Trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử Toán 2018

Giới thiệu Trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử Toán 2018

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử Toán 2018 CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử Toán 2018

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử Toán 2018

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử Toán 2018
Câu 1: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Trong các hàm số sau, hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số F  x   ln x ? 1 B. f  x   . x A. f  x   x. C. f  x   x3 . 2 D. f  x   x . Lời giải Chọn B Áp dụng công thức SGK Câu 2: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho f  x  , g  x  là các hàm số xác định và liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?  f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx . C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . A.  2 f  x  d x  2  f  x  dx . D.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . B. Lời giải Chọn A Nguyên hàm không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm. Hoặc B, C, D đúng do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm nên A sai. Câu 3: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Nếu 1  f  x  dx  x  ln x  C thì f  x  là B. f  x    x  A. f  x   x  ln x  C . C. f  x    1  ln x  C . x2 D. f  x   1  ln x  C . x x 1 . x2 Lời giải Chọn D x 1 1 1 x 1 1  Ta có   ln x  C    2   2 , suy ra f  x   2 là hàm số cần tìm. x x x x x  3 Câu 4: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Hàm số F  x   e x là một nguyên hàm của hàm số: 3 3 3 A. f  x   e x . B. f  x   3 x 2 .e x . C. f  x   ex . 3x 2 D. f  x   x 3 .e x 3 1 . Lời giải Chọn B     x  .e Ta có F   x   e x 3 3 x3 3  3 x 2 .e x , x   . Câu 5: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Nếu  f  x  dx  x3  e x  C thì 3 f  x  bằng: A. f  x   x 2  e x . Chọn A B. f  x   x4 C. f  x   3 x 2  e x .  ex . 3 Lời giải D. f  x   x4  ex . 12 Ta có  f  x  dx   x3  x3  ex  C  f  x     ex  C   x2  ex . 3  3  Câu 6: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Tìm m để phương trình sau có nghiệm  4 x  4 x  3  6 16  x 2  2m  1  0. A. m  . C.  1  16 2 . 2 41 D. m   . 2 Lời giải B. m  41 1  16 2 m . 2 2 Chọn C ĐK x   4; 4 . Đặt t  4  x  4  x , ta có t  2 2; 4 . Ta có t 2  2 16  x 2  8  2 16  x 2  t 2  8. Phương trình đã cho trở thành t 3  3  t 2  8   2m  1  0  2m  t 3  3t 2  25. Xét hàm số f  t   t 3  3t 2  25  f   t   3t 2  6t. Ta có f   t   3t 2  6t  0, t   2 2; 4 nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 41 1  16 2 f  4   2m  f 2 2  41  2m  1  16 2    m  . 2 2   Câu 7: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2-năm 2017-2018) Tìm m để phương trình sau có nghiệm  4 x  4 x  3  6 16  x 2  2m  1  0. A. m  . C.  1  16 2 . 2 41 D. m   . 2 Lời giải B. m  41 1  16 2 m . 2 2 Chọn C ĐK x   4; 4 . Đặt t  4  x  4  x , ta có t  2 2; 4 . Ta có t 2  2 16  x 2  8  2 16  x 2  t 2  8. Phương trình đã cho trở thành t 3  3  t 2  8   2m  1  0  2m  t 3  3t 2  25. Xét hàm số f  t   t 3  3t 2  25  f   t   3t 2  6t. Ta có f   t   3t 2  6t  0, t   2 2; 4 nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 41 1  16 2 . f  4   2m  f 2 2  41  2m  1  16 2    m  2 2   Câu 8: (THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Tìm tập xác định của hàm số 1 y   x  1 3 . A. D   1 . B. D  1;    . C. D  . Lời giải Chọn B D. D   0 . Do 1   nên điều kiện xác định là x  1  0  x  1. Vậy TXĐ D  1;    . 3 Câu 9: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Nguyên hàm của hàm số y  x 2  3x  A. x 3 3x 2   ln x  C . 3 2 B. x3 3x 2 1   2 C . 3 2 x C. x3 3x 2   ln x  C . 3 2 D. x 3 3x 2   ln x  C . 3 2 1 là x Lời giải Chọn D 1 x3 3x 2  Áp dụng công thức nguyên hàm ta có   x 2  3 x   dx    ln x  C . x 3 2  Câu 10: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Cho hình  H  giới hạn bởi các đường y   x 2  2 x , trục hoành. Quay hình phẳng  H  quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: 496 A. . 15 B. 32 . 15 C. 4 . 3 D. 16 . 15 Lời giải Chọn D x  0 Phương trình hoành độ giao điểm của  H  và trục hoành  x 2  2 x  0   . x  2 Thể tích khối tròn xoay cần tìm là 2 2 2  x5 4  16 . V      x  2 x  dx    x  4 x  4 x  dx     x 4  x 3   3  0 15  5 0 0 2 2 4 3 2 2 Câu 11: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Cho I   f  x  dx  3 . Khi đó 0 2 J    4 f  x   3 dx bằng: 0 A. 2 . B. 6 . C. 8 . Lời giải D. 4 . Chọn B 2 2 2 2 Ta có J    4 f  x   3 dx  4 f  x  dx  3 dx  4.3  3x 0  6 . 0 0 0 Câu 12: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  A. x  x2  x  1 . x 1 1 C . x 1 B. 1  1  x  1 2 C . Lời giải: Chọn C C. x2  ln x  1  C . 2 D. x 2  ln x  1  C . Ta có f  x   x2  x  1 1  x x 1 x 1   f  x  dx  x2  ln x  1  C . 2 Câu 13: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a ; b  . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a , xb  a  b  . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức. b b A. V    f 2  x  dx . b b B. V  2  f 2  x  dx . C. V   2  f 2  x  dx . D. V   2  f  x  dx . a a a a Lời giải Chọn A Theo công thức tính thể tích vật tròn xoay khi quay hình  H  quanh trục hoành ta có b V    f 2  x  dx . a Câu 14: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  1 là x3 B.  xC. 3 3 A. x  C . C. 6x  C . D. x3  x  C . Lời giải Chọn D Ta có 2   3x  1 dx  3. x3  x  C  x3  x  C . 3 2 Câu 15: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Tích phân dx  x 3 bằng 0 A. 16 . 225 5 B. log . 3 5 C. ln . 3 Lời giải Chọn C 2 Ta có: dx  x  3  ln x  3 0 2 0 5  ln 2  3  ln 0  3  ln . 3 D. 2 . 15  3 Câu 1: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Tích phân I    dx bằng? sin 2 x 4 A. cot  3  cot  4 . B. cot  3  cot  4 . C.  cot  3  cot  4 . D.  cot  3  cot  4 . Lời giải Chọn C   3 3 dx Ta có I   2   cot x  sin x 4   cot   3  cot  4 . 4 Câu 2: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Tìm nguyên hàm F  x     2 dx . A. F  x    2 x  C . B. F  x   2 x  C . C. F  x   3 3 C . D. F  x    2 x2 2 C . Lời giải Chọn A Ta có F  x     2dx   2 x  C (vì  2 là hằng số). 1 Câu 3: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Rút gọn biểu thức P  x 3 . 6 x với x  0 . 1 2 B. P  x 2 . A. P  x 8 . D. P  x 9 . C. P  x . Lời giải Chọn C 1 1 1 P  x 3 .x 6  x 2  x Câu 4: (THPT Lương Thế Vinh-Hà Nội năm 2017-2018) Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A.  kf  x  dx  k  f  x  dx với k   . B.   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx với f  x  ; g  x  liên tục trên  . C. x D.   f  x  dx   f  x  .  dx  1  1 x với   1 .  1 Lời giải Chọn A Ta có  kf  x  dx  k  f  x  dx với k   sai vì tính chất đúng khi k   0 . Câu 5: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 2 năm học 2017-2018) Nếu x   0;   thì hàm số f  x  là A. f  x    C. f  x   1 1  . x2 x 1  ln  2 x  . x2 1 . 2x 1 1 D. f  x    2  . x 2x B. f  x   x  1  f  x  dx  x  ln 2 x  C với Lời giải Chọn A Ta có  f  x  dx  F  x   C  F   x   f  x  1  2 x  1 1 1   1  Do đó f  x     ln 2 x       ln 2 x    2    2  với x   0;   . x 2x x x x   x Câu 6: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 2 năm học 2017-2018) Mệnh đề nào dưới đây đúng? 32 x C . ln 3 32 x C.  32 x dx  C. ln 9 9x C . ln 3 32 x 1 D.  32 x dx  C . 2x 1 A.  32 x dx  B.  32 x dx  Lời giải Chọn C Vì  32 x dx   9 x dx  9x 32 x C  C . ln 9 ln 9 Câu 7: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà f  x   2 x  sin 2 x là 1 A. x 2  cos 2 x  C . 2 Nội năm 2017-2018) Họ nguyên hàm của hàm số 1 B. x 2  cos 2 x  C . C. x 2  2 cos 2 x  C . 2 Lời giải D. x 2  2 cos 2 x  C . Chọn A Ta có  f  x dx    2 x  sin 2 x dx  x 2 1  cos 2 x  C . 2 Câu 8: (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   e 2018 x . 1 A.  f  x  dx  2018 .e C.  f  x  dx  2018e 2018 x 2018 x C . C . 2018 x C . 2018 x ln 2018  C . B.  f  x  dx  e D.  f  x  dx  e Hướng dẫn giải Chọn A Theo công thức nguyên hàm mở rộng. Câu 9: (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz , cho hai điểm A  2; 3; 4  , B  6; 2; 2  . Tìm tọa độ véctơ AB.     A. AB   4;3; 4  . B. AB   4; 1; 2  . C. AB   2;3; 4  . D. AB   4; 1; 4  . Hướng dẫn giải Chọn B  Ta có: AB   4; 1; 2  . Câu 10: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần 1 năm 2017-2018) Hàm số F  x   cos 3x là nguyên hàm của hàm số: sin 3 x A. f  x   . B. f  x   3sin 3x . 3 C. f  x   3sin 3x . D. f  x    sin 3x . Lời giải Chọn B Ta có F  x   cos 3x  F   x   3sin 3x . Vậy hàm số F  x   cos 3x là nguyên hàm của hàm số f  x   3sin 3 x . Câu 11: (THPT Chuyên Quốc Học-Huế năm 2017-2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   52 x . A.  52 x dx  2. 52 x C . ln 5 C.  52 x dx  2.52 x ln 5  C . B.  52 x dx  25x C . 2 ln 5 D.  52 x dx  25x 1 C . x 1 Lời giải Chọn B Ta có  52 x dx   25 x dx  25x 25x C  C . ln 25 2 ln 5 Câu 12: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 3 năm 2017-2018) Tìm nguyên hàm I   x cos xdx . A. I  x 2 s in x C . 2 B. I  x sin x  cosx  C . x D. I  x 2cos  C . 2 Hướng dẫn giải C. I  x sin x  cosx  C . Chọn B Đặt u  x  du  dx và dv  cos xdx  v  s inx . I   x cos xdx  x sin x   sin xdx  x sin x  cosx  C . b Câu 13: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 3 năm 2017-2018) Biết   2 x  1 dx  1 . Khẳng định nào sau a đây là đúng? A. b  a  1 . B. a 2  b 2  a  b  1 . C. b 2  a 2  b  a  1 . D. a  b  1 . Hướng dẫn giải Chọn C b Ta có: b 2 2 2   2 x  1 dx   x  x  a  b  b   a  a  . a b Mà   2 x  1 dx  1  b 2  b  a 2  a  1  b2  a2  b  a  1. a Câu 14: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần 3 năm 2017-2018) Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng  H  được giới hạn bởi các đường y  f  x  , trục Ox và hai đường thẳng x  a , x  b xung quanh trục Ox . b A.   f 2  x  dx . a b B.  b f 2  x  dx . C.   f  x  dx . a a Lời giải Chọn A b D. 2  f 2  x  dx . a b Công thức tính thể tích khối tròn xoay V    f 2  x  dx . a Câu 15: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   sin 3x là: A. 1 cos 3x  C . 3 B. cos 3x  C . 1 C.  cos 3x  C . 3 Hướng dẫn giải D.  cos 3x  C . Chọn C 1  f  x  dx   sin 3x dx   3 cos 3x  C . Ta có Câu 16: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Viết công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox và các đường thẳng x  a, x  b  a  b  . b A.  b f  x  dx . B. a  b f 2  x  dx . C. a  b f  x  dx . D.   f  x  dx . a a Hướng dẫn giải Chọn A Câu 17: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Tìm nguyên hàm của hàm số ln x . f  x  x 1 A.  f  x  dx  ln 2 x  C . B.  f  x  dx  ln 2 x  C . 2 C.  f  x  dx  ln x  C D.  f  x  dx  e x C Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 1  f  x  dx   ln xd  ln x   2 ln 2 xC . Câu 18: (THPT Hồng Quang-Hải Dương năm 2017-2018) Tính I   3x dx . A. I  3x C . ln 3 B. I  3x ln 3  C . C. I  3x  C . D. I  3x  ln 3  C . Lời giải Chọn A Ta có  a x dx  ax 3x  C nên I  C . ln a ln 3 Câu 19: (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;10 10 và 2 6 10  f  x  dx  7 và  f  x  dx  3 . Tính P   f  x  dx   f  x  dx . 0 A. P  7 . Chọn C 0 2 B. P  4 . 6 C. P  4 . Lời giải D. P  10 . 10 Ta có  2 6 10 f  x  dx  7   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  7 0 0 2 2 6 10   f  x  dx   f  x  dx  7  3  4 . 0 6 Vậy P  4 . Câu 20: (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   2 x3  9 là: A. 1 4 x  9x  C . 2 B. 4 x 4  9 x  C . C. 1 4 x C . 4 D. 4 x 3  9 x  C . Lời giải Chọn A 3   2 x  9 dx  2. x4 x4  9x  C   9x  C . 4 2 Câu 21: (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau A. 3  x dx  x4  C . 4 1  x dx  ln x  C . D.  2e dx  2  e  C  . B. x C.  sin xdx  C  cos x . x Lời giải Chọn B Ta có 1  x dx  ln x  C . Câu 22: (THPT Trần Quốc Tuấn năm 2017-2018) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x )  3 x 2  8sin x .  f  x  dx  6 x  8cos x  C . C.  f  x  dx  x  8cos x  C . A. 3  f  x  dx  6 x  8cos x  C . D.  f  x  dx  x  8cos x  C . B. 3 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có:  f  x  dx    3x 2  8sin x  dx  x 3  8cos x  C . Câu 23: (THPT Trần Quốc Tuấn năm 2017-2018) Hàm số 25cm là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 1 1 A. f  x   4  2  C . B. f  x   4  2 . x x 1 C. f  x   4  2 . D. f  x   2 x 2  ln | x | C . x Hướng dẫn giải Chọn B Hàm số F  x   4 x  1 1 là một nguyên hàm của hàm số f  x   4  2 , vì x x  1 1  F  x   4x    4  2 . x x  Câu 24: (THPT Trần Hưng Đạo-TP HCM năm 2017-2018) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  3x . A.  3xdx  3x C . ln 3 x B.  3xdx  3x ln 3  C . C.  3xdx  3x1  C . D.  3 dx  3x1 C. x 1 Lời giải Chọn A 3x  3 dx  ln 3  C . x Câu 25: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   1 , biết 2x 1  e 1  3 F   là:  2  2 1 A. F  x   2 ln 2 x  1  . 2 1 C. F  x   ln 2 x  1  1 . 2 B. F  x   2 ln 2 x  1  1 . D. F  x   ln 2 x  1  1 . 2 Hướng dẫn giải Chọn C Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng 1 1 F  x   dx  ln 2 x  1  C . 2x 1 2 1  e 1  3 Mà F     ln 2  2  2 3  e 1  2   1  C   C  1. 2  2  Câu 26: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  xác định trên K và F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f   x   F  x  , x  K . B. F   x   f  x  , x  K . C. F  x   f  x  , x  K . D. F   x   f   x  , x  K . Hướng dẫn giải Chọn B  Ta có F  x    f  x  dx , x  K   F  x    f  x  , x  K . Câu 27: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  trục Ox và hai đường thẳng x  a , x  b ,  a  b  xung quanh trục Ox . b A. V    f 2 ( x)dx . b b B. V   f 2 ( x )dx . a C. V    f ( x)dx . a b D. V   f ( x) dx . a Hướng dẫn giải Chọn A Theo lý thuyết. Câu 28: (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018) Phát biểu nào sau đây là đúng? A.  cos2 xdx  2 sin 2 x  C . 1 C.  cos2 xdx   sin2 x  C . 2 B.  cos2 xdx  2sin2 x  C . 1 D.  cos2 xdx  sin2 x  C . 2 Lời giảiS a Chọn C Áp dụng công thức nguyên hàm:  cos  ax  b  dx  1 sin  ax  b   C . a 1 Ta có:  cos2 xdx  sin2 x  C . 2 Câu 29: (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018)Phát biểu nào sau đây là đúng? A.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. . B.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. . C.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. . D.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. Lời giải Chọn B Đặt u  e x  du  e x dx   dv  sin xdx v   cos x   e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. . Câu 30: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 là ? A. 2  x dx  x2 C . 2 B. 2  x dx  2 x  C . C. 2  x dx  x3 C . 3 D. 2  x dx  x3 . 3 Lời giải Chọn C Ta có 2  x dx  x3 C . 3 2 Câu 31: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Nếu  f  x  dx  3 , 1 5 5  f  x  dx  1 thì  f  x  dx bằng 2 1 A. 2 . B. 2 . C. 3 . Lời giải D. 4 . Chọn B 5 Ta có 2  5 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3  1  2 . 1 1 2 Câu 32: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2 , trục hoành Ox , các đường thẳng x  1 , x  2 là A. S  7 . 3 8 B. S  . 3 C. S  7 . Lời giải Chọn A D. S  8 . 2 Diện tích hình phẳng là S   1 2 2 x3 8 1 7    . x dx   x dx  31 3 3 3 1 2 2 Câu 33: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a, b  . Diện tích hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a; x  b được tính theo công thức b 2 A. S     f  x   dx b b B. S   f  x  dx a b C. S    f  x  dx a D. S   f  x  dx a a Lời giải Chọn D Hàm số y  f (x ) liên tục trên a; b . Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số b y  f (x ) , trục hoành và hai đường thẳng x  a; x  b được tính theo công thức S   f  x  dx . a 1 Câu 34: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Tính I   e3 x .dx . 0 3 A. I  e3  1 . B. I  e  1 . e 1 . 3 Lời giải C. 1 D. I  e3  . 2 Chọn C 1 x  1 e3  1 1  Ta có I   e3 x .dx  e3 x . x0 3 3 0 Câu 35: (THPT Trần Nhân Tông-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Tìm nguyên hàm của hàm số y  sin  2 x  1 . 1 cos  2 x  1  C . 2 1 C.  cos  2 x  1  C . 2 B.  cos  2 x  1  C . A. 1 D.  sin  2 x  1  C . 2 Hướng dẫn giải Chọn C 1 Ta có:  sin  2 x  1 dx   cos  2 x  1  C . 2 Câu 36: (THPT Trần Nhân Tông-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên 9  và F  x  là nguyên hàm của f  x  , biết  f  x  dx  9 và F  0   3 . Tính F  9  . 0 A. F  9   6 . B. F  9   6 . C. F  9   12 . Hướng dẫn giải Chọn C 9 9 Ta có: I   f  x  dx  F  x  0  F  9   F  0   9  F  9   12 . 0 D. F  9   12 . Câu 37: (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   1 và F  2   1 . Tính F  3 . x 1 A. F  3  ln 2  1 . B. F  3  ln 2  1 . C. F  3  1 . 2 D. F  3  7 . 4 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: F ( x)   1 dx  ln x  1  C . x 1 Theo đề F  2   1  ln1  C  1  C  1. Vậy F  3  ln 2  1 . Câu 38: (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   cos 2 x . 1 A. F  x   2sin 2 x  C . B. F  x    sin 2 x  C . 2 1 C. F  x   sin 2 x  C . D. F  x   2sin 2 x  C . 2 Lời giải Chọn C 1 Ta có: F  x    cos 2 xdx  sin 2 x  C . 2 Câu 39: (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  có f   x  liên 3 tục trên đoạn  1;3 , f  1  3 và  f ( x ) dx  10 giá trị của f  3 bằng 1 A. 13 . B. 7 . C. 13 . Lời giải D. 7 . Chọn C 3 Ta có  f ( x) dx  10  f  x  1 3 1  10  f  3  f  1  10  f  3  f  1  10  13 . Câu 1: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên 5 hàm của hàm số f ( x)   3 x  1 ? A. F  x   C. F  x   6  3x  1 18  3x  1 8 . B. F  x   . D. F  x   6 18  3x  1 6 2. 18  3x  1 6 6 . Lời giải Chọn D  1 1  ax  b  Áp dụng   ax  b  dx   C với   1 và C là hằng số. a  1 Vậy hàm số ở phương án D thỏa yêu cầu đề.  Câu 2: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho các hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  ,  a, b  , a  b  . Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y  f  x  ; trục hoành Ox ; x  a ; x  b . Phát biểu nào sau đây là đúng? b b  f  x  dx . A. S  B. S  a  f  x  dx . C. S  a a  f  x  dx . b b D.  f  x  dx . a Lời giải Chọn D b Ta có diện tích hình phẳng  f  x  dx . a Câu 3: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y  12 x5 . A. y  12 x 6  5 . B. y  2 x 6  3 . C. y  12 x 4 . D. y  60 x 4 . Lời giải Chọn B Ta có  12 x5dx  12. x6  C  2x 6  C . 6 Do đó Chọn B Câu 4: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Khẳng định nào sau đây sai? A.  0 dx  C . B. 4  x dx  1 x5  C . C.  dx  ln x  C . x 5 Lời giải D.  e x dx  e x  C . Chọn C Ta có: 1  x dx  ln x  C  C sai. Câu 5: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Khẳng định nào đây sai? 1 A.  cos x dx   sin x  C . B.  dx  ln x  C . x C.  2 x dx  x 2  C . D.  e x dx  e x  C . Lời giải Chọn A Ta có  cos x dx  sin x  C  A sai. Câu 6: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Khẳng định nào đây đúng? 1 A.  sin x dx   cos x  C . B.  sin x dx  sin 2 x  C . 2 C.  sin x dx  cos x  C . D.  sin x dx   sin x  C Lời giải Chọn A Ta có  sin x dx   cos x  C  A đúng. Câu 7: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Số giao điểm của đồ thị hàm số y  x 4  2 x 2  1 với trục Ox là A. 1 . B. 2 . C. 4 . Lời giải D. 3 . Chọn B 2 Phương trình hoành độ giao điểm: x4  2 x 2  1  0   x 2  1  0  x  1 . Vậy đồ thị hàm số và trục hoành có 2 giao điểm. Câu 8: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x )  x  sin 6 x A. C.  f  x  dx  x 2 cos 6 x  C. 2 6 B.  f  x  dx  x 2 cos 6 x  C. 2 6 D.  f  x  dx  x 2 sin 6 x  C . 2 6  f  x  dx  x 2 sin 6 x  C . 2 6 Lời giải Chọn C  f  x  dx    x  sin 6 x  dx  x 2 cos 6 x  C . 2 6 Câu 9: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Khoảng đồng biến của hàm số y   x 3  3x 2  9 x  1 là A.  3;1 . B.  ; 1   3;   . C.  1;3 . D.  ; 1 . Lời giải Chọn C TXĐ: D   . y  3 x 2  6 x  9 . x  3  y  8 . y   0  3 x 2  6 x  9  0    x  1  y  12 Bảng biến thiên x  1  y 0    3 0 12   y 8  Dựa vào BBT, hàm số đồng biến trên khoảng  1;3 . Câu 10: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , liên tục trên [a ; b] trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  cho bởi công thức: b A. S   f  x  dx . a b b B. S  π  f  x  dx . a b C. S  π  f 2  x  dx . a D. S   f  x  dx . a Lời giải Chọn A b Diện tích S của hình phẳng là S   f  x  dx . a Câu 11: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  cos x  2018 là A. F  x   e x  sin x  2018 x  C . B. F  x   e x  sin x  2018 x  C . C. F  x   e x  sin x  2018 x . D. F  x   e x  sin x  2018  C . Lời giải Chọn A Câu 12: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b ,  a  b có diện tích S là b A. S   f  x  dx . a b b B. S   f  x  dx . C. S   b f  x  dx . a a D. S    f 2  x  dx . a Lời giải Chọn A Câu 13: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x2  2 , x  1 , x  2 , y  0 . A. S  10 . 3 8 B. S  . 3 C. S  13 . 3 5 D. S  . 3 Lời giải Chọn C 2 Gọi S là diện tích cần tìm. Ta có S    x 2  2  dx  1 13 . 3 Câu 14: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hai hàm số f  x  , g  x  là hàm số liên tục, có F  x  , G  x  lần lượt là nguyên hàm của f  x  , g  x  . Xét các mệnh đề sau:  I  . F  x   G  x  là một nguyên hàm của f  x   g  x  .  II  . k.F  x  là một nguyên hàm của k. f  x  với k  .  III  . F  x  .G  x  là một nguyên hàm của f  x  .g  x  . Các mệnh đề đúng là A.  II  và  III  . C.  I  và  III  . B. Cả 3 mệnh đề. D.  I  và  II  . Lời giải Chọn D Theo tính chất nguyên hàm thì  I  và  II  là đúng,  III  sai. Câu 15: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b . Viết công thức tính diện tích S của hình cong được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox và hai đường thẳng x  a ; x  b . b b A. S   f  x  dx . b B. S    f  x  dx . a b C. S   f  x  dx . a D. S    f  x  dx . a a Lời giải Chọn C Hình cong được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox và hai đường thẳng x  a ; b x  b có diện tích là S   f  x  dx . a Câu 16: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục trên  a; b và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? b A.  a a b f  x  dx    f  x  dx . B. b b  xf  x  dx  x  f  x  dx . a a a b C.  kf  x  dx  0 . D. a b b   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . a a a Lời giải Chọn B Dựa vào tính chất của tích phân, A, C, D đúng nên B sai. Câu 17: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2  2 x  1 là 1 3 x 2 xC . 3 1 C. F  x   x 3  x 2  x  C . 3 A. F  x   B. F  x   2 x  2  C . 1 D. F  x   x 3  2 x 2  x  C . 3 Lời giải Chọn C F  x    f  x dx n  1 3 x  x2  x  C . 3 Câu 18: (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Trong các khẳng định sau, khẳng đinh nào sai? A.  e x dx  e x  C . B.  0 dx  C . C. Lời giải Chọn C 1  x dx  ln x  C . D.  dx  x  C . Khẳng định C sai do 1  x dx  ln x  C . Câu 19: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho hai hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . B.   f  x  .g  x   dx   f  x  dx. g  x  dx . C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . D.  kf  x  dx  k  f  x  dx  k  0;k    . A. Lời giải Chọn B Câu 20: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f  t  liên tục trên K và a, b  K , F  t  là một nguyên hàm của f  t  trên K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. b b A. F  a   F  b    f  t  dt . B.  f  t  dt  F  t  a b C.  a b a . a b b   f  t  d t    f  t  dt  .  a D.  b f  x  dx   f  t  dt . a a Bài giải Chọn A b Theo định nghĩa ta có:  f  t  dt  F  t  b a  F  b   F  a  . Suy ra phương án A sai. a Câu 21: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Một nguyên hàm của hàm số y  cos 2 x là A. 2sin 2x . B. 1 sin 2 x . 2 C. 1 sin 2 x . 2 D. 2sin 2x . Lời giải Chọn B 1  cos 2 x dx  2 sin 2 x  C . Câu 22: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   x 2018 , ( x   ) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây? A. F  x   2017.x 2018  C , (C   ) . C. F  x   x 2019  C , (C   ) . x 2019  C , (C   ) . 2019 D. F  x   2018.x 2017  C , (C   ) . B. F  x   Lời giải Chọn B 2018 Ta có:  x dx  x 2019 C . 2019 Câu 23: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  . Khi đó hiệu số F  0   F 1 bằng 1 A.  1 f  x  dx . 1 B.   F  x  dx . 0 1 C.   F  x  dx . 0 D. 0   f  x  dx . 0 Lời giải Chọn D 1 Ta có:   f  x  dx   F  x  0 1    F 1  F  0    F  0   F 1 . 0 Câu 24: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên 1;2 . Gọi  D  là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  f  x  , y  0 , x  1 và tính diện tích S của  D  là công thức nào trong các công thức dưới đây? 2 2 A. S   f  x  dx . B. S   f 2  x  dx . 1 2 C. S   f  x  dx . 1 x  2 . Công thức 2 D. S    f 2  x  dx . 1 1 Lời giải Chọn C 3 Câu 25: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Giá trị của  dx bằng 0 A. 3 . B. 0 . C. 2 . Lời giải D. 1. Chọn A 3  dx  x 3 0  3. 0 Câu 26: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   cos x là A.  sin x  C . B. sin x  C . C. cos x  C . Lời giải D.  cos x  C . Chọn B Ta có:  f  x  dx   cos xdx  sin x  C . Câu 27: (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  2 x  5 là A. F  x   x3  x 2  5 . B. F  x   x 3  x  C . C. F  x   x 3  x 2  5 x  C . D. F  x   x 3  x 2  C . Lời giải Chọn C Nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  2 x  5 là F  x   x 3  x 2  5 x  C . Câu 28: (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường  a  b . thẳng x  a , x  b Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức b b A. V    f 2  x  dx . a b b B. V   2  f 2  x  dx . C. V   2  f  x  dx . a D. V  2  f 2  x  dx . a a Lời giải Chọn D Theo lý thuyết. Câu 29: (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Họ nguyên hàm của hàm số 1 1 f  x   2  x 2  là x 3 A.  x4  x2  3 C . 3x B. x4  x2  3 2 . C.  C .  2x  C 3x x2 Lời giải D.  x3 1 x   C . 3 x 3 Chọn D 1 x3 x 1 1  1  Ta có   2  x 2   dx    x 2  x 2   dx      C . x 3 3 3 3 x  Câu 30: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? n  x dx  x n1  C ( C là hằng số; n   ). n 1 A.  dx  x  2C ( C là hằng số). B. C.  0dx  C ( C là hằng số). D.  e x dx  e x  C ( C là hằng số). Lời giải Chọn B Đáp án B sai vì công thức trên chỉ đúng khi bổ sung thêm điều kiện n  1 .  f  x  dx  F  x   C . Khi đó với Câu 31: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) Cho a  0 , a , b là hằng số ta có  f  ax  b  dx 1 bằng 1 A.  f  ax  b  dx  a F  ax  b   C . B.  f  ax  b  dx  a  b F  ax  b   C . C.  f  ax  b  dx  F  ax  b   C . D.  f  ax  b  dx  aF  ax  b   C . Lời giải Chọn A Theo công thức nguyên hàm mở rộng ta có: 1  f  ax  b  dx  a F  ax  b   C . 1 Câu 32: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Tích phân  e  x dx bằng 0 A. e  1 . B. 1 1. e C. Lời giải Chọn C 1 Ta có:  e  x dx  e  x 0 1  1  e 1 .     1  0 e e  e 1 . e D. 1 . e Câu 33: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Diện tích hình phẳng giới hạn bới hai đường thẳng x  0 , x  π , đồ thị hàm số y  cos x và trục Ox là π π π B. S   cos 2 x dx . A. S   cos x dx . 0 π C. S   cos x dx . 0 D. S    cos x dx . 0 0 Lời giải Chọn C Lý thuyết. Câu 34: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Họ nguyên hàm của hàm số y  cos 3 x là sin 3 x  C ( C là hằng số). 3 C. sin 3x  C ( C là hằng số). sin 3 x  C ( C là hằng số). 3 D.  sin 3x  C ( C là hằng số). Lời giải B.  A. Chọn A Ta có  cos 3 xdx  1 1 cos 3 xd  3 x   sin 3 x  C .  3 3 Câu 35: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn đồng thời các điều kiện f   x   x  sin x và f  0   1. Tìm f  x  . A. f  x   x2  cos x  2 . 2 B. f  x   x2  cos x  2 . 2 C. f  x   x2  cos x . 2 D. f  x   x2 1  cos x  . 2 2 Lời giải Chọn A Ta có f   x   x  sin x  f  x   Vậy f  x   x2  cos x  C ; f  0   1  1  C  1  C  2 . 2 x2  cos x  2 . 2 Câu 36: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  e x , y  2 , x  0 , x  1 . A. S  4 ln 2  e  5 . B. S  4 ln 2  e  6 . C. S  e2  7 . Lời giải Chọn A 1 Gọi S là diện tích cần tìm. Ta có S   e x  2 dx . 0 Xét e x  2  0  x  ln 2 . Bảng xét dấu e x  2 : D. S  e  3 . 0 x ln 2 ex  2 1  ln 2  0 1 Ta có S   e x  2 dx     e x  2  dx  0 1 0  e x  2  dx   2 x  e x  ln 2 ln 2 0  ex  2x  1 ln 2  4 ln 2  e  5 . Vậy S  4 ln 2  e  5 . Câu 37: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số f1  x  và f 2  x  liên tục trên đoạn  a; b  và hai đường thẳng x  a , x  b (tham khảo hình vẽ dưới). Công thức tính diện tích của hình  H  là y f1  x  f2  x  O a c1 c2 b b x b B. S    f1  x   f 2  x   dx . A. S   f1  x   f 2  x  dx . a a b b C. S   f1  x   f 2  x  dx . b D. S   f 2  x  dx   f1  x  dx . a a a Lời giải Chọn A Theo định nghĩa ứng dụng tích phân tích diện tích hình phẳng. Câu 38: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2018 x . cos 2018 x C. 2018 cos 2018 x C.  C . 2018 B.  A. cos 2018 x C . 2019 D. 2018 cos 2018x  C . Lời giải Chọn C Theo công thức nguyên hàm mở rộng ta có:  sin 2018 xdx   cos 2018 x C . 2018  Câu 39: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Tính tích phân  sin 3 xdx . 0 1 A.  . 3 Chọn D B. 1 . 3 2 C.  . 3 Lời giải D. 2 . 3  1 1 2  Ta có  sin 3 xdx   cos 3 x 0    1  1  . 3 3 3 0 Câu 40: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) Mệnh đề nào dưới đây là sai?   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx với mọi hàm f  x  , g  x  liên tục trên  . B.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx với mọi hàm f  x  , g  x  liên tục trên  . C.   f  x  g  x   dx   f  x  dx. g  x  dx với mọi hàm f  x  , g  x  liên tục trên  . D.  f   x  dx  f  x   C với mọi hàm f  x  có đạo hàm trên  . A. Lời giải Chọn C Câu 41: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  x và y  e x , trục tung và đường thẳng x  1 được tính theo công thức: 1 1 A. S   e x  1 dx . 1 B. S    e x  x  dx . 0 1 C. S    x  e x  dx . 0 D. S  0 e x  x dx . 1 Lời giải Chọn B Vì trong khoảng  0;1 phương trình e x  x không có nghiệm và e x  x , x   0;1 nên 1 1 S   e x  x dx    e x  x  dx . 0 0 1 Câu 42: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) Tích phân I   e 2 x dx bằng 0 2 A. e2  1 . B. e  1 . C. e 1 . 2 D. e  1 . 2 Lời giải Chọn C 1 1 1 e2  1 Ta có: I   e 2 x dx  e 2 x  . 2 2 0 0 Câu 43: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos x A.  cos xdx  sin x  C . C.  cos xdx  sin 2 x  C . B.  cos xdx   sin x  C . 1 D.  cos xdx   sin x  C . 2 Lời giải Chọn A  cos xdx  sin x  C . Câu 44: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x , trục Ox và hai đường thẳng x  1 ; x  4 khi quay quanh trục hoành được tính bởi công thức nào? 4 4 A. V    xdx . 4 1 4 C. V   2  xdx . x dx . B. V   1 D. V    xdx . 1 1 Lời giải Chọn A Thể tích khối tròn xoay giới hạn bời đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox , x  a và x  b được b 2 tính bởi công thức V     f  x   dx . a Câu 45: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   5x  1 . A. 5 x ln x  x  C . B. 5 x  x  C . C. 5x  xC . ln 5 D. 5 x  x  C . Lời giải Chọn C Ta có:  5 x  1 dx  5x  xC. ln 5 Câu 46: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm x  a , x  b  a  b  có diện tích thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  a  x  b là S  x  . a b A. V   S  x  dx . b b B. V    S  x  dx . a C. V    S b 2  x  dx . a D. V   S  x  dx . a Lời giải Chọn D b V   S  x  dx . a Câu 47: (SGD Phú Thọ – lần 1 – năm 2017 – 2018) Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f  x   x3 ? A. y  x4  22018 . 4 B. y  x4  2018 . 4 C. y  3x 2 . D. y  1 4 x  2018 . 4 Lời giải Chọn C Ta có F  x    x 3dx  x4  C nên các đáp án A, B, D đều đúng. 4 Câu 48: (SGD Phú Thọ – lần 1 – năm 2017 – 2018) Cho a là số thực dương bất kỳ khác 1. Tính   S  log a a 3 . 4 a . A. S  3 . 4 B. S  7 . C. S  12 . Lời giải Chọn D D. S  13 . 4 13  3 14  13 S  log a a . a  log a  a .a   log a a 4  . 4    3 4  Cho hai số thực a , b tùy ý, F  x  là một Câu 49: (SGD Phú Thọ – lần 1 – năm 2017 – 2018) nguyên hàm của hàm số f  x  trên tập  . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? b A.  b f  x  dx  f  b   f  a  . B.  f  x  dx  F  b   F  a  . a a b C.  b f  x  dx  F  a   F  b  . D. a  f  x  dx  F  b   F  a  . a Lời giải Chọn B b Theo định nghĩa, ta có  f  x  dx  F  b   F  a  . a 2 Câu 50: Tích phân  3x 1 dx bằng 1 2 A. . ln 3 B. 2 ln 3 . C. 3 . 2 D. 2 . Lời giải Chọn A 2 2 2 3x1 2  Ta có  3 dx   3 d  x  1  . ln 3 1 ln 3 1 1 x 1 x 1 Câu 51: (SGD Phú Thọ – lần 1 – năm 2017 – 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng 1 x  2 y  z  5  0 . Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  ? 2     A. n2  1; 2;1 . B. n3  1; 4; 2  . C. n1   2; 2;1 . D. n4   2;1;5  .  P : Lời giải Chọn B  1  Từ phương trình của  P  suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  là n   ; 2;1 . 2     1  Mặt khác n3  1; 4; 2   2  ; 2;1  2n nên n3  1; 4; 2  cũng là một vectơ pháp tuyến của 2  mặt phẳng  P  . Câu 52: (SGD Phú Thọ – lần 1 – năm 2017 – 2018) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua ba điểm A  2; 0;0  , B  0;3;0  , C  0;0; 4  có phương trình là A. x y z    1. 3 2 4 B. x y z    1. 2 3 4 C. x y z   1. 2 3 4 Lời giải Chọn B x y z    1. 2 3 4 Câu 53: Tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   cos 2 x là Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn D. x y z    1. 4 3 2 A. 2sin 2x  C . B. sin 2x  C . C. 1 sin 2 x  C . 2 1 D.  sin 2 x  C . 2 Lời giải Chọn C 1 Ta có  cos 2 x dx  sin 2 x  C . 2 Câu 54: (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 – năm 2017 – 2018) Cho hình phẳng  D  được giới hạn bởi các đường x  0 , x  1 , y  0 và y  2 x  1 . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay  D  xung quanh trục Ox được tính theo công thức? 1 1 1 1 B. V    2 x  1 dx . C. V    2 x  1 dx . A. V    2 x  1dx . 0 0 D. V   2 x  1dx . 0 0 Lời giải Chọn B 1 Ta có V      1 2 2 x  1 dx    2 x  1 dx . 0 0 Câu 55: (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần 1 – năm 2017 – 2018) Họ nguyên hàm  x. A. 3 x 2  1dx bằng 1 3 2 . ( x  1)  C. 8 B. 3 3 2 . ( x  1)  C. 8 3 3 2 . ( x  1) 4  C. 8 Lời giải C. D. 1 3 2 . ( x  1) 4  C. 8 Chọn C Ta có 3 2  x. x  1dx  1 4 4 1 3 2 33 2 2 3 d x2  1  3 C  x  1 x  1 x  1  C .         2 8 8 Câu 56: (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần 1 – năm 2017 – 2018) Họ nguyên hàm  sin x dx bằng A. cos x  C . B.  sin x  C . C.  cos x  C . Lời giải D. sin x  C . Chọn C  sin x dx   cos x  C . Câu 57: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 – năm 2017 – 2018) Kết luận nào sau đây đúng? A.  sin xdx   sin x  C . B.  sin xdx  sin x  C . C.  sin xdx   cos x  C . D.  sin xdx  cos x  C . Lời giải Chọn C Nguyên hàm cơ bản. Câu 58: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục, xác định trên đoạn  a; b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b được tính theo công thức: b b A. S   f  x  dx . b B. S   f  x  dx . a C. S    f  x  dx . a a D. S   f  x  dx . a b Lời giải Chọn A Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng b x  a , x  b là S   f  x  dx . a Câu 59: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Nguyên hàm F  x  của hàm số 1 là sin 2 x A. F  x   3 x  tan x  C . B. F  x   3x  tan x  C . C. F  x   3 x  cot x  C . D. F  x   3x  cot x  C . f  x  3  Lời giải Chọn C Nguyên hàm của hàm số f  x   3  1 là F  x   3 x  cot x  C . sin 2 x Câu 60: (SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 cos 2 x là A. 2sin 2x  C . B. sin 2x  C . C. 2sin 2x  C . Lời giải D. sin 2x  C . Chọn B Ta có 1  f  x  dx   2 cos 2 x dx  2. 2 sin 2 x  C  sin 2 x  C .  2   Câu 61: (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Tính tích phân I   sin   x  dx . 4  0 A. I   4 . B. I  1 . C. I  0 . D. I  1 . Lời giải Chọn C   2  2       I   sin   x  dx  cos   x   cos     cos    0 . 4  4 0  4 4 0 Câu 62: (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang – Lần 3 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thằng x  a , x  b  a  b  . Diện tích hình phẳng D được tính bởi công thức. b A. S   f  x  dx . a b b B. S    f  x  dx . C. S   f  x  dx . a a Lời giải Chọn C b D. S    f 2  x  dx . a b Ta có S   f  x  dx . a Câu 63: (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang – Lần 3 năm 2017 – 2018) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   5 x 4  2 là A. x5  2 x  C . B. 1 5 x  2x  C . 5 D. x5  2 . C. 10x  C . Lời giải Chọn A Ta có:  f  x  dx    5x 4  2  dx  x 5  2 x  C . 1 Câu 64: Tích phân I   e x1dx bằng 0 2 B. e 2  e . A. e  1 . C. e 2  e . D. e  e 2 . Câu 65: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   sin 5 x  2 là 1 1 B.  cos 5 x  2 x  C . C. cos 5 x  2 x  C . D. cos 5 x  2 x  C . 5 5 A. 5cos 5x  C . Câu 66: Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục trên  a; b  . Gọi  H  là hình giới hạn bởi hai đồ thị y  f  x  , y  g  x  và các đường thẳng x  a , x  b . Diện tích hình  H  được tính theo công thức: b b b A. S H   f  x  dx   g  x  dx . a B. S H   f  x   g  x  dx . a a b b C. S H    f  x   g  x   dx . D. S H    f  x   g  x   dx . a a 1 Câu 67: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) Tích phân I   e x 1dx bằng 0 2 2 A. e  1 . 2 B. e  e . C. e  e . Lời giải D. e  e 2 . Chọn B 1 1 Ta có I   e x 1dx  e x1  e 2  e . 0 0 Câu 68: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) f  x   sin 5 x  2 là A. 5cos 5x  C . Họ nguyên hàm của hàm số 1 1 B.  cos 5 x  2 x  C . C. cos 5 x  2 x  C . D. cos 5 x  2 x  C . 5 5 Lời giải Chọn B Ta có 1  f  x  dx    sin 5 x  2  dx   5 cos 5x  2 x  C . Câu 69: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục trên  a; b . Gọi  H  là hình giới hạn bởi hai đồ thị y  f  x  , y  g  x  và các đường thẳng x  a , x  b . Diện tích hình  H  được tính theo công thức: b b b A. S H   f  x  dx   g  x  dx . a B. S H   f  x   g  x  dx . a a b b C. S H    f  x   g  x   dx . D. S H    f  x   g  x   dx . a a Lời giải Chọn B Câu 70: (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là nguyên hàm của f  x   x 3 ? A. x4 1. 4 B. 3x 2 . x4  1. 4 C. D. x4 . 4 Lời giải Chọn B Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x3 là F  x   x4  C nên hàm số 3x 2 không phải là 4 nguyên hàm của hàm số f  x   x 3 . Câu 71: (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) Một quả bóng bàn có mặt ngoài là mặt cầu bán kính 2cm . Diện tích mặt ngoài của quả bóng bàn là A. 4  cm 2  . B. 4  cm 2  . C. 16  cm 2  . D. 16  cm 2  . Lời giải Chọn C Diện tích mặt cầu là S  4 R 2  16  cm 2  . Câu 72: (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đồ thị như hình bên. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục Ox . Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích V được xác định theo công thức y 3 O 1 3 3 x 3 2 A. V     f  x   dx . B. V  1 3 2 C. V   2   f  x   dx . 3 2 D. V    f  x   dx . 1 1 Lời giải Chọn A 2 1  f  x   dx .  31 Đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục Ox tại hai điểm có hoành độ lần lượt là x  1 , x  3 nên thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng D quanh trục Ox được tính theo công thức 3 2 V     f  x   dx . 1 Câu 73: (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng được đánh dấu trong hình vẽ bên có diện tích là y y  f  x a A. b c  f  x  dx   f  x  dx . a b c x O B. b b b c  f  x  dx   f  x  dx . a c C.   f  x  dx   f  x  dx . a D. b b b b  f  x  dx   f  x  dx . a c Lời giải Chọn A Ta có f  x   0 x   a; b và f  x   0 x  b; c  nên diện tích của hình phẳng là b  a c f  x  dx   f  x  dx b Câu 74: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc – Lần 4 năm 2017 – 2018)Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos 2 x . A.  cos 2 xdx  2 sin 2 x  C . C.  cos 2 xdx  sin 2 x  C . 1 B.  cos 2 xdx   sin 2 x  C . 2 1 D.  cos 2 xdx  sin 2 x  C . 2 Lời giải Chọn D Theo công thức nguyên hàm mở rộng: 1  f  ax  b  dx  a F  ax  b   C . 1   cos 2 xdx  sin 2 x  C . 2 Câu 75: (THPT Kim Liên – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018)Tìm nguyên hàm của hàm số 1 f  x   3cos x  2 trên  0;    . x 1 1 1 A. 3sin x   C . B. 3sin x   C . C. 3cos x   C . D. 3cos x  ln x  C . x x x Lời giải Chọn B b Ta có  1  1  f  x  dx    3cos x  2  dx  3sin x   C . x  x a Câu 76: (THPT Kim Liên – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018)Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e.x e  4 là B. e 2 .x e 1  C . A. 101376 . x e1  4x  C . e 1 C. D. e.x e1  4x  C . e 1 Lời giải Chọn D Ta có  f  x  dx    e.x e  4  dx  e.x e1  4x  C . e 1 3 Câu 77: (THPT Kim Liên – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018)Tính tích phân I   0 A. I  4581 . 5000 5 B. I  log . 2 5 C. I  ln . 2 Lời giải dx . x2 D. I   21 . 100 Chọn C 3 Ta có: I   0 dx  ln x  2 x2 3 0 5  ln . 2 Câu 78: (THPT Kim Liên – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho hàm số y   x có đồ thị  C  . Gọi D là hình phẳng giởi hạn bởi  C  , trục hoành và hai đường thẳng x  2 , x  3 . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính bởi công thức: 3 2 B. V   3   x dx . A. V     2 x dx . 3 3 C. V     2 x dx . 2 3 D. V   2   x dx . 2 2 Lời giải Chọn C Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính bởi công thức: 3 V     x 2  3 dx    2 x dx . 2 2 Câu 79: (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018)Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f  x  liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b được tình bằng công thức nào dưới đây? b b A.  f  x  dx . B.   f 2  x dx . b C.  a a a b f  x  dx . D.  f  x  dx . 2 a Lời giải Chọn C b Ta có S   f  x  dx . a Câu 80: (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018)Khẳng định nào sau đây sai? b A. b b   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . a a b C. b B. a a c  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . a  f  x  dx   f  x  dx . b a c b b a  f  x  dx   f  t  dt . D. b a a Lời giải Chọn C Câu 81: (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018)Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   5 x 4  6 x 2  1 là A. 20 x 3  12 x  C . B. x 5  2 x 3  x  C . C. 20 x 5  12 x 3  x  C . D. x4  2 x2  2x  C . 4 Lời giải Chọn B Ta có  5x 4  6 x 2  1 dx  x5  2 x 3  x  C . Câu 82: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh – Lần 2 năm 2017 – 2018)Họ nguyên hàm của hàm số f  x   sin x  1 bằng A. cos x  C . B.  cos x  x  C . C.  cos x  C . Lời giải. D. cos x  x  C . Chọn B Ta có   sin x  1 dx   cos x  x  C . Câu 83: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b . Gọi D là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành, đường thẳng x  a và đường thẳng x  b . Khi đó diện tích S của hình phẳng D được tính theo công thức b b b A. S   f  x  dx . B. S   f  x  dx . a C. S   f  x  dx . a a b D. S    f 2  x  dx . a Lời giải Chọn A b Theo công thức tính diện tích hình phẳng ta có S   f  x  dx . a Câu 84: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Nguyên hàm của 1 hàm số f  x   là 1  2x A.  f  x  dx  2 ln 1  2 x  C . C.  f  x  dx   2 ln 1  2 x  C . 1 B.  f  x  dx  2 ln 1  2 x  C . D.  f  x  dx  ln 1  2 x  C . Lời giải Chọn C Ta có 1 1  1  2 x dx   2 ln 1  2 x  C . Câu 85: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục trên đoạn  a; b  và hai đường thẳng x  a , x  b được xác định theo công thức b b A. S  π  f  x   g  x  dx . B. S    f  x   g  x   dx . a a b b C. S    g  x   f  x   dx . D. S   f ( x)  g ( x) dx . a a Lời giải Chọn D Lý thuyết. Câu 86: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x 2  x  1 là A. 2 x3  x2  x  C . 3 B. 4 x  1 . C. 2 x3 x 2   x. 3 2 D. 2 x3 x2   xC. 3 2 Lời giải Chọn D  f  x  dx    2 x 2  x  1 dx  2 x3 x 2   xC . 3 2 2 Câu 87: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Tích phân x 2 0 A. 1 7 log . 2 3 B. ln 7 . 3 C. 1 7 ln . 2 3 x dx bằng 3 D. 1 3 ln . 2 7 D. x Lời giải Chọn C 2 2 2 1 x 1 1 1 7 dx   2 d  x 2  3  ln x 2  3  ln . Ta có:  2 x 3 2 0 x 3 2 2 3 0 0 Câu 88: (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Tìm A. 1 x 2 dx  1 C . x B. 1 x 2 1 x 2 dx . 1 1 1 dx    C . C.  2 dx  C . x x 2x Lời giải 1 2 dx  ln x 2  C . Chọn B 1 1  x 2 dx   x  C . Câu 89: (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục trên đoạn  a; b  và nhận giá trị bất kỳ. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng x  a; x  b được tính theo công thức b A. S    f  x   g  x   dx . a b C. S   f  x   g  x  dx . a b B. S    g  x   f  x   dx . a b D. S    f  x   g  x   dx . a Lời giải Chọn C b Theo lý thuyết thì diện tích được tính theo công thức S   f  x   g  x  dx a Câu 90: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) 1 và F  0   2 thì F 1 bằng. x 1 A. ln 2 . B. 2  ln 2 . Biết F  x  là một nguyên hàm của f  x  D. 4 . C. 3 . Lời giải Chọn B 1 dx  ln x  1  C mà F  0   2 nên F  x   ln x  1  2 . x 1 Do đó F 1  2  ln 2 . F  x   Câu 91: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Họ nguyên hàm của hàm số 2 f  x   3x  sin x là A. x3  cos x  C . B. x3  sin x  C . C. x3  cos x  C . Lời giải D. 3 x 3  sin x  C . Chọn C Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  sin x là x3  cos x  C . Câu 92: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  a; b và F  x  là một nguyên hàm của f  x  . Tìm khẳng định sai. b A. a  f  x  dx  F  a   F  b  . B. a b C. a a b  f  x  dx    f  x  dx . a  f  x  dx  0 . D. b  f  x  dx  F  b   F  a  . a Lời giải Chọn A Định nghĩa và tính chất của tích phân. Câu 93: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Đồ thị cho bởi hình bên là của hàm số nào? A. y  log 2 x  1 . B. y  log 3  x  1 . C. y  log 3 x . Lời giải Chọn B D. y  log 2  x  1 . Dựa vào đồ thị ta thấy khi x  0 thì y  0 và khi x  2 thì y  1 . Nên ta thấy đáp án B thỏa mãn. 2018 Câu 94: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Tích phân I   2 x dx bằng 0 A. 22018  1 . B. 2 2018 1 . ln 2 2018 C. 2 . ln 2 D. 22018 . Lời giải Chọn D 2018 I 2018 2x 2 dx  ln 2 0 x  0  22018  1 . ln 2 Câu 95: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  xe x , y  0 , x  0 , x  1 xung quanh trục Ox là 1 1 A. V   x 2e 2 x dx . 0 B. V    xe x dx . 0 1 C. V    x 2 e 2 x dx . 0 1 D. V    x 2 e x dx . 0 Lời giải Chọn C Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi y  f  x  , y  0 , x  a , x  b ( a  b ) xác định bởi: b V    f 2  x  dx . a 1 Vậy, V    x 2e 2 x dx . 0 Câu 96: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Tất cả nguyên hàm của hàm số 1 là f  x  2x  3 1 1 1 A. ln  2 x  3  C . B. ln 2 x  3  C . C. ln 2 x  3  C . D. ln 2 x  3  C . 2 2 ln 2 Lời giải Chọn B 1 1 Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng:  f  x  dx   dx  ln 2 x  3  C . 