Trắc nghiệm VD – VDC số phức – Đặng Việt Đông

Giới thiệu Trắc nghiệm VD – VDC số phức – Đặng Việt Đông

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Trắc nghiệm VD – VDC số phức – Đặng Việt Đông CHƯƠNG SỐ PHỨC.

Trắc nghiệm VD – VDC số phức – Đặng Việt Đông

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Trắc nghiệm VD – VDC số phức – Đặng Việt Đông

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Trắc nghiệm VD – VDC số phức – Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Số Phức Nâng Cao Trang 0 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao MỤC LỤC A – LÝ THUYẾT CHUNG…………………………………………………………………………………………………………………. 2 1. SỐ PHỨC ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2 2. PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC ………………………………………………………………………………… 2 3. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC ……………………………………………………………………………………… 3 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC …………………………………………………………………………. 3 5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC ………………………………………………….. 4 B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM …………………………………………………………………………………………………………… 6 DẠNG 1: TÍNH TOÁN VÀ CÁC YẾU TỐ TRÊN SỐ PHỨC …………………………………………………………….. 6 DẠNG 2: PT, HPT TRÊN SỐ PHỨC …………………………………………………………………………………………….. 10 DẠNG 3: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM, BIỂU DIỄN SỐ PHỨC …………………………………………………………………. 15 ĐIỂM BIỂU DIỄN ……………………………………………………………………………………………………………………. 15 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG THẲNG ……………………………………………………………………. 16 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG TRÒN………………………………………………………………………. 18 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ HÌNH TRÒN ………………………………………………………………………….. 23 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG CÔNIC …………………………………………………………………….. 24 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG CONG ……………………………………………………………………… 25 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LIÊN QUAN ĐA GIÁC…………………………………………………………………. 27 DẠNG 4: SỐ PHỨC CÓ MOĐUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT ……………………………………………………………… 29 MOĐUN MIN, MAX CỦA SỐ PHỨC CÓ TẬP HỢP BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG ĐƯỜNG THẲNG……… 29 MOĐUN MIN, MAX CỦA SỐ PHỨC CÓ TẬP HỢP BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG TRÒN, HÌNH TRÒN … 31 MOĐUN MIN, MAX CỦA SỐ PHỨC CÓ TẬP HỢP BIỂU DIỄN LÀ ELIP……………………………………… 34 DẠNG 5: MIN, MAX SỐ PHỨC PP ĐẠI SỐ ……………………………………………………………………………………… 35 ÁP DỤNG CÁC TÍNH CHẤT BĐT, ĐÁNH GIÁ…………………………………………………………………………….. 35 ÁP DỤNG CÁC BĐT BUNHIACOPXKI ……………………………………………………………………………………….. 38 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ …………………………………………………………………………………………… 39 DẠNG 6: MIN, MAX SỐ PHỨC PP HÌNH HỌC ……………………………………………………………………………….. 41 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao SỐ PHỨC A – LÝ THUYẾT CHUNG 1. SỐ PHỨC 1.1. Khái niệm số phức Số phức (dạng đại số) : z  a  bi; a, b   . Trong đó : a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo,   i 2  1. Tập hợp số phức kí hiệu:  . z là số thực  phần ảo của z bằng 0 b  0 .     z là số ảo (hay còn gọi là thuần ảo)  phần thực bằng 0 a  0 . Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. 1.2. Hai số phức bằng nhau Hai số phức z 1  a  bi a, b   và z 2  c  di c, d   bằng nhau khi phần thực và phần ảo của     chúng tương đương bằng nhau. a  c Khi đó ta viết z 1  z 2  a  bi  c  di   b  d 1.3. Biểu diễn hình học số phức Số phức z  a  bi a, b   được biểu diễn bởi điểm M a;b hay  bởi u  a;b trong mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy .   y   M (a;b)   O 1.4. Số phức liên hợp  x  Số phức liên hợp của z  a  bi a, b   là z  a  bi . z  z z .z ‘  z .z ‘;  1   1 ; z .z  a 2  b 2 . z  z  2 2 z là số thực  z  z ; z là số ảo z  z . 1.5. Môđun của số phức   Độ dài của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là z . Vậy z  OM hay  z  a  bi  OM  a 2  b 2 . z z; z z’ z z’; Một số tính chất: z  a 2  b2   zz  OM ; z  z z  0, z  ; z  0  z  0 . z1 z1.z 2  z 1 . z 2 ; z2 z1  z2 z1 ; z2  z1 z 2 z2 2 . z1  z 2  z1  z 2  z1  z2 . 2. PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC 2.1. Phép cộng và phép trừ số phức Cho hai số phức z 1  a  bi a, b   và z 2  c  di c, d   . Khi đó:         z1  z 2  a  c  b  d i Số đối của số phức z  a  bi là z  a  bi . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số thực đó: z  a  bi, z  z  2a . 2.2. Phép nhân số phức Cho hai số phức z 1  a  bi a, b   và z 2  c  di c, d   .            Khi đó: z 1z 2  a  bi c  di  ac – bd  ad  bc i .   Với mọi số thực k và mọi số phức z  a  bi a, b   , ta có   k .z  k . a  bi  ka  kbi. Đặc biệt: 0.z  0 với mọi số phức z . Lũy thừa của i : i 0  1, i 1  i, i 2  1, i 4n  1, i 4n 1  i, i 4n  2  1, 2.3. Chia hai số phức i 3  i 2 .i  i i 4n  3  i, Số phức nghịch đảo của z khác 0 là số z 1  n    . 1 z 2 z. z’ z ‘.z z ‘.z .  z ‘ z 1  2  z z . z z 3. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp:  ax  by  c  0  tập hợp điểm là đường thẳng  x  0  tập hợp điểm là trục tung Oy  y  0  tập hợp điểm là trục hoành Ox Phép chia hai số phức z ‘ và z  0 là 2 2  x  a   y  b   R  tập hợp điểm là hình tròn tâm I a;b  , bán kính R  x a  y b  R      tập hợp điểm là đường tròn có tâm I a; b  , bán     R  a2  b2  c x  0  tập hơp điểm là miền bên phải trục tung y  0  tập hợp điểm là miền phía dưới trục hoành x  0  tập hợp điểm là miền bên trái trục tung y  0  tập hợp điểm là phía trên trục hoành  2 2 2 2 x 2  y 2  2ax  2by  c  0   y  ax 2  bx  c  tập hợp điểm là đường Parabol x 2 y2  2  2  1  tập hợp điểm là đường Elip a b 2 x y2  2  2  1  tập hợp điểm là đường Hyperbol a b 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 4.1. Căn bậc hai của số thực âm Cho số z , nếu có số phức z 1 sao cho z 12  z thì ta nói z 1 là một căn bậc hai của z . Mọi số phức z  0 đều có hai căn bậc hai. Căn bậc hai của số thực z âm là i z . Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là i a . 4.2. Phương trình bậc hai với hệ số thực File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 3 kính ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Cho phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0, a,b, c  , a  0 . Xét biệt số   b 2  4ac của phương trình. Ta thấy: b Khi   0 , phương trình có một nghiệm thực x   . 2a Khi   0 , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1,2  Khi   0 , phương trình có hai nghiệm phức x1,2  b   . 2a b  i  . 2a 5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC  z max z  2  z1   Cho số phức z thỏa mãn z1 .z  z2  r ,  r  0   min z  z 2   z1   Cho số phức z thỏa mãn z1 .z  z2  r1 ,  r1  0  . max P  z2 z1  z3  r1 z1 và min P   z2 z1 r z1 r . z1  z3  r1 z1   Cho số phức z thỏa mãn z 1 .z  z 2  z 1.z  z 2  k, k  0 . k max z  và min z  2 z1 k 2  4 z2 2 2 z1 6. ACGUMEN CỦA SỐ PHỨC z  0 Định nghĩa Cho số phức z  0 . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z . Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox , tia cuối OM được gọi là acgumen của z. Chú ý Nếu  là một acgumen của z (hình dưới) thì gọi acgumen của z có dạng   k 2 , k  Z . (người ta thường nói: Acgumen của z  0 xác định sai khác k 2 , k  Z ). 7. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Xét số phức z  a  bi  0  a, b    . Kí hiệu r là mô đun của z và  của một acgumen của z (hình dưới) thì dễ thấy rằng: a  r cos  , b  r sin  . Vậy z  a  bi  0 có thể viết dưới dạng z  r  cos +i sin   . Định nghĩa Dạng z  r  cos +i sin   , trong đó r  0, được gọi là dạng lượng giác của số phức z  0. Dạng z  a  bi  0  a, b    , được gọi là dạng đại số của số phức z. Nhận xét. Để tìm dạng lượng giác z  r  cos +i sin   của số phức z  a  bi  0  a, b    khác 0 cho trước ta cần: 1. Tìm r : đó là mô đun của z, r  a 2  b 2 ; số r cũng là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2. Tìm  : đó là một acgumen của z;  là số thực sao cho cos = Số Phức Nâng Cao a b và sin   ; số  đó cũng là số r r đo một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM . Chú ý 1. Z  1 khi và chỉ khi Z  cos +i sin  ;     . 2. Khi z  0 thì z  r  0 nhưng acgumen của z không xác định (đôi khi coi acgumen của 0 là số thực tùy ý và vẫn viết 0  0  cos +i sin   . 3. Cần để ý đòi hỏi r  0 trong dạng lượng giác r  cos +i sin   của số phức z  0. 8. NHÂN VÀ CHIA SỐ PHỨC LƯỢNG GIÁC Ta đã công thức nhân và chia số phức dưới dạng đại số. Sau đây là định lý nêu lên công thức nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác; chúng giúp cho các quy tắc tính toán đơn giản về nhân và chia số phức. Định lý Nếu z  r  cos +i sin   ; z ‘  r ‘  cos ‘+i sin  ‘   r  0, r ‘  0  z r  cos    ‘  +i sin    ‘   ;  khi r  0  z’ r’  Nói một cách khác, để nhân các số phức dưới dạng lượng giác, ta lấy tích các mô đun và tổng acgumen; để chia các số phức dưới dạng lượng giác ta lấy thương các mô đun và hiệu các acgumen. Chứng minh zz ‘   r  cos +i sin     r ‘  cos ‘+i sin  ‘  lim Thì zz ‘  rr ‘  cos    ‘ +i sin    ‘   ; x   rr ‘ cos .cos ‘ sin  .sin  ‘ i  sin  .cos ‘+cos .sin ‘   rr ‘ cos    ‘ +i sin    ‘  . 1 1   cos     i sin     . Theo công thức nhân số phức, z r z 1 r  z.  cos    ‘  +i sin    ‘   . Ta có: z’ z’ r’ 9. CÔNG THỨC MOA-VRƠ (MOIVRE) Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng quy nạp toán học dễ dàng suy ra rằng với mọi số nguyên dương n. Mặt khác, ta có n  r  cos +i sin     r n  cosn +i sin n  Và khi r  1, ta có  cos +i sin   n  cosn +i sin n Cả hai công thức đó đều được gọi là công thức Moa – vrơ. 10. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC DƯỚI DẠNG LƯỢNG GIÁC Từ công thức Moa – vrơ, dễ thấy số phức z  r  cos +i sin   , r  0 có căn bậc hai là           r  cos +i sin  và  r  cos +i sin   r  cos( + )+i sin(   )  . 2 2 2 2 2 2     File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1: TÍNH TOÁN VÀ CÁC YẾU TỐ TRÊN SỐ PHỨC Câu 1: (THTT số 3) Cho số phức z  1 thỏa mãn z 3  1 . Tính 1  z  z 2018 1  z  z 2018  . Câu 2: A. 1. B. Đáp số khác. C. 4. D. 2. (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho hai số phức z , w thỏa mãn z  w  17 , z  2w  58 và z  2w  5 2 . Giá trị của biểu thức P  z.w  z.w bằng A. 1 . B. 2 . C. 4 . D. 3 . m Câu 3: Câu 4: Câu 5: Câu 6: Câu 7: Câu 8: Câu 9: Câu 10: Câu 11: Câu 12: Câu 13: Câu 14:  2  6i  Cho số phức z    , m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m  1;50 để z là số thuần  3i  ảo? A. 24. B. 26. C. 25. D. 50. 2 z 1 Nếu z  1 thì z A. lấy mọi giá trị phức. B. là số thuần ảo. C. bằng 0. D. lấy mọi giá trị thực. 2 z a z  a;  a  0  Nếu thì z A. lấy mọi giá trị phức. B. là số thuần ảo. C. bằng 0. D. lấy mọi giá trị thực. z 1 z i Có bao nhiêu số phức z thỏa  1 và  1? iz 2 z A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Cho hai số phức z1 , z2 thảo mãn z1  z2  1; z1  z2  3. Tính z1  z2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 3 2008 Tính z  i  i  i  …  i có kết quả: A. 0 B. 1 C. i D. i 2 3 2017 (THTT số 3) Cho số phức z  1  2i  3i  4i  …  2018i có phần thực là a và phần ảo là b . Tính b  a . A. 1 . B. 1 . C. 1010 . D. 2017 . 2 3 2017 Tính S  1009  i  2i  3i  …  2017i . A. S  2017  1009i. B. 1009  2017i. C. 2017  1009i. D. 1008  1009i. 1 1 1 Cho số phức z có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn biểu thức   . z w zw Môđun của số phức w bằng: A. 1 B. 2 C. 2016 D. 2017 z 6  7i Cho số phức z thoả mãn: z  . Tìm phần thực của số phức z 2017 .  1  3i 5 1008 1008 A. 2 B. 2 C. 2504 D. 22017 2 (Ngô Quyền Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn:  3  2i  z   2  i   4  i . Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 0 . (Ngô Quyền Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z   2  i  z  3 . Môđun của số phức w i  2z là? 1 i File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. Câu 15: 122 . 5 B. 3 10 . 2 Số Phức Nâng Cao 45 . 4 C. D. 122 . 2   (Chuyên Bắc Giang) Tìm mô đun của số phức số z biết  2 z  11  i   z  1 1  i   2  2i . A. 1 . 9 Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn A. 13 2 . 3 5 zi B.  z 1 B. 15 C. 2 . 9 D. 1 . 3   2  i 1 . Tính mô đun của số phức   1  z  z . 2 C. 17 Câu 17: Cho z1 , z2 là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn D. 19 z1   và z1  z2  2 3. Tính z 22 môđun của số phức z1 . 5 . 2 Câu 18: (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn z  2 z  7  3i  z . Tính mô-đun của số phức   1  z  z 2 bằng Câu 19: A. z1  5. B. z1  3. C. z1  2. D. z1  A.   37 . B.   457 . C.   425 . D.   445 . (Đặng Thành Nam Đề 15) Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn 2 z  3iz  4  z . Tính S  ab . 3 3 3 3 A. S  . B. S   . C. S  . D. S   . 2 2 4 4 Câu 20: (Trần Đại Nghĩa) Cho số phức z  a  bi  a, b  , a  0 thỏa z.z 12 z   z  z   13  10i . Tính S  a  b . A. S  7 . B. S  17 . C. S  17 . D. S  5 . Câu 21: (Đặng Thành Nam Đề 17) Cho hai số phức z và w khác 0 thoả mãn z  3w  5 w và z z  2wi  z  2w  2wi . Phần thực của số phức bằng w A. 1. B. 3 . C. 1 . D. 3. 2 2 Câu 22: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho số phức z thoả mãn 2 z  1  z  i . Tính môđun của số phức z  2  i . A. 1 . B. 3 . D. 2 . 1 1 1 . Mô đun Câu 23: Cho z là số phức có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn   z w zw của số phức z là: A. 2015 B. 1 C. 2017 D. 0 Câu 24: Cho các số phức z1 , z2 khác nhau thỏa mãn: z1  z2 . Chọn phương án đúng: z1  z 2  0. z1  z2 z z C. 1 2 là số thực. z1  z 2 A. C. 4 . z1  z2 là số phức với phần thực và phần ảo đều khác 0 . z1  z 2 z z D. 1 2 là số thuần ảo. z1  z 2 B. u  v  10 3u  4v  2016 M  4u  3v Câu 25: Cho hai số phức u,v thỏa mãn và . Tính . A. 2984 B. 2884 C. 2894 D. 24 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 26: (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Cho số phức z thỏa mãn  3  i  z  Số Phức Nâng Cao 2 14i 1 3i . Khẳng định nào z sau đây đúng? Câu 27: 3  z  2. 2 13  z  4. 4 7 11 3  z . D. 1  z  . 4 5 2 (Chuyên Vinh Lần 2) Cho các số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  z2  3 và z1  z2  2 . Môđun A. B. C. 2 z1  3z2 bằng A. 52 . B. 53 . C. 5 2 . D. 51 . Câu 28: (Chuyên Vinh Lần 2) Cho các số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  3 , z2  4 và z1  z2  6 . Môđun z1  z2 bằng A. 12 . B. 13 . C. 14 . D. 10 . Câu 29: (Chuyên Vinh Lần 2) Cho các số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  2 , z2  3 và z1  z2  4 . Môđun z1  3 z2 bằng A. 6 2 . B. 70 . C. 5 3 . D. 2 19 . Câu 30: (Chuyên Vinh Lần 2) Cho các số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  2 , z2  3 và z1  z2  4 . Môđun 2018 z1  2019 z2 bằng 65199571 . B. 65199456 . C. 65147871 . D. 45199473 . Câu 31: (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Nếu các số phức z1 , z2 thỏa mãn các điều kiện A. z1  3, z2  4, z1  z2  5 thì khẳng định nào sau đây là đúng? A. z1  z2  5 . B. z1  z2  3 . C. z1  z2  4 . D. z1  z2  7 . Câu 32: Cho ba số phức z1 , z 2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2  z3  1 . Mệnh đề nào sau đây là sai. A. Trong ba số đó có hai số đối nhau. B. Trong ba số đó phải có một số bằng 1. C. Trong ba số đó có nhiều nhất hai số bằng 1. D. Tích của ba số đó luôn bằng 1. m 1 Câu 33: Cho số phức z   m    . Số các giá trị nguyên của m để z  i  1 là 1  m  2i  1 A. 0 B. 1 C. 4 D. Vô số 2z  i Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Đặt A  . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2  iz A. A  1 . B. A  1 . C. A  1 . D. A  1 . Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2  4  2 z . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 3 1 3 1  z  . B. 6 6 5  1  z  5  1. 2 1 2 1  z  . 3 3 Câu 36: Cho z1 , z 2 , z3 là các số phức thỏa mãn z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3  1. Khẳng định nào dưới đây là sai ? C. 6  1  z  6  1. D. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao A. z13  z23  z33  z13  z23  z33 . B. z13  z23  z33  z13  z 23  z33 . C. z13  z23  z33  z13  z 23  z33 . D. z13  z23  z33  z13  z23  z33 . Câu 37: Cho z1 , z 2 , z3 là các số phức thỏa z1  z2  z3  1. Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . B. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . C. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . D. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . z  i max : và B. 1 C. i D. i n Câu 39: Tìm phần thực của số phức z  1  i  , n   thỏa mãn phương trình: Câu 38: Tìm số phức z có A. 1 z 1 log 4  n  3  log 4  n  9  3 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 z z Câu 40: Cho hai số phức phân biệt z1 ; z2 thỏa mãn điều kiện 1 2 là số ảo. Khẳng định nào sau đây z1  z 2 đúng? A. z1  1; z2  1 B. z1  z2 C. z1  z2 D. z1   z2  z1  z2  z3  0  2 2 2 Câu 41: Cho 3 số phức z1 ; z2 ; z3 thỏa  2 2 . Tính A  z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1  z2  z3  3  8 2 2 8 3 A. B. 2 2 C. D. 3 3 3 Câu 42: Xét số phức z thỏa 2 z  1  3 z  i  2 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng: A. 3  z 2 2 B. z  2 C. z  Câu 43: Xét số phức z thỏa mãn 1  2i  z  A. 3  z  2. 2 B. z  2. 1 2 D. 1 3  z  2 2 10  2  i. Mệnh đề nào dưới đây đúng? z 1 1 3 C. z  . D.  z  . 2 2 2 4  z 1  Câu 44: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là nghiệm của phương trình    1 . Tính giá trị của biểu thức:  2z  i  P   z12  1 z22  1 z32  1 z 42  1 . 17 . 9 2 3 2016 Câu 45: Tính module của z  1  2i  3i  4i  …  2017.i . Câu 46: 19 . 7 A. 1. B. A. z  2036164 B. z  2030113 C. D. 2. C. z  2034145 D. z  2032130 (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Cho số phức u , v thỏa mãn: u  v  10 và 3u  4v  2019 . Ta có 4u  3v là A. Câu 47: 2890 . B. 2981 . (Chuyên KHTN) Cho khai triển  C. 3x  2019 2891 . D. 2982 .  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x3  …  a2019 x 2019 . Hãy tính tổng S  a0  a2  a 4 a6  …  a2016  a2018 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 48: 1009 B. 22019 . A. 0 . Số Phức Nâng Cao C.   3 D. 21009 . . (Chuyên Vinh Lần 2) Cho các số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  z2  3 và z1  z 2  2. Môđun z1  z2 bằng A. 2 . B. 3 . C. 2 . D. 2 2 . Câu 49: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 ; z2 ; z1  z2 . Xét các mệnh đề sau    z  z2 1) z1  z2   1 3) Nếu OA.OB  0 thì z1.z2  z2 .z1  0  z1   z 2 2) z1  z2  z1  z2 4) OC 2  AB 2  2  OA2  OB 2  Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 1. B. 3. C. 2. Câu 50: D. 4. (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Cho hai số phức z1 , z2 khác 0 thỏa mãn z1 là số z2 thuần ảo và z1  z2  10 . Giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng A. 10 . B. 10 2 . D. 20 . C. 10 3 . DẠNG 2: PT, HPT TRÊN SỐ PHỨC Câu 1: Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm của phương trình z 2  2 z  2  0 trên tập số phức. Tìm mô đun của số phức    z1  1 A.   5 Câu 2: 2015   z2  1 C.   1 D.   3 (Cụm THPT Vũng Tàu) Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  4 z  5  0 . 1009 Câu 4: . B.   2 Giá trị của biểu thức  z1  1 Câu 3: 2016 2019   z2  1 2019 bằng 1010 1010 A. 2 . B. 2 . C. 0 . D. 2 . (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Có bao nhiêu giá trị dương của số thực a sao cho phương trình z 2  3 z  a 2  2 a  0 có nghiệm phức z0 thỏa z0  3 . A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. 4 . (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho z1 , z 2 là các nghiệm phức của phương trình 2 2 2 z  4 z  11  0 . Tính giá trị biểu thức P  z1  z2  z1  z2  2 2 9 11 11 9 . B. . C. . D. . 2 4 2 4 (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Gọi S là tổng các giá trị thực của m để phương trình 9 z 2  6 z  1  m  0 có nghiệm phức thỏa mãn z  1 . Tính S . A. Câu 5: Câu 6: A. 20 . B. 12 . C. 14 . D. 8 . (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình  z  3  i Câu 7: 2 2 2  4 z  4i  25  0. Tính giá trị của biểu thức A  z1  z2 . A. A 50. B. A 70. C. A  13. D. A 8. 2 Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z ) z  bz  c  0 nhận z  1  i là một nghiệm. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. b  2; c  2 Câu 8: B. b  2; c  2 Số Phức Nâng Cao C. b  2; c  2 D. b  1; c  1 Tìm các số thực a, b, c sao cho hai phương trình az 2  bz  c  0, cz 2  bz  a  16  16i  0 có nghiệm chung là z  1  2i A.  a, b, c   1; 2;5 B.  a, b, c   1; 2;5 C.  a, b, c    1; 2;5 D.  a, b, c   1; 2; 5 Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z ) z 3  az 2  bz  c  0 nhận z  1  i làm nghiệm và cũng nhận z  2 làm nghiệm. A. a  4; b  6; c  4 B. a  4; b  5; c  4 C. a  3; b  4; c  2 D. a  1; b  0; c  2 Câu 10: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2019) Biết phương trình x 4  ax 3  bx 2  cx  d  0 ,  a, b, c, d    nhận z1  1  i và z2  1  2i là nghiệm. Tính a  b  c  d . Câu 9: A. 10 . B. 9 . C. 7 . D. 0 . 4 2 Câu 11: Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực m, n để phương trình z  mz  n  0 không có nghiệm thực. m 2  4n  0  A. m2  4n  0. B. m2  4n  0 hoặc  m  0 . n  0  m2  4n  0  C.  m  0 . n  0  m 2  4n  0  D. m2  4n  0 hoặc  m  0 . n  0  Câu 12: Gọi z1 ; z2 ; z3 ; z4 là 4 nghiệm phức của phương trình z 4   4  m  z 2  4m  0. Tìm tất cả các giá trị m để z1  z2  z3  z4  6. A. m  1 B. m  2 C. m  3 D. m  1 Câu 13: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Gọi S là tập tất cả các nghiệm phức của phương trình z 4  2iz 3  (i  1) z 2  2 z  i  0 . Tổng các phần tử của S bằng A. 1 . B. 1  i . C. i . D. 2i . Câu 14: (THTT lần5) Kí hiệu z1 ; z 2 ; z3 ; z 4 là bốn nghiệm phức của phương trình z 2      3 z  6 z 2  3 z  3  z 9  2 z 2  z 2  0 . Giá trị của biểu thức z1  z2  z3  z4 bằng   A. 2 3 1  2 . B. 2 .   C. 2 2 1  2 . Câu 15: (Sở Bắc Ninh 2019) Cho số phức z, w khác 0 thỏa mãn z  w  0 và   D. 2 3 1  3 . 1 3 6   . Khi đó z w zw z bằng: w A. 3. B. 1 . 3 C. 3. 1 . 3 Câu 16: (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho số phức z thỏa mãn z  2 z  7  3i  z . Tính z . 13 25 A. z  5 . B. z  3 . C. z  . D. z  . 4 4 Câu 17: (Kim Liên 2016-2017) Tìm tập hợp T gồm tất cả các số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z  2 và z 2 là số thuần ảo. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao A. T  1  i;1  i; 1  i;1  i . B. T  1  i;1  i . C. T  1  i . D. T  1  i . Câu 18: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái)Cho số phức z  a  bi  a, b  thỏa mãn z  1  3i  z i  0 . Tính S  2a  3b . A. S   6 . B. S  6 . C. S  5 . D. S  5 . Câu 19: (PHÂN-TÍCH-BL-VÀ-PT-ĐẠI-HỌC-SP-HÀ-NỘI) Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn điều kiện z 4  z . Số phần tử của z là A. 7 . D. 4 . B. 6 . C. 5 . z 1 Câu 20: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  1 và là số thuần ảo? z 1 A. Vô số. B. 0 . C. 2 . D. 4 . Câu 21: (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho số phức z  a  bi (a, b  ; a, b  0) 2a  b 5  . z  4 z    2 2i  z . Tính S  2a  b 3  thỏa mãn A. S  2 2  3 . B. S  2 2  2 . C. S  2  2 2 . D. S  2 2  3 . Câu 22: (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Cho số phức z  a  bi (với a , b 2 là các số thực và a 2  b2  0 ) thỏa mãn điều kiện z (2  i  z )  z . Tính S  a 2  2b 2  ab . A. S  3 . B. S  1 . C. S  2 . D. S  1 . Câu 23: (Đặng Thành Nam Đề 14) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z ( z  2  3i )  4i  (4  5i ) z. A. 1. B. 2. C. 4. D. 3. Câu 24: (THPT-Yên-Mô-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4)Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z  5  i   2i   6  i  z ? A. 1 . B. 3 . C. 4 . D. 2 . Câu 25: (Đặng Thành Nam Đề 9)Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z  z  z  4 và z  2  2i  3 2. A. 7 . B. 3 . Câu 26: (Sở Lạng Sơn 2019) Giả sử z1 , z2 C. 2 . là hai D. 5 . nghiệm phức của phương trình 2  i  z z  1 2i  z  1  3i và z1  z2  1 . Tính M  2 z1  3z2 . A. M  19 . B. M  19 . C. M  25 . D. M  5 . 2 Câu 27: (Đặng Thành Nam Đề 2) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z  z  z  z và z 2 là số thuần ảo. A. 4. B. 2. C. 3. D. 5. 3 Câu 28: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Phương trình z  z có bao nhiêu nghiệm phức? A. 3 . B. 5 . C. 2 . D. 4 . Câu 29: (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 3 z  z  2 z  z  12 và z  2  3i  z  4  i ? A. 1. B. 4. C. 3. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 2. Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 30: (THPT ISCHOOL NHA TRANG) Cho số phức z không phải là số thực và z2  2z  4 là số z2  2z  4 thực. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z  z  z  z 2 ? A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. 8 . Câu 31: (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Cho số phức z thỏa mãn z  5 và z  3  z  3  10i . Tìm số phức w  z  4  3i . A. w  3  8i . B. w  1  3i . C. w  1  7i . D. w  4  8i . Câu 32: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho các số phức z thỏa mãn hai điều kiện z  2 và z 2 là số thuần ảo. Tổng bình phương phần thực của tất cả các số phức z đó bằng A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . 2 Câu 33: (ĐH Vinh Lần 1) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  1  z  z i  z  z i 2019  1 ?  A. 4. B. 2. C. 1.  D. 3. Câu 34: (Sở Điện Biên) Cho số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện z  3  4i  5 và 2 2 z  2  z  i  33 . Môđun của số phức z  2  i bằng: A. 5 B. 9 . . C. 25 . D. 5 . z  i   z 2  1 z 3  i   0 Câu 35: Tính tổng mô-đun tất cả các nghiệm của phương trình:  A. 3. B. 4. C. 6. D. 8 Câu 36: (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN V NĂM 2019) Số phức z  a  bi , a, b   là nghiệm của phương trình  z  1 1  iz   i . Tổng T  a 1 z z 2  b2 bằng A. 4 . B. 4  2 3 . C. 3  2 2 . D. 3 . Câu 37: Trong mặt phẳng phức, các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình  iz  1 z  3i  z  2  3i  0 là các điểm nào sau đây?   A. A  0; 1 ; B  0; 3 ; C  2;3 B. A 1;0  ; B  3;0  ; C  2; 3 C. A  0; 2  ; B  0;1 ; C  2;3 D. A  2; 2  ; B  1;1 ; C  1;0 4  z 1  Câu 38: Phương trình    1 có bao nhiêu nghiệm.  z 1  A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm 25 Câu 39: Số nghiệm phức của phương trình z   8  6i là? z A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Câu 40: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Tính tổng phần thực của tất cả các số phức z  0 thỏa mãn  5  z   i  7  z . z  A. 2 . B. 2 . C. 3 . D. 3 . 4  z 1  Câu 41: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm của phương trình    1. Tính giá trị biểu thức  2z  i  P   z12  1 z22  1 z32  1 z 42  1 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 17 16 15 . C. P  . D. P  . 9 9 9 Câu 42: Tìm số thực m  a  b 20 (a, b là các số nguyên khác 0) để phương trình A. P  2. Câu 43: Câu 44: Câu 45: Câu 46: B. P  2z 2  2(m 1) z  (2m  1)  0 có hai nghiệm phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn z1  z2  10 . Tìm a. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3 2 (Đặng Thành Nam Đề 10) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z i  1  i  0 ? 4 A. 1 . B. 3 . C. 2 . D. 0 . (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  1  i  10 z2 và là số thuần ảo. z4 A. 4. B. 2. C. 3. D. 1. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị Lần 1) Tính tổng của tất cả các giá trị của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thoả mãn đồng thời z  m và z  4m  3mi  m2 . A. 4 . B. 6 . C. 9 . D. 10 . (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho số phức m 1 ,  m    . Tìm các giá trị của m để | z  i | 1. 1  m  2i  1 A. 0 . B. 1 . C. 4 . z D. vô số. Câu 47: (Chuyên Bắc Giang) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z  i 5  z  i 5  6 , biết z có môđun bằng 5 ? A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 0 . Câu 48: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Môđun của số phức z thỏa mãn  z  1  5 và  17 z  z  5 z.z  0 bằng A. 53 . B. 34 . C. 29 và 13 . D. 29 . Câu 49: (THẠCH THÀNH I – THANH HÓA 2019) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 2  2 z  z  4 và z  1  i  z  3  3i ? A. 4 . B. 3 . C. 1 . D. 2 . Câu 50: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z có phần thực và phần ảo là các số nguyên thỏa mãn hai điều kiện: z  3  4i  2 và z  z  z  z . Số phần tử của tập S là A. 11. B. 12 . C. 13 . D. 10 . Câu 51: Có bao nhiêu giá trị của m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z  1 và z  3  i  m . A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 52: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z  1 và z  3  4i  m . Tính tổng các phần tử thuộc S . A. 10 B. 42 C. 52 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 40 Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao DẠNG 3: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM, BIỂU DIỄN SỐ PHỨC ĐIỂM BIỂU DIỄN Câu 1: Cho A, B, C , D là bốn điểm trong mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn các số phức Câu 2: 1  2i; 1  3  i; 1  3  i; 1  2i . Biết ABCD là tứ giác nội tiếp tâm I . Tâm I biểu diễn số phức nào sau đây? A. z  3. B. z  1  3i. C. z  1. D. z  1. Cho A là điểm biểu diễn của các số phức: z  1  2i; M1 , M 2 lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 và z2 . Điều kiện để AM1M 2 cân tại A là: A. z1  z2 Câu 3: Câu 4: B. z1  1  2i  z2  1  zi C. z1  z2  1  2i D. z1  1  2i  z1  z2 Cho 3 số phức: 1;3i; 3  5i biểu diễn bởi các điểm A, B, C . Điểm I thỏa mãn     2IA  3IB  2 IC  0 biểu diễn số phức nào sau đây? A. 4 19i B. 4 19i C. 4 19i D. 4  6i 2z  z 1  i Gọi M là điểm biểu diễn số phức   , trong đó z là số phức thỏa mãn z2  i   1  i  z  i   2  i  z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho Ox, ON  2 , trong đó     Ox, OM là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm     Câu 5: trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ (I). B. Góc phần tư thứ (II). C. Góc phần tư thứ (III). D. Góc phần tư thứ (IV). (ĐH Vinh Lần 1) Cho các số phức z thỏa mãn 2iz  2i 2021  3 z  1 và z  1 . Điểm biểu diễn Câu 6: cho số phức z có hoành độ bằng A. 4 . B. 4 . C. 1 . D. 1. 2 2 Cho hai số phức z1 , z2 khác 0 thỏa mãn z1  z1 z2  z 2  0 . Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 , z2 . Tam giác OAB có diện tích bằng A. 2 3 Câu 7: Câu 8: B. 3 3 . Tính môđun của số phức z1  z2 . C. 2 D. 4 2 và điểm A trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z . Biết 2 1 rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức w  là một trong bốn điểm M , N , P , iz Q . Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là A. điểm Q . B. điểm M . C. điểm N . D. điểm P . (Đặng Thành Nam Đề 10) Hai điểm N , M trong hình vẽ bên dưới lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 , z 2 . Cho số phức z thỏa mãn z  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Biết ON  2OM  2 5 . Giá trị của z12  z22 bằng D. 5 11 . 1 1 1 Câu 9: Cho 3 số phức z1 , z2 , z3 phân biệt thỏa mãn z1  z 2  z3  3 và   . Biết z1 , z2 , z3 lần z1 z2 z3 lượt được biểu diễn bởi các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức. Tính góc ACB . TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG THẲNG Câu 10: Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z  2i  1  z  i . Tìm số phức z được biểu A. 5 13 . B. 5 37 . C. 5 21 . diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1, 3 . A. 3 i . B. 1  3i . C. 2  3i . D. 2  3i . Câu 11: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Trong mặt phẳng Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 2 z  1  z  z  2 là hình gồm: A. hai đường thẳng. B. hai đường tròn. C. một đường tròn. D. một đường thẳng. Câu 12: Tìm tập hợp  T  các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức zz z A. Đường tròn tâm O  0; 0  , bán kính R  1 B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 C. Đường thẳng x  y 3, x   y 3 D. Đường thẳng y  x 3, y   x 3 Câu 13: (Chuyên Sơn La Lần 3 năm 2018-2019) Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện  z  1  i  z  i  là số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn hình học của z là một đường thẳng. Hệ số góc của đường thẳng đó là A.  1 . B. 1 . C.  2 . D. 2 . 1 Câu 14: Điểm M biểu diễn số phức z  0 và điểm M’ biểu diễn số phức z ‘  . Nếu điểm M di động z trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính R  2 thì M’ di động trên đường nào? A. x 2  y 2  2 x  2 y  0 B. 2 x  2 y  1  0 C. 2 x  2 y  1  0 D. 2 x  2 y  1  0 Câu 15: Trong mặt phẳng phức, gọi N , M , A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn các số: z 1 z  x  yi; Z  X  Yi  ;1; 1. Tìm tập hợp điểm M khi N chạy trên đường tròn z 1 x 2  y 2  1.   A. Đường tròn tâm I 2  2; 0 , bán kính R  5  4 2 B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 C. Trục tung File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao D. Trục hoành Câu 16: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho: z  z  k z . Với k là một số thực cho trước. A. Đường tròn tâm O  0; 0  , bán kính R  1 B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 C. Nửa trục Ox, nửa trục Ox’ D. Nửa trục Ox’ Câu 17: Trong mặt phẳng phức, cho M là điểm biểu diễn số phức z  x  yi, M  0. Xem số phức 1 1 Z   z 2  2  . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thực. 2 z  A. Trục tung (hay trục hoành ), không kể điểm O. B. Trục tung hay trục hoành C. Đường thẳng y  1 D. Đường thẳng x  1 1  iz Câu 18: Cho Z  , z   , z  x  yi với x, y   . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số 1  iz thực. A. Trục tung ngoại trừ điểm A  0;1 B. Trục hoành ngoại trừ điểm A  0;1 C. Đường thẳng y  1 D. Đường thẳng x  1 Câu 19: Tìm tập hợp  T  các điểm M biểu diễn các số phức z sao cho log 1 z  2  log 1 z . 2 2 A. Miền phẳng nằm bên phải đường thẳng x  1 B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 C. Hình vành khăn gồm các điểm giữa hai hình tròn  O;1 và  O; 2  kể cả các điểm nằm trên đường tròn  O; 2  ; không kể các điểm nằm trên đường tròn  O;1 D. Đường thẳng x  1 Câu 20: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm M là ảnh của số phức z sao cho: Ảnh của các số z, z 2 , z 4 thẳng hàng. 1 1 A. Đường tròn x 2  y 2  x  y  0, có tâm I  ;  , bán kính R  1 ngoại trừ điểm  0;1 2 2 2 1 1 B. Đường tròn x 2  y 2  x  y  0, có tâm I  ;  , bán kính R  2 2 2 C. Một hyperbol vuông góc và trục hoành Ox 1 D. Đường thẳng x   và trục hoành Ox 2 Câu 21: (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Cho các số phức z thỏa mãn z  2i 2020  z  1  2i . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  2 z  1  4i trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Khoảng cách từ I  2;  3 đến đường thẳng đó bằng A. 10 3 . 3 B. 18 5 . 5 C. 10 5 . 5 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 18 13 . 13 Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 22: Trong mặt phẳng phức, cho M , M ‘ theo thứ tự là điểm biểu diễn của hai số phức z và z 1 i z ‘ : z  x  yi, z ‘  . Tìm tập hợp điểm  E  các điểm M sao cho: Điểm M ‘ nằm trên z 1 trục hoành và M ‘  0. 1 1  A. Đường tròn tâm I 1;   , bán kính R  ngoại trừ các điểm 1; 0  và 1; 1 . 2 2  B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 ngoại trừ các điểm 1; 0  và 1; 1 . C. Đường thẳng y  1 ngoại trừ các điểm 1; 0  và 1; 1 . D. Đường thẳng x  1 ngoại trừ các điểm 1; 0  và 1; 1 . Câu 23: Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn  z2  z 2 2 z 2  16 là hai đường thẳng d1, d2 . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1, d2 là bao nhiêu? A. d  d1 , d 2   2 . Câu 24: B. d  d1 , d 2   4 . C. d  d1 , d 2   1 . D. d  d1 , d 2   6 . (ĐH Vinh Lần 1) Cho các số phức z thỏa mãn z  2i 2020  z  1  2i . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  2 z  1  4i trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Khoảng cách từ I  2;  3 đến đường thẳng đó bằng 18 5 18 13 10 3 10 5 A. . B. . C. . D. . 5 13 3 5 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG TRÒN Câu 25: (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho số phức z thỏa mãn: z  2  i  3 . Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ  Oxy  biểu diễn số phức   1  z là A. Đường tròn tâm I  2;1 bán kính R  3. B. Đường tròn tâm I  2;  1 bán kính R  3. C. Đường tròn tâm I  1;  1 bán kính R  9. D. Đường tròn tâm I  1;  1 bán kính R  3. Câu 26: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z sao cho: z  2 z  i . 8 4 2 2 A. x 2  y 2  y   0 B.  x  1   y  1  4 3 3 2 2 x y  1 C. D. 3×2  4 y 2  36  0 4 3 10 Câu 27: Cho thỏa mãn z  thỏa mãn  2  i  z   1  2i . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số z phức w   3  4i  z  1  2i là đường tròn I , bán kính R . Khi đó. A. I  1; 2  , R  5. B. I 1; 2  , R  5. C. I  1; 2  , R  5. D. I 1; 2  , R  5. Câu 28: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm M là ảnh của số phức z sao cho: Ảnh của các số i, z, iz thẳng hàng. 2 1 1 A. Đường tròn x 2  y 2  x  y  0, có tâm I  ;  , bán kính R  ngoại trừ điểm  0;1 2 2 2 2 1 1 B. Đường tròn x 2  y 2  x  y  0, có tâm I  ;  , bán kính R  2 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao C. Một hyperbol vuông góc D. Đường thẳng x  1 Câu 29: Trong mặt phẳng phức, cho M , M ‘ theo thứ tự là điểm biểu diễn của hai số phức z và z 1 i z ‘ : z  x  yi, z ‘  . Tìm tập hợp điểm  E  các điểm M sao cho: Điểm M ‘ nằm trên z 1 trục tung và M ‘  0. 1 1  A. Đường tròn tâm I 1;   , bán kính R  ngoại trừ các điểm 1; 0  và 1; 1 . 2 2  B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 ngoại trừ các điểm 1; 0  và 1; 1 . C. Đường thẳng y  1 ngoại trừ các điểm 1; 0  và 1; 1 . D. Đường thẳng x  1 ngoại trừ các điểm 1; 0  và 1; 1 . A. Đường tròn tâm I  1; 1 , bán kính bằng z  2  3i là một số thuần ảo. z i 5, khuyết 2 điểm  0;1 và  2; 3  . B. Đường tròn tâm I  1; 3 , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm  0;1 và  2; 3  . C. Đường tròn tâm I  1; 4  , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm  0;1 và  2; 3  . D. Đường tròn tâm I  2; 1 , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm  0;1 và  2; 3  . Câu 30: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u  Câu 31: Tìm trong mặt phẳng tập hợp    các điểm M biểu diễn số phức z sao cho Z  z  4 là một z số thực. A. Trục hoành x ‘ Ox ngoại trừ điểm gốc và đường tròn tâm O, bán kính R  2 B. Trục hoành x ‘ Ox ngoại trừ điểm gốc và đường tròn tâm O, bán kính R  1 C. Đường tròn tâm O, bán kính R  1 D. Trục hoành x ‘ Ox ngoại trừ điểm gốc Câu 32: Trong mặt phẳng phức, cho M là điểm biểu diễn số phức z  x  yi, M  0. Xem số phức 1 1 Z   z 2  2  . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thuần ảo. 2 z  A. Đường tròn tâm O , bán kính R  1 B. Đường tròn tâm I  0;1 bán kính R  1 C. Đường thẳng y  1 D. Đường thẳng x  1 Câu 33: Trong mặt phẳng phức, cho m và M là điểm biểu diễn số phức z  x  yi, M  0. 1 1 Z  X  Yi   z   . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thực. 2 z A. Đường tròn tâm O , bán kính R  1 và trục hoành Ox, không kể điểm gốc O B. Đường tròn tâm O , bán kính R  1 C. Đường thẳng y  1. 1 D. Đường thẳng x   và trục hoành Ox 2 Câu 34: Trong mặt phẳng phức, cho m và M theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi và z 1 Z . Tìm tập hợp các điểm m sao cho: Z là một số thuần ảo. z  2i File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 5 1  A. Đường tròn tâm I  ; 1 , bán kính R  2 2  B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 C. Đường thẳng y  2 x  2 D. Đường thẳng x  1 Câu 35: (Sở Thanh Hóa 2019) Xét các số phức z thỏa mãn  2  z  z  i là số thuần ảo. Tập hợp tất   cả các điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ là 5  1 A. Đường tròn có tâm I  1;  , bán kính R  . 2  2 5  1 B. Đường tròn có tâm I  1;  , bán kính R  nhưng bỏ đi hai điểm A  2;0  , B  0;1 . 2  2 1 5  C. Đường tròn có tâm I  1;   , bán kính R  . 2 2  D. Đường tròn có tâm I  2;1 , bán kính R  5 . Câu 36: (Chuyên Thái Nguyên) Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn điều kiện | z 5  3i | 5 đồng thời | z1  z2 | 8 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  z1  z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình A. ( x  10) 2  ( y  6) 2  36 . B. ( x  10)2  ( y  6)2  16 . 5 3 5 3 9 C. ( x  )2  ( y  )2  9 . D. ( x  )2  ( y  )2  . 2 2 2 2 4 Câu 37: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ thảo mãn điều kiện: 2 z  5 z  5 z  0. A. Đường thẳng qua gốc tọa độ. B. Đường tròn bán kính 1. C. Đường tròn tâm I  5; 0  bán kính 5 D. Đường tròn tâm I  5; 0  bán kính 3 Câu 38: (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  1  3i  3 2 . Biết rằng số   phức w  1  i 2019  z  3i  2019 có tập hợp các điểm biểu diễn thuộc đường tròn  C  . Diện tích S của hình tròn  C  bằng A. 18 . B. 36  . C. 9 . D. 12 . Câu 39: (Sở Quảng NamT) Cho số phức z có mô đun bằng 2 2 . Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức w = 1  i  z  1  i là đường tròn có tâm I (a ; b), bán kính R . Tổng a  b  R bằng: A. 5. B. 7. C. 1. D. 3. Câu 40: (CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT 2019 lần 1) Cho số phức z thỏa mãn z 1  2i  2 . Tập hợp z trong mặt phẳng toạ độ Oxy là đường tròn có tâm là 1 i 1 3  1 3  3 1 3 1 A. I  ;   . B. I   ;  . C. I   ;   . D. I  ;  . 2 2  2 2  2 2 2 2 Câu 41: (THPT-Ngô-Quyền-Hải-Phòng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019)Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z  1  2. Biết rằng tập hợp các số phức w  1  3 i z  2 là đường tròn có bán kính điểm biểu diễn số phức w    bằng R. Tính R. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao A. R  8 . B. R  2 . C. R  16 . D. R  4 . Câu 42: (Chuyên Thái Nguyên) Cho các số phức z thỏa mãn z  1  2 . Biết rằng tập hợp các điểm   biểu diễn các số phức w  1  i 8 z  i là một đường tròn. Bán kính r của đường tròn đó là A. 9 . B. 36 . C. 6 . D. 3 . Câu 43: (THPT ISCHOOL NHA TRANG) Cho số phức z thỏa mãn z  1  2 ; w  1  3i z  2 .   Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn, bán kính của đường tròn đó bằng A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 2 . Câu 44: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho số phức z có z  2 . Biết tập hợp biểu diễn các số phức w  3  i   3  4i  z là một đường tròn, bán kính đường tròn đó bằng A. 5 2 . B. 5 5 . C. 10 . D. 2 5 . Câu 45: (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Xét các số phức z thỏa mãn z  i  1  4 , biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w   3  4i  z  5i là một đường tròn. Bán kính r của đường tròn đó là A. r  10 . B. r  18 . C. r  20 . D. r  25 . Câu 46: (Sở Hà Nam) Cho số phức z thỏa mãn  z  1  3i  z  1  3i  25 . Biết tập hợp các điểm biểu   diễn của số phức z là một đường tròn có tâm I  a; b  và bán kính c . Tổng a  b  c bằng A. 9. B. 3. C. 2. D. 7. Câu 47: Trong mặt phẳng phức, cho số phức a bất kì, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho: z  a . z  a  aa. A. Đường tròn tâm A , bán kính R  AO B. Đường tròn tâm A , bán kính R  2 C. Một hyperbol vuông góc D. Đường thẳng x  1 Câu 48: (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn phương trình z  2  3i  5 và z1  z2  6 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  z1  z2 là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. A. R  8 . B. R  4 . C. R  2 2 . D. R  2 . Câu 49: Cho các số phức z thỏa mãn z  4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w  (3  4i ) z  i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r  4. B. r  5. C. r  20. D. r  22. z2 Câu 50: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Xét số phức z thỏa mãn là số thuần ảo. Biết z i rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là một đường tròn, tâm I của đường tròn có tọa độ là 1  3  1  A. I  1;  . B. I  1;   . C. I  2 ;1 . D. I  ;1 . 2  2  2  Câu 51: (THTT lần5) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 2  3  2 z  z và z  4  3i  3 ? A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 52: (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Xét các số phức z thỏa mãn  z  2i  z  2 là số thuần ảo.   Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  1  i  z  2019  2019i là một đường tròn, bán kính đường tròn là File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao A. 2 . B. 1 . C. 2019 2 . D. 4 . Câu 53: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa: z1  z2  5 . Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: z  z1  2 z  z2 là đường tròn và có bán kính R . Tính giá trị của R . 5 7 10 14 A. R  . B. R  . C. R  . D. R  3 3 3 3 Câu 54: (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Gọi z1 , z 2 là hai trong các số phức z thỏa mãn z  3  5i  5 và z1  z 2  6 . Tìm môđun của số phức   z1  z2  6  10i . A.   10 . Câu 55: B.   32 . C.   16 . D.   8 . (Sở Thanh Hóa 2019) Gọi z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z  1  2i  5 và z1  z2  8 . Tìm mô đun của số phức w  z1  z2  2  4i . A. w  6 . B. w  10 . C. w  16 . D. w  13 . Câu 56: Cho số phức z thỏa mãn z  m 2  2m  5 với m là số thực. biết rằng tập hợp điểm của số phức w   3  4i  z  2i là đường tròn. Tính bán kính R nhỏ nhất của đường tròn đó. A. Rmin  5 B. Rmin  20 C. Rmin  4 D. Rmin  25 Câu 57: Cho số phức z thỏa mãn z  m 2  2m  5 với m là số thực. Biết rằng tập hợp điểm của số phức w   3  4i  z  2i là đường tròn. Tìm bán kính R nhỏ nhất của đường tròn đó. Câu 58: A. R  5 . B. R  10 . C. R  15 . D. R  20 (Chuyên Vinh Lần 2) Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m sao cho tồn tại 2 số phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn đồng thời các phương trình  3  4i  z  25  20 và z  m  2i  5 . Số các phần tử của S là A. 8 . B. 7 . C. 6 . D. 5 . Câu 59: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  6 và   60 . z  2 . Gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z và iz . Biết MON 2 1 2 Tính T  z12  9 z22 . A. T  36 2 . B. T  36 3 . C. 24 3 . D. 18. Câu 60: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z  2i  3 là đường tròn tâm I . Tất cả giá trị m thỏa mãn 1 khoảng cách từ I đến  : 3x  4 y  m  0 bằng là: 5 A. m  7; m  9 B. m  8; m  8 C. m  7; m  9 D. m  8; m  9 Câu 61: (Chuyên Vinh Lần 2) Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m sao cho tồn tại 2 số phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn đồng thời các phương trình z  1  z  i và z  2 m  m  1 . Tổng tất cả các phần tử của S là A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3 . Câu 62: (Chuyên Vinh Lần 2) Gọi S là tập hợp tất cả các số m sao cho tồn tại đúng một số phức z thỏa mãn đồng thời các phương trình z  2  i  z  1 và 2 z  3  2i  m2  5m  9 . Tích tất cả các phần tử của S là A. 6 . B. 5 . C. 2 . D. 3 . Câu 63: (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng 4 số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z  z  z  z  z 2 và z  m . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 22 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Số Phức Nâng Cao    B.  2;2 2  . C. 2 . D. 2; 2 2 . TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ HÌNH TRÒN Câu 64: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho số phức z thỏa mãn 2 3 z  i  z.z  9 . Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức  thỏa mãn   z  1  i A. 2; 2 2 . 2 5  73  A. Hình tròn  x  1   y    . 8  64  2 2 Đường tròn  x  1   y  3   9 . 2 2 5  73  B. Đường tròn  x  1   y    . C. 8  64  2 2 D. Hình tròn  x  1   y  3   9 . 2 Câu 65: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần. Ký hiệu  a; b  là kết quả sẽ xảy ra sau khi gieo, trong đó a, b lần lượt là số chấm xuất hiện lần thứ nhất, thứ hai. Gọi A là biến cố số chấm xuất hiện trên hai lần gieo như nhau. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là tập hợp con của tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện nào sau đây? A. z  2  3i  12 B. z  2  3i  10 C. z  2  3i  13 D. z  2  3i  11   Câu 66: Tìm quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức w  1  i 3 z  2 biết số phức z thỏa mãn: z  1  2 1 . 2 C. Hình tròn  x  3 2 2     y  3 A. Hình tròn  x  3  y  3 2 B. Hình tròn  x  3  y  3  25 D. Hình tròn  x  3 2 2 2     y  3  16 9 2  36 Câu 67: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  3  4i  2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w  2 z  1  i là hình tròn có diện tích A. S  9 . B. S  12 . C. S  16 . D. S  25 . Câu 68: (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  3i  3 . Trong mặt phẳng Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức w  2 z  1  i là hình tròn có diện tích A. S  25 . B. S  16 . C. S  9 . D. S  36 . Câu 69: (Ngô Quyền Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  3  4i  2 . Trong mặt phẳng Oxy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  2 z 1  i là hình tròn có diện tích là A. S  25 . B. S  9 . C. S  12 . D. S  16 . Câu 70: (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho số phức z thoả mãn z  1  1 và z  z có phần ảo không âm. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một miền phẳng. Tính diện tích S của miền phẳng này A. S   . B. S  2 . C. S  1 . 2 D. S  1 . Câu 71: Biết số phức z thỏa điều kiện 3  z  3i  1  5 . Tập hợp các điểm biểu diễn của z tạo thành một hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó bằng A. 16 B. 4 C. 9 D. 25 Câu 72: Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa 1  z  1  i  2 là hình vành khăn. Chu vi P của hình vành khăn là bao nhiêu? A. P  4 . B. P   . C. P  2 . D. P  3 Câu 73: (TTHT Lần 4) Phần gạch trong hình vẽ dưới là hình biểu diễn của tập các số phức thỏa mãn điều kiện nào sau đây? File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao A. 6  z  8 . B. 2  z  4  4i  4 . C. 2  z  4  4i  4 . D. 4  z  4  4i  16 . Câu 74: (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN 2 NĂM 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi hình ( H ) là tập hợp các điểm biểu diễn số phức | z  2  i | 2 z thỏa mãn điều kiện  . Tính diện tích (S ) của hình phẳng ( H ) x  y 1  0 1 1 A. S  4 . B. S   . C. S   . D. S  2 . 