Trắc nghiệm số phức có giải chi tiết trong các đề thi thử Toán 2018

Giới thiệu Trắc nghiệm số phức có giải chi tiết trong các đề thi thử Toán 2018

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Trắc nghiệm số phức có giải chi tiết trong các đề thi thử Toán 2018 CHƯƠNG SỐ PHỨC.

Trắc nghiệm số phức có giải chi tiết trong các đề thi thử Toán 2018

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Trắc nghiệm số phức có giải chi tiết trong các đề thi thử Toán 2018

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Trắc nghiệm số phức có giải chi tiết trong các đề thi thử Toán 2018
Câu 1: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 10-năm 2017-2018) Cho hai số thực x , y thoả mãn phương trình x  2i  3  4 yi . Khi đó giá trị của x và y là: A. x  3 , y  2 . B. x  3i , y  1 . 2 C. x  3 , y  1 . 2 1 D. x  3 , y   . 2 Lời giải Chọn C x  3 x  3   Từ x  2i  3  4 yi   1. 2  4 y  y  2 1 Vậy x  3 , y  . 3 Câu 2: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 10-năm 2017-2018) Phần thực và phần ảo của số phức z  1  2i lần lượt là: A. 2 và 1 B. 1 và 2i . C. 1 và 2 . D. 1 và i . Lời giải Chọn C Số phức z  1  2i có phần thực và phần ảo lần lượt là 1 và 2 . Câu 3: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018) Cho hai số phức z  a  bi , z  a  bi (a, b, a, b   ) . Tìm phần ảo của số phức zz  . A.  ab  ab  i . B. ab  ab . C. ab  ab . D. aa  bb . Lời giải Chọn B Ta có: zz    a  bi  a  bi   aa  abi  abi  bbi 2  aa  bb   ab  ab  i Vậy phần ảo của số phức zz  là ab  ab . Câu 4: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình z 2  2 z  5  0 trên tập số phức  . A. 1  2i ; 1  2i . B. 1 i ; 1 i . C. 1  2i ; 1  2i . Lời giải: D. 1  i ; 1  i . Chọn C   12  5  4  4i 2 .  z  1  2i Suy ra phương trình có hai nghiệm phức:  1 .  z2  1  2i Câu 5: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức A. z  2  i . C. z  2  i . y B. z  1  2i . D. z  1  2i . M 1 Lời giải Chọn A Điểm M  2;1 biểu diễn số phức z  2  i . 2 O x Câu 1: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018) Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số phức z  1  i  2  i  ? A. P . B. M . C. N . D. Q . Lời giải Chọn D Ta có z  1  i  2  i   z  3  i . Điểm biểu diễn của số phức z là Q  3;1 . Câu 2: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Số phức z thỏa mãn z  5  8i có phần ảo là A. 8 . B. 8i . C. 5 . D. 8 . Lời giải Chọn D Ta có z  5  8i suy ra phần ảo của z là 8 . Câu 3: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2  z  1  0 là: A. 1 3  i. 2 2 1 3 B.   i. 2 2 C. 1 3  i. 2 2 1 3 D.   i. 2 2 Lời giải Chọn A Ta có:   1  4  3  3i 2 . Phương trình đã cho có hai nghiệm 1  3i 1  3i và . 2 2 Vậy nghiệm phức có phần ảo dương là 1 3  i. 2 2 Câu 4: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hai số phức z1  2  3i , z2  4  5i . Số phức z  z1  z2 là A. z  2  2i . B. z  2  2i . C. z  2  2i . Lời giải Chọn B z  z1  z2  2  3i  4  5i  2  2i . D. z  2  2i . Câu 5: (THPT Trần Nhân Tông-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Tìm giá trị cực tiểu của hàm số y  x4  4 x2  3 A. yCT  4 . B. yCT  6 . C. yCT  1 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: y  4 x3  8 x . x  0  y  3  y   0  4 x 3  8 x  0   x  2  y  1 .  x   2  y  1  Bảng biến thiên Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là yCT  1 tại xCT  2 , xCT   2 . D. yCT  8 . Câu 1: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Phần ảo của số phức z  2  3i là A. 3i . B. 3 . C. 3 . D. 3i . Lời giải Chọn C Phần ảo của số phức z  2  3i là 3 . Câu 2: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Cho số phức z  2018  2017i . Điểm M biểu diễn của số phức liên hợp của z là A. M  2018; 2017  . B. M  2018; 2017  . C. M  2018; 2017  . D. M  2018; 2017  . Lời giải Chọn D Ta có z  2018  2017i , nên M  2018; 2017  . Câu 3: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho số phức z  1  2i . Số phức liên hợp của z là A. z  1  2i . B. z  1  2i . C. z  2  i . D. z  1  2i . Lời giải Chọn D Số phức liên hợp của z là z  1  2i . Câu 4: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức z  2  3i  4  i  . 3  2i A.  1; 4  . B. 1; 4  . C. 1; 4  . D.  1; 4  Lời giải Chọn A Ta có z   2  3i  4  i   5  14i   5  14i  3  2i   13  52i 3  2i 13 3  2i 13 Do đó điểm biểu diễn cho số phức z có tọa độ  1; 4  .  1  4i . Câu 5: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho số phức z1  3  2i , z2  6  5i . Tìm số phức liên hợp của số phức z  6 z1  5 z2 A. z  51  40i . B. z  51  40i . C. z  48  37i . Lời giải D. z  48  37i . Chọn D Ta có: z  6 z1  5 z2  6  3  2i   5  6  5i   48  37i . Suy ra z  48  37i . Câu 6: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Xác định phần ảo của số phức z  18  12i . A. 12 . B. 18 . C. 12 . D. 12i . Lời giải Chọn A Phần ảo của số phức z  18  12i là 12 . Câu 7: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Số phức liên hợp của số phức z  1  2i là A. 1  2i . B. 1  2i . C. 2  i . D. 1  2i . Lời giải Chọn A Số phức liên hợp của số phức z  1  2i là z  1  2i . Câu 8: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Tìm phần ảo của số phức z , biết 1  i  z  3  i . A. 2 . B. 2 . C. 1 . Lời giải D. 1 . Chọn B Ta có: 1  i  z  3  i  z   3  i 1  i   z  1  2i . 3i z 1 i 1  i 1  i  Vậy phần ảo của số phức z bằng 2 . Câu 9: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Hỏi điểm M  3; 1 là điểm biểu diễn số phức nào sau đây? A. z  1  3i . B. z  1  3i . C. z  3  i . Lời giải D. z  3  i . Chọn C Điểm M  a; b  trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z  a  bi . Do đó điểm M  3; 1 là điểm biểu diễn số phức z  3  i . Câu 10: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Cho số phức z  4  5i . Biểu diễn hình học của z là điểm có tọa độ A.  4;5  . B.  4; 5 . C.  4; 5  . D.  4;5  . Lời giải Chọn A Số phức z  4  5i có phần thực a  4 ; phần ảo b  5 nên điểm biểu diễn hình học của số phức z là  4;5  . Câu 11: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) Cho số phức z  2  3i . Môđun của số phức w  1  i  z A. w  26 . C. w  5 . B. w  37 . D. w  4 . Lời giải Chọn A 2 Ta có w  1  i  z  1  i  2  3i   5  i , w  52   1  26 . Câu 12: (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 – năm 2017 – 2018) Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A , B như hình vẽ bên. Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức. y B 3 A 2 1 O 1 x 1 A.   2i . 2 B. 1  2i . C. 2  i . 1 D. 2  i . 2 Lời giải Chọn A 1  1  Trung điểm AB là I   ; 2  biểu diễn số phức là z    2i . 2  2  Câu 13: (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần 1 – năm 2017 – 2018) Số phức z nào sau đây thỏa z  5 và z là số thuần ảo? A. z  5 . B. z  2  3i . C. z  5i . Lời giải D. z   5i . Chọn D Gọi z  bi , với b  0 , b   là số thuần ảo  loại A, B. Ta có z  5  b  5  Chọn D Câu 14: (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần 1 – năm 2017 – 2018) Cho số phức z  mi , 1 (m   ) . Tìm phần ảo của số phức ? z 1 1 1 1 A.  . B. . C.  i . D. i . m m m m Lời giải Chọn A 1 1 1 1   i  i. z mi mi.i m Câu 15: (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần 1 – năm 2017 – 2018) 1  i  z  4  2i . Tìm môđun của số phức A. 5 . B. 10 . Cho số phức w  z3. C. 25 . Lời giải D. 7. Chọn A Ta có: z  4  2i  1  3i . Do đó: w  z  3  4  3i . 1 i Vậy w  42  32  5 . Câu 16: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Phần ảo của số phức z  5  2i bằng A. 5 . B. 5i . C. 2 . D. 2i . Lời giải Chọn C Câu 17: (SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018) Cho số phức z  1  2i . Số phức z được biểu diễn bởi điểm nào dưới đây trên mặt phẳng tọa độ? A. P 1; 2  . B. N 1; 2  . C. Q  1; 2  . D. M  1; 2  . Lời giải Chọn C Ta có z  1  2i  z  1  2i . Suy ra điểm biểu diễn của số phức z là Q  1; 2  . Câu 18: (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hai số phức z1  2  3i , z2  4  5i . Tính z  z1  z2 . A. z  2  2i . B. z  2  2i . C. z  2  2i . Lời giải D. z  2  2i . Chọn A z  z1  z2  2  3i   4  5i   2  2i . Câu 19: Cho số phức z  3  2i . Tính z . A. z  5 . B. z  13 . C. z  5 . D. z  13 . Câu 20: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho số phức z  3  2i . Tính z . A. z  5 . B. z  13 . C. z  5 . D. z  13 . Lời giải Chọn B Ta có z  32  22  13 . Câu 21: (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho số phức z  3  4i. Môđun của z là A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. 7 . Lời giải Chọn B Ta có z   3 2  42  5. Câu 22: (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho số phức z có biểu diễn hình học là điểm M ở hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? y 3 x O 2 M A. z  3  2i . B. z  3  2i . C. z  3  2i . Lời giải D. z  3  2i . Chọn D Điểm biểu diễn của số phức z  a  bi là M  a; b  . Câu 23: (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho số phức z  1  i . Số phức nghịch đảo của z là 1 i 1 i 1  i A. . B. 1  i . C. . D. . 2 2 2 Lời giải Chọn C 1 z Ta có z  1  i   1 1 i .  1 i 2 Câu 24: (THPT Kim Liên – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018)Tìm số phức liên hợp của số phức z  i . A. 1 . B. 1. C. i . D. i . Lời giải Chọn D Câu 25: (THPT Kim Liên – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018)Gọi A , B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1  1  2i ; z2  5  i . Tính độ dài đoạn thẳng AB. A. 5  26 . B. 5 . C. 25 . Lời giải D. 37 . Chọn B Ta có: A 1;2  , B  5; 1  AB  5 . Câu 26: (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho số phức z  7  3i . Tính z . A. z  5 . B. z  3 . C. z  4 . D. z  4 . Lời giải Chọn C Ta có z  7  9  4 . Câu 27: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh – Lần 2 năm 2017 – 2018)Mô đun của số phức z  7  5i bằng A. 74 . B. 24 . C. 74 . Lời giải D. 2 6 . Chọn C Ta có z  7 2  52  74 . Câu 28: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh – Lần 2 năm 2017 – 2018)Phần thực của số phức z   3  i 1  4i  là A. 1 . B. 13 . D. 13 . C. 1. Lời giải Chọn A Ta có: z   3  i 1  4i   1  13i . Câu 29: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z 1  i   3  5i . Tính môđun của z . A. z  17 . B. z  16 . C. z  17 . D. z  4 . Lời giải Chọn A Ta có: z 1  i   3  5i  z  3  5i  1  4i  z  1 i 2  1   4  2  17 . Câu 30: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Tìm phần thực và phần ảo cú số phức z . A. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 3 . C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 . y 4 M O 3 x B. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 3i . D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4i . Lời giải Chọn C Từ hình vẽ ta có M  3; 4  nên z  3  4i . Vậy Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 . Câu 31: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho số phức z  2  i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w  iz trên mặt phẳng tọa độ? A. P  2;1 . B. N  2;1 . C. Q 1; 2  . D. M  1; 2  . Lời giải Chọn A w  iz  i  2  i   1  2i  điểm P  2;1 là điểm biểu diễn của số phức w  iz trên mặt phẳng tọa độ. Câu 32: (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Tìm số phức liên hợp của số phức z  3  2i . A. z  3  2i . B. z  3  2i . C. z  2  3i . Lời giải D. z  2  3i . Chọn A z  3  2i . Câu 33: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Cho số phức z  1  2i thì số phức liên hợp z có A. phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 2 . C. phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 2 . B. phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 1 . D. phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 1 . Lời giải Chọn C z  1  2i . Do đó số phức liên hợp z có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 2 . Câu 34: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z . Số phức z là A. 2  i . B. 1  2i . C. 1  2i . Lời giải D. 2  i . Chọn A Dựa vào hình vẽ ta có z  2  i , suy ra z  2  i . Câu 35: (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Số phức B. Số phức C. Số phức D. Số phức z  2  3i z  2  3i z  2  3i z  2  3i có phần thực là 2 , phần ảo là 3 . có phần thực là 2 , phần ảo là 3i . có phần thực là 2 , phần ảo là 3i . có phần thực là 2 , phần ảo là 3 . Lời giải Chọn A Mỗi số phức z  a  bi có phần thực là a , phần ảo là b . Câu 36: (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018) Cho hai số phức z1  1  2i , z2  3  i . Tìm số phức z  A. z  z2 . z1 1 7  i. 5 5 B. z  1 7  i. 10 10 C. z  Lời giải Chọn C Ta có z  z2 3i 1 7    i. z1 1  2i 5 5 1 7  i. 5 5 D. z   1 7  i. 10 10 Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Tính môđun của số phức z  3  4i . A. 3 . B. 5 . C. 7 . Lời giải D. 7. Chọn B Môđun của số phức z  3  4i là: z  32  42  5 . Câu 2: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Số phức liên hợp của số phức z  i 1  2i  có điểm biểu diễn là điểm nào dưới đây? A. E  2; 1 . B. B  1; 2  . C. A 1; 2  . D. F  2;1 . Lời giải Chọn A Ta có: z  i 1  2i   2  i  z  2  i nên điểm biểu diễn của số phức z là E  2; 1 . Câu 3: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức z . Mệnh đề nào sau đây đúng? y A 2 x 3 O A. Phần thực là 3 , phần ảo là 2 . C. Phần thực là 3 , phần ảo là 2i . B. Phần thực là 3 , phần ảo là 2i . D. Phần thực là 3 , phần ảo là 2 . Lời giải Chọn A Câu 4: (THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho số phức z  1  2i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w  z  iz trên mặt phẳng toạ độ? A. M  3;3 . B. Q  3; 2  . C. N  2;3 . D. P  3;3 . Lời giải Chọn A w  z  iz  1  2i  i 1  2i   3  3i . Vậy điểm biểu diễn của số phức w  z  iz là M  3;3 . Câu 5: (SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hai số phức z1  2  3i , z2  1  i . Giá trị của biểu thức z1  3z2 là A. 55 . B. 5 . C. 6 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: z1  3 z2  2  3i  3 1  i   5  6i  52  62  61 . D. 61 . Câu 6: (SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2  2 z  10  0 . Tính iz0 . A. iz0  3  i . B. iz0  3i  1 . C. iz0  3  i . D. iz0  3i  1 . Hướng dẫn giải Chọn C  z  1  3i Ta có: z 2  2 z  10  0    z0  1  3i  iz0  3  i .  z  1  3i Câu 7: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z  1  i là: A. Phần thực là 1, phần ảo là 1 . C. Phần thực là 1, phần ảo là i . B. Phần thực là 1, phần ảo là i . D. Phần thực là 1, phần ảo là 1. Lời giải Chọn A Ta có số phức liên hợp của số phức z  1  i là z  1  i , suy ra Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z  1  i là và 1 . Câu 8: (THPT Chu Văn An – Hà Nội – năm 2017-2018) Điểm biểu diễn của số phức z là M 1; 2  . Tọa độ của điểm biểu diễn cho số phức w  z  2 z là A.  2; 3 . B.  2;1 . C.  1;6  . D.  2;3 . Lời giải Chọn C Ta có: z  1  2i nên w  z  2 z  1  2i   2 1  2i   1  6i . Do đó, số phức w  z  2 z có điểm biểu diễn là  1;6  . Câu 9: (THPT Chu Văn An – Hà Nội – năm 2017-2018) Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình z 2  4 z  5  0 . Giá trị của biểu thức P   z1  2 z2  .z2  4 z1 bằng: A. 10 . B. 10 . C. 5 . Lời giải D. 15 . Chọn D  z1  2  i Ta có z 2  4 z  5  0   .  z2  2  i Vậy P   z1  2 z2  .z2  4 z1   2  i  2  2  i   .  2  i   4  2  i   15 . Câu 10: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – năm 2017-2018) Mô đun của số phức z  7  3i là. A. z  5 . B. z  10 . C. z  16 . D. z  4 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: z  7  9  4 . Câu 11: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – năm 2017-2018) Cho z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2 z  5  0 , trong đó z1 có phần ảo dương. Số phức liên hợp của số phức z1  2 z2 là? A. 3  2i . B. 3  2i . C. 2  i . Hướng dẫn giải D. 2  i . Chọn A  z1  1  2i Ta có: z 2  2 z  5  0   ( Vì z1 có phần ảo dương)  z2  1  2i Suy ra: z1  2 z2  1  2i  2  1  2i   3  2i . Vậy: Số phức liên hợp của số phức z1  2 z2 là 3  2i .  Câu 12: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 – năm 2017-2018) Cho số phức z  1  i  1  2i  . Số phức z 2 có phần ảo là: A. 2 . B. 4 . C.  2 . Lời giải D. 2i . Chọn A Ta có z  1  i  1  2i   2i 1  2i   4  2i . Vậy số phức z có phần ảo là 2 . 2 Câu 13: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An – năm 2017-2018) Điểm M trong hình bên là điểm biểu diễn cho số phức A. z  4  2i . B. z  2  4i . C. z  4  2i . Lời giải D. z  2  4i . Chọn B Điểm M biểu diễn cho số phức z  2  4i . Câu 14: Cho hai số phức z1  1  2i và z2  2  3i . Phần ảo của số phức w  3 z1  2 z2 là A. 1. B. 11. C. 12 . D. 12i . Câu 15: Cho hai số phức z1  1  2i và z2  2  3i . Phần ảo của số phức w  3 z1  2 z2 là A. 1. B. 11. C. 12 . D. 12i . Lời giải Chọn C Ta có w  3 z1  2 z2  3 1  2i   2  2  3i   1  12i . Vậy phần ảo của số phức w là 12. Câu 16: Cho số phức z  a  bi  a, b    . Khẳng định nào sau đây sai? A. z  a 2  b 2 . B. z  a  bi . C. z 2 là số thực. Câu 17: Cho hai số phức z và z . Trong các mệnh đề sai, mệnh đề nào sai? D. z.z là số thực. A. z  z  z  z . C. z.z  z.z . B. z.z  z . z . D. z  z  z  z . Câu 18: Cho số phức z  a  bi  a, b    . Khẳng định nào sau đây sai? A. z  a 2  b 2 . C. z 2 là số thực. B. z  a  bi . D. z.z là số thực. Lời giải Chọn C Đáp án A và B đúng theo định nghĩa. 2 Đáp án C: Ta có z 2   a  bi   a 2  2bi  b 2 là số phức có phần ảo khác 0 khi b  0  Sai. 2 Đáp án D: z.z   a  bi  a  bi   a 2   bi   a 2  b 2 là một số thực  Đúng. Câu 19: Cho hai số phức z và z . Trong các mệnh đề sai, mệnh đề nào sai? A. z  z  z  z . B. z.z  z . z . C. z.z  z.z . Lời giải Chọn A Với hai số phức z và z , ta có: z  z  z  z . D. z  z  z  z . Câu 20: Cho hai số phức z1  3  i và z2  4  i . Tính môđun của số phức z12  z2 . A. 12 . B. 10 . C. 13 . D. 15 . Câu 21: Cho hai số phức z1  3  i và z2  4  i . Tính môđun của số phức z12  z2 . A. 12 . B. 10 . C. 13 . Lời giải D. 15 . Chọn C 2 Ta có: z12  z2   3  i    4  i   12  5i nên z12  z2  122  5 2  13 . Câu 22: Tìm tọa độ điểm M là điểm biểu diễn số phức z  3  4i . A. M  3; 4  . B. M  3; 4  . C. M  3; 4  . D. M  3; 4  . Câu 23: Tìm tọa độ điểm M là điểm biểu diễn số phức z  3  4i . A. M  3; 4  . B. M  3; 4  . C. M  3; 4  . D. M  3; 4  . Lời giải Chọn A Ta có điểm M  3; 4  biểu diễn số phức z  3  4i . Câu 24: Số phức z  4  2i có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là M . Tìm tọa độ điểm M A. M  4;2 . B. M  2; 4  . C. M  4; 2  . D. M  4; 2  . Câu 25: Số phức z  4  2i có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là M . Tìm tọa độ điểm M A. M  4;2 . B. M  2; 4  . C. M  4; 2  . D. M  4; 2  . Lời giải Chọn A Số phức z  4  2i có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là M  4;2 . Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn 1  z 1  i   5  i  0 . Số phức w  1  z bằng A. 1  3i . B. 1  3i . C. 2  3i . D. 2  3i . Câu 27: Cho số phức z thỏa mãn 1  z 1  i   5  i  0 . Số phức w  1  z bằng A. 1  3i . B. 1  3i . C. 2  3i . Lời giải D. 2  3i . Chọn D Ta có 1  z 1  i   5  i  0  1  z  2  3i  z  1  3i . Vậy w  1  z  1  1  3i  2  3i . Câu 28: Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z  1  3i 1  2i   3  4i  2  3i  . Giá trị của a  b là A. 7 . B. 7 . C. 31 . D. 31 . Câu 29: Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z  1  3i 1  2i   3  4i  2  3i  . Giá trị của a  b là A. 7 . B. 7 . C. 31 . D. 31 . Lời giải Chọn B Ta có: z  1  3i 1  2i   3  4i  2  3i   2 1  2i   5  2  3i   12  19i Vậy a  b  12  19  7. Câu 30: Cho số phức z có số phức liên hợp z  3  2i . Tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng. A. 1 . B. 5 . C. 5 . D. 1 . Câu 31: Cho số phức z thỏa mãn 1  2i  z  1  2i    2  i  . Mô đun của z bằng A. 2 . B. 1 . C. 2. D. 10 . Câu 32: Cho số phức z có số phức liên hợp z  3  2i . Tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng. A. 1. B. 5 . C. 5 . D. 1 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: z  3  2i . Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng 5 . Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn 1  2i  z  1  2i    2  i  . Mô đun của z bằng A. 2 . B. 1 . C. 2 . Hướng dẫn giải D. 10 . Chọn C 1  2i  z  1  2i    2  i   1  2i  z  3  i  z  3 i  1  i . Vậy z  2 . 1  2i Câu 34: Cho các số phức z1  2  3i , z2  4  5i . Số phức liên hợp của số phức w  2  z1  z2  là A. w  8  10i . B. w  12  16i . C. w  12  8i . D. w  28i . Câu 35: Cho các số phức z1  2  3i , z2  4  5i . Số phức liên hợp của số phức w  2  z1  z2  là A. w  8  10i . B. w  12  16i . C. w  12  8i . Lời giải D. w  28i . Chọn B Ta có w  2  6  8i   12  16i  w  12  16i . Câu 36: Cho số phức z  a  bi với a , b là các số thực bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Phần ảo của z là bi . B. Môđun của z 2 bằng a 2  b 2 . C. z  z không phải là số thực. D. Số z và z có môđun khác nhau. Câu 37: Cho số phức z  a  bi với a , b là các số thực bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Phần ảo của z là bi . B. Môđun của z 2 bằng a 2  b 2 . C. z  z không phải là số thực. D. Số z và z có môđun khác nhau. Lời giải Chọn B 2 z2  z   a2  b2  2  a 2  b2 . Câu 38: Cho số phức z  3  i . Tính z . A. z  2 2 . B. z  2 . C. z  4 . D. z  10 . Câu 39: Điểm M trong hình vẽ dưới đây biểu thị cho số phức A. 3  2i . C. 2  3i . M B. 2  3i . D. 3  2i . y 3 2 O x Câu 40: Cho z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 z 2  1  0 (trong đó số phức z1 có phần ảo âm). Tính z1  3 z2 . A. z1  3 z2  2.i . B. z1  3z2   2 . C. z1  3 z2   2.i . D. z1  3z2  2 . C. z  4 . D. z  10 . Câu 41: Cho số phức z  3  i . Tính z . A. z  2 2 . B. z  2 . Lời giải Chọn D Ta có z  z  32  12  10 . Câu 42: Điểm M trong hình vẽ dưới đây biểu thị cho số phức M A. 3  2i . B. 2  3i . y 3 x 2 O C. 2  3i . Lời giải D. 3  2i . Chọn B Hoành độ, tung độ của điểm M là phần thực, phần ảo của số phức  z  2  3i . Câu 43: Cho z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 z 2  1  0 (trong đó số phức z1 có phần ảo âm). Tính z1  3 z2 . A. z1  3z2  2.i . B. z1  3z2   2 . C. z1  3 z2   2.i . D. z1  3z2  2 . Lời giải Chọn A  2 i  z1   2 2 2 2 i3 i  2i . Ta có: 2 z  1  0   . Khi đó: z1  3 z2   2 2  2 i  z2   2 Câu 44: Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z  a  bi ( a, b   , ab  0 ), M  là điểm biểu diễn cho số phức z . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M  đối xứng với M qua Oy . B. M  đối xứng với M qua Ox . C. M  đối xứng với M qua đường thẳng y  x . D. M  đối xứng với M qua O . Câu 45: Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z  a  bi ( a, b   , ab  0 ), M  là điểm biểu diễn cho số phức z . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M  đối xứng với M qua Oy . B. M  đối xứng với M qua Ox . C. M  đối xứng với M qua đường thẳng y  x . D. M  đối xứng với M qua O . Lời giải Chọn B Ta có M  là điểm biễu diễn cho số phức z  a  bi  M   a; b  nên M  đối xứng với M qua Ox . Câu 46: Gọi z1 , z 2 , z3 là ba nghiệm của phương trình z 3  1  0 . Tính S  z1  z2  z3 A. S  1 . B. S  4 . C. S  2 . D. S  3 . Câu 47: Gọi z1 , z 2 , z3 là ba nghiệm của phương trình z 3  1  0 . Tính S  z1  z2  z3 A. S  1 . B. S  4 . C. S  2 . D. S  3 . Lời giải Chọn D  z  1  1 3 Ta có: z  1  0   z    2   z  1   2 1 3 1 3 3  i  i  3. i . Do đó: S  1  2 2 2 2 2 3 i 2 Câu 48: Trong mặt phẳng phức, cho số phức z  1  2i . Điểm biểu diễn cho số phức z là điểm nào sau đây A. M  1; 2  . B. Q 1;2  . C. P  1; 2  . D. N  2;1 . Câu 49: Trong mặt phẳng phức, cho số phức z  1  2i . Điểm biểu diễn cho số phức z là điểm nào sau đây A. M  1; 2  . B. Q 1; 2  . C. P  1; 2  . D. N  2;1 . Lời giải Chọn B Ta có: z  1  2i  z  1  2i nên có điểm biểu diễn là 1; 2  . Câu 50: Trong mặt phẳng Oxy , điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z . Số phức z là A. 2  i . B. 1  2i . C. 2  i . D. 1  2i . Câu 51: Trong mặt phẳng Oxy , điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z . Số phức z là A. 2  i . B. 1  2i . C. 2  i . D. 1  2i . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có z  2  i  z  2  i . Câu 52: Cho số phức z  11  i . Điểm biểu diễn số phức liên hợp của z là điểm nào dưới đây? A. Q  11;0  . B. M 11;1 . C. P 11;0  . D. N 11; 1 . Câu 53: Cho số phức z  11  i . Điểm biểu diễn số phức liên hợp của z là điểm nào dưới đây? A. Q  11;0  . B. M 11;1 . C. P 11;0  . D. N 11; 1 . Lời giải Chọn D Vì z  11  i nên điểm biểu diễn số phức liên hợp z là N 11; 1 . Câu 54: Phần thực của số phức z  1  2i bằng A. 2 . B. 1 . Câu 55: Phần thực của số phức z  1  2i bằng A. 2 . B. 1 . C. 1 . C. 1 . Hướng dẫn giải Chọn C Phần thực của số phức z  1  2i bằng 1 . Câu 56: Cho hai số phức z1  2  3i , z2  3  2i . Tích z1.z2 bằng: D. 3 . D. 3 . A. 5i . B. 6  6i . C. 5i . Câu 57: Số phức nghịch đảo z 1 của số phức z  2  2i là 1 1 1 1 1 1 A.  i . B.   i . C.  i . 4 4 4 4 4 4 Câu 58: Cho hai số phức z1  2  3i , z2  3  2i . Tích z1.z2 bằng: A. 5i . B. 6  6i . C. 5i . Lời giải Chọn D Ta có z1.z2   2  3i  .  3  2i   12  5i . Câu 59: Số phức nghịch đảo z 1 của số phức z  2  2i là 1 1 1 1 1 1 A.  i . B.   i . C.  i . 4 4 4 4 4 4 Lời giải Chọn C 1 2  2i 1 1 Ta có z 1     i. 2  2i 8 4 4 D. 12  5i . 1 1 D.   i . 4 4 D. 12  5i . 1 1 D.   i . 4 4 2 Câu 60: Cho số phức z  1  i  1  2i  . Số phức z có phần ảo là A. 2 . B. 4 . C. 2 . D. 2i . 