2x  3 2 Câu 97: (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018) Diện tích của hình phẳng  H  được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  (phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức: b c A. S   f  x  dx . a a b C. S   b B. S    f  x  dx   f  x  dx . c c f  x  dx . b D. S   f  x  dx   f  x  dx . a a c Lời giải Chọn B Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có: b c b c b S   f  x  dx    0  f  x   dx    f  x   0  dx    f  x  dx   f  x  dx . a a c a c Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Mệnh đề nào sau đây sai?  f  x  dx  F  x   C thì  f  u  du  F  u   C . B.  kf  x  dx  k  f  x  dx ( k là hằng số và k  0 ). A. Nếu C. Nếu F  x  và G  x  đều là nguyên hàm của hàm số f  x  thì F  x   G  x  . D.   f  x   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . 1 2 1 2 Lời giải Chọn C Mệnh đề C sai, ví dụ f  x   1 thì F  x   x và G  x   x  1 cũng đều là nguyên hàm của hàm số f  x  mà F  x   G  x  . Câu 2: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  . Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đường cong y  f  x  , trục hoành và các đường thẳng x  a , x  b  a  b được xác định bởi công thức nào sau đây? a a A. S   f  x  dx . B. S   a f  x  dx . b b b C. S   f  x  dx . D. S   f  x  dx . b a Lời giải Chọn D b Diện tích hình phẳng S là: S   f  x  dx . a Câu 3: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x  sin 2 x là A. x2  cos 2 x  C . 2 B. x2 1 x2 1 1  cos 2 x  C . C. x 2  cos 2 x  C . D.  cos 2 x  C . 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn B Ta có:  f  x  dx    x  sin 2 x  dx  x2 1  cos 2 x  C . 2 2 Câu 4: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ trên khoảng K . Khẳng định nào sau đây sai? a A.  b f  x  dx  1 . B. a C.  b b a c b a f  x  dx    f  x  dx . b b  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx, c   a; b  . D.  f  x  dx   f  t  dt . a c a a Lời giải Chọn A a Ta có:  f  x  dx  F  a   F  a   0 . a a Câu 5: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e x 1  e x  . x x  f  x  dx  e  1  C . C.  f  x  dx  e  x  C .  f  x  dx  e D.  f  x  dx  e A. B. x x  xC . C . Lời giải Chọn B  f  x  dx    e Ta có: x  1 dx  e x  x  C . Câu 6: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x  cos x . A. C. x2  sin x  C . 2  f  x  dx   f  x  dx  x sin x  cos x  C . B.  f  x  dx  1  sin x  C . D.  f  x  dx  x2  sin x  C . 2 Lời giải Chọn A  f  x  dx    x  cos x  dx  x2  sin x  C . 2 Câu 7: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho hình phẳng  H  giới 1 và các đường thẳng y  0 , x  1 , x  4 . Thể tích V của khối tròn x xoay sinh ra khi cho hình phẳng  H  quay quanh trục Ox . hạn bởi đồ thị hàm số y  A. 2 ln 2 . B. 3 . 4 3 1 . 4 Lời giải D. 2 ln 2 . C. Chọn B Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng  H  quay quanh trục Ox là 4 2 4  1 1  1  3 . V      dx           1  x 4  x 1  4  1 Câu 8: (THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e x 1  e  x  .  f  x  dx  e C.  f  x  dx  e A. x x  C . B.  f  x  dx  e x  e x  C .  xC. D. Lời giải Chọn B Ta có  f  x  dx    e x  1 dx  e x  x  C .  f  x  dx  e x C. Câu 9: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Họ nguyên hàm của hàm số y  sin 2 x là 1 A.  cos 2 x  C . 2 1 B.  cos 2 x . 2 C.  cos 2x  C . D. 1 cos 2 x  C . 2 Lời giải Chọn D 1 1 1 Ta có  sin 2 xdx   sin 2 x d  2 x    sin 2 xd  2 x   cos 2 x  C . 2 2 2 Câu 10: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên [a; b ] . Diện tích hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a ; x  b được tính theo công thức: b b A. S   f  x  dx . 1 2 1 B. S     f  x   dx . C. S   f  x  dx . a a D. S    f  x  dx . 0 0 Lời giải Chọn C Theo công thức ta có phương án C. Câu 11: (SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hai hàm số f  x  và g  x  liên tục trên K , a, b  K . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? b A. b a a b C. b b b   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . B.  kf  x  dx  k  f  x  dx .  a b a a b f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx . a a b D. a b b   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . a a a Hướng dẫn giải Chọn C Câu 12: (SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   e 2 x 3 là 1 2 x 3 C . B.  f  x  dx  e 1 2 x 3 C . D.  f  x  dx  2e A.  f  x  dx  3 e C.  f  x  dx  2 e 2 x3 C . 2 x 3 C. Hướng dẫn giải Chọn C Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản ta được: 1  f  x  dx  2 e 2 x 3 C . 1 Câu 13: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho  2 f  x  dx  2 , 0 1 2 đó  f  x  dx  ? 0 A. 6 . B. 2 . C. 1 . Lời giải  f  x  dx  4 , khi D. 3 . Chọn A 2  0 1 2 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  6 . 0 1 Câu 14: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   1 x2 là: A. ln x  2  C . B. 1 C. ln  x  2   C . ln x  2  C . 2 Lời giải D. 1 ln  x  2   C . 2 Chọn A Câu 15: (THPT Chu Văn An – Hà Nội – năm 2017-2018) Nguyên hàm I   1 A.  ln 2 x  1  C . 2 B.  ln 2 x  1  C . C. 1 ln 2 x  1  C . 2 1 dx bằng: 2x 1 D. ln 2 x  1  C . Lời giải Chọn C 1 1 dx  ln ax  b  C ta được đáp án C . ax  1 a Câu 16: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  Áp dụng công thức I   liên tục trên đoạn  a; b  . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  . Diện tích hình D được tính theo công thức b b b A. S   f  x  dx . a B. S   f x dx . C. S   f  x  dx . a a b D. S   f  x  dx . a Hướng dẫn giải Chọn A Câu 17: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – năm 2017-2018) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   cos 2 x là A.  cos 2 x dx  2sin 2 x  C . 1 B.  cos 2 x dx   sin 2 x  C . 2 C.  cos 2 x dx  sin 2 x  C . 1 D.  cos 2 x dx  sin 2 x  C . 2 Hướng dẫn giải Chọn D 1  cos 2 x dx  2 sin 2 x  C . 2 Câu 18: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – năm 2017-2018) Cho  f  x  dx  2 1 2 2  g  x  dx  1 . Tính I    x  2 f  x   3g  x  dx bằng 1 1 và A. I  11 . 2 B. I  7 . 2 17 . 2 Hướng dẫn giải C. I  D. I  5 . 2 Chọn D Ta có: I  2 2 x2 2 3 5  2  f  x  dx  3  g  x  dx   4  3  . 2 1 1 2 2 1 Câu 19: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 – năm 2017-2018) Mệnh đề nào sau đây sai?   f x   g x  dx   f x dx   g x dx , với mọi hàm số f x , g x  liên tục trên  . B.  f  x dx  f x   C với mọi hàm số f x  có đạo hàm trên  . C.   f x   g x  dx   f x dx   g x dx , với mọi hàm số f x , g x  liên tục trên  .   D.  kf x dx  k  f x dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f x  liên tục trên  . A. Lời giải Chọn D  kf x dx  k  f x dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f x  liên tục trên là mệnh đề sai vì khi k  0 thì  kf x dx  k  f x dx . Mệnh đề:   3 Câu 20: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 – năm 2017-2018) Tích phân f  x    cos xdx bằng 0 A. 1 . 2 3 . 2 B. C.  3 . 2 D.  1 . 2 Lời giải Chọn B  3  I   cos xdx  sin x 03  0 3 . 2 Câu 21: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 – năm 2017-2018) Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 1 1 A.  B.  dx   4.ln C . dx   .ln 1  4 x  C . 1  4x 1 4x 1 4x 4 C. 1  1  4 x dx  ln 1  4 x  C . D. 1 1  1  4 x dx   4 .ln 8x  2  C . Lời giải Chọn B 1 1 1 1  1  4 x dx   4  1  4 x d 1  4 x    4 .ln 1  4 x  C . Câu 22: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh – năm 2017-2018) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  3 z  5  0 . Tính z1  z2 A. 3 . B. 3 . 2 C. 5 . D. 3. Hướng dẫn giải Chọn A Theo định lý vi-et ta có z1  z2  3  z1  z2  3  3 . Câu 23: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An – năm 2017-2018) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e x và các đường thẳng y  0 , x  0 và x  1 được tính bởi công thức nào sau đây? 1 1 1 2 A. V   e 2 x dx . 0 1 2 B. V    e x dx . C. V   e x dx . 0 D. V    e 2 x dx . 0 0 Lời giải Chọn D 1 1 2 Thể tích khối tròn xoay cần tìm là: V  π   e x  dx  π  e 2 x dx . 0 Câu 24: (THPT Đặng Thúc Hứa 0 – Nghệ An – năm 2017-2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  2x  3 2 A.  f  x  dx  3 x C.  f  x  dx  3  2 x  3  2x  3  C . 2 2x  3  C . 1 B.  f  x  dx  3  2 x  3  D.  f  x  dx  2x  3  C . 2x  3  C . Lời giải Chọn B Xét I     2 x  3 dx . 2 x  3  t  t 2  2 x  3  2tdt  2dx . 3 1 1 1 2 x  3  C   f  x  dx   2 x  3  2 x  3  C . I   t.tdt   t 2 dt  t 3  C  3 3 3 Đặt     Câu 25: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos  3 x    f  x  dx  3sin  3x  6   C . C.  f  x  dx  6sin  3x  6   C .  6  A.   .    1   B.  f  x  dx   3 sin  3x  6   C . D.  f  x  dx  3 sin  3x  6   C .   1    Câu 26: Cho a   1; 2; 3 , b   2; 1; 0  , với c  2a  b thì tọa độ của c là A.  1; 3; 5  . B.  4; 1; 3 . Câu 27: Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   x 2  3 x  A. F  x   2 x  3  1 C . x2 C.  4; 3; 6  . D.  4; 3; 3 . 1 là: x B. F  x   x3 3 2  x  ln x  C . 3 2 C. F  x   x3 3 2  x  ln x  C . 3 2 D. F  x     Câu 28: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos  3 x    f  x  dx  3sin  3x  6   C . C.  f  x  dx  6sin  3x  6   C .   . 6  A. x3 3 2  x  ln x  C . 3 2  1   B.  f  x  dx   3 sin  3x  6   C . D.  f  x  dx  3 sin  3x  6   C . 1   Lời giải Chọn D 1 Áp dụng công thức:  cos  ax  b  dx  sin  ax  b   C . a       Câu 29: Cho a   1; 2; 3 , b   2; 1; 0  , với c  2a  b thì tọa độ của c là A.  1; 3; 5  . B.  4; 1; 3 . C.  4; 3; 6  . D.  4; 3; 3 . Lời giải Chọn C      Ta có: 2a   2; 4; 6  , b   2; 1; 0  nên c  2a  b   4; 3; 6  . Câu 30: Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   x 2  3 x  A. F  x   2 x  3  C. F  x   1 là: x x3 3 2  x  ln x  C . 3 2 x3 3 D. F  x    x 2  ln x  C . 3 2 1 C . x2 B. F  x   x3 3 2  x  ln x  C . 3 2 Lời giải Chọn B 1 x3 3x 2  Ta có   x 2  3x   dx    ln x  C . x 3 2  Câu 31: Cho f  x  là hàm số liên tục trên đoạn  a; b và c   a; b . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. c A.  a b C. b a f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . c b c c  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . a a c Câu 32: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   tan 2 2 x  1  A.   tan 2 2 x   dx  2 tan 2 x  2 x  C . 2  b B.  a b D. c b f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . a c a b  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . a c c 1 . 2 1 x  B.   tan 2 2 x   dx  tan 2 x   C . 2 2  1 tan 2 x x  D.   tan 2 2 x   dx   C. 2 2 2  1  C.   tan 2 2 x   dx  tan 2 x  x  C . 2  Câu 33: Cho f  x  là hàm số liên tục trên đoạn  a; b và c   a; b . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. c A.  a b b C.  a a b f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . c b c c B. a D. c  a b a c a b b f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . a  c f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . c c Lời giải Chọn D b a b  f  x  dx   f  x  dx  F  b   F  a   F  a   F  c   F  b   F  c    f  x  dx . a c c Câu 34: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   tan 2 2 x  1  A.   tan 2 2 x   dx  2 tan 2 x  2 x  C . 2  1  C.   tan 2 2 x   dx  tan 2 x  x  C . 2  1 . 2 1 x  B.   tan 2 2 x   dx  tan 2 x   C . 2 2  1 tan 2 x x  D.   tan 2 2 x   dx   C. 2 2 2  Lời giải Chọn D 1 1 tan 2 x x  1  Ta có:   tan 2 2 x   dx      dx   C. 2 2 2 2   cos 2 x 2  Câu 35: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x  x  1 . A. x  x  1  C . C. x3  x 2  C . B. 2 x  1  C . D. x3 x 2  C. 3 2 Lời giải Chọn D I   f  x  dx   x  x  1 dx    x 2  x  dx  x3 x2  C . 3 2 Câu 36: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị y  f   x  như hình vẽ và f   x   0 x   ; 3, 4    9;   . Đặt g  x   f  x   mx  5 với m   . Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số y  g  x  có đúng hai điểm cực trị? A. 8 . B. 11. C. 9 . Lời giải D. 10 . Chọn C Ta có g   x   f   x   m . Suy ra: g   x   0  f   x   m . Do đó: Số nghiệm của phương trình g   x   0 tương đương với số giao điểm của đồ thị hàm số f   x  và đường thẳng y  m . Nhận xét: Hàm số y  g  x  có đúng hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình g   x   0 có số nghiệm lớn hơn bằng 2 , trong đó có đúng 2 nghiệm đơn. m  5 Dựa vào đồ thị và các lập luận trên, suy ra  , 10  m  13 mà m   nên m  0;1; 2;3; 4;5;10;11;12 . Vậy có 9 giá trị m thỏa mãn. Câu 37: Cho hai hàm số y  f  x  và y  g  x  liên tục trên đoạn  a; b . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  và hai đường thẳng x  a , x  b  a  b diện tích của D được theo công thức b b b A. S   f  x  dx   g  x  dx . a B. a a a C.   f  x   g  x  dx . b f  x   g  x  dx . D. b   f  x   g  x   dx . a  4   Câu 38: Tích phân  cos   x  dx bằng. 2  0 A. 1 2 . 2 B. 1  2 . C. 2 1 . 2 D. 2 1. 3 Câu 39: Họ nguyên hàm của hàm số f  x    x  1 là A. 1 4  x  1  C . 4 B. 1 3  x  1  C . 4 C. 3  x  1  C . 4 D. 4  x  1  C . Câu 40: Cho hai hàm số y  f  x  và y  g  x  liên tục trên đoạn  a; b . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  và hai đường thẳng x  a , x  b  a  b diện tích của D được theo công thức b b b A. S   f  x  dx   g  x  dx . a B. a  f  x   g  x  dx . a a C.  b f  x   g  x  dx . D. b   f  x   g  x   dx . a Lời giải Chọn C Theo công thức tính diện tích hình phẳng kết hợp với điều kiện a  b , vậy a là cận trên và b a là cận dưới  Diện tích S   f  x   g  x  dx . b  4   Câu 41: Tích phân  cos   x  dx bằng. 2  0 A. 1 2 . 2 B. 1  2 . C. 2 1 . 2 D. 2 1. Lời giải Chọn C   4 4  2 1   Ta có:  cos   x  dx   sin xdx   cos x 04  . 2 2  0 0 3 Câu 42: Họ nguyên hàm của hàm số f  x    x  1 là A. 1 4  x  1  C . 4 B. 1 3  x  1  C . 4 C. 3  x  1  C . 4 D. 4  x  1  C . Lời giải Chọn A Ta có   x  1 3 2 Câu 43: Tích phân I  4 4 C. 1 dx bằng x2 2 0 A. I  1   x  1 dx  1 . 2 B. I  2 2 . Câu 44: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   A. C. 1 ln 2 x  1  sin x  C . 2 1 2  2 x  1 2  sin x  C . C. I  2  1 . 2 D. I  2  2 . 1  cos x là: 2x  1 B. 1 ln 2 x  1  sin x  C . 2 D. ln 2 x  1  sin x  C . Câu 45: Cho hai hàm số f  x  và g  x  liên tục trên đoạn  a; b . Gọi  H  là hình phẳng giời hạn bởi  a  b  . Khi đó, diện tích hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng x  a , x  b S của  H  được tính bằng công thức: b b A. S    f  x   g  x   dx . B. S   f  x   g  x  dx . a b a b b C. S   f  x  dx   g  x  dx . a 2 Câu 46: Tích phân I  a 1 dx bằng x2 2 0 A. I  1  D. S    g  x   f  x   dx . a 1 . 2 B. I  2 2 . C. I  2  1 . 2 D. I  2  2 . Lời giải Chọn D 2 Ta có : I   0 2 1 dx  x  2  2  2 . 0 2 x2 Câu 47: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   A. C. 1 ln 2 x  1  sin x  C . 2 1 2  2 x  1 2  sin x  C . 1  cos x là: 2x  1 1 ln 2 x  1  sin x  C . 2 B. D. ln 2 x  1  sin x  C . Lời giải Chọn A 1  1  Áp dụng công thức cơ bản của nguyên hàm ta có:    cos x  dx  ln 2 x  1  sin x  C . 2  2x 1  Câu 48: Cho hai hàm số f  x  và g  x  liên tục trên đoạn  a; b . Gọi  H  là hình phẳng giời hạn bởi  a  b  . Khi đó, diện tích hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng x  a , x  b tính bằng công thức: b b A. S    f  x   g  x   dx . a b a b C. S   f  x  dx   g  x  dx . a B. S   f  x   g  x  dx . b D. S    g  x   f  x   dx . a a Lời giải Chọn B b Áp dụng công thức diện tích hình phẳng ta có S   f  x   g  x  dx . a S của  H  được Câu 49: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng K và a, b, c  K . Mệnh đề nào sau đây sai? b A.  a b c b C. c a b f  x  dx   f  t  dt . a a  f  x  dx    f  x  d x .  f  x  dx  0 . D. b a 4 4  f  x  dx  2 ;  f  x  dx  3 ;  g  x  dx  7 . Mệnh đề nào sau đây sai? 1 1 1 8 C.  a 8 A. B. a a Câu 50: Biết b f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . 4  f  x  dx  1 . B.   f  x   g  x  dx  10 . 4 1 8 4  f  x  dx  5 . D. 4  4 f  x   2 g  x  dx  2 . 1 Câu 51: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2  x 2 và y  x bằng A. 11 . 6 B. 3 . 9 . 2 C. D. 3 . 2 Câu 52: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng K và a, b, c  K . Mệnh đề nào sau đây sai? b A.  a b c b C. c b f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . B.  a a a a a  f  x  dx    f  x  d x . a b f  x  dx   f  t  dt .  f  x  dx  0 . D. b a Lời giải Chọn A b Mệnh đề đúng là:  a 8 Câu 53: Biết c b 4 f  x  dx  2 ;  1 c f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx .  a 4 f  x  dx  3 ; 1  g  x  dx  7 . Mệnh đề nào sau đây sai? 1 8 A.  4 f  x  dx  1 . B.   f  x   g  x  dx  10 . 4 1 8 C.  4 f  x  dx  5 . D. 4  4 f  x   2 g  x  dx  2 . 1 Lời giải Chọn A 8 Ta có  4 8 4 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2  3  5 1 1 Câu 54: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2  x 2 và y  x bằng A. 11 . 6 B. 3 . C. Lời giải Chọn C 9 . 2 D. 3 . 2 Giao của hai đồ thị 2  x 2  x  x  1; x  2 1 9 2 Diện tích cần tính S   2  x 2  x dx  . 2 Câu 55: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b . Mệnh đề nào dưới đây sai? b A. b  f  x  dx   f  t  dt . a a b B.  a a f  x  dx    f  x  dx . b b C.  kdx  k  a  b  , k   . a b D.  a c b f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx , c   a; b  . a c Câu 56: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b . Mệnh đề nào dưới đây sai? b A.  a b f  x  dx   f  t  dt . a b B.  a a f  x  dx    f  x  dx . b b C.  kdx  k  a  b  , k   . a b D. c b  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx , c   a; b  . a a c Lời giải Chọn C b b Ta có:  kdx  kx a  kb  ka  k  b  a  . a Câu 57: Giả sử F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   nào sau đây đúng? 1 A. F  x   ln  3 x  1  C. 3 C. F  x   ln 3x  1  C. 1 1  trên khoảng  ;   Mệnh đề 3x  1 3  1 B. F  x   ln  3 x  1  C. 3 D. F  x   ln  3x  1  C. Câu 58: Cho hình phẳng  D  được giới hạn bởi các đường x  0 , x   , y  0 và y   sin x . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay  D  xung quanh trục Ox được tính theo công thức   A. V    sin x dx . B. V    sin 2 xdx . 0  C. V      sin x  dx . 0 0  D. V   sin 2 xdx . 0 Câu 59: Giả sử F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   nào sau đây đúng? 1 A. F  x   ln  3x  1  C. 3 C. F  x   ln 3x  1  C. 1 trên khoảng 3x  1 1   ;   Mệnh đề 3  1 B. F  x   ln  3x  1  C. 3 D. F  x   ln  3x  1  C. Lời giải Chọn B F  x   1 1 1 1  dx  ln 3 x  1  C  ln  3 x  1  C (do x   ;   nên 3 x  1  0 ). 3 3x  1 3 3  Câu 60: Cho hình phẳng  D  được giới hạn bởi các đường x  0 , x   , y  0 và y   sin x . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay  D  xung quanh trục Ox được tính theo công thức   A. V    sin x dx . B. V    sin 2 xdx . 0 0  C. V    D. V   sin 2 xdx .    sin x  dx . 0 0 Lời giải Chọn B  Ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là V    sin 2 xdx . 0 Câu 61: Cho miền phẳng  D  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x , hai đường thẳng x  1 , x  2 và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay  D  quanh trục hoành. A. 3 . 2 B. 3 . 1 Câu 62: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có   Câu 63: Cho hàm số f  x   4 x 3  2 x  1 . Tìm 4 4 0 C. I  36 . D. I  4 .  f  x  dx . 2  f  x  dx  12 x  2 x  x  C . C.  f  x  dx  x  x  x  C . A. 3 f  x  dx  6 . Tính I   f  x  dx . 1 B. I  12 . 2 . 3 D. 3 f  x  dx  2 ; 0 A. I  8 . 3 . 2 C.  f  x  dx  12 x D.  f  x  dx  12 x B. 2 Câu 64: Cho miền phẳng  D  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2 2. 2 2C . x , hai đường thẳng x  1 , x  2 và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay  D  quanh trục hoành. A. 3 . 2 B. 3 . C. 3 . 2 D. 2 . 3 Lời giải Chọn A 2 Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay  D  quanh trục hoành: V    1  x  dx  32 . 2 1 Câu 65: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có   0 A. I  8 . 3 3 f  x  dx  2 ; B. I  12 . f  x  dx  6 . Tính I   f  x  dx . 0 1 C. I  36 . Lời giải D. I  4 . Chọn A 3 1 3 I   f  x  d x   f  x  dx   f  x  dx  2  6  8 . 0 0 1 Câu 66: Cho hàm số f  x   4 x 3  2 x  1 . Tìm 4  f  x  dx . 2  f  x  dx  12 x  2 x  x  C . C.  f  x  dx  x  x  x  C . A. 4 2  f  x  dx  12 x D.  f  x  dx  12 x B. 2 2. 2 2C . Lời giải Chọn C Theo công thức nguyên hàm. Câu 67: Cho hàm số y  f  x  và y  g  x  liên tục trên đoạn  a; b . Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  f  x  , y  g  x  và hai đường thẳng x  a , x  b  a  b được tính theo công thức: b b A. S    f  x   g  x   dx . B. S     f  x   g  x   dx . a a b b C. S   f  x   g  x  dx . D. S    f  x   g  x   dx . a a Câu 68: Cho hàm số y  f  x  và y  g  x  liên tục trên đoạn  a; b . Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  f  x  , y  g  x  và hai đường thẳng x  a , x  b  a  b được tính theo công thức: b b A. S    f  x   g  x   dx . B. S     f  x   g  x   dx . a a b b C. S   f  x   g  x  dx . D. S    f  x   g  x   dx . a a Lời giải Chọn C Câu 69: . Một vật chuyển động với vận tốc v  t   1  2sin 2t  m/s  . Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t  0  s  đến thời điểm t  A. 3 m . 4 B. 3  1 m  . 4 Câu 70: . Giá trị lớn nhất của hàm số y  A. 1 . 3 B. 5 . C.  4 3 s 4  2  m . D. 3  1 m  . 4 D. 1 . 3 3x  1 trên  0; 2 là x 3 C. 5 . e Câu 71: Tính 2 x ln xdx 1 2e3  1 . 9 A. B. 2e3  1 . 9 e3  2 . 9 C. D. e3  2 . 9 Câu 72: Một vật chuyển động với vận tốc v  t   1  2sin 2t  m/s  . Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t  0  s  đến thời điểm t  A. 3 m . 4 B. 3  1 m  . 4  C. 4 3  s  là 4  2  m . D. 3  1 m  . 4 D. 1 . 3 D. e3  2 . 9 Lời giải Chọn B. 3 4 3 4  v  t  dt   1  2sin 2t  dt Ta có s  0 3 0 Câu 73: Giá trị lớn nhất của hàm số y  A. 1 . 3   t  cos 2t  04  3  1. 4 3x  1 trên  0; 2 là x 3 B. 5 . C. 5 . Lời giải Chọn D Ta có y ‘  8  x  3 2 1  0 , x  3  max y  y  0   . 0;2 3 e Câu 74: Tính x 2 ln xdx 1 A. 2e3  1 . 9 B. 2e3  1 . 9 C. e3  2 . 9 Lời giải Chọn A x3 1 dx , dv  x 2 dx  v  x 3 Đặt u  ln x  du  e 2  x ln xdx  Suy ra 1 Câu 75: Cho  b a e e e e3  e3 1  2e3  1 x3 1 e3 x 3 .      ln x   x 2 dx   9 3 9 9 3 3 3 9   1 1 1 f   x  dx  7 và f  b   5 . Khi đó f  a  bằng A. 12 . B. 0 . C. 2 . D. 2 . Câu 76: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x.ln x , trục hoành và hai đường thẳng x  1 ; x  2 . Thể tích vật thể tròn xoay sinh bới  H  khi nó quay quanh trục hoành có thể tích V được xác định bởi 2 2 2 B. V    x.ln x  dx . A. V     x.ln x  dx . 1 1 2 2 2 C. V    x.ln x  dx . D. V     x.ln x  dx . 1 Câu 77: Cho  b a 1 f   x  dx  7 và f  b   5 . Khi đó f  a  bằng A. 12 . B. 0 . C. 2 . D. 2 . Lời giải Chọn D  b a f   x  dx  7  f  b   f  a   7  f  a   f  b   7  2 . Câu 78: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x.ln x , trục hoành và hai đường thẳng x  1 ; x  2 . Thể tích vật thể tròn xoay sinh bới  H  khi nó quay quanh trục hoành có thể tích V được xác định bởi 2 2 2 B. V    x.ln x  dx . A. V     x.ln x  dx . 1 1 2 2 2 C. V    x.ln x  dx . D. V     x.ln x  dx . 1 1 Lời giải Chọn A  y  x.ln x  Thể tích vật thể tròn xoay sinh bới  H  :  y  0 khi nó quay quanh trục hoành có thể tích  x  1; x  2  2 2 V được xác định bởi V     x.ln x  dx . 1 Câu 79: Trong không gian Oxyz , cho vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng  P  ,  Q  vuông góc với trục Ox lần lượt tại x  a , x  b  a  b  . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x ,  a  x  b  cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là S  x  với y  S  x  là hàm số liên tục trên  a; b . Thể tích V của thể tích đó được tính theo công thức z S(x) O y a b A. V   S a x b 2  x  dx . B. V  π  S b x b 2  x  dx . a Câu 80: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x  x 2018 là C. V  π  S  x  dx . a b D. V   S  x  dx . a x 2019 C. 673 1 x 2019 C.  C . x 673 A. B. 2 x3  x 0 Câu 81: Tích phân  1 D. 1 2 x x 2019 C . 2019  6054 x 2017  C . 1 dx bằng 1 2x A. 1  3 . 3 1. B. C. 3  1. D.  3  1 . Câu 82: Trong không gian Oxyz , cho vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng  P  ,  Q  vuông góc với trục Ox lần lượt tại x  a , x  b  a  b  . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x ,  a  x  b  cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là S  x  với y  S  x  là hàm số liên tục trên  a; b . Thể tích V của thể tích đó được tính theo công thức z S(x) O y x a b b b A. V   S 2  x  dx . a B. V  π  S x b 2  x  dx . a b C. V  π  S  x  dx . a D. V   S  x  dx . a Hướng dẫn giải Chọn D b Theo định nghĩa ta có: V   S  x  dx a Câu 83: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x  x 2018 là x 2019 C. 673 1 x 2019 C.  C . x 673 A. B. 2 x3  x D. 1 2 x Hướng dẫn giải x 2019 C . 2019  6054 x 2017  C . Chọn B Ta có: 3  3 x  x 2018 0 Câu 84: Tích phân  1 A. 1  3 . Chọn B   1  x 2 x 2019 x 2019  C  2 x3  C . dx    3 x 2  x 2018  dx  3.  3 2019 2019   2 1 dx bằng 1 2x B. C. 3 1. Hướng dẫn giải 3  1. D.  3  1 . 0 0 0 0 1 1 1 1 dx    d 1  2 x    .2 1  2 x   1 2x  1  3 . 1 1 2 1 1  2 x 2 1 2x  1 Câu 85: Nguyên hàm của hàm số f  x   sin x  cos x là A. sin x  cot x  C . B. sin x  cos x  C . C. sin x  cos x  C . D. cos x  sin x  C . B. sin x  cos x  C . C. sin x  cos x  C . Hướng dẫn giải D. cos x  sin x  C . Câu 86: Nguyên hàm của hàm số f  x   sin x  cos x là A. sin x  cot x  C . Chọn C Ta có   sin x  cos x  dx   cos x  sin x  C . 1 Câu 87: Tích phân  2 x  1dx có giá trị bằng 0 2 A. 3 3  . 3 B. 2 Câu 88: Cho  3 3 1 . 3 C. S . 3 f  x  dx  1 và 1  3 D. 3 3  . 2 3 f  x  dx  2 . Giá trị của 2  f  x  dx bằng 1 A. 1. B. 3 . C. 1 . D. 3 . 1 là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? x 1 1 A. y  ln x  1 . B. y  ln 2 x  2 . 2 x 1 1 1 1 C. y  ln 2 x  . D. y   2 . 2 x x x Câu 89: Hàm số y  ln x  1 Câu 90: Tích phân  2 x  1dx có giá trị bằng 0 2 A. 3 3  . 3 B. 3 3 1 . 3 C. S . 3 D. 3 3  . 2 Lời giải Chọn B 1 Ta có  2 x  1dx   2 x  1 3 1 2  3 0 33  13 3 3  1 .  3 3 0 2 Câu 91: Cho  3 f  x  dx  1 và 1  3 f  x  dx  2 . Giá trị của 2 1 A. 1. B. 3 . Chọn C 3  1 2 f  x  dx   1  f  x  dx bằng 3 f  x  dx   f  x  dx  1 . 2 C. 1 . Lời giải D. 3 . Câu 92: Hàm số y  ln x  A. y  ln x  1 . 1 là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? x 1 1 1 1 B. y  ln 2 x  2 . C. y  ln 2 x  . 2 x 2 x Lời giải D. y  1 1  . x x2 Chọn D Ta có: y  ln x  1 1 1  y   2 nên chọn đáp án D. x x x Câu 93: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  e 2 x là A. e x  C . B. ex  C. 2 C. e 2 x  C . D. e2 x C . 2 Câu 94: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b . Mệnh đề nào dưới đây sai? b A. a  f  x  dx   f  x  dx . a b C. b B. b  f  x  dx   f  t  dt . D. a b  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx , c   . a a b a c a c  f  x  dx  0 . a Câu 95: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  e 2 x là A. e x  C . B. ex  C. 2 C. e 2 x  C . D. e2 x C . 2 Hướng dẫn giải Chọn D 1 2x e C . 2 Câu 96: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b . Mệnh đề nào dưới đây sai? e 2x dx  b A.  a a b C. b f  x  dx    f  x  dx . B. b a b b a c a  f  x  dx   f  t  dt . a  c f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx , c   . D. a  f  x  dx  0 . a Hướng dẫn giải Chọn B B sai vì c phải thỏa điều kiện a  c  b . Câu 97: Công thức nào sau đây sai? A.  cos xdx  sin x  C . C.  e xdx  e x  C . B.  tan xdx   cot x  C . D.  sin xdx   cos x  C . 1 Câu 98: Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;1 và f 1  f  0   2 . Tính tích phân  f   x  dx . 0 A. I  1 . B. I  1 . Câu 99: Công thức nào sau đây sai? A.  cos xdx  sin x  C . C.  e xdx  e x  C . C. I  2 . D. I  0 . B.  tan xdx   cot x  C . D.  sin xdx   cos x  C . Lời giải Chọn B Vì  tan xdx   sin x 1 dx    d  cos x    ln cos x  C . cos x cos x 1 Câu 100: Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;1 và f 1  f  0   2 . Tính tích phân  f   x  dx . 0 A. I  1 . B. I  1 . C. I  2 . Lời giải D. I  0 . Chọn C 1 Ta có: 1  f   x  dx  f  x  0  f 1  f  0   2 . 0 Câu 101: Mệnh đề nào sau đây sai?   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với mọi hàm số f  x  ; g  x  liên tục trên  . B.  f   x  dx  f  x   C với mọi hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  . C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với mọi hàm số f  x  ; g  x  liên tục trên  . D.  kf  x  dx  k  f  x  dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f  x  liên tục trên  . A. Câu 102: Mệnh đề nào sau đây sai?   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với mọi hàm số f  x  ; g  x  liên tục trên  . B.  f   x  dx  f  x   C với mọi hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  . C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với mọi hàm số f  x  ; g  x  liên tục trên  . D.  kf  x  dx  k  f  x  dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f  x  liên tục trên  . A. Lời giải Chọn D k phải là hằng số khác 0 thì biểu thức này mới đúng. Khi ta có  kf  x  dx   0dx  C còn k  f  x  dx  0 . Câu 103: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3sin 2 x  2cos x  e x là A. 6 cos 2 x  2sin x  e x  C . 3 C. cos 2 x  2sin x  e x  C . 2 B. 6 cos 2 x  2 sin x  e x  C . 3 D. cos 2 x  2 sin x  e x  C . 2 Câu 104: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3sin 2 x  2cos x  e x là A. 6 cos 2 x  2sin x  e x  C . 3 C. cos 2 x  2sin x  e x  C . 2 B. 6 cos 2 x  2 sin x  e x  C . 3 D. cos 2 x  2 sin x  e x  C . 2 Lời giải Chọn D 3   3sin 2 x  2 cos x  e  dx  2 cos 2 x  2sin x  e x Câu 105: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  cos x là x C . A. e x  sin x  C . B. e x 1  sin x  C . x 1 C. e x  sin x  C . D. e x 1  sin x  C . x 1 Câu 106: Cắt một vật thể  bới hai mặt phẳng  P  và  Q  vuông góc với trục Ox lần lượt tại x  a và x  b  a  b  . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x  a  x  b  cắt  theo thiết diện có diện tích là S  x  . Giả sử S  x  liên tục trên đoạn  a; b . Khi đó phần vật thể  giới hạn bởi hai mặt phẳng  P  và  Q  có thể tích bằng b b A. V   S 2  x  dx . a b B. V  π  S  x  dx . a C. V   S  x  dx . a b D. V  π  S 2  x  dx . a Câu 107: Cho hàm số f  x  xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu hàm số F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K . B. Nếu f  x  liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K . C. Hàm số F  x  được gọi là một nguyên hàm của f  x  trên K nếu F   x   f  x  với mọi xK . D. Nếu hàm số F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì hàm số F   x  là một nguyên hàm của f  x  trên K . Câu 108: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  cos x là A. e x  sin x  C . B. e x 1  sin x  C . x 1 C. e x  sin x  C . D. e x 1  sin x  C . x 1 Lời giải Chọn C Ta có :  e x  cos x  dx  e x  sin x  C . Câu 109: Cắt một vật thể  bới hai mặt phẳng  P  và  Q  vuông góc với trục Ox lần lượt tại x  a và x  b  a  b  . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x  a  x  b  cắt  theo thiết diện có diện tích là S  x  . Giả sử S  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Khi đó phần vật thể  giới hạn bởi hai mặt phẳng  P  và  Q  có thể tích bằng b A. V   S 2  x  dx . a b b B. V  π  S  x  dx . a C. V   S  x  dx . a b D. V  π  S 2  x  dx . a Lời giải Chọn C Định nghĩa SGK. Câu 110: Cho hàm số f  x  xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu hàm số F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K . B. Nếu f  x  liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K . C. Hàm số F  x  được gọi là một nguyên hàm của f  x  trên K nếu F   x   f  x  với mọi xK . D. Nếu hàm số F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì hàm số F   x  là một nguyên hàm của f  x  trên K . Lời giải Chọn D Dựa theo định lí 1 trang 95 SGK 12 CB suy ra khẳng định A đúng. Dựa theo định lí 3 Sự tồn tại nguyên hàm trang 97 SGK 12 CB kết luận B đúng. Và C đúng dựa vào định nghĩa của nguyên hàm. Câu 111: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   sin x  cos x .  f  x  dx   sin x  cos x  C . C.  f  x  dx   sin x  cos x  C .  f  x  dx  sin x  cos x  C . D.  f  x  dx  sin x  cos x  C . A. B. Câu 112: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   sin x  cos x .  f  x  dx   sin x  cos x  C . C.  f  x  dx   sin x  cos x  C .  f  x  dx  sin x  cos x  C . D.  f  x  dx  sin x  cos x  C . A. B. Lời giải Chọn C Ta có:  f  x  dx    sin x  cos x  dx   sin x  cos x  C . Câu 113: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A.  0dx  C ( C là hằng số). C.   x dx  B. x 1  C ( C là hằng số).  1 1  x dx  ln x  C ( C là hằng số). D.  dx  x  C ( C là hằng số). Câu 114: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   cos  2 x  3 . 1 A.  f  x  dx   sin  2 x  3  C . B.  f  x  dx   2 sin  2 x  3  C . C.  f  x  dx  sin  2 x  3  C . D.  f  x  dx  2 sin  2 x  3  C . 1 b Câu 115: Giá trị nào của b để   2 x  6  dx  0 ? 1 A. b  0 hoặc b  3 . B. b  0 hoặc b  1 C. b  5 hoặc b  0 . D. b  1 hoặc b  5 . Câu 116: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A.  0dx  C ( C là hằng số). C.   x dx  x 1  C ( C là hằng số).  1 B. ( C là hằng số). D.  dx  x  C ( C là hằng số). Lời giải Chọn C 1  x dx  ln x  C Kết quả câu C không đúng với trường hợp   1 . Câu 117: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   cos  2 x  3 . 1 A.  f  x  dx   sin  2 x  3  C . B.  f  x  dx   2 sin  2 x  3  C . C.  f  x  dx  sin  2 x  3  C . D.  f  x  dx  2 sin  2 x  3  C . 1 Lời giải Chọn D 1  cos  2 x  3 dx  2 sin  2 x  3  C . b Câu 118: Giá trị nào của b để   2 x  6  dx  0 ? 1 A. b  0 hoặc b  3 . B. b  0 hoặc b  1 C. b  5 hoặc b  0 . Lời giải D. b  1 hoặc b  5 . Chọn D b Ta có   2 x  6  dx   x 2 b  6 x    b 2  6b   1  6   b 2  6b  5 . 1 1 b  1 Theo bài ra, có b 2  6b  5  0   . b  5 2 Câu 119: Tính tích phân I   4 x  1 dx . 0 A. 13 . B. 13 . 3 C. 4 . D. 4 . 3 C. 4 . D. 4 . 3 2 Câu 120: Tính tích phân I   4 x  1 dx . 0 A. 13 . B. 13 . 3 Lời giải Chọn B 2 Ta có I   0 2 4 x  1 dx    4 x  1 0 1 2 2 3 1 2 13 dx  .  4 x  1 2  . 3 4 3 0 Câu 121: Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục trên  a; b  đều có đạo hàm trên  a; b  . (2): Mọi hàm số liên tục trên  a; b  đều có nguyên hàm trên  a; b . (3): Mọi hàm số đạo hàm trên  a; b  đều có nguyên hàm trên  a; b . (4): Mọi hàm số liên tục trên  a; b  đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên  a; b  . A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Câu 122: Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f  x   x  1 trên  0;   . 23 2 x  x  1. 3 1 C. F  x   . 2 x 2 3 x  x  2. 3 1 D. F  x   x. 2 x A. F  x   B. F  x   Câu 123: Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục trên  a; b  đều có đạo hàm trên  a; b  . (2): Mọi hàm số liên tục trên  a; b  đều có nguyên hàm trên  a; b . (3): Mọi hàm số đạo hàm trên  a; b  đều có nguyên hàm trên  a; b . (4): Mọi hàm số liên tục trên  a; b  đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên  a; b  . A. 2 . B. 3 . C. 1. Hướng dẫn giải D. 4 . Chọn B Khẳng định (1): Sai, vì hàm số y  x liện tục trên  1;1 nhưng không có đạo hàm tại x  0 nên không thể có đạo hàm trên  1;1 Khẳng định (2): đúng vì mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b  . Khẳng định (3): Đúng vì mọi hàm số có đạo hàm trên  a; b thì đều liên tục trên  a; b nên đều có nguyên hàm trên  a; b  . Khẳng định (4): Đúng vì mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên  a; b . Câu 124: Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f  x   x  1 trên  0;   . 23 2 x  x  1. 3 1 C. F  x   . 2 x 2 3 x  x  2. 3 1 D. F  x   x. 2 x A. F  x   B. F  x   Hướng dẫn giải Chọn B 2 3 x  xC. 3 Câu 125: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   5x là Ta có : A.   x  1 dx  5x C. ln 5 B. 5 x ln 5  C . C. 5x 1 C. x 1 D. 5 x 1  C . C. 5x 1 C. x 1 D. 5 x 1  C . Câu 126: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   5x là A. 5x C. ln 5 B. 5 x ln 5  C . Lời giải Chọn A 5x C. ln 5 Câu 127: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a ; b  . Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị x  5 dx  hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b được tính theo công thức b A. S   f  x  dx . a a b B. S   f  x  dx . C. S   f  x  dx . b a a D. S    f  x  dx . b Câu 128: Cho F  x   cos 2 x  sin x  C là nguyên hàm của hàm số f  x  . Tính f  π  . A. f  π   3 . B. f  π   1 . C. f  π   1 . D. f  π   0 . Câu 129: Tính diện tích hình phẳng tạo thành bởi parabol y  x 2 , đường thẳng y   x  2 và trục hoành trên đoạn  0; 2 (phần gạch sọc trong hình vẽ) A. 3 . 5 B. 5 . 6 C. 2 . 3 D. 7 . 6 Câu 130: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a ; b  . Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b được tính theo công thức b A. S   f  x  dx . a a b B. S   f  x  dx . C. S   f  x  dx . b a a D. S    f  x  dx . b Lời giải Chọn C Câu 131: Cho F  x   cos 2 x  sin x  C là nguyên hàm của hàm số f  x  . Tính f  π  . A. f  π   3 . B. f  π   1 . C. f  π   1 . D. f  π   0 . Lời giải Chọn B Ta có: f  x   F   x   f  x   2sin 2 x  cos x Do đó: f  π   1 . . Câu 132: Tính diện tích hình phẳng tạo thành bởi parabol y  x 2 , đường thẳng y   x  2 và trục hoành trên đoạn  0; 2 (phần gạch sọc trong hình vẽ) A. 3 . 5 B. 5 . 6 C. 2 . 3 D. 7 . 6 Lời giải Chọn B 1 2 1 2  x2  x3 5 Ta có S   x dx     x  2  dx      2x   . 3 0  2 1 6 0 1 2 Câu 133: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b . Diện tích S của D được tính theo công thức b b b A. S   f 2  x  dx . B. S   f  x  dx . a C. S   b f  x  dx . a a D. S    f 2  x  dx . a Câu 134: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   cos x là A. tan x  C . B. cot x  C . C.  sin x  C . D. sin x  C . Câu 135: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b . Diện tích S của D được tính theo công thức b b b A. S   f 2  x  dx . B. S   f  x  dx . a C. S   b f  x  dx . a a D. S    f 2  x  dx . a Lời giải Chọn B Câu 136: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   cos x là A. tan x  C . B. cot x  C . C.  sin x  C . Lời giải D. sin x  C . Chọn D Ta có  cos xdx  sin x  C . Câu 137: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1; 2 . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  1 , x  2 . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức: 2 A. V  π  f 2  x  dx . 1 2 2 2 B. V  2π  f 2  x  dx . C. V  π 2  f 2  x  dx . D. V  π 2  f  x  dx . 1 1 1 2 Câu 138: Tích phân  2 xdx có giá trị là: 1 A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Câu 139: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos 5 x sin 5 x C . 5 C.  cos 5 xdx  5sin 5 x  C .  sin 5 x C. 5 D.  cos 5 xdx  sin 5 x  C . A.  cos 5 xdx  B.  cos 5 xdx  Câu 140: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1; 2 . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  1 , x  2 . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức: 2 2 A. V  π  f 2  x  dx . 2 2 B. V  2π  f 2  x  dx . C. V  π 2  f 2  x  dx . D. V  π 2  f  x  dx . 1 1 1 1 Hướng dẫn giải Chọn A 2 Câu 141: Tích phân  2 xdx có giá trị là: 1 A. 2 . B. 3 . C. 1 . Hướng dẫn giải D. 4 . Chọn B 2 2 Ta có:  2 xdx  x 2  3 . 1 1 Câu 142: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos 5 x A.  cos 5 xdx  sin 5 x C . 5 C.  cos 5 xdx  5sin 5 x  C . B.  cos 5 xdx   sin 5 x C. 5 D.  cos 5 xdx  sin 5 x  C . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có  cos 5 x.dx  sin 5 x C. 5 Câu 143: Tìm tất cả nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   x  A. F  x   1 2 x  ln x  C . 2 C. F  x   1  ln x  C . 1 . x 1 2 x  ln x . 2 1 D. F  x   x 2  ln x  C . 2 B. F  x   Câu 144: Cho hàm số f  x  liên tục trên  , có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số f  x  , trục hoành và trục tung. Khẳng định nào sau đây đúng? y c d O x d d 0 A. S   f  x  dx   f  x  dx . c d d c d d 0 C. S    f  x  dx   f  x  dx . c 0 B. S    f  x  dx   f  x  dx . d 0 D. S   f  x  dx   f  x  dx . c d Câu 145: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  a ; b  và f  a   2 , f  b   4 . Tính b T   f   x  dx . a A. T  6 . B. T  2 . C. T  6 . Câu 146: Tìm tất cả nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   x  A. F  x   1 2 x  ln x  C . 2 D. T  2 . 1 . x 1 2 x  ln x . 2 1 D. F  x   x 2  ln x  C . 2 Lời giải B. F  x   C. F  x   1  ln x  C . Chọn D 1 1  Ta có   x   dx  x 2  ln x  C . x 2  Câu 147: Cho hàm số f  x  liên tục trên  , có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số f  x  , trục hoành và trục tung. Khẳng định nào sau đây đúng? y c d x O y  f  x d d 0 A. S   f  x  dx   f  x  dx . c d d c d 0 C. S    f  x  dx   f  x  dx . c 0 B. S    f  x  dx   f  x  dx . d 0 D. S   f  x  dx   f  x  dx . d c d Lời giải Chọn A d 0 0 Ta có S   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . c c d Quan sát đồ thị hàm số ta thấy f  x   0 với x   c; d  và f  x   0 với x   d ;0 . d 0 Do đó S   f  x  dx   f  x  dx . c d Câu 148: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  a ; b  và f  a   2 , f  b   4 . Tính b T   f   x  dx . a A. T  6 . B. T  2 . C. T  6 . Lời giải D. T  2 . Chọn D b Ta có: T   f   x  dx  f  x  b a  f  b   f  a   2 . a Câu 149: Tìm họ nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   x3  x  1 . A. F  x   x 4 x3  C. 4 2 C. F  x   x 4  B. F  x   x3  xC . 2 x4 x2   xC . 4 2 D. F  x   3x 3  C . 1 dx 3  2x 0 Câu 150: Tính tích phân I   1 A.  ln 3 . 2 B.  ln 3 . C. 1 ln 3 . 2 D. 1 log 3 . 2 Câu 151: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục trên đoạn  a; b  và các đường thẳng x  a , x  b . Diện tích S của hình D được tính theo công thức nào dưới đây? b b A. S  π  f  x   g  x  dx . a b 2 C. S    f  x   g  x   dx . a B. S   f  x   g  x  dx . a b D. S    f  x   g  x   dx . a Câu 152: Tìm họ nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   x3  x  1 . A. F  x   x 4 x3  C. 4 2 C. F  x   x 4  B. F  x   x3  xC . 2 x4 x2   xC . 4 2 D. F  x   3x 3  C . Lời giải Chọn B Ta có 3   x  x  1 dx  x4 x2   xC . 4 2 1 dx 3  2x 0 Câu 153: Tính tích phân I   1 A.  ln 3 . 2 B.  ln 3 . C. Lời giải Chọn C 1 ln 3 . 2 D. 1 log 3 . 2 1 1 dx   ln 3  2 x Ta có I   2 3  2x 0 1 0 1  ln 3 . 2 Câu 154: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục trên đoạn  a; b  và các đường thẳng x  a , x  b . Diện tích S của hình D được tính theo công thức nào dưới đây? b b A. S  π  f  x   g  x  dx . B. S   f  x   g  x  dx . a b a b 2 C. S    f  x   g  x   dx . D. S    f  x   g  x   dx . a a Lời giải Chọn B Câu 155: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   7 x 6  1 1   2 là x x2 1 A. x 7  ln x   2 x . x 1 C. x 7  ln x   2 x  C . x 1  2x  C . x 1 D. x 7  ln x   2 x  C . x B. x 7  ln x  Câu 156: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   7 x 6  1 A. x 7  ln x   2 x . x 1 C. x 7  ln x   2 x  C . x 1 1   2 là x x2 1  2x  C . x 1 D. x 7  ln x   2 x  C . x Lời giải B. x 7  ln x  Chọn D  f  x  dx  x 7  ln x  1  2x  C . x Câu 157: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x 2  3 x  2 , trục hoành và hai đường thẳng x  1 , x  2 . Quay  H  xung quanh trục hoành được khối tròn xoay có thể tích là 2 2 A. V   x 2  3x  2 dx . 2 B. V   x 2  3 x  2 dx . 1 1 2 2 2 C. V     x 2  3 x  2  dx . D. V    x 2  3 x  2 dx . 1 1 Câu 158: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x là A. 3 x.ln 3  C . B. 2 Câu 159: Cho A. 4 .  0 3x C. ln 3 C. 3x 1 C. x 1 D. 3x 1  C . 2 f  x  dx  3 . Tính   f  x   1 dx 0 B. 5 . ? C. 7 . D. 1 . Câu 160: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x 2  3 x  2 , trục hoành và hai đường thẳng x  1 , x  2 . Quay  H  xung quanh trục hoành được khối tròn xoay có thể tích là 2 2 A. V   x 2  3x  2 dx . 2 B. V   x 2  3 x  2 dx . 1 1 2 2 2 C. V     x 2  3 x  2  dx . D. V    x 2  3 x  2 dx . 1 1 Lời giải Chọn C Câu 161: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x là A. 3 x.ln 3  C . B. 3x C. ln 3 C. 3x 1 C. x 1 D. 3x 1  C . Lời giải Chọn B Ta có:  f  x  dx   3x dx  2 Câu 162: Cho 3x C . ln 3 2 f  x  dx  3 . Tính  0   f  x   1 dx ? 0 B. 5 . A. 4 . C. 7 . Lời giải. D. 1 . Chọn B 2 2 2 Ta có   f  x   1 dx   f  x  dx   dx  3  2  5 . 0 0 0 Câu 163: Tính  sin 3 xdx A.  cos 3x  C . 1 B.  cos 3 x  C . 3 C. 1 cos 3x  C . 3 D. cos 3x  C . Câu 164: Họ nguyên hàm của hàm số y  2 x  1 là A. x2  xC . 2 B. 2 x  1  C . C. x 2  x  C . 1 B.  cos 3x  C . 3 C. D. 2x  C . Câu 165: Tính  sin 3 xdx A.  cos 3x  C . 1 cos 3x  C . 3 D. cos 3x  C . Lời giải Chọn B Áp dụng trực tiếp công thức nguyên hàm cơ bản. Câu 166: Họ nguyên hàm của hàm số y  2 x  1 là A. x2  xC . 2 B. 2 x  1  C . C. x 2  x  C . Lời giải Chọn C D. 2x  C .   2 x  1 dx  x 2  xC . Câu 167: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2 x là: 1 A. F  x    cos 2 x  C . 2 1 C. F  x   cos 2 x  C . 2 B. F  x   cos 2 x  C . D. F  x    cos 2 x  C . Câu 168: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2 x là: 1 A. F  x    cos 2 x  C . 2 1 C. F  x   cos 2 x  C . 2 B. F  x   cos 2 x  C . D. F  x    cos 2 x  C . Lời giải Chọn A 1 Ta có  sin 2 xdx   cos 2 x  C . 2 Câu 169: Một nguyên hàm của hàm số f  x   x . x 1  f  x  dx  x  ln x  1  1 . C.  f  x  dx  x  ln  x  1 . A. B.  f  x  dx  ln x  1  x  1 . D. x  ln  x  1 . Câu 170: Một nguyên hàm của hàm số f  x   x . x 1  f  x  dx  x  ln x  1  1 . C.  f  x  dx  x  ln  x  1 . A. B.  f  x  dx  ln x  1  x  1 . D. x  ln  x  1 . Lời giải Chọn A 1  x x  11   x  1 dx   x  1 dx   1  x  1  dx  x  ln x  1  C Vậy  f  x  dx  x  ln x  1  1 là một nguyên hàm của f  x  . 1 Câu 171: Tìm dx  2x 1 0 A. 1 ln  2 x  1  C . 2 1 Câu 172: Tìm B.  2  2 x  1 2 C . C. ln 2 x  1  C . D. 1 ln 2 x  1  C . 2 2 C . C. ln 2 x  1  C . D. 1 ln 2 x  1  C . 2 dx  2x 1 0 A. 1 ln  2 x  1  C . 2 B.  2  2 x  1 Lời giải Chọn D 1 dx 1  2 x  1  2 ln 2 x  1  C . 0 1 Câu 173: Tích phân   3x 2  1 dx bằng 0 A. 6 . B. 6 . C. 2 . D. 2 . Câu 174: Diện tích hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a và x  b  a  b  được tính theo công thức nào dưới đây? b b A. S  π  f  x  dx . b B. S   f  x  dx . a C. S   f  x  dx . a a Câu 175: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   A.  ln 1  x  C . b D. S  π  f 2  x  dx . a 1 là. 1 x B. ln 1  x  C . C. 1 ln(1  x) 2  C . 2 1 D.  ln 1  x  C . 2 1 Câu 176: Tích phân   3x 2  1 dx bằng 0 A. 6 . B. 6 . C. 2 . D. 2 . Lời giải Chọn D 1 Ta có:   3x 2 1  1 dx   x3  x   2 0 0 Câu 177: Diện tích hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a và x  b  a  b  được tính theo công thức nào dưới đây? b A. S  π  f  x  dx . a b b B. S   f  x  dx . C. S   f  x  dx . a a b D. S  π  f 2  x  dx . a Lời giải Chọn C Câu 178: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   A.  ln 1  x  C . 1 là. 1 x B. ln 1  x  C . C. 1 ln(1  x) 2  C . 2 1 D.  ln 1  x  C . 2 Lời giải Chọn A 1  1  x dx   ln 1  x  C . 1 Câu 179: Đổi biến x  2sin t thì tích phân  0 dx 4  x2 trở thành    6 3 6 A.  tdt . B.  tdt . 0 0 dt C.  . t 0  6 D.  dt . 0 Câu 180: Hàm số F  x   ln sin x  3cos x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây? sin x  3cos x . cos x  3sin x cos x  3sin x C. f  x   . sin x  3cos x A. f  x   B. f  x   D. f  x   cos x  3sin x . 