4 2 Câu 75: (CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI LẦN 4 NĂM 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi  H   z  z  12  là tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức z thỏa mãn  . Diện tích  z  4  3i  2 2 của hình phẳng  H  là A. 4  4 . B. 8  8 . C. 2  4 . D. 8  4 . TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG CÔNIC Câu 76: Trong mặt phẳng phức Oxy, giả sử M là điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn z  2  z  2  8 . Tập hợp những điểm M là? x2 y2 x2 y2 A.  E  :  B.  E  :  1. 1. 16 12 12 16 2 2 2 2 C.  T  :  x  2    y  2   64 . D. T  :  x  2    y  2   8 Câu 77: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Hình phẳng giới hạn bởi tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  3  z  3  10 có diện tích bằng Câu 78: A. 12 . B. 20 . C. 15 . D. 25 . (Chuyên KHTN) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn z  2  i  z  4  i  10 . A. 15 . B. 12 . C. 20 . D. Đáp án khác. Câu 79: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện z  1  z  1  4 là: A. x2  y 2  4 2 2 B.  x  1   y  1  4 x2 y 2  1 C. D. 3x 2  4 y 2  36  0 4 3 Câu 80: (Lương Thế Vinh Đồng Nai) Cho số phức z thỏa mãn z  2  z  2  4 . Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ là File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 24 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao A. Một đường elip. B. Một đường parabol. C. Một đoạn thẳng. D. Một đường tròn. Câu 81: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  z  2  10 . x2 y 2 A. Đường tròn  x  2    y  2   100 . B. Elip  1. 25 4 x2 y 2 2 2 C. Đường tròn  x  2    y  2   10 . D. Elip  1. 25 21 Câu 82: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện: z  4  z  4  10. 2 2 A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm O  0; 0  và có bán kính R  4. . x2 y 2 B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình   1. 9 25 C. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm M  x; y  trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn phương trình  x  4 2  y2   x  4 2  y 2  12. x2 y 2   1. 25 9 (THTT lần5) Trong mặt phẳng Oxy , gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z thỏa mãn D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình Câu 83: 7 z  z  10 . Diện tích của hình (H) bằng A. 5 . 2 B. 25 . 12 C. 7 . 2 D. 5 . Câu 84: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện z  2  z  2  3 là: 2 2 A. x2  y 2  1 B.  x  2    y  2   9 x2 y 2 C.  1 3 2 D. x2 y2 1 2  7    2  Câu 85: Gọi M và A là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z  x  yi; a  10  6i. Tìm tập hợp E2 các điểm M sao cho tích z  z  a  là một số thuần ảo. 3   2  2   A. Đường tròn tâm I 2  2; 0 , bán kính R  5  4 2 B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 C. Là một hyperbol vuông góc có tâm đối xứng I  5; 3 , có trục thực nằm trên trục Ox, độ dài các trục đều bằng 8. D. Là một hyperbol có tâm đối xứng I  5;3 , có trục thực nằm trên trục Ox, độ dài các trục đều bằng 8. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG CONG Câu 86: Trong mặt phẳng phức, cho số phức a bất kì, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z 2 2 sao cho: z 2  a 2  z  a . A. Đường tròn tâm A , bán kính R  AO B. Đường tròn tâm A , bán kính R  2 C. Một hyperbol vuông góc D. Đường thẳng x  1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 25 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 87: Gọi M và A là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z  x  yi; a  10  6i. Tìm tập hợp E1 các điểm M sao cho tích z  z  a  là một số thực.   A. Đường tròn tâm I 2  2; 0 , bán kính R  5  4 2 B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 3x C. Là một hyperbol vuông góc y  ,x 5 x5 3x D. Là một hyperbol y  ,x 5 x5 Câu 88: Cho hai số phức: p  a  bi; q  c  di Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho số  z  p  z  q  là số thực. A. Đường tròn tâm O  0; 0  , bán kính R  1 B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 ac bd ;y 2 2 D. Các đường thẳng y  2 x, trừ gốc tọa độ O  0; 0  C. Một hyperbol vuông góc có tiệm cận là x  Câu 89: (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Xét các số phức z thỏa mãn z 1 i  z  z  i 1 là số thực. Tập hợp z là parabol có đỉnh 2 1 3  1 1 1 3  1 1 A. I  ;   . B. I   ;  . C. I  ;   . D. I   ;  . 4 4  2 2 2 2  4 4 2 Câu 90: Cho số phức z  m  2   m  1 i với m . Gọi  C  là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z các điểm biểu diễn của số phức w  trong mặt phẳng tọa độ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  và Ox . 4 32 8 A. 1. B. . C. . D. . 3 3 3 2 Câu 91: (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Cho số phức z  m  3   m  1 i ,với m là tham số thực thay đổi. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thuộc đường cong  C  . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  và trục hoành. 2 8 1 4 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 92: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho số phức z  m  3   m 2  m  6  i với m . Gọi  P  là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  và trục hoành bằng 125 17 55 A. . B. . C. 1. D. . 6 6 6 Câu 93: (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho số phức z  m  (m3  m)i, với m là tham số thực thay đổi. Tập hơp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là đường cong (C ) .Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) và trục hoành. 1 1 3 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 26 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LIÊN QUAN ĐA GIÁC Câu 94: Cho z1  1  i; z2  1  i. Tìm z3  sao cho các điểm biểu diễn z1 , z2 , z3 tạo thành tam giác đều. A. z3   2 1  i  và z3  2 1  i  B. z3   3 1  i  và z3  3 1  i  C. z3  2 1  i  và z3   2 1  i  D. z3  3 1  i  và z3   3 1  i  Câu 95: Gọi điểm A, B lần lượt biểu diễn các số phức z1 ; z2 ;  z1. z2  0  trên mặt phẳng tọa độ ( A, B, C và A, B, C  đều không thẳng hàng) và z12  z22  z1.z2 . Với O là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng? A. Tam giác OAB đều. B. Tam giác OAB vuông cân tại O. C. Tam giác OAB vuông cân tại B. D. Diện tích tam giác OAB không đổi. 1 i Câu 96: Gọi điểm A, B lần lượt biểu diễn các số phức z và z   z ;  z  0  trên mặt phẳng tọa độ ( 2 A, B, C và A, B, C  đều không thẳng hàng). Với O là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng? A. Tam giác OAB đều. B. Tam giác OAB vuông cân tại O. C. Tam giác OAB vuông cân tại B. D. Tam giác OAB vuông cân tại A. Câu 97: (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho hai số phức z1 , z2 khác 0 , thỏa mãn z12  z22  z1 z2 . M , N lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z1, z2 trên mặt phẳng Oxy . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Tam giác OMN nhọn và không đều. B. Tam giác OMN đều. C. Tam giác OMN tù. D. Tam giác OMN vuông. Câu 98: Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3 . Nhận định nào sau đây đúng: A. Tam giác ABC đều B. O là tâm của tam giác ABC C. O là trọng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D. Trọng tâm của ABC là điểm biểu diễn của số phức z1  z2  z3 Câu 99: Trong mặt phẳng phức cho các điểm O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A ‘ biểu diễn số phức z ‘  0 và B ‘ biểu diễn số phức zz ‘. Nhận định nào sau đây đúng? A. Tam giác OAB đều B. Hai tam giác OAB, OA ‘ B ‘ là hai tam giác đồng dạng C. O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AA ‘ B ‘ D. Trọng tâm của OAB là điểm biểu diễn của số phức z1  z2  z3 Câu 100: Các điểm A, B, C và A, B, C  lần lượt biểu diễn các số phức z1 , z2 , z3 và z1, z2 , z3 trên mặt phẳng tọa độ ( A, B, C và A, B, C  đều không thẳng hàng). Biết z1  z2  z3  z1  z2  z3 , khẳng định nào sau đây đúng? A. Hai tam giác ABC và ABC  bằng nhau. B. Hai tam giác ABC và ABC  có cùng trực tâm. C. Hai tam giác ABC và ABC  có cùng trọng tâm. D. Hai tam giác ABC và ABC  có cùng tâm đường tròn ngoại tiếp. Câu 101: (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại 4 số phức z thỏa mãn z  z  z  z  2 và     z z  2  z  z  m là số thuần ảo. Tổng các phần tử của S là. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 27 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2 1 3 1 . C. . D. . 2 2 2 Câu 102: (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Cho số phức z thỏa mãn z  4  z  z  z  4 và số phức w   z  2i  zi  2  4i có phần ảo là số thực không dương. A. 2  1. B.   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , hình phẳng  H  là tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z . Diện tích hình  H  gần nhất với số nào sau đây? A. 7 . B. 17 . C. 21 . D. 193 . Câu 103: Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  3 , z 2  2 được biểu diễn trong mặt phẳng phức lần lượt là    z z các điểm M , N . Biết  OM , ON  , tính giá trị của biểu thức 1 2 . 6 z1  z 2   7 3 1 D. 2 13 Câu 104: (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho z1 , z 2 là hai số phức A. 13 B. 1 C. thỏa mãn phương trình 2 z  i  2  iz , biết z1  z2  1 . Tính giá trị của biểu thức P  z1  z2 . 3 2 . B. 3 . C. 2 . D. . 2 2 Câu 105: (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  4, z 2  6 và A. z1  z 2  10 . Giá trị của z1  z2 là 2 A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. 3 . Câu 106: Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M và M  . Số phức z  4  3i  và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là N và N  . Biết rằng MM N N là một hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z  4i  5 . 5 2 1 4 A. . B. . C. . D. . 34 5 2 13 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 28 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao DẠNG 4: SỐ PHỨC CÓ MOĐUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT MOĐUN MIN, MAX CỦA SỐ PHỨC CÓ TẬP HỢP BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG ĐƯỜNG THẲNG Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A và đường thẳng  d  . Điểm M chạy trên đường thẳng  d  sao cho độ dài đoạn AM nhỏ nhất.Khi đó hãy tìm vị trí điểm M và tính độ dài AM . Phương pháp giải: A d(M,d) (d) M H Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng  d  . Khi đó AM  AH , nên độ dài đoạn AM nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng  d  và AM min  AH  d  M , d  . Câu 1. Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường thằng  d  : 3 x  4 y  3  0 . Tính giá trị nhỏ nhất của z . 4 2 . D. . 5 5 Cho các số phức z , w thỏa mãn z  2  2i  z  4i , w  iz  1. Giá trị nhỏ nhất của w là A. Câu 2. B. 3 . 5 3 2 . 2 B. 2. C. 2 . D. 2 2. 2 Cho số phức z không phải số thuần ảo thỏa điều kiện z 2  4  z  z  2i  .Giá trị nhỏ nhất của A. Câu 3. 1 . 5 C. z  i bằng Câu 4. A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Cho các số phức z thỏa mãn z  2  4i  z  2i . Giá trị nhỏ nhất của z  7  i là A. Câu 5. Câu 6. Câu 7. Câu 8. 4 10 . 5 B. 3. C. 3 10 . 5 D. 10. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  2i. A. 5 B. 3 5. C. 3 2 D. 3  2 Trong các số phức z thỏa mãn: z  3  4i  z thì số phức z có modul nhỏ nhất là 11 3 5 1 A. z   i . B. z   2i . C. z  5  i . D. z  3  i 2 2 2 6 Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  3i  z  2  i . Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? 1 2 1 2 A. z  1  2i . B. z    i . C. z   i . D. z  1  2i . 5 5 5 5 Trong các số phức z thỏa mãn: z  1  5i  z  3  i , biết rằng số phức z  a  bi,  a, b    có modul nhỏ nhất. Khi đó, tỉ số a bằng b File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 29 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 2 . C. . D. P   2 3 3 Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z  2i  1  z  i . Tìm số phức z được biểu A. 3 . Câu 9. Số Phức Nâng Cao B. diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1, 3 . A. 3 i . B. 1  3i . C. 2  3i . D. 2  3i . Câu 10. (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho tất cả các số phức z  x  yi,  x, y    thỏa mãn z  2i  1  z  i . Biết z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1; 3 . Tìm P  2 x  3 y . A. 9. B. 11. C. 3 . D. 5. Câu 11. (Lê Quý Đôn Điện Biên Lần 3) Trong các số phức z thỏa mãn z  1  i  z  1  2i , số phức z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là 3 3 3 3 A. . B. . C.  . D.  . 10 5 5 10 Câu 12. Cho số phức z thoã mãn điều kiện z  2i  z  1  2i . Gọi w là số phức thoã mãn điều kiện w  1  i  z  2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  w là: 1 5 5 1 A. Pmin  . B. Pmin  . C. Pmin  . D. Pmin  5 3 34 41 Câu 13. Xét số phức z thỏa mãn z  i  1  z  4i  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  2i  1 . 7 10 470 . . D. 5 5 3  4i Câu 14. Cho số phức z thỏa z  5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của . z 5 Lời giải 3  4i 3  5 A  4i 3  5 A  4i 3  5 A  4i z  z    5  3  5 A  4i  5 A . Đặt A  z 5 A A A A. 98 . 5 B. 102 . 5 Gọi A  x  yi  x, y     C. 2  5 x  3   5 y  4  2  5 x2  y 2 .  6x  8 y  5  0 . Vậy tập hợp điểm của số phức A     : 6 x  8 y  5  0 . 1  min A  d O;      . 2 Câu 15. Cho số phức z thỏa z  5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  4i . z 5 Lời giải z  4i Đặt A  . Xét A  1  không có số phức z nào thỏa. Vậy A  1 z5 5 A  4i 5 A  4i 5 A  4i z  z    5  5 A  4i  5 A  1 . A 1 A 1 A 1 Gọi A  x  yi  x, y     2  5x   5 y  4 2 5  x  1 2  y2 .  50 x  40 y  9  0 . Vậy tập hợp điểm của số phức A     : 50 x  40 y  9  0 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 30 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  min A  d O;     Số Phức Nâng Cao 9 . 10 41 Câu 16. Cho số phức z  a  bi  a, b  ; a, b  0  . Đặt đa thức f  x   ax 2  bx  2 . Biết f  1  0, 5 1 f     . Tính giá trị lớn nhất của z . 4 4 MOĐUN MIN, MAX CỦA SỐ PHỨC CÓ TẬP HỢP BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG TRÒN, HÌNH TRÒN Bài toán 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A và đường tròn  C  có tâm I bán kính R . Điểm M thay đổi trên đường tròn  C  . Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn AM đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và tính các giá trị này. Phương pháp giải: Ta xét ba trường hợp Trường hợp 1: điểm A nằm ở miền ngoài đường tròn  C  (C) M R B A C I AM min  AB  AI  R và AM max  AC  AI  R Trường hợp 2: điểm A nằm ở trên đường tròn  C  (C) M R A C I B AM min  0 và AM max  AC  2R Trường hợp 3: điểm A nằm ở miền trong đường tròn  C  (C) R B A C I M AM min  AB  R  AI và AM max  AC  AI  R Câu 17. Cho số phức z có z  2 thì số phức w  z  3i có modun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là #A. 2 và 5 . B. 1 và 6 . C. 2 và 6 . D. 1 và 5 . Câu 18. Cho số phức z thoả z  3  4i  2 và w  2 z  1  i . Khi đó w có giá trị lớn nhất là: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 31 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 16  74 . B. 2  130 . Số Phức Nâng Cao C. 4  74 . D. 4  130 . 2  3i z 1  1 3  2i D. 2. Câu 19. Cho số phức z , tìm giá trị lớn nhất của | z | biết rằng z thoả mãn điều kiện #A. 3. B. 2. C. 1. 3  2i  a  b 2 . Tính a  b . 2 1 4 C. . D. . 2 3 Câu 20. Cho số phức z thỏa mãn z  3  2 z và min z  A. 1 . B. 2 2 . Câu 21. Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  1 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là A. 2 2  1; 2 2  1 . B. 2  1; 2  1 . C. 2;1 . D. 3  1; 3  1 Câu 22. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  4 5 . Giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là A. 5 . B. 3 5 . C. 5 5 . D. 5 3 Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. A. 9  4 5. B. 11  4 5 C. 6 4 5 D. 5 6 5 Câu 24. Cho số phức z thảo mãn z  4i  2  4. Tìm giá trị nhỏ nhất của z . A. 1 B. 3 C. 7 D. 8 Câu 25. Cho số phức z thoả mãn điều kiện z  2  3i  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z A. 13  3 . B. 2. C. 13  2 . D. 2 Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn (1  i) z  1  7i  2 . Tìm giá trị lớn nhất của z A. max z  4 . B. max z  3 . D. max z  6 C. max 7 . Câu 27. Cho số phức z thỏa z  3  4i  2 và P  z  2  i . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P . Tính A  M  m . Lời giải Gọi z  a  bi  a, b    . 2 2 Ta có: z  3  4i  2   a  3   b  4   4 . 2 2 Vậy tập hợp điểm M   C  :  a  3   b  4   4 có tâm I  3; 4  và bán kính R  2 Trong mặt phẳng 2 phức xét A  2;1 , ta có: P  z  2  i  MA với 2 M   C  :  a  3   b  4   4 . MAmin  AI  R  34  2 Vậy:  . MA  AI  R  34  2  max Câu 28. (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Xét các số phức z thỏa mãn z  1  3i  2 . Số phức z mà z  1 nhỏ nhất là A. z  1  5i . B. z  1  i . C. z  1  3i . D. z  1  i . Câu 29. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z  2i. A. 26  6 17. B. 26  6 17 . C. 26  8 17 . D. 26  4 17. Câu 30. Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  6  2i  10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. A. 4 5 B. 3 5. C. 3. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 3  5 Trang 32 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 31. Cho số phức z thoã mãn z  3  4i  2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z . Tính giá trị của biểu thức P  A2  2B . A. P  43 . B. P  80 . C. P  8 . D. P  48 Câu 32. Trong các số phức z thỏa z  3  4i  2 , gọi z0 là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó A. Không tồn tại số phức z0 . C. z 0  7 . B. z 0  2 . D. z0  3 . Câu 33. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn A. z min  1 . 1  i  z  2  1 1 i B. z min  2  2 . hãy tìm số phức z có mođun nhỏ nhất. C. z min  0 . D. z min  2 Câu 34. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z  1  2i  5 và w  z  1  i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng: A. 2 5 . B. 3 2 . C. 6 . D. 5 2 . Câu 35. Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1  i là: A. 13  2 . Câu 36. B. 4. D. 13  1 C. 6. (Sở Vĩnh Phúc) Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 .Giá trị lớn nhất của z  1  i là A. 4 B. 6 C. 13  1 . D. 13  2 . Câu 37. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  4 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  2  i . Giá trị của T  M 2  m 2 là A. T  50 . B. T  64 . C. T  68 . D. T  16 Câu 38. Cho số phức z thoã mãn z  1  i  2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z  2  i . Giá trị của biểu thức P  2 A  B 2 gần bằng. A. 6. B. 7. C. 8. D. 9 Câu 39. Cho số phức z thỏa mãn: z  1  i  2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z  2 . Khi đó A2  B2 có giá trị bằng A. 20. B. 18. C. 24. D. 32 Câu 40. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  10 . Giá trị lớn nhất của z  1  4i bằng A. 10 . B. 10 3 . C. 3 10 . D. 4 10 Câu 41. Cho số phức z thỏa mãn: z  1  2i  2 5 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z  i . Khi đó A.B có giá trị bằng A. 10. B. -10. C. 12. D. -12 1 i z  1  i  2 . Giá trị lớn nhất của A  z  2  i là. Câu 42. Cho số phức z thoã mãn 1 i A. 2  2 . B. 52. C. 2  5 . Câu 43. Số phức z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện z 1  i   3  2i  A. z  1  3i B. z  2 1  i 2 2 C. z  3 1  i 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 5 13 là: 2 3 15 D. z   i 4 4 Trang 33 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 44. Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa z  5i  3 . Nếu số phức z có môđun nhỏ nhất thì phần ảo bằng bao nhiêu? A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 4 Câu 45. Cho số phức z thỏa mãn: z 1  i   1  2i  2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z  1  3i . Khi đó 2 A2  B 2 có giá gần nhất bằng A. 20. B. 18. C. 64. D. 32 Câu 46. Trong mặt phẳng phức Oxy, trong các số phức z thỏa z  1  i  1 . Nếu số phức z có môđun lớn nhất thì số phức z có phần thực bằng bao nhiêu?  2 2 22 2 2 2 2 A. . B. . C. . D. 2 2 2 2 1  i  z  2  1 Câu 47. Cho hai số phức z và w biết chúng thỏa mãn và w  iz . Tìm giá trị lớn nhất 1 i của M  z  w . A. 3 3 B. 3 C. 3 2 D. 2 3 Câu 48. Trong mặt phẳng phức Oxy , trong các số phức z thỏa z  1  i  1 . Nếu số phức z có môđun lớn nhất thì số phức z có phần thực bằng bao nhiêu?  2 2 22 2 2 2 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Câu 49. Cho số phức z thỏa mãn z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1 và số phức w thỏa w  z  2  2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của w . MOĐUN MIN, MAX CỦA SỐ PHỨC CÓ TẬP HỢP BIỂU DIỄN LÀ ELIP Câu 50. (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2)Gọi S là tập hợp các số phức thỏa z  3  z  3  10 . Gọi z1; z2 là hai số phức thuộc S có mô đun nhỏ nhất. Giá trị biểu thức P  z12  z22 là A. 16 . B. 16 . C. 32 . D. 32 . Câu 51. (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Cho số phức z thỏa mãn z  6  z  6  20 . Gọi M , n lần lượt là môđun lớn nhất và nhỏ nhất của z. Tính M  n A. M  n  2 . B. M  n  4 . C. M  n  7 . D. M  n  14 . Câu 52. Cho số phức z thỏa mãn z  8  z  8  20 . Gọi m , n lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z . Tính P  m  n . A. P  16. B. P  10 2. C. P  17. D. P  5 10. Câu 53. Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất z . Khi đó M  m bằng A. 4  7. B. 4  7. C. 7. D. 4  5. Câu 54. (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Trong các số phức z thỏa mãn z  4  3i  z  8  5i  2 38 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  2  4i . A. 1 . 2 B. 5 . 2 C. 2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 1 . Trang 34 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao (THPT-Toàn-Thắng-Hải-Phòng) Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  2  1  i  z  2  4 2 . Câu 55. Gọi m  max z ; n  min z và số phức w  m  ni . Tính w 2018 A. 41009 . B. 51009 . C. 61009 . D. 21009 . Câu 56. (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho hai số phức z và   a  bi  a, b    thỏa mãn: z  5  z  5  6 ; 5a  4b  20  0 . Giá trị nhỏ nhất của z   là A. 3 . 41 B. 5 . 41 C. 4 . 41 D. 3 . 41 DẠNG 5: MIN, MAX SỐ PHỨC PP ĐẠI SỐ ÁP DỤNG CÁC TÍNH CHẤT BĐT, ĐÁNH GIÁ Câu 1. Số phức z  0 thỏa mãn z  2. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  A. 1 Câu 2. Câu 3. z i . z C. 3 B. 2 D. 4 5i Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  1  . z A. 5. B. 4. C. 6. D. 8. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất M max và giá trị nhỏ nhất M min của biểu thức M  z 2  z  1  z 3  1 . A. M max  5; M min  1. B. M max  5; M min  2. C. M max  4; M min  1. D. M max  4; M min  2. Câu 4. Xét số phức z thỏa mãn z2  6z  25  2 z  3  4i . Hỏi giá trị lớn nhất của z là: Câu 5. A. 7 . B. 5 . C. 3 . Cho số phức z có z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D. 10 . P  1008 1  z  1  z 2  1  z 3  …  1  z 2017 A. Pmin  1007 B. Pmin  2018 C. Pmin  1008 D. Pmin  2016 Câu 6. (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  i  z  2  3i , số Câu 7. phức z0 có môđun nhỏ nhất. Phần ảo của z0 là 2 4 3 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 4 2 Cho số phức z thỏa mãn z  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1 . Tính min | w | , với w  z  2  2i . 3 1 . B. min | w | 2 . C. min | w | 1 . D. min | w | . 2 2 (CỤM TRẦN KIM HƯNG -HƯNG YÊN NĂM 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 2  iz  2  z 2  z  i  1 . Giá trị nhỏ nhất của z  2  i là A. min | w | Câu 8. A. 2 2 . Câu 9. B. 2. C. 2 . (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho số phức 2 z  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1 . Tính min w , với w  z  2  2i . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 1 5 . 2 z thỏa Trang 35 mãn ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 1 3 . B. min w  1 . C. min w  . D. min w  2 . 2 2 Câu 10. (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Cho số phức z thỏa mãn z  2  4i  z  2i và biểu thức iz  2  i đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm phần ảo của số phức z . A. min w  2 . 2 A. 5 B.  . 2 3 C.  . 2 D. Câu 11. (Chuyên Vinh Lần 2) Cho các số phức z và w thỏa mãn  2  i  z  5 . 2 z  1  i . Tìm giá trị lớn w nhất của T  w  1  i . A. Câu 12. 4 2 . 3 B. 2 . 3 C. 2 2 . 3 (Chuyên Vinh Lần 2)Cho số phức z và w thỏa mãn  3  2i  z  D. 2. z  1  i . Tính giá trị iw  1  3i lớn nhất của T  w A. Câu 13. 2  11 . 3 B. 2  10 . 5 C. 5 . 2 D. 5  13 5 (Chuyên KHTN lần2) Xét các số phức z thỏa mãn z  2  i  1 . Gọi m, M là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của z . Giá trị M  m bằng: A. 3 . B. 2 . C. 1  2 5 . D. 2 5 . 2 Cho số phức z thỏa mãn z  z , Câu 14. 4 z  z là số thực. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá 4  z  z2 trị nhỏ nhất của z  1  i . Tính P  M  m. A. P  4 . B. P  2 C. P  4  2 D. P  4  2 2 Câu 15. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Cho số phức z thỏa mãn 2 z  z 2  4 . Tìm giá trị lớn nhất của z . A. 1  5 . B. 1  3 5 . C. 3  5 . D. 6  13 . Câu 16. Cho số phức z  a  bi  a  0, b  0  thỏa mãn a  b  2  0 , a  4b 12  0 . Hỏi giá trị lớn nhất của z là A. 2 5 . B. 3 2 . C. 5 . D. 2 6 . 2 Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn z  4  z . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính P  M  m . 2 17  1 17  1 . B. P  17 . C. P  . 2 2 Câu 18. Gọi z  x  yi  x, y    là số phức thỏa mãn hai điều kiện A. P  3 3  i đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy. 2 2 9 13 16 A. xy  . B. xy  . C. xy  . 4 2 9 2 17  1 . 2 2 2 z  2  z  2  26 và D. P  z File Word liên hệ: 0978064165 – Email: dangvietdong.bacgian[email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 9 D. xy  . 2 Trang 36 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 19. Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn Số Phức Nâng Cao z  2i là số thuần ảo. Khi số phức z có môđun lớn z2 nhất. Tính giá trị biểu thức P  a  b . A. P  0 B. P  4 C. P  2 2  1 D. P  1  3 2 Câu 20. Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z  1  i  5 . Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  7  9i  2 1  i  z  8  8i là? A. 3 5 . B. 5 5 . C. 2 5 . D. 4 5 . Câu 21. Cho số phức z thỏa mãn z  i  2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  2  z  2  2i . Tính P  M  m A. P  2  17 . B. P  2  2 17 . C. P  2  2 17 . D. P  2  17 . z z Câu 22. Cho số thực z1 và số phức z2 thỏa mãn z 2  2i  1 và 2 1 là số thực. Gọi M , m lần lượt là 1 i giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z1  z 2 . Tính giá trị của biểu thức T  M  m ? Câu 23. A. T  4 B. T  4 2 C. T  3 2  1 D. T  2  3 2 2 Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z  2  m  1 z  m  1  0 , với m là tham số thực. Biết giá trị lớn nhất của biểu thức P  A. T  2 2 . B. T  2 Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1 1  là M 0 đạt tại m  m0 . Tính T  M 0  m0 . z1 z2 C. T  2 2  2 D. T  2 2  2 4i  1. . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ z nhất của z  1  i . Tính P  M .m. A. P  4 . B. P  2  2 . C. P  34 . D. P  2  2 . Câu 25. Trong các số phức z thoả mãn iz  6  3i  2 z  6  9i có hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 8 z1  z2  . Hỏi giá trị lớn nhất của z1  z2 là? 5 56 44 76 A. . B. 10 . C. . D. . 5 5 5 Câu 26. (Kim Liên 2016-2017) Cho số phức z và w biết chúng đồng thời thỏa mãn hai điều kiện: 1  i  z  2  1 và w  iz . Tìm giá trị lớn nhất của M  z  w 1 i A. M  3 3 . B. M  3 . C. M  3 2 . D. 2 3 . Câu 27. Cho số phức z  x  2 yi  x; y    thỏa z  1 . Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P  x y. A. 0. Câu 28. Cho biết z  B. 5. C.  5 . D. 5 2 4 2  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  z  1? z A. 8  3 5 B. 6  5 C. 6  5 D. 8  3 5 P z A  2017.  max P   2017.  min P  Câu 29. Cho số phức z 2017  1  1 . Gọi . Tính . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 37 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao A. A  2017.2016 2 B. A  2017.2017 3 C. A  2017.2017 2 D. A  2017 ÁP DỤNG CÁC BĐT BUNHIACOPXKI Câu 30. Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  z 2  3  4i và z1  z2  5 . Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức z1  z2 là? A. 5 . B. 5 3 . C. 12 5 . D. 5 2 . Câu 31. Cho số phức z thỏa z  1 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T  z  1  2 z  1 . A. max T  2 5 . B. max T  2 10 . C. max T  3 5 . D. max T  3 2 Câu 32. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2 . Tìm giá trị lớn nhất của T  z  i  z  2  i . A. max T  8 2 . B. max T  4 . C. max T  4 2 . D. max T  8 . Câu 33. (THPT LÝ THƯỜNG KIỆT – HÀ NỘI) Cho số phức z thoả mãn z  3  4i  5 và biểu thức 2 2 P  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Tính z  i A. 61 . B. 41 . C. 5 3 . D. 3 5 . Câu 34. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  8  6i và z1  z2  2 . Tìm giá trị lớn nhất của P  z1  z2 . A. P  4 6 B. P  2 26 C. P  5  3 5 D. P  32  3 2 Câu 35. (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho hai số phức z, w thỏa mãn z  3w  2  2 3i và z  w  2 .Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  w bằng 21 2 21 D. 3 3 Câu 36. (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Với ai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  8  6i và A. 2 21 B. 2 7 C. z1  z2  2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z1  z2 là: A. 5  3 5 . B. 2 26 . C. 4 6 . D. 34  3 2 . Câu 37. ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho z là số phức thỏa mãn z  z  2i . Giá trị nhỏ nhất của z  1  2i  z  1  3i là A. 5 2 . B. 13 . C. 29 . D. 5 . Câu 38. (Đặng Thành Nam Đề 12) Cho số phức z  a  bi , (a, b  ) thỏa mãn 2 z  2  3i  1. Khi biểu thức P  2 z  2  z  3 đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của a  b bằng A.  3 . B. 2 . C. 2 . D. 3 . Câu 39. (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Cho các số phức z, w thỏa mãn wi  3 5 5 và 5 w  (2  i )( z  4) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  2i  z  6  2i . A. 7. B. 2 53 . C. 2 58 D. 4 13 . Câu 40. (Sở Bắc Ninh 2019) Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  1  3i  3 2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  2  i  6 z  2  3i bằng A. 5 6 .   B. 15 1  6 . C. 6 5 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 10  3 15 . Trang 38 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 41. Số Phức Nâng Cao (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1  2  3i  5 z2  2  3i  3 . Gọi m0 là giá trị lớn nhất của phần thực số phức z1  2  3i . Tìm m0 . z2  2  3i 3 81 . B. m0  . C. m0  3 . D. m0  5 . 5 25 (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  z  2i . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  z  1  2i  z  3  4i  z  5  6i được A. m0  Câu 42. a  b 17 với a , b là số hữu tỉ. Giá trị của 3a  b bằng 2 A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 3 . Câu 43. (Đặng Thành Nam Đề 3) Trong các số phức z thoả mãn z  3  4i  2 có hai số phức z1 , z2 viết dạng 2 2 thỏa mãn z1  z2  1. Giá trị nhỏ nhất của z1  z2 bằng A. 10 . B. 4  3 5 . C. 5 . D. 6  2 5 . ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Câu 44. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  3 1  z . A. 3 15 B. 6 5 C. 20 D. 2 20. Câu 45. Cho số phức z thỏa mãn z  1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z 2  z  1 . Tính giá trị của M .m . 13 3 39 13 . . B. C. 3 3. D. . 4 4 4 2 2 Câu 46. Tìm giá trị lớn nhất của P  z  z  z  z  1 với z là số phức thỏa mãn z  1 . A. 13 9 13 11 B. max P  C. max P  D. max P  4 4 3 3 Câu 47. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu A. max P  thức P  z 2  1  1  z . Tính T  a  b . A. T  2  2 . B. T  2  2 . C. T  2  2 . D. T   2 . Câu 48. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z 2  z  1 . Tính T  A. T  5 . 4 B. T  a . b 1 2 5 . 26 C. T  3 . 4 D. T  13 . 16   Câu 49. Cho số phức z thỏa mãn  z  2  i  1  z  2 i  1  6 . Tính tổng T  max z  min z ? 5 5 2 3 5 2 . B. T  0 . C. T  6 . D. T  . 2 2 Câu 50. Cho hai số phức z thõa mãn: z  1 . Gọi a , b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A. T  biểu thức P  z 3  1  z 2  z  1 . Tính T  a  b .  4 13  5 10 A. T  . B. T  5 .  4 15  5 10 C. T  .  4 14  5 10 D. T  . 27 27 27 Câu 51. Cho số phức thỏa z  1 . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  z  1  z 2  z  1 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 39 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 52. (Sở Hưng Yên Lần1) Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z 2  z  1 . Tính M .m . 39 13 13 3 . B. . C. 3 3 . D. . 4 4 4 Câu 53. Cho số phức z  x  yi  x, y    thỏa mãn điều kiện z  1  i  z  2  3i  5 . Gọi M , m lần A. 2 lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  x. z . Tổng M  2m bằng B. 27. C. 18. D.  9. im Câu 54. Cho số phức z   m    . Gọi k  k    là giá trị nhỏ nhất sao cho tồn tại 1  m  m  2i  A.  54. z  1  k . Giá trị k thuộc khoảng nào sau đây. 1 1 1 2  2 4 4  A.  ;  . B.  ;  . C.  ;  . D.  ;1 3 2  2 3 3 5 5  Câu 55. (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019)Cho số phức z có z  1 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  1  z  1  z 2 . Tính giá trị M 2  m2 . A. 20 . B. 18 . C. 24 . D. 16 . Câu 56. (SỞ PHÚ THỌ LẦN 2 NĂM 2019) Giả sử z là số phức thỏa mãn iz  2  i  3 . Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 z  4  i  z  5  8i bằng A. 18 5 . Câu 57. B. 3 15 . C. 15 3 . D. 9 5 . (Chuyên Sơn La Lần 3 năm 2018-2019) Cho số phức z có phần thực bằng 1 nhất của  i bằng z 2 . Giá trị lớn A. 2 . B. 1. C. 1 2 . D. 2 . Câu 58. (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Xét tập hợp S các số phức z  x  yi  x, y    thoả mãn điều kiện 3 z  z  1  i  2  2i  . Biểu thức Q  z  z  2  x  đạt giá trị lớn nhất là M và đạt được tại z0  x0  y0i (khi z thay đổi trong tập S ). Tính giá trị T  M . x0 y02 . 9 3 9 3 9 3 9 3 . B. T  . C. T  . D. T   . 2 4 2 4 Câu 59. (KHTN Hà Nội Lần 3) Xét các số phức z thỏa mãn z  1 , giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. T   1 z z 2 4 2 bằng 2 1 1 1 . B. . C. . D. . 8 8 16 4 Câu 60. (Chuyên Bắc Giang) Cho số phức z có z  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức A. P  z 2  z  z 2  z  1 là A. 13 . 4 B. 3 . C. 3. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 11 . 4 Trang 40 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 61. (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho các số phức z và w z thỏa mãn  3  i  z   1  i . Tìm giá trị lớn nhất T  w  i . w 1 2 3 2 1 A. . B. . C. 2 . D. . 2 2 2 Câu 62. (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  z  4  6i  9 , giá trị lớn nhất của z  10  14i là A. 17 . B. 20 . C. 15 . D. 12 . (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Hai số phức z , w thay đổi nhưng luôn thỏa mãn đẳng thức 2019 z  2019i  2  2i . Giá trị lớn nhất của w là 1  i  z 2  2iz  1  w 2019 2 2019 2 A. . B. . C. 2019 . D. Đáp án khác. 4 2 DẠNG 6: MIN, MAX SỐ PHỨC PP HÌNH HỌC Bài toán 1 Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm phân biệt A , B và đường thẳng  d  . Điểm M chạy trên đường thẳng  d  sao cho tổng độ dài đoạn AM  BM nhỏ nhất.Khi đó hãy tìm vị trí điểm M và tính AM  BM . Phương pháp giải: Ta xét hai trường hợp +) Trường hợp 1 : hai điểm A , B nằm về hai phía đối với đường thẳng  d  A (d) D M B Ta có MA  MB  AB nên  MA  MB min  AB , đạt được khi M  AB  (d ) . +) Trường hợp 2 : hai điểm A , B cùng phía đối với đường thẳng  d  B A (d) D M A’ Gọi điểm A ‘ là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng  d  . Khi đó MA  MA ‘ Câu 1.  MA  MB  MA ‘ MB  A ‘ B nên  MA  MB  min  A ‘ B , đạt được khi M  A ‘ B  (d ) . Cho các số phức z thỏa mãn z  1  z  1 . Giá trị nhỏ nhất của z  2  4i  z  4  6i là A. 10  5. B. 13. C. 2 5 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 2 10. Trang 41 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 2. Cho các số phức z thỏa mãn Số Phức Nâng Cao 2 z  5  4i  2 z  3  4i . Giá trị nhỏ nhất của z  1  4i  z  1  i là Câu 3. A. 5 B. 13. C. 41 D. 10. Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  1  i  z  2i và P  z  2  3i  z  1 đạt giá Câu 4. trị nhỏ nhất. Tính P  a  2b : Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  1  i  z  2i và P  z  2  3i  z  1  2i đạt Câu 5. giá trị nhỏ nhất. Tính P  a  2b : (Sở Hà Nam) Cho số phức z  a  bi với a, b là hai số thực thỏa mãn a  2b  1 . Tính z khi biểu thức z  1  4i  z  2  5i đạt giá trị nhỏ nhất. A. 1 . 5 B. 5. C. 1 . 5 D. 2 . 5 Bài toán 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm I và đoạn thẳng AB . Điểm M chạy trên đoạn thẳng AB sao cho độ dài đoạn IM nhỏ nhất.Khi đó hãy tìm vị trí điểm M và tính độ dài IM . Phương pháp giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên đường thẳng  AB  .Ta xét hai trường hợp Trường hợp 1: điểm H nằm trong đoạn AB I M A H B Dễ dàng thấy IM min  IH và IM max  max  IA; IB . Trường hợp 2: điểm H nằm ngoài đoạn AB I A M B H Dễ dàng thấy IM min  min  IA; IB và IM max  max  IA; IB . Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  i  z  2  3i  2 5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính giá trị M .m . 65 4 65 B. 65 C. 2 26 D. 5 5 Xét số phức z thỏa mãn z  2  i  z  4  7i  6 2 . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và A. Câu 7. giá trị lớn nhất của z  1  i . Tính P  m  M . A. P  13  73 . B. P  5 2  2 73 . 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 42 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 5 2  73 . 2 Câu 8. Xét số phức z thỏa mãn z  1  2i  z  2  2i nhỏ nhất. Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất M và giá trị lớn nhất của z  4i . Tính P  . m A. P  2 . B. P  2 2 . C. P  2 5 . D. P  5 2 .  z  2  z  8  8i Câu 9. Xét số phức z thỏa mãn  . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  4i  z  5 6 5 A. 4 . B. 3 . C. . D. 2 5 . 5 Câu 10. Xét các số phức z thỏa z  2  i  z  4  7i  6 2 . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá D. P  C. P  5 2  2 73 . trị lớn nhất của z  1  i . Tính P  m  M . 5 2  2 73 5 2  73 . C. P  5 2  73 . D. P  . 2 2 Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  z  4  5i  10 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và B. P  A. P  13  73 . giá trị nhỏ nhất của z  1  i . Tính P  M .m . 8 41 8 41 . B. P  697 . C. P  5 41 . D. P  . 5 3 Câu 12. Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  z  1  3i  34 . Hỏi giá trị nhỏ nhất của z  1  i là? A. P  9 . B. 4 . C. 13 . D. 3 . 34 Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  i  z  2  3i  2 5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn A. nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun z  1  2i , tính M  m . 2 5  5 10 5  5 10 A. . B. . C. 2  10 . 5 5 Bài toán 3: D. 2  2 10 . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) và đường tròn  C  có tâm I bán kính R không có điểm chung. Điểm M thay đổi trên đường tròn  C  , điểm N thay đổi trên đường thẳng (d ) . Xác định vị trí hai điểm M , N để độ dài đoạn MN giá trị nhỏ nhất và tính các giá trị này. Phương pháp giải: I R M A H N MN min  AH  d ( I , d )  R . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 43 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  z1  i  z1  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z1  z2 .  z2  1  i  1 Câu 14. Xét hai số phức z1 , z2 thỏa mãn  1 . 2 Câu 15. (Hùng Vương Bình Phước) Cho 2 số phức z1; z2 thoả mãn z1  5  5; z2 1 3i  z2  3 6i A. 2. B. 1 . C. 2 1. D. . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z1  z2 là 3 5 . C. Pmin  . D. Pmin  5 . 2 2 Câu 16. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  5  5 , z2  1  3i  z 2  3  6i . Hỏi giá trị nhỏ nhất của A. Pmin  3 . B. Pmin  z1  z 2 là? 5 3 . C. . D. 5 . 2 2 Câu 17. (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  2  i  1 và số phức z thỏa mãn A. 3 . B. điều kiện z   1  2i  z   1 . Giá trị nhỏ nhất của z  z bằng A. 2 1 . B. 2 2 1 . C. 2 1 . D. 2 2 1 . Câu 18. (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  1  i  1 và z2  2iz1. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P  2 z1  z2 . A. Pmin  2  2 . Bài toán 4: B. Pmin  8  2 . C. Pmin  2  2 2 . D. Pmin  4  2 2 . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn  C  có tâm I bán kính R . Đoạn AB là một đường kính của  C  . Điểm M thay đổi trên đường tròn  C  . Xác định vị trí điểm M để tổng độ dài k.MA  l.MB (với k  l  0 ) đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị này. Phương pháp giải: M A R I B Ta có: k  l  0  kMA  lMB  l (MA  MB)  lAB , dấu bằng xảy ra khi M  A . Bài toán 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn  C  có tâm I bán kính R . Đoạn AB cố định nhận điểm I làm trung điểm. Điểm M thay đổi trên đường tròn  C  . Xác định vị trí điểm M để tổng độ dài k.MA  l.MB (với k  0, l  0 ) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị này. Phương pháp giải: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 44 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao M A I B MA2  MB 2 AB 2 Theo công thức đường trung tuyến ta có MI   2 4 2 AB  MA2  MB 2  2 MI 2   a  const 2 Lại có: k .MA  l.MB  k 2  l 2 . MA2  MB 2  k 2  l 2 . a , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi MA MB k k2  l2   MA  MB  ( ) MB  k 2  l 2 . a , hay M là giao điểm của đường k l l l l a (C ) với đường tròn tâm B bán kính . k2  l2 Câu 19. (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tính giá trị lớn nhất của biểu 2 thức T  z  1  2 z  1 . A. max T  3 2. B. max T  2 10. C. max T  2 5. D. max T  3 5. Câu 20. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  z  1  2 z  1 . A. min T  2 5 . B. min T  2 . C. min T  5 . D. MinT  2 . Câu 21. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  3 1  z . A. 3 15 B. 20 C. 2 10 D. 6 5 Câu 22. (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho số phức z thỏa mãn z  1  3 . Tìm giá trị lớn nhất của T  z  4i  z 2i . A. 2 26 . B. 2 46 . C. 2 13 . D. 2 23 . Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  z  1  2 z  1 . A. max T  2 5 Câu 24. Xét các số phức B. max T  2 10 C. max T  3 5 D. max T  3 2 z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  2  3i  2 . Tính P  a  b khi z  2  5i  z  6  3i đạt giá trị lớn nhất. A. P  3 B. P  3 C. P  7 D. P   7 Câu 25. Cho z  4  3i  5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z  1  3i  z  1  i . Tính P  M 2  m2 ? A. P  240 B. P  250 C. P  270 D. P  320 Câu 26. Cho 2 z  1  3i  2 . Tìm giá trị lớn nhất của P  z  1  3. z  1  2i ? A. 4 2 B. 4 3 C. 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 4 Trang 45 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 27. (Sở Đà Nẵng 2019) Cho số phức z thay đổi thỏa z  i  2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  i  4  2 z  3i  3 bằng A. 2 3 . B. 2 . C. 4 2 . D. 6 . Câu 28. (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho các số phức z , w thỏa mãn 3 5 5w và  2  i . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  1  2i  z  5  2i bằng 5 z4 29 52  55 . B. 2 53 . C. . D. 3  134 . 2 wi  A. Bài toán 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn  C  có tâm I bán kính R . Điểm M cố định nằm ở miền trong đường tròn; hai điểm A, B thay đổi trên  C  sao cho ba điểm M , A, B thẳng hàng. Xác định vị trí hai điểm A, B để tổng độ dài k.MA  l.MB (với k  0, l  0 ) giá trị nhỏ nhất và tính giá trị này. Phương pháp giải: I A M B Ta có tích MA.MB chính là độ lớn phương tích của điểm M với đường tròn  C  , suy ra MA.MB  R2  MI 2 . Nên k .MA  l.MB  2 klMA.MB  2 kl ( R 2  MI 2 ) , dấu bằng xảy ra 2 2 khi và chỉ khi kMA  lMB  kl ( R  MI )  MA  l 2 ( R  MI 2 ) hay A là giao điểm của k l 2 ( R  MI 2 ) với đường tròn  C  . k  z1  1  i  z2  1  i  1  Câu 29. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn  1 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  z  z  1  i  z  1  i 1 2  1 2 2 2  biểu thức T  2 z1  2  i  2iz2  1  2i . đường tròn tâm M bán kính A. min T  2 5 . B. min T  2 3 . C. min T  2 2 . D. min T  3 2 . 2 Câu 30. Cho hàm số phức f  z    4  i  z  az  b với a, b là số phức. Biết f 1 , f  i  là số thực. Tính giá trị nhỏ nhất của P  a  b . Câu 31. Cho số phức z thỏa z  1  2i  2 2 . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  2017 z  3  4i . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 46 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 32. (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1  z2 và z12  5 z1 z 2  4 z2 2  0 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z1, z 2 thỏa mãn diện tích tam giác OMN bằng 12. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 z1  z2 là 14 6 . D. 7 6 . 3 Câu 33. (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho z1 , z2 là các số phức khác 0 thỏa mãn z1 z1  9 z2 z2 . Gọi M , A. 14 3 . B. 21 2 . C. N lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 và z2 . Biết tam giác OMN có diện tích bằng 6 , giá trị nhỏ nhất của z1  z2 bằng A. 8 . B. 6 . C. 4 2 . Câu 34. (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Các số phức z1 , z2 thỏa mãn w  D. 3 2 . z1  2  i   là số thực và z1  z1 i  1 4z 2  8  13i  4 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z1  z 2 bằng 37 37  4 21 . B. . C. 0. D. . 16 4 4 Câu 35. (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..)Xét các số phức z , w thỏa mãn A. z  2, iw  2  5i  1 .Giá trị nhỏ nhất của z 2  wz  4 bằng A. 4. B. 2   29  3 . C. 8. D. 2   29  5 . Câu 36. (TRƯỜNG THỰC HÀNH CAO NGUYÊN – ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN NĂM 2019) Biết 1 rằng hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  3  4i  1 và z2  3  4i  . Số phức z có phần thực là 2 a và phần ảo là b thỏa mãn 3a  2b  12 . Giá trị nhỏ nhất của P  z  z1  z  2 z2  2 bằng: 9945 . B. P  5  2 3 . 11 9945 C. P  . D. P  5  2 5 . 13 Câu 37. (THPT-Yên-Mô-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Gọi M là điểm biểu diễn số phức z1  a   a 2  2 a  2  i (với a là số thực thay đổi) và N là điểm biểu diễn số phức z2 biết A. P  z2  2  i  z 2  6  i . Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn MN . 6 5 . C. 1. D. 5. 5 Câu 38. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị Lần 1) Cho hai số phức z , w thỏa mãn z  3 2  2 , A. 2 5 . B. w  4 2i  2 2 . Biết rằng z  w đạt giá trị nhỏ nhất khi z  z0 , w  w0 . Tính 3z0  w0 . A. 2 2 . B. 4 2 . C. 1. D. 6 2 . Câu 39. (Cụm 8 trường Chuyên Lần 1) Cho số phức z thỏa mãn 3 z  z  2 z  z  12 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của z  4  3i . Giá trị của M .m bằng A. 28. B. 24. C. 26. D. 20. Câu 40. (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  4 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P  z  2  2i . Đặt A  M  n . Mệnh đề nào sau đây đúng? File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 47 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A    Số Phức Nâng Cao     A. A   4;3 3 . B. A  34;6 . C. A  2 7; 33 . D. A 6; 42 . Câu 41. Cho số phức z  a  2bi  a, b    và đa thức: f  x   ax 2  bx  1 . Biết f  1  1 . Tính giá trị lớn nhất của z . A. 2 . B. 2 2 . C. 5 . D. 7 Câu 42. (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Trong các số phức z thỏa 2 mãn z  1  2 z , gọi z1 và z2 lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Giá trị 2 2 của biểu thức z1  z2 bằng A. 6 . B. 2 2 . C. 4 2 . D. 2 . Câu 43. (SỞ GD & ĐT CÀ MAU) Cho hai số phức z1 , z2 thay đổi, luôn thỏa mãn z1  1  2i  1 và z2  5  i  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P  z1  z2 . A. Pmin  2 . B. Pmin  1 . C. Pmin  5 . D. Pmin  3 . Câu 44. (Sở Lạng Sơn 2019) Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  3i  5  2 và iz2  1  2i  4 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  2iz1  3 z z A. 313 . B. 313  8 . C. 313  16 . D. 313  2 5 . Câu 45. Cho số phức z thỏa mãn z   3  4i   5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 2 2 nhất của P  z  2  z  i . Tính giá trị A  M 2  m 2 . Câu 46. Cho số phức z  0 thoả z  2 . Họi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P zi . Tính A  M 2  m 2 : z z2  z1 là số thực. Gọi M , m lần lượt 1 i giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1  z 2 . Tính A  M 2  m 2 . 8 Cho z1 , z2 là nghiệm của phương trình 6  3i  iz  2 z  6  9i thõa mãn z1  z2  . Gọi M , m 5 lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1  z2 . Tính P  M  m . z z Cho số phức z1 , z2 thoả mãn z1  3  4i  1, z 2  1  z2  i và 1 2 là số thực. Gọi M , m lần 2i lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1  z 2 . Tính P  M  m . z Cho số phức z thoả mãn z không phải là số thực và w  là thực. Giá trị lớn nhất của 2  z2 P  z  1  i là: 1 Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn iz1  2  và z2  iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 z1  z 2 . Câu 47. Cho z1 là số phức, z2 là số thực thoả mãn z1  2i  1 và Câu 48. Câu 49. Câu 50. Câu 51. 1 1 1 1 B. 2  C. 2  D. 2  2 2 2 2 Câu 52. Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M , M  . Số phức w  z (4  3i ) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N , N  . Biết rằng M , M , N , N  là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z  4i  5 . A. 2  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 48 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 4 . D. 2 13 5  35i Câu 53. Cho số phức z1 thỏa z1  1  i  z1 , số phức z2 thỏa là số thực và số phức w thỏa 5 z2  23  4i A. 5 . 34 2 . 