2 Câu 61: Cho số phức z  1  i  1  2i  . Số phức z có phần ảo là A. 2 . B. 4 . C. 2 . Lời giải D. 2i . Chọn A 2 z  1  i  1  2i   1  2i  i 2  1  2i   2i 1  2i   2i  4i 2  2i  4 có phần ảo là 2 . Câu 62: Số phức z  15  3i có phần ảo bằng A. 3 . B. 15 . C. 3i . D. 3 . Câu 63: Cho hai số phức z  3  5i và w  1  2i . Điểm biểu diễn số phức z  z  w.z trong mặt phẳng Oxy có tọa độ là A.  4;  6  . B.  4;  6  . Câu 64: Số phức z  15  3i có phần ảo bằng A. 3 . B. 15 . C.  4; 6  . D.  6;  4  . C. 3i . D. 3 . Lời giải Chọn A Câu 65: Cho hai số phức z  3  5i và w  1  2i . Điểm biểu diễn số phức z  z  w.z trong mặt phẳng Oxy có tọa độ là A.  4;  6  . B.  4;  6  . C.  4; 6  . D.  6;  4  . Lời giải Chọn A Ta có z  z  w.z  3  5i   1  2i  3  5i   3  5i   7  11i   4  6i . Câu 66: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z  3  2i . A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i. B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2. C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i. D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2. Câu 67: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z  3  2i . A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i. B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2. C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i. D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2. Lời giải Chọn D Số phức z  3  2i có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2. Câu 68: Cho số phức z  2  4i . Hiệu phần thực và phần ảo của z bằng. A. 2 . B. 2 5 . C. 2 . D. 6 . Câu 69: Cho số phức z  2  4i . Hiệu phần thực và phần ảo của z bằng. A. 2 . B. 2 5 . C. 2 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn C Phần thực và phần ảo lần lượt là 2 và 4 . Vậy hiệu phần thực và phần ảo của z bằng 2 . Câu 70: Điểm M trong hình vẽ dưới đây biểu diễn số phức z . y 3 O M 1 2 x Số phức z bằng A. 2  3i . B. 2  3i . C. 3  2i . D. 3  2i . 2 Câu 71: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z  4 z  5  0 . Giá trị của biểu thức z12  z22 bằng. A. 10 . B. 20 . C. 6 . D. 6  8i . Câu 72: Điểm M trong hình vẽ dưới đây biểu diễn số phức z . y 3 O Số phức z bằng A. 2  3i . B. 2  3i . M 1 2 x C. 3  2i . Lời giải D. 3  2i . Chọn A Theo hình vẽ thì z  2  3i  z  2  3i . Câu 73: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  4 z  5  0 . Giá trị của biểu thức z12  z22 bằng. A. 10 . B. 20 . C. 6 . Lời giải D. 6  8i . Chọn A  z  2  i  z1 . z2  4z  5  0    z  2  i  z2 2 2 z12  z22  z1  z2  5  5  10 . Câu 74: Cho số phức z  1  2i . Điểm biểu diễn của số phức z là A. M  1; 2  . B. M  1;  2  . C. M 1;  2  . D. M  2;1 . Câu 75: Cho phương trình z 2  4 z  5  0 có hai nghiệm phức z1 , z2 . Tính A  z1  z2  z1 z2 . A. A  25  2 5 . C. A  5  2 5 . B. A  0 . Câu 76: Cho số phức z  1  2i . Điểm biểu diễn của số phức z là A. M  1; 2  . B. M  1;  2  . C. M 1;  2  . D. A  5  2 5 . D. M  2;1 . Lời giải Chọn C Ta có z  1  2i có điểm biểu diễn là M 1;  2  . Câu 77: Cho phương trình z 2  4 z  5  0 có hai nghiệm phức z1 , z2 . Tính A  z1  z2  z1 z2 . A. A  25  2 5 . B. A  0 . C. A  5  2 5 . Lời giải D. A  5  2 5 . Chọn D  z1  2  i . z2  4z  5  0    z1  2  i Do đó: A  z1  z2  z1 z2  5  2 5 . Câu 78: Cho số phức z  3  4i . Môđun của z bằng A. 25 . B. 7 . Câu 79: Cho số phức z  3  4i . Môđun của z bằng A. 25 . B. 7 . C. 1 . D. 5 . C. 1 . Lời giải D. 5 . Chọn D 2 Ta có z  32   4   5 . Câu 80: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo? A. z  3  2i . B. z  2  3i . C. z  2i . D. z  2 . Câu 81: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . y O 1 -4 Tìm z ? A. z  4  3i . 3 x M B. z  3  4i . C. z  3  4i . D. z  3  4i . C. z  2i . D. z  2 . Câu 82: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo? A. z  3  2i . B. z  2  3i . Hướng dẫn giải Chọn C Câu 83: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . y O -4 Tìm z ? A. z  4  3i . 1 3 x M B. z  3  4i . C. z  3  4i . Hướng dẫn giải D. z  3  4i . Chọn C Số phức z có phần thực a  3 và phần ảo b  4 nên z  3  4i . Câu 84: Cho số phức z  1  4i . Tìm phần thực của số phức z . A. 1 . B. 1 . C. 4 . D. 4 . Câu 85: Tìm các số thực x, y thỏa mãn 2 x  1  1  2 y  i  2  x   3 y  2  i . 3 A. x  1; y  . 5 B. x  3; y  3 . 5 1 C. x  3; y   . 5 Câu 86: Cho số phức z  1  4i . Tìm phần thực của số phức z . A. 1 . B. 1 . C. 4 . Lời giải Chọn A 1 D. x  1; y   . 5 D. 4 . Ta có z  1  4i . Vậy phần thực của số phức z là  1 . Câu 87: Tìm các số thực x, y thỏa mãn 2 x  1  1  2 y  i  2  x   3 y  2  i . 3 A. x  1; y  . 5 B. x  3; y  3 . 5 1 C. x  3; y   . 5 1 D. x  1; y   . 5 Lời giải Chọn D x  1 2 x  1  2  x  2 x  1  1  2 y  i  2  x   3 y  2     1 1  2 y  3 y  2  y   5 Câu 88: Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M  3; 2  là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây? A. z  3  2i . B. z  3  2i . C. z  3  2i . D. z  3  2i . Câu 89: Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M  3; 2  là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây? A. z  3  2i . B. z  3  2i . C. z  3  2i . Lời giải D. z  3  2i . Chọn B Điểm M  3; 2  là điểm biểu diễn của số phức z  3  2i . Câu 90: Cho bốn điểm A , B , C , D trên hình vẽ biểu diễn 4 số phức khác nhau. Chọn mệnh đề sai. A. B là biểu diễn số phức z  1  2i . B. D là biểu diễn số phức z  1  2i . C. C là biểu diễn số phức z  1  2i . D. A là biểu diễn số phức z  2  i . y A 2 1 1 1 x O D 1 2 B C Câu 91: Cho bốn điểm A , B , C , D trên hình vẽ biểu diễn 4 số phức khác nhau. Chọn mệnh đề sai. y A 1 1 1 2 x O 1 D 2 B B. D là biểu diễn số phức z  1  2i . D. A là biểu diễn số phức z  2  i . Lời giải C A. B là biểu diễn số phức z  1  2i . C. C là biểu diễn số phức z  1  2i . Chọn B Theo hình vẽ thì điểm D là biểu diễn số phức z  2  i . Suy ra B sai. Câu 92: Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  z  1  0 . Giá trị của biểu thức P  z12  z22  z1 z2 bằng: A. P  1 . B. P  2 . C. P  1 . Câu 93: Điểm M trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức z . D. P  0 . y O 3 x -4 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Số phức z có phần thực là 3 và phần ảo là 4 . B. Số phức z phần thực là 3 và phần ảo là 4i . C. Số phức z phần thực là 4 và phần ảo là 3 . D. Số phức z phần thực là 4 và phần ảo là 3i . Câu 94: Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  z  1  0 . Giá trị của biểu thức P  z12  z22  z1 z2 bằng: A. P  1 . B. P  2 . C. P  1 . Lời giải Chọn D z 2  z  1  0 có z1  z2  1 và z1.z2  1 2 Khi đó P  z12  z22  z1 z2   z1  z2   z1.z2  P  0 . Câu 95: Điểm M trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức z . y O 3 x -4 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Số phức z có phần thực là 3 và phần ảo là 4 . B. Số phức z phần thực là 3 và phần ảo là 4i . C. Số phức z phần thực là 4 và phần ảo là 3 . D. Số phức z phần thực là 4 và phần ảo là 3i . Lời giải Chọn A Điểm M biểu diễn cho số phức z  3  4i . Câu 96: Điểm M trong hình vẽ bên biểu diễn số phức z . Số phức z bằng D. P  0 . y M 3 2 O A. 2  3i . B. 2  3i . x C. 3  2i . D. 3  2i . Câu 97: Điểm M trong hình vẽ bên biểu diễn số phức z . Số phức z bằng y 3 O A. 2  3i . B. 2  3i . M 2 x C. 3  2i . D. 3  2i . Lời giải Chọn B Ta có M  2;3 là điểm biểu diễn số phức z  2  3i . Do đó z  2  3i . Câu 98: Cho hai số phức z1  2  2i , z2  3  3i . Khi đó số phức z1  z2 là A. 5  5i . B. 5i . C. 5  5i . D. 1  i . Câu 99: Cho hai số phức z1  2  2i , z2  3  3i . Khi đó số phức z1  z2 là A. 5  5i . B. 5i . C. 5  5i . Lời giải D. 1  i . Chọn C Ta có z1  z2   2  2i    3  3i   5  5i . Câu 100: Tìm tọa độ của điểm biểu diễn hình học của số phức z  8  9i . A.  8;9  . B.  8; 9  . C.  9;8  . D.  8; 9i  . Câu 101: Cho số phức z  a  bi , với a , b   . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? A. z  z  2bi . B. z  z  2a . C. z.z  a 2  b 2 . 2 D. z 2  z . Câu 102: Tìm tọa độ của điểm biểu diễn hình học của số phức z  8  9i . A.  8;9  . B.  8; 9  . C.  9;8  . D.  8; 9i  . Lời giải Chọn B Câu 103: Cho số phức z  a  bi , với a, b   . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? A. z  z  2bi . C. z.z  a 2  b 2 . B. z  z  2a . 2 D. z 2  z . Lời giải Chọn D Câu 104: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo ? A. z  2 . B. z  2i . Câu 105: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo ? A. z  2 . B. z  2i . C. z  2  2i . D. z  1  2i . C. z  2  2i . Lời giải D. z  1  2i . Chọn B Câu 106: Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  1 và z2  z2  1  i   6i  2 là một số thực. Tìm giá trị nhỏ 2   nhất của biểu thức P  z2  z1 z2  z1 z2 . A. 18  6 2 . B. 3  2 . C. 18  6 2 . D. 18  9 2 . Câu 107: Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  1 và z2  z2  1  i   6i  2 là một số thực. Tìm giá trị nhỏ 2   nhất của biểu thức P  z2  z1 z2  z1 z2 . A. 18  6 2 . B. 3  2 . C. 18  6 2 . Hướng dẫn giải D. 18  9 2 . Chọn A Đặt z2  x  yi ,  x, y    , ta có z2  z2  1  i   6i  2  x 2  y 2  x  y  2   x  y  6  i . Vì z2  z2  1  i   6i  2 là số thực nên x  y  6  0 . Ta có 2 2 2 2 2 P  z2  z1  z2  z1  z2  z1  z2  1 . Gọi A là điểm biểu diễn số phức z1 , suy ra A nằm trên đường tròn  C  tâm O bán kính r  1. Gọi B là điểm biểu diễn số phức z2 , suy ra B nằm trên đường thẳng  : x  y  6  0 . Ta có P  AB 2  1 . Mà AB  d  O;    r    006 2  1  3 2  1. 2 Nên P  3 2  1  1  18  6 2 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi B là hình chiếu vuông góc của O trên  và A là giao điểm của đoạn OB với đường tròn  C  . Câu 1: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo dương của phương trình z 2  2 z  10  0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w  i 2017 z0 ? A. M  3;  1 . B. M  3; 1 . C. M  3; 1 . D. M  3;  1 . Lời giải Chọn D  z  1  3i Ta có: z 2  2 z  10  0   . Suy ra z0  1  3i .  z  1  3i w  i 2017 z0  i.  1  3i   3  i . Suy ra : Điểm M  3;  1 biểu diễn số phức w . Câu 2: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Cho số phức z thỏa mãn: z  2  i   13i  1. Tính mô đun của số phức z . A. z  34 . B. z  34 . C. z  34 . 3 D. z  5 34 . 3 Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có z  2  i   13i  1  z  2 1  13i 1  13i  z   34 . 2i 2i 2 850  11   27   34 .  z       z  25  5   5  Cách 2: Dùng máy tính Casio bấm z  1  13i . 2i Câu 3: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018)Trong mặt phẳng phức, gọi M là điểm biểu diễn cho số phức  z  z 2 với z  a  bi  a , b  , b  0  . đúng. A. M thuộc tia Ox . B. M thuộc tia Oy . C. M thuộc tia đối của tia Ox . D. M thuộc tia đối của tia Oy . Chọn kết luận Lời giải Chọn C Gọi z  a  bi  z  z 2 2   a  bi  a  bi   4b 2 . Câu 4: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018)Tìm số phức z thỏa mãn z  2  z và  z  1 z  i  là số thực. A. z  1  2i. Chọn D B. z  1  2i. C. z  2  i. Lời giải D. z  1  2i. Gọi z  x  iy với x, y   ta có hệ phương trình  x  2 2  y 2  x 2  y 2  x  2  2  y 2  x 2  y 2  z  2  z     z  1 z  i     x  1  iy  x  iy  i     x  1  iy  x  iy  i     x  1 x  1     x  1 y  1  xy  0  y  2 Câu 5: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Cho bốn điểm M , N , P , Q là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số i , 2  i , 5 , 1  4i . Hỏi, điểm nào là trọng tâm của tam giác tạo bởi ba điểm còn lại? A. M . B. N . C. P . D. Q . Lời giải Chọn B Tọa độ các điểm: M  0; 1 , N  2;1 , P  5;0  , Q 1; 4  . 0  5 1 2  3 Dễ thấy  nên N là trọng tâm của tam giác MPQ .  1  0  4  1  3 3 4 5 Câu 6: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Trong các số phức: 1  i  , 1  i  , 1  i  , 1  i  6 số phức nào là số phức thuần ảo? 3 4 A. 1  i  . 5 B. 1  i  . C. 1  i  . 6 D. 1  i  . Lời giải Chọn D 2 Ta có 1  i   1  2i  i 2  1  2i  1  2i . Do đó: 3 2  1  i   1  i  1  i   2i 1  i   2i  2i 2  2  2i . 4 2 5 4 2  1  i   1  i  1  i   2i.2i  4i 2  4 .  1  i   1  i  1  i   4 1  i   4  4i . 2 6 3 3  1  i   1  i     2i   8i .   Câu 7: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 10-năm 2017-2018) Cho số phức z thoả mãn 1  i  z  1  3i . Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M , N , P , Q ở hình dưới đây? y 1 O P A. Điểm Q . M 2 N x 1 2 B. Điểm P . Q C. Điểm M . D. Điểm N . Lời giải Chọn C Ta có z  1  3i  1  3i 1  i  1  3  3i  i   1  2i . Do đó điểm biểu diễn số phức z là điểm  1 i 2 2 M 1; 2  . Câu 8: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Phần thực và phần ảo của số phức z  1  2i  i lần lượt là A. 1 và 2 . B. 2 và 1. C. 1 và 2 . D. 2 và 1. Lời giải Chọn B Ta có z  1  2i  i  2  i . Vậy phần thực của số phức z bằng 2 và phần ảo của số phức z bằng 1. Câu 9: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2  2 z  3  0 . Tọa độ điểm M biểu diễn số phức z1 là:   A. M 1;  2 . B. M  1; 2  . C. M  1;  2  .   D. M 1;  2i . Lời giải Chọn A Ta có:   1  3  2  2i 2 nên phương trình z 2  2 z  3  0 có hai nghiệm phức là z  1  2i.   Do nghiệm cần tìm có phần ảo âm nên z1  1  2i . Vậy M 1;  2 . Câu 10: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Điểm biểu diễn của các số phức z  7  bi với b   nằm trên đường thẳng có phương trình là: A. y  7 . B. x  7 . C. y  x  7 . D. y  x . Lời giải Chọn B Điểm biểu diễn của các số phức z  7  bi với b   là M  7; b  . Rõ ràng điểm M  7; b  thuộc đường thẳng x  7 . 3 1  3i  Câu 11: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Cho số phức z thỏa mãn: z  1 i . Tìm môđun của z  iz . A. 4 2 . B. 4 . C. 8 2 . D. 8 . Lời giải Chọn C 1  3i  z 3  z  4  4i  z  4  4i 1 i iz  i  4  4i   4  4i z  iz  4  4i   4  4i   8  8i z  iz  2  8    8  2 8 2 Câu 12: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1  i  z  i   2 z  2i . Môđun của số phức A. 10 . B. w 8. z  2z 1 là: z2 C.  10 . D.  8 . Lời giải Chọn A Ta có 1  i  z  i   2 z  2i   3  i  z  1  3i  z  i . Suy ra w  z  2 z  1 i  2i  1   1  3i . z2 i2 Vậy w  10 . Câu 13: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Cho z là số phức có mô-đun bằng 2017 1 1 1 và w là số phức thỏa mãn   . Mô đun của số phức w là: z w zw A. 2015 . B. 0 . C. 1. D. 2017 . Lời giải. Chọn D Ta có  z  z 3i 1 1 1 2     z  w   zw  w2  wz  z 2  0  w  . 2 z w zw Với w   z  z 3i 1 i 3  z  z 3i  z  2017 .  w  z . 2 2 2 Với w   z  z 3i 1 i 3  z  z 3i  z  2017 .  w  z . 2 2 2 Câu 14: (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Tính môđun số phức nghịch đảo của số phức 2 z  1  2i  . A. 1 . 5 B. 5. 1 . 25 C. D. 1 . 5 Lời giải Chọn D Cách 1: Ta có z  3  4i . 1 1 3 4 Suy ra    i. z 3  4i 25 25 2 2 1  3   4  Nên z        . 5  25   25  Cách 2: Ta có z  3  4i . Do đó 1 1   z z 1 2  3   4  2  1 5 Câu 15: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm 2017-2018) Cho số phức z thỏa mãn z  4 z  7  i  z  7  . Khi đó, môđun của z bằng bao nhiêu? A. z  5 . B. z  3 . C. z  5 . D. z  3 . Lời giải Chọn C Đặt z  a  bi với a , b   . Khi đó z  a  bi . Ta có z  4 z  7  i  z  7   a  bi  4  a  bi   7  i  a  bi  7   a  bi  4a  4bi  7  ai  b  7i  5a  b   a  3b  i  7  7i 5a  b  7 a  1 .   a  3b  7 b  2 Do đó z  1  2i . Vậy z  5 . Câu 16: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm 2017-2018) Cho số phức z thỏa mãn 1  3i  z  5  7i . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. z   13 4  i. 5 5 B. z   13 4 13 4 C. z    i .  i. 5 5 5 5 Lời giải D. z  13 4  i. 5 5 Chọn D Ta có: 1  3i  z  5  7i  z  5  7i 13 4 13 4   i  z   i. 1  3i 5 5 5 5 Câu 17: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 4 z 2  4 z  3  0 . Giá trị của biểu thức z1  z2 bằng A. 3 2 . Chọn D B. 2 3 . C. 3 . Lời giải D. 3.  1  z1   2 Ta có: 4 z 2  4 z  3  0    1  z2    2 2 2 i 2 . 2 i 2 2 2 2 2 1  2  1  Khi đó: z1  z2               3. 2  2   2   2  1 2 Câu 1: (THPT Đức Thọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho  f  x  dx  a . Tính I   x. f  x 2  1 dx 0 1 theo a . A. I  2a . B. I  4a . C. I  a . 2 D. I  a . 4 Lời giải Chọn C Đặt t  x 2  1  dt  2 xdx  xdx  dt 2 1 2 Đổi cận x  0  t  1 và x  1  t  2 . Khi đó: I   x. f  x 2  1 dx  0 1 f  t  dt . 2 1 Do tính chất của tích phân là tích phân không phụ thuộc vào biến số tích phân nên 2  2 f  t  dt   f  x  dx  a suy ra I  1 1 a . 2 Câu 2: (THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Cho số phức z  a  bi (trong đó a , b là các số thực thỏa mãn 3 z   4  5i  z  17  11i . Tính ab . A. ab  6 . B. ab  3 . C. ab  3 . Lời giải D. ab  6 . Chọn A Ta có z  a  bi  z  a  bi . Khi đó 3z   4  5i  z  17  11i  3  a  bi    4  5i  a  bi   17  11i a  5b  17 a  2    a  5b    5a  7b  i  17  11i     z  2  3i . 5a  7b  11 b  3 Vậy ab  6 . Câu 3: (THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Tổng các nghiệm phức của phương trình z 3  z 2  2  0 là A. 1. B. 1 . C. 1  i . D. 1  i . Lời giải Chọn B   z  1 z 1 .   z  1  i  z  1  1  i Ta có z 3  z 2  2  0   z  1 z 2  2 z  2  0   2 2 Do đó tổng các nghiệm phức của z 3  z 2  2  0 là 1   1  i    1  i   1 . Câu 4: (THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Trên mặt phẳng phức tập hợp các số phức z  x  yi thỏa mãn z  2  i  z  3i là đường thẳng có phương trình A. y  x  1 . B. y   x  1 . C. y   x  1 . Lời giải Chọn D Từ z  x  yi  z  x  yi. Do đó x  yi  2  i  x  yi  3i   x  2    y  1 i  x   y  3 i 2 2 2   x  2    y  1  x 2   y  3  4 x  2 y  5  6 y  9  y  x  1 . D. y  x  1 . 2 Câu 5: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018) Tích phân 2  2 x  1dx bằng. 0 A. 2 ln 5 . B. 1 ln 5 . 2 C. ln 5 . D. 4 ln 5 . Lời giải Chọn C 2 Ta có 2  2 x  1 dx  ln 2 x  1 2 0  ln 5 . 0 Câu 6: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018). Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z  2  i  4 là đường tròn có tâm I và bán kính R lần lượt là: A. I  2; 1 ; R  4 . B. I  2; 1 ; R  2 . C. I  2; 1 ; R  4 . D. I  2; 1 ; I  2; 1 . Lời giải Chọn A Gọi số phức z  x  iy  x, y    Ta có: 2 2 z  2  i  4   x  2     y  1 i  4   x  2    y  1  16 Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z  2  i  4 là đường tròn có tâm I  2;  1 và có bán kính R  4 . Câu 7: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Trong tập số phức  , chọn phát biểu đúng ? A. z1  z2  z1  z2 . B. z  z là số thuần ảo. C. z1  z2  z1  z2 . D. z 2   z   4ab với z  a  bi . 2 Lời giải Chọn A Xét z1  x  yi , z2  m  ni  x, y, m, n    .  z1  z2   x  m    y  n  i  z1  z2  x  m   y  n  i  A đúng. Ta có   z1  z2   x  yi    m  ni   x  m   y  n  i Lại có 2 2 2 2  x  m    y  m  và z1  z2  x 2  y 2  z  z   a  bi    a  bi   2a  B sai. z1  z2  2 m2  n 2 nên C sai. z 2   z    a  bi    a  bi    a 2  b 2  2abi    a 2  b 2  2abi   4abi  D sai. Câu 8: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Cho số phức z thỏa mãn z  3  i  0 . Modun của z bằng A. 10 . B. 10 . C. 3 . Lời giải Chọn A Ta có z  3  i  0  z  3  i  z  3  i  z  32  12  10 . D. 4 . Câu 9: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Kí hiệu z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 4 z 2  16 z  17  0. Trên mặt phẳng tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số 3 phức w  1  2i  z1  i ? 2 A. M  2;1 . B. M  3; 2  . C. M  3; 2  . D. M  2;1 . Lời giải Chọn C 1  z1  2  i  2 . Ta có: 4 z 2  16 z  17  0   z  2  1 i  2 2 1  3 3  Khi đó: w  1  2i  z1  i  1  2i   2  i   i  3  2i  tọa độ điểm biểu diễn số phức w 2  2 2  là: M  3; 2  . Câu 1: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Cho hai số phức z1  1  2i , 2 2 z2  1  2i . Giá trị của biểu thức z1  z2 bằng B. 10 . A. 10 . C. 6 . Lời giải D. 4 . Chọn B 2 2 Ta có z1  z2   2  1  22 2    2  1   2  2 2   10 . Câu 2: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Cho số phức z  a  bi ,  a, b    thỏa mãn A. P  7 . z 1 z  3i  1 và  1 . Tính P  a  b . z i zi B. P  1 . C. P  1 . Lời giải D. P  2 . Chọn D z 1 Ta có  1  z  1  z  i  a  1  bi  a   b  1 i  2a  2b  0 (1). z i z  3i  1  z  3i  z  i  a   b  3 i  a   b  1 i  b  1 (2). z i a  1 Từ (1) và (2) ta có  . Vậy P  2 . b  1 Câu 3: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Cho số phức z thỏa mãn:  3  2i  z   2  i  2  4  i . Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là A. 3 . B. 2 . D. 0 . C. 1. Lời giải Chọn D 2 Ta có  3  2i  z   2  i   4  i   3  2i  z  4  i   2  i  2 1  5i  z  1 i 3  2i  phần thực của số phức z là a  1 , phần ảo của số phức z là b  1. Vậy a  b  0 .   3  2i  z  1  5i  z  Câu 4: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho số phức z1  1  i và z2  2  3i . Tìm số phức liên hợp của số phức w  z1  z2 ? A. w  3  2i . B. w  1  4i . C. w  1  4i . Lời giải D. w  3  2i . Chọn D Vì: z1  1  i và z2  2  3i nên w  z1  z2  w  1  2   1  3 i  3  2i  w  3  2i . Câu 5: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Gọi z1 , z2 là các nghiệm của phương trình z 2  2 z  10  0 trên tập hợp số phức, trong đó z1 là nghiệm có phần ảo dương. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w  3z1  2 z3 . A. M  1;15 . B. M 15; 2  . C. M  2;15  . D. M 15; 1 . Lời giải Chọn A  z1  1  3i . w  3 z1  2 z3  3  1  3i   2  1  3i   1  15i z 2  2 z  10  0    z2  1  3i Vậy điểm M  1;15 biểu diễn số phức w  3 z1  2 z3 . Câu 6: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Biết z  a  bi  a, b    là số phức thỏa mãn  3  2i  z  2i z  15  8i . Tổng a  b là A. a  b  5 . B. a  b  1 . C. a  b  9 . Lời giải D. a  b  1 . Chọn A Ta có z  a  bi  z  a  bi . Theo đề bài ta có  3  2i  z  2iz  15  8i   3  2i  a  bi   2i  a  bi   15  8i  3a   4a  3b  i  15  8i 3a  15 a  5 . Vậy a  b  9 .   4a  3b  8 b  4 Câu 7: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho số phức  3  2i  z   2  i  2 z thỏa mãn  4  i . Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z bằng A. 1 . B. 0 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn D 2 4  i  2  i 5i  1 =1  i .   3  2i  z   2  i   4  i  z  3  2i 3  2i Suy ra z  1  i . Vậy hiệu phần thực và ảo của z bằng 2 . 2 1 3 Câu 8: (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Cho số phức z    i . Tìm số 2 2 phức w  1  z  z 2 . A. 2  3i . B. 1. C. 0 . 1 3 D.   i. 2 2 Lời giải Chọn C 2  1 3   1 3  w  1     i      i   0 . 2 2 2 2     Câu 9: (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z12  z22 biết z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình: z 2  4 z  5  0 . A. 4 . B. 6 . C. 8 . D. 5 . Lời giải Chọn B Do z1 và z2 là nghiệm phương trình nên z1  z2  4 và z1 z2  5 . 2 Ta có z12  z22   z1  z2   2 z1 z2  42  2.5  6 . Câu 10: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Tính môđun của số phức z thỏa mãn: 3z.z  2017  z  z   48  2016i. A. z  4 . B. z  2016 . C. z  2017 . D. z  2 . Lời giải Chọn A Gọi z  x  yi , với x, y   2 Ta có 3z. z  2017  z  z   48  2016i  3 z  2017  x  yi    x  yi    48  2016i 2  z  16 3 z 2  48    1008  z  4 . 2.2017 y  2016  y   2017  Câu 11: (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn a   b  1 i  A. 5 . 1  3i . Giá trị nào dưới đây là môđun của z ? 1  2i B. 1 . C. 10 . Lời giải D. 5. Chọn D Xét w  a  1 1  3i 1  3i  a   b  1 i  1  i    1  i mà a   b  1 i  1  2i 1  2i b  2 Vậy modun của z là z  5 . Câu 12: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình 2 z 2  6 z  5  0 trong đó z2 có phần ảo âm. Phần thực và phần ảo của số phức z1  3 z2 lần lượt là A. 6;1 . B. 1; 6 . C. 6; 1 . D. 6;1 . Lời giải Chọn C 3 i  z1     2 2 . Suy ra z  3 z  6  i Ta có 2 z 2  6 z  5  0   1 2 z   3  i  2 2 2 Vậy Phần thực và phần ảo của số phức z1  3 z2 lần lượt là 6; 1 . Câu 13: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1  i  2  i  z  1  i   5  i 1  i  . Tính môđun của số phức w  1  2 z  z 2 . A. 100 . B. 10 . C. 5 . D. 10 . Lời giải Chọn D Ta có 1  i  2  i  z  1  i   5  i 1  i   1  3i  z  1  i  6  4i  1  3i  z  5  5i  z  5  5i 1  3i  z  2  i Suy ra w  1  2 z  z 2  8  6i , w  82  62  10 Câu 14: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  2  5i  5 và z.z  82 . Tính giá trị của biểu thức P  a  b . A. 10 . B. 8 . C. 35 . Lời giải D. 7 . Chọn B   a  2 2   b  5 2  5 a  5b  43 1 2 Theo giả thiết ta có   a 2  b 2  82 a 2  b 2  82  2   b  9 Thay 1 vào  2  ta được 29b  430b  1521  0   169 b  29  Vì b   nên b  9  a  1 . Do đó P  a  b  8 . 2 Câu 15: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) Biết phương trình z 2  az  b  0 có một nghiệm z  2  i . Tính a  b ? A. 9 . B. 1 . C. 4 . D. 1 . Lời giải Chọn A 2 Phương trình z 2  az  b  0 có một nghiệm z  2  i nên ta có:  2  i   a  2  i   b  0 2a  b  3  a  4 .   2 a  b  3    a  4  i  0    a  4  0 b  5 Vậy a  b  1 . Câu 16: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Cho m là số thực, biết phương trình z 2  mz  5  0 có hai nghiệm phức trong đó có một nghiệm có phần ảo là 1 . Tính tổng môđun của hai nghiệm. A. 3 . B. 5. C. 2 5 . Lời giải D. 4 . Chọn C Cách 1: Phương trình z 2  mz  5  0 có hai nghiệm phức z1 , z2 thì hai nghiệm phức là hai số liên hợp của nhau nên z1  z2  2 z1 . Gọi z1  a  i , ( a   ) là một nghiệm của phương trình. 2 Ta có:  a  i   m  a  i   5  0   a 2  ma  4    2a  m  i  0 a 2  ma  4  0  a 2  2a 2  4  0 a  2  a  2 hoặc      m  4 m  4 2a  m  0 m  2a Suy ra z1  2  i hoặc z1  2  i . Do đó z1  2  i . Vậy z1  z2  2 5 . Cách 2: Ta có   m 2  20 Phương trình có hai nghiệm phức thì   0  2 5  m  2 5 . Khi đó phương trình có hai nghiệm là z1   Theo đề m 20  m 2 m 20  m 2  i và z2    i 2 2 2 2 20  m2  1  m  4 (t/m). 2  z  2  i z  2  i Khi đó phương trình trở thành z 2  4 z  5  0   1 hoặc  1  z 2  2  i  z2  2  i Vậy z1  z2  2 5 . Câu 17: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Tính P  1  3i B. P  21010 . A. P  2 . 2018 C. P  22019 . Lời giải  1  3i 2018 . D. P  4 . Chọn C Ta có 2018 P  1  3i 2018  1  3i    12     2 3    2018    12   3    2    2018  22018  22018  2 2019 . Câu 18: (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 – năm 2017 – 2018) Gọi z1 , z2 là các nghiệm của phương trình z 2  8 z  25  0 . Giá trị z1  z2 bằng A. 8 . B. 5 . C. 6 . Lời giải D. 3 . Chọn C  z  4  3i Xét phương trình z 2  8 z  25  0   1  z1  4  3i Vậy z1  z2   4  3i    4  3i   6i  6 . Câu 19: (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần 1 – năm 2017 – 2018) Cho hai số phức z   a  2b    a  b  i và w  1  2i . Biết z  w.i . Tính S  a  b . A. S  7 . B. S  4 . C. S  3 . Lời giải D. S  7 . Chọn A a  2b  2  a  4 Ta có z   a  2b    a  b  i  1  2i  .i  2  i   .   a  b  1  b  3 Vậy S  a  b  7 . Câu 20: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình 2 z 2  3 z  3  0 . Khi đó, giá trị z12  z22 là A. 9 . 4 9 4 B.  . C. 9 . D. 4 . Lời giải Chọn B Theo định lý Vi-ét, ta có z1  z2   3 3 và z1.z2  . 2 2 2 2 1 2 2 z  z   z1  z2  2  3 9 3 3  2 z1.z2      2    3   . 