Trắc nghiệm VD – VDC nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Đặng Việt Đông

Giới thiệu Trắc nghiệm VD – VDC nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Đặng Việt Đông

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Trắc nghiệm VD – VDC nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Đặng Việt Đông CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Trắc nghiệm VD – VDC nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Đặng Việt Đông
Trắc nghiệm VD – VDC nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Đặng Việt Đông

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Trắc nghiệm VD – VDC nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Đặng Việt Đông

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Trắc nghiệm VD – VDC nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 0 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng MỤC LỤC NGUYÊN HÀM …………………………………………………………………………………………………………………….. 2 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊM HÀM ĐỔI BIẾN SỐ ……………………………………………………………………. 6 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN …………………………………………………………………… 10 NGUYÊN HÀM HÀM ẨN ……………………………………………………………………………………………………. 14 TÍCH PHÂN ……………………………………………………………………………………………………………………….. 18 SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TÍCH PHÂN CƠ BẢN………………………………………… 26 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ ……………………………………………………………………….. 31 ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 …………………………………………………………………………………………………….. 31 ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 …………………………………………………………………………………………………….. 38 TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ……………………………………………………………… 38 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 ……………………………………………………………………….. 38 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2 ……………………………………………………………………….. 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 ……………………………………………………………………….. 43 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 ……………………………………………………………………….. 45 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 ……………………………………………………………………….. 46 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6 ……………………………………………………………………….. 47 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ………………………………………………………………………………………………….. 49 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 1: ………………………………………………………………………………… 49 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 2: ………………………………………………………………………………… 50 TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN…………………………………………………………. 51 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ………………………………………………………………………………………………………… 58 GTLN, GTNN, BĐT – TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………. 65 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH ……………………………………………………………………………………………. 70 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VỚI HÀM SỐ ……………………………………………………………………………… 83 ỨNG DỤNG THỂ TÍCH …………………………………………………………………. Error! Bookmark not defined. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH ………………………… Error! Bookmark not defined. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG THỂ TÍCH …………………………. Error! Bookmark not defined. ỨNG DỤNG THỰC TẾ KHÁC ……………………………………………………….. Error! Bookmark not defined. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng NGUYÊN HÀM A – KIẾN THỨC CHUNG 1. Định nghĩa Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F x được gọi là      Kí hiệu:  f  x  dx  F  x   C .    nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu F ‘ x  f x với mọi x  K . Định lí: 1) Nếu F x là một nguyên hàm của f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G x  F x  C          cũng là một nguyên hàm của f x trên K .    dạng F x   C , với C là một hằng số. Do đó F  x   C ,C   là họ tất cả các nguyên hàm của f  x  trên K .   2) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x trên K đều có 2. Tính chất của nguyên hàm   f x dx  f x và  f ‘ x dx  f x  C ; d      Nếu F(x) có đạo hàm thì:       f x  dx   f x  dx  d F (x )  F (x )  C  kf  x  dx  k  f x  dx với k là hằng số khác 0 .   f  x   g x  dx   f x  dx   g x  dx     Công thức đổi biến số: Cho y  f u và u  g x . Nếu  f (x )dx  F (x )  C thì  f g(x ) g ‘(x )dx   f (u)du  F (u )  C 3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .   4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp 1.  0dx  C 2.  dx  x  C 3.  x dx  4. 1 x 2 1 x  1  C   1  1  dx   1 C x 1  x dx  ln x  C 6.  e dx  e  C 5. x 16. 17. 18. x ax C ln a 8.  cos xdx  sin x  C 7.  a x dx   19. 20. 21.   1  1 ax  b   ax  b dx   c ,   1  a  1 x2 xdx  C  2 dx 1  ax  b  a ln ax  b  c 1 ax b ax b  e dx  a e  C 1 a kx b kx b a dx  C  k ln a 1  cos ax  b  dx  a sin ax  b   C  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 9.  sin xdx   co s x  C 22. 11.  cot x .dx  ln | sin x | C 1 12.  cos 13.  2 x dx  tan x  C  1 dx   cot ax  b  C  sin2 ax  b a  27.  1  tan ax  b   dx  a tan ax  b   C   1  cot x  dx  co t x  C   x 2 x a dx 2 a x dx 2 2 x 2  a2     x C a  x x x x x x a 2  x2 C x x a 2  x2  C  arccos a dx  x arccos a  a2  x 2  C a2  x 2  C  arctan a dx  x arctan a  2 ln a  arc cot a dx  x arc cot a  2 ln a 1 x arccos  C a a 1 a  x 2  a2   C  x x 2  a 2 a ln x dx  dx 1  sin ax  b   a ln tan b  ln ax  b  dx   x  a  ln ax  b   x eC cos bx dx  e ax   1  arcsin a dx  x arcsin a   ln  x  x 2  a 2   C  arcsin   2  dx 1 a x  ln C 2 2a a x x dx  1 28.  1  cot2 ax  b dx   co t ax  b  C a 2 2 1  26. 5. Bảng nguyên hàm mở rộng dx 1 x  a 2  x 2  a arctg a  C a   1 dx   cot x  C sin 2 x 14.  1  tan2 x dx  tan x  C 15. 1  sin ax  b  dx   a cos ax  b   C 1 23.  tan ax  b  dx   ln cos ax  b   C a 1 24.  cot ax  b  dx  ln sin ax  b   C a 1 1 dx  tan ax  b  C 25.  2 a cos ax  b  tan x .dx   ln | cos x | C 10. Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng a 2  x 2 dx  ax ax  b C 2 a cos bx  b sin bx  a 2  b2 C x a2  x 2 a2 x e ax a sin bx  b cos bx   arcsin eC ax sin bx dx  C 2 2 a a2  b2 B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm giá trị thực của a để F  x   A. a  4 . B. a  5 . ax  1 là một nguyên hàm của hàm số f  x   2x  1 C. a  4 . 4x  3  2 x  1 D. a  5 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 3 3 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 2. Cho F  x    ax 2  bx  c  2 x  1 là một nguyên hàm của hàm số f  x   1  khoảng  ;   . Tính S  a  b  c . 2  A. S  3 . B. S  0 . Câu 3. Câu 4. Câu 5. Câu 6. Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Cho F  x    ax2  bx  c  10 x 2  7 x  2 trên 2x 1 C. S  6 . D. S  2 . 20 x 2  30 x  7 2x  3 là một nguyên hàm của hàm số f  x   trên 2x  3 3  khoảng  ;   . Tính P  abc . 2  A. P  0 . B. P  3 . C. P  4 . D. P  8 . sin x  cos x Biết  dx  a ln sin x  cos x  C . Với a là số nguyên. Tìm a? sin x  cos x A. a  1. B. a  2. C. a  3. D. a  4. x tan 2  2 Tìm một nguyên hàm của: 1  4. biết nguyên hàm này bằng 3 khi x  . 2 4  2x   tan 2  1   1 1 A. B. C. tan x  2 . D. cot x  2 .  3.  3. 2 cos x sin 2 x 1 1 Biết  dx    C . Với a là số nguyên. Tìm a? 5 2 a  5x  2   25 x  20 x  4  A. a  4. B. a  100. C. a  5. D. a  25. 1 x a Câu 7. Biết  2 dx  ln 2 x  7  C , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b? 2x  5x  7 b A. S  4. B. S  2. C. S  3. D. S  5. 1 a   dx  tan  x    C , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b? Câu 8. Biết  1  sin 2 x b 4  A. S  4. B. S  2. C. S  3. D. S  5.    F x f x F 0 8 Câu 9. Cho f  x   8sin 2  x   . Một nguyên hàm   của   thỏa   là:  12      A. 4 x  2sin  2 x    9 . B. 4 x  2sin  2 x    9 . 6 6       C. 4 x  2sin  2 x    7 . D. 4 x  2sin  2 x    7 . 6 6   2 5x  8x  4 1 Câu 10. Biết F ( x ) là nguyên hàm của  2 dx với 0  x  1 và F    26 . Giá trị nhỏ nhất của 2  2 x 1  x  F ( x ) là: A. 24. B. 20. C. 25. D. 26. f x  1 x F x f x F 1 1 Câu 11. Cho   . Một nguyên hàm   của   thỏa   là: 2  x 1  x  2  2 khi x  0 A. x 2  x  1 B.  . 2  x  x  C khi x  0 2  2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  x2  2  x  C1 khi x  0 C.  . 2  x  x  C khi x  0 2  2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  x2  x  C1 khi x  0  D.  . x2 x   C2 khi x  0   2 Câu 12. Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   1 1 và F  0    ln 4 . Tập nghiệm S của e 3 3 x phương trình 3F  x   ln  x 3  3  2 là: A. S  2 . Câu 13. B. S  2; 2 . C. S  1; 2 . D. S  2;1 . (NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU TIỀN GIANG) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số 1 , thỏa mãn F  3  1 và F 1  2 , giá trị của F  0   F  4  bằng x2 A. 2ln 2  3 . B. 2 ln 2  2 . C. 2 ln 2  4 . D. 2 ln 2 . x Câu 14. (Chuyên Vinh Lần 3) Biết rằng x e là một nguyên hàm của f   x  trên khoảng  ;   . f  x  Gọi F  x  là một nguyên hàm của f   x  e x thỏa mãn F  0   1 , giá trị của F  1 bằng 5e 7e 5 7 . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Câu 15. (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số A. f  x  là 2cos x 1 trên khoảng  0;   . Biết rằng giá trị lớn nhất của F  x  trên khoảng  0;   sin 2 x 3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. 3  2       5  A. F    3 3  4 . B. F  . C. F     3 . D. F     3 3.  3  2 6 3  6  Câu 16. (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x  x 3  4 x  . Hàm số F  x 2  x  có bao nhiêu điểm cực trị? 2 A. 6. B. 5. C. 3. D. 4. 2 x Câu 17. (Cụm 8 trường chuyên lần1) Biết F  x    ax  bx  c  e là một nguyên hàm của hàm số f  x    2 x 2  5 x  2  e  x trên  . Giá trị biểu thức f  F  0   bằng: 1 . B. 3e . C. 20e2 . D. 9e . e Câu 18. (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hai hàm số F  x   x 2  ax  b e x , f  x   x 2  3 x  4 e x . A.     Biết a, b là các số thực để F  x  là một nguyên hàm của f  x  . Tính S  a  b . A. S  6 . B. S  12 . C. S  6 . D. S  4 . Câu 19. (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho F  x  là một nguyên hàm 2x 1 1 trên khoảng  0;   thỏa mãn F 1  . Giá trị của biểu thức 3 2 x  2x  x 2 S  F 1  F  2   F  3   …  F  2019  bằng của hàm số f  x   A. 2019 . 2020 4 B. 2019.2021 . 2020 C. 2018 1 . 2020 D.  2019 . 2020 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 20. Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (Chuyên Vinh Lần 3)Biết F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   hàm số y  F  x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. Vô số điểm. B. 0. C. 1. A. Vô số điểm. C. 1 . x  cos x . Hỏi đồ thị của x2 D. 2. 1 Câu 21. (Chuyên Vinh Lần 3) Biết F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   cos x  x 2  1 . Hỏi đồ thị 2 của hàm số y  F  x  có bao nhiêu điểm cực trị? B. 0 . D. 2 . PHƯƠNG PHÁP NGUYÊM HÀM ĐỔI BIẾN SỐ A – KIẾN THỨC CHUNG 1. Đổi biến dạng 1 Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x   t . Trong đó  t cùng với đạo hàm của nó (  ‘ t là những hàm    số liên tục) thì ta được :  f (x )dx   f  t   ‘ t dt   g(t )dt  G (t )  C . 1.1. Phương pháp chung     Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt   ‘ t  dt . Bước 3: Biểu thị : f (x )dx  f  t    ‘ t  dt  g (t )dt .    Bước 1: Chọn t=  x . Trong đó  x là hàm số mà ta chọn thích hợp .    Bước 4: Khi đó : I   f (x )dx   g(t )dt  G (t )  C 1.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp Dấu hiệu Hàm số mẫu số có      t  x Hàm số : f x ;  x   Hàm f x    Hàm f x  Cách chọn t là mẫu số a. s inx+b.cosx c.s inx+d.cosx+e 1  x  a x  b   x  x t  tan ; cos  0  2  2  Với : x  a  0 và x  b  0 . Đặt : t  x  a  x  b Với x  a  0 và x  b  0 . Đặt : t  x  a  x  b 2. Đổi biến dạng 2 Nếu :  f (x )dx  F (x )  C và với u   t là hàm số có đạo hàm thì :   f (u )du  F ((t ))  C 2.1. Phương pháp chung   Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx   ‘ t  dt Bước 3: Biến đổi : f (x )dx  f  t    ‘ t  dt  g t  dt    Bước 1: Chọn x   t , trong đó  t là hàm số mà ta chọn thích hợp .    Bước 4: Khi đó tính :  f (x )dx   g(t )dt  G (t )  C . 2.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dấu hiệu Cách chọn    Đặt x  a sint ; với t    ;  . hoặc x  a cost ;  2 2 với t   0;   . a2  x2 a    . ; với t    ;  \ 0 hoặc x  sint cost  2 2   với t  0;   \   . 2 Đặt x  2 x a Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2 a     Đặt x  a tant ; với t    ;  . hoặc x  a cot t  2 2 a2  x 2   với t  0;  . a x . hoặc a x a x . a x x  a b  x  Đặt x  acos2t Đặt x  a  (b – a )sin 2t    1 Đặt x  atant ; với t    ;  . 2 a x  2 2 B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM tan x   Câu 1. Cho F(x) là một nguyên hàm của f  x   , biết F  0   0 , F    1 . Tính 2 4 cos x 1  a cos x     F F ? 3 4 A. 5  3 . B. 5  1. C. 3  5 . D. 5  2 2 2017 Câu 2. (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho b  x  1 1  x  1 d x    x  12019 a .  x  1c  C với a , b , c là các số nguyên. Giá trị a  b  c bằng A. 4.2018 . Câu 3. D. 5.2018 . B. 2.2018 . C. 3.2018 .  2 x  3 dx 1 Giả sử    C ( C là hằng số). x  x  1 x  2  x  3  1 g  x Tính tổng các nghiệm của phương trình g  x   0 . Câu 4.  f  x 2 . f   x   3x 2  4 x  2 . Giá trị lớn nhất của hàm số B. 3 18 . A. 2 3 16 . Câu 5. D. 3 .  2;1 thỏa mãn f  0  1 và A. 1 . B. 1. C. 3 . Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn   trên đoạn  2;1 là D. 2 3 18 . C. 3 16 . Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f  x   A. F  x   ln x  1  x 2  C . y  f  x 1 1  x2  trên khoảng  ;  ?  B. F  x   ln 1  1  x2  C . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. F  x   1  x 2  C . D. F  x   Câu 6. 2x 1  x2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Biết F ( x) nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin 2 x  cos x 1  sin x   và F (0)  2 . Tính F   2    2 2 8   2 2 8    4 2 8   4 2 8 A. F    B. F    C. F    D. F    3 3 3 3 2 2 2 2 7 5 cos 2 x  C . Với a là số nguyên. Tìm a? Câu 7. Biết   cos 2 x  sin 2 x  .sin 4 xdx   a A. a  6. B. a  12. C. a  7. D. a  14. 1 2 x Câu 8. Tìm R   2 dx ? x 2 x tan 2t 1 1  sin 2t 1  x  ln  C với t  arctan   . A. R   2 4 1  sin 2t 2  2 tan 2t 1 1  sin 2t 1  x  ln  C với t  arctan   . B. R   2 4 1  sin 2t 2  2 tan 2t 1 1  sin 2t 1  x  ln  C với t  arctan   . C. R  2 4 1  sin 2t 2  2 tan 2t 1 1  sin 2t 1  x  ln  C với t  arctan   . D. R  2 4 1  sin 2t 2  2 3  3 1 1 3  a 4 1 1 3 b x  x  1   dx Câu 9. có dạng x   x  x  1  C , trong đó a, b là    x2 2  4 x 2 3  hai số hữu tỉ. Giá trị b, a lần lượt bằng: A. 2; 1 . B. 1; 1 . C. a, b   D. 1; 2 . 2 2 a b Câu 10.   x  1 e x 5 x 4  e7 x 3  cos 2 x dx có dạng e x 1  sin 2 x  C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. 6 2 Giá trị a, b lần lượt bằng: A. 3; 1 . B. 1; 3 . C. 3; 2 . D. 6; 1 .     Câu 11. Tìm I   e x  3x  2   x  1   x 1 ex . x 1  1  dx ?   A. I  x  ln e x . x  1  1  C .   B. I  x  ln e x . x  1  1  C .   C. I  ln e x . x  1  1  C .  D. I  ln e x . x  1  1  C . x Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   ln 1  x 2   2017 x x ln  e.x 2  e   2 1   ? A. ln  x 2  1  1008ln ln  x 2  1  1 . B. ln  x 2  1  2016 ln ln  x 2  1  1 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 ln  x 2  1  2016 ln  ln  x 2  1  1 . 2 1 D. ln  x 2  1  1008ln  ln  x 2  1  1 . 2 C. 3 Câu 13. (Chuyên KHTN) Cho hàm số f ( x) liên tục trên  và có  5 f ( x) dx  8 và 0  f ( x)dx  4. Tính 0 1  f ( 4 x  1)dx. 1 A. 9 . 4 11 . 4 2 x 2  1  2ln x  .x  ln 2 x B. Câu 14. Tìm G   x 2  x ln x  2 C. 3. D. 6. dx ? 1 1 1 1 B. G    C . C. x x  ln x x x  ln x 1 1 1 1 C. G    C . D. G   C. x x  ln x x x  ln x 1  ln x Câu 15. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của h  x   1 n ? x .ln x. x n  ln n x A. G   1 1 ln x  ln x n  ln n x  2016 . n n 1 1 C.  ln x  ln x n  ln n x  2016 . n n  1 1 ln x  ln x n  ln n x  2016 . n n 1 1 D.  ln x  ln x n  ln n x  2016 . n n 1 Câu 16. (Quỳnh Lưu Lần 1) Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   x và F  0    ln 2e . e 1 Tập nghiệm S của phương trình F  x   ln e x  1  2 là: A. B.  A. S  3 . B. S  2;3 . Câu 17. Khi tính nguyên hàm  C. S  2;3 . 1  2 x  1 x  1  3 dx người ta đặt t  g  x  (một hàm biểu diễn theo biến x) thì nguyên hàm trở thành  2dt . Biết g  4   3 , giá trị của g  0   g 1 là: 5 3 6 1 6 2 6 . B. . C. . 2 2 2 Câu 18. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn A.  f  x  2 D. S  3; 3 . 23 6 . 2  2;1 thỏa mãn f  0  3 và D. . f   x   3x 2  4 x  2 . Giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn  2;1 là A. 2 3 42 . B. 2 3 15 . C. 3 42 . D. 3 15 . Câu 19. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hàm số F  x  là một nguyên 2cos x  1 trên khoảng  0;   . Biết rằng giá trị lớn nhất của F  x  trên sin 2 x 3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. hàm của hàm số f  x   khoảng  0;   là File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   A. F    3 3  4 6  2 B. F   3 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 3    2    5  C. F     3 D. F    3 3 3  6    Câu 20. Cho hàm số f  x  liên tục, không âm trên đoạn 0;  , thỏa mãn f  0   3 và  2   f  x  . f   x   cos x. 1  f 2  x  , x   0;  . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của  2    hàm số f  x  trên đoạn  ;  . 6 2 5 21 A. m  , M  2 2 . B. m  , M  3 . 2 2 5 C. m  , M  3 . D. m  3 , M  2 2 . 2 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN A – KIẾN THỨC CHUNG 1. Phương pháp nguyên hàm từng phần Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:  u(x ).v ‘(x )dx  u(x ).v(x )   v(x ).u ‘(x )dx Hay  udv  uv   vdu    ( với du  u’ x dx , dv  v’ x dx ) 1.1. Phương pháp chung  Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng : I   f (x )dx   f1 (x ).f2 (x )dx du  f ‘1(x )dx  v   f2 (x )dx  Bước 3: Khi đó :  u.dv  u.v   v.du u  f1(x )   Bước 2: Đặt :  dv  f2 (x ) 2. Các dạng thường gặp 2.1. Dạng 1 u  P (x )  sin x      dv  cos x  .dx e x       cos x     sin x  .P ‘(x )dx e x    sin x    I   P (x ) cos x  .dx . Đặt e x     cos x    Vậy: I  P (x ) sin x  e x    2.2. Dạng 2 u  ln x  I   P (x ). ln xdx . Đặt  dv  P (x )dx  1 Vậy I  lnx .Q x   Q(x ). dx x u ‘.du  P ‘(x )dx   cos x      v  sin x  e x        1 du  dx  x v   P (x )dx  Q(x )    File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2.3. Dạng 3 sin x  I  ex   dx . Đặt cos x  u  e x  sin x   dv    .dx  cos x     cos x  Vậy I = I  e x  sin x   du  e xdx   cos x   v     sin x       cos x  x  sin x e dx   Bằng phương pháp tương tự ta tính được   cos x  x  sin x e dx sau đó thay vào I   B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1:    (ĐH Vinh Lần 1) Tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   x tan 2 x trên khoảng  ;0 là  2  x2 x2  C. B. F  x   x tan x  ln cos x    C. 2 2 2 2 x x C. F  x   x tan x  ln cos x    C. D. F  x   x tan x  ln cos x   C. 2 2 x    Cho f  x   trên   ;  và F  x  là một nguyên hàm của xf   x  thỏa mãn F  0   0 2 cos x  2 2    . Biết a    ;  thỏa mãn tan a  3 . Tính F  a   10a 2  3a .  2 2 1 1 1 A.  ln10 . B.  ln10 . C. ln10 . D. ln10 . 2 4 2 3 Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x và F  0   2 . Hãy tính F  1 . A. F  x   x tan x  ln cos x   Câu 2: Câu 3: 15 10 . B. 4  . e e Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x ln x . A. 6  Câu 4: 1 32 f x d x  x  3ln x  2   C .    9 2 32 C.  f  x  dx  x  3ln x  1  C . 9 x 2 dx Tìm H   ? 2  x sin x  cos x  A. Câu 5: x  tan x  C . cos x  x sin x  cos x  x C. H   tan x  C . cos x  x sin x  cos x    2x  x 2  1  x ln x dx có dạng tỉ. Giá trị a bằng: A. 3 . B. 2 . a 3  15 4. e B.  D.  D. 10 . e 2 32 x  3ln x  2   C . 3 2 32 f  x  dx  x  3ln x  2   C . 9 f  x  dx  x  tan x  C . cos x  x sin x  cos x  x D. H   tan x  C . cos x  x sin x  cos x  A. H  Câu 6: C. B. H   3 x2 1  b 2 1 x ln x  x 2  C , trong đó a, b là hai số hữu 6 4 C. 1. D. Không tồn tại. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 7: Câu 8: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng ln  2 x  3 c  Biết F  x   a ln x   b   ln  2 x  3 là nguyên hàm của hàm số f  x   . Tính x x2  S  abc. 1 7 4 A. S  1. B. S  . C. S  . D. S   . 3 3 3 2 x  ln x a 1 (Trần Đại Nghĩa) Cho I   dx  ln 2  với a, b, c là các số nguyên dương và các 2 b c 1  x  1 phân số là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức S  ab . c 5 1 2 . B. S  . C. S  . 6 3 3 (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Họ nguyên 2 2 x  x ln x  1 y là x A. S  Câu 9:  1 . 2 của D. S  hàm hàm số  x2  xC . 2 x2 2 C.  x  x  1 ln x   x  C . 2 x2  xC . 2 x2 2 D.  x  x  1 ln x   x  C . 2 2  4 x  Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 3 ln  ? 2   4 x    A. x2  x  1 ln x    B. x2  x  1 ln x   4  x2   x 4  16   4  x 2  2 A. x ln   2 x . B.   2×2 .  ln  2  2  4 x   4   4 x   4  x2   x 4  16   4  x 2  2 C. x 4 ln  . D.  2 x  2×2 .   ln  2  2  4  x 4 4  x       Câu 11: (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019)  f  x  dx  3x cos  2 x  5  C . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. 4  f  3x  dx  3x cos  6 x  5   C C.  f  3 x  dx  9 x cos  2 x  5  C A. Câu 12: Biết  f  3x  dx  9 x cos  6 x  5   C D.  f  3 x  dx  3 x cos  2 x  5   C B. (Ngô Quyền Hà Nội) Cho F  x   x 2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  .e 2 x . Khi đó  f   x  .e 2x dx bằng A.  x 2  2 x  C . B.  x 2  x  C . C. 2 x2  2 x  C . D. 2 x2  2 x  C . Câu 13: (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Gọi F  x  là nguyên hàm trên  của hàm số 1 f  x   x2eax  a  0  , sao cho F    F  0   1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. a A. 0  a  1 . B. a  2 . C. a  3 . D. 1  a  2 . x Câu 14: (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   f   x   e , x   và f  0  2 . Tất cả các nguyên hàm của f  x  e2 x là A.  x  2  e x  e x  C . B.  x  2  e 2 x  e x  C . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C.  x 1 ex  C . Câu 15: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng D.  x  1 ex  C . 2 (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   2 xf  x   2 xe x , x  và f  0   1 . 2 Tất cả các nguyên hàm của x. f  x  e x là 2 2 2 2 2 1 2 1 x  1 e x  C . C.  x 2  1 e  x  C . D.  x2  1  C .  2 2 (Chuyên Thái Bình Lần3)Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên  thỏa mãn f  x   f   x   x, x   và f  0  1 . Tính f 1 . 2 A.  x 2  1  C . Câu 16: B. 2 1 e . B. . C. e . D. . e e 2 x (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Biết rằng x e là một nguyên hàm của f   x  A. Câu 17: x trên khoảng  ;  . Gọi F  x  là một nguyên hàm của f   x  e thỏa mãn F  0  1, giá trị của F  1 bằng 7 5e . B. . 2 2 (Sở Lạng Sơn 2019) Cho hàm số y  f  x  . A. Câu 18: C. 7e . 2 D. 5 . 2 Biết hàm số đã cho thỏa mãn hệ thức  f  x  sin xdx =  f  x  cos x    x cos xdx . Hỏi hàm số y  f  x  là hàm số nào trong các hàm số sau? A. f  x    x ln  . Câu 19: B. f  x   x . ln  C. f  x    x ln  . D. f  x    x . ln  (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai trên  0;  thỏa mãn 2 xf   x   f  x   x 2 x cos x, x   0;   ; f  4   0 . Giá trị biểu thức f  9  là: A. 0 . Câu 20: B. 3  . C.   . D. 2  . (Nguyễn Khuyến)Giả sử F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x  ln  x  3 x2 thỏa mãn F  2  F 1  0 và F  1  F  2   a ln 2  b ln 5 , với a , b là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a  6b bằng A. 4. B. 5 . C. 0 . D. 3 . Câu 21: (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo x   thỏa mãn f  x   tan x. f   x   . Biết rằng  0;  , cos3 x  2     3 f    f    a 3  b ln 3 trong đó a, b . Giá trị của biểu thức P  a  b bằng 3 6 14 2 7 4 A. B.  C. D.  9 9 9 9 hàm trên File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 1: Câu 2: Câu 3: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng NGUYÊN HÀM HÀM ẨN 2 1 Cho hàm số f ( x ) xác định trên  \   thỏa mãn f ( x)  , f (0)  1 và f (1)  2 . Giá trị 2x 1 2 của biểu thức f (  1)  f (3) bằng A. 4  ln5 . B. 2  ln15 . C. 3  ln15 . D. ln15. 3 1 2 , f  0  1 và f    2 . Giá Cho hàm số f ( x ) xác định trên  \   thỏa mãn f   x   3x  1 3 3 trị của biểu thức f   1  f  3  bằng A. 3  5ln 2 . B. 2  5ln 2 . C. 4  5ln 2 . D. 2  5ln 2 . (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Cho hàm số f  x  xác định trên  \ 2 thoả 3x 1 , f  0   1 và f  4   2 . Giá trị của biểu thức f  2   f  3 bằng x2 A. 1 2 . B. ln 2 . C. 10  ln 2 . D. 3  20ln 2 . 4 f x  \ 2; 2 f 0  1 Cho hàm số   xác định trên và thỏa mãn f   x   2 ; f   3  0 ; x 4 f 3 2 P  f  4   f  1  f  4  và   . Tính giá trị biểu thức . mãn f   x   Câu 4: A. P  3  ln Câu 5: Câu 6: 3 . 25 B. P  3  ln 3 . 5 C. P  2  ln . 3 Cho hàm số f  x  xác định trên  \  2;1 thỏa mãn f   x   5 D. P  2  ln . 3 1 ; f   3   f  3   0 và x  x2 2 1 f  0   . Giá trị của biểu thức f   4   f   1  f  4  bằng 3 1 1 1 4 1 8 A.  ln 2 . B. 1  ln80 . C. 1  ln 2  ln . D. 1  ln . 3 3 3 5 3 5 1 Cho hàm số f  x  xác định trên  \  1 thỏa mãn f   x   2 . Biết f   3   f  3   0 và x 1  1 1 f     f    2 . Giá trị T  f   2   f  0   f  4  bằng:  2 2 Câu 7: 1 5 1 9 1 9 1 9 A. T  2  ln . B. T  1  ln . C. T  3  ln . D. T  ln . 2 9 2 5 2 5 2 5 (THPT ĐOÀN THƯỢNG – HẢI DƯƠNG – 2018 2019) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f ‘  x  . f  x   x 4  x 2 . Biết f  0   2 . Tính f 2  2  . 313 332 324 323 . B. f 2  2   . C. f 2  2   . D. f 2  2   . 15 15 15 15 (Đặng Thành Nam Đề 15) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  \ 0 thỏa mãn A. f 2  2   Câu 8: f  x 3  x 2 và f 1  1 . Giá trị của f   bằng x 2 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 96 64 48 24 (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (1)  4 và f ( x)  xf ( x)  2 x3  3 x 2 với mọi x  0 . Giá trị của f (2) bằng A. 5 . B. 10 . C. 20 . D. 15 . f  x  Câu 9: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 10: f  x f’ x Cho hàm số thỏa mãn     f 1 . Giá trị của     là 2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  f  x  . f ”  x   15 x 4  12 x, x   và f  0   f ‘  0 1 2 5 9 . D. . 2 2 (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm trên đoạn  1;0 , A. 10 . Câu 11: B. 8 . C. đồng thời thỏa mãn điều kiện f x f   x    3 x 2  2 x  e   , x   1;0  . Tính A  f  0   f  1 . 1 B. A  . C. A  1. D. A  0. e (THPT LÝ THƯỜNG KIỆT – HÀ NỘI) Giả sử hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên , A. A   1. Câu 12: nhận giá trị dương trên khoảng  0;  và thỏa mãn f 1  1, f  x   f ‘  x  3 x  1 với mọi x  0. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 4  f  5   5. B. 1  f  5   2. C. 3  f  5   4. D. 2  f  5   3. ax  b Câu 13: (Sở Quảng Ninh Lần1) Biết luôn có hai số a và b để F  x    4a  b  0  là một x4 nguyên hàm của hàm số f  x  và thỏa mãn 2 f 2  x    F  x   1 f   x  . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. a  , b . B. a  1, b  4 . C. a  1, b  1 . D. a  1, b   \ 4 . Câu 14: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên  0;   thỏa mãn f  2   f  x   2x  4 f 2  x   0 . Tính 1 và 15 f 1  f  2   f  3  . 7 11 11 7 . B. . C. . D. . 15 15 30 30 Câu 15: Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên  . Biết f 6  x  . f   x   12 x  13 và f  0   2 . Khi đó phương trình f  x   3 có bao nhiêu nghiệm? A. 2 . B. 3 . C. 7 . D. 1. A. 1 Câu 16: Cho hàm số f  x  xác định trên  thỏa mãn f   x   e x  e x  2 , f  0   5 và f  ln   0 .  4 Giá trị của biểu thức S  f   ln 16   f  ln 4  bằng 31 9 5 . B. S  . C. S  . D. f  0  . f  2   1 . 2 2 2 Câu 17: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  x   0 , x   . Biết f  0   1 f ‘ x và  2  2 x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x   m có hai nghiệm f  x thực phân biệt. A. m  e . B. 0  m  1 . C. 0  m  e . D. 1  m  e . Câu 18: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  x   0 với mọi x  . f   x    2 x  1 f 2  x  và A. S  f 1   0, 5 . Biết rằng tổng f 1  f  2  f  3  …  f  2017   a a ;  a   , b    với tối b b giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng? File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng a  1 . D. b  a  4035 . b Câu 19: (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  , f  x   0 với A. a  b  1 . B. a    2017; 2017  . C. 1 a mọi x và thỏa mãn f 1   , f   x    2 x  1 f 2  x  .Biết f 1  f  2  …  f  2019    1 2 b với a, b  ,  a, b   1 .Khẳng định nào sau đây sai? A. a  b  2019 . B. ab  2019 . C. 2 a  b  2022 . D. b  2020 . Câu 20: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng  0;    f   x    2 x  1 f 2  x   0 , , biết x  0 và f  2  1 . Tính giá trị của biểu thức 6 P  f 1  f  2   …  f  2019  . 2018 . 2019 1 Câu 21: Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f ‘  x    2 x  3  . f 2  x  và f  0   . Biết tổng 2 a a f 1  f  2   …  f  2017   f  2018  với a  , b  * và là phân số tối giản. Mệnh đề b b nào sau đây đúng? a a A.  1 . B.  1 . b b C. a  b  1010 . D. b  a  3029 .  f   x  . f  x   2  f   x   2  xf 3  x   0   Câu 22: Cho hàm số y  f  x  , x  0 , thỏa mãn  . Tính f 1 .  f   0   0; f  0   1 2 3 6 7 A. . B. . C. . D. . 3 2 7 6 f  x x Câu 23: Giả sử hàm số f ( x ) liên tục, dương trên  ; thỏa mãn f  0   1 và . Khi đó hiệu  2 f  x x 1 A. 2021 . 2020  B. 2020 . 2019 C. 2019 . 2020 D.  T  f 2 2  2 f 1 thuộc khoảng A.  2; 3  . B.  7; 9  . C.  0;1 . D.  9;12  . f x 0 Câu 24: (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số   với mọi f 0 1 f x  x  1. f   x  x  ,   và   với mọi x  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f  x   2 B. 2  f  x   4 C. f  x   6 D. 4  f  x   6 Câu 25: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f 1  1 , f  x   f   x  3 x  1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 4  f  5   5 . C. 3  f  5   4 . B. 2  f  5   3 . D. 1  f  5   2 . 2 Câu 26: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f   x    f  x  . f   x   15 x 4  12 x , x   và f  0   f   0   1 . Giá trị của f 2 1 bằng A. 9 . 2 B. 5 . 2 C. 10 . D. 8 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 27: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn của hàm số f  2 x  trên tập  là: x3 x3 C . A. B. 2 C. 2 x 4 2  x  4 f   Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng x 1 x 1  dx  2  x 1  3 x5   C . Nguyên hàm  C. 2x  3 C . 4  x 2  1 D. 2x  3 C. 8  x 2  1 (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (1)  3 và x(4  f ‘( x))  f ( x)  1 với mọi x  0 . Tính f (2) . A. 6 . B. 2 . C. 5 . D. 3 . Câu 29: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hàm số y  f  x  xác định trên  , thỏa mãn f  x   0 , Câu 28: x  và f   x   2 f  x   0 . Tính f  1 biết rằng f 1  1 . A. e 4 . B. e3 . C. e4 . D. e 2 . Câu 30: (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết luôn có hai số a và b để ax  b F  x   4a  b  0  là một nguyên hàm của hàm số f  x  và thỏa mãn x4 2 f 2  x    F  x   1 f   x  . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? B. a  1, b  4 . A. a  , b . Câu 31: C. a  1, b  1 . D. a  1, b   \ 4 . (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho hàm số f ( x)  0 ; f   x    2 x  1 . f 2  x  và f 1  0,5 . Biết tổng f 1  f  2   f  3   …  f  2017   a a ;  a   ; b    với tối giản. Chọn khẳng b b định đúng. a A.  1 . B. a  b  1 . C. b  a  4035 . D. a  b  1 . b Câu 32: (THPT LÝ NHÂN TÔNG LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f  x  liên tục không âm trên     2  0; 2  , thỏa mãn f  x  . f   x   cos x 1  f  x  với mọi x   0; 2  và f  0   3 . Giá trị của   f   bằng 2 A. 2 . B. 1. C. 2 2 . D. 0 . Câu 33: (Sở Bắc Ninh) Cho hàm số f  x  liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: f  0   2 2, f  x   0, x   và f  x  . f   x    2 x  1 1  f 2  x  , x   . Khi đó giá trị f 1 bằng A. 26 . B. 24 . C. 15 . D. 23 . Câu 34: (THPT YÊN PHONG 1 NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f  x  liên tục trên tập  thỏa mãn f   x  x2  1  2 x f  x   1 và f  x   1 , f  0   0 . Tính f A. 3 . B. 9. Câu 35: (KHTN Hà Nội Lần 3) Cho hàm số  3 . C. 3. D. 0. f  x  liên tục trên đoạn  0;4 thỏa mãn 2  f  x   2 f   x  f  x      f   x   3  2 x  1 và f  x  0 với mọi x   0; 4 . Biết rằng f   0   f  0   1 , giá trị của f  4  bằng A. e2 . B. 2e . C. e3 . D. e 2  1 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 36: f x (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 – 2018 – 2019) Cho hàm số thỏa mãn 2 f 1  f  1  1 f 2 2  xf   x    1  x 2 1  f  x  . f ”  x   với mọi x dương. Biết   . Giá trị bằng A. f 2  2   2 ln 2  2 . B. f 2  2   2 ln 2  2 . C. f 2  2   ln 2  1 . Câu 37: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (Chuyên  f ‘  x  2 D. f 2  2   ln 2  1 . Thái Nguyên) Cho  f  x  . f ”  x   15 x  12 x , x   4 A. 10 . và B. 8 . hàm số f  0   f ‘ 0  C. f  x thỏa  1 . Giá trị của 5 . 2 D.  f 1  mãn 2 là 9 . 2 TÍCH PHÂN 1. Công thức tính tích phân b  f (x )dx  F (x ) b a  F (b )  F (a ) . a * Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi b b  f (x )dx hay  f (t )dt. Tích phân đó a a chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số. 2. Tính chất của tích phân Giả sử cho hai hàm số f  x và g  x liên tục trên K , a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K . Khi đó ta có : a 1.  f (x )dx  0 a b 2. a  f (x )dx    f (x )dx . a b 3. b c b  f (x )dx   f (x )dx   f (x )dx a a c b 4. b a b 5. b   f (x )  g(x ) dx   f (x )dx   g(x )dx . a a b  kf (x )dx  k. f (x )dx . a a b 6. Nếu f(x)  0, x  a ;b  thì :  f (x )dx  0x  a;b  a b b 7. Nếu x  a;b  : f (x )  g(x )   f (x )dx   g(x )dx . a a b     8. Nếu x  a;b  Nếu M  f (x )  N thì M b  a   f (x )dx  N b  a . a 3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Phương pháp đổi biến 1.1. Phương pháp đổi biến dạng 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Định lí Nếu hàm số u  u(x ) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn a;b  sao cho u (b ) b   f (x )dx  g u(x ) u ‘(x )dx  g(u )du thì: I   f (x )dx  a  g(u )du . u (a ) 1.2. Phương pháp chung Bước 1: Đặt u  u(x )  du  u ‘ (x )dx Bước 2: Đổi cận : x b x a  u  u(b) u  u(a ) Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo u b u (b ) b Vậy: I   f (x )dx   g u(x ).u ‘(x )dx  a a  g(u)du u (a ) 2.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1 Định lí Nếu 1) Hàm x  u(t ) có đạo hàm liên tục trên  ;     2) Hàm hợp f (u(t )) được xác định trên  ;   ,   3) u ( )  a, u( )  b b  Khi đó: I   f (x )dx   f (u(t ))u ‘ (t )dt . a  2.2. Phương pháp chung Bước 1: Đặt x  u t  Bước 2: Tính vi phân hai vế : x b Đổi cận: x a  x  u(t )  dx  u ‘(t )dt t  t  Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t   b  Vậy: I   f (x )dx   f u(t ) u ‘(t )dt   g (t )dt  G (t )  G ( )  G( )  a   2. Phương pháp tích phân từng phần Định lí Nếu u  x  và v  x là các hàm số có đạo hàm liên tục trên a;b  thì: b b b b b b ‘ ‘ u ( x ) v ( x ) dx  u ( x ) v ( x )  v ( x ) u ( x ) dx Hay udv  uv  vdu a a a a a a   2.1 Phương pháp chung Bước 1: Viết f  x  dx dưới dạng udv  uv ‘dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f  x làm u  x  và phần còn lại dv  v ‘(x )dx Bước 2: Tính du  u ‘ dx và v   dv   v ‘(x )dx b Bước 3: Tính  vu ‘(x )dx và uv a b a File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng * Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần. b b b Đặt u theo thứ tự ưu tiên: x P ( x ) e dx P ( x )ln xdx Lốc-đa-mũ-lượng    P(x )cos xdx a u dv a P(x) a lnx P(x)dx b e x cos xdx a ex cosxdx P(x) cosxdx e x dx Chú ý: Nên chọn u là phần của f  x mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv  v ‘dx là phần của f  x  dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm. 3. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 3.1. Tích phân hàm hữu tỉ Dạng 1    dx 1 adx 1 I=     ln ax  b . a  ax  b a  ax  b   (với a≠0)  dx 1 1 Chú ý: Nếu I =    (ax  b)k .adx  .(ax  b )k 1 k a a(1  k )  (ax  b ) Dạng 2  I   ax  2 dx  bx  c a  0   ( ax 2  bx  c  0 với mọi x   ;   )   Xét   b 2  4ac . b   b   ;x2  2a 2a  1 1 1 1 1       thì : 2 ax  bx  c a(x  x1 )(x  x 2 ) a(x 1  x 2 )  x  x 1 x  x 2    1 1 1  1 ln x  x1  ln x  x2   I    dx     a(x1  x 2 )   x  x1 x  x2  a(x1  x2 )  x  x1  1  ln a(x1  x 2 ) x  x2  Nếu   0 thì x1  Nếu   0 thì  thì I =  dx 1 dx 1  ax 2  bx  c  a  (x  x )2   a(x  x ) 0 0  Nếu   0 thì I  Đặt x   b  x0   2a   1 1  ax  bx  c a(x  x 0 )2 2 b  2a dx  ax 2  bx  c       dx 2      b a  x     2a   4a 2  2          1  tan t  dx  1  tan2 t dt 2 2 2 a 4a   Dạng 3 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  I   ax  mx  n dx , 2  bx  c Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng a  0  . mx  n liên tục trên đoạn  ;   ) ax 2  bx  c Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho: A(2ax  b ) B mx  n A(ax 2  bx  c ) ‘ B   2  2  2 2 2 ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c (trong đó f (x )   Ta có I=  Tích phân       ax 2  dx  bx  c  A(2ax  b) B dx   dx 2 2 ax  bx  c ax  bx  c  A(2ax  b ) dx = A ln ax 2  bx  c 2 ax  bx  c  Tích phân   mx  n dx  ax 2  bx  c   thuộc dạng 2. Dạng 4 b I  P (x )  Q(x ) dx với P  x  và Q  x là đa thức của x . a Nếu bậc của P  x  lớn hơn hoặc bằng bậc của Q  x thì dùng phép chia đa thức. Nếu bậc của P  x  nhỏ hơn bậc của Q  x thì có thể xét các trường hợp: Q  x  ,  ,…,  n Khi chỉ có nghiệm đơn 1 2 thì đặt A1 A2 An P (x )    …  . Q(x ) x  1 x   2 x  n Khi Q  x có nghiệm đơn và vô nghiệm    Q(x )  x   x 2  px  q ,   p 2  4q  0 thì đặt P(x ) A Bx  C   2 . Q(x ) x   x  px  q Khi Q  x có nghiệm bội Q(x )  (x   )(x   )2 với    thì đặt A P (x ) B C    Q(x ) x   x  x   2 2  . 3 Q(x )  (x   ) (x   ) với    thì đặt P(x ) A B C D E      (x   )2 (x   )3 (x   )2 (x   ) (x   )3 (x   )2 x   3.2. Tích phân hàm vô tỉ b  R(x, f (x ))dx Trong đó R  x, f  x có dạng: a File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  a x R  x,  a x      Đặt x  acos 2t, t  0;      2 x  a sin t x  a cos t R x , a 2  x 2 Đặt hoặc    ax  b R  x, n  cx  d      Đặt t  n ax  b cx  d 1     (ax  b) R x, f x  x 2   x   Với  x 2   x   ‘  k ax  b    1 ax  b    Đặt x  a tan t , t   ;   2 2 Đặt t   x 2   x   , hoặc Đặt t      Đặt x  cos x , t  [0; ] \   R x, a 2  x 2 R x, x 2  a 2 a 2  R  n1 n n  x ; 2 x ;…; i x Gọi k  BSCNN  n1 ; n2 ;…; ni  . Đặt x  t k Dạng 1  I    1 ax 2  bx  c dx a  0  b 2 x u     b   2a  Từ : f(x)=ax 2  bx  c  a  x     du  dx   2a    4a 2     K  2a Khi đó ta có : Nếu     0, a  0  f (x )  a u 2  k 2  f (x )  a . u 2  k 2 (1) a  0 2  b     0  f (x )  a  x  b   2a    f (x )  a x  2a  a . u  Nếu : (2)   0 Nếu : .    f (x )  a . x  x x  x  (3) Với a  0 : f (x )  a x  x x  x   f (x )  a . x  x x  x  (4) Với a  0 : f (x )  a x  x 1 x  x 2  1 1 2 1 2 2 Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau : Phương pháp :   * Trường hợp :   0, a  0  f (x )  a u 2  k 2  f (x )  a . u 2  k 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 22 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Khi đó đặt : ax 2  bx  c  t  a .x bx  c  t 2  x    t * Trường hợp :  Khi đó : I    * Trường hợp : * Trường hợp :  t2  c 2 ;dx  tdt x  b2 a  2 ax b2 a    t 0 , x    t  t1 t2  c  t  a . x  t  a  b 2 a  a  0 2  b     0  f (x )  a  x  b   2a    f (x )  a x  2a  a . u   1  b  b  ln x  0   😡   2a  2a 1 1 1  a  dx  dx     b b a    1 ln  x  b  : x  b  0 a x x 2a 2a  a  2a   2a   x  x1 t   0, a  0 . Đặt : ax 2  bx  c  a x  x 1 x  x 2    x  x 2 t  x x t   0, a  0 . Đặt : ax 2  bx  c  a x 1  x x 2  x   1  x 2  x t                 Dạng 2  I  mx  n  dx 2 ax  bx  c Phương pháp : Bước 1:  a  0 Ad . mx  n Phân tích f (x )  ax 2  bx  c   ax 2  bx  c ax 2  bx  c  B ax 2  bx  c 1 Bước 2: Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A, B Bước 3: Giải hệ tìm A, B thay vào (1) Bước 4 :   1 2 Tính I  2A ax  bx  c  B dx (2) 2  ax  bx  c     Trong đó   1 ax 2  bx  c dx a  0 đã biết cách tính ở trên Dạng 3  I    1  mx  n  ax 2  bx  c dx a  0 Phương pháp : Bước 1: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phân tích : 1  mx  n  ax 2  bx  c  1  n m  x   ax 2  bx  c m  Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng . (1) Bước 2:  1  n 1 dx y   t    dy   x t  m x t 1 n  Đặt :  x   2 y m x  1  t  ax 2  bx  c  a  1  t   b  1  t   c      y y  y   Bước 3: ’ Thay tất cả vào (1) thì I có dạng : I    ’ dy Ly 2  My  N . Tích phân này chúng ta đã biết cách tính . Dạng 4    x    I   R x ; y dx  R  x ; m  dx    x       ( Trong đó : R  x; y  là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và  ,  ,  ,  là các hằng số đã biết ) Phương pháp : Bước 1:   x   (1) x   Bước 2: Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x   t  Đặt : t  m Bước 3: Tính vi phân hai vế : dx   ‘ t dt và đổi cận  Bước 4:  ’  x     dx   R  t ; t  ‘ t dt Tính :  R  x ; m   x     ’  3.3. Tích phân hàm lượng giác Một số dạng tích phân lượng giác     b Nếu gặp I   f  sin x  .cos xdx ta đặt t  sin x . a b Nếu gặp dạng I   f  cos x  .sin xdx ta đặt t  cos x . a b Nếu gặp dạng I   f  tan x  a b Nếu gặp dạng I   f  cot x  a dx ta đặt t  tan x . cos 2 x dx ta đặt t  cot x . sin 2 x Dạng 1 I1 = n n     sinx dx ; I cosx dx 2  * Phương pháp File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 24 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc Nếu n  3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi Nếu 3n lẻ (n  2 p  1) thì thực hiện biến đổi: I1 = p n 2p+1 2p       sinx dx = sinx dx  sin x sin xdx    1  cos2 x  d  cos x     k p k p      C p0  C p1 cos 2 x  …   1 C pk  cos 2 x   …   1 C pp  cos2 x   d  cos x     1k k  1p p 2k 1 2 p 1 1 1 0 3   C p cos x  C p cos x  …  C p  cos x   …  C p  cos x    c 3 2k  1 2p  1   I2 = n   cosx  dx =   cosx  2p+1 2p dx    cos x  cos xdx  2  1  sin x  p d  sin x  k p k p   C p0  C p1 sin2 x  …   1 C pk  sin2 x   …   1 C pp  sin2 x   d  sin x     1k k   1 p p 2 k 1 2 p 1 1 1 0 3  C p sin x  C p sin x  …  C p  sin x   …  C p  sin x    c 3 2k  1 2p  1   Dạng 2 I   sin m x cos n xdx  m, n  N  * Phương pháp Trường hợp 1: m, n là các số nguyên a. Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng. b. Nếu m chẵn, n lẻ (n  2 p  1) thì biến đổi: p I= m 2p+1 m 2p m 1  sin2 x  d  sin x            sinx cosx dx  sin x cos x cos xdx  sin x    k p m  k p     sin x  C p0  C p1 sin2 x  …   1 C pk  sin2 x   …   1 C pp  sin2 x   d  sin x   m 3 2k 1m 2 p 1m c. Nếu m lẻ   sin x m 1     sin x   sin x  k p 0 1 sin x k p C p  c  Cp  …   1 C p  …   1 C p m 1 m3 2k  1  m 2p  1  m   m  2 p  1 , n chẳn thì biến đổi: I=   sinx  2p+1 p n n 2p n  cosx  dx    cos x   sin x  sin xdx     cos x  1  cos2 x  d  cos x  k p n k p     cos x  C p0  C p1 cos2 x  …   1 C pk  cos2 x   …   1 C pp  cos2 x   d  cos x     cos x n 1  n  3  cos x 2k 1n  cos x 2p 1n  k p 0 1 cos x k p  c  C p Cp  …   1 C p  …   1 C p n 1 n3 2k  1  n 2p  1  n   d. Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn. Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u  sinx m B   sin x cos xdx    sin x   cos2 x  m n Tích phân (*) tính được  1 trong 3 số n 1 2 n 1 cos xdx   u m 1  u 2  2 du (*) m 1 n 1 m k ; ; là số nguyên 2 2 2 Dạng 3 I1 =   tan x  n dx ; I 2 =   cot x  n dx (n  N ). dx  1  tan x  dx   cos x   d  tan x   tan x  c 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 25 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A dx  1  cot x  dx   sin x 2 2 Câu 1. Câu 2. Câu 3. Câu 4. Câu 5. Câu 6. Câu 7. Câu 8. Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng   d  cot x    cot x  C  tan xdx  sin x d  cos x  dx    cos x  cos x   ln cos x  C  cot xdx  cos x d  sin x  dx   sin x  sin x  ln sin x  C SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TÍCH PHÂN CƠ BẢN 1 3x  1 a 5 (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Biết  2 dx  3ln  , trong đó a , b là hai số nguyên x  6x  9 b 6 0 a dương và là phân số tối giản. Khi đó a 2  b 2 bằng b A. 7. B. 6. C. 9. D. 5. (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho tích phân 3 1 2 x3  x 2 dx  a ln 3  b ln 2  c với a , b , c   . Tính S  a  b  c . 2 7 2 7 A. S   . B. S   . C. S  . D. S  . 3 6 3 6 4 5x  8 (Sở Phú Thọ) Cho  2 dx  a ln 3  b ln 2  c ln 5 với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của 3 x  3x  2 2a 3b c bằng A. 12 . B. 6 . C. 1 . D. 64 . 5 2 x 2 (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho  2 dx  a  b ln 2  c ln 3 với a, b, c  . x  3 x  2 3 Tính giá trị của biểu thức P  a  b  c . A. 9 . B. 5 . C. 3 . D. 4 . 1 2 4 x  15 x  11 (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho  dx  a  b ln 2  c ln 3 với 2×2  5x  2 0 a , b , c là các số hữu tỷ. Biểu thức T  a.c  b bằng 1 1 A. 4 . B. 6 . C. . D. . 2 2 2 x 1 m n p Biết  3 dx  ln  x  1  x  2   x  3  C . Tính 4  m  n  p  . 2 x  6 x  11x  6 A. 5 . B. 0 . C. 2 . D. 4 . 2 dx Biết   a  b  c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính 1 x x  2   x  2 x P  abc . A. P  2 . B. P  8 . C. P  46 . D. P  22 . 2 dx  a  b  c với a , b , c là các số nguyên dương. Tính Biết I   1  x  1 x  x x  1 P  abc . A. P  24 . B. P  12 . C. P  18 . D. P  46 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 26 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng x2 Câu 9. (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số G( x)   sin tdt. Tính đạo hàm của hàm số G( x). 0 A. G( x)  2x sin x B. G ( x)  2 x cos x C. G( x )  cos x D. G ( x )  2 x sin x Câu 10. (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Biết rằng  2 4sin x  7cos x b b dx  a  2ln với a  0; b, c  * ; tối giản. Hãy tính giá trị biểu thức 2sin x  3cos x c c 0 P  abc .   A.  1 . B.  1 . C.  1 . D. 1 . 2 2 Câu 48: (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Cho tích phân I  4 1 2 a  dx  ln b  với a, b, c là các số nguyên dương. Tính 2 c  5    0 cot   x  tan   x   12  6  2 2 2 a b c A. 48 . B. 18 . C. 34 . D. 36 . 5 2 x  2 1 Câu 4: Biết I   dx  4  a ln 2  b ln 5 , với a , b là các số nguyên. Tính S  a  b. x 1 A. S  9. B. S  11. C. S  5. D. S  3.  Câu 11. (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f  x liên tục trên x  x  1 f   x    x  2  f  x   x  x  1  x   \ 1; 0 , số hữu tỉ. Tính T  a 2  b . 3 21 A. T   . B. T  . 16 16 C. T   \  1; 0 . Biết 3 . 2 thỏa mãn f  2   a  b ln 3 f 1  2 ln 2  1 , , với a, b là hai D. T  0 . e2 x Câu 12. (Chuyên Vinh Lần 3)Cho biết f  x    t ln 9 tdt , tìm điểm cực trị của hàm số đã cho e A. x  2 B. x  0 C. x  1 4 Câu 13. (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho  1 Tính giá trị a  b  c . A. 4 . B. 5 . D. x  6 1 x  ex  .dx  a  eb  ec với a , b , c là các số nguyên. 2x 4x x .e C. 3 . D. 3 . 3 2 Câu 14.   f  x  dx  6 .Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn 3  2 2 kx  e dx  1 A. 7 . 2018.ek  2018 . Số phần tử của tập hợp S bằng. k B. 8 . C. Vô số. D. 6 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 27 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 Câu 15. (Thị Xã Quảng Trị) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  1;3 thỏa mãn  f  x  dx  2 0 3 và 3  f  x  dx  4 . Tính  f  x  dx . 1 1 A. 6. B. 4. C. 8. D. 2. 2 Câu 16. (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Có bao nhiêu số tự nhiên m để  2 x 2  2m 2 dx  0 . A. Vô số. B. 0 . x 2  2m 2  dx 0 D. 2 . C. Duy nhất. 2 Câu 17. (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019)   f  x   x  dx 6 Biết và 0 2 2  3 f  x   g  x  dx  10 . Tính I    2 f  x  +3g  x  dx . 0 0 A. I  12 . B. I  16 . D. I  14 . C. I  10 . 2 Câu 18. (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019)   f  x   x  dx 6 Biết và 0 2 2  3 f  x   g  x  dx  10 . Tính I    2 f  x  +3g  x  dx . 0 Câu 1. 0 A. I  12 . Cho hàm 1 B. I  16 . f  x có đạo số 1 D. I  14 . C. I  10 . hàm liên tục  0;1 trên 2 thỏa mãn 1 e 1 và f 1  0 . Tính  f  x  dx  ? 4 0 0 0 2  e 2  e e A. B. C. D. 1  e Câu 19. (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f (0)  3 và   f ‘  x 2 dx    x  1 .e x . f  x  dx  2 f ( x)  f (2  x)  x  2 x  2, x   . Tích phân  xf ( x)dx bằng 2 0 4 A. . 3 2 B. . 3 C. 5 . 3 D. 1 Câu 20. Biết rằng hàm số 2 f  x   ax  bx  c thỏa mãn  0 3  f  x  dx  0 7 f  x  dx   , 2  10 . 3 2  f  x  dx  2 và 0 13 (với a , b , c   ). Tính giá trị của biểu thức P  a  b  c . 2 3 A. P   . 4 4 4 B. P   . C. P  . 3 3 f  x  \ 0 Câu 21. Cho hàm số xác định trên , thỏa mãn f   x   D. P  3 . 4 1 f 1  a f  2   b , và . 5 x x 3 f  1  f  2  Tính . A. f  1  f  2    a  b . B. f   1  f  2   a  b . C. f   1  f  2   a  b . D. f   1  f  2   b  a . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 28 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 22. Cho hàm số f  x xác định trên  \ 0 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng và thỏa mãn f   x   1 f 1  a f  2   b , , . 4 x x 2 f  1  f  2 Giá trị của biểu thức bằng A. b  a . B. a  b . C. a  b . D. a  b . Câu 55: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f  x   0 khi x  1, 2 . 2 2 Biết  f ‘  x  dx  10 và f ‘ x   f  x  dx  ln 2 . Tính f  2  . 1 1 A. f  2   10 . B. f  2   20 . C. f  2   10 . D. f  2   20 . Câu 57: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên R, nhận giá trị dương trên khoảng  0;  và thỏa f 1  1 , f  x   f ‘  x  3 x  1 . Mệnh đề nào đúng? A. 1  f  5   2 . B. 4  f  5   5 . C. 2  f  5   3 . D. 3  f  5   4 . y  f  x 1;1 f  x   0, x   Câu 23. Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn  , thỏa mãn và f  x  2 f  x  0 f 1  1 f  1 . Biết , tính . A. f  1  e 2 . B. f   1  e 3 . C. f   1  e 4 . D. f  1  3 . Câu 24. Cho hàm số f liên tục, f  x    1 , f  0   0 và thỏa f   x  x 2  1  2 x f  x   1 . Tính f  3. A. 0 . B. 3 . C. 7 . D. 9 . Câu 25. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f  x   0 khi x  1, 2  . Biết 2     f  x  dx  ln 2 . Tính f  2  . 2 f ‘  x  dx  10 và 1 f’ x 1 A. f  2   10 . B. f  2   20 . C. f  2   10 . D. f  2   20 . Câu 26. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  , xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều 2 kiện f  x   0 x   , f   x    x. f  x   , x   và f  0   2 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  1 của đồ thị  C  là. A. y  6 x  30 . B. y  6 x  30 . C. y  36 x  30 . D. y   36 x  42 . Câu 27. Cho hàm số y  f  x   0 xác định, có đạo hàm trên đoạn 0;1 và thỏa mãn: x 1 g  x   1  2018  f  t  dt , g  x   f 2  x  . Tính 0  g  x dx . 0 1011 1009 2019 . B. . C. . D. 505 . 2 2 2 Câu 28. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn f   0   9 và A. 2 9 f   x    f   x   x   9 . Tính T  f 1  f  0  . 1  9 ln 2 . D. T  2  9ln 2 . 2 y  f  x f   x  . f  x   x4  x2 f  0  2 f 2  2 Câu 29. Cho hàm số thỏa mãn . Biết . Tính . 313 332 324 323 A. f 2  2   . B. f 2  2   . C. f 2  2   . D. f 2  2   . 15 15 15 15 A. T  2  9ln 2 . B. T  9 . C. T  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 29 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A y  f  x f  x Câu 30. Cho hàm số có 3 f  x   f   x   1  3.e 2 x . Khi đó: 1 1 A. e3 f 1  f  0    . 2 e 3 2 C. e 3 e f 1  f  0   2  3 e 2  3  8 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  0;   liên tục trên nửa khoảng B. e3 f 1  f  0   1  2 2 e 3 thỏa mãn 1 . 4 D. e3 f 1  f  0    e 2  3  e 2  3  8 . . 3 Câu 114: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm f   x  liên tục trên R thỏa mãn x 2 2 2  f  x      f  t     f   t    dt  2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?   0 A. f 1  2018e . B. f 1  2018 . C. f 1  2018 . D. f 1  2018e . Câu 116: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm f   x  liên tục trên R thỏa mãn x 2 2 2 2  f  x      4  f  t     f   t    dt  2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?   0 A. f 1  1009e2 . B. f 1  1009e . C. f 1  1009e . D. f 1  1009e 2 . Câu 31. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 , f  x  và f   x  đều nhận giá trị dương 1 trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f  0   2 , 1   f  x   3 1 2 0  f   x  .  f  x   1 dx  20 f   x  . f  x  dx . Tính dx . 0 A. 15 . 4 B. 15 . 2 C. 17 . 2 19 . 2  \ 0 D. y  f  x Câu 32. Cho hàm số xác định và liên tục trên 2 2 x f  x    2 x  1 f  x   xf   x   1 x   \ 0 f 1  2 với và . Tính thỏa mãn 2  f  x  dx . 1 1 3 ln 2 3 ln 2 A.   ln 2 . B.   ln 2 . C. 1  . D.   . 2 2 2 2 2 Câu 33. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f  0   0 . Biết 1  f 2  x  dx  0 1 A. .  9 và 2 1  0 1 x 3 . Tích phân  f  x  dx bằng dx  2 4 0 4 6 2 B. . C. . D. .    f   x  cos x2 Câu 53: Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;  và thỏa  f  t  dt  x.cos  x . Tính f  4  . 0 A. f  4   123 . B. f  4   2 . 3 C. f  4   3 . 4 D. f  4   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông 1 . 4 Trang 30 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 Câu 34. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  0; 1 , thỏa mãn 1  f  x  dx   xf  x  dx  1 0 1 1 2   f  x  dx  4 . Giá trị của tích phân   f  x   0 0 3 và 0 dx bằng A. 1. B. 8 . C. 10 . D. 80 . Câu 35. Cho hàm số f  x  có đạo hàm và liên tục trên đoạn  4;8 và f  0   0 với x   4;8 . Biết rằng 2  f   x   1 1 4  f  x  4 dx  1 và f  4   4 , f 8  2 . Tính f  6  .   8 A. 5 . 8 B. 2 2 . 3 C. 3 . 8 D. 1 . 3 2 Câu 36. Suy ra 4  f  x  dx  8   f  x  dx  2 . Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 0;  1 thỏa 0 0 mãn điều kiện f 1   2 ln 2 và x  x  1 . f   x   f  x   x 2  x . Giá trị f  2   a  b ln 3 , với a, b   . Tính a 2  b 2 . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 Câu 37. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  và thỏa mãn f   x     1;1 với  x   0; 2  2 . Biết f  0   f  2   1 . Đặt I   f  x  dx , phát biểu nào dưới đây đúng? 0 A. I    ; 0  . B. I   0;1 . C. I  1;   . D. I   0;1 . Câu 38. Cho hàm số f  x  có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  0   1 và 1 1 1 2 3 1  3  f   x   f  x     dx  2  f   x  f  x  dx . Tính tích phân   f  x   dx : 9 0  0 0 3 5 5 7 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 6 Câu 39. Cho hai hàm số f  x  và g  x  có đạo hàm trên đoạn 1; 4  và thỏa mãn hệ thức  f 1  g 1  4   g  x    x. f   x  ; A. 8ln 2 . 4 f  x    x.g   x  . Tính I    f  x   g  x   dx . B. 3ln 2 . 1 D. 4ln 2 . C. 6ln 2 . PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 y  f  x Cho hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u  u ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và   u ( x)   . Giả sử có thể viết f ( x)  g (u ( x))u ‘( x), x [a;b], với g liên tục trên đoạn [ ;  ]. Khi đó, ta có b I   f ( x ) dx  a u (b )  g (u ) du. u (a ) Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 31 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Có t f ( x) Có (ax  b)n Có a Có I  0  4 0 etan x 3 dx . Đặt t  tan x  3 cos2 x e ln xdx I  . Đặt t  ln x  1 1 x(ln x  1) I  t  ln x hoặc biểu thức chứa ln x Có e dx Có sin xdx t  cos x Có cos xdx t  sin xdx I  ln 2 2 x dx sin 2 x t  cot x Có e 0 I  I   0 I 4 0  I  4 6 x 3e x  1dx . Đặt t  3e  1  2 sin 3 0  t  tan x x 1 1 t  f ( x) dx Có cos 2 x x 3dx . Đặt t  x 1 I   x ( x  1) 2016 dx . Đặt t  x  1 t  e x hoặc biểu thức chứa e x x 3 0 t  ax  b f ( x) dx và ln x x f ( x) Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng x cos xdx . Đặt t  sin x sin 3 x dx Đặt t  2cos x  1 2cos x  1  1 1 dx   4 (1  tan 2 x) 2 dx 4 0 cos x cos x Đặt t  tan x ecot x e cot x dx   dx . Đặt t  cot x 1  cos 2 x 2sin 2 x 100 Câu 1. Giá trị của tích phân  x  x  1 …  x  100  dx bằng 0 A. 0 . C. 100 . B. 1. D. một giá trị khác. 1 Câu 2. n (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho n là số nguyên dương khác 0 , hãy tính tích phân I   1  x 2  xdx 0 theo n . A. I  1 . 2n  2 B. I  1 . 2n C. I  1 Câu 3. (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Tích phân I   0 nguyên. Tính giá trị của biểu thức a  b  c . A. 2 . B. 1 .  x  1 1 . 2n 1 D. I  2 x2  1 dx  a ln b  c , trong đó a ; b ; c là các số C. 3 . D. 0 . 1 Câu 4. (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Biết x 0 3 (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Cho x 0 Câu 6. x2 dx  a ln 12  b ln 7 ,  4x  7 D. 7 . 2 2 2 3 với a , b là các số nguyên, khi đó a  b bằng A. 9 . B. 0 . C. 9 . Câu 5. 1 . 2n  1 2 x dx  a ln 3  b với a , b là  2x  4 2 các số thực. Giá trị của a  3b bằng 7 1 A. . B. . 27 2 2 2001 x Tích phân I   dx có giá trị là (1  x 2 )1002 1 C. 5 . 18 D. 35 . 144 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 32 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. Câu 7. 1 . 2002.21001 B. (ĐH Vinh Lần 1) Biết rằng 1 . 2001.21001 1 dx  x5 x39 2 C. Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 . 2001.21002 D. 1 . 2002.21002  a ln 2  b ln 3  c ln 5 , với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của a  b  c bằng A. 10 . B. 5 . C. 10 . D. 5 . 1 1 a c (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho I   dx  ln  với a, b, c, d là các số nguyên 2 b d 3 x  x x 1 8 Câu 8. a c , tối giản. Giá trị của abc  d bằng b d A.  6 . B. 18 . C. 0 . D.  3 . 4 dx (ĐH Vinh Lần 1) Biết rằng   a ln 3  b ln 5  c ln 7 , với a, b, c là các số 0 4  x  1  5 2 x  1 hữu tỉ. Giá trị của a  b  c bằng 4 4 A. 0 . B.  . C. 1. D. . 3 3 2 dx  a  b  c với a , b , c là các số nguyên dương. Tính Biết  1 x x  1   x  1 x P  abc . A. P  44 . B. P  42 . C. P  46 . D. P  48 . 1 2 3 a x  ax Tích phân I   dx , với a  0 có giá trị là: ax 2  1 0 a a  2 a a  2 a a  2 a a  2 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 4 2 4 2 1  2 a  dx 0 x 2  4 x  3  2ln  1  b    với a , b là các số nguyên dương. Giá trị của a  b Biết rằng bằng A. 3 . B. 5 . C. 9 . D. 7 . 2  1 1 1  a a Biết   3 x  2  2 3 8  11  dx  3 c , với a, b, c nguyên dương, tối giản và c  a . Tính x x x  b b 1 S  a b c A. S  51 . B. S  67 . C. S  39 . D. S  75 . 2 dx Cho số thực dương k  0 thỏa   ln 2  5 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x2  k 0 3 1 1 3 A. k  . B. 0  k  . C.  k  1 . D. 1  k  . 2 2 2 2 2 2 1 x 1 b  Giả sử  dx   a a  b  với a, b, c   ; 1  a, b, c  9 . Tính giá trị của biểu 4 x c bc  1 dương và Câu 9. Câu 10. Câu 11. Câu 12. Câu 13. Câu 14. Câu 15.  thức C2baac . A. 165 . B. 715 .  C. 5456 . D. 35 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 33 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 16. (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho x a 0 4  2 x  1dx  3  b ln 2  c ln 3 với a,b,c là các số nguyên. Giá trị a  b  c bằng: A. 9 B. 2 C. 1 D. 7 1 x 1 b  Câu 17. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho  3 dx  ln   d  , với x 1 a c  1 3 2 b tối giản. Giá trị của a  b  c  d bằng a, b, c , d là các số nguyên dương và c A. 12 B. 10 C. 18 D. 15 Câu 18. (CỤM TRẦN KIM HƯNG -HƯNG YÊN NĂM 2019) Cho tích phân 2 3 a 1  1 a.  là phân số tối I    1  2 . 14  x 2  2 .dx   c 3  d , trong đó ( a , b, c, d   , b x x b   1 2 giản). Tính tổng S  a  b  c  d . A. S  3 . B. S  7 . C. S  2 . D. S  11 . 2  1 1 1  a Câu 19. (THẠCH THÀNH I – THANH HÓA 2019) Biết   3 x  2  2 3 8  11  dx  3 c với a , x x x  b 1 a tối giản và c  a . Tính S  a  b  c . b , c nguyên dương, b A. S  51 . B. S  39 . C. 67 . D. 75 . 1 1 x a m a m dx    , với a , b , n, m    , các phân số , tối Câu 20. (THTT số 3) Cho tích phân  0 1 x b n b n b n giản. Tính a  m . A. 3. B. 5. C. 8. D. 2. 1 x 1 b  Câu 21. (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho  3 dx  ln   d  , với a, b, c, d là các số nguyên x 1 a c  1 2 b dương và tối giản. Giá trị của a  b  c  d bằng c A. 12. B. 10. C. 18.   Câu 22. Có bao nhiêu giá trị của a trong đoạn  ; 2  thỏa mãn 4  A. 2 . B. 1 . C. 4 . a  0 D. 15. sin x 2 dx  . 3 1  3cos x D. 3 .  6 1 thì n bằng 64 0 A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.   1 sin x   Câu 24. Cho các tích phân I   dx và J   dx với    0;  , khẳng định sai là 1  tan x cosx  sin x  4 0 0 Câu 23. Nếu  sin n x cos xdx   cos x dx . B. I  J  ln sin   cos . cosx  sin x 0 A. I   C. I  ln 1  tan  . D. I  J   . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 34 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  4 Câu 25. Cho biết Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng cos x  sin x  cos x dx  a  b ln 2 với a và b là các số hữu tỉ. Khi đó 0 A. 1 . 4 B.  3 Câu 26. Tích phân I   3 . 8 C. sin x   3  cos x  3 sin x  2 1 . 2 D. a bằng: b 3 . 