1 Câu 181: Đổi biến x  2sin t thì tích phân dx  4  x2 0 trở thành    6 3 6 A.  tdt . B.  tdt . 0  cos x  3sin x . sin x  3cos x  6 dt 0 t . C. 0 D.  dt . 0 Hướng dẫn giải Chọn D x  0  t  0 Đặt x  2sin t , khi đó dx  2 cos tdt . Đổi cận  x  1 t   6   1 I  0 dx 4  x2 6  0  2 cos t 4  4sin 2 t 6 dt   0   6 2 cos t dt   dt   dt . 2 cos t 4 cos 2 t 0 0 2 cos t 6 Câu 182: Hàm số F  x   ln sin x  3cos x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây? sin x  3cos x . cos x  3sin x cos x  3sin x C. f  x   . sin x  3cos x A. f  x   B. f  x    cos x  3sin x . sin x  3cos x D. f  x   cos x  3sin x . Hướng dẫn giải Chọn C cos x  3sin x Ta có f  x   F   x    ln sin x  3cos x   . sin x  3cos x Câu 1: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Cho hai hàm số F  x    x 2  ax  b  e  x và f  x     x 2  3 x  6  e  x . Tìm a và b để F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  . A. a  1 , b  7 . B. a  1 , b  7 . C. a  1 , b  7 . Lời giải D. a  1 , b  7 . Chọn B 2  a  3  a  1 Ta có F   x     x 2   2  a  x  a  b  e  x  f  x  nên  .  a  b  6 b  7 Câu 2: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Tính diện tích S của hình phẳng  H  giới hạn bởi đường cong y   x 3  12 x và y   x 2 . A. S  343 12 B. S  793 4 C. S  397 4 D. S  937 12 Lời giải Chọn D Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình; x  4 3 2 3 2  x  12 x   x   x  12 x  x  0   x  3  x  0 0 Ta có S   3 4  x3  12 x  x 2 dx    x 3  12 x  x 2 dx 0  0 4  x 3  12 x  x 2  dx     x 3  12 x  x 2  dx  3 0 99 160 937   . 4 3 12 Câu 3: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) F  x  là một nguyên hàm của hàm 2 số y  xe x . Hàm số nào sau đây không phải là F  x  ? 1 2 A. F  x   e x  2 . 2 1 2 C. F  x    e x  C . 2 1 x2 e 5 . 2 2 1 D. F  x    2  e x . 2 Lời giải B. F  x       Chọn C 2 2  1 2  Ta thấy ở đáp án C thì   e x  C    xe x  xe x nên hàm số ở đáp án C không là một  2  2 nguyên hàm của hàm y  xe x . Câu 4: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Biết  xe 2x dx  axe 2 x  be 2 x  C  a, b    . Tính tích ab . 1 A. ab   . 4 Chọn C B. ab  1 . 4 1 C. ab   . 8 Lời giải 1 D. ab  . 8 du  dx u  x   Đặt  1 2x 2x dv  e dx v  e  2 1 1 1 1 Suy ra :  xe 2 x dx  xe 2 x   e2 x dx  xe 2 x  e 2 x  C 2 2 2 4 1 1 1 Vậy: a  ; b    ab   . 2 4 8 Câu 5: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Kết quả của I  xe x dx là  A. I  xe x  ex  C . B. I  e x  xe x  C . C. I  x2 x e C . 2 D. I  x2 x x e e C . 2 Lời giải Chọn A Cách 1: Sử dụng tích phân từng phần ta có I   xe x dx   x de x  xe x   e x dx  xe x  e x  C. Cách 2: Ta có I    xe x  e x  C   e x  xe x  e x  xe x . 4 Câu 6: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho I  x 1  2 x dx và  0 u  2 x  1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 3 A. I  3 1 2 2 x x  1 dx . 2 1  5  3 B. I   u 2  u 2  1 du . 1 3 3 1u u  C. I     . 2  5 3 1 D. I  1 2 2 u u  1 du . 2 1   Lời giải Chọn B 4 I   x 1  2 x dx 0 Đặt u  2 x  1  x  1 2 u  1  dx  u du , đổi cận: x  0  u  1 , x  4  u  3 . 2 3 Khi đó I  1 u 2  1 u 2 du .   21 5 Câu 7: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Biết b là các số nguyên. Tính S  a  2b . A. S  2 . B. S  5 . C. S  2 . Lời giải x2  x  1 b 3 x  1 dx  a  ln 2 với a , D. S  10 . Chọn C 5 5 5 x2  x  1 1  25 9 3  1 2  3 x  1 dx  3  x  x  1  dx   2 x  ln x  1  3  2  ln 6  2  ln 4  8  ln 2 . Vậy a  8 , b  3 . Suy ra S  a  2b  8  2.3  2 . Ta có Câu 8: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Kết quả của tích phân  2  1   2x  1  sin x  dx được viết ở dạng   a  b   1 a , b   . Khẳng định nào sau đây là sai? 0 A. a  2b  8 . B. a  b  5 . C. 2a  3b  2 . Lời giải D. a  b  2 . Chọn B   2 2  1 1      1 . 4 2  4 2 0 Vậy a  4 , b  2 . Suy ra a  b  6 . Vậy B sai.   2x  1  sin x  dx   x 2  x  cos x  2  0   Câu 9: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   3  5cos x và f  0   5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f  x   3x  5sin x  2 . B. f  x   3x  5sin x  5 . C. f  x   3 x  5sin x  5 . D. f  x   3 x  5sin x  5 . Lời giải Chọn C Ta có f  x     3  5cos x  dx  3 x  5sin x  C . Lại có: f  0   5  3.0  5sin 0  C  5  C  5 . Vậy f  x   3 x  5sin x  5 . Câu 10: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số y  2sin x.2cos x  cos x  sin x  ? A. y  2sin x  cos x  C . B. y  2sin x.2cos x . C. y  ln 2.2sin x  cos x . ln 2 Lời giải D. y   2sin x  cos x C . ln 2 Chọn B Ta có: I   2sin x.2cos x  cos x  sin x  dx   2sin x  cos x  cos x  sin x  dx . Đặt: t  sin x  cos x  dt   cos x  sin x  dx .  I   2t dt  2t 2sin x  cos x 2sin x.2cos x C  C  C . ln 2 ln 2 ln 2 Vậy hàm số đã cho có 1 nguyên hàm là hàm số: y  2sin x.2cos x . ln 2 Câu 11: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Hàm số F  x  nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số y  3 x 1 ? 4 3  x  1 3  C . 8 3 C. F  x    x  1 3 x  1  C . 4 43 4  x  1  C . 3 3 3 D. F  x   4  x  1  C . 4 A. F  x   B. F  x   Lời giải Chọn C Ta có: I   3 x  1dx . Đặt: t  3 x  1  t 3  x  1  3t 2dt  dx . 3 3 3 4  I   t.3t 2 dt   3t 3dt  t 4  C  3  x  1  C   x  1 3 x  1  C . 4 4 4 3 Vậy F  x    x  1 3 x  1  C . 4 Câu 12: (Trường BDVH218LTT-khoa 1-năm 2017-2018) Cho    . Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số f  x   sin x . A. F1  x    cos x . x  x  . sin 2 2 x x D. F4  x   2 cos . sin 2 2 Lời giải B. F2  x   2sin x  x  C. F3  x   2sin     sin     . 2  2  Chọn A Ta có  sin xdx   cos x  C . Đáp án A là nguyên hàm của hàm số f  x   sin x . x  x  sin  cos   cos x . Đáp án B là nguyên hàm của hàm số f  x   sin x . 2 2 x  x  2sin     sin      cos  2   cos x . Đáp án C là nguyên hàm của hàm số 2  2  2sin f  x   sin x . 2 cos x .sin 2 f  x   sin x . x 2  sin   sin x . Đáp án D không phải là nguyên hàm của hàm số Câu 13: (Trường BDVH218LTT-khoa 1-năm 2017-2018) Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f  x   A. F1  x   x2  2x  x  1 x2  x  1 . x 1 2 . B. F2  x   x2  x  1 x2  x  1 x2 . C. F3  x   . D. F4  x   . x 1 x 1 x 1 Lời giải Chọn C  F  x    x 1  F  x    2 2  2x  x  1 2 , đáp án A là nguyên hàm của f  x  . x2  2 x  2  x  1 2 , đáp án B không phải là nguyên hàm của f  x  . 2   x  2 x , đáp án C là nguyên hàm của f x . F x    3   2  x  1  F  x    4 x2  2x  x  1 2 , đáp án D là nguyên hàm của f  x  . Câu 14: (Trường BDVH218LTT-khoa 1-năm 2017-2018)Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  3 2 A.  f  x  dx  3  2 x  3 C.  f  x  dx   3  2 x  3  1 2x  3  C . B.  f  x  dx  3  2 x  3 2x  3  C D.  f  x  dx  2 1 1 2x  3  C . 2x  3  C . Lời giải Chọn B 3 Ta có  1  3x  2  2 1 f  x  dx    2 x  3 dx  .   2 x  3 2 x  3  C . 3 2 3 2 1 2 Câu 15: (Trường BDVH218LTT-khoa 1-năm 2017-2018) Tìm nguyên hàm của hàm số x f  x   cos 2   2 A.  f  x  dx  x  sinx  C . C.  f  x  dx  2  2 sinx  C . x 1 B.  f  x  dx  x  sinx  C . D.  f  x  dx  2  2 sinx  C . x 1 Lời giải Chọn C Ta có x 1  1  cos x   dx   sin x  C . 2 2 2   f  x  dx    Câu 16: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Trong các hàm số sau: (I) f  x   tan 2 x  2 . 2 . cos 2 x (III) f  x   tan 2 x  1 . (II) f  x   Hàm số nào có nguyên hàm là hàm số g  x   tan x ? A. Chỉ (II). B. Chỉ (III). C. Chỉ (II), (III). D. (I), (II), (III). Lời giải Chọn B 1   x  2  dx    1   dx  x  tan x  C . 2  cos x  2 1 Và:  dx  2  dx  2 tan x  C . 2 cos x cos 2 x 1 Và:   tan 2 x  1 dx   dx  tan x  C . cos 2 x Ta có:   tan 2 Câu 17: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x 2 , y  2 x . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox bằng: 32 A. . 15 B. 64 . 15 C. Lời giải Chọn B 21 . 15 D. 16 . 15 x  0 Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 2  2 x  0   . x  2  y  x2   y  2x Khi quay  H  xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay giới hạn bởi  . x  0  x  2 2 2 2 Do đó thể tích của khối tròn xoay là: V     x 2    2 x  dx  0 64 . 15 Câu 18: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018) Tìm giá trị của 4 a để 1   x  1 x  2  dx  ln a . 3 A. 12 . B. 4 . 3 C. 1 . 3 D. 3 . 4 Lời giải: Chọn B 4 4 4 x2 2 1 4 1  2 2  1 3  x  1 x  2  dx 3  x  2  x  1  dx  ln x  1 3  ln 3  ln 2  ln  3 . 1   ln 3  ln a 4 a . 3 Câu 19: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018) Tính thể tích khối tròn xoay được tạo 1 thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  3 x  x 2 và trục hoành, quanh trục hoành. A. 81 (đvtt). 10 B. 85 41 (đvtt). C. (đvtt). 10 7 Lời giải D. 8 (đvtt). 7 Chọn A x  0 Ta có 3 x  x 2  0   . x  3 Thể tích khối tròn xoay cần tìm là: 3 V     3x  x 2 2  0 3 3  3x 4 x5  81 (đvtt). dx     9 x  6 x  x  dx    3x 3     2 5  0 10  0 2 3 4 Câu 20: (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol  P  : y  x 2 và đường thẳng d : y  2 x quay xung quanh trục Ox . 2 2 2 A.    x  2 x  dx . 2 B.   4 x dx    x 4dx . 0 2 0 2 C.   4 x 2dx    x 4 dx . 0 0 0 2 D.    2 x  x 2  dx . 0 Lời giải Chọn A 2 2 x  0 Phương trình hoành độ giao điểm: x 2  2 x  0   . x  2 2 2 Vậy thể tích khối tròn xoay được tính: V     x 2  2 x  dx . 0 Câu 21: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm 2017-2018) Cho hai số phức z1  2  3i và z2  3  5i . Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức w  z1  z2 . A. 3 . B. 0 . C. 1  2i . Lời giải D. 3 . Chọn D w  z1  z2  2  3i  3  5i  1  2i . Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức w là 3 . Câu 22: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2  cos x , trục hoành và các đường thẳng x  0 , x   2 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? A. V    1 . C. V     1 . B. V    1 . D. V     1 . Lời giải Chọn D Thể tích khối tròn xoay khi quay D quanh trục hoành có thể tích là:   2 2  V    y 2 dx     2  cos x  dx    2 x  sin x  02     1 . 0 0 Câu 23: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm 2017-2018) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   sin 3 x . cos 3x C . 3 sin 3 x C.  sin 3 xdx   C . 3 A.  sin 3 xdx   B.  sin 3 xdx  cos 3x C. 3 D.  sin 3 xdx   cos 3 x  C . Lời giải Chọn A Theo công thức nguyên hàm  sin xdx   cos x  C ta có  sin 3 xdx   Vậy  sin 3 xdx   cos 3 x C . 3 cos 3x C 3 Câu 1: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị thực của x thỏa mãn đẳng thức log3 x  3log 3 2  log9 25  log 3 3 . A. 20 . 3 B. 40 . 9 C. 25 . 9 D. 28 . 3 Lời giải Chọn B Ta có 3log 3 2  log 9 25  log 3 3  log 3 23  log 32 52  2 log 3 3  log 3 8  log 3 5  log 3 9  log 3 Mà log3 x  3log3 2  log 9 25  log 3 3 nên log3 x  log 3 Câu (THPT 2: F  x  Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 40 . 9 40 40 . x 9 9 2 năm 2017-2018) Hàm số 1 3 x 1 e  9 x 2  24 x  17   C là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây. 27 A. f  x    x 2  2 x  1 e3 x1 . B. f  x    x 2  2 x  1 e3 x 1 . C. f  x    x 2  2 x  1 e3 x 1 . D. f  x    x 2  2 x  1 e3 x 1 . Lời giải Chọn C   1  1  3 x1 F   x    e3 x 1  9 x 2  24 x  17    3.e  9 x 2  24 x  17   e3 x 1  9 x 2  24 x  17     27  27   1  3 x 1 1 3 x1  3.e  9 x 2  24 x  17   e3 x 1 18 x  24    e  27 x 2  54 x  27   e3 x 1  x 2  2 x  1 .  27 27 Câu 3: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  a 3 và AD  a . Đường thẳng SA vuông góc với đáy và SA  a . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S . BCD bằng A. 5 a3 5 . 6 B. 5 a 3 5 . 24 C. Lời giải Chọn A 3 a 3 5 . 25 D. 3 a 3 5 . 8 S I A C B Dễ thấy các tam giác SAC , SBC , SDC là tam giác vuông ( SC là cạnh huyền ). Suy ra mặt SC cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD có tâm là trung điểm của SC và bán kính là R  2  SA2  AC 2 SA2  AB 2  AD 2 a 2  3a 2  a 2 a 5 .    2 2 2 2 3 4  a 5  5 a 3 5 4 Do đó, thể tích khối cầu là: V   R3   .  .   3  2  3 6 Câu 4: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Số nghiệm của phương trình 22 x là A. 0 . B. 2 . C. 1 . D. 3 . Lời giải Chọn B x  1 2 2 x2 7 x 5 Ta có: 2 .  1  2 x  5x  7  0   x  5  2 2 7 x 5 1 4 Câu 5: (THPT Lương Thế Vinh-Hà Nội năm 2017-2018) Biết  x ln  x 2  9  dx  a ln 5  b ln 3  c , 0 trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của biểu thức T  a  b  c là A. T  10 . B. T  9 . C. T  8 . D. T  11 . Lời giải Chọn C 2x  du  2 dx  2 u  ln  x  9  x  9   Đặt   x2  9  dv  xdx v   2 4 4 4 x2  9 x2  9 2 x Suy ra  x ln  x  9  dx  ln  x 2  9    . dx  25ln 5  9 ln 3  8 . 2 2 x2  9 0 0 0 2 Do đó a  25 , b  9 , c  8 nên T  8 . Câu 6: (THPT Đức Thọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra 1 khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  , y  0 , x  1 , x  a ,  a  1 quay xung x quanh trục Ox .  1  1  1  1 A. V   1   . B. V  1    . C. V  1    . D. V   1   .  a  a  a  a Lời giải Chọn B Thể tích V của vật thể tròn xoay cần tìm là a a 2 1 1 1   1 V      dx       1  V   1    . x x1 a   a 1 Câu 7: (THPT Đức Thọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Bạn Minh ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới và vận tốc chuyển động của máy bay là v  t   3t 2  5 (m/s) . Tính quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 . A. 246 m . B. 252 m . C. 1134 m . Lời giải D. 966 m . Chọn D 10 S    3t 2  5  dt   t 3  5t  4 10 4  1050  84  996 . Câu 8: (THPT Đức Thọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e5 x . 5x A.  f  x  dx  e C.  f  x  dx  5e ln 5 + C . 5x +C . 1 B.  f  x  dx  5 e D.  f  x  dx  e 5x 5x +C . +C . Lời giải Chọn B 1 Nguyên hàm của hàm số f  x   e5 x là  e5 x dx  e5 x + C . 5 Câu 9: (THPT Đức Thọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Biết F  x  là một nguyên hàm của của hàm số   f  x   sin x và đồ thị hàm số y  F  x  đi qua điểm M  0;1 . Tính F   . 2   A. F    2 . 2   B. F    1 . 2   C. F    0 . 2 Lời giải Chọn A * Ta có F  x    cos x  C , với C là hằng số tùy ý. * Đồ thị hàm số y  F  x  đi qua điểm M  0;1 nên   1   cos 0  C  C  2  F  x    cos x  2 . Do đó F    2 . 2   D. F    1 . 2 4 Câu 10: (THPT Đức Thọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho  4 f  x  dx  10 và 2  g  x  dx  5 . Tính 2 4 I   3 f  x   5 g  x   dx 2 A. I  5 . B. I  15 . C. I  5 . Lời giải D. I  10 . Chọn A 4 4 4 Có: I   3 f  x   5 g  x   dx  3 f  x  dx  5 g  x  dx  5 . 2 2 2 Câu 11: (THPT Đức Thọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Khi đổi biến x  3 tan t , tích phân 1 I  0 dx trở thành tích phân nào? x 3 2    3 6 6 A. I   3dt . B. I   0 0 3 dt 3 C. I   3tdt . 0  6 1 D. I   dt . t 0 Lời giải Chọn B Đặt x  3 tan t  dx  3 1  tan 2 t  dt . Khi x  0 thì t  0 ; Khi x  1 thì t   1 dx Ta có I   2  x 3 0 6 3 1  tan 2 t   3 1  tan t  2 0  6 .  6 dt   0 3 dt . 3 Câu 12: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 2 năm học 2017-2018) Tính F ( x)   x cos x dx ta được kết quả A. F  x   x sin x  cos x  C. B. F  x    x sin x  cos x  C. C. F  x   x sin x  cos x  C. D. F  x    x sin x  cos x  C. Lời giải Chọn C u  x du  dx Đặt   dv  cos xdx v  sin x Khi đó F  x   x sin x   sin xdx  x sin x  cos x  C . Câu 13: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 2 năm học 2017-2018) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm   số f  x   sinx và đồ thị hàm số y  F  x  đi qua điểm M  0;1 . Tính F   2   A. F    0 . 2     B. F    1 . C. F    2 . 2 2 Lời giải Chọn C Ta có F  x    sin xdx  cosx  C .   D. F    1 . 2 Đồ thị hàm số y  F  x  đi qua điểm M  0;1  1  cos0  C  C  2 .    F  x   cosx  2  F    2 . 2 Câu 14: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 2 năm học 2017-2018) Biết  f  x  dx  2 x ln  3x  1  C 1  x   ;   . 9  Đề nghị sửa đề bài : Biết  f  x  dx  2 x ln  3x  1  C 1  với x   ;   3  Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A.  f  3x  dx  2 x ln  9 x  1  C . B.  f  3x  dx  6 x ln  3x  1  C . C.  f  3x  dx  6 x ln  9 x  1  C . D.  f  3x  dx  3x ln  9 x  1  C . Lởi giải Chọn A 1 1  f  x  dx  2 x ln  3x  1  C   f  3x  dx  3  f  3x  d  3x   3 2. 3x  ln  3.3x  1  C  2 x ln  9 x  1  C Cách 2: Ta có   2 ln 3x  1  6 x .   3x  1  f  x  dx  2 x ln  3x  1  C  f  x    2 x ln  3x  1  C  18 x . 9x 1 18 x  2     f  3x  dx   2 ln  9 x  1  9 x  1 dx  2 ln  9 x  1 dx    2  9 x  1  dx 2 2   9 x  1 ln  9 x  1  9 x   2 x  ln  9 x  1  C  2 ln  9 x  1  C . 9 9 Khi đó f  3 x   2 ln  9 x  1  Câu 15: (THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   x.e 2 x là 1 1  A. F ( x)  e 2 x  x    C . 2  2 C. F ( x)  2e2 x  x  2   C . 1  B. F ( x)  2e 2 x  x    C . 2  1 D. F ( x)  e 2 x  x  2   C . 2 Lời giải Chọn A du  dx u  x  Đặt   1 2x . 2x dv  e dx v  e  2 1 1 1 1 1 1  Khi đó: F  x    x.e 2 x dx  x.e2 x   e 2 x dx  x.e 2 x  e 2 x  C  e 2 x  x    C . 2 2 2 4 2 2  với 2 ln x b dx   a ln 2 (với a là số thực, b , c là 2 x c 1 Câu 16: (THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Biết các số nguyên dương và A. 4 .  b là phân số tối giản). Tính giá trị của 2a  3b  c . c B. 6 . C. 6 . D. 5 . Lời giải Chọn A 1 dx x 1 1 dv  2 dx  v   . x x Đặt u  ln x  du  2 2 2 2 2 ln x 1 1 1 1 1 1 1 1 b dx   ln x   2 dx   ln x    ln 2   1   ln 2   a ln 2 . 2 x x x x x1 2 2 2 2 c 1 1 1 1  1  a   , b  1, c  2 . 2  1  2a  3b  c  2.     3.1  2  4 .  2 Câu 17: (THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị x 1 hàm số  H  : y  và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng x 1 A. S  ln 2  1 (đvdt). B. S  2 ln 2  1 (đvdt). C. S  2 ln 2  1 (đvdt). D. S  ln 2  1 (đvdt). Lời giải Chọn B x 1 Đồ thị hàm số y  cắt trục hoành tại điểm 1; 0  . x 1 1 Ta có S   0 1 1 1 x 1 x 1 2   dx    dx    1   dx    x  2 ln x  1  0  2 ln 2  1 . x 1 x 1 x 1 0 0 3 Câu 18: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018) Cho  42 0 với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của a  b  c bằng A. 1 . B. 2 . C. 7 . Lời giải Chọn A x x 1 dx  a  b ln 2  c ln 3 3 D. 9 . Đặt t  x  1  t 2  x  1  x  t 2  1  dx  2tdt . Đổi cận: x  0  t  2 ; x  3  t  4 . Khi đó: 2 2 2 3 2  t3 2  t 2 1 t t 6  7  2 .2 t d t  d t  t  2 t  3  d t    t  3t  6 ln t  2    12 ln 2  6 ln 3  1 4  2t 1 t  2 1  t2 3 1 3 a  7  Suy ra b  12  a  b  c  1 . c  6  Câu 19: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà f  x   x cos 2 x là Nội năm 2017-2018) Họ nguyên hàm của hàm số x sin 2 x cos 2 x  C . 2 4 cos 2 x C. x sin 2 x  C . 2 cos 2 x C . 2 x sin 2 x cos 2 x D.  C . 2 4 Lời giải B. x sin 2 x  A. Chọn D I   x cos 2 xdx .  du  dx u  x   Đặt  . 1 dv  cos 2 xdx v  sin 2 x  2 1 1 1 1 Khi đó I  x sin 2 x   sin 2 xdx  x sin 2 x  cos 2 x  C . 2 2 2 4 Câu 20: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018) Với cách đổi biến u  1  3ln x thì tích e phân x 1 ln x dx trở thành 1  3ln x 2 A. 2  u 2  1 du . 3 1 2 B. 2  u 2  1 du . 9 1 2 2 C. 2   u 2  1 du . 1 D. 2 u2 1 du . 9 1 u Lời giải Chọn B u  1  3ln x  u 2  1  3ln x  ln x  u2 1 dx 2u   du . 3 x 3 u2 1 2 2u ln x 2 du    u 2  1 du . Khi đó  dx   3 u 3 91 1 1 x 1  3ln x Câu 21: (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 . f  x  2 2x 1 1 A.  f  x dx  B.  f  x dx  2 x  1  C . 2x 1  C . 2 1 C.  f  x dx  2 2 x  1  C . D.  f  x dx  C .  2 x  1 2 x  1 e 2 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 2 x  1  t  2 x  1  t 2  dx  tdt . 1 1 tdt 1 1 1    dt  t  C  Khi đó ta có  2 x  1dx   2x 1  C . 2 2 t 2 2 2 Câu 22: (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   6 x  sin 3x , biết F  0   A. F  x   3 x 2  cos 3x 2  . 3 3 2 . 3 B. F  x   3 x 2  cos 3x 1 . 3 C. F  x   3 x 2  cos 3 x 1. 3 D. F  x   3 x 2  cos 3x 1. 3 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có:  f  x  dx    6 x  sin 3x  dx  3x F 0  2  cos 3 x  C  F  x . 3 2 1 2  0  .1  C   C  1 . 3 3 3 Vậy F  x   3 x 2  cos 3 x 1. 3 Câu 23: (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2e x A. C. 3 1  f  x  dx  e  x3 1 C . 1 3 f  x  dx  e x 1  C . 3 B.  f  x  dx  3e D. f  x  dx   x3 1 C . x3 x3 1 e C . 3 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t  x 3  1  dt  3 x 2 dx Do đó, ta có Vậy 1 1 1 3 dx   et . dt  et  C  e x 1  C . 3 3 3 2 x3 1  f  x  dx   x e 1  f  x  dx  3 e x3 1 C . Câu 24: (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   tan 5 x . 1 x  tan 2 x  ln cosx  C . 2 1 1 B.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C . 4 2 1 1 C.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C . 4 2 1 1 D.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C . 4 2 A. 1  f  x  dx  4 tan 4 Hướng dẫn giải Chọn D sin 5 x dx cos5 x 1  cos2 x  .1  cos2 x  .s inx I   f  x  dx   tan 5 xdx    sin 2 x.sin 2 .s inx dx   cos5 x cos5 x 1  t  .1  t   dt   1  2t  t t 2 Đặt t  cos x  dt   sin xdx I   dx 2 5 2 5  t4  dt  1 1  1 2 1      5  3   dt    t 5  2t 3   dt  t 4  t 2  ln t  C t t t 4  t  1 1 1 1  cos x 4  cos x 2  ln cos x  C  .   ln cos x  C 4 4 4 cos x cos x 2 2 1  .  tan 2 x  1   tan 2 x  1  ln cos x  C 4 1   tan 4 x  2 tan 2 x  1   tan 2 x  1  ln cos x  C 4 1 1 1  tan 4 x  tan 2 x  ln cos x   C 4 2 4 1 1  tan 4 x  tan 2 x  ln cos x  C . 4 2 Câu 25: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau 1 1 1 A.  sin 1  x  dx   sin xdx . 0 1 B.  cos 1  x  dx    cos xdx . 0 0  0    2 x C.  cos dx   cos xdx . 2 0 0 2 x D.  sin dx   sin xdx . 2 0 0 Lời giải Chọn A 1 Xét tích phân  sin 1  x  dx 0 Đặt 1  x  t  dx  dt . Khi x  0  t  1 ; Khi x  1  t  0 . 1 1 0 1 Do đó  sin 1  x  dx   sin t  dt    sin tdt   sin xdx . 0 0 1 0 Câu 26: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Nguyên hàm của hàm số y  e 3 x 1 là 1 1 A. e 3 x 1  C . B. 3e3 x 1  C . C.  e 3 x 1  C . D. 3e 3 x 1  C . 3 3 Lời giải Chọn C Ta có:  e 3 x 1dx   1 3 x 1 1 e d  3 x  1   e3 x 1  C .  3 3 Câu 27: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần 1 năm 2017-2018) Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   e 2 x , biết F  0   1 . A. F  x   e2 x . B. F  x   e2 x 1 C. F  x   2e2 x  1 .  . 2 2 Lời giải Chọn B 1 Ta có: F  x    f  x  dx   e 2 x dx  e 2 x  C . 2 e2 x 1 1 Theo giả thiết: F  0   1  C  . Vậy F  x    . 2 2 2 D. F  x   e x . Câu 28: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần 1 năm 2017-2018) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   x ln x . Tính F   x  . A. F   x   1  ln x . B. F   x   1 . C. F   x   1  ln x . x Lời giải D. F   x   x  ln x . Chọn C Ta có: F  x    f  x  dx   x ln xdx  F   x   x ln x  F   x   ln x  1 . Câu 29: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần 1 năm 2017-2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   x sin x là: A. F  x    x cos x  sin x  C . B. F  x   x cos x  sin x  C . C. F  x    x cos x  sin x  C . D. F  x   x cos x  sin x  C . Lời giải Chọn C Ta có: I   f  x  dx   x sin x dx . u  x Đặt  Ta có dv  sin x dx du  dx .  v   cos x I   f  x  dx   x sin x dx   x cos x   cos x dx   x cos x  sin x  C . Câu 30: (THPT Chuyên Quốc Học-Huế năm 2017-2018) Tìm họ của nguyên hàm f  x   tan 2 x .   1 C.  tan 2 x dx  1  tan 2 x   C . 2 A.  tan 2x dx  2 1  tan2 2x  C . B.  tan 2x dx   ln cos 2x  C . 1 D.  tan 2 x dx   ln cos 2 x  C . 2 Lời giải 2 Chọn D Ta có:  tan 2x dx   sin 2 x 1 d  cos2 x  1 dx      ln cos 2x  C . cos 2x 2 cos 2 x 2 3 Câu 31: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 3 năm 2017-2018) Cho  3 f ( x)dx  a , 0  f ( x)dx  b . Khi đó 2 2  f ( x)dx bằng: 0 A.  a  b . B. b  a . C. a  b . Hướng dẫn giải D. a  b . Chọn D 3 Do  0 2 3 2 3 3 2 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x )dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  a  b 0 2 0 0 2 0 Câu 32: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 3 năm 2017-2018) Một đám vi khuẩn ngày thứ x có số lượng 2000 là N  x  . Biết rằng N   x   và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con. Vậy ngày thứ 12 1 x số lượng vi khuẩn (sau khi làm tròn) là bao nhiêu con? A. 10130 . B. 5130 . C. 5154 . D. 10132 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: 2000  N   x  dx   1  x dx  2000 ln 1  x  C  N  x   2000 ln 1  x  C . Khi x  0  N  0   2000 ln 1  0  C  5000  C  5000 . Khi x  12  N 12   2000 ln 1  12  5000  1030 . 2 Câu 33: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 3 năm 2017-2018) Cho  f x 2  1 xdx  2 . Khi đó 1 5 I   f  x dx bằng: 2 A. 2 . B. 1 . C. 1 . Hướng dẫn giải D. 4 . Chọn D Đặt t  x 2  1  dt  2 xdx . Đổi cận: x  1  t  2 , x  2  t  5 . 2 Khi đó:  1 5 5 2 1 f  x  1 xdx   f  t  dt   f  t dt  2  f  x 2  1 xdx  4 . 22 2 1 2 5 5 Mà tích phân không phụ thuộc vào biến nên: I   f  x dx   f  t dt  4 . 2 2  4 Câu 34: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần 3 năm 2017-2018) Tính tích phân I   tan 2 xdx . 0 A. I  1   4 . B. I  2 . C. I  ln 2 . D. I   12 . Lời giải Chọn A   4 4 Ta có: I   tan 2 xdx   0 0    tan x  x  04  1   4  2 4  2 4 sin x 1  cos x  1  dx   dx     1 dx 2 2 2 cos x cos x cos x  0 0 . Câu 35: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần 3 năm 2017-2018) Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   ax  b x2  x  0 biết rằng F  1  1 ; F 1  4 ; f 1  0 . A. F  x   3x 2 3 7   . 4 2x 4 B. F  x   3x 2 3 7   . 4 2x 4 C. F  x   3x 2 3 7   . 2 4x 4 D. F  x   3x 2 3 1   . 2 2x 2 Lời giải Chọn A Ta có họ các nguyên hàm của hàm số f  x   ax  Theo giả thiết ta có hệ: b x2  x  0 có dạng: F  x   ax 2 b  C . 2 x 3 a  2 b C 1 a  2   3 3x 2 3 7 a    .   b  C  4  b   . Từ đó hàm số f  x  có một nguyên hàm là F  x   2 4 2x 4 2  7 a  b  0   C  4   Câu 36: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần 3 năm 2017-2018) Một ô tô đang chạy với tốc độ 10  m s  thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với v  t   5t  10  m s  , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét. A. 8 m . B. 10 m . C. 5 m . D. 20 m . Lời giải Chọn B Khi ô tô có vận tốc 10  m/s  tương ứng với t  0  s  . Lúc ô tô dừng lại thì v  t   0  5t  10  0  t  2  s  . Quãng đường ô tô di chuyển được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là: 2 2  5  S    5t  10  dt    t 2  10t   10  m  .  2 0 0 2 Câu 37: (THPT Hồng Quang-Hải Dương năm 2017-2018) Tính I   xe x dx . 1 2 2 A. I  e . 2 B. I   e . C. I  3e  2 e . Lời giải D. I  e . Chọn A u  x du  dx Đặt  .   x x  dv  e dx v  e Khi đó I  x e x 2 1 2 2   e x dx  2 e 2  e e x 1  2 e 2  e e 2  e  e2 . 1 4 Câu 38: (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Kết quả của  0 A. 4 . B. 5 . C. 2 . Lời giải 1 dx bằng 2x 1 D. 3 . Chọn C Đặt t  2 x  1  t 2  2 x  1  2tdt  2dx  tdt  dx . Đổi cận: x  0  t  1 , x  4  t  3 . 4 Khi đó, ta có  0 3 3 1 tdt 3 dx     dt  t 1  2 . t 2x 1 1 1 Câu 39: (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x ln  x  2  . A.  f  x  dx  x2 x2  4 x ln  x  2   C . 2 4 B.  f  x  dx  x2  4 x2  4 x ln  x  2   C . 2 4 C.  f  x  dx  x2 x2  4 x ln  x  2   C . 2 2 D.  f  x  dx  x2  4 x2  4 x ln  x  2   C . 2 2 Lời giải Chọn B dx  du   u  ln  x  2   x2 Đặt   2 dv  xdx v  x  2 suy ra   f  x  dx   x ln  x  2  dx  x2 1 x2 ln  x  2    dx 2 2 x2 x2 1  4  x2  4 x2  4 x ln  x  2     x  2  ln  x  2   C .  dx  2 2  x2 2 2 e Câu 40: (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Tích phân I   1 A. ln  4  e  3  . B. ln  e  2  . C. ln  e  7  . 1 dx bằng: x3  3 e  D. ln  .  4  Lời giải Chọn D e e d  x  3 e 1  3e  I  dx    ln x  3  ln  . 1 x3 x3  4  1 1 5 Câu 41: (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Xét I   x 3  4 x 4  3 dx . Bằng cách đặt: u  4 x4  3 , khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 A. I   u 5du . B. I   u 5du . C. I   u 5du . 16 12 Lời giải D. I  1 5 u du . 4 Chọn A u  4 x 4  3  du  16 x 3dx  1 du  x3dx . 16 1 u 5du . 16  Câu 42: (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Cho F  x  là một nguyên hàm của I f  x   e3 x thỏa mãn F  0   1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 2 A. F  x   e3 x  . 3 3 1 B. F  x   e3 x . 3 1 1 4 C. F  x   e3 x  1 . D. F  x    e3 x  . 3 3 3 Lời giải Chọn A 1 Ta có F  x    e3 x dx  e3 x  C . 3 1 2 Lại có F  0   1   C  1  C  3 3 Câu 43: (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Tập hợp nghiệm của bất phương trình x t 0 t 2  1 dt  0 (ẩn x ) là: A.  ;   . B.  ;0  . C.  ;   0 . D.  0;   . Lời giải Chọn C x Ta có  0 x t t2 1 dt  0  x 1 1 2 2 d t  1  0  t  1  0  x2  1  1  0 0 2 0 t 2  1    x2  1  1  x2  0  x  0 9 Câu 44: (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Giả sử  0 f  x  dx  37 và 0  g  x  dx  16 . 9 9 Khi đó, I    2 f  x   3g ( x)  dx bằng: 0 A. I  26 . B. I  58 . D. I  122 . C. I  143 . Lời giải Chọn A 9 9 9 9 0 Ta có: I    2 f  x   3 g ( x)  dx   2 f  x  dx   3 g  x  dx  2  f  x  dx  3 g  x  dx  26 . 0 0 0 0 9 2 Câu 45: (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Đặt I    2mx  1 dx ( m là tham số 1 thực). Tìm m để I  4 . A. m  1 . B. m  2 . C. m  1 . D. m  2 . Lời giải Chọn C 2 Ta có I    2mx  1 dx   mx 2  x  1 2 1   4m  2    m  1  3m  1 . I  4  3m  1  4  m  1 . Câu 46: (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm 2 f   x  liên tục trên  0; 2 và f  2   3 ,  2 f  x  dx  3 . Tính 0 A. 3 . B. 3 .  x. f   x  dx . 0 C. 0 . Lời giải D. 6 . Chọn B 2 Ta có 2 2 2  x. f   x  dx   xd  f  x    x. f  x    f  x  dx  2 f  2   3  3 . 0 0 0 0 Câu 47: (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f  0   0  f  1 . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , y  0 , x  1 và x  1 . Xét các mệnh đề sau 0 Câu 48: S   1 1 f  x  dx   f  x  dx . 2. S  1 0 1 1 Câu 49: S   1  f  x  dx . 1 f  x  dx . 4. S   f  x  dx . 1 Số mệnh đề đúng là A. 1. B. 4 . C. 2 . Lời giải D. 3 . Chọn A Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , y  0 , x  1 và x  1 là 1 S  f  x  dx nên (2) đúng. 1 1 Do f  0   0  f  1 nên S   f  x  dx sai. 1 1 Tương tự S   0 f  x  dx sai. và S  1 Câu  1 1 f  x  dx   f  x  dx sai. 0 (THPT Trần Quốc Tuấn năm 2017-2018) Cho biết 2 x  13  ( x  1)( x  2) dx  a ln x  1  b ln x  2  C . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a  2b  8 . B. a  b  8 . C. 2a  b  8 . D. a  b  8 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có 1 1 2 x  13 3   5  ( x  1)( x  2) dx    x  1  x  2  dx  5 x  1 dx  3 x  1 dx  5ln x  1  3ln x  2  C . 50: a  5 Vậy   ab 8. b  3 1 Câu 51: (THPT Trần Quốc Tuấn năm 2017-2018) Tính tích phân I   (4 x 3  3)dx . 1 A. I  6 . B. I  6 . C. I  4 . Hướng dẫn giải D. I  4 . Chọn B 1 Ta có I   (4 x 3  3)dx   x 4  3 x  1 1 1  6. Câu 52: (THPT Trần Quốc Tuấn năm 2017-2018) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số 2x  1 thỏa mãn F (2)  3 . Tìm 2x  3 A. F ( x )  x  4 ln 2 x  3  1 . f  x  F  x : C. F ( x )  x  2 ln 2 x  3  1 . B. F ( x )  x  2 ln(2 x  3)  1 . D. F ( x )  x  2 ln | 2 x  3 | 1 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có F  x    2x  1 4   dx    1   dx  x  2 ln 2 x  3  C . 2x  3  2x  3  Lại có F (2)  3  2  2 ln 1  C  3  C  1 . Câu 53: (THPT Trần Quốc Tuấn năm 2017-2018) Hàm số y  f ( x) có một nguyên hàm là F  x   e2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số A.  C.  f ( x)  1 dx  e x  e  x  C . ex f ( x)  1 d x  2e x  e  x  C . ex f ( x)  1 . ex f ( x)  1 dx  2e x  e  x  C . ex f ( x)  1 1 D.  dx  e x  e  x  C . x e 2 Hướng dẫn giải B.  Chọn B Vì hàm số y  f ( x) có một nguyên hàm là F  x   e2 x nên ta có: f  x    F  x    2e 2 x . Khi đó:  f ( x)  1 2e 2 x  1 d x  dx   2e x  e  x dx  2e x  e  x  C . x x  e e   Câu 54: (THPT Thanh Miện 1-Hải Dương-lần 1 năm 2017-2018) Khi tính nguyên hàm  x3 dx , x 1 bằng cách đặt u  x  1 ta được nguyên hàm nào? A.  2u  u 2  4 du . B.  u 2  4 du . C.  2  u 2  4 du . D.  u 2  3du . Lời giải Chọn C dx  2u du Đặt u  x  1 , u  0 nên u 2  x  1   . 2 x  u 1 Khi đó  x 3 u2  1  3 dx   .2udu   2  u 2  4 du . u x 1 Câu 55: (THPT Thanh Miện 1-Hải Dương-lần 1 năm 2017-2018) Nguyên hàm  sin 2 xdx bằng: 1 A.  cos 2 x  C . 2 B. cos 2x  C . C. 1 cos 2 x  C . 2 D.  cos 2x  C . Lời giải Chọn A 1 1 sin 2 xd2x   cos 2 x  C .  2 2 Câu 56: (THPT Thanh Miện 1-Hải Dương-lần 1 năm 2017-2018) Trong hệ trục tọa độ Oxy cho elip Ta có  sin 2 xdx  x2 y 2   1 . Hình phẳng  H  giới hạn bởi nửa elip nằm trên trục hoành 25 9 và trục hoành. Quay hình  H  xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay, tính thể tích khối E có phương trình tròn xoay đó: A. V  60 . B. 30 . 1188 . 25 Lời giải C. Chọn D Ta có  x2  y2 x2  1  y  9 1   với  5  x  5 . 9 25  25  D. 1416 . 25 5  9 x2  Gọi V là thể tích cần tìm, ta có: V     9   dx  60 . 25  5  e Câu 57: (THPT Trần Hưng Đạo-TP HCM năm 2017-2018) Tính tích phân I   1 1  3ln x dx bằng x cách đặt t  1  3ln x , mệnh đề nào dưới đây sai? A. I  2 32 t . 9 1 2 B. I  2 2 tdt . 3 1 C. I  2 2 t dt . 3 1 D. I  14 . 9 Lời giải Chọn B e I  1 3 2t dx 1  3ln x dx , đặt t  1  3ln x  t 2  1  3ln x  2tdt  dx  dt  . x 3 x x Đổi cận: x  1  t  1 ; x  e  t  2 . 2 2 2 14 2t 2 dt  t 3  . 9 1 9 3 1 I  Câu 58: (THPT Trần Hưng Đạo-TP HCM năm 2017-2018) Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  2 thỏa mãn F  5  7 . 2x 1 A. F  x   2 2 x  1 . B. F  x   2 2 x  1  1 . C. F  x   2 x  1  4 . D. F  x   2 x  1  10 . Lời giải Chọn B Ta có  d  2 x  1 2  2 2x 1  C ; dx  2  2x 1 2 2x 1 Do F  5  7 nên 6  C  7  C  1 . Câu 59: (THPT Trần Hưng Đạo-TP HCM năm 2017-2018) Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f  x    5 x  1 e x và F  0   3 . Tính F 1 . A. F 1  11e  3 . B. F 1  e  3 . C. F 1  e  7 . Lời giải Chọn C Ta có F  x     5 x  1 e x dx . u  5 x  1 du  5dx  Đặt  . x x dv  e dx  ve F  x    5 x  1 e x   5e x dx   5 x  1 e x  5e x  C   5 x  4  e x  C . Mặt khác F  0   3  4  C  3  C  7 .  F  x   5x  4 ex  7 . Vậy F 1  e  7 . D. F 1  e  2 . Câu 60: (THPT Trần Hưng Đạo-TP HCM năm 2017-2018) Cho y  f  x  , y  g  x  là các hàm số có 2 đạo hàm liên tục trên  0; 2 và 2 0 g  x  . f   x  dx  2 ,  g  x  . f  x  dx  3 . Tính tích phân 0 2 I    f  x  .g  x   dx . 0 B. I  6 . A. I  1 . C. I  5 . D. I  1 . Lời giải Chọn C 2 2 Xét tích phân I    f  x  .g  x   dx    f   x  .g  x   f  x  .g   x   dx 0 2 0 2   g   x  . f  x  dx   g  x  . f   x  dx  5 . 0 0 Câu 61: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc 3 v  t   m/s  , có gia tốc a  t   v  t   m/s 2  . Biết vận tốc của ô tô tại giây thứ 6 bằng  t 1 6  m/s  . Tính vận tốc của ô tô tại giây thứ 20 . A. v  3ln 3 . B. v  14 . C. v  3ln 3  6 . Hướng dẫn giải D. v  26 . Chọn C 3  3ln t  1  C . t 1 Lại có: v  6   6  3ln 7  c  6  c  6  3ln 7 . Ta có: v  t    a  t dt   Suy ra v  20   3ln 21  6  3ln 7  3ln 3  6 . Vậy vận tốc của ôtô tại giây thứ 20 bằng 3ln 3  6 . 5 Câu 62: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Tính tích phân I    x  1 ln  x  3 dx ? 4 A. 10 ln 2 . B. 10 ln 2  19 19 . C.  10 ln 2 . 4 4 Hướng dẫn giải D. 10 ln 2  Chọn D 1  du  dx  u  ln  x  3  x  3 Đặt  .  dv  x  1 v  1 x 2  x  2 1 2 5 2 5 5 5 2x x 1 2  I   x  x  ln  x  3   dx  35 ln 2  1 x  9  9 dx  x  3  3dx 4 x  3 4 4 x3 2  2 2 4 x  3  35 19  ln 2    3  9 ln 2   1  3ln 2  2 22   10 ln 2  19 . 4 19 . 4 Câu 63: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  4;    và 5 f 2  x  4 dx  8 . Tính I   x. f  x  dx . 0 3 A. I  8 . B. I  4 . C. I  16 . D. I  4 . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt x  4  t  x  t 2  4 . 3 3 x  0  t  2 2 Khi   8   f  t  d  t  4    2t. f  t  dt  8 . x  5  t  3 2 2 3 3 3 Mà  2t. f  t  dt   2 x. f  x  dx   x. f  x  dx  4  I  4 . 2 2 2 Câu 64: (THPT Lương Văn ChasnhPhus Yên năm 2017-2018) Tìm nguyên hàm của hàm số 2 . f  x  4x  3 2dx 3 2dx 1 3  A.  B.   2 ln  2 x    C .  ln 2 x   C . 4x  3 2 4 x  3 2 2   C. 2dx 1  3  4 x  3  2 ln  2 x  2   C . D. 2dx 1  4 x  3  4 ln 4 x  3  C . Lời giải Chọn B Ta có nguyên hàm của hàm số f  x   2 2dx 1 3 là:   ln 2 x   C , vì: 4x  3 4x  3 2 2 1 3  1 2 2 ln 2 x   C  .   f  x . 2  3 2 4x  3   2 2x  2 Câu 65: (THPT Lương Văn ChasnhPhus Yên năm 2017-2018) Cho F  x    ax 2  bx  c  e2 x là một nguyên hàm của hàm số T  a  2b  4c . A. T  3035 .   f  x   2018 x 2  3 x  1 e2 x B. T  1007 . trên khoảng C. T  5053 . Lời giải  ;   . Tính D. T  1011 . Chọn A Vì F  x    ax 2  bx  c  e 2 x là một nguyên hàm của hàm số f  x    2018 x 2  3 x  1 e2 x trên khoảng  ;   nên ta có:  F  x    f  x  , với mọi x   ;   .   2ax 2  x  2b  2a   2c  b  e 2 x   2018 x 2  3 x  1 e 2 x , với mọi x   ;   .  a  1009 2a  2018  2021   .  2b  2a  3  b   2 2c  b  1   2023  c   4  2021   2023  Vậy T  a  2b  4c  1009  2.     4.     3035 . 2  4    Câu 66: (THPT Lương Văn ChasnhPhus Yên năm 2017-2018) Cho F  x  là một nguyên hàm của 1 hàm số f  x   x thỏa mãn F  0   10 . Tìm F  x  . 2e  3 1 ln 5 1 A. F  x   x  ln  2e x  3  10  . B. F  x   x  10  ln  2e x  3 . 3 3 3     1 3  1 3  ln 5  ln 2   C. F  x    x  ln  e x     10  ln 5  ln 2 . D. F  x    x  ln  e x     10  . 3 2  3 2  3   Lời giải Chọn A F  x    f  x  dx   1 ex d x    2e x  3 e x dx . 2e x  3 Đặt t  e x  dt  e x dx . Suy ra F  x   1 1 t 1  ex  1 x dt  ln  C  ln  x   C  x  ln  2e  3  C . 2 t  3 t 3 2 t  3 3 2e  3 3       1 ln 5  0  ln 5  C  C  10  . 3 3 1 ln 5 Vậy F  x   x  ln  2e x  3  10  . 3 3 Vì F  0   10 nên 10    f  x  thỏa mãn Câu 67: (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018) Cho hàm số f   x   2018x ln 2018  cos x và f  0   2 . Phát biểu nào sau đúng? A. f  x   2018x  sin x  1 . C. f  x   B. f  x   2018x  sin x  1 . ln 2018 2018x  sin x  1 . ln 2018 D. f  x   2018x  sin x  1 . Lời giải Chọn D Ta có f  x     2018 x ln 2018  cos x  dx  2018x  sin x  C Mà f  0   2  20180  sin 0  C  2  C  1 Vậy f  x   2018 x  sin x  1 . Câu 68: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   x 2  2 x  3 thỏa mãn F  0   2 , giá trị của F 1 bằng A. 4 . B. 13 . 3 C. 2 . Lời giải Chọn B Ta có: 2  x  2 x  3dx  x3  x 2  3x  C . 3 D. 11 . 3 F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  có F  0   2  C  2 . Vậy F  x   x3 13  x 2  3 x  2  F 1  . 3 3 Câu 69: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  xe x , trục hoành và đường thẳng x  1 là: A.  e 4 2  1 . B. 1 2  e  1 . 4  e 4 C. 4  1 . D. 1 4  e  1 . 4 Lời giải Chọn A Xét phương trình hoành độ giao điểm Thể tích khối tròn xoay thu được là: 1 V   0 xe x  0  x  0 . 1 1 2 1   1 x e x dx    xe2 x dx    xe2 x  e2 x    e 2  1 . 4 0 4 2 0  Câu 70: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin  2 x  1 là: 1 A. F ( x)   cos  2 x  1  C . 2 1 C. F ( x)   cos  2 x  1 . 2 1 B. F ( x)  cos  2 x  1  C . 2 D. F ( x)  cos  2 x  1 . Lời giải Chọn A 1 1  sin  2 x  1 dx  2  sin  2 x  1 d  2 x  1   2 cos  2 x  1  C . Câu 71: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hàm số y  f ( x)  ax  bx  cx  d  a, b, c, d  , a  0  có đồ thị là  C  . Biết rằng đồ thị  C  đi qua 3 2 gốc tọa độ và đồ thị hàm số y  f ‘( x) cho bởi hình vẽ bên. Tính giá trị H  f (4)  f (2) ? A. H  45 . B. H  64 . C. H  51 . Lời giải Chọn D D. H  58 . Theo bài ra y  f ( x)  ax3  bx 2  cx  d  a, b, c, d  , a  0  do đó y  f   x  là hàm bậc hai có dạng y  f   x   ax 2  bx  c .  c  1  a  3   Dựa vào đồ thị ta có: a  b  c  4  b  0  y  f   x   3x 2  1 . a  b  c  4 c   1   Gọi S là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f   x  , trục Ox , x  4, x  2 . 4 Ta có S    3 x 2  1 dx  58 . 2 4 4 Lại có: S   f   x  dx  f  x   f  4   f  2  . 2 2 Do đó: H  f  4   f  2   58 . Câu 72: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Tìm 1 1 x. sin 2 x  cos 2 x  C . 2 4 1 1 C. x sin 2 x  cos2 x  C . 2 2  x cos 2 xdx . B. x. sin 2 x  cos 2 x  C . A. D. 1 1 x. sin 2 x  cos 2 x  C . 2 4 Lời giải Chọn D du  dx u  x   Đặt:  . 1 dv  cos 2 xdx v  sin 2 x  2 1 1 1 1 Khi đó:  x cos 2 xdx  x sin 2 x   sin 2 xdx  x sin 2 x  cos 2 x  C . 2 2 2 4  2 Câu 73: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Biết  cos xdx  a  b 3 , với a , b  3 là các số hữu tỉ. Tính T  2a  6b . A. T  3 . B. T  1 C. T  4 . D. T  2 . Lời giải Chọn B  2  Ta có:  cos xdx  sin x 2  1   3 3 . Vậy 2a  6b  2  3  1 . 2 3 Câu 74: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục và 2 có đạo hàm trên  thỏa mãn f  2   2 ;  0 A . I  10 . 4 f  x dx  1 . Tính tích phân I   f  B. I  5 . C. I  0 . Lời giải Chọn A  x dx . 0 D. I  18 . Đặt t  x , ta có: t 2  x và 2tdt  dx . Khi x  0  t  0 ; x  4  t  2 . 4 I  2 f  x dx   2tf   t dt . 0 0 Đặt u  2t ; dv  f   t  dt ta được: du  2dt ; v  f  t  . 2 2 Khi đó: I   2tf  t    2  f  t dt  4 f  2   2.1  4.  2   2  10 . 0 0 Câu 75: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Tính thể tích V của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x 2 ; y  x quanh trục Ox . A. V  9 . 10 B. V  3 . 10 C. V   10 . D. V  7 . 10 Lời giải Chọn B y y  x2 y x 1 O x 1 Phương trình hoành độ giao điểm x 2  x  x 4  x  0  x  x  1  x 2  x  1  0  x  0 hoặc x  1 Khi đó: 1 Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình  H  là V    0 Câu  x 2 1 2 dx     x 2  dx  0 3 10 76: 6 (THPT Trần Nhân Tông-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho  f  x  dx  12 . Tính 0 2 I   f  3x  dx . 0 A. I  6 . B. I  36 . C. I  2 . Hướng dẫn giải D. I  4 . Chọn D 2 2 Ta có I   f  3x  dx   f  3x  0 Câu 77: 1 0 (THPT  1 Trần d  3x  1 6 12   f  x  dx   4 . 3 30 3 Nhân Tông-Quảng 1    x  1  x  2  dx  a ln 2  b ln 3 với a , b Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 0 A. a  b  2 . B. a  2b  0 . C. a  b  2 . Hướng dẫn giải D. a  2b  0 . Chọn D 1 Ta có: 1 dx 0 x  1  ln x  1 0  ln 2 và 1 1 dx  x  2  ln x  2 0  ln 3  ln 2 0 1 1   1  Do đó    dx  ln 2   ln 3  ln 2   2 ln 2  ln 3  a  2 , b  1 . x 1 x  2  0 Vậy a  2b  0 . Câu 78: (THPT Trần Nhân Tông-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho F ( x)  hàm của hàm số f ( x) . Tính x e  f ( x) ln xdx bằng: 1 2 A. I  e 3 . 2e 2 1 là một nguyên 2×2 B. I  2  e2 . e2 e2  2 . e2 Hướng dẫn giải C. I  D. I  3  e2 . 2e 2 Chọn A Do F ( x)  e Tính I   1 f ( x)  1  1 f ( x) 1 là một nguyên hàm của hàm số nên   2   f  x   2 . 2 x 2x x x  2x  1 ln x  u  dx  du . f ( x) ln xdx . Đặt   x  f   x  dx  dv  f  x   v  e e Khi đó I  f  x  .ln  x  1   1 e e f  x 1 1 e2  3 . dx   2 .ln  x   2  x 2x 1 2e 2 x 1 Câu 79: (THPT Trần Nhân Tông-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Một chiếc xe đua đang chạy 180 km/h . Tay đua nhấn ga để về đích kể từ đó xe chạy với gia tốc a  t   2t  1 ( m/s 2 ). Hỏi rằng 5 s sau khi nhấn ga thì xe chạy với vận tốc bao nhiêu km/h . A. 200 . B. 243 . C. 288 . D. 300 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có v  t    a  t  dt    2t  1 dt  t 2  t  C . Mặt khác vận tốc ban đầu là 180 km/h hay 50 m/s nên ta có v  0   50  C  50 . Khi đó vận tốc của vật sau 5 giây là v  5  52  5  50  80 m/s hay 288 km/h . 3 x dx thành Câu 80: (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Biến đổi  0 1 1 x 2  f  t  dt 1 với t  1  x . Khi đó f  t  là hàm số nào trong các hàm số sau đây? A. f  t   2t 2  2t . B. f  t   t 2  t . C. f  t   2t 2  2t . D. f  t   t 2  t . Hướng dẫn giải Chọn A t  1  x  t 2  1  x  2tdt  dx . x t 2 1   t 1. 1 1 x 1 t Vậy f  t   2t  t  1  2t 2  2t . Câu 81: (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho phần vật thể   giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x  0 và x  2 . Cắt phần vật thể   bởi mặt phẳng vuông góc với  0  x  2  , ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài 2  x . Tính thể tích V của phần vật thể   . trục Ox tại điểm có hoành độ x cạnh bằng x 3 . 3 Hướng dẫn giải 4 A. V  . 3 B. V  C. V  4 3. D. V  y3. 3 Chọn B Diện tích thiết diện: S   x2  2  x  3 . 4 2 x2  2  x  3 3 2 V   dx  x  2  x  dx 4 0 4 0 2 2 2 O 2 x 1 2 2 3 2 32 3 1 4 3 .  x  2  x  dx  x  x     4 0 4 3 4 0 3 Câu 82: (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có đồ thị  C  là đường cong như hình bên. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  , trục hoành và hai đường thẳng x  0 , x  2 (phần tô đen) là A. 2  f  x  dx . 0 1 2 B.   f  x  dx   f  x  dx . 0 C. 1 1 2  f  x  dx   f  x  dx . 0 1 D. 2  f  x  dx . 0 Lời giải Chọn C Dựa vào hình vẽ ta nhận thấy: khi x   0;1 thì f  x   0 , khi x  1; 2  thì f  x   0 . Vậy S  1 2  f  x  dx   f  x  dx . 0 1 2 Câu 83: (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Tính tích phân: I   1 A. I  1  ln 2 . B. I  2 ln 2 . x 1 dx . x D. I  C. I  1  ln 2 . 7 . 4 Lời giải Chọn C 2 2 2 x 1  1 Ta có I   dx   1   dx   x  ln x  1  1  ln 2 . x x 1 1 3 Câu 84: (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Biết rằng  x ln x dx  m ln 3  n ln 2  p , 2 trong đó m , n , p   . Khi đó số m là A. 9 . 2 B. 18 . C. 9 . D. 27 . 4 Lời giải Chọn A du  dx u  ln x  Đặt   x2 v  dv  xdx   2 3 3 3 x2 x2 9 x3 ln x   dx  ln 3  2 ln 2    x ln x dx  2 2 2 6 2 2 2 Vậy m  3 2 9  m  2  9 19  ln 3  2 ln 2    n  2 2 6  19 p   6  9 . 2 Câu 85: (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên 2 tục trên  và có đồ thị hình bên. Tính tích phân I   f   2 x  1 dx . 1 4 3 2 2 -1 O 1 3 -1 2 B. I  1 . A. I  2 . C. I  1 . Lời giải D. I  2 . Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số ta có đồ thị hàm số y  f  x  đi qua các điểm  1; 1 ,  0;3 ,  2; 1 ,  3;3 nên hàm số y  f  x   x 3  3x 2  3 . 2 Ta có: I   1 2 2 1 1 1 f   2 x  1 dx   f   2 x  1 d  2 x  1  f  2 x  1 1   f  3  f 1   1 21 2 2 Câu 86: (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Chọn mệnh đề đúng? A.  sin  3  5 x  dx  5 cos  3  5 x   C . 1 C.  sin  3  5x  dx  cos  5 x  3  C . 5 1 B.  sin  3  5x  dx   cos  3  5x   C . 5 1 D.  sin  3  5 x  dx   cos  3  5 x   C . 3 Lời giải Chọn C 1  sin  3  5x  dx  5 cos  3  5x   C  cos  5x  3  C . Câu 87: (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Tính diện tích miền hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  2 x , y  0 , x  10 , x  10 . 2000 2008 A. S  . B. S  2008 . C. S  . D. 2000 . 3 3 Lời giải Chọn C x  0 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y  x 2  2 x và y  0 là x 2  2 x  0   . x  2 Trên đoạn  10;10 ta có x 2  2 x  0 , x   10;0 và  2;10 . x 2  2 x  0 , x   0; 2 . 10 Do đó S   10 0 x 2  2 x dx   x 10 2 2 10  2 x  dx    x 2  2 x  dx    x 2  2 x  dx  0 2 2008 ( đvdt). 3 Nhận xét: Nếu học sinh sử dụng MTCT tính tích phân mà không chia khoảng thì có sự sai khác về kết quả giữa máy casio và vinacal. Trong trường hợp này máy vinacal cho đáp số đúng. Câu 88: (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x   2017e x 2 1 và 1 f 1  f  1 . Chọn mệnh đề đúng? 2017 B. T  4035 . C. T  4033 . D. T  1 . Lời giải biểu thức T  f   x   2 xf  x   A. T  4033 . Chọn A Tập xác định D   .    2017. x  1 .e Đạo hàm f   x   2017. e x 2 2 1 x 2 1  2017.2 x.e x 2 1 . Ta có f  1  4034 và f 1  2017 . Do đó T  2017.2 x.e x Câu (THPT 89: 3 x 2 2 1  2 x.2017e x Hoàng Hoa 2 1  1 .2017  4034  4033 . 2017 Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) 5 x  12 dx  a ln 2  b ln 5  c ln 6 . Tính S  3a  2b  c .  5x  6 2 A. 3 . B. 14 . C. 2 . Lời giải D. 11. Chọn D Ta có:  A  B  x  3A  2B . 5 x  12 5 x  12 A B     x2  5x  6 x  5 x  6  x  2  x  3 x  2 x  3 2 A B  5 A  2 .   