4 4 2  2  Câu 21: (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho i là đơn vị ảo. Gọi S là tập hợp các số nguyên dương n có 2 chữ số thỏa mãn i n là số nguyên dương. Số phần tử của S là A. 22 . B. 23 . C. 45 . D. 46 . Lời giải Chọn A Ta có i n là số nguyên dương khi n  4k ,  k    . Vì số nguyên dương n có 2 10  4k  99 2,5  k  24, 75 suy ra có 24  3  1  22 số.   k    k   chữ số nên  Câu 22: (THPT Kim Liên – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho số phức z  a  bi khác 0  a, b    . Tìm phần ảo của số phức A. a . a  b2 B. 2 b . a  b2 2 z 1 . C. bi . a  b2 2 D. b . a  b2 2 Lời giải Chọn D Ta có z 1  1 1 a  bi a b b .   2  2  2 i . Vậy phần ảo của z 1 là 2 2 2 2 z a  bi a  b a b a b a  b2 Câu 23: (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018)Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  5 là A. Một đường tròn. B. Một đường thẳng. C. Một đường parabol. D. Một đường Elip. Lời giải Chọn A Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z là đường tròn tâm I  3; 4 , bán kính R  5 . Câu 24: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Gọi A , B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình z 2  2 z  5  0 . Tính độ dài đoạn thẳng AB : A. 6 . B. 2 . C. 4 . D. 12 . Lời giải Chọn C  z  1  2i Ta có: z 2  2 z  5  0   suy ra A  1; 2  và B  1; 2  . Vậy AB  4 .  z  1  2i Câu 25: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z  1  nhất. Tính S  2a  b . zz  3 , gọi số phức z  a  bi là số phức có môđun nhỏ 2 A. 0 . B. 4 . C. 2 . D. 2 Lời giải Chọn C Ta có z  1  zz 2 2  3   a  1  bi  a  3   a  1  b 2   a  3  b 2  4a  8 . 2 2 2 Do đó z  a 2  b 2  a 2  4a  8   a  1  4  4 . min z  2 khi và chỉ khi z  1  4i . Suy ra S  2a  b  2 Câu 26: (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Cho số phức z thoả mãn z  3  4i  5 . Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của đường tròn đó. A. I  3; 4  , R  5 . B. I  3; 4  , R  5 . C. I  3; 4  , R  5 . D. I  3; 4  , R  5 . Lời giải Chọn D Đặt z  x  yi  x, y    . Khi đó 2 2 z  3  4i  5   x  3   y  4   25 . Vậy tập điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  3; 4  , bán kính R  5 . Câu 27: (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Tổng phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn iz  1  i  z  2i bằng A. 2 . B. 2 . Chọn C Đặt z  x  yi C. 6 . Lời giải D. 6 .  x, y    . Khi đó iz  1  i  z  2i  i  x  yi   1  i  x  yi   2i x  2 y  0 x  4 , suy ra x  y  6 .   x  2 y   yi  2i    y  2 y  2 Câu 28: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Kí hiệu z0 là nghiệm phức của phương trình 4 z 2  4 z  3  0 sao cho z0 có phần ảo là số thực âm. Điểm M biểu diễn số phức w  2 z0 thuộc góc phần tư nào trên mặt phẳng phức? A. Góc phần tư  I  . B. Góc phần tư  II  . C. Góc phần tư  III  . D. Góc phần tư  IV  . Lời giải Chọn B 4z2  4z  3  0  z  Do đó z0  1 2  i. 2 2 1 2  i  w  2 z0  1  2i . 2 2    w có điểm biểu diễn là M 1; 2 nằm ở góc phần tư thứ  II  . Câu 29: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm 1  2i ? A. z 2  2 z  3  0 . B. z 2  2 z  5  0 . C. z 2  2 z  5  0 . D. z 2  2 z  3  0 . Lời giải Chọn C Vì 1  2i là nghiệm của phương trình bậc hai az 2  bz  c  0 nên 1  2i cũng là nghiệm của phương trình bậc hai az 2  bz  c  0 . 1  2i 1  2i   5 Ta có  suy ra 1  2i là nghiệm của phương trình bậc hai z 2  2 z  5  0 .  1  2i  1  2i  2 Câu 30: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 1  i  z   2  i  z  13  2i ? A. 4 . B. 3 . C. 2 . Lời giải D. 1. Chọn D Gọi z  a  bi , a, b   . 1  i  z   2  i  z  13  2i  1  i  a  bi    2  i  a  bi   13  2i   a  b    a  b  i   2a  b    2b  a  i  13  2i 3a  2b  13 a  3    z  3  2i .  b  2 b  2 Vậy có một số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1  2 , z2  4i , z3  2  4i trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Tính diện tích tam giác ABC. A. 8 . C. 6 . Lời giải B. 2 . D. 4 . Chọn D     Ta có A  2;0  , B  0; 4  , C  2;4  suy ra AC   0; 4  ; BC   2;0   AC.BC  0 . 1 1 Do đó tam giác ABC là tam giác vuông tại C . Suy ra S ABC  CA.CB  .4.2  4 . 2 2 Câu 2: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  2 . Tập hợp điểm biểu diễn số phức w  1  i  z  2i là A. Một đường tròn. C. Một Elip. B. Một đường thẳng. D. Một parabol hoặc hyperbol. Lời giải Chọn A Ta có: w  1  i  z  2i  w  2i  1  i  z  w  2i  1  i  z  w  2i  2 2 . Do đó, tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I  0; 2  và bán kính 2 2 . Câu 3: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  1 , z2  2 và z1  z2  3 . Giá trị của z1  z2 là A. 0 . B. 1 . C. 2 . Lời giải D. một giá trị khác. Chọn B Cách 1: Sử dụng công thức hình bình hành 2 2 2 2  z12  z22   z1  z2  z1  z2  2 1  4   z1  z2  9  z1  z2  1 . Cách 2: Giả sử z1  a1  b1i  a1 ; b1    , z2  a2  b2i  a2 ; b2    . a12  b12  1  z1  1 a12  b12  1    Theo bài ra ta có:  z2  2 .  a22  b22  4  a22  b22  4    2 2 2a a  2b1b2  4  a1  a2    b1  b2   9  z1  z2  3  1 2 Khi đó, ta có: z1  z2  2  a1  a2    b1  b2  2  a 2 1  b12    a22  b22    2a1a2  2b1b2   1 . Vậy z1  z2  1 . Câu 4: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình z 4  z 2  6  0 . Tính S  z1  z2  z3  z4 . A. S  2 3 . B. S  2   2 3 . C. S  2 2 . Lời giải Chọn D D. S  2   2 3 . z   2 z2  2 Ta có: z 4  z 2  6  0   2  .  z  i 3  z  3 Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình, ta có: S  z1  z2  z3  z4  2   2 3 . Câu 5: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho số phức z thỏa mãn: z 1  2i   z.i  15  i . Tìm modun của số phức z ? A. z  5 . B. z  4 . C. z  2 5 . D. z  2 3 . Lời giải Chọn A Gọi z  x  yi , x, y   . Theo đề ra ta có:  x  yi 1  2i    x  yi  .i  15  i  x  2 y  yi  2 xi  xi  y  15  i  x  3 y   y  x  i  15  i  x  3 y  15 x  3  z  3  4i  z  5 .    x  y  1 y  4 Câu 6: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2  2 z  5  0 . Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức 7  4i trên mặt z1 phẳng phức? A. P  3; 2  . B. N 1;  2  . C. Q  3; 2  . D. M 1; 2  . Lời giải Chọn A Ta có:  z  1  2i z2  2z  5  0    z  1  2i 7  4i 7  4i Suy ra   3  2i . z1 1  2i  TM   L Điểm biểu diễn là P  3; 2  . Câu 7: (THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Tìm phần ảo của số phức z biết z   2 3 i  A. 4 .  3 i . B. 4 3 . C. 4 3 . Lời giải D. 4 . Chọn D Ta có: z   2 3 i   3  i  4 3  4i  z  4 3  4i . Vậy phần ảo của số phức z là 4 . Câu 8: (THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho số phức z  3  4i . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Môđun của số phức z bằng 5 . B. Số phức liên hợp của z là 3  4i . C. Phần thực và phần ảo của z lần lượt là 3 và 4 . D. Biểu diễn số phức z lên mặt phẳng tọa độ là điểm M  3;  4  . Lời giải Chọn C  Số phức liên hợp của z  3  4i là z  3  4i . Mệnh đề B sai. Câu 9: (THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z   2  3i  z  1  9i . Tính tích phần thực và phần ảo của số phức z . A. 1 . B. 2 . C. 1 . Lời giải D. 2 . Chọn B Gọi z  x  yi (với x, y   ), ta có z  x  yi . Theo giả thiết, ta có x  yi   2  3i  x  yi   1  9i   x  3 y   3x  3 y  i  1  9i  x  3 y  1 x  2 . Vậy xy  2 .   3 x  3 y  9  y  1 Câu 10: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho số phức z  3  5i . Gọi w  x  yi  x, y    là một căn bậc hai của z . Giá trị của biểu thức T  x 4  y 4 là A. T  706 . B. T  17 . 2 C. T  43 . 2 D. T  34 . Lời giải Chọn C Ta có w  x  yi  x, y    là một căn bậc hai của z khi và chỉ khi w2  z  x2  y 2  3 2   x  yi   3  5i  x 2  y 2  2 xyi  3  5i .   2 xy  5 Ta có T  x  y   x  y 4 4 2 2 2  2 43  5   2 x y  3  2.    . 2  2  2 2 2 Câu 11: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Tổng phần thực và phần ảo 2 của số phức z  1  i    3  3i  là A. 4 . B. 4 . C. 3  i . Lời giải D. 10 . Chọn B 2 Ta có z  1  i    3  3i   1  2i  i 2  3  3i  3  i  phần thực a  3 , phần ảo b  1 . Vậy a  b  4 . Câu 12: (SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho số phức z thỏa mãn: z  1  z  2  3i . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là A. Đường tròn tâm I 1; 2  , bán kính R  1 . B. Đường thẳng có phương trình 2 x  6 y  12  0 . C. Đường thẳng có phương trình x  3 y  6  0 . D. Đường thẳng có phương trình x  5 y  6  0 . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi z  x  yi ; ( x , y   ). 2 2 2 Ta có: z  1  z  2  3i   x  1  y 2   x  2    y  3  x  3 y  6  0 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình x  3 y  6  0 . Câu 13: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – năm 2017-2018) Cho số phức z thỏa mãn z  z  2 . Biết rằng phần thực của z bằng a . Tính z theo a A. z  1 . 1 a B. z  a  a2 1 . 2 C. z  a  a2  1 . 2 D. z  a  a2  4 . 2 Hướng dẫn giải Chọn D Đặt z  a  bi , a , b    z  a 2  b2 . Theo đề bài ta có a  z  z  2  a  bi  a 2  b 2  2  a2  b2  2 a 2  a b    a 2  b2   a a 2  b 2  1  0    a  a2  b2   Vậy z  2  b 2  2 a2  4  loai  2 . 2 a 4 t / m 2 a  a2  4 . 2 Câu 14: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 – năm 2017-2018) Gọi z1 , z2 là nghiệm của phương trình z 2  2 z  4  0 . Tính giá trị của biểu thức P  A. 4 . B. 4 . z12 z22  z2 z1 C. 8 . D.  11 . 4 Lời giải Chọn B  z  1  3i Ta có: z 2  2 z  4  0   1 .  z2  1  3i 2 Suy ra: P  2 1 2 2 z z  z2 z1 1  3i   1  3i   1  3i 1  3i 2  4 . Câu 15: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh – năm 2017-2018) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả z  1  2i  3 . A. Đường tròn tâm I  1; 2  , bán kính r  9 . B. Đường tròn tâm I 1; 2  , bán kính r  9 . C. Đường tròn tâm I 1;  2  , bán kính r  3 . D. Đường tròn tâm I  1; 2  , bán kính r  3 . Hướng dẫn giải Chọn D Gọi z  x  yi  x, y  , i Ta có: z  1  2i  3  2  1 . 2  x  1   y  2  2 2 2  3   x  1   y  2   9 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  1; 2  , bán kính r  3 . Câu 16: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh – năm 2017-2018) Trong mặt phẳng phức, cho điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là sai? A. z  z  6 . B. Số phức z có phần ảo bằng 4 . C. z  5 . D. z  3  4i . Hướng dẫn giải Chọn A Ta dễ thấy các mệnh đề B, C, D đúng. Từ hình vẽ ta có z  3  4i  z  z   3  4i    3  4i   8i . Do đó A sai. Câu 17: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An – năm 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w  z 1  i  là đường tròn A. Tâm I  3; 1 , R  3 2 . B. Tâm I  3;1 , R  3 . C. Tâm I  3;1 , R  3 2 . D. Tâm I  3; 1 , R  3 . Lời giải Chọn A Ta có z  1  2i  3  z 1  i    1  2i 1  i   3 1  i  w  3  i  3 2 . Giả sử w  x  yi 2  x, y     x  3   y  1 i  3 2 2   x  3   y  1  18  I  3; 1 , R  18  3 2 . Câu 18: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An – năm 2017-2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 1  i  z  z A. 2 . là số thuần ảo và z  2i  1 B. 1. C. 0 . Lời giải D.Vô số. Chọn A Đặt z  a  bi với a, b   ta có : 1  i  z  z  1  i  a  bi   a  bi  2a  b  ai . Mà 1  i  z  z là số thuần ảo nên 2a  b  0  b  2a . 2 2 2 Mặt khác z  2i  1 nên a   b  2   1  a   2a  2  2 a  1 .  1  5a  8a  3  0   a  3 5  2 Ứng với mỗi a ta tìm được một b duy nhất, vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 19: Cho hai số thực x , y thỏa mãn 2 x  1  1  2 y  i  2  2  i   yi  x . Khi đó giá trị của x 2  3 xy  y bằng A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 1 . C. S  i . D. S  1 . Câu 20: Tính tổng S  1  i 3  i 6  …  i 2016 . A. S  1 . B. S  i . Câu 21: Cho hai số thực x , y thỏa mãn 2 x  1  1  2 y  i  2  2  i   yi  x . Khi đó giá trị của x 2  3 xy  y bằng A. 2 . C. 3 . B. 1. D. 1 . Lời giải Chọn A Ta có: 2 x  1  1  2 y  i  2  2  i   yi  x  2 x  1  1  2 y  i  4  x   y  2  i 2 x  1  4  x x  1    x 2  3 xy  y  2 . 1  2 y  y  2 y 1 Câu 22: Tính tổng S  1  i 3  i 6  …  i 2016 . A. S  1 . B. S  i . C. S  i . Lời giải D. S  1 . Chọn A Áp dụng công thức 1  x  x 2  …  x n  3 673 i  S 1 i3  1 x n1  1 2016 3 với x  i , n   672 ta được 3 x 1 336 2  1   i  i  1 i  1   1.  i  1 i  1 i  1  i   673 Câu 23: Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2  6 z  13  0 . Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức w   i  1 z1 . A. M  5; 1 . B. M  5;1 . C. M  1; 5 . D. M 1;5 . Câu 24: Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2  6 z  13  0 . Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức w   i  1 z1 . A. M  5; 1 . B. M  5;1 . C. M  1; 5 . Lời giải D. M 1;5 . Chọn A  z  3  2i Ta có z 2  6 z  13  0   1 . Suy ra w   i  1 z1  1  i  3  2i   5  i .  z2  3  2i Vậy tọa độ điểm M biểu diễn số phức w   i  1 z1 là M  5; 1 . Câu 25: Tìm phần ảo của số phức z , biết z  A. 3. B. 3. 1  i  3i . 1 i C. 0. Lời giải D. 1. Chọn C Ta có: 1  i  3i  1  i  z 1 i 1 i 2 3i 2  2i.3i  3  z  3. 2 Vậy phần ảo của số phức z là 0. Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  5 và M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z . Điểm M thuộc đường tròn nào sau đây? 2 2 B.  x  1   y  2   25 . 2 2 D.  x  1   y  2   5 . A.  x  1   y  2   25 . C.  x  1   y  2   5 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn B 2 2 Ta có z  1  2i  5  x  1   y  2  i  5   x  1   y  2   25 . 2 2 Vậy điểm M thuộc đường tròn  x  1   y  2   25 . Câu 27: Cho số phức z thỏa mãn 2 z  3  4i  10 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Khi đó M  m bằng A. 5 . B. 15 . C. 10 . D. 20 . Câu 28: Cho hàm số f  x   x 2  x 2  1 x 2  4  x 2  9  x 2  16  . Hỏi phương trình f   x   0 có bao nhiêu nghiệm? A. 9 . B. 8 . C. 7 . D. 6 . Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn 2 z  3  4i  10 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Khi đó M  m bằng A. 5 . B. 15 . C. 10 . Lời giải D. 20 . Chọn C Đặt z  x  yi . 2 3 3 2  Ta có: 2 z  3  4i  10  z   2i  5   x     y  2   25 . 2 2  3  Tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa đề là đường tròn tâm I  ; 2  , bán kính R  5 . 2  m  IO  R Khi đó:   M  m  2 R  10 .  M  IO  R Câu 30: Cho hàm số f  x   x 2  x 2  1 x 2  4  x 2  9  x 2  16  . Hỏi phương trình f   x   0 có bao nhiêu nghiệm? A. 9 . B. 8 . Chọn A Ta có f  x   0  x  0; 1; 2; 3; 4 . Bảng xét dấu f  x  C. 7 . Lời giải D. 6 . Từ bảng xét dấu biểu thức f ( x) và do tính chất liên tục của hàm số f ( x) , suy ra: x  0 là điểm cực trị của hàm số; f  x  có ít nhất 8 điểm cực trị, khác 0 , lần lượt thuộc mỗi khoảng  4; 3 ,  3; 2  ,  2; 1 ,  1;0  ,  0;1 , 1; 2  ,  2;3 ,  3; 4  . Suy ra hàm số f ( x) có ít nhất 9 điểm cực trị. Do đó, theo điều kiện cần để hàm số có cực trị, ta có phương trình f   x   0 có ít nhất 9 nghiệm. Mặt khác vì bậc của f ( x) là 10 nên bậc của f   x  là 9  phương trình f   x   0 có không quá 9 nghiệm. Vậy phương trình f   x   0 có đúng 9 nghiệm. Câu 31: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  6 z  11  0 . Giá trị của biểu thức 3z1  z2 bằng A. 22 . B. 11 . C. 2 11 . D. 11 . Câu 32: Gọi tam giác cong (OAB ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  2 x 2 , y  3  x , y  0 (tham khảo hình vẽ bên). Diện tích của  OAB  bằng 8 A. . 3 Câu 33: Xét các số phức 5 B. . 3 z  a  bi , 4 C. 3 .  a, b    thỏa mãn 1 F  a  4b khi z   3i đạt giá trị nhỏ nhất 2 A. F  7 . B. F  6 . C. F  5 . 10 D. 3 .     2 4 z  z  15i  i z  z  1 . Tính D. F  4 . Câu 34: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  5 và z  2  i 1  2i  là một số thực. Tính P a b A. P  5 B. P  7 C. P  8 D. P  4 Câu 35: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  6 z  11  0 . Giá trị của biểu thức 3z1  z2 bằng A. 22 . B. 11. C. 2 11 . Lời giải D. 11 . Chọn C 2 2 Ta có z1 và z2 là hai số phức liên hợp của nhau nên z1  z2  z1 z2  11  z1  z2  11 . Do đó: 3z1  z2  2 z1  2 11 . Câu 36: Gọi tam giác cong (OAB ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  2 x 2 , y  3  x , y  0 (tham khảo hình vẽ bên). Diện tích của  OAB  bằng 8 A. . 3 5 B. . 3 4 C. 3 . Lời giải Chọn A Gọi parabol  P  : y  2 x 2 và đường thẳng  d  : y  3  x . Ta có phương trình hoành độ giao điểm của  P  và  d  là: 10 D. 3 . x  1 2x  3  x  2x  x  3  0   x   3 2  2 2 Suy ra tọa độ điểm A(1; 3) và ( d )  Ox  B (3; 0) . 1 3 2 Khi đó S(OAB )  S1  S 2   2 x dx   (3  x )dx  0 Câu 37: Xét các số phức 1 2 8 2 . 3 3  a, b    thỏa z  a  bi , mãn   1 F  a  4b khi z   3i đạt giá trị nhỏ nhất 2 A. F  7 . B. F  6 . C. F  5 . Lời giải Chọn A Ta có      2 1 1 z   3i  2 2 2 2 15 . 8 2  2a  1   2b  6  2  1 1 8b  15  4b 2  24b  36  4b 2  32b  21 2 2 Xét hàm số f  x   4 x 2  32 x  21 với x  f   x   8 x  32  0, x  2 D. F  4 . 4 z  z  15i  i z  z  1  4  a  bi  a  bi   15i  i  a  bi  a  bi  1  8b  15   2a  1 suy ra b   4 z  z  15i  i z  z  1 . Tính 15 8 15 15  suy ra f  x  là hàm số đồng biến trên  ;   nên 8 8   15  4353 . f  x  f    16 8 1 4353 15 1 1 Do đó z   3i đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi b  ; a  . 8 2 2 16 2 Khi đó F   a  4b  7 . Câu 38: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  5 và z  2  i 1  2i  là một số thực. Tính P a b A. P  5 B. P  7 C. P  8 Lời giải D. P  4 Chọn B z  5  a 2  b2  25 1 z  2  i 1  2i    a  bi  4  3i    4a  3b    4b  3a  i là số thực nên 4b  3a  0 . 2 3  Thay vào 1 ta được a 2   a   25  a  4  b  3  P  7 4  Câu 39: Phương trình z 2  z  5  0 có hai nghiệm z1 ; z2 trên tập hợp số phức. Tính giá trị của biểu thức P  z12  z2 2 A. P  10 . B. P  9 . B. P   37 . 2 D. P  11 . Câu 40: Phương trình z 2  z  5  0 có hai nghiệm z1 ; z2 trên tập hợp số phức. Tính giá trị của biểu thức P  z12  z2 2 A. P  10 . B. P  9 . B. P   37 . 2 D. P  11 . Lời giải Chọn B  1  z1    2 z2  z  5  0    1  z2     2 19 i 2  P  z 2  z 2  9 . 1 2 19 i 2 Câu 41: Gọi z1 , z2 , z3 là ba nghiệm phức của phương trình z 3  8  0 . Giá trị của z1  z2  z3 bằng A. 2  2 3 . B. 3 . C. 2  3 . D. 6 . Câu 42: Gọi z1 , z2 , z3 là ba nghiệm phức của phương trình z 3  8  0 . Giá trị của z1  z2  z3 bằng A. 2  2 3 . B. 3 . C. 2  3 . Lời giải D. 6 . Chọn D  z1  2  z 3  8  0   z2  1  3i  z1  z2  z3  6 .   z1  1  3i Câu 43: Cho số phức z  a  bi thỏa mãn  z  8  i  z  6i  5  5i . Giá trị của a  b bằng A. 19 . B. 5 . C. 14 . D. 2 . Câu 44: Cho số phức z  a  bi thỏa mãn  z  8  i  z  6i  5  5i . Giá trị của a  b bằng A. 19 . B. 5 . C. 14 . Lời giải D. 2 . Chọn A Ta có  z  8 i  z  6i  5  5i  1  i  z  5  19i  z  12  7i . a  12 Mà z  a  bi nên   a  b  19 . b  7 Câu 45: Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2 z 2  6 z  5  0 . Số phức iz0 bằng 1 3 A.   i . 2 2 B. 1 3  i. 2 2 1 3 C.   i . 2 2 D. 1 3  i. 2 2 Câu 46: Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2 z 2  6 z  5  0 . Số phức iz0 bằng 1 3 A.   i . 2 2 B. 1 3  i. 2 2 1 3 C.   i . 2 2 Lời giải D. 1 3  i. 2 2 Chọn B 2 Ta có 2 z 2  6 z  5  0  4 z 2  12 z  10  0   2 z  3  1  i 2  z  3i 2  z0  3 1 1 3  i  iz0   i . 2 2 2 2 Câu 47: Cho các số phức z1  3  2i , z2  3  2i . Phương trình bậc hai có hai nghiệm z1 và z2 là A. z 2  6 z  13  0 . B. z 2  6 z  13  0 . C. z 2  6 z  13  0 . D. z 2  6 z  13  0 . Câu 48: Cho các số phức z1  3  2i , z2  3  2i . Phương trình bậc hai có hai nghiệm z1 và z2 là A. z 2  6 z  13  0 . B. z 2  6 z  13  0 . C. z 2  6 z  13  0 . D. z 2  6 z  13  0 . Lời giải Chọn A 2 Cách 1: Ta có: S  z1  z2  6 , P  z1 z2  z1  9  4  13 nên z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  Sz  P  0  z 2  9 z  13  0 . Cách 2: Do z1  3  2i , z2  3  2i là hai nghiệm của phương trình nên  z  z1  z  z2   0   z  3  2i  z  3  2i   0   z  3 2  4  0  z 2  6 z  13  0 .     0. 6 Câu 49: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin 2 x , biết F  1  cos 2 x  . 2 6 1 C. F  x   sin 2 x  . 4 1 B. F  x   cos 2 x  . 4 1 D. F  x   cos 2 x . 2 A. F  x   2 3 4 Câu 50: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z  z .i  1  i  0 ? A. 1 . B. 3 . C. 2 .     0. 6 Câu 51: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin 2 x , biết F  1  cos 2 x  . 2 6 1 C. F  x   sin 2 x  . 4 1 B. F  x   cos 2 x  . 4 1 D. F  x   cos 2 x . 2 A. F  x   Lời giải Chọn C 1 1   Ta có: F  x    sin 2 xdx   cos 2 x  C ; F    0  C  . 2 4 6 1 1 1 1 1 Vậy F  x    cos 2 x    1  2sin 2 x    sin 2 x  . 2 4 2 4 4 D. 0 . 2 3 4 Câu 52: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z  z .i  1  i  0 ? A. 1 . B. 3 . C. 2 . Lời giải D. 0 . Chọn A 3 3 2 thì z  z .i  1  i  0  x  yi   x 2  y 2  i  1  i  0 4 4 x  1  0 x  1   1      3 1  z  1 i . 2 2 2  y  x  y  4  0  y   2  x, y    Đặt z  x  yi Câu 53: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 z 2  3 z  3  0 . Giá trị của biểu thức z12  z2 2 bằng A. 3 . B. 3 . 18 C. 9 . 4 D. 9 . 8 Câu 54: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 z 2  3 z  3  0 . Giá trị của biểu thức z12  z2 2 bằng A. 3 . B. 3 . 18 C. 9 . 4 D. 9 . 8 Lời giải Chọn C Ta có 2 z 2  3 z  3  0 S  a  b  c . 2 2  3 21i   3 21i  9 Suy ra z  z2             . 4   4 4  4  4 2 1 2 Câu 55: Cho hai số phức z1  4  8i và z2  2  i . Tính 2 z1.z2 A. 4 5 . B. 5. C. 20 . D. 40 . Câu 56: Cho hai số phức z1  4  8i và z2  2  i . Tính 2 z1.z2 A. 4 5 . B. 5. C. 20 . Lời giải D. 40 . Chọn D Ta có 2 z1.z2  2  4  8i  2  i   40 . Câu 57: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình 2 z 2  z  1  0 . Tính z1 z1  z2 z2 ? A. 2 . B. 2 . 4 C. 1. D.  2 . 2 Câu 58: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình 2 z 2  z  1  0 . Tính z1 z1  z2 z2 ? A. 2 . B. 2 . 4 C. 1 . Lời giải D.  2 . 2 Chọn B  1 z1    1 7  4 Ta có 2 z 2  z  1  0   z    i 2   4  16   1  z2    4 2 Vậy z1 z1  z2 z2  Câu 59: Phần ảo của số phức 1 A.  i . 2 7 i 4  z  z  2. 1 2 2 7 i 4 2 2 21 7 1 7   z1  z2     i   i   . 2 4 2 4 4 4 4  1 là 1 i 1 B.  . 2 C. 1 . 2 D. 1 . Câu 60: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: z  10  2i  z  2  14i và z  1  10i  5 ? A. Hai. B. Không. C. Một. D. Vô số. Câu 61: Cho số phức z thỏa mãn z  z  2  4i . Môđun của z là A. 4 . Câu 62: Phần ảo của số phức 1 A.  i . 2 B. 5 . C. 3 . D. 25 . 1 là 1 i 1 B.  . 2 1 . 2 Hướng dẫn giải D. 1 . C. Chọn B 1 1 1 1 Ta có   i nên có phần ảo là  . 1 i 2 2 2 Câu 63: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: z  10  2i  z  2  14i và z  1  10i  5 ? A. Hai. B. Không. C. Một. Hướng dẫn giải D. Vô số. Chọn C Đặt z  a  bi với a, b  . 2 2 2 Từ giả thiết z  10  2i  z  2  14i   a  10    b  2    a  2    b  14  2 4  24a  32b  96  0  a  b  4 3 2 2 2 4  Ta có: z  1  10i  5   a  1   b  10   25   b  5   b2  20b  100  25 3   25 100  b2  b  100  0  b  6 . Suy ra a  4 . 9 3 Vậy có một số phức thỏa mãn. Câu 64: Cho số phức z thỏa mãn z  z  2  4i . Môđun của z là A. 4 . B. 5 . C. 3 . Hướng dẫn giải D. 25 . Chọn B Đặt z  x  iy  x, y    , ta có z  z  2  4i  x  iy  x 2  y 2  2  4i  x  x 2  y 2  2  x  2  x  2  x 2  16   2   x  3. 2 x  4 x  4  x  16  y  4  Vậy z  3  4i  z  5 . Câu 65: Cho số phức z thỏa mãn  2  3i  z  z  1 . Môđun của z bằng A. 1 . 10 B. 1 . 10 C. 1. D. 10 . Câu 66: Cho số phức z thỏa mãn  2  3i  z  z  1 . Môđun của z bằng A. 1 . 10 B. 1 . 10 C. 1. D. 10 . Lời giải Chọn A  2  3i  z  z  1  1  3i  z  1  z  1 3 1 1 1 3 .  z  i z  i z  10 10 1  3i 10 10 10 Câu 67: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 z 2  3 z  3  0 . Khi đó A. 3 i. 2 B.  3 3  i. 2 2 C.  3 . 2 D. z1 z2 bằng:  z2 z1 3 . 2 Câu 68: Modun của số phức z  1  2i  2  i  là A. z  5 . B. z  5 . C. z  10 . D. z  6 . Câu 69: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 z 2  3 z  3  0 . Khi đó A. 3 i. 2 B.  3 3  i. 2 2  3 . 2 Hướng dẫn giải C. Chọn D   3  z1  z2  2 2 . 2 z  3 z  3  0 có hai nghiệm z1 , z2 suy ra  3  z .z   1 2 2 3 2 2 2 z1 z2 z1  z2  z1  z2  3 Ta có .    2  4 2  3 z2 z1 z1.z2 z1 z2 2 2 Câu 70: Modun của số phức z  1  2i  2  i  là D. z1 z2 bằng:  z2 z1 3 . 2 A. z  5 . C. z  10 . B. z  5 . D. z  6 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có z  1  2i  2  i   4  3i nên z  5 . Câu 71: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phân biệt của phương trình z 4  3 z 2  4  0 trên tập số phức. 2 2 2 Tính giá trị của biểu thức T  z1  z2  z3  z4 A. T  8 . B. T  6 . 2 C. T  4 . D. T  2 . Câu 72: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phân biệt của phương trình z 4  3 z 2  4  0 trên tập số phức. 2 2 2 Tính giá trị của biểu thức T  z1  z2  z3  z4 A. T  8 . B. T  6 . 2 C. T  4 . Lời giải D. T  2 . Chọn A  2 3 z    i 2 Ta có z 4  3 z 2  4  0     2 3 z    i  2 7 1 2 . 7  2 2 Không mất tính tổng quát giả sử z1 , z2 là nghiệm của 1 và z3 , z4 là nghiệm của  2  . 2 2 z1  z2 2 2 7 9 7  3           2.   4 4  2  2  2 2 Tương tự z3  z4 2 2 9 7  3  7          2.   4 4  2  2  Vậy T  8 . Câu 73: . Cho z1 , z2 là các số phức khác 0 và z1  z2 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề sai? A. z1  z2   . B.  z1  z2  z1  z2    . C. z1 z1  z2 z2   . z z  D.  1 2    .  z1  z2  Câu 74: Cho số phức z  3  2i . Môđun của w  A. 13 . 6 B. z2 bằng zz 15 . 6 C. 11 . 6 D. 2 . Câu 75: Cho số z thỏa mãn các điều kiện z  8  3i  z  i và z  8  7i  z  4  i . Tìm số phức w  z  7  3i . A. w  3  i . B. w  13  6i . C. w  1  i . D. w  4  3i . Câu 76: . Cho z1 , z2 là các số phức khác 0 và z1  z2 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề sai? A. z1  z2   . B.  z1  z2  z1  z2    . z z  D.  1 2    .  z1  z2  C. z1 z1  z2 z2   . Lời giải Chọn D 2 2 2 Ta có: z1  z2   ;  z1  z2  z1  z2   z1  z2   ; z1 z1  z2 z2  z1  z2   . z z   z  z  1 i  Xét mệnh đề “  1 2    ”: Cho z1  1 và z2  i thì  1 2      i  i   , nên  z1  z2   z1  z2   1  i  mệnh đề này sai. Câu 77: Cho số phức z  3  2i . Môđun của w  A. 13 . 6 B. z2 bằng zz 15 . 6 11 . 6 Lời giải C. D. 2 . Chọn A 2 Ta có  3  2i  5  12i . w  6  3  2i    3  2i  Do đó w  5  12i 13  . 6 6 Câu 78: Cho số z thỏa mãn các điều kiện z  8  3i  z  i và z  8  7i  z  4  i . Tìm số phức w  z  7  3i . A. w  3  i . B. w  13  6i . C. w  1  i . Lời giải Chọn D Đặt z  x  yi , với x, y   . Ta có z  8  3i  z  i   x  yi   8  3i   x  yi   i   x  8    y  3 i  x   y  1 i 2 2   x  8    y  3  x 2   y  1 2  4 x  y  18  0 . z  8  7i  z  4  i   x  yi   8  7i   x  yi   4  i   x  8    y  7  i   x  4    y  1 i 2 2 2   x  8    y  7    x  4    y  1 2  2 x  3 y  24  0 . 4 x  y  18  0  x  3 Ta có hệ phương trình:  .  