hay kh«ng c¸c sè cã hai ch÷ sè cã thÓ viÕt c¨n bËc hai cña chóng d-íi d¹ng nh- trªn vµ lµ mét sè nguyªn? H·y chØ ra toµn bé c¸c sè ®ã. 2. T×m sè d- trong phÐp chia cña biÓu thøc  x  2 x  4 x  6 x  8  2008 cho ®a thøc x2  10 x  21 . Bµi 4: (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®-êng cao AH (H  BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §-êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E. 1. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo m  AB . 2. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM 3. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: GB HD  . BC AH  HC HÕt PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2008-2009 Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3 điểm) Làm thế nào để đem được 6 lít nước từ sông về nếu trong tay chỉ có hai cái can, một can có dung tích 4 lít, một can có dung tích 9 lít và không can nào có vạch chia dung tích ? Bài 2: (3 điểm) Một số gồm 4 chữ giống nhau chia cho một số gồm 3 chữ số giống nhau thì được thương là 16 và số dư là một số r nào đó. Nếu số bị chia và số chia đều bớt đi một chữ số thì thương không đổi và số dư giảm bớt 200. Tìm các số đó. Bài 3: (3 điểm) Chứng minh rằng n3 – n chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n. Bài 4: (3 điểm) Tính tổng S = 1 1 2 4 8     2 4 1 x 1 x 1 x 1 x 1  x8 Bài 5: (4 điểm) Nhân ngày 1- 6 một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo. Số kẹo này được chia hết và chia đều cho mọi người trong phân đội. Để đảm bảo nguyên tắc ấy phân đội trưởng đề xuất cách nhận phần kẹo của mỗi người như sau: Bạn thứ nhất nhận 1 cái kẹo và được lấy thêm 1 số kẹo còn lại. Sau khi bạn 11 thứ nhất đã lấy phần mình, bạn thứ hai nhận 2 cái kẹo và được lấy thêm 1 số kẹo 11 còn lại. Cứ tiếp tục như thế đến bạn cuối cùng thứ n nhận n cái kẹo và được lấy thêm 1 số kẹo còn lại. 11 Hỏi phân đội thiếu niên nói trên có bao nhiêu đội viên và mỗi đội viên nhận bao nhiêu kẹo. Bài 6: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A = 200. Trên AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Tính góc BDC PHÒNG GD &ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (Năm học 2013-2014) Môn : TOÁN – Thời gian : 150 phút Họ và tên GV ra đề : Hồ Thị Song ĐỀ ĐỀ NGHỊ Đơn vị: Trường THCS Hoàng Văn Thụ Bài 1 : (5 đ) a) Không tính giá trị mỗi biểu thức ,hãy so sánh : 2015 2  2014 2  2015  2014    và 2015 2  2014 2  2015  2014  2 b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x2 – 8)2 + 36 c) Cho ba số hữu tỉ x, y,z đôi một khác nhau . Chứng minh : 1 x  y  2  1 y  z 2  1 z  x 2 là bình phương của một số hữu tỉ. Bài 2 : (5 đ) a2 b2 c2 a b c a) Chứng minh bất đẳng thức sau : 2  2  2    b c a b c a 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 6x  5  9x 2 c) Xác định dư của phép chia đa thức : x19 + x5 – x1995 cho đa thức x2 -1 Bài 3 : (4 đ) Giải các phương trình sau : a) X4 + 6y2 -7 = 0 b) 1 1 1 1    2011x  1 2012 x  2 2013x  4 2014 x  5 Bài 4 : (4đ) Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên BC. Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE. Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G. a) Chứng minh : AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi. b) Chứng minh : AEF ~  CAF và AF2 = FK.FC. c) Khi E thay đổi trên BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi.   Bài 5 : (2đ) Cho tam giác ABC có A  2 B . Tính độ dài AB biết AC = 9cm, BC = 12cm. TRƯỜNG THCS KIM ĐỒNG Người ra đề : TRẦN ĐINH TRAI ĐỀ ĐỀ NGHỊ ĐỀ ĐỀ NGHỊ HOC SINH GIỎI Năm học 2013- 2014 Môn TOÁN – Lớp 8 Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề) C©u 1 : (2 ®iÓm) Cho P= a 3  4a 2  a  4 a 3  7a 2  14a  8 a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn C©u 2: ( 1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: (n5 – 5n3 + 4n) 120 víi m, n  Z. C©u 3 : (2 ®iÓm) a) Gi¶i ph-¬ng tr×nh : 1 1 1 1  2  2  x  9 x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 2 C©u 4: ( 1 ®iÓm) Trong hai sè sau ®©y sè nµo lín h¬n: a = 1969  1971 ; b = 2 1970 C©u 5: (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. HA’ HB’ HC’   AA’ BB’ CC’ b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM. a) Tính tổng (AB  BC  CA) 2 c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA’ 2  BB’ 2  CC’ 2 PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (NĂM HỌC 2013 – 2014) MÔN: TOÁN 8 (Thời gian 150 phút) ĐỀ ĐỀ NGHỊ GV ra đề: Võ Công Tiển Đơn vị: Trường THCS Lê Lợi 1 3   x2 1  Bài 1: (3 điểm) Cho biểu thức A    2    :  2 x  3   3 x  3x   27  3x 1) Rút gọn A 2) Tìm x để A < –1 Bài 2 : (2 điểm) Phân tích các đa thức sau ra thừa số: 1) x 4  4 2)  x  2  x  3 x  4  x  5   24 Bài 3: (4 điểm) x  2 x  3 x  4 x  2010 x  2009 x  2008      2010 2009 2008 2 3 4 1 1 1 2) Cho ba số x, y, z khác nhau và khác 0 thoả mãn    0 . x y z 1 1 1  2  2 0 Chứng minh: 2 x  2 yz y  2 zx z  2 xy 1) Giải phương trình Bài 4: (4 điểm) a. Tìm giá trị lớn nhất của A = 2x  6 x3  27 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của B = với x  -3 3x 2  8 x  6 x 2  2x  1 Bài 5: (7,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. Hết PHÒNG GD & ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ ĐỀ NGHỊ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013- 2014 Môn: Toán 8 (Thời gian làm bài: 120 phút) Người ra đề: TRẦN MƯỜI ĐƠN VỊ : TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN ĐỀ ĐỀ NGHỊ Bài 1(4 điểm). a) Phân tích đa thức thành nhân tử : : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 b) Tìm số dư của phép chia x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 – 1 Câu 2 (4 điểm). 3 - 4x x2 1 1 2 5  x  1 2x b) Rút gọn biểu thức  với x   1   : 2 2   1  x x  1 1 x  x 1 a) Tìm GTNN, GTLN của A = Bài 3(4 điểm). a) Cho abc = 2. Rút gọn biểu thức A = a b 2c   ab + a + 2 bc + b + 1 ac + 2c + 2 b) Tìm số nguyên dương n để các biểu thức sau là số chính phương b1) n2 – n + 2 b2) n5 – n + 2 Bài 4 (5 điểm). Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB, AC tại E và F a) Chứng minh DE + DF không đổi khi D di động trên BC b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE tại K. Chứng minh rằng K là trung điểm của FE Bài 5(3 điểm). Cho ABC , O là một điểm nằm trong tam giác. Từ O kẻ OA’  BC, OB’  AC, OC’  AB (A’  BC; B’  AC; C’  AB). Chứng minh rằng: OA' OB' OC'    1 (Với AH, BK, CI là ba đường cao của tam giác hạ AH BK CI lần lượt từ A, B, C) --------------------------- Hết ------------------------------ PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (NĂM HỌC 2013 - 2014) Môn: Toán (Thời gian: 150 phút) ĐỀ ĐỀ NGHỊ Họ và tên GV ra đề: Phạm Thanh Bình Đơn vị: Trường THCS Lý Thường Kiệt ĐỀ BÀI Bài 1(5đ). a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . c) Cho x + y = 1 và x y  0 . Chứng minh rằng 2 x  y x y  3  2 2 0 y 1 x 1 x y  3 3 Bài 2(5đ). Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) Tìm số dư của đa thức (x+2)(x+4)(x+6)(x+8) + 2014 chia cho đa thức x2+10x+21. c) x  2  x  3  x  4  x  5 2007 2006 2005 2004 Bài 3(3đ). Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Một người đi xe gắn máy từ A đến B với dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó. Bài 4(7đ). Cho góc xOy và điểm I nằm trong góc đó. Kẻ IC vuông góc với Ox(C thuộc Ox), ID vuông góc với Oy(D thuộc Oy) sao cho IC = ID = a. Đường thẳng qua I cắt Ox ở A cắt Oy ở B. a/ Chứng minh rằng tích AC . DB không đổi khi đường thẳng qua I thay đổi. CA OC 2  b/ Chứng minh rằng DB OB 2 8a 2 c/ Biết SAOB = . Tính CA; DB theo a. 3 PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THCS TRƯỜNG THCS LÝ TỰ TRỌNG Năm học 2013-2014 MÔN : TOÁN (8) ( Thời gian : 150 phút ) Họ và tên GV ra đề : NGUYỄN THỊ TRÂM OANH . Đơn vị : THCS LÝ TỰ TRỌNG. Câu 1: (2 điểm) a.Cho a, b, c là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện: ab + ac + bc = 1. Chứng minh rằng: (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) là bình phương của một số hữu tỉ. b.Tính: ĐỀ ĐỀ NGHỊ A  (1  1 1 1 1 )(1  )(1  )...(1  ) 2 2 2 x ( x  1) ( x  2) ( x  9) 2 Câu 2: (5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P( x)  2 x2  2 x  3 x2  x  2 b) Tìm dư trong phép chia đa thức f(x) = x1994 + x1993 +1 cho g(x) = x2 – 1 c) Chứng minh rằng: 16n – 15n – 1 225 Câu 3: (5 điểm) a) Định m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x2 x 1  x  m x 1 b)Giải phương trình: | x | + | 2x + 1| - |x - 3| =14 c)Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác . Chứng minh rằng: a b c   3 b c a a c b a b c Câu 4: (2điểm)Tính độ dài đường trung bình của hình thang cân có các đường chéo vuông góc với nhau và có độ dài đường cao bằng 10 cm. Câu 5: (6điểm)Cho hình vuông OCID cạnh a, AB là đường thẳng bất kì đi qua I cắt tia OC, OD lần lượt ở A và B. a. Chứng minh rằng tích CA.CB có giá trị không đổi (tính theo a) b.Chứng minh: CA OA2  DB OB 2 c.Xác định đường thẳng AB sao cho DB = 4CA d.Cho diện tích tam giác AOB bằng 8a 2 . Tính CA + DB theo a. 3 Hết Phòng GD & ĐT Đại Lộc Trường THCS MỸ HOÀ GV: Nguyễn Hai ĐỀ THAM KHẢO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học: 2013-2014 Môn thi TOÁN Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 ( 6 điểm ) : 1)Cho biểu thức : 2 2  x  2y  x  2 y P   x  2 y  :  x   3x x  2 y  3x a) Tìm điều kiện xác định của P b) Rút gọn P c) Tính giá trị của P khi x = 3y. 2) a)Chứng minh : ( a + b – c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2ac – 2bc. b) Cho xy = 2 .Chứng minh rằng: x2 + y2  4 ( x – y ) Câu 2 ( 4điểm ) : Giải phương trình : x  2005 4 x  8038 2 x  4004 3x  6022    a) 9 18 24 20 b) 1 1 1 1 1  2  2   x  x x  3x  2 x  5x  6 x  3 2013 2 Câu 3 ( 4 điểm ): Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm . M là điểm bất kì nằm giữa hai điểm B và C. Từ M vẽ các đường vuông góc MH, MK lần lượt đến AB, AC a) Chứng minh tứ giác AHMK là hình chữ nhật. b) Tìm vị trí M nằm giữa hai diểm Bvà C để HK có giá trị nhỏ nhất, Tìm giá trị nhỏ nhất đó? Câu 4 ( 4 điểm ) : Cho tam giác nhọn ABC. Trên cạnh BC, AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho BC = 3BM; AC = 3AN. Từ A vẽ tia Ax song song với BC sao cho Ax cắt MN tại P.BP cắt AC tại I. a) Chứng minh AI2 = IN.IC b)BN cắt PC tại Q. Giả sử diện tích tam giác ABC bằng S. Tính theo S diện tích tam giác BPQ? Câu 5 ( 2điểm ) : 1) Chứng minh rằng trong 11 số nguyên bất kì bao giờ cũng tồn tại một số chia hết cho 10 hoặc tồn tại ít nhất hai số có hiệu chia hết cho 10? 2)Tìm các số nguyên n biết n2 – n + 1 là số chính phương. ----------------Hết---------------- PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (NĂM HỌC 2013 - 2014) Môn: TOÁN (Thời gian: 150 phút) ĐỀ ĐỀ NGHỊ Họ và tên GV ra đề: Lê Thị Nề Đơn vị: Trường THCS Nguyễn Trãi. Bài 1: (3 điểm) a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4 – 30x2 + 31x – 30 b/ Cho a + b + c = 6 và ab + bc + ca = 12 Tính giá trị của biểu thức: (a - b)2012 + (b - c)2013 + (c - a)2014 Bài 2: (4 điểm) a/ Tìm số nguyên dương n bé nhất sao cho: A = n3 + 4n2 - 20n - 48 chia hết cho 36 b/ Chứng minh rằng: A = n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 chia hết cho 16 với n là số nguyên Bài 3: (5 điểm) a/ Giải và biện luận phương trình sau: xm x2  x 1 x 1 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của M biết: x 2  2x  2014 với x  0 M x2 Bài 4: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có  = 800, AD là phân giác. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở E, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở F. Tình số đo góc FED. Bài 5: (5,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. Chứng minh rằng : a/ Tứ giác BEDF là hình bình hành ? b/ CH.CD = CB.CK c/ AB.AH + AD.AK = AC2. UBND HUYỆN ĐẠI LỘC PHÒNG GD&ĐT ĐỀ ĐỀ NGHỊ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THCS Năm học 2013-2014 ĐỀ THI MÔN: TOÁN - LỚP 8 Thời gian làm bài 150 phút - Không tính thời gian giao đề Bài 1 (4 điểm)  1  x3  1  x2  x  : Cho biểu thức A =  2 3 với x khác -1 và 1. 1  x   1 x  x  x a, Rút gọn biểu thức A. 2 3 b, Tính giá trị của biểu thức A tại x  1 . c, Tìm giá trị của x để A < 0. Bài 2 (3 điểm) 2 2 2 Cho  a  b    b  c    c  a   4. a  b  c  ab  ac  bc  . 2 2 2 Chứng minh rằng a  b  c. Bài 3 (3 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Bài 4 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4  2a3  3a2  4a  5 . Bài 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI. Bài 6 (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. b, Chứng minh rằng 1 1 2 .   AB CD MN c, Biết SAOB= 20132 (đơn vị diện tích); SCOD= 20142 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 ( Năm học 2013-2014) MÔN : TOÁN ( Thời gian : 150 phút ) Họ và tên GV ra đề : HỒ VĂN VIỆT . Đơn vị : THCS PHAN BỘI CHÂU ĐỀ ĐỀ NGHỊ Bài 1 (4,5 đ) a/Tính tổng S(n) = 1 1 1   ........  2.5 5.8 (3n  1)(3n  2) b/ Chứng minh B = n3 + 6n2 -19n – 24 chia hết cho 6 c/ Tìm giá trị lớn nhất của N = 2004 – x2 – 2y2 -2xy +6y Bài 2 : ( 3đ) . a/ Tìm số dư trong phép chia của biểu thức A= (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +2028 cho x2 + 8x +12 b/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 + 2013x2 + 2012x + 2013 Bài 3 : ( 4,5đ) . x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 x  6      2012 2011 2010 2009 2008 2007 2a  b 5b  a b/ Tính giá trị biểu thức :  3a  b 3a  b Biết 10a2 - 3b2 +5ab = 0 và 9a2 – b2  0 a/ Giải phương trình : c/ Cho x,y,z là số đo ba cạnh của một tam giác chứng minh x2y + y2z + z2x +zx2 +yz2 + xy2 –x3– y3 –z3 > 0 Bài 4: (4,5 đ) Cho hình bình hành ABCD , đường chéo lớn AC.Tia Dx cắt AC ,AB,CB lần lượt ở I ,M, N . Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD,BG vuông góc với AC .Gọi K là điểm đối xứng của D qua I. Chứng minh : a/ IM.IN = ID2. b/ KM DM  KN DN c/ AB.AE + AD.AF = AC2. Bài 5 : ( 3,5đ) Cho tam giác ABC , điểm D thuộc cạnh BC ( D  B và C) .Đường thẳng qua D và song song với AC cắt AB ở E , đường thẳng qua D và song song với AB cắt AC ở F. Cho biết diện tích tam giác BED = 4 cm2 , diện tích tam giác CFD = 9 cm2 . Tính diện tích tam giác ABC. PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Môn: TOÁN_ _ _ _ _ _ _ _ _ _(Thời gian: _ 180_ _ phút) Họ và tên GV ra đề: _MAI VĂN DŨNG _ _ _ Đơn vị: Trường THCS QUANG TRUNG ĐỀ ĐỀ NGHỊ Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 1. x2  7 x  6 2. x4  2014×2  2013x  2014 Bài 2: (4điểm) Giải phương trình: 2 1. x  3x  2  x  1  0 2 2 2 1 1  1  1 2    2. 8  x    4  x 2  2   4  x 2  2  x     x  4  x x  x  x    Bài 3: (4điểm) 1. CMR với a,b,c,là các số dương ,ta có: (a+b+c)( 1  1  1 )  9 a 3. Tìm b c số d trong phép chia của biểu thức  x  2 x  4 x  6 x  8  2008 cho đa thức x2  10x  21 . Bài 4: (8 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H  BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m  AB . 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM 3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: GB  HD . BC AH  HC hòng Giáo dục –Đại Lộc ường THCS Tây Sơn iáo viên : Trần Đình Mạo ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Năm học 2013-2014 Thời gian : 120 phút ĐỀ ĐỀ NGHỊ Bài 1 : (2đ) a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 4  8a 3  14a 2  8a  15 b/ Chứng minh rằng biểu thức 10 n  18n  1 chia hết cho 27 với n là số tự nhiên Bài 2 : ( 2đ) Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số ,biết rằng Khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn ,thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm ,thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục ,thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được số chính phương Bài 3 : (2đ) a/Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= a 4  2a 3  3a 2  4a  5 b/ Giải phương trình 3x x 3x   0 x  2 5  x x  2x  5 Bài 4: (4đ) Hình thang ABCD (AB//CD ) có hai đường chéo cắt nhau tại 0. Đường thẳng qua 0 và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD BC theo thứ tự ở M và N . a/ Chứng minh OM= ON b/ Chứng minh rằng : 1 1 2   AB CD MN c/ Biết S A0 B  20082 (đơn vị diện tích ); S C 0 D  2009 2 (đơn vị diện tích ) Tính S ABCD ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 ( Năm học 2013-2014) ĐỀ ĐỀ NGHỊ MÔN : TOÁN ( Thời gian : 150 phút ) Họ và tên GV ra đề : PHẠM THỊ PHƯỢNG . Đơn vị : THCS Trần Hưng Đạo. Bài 1 (4,5 đ) a/Tính tổng S(n) = 1 1 1   ……..  2.5 5.8 (3n  1)(3n  2) b/ Chứng minh B = n3 + 6n2 -19n – 24 chia hết cho 6 c/ Tìm giá trị lớn nhất của N = 2004 – x2 – 2y2 -2xy +6y Bài 2 : ( 3đ) . a/ Tìm số dư trong phép chia của biểu thức A= (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +2028 cho x2 + 8x +12 b/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 + 2013×2 + 2012x + 2013 Bài 3 : ( 4,5đ) . x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 x  6      2012 2011 2010 2009 2008 2007 2a  b 5b  a b/ Tính giá trị biểu thức :  3a  b 3a  b Biết 10a2 – 3b2 +5ab = 0 và 9a2 – b2  0 a/ Giải phương trình : c/ Cho x,y,z là số đo ba cạnh của một tam giác chứng minh x2y + y2z + z2x +zx2 +yz2 + xy2 –x3– y3 –z3 > 0 Bài 4: (4,5 đ) Cho hình bình hành ABCD , đường chéo lớn AC.Tia Dx cắt AC ,AB,CB lần lượt ở I ,M, N . Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD,BG vuông góc với AC .Gọi K là điểm đối xứng của D qua I. Chứng minh : a/ IM.IN = ID2. b/ KM DM  KN DN c/ AB.AE + AD.AF = AC2. Bài 5 : ( 3,5đ) Cho tam giác ABC , điểm D thuộc cạnh BC ( D  B và C) .Đường thẳng qua D và song song với AC cắt AB ở E , đường thẳng qua D và song song với AB cắt AC ở F. Cho biết diện tích tam giác BED = 4 cm2 , diện tích tam giác CFD = 9 cm2 . Tính diện tích tam giác ABC. PHÒNG GD-ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (NĂM HỌC 2013-2014) Môn Toán ( Thời gian 150 phút) ĐỀ ĐỀ NGHỊ Đơn vị : Trường THCS Võ Thị Sáu Người ra đề: Nguyễn Phước Hai Bài 1 ( 3 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a/ x 4  4 b/  x  2  x  3 x  4  x  5   24 Bài 2: (2 điểm) Tìm giá trị của m để cho phương trình: 6x – 5m = 3 + 3mx có nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình: ( x + 1)( x – 1) – ( x + 2)2 = 3 Bài 3 ( 3 điểm) Giải phương trình: a/ x2  3x  2  x  1  0 2 2 2 1 1 1 1 2 b/ 8  x    4  x 2  2   4  x 2  2   x     x  4  x x  x  x    Bài 4 (2 điểm) Tìm đa thức bậc 3 P(x), cho biết P(x) = x3 + ax2 +bx+c chia cho x-1; x-2; x-3 đều có số dư là 6 Bài 5: (6 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK 2 c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC . Bài 6: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, a3 + b3 + c3 – 3abc b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3 Câu 2: Cho A =  1  x3 x(1  x 2 ) 2  1  x3 (  x )(  x)  :  1 x 2 1 x 1 x   a, Rút gọn A b, Tìm A khi x= – 1 2 c, Tìm x để 2A = 1 Câu 3: a, Cho x+y+z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x2 + y2 + z2 b, Tìm giá trị lớn nhất của P = x ( x  10) 2 Câu 4: a b c + + <2 ab bc ca a, Cho a,b,c > 0, CMR: 1< b, Cho x,y  0 CMR: x2 y2 x y + 2  + 2 x y x y Câu 5: Cho ABC đều có độ dài cạnh là a, kéo dài BC một đoạn CM =a a, Tính số đo các góc ACM b, CMR: AM  AB c, Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a. CMR MNP đều. Caâu1( 2 ñ): Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû A   a  1 a  3 a  5 a  7   15 Caâu 2( 2 ñ): Vôùi giaù trò naøo cuûa a vaø b thì ña thöùc:  x  a  x 10  1 phaân tích thaønh tích cuûa moät ña thöùc baäc nhaát coù caùc heä soá nguyeân Caâu 3( 1 ñ): tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = x4  3x3  ax  b chia heát cho ña thöùc B( x)  x2  3x  4 Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH,veõ phaân giaùc Hx cuûa goùc AHB vaø phaân giaùc Hy cuûa goùc AHC. Keû AD vuoâng goùc vôùi Hx, AE vuoâng goùc Hy. Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng P 1 1 1 1  2  4  ...  1 2 2 3 4 1002 Đáp án và biểu điểm Caâu 1 2ñ Ñaùp aùn A   a  1 a  3 a  5  a  7   15   a  a  a    a 2  8a  7 a 2  8a  15  15 2   2   8a  22 a 2  8a  120   8a  12  a   a  2  a  6   a 2 2ñ 2 2  8a  11  1 2 2   8a  10  2  x 2   a  10  x  10a  1  x 2   m  n  x  mn  0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ  8a  10 Giaû söû:  x  a  x  10  1   x  m  x  n  ;(m, n  Z )  Bieåu ñieåm m  n  a 10 m.n 10 a 1 Khöû a ta coù : mn = 10( m + n – 10) + 1  mn  10m  10n  100  1  m(n  10)  10n  10)  1 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ ĐỀ SỐ 11 Bài 1: (2điểm) 3x 2 y  1 a) Cho x  2xy  2y  2x  6y  13  0 .Tính N  4xy b) Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau A  a 3  b3  c3  3abc là số dương: Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì: a b   a  b b  c c  a  c A      9 a b  a  b b  c c  a   c Bài 3: (2 điểm) Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quãng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h. Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ. Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N. a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi. b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC Bài 5: (1 điểm) x 6  3x 2  1  y4 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a(b  c) 2 (b  c)  b(c  a) 2 (c  a)  c(a  b) 2 (a  b) 1 1 1 b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và    0 a b c 1 1 1 Rút gọn biểu thức: N  2  2  2 a  2bc b  2ca c  2ab Bài 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  x 2  y 2  xy  x  y  1 b) Giải phương trình: ( y  4,5) 4  ( y  5,5) 4  1  0 Bài 3: (2điểm) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. Tính quãng đường AB. Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD. a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau. b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất. Bài 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x 2  5 y 2  345 Câu1. a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số: x4  4  x  2  x  3 x  4  x  5   24 b. Giải phương trình: x  30x 4 2  31x  30  0 a b c a2 b2 c2    1 . Chứng minh rằng: c. Cho   0 bc ca ab bc ca ab Câu2. Cho biểu thức: 2 1   10  x 2   x A 2    :x  2  x2  x 4 2x x2  a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính giá trị của A , Biết x = 1 . 2 c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME  AB, MF  AD. a. Chứng minh: DE  CF b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 4. a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 1   9 a b c b. Cho a, b d­¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Câu Đáp án a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) Câu 1 (6 điểm) b. x  30x  31x  30  0 <=>  x  x  1  x  5 x  6   0 (*) 4 2 Điểm (2 điểm) 2 (2 điểm) Câu 1 : (2 điểm) Cho P= a 3  4a 2  a  4 a 3  7a 2  14a  8 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên Câu 2 : (2 điểm) a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3. b) Tìm các giá trị của x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó . Câu 3 : (2 điểm) a) Giải phương trình : 1 1 1 1  2  2  x  9 x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 2 b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : A= a b c   3 bca a cb a bc Câu 4 : (3 điểm) Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E . Chứng minh : a) BD.CE= BC 2 4 b) DM,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED. c) Chu vi tam giác ADE không đổi. Câu 5 : (1 điểm) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi . ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Câu 1 : (2 đ) a) (1,5) a3 – 4a2 – a + 4 = a( a2 – 1 ) – 4(a2 – 1 ) =( a2 – 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 3 2 3 0,5 2 a -7a + 14a – 8 =( a -8 ) – 7a( a-2 ) =( a -2 )(a + 2a + 4) – 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 – 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x  17 x  21 x  1   4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1    0. x y z yz xz xy  2  2 Tính giá trị của biểu thức: A  2 x  2 yz y  2xz z  2xy Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. HA’ HB’ HC’   a) Tính tổng AA’ BB’ CC’ b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM. (AB  BC  CA) 2 c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ AA’ 2  BB’ 2  CC’ 2 nhất? ĐÁP ÁN  Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 b) Tính đúng x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = 0  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 x x x x x  2 (2 – 4) – 8(2 – 4) = 0  (2 – 8)(2 – 4) = 0 x 3 x 2 x 3 x 2  (2 – 2 )(2 –2 ) = 0  2 –2 = 0 hoặc 2 –2 = 0 x 3 x 2  2 = 2 hoặc 2 = 2  x = 3; x = 2 ( 1 điểm ) ( 1 điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm )  Bài 2(1,5 điểm): xy  yz  xz 1 1 1  0  xy  yz  xz  0  yz = –xy–xz ( 0,25điểm )   0 xyz x y z Bài 1 (4 điểm)  1  x3  1  x2  x  : Cho biểu thức A =  2 3 với x khác -1 và 1. 1  x   1 x  x  x a, Rút gọn biểu thức A. 2 3 b, Tính giá trị của biểu thức A tại x  1 . c, Tìm giá trị của x để A < 0. Bài 2 (3 điểm) 2 2 2 Cho  a  b    b  c    c  a   4. a  b  c  ab  ac  bc  . 2 2 2 Chứng minh rằng a  b  c . Bài 3 (3 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Bài 4 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4  2a3  3a2  4a  5 . Bài 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI. Bài 6 (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. b, Chứng minh rằng 1 1 2 .   AB CD MN c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. Đáp án Bài 1( 4 điểm ) a, ( 2 điểm ) Với x khác -1 và 1 thì : 1 x  x  x (1  x)(1  x) : 1 x (1  x)(1  x  x 2 )  x(1  x) 3 A= 2 0,5đ Bài 1: Cho x = a 2  (b  c) 2 b2  c2  a 2 ;y= (b  c) 2  a 2 2bc Tính giá trị P = x + y + xy Bài 2: Giải phương trình: a, 1 1 1 1 = + + ab x a b x b, (b  c)(1  a)2 (c  a)(1  b)2 (a  b)(1  c)2 + + =0 x  a2 x  b2 x  c2 (x là ẩn số) (a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau) Bài 3: Xác định các số a, b biết: (3x  1) b a = + 3 3 ( x  1) ( x  1) ( x  1) 2 Bài 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên. Bài 5: Cho  ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C Bài 1: (2 điểm)  2 1  1  1  x  1  1  2 Cho biểu thức: A   3   2  1  : 3   x   x  1  x  x  2x  1  x a/ Thu gọn A b/ Tìm các giá trị của x để A<1 c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm) a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10 b/ Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hãy tính x2 + y2 Bài 3 (1,5 điểm): Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1) Bài 4 (3,5 điểm): Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM. a/ Tính số đo góc DBK. b/ Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng. Bài 5 (1 điểm): Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì k chia hết cho 6. Bài 1: (3 điểm) 3   x2 1  1 Cho biểu thức A    2  : 2 x  3   3 x  3x   27  3x a) Rút gọn A. b) Tìm x để A < -1. c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên. Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: a) 1 6y 2  2  3 y  10 y  3 9 y  1 1  3 y 2  6x 1 x 3 x  1  . 3   2 4  3 b) x  2 2 2 Bài 3: (2 điểm) Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy? Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M  AB và N AD). Chứng minh: a) BD // MN. b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC. Bài 5: (1 điểm) Cho a = 11…1 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n chữ số 4). Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương. ĐỀ SỐ 12 Bài 1: Phân tích thành nhân tử: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2 b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1 Bài 2: a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14. Tính giá trị của A = a4+ b4+ c4 b, Cho a, b, c  0. Tính giá trị của D = x2011 + y2011 + z2011 Biết x,y,z thoả mãn: x2  y 2  z 2 x2 y2 z 2 = + + a 2  b2  c 2 a 2 b2 c2 Bài 3: a, Cho a,b > 0, CMR: 1 1 4 +  a b ab b, Cho a,b,c,d > 0 CMR: a d d b bc ca + + +  0 d b bc ca ad Bài 4: x 2  xy  y 2 với x,y > 0 x 2  xy  y 2 x b, Tìm giá trị lớn nhất: M = với x > 0 ( x  1995) 2 a, Tìm giá trị lớn nhất: E = Bài 5: a, Tìm nghiệm  Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm  Z của PT: x2 + x + 6 = y2 Bài 6: Cho ABC M là một điểm  miền trong của ABC . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D. a, CMR: AB’A’B là hình bình hành. b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’ Đề SỐ 16: Câu 1 : ( 2Đ ) Phân tích biểu thức sau ra thừa số M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) Câu 2 : ( 4Đ) Định a và b để đa thức A = x4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức khác . Câu 3 : ( 4Đ) Cho biểu thức :  x2 6 1   10  x 2       : x  2  3   x  2   x  4 x 6  3x x  2   P =  a) Rút gọn p . b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / = 3 4 c) Với giá trị nào của x thì p = 7 d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên . Câu 4 : ( 3 Đ ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0 Câu 5 : ( 3Đ) Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N . Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm) Câu 6 : ( 4Đ) Cho tam giác đều ABC . M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất . Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5×2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A B biết A = 10×2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . c) Cho x + y = 1 và x y  0 . Chứng minh rằng 2 x  y x y  3  2 2 0 y 1 x 1 x y  3 3 Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) x  1  x  2  x  3  x  4  x  5  x  6 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh  EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. HD CHẤM Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) (0,25đ) x3 – 5×2 + 8x – 4 = x3 – 4×2 + 4x – x2 + 4x – 4 = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 b) (0,75đ) Xét A 10x 2  7x  5 7   5x  4  B 2x  3 2x  3 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) 7  Z  7 ( 2x – 3) 2x  3 Mà Ư(7) = 1;1; 7;7  x = 5; – 2; 2 ; 1 thì A B Với x  Z thì A B khi x y = x 4  x  y4  y  3 y  1 x  1 (y3  1)(x 3  1)  x 4  y4   (x  y) c) (1,5đ) Biến đổi (0,25đ) (0,25đ) 3 ( do x + y = 1  y – 1= -x và x – 1= – y) (0,25đ) xy(y 2  y  1)(x 2  x  1)  x  y  x  y   x 2  y2   (x  y) = (0,25đ) xy(x 2 y 2  y 2 x  y 2  yx 2  xy  y  x 2  x  1) = Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2×2 – 5x – 7 Bµi 2: T×m ®a thøc A, biÕt r»ng: 4 x 2  16 A  x x2  2 Bµi 3: Cho ph©n thøc: 5x  5 2x 2  2x a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc ®îc x¸c ®Þnh. b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc b»ng 1. Bµi 4: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x2 1 2   x  2 x x( x  2) b) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3 Bµi 5: Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Mét tæ s¶n xuÊt lËp kÕ ho¹ch s¶n xuÊt, mçi ngµy s¶n xuÊt ®îc 50 s¶n phÈm. Khi thùc hiÖn, mçi ngµy tæ ®ã s¶n xuÊt ®îc 57 s¶n phÈm. Do ®ã ®· hoµn thµnh tríc kÕ ho¹ch mét ngµy vµ cßn vît møc 13 s¶n phÈm. Hái theo kÕ ho¹ch tæ ph¶i s¶n xuÊt bao nhiªu s¶n phÈm vµ thùc hiÖn trong bao nhiªu ngµy. Bµi 6: Cho ∆ ABC vu«ng t¹i A, cã AB = 15 cm, AC = 20 cm. KÎ ®êng cao AH vµ trung tuyÕn AM. a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ? BiÓu ®iÓm - §¸p ¸n §¸p ¸n Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 ®iÓm) b) 2x2 – 5x – 7 = 2x2 + 2x – 7x – 7 = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) BiÓu ®iÓm Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x  17 x  21 x  1   4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1    0. x y z yz xz xy  2  2 Tính giá trị của biểu thức: A  2 x  2 yz y  2xz z  2xy Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực HA' HB' HC'   tâm. a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB  BC  CA) 2  4. c) Chứng minh rằng: AA'2  BB'2  CC'2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI  Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 điểm ) b) Tính đúng x = 2007 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 0  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 0,25điểm ) x x x x x  2 (2 – 4) – 8(2 – 4) = 0  (2 – 8)(2 – 4) = 0 0,25điểm ) x 3 x 2 x 3 x 2  (2 – 2 )(2 –2 ) = 0  2 –2 = 0 hoặc 2 –2 = 0 0,25điểm ) x 3 x 2  2 = 2 hoặc 2 = 2  x = 3; x = 2 0,25điểm ) (1 (1 ( ( ( ( Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2 x 4 x2 2 x x 2  3x A(  2  ):( ) 2 x x 4 2 x 2 x 2  x3 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x – 7| = 4. Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9×2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0. b) Cho x2 y 2 z 2 a b c x y z    1 và    0 . Chứng minh rằng : 2  2  2  1 . a b c a b c x y z Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK 2 c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC . HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài 1 a 2 2 3x – 7x + 2 = 3x – 6x – x + 2 = = 3x(x -2) – (x – 2) Điểm 2,0 1,0 0,5 Bài 1: (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. b) x4 + 2010×2 + 2009x + 2010. Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: x  241 x  220 x  195 x  166     10 . 17 19 21 23 Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: 2 2  2009  x    2009  x  x  2010    x  2010   2009  x    2009  x  x  2010    x  2010  2 Bài 4: (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  2  19 . 49 2010x  2680 . x2  1 Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho: AFE  BFD, BDF  CDE, CED  AEF . a) Chứng minh rằng: BDF  BAC . b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD. Một lời giải: Bài 1: Bài 1: (2,5điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 b) x4 + 4 c) x x – 3x + 4 x -2 với x  0 Bài 2 : (1,5điểm) Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức: A a b 2c   ab  a  2 bc  b  1 ac  2c  2 Bài 3: (2điểm) Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a  b  0 Tính: P  ab 4a  b 2 2 Bài 4 : (3điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trờn BC lấy M bất kì sao cho BM  CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F. a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của  ABC để cho AEMF là hình vuông. Bài 5: (1điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23. Bài 1: (2 điểm) a) Phõn tớch thành thừa số: (a  b  c) 3  a 3  b 3  c 3 b) Rỳt gọn: 2 x 3  7 x 2  12 x  45 3x 3  19 x 2  33x  9 Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: A  n 3 (n 2  7) 2  36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiờn n. Bài 3: (2 điểm) a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước trên giếng. Nếu làm một mỡnh thỡ mỏy bơm A hút hết nước trong 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước trong 15 giờ và máy bơm C hút hết nước trong 20 giờ. Trong 3 giờ đầu hai máy bơm A và C cùng làm việc sau đó mới dùng đến máy bơm B. Tớnh xem trong bao lõu thỡ giếng sẽ hết nước. b) Giải phương trỡnh: 2 x  a  x  2a  3a (a là hằng số). Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại các điểm M, N. a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN. b) So sỏnh hai tam giỏc ABC và INC. c) Chứng minh: gúc MIN = 900. d) Tỡm vị trớ điểm I sao cho diện tích ∆IMN lớn gấp đôi diện tích ∆ABC. Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng số: 22499 ………. ………. … 09 là số chính phương. ( n  2 ).   9100    n-2 sè 9 n sè 0 Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 1. x2  7 x  6 2. x4  2008×2  2007 x  2008 Bài 2: (2điểm) Giải phương trình: 1. x2  3x  2  x  1  0 2 2. 2 2 1 1  1  1 2    8  x    4  x 2  2   4  x 2  2  x     x  4  x x  x  x    Bài 3: (2điểm) 1. CMR với a,b,c,là các số dơng ,ta có: (a+b+c)( 1  1  1 )  9 a b c 3. Tìm số d trong phép chia của biểu thức  x  2 x  4 x  6 x  8  2008 cho đa thức x2  10x  21 . Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H  BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m  AB . 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM 3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: GB  HD . BC Bài 1 1. Câu Nội dung AH  HC Điểm 2,0 1.1 (0,75 điểm) ĐỀ BÀI: Bài 1( 6 điểm): Cho biểu thức: 2x  3 2x  8 3  21  2 x  8 x 2    1 P=  2 : 2 2  4 x  12 x  5 13x  2 x  20 2 x  1  4 x  4 x  3 a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi x  1 2 c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. d) Tìm x để P > 0. Bài 2(3 điểm):Giải phương trình: 15 x 1   1  1  12    a) 2 x  3x  4  x  4 3x  3  b) 148  x 169  x 186  x 199  x     10 25 23 21 19 c) x  2  3  5 Bài 3( 2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu ngời ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của ngời đó. Bài 4 (7 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P. a) Tứ giác AMDB là hình gì? b) Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng. c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P. PD 9  d) Giả sử CP  BD và CP = 2,4 cm, . Tính các cạnh của hình chữ PB 16 nhật ABCD. Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010 b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2   1  x2 1  y 2 1  xy Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết: a. A  n3  n2  n  1 là một số nguyên tố. 4 n  16 b. C  4 có giá trị là một số nguyên. n  4n 3  8n 2  16 c. D = n4 + 4n là một số nguyên tố. Bài 2. Cho a + b +c = 0; abc  0. a. Chứng minh: a3 + b3 + c3 -3abc =0 b. Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 c a b P 2  a  b 2  c2 b 2  c2  a 2 c2  a 2  b 2 Bài 3: a. Giải phương trình:  x  a  x  c    x  b  x  c   1  b  a  b  c   a  b a  c  b. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x2 – y2 + 2x – 4y -10 = 0 Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E; cắt BC tại F. a. Chứng minh : S AOD  S BOC b. Chứng minh: OE = OF. 1 1 2   c. Chứng minh: AB CD EF d. Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác DEF. Câu 1: Xác định hệ số a sao cho: a) 27×2 + a chia hết cho 3x + 2 b) 3×2 + ax + 27 chia hết cho x + 5 có số dư bằng 2 Câu2: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn abc = 1999 Rút gọn biểu thức: 1999a b c   ab  1999a  1999 bc  b  1999 ac  c  1 Câu 3: Cho abc  0 và a + b+ c  0 giải phương trình: a bx a cx bcx 4x    1 c b a abc Câu 4: Gọi M là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một nửa mặt phẳng có bờ là AB các hình vuông AMCD, BMEF. a. Chứng minh AE vuông góc với BC. b. Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba diểm D, H, F thẳng hàng. c. Những minh đoạn thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB cố định. d. Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông khi điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định. Câu 1: ( 4 điểm) Cho biểu thức: a b a b P   2 2 ab ab  b ab  a a. Rút gọn P. b. Có giá trị nào của a, b để P = 0? c. Tính giá trị của P biết a, b thỏa mãn điều kiện: 3a2 + 3b2 = 10ab và a > b > 0 Câu 2: ( 3,5 điểm) Chứng minh rằng: a. (n2 + n -1)2 – 1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên n. b. Tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9. Câu 3: ( 3 điểm) Giải phương trình: x4 + x2 + 6x – 8 = 0 Câu 4: ( 3 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 = y( y +1)(y + 2)(y + 3) Câu 5: (7,5 điểm) Cho tam giác ABC, O là giao điểm của các đường trung tực trong tam giác, H là trực tâm của tam giác. Gọi P, R, M theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Gọi Q là trung điểm đoạn thẳng AH. a. Xác định dạng của tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để OPQR là hình thoi? b. Chứng minh AQ = OM. c. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh H, G, O thẳng hàng. d. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE, ACFL. Gọi I là trung điểm của EL. Nếu diện tích tam giác ABC không đổi và BC cố định thì I di chuyển trên đường nào? 2 2 2 2 Câu 1: Cho a + b = 1. Tính giá trị biểu thức: M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) Câu 2: Chứng minh rằng: a b c 1,    1 biết abc = 1. ab+a+1 bc+a+1 ac+c+1 2 n  n 1 2, 4 (n  N* ) không là phân số tối giản. 2 n  n 1 Câu 3: Cho biểu thức: 1 1 1 1 1 P 2  2  2  2  2 a  a a  3a  2 a  5a  6 a  7a  12 a  9a  20 a. Tìm điều kiện để P xác định. b. Rút gọn P. c. Tính giá trị của P biết a3 – a2 + 2 = 0 Câu 4*: Tìm số tự nhiên n để đa thức: A(x) = x2n + xn +1 chia hết cho đa thức x2 + x + 1 Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Kẻ đường thẳng qua C và vuông góc với AB tại E. Gọi M là trung điểm của AD. a. Chứng minh: tam giác EMC cân. b. Chứng minh: Góc BAD = 2 góc AEM. c. Gọi P là một điểm thuộc đoạn thẳng EC. Chứng minh tổng khoảng cách từ P đến Me và đến MC không phụ thuộc vào vị trí của P trên EC. Câu 1: Cho x = b2  c 2  a 2 a 2  (b  c)2 ;y= 2bc (b  c) 2  a 2 Tính giá trị P = x + y + xy Câu 2: Giải phương trình: a, 1 1 1 1 = + + ab x a b x b, (b  c)(1  a)2 (c  a)(1  b)2 (a  b)(1  c) 2 + + =0 x  a2 x  b2 x  c2 (x là ẩn số) (a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau) Câu 3: Xác định các số a, b biết: (3x  1) a b = + 3 3 ( x  1) ( x  1) ( x  1) 2 Câu 4: Chứng minh phương trình: 2×2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên. Câu 5: Cho  ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C ĐỀ THI SỐ 1 Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3×2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2 x 4 x2 2 x x 2  3x A(   ):( ) 2  x x2  4 2  x 2 x 2  x3 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x – 7| = 4. Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9×2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0. b) Cho x2 y 2 z 2 x y z a b c    1 và    0 . Chứng minh rằng : 2  2  2  1 . a b c a b c x y z Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài 1 a 2 2 3x – 7x + 2 = 3x – 6x – x + 2 = = 3x(x -2) – (x – 2) = (x – 2)(3x – 1). b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x – a) – (x – a) = = (x – a)(ax – 1). Điểm 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5 Bài 2: a 5,0 3,0 ĐKXĐ : 2  x  0  2 x  0 x  4  0     x  2 2  x  0  x 2  3x  0  x  3  2 x 2  x3  0 1,0 2  x 4 x2 2 x x 2  3x (2  x) 2  4 x 2  (2  x) 2 x 2 (2  x) A(   ):( ) .  2  x x 2  4 2  x 2 x 2  x3 (2  x)(2  x) x( x  3)  1,0 4 x2  8x x(2  x) .  (2  x)(2  x) x  3 0,5 4 x( x  2) x(2  x) 4 x2  (2  x)(2  x)( x  3) x  3 0,25 Vậy với x  0, x  2, x  3 thì A  4x 2 . x 3 0,25 b 1,0 Với x  0, x  3, x  2 : A  0  2 4x 0 x 3  x 3  0  x  3(TMDKXD) Vậy với x > 3 thì A > 0. c x  7  4 x7  4    x  7  4  x  11(TMDKXD)   x  3( KTMDKXD) Với x = 11 thì A = 121 2 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 Bài 3 a 5,0 2,5 9×2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0 2 2 2  (9x – 18x + 9) + (y – 6y + 9) + 2(z + 2z + 1) = 0 2 2 2  9(x – 1) + (y – 3) + 2 (z + 1) = 0 (*) Do : ( x 1)2  0;( y  3)2  0;( z  1)2  0 Nên : (*)  x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). b Từ : Ta có : a b c ayz+bxz+cxy   0 0 x y z xyz  ayz + bxz + cxy = 0 x y z x y z    1  (   )2  1 a b c a b c 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 0,25 0,5 x2 y 2 z 2 xy xz yz  2  2  2(   )  1 2 a b c ab ac bc 2 2 2 x y z cxy  bxz  ayz  2  2  2 2 1 a b c abc x2 y 2 z 2  2  2  2  1(dfcm) a b c  0,5 0,5 0,25 Bài 4 6,0 H C B 0,25 F O E A D K a Ta có : BE  AC (gt); DF  AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO  DFO( g  c  g ) => BE = DF Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. b Ta có: ABC  ADC  HBC  KDC Chứng minh : CBH CDK ( g  g )  CH CK   CH .CD  CK .CB CB CD b, Chứng minh : AFD AKC( g  g ) AF AK   AD. AK  AF . AC AD AC Chứng minh : CFD AHC( g  g ) CF AH   CD AC CF AH   AB. AH  CF . AC Mà : CD = AB  AB AC  Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm). ĐỀ SỐ 2 Câu1. a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số: x4  4 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 0,5 1,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25  x  2  x  3 x  4  x  5   24 x4  30×2  31x  30  0 a b c a2 b2 c2    1 . Chứng minh rằng:   0 bc ca ab bc ca ab b. Giải phương trình: c. Cho Câu2. Cho biểu thức: 2 1   10  x 2   x A 2   : x  2     x2  x 4 2x x2  a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính giá trị của A , Biết x = 1 . 2 c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME  AB, MF  AD. a. Chứng minh: DE  CF b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 4. a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: b. Cho a, b d­¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 Câu 1 1 1   9 a b c HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Đáp án a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) Câu 1 (6 điểm) x4  30x2  31x  30  0 <=>  x2  x  1  x  5 x  6   0 Điểm (2 điểm) b. Vì x2 – x + 1 = (x – 1 2 3 ) + 2 4 >0 (*) x  (*) <=> (x – 5)(x + 6) = 0 x  5  0 x  5 x  6  0  x   6   a b c   1 c. Nhân cả 2 vế của: bc ca ab với a + b + c; rút gọn  đpcm 2 1   10  x 2   x Biểu thức: A   2   : x  2     x2  x 4 2x x2   Câu 2 (6 điểm) (2 điểm) (2 điểm) A a. Rút gọn được kq: x b. 1 1 x 2 2 1 x2 hoặc x (1.5 điểm) 1 2 4 4 hoặc A  3 5 A0x2 1 AZ   Z …  x 1;3 x2 A c. d. HV + GT + KL A (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) E B (1 điểm) F Câu 3 (6 điểm) M D AE  FM  DF  AED  DFC  đpcm b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC  đpcm a. Chứng minh: C c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi  ME  MF  a không đổi  S AEMF  ME.MF lớn nhất  ME  MF (AEMF là hình vuông)  M là trung điểm của BD. a. Từ: a + b + c = 1 (2 điểm) (2 điểm) (1 điểm) b c 1  a  1 a  a  a c 1    1  b b b a b 1  c  1 c  c  (1 điểm) Câu 4: (2 điểm) 1 1 1 a b a c b c    3            a b c b a c a c b 32229 1 Dấu bằng xảy ra  a = b = c = 3  b. (a2001 + b2001).(a+ b) – (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002  (a+ b) – ab = 1  (a – 1).(b – 1) = 0  a = 1 hoÆc b = 1 Víi a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoÆc b = 0 (lo¹i) Víi b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoÆc a = 0 (lo¹i) (1 điểm) VËy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2 §Ò thi SỐ 3 C©u 1 : (2 ®iÓm) Cho a 3  4a 2  a  4 a 3  7a 2  14a  8 P= a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn C©u 2 : (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph-¬ng cña chóng chia hÕt cho 3. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã . C©u 3 : (2 ®iÓm) a) Gi¶i ph-¬ng tr×nh : 1 1 1 1  2  2  x  9 x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 2 b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng : A= a b c   3 bca a cb a bc C©u 4 : (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn l-ît t¹i D vµ E . Chøng minh : BC 2 a) BD.CE= 4 b) DM,EM lÇn l-ît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED. c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi. C©u 5 : (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d-¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi . ®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái C©u 1 : (2 ®) a) (1,5) a3 – 4a2 – a + 4 = a( a2 – 1 ) – 4(a2 – 1 ) =( a2 – 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 3 2 3 0,5 2 a -7a + 14a – 8 =( a -8 ) – 7a( a-2 ) =( a -2 )(a + 2a + 4) – 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 – 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nªu §KX§ : a  1; a  2; a  4 Rót gän P= b) (0,5®) P= a 1 a2 0,25 0,25 a23 3  1 ; ta thÊy P nguyªn khi a-2 lµ -íc cña 3, a2 a2 mµ ¦(3)=  1;1;3;3 0,25 Tõ ®ã t×m ®-îc a   1;3;5 0,25 C©u 2 : (2®) a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 .  0,25  Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a 2  2ab  b 2 )  3ab =  =(a+b) (a  b) 2  3ab  0,5 V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3 ;   Do vËy (a+b) (a  b) 2  3ab chia hÕt cho 9 0,25 b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 0,5 Ta thÊy (x +5x)  0 nªn P=(x +5x) -36  -36 2 2 2 2 0,25 Do ®ã Min P=-36 khi (x2+5x)2=0 Tõ ®ã ta t×m ®-îc x=0 hoÆc x=-5 th× Min P=-36 0,25 C©u 3 : (2®) a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 §KX§ : x  4; x  5; x  6; x  7 0,25 Ph-¬ng tr×nh trë thµnh : 1 1 1 1    ( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) ( x  6)( x  7) 18 1 1 1 1 1 1 1       x  4 x  5 x  5 x  6 x  6 x  7 18 1 1 1   x  4 x  7 18 0,25 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Tõ ®ã t×m ®-îc x=-13; x=2; 0,25 b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 yz xz x y ; 0,5 ;b  ;c  2 2 2 yz xz x y 1 y x x z y z     (  )  (  )  (  ) 0,25 Thay vµo ta ®-îc A= 2x 2y 2z 2 x y z x z y  1 Tõ ®ã suy ra A  (2  2  2) hay A  3 0,25 2 C©u 4 : (3 ®) Tõ ®ã suy ra a= a) (1®) ˆ  120 0  Mˆ Trong tam gi¸c BDM ta cã : D 1 1 V× M̂ 2 =600 nªn ta cã ˆ  120 0  Mˆ : M 3 1 y A x E ˆ  Mˆ Suy ra D 1 3 Chøng minh BMD ∾ CEM (1) Suy ra 0,5 BD CM , tõ ®ã BD.CE=BM.CM  BM CE V× BM=CM= BC 2 BC , nªn ta cã BD.CE= 2 4 b) (1®) Tõ (1) suy ra 0,5 BD MD mµ BM=CM nªn ta cã  CM EM BD MD  BM EM Chøng minh BMD ∾ MED 0,5 ˆ  Dˆ , do ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE Tõ ®ã suy ra D 1 2 Chøng minh t-¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED 0,5 c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK 0,5 TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn. 0,5 C©u 5 : (1®) Gäi c¸c c¹nh cña tam gi¸c vu«ng lµ x , y , z ; trong ®ã c¹nh huyÒn lµ z (x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d-¬ng ) Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) 2 0,25 2 Tõ (2) suy ra z = (x+y) -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 – 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 – 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 – 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta ®-îc : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Tõ ®ã ta t×m ®-îc c¸c gi¸ trÞ cña x , y , z lµ : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) ÑEÀ THI SOÁ 4 Caâu1( 2 ñ): Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû A   a  1 a  3 a  5 a  7   15 Caâu 2( 2 ñ): Vôùi giaù trò naøo cuûa a vaø b thì ña thöùc: 0,25  x  a  x 10  1 phaân tích thaønh tích cuûa moät ña thöùc baäc nhaát coù caùc heä soá nguyeân Caâu 3( 1 ñ): tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = x4  3×3  ax  b chia heát cho ña thöùc B( x)  x 2  3x  4 Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH,veõ phaân giaùc Hx cuûa goùc AHB vaø phaân giaùc Hy cuûa goùc AHC. Keû AD vuoâng goùc vôùi Hx, AE vuoâng goùc Hy. Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng P Caâu 1 2ñ 1 1 1 1  2  4  …  1 2 2 3 4 1002 Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm Ñaùp aùn A   a  1 a  3 a  5  a  7   15   a  a  a    2   8a  22 a 2  8a  120   8a  12  a   a  2  a  6   a 2 2ñ 2 2  8a  11  1 2   8a  10   8a  10 2 2 Giaû söû:  x  a  x  10   1   x  m  x  n  ;(m, n  Z )  x 2   a  10  x  10a  1  x 2   m  n  x  mn   0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ m  n  a 10 m.n 10 a 1 Khöû a ta coù :  mn  10m  10n  100  1  m(n  10)  10n  10)  1 mn = 10( m + n – 10) + 1 vì m,n nguyeân ta coù: 3 1ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ   a 2  8a  7 a 2  8a  15  15 2 Bieåu ñieåm  m 101 n 101 v  m 101 n 101 suy ra a = 12 hoaëc a =8 Ta coù: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4 Ñeå A( x) B( x) thì  a 30 b  40   a 3 b 4 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 4 3ñ 0,25 ñ Töù giaùc ADHE laø hình vuoâng Hx laø phaân giaùc cuûa goùc AHB ; Hy phaân giaùc cuûa goùc AHC maø AHB vaø AHC laø hai goùc keà buø neân Hx vaø Hy vuoâng goùc Hay DHE = 900 maët khaùc ADH  AEH = 900 Neân töù giaùc ADHE laø hình chöõ nhaät ( 1) AHD  AHB 900   450 2 2 Do AHE  AHC 900   450 2 2 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ  AHD  AHE Hay HA laø phaân giaùc DHE (2) Töø (1) vaø (2) ta coù töù giaùc ADHE laø hình vuoâng 5 2ñ 1 1 1 1  2  4  …  2 2 3 4 1002 1 1 1 1     …  2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1     …  1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1  1     …   2 2 3 99 100 1 99  1  1 100 100 P 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ ĐỀ THI SỐ 5 Bài 1: (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. b) x4 + 2010×2 + 2009x + 2010. Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: x  241 x  220 x  195 x  166     10 . 17 19 21 23 Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: 2 2  2009  x    2009  x  x  2010    x  2010   2009  x    2009  x  x  2010    x  2010  2 Bài 4: (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  2  19 . 49 2010x  2680 . x2  1 Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho: AFE  BFD, BDF  CDE, CED  AEF . a) Chứng minh rằng: BDF  BAC . b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD. Một lời giải: Bài 1: a) 3 (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 =  x  y  z   x 3    y3  z3    =  y  z   x  y  z    x  y  z  x  x 2    y  z   y 2  yz  z 2    2 =  y  z   3x 2  3xy  3yz  3zx  = 3  y  z   x  x  y   z  x  y  = 3  x  y  y  z  z  x  . b) x4 + 2010×2 + 2009x + 2010 =  x 4  x    2010x 2  2010x  2010  = x  x  1  x 2  x  1  2010  x 2  x  1 =  x 2  x  1 x 2  x  2010  . Bài 2: x  241 x  220 x  195 x  166     10 17 19 21 23  x  241 x  220 x  195 x  166 1 2 3 40 17 19 21 23 x  258 x  258 x  258 x  258    0 17 19 21 23 1  1 1 1   x  258       0  17 19 21 23   x  258 Bài 3: 2 2  2009  x    2009  x  x  2010    x  2010    2009  x    2009  x  x  2010    x  2010  2 2  19 . 49 ĐKXĐ: x  2009; x  2010 . Đặt a = x – 2010 (a  0), ta có hệ thức: 2  a  1   a  1 a  a 2  19  a 2  a  1  19 2  a  1   a  1 a  a 2 49 3a 2  3a  1 49  49a 2  49a  49  57a 2  57a  19  8a 2  8a  30  0 3  a   2 2 (thoả ĐK)   2a  1  42  0   2a  3 2a  5  0   a   5  2 4023 4015 Suy ra x = hoặc x = (thoả ĐK) 2 2 4023 4015 Vậy x = và x = là giá trị cần tìm. 2 2 Bài 4: 2010x  2680 A x2  1 335x 2  335  335x 2  2010x  3015 335(x  3)2 =  335   335 x2  1 x2  1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3. Bài 5: a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì E  A  F  90o ) C Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác của BAC . b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF Suy ra 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ nhất  AD nhỏ nhất F  D là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Bài 6: a) Đặt AFE  BFD  , BDF  CDE  , CED  AEF   . A D E B Ta có BAC      1800 (*) Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF.  OFD  OED  ODF  90o (1) Ta có OFD    OED    ODF    270o (2) (1) & (2)        180o (**) s s s (*) & (**)  BAC    BDF . b) Chứng minh tương tự câu a) ta có: B  , C    AEF DBF DEC ABC  5BF 5BF 5BF  BD BA 5      BD  BD  BD   BF BC 8    8 8 8     7CE 7CE 7CE  CD CA 7       CD   CD   CD   8 8 8  CE CB 8     AE AB 5 7AE  5AF 7(7  CE)  5(5  BF) 7CE  5BF  24  AF  AC  7         CD  BD  3 (3) Ta lại có CD + BD = 8 (4) (3) & (4)  BD = 2,5 ĐỀ SỐ 6 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x  17 x  21 x  1   4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1    0. x y z yz xz xy  2  2 Tính giá trị của biểu thức: A  2 x  2 yz y  2xz z  2xy Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. HA’ HB’ HC’   a) Tính tổng AA’ BB’ CC’ b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM. (AB  BC  CA) 2 c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ AA’ 2  BB’ 2  CC’ 2 nhất?  Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 ĐÁP ÁN ( 1 điểm ) b) Tính đúng x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = 0  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 1 điểm ) ( 0,25điểm ) x x x x x  2 (2 – 4) – 8(2 – 4) = 0  (2 – 8)(2 – 4) = 0 x 3 x 2 x 3 x 2  (2 – 2 )(2 –2 ) = 0  2 –2 = 0 hoặc 2 –2 = 0 ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) x 3 x 2  2 = 2 hoặc 2 = 2  x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )  Bài 2(1,5 điểm): xy  yz  xz 1 1 1  0  xy  yz  xz  0  yz = –xy–xz ( 0,25điểm )   0 xyz x y z x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) Do đó: A  yz xz xy   ( x  y)(x  z) ( y  x )( y  z) (z  x )(z  y) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) Tính đúng A = 1  Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d ( 0,5 điểm )  N, 0  a, b, c, d  9, a  0 (0,25điểm) 2 Ta có: abcd  k với k, m  N, 31  k  m  100 (a  1)(b  3)(c  5)(d  3)  m 2 (0,25điểm)  abcd  k 2 abcd  1353  m 2  (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353  (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41  hoặc m–k = 11 m–k = 33  m = 67 k = 56 hoặc m = 37 k= 4 (0,25điểm) Kết luận đúng (0,25điểm) Bài 4 (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm) 1 .HA'.BC S HBC 2 HA'   a) ; S ABC 1 AA' .AA'.BC 2 (0,25điểm) Tương tự: abcd = 3136 A C’ H N x B’ M I A’ C B S HAB HC' SHAC HB'   ; S ABC CC' SABC BB' (0,25điểm) HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC      1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC  ;  ;  IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC . .  . .  . 1 IC NB MA AC BI AI AC BI  BI .AN.CM  BN.IC.AM c)Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD  BC + CD (0,25điểm) -  BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 2 2 2  AB + AD  (BC+CD) AB2 + 4CC’2  (BC+AC)2 4CC’2  (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm) Tương tự: 4AA’2  (AB+AC)2 – BC2 4BB’2  (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2)  (AB+BC+AC)2 (AB  BC  CA) 2 4  (0,25điểm) AA'2  BB'2  CC'2 Đẳng thức xảy ra  BC = AC, AC = AB, AB = BC  AB = AC =BC   ABC đều D (0,5điểm ) (0,5điểm ) Kết luận đúng (0,25điểm) *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó ĐỀ SỐ 7 Bài 1 (4 điểm)  1  x3  1  x2    x : Cho biểu thức A =   1  x  x 2  x3 với x khác -1 và 1.  1 x  a, Rút gọn biểu thức A. 2 3 b, Tính giá trị của biểu thức A tại x  1 . c, Tìm giá trị của x để A < 0. Bài 2 (3 điểm) 2 2 2 Cho  a  b    b  c    c  a   4. a  b  c  ab  ac  bc  . 2 2 2 Chứng minh rằng a  b  c . Bài 3 (3 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Bài 4 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4  2a3  3a2  4a  5 . Bài 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI. Bài 6 (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. b, Chứng minh rằng 1 1 2 .   AB CD MN c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. Đáp án Bài 1( 4 điểm ) a, ( 2 điểm ) Với x khác -1 và 1 thì : 1 x  x  x (1  x)(1  x) : 1 x (1  x)(1  x  x 2 )  x(1  x) 3 A= 2 0,5đ 0,5đ (1  x)(1  x  x 2  x) (1  x)(1  x) : 1 x (1  x)(1  2 x  x 2 ) 1 = (1  x 2 ) : (1  x) 2 = (1  x )(1  x) = 0,5đ 0,5đ b, (1 điểm) 0,25đ 2 5 5 5 =  thì A = 1  ( ) 2   1  ( ) 3 3 3   3   25 5 = (1  )(1  ) 9 3 34 8 272 2  .   