5 Số Phức Nâng Cao B. C. điều kiện 2 w  1  i  3 w  2  i  2 . Cho P  w  z1  w  z2  z1  z2 , gọi a là giá trị nhỏ nhất của biểu thức P (nếu có). Đáp án nào sau đây là đúng: 16 10 8 10 64 5 3 4 5 A. a  . B. a  . C. a  . D. a  5 5 2 2 1 i Câu 54. Cho số phức z1 , z2 thỏa z  1  i  z và z1  z2  6 2 , số phức w1 , w2 thỏa điều kiện w  4  2i là số thực và w1  w2  3 2 , số phức u thỏa 2 u  2  i  3 u  1  2i  6 2 . Gọi giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có) là P  u  z1  u  z2  u  w1  u  w2 . Đáp án nào sau đây là đúng: A. 3  26 . B. 9 2  6 . C. 6  2 26 . D. 3  26 Câu 55. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2i  2 2 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P  a z  1  b z  3  4i với a, b là số thực dương. C. 4 2a 2  2b2 . D. a 2  b 2 . z  2i Câu 56. Xét tập  A  gồm các số phức z thỏa mãn là số thuần ảo và các giá trị thực m, n thỏa z2 mãn chỉ có duy nhất một số phức z   A  thỏa mãn z  m  ni  2 . Đặt M  max  m  n  và A. a 2  b2 . 2a 2  2b 2 . B. N  min  m  n  . Tính P  M  N ? A. P  2 . B. P  4 . 2 C. P  4 . D. P  2 . 2 Câu 57. Cho số phức z1 thỏa mãn z1  2  z1  i  1 và số phức z2 thỏa mãn z2  4  i  5 .Hỏi giá trị nhỏ nhất z1  z2 là? 2 5 3 5 . B. 5 . C. 2 5 . D. . 5 5 Câu 58. Cho số phức z1  1  3i , z2  5  3i . Tìm điểm M  x; y  biểu diễn số phức z3 , biết rằng M nằm A. trên đường thẳng x  2 y  1  0 và số phức w  3z3  z2  2 z1 có giá trị nhỏ nhất?  3 1 A. M   ;  .  5 5 3 1 B. M  ;  . 5 5 3 1 C. M  ;   . 5 5  3 1 D. M   ;   .  5 5 Câu 59. Cho các số phức z,w thỏa mãn z2  2z  5   z  1  2i  z  3i  1 và w  z  2  2i . Hỏi giá trị nhỏ nhất của w là: 3 1 . B. 1 . C. . D. 2 . 2 2 Câu 60. Cho ba số phức z , z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  6 và z1  z2  6 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu A. thức P  z  z  z1  z  z 2 A. 6 2  2 . . B. 3 2  3 . C. 6 2  3 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 3 2  2 . Trang 49 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 61. Cho số phức z . Kí hiệu A, B , C , D lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z , z , z  4  3i  và z  4  3i  . Biết A, B , C , D là bốn đỉnh của một hình chữ nhật. Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức z  4i  5 là? A. 5 . 34 B. 2 . 5 C. 1 . 2 D. 4 . 13 im , trong đó m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị 1  m  m  2i  1 thực của tham số m sao cho z  i  . Hỏi trong S có tất cả bao nhiêu phần tử nguyên? 2 A. 1 . B. 3 . C. 2 . D. 5 . Câu 63. Gọi z là số phức thỏa mãn P  z  1  i  z  1  4i  z  2  i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính z . Câu 62. Cho số phức z  2 . 2 Câu 64. (ĐH Vinh Lần 1) Giả sử z1 , z 2 là hai trong các số phức thỏa mãn  z  6  8  zi là số thực. Biết A. 2. B. 1 . C. 2 . D.   rằng z1  z2  4 , giá trị nhỏ nhất của z1  3 z2 bằng A. 5  21 . B. 20  4 21 . C. 20  4 22 . D. 5  22 . Câu 65. (ĐH Vinh Lần 1) Giả sử z1 , z 2 là hai trong các số phức thỏa mãn  z  1 z  2i  là một số thuần ảo. Biết rằng z1  z2  2 , giá trị nhỏ nhất của z1  5 z2 bằng A. 13  5 . B. 3 5  13 . C. 3 5  2 13 . D. 5  22 . Câu 66. (ĐH Vinh Lần 1) Giả sử z1 , z2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn iz  2  i  1 và z1  z2  2 Giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng A. 4 . B. 2 3 . C. 3 2 . D. 3. . Câu 67. (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z  3 2 . Giá trị lớn i  3 3 nhất của biểu thức P  z  1  z  1  z  3i bằng A. 4 . 3 B. 8 . 3 C. 16 . 3 D. 32 . 3 Câu 68. (Hàm Rồng) Cho số phức z , z1 , z 2 thỏa mãn z1  4  5i  z2  1  1 và z  4i  z  8  4i . Tính z1  z 2 khi P  z  z1  z  z2 đạt giá trị nhỏ nhất. A. 2 5 . B. 41 . C. 8 . D. 6 . Câu 69. (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  z 2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  5  2i bằng bao nhiêu? A. 2  5 3 . B. 2  3 5 . C. 5  2 3 . D. 5  3 2 . 2 Câu 70. (Chuyên KHTN lần2) Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  z . Gọi m và M lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  4  2i . Khi đó m  M bằng A. 26  2 . B. 26  3 2 . C. 10  34 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 2 26 . Trang 50 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 71. (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho số phức z thỏa mãn | z  z |  | z  z |  | z 2 | . Giả sử M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P | z  3  2i | . Tính M  m. A. 2  3 5 . B. 5  5 . C. 2 3  5 . D. 10  5 . Câu 72. (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Cho số phức số z thỏa mãn z  1  3i  z  5  i  2 65 . Giá trị nhỏ nhất của z  2  i đạt được khi z  a  bi với a , b là các số thực dương. Giá trị của 2a 2  b 2 là A. 17 . B. 33 . C. 24 . D. 36 . Câu 73. (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Cho số thực a thay đổi và số phức z thỏa mãn z ia . Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M là điểm biểu diễn số phức z . Khoảng  2 a  1 1  a ( a  2i ) cách nhỏ nhất giữa hai điểm M và I (3; 4) (khi a thay đổi) là A. 6 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . Câu 74. (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  1  3i  1 và z2  1  i  z2  5  i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z2  1  i  z2  z1 bằng A. 2 5  1 . B. 10  1 . thỏa mãn đồng thời hai điều kiện Câu 75. Biết số phức z 2 C. 10  1 . D. 3 . z  3  4i  5 và biểu thức 2 M  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z  i. A. z  i  2 41 B. z  i  3 5. C. z  i  5 2 D. z  i  41. Câu 76. (Đặng Thành Nam Đề 6) Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z thoả mãn z  1  34 và z  1  mi  z  m  2i . Gọi z1 , z2 là hai số phức thuộc  S  sao cho z1  z 2 nhỏ nhất, giá trị của z1  z2 bằng A. 2 . B. 2 3 . C. 2 . D. 3 2 . Câu 77. (CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT 2019 lần 1) Cho số phức z 1 , z 2 thỏa mãn z1  2  2i  z1  2  2i  10 2 , z 2  6  6i  2 . Tìm giá trị lớn nhất của z1  z2 . A. 5 2 . B. 11 2 . C. 12 2 . D. 16 2 . Câu 78. (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Cho các số phức z , z1 , z2 thay đổi thỏa mãn các điều kiện sau: iz  2i  4  3 ; phần thực của z1 bằng 2 ; phần ảo của z2 bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 2 thức T  z  z1  z  z2 . A. 9 . B. 2 . C. 5 . D. 4 . Câu 79. (CổLoa Hà Nội) Gọi z1 , z2 , z3 là ba số phức thỏa mãn điều kiện z1  1  z1  3i  10 , z2  3  z2  3i  3 2 , z3  1  z3  3  4 . Đặt m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1  z2  z2  z3  z3  z1 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. m   4;5  . B. m   5; 6  . C. m   6; 7  . D. m   7 ;8  . Câu 80. (Chuyên Vinh Lần 3) Xét các số phức z , w thỏa mãn z  2 , iw  2  5i  1 . Giá trị nhỏ nhất của z 2  wz  4 bằng A. 4 . B. 2   29  3 . C. 8 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 2   29  5 . Trang 51 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 81. (Kim Liên) Xét các số phức z thỏa mãn z  3  2i  z  3  i  3 5 . Gọi M , m lần lượt là hai giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P  z  2  z  1  3i . Tìm M , m . A. M  17  5, m  3 2 . B. M  26  2 5, m  2 . C. M  26  2 5, m  3 2 . D. M  17  5, m  2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 52 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao DẠNG 1: TÍNH TOÁN VÀ CÁC YẾU TỐ TRÊN SỐ PHỨC 3 Câu 1: (THTT số 3) Cho số phức z  1 thỏa mãn z  1 . Tính 1  z  z 2018 1  z  z 2018  . B. Đáp số khác. A. 1. C. 4. Lời giải D. 2. Chọn C 672 Ta có: z 3  1  z 2018   z 3  .z 2  z 2 z 3  1   z  1  z 2  z  1  0 , mà z  1 nên z 2  z  1  0 Do đó, 1  z  z 2018 1  z  z 2018   1  z  z 2 1  z  z 2   1  z  z 2  2 z 1  z  z 2  2 z 2   2 z. 2 z 2   4 z 3  4 . Câu 2: (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho hai số phức z , w thỏa mãn z  w  17 , z  2w  58 và z  2w  5 2 . Giá trị của biểu thức P  z.w  z.w bằng A. 1 . B. 2 . C. 4 . Lời giải D. 3 . Chọn B 2 Ta có z  z.z , az1  b z 2  a z1  bz2 nên 2   z  2w  58  z  2w  58   z  2 w  z  2 w  58 2 2 2 2  z  2 z.w  2 z.w  4 w  58  z  2P  4 w  58 . 2 2 Tương tự z  2 w  5 2  z  2P  4 w  50 .  z 2  2P  4 w 2  58 Khi đó  2  4P  8  P  2 . 2  z  2P  4 w  50 m Câu 3: Câu 4:  2  6i  Cho số phức z    , m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m  1;50 để z là số thuần  3i  ảo? A. 24. B. 26. C. 25. D. 50. Lời giải m  2  6i  m m m Ta có: z     (2i )  2 .i 3  i   z là số thuần ảo khi và chỉ khi m  2k  1, k   (do z  0; m   * ). Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài. Chọn C z2 1 z 1 Nếu thì z A. lấy mọi giá trị phức. B. là số thuần ảo. C. bằng 0. D. lấy mọi giá trị thực. Lời giải 2 z 1 1 z z  z  z  z  2  z  z là số thuần ảo. Ta có: z z z .z z Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 0 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 5: Số Phức Nâng Cao z  a;  a  0  z2 a Nếu thì z A. lấy mọi giá trị phức. C. bằng 0. Ta có: B. là số thuần ảo. D. lấy mọi giá trị thực. Lời giải z 2  a2 a a2 z a2 z z z  z  2  z  z là số thuần ảo. z z z .z z Chọn B Câu 6: z 1 z i  1 và  1? iz 2 z B. 2. C. 3. Lời giải Có bao nhiêu số phức z thỏa A. 1. Câu 7: D. 4.  z 1 3  x  i  z 1   z  1  i  z x   y     2  z   3  3 i. Ta có:     2 2  4 x  2 y  3  y  3  z  i  1  z  i  2  z  2  z  2 Chọn A Cho hai số phức z1 , z2 thảo mãn z1  z2  1; z1  z2  3. Tính z1  z2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Nhận xét: Bài này nhìn vào có vẻ khá khó, nhưng các em cần phải bình tĩnh, chỉ cần gọi z1  a1  b1i; z2  a2  b2i  a1 , a2 , b1 , b2    sau đó viết hết các giả thiết đề bài cho: 2 2 2 2  z1  z2  1 a1  b1  a2  b2  1   2 2 z  z  3  1 2  a1  a2    b1  b2   3 2 2 2 Và viết cái cần tính ra z1  z2   a1  a2    b1  b2  . Hãy quan sát cái cần tính và thấy rằng chỉ cần bình phương lên là có thể dùng được giả thiết. Lời giải Ta có: z1  a1  b1i; z2  a2  b2i  a1 , a2 , b1 , b2    2 2 2 2  z1  z2  1 2 2 a1  b1  a2  b2  1   2  a1b1  a2b2   1   a1  a2    b1  b2   1  2 2  z1  z2  3  a1  a2    b1  b2   3 2 Câu 8: 2 2 Vậy: z1  z2   a1  a2    b1  b2   1. Chọn A Tính z  i  i 2  i 3  …  i 2008 có kết quả: A. 0 B. 1 C. i Lời giải Ta có iz  i 2  i 3  …  i 2008  i 2009 và z  i  i 2  i 3  …  i 2008 . Suy ra z  i  1  i 2009  i  i  i 2008  1  0  z  0 D. i Chọn A Câu 9: 2 3 2017 (THTT số 3) Cho số phức z  1  2i  3i  4i  …  2018i có phần thực là a và phần ảo là b . Tính b  a . A. 1 . B. 1 . C. 1010 . D. 2017 . Lời giải Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Ta có: z  1  2i  3i 2  4i 3  …  2018i 2017  iz  1i  2i 2  3i 3  …  2017i 2017  2018i 2018  z  iz  1  i  i 2  …  i 2017  2018i 2018 1  i 2018  1  i  z   2018i 2018 1 i 1009 2018 2 1009 Mà i   i    1  1 2  2018  z  1009  1010i 1 i Vậy a  1009, b  1010 hay b  a  1. 2 3 2017 Câu 10: Tính S  1009  i  2i  3i  …  2017i . A. S  2017  1009i. B. 1009  2017i. C. 2017  1009i. Lời giải Chọn C Ta có S  1009  i  2i 2  3i 3  4i 4  …  2017i 2017 Do đó, 1  i  z  D. 1008  1009i.  1009   4i 4  8i 8  …  2016i 2016    i  5i 5  9i 9  …  2017i 2017     2i 2  6i 6  10i10  …  2014i 2014    3i 3  7i 7  11i11  …  2015i 2015  504 505 504 504  1009    4n   i   4n  3    4n  2   i   4n  1 n 1 n 1 n 1 n 1  1009  509040  509545i  508032  508536i  2017  1009i. Cách khác: Đặt f  x   1  x  x 2  x 3  ….  x 2017 f   x   1  2 x  3x 2  …  2017 x 2016 xf   x   x  2 x 2  3x 3  …  2017 x 2017 1 Mặt khác: x 2018  1 f  x   1  x  x 2  x3  ….  x 2017  x 1 2017 2018 2018 x  x  1   x  1 f  x  2  x  1  xf   x   x. 2018 x 2017  x  1   x 2018  1  2 2  x  1 Thay x  i vào 1 và  2  ta được: 2018i 2017  i  1   i 2018  1 2018  2018i  2 S  1009  i.  1009  i  2017  1009i 2 2i  i  1 Câu 11: Cho số phức z có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn biểu thức Môđun của số phức w bằng: A. 1 B. 2 C. 2016 Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 1 1 1   . z w zw D. 2017 Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2  z  w  zw  0 1 1 1 zw 1 Từ     0 z w zw zw zw zw  z  w  1 3  z 2  w2  zw  0  z 2  zw  w2  w2  0 4 4 2 2 1  3 2 1   i 3w      z  w    w   z  w     2  4 2   2    2 2 2  1 i 3 w   i 3w  z  Từ  z       z      w  w= 2  2  2   1 i 3   2    2   2 2017  2017 Suy ra: w  1 3  4 4 Chọn D z 6  7i Câu 12: Cho số phức z thoả mãn: z  . Tìm phần thực của số phức z 2017 .  1  3i 5 A. 21008 B. 21008 C. 2504 D. 22017 Lời giải z 6  7i Cho số phức z thoả mãn: z  . Tìm phần thực của số phức z 2013 .  1  3i 5 a  bi 6  7i  Gọi số phức z  a  bi (a , b  )  z  a  bi thay vào (1) ta có a  bi  1  3i 5 (a  bi )(1  3i ) 6  7i a  bi    10a  10bi  a  3b  i(b  3a)  12  14i 10 5  9a  3b  i(11b  3a )  12  14i 9a  3b  12 a  1   11b  3a  14 b  1 a  b  1  z  1  i  z 2017   (1+i) 4  504 504 1  i    4  1  i   21008  21008 i Chọn B 2 Câu 13: (Ngô Quyền Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn:  3  2i  z   2  i   4  i . Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 0 . Lời giải Chọn D Gọi số phức z  a  bi  a, b    . 2 2 Ta có  3  2i  z   2  i   4  i   3  2i  a  bi   4  i   2  i  .  3a  2b   2a  3b  i  4  i  3  4i  3a  2b   2a  3b  i  1  5i . 3a  2b  1 a  1    a b  0.  2a  3b  5 b  1 Vậy hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là 0 . 2 Cách 2:  3  2i  z   2  i  2 4  i  2  i  1 i .  4i  z  3  2i File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Phần thực a  1 , phần ảo b  1  a  b  0 . Câu 14: (Ngô Quyền Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z   2  i  z  3 . Môđun của số phức i  2z là? 1 i 122 A. . 5 w 3 10 . 2 B. 45 . 4 C. 122 . 2 D. Lời giải Chọn B Gọi z  a  bi  z  a  bi , ta có 1  i  a  bi    2  i  a  bi   3 a  bi  ai  bi 2   2 a  2bi  ai  bi 2   3   a  3   2 a  3b  i  0 a  3  0  a  3    z  3  2i 2a  3b  0 b  2 i  2  3  2i  9 3 3 10 Khi đó w  .   i w  1 i 2 2 2 Câu 15: (Chuyên Bắc Giang) Tìm mô đun của số phức số z biết  2 z  11  i   z  1 1  i   2  2i .  A. 1 . 9 2 . 3 B. C. 2 . 9 D.  1 . 3 Lời giải Chọn B Ta có  2 z  11  i   z  1 1  i   2  2i    2 z 1  i   1  i  1  i  z  1  i  2  2i .  2 z 1  i   2  1  i  z 1 . Đặt z  a  bi với a ; b  . Ta có: 2 z 1  i   2  a  bi 1  i   2a  2b   2a  2b  i . 2  1  i  z = 2  1  i  a  bi   2  a  b   a  b  i . 1   a  3 2a  2b  2  a  b 3a  3b  2  Do đó 1    . 2a  2b  a  b a  b  0 b   1  3 2 2 1 1 2 1  1 Vậy z   i  z         . 3 3 3  3  3 Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn A. 13  5 zi z 1 B. 15   2  i 1 . Tính mô đun của số phức   1  z  z . 2 C. 17 Lời giải D. 19 Giả sử z  a  bi 5  a  bi  i   2  i  5a  5i  b  1  2a  2bi  2  ai  bi 2  i 1  a  bi  1 3a  2  b  0 a  1  3a  2  b  i  5b  5  2b  a  1  0     z  1 i 3b  a  4  0 b  1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao   1  1  i  1  2i  1  2  3i    4  9  13 Chọn A Câu 17: Cho z1 , z2 là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn z1   và z1  z2  2 3. Tính z 22 môđun của số phức z1 . A. z1  5. B. z1  3. C. z1  2. D. z1  5 . 2 Lời giải Gọi z1  a  bi  z2  a  bi;  a  ; b    . Không mất tính tổng quát ta gọi b  0. Do z1  z2  2 3  2bi  2 3  b  3. Do z1 , z2 là hai số phức liên hợp của nhau nên z1 .z 2   , mà z1 z13     z13  . z22  z1 z2  2 b  0 3 Ta có: z13   a  bi    a 3  3ab 2    3a 2b  b3  i    3a 2b  b3  0   2  a 2  1. 2 3a  b Vậy z1  a 2  b 2  2. Chọn C Câu 18: (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn z  2 z  7  3i  z . Tính mô-đun của số phức   1  z  z 2 bằng A.   37 . B.   457 . C.   425 . D.   445 . Lời giải Chọn B Đặt z  a  bi,  a  , b    . Ta có: z  2 z  7  3i  z  a 2  b 2  2  a  bi    7  3i  a  bi  a 2  b 2  3a  7  0  a 2  b 2  3a  7   b  3 i  0   b  3  0 7  a  7 3   a  3 a  4  N   a 2  9  3a  7  2 b  3  2   .  a  9  9a  42a  49     5  a  4 b  3 b  3 a   L  4    b  3  Vậy z  4  3i    1  z  z 2  4  21i    457 . Câu 19: (Đặng Thành Nam Đề 15) Cho số phức z  a  bi Tính S  ab . 3 A. S  . 2 B. S   3 . 2  a, b    C. S  thỏa mãn 2 z  3iz  4  z . 3 . 4 D. S   3 . 4 Lời giải Chọn D Cách 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có: 2 z  3iz  4  z  2 a 2  b 2  3i  a  bi   4   a  bi   2 2   2 a  b  b 3  a 3i   4  a   bi Số Phức Nâng Cao . . 1  a   2 a  b  b 3  4  a b  a 3 2 b  a 3      2 2 b   3  a  1  a a 3  b 2 a  3a  3a  4  a  2 . 3 Vậy S   . 4 Cách 2 2 z  3iz  4  z  3i  1 z  4  2 z . 2 2   Lấy môđun 2 vế ta có: 4  2 z  2 z 3i  1 z  4  2 z  4  2 z  2 z    z 1  4  2 z  2 z 42 z 1 3 3 z   i . Vậy S   . 4 3i  1 2 2  Câu 20:  (Trần Đại Nghĩa) Cho số phức z  a  bi  a, b  , a  0 thỏa z.z 12 z   z  z   13  10i . Tính S  a  b . A. S  7 . B. S  17 . C. S  17 . Lời giải D. S  5 . Chọn B Ta có z  a  bi  a, b  , a  0 . Khi đó phương trình ban đầu trở thành a 2  b2  12 a 2  b2  13 a2  b2  12 a 2  b2  2bi  13  10i   2b  10  a2  b2  13 a  12   (do a  0 ). b  5 b  5 Vậy S  a  b  17. Câu 21: (Đặng Thành Nam Đề 17) Cho hai số phức z và w khác 0 thoả mãn z  3w  5 w và z bằng w C. 1 . Lời giải z  2wi  z  2w  2wi . Phần thực của số phức A. 1. B. 3 . D. 3. Chọn A z Đặt  a  bi, với a, b  R . w Theo giả thiết ta có: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  z  3w  z  w 5  w 3 5      z  2 wi  z  2 w  2wi  z  2i  z  2  2i  w  w w w (a  3)2  b 2  25 (a  3) 2  b 2  25 a  1  2   .  2 2 2 a  (b  2)  (a  2)  (b  2) b  3  4a  4  0 z Vậy phần thực của số phức bằng 1. w 2 2 Câu 22: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho số phức z thoả mãn 2 z  1  z  i . Tính môđun của số phức z  2  i . A. 1 . B. 3 . C. 4 . Lờigiải D. 2 . Chọn D Gọi z  x  yi ( x, y   ) 2 Ta có : 2 z  1  z  i 2 2  2 x  yi  1  x  yi  i 2  2  ( x  1) 2  y 2   x 2  ( y  1) 2  x2  4x  y2  2 y 1  0  ( x  2) 2  ( y  1) 2  4 Do đó z  2  i  ( x  2) 2  ( y  1)2  4  2 . Câu 23: Cho z là số phức có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn của số phức z là: A. 2015 B. 1 1 1 1   . Mô đun z w zw C. 2017 Lời giải D. 0 2 2  1 i 3 1 1 1 w   i 3w   Từ   ta suy ra z 2  w 2  zw  0   z       z      w z w zw 2  2  2 2    Lấy mô đun hai vế ta có z  w  2017. Chọn C Câu 24: Cho các số phức z1 , z2 khác nhau thỏa mãn: z1  z2 . Chọn phương án đúng: z1  z 2  0. z1  z2 z z C. 1 2 là số thực. z1  z 2 A. z1  z2 là số phức với phần thực và phần ảo đều khác 0 . z1  z 2 z z D. 1 2 là số thuần ảo. z1  z 2 Lời giải B. Chọn D Phương pháp tự luận: Vì z1  z2 và z1  z 2 nên cả hai số phức đều khác 0 . Đặt w  z1  z2 và z1  z2  a , ta có z1  z2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao a 2 a2   z1  z 2  z1  z2 z1 z2 z1  z2 w  2   w  2 z2  z1  z1  z2  z1  z2 a  a z1 z2 Từ đó suy ra w là số thuần ảo. Chọn D Phương pháp trắc nghiệm: Số phức z1 , z2 khác nhau thỏa mãn z1  z2 nên chọn z1  1; z 2  i , suy ra z1  z2 1  i   i là z1  z2 1  i số thuần ảo. u  v  10 3u  4v  2016 M  4u  3v Câu 25: Cho hai số phức u,v thỏa mãn và . Tính . A. 2984 B. 2884 C. 2894 D. 24 Lời giải 2 Ta có z  z.z . Đặt N  3u  4v .   2  2  Khi đó N 2   3u  4v  3u  4v  9 u  16 v  12 uv  vu . 2 2   Tương tự ta có M 2  16 u  9 v  12 uv  vu .  2 Do đó M 2  N 2  25 u  v 2   5000 . Suy ra M 2  5000  N 2  5000  2016  2984  M  2984 . Câu 26: (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Cho số phức z thỏa mãn  3  i  z  2 14i 1 3i . Khẳng định z nào sau đây đúng? A. 3  z  2. 2 B. 13  z  4. 4 C. 7 11  z . 4 5 D. 1  z  3 . 2 Lời giải Chọn C Phân tích: Nếu đặt z  x  yi  x; y  thì thấy khối lượng tính toán lớn và đi đến một phương trình rất phức tạp. Nghĩ đến phép lấy mô đun hai vế của một biểu thức số phức là phép suy rA. 2  14i  1  3i  z  0  +) Ta có:  3  i  z  z  z  3 z  1   3  z  i  2  14i .   +) sau khi lấy mô đun hai vế ta được một phương trình theo ẩn z  0 . 2 2 +) z .  3 z 1   3  z  i  2 14i  z .  3 z 1   3  z   10 2 . z2 4 z 2  +) z  z  20  0   2 . z  2(L)  z  5 (L)    4 2 6 8  i thỏa yêu cầu bài toán. 5 5 Câu 27: (Chuyên Vinh Lần 2) Cho các số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  z2  3 và z1  z2  2 . Môđun +)Thử lại z  2 ta được z  2 z1  3z2 bằng A. 52 . B. 53 . C. 5 2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 51 . Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Lời giải Chọn D 2 2  2 2 2 2 z1  3z2  4 z1  9 z2  6 z1  z2  z1  z2 2   51 .  2 z1  3 z2  51 . Câu 28: (Chuyên Vinh Lần 2) Cho các số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  3 , z2  4 và z1  z2  6 . Môđun z1  z2 bằng A. B. 13 . 12 . D. 10 . C. 14 . Lời giải Chọn C 2 2 2  2 2 z1  z2  z1  z2  z1  z2  z1  z2 2   14 .  z1  z2  14 . Câu 29: (Chuyên Vinh Lần 2) Cho các số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  2 , z2  3 và z1  z2  4 . Môđun z1  3 z2 bằng A. 6 2 . 70 . B. C. 5 3 . Lời giải D. 2 19 . Chọn D 2 2  2 2 2 z1  3 z2  z1  9 z2  3 z1  z2  z1  z2 2   76 .  z1  z2  76  2 19 . Câu 30: (Chuyên Vinh Lần 2) Cho các số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  2 , z2  3 và z1  z2  4 . Môđun 2018 z1  2019 z2 bằng A. C. 65199571 . 65147871 . B. D. Lời giải 65199456 . 45199473 . Chọn A 2 2 2  2 2 2018 z1  2019 z2  20182 z1  2019 2 z2  2018.2019 z1  z 2  z1  z 2 2   65199571.  2018z1  2019 z2  65199571 . Câu 31: (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Nếu các số phức z1 , z2 thỏa mãn các điều kiện z1  3, z2  4, z1  z2  5 thì khẳng định nào sau đây là đúng? A. z1  z2  5 . B. z1  z2  3 . Chọn A z  a  b i Đặt:  1 1 1  z2  a2  b2i  a1, a2 , C. z1  z2  4 . Lời giải D. z1  z2  7 . b1, b2    . a12  b12  9  a12  b12  9  z1  3     a22  b22  16  a22  b22  16 Khi đó:  z2  4 .    2 2  z1  z2  5  a1  a2    b1  b2   25  2a1a2  2b1b2  0 Ta có: z1  z 2   a1  a2  2 2   b1  b2   a12  b12  a22  b22  2 a1a2  2b1b2  5 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Cách 2: Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 , z 2 . Theo đề bài ta có: OA  3, OB  4 và AB  5 . Khi đó: z1  z2  2OI với I là trung điểm của AB . Theo công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác OAB : OA2  OB 2 AB 2 25 OI 2    . 2 4 4 Suy ra: z1  z2  5 . Câu 32: Cho ba số phức z1 , z 2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2  z3  1 . Mệnh đề nào sau đây là sai. A. Trong ba số đó có hai số đối nhau. B. Trong ba số đó phải có một số bằng 1. C. Trong ba số đó có nhiều nhất hai số bằng 1. D. Tích của ba số đó luôn bằng 1. Lời giải Ta có: z1  z2  z3  1  1  z1  z 2  z3 . Nếu 1  z1  0 thì z2  z3  0  z 2   z3 . Nếu 1  z1  0 thì điểm P biểu diễn số phức 1 z1  z2  z3 không trùng với góc tọa độ O. Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z1 và A là điểm biểu diễn của số 1.    Khi đó ta có OA  OM  OP (do P là điểm biểu diễn của số 1  z1  ) nên OAPM là hình bình hành. Mà z1  z2  z3  1 nên các điểm biểu diễn cho ba số z1 , z 2 , z3 đều nằm trên đường tròn đơn vị. Ta cũng có OA  OM  1 nên OAPM là hình thoi. Khi đó ta thấy M, A là giao điểm của đường trung trực đoạn OP với đường tròn đơn vị. Tương tự do P cũng là điểm biểu diễn của z2  z3 , nếu M’ và A’ là hai điểm biểu diễn của số z 2 , z3 thì ta cũng có M’, A’ là giao điểm đường trung trực của OP và đường tròn đơn vị. Vậy M ‘  M , A ‘  A hoặc ngược lại. Nghĩa là z2  1, z3   z1 hoặc z3  1, z2   z1 . Do đó A, B là mệnh đề đúng. C đúng là hiển nhiên, vì nếu ba số đều 1 một thì tổng bằng 3. 2 2 2 2 D sai vì với z1  1, z 2   i , z3    i thỏa hai tính chất trên của đề bài nhưng 2 2 2 2 z1 z2 z3  1 . Chọn D m 1 Câu 33: Cho số phức z   m    . Số các giá trị nguyên của m để z  i  1 là 1  m  2i  1 A. 0 B. 1 C. 4 D. Vô số Lời giải m  1  i 1  2mi  m  3m  1   m  1 i m 1 Ta có z  i  i   1  m  2i  1 1  m  2i  1 1  m  2mi File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  z i  3m  1   m  1 i 1  m  2mi 3m  1   m  1 i  1  m  2mi Số Phức Nâng Cao 1 2 2 2  3m  1   m  1 i  1  m  2mi   3m  1   m  1  1  m   4m 2 1 5 Vì m    Không có giá trị của m thỏa mãn. 2z  i Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Đặt A  . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2  iz A. A  1 . B. A  1 . C. A  1 . D. A  1 .  5m2  6m  1  0  1  m   Lời giải Chọn A Đặt Có a  a  bi,  a, b     a 2  b2  1 (do z  1 ) 4a 2   2b  1 2 z  i 2a   2b  1 i A   2 2  iz 2  b  ai  2  b  a2 Ta chứng minh Thật vậy ta có 4a 2   2b  1 2 2  1. 2  2  b   a2 2 4a 2   2b  1 2 2  1  4a 2   2b  1   2  b   a 2  a 2  b 2  1 2 2 2  b  a Dấu “=” xảy ra khi a 2  b 2  1 . Vậy A  1 . Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2  4  2 z . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 3 1 3 1  z  . B. 6 6 5  1  z  5  1. 2 1 2 1  z  . 3 3 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức u  v  u  v , ta được C. 6  1  z  6  1. D. 2 2 2 z  4  z 2  4  4  z  z  2 z  4  0  z  5  1. 2 2 2 z  z  z 2  4   z 2  4  z  2 z  4  0  z  5  1. Vậy, z nhỏ nhất là 5  1, khi z  i  i 5 và z lớn nhất là 5  1, khi z  i  i 5. Chọn B. Câu 36: Cho z1 , z 2 , z3 là các số phức thỏa mãn z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3  1. Khẳng định nào dưới đây là sai ? A. z13  z23  z33  z13  z23  z33 . B. z13  z23  z33  z13  z 23  z33 . C. z13  z23  z33  z13  z 23  z33 . D. z13  z23  z33  z13  z23  z33 . Lời giải Chọn D Cách 1: Ta có: z1  z2  z3  0  z 2  z3   z1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  z1  z2  z3  3 Số Phức Nâng Cao  z13  z 23  z33  3  z1 z2  z1 z3  z1  z 2  z3   3 z2 z3  z 2  z3   z13  z23  z33  3z1 z2 z3  z13  z23  z33  3z1 z2 z3 .  z13  z23  z33  3 z1 z 2 z3  3 z1 z2 z3  3 3 3 3 Mặt khác z1  z2  z3  1 nên z1  z2  z3  3 . Vậy phương án D sai. Cách 2: thay thử z1  z2  z3  1 vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai Câu 37: Cho z1 , z 2 , z3 là các số phức thỏa z1  z2  z3  1. Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . B. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . C. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . D. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . Lời giải Chọn A Cách 1: Kí hiệu Re : là phần thực của số phức. 2 2 2 2 Ta có z1  z2  z3  z1  z 2  z3  2 Re  z1 z2  z2 z3  z3 z1   3  2Re  z1 z2  z2 z3  z3 z1  (1). 2 2 2 2 z1 z2  z2 z3  z3 z1  z1 z2  z2 z3  z3 z1  2 Re  z1 z2 z2 z3  z 2 z3 z3 z1  z3 z1 z1 z2  2 2 2 2 2 2  2 2 2  z1 . z 2  z2 . z3  z3 . z1  2 Re z1 z 2 z3  z 2 z3 z1  z3 z1 z2   3  2Re  z1 z3  z2 z1  z3 z2   3  2Re  z1 z2  z3 z3  z3 z1  (2). Từ 1 và  2  suy ra z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . Các h khác: B hoặc C đúng suy ra D đúngLoại B, C. Chọn z1  z2  z3  A đúng và D sai Cách 2: thay thử z1  z2  z3  1 vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai Câu 38: Tìm số phức z có A. 1 z 1 z  i max : và B. 1 Đặt z  a  bi thì z  a 2  b 2 ; z  i  a 2   b  1 Khi D. i C. i Lời giải 2 đó 2 2 ta 2 2 2 có: 2 z  1  a  b  1  b  1; z  i  a   b  1  a  b  2b  1  2b  2  2 Do đó giá trị lớn nhất đạt được bằng 2 khi a  0; b  1; z  i. Chọn C n Câu 39: Tìm phần thực của số phức z  1  i  , n   thỏa mãn phương trình: log 4  n  3  log 4  n  9  3 A. 5 B. 6 C. 7 Lời giải Điều kiện n  3, n   D. 8 Phương trình: log 4  n  3  log 4  n  9   3  log 4  n  3 n  9   3  n  7 (so đk) 7 2 3 3 z  1  i   1  i  1  i    1  i  2i   8  8i   Vậy phần thực của số phức z là 8. Chọn D File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 40: Cho hai số phức phân biệt z1 ; z2 thỏa mãn điều kiện đúng? A. z1  1; z2  1 B. z1  z2 Số Phức Nâng Cao z1  z2 là số ảo. Khẳng định nào sau đây z1  z 2 C. z1  z2 D. z1   z2 Lời giải z1  z 2  z1  z2  0 z1  z2 z z z z  là số ảo  1 2   1 2   0. z1  z 2  z1  z2  z1  z 2 z z z z  1 2  1 2  0   z1  z2  z1  z2    z1  z2  z1  z2   0. z1  z 2 z1  z 2 Thì    2 z1 z1  z 2 z2  0  z1 z1  z2 z2  0  z1  z2  0. Chọn C  z1  z2  z3  0  2 2 2 Câu 41: Cho 3 số phức z1 ; z2 ; z3 thỏa  2 2 . Tính A  z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1  z2  z3  3  8 2 2 8 3 A. B. 2 2 C. D. 3 3 3 Lời giải z  z   z  1 2 3 8 2 2 2  Ta có:  z1  z3   z 2  A   z1   z2   z3  . 3 z  z   z 1  2 3 Chọn C Câu 42: Xét số phức z thỏa 2 z  1  3 z  i  2 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng: A. 3  z 2 2 B. z  2 C. z  1 2 D. 1 3  z  2 2 Lời giải Ta xét các điểm A 1;0  , B  0;1 và M  x; y  với M là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức. Ta có: 2 z  1  3 z  i  2  x  1 2 2  y 2  3 x 2   y  1  2 MA  3MB . Ta có: 2MA  3MB  2  MA  MB   MB  2 AB  MB  2 2  MB  2 2 .  2 z  1  3 z  i  2 2 . Mà theo giả thuyết ta có: 2 z  1  3 z  i  2 2 . Vậy 2 z  1  3 z  i  2 2 . Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi M  AB  M  B  M  0;1  z  1  MB  0 10  2  i. Mệnh đề nào dưới đây đúng? z 3 1 1 3 A.  z  2. B. z  2. C. z  . D.  z  . 2 2 2 2 Lời giải 2 2 10 10 Ta có:  z  2   i  2 z  1     z  2    2 z  1  z  1 . z z Câu 43: Xét số phức z thỏa mãn 1  2i  z  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Chọn D 4  z 1  Câu 44: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là nghiệm của phương trình    1 . Tính giá trị của biểu thức:  2z  i  P   z12  1 z22  1 z32  1 z 42  1 . 17 . D. 2. 9 Lời giải 4 4 2 2 2 2 Ta có:  z  1   2 z  i    z  1   2 z  i    z  1   2 z  i    0    2 2   z  1   2 z  i    z  1   2 z  i    z  1   2 z  i    0   2   3 z  1  i   z  1  i  5 z   2  4i  z   0 A. 1. B. 19 . 7 C. 1 i 2  4i 17 ; z2  1  i; z3  0; z4   P . 3 5 9 Chọn C 2 3 2016 Câu 45: Tính module của z  1  2i  3i  4i  …  2017.i .  z1  A. z  2036164 B. z  2030113 C. z  2034145 D. z  2032130 Lời giải    i 1  i  …  1   …  i 1  i   i  1 i  i  1 i  i  1  …   Ta có z  1  i  …  i 2016 2015 2015 2016 i 2017  1 i  i   i 1 i 1 i 1 i 1 2017 2016 2017 2017.i  1  i  …  i  2017.i  i  1  i 2017  1   2 i 1  i  1 2016  2015 2 2016 2017.i 2018  2018.i 2017  1 2017  2018i  1   1009  1008i  z  2034145 . 2i 2i Chọn C Câu 46: (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Cho số phức u , v thỏa mãn: u  v  10 và 3u  4v  2019 . Ta có 4u  3v là A. 2890 . B. 2981 . C. 2891 . Lời giải D. 2982 . Chọn B 2 Ta có 3u  4v  2019  3u  4v  2019   3u  4 v  3u  4v   2019    2    2   3u  4v  3u  4v  2019  9 u  12 uv  uv  16 v  2019 . 481 . 12 Tương tự như trên ta có Suy ra uv  uv  2    2    2 4u  3v   4u  3v  4u  3v    4u  3v  4u  3v  16 u  12 uv  uv  9 v  2981 . Do đó: 4u  3v  2981 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 47: (Chuyên KHTN) Cho khai triển  3x  2019 Số Phức Nâng Cao  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x3  …  a2019 x 2019 . Hãy tính tổng S  a0  a2  a 4 a6  …  a2016  a2018 . 1009 B. 22019 . A. 0 . C.  3 D. 21009 . . Lời giải Chọn A Với mọi k   , ta có: 4k 4 k 1 4k 2 4 k 3 i 4 k  1 , i 4k 1  i , i 4k 2  1 , i 4k 3  i và  i   1 ,  i   i ,  i   1 ,  i  i  2019   a  a x  a x  a x  …  a x Thay x  i ta được:  3  i   a  a i  a  a i  a  a i  a  …  a Xét khai triển 2 3x 0 1 3 2 2019 3 2019 2019 0 1 2 3 4 5 6 2018  a2019i   a0  a2  a4  ……  a2018    a1  a3  a5  ……  a2019  i     2 2019  cos  i.sin  Mà 6 6  Suy ra a0  a2  a4  a6  …  a2018  0  Câu 48: 3i  2019 2019  2 2019 cos 2019 2019  i.sin  0i 6 6 (Chuyên Vinh Lần 2) Cho các số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  z2  3 và z1  z 2  2. Môđun z1  z2 bằng A. 2 . B. 3 . C. 2 . Lời giải D. 2 2 . Chọn D Cách 1: Gọi các số phức z1  a1  b1i, z2  a2  b2 i (a1 , b1 , a2 , b2  ) . Ta có: z1  z2   a1  a2    b1  b2  i . z1  z2   a1  a2    b1  b2  i . 2 2 2 2 Ta có: z1  a1  b1  3  a1  b1  3 . z2  a22  b22  3  a22  b22  3 . 2  a1  a2    b1  b2  2 2   a1  a2    b1  b2   4 z1  z2  2  2 2  a12  b12  a22  b22  2a1 a2  2b1b2  4  2a1 a2  2b1b2  2 .  a1  a2  Do đó: z1  z2  2 2 2 2 2 2   b1  b2   a1  b1  a2  b2  2a1a2  2b1b2  8  2 2 . Cách 2: 2    z  z z  z   z 2 2   z1  z2   z1  z2  z1  z2  z1  z2  z1 z2  z2 z1  4 z1  z2 2 1 2 1 2 1 2 2  z2  z1 z2  z2 z1  8  z1  z2  2 2 Cách 3: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn 2 số phức z1 , z2 . Khi đó tam giác OAB cân có OA  OB  3, AB  2 . Gọi I là trung điểm của AB . Khi đó OI là đường cao của tam giác OAB . OI  OA2  AI 2  2 .  z1  z2  2 OI  2 2 . Cách 4: Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn 2 số phức z1 , z 2 . Khi đó tam giác OAB có OA  OB  3, AB  2 .     T  z1  z2  OA  OB  T 2  OA2  OB 2  2OA.OB .     OA2  OB 2  AB 2 OA2  OB 2  AB 2 Mà OA.OB  OA.OB.cos OA, OB  OA.OB.   1. 2OA.OB 2 Vậy T 2  8  T  2 2 . Cách 5: 2 2 2 2 Ta có z1  z2  z1  z2  2 z1  2 z2 .  2  2 2 2  T  z1  z2  2 z1  2 z2  z1  z2  2.3  2.3  4  8 . T 2 2. Cách 6: Chọn đại diện  z1  3 3 2 6  Chọn  3 2 6  z1  z2  3  3  3 i  2 2 .  i  z2  3 3  Cách 7: Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn 2 số phức z1 , z 2 . Khi đó tam giác OAB có OA  OB  3, AB  2 . Gọi I là trung điểm của AB .    OA2  OB 2 AB 2 Ta có T  z1  z2  OA  OB  2 OI  2OI  2  2 2. 2 4 Cách 8: Tính nhanh. Tổng quát mz1  nz2 2 2   m 2 z12  n 2 z22  mn z12  z22  z1  z2 2 2  2 2 Vậy T 2  z1  z2  z1  z2  z1  z2  z1  z2 2 2    8T  2 2. Phân tích: Kiến thức cần nhớ về modun số phức: Số phức z  a  bi được biểu diễn bởi điểm M  a ;b  trên mặt phẳng Oxy . Độ dài của véctơ  2 2 OM được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu z = a + bi = a + b . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Điểm M , N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 , z 2 thì khi đó z1  z2  MN . 2 2  2  mz1  nz2   mz1  nz2  mz1  nz2   m2 z1  n2 z2  mn z1 z2  z1 .z2 . Suy ra hệ quả z1  z2 2 2 2 2 2  z1  z2  z1 .z2  z1 .z2 . 2   z1  z2  z1  z2  z1 .z2  z1 .z2 . 2 2 2 2 z1  z2  z1  z2  2 z1  2 z2 . 2 2  z  z2 z z   2 z  1  1 2 . 2 2   Câu 49: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 ; z2 ; z1  z2 . Xét các mệnh đề sau    z  z2 1) z1  z2   1 3) Nếu OA.OB  0 thì z1.z2  z2 .z1  0  z1   z 2 2) z1  z2  z1  z2 4) OC 2  AB 2  2  OA2  OB 2  2 z  z1  z  z2 2 Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Lờigiải Chọn B +) Xét mệnh đề 1 : Khi z1; z2 là hai số phức liên hợp thì ta có: z1  z2 nên mệnh đề 1 sai.     Theo giả thiết ta có: OA, OB lần lượt biểu diễn cho số phức z1; z2 . Khi đó z1  OA ; z2  OB       z1  z 2  OA  OB  OC ; z1  z 2  OA  OB  AB +) Xét mệnh đề  2      Mệnh đề  2  tương đương OA  OB  OA  OB , đúng theo tính chất của véc tơ. Suy ra mệnh đề  2  đúng. +) Xét mệnh đề  3 : Gọi z1  x1  y1i; z2  x2  y2i  A  x1; y1  ; B  x2 ; y2    .  0  x1.x2  y1. y2  0 . Do OAOB Xét z1.z2  z2 .z1   x1  y1i  x2  y2i    x1  y1i  x2  y2i   2  x1 x2  y1 y2   0 Suy ra mệnh đề  3 đúng. +) Xét mệnh đề  4    2   2  2  2 Mệnh đề  4  tương đương OA  OB  OA  OB  2 OA  OB ,       VT  OA  2.OA.OB  OB  OA  2.OA.OB  OB  2  OA 2 2 2 2 2    OB   VP . 2 Suy ra mệnh đề  4  đúng. Câu 50: (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Cho hai số phức z1 , z2 khác 0 thỏa mãn z1 là số z2 thuần ảo và z1  z2  10 . Giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng A. 10 . B. 10 2 . C. 10 3 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 20 . Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Lời giải Chọn B Cách 1: z z Vì 1 là số thuần ảo nên 1  ai (với a )  z1  aiz2 . z2 z2 Ta có z1  z2  10  aiz2  z2  10  z2 ai  1  10  z2 1  a 2  10  z2  Từ z1  aiz2  z1  aiz2  Do đó z1  z2  10 a 10 a 1  a2 10 10 1  a2 . . 10 1  a    1  a2 1  a2 1  a2 Đẳng thức xảy ra  a  1  z1   iz2 .  10 1  1 1  a 2  1  a2  10 2 . Vậy max  z1  z2   10 2 . Cách 2: Đặt z1  a1  b1i , z2  a2  b2 i . Gọi A , B lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 .  A  a1 ; b1  , B  a2 ; b2     OA  a1 ; b1  , OB  a2 ; b2  .   z1 z1.z2  a1  b1i  a2  b2i   a a  b b  0  OA .OB  0  OAB vuông   là số thuần ảo 1 2 1 2 2 2 z2 z2 z2 tại O . z1  z2  AB  10 . z1  z2  OA  OB   OA 2  OB 2  . 12  12   2 AB 2  10 2 . Đẳng thức xảy ra  OA  OB . Vậy max  z1  z2   10 2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao DẠNG 2: PT, HPT TRÊN SỐ PHỨC Câu 1: Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm của phương trình z 2  2 z  2  0 trên tập số phức. Tìm mô đun của số phức    z1  1 2015   z2  1 A.   5 2016 . C.   1 B.   2 D.   3 Lời giải Phương trình z  2 z  2  0 có  ‘  1  2  1  i 2 . z  1 i z  1 i Suy ra phương trình có hai nghiệm  1 hoặc  1  z2  1  i  z2  1  i 1007 1013 z  1 i 2015 Thay  1 vào  ta được:    i   i 2016    i 2  .i   i 2   1  i.  z2  1  i 1002 1003 z  1 i 2016 Thay  1 vào   i 2015   i    i 2  .i   i 2   1  i.  z2  1  i Vậy   2. 2 Câu 2: Chọn B (Cụm THPT Vũng Tàu) Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  4 z  5  0 . Giá trị của biểu thức  z1  1 1009 A. 2 2019   z2  1 1010 . B. 2 . 2019 bằng 1010 C. 0 . Lời giải D. 2 . Chọn D  z1  2  i  z2  2  i 2 Xét phương trình z  4 z  5  0   z  2   1   2 Khi đó ta có:  z1  1   1  i  . 1  i  1009  1  i  . 2i  1009   2i  Câu 3: 2019 2 1009    z2  1 2019   1  i   1  i . 1  i  2019  1  i  2019 2 1009  1009  1  i  . 2i  1010  1  i   1  i     2i   21010 . (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Có bao nhiêu giá trị dương của số thực a sao cho phương trình z 2  3 z  a 2  2 a  0 có nghiệm phức z0 thỏa z0  3 . A. 3 . B. 2 . C. 1 . Lời giải D. 4 . Chọn B Phương trình z 2  3 z  a 2  2 a  0 (*) có   4 a 2  8a  3 . Xét 2 trường hợp: 2 7 2 7 TH1.   0  4 a 2  8a  3  0  (1). a 2 2 Khi đó, phương trình (*) có nghiệm z0 thì z0   . z  3 Theo đề bài: z0  3   0 .  z0   3 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao a  0 * z0   3 , thay vào phương trình (*) ta được a 2  2a   . a  2 * z0  3 , thay vào phương trình (*) ta được a 2  2 a  6  0 (vô nghiệm). Kết hợp điều kiện a  0 và điều kiện (1) suy ra a  2 .  2 7 a  2 TH2.   0  4a 2  8a  3  0   (2).  2 7 a   2 Khi đó, phương trình (*) có nghiệm phức z0 thì z 0 cũng là một nghiệm của phương trình (*). Câu 4:  a  1 2 Ta có z0 .z 0  a 2  2a  z0  a 2  2a  a 2  2a  3  0   . a  3 Kết hợp điều kiện a  0 và điều kiện (2) suy ra a  3 . Vậy có 2 giá trị a dương thỏa mãn là a  2 ; a  3 . (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho z1 , z 2 là các nghiệm phức của phương trình 2 2 2 z  4 z  11  0 . Tính giá trị biểu thức P  A. 9 . 2 B. 11 . 4 z1  z2  z1  z2  C. 2 2 11 . 2 D. 9 . 4 Lời giải Chọn B Cách 1. Câu 5:  3 2 i z  1 2 2  2 z  4 z  11  0  .  3 2 i z  1  2 2 2   3 2    2  3 2   2 1      1     11 11 2 2    2 2 z1  z2        2  2 11  P    . 2 2 4 4  z1  z2   2  3 2i  2  3 2i    2    3 2 i z  1 2 2 Cách 2. 2 z  4 z  11  0   .  3 2 i z  1  2 11 2. 11 11 2 2 z1  z2  z1.z1  z1.z 2  ; z1  z 2  2  P  22  . 2 2 4 (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Gọi S là tổng các giá trị thực của m để phương trình 9 z 2  6 z  1  m  0 có nghiệm phức thỏa mãn z  1 . Tính S . A. 20 . B. 12 . C. 14 . D. 8 . Lời giải Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 9 z 2  6 z  1  m  0 * . Trường hợp 1: * có nghiệm thực    0  9  9 1  m   0  m  1 . z  1 z 1  .  z  1 z  1  m  16 (thỏa mãn). z  1  m  4 (thỏa mãn). Trường hợp 2: * có nghiệm phức z  a  bi  b  0     0  9  9 1  m   0  m  1 . Nếu z là một nghiệm của phương trình 9 z 2  6 z  1  m  0 thì z cũng là một nghiệm của phương trình 9 z 2  6 z  1  m  0 . c 1 m 2 Ta có z  1  z  1  z.z  1   1   1  m  8 (thỏa mãn). a 9 Vậy tổng các giá trị thực của m bằng 12 . Câu 6: (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình  z  3  i 2 2 2  4 z  4i  25  0. Tính giá trị của biểu thức A  z1  z2 . A. A 50. B. A 70. C. A  13. Lời giải D. A 8. Chọn B 2 2 2 Có  z  3  i   4 z  4i  25  0   ( z  i )  3  4( z  i )  25  0  (z  i) 10(z  i)  34  0  z  i  5  3i  z  5  2i   1  z  i  5  3i  z 2  5  4i 2 A  z1  z 2 Câu 7: Câu 8: 2 2 2  5  2i  5  4i  70. Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z ) z 2  bz  c  0 nhận z  1  i là một nghiệm. A. b  2; c  2 B. b  2; c  2 C. b  2; c  2 D. b  1; c  1 Lời giải Nếu z  1  i là nghiệm thì: b  c  0 b  2 2  1  i   b 1  i   c  0  b  c   b  2  i  0   b  2  0 c  2 Một phương trình bậc hai với hệ số thực, nếu có một nghiệm phức z thì cũng nhận z lam nghiệm. Vậy nếu z  1  i là một nghiệm thì z  1  i cũng là nghiệm. Theo định lý Vi-ét: 1  i   1  i   b  b  2  1  i 1  i   2  c Chọn A Tìm các số thực a, b, c sao cho hai phương trình az 2  bz  c  0, cz 2  bz  a  16  16i  0 có nghiệm chung là z  1  2i A.  a, b, c   1; 2;5 B.  a, b, c   1; 2;5 C.  a, b, c    1; 2;5 D.  a, b, c   1; 2; 5 Lời giải 2 Theo giả thiết phương trình az  bz  c  0 có nghiệm z  1  2i khi 3a  b  c  0 2 a 1  2i   b 1  2i   c  0  3a  b  c   4a  2b  i  0   4a  2b  0 2 Tương tự phương trình cz  bz  a  16  16i  0 có nghiệm z  1  2i khi File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 1 Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2 c 1  2i   b 1  2i   a  16  16i  0  c  3  4i   b  2bi  a  16  16i  0 a  b  3c  16  0   a  b  3c  16   2  b  2c  8  i  0   b  2c  8  0 Từ 1 ,  2  suy ra  a, b, c   1; 2;5 . Câu 9:  2 Chọn A Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z ) z 3  az 2  bz  c  0 nhận z  1  i làm nghiệm và cũng nhận z  2 làm nghiệm. A. a  4; b  6; c  4 B. a  4; b  5; c  4 C. a  3; b  4; c  2 D. a  1; b  0; c  2 Lời giải 3 2 z  1  i là nghiệm thì 1  i   a 1  i   b 1  i   c  0 z  2 là ngiệm thì 8  4a  2b  c  0 b  c  2  0 1  Từ đó ta có hệ phương trình 2a  b  2  0  2  4a  2b  c  8  0  3 Từ 1 suy ra c  2  b Từ  2  suy ra b  2  2a  c  2   2  2a   4  2a Thay vào  3 ta có: 4a  2  2  2a   4  2a  8  0  a  4 Với a  4  b  6; c  4. Chọn A Câu 10: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2019) Biết phương trình x 4  ax 3  bx 2  cx  d  0 ,  a, b, c, d    nhận z1  1  i và z2  1  2i là nghiệm. Tính a  b  c  d . A. 10 . B. 9 . C. 7 . Lời giải D. 0 . Chọn B +) Xét phương trình x 4  ax 3  bx 2  cx  d  0 1 ,  a, b, c, d   . +) Nhận thấy: Nếu z là nghiệm của 1 thì z cũng là nghiệm của 1 . +) Do đó, 1 có bốn nghiệm z1  1  i , z2  1  2i , z3  z1  1  i , z4  z2  1  2i .  z1  z3  2  z 2  z4  2 +) Mà  và  .  z 2 . z4  3  z1.z3  2 +) Do đó x 4  ax 3  bx 2  cx  d   x 2  2 x  2  x 2  2 x  3   x 4  ax3  bx 2  cx  d  x 4  x 2  2 x  6 . Suy ra a  0 , b  1, c  2 , d  6 hay a  b  c  d  9 . Câu 11: Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực m, n để phương trình z 4  mz 2  n  0 không có nghiệm thực. m 2  4n  0  A. m2  4n  0. B. m2  4n  0 hoặc  m  0 . n  0  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A m2  4n  0  C.  m  0 . n  0  Số Phức Nâng Cao m 2  4n  0  D. m2  4n  0 hoặc  m  0 . n  0  Lời giải Phương trình z  mz  n  0 không có nghiệm thực trong các trường hợp: TH1: Phương trình vô nghiệm, tức là m2  4n  0.  m 2  4n  0   0   TH2: Phương trình t 4  mt 2  n  0;  t  z 2  có hai nghiệm âm   S  0   m  0 . P  0 n  0   4 2 Chọn D Câu 12: Gọi z1 ; z2 ; z3 ; z4 là 4 nghiệm phức của phương trình z 4   4  m  z 2  4m  0. Tìm tất cả các giá trị m để z1  z2  z3  z4  6. A. m  1 B. m  2 C. m  3 D. m  1 Lời giải  z1,2  2i z 4   4  m  z 2  4m  0   z 2  4  z 2  m   0    z3,4   m  z1;2  2i Nếu m  0 hoặc   nếu m  0  z3;4  i m 6  z1  z2  z3  z4  4  2 m  m  1 Khi đó  m  0 6  z1  z2  z3  z4  4  2 m  m 1 Hoặc  m  0  Kết hợp lại m  1 thỏa mãn bài toán. Chọn D Câu 13: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Gọi S là tập tất cả các nghiệm phức của phương trình z 4  2iz 3  (i  1) z 2  2 z  i  0 . Tổng các phần tử của S bằng A. 1 . B. 1  i . C. i . D. 2i . Lời giải Chọn C Ta có: z 4  2iz 3  (i  1) z 2  2 z  i  0 2   z  i  . z 2  i   0 z  i  0  2 2  z  i  0  z  i  z  i  2 2   z   i 2 2  z   2  2 i  2 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2 2 2 2   Khi đó, tập các nghiệm phức của phương trình đã cho: S  i;   i;  i 2 2 2 2    2 2   2 2  Tổng các phần tử của S bằng: i     i     i   i . 2 2 2 2     Câu 14: (THTT lần5) Kí hiệu z1 ; z 2 ; z3 ; z 4 là bốn nghiệm phức của phương z 2    trình   3 z  6 z 2  3 z  3  z 9  2 z 2  z 2  0 . Giá trị của biểu thức z1  z2  z3  z4 bằng   A. 2 3 1  2 .  B. 2 .  C. 2 2 1  2 .   D. 2 3 1  3 . Lời giải Chọn A Ta có z 2  3 z  6 z 2  3 z  3  z 9  2 z 2  z 2  0     z2  9  2z2     z   z  3 z  6  z  3z  3  0 2 2  2z2  9  6z  3 z   z 2  3z  6  2 2 2   9  2 z 2  4 z 2  3z  6 z 2  3 z  3   6 z  3   .  2z2  9  6z  3 2  z  3z  3 z   2      Với z  z 2  3z  6  z 2  4 z  6  0 .Phương trình có hai nghiệm z1  2  2i và z 2  2  2i Với z  z 2  3 z  3  z 2  2 z  3  0 . Phương trình có hai nghiệm là z3  1  2i và z4  1  2i f   Vậy z1  z 2  z3  z 4  2  2i  2  2i  1  2i  1  2i  2 3 1  2 . Câu 15: (Sở Bắc Ninh 2019) Cho số phức z, w khác 0 thỏa mãn z  w  0 và 1 3 6   . Khi đó z w zw z bằng: w A. 3. B. 1 . 3 C. 3. D. 1 3 . Lời giải Chọn D Với hai số phức z, w khác 0 thỏa mãn z  w  0 , ta có: 1 3 6 w  3z 6       w  3 z  z  w   6 zw  3 z 2  2 zw  w2  0 z w zw zw zw z 1 2   i 2  z z w 3 3  3    2.   1  0   z 1 w  w 2 i    w 3 3 2 2 z 2 1 1  Suy ra .         w  3  3  3 Câu 16: (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho số phức z thỏa mãn z  2 z  7  3i  z . Tính z . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. z  5 . Số Phức Nâng Cao C. z  B. z  3 . 13 . 4 D. z  25 . 4 Lời giải Chọn A Gọi z  a  bi ,  a, b   .  a 2  b 2  2a  7  a z  2 z  7  3i  z  a 2  b 2  2  a  bi   7  3i  a  bi   2b  3  b b  3 a  4 b  3   2  3a  7  0   z  4  3i  z  5 . b  3   a  9  3a  7  2 2  a  9   3a  7  Câu 17: (Kim Liên 2016-2017) Tìm tập hợp T gồm tất cả các số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z  2 và z 2 là số thuần ảo. A. T  1  i;1  i; 1  i;1  i . B. T  1  i;1  i . C. T  1  i . D. T  1  i . Lời giải Chọn A Đặt z  x  yi ( x, y   ) . 2  z 2   x  yi   x 2  y 2  2 xyi . Khi đó z  2  x 2  y 2  2 . z 2 là số thuần ảo nên ta có x 2  y 2  0 .  x  1, y  1  x  1, y  1  x  y  2  x  1  x  1  Từ đó ta có hệ  2  .    2  2 2 2  x   1, y  1 y  1  x  y  0  x  y  0    x  1, y  1 2 2 2 Câu 18: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái)Cho số phức z  a  bi  a, b  thỏa mãn z  1  3i  z i  0 . Tính S  2a  3b . A. S   6 . B. S  6 . C. S  5 . D. S  5 . Lời giải Chọn A   Ta có z  1  3i  z i  0   a  1  b  3  a 2  b 2 i  0 . a  1  a  1  0   2 2 2 b  3  a  b  0  1  b  b  3 b   3 b  3 4   *   2 4 b . 2   3 1  b   b  3 b   3 * .  a  1  Vậy  4  S  2a  3b  6 . b    3 Câu 19: (PHÂN-TÍCH-BL-VÀ-PT-ĐẠI-HỌC-SP-HÀ-NỘI) Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn điều kiện z 4  z . Số phần tử của z là File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 7 . B. 6 . Số Phức Nâng Cao D. 4 . C. 5 . Lời giải Chọn C z 0 4 3 Ta có: z 4  z  z  z  z z  1  0   .  z  1 +) z  0  z  0 .    z  1 z  1 +) z  1  z 4  1   z 2  1 z 2  1  0   . z  i   z  i  S có 5 phần tử. z 1 Câu 20: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  1 và là số thuần ảo? z 1 A. Vô số. B. 0 . C. 2 . Lời giải D. 4 . Chọn A 2 Ta có z  z.z  1  z  1 . z 1 1 z  1 z  1 z 1 z 1 z 1 z 1 z     0    0    0. là số thuần ảo   z 1  z 1  z 1 z 1 z 1 z  1 1 1 z z  1 z 1    0 luôn đúng z  1 . z 1 1  z Câu 21: (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho số phức z  a  bi (a, b  ; a, b  0) 2a  b 5  . z  4 z    2 2i  z . Tính S  2a  b 3  A. S  2 2  3 . B. S  2 2  2 . C. S  2  2 2 . Lời giải thỏa mãn D. S  2 2  3 . Chọn A Đặt z  a  bi (a, b  R; a, b  0) , ta có 5 5 2 2 (a  bi)  4(a  bi )  (  2 2i). a 2  b2  5a  3bi  a  b  2 2(a 2  b 2 )i 3 3 5 2  2 (1)  5a  3 a  b . Từ đó suy ra a  0 , b  0 .   3b  2 2( a 2  b 2 ) (2)  Chia (1) cho (2) được b  2 2a  0  S  2 22  2 2  3. 22 2 Vậy chọn đáp án A Câu 22: (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Cho số phức z  a  bi (với a , b 2 là các số thực và a 2  b2  0 ) thỏa mãn điều kiện z (2  i  z )  z . Tính S  a 2  2b 2  ab . A. S  3 . B. S  1 . C. S  2 . Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. S  1 . Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Chọn D 2 Ta có: z (2  i  z )  z   a  bi  (2  i  a  bi )  a 2  b2   a  2b  i  2a  b  2a 2  2b2  0 a  2b  0 1  2 2  2a  b  2a  2b  0  2  b  0 Từ 1  a  2b thay vào  2 ta được: 10b  5b  0   b  1 2  + Với b  0  a  0 (Loại) 1 + Với b   a  1 2 2 Vậy S  a  2b 2  ab  1 . Câu 23: (Đặng Thành Nam Đề 14) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z ( z  2  3i )  4i  (4  5i ) z. A. 1. B. 2. C. 4. D. 3. Lời giải Chọn A Đặt t  z  t  0  . 2 Ta có:  z  2  3i  t  4i  (4  5i) z  z (t  4  5i)  2t  (3t  4)i Lấy môđun 2 vế ta được: z (t  4  5i )  2t  (3t  4)i  t (t  4)2  25  4t 2  (3t  4) 2 t0  t0   2  4 2 2 2 3 2 t  8t  28t  24t  16  0 t  (t  4)  25    4t  (3t  4)  t  0  t  2 (TMĐK)  3 2 (t  2)(t  6t  16t  8)  0 Với t  2 ,ta có: 2( z  2  3i )  4i  (4  5i) z  2[ x  2  ( y  3)i ]  4i  (4  5i )( x  yi )  2( x  2)  (2 y  10)  4 x  5 y  (5 x  4 y )  2 x  4 y  4 x  2   z2 5 x  2 y  10 y  0 Vậy có duy nhất 1 số phức z thỏa yêu cầu. Câu 24: (THPT-Yên-Mô-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4)Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z  5  i   2i   6  i  z ? A. 1 . B. 3 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn B Ta có: z  z  5  i   2i   6  i  z  z z  5 z  z i  2i  6 z  iz  z  z  6  i   5 z   z  2  i  * . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Mô đun hai vế của biểu thức (*) ta được: 2 z  z  6  i   5 z   z  2  i  z z  6  i  25 z   z  2   z  z  6 2 2  1  25 z   z  2  2 2 ** . Đặt z  t , t  0 . t  6 Phương trình (**) trở thành: t 2 2  1  25t 2   t  2  . Bình phương hai vế ta được: 2 2 t 2  t  6   1  25t 2   t  2   t 2 t 2  12t  36  1  25t 2  t 2  4t  4          t 4  12t 3  11t 2  4t  4  0   t  1 t 3  11t 2  4  0 t t t  1  0 .Suy ra   3 2 t t  11 t  4  0   t 1  10,967  0, 621  0,588 Kết hợp với điều kiện t  0 ta có 3 giá trị của t thỏa mãn. Từ (*) suy ra, ứng với mỗi z  t sẽ có một số phức z  5t   t  2  i t 6i thỏa mãn đề bài. Vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 25: (Đặng Thành Nam Đề 9)Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z  z  z  4 và z  2  2i  3 2. A. 7 . B. 3 . C. 2 . Lời giải D. 5 . Chọn B Cách 1: Với z  a  bi  z  z  z  z  4  2 a  2b  4  a  b  2. Khi đó z  2  2i  3 2  (a  2) 2  (b  2) 2  18. Vậy ta có hệ    a  b  2(a, b  0) 1       a  b  2(a  0, b  0)  2  a  b 2      a  b  2(a  0, b  0)  3  2 2 (a  2)  (b  2)  18      a  b  2(a  0, b  0)  4   (a  2)2  (b  2)2  18 *   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  a  2  b  a, b  0     b  1  2 2  a  1  2 2 l  .   b  1  2 2  l   a  b  2  a  0, b  0   a  b  2  a  0, b  0    Từ  2 , * ta có hệ    b  3  2 2  a  1  2 2 l  . 