4 dx có gái trị là: 3  32  3 ln   . 16   3  2  8 3  32  3 ln  C. I    . 8   3  2  8 3  32  3 ln   . 8   3  2  8 3  32  3 ln  D. I    . 16   3  2  8 A. I  B. I   2 Câu 27. (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Biết 3sin x  cos x  2sin x  3cos x dx  0 11 ln 2  b ln 3  c  b, c  Q  . Tính 3 b ? c A. 22 . 3 B. 22 . 3 C.  3 22 . 3 D. 22 . 13 cos2 x  sin x cos x  1 dx  a  b ln 2  c ln 1  3 , với a, b, c là các Câu 28. (Chuyên Vinh Lần 3) Biết  4 3  cos x  sin x cos x   4 số hữu tỉ. Giá trị của abc bằng A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. 6 . Câu 29. (THCS – THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho 1  cos2 x   sin x  cot x   F  x   dx và S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin 4 x   F  x   F   trên khoảng  0;4  . Tổng S thuộc khoảng 2 A.  6 ;9  . B.  2 ; 4  . C.  4 ;6  . D.  0;2  .  2 Câu 30. Tích phân I    3 cos x  sin x dx có giá trị là:  e cos x  1 cos x x         e3  e3  2 e3  e3  2   . B. I  ln   . A. I  ln 2 2 e 3 2 e 3 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 35 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng         e3  e3  2 e3  e3  2   . D. I  ln   . C. I  ln 2 2 e 3 2 e 3 2  Câu 31. (THPT LÊ VĂN HƯU NĂM 2018-2019) Biết x sin 2018 x a d x  , trong đó a , b là 0 sin 2018 x  cos 2018 x b các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức P  2a 2  3b3 là A. P  32 . B. P  194 . C. P  200 . D. P  100 .  4 1 dx . Bằng cách đặt t  tan x, tích phân A được biến đổi 2 0 3sin x  2 cos x  2 thành tích phân nào sau đây. 1 1 1 1 1 1 1 1 A.  2 dt . B.  2 dt . C.  2 dt . D.  2 dt . t 4 t 4 t 2 t 2 0 0 0 0 Câu 32. Xét tích phân A   2  2 1 x 1 thì I   dx được biến đổi thành 2 f  t dt . Hãy xác định f  t  : x 2 0 cos 6 0 2 A. f  t   1  2t 2  t 4 . B. f  t   1  2t 2  t 4 . C. f  t   1  t 2 . D. f  t   1  t 2 . Câu 33. Đặt t  tan  6 Câu 34. Biết    6 x cos x 1  x2  x dx  a  2 3  với a , b , c , d là các số nguyên. Tính M  a  b  c . b c A. M  35 . B. M  41 . C. M  37 . D. M  35 . Câu 35. (THCS – THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho f  x  là hàm số chẵn a trên đoạn  a; a  và k  0 . Giá trị tích phân f  x  1 e kx dx bằng a a A.  0 a f  x  dx . B.  a f  x  dx . a a C. 2  f  x  dx . D. 2  f  x  dx . a 0 e Câu 36. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho 2 ln x  1  x  ln x  2 1 2 a c dx  ln  b d a c với a , b , c là các số nguyên dương, biết ; là các phân số tối giản. Tính giá trị a  b  c  d b d ? A. 18 . B. 15 . C. 16 . D. 17 . Câu 37. (THPT LÝ NHÂN TÔNG LẦN 1 NĂM 2018-2019) Biết 1 3 x 3 x  x  2  ex 2 1 1 e   0   e.2 x dx  m  e ln n .ln  p  e    với m , n , p là các số nguyên dương. Tính tổng P  mn p A. P  5 . B. P  6 . C. P  8 . D. P  7 . e a c 2 ln x  1 a c Câu 38.   với a , b , c là các số nguyên dương, biết ; là các phân số tối 2 dx  ln b d b d 1 x  ln x  2  giản. Tính giá trị a  b  c  d ? File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 36 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 39. Câu 40. Câu 41. Câu 42. Câu 43. Câu 44. Câu 45. Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A. 18 . B. 15 . C. 16 . D. 17 . (THPT – YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cho e  3×3  1 ln x  3x 2  1dx  a.e3  b  c.ln e  1 với a, b, c là các số nguyên và ln e  1 . Tính   1 1  x ln x P  a 2  b2  c2 . A. P  9 . B. P  14 . C. P  10 . D. P  3 . ln 2 1  1 a 5  Biết rằng:   x  x  dx  ln 2  b ln 2  c ln . Trong đó a , b , c là những số nguyên. Khi 2e  1  2 3 0  đó S  a  b  c bằng: A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . 2 x 1  x  x  e dx  a.e  b ln  e  c  với a , b , c  . Tính P  a  2b  c . Cho  x  e x 0 A. P  1 . B. P  1 . C. P  0 . D. P  2 . 2 x 1  x  5x  6 e dx  ae  b  ln ae  c với a , b , c là các số nguyên và e là cơ số của Biết  x  2  e x 3 0 logarit tự nhiên. Tính S  2a  b  c . A. S  10 . B. S  0 . C. S  5 . D. S  9 . 1 3 x 3 x  x  2  ex .2 1 1 e   0   e.2x dx  m  e ln n ln  p  e    với m , n , p là các số nguyên dương. Tính tổng S  m  n  p . A. S  6 . B. S  5 . C. S  7 . D. S  8 . 1   ln 3 x  3 x  ln 2 x  x  1 2 3   Biết I   dx  1  ae  27e2  27e3  3 3 , a là các số hữu tỉ. Giá x 9 0 trị của a là: A. 9. B. – 6. C. – 9. D. 6. 2 e 2  x  1 ln x  1 ae4  be2 dx   c  d ln 2 . Chọn phát biểu đúng nhất: Cho tích phân I   e x ln x 2 1 A. a  b  c  d B. a  b 2  c  C. A và B đúng D. A và B sai d    2 Câu 46. Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của   A. 1 . 2 B. 0.  2 2 x 1.cos x a dx  , a , b   . Khi đó a.b bằng x 1 2 b C. 2. D. 1 2 017 C. I  2 . 20 18 D. I  2 . 2 Câu 47. Tính tích phân I  x 2016  ex  1 dx. 2 2018 B. I  2 . A. I  0. 2017 2 2 Câu 48. Biết tích phân   2 2 2017 2018 1  x2 a.  b dx  trong đó a, b   . Tính tổng a  b ? x 1 2 8 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 37 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 0. ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 B. 1. a b Câu 49. Biết rằng 1  Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C. 3. dx   trong đó a , b là các số nguyên dương và 4  a  b  5 . 6  x2  6 x  5 Tổng a  b bằng A. 5 . B. 7 . 1 3  4x Câu 50. Tích phân I   dx có giá trị là: 3  2x  x2 0 7 A. I   4 3 8. 6 7 C. I   4 3 8. 6 4 D. -1 D. 6 . C. 4 . 7  4 3 8. 6 7 D. I   4 3  8. 6 B. I  1 2 Câu 51. Cho I   1  2 x 1  x 2 dc  a  b với a, b  R . Giá trị a  b gần nhất với 0 A. 1 10 B. 1 C. 1 5 D. 2 3 Câu 52. Tích phân I    x  1 3  x dx có giá trị là: 5 2 A. I   3  . 6 4 B. I   3  . 3 8 C. I   3  . 6 8 D. I   3  . 3 8 1 Câu 53. Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  tan x   cos x , x   . Tính I   f  x  dx . 4 0 A.  2 . 8 B. 1. C. 6 2 3 2  . 4 D.  . 4 4 x 4  x 2  3 2 dx  a 3  b  c  4 . Với a , b , c là các số nguyên. 4 1 x 1 8 Khi đó biểu thức a  b 2  c 4 có giá trị bằng A. 20 . B. 241 . C. 196 . D. 48 . Câu 55. (CỤM TRẦN KIM HƯNG -HƯNG YÊN NĂM 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  Câu 54. Tính tích phân  đoạn  0;4 và thỏa mãn điều kiện 4 xf  x   6 f  2 x   4  x . Tính tích phân 2 2 4  f  x  dx . 0 A. I   . 5 B. I   . 2 C. I   . 20 D. I   . 10 TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 2 Câu 1. Cho  f x 5 2  1 xdx  2 . Khi đó I   f  x  dx bằng 1 A. 2. Câu 2. 2 C. 1. B. 1. Cho hàm số f  x liên tục trên 1; và 3 f 0 D. 4. 2  x  1 d x  8 . Tích phân I   xf  x  dx bằng: 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 38 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A B. I  2 . A. I 16 . Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng D. I  4 C. I  8 . 2 (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho I   f  x  dx  2 . Giá Câu 3. 1  2 trị của J   sin x. f 3cos x  1 3cos x  1 0  dx bằng 4 B.  . 3 A. 2. Câu 4.  C. Cho hàm số f  x liên tục trên  và có 4 . 3 1 D.  2 . 1 3  f  x  dx  2;  f  x  dx  6 . Tính 0 I  f  2 x  1  dx 1 0 . A. I  2 . 3 Câu 5. C. I  3 . B. I  4 . D. I  6 . 2 Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;4 và 2  1 4 f  x  dx  1 ;   f  3x  1 dx f  x  dx  3 . Tính ;0 0 1 . A. 4. Câu 6. C. 4 . B. 2. Cho f  x là hàm số liên tục trên  và 1 Câu 7. B. I  5 . Cho hàm số 1 3  f  x  d x  4 ,  f  x  d x  6 . Tính I   f  2 x  1  d x 0 . A. I  3 . D. 1. 3 1 0 D. I  4 . C. I  6 . f  x liên tục trên  thỏa 1  2 f  2 x  dx  2 và 0  f  6 x  dx  14 . Tính 0 2  f  5 x  2 dx . 2 A. 30 . B. 32 . C. 34 .  2 Câu 8. Cho tích phân I   cos x. f  sin x  dx  8 . Tính tích phân K   sin x. f  cos x  dx . 0 0 B. K  4. A. K  8 . Câu 9. D. 36 .  2 C. K  8 . D. K  16 . Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa mãn f  2 x   3 f  x  , x  . Biết rằng 1  f  x  dx  1 . 0 2 Giá trị của tích phân I   f  x  dx bằng bao nhiêu? 1 A. I  5 . B. I  3 . C. I  8 . D. I  2 . Câu 10. Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn f  2  2 ; 2  f  x dx  1 . Tính 0 4 tích phân I   f   x dx . 0 A. I   10 . B. I  5 . C. I  0 . D. I   18 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 39 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 16 Câu 11. Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa mãn  f Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  x  dx  6 và x 1  2  f  sin x  cos xdx  3 . Tính 0 4 tích phân I   f  x  dx . 0 A. I  2 . B. I  6 . 9 Câu 12. Cho f  x liên tục trên  thỏa f   x  dx  4 và x 1 A. I 10 . D. I  2 . C. I  9 .  2  3 f  sin x  cos xd x  2 . Tính I   f  x  dx . 0 0 C. I  4 . B. I  6 . D. I  2 . Câu 13. Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn 1;4 và thỏa mãn f  x      ln x . Tính tích phân f 2 x 1 x x 4 I   f  x  dx . 3 A. I  3  2 ln 2 2 . B. I  2 ln 2 2 .  2 1 f  2 x  1 dx  12 và  Câu 14. Cho 0 C. I  ln 2 2 . 3    f sin 2 x sin 2 xdx  3 . Tính C. 27 . B. 22 . Câu 15. Cho hàm f  x liên tục trên  thỏa mãn D. 15 .  4  1 f  tan x  d x  3 và 0 . A. 4. B. 2.  4  0 0 1  f  x  dx 0 D. 1. 1 x2 f  x  . Tính I   f  x  dx . f  tan x  dx  4;  2 dx  2 x  1 0 0 1 B. I  2 . Câu 17. Cho hàm số  x2 f  x d x  1 . Tính x2  1 C. 5. Câu 16. Cho hàm số f  x liên tục trên R và A. I  6 .  f  x  dx . 0 0 A. 26 . D. I  2ln2 . C. I  3 . f  x liên tục trên  D. I 1. 2018 thỏa  f  x  dx  2 . Khi đó tích phân 0 e2018 1  x f ln  x2 1 dx bằng x 1 2 0  A. 4.  B. 1. C. 2. D. 3. 3 Câu 18. Tìm tất cả các giá trị dương của m để  x  3  x m dx   f   10  , với f  x   ln x15 .  9  0 A. m  20 . B. m  4 . C. m  5 . D. m  3 . 3 Câu 19. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f  4  x  f  x . Biết  xf  x  dx  5 . Tính 1 3 I   f  x  dx . 1 A. I  5 . 2 B. I  7 . 2 C. I  9 . 2 D. I  1 1 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông 2 Trang 40 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 20. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1;3 thỏa mãn f  4  x   f  x  , x 1;3 và 3 3  xf  x  dx  2 . Giá trị  f  x  dx 1 bằng 1 A. 2 . Câu 21. (Chuyên B. 1. Cho hàm KHTN)  3 8 2  tan x. f (cos x)dx   0 1 2 Tính tích phân  1 2 số C. 2. liên f ( x) tục D. 1. trên  thỏa mãn f (3 x) dx  6 . x f ( x2 ) dx x A. 4 B. 6 C. 7 D. 10 Câu 22. Cho hàm số f liên tục trên đoạn  6;5 , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như 5 hình vẽ. Tính giá trị I    f  x   2  dx . 6 y 4 6 A. I  2  35 . B. I  2  34 . 3 5 x O 1 C. I  2  33 . D. I  2  32 . e6 Câu 23. (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn   f ln x 1  2  x  dx  6 và 3 f  cos 2 x  sin 2 xdx  2 . Tích phân   f  x   2 dx bằng 1 0 A. 10 . B. 16 . C. 9 . D. 5 . Câu 24. (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn  4 e2  tan x. f  cos x  dx  2 2 0 và  f  ln 2 x  x ln x e 2 dx  2 . Tính  1 4 f 2x dx . x A. 0 . B. 1 . C. 4 . D. 8 . Câu 25. (Đặng Thành Nam Đề 10) Cho hàm số f ( x) liên tục trên  và thỏa mãn 2 5 5 f  x 2  f x  5  x dx  1 , 1 x2 dx  3 . Tích phân 1 f  x  dx bằng 2 A. 15 . B. 2 . C. 13 . D. 0 . Câu 26. (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa   3 f 0 2  x  16  x dx  2019 , 8  4 f  x x2 8 dx  1 . Tính  f  x  dx . 4 A. 2019 . B. 4022 . C. 2020 . D. 4038 . TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2 Cho hàm số f  x thỏa mãn : A. f  x   B.u. f  u   C. f  a  b  x   g  x  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 41 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A u  a   a thì u  b   b +) Với  u  a   b thì u  b   a +) Với  b  b f  x  dx  1 g  x  dx . A  B  C a f  x  dx  1 g  x  dx . A  B  C a a b  Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng b a Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, B , C . Nếu f  x liên tục trên  a; b thì b  b f  a  b  x  dx  a  f  x  dx . a 6 . Tính 3x  1 2 3 Câu 27. Cho hàm số f  x liên tục trên  0;1 thỏa mãn f  x   6 x f  x   1  f  x  dx 0 A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 6 . 2 Câu 28. Xét hàm số f  x liên tục trên  0;1 và thỏa mãn điều kiện 4 xf  x   3 f  x  1   1  x 2 . Tích 1 phân I   f  x  dx bằng 0 A. I   . 4 B. I   . 6 C. I   . D. I   20 16 Câu 29. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  0;2 và thỏa mãn điều kiện f  x  f  2  x  2x . Tính giá trị 2 của tích phân I   f  x  dx . 0 B. I  1 . A. I  4 . 2 C. I  4 . D. I  2 . 3 Câu 30. Xét hàm số f  x liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn 2 f  x   3 f 1  x   1  x . Tích phân 1  f  x  dx bằng 0 A. 2 . B. 1 . 3 C. 2 . 6 D. 3 . 15 5 Câu 31. Xét hàm số f  x liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn điều kiện 2 f  x   3 f 1  x   x 1  x . 1 Tính tích phân I   f  x  dx . 0 A. I  1 . 25 B. I   4 . 15 C. I   1 . D. I  4 . 15 75 Câu 32. Xét hàm số f  x liên tục trên  1; 2  và thỏa mãn f  x   2 xf  x  2   3 f 1  x   4 x3 . Tính 2 2 giá trị của tích phân I   f  x  dx . 1 B. I  5 . A. I  5 . 2 C. I  3 . D. I  15 . Câu 33. Hàm số f  x liên tục trên  1; 2  và thỏa mãn điều kiện f  x   x  2  xf  3  x 2  . Tính giá 2 trị của I   f  x dx 1 A. I  14 . 3 B. I  28 . 3 C. I  4 . 3 D. I  2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 42 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 34. Xét hàm số f  x liên tục trên  0;1 và thỏa mãn f  x   xf 1  x 2   3 f 1  x   1 . Tính giá x 1 1 trị của tích phân I   f  x  dx . 0 A. I  9 ln 2 . 2 Câu 35. Cho B. I  2 ln 2 . 9 y  f  x hàm số 1 I   f  x  dx  0 C. I  4 . D. I  3 . 3 và thỏa mãn 2 f  x   8×3 f  x4   x 3 x2 1 0. Tích phân a b 2 với a , b , c   và a ; b tối giản. Tính a  b  c c c c B. 4. A. 6 . C. 4 . D. 10 . Câu 36. Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn   ln 2;ln 2 và thõa mãn f  x   f   x   1 . Biết e 1 x ln 2  f  x  dx  a ln 2  b ln 3 , với a , b   . Tính giá trị của P  ab .  ln 2 A. P  1 . B. P  2 . 2 Câu 37. Biết hàm số   y  f x  2  C. P  1. là hàm số chẵn D. P  2 . trên      2 ; 2  đoạn và  2   f  x   f  x    sin x  cos x . Tính I   f  x  dx . 2  0 C. I  1 . B. I 1. A. I  0 . D. I  1 . 2   Câu 38. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  , f  0  0 và f  x   f   x   sin x.cos x với 2  x  . Giá trị của tích phân  xf   x  d x bằng  2 0 A.   . 4 B. 1 . 4 C.  . 4 D.  1 . 4 2 Câu 39. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f 1  2x   f 1  2x   2x ,  x   . tính tích x 1 3 phân I  1 f  x  dx . A. I  2   . 2 B. I  1   . 4 1 2  8 C. I   . D. I   . 4 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 Cách giải: Lần lượt đặt t  u x và t  v x để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có ẩn f  x  ) để suy ra hàm số f  x  (nếu u  x   x thì chỉ cần đặt một lần t  v x ). Các kết quả đặc biệt: Cho A. f  ax  b  B. f  ax  c  g  x  xb  xc A.g   B. g     a   a  (*) với A2  B2 ) khi đó f  x   A2  B 2 +)Hệ quả 1 của (*): A. f  x   B . f   x   g  x   f  x   A.g  x   B . g   x  A2  B 2 g x +)Hệ quả 2 của (*): A. f  x   B . f   x   g  x   f  x     với g x là hàm số chẵn. A B File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 43 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1  x 2 Câu 40. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và f  x   2 f    3x . Tính I   1 f  x x dx . 2 A. I  3 . 2 Câu 41. C. I  1 . 2 B. I 1. D. I  1 . 1  (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  ;3 thỏa mãn 3  3 f  x 1 f  x   x. f    x3  x . Giá trị tích phân I   2 dx bằng x  x x 1 3 8 A. . 9 2 B. . 3 C. 3 . 4 D. 16 . 9 2 x Câu 42. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 0 và thỏa mãn 2 f  3x   3 f     3 2 9  f  x  dx  k . Tính I   1 2 3 A. I   45  k . 9 15x , 2 1 f   dx theo k .  x B. I  45  k . 9 C. I  45  k . D. I  45  2 k . 9 9 Câu 43. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f  x   2018 f  x   2x sin x . Tính giá trị  2 của I   f  x  dx .  A. I  2 2 . 2 019 B. I  2 . 1009 C. I  4 . 2 019 D. I  1 . 1009 Câu 44. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f  x   2018 f  x   e . Tính giá trị của x 1 I  f  x  dx 1 e2 1 e2 1 e2  1 A. I  . B. I  . C. I  0 . D. I  . 2019e 2018e e 2 Câu 45. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  , thỏa mãn 2 f  2x   f 1 x  12x . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ bằng 1 là A. y  2 x  2 . B. y  4 x  6 . C. y  2 x  6 . D. y  4 x  2 . Câu 46. Cho f  x là hàm số chẵn, liên tục trên  thỏa mãn 1  f  x dx  2018 và g  x  là hàm số liên 0 1 tục trên  thỏa mãn g  x   g   x   1 , x  . Tính tích phân I   f  x g  x  dx . 1 B. I  1009 . A. I  2018 . Câu 47. Cho số dương 2 a và hàm số f  x C. I  4036 . D. I  1008 . liên tục trên  thỏa mãn f  x   f   x   a , x  . Giá trị a của biểu thức  f  x  dx bằng a File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 44 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A B. a. A. 2 a 2 . Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C. a 2 . D. 2a .  2 Câu 48. Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa điều kiện f  x   f   x   2sin x . Tính  f  x  dx  A. 1. C. 1. B. 0.  2 D. 2. Câu 49. Cho f ( x ) là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn f  x   f   x   2  2cos 2 x . Tính tích phân 3 2  f  x dx . I  3 2 A. I  3 . B. I  4 . C. I  6 . D. I  8 . Câu 50. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên R và thỏa mãn f  x   f   x   2  2cos 2 x . Tính  2  f  x  dx . I   2 A. I  1 . B. I 1. C. I  2 . D. I  2 . π 4 2 Câu 51. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và 3 f   x   2 f  x   tan x . Tính  f  x  dx  A. 1  π . 2 B. π 1 . 2 C. 1  π . 4 π 4 D. 2  Câu 52. Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn   ln 2;ln 2 và thỏa mãn f  x   f   x   π . 2 1 . ex  1 ln 2 Biết  f  x  dx  a ln 2  b ln 3  a; b . Tính P  a  b .  ln 2 A. P  1 . B. P  2 . 2 C. P  1. D. P  2 . Câu 53. Xét hàm số f  x liên tục trên  0;1 và thỏa mãn điều kiện 2 f  x   3 f 1  x   x 1  x . Tính 1 tích phân I   f  x dx . 0 A. I   4 . 15 B. I  1 . 15 C. I  4 . 75 D. I  1 . 25 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 Câu 54. Cho f  x và g  x  là hai hàm số liên tục trên  1,1 và f  x là hàm số chẵn, g  x  là hàm số 1 lẻ. Biết  1 f  x  dx  5 và 0  g  x  dx  7 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 1 A.  1 f  x  dx  10 . B. 1 1 C.   f  x   g  x  dx  10 . 1  g  x  dx  14 . 1 1 D.   f  x   g  x  dx  10 . 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 45 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 0 Câu 56. Cho hàm số y  f  x  là hàm lẻ và liên tục trên  4;4 biết 2  f   x  dx  2 và  f  2x  dx  4 2 1 4 . Tính I   f  x  dx . 0 A. I   10 . B. I  6 . C. I  6 . 1 (Sở Đà Nẵng 2019) Cho hàm số chẵn y  f  x  liên tục trên  và Câu 57.  1 D. I 10 . f  2x dx  8 . Giá trị của 1  5x 2  f  x  dx bằng: 0 A. 8 . B. 2 . D. 16 . C. 1 . 1 Câu 58. Cho f  x là hàm số chẵn liên tục trong đoạn  1; 1 và  1 f  x  dx  2 . Kết quả I  1 bằng A. I 1. Câu 59. Cho y  f  x  là hàm số chẵn và liên tục trên . Biết 1 dx D. I  4 . 1 2  f  x  dx  2  f  x  dx  1 . Giá trị của 0 f  x dx bằng x 1 2 A. 1. x 1 C. I  2 . B. I  3 . f x  1 e 1 2 3 Câu 60. Cho hàm số f  x C. 4. B. 6. liên tục trên  thỏa mãn B. I  3 . 2 A. I  2 . f 3 D. 3.  x   f  x   x, x  . Tính C. I  1 . 2 2 I   f  x  dx 0 D. I  5 . 4 3 2 Câu 61. Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa mãn 2 f  x   3 f  x  6 f  x   x , x  . Tính tích 5 phân I   f  x  dx . 0 A. I  5 . 4 B. I  5 . 2 C. I  5 . 12 D. I  5 . 3 1 3 Câu 62. Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa mãn x  f  x   2 f  x   1 , x  . Tính I   f  x  dx 2 . A. I  7 . 4 B. I  7 . 2 C. I  7 . 3 D. I  5 . 4 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 b 2 Bài toán: “ Cho f  x  . f  a  b  x   k , khi đó I   a dx ba  k  f  x 2k Chứng minh: dt  dx  Đặt t  a  b  x   k 2 và x  a  t  b ; x  b  t  a . f x     f t   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 46 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A b Khi đó I   a b 2I   a b dx  k  f  x  a Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng b dx 1 f  x  dx .   k2 k a k  f x k f t  b b dx 1 f  x  dx 1 1 ba .     dx   b  a   I  k  f  x k a k  f  x k a k 2k Câu 63. Cho hàm số f  x liên tục và nhận giá trị dương trên  0;1 . Biết f  x  . f 1 x  1 với x  0;1 1 dx 1 f  x 0 . Tính giá trí I   A. 3 . B. 1 . 2 C. 1. 2 D. 2. Câu 64. Cho hàm số f  x liên tục trên  , ta có f  x   0 và f  0 . f  2018  x   1. Giá trị của tích 2018 phân I   0 dx 1 f  x A. I  2018 . B. I  0 C. I  1009 D. 4016 Câu 65. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm, liên tục trên  và f  x   0 khi x 0;5 Biết . 5 dx f  x  . f  5  x  1 tính tích phân I   . 0 1 f x ,   A. I  5 . B. I  5 . 4 C. I  5 . 3 D. I 10 . 2 3 Câu 66. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f  4  x   f  x  . Biết  xf  x  dx  5 . Tính 1 3 tích phân  f  x  dx . 1 A. 5 . 2 B. 7 . C. 9 . 2 D. 11 . 2 2 Câu 67. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên R và f  x   0 khi x  [0; a] ( a  0 ). Biết a dx . 1 f  x 0 f  x  . f  a  x   1 , tính tích phân I   A. I  a . C. I  a . B. I  2a . 2 D. I  a . 3 4 a  f  x . f  a  x  1 dx ba và   , 1 f  x c  f  x   0, x  0; a 0 Câu 68. Cho f  x là hàm liên tục trên đoạn  0;a thỏa mãn  trong đó b , c là hai số nguyên dương và khoảng nào dưới đây? A. 11; 22  . b là phân số tối giản. Khi đó b  c có giá trị thuộc c B.  0;9 . C.  7;21 . D.  2017; 2020  . TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6 Câu 69. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;4 , đồng biến trên đoạn 1;4 và thỏa mãn 4 2 đẳng thức x  2x. f  x   f   x   , x 1;4 . Biết rằng f 1  3 , tính I   f  x  dx ? 2 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 47 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. I  1186 . B. I  1174 . 45 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C. I  1222 . 45 D. I  1201 . 45 45 f Câu 70. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn 3 f   x  .e 3  x x 2 1 2x  0 và f  0  1 f  x  2 7 . Tích phân  x. f  x  dx bằng 0 A. 2 7 . 3 B. 15 . C. 45 . 4 5 7 . 4 D. 8 1 4 3 2 Câu 71. Cho hàm số f  x   x  4x  3x  x 1, x  . Tính I   f 2  x  . f   x  dx . 0 C.  7 . 3 B. 2. A. 2. D. 7 . 3 Câu 72. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên khoảng  0;1 và f  x   0 , x  0;1 . Biết rằng 1 f  a,  2  3 f    b  2  x  xf   x   2 f  x   4 , và x  0;1 . Tính tích phân  3 sin 2 x.cos x  2sin 2x dx theo f 2  sin x   I  a và b . 6 A. I  3 a  b . B. I  3 b  a . 4 ab Câu 73. Cho hàm số f f 4 ab C. I  3 b  a . D. I  3 a  b . 4 ab 4 ab liên tục, f  x  1 , f  0  0 và thỏa f   x  x  1  2 x f  x   1 . Tính 2  3. A. 0. B. 3. C. 7. D. 9. 5 Câu 74. Cho hàm số f  x liên tục trên  và f  5  3 ,  f  x  dx  4 , f  2   2 . Tính 2 2 I   x 3 f   x 2  1 dx 1 B. 4 . A. 3. C. 1. D. 6 . Câu 75. Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn 1;4 và thỏa mãn f  x      ln x . Tính tích phân f 2 x 1 x x 4 I   f  x  dx . 3 A. I  3  2 ln 2 2 . B. I  2 ln 2 2 . C. I  ln 2 2 .  2 D. I  2ln2 . 16  2  Câu 76. Cho hàm số f  x liên tục trên  và thỏa mãn cot x. f sin x dx    4 1 phân  1 8  1 f  x  dx  1 . Tính tích x f 4x dx . x File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 48 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A B. I  3 . A. I  3 . Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng D. I  5 . C. I  2 . 2 2 Câu 77. Xét hàm số f  x liên tục trên  0;1 và thỏa mãn điều kiện 4 x. f  x 2   3 f 1  x   1  x 2 . Tích 1 phân I   f  x  dx bằng: 0 A. I   . 4 B. I   . C. I   . 6 D. I   . 20 16 Câu 78. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  1 , 1   f   x  2 dx  0 1 9 và 5 1 2  f  x  dx  5 . Tính tích phân I   f  x  dx . 0 0 A. I  3 . 5 B. I  1 . 4 C. I  3 . D. I  1 . 4 5 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 1:  3 Câu 1. x 3 dx    ln b . Khi đó, giá trị của a2  b bằng 2 cos x a 0 (Hậu Lộc Thanh Hóa) Biết I   A. 11 . B. 7 .  4 Câu 2. Tích phân C. 13 . D. 9 . x  1  cos 2 x dx  a  b ln 2 , với a , b là các số thực. Tính 16a  8b 0 A. 4. B. 5.  3 Câu 3. Biết    3 sin x 1  x 6  x3 dx  abcd . A. a  b  c  d  28 . C. 2. 3 3 2   c  d 3 với a b B. a  b  c  d  16 . D. 3. a, b, c, d là các số nguyên. Tính C. a  b  c  d  14 . D. a  b  c  d  22 . 2 Câu 4. (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Cho tích phân I   x .sin x dx  a 2  b  a, b    , Mệnh 0 Câu 5. đề nào sau đây đúng? a a A.  3 . B. a 2  b  4 . C.   1;0  . D. a  b  6 . b b 1 x 2e x a a Cho biết  dx  .e  c với a , c là các số nguyên, b là số nguyên dương và là phân 2 b b 0  x  2 số tối giản. Tính a  b  c . A. 3 . B. 0 . Câu 6. (Chuyên Thái Bình Lần 3) Biết  1   1  x  x e 1 x x dx  1 12 dương và các phân số A. 12. D. 3 . C. 2 . 12 a c , là tối giản. Tính bc  ad . b d B. 1. C. 24. c d a e trong đó a, b, c, d là các số nguyên b D. 64. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 49 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 7. Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết p 1 p 2 x x q 1  x  1 e dx  me  n , trong đó m, n, p, q là các số nguyên dương và q là phân số tối giản. Tính T  m  n  p  q . A. T  11 . B. T  10 . C. T  7 . D. T  8 . (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Biết rằng 2x 2x  e cos 3 xdx  e  a cos 3 x  b sin 3 x   c , trong đó a , b , c là các hằng số, khi đó tổng a  b 2 Câu 8. có giá trị là 5 A.  . 13 B. 1 . 13 C. 5 . 13 D.  1 . 13  4 sin 2 x  x sin x  2 1 2 1 dx   ln  c ln 2 (với 2 cos x a b 2 1 0 a, b, c là các số nguyên). Khi đó a  b  c bằng A. 2 . B. 4 . C.  1 . D. 1 . Câu 10. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Cho Câu 9. (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho tích phân 1    I   x  x 2  15 dx  a  b ln 3  c ln 5 với a , b, c   . Tính tổng a  b  c . 0 A. 1 . B. 5 . 2 C. 1 . 3 1 D.  . 3 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 2: e Câu 11. Cho biết tích phân I   x  2 x 2  ln x  dx  1 Tổng a  b  c  ? A. 2. B. 4. a.e 4  b.e 2  c với a, b, c là các ước nguyên của 4. 4 C. 3. D. 1 c Câu 12. (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Biết  x ln  x 2  16  dx  a ln 5  b ln 2  , trong đó a , b , c 2 0 là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức T  a  b  c A. T   2 . B. T  16 . C. T  2 . D. T   16 . 3 1 Câu 13. (Sở Thanh Hóa 2019) Cho I   x ln  2  x 2  dx  a ln 3  b ln 2  c với a , b , c là các số hữu 0 tỷ. Giá trị của a  b  c bằng 3 A. . B. 1 . C. 0 . 2 2 1  2018  Câu 14. Tính tích phân I    2019log 2 x   x dx . ln 2  1 A. I  22017 . B. I  22019 . C. I  22018 . Câu 15. (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) e ln x a 2 1 1  x 2 dx  e+1  b ln e+1  c với a, b, c   . Tính a  b  c . A.  1 . B. 1. C. 3 . D. 2 . D. I  22020 . Biết D. 2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 50 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 16. (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Nghiệm dương a của phương trình a   2 x  1 ln xdx   a 2   a ln a  9 thuộc khoảng nào sau đây? 1 A. 1; 3  . B.  3;5 . C.  5;7  . D.  7;10  .  4 ln(sinx  2cos x) dx  a ln 3  b ln 2  c. (với a , b , c là các số hữu 2 cos x 0 tỉ). Giá trị biểu thức abc bằng. 15 5 5 17 A. . B. . C. . D. . 8 8 4 8  ln  s in x  cos x  a  Câu 18. (HSG Bắc Ninh) Biết  với a, b, c là các số nguyên. Khi đó, dx  ln 2  2 Câu 17. ( Sở Phú Thọ) Cho tích phân  4 cos x 0 b c bc bằng a A. 6 . B. 8 . 3 8 D.  . 3 C. 6 . e 1  (THPT LÊ VĂN HƯU NĂM 2018-2019) Cho tích phân I    x   ln x dx  a.e2  b , a và b x 1 là các số hữu tỉ. Giá trị của 4a  3b là 13 13 13 13 A. . B. . C.  . D.  . 2 4 4 2 Câu 20. (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Khẳng định nào sau đây đúng về kết quả e 3ea  1 3 x ln x d x  ? 1 b A. a .b  64 . B. a .b  46 . C. a  b  12 . D. a  b  4 . Câu 19. 1 b b dx  a  ln 3 . Với phân số tối giản. Lúc đó c c 0 A. b  c  6057. B. b  c  6059. C. b  c  6058. D. b  c  6056. Câu 22. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019)  4 ln  s in x  cos x  bc a  bằng d x  ln 2  với a , b, c là các số nguyên. Khi đó, 2 0 a cos x b c Câu 21. Giả sử tích phân A. 6 .  x.ln  2 x  1 B. 2017 8 . 3 C. 6 . Biết 8 D.  . 3 TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 2 Câu 1: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hàm số f  x  thỏa mãn A    x  1 f   x  dx  9 và 0 2 f  2   f  0   3 . Tính I   f  x  dx 0 A. I  12 . B. I  12 . C. I  6 . D. I  6 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 51 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 2: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f  x  có đạo 1 hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1  0 , 2  x f  x  dx  0 Câu 3: 1 Tính 3 1 3  x f   x  dx . 0 A.  1 B. 1 C. 3 D. 3 (THPT NGUYỄN KHUYẾN TP.HCM NĂM 2018-2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm và  2 Câu 4:  2   liên tục trên  0;  , thoả mãn  f   x  cos 2 xdx  10 và f  0   3 . Tích phân  f  x  sin2xdx  2 0 0 bằng A. 13 B. 13 C. 7 D. 7 (Đặng Thành Nam Đề 12) Cho hàm số f  x xác định và liên tục trên  . Gọi g  x  là một nguyên hàm của hàm số y  2 x . Biết rằng x  f 2  x  g  x  dx  1 và 2 g  2  g 1  2 . Tích 1 2 x dx bằng x  f 2  x 1 A. 1, 5 . B. 1. phân 2  C. 3. D. 2. 5 Câu 5: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x  3 x  1  3x  2, x  . Tính I   x. f   x dx . Câu 6: 5 A. . 4 (Chuyên 3 1 17 B. . 4 Lần 2) Cho Vinh 33 C. . 4 số f  x  liên hàm D. 1761 . tục trên  và thoả mãn x f  x   f 1  x   x 3 1  x , x   và f 0   0 . Tính I   xf    d x bằng:  2  0 2 1 . 20 (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên A.  Câu 7: 1 . 10 B. 1 . 20 1 C. 1 . 10 D.  1 0 ;1 . Biết   x. f  1  x   f  x   dx  . Tính f  0  . 2 0 1 1 . C. f  0    . D. f  0   1 . 2 2 (THPT Nghèn Lần1) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  1 , B. f  0   A. f  0   1 . Câu 8: 1 1 1 2 1 9 0 x f  x  dx  5 và 0  f   x  dx  5 . Tính tích phân I  0 f  x  dx . 3 1 1 4 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 4 5 4 5 Câu 9: (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0;2  . f 0   1 Biết 2 I  0 và x 3  3x 2  f ‘x  f x  f  x  f 2  x   e2 x 2 4 x với mọi x   0;2  . Tính tích phân dx . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 52 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 14 32 16 16 . B. I   . C. I   . D. I   . 3 5 3 5 (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019)Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  và thỏa mãn A. I   Câu 10: 1 3  x  f   2 x  4 dx  8 ; f  2   2 . Tính I   f  2 x  dx . 2 0 Câu 11: A. I   5 . B. I   10 . C. I  5 . D. I  10 . (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hàm f  x  có đạo hàm 2 2 2 liên tục trên đoạn 1; 2  thỏa mãn f  2  =0 ,   f   x   dx  1 1 1 và   x  1 f  x  dx   . Tính 45 1 30 2 I   f  x dx . 1 1 1 1 1 . B. I   . C. I  . D. I   . 36 15 12 12 (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên 0; 2  , thỏa các A. I   Câu 12: 2 điều kiện f  2   1 và  0 2 . Giá trị của 3 2 0 2  1 f  x x2 dx : 1 1 . D. . 4 3 (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn A. 1. Câu 13: 2 f  x  dx    f   x   dx  B. 2. f 1  1 và  f  x 2 C.  4  6 x 2  1 . f  x   40 x 6  44 x 4  32 x 2  4, x   0;1 . Tích phân 1  f  x dx bằng? 0 A. 23 . 15 B. 13 . 15 C.  17 . 15 D.  7 . 15 1 Câu 14: Cho hàm số f  x  thỏa f  0   f 1  1 . Biết e x  f  x   f ‘  x   dx  ae  b . Tính biểu thức 0 Q  a2018  b2018 . A. Q  8 . B. Q  6 . C. Q  4 . D. Q  2 . Câu 15: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn f   x   2018 f  x   2018. x 2017 .e2018 x với mọi x  và f  0   2018. Tính giá trị f 1 . A. f 1  2019e2018 . B. f 1  2018.e 2018 . C. f 1  2018.e2018 . D. f 1  2017.e2018 . 1 Câu 16: Cho hàm số y  f  x  với f  0   f 1  1 . Biết rằng:  e x  f  x   f   x   dx  ae  b Tính 0 2017 2017 Q  a b . A. Q  22017  1 . B. Q  2 . C. Q  0 . D. Q  22017  1 . Câu 17: Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn 1;2 . Biết rằng 3 F 1  1 , F  2   4 , G 1  , G  2   2 và 2 2  1 2 67 f  x  G  x  dx  . Tính  F  x  g  x  dx 12 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 53 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 11 . 12 B.  145 . 12 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C.  11 . 12 D. 145 . 12 2 Câu 18: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1;2 và 2   x 1 f   x  dx  a . Tính  f  x  dx theo a 1 1 và b  f  2  . A. b  a . B. a  b . C. a  b . D. a  b . 2 Câu 19: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  2   16 ,  0 1 f  x  dx  4 . Tính tích phân I   x. f   2 x  dx 0 . A. I  13 . B. I  12 . C. I  20 . D. I  7 . Câu 20: Cho y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên  biết đồ thị hàm số y  f  x  đi qua điểm  1  M   ; 4  và  2  1 2 0  f  t  dt  3 , tính I   sin 2 x. f   sin x  dx . 0  A. I  10 . 6 B. I  2 . C. I  1 . D. I  1 .  2  2 Câu 21: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn  sin x. f  x  dx  f  0   1 . Tính I   cos x. f   x  dx . 0 0 A. I  1 . B. I  0 . C. I  2 . D. I  1 . Câu 22: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f   x   2018 f  x   2 x sin x . Tính  2  f  x  dx ? I   2 2 2 2 4 . B. . C. . D. . 2019 2018 1009 2019 Câu 23: Cho hàm số f  x  và g  x  liên tục, có đạo hàm trên  và thỏa mãn f   0  . f   2   0 và A. 2 g  x  f   x   x  x  2  e . Tính giá trị của tích phân I   f  x  .g   x  dx ? x 0 A. 4 . B. e  2 . D. 2  e . C. 4 .     Câu 24: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên 0;  thỏa mãn f    3 ,  4 4  4 và f  x  cos x dx  1 0  4  sin x.tan x. f  x  dx  2 . Tích phân  sin x. f   x  dx 0 A. 4 .  4 bằng: 0 B. 23 2 . 2 C. 2 1 3 2 . 2 D. 6 . 4  x 0 f  x  dx  4 . Tính I  0 xf   2  dx A. I  12 . B. I  112 . C. I  28 . D. I  144 . Câu 26: Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai f   x  liên tục trên đoạn  0;1 thoả mãn f 1  f  0   1 Câu 25: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  2   16 , , f   0   2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 54 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 A.  f   x 1  x  dx  2018 . B.  f   x 1  x  dx  1 . 0 1 0 1 C.  f   x 1  x  dx  2018 . D.  f   x 1  x  dx  1 . 0 0 f  x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn Câu 27: Cho hàm số    f  0, 2   f   x   2 dx   2  và 4    cos x f  x  dx  4 . Tính f  2018  .  2 1 . D. 1. 2 Câu 28: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;2 . Biết f  0   1 và B. 0 . A.  1 . C. 2 f  x. f  2  x  e 2 x2  4 x , với mọi x   0;2 . Tính tích phân I   x 3  3x 2  f   x  f  x 0 16 . 3 Câu 29: Cho hàm số 16 14 . C. I   . 5 3 có đạo hàm liên tục trên đoạn A. I   1 B. I   f  x 1 2 dx . 32 . 5 thỏa mãn f 1  0 và D. I   0;1 1 e2  1 . Tính tích phân I   f  x  dx . 4 0 e e 1 B. I  e  2 . C. I  . D. I  . 2 2 x   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  0 0 A. I  2  e . 2 Câu 30: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2  thỏa mãn 1   x  1 f  x  dx   3 , 2 1 2 f  2   0 và   f   x   1 2 2 dx  7 . Tính tích phân I   f  x  dx . 1 7 7 7 7 A. I  . B. I   . C. I   . D. I  . 5 5 20 20 Câu 31: (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2  thỏa 2 2 2 2 1 2 mãn   x  1 f  x  dx   , f  2   0 ,   f   x   dx  7 . Tính I   f  x  dx . 3 1 1 1 7 7 7 7 A. I  . B. I   . C. I   . D. I  . 5 5 20 20     Câu 32: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  và f    0 . Biết  4 4  4 ,  4   f  x  dx  8 2 0  8   f   x  sin 2xdx   4 . Tính tích phân I   f  2 x  dx 0 A. I  1 . 0 1 B. I  . 2 C. I  2 . D. I  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông 1 . 4 Trang 55 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 33: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn 1 1 1 x 3 dx  . Tích phân  f  x  dx bằng 0 0 2 4 0 6 2 4 1 A. . B. . C. . D. .     Câu 34: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và f  0   f 1  0 . Biết f  0   0 Biết f 2  x  dx  1 1  0 1 f 2  x  dx  , 2  9 và 2 f   x  cos f   x  cos  x  dx  0  . Tính 2 1  f  x  dx . 0 1 2 3 A.  . B. . C. . D. .   2 Câu 35: (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;   thỏa    2    mãn:   f   x   dx   cos x. f  x dx  và f    1 . Khi đó tích phân  f  x  dx bằng 2 2 0 0 0    A. 0 . B.  1 . C. . D.  1 . Câu 36: 2 2 2 2 (Sở Đà Nẵng 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  1;1 và thỏa f 1  0 ,  f   x  2 1  4 f  x   8 x 2  16 x  8 với mọi x thuộc  1;1 . Giá trị của  f  x  dx bằng 0 5 A.  . 3 B. 2 . 3 C. 1 . 5 1 D.  . 3 1 Câu 37: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên đoạn 0;1 thỏa f 1  0 , 2   f   x  dx  0 1  và  cos  2 0  A. . 2 Câu 38: Xét hàm số 1  x  f  x  dx  . Tính 2  2 8 1  f  x  dx . 0 1 2 . D. .   f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện f 1  1 và f  2   4 . Tính B.  . C.  f  x  2 f  x 1 J     dx . x x2  1 2 A. J  1  ln 4 . Câu 39: Cho hàm 1   f   x  0 A. 2 B. J  4  ln 2 . số f  x có hàm liên tục 2 dx    x  1 e x f  x  dx  0 e 1 . 2 đạo 1 1 . 2 trên C. J  ln 2  e 1 và f 1  0 . Tính 4 đoạn e . 4 C. e  2 . mãn 1  f  x  dx 0 2 B. 1  ln 4 . 2 0;1 thỏa D. J  D. e . 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 56 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 2 Câu 40: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1  0 ,   f   x   dx  7 và 0 1 1 1  x f  x  dx  3 . Tích phân  f  x  dx bằng 2 0 0 7 7 A. . B. 1. C. . D. 4 . 5 4 Câu 41: (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số y  f  x  với 1 f  0   f 1  1 . Biết rằng e x  f  x   f   x   dx  ae  b , a , b   . Giá trị của biểu thức 0 a 2019  b 2019 bằng A. 2 2018  1 . B. 2 . C. 0 . D. 2 2018  1 . Câu 42: (Đoàn Thượng) Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và f (0)  f (1)  0 . 1 Biết  f 2 ( x ) dx  0 1 1 , 2 f ( x ) cos ( x ) dx   0  . Tính 2 1  f ( x)dx . 0 3 2 1 . C. D. 2   (Chuyên Vinh Lần 3). Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  0 A.  . Câu 43: 1 B. 1 1 ,   f   x   dx  7 và  x f  x  dx  . Tích phân 3 0 0 2 2 1  f  x  dx bằng 0 7 7 . B. 1 . C. . D. 4 . 5 4 (Chuyên Vinh Lần 3). Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  4 A. Câu 44: 1 , 1 2   f   x  dx  36 và  x. f  x  dx  0 0 1 . Tích phân 5 1  f  x  dx bằng 0 3 2 5 A. . B. . C. 4 . D. . 6 2 3 Câu 45: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0; 2 thỏa mãn 2 f  2  3 , 2 2   f   x   dx  4 và 2  x f  x  dx  0 0 1 . Tích phân 3 2  f  x  dx bằng 0 297 562 2 266 . B. . C. . D. . 115 115 115 115 (Chuyên Vinh Lần 3). Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  4 A. Câu 46: 1 1 2 ,   f   x   dx  5 và 0 1 0 x. f  x  dx   2 . Tích phân 1  f  x  dx bằng 0 17 15 15 17 . B. . C. . D. . 19 4 18 4 (Chuyên Vinh Lần 3). Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0; 2 thỏa mãn A. Câu 47: 2 f  2  6 A. 8 . 2 2   f   x   dx  7 và  x. f  x  dx  0 0 B. 6 . 17 . Tích phân 2 C. 7 . 2  f  x  dx bằng 0 D. 5 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 57 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 48: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 3 thỏa mãn 3 3 154 f  3  6   f   x   dx  2 và  x . f  x  dx  . Tích phân 3 0 0 2 2 3  f  x  dx bằng 0 117 13 53 153 . B. . C. . D. . 5 20 5 5 (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  2 A. Câu 49: 1 1 2 ,   f   x   dx  8 và 0 A.  1  x . f  x  dx  10 . Tích phân  f  x  dx 0 0 3 194 B. . 95 2 . 285 C. bằng 116 . 57 D. 584 . 285 1 Câu 50: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  1 , 2   f   x   dx  9 và 0 1 1 1  x f  x  dx  2 . Tích phân  f  x  dx bằng 3 0 0 A. 2 . 3 B. 5 . 2 C. 7 . 4 D. 6 . 5 1 2 Câu 51: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn f 1  0,   f   x   dx  0 1 1 và 11 1 1  x f  x  dx   55 . Tích phân  f  x  dx bằng 4 0 0 A. 1 7 B. 1 7 C. 1 55 D. 1 11 Câu 52: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện f 1  1  0 5 f  x  dx  và 6 A. 7 3 1   x  1 1 0 B. 2 x 1 f   x   dx   . Tính tích phân  x2 3 8 15 C. 53 60 1  f  x  dx  ? 2 0 D. 203 60 TÍCH PHÂN HÀM ẨN   , thỏa mãn  2  Câu 1: (Lý Nhân Tông) Cho hàm số f  x  liên tục không âm trên  0; Câu 2:     f  x  . f   x   cos x 1  f 2  x  với mọi x   0;  và f  0   3 . Giá trị của f   bằng  2 2 A. 2 . B. 1 . C. 2 2 . D. 0 . (Đặng Thành Nam Đề 15) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x  . f   x   1 , với mọi x  . Biết 2 2 1 1 x  f  x  dx  a và f 1  b , f  2  c . Tích phân  f  x  A. 2c  b  a . B. 2a  b  c . dx bằng C. 2c  b  a . D. 2a  b  c . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 58 3 ; 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 3: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho 1 3 1   3x  1 f   x  dx  2019, 4 f 1  f  0   2020 . Tính  f  3 x  dx . 0 0 1 A. . 9 Câu 4: 1 C. . 3 B. 3 .  1 1   (HSG Bắc Ninh) Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm trên   ;  thỏa mãn 2 2 1 2 109 2 1  f  x   2 f  x  . 3  x  dx   12 . Tính  f  x x 0 2 1 dx . 8 D. ln . 9   (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho hàm f :  0,    là  2   2  hàm liên tục thỏa mãn điều kiện  2  f  x    2 f  x  sin x  cos x   dx  1  . Tính  2 f ( x )dx . 0  0  2 A. Câu 6: 1 2 2 A. ln Câu 5: D. 1 . 7 . 9 B. ln f ( x)dx  1 . B.  2 0  2 . 9 5 C. ln . 9 f ( x)dx  1 . C.  2 0   2 0  f ( x ) dx  2 . D.  2 0 f ( x ) dx  0 .  (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên khoảng  0;   và f  x   0 , x   0;   thỏa mãn f   x    x. f 2  x  với mọi x   0;   , biết 2 1 và f  2   . Tổng tất cả các giá trị nguyên của a thỏa mãn là a3 4 A.  14 . B. 1 . C. 0 . D.  2 . f 1  3 Câu 7: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  3  21 ,  f  x  dx  9 . 0 1 Tính tích phân I  x. f   3 x  dx .  0 A. I  15 . Câu 8: B. I  12 . C. I  9 . (Chuyên Thái Bình Lần3) Cho f ( x) là hàm số liên tục trên  thỏa mãn D. I  6 . 2 2 f ( x )  f (2  x )  x.e x , x   . Tính tích phân I   f ( x )dx . 0 4 A. I  Câu 9: e 1 . 4 B. I  2e  1 . 2 C. I  e4  2 . D. I  e4  1 . (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng  0;    thỏa mãn A. f  2   e 2 . x 2 f   x   f  x   0 và f  x   0 , x   0;    . Tính f  2  biết f 1  e . B. f  2   3 e . C. f  2   2e2 . D. f  2   e . 1 Câu 10:  x3  2 x  ex3 2 x 1 1 e   0   e.2x dx  m  e ln n .ln  p  e    với m , n , p là các số nguyên dương. Tính tổng P  m  n  p A. P  5 . B. P  6 . C. P  8 . D. P  7 . (Lý Nhân Tông) Biết File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 59 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 11: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm, liên tục trên đoạn 1; 2  đồng thời 2 5 2  ln và 12 3 2 B. I  ln . 3 2 2 f ( x) 5 3 dx    ln . Tính I   f ( x)dx . 2  ( x  1) 12 2 1 1 1 3 2 3 3 3 2 A. I   2ln . C. I   2ln . D. I   2ln . 4 3 4 2 4 3 Câu 12: (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng (1; ) và thỏa mãn  xf ( x)  2 f ( x )  ln x  x 3  f ( x) , x  (1; ) ; biết f 3 e  3e . Giá trị f (2) thuộc thỏa mãn f (2)  0 , 2   f ‘( x) dx    khoảng nào dưới đây? 25 A.  12;  . 2   Câu 13: 27 B.  13;  . 2   29 D.  14;  . 2     , thoả mãn  2  (Nguyễn Khuyến)Cho hàm số f  x  có đạo hàm và liên tục trên 0;  2  f   x  cos 2 xdx  10 và f  0  3 . Tích phân 0  2  f  x  sin2 x d x bằng 0 A. 13 Câu 14: 23 C.  ;12  .  2  C. 7 D. 7 (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm y  f ( x) liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn B. 13 f  x   f 1  x   2 x 2  2 x  1 1 Tính tích phân I   f ( x) dx. 0 4 A. I  3 Câu 15: B. I  2 3 C. I  1 . 2 D. I  1 3 (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  f  3  x  . f  x   1 1 , x  0 ;3 và f  0   . Tính tích phân 2  f  x   1 đoạn  0;3 , thỏa mãn  x. f   x  3 I  dx 2 1  f  3  x   . f 2  x  3 1 A. I  . B. I  . 2 2 0 Câu 16: C. I  1 . D. I  5 . 2 (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   2 x. f  x   e x f  x  với f  x   0,x và f  0   1 . Khi đó f 1 bằng B. ee2 . C. e  1 . D. ee1 . 2 (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số f  x  thỏa mãn xf ‘  x  .ln x  f  x   2 x , x  1;   và A. e  1 . Câu 17: f  e   e2 . Tính tích phân I   e2 e 5 . D. I  2 . 3 Câu 18: (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 A. I  3 . 2 x dx . f  x B. I  1 . 2 C. I  1 thỏa mãn 3 f  x   x. f ( x)  x 2018 x   0;1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của  f  x  dx . 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 60 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 . 2018.2020 1 1 1 . C. . D. . 2019.2020 2020.2021 2019.2021 (Quỳnh Lưu Lần 1) Cho hàm số f  x  thỏa mãn các điều kiện f 1  2 , f  x   0, x  0 và A. Câu 19: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng x 2 B. 2  1 f ‘  x    f  x   x 2  1 với mọi x  0 . Giá trị của f  2  bằng 2 2 5 5 A. . B.  . C.  . D. . 5 5 2 2 Câu 20: (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho đa thức bậc bốn y  f ( x ) đạt cực trị tại x  1 và x  2 . Biết 2 2 x  f ( x) lim  2. Tích phân x 0 2x 3 A. . 2 Câu 21: 1  f ( x)dx bằng 0 1 B. . 4 C. 3 . D. 1 . 4 (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho f  x   4 xf  x 2   3 x . Tính tích phân 1 B. I   . 2 C. I  2 . 1 I   f  x  dx . 0 A. I  2 . Câu 22: 1 . 2 (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho f  x  có đạo hàm trên  và thỏa f 3 x  x 2 1 mãn 3 f   x  .e    A. I  Câu 23: D. I  9 . 2 2x  0 với mọi x  . Biết f  0   1 , tính tích phân I  2 f  x B. I  45 . 8 C. I  11 . 2 D. I  7  x. f  x  dx . 0 15 . 4 (Chuyên Vinh Lần 2) Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp n trên  thỏa mãn 1 f (1  x )  x f ( x )  2 x với mọi x   . Tính tích phân I   xf ( x )dx . 2 0 A. I  1 . Câu 24: B. I  1 . 1 C. I  . 3 1 D. I   . 3 (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  , f  0   0, f   0   0 và thỏa mãn hệ thức f  x  . f   x   18 x 2   3x 2  x  f   x    6 x  1 f  x  , x   . 1 Biết   x  1 e f  x dx  a.e 2  b , với a; b  . Giá trị của a  b bằng. 0 A. 1 . Câu 25: B. 2 . C. 0 . D. 2 . 3 (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Cho hàm số f  x  xác định và có đạo hàm f   x  liên  tục trên đoạn 1;3 , f  x   0 với mọi x  1;3 , đồng thời f   x  1  f  x   2 2   f  x    x  1    và f 1  1 . 3 Biết rằng  f  x  dx  a ln 3  b , a, b , tính tổng S  a  b . 2 1 A. S  0 . B. S  1 . C. S  2 . D. S  4 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 61 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 26: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (Sở Nam Định) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên  . Biết rằng các tiếp tuyến với đồ thị y  f  x  tại các điểm có hoành độ x   1 , x  0 , x  1 lần lượt tạo với chiều dương của trục O x các góc 30° , 45 , 60 . 0 Tính tích phân I   1 A. I  Câu 27: 1 3 f ‘  x . f ”  x  dx  4  f ‘  x   . f ”  x  dx . 25 . 3 0 B. I  0 . 1 . 3 C. I  D. I  3 1. 3   (THTT số 3) Cho hàm số f x xác định, liên tục trên  và thoả mãn     f x3  x  1  f  x3  x  1 1   6 x  12 x  6 x  2 , x   . Tính tích phân 6 4 2  f  x  dx . 3 A. 32. Câu 28: C. 36 . B. 4. D. 20 . (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn f   x   f  x    x  1 e 2 A. 3e12  1. x 2  2 x 1 2 , x  và f 1  e . Giá trị của f  5  bằng B. 5e17 . C. 5e17  1 . D. 3e12 . 6 Câu 29: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Cho 6 2  f  x  dx   x. f  x  dx  72 . Giá trị của 0 0 3  f  x  dx bằng 1 A. 5. Câu 30: B. 4. C. 3. (Ba Đình Lần2) Hàm số f  x  có đạo hàm đến cấp hai trên  thỏa mãn: D. 2. 2 f 2 1  x    x 2  3 f  x  1 . Biết rằng f  x   0, x   , tính I    2 x  1 f ”  x  dx . 0 A. 8 . Câu 31: B. 0 . C.  4 . D. 4 . 2 (Sở Lạng Sơn 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f ‘  x    f  x  . f ”  x   4 x  2 x với mọi 3 x  và f  0   0 . Giá trị của f 2 1 bằng 8 . 15 Câu 32: (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  \ 0 , biết A. 5 . 2 B. 9 . 2 C. 16 . 15 D. 2 x. f  x   1, x  0; f 1  2 và  x. f  x   1  x. f   x   f  x   0 với x   \ 0. Tính e  f  x  dx. 1 A. Câu 33: 1  2. e 1 B. 2  . e 1 C.  . e D. 1 1. e (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên  và 2 thỏa mãn f (0)  3 và f ( x )  f (2  x )  x 2  2 x  2, x   . Tích phân  xf ( x )dx bằng 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 62 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 4 2 5  10 . B. . C. . D. 3 3 3 3 Câu 34: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R và thỏa mãn f ( x )  4 xf ( x 2 )  2 x  1 với x  R . Tính tích phân A. 1 I   xf ( x )dx 0 A. 2 . Câu 35: B. 1 . C. 2 . D. 1 . (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm trên  thỏa mãn 1 5 f  x   7 f 1  x   3  x  2 x  , x  . Biết rằng tích phân I   x. f ‘  x dx   2 0 a a ( với là b b phân số tối giản). Tính T  8a  3b . B. T  0 . A. T  1 . D. T  16 . C. T  16 . 2  2 2  Câu 36: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn  ;1 và thỏa mãn 2 f ( x )  3 f ( )  5 x với x   ;1 . 3x 3  3  1 Tính tích phân  ln x. f ( x)dx 2 3 5 2 1 5 2 1 5 2 1 ln  . C.  ln  . D.  ln  3 3 3 3 3 3 3 3 3 (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Cho f  x  liên tục trên  và 3 f   x   2 f  x   x10 , x   . Tính A. Câu 37: 5 2 1 ln  . 3 3 3 B. 1 I   f  x dx . 0 B. I  A. I  55 . Câu 38: D. I  C. I  11 . 1 . 55 (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  1;    . Biết đẳng thức x ( x  1) 2 A. 3  3 . được thỏa mãn x   1;    . Tính giá trị f  0  . x2  3 B. 2  3 . C.  3 . D. Chưa đủ dữ kiện tính f  0 . 2 f  x   ( x 2  1) f   x   Câu 39: 1 . 11 (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn 2 2 f ( x )  3 f (1  x )  x 1  x , với mọi x[0;1]. Tích phân x  xf ‘  2  dx bằng 0 4 16 16 . C.  . D.  . 25 75 25 (Sở Quảng NamT) Cho hàm số f  x  không âm, có đạo hàm trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f 1  1 , A.  Câu 40: 4 . 75 B.  1  2 f  x   1  x  f   x   2 x 1  f  x   , x  0;1 . Tích phân 2  f  x  dx bằng 0 A. 1 . Câu 41: B. 2 . C. 1 . 3 D. 3 . 2 (SGD-Nam-Định-2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên  . Biết rằng các tiếp tuyến với đồ thị y  f  x  tại các điểm có hoành độ x   1 , x  0 , x  1 lần lượt tạo với chiều dương của trục Ox các góc 30° , 45 , 60 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 63 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 0 Tính tích phân I  1  f ‘  x . f ”  x  dx  4  f ‘  x  1 3 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng . f ”  x  dx . 0 3 1. 3  Câu 42: (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho hàm số f  x   0 có đạo hàm liên tục trên  0,  , đồng thời  3 A. I  25 . 3 B. I  0 . C. I  1 . 3 D. I  2  f  x  2   thỏa mãn f   0   0 ; f  0   1 và f   x  . f  x       f   x   .Tính T  f   3  cos x  3 1 3 3 A. T  . B. T  . C. T  . D. T  . 4 2 4 2 Câu 43: ( Chuyên Lam Sơn Lần 2) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 0,   . Biết f 0  2e và  f  x  luôn thỏa mãn đẳng thức f ‘ x   sin x. f  x   cos x.ecos x , x  0,   . Tính I   f  x .dx 0 (làm tròn đến phần trăm). A. I  6,55 . Câu 44: B. I  17,30 . C. I  10,31 . D. I  16,91 . (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số f  x  thỏa mãn 2  xf   x    1  x 2 1  f  x  . f   x   với mọi x dương. Biết f 1  f  1  1 . Giá trị f 2  2  bằng A. f 2  2  2ln 2  2 . B. f 2  2   2 ln 2  2 . D. f 2  2  ln 2  1 . C. f 2  2   ln 2  1 . Câu 45: (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f ( x)  0 , x [1;2] thỏa mãn 3 2 2 f ( x)  22  7 f (1)  1, f (2)  và  dx  . Tích phân  f ( x)dx bằng 15 x4 375 1 1 1 7 3 4 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Câu 46: (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hàm số y  f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên  thỏa mãn 3 f 2 ( x ). f ‘( x )  4 xe  f 3 2 ( x )  2 x  x 1 1 4089 4  1  f (0). Biết rằng I   (4 x  1) f ( x )dx  0 a là phân số tối b giản. Tính T  a  3b A. T  6123. B. T  12279. C. T  6125. D. T  12273. Câu 47: (THPT-Toàn-Thắng-Hải-Phòng) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn 1 f 1  0 , 2 3 0  f   x  dx  2  2 ln 2 và 1 f  x   x  1 2 dx  2 ln 2  0 3 . Tích phân 2 1  f  x  dx bằng 0 1  2 ln 2 3  2 ln 2 3  4 ln 2 1  ln 2 . B. . C. . D. . 2 2 2 2 (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho hàm số f ( x) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [0;1]. Giá trị A. Câu 48: 1 nhỏ nhất của biểu thức M    2 f ( x)  3x  f ( x) dx    4 f ( x)  x  0 A.  1 . 24 1 1 B.  . 8 xf ( x) dx bằng 0 C.  1 . 12 1 D.  . 6 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 64 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 49: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (Đặng Thành Nam Đề 10) Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên đoạn 1;e  thỏa mãn 1 1 và x. f   x   xf 2  x   3 f  x   , x  1;e . Giá trị của f  e  bằng 2 x 3 4 3 2 A. . B. . C. . D. . 2e 3e 4e 3e Câu 50: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Cho hàm số f  x  thỏa mãn hai điều kiện f 1  3 2  f  x    3×2  2 x  1  4 x. f  x  , x  và  2 f  x dx  12 . Giá trị  f  x dx 1 A. 6 . B. 7 . bằng 0 C. 8 . D. 5 . GTLN, GTNN, BĐT – TÍCH PHÂN x  t 2  t  dt trên đoạn  1;1 . Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất của G  x   Câu 2: 1 5 5 A. . B. 2 . C.  . D. . 6 6 6 x2 3 Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e  x  4 x  . Hàm số F  x  có bao nhiêu điểm 1 cực trị? A. 2 . Câu 3: C. 1. B. 3 . D. 4 . Biết rằng F  x  là một nguyên hàm trên  của hàm số f  x   2017 x  x2  1 2018 thỏa mãn F 1  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của F  x  . A. m   1 . 2 B. m  1  2 2017 . 2 2018 C. m  1  2 2017 . 2 2018 t Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f  t    2 D. m  1 . 2  3 cos 2 x  2sin 2 x dx trong khoảng  0;   . 0 A. M  3 3 . Câu 5: B. M  3 . D. M  2 . C. M  2 3 .  Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn f   x   x  1 , x    và f 1  1 . Tìm giá trị nhỏ x nhất của f  2  . B. 2 . A. 3 . C. 5  ln 2 . 2 D. 4 . e2 x Câu 6: Gọi x1 , x2 lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số f  x    t ln tdt . Tính S  x  x . 1 2 ex Câu 7: A. ln 2e . B. ln 2 . C.  ln 2 . D. 0 . 2 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên 1;   thỏa mãn f 1  1 và f   x   3 x  2 x  5 trên 1;   . Tìm số nguyên dương lớn nhất m điều kiện đề bài. A. m  15 . B. m  20 . sao cho min f  x   m với mọi hàm số y  f  x  thỏa x3;10 C. m  25 . D. m  30 . x Câu 8: Xét hàm số F  x    f  t  dt trong đó hàm số y  f  t  có đồ thị như hình vẽ bên. Trong các giá trị 2 dưới đây, giá trị nào là lớn nhất? File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 65 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. F 1 . B. F  2  . Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C. F  3 . D. F  0  . 1 Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của S  x 2  ax dx với a   0,1 0 A. 2 2 . 6 2 1 . 3 B. C. 2 2 . 3 2 1 6 D. b Câu 10: Cho a  b  ab  4 và a  b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức I   x 2   a  b  x  ab dx a B. 12 . A. 4 3 . C. 2 3 . D. 48 b Câu 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của I  2  x   2  m  x  2 dx trong đó a  b là hai nghiệm của phương trình a 2 x   2  m x  2  0 A. 128 . 9 B. 8 2 . 3 C. 8 . D. 2 2 1 Câu 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của S  x 3  ax dx với a   0,1 0 A. 2 2 . 6 B. 1 . 8 C. 1 . 4 D. 2 2 8 b Câu 13: Cho a  b  ab  4 và a  b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức I  2   x  a   x  b  dx a A. 12. Câu 14: B. 0. 2  2 Cho  a  b   a  b 2 2  C. 64 . 3 D. 49 3 b  4 và a  b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức I   x 2   a  b  x  ab dx a A. 16 . 9 B. 9 . 16 C. 4 . 3 D. 3 4 2m Câu 15: Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của S   x 3  4mx 2  5m 2 x  2m3 dx với m  1;3 . m Mệnh đề nào dưới đây đúng A. a  b  Câu 16: 41 . 6 B. a  b  1 . C. a  b  21 . 4 D. a  b  2 m là tham số thuộc đoạn 1;3 . Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2m P 2   x  m   x  2m  2 dx . Tính a  b  m File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 66 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 31 . B. 36 . 2 m2  2 Câu 17: Giá trị nhỏ nhất của P   m Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 122 . 15 C. D. 121 4 a x2  2  m2  m  1 x  4  m3  m  dx là S  ; a, b nguyên dương và b a tối giản. Tính T  a  b b A. 7. Câu 18: B. 337. C. 25. D. 91  1 1  2 2018 A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn 0;1 . Tìm m  min    x. f  x  dx   x . f  x  dx  0 0  2017 1 C. . D. 2018 16140 1  1  2 A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn 0;1 . Tìm M  m in   x. f  x  dx+  x 2013 . f  x  dx   f A  0 0  1 503 2012 1 A. . B. . C. . D. 2014 2014 2013 8.2013  Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f  x   f  x   1 , x  và f  0   0 . f A 1 A. . 2019 Câu 19: Câu 20: 1 B. . 16144 Tìm giá trị lớn nhất của f 1 A. Câu 21: 2e  1 . e B. C. e 1 . D. 2e  1. A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn 0;1 và nhận giá trị không âm trên đoạn 0;1 . Tìm m nhỏ 1 nhất sao cho   f 2018 0 1  x dx  m. f  x  dx f  A 0 1 . D. 2018 2018 ‘ Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm f  x  liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn B. 1. A. 2018 . Câu 22: e 1 . e C. 1 f 1  2018. f  0  . Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức M   0 A. ln 2018 . B. 2ln 2018 . 1 1  f  x   C. 2e . 2 dx    f ‘  x   dx 2 0 D. 2018e Câu 23: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn Câu 24:  f ‘  x  f 1  e. f  0   e;    dx  1 . Tìm mệnh đề đung f x   0  1 2 1 1 1 1 A. f    e . B. f    e . C. f    e . D. f    2 2 2  2  2e ‘ Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm f  x  liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 2 1 1 f 1  e. f  0  . Biểu thức   f  x  0 A. f 1  2e . e 1 1 1   B. f 1  2 dx    f ‘  x   dx  2 . Mệnh đề nào đúng 2 0 2e2 . e2  1 C. f 1  2 e  2 2 e  2 . D. f 1  2 e 1 e 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 67 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 25: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  1;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f 1 mọi x   1;1 và  Câu 26: 1 2 2  x f  x  dx ? 1 B.  1 4 C.  2 3 1 1  xf  x  dx  3 . Tìm giá trị lớn nhất của  x f  x  dx ? 0 0 31 B. 16 3 17 8 Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau: max f  x   6 và A. 2 C. 4 3 D. 0;1 1 1 2 3  x f  x  dx  0 . Giá trị lớn nhất của tích phân  x f  x  dx 0 bằng bao nhiêu? 0  3 3 2 4  2 3 4 1 D. 16 24 4 2018 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn 3 f  x   xf ‘  x   x với mọi A. Câu 28: D. 1 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 đồng thời thỏa mãn f  x    8;8 với mọi x   0;1 và Câu 27:  x   1 với 1 f  x  dx  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 A.  2 1 8 B. C. 1 x   0;1 . Giá trị nhỏ nhất của tích phân  f  x  dx bằng: 0 Câu 29: Câu 30: A. 1 2021 2022 B. 1 2018  2021 C. 1 2018  2019 D. 1 2019  2021 1 Cho hàm số y  f  x  dương và liên tục trên 1;3 thỏa mãn max f  x   2; min f  x   và biểu 1;3 1;3 2 3 3 3 1 dx đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tính  f  x  dx ? thức S   f  x  dx  f  x 1 1 1 A. 7 2 B. 5 2 C. 7 5 D. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  và f   x   x 4  3 5 2  2 x x  0 và f 1  1 . Khẳng x2 định nào sau đây đúng? A. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên  0;1 . B. Phương trình f  x   0 có đúng 3 nghiệm trên  0;   . C. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên 1;2  . C. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên  2;5  . Lời giải Chọn C   2 x3  1  1 2 x 6  2 x3  2 4   0 , x  0 . f  x  x  2  2x  x x2 x2  y  f  x  đồng biến trên  0;   .  f  x   0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng  0;   1 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 68 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Mặt khác ta có: 2 2 2 21 2    2 x  0 , x  0   f   x  dx    x 4  2  2 x  dx  2 x x 5  1 1 21 17 .  f  2   f 1   f  2  5 5 Kết hợp giả thiết ta có y  f  x  liên tục trên 1; 2  và f  2  . f 1  0  2  . f   x   x4  Từ 1 và  2  suy ra phương trình f  x   0 có đúng 1 nghiệm trên khoảng 1; 2  . f  x thỏa mãn f   x   0 x  1;2 , 3  f   x   7 f 1  1 và  dx  . Biết , 4 x 375 1 2 Câu 31: Cho hàm số Câu 32: 22 , tính I   f  x  dx . f 2  15 1 71 6 73 37 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 60 5 60 30 Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời ta đặt 2 x 1 g  x   1   f  t  dt . Biết g  x   f  x  với mọi x   0;1 . Tích phân 0 1  g  x dx có giá trị lớn 0 nhất bằng: A. Câu 33: 1 3 B. 1 C. 2 2 D. 1 2 Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời ta đặt x 1 g  x   1  3 f  t  dt . Biết g  x   f 2  x  với mọi x   0;1 . Tích phân 0 g  x dx có giá trị lớn  0 nhất bằng: A. Câu 34: 5 2 B. 4 3 C. 7 4 D. Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời ta đặt x2 1 g  x   1   f  t  dt . Biết g  x   2 xf  x 2  với mọi x   0;1 . Tích phân 0 Câu 35:  g  x dx có giá trị lớn 0 nhất bằng: A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 Cho hàm số f  x  có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  0   1 và 1 1 2 1  3  f   x   f  x     dx  2  9 0 0 3 5 A. . B. . 2 4 Câu 36: 9 5 1 3 f   x  f  x  dx . Tính tích phân   f  x   dx : 0 5 C. . 6 D. Cho hàm số y  f  x  liên tục, không âm trên  thỏa mãn f  x  . f   x   2 x 7 . 6  f  x  2  1 và f  0   0 . Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  f  x  trên đoạn 1;3 lần lượt là A. M  20 ; m  2 . B. M  4 11 ; m  3 . C. M  20 ; m  D. M  3 11 ; m  3 . 2. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 69 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 37: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời ta đặt x 1 3 g  x   1  2  f  t  dt . Biết g  x    f  x   với mọi x   0;1 . Tích phân 0  3 2  g  x   dx có giá trị 0 lớn nhất bằng: 5 3 A. B. 4 C. 4 3 D. 5 1 Câu 38: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0; 1 thỏa mãn  xf  x  dx  0 và max f  x   1. Tích phân [0; 1] 0 1 I   e x f  x  dx thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? 0   A.  ;  5 . 4 3 2  5 3 .  4 2   B.  ; e  1  . C.   ; D.  e  1;    . 1 Câu 39: 2 Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 0;1 thoả mãn x f  x  dx  0 và max f  x   6. Giá trị  [0;1] 0 1 3 lớn nhất của tích phân x f  x  dx bằng  0  3 2 3 4 1 A. . 8 B. 4 . C. 2 3 4 . 16 D. 1 . 24 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH A – KIẾN THỨC CHUNG a – Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn a; b , trục b hoành và hai đường thẳng x  a , x  b được xác định: S  f ( x) dx a y y  f (x) O a c1 c2 c3 y  f ( x)  y  0 (H )  x  a  x  b b x b S   f ( x ) dx a b – Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) liên tục trên đoạn b a; b và hai đường thẳng x  a , x  b được xác định: S  f ( x)  g ( x) dx a y  (C 1 ) : y  f1 ( x )   (C ) : y  f 2 ( x ) (H )  2 x  a x  b  (C 1 ) (C 2 ) b O a c1 c2 b x S  f 1 ( x )  f 2 ( x ) dx a Chú ý: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 70 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng b b – Nếu trên đoạn [a; b] , hàm số f ( x ) không đổi dấu thì:  f ( x) dx  f ( x)dx a a – Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối – Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g ( y ) , x  h( y ) và hai đường thẳng d y  c , y  d được xác định: S  g ( y )  h( y ) dy c DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ PHƯƠNG PHÁP: Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới b hạn bởi các đường y  f ( x), y  g ( x), x  a, x  b là S  f ( x)  g ( x) dx . a Phương pháp giải toán +) Giải phương trình f ( x )  g ( x) (1) b +) Nếu (1) vô nghiệm thì S   f ( x)  g ( x) dx . a  b +) Nếu (1) có nghiệm thuộc. a; b . giả sử  thì S   f ( x)  g ( x) dx  f ( x)  g ( x) dx a  Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f ( x )  g ( x ) trên đoạn a; b rồi dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân. Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới  hạn bởi các đường y  f ( x), y  g ( x ) là S  f ( x )  g ( x) dx . Trong đó  ,  là nghiệm nhỏ  nhất và lớn nhất của phương trình f ( x)  g ( x) a      b . Phương pháp giải toán Bước 1. Giải phương trình f ( x)  g ( x) tìm các giá trị  ,  .  Bước 2. Tính S  f ( x )  g ( x) dx như trường hợp 1.  B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là. A. 8 . 3 B. 11 . 3 C. 7 . 3 D. 10 . 3 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 71 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 2: Câu 3: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 3  3x 2 , trục hoành và hai đường thẳng x  1 , x  4 bằng 51 53 49 55 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  x 3 , y  x 2  4 x  4 và trục Ox (tham khảo hình vẽ) được tính theo công thức nào dưới đây? 2 A.  1 x3   x 2  4 x  4  dx . 0 1 C. 0 2 3 1 1  x dx    x 0 Câu 4: 2 B.   x 3dx    x 2  4 x  4  dx . 2  4 x  4  dx . 1 D. 2  x dx    x 3 0 2  4 x  4  dx . 1 (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị gồm một phần đường thẳng và một phần đường parabol có đỉnh là gốc tọa độ O như hình 3 vẽ. Giá trị của  f  x  dx bằng: 3 26 38 4 28 . B. . C. . D. . 3 3 3 3 (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số đa thức bậc ba y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d (a  0) có đồ thị như A. Câu 5: hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  và trục hoành. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 72 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 19 27 . C. . D. 8. 4 4 (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Trong mặt phẳng cho Parabol ( P) : y  x 2 và đường tròn (C ) : x 2  y 2  2 (xem hình vẽ bên). Tính diện tích phần tô đậm (làm tròn đến chữ số hàng phần trăm). A. 6 . Câu 6: Câu 7: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng B. A. 1,19 B. 1,90. C. 1,81. D. 1,80. (Sở Quảng NamT) Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol  P  : y  x 2 , tiếp tuyến với  P tại điểm M  2; 4  và trục hoành. Diện tích của hình phẳng  H  bằng 2 8 1 4 . B. . C. . D. . 3 3 3 3 x Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường y  e ; y  0; x  0 và x  ln 4 . Đường thẳng x  k ,  0  k  ln 4  chia (H) thành hai phần có diện tích S1 và S2 như hình vẽ bên. Tìm k để A. Câu 8: S1  2S2 . 2 8 B. k  ln 2 . C. k  ln . D. k  ln 3 . ln 4 . 3 3 x2 Câu 9: Parabol y  chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng 2 2 thành hai phần có diện 2 S tích là S1 và S2 , trong đó S1  S 2 . Tìm tỉ số 1 . S2 3  2 3  2 3  2 9  2 A. B. C. D. . . . . 21  2 9  2 12 3  2 Câu 10: (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2x đồ thị của hai hàm y  x 2 và y  là S  a  b ln 2 với a , b là những số hữu tỷ. Tính a  b x 1 ? 1 2 A. . B. 2 . C. . D. 1. 3 3 Câu 11: (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Tính diện tích của phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ sau: A. k  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 73 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 10 13 11 . B. 4 . C. . D. . 3 3 3 (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn các A. Câu 12: đường y  x x2  1 ; y  0 x  1 . 2 2 1 3 2 32 2 3 2 1 . B. S  . C. S  . D. S  . 3 3 3 3 (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ A. S  Câu 13: thị hàm số y  x  4 , trục hoành và trục tung. Biết đường thẳng d : ax  by  16  0 đi qua A  0; 2  và chia  H  thành hai phần có diện tích bằng nhau. Giá trị a  b bằng A. 5. B. 6. C. 2. D. 4. Câu 14: (Ngô Quyền Hà Nội) Diện tích miền hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 x , y   x  3 , y  1 bằng 1 1 1 1 1 3.  . 1.  2. A. B. C. D. ln 2 ln 2 2 ln 2 ln 2 Câu 15: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số y  x 2 x 2  1 , trục Ox và đường thẳng x  1 bằng  a b  ln 1  b  với a , b , c là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của a  b  c là c A. 11 . B. 12 . C. 13 . D. 14 . 2 Câu 16: (Quỳnh Lưu Nghệ An) Cho parabol  P  : y  x và hai điểm A, B thuộc  P  sao cho AB  2 . Diện tích lớn nhất của hình phẳng giới hạn bởi  P  và đường thẳng AB là 3 3 2 4 B. . C. . D. . . 4 2 3 3 (HSG Bắc Ninh) Cho hàm số y  f ( x) là hàm số đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ. A. Câu 17: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  f ( x); y  f ‘( x) có diện tích bằng File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 74 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 13 127 127 107 . . B. . C. D. . 40 10 5 5 (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hàm số y  ax 4  bx 2  c có đồ thị  C  , biết rằng  C  đi qua A. Câu 18: điểm A  1;0 . Tiếp tuyến  tại A của đồ thị  C  cắt  C  tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi  , đồ thị  C  và hai đường thẳng x  0 ; x  2 có diện tích bằng 56 (phần gạch chéo trong hình vẽ). 5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  , đồ thị  C  và hai đường thẳng x  1 ; x  0 . 2 2 1 1 . B. . C. . D. . 5 9 9 5 4 2 2 Câu 19: (Thị Xã Quảng Trị) Cho hàm số y  ax  bx  c và hàm số y  mx  nx  p có đồ thị là các đường cong như hình vẽ bên (đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y  ax 4  bx 2  c ). Diện tích của hình phẳng được tô đậm bằng A. 32 64 104 52 . B. . C. . D. . 15 15 15 15 (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho đồ thị C  : y  x . A. Câu 20: Gọi M là điểm thuộc C  , A 9 ; 0 . Gọi  S1  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C  , đường thẳng x  9 và trục hoành. S 2  là diện tích tam giác OMA . Tọa độ điểm M để S1  2 S2 là   A. M 3 ; 3 . B. M 4 ; 2 .   C. M 6 ; 6 . D. M 9 ; 3 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 75 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 21: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng xm ( với m  0 x 1 ) có đồ thị là  C  . Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  và hai trục tọa độ. (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho hàm số y  Biết S  1 , giá trị thực của m gần nhất với số nào sau đây: A. 0,56 . B. 0, 45 . C. 4, 4 . Câu 22: D. 1,7 . x (Cẩm Giàng) Cho hình thang cong  H  giới hạn bởi các đường y  e , y  0 , x  0 , x  ln 4 . Đường thẳng x  k  0  k  ln 4  chia  H  thành hai phần có diện tích là S1 và S 2 như hình vẽ bên. Tìm k để S1  2 S 2 . 4 8 B. k  ln . C. k  ln 2 . D. k  ln 3 . ln 2 . 3 3 (KHTN Hà Nội Lần 3) Cho hàm số y  x3  ax 2  bx  c có đồ thị  C  . Biết rằng tiếp tuyến d A. k  Câu 23: của  C  tại điểm A có hoành độ bằng  1 cắt  C  tại điểm B có hoành độ bằng 2 (xem hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và  C  (phần gạch chéo trong hình) bằng 25 13 27 11 . B. . C. . D. . 4 2 4 2 Câu 24: (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho f ( x )  x 3  ax 2  bx  c và g ( x)  f (dx  e) với a, b, c, d , e   có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y  f ( x). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y  f ( x) và y  g ( x) gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 76 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A. 4,5 . B. 4, 25 . C. 3,63 . D. 3, 67 . Câu 25: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên  và hàm số y  g ( x)  x. f x 2 có đồ thị trên đoạn  0; 2 như hình vẽ.   4 5 Biết diện tích miền tô màu là S  , tính tích phân I   f ( x)dx. 2 1 5 5 A. I  5 . B. I  . C. I  . D. I  10 . 2 4 Câu 26: (THTT lần5) Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị  C  như hình vẽ. Biết đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại 3 điểm có hoành độ x1 , x2 , x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng và x3  x1  2 3 . Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  và trục Ox là S . Diện tích S1 của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x   1 , y   f  x   1 , x  x1 và x  x3 bằng A. S  2 3 . B. R  S  4 3 . C. 4 3 . D. 8 3 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 77 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 27: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Hình phẳng  H  được giới hạn bởi đồ thị  C  của hàm đa thức bậc ba và parabol  P  có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm của hình vẽ có diện tích bằng 37 7 11 5 . B. . C. . D. . 12 12 12 12 (Đặng Thành Nam Đề 2) Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên đoạn  5;3 có đồ thị A. Câu 28: như hình vẽ bên dưới. Biết diện tích các hình phẳng  A  ,  B  ,  C  ,  D  giới hạn bởi đồ thị hàm 1 số f  x  và trục hoành lần lượt bằng 6;3;12; 2 . Tích phân   2 f  2 x  1  1 dx bằng 3 A. 27 . B. 25 . C. 17 . D. 21 . Câu 29: (TTHT Lần 4) Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ bên. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 78 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y  f   x  trên đoạn  2 ; 1 và 1 ; 4 lần lượt bằng 9 và 12. Cho f 1  3. Giá trị của biểu thức f  2   f  4  bằng A. 21. B. 9. C. 3. D. 3 . Câu 30: (Hậu Lộc Thanh Hóa) Tìm số thực a để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm x 2  2ax  3a 2 a 2  ax và có diện tích lớn nhất. y y  1  a6 1 a6 1 A. 3 . B. 1. C. 2. D. 3 3 . 2 x2 y2 Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho  E  có phương trình 2  2  1,  a, b  0  và đường tròn a b 2 2  C  : x  y  7. Để diện tích elip  E  gấp 7 lần diện tích hình tròn  C  khi đó A. ab  7 . B. ab  7 7 . C. ab  7 . D. ab  49 . Câu 32: (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Người ta dự định trồng hoa Lan Ý để trang trí vào phần tô đậm (như hình vẽ). Biết rằng phần tô đậm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai 1 đồ thị y  f  x   ax 3  bx 2  cx  và y  g  x   dx 2  ex  1 trong đó a, b, c, d , e  . Biết 2 rằng hai đồ thị đó cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng 3;  1; 2, chi phí trồng hoa là 800000 đồng/1m2 và đơn vị trên các trục được tính là 1 mét. Số tiền trồng hoa gần nhất với số nào sau đây? (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng). A. 4217000 đồng. B. 2083000 đồng. C. 422000 đồng. D. 4220000 đồng. 3 2 Câu 33: (Chuyên Thái Nguyên) Cho hàm số y  x  ax  bx  c  a , b, c    có đồ thị  C  và y  mx 2  nx  p  m, n, p    có đồ thị  P  như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi C  và  P  có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây? File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 79 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A.  0;1 . Câu 34: B. 1; 2  . Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C.  2;3 . D.  3;4  . (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số f  x   x  ax  b và g  x   f  cx 2  dx  với 3 a, b, c, d   có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là của hàm số y  f  x  . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y  f  x  và y  g  x  gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 7,66 . Câu 35: B. 4, 24 . C. 3,63 . D. 5,14 . 2 (Đặng Thành Nam Đề 15) Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol y   x  3 , trục hoành và trục tung. Gọi k1 , k2 ( k1  k2 ) lần lượt là hệ số góc của các đường thẳng đi qua điểm A  0;9  và chia  H  thành ba phần có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ bên). File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 80 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Giá trị của k1  k 2 bằng 13 25 27 A. . B. 7 . C. . D. . 2 4 4 Câu 36: (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Cho đồ thị  C  của hàm số y  x3  3x 2  1 . Gọi  d  là tiếp tuyến của  C  tại điểm A có hoành độ xA  a . Biết diện tích 27 hình phẳng giới hạn bởi  d  và  C  bằng , các giá trị của a thỏa mãn đẳng thức nào? 4 A. 2a 2  a  1  0 . B. a 2  2a  0 . C. a 2  a  2  0 . D. a 2  2a  3  0 . Câu 37: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x 2  1 và y  k , 0  k  1. Tìm k để diện tích của hình phẳng  H  gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên. 1 C. k  . D. k  3 4  1. 2 Câu 38: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên đoạn  3;3 . Biết rằng diện tích hình phẳng S1 , A. k  3 4. B. k  3 2  1. S 2 giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  và đường thẳng y   x  1 lần lượt là M , m . Tính tích 3 phân  f  x  dx bằng 3 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 81 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A. 6  m  M . B. 6  m  M . C. M  m  6 . D. m  M  6 . 3 2 Câu 39: (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho hàm số f ( x)  ax  bx  cx  d , có đồ thị (C ) và M là một điểm bất kì thuộc (C ) sao cho tiếp tuyến của (C ) tại M cắt (C ) tại điểm thứ hai N ; tiếp tuyến của (C ) tại N cắt (C ) tại điểm thứ hai P . Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng MN và (C ) ; đường thẳng NP và (C ) . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. S1  8S2 . B. S 2  8S1 . C. S 2  16 S1 . D. S1  16 S 2 . Câu 40: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số y  f  x  2 có đồ thị  C  nằm trên trục hoành. Hàm số y  f  x  thỏa mãn các điều kiện  y   y. y  4 5 1 và f  0   1; f    . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  và trục hoành gần nhất với số 4 2 nào dưới đây? A. 0,95. B. 0,96. C. 0,98. D. 0,97. Câu 41: (THẠCH THÀNH I – THANH HÓA 2019) Xác định a  0 sao cho diện tích giới hạn bởi hai 4 a 2  2 ax  x 2 x2 parabol: y  , có giá trị lớn nhất. y  1 a4 1 a4 A. a  4 3 . B. a  3 3 . C. a  3 4 . D. a  4 5 . Câu 42: Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn  O; R  và  O; R  , OO  4R . Trên đường tròn  O; R  lấy hai điểm A , B sao cho AB  a 3 . Mặt phẳng  P  đi qua A , B cắt đoạn OO và tạo với đáy một góc 60 ,  P  cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết diện đó bằng  4  2  2  4 3 2 3 2 3 2 3 2     A.  B.  C.  D.   R .  R .  R .  R . 3 2 3 4 3 4 3 2         Câu 43: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình bên, trong đó đường kính của nửa đường tròn lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ.   300 . Diện tích hình (H) Biết rằng nửa đường tròn đường kính AB có bán kính bằng 4 và BAC (phần tô đậm) bằng: A. 2  2 3 C. 10 2 3 3 B. 2  3 3 D. 7 3 3 3 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 82 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 44: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 2 x chia hình phẳng giới hạn bởi elip có 24 x2 y 2 S   1 thành hai phần có diện tích lần lượt là S1 , S2 với S1  S2 . Tỉ số 1 phương trình 16 1 S2 bằng 4  3 4  2 4  3 8  3 A. . B. . C. . D. . 12 12 8  3 8  2 (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Biết rằng parabol y  Câu 45: Cho parabol  P  : y  x 2 và một đường thẳng d thay đổi cắt  P  tại hai điểm A , B sao cho AB  2018 . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  và đường thẳng d . Tìm giá trị lớn nhất S max của S. 20183  1 20183 20183  1 20183 . B. S max  . C. S max  . D. S max  . 6 3 6 6 Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường y  4  x 2 , y  2 , y  x có diện tích là S  a  b. . Chọn kết quả đúng: A. a  1 , b  1. B. a  b  1 . C. a  2b  3 . D. a 2  4b 2  5 . Tìm giá trị của tham số m sao cho: y  x 3  3x  2 và y = m(x+2) giới hạn bởi hai hình phẳng có cùng diện tích A. 0 < m < 1. B. m = 1. C. 1  m  9 . D. m = 9  5 1 1 Cho hàm số y  x 3  mx 2  2 x  2m  có đồ thị (C). Tìm m  0;  sao cho hình phẳng  6  3 3 giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng x  0, x  2, y  0 và có diện tích bằng 4. 1 1 1 A. m  . B. m  . C. m  . D. m  1 4 3 2 x4 Cho hàm số y   2m 2 x 2  2 . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị 2 của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương với trục hoành 64 qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng là 15  2   1  ; 1 . A.  . B. 1 . C.  D.  ; 1 .  2   2  A. S max  Câu 46: Câu 47: Câu 48: Câu 49: 4 2 Câu 50: Cho hàm số y  x  4 x  m có đồ thị là (C). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y<0 và trục hoành, S’ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y>0 và trục hoành. Với giá trị nào của m thì S  S ‘ ? 20 D. m  1 9 Câu 51: Cho parabol  P  : y  x 2  1 và đường thẳng d : y  mx  2 . Biết rằng tồn tại m để diện tích hình A. m  2 B. m  2 9 C. m  phẳng giới hạn bởi  P  và d đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó. 4 2 A. S  0. B. S  . C. S  . D. S  4. 3 3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VỚI HÀM SỐ File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 83 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 1: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (Sở Phú Thọ) Cho hàm số f  x  . Đồ thị của hàm số y  f   x  trên  3; 2 như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol y  ax 2  bx  c ). Biết f  3  0 , giá trị của f  1  f 1 bằng 23 31 35 9 . B. . C. . D. . 6 6 3 2 (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên A. Câu 2:  , đồ thị hàm y  f   x  như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào trong các phương án A, B, C , D dưới đây là đúng? Câu 3: A. f  2   f  1  f  0  . B. f  0   f  1  f  2  . C. f  0   f  2   f  1 . D. f  1  f  0   f  2  . (Hùng Vương Bình Phước) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  2;1 . Hình bên là đồ thị của hàm số y  f   x  . Đặt g  x   f  x   Câu 4: x2 . 2 Khẳng định nào sau đây đúng? A. g1  g2  g0. B. g0  g1  g2. C. g2  g 1  g0. D. g0  g2  g 1. (Sở Lạng Sơn 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên  . Biết rằng đồ thị hàm số y  f   x  có đồ thị hàm số như hình dưới đây. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 84 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Lập hàm số g  x   f  x   x 2  3 x . Mệnh đề nào sau đây đúng? Câu 5: A. g  1  g 1 . B. g  1  g 1 . C. g  1  g  2  . D. g  1  g  2  . Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị hình bên. Tính tích phân 2 I   f   2 x  1 dx . 1 4 3 2 2 -1 O 1 3 -1 2 Câu 6: A. I  2 . B. I  1 . C. I  1 . D. I  2 . (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số y  f ( x ) liên tục, có đạo hàm trên  ;   và có đồ thị như 1 hình vẽ. Tích phân I   f   5x  3 dx bằng 0 A. 9 . 5 B. 9 . C. 3 . D. 2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 85 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 7: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ‘( x) liên tục trên R và có đồ thị của 3 hàm số f ‘( x) như hình vẽ, Biết 0 3 1   x  1 f ‘( x)dx  a và  0 f ‘( x ) dx  b ,  f ‘( x) dx  c , f (1)  d 1 3 . Tích phân  f ( x)dx bằng 0 Câu 8: A.  a  b  4c  5d . B.  a  b  3c  2 d . C.  a  b  4c  3d . D.  a  b  4c  5d . (Đặng Thành Nam Đề 2) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm cấp hai f ( x ) liên tục trên  và có đồ thị hàm số f ( x ) như hình vẽ bên. Biết rằng hàm số f ( x ) đạt cực đại tại điểm x  1; đường thẳng  trong hình vẽ bên là tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) tại điểm có hoành độ x  2 . ln 3  ex 1  Tích phân  e f    dx bằng  2  0 x Câu 9: A. 8 . B. 4 . C. 3 . D. 6 . (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho hàm số f  x  liên tục có đồ thị như hình bên dưới File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 86 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 Biết F ( x)  f ( x), x [5;2] và  f  x  dx  3 145 A.  . 6 89 B.  . 6 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 14 . Tính F  2   F  5  . 3 145 89 C. . D. . 6 6 b Câu 10: (CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT 2019 lần 1) Cho P     x 4  5 x 2  4  dx có giá trị lớn nhất a với ( a  b; a , b   ). Khi đó tính S  a 2  b 2 A. S  5 . B. S  8 . C. S  4 . D. S  7 . Câu 11: (Kim Liên) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên  , đồ thị hàm số y  f ( x) như hình vẽ. Biết f (a)  0 , tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y  f ( x) với trục hoành. A. 3 . B. 4 . C. 0 . D. 2 . Câu 12: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn  3;3 và đồ thị y  f ‘( x) như hình vẽ. Đặt g ( x )  2 f ( x )  x 2  4 . Biết f (1)  24 . Hỏi g ( x)  0 có bao nhiêu nghiệm thực? A. 1 . B. 4 . C. 2 . D. 0 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 87 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 13: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số y  f x  có đạo hàm liên tục trên  . Hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên dưới: y 4 2 3 2 1 O 1 2 3 4 5 x 6 7 2 Số nghiệm thuộc đoạn 2 ; 6 của phương trình f x   f 0 là   A. 5 B. 2 C. 3 D. 4 4 2 Câu 14: (Đặng Thành Nam Đề 2) Cho hàm số f  x   ax  bx  c có đồ thị  C  . Gọi    : y  dx  e là tiếp tuyến của  C  tại điểm A có hoành độ x  1. Biết  cắt  C  tại hai điểm phân biệt 2 M , N ( M , N  A) có hoành độ lần lượt là x  0; x  2. Cho biết   dx  e  f ( x)  dx  0 28 . Tích 5 0 phân   f ( x)  dx  e  dx bằng: 1 2 1 2 1 . B. . C. . D. . 5 4 9 5 4 Câu 15: (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho hai hàm số f ( x)  ax  bx3  cx2  dx  e và g ( x)  mx3  nx 2  px  1 với a , b , c , d , e , m , n , p , q là các số thực. Đồ thị của hai hàm số y  f ( x) , y  g ( x) như hình vẽ bên. Tổng các nghiệm của phương trình f ( x)  q  g ( x)  e bằng A. 13 13 4 4 . B.  . C. . D.  . 3 3 3 3 (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục A. Câu 16:  3;3 và đồ thị hàm số y  f   x  như 2 x  1  g  x  f  x  . Kết luận nào sau đây là đúng? trên đoạn hình vẽ bên. Biết f (1)  6 và 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 88 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng y 4 2 3 O 1 2 3 x A. Phương trình g  x   0 có đúng hai nghiệm thuộc  3;3 . B. Phương trình g  x   0 không có nghiệm thuộc  3;3 . C. Phương trình g  x   0 có đúng một nghiệm thuộc  3;3 . D. Phương trình g  x   0 có đúng ba nghiệm thuộc  3;3 . Câu 17: Chọn ngẫu nhiên hai số thực a, b  0;1 . Tính xác suất để phương trình 2 x3  3ax 2  b  0 có tối đa hai nghiệm. 1 1 2 3 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 4 2 3 4 Câu 18: (Sở Hưng Yên Lần1) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. 4 2 Giá trị của biểu thức I   f ‘  x  2  dx   f ‘  x  2  dx bằng 0 0 A.  2 . B. 2 . C. 6 . D. 10 . Câu 19: (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  x   0, x   . Biết f  0   1 và f ‘ x f  x  2  2 x . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x   m có hai nghiệm thực phân biệt. A. 0  m  1 . B. m  e . C. 0  m  e . D. 1  m  e . 4 Câu 20: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số f ( x )  ax  bx 2  a, b    có đồ thị hàm số f ‘( x) như hình vẽ bên dưới. Biết rằng diện tích phần tô đậm bằng 1 . Phương trình 8 8 f ( x)  1  0 có bao nhiêu nghiệm? File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 89 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A. 0 . B. 4 . C. 3 . D. 2 . 4 3 2 Câu 21: (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Cho hàm số f  x   mx  nx  px  qx  r  m , n, p , q , r    . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ bên dưới Tập nghiệm của phương trình f  x   r có số phần tử là A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1 . Câu 22: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho hàm số f  x   ax 4  bx3  cx 2  dx  m, (với a, b, c, d , m ). Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ bên. 1 Tập nghiệm của phương trình f  x   f   có số phần tử là 2 A. 5. B. 2. C. 4. D. 3. 5 4 3 2 Câu 23: (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số f  x   ax  bx  cx  dx  ex  r  a, b, c, d , e, r    . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình bên (cắt Ox tại A  2;0  , B  1;0  , C 1;0  , D  2;0  ). Phương trình f  x   r có bao nhiêu nghiệm? File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 90 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A. 2 . B. 1 . C. 5 . D. 4 . Câu 24: (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị y  f ‘  x  cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ a  b  c như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình f  x  a   f  c  là A. 2. B. 0. C. 3. D. 1. Câu 25: (THPT-Yên-Mô-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hàm số f  x  xác định trên 1   \   và có đồ thị hàm số y  f   x  như hình vẽ, biết f  0   1 , f 1  2 . Giá trị của 2 P  f  1  f  3 bằng File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 91 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A. 4  ln 15 . B. 2  ln 15 . C. 3  ln 1 5 . D. ln 15 . Câu 26: Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn 0  a  b  c  d và hàm số y  f  x  . Biết hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên 0;d  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. M  m  f  0   f  c  . C. M  m  f  b   f  a  . B. M  m  f  d   f  c  . D. M  m  f  0   f  a  . Lời giải  Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  , ta có nhận xét: ● Hàm số y  f   x  đổi dấu từ  sang  khi qua x  a . ● Hàm số y  f   x  đổi dấu từ  sang  khi qua x  b . ● Hàm số y  f   x  đổi dấu từ  sang  khi qua x  c . Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y  f  x  trên đoạn 0;d  như sau: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 92 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng max  f  x    max  f  0  , f  b  , f  d   0;d  Sử dụng bảng biến thiên ta tìm được:  . min  f x   min f a , f c          0;d     Quan sát đồ thị, dùng phương pháp tích phân để tính diện tích, ta có b  a c f   x  dx    0  f   x   dx   f  c   f  a    min  f  x   f  c  . 0;d  b Tương tự, ta có b a  0  f   x   dx   f   x  dx  f  0   f  b  0 a  f  0   f  b   f  d    max  f  x    f  0  . c d 0;d   0  f  x  dx  f  x dx  f b  f d          c   b Vậy max  f  x    f  0  ; min  f  x    f  c  . 0;d  0;d  Chọn A Câu 27: Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ. Biết phương trình f   x   0 có bốn nghiệm phân biệt a , 0 , b , c với a  0  b  c . Mệnh đề nào dưới đây đúng A. f  a   f  c   f  b  . B. f  a   f  b   f  c  . C. f  c   f  a   f  b  . D. f  b   f  a   f  c  . Câu 28: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  và đồ thị của hàm số f   x  trên đoạn  2;6 như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. y 3 2 1 2 O 2 4 6 x 1 A. max f  x   f  2  . B. max f  x   f  2  . x 2;6 C. max f  x   f  6  . x 2;6 x2;6 D. max f  x   f  1 . x2;6 Câu 29: Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị của hàm số y  f   x  như hình vẽ bên. Đặt M  max f  x  ,  2;6 m  min f  x  , T  M  m . Mệnh đề nào dưới đây đúng?  2;6 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 93 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. T  f  5   f  2  . Câu 30: B. T  f  5   f  6  . Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C. T  f  0   f  2  . D. T  f  0   f  2  . (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  x   0 , x   . Biết f  0   1 và f   x    6 x  3 x 2  . f  x  . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x   m có nghiệm duy nhất.  m  e4  m  e4 A.  . B. 1  m  e4 . C.  . D. 1  m  e4 . 0  m  1 m  1 Câu 31: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên đoạn  0;5  và đồ thị hàm số y  f   x  trên đoạn  0;5  được cho như hình bên. y 1 O 3 5 x 5 Tìm mệnh đề đúng A. f  0   f  5   f  3  . B. f  3   f  0   f  5  . C. f  3   f  0   f  5  . D. f  3   f  5   f  0  . Câu 32: Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y  f   x  trên đoạn  2;1 và 1; 4  lần lượt bằng 9 và 12 . Cho f 1  3 . Giá trị biểu thức f  2   f  4  bằng A. 21 B. 9 . C. 3 . D. 2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 94 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng ỨNG DỤNG THỂ TÍCH A – KIẾN THỨC CHUNG 1 – Thể tích vật thể Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S ( x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x , ( a  x  b) . Giả sử S ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] . (V ) a O b x b x V  S ( x )d x  a S (x ) b Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: V S ( x )dx a 2 – Thể tích khối tròn xoay Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: y y  f (x) a O b (C ) : y  f ( x )  b 2 (Ox ) : y  0 Vx     f ( x ) dx  x x  a a  x  b Chú ý: – Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g ( y ) , trục hoành và hai đường thẳng y  c , y  d quanh trục Oy: y d c O x (C ) : x  g( y)  (Oy ) : x  0  y  c  y  d d 2 V y     g( y ) dy c – Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x) , y  g ( x) và hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 95 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng b V   f 2 ( x)  g 2 ( x) dx a THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ (TRÒN XOAY) PHƯƠNG PHÁP: . Tính thể tích khối tròn xoay: Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x ) , y  0 , x  a b và x  b (a  b) quay quanh trục Ox là V    f 2 ( x )dx . a Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x), y  g ( x) , b x  a và x  b (a  b) quay quanh trục Ox là V    f 2 ( x )  g 2 ( x) dx . a B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hình phẳng D giới 3   x  2 ex hạn bởi đường cong y  , trục hoành và hai đường thẳng x  0 , x  1 . Khối tròn xe x  1   1  xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V   a  b ln 1    , trong đó a , b  e   là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a  2b  5 . B. a  b  3 . C. a  2b  7 . D. a  b  5 . Câu 2: (Gang Thép Thái Nguyên) Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x , y  0 và x  4 quanh trục Ox . Đường thẳng x  a  0  a  4  cắt đồ thị hàm số y  x tại M (hình vẽ). Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox . Biết rằng V  2V1 . Khi đó A. a  2 . Câu 3: B. a  2 2 . C. a  5 . 2 D. a  3 . (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi parabol  P  có đỉnh tại O . Gọi S là hình phẳng không bị gạch (như hình vẽ). Tính thể tích V của khối tròn xoay khi cho phần S quay quanh trục Ox . 128 128 64 A. V  . B. V  . C. V  . 5 3 5 D. V  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông 256 . 5 Trang 96 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 4: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (Sở Bắc Ninh 2019) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình (H1 ) giới hạn bởi các đường y  2 x , y   2 x , x  4 ; hình ( H 2 ) là tập hợp tất cả các điểm M ( x ; y ) thỏa mãn các điều kiện x 2  y 2  16;( x  2) 2  y 2  4 ; ( x  2)2  y 2  4 . Khi quay ( H1 );( H 2 ) quanh Ox ta được các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là V1 ,V2 .Khi đó, mệnh đề nào sau đây là đúng? A. V2  2V1 . B. V1  V2 . C. V1  V2  48 . D. V2  4V1 . Câu 5: Câu 6: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Gọi D là miền được giới hạn bởi các đường y  3x 10 , y  1, y  x 2 và D nằm ngoài parabol y  x 2 . Khi cho D quay xung quanh trục Ox , ta nhận được vật thể tròn xoay có thể tích là: 25 56 A. B. 12 . C. 11 . D.  . . 3 5 (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh 2 2 , phía ngoài hình vuông vẽ thêm bốn đường tròn nhận các cạnh của hình vuông làm đường kính (hình vẽ). Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình trên khi quay quanh đường thẳng AC bằng A. Câu 7: 32  4 2 . 3 B. 16  2 2 . 3 C. 8  2 . 3 D. 64  8 2 . 3 (Thị Xã Quảng Trị) Cho đồ thị  C  : y  ax3  bx 2  cx  d và Parabol  P  : y  mx2  nx  p có đồ thị như hình vẽ (đồ thị  C  là đường cong đậm hơn). Biết phần hình phẳng được giới hạn bởi  C  và  P  (phần tô đậm) có diện tích bằng 1 . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay phần hình phẳng đó quanh trục hoành bằng A. 3 . Câu 8: B. 237 . 35 C. 5 . D. 159 . 35 Một thùng đựng Bia hơi (có dạng như hình vẽ) có đường kính đáy là 30cm, đường kính lớn nhất của thân thùng là 40cm, chiều cao thùng là 60 cm, cạnh bên hông của thùng có hình dạng của một parabol. Thể tích của thùng Bia hơi gần nhất với số nào sau đây? (với giả thiết độ dày thùng Bia không đáng kể). File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 97 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 70 (lít). Câu 9: B. 62 (lít). Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C. 60 (lít). D. 64 (lít). (Cẩm Giàng)Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). y O A. 19 m 3 . Câu 10: C. 18 m3 . D. 40 m3 . (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại có hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Tính thể tích phần không gian bên trong trại. A. 72 m 3 . Câu 11: B. 21m3 . x B. 36 m3 . C. 72 m 3 . D. 36 m 3 . (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Trong hình vẽ dưới đây, đoạn AD được chia làm 3 bởi các  và AEB , BFC điểm B và C sao cho AB  BC  CD  2 . Ba nửa đường tròn có bán kính 1 là   có đường kính tương ứng là AB , BC và CD . Các điểm E , F , G lần lượt là tiếp điểm CGD của tiếp tuyến chung EG với 3 nửa đường tròn. Một đường tròn tâm F , bán kính bằng 2 . Diện tích miền bên trong đường tròn tâm F và bên ngoài 3 nửa đường tròn (miền tô đậm) có thể biểu a diễn dưới dạng   c  d , trong đó a , b , c , d là các số nguyên dương và a , b nguyên tố b cùng nhau. Tính giá trị của a  b  c  d ? File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 98 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 14 . B. 15 . Câu 12: C. 16 . Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng D. 17 . (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hình phẳng  D  giới hạn bởi các đường y  x   , y  sin x và x  0 . Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do  D  quay quanh trục hoành và V  p 4 ,  p    . Giá trị của 24 p bằng A. 8 . Câu 13: B. 4 . B. 256 cm3 . C. 256 cm3 . D. 128cm3 . (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  1 và x  1 , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  1  x  1 là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 1  x 4 . 3 A. . 4 Câu 15: D. 12 . (Sở Hưng Yên Lần1) Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 4cm , chiều cao trong lòng cốc là 12cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết rằng khi nghiêng cốc nước vừa lúc chạm miệng cốc thì ở đáy cốc, mực nước trùng với đường kính đáy. A. 128 cm3 . Câu 14: C. 24 . B. 2 . 5 C. 4. D. 1 . 4 (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho vật thể T  giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 ; x  2 . Cắt vật thể T  bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x  0  x  2  ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng  x  1 e x . Thể tích vật thể T  bằng 13e A. 4  1  4 . 13e 4  1 B. . 4 C. 2e2 . D. 2 e2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 99 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 16: (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 , x   . Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x  0  x    là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng sinx  2 . A. Câu 17: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 7 1. 6 B. 9 1 . 8 C. 7 2. 6 D. 9 2. 8 (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên 3 của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng chiều cao của bên đó (xem hình). 4 Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 12, 72cm3 /phút. Khi chiều cao của cát còn 4cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi 8 cm (xem hình). Biết sau 10 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm ? A. 10cm . B. 9cm . C. 8cm . D. 12cm . Câu 18: x2 1 y  g ( x )  ; .Tính thể 1  x2 2 tích khối tròn xoay thu được tạo thành khi quay D quanh trục Ox ? Thể tích được viết dưới dạng T  m 2  n ;m,n  R thì tổng giá trị m  n là ? Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đường : y  f ( x)  A. Câu 19: 1 2 B. 13 20 C. 2 5 D. 3 5 Cho hai đường tròn  O1;10  và  O2 ;8  cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho AB là một đường kính của đường tròn  O2  . Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn ( phần được tô màu như hình vẽ). Quay  H  quanh trục O1O2 ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 100 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A O2 O1 C B A. 824 . 3 B. 608 . 3 C. 97 . 3 D. 145  3 BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH Câu 1: Câu 2: Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6m . Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000 đồng / m 2 Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị) A. 8412322 đồng. B. 8142232 đồng. C. 4821232 đồng. D. 4821322 đồng Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm O . Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O . Hai đường parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A , B , C , D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m (như hình vẽ). Phần diện tích S l , S2 dùng để trồng hoa, phần diện tích S3 , S4 dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Biết kinh phí trồng hoa là 150.000 đồng /1m2, kinh phí để trồng cỏ là 100.000 đồng/1m2. Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn) Câu 3: Câu 4: Câu 5: A. 6.060.000 đồng. B. 5.790.000 đồng. C. 3.270.000 đồng. D. 3.000.000 đồng. (Sở Hà Nam) Một khu vườn có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai đường tròn là 20m và 15m , khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30m . Phần giao của hai hình tròn được trồng hoa với chi phí 300000 đồng/ m2 . Phần còn lại được trồng cỏ với chi phí 100000 đồng/ m2 . Hỏi chi phí để trồng hoa và cỏ của khu vườn gần nhất với số tiền nào dưới đây? A. 202 triệu đồng. B. 208 triệu đồng. C. 192 triệu đồng. D. 218 triệu đồng. (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Lô gô gắn tại Shoroom của một hãng ô tô là một hình tròn như hình vẽ bên. Phần tô đậm nằm gữa Parabol đỉnh I và đường gấp khúc AJB được giát bạc với chi phí 10 triệu đồng / m 2 phần còn lại phủ sơn với chi phí 2 triệu đồng/ m 2 . 13 Biết AB  2m, IA  IB  5m và JA  JB  m . Hỏi tổng số tiền giát bạc và phủ sơn của lô 2 gô nói trên gần với số nào nhất trong các số sau: A. 19 250 000đồng. B. 19 050 000 đồng. C. 19 150 000đồng. D. 19 500 000đồng. (Lý Nhân Tông) Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6m. Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000 đồng/ m 2 . Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó ? File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 101 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 8 412 322 đồng. Câu 6: B. 4 821 322 đồng. Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C. 3 142 232 đồng. D. 4 821 232 đồng. (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hàm số y  x4  6 x2  m có đồ thị  Cm  . Giả sử  Cm  cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi  Cm  và trục hoành có phần phía trên trục hoành và phần phía dưới trục hoành có diện tích bằng nhau. Khi đó m  Câu 7: a a (với a, b là các số nguyên, b  0 ; là phân số tối giản). Giá trị của b b biểu thức S  a  b là A. 7 . B. 6 . C. 5 . D. 4 . (Hàm Rồng) Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết AB  5 cm, OH  4 cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đó. 140 2 160 2 14 cm . B. cm . C. cm 2 . D. 50 cm 2 . 3 3 3 (CổLoa Hà Nội) Để trang trí cho một lễ hội đầu xuân, từ một mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn là 10 m, chiều dài trục nhỏ là 4 m, Ban tổ chức vẽ một đường tròn có đường kính bằng độ dài trục nhỏ và có tâm trùng với tâm của elip như hình vẽ. Trên hình tròn người ta trồng hoa với giá 100.000 đồng/m2, phần còn lại của mảnh vườn người ta trồng cỏ với giá 60.000 đồng/m2 (biết giá trồng hoa và trồng cỏ bao gồm cả công và cây). Hỏi ban tổ chức cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và cỏ? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn). A. Câu 8: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 102 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 4m 10 m Câu 9: A. 2387000 đồng. B. 2638000 đồng. C. 2639000 đồng. D. 2388000 đồng. (Chuyên Sơn La Lần 3 năm 2018-2019) Gia đình anh A có 1 bồn hoa được thiết kế như hình dưới đây: Ở đây I là tâm của hình tròn và cũng là trung điểm của F1F2 , F1 , F2 là hai tiêu điểm của hình elip, A2 là một đỉnh của elip, IF2  3, F2 A2  1 . Anh A dự định trồng cỏ Nhật toàn bộ phần diện tích tô đậm. Hỏi số tiền anh A cần phải trả để mua cỏ gần nhất với số nào sau đây biết rằng giá cỏ Nhật là 65.000đ/m2 ? A. 563.000 đ. B. 560.000 đ. C. 577.000 đ. D. 559.000 đ. Câu 10: (THẠCH THÀNH I – THANH HÓA 2019) Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIF ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC  6 m , chiều dài CD  12 m (hình vẽ bên). Cho biết MNEF là hình chữ nhật có MN  4 m ; cung EIF có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/ m 2 . Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó? A. 20.400.000 đồng. B. 20.600.000 đồng. C. 20.800.000 đồng. D. 21.200.000 đồng. Câu 11: (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá 1m 2 của rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng nghìn). File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 103 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A. 6.620.000 đồng. B. 6.320.000 đồng. C. 6.520.000 đồng. D. 6.417.000 đồng. Câu 12: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Một mặt bàn hình elip có chiều dài là 120cm, chiều rộng là 60cm. Anh Hải muốn gắn đá hoa cương cho mặt bàn theo hình (phần đá hoa cương màu trắng và phần đá hoa cương màu vàng), biết rằng phần đá hoa cương màu vàng cũng là elip có chiều dài 100 cm và chiều rộng là 40 cm. Biết rằng đá hoa cương màu trắng có giá 600.000 vnd / m2 và đá hoa cương màu vàng có giá 650.000 vnd / m2 . Hỏi số tiền để gắn đá hoa cương theo cách trên gần với số tiền nào dưới đây? A. 355.000 đồng. B. 339.000 đồng. C. 368.000 đồng. D. 353.000 đồng. Câu 13: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 và chiều rộng là 60m người ta làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip, Elip của đường viền ngoài có trục lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là 2m . Kinh phí cho mỗi m 2 làm đường 600.000 đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn). 100m 2m 60m A. 293904000. Câu 14: B. 283904000. C. 293804000. D. 283604000. (THPT-Ngô-Quyền-Hải-Phòng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019) Một thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có độ dài trục lớn bằng 2m , độ dài trục bé bằng 1m, chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3,5m. Thùng được đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ điểm thấp nhất của đáy thùng đến mặt dầu) là 0,75m . Tính thể tích V của dầu có trong thùng (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 104 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. V  4, 42m 3 . Câu 15: B. V  3, 23m3 . Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C. V  1,26m3 . D. V  7, 08m3 . (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Bồn hoa của một trường X có dạng hình tròn bán kính bằng 8m . Người ta chia bồn hoa thành các phần như hình vẽ dưới đây và có ý định trồng hoa như sau: Phần diện tích bên trong hình vuông ABCD để trồng hoa (phần tô đen). Phần diện tích kéo dài từ 4 cạnh của hình vuông đến đường tròn dùng để trồng cỏ (phần gạch chéo). Ở 4 góc còn lại mỗi góc trồng một cây cọ. Biết AB  4m , giá trồng hoa là 200.000 đ/m2, giá trồng cỏ là 100.000 đ/m2, mỗi cây cọ giá 150.000 đ. hỏi cần bao nhiêu tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa đó (làm tròn đến hàng nghìn). A. 13.265.000 đồng. B. 12.218.000 đồng. C. 14.465.000 đồng. D. 14.865.000 đồng. Câu 16: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..)Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch hình vuông cạnh 40  cm như hình bên. Biết rằng người thiết kế đã sử dụng các đường cong có phương trình 4x 2  y 4 và 4( x  1)3  y 2 để tạo hoa văn cho viên gạch. Diện tích phần được tô đậm gần nhất với giá trị nào dưới đây? A. 506  cm 2  . Câu 17: B. 747  cm2  . C. 507  cm 2  . D. 746  cm 2  . (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Mảnh vườn nhà ông An có dạng hình elip với bốn đỉnh A1 , A2 , B1 , B2 như hình vẽ bên. Ông dùng 2 đường Parabol có đỉnh là tâm đối xứng của elip cắt elip tại 4 điểm M , N, P, Q như hình vẽ sao cho tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có MN  4 để chia vườn. Phần tô đậm dùng để trồng hoa và phần còn lại để trồng rau. Biết chi phí trồng hoa là 600.000 đồng/ m 2 và trồng rau là 50.000 đồng/ m 2 . Hỏi số tiền phải chi gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết A1 A2  8 m , B1B2  4 m ? Câu 18: A. 4.899.000 đồng B. 5.675.000 đồng C. 3.526.000 đồng D. 7.120.000 đồng (THPT-Yên-Mô-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Trong mặt phẳng, cho đường elip  E  có độ dài trục lớn là AA  10 , độ dài trục nhỏ là BB   6 , đường tròn tâm O có đường kính là BB (như hình vẽ bên dưới). Tính thể tích V của khối tròn xoay có được bằng cách cho miền File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 105 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng hình hình phẳng giới hạn bởi đường elip và được tròn (được tô đậm trên hình vẽ) quay xung quanh trục AA . 20 . 3 (Chuyên Vinh Lần 2) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1 , A2 , B1 , B2 như A. V  36  . Câu 19: B. V  60  . C. V  24  . D. V  hình vẽ bên. Người ta chia elip bởi parabol có đỉnh B 1 , trục đối xứng B1 B2 và đi qua các điểm M , N . Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng/ m 2 và trang trí đèn led phần còn lại với giá 500.000 đồng/ m 2 . Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng A1 A2  4m, B1 B2  2m, MN  2m . M B2 A1 N A2 B1 A. 2.341.000 đồng. B. 2.057.000 đồng. C. 2.760.000 đồng. D. 1.664.000 đồng. Câu 20: (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol  P  có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng 4 m, AB  4 m. Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật CDEF (với C , F  AB ; D, E   P  ), phần còn lại (phần tô đậm) dùng để trang trí. Biết chi phí để trang trí phần tô đậm là 1.000.000 đồng/ m 2 . Hỏi số tiền ít nhất dùng để trang trí phần tô đậm gần với số tiền nào dưới đây? A. 4.450.000 đồng. B. 4.605.000 đồng. C. 4.505.000 đồng. D. 4.509.000 đồng. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 106 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 21: Câu 22: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (Sở Thanh Hóa 2019) Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người ta thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa hình tròn (phần tô đậm) và cách nhau một khoảng 4 (m). Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô đậm) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản tương ứng là 150.000 đồng/m2 và 100.000 đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị) A. 3.926.990 (đồng). B. 4.115.408 (đồng)C. 1.948.000 (đồng). D. 3.738.574 (đồng). (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai của hai hình tròn là 20 mét và 15 mét. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 mét. Chi phí làm mỗi mét vuông phân giao nhau của hai hình tròn là 300 ngàn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100 ngàn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân của sân khấu gần với số nào trong các số dưới đây? A. 202 triệu đồng. B. 208 triệu đồng. C. 218 triệu đồng. D. 200 triệu đồng. Câu 23: Trên cánh đồng cỏ có 2 con bò được cột vào 2 cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa 2 cọc là 4 mét còn 2 sợi dây cột 2 con bò dài 3 mét và 2 mét. Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất). A. 1, 034 m2 B. 1, 574 m2 C. 1, 989 m2 D. 2,824 m2 Câu 24: Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là 16 y 2  x 2  25  x 2  như hình vẽ bên. y x Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét. A. S  125 m2   6 B. S  125 4 m  2 C. S  250 3 m  2 D. S  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông 125 3 m  2 Trang 107 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG THỂ TÍCH Câu 1: Một cái chuông có dạng như hình vẽ. Giả sử khi cắt chuông bởi mặt phẳng qua trục của chuông, được thiết diện có đường viền là một phần parabol ( hình vẽ ). Biết chuông cao 4m, và bán kính của miệng chuông là 2 2 . Tính thể tích chuông? A. 6 Câu 2: D. 16 B. 12,637 m3 . C. 114,923 m3 . D. 8, 307 m3 . Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm , thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40cm , chiều cao thùng rượu là 1m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu ( đơn vị lít) là bao nhiêu? A. 425, 2 lit. Câu 4: C. 2 3 Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là 5m, có bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng với 0,5m của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (theo đơn vị m3 ) A. 11,781 m3 . Câu 3: B. 12 B. 425162 lit. C. 212581 lit. D. 212, 6 lit. (Đặng Thành Nam Đề 17) Một thùng đựng bia hơi (có dạng khối tròn xoay như hình vẽ) có đường kính đáy là 30cm , đường kính lớn nhất của thân thùng là 60 cm , các cạnh bên hông của thùng có hình dạng của một parabol. Thể tích của thùng bia hơi gần nhất với kết quả nào dưới đây? (giả sử độ dày của thùng bia không đáng kể) File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 108 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 70 (lít). Câu 5: B. 62 (lít). Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C. 60 (lít). D. 64 (lít). (ĐH Vinh Lần 1) Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho Ông già Noel có hình dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên. Biết rằng OO ‘ = 5cm , OA = 10 cm , OB = 20cm , đường cong AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A . Thể tích của chiếc mũ bằng B A O O’ A. Câu 6: 2750 cm3  .  3 B. 2500 cm3  .  3 C. 2050 cm3  .  3 D. 2250 cm3  .  3 Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 109 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 0,5m 2m 5m 0,5m 19m 3 B. 21m 3 . A. 19m . Câu 7: 0,5m C. 18m3 . . D. 40m3 . (ĐH Vinh Lần 1) Cây dù ở khu vui chơi “công viên nước” của trẻ em có phần trên là một chỏm cầu, phần thân là một khối nón cụt như hình vẽ. Biết ON  OD  2m ; MN  40cm ; BC  40cm ; EF  20cm . Tính thể tích của cây dù N A B E A. 336000  cm3  C. 112000  cm3  Câu 8: 2750 cm3  .  3 2050 cm3  .  3 C M D F O 896000 cm3  .  3 2250 D. 896000  cm3  cm3  .  3 B. (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Sân vận động Sports Hub (Singapore) là nơi diễn ra lễ khai mạc đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức ở Singapore năm 2015. Nền sân là một Elip  E  có trục lớn dài 150m , trục bé dài 90m . Nếu cắt sân vận động theo mặt phẳng vuông góc với trục lớn của  E  và cắt  E  tại M và N (hình a) thì ta được thiết diện File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 110 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng luôn là một phần của hình tròn có tâm I ( phần tô đậm trong hình b) với MN là dây cung và   900 . Để lắp máy điều hòa không khí cho sân vận động thì các kỹ sư cần tính thể tích phần MIN không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và vật liệu làm mái che không đáng kể. Hỏi thể tích đó xấp xỉ bao nhiêu? 3 A. 57793m . Câu 9: Hình a B. 115586m3 . Hình b C. 32162m3 . D. 101793m 3 . (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên. Các tứ giác ABCD, CDPQ là các hình vuông cạnh 2,5cm . Tứ giác ABEF là hình chữ nhật có BE  3,5 cm . Mặt bên PQEF được mài nhẵn theo đường parabol  P  có đỉnh parabol nằm trên cạnh E F . Thể tích của chi tiết máy bằng 395 3 50 A. B. cm . cm3 . 24 3 C. 125 3 cm . 8 D. 425 3 cm . 24 Câu 10: Một khối cầu có bán kính là 5  dm  , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3  dm  để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 111 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 100   dm 3  3 B. 43   dm 3  3 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C. 41  dm3  D. 132  dm3  Câu 11: Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm , chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. A. 240 cm 3 . B. 240 cm 3 . C. 120 cm 3 . D. 120 cm 3 . Câu 12: Chướng ngại vật “tường cong” trong một sân thi đấu X-Game là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3, 5 m . Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng AB  2 m . Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với AB tại A là một hình tam giác vuông cong ACE với AC  4 m , CE  3,5m và cạnh cong AE nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí M là trung điểm của AC thì tường cong có độ cao 1m (xem hình minh họa bên). Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó. E 3,5 m B 2m 1m A 3 A. 9, 75 m . 3 B. 10, 5m . 4m M C 3 C. 10 m . D. 10, 25 m3 . Câu 13: Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 450 để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây) File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 112 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Hình 1 Hình 2 Kí hiệuV là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tính V .   A. V  2250 cm 3 . B. V  225 cm 3 . 4     C. V  1250 cm 3 .  D. V  1350 cm 3  Câu 14: Người ta dựng một cái lều vải  H  có dạng hình “chóp lục giác cong đều” như hình vẽ bên. Đáy của  H  là một hình lục giác đều cạnh 3 m . Chiều cao SO  6 m ( SO vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của  H  là các sợi dây c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với SO . Giả sử giao tuyến (nếu có) của  H  với mặt phẳng  P  vuông góc với SO là một lục giác đều và khi  P  qua trung điểm của SO thì lục giác đều có cạnh 1 m . Tính thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều  H  đó. S c6 1m c1 c2 c3 c5 c4 O 3m A. 135 3 ( m3 ). 5 B. 96 3 ( m3 ). 5 C. 135 3 ( m3 ). 4 D. 135 3 ( m3 ). 8 Câu 15: Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn bán kinh 4 cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 113 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. V  256 . 3 B. V  64 . 3 Câu 16: Gọi  H  là phần giao của hai khối Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C. V  256 3 . 3 D. V  32 3 . 3 1 hình trụ có bán kính a , hai trục hình trụ vuông góc với 4 nhau. Xem hình vẽ bên. Tính thể tích của  H  . A. V H  2a 3 .  3 B. V H  3a 3 .  4 C. V H  a3 .  2 D. V H   a3 .  4 Câu 17: Cho một vật thể bằng gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy bằng R. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng có giao tuyến với đáy là một đường kính của đáy và tạo với đáy góc 450 . Thể tích của khối gỗ bé là: A. V  2R3 . 3 B. V   R3 . 6 C. V  R3 . 3 D. V   R3 . 3 ỨNG DỤNG THỰC TẾ KHÁC Câu 1: Một hạt proton di chuyển trong điện trường có biểu thức gia tốc ( theo cm 2 / s ) là a(t )  20 1  2t  2 (với t tính bằng giây). Tìm hàm vận tốc v theo t, biết rằng khi t  0 thì v  30  cm / s  . A. 10 1  2t B. 10  20 1  2t 3 C. 1  2t   30 D. 20 2  30 1  2t  Câu 2: (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Một ôtô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v  t   6t  m s  . Đi được 10 s, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ôtô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a  60  m s 2  . Tính quãng đường S đi được của ôtô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn. A. 300  m  . B. 330  m  . C. 350  m  . D. 400  m  . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 114 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 3: Một người lái xe ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái xe phát hiện có hàng rào ngăn đường ở phía trước cách 45m (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào) vì vậy, người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   5t  20 ( m/s ), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe ô tô còn cách hàng rào ngăn cách bao nhiêu mét (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào)? A. 5 m . B. 4 m . C. 6 m . D. 3 m . Câu 4: Một vật chuyển động với vận tốc 10 m / s thì tăng tốc với gia tốc a(t )  3t  t 2 . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. 