10 9 3 27 27 Tại x =  1 0,25đ 0,5đ c, (1điểm) Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1  x 2 )(1  x)  0 (1) Vì 1  x 2  0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1  x  0  x  1 KL 0,25đ 0,5đ 0,25đ Bài 2 (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để được 0,5đ a  b  2ab  b  c  2bc  c  a  2ac  4a  4b  4c  4ab  4ac  4bc Biến đổi để có (a 2  b 2  2ac)  (b 2  c 2  2bc)  (a 2  c 2  2ac)  0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Biến đổi để có (a  b) 2  (b  c) 2  (a  c) 2  0 (*) Vì (a  b) 2  0 ; (b  c) 2  0 ; (a  c) 2  0 ; với mọi a, b, c nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a  b) 2  0 ; (b  c) 2  0 và (a  c) 2  0 ; Từ đó suy ra a = b = c 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 3 (3 điểm) Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số cần tìm là 0,5đ x (x là số nguyên khác -11) x  11 Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số x7 x  15 (x khác -15) Theo bài ra ta có phương trình x x  15 = x  11 x  7 Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn) Từ đó tìm được phân số  5 6 0,5đ 0,5đ 1đ 0,5đ Bài 4 (2 điểm) Biến đổi để có A= a 2 (a 2  2)  2a(a 2  2)  (a 2  2)  3 = (a 2  2)(a 2  2a  1)  3  (a 2  2)(a  1) 2  3 Vì a 2  2  0 a và (a  1) 2  0a nên (a 2  2)(a  1) 2  0a do đó 0,5đ 0,5đ 0,5đ (a 2  2)(a  1) 2  3  3a Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a  1  0  a  1 KL Bài 5 (3 điểm) 0,25đ 0,25đ B N M A I D C a,(1 điểm) Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang 0,5đ Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đ b,(2điểm) 0,5đ 4 3 8 3 Tính được AD = cm ; BD = 2AD = cm 3 AM = 3 1 4 3 BD  cm 2 3 0,5đ 4 3 cm 3 1 8 3 4 3 DC = BC = cm , MN = DC  cm 2 3 3 8 3 Tính được AI = cm 3 Tính được NI = AM = 0,5đ 0,5đ B A Bài 6 (5 điểm) O M a, (1,5 điểm) OM OD ,  AB BD OD OC  Lập luận để có DB AC OM ON   OM = ON  AB AB Lập luận để có b, (1,5 điểm) D ON OC  AB AC N C 0,5đ 0,5đ 0,5đ OM DM OM AM (1), xét ADC để có   AB AD DC AD 1 1 AM  DM AD Từ (1) và (2)  OM.( )   1 AB CD AD AD 1 1 Chứng minh tương tự ON. (  ) 1 AB CD 1 1 1 1 2 từ đó có (OM + ON). (  )2    AB CD AB CD MN Xét ABD để có (2) 0,5đ 0,5đ 0,5đ b, (2 điểm) S AOB OB S BOC OB S S ,    AOB  BOC  S AOB .S DOC  S BOC .S AOD S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC 0,5đ Chứng minh được S AOD  S BOC 0,5đ 0,5đ  S AOB .S DOC  (S AOD ) 2 Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2  SAOD = 2008.2009 Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT) ĐỀ SỐ 8 Bài 1: a 2  (b  c) 2 b2  c2  a 2 Cho x = ;y= (b  c) 2  a 2 2bc Tính giá trị P = x + y + xy Bài 2: Giải phương trình: a, 1 1 1 1 = + + ab x a b x b, (b  c)(1  a)2 (c  a)(1  b) 2 (a  b)(1  c) 2 + + =0 x  a2 x  b2 x  c2 (x là ẩn số) (a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau) Bài 3: Xác định các số a, b biết: (3x  1) b a = + 3 3 ( x  1) ( x  1) 2 ( x  1) Bài 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên. Bài 5: Cho  ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C ĐỀ SỐ 9 Bài 1: (2 điểm) 0,5đ  2 1  1  1  x  1 Cho biểu thức: A    1  2 3   2  1  : 3   x   x  1  x  x  2x  1  x a/ Thu gọn A b/ Tìm các giá trị của x để A<1 c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm) a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10 b/ Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hãy tính x2 + y2 Bài 3 (1,5 điểm): Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1) Bài 4 (3,5 điểm): Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM. a/ Tính số đo góc DBK. b/ Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng. Bài 5 (1 điểm): Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì k chia hết cho 6. ĐỀ SỐ 10 Bài 1: (3 điểm) 3   x2 1  1 Cho biểu thức A    2  : 2 x  3   3 x  3x   27  3x a) Rút gọn A. b) Tìm x để A < -1. c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên. Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: a) 1 6y 2  2  3 y  10 y  3 9 y  1 1  3 y 2  6x 1 x 3 x  1  . 3  2  2 4  3 b) x  2 2 Bài 3: (2 điểm) Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy? Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M  AB và N AD). Chứng minh: a) BD // MN. b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC. Bài 5: (1 điểm) Cho a = 11…1 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n chữ số 4). Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương. ĐỀ SỐ 11 Bài 1: (2điểm) 3x 2 y  1 a) Cho x  2xy  2y  2x  6y  13  0 .Tính N  4xy b) Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số dương: A  a 3  b3  c3  3abc Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì: a b   a  b b  c c  a  c A      9 a b  a  b b  c c  a   c Bài 3: (2 điểm) Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quãng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h. Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ. Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N. a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi. b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC Bài 5: (1 điểm) x 6  3x 2  1  y4 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 ĐỀ SỐ 12 Bài 1: Phân tích thành nhân tử: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2 b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1 Bài 2: a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14. Tính giá trị của A = a4+ b4+ c4 b, Cho a, b, c  0. Tính giá trị của D = x2011 + y2011 + z2011 Biết x,y,z thoả mãn: x2  y 2  z 2 x2 y2 z 2 = + + a 2  b2  c 2 a 2 b2 c2 Bài 3: a, Cho a,b > 0, CMR: 1 1 4 +  a b ab b, Cho a,b,c,d > 0 CMR: a d d b bc ca + + +  0 d b bc ca ad Bài 4: x 2  xy  y 2 với x,y > 0 x 2  xy  y 2 x b, Tìm giá trị lớn nhất: M = với x > 0 ( x  1995) 2 a, Tìm giá trị lớn nhất: E = Bài 5: a, Tìm nghiệm  Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm  Z của PT: x2 + x + 6 = y2 Bài 6: Cho ABC M là một điểm  miền trong của ABC . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D. a, CMR: AB’A’B là hình bình hành. b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’ ĐỀ SỐ 13 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a(b  c) 2 (b  c)  b(c  a) 2 (c  a)  c(a  b) 2 (a  b) 1 1 1 b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và    0 a b c 1 1 1 Rút gọn biểu thức: N  2  2  2 a  2bc b  2ca c  2ab Bài 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  x 2  y 2  xy  x  y  1 b) Giải phương trình: ( y  4,5) 4  ( y  5,5) 4  1  0 Bài 3: (2điểm) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. Tính quãng đường AB. Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD. a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau. b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất. Bài 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x 2  5 y 2  345 §Ề SỐ 14 Bài 1: (2,5điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 b) x4 + 4 c) x x – 3x + 4 x -2 với x  0 Bài 2 : (1,5điểm) Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức: A a b 2c   ab  a  2 bc  b  1 ac  2c  2 Bài 3: (2điểm) Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a  b  0 Tính: P  ab 4a  b 2 2 Bài 4 : (3điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM  CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F. a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của  ABC để cho AEMF là hình vuông. Bài 5: (1điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23. §Ò SỐ 15 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích thành thừa số: (a  b  c) 3  a 3  b 3  c 3 2 x 3  7 x 2  12 x  45 b) Rút gọn: 3 3x  19 x 2  33x  9 Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: A  n 3 (n 2  7) 2  36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n. Bài 3: (2 điểm) a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước trên giếng. Nếu làm một mình thì máy bơm A hút hết nước trong 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước trong 15 giờ và máy bơm C hút hết nước trong 20 giờ. Trong 3 giờ đầu hai máy bơm A và C cùng làm việc sau đó mới dùng đến máy bơm B. Tính xem trong bao lâu thì giếng sẽ hết nước. b) Giải phương trình: 2 x  a  x  2a  3a (a là hằng số). Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại các điểm M, N. a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN. b) So sánh hai tam giác ABC và INC. c) Chứng minh: góc MIN = 900. d) Tìm vị trí điểm I sao cho diện tích ∆IMN lớn gấp đôi diện tích ∆ABC. Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng số: 22499 ………. ………. … 09 là số chính phương. ( n  2 ).   9100    n-2 sè 9 n sè 0 Đề SỐ 16: Câu 1 : ( 2 ñieåm ) Phân tích biểu thức sau ra thừa số M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) Câu 2 : ( 4 ñieåm ) Định a và b để đa thức A = x4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức khác . Câu 3 : ( 4 ñieåm ) Cho biểu thức :  x2 6 1   10  x 2       P=  3  :  x  2  x  2  x  4 x 6  3 x x  2     a) Rút gọn p . b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / = 3 4 c) Với giá trị nào của x thì p = 7 d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên . Câu 4 : ( 3 ñieåm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0 Câu 5 : ( 3ñieåm) Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N . Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm) Câu 6 : ( 4 ñieåm ) Cho tam giác đều ABC . M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất . ®Ò SỐ 17 Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö: 1. x2  7 x  6 2. x4  2008×2  2007 x  2008 Bµi 2: (2®iÓm) Gi¶i phư¬ng tr×nh: 1. x2  3x  2  x  1  0 2 2. 2 2 1 1  1  1 2    8  x    4  x 2  2   4  x 2  2  x     x  4  x x  x  x    Bµi 3: (2®iÓm) 1. CMR víi a,b,c,lµ c¸c sè d¬ng ,ta cã: (a+b+c)( 1 1 1   )9 a b c 3. T×m sè d trong phÐp chia cña biÓu thøc  x  2 x  4 x  6 x  8  2008 cho ®a thøc x2  10x  21 . Bµi 4: (4 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®êng cao AH (H  BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E. 1. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo m  AB . 2. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM 3. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: GB  HD . BC Bµi 1 1. C©u Néi dung AH  HC §iÓm 2,0 1.1 (0,75 ®iÓm) x2  7 x  6  x2  x  6 x  6  x  x  1  6  x  1 0.5   x  1 x  6  1.2 0,5 (1,25 ®iÓm) x4  2008×2  2007 x  2008  x4  x2  2007 x2  2007 x  2007  1 0,25  x  x  1  2007  x  x  1   x  1  x  2007  x  x  1 4 2 2 2 2 2 2 0,25   x  x  1 x  x  1  2007  x  x  1   x  x  1 x  x  2008 2 2 2 2 2 0,25 2. 2,0 2.1 x  3x  2  x  1  0 (1) 2 + NÕu x  1: (1)   x  1  0  x  1 (tháa m·n ®iÒu kiÖn x  1). 2 0,5 + NÕu x  1: (1)  x  4 x  3  0  x  x  3  x  1  0   x  1 x  3  0 2 2  x  1; x  3 (c¶ hai ®Òu kh«ng bÐ h¬n 1, nªn bÞ lo¹i) VËy: Ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt lµ x  1 . 