2 2  b  4    b  2   18   b  3  2 2  a  1  2 2  a  2  b  a, b  0  Từ 1 , * ta có hệ   2 2 b  b  2  18     a  b  2  a  0, b  0  Từ  3 ,  * ta có hệ   2 2 b   b  2   18  a  b  2  a  0, b  0    .  b  1  2 2 l    b  1  2 2  a  3  2 2  a  b  2  a  0, b  0   a  b  2  a  0, b  0  Từ  4 , * ta có hệ  .   2 2 b  1  a  1  b  4    b  2   18 Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Cách 2: Với z  x  yi ; x, y   z  z  z  z  4  x  y  2 . Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z là 4 cạnh hình vuông ABCD . 2 2 z  2  2i  3 2   x  2    y  2   18 . Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  2;2  , R  3 2 . 6 4 2 A I M 5 D B N 5 P 2 C 4 Dựa vào hình vẽ, ta thấy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán tương ứng với 3 điểm biểu diễn M , N , P . Câu 26: (Sở Lạng Sơn 2019) Giả sử z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2  i  z z  1 2i  z  1  3i và z1  z2  1 . Tính M  2 z1  3z2 . A. M  19 . B. M  19 . C. M  25 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. M  5 . Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Lời giải Chọn A 2  i  z z  1  2i  z  1  3i  z 2 z  1   z  2 i   10  z 2 z 1 2   z  2  10  5 z  5 z 10  0  z  1  z  1 2 4 2 2 Gọi z1  a1  b1i , z2  a2  b2 i . Ta có: z1  z2  1  a12  b12  a2 2  b22  1 Ta có: z1  z2  1  a1  a2   b1  b2   1  a1a2  b1b2  2 2 1 2 Ta có: M  2 z1  3 z 2  2 a1  3a2   2b1  3b2  i   2 a1  3a2    2b1  3b2  2 2  4 a12  b12   12  a1a2  b1b2   9  a2 2  b2 2   19 . Vậy chọn A. 2 Câu 27: (Đặng Thành Nam Đề 2) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z  z  z  z và z 2 là số thuần ảo. A. 4. B. 2. C. 3. Lời giải D. 5. Chọn D Giả sử z  a  bi ;  a , b    , khi đó ta có z 2  a 2  b 2  2abi là số thuần ảo khi và chỉ khi a2  b2 .  a b 1 Khi đó z  a  bi suy ra z  z  2 a , z  z  2 b . 2 Ta có z  z 2  2 ab nên kết hợp với giả thiết suy ra ab  a  b  2 a  b  2  a  b  2   a 2  2 a  a  b a  b 2 Kết hợp 1 và  2  ta được hệ      a  b  2   a  b  0  ab  a  b  a  b  a  b  2  a  b  0 Vậy có 5 số phức thỏa mãn. Câu 28: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Phương trình z 3  z có bao nhiêu nghiệm phức? A. 3 . B. 5 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn B Đặt z  a  bi  a, b    . 3 z 3  z   a  bi   a  bi  a3  3a 2bi  3ab2  b3i  a  bi  a 2  3b 2  1  0  a3  3ab2  a  0  a  0 3 2 2 3  a  3ab  a  3a b  b  b i  0   2   2 2 3 3a b  b  b  0 3a  b  1  0  b  0      File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  a  0   b  0  a  0  b  1 .      a  1  b  0   a2  b2   1 l   2 Vậy phương trình z 3  z có 5 nghiệm phức. Câu 29: (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 3 z  z  2 z  z  12 và z  2  3i  z  4  i ? A. 1. B. 4. C. 3. Lời giải D. 2. Chọn D Đặt z  a  bi  z  a  bi 3 z  z  2 z  z  12 3 2a  2 2bi  12    Từ giả thiết ta có   a  2   b  3  i  a  4   1  b i  z  2  3i  z  4  i  3a 2b 6 3 a  2 b  6   , 1 2 2 2 2  3a  b  1  a  2   b  3   a  4   1  b  8  a  3a  2b  6  9 ( thỏa mãn)  z  8  5 i – TH1: a  0, b  0 thì 1    9 3  3a  b  1 b  5  3 4  3a  2b  6 a    – TH2: a  0, b  0 thì 1   3 , ( loại)  3a  b  1  b  5 8  3a  2b  6 a   – TH3: a  0, b  0 thì 1   3 , ( loại)  3a  b  1  b  7 4  a   3 a  2 b  6   9 ( thỏa mãn)  z   4  7 i – TH4: a  0, b  0 thì 1    9 3  3a  b  1 b   7  3 Vậy có 2 số phức thỏa mãn  chọn D z2  2z  4 Câu 30: (THPT ISCHOOL NHA TRANG) Cho số phức z không phải là số thực và 2 là số z  2z  4 thực. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z  z  z  z 2 ? A. 0 . B. 2 . C. 4 . Lời giải D. 8 . Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Cách 1. z2  2z  4 là số thực nên z2  2z  4 z2  2z  4 z2  2z  4    z 2  2 z  4  z 2  2 z  4    z 2  2 z  4  z 2  2 z  4  z2  2z  4 z2  2z  4 2  4 z 2 .z  4 z.z 2  16 z  16 z  0  z  z  z   4  z  z   0  2  2  z  4  z  z   0  z  4 vì z  z  0 1 Đặt z  a  bi với b  0 , a 2 z  z  z  z  z  2 a  2 b  4  2  a  0  a 2  b 2  4  a . b  0  a  0 b  2    Từ 1 và  2  ta có  .  a  0  a  b  2  b  2  a  b  2  b  2 Cách 2. Đặt z  a  bi với a, b   Do z là số thực nên b  0 2 2 2 z 2  2 z  4  a  bi   2  a  bi   4  a  b  2a  4    2ab  2b  i   z 2  2 z  4  a  bi 2  2  a  bi   4  a 2  b 2  2a  4    2ab  2b  i z2  2z  4 là số thực nên phần ảo bằng 0 z2  2z  4    a 2  b 2  2 a  4   2ab  2b    2 ab  2b   a 2  b 2  2a  4   0  4b  a 2  b 2  4   0  a 2  b 2  4 do b  0 . Mặt khác z  z  z  z  z 2  2a  2b  a 2  b2  2  a  b   a 2  b2  4  a 2  2 ab  b 2    a 2  b 2  2 a  0 Thay 1 vào  2  ta có 4  4  2 ab   16  ab  0   mà b  0 nên nhận a  0 b  0 Với a  0 ta được b  2 nên z  2i Câu 31: (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Cho số phức z thỏa mãn z  5 và z  3  z  3  10i . Tìm số phức w  z  4  3i . A. w  3  8i . B. w  1  3i . C. w  1  7i . Lời giải D. w  4  8i . Chọn D Gọi z  x  yi  x, y    . Ta có 2 2  z  5  x  yi  5  x  y  25    2 2 2 2  z  3  z  3  10i  x  3  yi  x  3   y  10  i  x  3  y   x  3   y  10  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  x 2  y 2  25  x 2  25  52  0 x  0 . Suy ra z  5i .    y  5 20 y  100 y  5 Từ đó ta có w  z  4  3i  4  3i  5i  4  8i . Câu 32: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho các số phức z thỏa mãn hai điều kiện z  2 và z 2 là số thuần ảo. Tổng bình phương phần thực của tất cả các số phức z đó bằng A. 5 . B. 4 . D. 3 . C. 2 . Lời giải Chọn B Đặt z  x  yi  x , y    . 2 Ta có: z 2   x  yi   x 2  y 2  2 xyi là số thuần ảo khi x 2  y 2  0  x   y . Mặt khác: z  2  x 2  y 2  2  x 2  y 2  2 .  x 1   y 1   x  1  x   y x   y  y  1 Suy ra:  2   .   2 2 x  y  2 y 1  x  1   y  1   x  1   y  1  Vậy tổng bình phương phần thực bằng 4. 2   Câu 33: (ĐH Vinh Lần 1) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  1  z  z i  z  z i 2019  1 ? A. 4. B. 2. C. 1. Lời giải D. 3. Chọn D Giả sử z  a  bi ,  a, b     z  a  bi . Ta có: z  1  a  1  bi , z  z  2bi , z  z  2 a . 1009 i 2019   i 2  1009 i   1 i  i .  2  Do đó z  1  z  z i  z  z i 2019  1    a  1 2 2  b2   2b  2 .i  2a  i   1  a  1 2  b 2  1 2 b 2  2 b  0 a 2  2a  b 2  0     a  1  b  2 b i  2 ai  1   a  b 2 b  2 a  0   a  b  a  0   b  0  b  0  a  1    .   b  1 b  1     a  b   a  1  b  1 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 34: (Sở Điện Biên) Cho số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện z  3  4i  5 và 2 2 z  2  z  i  33 . Môđun của số phức z  2  i bằng: A. 5 B. 9 . . C. 25 . D. 5 . Lời giải Chọn D Đặt z  a  bi  a, b  . 2 2 2 2 Ta có: z  2  z  i  33  a  bi  2  a  bi  i  33 2 2   a  2   b 2  a 2   b  1  33  4a  2b  30  0  b  2a  15 Ta có : z  3  4i  5  a  bi  3  4i  5 2  a  3   b  4  2 5 2 2 Thay vào ta có :  a  3   2a  11  5  5a 2  50 a  125  0  a  5  b  5  z  5  5i Vậy z  2  i  3  4i  5 . z  i   z 2  1 z 3  i   0 Câu 35: Tính tổng mô-đun tất cả các nghiệm của phương trình:  A. 3. B. 4. C. 6. D. 8 Lời giải  z  i  z  i  z  1  z  i  z  1   z  i  z  i   z 2  1 z 3  i   0   z  1   z  i   z 3  i 3  0  2  z  i  5  z  iz  1  0  2 Suy ra tổng mô-đun các nghiệm bằng 6. Chọn C Câu 36: (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN V NĂM 2019) Số phức z  a  bi , a, b   là nghiệm của phương trình  z  1 1  iz   i . Tổng T  a 1 z z A. 4 . B. 4  2 3 . 2  b2 bằng D. 3 . C. 3  2 2 . Lời giải Chọn C Cách 1: Điều kiện: z  1, z  0  z  1 1  iz   i   z  1 1  iz  z  i  1  iz  z  i  z  z 2 1 z z  a  bi   a2  b 2  i  z 1 z 1  2 i   z  1 i a  0 a 2  b2  1 i    b2  b  b  1(*) 2 2 2 2 b  a  b  a  b  1  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao (*) Với b  0  b 2  1  b  1  z  i (loại vì z  1 ). (*)   Với b  0  b 2  2b  1  0  b  1  2 (nhận)  z  1  2 i (thỏa mãn).  Vậy T  a2  b2  02  1  2  2  3 2 2 . Cách 2: Điều kiện: z  1, z  0  z  1 1  iz   i   z  1 1  iz  z  i  1  iz  z  i  z  z z 2 1 z  z 1 z 1 2 i   z  1 i  2  z   z  z 1 i . Lấy môđun hai vế ta được:  z   z 2  z 1 2 2 2 z   z  z 1    z  1  2.  z   z 2  z  1    2  a 2  b 2  z  3  2 2. Câu 37: Trong mặt phẳng phức, các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình  iz  1 z  3i  z  2  3i  0 là các điểm nào sau đây?   A. A  0; 1 ; B  0; 3 ; C  2;3 B. A 1;0  ; B  3;0  ; C  2; 3 C. A  0; 2  ; B  0;1 ; C  2;3 D. A  2; 2  ; B  1;1 ; C  1;0 Lời giải 1   z  i  i iz  1  0  z  i    iz  1 z  3i  z  2  3i  0   z  3i  0   z  3i   z  3i  z  2  3i  z  2  3i  0  z  2  3i    Vậy các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình đã cho là A  0; 1 ; B  0; 3 ; C  2;3 .   Chọn A 4  z 1  Câu 38: Phương trình    1 có bao nhiêu nghiệm.  z 1  A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm Lời giải  z  1  2  4   1, 1  z 1   z 1     1  2  z 1   z  1   1,  2   z  1   z 1  z 1  1  z 1  z 1  i  i    z0 1    z  1  1  z  1   z  1  z  0  z  1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 4 nghiệm Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  z 1  z 1  i  z  1  iz  1 z 1    2    z  1  iz  1  z  1  z  1  i  z  1 Vậy nghiệm phương trình là: z  0; z  1; z  1 Chọn C 25 Câu 39: Số nghiệm phức của phương trình z   8  6i là? z A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải Giả sử z  a  bi với; a, b  R và a, b không đồng thời bằng 0. 1 1 a  bi Khi đó z  a  bi;   2 z a  bi a  b 2 Khi đó phương trình a  a 2  b 2  25   8  a 2  b 2  1 25  a  bi  25  z  8  6i  a  bi  2  8  6i   . 2 2 2 2 2 z a b b  a  b  25  6  a  b   2  3 Lấy 1 chia  2  theo vế ta có b  a, thế vào 1 . Ta có a  0 hoặc a  4. 4 Với a  0  b  0 (Loại) Với a  4  b  3. Ta có số phức z  4  3i. Chọn B Câu 40: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Tính tổng phần thực của tất cả các số phức z  0 thỏa mãn  5  z   i  7  z . z  A. 2 . B. 2 . C. 3 . D. 3 . Lời giải Chọn D  5 5 Ta có:  z   i  7  z . Chia hai vế cho i ta được: z   7i  zi . z z  Hay z 1  i   7i  5 5 25  z 1  i   7i   2 z  49  2 z z z 2 Bình phương 2 vế, ta được: 2 z  49  25 z 2   z 2  25 (t/m) 4 2  . 2 z  49 z  25  0   2 1 z   (kt/m)  2 5  Do z  0 nên z  5 . Thế z  5 vào đề bài ta được:  z   i  7  z   z  1 i  7  z . (1) 5  Đặt z  x  yi , với x, y   . Thế vào (1) ta được:  x  yi  1 i  7  x  yi   y   x  1 i  7  x  yi  y  7  x x  y  7 x  3    . x 1   y  x  y  1  y  4 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Dễ thấy số phức 3  4i thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy tổng phần thực của các số phức cần tìm là 3 . 4  z 1  Câu 41: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm của phương trình    1. Tính giá trị biểu thức  2z  i  P   z12  1 z22  1 z32  1 z 42  1 . A. P  2. B. P  17 . 9 C. P  16 . 9 D. P  15 . 9 Lời giải 4 Ta có phương trình  f  z    2 z  i    z  1  0. 4 Suy ra: f  z   15  z  z1  z  z2  z  z3  z  z4  . Vì z12  1   z1  i  z1  i   P  f  i  . f  i  1 . 225 4 4 4 Mà f  i   i 4   i  1  5; f  i    3i    i  1  85. Vậy từ 1  P  17 . 9 Chọn B Câu 42: Tìm số thực m  a  b 20 (a, b là các số nguyên khác 0) để phương trình 2z 2  2(m 1) z  (2m  1)  0 có hai nghiệm phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn z1  z2  10 . Tìm a. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải  ‘  m 2  6m  1   TH1:  ‘  0 hay m  (;3  10)  (3  10; ) Khi đó z1  z2  10  z12  z22  2 z1 z2  10  2m  1  0  2  m  1  10  (1  m)  10 2  (1  m)  (2m  1)  2m  1  10    2m  1  0  m  3  20   2  m  6m  11  0 (loai ) TH2:  ‘  0 hay m  (3  10;3  10) Khi đó: z1  z2  10  Hay 1  m  i (m2  6m  1) 1  m  i (m 2  6m  1)   10 2 2 (1  m) 2  (m 2  6m  1)  10  m  2 Vậy m = 2 hoặc m  3  20 3 2 Câu 43: (Đặng Thành Nam Đề 10) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z i  1  i  0 ? 4 A. 1 . B. 3 . C. 2 . D. 0 . Lời giải Chọn A 3 2 2 3 Biến đổi z  z i  1  i  0  z  1    z  i . Lấy môđun hai vế ta có: 4 4  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2 9 3 2 5 2 2 4 4 2 2 2 3 z  1    z   z  1   z  z  16 z  40 z  25  0 z  0  z  16 2 4 4  1 2 3 Thay vào z  1    z  i  z  1  i . 2 4  Câu 44: (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z2 z  1  i  10 và là số thuần ảo. z4 A. 4. B. 2. C. 3. D. 1. Lời giải Chọn D Đặt z  a  bi  a; b   . Điều kiện z  4 .  2  2 z  1  i  10   C1  : a 1   b 1 10 có tâm I1 1;  1 và bán kính R1  10 . z  2 a  2  bi  a  2  bi  a  4  bi    là số thuần ảo khi  a  2  a  4  b2  0 . 2 2 z  4 a  4  bi  a  4  b 2 Do đó,  C2  : a  3  b2 1 có tâm I 2  3;0 và bán kính R2 1 . 2 2  3 1   0   1   5  R  R nên  C  cắt  C  tại hai điểm phân biệt. z  4  0i C    C  nên có duy nhất số phức thỏa yêu cầu bài. Ta có, I1I 2  1 2 2 1 Vì 1 2 Câu 45: (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị Lần 1) Tính tổng của tất cả các giá trị của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thoả mãn đồng thời z  m và z  4m  3mi  m2 . A. 4 . Chọn D Đặt z  x  yi B. 6 . C. 9 . Lời giải  x, y    . Ta có điểm biểu diễn D. 10 . z là M  x; y  . Với m  0 , ta có z  0 , thoả mãn yêu cầu bài toán. Với m  0 , ta có: + z  m  M thuộc đường tròn  C1  tâm I  0;0  , bán kính R  m 2 2 + z  4 m  3mi  m 2   x  4 m    y  3m   m 4  M thuộc đường tròn  C2  tâm I   4m; 3m  , bán kính R  m 2 . +) Có duy nhất một số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi  C1  và  C2  tiếp xúc  5m  m 2  m  II   R  R m  4   nhau     5m  m 2  m   .    II  R  R m  6    m  0 Kết hợp với m  0 , suy ra m 0; 4;6 . Vậy tổng tất cả các giá trị của m là 10 . Câu 46: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho số phức m 1 z ,  m    . Tìm các giá trị của m để | z  i | 1. 1  m  2i  1 A. 0 . B. 1 . C. 4 . D. vô số. Lời giải Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A z Số Phức Nâng Cao m  1  1  m  i  2m 3m  1  1  m  i m 1  z i  .  1  m  2 mi 1  m  2i  1 1  m   2mi 3m  1  1  m  i 2 2 2 2  1   3m  1  1  m   1  m    2m  . 1  m   2mi Ta có: | z  i | 1  1     m  1 5m  1  0  m   1;  . 5   Vậy không tồn tại m   thỏa mãn điều kiện đề bài. Câu 47: (Chuyên Bắc Giang) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z  i 5  z  i 5  6 , biết z có môđun bằng 5? A. 3 . B. 4 . D. 0 . C. 2 . Lời giải Chọn B Gọi z  a  bi với a , b . Ta có hệ phương trình sau:  z i 5  z i 5  6 a b 5 i  a b 5 i  6      z  5  a  bi  5 2 2  2 2  a  b  5  a  b  5  6  a 2  b 2  2 5b  5  a 2  b 2  2 5b  5  6   2 2  a 2  b2  5 a  b  5           10  2 5b  10  2 5b  6 , (điều kiện  5  a  5 ,  5  b  5 )  2 2  a  b  5  2 16 a   20  2 100  20b 2  36  100  20b 2  8 100  20b 2  64  5    2   2 2 2 2 2  a  b  5 b 2  9  a  b  5  a  b  5  5  4  a  5  4  4  4 4  4   a a a a  a   5     5  5 5  5         .  b  3 b  3 b   3 b  3 b   3    5  5  5 5 5   b   3  5 4 3 4 3  i, z   i, Kết hợp với điều kiện ta có bốn số phức cần tìm là: z  5 5 5 5 4 3 4 3 z  i, z    i. 5 5 5 5 Câu 48: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Môđun của số phức z thỏa mãn z  1  5 và   17 z  z  5 z.z  0 bằng A. 53 . B. 34 . C. 29 và 13 . Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 29 . Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Chọn B Đặt z  a  bi  a ; b R     a 2  b 2  2a  24  0  a  12  b 2  25  z  1  5  Ta có    2 2 2 2 17 z  z  5 z.z  0 17.2a  5  a  b   0 17.2a  5 a  b  0     5  a 2  b 2   2a  24   0 34a  5  2a  24   0 a  5       2 2 2 2 2 2 a  b  34 17.2a  5  a  b   0 5  a  b   17.2a Suy ra z  a 2  b 2  34 . Câu 49: (THẠCH THÀNH I – THANH HÓA 2019) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 2 z  2 z  z  4 và z  1  i  z  3  3i ? A. 4 . C. 1 . Lời giải B. 3 . D. 2 . Chọn B Gọi z  a  bi, a, b  R . Khi đó theo giả thiết ta có hệ. 2 2 a  b  2 2 a  4   2 2   a  1   b  1  2  a  3   b  3 2  2  a  4 2 a    4 a 4  2    b  a  4  2   a  0, b   2 5a 2  8a  16 a    a  24 , b  2   a4  5 5 b    2 8 14 a   , b    5 5 Vậy có 3 số phức z thỏa mãn. Câu 50: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z có phần thực và phần ảo là các số nguyên thỏa mãn hai điều kiện: z  3  4i  2 và z  z  z  z . Số phần tử của tập S là A. 11. B. 12 . C. 13 . Lờigiải D. 10 . Chọn D Gọi z  a  bi  a, b   là số phức thỏa mãn bài toán.   a  3 2   b  4  2  2  a  3 2   b  4 2  4  Ta có   .  2a  2b  a  b a, b   1  a  5  Suy ra  . 2  b  6 a  b Bảng giá trị thỏa mãn a 1 2 3 4 3 4 5 3 4 5 6 b 4 4 5 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 22 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Vậy tập S có tất cả 10 phần tử. Câu 51: Có bao nhiêu giá trị của m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z  1 và z  3  i  m . B. 1 Lời giải Gọi z  x  yi , ( x, y  R) ,ta có hệ: A. 0 C. 2 D. 3 2 2  x  y  1(1)  2 2 2 ( x  3)  ( y  1)  m (m  0) Ta thấy m  0  z  3  i không thỏa mãn z.z  1 suy ra m  0 . Xét trong hệ tọa độ Oxy tập hợp các điểm thỏa mãn (1) là đường tròn (C1 ) có O(0;0), R1  1 , tập hợp các điểm thỏa mãn (2) là đường tròn (C2 ) tâm I ( 3; 1), R2  m ,ta thấy OI  2  R1 suy ra I nằm ngoài (C1 ) . Để có duy nhất số phức z thì hệ có nghiệm duy nhất khi đó tương đương với (C1 ),(C2 ) tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong, điều điều này xảy ra khi OI  R1  R2  m  1  2  m  1 hoặc R2  R1  OI  m  1  2  3 . Câu 52: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z  1 và z  3  4i  m . Tính tổng các phần tử thuộc S . A. 10 B. 42 C. 52 D. 40 Lời giải Ta có quỹ tích là các đường tròn tâm O  0;0  , R  1 và tâm I  3, 4 , R  m . Do đó có hai trường hợp tiếp xúc ngoài và trong cho nên R  R  OI  m  4 hoặc OI  R  R  m  6 . Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao DẠNG 3: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM, BIỂU DIỄN SỐ PHỨC ĐIỂM BIỂU DIỄN Câu 1: Cho A, B, C , D là bốn điểm trong mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn các số phức Câu 2: 1  2i; 1  3  i; 1  3  i; 1  2i . Biết ABCD là tứ giác nội tiếp tâm I . Tâm I biểu diễn số phức nào sau đây? A. z  3. B. z  1  3i. C. z  1. D. z  1. Lời giải   3  3i  3i Ta có AB biểu diễn số phức 3  i; DB biểu diễn số phức 3  3i . Mặt khác 3 i     nên AB.DB  0 . Tương tự (hay vì lí do đối xứng qua Ox ), DC.AC  0 . Từ đó suy ra AD là một đường kính của đường tròn đi qua A, B, C, D. Vậy I 1; 0   z  1. Chọn C Cho A là điểm biểu diễn của các số phức: z  1  2i; M1 , M 2 lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 và z2 . Điều kiện để AM1M 2 cân tại A là: A. z1  z2 B. z1  1  2i  z2  1  zi C. z1  z2  1  2i Câu 3: D. z1  1  2i  z1  z2 Lời giải AM1M 2 cân tại A nên M1 A  M1M 2 hay: z1  1  2i  z2 1  2i Chọn B Cho 3 số phức: 1;3i; 3  5i biểu diễn bởi các điểm A, B, C . Điểm I thỏa mãn     2IA  3IB  2 IC  0 biểu diễn số phức nào sau đây? A. 4 19i B. 4 19i C. 4 19i D. 4  6i Lời giải Ta có: A 1;0  , B  0;3 , C  3; 5             2 IA  3IB  2 IC  0  2 OA  OI  3 OB  OI  2 OC  OI  0      OI  2OA  3OB  2OC  I  4; 19   Câu 4:      Vậy điểm I biểu diễn số phức z  4 19i. Chọn C 2z  z 1  i Gọi M là điểm biểu diễn số phức   , trong đó z là số phức thỏa mãn z2  i   1  i  z  i   2  i  z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho Ox, ON  2 , trong đó     Ox, OM là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm     trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ (I). C. Góc phần tư thứ (III). B. Góc phần tư thứ (II). D. Góc phần tư thứ (IV). Lời giải 7 19 19  7 19  Ta có: 1  i  z  i   2  i  z  z  3i  w    i  M   ;    tan   . 82 82 7  82 82  2 tan  133 1  tan 2  156 Lúc đó: sin 2    0; cos 2    0. 2 2 1  tan  205 1  tan  205 Chọn C File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 5: Số Phức Nâng Cao (ĐH Vinh Lần 1) Cho các số phức z thỏa mãn 2iz  2i 2021  3 z  1 và z  1 . Điểm biểu diễn cho số phức z có hoành độ bằng A. 4 . B. 4 . C. 1 . Lời giải D. 1. Chọn C Giả sử z  a  bi  a; b    . 1010 Ta có 2iz  2i 2021  3 z  1  2i  a  bi   2  i 2    2 a  2  i  2b   3a  1  3bi   2a  2  2 i  3  a  bi   1  4b2   3a  1 2  9b2  5  a 2  b 2   2a  3  0 1 . Mặt khác : z  1  a 2  b 2  1 2  . Câu 6: Thay (2) vào (1) được 5.1  2a  3  0  a  1 . Cho hai số phức z1 , z2 khác 0 thỏa mãn z12  z1 z2  z 22  0 . Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 , z2 . Tam giác OAB có diện tích bằng A. 2 3 3 C. 2 D. 4 Lời giải Ta chứng minh được tam giác OAB đều cho nên diện tích bằng 3 chứng tỏ z1  z2  2 .   2 2 2 2 Khi đấy: z1  z2  OA  OB  z1  z2  2OA.OB.cos 600  12  z1  z 2  2 3 . Câu 7: B. 3 . Tính môđun của số phức z1  z2 . 2 và điểm A trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z . Biết 2 1 rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức w  là một trong bốn điểm M , N , P , iz Q . Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là A. điểm Q . B. điểm M . C. điểm N . D. điểm P . Lời giải y Chọn D Q Do điểm A là điểm biểu diễn của z nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng Oxy nên gọi z  a  bi (a, b  0) . Cho số phức z thỏa mãn z  2 2 nên a 2  b 2  . 2 2 1 b a Lại có w   2 2  2 2 i nên điểm biểu diễn w nằm trong iz a  b a  b góc phần tư thứ ba của mặt phẳng Oxy . 1 1 w   2  2 z  2OA . iz i . z M Do z  Câu 8: O A x N P Vậy điểm biểu diễn của số phức w là điểm P . (Đặng Thành Nam Đề 10) Hai điểm N , M trong hình vẽ bên dưới lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 , z 2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Biết ON  2OM  2 5 . Giá trị của z12  z22 bằng A. 5 13 . C. 5 21 . B. 5 37 . D. 5 11 . Lời giải Chọn A ON  z1  2 5  Từ giả thiết ta có: OM  z2  5   MON  120   35  z1  z 2  MN  OM 2  ON 2  2OM .ON .cos MON  z1 2  z2  Khi đó  . z  z z 2  1 1  1  7 z z 2  2 Đặt a 2  b 2  4 a 2  b 2  4 z1 a  1  a  bi       2 2 z2 b   3 (a  1)  b  7 2a  5  7 2 z 2  z   1  1  3i  z12  z22  z2  1   1  5 1  3i z2  z2   Câu 9:  2 1  5 1  2 3i  5 13 . 1 1 1   . Biết z1 , z2 , z3 lần z1 z2 z3 lượt được biểu diễn bởi các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức. Tính góc ACB . Lời giải 1 1 1 z1 z2 z3      z1 z2 z3 z1 .z1 z 2 .z2 z3 .z3 Ta có: z z z  1 2  2 2  3 2  z1  z 2  z3 z1 z2 z3 Do tính đối xứng trục Ox nên C là điểm thứ 3 của hình bình hành OACB . Cho 3 số phức z1 , z2 , z3 phân biệt thỏa mãn z1  z 2  z3  3 và File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao OB  AC  OA  OC  AC . Từ đó ta có:  OB  OA  OC  OAC là tam giác đều  Góc ACB  1200 . TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG THẲNG Câu 10: Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z  2i  1  z  i . Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1, 3 . C. 2  3i . Lời giải Gọi M  x, y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi  x, y  R  A. 3 i . B. 1  3i . D. 2  3i . Gọi E 1, 2  là điểm biểu diễn số phức 1  2i Gọi F  0, 1 là điểm biểu diễn số phức i Ta có: z  2i  1  z  i  ME  MF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trục EF : x  y  2  0 . Để MA ngắn nhất khi MA  EF tại M  M  3,1  z  3  i Chọn A Câu 11: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Trong mặt phẳng Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 2 z  1  z  z  2 là hình gồm: A. hai đường thẳng. B. hai đường tròn. C. một đường tròn. Lời giải D. một đường thẳng. Chọn A Đặt z  x  yi với x, y   . Số phức z có điểm biểu diễn M  x; y  . Ta có 2 z  1  z  z  2  2 x  yi  1  x  yi   x  yi   2  2  x  1 2  y2  4  4 y2 x  0 2  4  x  1  4 y 2  4  4 y 2  4 x 2  8 x  0   . x  2 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là hai đường thẳng có phương trình x  0 và x  2. Câu 12: Tìm tập hợp  T  các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức zz z A. Đường tròn tâm O  0; 0  , bán kính R  1 C. Đường thẳng x  y 3, x   y 3 Đặt z  x  yi với x, y   B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 D. Đường thẳng y  x 3, y   x 3 Lời giải Ta có z  z  z   x  yi    x  yi   x 2  y 2  2 x  x 2  y 2 x  0  x  0  2  2 2  y   x 3 4 x  x  y Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng biểu diễn số phức z  x  yi gồm hai đường thẳng: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao D1 : y  x 3 D2 : y   x 3 Chọn D Câu 13: (Chuyên Sơn La Lần 3 năm 2018-2019) Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện  z  1  i  z  i  là số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn hình học của z là một đường thẳng. Hệ số góc của đường thẳng đó là A.  1 . B. 1 . C.  2 . D. 2 . Lời giải Chọn C Gọi z  x  yi ,  x ; y    . Ta có  z  1  i  z  i    x  yi  1  i  x  yi  i    x 2  x  y 2  1   2 x  y  1 i . Số phức  z  1  i  z  i  là số thực khi 2 x  y  1  0 Suy ra tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ là đường thẳng có phương trình 2 x  y  1  0  y  2 x  1 . Do đó hệ số góc của đường thẳng là  2 . 1 Câu 14: Điểm M biểu diễn số phức z  0 và điểm M’ biểu diễn số phức z ‘  . Nếu điểm M di động z trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính R  2 thì M’ di động trên đường nào? A. x 2  y 2  2 x  2 y  0 B. 2 x  2 y  1  0 C. 2 x  2 y  1  0 D. 2 x  2 y  1  0 Đáp án: C x  x’  2  x  y2 1 z  Giải: Ta có z ‘   2 . Do đó  y z z y ‘  2  x  y2 M di động trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính R  2 nên x2  y2  2x  2 y 2 2 2 2 x  1  y  1  2  x  y  2 x  2 y  0  0     x2  y2 2x 2y  1 2  2  0  2 x ‘ 2 y ‘ 1  0 2 x y x  y2 Câu 15: Trong mặt phẳng phức, gọi N , M , A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn các số: z 1 z  x  yi; Z  X  Yi  ;1; 1. Tìm tập hợp điểm M khi N chạy trên đường tròn z 1 x 2  y 2  1.   A. Đường tròn tâm I 2  2; 0 , bán kính R  5  4 2 B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 C. Trục tung D. Trục hoành Lời giải z 1 x  y 1 2 y X ;Y  Ta có: Z  X  Yi  2 2 2 z 1  x  1  y  x  1  y 2 2 2 2 2 Vì N chạy trên đường tròn:  x  1  y 2  1 nên ta có  x  1  y 2  1  X  0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Vậy tập hợp điểm M là trục tung. Chọn C Câu 16: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho: z  z  k z . Với k là một số thực cho trước. A. Đường tròn tâm O  0; 0  , bán kính R  1 B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 C. Nửa trục Ox, nửa trục Ox’ D. Nửa trục Ox’ Lời giải Đặt z  x  yi; x, y  R Ta có: z  z  k z 1  2 x  k x2  y 2 2 Nếu k  0, ta có: x  0 Tập hợp các điểm M là trục tung. Xét k  0: 4 x 2  k 2  x 2  y 2   4  k 2  x 2  k 2 y 2 Ta có:  2     kx  0 kx  0 Với 2  k  2 và k  0, ta có: 4  k2 2 4  k2 x  y   x k2 k Do đó, tập hợp M phải tìm là: y2   kx  0  4  k2 x k + Giới hạn bởi 0  k  2, x  0. + Hoặc giới hạn bởi 2  k  0, x  0. – Nửa trục Ox nếu k  2. – Nửa trục Ox ‘ nếu k  2. Chọn C Câu 17: Trong mặt phẳng phức, cho M là điểm biểu diễn số phức z  x  yi, M  0. Xem số phức 1 1 Z   z 2  2  . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thực. 2 z  A. Trục tung (hay trục hoành ), không kể điểm O. B. Trục tung hay trục hoành C. Đường thẳng y  1 D. Đường thẳng x  1 Lời giải Trường hợp Z là một số thực  Phần ảo bằng 0. xy  x 2  y 2  2  1  0  xy  0, x 2  y 2  0   x  0, y  0  2  y  0, x  0    x2  y 2   – Các đường thẳng y   Tập hợp điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z là – Trục tung, không kể điểm O. – Trục hoành, không kể điểm O. Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 18: Cho Z  1  iz , z   , z  x  yi với x, y   . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số 1  iz thực. A. Trục tung ngoại trừ điểm A  0;1 B. Trục hoành ngoại trừ điểm A  0;1 D. Đường thẳng x  1 Lời giải 1  i  x  yi  C. Đường thẳng y  1 Ta có: z  x  yi; x, y  R  Z  Z Số Phức Nâng Cao 1  zi  1  zi 1  i  x  yi  1  yi 2  xi 1  y  xi 1  y  xi 1  y  xi    1  yi 2  xi 1  y  xi 1  y  xi 1  y  xi  2 1  xi   y 2  2 1  y   x 2i 2  1  x 2 i 2  2 xi  y 2 1  y  2  x2  1  x 2  y 2  2 xi 1  y  2  x2 Z là một số thực  x  0, y  0 Ta có z  yi, y  1 .  Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là trục tung ngoại trừ điểm A 1; 0  . Chọn A Câu 19: Tìm tập hợp  T  các điểm M biểu diễn các số phức z sao cho log 1 z  2  log 1 z . 2 2 A. Miền phẳng nằm bên phải đường thẳng x  1 B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 C. Hình vành khăn gồm các điểm giữa hai hình tròn  O;1 và  O; 2  kể cả các điểm nằm trên đường tròn  O; 2  ; không kể các điểm nằm trên đường tròn  O;1 D. Đường thẳng x  1 Lời giải Điều kiện: z  0, z  2 Cách 1: Đặt z  x  yi,  x, y  R  . 2 log 1 z  2  log 1 z  z  2  z   x  2   y 2  x 2  y 2  x  1. 2 2 Do đó, tập hợp  T  các điểm .. biểu diễn các số phức z là miền phẳng nằm bên phải đường thẳng x  1 . Cách 2: Ta có: log 1 z  2  log 1 z  z  2  z . 2 2 Gọi A là điểm biểu diễn số phức z1  2  A  2; 0  Xét trường hợp z  2  z  MA  MO Khi đó M chạy trên đường trung trực  của đoạn OA, có phương trình x  1. Với trường hợp z  2  z  MA  MB  M nằm bên phải đường thẳng  . Do đó, tập hợp  T  các điểm M biểu diễn các số phức z là miền phẳng nằm bên phải đường thẳng  , trung trực của đoạn thẳng OA là miền phẳng nằm bên phải đường thẳng x  1 . Chọn A Câu 20: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm M là ảnh của số phức z sao cho: Ảnh của các số z, z 2 , z 4 thẳng hàng. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 1 1 A. Đường tròn x 2  y 2  x  y  0, có tâm I  ;  , bán kính R  1 ngoại trừ điểm  0;1 2 2 2 1 1 B. Đường tròn x 2  y 2  x  y  0, có tâm I  ;  , bán kính R  2 2 2 C. Một hyperbol vuông góc và trục hoành Ox 1 D. Đường thẳng x   và trục hoành Ox 2 Lời giải 2 4 Các điểm M  z  , M ‘  z  , M ”  z  thẳng hàng.    MM ”  k MM ‘, k  R  z 4  z  k  z 2  z   z  z 3  1  kz  z  1  0  z  z  1  z 2  z  1  k   0, z  0,1  z 2  z  1  k  0 Đặt z  x  yi; x, y  R 2 Ta có: k  z 2  z  1   x  yi    x  yi  i  1  k  x 2  y 2  x  1   2 xy  y  i k  R  2 xy  x  0  y  0  x   1 2 Vậy tập hợp điểm M gồm: + Trục hoành Ox. 1 + Đường thẳng x   . 2 Chọn D Câu 21: (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Cho các số phức z thỏa mãn z  2i 2020  z  1  2i . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  2 z  1  4i trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Khoảng cách từ I  2;  3 đến đường thẳng đó bằng A. 10 3 . 3 B. 18 5 . 5 10 5 . 5 C. D. 18 13 . 13 Lời giải Chọn C Đặt w  a  bi ; a, bR  a  bi  2 z  1  4i  z  a 1 b  4  i 2 2 z  2i 2020  z  1  2i hay z  2  z  1  2i 2 2 2  a 1   b  4   a 1   b  4    2    1    2    2   2   2   2  2 2 2 2   a  3   b  4    a  1  b 2  a  2b  6  0 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường thẳng  d  : x  2 y  6  0 Khoảng cách từ I (2; 3) đến  d  là: 2  2.3  6 1 4  10 5 . 5 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 22: Trong mặt phẳng phức, cho M , M ‘ theo thứ tự là điểm biểu diễn của hai số phức z và z 1 i z ‘ : z  x  yi, z ‘  . Tìm tập hợp điểm  E  các điểm M sao cho: Điểm M ‘ nằm trên z 1 trục hoành và M ‘  0. 1 1  A. Đường tròn tâm I 1;   , bán kính R  ngoại trừ các điểm 1; 0  và 1; 1 . 2 2  B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 ngoại trừ các điểm 1; 0  và 1; 1 . C. Đường thẳng y  1 ngoại trừ các điểm 1; 0  và 1; 1 . D. Đường thẳng x  1 ngoại trừ các điểm 1; 0  và 1; 1 . Lời giải 2 z  1  i  x  1   y  1 i  x  1  y  y  1   x  1 i Ta có: z ‘    2 z 1  x  1  yi  x  1  y 2 Trường hợp M ‘ nằm trên trục tung và M ‘  0.  z ‘ là một số thực.  x  1 2  y  y  1  0   x  1  0   E  là đường thẳng x  1 ngoại trừ các điểm 1; 0  và 1; 1 . Chọn D Câu 23: Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn  z2  z 2 2 z 2  16 là hai đường thẳng d1, d2 . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1, d2 là bao nhiêu? A. d  d1 , d 2   2 . B. d  d1 , d 2   4 . C. d  d1 , d 2   1 . D. d  d1 , d 2   6 . Lời giải Gọi M  x, y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi  x, y  R   Ta có: z 2  z 2 2 z 2  16  x 2  2 xyi  y 2  x 2  2 xyi  y 2  2 x 2  2 y 2  16  4 x 2  16  x  2  d  d1 , d 2   4 Chọn B Ở đây lưu ý hai đường thẳng x = 2 và x = -2 song song với nhau. Câu 24: (ĐH Vinh Lần 1) Cho các số phức z thỏa mãn z  2i 2020  z  1  2i . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  2 z  1  4i trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Khoảng cách từ I  2;  3 đến đường thẳng đó bằng A. 18 5 . 5 B. 18 13 . 13 C. 10 3 . 3 D. 10 5 . 5 Lời giải Chọn D Giả sử z  a  bi  a; b    và w  x  yi  x; y    . 1010 Ta có z  2i 2020  z  1  2i  a  bi  2  i 2    a  2 2  b2   a  1 2  a  bi  1  2i 2   2  b   2a  4b  1  0 1 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Theo giả thiết: w  2 z  1  4i  x  yi  2  a  bi   1  4i  x  yi  2a  1   4  2b  i . x 1  a  x  2 a  1   2    2 .  y  4  2b b  4  y  2 Thay  2  vào 1 ta được: 2. Vậy: d  I ,    x 1 4 y  4.  1  0  x  2 y  6  0  . 2 2 10 5 . 5 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG TRÒN Câu 25: (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho số phức z thỏa mãn: z  2  i  3 . Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ  Oxy  biểu diễn số phức   1  z là A. Đường tròn tâm I  2;1 bán kính R  3. B. Đường tròn tâm I  2;  1 bán kính R  3. C. Đường tròn tâm I  1;  1 bán kính R  9. D. Đường tròn tâm I  1;  1 bán kính R  3. Lời giải Chọn D Đặt   x  y i  x, y     M  x ; y  là điểm biểu diễn của số phức  . Ta có:   1  z  z    1  z   x  1  y i  z   x  1  y i . Do z  2  i  3 .  ( x  1)  y i  2  i  3   x  1   y  1 i  3 2 2   x  1   y  1  9 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức  là đường tròn tâm I  1;  1 và bán kính R  3 . Câu 26: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z sao cho: z  2 z  i . 8 4 2 2 A. x 2  y 2  y   0 B.  x  1   y  1  4 3 3 2 2 x y  1 C. D. 3×2  4 y 2  36  0 4 3 Lời giải Cách 1. Đặt z  x  yi,  z  0  với x, y  R 8 4 2 Ta có: z  2 z  i  x 2  y 2  4 x 2   y  1  x 2  y 2  y   0 3 3      Cách 2. Ta có: z  2 z  i  OM  2 OM  OB  OM  2 BM   Với B 1; 0  là điểm biểu diễn số i. MO 2 MB Ta suy ra tập hợp các điểm M là đường tròn Apollonius đường kính IJ , với I , J thuộc trục tung và:   OI  2 IB  2    I  0;  và J  0; 2   3 OJ  2 JB Do đó ta có: OM  2 BM  2  Phương trình đường tròn: x   y   3  Chọn A 2 2  y  2  0  x2  y 2  8 4 y 0 3 3 10  1  2i . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số z phức w   3  4i  z  1  2i là đường tròn I , bán kính R . Khi đó. Câu 27: Cho thỏa mãn z  thỏa mãn  2  i  z  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. I  1; 2  , R  5. B. I 1; 2  , R  5. C. I  1; 2  , R  5. Số Phức Nâng Cao D. I 1; 2  , R  5. Lời giải Chọn C Đặt z  a  bi và z  c  0 , với a; b; c   . w  1  2i Lại có w   3  4i  z  1  2i  z  . 3  4i Gọi w  x  yi với x; y   . w  1  2i w  1  2i Khi đó z  c  c  c  x  yi  1  2i  5c 3  4i 3  4i  2  x  1   y  2  2 2 2  5c   x  1   y  2   25c 2 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn I  1; 2  . Khi đó chỉ có đáp án C có khả năng đúng và theo đó R  5  5c  5  c  1 . Thử c  1 vào phương trình (1) thì thỏa mãn. Câu 28: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm M là ảnh của số phức z sao cho: Ảnh của các số i, z, iz thẳng hàng. 2 1 1 A. Đường tròn x 2  y 2  x  y  0, có tâm I  ;  , bán kính R  ngoại trừ điểm  0;1 2 2 2 2 1 1 B. Đường tròn x 2  y 2  x  y  0, có tâm I  ;  , bán kính R  2 2 2 C. Một hyperbol vuông góc D. Đường thẳng x  1 Lời giải Cách 1: Gọi điểm biểu diễn số phức z là M  x; y  . Gọi điểm biểu diễn số phức i là N  0;1 . Gọi điểm biểu diễn số phức iz là P   y; x  .   NM   x; y  1 ; NP    y; x  1 Vì 3 điểm M , N , P thẳng hàng nên ta có: x  x  1   y  y  1  x 2  y 2  x  y  0. 1 1 Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn x 2  y 2  x  y  0, có tâm I  ;  , bán kính 2 2 2 R ngoại trừ điểm  0;1 . 2 Cách 2: Kí hiệu M  z  dùng để chỉ M là điểm biểu diễn số phức z hay ảnh của số phức z. Giả sử các điểm A  i  , M  z  , M ‘  iz  thẳng hàng:   iz  z  MM ‘  k MA, k  R  iz  z  k  i  z   k  iz   y  x    x  y  i    x   y  1 i  i  x  yi    x  yi  k   Đặt z  x  yi  k  i   x  yi    x   y  1 i    x   y  1 i  x2  y 2  x  y x2  y 2  x  y k 2  2 i 2 2 x   y  1 x   y  1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  x 2  y 2  x  y  0 k là một số thực. Do đó ta có:  2 2  x   y  1  0 1 1 Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn x 2  y 2  x  y  0, có tâm I  ;  , bán kính 2 2 2 R ngoại trừ điểm  0;1 . 2 Chọn A Câu 29: Trong mặt phẳng phức, cho M , M ‘ theo thứ tự là điểm biểu diễn của hai số phức z và z 1 i z ‘ : z  x  yi, z ‘  . Tìm tập hợp điểm  E  các điểm M sao cho: Điểm M ‘ nằm trên z 1 trục tung và M ‘  0. 1 1  A. Đường tròn tâm I 1;   , bán kính R  ngoại trừ các điểm 1; 0  và 1; 1 . 2 2  B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 ngoại trừ các điểm 1; 0  và 1; 1 . C. Đường thẳng y  1 ngoại trừ các điểm 1; 0  và 1; 1 . D. Đường thẳng x  1 ngoại trừ các điểm 1; 0  và 1; 1 . Lời giải 2 z  1  i  x  1   y  1 i  x  1  y  y  1   x  1 i Ta có: z ‘    2 z 1  x  1  yi  x  1  y 2 Trường hợp M ‘ nằm trên trục tung và M ‘  0.  z ‘ là một số thuần ảo khác 0.  x  1 2  y  y  1  0  x2  y 2  2 x  y  1  0   x  1  x  1  0 1 1    E  là đường tròn tâm I  1;   bán kính R  ngoại trừ các điểm 1; 0  và 1; 1 . 2 2  Chọn A z  2  3i Câu 30: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u  là một số thuần ảo. z i A. Đường tròn tâm I  1; 1 , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm  0;1 và  2; 3  . B. Đường tròn tâm I  1; 3 , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm  0;1 và  2; 3  . C. Đường tròn tâm I  1; 4  , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm  0;1 và  2; 3  . D. Đường tròn tâm I  2; 1 , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm  0;1 và  2; 3  . Lời giải a  2  bi  3i  a  2   b  3 i   a   b  1 i  Giả sử z  a  bi  a, b    ,  z  i  , khi đó: u   2 a   b  1 i a 2   b  1 Tử số bằng a 2  b 2  2a  2b  3  2  2a  b  1 i u là số thuần ảo khi và chỉ khi: 2 2 a 2  b2  2a  2b  3  0  a  1   b  1  5    2a  b  1  0  a; b    0;1 ,  2; 3 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  1; 1 , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm  0;1 và  2; 3  . Chọn A Câu 31: Tìm trong mặt phẳng tập hợp    các điểm M biểu diễn số phức z sao cho Z  z  4 là một z số thực. A. Trục hoành x ‘ Ox ngoại trừ điểm gốc và đường tròn tâm O, bán kính R  2 B. Trục hoành x ‘ Ox ngoại trừ điểm gốc và đường tròn tâm O, bán kính R  1 C. Đường tròn tâm O, bán kính R  1 D. Trục hoành x ‘ Ox ngoại trừ điểm gốc Lời giải Đặt z  x  yi,  z  0  với x, y   Ta có: Z  z  Z  4  x  yi  4 4  x  yi   x  yi  2 z x  yi x  y2 x  x 2  y 2  4  y  x 2  y 2  4 i x2  y 2  y  x 2  y 2  4  0  y  0  x 2  y 2  4  2 Z là một số thực:   2 2 2  x  y  0 x  y  0  Do đó    gồm: – Trục hoành x ‘ Ox ngoại trừ điểm gốc. – Đường tròn tâm O , bán kính R  2. Chọn A Câu 32: Trong mặt phẳng phức, cho M là điểm biểu diễn số phức z  x  yi, M  0. Xem số phức 1 1 Z   z 2  2  . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thuần ảo. 2 z  A. Đường tròn tâm O , bán kính R  1 B. Đường tròn tâm I  0;1 bán kính R  1 C. Đường thẳng y  1 D. Đường thẳng x  1 Lời giải Trường hợp Z là một số thuần ảo  Phần thực bằng 0. 2   x2  y 2   1  0  x 2  y 2  1 Tập hợp điểm M là đường tròn tâm O , bán kính R  1 . Chọn A Câu 33: Trong mặt phẳng phức, cho m và M là điểm biểu diễn số phức z  x  yi, M  0. 1 1 Z  X  Yi   z   . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thực. 2 z A. Đường tròn tâm O , bán kính R  1 và trục hoành Ox, không kể điểm gốc O B. Đường tròn tâm O , bán kính R  1 C. Đường thẳng y  1. 1 D. Đường thẳng x   và trục hoành Ox 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Lời giải 2 2 2 2 1 1 1 1   x  y  1 x  x  y  1 x Ta có: Z   z     x  yi    2 z  2 x  yi  2  x2  y2  2  x2  y 2   x 2  y 2  1 y  0 Z là số thực khi và chỉ khi: Y  0   1 2 2  x  y  0 y  0 y  0 Ta có: 1   2  2 2 2 x  y 1  0 x  y 1 Tập hợp các điểm M phải gồm: + Trục hoành Ox, không kể điểm gốc O. + Đường tròn tâm O , bán kính R  1 Chọn A Câu 34: Trong mặt phẳng phức, cho m và M theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi và z 1 Z . Tìm tập hợp các điểm m sao cho: Z là một số thuần ảo. z  2i 5 1  A. Đường tròn tâm I  ; 1 , bán kính R  2 2  B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 C. Đường thẳng y  2 x  2 D. Đường thẳng x  1 Lời giải z 1  x  yi   1  x  1  yi   x  1  yi   x   y  2  i   Ta có: Z  z  2i  x  yi   2i x   y  2  i  x   y  2  i   x   y  2  i  Z  x  x  1  y  y  2    y  2 x  2  i x 2   y  2 2 Z là một số thuần ảo khi và chỉ khi: x  x  1  y  y  2   0  x 2  y 2  x  2 y  0 5 1  Tập hợp các điểm m là đường tròn tâm I  ; 1 , bán kính R  . 2 2  Chọn A Câu 35: (Sở Thanh Hóa 2019) Xét các số phức z thỏa mãn  2  z  z  i là số thuần ảo. Tập hợp tất   cả các điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ là 5  1 A. Đường tròn có tâm I  1;  , bán kính R  . 2  2 5  1 B. Đường tròn có tâm I  1;  , bán kính R  nhưng bỏ đi hai điểm A  2;0  , B  0;1 . 2  2 1 5  C. Đường tròn có tâm I  1;   , bán kính R  . 2 2  D. Đường tròn có tâm I  2;1 , bán kính R  5 . Lời giải Chọn A Gọi z  x  yi ,  x; y    . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Số Phức Nâng Cao  Ta có  2  z  z  i   2  x  yi  x  yi  i    x 2  y 2  2 x  y   x  2 y  2  i .   Các số phức z thỏa mãn  2  z  z  i là số thuần ảo khi  x 2  y 2  2 x  y  0 2 1 5 2  Hay  x  1   y    . 2 4  Suy ra tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ là đường tròn có tâm 5  1 I  1;  , bán kính R  . 2  2 Câu 36: (Chuyên Thái Nguyên) Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn điều kiện | z 5  3i | 5 đồng thời | z1  z2 | 8 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  z1  z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình A. ( x  10) 2  ( y  6) 2  36 . B. ( x  10)2  ( y  6)2  16 . 5 3 5 3 9 C. ( x  )2  ( y  )2  9 . D. ( x  )2  ( y  )2  . 2 2 2 2 4 Lời giải Chọn A +)Đặt z  x  yi Khi đó | z 5  3i | 5 | x  5  (y 3)i | 5  ( x  5) 2  ( y  3) 2  25 (C ) Gọi A, B lần lượt là 2 điểm biểu diễn số phức z1 , z2  A, B thuộc đường tròn (C ) có tâm I (5; 3), bán kính R = 5 và | z1  z2 | 8  AB  8 z z +) Gọi H là điểm biểu diễn số phức w= 1 2 2 AB 4  H là trung điểm AB  AH  2 Xét tam giác AIH vuông tại H có AH = 4, AI = 5 nên IH  IA2  AH 2  52  4 2  3  H thuộc đường tròn (C ) có tâm I (5; 3), bán kính R  3 (*) +) Gọi M là điểm biểu diễn số phức w=z1  z2    OM  2OH  M là ảnh của H qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2 với O là gốc tọa độ (**) Từ (*)và (**)  tập hợp M là đường tròn (C ) là ảnh của (C ) phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2 +) Giả sử đường tròn (C ) có tâm J (a; b) và bán kính R   a  2.5  10   b  2.3  6  R  2.R   6   Phương trình đường tròn (C ) là ( x  10) 2  ( y  6) 2  36 Câu 37: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ thảo mãn điều kiện: 2 z  5 z  5 z  0. A. Đường thẳng qua gốc tọa độ. B. Đường tròn bán kính 1. C. Đường tròn tâm I  5; 0  bán kính 5 D. Đường tròn tâm I  5; 0  bán kính 3 Lời giải Đặt z  x  yi, ta có z  x  yi. 2 2 Do đó: z  5 z  5 z  0  x 2  y 2  5 x  5 yi  5 x  5 yi  0   x  5   y 2  25 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Trên mặt phẳng tọa độ, đó là tập hợp các điểm thuộc đường tròn bán kính bằng 5 và tâm là I  5; 0  . Chọn C Câu 38: (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  1  3i  3 2 . Biết rằng số   phức w  1  i 2019  z  3i  2019 có tập hợp các điểm biểu diễn thuộc đường tròn  C  . Diện tích S của hình tròn  C  bằng A. 18 . B. 36  . C. 9 . Lời giải D. 12 . Chọn B Ta có: z  1  3i  3 2  z  1  3i  3 2  z  1  3i  3 2 .  Mà w  1  i 2019   z  3i   2019  1  i    z 1  3i   1  6i    2019     hay w  1  i  z  1  3i  2014  7i  w  2014  7i  1  i  z  1  3i .   Suy ra: w  2014  7i  1  i  z  1  3i  w  2014  7i  1  i z  1  3i  2.3 2  6  w  2014  7i  6 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn  C  có tâm I  2014;7  và bán kính R  6 . Suy ra diện tích S của hình tròn  C  bằng: S   R 2  36 . Câu 39: (Sở Quảng NamT) Cho số phức z có mô đun bằng 2 2 . Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức w = 1  i  z  1  i là đường tròn có tâm I (a ; b), bán kính R . Tổng a  b  R bằng: A. 5. B. 7. C. 1. D. 3. Lời giải Chọn D Gọi w = x  yi  x , y    . Theo bài ra ta có: w  1  2i . 1 i  x  1   y  2  i . z 1i  x  1   y  2  i .  z  1i z 2 2  2 2   x  1   y  2  i 1 i  x  1 2 .   y  2 2 2 2   x  1   y  2   16 2 . Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w là đường tròn có tâm I (1;-2) và bán kính R  4. Vậy tổng a  b  R  3 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 40: Số Phức Nâng Cao (CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT 2019 lần 1) Cho số phức z thỏa mãn z 1  2i  2 . Tập z trong mặt phẳng toạ độ Oxy là đường tròn có tâm là 1 i  1 3  3 1 3 1 B. I   ;  . C. I   ;   . D. I  ;  .  2 2  2 2 2 2 Lời giải hợp điểm biểu diễn số phức w  1 3 A. I  ;   . 2 2 Chọn B Ta có: w  z  z  1  i  w 1 i 1  2i   Khi đó: z  1  2i  2  z  1  2i  2  1  i  w  1  2i  2  1  i  .  w   2 1 i   1  2i  1 3   1 i . w   2  w  i  2 . 1 i  2 2   1 3 Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm I   ;  , bán kính R  2 .  2 2 Câu 41: (THPT-Ngô-Quyền-Hải-Phòng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019)Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z  1  2. Biết rằng tập hợp các số phức w  1  3 i z  2 là đường tròn có bán  kính bằng R. Tính R. A. R  8 . B. R  2 .  C. R  16 . Lời giải D. R  4 . Chọn D w  1 3 i z  2      w  1  3i  z  1  3  3i   w  3  3i  1  3 i   z  1  w  3  3i  4 * . Đặt w  x  yi  2   x, y      x  3  y  3   thì:  *  x  3  i y  3  4 2  16 .   Vậy tập hợp các số phức w là đường tròn tâm I 3; 3 , bán kính R  4 . Câu 42: (Chuyên Thái Nguyên) Cho các số phức z thỏa mãn z  1  2 . Biết rằng tập hợp các điểm   biểu diễn các số phức w  1  i 8 z  i là một đường tròn. Bán kính r của đường tròn đó là A. 9 . B. 36 . C. 6 . Lời giải D. 3 . Chọn C Gọi w  x  yi  x, y    Theo đề bài ta có: w  1  i 8 z  i  w  i  1  i 8 z  w  i  1  i 8  z  1  1  i 8      w  i 1 i 8  1 i 8     z  1   x  1   y  1     8  i  1  i 8   z  1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 43:  x  1 2  y 1 8  2 2 2  8  .2   x  1   y 1  8   36 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  1  i 8  z  i là một đường tròn có bán kính r  6. (THPT ISCHOOL NHA TRANG) Cho số phức z thỏa mãn z  1  2 ; w  1  3i  z  2 .   Số Phức Nâng Cao  12  2 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn, bán kính của đường tròn đó bằng A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn C Cách 1. Giả sử w  a  bi với a, b   .   Ta có a  bi  1  3i z  2  z     a 3 b  3 i Ta có z  1  2  2    a  3  b  3 1  3i   a 3 b  3 i a  2  bi  z 1  . 1  3i 1  3i 2   a  3 2   b 3 2  2 2 2  16 .  2 Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn  x  3   y  3  2  16 . Suy ra bán kính của đường tròn đó là 4 . Cách 2.     Ta có w  2  1  3i z  w  2  1  3i  1  3i  z  1 .       Suy ra w  3  3i  1  3i  z  1  w  3  3i  1  3i . z  1  w  3  3i  4 .   Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm I 3; 3 , bán kính R  4 . Câu 44: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho số phức z có z  2 . Biết tập hợp biểu diễn các số phức w  3  i   3  4i  z là một đường tròn, bán kính đường tròn đó bằng A. 5 2 . B. 5 5 . C. 10 . Lời giải D. 2 5 . Chọn C Gọi số phức w  x  yi  x, y    . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Ta có: w  3  i   3  4i  z  w  3  i   3  4i  z  w  3  i   3  4i  z  w  3  i  10  2  x  3   y 1 2 2 2  10   x  3   y  1  100 . Vậy tập hợp biểu diễn các số phức w là một đường tròn có bán kính bằng 10 . Câu 45: (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Xét các số phức z thỏa mãn z  i  1  4 , biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w   3  4i  z  5i là một đường tròn. Bán kính r của đường tròn đó là A. r  10 . B. r  18 . C. r  20 . D. r  25 . Lời giải Chọn C w  5i Ta có w   3  4i  z  5i  z  . 3  4i Do vậy z  i  1  4  z  i  1  4  z  i  1  4  w + 7  6i w  5i  i 1  4   4  w  7  6i  20 . 3  4i 3  4i Gọi M  x ; y  là điểm biểu diễn cho số phức w ta có: 2 2 x  yi  7  6i  20   x  7    y  6   20 2 . Vậy tập hợp điểm M là đường tròn bán kính r  20 . Câu 46: (Sở Hà Nam) Cho số phức z thỏa mãn  z  1  3i  z  1  3i  25 . Biết tập hợp các điểm biểu   diễn của số phức z là một đường tròn có tâm I  a; b  và bán kính c . Tổng a  b  c bằng A. 9. B. 3. C. 2. D. 7. Lời giải Chọn D Giả sử z  x  yi với x , y   .   Ta có  z  1  3i  z  1  3i  25   x  1   y  3 i   x  1   y  3 i   25 2 2   x  1   y  3   25 . Tập các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  1;3 , bán kính bằng 5 . Vậy a  b  c  1  3  5  7 . Câu 47: Trong mặt phẳng phức, cho số phức a bất kì, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho: z  a . z  a  aa. A. Đường tròn tâm A , bán kính R  AO B. Đường tròn tâm A , bán kính R  2 C. Một hyperbol vuông góc D. Đường thẳng x  1 Lời giải 2 Ta có: z  a . z  a  aa  z  a  a 2 1 Gọi A là điểm biểu diễn số phức a trong mặt phẳng phức.  2  2 Ta có: 1  MA  OA  AM 2  OA2  AM  AO Do đó, tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A , bán kính R  AO . Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 48: Số Phức Nâng Cao (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn phương trình z  2  3i  5 và z1  z2  6 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  z1  z2 là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. A. R  8 . B. R  4 . C. R  2 2 . Lời giải D. R  2 . Chọn A Giả sử A , B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Theo giả thiết ta có A , B thuộc đường tròn tâm I  2; 3 , bán kính r  5 và AB  6 . Gọi M là trung điểm của AB khi đó M cũng là điểm biểu diễn số phức u  z1  z2 w  . 2 2 Lại có 2  AB  IM 2  IA2  AM 2  r 2     16  IM  4 .  2  Vậy M thuộc đường tròn tâm I  2; 3 bán kính r ‘  4 . Suy ra các điểm biểu diễn số phức w  z1  z2  2u là một đường tròn bán kính R  2r   8 Câu 49: Cho các số phức z thỏa mãn z  4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w  (3  4i ) z  i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r  4. B. r  5. C. r  20. D. r  22. Lời giải a  (b  1)i  a  (b  1)i  (3  4i ) Gọi w  a  bi , ta có w  a  bi  (3  4i ) z  i  z   3  4i 9  16i 2 (3a  4b  4)2  (3b  4a  3)2 3a  4b  4 (3b  4a  3)  .i  z  25 25 25 2 2 Mà z = 4 nên  (3a  4b  4)  (3b  4a  3)  1002  a 2  b2  2b  399 Theo giả thiết, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w  (3  4i ) z  i là một đường tròn nên ta có a 2  b 2  2b  399  a 2  (b  1) 2  400  r  400  20 Chọn C z2 Câu 50: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Xét số phức z thỏa mãn là số thuần ảo. Biết z i rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là một đường tròn, tâm I của đường tròn có tọa độ là 1  3  1  A. I  1;  . B. I  1;   . C. I  2 ;1 . D. I  ;1 . 