2 x  3 y  24  0 y  6 Như vậy z  3  6i  w  z  7  3i   3  6i   7  3i  4  3i . Câu 79: Cho số phức z  cos   i.sin      . Tìm môđun của z . D. w  4  3i . A. cos   sin  . B. 1. C. cos   i sin  . D. cos 2 . Câu 80: Cho số phức z  cos   i.sin      . Tìm môđun của z . A. cos   sin  . B. 1. C. cos   i sin  . D. cos 2 . Lời giải Chọn B Ta có: z  cos 2   sin 2   1 . Câu 81: Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn z 2  4 z  5  0 . Biểu thức P   z1  1 2018   z2  1 2018 có giá trị bằng B. 22018 . A. 0 . C. 21009 . D. 2 . Câu 82: Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn z 2  4 z  5  0 . Biểu thức P   z1  1 trị bằng A. 0 . B. 22018 . C. 21009 . Lời giải 2018   z2  1 2018 có giá D. 2 . Chọn A Biệt số   4  5  1  i 2 . Do đó phương trình có hai nghiệm phức: z1  2  i và z2  2  i . Suy ra P  1  i  1009   2i  2018 1009   2i   1  i  2018 1009 2  1  i     1009 2  1  i      21009 i  21009 i  0 . 1 1  1 . Tính giá trị của biểu thức P  z 3  3 . z z 7 A. P  2 . B. P  0 . C. P  4 . D. P  . 4 z Câu 84: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn  3 là đường nào? z i A. Một đường thẳng. B. Một đường parabol. C. Một đường tròn. D. Một đường elip. Câu 83: Biết z là một nghiệm của phương trình z  1 Câu 85: Cho số phức z  1  i . Tính số phức w  i z  3 z . 3 8 8 10 A. w  . B. w   i . C. w   i . 3 3 3 Câu 86: Biết z là một nghiệm của phương trình z  A. P  2 . B. P  0 . D. 10 . 3 1 1  1 . Tính giá trị của biểu thức P  z 3  3 . z z 7 C. P  4 . D. P  . 4 Lời giải Chọn A Ta có z  1  1  z 2  z  1  0 , do z  1 nên z 3  1  0  z 3  1 . Vậy P  2 . z z  3 là đường nào? z i B. Một đường parabol. C. Một đường tròn. Lời giải Câu 87: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn A. Một đường thẳng. D. Một đường elip. Chọn C Gọi z  x  yi , x , y   . z 2  3  z  3 z  i  x  yi  3 x  yi  i  x 2  y 2  3 x 2   y  1 z i 9 9 2  x 2  y 2  9  x 2   y  1   8 x 2  8 y 2  18 y  9  0  x 2  y 2  y   0 .   4 8 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn. 1 Câu 88: Cho số phức z  1  i . Tính số phức w  i z  3 z . 3 8 8 10 A. w  . B. w   i . C. w   i . 3 3 3 Lời giải Chọn A 1 8  1   1  w  i 1  i   3 1  i   i   3  i  . 3 3  3   3  D. 10 . 3 2 Câu 89: Cho biết có hai số phức z thỏa mãn z 2  119  120i , kí hiệu là z1 và z2 . Tính z1  z2 . A. 169 . B. 114244 . C. 338 . D. 676 . Câu 90: Cho w là số phức thay đổi thỏa mãn w  2 . Trong mặt phẳng phức, các điểm biểu diễn số phức z  3w  1  2i chạy trên đường nào? A. Đường tròn tâm I 1; 2  , bán kính R  6 . B. Đường tròn tâm I  1; 2  , bán kính R  2 . C. Đường tròn tâm I 1; 2  , bán kính R  2 . D. Đường tròn tâm I  1; 2  , bán kính R  6 . 2 Câu 91: Cho biết có hai số phức z thỏa mãn z 2  119  120i , kí hiệu là z1 và z2 . Tính z1  z2 . A. 169 . B. 114244 . C. 338 . Hướng dẫn giải D. 676 . Chọn D Giả sử: z  a  bi ,  a, b    .  a 2  b2  119 1 Ta có: z 2  119  120i  a 2  b 2  2abi  119  120i   . 2ab  120  2  Ta có a, b  0 . Từ  2   a   60 , thay vào 1 , ta được: b b2  144 3600 2 4 2 .  b  119   b  119 b  3600  0  2 b2  b  25 * b 2  144 (vô nghiệm). b  5  a  -12 * b 2  25   .  b  5  a  12 Vậy z1  12  5i , z2  12  5i . 2 2 Suy ra z1  z2  24  10i  676 . Câu 92: Cho w là số phức thay đổi thỏa mãn w  2 . Trong mặt phẳng phức, các điểm biểu diễn số phức z  3w  1  2i chạy trên đường nào? A. Đường tròn tâm I 1; 2  , bán kính R  6 . B. Đường tròn tâm I  1; 2  , bán kính R  2 . C. Đường tròn tâm I 1; 2  , bán kính R  2 . D. Đường tròn tâm I  1; 2  , bán kính R  6 . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi  x, y    . Ta có w  2  z  2i  1 2 2  2  z  2i  1  6   x  1   y  2   36 . 3 Vậy tập hợp điểm cần tìm là đường tròn tâm I 1; 2  , bán kính R  6 . Câu 93: Xét các số phức z thỏa điều kiện z  3  2i  5 . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  z  1  i là? A. Đường tròn tâm I  4; 3 , bán kính R  5 . B. Đường tròn tâm I  4;3 , bán kính R  5 . C. Đường tròn tâm I  3; 2 , bán kính R  5 . D. Đường tròn tâm I  2;1 , bán kính R  5 . Câu 94: Xét các số phức z thỏa điều kiện z  3  2i  5 . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  z  1  i là? A. Đường tròn tâm I  4; 3 , bán kính R  5 . B. Đường tròn tâm I  4;3 , bán kính R  5 . C. Đường tròn tâm I  3; 2 , bán kính R  5 . D. Đường tròn tâm I  2;1 , bán kính R  5 . Lời giải Chọn A Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi  x, y  . 2 2 Ta có z  3  2i  5  w  1  i  3  2i  2  x  yi  4  3i  6   x  4    y  3  25 . Vậy tập hợp điểm cần tìm là đường tròn tâm I  4; 3 , bán kính R  5 . Câu 95: Số phức z  1  i  A. 1. 2018 có phần thực bằng B. 22019 . C. 21009 . D. 0 . Câu 96: Số phức z  1  i  2018 có phần thực bằng B. 22019 . A. 1. C. 21009 . Lời giải D. 0 . Chọn D Ta có z  1  i  2018 1009 2  1  i     1009   2i  504  21009.i.  i 2   21009.i Suy ra z có phần thực bằng 0 . Câu 97: Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4 z 2  4 z  37  0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w  iz0 ? 1  A. M 2  3;  . 2   1 B. M 3  3;  .  2  1  C. M 3  3;  .  2  1   D. M 1  3;  . 2   z là số thuần ảo ? z2 C. 1. D. 0 . Câu 98: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  2  3i  5 và A. 2 . B. vô số. Câu 99: Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4 z 2  4 z  37  0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w  iz0 ? 1  A. M 2  3;  . 2   1 B. M 3  3;  .  2  1  C. M 3  3;  .  2  Lời giải 1   D. M 1  3;  . 2   Chọn D 1 1 1  Ta có z0    3i nên w  iz0  3  i  M 1  3;   . 2 2 2  z là số thuần ảo ? z2 C. 1. D. 0 . Lời giải Câu 100: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  2  3i  5 và A. 2 . B. vô số. Chọn C Ta gọi z  a  bi  a, b    , z  2 . 2 2 Ta có z  2  3i  5   a  2    b  3  25 1 . Mặt khác z a  bi a 2  b 2  2a 2b    i. 2 2 z  2  a  2   bi  a  2   b  a  2 2  b2 z là số thuần ảo  a 2  b 2  2a  0  2  . z2  a  1   a  2    b  3  25 a  b  2 b  1 Từ 1 và  2  ta có  .   2  a  2 2 2 a  3a  2  0 a  b  2 a  0     b  0 2 a  1 Vì z  2 nên   z  1  1i . b  1 2 Câu 101: Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2 z 2  6 z  5  0 . Tìm iz0 ? 1 3 A. iz0    i . 2 2 B. iz0  1 3  i. 2 2 1 3 C. iz0    i . 2 2 D. iz0  1 3  i. 2 2 Câu 102: Cho số phức z  a  bi ,  a, b    thỏa mãn z  1  3i  z i  0 . Tính S  a  3b . A. S  5 . Câu Cho 103: 5x 2 B. S  7 . 3 x, y   0;    , 7 C. S   . 3 x  y  1. Biết D. S  5 . m  a ; b thì phương trình  4 y  5 y 2  4 x   40 xy  m có nghiệm thực. Tính T  25a  16b . A. T  829 . B. T  825 . C. T  816 . D. T  820 . Câu 104: Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2 z 2  6 z  5  0 . Tìm iz0 ? 1 3 A. iz0    i . 2 2 B. iz0  1 3  i. 2 2 1 3 C. iz0    i . 2 2 D. iz0  1 3  i. 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B 2 z 2  6 z  5  0  z0  Khi đó iz0  3 1  i. 2 2 1 3  i. 2 2 Câu 105: Cho số phức z  a  bi ,  a, b    thỏa mãn z  1  3i  z i  0 . Tính S  a  3b . A. S  5 . B. S  7 . 3 7 C. S   . 3 D. S  5 . Hướng dẫn giải Chọn A   Ta có : z  1  3i  z i  0  a  bi  1  3i  i a 2  b 2  0  a  1  b  3  a 2  b 2 i  0 a  1 a  1 a  1  0 a  1    b  3    4. 2 2 2 b  3  a  b  0 b   3  2  1  b  b  3 2 1  b   b  3 Vậy S  a  3b  1  4  5 . Câu Cho 106: 5x 2 x, y   0;    , x  y  1. Biết m  a ; b thì phương  4 y  5 y 2  4 x   40 xy  m có nghiệm thực. Tính T  25a  16b . A. T  829 . B. T  825 . C. T  816 . Hướng dẫn giải D. T  820 . Chọn B 2 2 3 Ta có: m  25  xy   20  x 3  y 3   56 xy  25  xy   20  x  y   3xy  x  y    56 xy   trình 2 2  25  xy   4 xy  20  25t  4t  20 , với  x  y t  xy  2 4  1 . 4  1 Xét hàm số f  t   25t 2  4t  20 trên đoạn 0;  .  4 Ta có: f   t   50t  4 . Xét f   t   0  t  2 . 25  2  496  1  329 Ta có: f  0   20 , f    và f    .  25  25  4  16 496 329  496 329  Do đó để phương trình có nghiệm thực thì m   suy ra a ,b  ;  25 16  25 16  T  825 . Câu 107: Gọi z1 và z2  4  2i là hai nghiệm của phương trình az 2  bz  c  0 ( a, b, c   , a  0 ). Tính T  z1  3 z2 . A. T  6 . B. T  4 5 . C. T  2 5 . D. T  8 5 . S Câu 108: Gọi z1 và z2  4  2i là hai nghiệm của phương trình az 2  bz  c  0 ( a, b, c   , a  0 ). Tính B. T  4 5 . C. T  2 5 . Lời giải T  z1  3 z2 . A. T  6 . A D. T  8 5 . O Chọn D B Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm phức là hai số phức liên hợp. D C Do đó z1  4  2i . Khi đó z1  z2  2 5  T  z1  3 z2  8 5 . Câu 109: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 z 2  3 z  7  0 . Tính giá trị của biểu thức P  z1  z2 . A. P  2 3 . B. P  14 . C. P  7 . D. P  14 . Câu 110: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 z 2  3 z  7  0 . Tính giá trị của biểu thức P  z1  z2 . A. P  2 3 . B. P  14 . C. P  7 . Lời giải D. P  14 . Chọn D  x  2 Ta có: 2 z  3 z  7  0    x   3  4 3  4 47 i 4  P  z1  z2  14 . 47 i 4 Câu 111: Gọi z1 là nghiệm có phần ảo âm của phương trình z 2  4 z  20  0 . Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z1 . A. M  2;  4  . B. M  4;  2  . C. M  2;  4  . D. M  4;  2  . Câu 112: Gọi z1 là nghiệm có phần ảo âm của phương trình z 2  4 z  20  0 . Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z1 . A. M  2;  4  . B. M  4;  2  . C. M  2;  4  . D. M  4;  2  . Lời giải Chọn C  z  2  4i Có z 2  4 z  20  0    z1  2  4i .  z  2  4i Vậy điểm biểu diễn của số phức z1 là M  2;  4  . Câu 113: Định tất cả các số thực m để phương trình z 2  2 z  1  m  0 có nghiệm phức z thỏa mãn z  2. B. m  3 . D. m  3, m  9 . A. m  1, m  9 . C. m  3, m  1,m  9 . Câu 114: Định tất cả các số thực m để phương trình z 2  2 z  1  m  0 có nghiệm phức z thỏa mãn z  2. B. m  3 . D. m  3, m  9 . Lời giải A. m  1,m  9 . C. m  3, m  1, m  9 . Chọn C Ta có:   4  4 1  m   4m . z  1 m TH1:   0  m  0 . Phương trình có nghiệm là  .  z  1  m Nếu 1  m  2  m  1  m  1 .  m 3 Nếu 1  m  2    m9.  m  1 TH2:   0  m  0 . Phương trình có nghiệm z  1 không thỏa mãn.  z  1  m .i TH3:   0  m  0 . Khi đó nghiệm của phương trình là  .  z  1   m .i Do đó z  2  1  m  4  m  3 . Câu 115: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2 z  2  0 . Giá trị của biểu thức z12  z2 2 bằng A. 8 . B. 0 . C. 4 . D. 8i . Câu 116: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2 z  2  0 . Giá trị của biểu thức z12  z2 2 bằng A. 8 . B. 0 . C. 4 . Lời giải. Chọn C  z1  1  i .  z2  1  i Ta có : z 2  2 z  2  0   D. 8i . Vậy z12  z2 2  4 . Câu 117: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 z 2  3 z  4  0 . Tính w  A. w  3  2i . 4 B. w  3  2i . 2 3 C. w  2  i . 2 3 D. w    2i . 4 Câu 118: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 z 2  3 z  4  0 . Tính w  A. w  3  2i . 4 B. w  3  2i . 2 1 1   iz1 z2 . z1 z2 3 C. w  2  i . 2 Lời giải 1 1   iz1 z2 . z1 z2 3 D. w    2i . 4 Chọn A 3 , z1 z2  2 . 2 1 1 z z 3 w    iz1 z2  1 2  iz1 z2   2i . z1 z2 z1 z2 4 Theo định lý Viét ta có z1  z2  Câu 119: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , Gọi A , B , C lần lượt là các điểm biểu diễn số phức 1  2i , 4  4i , 3i . Số phức biểu diễn trọng tâm tam giác ABC là A. 1  3i . B. 1  3i . C. 3  9i . D. 3  9i . Câu 120: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , Gọi A , B , C lần lượt là các điểm biểu diễn số phức 1  2i , 4  4i , 3i . Số phức biểu diễn trọng tâm tam giác ABC là A. 1  3i . B. 1  3i . C. 3  9i . D. 3  9i . Lời giải Chọn B Ta có A  1; 2  , B  4; 4  , C  0; 3 nên trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là G 1; 3 . Do đó, số phức biểu diễn điểm G là 1  3i . Câu 121: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  z  2  0 . Tìm phần ảo của số phức w   i  z1  i  z2   1009 A. 2 2018 . 1009 B. 2 . 1008 C. 2 . 1008 D. 2 . . Câu 122: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  z  2  0 . Tìm phần ảo của số phức w   i  z1  i  z2   2018 A. 21009 . . B. 21009 . C. 21008 . D. 21008 . Lời giải Chọn B Theo định lí Viet ta có: z1  z2  1 ; z1.z2  2 . w   i  z1  i  z2   1  i  2018 2018 2 1009  1  i       1  i  z1  z2   z1 z2  1009   2i  2018  1  i   21009.i1008 .i  21009.i 2018 . . Câu 123: Tìm phần thực, phần ảo của số phức z , biết z là một căn bậc hai của w  221  60i và có phần thực lớn hơn phần ảo. A. Phần thực bằng 15 , phần ảo bằng 2 . B. Phần thực bằng 2 , phần ảo bằng 15 . C. Phần thực bằng 15 , phần ảo bằng 2 . D. Phần thực bằng 15 , phần ảo bằng 2 . Câu 124: Tìm phần thực, phần ảo của số phức z , biết z là một căn bậc hai của w  221  60i và có phần thực lớn hơn phần ảo. A. Phần thực bằng 15 , phần ảo bằng 2 . B. Phần thực bằng 2 , phần ảo bằng 15 . C. Phần thực bằng 15 , phần ảo bằng 2 . D. Phần thực bằng 15 , phần ảo bằng 2 . Lời giải Chọn D 2 Gọi z  a  bi  a, b    . Ta có z 2   a  bi   a 2  b 2  2abi .  a  15  a 2  b 2  221  b  2 Suy ra  .   a  15 2ab  60   b  2 Do phần thực của z lớn hơn phần ảo của z nên z  15  2i . Câu 125: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1  i  z  1  3i  0 . Tìm phần ảo của số phức w  1  iz  z . A. i . B. 1 . C. 2 . D. 2i . Câu 126: Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2  4 z  13  0 . Khi đó z1.z2  z1 bằng. A. 26 . B. 13  13 . Câu 127: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn C. 13 . D. 13  5 . z  1 z  3i   1? z i z i C. 2 . A. 0 . B. 1 . D. 4 . Câu 128: Cho số phức z thỏa mãn 4 z  i  3 z  i  10 . Giá trị nhỏ nhất của z bằng A. 1 . 2 B. 5 . 7 C. 3 . 2 D. 1 . Câu 129: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1  i  z  1  3i  0 . Tìm phần ảo của số phức w  1  iz  z . A. i . B. 1 . C. 2 . Lời giải D. 2i . Chọn B 1  i  z  1  3i  0  z  1  3i  2 i  z  2i . 1 i w  1  iz  z  1  i  2  i   2  i  2  i . Vậy phần ảo của w  1  iz  z bằng 1 . Câu 130: Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2  4 z  13  0 . Khi đó z1.z2  z1 bằng. A. 26 . B. 13  13 . C. 13 . Lời giải D. 13  5 . Chọn B  z  2  3i . z 2  4 z  13  0    z  2  3i Vì 2  3i  2  3i  13 nên z1.z2  z1  13  13 . Câu 131: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn A. 0 . B. 1. z  1 z  3i   1? z i z i C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn B Gọi số phức z  a  bi với a, b   . Ta có z 1 2 2  1  z  1  z  i   a  1  b 2  a 2   b  1  a  b  0 z i z  3i 2 2  1  a 2   b  3  a 2   b  1  b  1 z i a  1 Suy ra  . Vậy z  1  i b  1 Vậy có 1 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 132: Cho số phức z thỏa mãn 4 z  i  3 z  i  10 . Giá trị nhỏ nhất của z bằng A. 1 . 2 B. 5 . 7 C. 3 . 2 D. 1. Lời giải Chọn D 2 Gọi z  a  bi với a, b   suy ra z  a 2  b 2 2 2 2 Ta có z  i  a   b  1 i  z  i  a 2   b  1  z  2b  1 2 2 2 z  i  a   b  1 i  z  i  a 2   b  1  z  2b  1 Theo giả thiết và bất đẳng thức Bnhiacopsky ta có 2 2 2 10  4 z  i  3 z  i  42  32 . z  i  z  i  5 2 z  2  z 2  1 suy ra min z  1 . Câu 133: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 4 z 2  4 z  3  0 . Giá trị của biểu thức bằng. 3 A. . 2 1 B.  . 2 C. 1 . 3 2 D.  . 3 Câu 134: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 4 z 2  4 z  3  0 . Giá trị của biểu thức bằng. 3 A. . 2 1 B.  . 2 C. 1 . 3 z1 z2  z2 z1 z1 z2  z2 z1 2 D.  . 3 Lời giải Chọn D 3 2 12  2. z1 z2  z1  z2   2 z1 z2 4 2.    3 z2 z1 3 z1 z2 4 2 Câu 135: Cho số phức z thỏa mãn 1  z  là số thực. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là? A. Hai đường thẳng. B. Parabol. C. Đường thẳng. D. Đường tròn. Câu 136: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3  2 2 . Mệnh đề nào 3 dưới đây đúng? A. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . B. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . C. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . D. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . 2 Câu 137: Cho số phức z thỏa mãn 1  z  là số thực. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là? A. Hai đường thẳng. B. Parabol. C. Đường thẳng. Hướng dẫn giải D. Đường tròn. Chọn A Gọi z  x  yi  x, y    . Khi đó, ta có 1  z  2 2 2  1  x  yi    x  1  y 2  2  x  1 yi . y  0 2 Do 1  z  là số thực nên 2  x  1 y  0   . x 1  0 Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là hai đường thẳng x  1  0 và y  0 . Câu 138: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3  2 2 . Mệnh đề nào 3 dưới đây đúng? A. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . B. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . C. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . D. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . Hướng dẫn giải Chọn A Do z1 , z2 , z3 đều khác 0 nên ta có z z z z z z z1 z2  z2 z3  z3 z1 1 1 1     1  2  3  1 2 3 1 vì 8 z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1.z1 z2 .z2 z3 .z3 3 8 z1.z1  z2 .z2  z3 .z3  . 3 Lấy mô đun hai vế của 1 ta có z1  z2  z3 z1 z2  z2 z3  z3 z1  8 z1 z2 z3 3  z1 z2  z2 z3  z3 z1  2 2 2 2 2 2  z1  z2  z3   z1  z2  z3   z1  z2  z3  0 . 3 3 3 Câu 1: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Cho số phức z thỏa mãn z  2i  z  4i và z  3  3i  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  2 là: A. 13  1 . B. 10  1 . C. 13 . Lời giải D. 10 . Chọn C Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z ta có: 2 z  2i  z  4i  x 2   y  2   x 2   y  4  2  y  3 ; z  3  3i  1  điểm M nằm trên đường tròn tâm I  3;3 và bán kính bằng 1. Biểu thức P  z  2  AM trong đó A  2; 0  , theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất của P  z  2 đạt được khi M  4;3 nên max P  2  4  2  3  0 2  13 . Câu 2: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Trong tập các số phức, cho phương trình z 2  6 z  m  0 , m   1 . Gọi m0 là một giá trị của m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1.z1  z2 .z2 . Hỏi trong khoảng  0; 20  có bao nhiêu giá trị m0   ? A. 13 . B. 11. C. 12 . D. 10 . Lời giải Chọn D Điều kiện để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt là:   9  m  0  m  9 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1.z1  z2 .z2 thì 1 phải có nghiệm phức. Suy ra   0  m  9 . Vậy trong khoảng  0; 20  có 10 số m0 . Câu 3: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Gọi số phức z  a  bi ,  a, b     thỏa mãn z  1  1 và 1  i  z  1 có phần thực bằng 1 đồng thời z không là số thực. Khi đó a.b bằng : A. a.b  2 . B. a.b  2 . C. a.b  1 . Lời giải Chọn C 2 Theo giả thiết z  1  1 thì  a  1  b 2  1 .   Lại có 1  i  z  1 có phần thực bằng 1 nên a  b  2 . D. a.b  1 . Giải hệ có được từ hai phương trình trên kết hợp điều kiện z không là số thực ta được a 1,b 1 . Suy ra a.b  1 . Trình bày lại 2 Theo giả thiết z  1  1 thì  a  1  b 2  1 1 . a  b  2 Lại có 1  i  z  1   a  b  1   a  b  1 i có phần thực bằng 1 nên   2 . b  0 Giải hệ có được từ hai phương trình trên ta được a  1 , b  1 . Suy ra a.b  1 .   Câu 4: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Cho số phức z thoả 1 i mãn là số thực và z  2  m với m   . Gọi m0 là một giá trị của m để có đúng một số z phức thoả mãn bài toán. Khi đó:  1 1  3   3 A. m0   0;  . B. m0   ;1 . C. m0   ; 2  . D. m0   1;  .  2 2  2   2 Lời giải Chọn D Giả sử z  a  bi,  a, b    . 1 i 1 i 1 ab ab   2  2 i.  a  b   a  b  i   2 2  2 z a  bi a  b a  b a  b2 w là số thực nên: a  b 1 . Đặt: w  2 Mặt khác: a  2  bi  m   a  2   b 2  m 2  2  . 2 Thay 1 vào  2  được:  a  2   a 2  m 2  2a 2  4a  4  m2  0  3 . Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT  3 phải có nghiệm a duy nhất.  3    0  4  2  4  m 2   0  m 2  2  m  2  1;  (Vì m là mô-đun).  2 Trình bày lại Giả sử z  a  bi, vì z  0 nên a 2  b 2  0 * . 1 i 1 i 1 ab ab   2  a  b   a  b  i   2  2 i. 2  2 z a  bi a  b a  b a  b2 w là số thực nên: a  b 1 .Kết hợp * suy ra a  b  0 . Đặt: w  2 Mặt khác: a  2  bi  m   a  2   b 2  m2  2  .(Vì m là mô-đun nên m  0 ). 2 Thay 1 vào  2  được:  a  2   a 2  m 2  g  a   2a 2  4a  4  m2  0  3 . Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT  3 phải có nghiệm a  0 duy nhất. Có các khả năng sau : KN1 : PT  3 có nghiệm kép a  0 2   0 m  2  0 ĐK:   m 2. 2  g  0   0 4  m  0 KN2: PT  3 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm a  0 m 2  2  0   0 ĐK:    m  2. 2  g  0   0 4  m  0  3 Từ đó suy ra m0  2  1;  .  2 Câu 5: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Trong tập hợp các số phức, 2017 gọi z1 , z2 là nghiệm của phương trình z 2  z   0 , với z2 có thành phần ảo dương. Cho 4 số phức z thoả mãn z  z1  1 . Giá trị nhỏ nhất của P  z  z2 là A. 2016  1 . B. 2017  1 . C. 2 Lời giải 2016  1 . 2 D. 2017  1 . Chọn A Xét phương trình z 2  z  2017 0 4  1 2016 i  z1   2 2 Ta có:   2016  0  phương trình có hai nghiệm phức  .  1 2016 i  z2    2 2 Khi đó: z1  z2  i 2016 z  z2   z  z1    z1  z2   z1  z2  z  z1  P  2016  1 . Vậy Pmin  2016  1 . Câu 6: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Gọi S là tập hợp các số z thực m sao cho với mỗi m  S có đúng một số phức thỏa mãn z  m  6 và là số thuần z4 ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S . A. 10. B. 0. C. 16. D. 8. Lời giải Chọn D Cách 1: Gọi z  x  iy với x, y   ta có  x  iy  x  4  iy   x  x  4   y 2  4iy z x  iy   2 2 z  4 x  4  iy  x  4  y2  x  4  y2 2 là số thuần ảo khi x  x  4   y 2  0   x  2   y 2  4 2 Mà z  m  6   x  m   y 2  36 Ta được hệ phương trình  36  m 2 x    x  m 2  y 2  36  4  2m  x  36  m 2 4  2m    2  2 2 2 2 2  x  2   y  4  y  4   x  2   y 2  4   36  m  2      4  2m   2  36  m 2  36  m 2 36  m 2  2  0  2  Ycbt  4    2 hoặc 2  2 4  2m 4  2m  4  2m   m  10 hoặc m  2 hoặc m  6 Vậy tổng là 10  2  6  6  8 . Cách 2:  x  m 2  y 2  36 Để có một số phức thỏa mãn ycbt thì hpt  2 2  x  2   y  4 2 Nghĩa là hai đường tròn  C1  :  x  m   y 2  36 và Xét  C1  có tâm I1  2;0  bán kính có đúng một nghiệm 2  C2  :  x  2   y 2  4 tiếp xúc nhau. R1  2 ,  C2  có tâm I 2  m;0  bán kính R2  6 m2  4  I I  R1  R2 Cần có :  1 2   m  6; 6;10; 2 .  m  2  6  I1I 2  R1  R2 Vậy tổng là 10  2  6  6  8 .sss Câu 7: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N , K lần lượt là trung điểm của CD , CB , SA . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  MNK  là một đa giác  H  . Hãy chọn khẳng định đúng? A.  H  là một hình thang. B.  H  là một hình bình hành. C.  H  là một ngũ giác. D.  H  là một tam giác. Lời giải Chọn C Sửa trên hình điểm P thành điểm K nhé Gọi E  MN  AC và F  PE  SO . Trong  SBD  qua F kẻ đường thẳng song song với s MN và lần lượt cắt SB, SD tại H , G . Khi đó ta thu được thiết diện là ngũ giác MNHKG. Câu 8: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 10-năm 2017-2018) Cho các số phức z thỏa mãn z  i  5 . Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức w  iz  1  i là đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. A. r  22 . B. r  20 . C. r  4 . D. r  5 . Lời giải Chọn D Gọi w  x  yi ,  x, y    . Ta có: w  iz  1  i  x  yi  iz  1  i  z  ( y  1)  (1  x)i . 2 Mà z  i  5  y  1  xi  5  x 2   y  1  52 . Câu 9: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Cho số phức thỏa z  3 . Biết rằng tập hợp số phức w  z  i là một đường tròn. Tìm tâm của đường tròn đó. A. I  0;1 . B. I  0; 1 . C. I  1;0  . D. I 1;0  . Lời giải Chọn A Đặt w  x  yi,  x, y    . Ta có w  z  i  x  yi  z  i  z  x   y  1 i  z  x  1  y  i . 2 2 Mặt khác ta có z  3 suy ra x 2  1  y   9 hay x 2   y  1  9 . Vây tập hợp số phức w  z  i là đường tròn tâm I  0;1 . Câu 10: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018) Đường nào dưới đây là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức thỏa mãn điều kiện z  i  z  i ? A. Một đường thẳng. B. Một đường tròn. C. Một đường elip. Lời giải D. Một đoạn thẳng. Chọn A Gọi z  xi  y , (với x, y   ) được biểu diễn bởi điểm M  x; y  trong mặt phẳng tọa độ  xoy  . Ta có z  i  z  i  x   y  1 i  x   y  1 i 2 2  x 2   y  1  x 2   y  1  y  0 (phương trình một đường thẳng). Câu 11: (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z  z  1 ? A. 0 . B. 1. C. 4 . Lời giải Chọn C Giả sử z  x  yi  x, y     z  x  yi  z  z  2 x . x2  y2  1 2 2  z  1  x  y  1  Bài ra ta có    1 x    z  z  1  2 x  1  2 D. 3 . 1 1 3 Với x     y 2  1  y   . 2 4 2 Do đó có 4 số phức thỏa mãn là z1  1 3 1 3 1 3 1 3  i , z2   i , z3    i , z4    i. 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 12: (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 z  1  z  z  2 trên mặt phẳng tọa độ là một A. đường thẳng. Chọn C Giả sử z  x  yi B. đường tròn. C. parabol. Lời giải  x, y     z  x  yi  z  z  2 x . Bài ra ta có 2 x  1  yi  2 x  2  2 2 D. hypebol.  x  1 2  y2  2x  2 2   x  1  y 2   x  1  x 2  2 x  1  y 2  x 2  2 x  1  y 2  4 x . Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 z  1  z  z  2 trên mặt phẳng tọa độ là một parabol. Câu 13: (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Tìm giá trị lớn nhất của P  z 2  z  z 2  z  1 với z là số phức thỏa mãn z  1 . A. 3. B. 3 . C. 13 . 4 D. 5 . Lời giải Chọn C Cách 1: Đặt z  a  bi  a, b    . Do z  1 nên a 2  b 2  1 . Sử dụng công thức: u.v  u v ta có: z 2  z  z z  1  z  1  2 z 2  z  1   a  bi   a  bi  1  a 2  b 2  a  1   2ab  b  i   a  1 a 2 2  b 2  2  2a . 2  b 2  a  1   2ab  b  2  a 2 (2a  1) 2  b2  2a  1  2a  1 (vì a 2  b 2  1 ). Vậy P  2a  1  2  2a . 1  TH1: a   . 2 Suy ra P  2a  1  2  2a   2  2a   2  2a  3  4  2  3  3 (vì 0  2  2a  2 ). 1  TH2: a   . 2 2 1 1 13  Suy ra P  2a  1  2  2a    2  2a   2  2a  3    2  2a    3   . 2 4 4  1 7 Đẳng thức xảy ra khi 2  2a   0  a  . 2 8 Cách 2: Đặt z  a  bi  a, b    . Do z  1 nên a 2  b 2  1 . Nhận xét: a   1;1 2 1   f1  a   2a  1  2  2a , 2  a  1 Lập luận như cách 1 được P  2a  1  2  2a    f  a   2a  1  2  2a ,  1  a  1  2 2 1 1  2  2  2a , 2  a  1 7 Ta có f   a    . Xét f   a   0  a  1 1 8 2  , 1  a   2 2  2a 13 7 Lập bbt xét dấu f   a  ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất là khi a  . 4 8 Câu 14: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm 2017-2018) Cho số phức z và w thỏa mãn z  w  3  4i và z  w  9 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  z  w . A. max T  176 . B. max T  14 . C. max T  4 . Lời giải D. max T  106 . Chọn D Đặt z  x  yi  x, y    . Do z  w  3  4i nên w   3  x    4  y  i . Mặt khác z  w  9 nên z  w  2  2 x  3   2 y  4  2  4 x 2  4 y 2  12 x  16 y  25  9  2 x 2  2 y 2  6 x  8 y  28 1 . Suy ra T  z  w  x 2  y 2  2 3  x   4  y  2 . Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có T 2  2  2 x 2  2 y 2  6 x  8 y  25   2  . Dấu ”  ” xảy ra khi x2  y2  2 3  x    4  y  2 . Từ 1 và  2  ta có T 2  2.  28  25    106  T  106 . Vậy MaxT  106 . Câu 15: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm 2017-2018) Trong mặt phẳng phức, gọi A , B , C , D lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1  1  i , z2  1  2i , z3  2  i , z4  3i . Gọi S là diện tích tứ giác ABCD . Tính S . A. S  17 . 2 B. S  19 . 2 C. S  23 . 2 D. S  21 . 2 Lời giải Chọn A Ta có z1  1  i  A  1;1 , z2  1  2i  B 1; 2  , z3  2  i  C  2; 1 , z4  3i  D  0; 3 y 2 A B 1 1 2 1 O 1 3 D C x   AC   3; 2   AC  13 , n   2;3 là véc tơ pháp tuyến của AC , phương trình AC : 2  x  1  3  y  1  0  2 x  3 y  1  0 . Khoảng cách từ B đến AC là: 2  3.2  1 7 1 1 7 7 d  B; AC     S ABC  d  B; AC  . AC  . 13.  . 2 2 13 13 13 2 Khoảng cách từ D đến AC là: d  D; AC   0  9 1 13  10 13 1 1 10  S ADC  .d  D; AC  . AC  . . 13  5 . 2 2 13 7 17 Vậy S  S ABC  S ADC   5  . 2 2 Câu 16: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  2  i  z 1  i   0 và z  1 . Tính P  a  b . A. P  1 . B. P  5 . C. P  3 . Lời giải Chọn D z  2  i  z 1  i   0   a  2    b  1 i  z  i z a  2  a 2  b 2 a  2  z    b  1  z b  1  a 2  b 2 1  2 Lấy 1 trừ  2  theo vế ta được a  b  1  0  b  a  1 . Thay vào 1 ta được a  2  1  do z  1  a  3 . Suy ra b  4 . 2 a  2  a 2   a  1   2 a  2a  3  0 Do đó z  3  4i có z  5  1 (thỏa điều kiện z  1 ). Vậy P  a  b  3  4  7 . D. P  7 . Câu 1: (THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Cho số phức z thoả mãn z  3  4i  5 . Gọi M và 2 2 m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  2  z  i . Tính môđun của số phức w  M  mi . A. w  1258 . B. w  1258 . C. w  2 314 . D. w  2 309 . Lời giải Chọn B Giả sử z  a  bi ( a, b   ). 2 2 z  3  4i  5   a  3   b  4   5 (1). 2 2 2 2 P  z  2  z  i   a  2   b 2   a 2   b  1   4a  2b  3 (2).   Từ (1) và (2) ta có 20a 2   64  8 P  a  P 2  22 P  137  0 (*). Phương trình (*) có nghiệm khi   4 P 2  184 P  1716  0  13  P  33  w  1258 . Câu 2: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018) Cho số phức z , biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức z ; iz và z  i z tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18 . Mô đun của số phức z bằng A. 2 3 . B. 3 2 . C. 6 . Lời giải D. 9 . Chọn C Gọi z  a  bi , a, b   nên iz  ai  b , z  i z  a  bi  b  ai  a  b   a  b  i   Ta gọi A  a, b  , B  b, a  , C  a  b, a  b  nên AB  b  a, a  b  , AC  b, a  1   1 1 S   AB, AC    a 2  b 2   a 2  b 2   18  a 2  b 2  6 . 2 2 2 Câu 3: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Cho số phức z thỏa mãn z  2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  3  2i   2  i  z là một đường tròn. Bán kính R của đường tròn đó bằng ? A. 7 . B. 20 . C. 2 5 . Lời giải 7. D. Chọn C Ta có w  3  2i   2  i  z  z  Khi đó z  w  3  2i . Đặt w  x  yi 2i  x, y    . x  yi  3  2i . 2i Ta có z  2  x  3   y  2 i x  3   y  2 i x  yi  3  2i 2 2 2 2i 2i 2i 2 2   2  x  3   y  2  i  2 2  i  x  3   y  2  i  2 5   x  3   y  2   2 5 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  3  2i   2  i  z là một đường tròn có bán kính R2 5. Câu 4: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Cho số phức z thỏa mãn 4 z  i  3 z  i  10 . Giá trị nhỏ nhất của z bằng: A. 1 . 2 B. 5 . 7 C. 3 . 2 D. 1. Lời giải Chọn D Gọi z  a  bi  a, b    . Khi đó: 2 2  2 4 z  i  3 z  i  4 a 2   b  1  3 a 2   b  1   42  32  a 2   b  1  a 2   b  1  2 2    102  25 2 z  2  z  1 . 24 7 24 7 hay z  ; b  i. 25 25 25 25 Câu 5: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M , N , P Vậy giá trị nhỏ nhất của z là 1, đạt khi a  lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1  1  i , z2  8  i , z3  1  3i . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Tam giác MNP cân. B. Tam giác MNP đều. C. Tam giác MNP vuông. D. Tam giác MNP vuông cân. Lời giải Chọn C M là điểm biểu diễn số phức z1  1  i nên tọa độ điểm M là 1;1 . N là điểm biểu diễn số phức z2  8  i nên tọa độ điểm N là  8;1 . P là điểm biểu diễn số phức z3  1  3i nên tọa độ điểm P là 1;  3 .    MN .MP  0   Ta có MN   7;0  , MP   0;  4  nên    hay tam giác MNP vuông tại M và  MN  MP không phải tam giác cân. Câu 6: (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn A. 0 . Chọn B Gọi z  a  bi B. 1 . C. 2 . Lời giải z  1 z  3i   1? z i z i D. 4 .  a, b    . Ta có:  a  12  b 2  a 2   b  12  z  1  z  i 2a  1  2b  1 a  1 .     2 2 2 2 6b  9  2b  1 b  1  z  3i  z  i a   b  3  a   b  1 Vậy có một số phức thỏa mãn là z  1  i . Câu 1: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Số phức z  a  bi ( với a , b là số nguyên) thỏa mãn 1  3i  z là số thực và z  2  5i  1 . Khi đó a  b là A. 9 . B. 8 . C. 6 . Lời giải D. 7 . Chọn B Ta có: 1  3i  z  1  3i  a  bi   a  3b   b  3a  i . Vì 1  3i  z là số thực nên b  3a  0  b  3a 1 . 2 2 z  2  5i  1  a  2   5  b  i  1   a  2    5  b   1  2  . 2 Thế 1 vào  2  ta có:  a  2    5  3a  a  2  b  6 .  1  10a  34a  28  0    a  7 (loaïi) 5  2 2 Vậy a  b  2  6  8 . Câu 2: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  5  5, z2  1  3i  z2  3  6i . Giá trị nhỏ nhất của z1  z2 là A. 5 . 2 B. 7 . 2 C. 1 . 2 D. 3 . 2 Lời giải Chọn A Giả sử z1  a1  b1i  a1 , b1    , z2  a2  b2i  a2 , b2    . Ta có 2 z1  5  5   a1  5   b12  25 . Do đó, tập hợp các điểm A biểu diễn cho số phức z1 là 2 đường tròn  C  :  x  5   y 2  25 có tâm là điểm I  5;0  và bán kính R  5 . 2 2 2 z2  1  3i  z2  3  6i   a2  1   b2  3   a2  3   b2  6  2  8a2  6b2  35  0 . Do đó tập hợp các điểm B biểu diễn cho số phức z2 là đường thẳng  : 8 x  6 y  35  0 . Khi đó, ta có z1  z2  AB . 8.  5  6.0  35 Suy ra z1  z2 min  ABmin  d  I ;    R  2 8 6 2 5  5 . 2 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của z1  z2 là . 2 Câu 3: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho số phức w  x  yi ,  x , y    thỏa mãn điều kiện w2  4  2 w . Đặt P  8  x 2  y 2   12 . Khẳng định nào dưới đây đúng?  2  2 A. P   w  2 .  2  2 B. P   w  2 . 2 C. P    w  4  .  2  2  2  2 D. P   w  4 . Đáp án A và B có giá trị như nhau nên em đã sửa đáp án A.  2  2 A. P   w  2 .  2  2 B. P   w  2 . 2 C. P    w  4  . Lời giải D. P   w  4 . Chọn B 2 Ta có w2  4   x  yi   4  x 2  y 2  2 xyi  4  w2  4  x 2 2  y2  4  4 x2 y2 . Do đó w2  4  2 w  x 2 2 2  y 2  4  4 x2 y 2  2 x2  y 2   x2  y 2  4  4 x2 y2  4  x2  y 2   x 4  y 4  2 x 2 y 2  8  x 2  y 2   16  4 x 2 y 2  4  x 2  y 2   x 4  y 4  2 x 2 y 2  4  x 2  y 2   4  8  x 2  y 2   12  0 2 2   x 2  y 2   4  x 2  y 2   4  8  x 2  y 2   12  0   x 2  y 2  2   8  x 2  y 2   12  0 2   2 2  8  x 2  y 2   12    x 2  y 2  2   P   w  2 . Câu 4: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  1  3i  z i  0 . Tính S  a  3b . A. S  7 . 3 B. S  5 . 7 D. S   . 3 C. S  5 . Lời giải Chọn B Ta có z  1  3i  z i  0  a  bi  1  3i  i a 2  b 2  0 a  1  0  a  1  b  3  a 2  b2 i  0   2 2 b  3  a  b    a  1 a  1    b  3  4  S  5 . b    2  b  3  1  b2  3   Câu 5: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Biết số phức z thỏa mãn z  3  4i  5 và 2 2 biểu thức T  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Tính z . B. z  50 . A. z  33 . C. z  10 . D. z  5 2 . Lời giải Chọn D 2 2 Đặt z  x  yi , theo giả thiết z  3  4i  5   x  3   y  4   5 .  C  2 2 Ngoài ra T  z  2  z  i  4 x  2 y  3  T  0    đạt giá trị lớn nhất. Rõ ràng  C  và    có điểm chung do đó 23  T 2 5  5  13  T  33 . Vì T đạt giá trị lớn nhất nên T  33 suy ra 4 x  2 y  30  0  y  15  2 x thay vào  C  ta được 5 x 2  50 x  125  0  x  5  y  5 . Vậy z  5 2 . Câu 6: (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho hai điểm A , B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z0 , z1 khác 0 và thỏa mãn đẳng thức z02  z12  z0 z1 . Hỏi ba điểm O , A , B tạo thành tam giác gì? ( O là gốc tọa độ)? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất. A. Cân tại O . B. Vuông cân tại O . C. Đều. D. Vuông tại O . Lời giải Chọn C Theo giả thiết suy ra: OA  z0 , OB  z1 và AB  z1  z0 . Ta có: z02  z12  z0 z1  z02  z0 z1  z12  0   z0  z1   z02  z0 z1  z12   0 .  z03  z13  0  z03   z13  z0  z1  OA  OB . 2 2 Xét  z1  z0   z02  z12  2 z0 z1   z0 z1  z1  z0  z1 . z0  AB 2  OA.OB  AB  OB . Vậy AB  OB  OA hay tam giác OAB là tam giác đều. Câu 7: (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất zi của P  , với z là số phức khác 0 thỏa mãn z  2 . Tính 2M  m . z 3 5 A. 2 M  m  . B. 2 M  m  . C. 2M  m  10 . D. 2M  m  6 . 2 2 Lời giải Chọn B z i zi 1 3 z i 3  1   . Dấu bằng xảy ra khi z  2i . Vậy M  .   P z z z 2 z 2 P zi zi zi 1 1 z i  1   . Dấu bằng xảy ra khi z  2i .    z z z z 2 z Vậy m  1 . 2 Vậy 2 M  m  5 . 2 Câu 8: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho số phức z  a  bi  a , b  , a  0  thỏa mãn z  1  2i  5 và z.z  10 . Tính P  a  b . A. P  4 . B. P  4 . C. P  2 . Lời giải D. P  2 . Chọn A  a  12   b  2 2  5 Từ giả thiết z  1  2i  5 và z.z  10 ta có hệ phương trình  2 2 a  b  10 a  2b  5 a  2b  5 a  3 a  1  2  hay  (loại). Vậy P  4 .   2 2 2 b  3  2b  5   b  10 b  1 a  b  10 Câu 9: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  1 , số phức w thỏa mãn w  2  3i  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  w . A. 13  3 . B. 17  3 . C. 17  3 . Lời giải D. 13  3 . Chọn B Gọi M  x; y  biểu diễn số phức z  x  iy thì M thuộc đường tròn  C1  có tâm I1 1;1 , bán kính R1  1 . N  x; y  biểu diễn số phức w  x  iy thì N thuộc đường tròn  C2  có tâm I 2  2; 3 , bán kính R2  2 . Giá trị nhỏ nhất của z  w chính là giá trị nhỏ nhất của đoạn MN .  Ta có I1 I 2  1; 4   I1 I 2  17  R1  R2   C1  và  C2  ở ngoài nhau.  MN min  I1I 2  R1  R2  17  3 Câu 10: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Cho các số phức z1  2  i , 2 2 z2  2  i và số phức z thay đổi thỏa mãn z  z1  z  z2  16 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức M 2  m 2 bằng A. 15 . B. 7 . C. 11. Lời giải D. 8 . Chọn D Giả sử z  x  yi  x, y    . 2 2 2 2 2 Ta có: z  z1  z  z2  16  x  yi  2  i  x  yi  2  i  16  x 2   y  1  4 . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm số phức I  0;1 bán kính R  2. y 3 1 I 2 2 x O 1 Do đó m  1 , M  3 . Vậy M 2  m 2  8 . Câu 11: [2D4 -3](THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Cho các số p , q thỏa 1 1   1 và các số dương a , b . Xét hàm số: p q mãn các điều kiện: p  1 , q  1 , y  x p 1  x  0  có đồ thị là  C  . Gọi  S1  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  , trục hoành, đường thẳng x  a , Gọi  S2  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  , trục tung, đường thẳng y  b , Gọi  S  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung và hai đường thẳng x  a , y  b . Khi so sánh S1  S2 và S ta nhận được bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức dưới đây? y xa y  x p 1 b y b S2 S1 O a x A. a p bq   ab p q B. a p 1 b q 1 a p 1 b q 1 a p bq   ab . C.   ab . D.   ab . p 1 q 1 p 1 q 1 p q Lời giải Chọn D Ta có: S  S1  S2 . a S1    x 0 Vì: p 1  p  dx   xp    a 0   1 1 1 b p p 1     a y   ; S 2    y p 1  dy     p  1 1  0   p 1    b  yq     q  b  0 bq . q 0 1 p 1 1 1    q. 1 1 p 1 p 1 1  p q Vậy a p bq   ab . p q Câu 12: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Gọi  H  là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa 1  z  1  2 trong mặt phẳng phức. Tính diện tích hình  H  . A. 2 . B. 3 . C. 4 . Lời giải D. 5 . Chọn B Đặt z  x  yi , z  1  x  1  yi  Do đó 1  z  1  2  1   x  1 2  x  1 2  y2 . 2  y 2  2  1   x  1  y 2  4 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình phẳng nằm trong đường tròn tâm I 1;0  bán kính R  2 và nằm ngoài đường tròn I 1;0  bán kính r  1 . Diện tích hình phẳng S   .22   .12  3 . Câu 13: (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 – năm 2017 – 2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều 2 kiện z 2  z  z ? A. 1 . B. 4 . Chọn D Đặt z  a  bi  a, b    . C. 2 . Lời giải D. 3 . 2 2 Ta có z 2  z  z   a  bi   a 2  b 2  a  bi  2abi  b 2  b 2  a  bi  b  0  2ab  b 1   2   a 2 2  b  b  a  2b2  a  0  b  0  a  0  z  0 . 1 1 1 1  a    b    z    i . 2 2 2 2 Vậy có 3 số phức thỏa ycbt. Câu 14: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho hai số phức z1 , z2 có điểm biểu diễn lần lượt là M 1 , M 2 cùng thuộc đường tròn có phương trình x 2  y 2  1 và z1  z2  1 . Tính giá trị biểu thức P  z1  z2 . 3 . 2 A. P  B. P  2 . C. P  2 . 2 D. P  3 . Lời giải Chọn D Ta có M 1 , M 2 cùng thuộc đường tròn tâm O  0; 0  bán kính R  1 . Vì z1  z2  1 nên suy ra M 1M 2  1 . Vậy tam giác OM 1M 2 là tam giác đều cạnh bằng 1. Gọi H là trung điểm của M 1M 2 thì OH là trung tuyến của tam giác đều OM 1M 2 có cạnh 1. 3 3 .  2 2    3 Ta có P  z1  z2  OM 1  OM 2  2OH  2OH  2.  3. 2 bằng 1. Suy ra OH  1 Câu 15: (SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018) Cho  3x  1 3 hữu tỉ. Khi đó, giá trị của a là 26 26 A.  . B. . 27 27 C. x 9 x2 1 dx  a  b 2 , với a , b là các số 27 . 26 D.  25 . 27 Lời giải Chọn B 1 1 1 3   2 26 32 Ta có:  dx   x 3 x  9 x  1 dx   x3   9 x 2  1 2    2. 2 27 1 3x  9 x  1 1   1 27 27 x 3  2  3 3 Câu 16: (SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  2 z  7  3i  z . Tính z . A. 3. B. 13 . 4 C. Lời giải Chọn D Giả sử z  x  yi  x, y    . 25 . 4 D. 5 . Ta có: z  2 z  7  3i  z  x 2  y 2  2 x  2 yi  7  x   y  3 i  x 2  y 2  2 x  7  x x  4 . Vậy z  5 .   2y  y  3 y  3  Câu 17: (SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018) Cho hai số phức z , w thỏa mãn  z  3  2i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P  z  w .   w  1  2i  w  2  i A. Pmin  3 2 2 . 2 B. Pmin  2  1. C. Pmin  5 2 2 . 2 D. Pmin  3 2 2 . 2 Lời giải Chọn C Giả sử z  a  bi ; w  x  yi  a, b, x, y    . Ta có 2 2 z  3  2i  1   a  3   b  2   1 . Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là hình tròn tâm I  3; 2  , bán kính R  1 . 2 2 2 2 w  1  2i  w  2  i   x  1   y  2    x  2    y  1  x  y  0 . Suy ra tập hợp điểm N biểu diễn số phức w là nửa mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng  : x  y  0 (tính cả bờ đường thẳng) (hình vẽ) y I 2 3 O Ta có d  I ,    x 5 . Gọi H là hình chiếu của I trên  . 2 Khi đó z  w  MN  d  I ,    R  5 2 5 2  1 . Suy ra Pmin  1 . 2 2 Câu 18: (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  1  i  2 và z2  iz1 . Tìm giá trị lớn nhất m của biểu thức z1  z2 A. m  2 2  2 . B. m  2  1 . C. m  2 2 . Lời giải D. m  2 . Chọn A Gọi z1  x  yi ( x , y   ), khi đó theo giả thiết của đề bài ta có z2   y  xi . 2 2 Khi đó z1  1  i  2   x  1   y  1  4 . Vì vậy tồn tại t   để x  1  2sin t và y  1  2 cos t . 2 2 2 Do đó z1  z2   x  y    y  x   2  x 2  y 2     2  6  4  sin t  cos t    12  8 2 sin  t    12  8 2 .  4 Do đó m  12  8 2  2 2  2 . Câu 19: Cho số phức z  a  bi ( a , b là các số thực ) thỏa mãn z z  2 z  i  0 . Tính giá trị của biểu thức T  a  b 2 . A. T  4 3  2 . B. T  3  2 2 . C. T  3  2 2 . D. T  4  2 3 . Câu 20: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho số phức z  a  bi ( a , b là các số thực ) thỏa mãn z z  2 z  i  0 . Tính giá trị của biểu thức T  a  b 2 . B. T  3  2 2 . A. T  4 3  2 . C. T  3  2 2 . Lời giải D. T  4  2 3 . Chọn C Ta có z z  2 z  i  0   a  bi  a  bi  2  a  bi   i  0  a a 2  b 2  2a  b a 2  b 2 i  2bi  i  0  a a 2  b 2  2a  b a 2  b 2 i  2bi  i  0 a a 2  b 2  2a  0  a a 2  b 2  2a  b a 2  b2  2b  1 i  0   b a 2  b2  2b  1  0   a  0 a  0     2b  1 . 2 b b  2b  1  0  b   b 2b  1  b   2b  1  b b    b  1  2 . Suy ra T  a  b2  3  2 2 . b  1  b  0  2 Câu 21: (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018)Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 2 z  1  3i  3 2 và  z  2i  là số thuần ảo? A. 1. C. 3 . Lời giải B. 2 . D. 4 . Chọn C Giả sử z  x  yi  z  2i  2  x, y    . Khi đó 2 2 2 z  1  3i  3 2   x  1   y  3  18 1 . 2   x   y  2  i   x 2   y  2   2 x  y  2  i . x  y  2 2 Theo giả thiết ta có x 2   y  2   0   .  x    y  2 Với x  y  2 thay vào 1 ta được phương trình 2 y 2  0  y  0  x  2  z1  2 .  y  1 5 Với x    y  2  thay vào 1 ta được phương trình 2 y 2  4 y  8  0    y  1 5  z 2  3  5  1  5 i .   z  3  5  1  5 i 3      Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 22: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Giả sử z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình  2  i  z z  1  2i  z  1  3i và z1  z2  1 . Tính M  2 z1  3z2 . A. M  19 . B. M  25 . C. M  5 . D. M  19 . Lời giải Chọn D 2 2 2 Từ giả thiết, ta có  2 z  1   z  2  i . z  10   2 z  1   z  2   . z  10   4 2  5 z  5 z  10  0  z  1 (vì z  0 ). Gọi z1  x1  y1i và z2  x2  y2i . Ta có z1  z2  1 nên x12  y12  x22  y22  1 . 2 2 Mặt khác, z1  z2  1 nên  x1  x2    y1  y2   1 . Suy ra x1 x2  y1 y2  Khi đó M  2 z1  3z2  2  2 x1  3×2    2 y1  3 y2   4  x12  y12   9  y12  y22   12  x1 x2  y1 y2  Vậy M  19 . 2 1 . 2 Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho z1 , z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  5  3i  5 , đồng thời z1  z2  8 . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w  z1  z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình nào dưới đây? 2 2 5  3 9  A.  x     y    . 2  2 4  2 2 B.  x  10    y  6   36 . 2 2 2 5  3  D.  x     y    9 . 2  2  Lời giải 2 C.  x  10    y  6   16 . Chọn B Gọi A , B , M là các điểm biểu diễn của z1 , z2 , w . Khi đó A , B thuộc đường tròn 2 2  C  :  x  5   y  3  25 và AB  z1  z2  C  có tâm I  5;3 và bán kính R  5 , gọi 8. T là trung điểm của AB khi đó T là trung điểm của OM và IT  IA2  TA2  3 . Gọi J là điểm đối xứng của O qua I suy ra J 10;6  và IT là đường trung bình của tam giác OJM , do đó JM  2 IT  6 . Vậy M thuộc đường tròn tâm 2  x  10    y  6  2 bán kính bằng J 6 và có phương trình  36 . Câu 2: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Biết số phức z có phần ảo khác 0 và thỏa mãn z   2  i   10 và z.z  25 . Điểm nào sau đây biểu diễn số phức z trên? A. P  4;  3 . B. N  3;  4  . C. M  3; 4  . D. Q  4; 3 . Lời giải Chọn C Giả sử z  x  yi Ta có  x, y  , y  0  . z   2  i   10  x  yi   2  i   2 10 2   x  2    y  1 i  10   x  2    y  1  10  x 2  y 2  4 x  2 y  5 . Lại có z.z  25  x 2  y 2  25 nên 25  4 x  2 y  5  2 x  y  10  y  10  2 x x  5 2  x 2  10  2 x   25  5 x 2  40 x  75  0   . x  3 + Với x  5  y  0 , không thỏa mãn vì y  0 . + Với x  3  y  4 , thỏa mãn y  0  z  3  4i . Do đó điểm M  3; 4  biểu diễn số phức z . Câu 3: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho A , B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z0 , z1 khác 0 và thỏa mãn đẳng thức z02  z12  z0 z1 . Hỏi ba điểm O , A , B tạo thành tam giác gì ( O là gốc tọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất. A. Đều. B. Cân tại O . C. Vuông tại O . Lời giải D. Vuông cân tại O . Chọn A Do z1  0 nên chia 2 vế của đẳng thức cho z12 , ta được: 2 1  z0  z0 z0 1 3 3  i  z0    i  z1 .   1     z1 z1 2 2  z1  2 2  Đặt z1  OA  a  OB  z0  1 3  i z1  a . 2 2 1  1 3  3  1 3 Lại có z0  z1    . i z  z      1 1 2 2   2 2 i  z1  AB  z0  z1   2  2 i z1  a     Vậy OAB đều. Câu 4: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Gọi M và m lần zi lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P  , với z là số phức khác 0 và thỏa mãn z M . z  2 . Tính tỷ số m M M M 3 M 1 A. B. C. D.  5.  3.  .  . m m m 4 m 3 Lời giải Chọn B zi  T  1 z  i . z Nếu T  1  Không có số phức nào thoả mãn yêu cầu bài toán. i i 1 Nếu T  1  z   z   2  T 1  . T 1 T 1 2 Gọi T  Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức T là hình tròn tâm I 1;0  có bán kính R  1 . 2 3   M  OB  OI  R  2 M   3. m m  OA  OI  R  1  2 Câu 5: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  2  1  i  z  2 w  4 2 . Gọi m  max z , n  min z và số phức w  m  ni . Tính 2018 B. 51009 . A. 41009 . C. 61009 . D. 21009 . Lời giải Chọn C Ta có 1  i  z  2  1  i  z  2  4 2  z  1  i  z  1  i  4 . Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z , F1  1;1 là điểm biểu diễn của số phức z1  1  i và F2 1;  1 là điểm biểu diễn của số phức z2  1  i . Khi đó ta có MF1  MF2  4 . Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip nhận F1 và F2 làm hai tiêu điểm. Ta có F1F2  2c  2c  2 2  c  2 . Mặt khác 2a  4  a  2 suy ra b  a 2  c 2  4  2  2 . Do đó Elip có độ dài trục lớn là A1 A2  2a  4 , độ dài trục bé là B1B2  2b  2 2 . Mặt khác O là trung điểm của AB nên m  max z  max OM  OA1  a  2 và n  min z  min OM  OB1  b  2 . Do đó w  2  2i suy ra w  6  w 2018  61009 . Câu 6: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho số phức z thỏa   mãn  z  2  i  z  2  i  25 . Biết tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w  2 z  2  3i là đường tròn tâm I  a; b  và bán kính c . Giá trị của a  b  c bằng A. 17 . B. 20 . C. 10 . Lời giải Chọn D Giả sử z  a  bi  a; b    và w  x  yi D. 18 .  x; y    .  z  2  i   z  2  i   25   a  2   b  1 i   a  2   b  1 i   25 2 2   a  2    b  1  25 1 Theo giả thiết: w  2 z  2  3i  x  yi  2  a  bi   2  3i  x  yi  2a  2   3  2b  i . x2  a   x  2a  2  2    y  3  2b b  3  y  2  2 . 2 2 2 2  x2   3 y  Thay  2  vào 1 ta được:   2    1  25   x  2    y  5  100 .  2   2  Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn tâm I  2;5  và bán kính R  10 . Vậy a  b  c  17 . Câu 7: (SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Biết rằng hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 1 z1  3  4i  1 và z2  3  4i  . Số phức z có phần thực là a và phần ảo là b thỏa mãn 2 3a  2b  12 . Giá trị nhỏ nhất của P  z  z1  z  2 z2  2 bằng: A. Pmin  9945 . 11 B. Pmin  5  2 3 . C. Pmin  9945 . 13 D. Pmin  5  2 5 . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi M 1 , M 2 , M lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z1 , 2z2 , z trên hệ trục tọa độ Oxy . Khi đó quỹ tích của điểm M 1 là đường tròn  C1  tâm I  3; 4  , bán kính R  1 ; quỹ tích của điểm M 2 là đường  C2  tròn tâm I  6;8  , bán kính R  1 ; quỹ tích của điểm M là đường thẳng d : 3x  2 y  12  0 . Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của MM 1  MM 2  2 . y I2 8 I3 B 4 O I1 3 A M x 6  138 64  Gọi  C3  có tâm I 3  ;  , R  1 là đường tròn đối xứng với  C2  qua d . Khi đó  13 13  min  MM 1  MM 2  2   min  MM 1  MM 3  2  với M 3   C3  . Gọi A , B lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng I1 I 3 với  C1  ,  C3  . Khi đó với mọi điểm M 1   C1  , M 3   C3  , M  d ta có MM 1  MM 3  2  AB  2 , dấu “=” xảy ra khi M 1  A, M 3  B . Do đó Pmin  AB  2  I1I 3  2  2  I1I 3  9945 . 13 Câu 8: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho các số phức z thỏa mãn z  i  z  1  2i . Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w  z  2i trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Phương trình đường thẳng đó là: A. x  4 y  3  0 . B. x  3 y  4  0 . C.  x  3 y  4  0 . D. x  3 y  4  0 . Lời giải Chọn D Giả sử w  x  yi ,  x, y    . Khi đó w  z  2i  z  w  2i  x   y  2  i . Do đó biểu thức z  i  z  1  2i trở thành x   y  2  i  i  x   y  2  i  1  2i  x   y  3 i   x  1  yi 2 2  x 2   y  3   x  1  y 2  x  3 y  4  0 . 2 Câu 9: (THPT Chu Văn An – Hà Nội – năm 2017-2018) Số phức z  1  i   1  i   …  1  i  2018 có phần ảo bằng A. 21009  1 . B. 21009  1 . D.   21009  1 . C. 1  21009 . Lời giải Chọn B 2 Có z  1  i   1  i   …  1  i  Do 1  i  2018 1009 2  1  i     2018 1009   2i   1  i  1  i  . 2018 1 i  21009.  i 2  504  1  i  1  i   2018  1  .i  21009 i Suy ra z  1  i  .  21009 i  1   21009  1  1  21009  i . Vậy phần ảo của số phức z là 21009  1 . Câu 10: (THPT Chu Văn An – Hà Nội – năm 2017-2018) Khai triển của biểu thức  x 2  x  1 2018 được viết thành a0  a1 x  a2 x 2  …  a4036 x 4036 . Tổng S  a0  a2  a4  a6  …  a4034  a4036 bằng: A. 21009 . C. 21009 . Lời giải B. 0 . D. 1 . Chọn D Ta có  x 2  x  1 2018  a0  a1 x  a2 x 2  …  a4036 x 4036 . Cho x  i ta được  i 2  i  1 2018  a0  a1i  a2  a3 i  a4  a5 i  a6  …  a4036 . Hay S  a0  a2  a4  a6  …  a4034  a4036   1  i  1 2018  1 . Câu 11: (THPT Chu Văn An – Hà Nội – năm 2017-2018) Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn điều kiện z1  4 , z2  3 , z3  2 và 4 z1 z2  16 z2 z3  9 z1 z3  48 . Giá trị của biểu thức P  z1  z2  z3 bằng: A. 1. B. 8 . C. 2 . Lời giải D. 6 . Chọn C 2 2 2 Ta có z1  4 , z2  3 , z3  2 nên z1.z1  z1  16 , z2 .z2  z2  9 , z3 .z3  z3  4 . Khi đó 4 z1 z2  16 z2 z3  9 z1 z3  48  z3 z1 z2 z3  z1 z1 z2 z3  z2 z1 z2 z3  48   z3  z1  z2  z1 z2 z3  48  z3  z1  z2  2 hay P  z1  z2  z3  2 . Câu 12: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – năm 2017-2018) Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  12 và z2  3  4i  5 . Giá trị nhỏ nhất của z1  z2 là: A. 0 . B. 2 . C. 7 . D. 17 . Hướng dẫn giải Chọn B Gọi z1  x1  y1i và z2  x2  y2i , trong đó x1 , y1 , x2 , y2   ; đồng thời M 1  x1; y1  và M 2  x2 ; y2  lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 , z2 .  x12  y12  144 Theo giả thiết, ta có:  . 2 2  x2  3   y2  4   25 Do đó M 1 thuộc đường tròn  C1  có tâm O  0; 0  và bán kính R1  12 , M 2 thuộc đường tròn  C2  có tâm I  3; 4  và bán kính R2  5 . O   C2  Mặt khác, ta có  nên  C2  chứa trong  C1  . OI  5  7  R1  R2 M2 (C2) M1 I O (C1) Khi đó z1  z2  M 1M 2 . Suy ra z1  z2 min   M 1M 2  min  M 1M 2  R1  2 R2  2 . – Lần 2 – năm 2017-2018) Cho số phức z thỏa mãn Câu 13: (SGD Bắc Ninh 2018 2017 11z  10iz  10iz  11  0. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 3  A. z   ;  . B. z  1; 2  . C. z   0;1 . D. z   2;3  . 2 2  Lời giải Chọn A Đặt z  x  yi . 