3 A  2 B  12 B  3 3 Nên 3 3 3 3 5 x  12 2 3 d x  d x  2 x2  5x  6 2 x  2 2 x  3 dx  2 ln x  2 2  3ln x  3 2  3ln 6  ln 5  2 ln 4  4 ln 2  ln 5  3ln 6 . Vậy S  3a  2b  c  11 . Biết Câu 1: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên 3 hàm của hàm số f ( x)   2 x  3 ? A. F  x   C. F  x    2 x  3 4 8  2 x  3 8 8. B. F  x   . D. F  x   4  2 x  3 4 3. 8  2 x  3 4 4 . Lời giải Chọn D 4 Ta có  1  2 x  3 f  x  dx    2 x  3 dx  . C . 2 4 3 π 3 sin x dx . cos3 x 0 Câu 2: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Tính tích phân I   A. I  5 . 2 B. I  3 . 2 C. I  π 9 .  3 20 D. I  9 . 4 Lời giải Chọn B Đặt t  cos x  dt   sin xdx . π 1 Đổi cận: x  0  t  1 ; x   t  . 3 2 1 2 1 1 1 1 Khi đó: I   3 dt   3 dt  2 t 2t 1 t 1 2 1 1 2 1 3  2 . 2 2 Câu 3: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho parabol  P  : y  x 2 và hai điểm A , B thuộc  P sao cho AB  2 . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol  P  và đường thẳng AB . 3 A. . 2 B. 4 . 3 C. 3 . 4 D. Lời giải Chọn B y y=x2 B A O 1 x Gọi A  a; a 2  và B  b; b2  là hai điểm thuộc  P  sao cho AB  2 . 5 . 6 Không mất tính tổng quát giả sử a  b . 2 2 2 2 Theo giả thiết ta có AB  2 nên  b  a    b 2  a 2   4   b  a   b  a   1  4 .   Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là y   b  a  x  ab . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol  P  và đường thẳng AB ta có b b 3  b  a  . x2 x3  S    a  b  x  ab  x  dx   a  b   abx    2 3 a 6  a 2 2 2 2 Mặt khác  b  a   b  a   1  4 nên b  a  b  a  2 do  b  a   1  1 .   b  a  S Vậy 3  6 4 23 . Vậy S max  . 3 6 1 Câu 4: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Tích phân I    x  1 0 x2  1 a , b , c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức a  b  c ? A. 3 . B. 0 . C. 1. Lời giải Chọn D 1 I  0  x  1 2 1 2x   2 dx    1  2 dx  x  ln x  1 2 x  1 x 1  0   2 dx  a ln b  c , trong đó D. 2 . 1  1  ln 2 . 0 Khi đó a  1 , b  2 , c  1 . Vậy a  b  c  2 . Câu 5: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Nguyên hàm của f  x   sin 2 x.esin 2 A. sin 2 x.esin 2 x 1 C. B. 2 2 esin x 1 C. sin 2 x  1 2 C. esin x  C . D. esin x 1 C . sin 2 x  1 Lời giải Chọn C 2 2 2 Ta có  sin 2 x.esin x dx   esin x d  sin 2 x   esin x  C Câu 6: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Nguyên hàm của f  x   1  ln x dx  ln ln x  C . x.ln x 1  ln x C.  dx  ln x  ln x  C . x.ln x A.   Chọn D 1  ln x dx . x.ln x Đặt x ln x  t   ln x  1 dx  dt . Khi đó ta có Ta có I   f  x  dx   I  1  ln x là x.ln x 1  ln x dx  ln x 2 .ln x  C . x.ln x 1  ln x D.  dx  ln x.ln x  C . x.ln x Lời giải B. x 1  ln x 1 dx   dt  ln t  C  ln x.ln x  C . x.ln x t Câu 7: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Khẳng định nào đây sai. là A. 2  2 x  3 dx  ln 2 x  3  C. C.  e 2 x dx  e2 x  C. B.  tan xdx   ln cos x  C. D. 2 1 x dx  x  C . Lời giải Chọn C e 2x dx  1 2x e  C. 2  2 Câu 8: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho tích phân sin x dx  a ln 5  b ln 2   cos x  2 3 với a, b  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2a  b  0. B. a  2b  0. C. 2a  b  0. Lời giải D. a  2b  0. Chọn A Đặt t  cos x  2  dt   sin xdx  5  Đổi cận x   t  , x   t  2 3 2 2  2 2 3 2 5 2 5 1 5 1 sin x 2  ln  ln 2  ln 5  2 ln 2 d x   dt  dt  ln t 5 t 2 t  cos x  2 2 2 Vậy ta được a  1; b  2 . A. I  x 2  x  2 ln x  3  C. 2 x2  7 x  5 dx . x3 B. I  x 2  x  2 ln x  3  C. 2 C. I  2 x  x  2 ln x  3  C. D. I  2 x 2  x  2 ln x  3  C. Câu 9: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Tính nguyên hàm I   Lời giải Chọn A 2 x2  7 x  5 2   2 dx    2 x  1  Ta có: I    dx  x  x  2 ln x  2  C . x3 x2  5 Câu 10: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hai tích phân  f  x  dx  8 2 2 5  g  x  dx  3 . Tính I    f  x   4 g  x   1 dx . 5 2 A. I  11 . B. I  13 . C. I  27 . Lời giải D. I  3 . Chọn B 5 Ta có: I    f  x   4 g  x   1 dx  2 5  2 2 5 f  x  dx  4  g  x  dx  x 2  8  4.3   5  2   13 . 5 và π Câu 11: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Tính tích phân I   x 2 cos 2 xdx bằng 0 u  x 2 cách đặt  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? dv  cos 2 xdx π A. I  1 2 x sin 2 x π0   x sin 2 xdx . 2 0 C. I  1 2 x sin 2 x π0  2 x sin 2 xdx . 2 0 π B. I  1 2 x sin 2 x π0  2  x sin 2 xdx . 2 0 D. I  1 2 x sin 2 x π0   x sin 2 xdx . 2 0 π π Lời giải Chọn A du  2 xdx u  x 2  Ta có:  .  1 dv  cos 2 xdx v  sin 2 x  2 π π Khi đó: I   x 2 cos 2 xdx  0 1 2 x sin 2 x π0   x sin 2 xdx . 2 0 Câu 12: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn f   x   2018 f  x   2018.x 2017 .e 2018 x với mọi x   và f  0   2018. Tính giá trị f 1 . A. f 1  2019e 2018 . B. f 1  2018.e 2018 . C. f 1  2018.e2018 . D. f 1  2017.e 2018 . Lời giải Chọn A Ta có: f   x   2018 f  x   2018.x 2017 .e 2018 x  1  0 f   x   2018. f  x   2018.x 2017 e 2018 x 1 f   x   2018. f  x  2017 d x  0 2018.x dx 1 e2018 x 1 Xets I   0 1 1 f   x   2018. f  x  2018 x  d x  f x .e d x  2018. f  x  .e 2018 x dx   2018 x   e 0 0 1 u  f  x  du  f   x  dx Xét I1   2018. f  x  .e 2018 x dx . Đặt  .  2018 x dx v  e 2018 x 0 dv  2018.e 1 Do đó I1  f  x  .  e 2018 x  10   f   x  .e2018 x dx  I  f 1 .e 2018 x  2018 0 Khi đó 1  f 1 .e 2018 x  2018  x 2018 1 0  f 1  2019.e 2018 . e Câu 13: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Tính tích phân I   x ln xdx. 1 A. I  1 . 2 2 B. I  e 2 . 2 2 C. I  Lời giải Chọn C e 1 . 4 D. I  e2  1 . 4 1  u  ln x  du  x dx Đặt  . 2 dv  xdx  v  x  2 e e e 1 1 1 1 e 1 1 1 1 e2  1  I  x 2 ln x   xdx  x 2 ln x  x 2  e 2   e2  1  e 2   . 4 4 4 2 21 2 4 1 2 4 1 1 Câu 14: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi C  : y  x , y  x  2 và trục hoành (hình vẽ). Diện tích của  H  bằng y C  2 O d A. 10 . 3 B. 16 . 3 4x 2 C. 7 . 3 D. 8 . 3 Lời giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x và y  x  2 :  x  2 x  2 x  x2    x  4. 2   2  x   x  2   x  5x  4  0 Diện tích hình phẳng  H  là 2 4 S   xdx   0 2 4 x   x  2  dx   xdx   2 0 2  3 2 2 4  32  2x 2x x2 10    2x   . x  x  2 dx    3 3 2  3   2 0  Câu 15: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2 x thỏa mãn F  0   5 . 2 3 C. F  x   e x  x 2  . 2 A. F  x   e x  x 2  3 . Tìm F  x  . 2 1 . 2 1 D. F  x   e x  x 2  . 2 Lời giải B. F  x   2e x  x 2  Chọn D F  x     e x  2 x  dx  e x  x 2  C . 3 3 1  e0  C   C  . 2 2 2 1 F  x   ex  x2  . 2 F 0  Câu 16: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Cho lập phương có cạnh bằng a và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S1 là diện tích 6 mặt của hình lập phương, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Hãy tính tỉ số S2 . S1 A. S2 1  . S1 2 B. S2   . S1 2 C. S2  . S1 D. S2   . S1 6 Lời giải Chọn D Ta có S1  6a 2 , S2  2 rh   a 2 S S1 6a 2 6  Vậy  2   2  S1 6 S2  a  Câu 17: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  với 1 f  0   f 1  1 . Biết rằng:  e x  f  x   f   x   dx  ae  b Tính Q  a 2017  b 2017 . 0 A. Q  2 2017  1. B. Q  2 . C. Q  0 . D. Q  22017  1 . Lời giải Chọn C u  f  x  du  f   x  dx Đặt  .   x x dv  e dx v  e 1 2 1 1 x x x x  e  f  x   f   x  dx  e f  x    e f   x  dx   e f   x  dx  ef 1  f  0   e  1 . 1 0 0 0 Do đó a  1 , b  1 . Suy ra Q  a 2017  b2017  12017   1 2017  0. Vậy Q  0 . Câu 18: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm f  x  có đạo hàm liên tục trên 3  2;3 đồng thời f  2   2 , f  3  5 . Tính  f   x  dx bằng 2 A. 3 . B. 7 . C. 10 Lời giải D. 3 . Chọn D 3 Ta có 3  f   x  dx  f  x  2  f  3   f  2   3 . 2 Câu 19: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   sin 3x là 1 A.  cos3 x  C . 3 B. 1 cos3 x  C . 3 C. 3cos3x  C . Lời giải Chọn A Ta có  sin 3 xdx  1 1 sin 3xd3 x   cos 3 x  C .  3 3 D. 3cos3x  C . Câu 20: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  1 và thỏa mãn  5 2 f  x  dx  9 . Tính tích phân   f 1  3 x   9  dx . 0 A. 27 . C. 15 . Lời giải B. 21 . D. 75 . Chọn B Đặt t  1  3x  dt  3dx . Với x  0  t  1 và x  2  t  5 . 5 2 Ta có 2 2 dt f 1  3 x  9 d x  f 1  3 x d x         0  0 0 9dx  1  f  t  3  9 x 1 2 0  1  f  x   dx  18 3 5  1  .9  18  21 . 3 Câu 21: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 1 và chiều cao h  3 (hình vẽ). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là S C A H M B A. 100 . 3 B. 25 . 3 100 . 27 Lời giải D. 100 . C. Chọn C * Gọi D là điểm đối xứng của A qua tâm H khi đó D thuộc mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. * Do  SAD  là mặt phẳng đối xứng của hình chóp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD là đường tròn lớn của mặt cầu. S C A H M D B * Ta có: AD  10 4 2 3 , SA  SD  SH 2  AH 2  , bán kính mặt cầu ngoại tiếp AM  3 3 3 hình chóp là R SA.SD. AD SA.SD. AD SA2 5    4 SSAD 2 AD.SH 2 SH 3 3 Diện tích mặt cầu là S  4 R 2  100 . 27 1 Câu 22: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Tích phân 1  2 x  5 dx bằng 0 1 7 A. log . 2 5 1 7 B. ln . 2 5 1 5 C. ln . 2 7 Lời giải D.  4 . 35 Chọn B 1 1 1 1 1 1 1 1 7 d x  d  2 x  5   ln  2 x  5  ln . 0 2 x  5  2 0 2x  5 2 5 2 0 Ta có Câu 23: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho biết  xe 2x dx  1 2x e  ax  b   C , trong đó 4 a, b   và C là hằng số bất kì. Mệnh đề nào dưới đây là đúng. A. a  2b  0 . B. b  a . C. ab . D. 2a  b  0 . Lời giải Chọn A Đặt u  x  du  dx , dv  e 2 x dx  v  2x  xe dx  Ta có e2 x . 2 xe 2 x e2 x xe 2 x e 2 x e2 x  dx   C   2 x  1  C . Suy ra a  2 , b  1 . 2 2 2 4 4 Câu 24: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm, liên tục trên  và f  x   0 khi x   0;5 Biết f  x  . f  5  x   1 tính tích phân I   . A. I  5 . 4 B. I  , 5 . 3 C. I  5 0 5 . 2 dx . 1 f  x D. I  10 . Lời giải Chọn C Đặt x  5  t  dx  dt x  0 t  5; x  5 t  0 5 f  t  dt 1 dt (do f  5  t   )  5 1 f 5  t 0 1 f t f t     I   0 5  2 I   dt  5  I  0 5 . 2 Câu 25: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Biết rằng hàm số f  x   ax 2  bx  c thỏa mãn 1  0 7 f  x  dx   , 2 P  abc . 3 A. P   . 4 2  3 f  x  dx  2 và 0  f  x  dx  0 B. P   4 . 3 C. P  Lời giải Chọn B 13 (với a , b , c   ). Tính giá trị của biểu thức 2 4 . 3 D. P  3 . 4 d Ta có  0 d b a b a  f  x  dx   x3  x 2  cx   d 3  d 2  cd . 2 2 3 0 3 1 7 7 a b   f  x  dx    c    2  0  3 2 2 a  1   2  4 8 Do đó:   f  x  dx  2   a  2b  2c  2  b  3 . Vậy P  a  b  c   3 3 0  16 9 13 3 c    3  9a  2 b  3c  2   f  x  dx  13  2  0 2 Câu 26: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Tích phân  2e 2 x dx bằng 0 4 4 A. e . 4 B. e  1 . D. 3e 4  1 . C. 4e . Lời giải Chọn B 2 2 2 2x Ta có I   2e dx   e 2 x d2 x  e 2 x  e 4  1 . 0 0 0 2 Câu 27: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Tích phân  min  x 2 ,3 x  2 dx bằng 0 A. 2 . 3 11 . 6 B. C. 2 . 3 D. 17 . 6 Lời giải Chọn B x  1 Ta có x 2  3 x  2  x 2  3 x  2  0   . x  2 Suy ra x 2  3 x  2 âm trên khoảng  0,1 ; dương trên 1, 2  . Vậy min  x 2 ,3 x  2  3 x  2 , min  x 2 ,3 x  2  x 2 [0,1] [1,2] 2 1 2 1 7 11 Vậy  min  x 2 ,3 x  2dx    3 x  2  dx   x 2 dx     . 2 3 6 0 0 1 Câu 28: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x và tiếp tuyến với đồ thị tại M  4, 2  và trục hoành là A. 8 . 3 B. 3 . 8 C. 1 . 3 D. 2 . 3 Lời giải Chọn A Gọi d là phương trình tiếp tuyến của hàm số y  x tại M  4, 2   d : y  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x , d và trục Ox là 0 4 8 1  1  S    x  1 dx    x  1  x  dx  . 4 4 3   4  0 1 x  1. 4 Câu 29: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Tìm A. F  x   2 x  C. F  x   4 ln 3 x  1  C . 3 6x  2  3x  1 dx . B. F  x   2 x  4 ln 3 x  1  C . 4 ln 3x  1  C . 3 D. F  x   2 x  4 ln  3 x  1  C . Lời giải Chọn A 6x  2  4 4   3x  1 dx    2  3x  1  dx  2 x  3 ln 3x  1  C . Câu 30: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số   f  x   sin 3x thỏa mãn F    2 . 2 cos 3 x 5  . 3 3 C. F  x    cos 3x  2 . cos 3 x  2. 3 D. F  x   cos 3x  2 . A. F  x    B. F  x    Lời giải Chọn B cos 3 x    C , vì F    2 nên C  2. 3 2 Câu 31: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho Ta có  sin 3 xdx    ax  b  ce x x 2  1   dx  9 x 2  1  2 ln x  x 2  1  5e x  C . Tính giá trị biểu thức   2  x 1   M  abc.  A. 6 . B. 20 .  C. 16 . D. 10 . Lời giải Chọn C  Ta có 9 x 2  1  2 ln x  x 2  1  5e x       9x x2  1 1 2 x x 2 x  1  5e x  9 x  2  5e x  1 . x  x2  1 x2  1 2 Do đó a  9 , b  2 , c  5 . Suy ra M  a  b  c  16 . 22018 Câu 32: (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Tính tích phân I   1 A. I  2018.ln 2  1 . B. I  2 2018 . C. I  2018.ln 2 . Lời giải dx . x C. I  2018 . Chọn C Ta có: I  ln x 22018 1  ln  22018   ln1  2018.ln 2 . 7 Câu 33: (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Cho biết  x3 3 0 một phân số tối giản. Tính m  7 n . A. 0 . B. 1 . C. 2 . Lời giải 1 x 2 dx  m m với là n n D. 91 . Chọn B Đặt t  3 1  x 2  t 3  1  x 2  3t 2dt  2 xdx  xdx  3t 2 dt . 2 Đổi cận: khi x  0  t  1 ; khi x  7  t  2 7 2 2 t 3  1 3t 2 3 3  t5 t2  141 4 . d x  . d t  . t  t d t  .      0 3 1  x2 1 t 2  2 1 2  5 2  1 20  m  7 n  141  7.20  1 . x3 2 Câu 34: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Tìm hàm số F  x  biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   x và F 1  1 . 2 x x. 3 1 1 C. F  x    . 2 x2 2 2 1 x x . 3 3 2 5 D. F  x   x x  . 3 3 Lời giải A. F  x   B. F  x   Chọn B Ta có: F  x    x dx 2 2 Đặt t  x suy ra t 2  x và dx  2dt . Khi đó I   t.2tdt  t 3  C  I  x x  C . 3 3 1 2 1 Vì F 1  1 nên C  .Vậy F  x   x x  . 3 3 3 Câu 35: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 z 2  3 z  4  0 . Tính w  1 1   iz1 z2 . z1 z2 3 A. w    2i . 4 3  2i . 4 B. w  3 C. w  2  i . 2 Lời giải Chọn B Ta có w  z z 1 1   iz1 z2  w  1 2  iz1 z2 . z1 z2 z1 z2 3  3  z1  z2  Theo định lý Vi-et ta có  2 khi đó ta có w   2i . 4  z1 z2  2 D. w  3  2i . 2 Câu 36: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho F  x   hàm của hàm số f  x   A. S  2 . 1  ln x , trong đó a , b   . Tính S  a  b . x2 B. S  1 . C. S  2 . Lời giải a  ln x  b  là một nguyên x D. S  0 . Chọn B  1  ln x  Ta có I   f  x  dx     dx . 2  x  1 1  ln x  u  x dx  du  Đặt  1  khi đó 1 d x  d v   v  x 2  x 1 1 1 1 1 I   1  ln x    2 dx   1  ln x    C    ln x  2   C  a  1; b  2 . x x x x x Vậy S  a  b  1 . 2 Câu 37: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Tích phân I   x.e 2 x dx là 0 4 A. I  4 3e  1 . 4 B. I  4 e . 4 C. I  1  3e . 4 D. I  3e 4  1 . 4 Lời giải Chọn D du  dx u  x   Đặt   1 2x . 2x dv  e dx v  e  2 2 I 2 2 2 1 1 1 2x 1 1 1 3e 4  1 . x.e   e 2 x dx  x.e 2 x  e 2 x  e 4  e 4   2 4 4 4 4 2 20 0 0 0 t Câu 38: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho G  t    1  x 2 dx . Khi đó 1 G  t  bằng A. t 1 t 2 . 1 B. 1 t 2 C.  t 2  1 t 2  1 . . D. 1  t 2 . Lời giải Chọn D Theo định nghĩa tích phân nếu gọi F  x    1  x 2 dx thì F   x   1  x 2 t và G  t    1  x 2 dx  F  t   F 1 . 1 Do đó G   t   F   t   1  t 2 . 5 x2  x  1 b 3 x  1 dx  a  ln 2 với a , b là các Câu 39: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Biết số nguyên. Tính S  b 2  a . A. S  1 . B. S  1 . C. S  5 . Lời giải D. S  2 . Chọn B 5 5 5  x2  x2  x  1 1  3  Ta có  dx    x  d x    ln x  1   8  ln .  x 1 x 1 2  2 3 3 3 Suy ra a  8 , b  3 , S  32  8  1 . Câu 40: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Cho hàm số 1 f  x   x 4  4 x 3  2 x 2  x  1 , x   . Tính  f 2  x  . f   x  dx . 0 A. 2 . 3 B. 2 . C.  2 . 3 D. 2 . Lời giải Chọn C 1 Ta có 1 f 3 1  f 3  0  f 3  x 2  .  f  x  .d  f  x    3 3 0 3 1 2 2  f  x  . f   x  dx   0 0 Câu 41: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;5 và f  5   10 , A. 20 . 5 5  xf   x  dx  30 . Tính  f  x  dx . 0 0 B. 30 . C. 20 . Lời giải D. 70 . Chọn A u  x  du  dx Đặt  dv  f   x  dx  v  f  x  5 5 5 5  x. f   x  dx   x. f  x     f  x  dx  30  5 f  5   f  x  dx 0 0 0 0 5   f  x  dx  5 f  5   30  20 . 0 Câu 42: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Thể tích của vật tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm y  tan x , trục Ox , đường thẳng x  0 , đường thẳng x  3 quanh trục Ox là A. V  3   3 . B. V  3   3 . C. V   3  Lời giải Chọn D Thể tích của vật tròn xoay là 2 3 . D. V   3  2 3 .   3    2  1   V    tan 2 xdx      1 dx    tan x  x  03    tan     3  . 2 cos x  3 3 3  0 0 3 Câu 43: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Đường thẳng nào dưới đây là đường tiệm 3  2x cận ngang của đồ thị hàm số y  ? x 1 A. y  2 . B. x  2 . C. x  1 . D. y  3 . Lời giải Chọn A 3  2x  2  y  2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x  x  1 Ta có: lim y  lim x  Câu 44: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SA  2a . Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD . A. V  a 3 15 . 6 B. V  a 3 15 . 12 C. V  2a 3 . 3 D. V  2a 3 . Lời giải Chọn A S A D H B C * Diện tích đáy là S ABCD  a 2 . * Gọi H là trung điểm của AB ta có SH  AB . Do SH   ABCD  nên chiều cao hình chóp là h  SH . * Xét tam giác SAH ta có: SH  SA2  AH 2  a 15 a 15 . h 2 2 1 a 3 15 * Thể tích hình chóp là VS . ABCD  SH .S ABCD  . 3 6 1  1  Câu 45: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Tính I     3 x  dx . 2x 1  0 A. 2  ln 3 . B. 4  ln 3 . C. 2  ln 3 . Lời giải Chọn A D. 1  ln 3 . 1 1 1 1  1  Ta có I     3 x  dx   dx  3 xdx 2x 1 2x 1  0 0 0 1  1 1 2 1 ln 2 x  1  3. x x  ln 3  2  ln 3  2 . 2 3 2 0 0 Câu 46: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Số nghiệm của phương trình 2log5  x 3  x là A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn B Đk: x  3 Đặt t  log 5  x  3  x  5t  3 , phương trình đã cho trở thành t t  2 1 2  5  3  2  3  5     3.    1 (1) 5 5 t t t t t t  2 1 Dễ thấy hàm số f  t      3.   nghịch biến trên  và f 1  1 nên phương trình (1) có 5 5 nghiệm duy nhất t  1 . Với t  1 , ta có log5  x  3  1  x  2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  2 . 4 Câu 47: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Cho  f  x  dx  16 . Tính 0 2  f  2 x  dx 0 A. 16 . B. 4 . C. 32 . Lời giải D. 8 . Chọn D 2 Xét tích phân  f  2 x  dx ta có 0 Đặt 2x  t  dx  1 dt . Khi x  0 thì t  0 ; khi x  2 thì t  4 . 2 2 Do đó  4 f  2 x  dx  0 4 1 1 1 f  t  dt   f  x  dx  .16  8 . 2 0 20 2 Câu 48: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên khoảng  2; 3 . Gọi F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên khoảng 2 I    f  x   2 x  dx , biết F  1  1 và F  2   4 . 1 A. I  6 . B. I  10 . C. I  3 . Lời giải D. I  9 . Chọn A 2 2 2 I    f  x   2 x  dx  F  x  1  x 2 1  F  2   F  1   4  1  4  1  3  6 . 1  2; 3 . Tính Câu (THPT 49: 3 Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Biết dx   x  2  x  4   a ln 2  b ln 5  c ln 7 ,  a, b, c    . Giá trị của biểu thức 2a  3b  c bằng 0 A. 5 . B. 4 . C. 2 . Lời giải D. 3 . Chọn D 3 3 3 dx 1  1 1  1 1 1 1 0  x  2  x  4   2 0  x  2  x  4  dx  2  ln x  2  ln x  4  0  2 ln 5  2 ln 7  2 ln 2 . 1 1 1 Khi đó: 2a  3b  c  2.  3.   3 . 2 2 2 Câu 50: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các x đường y  , y  0 , x  1 , x  4 quay quanh trục Ox bằng 4 15 15 21 21 A. . B. . C. . D. . 16 8 16 16 Lời giải Chọn D 4 4 x2 x3 21 dx    . 16 48 1 16 1 V  Câu 51: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 4  x 3 là A. 2 9 3 3 4  x  C . B. 2 4  x 3  C . C. 1 9 3 3 4  x  C . D. 2 3 3 4  x  C. Lời giải Chọn A Ta có  2 9 2 3  x 4  x dx  3 3 4  x  1 3 1 1 2 1 3 2 3 3 2 3 3  4  x d 4  x  . 4  x C 4  x d 4  x         3 3 3 3 C . 1 Chú ý: Trong lời giải viết dấu “  ” thay cho dấu “  ” vì 4  x3   4  x3  2 nhưng ta mượn 1 tạm công thức nguyên hàm của  4  x3  2 để tính nguyên hàm của 4  x3 . 100 Câu 52: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Tích phân  x.e 2x dx bằng 0 A. 1 199e200  1 . 4 B. 1 199e200  1 . 2 C. Lời giải Chọn C du  dx u  x  Đặt    1 2x 2x dv  e dx v  e  2 Khi đó: 1 199e200  1 . 4 D. 1 199e200  1 . 2 100  0 1 x.e dx  xe 2 x 2 100 2x 0 1  2 100 100 e 2x dx  50e 200 0 1 1 1 1  e2 x  50e 200  e 200   199e200  1 . 4 4 4 4 0 Câu 53: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số 2 f  x   e x  x 3  4 x  . Hàm số F  x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2 . B. 3 . C. 1 . Lời giải D. 4 . Chọn B 2 Ta có F   x   f  x   e x .x  x  2  x  2  . F   x  đổi dấu qua các điểm x  0 ; x  2 nên hàm số F  x  có 3 điểm cực trị. 2  ln  x  1 dx  a ln 3  b ln 2  c với Câu 54: (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Biết rằng 1 a , b , c là các số nguyên. Tính S  a  b  c A. S  0 . B. S  1 . C. S  2 . Lời giải D. S  2 . Chọn A 1  u  ln  x  1 dx du  Đặt   x 1 dv  dx v  x 2 2 2 x Khi đó, ta có:  ln  x  1 dx  x ln  x  1   dx 1 1 x 1 1 2 2 1    2ln 3  ln 2    1   dx  2ln 3  ln 2   x  ln x  1  1 x 1 1  2ln 3  ln 2   2  ln 3  1  ln 2   3ln 3  2ln 2  1 . Suy ra S  a  b  c  3  2  1  0 . 2 Câu 55: (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho  2 f  x  dx  2 và 1  g  x  dx  1 . Tính 1 2 I    x  2 f  x   3 g  x   dx 1 A. I  11 . 2 B. I  7 . 2 C. I  17 . 2 D. I  5 . 2 Lời giải Chọn C 2 2 2 2 x2 Ta có: I    x  2 f  x   3 g  x   dx   xdx  2  f  x  dx  3  g  x  dx  2 1 1 1 1 2 43 1 17 . 2 2 Câu 56: (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Tích phân I    2 x  1 dx có giá trị bằng 0 A. 1 . B. 2 . C. 3 . Lời giải Chọn B D. 0 . 2 2 I    2 x  1 dx   x 2  x   2 . 0 0 Câu 57: (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Tính nguyên hàm của hàm số  2018e x  f  x   e x  2017  . x5   2018 A.  f  x  dx  2017e x  4  C . x 504, 5 C.  f  x  dx  2017e x  4  C . x 504,5 C . x4 2018 f  x  dx  2017e x  4  C . x B.  f  x  dx  2017e D.  x  Lời giải Chọn B  f  x  dx    2017e x  2018 x 5  dx  2017e x  504, 5 C. x4 Câu 58: (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường cong ln x , trục hoành và đường thẳng x  e . Khối tròn xoay tạo thành khi quay  H  quanh trục x hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? y A. V   2 . B. V   3 . C. V   6 D. V   . . Lời giải Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  ln x ln x và trục hoành là  0  x 1 x x Khối tròn xoay tạo thành khi quay  H  quanh trục hoành có thể tích e e 2  ln 3 x    ln x  V    d x      .  x  3 1 3 1 4 2 1  Câu 59: (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Tính   x   dx . x 2 A. 208 . 17 B. 196 . 15 C. 305 . 16 D. 275 . 12 Lời giải Chọn D 4 2 4  x3 1 1 4 1    Ta có   x   dx    x 2  2  2  dx    2 x   x x 2 x   3 2 2  43 1   23 1  275 .   8   4   4  3 2 12  3 Câu 60: (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2 và y  x  2 là A. S  9 . B. S  9 . 4 C. S  9 . 2 D. S  8 . 9 Lời giải Chọn C  x  1 Phương trình hoành độ giao điểm là x 2  x  2   . x  2 2 Ta có S   1 2  x3 x 2  9 x  x  2 dx     2 x   .  3 2  1 2 2 π Câu 61: (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Tính J   x sin x dx . 0 A.  π . B. π . C. π . 4 π . 2 D. Lời giải Chọn B u  x  du  dx Đặt  .  dv  sin x dx v   cos x π π π Ta có J   x cos x 0   cos x dx  π  sin x 0   . 0 Câu 62: (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào? y f1  x  f2  x  a O x b b b A. V    f12  x   f 2 2  x   dx . B. V     f12  x   f 2 2  x   dx . a a b b C. V     f 2 2  x   f12  x   dx . 2 D. V     f1  x   f 2  x   dx . a a Lời giải Chọn B Do f1  x   f 2  x  x   a; b  nên Chọn B Câu 63: (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn y  xy 2 và f  1  1 thì giá trị f  2  là A. e 2 . B. 2e . D. e3 . C. e  1 . Lời giải Chọn D 3 Ta có y  xy 2  x C y y x3  x 2   dx   x 2dx  ln y   C  y  e 3 . y y 3 Theo giả thiết f  1  1 nên e Vậy y  f  x  =e Câu (THPT 64: 0 x3 1  3 3 1  C 3 1 1 C  . 3 . Do đó f  2   e3 . Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Giả sử rằng 2 3x  5 x  1 2 dx  a ln  b . Khi đó, giá trị của a  2b là x2 3 1  A. 30 . B. 60 . C. 50 . Lời giải D. 40 . Chọn D Ta có: 0 I 0 3x 2  5 x  1 21   1 x  2 dx  1  3x  11  x  2  dx 0  3x 2  19 I   11x  21.ln x  2   21.ln 2   21.ln 3 2  2  1 a  21 2 19   I  21ln    19  a  2b  40 . 3 2 b  2 Câu 65: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) Tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x    cos 2 x là 1 A. F  x   sin 2 x  C . 2 1 B. F  x    sin 2 x . 2 1 D. F  x    sin 2 x  C . 2 Lời giải C. F  x    sin 2 x  C . Chọn D Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản ta có 1  f  x  dx     cos 2 x  dx   cos 2 xdx   2 sin 2 x  C . e 1 x dx . 2 x 1 Câu 66: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Tính tích phân I   1 A. I  1  . e 1 B. I  2  . e 1 C. I  2  . e Lời giải 1 D. I  1  . e Chọn B e e e 1 x 1  1 1  1  I   2 dx    2   dx     ln x   2  . e x x x  x 1 1 1 Câu 67: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0 và x   , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0  x    là một tam giác đều cạnh 2 sin x . A. V  3 . B. V  3 . C. V  2 3 . D. V  2 3 . Lời giải Chọn D Diện tích tam giác đều S  x     3 2 sin x  2 4  3 sin x .  Vậy thể tích V   S  x  dx   3 sin xdx  2 3 . 0 0 3 Câu 68: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Biết rằng x2  x  1 a4 b 2 x  x  1 dx  c , với a , b , c là các số nguyên dương. Tính T  a  b  c . A. 31 . B. 29 . C. 33 . D. 27 . Lời giải Chọn C   3 x x  1  x 2  x  1 x2  x  1 dx 2 x  x  1 dx  2 x2  x  1 3 3  2  a  19 3  x2 2  19  4 8   b  8 . x  x  1 dx     x  1 x  1   6 2 3  2 c  6   Vậy T  a  b  c  33 . Câu 69: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x 2  4 x  3 , y  x  3 (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của  H  bằng y 8 3 3 5x 454 C. . 25 Lời giải O 1 37 . 2 A. B. 109 . 6 Chọn B Diện tích của  H  là 5 5   S   x 2  4 x  3   x  3  d x   x  3  x 2  4 x  3 dx 0 5 0 3 5 1 2  2    x  3 dx     x  4 x  3 dx    x  4 x  3 dx    x 2  4 x  3 dx  0 1 3 0  D. 91 . 5 5 1 3 5  x2   x 3   x3   x3   2 2 2     3x     2 x  3x     2 x  3x     2 x  3x    2  0  3 0  3 1  3  3   55  4 4 20  109 .      2 3 3 3  6 Câu 70: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Biết rằng trên khoảng 20 x 2  30 x  7 3  , hàm số có một nguyên hàm F  x    ax 2  bx  c  2 x  3 f x  ;       2x  3 2  ( a , b , c là các số nguyên). Tổng S  a  b  c bằng A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn B Đặt t  2 x  3  t 2  2 x  3  dx  tdt Khi đó 2  t2  3   t2  3  20  30    2 7 2  20 x 2  30 x  7    tdt    5t 4  15t 2  7  dt  t 5  5t 3  7t  C  2 x  3 dx   t  2 x  3 2   2 x  3  5 3  2 x  3  7 2 x  3  5  2 x  3 5 2x  3  C 2 x  3  7 2 x  3  C   4 x 2  2 x  1 2 x  3  C Vậy F  x    4 x 2  2 x  1 2 x  3 . Suy ra S  a  b  c  3 . 2 Câu 71: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) Cho  f x 2  1 xdx  2 . Khi đó 1 5 I   f  x  dx bằng 2 A. 2 . B. 1 . C. 1 . Lời giải D. 4 . Chọn D Đặt t  x 2  1  dt  2 xdx Đổi cận: x  1  t  2 ; x  2  t  5 . 5 Khi đó: 2  5 5 1 1 f  t  dt   f  x  dx  I   f  x  dx  4. .  22 22 2 Câu 72: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc v  t   t 2  10t  m/s  với t là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc 200  m/s  thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là 2500 A. B. 2000  m  . C. 500  m  . m . 3 Lời giải Chọn A Gọi t là thời gian máy bay chuyển động trên đường băng  t  0  . D. 4000 m . 3 t  10 Khi máy bay rời đường bằng thì v  t   200  t 2  10t  200  0   t  20  L  Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là 10 10 10 103  t3 2500 2  5.102  S   v  t  dt    t  10t  dt    5t   m . 0 3 3 3   0 0 2 Câu 73: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) Xét hàm số f  x  liên tục trên đoạn 1  0;1 và thỏa mãn 2 f  x   3 f 1  x   1  x . Tích phân  f  x  dx bằng 0 A. 2 . 3 B. 1 . 6 2 . 15 Lời giải C. D. 3 . 5 Chọn C Đặt t  1  x  dx  dt . 1 Suy ra  0 1 1 f 1  x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx 0 1 0 0 1 1 2 f  x   3 f 1  x   1  x  5 f  x  dx   1  xdx   0 1 Suy ra 0 2 3 1 3 1  x   0 2 . 3 2  f  x  dx  15 . 0 Chú ý: Ta có thể dùng công thức  x2 x1 f  ax  b  dx   ax2  b ax1  b f  x  dx . Khi đó: 1 1 1 0 0 0 Từ 2 f  x   3 f 1  x   1  x suy ra: 2 f  x  dx  3 f 1  x  dx   1 0 1 1 0 0  2 f  x  dx  3 f 1  x  dx   1  xdx  5 f  x  dx  0 1 1  xdx 1 2 2   f  x  dx  . 0 3 15 Câu 74: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Cho F  x  là một nguyên hàm của 1 ; biết F 1  2 . Tính F  2  . 2x 1 1 1 A. F  2   ln 3  2 . B. F  2   ln 3  2 . C. F  2   ln 3  2 . 2 2 Lời giải Chọn B 1 Ta có F  x   ln 2 x  1  C ; F 1  2  C  2 2 1 1  F  x   ln 2 x  1  2  F  2   ln 3  2 . 2 2 hàm số f  x   D. F  2   2 ln 3  2 . Câu 75: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y  x 2  4 x  6 và y   x2  2 x  6 . A.  . B.   1 . C. 3 . Lời giải D. 2 . Chọn C x  0 Xét phương trình hoành độ giao điểm x 2  4 x  6   x 2  2 x  6  2 x 2  2 x  0   . x  1 Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là 1 2 1 2 V     x 2  4 x  6     x 2  2 x  6  dx    12 x 3  36 x 2  24 x dx 0 0 1    12 x 3  36 x 2  24 x  dx    3 x3  12 x3  12 x 2  0 1 0  3 . e Câu 76: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Cho I   1 ln x x  ln x  2  2 dx có kết quả dạng I  ln a  b với a  0 , b   . Khẳng định nào sau đây đúng? 3 1 3 1 A. 2ab  1 . B. 2ab  1 . C. b  ln D. b  ln  .  . 2a 3 2a 3 Lời giải Chọn A 1 dx  dt . x Đổi cận: khi x  1 thì t  2 ; khi x  e thì t  3 . Đặt ln x  2  t  ln x  t  2  3  a  t2 2 3 1  1 2   2 . Khi đó I   2 dt     2 dt   ln t    ln    2 3 t t t  t 2  2 2 b   1  3 Vậy 2ab  1 . 3 3 3 Câu 77: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Họ nguyên hàm cuả hàm số 1 f  x   4 x5   2018 là x 4 A. x 6  ln x  2018 x  C . 6 1 C. 20x 4  2  C . x 2 6 x  ln x  2018 x  C . 3 2 D. x 6  ln x  2018 x  C . 3 Lời giải B. Chọn D 1 2   Ta có:   4 x 5   2018  dx  x 6  ln x  2018 x  C x 3   Câu 78: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Cho parabol  P  có đồ thị như hình vẽ: y 4 1 2 O 1 3 x Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  với trục hoành. A. 4 . B. 2 . C. 8 . 3 D. 4 . 3 Lời giải Chọn D Từ đồ thị ta có phương trình của parabol là y  x 2  4 x  3 . Parabol  P  cắt Ox tại hai điểm có hoành độ lần lượt là x  1 , x  3 . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  với trục hoành ta có  x3  4 x  4 x  3 dx    x  4 x  3 dx    2 x 2  3 x   .  3 1 3 1 2 2 S 1 Câu (THPT 79: 3 3 3 2 Chuyên x  3x  9 x2 1 1 Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) dx  a  b 2  c 35 với a , b , c là các số hữu tỷ, tính P  a  2b  c  7 . 1 9 A.  . 86 . 27 B. C. 2 . D. 67 . 27 Lời giải Chọn A 2 Cách 1: Ta có  3x  1 2 2 x 9 x2  1 2   2   dx   x 3 x  9 x 2  1 dx   3 x 2  x 9 x 2  1 dx 2 1 2 1 2   3 x 2 dx   x 9 x 2  1dx  x 3   x 9 x 2  1dx  7   x 9 x 2  1dx . 1 1 1 1 1 2 Tính 9 x 2  1dx . x 1 9 x 2  1  t  9 x 2  1  t 2  x dx  Đặt tdt . 9 Khi x  1 thì t  2 2 ; khi x  2 thì t  35 . 2 35 tdt t 3 Khi đó  x 9 x  1dx   t  9 27 2 1 2 2 35 2 2 Vậy  3x  x 2 dx  7  9x 1 1 Vậy P  a  2b  c  7  7  2  2 35 16 35  2. 27 27 35 16 16 35 , c . 35  2  a  7, b  27 27 27 27 32 35 1  7   . 27 27 9 2 2 1 3 1 35 35 16 2 1 2 2 2 2 d 9 x2 1  Cách 2:  x 9 x  1dx    9 x  1 9 x  1        27 27 18 1 27 1 1 2 2  1 x 2 3x  9 x  1 dx  7  16 35 35 16 , c . 35  2  a  7, b  27 27 27 27 Vậy P  a  2b  c  7  7  32 35 1  7   . 27 27 9 Biết Câu 80: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số  x f  x   22 x  3x  x  . 4   A. F  x   12 x 2 x x  C . ln12 3 B. F  x   12 x  x x  C . C. F  x   2 2 x  3x x x    . ln 2  ln 3 4 x  D. F  x   22 x  3x x x ln 4     . ln 2  ln 3 4x  Lời giải Chọn A  x Ta có f  x   2 2 x  3x  x   12 x  x 4    12 x 2 x x  C. ln12 3  Nên F  x    12 x  x dx  Câu 81: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  2 x 2 và y  5 x  2 . A. S  5 . 4 5 B. S  . 8 C. S  9 . 8 D. S  9 . 4 Lời giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y  2 x 2 và y  5 x  2 : 1 hoặc x  2 2 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là 2 x2  5x  2  0  x  2 2 S   2 x 2  5 x  2 dx  1 2   2x 2  5 x  2  dx   1 2 9 9  . 8 8 2 x 2  x khi x  0 Câu 82: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x    .  x.sin x khi x  0 1 Tích tích phân I   f  x  dx  A. I  7  . 6 B. I  2  . 3 1 C. I    3 . 3 Lời giải D. I  2  2 . 5 Chọn A Ta có: lim f  x   lim f  x   f  0   0 nên hàm số liên tục tại x  0 . Do đó hàm số liên tục x 0 x 0 trên đoạn   ;1 . 1 Ta có: I  0 1 0 1  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   x.sin xdx    2 x   0  0 2  x  dx  I1  I 2 . 0  I1   x.sin xdx  u  x du  dx Đặt   dv  sin xdx v   cos x 0 I1    x cos x    0  cos xdx    x cos x  0  0  sin x    .  1 1  2 x3 x 2  7  I 2    2 x  x  dx      . 2 0 6  3 0 2 Vậy I  I1  I 2  7  . 6 2 Câu 83: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Cho I    2 x 2  x  m  dx và 0 1 J    x 2  2mx  dx . Tìm điều kiện của m để I  J . 0 A. m  3 . B. m  2 . C. m  1 . Lời giải D. m  0 . Chọn A 2 2  2 x3 x 2  10 Ta có I    2 x  x  m  dx     mx    2m . 2  3 0 3 0 2 1 1  x3  1 J    x  2mx  dx    mx 2    m .  3 0 3 0 2 Do đó I  J  10 1  2m   m  m  3 3 3 Câu 84: (SGD Phú Thọ – lần 1 – năm 2017 – 2018) Tích tất cả các nghiệm thực của phương trình log 22 x  log 2 x.log 3  81x   log A. 18 . 3 x 2  0 bằng B. 16 . Chọn B Điều kiện x  0 . Ta có log 22 x  log 2 x.log 3  81x   log C. 17 . Lời giải 3 D. 15 . x 2  0  log 22 x  log 2 x.  4  log3 x   4 log 3 x  0  log 22 x  4 log 2 x  log 2 x.log3 x  4 log 3 x  0  log 2 x  log 2 x  4   log3 x  log 2 x  4   0 log 2 x  log 3 x x  1   log 2 x  log3 x  log 2 x  4   0   .   x  16 log 2 x  4 1 Câu 85: (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 – năm 2017 – 2018) Tích phân  0 A. 4 . 3 B. 3 . 2 C. Lời giải Chọn D 1 . 3 dx bằng 3x  1 D. 2 . 3 Đặt t  3 x  1  t 2  3 x  1  2tdt  3dx  2t dt  dx 3 Đổi cận: x  0  t  1 ; x  1  t  2 1 Khi đó  0 2 2 2 dx 2 1 2 2 2   .tdt   dt  t  . 3 1 3 31 3x  1 3 1 t Cách khác: Sử dụng công thức  dx 2  ax  b  C thì ax  b a 1  0 1 dx 2 2  3x  1  . 3 3x  1 3 0 Câu 86: (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần 1 – năm 2017 – 2018) Một vật chuyển động với 3 vận tốc v  t  m/s  , có gia tốc v  t   m/s 2  . Với vận tốc ban đầu của vật là 6m/s . Vận  t 1 tốc của vật sau 10 giây bằng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) A. 11m/s . B. 12m/s . C. 13m/s . D. 14m/s . Lời giải Chọn C 3 Ta có v  t    dt  3ln t  1  C . t 1 Theo giả thiết ta có v  0   6  C  6 . Suy ra v  t   3ln t  1  6 . Vận tốc của vật sau 10 giây là v 10   3ln 10  1  6  13m/s . Câu 87: (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần 1 – năm 2017 – 2018) Tìm a để diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi  P  : y  bằng ln 3 ? A. a  1. x2  2x , đường thẳng d : y  x  1 và x  a, x  2a (a  1) x 1 B. a  4. C. a  3. Lời giải D. a  2. Chọn D 2a Ta có: S   a x2  2 x   x  1 dx  x 1 2a  a 1 dx  x 1 2a 1  x  1 dx 2a (vì a  1 )  ln  x  1 a (vì a  1 ) a 2a  1 .  ln  2a  1  ln  a  1  ln a 1 2a  1 2a  1 Ta có: ln  ln 3   3  a  2. a 1 a 1 Câu 88: (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần 1 – năm 2017 – 2018) Tính thể tích của phần vật thể tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị  P  : y  2 x  x 2 và trục Ox bằng 19 A. V  . 15 B. V  13 . 15 C. V  Lời giải Chọn D x  0 Xét phương trình 2 x  x 2  0   x  2 17 . 15 D. V  16 . 15 Vì 2 x  x 2  0 x   0; 2 nên thể tích của phần vật thể tạo nên khi quay quanh trục Ox hình 2 2 phẳng D giới hạn bởi đồ thị  P  : y  2 x  x và trục Ox là V     2 x  x 2  dx  2 0 16 . 15 Câu 89: (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần 1 – năm 2017 – 2018) 2 2 Cho 2  3 f  x   2 g  x  dx  1 ,  2 f  x   g  x  dx  3 . Khi đó,  f  x  dx bằng 1 1 11 A. . 7 1 5 B.  . 7 6 C. . 7 Lời giải D. 16 . 7 Chọn B 2 2 Đặt a   f  x  dx , b   1 2 1 5  a   7 3a  2b  1  f  x  dx , ta có hệ phương trình  2a  b  3 b  11  7 5  f  x  dx   7 . Vậy 1 Câu 90: (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần 1 – năm 2017 – 2018) Tính I   8sin 3 x cos xdx  a cos 4 x  b cos 2 x  C . Khi đó, a  b bằng A. 3 . B. 1 . C. 1 . Lời giải D. 2 . Chọn C I   8sin 3 x cos xdx  4   sin 4 x  sin 2 x  dx   cos 4 x  2 cos 2 x  C  a  1, b  2 . Vậy a  b  1 . 1 Câu 91: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 – năm 2017 – 2018) Tính tích phân I    2 x  1 dx . 0 A. I  3 . B. I  2 . C. I  3 . Lời giải D. I  1 . Chọn B 1 1 I    2 x  1 dx   x 2  x   2 . 0 0 Câu 92: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 – năm 2017 – 2018) Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y  x 2 , y  x. 1 A. S  . 6 5 B. S  . 6 1 C. S  . 3 Lời giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm: x 2  x  x  0  x  1 1 Diện tích hình phẳng là S   x 2  x dx  0 1 6 1 D. S  . 2 Câu 93: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 – năm 2017 – 2018) F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  2sin x cos 3 x và F  0   0 , khi đó cos 2 x cos 4 x 1   . 4 8 8 cos 4 x cos 2 x 1 D. F  x     . 4 2 4 Lời giải A. F  x   cos 4 x  cos 2 x . C. F  x   B. F  x   cos 2 x cos 4 x 1   . 2 4 4 Chọn C Ta có y  sin 4 x  sin 2 x  F  x    Nên F  x   cos 4 x cos 2 x 1   C , vì F  0   0 nên C   . 4 2 4 cos 2 x cos 4 x 1   . 2 4 4 Câu 94: (THPT Hồng Bàng – Hải Phòng – năm 2017 – 2018) Biết F  x  là một nguyên hàm của   hàm số f  x   sin 3 x.cos x và F  0    . Tính F   . 2   A. F     . 2   B. F     . 2 1   C. F       . 4 2 Lời giải   1 D. F      . 2 4 Chọn D Đặt t  sin x  dt  cos xdx . F  x    f  x  dx   sin 3 x cos xdx   t 3dt  F 0      F  2 sin 4 t4 sin 4 x C  C . 4 4 sin 4  sin 4 x  C    C    F  x   . 4 4  2  1  . 4 4 Câu 95: (THPT Hồng Bàng – Hải Phòng – năm 2017 – 2018) Cho f  x  , g  x  là hai hàm số liên tục trên đoạn 1  0  1;1 f  x và là hàm số chẵn, g  x là hàm số lẻ. Biết 1 f  x  dx  5 ;  g  x  dx  7 . Mệnh đề nào sau đây là sai? 0 1 A.  1 f  x  dx  10 .   f  x   g  x  dx  10 . B. 1 1 1 C. 1   f  x   g  x  dx  10 . D. 1  g  x  dx  14 . 1 Lời giải Chọn D 1 Vì f  x  là hàm số chẵn nên  1 1 f  x  dx  2  f  x  dx  2.5  10 . 1 Vì g  x  là hàm số lẻ nên  g  x  dx  0 . 1 0 1  1   f  x   g  x  dx  10 và   f  x   g  x  dx  10 . 1 1 Vậy đáp án D sai. 3 x dx nếu x 1 0 1 Câu 96: (THPT Hồng Bàng – Hải Phòng – năm 2017 – 2018) Cho tích phân I   đặt t  x  1 thì I là 2 2 A. I    2t 2  t  dt . 2 2 B. I    2t 2  2t  dt . C. I    2t 2  2t  dt . D. I    t 2  2t  dt . 1 1 1 1 Lời giải Chọn A Đặt t  x  1  t 2  x  1  x  t 2  1 dx  2tdt . Đổi cận: Khi x  0 thì t  1 ; khi x  3 thì t  2 . 3 2 2 2 x t 2 1 dx   2tdt   2 t  t  1 dt    2t 2  t  dt . 1 t x 1 0 1 1 1 1 I  Câu 97: (THPT Hồng Bàng – Hải Phòng – năm 2017 – 2018) Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f  x   A. y  x2 . x 1 B. y  x 2  x  x  1 2 ? x2  x 1 x2  x 1 . C. y  . x 1 x 1 Lời giải D. y  x2  x  1 . x 1 Chọn B Ta có:  x 2  x 2  2 x  f  x  nên A thỏa.     2  x  1   x  1  x 2  x  1  x 2  2 x  2    f  x  nên B không thỏa.   2  x  1  x 1   x 2  x  1  x 2  2 x    f  x  nên C thỏa.   2  x  1   x  1  x 2  x  1  x 2  2 x    f  x  nên D thỏa.   2  x  1   x  1 Câu 98: (THPT Hồng Bàng – Hải Phòng – năm 2017 – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên 4 đoạn  1; 4  , f  4   2018 ,  f   x  dx  2017 . Tính f  1 ? 1 A. f  1  1 . B. f  1  1 . C. f  1  3 . Lời giải Chọn B D. f  1  2 . 4 Ta có  4 4 f   x  dx  f  x  1  f  4   f  1  f  1  f  4    f   x  dx  2018  2017  1 . 1 1 Câu 99: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo 4 hàm f   x  liên tục trên 1; 4 , f 1  12 và  f   x  dx  17 . Giá trị của f  4  bằng 1 A. 29 . B. 5 . C. 19 . D. 9 . Lời giải Chọn A 4 Ta có  f   x  dx  17  f  x  4 1  17  f  4   f 1  17  f  4   29 . 1 Câu 100: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho hình phẳng  S  giới hạn bởi đường cong có phương trình y  2  x 2 và trục Ox , quay  S  xung quang trục Ox . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành bằng 8 2 . 3 A. V  B. V  4 2 . 3 C. V  4 . 3 D. V  8 . 3 Lời giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong và trục Ox : x  2 . 2  x2  0  2  x2  0    x   2 Thể tích khối tròn xoay tạo thành là 2  V  2 x  2 2  2 2  x3  dx     2  x  dx    2 x   3    2 2 2  2 8 2 . 3 Câu 101: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho 1  0 dx 8 2 a b a  ,  a, b  *  . Tính a  2b . 3 3 x  2  x 1 A. a  2b  7 . B. a  2b  8 . C. a  2b  1 . Lời giải D. a  2b  5 . Chọn B 1 Ta có  0 1 dx  x  2  x 1 0   x  2  x  1 dx  2 3  3  x  2   x  1 3  1 2 3 0 Do đó a  2 , b  3 , a  2b  8 . 2 Câu 102: (SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018) Tích phân   x  3 2 dx bằng 1 A. 61 . B. 61 . 3 C. 4 . Lời giải Chọn B D. 61 . 9 8 2 2 . 3 3 2 2 2  x3  x2 61 Ta có   x  3 dx    x  6 x  9  dx    6.  9 x   . 2  3 1 3 1 1 2 2 1 Câu 103: (SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018) Cho 1  f  x  dx  3 . Tính tích phân I  2 A. 9 . B. 3 .  2 f  x   1 dx . 2 C. 3 . Lời giải D. 5 . Chọn C 1 Ta có I  1 1 1  2 f  x   1 dx  2  f  x  dx   dx  6  x 2  3 . 2 2 2 Câu 104: (SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018) Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  e , y  e x và y  1  e  x  1 (tham khảo hình vẽ bên). y ye e 1 y  ex x O Diện tích hình phẳng  H  là A. S  e 1 . 2 B. S  e  3 . 2 C. S  e 1 . 2 D. S  e  1 . 2 Lời giải Chọn A Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y  e x với đường thẳng y  e là ex  e  x  1 . Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y  e x với đường thẳng y  1  e  x  1 là e x  1  e  x  1  x  0 . Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y  e với đường thẳng y  1  e  x  1 là e  1  e  x  1  x  1 . 0 Diện tích hình phẳng  H  là S  1  e  1  e  x  1 dx   e  e 1 x dx 0 0  1  e  x 2   ex  e x 1  e  1 .    e  1  e  x  1 dx    e  e  dx    e  1 x   0 2  2 1 0   1 0 1 x Cách 2: Xem x là hàm theo biến y. Hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường x  ln y , x  e e 1  y  1 , y  1, y  e . 1 e e 1 1  Diện tích hình  H  là S    ln y   y  1  dy   ln ydy   y  1 dy 1 e 1  e 1  1  1 e e Tính A   ln ydy   y ln y  y  1  1 1 e e  1 1  y2 1  e2 1  1 e Tính B  y  1 d y   y       e    1 e 1 1 e  2 2 2  1 1 e  2 Vậy S  1  1 e e 1 .  2 2 Câu 105: Tìm họ nguyên hàm của hàm số y  1 A.   x  1 C.   x  1 2 dx  2 dx  1 2  x  1 1 1  x  2 . C . 3 1 C . x 1 1 B.   x  1 D.   x  1 2 1 2 dx   dx  1 C. x 1 2  x  1 3 C . Lời giải Chọn B 1   x  1 1 2 2 dx    x  1 dx    x  1  C  1 C . x 1 Câu 106: (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a, b . Giả sử hàm số u  u  x  có đạo hàm liên tục trên  a, b hơn nữa f  u  liên tục trên đoạn  ,   . và u  x    ,   x   a, b , Mệnh đề nào sau đây là đúng? x  a b A.  a b C. u b b f u  x   u   x  dx   f  u  du . B. ua ub b  f u  x  u  x  dx   f  u  du . D. ua a  a b f u  x   u   x  dx   f  u  du . a b  f u  x   u  x  dx   f  x  du . a a Lời giải Chọn C Đặt u  x   t  u  x  dx  dt . Đổi cận Khi x  a thì t  u  x  ; khi x  b thì t  u  b  . u b  b Do đó  f u  x   u   x  dx   u b  f  t  dt  u a  a  f  u  du . u a  Câu 107: (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho số thực a  0 . Giả sử hàm số y  f  x  liên tục và luôn dương trên  0; a  thỏa mãn f  x  . f  a  x   1 , x   0; a  . Tính a dx . 1 f  x 0 tích phân I   A. I  2a . 3 B. I  a . 2 C. I  a . Lời giải Chọn B Đặt t  a  x  dx  dt . D. I  a . 3 Đổi cận x  0  t  a ; x  a  t  0 . Suy ra. 0 a f  t  dt 1 dt (do f  a  t   ) I    a 1 f a  t f t    0 1 f t  a  2 I   dt  a  I  0 a . 2 Câu 108: (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang – Lần 3 năm 2017 – 2018) Cho f  x  , g  x  là hai hàm số liên tục trên đoạn  1;1 và f  x  là hàm số chẵn, g  x  là hàm số lẻ. Biết 1  1 f  x  dx  5 ; 0  g  x  dx  7 . Mệnh đề nào sau đây là sai? 0 1 A. C. 1 f  x  dx  10 .  B.   f  x   g  x  dx  10 . 1 1 1 1   f  x   g  x  dx  10 . D. 1  g  x  dx  14 . 1 Lời giải Chọn D 1 Vì f  x  là hàm số chẵn nên  1 f  x  dx  2 f  x  dx  2.5  10 . 1 0 1 Vì g  x  là hàm số lẻ nên  g  x  dx  0 . 1 1  1   f  x   g  x  dx  10 và 1   f  x   g  x  dx  10 . 1 Câu 109: (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang – Lần 3 năm 2017 – 2018) 2 x 1 2 Cho 1 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a , b , c là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây  5x  6 đúng? A. a  b  c  4 . B. a  b  c  3 . C. a  b  c  2 . Lời giải D. a  b  c  6 . Chọn C 2 Ta có: 2 2 1 1   1 1 x2  5x  6 dx  1  x  2  x  3  dx   ln x  2  ln x  3  1   ln 4  ln 5   ln 3  ln 4   2ln 4  ln 3  ln 5  4ln 2  ln 3  ln 5 . Vậy a  b  c  4   1   1  2 . Câu 110: (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang – Lần 3 năm 2017 – 2018) Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (hình vẽ). Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  1  x  1 thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích V của vật thể đó. A. V  3 . 4 3 . 3 C. V  B. V  3 3 . D. V   . Lời giải Chọn C Tại vị trí có hoành độ x  1  x  1 thì tam giác thiết diện có cạnh là 2 1  x 2 .  Do đó tam giác thiết diện có diện tích S  x   2 1  x 2 1 Vậy thể tích V của vật thể là 3 1  x 2  dx   1  2 3  3 1  x 2  . 4 4 3 . 3 4 Câu 111: (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang – Lần 3 năm 2017 – 2018) Tích phân  0 1 dx 2x 1 bằng A. B. 3 . 2. C. 2 . Lời giải D. 5. Chọn C 4 Ta có  0 4 4 1 1 1  dx    2 x  1 2 dx   2 x  1 2  2 . 2x 1 0 0  1 Câu 112: Cho f là hàm số liên tục thỏa  0 2 f  x  dx  7 . Tính I   cos x. f  sin x  dx . 0 B. 9 . A. 1 . C. 3 . Lời giải D. 7 . Chọn D Đặt t  sin x  dt  cos xdx . Đổi cận x  0  t  0 , x   2  t  1.  1 2 1 Ta có I   cos x. f  sin x  dx   f  t  dt   f  x  dx  7 . 0 0 0 Câu 113: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y  x 2  2 x và đường thẳng y  x . 9 11 27 17 A. . B. . C. . D. . 2 6 6 6 1 Câu 114: Biết tích phân  0 A. T  10 . x ab 3 với a , b là các số thực. Tính tổng T  a  b . dx  9 3x  1  2 x  1 B. T  4 . C. T  15 . D. T  8 . Câu 115: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y  x 2  2 x và đường thẳng y  x . 9 . 2 A. B. 11 . 6 27 . 6 C. D. 17 . 6 Lời giải Chọn A x  0 Ta có: x 2  2 x  x   . x  3 3 3 Diện tích hình phẳng cần tìm bằng S   x 2  2 x  x dx  0 x 2  3x  dx  0 9 . 2 Câu 116: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) Biết tích phân 1 x ab 3 với a , b là các số thực. Tính tổng T  a  b . dx  9 3x  1  2 x  1  0 A. T  10 . B. T  4 . C. T  15 . Lời giải D. T  8 . Chọn D 1 Ta có  0 x x dx   3x  1  2 x  1 0 1  3x  1  2 x  1 x  dx  1   3 x  1  2 x  1 dx 0 1 1 1 1 3 3 1   2     3 x  1 2   2 x  1 2  dx    3 x  1 2   2 x  1 2  3  9 0 0  17  9 3  16   2 1  17 .    3     3  9 9   9 3 9 Câu 117: (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho số dương a thỏa mãn hình phẳng giới hạn bởi các đường parabol y  ax 2  2 và y  4  2ax 2 có diện tích bằng 16 . Giá trị của a bằng 1 1 A. 2 . B. . C. . D. 1 . 4 2 Lời giải Chọn C Xét phương trình: ax 2  2  4  2ax 2  3ax 2  6  0  x   2 . a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  ax 2  2 và y  4  2ax 2 là 2 a S Theo giả thiết S  16    3ax 3ax 2  6 dx    2 a 2 a 8 2 1  16  a  . 