2  2  2  Lời giải Chọn B Đặt z  x  yi , với x , y  .  Ta có  z  2 x  yi  2  x  2   yi  x  2   yi  .  x   y  1 i     z  i x  yi  i x   y  1 i x 2  ( y  1) 2 x  x  2   y  y  1   x  2  y  1  xy  i x 2  ( y  1) 2  x2  y2  2x  y x  2y  2  2 i. 2 2 x  ( y  1) x  ( y  1)2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số phức Số Phức Nâng Cao z2 x2  y 2  2 x  y 0 là số thuần ảo  z i x 2  ( y  1)2 2 1 5   x  y  2 x  y  0   x  1   y    . 2 4  1  Vậy tâm I  1;   . 2  Câu 51: (THTT lần5) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 2  3  2 z  z và z  4  3i  3 ? 2 2 2 A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B Gọi z  x  yi  x, y    có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M  x; y  . Ta có: */ z 2  3  2 z  z  x 2  y 2  3  2 xyi  2 2 x  x 2 2 2  y 2  3   4 x 2 y 2  16 x 2   x 2  y 2   6  x 2  y 2   9  4 x 2  x  12  y 2  4  x2  y 2  3  2x   x  y  3  4 x   2  2  x  1 2  y 2  4  x  y  3  2 x 2 2 2 2 2 2 */ z  4  3i  3   x  4    y  3  9 .   x  12  y 2  4     x  4  2   y  3 2  9  Khi đó, từ giả thiết bài toán ta có:    x  1 2  y 2  4     x  4  2   y  3 2  9  Gọi  C1  là đường tròn tâm I1 1; 0  , bán kính R1  2 . 1  2  C2  là đường tròn tâm I 2  1; 0  , bán kính R2  2 .  C  là đường tròn tâm I  4; 3 , bán kính R  3 . Ta thấy: +) R1  R  I1I  3 2  R1  R nên  C1  và  C  cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Suy ra hệ (1) có hai nghiệm phân biệt. +) I 2 I  34  R2  R nên  C2  và  C  không cắt nhau. Do đó hệ (2) vô nghiệm. Kết luận: Có 2 số phức z thỏa mãn đề bài. Câu 52: (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Xét các số phức z thỏa mãn  z  2i  z  2 là số thuần   ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  1  i  z  2019  2019i là một đường tròn, bán kính đường tròn là A. 2 . B. 1 . C. 2019 2 . D. 4 . Lời giải Chọn A Gọi số phức z  a  bi ,  a, b    . Ta có:  z  2i  z  2  a   b  2  i   a  2   bi   a  a  2   b  b  2     a  2  b  2   ab i .   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 22 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  z  2i   z  2  Số Phức Nâng Cao 2 2 là số thuần ảo nên a  a  2   b  b  2   0   a  1   b  1  2 . Gọi số phức w  x  yi ,  x, y    . Ta có x  yi  1  i  z  2019  2019i  1  i   a  bi   2019  2019i  x y  x  a  b  2019  a  2  x  yi  a  b  2019   a  b  2019  i   .   y  a  b  2019 b  y  x  2.2019  2 2 2 2 2  x  y   y  x  2.2019   1    1  2 Khi đó  a  1   b  1  2   2  2    2 2  x  y  4038 x  4042 y  8160789  0 . Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có bán kính R  2019 2  20212  8160789  2 . Câu 53: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa: z1  z2  5 . Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: z  z1  2 z  z2 là đường tròn và có bán kính R . Tính giá trị của R . 5 A. R  . 3 B. R  7 . 3 C. R  10 . 3 D. R  14 3 Lời giải Trong mặt phẳng phức, gọi Z , Z1 , Z2 lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z , z1 , z2 . A là điểm thứ tư của hình bình hành OZ 2 AZ1 .     OZ1  OZ 2  OA .  z1  z2  OA  5   Ta có: z  z1  OZ  OZ1  ZZ1 và   z  z2  OZ  OZ 2  OP với P là điểm thứ tư của hình bình hành OZ 2 PZ . Gọi N là trung điểm OA  ON  2,5 và H là trung điểm cạnh OP  OP  2OH và H cũng là trung điểm cạnh ZZ2 . Ta có HN là đường trung bình của ZZ1Z 2  ZZ1  2HN . z  z1  2 z  z2  ZZ1  2OP  2 HN  4OH  HN  2 HO .  ON 2,5    IN  2 IO  OI  3 3 . Gọi I , J lần lượt là hai điểm thỏa:     JN  2 JO  OJ  ON  2,5  Ta chứng minh được HI , HJ lần lượt đường phân giác trong và phân giác ngoài tại đỉnh H 10 của HON  HI  HJ  H thuộc đường tròn đường kính IJ  . 3 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 5 . 3 Gọi O ‘ là là điểm sao cho O1 là trung điểm O ‘ Z2 . Gọi O1 là trung điểm IJ  O1 I  10 . 3 Với z1 , z2 không đổi thì A, Z1 , Z 2  N cố định  I , J cố định  O1 cố định  O ‘ cố định. 10 Vậy Z thuộc đường tròn tâm O ‘ , bán kính R  . 3 Câu 54: (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Gọi z1 , z 2 là hai trong các số phức z thỏa mãn z  3  5i  5 và Ta có: O1 H là đường trung bình của O ‘ ZZ 2  O ‘ Z  2O1 H  z1  z 2  6 . Tìm môđun của số phức   z1  z2  6  10i . A.   10 . B.   32 . C.   16 . D.   8 . Lời giải Chọn D Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  3  5i  5 là đường tròn  C  tâm I  3; 5  bán kính R  5 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z1 , z 2 suy ra M , N nằm trên đường tròn  C  . Gọi H là trung điểm của MN suy ra IH  MN Do z1  z2  6  MN  6  MH  NH  3  IH  IM 2  MH 2  4 .   z1  z2  6  10i  z1   3  5i   z2   3  5i        IM  IN  2 IH  2 IH  8. Câu 55: (Sở Thanh Hóa 2019) Gọi z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z  1  2i  5 và z1  z2  8 . Tìm mô đun của số phức w  z1  z2  2  4i . A. w  6 . B. w  10 . C. w  16 . D. w  13 . Lời giải Chọn A Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 , z2 . Gọi E là trung điểm của AB . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 24 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Do z  1  2i  5 nên A, B thuộc đường tròn tâm I 1; 2  , bán kính R  5 . Gọi C là điểm        biểu diễn số phức w ta có OC  OA  OB  2OI  2OE  2OI  2 IE . w  2 IE  2 IB 2  EB 2  2 25  16  6 . Câu 56: Cho số phức z thỏa mãn z  m 2  2m  5 với m là số thực. biết rằng tập hợp điểm của số phức w   3  4i  z  2i là đường tròn. Tính bán kính R nhỏ nhất của đường tròn đó. A. Rmin  5 B. Rmin  20 C. Rmin  4 D. Rmin  25 Lời giải 2 Ta có:  3  4i  z  5  m  2m  5   w  2i  5  m 2  2m  5  . Vậy R  5  m2  2m  5  20 . Câu 57: Cho số phức z thỏa mãn z  m 2  2m  5 với m là số thực. Biết rằng tập hợp điểm của số phức w   3  4i  z  2i là đường tròn. Tìm bán kính R nhỏ nhất của đường tròn đó. A. R  5 . C. R  15 . D. R  20 Lời giải 2 w  2i   3  4i  z  w  2i   3  4i  z   3  4i  z  5  m  1  4   20 .    w  2i  20 . Vậy đường tròn có bán kính Rmin  20 với tâm I  0; 2  Câu 58: B. R  10 . Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi m  1 . (Chuyên Vinh Lần 2) Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m sao cho tồn tại 2 số phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn đồng thời các phương trình  3  4i  z  25  20 và z  m  2i  5 . Số các phần tử của S là A. 8 . B. 7 . C. 6 . Lời giải D. 5 . Chọn D Ta có  3  4i  z  25  10  z  3  4i  2 (1)  tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đường tròn tâm I  3; 4  , bán kính R  2. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  m  2i  5 (2) là đường tròn tâm J   m; 2  , bán kính R  5 . Yêu cầu bài toán xảy ra khi hai đường tròn  I ; 2  ,  J ;5  cắt nhau tại hai điểm phân biệt 2 2  3  IJ  7  9   m  3  36  49   m  3  13   13  m  3  13  3  13  m  3  13 mà m    m  S  0;1; 2;3; 4;5; 6 Câu 59: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  6 và   60 . z  2 . Gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z và iz . Biết MON 1 2 2 1 2 2 2 Tính T  z  9 z . A. T  36 2 . B. T  36 3 . C. 24 3 . Lời giải D. 18. Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 25 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 và iz2 , gọi E, F lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức 3iz 2 và 3iz2 . Theo bài ra ta có: z1  6 nên tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính R  6 , gọi là đường tròn  C1  ; z2  2  iz 2  i . z2  2 do đó tập hợp các điểm N biểu diễn số phức iz2 thuộc đường tròn tâm O , bán kính r  2 , gọi là đường tròn  C2  . Lại thấy : 3iz 2  6 và 3iz 2  6 suy ra các điểm E , F thuộc đường tròn  C1  . Hơn nữa: 3iz 2 và 3iz2 là các số phức đối nên EF là một đường kính của  C1  .     60 , suy ra tam giác MOE là tam Mặt khác : OE  3ON nên N nằm giữa O và E  MOE giác đều cạnh bằng 6 và tam giác MEF vuông tại M . 2 – Khi đó : T  z12  9 z22  z12   3iz2   z1  3iz2 . z1  3iz2  ME.MF . 62. 3  36 3 . Vậy T  36 3 . 4 Câu 60: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z  2i  3 là đường tròn tâm I . Tất cả giá trị m thỏa mãn 1 khoảng cách từ I đến  : 3x  4 y  m  0 bằng là: 5 A. m  7; m  9 B. m  8; m  8 C. m  7; m  9 D. m  8; m  9 Lời giải – Nhận thấy: ME.MF  2.S MEF  4.SMOE  4. 2 2 z  2i  3  x   y  2  i  3  x 2   y  2   3  x 2   y  2   9  I  0; 2  d  I ,   d  I ,   Câu 61: 3.0  4.2  m 2 3 4 2  1 8m 5 8  m  1 m  7 1 1 1  8m     5 5 5  8  m  1  m  9 Chọn C (Chuyên Vinh Lần 2) Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m sao cho tồn tại 2 số phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn đồng thời các phương trình z  1  z  i và z  2 m  m  1 . Tổng tất cả các phần tử của S là A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3 . Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 26 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Chọn D Ta có z  2 m  m  1  0 Trường hợp 1: m  1  0  z  2 m  0  z  2 m  2 (có một giá trị nên không thỏa mãn). Trường hợp 2: m  1  0 Đặt z  x  yi 1  z  1  z  i  x  y  0  Ta có  2 2 2  z  2m  m  1  x  2m   y   m  1  2  Xét trong hệ tọa độ Oxy , (1) là phương trình đường thẳng d : x  y  0 , (2) là phương trình đường tròn  C  tâm I  2m; 0  , bán kính R  m  1 Yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi hệ phương trình (1), (2) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng d cắt đường tròn  C  tại hai điểm phân biệt  d I,d   2m  m  1  2m 2  m 2  2m  1  m 2  2m  1  0  1  2  m  1  2 2 Kết hợp với m  1  0 và m    m  S  0;1; 2 Câu 62: Vậy tổng các phần tử của tập S bằng 3. (Chuyên Vinh Lần 2) Gọi S là tập hợp tất cả các số m sao cho tồn tại đúng một số phức z thỏa mãn đồng thời các phương trình z  2  i  z  1 và 2 z  3  2i  m2  5m  9 . Tích tất cả các phần tử của S là A. 6 . B. 5 . C. 2 . Lời giải D. 3 . Chọn A Ta có m 2  5m  9  0 luôn đúng với mọi m . Đặt z  x  yi x  y  2  0 1  z  2  i  z  1  Ta có   2 1 2 2 2 2 2 z  3  2 i  m  5 m  9  x  3   y  2    m  5m  9   2    2 Xét trong hệ tọa độ Oxy , (1) là phương trình đường thẳng d : x  y  2  0 , (2) là phương trình 1 đường tròn  C  tâm I  3; 2  , bán kính R  m 2  5m  9   2 Yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi hệ phương trình (1), (2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn  C   d I,d   3 2  m  2 1 m 2  5m  9   m2  5m  6  0    2 m  3  S  2; 3 Vậy tích các phần tử của tập S bằng 6. Câu 63: (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng 4 số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z  z  z  z  z 2 và z  m .   A. 2; 2 2 . B.  2;2 2  . C. 2 .   D. 2; 2 2 . Lời giải. Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 27 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Giả sử z  x  yi  x , y    . Khi đó 2 2 z  z  z  z  z 2  2 x  2 y  x 2  y 2   x  1   y  1  2  x  12   y  12  2 khi x  0, y  0   x  1 2   y  12  2 khi x  0, y  0  . (1) 2 2  x  1   y  1  2 khi x  0, y  0  2 2  x  1   y  1  2 khi x  0, y  0 z  m  x 2  y 2  m 2 ,  m  0  . (2) Điều kiện cần và đủ để có đúng 4 số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z  z  z  z  z 2 và z  m là đường tròn C  : x 2  y 2  m 2 có đúng 4 điểm chung với cả 4 phần đường tròn trên. Dựa vào đồ thị ta thấy có hai trường hợp thỏa mãn đó là m  2 hoặc m  2 2 . TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ HÌNH TRÒN Câu 64: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho số phức 2 3 z  i  z.z  9 . Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức  thỏa mãn   z  1  i 2 z thỏa mãn 2 5  73  A. Hình tròn  x  1   y    . 8  64  2 2 Đường tròn  x  1   y  3   9 . 5  73  B. Đường tròn  x  1   y    . C. 8  64  2 2 D. Hình tròn  x  1   y  3   9 . 2 2 Lời giải Chọn A Gọi   x  yi,  x, y    . Theo đề bài ta có   z  1  i  z   x  1   y  1 i  z   x  1   y  1 i 2 Từ đó ta có: 3 z  i  z.z  9 2 2  3  x  1   y  1 i   i   x  1   y  1  9 2 2 5  73 2 2 2   3  x  1   3 y  2  i   x  1   y  1  9   x  1   y    8  64  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 28 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2 5  73 2  Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức  là hình tròn  x  1   y    . 8  64  Câu 65: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần. Ký hiệu  a; b  là kết quả sẽ xảy ra sau khi gieo, trong đó a, b lần lượt là số chấm xuất hiện lần thứ nhất, thứ hai. Gọi A là biến cố số chấm xuất hiện trên hai lần gieo như nhau. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là tập hợp con của tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện nào sau đây? A. z  2  3i  12 B. z  2  3i  10 C. z  2  3i  13 D. z  2  3i  11 Lời giải Ta có A  1;1 ,  2; 2  ,  3;3 ,  4; 4  ,  5;5  ,  6; 6  2  x  2    y  3 Gọi z  x  yi; x, y  R khi đó z  2  3i  Giả sử z  2  3i  R  2 2  x  2    y  3 2 2 R 2   x  2    y  3  R 2 . Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là những điểm thuộc miền trong và trên đường tròn tâm I  2; 3  và bán kính R. Để tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là tập hợp con của tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thì IM  R, M  R. Khi đó ta được R  13 Chọn C Câu 66: Tìm quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức w  1  i 3 z  2 biết số phức z thỏa mãn:   z  1  2 1 . 2 C. Hình tròn  x  3 2 2     y  3 A. Hình tròn  x  3  y  3 2 B. Hình tròn  x  3  y  3  25 D. Hình tròn  x  3 2 2 2     y  3  16 9 2  36 Lời giải Giả sử w  a  bi   Ta có: a  bi  1  i 3 z  2  z  1   a  3  b  3i 1 i 3  2  a  3  b  3i a  2  bi  z 1  1 i 3 1 i 3  a  3 2   b  3i 2   2 2   2   a  3  b  3 2  Vậy quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức là hình tròn  x  3  y  3  2  2  16  16 (kể cả những điểm nằm trên biên) Chọn A Câu 67: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  3  4i  2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w  2 z  1  i là hình tròn có diện tích A. S  9 . B. S  12 . C. S  16 . Lời giải Chọn C w 1  i w  2z 1  i  z  2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. S  25 . Trang 29 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A z  3  4i  2  Số Phức Nâng Cao w 1 i  3  4i  2  w  1  i  6  8i  4  w  7  9i  4 1 2 2 2  x, y    , khi đó 1   x  7    y  9   16 Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I  7;  9  , bán kính r  4. Giả sử w  x  yi Vậy diện tích cần tìm là S   .42  16 . Câu 68: (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  3i  3 . Trong mặt phẳng Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức w  2 z  1  i là hình tròn có diện tích A. S  25 . B. S  16 . C. S  9 . D. S  36 . Lờigiải Chọn D Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn cho số phức w . Ta có w  2  z  2  3i   4  6i  1  i  w  5  7i  2  z  2  3i  . 2 2 Khi đó w  5  7i  2 z  2  3i  6   x  5    y  7   36 .  tập hợp các điểm M trên mặt phẳng Oxy là hình tròn tâm I  5; 7  bán kính R  6 . Vậy diện tích hình tròn là S   R 2  36 . Câu 69: (Ngô Quyền Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  3  4i  2 . Trong mặt phẳng Oxy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  2 z 1  i là hình tròn có diện tích là A. S  25 . B. S  9 . C. S  12 . D. S  16 . Lời giải Chọn D w  1  i  w  1  i  w  7  9i z   3  4i  z  3  4i   z  3  4i w  2 z 1  i  2 2 2 w  7  9i   z  3  4i 2 w   7  9i  Ta được  z  3  4i  2  w   7  9i   4 . 2 Do đó tập hợp điểm biểu diễn biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I  7; 9  , bán kính bằng 4 . Vậy diện tích hình tròn là S  16 . Câu 70: (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho số phức z thoả mãn z  1  1 và z  z có phần ảo không âm. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một miền phẳng. Tính diện tích S của miền phẳng này A. S   . B. S  2 . C. S  1 . 2 D. S  1 . Lời giải Chọn C Đặt z  x  yi ( x , y   ) theo giả thiết ta có z  z  ( x  yi)  ( x  yi)  2 yi và  x  yi  1  1  x  1 2  y 2  1  .  2 y  0 y  0    File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 30 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là nửa hình tròn tâm I (1;0) , R  1 .  R2   . 2 2 Câu 71: Biết số phức z thỏa điều kiện 3  z  3i  1  5 . Tập hợp các điểm biểu diễn của z tạo thành một hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó bằng A. 16 B. 4 C. 9 D. 25 Lời giải Đặt z  x  yi Vì vậy S  8 z  3i  1  x  1  ( y  3)i  ( x  1) 2  ( y  3) 2 6 Do đó 3  z  3i  1  5  9  ( x  1) 2  ( y  3) 2  25 Tập hợp các điểm biểu diễn của Z là hình phẳng nằm trong đường tròn Tâm I 1 ;3 với bán kính bằng R  5 đồng thời nằm 4 2 O ngoài đường tròn tâm I 1 ;3 với bán kính r  3 Diện tích của hình phẳng đó là S   .52   .32  16 Câu 72: Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa 1  z  1  i  2 là hình vành khăn. Chu vi P của hình vành khăn là bao nhiêu? A. P  4 . B. P   . C. P  2 . D. P  3 Lời giải Đặt z  x  yi  x, y    , khi đó ta có 5 2 z  1  i  x  1   y  1 i  2  x  1   y  1 2 2 2  1   x  1   y  1  1  Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm bên ngoài hình tròn có tâm I1   1;1 , bán kính R1  1. z  1  i  x  1   y  1 i  2  x  1   y  1 2 2 2  2   x  1   y  1  4  Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm bên trong hình tròn có tâm I 2   1;1 , bán kính R2  2. Vì hai đường tròn đồng tâm nên chu vi P hình vành khăn là P  C2  C2  2  R2  R1   2 . Chọn C Câu 73: (TTHT Lần 4) Phần gạch trong hình vẽ dưới là hình biểu diễn của tập các số phức thỏa mãn điều kiện nào sau đây? File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 31 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 6  z  8 . Số Phức Nâng Cao B. 2  z  4  4i  4 . C. 2  z  4  4i  4 . D. 4  z  4  4i  16 . Lời giải Chọn C Dễ thấy điểm I  4; 4  là tâm của hai đường tròn. 2 2 Đường tròn nhỏ có phương trình là:  x  4    y  4   4 . 2 2 Đường tròn to có phương trình là:  x  4    y  4   16 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn đề bài là 2  z  4  4i  4 . Câu 74: (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN 2 NĂM 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi hình ( H ) là tập hợp các điểm biểu diễn số phức | z  2  i | 2 z thỏa mãn điều kiện  . Tính diện tích (S ) của hình phẳng ( H ) x  y 1  0 1 1 A. S  4 . B. S   . C. S   . D. S  2 . 4 2 Lời giải Chọn D Gọi z  x  yi ( x, y  ; i 2  1) . Theo đề bài, ta có: | z  2  i | 2 | x  yi  2  i | 2 |  x  2    y  1 i | 2  2 2  x  2    y  1 2 2 2   x  2    y  1  4 . Đây là hình tròn tâm I  2;1 , bán kính R  2 . Ta lại có, x  y  1  0  y   x  1 . Đây là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng y   x  1 và chứa gốc tọa độ O  0;0  . Vì đường thẳng y   x  1 đi qua tâm I  2;1 của hình tròn nên phần diện tích cần tính bằng một nửa diện tích của hình tròn. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 32 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Diện tích của hình tròn là: S   .R 2   .22  4 . 1 1 Diện tích cần tính là: S1  .S  .4  2 . 2 2 Câu 75: (CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI LẦN 4 NĂM 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi  H   z  z  12  là tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức z thỏa mãn  . Diện tích  z  4  3i  2 2 của hình phẳng  H  là A. 4  4 . B. 8  8 . C. 2  4 . D. 8  4 . Lời giải Chọn C y A 3 I M D B O 4 6 x Cách 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức z  x  yi là điểm M  x; y  .  x  6  z  z  12  2 x  12   Ta có   .   x  6 2 2 x  4  y  3  8     2 2   z  4  3i  2 2   x  4    y  3  8 Hình phẳng  H  là hình tô đậm trên hình vẽ. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 33 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  AIB  . Ta có IA  IB  2 2 , ID  2 và AB  2 AD  2 IA2  ID 2  4 , suy ra  2 1 Gọi S1 là diện tích hình quạt AIB . Ta có S1   R 2  2 . 4 1 Diện tích tam giác AIB là S 2  IA.IB  4 . 2 Vậy diện tích hình phẳng  H  là S H   S1  S 2  2  4 . Cách 2: Hình phẳng  H  được biểu thị là phần tô màu trên hình vẽ (kể cả bờ), là hình giới hạn bởi đường tròn  C  có tâm I  4; 3  , bán kính R  2 2 và đường thẳng x  6 . 2 2 2 2 2 Ta có  x  4    y  3   8   y  3   8   x  4   y  3  8   x  4  .  C  cắt đường thẳng y  3 tại 2 điểm có tọa độ  4  2 2;3  2 Gọi S0 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  3  8   x  4  , y  3 , x  6 , x  42 2 . 4 2 2 Ta có S H   2.S0  2.  6  8   x  4  dx  2, 2831. Vậy ta chọn C . 2 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG CÔNIC Câu 76: Trong mặt phẳng phức Oxy, giả sử M là điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn z  2  z  2  8 . Tập hợp những điểm M là? x2 y2 x2 y2 A.  E  :  B.  E  :  1. 1. 16 12 12 16 2 2 2 2 C.  T  :  x  2    y  2   64 . D. T  :  x  2    y  2   8 Lời giải Xét điểm F1  2; 0  và F2  2; 0  , ta có MF1  MF2  8  2a  a  4 F1F2  4  2c  c  2  b2  a 2  c 2  12  Tập hợp điểm là Elip  E  : Câu 77: x2 y2  1. 16 12 Chọn A (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Hình phẳng giới hạn bởi tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  3  z  3  10 có diện tích bằng A. 12 . B. 20 . C. 15 . Lời giải D. 25 . Chọn B Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi ,  x, y    . Gọi A  3;0  , B  3; 0  lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1  3 và z2  3 . Khi đó AB  6 . z  3  z  3  10  MA  MB  10  AB . Do đó quỹ tích của điểm M là đường Elip có bán trục lớn a  5 , nửa tiêu cự c  3 và bán trục nhỏ là b  4 . Vậy diện tích hình Elip là S   ab  20 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 34 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 78: Số Phức Nâng Cao (Chuyên KHTN) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn z  2  i  z  4  i  10 . A. 15 . B. 12 . C. 20 . Lời giải D. Đáp án khác. Chọn C Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi  x , y    . Ta có: z  2  i  z  4  i  10  x  2   y  1 i  x  4   y  1 i  10.  2  x  2   y 1 2  2  x  4   y  1 Đặt A  2;1 , B  4;1  AB   4  2 2 2  10 (*)  02  6. Khi đó phương trình (*) trở thành: MA  MB  10. Khi đó tập hợp những điểm M thỏa mãn phương trình (*) là một elip với . 10 + Độ dài trục lớn 2a  10  a   5. 2 6 + Tiêu cự 2c  AB  6  c   3. 2 2 2 2 2 2 + Độ dài trục bé 2b với b  a  c  5  3  16  b  4. Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn z  2  i  z  4  i  10 là diện tích Elip trên: S   ab   4.5  20 . Câu 79: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện z  1  z  1  4 là: 2 A. x2  y 2  4 C. 2 B.  x  1   y  1  4 x2 y 2  1 4 3 D. 3x 2  4 y 2  36  0 Lời giải Xét hai điểm: F1  1;0  , F2 1; 0  , theo giả thiết ta có: z  1  z  1  4  MF1  MF2  4, M  z  . Vậy tập hợp điểm cần tìm là elip có các tiêu điểm F1  1;0  , F2 1; 0  , nửa trục lớn a  2, nửa trục nhỏ b  3 . Phương trình elip x2 y 2   1. 4 3 Chọn C Câu 80: (Lương Thế Vinh Đồng Nai) Cho số phức z thỏa mãn z  2  z  2  4 . Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ là A. Một đường elip. B. Một đường parabol. C. Một đoạn thẳng. D. Một đường tròn. Lời giải Chọn C Gọi M  x ; y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi . Xét hai điểm F1  2; 0  , F2  2; 0  , khi đó theo giả thiết: z2  z2  4  x  2 2  y2   x  2 2  y 2  4  MF1  MF2  4 . Mà F1 F2  4 , nên MF1  MF2  F1F2 . Do đó tập hợp các điểm biểu diễn của z chính là đoạn thẳng F1F2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 35 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 81: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  z  2  10 . 2 2 2 2 A. Đường tròn  x  2    y  2   100 . C. Đường tròn  x  2    y  2   10 . x2 y 2 B. Elip  1. 25 4 x2 y 2 D. Elip  1. 25 21 Lời giải Chọn D Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi , x, y   . Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2 Gọi B là điểm biểu diễn số phức 2 Ta có: z  2  z  2  10  MB  MA  10 . Ta có AB  4 . Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip với 2 tiêu điểm là A  2; 0  , B  2; 0  , tiêu cự AB  4  2c , độ dài trục lớn là 10  2a , độ dài trục bé là 2b  2 a 2  c 2  2 25  4  2 21 . Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  z  2  10 là Elip x2 y 2   1. 25 21 Câu 82: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện: z  4  z  4  10. có phương trình A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm O  0; 0  và có bán kính R  4. . x2 y 2   1. 9 25 C. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm M  x; y  trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn phương B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình trình  x  4 2  y2   x  4 2  y 2  12. x2 y 2 D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình   1. 25 9 Lời giải Chọn D Ta có: Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi. Gọi A  4; 0  là điểm biểu diễn của số phức z  4. Gọi B  4; 0  là điểm biểu diễn của số phức z  4. Khi đó: z  4  z  4  10  MA  MB  10. (*) Hệ thức trên chứng tỏ tập hợp các điểm M là elip nhận A, B là các tiêu điểm. Gọi phương trình của elip là x2 y 2   1,  a  b  0, a 2  b 2  c 2  a2 b2 Từ (*) ta có: 2a  10  a  5. AB  2c  8  2c  c  4  b 2  a 2  c 2  9 x2 y2 Vậy quỹ tích các điểm M là elip:  E  :   1. 25 9 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 36 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 83: Số Phức Nâng Cao (THTT lần5) Trong mặt phẳng Oxy , gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z thỏa mãn 7 z  z  10 . Diện tích của hình (H) bằng A. 5 . 2 B. 25 . 12 C. 7 . 2 D. 5 . Lời giải Chọn B Cách 1: Đặt z  x  yi  x , y    z  x  yi . Từ: 7 z  z  10 x2 y2  36 x  64 y  100   1. 100 100 36 64 2 10 5 x y2 Do đó: (H) là hình Elip:   1 có trục lớn và trục bé lần lượt 2a  ; 2b  . 2 2 3 2 5 5     3  4 5 5 25  Theo công thức tính diện tích Elip ta có: S   ab   . (đvdt). 3 4 12 Câu 84: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện z  2  z  2  3 là: 2 2 2 A. x2  y 2  1 C. 2 B.  x  2    y  2   9 x2 y 2  1 3 2 D. x2 3   2 2  y2  7    2  2 1 Lời giải Xét hai điểm F1  2;0  , F2  2; 0  , theo giả thiết ta có: z  2  z  2  3  MF1  MF2  3, M  z  . Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hyperbol có các tiêu điểm F1  2;0  , F2  2; 0  , nửa trục lớn 3 3 a  , nửa trục nhỏ b  . 2 2 Phương trình của hyperbol x2 3 2   2  y2  7    2  2  1. Chọn D Câu 85: Gọi M và A là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z  x  yi; a  10  6i. Tìm tập hợp E2 các điểm M sao cho tích z  z  a  là một số thuần ảo.   A. Đường tròn tâm I 2  2; 0 , bán kính R  5  4 2 B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 C. Là một hyperbol vuông góc có tâm đối xứng I  5; 3 , có trục thực nằm trên trục Ox, độ dài các trục đều bằng 8. D. Là một hyperbol có tâm đối xứng I  5;3 , có trục thực nằm trên trục Ox, độ dài các trục đều bằng 8. Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 37 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Tích z  z  a  là một số thuần ảo  Phần thực bằng 0.  x  x  10   y  y  6   0   x 2  10 x    y 2  6 y   0 2   x  5    y  3 2  x  5  16  2  y  3  2 1 16 Trong mặt phẳng phức, tập hợp E2 là một hyperbol có tâm đối xứng I  5;3 , có trục thực nằm 16 trên trục Ox, độ dài các trục đều bằng 8. Chọn C TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG CONG Câu 86: Trong mặt phẳng phức, cho số phức a bất kì, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z 2 2 sao cho: z 2  a 2  z  a . A. Đường tròn tâm A , bán kính R  AO B. Đường tròn tâm A , bán kính R  2 C. Một hyperbol vuông góc D. Đường thẳng x  1 Lời giải 2 2 2 2 2 2 2 2      Ta có: z  a  z  a  z  z  a  a  z  z z  z  a  a a  a   2  z  x  yi Đặt:  a     i Ta có:  2   2 x  2 yi   2  2  i   xy   Do đó, tập hợp các điểm M là một hyperbol vuông góc. Chọn C Câu 87: Gọi M và A là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z  x  yi; a  10  6i. Tìm tập hợp E1 các điểm M sao cho tích z  z  a  là một số thực.   A. Đường tròn tâm I 2  2; 0 , bán kính R  5  4 2 B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 3x C. Là một hyperbol vuông góc y  ,x 5 x5 3x D. Là một hyperbol y  ,x 5 x5 Lời giải Ta có: z  z  a    x  yi  x  yi  10  6i    x  yi   x  10    y  6  i   x  x  10   y  y  6    2 xy  10 y  6 x  i Tích z  z  a  là một số thực. 3 ,x 5 x 5 Trong mặt phẳng phức, tập hợp E1 là một hyperbol vuông góc có phương trình: 3x y , x  5. x 5 Chọn C Câu 88: Cho hai số phức: p  a  bi; q  c  di  2 xy  10 y  6 x  0  y  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 38 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho số  z  p  z  q  là số thực. A. Đường tròn tâm O  0; 0  , bán kính R  1 B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 ac bd ;y 2 2 D. Các đường thẳng y  2 x, trừ gốc tọa độ O  0; 0  C. Một hyperbol vuông góc có tiệm cận là x  Lời giải Đặt z  x  yi; x, y  R Ta có: z  p  x  a   y  b  i ; z  q  x  c   y  d i   z  p  z  q    x  a   y  b  i   x  c   y  d  i    x  a  x  c    y  b  y  d    x  a  y  d    x  c  y  b   i  z  p  z  q  là một số thực.   x  a  x  c    y  b  y  d   0   x  a    x  c   y   x  a  d   x  c  b  b  d  x   ad  bc  với x  a  c  y 2x   a  c  2 Do đó ta có tập hợp các điểm M là một hyperbol vuông góc có tiệm cận là ac bd x ;y 2 2 Chọn C z 1 i Câu 89: (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Xét các số phức z thỏa mãn là số thực. Tập hợp z  z i 1   z là parabol có đỉnh 2  1 1 1 3 B. I   ;  . C. I  ;   .  2 2 2 2 Lời giải các điểm biểu diễn của số phức w  1 3 A. I  ;   . 4 4  1 1 D. I   ;  .  4 4 Chọn A Gọi w  x  yi ,  x , y     z  2w  2 x  2 yi  z 1  i  z  z  i 1   2 x  1   2 y  1 i 1  4 xi là số thực   2 x  1   2 y  1 i  1  4 xi  là số thực   8 x 2  4 x  2 y  1  0  y  4 x 2  2 x  1 2 1 3 Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w là parabol có đỉnh I  ;   . 4 4 Câu 90: Cho số phức z  m  2   m 2  1 i với m . Gọi  C  là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  và Ox . A. 1. B. 4 . 3 C. 32 . 3 D. 8 . 3 Lời giải Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 39 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao m  x  2 x  m  2 m  x  2 Vì z  m  2   m 2  1 i       2 2 2  y  m  1  y  m  1  y   x  2   1 2 Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường cong  C  với y   x  2   1 Xét phương trình hoành độ giao điểm của  C  và Ox ta có :  x  2 2  x  3  1  0  x2  4 x  3  0    x  1 1 Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  và Ox là S   ( x  2) 3 2 4  1 dx  . 3 Chọn B. Câu 91: (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Cho số phức z  m  3   m 2  1 i ,với m là tham số thực thay đổi. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thuộc đường cong  C  . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  và trục hoành. 2 8 A. . B. . 3 3 C. 1 . 3 D. 4 . 3 Lời giải Chọn D Xét z  x  yi với x, y   .  x  3  m x  m  3 Mà z  m  3   m 2  1 i     2 2 2  y   x  3  1  x  6 x  8  y  m 1 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thuộc đường cong  C  : y  x 2  6 x  8 x  2 Xét phương trình hoành độ giao điểm của  C  và trục Ox . x 2  6 x  8  0   x  4 Diện tích giới hạn bởi  C  và trục hoành là: 4 4 4  x3  4 S   x  6 x  8 dx   x  6 x  8 dx     3x 2  8 x    3 2 3 2 2 Câu 92: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho số phức z  m  3   m 2  m  6  i với 2  2  m . Gọi  P  là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  và trục hoành bằng 125 17 A. . B. . C. 1. 6 6 Lời giải Chọn A Gọi M  x; y   x; y    là điểm biểu diễn số phức z . Từ bài ra ta có: D. 55 . 6 m  x  3 m  x  3 x  m  3      2 2 2  y  x  7x  6 y  m  m  6  y   x  3   x  3  6 Vậy  P  là một Parabol có phương trình: y  x 2  7 x  6 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 40 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Hoành độ giao điểm của  P  và trục hoành là nghiệm của phương trình: x 1 x2  7x  6  0   x  6 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  và trục hoành bằng: 6 S   x2  7 x  6 dx  1 Câu 93: 125 (đvdt). 6 (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho số phức z  m  (m3  m)i, với m là tham số thực thay đổi. Tập hơp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là đường cong (C ) .Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) và trục hoành. 1 1 3 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 2 Lời giải Chọn A Đặt z  x  yi ( x, y  ) . x  m Ta có: z  m  ( m3  m)i  x  yi  m  (m3  m)i    y  x3  x . 3 y  m  m Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là đường cong (C ) có dạng: y  x 3  x . x  0 Phương trình hoành độ giao điểm: x3  x  0   x  1 .  x  1 Diện tích phẳng giới hạn bởi đường cong (C ) và trục hoành: 0 1 3 S   (x  x)dx   (x 3  x)  1 0 1 1 1   4 4 2 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LIÊN QUAN ĐA GIÁC Câu 94: Cho z1  1  i; z2  1  i. Tìm z3  sao cho các điểm biểu diễn z1 , z2 , z3 tạo thành tam giác đều. A. z3   2 1  i  và z3  2 1  i  B. z3   3 1  i  và z3  3 1  i  C. z3  2 1  i  và z3   2 1  i  D. z3  3 1  i  và z3   3 1  i  Lời giải Để giải bài toán này ta cần chú ý đến kiến thức sau: Giả sử M 1  x1 ; y1  biểu diễn số phức z1  x1  y1i Giả sử M 2  x2 ; y2  biểu diễn số phức z2  x2  y2i Khi đó khoảng cách giữa 2 điểm M1M 2 bằng mô đun của số phức z1  z2 . Vậy M 1M 2  z1  z2  2  x1  x2    y1  y2  2 Áp dụng vào bài toán: Giả sử z3  x  yi Để các điểm biểu diễn của z1 , z2 , z3 tạo thành một tam giác đều thì   z1  z 2  z1  z3  44     44   z1  z 2  z 2  z3  2 2 2 2  x  1   y  1  x  1   y  1 2 2  x  1   y  1  8   x  y  0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 41 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  2 y2  6  y   3  x   3 Vậy có hai số phức thỏa mãn là: z3  3 1  i  và z3   3 1  i  Chọn D Câu 95: Gọi điểm A, B lần lượt biểu diễn các số phức z1 ; z2 ;  z1. z2  0  trên mặt phẳng tọa độ ( A, B, C và A, B, C  đều không thẳng hàng) và z12  z22  z1.z2 . Với O là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng? A. Tam giác OAB đều. B. Tam giác OAB vuông cân tại O. C. Tam giác OAB vuông cân tại B. D. Diện tích tam giác OAB không đổi. Lời giải 2 2 1 2 2 2 1 Ta có: z  z  z1.z2  z  z1  z2  z1  ; z1 2 z  z1 . z2  z1 . Do z1  0  z2  z1  2 ; (1) z1 2 Mặt khác: z  z2  z1  z2   z1 2 1 2 2 z  z2 . z1  z2  z1  z2  1 (do z2  0 ) (2) z2 2 z z Từ (1) và (2) suy ra: 2  1  z1  z2 . Vậy ta có: z1  z2  z2  z1  OA  OB  AB . z1 z2 Chọn A 1 i Câu 96: Gọi điểm A, B lần lượt biểu diễn các số phức z và z   z ;  z  0  trên mặt phẳng tọa độ ( 2 A, B, C và A, B, C  đều không thẳng hàng). Với O là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng? A. Tam giác OAB đều. B. Tam giác OAB vuông cân tại O. C. Tam giác OAB vuông cân tại B. D. Tam giác OAB vuông cân tại A. Lời giải 1 i 1 i 2 .z  .z  z. Ta có: OA  z ; OB  z  2 2 2    1 i 1 i 2 z  .z  z. Ta có: BA  OA  OB  BA  z  z  z  2 2 2 Suy ra: OA2  OB 2  AB 2 và AB  OB  OAB là tam giác vuông cân tại B. Chọn C Câu 97: (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho hai số phức z1 , z2 khác 0 , thỏa mãn z12  z22  z1 z2 . M , N lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z1 , z2 trên mặt phẳng Oxy . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Tam giác OMN nhọn và không đều. B. Tam giác OMN đều. C. Tam giác OMN tù. D. Tam giác OMN vuông. Lời giải Chọn B Cách 1 2 z12  z22  z1 z2   z1  z2    z1 z2 2 2  z1  z2  z1 . z2  MN  OM .ON 1 Lại có: z12  z22  z1 z2  z12  z2  z1  z2  2 2  z1  z2 . z1  z2  OM  ON.MN 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 42 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Tương tự ta có: ON 2  OM .MN  3  OM 2 ON   OM  ON .  4  ON 2 OM Từ 1 và  4  ta có: MN 2  OM 2  MN  OM . Từ  2  và  3  ta có: Từ đó suy ra: OM  ON  MN . Vậy OMN đều. Cách 2 2 1  3  Ta có z  z  z1 z 2  z  z1 z2  z  0   z1  z 2   z22  0 . 2  4   1 3  1 3    z1  z2  iz 2   z1  z2  iz 2   0 2 2 2 2     1 3  i  z2  z1    2 2     1 z   1  3 i  z  1  2 2  2    2 1 2 2 2 1 2 2   1 3  i  z2  z1  z2     2 2     z  z    1  3 i  z  1 2  2 2  2     z1  z2  z2  MN  ON .  2  Cũng từ 1 ta suy ra z1  z2  OM  ON .  3 Từ  2  và  3  suy ra OMN đều. Cách 3 (Trắc nghiệm) Chọn z1  1  3i và z2  1  3i . 2    Ta có z12  z22  1  3i  1  3i  2     4 và z1 z 2  1  3i 1  3i  4 Suy ra z12  z22  z1 z2 nên hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn yêu cầu đề bài.     Khi đó M 1; 3 và N 1; 3 , ta có OM  ON  MN  2 . Vậy OMN đều. Câu 98: Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3 . Nhận định nào sau đây đúng: A. Tam giác ABC đều B. O là tâm của tam giác ABC C. O là trọng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D. Trọng tâm của ABC là điểm biểu diễn của số phức z1  z2  z3 Lời giải Từ điều kiện z1  z 2  z3 chứng tỏ A, B, C nằm trên một đường tròn tâm O bán kính R  z1 . Nếu ABC là tam giác đều thì tâm O là trọng tâm của tam giác ABC. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 43 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao     Theo tính chất trọng tâm ta có: OA  OB  OC  0 hay z1  z2  z3  0 Đảo lại, nếu z1  z2  z3  0 , ta có:         OA  OB  OC  0  OC   OA  OB  OD     Điểm D cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC ( vì OC   OD , OADB là hình bình hành có OA  OB  BD  DA ). Các tam giác OAD và OBD là các tam giác đều. Suy ra sd  AB  1200. Làm tương tự ta chứng minh được sd  AC  1200. Suy ra ABC đều. Chọn A Câu 99: Trong mặt phẳng phức cho các điểm O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A ‘ biểu diễn số phức z ‘  0 và B ‘ biểu diễn số phức zz ‘. Nhận định nào sau đây đúng? A. Tam giác OAB đều B. Hai tam giác OAB, OA ‘ B ‘ là hai tam giác đồng dạng C. O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AA ‘ B ‘ D. Trọng tâm của OAB là điểm biểu diễn của số phức z1  z2  z3 Lời giải     Ta có z  OB ,1  OA , z ‘  OA ‘ , zz ‘  z . z ‘  OB ‘ y    Ta có: AB  OB  OA  z  1 B    A ‘ B ‘  OB ‘  OA ‘  zz ‘ z ‘  z ‘ . z  1 B’ Từ trên ta suy ra z ‘ z . z ‘ z ‘ . z 1 OA ‘ OB ‘ A ‘ B ‘      A 1 z z 1 OA OB AB  OA ‘ B ‘  OAB. O A’ x Chọn B Câu 100: Các điểm A, B, C và A, B, C  lần lượt biểu diễn các số phức z1 , z2 , z3 và z1, z2 , z3 trên mặt phẳng tọa độ ( A, B, C và A, B, C  đều không thẳng hàng). Biết z1  z2  z3  z1  z2  z3 , khẳng định nào sau đây đúng? A. Hai tam giác ABC và ABC  bằng nhau. B. Hai tam giác ABC và ABC  có cùng trực tâm. C. Hai tam giác ABC và ABC  có cùng trọng tâm. D. Hai tam giác ABC và ABC  có cùng tâm đường tròn ngoại tiếp. Lời giải Gọi z1  x1  y1i; z 2  x2  y2i; z3  x3  y3i; xk ; yk  ; k  1;3 .   Khi đó: A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  ; C  x3 ; y3  , gọi G là trọng tâm  x  x  x y  y  y3  ABC  G  1 2 3 ; 1 2 . 3 3   Tương tự, gọi z1  x1  y1i; z 2  x2  y2 i; z3  x3  y3i; xk ; yk  ; k  1;3 .   Khi đó: A  x1; y1  ; B   x2 ; y2  ; C   x3 ; y3  , File Word liên hệ: 0978064165 – Email: dangvi[email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 44 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  x  x  x y  y  y3  gọi G là trọng tâm ABC   G   1 2 3 ; 1 2 . 3 3   Do z1  z2  z3  z1  z 2  z3   x1  x2  x3    y1  y2  y3  i   x1  x2  x3    y1  y2  y3  i  x1  x2  x3  x1  x2  x3   G  G.    y  y  y  y  y  y  1 2 3 1 2 3 Chọn C Câu 101: (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại 4 số phức z thỏa mãn z  z  z  z  2 và    A. 2  1.  z z  2  z  z  m là số thuần ảo. Tổng các phần tử của S là. B. 2 1 . 2 C. 3 . 2 D. 1 . 2 Lời giải Chọn C Đặt z  x  yi,  x, y    . z  z  z  z  2  2 x  2 yi  2  x  y  1 . (1)     2 Đặt z   z z  2  z  z  m  z  z  z  m . z là số thuần ảo nên có phần thực bằng 0. Tức là: x 2  y 2  m . (2) Tập hợp các điểm M  x; y  thỏa mãn (1) là hình vuông tâm là gốc tọa Để có 4 cặp số  x; y  thỏa mãn đồng thời (1) và (2) thì (2) phải là một đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp hình vuông nói trên. Tức là m  0 và m  1 hoặc m 1 2  m  1 hoặc m  2 2 3 . 2 Câu 102: (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Cho số phức z thỏa mãn z  4  z  z  z  4 và số phức w   z  2i  zi  2  4i có phần ảo là số thực không dương. Vậy tổng các phần tử của S là   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , hình phẳng  H  là tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z . Diện tích hình  H  gần nhất với số nào sau đây? File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 45 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A B. 17 . A. 7 . Số Phức Nâng Cao C. 21 . Lời giải D. 193 . Chọn C Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z  x  iy  x 2  y 2  0  Ta có: z  4  z  z  z  4  2 x  4  2 y  4  x  2  y  2 *   w   z  2i  zi  2  4i   x   y  2  i    x  yi  i  2  4i   x   y  2  i   y  2   x  4  i   x  y  2    x  4 y  2   x  x  4   y 2  4  i Theo giả thiết, ta có: x  x  4   y 2  4  0  x 2  y 2  4 x  4  0  x  2  y  2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa:  2 có miền là hình vẽ dưới 2  x  y  4 x  4  0 đây: Hình phẳng  H  là phần không gian nằm bên ngoài hình vuông cạnh bằng 2 và nằm bên trong hình tròn  C  có tâm I  2; 0  và bán kính R  4  4  2 2  Diện tích hình  H  là S  .R 2  2 2  . 2 2  2  4  8  4  21.13 Câu 103: Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  3 , z 2  2 được biểu diễn trong mặt phẳng phức lần lượt là    z z các điểm M , N . Biết  OM , ON  , tính giá trị của biểu thức 1 2 . 6 z1  z 2  A. 13 B. 1  C. 7 3 2 D. 1 13 Lời giải Dựng hình bình hành OMPN trong mặt phẳng phức, khi đó biểu diễn của : File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 46 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  z1  z 2  OP    z1  z2  MN  z  z  z 2  z 2  2 z z cos 1500  1   1 2 1 2  1 2   z1  z2  z1 2  z2 2  2 z1 z 2 cos  300   1  z z z z  1 2  1 2  1. z1  z 2 z1  z 2 Chọn B Câu 104: (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho z1 , z 2 là hai số phức thỏa mãn phương trình 2 z  i  2  iz , biết z1  z2  1 . Tính giá trị của biểu thức P  z1  z2 . A. 3 . 2 B. 3. C. 2. D. 2 . 2 Lời giải Chọn B Gọi z  x  yi ,  x, y    ta có 2 z  i  2 x  (2 y  1)i và 2  iz  2  y  xi .  z1  1 Khi đó 2 z  i  2  iz  4 x 2  (2 y  1)2  ( y  2)2  x 2  x 2  y 2  1  z  1    z2  1 . Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 , z2 là đường tròn tâm O , bán kính R  1 . Gọi M 1 ( z1 ) , M 2 ( z2 )  OM 1  OM 2  1 .    Ta có z1  z 2  OM 1  OM 2  M 2 M 1  1  OM 1M 2 là tam giác đều.    Mà z1  z2  OM 1  OM 2  OM  OM với M là điểm thỏa mãn OM1MM 2 là hình thoi cạnh bằng 1 .  OM  3  P  3 . Câu 105: (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  4, z 2  6 và z1  z 2  10 . Giá trị của A. 1 . z1  z2 2 B. 0 . là C. 2 . Lời giải D. 3 . Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 47 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao z1  z2 1 . 2    Cách 2. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn cho z1 , z2 , z1  z2 . Khi đó, OC  OA  OB Cách 1. Ta chọn luôn z1  4; z2  6 thì z1  z 2  10 . Khi đó, nên OACB là hình bình hành và z1  z 2  AB . 6 A C 10 4 4 E O z1  z2 2 6 B  AE là đường trung tuyến của tam giác AOC nên AO 2  AC 2 OC 2 42  62 102 AE      1  AE  1 . 2 4 2 4 Câu 106: Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M và M  . Số phức z  4  3i  và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là N và N  . Biết rằng MM N N là một hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z  4i  5 . 5 2 1 4 A. . B. . C. . D. . 34 5 2 13 Lời giải Gỉa sử z  a  bi ( a, b   ) được biểu diễn bởi điểm M  a; b  2 Khi đó số phức liên hợp của z là z  a  bi được biểu diễn bởi điểm M   a; b  Ta có: z  4  3i    a  bi  4  3i   4a  3ai  4bi  3b   4a  3b    3a  4b  i do đó số phức z  4  3i  được biểu diễn bởi điểm N  4a  3b;3a  4b  Khi đó điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức z  4  3i  là N   4a  3b; 3a  4b    MM    a  a; b  b   MM    0; 2b     Ta có:  NN    4a  3b  4a  3b; 3a  4b  3a  4b    NN    0; 6a  8b     MN  4 a  3 b  a ;3 a  4 b  b     MN   3a  3b;3a  3b      2b  6a  8b MM   NN   0  Vì MM N N là một hình chữ nhật nên ta có:    a, b  0  a  b MM .MN  0  2b 3a  3b  0    2 9 1 1   z  b  bi  z  4i  5  b  5   b  4  i   b  5    b  4   2  b     2 2 2  1 9 9 9 Vậy z  4i  5 min  b hay z   i . 2 2 2 2 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 48 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao DẠNG 4: SỐ PHỨC CÓ MOĐUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT MOĐUN MIN, MAX CỦA SỐ PHỨC CÓ TẬP HỢP BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG ĐƯỜNG THẲNG Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A và đường thẳng  d  . Điểm M chạy trên đường thẳng  d  sao cho độ dài đoạn AM nhỏ nhất.Khi đó hãy tìm vị trí điểm M và tính độ dài AM . Phương pháp giải: A d(M,d) (d) M H Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng  d  . Khi đó AM  AH , nên độ dài đoạn AM nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng  d  và AM min  AH  d  M , d  . Câu 1. Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường thằng  d  : 3 x  4 y  3  0 . Tính giá trị nhỏ nhất của z . A. 1 . 5 B. 3 . 5 C. 4 . 5 D. 2 . 5 Lời giải Chọn B Gọi M là điểm biểu diễn số phức z  Min z  OM min  d  O; d   Câu 2. 3 5 Cho các số phức z , w thỏa mãn z  2  2i  z  4i , w  iz  1. Giá trị nhỏ nhất của w là A. 3 2 . 2 B. 2. C. 2 . 2 D. 2 2. Lời giải Chọn C Gọi A  2;2  , B  0;4  và M là điểm biểu diễn số phức z . Từ đề bài ta có: MA  MB , hay quỹ tích điểm M là đường trung trực đoạn d  : x  y  2  0 . Mà w  iz  1  i . z  Câu 3. AB  Quỹ tích điểm M là đường thẳng 1 2  z  i  IM với I  0;1  Min w  d ( I ; d )  . i 2 Cho số phức z không phải số thuần ảo thỏa điều kiện z 2  4  z  z  2i  .Giá trị nhỏ nhất của z  i bằng A. 2. B. 1. C. 3. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 4. Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Lời giải Câu 4.  z  2i  z z 2  4  z  z  2i   z  2i z  2i  z z  2i   . z  2 i ( l )  Cho các số phức z thỏa mãn z  2  4i  z  2i . Giá trị nhỏ nhất của z  7  i là A. 4 10 . 5 B. 3. C. 3 10 . 5 D. 10. Lời giải  z  2i  z  2i  z  2i  .   z  7  i  z  7  i  z  7  i Bài toán trở thành: Cho các số phức z thỏa mãn z  2  4i  z  2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z7i . Câu 5. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  2i. A. 5 B. 3 5. Gọi z  x  yi;  x  ; y    . Câu 6. 2 2 2  x  2    y  4   x 2   y  2   x  y  4  0  y  4  x. 2 2 2 2 z  2i  x 2   y  2   x 2   6  x   2 x 2  12 x  36  2  x  3  18  18 Ta có: z  2  4i  z  2i  Ta có: D. 3  2 C. 3 2 Lời giải  z  2i min  18  3 2 khi z  3  i. Chọn C Trong các số phức z thỏa mãn: z  3  4i  z thì số phức z có modul nhỏ nhất là A. z  11 i. 2 B. z  3  2i . 2 5 C. z  5  i . 2 Lời giải 1 D. z  3  i 6 8b  25 6 2 2 25 2 100 625  5 10  25 25 3 2  8b  25  2  z  b   b     b  2  a  .  b  b  9 9 36  3 3 4 4 2  6  Chọn B Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  3i  z  2  i . Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? 1 2 1 2 A. z  1  2i . B. z    i . C. z   i . D. z  1  2i . 5 5 5 5 Lời giải Chọn C Phương pháp tự luận Giả sử z  x  yi  x, y    2 2 Ta có a  bi  3  4i  a  bi   a  3   b  4   a 2  b 2  25  6a  8b  0  a  Câu 7. 2 2 z  3i  z  2  i  x   y  3  i   x  2    y  1 i  x 2   y  3    x  2    y  1 2  6 y  9  4x  4  2 y 1  4x  8 y  4  0  x  2 y 1  0  x  2 y  1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2 z  2 1 5  x  y   2 y  1  y  5 y  4 y  1  5  y     5 5 5  2 2 2 Suy ra z min  2 2 2 1 5 khi y    x  5 5 5 1 2  i. 5 5 Phương pháp trắc nghiệm Giả sử z  x  yi  x, y    Vậy z  2 2 z  3i  z  2  i  x   y  3  i   x  2    y  1 i  x 2   y  3    x  2    y  1 2  6 y  9  4x  4  2 y 1  4x  8 y  4  0  x  2 y 1  0 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z  3i  z  2  i là đường thẳng d : x  2 y 1  0 . Phương án A: z  1  2i có điểm biểu diễn 1;  2   d nên loại#A. 1 2  1 2 Phương án B: z    i có điểm biểu diễn   ;   d nên loại 5 5  5 5 Phương án D: z  1  2i có điểm biểu diễn   1; 2   d nên loại 1 2 Phương án C: z   i có điểm biểu diễn 5 5 Câu 8. B. B. 1 2  ; d 5 5 Trong các số phức z thỏa mãn: z  1  5i  z  3  i , biết rằng số phức z  a  bi,  a, b    có modul nhỏ nhất. Khi đó, tỉ số A. 3 . B. a bằng b 1 . 3 C. 2 . 3 D. P   2 Lời giải 2 2 2 2 Ta có a  bi  1  5i  a  bi  3  i   a  1   b  5    a  3   b  1 Câu 9.  26  2a 10b  10  6a  2b  4a  12b  16  a  4  3b 2 12  8 6 2  2 2 2 2  z   4  3b   b  10b  24b  16   b 10    5 b  5  a  5. 10   Chọn B Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z  2i  1  z  i . Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1, 3 . C. 2  3i . Lời giải Gọi M  x, y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi  x, y  R  A. 3 i . B. 1  3i . D. 2  3i . Gọi E 1, 2  là điểm biểu diễn số phức 1  2i Gọi F  0, 1 là điểm biểu diễn số phức i Ta có: z  2i  1  z  i  ME  MF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trục EF : x  y  2  0 . Để MA ngắn nhất khi MA  EF tại M  M  3,1  z  3  i File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 10. Số Phức Nâng Cao (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho tất cả các số phức z  x  yi,  x, y    thỏa mãn z  2i  1  z  i . Biết z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1; 3 . Tìm P  2 x  3 y . A. 9. C. 3 . Lời giải B. 11. D. 5. Chọn A Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi,  x, y    . Ta có: z  2i  1  z  i   x  1   y  2  i  x   y  1 i  x  yi  2i  1  x  yi  i 2 2 2   x  1   y  2   x 2   y  1  x  y  2  0 . Dễ thấy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng: x  y  2  0  M  x; x  2    2 2 MA   x  1; x  5   MA   x  1   x  5  2 x 2  12 x  26  x 2  3 2   2 8  8 Suy ra: MAmin  8 khi x 2  3 2  0  x  3  y  1 Vậy P  2 x  3 y  2.3  3.1  9 Câu 11. (Lê Quý Đôn Điện Biên Lần 3) Trong các số phức z thỏa mãn z  1  i  z  1  2i , số phức z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là 3 3 A. . B. . 