4300 430 B. 4300 m. C. 430 m. m. m. D. 3 3 Câu 5: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v1 (t )  7t (m/s). Đi được 5 (s), người lái A. xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a   70 (m/s2 ). Tính quãng đường S (m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn. A. S  95,70 (m). B. S  87,50 (m). C. S  94, 00 (m). D. S  96, 25 (m). Câu 6: Một ôtô đang chạy đều với vận tốc 15 m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với gia tốc a m / s 2 . Biết ôtô chuyển động thêm được 20m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây. A.  3; 4  . B.  4;5  . C.  5;6  . D.  6;7  . Câu 7: Một ôtô đang chạy với vận tốc 18 m / s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   36t  18 ( m / s ) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Quãng đường ôtô di chuyển được kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu mét? A. 5, 5 m . B. 3, 5 m . C. 6,5 m . D. 4, 5 m . Câu 8: Một lực 50 N cần thiết để kéo căng một chiếc lò xo có độ dài tự nhiên 5 cm đến 10 cm. Hãy tìm công sinh ra khi kéo lò xo từ độ dài từ 10 cm đến 13 cm? A. 1,95J. B. 1,59 J. C. 1000 J. D. 10000 J Câu 9: Một ôtô đang chạy đều với vận tốc 15 m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với gia tốc a m / s 2 . Biết ôtô chuyển động thêm được 20m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây. A.  3;4  . B.  4;5 . C.  5;6  . D.  6;7 . Câu 10: Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v  t   10t  t 2 , trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v  t  được tính theo đơn vị mét/phút ( m /p ). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là A. v  5  m/p  . B. v  7  m /p  . C. v  9  m/p  . D. v  3  m /p  . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 115 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 11: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m / s thì người lái đạp phân, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   5t  10  m / s  , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 0, 2m . B. 2m . C. 10m . D. 20m . Câu 12: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho h’  t   3at 2  bt và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150m3 . Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 1100m3 . Hỏi thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là bao nhiêu. A. 8400m 3 . B. 2200m3 . C. 6000m3 . D. 4200m3 13 t 8 5 và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (chính xác đến 0, 01 cm ) Câu 13: Gọi h  t   cm  là mức nước trong bồn chứa sau khi bơm được t giây. Biết rằng h  t   A. 2, 67 cm. B. 2, 66 cm. C. 2, 65 cm. D. 2, 68 cm. 4000 Câu 14: Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N  t  . Biết rằng N   t   và lúc đầu đám 1  0,5t vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng gần với số nào sau đây nhất? A. 251000 con. B. 264334 con. C. 261000 con. A. 302542 con. B. 322542 con. C. 312542 con. D. 274334 con. 7000 Câu 15: Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng N (t ) , biết rằng N (t )  và lúc đầu đám vi t2 trùng có 300000 con. Sau 10 ngày, đám vi trùng có khoảng bao nhiêu con? D. 332542 con. Câu 16: Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số 1000 B  t   , t  0 , trong đó B  t  là số lượng vi khuẩn trên mỗi m l nước tại ngày thứ t . 2 1  0,3t  Số lượng vi khuẩn ban đầu là 500 con trên một m l nước. Biết rằng mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi m l nước. Hỏi vào ngày thứ bao nhiêu thì nước trong hồ không còn an toàn nữa? A. 9 B. 10. C. 11. D. 12. Câu 17: (KHTN Hà Nội Lần 3) Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi V  t  là thể tích nước bơm được sau t giây. Biết rằng V   t   at 2  bt và ban đầu bể không có nước, sau 5 giây thể tích nước trong bể là 15m3 , sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 110m3 . Thể tích nước bơm được sau 20 giây bằng A. 60m3. B. 220m3. C. 840m3. D. 420m3. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 116 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 18: Hạt electron có điện tích âm là 1, 6.1019 C . Nếu tách hai hạt eletron từ 1pm đếm 4 pm thì công W sinh ra là A. W  3,194.10 28 J . B. W  1, 728.10-16 J . C. W  1, 728.10 28 J . D. W  3,194.10 16 J . Câu 19: Trong mạch máy tính, cường độ dòng điện (đơn vị mA ) là một hàm số theo thời gian t, với I (t )  0, 3  0, 2t . Hỏi tổng điện tích đi qua một điểm trong mạch trong 0,05 giây là bao nhiêu? A. 0, 29975 mC . B. 0, 29 mC . C. 0, 01525 mC . D. 0, 01475 mC . Câu 20: Dòng điện xoay chiều hình sin chạy qua một đoạn mạch LC có có biểu thức cường độ là   i  t   I 0 cos  t   . Biết i  q với q là điện tích tức thời ở tụ điện. Tính từ lúc t  0 , điện 2   lượng chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn của đoạn mạch đó trong thời gian bằng là   I0 .  2 Câu 21: Khi một chiếc lò xo bị kéo căng thêm x  m  so với độ dài tự nhiên là 0,15  m  của lò xo thì chiếc A.  2I 0 .  B. 0. C. 2I 0 .  D. lò xo trì lại (chống lại) với một lực f  x   800 x. Hãy tìm công W sinh ra khi kéo lò xo từ độ dài từ 0,15  m  đến 0,18  m  . A. W  36.102 J . B. W  72.102 J . C. W  36 J . D. W  72 J . 2  Câu 22: Một dòng điện xoay chiều i = I0 sin  t    chạy qua một mạch điện có điện trở thuần R.Hãy  T  tính nhiệt lượng Q tỏa ra trên đoạn mạch đó trong thời gian một chu kì T. RI 02 T. A. 2 RI 02 T. B. 3 RI 02 T. C. 4 Câu 23: Đặt vào một đoạn mạch hiệu điện thế xoay chiều u = U 0 sin RI 02 T D. 5 2 t . Khi đó trong mạch có dòng T 2  diện xoay chiều i = I0 sin  t    với  là độ lệch pha giữa dòng diện và hiệu điện  T  thế.Hãy Tính công của dòng diện xoay chiều thực hiện trên đoạn mạnh đó trong thời gian một chu kì. A. U 0 I0 cos . 2 B. U 0 I0 T sin  . 2 C. U 0 I0 U I Tcos (   ) . D. 0 0 Tcos 2 2 Câu 24: Để kéo căng một lò xo có độ dài tự nhiên từ 10cm đến 15cm cần lực 40N . Tính công ( A ) sinh ra khi kéo lò xo có độ dài từ 15cm đến 18cm . A. A  1, 56 ( J ) . B. A  1 ( J ) . C. A  2, 5 ( J ) . D. A  2 ( J ) . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 117 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 25: Một thanh AB có chiều dài là 2a ban đầu người ta giữ thanh ở góc nghiêng    o , một đầu thanh tựa không ma sát với bức tường thẳng đứng. Khi buông thanh, nó sẽ trượt xuống dưới tác dụng của trọng lực. Hãy biểu diễn góc  theo thời gian t (Tính bằng công thức tính phân)  A. t    o  C. t    o d 3 (sin  o  sin  ) 2a d 3g (sin  o  sin  ) a  . B. t    o  . D. t    o d 3g (sin  o  sin  ) 2a . d 3g (sin  o  sin  ) 2a File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 118 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng NGUYÊN HÀM A – KIẾN THỨC CHUNG 1. Định nghĩa Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F x được gọi         là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu F ‘ x  f x với mọi x  K .  f  x  dx  F x   C . Kí hiệu: Định lí: 1) Nếu F x là một nguyên hàm của f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G x  F x  C          cũng là một nguyên hàm của f x trên K .      2) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x trên K   đều có dạng F x  C , với C là một hằng số.     Do đó F x  C ,C   là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K . 2. Tính chất của nguyên hàm  f x dx  f x   và       Nếu F(x) có đạo hàm thì:  d   f  x  dx   f  x  dx      d F (x )  F (x )  C  f ‘ x dx  f x  C ;  kf  x  dx  k  f x  dx với k là hằng số khác 0 .   f  x   g x  dx   f x  dx   g x  dx   Công thức đổi biến số: Cho y  f u và u  g x . Nếu     thì  f  g (x ) g ‘(x )dx   f (u )du  f (x )dx  F (x )  C  F (u )  C 3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .   4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp 1.  0dx  C 2.  dx  x  C 3.  x dx  4. 1 x  1  C   1  1  1 dx   2 x 1 C x 1  x dx  ln x  C 6.  e dx  e  C 5. x 16. 17. 18. x ax 7.  a dx  C ln a x  19. 20.   1  1 ax  b   ax  b dx   a  1 2 x  xdx  2  C dx 1  ax  b  a ln ax  b  c 1 ax b ax b  e dx  a e  C 1 a kx b kx b  a dx  k ln a  C   c ,   1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 8.  cos xdx  sin x  C 9.  sin xdx   co s x  C  tan x .dx   ln | cos x | C 10. 11.  cot x .dx  ln | sin x | C 1 12.  cos 13.  2 x dx  tan x  C   x 22.  sin ax  b  dx   a cos ax  b   C 1 1 23.  tan ax  b  dx   ln cos ax  b   C a 1 24.  cot ax  b  dx  ln sin ax  b   C a 1 1 dx  tan ax  b  C 25.  2 a cos ax  b  1  1  27.  1  tan ax  b   dx  a tan ax  b   C  2 dx 1 a x  ln C 2 2a a x x dx 2 x a dx 2 a x  ln  x  x 2  a 2   C 2  arcsin 2 dx 2 x a 2  x C a 2 1 2 1 28.  1  cot2 ax  b dx   co t ax  b  C a      x x x x x x a 2  x2 C x x a 2  x2  C  arcsin a dx  x arcsin a   arccos a dx  x arccos a  a2  x 2  C a2  x 2  C  arctan a dx  x arctan a  2 ln a  arc cot a dx  x arc cot a  2 ln a 1 x arccos  C a a 1 a  x 2  a2   C  x x 2  a 2 a ln x dx  dx 1  sin ax  b   a ln tan b  ln ax  b  dx   x  a  ln ax  b   x eC cos bx dx  e ax     sin ax  b  dx   a cot ax  b   C  1  cot x  dx  co t x  C 2  cos ax  b  dx  a sin ax  b   C 26. 5. Bảng nguyên hàm mở rộng dx 1 x  a 2  x 2  a arctg a  C a 1 21. 1 dx   cot x  C sin 2 x 14.  1  tan2 x dx  tan x  C 15. Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng a 2  x 2 dx  ax ax  b C 2 a cos bx  b sin bx  a 2  b2 C x a2  x 2 a2 x e ax a sin bx  b cos bx   arcsin eC ax sin bx dx  C 2 2 a a2  b2 B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 1. Tìm giá trị thực của a để F  x   A. a  4 . Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng ax  1 là một nguyên hàm của hàm số f  x   2x  1 B. a  5 . C. a  4 . 4x  3  2 x  1 3 . D. a  5 . Lời giải Chọn A ax  1 2 x  1  ax  a  1 3 2x 1  2 x  1 a 2x 1  Ta có F   x   F x  f  x  Câu 2. ax  a  1  2 x  1 3  4x  3  2 x  1 3 a  4  ax  a  1  4 x  3    a  4. a  1  3 Cho F  x    ax 2  bx  c  2 x  1 là một nguyên hàm của hàm số f  x   10 x 2  7 x  2 trên 2x 1 1  khoảng  ;   . Tính S  a  b  c . 2  A. S  3 . B. S  0 . C. S  6 . D. S  2 . Lời giải Chọn D 1 10 x 2  7 x  2  2x 1 2x 1 F   x   f  x    2ax  b  2 x  1   ax 2  bx  c  2ax  b  2 x  1  ax 2  bx  c 10 x2  7 x  2    2x 1 2x 1  5ax2   3b  2a  x  c  b  10 x2  7 x  2 5a  10 a  2    3a  2b  7  b  1  S  2 . c  b   2 c  3   Câu 3. Cho F  x    ax2  bx  c  2x  3 là một nguyên hàm của hàm số f  x   20 x 2  30 x  7 trên 2x  3 3  khoảng  ;   . Tính P  abc . 2  A. P  0 . C. P  4 . B. P  3 . D. P  8 . Lời giải Chọn D Ta có F   x    2ax  b  2 x  3   ax 2  bx  c  . 5ax2   3b  6a  x  c  3b 1  2x  3 2x  3 F   x   f  x   5ax 2   3b  6a  x  c  3b  20 x 2  30 x  7 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 5a  20 a  4    3b  6a  30  b  2  S  8 . c  3b  7 c  1   Câu 4. Biết sin x  cos x  sin x  cos x dx  a ln sin x  cos x  C . Với a là số nguyên. Tìm a? A. a  1. B. a  2. C. a  3. D. a  4. Lời giải  sin x  cos x   sin x  cos x nên Vì  a  ln sin x  cos x  C   sin x  cos x sin x  cos x Nguyên hàm của: sin x  cos x là: ln sin x  cos x  C . sin x  cos x Chọn A tan 2 Câu 5. Tìm một nguyên hàm của: 1  4. A. 1  3. cos 2 x B. x 2  2x   tan 2  1   2 1  3. sin 2 x biết nguyên hàm này bằng 3 khi x  C. tan x  2 .  . 4 D. cot x  2 . Lời giải 2 x x   tan 2 tan  2 2   1  tan 2 x  1 f  x   1  4.  1   2 cos 2 x 2 x  2x    1  tan  tan  1  2 2   2 Nguyên hàm của F  x   tan x  C    Ta có: F    3  tan  C  3  C  2  F  x   tan x  2 4 4 Chọn C Câu 6. Biết   25 x 2 1 1 dx    C . Với a là số nguyên. Tìm a? 5  20 x  4  a  5x  2  A. a  4. B. a  100. C. a  5. D. a  25. Lời giải Chú ý nếu chúng ta biến đổi:  1  25x 2  20 x  4  dx    25 x  20 x  4  2 3 Điều sau đây mới đúng:   25 x 2 3 3  25x dx  2  20 x  4  4  20 x  4  d  25 x 2  20 x  4  4  C . Là sai  25 x  2  20 x  4  4 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông 4 C Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 3 n Trở lại bài, ta sẽ biến đổi biểu thức  25 x 2  20 x  4  về dạng  ax  b  như sau:  1  25 x 2 3  20 x  4  dx   1 6  5x  2  6 dx    5 x  2  dx 5 1 5 x  2  1  C   C 5 5 5 25  5 x  2  Chọn D Câu 7. Biết  2x 2 1 x a dx  ln 2 x  7  C , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?  5x  7 b A. S  4. B. S  2. C. S  3. D. S  5. Lời giải Ta quan sát mẫu cso thể phân tích được thành nhân tử, sử dụng MTCT bấm giải phương trình bậc 2: 2 x 2  5 x  7  0 thấy có hai nghiệm là: x  1, x  7 . 2 Áp dụng công thức ax2  bx  c  a  x  x1  x  x2  với x1 , x2 là hai nghiệm ta có: 2 x2  5x  7   x  1 2 x  7  Do đó:  2x 2 1 x x 1 1 1 dx   dx   dx  ln 2 x  7  C  5x  7 2x  7 2  x  1 2 x  7  Chọn C Câu 8. Biết 1 a    1  sin 2 x dx  b tan  x  4   C , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b? A. S  4. B. S  2. C. S  3. D. S  5. Lời giải 1  1  sin 2 x dx   1 1 dx   dx     2 1  cos   2 x  2cos   x  2  4  1 1       tan   x   C  tan  x    C 2 2 4 4   Ta thấy a=1,b=2 suy ra S=3 Chọn C Câu 9.    F x f x F 0 8 Cho f  x   8sin 2  x   . Một nguyên hàm   của   thỏa   là:  12    A. 4 x  2sin  2 x    9 . 6    B. 4 x  2sin  2 x    9 . 6  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   C. 4 x  2sin  2 x    7 . 6  Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng   D. 4 x  2sin  2 x    7 . 6  Lời giải Ta cần phải tính  f  x  dx   8sin 2     x   dx . Đầu tiên sử dụng công thức hạ bậc để đổi f  x   12  như sau:     1  cos  2 x       6   f  x   8sin 2  x    8  12  2            f  x   4  4 cos  2 x    F  x   4 x  2sin  2 x    C 6 6     f  0   8  2sin    C  8  C  9 6 Chọn B Câu 10. Biết F ( x ) là nguyên hàm của  5x 2  8x  4 x 2 1  x  2 1 dx với 0  x  1 và F    26 . Giá trị nhỏ nhất của  2 F ( x ) là: A. 24. B. 20. C. 25. D. 26. Lời giải Ta có: F  x   5 x2  8x  4 x 2 1  x  2 dx   9 x 2  4  x 2  2 x  1 x 2 1  x 2  dx  9 4 4 9  dx     C 2 2 x 1  x   1  x  x  4 9 1  C  26  C  0 Vì F    26 nên  1  1  2 1 2  2  Lúc này F  x   4 9 với 0  x  1 . Sử dụng MTCT bấm Mode 7 chọn start 0 end 1 Step  x 1  x  0.1: Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị nhỏ nhất của F(x) là 25 xảy ra khi x =0,4 Chọn C Câu 11. Cho f  x  1 x . Một nguyên hàm F  x của f x thỏa F 1  1 là: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. x 2  x  1   x  B.  x   Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng x2 1  khi x  0 2 2 . x2  C2 khi x  0 2  x2  2  x  C1 khi x  0 C.  . 2  x  x  C khi x  0 2  2  x2  x  C1 khi x  0  D.  . x2 x   C2 khi x  0   2 Lời giải   x  1  x khi x  0 Ta có: f  x     F  x   1  x khi x  0 x     x  1 Theo đề F 1  1  C1   do đó:  2 x   x2  C1 khi x  0 2 . x2  C2 khi x  0 2 x2 1  khi x  0 2 2 . x2  C2 khi x  0 2 Chọn B Câu 12. Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   1 1 và F  0    ln 4 . Tập nghiệm S của e 3 3 x phương trình 3F  x   ln  x 3  3  2 là: A. S  2 . B. S  2; 2 . C. S  1; 2 . D. S  2;1 . Lời giải Ta có: F  x    dx 1  ex  1 x  1    dx  x  ln  e  3  C . x x  e 3 3  e 3 3   1 1 Do F  0    ln 4 nên C  0 . Vậy F  x   x  ln  e x  3 . 3 3   Do đó: 3F  x   ln  e x  3  2  x  2 Chọn A Câu 13. (NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU TIỀN GIANG) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số 1 , thỏa mãn F  3  1 và F 1  2 , giá trị của F  0   F  4  bằng x2 A. 2ln 2  3 . B. 2 ln 2  2 . C. 2 ln 2  4 . D. 2 ln 2 . Lời giải Chọn A Hàm số f  x  xác định trên  \ 2 . f  x  Ta có: F  x    f  x dx   1 ln  x  2   C1 khi x  2 . dx   x2 ln  2  x   C2 khi x  2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  F  3  1 C1  1 ln  x  2   1 Do   . Khi đó F  x    C2  2  F 1  2 ln  2  x   2 Vậy F  0   F  4    ln 2  2    ln 2  1  2 ln 2  3 . Câu 14. khi x  2 khi x  2 . (Chuyên Vinh Lần 3) Biết rằng x e x là một nguyên hàm của f   x  trên khoảng  ;   . Gọi F  x  là một nguyên hàm của f   x  e x thỏa mãn F  0   1 , giá trị của F  1 bằng A. 7 . 2 B. 5e . 2 C. 7e . 2 D. 5 . 2 Lời giải Chọn A Ta có f   x    x e x   e x  x e x , x   ;   . Do đó f   x   e    x     x  e    x  , x   ;   . Suy ra f  x   e  x 1  x  , x   ;   . Nên f   x    e  x 1  x    e x  x  2   f   x  e x  e  x  x  2  .e x  x  2 . Bởi vậy F  x     x  2  d x  1 2  x  2  C . 2 1 2  0  2   C  C  2 ; F  0   1  C  1 . 2 1 1 7 2 2 Vậy F  x    x  2   1  F  1   1  2   1  . 2 2 2 Câu 15. (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số Từ đó F  0   f  x  là 2cos x 1 trên khoảng  0;   . Biết rằng giá trị lớn nhất của F  x  trên khoảng  0;   sin 2 x 3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.   A. F    3 3  4 . 6  2 B. F   3 3  .   2   C. F     3 . 3 Lời giải  5  D. F    3 3.  6  Chọn A Ta có:  f  x  dx    2 d  sin x  2 sin x 2cos x 1 cos x 1 dx  2 2 dx   2 dx 2 sin x sin x sin x  1 2 dx    cot x  C 2 sin x sin x Do F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   F  x  có công thức dạng F  x    Xét hàm số F  x    2cos x 1 trên khoảng  0;   nên hàm số sin 2 x 2  cot x  C với mọi x   0;   . sin x 2  cot x  C xác định và liên tục trên  0;   . sin x File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A F ‘ x  f  x  Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2cos x 1 sin 2 x Xét F ‘  x   0  2cos x 1 1   0  cos x   x    k 2  k   . 2 sin x 2 3 Trên khoảng  0;   , phương trình F ‘  x   0 có một nghiệm x   3 Bảng biến thiên:   max F  x   F     3  C  0;  3 Theo đề bài ta có,  3  C  3  C  2 3 . Do đó, F  x    2  cot x  2 3 . sin x   Khi đó, F    3 3  4 . 6 Câu 16. (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x  x 3  4 x  . Hàm số F  x 2  x  có bao nhiêu điểm cực trị? 2 A. 6. B. 5. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn B F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x 2 x 3  4x   F ‘ x  f  x   ex 2 x 3  4x. x  0 F ‘  x   0  e  x  4 x   0  x  4 x  0   x  2  x  2 x2 3 3 F ‘  x 2  x    2 x  1 .F ‘  x 2  x  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1  2 x  1  0  x   2  x  0  2 x x0   x  1  2 x  1 .F ‘  x2  x   0    2 x  1 x  x  2    x  2   x 2  x  2 ( ptvn)  Vậy, phương trình F ‘  x 2  x   0 có 5 nghiệm phân biệt. Do đó, hàm số F  x 2  x  có 5 điểm cực trị. Câu 17. (Cụm 8 trường chuyên lần1) Biết F  x    ax 2  bx  c  e  x là một nguyên hàm của hàm số f  x    2 x 2  5 x  2  e  x trên  . Giá trị biểu thức f  F  0   bằng: A. 1 . e C. 20e2 . B. 3e . D. 9e . Lời giải Chọn D + Tính  F  x      ax 2  bx  c  e  x     ax 2   2 x   2 a  b  x  b  c  e  x  2 x  5 x  2 e .  a  2 a  2   Suy ra 2a  b  5  b  1 nên F  x    2 x 2  x  1 e  x . b  c  2 c  1   + Tính F  0   1 suy ra f  F  0    f  1  9e . Câu 18. (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hai hàm số F  x    x 2  ax  b  e x , f  x    x 2  3 x  4  e x . Biết a, b là các số thực để F  x  là một nguyên hàm của f  x  . Tính S  a  b . A. S  6 . B. S  12 . C. S  6 . Lời giải D. S  4 . Chọn D Nhận xét: Bài này sẽ chặt chẽ hơn nếu thêm điều kiện F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên . Từ giả thiết ta có F   x   f  x  , x    2 x  a  e x   x 2  ax  b  e x   x 2  3x  4  e x , x   x 2   2  a  x  a  b  x 2  3 x  4 , x  . a  2  3 Đồng nhất hai vế ta có  . a  b  4 Suy ra S  a  b  4 . Câu 19. (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho F  x  là một nguyên hàm 2x 1 1 trên khoảng  0;   thỏa mãn F 1  . Giá trị của biểu thức 3 2 x  2x  x 2 S  F 1  F  2   F  3   …  F  2019  bằng của hàm số f  x   4 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 2019 . 2020 B. 2019.2021 . 2020 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C. 2018 1 . 2020 D.  2019 . 2020 Lời giải Chọn C Ta có: F  x     1 2x 1 2x 1 1   d x  d x    x 2  x  12   x 2  x  12  dx . x4  2 x3  x2   1 1 1 1 1 Suy ra: F  x      c mà F 1  nên c  1 . Hay F  x     1. x x 1 2 x x 1 Ta có: S  F 1  F  2   F  3   …  F  2019  1 1  1 1   1 1   1 1    S      1       1      1  …      1  1 2   2 3   3 4   2019 2020  1 1 1 . S  1   2019.1  2018   2018 2020 2020 2020 x  cos x Câu 20. (Chuyên Vinh Lần 3)Biết F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   . Hỏi đồ thị của x2 hàm số y  F  x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. Vô số điểm. B. 0. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn C Vì F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   Ta có: F ( x )  0  x  cos x x  cos x nên suy ra: F ( x )  f ( x )  . 2 x x2 x  cos x  x  cos x  0 0  1 . 2 x  x   1;1 \ 0 Xét hàm số g ( x )  x  cos x trên  1;1 , ta có: g ( x )  1  sin x  0, x   1;1 . Suy ra hàm số g ( x ) đồng biến trên  1;1 . Vậy phương trình g ( x )  x  cos x  0 có nhiều nhất một nghiệm trên  1;1  2  . Mặt khác ta có: hàm số g ( x )  x  cos x liên tục trên  0;1 và g  0   0  cos  0   1  0 , g (1)  1  cos 1  0 nên g  0  .g 1  0 . Suy ra x0   0;1 sao cho g  x0   0  3  . Từ 1 ,  2  ,  3  suy ra: phương trình F ( x )  0 có nghiệm duy nhất x0  0 . Đồng thời vì x0 là nghiệm bội lẻ nên F ( x) đổi qua x  x0 . Vậy đồ thị hàm số y  F  x  có 1 điểm cực trị. 1 Câu 21. (Chuyên Vinh Lần 3) Biết F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   cos x  x 2  1 . Hỏi đồ thị 2 của hàm số y  F  x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. Vô số điểm. B. 0 . C. 1 . Lời giải D. 2 . Chọn D File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 2 x 1 . 2 f / ( x)   s inx  x ; f // ( x)   cos x  1  0 x  R . Suy ra hàm số f / ( x ) đồng biến trên R , từ đó dẫn đến phương trình f / ( x )  0 có nhiều nhất một nghiệm. Mặt khác f / (0)  0 suy ra x  0 là nghiệm duy nhất của phương trình f / ( x )  0 . Ta có F / ( x )  f  x   cos x  Do hàm số f / ( x ) liên tục trên mỗi khoảng  ; 0  ;  0;   và vô nghiệm trên mỗi khoảng này nên dấu của f / ( x ) không đổi trên mỗi khoảng trên. Mà f / (1)  0; f / (1)  0 suy ra f / ( x)  0 x   ;0  và f / ( x)  0 x   0;   . Vậy hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng  ; 0  và đồng biến trên khoảng  0;   . Mà f (0)  0 nên phương trình f ( x )  0 có nghiệm duy nhất x  0 hay phương trình F / ( x)  0 có nghiệm duy nhất x  0 . Vậy đồ thị của hàm số y  F  x  có duy nhất một điểm cực trị. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng PHƯƠNG PHÁP NGUYÊM HÀM ĐỔI BIẾN SỐ A – KIẾN THỨC CHUNG 1. Đổi biến dạng 1 Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x   t . Trong đó  t cùng với đạo hàm của nó (  ‘ t là    những hàm số liên tục) thì ta được :  f (x )dx   f  t   ‘ t dt   g(t )dt  G (t )  C . 1.1. Phương pháp chung     Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt   ‘ t  dt . Bước 3: Biểu thị : f (x )dx  f  t    ‘ t  dt  g (t )dt .    Bước 1: Chọn t=  x . Trong đó  x là hàm số mà ta chọn thích hợp .    Bước 4: Khi đó : I   f (x )dx   g(t )dt  G (t )  C 1.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp Dấu hiệu Hàm số mẫu số có  Cách chọn t là mẫu số     t  x Hàm số : f x ;  x   Hàm f x    Hàm f x  a. s inx+b.cosx c.s inx+d.cosx+e  x  x t  tan ; cos  0  2  2  Với : x  a  0 và x  b  0 . 1 Đặt : t  x  a  x  b Với x  a  0 và x  b  0 .  x  a x  b  Đặt : t  x  a  x  b 2. Đổi biến dạng 2 Nếu :  f (x )dx  F (x )  C và với u   t là hàm số có đạo hàm thì :   f (u )du  F ((t ))  C 2.1. Phương pháp chung   Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx   ‘ t  dt Bước 3: Biến đổi : f (x )dx  f  t    ‘ t  dt  g t  dt    Bước 1: Chọn x   t , trong đó  t là hàm số mà ta chọn thích hợp .    Bước 4: Khi đó tính :  f (x )dx   g(t )dt  G (t )  C . 2.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp Dấu hiệu Cách chọn a2  x2    Đặt x  a sint ; với t    ;  . hoặc x  a cost ;  2 2 với t   0;   . x2  a2 Đặt x  a a    . ; với t    ;  \ 0 hoặc x  sint cost  2 2  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng   với t  0;   \   . 2    Đặt x  a tant ; với t    ;  . hoặc x  a cot t  2 2 a2  x 2   với t  0;  . a x . hoặc a x a x . a x Đặt x  acos2t x  a b  x  Đặt x  a  (b – a )sin 2t    Đặt x  atant ; với t    ;  .  2 2 1 2 a  x2 B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho F(x) là một nguyên hàm của f  x       F F ? 3 4 A. 5  3 .  4  4  f  x dx   cos x 0 0  4  0 1 2 5  1. B.   , biết F  0   0 , F    1 . Tính 4 cos x 1  a cos x tan x 2 C. 3  5 . Lời giải  4 tan x 2 1  a cos x dx   0 tan x 2 cos x tan 2 x  1  a D. 5 2 dx d tan 2 x  1  a 2 tan x  1  a   1  a  tan 2 0  1  a  3  2 . 4  a  2  a 1  3  2  tan 2  a  2  a 1 2 a 1    3  2 52 6 3 6  a 1  a  1 3 2  3 tan x     dx  Do đó F    F     3  4   cos x 1  cos 2 x tan 2    2  tan 2  2  5  3 . 3 4 4 Chọn A 2017 Câu 2. (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho b  x  1 1  x  1   x  12019 dx  a .  x  1c  C a , b , c là các số nguyên. Giá trị a  b  c bằng A. 4.2018 . B. 2.2018 . C. 3.2018 . Lời giải D. 5.2018 . Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 2 với ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2017 2017  x  1 1  x 1  I  dx    dx .  . 2019 2  x 1  x  1  x  1 Đặt t  Khi 2 x 1  dt  dx . 2 x 1  x  1 đó I  t 2017 2018 dt 1 t  . C 2 2 2018 1  x 1   .  2.2018  x  1  2018 1  x 1  C  .  2.2018  x  1  2018 C 2018  x  1 1  . C . 2.2018  x  1 2018 Câu 3. Suy ra a  2.2018 , b  2018 , c  2018 nên a  b  c  4.2018 .  2 x  3 dx 1 Giả sử    C ( C là hằng số). x  x  1 x  2  x  3  1 g  x Tính tổng các nghiệm của phương trình g  x   0 . A. 1 . D. 3 . C. 3 . Lời giải B. 1. Chọn D 2 Ta có x  x  1 x  2  x  3  1   x 2  3x  x 2  3 x  2   1   x 2  3 x   1 . Đặt t  x 2  3x , khi đó dt   2 x  3 dx . Tích phân ban đầu trở thành Trở lại biến x , ta có dt   t  1 2  1 C . t 1  2 x  3 dx  x  x  1 x  2 x  3  1   x 2 1 C .  3x  1 Vậy g  x   x2  3x  1 . 3  5 3  5 hoặc x  . 2 2 Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng 3 . Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  2;1 thỏa mãn f  0   1 và g  x   0  x 2  3x  1  0  x  Câu 4.  f  x 2 . f   x   3x 2  4 x  2 . Giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x trên đoạn  2;1 là C. 3 16 . D. 2 3 18 . Lời giải 3 1 1   thì ta tìm được  f  x    3  x 3  2 x 2  2 x    f  x   3 3  x 3  2 x 2  2 x    3 g ( x ). 3 3   g (2).g (1)  11.16  0  Phương trình g ( x)  0 có nghiệm trên  2;1  Hàm số A. 2 3 16 . B. 3 18 . f  x   3 g ( x) không có đạo hàm trên  2;1 . Trái với giả thiết. Do vậy mình đã sửa lại giả thiết của đề f  0   3 để hợp lí hơn. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 5. Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f  x     1 1  x2 trên khoảng  ;  ?  A. F  x   ln x  1  x 2  C .  B. F  x   ln 1  1  x2  C . C. F  x   1  x 2  C . D. F  x   2x 1  x2 C Lời giải Ta có bài toán gốc sau: Bài toán gốc: Chứng minh Đặt dt  t  dx  2  ln x  x 2  a  c  a    x a   2x x  x2  a t  x  x 2  a  dt  1  dx  dt  dx  2 x2  a  2 x a  dx tdx x2  a x2  a dx dt Vậy khi đó     ln t  c  ln x  x 2  a  c ( điều phải chứng minh). t x2  a Khi đó áp dụng công thức vừa chứng minh ta có 1 F  x   dx  ln x  1  x 2  c  ln x  1  x 2  c . 2 1 x Chọn A sin 2 x  cos x (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Biết F ( x) nguyên hàm của hàm số f ( x)  1  sin x   và F (0)  2 . Tính F   2    2 2 8   2 2 8    4 2 8   4 2 8 A. F    B. F    C. F    D. F    3 3 3 3 2 2 2 2 Lời giải Ta có:  Câu 6.  dt   2   2 sin 2 x  cos x   dx  F    F  0  1  sin x 2 0  f ( x)dx   0 Đặt t  1  sin x  2tdt  cos xdx  2  2  2 sin 2 x  cos x 2sin x  1 dx   cos xdx 1  sin x 1  sin x 0 0  f ( x)dx   0 2   1 Câu 7. 2 2  2t 3  2(t 2  1)  1 2 2 2 2tdt  2   2t 2 -1 dt  2  t  t 3  3 1 1 2 2 2 82 2   2 2 2 F   F  0  2 . 3 3 3 2 5 cos7 2 x  C . Với a là số nguyên. Tìm a? Biết   cos 2 x  sin 2 x  .sin 4 xdx   a A. a  6. B. a  12. C. a  7. D. a  14. Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 5   Đặt f  x    cos2 x  sin 2 x .sin 4xdx , Ta có: 5 5 f  x     cos 2 x  sin 2 x  .sin 4 xdx    cos 2 x  .2sin 2 x.cos 2 x  2 cos 6 2 x.sin 2 xdx Câu 8. Đặt t  cos 2 x  dt  2sin 2 xdx t 7 cos7 2 x 6 F x   t dt   C   C Vậy    7 7 Chọn C 1 2 x R 2 dx x 2  x Tìm ? tan 2t 1 1  sin 2t 1  x  ln  C với t  arctan   . 2 4 1  sin 2t 2  2 tan 2t 1 1  sin 2t 1  x  ln  C với t  arctan   . B. R   2 4 1  sin 2t 2  2 tan 2t 1 1  sin 2t 1  x  ln  C với t  arctan   . C. R  2 4 1  sin 2t 2  2 tan 2t 1 1  sin 2t 1  x  ln  C với t  arctan   . D. R  2 4 1  sin 2t 2  2 Lời giải   Đặt x  2 cos 2t với t   0;   2 dx  4sin 2t.dt  Ta có:  2  x 2  2sin 2t 4sin 2 t sin t     2  2 cos 2t 4 cos 2 t cos t  2 x 1 sin t 2 sin 2 t 1  cos 2t  R   . .4 sin 2t.dt    dt    dt 2 2 4 cos 2t cos t cos 2t cos 2 2t 1 1 tan 2t 1 1  sin 2t  R   dt   dt    ln C 2 cos 2t cos 2t 2 4 1  sin 2t Chọn A 3  3 1 1 3  a 4 1 1 3 b x  x  1   dx có dạng x   x  x  1  C , trong đó a, b là    x2 2  4 x 2 3  hai số hữu tỉ. Giá trị b, a lần lượt bằng: A. 2; 1 . B. 1; 1 . C. a, b   D. 1; 2 . Lời giải Cách 1:  1 1 3  Theo đề, ta cần tìm   x3  x  1  2   dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . x 2   Ta có:  3  3 1 1 3  1 1 3  x  x  1   dx       x  x 2  2  dx   x  1 dx . x2 2     A. R   Câu 9.   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Để tìm  2x   3 x 2  1  x ln x dx ta đặt I1    x   Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 1 3    dx và I 2   x  1 dx và tìm x2 2  I1 , I 2 .  1 1 3  *Tìm I1    x3  2   dx . x 2    1 1 3  1 4 1 1 3 I1    x3  2  x  C1 , trong đó C1 là 1 hằng số.  dx  x   x 2 4 x 2   *Tìm I 2   x  1 dx . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t  x  1, t  0 ta được t 2  x  1, 2tdt  dx . 3 2 2 Suy ra I 2   x  1 dx   2t 2 dt  t 3  C2  x  1  C2 . 3 3  3 1 1 3  1 4 1 1 3 2   x  x  1  x2  2  dx  I1  I 2  4 x  x  2 x  C1  3       3 x  1  C2  1 4 1 1 3 x   x 4 x 2 3  3 1 1 3  a 4 1 1 3 b x  x  1   dx có dạng x   x  x  1  C thì    x2 2  4 x 2 3  a  1 , b  2  . Vậy đáp án chính xác là đáp án D Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ. 3 a 1 1 3 b Ta thay giá trị của a, b ở các đáp án vào x 4   x x  1  C . Sau đó, với mỗi 4 x 2 3 3 a b 1 a, b ở các đáp án A, B, D ta lấy đạo hàm của x 2  1  x 2 ln x  x 2  C . 3 2 4 Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không chú ý đến thứ tự b, a nên học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm. B. Đáp án B sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: *Tìm I 2   x  1 dx .  Suy ra để     Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t  x  1, t  0 ta được t 2  x  1, tdt  dx . 3 1 1 Suy ra I 2   x  1 dx   t 2 dt  t 3  C2  x  1  C2 . 3 3  3 1 1 3  1 4 1 1 3 1   x  x  1  x2  2  dx  I1  I 2  4 x  x  2 x  C1  3       3 x  1  C2   3 1 1 3  a 4 1 1 3 b x  x  1   x   x   dx có dạng 2  x 2  4 x 2 3  a  1  , b  1  . Thế là, học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm. Suy ra để   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông 1 4 1 1 3 x   x 4 x 2  3 x  1  C thì Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C. Đáp án C sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: *Tìm I 2   x  1 dx . I 2   x  1 dx  1  C2 . 2 x 1 3  1 1 3  a 4 1 1 3 b Suy ra   x3  x  1  2  x x 1  C ,  dx không thể có dạng x   x 2  4 x 2 3  với a, b   . Nên không tồn tại a, b thỏa yêu cầu bài toán. 2 2 a b Câu 10.   x  1 e x 5 x 4  e7 x 3  cos 2 x dx có dạng e x 1  sin 2 x  C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. 6 2 Giá trị a, b lần lượt bằng: A. 3; 1 . B. 1; 3 . C. 3; 2 . D. 6; 1 . Lời giải Cách 1: Theo đề, ta cần tìm   x  1 e 2 x 1  cos 2 x dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a .       Ta có:    x  1 e x2 5 x 4    x  1 e x 1  x2 5 x 4 7 x 3  e7 x  3  cos 2 x dx     x  1 e  cos 2 x  dx   .  2 dx   cos 2 x dx  x  1 e x 2  5 x  4  e7 x  3  cos 2 x  dx ta đặt I   x  1 e x12 dx và I  cos 2 x dx và  1 2        tìm I1 , I 2 . Để tìm 2 *Tìm I1    x  1 e x1 dx . 2 Đặt t   x  1 ; dt  2  x  1 x  1 dx  2  x  1 dx . 1 1 1 x 1 2 dx   et dt  et  C1  e   C1 , trong đó C1 là 1 hằng số. 2 2 2 *Tìm I 2   cos 2 x dx . I1    x  1 e x 1 2 1 I 2   cos 2 x dx  sin 2 x  C2 . 2 x 5 x  4  e 7 x 3  cos 2 x  dx  I1  I 2     x  1 e 2 Suy ra để    x  1 e x 2 5 x  4 1  x 12 1 1 x 1 2 1 e  C1  sin 2 x  C 2  e    sin 2 x  C. 2 2 2 2   e7 x  3  cos 2 x dx có dạng a  x 12 b e  sin 2 x  C 6 2 a  3  , b  1 . Chọn A Cách 2: Sử dụng phương pháp loại trừ bằng cách thay lần lượt các giá trị a, b ở các đáp án vào a  x 12 b e  sin 2 x  C và lấy đạo hàm của chúng. 6 2 Sai lầm thường gặp File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 7 thì ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng B. Đáp án B sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ không để ý đến thứ tự sắp xếp b, a nên khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh chỉ sai lầm ở chỗ: Tìm I 2   cos 2 x dx . I 2   cos 2 x dx  sin 2 x  C2 . 1  x12 1 x1 2 e  C1  sin 2 x  C2  e    sin 2 x  C . 2 2 2 a  x 12 b Suy ra để   x  1 e x 5 x 4  e7 x 3  cos 2 x dx có dạng e  sin 2 x  C thì 6 2 a  3  , b  2  . D. Đáp án D sai. Một số học sinh chỉ sai lầm ở chỗ:    x  1 e x2 5 x  4   e 7 x 3  cos 2 x dx  I1  I 2    2 Tìm I1    x  1 e x1 dx . 2 Đặt t   x  1 ; dt   x  1 x  1 dx   x  1 dx . 2 2 I1    x  1 e x1 dx   et dt  et  C1  e x 1  C1 , trong đó C1 là 1 hằng số. Học sinh tìm đúng I 2  1 sin 2 x  C2 nên ta được: 2 2 1 1 x 1  C1  sin 2 x  C2  e   sin 2 x  C . 2 2 2 2 a  x 1 b Suy ra để   x  1 e x 5 x 4  e7 x 3  cos 2 x dx có dạng e  sin 2 x  C thì 6 2 a  6  , b  1 .    x  1 e x2 5 x  4   e 7 x 3  cos 2 x dx  I1  I 2  e   I  2  e x  3x  2   x  1   x 1 ex . x 1  1 dx Câu 11. Tìm ? x A. I  x  ln e . x  1  1  C .   x 1    B. I  x  ln e x . x  1  1  C .   C. I  ln e x . x  1  1  C .  D. I  ln e x . x  1  1  C . Lời giải I  e x  3x  2   x  1   x 1 ex . x 1  1 dx     x x  1 e . x  1  1  e x  2 x  1   x  1 ex . x 1  1 dx   dx   e x  2 x  1   x  1 ex . x 1  1 e x  2 x  1  ex  x Đặt: t  e . x  1  1  dt    e x  1  dx  dx 2 x 1  2 x 1  e x  2 x  1 1 Vậy  I   dx   dx  x   dt  x  ln t  C  x  ln e x . x  1  1  C t x 1 ex x 1 1 x     Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 8 dx ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng x Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   ln 1  x 2   2017 x x ln  e.x 2  e   2 1   ? A. ln  x 2  1  1008ln ln  x 2  1  1 . B. ln  x 2  1  2016 ln ln  x 2  1  1 . 1 ln  x 2  1  2016 ln  ln  x 2  1  1 . 2 1 D. ln  x 2  1  1008ln  ln  x 2  1  1 . 2 C. Lời giải Đặt I   ln 1  x 2 x   2017 x x ln  e.x 2  e   2 1   dx +Ta I  có: ln 1  x 2 x   2017 x x ln  e.x 2  e   2 1 x ln 1  x   2017 x dx     x 2  1  ln 1  x 2   lne  x ln 1  x   2017  2 2 dx   x 2  1  ln 1  x 2   1 dx 2x dx 1  x2 t  2016 1  2016  1 I  dt   1   dt  t  1008ln t  C 2t 2  t  2 1 1 1  I  ln x 2  1   1008ln ln x 2  1  1  C  ln x 2  1  1008ln ln x 2  1  1  C 2 2 2 Chọn D + Đặt: t  ln 1  x 2   1  dt         3 Câu 13. (Chuyên KHTN) Cho hàm số f ( x) liên tục trên  và có   5 f ( x) dx  8 và 0  f ( x)dx  4. Tính 0 1  f ( 4 x  1)dx. 1 9 . 4 A. B. 11 . 4 C. 3. D. 6. Lời giải Chọn C 1 4 1 Ta có  1 1 f ( 4 x  1)dx   f ( 4 x  1)dx   f ( 4 x  1)dx 1 1 4 1 4 1   f (1  4 x)dx   f (4 x  1)dx  I  J . 1 4 1 1 4 +) Xét I   f (1  4 x) dx. 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Đặt t  1  4 x  dt  4dx; 1 Với x  1  t  5; x   t  0. 4 1 4 I 0 5 5 1 1 1 1 f (1  4x)dx  5 f (t )( 4 dt )  4 0 f (t )dt  4 0 f ( x)dx 1. 1 +) Xét J   f (4 x  1)dx. 1 4 Đặt t  4 x  1  dt  4dx; 1 Với x  1  t  3; x   t  0. 4 1 3 3 3 1 1 1 J   f (4 x  1)dx   f (t )( dt )   f (t )dt   f ( x) dx 2. 4 40 40 1 0 4 1 Vậy  f ( 4 x  1)dx  3. 1 G 2 x 2  1  2ln x  .x  ln 2 x  x 2  x ln x  Câu 14. Tìm 2 dx ? 1 1 1 1 B. G    C . C. x x  ln x x x  ln x 1 1 1 1 C. G    C . D. G   C. x x  ln x x x  ln x Lời giải Ta có: 2  x 2  2 x ln x  ln 2 x   x  x 2 2 x 2  1  2 ln x  .x  ln 2 x x  ln x   x  x  1  G dx   dx   dx 2 2 2 x 2  x  ln x  x 2  x  ln x  x 2  x ln x A. G     1  x 1 1 x 1 1  G   2   dx     dx  J 2 2 x x x x  x  ln x   x  x  ln x   Xét nguyên hàm: J   x 1 x  x  ln x  2   x 1 J  dx  2   x  x  ln x    dx 1 x 1  x x 1 1 1  J   2 dt  C  C t t x  ln x 1 1 1 Do đó: G  J   C x x x  ln x Chọn A + Đặt: t  x  ln x  dt  1  Câu 15. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của h  x   1  ln x ? x .ln x.  x n  ln n x  1 n File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 1 ln x  ln x n  ln n x  2016 . n n 1 1 C.  ln x  ln x n  ln n x  2016 . n n Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 1 ln x  ln x n  ln n x  2016 . n n 1 1 D.  ln x  ln x n  ln n x  2016 . n n Lời giải A. B. Ta có: L 1  ln x 1  ln x 1 1  ln x 1 dx   .  n 1 dx   . dx 2 2 n n n n x x x .ln x.  x  ln x  x .ln x.  x  ln x  ln x  ln n x  1  n  x  x  1 n Đặt: t  ln x 1  ln x dt t n 1dt  dt  dx  L    t  t n  1  t n  t n  1 x x2 + Đặt u  t n  1  du  n.t n 1dt 1 du 1  1 1 1 1 u 1 L      du  .  ln u  1  ln u   C  .ln C n u  u  1 n  u  1 u  n n u ln n x n 1 t 1 1 ln n x  L  .ln n  C  .ln nx  C  .ln n C ln x n t 1 n n ln x  x n 1 xn Chọn A n Câu 16. (Quỳnh Lưu Lần 1) Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x    1 và F  0    ln 2e . e 1 x  Tập nghiệm S của phương trình F  x   ln e x  1  2 là: A. S  3 . B. S  2;3 . C. S  2;3 . Lời giải D. S  3; 3 . Chọn A 1 ex dx   e x (e x  1) dx . ex 1 dt 1 1  (  )dt  ln t  ln(t  1)  C  ln e x  ln(e x  1)  C. Đặt t  e x  dt  e x dx . I   t (t  1) t t 1 x x Khi đó: F ( x )  ln e  ln(e  1)  C , F (0)   ln 2e   ln 2  C   ln 2  1  C  1 Do đó: F ( x )  ln e x  ln(e x  1)  1. Ta có I   f  x  dx   F  x   ln  e x  1  2  ln e x  ln(e x  1)  1  ln  e x  1  2  ln e x  3  x  3. Câu 17. Khi tính nguyên hàm  1  2 x  1 x  1 3 dx người ta đặt t  g  x  (một hàm biểu diễn theo biến x) thì nguyên hàm trở thành  2dt . Biết g  4   A. 3 6 . 2 B. 1 6 . 2 3 , giá trị của g  0   g 1 là: 5 C. 2 6 . 2 D. 23 6 . 2 Lời giải Đối với bài này HS cần pahir nắm được kĩ thuật biến đổi khi tính nguyên hàm. Hs cần phải dự đoán phép đặt ẩn phụ, đầu tiên ta thấy nguyên hàm có thể biến đổi thành: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  1  2 x  1 x  1 3 Do đó ta đặt: 2x 1 t  dt  x 1 Vì vậy suy ra dx   1  x  1 dx 2  x  1 2x  1 x 1 2 1  2x 1 x 1 2  2 x  1 x  1 3 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng dx dx  2dt   x  12 2x 1 x 1 dx   2dt Tuy nhiên đây là Lời giải sai, ta có thể thấy khi đặt 2x 1 dx dx t  C  dt   2dt  x 1 2x 1 2x 1 2 2  x  1  x  12 x 1 x 1 Với C là hằng số, kết quả không thay đổi. Vì vậy chính xác ở đây là: 3 2x 1 t  C  g  x  . Theo đề g  4   n33n suy ra C=0. x 1 5 Cuối cùng ta được g  x   2 6 2x 1 vì vậy g  0   g 1  x 1 2 Chọn C Chú ý: Bài toán này hoàn toàn có thể dùng MTCT để chọn kết quả, Ta có: 1 1 1 dx  t   dx  2dt   3 3 2  2 x  1 x  1  2 x  1 x  1  g  x  1 2 1  2 x  1 x  1 3 dx Do đó g  x  là nguyên hàm của 0 1 2 4 g  0   g  4   1 2 1  2 x  1 x  1 3 . Suy ra: 0 1 1 2 4 3 dx  g  0    3 dx  g 1    2 x  1 x  1 1  2 x  1 x  1 3 dx  g  4  Và: 1 1 2 4 g 1  g  4    1 1  2 x  1 x  1 Sử dụng MTCT bấm: 0 1 1 1 1 dx  g 4    4 2  3 2 4  2 x  1 x  1 1 2 4 1  2 x  1 x  1 1  2 x  1 x  1 3 3 dx  g  4  dx  g  4   2;1 thỏa mãn f  0  3 y  f  x  trên đoạn  2;1 là Câu 18. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  f  x  2 . f   x   3x 2  4 x  2 . Giá trị lớn nhất của hàm số B. 2 3 15 . A. 2 3 42 . C. 3 42 . Lời giải D. 3 15 . 2 Ta có:  f  x   . f   x   3x 2  4 x  2 (*) File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 12 và ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Lấy nguyên hàm 2 vế của phương trình trên ta được 2 2   f  x   . f   x dx    3x  4x  2dx    f  x   d  f  x    x  2x  f  x  x  2x  2x  C  f x  3 x  2x  2x  C 1       3 2 3 2  2x  C 3 3 3 2 3 3 2   Theo đề bài f  0   3 nên từ (1) ta có  f  0    3 03  2.02  2.0  C  27  3C  C  9 3   f  x    3  x3  2 x 2  2 x  9   f ( x )  3 3  x 3  2 x 2  2 x  9  . Tiếp theo chúng ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn  2;1 . CÁCH 1: Vì x3  2 x 2  2 x  9  x 2  x  2   2  x  2   5  0, x   2;1 nên f  x  có đạo hàm trên  2;1 3  3x 2  4 x  2  và f   x   2 3x 2  4 x  2  2  0, x   2;1 . 3  x  2 x  2 x  9   3 3  x  2 x  2 x  9      Hàm số y  f  x  đồng biến trên  2;1  max f  x   f 1  3 42 . 3 3 2 3 3 2  2;1 Vậy max f  x   f 1  42 . 3 2;1 CÁCH 2: 3 2 2  223   f  x   3 x  2x  2 x  9  3 x    2  x    . 3 3 9   3 3 2 3 3 2 2  22 3   Vì các hàm số y  3  x   , y  2  x    đồng biến trên  nên hàm số 3 3 9   3 2 2  223   y  3 x    2 x    cũng đồng biến trên . Do đó, hàm số y  f  x  đồng biến 3 3 9   trên  2;1 . 3 Vậy max f  x   f 1  3 42 .  2;1 Câu 19. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hàm số F  x  là một nguyên 2cos x  1 trên khoảng  0;   . Biết rằng giá trị lớn nhất của F  x  trên sin 2 x 3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. hàm của hàm số f  x   khoảng  0;   là   A. F    3 3  4 6  2 B. F   3 3    2   C. F     3 3 Lời giải  5  D. F    3 3  6  Ta có: 2cos x  1 cos x 1 dx  2 2 dx   2 dx 2 sin x sin x sin x d  sin x  1 2  2   2 dx    cot x  C 2 sin x sin x sin x  f  x  dx   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Do F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   F  x  có công thức dạng F  x    Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2cos x  1 trên khoảng  0;   nên hàm số sin 2 x 2  cot x  C với mọi x   0;   . sin x 2  cot x  C xác định và liên tục trên  0;   . sin x 2cos x  1 F ‘ x  f  x  sin 2 x 2 cos x  1 1  Xét F ‘  x   0   0  cos x   x    k 2  k    . 2 sin x 2 3  Trên khoảng  0;   , phương trình F ‘  x   0 có một nghiệm x  3 Bảng biến thiên: Xét hàm số F  x      max F  x   F     3  C  0;  3 Theo đề bài ta có,  3  C  3  C  2 3 . 2 Do đó, F  x     cot x  2 3 . sin x Câu 20. Cho hàm số     f  x  liên tục, không âm trên đoạn 0;  , thỏa mãn 2 f  0   3 và   f  x  . f   x   cos x. 1  f 2  x  , x   0;  . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của  2    hàm số f  x  trên đoạn  ;  . 6 2 5 21 A. m  , M  2 2 . B. m  , M  3 . 2 2 5 C. m  , M  3 . D. m  3 , M  2 2 . 2 Lời giải Chọn A Từ giả thiết f  x  . f   x   cos x. 1  f 2  x   f  x . f   x  1 f 2  x  cos x   f  x . f  x  1 f 2  x dx  sin x  C Đặt t  1  f 2  x   t 2  1  f 2  x   td t  f  x  f   x  d x . Thay vào ta được  dt  sin x  C  t  sin x  C  1  f 2  x   sin x  C . Do f  0   3  C  2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Vậy 1  f 2  x   sin x  2  f 2  x   sin 2 x  4sin x  3   f  x   sin 2 x  4sin x  3 , vì hàm số f  x  liên tục, không âm trên đoạn 0;  .  2   1  x    sin x  1 , xét hàm số g  t   t 2  4t  3 có hoành độ đỉnh t  2 loại. 6 2 2  1  21 Suy ra max g  t   g 1  8 , min g  t   g    . 1 1     2 4  2 ;1  2 ;1 Ta có   21     Suy ra max f  x   f    2 2 , min f  x   g    .        2 6 2     ; ; 6 2  6 2     File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN A – KIẾN THỨC CHUNG 1. Phương pháp nguyên hàm từng phần Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:  u(x ).v ‘(x )dx  u(x ).v(x )   v(x ).u ‘(x )dx Hay  udv  uv   vdu    ( với du  u’ x dx , dv  v’ x dx ) 1.1. Phương pháp chung  Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng : I   f (x )dx   f1 (x ).f2 (x )dx du  f ‘1(x )dx  v   f2 (x )dx   Bước 3: Khi đó :  u.dv  u.v   v.du u  f1(x )   Bước 2: Đặt :  dv  f ( x ) 2  2. Các dạng thường gặp 2.1. Dạng 1 sin x    I   P (x ) cos x  .dx . Đặt e x    u  P (x )  sin x      dv  cos x .dx    e x      u ‘.du  P ‘(x )dx   cos x      v  sin x    e x       cos x   cos x      Vậy: I  P (x ) sin x  –  sin x  .P ‘(x )dx e x  e x      2.2. Dạng 2 u  ln x  1  du  dx I   P (x ). ln xdx . Đặt   x dv  P (x )dx v   P (x )dx  Q(x )   1 Vậy I  lnx .Q x   Q(x ). dx x 2.3. Dạng 3 u  e x du  e xdx sin x       cos x   I  ex  dx sin x . Đặt       cos x  dv  cos x  .dx v  sin x         cos x    cos x  x Vậy I = I  e x  -   e dx sin x  sin x    cos x  x Bằng phương pháp tương tự ta tính được   e dx sau đó thay vào I sin x    B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1:    (ĐH Vinh Lần 1) Tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   x tan 2 x trên khoảng  ;0 là  2  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A x2 A. F  x   x tan x  ln cos x    C. 2 x2 C. F  x   x tan x  ln cos x    C. 2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng x2 B. F  x   x tan x  ln cos x    C. 2 2 x D. F  x   x tan x  ln cos x   C. 2 Lời giải Chọn A Gọi F  x   x tan 2 xdx   x  tan 2 x  1  1 dx   x  tan 2 x  1 dx   xdx   x dx   xdx. cos2 x u  x  du  dx   Đặt  1 dv  dx v  tan x  cos 2 x Khi đó: F  x    x tan x   x sin x x2 d x  x d x  x tan x  d x    cos x cos2 x 2 d cos x  cos x  x2 x2  x tan x  ln cos x   C . 2 2    Vì x   ;0 nên cos x  0 , suy ra ln cos x  ln cos x  .  2  Vậy: F  x   x tan x  ln cos x   Câu 2: x2  C. 2 x    trên   ;  và F  x  là một nguyên hàm của xf   x  thỏa mãn F  0   0 2 cos x  2 2    . Biết a    ;  thỏa mãn tan a  3 . Tính F  a   10a 2  3a .  2 2 Cho f  x   1 A.  ln10 . 2 1 B.  ln10 . 4 C. 1 ln10 . 2 D. ln10 . Lời giải Chọn C Ta có: F  x    xf   x  dx   xd f  x   xf  x    f  x  dx Ta lại có: x  f  x  dx   cos  x tan x   2 x dx =  xd  tan x   x tan x   tan xdx  x tan x   sin x dx cos x 1 d  cos x   x tan x  ln cos x  C  F  x   xf  x   x tan x  ln cos x  C cos x Lại có: F  0   0  C  0 , do đó: F  x   xf  x   x tan x  ln cos x .  F  a   af  a   a tan a  ln cos a File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khi f a  đó  cos a  a  a 1  tan 2 a   10a cos 2 a Câu 3: Cho A. 6  1 1  1  tan 2 a  10  cos 2 a  2 cos a 10 và 1 . 10 Vậy F  a   10a 2  3a  10a 2  3a  ln F  x Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 1  10a 2  3a  ln10 . 2 10 là một nguyên hàm của hàm số 15 . e B. 4  10 . e f  x  e 3 x và F  0  2 . Hãy tính 15 4. e Lời giải C. F  1 D. . 10 . e Chọn C 3 Ta có I   f  x  dx   e x dx . Đặt 3 3 x  t  x  t 3  dx  3t 2dt khi đó I   e x dx  3 et t 2dt . 2 2tdt  du t  u  t Đặt  t  I  3 e t t 2  2  e t td t e dt  dv e  v    3et t 2  6 et tdt . Tính  et tdt . t  u  dt  du Đặt  t   e t tdt  t e t   e t dt  t e t  e t .  t  e d t  dv  e  v Vậy  I  3et t 2  6  et t  et   C  F  x   3e Theo giả thiết ta có 3 x 3  x2  6 e F  0   2  C  4 3 x 3 x e 3  F  x   3e x 3 C . x 3  x2  6 e 3 x 3 x e 3 x 4 15 4. e Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x ln x .  F  1  Câu 4: A. C.  1 3 f  x  dx  x 2  3ln x  2   C . 9 B.  f  x  dx  2 32 x  3ln x  1  C . 9 D.  f  x  dx  2 32 x  3ln x  2   C . 3  f  x  dx  2 32 x  3ln x  2   C . 9 Lời giải Chọn A I   f  x  dx   x ln x.dx . Đặt: t  x  dt  1 2 x dx  2tdt  dx .  I  2 t 2 ln t 2 .dt  4 t 2 ln t.dt . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1  du  t dt u  ln t Đặt:   . 2 3 dv  t dt v  t  3 1 1 1  1  2  I  2  t 3 ln t   t 2dt   2  t 3 ln t  t 3  C   t 3  3ln t  1  C 3 9 3  3  9  Câu 5: 2 32 x 3ln x  1  C 9   1 32  x  3ln x  2   C . 9 x 2 dx H  2 x sin x  cos x   Tìm ? A. H  x  tan x  C . cos x  x sin x  cos x  B. H  x  tan x  C . cos x  x sin x  cos x  C. H  x  tan x  C . cos x  x sin x  cos x  D. H  x  tan x  C . cos x  x sin x  cos x  Lời giải Ta có: H   x2  x sin x  cos x  2 dx   x cos x  x sin x  cos x  2 . x dx cos x x  x sin x  cos x  du  dx u  cos x    cos 2 x Đặt   d  x sin x  cos x   x cos x 1 dv  v   dx  2 2  x sin x  cos x   x sin x  cos x   x sin x  cos x  H  x 1 1 x .  dx   tan x  C 2 cos x x sin x  cos x cos x cos x  x sin x  cos x  Chọn C Câu 6:   2x  x 2  1  x ln x dx có dạng a 3   3 x2 1  b 2 1 x ln x  x 2  C , trong đó a, b là hai số hữu 6 4 tỉ. Giá trị a bằng: A. 3 . B. 2 . C. 1. D. Không tồn tại. Lời giải Cách 1: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Theo đề, ta cần tìm   2x Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  x 2  1  x ln x dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . Ta có:    2x x 2  1  x ln x dx   2 x x 2  1 dx   x ln x dx . Để tìm   2x  x 2  1  x ln x dx ta đặt I1   2 x x 2  1 dx và I 2   x ln x dx và tìm I1 , I 2 . * I1   2 x x 2  1 dx . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t  x 2  1, t  1 ta được t 2  x2  1, xdx  tdt . Suy ra: I1   2 x x 2  1 dx   2t 2 dt  2 3 2 t  C1  3 3   3 x 2  1  C1 , trong đó C1 là 1 hằng số. * I 2   x ln x dx . Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần. 1  du  dx  u  ln x  x Đặt   , ta được: dv  xdx v  1 x 2  2 I 2   x ln x dx   udv  uv   vdu  . 1 2 1 1 1 1 1 1 x ln x   x 2  dx  x 2 ln x   xdx  x 2 ln x  x 2  C2 2 2 x 2 2 2 4   2 x x 2  1  x ln x dx  I1  I 2  2  3 Suy  2 3  3  x 2  1  C1  1 2 1 x ln x  x 2  C2 2 4 3 1 1 x  1  x 2 ln x  x 2  C 2 4 2 ra  để   2x  x 2  1  x ln x dx có dạng a 3   3 x2 1  . b 2 1 x ln x  x 2  C 6 4 thì a  2  , b  3  . Chọn B Câu 7: ln  2 x  3 c  Biết F  x   a ln x   b   ln  2 x  3 là nguyên hàm của hàm số f  x   . Tính x x2  S  abc. A. S  1. 1 B. S  . 3 C. S  7 . 3 4 D. S   . 3 Lời giải Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên hàm của hàm số f  x    f  x dx    ln  2 x  3 x ln  2 x  3 x  2 ln  2 x  3 x2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng là: 1 1 2 1 1 2 dx   .ln  2 x  3   dx   .ln  2 x  3   dx x x 2x  3 x x 2x  3 ln  2 x  3 2 2 2 1 2     ln x  ln  2 x  3  C  dx    3  x 2x  3  x 3 3 2  2 1  ln x      ln  2 x  3  C 3  3 x ln  2 x  3 2 c 2   ln x  ln  2 x  3  C , với C  0 ,  F  x   a ln x   b   ln  2 x  3   x x 3 3  abc  2  2       1  1 3  3 2 Câu 8: x  ln x a 1 dx  ln 2  với a, b, c là các số nguyên dương và các b c 1  x  1 (Trần Đại Nghĩa) Cho I   2 phân số là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức S  A. S  5 . 6 1 B. S  . 3 C. S  ab . c 2 . 3 D. S  1 . 2 Lời giải Chọn A 2 Ta có I   1 2 Xét I1   1 x  ln x  x  1 x  x  1 2 2 2 dx   1 2 x  x  1 2 dx   1 ln x  x  1 2 dx . dx . Đặt t  x  1  dt  dx . 3 3 3 3 3 t 1 1 1 1 3 1 I1   2 dt   dt   2 dt  ln t 2   ln  . t t t t2 2 6 2 2 2 2 2 ln x 2 2 1 1 1 1  1 dx   ln x   dx   ln 2     Xét I 2    dx . 2 x 1 x  x  1 3 x x 1 1 1  x  1 1 1 2 1 x 1 4 I 2   ln 2  ln   ln 2  ln . 3 x 1 1 3 3 3 1 1 4 2 1 Do đó I  ln   ln 2  ln  ln 2  . 2 6 3 3 3 6 S  ab 23 5   . c 6 6 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 9: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Họ nguyên hàm của 2  2 x  x  ln x  1 là y x x2 x2 2 2 x  x  1 ln x   x  C x  x  1 ln x   xC . A. . B. 2 2    x2 C.  x  x  1 ln x   x  C . 2 hàm  x2 D.  x  x  1 ln x   x  C . 2 2 2 Lời giải Chọn C Ta có:   2x 2  x  ln x  1 x 1 dx    2 x  1 ln x dx   dx  I1  I 2 . x 1  u  ln x du  dx I1    2 x  1 ln x dx . Đặt   x . dv   2 x  1 dx v  x 2  x  1 I1   x 2  x  ln x    x 2  x  dx   x 2  x  ln x    x  1 dx x 2 x   x 2  x  ln x   x  C1. 2 I2     2x 2 1 dx  ln x  C 2 . x  x  ln x  1 x dx  I1  I 2 x2 x2  x  C1  ln x  C2   x 2  x  1 ln x   x  C. 2 2 2  4 x  Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 3 ln  ? 2  4  x     x 2  x  ln x   4  x2   x 4  16   4  x 2  2 A. x 4 ln  . B.  2 x  2×2 .   ln  2  2  4 x   4   4 x   4  x2   x 4  16   4  x 2  2 C. x 4 ln  . D.  2 x  2×2 .   ln  2  2  4 x   4   4 x  Lời giải x   4  x 2  du  16 4  u  ln    x  16 2  Đặt:   4 x   4 4  v  x  4  x  16 3 dv  x dx  4 4  4  x2   x 4  16   4  x 2   x 4  16   4  x 2    x 4 ln  dx  ln  4 xdx   2×2  C      ln  2  2  2    4 x   4   4 x   4   4 x  Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 7 số ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ. 3  b2 x ln x  14 x  C . Sau đó, với mỗi a của  a b 1 các đáp án ta lấy đạo hàm của  x  1   x ln x  x  C . 3 2 4 Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào a 3 x2 1  3 2 2 2 2 2 Không khuyến khích cách này vì việc tìm đạo hàm của hàm hợp phức tạp và có 4 đáp án nên việc tìm đạo hàm trở nên khó khăn. Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không đọc kĩ đề nên chỉ tìm giá trị của b . Học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: * I1   2 x x 2  1 dx . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t  x 2  1, t  1 ta được t 2  x 2  1, tdt  2 xdx . Suy ra: 1 1 I1   2 x x 2  1 dx   t 2 dt  t 3  C1  3 3 Học sinh tìm đúng I 2      3 x 2  1  C1 , trong đó C1 là 1 hằng số. 1 2 1 x ln x  x 2  C2 theo phân tích ở trên. 2 4 2 x x 2  1  x ln x dx  I1  I 2  1  3  1 3   3 x 2  1  C1  1 2 1 x ln x  x 2  C2 2 4 3 1 1 x  1  x 2 ln x  x 2  C 2 4 2 Suy ra để    2x  x 2  1  x ln x dx có dạng a 3   3 x2 1  . b 2 1 x ln x  x 2  C thì a  1, b  3 . 6 4 Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. D. Đáp án D sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: * I1   2 x x 2  1 dx . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t  x 2  1, t  1 ta được t 2  x 2  1, tdt  2 xdx . Suy ra: 1 1 I1   2 x x 2  1 dx   t 2 dt  t 3  C1  3 3   3 x 2  1  C1 , trong đó C1 là 1 hằng số. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Học sinh tìm đúng I 2  1 2 1 x ln x  x 2  C2 theo phân tích ở trên. 2 4  1 3   2x 1   3 1 1 x  1  x 2 ln x  x 2  C 2 4 Suy ra x 2  1  x ln x dx  I1  I 2  2  Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng   3 x 2  1  C1  1 2 1 x ln x  x 2  C2 2 4 3 để   2 x x 2  1  x ln x dx có dạng a 3   3 x2 1  . b 2 1 x ln x  x 2  C 6 4 thì 1 a  1  , b    . 3 Câu 11: Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm do tính sai giá trị của b . (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019)  f  x  dx  3x cos  2 x  5  C . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A.  f  3x  dx  3x cos  6 x  5   C B.  f  3x  dx  9 x cos  6 x  5   C C.  f  3x  dx  9 x cos  2 x  5  C D.  f  3x  dx  3x cos  2 x  5   C Biết Lời giải Cách 1 : Ta có   f  x  dx  3x cos  2 x  5  C   f  x  dx   3x cos  2 x  5  C   f  x   3cos  2 x  5   6 x sin  2 x  5   f  3x   3cos  6 x  5   18 x sin  6 x  5 Xét  f  3x  dx    3cos  6 x  5   18 x sin  6 x  5  dx   3cos  6 x  5dx   18 x sin  6 x  5 dx 1 . Xét I   18 x sin  6 x  5 dx . 3 x  u 3dx  du Đặt  .  6 sin  6 x  5  dx  dv   cos  6 x  5   v I  3xcos  6 x  5   3 cos  6 x  5 dx , thay vào 1 ta được  f  3x  dx  3x cos  6 x  5   C. Cách 2: Đặt x  3t  dx  3dt .  3 f  3t  dt  3.  3t  cos  2.3t  5   C  f  x  dx  3x cos  2 x  5  C   f  3t  dt  3t cos  6t  5   C   f  3 x  dx  3x cos  6 x  5   C . Khi đó: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 12: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (Ngô Quyền Hà Nội) Cho F  x   x 2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  .e 2 x . Khi đó  f   x  .e 2x dx bằng A.  x 2  2 x  C . B.  x 2  x  C . C. 2 x2  2 x  C . D. 2 x2  2 x  C . Lời giải Chọn D Do F  x   x 2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  .e 2 x nên f  x  .e 2 x  F   x   2 x . Xét  f   x  .e 2x u  e 2 x du  2e 2 x dx    dv  f   x  dx v  f  x  Đặt  f   x  .e Câu 13: dx . 2x ta có: dx  f  x  .e2 x  2  f  x  .e 2 x dx  2 x 2  2 x  C . (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Gọi F  x  là nguyên hàm trên  của hàm số 1 f  x   x2eax  a  0  , sao cho F    F  0   1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. a A. 0  a  1 . B. a  2 . C. a  3 . D. 1  a  2 . Lời giải Chọn A  du  2 xdx u  x 2  F  x    x e dx . Đặt   1 ax . ax dv  e dx  v  e a  2 ax  F  x  1 2 ax 2 1 2 x e   xe ax dx  x 2e ax  . A 1 a a a a  du  dx u  x  Xét A   xe dx . Đặt   1 ax . ax  dv  e dx  v  e a  ax  A 1 ax 1 ax xe   e dx  2  a a Từ 1 và  2  suy ra F  x   1 2 ax 2 ax 2 ax 1 2 2 x e  2 xe  2  e dx  x 2e ax  2 xe ax  3 e ax  C . a a a a a a 1 2 2 2 1 Mà F    F  0   1  3 e  3 e  3 e  C  3  1  C a a a a a  a3  e  2  a  3 e  2  0  a  1. Câu 14: (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   f   x   e  x , x   và f  0   2 . Tất cả các nguyên hàm của f  x  e2 x là File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A.  x  2  e x  e x  C . B.  x  2  e 2 x  e x  C . C.  x 1 ex  C . D.  x  1 ex  C . Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Lời giải Chọn D  Ta có f  x   f   x   e x  f  x  e x  f   x  e x  1  f  x  e x  1  f  x  e x  x  C .   Vì f  0   2  2.e0  C  C  2  f  x  e2 x   x  2  e x . Vậy  f  x e 2x   dx    x  2  e x dx    x  2  d e x   x  2  e x   e x d  x  2    x  2  e x   e x dx   x  2  e x  e x  C   x  1 e x  C . Phân tích: Bài toán cho hàm số y  f  x  thỏa mãn điều kiện chứa tổng của f  x  và f   x  đưa ta tới công thức đạo hàm của tích  u .v   u .v  u .v với u  f  x  . Từ đó ta cần chọn hàm v cho phù hợp Tổng quát: Cho hàm số y  f  x f   x   g  x  f  x   k  x  (Chọn v  e G x và y  g  x liên tục trên K , thỏa mãn ). Ta có f   x   g  x  f  x   k  x   e G  x  f   x   g  x  e G  x  f  x   k  x  e G  x  .  G x G x G x G x  eG x  f  x   k  x  eG  x   e   f  x    k  x  e   dx  f  x   e    k  x  e   dx .   Với G  x  là một nguyên hàm của g  x  . Admin tổ 4 – Strong team : Bản chất của bài toán là cho hàm số y  f  x  thỏa mãn điều kiện chứa tổng của f  x  và f   x  liên quan tới công thức đạo hàm của tích  u.v   u.v  u.v với u  f  x  . Khi đó ta cần chọn hàm v thích hợp. Cụ thể, với bài toán tổng quát : Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  , y  h  x  , y  k  x  liên tục trên K , g  x   0 với x  K và thỏa mãn g  x  . f   x   h  x  . f  x   k  x  Ta sẽ đi tìm v như sau : Khi đó : ln v   Câu 15: h  x g  x hx v h  x  v    dx   dx v g  x v g  x h x  dx  v  e  g  x  dx 2 (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   2 xf  x   2 xe x , x  và f  0   1 . 2 Tất cả các nguyên hàm của x. f  x  e x là 2 A.  x 2  1  C . B. 2 2 2 2 2 1 2 1 x  1 e x  C . C.  x 2  1 e  x  C . D.  x2  1  C .  2 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Lời giải Chọn D 2 Ta có f   x   2 xf  x   2 xe x  e x 2  f   x   2 xf  x    e x2 2 2  .2 xe  x  e x f  x   2 x   2  e x f  x    2 xdx  x 2  C . 2 2 x Vì f (0)  1  C  1  f  x    x  1 e . 2 1 1 x 2  1 d  x 2  1   x2  1  C .   2 2 (Chuyên Thái Bình Lần3)Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên f  x   f   x   x, x   và f  0  1 . Tính f 1 . Vậy Câu 16: A.  xf  x  e x2 dx   x  x 2  1 dx  2 . e B. 1 . e C. e . D.  thỏa mãn e . 2 Lời giải Chọn A f  x  f  x  x (1) . Nhân 2 vế của (1) với e x ta được e x . f  x   e x . f   x   x.e x . Hay  e x . f  x   x.e x  e x . f  x    x.e x dx . Xét I   x.e xdx .  u  x  du  dx Đặt  x . x e dx  dv  v  e I   x.e x dx  x.e x   e xdx  x.e x  e x  C . Suy ra e x f  x   x.e x  e x  C . x.e x  e x  2 2  f 1  . x e e x (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Biết rằng x e là một nguyên hàm của f   x  Theo giả thiết f (0)  1 nên C  2  f  x   Câu 17: x trên khoảng  ;  . Gọi F  x  là một nguyên hàm của f   x  e thỏa mãn F  0  1, giá trị của F  1 bằng A. 7 . 2 B. 5e . 2 C. 7e . 2 D. 5 . 2 Lời giải Chọn A Vì x e x là một nguyên hàm của f   x  trên khoảng  ;   f   x    x e x   e x  x e x , x   ;  . x Do đó f   x   e    x     x  e    x  , x   ;   f  x   e 1 x  , x   ;  . x x x Nên f   x    e  x 1  x    e  x  x  2   f   x  e  e  x  2 .e  x  2 . Bởi vậy F  x     x  2  d x  1 2  x  2  C . 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 2  0  2  C  C  2 ; F  0  1  C  1. 2 1 1 7 2 2 Vậy F  x    x  2   1  F  1   1  2   1  . 2 2 2 Câu 18: (Sở Lạng Sơn 2019) Cho hàm số y  f  x  . Từ đó F  0   Biết hàm số đã cho thỏa mãn hệ thức  f  x  sin xdx =  f  x  cos x    x cos xdx . Hỏi hàm số y  f  x  là hàm số nào trong các hàm số sau? A. f  x    ln  . x B. f  x   x . ln  C. f  x    ln  . x D. f  x    x . ln  Lời giải Chọn B Hệ thức Xét  f  x  sin xdx =  f  x  cos x    x cos xdx (1).  f  x  sin xdx . u  f  x   du  f ‘  x  Đặt  . Ta được dv  sin xdx  v   cos x  f  x  sin xdx   f  x  cos x   f ‘  x  cos xdx . Theo hệ thức (1), suy ra f ‘  x    x . x Dựa vào đáp án, ta nhận thấy có một hàm số thỏa mãn là f  x   . ln  Câu 19: (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai trên  0;  thỏa mãn 2 xf   x   f  x   x 2 x cos x, x   0;   ; f  4   0 . Giá trị biểu thức f  9  là: A. 0 . B. 3  . C.   . D. 2  . Lời giải Chọn B Với mọi x   0;   , ta có 2 xf   x   f  x   x 2 x cos x x f  x   1 2 x x f  x  x cos x 2 .  f  x   x cos x f  x  x sin x cos x     C   2 2 2 x  x  Mà f  4   0 suy ra C  1  x sin x cos x 1  . Vậy f  x       x. 2 2 2  2 Suy ra f  9   3  . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 20: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng ln  x  3 (Nguyễn Khuyến)Giả sử F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x  x2 thỏa mãn F  2  F 1  0 và F  1  F  2   a ln 2  b ln 5 , với a , b là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a  6b bằng A. 4. B. 5 . C. 0 . D. 3 . Lời giải Chọn B Xét  f  x dx  Đặt ln  x  3 x2 dx 1 u  ln  x  3 và dv  12 dx , ta có du  dx x3 x 1 1 v và chọn 1 . Khi đó x 1 1 1 1   ln  x  3     dx x 3  x x3  f  x  dx   x ln  x  3   x  x  3 dx  1  1 1 1 1 1   ln  x  3  ln x  ln  x  3  C      ln  x  3  ln x  C . 3 x 3 3  x 3  1 1  x 3 1 3 +) Xét trên  3;0  ta được F  x       ln  x  3  ln   x   C1 Tính F   2   1 ln 1  1 ln 2  C1  1 ln 2  C1 ; F   1  2 ln 2  1 ln 1  C1  2 ln 2  C1 6 3 3 3  1 1  x 3 3 3 1 3 +) Xét trên  0; ta được F  x       ln  x  3  ln x  C2 . Tính F 1   4 ln 4  1 ln 1  C 2   8 ln 2  C2 ; F  2    5 ln 5  1 ln 2  C 2 . 