11z 2018  10iz 2017  10iz  11  0 11  10iz 11  10iz 2017  z 2017   z  11z  10i 11z  10i  z 2017  100  x 2  y 2   121  220 y 121 x 2  y 2   100  220 y TH1: z  1  x 2  y 2  1  100  x 2  y 2   121  220 y  121 x 2  y 2   100  220 y  z  1 sai  TH2: z  1  x 2  y 2  1  100  x 2  y 2   121  220 y  121 x 2  y 2   100  220 y  z  1  sai  TH2: z  1  x 2  y 2  1 . Thay vào thấy đúng. Vậy z  1 . Câu 14: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 – năm 2017-2018) Cho số phức z thỏa mãn z  2  z  2  5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . Tính M  m ? 17 A. M  m  . B. M  m  8 . C. M  m  1 . D. M  m  4 . 2 Lời giải Chọn D Gọi M  x; y  , F1  2; 0  , F1  2; 0  biểu diễn cho số phức z , 2 , 2 . Ta có MF1  MF2  5  M chạy trên Elip có trục lớn 2 a  5 , trục nhỏ 2b  2 Mà z  OM . Do đó giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z là M  25  4  3. 4 5 3 ; m . 2 2 Suy ra M  m  4 . Câu 15: (Chuyên Lê Hồng Phong 4 3 – Nam Đinh – năm 2017-2018) Cho phương trình 2 z  2 z  6 z  8 z  9  0 có bốn nghiệm phức phân biệt là z1 , z2 , z3 , z4 . Tính giá trị của biểu thức T   z12  4  z22  4  z32  4  z42  4  . A. T  2i . B. T  1 . C. T  2i . D. T  0 . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt f  z   z 4  2 z 3  6 z 2  8 z  9  f  z   0 . Ta có z 2  4  z 2  4i 2   z  2i  z  2i   T   z1  2i  z2  2i  z3  2i  z4  2i   .  z1  2i  z2  2i  z3  2i  z4  2i   4   f  2i  . f  2i    1 . Câu 16: Cho M là tập hợp các số phức z thỏa 2 z  i  2  iz . Gọi z1 , z2 là hai số phức thuộc tập hợp M sao cho z1  z2  1 . Tính giá trị của biểu thức P  z1  z2 . A. P  3 . B. P  3 . 2 C. P  2 . D. P  2 . Câu 17: Cho M là tập hợp các số phức z thỏa 2 z  i  2  iz . Gọi z1 , z2 là hai số phức thuộc tập hợp M sao cho z1  z2  1 . Tính giá trị của biểu thức P  z1  z2 . A. P  3 . B. P  3 . 2 C. P  2 . Lời giải D. P  2 . Chọn A Đặt z  x  yi với x , y   . Ta có: 2 z  i  2  iz  2 x   2 y  1 i  2  y  xi  x 2  y 2  1 . Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức là đường tròn  O;1  z1  z2  1 . 2 2  2 Ta có: z1  z2  z1  z2  2 z1  z2 2  P 2 3 P  3 . Câu 18: Tìm môđun của số phức z biết z  4  1  i  z   4  3z  i . 1 A. z  . 2 B. z  2 . C. z  4 . D. z  1 . Câu 19: Cho số phức z  x  yi với x, y   thỏa mãn z  1  i  1 và z  3  3i  5 . Gọi m, M lần M . m 14 D. . 5 lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  2 y . Tính tỉ số A. 9 . 4 B. 7 . 2 C. 5 . 4 Câu 20: Tìm môđun của số phức z biết z  4  1  i  z   4  3z  i . 1 A. z  . 2 B. z  2 . C. z  4 . D. z  1 . Lời giải Chọn B Ta có z  4  1  i  z   4  3z  i  1  3i  z  z  4   z  4  i 2  z  4   z  4 Suy ra 1  3i  z  z  4   z  4  i  10 z  2 2 2 2 2 2  10 z   z  4    z  4   8 z  32  z  4  z  2 . Câu 21: Cho số phức z  x  yi với x, y   thỏa mãn z  1  i  1 và z  3  3i  5 . Gọi m, M lần M . m 14 D. . 5 lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  2 y . Tính tỉ số A. 9 . 4 B. 7 . 2 C. 5 . 4 Lời giải Chọn B J 3 1 O Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z . I 1 3 x Từ giả thiết z  1  i  1 ta có A là các điểm nằm bên ngoài hình tròn  C1  có tâm I 1;1 bán kính R1  1 . Mặt khác z  3  3i  5 ta có A là các điểm nằm bên trong hình tròn  C2  có tâm J  3;3 bán kính R2  5 . Ta lại có: P  x  2 y  x  2 y  P  0    . Do đó để tồn tại x, y thì    và phần gạch chéo phải có điểm chung tức là d  J ;    5  m  4; M  14  9 P 5  5  9  P  5  4  P  14 . Suy ra M 7  . m 2 Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  z  2  3i . Biết z  1  2i  z  7  4i  6 2 , M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z , khi đó x thuộc khoảng A.  0; 2  . B. 1;3 . C.  4;8  . D.  2; 4  . Lời giải Chọn D 2 2 2 2 Ta có: z  2  3i  z  2  3i  x  2    y  3   x  2    y  3  y  0 . Ta có: z  1  2i  z  7  4i  6 2    x  1 2 4 6 2  x  7 2  x  1 2 4  x  7 2  16  6 2  16  2 x 2  28 x  130   x  11  x  11  x  11  2   x  3 . Thử lại thấy thỏa. 2 2   x  11  2 x  28 x  130 x  6x  9  0 Vậy x  3   2; 4  . Câu 23: Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z  i  z  i  6 . Gọi S là đường cong tạo bởi tất cả các điểm biểu diễn số phức  z  i  i  1 khi z thay đổi. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong S . A. 12 . B. 12 2 . C. 9 2 . D. BF . Câu 24: Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z  i  z  i  6 . Gọi S là đường cong tạo bởi tất cả các điểm biểu diễn số phức  z  i  i  1 khi z thay đổi. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong S . A. 12 . B. 12 2 . C. 9 2 . D. BF . Lời giải Chọn B Gọi M là điểm biểu diễn số phức w   z  i 1  i  . Suy ra: z  Viết lại giả thiết: z  i  z  i  6  w i . 1 i w w i i   i  i  6  w  w  2  2i  6 2 . 1 i 1 i  MF1  MF2  6 2 với F1  0;0  , F2  2; 2  , F1 F2  2c  2 2 . Tập hợp điểm M là điểm biểu diễn số phức w là elip có độ dài trục lớn 2a  6 2 , 2c  2 2 , b  a 2  c 2  4 . Diện tích elip là S   .a.b  12 2 . Câu 25: Trên tập hợp số phức, cho phương trình z 2  bz  c  0 với b, c   . Biết rằng hai nghiệm của phương trình có dạng w  3 và 2 w  15i  9 với w là một số phức. Tính S  b 2  2c A. S  32 . B. S  1608 . C. S  1144 . D. S  64 . Câu 26: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa z1  z2  2 5 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Biết MN  2 2 . Gọi H là đỉnh thứ tư của hình bình hành OMHN và K là trung điểm của ON . Tính l  KH A. l  3 2 . B. l  6 2 . C. l  41 . D. l  5 . Câu 27: Trên tập hợp số phức, cho phương trình z 2  bz  c  0 với b, c   . Biết rằng hai nghiệm của phương trình có dạng w  3 và 2 w  15i  9 với w là một số phức. Tính S  b 2  2c A. S  32 . B. S  1608 . C. S  1144 . Lời giải D. S  64 . Chọn A  w  3 2  b  w  3  c  0  2 w  15i  9  w  3  c Từ đề bài suy ra    2 2 w  15i  9  w  3  b  2 w  15i  9   b  2 w  15i  9   c  0 Giả sử w  x  yi , x, y   . Khi đó w  3  x  3  yi , 2 w  15i  9  2 x  9   2 y  15 i .  2 x  9   2 y  15 i   x  3  yi   c  2 w  15i  9  w  3  c Theo đề ta có  .  2 w  15i  9  w  3  b  2 x  9   2 y  15 i    x  3  yi   b  x  3 2 y  15   y  2 x  9   0  x  6 Vì b, c   nên  .  y  5 2 y  15  y  0  2 w  15i  9  w  3  c c  34 Suy ra w  6  5i , do đó  .  b  6 2 w  15i  9  w  3  b S  b 2  2c  32 Câu 28: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa z1  z2  2 5 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Biết MN  2 2 . Gọi H là đỉnh thứ tư của hình bình hành OMHN và K là trung điểm của ON . Tính l  KH A. l  3 2 . Chọn C B. l  6 2 . C. l  41 . Lời giải D. l  5 . H y M 2 5 2 2 N K x O OM 2  ON 2  MN 2 4  . 2OM .ON 5   ONH   180 nên cos ONH  4. Vì MON 5 Xét tam giác HNK có  Xét tam giác OMN ta có cos MON 2   OM 2   1 ON   2OM . 1 ON .cos ONH   41 . HK  NH  NK  2 NH .NK .cos KNH   2 2  2 2 0 2 4 6 98 100 Câu 29: Giá trị của biểu thức C100 bằng  C100  C100  C100  …  C100  C100 A. 2100 . B. 250 . C. 2100 . D. 250 . 0 2 4 6 98 100 Câu 30: Giá trị của biểu thức C100 bằng  C100  C100  C100  …  C100  C100 A. 2100 . B. 250 . C. 2100 . D. 250 . Lời giải Chọn B Ta có 100 1  i  0 1 2 100  C100  iC100  i 2C100  …  i100C100 0 2 4 100   C100  C100  C100  …  C100    C1001  C1003  C1005  C10099  i 100 Mặt khác 1  i  . 50 2  1  i     2i 50    250 . 0 2 4 6 98 100 Vậy C100  C100  C100  C100  …  C100  C100  250 . Câu 31: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  2 1  z bằng A. 5. B. 6 5 . C. 2 5 . D. 4 5 . Câu 32: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  2 1  z bằng A. 5. B. 6 5 . C. 2 5 . D. 4 5 . Lời giải Chọn B Gọi số phức z  x  yi , với x, y   . Theo giả thiết, ta có z  1  x 2  y 2  1 . Suy ra 1  x  1 . Khi đó, P  1  z  2 1  z  Suy ra P  1 2  x  1 2  y2  2  x  1 2  y2  2x  2  2 2  2x .  22   2 x  2    2  2 x   hay P  2 5 , với mọi 1  x  1 . 3 4 Vậy Pmax  2 5 khi 2 2 x  2  2  2 x  x   , y   . 5 5 2 2 Câu 33: Cho số phức z thoả mãn z  3  4i  5 và biểu thức P  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Môđun của số phức z bằng A. 10 . B. 5 2 . C. 13 . D. 10 . 2 2 Câu 34: Cho số phức z thoả mãn z  3  4i  5 và biểu thức P  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Môđun của số phức z bằng A. 10 . B. 5 2 . C. 13 . Hướng dẫn giải D. 10 . Chọn B Đặt z  x  yi với x, y   và gọi M  x; y  là điểm biểu diễn của z trên Oxy , ta có 2 2 z  3  4i  5   x  3   y  4   5 2 2 2 2 Và P  z  2  z  i   x  2   y 2  x 2   y  1  4 x  2 y  3 . Như vậy P  4 x  2 y  3   4  x  3  2  y  4    23  42  22 . 2  x  3   y  4  2  23  33 x  5 x 3 y 4  t    y  5 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  4 2 t  0,5 4  x  3  2  y  4   10   Vậy P đạt giá trị lớn nhất khi z  5  5i  z  5 2 . Câu 35: Cho số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện 2 z  3  4i  5 và biểu thức 2 M  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Môđun của số phức z  2  i bằng A. B. 9 . 5. C. 25 . Câu 36: Cho số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện 2 D. 5 . z  3  4i  5 và biểu thức 2 M  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Môđun của số phức z  2  i bằng A. 5. B. 9 . C. 25 . D. 5 . Lời giải Chọn D 2 2 Đặt z  x  yi ,  x, y     z  3  4i  5   x  3   y  4   5 2 2 2 1 . 2 Ta có: M  z  2  z  i   x  2   y 2  x 2   y  1  4 x  2 y  3  4  x  3  2  y  4   23  20 2  x  3   y  4  2  23  33 . x 3 4  kết hợp với 1 suy ra y4 2 Dấu ”  ” xảy ra khi chỉ khi  x  y  5  z  5  5i  x  1, y  3  z  1  3i  Thử lại ta có M max  33  z  5  5i  z  2  i  5 . Câu 37: Cho số phức z . Gọi A , B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng  Oxy  biểu diễn các số phức z và 1  i  z . Tính z biết diện tích tam giác OAB bằng 8 . A. z  2 2 . C. z  2 . B. z  4 2 . D. z  4 . Câu 38: Cho số phức z . Gọi A , B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng  Oxy  biểu diễn các số phức z và 1  i  z . Tính z biết diện tích tam giác OAB bằng 8 . A. z  2 2 . B. z  4 2 . C. z  2 . Lời giải D. z  4 . Chọn D Ta có OA  z , OB  1  i  z  2 z , AB  1  i  z  z  iz  z . Suy ra OAB vuông cân tại A ( OA  AB và OA2  AB 2  OB 2 ) 1 1 2 Ta có: S OAB  OA. AB  z  8  z  4 . 2 2 Câu 39: Cho hàm số y  f  x xác định và liên tục trên  {0} thỏa mãn: thỏa mãn: 4 x 2 f 2  x    2 x  1 f  x   x. f   x   1 với đồng thời f 1  2 . Tính  f  x  dx . 1 A. 2 ln 2  Câu 40: Cho 1 . 4 hàm B. 2 ln 2  số 3 . 4 y  f  x C.  ln 2  xác định và 3 . 4 liên D.  ln 2  tục trên 1 . 4  {0} 4 x 2 f 2  x    2 x  1 f  x   x. f   x   1 với đồng thời f 1  2 . Tính  f  x  dx . 1 A. 2 ln 2  1 . 4 B. 2 ln 2  3 . 4 C.  ln 2  3 . 4 D.  ln 2  Lời giải Chọn B   Từ giả thiết ta có: xf  x   1 2  f  x   xf   x  . Đặt u  x. f  x   1  u 2  u  u u 1  1   2 dx  x  C   x  C. 2 u u u 1 . 4 Vậy x. f  x   1  1 , mà f 1  2  C  0 . xC 4 1 1 3 Vậy f  x    2    f  x  dx  2 ln 2  . x x 4 1 Câu 41: Trong các số phức z thỏa mãn z  2  4i  z  2i . Số phức z có môđun nhỏ nhất là A. z  1  i . B. z  2  2i . C. z  2  2i . D. z  3  2i . Câu 42: Trong các số phức z thỏa mãn z  2  4i  z  2i . Số phức z có môđun nhỏ nhất là A. z  1  i . B. z  2  2i . C. z  2  2i . Lời giải D. z  3  2i . Chọn C Đặt z  a  bi ( a , b   ). Khi đó z  2  4i  z  2i   a  2  b  4 i  a  b  2 i  2  a  2  b  4 2  a2  b  2 2  ab  4  b  4a Khi đó: 2 2 z  a 2  b 2  a 2   4  a   2a 2  8a  16  2  a  2   8  2 2 . a  2 Đẳng thức xảy ra   . b  2 Vậy z  2  2i . Câu 43: Trong nặt phẳng phức, xét M  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi  x; y    thỏa mãn zi là số thực. Tập hợp các điểm M là z i A. Parabol. B. Trục thực. C. Đường tròn trừ hai điểm trên trục ảo. D. Trục ảo trừ điểm  0;1 . Câu 44: Cho hai số phức z , w thỏa mãn z  3 và 1 1 1 . Khi đó w bằng:   z w zw 1 1 . C. 2 . D. . 2 3 Câu 45: Trong nặt phẳng phức, xét M  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi  x; y    thỏa mãn A. 3 . B. z i là số thực. Tập hợp các điểm M là z i A. Parabol. B. Trục thực. C. Đường tròn trừ hai điểm trên trục ảo. D. Trục ảo trừ điểm  0;1 . Lời giải Chọn D 2 x 2  y 2  1  2  x  yi  i x 2  y 2  2 y  1 z  i  z  i z 2  2zi  i 2 2x Ta có  2 2     2 i là 2 2 2 2 2 2 z i z i z i x  y 1 x  y 1 x  y2 1 x  0 một số thực   . Chọn đáp án D. y 1 Câu 46: Cho hai số phức z , w thỏa mãn z  3 và A. 3 . B. 1 1 1 . Khi đó w bằng:   z w zw 1 . 2 C. 2 . D. 1 . 3 Lời giải Chọn A Ta có: 2  z  w   zw  0 1 1 1 zw 1     0  z 2  w2  zw  0 zw  z  w  z w zw zw zw 2 2 2  1 3  1   3i  1  3 2   w   z     i  w   z  w    w   z  w    2   2  2  4    2 2  1 3  z   i w  z  w. 2 2 Vậy w  3 . Câu 47: Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2  4 z  5  0 . Giá trị của ( z1  1) 2018  ( z2  1) 2018 bằng A. 21010 i . Câu 48: Gọi z1 , B. 21009 i . D. 22018 . C. 0 . z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2  4 z  5  0 . Giá trị của ( z1  1) 2018  ( z2  1) 2018 bằng A. 21010 i . D. 22018 . B. 21009 i . C. 0 . Hướng dẫn giải Chọn C  z  2  i  z1 z2  4z  5  0   .  z  2  i  z2 2018 2018 2018 2018  z1  1   z2  1  1  i   1  i  1009 1009 1009 1009   2i    2i    2i    2i   0 . Câu 49: Cho số phức z thỏa mãn A. 2 10 . 5 Câu 50: Cho số phức z  3  5i  C. 10 . A. 2 10 . 5 D. 10 . 5 2018 . Biết phần ảo của z có dạng a  b 3  c 5  d 15 . Trong các số a , b , c , d có đúng bao nhiêu số bằng 0 ? A. 2 . B. 1. Câu 51: Cho số phức z thỏa mãn 1009  1  2i  i 2  z  2i  1 . Giá trị nhỏ nhất của z  3  2i bằng z  3i B. 2 10 .  1009  1  2i  i 2  C. 4 . D. 3 . z  2i  1 . Giá trị nhỏ nhất của z  3  2i bằng z  3i B. 2 10 . C. 10 . Lời giải D. 10 . 5 Chọn A Giả sử z  x  yi  x, y    . Ta có z  2i 2  1  z  2i  z  3  i  x 2   y  2   z 3i 2  x  3   y  2  Lại có: z  3  2i  2  2  x  3   y  1 2  x  3   3 x  5  2 2  y  3 x  3 .  10 x 2  36 x  34 2 18  16 2 10    10 x    10  5 . 10   Vậy GTNN của z  3  2i bằng Câu 52: Cho số phức z   3  5i  2 10 . 5 2018 . Biết phần ảo của z có dạng a  b 3  c 5  d 15 . Trong các số a , b , c , d có đúng bao nhiêu số bằng 0 ? A. 2 . B. 1. C. 4 . Lời giải Chọn D Ta có: z  3  5i  2018 2018 k   C2018 k 0  3 2018 k k  5 i k D. 3 . . Phần ảo của số phức z là 1008 2 m 1  C2018 m0   3 2018   2 m 1   5 2 m 1  1 m 1008 m 2 m 1   C2018  1 .31009.15m. 15 . m 0 Suy ra a  b  c  0 và d  0 . Câu 53: Cho số phức z thỏa mãn z  z  2 và z  z  2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của T  z  2i . Tổng M  n bằng A. 1  10 . B. 2  10 . C. 4 . D. 1 . Câu 54: Cho số phức z thỏa mãn z  1  z  3  4i  10 . Giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P  z  1  2i bằng? A. Pmin  17 . B. Pmin  34 . C. Pmin  2 10 . D. Pmin  34 . 2 Câu 55: Cho số phức z thỏa mãn z  z  2 và z  z  2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của T  z  2i . Tổng M  n bằng A. 1  10 . B. 2  10 . C. 4 . Hướng dẫn giải D. 1 . Chọn A Gọi z  x  yi , x, y   .  x  1  2 x  2 Ta có  .   2 yi  2  y  1 Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Khi đó tập hợp các điểm M là hình vuông ABCD (hình vẽ). y 1 D C -1 O 1 A -1 B x -2 N Điểm N  0; 2  biểu diễn số phức, khi đó T  z  2i  MN . Dựa vào hình vẽ ta có MN  d  M , AB   1 nên m  min T  1 , MN  NC  10 nên M  max T  10 , do đó M  m  1  10 . Câu 56: Cho số phức z thỏa mãn z  1  z  3  4i  10 . Giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P  z  1  2i bằng? A. Pmin  17 . B. Pmin  34 . C. Pmin  2 10 . D. Pmin  34 . 2 Hướng dẫn giải Chọn A Giả sử z  a  bi  a, b    . Ta có z  1  z  3  4i  10   a  1 2 2  b2   a  3   b  4  2  10 Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn cho số phức z . Xét hai điểm F1  1; 0  , F2  3; 4  thì tập hợp điểm M là elip  E  có hai tiêu điểm là F1 , F2 và tâm là điểm I 1; 2  . Elip E này có độ dài trục lớn là 2a  10 và tiêu cự là 2c  F1 F2  4 2 . Do đó a  5 , c  2 2  b 2  a 2  c 2  17 . Lại có: P  z  1  2i  2  a  1   b  2  2  MI . Suy ra Pmin  IM min khi và chỉ khi IM  b hay Pmin  17 . Câu 57: Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2  4 z  13  0 , với z1 có phần ảo dương. Biết số phức z thỏa mãn 2 z  z1  z  z2 , phần thực nhỏ nhất của z là A. 6 . B. 2 . C. 1 . D. 9 . Câu 58: Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2  4 z  13  0 , với z1 có phần ảo dương. Biết số phức z thỏa mãn 2 z  z1  z  z2 , phần thực nhỏ nhất của z là A. 6 . B. 2 . C. 1. Lời giải D. 9 . Chọn B Ta có z 2  4 z  13  0  z1  2  3i hoặc z2  2  3i . Gọi z  x  yi , với x, y   . Theo giả thiết, 2 z  z1  z  z2  2 2  x  2    y  3 2  2  x  2    y  3 2 2 2 2 2 2  4  x  2    y  3    x  2    y  3   x  2    y  5  16 .   2 Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là miền trong của hình tròn  C  có tâm I  2;5  , bán kính R  4 , kể cả hình tròn đó. Do đó, phần thực nhỏ nhất của z là xmin  2 .  4 x 2  3x  1   ax  b   0 . Khi đó a  2b bằng: Câu 59: Cho hai số thực a và b thoả mãn lim  x   2x  1  A. 4 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . Câu 60: Cho các số phức z , w thỏa mãn z  5  3i  3 , iw  4  2i  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  3iz  2w . A. 554  5 . B. 578  13 . D. 554  13 . C. 578  5 . Câu 61: Cho số phức z thỏa mãn z  1  5 . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w xác định bởi w   2  3i  z  3  4i là một đường tròn bán kính R . Tính R . A. R  5 17 . B. R  5 10 . C. R  5 5 . D. R  5 13 .  4 x 2  3x  1   ax  b   0 . Khi đó a  2b bằng: Câu 62: Cho hai số thực a và b thoả mãn lim  x   2x  1  A. 4 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn D    4 x 2  3x  1  5 7 Ta có: lim   ax  b   lim  2 x    ax  b  x  2 2  2 x  1  2x  1  x    2  a  0    4 x 2  3x  1  5 7   lim   ax  b   0  lim  2 x    ax  b  0   5  x  x  2 2  2 x  1  2x  1   2  b  0   a  2   5. b   2 Mà Khi đó: a  2b  3 . Câu 63: Cho các số phức z , w thỏa mãn z  5  3i  3 , iw  4  2i  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  3iz  2w . A. 554  5 . B. 578  13 . D. 554  13 . C. 578  5 . Lời giải Chọn D z  5  3i  3  3iz  15i  9  9 là đường tròn có tâm I  9;15  và R  9 . iw  4  2i  2  2w  8i  4  4 là đường tròn có tâm J  4; 8 và R   4 . T  3iz  2w đạt giá trị lớn nhất khi T  IJ  R  R   554  13 . Câu 64: Cho số phức z thỏa mãn z  1  5 . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w xác định bởi w   2  3i  z  3  4i là một đường tròn bán kính R . Tính R . A. R  5 17 . B. R  5 10 . C. R  5 5 . Lời giải D. R  5 13 . Chọn D Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  1  5 là đường tròn  C  tâm I 1;0  và bán kính R  5 . Ta có  C  nhận trục hoành là trục đối xứng nên tọa độ điểm biểu diễn z cũng nằm trên đường tròn này hay z  1  5 . Ta có     w   2  3i  z  3  4i  w   2  3i  z  1   2  3i   3  4i  w   5  7i    2  3i  z  1    w   5  7i    2  3i  z  1  w   5  7i   5 13 . Câu 65: Với mọi số phức z thỏa mãn z  1  i  2 , ta luôn có A. z  1  2 . B. 2 z  1  i  3 2 . C. 2 z  1  i  2 . D. z  i  2 . Câu 66: Xét các số phức z1  3  4i và z2  2  mi ,  m    . Giá trị nhỏ nhất của môđun số phức bằng ? 2 A. . 5 C. 3 . B. 2 . D. z2 z1 1 . 5 Câu 67: Với mọi số phức z thỏa mãn z  1  i  2 , ta luôn có A. z  1  2 . B. 2 z  1  i  3 2 . C. 2 z  1  i  2 . D. z  i  2 . Lời giải Chọn B Ta có z  z  1  i  1  i  z  1  i  1  i  2 2 . Vì vậy 2 z  1  i  z  1  i  z  z  1  i  z  3 2 . Câu 68: Xét các số phức z1  3  4i và z2  2  mi ,  m    . Giá trị nhỏ nhất của môđun số phức bằng ? z2 z1 A. 2 . 5 B. 2 . C. 3 . D. 1 . 5 Lời giải Chọn A z2 2  mi  2  mi  3  4i  6  4m   3m  8 i 6  4m 3m  8      i z1 3  4i  3  4i  3  4i  25 25 25 2 2 z2 36  48m  16m 2  9m 2  48m  64 z  6  4m   3m  8    2       z1 252 z1  25   25   z2 25m2  100 z2 m2  4 4 2      . 2 z1 25 z1 25 25 5 Hoặc dùng công thức: z z2  2 . z1 z1     Câu 69: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi  H  là tập hợp điểm biểu diễn số phức w  1  3i z  2 thỏa mãn z  1  2 . Tính diện tích của hình  H  . A. 8 . B. 18 . C. 16 . D. 4 . Câu 70: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi  H  là tập hợp điểm biểu diễn số phức w  1  3i z  2 thỏa mãn z  1  2 . Tính diện tích của hình  H  . A. 8 . B. 18 . C. 16 . Lời giải D. 4 . Chọn C Ta có w  1  3i z  2  w  3  3i  1  3i  z  1 .      w  3  3i  1  3i z  1  4 . Vậy điểm biểu diễn số phức w nằm trên hình tròn có bán kính r  4 . Diện tích hình  H  là S   r 2  16 . Câu 71: Cho z1 , z2 là các số phức thỏa mãn z1  z2  1 và z1  2 z2  6 . Tính giá trị của biểu thức P  2 z1  z2 . A. P  2 . B. P  3 . C. P  3 . D. P  1 . Câu 72: Cho z1 , z2 là các số phức thỏa mãn z1  z2  1 và z1  2 z2  6 . Tính giá trị của biểu thức P  2 z1  z2 . A. P  2 . B. P  3 . C. P  3 . Lời giải D. P  1 . Chọn A Đặt z1  a1  b1i , z2  a2  b2i . Suy ra a12  b12  a22  b22  1 và z1  2 z2  6  a1.a2  b1.b2  1 . 4 Suy ra P  2 z1  z2  2 . Câu 73: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y  ln  2 x  1 , y  0 , x  0 , x  1 . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox . 2  1  A. ln 3  1 . B. ln 3   . C.     ln 3  1 . 3 2 2  D. 3 ln 3   . 2 Câu 74: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y  ln  2 x  1 , y  0 , x  0 , x  1 . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox . 2  1  A. ln 3  1 . B. ln 3   . C.     ln 3  1 . 3 2 2  D. 3 ln 3   . 2 Lời giải Chọn D Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  ln  2 x  1 với trục Ox : y  0 ln  2 x  1  0  x  0 1 Thể tích cần tìm: V    ln  2 x  1 dx 0 2  dx u  ln  2 x  1  du  Đặt:  2x 1 dv  dx  v  x 1 1 1     1   1 1 2x     V    x ln  2 x  1 0   dx     ln 3   1   dx     ln 3   x  ln 2 x  1   2x 1   2 2x 1   0 0 0    1   3    ln 3  1  ln 3   ln 3   2   2 Câu 75: Cho ba số phức z1 , z2 , z3   z1  z2  z3  1  thỏa mãn  z12  z2 .z3 . Tính giá trị của biểu thức  z z  6 2  1 2 2 M  z2  z3  z3  z1 . A.  6  2  3 . B.  6  2  3 . C. 6  2 2 . 2 D.  6 22 . 2 Câu 76: Cho ba số phức z1 , z2 , z3   z1  z2  z3  1  thỏa mãn  z12  z2 .z3 . Tính giá trị của biểu thức  z z  6 2  1 2 2 M  z2  z3  z3  z1 . A.  6  2  3 . 6  2 2 . 2 Hướng dẫn giải B.  6  2  3 . C. D.  6 22 . 2 Chọn D Gọi M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn trong hệ trục tọa độ của các số phức z1 , z2 , z3 . Suy ra: M , N , P thuộc đường tròn  O;1 . MN  z1  z2  6 2   150  MON   1500 .   6  2  OMN  cos OMN 4 4 Ta có: z3  z1  z1 z3  z1  z3 z1  z12  z3 z1  z3 z2  z3 z1  z2   MN  MP  6 2 . 2 6 2   1500  MOP 2   600  NOP đều  NP  1  z  z  1 .  NOP 2 3  6 22 . 2 Câu 77: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn Vậy M  z   2m  1  i  10 và z  1  i  z  2  3i . A. 40 . B. 41 . C. 165 . D. 164 . Câu 78: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn z   2m  1  i  10 và z  1  i  z  2  3i . A. 40 . B. 41 . C. 165 . Lời giải Chọn B Giả sử z  x  yi  x, y    , M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z z   2m  1  i  10 D. 164 . 2  z   2m  1  i  100 2 2   x   2m  1    y  1  100 Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn  C  tâm I  2m  1;1 , R  10 z  1  i  z  2  3i   x  1   y  1 i 2 2   x  2  3  y  i 2 2   x  1   y  1   x  2    3  y  2 2  2 x  8 y  11  0 . Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng  : 2 x  8 y  11  0 Để có đúng hai số phức z thì đường thẳng  cắt đường tròn  C  tại 2 điểm phân biệt Tức là d  I ,    10  2  2m  1  8  11  10  5  20 7 5  20 7 m . 4 4 2 2  82 Vậy có 41 giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 79: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2  3i  2 và z2  1  2i  1 . Tìm giá trị lớn nhất của P  z1  z2 . A. P  3  34 . C. P  6 . Câu 80: Gọi z1 , B. P  3  10 . D. P  3 . z2  a, b, c  , a  0, b A. P  c . 2a 2 là các nghiệm phức của phương 2 trình az 2  bz  c  0 , 2  4ac  0  . Đặt P  z1  z2  z1  z2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? B. P  c . a C. P  2c . a D. P  4c . a Câu 81: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2  3i  2 và z2  1  2i  1 . Tìm giá trị lớn nhất của P  z1  z2 . A. P  3  34 . B. P  3  10 . C. P  6 . Lời giải D. P  3 . Chọn A Gọi M  x1; y1  là điểm biểu diễn số phức z1 , N  x2 ; y2  là điểm biểu diễn số phức z2 2 2 Số phức z1 thỏa mãn z1  2  3i  2   x1  2    y1  3  4 suy ra M  x1; y1  nằm trên đường tròn tâm I  2;3 và bán kính R1  2 . 2 2 Số phức z2 thỏa mãn z2  1  2i  1   x2  1   y1  2   1 suy ra N  x2 ; y2  nằm trên đường tròn tâm J 1; 2  và bán kính R2  1 . Ta có z1  z2  MN đạt giá trị lớn nhất bằng R1  IJ  R2  2  34  1  3  34 . Câu 82: z1 , Gọi z2  a, b, c  , a  0, b A. P  2 là các nghiệm phức của 2 phương az 2  bz  c  0 , trình 2  4ac  0  . Đặt P  z1  z2  z1  z2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? c . 2a B. P  c . a C. P  2c . a D. P  4c . a Lời giải Chọn D Ta có z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình az 2  bz  c  0 nên z1,2  Do đó z1  z2   b  i 4ac  b 2 2a b i 4ac  b 2 và z1  z2  a a 2 2 Suy ra P  z1  z2  z1  z2 2 2 4c  b  4ac  b .     2 a a  a  Câu 83: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  3 1  z . A. P  2 10 . B. P  6 5 . C. P  3 15 . D. P  2 5 . Câu 84: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  3 1  z . A. P  2 10 . B. P  6 5 . C. P  3 15 . D. P  2 5 . Lời giải Chọn D Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có P  1 z  3 1 z  1 2  2  32  1  z  1  z 2   10 1  z   2 10 1  1  2 5 . Vậy Pmax  2 5 . Câu 85: Cho số phức z thỏa mãn z 1  3i  z  3  i   4 10 , z  1 . Tính z . A. z  1  65 . 4 B. z  1  65 . 2 C. z  1  65 . 2 D. z  1  65 . 4 D. z  1  65 . 4 Câu 86: Cho số phức z thỏa mãn z 1  3i  z  3  i   4 10 , z  1 . Tính z . A. z  Chọn C 1  65 . 4 B. z  1  65 1  65 . C. z  . 2 2 Lời giải z 1  3i  z  3  i   4 10  z  z  3   3 z  1 i   4 10 2 2 2 2 2  4 10  z  z  3   3 z  1   160    2 1  65 z  1  65 4 2 2 ( do z  1 ).  10 z  10 z  160  0    z  2  2 1  65 z   2  z  z  3   3 z  1 Câu 87: Xét các số phức z  a  bi ,  a, b    thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z  z  4  3i và z  1  i  z  2  3i đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị P  a  2b là: 252 41 61 18 B. P   . C. P   . D. P   . 50 5 10 5 Câu 88: Xét các số phức z  a  bi ,  a, b    thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z  z  4  3i và A. P   z  1  i  z  2  3i đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị P  a  2b là: A. P   252 50 B. P   41 . 5 C. P   61 . 10 D. P   18 . 5 2 2 Lời giải Chọn C Giả sử z  a  bi được biểu diễn bởi điểm M  a; b  . 