10 5 3 C.  . 5 Lời giải D.  3 . 10 Chọn D Gọi z  x  yi ,  x , y    được biểu diễn bởi điểm M  x ; y  . z  1  i  z  1  2i   x  1   y  1 i   x  1   y  2  i   x  1 2 2   y  1   x  1 2 2   y  2   4 x  2 y  3  0  y  2 x  3 . 2 Cách 1: 2 z  x2  y 2  Suy ra min z  2 3 9 3 9 3 5   x 2   2 x    5 x 2  6 x   5  x     , x . 2 4 5  20 10   3 5 3 3 khi x   ; y   . 10 5 10 Vậy phần ảo của số phức z có mô đun nhỏ nhất là  3 . 10 Cách 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d : 4x  2 y  3  0 . Ta có z  OM . z nhỏ nhất  OM nhỏ nhất  M là hình chiếu của O trên d . Phương trình đường thẳng OM đi qua O và vuông góc với d là: x  2 y  0 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tọa độ của M Số Phức Nâng Cao là nghiệm của hệ phương trình: 4 x  2 y  3  0   x  2 y  0 3   x   5  y   3  10 3 3  3 3  M   ;   . Hay z    i . 5 10  5 10  3 . 10 Nhận xét: Ta có thể tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z như sau: Vậy phần ảo của số phức z có mô đun nhỏ nhất là  z  1  i  z  1  2i  z  1  i   z   1  2i  * Gọi M biểu diễn số phức z , điểm A 1;  1 biểu diễn số phức 1  i , điểm B  1;  2  biểu diễn số phức 1  2i . Khi đó  *  MA  MB . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình d : 4 x  2 y  3  0 . Câu 12. Cho số phức z thoã mãn điều kiện z  2i  z  1  2i . Gọi w là số phức thoã mãn điều kiện w  1  i  z  2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  w là: 1 A. Pmin  . 5 5 . 34 B. Pmin  C. Pmin  5 . 41 D. Pmin  1 3 Lời giải Ta có: z  2i  z  1  2i  1  i  z  2  2i  1  i  z  1  3i  w  4  2i  w  1  3i . Gọi A  4; 2  ; B 1;3  và M  w  suy ra MA  MB nên tập hợp điểm M là trung trực của AB có PT là: 3 x  5 y  5  0  d  Ta có: w  OM  OM min  d  O; d   5 . 34 Chọn B Câu 13. Xét số phức z thỏa mãn z  i  1  z  4i  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  2i  1 . A. 98 . 5 B. 102 . 5 C. 7 10 . 5 D. 470 . 5 Lời giải 2 2 2 2 Ta có a  bi  i  1  a  bi  4i  2   a  1   b  1   a  2    b  4   2  2a  2b  20  4a  8b  2a  6b  18  0  a  3b  9. 2 2 2 2 2 2 Khi đó z  2i  1  a  bi  2i  1   a  1   b  2    3b  8    b  2  2 22  98 98 7 10   10b  44b  68   b 10    5  5  z  2i  1  5 . 10   Chọn C 3  4i Câu 14. Cho số phức z thỏa z  5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của . z 5 Lời giải 3  4i 3  5 A  4i 3  5 A  4i 3  5 A  4i z  z    5  3  5 A  4i  5 A . Đặt A  z 5 A A A 2 Gọi A  x  yi  x, y     2  5 x  3   5 y  4  2  5 x2  y 2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  6x  8 y  5  0 . Vậy tập hợp điểm của số phức A     : 6 x  8 y  5  0 . 1  min A  d O;      . 2 Câu 15. Cho số phức z thỏa z  5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  4i . z 5 Lời giải z  4i Đặt A  . Xét A  1  không có số phức z nào thỏa. Vậy A  1 z5 5 A  4i 5 A  4i 5 A  4i z  z    5  5 A  4i  5 A  1 . A 1 A 1 A 1 Gọi A  x  yi  x, y     2  5x   5 y  4 2 5  x  1 2  y2 .  50 x  40 y  9  0 . Vậy tập hợp điểm của số phức A     : 50 x  40 y  9  0 .  min A  d O;     9 . 10 41 Câu 16. Cho số phức z  a  bi  a, b  ; a, b  0  . Đặt đa thức f  x   ax 2  bx  2 . Biết f  1  0, 5 1 f     . Tính giá trị lớn nhất của z . 4 4 Lời giải Ta có: f  1  0  a  b  2  0  b  a  2 5 a b 5 a 1 f        2    b  3 . 4 16 4 4 4  4 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Oxy là một miền kín được giới hạn bởi các đường thẳng sau: x x  0; y  0; y  x  2; y    3 . 4 Gọi M là điểm biễu diễn số phức z  max z  max OM . M là 1 trong các A  0; 0  , B  2;0  , C  2; 4  , D  0;3  . định sau  max Om  OC  2 5 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao MOĐUN MIN, MAX CỦA SỐ PHỨC CÓ TẬP HỢP BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG TRÒN, HÌNH TRÒN Bài toán 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A và đường tròn  C  có tâm I bán kính R . Điểm M thay đổi trên đường tròn  C  . Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn AM đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và tính các giá trị này. Phương pháp giải: Ta xét ba trường hợp Trường hợp 1: điểm A nằm ở miền ngoài đường tròn  C  (C) M R B A C I AM min  AB  AI  R và AM max  AC  AI  R Trường hợp 2: điểm A nằm ở trên đường tròn  C  (C) M R A C I B AM min  0 và AM max  AC  2R Trường hợp 3: điểm A nằm ở miền trong đường tròn  C  (C) R B A C I M AM min  AB  R  AI và AM max  AC  AI  R Câu 17. Cho số phức z có z  2 thì số phức w  z  3i có modun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là #A. 2 và 5 . B. 1 và 6 . C. 2 và 6 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 1 và 5 . Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Lời giải Gợi ý: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z . Vì z  2 nên quỹ tích điểm M là đường tròn C  tâm O bán kính R  2 . Đặt A(0; 3) thì w  z  3i  AM .Dễ thấy điểm A nằm ngoài đường tròn  C  nên w min  AM min  AO  R  1 và w max  AM max  AO  R  5 . Câu 18. Cho số phức z thoả z  3  4i  2 và w  2 z  1  i . Khi đó w có giá trị lớn nhất là: A. 16  74 . B. 2  130 . C. 4  74 . D. 4  130 . Lời giải Gợi ý: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z . Vì z  3  4i  2 nên quỹ tích điểm đường tròn C  tâm I  3; 4  bán kính R  2. M là 1 1 A( ; ) 2 2 Đặt thì 1 i w  2 z  1  i  2 z    2AM .Dễ thấy điểm A nằm ngoài đường tròn  C  nên 2 2 w max  2 AM max  2( AI  R)  4  130 . 2  3i z 1  1 3  2i D. 2. Câu 19. Cho số phức z , tìm giá trị lớn nhất của | z | biết rằng z thoả mãn điều kiện #A. 3. B. 2. C. 1. Lời giải Gợi ý : Gọi M là điểm biểu diễn số phức z  z  OM .Theo bài ra : 2  3i 2  3i 3  2i z 1  1  z  1  z  i  1 nên quỹ tích điểm M là đường 3  2i 3  2i 2  3i tròn  C  tâm I  0; 1 bán kính R  1. Dễ thấy điểm O nằm trên đường tròn  C  nên z max  2 R  2 . 3  2i  a  b 2 . Tính a  b . 2 1 4 C. . D. . 2 3 Câu 20. Cho số phức z thỏa mãn z  3  2 z và min z  A. 1 . B. 2 2 . Lời giải 2 Gợi ý: Đặt z  x  yi với x, y   . Từ z  3  2 z   x  3  y 2  2 x 2  y 2   2  x 2  y 2  6x  9  0   x  3  y 2  18  z  3  3 2 . Gọi M là điểm biểu diễn  3  số phức z thì quỹ tích M là đường tròn tâm I (3;0) , bán kính R  3 2 . Đặt A   ; 2   2  thì z 3  2i  AM . Dễ thấy điểm A nằm ở miền trong đường tròn 2 C  5 1 AM min  R  AI    3 2  a  b  . 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 8 nên ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 21. Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  1 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là A. 2 2  1; 2 2  1 . B. 2  1; 2  1 . C. 2;1 . Lời giải Ta có z  2  2i   z  z  2  2i  z  2 2  z  2 2  1. D. 3  1; 3  1 Lại có z  2  2i  2i  2  z  2  2i  2i  2  z  z  1  2 2. Chọn A Câu 22. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  4 5 . Giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là 5. C. 5 5 . Lời giải Ta có 4 5  z  1  2i  z  1  2i  z  5  z  3 5. A. B. 3 5 . D. 5 3 Chọn B Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. 9  4 5. C. 6  4 5 D. 5  6 5 Lời giải 2 2 Gọi z  x  yi;  x  ; y    . Ta có: z  1  2i  2   x  1   y  2   4. A. B. 11  4 5 Đặt x  1  2 sin t ; y  2  2 cos t ; t   0; 2  . Lúc 2 2 2 đó: z  1  2sin t    2  2 cos t   9   4sin t  8cos t   9  4  8 sin  t    ;     2 2 2  z  9  4 5 sin  t     z    9  4 5; 9  4 5    5  2 5 10  4 5  zmax  9  4 5 đạt được khi z   i. 5 5 Chọn#A. Câu 24. Cho số phức z thảo mãn z  4i  2  4. Tìm giá trị nhỏ nhất của z . C. 7 Lời giải 2 2 Giả sử z  a  bi , ta có: a  bi  3  4i  4   a  3   b  4   16 A. 1 B. 3 D. 8 a  3  4sin  a  3  4sin   Đặt  b  4  4 cos  b  4cos   4 2  z  a 2  b 2  9  16sin 2   24sin   16  32cos  4 3   41  24sin   32 cos   41  40  sin   cos  5 5  3 4 2 Đặt cos = ,sin    z  a 2  b 2  41  40sin      1. 5 5 Dấu ”  ” xảy ra khi         k 2        k 2 . 2 2 Vậy min z  1. Chọn A Câu 25. Cho số phức z thoả mãn điều kiện z  2  3i  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z A. 13  3 . B. 2. C. 13  2 . D. 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Lời giải y x O z M C I Các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn z  2  3i  3 nằm trên đường tròn (C) tâm I(2; −3) và bán kính R = 3 . (Ý nghĩa hình học của z : độ dài OM) Ta có |z| đạt giá trị nhỏ nhất  điểm M(C) và OM nhỏ nhất. (Bài toán hình học giải tích quen thuộc) Ta có: OM  OI – IM = OI – R = 13  3 . Dấu « = » xảy ra khi M là giao điểm của (C) và đoạn thẳng OI. Vậy GTNN của z là: 13  3 . Chọn A Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn (1  i) z  1  7i  2 . Tìm giá trị lớn nhất của z A. max z  4 . B. max z  3 . D. max z  6 C. max 7 . Lời giải w  (1  7i ) 1 i Ta có: w  2 . Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I là điểm biểu diễn số Đặt w  (1  i ) z  1  7i  z  phức 0  (1  7i ) 2  3  4i , tức là I (3; 4) . Bán kính r  1 1 i 1 i Vậy max z  OI  r  6 Câu 27. Cho số phức z thỏa z  3  4i  2 và P  z  2  i . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P . Tính A  M  m . Lời giải Gọi z  a  bi  a, b    . 2 2 Ta có: z  3  4i  2   a  3   b  4   4 . 2 2 Vậy tập hợp điểm M   C  :  a  3   b  4   4 có tâm I  3; 4  và bán kính R  2 Trong mặt phẳng 2 phức xét A  2;1 , ta có: P  z  2  i  MA 2 M   C  :  a  3   b  4   4 . MAmin  AI  R  34  2 Vậy:  . MAmax  AI  R  34  2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 với ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 28. Số Phức Nâng Cao (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Xét các số phức z thỏa mãn z  1  3i  2 . Số phức z mà z  1 nhỏ nhất là A. z  1  5i . B. z  1  i . C. z  1  3i . Lời giải D. z  1  i . Chọn B Gọi z  x  yi , x, y   . Khi đó M  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z . 2 2 Theo bài ra ta có z  1  3i  2   x  1   y  3   4 . Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I 1; 3 bán kính R  2 . Khi đó z  1   x  1 2  y 2  I M với I  1; 0  . z  1 nhỏ nhất khi I M ngắn nhất hay I , M , I  thẳng hàng, M nằm giữa I và I  . Phương trình đường thẳng II  là x  1 . Tọa độ giao điểm của đường thẳng II  với đường tròn tâm I bán kính R  2 là M 1 1; 1 và M 1 1; 5 . Thử lại ta thấy M 1 1; 1 thỏa mãn. Vậy z  1  i . Câu 29. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z  2i. A. 26  6 17. Gọi C. 26  8 17 . Lời giải z  x  yi;  x  ; y     z  2i  x   y  2  i . B. 26  6 17 . 2 D. 26  4 17. Ta có: 2 z  1  2i  9   x  1   y  2   9 . Đặt x  1  3sin t ; y  2  3cos t ; t  0; 2 . 2 2 2  z  2i  1  3sin t    4  3cos t   26  6  sin t  4cos t   26  6 17 sin  t    ;     .  26  6 17  z  2i  26  6 17  z  2i max  26  6 17 . Chọn A Câu 30. Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  6  2i  10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. A. 4 5 Gọi z  x  yi; B. 3 5. C. 3. Lời giải D. 3  5  x  ; y    . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có: 1  i  z  6  2i  10  1  i  . z  2 Số Phức Nâng Cao 6  2i  10  z  2  4i 1 i 2  5   x  2    y  4   5. Đặt x  2  5 sin t ; y  4  5 cos t; t  0;2  . Lúc đó: 2  2 2    4  5 cos t   25   4  4 5   8 5  sin t    ;     z  2  5 sin t 2  25  5 sin t  8 5 cos t  2 2  z  25  20sin  t     z   5;3 5   zmax  3 5 đạt được khi z  3  6i. Chọn B. Câu 31. Cho số phức z thoã mãn z  3  4i  2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z . Tính giá trị của biểu thức P  A2  2B . A. P  43 . B. P  80 . C. P  8 . D. P  48 Lời giải z Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm I  3; 4  bán kính R  2 Khi đó A  z max  OI  R  5  2  7 ; B  z min  OI  R  3 Suy ra P  43 . Chọn#A. Câu 32. Trong các số phức z thỏa z  3  4i  2 , gọi z0 là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó A. Không tồn tại số phức z0 . C. z 0  7 . B. z 0  2 . D. z0  3 . Lời giải Chọn D Cách 1: Đặt z  a  bi ( a , b   ) . Khi đó z  3  4i  2  (a  3)2  (b  4)2  4 . Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường tròn  C  tâm I  3; 4  và bán kính R  5 . Gọi M  z  là điểm biểu diễn số phức z . Ta có: M  z    C  . z  OM  OI  R  3 . Vậy z bé nhất bằng 3 khi M  z    C   IM . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Cách 2: a  3  2cos  a  3  2cos   Đặt  . b  4  2sin  b  4  2sin   z  a 2  b 2  (2 cos   3)2  (2sin   4)2  29  12cos   16sin  . 4 3   29  20  cos   sin    29  20 cos(   )  9 5 5  .  z0  3 Câu 33. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn A. z min  1 . 1  i  z  2  1  1 i 1  i  z  2  1 1 i B. z min  2  2 . hãy tìm số phức z có mođun nhỏ nhất. C. z min  0 . Lời giải D. z min  2 2 1  i  1 i z  1  z  2i  1 1 i 1 i Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  0; 2  bán kính R  1 Ta có: z min  OI  R  1 . Chọn A Câu 34. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z  1  2i  5 và w  z  1  i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng: A. 2 5 . B. 3 2 . C. 6 . D. 5 2 . Lời giải Chọn B Gọi z  x  yi  x, y     z  1  2i   x  1   y  2  i Suy ra tập hợp điểm 2 2 2 2  x  1   y  2   5   x  1   y  2   5 M  x; y  biểu diễn số phức z thuộc đường tròn  C  Ta có: z  1  2i  5  kính R  5 như hình vẽ: Dễ thấy O   C  , N  1; 1   C  Theo đề ta có: M  x; y    C  là điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: w  z  1  i  x  yi  1  i   x  1   y  1 i  z  1  i  2  x  1   y  1 2 tâm I 1; 2  bán   MN Suy ra z  1  i đạt giá trị lớn nhất  MN lớn nhất Mà M , N   C  nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn  C  2  I là trung điểm MN  M  3; 3  z  3  3i  z  32   3  3 2 Câu 35. Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1  i là: A. 13  2 . B. 4. C. 6. Lời giải D. 13  1 Ta có: z  2  3i  1  z  2  3i  1  z  2  3i  1  z  (2  3i )  1 Đặt w  z  1  i File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn tâm I, tâm I là điểm biểu diễn của số phức 2  3i  1  i  3  2i , tức là I (3; 2) , bán kính r  1 Vậy w max  OI  r  32  ( 2) 2  1  13  1 Chọn D Câu 36. (Sở Vĩnh Phúc) Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 .Giá trị lớn nhất của z  1  i là A. 4 C. 13  1 . Lời giải B. 6 D. 13  2 . Chọn C Cách 1: Gọi z  x  yi , với x, y  Ta có z  2  3i  x  yi  2  3i  x  2   y  3 i . 2 2 Theo giả thiết z  2  3i  1   x  2   y  3  1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn (C) tâm I  2;3 , bán kính R  1 z  1  i  x  yi  1  i  x  1  1  y  i  Gọi M  x; y và H  1;1 thì HM   x  1 2   y  1 2 .  x  1 2   y  1 2 . Do M chạy trên đường tròn (C) , H cố định và H nằm ngoài đường tròn (C) nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn (C) sao cho I nằm giữa H và M.  x  2  3t Phương trình HI :   y  3  2t 1 Giao của HI với đường tròn ứng với t thỏa mãn: 9t 2  4t 2  1  t   13 3 2  3 2    ;3  ,M 2 ;3  Suy ra M  2      13 13  13 13  3 2   ;3  Với M  2   , ta có MH  13  1  13 13  3 2   ;3  Với M  2   , ta có MH  1,92 . Vậy GTLN của z  1  i = 13  1 .  13 13  Cách 2: Gọi z  x  yi , với x, y  Ta có z  2  3i  x  yi  2  3i  x  2   y  3 i . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 Số Phức Nâng Cao 2 Theo giả thiết z  2  3i  1   x  2   y  3  1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn (C) tâm I  2;3 , bán kính R  1. z  1  i  x  yi  1  i  x  1  1  y  i  Gọi M  x; y và H  1;1 thì HM   x  1 2   y  1 2 .  x  1 2   y  1 2 . Do HI  13  1  R nên H nằm ngoài đường tròn (C) . Tia HI luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M 1; M 2 trong đó M 1 nằm trên đoạn HI và M 2 nằm ngoài đoạn HI . Với điểm M bất kỳ thuộc (C) ta có:  HM 2  HI 2  IM 2  2 HI .IM cos HIM   HI 2  R 2  2 HI .R.cos HIM 2  HI 2  R2  2HI .R   HI  R   HM 2 2 Do đó HM  HM 2  HI  R  13  1 Dấu “ ” xảy ra khi M  M 2 . Câu 37. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  4 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  2  i . Giá trị của T  M 2  m 2 là A. T  50 . B. T  64 . C. T  68 . D. T  16 Lời giải Đặt w  z  2  i  z  w  2  i , khi đó z  1  2i  w  2  i  1  2i  w  3  3i  4. M  w  32  32  4  3 2  4  max Suy ra   M 2  m 2  68. 2 2 m  w min  3  3  4  3 2  4 Chọn C Câu 38. Cho số phức z thoã mãn z  1  i  2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z  2  i . Giá trị của biểu thức P  2 A  B 2 gần bằng. A. 6. B. 7. C. 8. D. 9 Lời giải Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 1;1 bán kính R  2 Gọi K  2; 1 khi đó A  z  2  i max  IK  R  5  2 ; B  5  2 Do đó P  2 A  B 2  8 . Chọn C File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 39. Cho số phức z thỏa mãn: z  1  i  2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z  2 . Khi đó A2  B2 có giá trị bằng A. 20. B. 18. C. 24. D. 32 Lời giải Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm F  2; 0  và E 1; 1  EM  2 Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn  C  tâm E bán kính R  2 Ta có: FE  EM  MF  FE  EM  10  2  MF  10  2  A2  B 2  24 . Chọn C Câu 40. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  10 . Giá trị lớn nhất của z  1  4i bằng A. 10 . B. 10 3 . C. 3 10 . Lời giải 2  D. 4 10  Ta có z  1  2i  10  z  1  2i  10  z  1  2i .z  1  2i  10 .    z  1  2i .  z  1  2i   10  z  1  2i . z  1  2i  10  z  1  2i  10. . Đặt w  z  1  4i  z  w  1  4i , khi đó z  1  2i  w  2  6i  10. Vậy giá trị lớn nhất là w max  10  2 2  6 2  3 10  z  1  4i max  3 10. Chọn C Câu 41. Cho số phức z thỏa mãn: z  1  2i  2 5 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z  i . Khi đó A.B có giá trị bằng A. 10. B. -10. C. 12. D. -12 Lời giải Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm F  0; 1 và E  1; 2   EM  2 5 Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn  C  tâm E bán kính R  2 5 Ta có: FE  EM  MF  FE  EM  2 5  10  MF  2 5  10  AB  10 . Chọn A Câu 42. Cho số phức z thoã mãn A. 2  2 . 1 i z  1  i  2 . Giá trị lớn nhất của A  z  2  i là. 1 i B. 52. C. 2  5 . Lời giải D. 5 1 i z  1  i  2  iz  1  i  2  i . z  1  i  2  z  1  i  2 1 i Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  1; 1 bán kính R  2 Ta có: Gọi K  2; 1 suy ra Amax  IK  R  5 . Chọn D Câu 43. Số phức z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện z 1  i   3  2i  A. z  1  3i B. z  2 1  i 2 2 C. z  3 1  i 2 2 13 là: 2 3 15 D. z   i 4 4 Lời giải + Gọi z  x  yi File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 2 Từ giả thiết ta có:  x  y  3   x  y  2   Số Phức Nâng Cao 13 . 4 + Đồng thời z  x 2  y 2 lớn nhất. Kiểm tra các đáp án và so sánh. Chọn D Câu 44. Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa z  5i  3 . Nếu số phức z có môđun nhỏ nhất thì phần ảo bằng bao nhiêu? A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 4 Lời giải Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm A  0;5   AM  3 Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn tâm A bán kính R  3  OM  AO  AM  5  3  2 . Chọn C Câu 45. Cho số phức z thỏa mãn: z 1  i   1  2i  2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z  1  3i . Khi đó 2 A2  B 2 có giá gần nhất bằng A. 20. B. 18. C. 64. Lời giải 1  2i  1 3i   z     2 Ta có z 1  i   1  2i  2  z  1 i 2 2  D. 32 1 3 Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm F  1; 3  và E  ;   EM  2 2 2 Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn  C  tâm E bán kính R  2 Ta có: FE  EM  MF  FE  EM  3 10 3 10  2  MF   2  2 A2  B 2  64 . 2 2 Chọn C Câu 46. Trong mặt phẳng phức Oxy, trong các số phức z thỏa z  1  i  1 . Nếu số phức z có môđun lớn nhất thì số phức z có phần thực bằng bao nhiêu?  2 2 22 2 2 2 2 A. . B. . C. . D. 2 2 2 2 Lời giải Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm A  1;1  AM  1 Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn  C  tâm A bán kính R  1  OM  AO  AM  2  1 . Dấu bằng khi M là giao điểm của  C  và OA : y   x 2  2 2  2  xM   yM   xM   xM  (chọn điểm xa O hơn). 2 2 2 2  xM  1   yM  1  1 Chọn A 1  i  z  2  1 Câu 47. Cho hai số phức z và w biết chúng thỏa mãn và w  iz . Tìm giá trị lớn nhất 1 i của M  z  w . A. 3 3 B. 3 C. 3 2 Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 2 3 Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có: 1  i  z  2 1  i   Số Phức Nâng Cao  z  2i  1 . Vậy quỹ tích M  z  là đường tròn tâm 2 I  0;2  , R  1 . Lại có w  z  iz  z  2. z  3 2 . Chọn C  4 13  5 10 T  a b  . 27 Câu 48. Trong mặt phẳng phức Oxy , trong các số phức z thỏa z  1  i  1 . Nếu số phức z có môđun lớn nhất thì số phức z có phần thực bằng bao nhiêu?  2 2 22 2 2 2 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải Gọi M  x, y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi  x, y  R  Gọi A là điểm biểu diễn số phức 1  i Ta có: z  1  i  1  MA  1 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là hình tròn tâm A  1,1 , R  1 như hình vẽ Để max z  max  OM  2 2  2 2 22  M thỏa hệ:  x  1   y  1  1  x  ,x    Câu 49. Cho số phức y  x 2 2 z thỏa mãn z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1 và số phức w thỏa w  z  2  2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của w . Lời giải 2 Ta có: z  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1   z  1  2i   0   z  1  2i  z  1  2i    z  1  2i  z  3i  1   .   z  1  2i    z  3i  1 Trường hợp 1:  z  1  2i   0  z  1  2i  w  1 . 1 với z  a  bi  a, b    . 2 1  3 9 3 2   w   a  i   2  2i   a  2   i  w   a  2    . 2  2 4 2  MOĐUN MIN, MAX CỦA SỐ PHỨC CÓ TẬP HỢP BIỂU DIỄN LÀ ELIP Câu 50. (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2)Gọi S là tập hợp các số phức thỏa z  3  z  3  10 . Gọi z1; z2 là hai số phức thuộc S có mô đun nhỏ nhất. Giá trị Trường hợp 2:  z  1  2i    z  3i  1  b   biểu thức P  z12  z22 là A. 16 . B. 16 . C. 32 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 32 . Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Lời giải Chọn D Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z , F1  3;0  và F2  3; 0  lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức 3  0i và 3  0i . Ta có z  3  z  3  10  MF1  MF2  10 . Vậy tập hợp điểm M là  E  có phương trình: x2 y 2  1. 25 16 Khi đó z1 , z2 là hai số phức có mô đun nhỏ nhất khi z1 , z2 có điểm biểu diễn là hai đỉnh của  E  nằm trên trục tung, suy ra z1  0  4i ; z2  0  4i . Vậy ta có P  z12  z22  16   16   32 . Câu 51. (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Cho số phức z thỏa mãn z  6  z  6  20 . Gọi M , n lần lượt là môđun lớn nhất và nhỏ nhất của z. Tính M  n A. M  n  2 . B. M  n  4 . C. M  n  7 . D. M  n  14 . Lời giải Chọn A Gọi z  x  yi ,  x, y    . Theo giả thiết, ta có z  6  z  6  20 .  x  6  yi  x  6  yi  20   x  6 2  y2   x  6 2  y 2  20  . Gọi M  x; y  , F1  6;0  và F2  6;0  . Khi đó   MF1  MF2  20  F1 F2  12 nên tập hợp các điểm E là đường elip  E  có hai tiêu điểm F1 và F2 . Và độ dài trục lớn bằng 20 . Ta có c  6 ; 2a  20  a  10 và b2  a 2  c 2  64  b  8 . Do đó, phương trình chính tắc của  E  là x2 y2   1. 100 64 Suy ra max z  OA  OA’  10 khi z  10 và min z  OB  OB ‘  8 khi z  8i . Vậy M  n  2 . Câu 52. Cho số phức z thỏa mãn z  8  z  8  20 . Gọi m , n lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z . Tính P  m  n . A. P  16. B. P  10 2. C. P  17. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. P  5 10. Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Lời giải Gọi z  x  yi  x, y    và M  x, y  là điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng phức. 2  8  x     y  Xét các điểm F1  8; 0  , F2  8; 0  . Ta có : MF 1  MF 2  2 8  x     y  2  z  8  z  8  20    x  8  x  8 2 2 2   x  8 2  y2  z  8 .  y2  z  8 .  y2   x  8 2  y 2  20  MF1  MF2  20 x2 y2  1 a 2 b2 2 2a  20 a  100 x2 y2 max z  10   2    1   m  n  16 .  2 2 c  8 b  a  c  36 100 36 min z  6 Do MF1  MF2  F1 F2  Tập hợp điểm M là một elip có dạng Câu 53. Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất z . Khi đó M  m bằng A. 4  7. B. 4  7. D. 4  5. C. 7. Lời giải Gọi z  x  yi với x; y   . Ta có 8  z  3  z  3  z  3  z  3  2 z  z  4 . Do đó M  max z  4 . Mà z  3  z  3  8  x  3  yi  x  3  yi  8   x  3 2  y2   x  3 2  y2  8 . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 8  1.  x  3 2  y 2  1.  x  3 2  y2  1 2 2 2  12   x  3  y 2   x  3  y 2     8  2  2 x 2  2 y 2  18   2  2 x 2  2 y 2  18  64  x2  y 2  7  x2  y 2  7  z  7 . Do đó M  min z  7 . Vậy M  m  4  7 . Chọn B Câu 54. (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Trong các số phức z thỏa mãn z  4  3i  z  8  5i  2 38 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  2  4i . A. 1 . 2 B. 5 . 2 C. 2 . D. 1 . Lời giải Chọn D  z  x  yi  M  x ; y    z1  4  3i  F1  4;3  Gọi  .  z 2  8  5i  F2 8;5   z  2  4i  A  2; 4   0 z z Ta thấy: z0  1 2  A là trung điểm của F1 F2 . 2 Theo giả thiết, ta có: z  4  3i  z  8  5i  2 38  MF1  MF2  2 38 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  2 38  38 a  2   z z Suy ra, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip  E  có: c  1 2  37 . 2  b  a 2  c 2  1   Ta có: z  2  4i  MA . Vì A là tâm Elip và M di chuyển trên Elip nên min AM  b  1 . Câu 55. (THPT-Toàn-Thắng-Hải-Phòng) Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  2  1  i  z  2  4 2 . Gọi m  max z ; n  min z và số phức w  m  ni . Tính w A. 41009 . B. 51009 . 2018 D. 21009 . C. 61009 . Lời giải Chọn C Gọi z  x  yi  x, y    . Ta có 1  i  z  2  1  i  z  2  4 2  1  i  z  1  i 1  i   1  i  z  1  i 1  i   1  i  z  1  i   1  i  z  1  i   4 2 4 2  1 i z 1 i  1 i z 1 i  4 2 2 2 2  x  1   y  1   x  1   y  1 Gọi M  x; y  , F1  1;1 , F2 1; 1 . Ta có (*)  MF1  MF2  4 .  z 1 i  z 1 i  4  2  4 (*) . Do đó tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z là một Elip có hai tiêu điểm là F1 , F2 ; tiêu cự 1 bằng F1 F2  2 ; độ dài trục lớn bằng MF1  MF2  4 ; một nửa độ dài trục bé bằng 2 . 2 Ta có m  max z  2 (bằng một nửa độ dài trục lớn); n  min z  2 ( bằng một nửa độ dài trục bé).  w  2  2i  w  6  w Câu 56. 2018   6 2018  61009 . (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho hai số phức z và   a  bi  a, b    thỏa mãn: z  5  z  5  6 ; 5a  4b  20  0 . Giá trị nhỏ nhất của z   là A. 3 . 41 B. 5 . 41 C. 4 . 41 D. 3 . 41 Lời giải Chọn A Gọi M  a ; b  là điểm biểu diễn cho số phức  , từ điều kiện: 5a  4b  20  0 , suy ra M thuộc đường thẳng  d  : 5 x  4 y  20  0 . Giả sử N  x ; y  là điểm biểu diễn cho số phức z , ta có:    z  5  z  5  6  NA  NB  6 , với A  5 ; 0 , B  5 ; 0 , AB  2 5  6 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Suy ra N thuộc Elip có phương trình  E  : Số Phức Nâng Cao x2 y 2   1. 9 4 Gọi    là tiếp tuyến của  E  và    song song với  d  . +    song song với  d  suy ra phương trình    có dạng: 5 x  4 y  C  0 . +    tiếp xúc với  E   9.25  4.16  C 2  C 2  289  C  17 . (áp dụng điều kiện tiếp xúc của đường thẳng với  E  là: a 2 A2  b 2 B 2  C 2 ) + Các tiếp tuyến của  E  và song song với  d  là  1  : 5 x  4 y  17  0 hoặc   2  : 5x  4 y  17  0 . Ta có: z    MN , với điểm M thuộc đường thẳng  d  và điểm N thuộc  E  . Do đó : MNmin  MN  d  1 , d   17  20 2 5 4 2  3 . 41 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 22 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao DẠNG 5: MIN, MAX SỐ PHỨC PP ĐẠI SỐ ÁP DỤNG CÁC TÍNH CHẤT BĐT, ĐÁNH GIÁ Câu 1. Số phức z  0 thỏa mãn z  2. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  C. 3 Lời giải i i i 1 i 1 Ta có 1   1   1   1   1   1  . z z z z z z A. 1 B. 2 z i . z D. 4 1 1 1 3  suy ra  P  . z 2 2 2 3 1 Suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là , . Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 2 2 của biểu thức P là 2. Chọn B 5i Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  1  . z Mặt khác z  2  Câu 2. A. 5. B. 4. Ta có: A  1  Câu 3. C. 6. Lời giải D. 8. 5i 5i 5 1  1   6. Khi z  i  A  6. z z z Chọn C Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất M max và giá trị nhỏ nhất M min của biểu thức M  z 2  z  1  z 3  1 . A. M max  5; M min  1. B. M max  5; M min  2. C. M max  4; M min  1. D. M max  4; M min  2. Lời giải 2 3 Ta có: M  z  z  1  z  1  5 , khi z  1  M  5  M max  5. Mặt Câu 4. khác: M  1 z3 1 z  1  z3  1 z3 2  1  z3 2  1  z3  1 z3 2  1, z  1  M  1  M min  1. Chọn A Xét số phức z thỏa mãn z2  6z  25  2 z  3  4i . Hỏi giá trị lớn nhất của z là: A. 7 . B. 5 . C. 3 . Lời giải D. 10 . Chọn A Ta có: z2  6 z  25   z  3  4i  z  3  4i  Do đó z2  6z  25  2 z  3  4i   z  3  4i  z  3  4i   2 z  3  4i File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 1 khi ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  z  3  4i  0  z  3  4i    z  3  4i  2  z  3  4i  2 Với z  3  4i  z  5 . 1 Với z  3  4i  2 , sử dụng bất đẳng thức môđun ta có: 2  z  3  4i  z  5  z  7  2  Từ 1 ,  2  suy ra max z  7 . Câu 5. Cho số phức z có z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  1008 1  z  1  z 2  1  z 3  …  1  z 2017 A. Pmin  1007 B. Pmin  2018 C. Pmin  1008 Lời giải D. Pmin  2016  1  z 2017  1  z 2016  1  z 2017   1  z 2016   z 2016 1  z  1  z   1  z 2015  1  z 2014  1  z 2015  1  z 2014  z 2014 1  z  1  z      Ta có:  …  2 3 2 3 2  1  z  1  z  1  z   1  z   z 1  z  1  z P  1008 1  z  1  z 2  1  z 3  …  1  z 2017 Vậy: .  1008  1  z  1  z   1008 1  z   1  z   2016 Do đó Pmin  2016 và đẳng thức xảy ra có nhiều trường hợp trong đó có z   1 . Câu 6. (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  i  z  2  3i , số phức z0 có môđun nhỏ nhất. Phần ảo của z0 là A. 2 . 3 B. 4 . 3 C. 3 . 2 D. 3 . 4 Lời giải Chọn C + Giả sử z0  x  yi,  x, y    . + Ta có: z  i  z  2  3i  x   y  1 i   x  2     y  3 i 2 2  x 2   y  1   x  2     y  3 2  y  x  3 . 2 3 9 3 + z0  x  y  x    x  3   2 x  6 x  9  2  x     . 2 2 2  3 3 3 3 3 3 Vậy z0 min  khi và chỉ khi x   y   z0   i , suy ra phần ảo của z0 bằng . 2 2 2 2 2 2 2 Câu 7. 2 2 2 2 Cho số phức z thỏa mãn z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1 . Tính min | w | , với w  z  2  2i . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. min | w | 3 . 2 B. min | w | 2 . Số Phức Nâng Cao D. min | w | C. min | w | 1 . 1 . 2 Lời giải Chọn C Ta có z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1   z  1  2i  z  1  2i    z  1  2i  z  3i  1  z  1  2i  0 .    z  1  2i    z  3i  1 Trường hợp 1: z 1  2i  0  w  1  w  1 1 . Trường hợp 2: z  1  2i  z  3i  1 z  a  bi Gọi Câu 8. a, b   ) (với khi đó ta được 1 2 2 a  1   b  2  i   a  1   b  3 i   b  2    b  3  b   . 2 3 9 3 2 Suy ra w  z  2  2i  a  2  i  w   a  2     2  . 2 4 2 Từ 1 ,  2  suy ra min | w | 1 . (CỤM TRẦN KIM HƯNG -HƯNG YÊN NĂM 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 2  iz  2  z 2  z  i  1 . Giá trị nhỏ nhất của z  2  i là A. 2 2 . B. 2. C. 2 . D. 1 5 . 2 Lời giải Chọn B Ta có z 2  iz  2  z 2  z  i  1  z 2  iz  2i 2  z 2  z  i  i 2   z  i  z  2i    z  i  z  i  1  z  i . z  2i  z  i . z  i  1  z i  0 1  .  z  2i  z  i  1  2  *  . z  x  yi,  x, y    , + Giải phương trình (1) : Ta có z  i  z  2  i  2i  2  2 2 + phương Giải 2 : trình 2 z  2i  z  i  1  x 2   y  2   Khi đó z  2  i  Câu 9. 2  x  2    y  1 2 Đặt 2  x  1   y  1   x  2 2 2 ta  y  x 1 2  x 2  2  x  1  2  2 x  1 Từ *  và ** ta có min z  2  i  2 . Dấu ”  ” xảy ra khi  hay z  1 . y  0 (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho số phức z thỏa 2 z  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1 . Tính min w , với w  z  2  2i . A. min w  1 . 2 B. min w  1 . có C. min w  3 . 2 D. min w  2 . Lời giải Chọn B 2 Ta có z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1   z  1  4   z  1  2i  z  3i  1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 3 mãn ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao   z  1  2i  z  1  2i    z  1  2i  z  3i  1  z  1  2i z  1  2i  z  1  2i z  3i  1  z  1  2i  0   z  1  2i  z  3i  1 TH1: z  1  2i  0  z  1  2i  w  z  2  2i  1  2i  2  2i  1  w  1 (1) TH2: z  1  2i  z  3i  1   z  2  2i   1  4i   z  2  2i   1  i  w  1  4i  w  1  i (*) 2 2 2 2 Gọi w  x  yi  x; y    thì (*)   x  1   y  4    x  1   y  1  y  3 . 2 2 3 3 3 Khi đó w  x  y  x     . Đẳng thức xảy ra  x  0 . Suy ra: min w  (2) 2 2  2 2 2 2 Từ (1) và (2) suy ra min w  1 . Câu 10. (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Cho số phức z thỏa mãn z  2  4i  z  2i và biểu thức iz  2  i đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm phần ảo của số phức z . A. 2 . 2 5 B.  . 2 3 C.  . 2 Lời giải D. 5 . 2 Chọn D Gọi z  a  bi  a, b    . Khi đó: z  2  4i  z  2i  iz  2  i   a  2  2   b  4 2  2 a2   b  2  a  4  b .  2  b 2   a  12   2  b 2   3  b 2  2b2  10b  13 2 5 1 2  .  2b     2 2 2  Vậy giá trị nhỏ nhất của iz  2  i là 2 5 3 khi b  ; a  . 2 2 2 Câu 11. (Chuyên Vinh Lần 2) Cho các số phức z và w thỏa mãn  2  i  z  z  1  i . Tìm giá trị lớn w nhất của T  w  1  i . A. 4 2 . 3 B. 2 . 3 C. 2 2 . 3 D. 2. Lời giải Chọn A Cách 1 z z  1  i   2 z  1   z  1 i  w w z z 2 2 2 z   2 z  1   z  1   5 z 2 z 2    2 z  1   z  1 i  . w w w Ta có:  2  i  z  2 Vì 5 z  2 z  2  0 z  z  0 . Đặt t  z t  0  . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2 1 5t 2  2t  2 2 2 2 3 1 1  9  Ta có: t  0  w  .  5   2  2     w t 3 t t 2 t 2 2 2 4 2  2  . 3 3  w  k 1  i   k  , k  0   2 2 1 1 1  Dấu đẳng thức xảy ra   w  k 2  k   w   i. 3 3 3 3 3  z 2  4 2 Vậy max T  . 3 Cách 2 z z Ta có:  2  i  z   1  i   2 z  1   z  1 i  w w z z 2 2 2 z   2 z  1   z  1   5 z 2 z 2    2 z  1   z  1 i  . w w w Khi đó: T  w  1  i  w  1  i  2 Vì 5 z  2 z  2  0 z  z  0 . Đặt t  z t  0  . 2 Ta có: 1 5t 2  2t  2 2 2 2 3 1 1  9  t  0  w  .  5   2  2     w t 3 t t 2 t 2 2 Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w là hình tròn tâm O  0; 0  , bán kính R  2 . 3 Khi đó: T  w  1  i  MI ( ở đây I  0; 2  là điểm biểu diễn cho số phức z0  1  i ) Dễ thấy điểm I  0; 2  nằm ngoài đường tròn tâm C  O; R  , suy ra T  MI đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi T  MI  IO  R  2  5 6 5  . 3 3 4 2 . 3 * Phân tích bài toán – Dạng toán đề cập đến ở đây bao gồm 2 yếu tố: + Cho trước một điều kiện module của số phức w . + Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của w . Vậy max T  Với yếu tố thứ nhất thông thường ta phải tham số hóa module của z , ở đây là đặt z  t , từ đó ta đánh giá để tìm ra miền biểu diễn số phức w . Với yếu tố thứ hai, chúng ta phải tìm GTLN, GTNN của w . Câu 12. (Chuyên Vinh Lần 2)Cho số phức z và w thỏa mãn  3  2i  z  z  1  i . Tính giá trị iw  1  3i lớn nhất của T  w A. 2  11 . 3 B. 2  10 . 5 C.  t  0 5 . 2 D. 5  13 5 Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Chọn B Ta   3  2i  z có: 2  3 z 1   2 z  1 2  z i  w  3  i z z  1  i  3 z  1   2 z  1 i  iw  1  3i iw  1  3i z 2  13 z  2 z  2  w3i  2 Đánh giá: 13 z  2 z  2  0, z  z  0 . Đặt t  z t  0  2 1 13t 2  2t  2 2 2 5 2  1 1  25   13   2  2       w3 i  Ta có: w3i t t t 2 5 2 t 2 2  10 5  w  3  i  k  3  i  ,  k  , k  0   2 2 1  Dấu đẳng thức xảy ra   w  3  i    k 10  k  5 5 5 5  z 2  1  3   1   w3i   3    1 i  3  i   w    5 5 5 5  5 5  Khi đó ta có: w  w  3  i  ( 3  i)  w  3  i  3  i  2  10 5 (Chuyên KHTN lần2) Xét các số phức z thỏa mãn z  2  i  1 . Gọi m, M là giá trị nhỏ nhất Vậy: MaxT  Câu 13. và lớn nhất của z . Giá trị M  m bằng: A. 3 . B. 2 . C. 1  2 5 . Lời giải D. 2 5 . Chọn D Ta có: z   z  2  i    2  i  . Áp dụng bất đẳng thức z1  z2  z1  z2  z1  z2 ta có: z  2  i  2  i  z  z  2  i  2  i  1  5  z  1  5  5 1  z  1  5 Vậy m  5  1, M  5  1 , do đó M  m  2 5 . Cho số phức z thỏa mãn z  z , Câu 14. 4  z  z2 là số thực. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá 4  z  z2 trị nhỏ nhất của z  1  i . Tính P  M  m. A. P  4 . B. P  2 C. P  4  2 Lời giải D. P  4  2 2 Chọn A 4  z  z2 2z 4  z  z2 4 4  1      z 1     z    2 2 4 z z 4 z z z z z 4 4 4 4 2  z   z   z   z   0  z  z z  4  0  z  2. z z z z    File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  z  1  i  z  1  i  2  2  P  4.   z  1  i  z  1  i  2  2 Câu 15. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Cho số phức z thỏa mãn 2 z  z 2  4 . Tìm giá trị lớn nhất của z . A. 1  5 . C. 3  5 . Lời giải B. 1  3 5 . D. 6  13 . Chọn A Cách 1: Đặt: z  x  yi  x; y   . Ta 2 z  z2  4  2 x2  y2  có: 2 x 2 2  y 2  4    2 xy  2 2  4  x 2  y 2    x 2  y 2  4   4 x 2 y 2   x 2  y 2   4 x 2  12 y 2  16  0 2    x 2  y 2   12  x 2  y 2   16  16 x 2  0  6  2 5  x2  y 2  6  2 5  z  x2  y 2  6  2 5  1  5 .   Vậy giá trị lớn nhất của z là 1  5 khi z  1  5 i . Cách 2: Áp dụng bắt đẳng thức trong số phức ta có: 2 2 2 2 z1  z2  z1  z 2  z  4  z  4  z  4  z  4 khi z  2 2 2 Theo đề ta có: 2 z  z 2  4  z  4  z  4 2 2  2 z  z  4  z  2 z  4  0  1 5  z  1 5 Vậy giá trị lớn nhất của z là 1  5 . Câu 16. Cho số phức z  a  bi  a  0, b  0  thỏa mãn a  b  2  0 , a  4b 12  0 . Hỏi giá trị lớn nhất của z là A. 2 5 . C. 5 . Lời giải B. 3 2 . D. 2 6 . Chọn A Theo giả thiết ta có a  0 a  0 b  0    b  0 .  4( a  b  2)  0  a  4  a  4b  12  0 2 12  a  Khi đó z  a 2  b 2  a 2    .  4  Suy ra 2  12  a  max z  max a     y  4   2 5. Dấu bằng đạt tại a  4 , b  2  z  4  2i . 0;4    4  2 Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn z 2  4  z . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính P  M  m . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. P  2 17  1 . 2 C. P  B. P  17 . Số Phức Nâng Cao 17  1 . 2 D. P  2 17  1 . 2 Lời giải Chọn B Ta có z 2  4  z  z 16  z.z   4  z.z z 4  4 4 4  4 z2  4    1  z   1   z   z    1   z   z    1 z z z  z z  z    2 z 16 4 z  z 2  1  z  2  2 z z z Vậy với a  z  0 , ta có 1  a 2  2   1. 16 17  1 17  1 8  a . 2 a 2 2 17  1 17  1   17 . 2 2 Câu 18. Gọi z  x  yi  x, y    là số phức thỏa mãn hai điều kiện Do đó P  z 2 2 z  2  z  2  26 và 3 3  i đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy. 2 2 9 A. xy  . 4 B. xy  13 . 2 C. xy  16 . 9 9 D. xy  . 2 Lời giải Đặt z  x  iy  x, y    . Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được x2  y 2  36. Đặt x  3 cos t , y  3sin t . Thay vào điều kiện thứ hai, ta có P  z 3 3    i  18  18sin  t    6. 4 2 2  3 3 2 3 2   z  i. Dấu bằng xảy ra khi sin  t    1  t   4 2 2  4 Chọn D z  2i Câu 19. Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn là số thuần ảo. Khi số phức z có môđun lớn z2 nhất. Tính giá trị biểu thức P  a  b . A. P  0 B. P  4 C. P  2 2  1 Lời giải z  2i a   b  2  i  a   b  2  i   a  2  bi  Ta có: là số thuần ảo   2 z  2  a  2   bi  a  2   b2 D. P  1  3 2 a  1  2 sin  2 2  a  a  2   b  b  2   0  a 2  2a  b 2  2b  0   a  1   b  1  2   b  1  2 cos  2 Ta có: a 2  b2  2  a  b   z  4  2 2  sin   cos    4  2 2. 12  12  8  z max  2 2 khi sin   cos   2  ab  4 . 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 20. Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z  1  i  5 . Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  7  9i  2 1  i  z  8  8i là? A. 3 5 . B. 5 5 . C. 2 5 . Lời giải D. 4 5 . Chọn B Với z  1  i  5  cos x  i sin x  , ta có: P  1  i  5  cos x  i sin x   7  9i  2 1  i  5  cos x  i sin x     5cos x  6  i  5sin x  8  2  5cos x  i sin x    2  5cos x  6    5sin x  8 2 8  8i 1 i 2  5cos x  1   5sin x  7  2 8  8i 1 i 2  25  60cos x  80sin x  100  2 25  10cos x  70sin x  50  5 5 . Câu 21. Cho số phức z thỏa mãn z  i  2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  2  z  2  2i . Tính P  M  m A. P  2  17 . B. P  2  2 17 . C. P  2  2 17 . Lời giải D. P  2  17 . Chọn B Ta có: z  i  2  cos x  i sin x  và z  2  z  2  2i  2  cos x  i sin x   i  2  2  cos x  i sin x   i  2  2i  2  2 cos x  2    2sin x  1 2  2  2cos x  2   2sin x 1 2  9  8cos x  4sin x  9  8cos x  4sin x  18  16 cos x  2  9  8 cos x  2  16 sin 2 x  18  16 cos x  2 80 cos 2 x  144 cos x  65   2;2 17  . z z Câu 22. Cho số thực z1 và số phức z2 thỏa mãn z2  2i  1 và 2 1 là số thực. Gọi M , m lần lượt là 1 i giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z1  z2 . Tính giá trị của biểu thức T  M  m ? A. T  4 B. T  4 2 C. T  3 2  1 D. T  2  3 Lời giải z  z  a  b  ci  i  1 Ta đặt z1  a, z2  b  ci khi đó: 2 1     c  b  a đồng thời ta cũng 1 i 2 2 có z2  2i  1  b 2   c  2   1 . Do vậy z1  z2   a  b   ci  c  ci  c 2 . Vì 2 2 b2   c  2  1  c  2   1  c  3  1  c  3 do đó z1  z2  c 2   2;3 2   T  4 2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 23. Số Phức Nâng Cao Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2  m  1 z  m 2  1  0 , với m là tham số thực. Biết giá trị lớn nhất của biểu thức P  A. T  2 2 . B. T  2 1 1  là M 0 đạt tại m  m0 . Tính T  M 0  m0 . z1 z2 C. T  2 2  2 Lời giải D. T  2 2  2 Chọn A Theo Vi – et:  z1  z 2  2  m  1  z1  z2  2  m  1    z1.z 2  m2  1  2  z1 .z2  m  1  2 2 2  z1  z 2    z1  z2   4 z1 .z2  8m  z1  z2  8m  0 z  z2 1 1 P   1  z1 z2 z1 . z 2 z 1  z2  2 2  m2  1 2 2 z1  z2  4 z1 . z2 m2  1 2 z1  z 2  z1  z2  4  m 2  1 z1.z1  z2 .z 2  4  m 2  1 2( m  1) 2    2  1 2 2 2 m 1 m 1 m 1 Khi đó M 0  1  2 , m 0  2  1  T  2 2. 4i  1. . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  z nhất của z  1  i . Tính P  M .m. A. P  4 . B. P  2 2. C. P  34 . Lời giải D. P  2 2. Chọn B Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức moddun ta có 4i 4i 4 1  17 2 . 1 z   z  z   z  z 4 0  z  z z z 2 4i 4i 4 1  17 2 .  z  z   z  z 4  0  z  z z z 2 Do đó áp dụng bất đẳng thức mô đun, ta có:  1  17 1  2 2  17  2  z 1  i  z  1  i  z  2   2 2   z  1  i  z  1  i  z  2  1  17  2  1  2 2  17  2 2 Suy ra P  2  2 . Cách 2: Với z  a  bi , theo giả thiết, ta có: 1 z  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A z Số Phức Nâng Cao 4i 4i  4i  4i  4i     1   z   z    1   z   z    1 z z  z z  z     2 2  z z  16 16 4i z  z 2 2  z  4i     2  1  z  2  1 2 z z z z z 16ab 16 1 2  a2  b2  2 . 2 a b a  b2 16ab 2 16 17  1 17  1 2  8 , do đó 1  z  2  8  Vì  a  b   0  2  z  . 2 a b 2 2 z Do đó áp dụng bất đẳng thức mô đun, ta có:  1  17 1  2 2  17  2  z 1  i  z  1  i  z  2   2 2   z  1  i  z  1  i  z  2  1  17  2  1  2 2  17  2 2 Suy ra P  2  2 . Câu 25. Trong các số phức z thoả mãn iz  6  3i  2 z  6  9i có hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 8 z1  z2  . Hỏi giá trị lớn nhất của z1  z2 là? 5 A. 56 . 5 B. 10 . C. 44 . 5 D. 76 . 5 Lời giải Chọn A Theo giả thiết ta có: 2 2 2  a  3   6  b    2a  6    2b  9  2 2   a  3   b  4   1  z  3  4i  1 . z  a  bi  2 Vận dụng bất đẳng thức modun cùng hằng đẳng thức đáng nhớ z1  z2  z1  3  4i   z 2  3  4i   6  8i  6  8i   z1  3  4i   z2  3  4i  2  10  2 z1  3  4i  z2  3  4i Bằng cách tương tự ta có z1  z2 Câu 26. 2 min    z  3  4i    z  3  4i  1  1 2  10  4  64 56  . 25 5 44 . 5 (Kim Liên 2016-2017) Cho số phức z và w biết chúng đồng thời thỏa mãn hai điều kiện: 1  i  z  2  1 và w  iz . Tìm giá trị lớn nhất của M  z  w 1 i A. M  3 3 . B. M  3 . C. M  3 2 . Lời giải D. 2 3 . Chọn C Cách 1. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có: 1  i  z 1 i  2 1  Số Phức Nâng Cao 1  i  z  2 1  i  1 i  1  1  i  z  2 1  i   1  i  1  i  z  2 1  i   2 . khác: 1  i  z  2 1  i   1  i  z  2 1  i   2  1  i  z  2 1  i   2 Mặt  2 z 3 2. Khi đó: M  z  w  z  iz  1  i  z  2 z  3 2 . Cách 2. y 3 2 1 O 1 1  i  z 1 i  2 1  1 x (1  i) z  2(1  i)  1  (1  i ) z  2(1  i)  1  i 1 i  (1  i) z  2(1  i )  2 1 Đặt z  x  yi thay vào 1 ta được 1  i  ( x  yi )  2(1  i)  2 2 2 2   x  y  2   ( x  y  2) 2  2  x  ( y  2)  1 . Tập hợp điểm biểu diễn số phức z trên hệ trục tọa độ là đường tròn tâm I (0;2) bán kính R  1 . Khi đó: 1  z  3  M  z  w  z  iz  1  i  z  2 z  3 2 . Câu 27. Cho số phức z  x  2 yi  x; y    thỏa z  1 . Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P  x y. A. 0. B. Theo giả C.  5 . 5. Lời giải thiết D. 5 2 ta có: 2  x 2  4 y 2  1  P  y   4 y 2  1  0 5 y 2  2 Py  P 2  1  0 *  z  1     .  x  P  y  x  P  y x  P  y  P  x  y Để hệ có nghiệm thì phương trình * có nghiệm với mọi y   .   ‘*  P 2  5  P 2  1  0 5 5 5  P 4 2 2  max P  min P  0 .  P2  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 28. Cho biết z  4 2  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  z  1? z A. 8  3 5 B. 6  5   Ta có 4   z  2 4 z   4 2 C. 6  5 Lời giải z 4  4 16 2  z    z  2  4  z  z z z 16 z Vì z  z Số Phức Nâng Cao 2 2  4. z z z   4 Re  z  2 2 z  z z z 2 z  16   4. 2 2  z 2 z 2 z 2  0 do đó 4  z  2 16 z D. 8  3 5 2 2 2 8 2  z  12 z  16  0  6  2 5  z  6  2 5  5  1  z  5  1  P  8  3 5 . Chọn D Câu 29. Cho số phức z 2017  1  1 . Gọi A. A  2017.2016 2 P z . Tính A  2017.  max P   2017.  min P  B. A  2017.2017 3 Ta có: max P  max z  0  max P 2017 C. A  2017.2017 2 Lời giải 2017  max z  max z 2017 . Mặt khác ta cũng có: min P  z  0  min P 2017  min z 2017 . D. A  2017  min z 2017 . Gọi z 2017  a  bi  a, b     Tập hợp điểm biểu diễn số phức z 2017 là đường tròn tâm I  0;1 2017 2  max P  max P  2017.2017 2 có bán kính R  1     A  2017.2017 2 .  2017 min P  0 min P  0   Chọn C File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao ÁP DỤNG CÁC BĐT BUNHIACOPXKI Câu 30. Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  z 2  3  4i và z1  z2  5 . Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức z1  z2 là? A. 5 . B. 5 3 . C. 12 5 . Lời giải D. 5 2 . Chọn D Sử dụng đẳng thức đã biết, ta có:  2 2 z1  z2 2  z z 1 2 2 2  z1  z2  52  33  42  50 . Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:  2 z1  z2  2 z1  z2 2  50  5 2 . Câu 31. Cho số phức z thỏa z  1 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T  z  1  2 z  1 . A. max T  2 5 . B. max T  2 10 . C. max T  3 5 . Lời giải D. max T  3 2 Gọi z  a  bi  a, b     a 2  b 2  1 . Ta có: T  z  1  2 z  1   a  1 2  b2  2  a  1 2  b2 B.C . S  a 2  b 2  2 a  1  2 a 2  b 2  2 a  1  2a  2  2 2  2 a  1 2  22   4   2 5 . Vậy max T  2 5 . Câu 32. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2 . Tìm giá trị lớn nhất của T  z  i  z  2  i . B. max T  4 . A. max T  8 2 . C. max T  4 2 . Lời giải T  z  i  z  2  i   z  1  1  i    z  1  1  i  . D. max T  8 . Đặt w  z  1 . Ta có w  1 và T  w  1  i   w  1  i  . 2 Đặt w  x  y.i . Khi đó w  2  x 2  y 2 . T   x  1   y  1 i   x  1   y  1 i  1.  2  x  1   y  1 1 2  2  1. 2 2  x  1   y  1 2 2 2  12   x  1   y  1   x  1   y  1 2   2  2×2  2 y 2  4  4 Vậy max T  4 . Chọn B Câu 33. (THPT LÝ THƯỜNG KIỆT – HÀ NỘI) Cho số phức z thoả mãn z  3  4i  5 và biểu thức 2 2 P  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Tính z  i A. 61 . B. 41 . C. 5 3 . Lời giải D. 3 5 . Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Gọi z  x  yi với x , y   . 2 2 Vì z  3  4i  5   x  3    y  4   5 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm I  3;4  , bán kính R  5 . 2 2 2 2 Ta có P  z  2  z  i   x  2   y 2  x 2   y  1  4 x  2 y  3  4 x  12  2 y  8  23  4  x  3  2  y  4   23 . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4 số: 4, x  3, 2, y  4 ta có: P  23  4  x  3  2  y  4   16  4. 2  x  3   y  4  2  10  P  33 x3 y 4   2 x  4 y  10  x  5    MaxP  33 khi  4 . 2   4 x  2 y  30 y  5 4 x  2 y  30  z  1  5  6i  61 . Câu 34. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  8  6i và z1  z2  2 . Tìm giá trị lớn nhất của P  z1  z2 . A. P  4 6 C. P  5  3 5 D. P  32  3 2 Lời giải 2 2 a  c   b  d  i  8  6i  z1  a  bi  a  c    b  d   100 Gọi:   .  a, b, c, d      2 2 2 2 a  c  b  d  4      z2  c  di a  c  b  d  4      2 B. P  2 26 2 2 2   a  c    b  d    a  c    b  d   104  a 2  b 2  c 2  d 2  52 . B.C . S Mặc khác: P  a 2  b 2  c 2  d 2  1 2  12  a 2  b 2  c 2  d 2   2 26 . Cách 2: Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 , z2 trên mặt phẳng phức và D là điểm thứ tư của hình bình hành AOBD  D là điểm biểu diễn số phức  z1  z2   OD  z1  z2  10 . z1  z2 chính là độ dài đoạn AB .  AB 2  OA2  OB 2  2OA.OB.cos  AOB  4 2  104  2  OA2  OB 2    OA  OB  OAB có  2 2 2 AOB  100 OD  OA  OB  2OA.OB.cos    OA  OB  max  104  2 26   z1  z2 max  2 26 . Câu 35. (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho hai số phức z, w thỏa mãn z  3w  2  2 3i và z  w  2 .Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  w bằng A. 2 21 B. 2 7 C. 21 3 D. 2 21 3 Lời giải Chọn D Ta có. z  3w  2  2 3i  z  3w  2  2 3i  4 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  z  3w 2  16  z  3w . z  3w   16  z 2  9 w 2  3 zw  zw   16 2 2    2  z 3 w 7 2 2  z  w  . z  w   4  z  w  4  z  w   zw  zw  4 Áp  z  w 2 dụng bất đẳng 28 2 21 2 2  1  1   . z  3 w  zw . 3 3  3  thức Cauchy-Schwarz:  2 21 . 3 Câu 36. (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Với ai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  8  6i và Vậy Pmax  z1  z2  2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z1  z2 là: A. 5  3 5 . B. 2 26 . C. 4 6 . Lời giải D. 34  3 2 . Chọn B Đặt z1  a  bi, z2  c  di,  a, b, c, d    . a  c  8 Ta có: z1  z2  8  6i nên a  bi  c  di  8  6i   . b  d  6 2 2 Do đó  a  c    b  d   100  a2  b 2  c 2  d 2  100  2ac  2bd 1 . z1  z2  2 Vì nên 2 ta có: 2 a  bi  c  di  2   a  c    b  d   4  a 2  b 2  c2  d 2  4  2ac  2bd  2 .   Cộng (1) và (2) ta được: 2 a 2  b2  c 2  d 2  104 .  2  Áp dụng bất đẳng thức 2 x2  y 2   x  y  ta có: P2   a 2  b2  c 2  d 2 2   2  a  b  c  d   104 . 2 2 2 2 Do đó P  2 26 . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 2 26 . Câu 37. ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho z là số phức thỏa mãn z  z  2i . Giá trị nhỏ nhất của z  1  2i  z  1  3i là B. 13 . A. 5 2 . C. 29 . Lời giải D. 5. Chọn B Đặt z  a  bi  a, b    . 2 Ta có: z  z  2i  a 2  b 2  a 2   b  2   4b  4  0  b  1  z  a i. Xét: z  1  2i  z  1  3i  a  1  i  a  1  2i  1  a  2  12  1  a  2  22 . Áp dụng BĐT Mincôpxki: 1  a  2  12  1  a  2  22  2 1  a  1  a   1  2  2  4  9  13 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 1 . 3 Nhận xét : Bài toán trên có thể được giải quyết bằng cách đưa về bài toán hình học phẳng. Câu 38. (Đặng Thành Nam Đề 12) Cho số phức z  a  bi , (a, b  ) thỏa mãn 2 z  2  3i  1. Khi Suy ra: z  1  2i  z  1  3i đạt GTNN là 13 khi 2 1  a   1  a  a  biểu thức P  2 z  2  z  3 đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của a  b bằng A.  3 . B. 2 . C. 2 . Lời giải D. 3 . Chọn A Theo giả thiết có: 2 2(a  bi )  2  3i  1  (2a  2)  (2b  3)i  1   2a  2   (2b  3) 2  1. 2 3 1   (a  1)2   b    * 2 4  Cách 1: (Đại số) *  a 2  b2  3  2a  3b . 2 3 1  Từ * suy ra  b     1  b  2. 