2 a  2 a 2  6  dx  8 2 . a Câu 118: (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho số dương a và hàm số a f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  x   f   x   a , x   . Giá trị của biểu thức  f  x  dx a bằng A. 2a 2 . C. a 2 . Lời giải B. a . D. 2a . Chọn C a Đặt x  t   a f  x  dx  a a  a f  t  dt   a a a  2  f  x  dx  a  a f   t  dt   f   x  dx a a a a   f  x   f   x   dx   adx  2  f  x  dx  2a a a a 2  f  x  dx  a  2 . a Câu 119: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc – Lần 4 năm 2017 – 2018)Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  e x , trục hoành và các đường thẳng x  0 , x  1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? A. V  e2  1 . 2 B. V    e 2  1 2 C. V  .   e 2  1 2 . D.  e2 2 . Lời giải Chọn C 1 Thể tích khối tròn xoay cần tính là V   1 x 2  e  0   e  1  e2 x  . dx      2  2 0 2 Câu 120: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc – Lần 4 năm 2017 – 2018)Cho hàm số f  x  xác định trên  thỏa mãn f   x   2 x  1 và f 1  5 . Phương trình f  x   5 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tổng S  log 2 x1  log 2 x2 . A. S  1 . B. S  2 . C. S  0 . Lời giải D. S  4 . Chọn A Ta có: f  x    f   x  dx    2 x  1 dx  x 2  x  C . Mà f 1  5  1  1  C  5  C  3  f  x   x 2  x  3 . x  1 Xét phương trình: f  x   5  x 2  x  3  5  x 2  x  2  0   .  x  2 S  log 2 x1  log 2 x2  log 2 1  log 2 2  1 . Câu 121: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc – Lần 4 năm 2017 – 2018)Cho hàm số 1 f  x   x 4  4 x3  3x 2  x  1 , x   . Tính I   f 2  x  . f   x  dx . 0 A. 2 . B. 2 . 7 C.  . 3 Lời giải D. 7 . 3 Chọn D Đặt t  f  x   dt  f   x  dx . Đổi cận: x  0  t  f  0   1 , x  1  t  f 1  2 . 2 2 t3 8 1 7 Khi đó I   t dt     . 31 3 3 3 1 2 Câu 122: 1 (THPT x 3 Kim 3 Liên – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018)Biết x  x  2  ex .2 1 1 e   dx   ln  p   với m , n , p là các số nguyên dương. Tính x   e.2 m e ln n  e  0  tổng S  m  n  p . A. S  6 . B. S  5 . C. S  7 . Lời giải D. S  8 . Chọn C 1 Ta có 1 1  3  x3  2 x  ex3 .2 x 2x  1 2x 1 d x  x  d x   0   e.2x 0    e.2 x  4 0   e.2 x dx  4  J . 1 2x 1 dt . dx . Đặt   e.2 x  t  e.2 x ln 2dx  dt  2 x dx  x e.ln 2   e.2 0 Tính J   Đổi cận: Khi x  0 thì t    e ; khi x  1 thì t    2e . 1 2x 1 dx  x   e.2 e ln 2 0 J    2e 1 1 dt  ln t t e ln 2 e   1   2e  e  1 e  ln  1  e ln 2  e    x3  2 x  ex3 .2 x 1 1 e  0   e.2x dx  4  e ln 2 ln 1  e   Khi đó  .     m  4 , n  2 , p  1 . Vậy S  7 .  Câu 123: (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018)Biết tích phân 2   4 x  1 ln xdx  a ln 2  b với a , b  Z . Tổng 2a  b bằng 1 A. 5. B. 8. C. 10. Lời giải D. 13. Chọn C 1  u  ln x  du  dx Đặt  x . dv   4 x  1 dx.  2 Ta có 2 2 2 2   4 x  1 ln xdx  x  2 x  1 ln x 1    2 x  1 dx  6 ln 2   x  x  1  6 ln 2  2 . 1 1 Vậy 2a  b  10 . 11 Câu 124: (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018)Biết  f  x  dx  18 . 1 2   I   x 2  f  3 x 2  1 dx . 0 A. I  5 . B. I  7 . C. I  8 Lời giải D. I  10 . Chọn B Đặt t  3 x 2  1  dt  6 xdx . Đổi cận x  0  t  1 , x  2  t  11 2   2 2 I   x 2  f  3 x 2  1 dx   2 xdx   xf  3 x 2  1 dx  4  0 0 0 11 1 1 f  t  dt  4  .18  7 .  6 1 6 Tính Câu 125: (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018)Gọi  H  là hình được giới hạn bởi nhánh parabol y  2 x 2 (với x  0 ), đường thẳng y   x  3 và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình  H  khi quay quanh trục Ox bằng A. V  52 . 15 B. V  17 . 5 C. V  51 . 17 D. V  53 . 17 Lời giải Chọn A y x 1 O 3 x  1 Phương trình hoành độ giao điểm: 2 x 2   x  3   x   3 2  3 1 2 Thể tích khối tròn xoay tạo bởi  H  : V      x  3 dx    4 x 4 dx  1 0 52 . 15 Câu 126: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh – Lần 2 năm 2017 – 2018)Diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x3  2 x  1 , trục hoành, x  1 và x  2 là A. S  31 . 4 B. S  49 . 4 C. S  21 . 4 D. S  39 . 4 Lời giải Chọn A 2 Diện tích hình phẳng cần tìm là S   x3  2 x  1 dx  1 31 . 4 Câu 127: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh – Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   1 A. 1  ln 3 . 2 1 , biết F  0   1 . Giá trị của F  2  bằng 2x 1 1 1 B. 1  ln 5 . C. 1  ln 3 . D. 1  ln 3 . 2 2 Lời giải Chọn A Ta có F  x    f  x  dx   dx 1  ln 2 x  1  C . 2x 1 2 1 1 1 F  0   1  ln1  C  1  C  1  F  x   ln 2 x  1  1  F  2   1  ln 3 . 2 2 2 0 1 dx bằng 1  x 3 Câu 128: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh – Lần 2 năm 2017 – 2018)  A. 2 ln 2 . B. 2 ln 2  1 . C. ln 2 . Lời giải D. 2 ln 2 . Chọn D 0 Ta có: 0 1 d x   ln 1  x  ln 4  2 ln 2 .    1 x 3 3 Câu 129: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh – Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho phần vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x  0 và x   3 . Cắt phần vật thể B bởi mặt phẳng vuông   góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0  x   ta được thiết diện là một tam giác vuông 3  có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 2x và cos x . Thể tích vật thể B bằng A. 3  3 . 6 B. 3  3 . 3 C. 3  3 . 6 3 . 6 D. Lời giải Chọn C   3  3   Thể tích vật thể B là V   x cos xdx  x sin x 03   sin xdx  x sin x 03  cos x 03  0 0 3  3 . 6 Câu 130: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh – Lần 2 năm 2017 – 2018)Biết 3 3  ln x   x  1 1 2 dx  a  ln b  ln c với a , b , c là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức 4 P  a  b  c bằng? A. 46 . B. 35 . D. 48 . C. 11 . Lời giải Chọn A 3 Ta có 3 3 3  ln x 3 1  1  d x   3  ln x d    d  3  ln x      1  x  12 1 x 1 1 1 x 1  x 1  3  ln x 3 3 3  ln 3 3 1 1 3  ln 3  1 1  3  ln 3 x    . dx      ln  dx  4 2 1 x 1 x 4 x x 1  4 x 1 1  3 1 3  ln 3 3 1 3  ln 3 3  ln 3  ln  ln   ln 3  ln 4  ln 2   ln 3  ln 2 4 4 2 4 4 a  3 3  3ln 3  4 ln 2 3  ln 27  ln16     b  27  P  46 . 4 4 c  16  Câu 131: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017 – 2018) . Gọi F  t  là số lượng vi khuẩn phát triển sau t giờ. Biết F  t  thỏa mãn F   t   có 1000 con vi khuẩn. Hỏi sau 2 giờ số lượng vi khuẩn là A. 17094 . B. 9047 . C. 8047 . Lời giải 10000 với t  0 và ban đầu 1  2t D. 32118 . Chọn B 10000 dt  5000ln 1  2t   C . 1  2t Ban đầu có 1000 con vi khuẩn  F  0   C  1000  F  t   5000 ln 1  2t   1000 . Ta có F  t    F   t  dt   Suy ra số vi khuẩn sau 2 giờ là F  2   5000 ln 5  1000  9047 . Câu 132: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  1 liên tục trên  và  2 f  2 x  dx  8 . Tính I   xf  x  dx 2 0 0 A. 4 . B. 16 . C. 8 . Lời giải D. 32 . Chọn C Đặt x 2  2t  2 xdx  2dt  xdx  dt . Đổi cận: x  0  t  0 , x  2  t  1 . 1 Ta có: I   f  2t  dt  8 . 0 Câu 133: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Biết 4 1 x  ex b c  1 4 x xe2 x dx  a  e  e với a , b , c là các số nguyên. Tính T  a  b  c . A. T  3 . B. T  3 . C. T  4 . D. T  5 . Lời giải Chọn C 2 1 x  ex 1 1 1 1  1    2x    x  nên Ta có 2x x 4x 4x e xe xe  2 x e  4 4 1 1 x  ex  1 x  1 4 x xe2 x dx  1  2 x  e x  dx  x  e Vậy a  1 , b  1 , c  4 . Suy ra T  4 .   4  1  e 1  e 4 . 1 Câu 134: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số f  x  a b   2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện x2 x T  ab. A. T  1 . B. T  2 . 1  f  x  dx  2  3ln 2 . 1 2 C. T  2 . Lời giải D. T  0 . Chọn C 1 Ta có  1 2 1 1 2 2  a b   a  f  x  dx    2   2  dx     b ln x  2 x   a  1  b ln 2 . x   x 1 1 x Theo giả thiết, ta có 2  3ln 2  a  1  b ln 2 . Từ đó suy ra a  1 , b  3 . Vậy T  a  b  2 .  3 Câu 135: (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Tích phân  cos 2 xdx bằng. 0 Tính A.  3 . 2 B.  3 . 4 C. 3 . 2 D. 3 . 4 Lời giải Chọn D   3 3 1 3 Ta có:  cos 2 xdx  sin 2 x  . 2 4 0 0 Câu 136: (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Biết các số hữu tỉ. Tính tích ab ? 1 1 A. ab  . B. ab  . 8 4  x cos 2 xdx  ax sin 2 x  b cos 2 x  C 1 C. ab   . 8 Lời giải với a , b là 1 D. ab   . 4 Chọn A du  dx u  x  Đặt   1 d v  cos 2 xdx v  sin 2 x  2 1 1 1 1 Khi đó  x cos 2 xdx  x sin 2 x   sin 2 xdx  x sin 2 x  cos 2 x  C 2 2 2 4 1 1 a , b . 2 4 1 Vậy ab  . 8 Câu 137: (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol y  x 2 và đường thẳng y  2 x . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình  H  xung quanh trục hoành. 64 A. . 15 B. 16 . 15 C. 20 . 3 D. 4 . 3 Lời giải Chọn A Xét phương trình hoành độ giao điểm của paraboly y  x 2 và đường thẳng y  2 x ta có x  0 . x2  2 x  x2  2 x  0   x  2 Do x 2  2 x  0 với 0  x  2 nên 2 x  x 2  0 với 0  x  2 . Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình  H  xung quanh trục hoành thì 2 2  2 V     2x   x 0 2 2   4 x5  64 . dx    x 3    5  0 15 3 Câu 138: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn 1; 2 . Biết rằng F 1  1 , F  2   4 , G 1  2 và  1 f  x  G  x  dx  67 . Tính 12 2  F  x  g  x  dx 1 3 , G  2  2 2 A. 11 . 12 B.  145 . 12 C.  11 . 12 D. 145 . 12 Lời giải Chọn A u  F  x  du  f  x  dx Đặt   dv  g  x  dx v  G  x  2 2 2 2  F  x  g  x  dx   F  x  G  x     f  x  G  x  dx  F  2  G  2   F 1 G 1   f  x  G  x  dx 1 1 1 1 3 67 11  4.2  1.   . 2 12 12 Câu 139: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 3 và y  x5 bằng A. 0 . B. 4 . C. 1 . 6 D. 2 . Lời giải Chọn C x  0 Phương trình hoành độ giao điểm x5  x 3   x  1 .  x  1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x5 và y  x3 bằng 1 S  0 x5  x 3 dx  1  x 1 1 5  x 3  dx    x5  x3  dx  0 1 . 6 Câu 140: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa  2 điều kiện f  x   f   x   2sin x . Tính  f  x  dx  A. 1 . B. 0 . 2 C. 1. Lời giải D. 2 . Chọn B  2 Giả sử I   f  x  dx .  2 Đặt t   x  dt  dx , đổi cận x      2 2 Khi đó I    f  t  dt   2   2  2 x  2 t   2 . 2  2  2 t   f  t  dt .  Suy ra 2 I   2  f  x   f   x   dx   2sin xdx  0  2I  0  I  0  2 Câu 141: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Một người gửi 20 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,8% / tháng. Biết rằng nếu không rút tiền thì cứ sau mỗi tháng , số tiền lãi sẽ được cộng dồn vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó lãnh được số tiền nhiều hơn 50 triệu đồng bao gồm cả tiền gốc và lãi, nếu trong thời gian này người đó không rút tiền và lãi suất không thay đổi? A. 115 tháng. B. 114 tháng. C. 143 tháng. D. 12 tháng. Lời giải Chọn A Giả sử sau n tháng người đó thu được số tiền hơn 50 triệu đồng. n Ta có: 20.106 1  0, 008   50.106  n  114,994 . Vậy sau ít nhất 115 tháng người đó lãnh được số tiền nhiều hơn 50 triệu đồng bao gồm cả tiền gốc và lãi. Câu 142: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên 2 1 và f  0   1 . Giá trị của biểu thức f  1  f  3 bằng    thỏa mãn f   x   2x 1 2 A. 4  ln15 . B. 3  ln15 . C. 2  ln15 . D. ln15 . Lời giải Chọn C 1 2. d  2 x  1 2 Ta có f  x    f   x  dx   dx   2  ln 2 x  1  c . 2x 1 2x 1 f  0   1  c  1  f  x   ln 2 x  1  1 .  f  1  ln 3  1  f  1  f  3  2  ln15 .   f  3  ln 5  1 Câu 143: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho hình  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol y  x 2  4 x  4 , đường cong y  x 3 và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích S của hình  H  . A. S  11 . 2 B. S  7 . 12 C. S  20 . 3 D. S   11 . 2 Lời giải Chọn B Parabol y  x 2  4 x  4 có đỉnh I  2;0  . Phương trình hoành x3  x 2  4 x  4  0  x  1 . độ giao điểm của y  x2  4 x  4 và y  x3 là 1 2 Câu 144: Ta có S   x 3dx    x 2  4 x  4  dx  0 1 7 .(THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) 12 1 Tích phân  xx 2  3 dx bằng 0 A. 2 . B. 1. C. 4 . 7 D. 7 . 4 Lời giải Chọn D Đặt t  x 2  3  dt  2 xdx . x  0  t  3, x 1 t  4. 1 4 1 t2 4 7 Khi đó:  x  x 2  3 dx   tdt   . 23 4 3 4 0 1 1 Câu 145: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho biết F  x   x 3  2 x  là một 3 x nguyên hàm của f  x  x  2  a x2 2 . Tìm nguyên hàm của g  x   x cos ax . 1 1 x sin 2 x  cos 2 x  C . 2 4 1 1 D. x sin 2 x  cos 2 x  C . 2 4 Lời giải A. x sin x  cos x  C . B. C. x sin x  cos x  C . Chọn C 2 2 1  x  1 Ta có F   x   x  2  2  . Suy ra a  1 . x x2 Khi đó  g  x  dx   x cos xdx   xd sin x  x.sin x   sin xdx  x.sin x  cos x  C . 2 Câu 146: (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018) F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  dương và A. 4 . 1 b . Biết F  0   0 , F 1  a  ln 3 trong đó a , b , c là các số nguyên 2x 1 c b là phân số tối giản. Khi đó giá trị biểu thức a  b  c bằng. c B. 9 . C. 3 . D. 12 . Lời giải Chọn A 1  1  3 Ta có F  x     3 x 2   dx  x  ln 2 x  1  C . 2x 1  2  1 Do F  0   0  C  0  F  x   x 3  ln 2 x  1 . 2 1 Vậy F 1  1  ln 3  a  1; b  1; c  2  a  b  c  4 . 2 e4 Câu 147: (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018) Biết  e A. I  8 . B. I  16 . 4 1 f  ln x  dx  4 . Tính tích phân I   f  x  dx . x 1 C. I  2 . Lời giải D. I  4 . Chọn D Đặt t  ln x  dt  x t e4  e 1 dx . x e4 4 e 1 4 4 1 f  ln x  dx   f  t  dt   f  x  dx . x 1 1 4 Suy ra I   f  x  dx  4 . 1 Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phân biệt của phương 2 2 2 trình z 4  z 2  1  0 trên tập số phức. Tính giá trị của biểu thức P  z1  z2  z3  z4 B. 8 . A. 2 . C. 6 . Lời giải 2 . D. 4 . Chọn D 2 Ta có z 4  z 2  1  0   z 2  1  z 2  0   z 2  z  1 z 2  z  1  0 2  1 3  1  3i z   i2  2    z1,2  z  z 1  0 2 4   2  2  z1  z2  z3  z4  1 .   2    1  3 i 1 3 z  z 1  0    z    i 2  z3,4   2 2 4  2 2 2 2 Vậy P  z1  z2  z3  z4  4 . Câu 2: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y  x và y  x 2 quay quanh trục tung tạo nên một vật thể tròn xoay có thể tích bằng   2 A. . B. . C. . 6 3 15 Lời giải Chọn A D. 4 . 15 x  0  y  0 Phương trình hoành độ giao điểm x  x 2   .  x  1  y  1 Ta có đồ thị hai hàm số y  x và y  x 2 đều đối xứng qua Oy nên hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y  x và y  x 2 quay quanh trục tung tạo nên một vật thể tròn xoay có thể tích bằng thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường x  y và x  y quay xung quanh trục Oy . Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là: 1 V  0 1 1 1   1 y  y dy     y  y  dy   .  y 2  y 3   . 3 0 6 2 0 2 2 100 Câu 3: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Giá trị của tích phân  x  x  1 …  x  100  dx bằng 0 A. 0 . Chọn A B. 1 . C. 100 . Lời giải D. một giá trị khác. 100 Tính I   x  x  1 …  x  100  dx . 0 Đặt t  100  x  dx  dt . Đổi cận: Khi x  0 thì t  100 ; khi x  100 thì t  0 . Do x  x  1 …  x  100   100  t  99  t  … 1  t  t   t  t  1 …  t  99  t  100  nên 100 I  100 x  x  1 …  x  100  dx    t  t  1 …  t  100  dt   I  2 I  0  I  0 . 0 0 Câu 4: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Có bao a nhiêu giá trị thực của a để có   2 x  5  dx  a  4 0 A. 1. B. 0 . C. 2 . Lời giải D. Vô số. Chọn A a Ta có   2 x  5 dx  a  4   x 2 a  5 x   a  4  a 2  4a  4  0  a  2 0 0 Câu 5: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho hình phẳng H  giới hạn bởi các đường y  x  1 , trục hoành và đường thẳng x  4 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay  H  quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? A. V  7 . 6 B. V  7π 2 . 6 C. V  7π . 6 D. V  7π . 3 Lời giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm x 1  0  x  1. 4 Thể tích khối tròn xoay tạo thành V  π    2 4   x  1 dx  π  x  2 x  1 dx 1 1 4  x2 4  7π .  π  x x  x  6  2 3 1 Câu 6: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b , có đồ thị y  f   x  như hình vẽ sau: Mệnh đề nào dưới đây đúng? b A.  b f   x  dx là diện tích hình thang ABMN . B.  f   x  dx a b C.  là dộ dài đoạn BP . a b f   x  dx là dộ dài đoạn MN . D. a  f   x  dx là dộ dài đoạn cong AB . a Lời giải Chọn B b  f   x  dx  f  x  b  f  b   f  a   BM  PM  BP . a a Câu 7: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho hàm số 3 x 2 khi 0  x  1 . Tính tích phân y  f  x   4  x khi 1  x  2 7 A. . 2 B. 1 . 2  f  x  dx . 0 C. 5 . 2 D. 3 . 2 Lời giải Chọn A Ta có 2 1  f  x  dx   0 0 2 1 2 2 2  7 3×3 x2    4x     . f  x  dx   f  x  dx    3 x  dx    4  x  dx  2 3 1  2 1 1 0 1 2 Câu 8: (THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y  x ; y  0 ; x  4 . Diện tích S của hình phẳng H bằng A. S  16 . 3 B. S  3 . C. S  15 . 4 D. S  17 . 3 Lời giải Chọn A Xét phương trình x  0  x  0. 4 4 Ta có S   0 2 16 xdx  x x  . 3 3 0 Câu 9: (THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số  2  y  f  x   x 1 2 x  1 A. 6  ln 4 . khi 0  x  1 3 . Tính tích phân khi 1  x  3 B. 4  ln 4 .  f  x  dx . 0 C. 6  ln 2 . Lời giải D. 2  2 ln 2 . Chọn A 3 Ta có:  0 1 3 1 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   0 1 1 0 3 2 dx    2 x  1 dx x 1 1 3  2 ln x  1 0   x  x   ln 4  6 . 2 1 Câu 10: (THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình log 2  9  x   3 . A. 7 . B. 6 . C. 8 . Lời giải D. 9 . Chọn C Ta có: log 2  9  x   3  0  9  x  8  1  x  9 . Vì x    x  1; 2;3; 4;5;6;7;8 . Vậy có 8 nghiệm nguyên. Câu 11: (THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Xác định số thực dương m m để tích phân   x  x  dx 2 có giá trị lớn nhất. 0 A. m  1 . B. m  2 . C. m  3 . Lời giải D. m  4 Chọn A m m  x 2 x3  m 2 m3 .  P    x  x  dx      2 3  2 3 0 0 2 m 2 m3  f   m   m  m2  f   m   0  m  0 hoặc m  1  2 3 Lập bảng biến thiên Đặt f  m   Vậy f  m  đạt GTLN tại m  1 . Câu 12: (THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường xy  4 , x  0 , y  1 và y  4 . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình  H  quanh trục tung. A. V  8π . B. V  16π . C. V  10π . Lời giải D. V  12π . Chọn D Ta có thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình  H  quanh trục tung là 4 4 2 4 4  16  16 V  π    dy  π  2 dy  π     12π . y y  y 1 1 1 Câu 13: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Tích phân  2 e cos x .sin xdx bằng . 0 A. 1  e . B. e 1 . C. e  1. Lời giải Chọn B   2 2 I   ecos x .sin xdx    ecos x d  cos x   ecos x 0 0 0  2  e 1 . D. e . 9 Câu 14: (SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Biết f  x  làm hàm liên tục trên  và  f  x  dx  9 . 0 4 Khi đó giá trị của  f  3x  3 dx là 1 A. 27 . B. 3 . C. 0 . Hướng dẫn giải D. 24 . Chọn B 4 I   f  3 x  3 dx . Đặt t  3 x  3  dt  3dx 1 x  1  t  0 Đổi cận:  x  4  t  9 9 I 9 1 1 f  t  dt   f  x  dx  3 .  30 30 2 Câu 15: (SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Tích phân I   3 xe x dx nhận giá trị nào sau đây: 1 3 A. I  3 3e  6 . e 1 B. I  3 3e  6 3e  6 . C. I  . 1 e e Hướng dẫn giải D. I  3e3  6 . e Chọn C Đặt u  3 x  du  3dx , dv  e x dx  v  e x . 2 x I   3 xe dx  3 xe 1 x 2 1 2   3e x dx  6e 2  3e 1  3e x 2 1  6e 2  3e 1   3e 2  3e 1   3e 2 +6e1 . 1 Câu 16: (SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hình thang cong  H  giới hạn bởi các đường y  ln  x  1 , trục hoành và đường thẳng x  e  1 . Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình  H  quanh trục Ox . A. e  2 . D.   e  2  . C.  e . B. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D e 1 Thể tích khối tròn xoay  H  là: V   e 2  ln  x  1 dx    ln 0 2 xdx 1 2 ln x  u  ln 2 x du  dx Đặt   x dv  dx v  x e   e Ta có V    x ln 2 x  2 ln xdx  . Đặt 1 1   1  u   ln x du   dx  x   dv  dx v  x  e   e e e e e 2 Suy ra V    x ln x  2 x ln x 1  2  dx    x ln 2 x  2 x ln x 1  2 x 1    e  2  . 1 1 1     Câu 17: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hình thang cong  H  giới hạn bởi các đường y  e x , y  0 , x  0 , x  ln 8 . Đường thẳng x  k  0  k  ln 8 chia  H  thành hai phần có diện tích là S1 và S2 . Tìm k để S1  S2 . 9 A. k  ln . 2 2 C. k  ln 4 . 3 B. k  ln 4 . D. k  ln 5 . Lời giải Chọn B ln8 Ta có S1  S 2   e x dx   e x  0 Mà S1  S 2  S1  ln8 0 k k  7 ; S1   e x dx   e x   ek  1 . 0 0 7 7 9  e k  1   k  ln . 2 2 2 Câu 18: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa 1  2 f  x  dx  10 . Tính 0 0 2 A. x  f  2  dx .  0 2 5  x f   dx  . 2 2 B.  0 x f   dx  20 . 2 2 C.  0 x f   dx  10 . 2 2 D. x  f  2  dx  5 . 0 Lời giải Chọn B x 1  dt  dx . 2 2 Đổi cận: x  0  t  0 ; x  2  t  1 . Đặt t  2 Ta có:  0 1 x f   dx  2. f  t  dt  2.10  20 . 2 0 Câu 19: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của các hàm số y  x 2 và y  x là: A.  6 . B. 1 . 6 C. 5 . 6 1 D.  . 6 Lời giải Chọn B x  0 Phương trình hoành độ giao điểm là: x 2  x   .  x 1 1 Ta có diện tích hình phẳng cần tính là: S   0 1  x3 x 2  1 x  x dx      .  3 2 0 6 2 Câu 20: (THPT Chu Văn An – Hà Nội – năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  thoả mãn điều kiện 4 f 1  12 , f   x  liên tục trên  và  f   x  dx  17 . Khi đó f  4  bằng 1 A. 5 . B. 29 . C. 19 . Lời giải D. 9 . Chọn B 4 Ta có  f   x  dx  17  f  x  4 1  17  f  4   f 1  17  f  4   29 . 1 Câu 21: (THPT Chu Văn An – Hà Nội – năm 2017-2018) Cho hai hàm số y  f  x  và y  g  x  liên tục trên đoạn  a; b với a  b . Kí hiệu S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  3 f  x  , y  3g  x  , x  a , x  b ; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x   2 , y  g  x   2 , x  a , x  b . Khẳng định nào sau đây đúng? A. S1  2 S 2 . B. S1  3S2 . C. S1  2 S 2  2 . D. S1  2 S2  2 . Lời giải Chọn B b b b Ta có S1   3 f  x   3 g  x  dx  3 f  x   g  x  dx  3  f  x   2    g  x   2   dx  3S2 . a a a Câu 22: (THPT Chu Văn An – Hà Nội – năm 2017-2018) Cho hình thang cong  H  giới hạn bởi các đường y  e x , y  0 , x  1 , x  1 . Thể tích vật thể tròn xoay được tạo ra khi cho hình  H  quay quanh trục hoành bằng e 2  e 2 A. . 2 e B. 2  e 2   2 . e D. e 4 C. . 2 Lời giải 2  e 2   2 . Chọn D 1 Thể tích vật thể cần tính là V    e2 x dx  1  1 2x  d e   2 1  2 e2 x 1 1    e 2  e 2  2 1 Câu 23: (THPT Chu Văn An – Hà Nội – năm 2017-2018) Biết tích phân  0 b   ), giá trị của a bằng: A. 7 . B. 2 . C. 3 . . 2x  3 dx  a ln 2  b ( a , 2 x D. 1 . Lời giải Chọn A 1 1 1 2x  3 7   0 2  x dx  0  2  2  x  dx   2 x  7 ln 2  x  0  7 ln 2  2 . Câu 24: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 – năm 2017-2018) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị y   2 x  1 ln x , trục hoành và đường thẳng x  e . Khi hình phẳng D quay quanh trục hoành được vật thể tròn xoay có thể tích V được tính theo công thức e e 2 2 A. V    2 x  1 ln xdx . B. V     2 x  1 ln xdx . 1 2 1 e e 2 2 D. V     2 x  1 ln xdx . C. V    2 x  1 ln xdx . 1 2 1 Lời giải Chọn D Hàm số y   2 x  1 ln x có tập xác định là D  1;   . 1  x  (loaïi )  ln x  0  . 2   x 1 Phương trình hoành độ giao điểm là  2 x  1 e 2 Thể tích vật thể tròn xoay là: V     2 x  1 ln xdx . 1 Câu 25: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh – năm 2017-2018) Một vật chuyển động vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol có hình bên dưới. Biết rằng sau 10 s thì vật đó đạt đến vận tốc cao nhất và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì vật đó đi được quãng đường bao nhiêu mét? A. 300 m. B. 1400 m. 3 1100 m. 3 Hướng dẫn giải C. D. 1000 m. 3 Chọn D Giả sử vận tốc của vật biểu diễn bởi hàm số  P  : v  t   at 2  bt  c  a  0 . Dựa vào đồ thị hàm số ta có  P  đi qua O  0;0  và có đỉnh I 10;50  .  c  0 c  0 c  0   1 1    100a  10b  50  10a  b  5  a     P  : v  t    t 2  10t . 2 2  b 20a  b  0   b  10    10   2a Lúc bắt đầu: t  0 s; lúc đạt vận tốc cao nhất: t  10 s. Vậy quãng đường vận đó đi được kể từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất là: 10 10 1000  1  . s   v  t  dt     t 2  10t  dt  2 3  0 0 3 Câu 26: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh – năm 2017-2018) Giá trị của a 9  x 2 dx   trong b  0 đó a, b   và A. T  35 . a là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức T  ab . b B. T  24 . C. T  12 . D. T  36 . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt x  3sin t  dx  3cos tdt . Đổi cận: x  0  t  0; x  3  t     2 2 2 2  I   9   3sin t  .3cos tdt =  9 cos 2 tdt   9. 0 0 0  2 . 1  cos 2t 9 dt   . Vậy T  9.4  36 . 2 4 Câu 27: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh – năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng   : x  y  0 và x  1 t    : 2 x  y  z  15  0 và đường thẳng d  có phương trình  y  2  2t cắt nhau. Tìm tọa độ z  3  giao điểm I của hai đường thẳng d và d  . A. I  4;  4;3 . B. I  0;0; 2  . C. I 1; 2;3 . D. I  0;0;  1 . Hướng dẫn giải Chọn A Do đường thẳng d        nên giao điểm của d và d  cũng là giao điểm của d  và mặt phẳng   hoặc của d  và mặt phẳng    . Ta tìm I  d      1  t    2  2t   0  t  3 . Vậy tọa độ giao điểm I của hai đường thẳng d và d  là I  4;  4;3 .  2 Câu 28: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An – năm 2017-2018) Tính tích phân I  x cos x dx .  0 A.  2 1 .  B. 2 C. 1. 1. D.  2 . Lời giải Chọn A u  x du  dx  .  dv  cos x dx v  sin x  2   I  x sin x 02   sin x dx   x sin x  cos x  02  0  2 1. 2 Câu 29: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An – năm 2017-2018) Cho I  x  ln x   x  1 1 2 dx  a 1 ln 2  với a , b c b , m là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức S  A. S  2 . 3 B. S  5 . 6 C. S  1 . 2 ab . c 1 D. S  . 3 Lời giải Chọn B 2 Tính I   1 x  ln x  x  1 2 dx . 1  x  x  ln x  u  x dx  du  Đặt  1 .  dx  dv  1   x  1 2  v   x  1 2 Khi đó I   1  2 x  ln x  x  1 dx   2 1 1  2  ln 2    ln x 3 2 2 1 2 2 1 1 x 1 1 1 1 . dx    2  ln 2     dx  x  ln x    x 1 x x 1 3 2 1x 1 1  Vậy a  2; b  3; c  6  S  2 1 ln 2  3 6 ab 5  . c 6 Câu 30: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  A. 3  2 ln 2 . B. 3  ln 2 . x 1 , trục hoành và đường thẳng x  2 là. x2 C. 3  2ln 2 . D. 3  ln 2 . 1 Câu 31: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn  x  f   x   2 dx  f 1 . Giá trị của 0 1 I   f  x  dx bằng 0 A. 2 . B. 2 . C. 1 . D. 1. Câu 32: Tích diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) trong hình sau y g(x) = x 2 f(x) = x O 8 A. S  . 3 Câu 33: Nguyên hàm B. S   x 10 . 3 C. S  11 . 3 D. S  7 . 3 1  ln x dx  x  0  bằng x 1 2 ln x  ln x  C . 2 A. 4 2 B. x  ln 2 x  C . C. ln 2 x  ln x  C . Câu 34: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  A. 3  2 ln 2 . B. 3  ln 2 . 1 D. x  ln 2 x  C . 2 x 1 , trục hoành và đường thẳng x  2 là. x2 C. 3  2ln 2 . D. 3  ln 2 . Lời giải Chọn C 2 2 2 x 1 1  x 1  Ta có: dx   1   0  x  1 . Vậy S    dx   x  ln x  2  1  3  2ln 2 . x2 x2 x2 1 1  1 Câu 35: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn  x  f   x   2 dx  f 1 . Giá trị của 0 1 I   f  x  dx bằng 0 A. 2 . B. 2 . C. 1 . Lời giải Chọn C 1 1 1 Ta có  x  f   x   2  dx   x. f   x  dx   2 xdx 0 0 1 1   xd  f  x    x 2 0 0 0 1 1  x. f  x    f  x  dx  1  f 1  I  1. 0 0 1 Theo đề bài  x  f   x   2 dx  f 1  I  1. 0 Câu 36: Tích diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) trong hình sau D. 1 . y g(x) = x 2 f(x) = x O 8 A. S  . 3 B. S  4 x C. S  11 . 3 2 10 . 3 D. S  7 . 3 Lời giải Chọn B y g(x) = x 2 f(x) = x O 2 4 x y  x  Dựa và hình vẽ, ta có hình phẳng được giới hạn bởi các đường:  y  x  2 . y  0  2 4 Suy ra S   xdx   0 Câu 37: Nguyên hàm A.    x  x  2 dx  2 10 . 3 1  ln x dx  x  0  bằng x 1 2 ln x  ln x  C . 2 B. x  ln 2 x  C . 1 D. x  ln 2 x  C . 2 C. ln 2 x  ln x  C . Lời giải Chọn A 1  ln x 1 ln x 1 1 Ta có  dx   dx   dx   dx   ln xd  ln x   ln x  ln 2 x  C . x x x x 2 b Câu 38: Cho a  b  1 . Tích phân I   ln  x  1 dx bằng biểu thức nào sau đây? a b b A. I   x  1 ln  x  1 a  a  b . B. I   x  1 ln  x  1 a  b  a . b 1 C. I  .  x  1 a b b D. I  x ln  x  1 a   a x dx . x 1 Câu 39: Chướng ngại vật “tường cong” trong một sân thi đấu X-Game là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3,5 m . Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng AB  2 m . Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với AB tại A là một hình tam giác vuông cong ACE với AC  4 m , CE  3,5 m và cạnh cong AE nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí M là trung điểm của AC thì tường cong có độ cao 1m (xem hình minh họa bên). Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó. E 3,5 m B 2m 1m 4m M C. 10 m3 . A 3 3 A. 9, 75 m . B. 10,5 m . C D. 10, 25 m3 . b Câu 40: Cho a  b  1 . Tích phân I   ln  x  1 dx bằng biểu thức nào sau đây? a b b A. I   x  1 ln  x  1 a  a  b . B. I   x  1 ln  x  1 a  b  a . b 1 C. I  .  x  1 a b b D. I  x ln  x  1 a   a x dx . x 1 Lời giải Chọn B 1  u  ln  x  1 du  dx Đặt   x 1 dv  dx v  x  1 b b b b b Do đó I   ln  x  1 dx   x  1 ln  x  1 a   dx   x  1 ln  x  1 a  x a a a b   x  1 ln  x  1 a  b  a Câu 41: Chướng ngại vật “tường cong” trong một sân thi đấu X-Game là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3,5 m . Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng AB  2 m . Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với AB tại A là một hình tam giác vuông cong ACE với AC  4 m , CE  3,5 m và cạnh cong AE nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí M là trung điểm của AC thì tường cong có độ cao 1m (xem hình minh họa bên). Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó. E 3,5 m B 2m 1m A 3 A. 9, 75 m . Chọn C 3 B. 10,5 m . 4m M C. 10 m3 . Lời giải C D. 10, 25 m3 . y E 3,5 B 1 2m A Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ sao cho A  O 2 4 x  7  cạnh cong AE nằm trên parabol  P  : y  ax 2  bx đi qua các điểm  2;1 và  4;  nên  2 3 2 1  P : y  x  x 16 8 4 1   3 Khi đó diện tích tam giác cong ACE có diện tích S    x 2  x  dx  5 m 2 . 16 8  0 Vậy thể tích khối bê tông cần sử dụng là V  5.2  10 m3 . Câu 42: Trong không gian Oxyz , cho điểm M  2;3; 4  . Gọi A , B , C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox , Oy , Oz . Viết phương trình mặt phẳng  ABC  . A. x y z   1. 3 4 2 B. x y z   1. 3 2 4 C. x y z   1. 2 3 4 D. x y z    1. 4 4 3 Lời giải Chọn C Ta có: A  2;0;0  , B  0;3;0  , C  0;0; 4  . x y z Vậy  ABC  :    1 . 2 3 4 Câu 43: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x , x  0 , x  1 và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh bởi hình  H  quay quanh trục Ox . A. π . 3 B. π . 2 C. π . D. π. Lời giải Chọn B 1 1 x2 π Thể tích khối tròn xoay là V    xdx  π  . 2 0 2 0 1 Câu 44: Tính tích phân I   e  x dx . 0 1 A.   1 . e B. 1 . C. Lời giải Chọn A 1 . e 1 D. 1  . e 1 1 1 I   e  x dx   e  x    1 . 0 e 0 Câu 45: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b . Diện tích S cuả miền hình phẳng ( miền tô đen trong hình vẽ bên ) được tính bởi công thức b c b A. S   f  x  dx   f  x  dx . a B. S   f  x  dx   f  x  dx . b b a c b b C. S    f  x  dx   f  x  dx . a c c D. S    f  x  dx   f  x  dx . b a b Lời giải Chọn D b c b c S   0  f  x   dx    f  x   0  dx    f  x  dx   f  x  dx . a b a b Câu 46: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2 x  cos x là A.  cos 2 x  sin x  C . B. cos 2 x  sin x  C . C. sin 2 x  sin x  C . Câu 47: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e A. 6  15 . e B. 4  10 . e 3 x và F  0   2 . Hãy tính F  1 . 15 4. e C. D. cos 2 x  sin x  C . D. 10 . e Câu 48: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y  x 2  6 x  12 và các tiếp tuyến tại các điểm A 1;7  và B  1;19  . A. 1 . 3 B. 2 . 3 4 . 3 C. D. 2 . Câu 49: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2 x  cos x là A.  cos 2 x  sin x  C . B. cos 2 x  sin x  C . C. sin 2 x  sin x  C . D. cos 2 x  sin x  C . Lời giải Chọn C 1 1 Ta có:   sin 2 x  cos x  dx   cos 2 x  sin x  C    1  2sin 2 x   sin x  C  2 2 1   sin 2 x  sin x  C .  C  C    2  Câu 50: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e 3 x và F  0   2 . Hãy tính F  1 . A. 6  15 . e B. 4  10 . e 15 4. e Lời giải C. D. 10 . e Chọn C 3 Ta có I   f  x  dx   e x dx . Đặt 3 x  t  x  t 3  dx  3t 2 dt khi đó I   e x dx  3 et t 2dt . 3 2 2tdt  du t  u Đặt  t  t  I  3 et t 2  2  et tdt e  v e d t  d v      3et t 2  6  et tdt . Tính  et tdt . t  u dt  du Đặt  t  t   et tdt  tet   et dt  tet  et . e dt  dv e  v Vậy  I  3et t 2  6  et t  et   C  F  x   3e 3 x 3  x2  6 e 3 x 3 x e 3 x C . Theo giả thiết ta có F  0   2  C  4  F  x   3e 3 x 3  x2  6 e 3 x 3 x e 3 x   4  F  1  15e  4 . Câu 51: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y  x 2  6 x  12 và các tiếp tuyến tại các điểm A 1;7  và B  1;19  . A. 1 . 3 B. 2 . 3 C. 4 . 3 D. 2 . Lời giải Chọn B Ta có y  2 x  6 . Gọi tiếp tuyến tại điểm A 1;7  là d1 Suy ra d1 : y  y  1 x  1  7  4 x  11 . Gọi tiếp tuyến tại điểm B  1;19  là d 2 Suy ra d 2 : y  y   1 x  1  19  8 x  11. Ta có phương trình hoành độ giao điểm giữa d1 và parabol là x 2  6 x  12  4 x  11  x  1 . Ta có phương trình hoành độ giao điểm giữa d 2 và parabol là x 2  6 x  12  8 x  11  x  1 . Ta có phương trình hoành độ giao điểm giữa d 2 và d1 là 4 x  11  8 x  11  x  0 . Vậy diện tích hình phẳng cần tính là 0 S x 1 2  3x  1 1 2 1 1 2  6 x  12  8 x  11 dx   x 2  6 x  12  4 x  11 dx    . 3 3 3 0 ln b   dx  ln  a   với a , b , c là các số nguyên dương và c  4 . Tổng  x ln x c   1 a  b  c bằng Câu 52: Biết  3x 2 A. 6 . B. 9 . C. 7 . D. 8 . Câu 53: Cho hàm số f  x  xác định trên  1;1 thỏa mãn f   x   1 . Biết f  3  f  3  4 và x 1 2 1  1 f    f     2 . Giá trị của biểu thức f  5  f  0   f  2  bằng: 3  3 1 1 1 1 A. 5  ln 2 B. 6  ln 2 C. 5  ln 2 D. 6  ln 2 2 2 2 2 2  3x  1 ln b   dx  ln  a   với a , b , c là các số nguyên dương và c  4 . Tổng  x ln x c   1 a  b  c bằng A. 6 . B. 9 . C. 7 . D. 8 . Lời giải Chọn C 1 3 2 2 3 x  1  x dx . Đặt t  3 x  ln x , dt   3  1  dx Ta có  2 dx     3 x  x ln x 3x  ln x x  1 1 Câu 54: Biết  3x 2 Đổi cận x  1  t  3 , x  2  t  6  ln 2 . 1 3 2 6  ln 2 dt ln 2  6  ln 2  x dx  1 3x  ln x 3 t  ln t 3  ln  6  ln 2   ln 3  ln  2  3   a  2 , b  2 , c  3 . Vậy tổng a  b  c  7 . Câu 55: Cho hàm số f  x  xác định trên  1;1 thỏa mãn f   x   1 . Biết f  3  f  3  4 và x2 1 1  1 f    f     2 . Giá trị của biểu thức f  5  f  0   f  2  bằng: 3    3 1 1 1 1 A. 5  ln 2 B. 6  ln 2 C. 5  ln 2 D. 6  ln 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 5 f  5   f  2    f  5   f  3   f  3   f  2   f  3   f  3   3 1 2 f 0  2  f 0  f    f 0  3 0 2 f   x  dx   f   x  dx  4 3 0  1 f      f   x  dx   f   x  dx  3 1 1  3 3 0  0 1   f  0     f   x  dx   f   x  dx  2 2 1 1   3  3 5  f  5  f  0   f  2    3 1  5  ln 2 2 0  0 1  f   x  dx   f   x  dx  4    f   x  dx   f   x  dx  2 2 1 1 3   3  3 2 Câu 56: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi  P  : y  x 2  4 , tiếp tuyến của  P  tại M  2;0  và trục Oy là A. S  4 . 3 B. S  2 . 8 . 3 D. S  7 . 3  1 2 Câu 57: Cho C. S  12  f  x  dx  2018 . Tính  cos 2 x. f  sin 2 x  dx . 0 A. I  0 1009 . 2 B. I  1009 . C. I  4036 . D. I  2018 .  2 Câu 58: Cho tích phân cos 2 x  1  sin x dx  a  b với a, b   . Tính P  1  a 3  b 2 0 A. P  9 . B. P  29 . D. P  25 . C. P  11 . Câu 59: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi  P  : y  x 2  4 , tiếp tuyến của  P  tại M  2;0  và trục Oy là A. S  4 . 3 B. S  2 . C. S  8 . 3 D. S  7 . 3 Lời giải Chọn A . y  2x . y  2  4 . Phương trình tiếp tuyến của  P  tại M  2;0  y  2  x  2  2x  4 . 2 Diện tích hình phẳng cần tìm là S   x 2  4   2 x  4  dx  0 2  x 0 2  2 x  dx 2  x3  4    x2   . 3  3 0  1 2 Câu 60: Cho 12  f  x  dx  2018 . Tính  cos 2 x. f  sin 2 x  dx . 0 A. I  0 1009 . 2 B. I  1009 . C. I  4036 . Lời giải Chọn B  12 Xét I   cos 2 x. f  sin 2 x  dx . 0 Đặt u  sin 2 x  du  2cos 2 xdx . Đổi cận: x  0  u  0 và x  1 2 Khi đó I  1 2  12 u 1 . 2 1 1 1 f  u  du   f  x  dx  .2018  1009 .  20 20 2 D. I  2018 .  2 Câu 61: Cho tích phân cos 2 x với a, b   . Tính P  1  a 3  b 2  1  sin x dx  a  b 0 A. P  9 . B. P  29 . D. P  25 . C. P  11 . Lời giải Chọn D    2 2 cos 2 x 1  2sin 2 x 1   d x  d x  0 1  sin x 0 1  sin x 0  2sin x  2  1  sin x  dx 2     1  dx .    2sin x  2    0 1  cos   x    2    2    2 cos x  2 x   2 2 0  0 1 dx  2 x 2 cos    2 4  1 x   2    .2 tan    2  3   . 2 2 4 0 Vậy a  3, b  1 . P  1  a 3  b 2  25 . 2 Câu 62: Cho a là số thực thỏa mãn a  2 và   2 x  1 dx  4 . Giá trị biểu thức 1  a 3 bằng. a B. 2 . A. 0 . C. 1. Câu 63: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  bằng 1 A. . 2 6 Câu 64: Nếu  B. 1 . D. 3 . 1 ln x , trục hoành và đường thẳng x  e x 1 . 4 D. 2 . C. 2 . D. 4 . C. 2 f  x  dx  12 thì 0 A. 6 .  f  3x  dx bằng 0 B. 36 . Câu 65: Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  tan x , trục hoành và các đường thẳng π . Quay  H  xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng 4 π2 π2 π A. 1  . B. π 2 . C. π  . D. π. 4 4 4 x 0, x    Câu 66: Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin 2 2 x.cos3 2 x thỏa F    0 là 4 1 1 1 1 1 1 A. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  . B. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  . 6 10 15 6 10 15 1 1 1 C. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  . 6 10 15 6 1 1 4 D. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  . 6 10 15 8 7 Câu 67: Cho  2 x  3 x  2  dx  A  3 x  2   B  3x  2   C với A , B   và C   . Giá trị của biểu thức 12 A  7 B bằng 23 A. . 252 B. 241 . 252 52 . 9 C. D. 7 . 9 2 Câu 68: Cho a là số thực thỏa mãn a  2 và   2 x  1 dx  4 . Giá trị biểu thức 1  a 3 bằng. a B. 2 . A. 0 . D. 3 . C. 1. Lời giải Chọn B 2 Ta có:   2 x  1 dx   x 2 a 2  a  2  x   6  a 2  a . Theo đề:   a 1. 2 a 6  a  a  4 Vậy 1  a 3  2 . Câu 69: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  bằng 1 A. . 2 B. 1. 1 ln x , trục hoành và đường thẳng x  e x 1 . 4 C. D. 2 . Lời giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm: 1 ln x  0  x  1 . x e Diện tích của hình phẳng giới hạn là:  1 6 Câu 70: Nếu e e 1 ln 2 x 1 ln x dx   ln xd  ln x    . x 2 1 2 1 2  f  x  dx  12 thì  f  3x  dx bằng 0 A. 6 . 0 B. 36 . C. 2 . Lời giải D. 4 . Chọn D Đặt t  3 x  dt  3dx . Đổi cận: x  0  t  0 , x  2  t  6 2 6 1 1 Khi đó:  f  3x  dx   f  t  dt  .12  4 . 30 3 0 Câu 71: Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  tan x , trục hoành và các đường thẳng π . Quay  H  xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng 4 π2 π2 π A. 1  . B. π 2 . C. π  . D. π. 4 4 4 Lời giải Chọn C x 0, x  π 4 π 4 π π2  1   1 dx  π  tan x  x  04  π  Thể tích của  H  là : V  π  tan 2 xdx  π   . 2 cos x  4 0 0   Câu 72: Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin 2 2 x.cos3 2 x thỏa F    0 là 4 1 3 1 1 1 1 1 A. F  x   sin 2 x  sin 5 2 x  . B. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  . 6 10 15 6 10 15 1 3 1 1 1 1 4 C. F  x   sin 2 x  sin 5 2 x  . D. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  . 6 10 15 6 10 15 Lời giải Chọn C Đặt t  sin 2 x  dt  2.cos 2 xdx  1 dt  cos 2 xdx . 2 Ta có: F  x    sin 2 2 x.cos3 2 xdx  1 2 1 1 1 t . 1  t 2 dt   t 2  t 4 d t  t 3  t 5  C  2 2 6 10     1 1  sin 3 2 x  sin 5 2 x  C . 6 10 1  1  1   F    0  sin 3  sin 5  C  0  C   . 6 2 10 2 15 4 1 3 1 1 Vậy F  x   sin 2 x  sin 5 2 x  . 6 10 15 6 8 7 Câu 73: Cho  2 x  3 x  2  dx  A  3 x  2   B  3x  2   C với A , B   và C   . Giá trị của biểu thức 12 A  7 B bằng 23 A. . 252 B. 241 . 252 C. 52 . 9 D. 7 . 9 Lời giải Chọn D t2 1  dt  dx . 3 3 2 t8 4 t7 2 1 4 2 t2 6 8 7 Ta có:  .t dt    t 7 +2t 6  dt  .  .  C  .  3 x  2   .  3 x  2   C . 9 8 9 7 3 3 9 36 63 1 4 1 4 7 Suy ra A  , B  , 12.  7.  . 36 63 36 63 9 Đặt t  3 x  2  x  e Câu 74: Biết I   1 ln x 3 dx  a ln  b,  a, b  Q  . Mệnh đề nào sau đây đúng? x  ln x  2  2 A. a  b  1 . B. 2 a  b  1 . C. a 2  b 2  4 . D. a  2b  0 . Câu 75: Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm được thiết kế như hình bên dưới. Diện tích mỗi cánh hoa (phần tô đậm) bằng y y= 1 x2 20 y = 20x 20 x 20 20 20 A. 800 cm 2 . 3 B. 400 cm 2 . 3 C. 250 cm 2 . D. 800 cm 2 . Câu 76: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái xe phát hiện có hàng rào chắn ngang đường ở phía trước cách xe 45 m (tính từ đầu xe tới hàng rào) nên người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   5t  20  m/s  , trong đó t là thời gian được tính từ lúc người lái đạp phanh. Khi xe dừng hẳn, khoảng cách từ xe đến hàng rào là bao nhiêu? A. 4 m . B. 5 m . C. 3 m . D. 6 m . 9 Câu 77: Một chất điểm chuyển động có phương trình s  t   t 3  t 2  6t , trong đó t được tính bằng 2 giây, s được tính bằng mét. Gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc bằng 24  m/s  là A. 21  m/s 2  . B. 12  m/s 2  . C. 39  m/s 2  . D. 20  m/s 2  . Câu 78: Biết hàm số y  f  x  có f   x   3x 2  2 x  m  1 , f  2   1 và đồ thị của hàm số y  f  x  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 . Hàm số f  x  là A. x3  x 2  3 x  5 . e Câu 79: Biết I   1 B. x3  2 x 2  5 x  5 . C. 2 x 3  x 2  7 x  5 . D. x3  x 2  4 x  5 . ln x 3 dx  a ln  b,  a, b  Q  . Mệnh đề nào sau đây đúng? x  ln x  2  2 A. a  b  1 . B. 2 a  b  1 . C. a 2  b 2  4 . Lời giải Chọn D 1 Đặt t  ln x  2 , suy ra dt  dx . x Đổi cận: x  1  t  2 xet 3 3 3 t2 2 3 Khi đó, I   dt   t  2ln t  2  1  2 ln  1  2 ln . t 3 2 2 Vậy a  2; b  1 , nên a  2b  0. D. a  2b  0 . Câu 80: Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm được thiết kế như hình bên dưới. Diện tích mỗi cánh hoa (phần tô đậm) bằng y 1 x2 20 y = 20x y= 20 x 20 20 20 A. 800 cm 2 . 3 B. 400 cm 2 . 3 C. 250 cm 2 . D. 800 cm 2 . Lời giải Chọn B Diện tích một cánh hoa là diện tích hình phẳng được tính theo công thức sau: 20 20 1  1  400 2  S    20 x  x 2  dx   . 20. x 3  x3   20  60  0 3 3 0   cm  . 2 Câu 81: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái xe phát hiện có hàng rào chắn ngang đường ở phía trước cách xe 45 m (tính từ đầu xe tới hàng rào) nên người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   5t  20  m/s  , trong đó t là thời gian được tính từ lúc người lái đạp phanh. Khi xe dừng hẳn, khoảng cách từ xe đến hàng rào là bao nhiêu? A. 4 m . B. 5 m . C. 3 m . D. 6 m . Lời giải Chọn B * Xe dừng lại khi v  t   0  5t  20  0  t  4  s  . * Quãng đường xe đi được kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại là: 4 4 4  5t 2  v t dt   5 t  20 dt = 20 t        =40 m 0 0 2 0  * Khi xe dừng hẳn, khoảng cách từ xe đến hàng rào là: 45  40  5 m . 9 Câu 82: Một chất điểm chuyển động có phương trình s  t   t 3  t 2  6t , trong đó t được tính bằng 2 giây, s được tính bằng mét. Gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc bằng 24  m/s  là A. 21  m/s 2  . B. 12  m/s 2  . C. 39  m/s 2  . Lời giải D. 20  m/s 2  . Chọn A Ta có v  t   s  t   3t 2  9t  6  24  t  2  s  . Lại có a  t   s  t   6t  9  a  2   21  m/s 2  . Câu 83: Biết hàm số y  f  x  có f   x   3x 2  2 x  m  1 , f  2   1 và đồ thị của hàm số y  f  x  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 . Hàm số f  x  là A. x3  x 2  3 x  5 . B. x3  2 x 2  5 x  5 . C. 2 x 3  x 2  7 x  5 . D. x3  x 2  4 x  5 . Lời giải Chọn A Ta có f  x     3 x 2  2 x  m  1 dx  x 3  x 2  1  m  x  C .  f  2   1 2 1  m   C  12  1 m  4 Theo đề bài, ta có     f  x   x3  x 2  3 x  5 . C  5  f  0   5 C  5 5  f  x  dx  a ,  a    . Câu 84: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục trên  và Tích phân 3 2 I   f  2 x  1 dx có giá trị là 1 A. I  1 a 1 . 2 B. I  2a  1 . C. I  2a . D. I  1 a. 2 Câu 85: Goi  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e x , trục Ox và hai đường thẳng x  0, x  1 . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox là A.  e 2  1 . 2 B.   e 2  1 . C.  2 e 2  1 . D.   e 2  1 . Câu 86: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2  x  2 và trục hoành bằng A. 9 . 3 Câu 87: Nếu  2x 2 B. 13 . 6 C. 9 . 2 D. 3 . 2 x2 dx  a ln 5  b ln 3  3ln 2  a, b    thì giá trị của P  2a  b là  3x  1 2 A. P  1 . B. P  7 . C. P   15 . 2 D. P  15 . 2 Câu 88: Một vật chuyển động có phương trình v  t   t 3  3t  1  m/s  . Quãng đường vật đi được kể từ khi bắt đầu chuyển động đến khi gia tốc bằng 24 m/s 2 là 15 A. B. 20 m . C. 19 m . m. 4 Câu 89: Biết F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   Khi đó, giá trị của tham số m bằng A. 2 . B. 3 . D. 39 m. 4 1  m  1 thỏa mãn F  0   0 và F  3  7 . 2 x 1 C. 3 . D. 2 . Câu 90: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   4 x  sin 2 x là 4x 1  sin 2 x  C . ln 4 4 sin 3 x C. 4 x ln x  C . 3 A. sin 3 x C . 3 4x x 1 D.   sin 2 x  C . ln 4 2 4 B. 4 x ln x  ———-HẾT———- ĐÁP ÁN THAM KHẢO 1 2 3 C C B 4 D 5 B 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C A C D A A D C C C D A A A B A D A D D 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 A B B C C C D B A B B A C B B A D A B D D C B B D HƯỚNG DẪN GIẢI 5  f  x  dx  a ,  a    . Câu 91: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục trên  và Tích phân 3 2 I   f  2 x  1 dx có giá trị là 1 A. I  1 a 1 . 2 B. I  2a  1 . C. I  2a . D. I  1 a. 2 Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t  2 x  1  dt  2dx . Đổi cận: x  1  t  3 ; x  2  t  5 . 5 5 1 1 1 f  t  dt   f  x  dx  a . 2 23 2 3 I  Câu 92: Goi  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e x , trục Ox và hai đường thẳng x  0, x  1 . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox là A.  e 2 2  1 . B.   e 2  1 . C.  e 2 2  1 . D.   e 2  1 . Hướng dẫn giải Chọn A 1 Thể tích khối tròn xoay V    e2 x dx  0  2 1 e2 x  0  2 e 2  1 . Câu 93: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2  x  2 và trục hoành bằng A. 9 . B. 13 . 6 9 . 2 Hướng dẫn giải C. D. 3 . 2 Chọn C Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là nghiệm của phương trình: x 1 . x2  x  2  0    x  2 y O 1 Diện tích hình phẳng S   1 x 2  x  2 dx     x 2  x  2  dx  2 3 Câu 94: Nếu  2x x 1 -2 2 9 . 2 x2 dx  a ln 5  b ln 3  3ln 2  a, b    thì giá trị của P  2a  b là  3x  1 2 2 A. P  1 . B. P  7 . C. P   15 . 2 D. P  15 . 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 3 3 3 x2 1 4x  3 11 1 2 2 x2  3x  1 dx  4 2 2 x 2  3x  1 dx  4 2 2 x 2  3x  1 dx 3 3  1 1 11 1 d  2 x 2  3x  1   dx 2  4 2 2 x  3x  1 4 2  x  1 2 x  1  1 11  1 2  ln 2 x 2  3x  1      dx 4 4 2  x 1 2x 1  2 3 3 3 1 11 x 1  ln 2 x 2  3 x  1  ln 4 4 2x 1 2  3 2 1 11 2 1  ln10  ln 3   ln  ln  4 4 5 3 1 10 11 6 ln  ln 4 3 4 5 1 11   ln 5  ln 2  ln 3   ln 2  ln 3  ln 5  4 4 5 5   ln 5  ln 3  3ln 2 . 2 2 5 5 15 Do đó a   , b  , P   . 2 2 2  Câu 95: Một vật chuyển động có phương trình v  t   t 3  3t  1  m/s  . Quãng đường vật đi được kể từ khi bắt đầu chuyển động đến khi gia tốc bằng 24 m/s 2 là A. 15 m. 4 B. 20 m . C. 19 m . D. 39 m. 4 Hướng dẫn giải Chọn D Gia tốc a  t   v  t   3t 2  3 . Tại thời điểm vật có gia tốc 24 m/s 2 thì 24  3t 2  3  t  3 . Quãng đường vật đi được kể từ khi bắt đầu chuyển động đến khi gia tốc bằng 24 m/s 2 là quãng đường vật đi từ vị trí t  0 đến vị trí t  3 . 3 S  3    t 3  3t  1 dt  0 39 . 4 Câu 96: Biết F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   1  m  1 thỏa mãn F  0   0 và F  3  7 . 2 x 1 Khi đó, giá trị của tham số m bằng A. 2 . B. 3 . C. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn B  1  Ta có F  x      m  1 dx  x  1   m  1 x  C .  2 x 1   F  0   0 C  1  0 C  1 Theo giả thiết, ta có  .   C  3m  8 m  3  F  3  7 Vậy F  x   x  1  2 x  1 . Câu 97: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   4 x  sin 2 x là A. 4x 1  sin 2 x  C . ln 4 4 C. 4 x ln x  sin 3 x C . 