3 3 3 6 3 Ta có F  2  F 1  0  1 ln 2  C1  8 ln 2  C 2  0  C1  C 2  7 ln 2 . 3 đó Từ 3 3 F  1  F  2  2 ln 2  C1  5 ln 5  1 ln 2  C 2  ln 2  5 ln 5  C1  C 2 . 3 6 3 6 5 7 10 5 10 5 ; b    3a  6b  5 .  ln 2  ln 5  ln 2  ln 2  ln 5  a ln 2  b ln 5 ta được a  6 3 3 6 3 6 Câu 21: (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo x   thỏa mãn f  x   tan x. f   x   . Biết rằng  0;  , cos3 x  2     3 f    f    a 3  b ln 3 trong đó a, b . Giá trị của biểu thức P  a  b bằng 3 6 hàm A. 14 9 trên B.  2 9 C. 7 9 D.  4 9 Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Chọn D f  x   tan x. f   x   x x  cos x. f  x   sin x. f   x   . 3 cos x cos2 x x  sin x. f  x    . cos 2 x x x Do đó  sin x. f  x   dx   dx  sin x. f  x    dx 2 cos x cos2 x Tính I   x dx . cos 2 x u  x  du  dx  Đặt  . Khi đó dx   v  tan x d v    cos 2 x I  d  cos x  x dx  x tan x   tan xdx  x tan x   dx  x tan x  ln cos x . 2 cos x cos x Suy ra f  x   x. tan x  ln cos x ln cos x x .   sin x cos x sin x   a 3  b ln 3  3 f    3 3  2 2ln 2    3   f    3     2 ln   2  3   9 6  3 5  5 3 a    ln 3 . Suy ra  9 . 9 b  1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng NGUYÊN HÀM HÀM ẨN Câu 1: 2 1  Cho hàm số f ( x ) xác định trên  \   thỏa mãn f ( x)  , f (0)  1 và f (1)  2 . Giá trị của 2x 1 2 biểu thức f (  1)  f (3) bằng A. 4  ln5 . B. 2  ln15 . C. 3  ln15 . Lời giải D. ln15. Chọn C 2 1 dx  ln(2 x  1)  C1. Cách 1: • Trên khoảng  ;   : f ( x)   2 x 1 2  Lại có f (1)  2  C1  2. 2 1 dx  ln(1  2 x)  C2 . • Trên khoảng  ;  : f ( x)   2 x 1 2  Lại có f (0)  1  C2  1. Câu 2: 1  ln(2 x  1)  2 khi x  2 Vậy f ( x)   . ln(1  2 x)  1 khi x  1  2 Suy ra f ( 1)  f (3)  3  ln 15. Cách 2: 0 0  2dx 1 f (0)  f (  1)  f ‘( x ) dx   ln 2 x  1 |01  ln (1)    2 x  1 3  1 1 Ta có:  3 3  f (3)  f (1)  f ‘( x )dx  2dx  ln 2 x  1 |3  ln 5 (2) 1 1 1 2 x  1   Lấy (2)-(1), ta được f (3)  f (1)  f (0)  f ( 1)  ln15  f ( 1)  f (3)  3  ln15 . 3 2 1  , f  0  1 và f    2 . Giá trị Cho hàm số f ( x ) xác định trên  \   thỏa mãn f   x   3x  1 3 3 của biểu thức f   1  f  3  bằng A. 3  5ln 2 . B. 2  5ln 2 . C. 4  5ln 2 . Lời giải D. 2  5ln 2 . Chọn A  1  ln 3 x  1  C1 khi x   ; 3  3 3    Cách 1: Từ f   x   .  f  x   dx=  3x  1 3x  1 1   ln 3 x  1  C khi x  ;  1 3      1   f 0  1 ln 3x  1  1 khi x   ;   0  C1  1 C1  1 3      Ta có:   2  .  f  x   0  C  2 C  2 f  2 1    2  2  3 ln 3x  1  2 khi x  ;  3        Khi đó: f   1  f  3   ln 4  1  ln 8  2  3  ln 32  3  5 ln 2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 3: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 0 0  0 0 3 1  f 0  f  1  f x  f x dx  dx  ln 3x  1 1  ln     1    1     3 x  1 4 1 1  Cách 2: Ta có  3 3 3 3 2 3  f  3  f    f  x  2   f   x  dx   dx  ln 3x  1 2  ln 8  2   3 3 3 2 2 3x  1  3 3 2 Lấy  2   1 , ta được: f  3   f  1  f  0   f    ln 32  f   1  f  3   3  5 ln 2 . 3 (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Cho hàm số f  x  xác định trên  \ 2 thoả mãn 3x 1 , f  0   1 và f  4   2 . Giá trị của biểu thức f  2   f  3  bằng x2 A. 1 2 . B. ln 2 . C. 10  ln 2 . D. 3  20ln 2 . Lời giải Chọn A f  x  3x 1 7   dx    3   dx  3x  7 ln x  2  C , x   \ 2 . x2 x2  + Xét trên khoảng  2;    ta có: f  0   1  7 ln 2  C  1  C  1  7 ln 2 . Ta có: f  x    f   x  dx   Do đó, f  x   3 x  7 ln x  2  1  7 ln 2 , với mọi x   2;    . Suy ra f  2   7  7 ln 4  7 ln 2  7  7 ln 2 . + Xét trên khoảng   ;  2  ta có: f  4   2  12  7 ln 2  C  2  C  14  7 ln 2 . Do đó, f  x   3x  7 ln x  2  14  7 ln 2 , với mọi x    ;  2  . Suy ra f  3   5  7 ln 2 . Câu 4: Cho hàm số f 3  2 f x xác định trên . Tính giá trị biểu thức A. P  3  ln 3 . 25  \ 2; 2 P  f  4   f  1  f  4  B. P  3  ln 3 . 4 f 0  1 và ; f   3  0 ; x 4 và thỏa mãn f   x   2 . 5 C. P  2  ln . 3 Lời giải 5 D. P  2  ln . 3 Chọn B  ln  4dx 4 4dx    f  x   2 Từ f   x   2  ln x 4 x 4  x  2 x  2   ln   ln 5  C1  0  f  3   0 C1   ln 5     C 2  1 Ta có  f  0   1  0  C2  1 C  2  ln 5  1   3  f  2  2 ln  C3  2  5 x2  C1 khi x   ; 2  x2 x2  C2 khi x   2; 2  x2 x2  C3 khi x   2;   x2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   ln    f  x    ln    ln  Câu 5: Câu 6: x2 -ln5 x2 khi x   ; 2  x2 1 x2 khi x   2; 2  . Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng x2  2  ln 5 khi x   2;   x2 1 Khi đó P  f   4   f   1  f  4   ln 3  ln 5  ln 3  1  ln  2  ln 5  3  ln 3 . 3 1 Cho hàm số f  x  xác định trên  \  2;1 thỏa mãn f   x   2 ; f   3   f  3   0 và x  x2 1 f  0   . Giá trị của biểu thức f   4   f   1  f  4  bằng 3 1 1 1 4 1 8 A.  ln 2 . B. 1  ln80 . C. 1  ln 2  ln . D. 1  ln . 3 3 3 5 3 5 Lời giải Chọn A 1 f   x  2 x  x2 1 x 1  3 ln x  2  C1 khi x   ; 2   1 dx dx x 1  f  x   2    ln  C khi x   2;1 x  x2  x  1 x  2   3 x  2 2 1 x 1  C3 khi x  1;    ln 3 x  2 1 1 2 1 Do đó f  3  f  3  0  ln 4  C1  ln  C3  C3  C1  ln10 . 3 3 5 3 1 1 1 1 1 1 Và f  0    ln  C2   C2   ln 2 . 3 3 2 3 3 3  1 x 1 ln  C1 khi x   ; 2   3 x2   1 x 1 1 1  f  x    ln   ln 2 khi x   2;1 .  3 x2 3 3 1 x 1 1  C1  ln10 khi x  1;    ln 3 3 x  2 Khi đó: 1 1 1 1 5  1  1 1  1 1 f   4   f   1  f  4    ln  C1    ln 2   ln 2    ln  C1  ln10    ln 2 . 3 3 3 3 2  3  3 2  3 3 1 Cho hàm số f  x  xác định trên  \  1 thỏa mãn f   x   2 . Biết f   3   f  3   0 và x 1  1 1 f     f    2 . Giá trị T  f   2   f  0   f  4  bằng:  2 2 1 5 1 9 1 9 1 9 A. T  2  ln . B. T  1  ln . C. T  3  ln . D. T  ln . 2 9 2 5 2 5 2 5 Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Chọn B 1 1 1 1  1 x 1 dx     dx  ln C .  1 2  x 1 x 1  2 x 1  1 x 1  2 ln x  1  C1 khi x  1, x  1 Do đó f  x    .  1 ln 1  x  C khi  1  x  1 2  2 x  1 Ta có  f   x  dx   x 2 1 1 Do f   3   f  3   0 nên C1  0 , f     f    2 nên C2  1 .  2 2  1 x 1 khi x  1, x  1  2 ln x  1 1 9 Nên f  x    . T  f   2   f  0   f  4   1  ln . 2 5  1 ln 1  x  1 khi  1  x  1  2 x  1 Vậy f  2   f  3  7  7 ln 2  5  7 ln 2  12 . Câu 7: (THPT ĐOÀN THƯỢNG – HẢI DƯƠNG – 2018 2019) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f ‘  x  . f  x   x 4  x 2 . Biết f  0   2 . Tính f 2  2  . A. f 2  2   313 . 15 B. f 2  2   332 . 15 C. f 2  2   324 . 15 D. f 2  2   323 . 15 Lời giải f 2  x  x5 x3   C . Ta có  f ‘  x  . f  x  dx    x 4  x 2  dx  C  2 5 3 Do f  0   2 nên suy ra C  2 .  32 8  332 Vậy f 2  2  2    2   .  5 3  15 Câu 8: (Đặng Thành Nam Đề 15) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  \ 0 thỏa mãn f   x   f  x  x2 x 3 và f 1  1 . Giá trị của f   bằng 2 A. 1 . 96 B. 1 . 64 C. 1 . 48 D. 1 . 24 Lời giải Chọn A f  x x4  x 2  xf   x   f  x   x3   xf  x    x 3  xf  x    x3dx   C . x 4 4 5 x 5 3 1 f 1  1  C   . Khi đó f  x    f   . 4 4x  2  96 Ta có f   x   Câu 9: (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (1)  4 và f ( x)  xf ( x)  2 x 3  3 x 2 với mọi x  0 . Giá trị của f (2) bằng A. 5 . B. 10 . C. 20 . Lời giải f ( x )  xf ( x)  2 x 3  3 x 2  Suy ra, D. 15 . 1. f ( x)  x. f ( x) 2 x 3  3 x 2  f ( x)     x   2 x  3 x2 x2 f ( x) là một nguyên hàm của hàm số g  x   2 x  3 . x File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có   2 x  3dx  x 2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  3x  C , C   . f ( x)  x 2  3 x  C1 , (1) với C1   nào đó. x Vì f (1)  4 theo giả thiết, nên thay x  1 vào hai vế của (1) ta thu được C1  0 , từ đó Do đó, f ( x)  x3  3 x 2 . Vậy f (2)  20 . Câu 10: Cho hàm số Giá trị của f  x  f 1  thỏa mãn  f ‘ x  2  f  x  . f ”  x   15 x 4  12 x, x   và f  0   f ‘  0  1. 2 là A. 10 . B. 8 . C. 5 . 2 D. 9 . 2 Lời giải Ta có  f  x  . f ‘  x     f ‘  x    f  x  . f ”  x   15 x 4  12 x, x  . 2  f  x  . f   x   3 x 5  6 x 2  C, x  . Lại có f  0   f ‘  0   1 nên C  1 do đó f  x  . f ‘  x   3 x 5  6 x 2  1, x  .  f  x    2 f  x  . f ‘  x   6 x 2 5 2  12 x 2  2,  x     f  x    x 6  4 x 3  2 x  C1 , x  . 2 Mà f  0   1 nên C1  1 . Vậy  f 1   16  4.13  2.1  1  8. Câu 11: (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm trên đoạn  1;0  , đồng thời thỏa mãn điều kiện f   x   3x 2  2 x  e A. A   1.  f  x , x   1;0  . Tính A  f  0   f  1 . 1 B. A  . e C. A  1. D. A  0. Lời giải Chọn D Ta có f   x    3 x 2  2 x  e  f  x , x   1; 0  f   x  e f  x   3 x 2  2 x , x   1; 0    f x Lấy nguyên hàm hai vế của   ta được  e   d  f  x    x3  x 2  C e f  x  x 3  x  C1  f  x   ln x 3  x  C1  f  0   ln C1 Do đó   f  0   f  1  0 . Vậy A  0 .  f  1  ln C1 Câu 12: (THPT LÝ THƯỜNG KIỆT – HÀ NỘI) Giả sử hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên , nhận giá trị dương trên khoảng  0;  và thỏa mãn f 1  1, f  x   f ‘  x  3 x  1 với mọi x  0. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 4  f  5   5. B. 1  f  5   2. C. 3  f  5   4. Lời giải D. 2  f  5   3. Chọn C f  x   f   x  . 3x  1 Ta có  f  x 1  f  x 3x  1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 3x  1  C . 3 4 4 Vì f 1  1  C   0  C   . 3 3 2 2 4  ln f  x   3x  1   f  x   e 3 3 3 Vậy 3  f  5   4. Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  ln f  x   Câu 13: 3 x 1  4 3 4  f  5   e 3  3,8. (Sở Quảng Ninh Lần1) Biết luôn có hai số a và b để F  x   ax  b  4a  b  0  là một nguyên x4 hàm của hàm số f  x  và thỏa mãn 2 f 2  x    F  x   1 f   x  . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? B. a  1, b  4 . A. a  , b . C. a  1, b  1 . D. a  1, b   \ 4 . Lời giải Chọn D Do 4a  b  0 nên F  x   C x   . Vì luôn có hai số a và b để F  x   ax  b  4a  b  0  x4 là một nguyên hàm của hàm số f  x  nên f  x  không phải là hàm hằng. Từ giả thiết 2 f 2  x    F  x   1 f   x   2 f  x f  x  F  x  1 f  x  Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân dx 2 f  x f  x  F  x   1 dx   f  x  dx  2ln F  x   1  ln f  x   C với C là hằng số.   a  1 x  b  4  2ln F  x   1  ln e  ln f  x   f  x   e .  F  x   1  e .   x4   2    a  1 x  b  4   f  x   eC .   x4     2  C   a  1 x  b  4    f  x   e .  x4    C 2 C   a  1 x  b  4  Trường hợp 1. f  x   e .   x4   4a  b Ta có F   x   f  x   f  x   . 2  x  4 Đồng nhất hệ ta được: 2 C 2 C số ta có: a  1  a  1 2 b  4 C e .   a  1 x  b  4   4a  b x     C   2 C   b  4e  1 e .  b  4   4  b   eC  4e C  1  Loại b  4 do điều kiện 4a  b  0 . Do đó  a; b    1; . C e     a  1 x  b  4  Trường hợp 2. f  x   e .   x4   2 C File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có F   x   f  x   f  x   Đồng 4a  b  x  4 nhất 2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng . hệ số ta có: a  1  a  1  2 b  4 eC .   a  1 x  b  4   4a  b x     C   2 C e .  b  4   4  b   b  4e  1   eC  4e C  1  Loại b  4 do điều kiện 4a  b  0 . Do đó  a; b    1; . eC   Tổng hợp cả hai trường hợp ta chọn đáp án D. Câu 14: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên  0;   thỏa mãn f  2   f  x   2x  4 f A. 7 . 15 2  x   0 . Tính B. 1 và 15 f 1  f  2   f  3  . 11 . 15 C. 11 . 30 D. 7 . 30 Lời giải Chọn D Vì f   x    2 x  4  f 2  x   0 và f  x   0 , với mọi x   0;   nên ta có  f  x  2x  4 . f 2  x 1 1 1  x2  4 x  C . Mặt khác f  2   nên C  3 hay f  x   2 . f  x 15 x  4x  3 1 1 1 7  . Do đó f 1  f  2   f  3     8 15 24 30 Câu 15: Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên  . Biết f 6  x  . f   x   12 x  13 và f  0   2 . Khi đó Suy ra phương trình f  x   3 có bao nhiêu nghiệm? B. 3 . A. 2 . C. 7 . Lời giải Chọn A Từ f   f 6  x  df  x   6 x 2  13x  C  6 D. 1.  x  . f   x   12 x  13   f 6  x  . f   x  dx   12 x  13 dx f 7  x 7    6 x 2  13 x  C  C  f 0 2 2 . 7 Suy ra: f 7  x   42 x 2  91x  2 . Từ f  x   3  f 7  x   2187  42 x 2  91x  2  2187  42 x 2  91x  2185  0 *  . Phương trình *  có 2 nghiệm trái dầu do ac  0 . 1 Câu 16: Cho hàm số f  x  xác định trên  thỏa mãn f   x   e x  e x  2 , f  0   5 và f  ln   0 . Giá  4 trị của biểu thức S  f   ln 16   f  ln 4  bằng A. S  31 . 2 B. S  9 . 2 C. S  5 . 2 D. f  0  . f  2   1 . Lời giải Chọn C File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có f   x   e x  e x  2  ex 1 ex  2x  2x e  e  x x  e 2  e 2  Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng khi x  0 . khi x  0 x   2x 2  2e  2e  C1 khi x  0 Do đó f  x    . x x 2e 2  2e 2  C khi x  0  2 Theo đề bài ta có f  0   5 nên 2e 0  2e 0  C1  5  C1  1 .  f  ln 4   2e ln 4 2  2e  ln 4 2 1  6 1 Tương tự f  ln   0 nên 2e  4  f   ln16   2e    ln16  2  1 ln   4 2   ln16  2e Vậy S  f   ln16   f  ln 4   2  2e 1 ln   4 2  C2  0  C2  5 . 7 5  . 2 5 . 2 Câu 17: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  x   0 , x   . Biết f  0   1 và f ‘ x  2  2 x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x   m có hai nghiệm thực f  x phân biệt. A. m  e . B. 0  m  1 . C. 0  m  e . Lời giải D. 1  m  e . Chọn C f  x  f  x Ta có  2  2x   dx    2  2 x  dx . f  x f  x 2 2 2 xx . Mà f  0   1 suy ra f  x   e 2 x x .  ln f  x   2 x  x 2  C  f  x   A.e 2 2 Ta có 2 x  x 2  1   x 2  2 x  1  1   x  1  1 . Suy ra 0  e 2 x  x  e và ứng với một giá trị thực t  1 thì phương trình 2x  x 2  t sẽ có hai nghiệm phân biệt. Vậy để phương trình f  x   m có 2 nghiệm phân biệt khi 0  m  e1  e . Câu 18: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  x   0 với mọi x  . f   x    2 x  1 f 2  x  và f 1   0, 5 . Biết rằng tổng f 1  f  2  f  3  …  f  2017   a a ;  a   , b    với tối b b giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a  b  1 . B. a    2017; 2017  . C. a  1 . b D. b  a  4035 . Lời giải Chọn D Ta có f   x    2 x  1 f 2  x    f  x f  x   2 x  1   2 dx    2 x  1 dx 2 f  x f  x 1  x2  x  C f  x Mà f 1   1 1 1 1   . nên C  0  f  x    2 2 x  x x 1 x File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Mặt khác 1  1  1 1 1 1  1 f 1  f  2   f  3   …  f  2017     1           …      2  3 2  4 3  2018 2017   f 1  f  2   f  3  …  f  2017   1  1 2017   a  2017 ; b  2018 . 2018 2018 Khi đó b  a  4035 . Câu 19: (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  , f  x   0 với mọi x 1 a f 1   , f   x    2 x  1 f 2  x  .Biết f 1  f  2  …  f  2019    1 với 2 b a, b  ,  a, b   1 .Khẳng định nào sau đây sai? và thỏa mãn A. a  b  2019 . B. ab  2019 . f   x    2 x  1 f 2  x     d  f  x  f 2  x C. 2 a  b  2022 . Lời giải D. b  2020 . f  x f  x  2x 1   2 dx    2 x  1dx 2 f  x f  x    2 x  1 dx 1  x 2  x  C 1 (Với C là hằng số thực). f  x Thay x  1 vào 1 được 2  C   1 1 1  .  C  0 .Vậy f  x   1 x 1 x  2 1 1   1 1  1 1   1 T  f (1)  f (2)  …  f (2019)          …    .   1  2020  2 1  3 2   2020 2019  a  1  a  b  2019 b  2020 Suy ra:  Câu 20: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng  0;    , biết f   x    2 x  1 f 2  x   0 , x  0 và f  2  1 . 6 Tính giá trị của biểu P  f 1  f  2   …  f  2019  . A. 2021 . 2020 B. 2020 . 2019 C. 2019 . 2020 D. 2018 . 2019 Lời giải Chọn C TH1: f  x   0  f   x   0 trái giả thiết. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 9 thức ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   f   x     2 x  1 . f 2  x  f  x  0 TH2: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  f  x    2 x  1 . f 2  x f  x 1 dx    2 x  1dx     x2  x  C  . 2 f  x f  x Ta có: f  2   1 1 1 1 .  C  0  f  x  2   6 x  x x x 1 1 1 1 1 1 2019 .  P      …..   1 2 2 3 2020 2020 Câu 21: Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f ‘  x    2 x  3  . f 2  x  và f  0   f 1  f  2   …  f  2017   f  2018  1 . Biết tổng 2 a a * với a  , b   và là phân số tối giản. Mệnh đề b b nào sau đây đúng? a  1 . b C. a  b  1010 . a 1. b D. b  a  3029 . A. B. Lời giải Chọn D f ‘ x  f ‘ x   2x  3   2 dx    2 x  3 dx Biến đổi f  x    2 x  3  . f  x   2 f  x f  x ‘  1 1 1  x2  3x  C  f  x    2 . Mà f  0   nên  2 . f  x x  3x  C 2 Do đó f  x    Khi 2 1 1  . x  3x  2  x  1 x  2 2 đó a  f 1  f  2   …  f  2017   f  2018 b 1 1 1 1 1 1   1  1 1 1 1     …..             …..   2018.2019 2019.2020  2018 2019 2020   2.3 3.4 2 3 3 4 1  1009 1      2020 .  2 2020  a  1009 Với điều kiện a, b thỏa mãn bài toán, suy ra:   b  a  3029 . b  2020  f   x  . f  x   2  f   x   2  xf 3  x   0   Câu 22: Cho hàm số y  f  x  , x  0 , thỏa mãn  . Tính f 1 .  f 0  0; f 0  1      2 3 6 7 A. . B. . C. . D. . 3 2 7 6 Lời giải Chọn C 2 f   x  . f  x   2  f   x   2 3 Ta có: f   x  . f  x   2  f   x    xf  x   0   x f3 x   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  f   x   f  x f 0 x2 02  2   C  2    C  C  0.   x  2 f x 2 f 0  2  f  x  f  x x2 Do đó 2  f  x 2 1 1 1 1 1 1  x3  6 f  x 1 x2     f 1  .       2 d x    dx   f 1 f  0 6 f  x 0  6  0 7 f  x 2 0 0 f  x x Câu 23: Giả sử hàm số f ( x ) liên tục, dương trên  ; thỏa mãn f  0   1 và . Khi đó hiệu  2 f  x x 1 1   T  f 2 2  2 f 1 thuộc khoảng A.  2; 3  . B.  7; 9  . C.  0;1 . Lời giải D.  9;12  . Chọn C Ta có f  x dx  f x  d  f  x   1 d  x 2  1 x  x2  1 dx   f  x   2  x2  1 . 1 Vậy ln  f  x    ln x 2  1  C , mà f  0   1  C  0 . Do đó f  x   x 2  1 . 2 Nên f 2 2  3; 2 f 1  2 2  f 2 2  2 f 1  3  2 2   0;1 .   Câu 24:     (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số , f 0  1 và f  x   x  1. f   x  A. f  x   2 Ta có: f  x f  x với mọi x  với mọi x  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? B. 2  f  x   4  f  x  0 f  x 1  dx   f  x x 1 Mà f  0   1 nên C  2  f  x   e 2 C. f  x   6 D. 4  f  x   6 Lời giải 1 d x  ln  f  x    2 x  1  C x 1 x 1  2  f  3  e2  6 Câu 25: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f 1  1 , f  x   f   x  3 x  1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 4  f  5   5 . C. 3  f  5   4 . B. 2  f  5   3 . D. 1  f  5   2 . Lời giải Chọn C Cách 1: Với điều kiện bài toán ta có f  x   f   x  3x  1  d  f   x  f  x   f  x f  x 1 1   dx   dx f  x f  x 3x  1 3x  1 2 1 2 1  3 2 d  3 x  1  ln f  x   3 x  1  C 3 x  1  f x  e     3 3 4 Khi đó f 1  1  e 3 C 1 C   2 4  f  x  e3 3 3 x 1  4 3 3 x 1 C . 4  f  5   e 3  3, 79   3;4  . Vậy 3  f  5   4 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chú ý: Các bạn có thể tính Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng dx bằng cách đặt t  3x  1 . 3x  1  Cách 2: Với điều kiện bài toán ta có f  x   f   x  3x  1 f   x 1   f  x 3x  1 5  1 5 5 f  x 1 dx   dx f  x 3x  1 1  d  f  x  1 f  x  4 3 4 f  5 4 4  f  5   f 1 .e 3  3,79   3;4  .  ln  3 f 1 3 5  ln f  x   1 2 Câu 26: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f   x    f  x  . f   x   15 x 4  12 x , x   và f  0   f   0   1 . Giá trị của f 2 1 bằng 9 . 2 A. B. 5 . 2 C. 10 . D. 8 . Lời giải Chọn D 2 Ta có:  f   x    f  x  . f   x   15 x4  12 x , x   .   f   x  . f  x    15 x 4  12 x , x    f   x  . f  x   3 x 5  6 x 2  C1 Do f  0   f   0   1 nên ta có C1  1. Do đó: f   x  . f  x   3 x 5  6 x 2  1 1    f 2  x    3x 5  6 x 2  1  f 2  x   x 6  4 x 3  2 x  C 2 . 2  Mà f  0   1 nên ta có C2  1. Do đó f 2  x   x 6  4 x 3  2 x  1 . Vậy f 2 1  8. Câu 27: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn của hàm số f  2 x  trên tập  là: x3 x3 C . A. B. 2 C. 2 x 4 2  x  4 f   x 1 x 1  dx  2  x 1  3 x5   C . Nguyên hàm  C. 2x  3 C . 4  x 2  1 D. 2x  3 C. 8  x 2  1 Lời giải Chọn D Theo đề ra ta có: f   x 1 x 1  dx  2  x 1  3 x5  C  2   f   x 1 d  x 1  2   x 1  3  2  C . x 1  4 2  t  3 t 3  C   f  t  dt  2  C . 2 t 4 t 4  2x  3 1 1  2x  3 f  2 x  dx   f  2 x  d  2 x     C1   2 C 2  8x  8 2 2   2 x   4  Hay 2 f  t  dt  Suy ra Câu 28:  (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (1)  3 và x(4  f ‘( x))  f ( x)  1 với mọi x  0 . Tính f (2) . A. 6 . Chọn C Ta có B. 2 . C. 5 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 3 . Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng x(4  f ‘( x))  f ( x )  1  f ( x )  xf ‘( x)  4 x  1   xf ( x )  ‘  4 x  1  xf ( x)    xf ( x)  ‘dx    4 x  1 dx  2 x 2  x  C . Với x  1 thì 1 f (1)  3  C  3  3  C  C  0 . Do đó xf ( x)  2 x 2  x . Vậy 2 f (2)  2.2 2  2 hay f (2)  5 . Câu 29: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hàm số y  f  x  xác định trên  , thỏa mãn f  x   0 , x  và f   x   2 f  x   0 . Tính f  1 biết rằng f 1  1 . A. e 4 . B. e3 . D. e 2 . C. e4 . Lời giải Chọn A Vì f  x   0 , nên ta có: f  x  2 f  x  0  f  x f  x 2 dx   2dx . f  x f  x  C   : ln f  x   2 x  C  ln f  x   2 x  C . Cho x  1  ln f 1  2  C  ln1  2  C  C  2 Do đó: ln f  x   2 x  2  f  x   e 2 x 2  f  1  e 4 . 9 S  a bc   . 2 Câu 30: (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết luôn có hai số a và b để ax  b  4a  b  0  là một nguyên hàm của hàm số f  x  x4 2 f 2  x    F  x   1 f   x  . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? F  x  B. a  1, b  4 . A. a  , b . C. a  1, b  1 . và thỏa mãn D. a  1, b   \ 4 . Lời giải Do 4a  b  0 nên F  x   C x   . Vì luôn có hai số a và b để F  x   ax  b  4a  b  0  là x4 một nguyên hàm của hàm số f  x  nên f  x  không phải là hàm hằng. Từ giả thiết 2 f 2  x    F  x   1 f   x   2 f  x f  x  F  x  1 f  x  Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân dx  2 f  x f  x  F  x   1 dx   f  x  dx  2 ln F  x   1  ln f  x   C với C là hằng số.   a 1 x  b  4  2ln F  x  1  ln e  ln f  x   f  x   e .  F  x  1  e .  x4   C C 2 ta được: 2 C 2  C   a  1 x  b  4   f  x   e .  x4     2  C   a  1 x  b  4    f  x   e .  x4    File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   a  1 x  b  4  Trường hợp 1. f  x   e .   x4   Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2 C Ta có F   x   f  x   f  x   Đồng 4a  b  x  4 2 nhất . hệ số a  1 2 eC .   a  1 x  b  4   4a  b x     C 2 e .  b  4  ta có: a  1  b  4   C  4b   b  4e  1   eC  4eC  1  Loại b  4 do điều kiện 4a  b  0 . Do đó  a; b    1; C  . e     a  1 x  b  4  Trường hợp 2. f  x   e .   x4   2 C Ta có F   x   f  x   f  x   Đồng 4a  b  x  4 nhất 2 . hệ số a  1 2 eC .   a  1 x  b  4   4a  b x     C 2 e .  b  4  ta có: a  1  b  4   C  4b   b  4e  1   eC  4eC  1  Loại b  4 do điều kiện 4a  b  0 . Do đó  a; b    1; C  . e   Câu 31: (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho hàm số f ( x)  0 ; f   x    2 x  1 . f 2  x  và f 1  0,5 . Biết tổng f 1  f  2   f  3   …  f  2017   A. a  1 . b a a ;  a   ; b    với tối giản. Chọn khẳng định đúng. b b B. a  b  1 . C. b  a  4035 . D. a  b  1 . Lời giải Chọn C f  x  2 x  1  do f ( x )  0  f 2  x Lấy nguyên hàm 2 vế f  x 1 1 2  f 2  x  dx    2 x  1 dx   f  x   x  x  C  f  x   x2  x  C Ta có: f   x    2 x  1 . f 2  x   Mà f 1  0,5  C  0 , do đó f  x   ta được: 1 1 1   x  x x 1 x 2 Nên File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 1 1 1 1     …   1 2018 2017 2017 2016 2 1 2017  1   2018 2018 Suy ra a  2017; b  2018 nên b  a  4035 . f  2017   f  2016   …  f (1)  Câu 32:  2      2 , thỏa mãn f  x  . f   x   cos x 1  f  x  với mọi x   0;  và f  0   3 . Giá trị của f    2 2   (THPT LÝ NHÂN TÔNG LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f  x  liên tục không âm trên  0; bằng A. 2 . D. 0 . C. 2 2 . B. 1. Lời giải 2 f  x . f   x    Với x   0;  ta có f  x  . f   x   cos x 1  f 2  x    cos x *  .  2 2 1 f 2  x Suy ra 1  f 2  x   sin x  C . Ta có f  0   3  C  2 . Dẫn đến f  x    sin x  2  2 1 .   Vậy f    2 2 . 2 Câu 33: (Sở Bắc Ninh) Cho hàm số f  x  liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: f  0   2 2, f  x   0, 2 x   và f  x  . f   x    2 x  1 1  f  x  , x   . Khi đó giá trị f 1 bằng A. 26 . B. 24 . C. 15 . D. 23 . Lời giải Chọn B Ta có f  x  . f   x    2 x  1 1  f 2  x   Suy ra  f  x. f   x 1 f 2  x f  x . f   x  1 f 2  x   2 x  1 . dx    2 x  1dx   d 1  f 2  x   2 1 f 2  x    2 x  1dx  1  f 2  x   x2  x  C .  Theo giả thiết f  0   2 2 , suy ra 1  2 2  2  C  C  3. Với C  3 thì 1  f 2  x   x 2  x  3  f  x   x 2 2  x  3  1 . Vậy f 1  24 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 34: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (THPT YÊN PHONG 1 NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f  x  liên tục trên tập  thỏa mãn f   x  x2  1  2 x f  x   1 và f  x   1 , f  0   0 . Tính f A. 3. B. 9.  3 . C. 3. D. 0. Lời giải Cách 1. Với điều kiện bài toán Ta có f   x  x2  1  2 x f  x   1  Suy ra  f  x 2 f  x 1 dx   f  x 2 f  x 1 x x  x2 1 . f  x   1  x2  1  C . dx  x 1 2 Với f  0   0 ta có 1  1  C  C  0 . f  x   1  x2  1  f  x   x 2 Khi đó Vậy f  3  3. Cách 2. Từ giả thiết ta suy ra được 3  Ta có 0  f f  x 3 dx  2 f  x 1  3  1   0 f  x 2 f  x 1 *  . f  x 1 dx  x2 1 f 2 x 1 x f  0  1  1  x  3 3  x2 1 0 0  3  1  2  f  3  3 . Câu 35: (KHTN Hà Nội Lần 3) Cho hàm số f x liên tục trên đoạn  0;4 thỏa mãn 2  f  x   2 f   x  f  x      f   x   và f  x   0 với mọi x   0; 4 . Biết rằng f   0   f  0   1 , 3  2 x  1 giá trị của f  4  bằng A. e2 . C. e3 . Lời giải B. 2e . D. e 2  1 . Chọn A 2 2  f  x    f  x  2 2   f   x    f   x  f  x    f   x      Ta có: f   x  f  x    3 3  2 x  1  2 x  1  f   x  f  x    f   x   f  x  2 2  1  2 x  1 3  f   x         f  x  1  2 x  1 3 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A f  x  f  x 1    2 x  1 3 dx  f  x  f  x Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  3     2 x  1 2 dx  f  x f  x  1  C1 . 2x  1 Thay x  0 ta được: C1  0 . f  x f  x 1 dx    dx    ln  f  x    2 x  1  C2 f  x f  x 2x  1 2x  1 Thay x  0 ta được C2  1 .  ln  f  x    2 x  1  1 Thay x  4 ta được ln  f  4    2  f  4   e 2 . Câu 36: f x (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 – 2018 – 2019) Cho hàm số 2 f 1  f  1  1 f  xf   x    1  x 2 1  f  x  . f ”  x   với mọi x dương. Biết   . Giá trị A. f 2  2   2 ln 2  2 . B. f 2  2   2 ln 2  2 . C. f 2  2   ln 2  1 . thỏa mãn 2 2 bằng D. f 2  2   ln 2  1 . Lời giải 2 Ta có:  xf   x    1  x 2 1  f  x  . f ”  x   ; x  0 2  x2 .  f ‘  x    1  x 2 1  f  x  . f “ x   1  1  f  x  . f “ x  x2 2 1   f ‘  x   f  x  . f ”  x   1  2 x ‘ 1   f  x  . f ‘  x   1  2 x ‘ 1 1  Do đó:   f  x  . f ‘  x   .dx   1  2 .dx  f  x  . f ‘  x   x   c1. x  x  Vì f 1  f ‘ 1  1  1  2  c1  c1  1. 2   f ‘  x   1     f  x  .d  f  x      x   1.dx x   2 f  x  x2 1 1    ln x  x  c2 . Vì f 1  1    1  c2  c2  1. 2 2 2 2 2 2 f  x x   ln x  x  1  f 2  2   2ln 2  2 . Vậy 2 2 2 f  x  f ‘  x    f  x  . f ”  x   15 x 4  12 x, x   Nên Câu 37:  1   f  x  . f ‘  x  .dx    x  x 1.dx (Chuyên Thái Nguyên) Cho hàm số và f  0   f ‘ 0  A. 10 .  1 . Giá trị của thỏa mãn  f 1  B. 8 . 2 là C. 5 . 2 D. 9 . 2 Lời giải Chọn B 2 Ta có  f  x  . f ‘  x     f ‘  x    f  x  . f ”  x   15 x 4  12 x , x  .  f  x  . f   x   3x 5  6 x 2  C, x  . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Lại có f  0   f ‘  0   1 nên C  1 do đó f  x  . f ‘  x   3 x 5  6 x 2  1, x  .  f  x    2 f  x  . f ‘  x   6 x  12 x 2 5 2 2  2, x     f  x    x 6  4 x 3  2 x  C1 , x   . 2 Mà f  0   1 nên C1  1 . Vậy  f 1   16  4.13  2.1  1  8. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng TÍCH PHÂN 1. Công thức tính tích phân b  f (x )dx  F (x ) b a  F (b )  F (a ) . a b * Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi b  f (x )dx hay a  f (t )dt. Tích phân đó a chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số. 2. Tính chất của tích phân Giả sử cho hai hàm số f  x và g  x liên tục trên K , a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K . Khi đó ta có : a 1.  f (x )dx  0 a b 2. a  f (x )dx    f (x )dx . a b 3. b c b  f (x )dx   f (x )dx   f (x )dx a a c b 4. b a a b 5. b   f (x )  g(x ) dx   f (x )dx   g(x )dx . a b  kf (x )dx  k. f (x )dx . a a b 6. Nếu f(x)  0, x  a ;b  thì :  f (x )dx  0x  a;b  a b b 7. Nếu x  a;b  : f (x )  g(x )   f (x )dx   g(x )dx . a a b     8. Nếu x  a;b  Nếu M  f (x )  N thì M b  a   f (x )dx  N b  a . a 3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Phương pháp đổi biến 1.1. Phương pháp đổi biến dạng 1 Định lí Nếu hàm số u  u(x ) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn a;b  sao cho b   f (x )dx  g u(x ) u ‘(x )dx  g(u )du thì: I   f (x )dx  a u (b )  g(u )du . u (a ) 1.2. Phương pháp chung  Bước 1: Đặt u  u(x )  du  u ‘ (x )dx x b  u  u(b)  Bước 2: Đổi cận :  Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo u b x a u  u(a ) b Vậy: I   f (x )dx   g u(x ).u ‘(x )dx  a a u (b )  g(u)du u (a ) File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1 Định lí Nếu 1) Hàm x  u(t ) có đạo hàm liên tục trên  ;     2) Hàm hợp f (u(t )) được xác định trên  ;   ,   3) u ( )  a, u( )  b b  Khi đó: I   f (x )dx   f (u(t ))u ‘ (t )dt . a  2.2. Phương pháp chung  Bước 1: Đặt x  u t  Bước 2: Tính vi phân hai vế :  x b Đổi cận:  x a  x  u(t )  dx  u ‘(t )dt t  t  Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t   b  Vậy: I   f (x )dx   f u(t ) u ‘(t )dt   g (t )dt  G (t )  G ( )  G( )  a   2. Phương pháp tích phân từng phần Định lí Nếu u  x  và v  x là các hàm số có đạo hàm liên tục trên a;b  thì: b b b b b b ‘ ‘ a u(x )v (x )dx  u(x )v(x ) a  a v(x )u (x )dx Hay a udv  uv a  a vdu   2.1 Phương pháp chung  Bước 1: Viết f  x  dx dưới dạng udv  uv ‘dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f  x làm u  x  và phần còn lại dv  v ‘(x )dx  Bước 2: Tính du  u ‘ dx và v   dv   v ‘(x )dx  Bước 3: Tính b  vu ‘(x )dx và uv a b a * Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần. b b b Đặt u theo thứ tự ưu tiên: x P ( x ) e dx P ( x )ln xdx Lốc-đa-mũ-lượng    P(x )cos xdx a u dv a P(x) lnx P(x)dx a P(x) cosxdx b e x cos xdx a ex cosxdx e x dx Chú ý: Nên chọn u là phần của f  x mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv  v ‘dx là phần của f  x  dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm. 3. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 3.1. Tích phân hàm hữu tỉ 3.1.1. Dạng 1    dx 1 adx 1 I=     ln ax  b . a  ax  b a  ax  b  (với a≠0) File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Chú ý: Nếu I = Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  dx 1 1 k  k 1  (ax  b)k  a  (ax  b) .adx  a(1  k ) .(ax  b)   3.1.2. Dạng 2  I   ax 2  dx  bx  c a  0 ( ax 2  bx  c  0 với mọi x   ;   )   Xét   b 2  4ac . b   b   ;x2  2a 2a  1 1 1 1 1       thì : 2 ax  bx  c a(x  x1 )(x  x 2 ) a(x 1  x 2 )  x  x 1 x  x 2    1 1 1  1 ln x  x1  ln x  x2   I    dx    a(x1  x 2 )   x  x1 x  x2  a(x1  x2 )  x  x1  1  ln a(x1  x 2 ) x  x2   Nếu   0 thì x1   Nếu   0 thì   dx 1 dx 1    thì I =  2 2 a  (x  x 0 ) a(x  x 0 )  ax  bx  c  dx  Nếu   0 thì I   2  ax  bx  c   b  x0   2a   1 1  ax  bx  c a(x  x 0 )2 2      dx 2   b     a x     2a   4a 2  2         b  1   tan t  dx  1  tan2 t dt 2 2 2a 2 4a a 3.1.3. Dạng 3  Đặt x   I   ax  mx  n dx , 2  bx  c  a  0  . mx  n liên tục trên đoạn  ;   ) ax 2  bx  c Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho: A(2ax  b ) B mx  n A(ax 2  bx  c ) ‘ B   2  2  2 2 2 ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c (trong đó f (x )     Ta có I=  Tích phân    ax     2 dx  bx  c  A(2ax  b) B dx   dx 2 2 ax  bx  c ax  bx  c  A(2ax  b ) dx = A ln ax 2  bx  c 2 ax  bx  c  Tích phân   mx  n dx  ax 2  bx  c   thuộc dạng 2. 3.1.4. Dạng 4 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A b I  P (x )  Q(x ) dx Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng với P  x  và Q  x là đa thức của x . a  Nếu bậc của P  x  lớn hơn hoặc bằng bậc của Q  x thì dùng phép chia đa thức.  Nếu bậc của P  x  nhỏ hơn bậc của Q  x thì có thể xét các trường hợp: Q  x  ,  ,…,  n  Khi chỉ có nghiệm đơn 1 2 thì đặt A1 A2 An P (x )    …  . Q(x ) x  1 x   2 x  n  Khi Q  x có nghiệm đơn và vô nghiệm    Q(x )  x   x 2  px  q ,   p 2  4q  0 thì đặt P(x ) A Bx  C   2 . Q(x ) x   x  px  q  Khi Q  x có nghiệm bội Q(x )  (x   )(x   )2 với    thì đặt A P (x ) B C    Q(x ) x   x  x   2  . Q(x )  (x   )2 (x   )3 với    thì đặt P(x ) A B C D E      2 3 2 3 2 (x   ) (x   ) (x   ) (x   ) (x   ) (x   ) x   3.2. Tích phân hàm vô tỉ b  R(x, f (x ))dx Trong đó R  x, f  x có dạng: a      Đặt x  acos 2t, t  0;      2 x  a sin t x  a cos t R x , a 2  x 2 Đặt hoặc   ax  b R  x, n  cx  d    a x R  x,  a x       Đặt t  n ax  b cx  d 1     (ax  b) R x, f x    x 2   x   Với  x 2   x   ‘  k ax  b    1 ax  b    Đặt x  a tan t , t   ;   2 2 Đặt t   x 2   x   , hoặc Đặt t    R x, a 2  x 2  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  R x, x 2  a 2  R   n1 n  Đặt n Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng a x    cos x , t  [0;  ] \   2   x ; 2 x ;…; i x Gọi k  BSCNN  n1 ; n2 ;…; ni  . Đặt x  t k 3.2.1. Dạng 1  I    1 ax 2  bx  c dx a  0  b 2 x  u    b    2 2 a   Từ : f(x)=ax  bx  c  a  x   du  dx   2  2a    4a     K  2a Khi đó ta có :     0, a  0  f (x )  a u 2  k 2  f (x )  a . u 2  k 2  Nếu   a  0 2  b     0  f (x )  a  x  b   2a    f (x )  a x  2a  a . u  Nếu : (2) Nếu :   0 .  Với a  0 : f (x )  a x  x 1 x  x 2    (1)   f (x )  a . x  x x  x  (3) Với a  0 : f (x )  a x  x x  x   f (x )  a . x  x x  x  (4) 1 1 2 2 1 2 Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :  Phương pháp :   * Trường hợp :   0, a  0  f (x )  a u 2  k 2  f (x )  a . u 2  k 2 Khi đó đặt : ax 2  bx  c  t  a .x bx  c  t 2  x    t * Trường hợp :  Khi đó : I    * Trường hợp :  t2  c 2 ;dx  tdt x  b2 a  2 ax b2 a    t 0 , x    t  t1 t2  c  t  a . x  t  a  b 2 a  a  0 2  b     0  f (x )  a  x  b   2a    f (x )  a x  2a  a . u   1  b  b  ln x  0   😡   2a  2a 1 1 1  a  dx  dx     b b a    1 ln  x  b  : x  b  0 a x x 2a 2a  a  2a   2a   x  x1 t   0, a  0 . Đặt : ax 2  bx  c  a x  x 1 x  x 2    x  x 2 t          File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng      x x t * Trường hợp :   0, a  0 . Đặt : ax 2  bx  c  a x 1  x x 2  x   1  x 2  x t 3.2.2. Dạng 2   I      mx  n dx ax 2  bx  c Phương pháp : Bước 1:  a  0 Ad . mx  n Phân tích f (x )   ax 2  bx  c   ax 2  bx  c ax 2  bx  c  B ax 2  bx  c 1  Bước 2: Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A, B  Bước 3: Giải hệ tìm A, B thay vào (1)  Bước 4 :   1 2 Tính I  2A ax  bx  c  B dx (2)  ax 2  bx  c     Trong đó   1 2 ax  bx  c dx a  0 đã biết cách tính ở trên 3.2.3. Dạng 3  I    1 mx  n  ax 2  bx  c dx a  0   Phương pháp : Bước 1: 1 1 Phân tích :  . (1) 2   n 2 mx  n ax  bx  c m x    ax  bx  c m   Bước 2:  1  n 1 dx y   t    dy   x t  m x t 1 n  Đặt :  x   2 y m x  1  t  ax 2  bx  c  a  1  t   b  1  t   c      y y  y    Bước 3:   ’ Thay tất cả vào (1) thì I có dạng : I    ’ dy 2 Ly  My  N . Tích phân này chúng ta đã biết cách tính . 3.2.4. Dạng 4  x    I   R x ; y dx  R  x ; m  dx    x       ( Trong đó : R  x; y  là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và  ,  ,  ,  là các hằng số đã biết )       Phương pháp : Bước 1: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng x   (1) x    Bước 2: Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x   t  Đặt : t  m  Bước 3: Tính vi phân hai vế : dx   ‘ t dt và đổi cận  Bước 4: ’  x    m  dx   R  t ; t  ‘ t dt Tính :  R  x ;    x    ’         3.3. Tích phân hàm lượng giác 3.3.1. Một số công thức lượng giác 3.3.1.1. Công thức cộng cos(a  b )  cos a.cos b  sin a.sin b sin(a  b)  sin a.cos b  sin b. cos a tan a  tan b 1  tan a . tan b 3.3.1.2. Công thức nhân đôi tan(a  b )  1  tan 2 a 1  tan2 a 2 tan a cos 2a  cos2 a – sin 2 a  2 cos2 a – 1  1 – 2 sin 2 a  2 tan a ; tan 2a  1  tan2 a 1  tan 2 a ; cos 3  4 cos 3   3 cos  sin 3  3 sin   4 sin 3  3.3.1.3. Công thức hạ bậc 1  cos 2a 1  cos 2a 1  cos 2a sin2 a  ; cos2 a  ; tan2 a  2 2 1  cos 2a 3 sin   sin 3 cos 3  3 cos  sin3   ; cos3   4 4 3.3.1.4. Công thức tính theo t 2t 2t a 1  t2 Với t  tan Thì sin a  ; cos a  ; tan a  2 2 2 1t 1  t2 1t 3.3.1.5. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos  . cos    cos(   )  cos(   ) 2 1 sin  . sin   cos(   )  cos(   ) 2 1 sin  . cos    sin(   )  sin(   ) 2 3.3.1.6. Công thức biến đổi tổng thành tích sin 2a  2 sin a . cos a  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng   . cos 2 2   cos   cos   2 sin .sin 2 2   sin   sin   2 sin . cos 2 2    sin   sin   2 cos . sin 2 2 sin(   ) tan   tan   cos  cos  sin(   ) tan   tan   cos  cos  cos   cos   2 cos Công thức thường dùng: 3  cos 4 cos4   sin 4   4 5  3 cos 4 6 6 cos   sin   8 Hệ quả:     cos   sin   2 cos      2 sin     4 4       cos   sin   2 cos       2 sin     4 4   3.3.2. Một số dạng tích phân lượng giác b Nếu gặp I   f  sin x  .cos xdx ta đặt t  sin x .  a b Nếu gặp dạng I   f  cos x  .sin xdx ta đặt t  cos x .  a b Nếu gặp dạng I   f  tan x   a b Nếu gặp dạng I   f  cot x   a dx ta đặt t  tan x . cos 2 x dx ta đặt t  cot x . sin 2 x 3.3.2.1. Dạng 1 I1 =   sinx  n n dx ; I 2   cosx  dx * Phương pháp  Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc  Nếu n  3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi  Nếu 3n lẻ (n  2 p  1) thì thực hiện biến đổi: I1 = n   sinx  dx =   sinx  2p+1 2p p dx    sin x  sin xdx    1  cos2 x  d  cos x  k p k p      C p0  C p1 cos2 x  …   1 C pk  cos 2 x   …   1 C pp  cos2 x   d  cos x     1k k  1p p 2k 1 2 p 1 1 1 0 3   C p cos x  C p cos x  …  C p  cos x   …  C p  cos x    c 3 2k  1 2p  1   I2 = p n 2p+1 2p 2   cosx  dx =   cosx  dx    cos x  cos xdx   1  sin x  d  sin x  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng k p k p   C p0  C p1 sin2 x  …   1 C pk  sin2 x   …   1 C pp  sin2 x   d  sin x     1k k   1 p p 2 k 1 2 p 1 1 1 0 3  C p sin x  C p sin x  …  C p  sin x   …  C p  sin x    c 3 2k  1 2p  1   3.3.2.2. Dạng 2 I   sin m x cos n xdx  m, n  N  * Phương pháp  Trường hợp 1: m, n là các số nguyên a. Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng. b. Nếu m chẵn, n lẻ (n  2 p  1) thì biến đổi: p I= m 2p+1 m 2p m 1  sin2 x  d  sin x            sinx cosx dx  sin x cos x cos xdx  sin x    k p m k p    sin x  C p0  C p1 sin2 x  …   1 C pk  sin2 x   …   1 C pp  sin2 x   d  sin x     sin x m 1  m 3  sin x 2k 1m  sin x 2 p 1m  c. k p 0 1 sin x k p C p  c  Cp  …   1 C p  …   1 C p m 1 m3 2k  1  m 2p  1  m   Nếu m lẻ m  2 p  1 , n chẳn thì biến đổi: I= 2p+1   sinx   cosx  n n 2p p n dx    cos x   sin x  sin xdx     cos x  1  cos2 x  d  cos x  k p n  k p      cos x  C p0  C p1 cos2 x  …   1 C pk  cos2 x   …   1 C pp  cos2 x   d  cos x   n 3 2k 1n 2 p 1n   cos x n 1        k p 0 1 cos x k cos x p cos x       c  Cp Cp  …  1 C p  …  1 C p n 1 n3 2k  1  n 2p  1  n   d. Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.  Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u  sinx m B   sinm x cosn xdx    sin x  n 1  cos2 x  2 Tích phân (*) tính được  1 trong 3 số cos xdx   u m 1  u 2  n 1 2 du (*) m 1 n 1 m k ; ; là số nguyên 2 2 2 3.3.2.3. Dạng 3 I1 = n n     tan x dx ; I = cot x dx (n  N ).  2   dx  1  tan x  dx   cos x   d  tan x   tan x  c  dx  1  cot x  dx   sin x 2 2 2  2  tan xdx  sin x d  cos x  dx    cos x  cos x   ln cos x  C cos x    d  cot x    cot x  C  cot xdx   sin x dx   d  sin x   ln sin x  C sin x File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 1. Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TÍCH PHÂN CƠ BẢN 1 3x  1 a 5 (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Biết  2 dx  3ln  , trong đó a , b là hai số nguyên x  6x  9 b 6 0 a dương và là phân số tối giản. Khi đó a 2  b 2 bằng b A. 7. B. 6. C. 9. D. 5. Lời giải Chọn A 3x  1 3x  1 A B Bx  A  3 B Giả sử: f  x   2 .     2 2 2 x  6 x  9  x  3  x  3 x  3  x  3 Sử dụng phương pháp đồng nhất thức, suy ra B  3 và A  10 . 10 3 Do đó f  x   .  2  x  3 x  3 1 1 1 3x 1 10 3  10 3 d x     d x  d x  0 x 2  6 x  9 0   x  32 x  3  0  x  32 0 x  3 dx  A  B .   1 Vậy 1 10 1 10 5 A dx   . 2 x3 0 6 0  x  3 1 B 0 Câu 2. 1 3 4 dx  3ln x  3 0  3ln . x3 3 Suy ra a  4 , b  3 . Kết luận: a 2  b 2  42  32  7 . (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho tích 3 1 2 x3  x 2 dx  a ln 3  b ln 2  c với a , b , c   . Tính S  a  b  c . 2 7 2 7 A. S   . B. S   . C. S  . D. S  . 3 6 3 6 Lời giải Chọn D A  C  x2   A  B  x  B  A B C 1 1  Ta có: 3   2  x  x 2 x 2 ( x  1) x x x 1 x 2 ( x  1) B  1  A  1     A  B  0  B  1 . A C  0 C  1   3 Câu 3. 3 phân 3 1 1  1  x 1 1   1 1 Khi đó:  3 dx      2   a  2 ,    2ln 3  3ln 2   dx   ln 2 x  x x x x  1 x x 6     2 2 2 1 1 7 b  3 , c   S  2  3   . 6 6 6 4 5x  8 (Sở Phú Thọ) Cho  2 dx  a ln 3  b ln 2  c ln 5 với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của 3 x  3x  2 2a 3b c bằng A. 12 . B. 6 . C. 1 . D. 64 . Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Chọn D Ta có: 4 4 4 3  x  2   2  x  1 4 3 5x  8 5x  8 2  3 x 2  3x  2 dx  3  x  1 x  2  dx  3  x  1 x  2  dx= 3  x  1  x  2  dx 4   3ln x  1  2 ln x  2   3ln 3  2 ln 2  3ln 2  3ln 3  ln 2 . 3 Suy ra a  3, b  1, c  0  2a 3bc  26  64 . 5 Câu 4. (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho  3 Tính giá trị của biểu thức P  a  b  c . A. 9 . B. 5 . x2  2 dx  a  b ln 2  c ln 3 với a, b, c  . x 2  3x  2 D. 4 . C. 3 . Lời giải Chọn B 5 5 5 x2  2 2 1   3 x 2  3 x  2 dx  3 1  x  2  x  1  dx   x  2 ln x  2  ln x  1  3  2  ln 2  2 ln 3 . Vậy a  2, b  1, c  2  a  b  c  5 . Ta có 1 Câu 5. (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho 4 x 2  15 x  11 0 2 x 2  5 x  2 dx  a  b ln 2  c ln 3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Biểu thức T  a.c  b bằng A. 4 . B. 6 . C. 1 . 2 D. 1 . 2 Lời giải Chọn B Ta có 1 1 1 4 x 2  15 x  11 (4 x 2  10 x  4)  (5 x  7) 5x  7   dx    2  2  dx 2 0 2 x 2  5 x  2 dx  0 2 x  5x  2 2x  5x  2  0 1 Câu 6. 1 3  3 5   1  2   dx   2 x  ln | x  2 |  ln | 2 x  1|  0  2  ln 2  ln 3 x  2 2x 1  2 2   0 5 Vậy a  2 , b  1 , c  nên T  6 . 2 2 x 1 m n p Biết  3 dx  ln  x  1  x  2   x  3  C . Tính 4  m  n  p  . 2 x  6 x  11x  6 A. 5 . B. 0 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn D x2  1 x2 1 A B C     Ta có: 3 2 x  6 x  11x  6  x  1 x  2  x  3 x  1 x  2 x  3  A  x  2  x  3  B  x  1 x  3  C  x  1 x  2  x2 1   x  1 x  2  x  3  x  1 x  2  x  3  x 2  1  A  x  2  x  3   B  x  1 x  3   C  x  1 x  2  A  B  C 1 A 1     5 A  4 B  3C  0   B  5 . 6 A  3B  2C  1 C  5   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Suy ra Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng x2  1 1 1 1  x3  6 x 2  11x  6 dx   x  1 dx  5 x  2 dx  5 x  3 dx  ln  x  1 x  2  5  x  3 5 C. Vậy 4  m  n  p   4 . Câu 7. dx  a  b  c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính 1 x x  2   x  2 x P  abc . A. P  2 . B. P  8 . C. P  46 . D. P  22 . Lời giải Chọn B Ta có Biết  2 1  2    2 2 1 1   x  x  2  2  3 3.    d x  1 1 2 x 2 x2  Vậy a  2 ; b  3 ; c  3 nên P  a  b  c  8 . 2 dx  a  b  c với a , b , c là các số nguyên dương. Tính Biết I   1  x  1 x  x x  1  Câu 8.  x2 x 2 2 dx dx   1 2 x x  2 dx 1 x x  2   x  2 x x x2 x2  x P  abc . A. P  24 .  C. P  18 . Lời giải B. P  12 . D. P  46 . Chọn D Ta có: x  1  x  0 , x  1; 2 nên: 2 I  1  x  1 2 dx dx  x  x x  1 1 x  x  1 x  1  x   x  x  1  2 1   x  x  1  x dx x 1  2 2 x 1  x   1    x  1  x dx x  x  1 2 1   1     dx  2 x  2 x  1 1  4 2  2 3  2  32  12  2 . x x 1  1 a  32  Mà I  a  b  c nên b  12 . Suy ra: P  a  b  c  32  12  2  46 . c  2    x2 Câu 9. (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số G( x)   sin tdt. Tính đạo hàm của hàm số G( x). 0 A. G( x)  2x sin x B. G ( x)  2 x cos x C. G( x )  cos x Lời giải D. G ( x )  2 x sin x Chọn A Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   sin x . Theo định nghĩa: G  x   F  x 2   F  0   G ‘  x   F ‘  x 2  .2 x  F ‘  0   2 x.sin x 2  2 x.sin x . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 10. (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng LẦN 4 NĂM rằng Biết 2019)  2 4sin x  7cos x b b dx  a  2ln với a  0; b, c  * ; tối giản. Hãy tính giá trị biểu thức 2sin x  3cos x c c 0 P  abc .   A.  1 . B.  1 . C.  1 . D. 1 . 2 2 Lời giải Chọn B Xét đồng nhất thức: 4 sin x  7 cos x  A  2 sin x  3cos x   B  2 cos x  3sin x  I 2 A  3B  4  A  1   2 A  3B  sin x   3 A  2 B  cos x    3 A  2 B  7 B  2  2   2 2  2sin x  3cos x   4sin x  7cos x I dx    1  dx   x  2ln 2sin x  3cos x  2 0  2sin x  3cos x 2sin x  3cos x  0 0    2    2 ln .  a  , b  2, c  3 . 2 3 2   Vậy P  a  b  c   2  3   1 . 2 2 Câu 48: (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Cho tích phân  4 1 2 a  dx  ln b  với a, b, c là các số nguyên dương. Tính 2 c  5    0 cot   x  tan   x   12  6   a2  b2  c2 A. 48 . B. 18 . C. 34 . D. 36 . Lời giải  5    sin   x  cos   x  1  12  6  0  5     dx  0  5     dx cot   x  tan   x  cos   x  si n   x   12  6   12  6  7       7 sin  si n   2 x  2sin  4 4 12 4  dx   1  12  dx  0  7 7     0 sin  si n   2 x  sin  si n   2 x    12 12 4  4   7   5     tan cos   x   x 4 4  7    12 12 6   5        1  dx    1  tan cot   x   tan   x    dx  12   6  5       12  0 0 cos   x  si n   x     12  6     4  4   7    x  tan 12    2 3    5  4 ln sin  x  ln cos  x ln 3         4 2 6   12  0  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Do đó a  3; b  3; c  4 . Vậy a 2  b 2  c 2  34 . 5 Biết I  Câu 4:  1 2 x  2 1 dx  4  a ln 2  b ln 5 , với a , b là các số nguyên. Tính S  a  b. x A. S  9. B. S  11. C. S  5. D. S  3. Hướng dẫn giải Chọn B. 5 2 5 2 x  2 1 2 x  2 1 2 x  2 1 dx   dx   dx x x x 1 1 2 Ta có: I   5 2 5  2x 5 2x  3 2 2  x 1 2  x  2 1 dx   dx   dx   dx 1 2 x x x x 1 2 2 5 5 2 5 3      x  dx    2   dx   5ln x  x    2 x  3ln x  1 2 1 2 x x   a  8  a  b  11.  8 ln 2  3ln 5  4   b  3 2  Câu 11. (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f  x liên tục trên x  x  1 f   x    x  2  f  x   x  x  1  x   \ 1; 0 , số hữu tỉ. Tính T  a 2  b . 3 21 A. T   . B. T  . 16 16 C. T   \  1; 0 . Biết thỏa mãn f  2   a  b ln 3 3 . 2 f 1  2 ln 2  1 , , với a, b là hai D. T  0 . Lời giải Chọn A x  x  1 f   x    x  2  f  x   x  x  1  f   x   x2 f  x  1 x  x  1 2 2  x2   x2  x2 x2  2x x2 x2 x2   f  x  f  x   f  x     f  x   dx   dx 2 x 1 x 1  x 1  x  1  x 1  1  x 1 1 x 1 2 2 2  x2   x2   x2  1     f  x   dx    x  1  f  x     x  ln x  1   dx   x 1 x 1   x 1 1  2 1 1 1 4 1 1 3 3 3 3  f  2   f 1  ln 3  ln 2   f  2    ln 3  a  b   T   . 3 2 2 4 4 4 16 2 e2 x Câu 12. (Chuyên Vinh Lần 3)Cho biết f  x    t ln 9 tdt , tìm điểm cực trị của hàm số đã cho e A. x  2 Chọn B Gọi G  x  B. x  0 C. x  1 Lời giải là một nguyên hàm của hàm số D. x  6 g  x   x ln 9 x . Theo định nghĩa: f  x   G  e 2x   G  e   f ‘  x   G ‘  e 2 x  .e 2 x .2  G ‘  e   2.e 4 x  2 x  f / ( x)  0  x  0 . Suy ra chọn đáp án 9 B. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 4 Câu 13. (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho  1 Tính giá trị a  b  c . A. 4 . Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 x  ex  .dx  a  eb  ec với a , b , c là các số nguyên. 2x 4x x .e B. 5 . D. 3 . C. 3 . Lời giải Chọn A 2 2 2 1 x  ex 1 1 1 1  1   1 1    2.            x x x 4x x .e 2 x 2 x .e x  e  2 x e 2 x 2 x e  Ta có: 4 4 1 x  ex 1  1   .dx     x .dx  2x 4x e  x .e 1 12 x  a  1; b  1; c  4. Vậy a  b  c  1  (1)  (4)  4.  x  e x  4  1  e4  e1  a  eb  ec 1 3 2 Câu 14.  f  x  dx  6 .Gọi  S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn 3  2 2 kx  e dx  1 A. 7 . 2018.ek  2018 . Số phần tử của tập hợp S bằng. k B. 8 . C. Vô số. Lời giải D. 6 . Chọn A 2 2 1  e2k  ek Ta có:  e dx   ekx   . k  k 1 1 kx 2 kx  e dx  1 2018.ek  2018 e 2 k  e k 2018.e k  2018   k k k  e k  e k  1  2018  e k  1 (do k nguyên dương).   e k  1 e k  2018   0  1  e k  2018  0  k  ln 2018  7.6 . Do k nguyên dương nên ta chọn được k  S (với S  1;2;3;4;5;6;7 ). Suy ra số phần tử của S là 7 . 1 Câu 15. (Thị Xã Quảng Trị) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  1;3 thỏa mãn  f  x  dx  2 0 3 và 3  f  x  dx  4 . Tính  f  x  dx . 1 1 A. 6. B. 4. C. 8. Lời giải D. 2. Chọn C 1 Vì f  x  là hàm chẵn nên  1 1 3 Ta có:  1 1 f  x  dx   1 1 f  x  dx  2  f  x  dx  2  f  x  dx  4 . 0 3 0 1 3 f  x  dx   f  x  dx  2 f  x  dx   f  x  dx  4  4  8 . 1 0 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2 Câu 16. (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Có bao nhiêu số tự nhiên m để  2 x 2  2m 2 dx  0 . A. Vô số. B. 0 . x 2  2m 2  dx 0 D. 2 . C. Duy nhất. Lời giải Chọn A 2  2 x 2  2m 2 dx  0 x 2  2m 2  dx *  0  x  m 2 Ta có: x 2  2m 2  0   .  x  m 2 TH1. Nếu m  0 thì * luôn đúng.  x 2  2m 2  0 1 TH2. Nếu m  0 thi * đúng   2 với mọi x   0;2 . 2  x  2m  0  2  ) m  0 .  m 2  m 2  0 đúng   (vô nghiệm).  2  m 2  m 2  m 2  0 m  0  m 2.  2  đúng   m  2  m 2  2   ) m  0 . 1  m 2  m 2  0 đúng   (vô nghiệm).  2  m 2  m 2 m 2  0 m  0  m 2.  2  đúng   m   2   m 2  2   1   Suy ra m   ;  2    2 ;    0 là giá trị cần tìm. 2 Câu 17. (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019)   f  x   x  dx 6 Biết 0 2 2  3 f  x   g  x  dx  10 . Tính I    2 f  x  +3g  x  dx . 0 0 A. I  12 . B. I  16 . D. I  14 . C. I  10 . Lời giải Chọn D 2 Ta có 2   f  x   x  dx 6   0 2 0 2 2 x2 f  x  dx   6   f  x  dx  4 . 2 0 0 2 2 2 2  3 f  x   g  x  dx  10   3 f  x  dx   g  x  dx  10   g  x  dx   3 f  x  dx  10  2 . 0 0 0 0 0 2 I    2 f  x  +3g  x   dx  2.4  3.2  14 . 0 Vậy I  14 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 7 và ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 18. Biết 2 (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019)   f  x   x  dx 6 và 0 2 2  3 f  x   g  x  dx  10 . Tính I    2 f  x  +3g  x  dx . 0 0 A. I  12 . B. I  16 . D. I  14 . C. I  10 . Lời giải Chọn D 2 Ta có 2   f  x   x  dx 6   0 0 2 2 2 x2 f  x  dx   6   f  x  dx  4 . 2 0 0 2 2 2 2  3 f  x   g  x  dx  10   3 f  x  dx   g  x  dx  10   g  x  dx   3 f  x  dx  10  2 . 0 0 0 0 0 2 I    2 f  x  +3g  x   dx  2.4  3.2  14 . 0 Câu 1. Vậy I  14 . Cho hàm 1   f ‘  x 0 2 f  x số có đạo 1 hàm liên tục trên 2 dx    x  1 .e x . f  x  dx  0 A. 2  e B. 2  e  0;1 thỏa mãn 1 e 1 và f 1  0 . Tính 4 C. e  f  x  dx  ? 0 D. 1  e Lời giải: 1 1 e2  1 1 x x  x  1 . e . f x dx  f x d x . e   Ta có:          x.e x . f ‘  x  dx   4 0 0 0 1 1 2 1 2 e 1    f ‘  x   dx    x.e x . f ‘  x  dx    x 2 .e 2 x dx 4 0 0 0 1 1 2 1 1 2    f ‘  x   dx   x 2 .e2 x dx  2  x.e x . f ‘  x  dx  0    f ‘  x   x.e x  dx  0 0 0 0 0 1  f ‘  x    x.e x  f  x   e x  x  1   f  x  dx  2  e . 0 Chọn B Câu 19. (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f (0)  3 và 2 f ( x)  f (2  x)  x2  2 x  2, x   . Tích phân  xf ( x)dx bằng 0 A. 4 . 3 B. 2 . 3 C. 5 . 3 D.  10 . 3 Lời giải Chọn D Thay x  0 ta được f (0)  f (2)  2  f (2)  2  f (0)  2  3  1 2 Ta có: 2  f ( x)dx   f (2  x )dx 0 0 2 2 2 8 4 Từ hệ thức đề ra:   f ( x )  f (2  x)  dx    x  2 x  2  dx    f ( x)dx  . 3 3 0 0 0 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta lại có: 2 2 4 10 2  xf ( x )d x  xf ( x )  0 0 f ( x)dx  2.(1)  3   3 . 0 1 2 f  x   ax  bx  c Câu 20. Biết rằng hàm số  thỏa mãn 0 3  f  x  dx  0 7 f  x  dx   , 2 2  f  x  dx  2 và 0 13 (với a , b , c   ). Tính giá trị của biểu thức P  a  b  c . 2 3 A. P   . 4 4 B. P   . 3 C. P  4 . 3 D. P  3 . 4 Lời giải Chọn B d d Ta có  0 b a b a  f  x  dx   x3  x 2  cx   d 3  d 2  cd . 2 2 3 0 3 1 7 7 a b  f  x  dx    c    2  0  3 2 2 a  1   2  4 8 Do đó:  f  x  dx  2   a  2b  2c  2  b  3 . Vậy P  a  b  c   3  0 3 16 9 13 3  c   3   f  x  dx  13 9a  2 b  3c  2  2  0 f  x  \ 0 1 f 1  a f  2   b Câu 21. Cho hàm số xác định trên , thỏa mãn f   x   3 , và . 5 x x f  1  f  2  Tính . A. f  1  f  2    a  b . B. f   1  f  2   a  b . C. f   1  f  2   a  b . D. f   1  f  2   b  a . Lời giải Chọn C Ta có f    x   1 3 5  x    x 1   f   x  nên f   x  là hàm lẻ. x  x5 3 1 2 Do đó  2  f   x  dx  0   f   x  dx   f   x  dx . 2 2 1 Suy ra f  1  f  2    f  2   f 1  f  1  f  2   f  2   f 1  a  b . Câu 22. Cho hàm số f  x  \ 0 xác định trên Giá trị của biểu thức A. b  a . f  1  f  2 B. a  b . và thỏa mãn f   x   1 f 1  a f  2   b , , . 4 x x 2 bằng C. a  b . Lời giải D. a  b . Chọn A Ta có f    x   Do đó 1 2 x  x 4  1 2  f   x  dx   f   x  dx . 2 1  f   x  nên f   x  là hàm chẵn. x  x4 2 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Suy ra f   1  f  2   f   1  f  2   f   2   f 1  f 1  f  2  1 2   f   x  dx  b  a   f   x  dx  b  a . 2 1 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f  x   0 khi x  1, 2 . Biết Câu 55: 2 2  f ‘  x  dx  10 và f ‘ x   f  x  dx  ln 2 . Tính f  2  . 1 1 A. f  2   10 . B. f  2   20 . C. f  2   10 . D. f  2   20 . Hướng dẫn giải 2 Ta có:  f ‘  x  dx  f  x  2 1  f  2   f 1  10 (gt) 1 2  1 f ‘ x 2 f  2 dx  ln  f  x    ln  f  2   ln  f 1  ln  ln 2 (gt) 1 f  x f 1  f  2   f 1  10  f  2   20  Vậy ta có hệ:  f  2    f 1  10  f 1 2    Chọn B Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên R, nhận giá trị dương trên khoảng  0;  và thỏa Câu 57: f 1  1 , f  x   f ‘  x  3 x  1 . Mệnh đề nào đúng? A. 1  f  5   2 . B. 4  f  5   5 . C. 2  f  5   3 . D. 3  f  5   4 . Hướng dẫn giải Từ gt: f  x   f ‘  x  3x  1   f ‘ x  f  x f ‘ x 1  3x  1 f  x  2 dx   2 Vì f 1  1  e 3 1 2 dx  ln  f  x    3x  1  C  f  x   e 3 3 3x  1 .2  C 2  1  e0  C   4  f  x  e3 3 3 x 1  4 3 3 x 1  C 4  f  5   e 3  3, 79 Chọn D y  f  x 1;1 f  x   0, x   Câu 23. Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn  , thỏa mãn và f  x  2 f  x  0 f 1  1 f  1 . Biết , tính . 2 3 A. f  1  e . B. f   1  e . C. f   1  e 4 . D. f  1  3 . Lời giải Chọn C Biến đổi: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 1 f ‘ x  f ‘ x   2   dx   2 dx  f  x f  x 1 1 f ‘ x  2 f  x  0  df  x  1  f  x  4  ln f  x  1 1  4 1 f 1 f 1  4   e4  f  1  f 1 .e 4  e 4 . f  1 f  1 ln Câu 24. Cho hàm số f liên tục, f  x    1 , f  0   0 và thỏa f   x  x 2  1  2 x f  x   1 . Tính f  3. A. 0 . B. 3 . C. 7 . Lời giải D. 9 . Chọn B Ta có f   x  x 2  1  2 x f  x   1  f  x 3   f  x 1 0  f 3 dx  2x  x2  1 0  3  1  f f  x 1 f  x 1 dx  f 0 1  1  f  x 3  2x x2  1 3  x2  1 0  0 f  x 1 3 1 0  3 1  2  f  3  3 . Câu 25. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f  x   0 khi x  1, 2  . Biết 2 2 1 1    f ‘  x  dx  10 và  f  x  dx  ln 2 . Tính f  2  . f’ x A. f  2   10 . B. f  2   20 . 2 Ta có:  f ‘  x  dx  f  x  2 1 C. f  2   10 . Lời giải: D. f  2   20 .  f  2   f 1  10 (gt) 1 2 f ‘ x   f  x  dx  ln  f  x  1 2 1 f 2  ln  f  2    ln  f 1  ln  ln 2 (gt) f 1  f  2   f 1  10  f  2   20  Vậy ta có hệ:  f  2    f 1  10  f 1 2    Chọn B Câu 26. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  , xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều 2 kiện f  x   0 x   , f   x    x. f  x   , x   và f  0   2 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  1 của đồ thị  C  là. A. y  6 x  30 . B. y  6 x  30 . C. y  36 x  30 . Lời giải D. y   36 x  42 . Chọn C 1 f   x    x. f  x    2 1 1 1 1 df  x  x3 f  x f  x 1 1 2 2     2 x  2 dx   x dx   2 f  x 3 0 f  x 0 3 f  x f  x 0 0 0 1 1 1 1 1      f 1  6 . f 1 f  0 3 f 1 6 2 f  1  1. f 1   36 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là y  36 x  30 . Câu 27. Cho hàm số y  f  x   0 xác định, có đạo hàm trên đoạn x g  x   1  2018  f  t  dt , g  x   f 2  x  . Tính 0 A. 0;1 và thỏa mãn: 1 g  x dx .  0 1011 . 2 B. 1009 . 2 C. 2019 . 2 D. 505 . Lời giải Chọn A x Ta có g  x   1  2018  f  t  dt  g   x   2018 f  x   2018 g  x  0 g  x   g  x 2  t  2018   g  x  g  x 0 t dx  2018 dx  2  g  x 0  t 0 t  2018 x 0  g  t   1  2018t (do g  0   1 )  g  t   1009t  1 1 1 1011  1009 2  .   g  t dt   t t  2  2 0 0 Câu 28. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn f   0   9 và 2 9 f   x    f   x   x   9 . Tính T  f 1  f  0  . A. T  2  9ln 2 . B. T  9 . C. T  1  9 ln 2 . 2 D. T  2  9ln 2 . Lời giải Chọn C 2 2 Ta có 9 f   x    f   x   x   9  9  f   x   1    f   x   x    f   x   1 1  . 9  f   x   x  2 f   x   1 1 1 x dx   dx   C . 9 f   x  x 9  f ‘  x   x  1 9 9 Do f   0   9 nên C  suy ra f   x   x   f  x   x 9 x 1 x 1 Lấy nguyên hàm hai vế  2 1  x2  1 9  Vậy T  f 1  f  0      x  dx   9 ln x  1    9ln 2  . 2 0 2 x 1   0 4 2 y  f  x f   x . f  x   x  x f  0  2 f 2  2 Câu 29. Cho hàm số thỏa mãn . Biết . Tính . 313 332 324 323 A. f 2  2   . B. f 2  2   . C. f 2  2   . D. f 2  2   . 15 15 15 15 Lời giải Chọn B Ta 2 2 2 f 2  x 136 4 2 4 2 f ‘  x  . f  x   x  x   f ‘  x  . f  x  dx   x  x dx   f  x  df  x    15 2 0 0 0 1   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông 2 0 có 136  15 Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A f 2  2   4 136 332 .   f 2  2  2 15 15 y  f  x f  x Câu 30. Cho hàm số có 3 f  x   f   x   1  3.e C. e3 f 1  f  0   e  0;   liên tục trên nửa khoảng thỏa mãn 2 x . Khi đó: 1 1 A. e3 f 1  f  0    . 2 e 3 2 2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng B. e3 f 1  f  0    3 e  3  8 1 2  2 e 3 1 . 4 2 3 D. e3 f 1  f  0    e 2  3  e 2  3  8 . . Lời giải Chọn C e2 x  3  3e3 x f  x   e3x f   x   e2 x e2 x  3 . ex Ta có: 3 f  x   f   x   1  3.e2 x   e3 x f  x    e 2 x e 2 x  3 . 1 1 Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được  e f  x   dx   e 2 x e2 x  3 dx 3x 0 1  e f  x    0 3 1 3x  3 1 2x e 3  e 3 0 e f 1  f  0   0 2  3 e 2  3  8 3 . Câu 114: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm f   x  liên tục trên R thỏa mãn x 2 2 2  f  x      f  t     f   t    dt  2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?   0 A. f 1  2018e . C. f 1  2018 . B. f 1  2018 . D. f 1  2018e . Hướng dẫn giải: Chọn D 2 2 2 2 f  x  . f   x    f  x    f   x     f   x   f  x   0  f   x   f  x   f  x 1 f  x  ln f  x   x  C  f  x   e x C Thử vào đẳng thức đã cho suy ra x x e 2C e 2 x   2e 2C e 2t dt  2018  e 2C e 2 x  e2C .e 2t  2018  e 2C  2018  eC  2018 0 0 Vậy f  x   e xC  e x .eC  2018e x . Suy ra f 1  2018e . Câu 116: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm f   x  liên tục trên R thỏa mãn x 2 2 2 2  f  x      4  f  t     f   t    dt  2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?   0 2 A. f 1  1009e . B. f 1  1009e . C. f 1  1009e . 2 D. f 1  1009e . Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Chọn D  Đạo hàm hai vế ta được: 4 f  x  . f   x   2 f  x   f  x  2 f  x  2    f  x 2 2   f   x   2 f  x   0 f  x  2  ln f  x   2 x  C  f  x   k .e 2 x k  0 f  x Thử vào đẳng thức đã cho suy ra x x 2 4x 2k e   8k 2e 4t dt  2018  2k 2e 4 x  2k 2 .e 4t  2018  2k 2  2018  k  1009 0 0 Vậy f  x   1009e 2x  f 1  1009e 2 Câu 31. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 , f  x  và f   x  đều nhận giá trị dương 1 trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f  0   2 , 1   f  x   3 1 2 0  f   x  .  f  x   1 dx  20 f   x  . f  x  dx . Tính dx . 0 A. 15 . 4 B. 15 . 2 17 . 2 Lời giải C. D. 19 . 2 Chọn D 1 1 2 Theo giả thiết, ta có   f   x  .  f  x    1 dx  2    0 0 1 f   x  . f  x  dx 1 2    f   x  .  f  x    1 dx  2    0 0 f   x  . f  x  dx  0 2 1 1 2    f   x  .  f  x    2 f   x  . f  x   1 dx  0    f   x  . f  x   1 dx  0     0 0  f   x . f  x   1  0  f 2  x  . f   x   1  f 3  x 8  x  C . Mà f  0   2  C  . 3 3 Vậy f 3  x   3 x  8 . 1 1 1  3x 2  19 Vậy   f  x   dx    3x  8 dx    8x   .  2 0 2 0 0 3 y  f  x  \ 0 Câu 32. Cho hàm số xác định và liên tục trên thỏa 2 2 2 x f  x    2 x  1 f  x   xf   x   1 x   \ 0 f 1  2 với và . Tính  f  x  dx . mãn 1 1 A.   ln 2 . 2 3 B.   ln 2 . 2 C. 1  ln 2 . 2 3 ln 2 D.   . 2 2 Lời giải Chọn A 2 Ta có x 2 f 2  x    2 x  1 f  x   xf   x   1   xf  x   1  f  x   xf   x * Đặt h  x   f  x   xf   x   h  x   f  x   xf   x  , khi đó  *  có dạng File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A h 2  x   h  x   Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng h  x  h  x  dh  x  1  xC 1   2 dx   1dx   2  xC   2 h  x h  x h  x h  x 1 1  xf  x   1   xC xC 1 Vì f 1  2 nên 2  1   C 0 1 C 1 1 1 Khi đó xf  x   1    f  x    2  x x x 2 2 2 1  1 1 1  Suy ra:  f  x  dx     2  dx    ln x     ln 2 x x 2 x 1 1 1 Câu 33. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f  0   0 . Biết  h  x   1  0 9 f  x  dx  và 2 2 A. 1 .  1  0 1 x 3 . Tích phân  f  x  dx bằng f   x  cos dx  2 4 0 4 6 2 B. . C. . D. .    Lời giải Chọn C 1 1 Ta có  0 1 1 x  x x x . f  x    sin .f  x  dx f   x  cos dx   cos d  f  x    cos 2 2 2 2 0 2 0 0 1   x sin .f  x  dx .  20 2 1 Suy ra  sin 0 x 3 . f  x  dx  2 2 2 1 1 1 1  x Mặt khác   sin  dx   1- cos  x  dx  . 2  20 2 0 1 Do đó  0 1 2 1 f 2  x  dx  2 3sin 0 x  x  f  x  dx   3sin  dx  0 . 2 2  0 2 1 x  x  hay   f  x   3sin . dx  0 suy ra f  x   3sin  2 2  0  1 Vậy  0 1 1 x 6 x 6 f  x  dx   3sin dx   cos  . 2  2 0  0 x2 Câu 53: Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;  và thỏa  f  t  dt  x.cos  x . Tính f  4  . 0 A. f  4   123 . B. f  4   2 . 3 C. f  4   3 . 4 D. f  4   1 . 