2 4  Khi đó biến đổi và sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được: P  2 z  2  z  3  2 ( a  2) 2  b 2  ( a  3) 2  b 2  2 a 2  b 2  4a  4  a 2  b 2  6a  9  2 (3  2a  3b)  4a  4  (3  2a  3b)  9  6a  2 2a  3b  1  8a  3b  6  8a  12b  4  8a  3b  6  (1  1)(8a  12b  4  8a  3b  6)  2(15b  10)  2(15.2  10)  4 5. 8a  12b  4  8a  3b  6 a  1 Dấu “ = ” xảy ra khi   . b  2 b  2 Suy ra MaxP  4 5 khi a  1, b  2 . Vậy a  b  3. Cách 2: (Hình học) Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn hình học của số phức z . 3 1  Từ * suy ra M thuộc đường tròn  C  có tâm I  1;  bán kính R  . 2 2  Gọi A  2; 0  , B  3; 0  và H  1; 0  . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao   Khi đó P  2 MA  MB và HB  4HA . Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được: 2 P 2   2 MA  MB   1  1  4 MA 2  MB 2  . Ta có:  2  2   2   2 4MA2  MB 2  4MA  MB  4 MH  HA  MH  HB      4 MH 2  8MH .HA  HA2  MH 2  2MH .HB  HB 2     5MH 2  2 MH 4 HA  HB   HA2  HB 2   5MH 2   HA2  HB 2  .           Do các điểm H , A, B cố định và P  0 nên P lớn nhất khi MH là lớn nhất  M là giao điểm của đường thẳng IH với đường tròn  C  ( I nằm giữa M và H ). Dễ dàng tìm được M  1; 2  hay a  1; b  2 . Vậy a  b  3. Câu 39. (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Cho các số phức z, w thỏa mãn wi  3 5 5 và 5 w  (2  i )( z  4) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  2i  z  6  2i . A. 7. B. 2 53 . C. 2 58 Lời giải D. 4 13 . Chọn C Cách 1. Ta có 5 w  (2  i )( z  4)  5 w  5i  5i  (2  i )( z  4)  5 w  i  (2  i ) z  8  i . Đặt z  x  yi với x , y   ta được (2  i )( x  yi)  8  i  3 5 2 2  2 x  y  8  ( x  2 y  1)i  3 5  (2x  y  8)  ( x  2 y  1)  45  4×2  y2  64  4xy  32x  16 y  x2  4 y 2 1  4xy  2x  4 y  45  5×2  5 y 2  30 x  20 y  20  0  ( x  3)2  ( y  2)2  9  x  3sin   3 Đặt  . Khi đó  y  3cos   2 P  x 2  ( y  2) 2  ( x  6) 2  ( y  2) 2  18 sin   24 cos   34  18 sin   24 cos   34 . Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Copsky ta có P  12  12 . 48cos   68  2 58  18sin   24cos   34 18sin   24cos   34 cos   1   Dấu bằng xảy ra khi   . 1 1 sin   0 cos   1  Suy ra max P  2 58 khi z  3  5i . Cách 2. Ta có 5 w  (2  i )( z  4)  5 w  5i  5i  (2  i )( z  4)  5 w  i  (2  i ) z  8  i . 8i  3 5  5 z   3  2i   z   3  2 i   3 . 2i Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  3; 2  và bán kính R  3 .  5 wi  2i z  Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z ; File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao A  0;2  là điểm biểu diễn số phức z1  2i ; B  6;2  là điểm biểu diễn số phức z2  6  2i . E  3;2  là trung điểm của đoạn thẳng AB . 2 Ta có P  MA  MB  P 2   MA  MB   2  MA2  MB 2   4 ME 2  AB 2 . Khi đó P đạt giá trị lớn nhất khi ME đạt giá trị lớn nhất hay ME  R  IE . 2 Vậy Pmax  4  R  IE   AB 2  2 58 7 xI  3xE   xM   3      xM  3 4 khi MI  ME  7 MI  3 ME  0   .  7  y M  5  y  7 yI  3 yE  M 4 Câu 40. (Sở Bắc Ninh 2019) Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  1  3i  3 2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  2  i  6 z  2  3i bằng A. 5 6 .   D. 10  3 15 . C. 6 5 . B. 15 1  6 . Lời giải Chọn C Ta có 1  i  z  1  3i  3 2  z  1  2i  3 nên tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (1; 2) , bán kính R  3 . Đặt a  z  1  2i, b  1  i .    z  2  i 2  a  3b 2  a 2  9 b 2  3 a.b  a.b  Ta có  2 2 2 2  z  2  3i  a  b  a  b  a.b  a.b 2 2 2 2 2 2  z  2  i  3 z  2  3i  a  3b  3 a  b  4 a  12 b  60 .  Khi đó P  a  3b  2. 3 a  b  Câu 41.  1  2   a  3b 2 3 ab 2 6 5. (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2  3i  5 z2  2  3i  3 . Gọi m0 là giá trị lớn nhất của phần thực số phức z1  2  3i . Tìm m0 . z2  2  3i File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. m0  3 . 5 B. m0  81 . 25 Số Phức Nâng Cao C. m0  3 . D. m0  5 . Lời giải Chọn D  w  3  a 2  b2  w1  z1  2  3i  a  bi  1 Đặt  với a , b, c, d   , theo giả thiết ta có:  . 3 2 2  w2  z2  2  3i  c  di  w2   c  d  5 z1  2  3i w1  a  bi   c  di  ac  bd   bc  ad  i .    9 z2  2  3i w2 c2  d 2 25 25  ac  bd  w Phần thực của số phức 1 là . 9 w2 9 9 2 2 Ta có  ac  bd    a 2  b 2  c 2  d 2    ac  bd   9.  ac  bd  . 25 5 25  ac  bd  w   5 . Dấu ”  ” xảy ra khi ad  bc hay 1 là số thực và w1  5 w2  3 . 9 w2 Vậy m0  5 . Câu 42. (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  z  2i . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  z  1  2i  z  3  4i  z  5  6i được viết dạng a  b 17 với a , b là số hữu tỉ. Giá trị của 3a  b bằng 2 A. 4 . B. 2 . D. 3 . C. 1. Lời giải Chọn C Gọi z  x  yi với x , y   . Ta có: z  2  z  2i 2   x  yi   2   x  yi   2i   x  2   yi  x   y  2  i   x  2   y 2  x 2   y  2   x  y hay z  x  xi Khi đó ta có A   x  1   x  2  i   x  3   x  4  i   x  5    x  6  i  2  x  1   x  2  2 2  x  3   x  4   2  2  x  5   x  6 2  2 x 2  6 x  5  2 x 2  14 x  25  2 x 2  22 x  61 2 2 2 2 2   3 1 7 1  11   1      2.  x         x      2  x      2 2 2 2 2   2     2 2 2 3 11 7 1   1 1   2.  x    x       2  x    2 2 2 2   2 2   2. 17  1 1  2 17  . 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 20 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 3 11   x  2  2  x 7 Dấu bằng xảy ra khi  x . 2 x  7  0  2 1  2 17 . Suy ra a  1 , b  2 nên 3a  b  1 . 2 (Đặng Thành Nam Đề 3) Trong các số phức z thoả mãn z  3  4i  2 có hai số phức z1 , z2 Vậy: min A  Câu 43. 2 thỏa mãn z1  z2  1. Giá trị nhỏ nhất của z1  z2 A. 10 . B. 4  3 5 . 2 bằng C. 5 . Lời giải D. 6  2 5 . Chọn A  a  32   b  4 2  4 1   z  a  bi 2 2 Đặt  1  a, b, c, d    . Theo đề ta có:  c  3   d  4   4  2   z2  c  di  2 2  a  c    b  d   1  3 Khi lấy (1) – (2) theo vế có a 2  b 2  c 2  d 2  6  a  c   8  b  d  . Kết hợp sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz và sử dụng (3) ta có: 2 2 z1  z2  a 2  b 2  c 2  d 2  6  a  c   8  b  d    6 2 2 2  82   a  c    b  d    10.    a  32   b  4  2  4   c  32   d  4  2  4 2 2  Vậy giá trị nhỏ nhất của z1  z2 là 10 khi  . 2 2 a  c  b  d  1      a  c b  d  k 0   6 8  27  4 15 144  12 15  i   z1  10 40    33  4 15 176  12 15  i   z2  10 40   Tồn tại 2 cặp số phức thỏa mãn là: .  27  4 15 144  12 15   z1   i 10 40     z2  33  4 15  176  12 15 i 10 40   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Câu 44. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  3 1  z . A. 3 15 B. 6 5 C. 20 Lời giải D. 2 20. Gọi z  x  yi;  x  ; y    . Ta có: z  1  x 2  y 2  1  y 2  1  x 2  x   1;1. 2 Xét hàm số f  x   2 1  x   y 2  3 1  x   y 2  2 1  x   3 2 1  x  . 2 1  x   3 2 1  x  ; x   1;1. Hàm số liên tục trên  1;1 Ta có: P  1  z  3 1  z  1 x   1;1 ta có: f   x   2 1  x   và với 3 4  0  x     1;1 . 5 2 1  x   4 Ta có: f 1  2; f  1  6; f     2 20  Pmax  2 20.  5 Chọn D Câu 45. Cho số phức z thỏa mãn z  1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z 2  z  1 . Tính giá trị của M .m . A. 13 3 . 4 B. 39 . 4 C. 3 3. D. 13 . 4 Lời giải Gọi z  x  yi;  x  ; y    . Ta có: z  1  z.z  1 Đặt t  z  1 , ta có 0  z  1  z  1  z  1  2  t  0;2. Ta có t 2  1  z 1  z   1  z.z  z  z  2  2 x  x  Suy ra z 2  z  1  z 2  z  z.z  z z  1  z  t2  2 . 2  2 x  1 2  2x 1  t2  3 . Xét hàm số f  t   t  t 2  3 , t   0; 2 . Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra max f  t   13 13 3 ; min f  t   3  M .n  . 4 4 Chọn A Câu 46. Tìm giá trị lớn nhất của P  z 2  z  z 2  z  1 với z là số phức thỏa mãn z  1 . A. max P  13 4 B. max P  9 4 C. max P  13 3 D. max P  11 3 Lời giải 2  2    z2  z   z2  z  z  z  2  z  z  2  2x  z2  z  2  2x  Ta có  . 2 2 2  z 2  z  1   z 2  z  1 z  z  1  1  2 z  z  z  z  z 2  z  1  2 x  1  13 7 Từ đây ta tìm được max P  max 2  2 x  2 x  1   x  .  1;1 4 8        File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 22 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 47. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi a , b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z 2  1  1  z . Tính T  a  b . A. T  2  2 . B. T  2  2 . C. T  2  2 . Lời giải D. T   2 . Chọn B 2 Với z  m  ni , ta có: z. z  z  1  m 2  n 2  m 2  1  1  m  1 và: 1 1 z.z  P  z  z    z 1  z   z 1  z   z 1  z  z  z 1  2 m  z z z  2m   m  1 2  m  1 2  n2  1  m 2  2 m  2 1  m  , m   1;1 . Vậy a   2, b  2  T  2  2 . Câu 48. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi a , b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z 2  z  1 . Tính T  A. T  5 . 4 B. T  a . b 1 2 5 . 26 C. T  3 . 4 D. T  13 . 16 Lời giải Chọn D 2 Ta có z  m  ni , z.z  z  m 2  n 2  1 Do đó biến đổi P ta được 1  P  z  1  z  z 1    z  1  z  1  z  z  13    2m  1  2m  2   3;  ;   1  m  1 . 4  13 13 13  . Nên a  ; b  3  T  4 4 1  3 16  m  1 2  n 2  2m  1   Câu 49. Cho số phức z thỏa mãn  z  2  i  1  z  2 i  1  6 . Tính tổng T  max z  min z ? A. T  5 5 2 . 2 B. T  0 . C. T  6 . D. T  3 5 2 . 2 Lời giải Chọn A Đặt z  a  bi; a, b   .   Ta có:  z  2  i  1  z  2 i  1  6   a  bi  2  i  1  2  a  bi  2  i  1  6  2  a  2   1  b  2  2 2  a  2    b  1  6 45  9  b  1 a  0 2   5 9a 2   9  b  1 2 2 5 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  1 5  b  1 5 2 45  9  b  1 2 Khi đó z  a  b  2  b2 . 5 Khảo sát hàm số, ta có 45  9  b  1 min 2  45  9  b  1 max 2 9 3 5  b2  y    . 2 4 5 1 5;1 5      b2  y 1  5  5  1 ; 5 1 5;1 5    5 52 2 Câu 50. Cho hai số phức z thõa mãn: z  1 . Gọi a , b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Vậy T  biểu thức P  z 3  1  z 2  z  1 . Tính T  a  b .  4 13  5 10 A. T  27 .  4 15  5 10 B. T  5 . C. T  27 .  4 14  5 10 D. T  27 . Lời giải Chọn A 2 Với z  m  ni , z.z  z  m 2  n 2  1 và biến đổi biểu thức P ta có: P  z 3  1  z 2  z  1  z 2  z  1  z  1  1 1   z  z  1    z  1  1   z  1  z   z  1  1 z    2m  1  1    m  1 2  n 2     f  m    2m  1 1  2m  2    Khảo sát f  m    2m  1 1  2m  2 trên  1;1 ta có min f  m   0 ;  1;1    7  2 10  4 13  5 10 Max f  m   f     1;1 18 27   Câu 51. Cho số phức thỏa z  1 . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  z  1  z 2  z  1 . Lời giải Đặt z  a  bi  a; b     a  b  1 . 2 z 1   a  1 2 2  b 2  2  a  1 z 2  z  1   a 2  2abi  b 2    a  bi   a 2  b 2   2a 2  a    2a  1 bi   2a 2 2 2  a    2a  1 b 2   2a  1 2 a 2  b 2   2a  1 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 24 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Vậy P  2  a  1  2a  1 .   7  13 max P  P 1  3 max P  P  8   4   1    1  Xét a   ;1   . Xét a   1;    . 1   2  min P  P    3  2  1 min P  P    3 2    2  13 7 15 P z  i max  4 8 8 z  1  Kết luận  . 1 3  P 3 z  i  min 2 2 z  1  Câu 52. (Sở Hưng Yên Lần1) Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z 2  z  1 . Tính M .m . A. 13 3 . 4 B. 39 . 4 C. 3 3 . D. 13 . 4 Lời giải Chọn A Giả sử z  x  yi ,  x, y  R  . Do z  1  x 2  y 2  1  x 2  y 2  1 . Suy ra x, y   1;1 . 2 Ta có z.z  z  1 . Thay vào P ta được:   P  z  1  z 2  z  z.z  z  1  z z  1  z  z  1  z . z  z  1  z  1  z  z  1   x  1 2  y2  2x 1  2x  2  2x 1 . Xét hàm số y  f  x   2 x  2  2 x  1 Ta có y    f  x     1   2 x  2  2 x  1 khi 1  x  2 f  x   . 1  2 x  2  2 x  1 khi  x 1  2 1 1  2 khi 1  x  2 2x  2 1 1  2 khi  x 1 2 2x  2 1 1    1  x  2  1  x  2 7 x  f ‘ x  0   8  2x  2  1  1 20  2  2 x  2 Bảng biến thiên của hàm số f  x  trên  1;1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 25 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 x y’ + 7 1 8 2 1 0 13 y Số Phức Nâng Cao + 3 4 3 3 m  min f  x   3  1;1  Suy ra  14 M  max f  x    1;1   3  13 3 . 4 Câu 53. Cho số phức z  x  yi  x, y    thỏa mãn điều kiện z  1  i  z  2  3i  5 . Gọi M , m lần Vậy M .m  2 lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  x. z . Tổng M  2m bằng A.  54. B. 27. Đặt z  x  yi  x, y     M  z  Từ C. 18. D.  9. Lời giải   x; y  và A  1;1 , B   2;3 suy ra AB  5. giả thiết 2 2 ta 2 có 2  x  1   y  1   x  2    y  3  MA  MB  AB.  M thuộc đường thẳng  AB  : 2 x  y  1  0  y   2 x  1 với x    2; 1 . 2 2 Khi đó P  x. z  x.  x 2   2 x  1   5 x 3  4 x 2  x . Đặt f  x   5 x3  4 x 2  x .   z  1  i  z  2  3i  Xét hàm số f  x  trên đoạn   2; 1 , có f ‘  x   15 x 2  8 x  1  0; x    2; 1 .  M  f   1   2 Suy ra f  x  là hàm số đồng biến trên   2; 1    M  2m   54. m  f  2   26    Chọn A im Câu 54. Cho số phức z   m    . Gọi k  k    là giá trị nhỏ nhất sao cho tồn tại 1  m  m  2i  z  1  k . Giá trị k thuộc khoảng nào sau đây. 1 1 A.  ;  . 3 2 2 4 C.  ;  . 3 5 Lời giải im im 1 1  m   i z  2   z 1  2 1  m  m  2i  i  2mi  m im mi Ta có: 1 2 B.  ;  . 2 3 1  m   i a a    b  0  . Áp dụng z  1  b b mi 4  D.  ;1 5  m2  2m  1 m2  1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 26 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao k  0 m 2  2m  2  2  z  1  k   m  2m  2 . Xét f  m   m2  1  k2  2  m 1 Theo yêu cầu bài toán, tồn tại kmin để z  1  k  min f  m   k 2 1 5  3  5 Ta có min f  m   f     2  2    2 5 1 4 k 5 1 k  0 . 2 5 1 là giá trị k cần tìm  B . 2 Cách biến đổi khác, bình thường hơn: i m im 1 m i z  2   2  2 2 1  m  m  2i  i  2mi  m i  m m 1 m  1 Vậy k  2  m  m2  1   1  m  m2  1 i  z 1    z  1     2  2 m2  1 m2  1  m 1   m 1  2 2 2  m   m 2  1   1  2 m 2  2m  m 2  1   m 2  1  1 m 2  2m  2   2   .  z 1    2 2 m2  1  m  1   m  1   m2  1 Câu 55. (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019)Cho số phức z có z  1 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  1  z  1  z 2 . Tính giá trị M 2  m2 . A. 20 . B. 18 . C. 24 . Lời giải D. 16 . Cách 1: (Phương pháp đại số) +) Gọi z  x  yi (với x , y ). Vì z  1 ta có z. z  1 và x 2  y 2  1  y 2  1  x 2 (với x   1;1 ). +) Đặt t  1  z  0  t  1  z  1  z  t   0;2 và t  1 z  1  z  .1  z   1  z 1  z   1  z  z  z.z  2   x  yi    x  yi   2  2 x 2 t2  t  2  2x  x  . 2 +) Ta có: P  1  z  1  z 2  t  z. z  z 2  t  z . z  z  t  2 x  t  2  t 2 2 Xét hàm số f  t   t  2  t 2 trên  0;2 . 1 Với t  0; 2  ta có: f  t   t  2  t 2  f   t   1  2t  0  t  (lo¹i) . 5 suy ra f  0   2 và f  2  2. 1 2; 2  ta có: f  t   t  2  t 2  f   t   2t  1  0  t   (lo¹i) . 5 suy ra f  2   4 . Với t   2 2 Vậy Pmax  M  4 và Pmin  m  2  M  m  18 . Cách 2: (Phương pháp hình học) File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 27 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao +) Giả sử số phức z được biểu diễn bởi điểm Q  x; y   z có điểm biểu diễn là điểm Q  x;  y  đối xứng với điểm Q qua trục Ox . +) Theo giả thiết z  1 nên tập hợp điểm Q là đường tròn tâm O  0;0 và bán kính bằng 1 . Ta có hình vẽ như sau: y B Q A C O H 1 x Q’ +) z  1  z.z  1  P  1  z  1  z 2  z  1  z. z  z 2  z  1  z . z  z  z  1  z  z . +) Từ hình vẽ ta có: z  1  AQ và z  z  2 x  2.OH , suy ra: P  AQ  2.OH  Pmax  Q  C  M  Pmax  AC  2OC  2  2.1  4 . Pmin  Q  B  m  Pmin  AB  2.OO  AB  OA 2  OB 2  2 . 2 2 Vậy M  m  18 . Câu 56. (SỞ PHÚ THỌ LẦN 2 NĂM 2019) Giả sử z là số phức thỏa mãn iz  2  i  3 . Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 z  4  i  z  5  8i bằng A. 18 5 . B. 3 15 . C. 15 3 . Lời giải D. 9 5 . Chọn D Ta có: iz  2  i  3  i . z  2i  3  z  1  2i  3 1 i Gọi z  a  bi với a, b   . a  1  3sin t 2 2 Từ (1), ta có  a  1   b  2   9   t   . b  2  3cos t Suy ra z  1  3sin t    2  3cost  i . Đặt P  2 z  4  i  z  5  8i . Khi đó: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 28 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A P2  3  3sin t  2 2   3  3cos t    6  3sin t  2 Số Phức Nâng Cao   6  3cos t  2      6 3  2sin t  2 cos t  3 9  4sin t  4cos t  6 3  2 2 sin  t    3 9  4 2 sin  t   4 4     Đặt u  sin  t   , u   1;1 .  4 Xét hàm số f  u   6 3  2 2u  3 9  4 2u trên đoạn  1;1 f ‘ u   6 2  6 2 . Cho f ‘  u   0  u  3  2 2u 9  4 2u Ta có bảng biến thiên của hàm số f  u  : 1   1;1 2 của P là 9 5 . Dấu bằng   t    k 2  z  2  2i 1 1    u  sin  t      k      2  4 2 2   z  1  5i t    k 2 Cách khác: Sử dụng Bất đẳng thức Bunhia đánh giá Do vậy giá trj lớn nhất xảy ra khi     P  6 3  2 2 sin  t    3 9  4 2 sin  t   4 4        3 2 6  4 2 sin  t    3 9  4 2 sin  t    (18  9)(6  9)  9 5 . 4   4 Cách 2 ( thông dụng hơn): 2i Ta có: iz  2  i  3  i . z   3  z  1  2i  3 1 i Gọi z  a  bi với a, b   . 2 2 Từ (1), ta có  a  1   b  2   9  a 2  b 2  2 a  4b  4 . Khi đó: P  2 ( a  4) 2  (b  1) 2  (a  5) 2  (b  8) 2  2 a 2  b 2  8a  2b  17  a 2  b 2  10a  16b  89  2 6a  6b  21  2. 6a  6b   Câu 57.  4  2   21   93    405  9 5 2  (Chuyên Sơn La Lần 3 năm 2018-2019) Cho số phức z có phần thực bằng 1 nhất của  i bằng z A. 2. 91 2 B. 1. C. 1  2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 2 . Giá trị lớn D. 2 . Trang 29 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Lời giải Chọn A Đặt z  2  bi, b   .   1  b   2i 1 1  zi 1  zi 1  2  bi i i      z z z 2  b2 2  b2 b2  2b  3 b2  2 2 b 2  2 b  4 1  b  2 2 2  b2  b2  2b  3 b2  2 Xét hàm số y  y    2 b 2  2 .2. b2  2b  3 b2  2  b2  b  2  b 2   2b  3 b 2  2  3 b  2 y  0   . b  1 lim y  1 . b  Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy max y  2  b  1 . 1 Do đó giá trị lớn nhất của  i là 2 . z Câu 58. (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Xét tập hợp S các số phức z  x  yi  x, y    thoả mãn điều kiện 3 z  z  1  i  2  2i  . Biểu thức Q  z  z  2  x  đạt giá trị lớn nhất là M và đạt được tại z0  x0  y0i (khi z thay đổi trong tập S ). Tính giá trị T  M .x0 y02 . A. T   9 3 . 2 B. T  9 3 . 4 C. T  9 3 . 2 D. T   9 3 . 4 Lời giải Chọn D Ta có 3 z  z  1  i  2  2i   3 x  3 yi  x  yi  4  2 x  4 yi  4 2 2  x  4y  4   2  x  2  . 2 yi  2  x   2 y  2  x   2 y  4  x2 Khi đó Q  z  z  2  x   Q  4  x2 2  x . Xét hàm số f ( x )   2  x  4  x 2 với x   2; 2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 30 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2 x2  2 x  4  x  1 ; f ( x)  0   . 4 x x  2 Ta có bảng biến thiên f ( x)  2 Nên Max f ( x)  3 3  f (1) . x 2;2 3 9 3 .  T  4 4 Câu 59. (KHTN Hà Nội Lần 3) Xét các số phức z thỏa mãn z  1 , giá trị nhỏ nhất của biểu thức Vậy M  3 3 ; x0  1 ; y02  1 z z 2 4 A. 2 bằng 2 . 8 B. 1 . 8 1 . 16 Lời giải C. D. 1 . 4 Chọn B 4 Theo đề z  1 . Đặt z  cos x  i sin x  x    . Suy ra z 4   cos x  i sin x   cos 4 x  i sin 4 x . 2 Khi đó z 4  z  1 1    cos 4 x  cos x     sin 4 x  sin x  i 2 2  2 2 1 2    cos 4 x  cos x     sin 4 x  sin x  2  9   cos 4 x  2 cos 3 x  cos x 4 9   8 cos 4 x  8 cos 3 x  8 cos 2 x  5 cos x  1 4 9   f  t  . Với f  t   8t 4  8t 3  8t 2  5t  1, t   1;1 . 4  1  11  1 9 9   min 1;1 f  t    f    . 4 4 4   8 Câu 60. (Chuyên Bắc Giang) Cho số phức z có z  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z 2  z  z 2  z  1 là A. 13 . 4 B. 3 . C. 3. D. 11 . 4 Lời giải Chọn A Giả sử z  x  yi  x , y    . Theo giả thiết ta có x 2  y 2  1. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 31 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Ta có: P  z 2  z  z 2  z  1  z  z  1  z 2  z  1  z . z  1  z 2  z  1  z  1  z 2  z  1 . z  1  x  yi  1   x 1 2  y2  x2  y2  2x  1  2  2x . z 2  z  1  x 2  y 2  2 xyi  x  yi  1  2 x 2  x  y  2 x  1 i 2 2  z 2  z  1  x 2  2 x  1  y 2  2 x  1   2 x  1 2 x 2  y2   2x  1 . Suy ra P  2  2 x  2 x  1 . Xét hàm số f  x   2  2 x  2 x  1 trên đoạn  1;1 . 1  + Trên  1;   : 2  1 1   2  0, x   1;   . 2 2  2x  1  Mặt khác hàm số f  x   2  2 x  2 x  1 liên tục trên  1;   . 2  1 1   Do đó hàm số nghịch biến trên  1;    f  x   f  1  3, x   1;   . 2 2    max f  x   3 . (1) f  x   2  2x  2x 1  f   x    1  x1;   2   1  + Trên   ;1 :  2  f  x   2  2x  2x 1  f   x    1 1 7  2  f  x  0  2  2x   x  . 2 8 2  2x  1  7  13 Có: f     3 ; f    ; f 1  3 .  2 8 4 13  max f  x   . (2) 4  1  x  ;1    2  Từ (1) và (2)  max f  x   x 1;1 13 13 hay Pmax  . 4 4 Chú ý: Ta có thể biến đổi theo hướng khác như sau Do z.z  z  1  z 2  z  1  z 2  z  z.z  z z  1  z  z  2 x  1    z 2  z  1  z  2 x  1  z 2 x  1  2 x  1 . Câu 61. (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho các số phức z và w z thỏa mãn  3  i  z   1  i . Tìm giá trị lớn nhất T  w  i . w 1 A. 2 . 2 B. 3 2 . 2 C. 2 . D. 1 . 2 Lời giải Chọn B Đk: w  1 . Ta có: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 32 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 3  i  z  z z z w  1.  1  i  3  i  z  1 i  w 1 w 1  3 z  1  1  z  i T  wi  Vậy z  Số Phức Nâng Cao z z 1 i   1 i  3 z  1  1  z  i  3 z  1  1  z  i  2. 2 10 z  8 z  2 Đặt t  z điều kiện: t  0 . Xét hàm số f  t   t 10t 2  8t  2 4t  2 1 f  t   ; f t   0  t  . 2 2 2 10t  8t  2 10t  8t  2  2. BBT 1 3 2 Dựa vào bảng biến thiên ta có T  w  i  max f  t   f    . 0; 2 2 Câu 62. (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Cho số phức z z  1  2i  z  4  6i  9 , giá trị lớn nhất của z  10  14i là A. 17 . B. 20 . C. 15 . Lời giải thỏa mãn D. 12 . Chọn A Cách 1: Đặt z  w 5  8i  . 3  4i 2 w 3 w 3 25 25   2i    2i  9  w   w  45 . 3  4i 2 3  4i 2 2 2 Đặt w  x  yi và gọi M  x ; y  là điểm biểu diễn w . Khi đó tập hợp điểm M là elip có phương Ta có z  1  2i  z  4  6i  x2 56 y2 trình là  E  :   1 . Suy ra y 2  350  x 2 1 . 2 81  45  350    2  2 w 15 1 125 1  125  2 Mặt khác ta có T  z  10  14i    10i  w   x  y . 3  4i 2 5 2 5  2  2 1  125  56 2 1 25 2 17025 Suy ra T  x  125x  . x   350  x  5  2  81 5 81 4 45 45 Từ 1 ta có   x  . 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 33 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 25 2 17025  45 45  x  125 x  trên đoạn   ;  . 81 4  2 2 405  45 45  50   ; f  x  x  125 . Xét f   x   0  x  . 2  2 2  81  45   45  Ta có f     7225 ; f    1600 .  2  2 Xét hàm số f  x   Vậy giá trị lớn nhất của T bằng 1 5  45  f     17 .  2  Cách 2: Ta có z  10  14i  z  1  2i  9  12i  z  1  2i  15 . Ta có z  10  14i  z  4  6i  6  8i  z  4  6i  10 . Suy ra 2 z  10  14i  9  15  10  34  z  10  14i  17 . 1 2 Dấu ”  ” xảy ra khi z    i . 5 5 Vậy max z  10  14i  17 . Cách 3 Gọi M  x ; y  là điểm biểu diễn số phức z . Gọi F1 1;2  và F2  4;6  . Suy ra MF1  MF2  9 . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn z là Elip và có F1F2  5 . Ta có P  z  10  14i  MA với A 10;14  .  F1 F2  5      Ta có F1 A   9;12  , F1F2   3; 4   F1 A  3F1F2  F1 , A , F2 thẳng hàng và có  F1 A  15 .  F A  10  2 Ta có MA  MF2  F2 A  7  10  17 . Dấu ”  ” xảy ra khi M , F1 , F2 thẳng hàng và MF1  F1 F2  MF2 . Câu 63. (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Hai số phức z , w thay đổi nhưng luôn thỏa mãn đẳng thức 1  i  z 2  2iz 1  A. 2019 2 . 4 2019 z  2019i  2  2i . Giá trị lớn nhất của w là w 2019 2 B. . C. 2019 . D. Đáp án khác. 2 Lời giải Chọn A 2 2 Ta có: z  i  z  i nên z 2  2iz  1  z  i  z  i . Như vậy:   2019 z  i 2 2019 z  2019i  2  2i  1  i  z  i   2  2i w w 2019 z  i 2019 z  i 2 2 2  1  i  z  i  2i  2   z i 2 zi 2 i  . w w Điều kiện: w  0 suy ra z  i  0 hay z  i  0 . 1  i  z 2  2iz  1      File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay   Trang 34 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đặt t  z  i , t  0 ta có t 2  2   t 2  2  i  t 2 2 2  2  t 2  2  2019 z  i w 2019t w t 2 2  2   t  2  2 2   w t 2  2019 z  i w 2 Số Phức Nâng Cao  . Lấy môđun hai vế ta được: 2  2  t 2  2   2019t 2t 4  8 2019t w . 2019t 2019 2 w . 4 2 2t 2009 2 Vậy max w  khi 2t 4  8  t 4  4  t  2  z  i  2 . 4 w File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 35 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao DẠNG 6: MIN, MAX SỐ PHỨC PP HÌNH HỌC Bài toán 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm phân biệt A , B và đường thẳng  d  . Điểm M chạy trên đường thẳng  d  sao cho tổng độ dài đoạn AM  BM nhỏ nhất.Khi đó hãy tìm vị trí điểm M và tính AM  BM . Phương pháp giải: Ta xét hai trường hợp +) Trường hợp 1 : hai điểm A , B nằm về hai phía đối với đường thẳng  d  A (d) D M B Ta có MA  MB  AB nên  MA  MB min  AB , đạt được khi M  AB  (d ) . +) Trường hợp 2 : hai điểm A , B cùng phía đối với đường thẳng  d  B A (d) D M A’ Gọi điểm A ‘ là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng  d  . Khi đó MA  MA ‘ Câu 1.  MA  MB  MA ‘ MB  A ‘ B nên  MA  MB  min  A ‘ B , đạt được khi M  A ‘ B  (d ) . Cho các số phức z thỏa mãn z  1  z  1 . Giá trị nhỏ nhất của z  2  4i  z  4  6i là 10  5. C. 2 5 D. 2 10. Lời giải Gợi ý: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , từ điều kiện z  1  z  1 suy ra được quỹ tích A. điểm M là trục B. 13. Oy . Đặt A  2;4  , B  4;6  thì A, B nằm về hai phía trục Oy . Khi đó z  2  4i  z  4  6i  MA  MB  AB  2 10. Câu 2. Cho các số phức z thỏa mãn 2 z  5  4i  2 z  3  4i . Giá trị nhỏ nhất của z  1  4i  z  1  i là A. 5 B. 13. C. 41 Lời giải D. 10. Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , từ 2 z  5  4i  2 z  3  4i File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 5 3  z   2i  z   2i 2 2 suy ra được Số Phức Nâng Cao quỹ tích điểm M là đường thẳng  d  : x  4 y  2  0 . Đặt A 1;4 , B 1;1 thì A, B nằm về cùng một phía với đường thẳng  d  . Điểm A ‘ 3; 4 là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng  d  . Khi đó z  1  4i  z  1  i  MA  MB  MA ‘ MB  A ‘ B  41 . Câu 3. Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  1  i  z  2i và P  z  2  3i  z  1 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P  a  2b : Lời giải Ta có: z  1  i  z  2i  a  b  1 . P  P  z  2  3i  z  1  2  a  2    b  3 2  Xét trong mặt phẳng phức Oab , xét các điểm 2  a  1  b 2 . M  a; b  , A  2;3 , B  1; 0  với M điểm biểu diễn số phức z  M   d  : a  b  1  0 . Ta có: MA  MB  2  a  2    b  3 2  MA  MB min . Do  x A  y A  1 xB  yB  1  0  A, B Câu 4.   a  1 2  b 2 . Vậy ta tìm M d sao cho cùng thuộc một phía so với đường thẳng d .  Gọi A ‘ là điểm đối xứng của A qua d . Ta có: MA  MB  MA ‘ MB  A ‘ B . Dấu “” xảy ra khi 5 3 1 M  A ‘ B  d  M  ;   P  a  2b  . 2 2 2 Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  1  i  z  2i và P  z  2  3i  z  1  2i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P  a  2b : Lời giải Ta có: z  1  i  z  2i  a  b  1 . P  P  z  2  3i  z  1  2  a  2    b  3 2  Xét trong mặt phẳng phức Oab , xét các điểm 2 2  a  1   b  2  . M  a; b  , A  2;3 , B 1; 2  với M điểm biểu diễn số phức z  M   d  : a  b  1  0 . Ta có: MA  MB  2  a  2    b  3 2  MA  MB min . Do  x A  y A  1 xB  yB  1  0  A, B Câu 5.  2  a  1   b  2  2 . Vậy ta tìm M  d sao cho khác phía so với đường thẳng d . 5 3 1 Ta có: MA  MB  AB . Dấu ”  ” xảy ra khi M  AB  d  M  ;   P  a  2b  . 2 2 2 (Sở Hà Nam) Cho số phức z  a  bi với a, b là hai số thực thỏa mãn a  2b  1 . Tính z khi biểu thức z  1  4i  z  2  5i đạt giá trị nhỏ nhất. A. 1 . 5 B. 5. C. 1 . 5 D. 2 . 5 Lời giải Chọn C File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Gọi M  a, b  là điểm biểu diễn số phức z . Theo đề bài có M   : x  2 y  1  0 . Để đạt giá trị nhỏ nhất thì MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất với z  1  4 i  z  2  5i A  1; 4  và B  2;5  . Vì A, B nằm khác phía với  nên MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M , A, B thẳng hàng. Ta có phương trình đường thẳng AB : 3 x  y  1 . 1  x  x  2 y  1  5 . Suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:   3 x  y  1 y   2  5 1 2 1 Vậy z   i  z  . 5 5 5 Bài toán 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm I và đoạn thẳng AB . Điểm M chạy trên đoạn thẳng AB sao cho độ dài đoạn IM nhỏ nhất.Khi đó hãy tìm vị trí điểm M và tính độ dài IM . Phương pháp giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên đường thẳng  AB  .Ta xét hai trường hợp Trường hợp 1: điểm H nằm trong đoạn AB I M A H B Dễ dàng thấy IM min  IH và IM max  max  IA; IB . Trường hợp 2: điểm H nằm ngoài đoạn AB I A M B H Dễ dàng thấy IM min  min  IA; IB và IM max  max  IA; IB . Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  i  z  2  3i  2 5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính giá trị M .m . A. 65 5 B. 65 C. 2 26 D. 4 65 5 Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Chọn D Đặt z  x  yi ( x , y   ) . Gọi M  x; y  , N  2; 1 , P  2; 3 lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z , z1  2  i, z2  2  3i . z  2  i  z  2  3i  2 5  MN  MP  2 5 , mặt khác NP  4 2  22  2 5 nên điểm M thuộc đoạn thẳng NP . z đạt giá trị nhỏ nhất  OM ngắn nhất  M  M1 , với M 1 là hình chiếu vuông góc của M   lên đoạn NP (quan sát hình hoặc nhận xét góc NOP tù do ON .OP  0 nên M 1 thuộc đoạn NP ) z đạt giá trị lớn nhất  OM  OP (quan sát hình hoặc so sánh ON và OP ). Phương trình NP : x  2 y  4  0 Vậy M .m  OP.d  O, NP   13. Câu 7. 4 4 65  . 5 5 Xét số phức z thỏa mãn z  2  i  z  4  7i  6 2 . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z  1  i . Tính P  m  M . A. P  13  73 . B. P  5 2  2 73 . 2 C. P  5 2  2 73 . D. P  5 2  73 . 2 Gọi M Lời giải là điểm biểu diễn số phức z , gọi A  2;1 , B  4;7  . Từ giả thiết z  2  i  z  4  7i  6 2  MA  MB  AB  Quỹ tích điểm M chính là đoạn thẳng AB . Gọi I 1; 1 thì z  1  i  IM . Vẽ hình trực quan dễ kiểm tra hình chiếu của I lên đường thẳng  AB  nằm trong đoạn AB . Lại có: IA  13, IB  73, d ( I ; AB)  5 2  2 73 . 2 Xét số phức z thỏa mãn z  1  2i  z  2  2i nhỏ nhất. Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất M và giá trị lớn nhất của z  4i . Tính P  . m A. P  2 . B. P  2 2 . C. P  2 5 . D. P  5 2 . P Câu 8. 5 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Gọi M là điểm biểu diễn Số Phức Nâng Cao Lời giải số phức z , gọi A  1; 2  , B  2; 2  . Ta có z  1  2i  z  2  2i  MA  MB  AB , nghĩa là z  1  2i  z  2  2i nhỏ nhất thì quỹ tích điểm M chính là đoạn thẳng AB . Gọi I  0;4  thì z  4i  IM . Vẽ hình trực quan dễ kiểm tra hình chiếu của I lên đường thẳng Câu 9.  AB  nằm ngoài đoạn AB . Lại có: IA  5, IB  2 10  P  2 2 .  z  2  z  8  8i Xét số phức z thỏa mãn  . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  4i z  5  6 5 A. 4 . B. 3 . C. . D. 2 5 . 5 Lời giải Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , vì z  2  z  8  8i nên M thuộc đường thẳng  d  : 2x  y  10  0 , mà z  5 nên M thuộc miền trong đường tròn  C  : x 2  y 2  25 . Lại có  d  cắt  C  tại hai điểm phân biệt A(3;4), B(5;0) nên quỹ tích điểm M là đoạn thẳng AB . Gọi I  0;4  thì z  4i  IM , vẽ hình trực quan thấy hình chiếu vuông góc của điểm I lên đường thẳng  d  nằm ngoài đoạn AB mà IA  41, IB  3 nên z  4i min  3 . Câu 10. Xét các số phức z thỏa z  2  i  z  4  7i  6 2 . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z  1  i . Tính P  m  M . A. P  13  73 . B. P  5 2  2 73 . C. P  5 2  73 . 2 Lời giải D. P  5 2  73 . 2 Chọn B Ta có w  z  1  i  a  bi; a, b    z  1  i   3  2i   z  1  i    3  8i   6 2  w  3  2i  w  3  8i  6 Do đó xét các điểm M  a; b  , A  3;2  , B  3;8  , ta có: 2 6 2  MA  MB  AB  6 2 . Dấu ”  ” xảy ra  M   AB  , do đó b  a  5 và 3  a  3 . 2 w  a 2  b2  a2   a  5  2a 2  10a  25 m  min 2a2  10a  25   3;3 5 2 ; M  max 2a2  10a  25  73 .  3;3 2 5 2  2 73 . 2 Cách 2: Cũng tương tự như trên, ta có: Vậy P  w  OM  d  O; AB   Vậy P  5 2 , w  OM  OB  73 . 2 5 2  2 73 . 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: dang[email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  z  4  5i  10 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  1  i . Tính P  M .m . A. P  8 41 . 5 B. P  697 . C. P  5 41 . D. P  8 41 . 3 Lời giải Chọn A Ta có w  z  1  i  a  bi; a, b    z  1  i    1  4i    z  1  i    5  4i   10  w  1  4i  w  5  4i  10 Do đó xét các điểm M  a; b  , A 1;4  , B  5; 4  , ta có: 10  MA  MB  AB  10 . Dấu ”  ” xảy ra  M   AB  , do đó 4a  3b  8  0 và 5  a  1 . 2  4a  8  25a 2  64a  64 w  a b  a    3  3  2 m  min  5;1 2 2  32  8 25a 2  64a  64 25a2  64 a  64  y  5   41 .  y     ; M  max 3 3  5;1  25  5 8 41 . 5 Câu 12. Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  z  1  3i  34 . Hỏi giá trị nhỏ nhất của z  1  i là? Vậy P  m.M  A. 9 . 34 D. 3 . C. 13 . B. 4 . Lời giải Chọn B Ta có z  a  bi; a, b   . Do đó xét các điểm M  a; b  , A  2; 2  , B  1;3  , ta có: z  2  2i  z  1  3i  34  34  MA  MB  AB  34 . Dấu ”  ” xảy ra  M thuộc tia AB và M nằm ngoài đoạn AB Phương trình AB : 5 x  3 y  4  0 , do đó 5a  3b  4  0 và a  1 . Khi đó z  1  i  2  a  1   b  1 2  4  5a    a  1    1  3  2 2 2 min z  1  i  min   ;1  ;1    a  1   4 35a  1  y  1  4 .   2 Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  i  z  2  3i  2 5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun z  1  2i , tính M  m . 2 5  5 10 5  5 10 A. . B. . C. 2  10 . 5 5 Lời giải Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 2  2 10 . Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Gọi z  x  yi  x; y    . Có điểm biểu diễn M  x; y  trên mặt phẳng tọa độ. Ta có z  2  i  z  2  3i  2 5  2 2 2  x  2    y  1 2  2  x  2    y  3 2 2 2 5. 2   x  1  1   y  2   1   x  1  3   y  2   1  2 5 1 Điểm M   x  1; y  2  biểu diễn số phức z  1  2i   x  1   y  2  i trên mặt phẳng phức. Đặt A  1;  1 ; B  3;1 thì từ (1) ta có AM   BM   2 5  2   Mặt khác AB  4; 2   AB  2 5  3 . Từ  2  ,  3 suy ra M  thuộc đoạn thẳng. Ta có OA  2; OB  10 , AB : x  2 y  1  0 .  , OBM  là các góc nhọn (nhìn hình vẽ). Nhận xét góc OAB ta có M  z max  max OA, OB  10 , m  z min  d  O, AB   Vậy M  m  5 . 5 5  5 10 . 5 Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) và đường tròn  C  có tâm I bán kính R không có điểm chung. Điểm M thay đổi trên đường tròn  C  , điểm N thay đổi trên đường thẳng (d ) . Xác định vị trí hai điểm M , N để độ dài đoạn MN giá trị nhỏ nhất và tính các giá trị này. Phương pháp giải: I M R A H N MN min  AH  d ( I , d )  R . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  z1  i  z1  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z1  z2 .  z2  1  i  1 Câu 14. Xét hai số phức z1 , z2 thỏa mãn  A. B. 1 . 2. 2 1. C. D. 1 . 2 Lời giải Gợi ý: Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức z1 , z2 . Theo bài ra  z1  i  z1  1 , suy ra quỹ tích điểm M là đường thẳng  d  : x  y  0 và quỹ tích điểm N   z2  1  i  1 là đường tròn  C  tâm I 1;1 có bán kính R  1 . Vẽ hình trực quan dễ thấy  C  và  d  không có điểm chung, mà z1  z2  MN nên z1  z2 Câu 15. (Hùng Vương Bình Phước) Cho  MN min  d  I , d   R  2  1. min 2 số phức z1; z2 thoả mãn z1  5  5; z2 13i  z2 3 6i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z1  z2 là A. Pmin  3 . B. Pmin  3 . 2 C. Pmin  5 . 2 D. Pmin  5 . Lời giải Chọn C Đặt z1  x1  y1i  x1; y1  R và z2  x2  y2i  x2 ; y2  R . Khi đó z1; z2 tương ứng được biểu diễn bởi hai điểm A x1 ; y1  , B  x2 ; y2  trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Do z1  5  5 nên IA 5 với I 5;0 , hay A thuộc đường tròn  I ;5 . Do z2 13i  z2  3 6i nên MB  NB với M 1;3, N 3;6 hay thuộc trung trực của MN .   9 Trung điểm của MN có tọa độ 1;  và MN 4;3 nên phương trình đường trung trực của  2   35 9 MN là  : 4  x 1  3 y    0 hay 4 x  3 y   0 .  2 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có: d  I ,   4.5  3.0  35 2 4 2  32  Số Phức Nâng Cao 15 . 2 15 5 5  . 2 2 Câu 16. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  5  5 , z2  1  3i  z 2  3  6i . Hỏi giá trị nhỏ nhất của Do P  z1  z2  AB nên Pmin  ABmin  d  I ,   5  z1  z 2 là? A. 3 . B. 5 . 2 C. 3 . 2 D. 5 . Lời giải Chọn B Giải sử M  a; b  là điểm biểu diễn của số phức z1  a  bi , N  c; d  là điểm biểu diễn số phức z2  c  di . 2 2 Ta có z1  5  5   a  5   b 2  25 .Vậy M thuộc đường tròn  C  :  x  5   y 2  25 . Và z2  1  3i  z2  3  6i  8c  6d  35 . Vậy N thuộc đường thẳng  : 8 x  6 y  35 . Dễ thấy đường thẳng  không cắt  C  và z1  z2  MN . Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho bộ ba điểm  I , M , N  ta có MN  IN  IM  IN  R  IN 0  R  d  I ,    R  8.  5   6.0  35 82  62 5  5 . 2 Dấu bằng đạt tại M  M 0 , N  N0 . Câu 17. (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  2  i  1 và số phức z thỏa mãn điều kiện z   1  2i  z   1 . Giá trị nhỏ nhất của z  z bằng A. 2 1 . B. 2 2 1 . C. 2 1 . Lời giải D. 2 2 1 . Chọn C *Chú ý: z  a  bi  z  a  bi . + Gọi M , N lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z và z . + Ta có: z  2  i  1  MI  1 với I  2;1 . Tập hợp điểm biểu diễn điểm M là đường tròn tâm I bán kính bằng R  1 . + Ta có: z   1  2i  z   1  z   1  2i  z   1  NA  NB với A  1; 2  , B 1; 0  . Tập hợp điểm biểu diễn N là đường trung trực của AB có phương trình:  : x  y 1  0 . + Ta có hình vẽ biểu diễn M , N trên cùng hệ trục tọa độ Oxy như sau: y A M N 1 -1 O H I B 1 2 x File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao + Ta có z  z  được biểu diễn hình học là MN , từ hình vẽ ta thấy, MNmin khi và chỉ khi M  H và MN min  d  I ,    R  2 1  1  1  2 1. 2 Câu 18. (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  1  i  1 và z2  2iz1. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P  2 z1  z2 . A. Pmin  2  2 . B. Pmin  8  2 . C. Pmin  2  2 2 . Lời giải D. Pmin  4  2 2 . Chọn D Từ z2  2iz1 ta được P  2 z1  z2  2 z1  2iz1   2  2i  z1  2  2i . z1  2 2. z1 Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn hình học của số phức z1 . 2 2 Từ giả thiết z1  1  i  1 ta được  a  1   b  1 i  1   a  1   b  1  1 . Suy ra M thuộc đường tròn  C  có tâm I 1; 1 bán kính R  1 . Ta có P  2 2 z1  2 2. OM nên P đạt giá trị nhỏ nhất khi OM là nhỏ nhất Giả sử OI cắt đường tròn  C  tại hai điểm A, B với A nằm giữa O và I . Ta có OM  MI  OI  OM  MI  OA  AI  OM  OA (do IM  AI  R ) Nên OM nhỏ nhất bằng OA khi M  A và OM  OI  R  2 1 . Khi đó Pmin  2 2 2  1  4  2 2 .   Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn  C  có tâm I bán kính R . Đoạn AB là một đường kính của  C  . Điểm M thay đổi trên đường tròn  C  . Xác định vị trí điểm M để tổng độ dài k.MA  l.MB (với k  l  0 ) đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị này. Phương pháp giải: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao M A R B I Ta có: k  l  0  kMA  lMB  l (MA  MB)  lAB , dấu bằng xảy ra khi M  A . Bài toán 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn  C  có tâm I bán kính R . Đoạn AB cố định nhận điểm I làm trung điểm. Điểm M thay đổi trên đường tròn  C  . Xác định vị trí điểm M để tổng độ dài k.MA  l.MB (với k  0, l  0 ) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị này. Phương pháp giải: M A I Theo công thức đường trung tuyến ta có MI 2  B MA2  MB 2 AB 2  2 4 AB 2  MA  MB  2 MI   a  const 2 2 2 2 Lại có: k .MA  l.MB  k 2  l 2 . MA2  MB 2  k 2  l 2 . a , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi MA MB k k2  l2   MA  MB  ( ) MB  k 2  l 2 . a , hay M là giao điểm của đường k l l l l a (C ) với đường tròn tâm B bán kính . 2 2 k l Câu 19. (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T  z  1  2 z  1 . A. max T  3 2. B. max T  2 10. C. max T  2 5. Lời giải D. max T  3 5. Chọn C File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Giả sử z  x  y.i ( x, y   ). Số phức z được biểu diễn bởi điểm M ( x; y) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Theo bài ra: z  1  x2  y 2  1. Do đó điểm M ( x; y) luôn thuộc đường tròn (C ) : x 2  y 2  1. 2 2  x  1  y 2  2  x  1  y 2  MA  2 MB với A(1;0) , Nhận thấy A(1; 0); B (1;0)   C  và AB là đường kính của đường tròn (O;1). 2 Ta có: T 2   MA  2 MB   5  MA2  MB 2   5 AB 2  20. Xét T  z  1  2 z  1  B (1;0).  Tmax  2 5. Câu 20. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  z  1  2 z  1 . B. min T  2 . A. min T  2 5 . C. min T  5 . D. MinT  2. Lời giải Gọi M là điểm biễu diễn số phức z . Theo bài ra z  1 nên quỹ tích điểm M là đường tròn C  tâm O bán kính R  1 . Đặt A  1;0  , B 1;0  , vẽ hình trực quan dễ thấy AB là một đường kính của đường tròn C  . Khi đó T  z  1  2 z  1  MA  2 MB  MA  MB  AB  2 , dấu bằng xảy ra khi M  B . Suy ra min T  2 . Câu 21. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  3 1  z . A. 3 15 B. 20 C. 2 10 Lời giải Gọi A 1;0  , B  1;0  , ta có P  MB  3MA . Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky: MB  3MA  1 2 D. 6 5  32  MA2  MB 2   2 10 . Chọn C Câu 22. (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho số phức z thỏa mãn z  1  3 . Tìm giá trị lớn nhất của T  z  4i  z 2i . A. 2 26 . B. 2 46 . C. 2 13 . Lời giải D. 2 23 . Chọn C Giả sử z  x  yi (với x, y   ) có điểm biểu diễn là M  x ; y  . Ta có z  1  3   x  1 2  y2  3 . Suy ra tập hợp các điểm M là đường tròn có tâm I  1;0  và bán kính R  3 . Gọi A  4 ;1 , B  2;  1 . Khi đó ta thấy I là trung điểm của đoạn AB . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao MA2  MB2 AB2 AB2   MA2  MB2  2MI 2  . 2 4 2 Do đó T  z  4  i  z  2  i  MA  MB . Xét tam giác MAB có có MI 2   AB 2  2 Suy ra T 2   MA  MB   2  MA2  MB 2   2  2 MI 2   2    2 AB 2  2  T  2  2R    52  T  2 13 . 2    MA  MB Vậy giá trị lớn nhất của T bằng 2 13 khi  . M   I  Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  z  1  2 z  1 . A. max T  2 5 B. max T  2 10 C. max T  3 5 D. max T  3 2 Lời giải Gọi M là điểm biễu diễn số phức z . Theo bài ra z  1 nên quỹ tích điểm M là đường tròn C  làm tâm O bán kính R  1 . Đặt A  1;0  , B 1;0  , vẽ hình trực quan dễ thấy AB nhận O trung điểm nên trong MAB ta có MO 2  MA2  MB 2 AB 2  2 4 AB 2 Khi đó  4. 2 T  z  1  2 z  1  MA  2MB  12  2 2 . MA2  MB 2  2 5 , dấu bằng xảy ra khi  MA2  MB 2  2 MO 2  MB  2MA  MA  kính 2 5  A là giao điểm của đường tròn  C  với đường tròn tâm A bán 5 2 5 . Suy ra max T  2 5 . 5 Câu 24. Xét các số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  2  3i  2 . Tính P  a  b khi z  2  5i  z  6  3i đạt giá trị lớn nhất. A. P  3 B. P  3 C. P  7 D. P   7 Lời giải 2 2 Do z  2  3i  2   a  2    b  3  2 . Suy ra M   C  có tâm I  2; 3  và bán kính R  2 . Gọi A  2;5  , B  6; 3 , I   2;1 . Suy ra P  MA  MB  2  MA2  MB 2  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao AB 2   I  là hình chiếu vuông . Suy ra PMax  MI Max 2 góc của M trên AB  M , I , I  thẳng hàng.Vì ta thấy IA  IB  MA  MB nên xảy ra dấu =.   IM   a  2; b  3 , II    4; 4  Ta có nên AB  M , I , I  thẳng hàng Mặt khác ta có MA2  MB 2  2MI 2   4  a  2   4  b  3  a  b  1 .  a  2  2   b  32  2  a  3; b  4 Tọa độ M là nghiệm của hệ    a  1; b  2 a  b  1 M  3; 4   P  MA  MB  2 82 Mặt khác  . Vậyđể PMax thì M  3; 4  Suy ra a  b   7 . M  1;  2  P  MA  MB  2 50    Câu 25. Cho z  4  3i  5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z  1  3i  z  1  i . Tính P  M 2  m 2 ? A. P  240  I ; 5  :  x  4 2 B. P  250 C. P  270 Lời giải  2 D. P  320    y  3  5 . Gọi I  4;3  M  z   I ; 5 . Gọi A  1;3 , B 1; 1  IA  IB  5  R   +) MA  MB  2 MA2  MB 2  MA  MB  4 MH 2  AB 2  MA  MB  4 KH 2  AB 2  10 2 . Dễ có HK  HA  HB  5 . Lấy C sao cho H trung điểm CK . Ta có Ptolemy: MACB .  MB.CA  MC. AB  MA  MB  MC. AB  KC . 2 CB  MA  MBmin  2 10 Câu 26. Cho 2 z  1  3i  2 . Tìm giá trị lớn nhất của P  z  1  3. z  1  2i ? A. 4 2 B. 4 3 C. 2 2 Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 4 Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2 2  2  1  3 1 Ta có: M  z    I ;  :  x     y    . 2  2 2  2   Gọi A 1;0  , B  1;2  . Chú ý I , A, B thẳng hàng đồng thời ta có IA  3IB . Ta tìm max MA  3MB .   2   2 Ta có: MA2  3MB 2  MI  IA  3 MI  IB     MA2  3MB 2  4 MI 2  IA2  3IB 2  2MI IA  3IB        MA2  3MB 2  4 MI 2  IA2  3IB 2  8 . Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có: MA  3MB   MA 2  3MB 2  1  3  4 2 . Chọn A Câu 27. (Sở Đà Nẵng 2019) Cho số phức z thay đổi thỏa z  i  2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  i  4  2 z  3i  3 bằng A. 2 3 . B. 2. C. 4 2 . Lời giải D. 6 . Chọn C Cách 1: Đặt z  x  yi  x , y    . Gọi M điểm có tọa độ  x; y  biểu diễn cho số phức z . 2 Ta có z  i  2  x 2   y  1  4 khi đó điểm M thuộc đường trong tâm I  0; 1 , R  2 . Ta có: P  z  i  4  2 z  3i  3   x  4 2 2   y  1  2  x  3 2   y  3 2  MA  2 MB với M  x; y  , A  4; 1 , B  3; 3  . Ta thấy hai điểm A, B nằm ngoài đường tròn và IA  4  2 R .  R 2  1  Lấy điểm A sao cho IA  2 .IA  IA . IA 4 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao R . 2  A nằm trong đường tròn. IA IM 1 AM IA 1    IAM ∽ IMA     MA  2MA . Khi đó: IM IA 2 MA IM 2 Do đó: P  MA  2 MB  2 MA  2 MB = 2  MA  MB   2 AB . Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn. Vậy Pmin  2 AB  4 2 . Cách 2. Đặt z  x  yi  x , y     A 1; 1  IA  1  2 z  i  2  x 2   y  1  4 .  x  4 Ta có: P  z  i  4  2 z  3i  3     2 2 2  x  4    y  1 2 2 2   y  1  2 2  3  x 2   y  1   12  2   2 2 2 2  x  1   y  1  x  1   y  1 2 2 2  x  3   y  3 2 2   y  3 2 với A  x 2   y  1 2    x  3   y  3    x  3    y  3 2  x  3 2   2 2   2  2 2  4 2 (BĐT Mincopxki) Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi  x  1  y  3    y  1  x  3   x   y  1 7 1  7 x1  , y1   2 2 2 Thay vào A , ta có: x 2    x  1  4    1 7 7 1 , y2   x2   2 2 1 7 1  7 Thay vào biểu thức P ta nhận x1  , y1  . 2 2 Vậy Pmin  4 2 . Câu 28. (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho các số phức z , w thỏa mãn 3 5 5w và  2  i . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  1  2i  z  5  2i bằng 5 z4 29 A. 52  55 . B. 2 53 . C. . D. 3  134 . 2 Lời giải Chọn B 5w Từ giả thiết  2  i , ta có 5w   2  i  z  4  . z4 3 5 Khi đó: w  i   5w  5i  3 5   2  i  z  4   5i  3 5  z  3  2i  3 . 5 2 2 Suy ra điểm M  x ; y  biểu diễn cho số phức z sẽ thuộc đường tròn  C  :  x  3    y  2   9 . Ta có: P  MA  MB , với A 1; 2  , B  5; 2  . wi  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Gọi H là trung điểm của AB , ta có H  3; 2  . Khi đó: P  MA  MB  2  MA2  MB 2   4MH 2  AB 2 . Mặt khác: với MH  KH mọi điểm M  C  , 2 P  4 KH 2  AB 2  4  IH  R   AB 2  2 53 . M  K 3 11 Vậy Pmax  2 53 khi  hay z  3  5i và w   i . 5 5  MA  MB File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 17 nên ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Bài toán 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn  C  có tâm I bán kính R . Điểm M cố định nằm ở miền trong đường tròn; hai điểm A, B thay đổi trên  C  sao cho ba điểm M , A, B thẳng hàng. Xác định vị trí hai điểm A, B để tổng độ dài k.MA  l.MB (với k  0, l  0 ) giá trị nhỏ nhất và tính giá trị này. Phương pháp giải: I A M B Ta có tích MA.MB chính là độ lớn phương tích của điểm M với đường tròn  C  , suy ra MA.MB  R2  MI 2 . Nên k .MA  l.MB  2 klMA.MB  2 kl ( R 2  MI 2 ) , dấu bằng xảy ra 2 2 khi và chỉ khi kMA  lMB  kl ( R  MI )  MA  của đường tròn tâm M bán kính l 2 ( R  MI 2 ) hay A là giao điểm k l 2 ( R  MI 2 ) với đường tròn  C  . k  z1  1  i  z2  1  i  1  Câu 29. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn  1 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất z  z  z  1  i  z  1  i 1 2  1 2 2 2  của biểu thức T  2 z1  2  i  2iz2  1  2i . A. min T  2 5 . B. min T  2 3 . C. min T  2 2 . D. min T  3 2 . Lời giải lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức z1, z2 . Theo bài ra A, B z1  1  i  z2  1  i  1 , suy ra quỹ tích điểm A và quỹ tích điểm B là đường tròn  C  tâm Gọi I 1;1 có bán kính R  1. Đặt điểm  1 M 1;  ,  2 ta có 1 1 z1  z2  z1  1  i  z2  1  i  MA  MB  AB  điểm M thuộc đoạn AB , nên 2 2 3 theo công thức phương tích ta có MA.MB  R 2  IM 2  . Lại có 4 i 1  i i  T  2 z1  2  i  2iz2  1  2i  2 z1  1   2i z2   1  2  z1  1   z2  1   2 2i 2 2  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  T  2  MA  MB   4 MA.MB  2 3 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi MA  MB hay A, B là giao điểm của đường thẳng qua M vuông góc với IM và đường tròn  C  . Các bài toán khác Câu 30. Cho hàm số phức f  z    4  i  z 2  az  b với a, b là số phức. Biết f 1 , f  i  là số thực. Tính giá trị nhỏ nhất của P  a  b . Lời giải  a  x1  y1i Gọi:   x1 , x2 , y1 , y2    . b  x2  y2 i Ta có: f  z    4  i  z 2  az  b .  f 1  4  i  a  b   4  x1  x2    y1  y2  1 i .  f  i     4  i   ai  b   4  y1  x2    1  x1  y2  i .  y  y2  1  0 Do f 1 , f  i  là số thực   1  x1  y1  2  0 .  x1  y2  1  0 Vậy để thỏa yêu cầu bài toán thì a     : x  y  2  0 trong mặt phẳng Oxy còn b là số phức tự do.  Pmin  a  b  d O;      0  2 . Câu 31. Cho số phức z thỏa z  1  2i  2 2 . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  2017 z  3  4i . Lời giải Gọi z  a  bi  a, b    . Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức. Trong mặt phẳng phức xét các điểm A 1; 0  , B  3; 4  .  MA 2  MB 2  AB 2  py  ta  go  2 Ta luôn có:    P  2017 MB   MB 2  AB 2  0 .  P  MA  2017 MB   2017 2  1 MB 2  2.P.2017 MB   P 2  AB 2   0  * . Để phương trình  * có nghiệm thì:  ‘*  0  2017 2 P 2   2017 2  1 P 2  AB 2   0  P 2  AB 2  2017 2  1  P  AB  2017 2  1 . Câu 32. (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1  z2 và z12  5 z1 z 2  4 z2 2  0 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z1, z 2 thỏa mãn diện tích tam giác OMN bằng 12. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 z1  z2 là A. 14 3 . B. 21 2 . 14 6 . 3 Lời giải C. D. 7 6 . Chọn D Vì z12  5 z1 z 2  4 z2 2  0  z1  z2  suy ra z1  4z2  P  7 z2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 1   6.   12  1 z z sin MON   z 2 sin MON S OMN  OM .ON .sin MON 1 2 2 2 2 6  lớn nhất  sin MON  1.  P  7 z2  7 . Nên P  7 z2 nhỏ nhất khi sin MON  sin MON Mặt khác Khi đó P  7 6 . Câu 33. (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho z1 , z2 là các số phức khác 0 thỏa mãn z1 z1  9 z2 z2 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 và z2 . Biết tam giác OMN có diện tích bằng 6 , giá trị nhỏ nhất của z1  z2 bằng A. 8 . B. 6 . C. 4 2 . Lời giải D. 3 2 . Chọn A Từ giả thiết: z1 z1  9 z2 z2 1 2 2 Lấy mođun hai vế ta được: z1  9 z2  z1  3 z2 . Thay z1  3 z 2 vào 1 ta được z1  3z2 . Gọi z2  a  bi  a, b    z1  3a  3bi , z2  a  bi . Điểm M  3a ;3b  , N  a ;  b   SOMN  1 3ab  3ab  3 a b . 2 Mà SOMN  6 nên a b  2 và z1  z2  4 a  4bi  4 a 2  b 2  4 2 a b  8 . Suy ra min z1  z2  8 .   Lưu ý công thức tính diện tích tam giác OAB với OA   a1 ; a2  , OB   b1; b2  là SOAB  1 a1b2  a2b1 . 2 Câu 34. (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Các số phức z1 , z2 thỏa mãn w  z1  2  i  z  z i 1 1 là số thực và 1 4z 2  8  13i  4 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z1  z 2 bằng A. 21 . 16 B. 37 . 4 C. 0. D. 37  4 . 