2 2 Ta có: z  z  4  3i  a 2  b 2   a  4    b  3  8a  6b  25  0  M   : 8 x  6 y  25  0 . f (a, b)  z  1  i  z  2  3i  f  a, b   2  a  1   b  1 2   a  2    b  3 . Gọi A  1;1 , B  2; 3 . Khi đó f  a, b   AM  BM . Như vậy ta cần tìm M   : 8 x  6 y  25  0 sao cho f  a, b   AM  BM nhỏ nhất. A B M I  M B’ A và B nằm về một phía đối với  nên gọi B là điểm đối xứng của B qua  . Khi đó AM  BM  AM  BM  AB  AM  BM nhỏ nhất là AB khi M  AB   . BB   và đi qua B  2; 3 nên BB : 6 x  8 y  36  0 . 4  x  8 x  6 y  25  0   25 Gọi I  BB   ta có tọa độ của I là nghiệm của hệ:   6 x  8 y  36  0  y   219  50 4 219   hay I  ;  . 25 50   42   xB  25  xB   2 xI  xB  42 144  hay B   ;  .  25 25   yB  2 yI  yB  y   144  B 25   17 169  1 AB    ;   17;169  . Phương trình AB :169 x  17 y  186  0 .  25 25  25 67   x  50 169 x  17 y  186  0 Tọa độ của M là nghiệm của hệ:   . 8 x  6 y  25  0  y  119  50 61 Vậy P  a  2b  x  2 y  . 10 Câu 89: Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa đồng thời các điều kiện z  i  5 và z 2 là số thuần ảo? B. 3 . A. 2 . C. 0 . Câu 90: Xét số phức z thỏa mãn 1  2i  z  A. 1 3  z  . 2 2 B. D. 4 . 10  2  i . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? z 3  z  2. 2 C. z  2 . D. z  1 . 2 Câu 91: Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa đồng thời các điều kiện z  i  5 và z 2 là số thuần ảo? A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 4 . Lời giải Chọn D Đặt z  x  iy (với x, y   ) 2 Ta có: z  i  5  x 2   y  1  25 1 x  y Ta có: z 2 là số thuần ảo  x 2  y 2  0    2 x  y 2 2 Suy ra x 2   x  1  25 hay x 2   x  1  25  x  4  x  3  x  3  x  4 Vậy có 4 số phức z thỏa yêu cầu bài toán. 10  2  i . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? z 3 1 B.  z  2 . C. z  2 . D. z  . 2 2 Câu 92: Xét số phức z thỏa mãn 1  2i  z  A. 1 3  z  . 2 2 Lời giải Chọn A 1  2i  z  10 10  2  i  z  2   2 z  1 i  z z 10  z  z  2   2 z  1 i  2 2   z  2    2 z  1  Vậy 10 z 2  z  2    2 z  1 4 2  10 z 2  5 z  5 z  10  0  z  1 . 2 1 3  z  . 2 2 Câu 93: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 2 2 z  2i  2 1  z  3 z  2  i  2018 là một đường tròn. Tìm tâm I của đường tròn đó.  4 5  B.  ;  .  3 6 4 5 A.  ;   . 3 6  4 7  D.  ;  . 3 6  C. 1;1 . Câu 94: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 2 2 z  2i  2 1  z  3 z  2  i  2018 là một đường tròn. Tìm tâm I của đường tròn đó.  4 5  B.  ;  .  3 6 4 5 A.  ;   . 3 6  4 7  D.  ;  . 3 6  C. 1;1 . Lời giải Chọn A Gọi M  x; y  biểu diễn số phức z . Khi đó 2 2 2 z  2i  2 1  z  3 z  2  i  2018 2 2 2 2  x 2   y  2   2  x  1  2 y 2  3  x  2   3  y  1  2018 8 5 1997  0.  6 x 2  6 y 2  16 x  10 y  1997  0  x 2  y 2  x  y  3 3 6 4 5 Tâm của đường tròn là  ;   . 3 6 Câu 95: Cho số phức z thỏa mãn z  2  i  z  1  i  13 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức z  2i . A. m  1 . B. m  2 13 . 13 C. m  13 . 13 D. m  1 . 13 BẢNG ĐÁP ÁN 1 B 2 3 D C 4 5 6 7 A A A B 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A C A B B D A B C C B D C C B B A A 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 C A B A A B A C A B A A B D D B A D A A B D A D A HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 96: Cho số phức z thỏa mãn z  2  i  z  1  i  13 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức z 2i . B. m  A. m  1 . 2 13 . 13 13 . 13 C. m  D. m  1 . 13 Lời giải Chọn A Gọi z  x  yi ,  x, y    , A  2; 1 và B  1;1 . Tọa độ điểm biểu diễn số phức z là M  x; y  . Ta có AB  13 và z  2  i  z  1  i  13  MA  MB  13 . Suy ra MA  MB  AB nên M  x; y  thuộc đoạn thẳng AB . Xét P  z  2  i  MC với C  2;1 . y B C 1 2 -2 O -1 x M -1 A Do đó, Pmin  BC  1 khi M  B . Câu 97: Cho số phức z thoả mãn z  i  1 , tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w  2iz  1 trong mặt phẳng Oxy . A. Đường tròn tâm I  0;  1 , bán kính R  2 . B. Đường tròn tâm I  1;0  , bán kính R  2 . C. Đường tròn tâm I 1;0  , bán kính R  2 . D. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  2 . Câu 98: Nếu z là số phức thỏa mãn z  z  2i thì giá trị nhỏ nhất của z  i  z  4 là A. 4 . B. 2 . C. 3. D. 5 . Câu 99: Biết phương trình z 4  3z 3  4 z 2  3z  1  0 có 3 nghiệm phức z1 , z2 , z3 . Tính T  z1  z2  z3 . A. T  3 . B. T  4 . C. T  1 . D. T  2 . Câu 100: Cho số phức z thoả mãn z  i  1 , tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w  2iz  1 trong mặt phẳng Oxy . A. Đường tròn tâm I  0;  1 , bán kính R  2 . B. Đường tròn tâm I  1;0  , bán kính R  2 . C. Đường tròn tâm I 1;0  , bán kính R  2 . D. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  2 . Lời giải Chọn B w 1 . 2i Đặt w  x  yi  x, y    . Ta có: w  2iz  1  z  w 1 2  i  1  w  1  2  2  w  1  2   x  1  y 2  4 . 2i Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w  2iz  1 trong mặt phẳng Oxy là: đường tròn Mặt khác: z  i  1  tâm I   1; 0  , bán kính R  2 . Câu 101: Nếu z là số phức thỏa mãn z  z  2i thì giá trị nhỏ nhất của z  i  z  4 là A. 4 . B. 2 . C. 3. D. 5 . Lời giải Chọn D Đặt z  x  yi biểu diễn điểm M  x; y  . z  z  2i  y  1 . z  i  z  4 nhỏ nhất  MA  MB nhỏ nhất, với A  0;1 , B  4;0  . Gọi B  đối xứng với B qua đường thẳng y  1 suy ra B   4; 2  . Do đó, MA  MB  MA  MB   AB   5 . Câu 102: Biết phương trình z 4  3z 3  4 z 2  3z  1  0 có 3 nghiệm phức z1 , z2 , z3 . Tính T  z1  z2  z3 . A. T  3 . B. T  4 . C. T  1 . Lời giải D. T  2 . Chọn A 2 3 1 1 1   z  3z  4 z  3z  1  0  z  3z  4   2  0   z    2  3  z    4  0 z z z z   4 3 2 2 2 1 1 1     z    3  z    2  0 Đặt t  z  z z z   t  1 pt  t 2  3t  2  0   t  2 Ta có: z  1 1 3 i  1  z2  z  1  0  z   z 2 2 1  2  z2  2z  1  0  z  1 z 1 3 1 3 T  z1  z2  z3   i  i  1  3. 2 2 2 2 z z là số thuần ảo? z4 C. 1 . D. 2 . Câu 103: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn z  3i  5 và A. 0 . B. vô số. z là số thuần ảo? z4 C. 1. D. 2 . Lời giải Câu 104: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn z  3i  5 và A. 0 . B. vô số. Chọn D Giả sử z  x  yi Ta có z  3i   x, y    . 2 5  x 2   y  3  5 .  x  yi  .  x  4  yi  x 2  4 x  y 2  4 yi . z x  yi    2 2 z  4 x  4  yi  x  4  y2  x  4  y2 z là số thuần ảo  x 2  4 x  y 2  0 . z4 3y  2  2 x   x 2   y  3  5 Ta có hệ:  2  2 2  x  4 x  y  0  x2  4 x  y 2  0  Thay 1 vào  2  , ta có: 1 .  2 y2 2 3y  2  3y  2  2 2 2 .  y  0  9 y  12 y  4  24 y  16  4 y  0      4.  y  10 2  2  13  * y  2  x  2 . Ta có z  2  2i . 10 2 2 10 * y   x  . Ta có z   i . 13 13 13 13 Vậy có 2 số phức z thỏa yêu cầu bài toán. Câu 105: Cho số phức z . Gọi A, B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng tọa độ  Oxy  biểu diễn số phức z và 1  i  z . Tính mô đun của số phức z biết tam giác OAB có diện tích bằng 32 . A. z  2 . B. z  8 . C. z  4 . D. z  4 2 . Câu 106: Cho số phức z . Gọi A, B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng tọa độ  Oxy  biểu diễn số phức z và 1  i  z . Tính mô đun của số phức z biết tam giác OAB có diện tích bằng 32 . A. z  2 . B. z  8 . C. z  4 . Hướng dẫn giải Chọn B Gọi A  a; b  biểu diễn z và B  a  b; a  b  biểu diễn 1  i  z . Tam giác OAB có OA  z , OB  z 2 , AB  a 2  b2  z . Suy ra tam giác OAB vuông cân tại A . 1 1 2 S OAB  OA. AB  z  32  z  8 . 2 2 D. z  4 2 .  a, b    . Biết tập hợp các  C  có tâm I  4;3 và bán kính R  3 . Câu 1: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Cho số phức z  a  bi điểm A biểu diễn hình học số phức z là đường tròn Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của F  4a  3b  1 . Tính giá trị M  m . A. M  m  63 . B. M  m  48 . C. M  m  50 . D. M  m  41 . Lời giải Chọn B 2 2 Cách 1. Ta có phương trình đường tròn  C  :  x  4    y  3  9 . 2 2 Do điểm A nằm trên đường tròn  C  nên ta có  a  4    b  3  9 . Mặt khác F  4a  3b  1  4  a  4   3  b  3  24  F  24  4  a  4   3  b  3 . 2 2 2 Ta có  4  a  4   3  b  3    42  32   a  4    b  3   25.9  255 .    15  4  a  4   3  b  3  15  15  F  24  15  9  F  39 . Khi đó M  39 , m  9 . Vậy M  m  48 . Cách 2. Ta có F  4a  3b  1  a  F  1  3b 4 2 F  1  3b   4   b 2  6b  9  9  a  4    b  3  9   4   2 2  25b  2  3F  3 b  F  225  0 2 2 2    3F  3  25 F 2  5625   0  16 F 2  18 F  5625  0  9  F  39. Câu 2: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Xác định tất cả các số thực m để phương trình z 2  2 z  1  m  0 có nghiệm phức z thỏa mãn z  2 . A. m  3 . C. m  1 , m  9 . B. m  3 , m  9 . D. m  3 , m  1 , m  9 . Lời giải Chọn D Ta có:   m , P  1  m. Trường hợp 1:   0  m  0 . Khi đó, phương trình có hai nghiệm thực: z  1  m hoặc z  1  m . + Với z  1  m . Suy ra: 1  m  2  m  1 (nhận). + Với z  1  m . Suy ra: 1  m  2  m  9 (nhận). Trường hợp 2 :   0  m  0. Vì đây là phương trình hệ số thực có   0 nên phương trình có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau. Do đó: z  2  z.z  4  P  4  1  m  4  m  3 (nhận). Vậy m  3;1;9 . Câu 3: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Cho z là số phức thỏa mãn z  m  z  1  m và số phức z  1  i . Xác định tham số thực m để z  z nhỏ nhất. A. m  1 . 2 1 B. m   . 2 C. m  1 . 3 D. m  1 . Lời giải Chọn B Đặt z  x  iy Ta có:  x, y    . 2 2 z  m  z 1 m   x  m  y2   x 1 m  y2  x  1  m. 2 2 2 1  z  z     m  1   y  1  0. 2  1 1    m 1  0 m   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  2  2.  y  1  0  y  1 1 Vậy m   thì min z  z  0. 2 Câu 4: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Xét số phức z thỏa mãn z  2  2i  2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  i  z  5  2i bằng A. 1  10 . B. 4 . C. 17 D. 5 . Lời giải Chọn C Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z . Do z  2  2i  2 nên tập hợp điểm M là đường 2 2 tròn  C  :  x  2    y  2   4 . Các điểm A 1;1 , B  5; 2  là điểm biểu diễn các số phức 1  i và 5  2i . Khi đó, P  MA  MB . Nhận thấy, điểm A nằm trong đường tròn  C  còn điểm B nằm ngoài đường tròn  C  , mà MA  MB  AB  17 . Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đoạn AB với  C  . Ta có, phương trình đường thẳng AB : x  4 y  3  0 . Tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn  C  là nghiệm của hệ với 1  y  5  x  2 2   y  2 2  4  4 y  5 2   y  2  2  4     x  4 y  3  0  x  4 y  3 2 Ta có  4 y  5    y  2  2 Vậy min P  17 khi z   22  59 N y  17 2   4  17 y  44 y  25  0   22  59  L y  17  37  4 59 22  59  i 17 17 Câu 5: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Xét các số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  4  3i  5 . Tính P  a  b khi z  1  3i  z  1  i đạt giá trị lớn nhất. A. P  10 . B. P  4 . C. P  6 . Lời giải D. P  8 . Chọn A 2 2 Ta có: z  4  3i  5   a  4    b  3  5  a 2  b 2  8a  6b  20 Đặt A  z  1  3i  z  1  i ta có: A 2  a  1   b  3  2 2  2  a  1   b  1 2 2 2 A2  12  12   a  1   b  3   a  1   b  1 2   22a 2  b 2   4b  12   2 16a  8b  28  8  4a  2b  7  1 Mặt khác ta có: 4a  2b  7  4  a  4   2  b  3  15  4 2  2  2 2   a  4    b  3 Từ 1 và  2  ta được: A2  200 4a  2b  7  25 a  6  Để Amax  10 2   a  4 b  3  b  4  4  2 Vậy P  a  b  10 . 2   15  25  2 Câu 1: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  1  i  2 và z2  iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức z1  z2 ? A. m  2  1 . C. m  2 . B. m  2 2 . D. m  2 2  2 . Lời giải Chọn D Đặt z1  a  bi; a, b    z2  b  ai  z1  z2   a  b    b  a  i . Nên z1  z2  2  a  b  b  a  2  2. z1 Ta lại có 2  z1  1  i  z1  1  i  z1  2  z1  2  2 . Suy ra z1  z2  2. z1  2 2  2 . a b   0. 1 1 Vậy m  min z1  z2  2 2  2 . Dấu ”  ” xảy ra khi Câu 2: (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Cho các số phức z1 , z2 với z1  0 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  z1.z  z2 là đường tròn tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 1 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường nào sau đây? A. Đường tròn tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng z1 . B. Đường tròn tâm là điểm biểu diễn số phức  C. Đường tròn tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng D. Đường tròn tâm là điểm biểu diễn số phức z2 1 , bán kính bằng . z1 z1 1 . z1 z2 1 , bán kính bằng . z1 z1 Lời giải Chọn B w  z1.z  z2  1  z1 z  z2 z 1  z 2  z1 z1 z1 Nên tập hợp điểm là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn số phức  z2 1 , bán kính bằng . z1 z1 Câu 1: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Cho số phức z thoả mãn z  3  4i  5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 P  z  2  z  i . Tính môđun của số phức w  M  mi. A. w  2315 . B. w  1258 . C. w  3 137 . D. w  2 309 . Lời giải Chọn B 2 2 Đặt z  x  yi . Ta có P   x  2   y 2   x 2   y  1   4 x  2 y  3 .   2 2 Mặt khác z  3  4i  5   x  3   y  4   5 . Đặt x  3  5 sin t , y  4  5 cos t Suy ra P  4 5 sin t  2 5 cos t  23 . Ta có 10  4 5 sin t  2 5 cos t  10 . Do đó 13  P  33  M  33 , m  13  w  332  132  1258 . Câu 2: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hai số phức z , w thỏa mãn z  2w  3 , 2 z  3w  6 và z  4w  7 . Tính giá trị của biểu thức P  z.w  z.w . A. P  14i . B. P  28i . D. P  28 . C. P  14 . Lời giải Chọn D  2    Ta có: z  2w  3  z  2 w  9   z  2 w  . z  2 w  9   z  2 w  . z  2 w  9   2 2  z.z  2 z.w  z.w  4 w.w  9  z  2 P  4 w  9 1 . Tương tự:  2  2 2 2 z  3w  6  2 z  3w  36   2 z  3w  . 2 z  3w  36  4 z  6 P  9 w  36  2  .   2 2 z  4w  7   z  4 w  . z  4 w  49  z  4 P  16 w  49  3 .  z 2  33  Giải hệ phương trình gồm 1 ,  2  ,  3 ta có:  P  28  P  28 .  2  w  8 Câu 3: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Cho số phức z thỏa mãn 5 z  i  z  1  3i  3 z  1  i . Tìm giá trị lớn nhất M của z  2  3i ? A. M  10 . 3 B. M  1  13 . C. M  4 5 . D. M  9 . Chọn C Lời giải Gọi A  0;1 , B  1;3 , C 1; 1 . Ta thấy A là trung điểm của BC  MA2  MB 2  MC 2 BC 2 BC 2   MB 2  MC 2  2 MA2   2 MA2  10 . 2 4 2 Ta lại có: 5 z  i  z  1  3i  3 z  1  i  5MA  MB  3MC  10. MB 2  MC 2  25MA2  10  2 MA2  10   MC  2 5 Mà z  2  3i   z  i    2  4i   z  i  2  4i  z  i  2 5  4 5 .  z i  2 5  z  2  3i  loai   Dấu ”  ” xảy ra khi  a b  1 , với z  a  bi ; a, b     .  z  2  5i    2 4 Câu 4: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) Với hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1  z2  8  6i và z1  z2  2 , tìm giá trị lớn nhất của P  z1  z2 . A. 4 6 . B. 2 26 . C. 5  3 5 . Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có: z1  z2  8  6i  10 .  2 Suy ra: 2 z1  z2 Ta có: P  z1  z2   z  z  z  z  100  4  104 .  2  z  z   104  2 26 . 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2  z1  z2  26  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  z1  z2  8  6i (hệ này có nghiệm) z z 2  1 2 Vậy max P  2 26 . Cách 2: Gọi z1  a  bi,  a, b    , z2  c  di,  c, d    . a  c  8  Theo giả thiết ta có b  d  6  2 2  a  c    b  d   4 1  2  3  a  c  2   b  d 2  100   a 2  b 2  c 2  d 2  52 2 2  a  c    b  d   4 Ta có P  z1  z2  a 2  b 2  c 2  d 2 . 2 Áp dụng bất đẳng thức  x  y   2  x 2  y 2  ta có: P 2  2  a 2  b 2   2  c 2  d 2   104  P  2 26 D. 34  3 2 . Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 2 26 . Dấu bằng sảy ra khi a  c  8 b  d  6   2 2  a  c    b  d  a 2  b 2  c 2  d 2   a  4    b  3    4 c  4     d  3  2 2 2 2 . 2 2 2 2 Câu 5: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Cho số phức z thõa mãn z  1  i  2 . Tìm giá 2 2 trị lớn nhất của biểu thức P  z  2  i  z  2  3i . A. 18 . B. 38  8 10 . C. 18  2 10 . Lời giải B. 16  2 10 . Chọn B Cách 1: Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn cho số phức z . Gọi I 1; 1 , A  2;1 , B  2;3 lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức 1  i ; 2  i ; 2  3i . Khi đó, ta có: MI  2 nghĩa là M thuộc đường tròn  C  có tâm I 1; 1 , R  2 và P  MA2  MB 2 . AB 2 , với E  0; 2  là trung điểm của AB . Do đó P 2 có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi ME có giá trị lớn nhất. Ta có: P  2ME 2  EA2  EB 2  2ME 2  Ta có : IE  1  9  10  R nên  ME max  IE  R  2  10 . 2 AB 2  2 2  10  10  38  8 10 . 2 Cách 2: Giả sử z  x  yi ( x, y   ). M  x; y  là điểm biểu diễn của z .  Vậy Pmax  2 2  10  2    Suy ra M   C1  có tâm I1 1;  1 và bán kính R1  2 . 2 2 z  1  i  2   x  1   y  1  4 1 . 2 2 2 2 2 2 Ta có: P  0 và P  z  2  i  z  2  3i   x  2    y  1   x  2    y  3 . 2 2 2 2 Suy ra P   x  1   y  1  x 2  y 2  2 x  10 y  16   x  1   y  5  6 . 2 2 Ta có  x  1   y  5  P  6  6  2  nên  2  là phương trình của đường tròn  C2  có tâm I 2  1;5 , bán kính R2  P  6  R1 ; I1 I 2  2 10 . Để tồn tại x , y thì  C1  và  C2  có điểm chung  P  6  2  I1I 2  P  6  2 . Suy ra :  P  6  2  I1 I 2  P  2  2 10  2  6  38  8 10 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  C1  và  C2  tiếp xúc trong. Vậy max P  38  8 10 . Câu 6: (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 – năm 2017 – 2018) Giả sử z1 , z2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn iz  2  i  1 và z1  z2  2 . Giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng A. 4 . C. 3 2 . B. 2 3 . D. 3 . Lời giải Chọn A     Ta có iz  2  i  1  z  1  i 2  1 . Gọi z0  1  i 2 có điểm biểu diễn là I 1; 2 . Gọi A , B lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 , z2 . Vì z1  z2  2 nên I là trung điểm của AB . Ta có z1  z2  OA  OB  2  OA2  OB 2   4OI 2  AB 2  16  4 . OA  OB  2  z1  z2  2 . Vậy giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng 4 . Câu 7: ———-HẾT———-(THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho số phức z thỏa mãn A. 8 . z 1 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  i  2 z  4  7i .  z  3i 2 B. 20 . C. 2 5 . D. 4 5 . Lời giải Chọn B Gọi z  x  yi với x, y   , gọi M là điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z . Ta có: z 1 1  2 z  1  z  3i  2  x  1  yi  x   y  3 i  z  3i 2  2  x  1 2 2 2 2  y 2  x 2   y  3   x  2    y  3  20 . Như vậy, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn  C  tâm I  2;3 và bán kính R  2 5. Gọi A  0; 1 , B  4; 7  lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1  i , z2  4  7i . Dễ thấy A, B thuộc đường tròn  C  . Vì AB  4 5  2 R nên AB là đường kính của đường tròn  C   MA2  MB 2  AB 2  80 . Từ đó: P  z  i  2 z  4  7i  z  i  2 z  4  7i  MA  2MB  1 2  22  MA2  MB 2   20 .  MB  2 MA  MA  4 Dấu ”  ” xảy ra khi  2 .  2  MA  MB  80  MB  8 Vậy max P  20 . Câu 8: . (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn   30 . Tính z1  2, z2  3 . Gọi M , N là các điểm biểu diễn cho z1 và iz2 . Biết MON S  z12  4 z22 . A. 5 2 . Chọn C B. 3 3 . C. 4 7 . Lời giải D. 5. 2 Ta có S  z12  4 z22  z12   2iz2   z1  2iz2 . z1  2iz2 Gọi P là điểm biểu diễn của số phức 2iz2 .       Khi đó ta có z1  2iz2 . z1  2iz2  OM  OP . OM  OP  PM . 2OI  2 PM .OI .   30 nên áp dụng định lí cosin ta tính được MN  1 . Khi đó OMP có MN đồng Do MON thời là đường cao và đường trung tuyến, suy ra OMP cân tại M  PM  OM  2 . Áp dụng định lí đường trung tuyến cho OMN ta có: OI 2  OM 2  OP 2 MP 2  7. 2 4 Vậy S  2 PM .OI  2.2. 7  4 7 . Câu 9: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  3i  5  2 và iz2  1  2i  4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  2iz1  3z2 . A. 313  16 . B. 313 . C. 313  8 . D. 313  2 5 . Câu 10: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  3i  5  2 và iz2  1  2i  4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  2iz1  3z2 . A. 313  16 . B. 313 . C. 313  8 . Lời giải D. 313  2 5 . Chọn A Ta có z1  3i  5  2  2iz1  6  10i  4 1 ; iz2  1  2i  4   3 z2   6  3i  12  2  . Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2iz1 , B là điểm biểu diễn số phức 3z2 . Từ 1 và  2  suy ra điểm A nằm trên đường tròn tâm I1  6; 10  và bán kính R1  4 ; điểm B nằm trên đường tròn tâm I 2  6;3 và bán kính R2  12 . A I1 I2 B Ta có T  2iz1  3 z2  AB  I1 I 2  R1  R2  122  132  4  12  313  16 . Vậy max T  313  16 . Câu 11: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc – Lần 4 năm 2017 – 2018)Cho hàm số f  x   x3  3x 2  m . Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  m  2018  để với mọi bộ ba số phân biệt a , b , c  1;3 thì f  a  , f  b  , f  c  là độ dài ba cạnh của một tam giác. A. 2011 . B. 2012 . C. 2010 . Lời giải D. 2018 . Chọn C Ta có f  a  , f  b  , f  c  là ba cạnh của một tam giác nên f  a   f  b   f  c   a 3  3a 2  m  b3  3b 2  m  c 3  3c 2  m với mọi a , b , c  1;3   a 3  3a 2    b3  3b 2    c3  3c 2    m với mọi a , b , c  1;3 Do đó min  a 3  3a 2    b3  3b 2    c 3  3c 2    m với mọi a , b , c  1;3 Ta cần tìm min  a 3  3a 2    b3  3b2   và max  c3  3c 2  với mọi a , b , c  1;3 Xét hàm f  x   x3  3x 2 với x  1;3 x  0 Ta có f   x   3x 2  6 x , f   x   0  3 x 2  6 x  0   . Do x  1;3 nên x  2 . x  2 Ta có f 1  2 , f  2   4 , f  3  0 . max f  x   f  3  0 , min f  x   f  2   4 . 1;3 1;3 Suy ra min  a 3  3a 2    b3  3b 2    c 3  3c 2    4.2  8 . Đẳng thức xảy ra khi a  b  2 , c  3 hoặc a  c  2 , b  3 hoặc b  c  2 , a  3 . Do đó 8   m  m  8 . Mà m  2018 và m nguyên nên m  9;..; 2018 . Vậy có 2010 giá trị m thỏa mãn. Câu 12: (THPT Kim Liên – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018)Xét các số phức z  a  bi ( a, b   ) thỏa mãn z  3  2i  2 . Tính a  b khi z  1  2i  2 z  2  5i đạt giá trị nhỏ nhất. A. 4  3 . B. 2  3 . Chọn D Cách 1: Đặt z  3  2i  w với w  x  yi C. 3 . Lời giải D. 4  3 .  x, y    . Theo bài ra ta có  x  4 Ta có P  z  1  2i  2 z  2  5i  w  4  2 w  1  3i   20  8 x  2 2  2  x  1   y  3 x2  y2  2x 1  2 2  2 5  2x  2  x  1   y  3  2 y  y  3   2 y  3  y  6 . 2   2 w  2  x2  y2  4 . 2 2  x  1   y  3  x  1 2  y2   y2  2 2  x  1   y  3 2 2  x  1   y  3 2  2  x  1  x  1  . P  6   y 3  y   0   y  3    2 2 x  y  4   Vậy GTNN của P là bằng 6 đạt được khi z  2  2  3 i . Cách 2: y B 5 M M0 A 2 -1 O I K 2 3 x z  3  2i  2  MI  2  M   I ; 2  với I   3; 2  . P  z  1  2i  2 z  2  5i  MA  2MB với A  1; 2  , B   2;5  . Ta có IM  2 ; IA  4 . Chọn K  2; 2  thì IK  1 . Do đó ta có IA.IK  IM 2  IA IM  IM IK AM IM   2  AM  2 MK . MK IK Từ đó P  MA  2 MB  2  MK  MB   2BK .  IAM và IMK đồng dạng với nhau  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M , K , B thẳng hàng và M thuộc đoạn thẳng BK .   Từ đó tìm được M  2; 2  3 . Cách 3: Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn số phức z  a  bi. Đặt I   3; 2  , A  1; 2  và B  2;5  . Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn  C  có tâm I , bán kính R  2 sao cho biểu thức P  MA  2 MB đạt giá trị nhỏ nhất. Trước tiên, ta tìm điểm K  x; y  sao cho MA  2MK M   C  .   2   2 Ta có MA  2MK  MA2  4MK 2  MI  IA  4 MI  IK         MI 2  IA2  2MI .IA  4 MI 2  IK 2  2MI .IK  2MI IA  4 IK  3R 2  4 IK 2  IA2 * .     IA  4 IK  0 . * luôn đúng M   C    2 2 2 3R  4 IK  IA  0           4  x  3  4 x  2 . IA  4 IK  0    y  2 4  y  2   0 Thử trực tiếp ta thấy K  2; 2  thỏa mãn 3R 2  4 IK 2  IA2  0 . Vì BI 2  12  32  10  R 2  4 nên B nằm ngoài  C  . Vì KI 2  1  R 2  4 nên K nằm trong  C  .  Ta có MA  2MB  2MK  2MB  2  MK  MB   2 KB . Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK . Do đó MA  2MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của  C  và đoạn thẳng BK . Phương trình đường thẳng BK : x  2 . 2 2 Phương trình đường tròn  C  :  x  3   y  2   4 .  x  2  x  2  x  2 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ   hoặc  . 2 2  y  2  3  y  2  3  x  3   y  2   4   Thử lại thấy M 2; 2  3 thuộc đoạn BK . Vậy a  2 , b  2  3  a  b  4  3 . Câu 13: (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 z  1  2 z  1  z  z  4i bằng: A. 4  2 3 . B. 2  3 . C. 4  14 . 15 D. 2  7 . 15 Lời giải Chọn A Gọi z  x  yi,  x, y    . Theo giả thiết, ta có z  2  x 2  y 2  4 . Suy ra 2  x, y  2 . Khi đó, P  2 z  1  2 z  1  z  z  4i  2 P2   x  1 2  y2  1  x  2   x  1  y2  y  2 2  y2   x  1 2  y2  y  2    22 1 y  2  y . 2 Dấu “  ” xảy ra khi x  0 . Xét hàm số f  y   2 1  y 2  2  y trên đoạn  2; 2 , ta có: f  y  2y 1  y2 1  2 y  1 y2 1 y2 ; f  y  0  y  1 . 3  1  Ta có f    2  3 ; f  2   4  2 5 ; f  2   2 5 .  3 1 Suy ra min f  y   2  3 khi y  . 2; 2 3   Do đó P  2 2  3  4  2 3 . Vậy Pmin  4  2 3 khi z  1 i. 3 Câu 14: ———-HẾT———-(ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Nếu z là số phức thỏa z  z  2i thì giá trị nhỏ nhất của z  i  z  4 là A. 2 . B. 3. C. 4 . Lời giải Chọn D Đặt z  x  yi với x , y   theo giả thiết z  z  2i  y  1 .  d  D. 5 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng  d  . Gọi A  0;1 , B  4; 0  suy ra z  i  z  4  P là tổng khoảng cách từ điểm M  x;  1 đến hai điểm A , B . Thấy ngay A  0;1 và B  4;0  nằm cùng phía với  d  . Lấy điểm đối xứng với A  0;1 qua đường thẳng  d  ta được điểm A  0;  3 . Do đó khoảng cách ngắn nhất là AB  32  42  5 . Câu 15: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Trong các số phức z thỏa mãn z 2  1  2 z gọi z1 và z2 lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Khi đó môđun của số phức w  z1  z2 là B. w  2 . A. w  2 2 . C. w  2 . Lời giải D. w  1  2 . Chọn A 2 Đặt z  a  bi  a, b    thì z 2  1  2 z   a  bi   1  2 a  bi 2  a 2  b 2  1  2abi  2 a  bi   a 2  b 2  1  4a 2b 2  4  a 2  b 2  2  a 4  b 4  1  2a 2  6b 2  2a 2b 2  0   a 2  b2  1  4b 2  0   a 2  b 2  1  2b  a 2  b 2  1  2b   0  a 2  b 2  1  2b  0  2 2  a  b  1  2b  0 2 TH1: a 2  b 2  1  2b  0  a 2   b  1  2 . Khi đó tập hợp điểm M  a; b  biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I1  0;1 , bán kính    R  2 , giao điểm của OI (trục tung) với đường tròn là M 1 0; 2  1 và M 2 0;1  2 w      2  1 i  1  2 i  w  2i  w  2 2 TH2: a 2  b 2  1  2b  0  a 2   b  1  2 . Khi đó tập hợp điểm M  a; b  biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I 2  0; 1 , bán kính     R  2 , giao điểm của OI (trục tung) với đường tròn là M 3 0; 2  1 và M 4 0;  2  1 w     2  1 i  1  2 i  w  2i  w  2 . Với đáp án của trường ĐH Vinh đưa ra là A thì ta chọn số phức M 1 và M 3 có w  2 2i  w  2 2 nên đề bài chưa chuẩn, có thể chọn phương án B. Đáp án ĐH Vinh đưa ra theo mình là chính xác, bởi lẽ trong các số phức z thỏa mãn ta tìm các số phức gọi z1 và z2 có môđun nhỏ nhất và lớn nhất nên phải tổng hợp cả hai TH1 và TH2. Thầy đừng vội tính w mà sau cùng hãy tìm z1 và z2 rồi tính w Một vài góp ý thầy xem nhé Câu 16: (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi  H  là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn ảo đều thuộc đoạn  0;1 . Tính diện tích S của  H  . z 16 và có phần thực và phần 16 z A. S  32  6    . B. S  16  4    . D. 64 . C. 256 . Lời giải Chọn A Giả sử z  x  yi  x, y    . z x y 16 16 16 x 16 y   i;   2  2 i. 2 16 16 16 x  yi x  y x  y2 z z 16 Vì và có phần thực và phần ảo đều 16 z x  0  16  1  0  x  16 0  x  16 0  y  1 0  y  16 0  y  16  16   .   