2.2 2 2 0,5 2 1 1  1  1 2    8  x    4  x 2  2   4  x 2  2  x     x  4  (2) x x  x  x    §iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x  0 2 2 1 1  2   2 1   2 1   (2)  8  x    4  x  2   x  2    x      x  4  x x   x   x     0,25 2 1 1 2 2    8  x    8  x 2  2    x  4    x  4   16 x x     x  0 hay x  8 vµ x  0 . VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiÖm x  8 0,5 0,25 3 2.0 3.1 Ta cã: 1 a 1 1 a a b b c c  )  1   1   1 b c b c a c a b a b a c c b =3 (  )  (  )  (  ) b a c a b c x y Mµ:   2 (B§T C«-Si) y x Do ®ã A  3  2  2  2  9. VËy A  9 A= (a  b  c)(  3.2 0,5 0,5 Ta cã: P( x)   x  2  x  4  x  6  x  8   2008   x 2  10 x  16  x 2  10 x  24   2008 §Æt t  x 2  10 x  21 (t  3; t  7) , biÓu thøc P(x) ®îc viÕt l¹i: 0,5 P( x)   t  5 t  3  2008  t 2  2t  1993 Do ®ã khi chia t 2  2t  1993 cho t ta cã sè d lµ 1993 4 0,5 4,0 4.1 + Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã: Gãc C chung. CD CA  CE CB (Hai tam gi¸c vu«ng CDE vµ CAB d¹ng) ®ång 1,0 Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c). Suy ra: BEC  ADC  1350 (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt). tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy ra: AEB  450 do ®ã BE  AB 2  m 2 BM 1 BE 1 AD Ta cã: (do BEC ADC )     BC 2 BC 2 AC mµ AD  AH 2 (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H) BM 1 AD 1 AH 2 BH BH nªn (do ABH CBA )       BC 2 AC 2 AC AB 2 BE Nªn 4.2 4.3 0,5 0,5 Do ®ã BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM  BEC  1350  AHM  450 Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC. 0,5 GB AB AB ED AH HD , mµ    ABC DEC    ED // AH   GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do ®ã:      GC HC GB  GC HD  HC BC AH  HC 0,5 Suy ra: Phßng GD & §T huyÖn Thêng TÝn Trêng THCS V¨n Tù Gv: Bïi ThÞ Thu HiÒn ®Ò SỐ 18 ®Ò bµi: Bµi 1( 6 ®iÓm): Cho biÓu thøc: 2x  3 2x  8 3  21  2 x  8 x 2    1 P=  2 : 2 2 4 x  12 x  5 13 x  2 x  20 2 x  1 4 x  4 x  3   a) Rót gän P 1 2 c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. d) T×m x ®Ó P > 0. Bµi 2(3 ®iÓm):Gi¶i ph¬ng tr×nh: b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x  15 x 1   1  1  12    a) 2 x  3x  4  x  4 3x  3  b) 0,5 148  x 169  x 186  x 199  x     10 25 23 21 19 c) x  2  3  5 Bµi 3( 2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: 0,5 Mét ngêi ®i xe g¾n m¸y tõ A ®Õn B dù ®Þnh mÊt 3 giê 20 phót. NÕu ngêi Êy t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h th× sÏ ®Õn B sím h¬n 20 phót. TÝnh kho¶ng c¸ch AB vµ vËn tèc dù ®Þnh ®i cña ngêi ®ã. Bµi 4 (7 ®iÓm): Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn ®êng chÐo BD lÊy ®iÓm P, gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm C qua P. a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh g×? b) Gäi E vµ F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M lªn AB, AD. Chøng minh EF//AC vµ ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng. c) Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P. PD 9  d) Gi¶ sö CP  BD vµ CP = 2,4 cm, . TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt PB 16 ABCD. Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010 b) Cho x, y, z lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh r»ng: 1 1 2   1  x2 1  y 2 1  xy иp ¸n vµ biÓu ®iÓm Bµi 1: Ph©n tÝch: 4×2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2×2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x) 21 + 2x – 8×2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 4×2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5® 1 5 3 7 x  ; x  ; x  ; x  ;x  4 §iÒu kiÖn: 2 2 2 4 a) Rót gän P = x  b) +) +) c) 2x  3 2x  5 0,5® 2® 1 1 1  x  hoÆc x  2 2 2 1 1  …P = 2 2 1 2 x  …P = 2 3 2 2x  3 P= = 1 x 5 2x  5 x Ta cã: 1 Z VËy P  Z khi  x–5  ¦ 2 Z x 5 (2) Mµ ¦(2) = { -2; -1; 1; 2} x – 5 = -2  x = 3 (TM§K) 1® x – 5 = -1 x–5=1 x–5=2 KL: x d)  x = 4 (KTM§K)  x = 6 (TM§K)  x = 7 (TM§K)  {3; 6; 7} th× P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. 1® 2 2x  3 = 1 x 5 2x  5 P= 0,25® Ta cã: 1 > 0 §Ó P > 0 th× 2 x5 >0  x–5>0  x>5 Víi x > 5 th× P > 0. Bµi 2: a) 0,5® 0,25 15 x 1   1  1  12    x 2  3x  4  x  4 3x  3    1 15 x 1   1  12    x  4 x  1 x  4 3 x  1        §K: x  4; x  1 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4) …   3x.(x + 4) = 0 3x = 0 hoÆc x + 4 = 0 +) 3x = 0 => x = 0 (TM§K) +) x + 4 = 0 => x = -4 (KTM§K) S = { 0} 1® 148  x 169  x 186  x 199  x     10 b) 25 23 21 19  148  x   169  x   186  x   199  x   1    2    3    4  0  25   23   21   19    1 1 1   1    = 0 (123 – x)   25 23 21 19  1 1 1  1     > 0  25 23 21 19   Do Nªn 123 – x = 0 => x = 123 S = {123} c) x2 3  5 Ta cã: nªn 1® x  2  0x => x2 3 >0 x2 3  x2 3 PT ®ưîc viÕt dưíi d¹ng: x2 3 5  x2 =5–3  x2 =2 +) x – 2 = 2 => x = 4 +) x – 2 = -2 => x = 0 S = {0;4} Bµi 3(2 ®) Gäi kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ x (km) (x > 0) VËn tèc dù ®Þnh cña ngêi ® xe g¾n m¸y lµ: x 3x  (km / h) 1 10 3 3 (3 20 = 3 h ’ 1® 0,25® 1 h ) 3 0,25® VËn tèc cña ngêi ®i xe g¾n m¸y khi t¨ng lªn 5 km/h lµ: 3x  5  km / h  10 0,25® Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh:  3x    5  .3  x  10  0,5®  x =150 VËy kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ 150 (km) 3.150  45  km / h  VËn tèc dù ®Þnh lµ: 10 Bµi 4(7®) VÏ h×nh, ghi GT, KL ®óng D 0,5® 0,25® 0,5® C P M F I E A O B a) Gäi O lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.  PO lµ ®ưêng trung b×nh cña tsm gi¸c CAM.  AM//PO  tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang. 1® b) Do AM //BD nªn gãc OBA = gãc MAE (®ång vÞ) Tam gi¸c AOB c©n ë O nªn gãc OBA = gãc OAB Gäi I lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt AEMF th× tam gi¸c AIE c©n ë I nªn gãc IAE = gãc IEA. Tõ chøng minh trªn : cã gãc FEA = gãc OAB, do ®ã EF//AC (1) 1® MÆt kh¸c IP lµ ®ưêng trung b×nh cña tam gi¸c MAC nªn IP // AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng. 1® c) MAF d) NÕu DBA  g  g  nªn MF  AD kh«ng ®æi. FA (1®) AB PD PB PD 9   k  PD  9k , PB  16k th×  9 16 PB 16 NÕu CP  BD th× CBD DCP  g  g   CP PB  PD CP 1® do ®ã CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) BD = 5 (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 do ®ã BC = 4 (cm) CD = 3 (cm) 0,5d 0,5® 0,5® Bµi 5: a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) V× 20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 – …) = 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1) 2010 2011 – 1 = ( 2011 – 1)(20112009 + …) = 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm. 1® 1 1 2   b) 1  x2 1  y 2 1  xy (1)  1 1   1 1        0 2 2 1  x 1  xy 1  y 1  xy      x  y  x  y x  y 1  x  1  xy  1  y  1  xy  2 2 0  y  x   xy  1  0 2    2 2 1  x 1  y 1  xy      2 V× x  1; y  1 => xy  1 => xy  1  0 => B§T (2) ®óng => B§T (1) ®óng (dÊu ‘’=’’ x¶y ra khi x = y) ĐỀ SỐ 19 Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5×2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A B biết A = 10×2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . c) Cho x + y = 1 và x y  0 . Chứng minh rằng 1® 2 x  y x y  3  2 2 0 y 1 x 1 x y  3 3 Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 x  6 b)      2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh  EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. H-íng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) x3 – 5×2 + 8x – 4 = x3 – 4×2 + 4x – x2 + 4x – 4 = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 2 b) (0,75đ) Xét A  10x  7x  5  5x  4  2x  3 B Với x  Z thì A B khi (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) 7 2x  3 7 Z 2x  3 7 ( 2x – 3) Mà Ư(7) = 1;1; 7;7  x = 5; – 2; 2 ; 1 thì A B (0,25đ) (0,25đ) 4 4 x y  3 = x 3 x  y3  y y  1 x  1 (y  1)(x  1) 4  x  y4   (x  y) c) (1,5đ) Biến đổi 3 ( do x + y = 1  y – 1= -x và x – 1= – y) (0,25đ) xy(y 2  y  1)(x 2  x  1)  x  y  x  y   x 2  y2   (x  y) = (0,25đ) xy(x 2 y 2  y 2 x  y 2  yx 2  xy  y  x 2  x  1) = = =  x  y  (x  y 2  1) xy  x 2 y 2  xy(x  y)  x 2  y 2  xy  2   x  y  (x 2  x  y 2  y) =  x  y  x(x  1)  y(y  1)  xy(x 2 y 2  3) xy  x 2 y 2  (x  y) 2  2  2 =  x  y   x( y)  y( x)  =  x  y  (2xy) xy(x 2 y 2  3) xy(x 2 y 2  3) = 2(x  y) Suy ra điều cần chứng minh x 2 y2  3 Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y – 12 = 0  y2 + 6y – 2y -12 = 0  (y + 6)(y – 2) = 0  y = – 6; y = 2 * x2 + x = – 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x * x2 + x = 2  x2 + x – 2 = 0  x2 + 2x – x – 2 = 0  x(x + 2) – (x + 2) = 0  (x + 2)(x – 1) = 0  x = – 2; x = 1 Vậy nghiệm của phương trình x = – 2 ; x =1 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 x  6       2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x2 x 3 x4 x5 x6 (  1)  (  1)  (  1)  (  1)  (  1)  (  1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 b) (1,75đ)  x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009      2008 2007 2006 2005 2004 2003  x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009      0 2008 2007 2006 2005 2004 2003  ( x  2009)( 1 1 1 1 1 1      )  0 (0,5đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Do đó : 1  1  1  1  1  1  0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,25đ) Vì 1 1 ; 1  1 ;  2008 2005 2007 2004 1 1  2006 2003 (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0  x = -2009 E Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) I 2 1 1 B  EDF vuông cân  ADE =  CDF (c.g.c)   EDF cân tại D Mặt khác:  ADE =  CDF (c.g.c)  Eˆ 1  Fˆ2 2 C F Chứng minh Ta có O Mà Eˆ 1  Eˆ 2  Fˆ1 = 90  Fˆ2  Eˆ 2  Fˆ1 = 90 0 0 A D EDF = 90 . Vậy  EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vuông  CO là trung trực BD  0 Mà  EDF vuông cân  DI = Tương tự BI = 1 EF 2 1 EF  DI = BI 2 B  I thuộc dường trung trực của DB  I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ nhất Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) = 2(x – a 2 a a ) +  4 2 2 2 E (0,25đ) 2 Ta có DE nhỏ nhất  DE2 nhỏ nhất  x =  BD = AE = C A Áp dụng định lý Pitago với  ADE vuông tại A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 2 D a  D, E là trung điểm AB, AC 2 b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. (0,25đ) a 2 (0,25đ) (0,25đ) 1 1 1 1 AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ) 2 2 2 2 2 2 2 AB AB AB2 1 AB 1 AB 2 AB 2 = – (AD – 2 .AD + )+ = – (AD – ) + (0,25đ)  2 2 2 4 4 8 8 2 Ta có: SADE = Vậy SBDEC = SABC – SADE  3 8 AB2 AB2 3 – = AB2 không đổi 8 2 8 Do đó min SBDEC = AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ) (0,25đ) ĐỀ SỐ 20 Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 – 5x – 7 Bµi 2: T×m ®a thøc A, biÕt r»ng: 4 x 2  16 A  x x2  2 Bµi 3: Cho ph©n thøc: 5x  5 2x 2  2x a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc ®îc x¸c ®Þnh. b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc b»ng 1. Bµi 4: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x2 1 2   x  2 x x( x  2) b) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3 Bµi 5: Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Mét tæ s¶n xuÊt lËp kÕ ho¹ch s¶n xuÊt, mçi ngµy s¶n xuÊt ®îc 50 s¶n phÈm. Khi thùc hiÖn, mçi ngµy tæ ®ã s¶n xuÊt ®îc 57 s¶n phÈm. Do ®ã ®· hoµn thµnh tríc kÕ ho¹ch mét ngµy vµ cßn vît møc 13 s¶n phÈm. Hái theo kÕ ho¹ch tæ ph¶i s¶n xuÊt bao nhiªu s¶n phÈm vµ thùc hiÖn trong bao nhiªu ngµy. Bµi 6: Cho ∆ ABC vu«ng t¹i A, cã AB = 15 cm, AC = 20 cm. KÎ ®êng cao AH vµ trung tuyÕn AM. a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ? BiÓu ®iÓm - §¸p ¸n §¸p ¸n Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 ®iÓm) b) 2x2 – 5x – 7 = 2x2 + 2x – 7x – 7 = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x – 7). (1 ®iÓm) BiÓu ®iÓm Bµi 2: T×m A (1 ®iÓm) A= x(4 x 2  16 x[(2 x) 2  4 2 x(2 x  4)(2 x  4) x.2( x  2).2( x  2)     4( x  2)  4 x  8 x( x  2) x( x  2) x 2  2x x 2  2x Bµi 3: (2 ®iÓm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1)  0  2x  0 vµ x + 1  0  x  0 vµ x  -1 b) Rót gän: (1 ®iÓm) 5x  5 5( x  1) 5 (0,5 ®iÓm)   2 2 x  2 x 2 x( x  1) 2 x 5 5 (0,25 ®iÓm)  1  5  2x  x  2x 2 5 5 V× tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña hai tam gi¸c nªn x  2 2 Bµi 4: a) §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: x  0; x  2 x(x  2) - (x - 2) 2 - Gi¶i:  x2 + 2x – x +2 = 2;  x( x  2) x( x  2) (0,25 ®iÓm)  x= 0 (lo¹i) hoÆc x = - 1. VËy S =  1 b)  x2 – 9 < x2 + 4x + 7  x2 – x2 – 4x < 7 + 9  - 4x < 16  x> – 4 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x > – 4 Bµi 5: – Gäi sè ngµy tæ dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ : x ngµy §iÒu kiÖn: x nguyªn d¬ng vµ x > 1 VËy sè ngµy tæ ®· thùc hiÖn lµ: x- 1 (ngµy) – Sè s¶n phÈm lµm theo kÕ ho¹ch lµ: 50x (s¶n phÈm) – Sè s¶n phÈm thùc hiÖn lµ: 57 (x-1) (s¶n phÈm) Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh: 57 (x-1) – 50x = 13  57x – 57 – 50x = 13  7x = 70  x = 10 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) VËy: sè ngµy dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ 10 ngµy. Sè s¶n phÈm ph¶i s¶n xuÊt theo kÕ ho¹ch lµ: 50 . 