4 Lời giải Chọn D + Đặt z1  x  yi ,  x, y    , ta có w z1  2  i  z  z i 1 1 1   x  2    y  1 i  x  2  2 x  y  1   y  1  2 x  x  2  i . 1  2 xi 1 4×2 + Vì w là số thực nên y  1  2 x  x  2   0  y  2 x 2  4 x  1 . 2 13 13  2  4z 2  8  13i  4  z 2  2  i  1   x  2    y    1 . 4 4  + P  z1  z2  z1    z2  + Gọi M là điểm biểu diễn của z1 thì điểm M thuộc parabol  P  : y  2 x 2  4 x  1 . 2 13  2  Gọi N là điểm biểu diễn của z2 thì điểm N thuộc đường tròn  C  :  x  2    y    1 4  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2 13   Gọi N1 là điểm biểu diễn của  z2 thì điểm N1 thuộc đường tròn  C1  :  x  2    y    1 4  2 + Phương trình tiếp tuyến  của  P  tại T  x0 , 2 x02  4 x0  1 ,  x0  1 là y   4 x0  4  x  x0   2 x02  4 x0  1   4 x0  4  x  y  2 x02  1  0 . + Khi đó:  13  Pmin   MN1 min  T là hình chiếu vuông góc của I lên  , với I  2,  là tâm  C1   4     9     IT cùng phương với VTPT n , với IT   x0  2, 2 x02  4 x0   , n   4 x0  4, 1 4  9    4 x0  4   2 x02  4 x0    2  x0  8 x03  24 x02  8 x0  11  0 4  1 1 7  x0   T  ,  2 2 2 37 37  4 Vậy Pmin  IT  R  1  . 4 4 Câu 35. (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..)Xét các số phức z , w thỏa mãn z  2, iw  2  5i  1 .Giá trị nhỏ nhất của z 2  wz  4 bằng A. 4. B. 2   29  3 . C. 8. D. 2   29  5 . Lời giải Chọn C Ta có: iw  2  5i  1  w  5  2i  1; z  2  z.z  4 Đặt: z  x  iy, w  a  ib;  x, y, a, b     x 2  y 2  4 Khi đó:  2 2  a  5    b  2   1 Ta có: z 2  wz  4  z z  w  4  2 zz w z   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn z  z và w . Dẫn đến: A  0; 2 y  với 2  y  2 , B thuộc đường tròn có tâm I  5; 2  và có bán kính R  1. d I B A Khi đó: z 2  wz  4  2 AB . Ta có: ABmin  d  I , d   R  4 Giá trị nhỏ nhất của z 2  wz  4  8. Nhận xét: Ta xem bài toán trên gồm 3 giả thiết: z  2  z.z  4 iw  2  5i  1  w  5  2i  1 z 2  wz  4  2 z  w  z * Việc đầu tiên, ta rút gọn các giả thiết của bài toán. Từ  * , ta gọi A là điểm biểu diễn của z  z , B là điểm biểu diễn của w . Bài toán trở thành tìm độ dài AB nhỏ nhất. Bài toán tương tự: Câu 36. (TRƯỜNG THỰC HÀNH CAO NGUYÊN – ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN NĂM 2019) Biết 1 rằng hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  3  4i  1 và z2  3  4i  . Số phức z có phần thực là 2 a và phần ảo là b thỏa mãn 3a  2b  12 . Giá trị nhỏ nhất của P  z  z1  z  2 z2  2 bằng: A. P  C. P  9945 . 11 9945 . 13 B. P  5  2 3 . D. P  5  2 5 . Lời giải Chọn C * Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z1 suy ra A thuộc đường tròn  C  tâm I (3; 4) , bán kính R  1 . * Gọi A là điểm đối xứng của A qua đường thẳng d . 1 * z2  3  4i   2 z2  6  8i  1 . 2 * Gọi B là điểm biểu diễn của số phức 2 z 2 suy ra B thuộc đường tròn  C1  tâm J (6;8) bán kính R1  1 . * Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z suy ra M thuộc đường thẳng d : 3 x  2 y  12  0 . * Ta có: điểm I , J cùng phía so với đường thẳng d và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn  C  và đường tròn  C1  . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 22 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao J I B A d H M A’ K * Gọi  C2  là đường tròn tâm K đối xứng với đường tròn  C  qua đường thẳng d . * Khi đó điểm K đối xứng với điểm I qua đường thẳng d . 9945  105 8  ;  , JK  * Ta tìm được K  . 13  13 13  * Khi đó: P  z  z1  z  2 z2  2  MA  MB  2  MA ‘ MB  2  A ‘ B  2 9945 . 13 Câu 37. (THPT-Yên-Mô-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Gọi M là điểm biểu diễn số phức z1  a   a 2  2 a  2  i (với a là số thực thay đổi) và N là điểm biểu diễn số phức z2 biết * Suy ra Pmin  A ‘ B  2  JK  1  1  2  JK  z2  2  i  z 2  6  i . Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn MN . A. 2 5 . B. 6 5 . 5 C. 1. D. 5. Lời giải Chọn B Gọi M  x ; y  . Từ điều kiện z1  a   a 2  2 a  2  i suy ra M thuộc parabol  P  : y  x 2  2 x  2 . Gọi N  x ; y  . Từ điều kiện z2  2  i  z 2  6  i suy ra N thuộc đường thẳng d : 2x  y  8  0 . Gọi  là tiếp tuyến của  P  mà song song với d : 2 x  y  8  0 . Gọi M  xo ; yo  là tiếp điểm mà tại đó tiếp tuyến  // d . Ta có y   2 x  2 . Do  // d nên y   xo   2  2 xo  2  2  xo  2 suy ra yo  2 . Phương trình tiếp tuyến  có dạng: y  y   xo  .  x  xo   yo  y  2  x  2   2  y  2 x  2 . Khi đó: min MN  d   , d   d  A; d  với A   . Chọn A 1; 0  ta có: min MN  2.1  0  8 22   1 2  6 5 5 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 38. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị Lần 1) Cho hai số phức z , w thỏa mãn z  3 2  2 , w  4 2i  2 2 . Biết rằng z  w đạt giá trị nhỏ nhất khi z  z0 , w  w0 . Tính 3z0  w0 . A. 2 2 . B. 4 2 . C. 1. Lời giải D. 6 2 . Chọn D Ta có: + z  3 2  2 , suy ra tập hợp điểm biểu diễn M biểu diễn số phức z là đường tròn   có tâm I 3 2 ;0 , bán kính r  2 . + w  4 2i  2 2 , suy ra tập hợp điểm biểu diễn N biểu diễn số phức w là đường tròn có   tâm J 0; 4 2 , bán kính R  2 2 . Ta có min z  w  min MN . + IJ  5 2; IM  r  2; NJ  R  2 2 . Mặt khác IM  MN  NJ  IJ  MN  IJ  IM  NJ hay MN  5 2  2  2 2  2 2 . Suy ra min MN  2 2 khi I , M , N , J thẳng hàng và M , N nằm giữa I , J (Hình vẽ). Cách 1: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 24 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao    1   3  Khi đó ta có: 3 z0  w0  3OM  ON và IN  3 2  IM  IJ ; IN  IJ . 5 5  3      3       1   Mặt khác ON  OI  IN  OI  IJ ; 3OM  3 OI  IM  3  OI  IJ   3OI  IJ . 5  5 5           3 3   Suy ra 3 z0  w0  3OM  ON  3OI  IJ   OI  IJ   2OI  6 2 . 5 5   Cách 2:      Ta có IN  3IM  3IM  IN  0 .        Do đó 3z0  w0  3OM  ON  3 OI  IM  OI  IN  2OI  2.OI  2.3 2  6 2.       Cách 3:  12 2  xM   IM   1  12 2 4 2  5 IJ  IM  IJ    z0   i. +) IM  IJ 5 5 5 4 2 y   M 5  6 2  xN   IN   3  6 2 12 2  5 IJ  IN  IJ    w0   i. +) IN  IJ 5 5 5 12 2 y   N 5 Suy ra 3z0  w0  6 2  6 2 . Câu 39. (Cụm 8 trường Chuyên Lần 1) Cho số phức z thỏa mãn 3 z  z  2 z  z  12 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của z  4  3i . Giá trị của M .m bằng A. 28. B. 24. C. 26. D. 20. Lời giải Chọn B Đặt z  x  yi,  x; y  R  , P  x ; y  là điểm biểu diễn của số phức z . Ta có 3 z  z  2 z  z  12  3 2 x  2 2 yi  12  3 x  2 y  6 1 . Khi x  0 ; y  0 , ta có 1  3 x  2 y  6 . Khi x  0 ; y  0 , ta có 1  3x  2 y  6 . Khi x  0; y  0 , ta có 1  3x  2 y  6 . Khi x  0; y  0 , ta có 1  3 x  2 y  6 . Suy ra quỹ tích điểm P là hình thoi ABCD cùng miền trong của nó. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 25 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao +) z  4  3i  EP với E  4;  3  là điểm biều diễn của số phức z1  4  3i . Từ hình vẽ ta có m  min EP  d  E , CD  . Đường thẳng CD có phương trình 3x  2 y  6  0 , suy ra m 12 . 13 max EP  max EA , EB , EC , ED . Lại có EA  16  36  52 , EB  9  36  3 5 , EC  4 , ED  9  4  13 . Do đó M  EA  52 . Vậy M .m  24 . Câu 40. (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  4 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P  z  2  2i . Đặt A  M  n . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. A   4;3 3 . B. A  34;6 . C. A  2 7; 33 . D. A 6; 42 .        Lời giải. Chọn B Giả sử z  x  yi  x , y    . Khi đó  x  y  2 khi x  0, y  0  x  y  2 khi x  0, y  0 zz  zz 4 2 x 2 y 4  x  y 2   x  y  2 khi x  0, y  0    x  y  2 khi x  0, y  0 Hình biểu diễn hệ nói trên là hình vuông ABCD như trong hình vẽ Khi đó P  z  2  2i  EM với E  2;2  và M  x; y  . Dễ thấy m  min P  d  E ; AB   EH  2; M  max P  ED  20 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 26 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Do đó M  m  2  20   Số Phức Nâng Cao  34;6 . Câu 41. Cho số phức z  a  2bi  a, b    và đa thức: f  x   ax 2  bx  1 . Biết f  1  1 . Tính giá trị lớn nhất của z . A. 2 . B. 2 2 . C. 5 . Lời giải D. 7 2 Ta có: z  a 2   2b  . f  1  1  a  b  1  1  2a  2b  2  2 1 . 2  2 x  y  2  2 2x  y  2  2   2  2 x  y  2  2 a  x 2 x  y  4  0 Đặt  , ta có . 2 x  y  4  0 2b  y   *  2 x  y  0 2 x  y  0 Miền nghiệm S của * là tứ giác ABCD 1  (kể cả cạnh). Với A  0; 0  , B  1; 2  , C  2; 0  , D  1; 2  . Dễ dàng nhận thấy ABCD là hình thoi. Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy  M chạy tung tăng trong miền S . Ta có z  OM  z max  OM max . Ta dễ nhận thấy OM max  OB  OD  z max  5 . Nhưng nhóm muốn chứng minh thêm cho mọi người xem, phần chữ màu đỏ. CHỨNG MINH: Vì OBC và ODC đối xứng nhau qua trục Ox nên xét M chạy tung tăng trên OBC ( O  A ). Gọi N  OM  BC  OM  ON và N thuộc cạnh BC .  HN  HB H là hình chiếu của O trên BC   .  HN  HC Ta lại có HN là hình chiếu của ON trên BC . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 27 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao HB là hình chiếu của OB trên BC . HC là hình chiếu của OC trên BC . ON  OB OM  OB   OM max  max OB; OC . Từ đó ta có  ON  OC OM  OC OB  5 Mà   OM max  OB  5  M  B . OC  2  M  B  1; 2  Do tính đối xứng nên OM max    z max  5 .  M  D  1; 2  Câu 42. (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Trong các số phức z thỏa 2 mãn z  1  2 z , gọi z1 và z2 lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Giá trị 2 2 của biểu thức z1  z2 bằng B. 2 2 . A. 6 . Chọn A Gọi z  x  yi C. 4 2 . Lời giải D. 2 .  x, y    z 2  1  2 z  x 2  y 2  2 xyi  1  2 x  yi  x 2 2  y 2  1  4 x 2 y 2  2 x 2  y 2  x 4  y 4  1  2 x2  6 y 2  2 x2 y 2  0  x 4  y 4  1  2 x2  2 y 2  2 x2 y 2  4 y 2 2   x 2  y 2  1  4 y 2  x2  y 2  2 y 1  0  x2  y2 1  2 y  2  2 2 2  x  y  1  2 y  x  y  2 y  1  0  C1   C2  Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là hai đường tròn  C1  ;  C2  có tâm và bán kính lần lượt là I1  0;1 ; R1  2 và I 2  0;  1 ; R2  2 Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn z1 và z2 có môđun nhỏ nhất và lớn nhất nên OM dài nhất và ON ngắn nhất. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 28 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A M OM  OI1  R1 OM dài nhất    M OM  OI  R  2 2  N ON  R1  OI1 ON ngắn nhất    N ON  R  OI  2 2  2 Số Phức Nâng Cao  0; 1  2   z  1 2  z  0;  1  2  0;  2  1  z  2 1  z 0; 2  1   1 2 2 1  3 2 2 . 2 2  3 2 2 . 2 Vậy z1  z 2  6. Câu 43. (SỞ GD & ĐT CÀ MAU) Cho hai số phức z1 , z2 thay đổi, luôn thỏa mãn z1  1  2i  1 và z2  5  i  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P  z1  z2 . A. Pmin  2 . B. Pmin  1 . C. Pmin  5 . Lời giải D. Pmin  3 . Chọn A Gọi A , B lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 , z2 . Khi đó P  z1  z2  AB . Ta có A thuộc đường tròn  C1  có tâm I1 1;2 , bán kính R1  1 và B thuộc đường tròn  C2  có tâm I 2  5;  1 , bán kính R2  2 . 2 I1I 2  42   3  5  R1  R2  3 nên hai đường tròn  C1  và  C2  ở ngoài nhau. Vậy Pmin  I1I 2  R1  R2  5  1  2  2 . Câu 44. (Sở Lạng Sơn 2019) Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  3i  5  2 và iz2  1  2i  4 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  2iz1  3 z z A. 313 . B. 313  8 . C. 313  16 . Lời giải D. 313  2 5 . Chọn C Ta có z1  3i  5  2  2iz1  6  10i  4 1 iz2  1  2i  4   3z2   6  3i  12  2  Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2iz1 , B là điểm biểu diễn số phức  3z 2 Từ 1 và  2  suy ra điểm A nằm trên đường tròn tâm I1  6; 10  , bán kính R1  4 , điểm B nằm trên đường tròn tâm I 2  6;3 , bán kính R2  12 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 29 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Ta có T  2iz1  3 zz  AB  I1I 2  R1  R2  122  132  4  12  313  16 Vậy max T  313  16. Câu 45. Cho số phức z thỏa mãn z   3  4i   5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 2 2 nhất của P  z  2  z  i . Tính giá trị A  M 2  m 2 . Lời giải Gọi z  a  bi  a, b    . 2 2 Ta có: z   3  4i   5   a  3    b  4   5 .  z thuộc đường tròn  C  có tâm I  3; 4  và bán kính R  5 . 2 2 Mặt khác: P  z  2  z  i  4a  2b  3  P  0 . Vậy z thuộc đường thẳng    : 4a  2b  3  P  0 .  z   C  Ta có:   Để z thì  C       d  I ;      R  z     23  P   5  13  P  33  A  1258 . 2 5 Câu 46. Cho số phức z  0 thoả z  2 . Họi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P zi . Tính A  M 2  m 2 : z Lời giải zi  T  1 z  i . T  1  Không có số phức nào thoả mãn. Gọi T  z i i 1  z  2  T 1  . Xét T  1  z  T 1 T 1 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức T là hình tròn tâm I 1; 0  có bán kính R  1 . 2 3  M  OI  R  2 5   A . 2 m  OI  R  1  2 z2  z1 là số thực. Gọi M , m lần lượt 1 i giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1  z 2 . Tính A  M 2  m 2 . Lời giải Câu 47. Cho z1 là số phức, z2 là số thực thoả mãn z1  2i  1 và File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 30 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Trong mặt phẳng phức Oxy : Gọi A, B lần lượt là điểm biểu điểm số phức z1 , z2 . 2  A   C  : x 2   y  2   1 và B  Ox     z2  z1  OB  OA  AB .  z z Ta có 1 2  k  k     AB  k 1;1  Đường thẳng AB có véctơ pháp tuyến là 1; 1 . 1  2i Ta có: AB tạo với trục Ox một góc 450 . max AO 3  max AB   3 2 0  AO  sin 45 sin 450  AB    P  20 . min AO 1 sin 450 max AB    2  sin 450 sin 450 8 Câu 48. Cho z1 , z2 là nghiệm của phương trình 6  3i  iz  2 z  6  9i thõa mãn z1  z2  . Gọi 5 M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1  z2 . Tính P  M  m . Lời giải 2 2 Đặt z  a  bi  a, b    . Ta có: 6  3i  iz  2 z  6  9i   a  3   b  4   1  C  . Trong mặt phẳng phức Oxy , gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 , z2 và I , H lần lượt là tâm đường tròn  C  , trung điểm AB .  A, B   C  :  x  3 2   y  4  2  1  .      z1  z2  OA  OB  2 OH  2OH Với 3 điểm O, I , H ta có: OI  IH  OH  OH  HI .  2 OI  IA2   AB 2 AB 2  44 56  2OH  2 OI  IA2   2OH   P  20 .  4 4  5 5  Dấu ”  ” xảy ra: Khi OH đạt giá trị nhỏ nhất thì O, H , I thẳng hàng theo thứ tự đó. Khi OH đạt giá trị lớn nhất thì O, I , H thẳng hàng theo thứ tự đó. z z Câu 49. Cho số phức z1 , z2 thoả mãn z1  3  4i  1, z 2  1  z2  i và 1 2 là số thực. Gọi M , m lần 2i lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1  z 2 . Tính P  M  m . Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 31 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z1 , z2 .     z2  z1  OA  OB  AB  z2  z1  AB . Ta có  z1  z2  k  k     AB  k  2; 1  2i Đường thẳng AB có véctơ pháp tuyến là 1; 2  . Trong mặt phẳng phức Oxy ta có:  z1   C  :  x  32   y  4  2  1 .  z  d : x  y  0    2 Ta có góc giữa AB và d là:   nAB .nd 3 10 cos  AB; d      10 nAB . nd 1 . 10 Ta có  C  không cắt  d   d  I ;  d    R C   0 . Gọi H là hình chiếu của A trên  d  .  d  I ;  d    RC  max AH max AB    7 5  10 sin  AB; d  sin  AB; d   AO  AB    P  14 5 . sin  AB; d   d  I ; d   R   min AH   C   7 5  10 max AB  sin AB; d  sin AB; d       sin  AB; d   Câu 50. Cho số phức z thoả mãn z không phải là số thực và w  z là thực. Giá trị lớn nhất của 2  z2 P  z  1  i là: Lời giải z 1 2  z2  2         z   . Do z    z  0 . Ta có: w  2 2 z w z z  Gọi z  a  bi  a, b    . 2  a  bi  2 2  2a   2  z  a  bi  2 2  a  bi   2 2  a   b  2 2  1 i . z a  bi a b  a b   a b  b  0  loai  1 2  Do    b  2 .  1  0   2 2 2 w  a b   a  b  2 Vậy tập hợp điểm của số phức z là đường tròn  C  : a 2  b 2  2 trong mặt phẳng phức.  Trong mặt phẳng phức xét điểm A  1;1  P  MA  max P  OA  R C   2 2 . Câu 51. Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn iz1  2  1 và z2  iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 z1  z 2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 32 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 2  1 2 B. 2  1 2 Số Phức Nâng Cao 2 C. 1 2 D. 2 1 2 Lời giải Bài toán này, thực chất là dựa trên kiến thức “ Biểu diễn hình học số phức”. Ta thấy nếu đặt z1  x1  y1i  x1 ; y1    . Khi đó điểm M  x1 ; y1  là điểm biểu diễn số phức z1 thỏa mãn: y I N M M’ x O 1 . Suy ra tập hợp các điểm M 4 1 biểu diễn z1 là đường trong  C  có tâm I 0; 2 và bán kính R  . 2 Khi đó nếu N là điểm biểu diễn của số phức z2 thì việc tìm GTNN của z1  z 2 là việc tìm GTNN của MN. Theo đề thì z2  iz1   y1  x1i  N   y1 ; x1  là điểm biểu diễn z2 . Ta nhận thấy rõ ràng   OM .ON   x1 y1  x1 y1  0  OM  ON . Dễ nhận thấy OM  ON  x12  y12 Ta có hình vẽ sau: Do OMN là tam giác vuông cân tại O nên MN  OM 2 , do đó để MN nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất. Dễ thấy, OM nhỏ nhất khi M  M ‘ (M’ là giao điểm của OI với đường tròn như hình vẽ) 1 1 1   Tức là M  0; 2   . Khi đó MN  OM 2   2   2  2  . 2 2 2   Câu 52. Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M , M  . Số phức w  z (4  3i ) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N , N  . Biết rằng M , M , N , N  là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z  4i  5 . i  x1  y1i   2  1 1  ix1  y1  2   x12  y1  2 2 2   A. 5 . 34 B. 2 . 5  2   C. 1 . 2 D. 4 13 Lời giải Gọi số phức z  a  bi  a, b    .  w   a  bi  4  3i    4a  3b    3a  4b  i  w   4a  3b    3a  4b  i Ta có: M và M ‘ đối xứng nhau qua trục Ox , N và N ‘ đối xứng nhau qua trục Ox MM ‘  Ox  .  NN ‘  Ox Ta có: M , M , N , N  là bốn đỉnh của hình chữ nhật MM ‘ N ‘ N hoặc MM ‘ NN ‘ . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 33 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Trong mặt phẳng phức Oab , xét điểm A  5; 4   z  4i  5  MA Trường hợp 1: Với hình chữ nhật MM ‘ N ‘ N .  MN  M ‘ N ‘  MN / /Ox  yM  yN  b   3a  4b   a  b  0  M   d1  : a  b  0 . Vậy MAmin  d  A;  d1    5   4  2  1 . 2 Trường hợp 2: Với hình chữ nhật MM ‘ NN ‘ .  MN ‘  M ‘ M ‘  MN ‘/ / Ox  yM  yN ‘  b    3a  4b   3a  5b  0  M   d 2  : 3a  5b  0 . Vậy MAmin  d  A;  d 2    Vì d  A;  d1    d  A;  d 2    MAmin  3.5  5.  4  2 3 5 2  5 34 . 1 . 2 Câu 53. Cho số phức z1 thỏa z1  1  i  z1 , số phức z2 thỏa 5  35i là số thực và số phức w 5 z2  23  4i thỏa điều kiện 2 w  1  i  3 w  2  i  2 . Cho P  w  z1  w  z2  z1  z2 , gọi a là giá trị nhỏ nhất của biểu thức P (nếu có). Đáp án nào sau đây là đúng: 16 10 8 10 64 5 3 4 5 A. a  . B. a  . C. a  . D. a  5 5 2 2 Lời giải Trong mặt phẳng phức Oxy gọi A, B , C lần lượt là điểm biểu diễn của số phức w, z1 , z2 . Gọi z1  a  bi  a, b     z1  1  i  z1  a  b  1  0 .  z1   1  : x  y  1  0 trong mặt phẳng phức Oxy . Ta có:  1 5  35i  k  k     CD  1; 7  5 z2  23  4i k  23 4  với D  ;  . Vậy z2 thuộc đường thẳng có véctơ chỉ phương là 1; 7  và đi qua điểm D  5 5 23 4 nhưng không lấy điểm D  z 2    2  : 7 x  y  33  0 và z2   i . 5 5 Ta có: 2 w  1  i  3 w  2  i  2  2 AE  3 AF  2 với E 1; 1 F  2; 1 . Mà 2 AE  2 AF  2 EF  2 . vậy dấu ”  ” xảy ra khi w  2  i .  P  AB  BC  CA . Ta có A thuộc góc nhọn được tạo bởi 2 đường thẳng  1  ,   2  .  A1  2;3   AB  A1 B  Gọi A1 , A2 lần lượt là điểm đối xứng của A qua  1  ,   2    và   38 1   AC  A2C  A2  ;   5   5  P  AB  BC  CA  A1 B  BC  A2C  A1 A2  16 10  Chọn A … ah mà thôi:v. 5 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 34 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  B  A1 A2   1  Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi  . Ta cần tìm tọa độ C để so sánh với điểm loại C  A1 A2    2   23 4  đi trên   2   C  ;   Không tồn tại điểm C  Không tồn tại Pmin .  5 5 Câu 54. Cho số phức z1 , z2 thỏa z  1  i  z và z1  z2  6 2 , số phức w1 , w2 thỏa điều kiện 1 i là số thực và w1  w2  3 2 , số phức u thỏa 2 u  2  i  3 u  1  2i  6 2 . Gọi w  4  2i giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có) là P  u  z1  u  z2  u  w1  u  w2 . Đáp án nào sau đây là đúng: A. 3  26 . B. 9 2  6 . C. 6  2 26 . D. 3  26 Lời giải Trong mặt phẳng phức gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 , z2  z1  z2  6 2  AB  6 2 . Gọi z  a  bi  a, b     z  1  i  z  a  b  1  0 . Vậy z1 , z 2     : x  y  1  0 trong mặt phẳng phức với z1  z2  6 2 . Trong mặt phẳng phức gọi X , C , D lần lượt là là điểm biểu diễn số phức w, w1 , w2  w1  w2  3 2  CD  3 2 .  1 i  k  k     XY  k 1;1 với Y  4; 2  . Ta có: w  4  2i Vậy w thuộc đường thẳng có véctơ chỉ phương là 1;1 và đi qua điểm Y  4; 2  nhưng w  4  2i .  w    2  : x  y  6  0 loại đi điểm Y  4; 2  . Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn số phức u . Ta có E  2;1 , F 1; 2   2 u  2  i  3 u  1  2i  6 2  2ME  3MF  6 2 . Mà 2 ME  2 MF  2 EF  6 2 . Vậy dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi MF  0  M 1; 2  .  P  MA  MB  MC  MD với AB  2CD  6 2 . Ta cần tìm Pmin . Gọi E , F lần lượt là định thứ tư của hình bình hành MCDE , MBAF . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 35 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Gọi E ‘ là điểm đối xứng của E qua   2  , F ‘ là điểm đối xứng của F qua  1  . MC  DE  DE ‘  P   E ‘ D  DM    F ‘ A  AM   E ‘ M  F ‘ M . Ta có:  MB  AF  AF ‘  D  ME ‘   2  Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi  .  A  MF ‘  1  Gọi N là hình chiếu của M trên  1   MHA  ANF ‘  g  c  g  với N  FF ‘  1   MA  AF ‘  AF  MB  MAB cân tại M . Chứng minh tương tự MCD cân tại M .  Pmin  MA  MB  MC  MD  6  2 26 . Kiểm tra lại tọa độ của C , D . Ta viết phương trình đường tròn tâm M bán kính R  MC . C  4; 2   C, D   C    2    Không tồn tại Pmin do w  4  2i .  D 1; 5 Câu 55. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2i  2 2 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P  a z  1  b z  3  4i với a, b là số thực dương. a 2  b2 . C. 4 2a 2  2b2 . D. a 2  b 2 . Lời giải Ta gọi z  x  yi  x, y    . Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức. A. B. 2a 2  2b 2 . Trong mặt phẳng phức xét các điểm A 1;0  , B  3; 4  . Khi đó AB  4 2.  MA 2  MB 2  AB 2  py  ta  go   P  bMB  2 2 2 Ta luôn có:     MB  AB  0 . a    P  aMA  bMB  b2   P2  2.P.b   2  1 MB 2  MB   2  AB 2   0  * . a a  a  Để phương trình  * có nghiệm thì:  ‘*  0   P 2 b2 2  b2 2 P   1  2  2  AB   0 2 a a  a   P2  b2   2  1 AB 2  0  P 2  AB 2  a 2  b 2   P  AB a 2  b 2  4 2a 2  2b 2 . 2 a a  Chọn C z  2i Câu 56. Xét tập  A  gồm các số phức z thỏa mãn là số thuần ảo và các giá trị thực m, n thỏa z2 mãn chỉ có duy nhất một số phức z   A  thỏa mãn z  m  ni  2 . Đặt M  max  m  n  và  N  min  m  n  . Tính P  M  N ? A. P  2 . B. P  4 . C. P  4 . Lời giải D. P  2 . Chọn C Giả sử z  a  bi, (a, b   ) thì z  2i  z  2  4i  a  b  4 Ta có  1 z  2i a   b  2  i  a   b  2  i   a  2   bi    z  2  a  2   bi  a  2 2  b 2 a  a  2   b  b  2    a  2  b  2   ab  i  a  2 2  b2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 36 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vì Số Phức Nâng Cao z  2i 2 2 là số thuần ảo nên a  a  2   b  b  2   0   a  1   b  1  2 z2 2 2 Ta cũng có  a  m    b  n   2 Vì chỉ có duy nhất một số phức thỏa mãn nên hai đường tròn  C1  có I1 1;1 , R1  2 và đường tròn  C2  có I 2  m; n  , R2  2 tiếp xúc nhau. I I  R  R  2 2 1 2 Vậy  1 2  I1I 2  R1  R2  0 Trường hợp I1I 2  0 (không thỏa mãn) vì lúc đó hai đường tròn trùng nhau nên có vô số  a; b  2 2 2 2 thỏa mãn  a  1   b  1  2 . Vậy I1I 2  2 2   m  1   n  1  8 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có : m  n  2   m  1   n  1  1  1   m  1   n  1   4 2 2 2 2  4  m  n  2  4  2  m  n  6 M  6 Suy ra   P4.  N  2 2 2 Câu 57. Cho số phức z1 thỏa mãn z1  2  z1  i  1 và số phức z2 thỏa mãn z2  4  i  5 .Hỏi giá trị nhỏ nhất z1  z2 là? A. 2 5 . 5 B. 5. C. 2 5 . D. 3 5 . 5 Lời giải Chọn A Đặt z1  a  bi; a, b   và z2  m  ni; m, n   . 2 2 Ta có: z1  2  z1  i  1 2 2   a  2   b2    a2   b  1   1  2a  b  2  0 .     Tương tự ta có z2  4  i  5 2 2   m  2    n  1  5 . Khi đó xét các điểm M  a; b  , N  m; n  , ta có: M  d : 2 x  y  2  0 và N   C  có I  4;1 , R  5 . z1  z2  MN  IM  IN  d  I ; d   R  7  5 2 5 . 5 5 Câu 58. Cho số phức z1  1  3i , z2  5  3i . Tìm điểm M  x; y  biểu diễn số phức z3 , biết rằng M nằm trên đường thẳng x  2 y  1  0 và số phức w  3z3  z2  2 z1 có giá trị nhỏ nhất?  3 1 A. M   ;  .  5 5 3 1 B. M  ;  . 5 5 3 1 C. M  ;   . 5 5 Lời giải  3 1 D. M   ;   .  5 5 Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 37 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao M nằm trên đường thẳng x  2 y  1  0  M  2 y  1; y   z3  2 y  1  yi và w  3  2 y  1  yi    5  3i   2 1  3i   6 y   3y  3  i . 2 1 4 6 2 Do đó: w  36 y 2   3 y  3   3 5  y     5 5 5   3 1 1 Dấu ”  ” xảy ra khi y   M   ;  . 5  5 5 Câu 59. Cho các số phức z,w thỏa mãn z2  2z  5   z  1  2i  z  3i  1 và w  z  2  2i . Hỏi giá trị nhỏ nhất của w là: A. 3 . 2 B. 1 . C. 1 . 2 D. 2 . Lời giải Chọn B Ta có z  a  bi; a, b   thì Theo giả thuyết z2  2z  5   z  1  2i  z  3i  1     z  1  2i  z  1  2i    z  1  2i  z  3i  1  z  1  2i  z  1  2i   0     b  2  2   b  32  b   1  z  1  2i  z  1  3i   2  w  1  2i   2  2i  1  Khi đó   1  3  w  z  2  2i   a  2 i   2  2i   a  2   2 i    Trường hợp sau ta có w   a  2 2  9 3  4 2 Từ 1 ,  2  suy ra w  1 . Câu 60. Cho ba số phức z , z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  6 và z1  z2  6 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  z  z1  z  z 2 A. 6 2  2 . . B. 3 2  3 . C. 6 2  3 . Lời giải D. 3 2  2 . Chọn C Xét tam giác OAB với A , B lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 , z2 và M là điểm biểu diễn số phức z , ta có OA  OB  6 , AB  6 2  OAB vuông tại O . Khi đó ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của P  MO  MA  MB . Dự phía ngoài tam giác OAB tam giác đều ABC , đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt OC tại D , theo bất đẳng thức Ptoleme cho bốn đểm M , A , B , C ta có: MACB .  MB.CA  MC. AB  MA  MB  MC và MA  MB  MO  MC  MO  OC  const . Dấu bằng xảy ra  M  D . Ta đi tính độ dài đoạn OC , bằng định lý hàm số côsin ta có:   OAB   BAC   45   60   105  . OA  6 , AC  6 2 , OAC  Do đó OC  OA2  AC 2  2.OA.AC .cos105  62  6 2  2  2.6.6 2.cos105  6 2  3 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 38 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Vậy gá trị nhỏ nhất của Pmin  6 2  3 . Câu 61. Cho số phức z . Kí hiệu A, B , C , D lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z , z , z  4  3i  và z  4  3i  . Biết A, B , C , D là bốn đỉnh của một hình chữ nhật. Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức z  4i  5 là? A. 5 . 34 B. 2 . 5 1 . 2 C. D. 4 . 13 Lời giải Chọn C Với z  a  bi,  a, b    . Ta có: A  a; b  , B  a; b  , C  4a  3b;3a  4b  , D  4a  3b; 3a  4b  . Do đó A, B đối xứng qua trục hoành; C , D đối xứng qua trục hoành và AB / / C D . Theo giả thiết A, B , C , D là bốn đỉnh của một hình chữ nhật khi và chỉ khi có a  0 và b  0 và  a  2b    a  2b   a  b  AB  CD    a  b       b  0  l   a  b .  AB  AC       2b  3a  3b   0   a  b  AB  AD     2b  3a  5b   0     3  b   5 a  2 Với z  a  ai , ta có: z  4i  5   a  5 2 9 1 1 2   4  a   2  a     . 2 2 2  im , trong đó m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị 1  m  m  2i  1 thực của tham số m sao cho z  i  . Hỏi trong S có tất cả bao nhiêu phần tử nguyên? 2 A. 1 . B. 3 . C. 2 . D. 5 . Lời giải Chọn B 1 i  m  i  mi  m  2i  i m 1 1 z i   i  Ta có   2 1  m  m  2i  1  m  2mi 2 2 2 Câu 62. Cho số phức z  m  m2 i m  m2 i 1 1      2 2 1  m  2mi 1  m  2mi 2 2 m2  m4 2 2 1  m    4m 2 1 2  2m 2  2m 4  m 4  2m 2  1  m 4  1  1  m  1  S   1;1 Vậy có 3 số nguyên trong S . . Câu 63. Gọi z là số phức thỏa mãn P  z  1  i  z  1  4i  z  2  i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính z . A. 2. B. 1 . C. 2 . D. 2 . 2 Lời giải Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 39 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Đặt z  a  bi , xét các điểm M  a; b  , A 1;1 , B 1; 4  , C  2; 1 .  Ta có cos BAC AB 2  AC 2  BC 2 2 1   1200 .     BAC 2. AB. AC 2 5   AB AC Do đó   1 và AB AC MB. AB MC. AC  AB AC           AB AC  AB 2 AC 2 MB. AB MC . AC  MA    MA  MA     AB AC AC  AB AC  AB       AB AC    AB AC   MA  MA      AB  AC  MA  MA    AB  AC  AB  AC AB AC AB AC     P  MA  MB  MC  MA  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M  A  z  1  i  z  2 . . Câu 64. (ĐH Vinh Lần 1) Giả sử z1 , z 2 là hai trong các số phức thỏa mãn  z  6  8  zi là số thực. Biết   rằng z1  z2  4 , giá trị nhỏ nhất của z1  3 z2 bằng A. 5  21 . B. 20  4 21 . C. 20  4 22 . Lời giải D. 5  22 . Chọn C Giả sử z  x  yi , x, y   .Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1 , z 2 . Suy ra AB  z1  z2  4 . * Ta có  z  6  8  zi    x  6   yi  . 8  y   xi   8 x  6 y  48   x 2  y 2  6 x  8 y  i .  z  6  8  zi  là số thực nên ta suy ra x 2  y 2  6 x  8 y  0 . thuộc đường tròn  C  tâm I  3; 4  , bán kính R  5 . Theo giả thiết A, B      Tức là các điểm  * Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa MA  3 MB  0  OA  3OB  4OM .Gọi H là trung điểm AB . Ta tính được HI 2  R 2  HB2  21; IM  HI 2  HM 2  22 , suy ra điểm M thuộc đường tròn  C  tâm I  3; 4  , bán kính r  22 .    * Ta có z1  3 z2  OA  3OB  4OM  4OM , do đó z1  3 z2 nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 40 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Ta có  OM min  OM 0  OI  r  5  22 . Vậy z1  3z2 min  4OM 0  20  4 22 . Phân tích : Kiến thức cần nắm vững : Quỹ tích điểm biểu diễn số phức. Modun số phức Bài toán liên quan tâm tỉ cự trong hình học. Sai sót dễ gặp, không để ý đường tròn C đi qua gốc tọa độ. Câu 65. (ĐH Vinh Lần 1) Giả sử z1 , z 2 là hai trong các số phức thỏa mãn  z  1 z  2i  là một số thuần ảo. Biết rằng z1  z2  2 , giá trị nhỏ nhất của z1  5 z2 bằng A. 13  5 . B. 3 5  13 . C. 3 5  2 13 . Lời giải D. 5  22 . Chọn B Đặt z  x  yi  x; y      z  1 z  2i   x 2  y 2  x  2 y   2 x  y  2  i. Theo giả thiết  z  1 z  2i  là số thuần ảo, suy ra 2 1 5 1 5 2  x  y  x  2 y  0  x  x   y 2  2 y  1    x     y  1  . 4 4 2 4  2 2 2 5  1   tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn  C1  tâm I   ; 1 , R  2  2  Giả sử z  x  yi , x, y   .Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1 , z 2 . Suy ra z1  z2  2  AB  2 .       Gọi M là điểm thỏa mãn MA  5 MB  0  OA  5OB  6OM .  2 1 IH   IH 2  IA2  HA2  4 . Gọi H là trung điểm AB ta có   2 2 2  IH  IM  HM  IM 2  13  36 13  1  Vậy tập hợp điểm M là đường tròn  C2  tâm I   ; 1 , r  . 6  2     Ta có z1  5 z 2  OA  5OB  6 OM  6OM . Do  C1  ,  C2  là hai đường tròn đồng tâm và O   C1   5 13   Từ đó suy ra z1  5 z2 Min  6OM Min  6 R  r  6    3 5  13 2 6   Câu 66. (ĐH Vinh Lần 1) Giả sử z1 , z2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn iz  2  i  1 và z1  z2  2 Giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng A. 4 . B. 2 3 . C. 3 2 . Lời giải D. 3. . Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 41 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Ta có iz  2  i  1  i z  i 2  1  1  z  1  i 2  1 .   Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I 1; 2 , R  1 . Gọi M , N là điểm biểu diễn z1 , z2 nên MN  2 là đường kính. Dựng hình bình hành OMPN ta có z1  z2  OP  2 3 . Ta có z 1  z2  2  2  2 z1  z2 2   z z 1 2 2 2  z1  z2  16  z1  z2  4 . Dấu bằng xảy ra khi z1  z2  MN  OI ( OMPN là hình thoi) Câu 67. (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z  3 2 . Giá trị lớn i  3 3 nhất của biểu thức P  z  1  z  1  z  3i bằng A. 4 . 3 B. 8 . 3 C. 16 . 3 D. 32 . 3 Lời giải Chọn B   Gọi M là điểm biểu diễn của z , A  1; 0  , B 1; 0  , C 0; 3 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 42 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2   2 3 4 3 Khi đó M   C  : x   y  và A , B , C   C  ,   có tâm I  0;  , bán kính R  3  3 3   3  ABC là tam giác đều. Ta có: P  z  1  z  1  z  3i  MA  MB  MC . 2 AB . Lấy E  MC sao cho ME  MA . Giả sử M thuộc cung nhỏ    Vì AMC  ABC  60 nên  AME là tam giác đều.   60  AM  AE và MAE   BAM   CAE  BAM  c.g.c   EC  MB .  CAE Do đó: P  z  1  z  1  z  3i  MA  MB  MC  ME  EC  MC  2 MC . PMax  MC có độ dài lớn nhất  MC là đường kính của đường tròn  C  ( hay M là điểm AB ). chính giữa cung nhỏ  8  PMax  2 MC  2.2 R  . 3 8 ,   M lần lượt là điểm chính giữa cung Tương tự M thuộc cung nhỏ BC AC thì PMax  3 ,  nhỏ BC AC . Vậy PMax  8 . 3 Câu 68. (Hàm Rồng) Cho số phức z , z1 , z 2 thỏa mãn z1  4  5i  z2  1  1 và z  4i  z  8  4i . Tính z1  z 2 khi P  z  z1  z  z2 đạt giá trị nhỏ nhất. A. 2 5 . B. 41 . C. 8 . Lời giải D. 6 . Chọn A *) Gọi z  a  bi, z1  a1  b1i, z2a2 b2i . Từ giả thiết, ta có: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 43 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 Số Phức Nâng Cao 2 + z1  4  5i  1   a1  4    b1  5  1 .  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 là một đường tròn C1  tâm I1   4;5 , bán kính R  1 . 2 + z2  1  1   a2  1  b2 2  1  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 là một đường tròn  C2  tâm I 2  1;0  , bán kính R  1 . 2 2 2 + z  4i  z  8  4i  a 2   4  b    a  8   b  4   a  b  4  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng  d  : x  y  4 . *) Ta cần tìm z , z1 , z 2 để P  z  z1  z  z2 đạt GTLN tức là ta cần tìm A  C1  , B  C2  để AM  BM nhỏ nhất với M  d . Ta có: + Đường thẳng d , đi qua I 2  1;0  và vuông góc với d  PT d , : x  y  1 .  5 3 + d  d ,  H   H  ;   . 2 2 + Gọi I 2, , C2,  lần lượt đối xứng với I 2 ;(C2 ) qua đường thẳng d . Ta có: 2 2 I 2,  4, 3 và C2,  :  x  4    y  3  1 .  I1I 2, cắt (d ) tại M  4;0   z  4 .  I1I 2, cắt C1  tại hai điểm A1  4;4  ; A2  4,6   z1  4  4i thỏa mãn bài toán. MI 2 cắt  C2  tại hai điểm O  0;0  ; B  2;0   z2  2 thỏa mãn bài toán. Vậy: z1  z2  2  4i  2 2  4 2  2 5 . Câu 69. (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  z 2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  5  2i bằng bao nhiêu? A. 2 5 3. B. 2 3 5 . C. 5  2 3 . Lời giải D. 5 3 2. Chọn C Gọi z  x  yi  x, y     z  x  yi . Ta có: 2 2 2 z  z  2 x , z  z  2 yi , z  x  y  2 xyi . z  z  z  z  z 2  2 x  2 y  x2  y 2  x 2  y 2  2 x  2 y  0 . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là 4 cung tròn lớn thuộc 4 góc phần tư của 4 đường tròn tâm A  1;1 , B 1;1 , C 1;  1 , D  1;  1 bán kính R  2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 44 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Lại có P  z  5  2i nên z thuộc đường tròn tâm E  5; 2  bán kính bằng P . Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện trên. Do đó P đạt giá trị lớn nhất khi đường tròn tâm E  5; 2  bán kính bằng P cắt một trong bốn đường tròn tâm A  1;1 , B 1;1 , C 1;  1 , D  1;  1 bán kính R  2 ở trên tại điểm xa E nhất. Kẻ đường thẳng ED cắt đường tròn tâm D tại F và H thì Pmax  EF  ED  DF  3 5  2 . Câu 70. (Chuyên KHTN lần2) Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  z 2 . Gọi m và M lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  4  2i . Khi đó m  M bằng A. 26  2 . B. 26  3 2 . C. 10  34 . Lời giải D. 2 26 . Chọn C + Gọi số phức z  x  yi  x; y    có điểm biểu diễn là M  x; y  .  z  x  yi . + z  z  z  z  z2  x  yi  x  yi  x  yi  x  yi   x  yi   2 x  2 yi  x  yi 2 2  4×2  4 y2  x2  y2  2x  2 y  x2  y 2  x2  y2  2x  2 y  0  2 2  x  y  2x  2 y  0  2 2  x  y  2x  2 y  0  x2  y2  2x  2 y  0  khi x  0; y  0  I1  khi x  0; y  0  I 2  khi x  0; y  0  I3  khi x  0; y  0  I 4  Phần đường tròn  I1  có tâm I1 1;1 , bán kính R  2 (ứng với x  0; y  0 ). Phần đường tròn  I 2  có tâm I 2  1;1 , bán kính R  2 (ứng với x  0; y  0 ). Phần đường tròn  I 3  có tâm I 3  1; 1 , bán kính R  2 (ứng với x  0; y  0 ). Phần đường tròn  I 4  có tâm I 4 1; 1 , bán kính R  2 (ứng với x  0; y  0 ). + P  z  4  2i  MA với A  4; 2  và M chạy trên các phần của 4 đường tròn (ứng với các điều kiện x ; y nêu trên) như hình vẽ dưới đây y A B I2 I1 O x I3 I4 C File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 45 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Dựa vào hình vẽ trên ta thấy: Giá trị lớn nhất của P là m  AI4  R  34  2 . Giá trị nhỏ nhất của P là M  AI 2  R  10  2 . Vậy m  M  34  10 , nên chọn đáp án C. Câu 71. (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho số phức z thỏa mãn | z  z |  | z  z |  | z 2 | . Giả sử M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P | z  3  2i | . Tính M  m. A. 2  3 5 . B. 5  5 . C. 2 3  5 . D. 10  5 . Lời giải Chọn B Đặt: z  x  yi, với x, y  . Khi đó z  x  yi . Khi đó: | z  z |  | z  z || z 2 | 2 | x | 2 | y || z |2  2 | x | 2 | y | x 2  y 2 . Nhận thấy đường cong có phương trình 2 | x | 2 | y | x2  y 2 nhận các trục tọa độ làm trục đối xứng, và gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Với x  0, y  0 ta có: 2 | x | 2 | y |  x2  y 2  x2  2 x  y 2  2 y  0 . Đường cong là phần của đường tròn có tâm I1 (1;1) với bán kính R  2 nằm trong góc phần tư thứ nhất và gốc tọa độ. Từ đó, đường cong có phương trình 2 | x | 2 | y | x2  y 2 là phần (nét liền) của các đường tròn tâm lần lượt là I1 1;1 , I 2  1;1 , I 3  1; 1 và I 4 1;  1 với bán kính bằng nhau là R  2 , cùng với gốc tọa độ như hình dưới đây: Đặt A   3;2  và điểm biểu diễn cho số phức z là N   x ; y  thì P | z  3  2i | NA . Do A nằm trong góc phần tư thứ nhất nên giá trị lớn nhất của P đạt được khi điểm N nằm trong góc phần tư thứ ba, giá trị đó bằng M  AI 3  R  42  32  R  5  R . Giá trị nhỏ nhất của P đạt được khi điểm N nằm trong góc phần tư thứ nhất, giá trị đó bằng m  AI1  R  2 2  12  R  5  R . Vậy M  m  5  5 . Câu 72. (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Cho số phức số z thỏa mãn z  1  3i  z  5  i  2 65 . Giá trị nhỏ nhất của z  2  i đạt được khi z  a  bi với a , b là các số thực dương. Giá trị của 2a 2  b 2 là A. 17 . B. 33 . C. 24 . D. 36 . Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 46 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Chọn B Gọi z  x  yi ;  x , y    . Điểm M  x ; y  biểu diễn số phức z .  Theo giả thiết z  1  3i  z  5  i  2 65  x  yi  1  3i  x  yi  5  i  2 65  2  x  1   y  3 2  2  x  5   y 1 2  2 65 1  Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z nằm trên đường elip  E  có tiêu điểm F1 1;  3 và F2  5;1 . Mà z  2  i  2  x  2   y  1 2  MA , với A  2;  1 là trung điểm của F1 F2 . Do đó MA  z  2  i nhỏ nhất khi M     E  ; với  đi qua A là   F1 F2 và M có tọa độ   dương. Ta có F1F2   6;4   n   3;2  . Phương trình  là 3x  2 y  4  0  y  4  3x . 2 2 4  3x   3   x  1    2  2 4  3x  Thay vào 1 ta được  1  2 65 .  x  5    2  x  2  13×2  52 x  104  2 65  13x 2  52 x  156  0   .  x  6 + Với x   6  y   7 (loại) + Với x  2  y  5  M  2;5   a  2; b  5  2a 2  b2  33. Câu 73. (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Cho số thực a thay đổi và số phức z thỏa mãn z ia . Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M là điểm biểu diễn số phức z . Khoảng  2 a  1 1  a ( a  2i ) cách nhỏ nhất giữa hai điểm M và I (3; 4) (khi a thay đổi) là A. 6 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn C z ia z a i z a i    2   2 2 a 2  1 1  a( a  2i ) a 2  1 a  2 ai  i a 2  1 (a  i) 2 2 a2  1 a 1 a 1 z z  i  M( ; ) 2 2 2 a i a 1 a 1 a  1 a2  1  M thuộc đường tròn ( C ) : x 2  y 2  1 bán kính R  1 . Vì I (3; 4) nằm ngoài (C ) nên để khoảng cách d giữa hai điểm M và I (3; 4) nhỏ nhất thì d min  IO  R  5  1  4 . Câu 74. (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  1  3i  1 và z2  1  i  z2  5  i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z2  1  i  z2  z1 bằng A. 2 5  1 . B. 10  1 . C. 10  1 . Lời giải D. 3 . Chọn ? Gọi M  z1  , N  z2  lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 và z2 . Từ điều kiện z1  1  3i  1  Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I 1;3 , bán kính R  1 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 47 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Từ điều kiện z2  1  i  z2  5  i  NA  NB , với A  1;1 , B  5; 1  Tập hợp điểm N là đường trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình  d  : 3x  y  6  0 . Ta có P  z2  1  i  z2  z1  NE  MN , với E  1;1 . I E M d N F Dễ thấy điểm E và đường tròn  I ; R  nằm hoàn toàn cùng phía so với đường thẳng d .  17 1  Gọi F là điểm đối xứng của E qua d  F  ;  .  5 5 2 85 1 Ta có P  NE  MN  NF  NI  R  FI  R  5 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4 điểm F, N, M, I thẳng hàng. 2 85 1 . 5 Câu 75. Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện Vậy min P  2 z  3  4i  5 và biểu thức 2 M  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z  i. A. z  i  2 41 B. z  i  3 5. C. z  i  5 2 D. z  i  41. Lời giải 2 2 Gọi z  x  yi;  x  ; y    . Ta có: z  3  4i  5   C  :  x  3   y  4   5 : tâm I  3; 4  và R  5. Mặt 2 khác: 2 2 2 M  z  2  z  i   x  2   y 2   x 2    y  1   4 x  2 y  3  d : 4 x  2 y  3  M  0.   Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và  C  có điểm chung  d I;d   R   M max 23  M  5  23  M  10  13  M  33 2 5 x  5 4 x  2 y  30  0  33     z  i  5  4i  z  i  41. 2 2  y  5  x  3   y  4   5 Chọn D Vậy giá trị nhỏ nhất của z  2  4i bằng 1. Câu 76. (Đặng Thành Nam Đề 6) Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z thoả mãn z  1  34 và z  1  mi  z  m  2i . Gọi z1 , z2 là hai số phức thuộc  S  sao cho z1  z 2 nhỏ nhất, giá trị của z1  z2 bằng A. 2 . B. 2 3 . C. 2 . Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: dangvietdong.bacgia[email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 3 2 . Trang 48 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Chọn D  z  1  34 Đặt z  x  yi theo giả thiết có:   z  1  mi  z  m  2i 2 2 2   x  1  y 2  34   x  1  y  34    2 2 2 2  2m  2  x   2m  4  y  3  0  x  1   y  m    x  m    y  2  1  2 Ta có 1 là đường tròn  C  có tâm I (1; 0), R  34;  2  là đường thẳng  . Vì vậy có tối đa 2 số phức z1 , z2 thoả mãn hệ phương trình đã cho, gọi A  z1  , B  z2  ta có AB  2 R 2  d 2 ( I , )  2 34  d 2  I ,    ABmin  d  I ,   max . Ta có d ( I ,  )  1(2m  2)  3 2 (2m  2)  (2 m  4) 2  d ( I ,  ) max  34 13 m . 2 8 ( x  1)2  y 2  34,  Khi đó  5  z1  z2  3 2. 3 x  y  3  0  4 4 Câu 77. (CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT 2019 lần 1) Cho số phức z 1, z 2 thỏa mãn z1  2  2i  z1  2  2i  10 2 , z 2  6  6i  2 . Tìm giá trị lớn nhất của z1  z2 . A. 5 2 . B. 11 2 . C. 12 2 . D. 16 2 . Lời giải Gọi M , A  2; 2  và B  2; 2  lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức z1 , z  2  2i và z  2  2i . Khi đó theo đề bài ta có : MA  MB  10 2 và AB  4 2  10 2 . Vì A , B là các điểm cố định nên quỹ tích các điểm M thõa mãn các điều kiện trên là elip  E  có độ dài trục lớn 2a  10 2 , 2 tiêu điểm là A , B . Mặt khác N là điểm biểu diễn cho số phức z2 thỏa mãn z2  6  6i  2 là đường tròn  C  tâm I  6; 6  , bán kính R  2 . Dễ thấy B , A , I nằm trên đường thẳng y   x . Xét điểm P nằm trong đoạn BI thỏa mãn IP  2  P  5; 5  .  P   C    C  và  E  tiếp xúc nhau tại P . Khi đó   P   E  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 49 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Do đó MN lớn nhất khi : MN  2a  2R  MP  PN  10 2  2 2  12 2 , lúc đó : M , P là các đỉnh trên trục lớn  E  , N là điểm đối xứng của P qua I . Câu 78. (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Cho các số phức z , z1 , z2 thay đổi thỏa mãn các điều kiện sau: iz  2i  4  3 ; phần thực của z1 bằng 2 ; phần ảo của z2 bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 2 thức T  z  z1  z  z2 . A. 9 . B. 2 . C. 5 . Lời giải D. 4 . Chọn D 2i  4   iz  2i  4  3  i  z    3  i . z  2  4i  3  z  2  4i  3 . i   Gọi M là điểm biểu diễn số phức z và I  2; 4  . Ta có: z  2  4i  3  MI  3  M thuộc đường tròn  C  tâm I , bán kính R  3 . 2 2 Gọi A , B là điểm biểu diễn số phức z1 , z2 . Ta có: T  z  z1  z  z2  MA2  MB 2 . Vì phần thực của z1 bằng 2 nên A thuộc đường thẳng x  2 . Vì phần ảo của z2 bằng 1 nên B thuộc đường thẳng y  1 . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của M trên đường thẳng x  2 và y  1 . Ta có: T  MA2  MB 2  MH 2  HA2  MK 2  KB 2  MH 2  MK 2 (1) Gọi E  2;1 . Tứ giác MHEK là hình chữ nhật  MH 2  MK 2  ME 2 (2) Gọi M 0 là giao điểm của đường thẳng IE với đường tròn  C  ( M 0 ở giữa I , E ) (như hình vẽ). Ta có: ME  M 0 E  M   C  (3) File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 50 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Từ (1), (2), (3) suy ra T  M 0 E 2 . Ta có: M 0 E  IE  IM 0  5  3  2 . Suy ra T  4. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi H  A , K  B và M  M 0 hay M  M 0 và A , B lần lượt là hình chiếu của M trên đường thẳng x  2 và y  1 . Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4. Cách 2 2i  4   iz  2i  4  3  i  z    3  i . z  2  4i  3  z  2  4i  3 . i    x , y   2 Ta có:  x  2    y  4   9  x 2  y 2  4 x  8 y  11 (*) Gọi z1  2  ai , z2  b  i  a , b   2 2 2 2 2 2 2 2 T  z  z1  z  z2   x  2    y  a    x  b    y  1   x  2    y  1 2 2 Đặt A   x  2    y  1  8 x  6 y  6 (theo (*))  8  x  2   6  y  4   34 2 2 2 Ta có:  8  x  2   6  y  4    82  62   x  2    y  4     Gọi z  x  yi 2 (1) 2   A  34   100.9 (theo (*))  4  A  64 Suy ra A  4 (2). Từ (1) và (2) suy ra T  4 . ya  2   xb  x  b  5  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi   x2 y4    y  a  11 8 6   5  A  8 x  6 y  6  4 Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4. Câu 79. (CổLoa Hà Nội) Gọi z1 , z2 , z3 là ba số phức thỏa mãn điều kiện z1  1  z1  3i  10 , z2  3  z2  3i  3 2 , z3  1  z3  3  4 . Đặt m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1  z2  z2  z3  z3  z1 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. m   4;5  . B. m   5; 6  . C. m   6; 7  . Lời giải D. m   7 ;8  . Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 51 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Trong mặt phẳng Oxy , gọi A   1; 0  , B  0;3 , C  3; 0  và M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 . Khi đó, z1  1  z1  3i  10  MA  MB  AB  Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z1 là đoạn AB . Tương tự, z2  3  z2  3i  3 2  NC  NB  BC  Tập hợp điểm N biểu diễn số phức z2 là đoạn BC . z3  1  z3  3  4  PA  PC  AC  Tập hợp điểm P biểu diễn số phức z3 là đoạn AC . Khi đó z1  z2  z2  z3  z3  z1  MN  NP  PM . Gọi P1 , P2 lần lượt đối xứng với P qua AB , BC . Ta có MP  MP1 , NP  NP2 . Khi đó P  MN  NP  PM  PM  MN  NP2  P1 P2 . 1  P    CBP  Mặt khác PBA AB , PBC 1 2         P 1 AB  ABC  CBP2  PBA  ABC  PBC  2 ABC . Gọi H là trung điểm của P1 P2 , khi đó  P 2 BP1  . PP  2 P H  2 BP .sin P BH  2 BP .sin  2 BP.sin BAC 1 2 2 2 2 2   3 10 và BP  BO  3 . Khi đó PP  2BP sin BAC   9 10 . Ta có sin BAC 1 2 10 5 9 10   5;6  . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1  z2  z2  z3  z3  z1 bằng 5 Câu 80. (Chuyên Vinh Lần 3) Xét các số phức z , w thỏa mãn z  2 , iw  2  5i  1 . Giá trị nhỏ nhất của z 2  wz  4 bằng A. 4 . B. 2   29  3 . C. 8 . D. 2   29  5 . Lời giải Chọn C Cách 1: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 52 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có: iw  2  5i  1  i  w  Số Phức Nâng Cao 2  5i  1  w  5  2i  1 . i Ta có: T  z 2  wz  4  z 2  wz  z 2  z 2  wz  z  z  z  z  z  w  2 z  z  w  * Đặt z  a  bi . Suy ra: z  z  2bi . Vì z  2 nên 4  2b  4 . Gọi A , B lần lượt là điểm biểu diễn của w và 2bi . Suy ra: + A thuộc đường tròn  C  có tâm I  5; 2  , bán kính R  1 . + B thuộc trục Oy và 4  xB  4 . Từ  * suy ra: T  2 AB  2MN  2  4  8 (xem hình) Dấu “  ” xảy ra khi và chỉ khi A  M  4; 2   w  4  2i và B  N  0; 2   2bi  2i  b  1  z  a  i  a 2  1  4  a   3  z   3  i . Vậy z 2  wz  4 có giá trị nhỏ nhất bằng 8 . Cách 2: Đặt z  a  bi , w  c  di ( a , b , c , d   ). Từ giả thiết, ta có: a 2  b 2  4 a, b   2; 2  .   2 2 c   6; 4  , d   3; 1  c  5    d  2   1 Ta có: T  z 2  wz  4  z 2  wz  z  T  2 2bi   c  di   2 2  z 2  wz  z  z  z  z  z  w  2 z  z  w  2b  d  2  c 2  2 c 2  2 c  2  4  8 (do c   6; 4 ). c  4  Dấu “  ” xảy ra khi và chỉ khi 2b  d  0 .  2 2  c  5    d  2   1 c   4  Suy ra một nghiệm thỏa mãn là d  2 . b  1  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 53 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Vậy z 2  wz  4 có giá trị nhỏ nhất bằng 8 . Chú ý: Về một Lời giải SAI. Sau khi có T  z 2  wz  4  2 z  z  w  2 z  w  z  2 EF  2  2 OI  1  2  2  2   29  5 .  z  w  kz , k  0 Khi đó, đẳng thức không xảy ra, vì hệ  vô nghiệm.  z  w  29  3 Hoặc: T  z 2  wz  4  z  z  w   4  z  z  w   4  2 z  w  4  2   29  3  4  2   29  5 , cũng không có đẳng thức xảy ra. (Bạn đọc tự kiểm tra điều này). Câu 81. (Kim Liên) Xét các số phức z thỏa mãn z  3  2i  z  3  i  3 5 . Gọi M , m lần lượt là hai giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P  z  2  z  1  3i . Tìm M , m . A. M  17  5, m  3 2 . B. M  26  2 5, m  2 . D. M  17  5, m  2 . Lời giải C. M  26  2 5, m  3 2 . Chọn C Gọi z  x  yi  x, y    và điểm M  x, y  là điểm biểu diễn của số phức z .  x  3 A  3; 2  , B  3;  1 . Theo đề ra z  3  2i  z  3  i  3 5  2 2   y  2   x  3 2 2   y  1  3 5  AM  BM  3 5 với  Ta có AB   6; 3   AB  3 5  AM  BM  AB  A, M , B thẳng hàng và M nằm giữa A và B .  x  3  6t Phương trình tham số của đường thẳng AB :  t   .  y  2  3t Gọi M  3  6t ; 2  3t  , do M nằm giữa A và B nên  3   3  6t  3  0  t  1 . Biểu thức P  z  2  z  1  3i  P  3  6 t  2  2  x  2 2   2  3t   2  y2   3  6t  1 2  x  1 2   y  3   2  3t  3  2 2  45t 2  24t  5  45t 2  42t  17 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: dangvietd[email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 54 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 90t  24 Số Phức Nâng Cao 90t  42 trên đoạn  0;1 . 2 45t 2  42t  17 90t  42 P  t   0   0. 2 2 45t  24t  5 2 45t 2  42t  17 Xét P  t   2 45t 2  24t  5 90t  24    90t  24  45t 2  42t  17   90t  42  45t 2  24t  5  0  15t  4  45t 2  42t  17  15t  7  45t 2  24t  5  0 (*). 4 7  t  1 thì phương trình (*) vô nghiệm. hoặc 15 12 4 7 t  Nếu thì  *  15t  4  45t 2  42t  17   7  15t  45t 2  24t  5 15 15 2   225t  120t  16  (45t 2  42t  17)   225t 2  210t  49  (45t 2  24t  5) Nếu 0  t  1  t (l )  15 2  1215t  486t  27  0   . t  1  tm   3 1 Ta có: P  0   5  17 ; P    3 2 ; P 1  2 5  26 3 1  Max P  t   P 1  2 5  26; Min P  t   P    3 2 . 0;1  0;1  3 Như vậy M  2 5  26, m  3 2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 55
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top