4 Hướng dẫn giải Ta có: F  t    f  t  dt  F ‘  t   f  t  x2 Đặt G  x    f  t  dt  F  x   F  0  2 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng /  G ‘  x    F  x 2    2 x. f  x 2  (Tính chất đạo hàm hợp: f ‘ u  x   f ‘  u  .u ‘  x  ) x2 Mặt khác, từ gt: G  x    f  t  dt  x.cos  x 0  G ‘  x    x.cos  x  ‘   x sin  x  cos  x  2 x. f  x 2    x sin  x  cos  x (1) Tính f  4   ứng với x  2 Thay x  2 vào (1)  4. f  4   2 sin 2  cos 2  1  f  4   1 4 Chọn D 1 Câu 34. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  0; 1 , thỏa mãn 1  f  x  dx   xf  x  dx  1 0 1   f  x  2 1 dx  4 . Giá trị của tích phân 0   f  x   3 và 0 dx bằng 0 A. 1. B. 8 . C. 10 . Lời giải D. 80 . Chọn C 1 Xét 1 2 2 1 1 2   f  x    ax  b   dx    f  x  dx  2  f  x  . ax  b  dx    ax  b  dx 0 0 1 0  4  2a  xf  x  dx  2b  f  x  dx  0 0 1 1 0 2 1 3 a  ax  b   4  2  a  b    ab  b2 . 3a 3 0 a2   2  b  a  b 2  2b  4  0 3 2   b  2 4 2 2  0  b  2  a  6 . Ta có:   b  4b  4   b  2b  4   3 3 Cần xác định a, b để 1   f  x    6 x  2  Khi đó: 2 dx  0  f  x   6 x  2 0 1 1 1 1 4 Suy ra   f  x   dx    6 x  2  dx   6 x  2   10 . 24 0 0 0 3 3 Câu 35. Cho hàm số f  x  có đạo hàm và liên tục trên đoạn  4;8 và f  0   0 với x   4;8 . Biết rằng 2  f   x   1 1 4  f  x  4 dx  1 và f  4   4 , f 8  2 . Tính f  6  .   8 A. 5 . 8 B. 2 . 3 C. 3 . 8 D. 1 . 3 Lời giải Chọn D File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 8 +) Xét f  x  f  x 2 4 8 dx   df  x  f 2  x 4  Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  1 1 8 1          2  4   2 . f  x 4  f  8 f  4   2  f  x  +) Gọi k là một hằng số thực, ta sẽ tìm k để   2  k  dx  0 . f  x 4  8 2 2 8 8 8  f   x    f  x  f  x 2 2 Ta có:   2  k  dx   dx  2k  2 dx  k  dx  1  4k  4k 2   2k  1 . 4  f  x f  x 4 4  4 4   f  x   8 2 8 6 6  f  x 1  f  x 1 f  x 1 1 Suy ra: k   thì   2   dx  0  2   2 dx   dx 2 f  x  2  f  x 2 f  x 24 4 4 6 df  x  1 6 1 1 1 1  2 1  1  1 4  1  f  6  . f  x f  x 4 f 4 f 6 f 6 3 4 b Chú ý:  b f  x  dx  0 không được phép suy ra f  x   0 , nhưng a  f  x  dx  0  f  x   0 . 2k a 2 2 Câu 36. Suy ra 4  f  x  dx  8   f  x  dx  2 . Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 0;  1 thỏa 0 0 mãn điều kiện f 1   2 ln 2 và x  x  1 . f   x   f  x   x 2  x . Giá trị f  2   a  b ln 3 , với a, b   . Tính a 2  b 2 . 25 9 A. . B. . 4 2 C. 5 . 2 D. 13 . 4 Lời giải Chọn B Từ giả thiết, ta có x  x  1 . f   x   f  x   x 2  x  x 1 x . f  x  f  x  2 x 1 x 1  x  1 x  x   . f  x   , với x   \ 0;  1 .  x 1  x 1 x x x Suy ra . f  x   dx hay . f  x   x  ln x  1  C . x 1 x 1 x 1 x Mặt khác, ta có f 1   2 ln 2 nên C  1 . Do đó . f  x   x  ln x  1  1 . x 1 2 3 3 3 3 Với x  2 thì . f  2   1  ln 3  f  2    ln 3 . Suy ra a  và b   . 3 2 2 2 2 9 Vậy a 2  b 2  . 2 Câu 37. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  và thỏa mãn f   x     1;1 với  x   0; 2  2 . Biết f  0   f  2   1 . Đặt I   f  x  dx , phát biểu nào dưới đây đúng? 0 A. I    ; 0  . B. I   0;1 . C. I  1;   . Lời giải D. I   0;1 . Chọn C 2 1 2 Ta có I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . 0 0 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1  1 1 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 1 f  x  dx   x  1 f  x  0    x  1 f   x  dx  1   1  x  f   x  dx  1   1  x  dx  0 2 0 2 0 2 0 2 1 1 1 1 1 . 2 1  f  x  dx   x 1 f  x     x  1 f   x  dx  1    x  1 f   x  dx  1   1  x  dx  2  2  . 2 1 1 1 1  1. 2 2 có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  0   1 và Từ 1 và  2  suy ra I  Câu 38. Cho hàm số f  x  1 1 2 1  3  f   x   f  x     dx  2  9 0  0 3 5 A. . B. . 2 4 1 f   x  f  x  dx . Tính tích phân   f  x   3 dx : 0 5 C. . 6 Lời giải D. 7 . 6 Chọn D Từ giả thiết suy ra: 1 1 2 2   3 f   x  f  x   1 dx  0 .   3 f x f x  2.3 f x f x  1 d x  0          0  0    1 1 Suy ra 3 f   x  f  x   1  0  f   x  f  x    f   x  . f 2  x   . 3 9 1 1 Vì  f 3  x   3. f 2  x  f   x  nên suy ra  f 3  x     f 3  x   x  C . 3 3 Vì f  0   1 nên f 3  0   1  C  1 .   1 Vậy  f 3  x   x  1 . 3 1 1 3 7 1  0  f  x   dx  0  3 x  1 dx  6 . Câu 39. Cho hai hàm số f  x  và g  x  có đạo hàm trên đoạn Suy ra  f 1  g 1  4   g  x    x. f   x  ; A. 8ln 2 . 1; 4  và thỏa mãn hệ thức 4 f  x    x.g   x  B. 3ln 2 . . Tính I    f  x   g  x   dx . 1 C. 6ln 2 . Lời giải D. 4ln 2 . Chọn A Cách 1: Ta có f  x   g  x    x  f   x   g   x     f  x  g  x 1  f  x  g x x f  x  g  x 1 dx    dx  ln f  x   g  x    ln x  C f  x  g  x x Theo giả thiết ta có C  ln 1  ln f 1  g 1  C  ln 4 . 4   f  x  g  x  x 4 Suy ra  , vì f 1  g 1  4 nên f  x   g  x   x  f  x  g  x   4  x 4  I    f  x   g  x   dx  8ln 2 . 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Cách 2: Ta có f  x   g  x    x  f   x   g   x      f  x   g  x   dx    x  f   x   g   x   dx .    f  x   g  x   dx   x  f  x   g  x      f  x   g  x   dx .   x  f  x   g  x    C  f  x   g  x    C . Vì f 1  g 1  C  C  4 x 4 Do đó f  x   g  x   4 . Vậy I    f  x   g  x   dx  8ln 2 . x 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 y  f  x Cho hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u  u ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và   u ( x)   . Giả sử có thể viết f ( x)  g (u ( x))u ‘( x), x [a;b], với g liên tục trên đoạn [ ;  ]. Khi đó, ta có u (b ) b I   f ( x ) dx  a  g (u ) du. u (a ) Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân Dấu hiệu Có thể đặt Có t f ( x) Ví dụ f ( x) I  3 0 3 x dx . Đặt t  x 1 x 1 1 Có (ax  b)n t  ax  b I   x ( x  1) 2016 dx . Đặt t  x  1 Có a f ( x) t  f ( x) I 4 0  Có dx và ln x x etan x 3 dx . Đặt t  tan x  3 0 cos2 x e ln xdx I  . Đặt t  ln x  1 1 x(ln x  1) t  ln x hoặc biểu thức chứa ln x Có e x dx t  e x hoặc biểu thức chứa e x Có sin xdx t  cos x I  ln 2 2 x e 0 x 3e x  1dx . Đặt t  3e  1  I   2 sin 3 x cos xdx . Đặt t  sin x 0 Có cos xdx t  sin xdx dx Có cos 2 x I  0  4 0 I  t  tan x dx Có sin 2 x  sin 3 x dx Đặt t  2cos x  1 2cos x  1  ecot x 4  1  cos 2 x 6 I  t  cot x  1 1 dx   4 (1  tan 2 x) 2 dx 4 0 cos x cos x Đặt t  tan x dx   e cot x dx . Đặt t  cot x 2sin 2 x HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC 100 Câu 1. Giá trị của tích phân  x  x  1 …  x  100  dx bằng 0 A. 0 . C. 100 . Lời giải B. 1. D. một giá trị khác. Chọn A 100 Tính I   x  x  1 …  x  100 dx . 0 Đặt t  100  x  dx  dt . Đổi cận: Khi x  0 thì t  100 ; khi x  100 thì t  0 . Do x  x  1 …  x  100   100  t  99  t  … 1  t  t   t  t  1 … t  99  t  100 nên 100 I 100  x  x  1 …  x  100 dx    t  t  1 … t  100 dt   I  2I  0  I  0 . 0 0 1 Câu 2. n (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho n là số nguyên dương khác 0 , hãy tính tích phân I   1  x 2  xdx 0 theo n . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. I  1 . 2n  2 B. I  1 . 2n Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C. I  1 . 2n 1 D. I  1 . 2n  1 Lời giải Chọn A Với n  * , khi đó: 1 2 Đặt t  1  x 2  dt  2 xdx  xdx   dt Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  0 Khi đó I   10 n 11 n 1 t n 1 1 1 t d t  t d t  .    21 20 2 n  1 0 2n  2  1 2    2 2 Cách 2: Ta có d 1  x  2 xdx   d 1  x  xdx 1 I   1  x 0 2 n  2 1 1 1 1  x  2 n 2 xdx    1  x  d 1  x    . 20 2 n 1 1 Câu 3. (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Tích phân I   0  x  1 n 1 1  0 1 2n  2 2 x2  1 dx  a ln b  c , trong đó a ; b ; c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức a  b  c . A. 2 . B. 1 . C. 3 . D. 0 . Lời giải Chọn A 2 1 1 2 1 1 1 x  1  x 1  2x 2x  1  I  2 dx   d x  1  d x  d x  d  x 2  1   2 2 2    x  1 x  1 x  1 x  1  0 0 0 0 0 1  1  ln x2  1 1  ln 2 . 0 a  1 , b  2 , c  1 nên a  b  c  2 . 1 Câu 4. (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Biết x 0 3 2 x2 dx  a ln 12  b ln 7 ,  4x  7 3 với a , b là các số nguyên, khi đó a  b bằng A. 9 . B. 0 . C. 9 . D. 7 . Lời giải Chọn B 1 Đặt t  x 2  4 x  7  dt   2 x  4  dx   x  2  dx  dt . 2 Đổi cận: x  0  t  7 ; x  1  t  12 . 1 12 x2 1 1 1 1 12 d x  0 x 2  4 x  7 7 2t dt  2 ln t 7  2 ln12  2 ln 7  ln 12  ln 7  a  1 ; b  1 . Vậy a3  b3  0 . 2 Câu 5. (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Cho x 0 2 2 x dx  a ln 3  b với a , b là  2x  4 2 các số thực. Giá trị của a  3b bằng 7 1 A. . B. . 27 2 5 . 18 Lời giải C. D. 35 . 144 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Chọn C 2 Ta có:  0 2  0 2 x x 1 1   dx    2  2 dx 2 x  2x  4 x  2 x  4 x  2 x  4  0 2 x 1 1 dx   2 dx . 2 x  2x  4 x  2x  4 0 2 2 1 x 1 Tính I1   2 dx  ln x 2  2 x  4 x  2x  4 2 0  2 Tính I 2   0 1 1 dx . dx   2 x  2x  4 0  x  1  3 Suy ra I 2    6 x 0 2 3   du . Đổi cận: x  0  u  và x  2  u  . 2 cos u 6 3  3 3 1 1 1     . du  du  .    2  2 cos u 3 1  tan u  3 33 6 6 3 6 1  x . dx  I1  I 2  ln 3  2  2x  4 6 3 2 2 Câu 6. 0 1 1  ln12  ln 4   ln 3 . 2 2 2  3 Vậy  2 Đặt x  1  3 tan u  dx  2  5  1  1 Suy ra a 2  3b 2     3.   .  2  6 3  18 2 2001 x Tích phân I   dx có giá trị là 2 1002 (1  x ) 1 1 1 A. . B. . 1001 2002.2 2001.21001 C. 1 . 2001.21002 D. 1 . 2002.21002 Lời giải 2 I  1 2004 2 x .dx   x (1  x 2 )1002 1 3 1 1002 .dx . Đặt t   1  x 3  2  1 x  1 2  1  dt   3 dx . 2 x x HÀM VÔ TỈ 1 Câu 7. (ĐH Vinh Lần 1) Biết rằng  x5 2 Giá trị của a  b  c bằng A. 10 . B. 5 . dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 , với a, b, c là các số hữu tỉ. x39 C. 10 . Lời giải D. 5 . Chọn A Đặt t  x  3  t 2  x  3  2tdt  dx Đổi cận: x  2  t  1 ; x  1  t  2 . 1 1 2 2 dx dx tdt 2   3 Ta có:     2 2  2    dt t  5 t  6 t  3 t  2 x  5 x  3  9 x  3  5 3 x  1  6   2 2 1 1  2 2   2 3ln t  3 1  2 ln t  2 1  2  5ln 4  2ln 3  3ln 5 =  20 ln 2  4 ln 3  6 ln 5 Suy ra: a  20 , b  4 , c  6 . Vậy a  b  c  10 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 8 Câu 8. (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho I   3 dương và A.  6 . 1 x  x x 1 dx  Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 a c ln  với a, b, c, d là các số nguyên 2 b d a c , tối giản. Giá trị của abc  d bằng b d B. 18 . C. 0 . Lời giải D.  3 . Chọn A Đặt t  x  1  t 2  x  1  2tdt  dx . Khi x  3  t  2 ; Khi x  8  t  3 . 3 Khi 3 3 1 2t 2t I  2 .2tdt   2 dt   dt 2 2 2 t  1   t  1 t 2  t  1  t  1 2  t  1 t  1 đó  t  1   t  1dt  3   t  1   t  1 dt 2 2   t  1 t  12  t  1 t  12  2  t  1 t  1   3  3 3 1 1  1  t  1   t  1 1     d t  .    2  2  t  1 t  1  t  12 dt  t  1 t  1  t  1 2  2    3 3 1 1 1  1  1  1    dt    ln t  1  ln t  1    2 2 t  1 t  1 t  1  2   2 t  1    2   3 Câu 9.  1 t 1 1  1 1 1 1 1 1   ln   ln    ln     2 t  1 t  1 2 2 2 4  2 3 3  1 1 1 1 1 1 1 3 1  ln  ln    ln   a  3 , b  2 , c  1 , d  12 . 2 2 2 3 4 3 2 2 12 Vậy abc  d  3.2.1  12  6 . 4 dx (ĐH Vinh Lần 1) Biết rằng   a ln 3  b ln 5  c ln 7 , với a, b, c là các số 4 x  1  5 2 x  1   0 hữu tỉ. Giá trị của a  b  c bằng 4 4 A. 0 . B.  . C. 1. D. . 3 3 Lời giải Chọn A Đặt t  2 x  1  t 2  2 x  1  td t  d x Đổi cận: x  0  t  1 ; x  4  t  3 . 3 4 3 4 tdt dx dx 1 2  2t  1   t  2   2 Ta có:     dt 2t  5t  2 3 1  2t  1 t  2  0 4  x  1  5 2 x  1 0 4x  2  5 2 x 1  2 1 3 3 1  2 1  1 1 1 1 1       dt   2 ln t  2  ln 2t  1    2ln 5  2ln 3  ln 7  ln 3  3 1  t  2 2t  1  3 2 2 2 1 3  1 2 1   ln 3  ln 5  ln 7 2 3 6 1 2 1 Suy ra: a   , b  , c    a  b  c  0 . 2 3 6 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2 dx  a  b  c với a , b , c là các số nguyên dương. Tính x  1  x  1 x   1 P  abc . A. P  44 . B. P  42 . C. P  46 . D. P  48 . Lời giải Chọn D 2 2 dx dx Đặt I    . x  x  1 x  x  1 1 x x  1   x  1 x 1 x Câu 10. Biết  Đặt t  x  x  1  dt  x 1  x 2 x  x  1  dx dx  x  x  1 2 dt . t Khi x  1 thì t  2  1 , khi x  2 thì t  3  2 . 2 I  1 3 2 dx x  x  1  x  x 1  2  2 1 dt 1  2 2 t t 3 2 2 1 1 1    2    4 2 2 32 2 1   3 2  32  12  4  a  32 , b  12 , c  4 Vậy P  a  b  c  48 1 2 3 a x  ax Câu 11. Tích phân I   dx , với a  0 có giá trị là: 2 ax  1 0 A. I  a a  2 . 4 B. I  a a  2 . 2 C. I  a a  2 . 4 D. I  a a  2 . 2 Lời giải 1 Tích phân I   2 3 a x  ax ax 2  1 0 1 Ta biến đổi: I   dx , với a  0 có giá trị là: a 2 x3  ax 1 dx   ax  ax 2  1 1 ax 2  1 ax2  1 0 0 2 Ta nhận thấy:  ax  1 ‘  2ax . Ta dùng đổi biến số. 0   dx   ax ax2  1 dx . Đặt t  ax 2  1  dt  2axdx . x  0  t  1 Đổi cận  . x  1  t  a 1 a 1 a 1 1 1 1  I   tdt   t 2   a  a  2  . 2 4  4 1 1 Chọn C 1  2 a  dx 0 x 2  4 x  3  2ln  1  b    với a , b là các số nguyên dương. Giá trị của a  b Câu 12. Biết rằng bằng A. 3 . B. 5 . C. 9 . D. 7 . Lời giải Chọn B 1 1 dx dx Ta có   2 x  4 x  3 0  x  1 x  3 0 Đặt t  x  3  x  1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 1 1  1  x 1  x  3     dt    d x  d t   2 x3 2   x  1 x  3  x 1    1  dt   2   2dt  dx   t  x  1 x  3  dx t  x  1 x  3 . Khi x  0 thì t  1  3 ; khi x  1 thì t  2  2 . 1  0 2 2 dx x2  4 x  3 2 Câu 13. Biết    3 x  S  a b c A. S  51 . 1 2  1 dt  2 ln t t 3 2 2 1 3  2ln 2 2 a  2   a b  5. 1 3 b  3 1 1 1  a a  2 3 8  11  dx  3 c , với a, b, c nguyên dương, tối giản và c  a . Tính 2 x x x  b b B. S  67 . C. S  39 . Lời giải D. S  75 . Chọn C 2 2   1  2 1 1 1 Ta có   3 x  2  2 3 8  11  dx   3 x  2 1  3  dx . x x x  x  x  1 1 2 1 1  Đặt t  3 x  2  t 3  x  2  3t 2 dt   1  3  dx . x x  x  3 2 7 3 7 4  4 1 1 1  3 21 3 Khi đó:   3 x  2  2 3 8  11  dx   3t 3dt  t 4  14 . x x x  4 0 32 1 0 Vậy S  67 . 2 dx Câu 14. Cho số thực dương k  0 thỏa   ln 2  5 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x2  k 0 3 1 1 3 A. k  . B. 0  k  . C.  k  1 . D. 1  k  . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C x 1 1 x 2  k dx Đặt t  ln x  x 2  k  dt   dt  dx 2 2 x x k x k 2 2 2 dx 2 2 Ta có    dt  t 0  ln x  x  k  ln 2  5 0 x2  k 0 0       4  k  2  5     ln 2  4  k  ln k  ln 2  5  ln  2  2  k  2  5  4  k  2  5      2 4k 2 4k  ln 2  5   2 5 k k     2   k  4 4  k 4 4 k  2 5 k  4k  2 5 k 2 2  2  k k    2 5  2 5   2  2  5 2 k2  9  4 5 k  0  k  0 k2  4 4 2  5 k   k  1       File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 Câu 15. Giả sử 1  x2 1 b  dx   a a  b  với a, b, c   ; 1  a, b, c  9 . Tính giá trị của biểu 4 x c bc   1 b a 2 a c thức C A. 165 . Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng . B. 715 . C. 5456 . Lời giải D. 35 . Chọn D 2 I  1 2 2 1 x dx   x4 1 Đặt t 2  1  1 1 x2 dx x3 1 2 1  2 td t   3 d x   td t  3 d x 2 x x x 5 2 2 1 Ta được I    t dt  t 3 3 2 2 5 2 1 5   2 2  5. 3 53  Vậy a  2 , b  5 , c  3 , suy ra C2baac  C73  35 . Câu 16. (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) 3 x a 0 4  2 x  1dx  3  b ln 2  c ln 3 với a,b,c là các số nguyên. Giá trị a  b  c bằng: A. 9 B. 2 C. 1 D. 7 Lời giải Chọn C 3 x 0 4  2 x  1dx  Cho t  4  2 x  1  (t  4)2  4( x  1)  2(t  4)dt  4dx x 0t 6 x  3t 8 8 8 8 t 2  8t  16  4 t 3  12t 2  44t  48 t 2 3t 11 6 .(t  4)dt   dt      dt 8t 8t 8 2 2 t 6 6 6 I  ( 8 7 t 3 3t 2 11   t  6 ln t )   12 ln 2  6 ln 3 6 3 24 4 2  a bc 1 1 Câu 17. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho  1 2 a, b, c , d là các số nguyên dương và B. 10 A. 12 x 1 b  dx  ln   d  , với x 1 a c  3 b tối giản. Giá trị của a  b  c  d bằng c C. 18 D. 15 Lời giải Chọn B 1 I  1 2 1 x dx   3 x 1 1 2 x 1  x 1  3   x  3 1 dx   1 2 1 1 x. 1   x 3 dx File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 1 1  x   dx  2 dt x t t 1 Đổi cận: x   t  2 ; x  1  t  1 2 1 2 t  1  t 2dt Khi đó: I   d t    3 3  t2  1 t . 1 t3 2 1 t   Đặt t   Đặt u  1  t 3  u 2  1  t 3  t 3  u 2  1  3t 2 dt  2u du  t 2 dt  2u du 3 Đổi cận: t  1  u  2 ; t  2  u  3 2u du 3 3 2 du 1 u 1 3 1 3  3 Ta có: I   2   2  ln  ln   2  3 2 u 1 3 u 1 2 3  2  2  u  1 .u Suy ra a  3, b  3, c  2, d  2 . Vậy a  b  c  d  10 . Câu 18. (CỤM TRẦN KIM HƯNG -HƯNG YÊN NĂM 2019) Cho tích phân 2 3 a 1  1 a.  là phân số tối I    1  2 . 14  x 2  2 .dx   c 3  d , trong đó ( a , b, c, d   , b x x b   1 2 giản). Tính tổng S  a  b  c  d . A. S  3 . B. S  7 . C. S  2 . D. S  11 . Lời giải Chọn A 2 3 Ta có: I   1 2 1  1  2  1  2 . 14  x  2 .dx  x  x  2 3  1 2 2 1  1    1  2 . 16   x   .dx x  x   1 1       4sin t  1  2  dx  4 cos tdt , t    ;  x  x   2 2   Đổi cận: Với x  1  2  t  ; với x  2  3  t  . 4 3 Đặt x   3 2  3  3  I   4 cos t. 16   4sin t  dt  16 cos 2 tdt  8 1  cos 2t dt  8x  4sin 2t  3   4  4  4 4 2 2 34 3 2 3 1  1 a.  2  1  x 2 . 14  x  x 2 .dx  b  c 3  d  a  2, b  3, c  2, d  4 .  1 2  Vậy S  a  b  c  d  3 . 2  1 1 1  a Câu 19. (THẠCH THÀNH I – THANH HÓA 2019) Biết   3 x  2  2 3 8  11  dx  3 c với a , x x x  b 1 a tối giản và c  a . Tính S  a  b  c . b , c nguyên dương, b A. S  51 . B. S  39 . C. 67 . D. 75 . Lời giải Chọn B Mà I   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2 2   1 1 1  1 1 1  3 3 I    x  2  2 8  11  dx    3 x  2  2 3 9  x  2   dx  x x x  x x  x   1 1 Xét 2 2   2 1   dx    1  3  3 x  2  dx . x  x  1   2 1 1  Đặt t  3 x  2  t 3  x  2  3t 2 dt  1  3  dx . x x  x   1 1    3 x  2  2. 3 x x 1 1 x 2 x 3 Đổi cận x  1  t  0 ; x  2  t  3 7 4 3 7 4 3 3 7 . 4 7 4 3 21 7 21 3 Vậy I   t.3t dt  3  t dt  t 4  3  14 . 4 0 16 4 32 0 0 Từ đó ta suy ra a  21 ; b  32 ; c  14  S  a  b  c  39 . 1 1 x a m a m dx    , với a , b , n, m    , các phân số , Câu 20. (THTT số 3) Cho tích phân  tối 0 1 x b n b n giản. Tính a b  m n . A. 3. B. 5. C. 8. D. 2. Lời giải Chọn D   Đặt x  cos2t . Ta có dx  2sin 2t dt , 0  cos  2.  và 1  cos0 .  4 2 1  cos 2t 1  1  2 sin t Ta có   tan 2 t . 1  cos 2t 1  2 cos 2 t  1 1 1 x 0 Vậy  dx   tan 2 t  2 sin 2t  dt 0 1 x 4 2  3   2  4 tan t sin 2t dt  4  4 sin 2 t dt 0 0  4 0    2  1  cos 2t  dt  2  4 dt  2  4 cos 2t dt  4 0 0 0  4 0   2t  sin 2t   1 2 a 1 m 1 a m   ,  . Vì các phân số , tối giản nên ta suy ra a  1, b  2, m  1, n  1 . b 2 n 1 b n b n 2 1 Do đó a  m  1  1  2 . 1 x 1 b  Câu 21. (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho  3 dx  ln   d  , với a, b, c, d là các số nguyên x 1 a c  1 2 dương và A. 12. b tối giản. Giá trị của a  b  c  d bằng c B. 10. C. 18. Lời giải D. 15. Chọn B Cách 1: Ta có File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 I  1 2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 x x2 d x  dx . Đặt t  x3  1  t 2  x3  1  2tdt  3×2 dx 3  3 3 x 1 x ( x  1) 1 2 1 3 Đổi cận x   t  ; x  1  t  2 . Khi đó I  2 2 2 2  3 2 tdt 2 3  2 t t 1 3 2 2 t  1  t 1 Đặt y  t  1  t  1  dy  2 dt  2 t 1 Đổi cận t  3 2 2 t 2 y 3  y 2 2 2 1  3 1  2 2 2 2 1  1   2 1 I 2 3 2 22  4 8 2dy 4  ln y y 3 2 2 2 4 8 2  3 dt t 2 1 2 2 2dy dt  y t 2 1 3 2 2 3 2 2 2 2    4 8; 2 2 2 2 2 2 2  2 22 2 1 4 2 2  2 1 (2 2  2) 2 1 3  ln  ln  ln(  2) 4 3 3 8 3 2 8 Do đó a  b  c  d  10 1 1 x x2 Cách 2: Ta có  3 dx   d x. x 1 1 1 x3  x 3  1 2 2 1 1  t  ; x  1  t  1. 2 8  1 1 d t   1 2 dt 1 1 1 1 1 1 3 2  1 1   3 Khi đó I      ln t    t    1  ln   2  . 2 3 2 t (t  1) 3 1  1  2 1 3  2 4  1 8 t   8 8    2 4 Vậy a  b  c  d  3  3  2  2  10. Đặt t  x 3  dt  3 x 2dx. Đổi cận x  HÀM LƯỢNG GIÁC, MŨ LÔ GARIT   Câu 22. Có bao nhiêu giá trị của a trong đoạn  ; 2  thỏa mãn 4  A. 2 . B. 1 . C. 4 . Lời giải Chọn B Đặt t  1  3cos x  t 2  1  3cos x  2tdt  3sin xdx. Đổi cận: + Với x  0  t  2 + Với x  a  t  1  3cos a  A. a 2 a  0 sin x 2 dx  . 3 1  3cos x D. 3 . 2 sin x 2 2 2 2 Khi đó  dx   dt  t   2  A    A  1  1  3cos a  1  cos a  0 3 A 3 3 1  3cos x 0 A 3  1 3 k  0      a   k  k    . Do a   ; 2     k  2    k    . 2 4 2 4 2 k  1 4  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng    thì tích phân không xác định vì mẫu thức không xác định (trong 2  căn bị âm). Vậy đáp án phải là B, nghĩa là chỉ chấp nhận a  . 2 Bình luận: Khi cho a   6 Câu 23. Nếu  sin n x cos xdx  0 A. 3. 1 thì n bằng 64 B. 4. C. 5. Lời giải D. 6. Chọn A Đặt t  sin x  dt  cos xdx . Đổi cận: khi x  0  t  0; x  1 2 1 t n 1 2 1 1 Khi đó: I   t n dt   .  n 1 0 n 1  2  0 n 1   1 t  6 2 1 . 64 n 1 n 1 có nghiệm duy nhất n  3 (tính đơn điệu). 64   1 sin x   Câu 24. Cho các tích phân I   dx và J   dx với    0;  , khẳng định sai là 1  tan x cosx  sin x  4 0 0 1 Suy ra   2   cos x dx . B. I  J  ln sin   cos . cosx  sin x 0 A. I   C. I  ln 1  tan  . D. I  J   . Lời giải Chọn C 1 1 cos  nên A đúng.   1  tan  1  sin  cos   sin  cos    d  cos x  sin x  cos x  sin x I J  dx    ln cos x  sin x cos x  sin x cos x  sin x 0 0 Ta có  0  ln cos   sin  B đúng  I  J   dx  x 0   D đúng. 0  4 Câu 25. Cho biết cos x  sin x  cos x dx  a  b ln 2 với a và b là các số hữu tỉ. Khi đó 0 1 A. . 4 B. 3 . 8 C. 1 . 2 D. a bằng: b 3 . 4 Lời giải Chọn C  4  4 cos x sin x Xét I1   dx ; I 2   dx sin x  cos x sin x  cos x 0 0  4  I1  I 2   dx  0  4  4  4  cos x  s inx d (sin x  cos x) 1 ; I1  I 2   dx    ln(sin x  cos x)  ln 2 4 sin x  cos x sin x  cos x 2 0 0 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  I1    1 ln 2  a  1 ; b  1  a  1 . 8 4 8 Cách giải khác:Đặt x   3 Câu 26. Tích phân I   b 2  t 4 sin x    3 A. I  4 cos x  3 sin x  2 dx có gái trị là: 3  32  3 ln   . 16   3  2  8 3  32  3 ln   . 8   3  2  8 C. I   3  32  3 ln   . 8   3  2  8 B. I  D. I   3  32  3 ln   . 16   3  2  8 Lời giải  3 Tích phân I    sin x  3  cos x  3 sin x  2 dx có gái trị là: Ta có:  3 I    3  3 sin x  cos x  3 sin x  2 dx     3  3 sin x 1  3 4  cos x  sin x  2 2  2 dxI     x  u   dx  du . 6 6     x   3  u   6 Đổi cận  x    u    3 2        sin cos u  2 sin  u  2 sin u.cos 1 6   du  6 6 I  du  2 2  4sin u 4sin u 8      3 sin x     4 sin  x    6    2 dx . Đặt u  x    6 6  2    6 3.sin u  cos u du sin 2 u    2 1  2 3 sin u cos u    du   du  2 2 8   1  cos u  sin u   6 6   2 Xét I1  3 sin u du . 2 u  1  cos   6 Đặt t  cos u, u   0;    dt   sin udu .   3 u    t  6 2 . Đổi cận  u    t  0  2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 0 3dt 3  I1    2 1 t 2 3 2 0 1  3  t 1   1   1  t  1  t dt  2  l n t  1  3 2  2 Xét I 2  Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 0  3 2 3  32  ln  . 2   3  2  cos u du . 2 u  sin   6    Đặt t  sin u , u    ;   dt  cos udu .  2 2  1  u    t    6 2 Đổi cận  .  u   t  1  2 1 1 3  32  3 1  1 ln  I 2   2 du      3 .  I   I1  I 2     . 8 16   3  2  8 t  1  1 t  2 1 2 Chọn D  2 Câu 27. (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Biết 3sin x  cos x  2sin x  3cos x dx  0 11 ln 2  b ln 3  c  b, c  Q  . Tính 3 b ? c A. 22 . 3 B. 22 . 3 C. 22 . 3 D. 22 . 13 Lời giải Chọn C m  2sin x  3cos x   n  2 cos x  3sin x  3sin x  cos x  Đặt: 2sin x  3cos x 2sin x  3cos x  2m  3n  sin x   3m  2n  cos x  2sin x  3cos x 3  m   2m  3n  3  13 Đồng nhất hệ số ta có:  .  3 m  2 n   1 11  n    13   3 11 2 2  2sin x  3cos x    2 cos x  3sin x  3sin x  cos x 13 Nên:  dx   13 dx 2sin x  3cos x 2sin x  3cos x 0 0  2  2 0  2 3 11 2 cos x  3sin x  3 11 2 cos x  3sin x     . dx   x    dx  13 13 2sin x  3cos x  13 13 0 2sin x  3cos x 0    3 11 2 d  2 sin x  3cos x  3 11   dx   ln 2 sin x  3cos x 2 26 13 0 2 sin x  3cos x 26 13 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: dangvietdong[email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 11  b  13 b 11 26 22 .   .   3  c 13 3  3  c   26 3 11 11   ln 2  ln 3 . Do đó: 26 13 13  3 cos2 x  sin x cos x  1 dx  a  b ln 2  c ln 1  3 , với a, b, c là các Câu 28. (Chuyên Vinh Lần 3) Biết  4 3  cos x  sin x cos x   4 số hữu tỉ. Giá trị của abc bằng A. 0 . B. 2 . C. 4 . Lời giải D. 6 . Chọn C 1 tan x 1   2 2 cos x  sin x cos x  1 cos x cos x cos4 x dx d x  Ta có:  4 3  1  tan x  cos x  sin x cos x  3  3 2 4  3 1  tan x   tan x 1  tan x   1  tan x  2   4  3  4 2 2 2 1  tan x 1  tan x  1  tan 2 x  1  tan x  4 dx  3  1  tan 2 x  1  tan x  dx   1  1  tan x  1  tan 2 x  dx .    2 4 Đặt t  1  tan x ta được dt  1  tan 2 x  dx , đổi cận x     t  2, x   t  1  3 4 3 Ta được a Vì f  x  là hàm số chẵn nên  2 f  x  dx  0  a 3  1 2 f  x  dx   f  x  dx  8 1 3  f  2 x  dx   f  2 x  dx  3 1 1 3 Xét tích phân K   f  2 x  dx  3 1 Đặt u  2 x  du  2dx  dx  du 2 Đổi cận: x  1  u  2; x  3  u  6 . 6 K 6 6 1 1 f  u  d u   f  x  dx  3   f  x  dx  6  22 22 2 6 6 2 6 Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  8  6  14. 1 Câu 29. 1 1 2 (THCS – THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho 1  cos2 x   sin x  cot x   F  x   dx và S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin 4 x   F  x   F   trên khoảng  0;4  . Tổng S thuộc khoảng 2 A.  6 ;9  . B.  2 ; 4  . C.  4 ;6  . D.  0;2  . Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Chọn 1  cos x   sin x  cot x  dx  1  cos x  sin x dx  1  cos x  cot x dx Ta có: F  x     sin x  sin x sin x 1  cos x  cot x dx và B  1  cos x  sin x dx Gọi A    sin x sin x 2 2 4 2 4 2 4 2 4 4 Ta có: 1  cos x  cot x dx  1  2 cot x  cot x dx   cot x  2 cot x .d cot x A      sin x sin x 2 2 3 4 2  cot 2 x cot 4 x       C1. 2   2 1  cos 2 x  sin x 1  cos 2 x  sin x   B dx   dx 2 sin 4 x 1  cos2 x  Đặt t  cos x , suy ra dt   sin x.dx . Khi đó: B   1 t2 t 2  1 2 dt    1 t2 2  t  1 .  t  1 2 dt   1  1 1  1 1 1   dt       C2 2 2  2   t  1  t  1  2  t 1 t  1  1 1 1       C2 2  cos x  1 cos x  1  Do đó: 2 4 1 1 1   cot x cot x  F  x  A  B     C  2  cos x  1 cos x  1   2 2  Suy ra: 2 4 1 1 1     cot x cot x  F  x  F       C C  2  cos x  1 cos x  1   2 2  2 1 1   cot 2 x  cot 4 x  0 cos x  1 cos x  1 2 cos x cos 2 x cos 4 x    0 sin 2 x sin 2 x sin 4 x Với điều kiện sin x  0 , cos x  0  cos x  0 3  *    cos x 2 1  cos 2 x  cos x 1  cos 2 x  cos3 x  0 2  cos x   0  2   sin x      cos x  0 cos x  0   2 cos x  1  17  2cos x  cos x  2  0   4  3  3 Theo giả thiết x   0;4  nên x  ; x  ; x   2 ; x   2 ; 2 2 2 2 x   ; x    2 ; x   ; x    2 . Khi đó tổng các nghiệm này sẽ lớn hơn 9 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  2 Câu 30. Tích phân I    3 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng cos x  sin x dx có giá trị là:  e cos x  1 cos x x  3   3   3  3 e  e  2 e  e  2   . B. I  ln   . A. I  ln 2 2 e 3 2 e 3 2         e3  e3  2 e3  e3  2   . D. I  ln   . C. I  ln 2 2 e 3 2 e 3 2 Lời giải 2 3 Tích phân I   e  3  2 Ta biến đổi: I    3 cos x  sin x dx có giá trị là: x cos x  1 cos x e x .  cos x  sin x  e x cos x  1 e x cos x dx . Đặt t  e x cos x  dt  e x  cos x  sin x  dx .   1 3  x   t  e 3 2 Đổi cận  . 2  x  2  t   1 e 3  3 2 1  e 2 I 2 3 1  t   t  t  1 dt   ln t  1   1 3 e 2 1  e 2  1 3 e 2 2 3  3  e e  2 e e   .  ln 2  ln   ln 2 e 3 2 e3  2 e 3 2 2 3  3  3 Chọn A  Câu 31. x sin 2018 x a (THPT LÊ VĂN HƯU NĂM 2018-2019) Biết  2018 dx , trong đó a , b là 2018 sin x  cos x b 0 các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức P  2a 2  3b3 là A. P  32 . B. P  194 . C. P  200 . Lời giải Chọn C  x sin 2018 x Đặt I   2018 d x . Đổi biến t    x , ta có 2018 sin x  cos x 0 D. P  100 .      t  sin 2018   t   sin 2018 t t sin 2018 t I   2018 d t   2018 d t   2018 dt . sin   t   cos 2018    t  sin t  cos 2018 t sin t  cos 2018 t 0 0 0  I Suy ra File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  sin 2018 t I   2018 dt 2 0 sin t  cos 2018 t Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 .  2  sin 2018 t d t . Đổi biến u  t  , ta có 2018 2018 2 sin t  cos t 0 Đặt J    J  2      cos 2018 v sin 2018 v sin 2018 t d v  1  d v  1d v    sin 2018 v  cos 2018 v    2018 t  cos2018 t d t . sin 2018 v  cos 2018 v   sin 2 2 2 Suy ra  2   sin 2018 t sin 2018 t  sin 2018 t  d t  d t   d t  2 . 2018 2018 0 sin 2018 t  cos2018 t  sin 2018 t  cos2018 t  2 0 sin t  cos t 2 2 Từ 1 và  2  suy ra 2 . I 4 Vậy P  2a 2  3b3  2.2 2  3.43  200 .  4 1 dx . Bằng cách đặt t  tan x, tích phân A được biến đổi 2 0 3sin x  2 cos x  2 thành tích phân nào sau đây. 1 1 1 1 1 1 1 1 A.  2 dt . B.  2 dt . C.  2 dt . D.  2 dt . t 4 t 4 t 2 t 2 0 0 0 0 Lời giải: 2   Ta có: 3sin 2 x  2 cos2 x  2  cos 2 x  3 tan 2 x  2   cos2 x    cos 2 x 3 tan 2 x  2  2 1  tan 2 x    cos2 x  tan 2 x  4  Câu 32. Xét tích phân A    4 Vậy: A   0 2 1 dx , lúc này đặt t  tan x và đổi cận ta đc: cos x  tan 2 x  4  2 1 dt dx . t 4 0 Chọn A A 2  2 1 x 1 thì I   dx được biến đổi thành 2 f  t dt . Hãy xác định f  t  : x 2 0 cos 6 0 2 A. f  t   1  2t 2  t 4 . B. f  t   1  2t 2  t 4 . C. f  t   1  t 2 . D. f  t   1  t 2 . Câu 33. Đặt t  tan Lời giải: 2    2  1  1 x 1  I   . dx  1  tan 2  . dx    x x x 2 2 2 2   0  cos 0  cos cos  2 2 2  2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 1  dx dt  2 . 2 x cos x  Đặt t  tan   2 2    x  0  t  0; x   t  1  2 1 Vậy: I   1  t 1 2 2  .2dt  2 1  2t 0 2  t 4  dt  f  t   1  2t 2  t 4 0 Chọn B  6 x cos x  Câu 34. Biết  1  x2  x  6 dx  a  A. M  35 . 2 3  với a , b , c , d là các số nguyên. Tính M  a  b  c . b c C. M  37 . Lời giải B. M  41 . D. M  35 . Chọn A  6 x cos x  Ta có 1  x2  x   6 0 Xét I  dx  x cos x   1  x2  x  6 0 Suy ra I     6  6  Khi đó 0   6   6 1 x  x x cos x 2 1 x  x x cos x 1  x2  x x cos x dx   1  x2  x 0 dx  I  J dx . Đặt t   x  Cm  ; Đổi cận: x  0  t  0 ; x   x cos x 2   6 0 dx    6  6 t cos  t  1   t   t 2 1 x  x 0   dt    2  x cos x dx    6  6 0  6 x cos x dx   1  x2  x 0 t cos t 2 1 t  t  6 dt   0   t . 6 6  x cos x 1  x2  x dx . dx  6   1 1 2   x cos x    dx   2 x cos x dx . 2 2 1 x  x  0  1 x  x 0  6 x cos x   1  x2  x  6  dx   2 x 2 sin x  4 x cos x  4sin x  6  2  0 2  3 .  36 3 Khi đó a  2 ; b  36 ; c  3 . Vậy M  a  b  c  35 . Câu 35. (THCS – THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho f  x  là hàm số chẵn a trên đoạn  a; a  và k  0 . Giá trị tích phân f  x  1 e kx dx bằng a a A.  a f  x  dx . B.  a f  x  dx . C. 2  f  x  dx . a 0 a a D. 2  f  x  dx . 0 Lời giải 0 a f x f  x f  x d x  d x   a 1  e kx  a 1  ekx 0 1  e kx dx . a Ta có File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 0 Xét tích phân f  x  1 e kx Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng dx . a Đặt t   x  x  t  dt  dx  dt  dx Đổi cận: x  a  t  a x  0t  0 Khi đó, 0 0 a f  x f  t  f t  d x   d t     a 1  e kx a 1  e k   t  0 1  e  kt dt a kx ekt . f  t  e . f  x d x  dx kt kx  1  e 1  e 0 0 a    a a a kx a ekx  1 f  x  f  x e . f  x f  x  d x  f  x  dx Do đó,  d x  d x  d x kx kx kx kx     1  e 1  e 1  e 1  e a 0 0 0 0 a e Câu 36. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho 2 ln x  1  x  ln x  2 1 2 a c dx  ln  b d a c với a , b , c là các số nguyên dương, biết ; là các phân số tối giản. Tính giá trị a  b  c  d b d ? A. 18 . B. 15 . C. 16 . D. 17 . Lời giải dx Đặt t  ln x  dt  . x Đổi cận: x  1  t  0; x  e  t  1. Khi đó: 1  3 2  3 9 1   I  dx   dt     2 ln t  2   ln  .  dt   2 2 2   t  2  4 2 t2 0 1 x  ln x  2  0 t  2 0  t  2 Vậy a  b  c  d  9  4  1  2  16 . Câu 37. (THPT LÝ NHÂN TÔNG LẦN 1 NĂM 2018-2019) Biết 1 3 x 3 x  x  2  ex 2 1 1 e   0   e.2 x dx  m  e ln n .ln  p  e    với m , n , p là các số nguyên dương. Tính tổng P  mn p A. P  5 . B. P  6 . C. P  8 . D. P  7 . Lời giải x x 1 1 3 1 3 x 3 x x   e.2   2  3  x  2  ex 2 2x  d x  d x  x  0   e.2 x 0   e.2 x 0    e.2 x dx e 2 ln x  1 1 1 x4 1   .ln   e.2 x 4 0 e ln 2 2t  1 1  0 1 1 1 e .  .ln 1  4 e.ln 2  e Vậy m  4 , n  2 , p  1 nên P  m  n  p  7 . e Câu 38. 2 ln x  1  x  ln x  2  1 2 dx  ln a c a c  với a , b , c là các số nguyên dương, biết ; là các phân số tối b d b d giản. Tính giá trị a  b  c  d ? A. 18 . B. 15 . C. 16 . Lời giải D. 17 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Chọn C dx . x Đổi cận: x  1  t  0; x  e  t  1. Khi đó: Đặt t  ln x  dt  1  3 2  9 1  3     2 ln t  2   ln  . I  dt   2  2 dx   2 dt  t  2  4 2 t2 0 0  t  2 1 x  ln x  2  0 t  2  Vậy a  b  c  d  9  4  1  2  16 . Câu 39. (THPT YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019LẦN 2) Cho 3 2 e  3x  1 ln x  3x  1dx  a.e3  b  c.ln e  1 với a, b, c là các số nguyên và ln e  1 . Tính   1 1  x ln x P  a 2  b2  c2 . A. P  9 . B. P  14 . C. P  10 . D. P  3 . Lời giải Ta có e e e e 3 x 3  1 ln x  3 x 2  1  3 x 2 1  x ln x   1  ln x  1  ln x dx  e3  1  A 2 I dx   dx   3 x dx   1  x ln x 1  x ln x 1 1 1 1 1  x ln x e 1  ln x dx . Đặt t  1  x ln x  dt  1  ln x dx . Tính A     1  x ln x 1 1 e x  1  t  1 dt 1 e Đổi cận:  . Khi đó A    ln t 1  ln(e  1) . t x  e  t  e 1 1 a  1  3  b  1  P  a 2  b 2  c 2  3 . Vậy I  e  1  ln(e  1)  c  1  e 1 2 ln x  1 ln 2 2t  1 1 1  1 a 5  dx  ln 2  b ln 2  c ln . Trong đó a , b , c là những số nguyên. Khi 1 2 3 0 đó S  a  b  c bằng: A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Lời giải Chọn C ln 2 ln 2 ln 2 1  1  0  x  2e x  1  dx  0 xdx  0 2e x  1 dx . ln 2 Tính  0 x2 xdx  2 ln 2 Tính    x  2e Câu 40. Biết rằng:  2e 1 x 0 1 ln 2 0 x ln 2 2  2 dx dt . Đổi cận: x  ln 2  t  5, x  0  t  3 . t 1 ln 2 5 5 5 1 dt 5  1 1 0 2e x  1 dx  3 t  t  1  3  t  1  t dt   ln t  1  ln t  3  ln 4  ln 5  ln 2  ln 3  ln 2  ln 3 . Đặt t  2e x  1  dt  2e x dx  dx  ln 2 1 2 5   dx  ln 2  ln 2  ln  a  2, b  1, c  1 1  2 3 0 Vậy a  b  c  4 .    x  2e 1 x File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 Câu 41. Cho  x 2  x  ex xe 0 x Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng dx  a.e  b ln  e  c  với a , b , c  . Tính P  a  2b  c . A. P  1 . B. P  1 . C. P  0 . Lời giải D. P  2 . Chọn D x 1 Ta có: I    x  ex 2 x  e x 0 1 dx   0  x  1 e x xe x dx . xe x  1 Đặt t  xe x  1  dt  1  x  e x dx . Đổi cận: x  0  t  1 ; x  1  t  e  1 . e 1 e 1 e 1 t 1  1 dt   1   dt   t  ln t   e  ln  e  1 . Khi đó: I   1 t t 1 1  Suy ra: a  1 , b  1, c  1 . Vậy: P  a  2b  c  2 . 1 x 2  5x  6 e x  ae  c Câu 42. Biết  dx  ae  b  ln với a , b , c là các số nguyên và e là cơ số của x x2e 3 0 logarit tự nhiên. Tính S  2a  b  c . A. S  10 . B. S  0 . C. S  5 . Lời giải D. S  9 . Chọn D 1 Ta có : I   x 0 2  5x  6  e x x  2  e x  x  2  x  3 e2 x dx .  x  2 e x  1 0 1 dx   Đặt t   x  2  e x  dt   x  3 e x dx . Đổi cận : x  0  t  2 , x  1  t  3e . 3e 3e 3e tdt 1  3e  1  I   1  .  dt   t  ln t  1  2  3e  2  ln t 1 2  t 1  3 2 Vậy a  3 , b  2 , c  1  S  9 . 1  x3  2 x  ex 3 .2 x 1 1 e   Câu 43.  dx   ln  p   với m , n , p là các số nguyên dương. Tính x   e.2 m e ln n e     0 tổng S  m  n  p . A. S  6 . B. S  5 . C. S  7 . D. S  8 . Lời giải Chọn C 1 1 1  3  x3  2 x  ex3 .2 x 2x  1 2x 1 d x  x  d x   dx   J . Ta có   x x  x     e.2   e.2  4 0   e.2 4 0 0 1 2x 1 dx . Đặt   e.2 x  t  e.2 x ln 2dx  dt  2 x dx  dt . x   e.2 e.ln 2 0 Tính J   Đổi cận: Khi x  0 thì t    e ; khi x  1 thì t    2e . 1   2e 2x 1   2e 1 1 1 e  J  dx  dt  ln t   e  ln 1  x    e.2 e ln 2  e t e ln 2 e ln 2  e   0 1 Khi đó  x 3  2 x  ex 3 .2 x 1 1 e  0   e.2x dx  4  e ln 2 ln 1  e    .     m  4 , n  2 , p  1 . Vậy S  7 .  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1   ln 3 x  3 x  ln 2 x  x  2 3   dx  x 9 1 Câu 44. Biết I   0 trị của a là: A. 9.   1  ae  27e2  27e3  3 3 , a là các số hữu tỉ. Giá B. – 6. C. – 9. Lời giải 1   ln 3 x  3 x  ln 2 x  x  2 3   dx  x 9 e Biết I   1 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng D. 6.   1  ae  27e2  27e3  3 3 . Giá trị của a là: Ta có: 1   ln 3 x  3x  ln 2 x  x  e ln 3 x  3 x  3ln 2 x  x  1 3   I  dx   dx x 31 x 1 3 Đặt t  ln 3 x  3x  dt  ln 2 x  1 x x  1  t  3  Đổi cận  .  x  e  t  1  3e e 1 3e I  tdt   3 2 3 t 1 3e 3  3 2 3  1  3e  3  92  1  9e  27e  27e  3 3   a  9 . 3 3  2 3 Chọn A Câu 45. Cho tích phân I   e2 e A. a  b  c  d x 2  1 ln x  1 x ln x dx  B. a  b 2  c  ae4  be2  c  d ln 2 . Chọn phát biểu đúng nhất: 2 1 C. A và B đúng d Lời giải D. A và B sai Chọn B Ta có x 2  1 ln x  1 x 2 ln x  1  ln x dx e e x ln x x ln x e2  e2  e2 1 1  1 1   x  dx  x  dx  dx      e e e x x ln x  x x ln x   I  e2 dx   e2 e2  x2  1 e4  e2  Xét M    x   dx    ln x   1 e x 2   2 e e 1 1 Xét N   dx , đặt t  ln x , suy ra dt  dx . e x ln x x 2 Đối cận x  e  t  1 và x  e  t  2 ta được 2 dt 2 N    ln t   ln 2  ln 1  ln 2 . 1 t 1 4 2 e e  1  ln 2 . Vậy I  2 Do đó a  b  c  d  1 . Ta chọn phương án B. e2 2  2 Câu 46. Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của    2 2 x 1.cos x a dx  , a , b   . Khi đó a.b bằng x 1 2 b File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 22 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 . 2 A. B. 0. Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C. 2. D. 1 Lời giải  2 Ta có:    2  2 2 x 1 cosx 2 x cos x dx  0 1  2 x  .2 dx  1  2x Đặt x  t ta có x  0 thì t  0, x   2   2  0 2 x cos x dx 1 1  2 x  .2   thì t  và dx   dt 2 2    2 t 2 2 2 cos  t  2 x cos x cos t cos x dx  d  t   dt   0 1  2 x  .2 0 1  2t  .2   0 1  2t  .2 0 1  2x  .2 dx Thay vào (1) có  2   2  2  2 x 1  2 x  2 cosx 2 cos x cos x dx   dx   dx   x x x 1 2 0 1  2  .2 0 1  2  .2 0  2 Vậy    2  2 1  2 x  cos x cos x sin x dx   dx  x 2 2 1  2  .2 0  2  0 1 2 2 x 1 cosx 1 dx  x 1 2 2 Chọn C 2 x 2016 Câu 47. Tính tích phân I   x dx. e 1 2 2018 B. I  2 . A. I  0. 2 017 C. I  2 . 2017 20 18 D. I  2 . 2017 2018 Lời giải. Chọn C Đặt x  t  dx  dt . Đổi cận: Với x  2  t   2; x   2  t  2 2 2 2 x2017 22018 t 2016 x 2016e x dx 2016 2 2017 2 I  x d x   I  d t  Khi đó: , suy ra .  I    t x 2 e  1 2 1  e 2017 2 2017 2017 2 2 2 2 Câu 48. Biết tích phân   2 2 1  x2 a.  b dx  trong đó a, b   . Tính tổng a  b ? x 1 2 8 A. 0. B. 1. 2 2 I   2 2 0 2 1 x dx  1  2x   Đặt x  sin t  I  2 2 2 1 x dx  1  2x C. 3. Lời giải 2 2  0 2 1 x dx  1  2x D. -1 2 2  1  x 2 dx 0  2 . 8 Chọn C ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x   (t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ ;  ](*) sao cho  ( )  a, ( )  b và a   (t )  b với mọi t [ ;  ]. Khi đó: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  b  f ( x)dx   f ( (t )) ‘(t )dt.  a Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng    1. a 2  x 2 : đặt x | a | sin t ; t    ;   2 2 |a|    ; t    ;  \ {0} 2. x 2  a 2 : đặt x  sin t  2 2    3. x 2  a 2 : x | a | tan t; t    ;   2 2 4. ax hoặc ax ax : đặt x  a.cos 2t ax Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính 3 tích phân I  x 2 dx  x2  1 0 thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân I   0 3 x 3dx x2  1 thì nên đổi biến dạng 1. a b Câu 49. Biết rằng 1  2 dx   x  6x  5 4 Tổng a  b bằng A. 5 . B. 7 .  trong đó a , b là các số nguyên dương và 4  a  b  5 . 6 C. 4 . Lời giải D. 6 . Chọn D a b Ta có  4 a b 1 dx  2 x  6x  5  4 1 4   x  3 2 dx .    Đặt x  3  2sin t , t    ;  , dx  2cos tdt .  2 2  a  b 3 Đổi cận x  4  t  , x  a  b  t  arcsin  m. 6 2 m m  2 cos t m  4  4sin 2 t dt   dt  t 6  m  6 . 6 6   a  b 3  a b 3 3  a  b  3  3.   arcsin    6 6 2 3 2 2 Do đó a  3 , b  3 , a  b  6 . 1 3  4x Câu 50. Tích phân I   dx có giá trị là: 3  2x  x2 0 7 7 A. I  B. I   4 3 8.  4 3 8. 6 6 7 7 C. I  D. I   4 3 8.  4 3  8. 6 6 Lời giải 1 3  4x Tích phân I   dx có giá trị là: 3  2x  x2 0 Ta có:  3  3x  x 2  ‘  3  2 x và 3  4 x  9  2  3  2 x  Theo đề ta có m  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 24 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 1 3  4x I  3  2x  x 1 7 0 Xét I1   2 dx   0 3  2x  x2 0 7  2 2  2x 3  2x  x 1 7 dx   2 4   x  1 0 1 dx   0 2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 7 3  2x  x 2 dx   0 2 2  2x 3  2x  x2 dx . dx .    Đặt x  1  2sin t , t    ;   dx  2 cos tdt .  2 2   x  0  t   Đổi cận  6.  x  1  t  0 0 14cos t 7  I1   dt  . 6 4  4sin 2 t   6 1 2 2  2x Xét I 2   dx . 2 3  2 x  x 0 Đặt t  3  2 x  x 2  dt   2  2 x  dx . x  0  t  3 Đổi cận  . x  1  t  4 4 4  12  2 dt  4  t   4 2  3 . t  3   I2   3 I  I1  I 2   7  4 3 8. 6 Chọn C 1 2 Câu 51. Cho I   1  2 x 1  x 2 dc  a  b với a, b  R . Giá trị a  b gần nhất với 0 A. 1 10 B. 1 C. 1 5 D. 2 Lời giải Đáp án: C Cũng như câu 25, câu 26 cũng là một câu tích phân đòi hỏi khả năng biến đổi của các thí sinh. Đối với câu này, chúng ta sử dụng phương pháp đưa về lượng giác.    Đặt x  sin t , t    ;  . I được viết lại là  2 2  6  6 I   1  2sin t cos t .cos tdt   0  cos t  sin t  2  6 .cos tdt   (cos t  sin t )cos tdt 0  6  6    sin t cos tdt   cos2 tdt  0 cos 2t I 4 0  6 0 sin 2t  2t  4 0  6  6 0  6 1 1 sin 2td (2t )   (cos 2t  1)d (2t )  4 0 40   3 1  12 8 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 25 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  3 1   0,175 . 12 8 Nhận xét: Hai bài toán trên chính là cách hướng có thể ra đề để tránh tình trạng sử dụng máy tính Casio. Thí sinh hiểu bản chất và cách làm thực sự sẽ không gặp khó khăn nhiều khi giải quyết các bài toán này. Suy ra 3  x  1 3  x dx Câu 52. Tích phân I   có giá trị là: 5 2 A. I   3  . 6 4 B. I   3  . 3 8 C. I   3  . 6 8 D. I   3  . 3 8 Lời giải 3  x  1 3  x dx Tích phân I   có giá trị là: 5 2 Ta có: 3 I  5 2 3 3 2  x  1 3  x dx   3  x2  2 xdx   1   x  2  dx . 5 2 5 2    Đặt x  2  sin t , t    ;   dx  cos tdt .  2 2 5    x  2  t  6 Đổi cận  . x  3  t    2  2 I  6  2  2  6 6 6 1  cos 2t 1 1 3 2  1  sin 2 t .cos tdt   cos 2 tdt   dt   x  sin 2t    . 2 2 2  6 8   Chọn C 1 Câu 53. Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  tan x   cos x , x   . Tính I   f  x  dx . 4 0 A.  2 . 8 B. 1. C. 2  . 4 D.  . 4 Lời giải Chọn A Đặt t  tan x . Ta có 1 1 I   f  x  dx   0 0 1 1  1  tan 2 x  1  t 2  cos 4 x  2 cos x 1 t2  1 2 2 1  x   2  f t   1 2 2 1  t  dx .     Đặt x  tan u ,   x    dx  1  tan 2 u  du ; đổi cận: x  0  u  0 ; x  1  u  . 2 4  2  4 2  4  4  1 1 1  4 2 2 I  du  . d u  cos u d u  u  sin 2 u    2 0  1 2 cos2 u 0 2 4 8 2 0 0 1  tan u    2  cos u  1  tan u 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 26 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 6 2 3 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 4 x 4  x 2  3 2 dx  a 3  b  c  4 . Với a , b , c là các số nguyên. 4 1 x 1 8 Khi đó biểu thức a  b 2  c 4 có giá trị bằng A. 20 . B. 241 . C. 196 . D. 48 . Lời giải Chọn B  Câu 54. Tính tích phân 6 2 2 Ta có  1 4 2 4 x  x  3 dx  x4 1 6 2 2 Tính I  4  dx  4 x 1 6 2 2 6 2 2  1   x2  1   4    dx  4 x4  1   6 2 2  6 2 2 dx  1  1 x2 1 dx  I  J . x4  1  2 6  2 2  4 . 1 1 x2 Tính J   dx. 2   1  1 1 1 x  2 x  x  1  t  0 1 1    Đặt t  x   dt   1  2  dx . Khi  . 6 2 x  x  x   t  2   2 6 2 2 x2  1 dx  x4  1 2 Khi đó J   0  4 Suy ra J   0 dt t2    2 2 6 2 2 6 2 2 1 t  0  u  0  . Đặt t  2 tan u  dt  2 1  tan 2 u  du . Khi  . t  2  u   4 2 1  tan 2 u  2 1  tan u  2 1 x 2 dx  1 x2  2 x 1  4 du  6 2 2  4 2 2 2 du  u  .  2 0 2 0 8  a  b  16 4 x 4  x 2  3 2 . dx  16 3  16    4   4 1 x 1 8 c  1 Vậy a  b 2  c 4  241 . Câu 55. (CỤM TRẦN KIM HƯNG -HƯNG YÊN NĂM 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  Vậy  đoạn  0;4 và thỏa mãn điều kiện 4 xf  x 2   6 f  2 x   4  x 2 . Tính tích phân 4  f  x  dx . 0 A. I   . 5 B. I   . 2 C. I   . 20 D. I   . 10 Lời giải Chọn A 2   2 Ta có 4 xf  x 2   6 f  2 x   4  x 2   4 xf  x 2   6 f  2 x  dx   4  x 2 dx  4 I1  6 I 2  I . 0 0 Trong đó 2   I1   xf  x 2  dx = 0 2 I 2    f  2 x  dx = 0 2 4 2 4 1 1 f  x 2 d  x 2    f  x dx  20 20 1 1 f  2 x d  2 x    f  x dx  20 20 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 27 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2  2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  2 I   4  x 2 dx  2  4  4sin 2  t  .cos  t  dt  4  cos 2  t  dt 0  2 0  2  1  cos  2t   dt   2t  sin  2t   0  2 0  . 0 4  I1  I 2  1   I1  I 2    f  x dx  Khi đó ta có hệ  hay 10 20 10  4 I1  6 I 2   4   f  x d x  5 . 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 28 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 2 Câu 1. Cho  5 f  x 2  1 xdx  2 . Khi đó I   f  x  dx bằng 1 2 A. 2. C. 1. Lời giải B. 1. D. 4. Chọn D Đặt t  x 2  1  d t  2 x d x Đổi cận: x  1  t  2 ; x  2  t  5 . 5 5 5 1 1 Khi đó: 2   f  t  dt   f  x  dx  I   f  x  dx  4. . 22 22 2 Câu 2. Cho hàm số f  x liên tục trên 1; và 2 3   f  x  1 d x  8 . Tích phân I   xf  x  dx bằng: 1 0 B. I  2 . A. I 16 . C. I  8 . Lời giải D. I  4 Chọn D 3 I f   x  1 dx  8 . Đặt t  x 1 t 2  x 12tdt  dx ; 0 đổi cận: x  0  t  1 ; x  3  t  2 . 2 2 2 Khi đó I   2tf  t  dt  8   tf  t  dt  4 . Vậy I   xf  x  dx  4 . 1 1 1 2 (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho I   f  x  dx  2 . Giá Câu 3. 1  2 trị của J   0 sin x. f  3cos x  1 3cos x  1  dx bằng 4 B.  . 3 A. 2. C. 4 . 3 D.  2 . Lời giải Chọn C 3sin x dx . 2 3cos x  1  Đổi cận: x  0  t  2 ; x   t  1 . 2 1 2 2 2 2 2 2 4 Khi đó: J    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx  .2  . 3 31 3 3 2 1 3 Đặt t  3cos x  1  dt  Câu 4. Cho hàm số f  x liên tục trên  và có 1  1 3 f  x  dx  2; 0  f  x  dx  6 . Tính I   f  2 x  1  dx 1 0 . A. I  2 . 3 B. I  4 . C. I  3 . 2 D. I  6 . Lời giải Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 2 1 Có I  Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1  f  2x 1  dx   f 1 2x  dx   f  2x 1 dx  I 1 1  I2 1 2 1 1 2  x  1  u  3  Tính I1   f 1  2 x  dx .Đặt u  1  2 x  d u   2 d x . Đổi cận:  . 1 x   u  0 1  2 0 3 1 1  I1  f  u  du   f  u  du  3  2 3 20 x  1  u  1  Tính I 2   f  2 x  1 dx . Đặt u  2 x  1  d u  2 d x . Đổi cận:  . 1 1  x  2  u  0 2 1 1 1 1  I 2   f  u  du   f  u  du  1 20 20 1 I  I1  I2  4 . Vậy Câu 5. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;4 và 2 1 4  f  x  dx  1 ;  f  x  dx  3 . Tính  f  3x  1 dx ;0 0 1 . A. 4. C. 4 . B. 2. D. 1. 3 Lời giải Chọn C 1 1/3 1  f  3x  1 dx   f 1  3x dx   f  3x  1dx . 1 1 1/3 1/3  1 1 1 f 1  3 x d 1  3 x    f  3 x  1d  3 x  1 .  3 1 3 1/3 0 2 1 1 1 1 4    f  t dt   f  t d  t      3   .1  . 34 30 3 3 3 Câu 6. Cho f  x là hàm số liên tục trên  và 1  f  x  d x  4 ,  f  x  d x  6 . Tính I   f  2 x  1  d x 0 . A. I  3 . 1 3 B. I  5 . 1 0 C. I  6 . Lời giải D. I  4 . Chọn B Đặt u  2 x  1  d x  1 d u . Khi x  1 thì u  1 . Khi x  1 thì u  3 . 2 3 Nên I   0 3 1  1 f u d u    f  u d u   f  u d u     2 1 2  1 0  0 3  1 f  u d u  f u d u      . 0 2  1  1 Xét  f  x  d x  4 . Đặt x u  d x   d u . 0 Khi x  0 thì u  0 . Khi x  1 thì u  1 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 0 1 1 Nên 4   f  x  d x    f  u  d u  0 0 3 Ta có  Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  f  u  d u . 1 3 f xd x  6  0  f u  d u  6 . 0 0 Nên I  Câu 7. 3  1 1 f  u d u  f u  d u    4  6   5 .     2  1 0  2 Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa 1  2 f  2 x  dx  2 và 0  f  6 x  dx  14 . Tính 0 2  f  5 x  2 dx . 2 A. 30 . B. 32 . C. 34 . Lời giải D. 36 . Chọn B 1 + Xét  f  2 x  dx  2 . 0 Đặt u  2 x  du  2dx ; x  0  u  0 ; x  1  u  2 . 1 2 2 1 Nên 2   f  2 x  dx   f  u  d u   f  u  du  4 . 20 0 0 2 + Xét  f  6 x  dx  14 . 0 Đặt v  6x  dv  6dx ; x  0  v  0 ; x  2  v  12 . 2 12 12 1 Nên 14   f  6 x  d x   f  v  dv   f  v  dv  84 . 60 0 0 2 + Xét  f  5 x  2  dx  2 0 2  f  5 x  2  dx   f  5 x  2  d x . 2 0 0 Tính I1   f  5 x  2  dx . 2 Đặt t  5 x  2 . Khi 2  x  0 , t  5 x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . 2 12 2 1  1 I1   f  t  dt    f  t  dt   f  t  dt   1  84  4   16 . 5 12 5 0 0  5 2 Tính I1   f  5 x  2  dx . 0 Đặt t  5 x  2 . Khi 0  x  2 , t  5 x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . 12 12 2 1  1 I 2   f  t  dt    f  t  dt   f  t  dt   1  84  4   16 . 52 5 0 0  5 2 Vậy  f  5 x  2 dx  32 . 2  2 Câu 8.  2 Cho tích phân I   cos x. f  sin x  dx  8 . Tính tích phân K   sin x. f  cos x  dx . 0 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A B. K  4. A. K  8 . Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C. K  8 . Lời giải: D. K  16 .  2  I   cos x. f  sin x  dx Đặt t   x  dt  dx Đổi cận: 2 0 0    I   cos   t  . f 2    2  2     sin  2  t  .  dt    sin t. f  cos x  .dt   sin x. f  cos x  .dt (Tích phân    0 0 2 xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân)  K  K  I  8 Chọn C Câu 9. Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa mãn f  2 x   3 f  x  , x  . Biết rằng 1  f  x  dx  1 . 0 2 Giá trị của tích phân I   f  x  dx bằng bao nhiêu? 1 A. I  5 . B. I  3 . D. I  2 . C. I  8 . Lời giải Chọn A 2 Xét tích phân J   f  x  dx , đặt x  2t  dx  2dt . 0 Với x  2  t  1 , x  0  t  0 . 1 1 1 1 1 Ta có J   f  2t  2d t  2  f  2t  dt  2  3 f  t  dt  6  f  t  dt  6  f  x  dx  6 . 0 0 0 2 1 0 0 2 Mặt khác, ta có J   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx 0 2 0 2 1 1 1  I   f  x  d x   f  x  d x   f  x  d x  J   f  x  dx  5 . 1 0 0 0 Câu 10. Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn f  2  2 ; 2  f  x dx  1 . Tính 0 4 tích phân I   f   x dx . 0 A. I   10 . B. I  5 . C. I  0 . D. I   18 . Lời giải Chọn A Đặt t  x , ta có: t 2  x và 2tdt  dx . Khi x  0  t  0 ; x  4  t  2 . 4 I  f 0   2 x d x   2 tf   t d t . 0 Đặt u  2t; dv  f   t  dt ta được: du  2dt ; v  f  t  . 2 2 Khi đó: I   2tf  t    2  f  t dt  4 f  2   2.1  4. 2  2  10 . 0 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 16 Câu 11. Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa mãn  f Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  x  dx  6 và 1 x  2  f  sin x  cos xdx  3 . Tính 0 4 tích phân I   f  x  dx . 0 A. I  2 . B. I  6 . C. I  9 . Lời giải D. I  2 . Chọn B 16 f Xét I    x  dx  6 , đặt x t  x Đổi cận: x  1  t  1 ; x  16  t  4 4 4 6 I  2  f  t  dt  6   f  t  dt   3 . 2 1 1 1 dx  dt 2 x  2 J   f  sin x  cos xdx  3 , đặt sin x  u  cos xdx  du 0 Đổi cận: x  0  u  0 ; x    u  1 2 1 J   f  u  du  3 0 4 1 4 Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3  3  6 . 0 0 1 f 9 Câu 12. Cho f  x liên tục trên  thỏa   x  dx  4 và x 1 A. I 10 .  2  f  sin x  cos xd x  2 . Tính I   f  x  dx . 0 0 C. I  4 . Lời giải B. I  6 . 3 D. I  2 . Chọn C 9 Ta có:  f  x  dx  4 , đặt t  x  t 2  x  2t d t  d x x 1 đổi cận x  1  t  1, x  9  t  3 3 3 f t Do đó ta có:  2t dt  4   f  t  dt  2 (1) t 1 1  2 Ta có:  f  sin x  cos x.dx  4 , đặt t  sin x  dt  cos x.dx 0 đổi cận x  0  t  0 , x    t  1 2  2 Do đó ta có:  1 f  sin x  cos x.dx  2   f  t  dt  2 (2) 0 0 3 Từ (1) và (2) ta có: 3  f  x  dx   f  t  dt  4. . 0 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 13. Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn 1;4 và thỏa mãn f  x      ln x . Tính tích phân f 2 x 1 x x 4 I   f  x  dx . 3 B. I  2 ln 2 2 . A. I  3  2 ln 2 2 . C. I  ln 2 2 . Lời giải D. I  2ln2 . Chọn B Ta có  1 4 Xét K        dx . f 2 x 1 x 1 Đặt  4 f 2 x 1 4  f 2 x 1  ln x ln x   dx   dx .  dx   f  x  dx    x x  x x 1 1 1   4 4 2 x 1  t 3  x  t 1 2  dx  dt . x 3  K   f  t  dt   f  x  dx . 1 1 4 2 ln x ln x  2 ln 2 2 . Xét M   dx   ln xd  ln x   2 1 x 1 1 4 4 4 3 4  f  x  dx   f  x  dx  2ln Do đó 1 2 1  2 2 2. 3   f  2 x  1 dx  12 và   f  x  dx  2 ln 3 1 Câu 14. Cho 2   f  x  dx . f sin 2 x sin 2 xdx  3 . Tính 0 0 0 A. 26 . C. 27 . Lời giải B. 22 . D. 15 . Chọn C 3 3 3 3 1  t 1  1 Đặt 2x  1  t  12   f  t  d     f  t  dt   f  x  dx   f  x  dx  24 . 21  2  21 1 1  2 Ta có  2  f  sin x  sin 2 xdx   f  sin x  .2 sin x cos xdx   2 sin x. f  sin x  d  sin x  2 2 0  2  2 0 1  2   0 1    f sin 2 x d sin 2 x   f  u  du   f  x  dx  3 0 0 3 1 0 3   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3  24  27 . 0 0 1 Câu 15. Cho hàm f  x liên tục trên  thỏa mãn  4  1 f  tan x  d x  3 và 0 . A. 4. B. 2.  0 C. 5. Lời giải x2 f  x d x  1 . Tính x2  1 1  f  x  dx 0 D. 1. Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1  0 x2 f  x  dx  x2 1 1 1  f  x  dx   0 0 1  0 1 1 x2 f  x f  x d x  d x  0 x 2  1 0 f  x  dx . x2 1 suy ra d  tan x   d t  12 d x  d t  1  tan 2 x  d x  d t . cos x Đặt tan x  t dt dt .  2 1  tan x  1  t 2  dx   4 1  f  x dx  x2 1 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng f  tan x  d x   f  t  0 0 dt  1 t2 f  x 1 x 2 0 1 dx =3. 1 Vậy  f  x  dx  4 . 0 Câu 16. Cho hàm số f  x liên tục trên R và  4  0 B. I  2 . A. I  6 . 1 x2 f  x  . Tính I  d x  2 0 x 2  1 0 f  x  dx . 1 f  tan x  dx  4; D. I 1. C. I  3 . Lời giải Chọn A  4 Từ 1 f  t anx  d x  4 ; Ta đặt t  tan x ta được  0 0 1  Từ x2 f  x  0 2 x 1 1 dx  2   x 2 11 f  x 2 x 1 0 1 1   f  x  dx  2   0 0 f  x x2 1 2 1 dt  4 1 1 dx  2   f  x dx   f  x x2  1 0 0 dx  2 dx  2  4  6 . f  x liên tục trên  Câu 17. Cho hàm số f t  t 2018 thỏa  f  x  dx  2 . Khi đó tích phân 0 e2018 1  0 x f ln  x2 1 dx bằng x 1  2  A. 4. B. 1. C. 2. Lời giải D. 3. Chọn B e2018 1 Xét I   0 x f ln  x2 1 dx . x 1 2   Đặt t  ln  x 2  1  d t  22 x d x . Đổi cận: x  0  t  0 ; x  e2018 1  t  2018 . x 1 Suy ra I  1 2 2018  0 f  t  dt  1 2 2018 1  f  x  dx  2 .2  1 . 0 3 Câu 18. Tìm tất cả các giá trị dương của m để  x  3  x m dx   f   10  , với f  x   ln x15 .  9  0 A. m  20 . B. m  4 . C. m  5 . Lời giải D. m  3 . Chọn D File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 15×14 15  10  243  15   f do đó .     f x    x15 x  9  20 x2 + Từ f  x   ln x  f   x  15 3 m + Tính tích phân I   x  3  x  dx : 0  Đặt t  3  x  x  3  t , dx  dt , 0 x 0 t 3 3 0 3 3  Do đó I    3  t  t m  dt     3t m  t m 1  d t  3 0 3m  2 3t m 1 t m  2   m 1 m  2 0  m  1 m  2  3 3m  2 243 3m  2 35  10   0 x  3  x  dx   f  9    m  1 m  2   20   m  1 m  2   4.5 Thay lần lượt các giá trị m ở 4 đáp án, nhận giá trị m  3 . Chú ý: 3m 33 -Việc giải phương trình không cần thiết nên chọn phương pháp thế đáp để   m  1 m  2 4.5 làm trắc nghiệm trong bài này. 3m 33 3m 33 -Để giải phương trình ta xét hàm trên f  m   với    m  1 m  2 4.5  m  1 m  2  4.5 + Ta có m m  0 thì chứng minh được phương trình có nghiệm duy nhất m  3 . 3 Câu 19. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f  4  x  f  x . Biết  xf  x  dx  5 . Tính 1 3 I   f  x  dx . 1 A. I  5 . B. I  7 . 2 C. I  9 . 2 D. I  1 1 . 2 2 Lời giải Chọn A Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh Cho hàm số f  x liên tục trên  a; b và thỏa mãn điều kiện f  a  b  x   f  x  , x  a; b . Khi b b  xf  x  dx  đó a ab f  x  dx 2 a Chứng minh: Đặt t  a  b  x  dx  dt , với x  a; b . Đổi cận: khi x  a  t  b ; khi x  b  t  b b Ta có b a  xf  x  dx   xf  a  b  x  dx     a  b  t  f  t  dt a a b b b b b b    a  b  t  f  t  dt   a  b   f  t  dt   tf  t  dt   a  b   f  x  dx   xf  x  dx a a b b a b  2 xf  x  dx   a  b   f  x  dx   xf  x  dx  a a a a a b ab f  x  dx . 2 a Áp dụng tính chất trên với a  1 , b  3 . f  x liên tục trên  a; b và thỏa mãn f 1 3  x   f  x  . 3 Khi đó  xf  x  dx  1 3 3 1 3 5 f  x  dx   f  x  dx  .  4 1 2 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Cách 2: Đổi biến trực tiếp: Đặt t  4  x , với x  1;3 . 3 Ta có 3 3 3 3  xf  x  dx   xf  4  x  dx    4  t  f  t  dt  4 f  t  dt   t. f  t  dt 1 1 1 3 3  5  4 f  t  dt  5   f  t  dt  1 1 1 1 5 . 2 Câu 20. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1;3 thỏa mãn f  4  x   f  x  , x 1;3 và 3 3  xf  x  dx  2 . Giá trị  f  x  dx 1 1 bằng B. 1. A. 2 . C. 2. Lời giải D. 1. Chọn B 3 Xét I   xf ( x)dx (1). 1 Đặt x  4  t , ta có dx  dt ; x  1  t  3 , x  3  t  1 . 3 3 3 Suy ra I    4  t  f (4  t )dt    4  t  f (t )d t , hay I    4  x  f ( x )dx (2). 1 1 1 3 3 I  1 . 2 tục trên Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được 2 I   4 f ( x )dx   f ( x)dx  1 Câu 21. (Chuyên KHTN)  3 Cho 8 2  tan x. f (cos x)dx   0 1 2 Tính tích phân  1 2 hàm số 1 f ( x) liên  thỏa f (3 x) dx  6 . x f ( x2 ) dx x A. 4 B. 6 C. 7 Lời giải D. 10 Chọn C +) Đặt t  3 x  t 3  x  3t 2 dt  dx Đổi cận: x 18 t 12 8 2 2 2 f (3 x) f (t) 2 f (t) f (t) Khi đó  dx   3 3t dt  3 dt  6   dt  2 x t t 1 1 t 1 1 +) Đặt t  cos 2 x  dt  2 cos x sin xdx  dt  2cos2 x tan xdx  tan xdx   Đổi cận: x 0 t1 1 dt 2t  3 1 4  3 1 4 1 1 f (t) f (t) Khi đó  tan x. f (cos x )dx    dt  6   dt  12 21 t t 1 0 2 4 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 9 mãn ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A +) Đặt t  x 2  dt  2 xdx  dt  2 x 2 Đổi cận: x t 1 2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng dx dx 1 dt   x x 2 t 2 1 2 4 2 Khi đó  1 2 2 1 4 4 2 f ( x2 ) 1 f (t) 1 f (t) 1 f (t) 2  12 dx   dt   dt   dt  7 x 21 t 21 t 21 t 2 Câu 22. Cho hàm số f liên tục trên đoạn  6;5 , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như 5 hình vẽ. Tính giá trị I    f  x   2  dx . 6 y 4 6 A. I  2  35 . B. I  2  34 . 3 O 1 5 x C. I  2  33 . Lời giải D. I  2  32 . Chọn D 1 khi  6  x  2 2 x  2  f  x   1  4  x2 khi  2  x  2 2 1  x khi 2  x  5 3  3 Ta có 5 I 5   f  x   2  dx   f  x  dx  2  dx 6 6 2  . 5 2 6 5 1 1  2 2 6  2 x  2  dx  2 1  4  x dx  2  3 x  3  dx  22   2 5 x 1  1   x 2  2 x   J   x 2    22  J  28 . 32 4  6 3 2 Tính J   1   4  x 2 dx 2 Đặt x  2sin t  dx  2 cos tdt . Đổi cận: Khi x  2 thì t    ; khi x  2 thì t   . 2 2    2 2  2 J   1  4  x2 dx  4  4  cos2 tdt  4  2  1  cos2t  dt  4  2 . Vậy I  32  2 . 2   2   2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng e6 Câu 23. (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn  f ln x  1  2 x  dx  6 và 3  f  cos x  sin 2 xdx  2 . Tích phân   f  x   2 dx 2 bằng 1 0 A. 10 . B. 16 . Chọn D 1 Đặt t  ln x  2dt  2 Đổi cận x 1 t 0 e6 Khi đó   f ln x x 1 C. 9 . Lời giải D. 5 . 1 dx . x e6 3  dx  1  f  ln x  3 3 3 2  dx  2f t dt  6  f t dt  3  f x dx  3 .     0 0 0   x e6  1 2 Đặt u  cos x  du  2 cos x.sin xdx   sin 2 xdx Đổi cận x 0  2 u 0 1  2 Khi đó  0 3 Do đó 0 1 1 f  cos 2 x  sin 2 xdx    f  u  du   f  u  du  2   f  x  dx  2 . 1 3 0 3 3 0 1 3 3   f  x   2 dx   f  x  dx   2dx   f  x  dx   f  x  dx   2dx 3  2  2 x |1  5 . 1 1 1 0 0 f  x  liên tục trên  và thỏa mãn Câu 24. (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Cho hàm số  4 f  ln 2 x  e2  tan x. f  cos x  dx  2 và 2 0 A. 0 .  x ln x e 2 dx  2 . Tính  1 4 B. 1 . 1 f 2x dx . x C. 4 . Lời giải D. 8 . Chọn D  4 * I1   tan x. f  cos 2 x  dx  0  4 2 1 f  cos x  .sin2xd x . 2 0 cos 2 x Đặt cos2 x  t  sin 2 xdx  dt . Đổi cận x 0 t 1  4 1 2 1 2 1 f t  1 f t  Khi đó I1    dt   dt  4 . t 21 t 1 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A f  ln 2 x  2 e 1 f  ln x  2 ln x dx   . dx . x ln x 2 e ln 2 x x e2 * I2  Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  e Đặt ln 2 x  t  2 2 ln x dx  dt . x Đổi cận x e e2 t 1 4 4 f t  1 f t  Khi đó I 2   dt   dt  4 . 21 t t 1 2 f  2x 1 * Tính I   dx . Đặt 2x  t  dx  dt . x 2 1 4 4 Đổi cận x t 4 Khi đó I   1 2 Câu 25. 1 4 f t  f t  dt   dt   t t 1 1 1 2 4 1 4 2 f t  dt  4  4  8 . t 2 (Đặng Thành Nam Đề 10) Cho hàm số f ( x) liên tục trên  2 5 5 f  x 2 f x  5  x d x  1 d x  3 , . Tích phân 2 1 x2 1 f  x  dx bằng A. 15 . B. 2 . C. 13 . D. 0 . Lời giải Chọn C  và thỏa mãn  Đặt t  x 2  5  x suy ra 2 t  x  x 2  5   t  x   x 2  5  t 2  2tx  5  x  5 t  5 1   dx    2   d t 2t 2 2  2t Đổi cận: x  2  t  5; x  2  t  1. 2 Ta có:  2 f  1 5 1  5 1 5  x 2  5  x dx   f  t    2   dt   f  t   2  1  dt  1 . 2 21  2t t  5  5 5 5 5 f t  f t  5  Suy ra  f  t   2  1 dt  2  5 2 dt   f  t  dt  2   f  t  dt  2  5 2 dt t t t  1 1 1 1 1 5 5 f  x   f  x  dx  2  5 2 dx  2  5.3  13 . x 1 1 5 Câu 26. (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa 3  f 0 8   x 2  16  x dx  2019 ,  4 f  x dx  1 . Tính x2 B. 4022 . A. 2019 . 8  f  x  dx . 4 C. 2020 . Lời giải D. 4038 . Chọn B 3 Xét f  x 2  16  x dx  2019 . 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2 2 2 2 Đặt t  x2  16  x . Ta có t  x  x  16  t  2tx  x  x  16  x  t 8  . 2 t 1 8  Suy ra dx    2  dt . 2 t  Khi x  0 thì t  4 , khi x  3 thì t  8 . Suy ra 3 8 8 1 8  1 8  2 2019   f x  16  x dx   f  t  .   2  dt   f  x  .   2  dx 2 t  2 x  0 4 4 8 8 8 f  x 1 1   f  x  dx  8 2 dx   f  x  dx  8 . 24 x 24 4   8 Vậy  f  x  dx  4022 . 4 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2 Cho hàm số f  x thỏa mãn : A. f  x   B.u. f  u   C. f  a  b  x   g  x  u  a   a thì u  b   b +) Với  u  a   b thì u  b   a +) Với  b  b f  x  dx  1 g  x  dx . A  B  C a f  x  dx  1 g  x  dx . A  B  C a a b  b a Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, B , C . Nếu f  x liên tục trên  a; b thì b  b f  a  b  x  dx  a  f  x  dx . a 2 3 Câu 27. Cho hàm số f  x liên tục trên  0;1 thỏa mãn f  x   6 x f  x   A. 2 . 6 . Tính 3x  1 C. 1. Lời giải B. 4 . 1  f  x  dx 0 D. 6 . Chọn B Cách 1: (Dùng công thức)   2 3 Biến đổi f  x   6 x f x  6 6  f  x   2.3×2 . f  x3    với A  1 , B  2 . 3x  1 3x 1 1 1 1 6  dx  4 . 0  1   2  0 3x  1 Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức) Áp dụng công thức ta có: f  x  dx  1 1 1 6 1 2 3   f  x  d x  2  3 x f  x  dx   6  dx 3x  1 3x  1 0 0 0 2 3 Từ f  x   6 x f  x   Đặt u  x 3  du  3 x 2 dx ; Với x  0  u  0 và x  1  u  1. 1 1 1 Khi đó  3 x 2 f  x 3  d x   f  u  d u   f  x  dx thay vào *  , ta được: 0 1  0 0 1 0 1 f  x  dx  2  f  x  dx   6  0 0 1 1 1 1 dx   f  x  dx  6  dx  4 . 3x  1 3 x  1 0 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 28. Xét hàm số f  x liên tục trên  0;1 và thỏa mãn điều kiện 4 xf  x 2   3 f  x  1   1  x 2 . Tích 1 phân I   f  x  dx bằng 0 A. I   . 