3 B. 4 x ln x  sin 3 x C . 3 4x x 1   sin 2 x  C . ln 4 2 4 Hướng dẫn giải D. Chọn D Ta có:  f  x  dx    4 x 1  cos 2 x    sin 2 x  dx    4 x   dx 2   4x x 1 1 cos 2 x      sin 2 x  C .    4x   dx  ln 4 2 4 2 2   ———-HẾT———Câu 98: Cho hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  xác định trên K . Mệnh đề nào dưới đây sai?  A. x  f  x  dx  f   x  .    C.   f  x  dx   F   x  . B.   f  x  dx   f  x  . D.  f  x  dx  F  x   C . Câu 99: Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số π y  tan x , trục hoành và các đường thẳng x  0 , x  quanh trục hoành là 4 A. V  π . 4 B. V  π ln 2 . 2 C. V  π2 . 4 D. V  π . 4 2 Câu 100: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x  2   1 và trục hoành bằng A. 25 . 4 B. 3 . 4 4 . 3 C. Câu 101: Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x    2 x  3 thức log 2 3F 1  2 F  2   bằng A. 10 . B. 4 . 2 . 3 1 thỏa mãn F  0   . Giá trị của biểu 3 D. 2 C. 4 . D. 2 . Câu 102: Một chiếc ô tô đang chuyển động với vận tốc v  t   2  t2  4 t4  m s  . Quãng đường ô tô đi được từ thời điểm t  5  s  đến thời điểm t  10  s  là A. 12, 23 m . B. 32,8 m . C. 45, 03 m . D. 10, 24 m . Câu 103: Cho hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  xác định trên K . Mệnh đề nào dưới đây sai?  A. x  f  x  dx  f   x  .    C.   f  x  dx   F   x  . B.   f  x  dx   f  x  . D.  f  x  dx  F  x   C . Lời giải Chọn A Ta có: F   x   f  x  .   f  x  dx   f  x   F   x  nên B và C đúng.  f  x  dx  F  x   C nên D đúng. Vậy A sai. Câu 104: Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số π y  tan x , trục hoành và các đường thẳng x  0 , x  quanh trục hoành là 4 A. V  π . 4 B. V  π ln 2 . 2 C. V  π2 . 4 D. V  π . 4 Lời giải Chọn B π 4 π 4 sin x dx   π ln cos x cos x 0 Thể tích khối tròn xoay cần tính là V  π  tan xdx  π  0 π 4 0 2  π ln 2 . 2 Câu 105: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x  2   1 và trục hoành bằng A. 25 . 4 B. 3 . 4 C. 4 . 3 D. 2 . 3 Lời giải Chọn C x  3 2 Xét phương trình  x  2   1  0   . x 1 3 3 3  x3  4 Diện tích hình phẳng S    x  2   1 dx    x  4 x  3 dx    2 x 2  3 x   .  3 1 3 1 1 2 2 1 2 Câu 106: Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x    2 x  3 thỏa mãn F  0   . Giá trị của biểu 3 thức log 2 3F 1  2 F  2   bằng A. 10 . B. 4 . C. 4 . Lời giải D. 2 . Chọn D Ta có: 1 2 2 0 1 3F 1  2 F  2   3  F 1  F  2    F  2   F  0   F  0   3 f  x  dx   f  x  dx   4 . 3  log 2 3F 1  2 F  2    log 2 4  2 . Câu 107: Một chiếc ô tô đang chuyển động với vận tốc v  t   2  t2  4 t4  m s  . Quãng đường ô tô đi được từ thời điểm t  5  s  đến thời điểm t  10  s  là A. 12, 23 m . B. 32,8 m . C. 45, 03 m . D. 10, 24 m . Lời giải Chọn B 10  t2  4  Quãng đường ô tô đi được là: s    2   dt  32,8 m . t4  5 1 Câu 108: Tính  32 x 1 dx bằng 0 9 A. . ln 9 B. 12 . ln 3 C. Câu 109: Giả sử F  x  là một nguyên hàm của f  x   4 . ln 3 D. 27 . ln 9 ln  x  3 sao cho F  2   F 1  0 . Giá trị của x2 F  1  F  2  bằng A. 10 5 ln 2  ln 5 . 3 6 B. 0 . C. 7 ln 2 . 3 D. 2 3 ln 2  ln 5 . 3 6 C. 4 . ln 3 D. 27 . ln 9 1 Câu 110: Tính  32 x 1 dx bằng 0 9 A. . ln 9 B. 12 . ln 3 Lời giải Chọn B 1 1 Ta có  3 0 2 x 1 1 32 x1 1 12 dx   .  33  3   2 ln 3 0 2 ln 3 ln 3 Câu 111: Giả sử F  x  là một nguyên hàm của f  x   ln  x  3 sao cho F  2   F 1  0 . Giá trị của x2 F  1  F  2  bằng A. 10 5 ln 2  ln 5 . 3 6 B. 0 . C. 7 ln 2 . 3 D. 2 3 ln 2  ln 5 . 3 6 Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có hàm số f  x  liên tục trên các khoảng  3;0  và  0;   . Tính  ln  x  3 x2 dx . 1  u  ln  x  3 du  dx 1   x  3 Đặt  (Chọn C   )  dx 3 dv  2 v   1  1   x  3 x   x 3 3x ln  x  3 x3 1 x3 1 Suy ra: F  x    ln  x  3  ln x  C . dx   ln  x  3   dx   2 3x 3 x 3x 3x 1 2  Xét trên khoảng  3; 0  , ta có: F  2   ln 2  C1 ; F  1  ln 2  C1 3 3  Xét trên khoảng  0;   , ta có: 4 8 5 1 F 1   ln 4  C2   ln 2  C2 ; F  2    ln 5  ln 2  C2 3 3 6 3 7 1   8  Suy ra: F  2   F 1  0   ln 2  C1     ln 2  C2   0  C1  C2  ln 2 . 3 3   3  1 2   5  Do đó: F  1  F  2    ln 2  C1     ln 5  ln 2  C2  3 3   6  2 5 1 7 10 5  ln 2  ln 5  ln 2  ln 2  ln 2  ln 5 . 3 6 3 3 3 6 Cách 2: (Tận dụng máy tính)  Xét trên khoảng  3; 0  , ta có: 1 F  1  F  2    2 ln  x  3 dx  0, 231  A (lưu vào A ) x2 2 1 f  x  dx  1   Xét trên khoảng  0;   , ta có: 2 ln  x  3 dx  0, 738  B (lưu vào A ) x2 1 2  2 F  2   F 1   f  x  dx   1  Lấy 1 cộng  2  theo vế ta được: F  1  F  2   F  2   F 1  A  B  F  1  F  2   A  B  0,969 . So các phương án ta Chọn A Câu 112: Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính S là y y  f  x 1 O 1 2 x A. S  1 2  f  x  dx   f  x  dx . 1 1 B. S  2  f  x  dx   f  x  dx . 1 2 C. S  1 1 2  f  x  dx . D. S    f  x  dx . 1 1 π 2 Câu 113: Biết I  x  x cos x  sin 3 x π2 b b d x   . Trong đó a , b , c là các số nguyên dương, phân số tối 0 1  cos x a c c giản. Tính T  a 2  b 2  c 2 . A. T  16 . B. T  59 . C. T  69 . D. T  50 . Câu 114: Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính S là y y  f  x 1 A. S  1 2  f  x  dx   f  x  dx . 1 1 O 1 B. S  x 1 2  f  x  dx   f  x  dx . 1 2 C. S  2 1 2  f  x  dx . D. S    f  x  dx . 1 1 Lời giải Chọn B Ta thấy miền hình phẳng giới hạn từ x  1 đến x  1 ở trên trục hoành  mang dấu dương 1  S1    f  x  dx 1 Miền hình phẳng giới hạn từ x  1 đến x  2 ở dưới trục hoành  mang dấu âm 2  S2    f  x  dx 1 Vậy S  1 2  f  x  dx   f  x  dx . 1 1 π 2 Câu 115: Biết I  x  x cos x  sin 3 x π2 b b d x   . Trong đó a , b , c là các số nguyên dương, phân số tối 0 1  cos x a c c giản. Tính T  a 2  b 2  c 2 . A. T  16 . B. T  59 . C. T  69 . Lời giải Chọn C  2 Ta có I   0  3 2  x  x cos x  sin x sin 3 x  dx    x   dx 1  cos x 1  cos x  0 D. T  50 .    2  2 1 1 2    xdx   1  cos x  sin xdx    cos x  cos 2 x    . 8  2 8 2 0 0 0 2 2 Như vậy a  8 , b  1 , c  2 . Vậy T  a 2  b 2  c 2  69 . Câu 116: Nguyên hàm của hàm số f  x   A. x  1 C. x 1 10 Câu 117: Nếu B. x2  x  1 x 1 1  x  1 2 8 C. C. x2  ln x  1  C . 2 D. x 2  ln x  1  C . 10  f  z  dz  17 và  f  t  dt  12 thì  3 f  x  dx bằng 0 0 A. 15 . 8 B. 29 . C. 15 . D. 5 . Câu 118: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y  1  x 2 , y  0 quanh trục Ox là aπ với a , b là số nguyên. Khi đó a  b bằng V b A. 11 . B. 17 . C. 31 . D. 25 . Câu 119: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x3  3x  3 và đường thẳng y  5 . 5 45 27 21 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Câu 120: Nguyên hàm của hàm số f  x   A. x  1 C. x 1 B. x2  x  1 x 1 1  x  1 2 C. C. x2  ln x  1  C . 2 D. x 2  ln x  1  C . Lời giải Chọn C x2 x2  x  1 1   d x   ln x  1  C .  x  d x  x 1   x  1  2 10 Câu 121: Nếu 8 10  f  z  dz  17 và  f  t  dt  12 thì  3 f  x  dx bằng 0 A. 15 . 0 8 B. 29 . C. 15 . Lời giải D. 5 . Chọn A 10 10 0  I  3  f  x  dx  3   f  x  dx   f  x  dx   3  12  17   15 . 8 0 8  Câu 122: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y  1  x 2 , y  0 quanh trục Ox là aπ với a , b là số nguyên. Khi đó a  b bằng V b A. 11. B. 17 . C. 31 . D. 25 . Lời giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm 1  x 2  0  x  1 . 1 2 16π Ta có V  π  1  x 2  dx   a  16 , b  15 . 15 1 Vậy a  b  31 . Câu 123: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x3  3x  3 và đường thẳng y  5 . 5 45 27 21 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải Chọn C + Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là  x  2 .  x3  3x  3  5  x3  3x  2  0   x  1 1 Vậy diện tích hình phẳng cần tính là S  x 3  3 x  2dx  2 1 Câu 124: Biết rằng  4  x 2 dx  1 2. A. 27 . 4 2  a . Khi đó a bằng: 3 B. 1 . C. 3. D. 2 . 2 Câu 125: Hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x  1 , x  3 và Ox có diện tích là A. 8 . B. 1 Câu 126: Biết rằng  4  x 2 dx  1 2. A. 4 . 3 C. 16 . 3 D. 20 . 3 2  a . Khi đó a bằng: 3 B. 1 . C. 3. D. 2 . Lời giải Chọn C Đặt x  2sin t  dx  2 cos tdt . Khi đó : 1  4  x 2 dx  1   6 6   4 cos t cos t dt    6 6   6 4 cos 2 tdt    2  2 cos 2t  dt   2t  sin 2t  6   6 6 Câu 127: Hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  1 , x  3 và Ox có diện tích là A. 8 . B. 4 . 3 C. 16 . 3 D. 20 . 3  2  3. 3 Lời giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm của các đường y  x 2  1 và Ox là: x 2  1  0  x  1 . Diện tích hình phẳng là: 3 S 1  2 x  1 dx  1 3  x 2 1  x3   1 dx    x 2  1 dx     x   3  1 2 3 1 Câu 128: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và  x3 3   x  8. 1  3 1 1  f  x  dx  12 ,  f  2 cos x  sin xdx bằng 1 3 A. 12 . B. 12 . C. 6 . 2 3 1 Câu 129: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và D. 6 .  f  x  dx  12 ,  f  2 cos x  sin xdx bằng 1 3 A. 12 . B. 12 . C. 6 . Hướng dẫn giải D. 6 . Chọn C Đặt t  2 cos x  dt  2sin xdx . Đổi cận 2 3  1 f  2 cos x  sin xdx    1 1 1 1 1  1 f  t     dt   f  t  dt   f  x  dx  6 . 2 1 2 1  2 3 2 Câu 130: Cho  7 f  x  dx  2 , 1 A. 11 .  7 f  t  dt  9 . Giá trị của 1  f  z  dz là 2 B. 5 . C. 7 . D. 9 . Câu 131: Tìm hàm số f  x  , biết rằng f   x   4 x  x và f  4   0 . A. f  x   8 x x x 2 40   . 3 2 3 B. f  x   2  1. x C. f  x   8 x x x 2 88   . 3 2 3 D. f  x   2 x2  1. x 2 Câu 132: Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì bắt đầu tăng tốc với gia tốc a  t   6t  12t 2  m/s 2  Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là A. 4300 m. 3 B. 11100 m . 2 Câu 133: Cho C. 4300 m . 7 f  x  dx  2 ,  1  98 m. 3 7 f  t  dt  9 . Giá trị của 1 A. 11 . D.  f  z  dz là 2 B. 5 . C. 7 . Hướng dẫn giải D. 9 . Chọn C 7 Ta có  7 f  t  dt  1  7 f  x  dx và  1 7 7 f  z  dz   f  x  dx nên 2 2 f  x  dx   1 2 7  f  x  dx   f  x  dx . 1 2 7 Vậy  f  z  dz  7 . 2 Câu 134: Tìm hàm số f  x  , biết rằng f   x   4 x  x và f  4   0 . A. f  x   8 x x x 2 40   . 3 2 3 B. f  x   2  1. x C. f  x   8 x x x 2 88   . 3 2 3 D. f  x   2 x2  1. x 2 Hướng dẫn giải Chọn A   Ta có: f  x    f   x  dx   4 x  x dx  f  4  0  Vậy f  x   8x x x 2  C . 3 2 8.4 4 42 40  C  0  C   . 3 2 3 8 x x x 2 40   . 3 2 3 Câu 135: Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì bắt đầu tăng tốc với gia tốc a  t   6t  12t 2  m/s 2  Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là 4300 98 A. B. 11100 m . C. 4300 m . D. m. m. 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B Vật tốc v  t    a  t  dt    6t  12t 2  dt  3t 2  4t 3  C Tại thời điểm t 0 (lúc bắt đầu tăng tốc) thì v  t   10 m/s  v  0   10  3.02  4.03  C  10  C  10 . Vậy v  t   3t 2  4t 3  10 . Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là 10 10 S   v  t  dt    3t 2  4t 3  10  dt  11100 m . 0 0 Câu 136: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi y  2 x ; y  x 2 ; y  1 trên miền x  0 ; y  1 A. 1 . 3 B. 3 Câu 137: Cho x 2 1 1 . 2 C. 5 . 12 x3 dx  m ln 2  n ln 3  p ln 5 , với m , n ,  3x  2 D. p 2 . 3 là các số hữu tỉ. Tính S  m2  n  p 2 . A. S  6 . B. S  4 . C. S  3 . D. S  5 . Câu 138: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi y  2 x ; y  x 2 ; y  1 trên miền x  0 ; y  1 A. 1 . 3 B. 1 . 2 5 . 12 Lời giải C. D. 2 . 3 Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm x 2  1  x  1 ; 2 x  1  x  1 . 2 Hình phẳng cần tính được tạo từ hai hình  H1  và  H 2   1  y  2x 2  5 Trong đó  H1   y  x 2 .  S1   2 x  x 2 dx  24 0  1  x  0; x   2  y 1 1  5 Và  H 2    y  x 2 .  S 2   1  x 2 dx  24 1  1 2 x  ; x  1  2 5 5 5 Vậy diện tích hình phẳng cần tính là S  S1  S 2    . 24 24 12 3 Câu 139: Cho x 1 2 x3 dx  m ln 2  n ln 3  p ln 5 , với m , n ,  3x  2 p là các số hữu tỉ. Tính S  m2  n  p 2 . A. S  6 . Chọn A B. S  4 . C. S  3 . Lời giải D. S  5 . 3 3 2 x  4   x  1 x3 x3 d x  d x  1  x  1 x  2  1  x  1 x  2  dx 1 x2  3x  2 3 Ta có 3   2x  4 x 1     dx x  2  x  1  x  2  x  1  1  3 3 3 3 2 1  dx   dx  2 ln  x  1 1  ln  x  2  1  2 ln 4  2 ln 2   ln 5  ln 3 x 1 x2 1 1 m  2 2   4  2 ln    ln 5  ln 3  2 ln 2  ln 3  ln 5  n  1  S  22  1   1  6 .  2  p  1  Câu 140: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  1;3 và thỏa mãn f  1  4 ; f  3  7 . 3 Giá trị của I   5 f   x  dx bằng 1 A. I  20 . B. I  3 . 3 Câu 141: Cho  6 f  x  dx  12 , giá trị của 1 C. I  10 . D. I  15 . C. 6 . D. 14 .  x  f  2  dx bằng 2 A. 24 . B. 10 . Câu 142: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  1;3 và thỏa mãn f  1  4 ; f  3  7 . 3 Giá trị của I   5 f   x  dx bằng 1 A. I  20 . B. I  3 . C. I  10 . Hướng dẫn giải D. I  15 . Chọn D 3 3 I   5 f   x  dx  5 f  x  1  5 f  3  5 f  1  5.7  5.4  15 . 1 3 Câu 143: Cho  6 f  x  dx  12 , giá trị của 1  x  f  2  dx bằng 2 A. 24 . B. 10 . C. 6 . Hướng dẫn giải D. 14 . Chọn B Đặt t  x  dx  2dt . 2 Đổi cận x  2  t  1 x 6t 3 6 Khi đó  2 3 3  x f   dx  2  f  t  dt  2  f  x  dx  24 . 2 1 1 Câu 144: Cho tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c,  a, b, c  , a  0  có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 . Tính tích phân I   x2 x1 2  2ax  b  eax bx c dx . A. I  x1  x2 . B. I  x1  x2 . 4 C. I  0 . D. I  x1  x2 . 2 Câu 145: Cho tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c,  a, b, c  , a  0  có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 . Tính tích phân I   x2 x1 A. I  x1  x2 . 2  2ax  b  eax bx c dx . B. I  x1  x2 . 4 C. I  0 . D. I  x1  x2 . 2 Lời giải Chọn C Đặt t  ax 2  bx  c  dt   2ax  b  dx  x  x1  t  ax12  bx1  c  0 x2 0 2 Khi  . Do đó I    2ax  b  e ax bx  c dx   et dt  0 . 2 x1 0  x  x2  t  ax2  bx2  c  0 e Câu 146: Cho tích phân   2 x  5 ln xdx . Chọn khẳng định đúng? 1 e e A. I    x  5 x  ln x    x  5 dx . 2 1 B. I   x  5 x  ln x    x  5  dx . 1 1 e e C. I   x 2  5 x  ln x    x  5  dx . 1 e e 2 1 e e D. I   x  5  ln x 1    x 2  5 x  dx . 1 1 2 Câu 147: Biết rằng x2 0 x  1 dx  a  ln b với a , b   , b  0 . Hỏi giá trị 2a  b thuộc khoảng nào sau đây? A.  8;10 . B.  6;8  . C.  4;6  . D.  2; 4  . e Câu 148: Cho tích phân   2 x  5 ln xdx . Chọn khẳng định đúng? 1 e e A. I    x 2  5 x  ln x    x  5 dx . 1 e 1 1 1 e C. I   x 2  5 x  ln x    x  5  dx . e e B. I   x 2  5 x  ln x    x  5  dx . e 1 e D. I   x  5  ln x 1    x 2  5 x  dx . 1 1 Lời giải Chọn C Đặt u  ln x  du  1 dx ; dv   2 x  5 dx  v  x 2  5 x . x e e e e 1 Ta có: I   x 2  5 x  ln x    x 2  5 x  dx   x 2  5 x  ln x    x  5  dx . 1 1 x 1 1 2 Câu 149: Biết rằng x2 0 x  1 dx  a  ln b với a , b   , b  0 . Hỏi giá trị 2a  b thuộc khoảng nào sau đây? A.  8;10 . B.  6;8  . C.  4;6  . Lời giải D.  2; 4  . Chọn D 2 2 2  x2  x2 1   dx    x  1  d x  Ta có:    x  ln x  1   ln 3  a  0 , b  3  2a  b  3 .  x 1 x 1  2 0 0 0 Câu 150: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos x , trục tung, trục hoành và đường thẳng x   bằng A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1. 2 1  2018  Câu 151: Tính tích phân I    2019 log 2 x   x dx . ln 2  1 A. I  22017 . B. I  22019 . C. I  22018 . 2018 ln 1  2 x  Câu 152: Tính tích phân I   dx . x 0 1  2  log 4 e D. I  22020 . A. I  ln 1  22018   ln 2 . B. I  ln 2 1  22018   ln 2 2 . C. I  ln 2 1  22018   ln 4 . D. I  ln 2 1  22018   ln 2 2 . Câu 153: Xét hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số f  x   a sin x  b cos x (với a , b là các hằng số thực dương), trục hoành, trục tung và đường thăng x   . Nếu vật thể tròn xoay được tạo 5 2 và f   0   2 thì 2a  5b bằng 2 C. 9 . D. 10 . thành khi quay  H  quanh trục Ox có thể tích bằng A. 8 . B. 11. Câu 154: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos x , trục tung, trục hoành và đường thẳng x   bằng A. 3 . B. 2 . C. 4 . Lời giải D. 1 . Chọn B Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  cos x và trục hoành là nghiệm phương trình cos x  0  x   2  k . Xét trên  0;   suy ra x   2   2 Diện tích hình phẳng cần tính là S   cos xdx   cos xdx  2 .  0 2 2  Câu 155: Tính tích phân I   2019 log 2 x   1 A. I  22017 . 1  2018  x dx . ln 2  B. I  22019 . C. I  22018 . Lời giải D. I  22020 . Chọn B 2 2 2 1 1  2018 1  2018 I2 . I    2019 log 2 x  x d x  2019 x log x d x  x 2018 dx  2019 I1  2    ln 2 ln 2  ln 2 1 1 1 2 Trong đó I 2   x 2018dx  1 2 22019  1 x 2019 .  2019 2019 1 1  du  dx  u  log x   x.ln 2 2 2018 và I1   x log 2 xdx . Đặt  .  2019 2018 dv  x dx 1 v  x  2019 2 2  x 2019  22019  1 1 2 2019 1 22019  1 22019 Khi đó I1   . .log 2 x   I2     . 2019 20192.ln 2 2019 2019.ln 2 2019  2019  1 2019.ln 2 Vậy I  22019 . 2018 Câu 156: Tính tích phân I  ln 1  2 x   1  2  log x 0 4 e dx . A. I  ln 1  22018   ln 2 . B. I  ln 2 1  22018   ln 2 2 . C. I  ln 2 1  22018   ln 4 . D. I  ln 2 1  22018   ln 2 2 . Lời giải Chọn B ln 1  2 x  2018 Ta có I   1  2  log x 0 Do đó I  ln 2 1  2 x  2018 2018 4e dx  2  ln 1  2 x  0 2 x ln 2 dx  2 1  2x 2018  ln 1  2  d ln 1  2  x x 0  ln 2 1  22018   ln 2 2 . 0 Câu 157: Xét hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số f  x   a sin x  b cos x (với a , b là các hằng số thực dương), trục hoành, trục tung và đường thăng x   . Nếu vật thể tròn xoay được tạo 5 2 và f   0   2 thì 2a  5b bằng 2 C. 9 . D. 10 . Lời giải thành khi quay  H  quanh trục Ox có thể tích bằng A. 8 . B. 11 . Chọn C Ta có thể tích của vật thể là   2 V     a sin x  b cos x  dx     a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x  2ab sin x cos x  dx 0 0     x sin 2 x  2  x sin 2 x  ab   1  cos 2 x 2 1  cos 2 x      a2 b  ab sin 2 x  dx    a 2   b     cos 2 x  2 2 4  4  2  2  2 0 0    a2  b2   . 2 Theo giả thiết ta có a 2  b2  5 1 . Ta có f   x   a cos x  b sin x  f   0   a . Theo giả thiết ta có a  2 và b  1 . Ta được 2a  5b  9 . Câu 158: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x  A.  C.  1 C. x 1 f  x  dx  3 x   C . x f  x  dx  3 x  1 . x2 B.  D.  3x 1  C . ln 3 x 3x 1 f  x  dx   C . ln 3 x f  x  dx  2 Câu 159: Tính tích phân I   4 x  1dx . 0 A. 13 B. 13 3 C. 4 D. 4 3 1 Câu 160: Tính tích phân I   x 2018 1  x  dx 0 A. I  1 1 .  2018 2019 B. I  1 1 1 1 1 1 . C. I  . D. I  .    2020 2021 2019 2020 2017 2018 Câu 161: Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 x ; y  2 x  2 và trục hoành. Tính diện tích của  H  . A. 5 . 3 B. 16 . 3 C. Câu 162: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x  A.  C.  10 . 3 8 D. . 3 1 . x2 1 C. x 1 f  x  dx  3 x   C . x f  x  dx  3 x  B.  D.  3x 1  C . ln 3 x 3x 1 f  x  dx   C . ln 3 x f  x  dx  Lời giải Chọn D Ta có:  1  3x 1  f  x  dx    3x  2  dx   C . x  ln 3 x  2 Câu 163: Tính tích phân I   4 x  1dx . 0 A. 13 B. 13 3 C. 4 D. 4 3 Lời giải Chọn B 2 Ta có I   4 x  1dx  0 2 1 3 2 1 1 2 13 2 d  4 x  1  2 4 x  1 . . 4 x  1  .      0 3 40 4 3 1 Câu 164: Tính tích phân I   x 2018 1  x  dx 0 A. I  1 1 .  2018 2019 B. I  1 1 1 1 1 1 . C. I  . D. I  .    2020 2021 2019 2020 2017 2018 Lời giải Chọn C 1 Ta có: I   x 1 1 2018 0 1  x  dx    x 0 2018 x 2019  x 2019 x 2020  1 1 .    dx   2019   2020  0 2019 2020  Câu 165: Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 x ; y  2 x  2 và trục hoành. Tính diện tích của  H  . A. 5 . 3 B. 16 . 3 10 . 3 Lời giải 8 D. . 3 C. Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm :  x  1 x  1 2x  2x  2    x  2. 2   2 2 x   2 x  2  4 x  10 x  4  0 2x  2  0  x  1 . 2x  0  x  0 . Đồ thị: 1 2 Diện tích hình  H  : S  S D1  S D2   2 xdx   0   2 x  2 x  2 dx  1 5 3 Câu 166: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3  x và đồ thị hàm số y  x  x2 . A. S  13 . B. S  81 . 12 C. S  9 . 4 D. S  37 . 12 Câu 167: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3  x và đồ thị hàm số y  x  x2 . A. S  13 . B. S  81 . 12 C. S  9 . 4 D. S  37 . 12 Lời giải Chọn D  x  2 Ta có x  x  x  x  x  x  2 x  0   x  0   x  1 3 2 3 2 0 Ta có S   x 1 3  x 2  2 x dx  2 x 0 3  x 2  2 x dx  37 . 12 Câu 168: Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f  x   A. F  x   ln 2 x  1  1 . C. F  x   1 ln 4 x  2  3 . 2 1 ? 2x 1 1 ln 2 x  1  2 . 2 1 D. F  x   ln  4 x 2  4 x  1  3 . 4 B. F  x   Câu 169: Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f  x   1 ? 2x 1 1 ln 2 x  1  2 . 2 1 D. F  x   ln  4 x 2  4 x  1  3 . 4 Lời giải B. F  x   A. F  x   ln 2 x  1  1 . 1 C. F  x   ln 4 x  2  3 . 2 Chọn A Ta có 1 1  2 x  1 dx  2 ln 2 x  1  C . Do đó F  x   ln 2 x  1  1 không phải nguyên hàm của hàm số f  x   1 . 2x 1 1 1 Với C  2 , ta có F  x   ln 2 x  1  2 là một nguyên hàm của hàm số f  x   . 2 2x 1 1 1 1 Với C  3  ln 2 , ta có F  x   ln 4 x  2  3 là một nguyên hàm của hàm số f  x   . 2 2 2x 1 1 1 1 2 Với F  x   ln  4 x 2  4 x  1  3  ln  2 x  1  3  ln 2 x  1  3 là một nguyên hàm của 4 4 2 1 hàm số f  x   . 2x 1 Câu 170: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng x  4 , x  9 và đường cong có phương trình y 2  8 x . A. 76 2 . 3 B. 152 . 3 C. 76 2 . D. 152 2 . 3 Câu 171: Hai người A , B đang chạy xe ngược chiều nhau thì xảy ra va chạm, hai xe tiếp tục di chuyển theo chiều của mình thêm một quãng đường nữa thì dừng hẳn. Biết rằng sau khi va chạm, một người di chuyển tiếp với vận tốc v1  t   6  3t mét trên giây, người còn lại di chuyển với vận tốc v2  t   12  4t mét trên giây. Tính khoảng cách hai xe khi đã dừng hẳn. A. 25 mét. B. 22 mét. C. 20 mét. D. 24 mét. Câu 172: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng x  4 , x  9 và đường cong có phương trình y 2  8 x . A. 76 2 . 3 B. 152 . 3 C. 76 2 . Hướng dẫn giải Chọn D D. 152 2 . 3 Vì x   4;9  y   8 x 9 Vậy S  2  8 xdx  4 152 2 3 Câu 173: Hai người A , B đang chạy xe ngược chiều nhau thì xảy ra va chạm, hai xe tiếp tục di chuyển theo chiều của mình thêm một quãng đường nữa thì dừng hẳn. Biết rằng sau khi va chạm, một người di chuyển tiếp với vận tốc v1  t   6  3t mét trên giây, người còn lại di chuyển với vận tốc v2  t   12  4t mét trên giây. Tính khoảng cách hai xe khi đã dừng hẳn. A. 25 mét. B. 22 mét. C. 20 mét. Hướng dẫn giải D. 24 mét. Chọn D Thời gian người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm là: 6  3t  0  t  2 giây. Quãng đường người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm là: 2 2  3t 2  S1    6  3t  dt   6t    6 mét. 2 0  0 Thời gian người thứ hai di chuyển sau khi va chạm là: 12  4t  0  t  3 giây. Quãng đường người thứ hai di chuyển sau khi va chạm là: 3 3 S 2   12  4t  dt  12t  2t 2   18 mét. 0 0 Khoảng cách hai xe khi đã dừng hẳn là: S  S1  S2  6  18  24 mét. Câu 174: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x   x 2  4 x  3 , trục hoành và hai đường thẳng x  1; x  3 . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng A. 16 . 15 B. 16 . 15 C. Câu 175: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1;2 và 4 . 3 D. 4 . 3 2 2   x  1 f   x  dx  a . Tính  f  x  dx theo a 1 1 và b  f  2  . A. b  a . B. a  b . C. a  b . D. a  b . 2 Câu 176: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x   x  4 x  3 , trục hoành và hai đường thẳng x  1; x  3 . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng A. 16 . 15 B. 16 . 15 4 . 3 C. D. 4 . 3 Lời giải Chọn A * Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành là: 3 3 2 V     x 2  4 x  3 dx     x 4  5 x3  19 x 2  12 x  9  dx  1 1 16 (đvtt). 15 2 Câu 177: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1; 2 và 2   x  1 f   x  dx  a . Tính  f  x  dx 1 1 và b  f  2  . A. b  a . B. a  b . C. a  b . Lời giải D.  a  b . Chọn A Đặt u  x  1  du  dx ; dv  f   x  dx chọn v  f  x  . 2 b 2 2 2   x  1 f   x  dx   x  1 f  x  1   f  x  dx  f  2    f  x  dx  b   f  x  . 1 1 1 1 Câu 178: Tích phân  0 B. 2 1  0 1 1 dx bằng x 1 2 1. Câu 179: Tích phân A. 1 2   x  1 f   x  dx  a  b   f  x  dx  a   f  x  dx  b  a . Ta có A. a 1 2 2  C. ln 2 . D. 2 1 . 2  C. ln 2 . D. 2 1 . 2  2 1 .  2 1 . 1 dx bằng x 1 2 1. B. 2 Lời giải Chọn B 1 Ta có 1  0 1 1 1 dx  2 d  x  1  2 x  1  2 0 x 1 0 2 x 1   2 1 . 2 5 Câu 180: Cho  f  x  dx  10 . Kết quả  2  4 f  x  dx bằng: 5 2 A. 34 . B. 36 . C. 40 . D. 32 . Câu 181: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  x 2  2 và y  3 x . A. S  1 . 6 B. S  2 .  2 A. 34 . D. S  2 5 Câu 182: Cho C. S  3 . f  x  dx  10 . Kết quả  2  4 f  x  dx bằng: 5 B. 36 . C. 40 . D. 32 . 1 . 2 theo a Hướng dẫn giải Chọn A 2 Tacó 2 2 5 5  2  4 f  x  dx  2 dx  4 f  x  dx  2 x 2  4 f  x  dx  2.  5  2   4.10  34 . 5 5 5 2 Câu 183: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  x 2  2 và y  3 x . A. S  1 . 6 B. S  2 . C. S  3 . D. S  1 . 2 Hướng dẫn giải Chọn A x 1 Xét phương trình hoành độ giao điểm : x 2  2  3 x   . x  2 2 Vậy S   1 2 2  x3 3  1 x  2  3 x dx    x  2  3 x  dx    x 2  2 x   .  3 2 1 6 1 2 2 Câu 184: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. F  1  2  ln 2 . B. F  2   2  2 ln 2 . C. F  3  1  ln 2 . Câu 185: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. F  1  2  ln 2 . B. F  2   2  2 ln 2 . 1 thỏa mãn F  5  2 và F  0   1 . x 1 1 thỏa mãn F  5  2 và F  0   1 . x 1 C. F  3  1  ln 2 . Lời giải Chọn B TXĐ: D   1 . Ta có: F  x    1  ln  x  1  C1 dx  ln x  1  C   x 1 ln 1  x   C2 khi x  1 . khi x  1 F  5  2  ln 4  C1  2  C1  2  ln 4  2  2 ln 2 . F  0   1  ln1  C2  1  C2  1 . Do đó: F  x    1 ln  x  1  2  2 ln 2 khi x  1 . dx   ln 1  x   1 khi x  1 x 1  F  1  ln 2  1 . F  2   2  2 ln 2 . F  3  2  ln 2 . F  3  2 ln 2  1 . 1 Câu 186: Tính tích phân I   0 dx . x 9 2 D. F  3  2 . D. F  3  2 . 1 1 A. I  ln . 6 2 1 1 B. I   ln . 6 2 1 C. I  ln 2 . 6 D. I  ln 6 2 . Câu 187: Cho hàm số y  f  x  liên tục và không âm trên đoạn  a; b  . Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b . Gọi S là diện tích của  H  . Chọn mệnh đề sai. b B. S   f  x  dx . a 3 Câu 188: Biết I   1 b b A. S    f  x  dx . C. S  a a 3  ln x  x  1 A. a 2  b 2  2  b f  x  dx . D. S   f  x  dx . a dx  a 1  ln 3  b ln 2 ,  a, b    . Khi đó a 2  b 2 bằng 7 . 16 B. a 2  b 2  1 Câu 189: Tính tích phân I   0 1 1 A. I  ln . 6 2 16 . 9 C. a 2  b 2  25 . 16 D. a 2  b 2  3 . 4 dx . x 9 2 1 1 B. I   ln . 6 2 1 C. I  ln 2 . 6 Lời giải D. I  ln 6 2 . Chọn A 1 1 dx 1  1 1  1 x 3  I    Ta có: I   2  dx  ln 6 x3 x 9 6 0  x 3 x 3 0 1 0 1 1  1 1   ln  ln1  ln . 6 2  6 2 Câu 190: Cho hàm số y  f  x  liên tục và không âm trên đoạn  a; b  . Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b . Gọi S là diện tích của  H  . Chọn mệnh đề sai. b b b A. S    f  x  dx . a B. S   f  x  dx . C. S   b f  x  dx . a a D. S   f  x  dx . a Lời giải Chọn A Vì hàm số y  f  x  liên tục và không âm trên đoạn  a; b  nên b b b S   f  x  dx   f  x  dx  a a  f  x  dx . a Do đó A sai. 3 Câu 191: Biết I   1 3  ln x  x  1 A. a 2  b 2  7 . 16 2 dx  a 1  ln 3  b ln 2 ,  a, b    . Khi đó a 2  b 2 bằng B. a 2  b 2  16 . 9 C. a 2  b 2  Lời giải Chọn C 25 . 16 D. a 2  b 2  3 . 4 1  u  3  ln x du  dx   x dx   Đặt:  dv  2  v   1  x  1  x 1  Khi đó: 3 I   3 3 3 3  ln 3 3 1  3  ln x 1 3  ln 3 1  dx     ln x  ln x  1       dx  1 4 4 2 1  x x 1 x  1 1 1 x  x  1 3  25 3  ln 3 3 a  2 2 .  ln 3  ln 4  ln 2  1  ln 3  ln 2   4  a b  4 4 16 b  1 Câu 192: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và cắt trục hoành tại điểm x  c (như hình vẽ bên). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  a  c  b y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b . Mệnh đề nào dưới đây đúng? b c A. S   f  x  dx . a a c b a 1 a  2 x  2 dx  a  ln b b D. S    f  x  dx   f  x  dx c x5 c c C. S   f  x  dx   f  x  dx . Câu 193: Biết b B. S   f  x  dx   f  x  dx . c với a , b là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 A. ab  8 . 81 B. a  b  7 . 24 9 C. ab  . 8 3 Câu 194: Cho hàm số f  x  liên tục trên 1;   và   f 0 A. I  16 . B. I  2 .  D. a  b  3 . 10 2 x  1 dx  8 . Tích phân I   xf  x  dx bằng: 1 C. I  8 . D. I  4 Câu 195: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và cắt trục hoành tại điểm x  c (như hình vẽ bên). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số hoành và hai đường thẳng x  a , x  b . Mệnh đề nào dưới đây đúng?  a  c  b y  f  x  , trục b c A. S   f  x  dx . b B. S   f  x  dx   f  x  dx . a a c b C. S   f  x  dx   f  x  dx . a c c b D. S    f  x  dx   f  x  dx c a c Lời giải Chọn D c b c b Ta có S   f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx   f  x  dx . a 1 Câu 196: Biết c x5 a  2 x  2 dx  a  ln b c với a , b là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 A. ab  8 . 81 B. a  b  7 9 . C. ab  . 24 8 Lời giải D. a  b  3 . 10 Chọn A 1 1 3 3 1 x 5 1  6  1 1 1 4 Ta có:  dx   1   dx   x  6 ln x  1  1   1  6 ln 2   6 ln  2 1  x 1 2 2 3 3 1 2x  2 3 1 8 1 8 8   ln . Vậy ab  .  . 3 27 3 27 81 3 Câu 197: Cho hàm số f  x  liên tục trên 1;   và   f 0 A. I  16 . B. I  2 .  1 C. I  8 . Lời giải 2 x  1 dx  8 . Tích phân I   xf  x  dx bằng: D. I  4 Chọn D 3 I  f   x  1 dx  8 . Đặt t  x  1  t 2  x  1  2tdt  dx ; 0 đổi cận: x  0  t  1 ; x  3  t  2 . 2 2 2 Khi đó I   2tf  t  dt  8   tf  t  dt  4 . Vậy I   xf  x  dx  4 . 1 1 1 Câu 198: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 x , y  x 2 , y  1 trên miền x  0, y  1 là A. 1 . 2 B. 4 Câu 199: Biết I   3 1 . 3 C. 5 . 12 D. 2 . 3 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Tính S  a  b  c x x 2 A. S  6 . B. S  2 . C. S  2 . D. S  0 . Câu 200: Một ô tô đang chạy với tốc độ 36  km/h  thì người lái xe đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   5t  10  m/s  , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 10  m  . B. 20  m  . C. 2  m  . D. 0, 2  m  . Câu 201: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 x , y  x 2 , y  1 trên miền x  0, y  1 là A. 1 . 2 B. 1 . 3 5 . 12 Lời giải C. D. 2 . 3 Chọn C Cách 1: Ta có: y  2 x  x  y ; y  x2  x  2 y (do x  0 ). Suy ra: 1 S  0 y y 5 dy  (Bấm máy trực tiếp hoặc xét dấu bỏ 2 12 Cách 2: x  0 Phương trình hoành độ giao điểm: x 2  2 x  x 2  2 x  0  . x  2 x  1 Phương trình hoành độ giao điểm: x 2  1   .  x  1 1 Phương trình hoành độ giao điểm: 2 x  1  x  . 2 ) Từ hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm là 1 2 1 1  2 x3   5 x3  . S    2 x  x  dx   1  x  dx   x   2   x   1  3 3 12 1   0 0 2 2 1 2 4 Câu 202: Biết I   3 2 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Tính S  a  b  c x x 2 A. S  6 . B. S  2 . C. S  2 . D. S  0 . Lời giải Chọn B Cách 1: 4 I  3 4 4 1 1 x 4 3 dx   dx  ln  ln  ln  4 ln 2  ln 3  ln 5 . 2 x x x  x  1 x 1 3 5 4 3 Suy ra a  4, b  c  1  S  2 . Cách 2: Ta có: 4 I  3 4 4 4 1 1 1 1 dx   dx   dx   dx  ln 4  ln 3  ln 5  ln 4  4 ln 2  ln 3  ln 5 2 x x x  x  1 x x 1 3 3 3 Suy ra a  4, b  c  1  S  2 . Câu 203: Một ô tô đang chạy với tốc độ 36  km/h  thì người lái xe đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   5t  10  m/s  , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 10  m  . B. 20  m  . C. 2  m  . D. 0, 2  m  . Lời giải Chọn A 36 km/h  10 m/s . Khi xe dừng thì vận tốc bằng 0  5t  10  0  t  2  s  . Quãng đường xe đi đường từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn là 2 2 2  5t 2   10t   10  m  . s   v  t  dt    5t  10  dt     2 0 0 0 Câu 204: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   4 x  sin 3x , biết F  0   1 A. F  x   2 x 2  cos 3 x  . 3 cos 3x 1 C. F  x   2 x 2   . 3 3 5 B. F  x   2 x 2  cos 3 x  . 3 cos 3x D. F  x   2 x 2  1. 3 Câu 205: Tìm một nguyên hàm của hàm số f  x   A. F  x   1 . x 1 2 . 3 2 . x 1 B. F  x   4 x  1 . C. F  x   2 x  1 . D. F  x   x  1 . 3 Câu 206: Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện   f  x   3g  x  dx  10 đồng thời 1 3 3  2 f  x   g  x  dx  6 . Tính   f  x   g  x  dx . 1 1 A. 9 . B. 6 . C. 7 . D. 8 . 2 Câu 207: Biết ln x b b dx  a ln 2  (với a là số hữu tỉ, b , c là các số nguyên dương và là phân số tối 2 c x c 1  giản). Tính giá trị của S  2a  3b  c . A. S  4 . B. S  6 . C. S  6 . Câu 208: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   4 x  sin 3x , biết F  0   1 A. F  x   2 x 2  cos 3 x  . 3 cos 3 x 1 C. F  x   2 x 2   . 3 3 2 . 3 5 B. F  x   2 x 2  cos 3 x  . 3 cos 3 x D. F  x   2 x 2  1. 3 Lời giải Chọn D Ta có F  x    f  x  dx    4 x  sin 3 x  dx  2 x 2  2 1 2    C   C  1. 3 3 3 cos 3x Vậy F  x   2 x 2  1. 3 F 0  Câu 209: Tìm một nguyên hàm của hàm số f  x   D. S  5 . 2 . x 1 cos 3x C . 3 A. F  x   1 . x 1 B. F  x   4 x  1 . C. F  x   2 x  1 . D. F  x   x  1 . Lời giải Chọn B Đặt t  x  1  t 2  x  1  2tdt  dx . Ta có: 2 4t  f  x  dx   x  1 dx   t dt   4dt  4t  C  4 x  1  C . 2 Vậy một nguyên hàm của hàm số f  x   là F  x   4 x  1 . x 1 3 Câu 210: Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện   f  x   3g  x  dx  10 đồng thời 1 3 3  2 f  x   g  x  dx  6 . Tính   f  x   g  x  dx . 1 1 A. 9 . B. 6 . C. 7 . Lời giải D. 8 . Chọn B 3 3 3 Đặt a   f  x  dx , b   g  x  dx . Khi đó   f  x   3 g  x   dx  10  a  3b  10 , 1 1 1 3  2 f  x   g  x  dx  6  2a  b  6 . 1 a  3b  10 a  4 Do đó:  . Vậy   2a  b  6 b  2 3   f  x   g  x  dx  a  b  6 . 1 2 Câu 211: Biết ln x b b dx  a ln 2  (với a là số hữu tỉ, b , c là các số nguyên dương và là phân số tối 2 x c c 1  giản). Tính giá trị của S  2a  3b  c . A. S  4 . B. S  6 . C. S  6 . Lời giải D. S  5 . Chọn A 1  du  dx u  ln x    x Đặt   . 1 v   1 dv  x 2 dx  x Khi đó, ta có: 2 2 2 2 ln x ln x 1 1 1 1 1   2 dx     2 dx   ln 2    ln 2  . x x 1 1x 2 x1 2 2 1 1 Từ giả thiết suy ra a   , b  1 , c  2 . 2 Vậy giá trị của S  4 .  2 Câu 212: Cho tích phân  1   4 x  1  cos x  dx    a  b   c ,  a, b, c    . Tính a  b  c 0 A. 1 . 2 B. 1. C. 2 . D. 1 . 3  2 Câu 213: Cho tích phân  1   4 x  1  cos x  dx    a  b   c ,  a, b, c    . Tính a  b  c 0 A. 1 . 2 B. 1 . C. 2 . D. 1 . 3 Lời giải Chọn B   2 Ta có  1 2   4 x  1  cos x  dx   2 x  x  sin x  02       1. 2 0 2 Suy ra a  2 , b  2 , c  1 nên a  b  c  1 . d Câu 214: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  , nếu d  f  x  dx  5 và  f  x  dx  2 (với a a  d  b ) thì b b  f  x  dx bằng. a A. 3 . 1 Câu 215: Cho  0 B. 7 . C. 5 . 2 D. 10 . 2x  3 dx  a ln 2  b ( a và b là các số nguyên). Khi đó giá trị của a là 2 x A. 7 . B. 7 . C. 5 . D. 5 . d Câu 216: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  , nếu  d f  x  dx  5 và a  f  x  dx  2 (với a  d  b ) thì b b  f  x  dx bằng. a A. 3 . B. 7 . C. 5 . 2 D. 10 . Lời giải Chọn A d   f  x  dx  5 b  F  d   F  a   5 a   F  b   F  a   3   f  x  dx . d a  f x dx  2  F  d   F  b   2    b 1 Câu 217: Cho  0 2x  3 dx  a ln 2  b ( a và b là các số nguyên). Khi đó giá trị của a là 2 x A. 7 . B. 7 . C. 5 . Lời giải D. 5 . Chọn B 1 Ta có 1 2x  3 7   0 2  x dx  0   x  2  2  dx   2 x  7 ln x  2  1  2  7 ln 2 . Vậy a  7 . 0 Câu 218: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e x  e  x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x  2 . A. S  e4  1 (đvdt). e2 B. S  e4  1 (đvdt). e C. S  e2  1 (đvdt). e D. S  e4  1 (đvdt). e2 1 , chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: x2 A. Trên  2;   , nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln  x  2   C1 ; trên khoảng Câu 219: Cho f  x    ; 2  , nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln   x  2   C2 ( C1 , C2 là các hằng số). B. Trên khoảng  ; 2  , một nguyên hàm của hàm số f  x  là G  x   ln   x  2   3 . C. Trên  2;   , một nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln  x  2  . D. Nếu F  x  và G  x  là hai nguyên hàm của của f  x  thì chúng sai khác nhau một hằng số. Câu 220: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e x  e  x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x  2 . A. S  e4  1 (đvdt). e2 B. S  e4  1 e2  1 (đvdt). C. S  (đvdt). e e Lời giải D. S  e4  1 (đvdt). e2 Chọn D 0 Ta có: S   e x  e  x dx   e x  e  x  2 0 2  e2  1 e4  1  2 (đvdt). e e2 1 , chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: x2 A. Trên  2;   , nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln  x  2   C1 ; trên khoảng Câu 221: Cho f  x    ; 2  , nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln   x  2   C2 ( C1 , C2 là các hằng số). B. Trên khoảng  ; 2  , một nguyên hàm của hàm số f  x  là G  x   ln   x  2   3 . C. Trên  2;   , một nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln  x  2  . D. Nếu F  x  và G  x  là hai nguyên hàm của của f  x  thì chúng sai khác nhau một hằng số. Lời giải Chọn D D sai vì F  x   ln  x  2  và G  x   ln   x  2   3 đều là các nguyên hàm của hàm số f  x  nhưng trên các khoảng khác nhau thì khác nhau. Câu 222: Cho f  x  và g  x  là hai hàm số liên tục trên đoạn 1;3 , thỏa mãn: 3 3   f  x   3g  x  dx  10 và  2 f  x   g  x  dx  6 . Tính I    f  x   g  x   dx 3 1 1 1 A. I  8 . B. I  9 . C. I  6 . D. I  7 . Câu 223: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  1 và x  3 , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 1  x  3 thì được thiết diện là hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và 124 A. 32  2 15 . B. . 3 3x 2  2 . C. 124 . 3   D. 32  2 15  . Câu 224: Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  xe x , trục hoành và đường thẳng x  1 là: 1 2  C.  e 4  1 . e  1 .  4 4 Câu 225: Cho f  x  và g  x  là hai hàm số liên tục trên đoạn 1;3 , thỏa mãn: A.  e 4 2  1 . B. D. 1 4  e  1 . 4 3 3   f  x   3g  x  dx  10 và  2 f  x   g  x  dx  6 . Tính I    f  x   g  x   dx 1 1 A. I  8 . 3 1 B. I  9 . C. I  6 . D. I  7 . Lời giải Chọn C 3 3    f  x   3g  x   dx  10   f  x  dx  4 3 1 1 Ta có:  3  3  I    f  x   g  x   dx  6 . 1   2 f x  g x  dx  6  g x dx  2          1 1 Câu 226: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  1 và x  3 , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 1  x  3 thì được thiết diện là hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và 124 A. 32  2 15 . B. . 3 3x 2  2 . 124 . 3 Lời giải   D. 32  2 15  . C. Chọn C 5 t3 124 Thể tích vật thể cần tìm là V   3x 3x  2dx   t.tdt  .  1 1 31 3 3 5 2 Câu 227: Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  xe x , trục hoành và đường thẳng x  1 là: A.  4 e 2  1 . B. 1 2  e  1 . 4 C.  4 e 4  1 . D. 1 4  e  1 . 4 Lời giải Chọn A Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  xe x và trục hoành: xe x  0  x  0 . du  dx 1 u  x  Khi đó V    xe 2 x dx . Đặt    1 2x . 2x dv  e dx v  e 0  2 1 1 1  1 1 1 1  1 1 1 Khi đó: V    xe 2 x   e2 x dx     e 2  e2 x     e 2  e 2     e 2  1 . 0 20 4 4 4 4 2  2  2  0 3 x2  1 c d 1 x dx  a  b  ln e với c nguyên dương và a , b , c , d , e là các số nguyên tố. Giá trị của biểu thức a  b  c  d  e bằng. A. 14 . B. 17 . C. 10 . D. 24 . Câu 228: Cho Câu 229: Gọi ( H ) là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  2 x, y  1 x , y  0 (phần tô x đậm màu đen ở hình vẽ bên). Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) quanh trục hoành bằng. 2 2 5  5    A. V     2 ln 2  . B. V     2 ln 2  . C. V    2 ln 2   . D. V    2 ln 2   . 3 3 3  3    3 x2  1 c d 1 x dx  a  b  ln e với c nguyên dương và a , b , c , d , e là các số nguyên tố. Giá trị của biểu thức a  b  c  d  e bằng. A. 14 . B. 17 . C. 10 . D. 24 . Câu 230: Cho Lời giải Chọn C 3 I  1 3 x2  1 dx  x  1 x2  1 xdx . x2 Đặt t  x 2  1  t 2  x 2  1  2tdt  2 xdx  tdt  xdx .  x  1  t  2 Đổi cận:  .  x  3  t  2 2 t2 I   2 dt  t 1 2 t 2 2 1 t 1  ln 2 t 1 2 2  1 1 1  1  1  2  t  1  t  1  dt   dt  2 2 2 2  1 1    t  1  t  1  dt 2 1 1 1 3 8  2  2  ln  ln 3  2 2  2  2  ln 2 3 2 3  2 2  1 2 . 3 Vậy a  b  c  d  e  10 .  2  2  ln Câu 231: Gọi ( H ) là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  2 x, y  đậm màu đen ở hình vẽ bên). 1 x , y  0 (phần tô x Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) quanh trục hoành bằng. 2 2 5  5    A. V     2 ln 2  . B. V     2 ln 2  . C. V    2 ln 2   . D. V    2 ln 2   . 3 3 3  3    Lời giải Chọn A 1 x Phương trình hoành độ giao điểm của y  2 x và y  là: x x  0  x  0 1 x 1  1  2x   x .    x   2 x 2 2 2 x  x  1  0    x  1 x  0  x  0. Phương trình hoành độ giao điểm của y  2 x và y  0 là: 2 x  0   2 2 x  x  1  0 1 x Phương trình hoành độ giao điểm của y  0 và y  là: x x  0 x  0 1 x  x  1. 0   x 1  x  0 x  1 1 2 1 2 4x  1 x  V    4 x 2 dx      dx   . 3 1 x  0 1 3 2 0 2 1 1 1 1   1 2       1 dx       2   1 dx 6 x   1 x 1 x 2 2 2 1 1 1  1  3  5         2ln x  x        2 ln 2      2 ln 2  . 1 6 x 6 2 3       2 Câu 232: Một nguyên hàm của hàm số f  x   1  2 x là: A. 3  2 x  1 1  2 x . 2 2 Câu 233: Biết  4x 1 2 B.  3 3 1 1  2 x  1  2 x . C.  2 x  1 1  2 x . D.  1  2 x  1  2 x . 2 4 3 dx 1 1   , với a , b là các số nguyên thuộc khoảng  7;3  thì a và b là  4x  1 a b nghiệm của phương trình nào sau đây? A. 2 x 2  x  1  0 . B. x 2  4 x  12  0 . C. x 2  5 x  6  0 . D. x 2  9  0 . Câu 234: Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  4 , y  2 x  4 , x  0 , x  2 quanh trục Ox. A. 32π . 5 B. 32π . 7 C. 32π . 15 D. 22π . 5 5 Câu 235: Cho f  x  và g  x  là hai hàm số liên tục trên  . Biết  2 f  x   3g  x  dx  16 và 1 5 2   f  x   3g  x  dx  1 . Tính  f  2 x  1 dx . 1 1 A. 1. B. 5 . 2 C. 1 . 2 D. 5 . Câu 236: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng  ABC  là điểm H trên cạnh AB sao cho HA  2 HB . Góc giữa SC và mặt phẳng  ABC  A. bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a . a 42 . 3 B. a 6 . 7 C. a 42 . 8 D. a 6 . 8 Câu 237: Một nguyên hàm của hàm số f  x   1  2 x là: A. 3  2 x  1 1  2 x . 2 B.  3 3 1 1  2 x  1  2 x . C.  2 x  1 1  2 x . D.  1  2 x  1  2 x . 2 4 3 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có  f  x  dx   1 2   f  x  dx   . 2 3 2 Câu 238: Biết  4x 1 2 1 1 1  2 xd 1  2 x  , với x  .  2 2 1  C   1  2 x  1  2 x  C 3 1  2 xdx   1  2 x  3 dx 1 1   , với a , b là các số nguyên thuộc khoảng  7;3  thì a và b là  4x  1 a b nghiệm của phương trình nào sau đây? A. 2 x 2  x  1  0 . B. x 2  4 x  12  0 . C. x 2  5 x  6  0 . Hướng dẫn giải D. x 2  9  0 . Chọn B 2 Ta có 2 2 2 dx dx 1 1 1 1 1 1 1 2 1 4 x 2  4 x  1  1  2 x  12  2 1  2 x  1 d  2 x  1   2  2 x  1 1   6  2  6  2 . a  6 a  2 Suy ra  hoặc  và a , b là nghiệm của phương trình x 2  4 x  12  0 . b  2 b  6 Câu 239: Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  4 , y  2 x  4 , x  0 , x  2 quanh trục Ox. A. 32π . 5 Chọn A B. 32π . 7 32π . 15 Hướng dẫn giải C. D. 22π . 5 2 2 2 Ta có V1  π   x 2  4  dx  0 256 32 2 π , V2  π   2 x  4  dx  π. 15 3 0 Vậy thể tích cần tìm V  V1  V2  32π . 5 5 Câu 240: Cho f  x  và g  x  là hai hàm số liên tục trên  . Biết  2 f  x   3g  x  dx  16 và 1 5 2   f  x   3g  x  dx  1 . Tính  f  2 x  1 dx . 1 1 A. 1. B. 5 . 2 C. 1 . 2 D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn B 5 5  2 f x  3 g x  d x  16         f  x  dx  5   1  1 Theo giả thiết, ta có  5 .  5   f x  3 g x  dx  1  g x dx  2           1  1 2 5 1 5 Đặt u  2 x  1 , khi đó ta có  f  2 x  1 dx   f  t  dt  . 2 2 1 1 Câu 241: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng  ABC  là điểm H trên cạnh AB sao cho HA  2 HB . Góc giữa SC và mặt phẳng  ABC  bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. A. a 42 . 3 B. a 6 . 7 C. a 42 . 8 Hướng dẫn giải Chọn C D. a 6 . 8 S I D K A H C B   60 .   SCH Ta có SH   ABC  nên suy ra  SC ,  ABC     SC , HC   SCH  CH 2  AH 2  AC 2  2 AH . AC.cos HAC 2 2a 7a 2 a 7  2a      a 2  2. .a.cos 60   CH  . 3 9 3  3    a 7 .tan 60  a 21 . SH  CH . tan SCH 3 3 Dựng hình bình hành ABCD , khi đó 3 d  SA, BC   d  B,  SAD    d  H ,  SAD   . 2 2 2 2 a 3 a 3 d  B, AD   d  A, BC   .  . 3 3 3 2 3 3 3 Kẻ HI  SK  HI   SAD   d  SA, BC   d  H ,  SAD    HI . 2 2 Kẻ HK  AD  HK  Ta có HI  SH .HK 2 SH  HK 2  a 42 3 3 a 42 a 42 .  d  SA, BC   HI  .  12 2 2 12 8 Câu 1: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có 1  3 f  x  dx  2; 0  1  f  2 x  1  dx . f  x  dx  6 . Tính I  0 A. I  1 2 . 3 B. I  4 . C. I  3 . 2 D. I  6 . Lời giải Chọn B 1 2 1 Có I  1  f  2 x  1  dx   f 1  2 x  dx   f  2 x  1 dx  I 1 1  I2 1 2 1 1 2  x  1  u  3  Tính I1   f 1  2 x  dx .Đặt u  1  2 x  du  2 dx . Đổi cận :  . 1 1  x  2  u  0 0 3 1 1 f  u  du   f  u  du  3  2 3 20  I1  1 Tính I 2   1 2 x  1  u  1  . f  2 x  1 dx . Đặt u  2 x  1  du  2 dx . Đổi cận :  1  x  2  u  0 1 1 1 1 f  u  du   f  u  du  1  20 20  I2  Vậy I  I1  I 2  4 . Câu 2: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để có k   2 x  1 dx  4 lim x 0 1 x 1 1 . x k  1 A.  . k  2 k  1 B.  .  k  2  k  1 C.  .  k  2  k  1 D.  . k  2 Lời giải Chọn D  2 x  1 1 Ta có:   2 x  1 dx    2 x  1 d  2 x  1  21 4 1 k Mà 4 lim x0 k x 1 1  4 lim x 0 x    2k  1  x 1 1   x 0 x 1 1 4 1   4 lim x 1 1 x 2 k 2  1 4 1 2 x 1 1 2  2k  1  1  2  2k  1 2  9   k  2 . x  1 1 Khi đó:   2 x  1 dx  4 lim     k  1 x 0 x 4  1 k e Câu 3: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Biết ln x dx  a e  b với x 1  a, b   . Tính P  a.b . A. P  4 . B. P  8 . C. P  4 . D. P  8 . Lời giải Chọn B dx  u  ln x   du  Đặt  x dx   d v    x   dv  2 x e e e e e a  2 ln x dx . d x  2 x ln x  2  2 x ln x  4 x  2 e  4   1 x  1 1 1 x b  4 1 Vậy P  ab  8 . Suy ra Câu 4: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm f  x   2x , số thỏa F 0  mãn 1 . ln 2 Tính giá trị biểu thức T  F  0   F 1  F  2   …  F  2017  . A. T  1009. 22017  1 . ln 2 B. T  22017.2018 . C. T  22017  1 . ln 2 D. T  22018  1 . ln 2 Lời giải Chọn D Ta có: F  x    f  x  dx   2 x dx  Mà F  0   2x C . ln 2 1 1 1 2x .  C   C  0  F  x  ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 Khi đó: T  F  0   F 1  F  2   …  F  2017   20 2 22 22017 1 1  22018 22018  1    …   .  ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1  2 ln 2 Câu 5: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Cho A. I  1 . B. I  2 . 2 4  f  x  dx  2 . Tính I   1 1 C. I  4 . f D. I   x  dx bằng x 1 . 2 Lời giải Chọn C Đặt t  x  dt  4 I  f  x  dx  1 x 1 2 x 2  1 dx ; đổi cận: x  1  t  1 , x  4  t  2 2 f  t  2dt  2  f  t  dt  2.2  4 . 1 Câu 6: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Cho f  x  là hàm số chẵn liên tục trong đoạn 1  1; 1 và  1 f  x  dx  2 . Kết quả I  1 A. I  1 . Chọn A f  x  1 e x dx bằng 1 B. I  3 . C. I  2 . Lời giải D. I  4 . 1 I f  x  1 e x 1 0 Xét I1  f  x 0 dx   1 f  x  1 e x 1 e x 1 dx   0 f  x 1  ex dx  I1  I 2 dx 1 Đặt x  t  dx  dt , đổi cận: x  0  t  0 , x  1  t  1 1 t f  x e . f  x  d t  dt .   t  1 e 1  et 1 0 0 I1   1 x et . f  t  e . f  x dt   dx . Lại có  t 1 e 1  ex 0 0 1 1 t 1 1 1 1 1  et  . f  t   f  x e . f t  f t  1 dx   dt   dx   dt   f  t  dt   f  t  dt  1 . Suy ra: I   1  ex 1  et 1  et 1  et 2 1 1 0 0 0 0 1 Câu 7: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục trong đoạn 1; e , biết e  1 e f  x dx  1 , f  e   1 . Khi đó I   f   x  .ln xdx bằng x 1 A. I  4 . B. I  3 . C. I  1 . D. I  0 . Lời giải Chọn D e e e 1 Cách 1: Ta có I   f   x  .ln xdx  f  x  .ln x 1   f  x  . dx  f  e   1  1  1  0 . x 1 1 dx  u  ln x du  Cách 2: Đặt  x .  dv  f   x  dx v  f  x   e e e Suy ra I   f   x  .ln xdx  f  x  ln x 1   1 1 f  x dx  f  e   1  1  1  0 . x Câu 8: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Cho hình  H  giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một Parabol và một đường thẳng tiếp xúc với Parabol đó tại điểm A  2; 4  , như hình vẽ bên. Thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi hình  H  quay quanh trục Ox bằng y 4 2 1 O A. 16 . 