2  2 2 16 x  x  8   y 2  64 0  16 x  x  y 0  2    1 x  y2  0  16 y  x 2  y 2  x 2  y  8 2  64      16 y 0  2 1 x  y2  y 16 C B Ta có: I thuộc đoạn  0;1 nên E 16 O J A x Suy ra  H  là phần mặt phẳng giới hạn bởi hình vuông cạnh 16 và hai hình tròn  C1  có tâm I1  8;0  , bán kính R1  8 và  C2  có tâm I 2  0;8 , bán kính R2  8 . Gọi S  là diện tích của đường tròn  C2  . 1 1  1  Diện tích phần giao nhau của hai đường tròn là: S1  2  S   SOEJ   2  . .82  .8.8  . 4 4 2     Vậy diện tích S của hình  H  là: 1 1  S  16 2   .82  2.  . .82  .8.8   256  64  32  64  192  32  32  6    . 2 4  Câu 17: (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018).Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn z1  6 ,   60 . Tính T  z 2  9 z 2 . z2  2 . Gọi M , N là các điểm biểu diễn cho z1 và iz2 . Biết MON 1 2 A. T  18 . Chọn D B. T  24 3 . C. T  36 2 . Lời giải D. T  36 3 . 2 Ta có T  z12  9 z22  z12   3iz2   z1  3iz2 . z1  3iz2 Gọi P là điểm biểu diễn của số phức 3iz2 .       Khi đó ta có z1  3iz2 . z1  3iz2  OM  OP . OM  OP  PM . 2OI  2 PM .OI .   60 và OM  OP  6 nên MOP đều suy ra PM  6 và OI  6. 3  3 3 . Do MON 2 Vậy T  2 PM .OI  2.6.3 3  36 3 . ———-HẾT———- Câu 1: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Gọi z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z  1  2i  5 và z1  z2  8 . Tìm môđun của số phức w  z1  z2  2  4i . A. w  6 . B. w  16 . C. w  10 . D. w  13 . Lời giải Chọn A Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z1 , B là điểm biểu diễn của số phức z2 . Theo giả thiết z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z  1  2i  5 nên A và B thuộc đường tròn tâm I 1; 2  bán kính r  5 . Mặt khác z1  z2  8  AB  8 . Gọi M là trung điểm của AB suy ra M là điểm biểu diễn của số phức z1  z2 và IM  3 . 2 Do đó ta có z z 1 3  IM  1 2  1  2i  3  z1  z2  2  4i  z1  z2  2  4i  6  w  6 . 2 2 Câu 2: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  1  3i  z  2  i  8 . Giá trị nhỏ nhất m của 2 z  1  2i là A. m  4 . Chọn D B. m  9 . C. m  8 . Lời giải D. m  39 . Giả sử M  x; y  biểu diễn số phức z  x  iy ( x , y   ), A 1; 3 , B  2;1 , AB  5 . z  1  3i  z  2  i  8  AM  BM  8 , tập hợp điểm M là Elip có phương trình x2 4 y 2 1  1    1 . Đặt P  2 z  1  2i  P  2 z   i , gọi I là trung điểm AB thì I   ; 1 16 39 2  2  1  P  2 z   i  2 IM  IM . 2 Ta tìm điểm M trên  E  sao cho IM có độ dài nhỏ nhất. IM nhỏ nhất khi IM bằng độ dài nửa trục bé, IM  39  Pmin  39 . 2 Câu 3: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An – năm 2017-2018) Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  z 2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  5  2i bằng: 2 5 3. A. B. 2 3 5. C. 5  2 3 . Lời giải 5 3 2 . D. Chọn B Gọi z  x  yi (với x , y   ). Suy ra z  x  yi và z 2  x 2  y 2  2 xyi . Theo giả thiết, ta có z  z  z  z  z 2  2 x  2 y  2 x 2 2  y 2   4 x2 y 2 2  2 x  2 y  x 2  y 2   x  1   y  1  2 . Từ đó suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là các đường tròn có tâm I  1; 1 và bán kính R  2 . Khi đó, P  z  5  2i  MA , với A  5; 2  và M  x; y  là tọa độ điểm biểu diễn số phức z . Mặt khác, vì A  5; 2  thuộc góc phần tư thứ nhất nên MA lớn nhất  M thuộc đường tròn  C3  có tâm I  1; 1 và bán kính R  2 . Câu 4: Vậy Pmax  MAmax  IA  R  3 5  2 . Trong mặt phẳng phức, xét hình bình hành tạo bởi các điểm 0 , z , 1 1 35 và z  . Biết z có phần thực dương và diện tích hình bình hành bằng . Tìm z z 37 2 1 giá trị nhỏ nhất của z  . z A. 53 . 20 B. 60 . 37 C. Lời giải Chọn D 22 . 9 D. 50 . 37 1 1 và z  . z z 35 1 35 Khi đó diện tích hình bình hành OACB là S  OA.OB.sin   z . .sin   .  sin   37 z 37 Gọi O, A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn số phức 0, z, 12 . 37 Áp dụng định lý cosin trong tam giác OAC ta có Suy ra cos    1  sin 2    2 2 1 1 1 1 2 2 z  OC 2  OA2  OB 2  2OA.OB.cos   z   2 z .cos   z  2  2 cos  z z z z 2  z 12 50 1 1 . Vậy z   2  2.  z z 37 37 Dấu “  ” xảy ra  z  1 và cos   2 50 . 37 nhỏ nhất bằng 12 . 37 12  12  1 1 Chẳng hạn như z  sin  arccos   i cos  arccos  . 37  37  2 2 2 50 1 Câu 5: Vậy z  nhỏ nhất bằng .Biết 2n  Cn0  iCn1  Cn2  iCn3    i k Cnk    i nCnn   32768i , với z 37 Cnk là các số tổ hợp chập k của n và i 2  1 . Đặt Tk 1  i k Cnk , giá trị của T8 bằng A. 330i . B. 8i . C. 36i . D. 120i . Câu 6: Biết 2n  Cn0  iCn1  Cn2  iCn3    i k Cnk    i nCnn   32768i , với Cnk là các số tổ hợp chập k của n và i 2  1 . Đặt Tk 1  i k Cnk , giá trị của T8 bằng A. 330i . B. 8i . C. 36i . Hướng dẫn giải D. 120i . Chọn B Ta có: 2n  Cn0  iCn1  Cn2  iCn3    i k Cnk    i nCnn   32768i  2n  Cn0  iCn1  i 2Cn2  i 3Cn3    i k Cnk    i nCnn   32768i n  2 n 1  i   215 i * n 2 Ta có 1  i   2i nên nếu n  2k  1 , k   , thì 1  i   1  i  thỏa mãn * . n 2k Xét n  2k , k   , thì 1  i   1  i   2k i k , nên: *  22 k .2k .i k  215 i  23k i k  215 i  k  5  n  10 . 2 k 1  2 k i k 1  i  nên không Từ đó ta có T8  i 7 C87  8i . Câu 7: Cho các số phức w , z thỏa mãn w  i  3 5 và 5w   2  i  z  4  . Giá trị lớn nhất của biểu 5 thức P  z  1  2i  z  5  2i bằng A. 6 7 . B. 4  2 13 . Câu 8: Cho các số phức w , z thỏa mãn w  i  C. 2 53 . D. 4 13 . 3 5 và 5w   2  i  z  4  . Giá trị lớn nhất của biểu 5 thức P  z  1  2i  z  5  2i bằng A. 6 7 . B. 4  2 13 . C. 2 53 . D. 4 13 . Lời giải Chọn C Gọi z  x  yi , với x, y   . Khi đó M  x; y  là điểm biểu diễn cho số phức z . Theo giả thiết, 5w   2  i  z  4   5  w  i    2  i  z  4   5i   2  i  w  i   z  3  2i 2 2  z  3  2i  3 . Suy ra M  x; y  thuộc đường tròn  C  :  x  3   y  2   9 . Ta có P  z  1  2i  z  5  2i  MA  MB , với A 1; 2  và B  5; 2  . Gọi H là trung điểm của AB , ta có H  3; 2  và khi đó: P  MA  MB  2  MA2  MB 2  hay P  4 MH 2  AB 2 . Mặt khác, MH  KH với mọi M   C  nên 2 P  4 KH 2  AB 2  4  IH  R   AB 2  2 53 . M  K 3 11 Vậy Pmax  2 53 khi  hay z  3  5i và w   i . 5 5  MA  MB Câu 9: Cho số phức z  1  i . Biết rằng tồn tại các số phức z1  a  5i , z2  b (trong đó a, b  , b  1 ) thỏa mãn 3 z  z1  3 z  z2  z1  z2 . Tính b  a . A. b  a  5 3 . B. b  a  2 3 . C. b  a  4 3 . D. b  a  3 3 . Câu 10: Cho số phức z  1  i . Biết rằng tồn tại các số phức z1  a  5i , z2  b (trong đó a, b  , b  1 ) thỏa mãn 3 z  z1  3 z  z2  z1  z2 . Tính b  a . A. b  a  5 3 . B. b  a  2 3 . Chọn D C. b  a  4 3 . Lời giải D. b  a  3 3 . Ta có: 1  a  2  42   b  12  1  3 z  z1  3 z  z2  z1  z2   2 2  b  a   25  3 1  a   16  *  b  1 2  1  a 2  15  Cách 1: *   23 2 2 2 2 2  b  1  2  b  11  a   1  a   3 1  a    b  1  1  a   15   b  12  1  a 2  15  2 2 8  b  1  2  b  11  a   7 1  a   0  b  12  1  a 2  15  2 3  a  1  1   b  1  1  a   3    ba 3 3. 4  b  7 3  1  b  1  7 1  a   3 2   u  a  1 Cách 2: Đặt  ta có hpt: v  b  1 2 2 v  u  15 (Hệ đẳng cấp quen thuộc).  2 2 v  2uv  u  23 Câu 11: Gọi n là số các số phức z đồng thời thỏa mãn iz  1  2i  3 và biểu thức T  2 z  5  2i  3 z  3i đạt giá trị lớn nhất. Gọi M là giá trị lớn nhất của T . Giá trị tích của M .n là A. 10 21 . B. 6 13 . Câu 12: Gọi n là số các số phức z C. 5 21 . đồng thời thỏa mãn D. 2 13 . iz  1  2i  3 và biểu thức T  2 z  5  2i  3 z  3i đạt giá trị lớn nhất. Gọi M là giá trị lớn nhất của T . Giá trị tích của M .n là A. 10 21 . B. 6 13 . C. 5 21 . D. 2 13 . Lời giải Chọn A Gọi z  x  yi , với x, y   . Khi đó M  x; y  là điểm biểu diễn cho số phức z . 2 2 Theo giả thiết, iz  1  2i  3  z  2  i  3   x  2    y  1  9 . Ta có T  2 z  5  2i  3 z  3i  2 MA  3MB , với A  5; 2  và B  0;3 . Nhận xét rằng A , B , I thẳng hàng và 2 IA  3IB . Cách 1: Gọi  là đường trung trực của AB , ta có  : x  y  5  0 . T  2 MA  3MB  PA  PB . Dấu “  ” xảy ra khi M  P hoặc M  Q .  x  y  5  0  8  2 2  2   8  2 2  2  Giải hệ  ; ;  P   và Q   . 2 2 2 2 2 2  x  2    y  1  9     Khi đó M  max T  5 21 . Vậy M .n  10 21 .    Cách 2: Ta có A , B , I thẳng hàng và 2 IA  3IB nên 2 IA  3IB  0 .   2   2  2 MA2  3MB 2  2 MI  IA  3 MI  IB  5MI 2  2 IA2  3IB 2  105 .  Do đó T 2     2. 2 MA  3. 3MB  2   5  2MA2  3MB 2   525 hay T  5 21 . Khi đó M  max T  5 21 . Dấu “  ” xảy ra khi M  P hoặc M  Q . Vậy M .n  10 21 . Cách 3: Gọi z  x  yi , với x, y   . Khi đó M  x; y  là điểm biểu diễn cho số phức z . 2 2 Theo giả thiết, iz  1  2i  3  z  2  i  3   x  2    y  1  9 .  x  2  3sin t Đặt  . Khi đó  y  1  3cos t P  2MA  3MB  2 2  3  3sin t    3  3cos t  2 3 2  2  3sin t    2  3cos t  2  2 27  18  sin t  cos t   3 17  12  sin t  cos t   2. 54  36  sin t  cos t   3. 51  36  sin t  cos t  Ta thấy: P   2  3  54  36  sin t  cos t   51  36  sin t  cos t    P đạt giá trị lớn nhất là 54  36  sin t  cos t  2  521 . 521 khi: 51  36  sin t  cos t  3  sin t  cos t  1  x  y  2  0. 3  x  y  2  0 Toại độ điểm M thỏa mãn hệ phương trình:   Có hai điểm M thỏa 2 2  x  2    y  1  9 mãn. Vậy M .n  10 21 . Câu 13: Cho số phức z0 có z0  2018. Diện tích của đa giác có các đỉnh là các điểm biểu diễn của z0 và các nghiệm của phương trình của n là A. 9 . 1 1 1 được viết dạng n 3 , n   . Chữ số hàng đơn vị   z  z 0 z z0 B. 8 . C. 3 . D. 4 .   Câu 14: Cho hàm số y  f  x  liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn 0;  thỏa mãn  4    4 f   x   tan x. f  x  , x  0;  , f  0   1 . Khi đó  cos x. f  x  dx bằng  4 0 1   1  A. . B. . C. ln . D. 0 . 4 4 4 ———-HẾT———- ĐÁP ÁN THAM KHẢO 1 2 3 4 C A C B 5 6 7 8 D D A B 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B B C A A C D D A A B C B A D D B 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B C D D C D C D C C A D B B A C C B B A C D D A B HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 15: Cho số phức z0 có z0  2018. Diện tích của đa giác có các đỉnh là các điểm biểu diễn của z0 và các nghiệm của phương trình của n là A. 9 . B. 8 . 1 1 1 được viết dạng n 3 , n   . Chữ số hàng đơn vị   z  z 0 z z0 C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn C z  0 Điều kiện:   z0  0 1 1 1 Ta có:  z.z 0   z  z0  z0   z  z0  z  z 2  z.z 0  z02  0   z  z 0 z z0 2  1  z  z 1 3 z 3  i  z         1  0     i  z0  z1,2 z0 2 2 2 2  z0  z0   1 3 Ta có: z1  z2    i z0  z0  2018 và z0  z1  z2  0. 2 2 Do đó z0 , z1 , z2 được biểu diễn bởi ba điểm M 0 , M 1 , M 2 tạo thành một tam giác đều nằm trên đường tròn tâm O bán kính R  2018. 2 2 3 3 Tam giác đều này có chiều cao: h  R và độ dài cạnh: a  .h  . R  3.R 2 3 3 2 3R 2 3.20182 1 . 3 . 3  3054243. 3 . a.h  2 4 4 Vậy n  3054243 có chữ số hàng đơn vị là 3. Diện tích tam giác: S    Câu 16: Cho hàm số y  f  x  liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn 0;  thỏa mãn  4  4   f   x   tan x. f  x  , x  0;  , f  0   1 . Khi đó  cos x. f  x  dx bằng  4 0 1   1  A. . B. . C. ln . D. 0 . 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn B   Từ f   x   tan x. f  x  , x   0;  và f  x  liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn  4 ta có: f  x    tan x , x   0;  f  x  4 f  x    dx   tan xdx , x   0;  f  x  4    0; 4  , f  x sin x   dx   dx , x   0;  f  x cos x  4    ln f  x    ln  cos x   C , x  0;  .  4 Mà f  0   1 nên suy ra ln f  0    ln  cos 0   C  C  0 . Như vậy ln f  x    ln  cos x   f  x     4 4 Từ đó I   cos x. f  x  dx   cos x. 0 0 1   , x   0;  . cos x  4  4 1  dx   dx  . cos x 4 0 ———-HẾT———Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  z  2i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  2i  z  3  4i  z  5  6i được viết dưới dạng tỉ. Giá trị của a  b là A. 3 . B. 7 .  a  b 17  2 C. 2 . với a , b là các số hữu D. 4 . Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  z  2i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  2i  z  3  4i  z  5  6i được viết dưới dạng tỉ. Giá trị của a  b là A. 3 . B. 7 . Chọn A Giả sử z  x  yi với x, y   , ta có C. 2 . Hướng dẫn giải  a  b 17  2 với a , b là các số hữu D. 4 . z  2  z  2i   x  yi   2   x  yi   2i   x  2   yi  x   y  2  i 2   x  2  y 2  x2   y  2 2  x  y. Như vậy z  x  xi với x   . Khi đó ta có P   x  1   x  2  i   x  3   x  4  i   x  5    x  6  i  2  x  1   x  2  2 2  x  3   x  4   2  2  x  5   x  6  2  2 x 2  6 x  5  2 x 2  14 x  25  2 x 2  22 x  61 2 2 2 2  2   3 1 11 1 7 1           2.   x         x       2  x      2 2 2 2 2   2     2 2 2 3 11   1 1  7 1    2.  x    x       2  x    2 2 2 2   2 2  1 1  2 17  . 2 2  3 11  x  2  2  x 7 Dấu bằng xảy ra khi  x . 2 x  7  0  2  2. 17  Vậy: min P  1  2 17 . Suy ra a  1, b  2 nên a  b  3 . 2 Câu 19: Cho hai số phức u , v thỏa mãn 3 u  6i  3 u  1  3i  5 10 , v  1  2i  v  i . Giá trị nhỏ nhất của u  v là: A. 10 . 3 B. 2 10 . 3 C. 10 . ———-HẾT———- D. 5 10 . 3 BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 A B 3 C 4 5 6 7 8 D D D A B 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C B C D B C D C D A C A A D D B C 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B A C A D A D C D B A B D A C A B D C A A C A D B HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 20: Cho hai số phức u , v thỏa mãn 3 u  6i  3 u  1  3i  5 10 , v  1  2i  v  i . Giá trị nhỏ nhất của u  v là: A. 10 . 3 B. 2 10 . 3 C. 10 . D. 5 10 . 3 Lời giải Chọn B 5 10 5 10 .  MF1  MF2  3 3 1 9  u có điểm biểu diễn M thuộc elip với hai tiêu điểm F1  0;6  , F2 1;3 , tâm I  ;  và độ 2 2  Ta có: 3 u  6i  3 u  1  3i  5 10  u  6i  u  1  3i  5 10 5 10 dài trục lớn là 2a  . a 3 6  F1 F2  1; 3  F1 F2 : 3 x  y  6  0 .  Ta có: v  1  2i  v  i  v  i  NA  NB  v có điểm biểu diễn N thuộc đường thẳng d là trung trực của đoạn AB với A 1; 2  , B  0;1 .  1 1 AB   1;3 , K  ;   là trung điểm của AB  d : x  3 y  2  0 . 2 2 1 27  2 3 10 2 2 d I,d    2 2 12   3 2 10 . 3 Câu 21: Cho z  x  yi với x , y   là số phức thỏa mãn điều kiện z  2  3i  z  i  2  5 . Gọi M , Dễ thấy F1 F2  d  min u  v  min MN  d  I , d   a  m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  y 2  8 x  6 y . Tính M  m. 156 156 A. B. 60  20 10 . C. D. 60  2 10 .  20 10 .  20 10 . 5 5 Câu 22: Cho z  x  yi với x , y   là số phức thỏa mãn điều kiện z  2  3i  z  i  2  5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  y 2  8 x  6 y . Tính M  m. 156 156 A. B. 60  20 10 . C. D. 60  2 10 .  20 10 .  20 10 . 5 5 Lời giải Chọn B 6 y 4 B 2 x 2 10 -1 5 5 -1 10 I 2 K J 4 6 A 8 10 – Theo bài ra: z  2  3i  z  i  2  5  2  x  2     y  3 2  2  x  2    y  1 2 5 2 x  y  2  0  2 2  x  2    y  1  25  tập hợp điểm biểu diễn số phức z là miền mặt phẳng T  thỏa mãn 2 x  y  2  0 (là miền tô đậm trên hình vẽ, kể cả biên)  2 2  x  2    y  1  25 – Gọi A  2; 6  , B  2; 2  là các giao điểm của đường thẳng 2 x  y  2  0 và đường tròn 2  C   :  x  2    y  1 2  25 . 2 2 – Ta có: P  x 2  y 2  8 x  6 y   x  4    y  3  P  25 . Gọi  C  là đường tròn tâm J  4; 3 , bán kính R  P  25 . – Đường tròn  C  cắt miền T  khi và chỉ khi JK  R  JA  IJ  IK  R  IA  2 10  5  25  P  3 5  40  20 10  P  20 (trong đó JK là bán kính đường tròn tâm J và tiếp xúc ngoài với đường tròn  C   )  M  20 và m  40  20 10 . Vậy M  m  60  20 10 . Câu 23: Gọi z1 , z2 là hai trong tất cả các số phức thỏa mãn điều kiện  i  1 z  3i  3  2 và z1  z2  2. Gọi m , n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P  z1  z2 . Giá trị của S  m3  n3 bằng A. 72 . B. 90 . C. 54 . D. 126 . Câu 24: Gọi z1 , z2 là hai trong tất cả các số phức thỏa mãn điều kiện  i  1 z  3i  3  2 và z1  z2  2. Gọi m , n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P  z1  z2 . Giá trị của S  m3  n3 bằng A. 72 . B. 90 . C. 54 . Lời giải D. 126 . Chọn A Ta có  i  1 z  3i  3  2   i  1 z  3  2  z  3  2 . Gọi M là điểm biểu diễn của z ta có M nằm trên đường tròn  C  tâm I  3;0  , R  2 . Gọi A , B lần lượt là điểm biểu diễn cho z1 , z2 ta có z1  z2  2  AB  2 . Gọi H là trung điểm AB ta có tam giác IAB vuông tại I (theo định lý Pitago đảo) AB 2  IH   1 2 2  H chạy trên đường tròn tâm I bán kính R  1 . 1 2 P  z1  z2  OA  OB   12  OA2  OB 2  Mặt khác theo công thức độ dài đường trung tuyến ta có AB 2 22  2OH 2   2OH 2  2 2 2  max P  OI  R  3  1  4 ; min P  OI  R  3  1  2  m  4 , n  2  S  64  8  72 . OA2  OB 2  2OH 2  4 4 4 4 z  z  Câu 25: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  z1  z2  0 . Tính A   1    2  .  z2   z1  A. 1. B. 1  i . C. 1 . D. 1  i . z  z  Câu 26: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  z1  z2  0 . Tính A   1    2  .  z2   z1  A. 1. B. 1  i . C. 1 . D. 1  i . Lời giải Chọn C Đặt z1  a  bi , z2  a  bi , với a, a, b, b   , ta có:  z1  z2  z1 z1  z2  z1  z2  0    z1  z2    z1  z2  z1  z2  z1 z1  z z  z z  z z  z z  z1 z1  1 1 1 2 2 1 2 2   z1 z1  z2 z2  z1 z1  z2 z2  z z  z z  z z  1 2 2 1 1 1.  z1 z1  z2 z2 Ta có : 2 2 2 2  z1 z2 z2 z1   z1   z2   z1 z2    2        2    z2   z1   z2 z1   z2 z2 z1 z1  2 2 z z z z  z z    1 2 2 1   2   1 1   2  1 . z1 z1    z1 z1  Từ đó: 2 2 2 4 4  z1   z2   z1   z2   2 A               2   1  2  1 . z z z z  2   1   2   1   Câu 27: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa z  4  z  4  10 và z  6 lớn nhất. Tính S  a  b . A. S  3 . B. S  5 . C. S  5 . D. S  11 . Câu 28: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa z  4  z  4  10 và z  6 lớn nhất. Tính S  a  b . A. S  3 . B. S  5 . C. S  5 . Lời giải D. S  11 . Chọn C Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn số phức z  a  bi  a, b    , A  4;0  , B  4;0  , C  6;0  lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1  4 , z2  4 , z3  6 . Khi đó ta có z  4  z  4  10  MA  MB  10 suy ra tập hợp điểm M là  E  nhận A , B là các tiêu điểm, độ dài trục lớn 2a  10  a  5 , tiêu cự 2c  8  c  4 , b  3 x2 y 2   1. 25 9 Ta tìm giá trị lớn nhất của z  6  MC , khi đó MCmax  EF  FC  11, khi đó M  E với  E : E  5;0  , F  5;0   z  5 . Vậy S  a  b  5 . Câu 29: Xét các số phức z  a  bi ( a , b   ) có môđun bằng 2 và phần ảo dương. Tính giá trị biểu 2018 thức S  5  a  b   2  khi biểu thức P  2  z  3 2  z đạt giá trị lớn nhất. A. S  1 . B. S  22018 . C. S  21009 . D. S  0 . Câu 30: Xét các số phức z  a  bi ( a , b   ) có môđun bằng 2 và phần ảo dương. Tính giá trị biểu 2018 thức S  5  a  b   2  khi biểu thức P  2  z  3 2  z đạt giá trị lớn nhất. A. S  1 . B. S  22018 . C. S  21009 . D. S  0 . Lời giải Chọn D z  a  bi ; z  2  a 2  b 2  2  a 2  b 2  4 . P  2 z 3 2 z  4a  8  3 8  4a   a  2 1 2 Dấu đẳng thức xẩy ra khi 2  b2  3 2  a 2  b 2  4a  8  3 8  4 a .  32   8  4a  8  4a   4 10 . 8 4a  8 8  4a  9  4a  8   8  4a  a   .  5 1 3 8 6  b  (do b  0 ). 5 5 2018 8 6   8 6  Vậy min P  4 10  z    i . Khi đó S  5      2   0 . 5 5   5 5  Với a   Câu 31: Cho số phức z thỏa mãn  z  2  i  1   z  2  i  1  10 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính tổng S  M  m . A. S  9 . B. S  8 . C. S  2 21 . D. S  2 21  1 . Câu 32: Cho số phức z thỏa mãn  z  2  i  1   z  2  i  1  10 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính tổng S  M  m . A. S  9 . B. S  8 . C. S  2 21 . Hướng dẫn giải D. S  2 21  1 . Chọn C Giả sử z  a  bi ,  a, b     z  a  bi . Chia hai vế cho i ta được: z  2  i  z  2  i  10 . Đặt M  a ; b  , N  a ;  b  , A  2;1 , B  2;  1 , C  2;1  NB  MC . X2 Y2 Ta có: MA  MC  10  M   E  :   1. 25 21 Elip này có phương trình chính tắc với hệ trục tọa độ IXY , I  0;1 là trung điểm AC . 2 X  x x 2  y  1 Áp dụng công thức đổi trục     1. 21 Y  y  1 25 a  5sin t 2 Đặt  , t   0; 2   z  OM 2  a 2  b 2  25sin 2 t  1  21 cos t b  1  21 cos t    2   26  4 cos 2 t  2 21 cos t . a  0 . z max  1  21  cos t  1   b  1  21 a  0 . z min  1  21  cos t  1   b  1  21  M  m  2 21 . Câu 33: Cho hai số phức z, z thỏa mãn z  5  5 và z  1  3i  z  3  6i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  z . A. 5 . 2 B. 5 . 4 C. 10 . D. 3 10 . Câu 34: Cho hai số phức z, z thỏa mãn z  5  5 và z  1  3i  z  3  6i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  z . A. 5 . 2 B. 5 . 4 C. 10 . Hướng dẫn giải Chọn A D. 3 10 . Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi , N  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi . 2 Ta có z  5  5  x  5  yi  5   x  5   y 2  52 . 2 Vậy M thuộc đường tròn  C  :  x  5   y 2  52 z   1  3i  z   3  6i   x  1   y  3 i   x  3   y  6  i 2 2 2 2   x  1   y  3   x  3   y  6   8 x  6 y  35 Vậy N thuộc đường thẳng  : 8 x  6 y  35 Dễ thấy đường thẳng  không cắt  C  và z  z   MN Áp dụng bất đẳng thức tam giác, cho bộ ba điểm  I , M , N  ta có. MN  IN  IM  IN  R  IN 0  R  d  I ,    R  8.  5  6.0  5 2 8 6 2 5  5 2 Dấu bằng đạt tại M  M 0 ; N  N 0 . Câu 35: Cho a là số thực, phương trình z 2   a  2  z  2a  3  0 có 2 nghiệm z1 , z2 . Gọi M , N là điểm biểu diễn của z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Biết tam giác OMN có một góc bằng 120 , tính tổng các giá trị của a . A. 6 . B. 6 . C. 4 . D. 4 . Câu 36: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm của phương trình z 4  4 z 3  3 z 2  3 z  3  0 . Tính T   z12  2 z1  2  z22  2 z2  2  z32  2 z3  2  z42  2 z4  2  . A. T  102 . B. T  101 . C. T  99 . D. T  100 . Câu 37: Cho a là số thực, phương trình z 2   a  2  z  2a  3  0 có 2 nghiệm z1 , z2 . Gọi M , N là điểm biểu diễn của z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Biết tam giác OMN có một góc bằng 120 , tính tổng các giá trị của a . A. 6 . B. 6 . C. 4 . D. 4 . Lời giải Chọn B Vì O , M , N không thẳng hàng nên z1 , z2 không đồng thời là số thực, cũng không đồng thời là số thuần ảo  z1 , z2 là hai nghiệm phức, không phải số thực của phương trình   z 2   a  2  z  2a  3  0 . Do đó, ta phải có:   a 2  12a  16  0  a  6  2 5; 6  2 5 .  2a a 2  12a  16  i  z1   2 2 Khi đó, ta có:  . 2 2a a  12a  16  i  z1  2  2  OM  ON  z1  z2  2a  3 và MN  z1  z2   a 2  12a  16 . 2 2 2   120  OM  ON  MN  cos120 Tam giác OMN cân nên MON 2OM .ON  a 2  8a  10 1    a 2  6a  7  0 a  3  2 (thỏa mãn). 2  2a  3  2 Suy ra tổng các giá trị cần tìm của a là 6 . Câu 38: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm của phương trình z 4  4 z 3  3 z 2  3 z  3  0 . Tính T   z12  2 z1  2  z22  2 z2  2  z32  2 z3  2  z42  2 z4  2  . A. T  102 . B. T  101 . C. T  99 . D. T  100 . Lời giải Chọn B Đặt f  z   z 4  4 z 3  3 z 2  3 z  3  f  z    z  z1  z  z2  z  z3  z  z4  . Do z12  2 z1  2   z1  1  i  z1  1  i  nên T   z12  2 z1  2  z22  2 z2  2  z32  2 z3  2  z42  2 z4  2   f  1  i  f  1  i   10  i 10  i   101 . Câu 39: Tìm số phức z thỏa mãn z  1  i  5 và biểu thức T  z  7  9i  2 z  8i đạt giá trị nhỏ nhất. A. z  5  2i . C. z  1  6i và z  5  2i . B. z  1  6i . D. z  4  5i . ———-HẾT———- BẢNG ĐÁP ÁN 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C B B B C D A D A C 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 B A A A D B C C A A HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 40: Tìm số phức z thỏa mãn z  1  i  5 và biểu thức T  z  7  9i  2 z  8i 1 A 26 B 2 C 27 A 3 D 28 D 4 A 29 D 5 C 30 A 6 B 31 D 7 B 32 C 8 C 33 A 9 B 34 A 10 B 35 A A. z  5  2i . C. z  1  6i và z  5  2i . 21 D 46 C 22 D 47 A 23 D 48 D 24 B 49 C 25 D 50 B đạt giá trị nhỏ nhất. B. z  1  6i . D. z  4  5i . Lời giải Chọn B M I K A M0 B Từ giả thiết z  1  i  5 suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C) tâm I 1;1 , bán kính R  5 . Xét các điểm A  7;9  và B  0;8  . Ta thấy IA  10  2.IM . Gọi K là điểm trên tia IA sao cho IK  1 5  IA  K   ;3  4 2  IM IK 1  chung  IKM ∽ IMA  c.g.c    , góc MIK IA IM 2 MK IK 1     MA  2.MK . MA IM 2 Do Lại có: T  z  7  9i  2 z  8i  MA  2.MB  2  MK  MB   2.BK  5 5 5  Tmin  5 5  M  BK   C  , M nằm giữa B và K  0  xM  . 2 Ta có: phương trình đường thẳng BK là: 2x+y-8=0  x  1  2 x  y  8  0 y  6 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:   M  1;6  .  2 2  x  5  x  1   y  1  25    y  2 Vậy z  1  6i là số phức cần tìm. z2  z1 là số thực. Gọi a, b lần lượt là 1 i giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1  z2 . Tính T  a  b. Câu 41: Cho số thực z1 và số phức z2 thoả mãn z2  2i  1 và A. T  4 . B. T  4 2 . C. T  3 2  1 . D. T  2  3 . z2  z1 là số thực. Gọi a, b lần lượt là 1 i giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1  z2 . Tính T  a  b. Câu 42: Cho số thực z1 và số phức z2 thoả mãn z2  2i  1 và A. T  4 . B. T  4 2 . C. T  3 2  1 . D. T  2  3 . Lời giải Chọn B Gọi z1  m ; z2  x  yi ; m, x, y   . Theo đầu bài ta có z2  z1  x  m  yi 1  i  là một số  1 i 2 thực nên ta có  x  m  y  0  m  x  y . 2 2 Do z2  2i  1  x 2   y  2   1   y  2   1  1  y  3 nên ta có: 2  z1  z2   x  m 2  y2   x  y  x 2  y2  y 2  3 2 T  ab  4 2 .  a  min z1  x2  2 ; b  max z1  x2  3 2 Câu 43: Cho a , b , c là các số thực sao cho phương trình z 3  az 2  bz  c  0 có ba nghiệm phức lần lượt là z1  w  3i ; z2  w  9i ; z3  2 w  4 , trong đó w là một số phức nào đó. Tính giá trị của P  abc . A. P  36 . B. P  208 . C. P  136 . D. P  84 . Câu 44: Cho a , b , c là các số thực sao cho phương trình z 3  az 2  bz  c  0 có ba nghiệm phức lần lượt là z1  w  3i ; z2  w  9i ; z3  2w  4 , trong đó w là một số phức nào đó. Tính giá trị của P  a  b  c . A. P  36 . B. P  208 . C. P  136 . Hướng dẫn giải D. P  84 . Chọn C Đặt w  x  yi , với x, y   . Ta có z1  z2  z3  a  4w  4  12i  a   4 x  4  a   12  4 y  i  0 4 x  4  a  0 4 x  4  a .   12  4 y  0  y  3 Từ đó w  x  3i  z1  x ; z2  x  6i ; z3  2 x  4  6i . Vì phương trình bậc ba z 3  az 2  bz  c  0 có một nghiệm thực nên hai nghiệm phức còn lại phải là hai số phức liên hợp, suy ra x  2 x  4  x  4 . Như vậy z1  4 ; z2  4  6i ; z3  4  6i . Do đó  z1  z2  z3   a 12   a a  12     z1 z2  z2 z3  z3 z1    84  b  b  84 . z z z  c 208  c c  208    1 2 3 Vậy P  a  b  c  12  84   208   136 .
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top