4 B. I   . C. I   . 6 D. I   20 16 Lời giải Chọn C 1 1 1 Từ 4 x. f  x 2   3 f  x  1  1  x 2  2  2 xf  x 2  dx  3 f 1  x  dx   1  x 2 dx 0 0   0 +) Đặt u  x 2  d u  2 x d x ; Với x  0  u  0 và x  1  u  1. 1 Khi đó 1 1 2  2 xf  x  dx   f u  du   f  x  dx 0 0 1 0 +) Đặt t  1  x  dt  dx ; Với x  0  t  1 và x  1  t  0 . 1 1 1  f 1  x  dx   f  t  dt   f  x  dx  2  Thay 1 ,  2 vào    ta được: Khi đó 0 0 1 0 1 1 1 1 1  . 1  x 2 dx   50 20 2  f  x  dx  3 f  x  dx   1  x 2 dx   f  x dx  0 0 0 0 Câu 29. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  0;2 và thỏa mãn điều kiện f  x  f  2  x  2x . Tính giá trị 2 của tích phân I   f  x  dx . 0 A. I  4 . B. I  1 . C. I  4 . 2 D. I  2 . 3 Lời giải Chọn D Cách 1: (Dùng công thức) 2 1 f x  f 2  x  2 x Với   ta có A  1 ; B  1 , suy ra: I   f  x  dx    0 2 2 2 x dx  x 11 0 2 2  2.  0 Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) 2 2 2 0 0 0 Từ f  x  f  2  x  2x   f  x  dx   f  2  x  dx   2 xdx  4 (*) Đặt u  2  x  du   dx ; Với x  0  u  2 và x  2  u  0 . 2 Suy ra  f  2  x  dx  0 2 2  f  u  du   f  x  dx . 0 2 0 2 Thay vào (*), ta được 2  f  x  dx  4   f  x  dx  2 . 0 0 Câu 30. Xét hàm số f  x liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn 2 f  x   3 f 1  x   1  x . Tích phân 1  f  x  dx bằng 0 A. 2 . 3 B. 1 . 6 C. 2 . 15 D. 3 . 5 Lời giải Chọn C File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Đặt t  1  x  dx  dt . 1 Suy ra  0 1 1 f 1  x  d x    f  t  dt   f  t  d t   f  x  d x 0 1 0 0 1 1 2 f  x   3 f 1  x   1  x  5  f  x  dx   0 1 Suy ra 0 2 1  x dx   3 1 3 1  x   0 2 . 3 2  f  x  dx  15 . 0 Chú ý: Ta có thể dùng công thức  x2 x1 f  ax  b  dx   ax2  b ax1  b f  x  dx . Khi đó: 1 1 1 0 0 0  f  x dx  3 f 1 x dx   Từ 2 f  x   3 f 1  x   1  x suy ra: 2 1 0 1 1  2 f  x  dx  3 f 1  x  dx   1  xdx  5  f  x  d x  2  0 1 0 0 3 Câu 31. Xét hàm số f  x liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn điều kiện 1  xdx 2  f  x  d x  15 . 2 f  x   3 f 1  x   x 1 0 1 x . 1 Tính tích phân I   f  x  dx . 0 A. I  1 . 25 B. I   4 . C. I   1 . 15 D. I  4 . 15 75 Lời giải Chọn B 1 1 1 Do 2 f  x   3 f 1  x   x 1  x   2 f  x  dx   3 f 1  x  dx   x 1  xdx 0 0 0      I1 1 . I2 1 + Xét I1  3 f 1  x  dx : 0 Đặt t  1  x  dx  dt . Khi x  0  t  1; x  1  t  0 . 1 Khi đó I1  3 f  t  dt  3 I . 0 1 + Xét I 2   x 1  xdx . Đặt t  1 x  x 1t2 dx  2tdt . 0 Khi x  0  t  1; x  1  t  0 . 0 0  2t 5 2t 3  4  Khi đó I 2   1  t  t  2t  dt     . 3  1 15  5 1 2 Thây vào 1  : 2 I  3 I  4  I   4 . 15 15 Câu 32. Xét hàm số f  x liên tục trên  1; 2  và thỏa mãn f  x   2 xf  x 2  2   3 f 1  x   4 x3 . Tính 2 giá trị của tích phân I   f  x  dx . 1 A. I  5 . B. I  5 . 2 C. I  3 . D. I  15 . Lời giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2) File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Với: f  x    2 x  f  x 2  2   3 f 1  x   4 x3 . Ta có: u  1  1 . u  2  2 A  1; B  1; C  3 và u  x 2  2 thỏa mãn  Khi đó áp dụng công thức có: 2 I   1 2 2 1 x4 3 f x  4 x dx  1  1  3 1 5  3. 1 Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) Từ f  x   2 xf  x 2  2   3 f 1  x   4 x3 . 2  2 2  f  x  dx   2 x. f  x 1 2 1 2  2  dx  3  f 1  x  dx   4 x3dx 1  * 1 +) Đặt u  x 2  2  du  2 x dx ; với x  1  u  1 và x  2  u  2 . 2 Khi đó 2 2  2x. f  x  2 dx  1  2 f  u  du  1  f  x  dx 1 1 +) Đặt t  1  x  dt  dx ; Với x  1  t  2 và x  2  t  1 . 2 Khi đó 2 2  f 1  x  dx   f  t  dt   f  x  dx  2  1 1 1 2 2 Thay 1 ,  2 vào *  ta được: 5  f  x  dx  15   f  x  dx  3 . 1 1 Câu 33. Hàm số f  x liên tục trên  1; 2  và thỏa mãn điều kiện f  x   x  2  xf  3  x 2  . Tính giá 2 trị của I   f  x dx 1 A. I  14 . 3 B. I  28 . C. I  4 . 3 D. I  2 . 3 Lời giải Chọn B Cách 1: ( Dùng công thức). Với f  x   x  2  xf  3  x2   f  x   1 .   2x  . f  3  x 2   x2 2 A  1; B  1 2 ; C  0 và u  3  x thỏa mãn 2  u   1   2   u  2    1 2 2 Khi đó áp dụng công thức ta có: I   f  x dx  1 1 28 x  2dx = .  1 3 1   0 1 2 Cách 2: ( Dùng phương pháp đổi biến). 2 Từ f  x   xf  3  x 2  x2  2 2  f  x  dx   xf  3  x  dx   2 1 1 x  2dx  1 14 (*) 3  x  1  u  2 Đặt u  3  x 2  d u   2 x d x với   x  2  u  1 2 2 2 1 1 2 Khi đó  xf  3  x  dx   f  u  du   f  x  dx thay vào (*) ta được 2 1 2 1 1 2 2 2 1 14 28 1 f  x  dx  2 1 f  x  dx  3  1 f  x  dx= 3 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 34. Xét hàm số f  x liên tục trên  0;1 và thỏa mãn f  x   xf 1  x 2   3 f 1  x   1 . Tính giá x 1 1 trị của tích phân I   f  x  dx . 0 A. I  9 ln 2 . 2 B. I  2 ln 2 . C. I  4 . 9 D. I  3 . 3 2 Lời giải Chọn B Cách 1: (Dùng công thức) Với: f  x   1 .   2 x  f 1  x 2   3 f 1  x   2 x . Ta có: 2 u  0   1 A  1 ; B  1 ; và u  x 2  2 thỏa mãn  . u 1  0 2 Khi đó áp dụng công thức ta có: 1 1 1 2 1 dx  ln x  1  2 ln 2 . I   f  x  dx   0 9 x 1 9  1 0 1     3 0  2 Cách 2: (Dùng công thức đổi biến nếu không nhớ công thức) Từ f  x   xf 1  x 2   3 f 1  x   1 x 1 1 1 1 1   f  x dx   xf 1  x dx  3 f 1  x dx   2 0 0 0 0 1 d x  ln x  1 10  ln 2 . (*) x 1 +) Đặt u  1  x 2  du  2 xdx ; Với x  0  u  1 và x  1  u  0 . 1 1 1 1 1 Khi đó  xf 1  x 2 dx   f  u du   f  x d x (1). 20 20 0 +) Đặt u  1  x  du   xdx ; Với x  0  t  1 và x  1  t  0 . 1 Khi đó 1 1  xf 1  x dx   f  t dt   f  t dt (2). 0 0 0 Thay (1), (2) vào (*) ta được: 1 1 1 1 1 1 9 2 f x d x  f x d x  3 f x d x  ln 2  f x d x  ln 2  f  x dx  ln 2 .   0   2 0   0     20 9 0 Câu 35. Cho hàm số 1 I   f  x  dx  0 y  f  x và thỏa mãn f  x   8x f  x   3 4 x3 x2 1  0 . Tích phân a b 2 với a , b , c   và a ; b tối giản. Tính a  b  c c c c B. 4. A. 6 . C. 4 . Lời giải D. 10 . Chọn A Cách 1: (Dùng công thức). Biến đổi f  x   8 x 3 f  x 4   1 Áp dụng công thức ta có:  0 2 2 x3 x2 1  0  f  x   2.  4 x 3  f  x 4    1  1 f  x  dx    1   2  0  x3 x2 1 với A  1; B   2 1  x 3 dx . dx    2 x2  1  x  1 0 x3 2 Đặt t  x 1  t  x  1  tdt  xdx ; Với x  0  t  1 và x  1  t  2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khi đó: 1 1  f  x  dx   0 0 x2 2 x2  1 .xdx   1 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  t3   1  t  1 dt  3  t  1 2 t 2 1 .tdt  t 2  2 2  2 a b 2  3 c Suy ra a  2; b  1; c  3  a  b  c  6 . Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) 1 1 1 x3 x3 3 4 3 4 Từ f  x   8 x f  x    0   f  x  dx  2  4 x f  x  dx   dx  0 (*) x2 1 x2  1 0 0 0 Đặt u  x 4  du  4 x 3 dx ; Với x  0  u  0 và x  1  u  1. 1 1 1 3 4  4x f  x  dx   f  u  du   f  x  dx thay vào (*), ta được: Khi đó 0 0 1 1 1  f  x  dx  2  f  x  dx   0 0 0 0 x 3 x2 1 dx  0  1 1  f  x  dx   0 0 x3 x2  1 dx Đặt t  x2 1  t 2  x2  1  tdt  xdx ; Với x  0  t  1 và x  1  t  2 . 1 Khi đó: 1 x2  f  x  dx   0 2 x2  1 0 .xdx   1 t 2 1 .tdt  t 2  t3  2  2 a b 2     t t  1 dt     1 3 c  3 1 2 2 Suy ra a  2; b  1; c  3  a  b  c  6 . Câu 36. Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn   ln 2;ln 2 và thõa mãn f  x   f   x   1 . Biết e 1 x ln 2  f  x  dx  a ln 2  b ln 3 , với a , b   . Tính giá trị của P  ab .  ln 2 A. P  1 . B. P  2 . 2 C. P  1. D. P  2 . Lời giải Chọn A Cách 1: Dùng công thức ln 2 ln 2 ln 2 1 dx 1 dx   x x   1  1  ln 2 e  1 2  ln 2 e  1  ln 2 Cách 2: Dùng phương pháp dồn biến nếu không nhớ công thức ln 2 ln 2 ln 2 1 dx Từ f  x   f   x   x   f  x  dx   f   x  dx   x  * e  1  ln 2  ln 2  ln 2 e  1 Đặt u   x  du  dx 1 ta có A  1; B  1 , suy ra x e 1 Với f  x   f   x   ln 2  ln 2 f   x  dx    ln 2 ln 2 2  ln 2 f  u  du    ln 2 ln 2 f  x  dx   ln 2 f  x  dx   f  x  dx thay vào *  ta được:  ln 2 ln 2 ln 2 dx 1 dx   f  x  dx   x x  2  ln 2 e  1  ln 2 e  1  ln 2 Đặt t  e x  dt  e x d x Với x   ln 2  t  1 , x  ln 2  t  2 2 ln 2 ln 2 2 2 2 2 dx exdx dt t   x   x x   ln  ln 2 e 1 ln 2 e  e 1 1 t  t 1 t 1 1  ln2 ln 2 Khi đó: a ,b 1 1  f  x  dx  2 ln 2  a ln 2  b ln 3  a  2 , b  0  ln 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  P  ab  Câu 37. Biết hàm Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 . 2 số   y  f x  2  là hàm số trên chẵn      2 ; 2  đoạn và  2   f  x   f  x    sin x  cos x . Tính I   f  x  dx . 2  0 C. I  1 . B. I 1. A. I  0 . D. I  1 . 2 Lời giải: 0  2    t .  dt    2  0 Đặt t    x  dt   dx Đổi cận:  I  f   2  2  2 (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân)   0  2   f   t  dt   2  0   f   x  dx 2       f   x   Vì f   x  là 2  2       hàm số chẵn  f   x   f   x  2  2   2    Vậy 2 I    f  x   f  x    dx  2   0   I   1  Chọn D  2   sin x  cos x  dx   cos x  sin x  0  2  1  1  2 0   Câu 38. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  , f  0  0 và f  x   f   x   sin x.cos x với 2  x  . Giá trị của tích phân  xf   x  d x bằng  2 0 A.   . 4 B. 1 . 4 C.  . 4 D.  1 . 4 Lời giải Cách 1: (Dùng công thức)   Với f  x   f   x   sin x.cos x , ta có A  1; B  1 . 2   1  1 2 Suy ra 02 f  x  dx  sin x .cos x.dx  . 1  1 0 4 Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu nhớ công thức)    1     2 2 2 f x  f  x  sin x .cos x  f x  f  x dx  sin x .cos xdx    Từ   (*)        0 0 0 2 2  2    x  du   dx 2   Với x  0  u  ; x   u  0 . 2 2 Đặt u  Suy ra   2 0     f   x dx  02 f  u du  02 f  x  dx , thay vào (*) ta được 2   2 02 f  x  dx   1 1  02 f  x  dx  (1) 2 4     u  x du  dx  2 xf   x  dx  xf  x  2  2 f  x  dx   f     2 f  x  dx Đặt  (*)  0 0    0 2 2 0  dv  f   x  dx v  f  x  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng   Từ điều kiện f  x   f   x   sin x.cos x suy ra 2   f   f      f 0   0 2   0   f    0 2  f    0 (2). 2  1 Thay (1), (2) vào (*), ta được 02 xf   x  dx   . 4 Chọn D 2 Câu 39. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f 1  2x   f 1  2x   2x ,  x   . tính tích x 1 3 phân I  1 f  x  dx . A. I  2   . 2 B. I  1   . 4 1 2  8 C. I   . D. I   . 4 Lời giải. t 1 Đặt t  1  2 x  1  2 x  2  t và x  , khi đó điều kiện trở thành 2 t 2  2t  1 x2  2x  1 (*) f t   f 2  t   2  f  x   f 2  x   2 t  2t  5 x  2x  5 Cách 1: (Dùng công thức) 2 Với f  x   f  2  x   x 2  2 x  1 ta có A  1; B  1 . x  2x  5 1 3 x2  2x 1  Suy ra 1 f  x  dx  dx  0, 429  2   2 1 1  1 x  2x  5 2 3 Chọn A Cách 2: (Dùng công thức đổi biến – nếu nhớ công thức) 2 2 3 3 3 Từ (*), ta có f  x   f  2  x   x 2  2 x  1  1 f  x  dx  1 f  2  x  dx  1 x 2  2 x  1 dx (2*) x  2x  5 x  2x  5 Đặt u  2  x  du  dx . Với x  1  u  3; x  3  u   1 . Suy ra 3 3 3 3 1 1 1  f  2  x  dx   f  u  du   f  x  dx , thay vào (*), ta được: 3 2 1 f  x  dx   1 x2  2x  1 dx  x2  2x  5  3 f  x  dx  1 1 3 x2  2x  1  dx  0, 429  2 2  1 x 2  2 x  5 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 Cách giải: Lần lượt đặt t  u x và t  v x để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có ẩn f  x  ) để suy ra hàm số f  x  (nếu u  x   x thì chỉ cần đặt một lần t  v x ). Các kết quả đặc biệt: Cho A. f  ax  b  B. f  ax  c  g  x  xb  xc A.g   B. g     a   a  (*) với A2  B2 ) khi đó f  x   A2  B 2 +)Hệ quả 1 của (*): A. f  x   B . f   x   g  x   f  x   A.g  x   B . g   x  A2  B 2 g x +)Hệ quả 2 của (*): A. f  x   B . f   x   g  x   f  x     với g x là hàm số chẵn. A B 1  x 2 Câu 40. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và f  x   2 f    3x . Tính I   1 f  x x dx . 2 A. I  3 . 2 C. I  1 . 2 B. I 1. D. I  1 . Lời giải Chọn A 3  1 1 3 Đặt, t  1  x  1 khi đó điều kiện trở thành f    2 f  t    2 f  x   f    . t x 1 6 1 Hay 4 f  x   2 f    , kết hợp với điều kiện f  x   2 f    3x . Suy ra :  x x  x x t  t x 2 f  x 2 2 f x 2 6 2  2 3     3 f  x    3x   2 1  I   dx    2  1 dx    x 1  . x x x 1 1 x x 2   x  2 2 2 Chọn B Câu 41. 1  (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  ;3 thỏa mãn 3  3 f  x 1 f  x   x. f    x3  x . Giá trị tích phân I   2 dx bằng x 1 x  x 3 8 A. . 9 Lờigiải Chọn A 2 B. . 3 C. 3 . 4 D. 16 . 9 1 1  dx   2 dt . t t 1 1 + Đổi cận: x   t  3; x  3  t  . 3 3 1 1 1 3 3 f   3 f   f  x t 1 t + Ta có I   2 dx      . 2 dt     dt . 1 1 t 1 x x 1 t 1 3  2 3 3 t t Suy ra: + Đặt x  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: dangvietdong.ninhbinh.vn[email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 3 2I   1 3 f  x dx   x2  x 1 3 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 1 f  3 f  x   x. f  3 3   x  dx   x  dx  x  x  1 x  1 dx  x  1 dx  16 . 1 x  x  1 1 x  x  1 1   x 1 9 3 3 3 3 8 . 9 Vậy I  2 x Câu 42. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 0 và thỏa mãn 2 f  3x   3 f     15x , 2 3 2 9  f  x  dx  k . Tính 3 1 I   f   dx theo k .  x 1 2 A. I   45  k . B. I  45  k . 9 C. I  45  k . 9 D. I  45  2 k . 9 9 Lời giải Chọn A 1  t 1 1 2 Đặt t  2x  d x  d t . Đổi cận . 2 3 x t 3 2 3 1  2 Khi đó I   f   dx . 21 t x 2 x Mà 2 f  3x   3 f     15x 5x 2  2  f      f  3x  2 2 3 x 3 3 3 3 1  5x 2 5 1 1    f  3 x   dx    x dx   f  3 x  dx  5   f  3x  dx (*)   21 2 3 41 31 31  x 1  u  3 Đặt u  3 x  d x  1 d x . Đổi cận . x  3 t  9 3 Nên I  9 Khi đó I  5  1 k 45  k . f  t  d t  5     93 9 9 Câu 43. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f  x   2018 f  x   2x sin x . Tính giá trị  2 của I   f  x  dx .  A. I  2 2 . 2 019 B. I  2 . 1009 C. I  4 . 2 019 D. I  1 . 1009 Lời giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức) Với f  x   2018 f  x   2x sin x ta có A  1; B  2018  2 Suy ra I    2 f  x  dx  1 1  2018  2  2x sin xdx  C asio  4 20 19  Đáp án C 2 Cách 2: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 22 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Áp dụng Hệ quả 2: A. f  x   Bf  x   g  x  f  x   g  x A B với g  x  là hàm số chẵn. Ta có f  x   2018 f  x   2x sin x  f  x   2 x sin x 2019  2 I   f  x  dx  2 2 2019  2  x sin xdx  C asio  4 20 19  Đáp án C 2 x Câu 44. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f  x   2018 f  x   e . Tính giá trị của 1 I  f  x  dx 1 A. I  e2 1 . 2019e B. I  e2 1 . 2018e D. I  C. I  0 . e2  1 . e Lời giải Chọn A Cách 1: (Dùng công thức). x Với f  x   2018 f  x   e ta có A  1; B  2018 . 2 1 1 1 x  e 1 x Suy ra I   f  x  dx  . e dx  e 1  2018 1 2019 1 2019e 1 Cách 2: (Dùng công thức) 1 1 Áp dụng Hệ quả 1: A. f  x   B. f  x   g  x   f  x   A.g  x   B.g  x  A2  B2 . Ta có: 1 1 2018ex  e x 1 f  x   2018 f  x   e  f  x     f  x  dx   2018e x  e x  dx  20182 1 2019.2017 1 1 x e2 1 (Casio). 2019e 2 Câu 45. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  , thỏa mãn 2 f  2x   f 1 x  12x . Phương  1,164.103  trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ bằng 1 là A. y  2 x  2 . B. y  4 x  6 . C. y  2 x  6 . D. y  4 x  2 . Lời giải Chọn C Áp dụng kết quả A. f  ax  b  B. f  ax  c   g  x  “Cho (với A2  B2 ) khi đó  x b   xc A.g    B.g   a  a    f  x  ”. A2  B 2 Ta có 2 f  2 x   f 1  x   12 x2  g  x   x  x 1  2.g    g   2 2     f  x  22  1 2 6 x 2  3  x  1   x2  2 x  1 . 3 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  f 1  2 , khi đó phương trình tiếp tuyến cần lập là: y  4 x  2 .  f  1  4 Suy ra  Câu 46. Cho f  x là hàm số chẵn, liên tục trên  thỏa mãn 1 và g  x  là hàm số liên  f  x dx  2018 0 1 tục trên  thỏa mãn g  x   g   x   1 , x  . Tính tích phân I   f  x g  x  dx . 1 B. I  1009 . A. I  2018 . C. I  4036 . 2 D. I  1008 . Lời giải Chọn A Áp dụng Hệ quả A.g  x  B.g  x   h  x   g  x   h  x A B với h  x  là hàm số chẵn. Ta có: g  x   g  x   1  h  x   g  x   1  1 . 11 2 Kết hợp với điều kiện f  x là hàm số chẵn, ta có: 1 1 1 1 I   f  x  g  x  dx   f  x  dx   f  x dx  2018 . 2 1 1 0 Chú ý: Nếu f  x là hàm số chẵn, liên tục trên   a; a   a  a Câu 47. Cho số dương a và hàm số f  x a f  x  dx  2  f  x  dx . 0 liên tục trên  thỏa mãn f  x   f   x   a , x  . Giá trị a của biểu thức  f  x  dx bằng a B. a. A. 2 a 2 . C. a 2 . Lời giải D. 2a . Chọn C a a Đặt x  t  a  f  x  dx   f  t  dt    f  t  dt   f   x  dx a a a a a  2  f  x  dx  a a a a a   f  x   f   x   dx   adx  2  f  x  dx  2a a a a 2 a   f  x  dx  a 2 . a  2 Câu 48. Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa điều kiện f  x   f   x   2sin x . Tính  f  x  dx  A. 1. C. 1. Lời giải B. 0.  2 D. 2. Chọn B  2 Giả sử I   f  x  dx .  Đặt  2 t  x  dt  dx , đổi cận x     t x t  . 2 2 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 24 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Khi đó I    2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  2  f t  dt   f  t  dt .  2  2   2  2   f  x   f  x  dx   2sin xdx  0  2 I  0  I  0 Suy ra 2I    2   2 Câu 49. Cho f ( x ) là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn f  x   f   x   2  2cos 2 x . Tính tích phân 3 2 I  f  x dx .  3 2 B. I  4 . A. I  3 . C. I  6 . Lời giải D. I  8 . Chọn C 3 2  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . Ta có I   3 2  0  3 2 0 Đặt t   x  dt  dx ; Đổi cận: x   3  t  3 ; x  0  t  0 .  f  x  dx Xét 3 2 0 2 3 2 0 3 2 0 2 3 2  f  x dx    f  t  dt   f  t  dt   f   x  dx . Suy ra  3 2 3 2 0 0 3 2 Theo giả thiết ta có: f  x   f   x   2  2 cos 2 x  3 2   f  x   f   x   dx   0 3 2   3 2 3 2  f  x  dx   f   x  dx  2  0 0 3 2 0 2  2 cos x dx 0 sin x dx 0  3 2  f  x dx   f  x  dx  2 sin x dx  2  sin x dx 0  3 2 0 0 Câu 50. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên R và thỏa mãn f  x   f   x   2  2cos 2 x . Tính  2 I  f  x  dx .   2 A. I  1 . B. I 1. C. I  2 . Lời giải D. I  2 .  2 I  f  x  dx (1) Đặt t   x  dt  dx Đổi cận:   2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 25 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   2  2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  2  f  t  . dt    f  t  dt   f  x  dx (2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào I   2   2   2 biến số tích phân)  2 (1) + (2)  2I   2   f  x   f  x   dx     2 2  2cos 2xdx   2  2  2 1  cos 2x dx     2  2  2  2 2  2cos2 xdx  2  cos x dx  2  cos xdx  2sin x   2   2   2  2   2  2 1  1  4 I 2 Chọn D π 4 2 Câu 51. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và 3 f   x   2 f  x   tan x . Tính  f  x  dx  π . 2 A. 1  π 1 . 2 B. C. 1  π . 4 π 4 π . 2 D. 2  Lời giải Chọn D  4 π 4 Cách 1: Ta có    2 π  2 tan 2 xdx  π 4 π π  π π  1  4  tan x  x  1 d x   1    2    π  1   cos2 x   4  4 2 4  4 π 4  3 f   x   2 f  x   dx .  π 4 Đặt t   x  dt  dx , đổi cận x   π 4 π π π π t , x t . 4 4 4 4 π 4 π 4  3 f   x   2 f  x  dx   3 f  t   2 f  t   dt   3 f  x   2 f   x  dx  π 4  π 4 Suy ra, π 4 π 4  π 4 π 4 π 4 π π  f  x  dx   f   x  dx  2  2   3 f  x   2 f  x   dx  2  2   f  x  dx  π 4  π 4  π 4  π 4 π 4 Vậy π  f  x  dx  2  2  π 4 Cách 2: ( Trắc nghiệm) 2 Chọn f  x   f   x   tan x (Thỏa mãn giả thiết). File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 26 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A π 4 π 4 π 4  1  f  x  dx   tan x dx    cos 2 Khi đó 2  π 4  π 4  π 4 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng    1 dx  2  x  2 Câu 52. Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn   ln 2;ln 2 và thỏa mãn f  x   f   x   1 . e 1 x ln 2  f  x  dx  a ln 2  b ln 3  a; b . Tính P  a  b . Biết  ln 2 A. P  1 . B. P  2 . 2 C. P  1. D. P  2 . Lời giải Chọn A ln 2  f  x  dx . Gọi I   ln 2 Đặt t  x  dt  dx . Đổi cận: Với x   ln 2  t  ln 2 ; Với x  ln 2  t   ln 2 .  ln 2 ln 2 ln 2  f  t  dt   f  t  dt   f   x  dx . Ta được I    ln 2 ln 2 ln 2 Khi đó ta có: 2I   ln 2 ln 2 ln 2 ln 2  f  x  dx   f   x  dx    ln 2  ln 2  f  x   f   x   dx   ln 2 1 dx .  ln 2 e  1  x ln 2 Xét 1 dx . Đặt u  e x e  1  ln 2  x d u  e x d x Đổi cận: Với x   ln 2 u  1 ; x  ln 2  u  2 . 2 ln 2 1 dx  x   ln 2 e  1 Ta được ln 2 ln 2 1 ex du dx    x x u u  1  ln 2   ln 2 e  e  1  ln 2  1  2 1    du   ln u  ln u  1  1  ln2 u 1  2  ln 2  u  Vậy ta có a  1 , b  0  a  b  1 . 2 2 Câu 53. Xét hàm số f  x liên tục trên  0;1 và thỏa mãn điều kiện 2 f  x   3 f 1  x   x 1  x . Tính 1 tích phân I   f  x dx . 0 A. I   4 . 15 B. I  1 . C. I  4 . 15 75 D. I  1 . 25 Lời giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức) Với 2 f  x   3 f 1  x   x 1  x ta có A  2; B  3 . 1 Suy ra:  0 1 1 f  x  dx  x 1  xdx 2  3 0 C asio  0, 05  3   4 . 75 Áp dụng kết quả “Cho A. f  ax  b  B. f  ax  c   g  x  (Với A 2  B 2 ) khi đó File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 27 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  x b   xc A.g    B.g    a   a  . f  x  ” A2  B 2 Ta  2 f  x   3 f 1  x   x 1  x  g  x   f  x   có: 2g  x   3g 1  x  22  32 2 x 1  x  3 1  x  x . 5 1 2 x 1  x  3 1  x  x 1 Suy ra: I   f  x  dx   0 5 0 C asio dx  0, 05  3   4 . 75 Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) 1 1 1 0 0 0 Casio Từ 2 f  x   3 f 1  x   x 1  x  2  f  x  dx  3 f 1  x  dx   x 1  xdx  0, 2  6   4    15 Đặt u  1  x  du  dx ; Với x  0  u  1 và x  1  u  0 . 1 Suy ra 1 1 0 0 f 1  x  dx   f  u  du   f  x  dx thay vào    , ta được:  0 2 2 5 f  x  dx  0 4 4 .   f  x  dx  15 75 0 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 Câu 54. Cho f  x và g  x  là hai hàm số liên tục trên  1,1 và f  x là hàm số chẵn, g  x  là hàm số 1 lẻ. Biết 1 f  x  dx  5 và   g  x  dx  7 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 0 1 A.  1 f  x  dx  10 . B. 1 1 C.  g  x  dx  14 . 1 1   f  x   g  x  dx  10 . D. 1   f  x   g  x  dx  10 . 1 Lời giải Nhớ 2 tích chất sau để làm trắc nghiệm nhanh: Câu 55. Nếu hàm f  x CHẴN thì a  a a a 0 a f  x  dx  2  f  x  dx 2. Nếu hàm f  x LẺ thì  f  x  dx  0 Nếu chứng minh thì như sau: 1 0 1  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx Đặt A  1   0    A1 A2 1 0 A1   f  x  dx . Đặt t  x  dt  dx 1 Đổi cận: 0 1 1  A1   f  t  .   dt    f  t  dt   f   x  dx (Do tích phân xác định không phụ thuộc vào 1 0 0 1 biến số tích phân)   f  x  dx (Do f  x là hàm chẵn  f  x  f  x ) 0 1 Vậy A  1 1  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  10 (1) 1 0 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 28 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 0 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 Đặt B   g  x  dx   g  x  dx   g  x  dx 1  1  0      B1 B2 0 t  x  dt  dx B1   g  x  dx . Đặt 1 Đổi cận: 0 1 1  B1   g  t  .  dt    g  t  dt   g   x  dx (Do tích phân xác định không phụ thuộc vào 1 0 0 1 biến số tích phân)    g  x  dx (Do f  x là hàm chẵn  g   x   g  x  ) 0 1 Vậy B  1 1  g  x  dx    g  x  dx   g  x  dx  0 (2) 1 0 0 Từ (1) và (2) Chọn B 0 Câu 56. Cho hàm số y  f  x  là hàm lẻ và liên tục trên  4;4 biết 2  f   x  dx  2 và  f  2x  dx  4 2 1 4 . Tính I   f  x  dx . 0 A. I   10 . B. I  6 . C. I  6 . Lời giải D. I 10 . Chọn B x2 Cách 1: Sử dụng công thức:  x1 1 f  ax  b  dx  a a x2  f  ax  d x và tính chất là hàm số lẻ trên đoạn  a; a . Áp dụng, ta có: 2 1 4 1 2  4   f  2 x  dx    f  x  dx   f  x  dx  2 2 2 4 1 0 2  2 0 2 2 0 f   x  dx    f  x    f  x   Suy ra: 0   0 8  4 4  2 2  f  x  dx  0 với f  x a x1  2 4 f  x  dx  8 . 2  f  x  2 0 2 0 4 4 2 0 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx 2  f  x  dx   f  x  d x  I  0  8   0  2  I  I  6 . 0 0 Cách 2: Xét tích phân  f   x  dx  2 . 2 x  t  dx  dt . Đặt 0 Đổi cận: khi x  2 thì t  2; khi x  0 thì t  0 do đó  2 2 0 2 f   x  dx    f  t  dt  2  f  t  dt 0 2  f  t  dt  2   f  x  dx  2 . Do hàm số y  f  x  là hàm số lẻ nên f  2 x    f  2 x  .  0 0 2 Do đó 2 2  f  2x  dx   f  2x  dx   f  2 x  dx  4 . 1 1 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 29 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2  f  2 x  dx . Xét 1 Đặt 2x  t  d x  1 dt . 2 2 Đổi cận: khi x  1 thì t  2; khi x  2 thì t  4 do đó  4 f  2 x  dx  1 4 1 f  t  dt  4 2 2 4   f  t  dt  8   f  x  dx  8 . 2 2 4 2 4 Do I   f  x  dx   f  x  d x   f  x  dx  2  8  6 . 0 0 2 1 Câu 57. (Sở Đà Nẵng 2019) Cho hàm số chẵn y  f  x  liên tục trên  và  1 f  2x dx  8 . Giá trị của 1  5x 2  f  x  dx bằng: 0 A. 8 . B. 2 . D. 16 . C. 1 . Lời giải Chọn D 1 +) Ta có 8   1 0 1 f  2x  f  2x  f  2x  dx   dx . (1) dx   x x 1 5 1  5x 1 5 1 0 f  2x dx : x 1 1  5 Đặt t   x  dt  dx . Đổi cận: x  1  t  1 và x  0  t  0 . Khi đó 0 1 1 t f  2t  f  2t  5 f  2t  dt   I  dt    dt . t  t 1 5 5t  1 1 1 5 0 0 0 Xét I   Vì y  f  x  là hàm chẵn trên  nên f  2t   f  2t  , t   . 1 x 5t f  2t  5 f 2x d t  dx . Thay vào (1) thu được t  5 1 5x  1 0 0 1 Do đó I   1 1 1 5 x  1 f  2 x  5x f  2 x  f  2x    8 x dx   d x  d x 0 f  2 x  dx . 0 5x  1 5 1 1  5x 0 0 1 1  1 f 2x  d 2x   8  2 0 2  f  t  dt  16 . 0 1 Câu 58. Cho f  x là hàm số chẵn liên tục trong đoạn  1; 1 và  1 bằng A. I 1. B. I  3 . f x  x dx 1 1  e 1 f  x  dx  2 . Kết quả I  C. I  2 . Lời giải D. I  4 . Chọn A 1 0 1 f  x f  x f  x I d x  d x   1  ex 0 1  e x dx  I1  I 2 1  ex 1 1 f  x dx x 1 1  e Đặt x  t  dx  dt , đổi cận: x  0  t  0 , x  1  t  1 0 Xét I1   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 30 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 t f  x e . f  x  d t  dt .   t  1 e 1  et 1 0 0 I1   1 x et . f  t  e . f  x d t  0 1  et 0 1  e x dx . 1 Lại có f  x 1 Suy ra: I   1 1 e 1 dx   x 0 et . f  t  1 et 1 e . f t  dt  f  t  dt  1 f t  dt  1 dt   dx   .  1 e 1 e 2 f t  1 1 t 1 t t 0 0 Câu 59. Cho y  f  x  là hàm số chẵn và liên tục trên . Biết 1 0 1 1 2  f  x  dx  2  f  x  dx  1 . Giá trị của 0 f  x dx bằng x 1 2 A. 1. 1 1 2 3 C. 4. Lời giải B. 6. D. 3. Chọn D Cách 1: Sử dụng tính chất của hàm số chẵn a a f  x Ta có:  x dx   f  x  dx , với f  x là hàm số chẵn và liên tục trên  a; a . b 1 a 0 Áp dụng ta có: 2 2 1 2 f  x  3x  1 dx  0 f  x  dx  0 f  x  dx  1 f  x  dx  1  2  3 2 1 Cách 2: Do  0 1 2 2 2 1 1 f  x  dx   f  x  dx  1  21  f  x  dx 1 và  f  x  dx  2 1 0 2   f  x  dx   f  x  dx   f  x  d x  3 . 0 1 0 f  x dx  x 2 3  1 2 Mặt khác  0 f  x 3 x 2 1 2 dx   0 f  x 3x  1 dx và y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên   f   x   f  x  x  . f  x  x dx . Đặt t   x  dx  dt 2 3  1 0 Xét I  0 f  x f  t  Suy ra I   x dx     t dt = 2 3  1 2 3 1 0 f x  x dx  2 3  1 2 0 f x 2 f x 2  0 2 t 2 x f  t  dt =  3 tf  t  dt =  3 xf  x  dx 1 3 1 3 1 0 0 1 3t 2 3x f  x  f  x d x  d x  d x  2 3x  1 0 3x  1 0 3x  1 0 3 x  1 dx  2 2  0  3 1 f  x dx  x 3x 1 2  f  x  dx  3 . 0 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 “ Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn g  f  x    x và g  t  là hàm đơn điệu ( luôn đồng biến hoặc nghịch biến) trên  .Hãy tính tích phân I  b  f  x  dx “ a Cách giải: Đặt y  f  x   x  g  y   dx  g  y  dy File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 31 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  x  a  g  y   a  y    x  b  g  y   b  y   Đổi cận  Suy ra I  b  a   f  x  dx   f  x Câu 60. Cho hàm số yg  y dy liên tục trên  thỏa mãn f 3  x   f  x   x, x  B. I  3 . 2 A. I  2 . C. I  1 . 2 . Tính I  2  f  x  dx 0 D. I  5 . 4 Lời giải Chọn D Đặt y  f  x   x  y 3  y  dx   3y 2  1 dy 3  Đổi cận  x  0  y  y  0  y  0 3  x  2  y  y  2  y  1 Khi đó I  2 1  f  x  dx   y  3 y 0 0 2   1 dy  1  3 y 0 3   y dy  5  đáp án D 4 3 2 Câu 61. Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa mãn 2 f  x   3 f  x  6 f  x   x , x  . Tính tích 5 phân I   f  x  dx . 0 A. I  5 . B. I  5 . 4 C. I  5 . 2 D. I  5 . 12 3 Lời giải Chọn B 3 2 Đặt y  f  x   x  2 y  3y  6 y  dx  6  y 2  y  1 dy . x  0 2y3 3y2  6y  0  y  0 và x  5 2y3 3y2  6y  5  y 1. Đổi cận: với 1 1 1 Khi đó I   f  x  dx   y.6  y 2  y  1 dy  6   y 3  y 2  y  d y  0 0 0 5 . 2 1 3 Câu 62. Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa mãn x  f  x   2 f  x   1 , x  . Tính I   f  x  dx 2 . A. I  7 . B. I  7 . 4 C. I  7 . 2 3 D. I  5 . 4 Lời giải Chọn A Đặt y  f  x   x   y 3  2 y  1  dx   3 y 2  2  dy . Đổi cận: Với x  2 y3  2y 1  2  y 1; x 1y3  2y 1 1  y  0 . 0 7 . 4 1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 Khi đó: I   y  3 y 2  2  dy  b 2 Bài toán: “ Cho f  x  . f  a  b  x   k , khi đó I   a dx ba  k  f  x 2k Chứng minh: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 32 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng dt  dx  Đặt t  a  b  x   k 2 và x  a  t  b ; x  b  t  a . f x     f t   b b dx  k  f  x  a Khi đó I   a b 2I   a b dx 1 f  x  dx .  k2 k a k  f  x  k f t  b b dx 1 f  x  dx 1 1 ba .     dx   b  a   I  k  f  x k a k  f  x k a k 2k Câu 63. Cho hàm số f  x liên tục và nhận giá trị dương trên  0;1 . Biết f  x  . f 1 x  1 với x  0;1 1 dx 1 f  x 0 . Tính giá trí I   A. 3 . B. 1 . 2 C. 1. 2 D. 2. Lời giải Chọn B Ta có: 1  f  x   f  x  f 1  x   f  x   f  x 1 f  x  1 f 1  x   1 1 dx . 1 f  x 0 Xét I   Đặt t  1  x  x  1  t  dx  dt . Đổi cận: x  0  t  1 ; x  1  t  0 . 0 1 1 1 f  x  dx dt dt dx Khi đó I       1  f 1  t  0 1  f 1  t  0 1  f 1  x  0 1  f  x  1 1 1 f  x  dx 1 1  f  x  dx 1 Mặt khác    dx   dx  1 hay 2I 1. Vậy I  . 1  f  x  0 1  f  x  0 1  f (t ) 2 0 0 1 Câu 64. Cho hàm số f  x liên tục trên  , ta có f  x   0 và f  0 . f  2018  x   1. Giá trị của tích 2018 phân I   0 dx 1 f  x A. I  2018 . B. I  0 C. I  1009 Lời giải D. 4016 Chọn C 2018 ta có I   0 1 2018  0 dx   1009 . 1 f  x 2.1 Câu 65. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm, liên tục trên  và f  x   0 khi x 0;5 Biết . 5 dx f  x  . f  5  x  1 tính tích phân I   . 0 1 f x ,   A. I  5 . 4 B. I  5 . 3 C. I  5 . 2 D. I 10 . Lời giải Chọn C Đặt x  5  t  dx  dt x  0 t  5; x  5 t  0 0 5 f  t  dt 1 dt (do f  5  t   ) I    5 1 f 5  t 0 1 f t f t     File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 33 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 5  2I   dt  5  I  5 . 0 2 3 Câu 66. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f  4  x   f  x  . Biết  xf  x  dx  5 . Tính 1 3  f  x  dx . tích phân 1 A. 5 . 2 B. 7 . C. 9 . 2 D. 11 . 2 2 Lời giải Chọn A Đặt t  4  x  dt  dx và x  1  t  3 ; x  3  t  1 . 3 3 3 3 Khi đó: 5   xf  x  dx    4  t  f  4  t  dt    4  x  f  4  x  dx    4  x  f  x  dx . 1 3 1 3 1 3 1 Suy ra: 10   xf  x  dx    4  x  f  x  dx  4  f  x  dx  1 1 1 5 . 2 Câu 67. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên R và f  x   0 khi x  [0; a] ( a  0 ). Biết a dx . 1  f x   0 f  x  . f  a  x   1 , tính tích phân I   A. I  a . C. I  a . B. I  2a . 2 D. I  a . 3 4 Lời giải: a dx (1) Đặt t  a  x  dt  dx Đổi cận: 1 f  x 0 I  0 a a dt 1 1  dt   dx (2) (Tích phân xác định không phụ 1 f a  t  0 1 f a  t  1  f a  x a 0 thuộc vào biến số tích phân)  I   a   1 1  0 1 f  x  1 f  a  x  dx   (1) + (2)  2I    1  f a  x  1  f  x  1  f  x. f a  x   f  x   f a  x  2 dx   0 2  f a  x  f  x 2  f a  x  f  x a dx   dx  a  I  0 a 2 Chọn A a  f  x . f  a  x  1 dx ba và   f x  0,  x  0; a   0 1 f  x c ,    Câu 68. Cho f  x là hàm liên tục trên đoạn  0;a thỏa mãn  trong đó b , c là hai số nguyên dương và khoảng nào dưới đây? A. 11; 22  . B.  0;9 . b là phân số tối giản. Khi đó b  c có giá trị thuộc c C.  7;21 . Lời giải D.  2017; 2020  . Chọn B Cách 1. Đặt t  a  x  dt  dx Đổi cận x  0  t  a ; x  a  t  0. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 34 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng a 0 a a a f  x  dx dx  dt dx dx Lúc đó I       1 0 1 f  x a 1 f a  t 0 1  f a  x  0 1 0 1 f  x f  x a f  x  dx a dx    1dx  a 1  f x 1  f x     0 0 0 a Suy ra 2 I  I  I   Do đó I  1 a  b  1; c  2  b  c  3. 2 Cách 2. Chọn f  x   1 là một hàm thỏa các giả thiết. Dễ dàng tính được I  1 a  b  1; c  2  b  c  3. 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 35 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6 Câu 69. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;4 , đồng biến trên đoạn 1;4 và thỏa mãn 4 đẳng thức x  2x. f  x   f   x   , x 1;4 2 A. I  1186 . B. I  1174 . 45 45 . Biết rằng f 1  3 , tính I  f  x  dx ? 2 1 1222 C. I  . D. I  1201 . 45 45  Lời giải Chọn A 2 Ta có x  2x. f  x   f   x    Suy ra f   x  1 2 f  x  x. 1  2 f  x  f   x  df  x dx   xdx  C   1 2 f  x  f   x 1 2 f  x   x , x 1;4 . dx   xdx  C 2  2 32 4   x   1 3 3 2 32 3 4  1  2 f  x   x  C . Mà f 1   C  . Vậy f  x    . 3 2 2 3 4 1186 Vậy I   f  x  dx  . 45 1 2x f 3 x  x2 1  2  0 và f  0  1 Câu 70. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn 3 f   x  .e   f  x 7 . Tích phân bằng  x. f  x  dx 0 A. 2 7 . 3 B. 15 . C. 45 . 4 D. 8 5 7 . 4 Lời giải Chọn C f Ta có 3 f   x  .e Suy ra ef Do đó ef 3 3  x   x2 1  3 2x 2  0 3 f 2  x  . f   x  .e f  x   2 x.e x 1 f  x 2 2  x  ex 1  C . Mặt khác, vì f  0  1 nên C  0 .  x  ex 1  f 3  x   x2 1  f  x   3 x 2  1 . 2 7 Vậy 3 7  x. f  x  dx   0 0 1 x. x  1 d x  2 3 2 7  0 3 7 3 2 3 2 45   x  1 x  1 .   x  1 d  x  1    8 0 8 2 2 1 4 3 2 Câu 71. Cho hàm số f  x   x  4x  3x  x 1, x  . Tính I   f 2  x  . f   x  dx . 0 B. 2. A. 2. C.  7 . 3 D. 7 . 3 Lời giải Chọn D Đặt t  f  x   dt  f   x  dx . Đổi cận: x  0  t  f  0  1 , x  1  t  f 1  2 . 2 2 t3 8 1 7 I  t d t     . Khi đó 1 31 3 3 3 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 36 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 72. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên khoảng  0;1 và f  x   0 , x  0;1 . Biết rằng  3 f    b  2  1 f  a,  2 x  xf   x   2 f  x   4 , và x  0;1 . Tính tích phân  3 sin 2 x.cos x  2sin 2x dx theo f 2  sin x   I  a và b . 6 A. I  3 a  b . B. I  3 b  a . 4 ab C. I  3 b  a . 4 ab D. I  3 a  b . 4 ab 4 ab Lời giải Chọn D x  0;1 ta có: x  xf   x   2 f  x   4  x  4  2 f  x   xf   x   x2  4x  2xf  x  x2 f   x    2 x2  4 x  x 2  x 2  4 x 2 xf  x   x f   x  .      f 2  x   f  x   f 2  x f 2 x  3 Tính I    6  3 2 sin x.cos x  2sin 2x sin 2 x.cos x  4sin x.cos x d x  dx  f 2  sin x  f 2  sin x  6  3 Đặt t  sin x  dt  cos xdx , đổi cận x    t  1 , x   t  . 6 3 2 Ta có I   1 2 2 t t 2  4t  d t f t  f 2 t  1 2  3   2      3 f   2  2 2 1   2 3 1 3a  b .     1  4b 4 a 4 ab f   2 liên tục, f  x  1 , f  0  0 và thỏa f   x  x 2  1  2 x f  x   1 . Tính Câu 73. Cho hàm số f f 3 2 3 2 2  3. A. 0. B. 3. C. 7. Lời giải D. 9. Chọn B 2 Ta có f   x  x 1  2x f  x  1  f  x 3   f  x 1 0  f 3 dx   3 1   0 2x x2 1 dx  f  0  1  1  f f  x f  x 1 f  x 1 3  2x x2  1 3  x2  1 0  0 f  x 1 3 1 0  3  1  2  f  3   3 . 5 Câu 74. Cho hàm số f  x liên tục trên  và  f  x  dx  4 , f  5  3 , f  2   2 . Tính 2 2 I   x 3 f   x 2  1 dx 1 A. 3. B. 4 . C. 1. D. 6 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 37 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Lời giải Chọn A Đặt t  x 2  1  dt  2 xdx . 5 x  1  t  2 ; x  2  t  5 . Khi đó I  1  t 1 f   t  dt . 2 2 Đặt u  t  1  du  dt ; dv  f   t  dt, chọn v  f  t  . 5 I 5 1 1  t  1 f  t    f  t  d t  1  4 f  5   f  2    2  3 . 2 2 22 2 Câu 75. Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn 1;4 và thỏa mãn f  x      ln x . Tính tích phân f 2 x 1 x x 4 I   f  x  dx . 3 B. I  2 ln 2 2 . A. I  3  2 ln 2 2 . C. I  ln 2 2 . Lời giải D. I  2ln2 . Chọn B Ta có  1 4 Xét K        dx . f 2 x 1 1 Đặt  4 f 2 x 1 4  f 2 x 1  ln x ln x    d x  dx .  dx  f  x  dx      x x x x 1 1 1   4 4 2 x 1  t x  3 x  t 1 2  dx  dt . x 3  K   f  t  dt   f  x  dx . 1 1 4 2 ln x ln x  2 ln 2 2 . Xét M   dx   ln xd  ln x   2 1 x 1 1 4 4 4 Do đó 3 4  f  x  dx   f  x  dx  2ln 1 2 2 1  f  x  dx  2 ln 2 2. 3  2 16 2 Câu 76. Cho hàm số f  x liên tục trên  và thỏa mãn  cot x. f  sin x  dx    4 1 phân  1 8 1 f  x  dx  1 . Tính tích x f 4x dx . x B. I  3 . A. I  3 . C. I  2 . 2 D. I  5 . 2 Lời giải Chọn D  2  2  Đặt I1  cot x. f sin x dx  1, I 2    4 16  1 f  x  dx  1 . x File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 38 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Đặt t  sin 2 x  dt  2sin x.cos xdx  2 sin 2 x. cot x d x  2t.cot xdx .  4 1 2 x t  2 1  2 1 4 1 4 8 8 1 1 1 f  4x  1 f  4x  I1   cot x. f  sin2 x  dx  f  t  . 1 dt  1 f  t  dt   d  4x    dx .   2 4 x 2 x 2 t 2 t  1 1 1 1 4 2 1 4 f  4x  Suy ra x 1 8 Đặt 2 dx  2I1  2 t  x  2tdt  dx . x t 16 f I2    x  dx x 1 4  1 16 1 1 4 4 1 1 f t  f t  f 4x f  4x 2 t d t  2 d t  2 d 4 x  2 dx .    2   t t 4x x 1 1 1 4 1 Suy ra  1 4 4 f 4x  1 1 dx  I 2  x 2 2 Khi đó, ta có: 1 1  1 8 1 4 f  4x  f  4x  f  4x  dx   dx   dx  2  1  5 . x x x 2 2 1 1 8 4 Câu 77. Xét hàm số f  x liên tục trên  0;1 và thỏa mãn điều kiện 4 x. f  x 2   3 f 1  x   1  x 2 . Tích 1 phân I   f  x  dx bằng: 0 A. I   . 4 B. I   . C. I   . 6 D. I   . 20 16 Lời giải Chọn C Vì f  x liên tục trên  0;1 và 4 x. f  x 2   3 f 1  x   1  x 2 nên ta có 1 1 1 1 1 0 0 0 2 2 2 2   4 x. f  x   3 f 1  x   dx   1  x dx   4 x. f  x  dx   3 f 1  x  dx   1  x dx 1 . 0 0 1 1 1 2 tx Mà  4 x. f  x 2  dx  2  f  x 2  d  x 2    2  f  t  dt  2I 0 0 1 và 0 1 1 u 1 x  3 f 1  x  dx  3 f 1  x  d 1  x   3 f  u  du  3I 0 0 1 Đồng thời  0 0  2  2 x  sin t 1  x 2 d x    1  sin 2 t .cos tdt   cos 2 t dt  0 0  2 1 1  cos 2t  dt   .  4 20 Do đó, 1  2 I  3 I   hay I   . 4 20 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 39 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 78. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  1 , 1   f   x  0 1 2 dx  9 và 5 1 2  f  x  dx  5 . Tính tích phân I   f  x  dx . 0 0 A. I  3 . 5 B. I  1 . 4 C. I  3 . D. I  1 . 4 5 Lời giải Chọn B Đặt t  x t2  x dx  2tdt . Đổi cận 1 Suy ra 1    x  0  t  0; x  1  t  1 1 1 x dx  2  t. f  t  dt   t . f  t  dt  f 0 0 0 1 1 1 1 2 x x2 f  x   f   x  dx  1   x f   x  dx . Mặt khác  x. f  x  dx  2 2 2 0 2 0 0 0 1 Suy ra  0 2 1 1 . Do đó   x. f  x  d x  5 5 0 1 x2 1 1 3 3 f   x  dx      x 2 f   x  dx  2 2 5 10 5 0 1 Ta tính được 9   3 x  dx  5 . 2 2 0 1 1 2 1 1 2 Do đó   f   x   dx  2  3 x 2 f   x  dx    3 x 2  dx  0  0 0 0 2 2 2 2   f  x   3x  dx  0 0 3  f   x   3x  0  f   x  3x  f  x   x  C . 3 Vì f 1  1 nên f  x  x 1 1 Vậy I   f  x  dx   x 3d x  0 0 1 . 4 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 40 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: b x  P( x ).e dx a u dv b b b  P( x).cos xdx  P( x ).sin xdx  P( x ).l n xdx a a a P(x) P(x) cos xdx e x dx TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 1: P(x) sin xdx lnx P(x)  3 Câu 1. x 3 dx    ln b . Khi đó, giá trị của a2  b bằng 2 cos x a 0 (Hậu Lộc Thanh Hóa) Biết I   A. 11 . B. 7 . C. 13 . Lời giải D. 9 . Chọn A u  x du  dx  Đặt   1 dv  cos2 x dx v  tan x  3 0  3  3 I  x tan x   tan xdx  0   3  ln cos x 3  4 Câu 2. Tích phân  3 0   3  sin xdx  3 d(cos x) . 3   3 cos x 3 cos x 0 0  3 1  3  ln  ln1   ln 2  a  3; b  2 . Vậy a 2  b  11 . 3 2 3 x  1  cos 2 x dx  a  b ln 2 , với a , b là các số thực. Tính 16a  8b 0 A. 4. B. 5. C. 2. Lời giải D. 3. Chọn A u  x du  dx   Đặt   . Ta có dx 1 d v  v  tan x   1  cos 2 x 2   1 1 4  1  1 1  1 1 1 I  x tan x 4   tan xdx   ln cos x 4   ln   ln 2  a  , b   2 2 0 8 2 8 2 8 4 2 8 4 0 0  3 Câu 3. Biết    3 sin x 1  x 6  x3 abcd . A. a  b  c  d  28 . dx  3 3 2   c  d 3 với a b a, b, c, d là các số nguyên. Tính B. a  b  c  d  16 . C. a  b  c  d  14 . Lời giải D. a  b  c  d  22 . Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  3 I sin x    3 6 1 x  x  3 3 dx      1 x  x  3  3 1  x6  x3 sin x 6 dx  6 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng    1  x6  x3 sin xdx .  3    x    t   3 3 Đặt t   x  dt  dx . Đổi cận  .   x   t    3 3  I  3   3  3  1  t 6  t 3 sin  t  dt       3 Suy ra 2I    2 x   3  3   3  1  t 6  t 3 sin tdt      3   1  x 6  x3 sin xdx  3 3 sin x  dx  I    x3 sin xdx .   3  3   3 3 3 2   2  6 3 27 3 Suy ra: a  27, b  3, c  2, d  6 . Vậy a  b  c  d  28 . I   x cos x  3 x sin x  6 x cos x  6 sin x  3 2  2 Câu 4. (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Cho tích phân I   x .sin x dx  a 2  b  a, b    , Mệnh 0 đề nào sau đây đúng? a A.  3 . b B. a 2  b  4 . a   1;0  . b Lời giải. C. D. a  b  6 . Chọn C Đặt x  t  x  t 2  dx  2tdt . x t 2 0  0   Ta có: I   2t 2 sin tdt . 0 u  2t 2 d u  4tdt Đặt  .  v   cos t d v  sin t d t   2   Suy ra I  2t cos t   4t cos tdt . 0 0 u  4t du1  4dt Đặt  1 .  dv1  cos tdt v1  sin t File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng   Vậy I  2t cos t  4t sin t 0   4 sin tdt  2   2   4 cos t 0  2 2  8 . 0 2 0 a   1;0  . b 1 x 2e x a a Cho biết  dx  .e  c với a , c là các số nguyên, b là số nguyên dương và là phân 2 b b 0  x  2 Do đó a  2; b  8  Câu 5. số tối giản. Tính a  b  c . A. 3 . B. 0 . D. 3 . C. 2 . Lời giải Chọn D Đặt t  x  2  dt  dx , đổi cận x  0  t  2 , x  1  t  3 . 1 Ta có I   0 3 x 2e x  x  2 2 dx   3 t  2 2 et  2 t2 2 3 3 3  4 4  4 4 dt   1   2  et  2dt   et 2dt      2  et 2dt t t  t t  2 2 2 3 + Tính I1   et  2dt  et 2  e  1 . 2 2 3 Câu 6.  4 4 + Tính I 2      2  et  2dt . t t  2 4 4 Đặt u   du   2 dt , dv  et 2 dt  v  et  2 t t 3 3 3 3 4 t 2 4 t 2 4 t 2  4 4 4   2 e dt  I 2      2  et  2dt   e  2 . Ta có  e dt  .e t t t t t  3 2 2 2 2 1 Suy ra I  e  1  a  1 , b  3 , c  1 . Vậy a  b  c  3 . 3 12 1  x  1x a dc  (Chuyên Thái Bình Lần 3) Biết   1  x  e dx  e trong đó a, b, c, d là các số nguyên x b 1  12 dương và các phân số A. 12. a c , là tối giản. Tính bc  ad . b d B. 1. C. 24. Lời giải D. 64. Chọn C 12 Ta có: I  1   x  1x   x 1  1   x 2   1 e dx  12 12  1 12 12 1 x 1  x 1  x  1  2  e x dx   e x dx .  x  1 12 u  x du  dx   1  Đặt:  x  1 . 1 x   x dv  1  e dx  2   v  e x  x   12 12 12 12 1 12 1 1 x x 1  x  1x  x Khi đó: I   x  1  2  e dx   e dx  x.e x x   1 1 12 1 12 12 1 12 12 12 e 1 12 x 1 x 12 dx   e x 1 x dx 1 12 145 12 1 143 e  e . 12 12 Vậy: a  143; b  12; c  145; d  12. Dó đó: bc  ad  12.145  143.12  24 .  12e  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 7. Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết p 1 p 2 x x q 1  x  1 e dx  me  n , trong đó m, n, p, q là các số nguyên dương và q là phân số tối giản. Tính T  m  n  p  q . A. T  11 . B. T  10 . C. T  7 . D. T  8 . Lời giải Chọn B 2 2 2 Ta có: I    x  1 e x 1 x 1 2 dx    x 2  2 x  1 e I1    x  1 e 2 x 1 x x e 2 e 1 2  I1   2 xe 1 x x d  x2   x e 1 1 x 2 dx  x e x 1 2 x 1 2 dx   x .e x 1 x 2   2 xe 1 x 2 dx   2 xe x 1 x dx 1 2 2 1 1 x x  x2 1 1 2 2  x  . 2 dx   x .e d  x     x d  e x  x x 1  1   dx 1 2 Ix e 1 1 x x x x 1 2 x 3  4e 2  1 1 m  4 n  1 p 2  Do   x  1 e dx  me  n , trong đó m, n, p, q    và là phân số tối giản   q 1 p  3 q  2 Khi đó, T  m  n  p  q  4  1  3  2  10 . (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Biết rằng 2x 2x  e cos 3 xdx  e  a cos 3 x  b sin 3 x   c , trong đó a , b , c là các hằng số, khi đó tổng a  b 2 Câu 8. 1 1 1 2 x 2 x 1 x 2 dx    x 2  1 e 2 1 1 2 x 2 x 1 x 1 2 Xét x có giá trị là 5 A.  . 13 1 x x p q B. 1 . 13 5 . 13 Lời giải C. D.  1 . 13 Chọn C du  2e 2 x dx u  e 2 x  Đặt   . 1 d v  cos 3 x d x v  sin 3 x   3  1 2 Ta có  e 2 x cos 3 xd x  e2 x sin 3 x   e 2 x sin 3 x . 3 3 2x du  2e dx u  e 2 x  Đặt   1 dv  sin 3 xdx v   cos 3 x 3  1 2 4 Ta có  e 2 x cos 3 xd x  e 2 x sin 3 x  e2 x cos3 x   e2 x cos3 xdx 3 9 9 13 2 x 1 2x 2 2x   e cos 3 xdx  e sin 3 x  e cos 3 x  C1 9 3 9 2 3     e 2 x cos 3xdx  e 2 x  cos 3 x  sin 3x   C . 13  13  2 3 Suy ra a  và b  . 13 13 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vậy a  b  Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 5 . 13 Cách khác: Ta có   e 2 x cos 3 xdx    e 2 x  a cos 3 x  b sin 3 x   c    2x 2x  e cos 3 x  2e  a cos 3 x  b sin 3 x   e 2 x  3a sin 3 x  3b cos 3 x   e 2 x cos 3 x  e 2 x  2 a  3b  cos 3 x    3a  2 b  sin 3 x  2  a  13 2a  3b  1 Đồng nhất biểu thức ta có  .  3 3a  2b  0 b   13 5 Vậy a  b  . 13  4 Câu 9. sin 2 x  x sin x  2 1 2 1 dx   ln  c ln 2 (với 2 cos x a b 2  1 0 a, b, c là các số nguyên). Khi đó a  b  c bằng A. 2 . B. 4 . C.  1 . D. 1 . Lời giải Chọn C (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho tích phân  4 Ta có:  4   4 sin 2 x  x sin x 2sin x x sin x dx   dx   dx 2 cos x cos x cos2 x 0 0 0   4 1 d  cos x   I  2ln cos x cos x 0  2 0  4  I  2ln 2  I  ln 2  I . 2  4 x sin x dx . cos 2 x 0 sin x 1 Đặt: u  x và dv  dx , ta có du  dx và v  . 2 cos x cos x Tính I       4 4 x 4 4 1  cos x  1 I   d x Khi đó:  2 dx  2 2 d  sin x   2 cos x 0 0 cos x 4 1  sin x 4 sin x  1 0 0  1 sin x  1  2  ln 4 2 sin x  1  4 0 1 1  1 2 1  1  2  ln  2  ln 2 . 1 4 2 4 2 2  1 1 2  4 Vậy sin 2 x  x sin x  1 2 1 dx  ln 2  I   2  ln  ln 2 . 2 cos x 4 2 2  1 0   a  4 Suy ra:  b  2  a  b  c  1 . c  1  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 10. (CHUYÊN 1 LÊ  HỒNG PHONG – Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Cho  I   x  x 2  15 dx  a  b ln 3  c ln 5 với a , b, c   . Tính tổng a  b  c . 0 A. 1 . 5 . 2 B. C. 1 . 3 1 D.  . 3 Lời giải Chọn B    x u  x  x 2  15 du   1  2  dx Đặt   x  15  .  dv  dx  v  x 1 1   x Ta có: I  x x  x 2  15   x 1   dx 2 0 x  15 0   1  15   5    x  x2  15   dx x2  15  0 1 1 15  5   x  x 2  15 dx   dx  5  I  J . x 2  15 0 0 5 J Suy ra: I   . 2 2 1 1 15 Tính J   dx  15 ln x  x 2  15 0 x 2  15 0 15 15 15 15  15ln 5  15ln 15  15 ln 5  ln 3  ln 5   ln 3  ln 5 . 2 2 2 2 5 15 15 Vậy I   ln 3  ln 5 . 2 4 4 5 15 15 Do đó a  ; b   ; c  . 2 4 4 5 Vậy a  b  c  . 2 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 2: e a.e 4  b.e 2  c Câu 11. Cho biết tích phân I   x  2 x 2  ln x  dx  với a, b, c là các ước nguyên của 4. 4 1 Tổng a  b  c  ? A. 2. B. 4. C. 3. D. 1 Lời giải      e  e e I   x  2 x  ln x  dx  2  x dx   x ln xdx . 2 3 1 1 1 e e 2 x 3dx  1 1 4 1 x   e 4  1 2 1 2 e e e 2 1  1 2 1 2 1 2 Ta có  x ln xdx   x ln x   x dx    e  x 1 1 x  2  2  2 1 e 1 e 2  1 2e 4  e 2  1 I   x 2 x 2  ln x dx  e 4  1   2 4 4 1 Chọn A    e  e2  1  1 4  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 3 Câu 12.  x ln  x (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Biết 0 2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng c  16  dx  a ln 5  b ln 2  , trong đó a , b , c 2 là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức T  a  b  c A. T   2 . B. T  16 . C. T  2 . Lời giải Chọn D Đặt t  x2  16  dt  2 x dx  x dx  D. T   16 . dt . 2 Đổi cận: x  0  t  16 ; x  3  t  25 . 3 25 1 2 I   x ln  x  16 dx   ln tdt . 2 16 0 1  u  ln t du  dt Đặt   t .  dv  dt v  t 25 25 25 9 1 1 1 I   ln tdt   t ln t    dt  25ln 5  32ln 2  . 2 16 2 2 2 16 16 Vậy T  a  b  c  25  32  9   16 . Cách 2. 2x  u  ln  x 2  16  du  x 2  16 dx Đặt  .  2 2 x x  16 d v  x d x v   8   2 2 3 3 3 9 x 2  16 2 2 I   x ln  x  16  dx  .ln  x  16    x dx  25ln 5  32ln 2  2 2 0 0 0 Vậy T  a  b  c  25  32  9   16 . 1 Câu 13. (Sở Thanh Hóa 2019) Cho I   x ln  2  x 2  dx  a ln 3  b ln 2  c với a , b , c là các số hữu 0 tỷ. Giá trị của a  b  c bằng 3 A. . B. 1 . 2 C. 0 . D. 2 . Lời giải Chọn C 2x   u  ln  2  x 2  du  2  x 2 dx Đặt  .  2 x dv  xdx  v  2 1 1 1 2  x2 x 2x 2  Khi đó, I   x ln  2  x  dx   ln  2  x    . dx 2 2 0 0 2 2 x 0 2 1 1  x2  x3   ln  2  x 2    dx 2 2 2  x  0 0 1 1 1 . 1 1 x3 2x  2x  dx =   x  2 dx  dx   xdx   2 2 2 x x 2 x 2 0 0 0 0 Xét I1   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 d  x2  2 x2 1 1 x2     ln  x 2  2    ln 3  ln 2 . 2 0 2 2 0 0 x 2 2 0 1 1 Thay vào 1 , suy ra I  1 1 3 1 ln 3   ln 3  ln 2  ln 3  ln 2  . 2 2 2 2 3  a  2  Vậy  b  1  a  b  c  0 .  1 c    2 2 1  2018  Câu 14. Tính tích phân I    2019log 2 x   x dx . ln 2  1 A. I  22017 . B. I  22019 . C. I  22018 . D. I  22020 . Lời giải Chọn B 2 2 2 1  2018 1 1  2018 I    2019log 2 x  x 2018dx  2019 I1  I2 .  x dx  2019  x log 2 xdx   ln 2  ln 2 1 ln 2 1 1 2 2 Trong đó I 2   x 1 2018 x 2019 2 2019  1 dx   . 2019 1 2019 1  du  dx  u  log 2 x  x.ln 2 2018  và I1   x log 2 xdx . Đặt  . 2019 2018 1  d v  x dx v  x  2019 2 2  x 2019  1 22019 1 22019  1 22019 22019  1  .   Khi đó I1   .log 2 x   I2  . 2019 2019.ln 2 2019 2019 20192.ln 2  2019  1 2019.ln 2 Vậy I  22019 . Câu 15. (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Biết e ln x a 2 1 1  x 2 dx  e+1  b ln e+1  c với a, b, c   . Tính a  b  c . A.  1 . B. 1. C. 3 . Lời giải D. 2 . Chọn B 1  u  ln x du  dx    x 1  Đặt  . dv  d x 1 2   v 1  x    1  x e ln x  1  x  1 2 dx   e e ln x e 1 1 1  1  dx =      dx . 1  x 1 1 x 1  x  e +1 1  x x  1  e 1 1  1  ln  e  1  ln1  ln 2 .   ln x  ln  x  1  =  1 e +1 e +1 1 2 a 2  ln 1 = =   b ln  c  a  1; b  1; c  1  a  b  c  1 . e +1 e 1 e+1 e+1 =  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 16. (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Nghiệm dương a của phương trình a   2 x  1 ln xdx   a 2   a ln a  9 thuộc khoảng nào sau đây? 1 A. 1; 3  . B.  3;5 . C.  5;7  . D.  7;10  . Lời giải Chọn C 1 dx và v  x 2  x . x a a 1 a Khi đó, đặt I    2 x  1 ln xdx   x 2  x  ln x 1    x 2  x  dx . x 1 1 Đặt u  ln x và dv   2 x  1 dx , ta có du  a a  x2   a  a ln a    x  1 dx  a  a ln a    x   2 1 1    2  2  a2 1   a2 1  a 2  a ln a     a  1  a 2  a ln a    a   . 2  2 2   2     Theo giả thiết: I   a 2  a  ln a  9  a  1  3 2 a2 1  a   9  a 2  2a  17  0   . 2 2  a  1  3 2 Do a  0 nên a  1  3 2 .  4 ln(sinx  2cos x) dx  a ln 3  b ln 2  c. (với a , b , c là các số hữu cos 2 x 0 tỉ). Giá trị biểu thức abc bằng. 15 5 5 17 A. . B. . C. . D. . 8 8 4 8 Lời giải Chọn A u  ln(sin x  2cosx ) du  cosx  2 sin x dx   sin x  2cosx Đặt   dx dv   v  tanx cos 2 x  Câu 17. ( Sở Phú Thọ) Cho tích phân   4 Khi đó  4 ln(sin x  2cosx) cosx  2sin x dx  tanx.ln(sin x  2cosx)   tanx. dx 2 cos x sin x  2cosx 0 0 0   4  ln  4  4 3 2 1  2 tan x 3 2 10     tanx. dx  ln    2 tan x  5  dx 2 tan x  2 2 tan x  2  0 0  4  4  4 1 cosx 1 5 cosx  ln 3  ln 2   2ln cosx  5 x   10 dx  ln 3  ln 2   10 dx 2 sin x  2cosx 2 4 sin x  2cosx 0 0 0  4 Xét tích phân cosx 1  4  cosx  2sinx   2  sinx  2cosx  dx  sinx  2cosx  0  sinx  2cosx dx  5  0  4   1 1 1 3 2  3  ln  sinx  2cosx   2x    ln   ln 2    ln3  ln 2      5 5 2 2 2 2 0  5 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  4 ln(sin x  2cosx) 1 5 3  5  dx  ln 3  ln 2   2(ln 3  ln 2  )  3ln 3  ln 2  2 cos x 2 4 2 2 2 4 0  Suy ra 5 2 1 4 Vậy a  3, b   , c    abc  15 . 8  4 Câu 18. (HSG Bắc Ninh) Biết ln  s in x  cos x  a  với a, b, c là các số nguyên. Khi đó, dx  ln 2  2 0 cos x b c bc bằng a A. 6 . B. 8 . 3 8 D.  . 3 C. 6 . Lời giải Chọn D cos x  s in x u  ln  sin x  cos x   dx du   Ta có:   s in x  cos x . 1 dx v  tan x  dv   cos 2 x  4 Khi đó: I   0 ln  s in x  cos x  dx  tan x.ln  sin x  cos x  cos 2 x  4 Đặt J   tan x. 0  4  4 0  4   tan x. 0 cos x  sin x dx . sin x  cos x 2 cos x  sin x tan x  tan x dx   dx sin x  cos x tan x  1 0 dt  . Với x  0  t  0 và x   t  1 2 1 t 4 2 1 1 1 1  t  1  1  t t  t2 dt dt  Ta có : J   dt= dt=     ln 2 . 2  2 2 1 t 0 t 1 4 0  t  1 . t  1 0 1  t  . 1  t 0 Đặt tan x  t  dt  1  tan 2 x  dx  dx   Vậy I  ln 2        3  bc 8  ln 2  ln 2    . 4 2 4 a 3 e Câu 19. 1  (THPT LÊ VĂN HƯU NĂM 2018-2019) Cho tích phân I    x   ln x dx  a.e2  b , a và b x 1 là các số hữu tỉ. Giá trị của 4a  3b là 13 13 13 13 A. . B. . C.  . D.  . 2 4 4 2 Lời giải Chọn B e e e 1 1  Ta có I    x   ln x dx   x ln x dx   ln x dx . x x 1 1 1 1 1 Đặt u  ln x và dv  x dx , suy ra du  dx và v  x 2 . Khi đó x 2 e e 1 2 1 1 2 1 2 e 1 2 1 e 1 x ln xdx  2 x ln x |1  2 1 xdx  2 e  4 x |1  4 e  4 . e e 1 1 1 2 Ta có  ln x dx   ln xd  ln x    ln x  |1e  . x 2 2 1 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A e Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng e 1 1 1 1 1 3 Suy ra I   x ln x dx   ln x dx  e 2    e2  . x 4 4 2 4 4 1 1 1 3 13 Suy ra a  , b  . Suy ra 4a  3b  . 4 4 4 Câu 20. (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Khẳng định nào sau đây đúng về kết quả e 3ea  1 3 x ln x d x  ? 1 b A. a .b  64 . B. a .b  46 . C. a  b  12 . D. a  b  4 . Lời giải Chọn A 1  d u  dx  u  ln x  x  Đặt  . Áp dụng tích phân từng phần ta tính được: 3 dv  x dx v  1 x 4  4 e e 3  x ln xdx  1 e e 1 4 1 e4 1 3e 4  1 x ln x   x 3dx   x 4  4 4 16 1 16 1 1 4 a  4   a .b  64 . b  16 1 Câu 21. Giả sử tích phân b b dx  a  ln 3 . Với phân số tối giản. Lúc đó c c B. b  c  6059. C. b  c  6058. D. b  c  6056. Lời giải  x.ln  2 x  1 0 A. b  c  6057. 2017 Chọn B 1 1 Ta có I   x.ln  2 x  1 2017 0 dx  2017  x.ln  2 x  1 dx . 0 2  du  dx  u  ln  2 x  1  2x 1  Đặt  2 dv  xdx v  x  1  2 8 1 1 1   x2 1  2   x2 1  Do đó  x.ln  2 x  1 dx   ln  2 x  1            dx  2 8  0 0   2 8  2x 1  0 1  x2  x  3 3  ln 3     ln 3 8  4 0 8 1  I   x.ln  2 x  1 2017 0 3  6051 dx  2017  ln 3   ln 3. 8 8  Khi đó b  c  6059. Câu 22. (ĐỀ HỌC SINH  4  0 GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Biết ln  s in x  cos x  bc a  bằng d x  ln 2  với a , b, c là các số nguyên. Khi đó, 2 a cos x b c A. 6 . B. 8 . 3 C. 6 . 8 D.  . 3 Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng cos x  s in x u  ln  sin x  cos x   dx du   Ta có:   s in x  cos x . 1 dx v  tan x  dv   cos 2 x  4 Khi đó: I   ln  s in x  cos x  2 cos x 0  4 Đặt J   tan x. 0 dx  tan x.ln  sin x  cos x   4 0  4   tan x. 0  4 cos x  sin x dx . sin x  cos x 2 cos x  sin x tan x  tan x dx   dx sin x  cos x tan x  1 0 dt  . Với x  0  t  0 và x   t  1 2 1 t 4 2 1 1 1 1  t  1  1  t t  t2 dt dt  Ta có : J   dt= dt=     ln 2 . 2  2 2 1 t t 1 4 0  t  1 . t  1 0 1  t  . 1  t 0 0 Đặt tan x  t  dt  1  tan 2 x  dx  dx   Vậy I  ln 2        3  bc 8  ln 2  ln 2    . 4 2 4 a 3 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 2 Câu 1: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hàm số f  x  thỏa mãn A    x  1 f   x  dx  9 và 0 2 f  2   f  0   3 . Tính I   f  x  dx 0 A. I  12 . B. I  12 . C. I  6 . Lời giải D. I  6 . Chọn C u  x  1 du  dx Đặt  .  dv  f   x  dx v  f  x  2 2 2 2 Ta có: A    x  1 f   x  dx   x  1 f  x    f  x  dx  f  2   f  0    f  x  dx . 0 0 0 0 2 Với A  9 và f  2   f  0   3 nên I   f  x  dx  6 . 0 Câu 2: (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f  x  có đạo 1 1 hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1  0 ,  x f  x  dx  Tính 3 0 2 A.  1 3  x f   x  dx . 0 D. 3 C. 3 Lời giải B. 1 1 Chọn A u  f ( x)  du  f ‘( x)dx   x3 2 dv  x dx  v   3  1 3 1 3 3 1 x x 13 x I f ( x )   f ‘( x)dx  f (1)  0. f (0)   f ‘( x )dx 0 0 3 3 3 3 0 1 1 1 1 3   x f ‘( x)dx   x 3 f ‘( x)dx  1 3 3 0 0 Câu 3: (THPT NGUYỄN KHUYẾN TP.HCM NĂM 2018-2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm và  2   liên tục trên  0;  , thoả mãn  2 bằng A. 13 B. 13  2  f   x  cos 2 xdx  10 và f  0   3 . Tích phân 0  f  x  sin2xdx 0 D. 7 C. 7 Lời giải. của hàm thức tính vi phân số, ta có f (x) dx  d( f (x)) , 2 d(cos x)  (cos x)dx   sin 2 xdx Do đó, áp dụng công thức tích phân từng phần, với u  cos 2 x và v  f (x) , ta thu được Từ công 2  2  f   x  cos 0 2  2 0  2 xdx  f  x  .cos 2 x   f  x  sin2xdx 0  2 Theo giả thiết, ta có  f   x  cos 0 2  2 0  2 xdx  10 . Từ đó f  x  .cos 2 x   f  x  sin2xdx  10 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 1 và ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  2 Câu 4:        f  x  sin2xdx  10   f   .cos 2  f  0  .cos 2 0   13 2  2  0 (Đặng Thành Nam Đề 12) Cho hàm số f  x xác định và liên tục trên  . Gọi g  x  là một nguyên hàm của hàm số y  2 x . Biết rằng x  f 2  x  g  x  dx  1 và 2 g  2  g 1  2 . Tích 1 2 x dx bằng x  f 2  x 1 A. 1, 5 . B. 1. phân 2  C. 3. Lời giải D. 2. Chọn B Vì g  x  là một nguyên hàm của hàm số y  2 Đặt I   1 x x nên g   x  . 2 x  f 2  x x  f  x 2 x2 dx  I   xg   x  dx . x  f 2  x 1 u  x du  dx Đặt  .   dv  g   x  dx v  g  x   2 2 Khi đó I  xg  x   g  x dx  2 g 2  g 1 1  1 . 1 1 5 Câu 5: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x  3 x  1  3x  2, x  . Tính I   x. f   x dx . 3 1 5 A. . 4 17 B. . 4 33 C. . 4 Lời giải D. 1761 . Chọn C 5 u  x du  dx 5 Đặt     I  xf  x  1   f  x  dx .  dv  f   x  dx v  f  x  1 Câu 6: 5  f 5  5  x  1 I  23  Từ f  x3  3 x 1  3 x  2   , suy ra   f  xdx.  f 1  2  x  0 1  2 dt  3 x  3 dx  Đặt t  x 3  3 x  1    f t   3 x  2  Đổi cận: Với t  1  1  x 3  3x  1  x  0 và t  5  x3  3 x  1  5  x  1 . 5 1 Casio 33 2 I  23  f x dx  23  3 x  2 3 x  3 dx  Khi đó         4 1 0 Chọn C (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thoả mãn x f  x   f 1  x   x 1  x , x   và f 0   0 . Tính I   xf    d x bằng:  2  0 2 3 A.  1 . 10 B. 1 . 20 C. 1 . 10 D.  1 . 20 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Lời giải Chọn A Từ giả thiết f  x   f 1  x   x 3 1  x , x    f 1  0 . 1 Ta có:  1 f  x  d x   f 1  x  d x   0 2 I  0 1 0 x xf    d x , đặt  2  0 1 1 1 x 1  x  d x    f  x  dx  . 20 40 0 3 d u  d x u  x    x    x d v  f    d x v  2 f     2  2    Nên 2 2 2 1  x  2  x   x   x  1     I  2 xf    2  f   d x  4 f 1  2  f   d x  2  f   d x  4  f t  d t   .  2  0  2   2   2  10 0 0 0 0 Câu 7: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên 0 ;1 . Biết 1 1   x. f  1  x   f  x   dx  2 . Tính f  0  . 0 B. f  0   A. f  0   1 . 1 . 2 1 C. f  0    . 2 Lời giải D. f  0   1 . Chọn C 1 1 1 Ta có A    x. f  1  x   f  x   dx   x. f  1  x  dx   f  x  dx . 0 0 0 1 Đặt I   x. f  1  x  dx . 0 u  x du  dx Đặt   dv  f  1  x  dx v   f 1  x  1 1 Khi đó I   f 1  x  .x 10  f 1  x  dx   f  0    f  x  dx 0 1 0 1 Do đó A   f  0    f  x  dx   f  x  dx  0 Câu 8: 0 1 1  f  0   . 2 2 (THPT Nghèn Lần1) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  1 , 1 1 1 2 1 9 0 x f  x  dx  5 và 0  f   x  dx  5 . Tính tích phân I  0 f  x  dx . A. I  3 . 4 B. I  1 . 5 C. I  1 . 4 D. I  4 . 5 Lời giải Chọn C  d u  f   x  dx u  f  x   Xét A   x f  x  dx . Đặt   . x2 0  dv  x dx v   2 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 1 1 1 3 x2 1 2 1 1 2 1   A f  x    x f  x  dx    x f   x  dx    x2 f   x  dx  . 2 20 2 20 5 5 0 0 1 1 1 1 1 2 9 3 1 2 2 4 0  f   x  dx  2k 0 x f   x  dx  k 0 x dx  0 1  5  2k . 5  5 k 2  0  k  3 . Xét   f   x   trở thành 2 1 2 2 4 0 0 1 2 1 dx  6 x f   x  dx  9 x dx  0    f   x   3x 2  dx  0 . 0  f   x   3x  1 2 0 2  0    f   x   3×2  dx  0 . 0 1 Do đó   f   x   3x  2 2 0 dx  0  f   x   3×2  0  f   x   3 x 2  f  x    3 x 2 dx  x3  C f 1  1  f  x   x 3 . 1 1 I   f  x  dx   x 3dx  0 Câu 9: 0 1 . 4 (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0;2  . f 0   1 Biết x 3  3x 2  f ‘x  2 I  f x  0 A. I   f  x  f  2  x   e2 x và 2 4 x với x   0;2  . mọi Tính tích phân dx . 14 . 3 B. I   32 . 5 C. I   16 . 3 D. I   16 . 5 Lời giải Chọn D Từ giả thiết f  x  f 2  x   e2 x 2 Ta có I   0 , thay x  2 ta được f 2   1 . u  x 3  3 x 2 3 2  d u  3 x 2  6 x  d x  x  3x  f ‘  x    d x . Đặt  . f ‘x    d v  f x  d x v  ln f  x    f x  Khi đó: 2 4 x 2 2 0 0 I   x 3  3 x 2  ln f  x    3 x 2  6 x  ln f  x  d x 2 2 0 0  3  x 2  2 x  ln f  x  d x  3 J (do f 2   1 ), với J    x 2  2 x  ln f  x  d x . Đặt x  2  t thì 0 J  2  t  2 2 0  2  2 2  t  ln f 2  t  d 2  t   2 2  x 2  2 2  x  ln f 2  x  d 2  x    x 2  2 x  ln f 2  x  d x .    0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Suy ra 2 2 2 0 0 2 J    x 2  2 x  ln f  x  d x    x 2  2 x  ln f 2  x  d x    x 2  2 x  ln f  x  f 2  x  d x 0 2    x 2  2 x  ln e2 x 0 2 2 4 x d x    x 2  2 x 2 x 2  4 x  d x  0 32 16 J  . 15 15 16 Vậy I  3 J   . 5 Câu 10: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019)Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  và thỏa mãn 1 3  x  f   2 x  4 dx  8 ; f  2   2 . Tính I   f  2 x  dx . 2 0 A. I   5 . B. I   10 . C. I  5 . Lời giải D. I  10 . Chọn B 3 + Xét J   x  f   2 x  4  dx  8 . 0 1 1  Đặt u  x và dv  f   2 x  4  dx  d  f  2 x  4   , ta được d u  d x và v  f  2 x  4  . 2 2  3 3 3 1 1 3 1 12  J  x. f  2 x  4    f  2 x  4  dx  f  2    f  2 x  4  dx  3   f  2 x  4  dx . 0 20 2 2 20 20 Vì J  8  3  3 13 f 2 x  4 d x  8    0 f  2 x  4  dx  10 . 2 0 Đặt 2 t  2 x  4  2d t  2d x  d t  d x Đổi cận: 1 I1  x 0 3 t 2 1 1  f  2t  dt   f  2 x  dx  10 . 2 2 Vậy I   10 . Câu 11: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hàm f  x  có đạo hàm 2 2 2 liên tục trên đoạn 1; 2  thỏa mãn f  2  =0 ,   f   x   dx  1 1 1 và   x  1 f  x  dx   . Tính 45 1 30 2 I   f  x dx . 1 A. I   1 . 36 B. I   1 . 15 C. I  1 . 12 D. I   1 . 12 Lời giải Chọn D  du  f   x  dx u  f  x   2 Xét: E    x  1 f  x  dx . Đặt   . x  1   dv   x  1 dx v  1  2 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  x  1 E 2 2    x  1 2 2 1 2   f  x 2 2 2 2 2  x  1  x  1 f  x dx . f  x   f   x  dx      1 1 2 2 1 2 2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2 1 2 1    x  1 f   x  dx  . f   x  dx   30 15 1 dx  1   x  1 có: 4 dx  1 1 5 và 1 . 45 2 Ta tìm số k để 2 Ta 2 2   f   x   k  x  1  dx  0 . 1 2  f   x   k  x  1 2 2  2 2 2 2 2 4 dx  0    f   x   dx  2k  f   x  .  x  1 dx  k 2   x  1 dx  0 1 1 1 1 1 1 1 1  2k .  k 2 .  0  k  . 45 15 5 3 2 2 1 1 1 2 2 3  Khi đó:   f   x    x  1  dx  0  f   x    x  1  0  f  x    x  1  C . 