15 B. 32 . 5 C. x 2 2 . 3 D. 22 . 5 Lời giải Chọn A Parabol có đỉnh là gốc tọa độ như hình vẽ và đi qua A  2; 4  nên có phương trình y  x 2 . Tiếp tuyến của Parabol đó tại A  2; 4  có phương trình là y  4  x  2   4  4 x  4 . 2 Suy ra thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là V     x 2 2  2 2 dx     4 x  4  dx . 0 2 2 2 2 x  0 x5 32 ; dx   5 0 5 2 2 1 2 2  x3  16 2 4 x  4 d x  16 x  2 x  1 d x  16      x  x  . 1 1   3 1 3 2 2 2 2 2  32 16  16 Vậy V     x 2  dx     4 x  4  dx       .  5 3  15 0 1 Câu 9: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 10-năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2; 2  , B  5;6; 4  và C  0;1; 2  . Độ dài đường phân giác trong của góc A của ABC là: A. 3 74 . 2 B. 3 . 2 74 C. 2 . 3 74 D. Lời giải Chọn D A B D C 2 74 . 3  , ta có DB  AB . Ta có AB  2 26 ; Gọi D là chân đường phân giác trong của góc BAC DC AC   AC  26 . Suy ra DB  2 DC . Gọi D  x; y; z  . 5  x   3 5  x  2   x      8   5 8  Từ DB  2 DC  6  y  2 1  y    y   D  ; ;0 . 3  3 3    4  z   2  2  z    z  0   Vậy AD  2 74 . 3 Câu 10: (Trường BDVH218LTT-khoa 1-năm 2017-2018) Hàm số F  x    ax  b  4 x  1 ( a, b là các hằng số thực) là một nguyên hàm của f  x   A. 0 . B. 1 . 12 x . Tính a  b . 4x  1 C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B Ta có F   x   a 4 x  1   ax  b  . 2x 6ax  a  2b .  4x 1 4x 1 Để F  x  là một nguyên hàm của f  x  thì 6a  12 a  2 6ax  a  2b 12 x .    4x 1 4x 1 a  2b  0 b  1 Do đó a  b  1 . Câu 11: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3 , trục hoành và hai đường thẳng x  1 , x  2 biết rằng mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là 2 cm . A. 15 (cm 2 ) . B. 15 (cm 2 ) . 4 C. 17 (cm 2 ) . 4 D. 17 (cm 2 ) . Lời giải Chọn D Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3 , trục hoành và hai đường thẳng x  1 , 2 x  2 là S   1 0 3 2 3 x dx    x dx   x3 dx   1 0 x 4 0 x 4 2 17    dvdt  . 4 1 4 0 4 Do mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là 2 cm nên diện tích cần tìm là S  17  cm 2  . Câu 12: (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x ln x . A.  f  x  dx  1 32 x  3ln x  2   C . 9 B.  f  x  dx  2 32 x  3ln x  2   C . 3 C.  f  x  dx  2 32 x  3ln x  1  C . 9 D.  f  x  dx  2 32 x  3ln x  2   C . 9 Lời giải Chọn A I   f  x  dx   x ln x.dx . Đặt: t  x  dt  1 2 x dx  2tdt  dx .  I  2  t 2 ln t 2 .dt  4  t 2 ln t.dt . 1  du  t dt u  ln t Đặt:  .  2 3 dv  t dt v  t  3 1 1 1  1  2  I  2  t 3 ln t   t 2 dt   2  t 3 ln t  t 3  C   t 3  3ln t  1  C 3 3 3 9     9  2 32 x 3ln x  1  C 9   1 32 x  3ln x  2   C . 9 Câu 13: (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn  1 f  tan x   cos x , x   . Tính I   f  x  dx . 4 0 A.  2 8 . B. 1. C. 2 . 4 D.  4 . Lời giải Chọn A Đặt t  tan x . Ta có 1 1 I   f  x  dx   0 0 1 1 1  1  tan 2 x  1  t 2  cos 4 x   f t   2 2 2 cos x 1  t 2  1  t 2  1 1  x 2  2 dx .     Đặt x  tan u ,   x    dx  1  tan 2 u  du ; đổi cận: x  0  u  0 ; x  1  u  . 4 2  2  4 2  4   4 1 1 1  4 2 I  du  . d u  cos 2 udu   u  sin 2u   2 2 2   2 4 8 2 0 1  cos u 0 1  tan u  0  0   2  cos u  1  tan u 1 Câu 14: (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên   thỏa mãn 1 f   x   x  , x    và f 1  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của f  2  . x A. 3 . B. 2 . C. 5  ln 2 . 2 D. 4 . Lời giải Chọn C 1 Theo giả thiết f   x   x  , x    nên lấy tích phân 2 vế với cận từ 1 đến 2 ta được x 2  1 2 1 3  f   x  dx    x   dx   ln 2 x 2 1 2 Mà  f   x  dx  f  x  2 1  f  2   f 1  f  2   1 nên f  2   1  1 3 5  ln 2  f  2    ln 2 2 2 1 x2 Đẳng thức xảy ra khi f   x   x  , x  0  f  x    ln x  C . x 2 2 x 1 1 Mà f 1  1  C  . Vậy f  x    ln x  . 2 2 2 KL: giá trị nhỏ nhất của f  2  bằng x2 1 5  ln 2 khi f  x    ln x  . 2 2 2 5 Câu 15: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm 2017-2018) Cho  f  x  dx  4 . Tính 1 2 I  f  2 x  1 dx . 1 A. I  2 . B. I  5 . 2 C. I  4 . D. I  3 . 2 Lời giải Chọn A 1 dt . 2 Với x  1  t  1 , với x  2  t  5 . Đặt t  2 x  1  dt  2dx  dx  2 Khi đó ta có I   5 f  2 x  1 dx  I  1 5 5 1 1 1 1 1 f  t  . 2 dt  2 1 f  t  dt  2 1 f  x  dx  2 .4  2 . Câu 16: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm 2017-2018) Cho bốn mệnh đề sau:  I  :  cos 2 x.dx  cos3 x C 3 2x 1 dx  ln  x 2  x  2018   C .  II  :  2 x  x  2018 6x  III  :  3x  2 x  3 x  dx   x  C . ln 6  IV  :  3x dx  3x.ln 3  C . Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai? A. 3 . B. 1 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C 1  cos 2 x 1 1  .dx   x  sin 2 x   C . 2 2 2  2x 1 1 dx   2 d  x 2  x  2018  ln  x 2  x  2018  C .  II  :  2 x  x  2018 x  x  2018  I  :  cos 2 x.dx   6x  III  :  3x  2 x  3 x  dx    6 x  1 dx   x  C . ln 6 3x C . ln 3 Vậy các mệnh đề  I  ,  IV  sai.  IV  :  3x dx  Câu 17: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol y  3 x 2 , cung tròn có phương trình y  4  x 2 (với 0  x  2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của  H  bằng y 2 2 x O A. 4  3 . 12 B. 4  3 . 6 C. 4  2 3  3 . 6 D. 5 3  2 . 3 Lời giải Chọn B y 2 O 1 2 x Phương trình hoành độ giao điểm của parabol y  3 x 2 và cung tròn y  4  x 2 (với 0  x  2 ) là  x2  1 4  x 2  3x 2  4  x 2  3x 4   2  x  1 (vì 0  x  2 ). x   4  3 Cách 1: Diện tích của  H  là 1 2 2 S   3 x dx   0 1 2 3 31 3 4  x dx  x I   I với I   4  x 2 dx . 0 3 3 1 2    Đặt: x  2sin t , t    ;   dx  2cos t.dt .  2 2 Đổi cận: x  1  t   6 , x  2t   2 .    2 2 2  I   4  4sin 2 t .2cos t.dt   4cos 2 t.dt   2 1  cos 2t  .dt   2 x  sin 2t  2     6 6 6 6 2 3 .  3 2 3 3 2 3 4  3 . I     3 3 3 2 6 Cách 2: Diện tích của  H  bằng diện tích một phần tư hình tròn bán kính 2 trừ diện tích hình Vậy S  phẳng giới hạn bởi cung tròn, parabol và trục Oy . 1 Tức là S     0   4  x 2  3 x 2 dx . 2 Câu 18: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Biết I   1  x  1 dx  a  b  c với a , b , x  x x 1 c là các số nguyên dương. Tính P  a  b  c . A. P  24 . B. P  12 . C. P  18 . Lời giải Chọn D Ta có: x  1  x  0 , x  1;2 nên: 2 I  1 2  x  1 dx dx  x  x x  1 1 x  x  1 x  1  x   x  x  1  2 1 2 D. P  46 .   x  x  1  x dx x 1  x 1  x 1   1     dx  2 x  2 x  1 x x 1  1  2    1    x  1  x dx x  x  1 2  4 2  2 3  2  32  12  2 . 1 a  32  Mà I  a  b  c nên b  12 . Suy ra: P  a  b  c  32  12  2  46 . c  2  Câu 19: 1  (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  xác định trên    thỏa mãn 2 2 , f  0   1 và f 1  2 . Giá trị của biểu thức f  1  f  3 bằng f  x  2x 1 A. 4  ln15 . B. 2  ln15 . C. 3  ln15 . D. ln15 . Lời giải Chọn C Ta có: f  x    f   x  dx   2 1  dx  ln 2 x  1  C , với mọi x     . 2x 1 2 1  + Xét trên  ;  . Ta có f  0   1 , suy ra C  1 . 2  1  Do đó, f  x   ln 2 x  1  1 , với mọi x   ;  . Suy ra f  1  1  ln 3 . 2  1  + Xét trên  ;   . Ta có f 1  2 , suy ra C  2 . 2  1  Do đó, f  x   ln 2 x  1  2 , với mọi  ;   . Suy ra f  3  2  ln 5 . 2  Vậy f  1  f  3  3  ln 3  ln 5  3  ln15 . Câu 1: (THPT Triệu Sơn 1-lần 1 năm 2017-2018) Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái xe đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   4t  20  m/s  , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét? A. 150 mét. B. 5 mét. C. 50 mét. D. 100 mét. Lời giải Chọn C Đặt t0  0 là thời điểm người lái xe ô tô bắt đầu đạp phanh, khi ô tô dừng hẳn thì vận tốc triệt tiêu nên 4t  20  0  t  5 . Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được quãng đường: 5   4t  20  dt  50 mét. Câu 2: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục, luôn 3  0;3 dương trên I   f  x  dx  4 . Khi đó giá trị của tích phân và thỏa mãn 0 3  1 ln  f  x   K  e   4 dx là: 0 A. 4  12e . B. 12  4e . C. 3e  14 . D. 14  3e . Lời giải Chọn B 3  1 ln  f  x   Ta có K   e 0  3 1 ln  f  x    4 dx   e 0 3 3 3 3 dx   4dx  e. f  x  dx   4dx  4e  4 x|  4e  12 . 0 0 0 0 Vậy K  4e  12 . Câu 3: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Biết F  x  là một nguyên hàm của     hàm f  x   sin 2 x và F    1 . Tính F   . 4 6   5     3 A. F    . B. F    0 . C. F    . 6 4 6 6 4   1 D. F    . 6 2 Lời giải Chọn C Vì F  x  là một nguyên hàm của hàm f  x   sin 2 x nên F  x    sin 2 x.dx  F  x   1 cos 2 x  C . 2 1      1    1 Ta có F    cos  C  1  C  1  F  x   cos 2 x  1  F    cos  1 2 2 3 4 2 6 2   3  F  . 6 4 Câu 4: (THPT Lương Thế Vinh-Hà Nội năm 2017-2018) Biết f  x  là hàm liên tục trên  và 9 4  f  x  dx  9 . Khi đó giá trị của  f  3x  3 dx là 0 1 A. 27 . B. 3 . C. 24 . Lời giải D. 0 . Chọn B 4 Gọi I   f  3x  3 dx . 1 1 Đặt t  3 x  3  dt  3dx  dx  dt . Đổi cận: x  1  t  0; x  4  t  9 . 3 9 Khi đó: I  1 1 f  t  dt  .9  3 .  3 30 Câu 5: (THPT Lương Thế Vinh-Hà Nội năm 2017-2018)Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng b  ;3  sao cho  4 cos 2 xdx  1 ?  A. 8 . B. 2 . C. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn C   b   k  1 12 Ta có:  4 cos 2 xdx  1  2sin 2 x b  1  sin 2b    . 2 b  5  k   12 Do đó, có 4 số thực b thỏa mãn yêu cầu bài toán. b e Câu 6: (THPT Lương Thế Vinh-Hà Nội năm 2017-2018) Biết  1 trong đó a , b là các số nguyên. Khi đó tỉ số A. 1 . 2  x  1 ln x  2 dx  a.e  b ln  e  1     e  1  x ln x a là b B. 1. C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn B e Ta có:  1  x  1 ln x  2 dx  e 1  x ln x  1  ln x dx  e dx  e d 1  x ln x  1  x ln x  1 1  x ln x  x 1e  ln 1  x ln x  1e  e  1  ln 1  e   e  ln Suy ra a  b  1 . Vậy   1 1 1  x ln x e 1 . e a 1. b Câu 7: (THPT Đức Thọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Người ta trồng hoa vào phần đất được tô màu đen Được giới hạn bởi cạnh AB , CD đường trung bình MN của mảnh đất hình chữ nhật ABCD và một đường cong hình sin (như hình vẽ). Biết AB  2  m  , AD  2  m  . Tính diện tích phần còn lại. A B M N D C B. 4   1 . A. 4  1 . C. 4  2 . D. 4  3 . Lời giải Chọn B Chọn hệ tọa độ Oxy (như hình bên). Khi đó y A M B N x O D Diện tích hình chữ nhật là S1  4 . C  Diện tích phần đất được tô màu đen là S 2  2  sin xdx  4 . 0 Tính diện tích phần còn lại: S  S1  S2  4  4  4   1 . 3 Câu 8: (THPT Đức Thọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Biết  ln  x 3  3 x  2  dx  a ln 5  b ln 2  c , với 2 a, b, c   . Tính S  a.b  c A. S  60 . B. S  23 . C. S  12 . D. S  2 . Lời giải Chọn B 3 3 3 Ta có  ln  x 3  3 x  2  dx  x.ln  x 3  3 x  2    xd ln  x 3  3 x  2  2 2 3  3ln 20  4 ln 2   x  3x  3 2 2 2 dx  x  1  x  2  3 3 3 x  x  1 3  x  1 x  2   6  3ln 20  4 ln 2   dx  3ln 5  2 ln 2   dx x  1 x  2   x  1 x  2  2  2 2 3 3 3 1   1  3ln 5  2 ln 2   3 x  2  2     dx  3ln 5  2 ln 2  3  2 ln x  1 2  2 ln x  2 x 1 x  2  2  5ln 5  4 ln 2  3 . Suy ra a  5; b  4; c  3 . Do đó S  ab  c  23 . 3 2 Câu 9: (THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn  4  0 1 x2 f  x  dx  2 . Tính tích phân I   f  x  dx . f  tan x  dx  4 và  2 x 1 0 0 1 A. 6 . B. 2 . C. 3 . Lời giải D. 1. Chọn A  4  f  tan x  dx  4 . Xét 0 1 dt dx   dx . 2 cos x 1 t2 Đổi cận: x  0  t  0 . Đặt t  tan x  dt   x 4  t  1.  4 f t dt  4 . 1 t2 0 1   f  tan x  dx   0 f  x dx  4 . 1  x2 0 1  1 2 1 1 f  x x f  x f  x 2 1  x d x  d x  d x    f  x  dx  4  2  6 . 0 x2  1 0 1  x2  1  x2 0 0 1  Câu 10: (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/ h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I (1;1) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát. A. s  6 (km). B. s  8 (km). 40 (km). 3 Hướng dẫn giải C. s  Chọn C Hàm biểu diễn vận tốc có dạng v  t   at 2  bt  c . Dựa vào đồ thị ta có: D. s  46 (km). 3 c  2 a  1  b    b  2  v  t   t 2  2t  2 .  1  2a c  2 a  b  c  1  Với t  4  v  4   10 (thỏa mãn). 4 Từ đó s    t 2  2t  2  dt  0 40  km  . 3 ———-HẾT———Câu 11: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục và nhận giá trị 1 dương trên  0;1 . Biết f  x  . f 1  x   1 với x   0;1 . Tính giá trí I  dx  1 f  x 0 A. 3 . 2 1 . 2 B. C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn B Ta có: 1  f  x   f  x  f 1  x   f  x   f  x 1 f  x  1 f 1  x   1 1 dx . 1 f  x 0 Xét I   Đặt t  1  x  x  1  t  dx  dt . Đổi cận: x  0  t  1 ; x  1  t  0 . 0 1 1 1 f  x  dx dt dt dx    Khi đó I    1  f 1  t  0 1  f 1  t  0 1  f 1  x  0 1  f  x  1 1 1 f  x  dx 1 1  f  x  dx 1 Mặt khác    dx   dx  1 hay 2 I  1. Vậy I  . 2 1  f  x  0 1  f  x  0 1  f (t ) 0 0 1 Câu 12: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa e 2018 1 2018  f  x  dx  2 . Khi đó tích phân  0 0 A. 4 . B. 1. x f ln  x 2  1 dx bằng x 1 2   C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B e 2018 1 Xét I   0 x f ln  x 2  1 dx . x 1  2  2x dx . Đổi cận: x  0  t  0 ; x  e 2018  1  t  2018 . x 1 2018 1 1 f  t  dt   f  x  dx  .2  1 . 2 0 2  Đặt t  ln x 2  1  dt  Suy ra I  1 2 2018  0  2 Câu 13: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Cho các số thực a , b khác không. Xét hàm số f  x   1 a x  x  1 Tính a  b ? A. 19 . 3  bxe với mọi x khác 1 . Biết f   0   22 và  f  x  dx  5 . 0 B. 7 . C. 8 . D. 10 . Lời giải Chọn D Ta có f   x   3a  x  1 4  be x  bxe x nên f   0   3a  b  22 1 . 1 1 1   dx a x f x d x   bx e d x  a  b xe x dx  aI  bJ .   3   0   0   x  13  0  x  1 0  1 1 3 dx 1   . Tính I   3 2 2  x  1 0 8 0  x  1 1 1 u  x du  dx  Tính J   xe x dx . Đặt  . x x dv  e dx v  e 0 1 1 1 3 Khi đó J   xe x    e x dx  e x  e x  1 . Suy ra a  b  5  2  . 0 0 0 8 3a  b  22 a  8  Từ 1 và  2  ta có  3a . Vậy a  b  10 .  b  2  8  b  5 Câu 14: (THPT Chuyên Quốc Học-Huế năm 2017-2018) Cho a là số thực dương. Biết rằng F  x  là 1  1 một nguyên hàm của hàm số f  x   e x  ln  ax    thỏa mãn F    0 và F  2018  e 2018 . x  a Mệnh đề nào sau đây đúng ? 1   1   A. a   B. a   0; . C. a  1; 2018  . D. a   2018;   . ;1 .  2018   2018  Lời giải Chọn A x 1 e  I   e x  ln  ax    dx   e x ln  ax  dx   dx (1) x x   Tính  e x ln  ax  dx : 1  ex u  ln  ax  du  dx x x Đặt   e ln ax d x  e ln ax   x        x dx x v  e x dv  e dx   Thay vào (1), ta được: F  x   e x ln  ax   C .  1  1a C  0 e F  a   0   e .ln1  C  0 Với    . a  2018 2018 ln a .2018  1 2018      F  2018   e 2018 e ln  a.2018  C  e   1   Vậy a   ;1 . 2018   Câu 15: (THPT Chuyên Quốc Học-Huế năm 2017-2018) Biết rằng F  x  là một nguyên hàm trên  của hàm số f  x   2017 x x 2 1 A. m   . 2  1 thỏa mãn F 1  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của F  x  . 2018 B. m  1  2 2017 . 22018 C. m  1  22017 . 2 2018 1 D. m  . 2 Lời giải Chọn B 2017  f  x  dx   Ta có  1 2  x  1 2 2017 2017 x  x2  1 2018 dx 2 2017  x  1  . 2 2017 2018 2017 2  x  1 d  x 2  1    2 C  C  F  x 1 1  C  0  C  2018 2.22017 2 1 1 Do đó F  x     2018 suy ra 2017 2 2.  x 2  1 Mà F 1  0   1 F  x  đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 2  x  1 2 lớn nhất   x 2  1 nhỏ nhất  x  0 2017 1 1 1  22017 Vậy m    2018  2018 . 2 2 2 Câu 16: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 3 năm 2017-2018) Xét hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;1 và 1 thỏa 2 f  x   3 f 1  x   1  x 2 .Tính  f  x  dx . 0 A.  4 . B.  6 . C.  20 . D. Hướng dẫn giải Chọn C 1 Ta có: 1 2  2 f  x   3 f 1  x  dx   1  x dx  A  B  C . 0 0 1 Tính: C   1  x 2 dx 0 Đặt x  sin t suy ra dx  cos t dt . Đổi cận: x  0  t  0 ; x  1  t    2 2  1  cos2t 1 1 2  Vậy: C   cos t dt   dt   t  sin 2t   . 2 2 4 0 4 0 0 2  2 .  16 . 1 Tính: B   3 f 1  x  dx 0 Đặt: Đặt t  1  x  dt  dx . Đổi cận: x  0  t  1 ; x  1  t  0 . 1 1 Vậy: B   3 f  t  dt   3 f  x  dx . 0 0 1  1  1  Do đó:   2 f  x   3 f  x   dx   5 f  x  dx    f  x  dx  . 4 4 20 0 0 0 Câu 17: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Biết F  x    ax 2  bx  c  e  x là một nguyên hàm của hàm số f  x    2 x 2  5 x  2  e  x trên  . Tính giá trị của biểu thức f  F  0   . A. e 1 . B. 20e 2 . C. 9e . Hướng dẫn giải D. 3e . Chọn C Ta có F   x    ax 2  bx  c  e  x   ax 2  bx  c  e  x    2ax  b  e x   ax 2  bx  c  e  x F   x     ax 2   2a  b  x  b  c  e  x Vì F  x    ax 2  bx  c  e  x là một nguyên hàm của hàm số f  x    2 x 2  5 x  2  e  x trên  nên: F   x   f  x  , x      ax 2   2a  b  x  b  c  e  x   2 x 2  5 x  2  e  x , x    a  2 a  2    2a  b  5  b  1 . b  c  2  c  1   Như vậy F  x    2 x 2  x  1 e  x  F  0    2.02  0  1 e0  1 . Bởi vậy f  F  0    f  1   2.12  5.1  2  e  9e . Câu 18: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8 m , chiều cao 12, 5 m . Diện tích của cổng là: A. 100  m 2  . Chọn D Cách 1: B. 200  m 2  . 100 2 m  . 3 Hướng dẫn giải C. D. 200 2 m  . 3 Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ mà trục đối xứng của Parabol trùng với trục tung, trục hoành trùng với đường tiếp đất của cổng. Khi đó Parabol có phương trình dạng y  ax 2  c . Vì  P  đi qua đỉnh I  0;12,5 nên ta có c  12,5 .  P cắt trục hoành tại hai điểm A  4;0  và B  4; 0  nên ta có 0  16a  c  a  Do đó  P  : y   c 25  . 16 32 25 2 x  12,5 . 32 4 200 2  25  Diện tích của cổng là: S     x 2  12,5  dx  m  . 3 32  4  Cách 2: Ta có parabol đã cho có chiều cao là h  12, 5m và bán kính đáy OD  OE  4m . Do đó diện tích parabol đã cho là: S  4 200 2 rh  m  . 3 3 Câu 19: (THPT Hồng Quang-Hải Dương năm 2017-2018) Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị các hàm số y  ln x , y  1 , y  1  x . 3 . 2 A. S  e  B. S  e  1 . 2 1 . 2 C. S  e  D. S  e  3 . 2 Lời giải Chọn A y  y = ln x y=1 1 O e 1 y=1 1 e x2 Ta có S   1  1  x   dx   1  ln x  dx  2 0 1 e  1 1 1  1   x. dx    x 2 2 x 1 e 1 0 x x e e  x 1  ln x    xd 1  ln x  1 1 1 3     e  1  e  . 2 2 1 Câu 20: (THPT Hồng Quang-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn   ln 2;ln 2 và thỏa mãn f  x   f   x   1 . e 1 x ln 2 Biết  f  x  dx  a ln 2  b ln 3  a; b    . Tính P  a  b .  ln 2 A. P  1 . 2 B. P  2 . C. P  1 . D. P  2 . Lời giải Chọn A ln 2 Gọi I   f  x  dx .  ln 2 Đặt t   x  dt  dx . Đổi cận: Với x   ln 2  t  ln 2 ; Với x  ln 2  t   ln 2 .  ln 2 Ta được I    ln 2 f  t  dt  ln 2   ln 2 ln 2 Khi đó ta có: 2I  ln 2 f  t  dt    f   x  dx .  ln 2 ln 2 f  x  dx   ln 2  ln 2 f   x  dx   ln 2   ln 2 ln 2 Xét 1 dx . Đặt u  e x  du  e x dx e  1  ln 2  x Đổi cận: Với x   ln 2  u  1 ; x  ln 2  u  2 . 2 ln 2  f  x   f   x   dx  1 dx . e 1  ln 2  x ln 2 ln 2 Ta được ln 2 1 1 ex d x du  dx   x   x x e 1 u u  1  ln 2 e  e  1  ln 2   ln 2 ln 2 2 1  1    du   ln u  ln u  1  1  ln 2 u u 1  2  ln 2  1 1 Vậy ta có a  , b  0  a  b  . 2 2   Câu 21: (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và 2 f  2   16 ,  1 f  x  dx  4 . Tính tích phân I   x. f   2 x  dx . 0 0 A. I  13 . B. I  12 . C. I  20 . Lời giải D. I  7 . Chọn D du  dx u  x  Đặt  .  1 dv  f   2 x  dx v  f  2 x   2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Khi đó, I  x. f  2 x    f  2 x  dx  f  2    f  2 x  dx  8   f  2 x  dx . 2 20 2 20 20 0 Đặt t  2 x  dt  2dx . Với x  0  t  0 ; x  1  t  2 . 2 Suy ra I  8  1 f  t  dt  8  1  7 . 4 0 Câu 22: (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Một ôto đang chuyển động đều với vận tốc 20  m/s  rồi hãm phanh chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   2t  20  m/s  , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Tính quãng đường mà ôto đi được trong 15 giây cuối cùng đến khi dừng hẳn. A. 100  m  . B. 75  m  . C. 200  m  . D. 125  m  . Lời giải Chọn C Thời gian từ lúc hãm phanh đến dừng hẳn là: 2t  20  0  t  10  s  . Quãng đường ôto đi được trong 15 giây cuối cùng là: 10 s  20.5    2t  20  dt  100   t 2  20t  0 10 0  100   100  200   200  m  . Câu 23: (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường y  4  x 2 , y  2 , y  x có diện tích là S  a  b. . Chọn kết quả đúng: A. a  1 , b  1 . Chọn D B. a  b  1 . C. a  2b  3 . Lời giải D. a 2  4b 2  5 . y 3 2 1 -3 -2 O1 -1 2 x 3 Các phương trình hoành độ giao điểm: *  x  0 x  0  4  x2  x    2 2  x  2 . 4  x  x * 4  x2  2  x  0 . * x  2. 2 Diện tích cần tính là: S    0 2   2x 0  x2    2x   2  2 2  4  x 2 dx  2   2  x  dx  2 2 0 2 2    2 2dx  2   2  x  dx  2 2 4  x 2 dx  2 2  3  2 2  0  0 Ta có  0    4 4 4 4  x 2 dx 0 2 4  x 2 dx  3   4  x 2 dx . 0 Đặt x  2sin t  dx  2 cos tdt . Đổi cận: x  0  t  0 ; x  2  t  2   4 . 4  x 2 dx   4  4sin 2 t .2 cos tdx   4 cos 2 tdx   2 1  cos 2t  dx 0 0 0   1   2  t  sin 2t   2  Vậy S  3  4 0  1    2    1.  4 2 2  1  1  2  . . 2 2 1 Theo kí hiệu của bài toán ta suy ra a  2 , b   . Do đó mệnh đề đúng là a 2  4b 2  5 . 2 Câu (THPT 24: Ninh ———-HẾT———Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Biết rằng 5 3 dx  a ln 5  b ln 2  a, b  Z  . Mệnh đề nào sau đây đúng?  3x 1 A. a  2b  0 . B. 2 a  b  0 . C. a  b  0 . x 2 D. a  b  0 . Lời giải Chọn D 5 5 5 3 1  1 1 x2  3x dx  1  x  x  3  dx   ln x  ln x  3  1  ln 5  ln 2  a  1 và b  1 . Ta có: a  b  0 . Câu 25: (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y  sin x , y  cos x và các đường thẳng x  0 , x   bằng ? A. 2. B. 2 2 . C. 2 2 . Lời giải D. 3 2 . Chọn B  Ta có S   sin x  cos x dx . 0 Phương trình sin x  cos x  0  tan x  1  x  Cho    k    0;   k  0  x  . 4 4  4  Biến đổi S    sin x  cos x dx   sin x  cos x dx   sin x  cos x dx 0  4 0  4    k  k   . 4    sin x  cos x  dx    sin x  cos x  dx    cos x  sin x   4 0   4    cos x  sin x  0 2 Câu 26: (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Giả sử  1 với a, b, c   ; 1  a, b, c  9 . Tính giá trị của biểu thức C A. 165 . B. 715 . ba 2a c 2 2.  4 1  x2 1 b  dx   a a  b 4 x c bc  . C. 5456 . Lời giải D. 35 . Chọn D 2 I  1 2 1  x2 dx   x4 1 Đặt t 2  1  1 1 x2 dx x3 1 2 1  2tdt   3 dx  tdt  3 dx 2 x x x 5 2 1 Ta được I    t 2dt  t 3 3 2 2 5 2 1 5   2 2  5 . 3 53  Vậy a  2 , b  5 , c  3 , suy ra C2baac  C73  35 . 4 Câu 27: (THPT Trần Quốc Tuấn năm 2017-2018) Biết  f ( x)dx  1 1 và. 2 0  f ( x)dx  1 1 . Tính tích 2 4 phân I    4e2 x  2 f ( x)  dx . 0 8 A. I  2e . B. I  4e8  2 . C. I  4e8 . Hướng dẫn giải Chọn A 4 1 4 e2 x 4 Ta có I    4e2 x  2 f ( x)  dx  4.  2  f  x  dx  2  f  x  dx . 2 0 0 0 1 1 1  I  2 e8  1  2.  2.  2.e8 . 2 2   D. I  2e8  4 . Câu 28: (THPT Trần Quốc Tuấn năm 2017-2018) Tìm giá trị lớn nhất M t  của hàm số  f  t    2 3 cos 2 x  2sin 2 x dx trong khoảng  0;   . 0 A. M  3 3 . C. M  2 3 . B. M  3 . D. M  2 . Hướng dẫn giải Chọn B t   Ta có: f  t    2 3 cos 2 x  2sin 2 x dx   3 sin 2 x  cos 2 x 0  t  3 sin 2t  cos 2t  1 . 0  3   1  f  t   2  sin 2t  cos 2t   1  2sin  2t    1  3 . 6 2   2  Dấu bằng xảy ra khi t   3 . Vậy giá trị lớn nhất M của hàm số là 3. Câu 29: (THPT Trần Quốc Tuấn năm 2017-2018) Tính diện tích S của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f  x   ax3  bx 2  c , các đường thẳng x  1 , x  2 và trục hoành (miền gạch chéo) cho trong hình dưới đây. A. S  51 . 8 B. S  52 . 8 50 . 8 Hướng dẫn giải C. S  D. S  53 . 8 Chọn A Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f  x   ax3  bx 2  c , các đường thẳng x  1 , x  2 và trục hoành được chia thành hai phần: Miền D1 là hình chữ nhật có hai kích thước lần lượt là 1 và 3  S1  3 .  f  x   ax3  bx 2  c  Miền D2 gồm:  y  1 .  x  1; x  2  Dễ thấy  C  đi qua 3 điểm A  1;1 , B  0;3 , C  2;1 nên đồ thị  C  có phương trình 1 3 3 2 x  x  3. 2 2 2 3 27 1  .  S 2    x 3  x 2  3  1dx  2 2 8  1  f  x  Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là S  S1  S2  51 . 8  6 Câu 30: (THPT Trần Quốc Tuấn năm 2017-2018) Biết  3  4sin x  dx  2 0 nguyên dương và A. 8 . a tối giản. Tính a  b  c . b B. 16 . C. 12 . a c 3 , trong đó a , b  b 6 D. 14 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có:    6 6 6  0  3  4sin 2 x dx   3  2 1  cos 2 x   dx    5  2 cos 2 x  dx 0 0 5 3 3  . 6 6 Suy ra a  5 , b  6 , c  3 . Vậy a  b  c  14 .  Câu 31: (THPT Thanh Miện 1-Hải Dương-lần 1 năm 2017-2018) Cho biết tích phân 1 I    x  2  ln  x  1 dx  a ln 2  0 7 trong đó a , b là các số nguyên dương. Tìm mệnh đề b đúng trong các mệnh đề sau: A. a  b . B. a  b . C. a  b . Lời giải. D. a  b  3 . Chọn A 1  du  dx  u  ln  x  1  x 1 Đặt  .  2 dv   x  2  dx v  x  2 x  2 1 1 1  x 2   5 1  3  1 x2  4 x I    2 x  ln  x  1    dx  ln 2    x  3   dx 2 2 0 x 1   2  0 2 0 x 1 1  7 5 1  x2 .  ln 2    3 x  3ln  x  1   4 ln 2  4 2 2 2 0 Suy ra a  4 , b  4 . Vậy a  b . Câu 32: (THPT Trần Hưng Đạo-TP HCM năm 2017-2018) Biết m là số thực thỏa mãn  2  x  cos x  2m  dx  2 0 A. m  0 . 2   2  1 . Mệnh đề nào sau dưới đây đúng? B. 0  m  3 . C. 3  m  6 . Lời giải Chọn D D. m  6 .    2 2 2  x  cos x  2m  dx   x.cos xdx   2mxdx  I  J 0 0 0  2 +) I   x.cos xdx 0 u  x du  dx Đặt   dv  cos xdx v  sin x   Khi đó I  x.sin x  2 2   sin xdx  x.sin x 0 0  2  cos x 0 2   0 2 1.   2 +) J   2mxdx  mx 2 0 2  2 4 0 m.  2 Suy ra  x  cos x  2m  dx  0 Theo giả thiết ta có 2 4 m 2 4  2 m  2 1  1  2 2   2 1  m  8 . Câu 33: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Cho y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên  biết đồ thị hàm y  f  x số đi qua điểm  1  M   ;4  2  1 2 và  f  t  dt  3 , 0 0 I  sin 2 x. f   sin x  dx .  6 A. I  10 . B. I  2 . C. I  1 . Hướng dẫn giải Chọn B 0 Xét tích phân I    0 sin 2 x. f   sin x  dx   2sin x. f  sin x  .cos xdx .  6 6  1  x    t   Đặt: t  sin x  dt  cos xdx . Đổi cận:  6 2.  x  0  t  0 0  I  2  t. f   t  dt .  1 2 u  2t du  2dt Đăt:  .  dv  f   t  dt v  f  t  0  I  2t. f  t  0 0  1 1  2  f  t  dt  f     2  f  t  dt .   2  1 1 2 2 2  1   1 Đồ thị hàm số y  f  x  đi qua điểm M   ; 4   f     4 .  2   2 D. I  1 . tính 0 Hàm số y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên   1 2 1 2  f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx  3 .  1 2 0 0 Vậy I  4  2.3  2 . Câu 34: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho số thực x  0 . Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau: A.  ln x .dx  2 ln x  C . x B.  ln x .dx  2 ln 2 x  C . x C.  ln x .dx  ln 2 x  C . x D.  ln x 1 .dx  ln 2 x  C . x 2 Lời giải Chọn D Ta có:  ln x 1 .dx   ln x.d  ln x   ln 2 x  C . x 2 1 Câu 35: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Biết rằng 1  x cos 2 xdx  4  a sin 2  b cos 2  c  , 0 với a, b, c  . Khẳng định nào sau đây đúng ? B. a  b  c  0. A. a  b  c  1 . C. 2a  b  c  1 . Lời giải D. a  2b  c  1 . Chọn B du  dx u  x  Đặt I   x cos 2 xdx Đặt  .  1 dv  cos 2 x d x  0 v  2 sin 2 x 1 1 I  1 1 1 1 1 1 1 1 1 x sin 2 x   sin 2 xdx  sin 2  cos 2 x  sin 2  cos 2  . 2 20 2 4 2 4 4 0 0 1  2sin 2  cos 2  1  a  b  c  0 . 4 Câu 36: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho số thực a  0 . Giả sử hàm số f ( x) liên tục và a luôn dương trên đoạn  0; a  thỏa mãn f ( x). f ( a  x)  1 . Tính tích phân I  1  1  f  x dx ? 0 A. I  2a . 3 B. I  a . 2 C. I  a . 3 D. I  a . Lời giải Chọn B Đặt t  a  x  dt  dx . a a a 1 1 1 dx   dt   dx . 1 f  x 1 f a  t  1 f a  x 0 0 0 Thay vào ta được I     f a  x  f  x Suy ra 0    dx , do hàm số f ( x) liên tục và luôn dương trên đoạn  1  f  x   1  f  a  x    0  a  0; a  . Suy ra f  a  x   f  x  , trên đoạn  0; a  . a 1 a Mà f ( x). f (a  x)  1  f  x   1 . Vậy I   dx  . 2 2 0 Câu 37: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v  km / h  phụ thuộc vào thời gian t  h  có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I  2;5  và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó. A. 15  km  . B. 32 3  km  . C. 12  km  . D. 35  km  . 3 Lời giải Chọn B Parabol có đỉnh I  2;5  và đi qua điểm  0;1 có phương trình y   x 2  4 x  1 . Quãng đường vật đi được trong 1 giờ đầu là: 1  x3  x 1 8 S1     x 2  4 x  1 dx     2 x 2  x    3  x0 3 0 Quãng đường vật đi được trong 2 giờ sau là S2  2.4  8 8 32 Vậy trong ba giờ vật đi được quãng đường là S  S1  S 2   8   km  . 3 3 Câu 38: (THPT Trần Nhân Tông-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Biết rằng tích phân 4  0  x  1 e x dx  ae4  b . Tính T  a 2  b2 2x 1 B. T  2 . A. T  1 . C. T  3 . 2 D. T  Hướng dẫn giải Chọn B 4 Ta có I   0 4 Xét I1   0 4 4 4  1 ex x 1 x 1 2x  2 x x dx  . e dx   e dx    2 x  1.e dx   20 2 0 2x 1 2x 1  2x 1 0 ex dx . 2x 1 5 . 2 du  e x dx u  e x  1   2 2 x  1   dx 1 Đặt   dx v   .  2x 1 dv    2x 1 2  1 2x 1    2 4 4 Do đó I1  e x . 2 x  1   e x . 2 x  1dx . 0 0 4 Suy ra I  3e  1 3 1 9 1 . Khi đó a  , b  T    2. 2 2 2 4 4 Câu 39: (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu 1 n I n   x 2 1  x 2  dx . Tính lim n  0 A. 1 . I n 1 . In B. 2 . C. 3 . Lời giải D. 5 . Chọn A Cách 1. Tự luận: 1 Xét I n   x 2 1  x  du  dx u  x  n 1  dx . Đặt   1  x 2  . 2 n dv  x 1  x  dx v  2  n  1   n 1 n 1 1 1 1  x 2  dx  1  x 2  dx     2  n  1 0 2  n  1 0 2 n 0 In   x 1  x 2  n 1 1 n 1 1 1 0 1  I n 1  n 1 1 1  x 2 1  x 2  dx   2  n  2 0  I n1  1 1  n 1 1 2 n 1 1  x d x  x 2 1  x 2  dx      2  n  2  0 0   I n1  I I 1 2n  1  lim n 1  1 .  2  n  1 I n  I n 1   n 1  In 2n  5 n I n 2  n  2 Cách 2. Trắc nghiệm: Ta thấy 0  1  x 2   1 với mọi x   0;1 , nên 1 I n 1   x 2 1  x 2  0 suy ra n 1 1 n 1 n dx   x 2 1  x 2  1  x 2  dx   x 2 1  x 2  dx  I n , 0 0 I n 1 I  1 , nên lim n 1  1 . Dựa vào các đáp án, ta chọn A. In In Câu 40: (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Tìm tất cả các giá trị dương của m để 3  x 3  x  m 0 A. m  20 . Chọn D  10  dx   f    , với f  x   ln x15 .  9 B. m  4 . C. m  5 . Lời giải D. m  3 . 15 x14 15 15  10  243 .   f   x   2 do đó f     15 x x x 20 9 + Từ f  x   ln x15  f   x   3 m + Tính tích phân I   x  3  x  dx : 0  Đặt t  3  x  x  3  t , dx  dt , 0  Do đó I    3  t  t x 0 t 3 3 3 m  dt     3t  t m 3 3 0 m 1 0 3m 2 3t m1 t m  2   d t   m  1 m  2  m  1 m  2 0 3 + Ta có 3m 2 243 3m 2 35 m  10   x 3  x dx   f       0    9  m  1 m  2  20  m  1 m  2  4.5 Thay lần lượt các giá trị m ở 4 đáp án, nhận giá trị m  3 . Chú ý: – Việc giải phương trình 3m 33  không cần thiết nên chọn phương pháp thế  m  1 m  2  4.5 đáp để làm trắc nghiệm trong bài này. – Để giải phương trình 3m 33 3m 33 ta xét hàm trên f  m      m  1 m  2  4.5  m  1 m  2  4.5 với m  0 thì chứng minh được phương trình có nghiệm duy nhất m  3 . Câu 41: (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  P  : y  x 2  4 x  5 và các tiếp tuyến của  P  A. 9 . 4 B. 4 . 9 tại A 1; 2  và B  4;5  . C. 9 . 8 Lời giải Chọn A Ta có y  2 x  4 . Tiếp tuyến của  P  tại A và B lần lượt là y  2 x  4 ; y  4 x  11 . 5  Giao điểm của hai tiếp tuyến là M  ; 1 . 2  D. 5 . 2 Khi đó, dựa và hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm là: 5 2 4 S    x 2  4 x  5  2 x  4  dx    x 2  4 x  5  4 x  11 dx  5 2 1 9 . 4 0 Câu 42: (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Cho tích phân 3 , trong đó a , b  cos 2 x cos 4 xdx  a  b  3 a là các hằng số hữu tỉ. Tính e  log 2 b . A. 2 . B. 3 . C. 1 . 8 D. 0 . Lời giải Chọn A 0 11 1 1 1 0  Ta có:   cos 2 x cos 4 xdx     cos 6 x  cos 2 x dx   sin 6 x  sin 2 x   3.   2 3 26 2   8 3 0 3 1 1 Do đó ta có a  0 , b   . Vậy e a  log 2 b  e0  log 2  2 . 8 8 Câu 43: (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 4 , đồng biến trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn đẳng thức 4 2 3 x  2 x. f  x    f   x   , x  1; 4 . Biết rằng f 1  , tính I   f  x  dx ? 2 1 A. I  1186 . 45 B. I  1174 . 45 C. I  1222 . 45 D. I  1201 . 45 Lời giải Chọn A 2 Ta có x  2 x. f  x    f   x    x . 1  2 f  x   f   x   Suy ra f  x  1 2 f  x dx   xdx  C   df  x  1 2 f  x f  x 1 2 f  x  x , x  1; 4 . dx   xdx  C 2  2 32 4   x   1 3 3 2 32 3 4 .  1  2 f  x   x  C . Mà f 1   C  . Vậy f  x    2 3 3 2 4 Vậy I   f  x  dx  1 1186 . 45 Câu 1: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn 1   x  1 f   x  dx  10 0 1 và 2 f 1  f  0   2 . Tính I   f  x  dx . 0 B. I  8 . A. I  1 . D. I  8 . C. I  12 . Lời giải Chọn D Gọi f  x   ax  b ,  a  0   f   x   a . Theo giả thiết ta có: 1 1 1   x  1 f   x  dx  10  a   x  1 dx  10    x  1 dx  +) 0 0 0 10 3 10 20 .   a a 2 a 3 34  20  +) 2 f 1  f  0   2  2.   b   b  2  b   . 3  3  20 34 Do đó, f  x   x . 3 3 1 1  20 34  Vậy I   f  x  dx    x   dx  8 . 0 0 3   3 Câu 2: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho tích phân  2 I 0 x 2   2 x  cos x  cos x  1  sin x c dx  a 2  b  ln với a , b , c là các số hữu tỉ. Tính giá x  cos x  trị của biểu thức P  ac 3  b. A. P  3 . B. P  5 . 4 C. P  3 . 2 D. P  2 . Lời giải Chọn D   2 2 x 2   2 x  cos x  cos x  1  sin x  x  cos x   1  sin x dx Ta có I   dx   x  cos x x  cos x 0 0 2    x2  2 2  2 2 1  sin x    1  ln   1  ln    x  cos x   dx    sin x  ln x  cos x   x  cos x  8 2 8   2 0 0 2 1 1  a  , b  1 , c  2 . P  ac 3  b  .8  1  2 . 8 8 2 Câu 3: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Biết x 1 với a , b , c là các số nguyên dương. Tính P  a  b  c . A. P  44 . B. P  42 . C. P  46 . Lời giải Chọn D 2 Đặt I   1 2 dx dx .  x x  1   x  1 x 1 x  x  1 x  x  1   dx  a b c x  1   x  1 x D. P  48 . Đặt t  x  x  1  dt  x 1  x 2 x  x  1 dx  dx x  x  1 2 dt . t Khi x  1 thì t  2  1 , khi x  2 thì t  3  2 . 2 I  1 3 2 dx x  x  1  x  x 1  2  2 1 dt 1  2 2 t t 3 2 2 1 1 1    2     4 2 2 32 2 1  3 2  32  12  4  a  32 , b  12 , c  4 Vậy P  a  b  c  48 Câu 4: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  1;1 và thỏa mãn: f   x   1  1 . Biết rằng f  3  f  3  0 và f     x 1  2 2 1 f    2. 2 Tính T  f  2   f  0   f  4  . 9 A. T  1  ln . 5 6 B. T  1  ln . 5 1 9 C. T  1  ln . 2 5 Lời giải 1 6 D. T  1  ln . 2 5 Chọn C Ta có f  x    1 1  1 1  1 x 1 dx     C  dx  ln x 1 2  x 1 x 1  2 x 1 2 1 x 1 Với x   ; 1  1;   : f  x   ln  C1 . 2 x 1 Mà f  3  f  3  0   1 3  1 1 3 1 ln  C1  ln  C1  0 2 3  1 2 3 1 1 1 1 ln 2  C1  ln  C1  0  C1  0 . 2 2 2 1 x 1 1 1 3 Do đó với x   ; 1  1;   : f  x   ln  f  2   ln 3 ; f  4   ln . 2 x 1 2 2 5 Với x   1;1 : f  x   1 x 1 ln  C2 . 2 x 1 1 1  1 1 1 1 1    C2  ln 2  C2  2 f    2  ln 2 2  1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1  ln 3  C2  ln  C2  2  C2  1 . 2 2 3 1 x 1 Do đó với x   1;1 : f  x   ln  1  f 0  1 . 2 x 1  1 Mà f      2 1 9 Vậy T  f  2   f  0   f  4   1  ln . 2 5  2 Câu 5: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Cho  sin 0 tính tổng S  a  b  c . 2 cos x 4 dx  a ln  b, x  5sin x  6 c A. S  1 . B. S  4 . C. S  3 . Lời giải D. S  0 . Chọn B Đặt t  sin x  dt  cos xdx . x  0  t  0 , x   2  t  1.  1 1 t 3 1 1  cos x  1  dt  0 sin 2 x  5sin x  6 dx 0 t 2  5t  6 0  t  3  t  2  dt  ln t  2 2 1  ln 2  ln 0 3 4  ln 2 3  a  1, b  0, c  3  S  a  b  c  4 . Câu 6: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và các  4 tích phân  0 1 x2 f  x  dx  2 , tính tích phân I   f  x  dx . f  tan x  dx  4 và  2 x 1 0 0 1 B. 6 . A. 2 . C. 3 . Lời giải D. 1. Chọn B   4 4 f  tan x  1  tan 2 x  dx . 2 1  tan x 0 Xét I   f  tan x  dx   0 Đặt u  tan x  du  1  tan 2 x  dx Khi x  0 thì u  0 ; khi x   4 thì u  1 . 1 1 f u  f  x f  x . Suy ra d u  d x dx  4 . 2 2   1 u 1 x 1  x2 0 0 0 1 Nên I   1  x 2  1  1 f x 1      1 x2 f  x  f  x Mặt khác  2 dx     f x d x  dx . d x   2   1  x2 x 1 x 1 0 0 0 0 1 1 1 Do đó 2   f  x  dx  4   f  x  dx  6 . 0 0 Câu 7: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết AB  5 cm, OH  4 cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đó. A O H B A. 160 2 cm . 3 B. 140 2 cm . 3 14 2 cm . 3 Lời giải C. D. 50 cm 2 . Chọn B Đưa parabol vào hệ trục Oxy ta tìm được phương trình là  P  : y   Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  : y   16 2 16 x  x. 25 5 16 2 16 x  x , trục hoành và các đường thẳng 25 5 5 16  40  16 . x  0 , x  5 là S     x 2  x  dx  25 5  3 0 160 cm 2 . 3 2 Diện tích của hình vuông là Shv  100 cm . Tổng diện tích phần bị khoét đi: S1  4 S  Vậy diện tích bề mặt hoa văn là S 2  S hv  S1  100  160 140  cm 2 . 3 3 Câu 8: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Hình phẳng  H  giới hạn bởi parabol y x2 x2 và đường cong có phương trình y  4  . Diện tích của hình phẳng  H  bằng 4 12  2 4  3 A. 3 . B. 4  3 . 6 C. 4 3  . 6 D. 4  3 . 3 Lời giải Chọn A y O1 Phương trình hoành độ giao điểm là 4 x x2 x4 x2 x2   4  4 144 4 12  x 2  12 x4 x2 4 2  x  2 3 .    4  0  x  36 x  576  0   2 144 4  x  48 2 3 2 3  x2 x2  1 x2 2 Diện tích hình phẳng  H  là S    4    dx   16  x dx   dx .  4 12  2 2 3 12 2 3  2 3 2 3 2 3 Xét I   2 3    16  x 2 dx . Đặt x  4sin t , với t    ;   dx  4 cos tdt .  2 2 Với x  2 3  t   Với x  2 3  t  Khi đó: I   3  3    3 3 3   16  16sin 2 t .4 cos t dt  2  16 cos t dt  8  1  cos 2t  dt  3   3  3   1  3 16  8  t  sin 2t   4 3. 3  2   3 Vậy: 2 3 3 1  16  x S   4 3 2 3  36 2  3    24 3  24 3  8 4 3 2 4  3 8  2 3 .  2 3     3 3 3 36   3 2 Câu 9: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Biết  2 x ln  x  1 dx  a.ln b , với 0 a, b   , b là số nguyên tố. Tính 6a  7b . * A. 33 . B. 25 . C. 42 . Lời giải D. 39 . Chọn D 2 Xét I   2 x ln  x  1 dx  6 . 0 1  u  ln  x  1 dx du  Đặt   x 1 .  dv  2 xdx  v  x 2  1 2 2  x2  x2  1 Ta có I   x  1 ln  x  1   dx  3ln 3    x  1 dx  3ln 3    x   3ln 3 . 0 x 1  2 0 0 0 Vậy a  3 , b  3  6a  7b  39 . 2 2 2 Câu 10: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa 16 mãn f   x  dx  6 và x 1  4 2  0 f  sin x  cos xdx  3 . Tính tích phân I   f  x  dx . 0 B. I  6 . A. I  2 . C. I  9 . Lời giải Chọn B 16  Xét I   f  x  dx  6 , đặt x t  x Đổi cận: x  1  t  1 ; x  16  t  4 1 4 4 I  2  f  t  dt  6   f  t  dt  1 1 dx  dt 2 x 6  3. 2 D. I  2 .  2  J   f  sin x  cos xdx  3 , đặt sin x  u  cos xdx  du 0 Đổi cận: x  0  u  0 ; x   2  u 1 1 J   f  u  du  3 0 4 1 4 Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3  3  6 . 0 0 1 3 Câu 11: (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Cho e x 1 0 a , b , c là các số nguyên. Tính S  a  b  c . A. S  1 . B. S  2 . C. S  0 . Lời giải Chọn C 3 1 dx Xét I   e x 1 ; đặt u  x  1  du  dx . x 1 2 x 1 0 dx  a.e 2  b.e  c . Với x 1 D. S  4 . Đổi cận: x  0  u  1 ; x  3  u  2 2 2  I   eu 2du  2eu  2e 2  2e  a  2 , b  2 , c  0 , S  a  b  c  0 . 1 1 Câu 12: (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn   2 2  sin x. f  x  dx  f  0   1 . Tính I   cos x. f   x  dx . 0 0 A. I  1 . B. I  0 . C. I  2 . Lời giải D. I  1 . Chọn C u  f  x   du  f ( x)dx Đặt  dv  sin xdx  v   cos x    2 2   sin x. f  x  dx    cos x. f  x   2   cos x. f   x  dx . 0 0 0   2 2   I   cos x. f   x  dx   sin x. f  x  dx  cos x. f  x  02  1  1  0 . 0 0 Câu 13: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các 1 4 đường y  x 2 , y   x  và trục hoành. 3 3 11 61 343 39 A. . B. . C. . D. . 6 3 162 2 Lời giải Chọn A 1 4 Phương trình hoành độ giao điểm của các đường y  x 2 , y   x  là 3 3 x  1 1 4 2 2 . x   x   3x  x  4  0   x   4 3 3 3  1 4 Hoành độ giao điểm của đường thẳng y   x  với trục hoành là x  4 . 3 3 2 Hoành độ giao điểm của parabol y  x với trục hoành là x  0 . Diện tích hình phẳng cần tìm là 1 1 4 4 4 x3 4  11  1  1 S   x2 d x     x   d x     x2  x   . 3 3 3 0  6 3 1 6 0 1 Câu 14: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol có hình bên dưới. v  m 50 O 10 t  s Biết rằng sau 10s thì xe đạt đến vận tốc cao nhất 50 m/s và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét? 1000 1100 1400 A. B. C. D. 300 m . m. m. m. 3 3 3 Lời giải Chọn A Quãng đường xe đi được chính bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và trục Ox . Gọi  P  : y  ax 2  bx  c . Do  P  qua gốc tọa độ nên c  0 .  b b  10  2a  10 b  20a  Đỉnh  P  là I 10;50  nên   2  1. b  200a a   2    50  4a 10 Ta có  1    2 x 0 2 1000  .  10 x  dx  3  1000 m. 3 Vậy quãng đường xe đi được bằng Câu 15: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là a  t   t 2  3t . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 6 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc. A. 136m . B. 126m . C. 276m . Lời giải Chọn D t D. 216m . t t  t 3 3t 2  1 3 3 2 Ta có v  0   10 m/s và v  t    a  t  dt    t  3t  dt      t  t . 2  3 2 0 3 0 0 2 6 6 6 1  3  1 1 Quãng đường vật đi được là S   v  t  dt    t 3  t 2  dt   t 4  t 3   216 m . 2 0 3 2   12 0 0 Câu 16: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên   và thỏa mãn f   x   2018 f  x   2 x sin x . Tính I  2  f  x  dx ?  A. 2 . 2019 2 . 2018 B. 2 2 . 1009 Lời giải C. D. 4 . 2019 Chọn D   2 Ta có    2  f   x   2018 f  x  dx   2 x sin xdx  2 2      2 2 2 2 2   f   x  dx  2018  f  x  dx   2    2 2 2 x sin xdx  2019  f  x  dx    2  2 x sin xdx 1  2  2 + Xét P   2 x sin xdx  2 u  2 x du  2dx Đặt   dv  sin xdx v   cos x  P  2 x.   cos x   2 2     sin x 2  4 2  2 Từ 1 suy ra I  4  f  x  dx  2019 .  2 Câu 17: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  có f   x  liên tục trên nửa khoảng  0;   thỏa mãn 3 f  x   f   x   1  3.e2 x . Khi đó: 1 A. e3 f 1  f  0   C. e e 3 e f 1  f  0   3 1 . 2  2 2 B. e3 f 1  f  0    3 e2  3  8 3 1 1  . 2 e 3 4 2  D. e3 f 1  f  0   e 2  3 .  e2  3  8 . Lời giải Chọn C e2 x  3  3e3 x f  x   e3 x f   x   e 2 x e2 x  3 . ex Ta có: 3 f  x   f   x   1  3.e2 x    e3 x f  x    e 2 x e 2 x  3 . 1   e f  x    0 3 1 3x  31 2x e 3  e 3 1 1 0 0  3x 2x 2x  e f  x   dx   e e  3 dx Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được e f 1  f  0   2  3 e 2  3  8 3 0 . Câu 18: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;1 thỏa mãn f  x   6 x 2 f  x3   A. 2 . 6 . Tính 3x  1 B. 4 . 1  f  x  dx . 0 C. 1 . Lời giải D. 6 . Chọn B 1 f  x   6 x2 f  x3   1 1 6 6   f  x  d x   6 x 2 f  x 3  dx   dx 3x  1 3x  1 0 0 0 Đặt t  x 3  dt  3 x 2dx , đổi cận x  0  t  0 , x  1  t  1 . 1 1 1 1 Ta có:  6 x 2 f  x3  dx   2 f  t  dt   2 f  x  dx , 0 0 1 0 1  0 6 dx  4 . 3x  1 1  f  x  dx   2 f  x  dx  4   f  x  dx  4 Vậy 0 0 0 Câu 19: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  và g  x  liên tục, có đạo hàm trên  và thỏa mãn f   0  . f   2   0 và g  x  f   x   x  x  2  e x . Tính giá trị của tích 2 phân I   f  x  .g   x  dx ? 0 A. 4 . B. e  2 . C. 4 . D. 2  e . Lời giải Chọn C Ta có g  x  f   x   x  x  2  e x  g  0   g  2   0 (vì f   0  . f   2   0 ) 2 2 2 2 2 I   f  x  .g   x  dx   f  x  dg  x    f  x  .g  x     g  x  . f   x  dx     x 2  2 x  e x dx  4 . 0 0 0 0 0 1 Câu 20: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Cho  x 0 a , b , c  . Tính P  a  2b  c . A. P  1 . B. P  1 . 2  x ex x  e x dx  a.e  b ln  e  c  với C. P  0 . Lời giải D. P  2 . Chọn D 1 Ta có: I   x 2  x  ex x  e x 0 1 dx    x  1 e x xe x dx . xe x  1 0 Đặt t  xe x  1  dt  1  x  e x dx . Đổi cận: x  0  t  1 ; x  1  t  e  1 . e 1 Khi đó: I   1 t 1 dt  t e 1 1   1  t  dt   t  ln t  e 1 1 1  e  ln  e  1 . Suy ra: a  1 , b  1 , c  1 . Vậy: P  a  2b  c  2 . Câu 21: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số y 1    với x     k , k    , biết F  0   1 ; F ( )  0 . Tính 1  sin 2 x  4      11  P  F   F  .  12   12  B. P  0 . A. P  2  3 . C. Không tồn tại P . D. P  1 . Lời giải Chọn D   Ta có P  F   12 0             11     F  0   F       F    F    12     12   12 1 1 1 nên   2  1  sin 2 x  sin x  cos x   2 cos 2  x   4  0 1 1  1  dx  tan  x    1  3 ; 1  sin 2 x 2 4   2    12 12      F  0   F    1 1 dx   dx  1 . 1  sin 2 x 11 1  sin 2 x 12 Ta có 0   11 F   12 1 1    1  sin 2 x dx  2 tan  x  4  11 12   11 12 1 1  3 . 2   Vậy P  1 . Câu 22: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc v  t   t 2  10t  m/s  với t là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc 200  m/s  thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là 4000 2500 A. 500  m  . B. 2000  m  . C. D. m . m . 3 3 Lời giải Chọn D – Thời điểm máy bay đạt vận tốc 200  m/s  là nghiệm của phương trình: t  10  t  10  s  . t 2  10t  200  t 2  10t  200  0   t  20 – Quãng đường máy bay di chuyển trên đường băng là: 10 10  t3  2500 s    t  10t  dt    5t 2   m . 3 3 0 0 2 Câu 23: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Gọi M , N là hai điểm di động trên đồ thị  C  của hàm số y   x3  3 x 2  x  4 sao cho tiếp tuyến của  C  tại M và N luôn song song với nhau. Khi đó đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây? A.  1;5 . B. 1; 5  . C.  1; 5  . D. 1;5  . Lời giải Chọn D * Gọi tọa độ điểm M , N lần lượt là M  x1 ; y1  , N  x2 ; y2  . * Hệ số góc tiếp tuyến của  C  tại M và N lần lượt là k1  y  x1   3×12  6 x1  1 ; k2  y  x2   3×2 2  6 x2  1 * Để tiếp tuyến của  C  tại M và N luôn song song với nhau điều kiện là  x  x   3  x1  x2   6   0 k1  k2  1 2   x1  x2  2 .   x1  x2  x1  x2 2 2 * Ta có: y1  y2    x1  x2   x1  x2   3×1 x2   3  x1  x2   2 x1 x2    x1  x2   8     Do x1  x2  2 nên y1  y2  2  4  3×1 x2   3  4  2 x1 x2   8  10 . * Trung điểm của đoạn MN là I 1;5 . Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I 1;5 . Câu 24: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Biết F  x  là nguyên hàm của x cos x  sin x . Hỏi đồ thị của hàm số y  F  x  có bao nhiêu điểm cực trị x2 trong khoảng  0; 2018  ? hàm số f  x   A. 2019 . B. 1. C. 2017 . Lời giải Chọn C x cos x  sin x x2 F   x   0  x cos x  sin x  0 ,  x  0  (1) Ta có F   x   f  x   D. 2018 . Ta thấy cos x  0 không phải là nghiệm của phương trình nên (1)  x  tan x (2).   Xét g  x   x  tan x trên  0; 2018  k  , k     2 1   có g   x   1    tan 2 x  0,   0; 2018  k  , k    . 2 cos x  2   + Xét x   0;  , ta có g  x  nghịch biến nên g  x   g  0   0 nên phương trình x  tan x vô  2 nghiệm.   3  + Vì hàm số tan x có chu kỳ tuần hoàn là  nên ta xét g  x   x  tan x , với x   ;  . 2 2    3   23  Do đó g  x  nghịch biến trên khoảng  ;  và g   .g     0 nên phương trình 2 2   16  x  tan x có duy nhất một nghiệm x0 .   4035  Do đó,  ;   có 2017 khoảng rời nhau có độ dài bằng  . Suy ra phương trình 2 2    4035  x  tan x có 2017 nghiệm trên  ; . 2 2   4035  + Xét x   ; 2018  , ta có g  x  nghịch biến nên g  x   g  2018   2018 nên 2   phương trình x  tan x vô nghiệm. Vậy phương trình F   x   0 có 2017 nghiệm trên  0; 2018  . Do đó đồ thị hàm số y  F  x  có 2017 điểm cực trị trong khoảng  0; 2018  . Câu 25: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  là hàm lẻ và liên tục trên  4; 4 0 biết  4 2 f   x  dx  2 và 2  f  2 x  dx  4 . Tính I   f  x  dx . 0 1 A. I  10 . B. I  6 . C. I  6 . Lời giải D. I  10 . Chọn B x2 Cách 1: Sử dụng công thức:  x1 1 f  ax  b  dx  a x2 a  f  ax  dx và tính chất  f  x  dx  0 với a x1 f  x  là hàm số lẻ trên đoạn   a; a  . Áp dụng, ta có: 2  4   f  2 x  dx   1 0  2  2 1 4 1 2 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  8 .   4  2  4 2 2 0 2 2 2 0 0  f   x  dx    f  x    f  x    f  x   2 2 4 2 4 4 Suy ra: 0   f  x  dx    0 8  2 2 2 0 4 2 0 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  f  x  dx   f  x  dx  I  0  8   0  2   I  I  6 . 0 0 Cách 2: Xét tích phân  f   x  dx  2 . 2 Đặt  x  t  dx  dt . Đổi cận: khi x  2 thì t  2 ; khi x  0 thì t  0 do đó 0  2 0 2 2 f   x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt  2   f  x  dx  2 . 2 0 2 0 0 Do hàm số y  f  x  là hàm số lẻ nên f  2 x    f  2 x  . 2 Do đó  2 2 f  2 x  dx    f  2 x  dx   f  2 x  dx  4 . 1 1 1 2 Xét  f  2 x  dx . 1 Đặt 2x  t  dx  1 dt . 2 2 Đổi cận: khi x  1 thì t  2 ; khi x  2 thì t  4 do đó  4 f  2 x  dx  1 4 1 f  t  dt  4 2 2 4   f  t  dt  8   f  x  dx  8 . 