10 = 500 (s¶n phÈm) Bµi 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã: Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung  ∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc. gãc) b) ¸p dông pitago trong ∆ vu«ng ABC AB 2  AC 2 = 15 2  20 2 = 625 = 25 (cm) AB AC BC 15 20 25 v× ∆ ABC ~ ∆ HBA nªn   hay   HB HA BA HB HA 15 20.05  AH =  12 (cm) 25 ta cã : BC = 1® 1® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 1® 1® 1® 1® BH = 1® 15.15  9 (cm) 25 HC = BC – BH = 25 – 9 = 16 (cm) BC 25  BH   9  3,5(cm) 2 2 1 1 SAHM = AH . HM = . 12. 3,5 = 21 (cm2) 2 2 c) HM = BM – BH = – VÏ ®óng h×nh: 1® A 1® B H M C ĐỀ SỐ 21 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x  17 x  21 x  1   4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1    0. x y z yz xz xy  2  2 Tính giá trị của biểu thức: A  2 x  2 yz y  2xz z  2xy Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là HA’ HB’ HC’   trực tâm. a) Tính tổng AA’ BB’ CC’ b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB  BC  CA) 2  4. c) Chứng minh rằng: AA’2  BB’2  CC’2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI  Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 1 điểm ) ( b) Tính đúng x = 2007 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 0  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 0,25điểm ) x x x x x  2 (2 – 4) – 8(2 – 4) = 0  (2 – 8)(2 – 4) = 0 0,25điểm ) x 3 x 2 x 3 x 2  (2 – 2 )(2 –2 ) = 0  2 –2 = 0 hoặc 2 –2 = 0 0,25điểm ) x 3 x 2  2 = 2 hoặc 2 = 2  x = 3; x = 2 0,25điểm )  Bài 2(1,5 điểm): xy  yz  xz 1 1 1  0  xy  yz  xz  0  yz = –xy–xz   0 xyz x y z 0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) 0,25điểm ) Do đó: A  (1 ( ( ( ( ( ( ( yz xz xy   ( x  y)(x  z) ( y  x )( y  z) (z  x )(z  y) ( 0,25điểm ) Tính đúng A = 1 điểm ) ( 0,5  Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d  (0,25điểm) N, 0  a, b, c, d  9, a  0 2 Ta có: abcd  k với k, m  N, 31  k  m  100 (a  1)(b  3)(c  5)(d  3)  m 2 (0,25điểm)  abcd  k 2 abcd  1353  m 2  (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353  (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41  hoặc m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37  hoặc k = 56 (0,25điểm) Kết (0,25điểm) luận k = đúng abcd = 4 3136  Bài 4 (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm) 1 .HA'.BC S HBC 2 HA'   a) ; S ABC 1 AA' .AA'.BC 2 (0,25điểm) Tương tự: S HAB HC' SHAC HB'   ; S ABC CC' SABC BB' A C’ H N x B’ M I A’ C B D (0,25điểm) HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC      1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC  ;  ;  IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC . .  . .  . 1 IC NB MA AC BI AI AC BI  BI .AN.CM  BN.IC.AM c)Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD  BC + CD (0,25điểm) -  BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 2 2 2  AB + AD  (BC+CD) (0,25điểm) AB2 + 4CC’2  (BC+AC)2 4CC’2  (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2  (AB+AC)2 – BC2 4BB’2  (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2)  (AB+BC+AC)2 (0,5điểm ) (0,5điểm ) (AB  BC  CA) 2 4  AA'2  BB'2  CC'2 (0,25điểm) (Đẳng thức xảy ra  BC = AC, AC = AB, AB = BC  AB = AC =BC   ABC đều) §Ò SỐ 22 C©u 1: (5®iÓm) a, T×m sè tù nhiªn n ®Ó: A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè. b, B = n 4  3n 3  2n 2  6n  2 Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn. n2  2 D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph-¬ng. Chøng minh r»ng : c, C©u 2: (5®iÓm) (n  2) a, a b c    1 biÕt abc=1 ab  a  1 bc  b  1 ac  c  1 b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a2 b2 c2 c b a      b2 c2 a2 b a c c, C©u 3: (5®iÓm) a, Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: x  214 x  132 x  54   6 86 84 82 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d-¬ng. C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm hai ®-êng chÐo.Qua 0 kÎ ®-êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F. a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC. b. Chøng minh: 1 1 2   AB CD EF c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®-êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF. C©u Néi dung bµi gi¶i (1®iÓm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) §Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1=1  n=2 khi ®ã A=5 2 b, (2®iÓm) B=n2+3n- 2 n 2 B cã gi¸ trÞ nguyªn  2  n2+2 n2+2 lµ -íc tù nhiªn cña 2 C©u 1 n2+2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n (5®iÓm) HoÆc n2+2=2  n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn. a, §iÓm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 c, (2®iÓm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) n 2  4  5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n1)(n+1)+2 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2  5 (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp) Vµ 5 n(n-1)(n+1  5 VËy D chia 5 d- 2 Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng ph¶i sè chÝnh ph-¬ng VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph-¬ng a b c    ab  a  1 bc  b  1 ac  c  1 ac abc c   2 abc  ac  c abc  abc  ac ac  c  1 ac abc c abc  ac  1 =    1 1  ac  c c  1  ac ac  c  1 abc  ac  1 0,5 0,5 0,5 0,5 a, (1®iÓm) b, (2®iÓm) a+b+c=0  a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0  a2+b2+c2= 2(ab+ac+bc)  a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V× C©u 2 a+b+c=0 (5®iÓm)  a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) . V× a+b+c=0  2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) Tõ (1)vµ(2)  a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 c, (2®iÓm) x=y ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x +y  2xy DÊu b»ng khi a2 b2 a b a  2  2. .  2. ; 2 b c c b c 2 2 c b c b b  2  2. .  2. 2 a c a a c 2 2 a2 c2 a c c  2  2. .  2. ; 2 b a b b a 0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã: a 2 b2 c2 a c b 2( 2  2  2 )  2(   )  b c a c b a 2 2 2 a b c a c b  2  2   2 b c a c b a x  214 x  132 x  54   6 86 84 82 x  214 x  132 x  54  (  1)  (  2)  (  3)  0 86 84 82 x  300 x  300 x  300    0 86 84 82 1 1  1  (x-300)      0  x-300=0  x=300 VËy S = 300  86 84 82  a, (2®iÓm) 1,0 0,5 0,5 b, (2®iÓm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 2 2 0,5  (64x -16x+1)(8x -2x)=9  (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 2 2 §Æt: 64x -16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72  k =72,25  0,5 C©u 3 (5®iÓm) k=± 8,5 Víi k=8,5 tacã ph-¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0  (2x-1)(4x+1)=0;  0,5 1 2 x= ; x  1 4 0,5 Víi k=- 8,5 Ta cã ph-¬ng tr×nh: 64x -16x+9=0  (8x-1) +8=0 v« nghiÖm. 2 2 1  1  2 4  VËy S =  , 0,5 c, (1®iÓm) x2-y2+2x-4y-10 = 0  (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0  (x+1)2-(y+2)2=7  (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyªn d-¬ng Nªn x+y+3>x-y-1>0  x+y+3=7 vµ x-y-1=1  x=3 ; y=1 Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm d-¬ng duy nhÊt (x,y)=(3;1) B a,(1®iÓm) V× AB//CD  S DAB=S CBAA (cïng ®¸y vµ cïng ®-êng cao)  S DAB –SAOB = S CBA- SAOB K O E F Hay SAOD = SBOC I N 0,5 0,5 0,5 M D 0,5 C 1,0 0,5 EO AO b, (2®iÓm) V× EO//DC  MÆt kh¸c AB//DC  C©u 4 DC AC (5®iÓm)  AB  AO  AB  AO  AB  AO  EO  AB DC OC AB  BC AO  OC AB  BC AC DC AB  DC EF AB AB  DC 2 1 1 2        2 DC AB  DC AB.DC EF DC AB EF c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N  DF) +KÎ ®-êng th¼ng KN lµ ®-êng th¼ng ph¶i dùng Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th× SIKE=SIMN (cma) (2) Tõ (1) vµ(2)  SDEKN=SKFN. 1,0 1,0 Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8 www.PNE.edu.vn §Ò sè 1: (líp 8) Bµi 1: (2 ®iÓm) 4 5 Cho A  (0,8.7  0.82 ).(1,25.7  .1,25)  31,64 B (11,81  8,19).0,02 9 : 11,25 Trong hai sè A vµ B sè nµo lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ? b) Sè A  101998  4 cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ? C©u 2: (2 ®iÓm) Trªn qu·ng ®-êng AB dµi 31,5 km. An ®i tõ A ®Õn B, B×nh ®i tõ B ®Õn A. VËn tèc An so víi B×nh lµ 2: 3. §Õn lóc gÆp nhau, thêi gian An ®i so víi B×nh ®i lµ 3: 4. TÝnh qu·ng ®-êng mçi ng-êi ®i tíi lóc gÆp nhau ? C©u 3: a) Cho f ( x)  ax2  bx  c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ. Chøng tá r»ng: f (2). f (3)  0 . BiÕt r»ng 13a  b  2c  0 b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A  2 6 x cã gi¸ trÞ lín nhÊt. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho ABC dùng tam gi¸c vu«ng c©n BAE; BAE = 900, B vµ E n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AC. Dùng tam gi¸c vu«ng c©n FAC, FAC = 900. F vµ C n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AB. a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE b) FB  EC. C©u 5: (1 ®iÓm) T×m ch÷ sè tËn cïng cña 9 18 A  195 0 6 19  29 9 Các bộ tài liệu Ôn thi HSG Toán Lớp 8 www.PNE.edu.vn §Ò sè 1 Bµi 1: (2 ®iÓm) 1) Chøng minh r»ng nÕu P vµ 2P + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè lín h¬n 3 th× 4P + 1 lµ hîp sè. 2) H·y t×m BSCNN cña ba sè tù nhiªn liªn tiÕp. Bµi 2: (2 ®iÓm) H·y thay c¸c ch÷ sè vµo c¸c ch÷ c¸i x, y trong N  20 x0 y04 ®Ó N chia hÕt cho 13. Bµi 3: (2 ®iÓm) Vßi n-íc I ch¶y vµo ®Çy bÓ trong 6 giê 30 phót. Vßi n-íc II ch¶y vµo ®Çy bÓ trong 11 giê 40 phót. NÕu vßi n-íc I ch¶y vµo trong 3 giê; vßi n-íc II ch¶y vµo trong 5 giê 25 phót th× l-îng n-íc ch¶y vµo bÓ ë vßi nµo nhiÒu h¬n. Khi ®ã l-îng n-íc trong bÓ ®-îc bao nhiªu phÇn tr¨m cña bÓ. Bµi 4: (2 ®iÓm) B¹n HuÖ nghÜ ra mét sè cã ba ch÷ sè mµ khi viÕt ng-îc l¹i còng ®-îc mét sè cã ba ch÷ sè nhá h¬n sè ban ®Çu. NÕu lÊy hiÖu gi÷a sè lín vµ sè bÐ cña hai sè ®ã th× ®-îc 396. B¹n Dung còng nghÜ ra mét sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trªn. Hái cã bao nhiªu sè cã tÝnh chÊt trªn, h·y t×m c¸c sè Êy. Bµi 5: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng: mét sè cã ch½n ch÷ sè chia hÕt cho 11 th× hiÖu gi÷a tæng c¸c ch÷ sè “ ®øng ë vÞ trÝ ch½n” vµ tæng c¸c ch÷ sè ®øng ë “vÞ trÝ lΔ, kÓ tõ tr¸i qua ph¶i chia hÕt cho 11. (BiÕt 102n  1 vµ 102n 1  1 chia hÕt cho 11) Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp 8 www.PNE.edu.vn §Ò sè 1 (t0¸n 8) Bµi 1: (3 ®iÓm) 3   x2 1  1  Cho biÓu thøc A    2   :  2 x  3   3 x  3x   27  3x a) Rót gän A. b) T×m x ®Ó A < -1. c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2: (2 ®iÓm) Gi¶i ph-¬ng tr×nh: a) 1 6y 2  2  3 y  10 y  3 9 y  1 1  3 y 2  6 x 1 x 3 x 1  .  3 2  2 4 b) x   3 2 2 Bµi 3: (2 ®iÓm) Mét xe ®¹p, mét xe m¸y vµ mét « t« cïng ®i tõ A ®Õn B. Khëi hµnh lÇn l-ît lóc 5 giê, 6 giê, 7 giê vµ vËn tèc theo thø tù lµ 15 km/h; 35 km/h vµ 55 km/h. Hái lóc mÊy giê « t« c¸ch ®Òu xe ®¹p vµ xe ®¹p vµ xe m¸y. Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD tõ ®iÓm P thuéc ®-êng chÐo AC ta dùng h×nh ch÷ nhËt AMPN ( M  AB vµ N AD). Chøng minh: a) BD // MN. b) BD vµ MN c¾t nhau t¹i K n»m trªn AC. Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho a = 11…1 (2n ch÷ sè 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4). Chøng minh r»ng: a + b + 1 lµ sè chÝnh ph-¬ng.
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top