3 3 9  1  2 2 1 1 1 1 1 3 3 1 Mà f  2   0  C   f  x    x  1    f  x  dx     x  1   dx   . 9 9 9 9 9 12 1 1  Câu 12: (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên 0; 2  , thỏa các 2 điều kiện f  2   1 và 2 2 f  x  dx    f   x   dx   0 0 A. 1. 2 . Giá trị của 3 1 C. . 4 Lời giải B. 2. 2  1 f  x x2 dx : D. 1 . 3 Chọn C u  f  x   du  f   x  dx Đặt   vx   dv  dx 2 2 2 2 2   f  x  dx  x. f  x  0   x. f   x  dx  2   x. f   x  dx    x. f   x  dx  0 0 2 Ta lại có: 1 x 2 3 2  4 x dx  12 0 2  0 2 0 0 2 4 2 . 3 3 2 . 3 2 2 2 1 2 4 2 1   Do đó:   f   x   dx   x. f   x  dx   x 2 dx       f   x   x  dx  0 3 3 3 2  0 0 0 4 0  2 2 2 1 1   x  0 (vì   f   x   x  dx  0 , x   0; 2 ) 2 2  0  1  f  x   x 2  C  f  2  1  C  C  0 . 4 2 2 2 f  x 1 2 1 1 1 Vậy f  x   x   2 dx   dx  x  . 4 4 4 1 4 x 1 1 Tổng quát:  f  x  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng b Khi đề bài cho biết giá trị f  a  , f  b  , b  u  x  . f   x  dx  h ,   f   x   a 2 dx  k (với u  x  là a một biểu thức chứa x đã tường minh), đề tìm f  x  trước tiên ta đi tìm 2 số  ,  sao cho b   f   x    .u  x     2 dx  0 , rồi suy ra f   x    .u  x    , sau đó nguyên hàm hai vế để a tìm f  x  . Bài tập tương tự Vd 1: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;1 , thỏa mãn các điều kiện f  0   0 , f 1  2 , 1 1 2 3   f   x   dx  4 . Tính J    f  x   2018 x dx . 0 0 Giải:  f  0   0 Ta có:    f   x  dx  2  0  2 .  f 1  2 0 Với  , 1 1 1 2 xét tích 1 2 phân: 1 2 I    f   x     dx    f   x  dx  2  f   x  dx    2 dx  4  2 .2   2    2  . 0 0 0 0 Ta có: I  0    2  f   x   2  f  x   2 x  C .  f  0   0 Mà   C  0  f  x  2x .  f 1  2 1 1 2018 2  3 8 Vậy J    2 x   2018 x  dx   x 4  x   1011.   2 4 0 0 1 Vd 2: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  0;1 , thỏa mãn  0 1   f  x  0 2 1 1 f  x  dx   xf  x  dx  1 và 0 3 dx  4 . Tính giá trị của tích phân   f  x   dx . 0 Giải: 2 Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là  f  x   , xf  x  , f  x  nên ta sẽ liên kết với bình 2 phương  f  x    x    . Với mỗi số thực  ,  ta có: 1 1 2 2 1 1 2   f  x    x    dx    f  x  dx  2  x    f  x  dx    x    dx 0 0 0 0 2  4  2           2 . 3 2 Cần tìm  ,  sao cho 2 2 4  2         2  0  f x   x    d x  0 hay    0    3   2   3  6    3 2  6  2  0 . Để tồn tại  thì: 2    3  6   4  3 2  6   2   0  3 2  12   12  0 2  3    2   0    2    6. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 Vậy   f  x   6 x  2 2 0 Câu 13: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 3 dx  0  f  x   6 x  2, x  0;1    f  x    10 0 (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  1  f  x và 2  4  6 x 2  1 . f  x   40 x 6  44 x 4  32 x 2  4, x   0;1 . Tích phân 1  f  x dx bằng? 0 A. 23 . 15 B. 13 . 15 C.  17 . 15 D.  7 . 15 Lời giải Chọn B  f  x 2  4  6 x 2  1 . f  x   40 x 6  44 x 4  32 x 2  4 1 1 2 1        f   x   dx   4 6 x 2  1 . f  x  dx   40 x 6  44 x 4  32 x 2  4 dx. 1 0 0 0 1 1 Xét I   4  6 x 2  1 . f  x  dx    24 x 2  4  f  x  dx . 0 0 u  f  x   du  f   x  dx Đặt  .   2 3 dv  24 x  4 dx v  8 x  4 x      1 1 1  I   8 x 3  4 x  . f  x     8 x 3  4 x  . f   x  dx = 4  2  4 x3  2 x  . f   x  dx. 0 0 0 Do đó: 1 1    f   x   2 0 1 1 2 1 dx  2  4 x 3  2 x  . f   x  dx    4 x3  2 x  dx    56 x 6  60 x 4  36 x 2  8  dx. 0 1   0 0 2    f   x   4 x 3  2 x  dx  0  f   x   4 x 3  2 x  f  x   x 4  x 2  c. 0 Mà f 1  1  c  1  f  x   x 4  x 2  1. 1 Do đó  0 1 f  x  dx    x 4  x 2  1 dx  0 13 . 15 1 Câu 14: Cho hàm số f  x  thỏa f  0   f 1  1 . Biết e x  f  x   f ‘  x   dx  ae  b . Tính biểu thức 0 Q  a2018  b2018 . A. Q  8 . 1 B. Q  6 . 1 C. Q  4 . Lời giải D. Q  2 . 1 A   e x  f  x   f ‘  x   dx   e x f  x  dx   e x f ‘  x  dx 0 0 0    A1 A2 1 A1   e x f  x  dx 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng x 1 1 Đặt u  f  x   du  f ‘  x  dx , dv  e dx chọn v  e  A1  e . f  x  0   e x f ‘  x  dx 0  x x A2 1 1 0 0 Vậy A  e x f  x   A2  A2  e x f  x   e. f 1  f  0   e  1 a  1   a 2018  b 2018  1  1  2 b   1  Chọn D Câu 15: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn f   x   2018 f  x   2018. x 2017 .e2018 x với mọi x  và f  0   2018. Tính giá trị f 1 . B. f 1  2018.e 2018 . C. f 1  2018.e2018 . D. f 1  2017.e2018 . A. f 1  2019e2018 . Lời giải Chọn A f   x   2018. f  x  Ta có: f   x   2018 f  x   2018. x 2017 .e2018 x  1  0 e 2018 x  2018.x 2017 1 f   x   2018. f  x  dx   2018.x 2017 dx 1 2018 x e 0 1 Xets I   0 1 1 f   x   2018. f  x  2018 x dx   f   x  .e dx   2018. f  x  .e 2018 x dx 2018 x e 0 0 1 u  f  x  du  f   x  dx  Xét I1   2018. f  x  .e2018 x dx . Đặt  .  2018 x dx v  e2018 x 0 dv  2018.e 1 Do đó I1  f  x  .  e 2018 x  1 0   f   x  .e2018 x dx  I  f 1 .e 2018 x  2018 0 Khi đó 1  f 1 .e 2018 x  2018  x 2018 1 0  f 1  2019.e 2018 . 1 Câu 16: Cho hàm số y  f  x  với f  0   f 1  1 . Biết rằng:  e x  f  x   f   x   dx  ae  b Tính 0 Qa 2017 A. Q  2 b 2017 2017 1. . B. Q  2 . C. Q  0 . Lời giải D. Q  22017  1 . Chọn C u  f  x  du  f   x  dx  Đặt  . x x dv  e dx v  e 1 2 1 1 x x x x  e  f  x   f   x  dx  e f  x    e f   x  dx   e f   x  dx  ef 1  f  0   e  1 . 1 0 0 0 Do đó a  1 , b  1 . 2017 Suy ra Q  a2017  b2017  12017   1  0 . Vậy Q  0 . Câu 17: Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn 1;2 . Biết rằng 3 F 1  1 , F  2   4 , G 1  , G  2   2 và 2 2  1 2 67 f  x  G  x  dx  . Tính  F  x  g  x  dx 12 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 11 . 12 B.  145 . 12 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C.  11 . 12 D. 145 . 12 Lời giải Chọn A du  f  x  dx u  F  x  Đặt   dv  g  x  dx v  G  x  2 2 2 2  F  x  g  x  dx   F  x  G  x     f  x  G  x  dx  F  2  G  2  F 1 G  1   f  x  G  x  dx 1 1 1 1 3 67 11 .  4.2  1.   2 12 12 2 Câu 18: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1;2 và 2   x 1 f   x  dx  a . Tính  f  x  dx theo a 1 1 và b  f  2  . A. b  a . B. a  b . C. a  b . Lời giải D. a  b . Chọn A Đặt u  x  1  du  dx ; dv  f   x  dx chọn v  f  x  . 2 2 2 b 2   x  1 f   x  dx   x 1 f  x  1   f  x  dx  f  2   f  x  dx  b   f  x  . 1 1 2 2 Ta có a 1 2   x 1 f   x  dx  a  b   f  x  dx  a   f  x  dx  b  a . 1 1 1 2 Câu 19: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  2   16 ,  0 . A. I  13 . 1 f  x  dx  4 . Tính tích phân I   x. f   2 x  dx C. I  20 . Lời giải B. I  12 . 0 D. I  7 . Chọn D du  dx u  x  Đặt   . 1 dv  f   2 x  dx v  f  2 x   2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Khi đó, I  x. f  2 x    f  2 x  dx  f  2    f  2 x  dx  8   f  2 x  dx . 2 20 2 20 20 0 Đặt t  2 x  dt  2dx . Với x  0  t  0 ; x  1  t  2 . 12 Suy ra I  8   f  t  dt  8  1  7 . 40 Câu 20: Cho y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên  biết đồ thị hàm số y  f  x  đi qua điểm  1  M   ; 4  và  2  A. I  10 . 1 2  0 f  t  dt  3 , tính I  0  sin 2 x. f   sin x  dx .  B. I  2 . 6 C. I  1 . Lời giải D. I  1 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Chọn B 0 Xét tích phân I    0 sin 2 x. f   sin x  dx   2 sin x. f   sin x  .cos xdx .  6 6  1  x    t   Đặt: t  sin x  dt  cos xdx . Đổi cận:  6 2.  x  0  t  0 0  I  2  t. f   t  dt .  1 2 u  2t du  2dt  Đăt:  . dv  f   t  dt v  f  t  0 0 0  1  2 f t d t  f   2 1  2 1   1 f  t  dt .     2 2 2  1  Đồ thị hàm số y  f  x  đi qua điểm M   ; 4    2   I  2t. f  t   1 f    4.  2 0 Hàm số y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên   1 2 1 2  f  t  d t   f  t  dt   f  x  d x  3 .  1 2 0 0 Vậy I  4  2.3  2 .  2  2 Câu 21: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn  sin x. f  x  dx  f  0   1 . Tính I   cos x. f   x  dx . 0 A. I  1 . 0 B. I  0 . C. I  2 . Lời giải D. I  1 . Chọn C u  f  x   du  f ( x)dx Đặt  dv  sin xdx  v   cos x  2  2 0  2   sin x. f  x  dx    cos x. f  x     cos x. f   x  dx . 0 0  2  2   I   cos x. f   x  dx   sin x. f  x  dx  cos x. f  x  02  1  1  0 . 0 0 Câu 22: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f   x   2018 f  x   2 x sin x . Tính  2 I  f  x  dx ?  A.  2 2 . 2019 B. 2 . 2018 2 . 1009 Lời giải C. D. 4 . 2019 Chọn D File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  2  2   f   x   2018 f  x  dx   2 x sin xdx Ta có   2   2  Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  2  2  2  2  f   x  dx  2018  f  x  dx   2 x sin xdx   2   2   2  2019  f  x  dx    2  2  2 x sin xdx 1   2  2 + Xét P   2 x sin xdx   2 u  2 x du  2dx  Đặt  dv  sin xdx v   cos x P  2 x.   cos x   2   2   sin x  2   2 4 2 Từ 1 suy ra I  4  f  x  dx  2019 .   2 Câu 23: Cho hàm số f  x  và g  x  liên tục, có đạo hàm trên  và thỏa mãn f   0  . f   2   0 và 2 g  x  f   x   x  x  2  e x . Tính giá trị của tích phân I   f  x  .g   x  dx ? 0 B. e  2 . A. 4 . D. 2  e . C. 4 . Lời giải Chọn C Ta có g  x  f   x   x  x  2  e x  g  0   g  2   0 (vì f   0  . f   2   0 ) 2 2 2 2 2 I   f  x  .g   x  dx   f  x  dg  x    f  x  .g  x     g  x  . f   x  dx     x 2  2 x  e x dx  4 . 0 0 0 0 0     Câu 24: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên 0;  thỏa mãn f    3 ,  4 4  4 và  4 f  x  cos x dx  1 0  4  sin x.tan x. f  x  dx  2 . Tích phân  sin x. f   x  dx 0 bằng: 0 A. 4 . B. 23 2 . 2 1 3 2 . 2 Lời giải C. D. 6 . Chọn B  4 u  sin x du  cos xdx  Ta có: I   sin x. f   x  dx . Đặt  . 0 dv  f   x  dx v  f  x   4 0  4 I  sin x. f  x    cos x. f  x  dx  0 3 2  I1 . 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  4  4 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  4   f  x  f  x  2 2   sin x.tan x. f  x   dx   sin 2 x.  dx    1  cos x .  dx . cos x  cos x  0 0  0   4    4  f  x    d x  cos x. f  x  dx  1  I1 .   cos x 0   0 3 2 3 22  I1  1  I  . 1  2 2 2 4  x 0 f  x  dx  4 . Tính I  0 xf   2  dx C. I  28 . D. I  144 . Lời giải Câu 25: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  2   16 , A. I  12 . B. I  112 . Chọn B u  x du  dx   Đặt   x   x. dv  f   2  dx v  2 f  2        Khi đó 4 4 4 x x 4 x     x I   xf    dx  2 xf   0  2 f   dx  128  2I1 với I1   f   dx . 2  2  2 2 0 0 0 4 Đặt u  x  dx  2du , khi đó I1   2 0 2 2  x f   dx  2  f  u  du  2 f  x  dx  8 . 2 0 0 Vậy I  128  2I1  128  16  112 . Câu 26: Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai f   x  liên tục trên đoạn  0;1 thoả mãn f 1  f  0   1 , f   0   2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 A.  f   x 1  x  dx  2018 . B.  f   x 1  x  dx  1 . 0 1 0 1 C.  f   x 1  x  dx  2018 . D.  f   x 1  x  dx  1 . 0 0 Lời giải Chọn A 1 1 Xét I   f   x 1  x  dx   1  x  d  f   x   0 0 u  1  x du  dx  Đặt  v  f   x  dv  d  f   x   1 1 1  I  1  x  f   x  0   f   x  dx  1  1 f  1  f   0   f  x  0   f   0    f 1  f  0  0  2018  1  1  2018 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 27: Cho hàm số Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng    f  0, 2 f  x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn   f   x   2 dx   2  và 4    cos x f  x  dx  4 . Tính f  2018  .  2 B. 0 . A.  1 . C. 1 . 2 D. 1. Lời giải Chọn D Bằng công thức tích phân từng phần ta có     2  2    cos xf  x  dx  sin xf  x      sin xf   x  dx . Suy ra  sin xf   x  dx   4 .  2 2    1  cos 2 x   2 x  sin 2 x  Hơn nữa ta tính được  sin xdx   dx    .  2 4   4   2 2  2 Do đó:   f   x   2 0 2 2  2  2  2 2 dx  2  sin xf   x  dx   sin 2 xdx  0    f   x   sin x  dx  0 . 0 0 0   Suy ra f   x    sin x . Do đó f  x   cos x  C . Vì f    0 nên C  0 . 2 Ta được f  x   cos x  f  2018   cos  2018   1 . Câu 28: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;2 . Biết f  0   1 và 2 f  x. f  2  x  e 2 x2  4 x , với mọi x   0;2 . Tính tích phân I   x 3  3x 2  f   x  0 A. I   16 . 3 B. I   16 . 5 C. I   14 . 3 f  x D. I   dx . 32 . 5 Lời giải Chọn B 2 Cách 1: Theo giả thiết, ta có f  x  . f  2  x   e2 x  4 x và f  x  nhận giá trị dương nên ln  f  x  . f  2  x    ln e 2 x 2 4 x  ln f  x   ln f  2  x   2 x 2  4 x . Mặt khác, với x  0 , ta có f  0  . f  2   1 và f  0   1 nên f  2   1 . 2 Xét I   x 3  3x 2  f   x  f  x 0 3 2 dx , ta có I    x3  3x 2  . 0 2 f  x f  x dx u  x  3x du  3 x 2  6 x dx   Đặt  f  x d v  d x v  ln f  x   f x      2 2 2     Suy ra I   x3  3x 2 ln f  x     3×2  6 x .ln f  x  dx    3x 2  6 x .ln f  x  dx 1 . 0 0 0 Đến đây, đổi biến x  2  t  dx  dt . Khi x  0  t  2 và x  2  t  0 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 0 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2   2   Ta có I    3t  6t .ln f  2  t  dt     3t 2  6t .ln f  2  t  dt 2 0 2     Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên I    3×2  6 x .ln f  2  x  dx  2 . 0 2 Từ 1 và  2  ta cộng vế theo vế, ta được 2I    3x 2  6 x . ln f  x   ln f  2  x   dx 0 2 1 16 3x 2  6 x  .  2 x 2  4 x  dx   .   20 5 Cách 2 (Trắc nghiệm) 2 Chọn hàm số f  x   e x  2 x , khi đó: Hay I   2 I  x 3  3x 2  .e x e 0 2 x .  2 x  2 x2 2 x dx    x3  3x 2 .  2 x  2  dx  0 1 2 2 16 . 5 0;1 f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn Câu 29: Cho hàm số 1 2 thỏa mãn f 1  0 và 1 e2  1 . Tính tích phân I   f  x  dx . 4 0 e e 1 B. I  e  2 . C. I  . D. I  . 2 2 Lời giải x   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  0 0 A. I  2  e . Chọn B du  f   x  dx u  f  x   Xét A    x  1 e x f  x  dx . Đặt   x x dv   x  1 e dx 0 v  xe 1 1 1 1 1  e2 Suy ra A  xe f  x  0   xe f   x  dx    xe f   x  dx   xe f   x  dx  4 0 0 0 1 x x x 1 1 Xét x 1 1 e2  1 2 2x 2x  1 2 . x e d x  e x  x     0 2 40 4 2 1 Ta có   f   x  2 1 1 1 2 dx  2 xe f   x  dx   x e dx  0    f   x   xe x  dx  0 x 0 0 2 2x 0 0 Suy ra f   x   xe  0 x   0;1 (do  f   x   xe x x 2   0 x   0;1 )  f   x    xe x  f  x   1  x  e x  C Do f 1  0 nên f  x   1  x  e x 1 1 1 Vậy I   f  x  dx   1  x  e x dx   2  x  e x 0  e  2 . 0 0 2 Câu 30: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2  thỏa mãn 1   x  1 f  x  dx   3 , 2 1 2 f  2   0 và   f   x   1 7 A. I  . 5 2 2 dx  7 . Tính tích phân I   f  x  dx . 1 7 B. I   . 5 C. I   7 . 20 D. I  7 . 20 Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Chọn B 3 Đặt u  f  x   du  f   x  dx , dv   x  1 2  x  1 dx  v  3 2 3 2 3 1 2  x  1 . f x   x  1 f  x dx Ta có     x  1 f  x  dx       3 1 3 3 1 2 1 2 2 2 1 1 3 3 3       x  1 f   x  dx    x  1 f   x  dx  1   2.7  x  1 f   x  dx  14 3 31 1 1 2 2 6 2 2 2 3 6 Tính được  49  x  1 dx  7    f   x   dx  2.7  x  1 f   x  dx   49  x  1 dx  0 1 1 2 1 1 2 3 3   7  x  1  f   x   dx  0  f   x   7  x  1  f  x     1 7  x  1 7  x  1 4 4 C . 4 7  . 4 4 4 2 2 7  x  1 7  7 Vậy I   f  x  dx      dx   . 4 4  5  1 1 Do f  2   0  f  x   Câu 31: (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2  thỏa 2 2   x  1 mãn 1 A. I  2 2 1 f  x  dx   , f  2   0 ,   f   x   dx  7 . Tính I   f  x  dx . 3 1 1 7 7 7 B. I   . C. I   . D. I  . 5 20 20 2 7 . 5 Lời giải Chọn B u  f  x  Đặt  ta được 2 dv   x  1 dx du  f   x  dx   1 3 v   x  1  3 2 2 2 Khi đó   x  1 f  x  dx  1 2 1 1 3 3  x  1 f  x     x  1 f   x  dx . 3 31 1 2 1 1 3       x  1 f   x  dx . 3 31 2 3    x  1 f   x  dx  1 . 1 2 Xét 2 3   f   x   k  x  1  dx  0  k    . 1 2 2 2 2 3 6    f   x   dx  2 k   x  1 f   x  dx  k 2   x  1 dx  0 . 1 1 1 2  7  2k  k 3  0  k  7  f   x   7  x  1 . 7 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  f  x  7  x  1 4 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 4 C . 4 7  x  1 7 7  Do f  2   0 nên C    f  x   4 4 4 2 5 2  7   x  1 7  7 4   x   . Vậy I    x  1  1 dx    4  5 41 5  1     Câu 32: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  và f    0 . Biết  4 4  4  4   f  x  dx  8 2 0  8   f   x  sin 2xdx   4 . Tính tích phân I   f  2 x  dx , 0 0 A. I  1 . B. I  1 . 2 C. I  2 . D. I  1 . 4 Lời giải Chọn D  4 Tính  f   x  sin 2xdx   0  . Đặt 4  4  f   x  sin 2xdx  sin 2x. f  x   4 0 0  .f 2  sin sin 2 x  u 2cos 2 xdx  du  , khi đó   f   x  dx  dv  f  x   v  4  2  f  x  cos2xdx 0  4  4      sin 0. f  0   2  f  x  cos2xdx  2  f  x  cos2xdx . 4 0 0  4 Theo đề bài ta có  0  4  cos 2 2 xdx  0  4 Do   f  x   cos2x  0   f   x  sin 2xdx   4   f  x  cos2xdx  8 . 0 Mặt khác ta lại có  4 2  . 8  4 dx    f 2  x   2f  x  .cos2x  cos 2 2 x  dx 0     2  0 8 8 8 nên f  x   cos 2 x .  8  8 1 1 Ta có I   cos 4 xdx  sin 4 x  . 4 4 0 0 Câu 33: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn 1 f  0   0 Biết  f 2  x  dx  0 A. 6 .  B. 9 và 2 2 .  1  0 f   x  cos x 3 dx  . Tích phân 2 4 C. 4 .  1  f  x  dx bằng 0 D. 1 .  Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Chọn A 1 Ta có:  0 1 1  2  2  3 f ( x ) sin xdx   f ( x).cos x   f ‘( x).cos xdx  2  2 0  0 2 2 1 1 1 1  2  2 2  0 ( f ( x)  3sin 2 x) dx  0 f ( x)dx  60 f ( x ) sin 2 xdx  9 0 sin 2 xdx  0 Từ đây ta suy ra f ( x )  3sin 1 1   6 x   f  x  dx   3sin xdx  . 2 2  0 0 Câu 34: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1 1 1 0 0 0;1 và f  0   f 1  0 . Biết 1   f  x  dx  2 ,  f   x  cos  x  dx  2 . Tính  f  x  dx . 2 0 A.  . B. 1 .  C. 2 .  D. 3 . 2 Lời giải Chọn C u  cos   x  du   sin   x  dx Đặt   . dv  f   x  dx v  f  x  1 Khi đó:  1 1 f   x  cos   x  dx  cos  x  f  x  0    f  x  sin  x  dx 0 0 1 1    f 1  f  0      f  x  sin  x  dx    f  x  sin  x  dx 0 1   f  x  sin  x  dx  0 0 1 . 2 Cách 1: Ta có 1 Tìm k sao cho   f  x   k sin  x  2 dx  0 0 1 Ta có:   f  x   k sin  x   2 1 dx   f 0 1 2 1  x  dx  2k  f  x  sin  x  dx  k  sin 2  x  dx 2 0 0 0 2  1 k  k   0  k  1. 2 2 1 2 2 Do đó   f  x   sin   x  dx  0  f  x   sin   x  (do  f  x   sin  x   0 x   ). 0 1 Vậy  0 1 f  x  dx   sin   x  dx  0 2 .  Cách 2: Sử dụng BĐT Holder. 2 b b b  2 2 f x g x d x  f x d x .            g  x  dx . a  a a Dấu “  ” xảy ra  f  x   k .g  x  , x   a; b  . 2 1 1  1 1  1 Áp dụng vào bài ta có    f  x  sin   x  dx    f 2  x  dx. sin 2  x  dx  , 4 0 4 0  0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng suy ra f  x   k .sin  x  , k  . 1 1 1 1 f  x  sin  x  dx   k  sin 2  x  dx   k  1  f  x   sin  x  2 2 0  Mà 0 1 Vậy  1 f  x  dx   sin   x  dx  0 Câu 35: 0 2 .  (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;   thỏa    2    mãn:   f   x   dx   cos x. f  x dx  và f    1 . Khi đó tích phân  f  x  dx bằng 2 2 0 0 0    A. 0 . B.  1 . C. . D.  1 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn B  *) Xét tích phân I   cos x. f  x dx . 0 u  f  x  du  f   x  dx Đặt    dv  cos xdx v  sin x    I  sin x. f  x  0   sin x. f   x  dx    sin x. f   x  dx . 0 0  Theo giả thiết I    , suy ra  sin x. f   x  dx   . 2 2 0  *) Tìm số thực k thỏa mãn f   x   k .sin x  0 . Khi đó   f   x   k .sin x  2 dx  0 . 0  2      f   x  dx   2k sin x. f   x  dx   k 2 sin 2 xdx  0 0 0 0      2k .     k 2 .  0  k 2  2k  1  0  k  1 . 2 2  2 Từ đó, f   x   sin x  0  f   x    sin x  f  x   cos x  C .    Do f    1 nên C  1 . Vậy f  x   cos x  1 . 2  2 *) Ta có   2  f  x  dx    cos x  1 dx   sin x  x  02  1  0 0  . 2 Trắc nghiệm:   2     f x  d x  và sin x. f   x  dx   ta suy ra được f   x    sin x .    0   2 2 0 Từ đó giải tiếp như phần trên. Câu 36: (Sở Đà Nẵng 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  1;1 và thỏa f 1  0 , Từ giả thiết  f   x  2 1 2  4 f  x   8 x  16 x  8 với mọi x thuộc  1;1 . Giá trị của  f  x  dx bằng 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 5 A.  . 3 B. 2 . 3 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 . 5 C. 1 D.  . 3 Lời giải Chọn A Cách 1. 1 Đặt I   2 f  x  dx . 1 u  f  x  du  f   x  dx Dùng tích phân từng phần, ta có:  .  dv  2dx v  2 x  2 1 1 1 1 I   2 x  2  f  x  1    2 x  2  f   x  dx  4 f 1    2 x  2  f   x  dx     2 x  2  f   x  dx . 1 1 1 2 Ta có  f   x    4 f  x   8 x 2  16 x  8  2   f   x   dx  2  2 f  x  dx    8x 1 1  1 2 1 1   f   x   dx  2   2 x  2 f   x  dx    2 x  2  dx   8 x 1 1 2  16 x  8  dx 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2  16 x  8  dx    2 x  2  dx 1 2    f   x    2 x  2   dx  0  f   x   2 x  2  f  x   x 2  2 x  C , C  . 1 1 1 5 Mà f 1  0  C  3  f  x   x 2  2 x  3   f  x  dx    x 2  2 x  3 dx   . 3 0 0 Cách 2. Chọn f  x   ax 2  bx  c  a  0  (lý do: vế phải là hàm đa thức bậc hai).  f   x   2ax  b . Ta có: 2 2  f   x    4 f  x   8 x  16 x  8   2ax  b   4  ax  bx  c   8 x   4a  4a  x   4ab  4b  x  b  4c  8 x  16 x  8 2 2 2 2 2 2  16 x  8 2 4a 2  4a  8 a  1 a  2      4ab  4b  16  b  2 hoặc b  4 . c  3 c  6 b2  4c  8    Do f 1  0  a  b  c  0  a  1 , b  2 và c  3 . 1 1 5 Vậy f  x   x  2 x  3   f  x  dx    x 2  2 x  3 dx   . 3 0 0 2 1 Câu 37: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên đoạn 0;1 thỏa f 1  0 , 0 1 1   và  cos  x  f  x  dx  . Tính 2 2  0  A. . B.  . 2 2   f   x  dx  2 8 1  f  x  dx . 0 C. 1 .  D. 2 .  Lời giải Chọn D File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng u  f  x  du  f   x  dx   Đặt  x  2 x d v  cos d x v  sin    2 2 1 1   Do đó  cos  x  f  x  dx  2 2  0 1 1 2 x 2   sin f  x    sin   2  0 2 0 1  Lại có:  sin 2  2 0 1  1    x  f   x  dx    sin  x  f   x  dx   . 4 2  2  0 1  x  dx  2  2 1 1  2   2   I     . f   x   dx  2     sin     0 2 0  1   x  f   x  dx   sin 2   2 0  x  dx  2 1  2 4 2 2  1         f  x   sin  x   dx  2  .  0  8  2 2  2  0  2  2    Vì   f   x   sin  x    0 trên đoạn 0;1 nên  2    2 1  2 2        0    f   x   sin  2 x   dx  0    f   x  =sin  2 x   f   x  =  2 sin  2     Suy ra f  x  =cos  x   C mà f 1  0 do đó f  x  =cos  x  . 2  2  1 Vậy 1    x .  2  f  x  dx   cos  2 x  dx   . 0 0 Câu 38: Xét hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện f 1  1 và f  2   4 . Tính 2  f  x  2 f  x 1 J     dx . x x2  1 A. J  1  ln 4 . B. J  4  ln 2 . C. J  ln 2  1 . 2 D. J  1  ln 4 . 2 Lời giải Chọn D 2 2 2 2 f   x f  x  f  x  2 f  x 1 2 1   d x  d x   d x Cách 1: Ta có J       2  dx . 2 2    x x x x x x    1 1 1 1 1 1   u   du   2 dx Đặt  x  x  d v  f   x  dx  v  f  x    2 2 2 2  f  x  2 f  x 1 f  x f  x 1 2 1  J     dx  . f  x    2 dx   2 dx     2  dx 2 x x x x x x x  1  1 1 1 1 2 2 1 1 1   f  2   f 1   2 ln x     ln 4 . 2 x 1 2  2  f  x  2 f  x 1  xf   x   f  x  2 1   d x    2  dx Cách 2: J     1  x x2  x2 x x  1 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2 2  f  x  f  x   1 1 2 1     2ln x     ln 4 .  dx     2  dx   x  x x  x 1 2  x 1 1 Cách 3: ( Trắc nghiệm) a  3  f 1  1 Chọn hàm số f  x   ax  b . Vì   , suy ra f  x   3x  2 .  f  2   4 b  2 2 2 2 1 1  5 3x  1   Vậy J     2  dx   2 ln x    ln 4  . x  x 1 2  1 x Câu 39: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 1 1 2 x   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  0 A. 0 trên e2  1 và f 1  0 . Tính 4 đoạn B. e . 4 thỏa mãn 1  f  x  dx 0 2 e 1 . 2 0;1 C. e  2 . D. e . 2 Lời giải Chọn C 1 1 1 – Tính: I    x  1 e x f  x  dx   xe x f  x  dx   e x f  x  dx  J  K . 0 0 0 1 Tính K   e x f  x  dx 0 x x x u  e f  x  du  e f  x   e f   x   dx Đặt   v  x dv  dx 1 1 1 1  K   xe f  x      xe f  x   xe f   x   dx    xe f  x  dx   xe x f   x  dx  do f 1  0  0 x x x x 0 0 1 0 1  K   J   xe x f   x  dx  I  J  K    xe x f   x  dx . 0 0 – Kết hợp giả thiết ta được: 1 1 2 2 e2  1 e2  1    f x  d x   f x  d x  (1)          4 4 0 0  1  1 2 2 e  1  xe x f  x dx  2 xe x f  x dx   e  1 (2)         4 2  0  0 1 e2  1 (3) . – Mặt khác, ta tính được:  x2e2 x dx  4 0 – Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được: 1  0 2  1 1 2 2  f   x    2 xe x f   x   x 2e2 x dx  0    f   x   xe x  dx  0     f   x   xe x  dx  0 o o x hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f   x   xe , trục Ox , các đường thẳng x  0 , x  1 khi quay quanh trục Ox bằng 0  f   x   xe x  0  f   x    xe x  f  x     xex dx  1  x  e x  C . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 22 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng – Lại do f 1  0  C  0  f  x   1  x  e x 1 1   f  x  dx   1  x  e dx   1  x  e x 0 0 x 1 1    e dx  1  e x 0 x 1 0 e2. 0 1 Vậy  f  x  dx  e  2 . 0 1 2 Câu 40: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1  0 ,   f   x   dx  7 và 0 1 1 1  x f  x  dx  3 . Tích phân  f  x  dx bằng 2 0 0 A. 7 . 5 B. 1. C. 7 . 4 D. 4 . Lời giải Chọn A  du  f   x  dx u  f  x   Cách 1: Tính:  x f  x  dx . Đặt   . x3 2 dv  x dx v  0 3  1 2 1 1 x3 f  x  1 Ta có:  x f  x  dx    x3 . f   x  dx 3 0 30 0 1 2  1 1. f 1  0. f  0  1 1 3 1   x . f   x  dx    x3. f   x  dx . 3 30 30 1 1 1 1 1 1 Mà  x f  x  dx     x3. f   x  dx    x3 . f   x  dx  1 . 3 30 3 0 0 2 1 Ta có   f   x   2 dx  7 (1). 0 1 1 1 x7 1 1 x d x    49 x6 dx  .49  7 (2). 0  7 0 7 7 0 6 1 1  x . f   x  dx  1  14x . f   x  dx  14 (3). 3 3 0 0 1 1 2 1 Cộng hai vế (1) (2) và (3) suy ra   f   x   dx   49 x6 dx   14 x3. f   x  dx  7  7  14  0 . 0 1  0  2 0 1 2    f   x    14 x3 f   x   49 x 6 dx  0    f   x   7 x3  dx  0 . 0 2 1 0 2 1 2 Do  f   x   7 x 3   0    f   x   7 x3  dx  0 . Mà   f   x   7 x3  dx  0  f   x   7 x3 . 0 0 4 7x 7 7  C . Mà f 1  0    C  0  C  . 4 4 4 4 7x 7  . Do đó f  x    4 4 f  x   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 Vậy  0 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 1  7 x4 7   7 x5 7  7 f  x  dx       dx     x  . 4 4  20 4  0 5 0 1 Cách 2: Tương tự như trên ta có:  x . f   x  dx  1 3 0 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 2 1 1 1  1  1  2 2 2 2 1 7  7   x3 f   x  dx   7    x3  dx      f   x   dx   7     f   x   dx    f   x   dx 7 0 0 0  0  0  3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f   x   ax , với a  . 1 1 1 ax7  x . f x d x   1  x . ax d x   1   1  a  7 . Ta có     7 0 0 0 3 3 3 Suy ra f   x   7 x 3  f  x    7 x4 7  C , mà f 1  0 nên C  4 4 7 1  x 4  x   .  4 1  7×4 7   7 x5 7  1 7 f  x  dx       dx     x  . 4 4  20 4  0 5 0 Do đó f  x   1 Vậy  0 Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cho hàm số f  x  và g  x  liên tục trên đoạn  a; b . 2 b  b 2  b 2  Khi đó, ta có   f  x  g  x  dx     f  x  dx     g  x  dx  . a  a  a  Chứng minh: Trước hết ta có tính chất: b Nếu hàm số h  x  liên tục và không âm trên đoạn  a; b thì  h  x  dx  0 a 2 2 Xét tam thức bậc hai   f  x   g  x     f Lấy tích phân hai vế trên đoạn  a; b ta được b b 2  x   2 f  x  g  x   g 2  x   0 , với mọi   b  2  f 2  x  dx  2  f  x  g  x  dx   g 2  x  dx  0 , với mọi    * a a a Coi  * là tam thức bậc hai theo biến  nên ta có   0 2 b 2  b 2  b 2     f  x  dx     f  x  dx    g  x  dx   0 a  a  a  2 b  b  b     f 2  x  dx     f 2  x  dx   g 2  x  dx  (đpcm) a  a  a  Câu 41: (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số y  f  x  với 1 f  0   f 1  1 . Biết rằng e x  f  x   f   x   dx  ae  b , a , b   . Giá trị của biểu thức 0 a 2019  b 2019 bằng A. 2 2018  1 . B. 2 . C. 0 . Lời giải D. 2 2018  1 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 24 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Chọn C Cách 1: 1 1 Ta có  e x  f  x   f   x   dx   e x f  x   dx   e x f  x   0 1 0  e. f 1  f  0   e  1 . 0 1 Theo đề bài  e x  f  x   f   x   dx  ae  b , a , b   suy ra a  1 , b  1 . 0 Do đó a 2019  b2019  12019   1 2019 0. Cách 2: 1 1 1 Ta có  e x  f  x   f   x   dx   e x f  x  dx   e x f   x  dx . 0 0 0 Đặt u  f  x  , dv  e dx ; ta có du  f   x  dx , v  e x . x 1 1 1 1 Khi đó,  e f  x  dx  e f  x     e f   x  dx   e f  x  dx   e x f   x  dx  e x f  x   x x 1 0 0 x x 0 0 1 0 0 1   e x  f  x   f   x   dx   e x f  x   1 0  e. f 1  f  0   e  1 . 0 1 Theo đề bài  e x  f  x   f   x   dx  ae  b , a , b   suy ra a  1 , b  1 . 0 Do đó a Câu 42: 2019  b2019  12019   1 2019 0. (Đoàn Thượng) Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và f (0)  f (1)  0 . 1 Biết  0 1 f ( x ) dx  , 2 2 1  0 A.  . 1  f ( x ) cos ( x ) dx  . Tính  f ( x)dx . 2 0 3 2 B. . C. 2  Lời giải D. 1  Chọn C 1  . 2 0 Đặt u  cos( x )  du   sin( x ) , dv  f ( x ) dx chọn v  f ( x ) . Ta có I1   f ( x ) cos ( x) dx  1 1 1  I1  f ( x )cos ( x)|    f ( x )sin( x) dx   f (1)  f (0)    f ( x) sin( x) dx  0 0 1   f ( x) sin( x) dx  0 1 Ta có I 2   0 0  . 2 1 . 2 1 f ( x) dx   I1  I 2  2 2 1 1  f ( x) sin( x )dx   f 0 2 ( x ) dx . 0 1    f 2 ( x)  f ( x) sin( x)  dx  0  f 2 ( x )  f ( x) sin( x)  0  f ( x)  f ( x)  sin  x    0 . 0  f ( x )  0 hoặc f ( x)  sin  x   0 . Vì I1  0 và I 2  0 nên f ( x )  0 loại.  f ( x)  sin  x   0  f ( x)  sin  x  . 1 1   f ( x) dx   sin( x) dx   0 0 cos( x) 1 2 |0   .  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 25 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (Chuyên Vinh Lần 3). Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  0 Câu 43: 1 , 1 2   f   x   dx  7 và 0 1 0 x f  x  dx  3 . Tích phân 7 A. . 5 2 B. 1 . C. 1  f  x  dx bằng 0 7 . 4 D. 4 . Lời giải Chọn A Nhận xét – Ý tưởng sáng tác bài toán giống câu 50 trong đề minh họa của BGD năm 2018. Vì thầy Nguyễn Việt Hải phân tích quá hay nên tôi trích dẫn lại nguyên văn nhận xét và ý tưởng đó 1 1 1 Từ giả thiết:  x 2 f  x  dx    3 x 2 f  x  dx  1 . 3 0 0 1 Tính: I   3 x 2 f  x  dx . 0 u  f  x  du  f   x  dx Đặt:  .   2 3 dv  3 x dx  v  x Ta có: 1 1 1 1 1 I   3x 2 f  x  dx  x3 f  x    x 3 . f   x  dx  1. f 1  0. f  0    x 3 . f   x  dx    x 3 . f   x  dx . 0 0 0 1 0 0 1 Mà:  3 x 2 f  x  dx  1  1    x 3 . f   x  dx 0 0 1 1 1 1 2   x 3 . f   x  dx  1  7  x 3 . f   x  dx  7   7 x 3 . f   x  dx     f   x   dx , (theo giả thiết: 0 0 1   f   x   2 0 0 dx  7 ). 0 1  0  2  1 7 x . f   x  +  f   x   dx  0   f   x   7 x 3 + f   x  dx  0 3 0 7  7 x 3 + f   x   0  f   x   7 x 3  f  x    x 4  C . 4 7 4 7 Với f 1  0   .1  C  0  C  . 4 4 7 7 Khi đó: f  x    x 4  . 4 4 1  7  x5 7 7 7 Vậy:  f  x  dx     x 4  dx     x   . 4 5 4 4 0 5 0 0 PHÂN TÍCH 1 1 1 3 1 x3 x3 1 x 1 3 2 x f ( x )d x  f x d  f ( x ) |  d f ( x )   x . f ‘( x )dx   0 0 0 0 3 3 3 3 0 1 1 2 Từ đây, chúng ta quan sát giả thiết bài toán: Ta thấy xuất hiện  f ‘( x )  và x 3 . f ‘( x ) 2 Nghĩ ngay đến hằng đẳng thức  f ‘( x )  ax 3  , như vậy số a  ? tương ứng với bài toán? File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 26 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 + Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2   f ‘( x ) dx  7 0 1 +  2 ax 3 . f ‘( x )dx  2 a 0 1 +  ax 3  2 0 dx  a2 7 1 Do đó số a chọn tương ứng là a2 3 2   f ‘( x )  ax dx  7  2 a   0  a  7. 0   7 . Suy ra f ‘( x )  7 x 3  f ( x )  7 x 4 7  . 4 4 Vậy đáp chọn: A NHẬN XÉT: Vì đây là trắc nghiệm chỉ cần ĐS đúng do đó ta sử dụng kỷ thuật đồng nhất suy ra đáp số dễ dàng. 1 1 2   f ‘( x ) dx  7 và   7 x  f ‘( x )dx  7 . Vì trắc nghiệm nên đồng nhất hai biểu thức dưới dấu 0 0 3 7 x 4 7   A. 4 4 Hướng tiếp cận khác theo con đường BĐT. tích phân. Suy ra f ‘( x )  7 x 3  f ( x )  1 1 1 . 3 0 0 + Ta nghĩ đến đánh giá bằng BĐT: Thật vậy sử dụng kiến thức dấu tam thức bậc hai. Chúng ta có kết quả BĐT Cauchy – Schawz 2 + Quan sát giả thiêt bài toán: f (1)  0,   f ‘( x )  dx  7 và b b b x 2 b f ( x )dx  2 t 2  f 2  x dx  2t  f  x g  x  dx   g 2  x dx   t . f  x   g  x   dx  0, t   . a a a a Suy ra: BĐT Cauchy – Schawz 2 b b b  2 2   f  x  g  x  dx    f  x  dx. g  x  dx a a a  Do đó ta có hướng giải bài toán trên: 1 1 1 1 1 x3 x3 1 x3 1 3 2  x f ( x )dx   f  x d  f ( x ) |0   df ( x )    x . f ‘( x )dx . 3 0 3 3 3 30 0 0 2 1  11 3 2 2 1  1 3 1 Ta suy ra:    x f ‘  x  dx    x dx   f ‘  x   dx  . 9  3 0 9  90 Tương đương f ‘  x   k . x 3 Ý TƯỞNG SÁNG TẠO ĐỀ   a Tạo hằng tích phân có dạng đẳng thức: a 2   A  B  dx  0 0 Hoặc 2   A  B  C  dx  0 … 0 a 2 a a a Chọn A, A, B thích hợp tương ứng ta có bài toán. 0    A  B  dx   A 2 dx   2 A. Bdx   B 2 dx 0 0 0 0 MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 27 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (Chuyên Vinh Lần 3). Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  4 Câu 44: 1 , 1 2   f   x  dx  36 và 0 A. 1 0 x. f  x  dx  5 . Tích phân 3 B. . 2 5 . 6 1  f  x  dx bằng 0 C. 4 . D. 2 . 3 Lời giải Chọn B 1 Từ giả thiết: 1  x. f  x  dx  0 1   5 x. f  x  dx  1 . 5 0 1 Tính: I   5 x. f  x  dx . 0  du  f   x  dx u  f  x   Đặt:   . 5 dv  5 xdx v  x 2  2 1 1 1 5 5 Ta có: I   5 x. f  x  dx  x 2 . f  x    x 2 . f   x  dx 2 20 0 0 1 1 5 5 5  . f 1   x 2 . f   x  dx  10   x 2 . f   x  dx , (vì f 1  4 ) 2 20 20 1 1 Mà: I   5 x. f  x  dx  1  1  10  0 1 1 5 2 18 x . f   x  dx   x 2 . f   x  dx   20 5 0 1 1 1 2  10  x 2 . f   x  dx  36  10  x 2 . f   x  dx    f   x   dx , (theo giả thiết: 0 0 0 1   f   x  2 dx  36 ) 0 1 2   10 x 2 . f   x    f   x    dx  0   f   x  10 x 2  f   x   dx  0   0 0  10 x 2  f   x   0  f   x   10 x 2  f  x   10 x 3 C 3 10.1 2 C C  . 3 3 3 10 x 2  . Khi đó: f  x   3 3 Với f 1  4  4  1 1 1  5×4 2   10 x3 2  3 Vậy:  f  x  dx     x  .  dx   3 3  6 3 0 2 0 0 Câu 45: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0; 2 thỏa mãn 2 f  2  3 , A. 2 2   f   x   dx  4 và 2  x f  x  dx  0 0 2 . 115 B. 297 . 115 1 . Tích phân 3 C. 562 . 115 2  f  x  dx bằng 0 D. 266 . 115 Lời giải Chọn C 2 Từ giả thiết: 2  x f  x  dx  0 2 1   3 x 2 f  x  dx  1 . 3 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 28 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2 Tính: I   3 x 2 f  x  dx . 0 u  f  x  du  f   x  dx Đặt:  .   2 3 dv  3 x dx  v  x 2 2 2 2 3 2 3 Ta có: I   3 x f  x  dx  x . f  x    x . f   x  dx  24   x 3 . f   x  dx , (vì f  2   3 ) 0 0 0 2 0 2 Mà: I   3 x 2 f  x  dx  1  1  24   x3 . f   x  dx 0 0 2 2 4 x 3 . f   x  dx  4 23 0   x 3 . f   x  dx  23  0 2  2 1 2 4 x 3 . f   x  dx    f   x   dx ,  23 0 0 (theo giả   f   x   thiết: 2 dx  4 ) 0 2 2 2 4 4     x3 . f   x    f   x    dx  0   f   x   x 3  f   x   dx  0 23   23  0  0 4 4 3 1 4  x3  f   x   0  f   x   x  f  x  x C 23 23 23 16 53 Với f  2   3  3  C  C  . 23 23 1 4 53 Khi đó: f  x   x  . 23 23 2 Vậy 562 53   1 5 53   1 . x  x  f  x  dx    x 4  dx   23 23  23  0 115  115 0  0 Câu 46: 2 2 (Chuyên Vinh Lần 3). Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  4 1 2 ,   f   x   dx  5 và 0 A. 15 . 19 1 1 0 x. f  x  dx   2 . Tích phân B. 17 . 4 1  f  x  dx bằng 0 17 . 18 Lời giải C. D. 15 . 4 Chọn D  d u  f   x  dx u  f  x   Tính: I   x. f  x  dx . Đặt:   1 2 d v  x d x  0  v  x  2 1 1 1 1 1 1 Ta có: I  x 2 . f  x    x 2 f   x  dx  2   x 2 f   x  dx , (vì f 1  4 ). 0 20 2 20 1 1 Mà: 1 1 1 1 2 0 x. f  x  dx   2   2  2  2 0 x f   x  dx 1 1   x f   x  dx  5 , (theo giả thiết: 2 0 1 0  2    x 2 f   x    f   x   dx  0  0 1 2 1 2 2   f   x   dx  5 )   x f   x  dx    f   x   dx 0 0 1  f   x  .  x 2  f   x   dx  0 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 29 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1  x 2  f   x   0  f   x   x2  f  x   x3  C . 3 11 Với f 1  4  C  . 3 1 3 11 Khi đó: f  x   x  . 3 3 1 1 1 11 1 11 1 15 Vậy  f  x  dx    x3   dx   x 4  x   . 3 3 3 0 4  12 0 0 Câu 47: (Chuyên Vinh Lần 3). Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0; 2 thỏa mãn 2 f  2  6 2 2   f   x   dx  7 và  x. f  x  dx  0 0 A. 8 . B. 6 . 17 . Tích phân 2 2  f  x  dx bằng 0 C. 7 . Lời giải D. 5 . Chọn A 2 Tính: I   x. f  x  dx . 0  d u  f   x  dx u  f  x   Đặt:   1 2 dv  xdx v  x  2 2 2 12 1 1 Ta có: I  x 2 . f  x    x 2 f   x  dx  12   x 2 f   x  dx , (vì f  2   6 ). 0 20 2 20 2 Theo giả thiết: 2  x. f  x  dx  0 17 17 1   12   x 2 f   x  dx 2 2 20 2   x 2 f   x  dx  7 0 2  2 0 0 2    x f   x    f   x  2 0 2  2 2  x f   x  dx    f   x  dx  f   x  .  x 2 2  dx  0  f   x   dx  0 0 1  x 2  f   x   0  f   x   x2  f  x   x3  C . 3 10 Với f  2   6  C  . 3 1 10 Khi đó: f  x   x3  . 3 3 2 2 2 1 10 1 10 Vậy  f  x  dx    x3   dx   x 4  x   8 . 3 3 3 0  12 0 0 Câu 48: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 3 thỏa mãn 3 f  3  6 2 3   f   x   dx  2 và 2  x . f  x  dx  0 0 154 . Tích phân 3 3  f  x  dx bằng 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 30 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 53 . 5 B. 117 . 20 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 153 . 5 Lời giải C. D. 13 . 5 Chọn B 3 Tính I   x 2 . f  x  dx . 0  du  f   x  dx u  f  x   Đặt   . 1 3 2 dv  x dx v  x  3 3 3 13 1 1 Ta có I  x 3 . f  x    x 3 f   x  dx  54   x 3 f   x  dx , (vì f  3  6 ). 0 30 3 30 3 Theo giả thiết: 3 2  x . f  x  dx  0 3 154 154 1   54   x3 f   x  dx 3 3 30 3 3 3 2  2    x3 f   x  dx  8   x 3 f   x  dx  4   f   x   dx   x 3 f   x   4  f   x   dx  0 0 3  0  f   x   x 3 0 0  4 f   x   dx  0 . 0  x3  4 f   x   0  f   x   x3 x4  f  x   C . 4 16 15 . 16 x 4 15 Khi đó: f  x    . 16 16 3 3 3 117 1 15 1 15 Vậy  f  x  dx    x 4   dx   x 5  x   . 16 16  16  0 20  80 0 0 Với f  3  6  C  Câu 49: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  2 1 1 2 ,   f   x   dx  8 và 0 A.  1  x . f  x  dx  10 . Tích phân  f  x  dx 3 0 2 . 285 bằng 0 B. 194 . 95 116 . 57 Lời giải C. D. 584 . 285 Chọn C 1 Tính: I   x 3 . f  x  dx . 0  du  f   x  dx u  f  x   Đặt:   . 1 4 3 dv  x dx v  x  4 1 1 11 1 1 1 Ta có: I  x 4 . f  x    x 4 f   x  dx    x 4 f   x  dx , (vì f 1  2 ). 0 40 4 2 40 Theo giả thiết: 1 1 3  x . f  x  dx  10   x f   x  dx  38 0 0 4 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 31 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 1 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 2  8. x f   x  dx  38.8  8. x 4 f   x  dx  38.  f   x   dx 4 0 1 0  2 0 1    8 x 4 f   x   38  f   x   dx  0   f   x  . 8 x 4  38 f   x   dx  0 0 0  8 x 4  38 f   x   0  f   x    4 4 4 x  f  x    x5  C . 19 95 194 . 95 4 194 Khi đó: f  x    x 5  . 95 95 1 1 4 194   2 6 194  1 116 Vậy  f  x  dx     x 5  . x  x   dx    95 95  95  0 57  285 0 0 Với f 1  2  C  1 Câu 50: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  1 , 2   f   x   dx  9 và 0 1 1 1  x f  x  dx  2 . Tích phân  f  x  dx bằng 3 0 A. 0 2 . 3 B. 5 . 2 C. 7 . 4 D. 6 . 5 Lời giải Chọn B 1 2 Ta có:   f   x   dx  9 1 0 1 1 – Tính  x3 f  x  dx  . 2 0  d u  f   x  dx u  f  x   Đặt   x4 3 dv  x .dx v   4 1  x4  1 1 3 11 4 1 11 4     x f  x  dx   . f  x     x . f  x  dx    x . f   x  dx 2 0 4 40  4 0 4 0 1 1   x 4 . f   x  dx  1  18 x 4 . f   x  dx  18  2  0 0 1 – Lại có: 8  x dx  0 9 1 x 9  0 1 1  81 x 8dx  9  3  9 0 – Cộng vế với vế các đẳng thức 1 ,  2  và  3  ta được: 1 1 1 2 4 8 4 4 0   f   x   18x . f   x   81x  dx  0  0  f   x   9 x  dx  0   .0  f   x   9 x  dx  0 Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f   x   9 x 4 , trục hoành Ox , các đường thẳng x  0 , x  1 khi quay quanh Ox bằng 0 9  f   x   9 x 4  0  f   x   9 x 4  f  x    f   x  .dx   x 4  C . 5 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 32 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 14 9 14  f  x    x5  5 5 5 1 1 5  9 5 14   3 6 14  f  x  dx     x   dx    x  x   . 5 5 5 0 2  10 0 Lại do f 1  1  C  1  0 1 2 Câu 51: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn f 1  0,   f   x   dx  0 1 1 và 11 1 1  x f  x  dx   55 . Tích phân  f  x  dx bằng 4 0 0 A. 1 7 1 7 B. 1 55 C. D. 1 11 Lời giải: 1 1 5 1 1 5 x  x 0 x f  x  dx   5 f  x   0 5 f   x  dx . Suy ra 0 1  x f   x  dx  11 . Hơn nữa ta dễ dàng tính 4 1 2 5   x  dx  được 0 1 5 0 1 1 . 11 Do 1 2 1 2 5 5   f   x  dx  2 x f   x  dx    x  dx  0 đó 0 0 0 2    f   x   x 5  dx  0 . 0 Suy ra f   x   x5 , 1 1  f  x  dx   0 0 do f  x  đó 1 6 x C . 6 Vì f 1  0 nên 1 C . 6 Vậy x6  1 1 dx  . 6 7 Câu 52: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện f 1  1  0 5 f  x  dx  và 6 A. 1   x  1 1 0 7 3 B. 2 x 1 f   x   dx   . Tính tích phân  x2 3 8 15 1  f  x  dx  ? 2 0 53 203 D. 60 60 Lời giải: 1 1 5 2 f  x  dx   f 1   xf   x  dx   xf   x  dx  . 6 3 0 0 C. 1 Sử dụng tích phân từng phần ta có: 3 ; 2  0 2 2 x x 2 f   x    1  x   1  f   x  .   x2 x2 1 1 2 2 2 4 x x 2 f   x   dx   f   x   dx  . Tích phân hai vế ta       3 3 0 x2 3 0 2 x Áp dụng Mặt khác: 2 1  x  1  1 2 1 2 1 Holder: 1    2 4  x x f   x  dx    x  2  x  dx  f   x   dx .    xf   x  dx      x  2  x  2 x 2 x 0  9 0 0  0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 33 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 Do vậy  0 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2 x 2 f   x   dx   2 x 3 nên dấu bằng 1  f  x  2  x  f  x   2x  x2 53   f 2  x  dx  . 2 60 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 34 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng TÍCH PHÂN HÀM ẨN Câu 1:   (Lý Nhân Tông) Cho hàm số f  x  liên tục không âm trên  0;  , thỏa mãn  2     f  x  . f   x   cos x 1  f 2  x  với mọi x   0;  và f  0   3 . Giá trị của f   bằng  2 2 A. 2 . B. 1 . C. 2 2 . D. 0 . Lời giải Chọn C 2 f  x . f   x    Với x   0;  ta có f  x  . f   x   cos x 1  f 2  x    cos x *  .  2 2 1 f 2  x Suy ra 1  f 2  x   sin x  C . Ta có f  0   3  C  2 . Dẫn đến f  x    sin x  2  2 1 .   Vậy f    2 2 . 2 Câu 2: (Đặng Thành Nam Đề 15) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x  . f   x   1 , với mọi x  . Biết 2  2 f  x  dx  a và f 1  b , f  2  c . Tích phân 1 x  f  x dx bằng 1 A. 2c  b  a . B. 2a  b  c . C. 2c  b  a . Lời giải D. 2a  b  c . Chọn A Ta có f  x  . f   x   1  2 1  f   x  suy ra f  x 2 2  1 2 2 x dx   xf   x  dx   x.d  f  x   f  x 1 1 2  xf  x  1   f  x  dx  2 f  2   f 1   f  x  dx  2c  b  a . 1 Câu 3: 1 (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho 1 3 1   3x  1 f   x  dx  2019, 4 f 1  f  0   2020 . Tính  f  3 x  dx . 0 0 1 A. . 9 B. 3 . 1 C. . 3 Lời giải. D. 1 . Chọn A Ta có: 1 1   3x  1 f   x  dx  2019    3x  1 d  f  x    2019   3x  1 f  x  0 0 1 1 1 0 1  3 f  x  dx  2019 0 1  4 f 1  f  0   3 f  x  dx  2019  2020  3 f  x  dx  2019   f  x  dx  0 0 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông 1 1 3 Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 3 Xét: I   f  3 x  dx : 0 dt 1 ; Đổi cận: x  0  t  0; x   t  1 . 3 3 1 1 1 1 1 1 1 Vậy: I   f  t  dt   f  x  dx  .  30 30 3 3 9 Đặt 3 x  t  dt  3dx  dx  Câu 4:  1 1 (HSG Bắc Ninh) Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm trên   ;  thỏa mãn  2 2 1 2 109 2 1  f  x   2 f  x  . 3  x  dx   12 . Tính  1 2 f  x x 2 0 1 dx . 2 A. ln 7 . 9 B. ln 2 . 9 5 C. ln . 9 Lời giải 8 D. ln . 9 Chọn B 1 2 109 2 1  f  x   2 f  x  . 3  x  dx   12 .   2 1 2  1 2 2   f  x    3  x   dx    3  x   1 2  1 2 2 1 2 2   f  x    3  x     3  x   dx   1 2 2  dx   109  12 109 . 12 1  x 2 109 2 Mà   3  x  dx    9  6 x  x 2  dx   9 x  3 x 2    3  1 12 1 1     2 2 2 1 2 1 2 1 2 Suy ra   f  x   3  x  3 2 dx  0 . 1  2 2  1 1  1 1 Vì  f  x    3  x   0, x    ;  nên f  x   3  x , x    ;  .  2 2  2 2 1 2 1 1 1 2 2 2  1  f  x 3 x 1 x  2 2 Vậy  2 dx   2 dx   2 dx    +  dx x 1 x 1 x 1 x  1  x  1 x  1  0 0 0 0 1  x 1  2    ln x  1  ln 2  ln .  x 1  9  0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 5: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho hàm   f :  0,    là hàm liên tục thỏa mãn điều kiện  2   2 2   dx  1   . Tính 2 f ( x )dx . f x  2 f x sin x  co s x        0  0  2 A.  2 0  f ( x)dx  1 . B.  2 0  f ( x)dx  1 . C.  2 0  f ( x ) dx  2 . D.  2 0  f ( x ) dx  0 . Lời giải Chọn D Ta có  2 0   sin x  cos x  2  2 0 dx    2 1  1  sin 2 x  dx   x  cos 2 x    1 . 2 2  0  2 2   2  f  x    2 f  x  sin x  cos x    sin x  cos x   dx . 0     2   2   2  f  x    2 f  x  sin x  cos x   dx   2  sin x  cos x  dx  1    1  0 . 0  0  2 2  2 0 2    f  x    sin x  cos x   dx  0 .  f  x   sin x  cos x .      2 f  x  dx   2  sin x  cos x  dx    cos x  sin x  02  0 . 0 Câu 6: 0 (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên khoảng  0;   và f  x   0 , x   0;   thỏa mãn f   x    x. f 2  x  với mọi x   0;   , biết f 1  A.  14 . 2 1 và f  2   . Tổng tất cả các giá trị nguyên của a thỏa mãn là a3 4 B. 1 . C. 0 . D.  2 . Lời giải Chọn D Trên  0;   ta có f   x    x. f 2  x     1  f  x  x     x . f 2  x  f  x   1  1 x2     C .  dx   xdx  f  x 2  f  x  2 a3 1 a2 Có f 1  .   C  C  a3 2 2 2 1 a2 2 1 2 1 2a ; f  2    2  f 2     0  6  a  2 . f  2 2 a6 4 a6 4 4  a  6 Ta có 1 x2 a  2   . Do đó f  x   0 , x   0;    a  2 . f  x 2 2 Với a    a  2; 1; 0;1 . Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của a cần tìm là  2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 7: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  3  21 , 1 3  f  x  dx  9 . Tính tích phân I   x. f   3 x  dx . 0 0 A. I  15 . B. I  12 . C. I  9 . Lời giải D. I  6 . Chọn D du  dx u  x  Đặt   1 . dv  f (3x )dx v  f (3x ) 3  1 1 1 1 1 13 Suy ra I  x. f (3 x )   f (3x )dx  f (3)   f ( x)dx  6 . 0 03 3 3 90 Vậy I  6 . Câu 8: (Chuyên Thái Bình Lần3) Cho f ( x) là hàm số liên tục trên  thỏa mãn 2 x2 f ( x )  f (2  x )  x.e , x   . Tính tích phân I   f ( x )dx . 0 4 e 1 . 4 A. I  B. I  2e  1 . 2 C. I  e4  2 . D. I  e4  1 . Lời giải Chọn A Đặt x  2  t  dx   dt . 0 2 2  I   f  2  t   dt    f  2  t  dt    f  2  x  dx . 2 0 0 2 2 2 2 1 1 2  2 I    f  x   f  2  x   dx   xe dx   e x d  x 2   e x 20 2 0 0 x2 Vậy I  Câu 9: 2 0  e4  1 . 2 e4  1 . 4 (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng  0;    thỏa mãn x 2 f   x   f  x   0 và f  x   0 , x   0;    . Tính f  2  biết f 1  e . A. f  2   e 2 . C. f  2   2e2 . B. f  2   3 e . D. f  2   e . Lời giải Chọn D Ta có f  x   0 , x   0;     f  x   0 không có nghiệm trên khoảng  0;     f  x   0 không có nghiệm trên khoảng 1; 2   f 1 . f  2   0 , x  1; 2  . Mà f 1  e  0 nên f  2   0 . Do đó x 2 f   x   f  x   0  2 Suy ra  1 f  x 1 .  2 x f  x 2 2 f  x 1 1   ln f  x  d x   dx   2  x f  x x1 1 2 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1      1   ln f  2   ln f 1 2      Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1   ln f  2   ln e 2 1 1 1   ln f  2   1  ln f  2    f  2   e 2  e . 2 2 1  x3  2 x  ex3 2 x 1 1 e   dx   .ln  p  Câu 10: (Lý Nhân Tông) Biết   với m , n , p là các số x   e.2 m e ln n  e   0 nguyên dương. Tính tổng P  m  n  p A. P  5 . B. P  6 . C. P  8 . D. P  7 . Lời giải Chọn D 1 1 3 1 x   e.2 x   2 x  3  x 3  2 x  ex 3 2 x 2x   dx     e.2 x 0   e.2 x 0 1 x4 1   .ln   e.2 x 4 0 e ln 2 1  0 dx    x  dx   e.2 x  0 1 1 e .  .ln 1  4 e.ln 2  e Vậy m  4 , n  2 , p  1 nên P  m  n  p  7 . Câu 11: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm, liên tục trên đoạn 1; 2 đồng 2 5 2 thời thỏa mãn f (2)  0 ,   f ‘( x ) dx   ln và 12 3 1 2 2 f ( x) 5 3  ( x  1) dx   12  ln 2 . Tính 2 1 2 I   f ( x)dx . 1 A. I  3 2  2ln . 4 3 2 B. I  ln . 3 C. I  3 3  2ln . 4 2 D. I  3 2  2ln . 4 3 Lời giải Chọn A u  f  x   du  f   x  dx   + Đặt   1 1  x 1  . d v  d x v  2     2  x 1   x  1   Khi đó 2 2 2  f ( x) 1 x 1 x 1  d x  f ( x )  f ( x )d x   1 ( x  1)2 2  x  1 1 1 x  1   2  5 3 1 1 x 1    ln   f (2)   f ‘( x)dx  12 2 2 3 1 x1  2  5 3 x 1  2ln   f ( x)dx 6 2 1 x 1 2 2 2 1 . 2 x 1  2   Xét    dx    1   dx x  1 x  1     1 1 2 2 4 5 3 4 4  4    1  4ln 3  4ln 2   2   4ln   1   dx   x  4 ln x  1   2  x  1  x  1  x 1  1 3 3 2  1  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 2 1  x 1  5 3    dx   ln 4 1  x 1  12 2 2 Theo đề Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 5 2 2 . 3   f ‘( x) dx  12  ln 2 (3) . 1 Từ (1), (2), (3) ta có 2 2 1  x 1 1  x 1   1  x 1 1  2  x  1   f ( x ) dx  0  2  x  1   f ( x)  0  f ‘( x )  2  x  1  . 1  f ( x)   x  2 ln  x  1   C 2 1  f (2)   2  2ln 3  C  0  C  ln 3  1 2 1  f (x)   x  2 ln  x  1  ln 3  1 2 2 1  I     x  2 ln  x  1   ln 3  1dx 2  1 2 2 2  x2  1     ln 3  1 x    ln  x  1 dx    ln 3   ln  x  1 dx 4 4 1 1 1 2   2 1    ln 3   x  1 ln  x  1 1   xdx  4  1  1 3 2    ln 3  3ln 3  2 ln 2  1   2ln . 4 2 3 Câu 12: (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng (1; ) và thỏa mãn  xf ( x)  2 f ( x )  ln x  x 3  f ( x) , x  (1; ) ; biết f 3 e  3e . Giá trị   f (2) thuộc khoảng nào dưới đây? 25 A.  12;  . 2   27 B.  13;  . 2   23 C.  ;12  .  2  Lời giải 29 D.  14;  . 2   Chọn C Vì x (1; ) nên ta có x 2 f ( x )  2 xf ( x )  ln x  x 4  xf ( x )  x 2 f ( x)  2 xf ( x)  f ( x)   ln x  1  3 4 x x   f ( x)  f ( x)    2  ln x  1  3 x  x  f ( x)   f ( x )      2  ln xdx   1  3 dx x   x    f ( x ) ln x f ( x) f ( x)   3 dx  x   3 dx  C 2 x x x File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng x2  x  C  f ( x ) ln x f ( x ) ln x .  x  C   x  C  f ( x )  x2 x2 ln x x3 Theo bài ra f 3 e  3e  C  0  f ( x ) = . ln x 8  23  Do đó f (2) =   ;12  . ln 2  2     Câu 13:     (Nguyễn Khuyến)Cho hàm số f  x  có đạo hàm và liên tục trên 0;  , thoả mãn 2  2  f   x  cos 2 xdx  10 và f  0  3 . Tích phân 0  2  f  x  sin2 x d x bằng 0 A. 13 B. 13 Chọn B Từ công thức 2 tính D. 7 C. 7 Lời giải. vi phân của hàm số, ta có f (x) dx  d( f (x)) , và 2 d(cos x)  (cos x)dx   sin 2 xdx Do đó, áp dụng công thức tích phân từng phần, với u  cos 2 x và v  f (x) , ta thu được  2  f   x  cos 2  2  2 0 xdx  f  x  .cos 2 x   f  x  sin2xdx 0 0  2 Theo giả thiết, ta có  f   x  cos 2 xdx  10 . Từ đó f  x  .cos 2 x 0  2    2   f  x  sin2xd x  10 0    f  x  sin2xdx  10   f  2  .cos 2 0 Câu 14:  2 0    f  0  .cos 2 0   13 2  (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm y  f ( x) liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f  x   f 1  x   2 x 2  2 x  1 1 Tính tích phân I   f ( x) dx. 0 A. I  4 3 B. I  2 3 C. I  1 . 2 D. I  1 3 Lời giải Chọn D Ta có: f  x   f 1  x   2 x 2  2 x  1 1 1  I   f (1  x ) dx   (2 x 2  2 x  1) dx 0 0 1 2 1  I   f (1  x) dx   x 3  x 2  x  3 0 0 1  I   f (1  x) dx  0 2 1 3 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 Xét  f (1  x )dx , đặt: t  1  x  dt  dx 0 Đổi cận x t 0 1 1 0 1 Ta có:  0 1 f (1  x ) dx   f (t )(  dt )   f (t )dt  I  2  0 1 1 Từ (1) và (2)  2  f ( x) dx  0 1   f ( x ) dx  0 0 2 3 1 . 3 2 Vậy  f  x  dx  16 . 0 Chú ý: a f  x d x   1  b x 0 f  x  dx với mọi a , b  0 . a a Nếu f  x  là hàm chẵn và liên tục trên   a; a  thì Câu 15: (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Cho hàm số y  f  x  có đạo  f  3  x  . f  x   1 1 hàm trên đoạn  0;3 , thỏa mãn  , x  0 ;3 và f  0   . Tính tích phân 2  f  x   1 3 x. f   x  I  dx 2 2 1  f 3  x  . f x 0        3 1 5 A. I  . B. I  . C. I  1 . D. I  . 2 2 2 Lời giải Chọn B  f 3  x . f  x   1  Từ giả thiết   f  3  2 . 1  f  0   2 2 2 Do f  3  x  . f  x   1  1  f  3  x   . f 2  x   1  f  x   . Khi đó ta được: 3 3   3 3 x. f   x  1 x 1 I  d x   x d    dx  1  J .   2  0 1  f x 1  f x 1  f x        1  f x    0  0 0   3 3 3 t  3 x 0 1 1 1 1 dx    dt   dt   dx . 1  f x 1  f 3  t 1  f 3  t 1  f 3  x         0 3 0 0 Tính J   3 3 3 3 f  x 1 1 1 Suy ra 2 J   dx   dx   dx   dx   dx  3 . 1 f  x 1 f 3  x  1 f  x 1 f  x 0 0 0 0 0 3 Do đó J  3 1 . Vậy I  . 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 16: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   2 x. f  x   e x f  x  với f  x   0,x và f  0   1 . Khi đó f 1 bằng B. ee2 . A. e  1 . C. e  1 . Lời giải D. ee1 . Chọn B Từ giả thiết: f   x   2 x. f  x   e x f  x  , ta có f   x   f  x  ex  2x   f  x  e x  2 x ( vì f  x   0, x ) f  x  f  x dx    e x  2 x  dx f  x  ln f  x   e x  x 2  C . Mà f  0   1 nên C  1 . Khi đó, ta được: ln f  x   e x  x 2  1 . Thế x  1 , ta có: ln f 1  e  2  f 1  e e 2 . Câu 17: (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số f  x  thỏa mãn xf ‘  x  .ln x  f  x   2 x 2 , x  1;   và f  e   e2 . Tính tích phân I   e2 e A. I  3 . 2 B. I  x dx . f  x 1 . 2 C. I  5 . 3 D. I  2 . Lời giải Chọn A Ta có: xf ‘  x  ln x  f  x   2 x 2  f ‘  x  ln x  f  x  2x , x x  1;   . f x dx   2 x dx x f  x f  x  f  x  ln x   dx   dx  x 2  C x x 2  f  x  ln x  x  C , x  1;   .   f ‘  x  ln xdx   Do f  e   e2  C  0 . Suy ra f  x  ln x  x 2 , x  1;   x2  0, x  1;   ln x x ln x , x  1;   .   f  x x  f x  Vậy I   e2 e e2 ln x e2 3 x 1 dx   dx  ln 2 x  . e f  x x 2 e 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 18: Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên 1  0;1 thỏa mãn 3 f  x   x. f ( x)  x 2018 x   0;1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của  f  x  dx . 0 A. 1 . 2018.2020 B. 1 . 2019.2020 C. 1 . 2020.2021 D. 1 . 2019.2021 Lời giải Chọn D x 2021 trên  0;1 . 2021 Ta có: g   x   3x 2 f  x   x 3 f   x   x 2020  x 2 . 3 f  x   x. f ( x )  x 2018   0 x  0;1 . Xét hàm số: g  x   x 3 . f  x   Do đó g  x  là hàm số không giảm trên  0;1 , suy ra g  x   g  0  x   0;1 x 2021 x 2018  0, x   0;1  f  x    0, x   0;1 . 2021 2021 1 x 2018 1 f  x  dx   dx  . 2021 2019.2021 0 Hay x 3 . f  x   1 Vậy:  0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f  x   Câu 19: x 2018 . 2021 (Quỳnh Lưu Lần 1) Cho hàm số f  x  thỏa mãn các điều kiện f 1  2 , f  x   0, x  0 2 2 và  x 2  1 f ‘  x    f  x   x 2  1 với mọi x  0 . Giá trị của f  2  bằng 2 2 5 5 A. . B.  . C.  . D. . 5 5 2 2 Lời giải Chọn D 2 2 f ‘ x x2  1 Ta có  x 2  1 f ‘  x    f  x    x 2  1   2 2  x  1;2  (*)  f  x    x 2  1 Lấy tích phân 2 vế (*) trên 1; 2  ta được 1 2 2 2 1 2 2 2 f ‘ x x 1 1 1  f  x  2 dx  1 x 2  1 2 dx   f  x  1  1  x1  2 dx     x  x  1  2 dx   2 1 1 1 1 1 x       2   1 1 f  2  f 1 1  f 2 2  1 x  x  x  x  1 1 2 1 5       f  2  . f 2 2 5 2 2 Câu 20: (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho đa thức bậc bốn y  f ( x ) đạt cực trị tại x  1 và x  2 . Biết 1 2 x  f ( x) lim  2. Tích phân  f ( x)dx bằng x 0 2x 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 3 . 2 B. 1 . 4 C. Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 3 . 4 D. 1 . Lời giải Chọn B Ta có y  f ( x ) là đa thức bậc bốn nên f ( x ) là đa thức bậc ba. (1) f ( x)  2 x  f ( x ) f ( x)  Ta có lim  2  lim  1   2 . (2)   2  lim x  0 x 0 x  0 2x 2x  x  Từ (1), (2) suy ra f ( x ) có dạng f ( x)  x(ax 2  bx  2) . Ta lại có y  f ( x ) đạt cực trị tại x  1 và x  2 nên f (1)  0 , f (2)  0 . Do đó, ta có hệ phương a  b  2  0 a  1 trình  .   8a  4b  4  0 b  3 1 1 1 Vậy  f ( x)dx   x( x 2  3x  2)dx  . 4 0 0 Câu 21: (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho f  x   4 xf  x 2   3 x . Tính tích phân 1 I   f  x  dx . 0 1 B. I   . 2 A. I  2 . C. I  2 . D. I  1 . 2 Lời giải Chọn D 1 Ta có f  x   4 xf  x 2 1 1 1   3x   f  x   4 xf  x  dx   3xdx   f  x  dx   4 xf  x  dx  32 . 2 2 0 0 0 0 1 Xét A   4 xf  x 2  dx . 0 Đặt t  x 2  dt  2 xdx . Đổi cận x  0  t  0 , x  1  t  1 . 1 1 1 1 3 1 Vậy A   2 f  t  dt   2 f  x  dx  3 f  x  dx    f  x  dx  . 2 2 0 0 0 0 Câu 22: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho f  x  có đạo hàm trên  và thỏa mãn 3 f   x  .e f 3  x   x 2 1  2x  0 với mọi x  . Biết f  0   1 , tính tích phân f  x 2 7  x. f  x  dx . I 0 9 . 2 A. I  B. I  45 . 8 C. I  11 . 2 D. I  15 . 4 Lời giải Chọn B Ta có 3 f   x  .e   ef 3  x f 3  x   x 2 1   e   e x 2 1 f3 x 2 2x e  2x f3 x  3 f 2  x  . f   x  .e    2 x.e x 1  2  0  3 f   x  . x2 1  2 f  x f  x e f 3  x  ex 2 1  C  * . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Thế x  0 vào * ta được e  e  C  C  0 . Do đó e f 3 x 2  e x 1  f 3  x   x 2  1  f  x   3 x2  1 . 7 Vậy I   x 3 x 2  1dx  0 1 2 1  x  1 2 x  1  3 d  x 2  1  12 . 4 0  3 2 7 7 4 3  3 2 x  1 3 x 2  1  8 0 7 0 3 45  . 16  1  . 8 8 Câu 23: (Chuyên Vinh Lần 2) Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp n trên  thỏa mãn 1 f (1  x )  x 2 f ( x )  2 x với mọi x   . Tính tích phân I   xf ( x )dx . 0 A. I  1 . 1 C. I  . 3 Lời giải B. I  1 . 1 D. I   . 3 Chọn A Ta có: Thay x  0 vào f (1  x )  x 2 f ( x )  2 x ta được f 1  0 f (1  x )  x 2 f ( x )  2 x   f  1  x   2 xf ( x )  x 2 f ( x )  2 . Khi đó f  (1)  2 . 1 1 f (1  x )  x f ( x )  2 x    f (1  x )  x 2 f ( x )dx   2 x dx 2 0 0 1 1 1 1   f (1  x )d 1-x   f  1  2  xf ( x )dx  1   f  x  dx  2  xf ( x )dx  3 . 0 0 1 0 1 Đặt J   f  x  dx , ta có: I   0 0 1 1 xf ( x )d x  xf  x  0   f ( x )d x  f 1   f ( x )d x  J . 1 0 0 0  J  2 I  3 I  1 Do đó ta có hệ phương trình:   .   I  J J  1 1 Vậy I   xf ( x )dx  1 . 0 Câu 24: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  , f  0   0, f   0   0 và thỏa mãn hệ thức f  x  . f   x   18 x 2   3x 2  x  f   x    6 x  1 f  x  , x   . 1 Biết   x  1 e f  x dx  a.e 2  b , với a; b  . Giá trị của a  b bằng. 0 A. 1 . B. 2 . C. 0 . D. 2 . 3 Lời giải Chọn A Ta có f  x  . f   x   18 x 2   3x 2  x  f   x    6 x  1 f  x     f  x  . f   x   18x 2 dx    3x 2  x  f   x    6 x  1 f  x dx File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1      f 2  x   6 x 3  dx    3 x 2  x  f  x   dx 2  1  f 2  x   6 x 3   3 x 2  x  f  x   C , với C là hằng số. 2 Mặt khác: theo giả thiết f  0   0 nên C  0 . Khi đó 1 2 f  x   6 x3   3x 2  x  f  x 1 , x   . 2  f  x   2x f 2  x   12 x3   6 x 2  2 x  f  x    f  x   2 x   f  x   6 x 2   0   . 2  f  x   6 x Trường hợp 1: Với f  x   6 x 2 , x   , ta có f   0   0 (loại). 1  Trường hợp 2: Với f  x   2 x, x   , ta có : 1 1 1 2x   x  1 e2 x  e 3 2 1 dx    x  1 e dx      dx  e  2 4 4 0  0 0 2 1 f  x   x  1 e 0 2x 3  a  4   a  b  1. 1 b    4 Câu 25: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Cho hàm số f  x  xác định và có đạo hàm f   x  liên tục trên đoạn 1;3 , f  x   0 với mọi x  1;3 , đồng thời 2 2 2 f   x  1  f  x     f  x    x  1  và f 1  1 .   3  f  x  dx  a ln 3  b , a, b , tính tổng S  a  b . 2 Biết rằng 1 A. S  0 . B. S  1 . C. S  2 . Lời giải D. S  4 . Chọn B 2 2 2 Ta có: f   x  1  f  x     f  x    x  1     f   x  1  f  x   f 4  x 2 2   x  1 . Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:  f   x  1  f  x   f 4 2  x 1  2 f  x   f  x   f   x  dx   x  1 dx    x  1 dx    f x 2 2 4 2 dx 3  1  x  1  C 1 1    4 2 3  2 d  f  x    f  x f  x  f  x   3  3  x  1  C 1  3  2   3 f  x f  x f  x 3 1  1 1 3 f  x  3 f 2  x 3 f 3  x  x  1  3 3 C File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mà f 1  1 nên  Suy ra:  3 f 3  x 3 f 3  x 3 Vậy:  1 Câu 26: 1 3  3 1 CC . 3 3 1 3 f  x  3 f 2  x 1  f  x    Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  x  1  3 3 1 3 f  x  3 f 2  x 1  x  1 1     3 3 3 f  x 3 3 3 3  1  3 1    x  1   1  .   1  x   f  x    f  x  x  3 3 1 f  x  dx   dx   ln x x 1 3   ln 3 . Suy ra a  1; b  0 hay a  b  1. 1 (Sở Nam Định) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên  . Biết rằng các tiếp tuyến với đồ thị y  f  x  tại các điểm có hoành độ x   1 , x  0 , x  1 lần lượt tạo với chiều dương của trục O x các góc 30° , 45 , 60 . 0 Tính tích phân I   1 A. I  25 . 3 1 3 f ‘  x . f ”  x  dx  4  f ‘  x   . f ”  x  dx . 0 B. I  0 . C. I  1 . 3 D. I  3 1. 3 Lời giải Chọn A Vì các tiếp tuyến với đồ thị y  f  x  tại các điểm có hoàng độ x   1 , x  0 , x  1 lần lượt tạo với chiều dương của trục O x các góc 30° , 45 , 60 nên hệ số góc của các tiếp tuyến lần 3 lượt là: f ‘  1  tan 30  , f ‘  0   tan 45  1 , f ‘ 1  tan 60  3 . 3 0 Ta có: I  1  f ‘  x . f ”  x  dx  4  f ‘  x   1 3 . f ”  x  dx . 0   x  1  Đặt t  f ‘  x   dt  f ”  x  dx . Đổi cận  x  0  x  1  1 1 3 t2 3 25 4 3 .   I   tdt + 4  t dt = 3 t 2 3 1 1 3 3 3 Câu 27:  t  f ‘  1  3 3  t  f ‘  0  1  t  f ‘ 1  3 (THTT số 3) Cho hàm số f  x  xác định, liên tục trên  và thoả mãn     f x3  x  1  f  x3  x  1 1   6 x 6  12 x 4  6 x 2  2 , x   . Tính tích phân  f  x  dx . 3 A. 32. B. 4. C. 36 . Lời giải D. 20 . Chọn D File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2 Đặt a  x 3  x  1 , khi đó ta có f  a   f   a  2   6  a  1  2 1 . Hàm số f  a  liên tục và xác định trên  . 1  f  a da . Lấy tích phân hai vế của 1 , ta được Lúc đó ycbt trở thành tính giá trị của tích phân 3 1  3 1 1  f  a da   f  a  2 da  3 1  2 6  a  1  2 da  40  2  . Từ tích phân 3  f  a  2 da ta đặt 3 t  a  2  dt  da . Khi a  3  t  1; a  1  t  3 . Tích phân trên chuyển thành 1 1 1  f  t  dt , kết hợp với  2 ta suy ra: 2  f  a da  40   f  a da  20. Đây chính là đáp số 3 3 3 cần tìm. Câu 28: (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn f   x   f  x    x  1 e 2 A. 3e12  1. x 2  2 x 1 2 , x  và f 1  e . Giá trị của f  5  bằng B. 5e17 . C. 5e17  1 . Lời giải D. 3e12 . Chọn B Ta f   x   f  x    x  1 e 2 có: x 2  2 x 1 2  f   x  e  e f  x    x  1 e x x 2 x 2 1 2 2 ‘   e f  x     x  1 e x 2 5 x 1 2 . 5    e f  x   dx =   x 2  1 e x 1 1 x 2 1 2 5 x 5 2 dx  e f  x    x e x 2 1 2 1 1 5 dx   e x 2 1 2 dx 1  e 5 f  5   1  I 1  I 2  * 5 Xét: I 2   e x 2 1 2 dx . 1 2 2 x 1 x 1   u  e 2  d u  xe 2 d x Đặt:  .  dv  dx v  x I 2  xe x 2 1 2 5 2 x e 1  *  e 5 5 x 2 1 2 dx  5e12  1  I1  I1  I 2  5e12  1 1 f  5   1  5e12  1  f  5   5e17 . 6 Câu 29: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Cho 6 2  f  x  dx   x. f  x  dx  72 . Giá 0 0 3 trị của  f  x  dx bằng 1 A. 5. B. 4. C. 3. Lời giải D. 2. Chọn B 6 Cách 1: Ta có:  0 6 f 2  x