2 2 4 2 4 Do I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2  8  6 . 0 0 2 Câu 26: (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho parabol  P  : y  x 2  2 và hai tiếp tuyến của  P  tại các điểm M  1;3 và N  2;6  . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  và hai tiếp tuyến đó bằng A. 9 . 4 B. 13 . 4 C. 7 . 4 D. 21 . 4 Lời giải Chọn A Phương trình tiếp tuyến tại M  1;3 là d1 : y  2 x  1 . Phương trình tiếp tuyến tại N  2;6  là d 2 : y  4 x  2 . Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và d 2 : 2 x  1  4 x  2  x  1 2 Vậy S   1 2 x 2  2  2 x  1 dx   x 2  2  4 x  2 dx  1 2 1 . 2 9 . 4 Câu 27: (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn 28cm , trục nhỏ 25cm . Biết cứ 1000cm3 dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20000 đồng. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể. A. 183000 đồng. Chọn A B. 180000 đồng. C. 185000 đồng. Lời giải D. 190000 đồng. Đường elip có trục lớn 28cm , trục nhỏ 25cm có phương trình x2 y2  25    1  y2    2 2 14  25   2     2  2  25 x2 x2   y   1  . 1   2  2 142  14  2 2 2 14  25  x2  x2   25  1  2  dx       1  2  dx Do đó thể tích quả dưa là V      14   2  14  14  14  2 14  25      2  2 14 2  x3   25  56 8750  x      cm3 . 2  3.14 2 3 3     14 Do đó tiền bán nước thu được là 8750 .20000  183259 đồng. 3.1000 1  3 Câu 28: (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  xác định trên    thỏa 3 2 , f  0   1 và f    2 . Giá trị của biểu thức f  1  f  3 bằng 3x  1 3 A. 5ln 2  3 . B. 5ln 2  2 . C. 5ln 2  4 . D. 5ln 2  2 . mãn f   x   Lời giải Chọn A  1  ln  3 x  1  C  khi x  3  3    Ta có f  x    f   x  dx   . dx  ln 3x  1  C   3x  1 ln  3 x  1  C  khi x  1     3  f  0   1  ln  3.0  1  C  1  C  1; f  1  ln  3  1  1  2 ln 2  1 . 2 f    2  ln  2  1  C  2  C  2 ; f  3  ln  9  1  2  2 ln 2  2 . 3 Vậy: f  1  f  3  2ln 2  1  2ln 2  2  5ln 2  3 . Câu 29: (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa 3 mãn f  4  x   f  x  . Biết 3  xf  x  dx  5 . Tính I   f  x  dx . 1 5 A. I  . 2 1 7 B. I  . 2 C. I  9 . 2 D. I  11 . 2 Lời giải Chọn A Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh Cho hàm số f  x  liên tục trên  a; b và thỏa mãn điều kiện f  a  b  x   f  x  , x  a; b  . b Khi đó  xf  x  dx  a b ab f  x  dx 2 a Chứng minh: Đặt t  a  b  x  dx  dt , với x   a; b  . Đổi cận: khi x  a  t  b ; khi x  b  t  b b Ta có b a  xf  x  dx   xf  a  b  x  dx     a  b  t  f  t  dt a a b b b b b b    a  b  t  f  t  dt   a  b   f  t  dt   tf  t  dt   a  b   f  x  dx   xf  x  dx a a b a b  2  xf  x  dx   a  b   f  x  dx  a a b  xf  x  dx  a a b a ab f  x  dx . 2 a Áp dụng tính chất trên với a  1 , b  3 . f  x  liên tục trên  a; b và thỏa mãn f 1  3  x   f  x  . 3 3 Khi đó  xf  x  dx  1 3 1 3 5 f  x  dx   f  x  dx  .  4 1 2 1 Cách 2: Đổi biến trực tiếp: Đặt t  4  x , với x  1;3 . 3 Ta có 3 3 3 3  xf  x  dx   xf  4  x  dx    4  t  f  t  dt  4 f  t  dt   t. f  t  dt 1 1 1 3 3  5  4  f  t  dt  5   f  t  dt  1 1 1 1 5 . 2 1 Câu 30: (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Biết ab của k để  dx  lim k  1 x  2017 x  2018 x  8 2 A. k  0 . x3  2 x2  3 1 3 0 x  2 dx  a  b ln 2  a, b  0  tìm các giá trị . B. k  0 . C. k  0 . Lời giải D. k  . Chọn B 1 1 Ta có: 1 1 3 1 3 x3  2 x 2  3 3   2 d x  0 x  2 0  x  x  2  dx  3 x  3ln x  2 0  3  3ln 2 9 a  3 ab   dx   dx  1  b  3 8 8 k ab Mà  dx  lim Mặt khác ta có ab  8  1 x  2017 x  2018 x  8 Vậy để 2 k lim x  k dx  lim 2 x  2  1  lim  1 x  2017 x  2018  1 x  2017 x  2018 k 2  1 x  2017 x  2018 x   k 2 1. thì 1  k 2  1  k 2  0  k  0 . Câu 31: (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Giả sử a , b , c là các số nguyên thỏa mãn 4 3 1 2 x2  4 x  1 4 2 0 2 x  1 dx  2 1  au  bu  c  du , trong đó u  2 x  1 . Tính giá trị S  a  b  c . A. S  3 . B. S  0 . C. S  1 . Lời giải D. S  2 . Chọn D udu  dx  u  2x  1  u  2 x  1   u 2 1 x    2 2 2  u2 1   u2 1  2  4     1 3 3 4 2  2  1 2×2  4x  1   Khi đó  u.du    u 4  2u 2  1 .du dx   u 21 2x 1 1 0 Vậy S  a  b  c  1  2  1  2 . Câu 32: (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  1 thỏa mãn 1 , f  0   2017 , f  2   2018 . Tính S  f  3  f  1 . x 1 A. S  1 . B. S  ln 2 . C. S  ln 4035 . D. S  4 . Lời giải Chọn A 1 Ta có  f  x  dx   dx  ln  x  1   C . x 1  f  x   ln  x  1   2017 khi x  1 Theo giả thiết f  0   2017 , f  2   2018 nên  .  f  x   ln  x  1   2018 khi x  1 f  x  Do đó S  f  3  f  1  ln 2  2018  ln 2  2017  1 . Câu 33: (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Biết luôn có hai số a và b để F  x   ax  b  4a  b  0  x4 là nguyên hàm của hàm số f  x  và thỏa mãn: 2 f 2  x    F  x   1 f   x  . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. a  1 , b  4 . B. a  1 , b  1 . C. a  1 , b   4 . D. a   , b   . Lời giải Chọn C Ta có F  x   f  x  ax  b 4a  b là nguyên hàm của f  x  nên f  x   F   x   và 2 x4  x  4 2b  8a  x  4 3 . Do đó: 2 f 2  x    F  x   1 f   x   2  4a  b  4 2  ax  b  2b  8a   1 3  x4   x  4  x  4  4a  b    ax  b  x  4    x  4 1  a   0  a  1 (do x4 0) Với a  1 mà 4a  b  0 nên b  4 . Vậy a  1 , b   4 . Chú ý: Ta có thể làm trắc nghiệm như sau: + Vì 4a  b  0 nên loại được ngay phương án A: a  1 , b  4 và phương án D: a   , b   . + Để kiểm tra hai phương án còn lại, ta lấy b  0 , a  1 . Khi đó, ta có 4 8 x , f  x  , f  x   . F  x  2 3 x4  x  4  x  4 Thay vào 2 f 2  x    F  x   1 f   x  thấy đúng nên Chọn C 5 Câu 34: (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Tính tích phân x 1 2 dx được kết quả 3x  1 2 I  a ln 3  b ln 5 . Giá trị a  ab  3b là A. 4 . B. 5 . C. 1 . Lời giải D. 0 . Chọn B t 2 1 2tdt .  dx  3 3 Đổi cận: x  1  t  2; x  5  t  4. Khi đó Đặt t  3x  1  t 2  3x  1  x  4 4 4 2 1  t 1  1 dt      2 ln 3  ln 5 . Suy ra  dt  ln 2 t 1 t 1 t  1  t 1 2 2 2 I  a  2 .  b  1 Do đó a 2  ab  3b 2  5 . 4 dx 2  a  b ln 3 2x 1 0 3 Câu 35: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) Cho tích phân I   với a, b   . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a  b  3 . B. a  b  5 . C. a  b  5 . Lời giải D. a  b  3 . Chọn C Đặt t  2 x  1  t 2  2 x  1  dx  tdt . Đổi cận: x  0  t  1 ; x  4  t  3 4 3 3 3 tdt 3  dx 2  Khi đó I      1   dt   t  3ln t  3  1  2  3ln 3 3t 1  t 3 0 3  2x 1 1 Do đó a  b  5 . Câu 36: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) Giả sử S   a, b  là tập nghiệm của bất phương trình 5 x  6 x 2  x3  x 4 log 2 x   x 2  x  log 2 x  5  5 6  x  x 2 . Khi đó b  a bằng A. 1 . 2 B. 7 . 2 C. 5 . 2 Lời giải Chọn A x  0 x  0 Điều kiện:  . D   0;3 .  2 2  x  3 6  x  x  0 5 x  6 x 2  x 3  x 4 log 2 x   x 2  x  log 2 x  5  5 6  x  x 2  5 x  x 6  x  x 2 log 2 x  x  x  1 log 2 x  5  5 6  x  x 2   x  1 5  x log 2 x   6  x  x 2  x log 2 x  5  0     5  x log 2 x  x  1  6  x  x 2  0 D. 2 .  5  x log 2 x  0  I  2  x  1  6  x  x  0  . 5  x log x  0  2   II   2 x  1  6  x  x  0   Giải hệ (I). 5  x log 2 x  0 1  2  x  1  6  x  x  0  2  Giải 1 5  x log 2 x  0 . 5  Xét hàm số f  x   x   log 2 x   xg  x  với x   0;3 x  5 1 Ta có g   x    2   0x   0;3 . x x ln 2 Lập bảng biến thiên 5  Vậy f  x   x   log 2 x   0x   0;3 . x  Xét bất phương trình (2): 2 2 2 x 2  3x  5  0 6  x  x   x  1  6  x  x  x 1    x  1 x  1 2   x  1  5  5   x   x  . 2 2   x  1 5  Vậy nghiệm của hệ  I  là D   ;3 . 2  Hệ  II  vô nghiệm. 5  Vậy S   ,3 . 2  5 1 b a  3  . 2 2 1 Câu 37: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Biết các số nguyên dương. Tính P  a 2  b 2 . A. 13 . B. 5 . C. 4 . 2 x 2  3x  3 0 x2  2 x  1 dx  a  ln b với a , b là D. 10 . Lời giải Chọn A 1 2 x 2  3x  3 dx x2  2 x  1 0 Ta có I   dt  dx Đặt t  x  1   suy ra x  t 1 Khi đó 2 I  1 x  0  t  1  x  1  t  2 2 2 2 2  t  1  3  t  1  3 2t 2  t  2  1 2 dt  dt   2   2  dt  2 2   t t t t  1 1 2 2   2t  ln t    3  ln 2 . t 1  Suy ra P  32  22  13 . m Câu 38: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho I    2 x  1 e 2 x dx . Tập hợp tất cả các giá 0 trị của tham số m để I  m là khoảng  a; b  . Tính P  a  3b . A. P  3 . B. P  2 . C. P  4 . Lời giải D. P  1 . Chọn A m I    2 x  1 e 2 x dx 0 du  2dx u  2 x  1  Đặt   e2 x . 2x d v  e d x  v   2 m I    2 x  1 e 2 x dx  0 I  m  me 2m e 2m  2 x  1 e2 x m 2 0 m   e 2 x dx   2m  1 e2 m  1  1 e2 x 2 0 2 2 m 0  me m  e 2 m  1  1  m   m  1  e 2 m  1  0  0  m  1 . Suy ra a  0, b  1  a  3b  3 . Câu 39: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x  y  2  0 ; y  x ; y  0 quay quanh trục Ox bằng A. 5 . 6 B. 6 . 5 C. 2 . 3 D. 5 . 6 Lời giải Chọn D Hình phẳng đã cho được chia làm 2 phần sau: Phần 1: Hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x ; y  0 ; x  0 ; x  1 . 1 Khi quay trục Ox phần 1 ta được khối tròn xoay có thể tích V1    x dx   . 0 Phần 2 : Hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2  x ; y  0 ; x  1 ; x  2 . Khi quay trục Ox phần 2 ta được khối tròn xoay có thể tích 2 V2     2  x  1 2  x  2 dx   . 3 3 2  1  3 . x2 2 1  0  2 . Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là V  V1  V2  5 . 6 Câu 40: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  , thỏa mãn 2 f  2 x   f 1  2 x   12 x 2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ bằng 1 là A. y  2 x  2 . B. y  4 x  6 . C. y  2 x  6 . D. y  4 x  2 . Lời giải Chọn D 2 f  0   f 1  0  f 1  2   f  0   2 f 1  3 1 Lấy đạo hàm hai vế của (*) ta được 4 f   2 x   2 f  1  2 x   24 x , cho x  0 và x  ta được 2 4 f   0   2 f  1  0  f  1  4 .  4 f  1  2 f   0   12 Từ 2 f  2 x   f 1  2 x   12 x 2 (*), cho x  0 và x  1 ta được 2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm x  1 là y  f  1 x  1  f 1  y  4  x  1  2  y  4 x  2 . Câu 41: (THPT 2 x 1 2 Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Biết x 1 dx  ln  ln a  b  với a , b là các số nguyên dương. Tính P  a 2  b 2  ab .  x ln x A. 10 . B. 8 . C. 12 . Lời giải D. 6 . Chọn B 2 Ta có 2 x 1 x 1  d x 1 x2  x ln x 1 x  x  ln x  dx . x 1  1 Đặt t  x  ln x  dt   1   dx  dx . x  x Khi x  1  t  1 ; x  2  t  2  ln 2 . 2  ln 2 Khi đó I   1 dt  ln t t 2  ln 2 1 a  2  ln  ln 2  2  . Suy ra  . b  2 Vậy P  8 . Câu 42: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) Hàm số f  x      3   nguyên hàm F  x  thỏa mãn F    . Giá trị F   bằng? 4 8 2 3  11ln 2 3 3 A. . B. . C. . 4 4 8 Lời giải Chọn A 7 cos x  4sin x có một cos x  sin x D. 3  ln 2 . 4 3 11  sin x  cos x     sin x  cos x  3 11  sin x  cos x 2 Ta có f  x   2   . 2 2 cos x  sin x cos x  sin x 3 11  sin x  cos x  3 11  sin x  cos x  dx  F  x    f  x  dx     .  dx  x   . 2 2 cos x  sin x  2 2 cos x  sin x  3 11 1 3 11  x  d  cos x  sin x   x  ln cos x  sin x  C . 2 2 cos x  sin x 2 2 3 11 3 11    3 Mà F      ln 2  C   C   ln 2 8 2 8 4 4 8 3 11    3 C   ln 2 .  4 4 2 4 Do đó F  Câu 43: (THPT Chuyên Hùng  2 x  3 dx Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Giả sử 1  x  x  1 x  2  x  3  1   g  x   C ( C là hằng số). Tính tổng các nghiệm của phương trình g  x   0 . A. 1 . B. 1 . C. 3 . Lời giải D. 3 . Chọn D  Ta có x  x  1 x  2  x  3  1  x 2  3 x  x 2 2  3 x  2   1   x 2  3 x   1 . Đặt t  x 2  3x , khi đó dt   2 x  3 dx . Tích phân ban đầu trở thành Trở lại biến x , ta có dt   t  1 2  1 C . t 1  2 x  3 dx  x  x  1 x  2  x  3  1   x 2 1 C .  3x  1 Vậy g  x   x 2  3 x  1 . 3  5 3  5 hoặc x  . 2 2 Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng 3 . g  x   0  x 2  3x  1  0  x  9 4 3 Câu 44: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Giá trị I   x 2 sin  x3  e 1 3 6 gần bằng số nào nhất trong các số sau đây: A. 0, 046 . B. 0, 036 . C. 0, 037 . D. 0, 038 . Lời giải Chọn C  Đặt u  cos  x 3 Khi x    d u  3 x 2 sin  x 3  d x  x 2 sin  x3  d x   1 3 thì u  . 2 6 3 1 du . 3   cos  x3 dx 2 9 thì u  . 2 4 Khi x  3 1 Ta có I   3 2 2 3 2 1 u  e d u  3 3 1 u u  e d u  3 e 2 2 2 3 2  2 2 1 3 2   3  e 2  e 2   0, 037 .   Câu 45: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Dòng điện xoay chiều hình sin chạy   qua mạch dao động LC lí tưởng có phương trình i  I 0 sin  wt    . Ngoài ra i  q  t  với q là điện 2 tích tức thời trong tụ. Tính từ lúc t  0, điện lượng chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn của mạch trong thời gian A.  I0  2w là B. 0 . . w 2 C.  2I 0 w . D. I0 . w Lời giải Chọn D Tính từ lúc t  0, điện lượng chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn của mạch trong thời gian  2w S  0  2w là  I   2w    I 0 sin  wt   dt   0 cos  wt   2 w 2 0    I0         cos  w.    cos  w.0     w   2w 2  2    I0     I cos    cos     0 .  w  2  w  Câu 46: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Tích phân   3x  2  cos 2 x dx bằng 0 A. 3 2   . 4 B. 3 2   . 4 C. 1 2   . 4 D. 1 2   . 4 Lời giải Chọn B    3x  2  cos Đặt I  2 x dx . Ta có: 0 I     1 1 1  3 x  2 d x  3 x  2 1  cos 2 x d x    3x  2  cos 2 x dx    I1  I 2  .       20 2 0 0  2   3 3  I1    3 x  2  dx   x 2  2 x    2  2 . 2 0 2 0  I 2    3 x  2  cos 2 x dx . Dùng tích phân từng phần 0 du  3dx u  3x  2   Đặt  . 1 dv  cos 2 x dx v  sin 2 x  2    3 1 3 Khi đó I 2   3x  2  sin 2 x   sin 2 x dx  0   cos 2 x   0 . 4 2 20 0 0 Vậy I  13 2  3 2    2      . 22  4 Câu 47: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi y , y   x  2 và x  0 quay quanh trục Ox có giá trị là kết hình phẳng giới hạn bởi các đường x  quả nào sau đây? 1 A. V   . 3 3 B. V   . 2 C. V  32 . 15 D. V  11 . 6 Lời giải Chọn C x  y  y  x2  x  0   Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường:  y   x  2   y   x  2 x  0 x  0    x  1  nhaän  Phương trình hoành độ giao điểm: x 2   x  2  x 2  x  2  0    x  2  loaïi  Thể tích vật tròn xoay sinh ra khi hình  H  quay quanh trục Ox là: 1  2 2 1  V      x  2    x 2  dx     x 2  4 x  4  x 4  dx  0 0 32  (đvtt) 15 Câu 48: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Cho Parabol  P  : y  x 2 và hai điểm A , B thuộc  P  sao cho AB  2 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  và đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất bằng 2 A. . 3 B. 3 . 4 C. 4 . 3 D. Lời giải Chọn C y B A O Cách 1: Gọi A  a; a 2  , B  b; b 2  với a  b . 2 2 Ta có: AB  2   b  a    b 2  a 2   4 x  a y  a2 x  a y  a2  2   b  a b  a2 1 ba 2  y   a  b  x  a   a  y   a  b  x  ab AB : b b S     a  b  x  ab  x 2  dx    x  a  b  x  dx a a x 3 . 2 Đặt t  x  a . Suy ra: ba S b a  t  b  a  t  dt     b  a  t  t  2 0 b  a t2  dt  2 0 ba 0 t3  3 ba b  a   3 6 0 Ta có: b  a  2 2 2   b2  a2   4   b  a  1   b  a  b  a 2   4  b  a  2  4 1  a  b 2 4 3 23 4  . 6 6 3 a  b  0 b  1 Dấu “  ” xảy ra khi và chi khi   A  1;1 ; B 1;1 .  b  a  2  a  1 4 Vậy giá trị lớn nhất của AB bằng . 3 Chú ý: Khi làm trắc nghiệm ta có thể dự đoán (linh cảm :D) a , b đối nhau, nghĩa là: Suy ra: b  a  2  S   2 2 a  b  0 . Từ đó, thay vào  b  a    b 2  a 2   4 , tìm được a  1 , b  1 . Suy ra: A  1;1 ; B 1;1 . 1 Viết phương trình: AB : y  1 . Từ đó: S  4  1  x  dx  3 . 2 1 Hoặc cũng linh cảm, đặc biệt hóa AB song song với Ox , từ đó cũng tìm được a  b  0 . Cách 2: Sử dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  : y  ax 2  bx  c và  d  : y  mx  n . Đầu tiên ta lập phương trình hoành độ giao điểm của  P  và  d  : ax 2  bx  c  mx  n  ax 2   b  m  x  c  n  0 . Khi đó diện tích hình phẳng là: S 2  3 2 , với    b  m   4a  c  n  . 4 36a Áp dụng: Tương tự, ta có  AB  : y   a  b  x  ab , a  b . 2 PTHĐGĐ: x 2   a  b  x  ab  x 2   a  b  x  ab  0 , có    b  a  . 6 3  b  a  và đánh giá như cách 1. 3  b  a  Suy ra: S   S 36 36 6 2 Câu 49: (SGD Phú Thọ – lần 1 – năm 2017 – 2018) Biết F  x    ax 2  bx  c  2 x  3 một nguyên hàm của hàm số f  x   A. T  8 . B. T  5 . Tính F   x    2ax  b  2 x  3   ax 2  bx  c  .  2ax  b  2 x  3  ax 2  bx  c 2x  3  c    là 20 x 2  30 x  11 3  trên khoảng  ;   . Tính T  a  b  c . 2x  3 2  C. T  6 . D. T  7 . Lời giải Chọn D Ta có F   x   f  x  .   a, b, 1 2x  3 5ax 2   3b  6a  x  3b  c 2x  3 . Do đó 5ax 2   3b  6a  x  3b  c 2x  3  20 x 2  30 x  11 2x  3 2  5ax   3b  6a  x  3b  c  20 x 2  30 x  11 5a  20 a  4    3b  6a  30  b  2  T  7 . 3b  c  11 c  5   Câu 50: (SGD Phú Thọ – lần 1 – năm 2017 – 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  1;1 thỏa mãn f  x  2  1 1 , f  2   f  2   0 và f     f    2 . Tính f  3  f  0   f  4  được x 1  2 2 2 kết quả 6 A. ln  1 . 5 6 B. ln  1 . 5 4 C. ln  1 . 5 Lời giải 4 D. ln  1 . 5 Chọn A  x 1 ln x  1  C1 khi x  1   x 1 2 1 1   Ta có f  x    f   x  dx   2 dx      C2 khi  1  x  1 .  dx  ln x 1  x 1 x  1   x 1  x 1  C3 khi x  1 ln  x 1 1   f  2   f  2   0 ln 3  C1  ln  C3  0  C  C3  0   3 Khi đó   1    1 1  f   2   f  2   2 ln 3  C  ln 1  C  2 C2  1 2 2       3 3 6 Do đó f  3  f  0   f  4   ln 2  C1  C2  ln  C3  ln  1 . 5 5 Câu 51: (SGD 4 Phú Thọ – lần 1 – năm 2017 – 2018) 2 x  1dx 5  a  b ln 2  c ln  a, b, c    . Tính T  2a  b  c . 3 2x 1  3  2x  3 0 A. T  4 . B. T  2 . C. T  1 . Lời giải D. T  3 . Chọn C 4 4 2 x  1dx I   0 2x  3 2x 1  3 0 4  0 2dx  2x  1  2 4    0 4 2 x  1dx   2x  1 1 dx  2x 1  2   0 2     2 x  1  1 2x 1 1  . 2x 1 1 Đặt u  2 x  1  udu  dx . Với x  0  u  1 , với x  4  u  3 . .3 .3 .3 .3 2udu udu 4  1    Suy ra I     2   du   1  du u  2 1 u 1 1  u2 u 1 1 1 3 5   u  4 ln u  2  ln u  1   2  4 ln  ln 2 1 3  2x  1  2 2 x  1  2 dx Biết  a  2 , b  1 , c  1  T  2.1  1  4  1 . Câu 52: (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 – năm 2017 – 2018) Cho f  x  liên tục trên  và thỏa mãn 1 f  2   16 ,  2 f  2 x  dx  2 . Tích phân 0  xf   x  dx bằng 0 A. 30 . B. 28 . C. 36 . Lời giải D. 16 . Chọn B Đặt t  2 x  dx  2 1 dt , ta có 2  2 f  2 x  dx  0 2 2 2 1 f  t  dt  2   f  t  dt  4   f  x  dx  4 . 2 0 0 0 2 2  xf   x  dx   xd  f  x    xf  x  0   f  x  dx  2 f  2   4  28 . 0 0 0 1  Chú ý: Ta có thể tính nhanh  2 f  2 x  dx  2  0 2 1 f  x  dx  2   f  x  dx  4 . 2 0 0 2 Cách tính  xf   x  dx ở trên là viết tắt của phương pháp từng phần với u  x , dv  f   x  dx 0 Câu 53: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 – năm 2017 – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và 2 f  2   16 ,  0 A. I  12 . 4 x f  x  dx  4 . Tính I   xf    dx 2 0 B. I  112 . C. I  28 . Lời giải D. I  144 . Chọn B u  x du  dx   Đặt  x    x. dv  f   2  dx v  2 f  2        Khi đó 4 x  x I   xf    dx  2 xf   2 2 0 4 4 x x  2 f   dx  128  2I1 với I1   f   dx . 0 2 2 0 0 4 4 Đặt u  x  dx  2du , khi đó I1   2 0 2 2 x f   dx  2 f  u  du  2 f  x  dx  8 . 2 0 0 Vậy I  128  2 I1  128  16  112 . Câu 54: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  2;1 thỏa mãn f   x   1 1 , f  3  f  3  0 và f  0   . Giá trị của biểu thức x  x2 3 2 f  4   f  1  f  4  bằng A. 1 1 ln 2  . 3 3 B. ln 80  1 . C. Lời giải Chọn A 1 4 ln  ln 2  1. 3 5 D. 1 8 ln  1 . 3 5 1 x 1  3 ln x  2  C1 , x   ; 2   1 x 1 1 f  x   2 dx   ln  C2 , x   2;1 . x  x2 3 x  2 1 x 1  C3 , x  1;    ln 3 x  2 1 1 1 Ta có f  3  ln 4  C1 , x   ; 2  , f  0   ln  C1 , x   2;1 , 3 3 2 1 2 f  3  ln  C3 , x  1;   , 3 5 1 1 Theo giả thiết ta có f  0    C2  1  ln 2  . 3 3 2 1  f  1  ln 2  . 3 3 1 1 Và f  3  f  3  0  C1  C3  ln . 3 10 1 5 1 1 1 1 1 1 Vậy f  4   f  1  f  4   ln  C1  ln 2   ln 2  ln 2  C2  ln 2  . 3 2 3 3 3 3 3 3 Câu 55: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau f  x   0 , x   , f   x   e x . f 2  x  x   và f  0   1 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành 2 độ x0  ln 2 là A. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . B. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . C. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . D. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . Lời giải Chọn A ln 2 ln 2  1   f  x  f  x  ex    2 Ta có f   x   e . f  x    2 d x  e x dx      f  x f  x  0  0  f  x  x  ln 2  ex  2 ln 2 0 0 1 1 1   1  f  ln 2   . 3 f  ln 2  f  0  2 2 1 Từ đó ta có f   ln 2   e f  ln 2   2.     . 9 3 2 1 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y    x  ln 2    2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . 9 3 ln 2 2 Câu 56: (SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  1;1 và thỏa mãn f  x  1 , x 1 2 f  3  f  3  0 và  1 f    2 1 f    2 . Tính giá trị của biểu thức 2 P  f  0  f  4 . 3 A. P  ln  2 . 5 3 B. P  1  ln . 5 1 3 C. P  1  ln . 2 5 1 3 D. P  ln . 2 5 Lời giải Chọn C Ta có  f   x  dx   x 1 1 1  1 1  dx   dx      dx 1 2  x 1 x 1   x  1 x  1 2  1 x 1  2 ln x  1  C1 , x  1 1   ln x  1  ln x  1   C   . 1 1  x 2  ln  C2 , x  1  2 x  1 1 1 f  3  ln 2  C1 ; f  3   ln 2  C1 , do đó f  3  f  3  0  C1  0 . 2 2 1  1 1 1  1 1 f     ln 3  C2 ; f     ln 3  C2 , do đó f     f    2  C2  1 . 2  2 2 2  2 2 f  0   C2  1 ; f  4   1 3 1 3 ln . Do đó f  0   f  4   1  ln . 2 5 2 5 Câu 57: (SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;    và x2  f  t  dt  x.sin  x  . Tính f  4  0 A. f      4 . B. f     2 . C. f     4 D. f    . 1 . 2 Lời giải Chọn B Ta có  f  t  dt  F  t   F   t   f  t  x2 Khi đó  x2 f  t  dt  x.sin  x   F  t  0  x.sin   x   F  x 2   F  0   x.sin  x  0  F   x 2  .2 x  sin  x    x.cos  x   f  x 2  .2 x  sin  x    x.cos   x   f  4   2 . Câu 58: (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Biết diện tích hình phẳng giới bởi các 1    đường y  sin x , y  cos x , x  0, x  a ( với a   ;  là 3  4 2  3 . Hỏi số a 2 4 2 thuộc khoảng nào sau đây? 7   51 11   11 3   51  A.  ,1 . B.  ,  . C.  ;  . D.  1,  .  10   50 10   10 2   50  Lời giải Chọn B        Ta có: sin x  cos x với x  0;  , sin x  cos x với x   ,   4 4 2    Diện tích hình phẳng giới bởi các đường y  sin x , y  cos x , x  0, x  a với a   ;  là 4 2  a a 4 S   sin x  cos x dx = 0  sin x  cos x dx + sin x  cos x dx = 0 4  a 4   cos x  sin x  dx +   sin x  cos x  dx  0 4  4 S 0  a a   4      2 cos  x   dx +  2 sin  x   dx = 2 sin  x    2 cos  x   4 4 4 0 4      4 4 S 3  4 2  3 2  a 4           S  2 sin  x    2 cos  x    2  sin  sin   2  cos  x    cos 0  4 0 4 2 4 4       4  2      3  4 2  3   S  2  1    2  cos  a    1  2 2  1  2 cos  a    2 2  4  4       1 3      51 11   cos  a     a    a   1, 047  a   ,  . 4 2 2 4 12 3   50 10  Câu 59: (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho f  x   x    trên   ;  và 2 cos x  2 2    F  x  là một nguyên hàm của xf   x  thỏa mãn F  0   0 . Biết a    ;  thỏa mãn  2 2 tan a  3 . Tính F  a   10a 2  3a . 1 A.  ln10 . 2 1 B.  ln10 . 4 C. 1 ln10 . 2 D. ln10 . Lời giải Chọn C Ta có: F  x    xf   x  dx   xd f  x   xf  x    f  x  dx Ta lại có: x  f  x  dx   cos 2 dx =  xd  tan x   x tan x   tan xdx  x tan x   sin x dx cos x x 1  x tan x   d  cos x   x tan x  ln cos x  C  F  x   xf  x   x tan x  ln cos x  C cos x Lại có: F  0   0  C  0 , do đó: F  x   xf  x   x tan x  ln cos x .  F  a   af  a   a tan a  ln cos a a  a 1  tan 2 a   10a và cos 2 a 1 1 1 .  1  tan 2 a  10  cos 2 a   cos a  2 cos a 10 10 Khi đó f  a   Vậy F  a   10a 2  3a  10a 2  3a  ln 1 1  10a 2  3a  ln10 . 2 10 1 e  nx dx với n   . 1  e x 0 Câu 60: (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho I n   Đặt un  1.  I1  I 2   2  I 2  I 3   3  I 3  I 4   …  n  I n  I n1   n . Biết lim un  L . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. L   1;0  . B. L   2; 1 . C. L   0;1 . D. L  1; 2  . Lời giải Chọn A e  e nx .e x e nx  nx d x  d x  e d x  dx   e  nx dx  I n x x x    1 e 1 e 1 e 0 0 0 0 0 1  n 1 x 1 1 1 1 Với n   , I n1   1  I n 1   e  nx dx  I n  I n 1  I n  0 1 1  e n   n Do đó un  1  e 1   1  e 2   1  e3   …  1  e  n   n  un  e 1  e2  e3  …  e  n 1 Ta thấy un là tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân lùi vô hạn với u1  e 1 và q  , nên e lim un   e 1 1  L   1; 0  . L 1 e  1 1 e Câu 61: (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang – Lần 3 năm 2017 – 2018) Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm , chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. A. 240 cm 3 . B. 240 cm 3 . C. 120 cm 3 . Lời giải Chọn A D. 120 cm 3 . z h A S(x) y α O x α B C x Đặt R  6 ( cm ), h  10 ( cm ). Gán hệ trục tọa độ như hình vẽ. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm x ( 6  x  6 ) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là S  x  . Ta thấy thiết diện đó là một tam giác vuông, giả sử là tam giác ABC vuông tại B như trong hình vẽ. Ta có S  x   S ABC 1 1 1 h 5  36  x  AB.BC  BC 2 tan    R 2  x 2   6 2 2 2 R 6 Vậy thể tích lượng nước trong cốc là V  6  S  x  dx   6 5  36  x 2  6 6 2 . dx  240 ( cm 3 ). Câu 62: (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang – Lần 3 năm 2017 – 2018) Cho hàm số f liên tục, f  x   1 , f  0   0 và thỏa f   x  x 2  1  2 x f  x   1 . Tính f A. 0 . B. 3 . C. 7 . Lời giải  3 . D. 9 . Chọn B Ta có f   x  x 2  1  2 x f  x   1  f  x 3   f  x 1 0 f  3 dx   3  1   0 2x x2  1 dx  f 0  1  1  f f  x f  x 1 f  x 1 3 0  2x x2  1 3  x2  1  0 f  x 1 3 1 0  3  1  2  f  3   3 . Câu 63: (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang – Lần 3 năm 2017 – 2018) Cho hàm số f liên tục trên đoạn  6;5 , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị 5 I   f  x   2  dx . 6 y 4 6 A. I  2  35 . B. I  2  34 . 3 O 1 5 x C. I  2  33 . Lời giải D. I  2  32 . Chọn D 1 khi  6  x  2 2 x  2  f  x   1  4  x 2 khi  2  x  2 2 1  x khi 2  x  5 3  3 Ta có . 5 I 5   f  x   2 dx  6 2 2 5  6 f  x  dx  2  dx 6 5 1 1  2    x  2  dx   1  4  x 2 dx    x   dx  22 2 3 3  6  2 2   2 5 x 1  1   x 2  2 x   J   x 2    22  J  28 . 32 4  6 3 2 Tính J   1   4  x 2 dx 2 Đặt x  2 sin t  dx  2 cos tdt . Đổi cận: Khi x  2 thì t   2 J  2   2 ; khi x  2 thì t    2 2  2 . 1  4  x 2 dx  4  4  cos2 tdt  4  2  1  cos 2t  dt  4  2 . Vậy I  32  2 .    2  2 Câu 64: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   1  x  1  x trên tập  và thỏa mãn F 1  3 . Tính tổng F  0   F  2   F  3 . A. 8 . B. 12 . C. 14 . D. 10 . Câu 65: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   1  x  1  x trên tập  và thỏa mãn F 1  3 . Tính tổng F  0   F  2   F  3 . A. 8 . B. 12 . Chọn C Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối: C. 14 . Lời giải D. 10 . x   0  |  1 x  |  0  f  x 2 | 2x | 2 2 f  x  dx  F  2   F 1  F  2   3 mà  1 1 1  f  x  dx  F 1  F  0  3  F  0  mà  f  x  dx   2 xdx  x 0 0 2 1 0  1 nên F  0   2 . 0 0 0 0  f  x  dx  F  0   F  1  2  F  1 mà  f  x  dx   2 xdx  x 1 1 1  2 f  x  dx   2dx  2 nên F  2   5 . 1 1    1  1 1 x 2 Ta có: 1  3  3  1 nên F  1  3 . 1 1 f  x  dx  F  1  F  3  3  F  3 mà 2 0 1 1 f  x  dx   2dx  4 nên F  3  7 . 3 Vậy F  0   F  2   F  3  2  5  7  14 . Câu 66: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc – Lần 4 năm 2017 – 2018)Cho hàm số f  x  liên tục trên  1 x2 f  x  dx  1. Tính I   f  x  dx. f  tan x  dx  3 và  2 x 1 0 0 1 4  thỏa mãn  0 B. I  6 . A. I  2 . C. I  3 . Lời giải D. I  4 . Chọn D  4 Ta có K  1  f  tan x  dx  3 . Đặt tan x  t  dt  d tan x  cos 0 1 Vậy K   2 x dx   t 2  1 dx . 1 f t . 0 1 1 dt   f  x  . 2 dx  3 . 2 t 1 x 1 0 1 1 1 x2 f  x  1 1   Lại có  2 dx    f  x   2 f  x   dx   f  x  dx   2 f  x  dx . x 1 x 1 x 1  0 0 0 0 1 1 Vậy suy ra I   f  x  dx  4 . 0 Câu 67: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc – Lần 4 năm 2017 – 2018)Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v1  t   7t  m/ s  . Đi được 5s , người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a  70 S đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn. A. S  96, 25  m  . B. S  87,5  m  . C. S  94  m  .  m/ s  . Tính quãng đường 2 D. S  95, 7  m  . Lời giải Chọn A Chọn gốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu đi. Sau 5s ô tô đạt vận tốc là v  5   35  m/s  . Sau khi phanh vận tốc ô tô là v  t   35  70  t  5 . Ô tô dừng tại thời điểm t  5, 5s . 5,5 5 Quãng đường ô tô đi được là S  7tdt   0  35  70  t  5 dt  96, 25  m  . 5 Câu 68: (THPT Kim Liên – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho  H  là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởi các đường có phương trình y 10 x  x2 , 3 khi x  1  x . Diện tích của  H  bằng? y  x  2 khi x  1 y 1 O 2 3 x 1 A. 11 . 6 B. 13 . 2 11 . 2 Lời giải C. D. 14 . 3 Chọn B Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y   x và y  x  2 là  x  x  2  x  1 . Diện tích hình phẳng cần tính là 1 3  10   10  S    x  x 2  x  dx    x  x 2  x  2  dx . 3 3   0 1 1 3 1 3  13  7   S    x  x 2  dx    x  x 2  2  dx 3 3   0 1  13  7   S    x  x 2  dx    x  x 2  2  dx 3 3   0 1  13 x3   S   x2   3 6 1 3 7  x3 13   x2   2 x   . 3 6 1 2 0 Câu 69: (THPT Kim Liên – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho hàm số f  x  xác định trên khoảng  0;    e thỏa mãn f   x   1 1 , f  2   ln 6 và f  e 2   3 . Giá trị của x  ln x  1 e  1 biểu thức f    f  e3  bằng e A. 3ln 2  1. C. 3  ln 2  1 . B. 2ln 2. D. ln 2  3. Lời giải Chọn C Ta có f  x    f   x  dx   ln ln x  1  C1  f  x   ln ln x  1  C2 1 1 dx   d  ln x   ln ln x  1  C x  ln x  1 ln x  1 khi 0  x  e khi x  e . 1 1 Do f  2   ln 6  ln ln 2  1  C1  ln 6  ln 3  C1  ln 6  C1  ln 2 e e  Đồng thời f  e2   3  ln ln e 2  1  C2  3  C2  3 1 1 Khi đó: f    f  e3   ln ln  1  ln 2  ln ln e3  1  3  3  ln 2  1 . e e Câu 70: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh – Lần 2 năm 2017 – 2018)Có bao nhiêu giá trị nguyên 2 dương n thỏa mãn  1  n 2  2 x  3 x 2  4 x 3  …  nx n 1  dx  2 ? 0 A. 1. C. 0 . Lời giải B. 2 . D. 3 . Chọn C 2 Ta có:  1  n 2  2 x  3 x 2  4 x3  …  nx n 1  dx  2   x  n 2 x  x 2  x 3  x 4  …  x n  0 2  2 0  2  2n2  22  23  24  …  2n  2  1  2  22  …  2n 1  n2  1  2n  1  n 2  1  2n  n 2  2  0 . Thử với các giá trị n  1; 2;3; 4 đều không thỏa mãn. Với n  , n  5 ta chứng minh 2n  n2  2 1 . Dễ thấy n  5 thì 1 đúng. Giả sử 1 đúng với n  k với k  , k  5 . Khi đó 2k  k 2  2 . 2 Khi đó: 2 k 1  2  k 2  2   k 2  k 2  2  2  k 2  2k  1  2   k  1  2 . Do đó 1 đúng với n  k  1 . Theo nguyên lý quy nạp thì 1 đúng. Vậy không tồn tại số nguyên n . Câu 71: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x , cung tròn có phương trình y  6  x 2   6  x  6 và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng D quanh trục Ox . y  6 A. V  8 6  2 . B. V  8 6  O 6 x 22 22 22 . C. V  8 6  . D. V  4 6  . 3 3 3 Lời giải Chọn D Cách 1. Cung tròn khi quay quanh Ox tạo thành một khối cầu có thể tích 3 4 V   6  8 6 . 3   Thể tích nửa khối cầu là V1  4 6 . x  0 x  6  x2   2  x  2. x  x  6  0 Xét phương trình: Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  x , cung tròn có phương trình y  6  x 2 , và hai đường thẳng x  0, x  2 quanh Ox là 2 V2     6  x 2  x  dx  0 22 . 3 22 . 3 Cách 2. Cung tròn khi quay quanh Ox tạo thành một khối cầu có thể tích 3 4 V1   6  8 6 . 3 x  0 Xét phương trình: x  6  x 2   2  x  2. x  x  6  0 Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là V  V1  V2  4 6    Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  x , cung tròn có phương trình y  6  x 2 và đường thẳng y  0 quanh Ox là 2 6 12   6  x  dx  2  2 V2    xdx   0 2 22 6  28 .   4 6  3 3 22 22   Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là V  V1  V2  8 6   4 6    4 6  3 . 3   Câu 72: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Biết  6   x cos x dx  a  2 1 x  x 2 b  3 với a , b , c , d là các số nguyên. Tính M  a  b  c . c 6 A. M  35 . B. M  41 . C. M  37 . Lời giải D. M  35 . Chọn A   6 Ta có x cos x   0 2 dx  1 x  x  6 0 Xét I  x cos x   2 1 x  x  x cos x 2 1 x  x 6 x cos x dx   1  x2  x 0 dx  I  J 6 dx . Đặt t   x  Cm  ; Đổi cận: x  0  t  0 ; x    Suy ra I    x cos x 2 1 x  x 0 dx    6 6   6 6   6 t   6 . 6 0 Khi đó  6 x cos x 2 1 x  x dx   0 t cos  t  6 2 1   t   t   dt    0  t cos t 2 1 t  t   x cos x 2 1 x  x 6 dx   0 x cos x 1  x2  x dx 6 dt   0  x cos x 1  x2  x dx .   6 6   1 1   x cos x   dx   2 x 2 cos x dx .  2 1  x2  x   1 x  x 0 0 u dv 2x 2 cos x 4x sin x 4  cos x 0  sin x  6   x cos x 2 1 x  x  dx   2 x 2 sin x  4 x cos x  4sin x  6  2  0 2 36   3 3 . 6 Khi đó a  2 ; b  36 ; c  3 . Vậy M  a  b  c  35 . Câu 73: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Thể tích V của khối tròn xoay 2 được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn  C  : x 2   y  3  1 xung quanh trục hoành là A. V  6 . B. V  6 3 . C. V  3 2 . Lời giải D. V  6 2 . Chọn D  C  : x 2   y  3  y  3 2 2 2  1   y  3  1  x 2  y  3  1  x 2 .  1  x 2  0  1  x  1 . Thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn  C  : x 2   y  3 1 2  1 xung quanh trục hoành là 1 2 2 V    3  1  x 2  dx    3  1  x 2  dx  6 2 .     1 1 Câu 74: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Gọi x1 , x2 lần lượt là điểm cực e2 x đại và điểm cực tiểu của hàm số f  x    t ln tdt . Tính S  x  x 1 e A. ln 2e . B. ln 2 . 2 . x C.  ln 2 . Lời giải Chọn C e2 x Đặt g   t   t ln t . Ta có f  x    t ln tdt  g  e   g  e  2x x ex Ta có f   x    e 2 x  .g   e2 x    e x  .g   e x   2e2 x .e 2 x .ln e 2 x  e x .e x .ln e x  4 xe 4 x  xe 2 x  xe 2 x  4e 2 x  1 . x  0 . f  x  0   1  x2   ln 2 x1  x2   ln 2 . D. 0 . Câu 75: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số f  x   0 thỏa 1 mãn điều kiện f   x    2 x  3 f 2  x  và f  0    . Biết rằng tổng 2 a a là phân số tối f 1  f  2   f  3  …  f  2017   f  2018   với  a  , b  *  và b b giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A.  1 . B.  1 . C. a  b  1010 . D. b  a  3029 . b b Lời giải Chọn D f  x  2x  3 Ta có f   x    2 x  3 f 2  x   2 f  x  f  x 1  x 2  3x  C . dx    2 x  3 dx   f  x f  x 1 Vì f  0     C  2 . 2 1 1 1 Vậy f  x    .    x  1 x  2  x  2 x  1 Do đó f 1  f  2   f  3  …  f  2017   f  2018   1 1 1009 .   2020 2 2020 Vậy a  1009 ; b  2020 . Do đó b  a  3029 . Câu 76: (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 , f  x  và f   x  đều nhận giá trị dương trên đoạn 1 1 2 0  f   x  .  f  x   1 dx  20 15 A. . 4 1  0;1 và thỏa mãn f  0  2 , 3 f   x  . f  x  dx . Tính   f  x   dx . 0 15 B. . 2 17 C. . 2 Lời giải D. 19 . 2 Chọn D 1 1 2 Theo giả thiết, ta có   f   x  .  f  x    1 dx  2   0 0 1 f   x  . f  x  dx 1 2    f   x  .  f  x    1 dx  2   0 0 f   x  . f  x  dx  0 1 1 2 2    f   x  .  f  x    2 f   x  . f  x   1 dx  0    f   x  . f  x   1 dx  0     0 0  f   x . f  x   1  0  f 2  x  . f   x   1  f 3  x 8  x  C . Mà f  0   2  C  . 3 3 Vậy f 3  x   3x  8 . 1 1 1  3x 2  19 Vậy   f  x   dx    3x  8 dx    8x   .  2 0 2 0 0 3 Câu 77: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  , biết  1 4  f  tan x  dx  4 và 0  x2 . f  x  x2  1 0 A. 0 . 1 dx  2 . Tính I   f  x  dx . 0 B. 1. C. 2 . Lời giải D. 6 . Chọn D  1 4  f  x  f  x f  x dx . dx  I  2   2 Ta có 2    f  x   2  dx  I   2 x 1  x 1 x 1 0 0 0 1   f  tan t  4 Đặt x  tan t  I  2   2 tan t  1 0 4 d  tan t   2   0 f  tan t  1 . dt 1 cos2 t cos 2 t  4  I  2   f  tan x  dx  2  4  6 . 0 Câu 78: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) 1  2 f  2 x  dx  2 và 0  Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa 2 f  6 x  dx  14 . Tính 0  f  5 x  2  dx . 2 A. 30 . B. 32 . C. 34 . Lời giải D. 36 . Chọn B 1 + Xét  f  2 x  dx  2 . 0 Đặt u  2 x  du  2dx ; x  0  u  0 ; x  1  u  2 . 1 2 Nên 2   f  2 x  dx  0 2 1 f  u  du   f  u  du  4 . 2 0 0 2 + Xét  f  6 x  dx  14 . 0 Đặt v  6 x  dv  6dx ; x  0  v  0 ; x  2  v  12 . 2 12 Nên 14   f  6 x  dx  0 2 + Xét  f  5 x  2  dx  0 2  f  5 x  2  dx   f  5 x  2  dx . 2 2 12 1 f  v  dv   f  v  dv  84 . 6 0 0 0 0 Tính I1   f  5 x  2  dx . 2 Đặt t  5 x  2 . Khi 2  x  0 , t  5 x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . 12 2 2  1 1 1 I1  f  t  dt    f  t  dt   f  t  dt    84  4   16 .  5 0 5 12 0  5 2 Tính I1   f  5 x  2  dx . 0 Đặt t  5 x  2 . Khi 0  x  2 , t  5 x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . 12 2 12  1 1 1 I 2   f  t  dt    f  t  dt   f  t  dt    84  4   16 . 5 0 52 0  5 2  f  5 x  2  dx  32 . Vậy 2 Câu 79: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên đoạn  0;5 và đồ thị hàm số y  f   x  trên đoạn  0;5 được cho như hình bên. y 1 x 3 5 O 5 Tìm mệnh đề đúng A. f  0   f  5  f  3 . B. f  3  f  0   f  5  . C. f  3  f  0   f  5  . D. f  3  f  5  f  0  . Lời giải Chọn C 5 Ta có  f   x  dx  f  5  f  3  0 , do đó f  5  f  3 . 3 3  f   x  dx  f  3  f  0   0 , do đó f  3  f  0  0 5  f   x  dx  f  5  f  0   0 , do đó f  5  f  0  0 Câu 80: (THPT 1  0 x 2 Trần  5x  6  e x x2e x Phú – dx  ae  b  ln Đà Nẵng – Lần 2 – năm 2017 – C. S  5 . Lời giải D. S  9 . Chọn D x 2  5x  6  e x Biết ae  c với a , b , c là các số nguyên và e là cơ số của logarit 3 tự nhiên. Tính S  2a  b  c . A. S  10 . B. S  0 . x  2  x  3 e2 x  dx   dx . Ta có : I   x  2  e x  x  2 ex  1 0 0 Đặt t   x  2  e x  dt   x  3 e x dx . Đổi cận : x  0  t  2 , 1 2018) 1 x  1  t  3e . 3e 3e 3e tdt 1  3e  1  2 t  1  2 1  t  1  dt   t  ln t  1  2  3e  2  ln 3 . Vậy a  3 , b  2 , c  1  S  9 . I Câu 81: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo  4     hàm và liên tục trên 0;  thỏa mãn f    3 ,  4 4  f  x  cos x 4 dx  1 và 0  sin x.tan x. f  x   dx  2 . 0  4 Tích phân  sin x. f   x  dx bằng: 0 A. 4 . B. 23 2 . 2 1 3 2 . 2 Lời giải D. 6 . C. Chọn B  4 u  sin x du  cos xdx Ta có: I   sin x. f   x  dx . Đặt  .  dv  f   x  dx v  f  x  0   4 I  sin x. f  x  04   cos x. f  x  dx  0  3 2  I1 . 2   4   f  x  f  x  2 2   sin x.tan x. f  x   dx   sin 2 x.  dx    1  cos x .  dx . cos x  cos x  0 0  0  4  4    4  f  x    d x   0 cos x. f  x  dx  1  I1 . cos x  0  4  I1  1  I  3 2 3 22 . 1  2 2 Câu 82: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18 m , chiều rộng chân đế 12 m . Người ta căng hai sợi dây trang trí AB , CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng AB nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số bằng CD A B C 18 m D 12 m A. 1 . 2 B. 4 . 5 1 . 2 C. D. 3 3 . 1 2 2 Lời giải Chọn C Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. y 6 x1 x2 O x B C 18m D 18 Phương trình Parabol có dạng y  a.x 2  P  .  P 2 đi qua điểm có tọa độ  6; 18 suy ra: 18  a.  6   a   Từ hình vẽ ta có: 1 1   P  : y   x2 . 2 2 AB x1  . CD x2 1 Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol và đường thẳng AB : y   x12 là 2 x1 x1  1 x3 1   1 2  1  S1  2    x 2    x12   dx  2   .  x12 x   x13 . 2 2    2 3 2 0 3 0  1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng CD y   x22 là 2 x2 x2  1 x3 1   1 2  1  S2  2    x 2    x22   dx  2   .  x22 x   x23 2  2   2 3 2 0 3 0  x 1 AB x1 1 Từ giả thiết suy ra S2  2 S1  x23  2 x13  1  3 . Vậy  3 . x2 CD x2 2 2 Câu 83: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên 1; 2 thỏa mãn f 1  4 và f  x   xf   x   2 x 3  3x 2 . Tính f  2  A. 5 . B. 20 . C. 10 . Lời giải D. 15 . Chọn B Do x  1; 2 nên f  x   xf   x   2 x 3  3 x 2   f  x  x 2  3x  C . x xf   x   f  x   f  x    2 x  3     2x  3 x2  x  Do f 1  4 nên C  0  f  x   x3  3x 2 . Vậy f  2   20 . ln 6 Câu 84: (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018) Biết tích phân ex  1 ex  3 0 b , c là các số nguyên. Tính T  a  b  c . A. T  1 . B. T  0 . C. T  2 . Lời giải dx  a  b ln 2  c ln 3 , với a , D. T  1 . Chọn B Đặt t  e x  3  t 2  e x  3  2tdt  e x dx .  x  ln 6 t  3 Đổi cận  .  x  0 t  2 ln 6 Suy ra  0 3 ex 3 3 2tdt 2   dx    2 dt   2t  2 ln t  1    6  2 ln 4    4  2 ln 3  x 2 1 t 2  1 t  1 e  3 2 a  2   2  4 ln 2  2 ln 3  b  4 . c  2  Vậy T  0 . Câu 85: (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn    ln x . Tính tích phân I  f 2 x 1 f  x  x x A. I  3  2 ln 2 .  f  x  dx . 3 2 2 4 C. I  ln 2 2 . Lời giải B. I  2 ln 2 . D. I  2 ln 2 . Chọn B      4  f 2 x 1 4 f 2 x 1 4 ln x  ln x  dx   f  x  dx    dx   dx .  x  x x x 1 1 1   4 Ta có  1 4 Xét K   1   dx . f 2 x 1 x Đặt 2 x  1  t  x  3 dx t 1   dt . 2 x 3  K   f  t  dt   f  x  dx . 1 1 4 4 4 ln x ln 2 x Xét M   dx   ln xd  ln x    2 ln 2 2 . 2 x 1 1 1 4 Do đó  1 3 4 f  x  dx   f  x  dx  2 ln 2 2   f  x  dx  2 ln 2 2 . 1 3 Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn  16 2 2  cot x. f sin x  dx    1 f  x  dx  1 . Tính tích phân x  f  4x x 1 8 4 A. I  3 . 1 B. I  3 . 2 dx . C. I  2 . D. I  5 . 2 Lời giải Chọn D  16 2 Đặt I1   cot x. f  sin x  dx  1 , I 2   2  f  x  dx  1 . x 1 4 Đặt t  sin 2 x  dt  2sin x.cos xdx  2sin 2 x.cot xdx  2t.cot xdx . x t   4 1 2 2 1  2 1  1 2 I1   cot x. f  sin 2 x  dx   f  t  . 4 1 4 Suy ra  1 8 f I2   1 4 1 4 2 8 8 1 1 f t  1 f  4x 1 f  4x d  4x   dx . dt   dt   2 1 4x 21 x 2t 21 t f 4x dx  2 I1  2 x Đặt t  x  2tdt  dx . x t 16 1  x  dx x 1 4  1 16 4 1 1 1 1 4 f  4x f  4x f t  f t  2tdt  2  dt  2 d  4 x   2 dx . 2 4x x t t 1 1 1 4 1 Suy ra  f 4x 1 4 x dx  4 1 1 I2  2 2 Khi đó, ta có: 1  1 8 1 4 1 f  4x f  4x f  4x 1 5 dx   dx   dx  2   . x x x 2 2 1 1 8 4  4 Câu 2: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho  sin 2 x ln  tan x  1 dx  a  b ln 2  c với a , b , c là 0 các số hữu tỉ. Tính T  A. T  2 . 1 1  c. a b B. T  4 . C. T  6 . Lời giải D. T  4 . Chọn B   4 14 Ta có  sin 2 x ln  tan x  1 dx    ln  tan x  1 d  cos 2 x  20 0   1   cos 2 x ln  tan x  1 2 4  0 14 cos 2 xd ln  tan x  1  2 0   1 4 cos 2 x  sin 2 x 1 1 1 1  . 2 dx cos 2 x . . d x 2   20 tan x  1 cos x 2 0 sin x  cos x cos x cos x 4   1  sin x  1 1   dx  x  2 0  cos x  2     4 4  0 14 1 d  cos x  2 0 cos x   1  ln cos x 8 2 4 1 1    ln 2  T  8  4  0  4 . 8 4 0 x2 Câu 3: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Cho hàm số g  x   1  ln t dt với x  0 . Đạo hàm của x g  x  là A. g   x   x 1 . ln x B. g   x   1 x . ln x C. g   x   1 . ln x D. g   x   ln x . Lời giải Chọn A Giả sử F  t  là một nguyên hàm của hàm số Khi đó F   t   1 1 hay F   x   . ln t ln x x2 Ta có g  x   1 . ln t 1  ln t dt  F  x   F  x  . 2 x 1 1 x 1  Suy ra g   x   F  x 2   F  x   F   x 2   F   x   . .2 x   2 ln x ln x ln x    v x    Chú ý: ta có công thức  f  t  dt   v  x  . f v  x    u   x  . f u  x    u x    Câu 4: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  1 và nửa trên của đường tròn x 2  y 2  1 bằng? A.  4  1 . 2 B.  1 2 . C. Lời giải Chọn A  x  1 khi x  1 y  x 1   . 1  x khi x  1  2 1 . D.  4 1 . x 2  y 2  1  y   1  x 2 do chỉ tính nửa trên của đường tròn nên ta lấy y  1  x 2 . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  1 và nửa trên của đường tròn x 2  y 2  1 là phần tô màu vàng như hình vẽ. Cách 1: Diện tích hình phẳng trên là: 1 1  1 1 S  . R 2  .1.1   ( diện tích hình tròn – diện tích tam giác vuông cân) 4 2 4 2 4 Cách 2: Diện tích hình phẳng trên là: 1 1 1 1  x2  1 2 2   S   1  x  1  x  dx   1  x dx    x  1 dx  I1    x   I1  .   2  2 0 0 0 0 1 Tính I1   1  x 2 dx . 0    Đặt x  sin t , t    ;  ; dx  cos t.dt .  2 2 Đổi cận x  0  t  0 ; x  1  t  1  2 .     2 2 2 2 1  cos 2t dt 2 0 I1   1  x 2 dx   1  sin 2 t .cos t.dt   cos t cos t.dt   cos 2 t.dt   0 0 0 0  1  sin 2t  2   t    . 2 2 0 4 Vậy S   1  . 4 2  2 Câu 5: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Giá trị của tích phân  max sin x;cos x dx bằng 0 A. 0 . B. 1 . C. 2. D. 1 . 2 Lời giải Chọn C    Ta có phương trình sin x  cos x  0 có một nghiệm trên đoạn 0;  là x  . 4  2 Bảng xét dấu x 0 sin x  cos x Suy ra   4 2 0     2 4 2     max sin x;cos x dx   cos xdx   sin xdx   sin x  04   cos x  2  2 . 0 0  4 4 Câu 6: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  1 thỏa mãn f  x  1 , x 1 f  0   2017 ,, f  2   2018 . Tính S   f  3  2018   f  1  2017  . B. S  1  ln 2 2 . A. S  1 . C. S  2 ln 2 . Lời giải D. S  ln 2 2 . Chọn D Ta có f  x    ln  x  1  C1 khi x  1 1 . dx  ln x  1  C   x 1 ln 1  x   C2 khi x  1 Lại có f  0   2017  ln 1  0   C2  2017  C2  2017 . f  2   2018 ln  2  1  C1  2018  C1  2018 . Do đó S   ln  3  1  2018  2018 ln 1   1   2017  2017   ln 2 2 . Câu 7: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Biết e  1 3  ln x a b c , trong đó a , b , c là các số nguyên dương và c  4 . Tính giá trị dx  x 3 S  abc. A. S  13 . B. S  28 . C. S  25 . Lời giải D. S  16 . Chọn C Đặt t  3  ln x  2tdt  dx . x Đổi : Với x  1  t  3 ; x  e  t  2 . e I  1 2 3  ln x 2 2 16  6 3 . dx  2  t 2 dt  t 3  x 3 3 3 3  a  16 , b  6 , c  3  S  a  b  c  25 . e Câu 8: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho I   x ln xdx  1 với a , b , c   . Tính T  a  b  c . A. 5 . B. 3 . Chọn D C. 4 . Lời giải D. 6 . a.e 2  b c 1  du  dx  u  ln x  x Ta có:  nên  . 2 dv  xdx v  x  2 e e e x2 1 e2  1 ln x   xdx  . I   x ln xdx  2 21 4 1 1 a  1   b  1 . c  4  Vậy T  a  b  c  6 . Câu 9: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu 1m . Một ô tô A đang chạy với vận tốc 16 m/s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức v A  t   16  4t (đơn vị tính bằng m/s ), thời gian tính bằng giây. Hỏi rằng để có 2 ô tô A và B đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là bao nhiêu? A. 33 . B. 12 . C. 31 . D. 32 . Lời giải Chọn A Ta có: v A  0   16 m/s . Khi xe A dừng hẳn: v A  t   0  t  4s . 4 Quãng đường từ lúc xe A hãm phanh đến lúc dừng hẳn là s   16  4t  dt  32 m . 0 Do các xe phải cách nhau tối thiểu 1m để đảm bảo an toàn nên khi dừng lại ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là 33m . Câu 10: (THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho f ( x) là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn f  x   f   x   2  2 cos 2 x . Tính tích phân I  3 2  A. I  3 . B. I  4 . C. I  6 . Lời giải  f  x  dx . 3 2 D. I  8 . Chọn C 3 2 Ta có I   3 2 0  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . 3 2  3 2 0 0 Xét 3 3  f  x  dx Đặt t   x  dt  dx ; Đổi cận: x   2  t  2 ; 3  2 0 Suy ra  0 3 2 3 2  f  x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f   x  dx . 3 2 3 2 0 0 x  0  t  0. Theo giả thiết ta 3 2 f  x   f   x   2  2 cos 2 x    f  x   f   x   dx   0 3 2 3 2 0 0 3 2 0 2  2 cos xdx 0 3 2  f  x  dx   f   x  dx  2   có: 3 2 sin x dx 0 3 2   f  x  dx   f  x  dx  2 sin x dx  2  sin x dx  0  3 2 0 0 3 2 Câu 11:    f  x  dx  6 .(THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Gọi S 3 2 2 là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn  ekx dx  1 hợp S bằng. A. 7 . B. 8 . 2018.e k  2018 . Số phần tử của tập k C. Vô số. Lời giải D. 6 . Chọn A 2 2 e2k  ek 1  Ta có:  e dx   ekx   . k  k 1 1 kx 2 kx  e dx  1 2018.e k  2018 e2 k  e k 2018.e k  2018   k k k  e k  ek  1  2018  e k  1 (do k nguyên dương).   ek  1 e k  2018   0  1  e k  2018  0  k  ln 2018  7.6 . Do k nguyên dương nên ta chọn được k  S (với S  1; 2;3; 4;5; 6;7 ). Suy ra số phần tử của S là 7 . Câu 12: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên 1;   thỏa mãn f 1  1 và f   x   3x 2  2 x  5 trên 1;   . Tìm số nguyên dương lớn nhất m sao cho min f  x   m với mọi hàm số y  f  x  thỏa điều kiện đề bài. x3;10 B. m  20 . A. m  15 . C. m  25 . Lời giải Chọn C Ta có: f   x   3x 2  2 x  5 trên 1;   Do 3x 2  2 x  5  0 , x  1;   nên f   x   0 , x  1;   . Do đó hàm số f  x  đồng biến trên 1;   . Suy ra min f  x   f  3 . x3;10 Ta lại có: 3  1 3 3 f   x  dx    3x 2  2 x  5 dx  f  x  1   x3  x 2  5 x  1 3 1 D. m  30 .  f  3  f 1  24  f  3  25 Vậy min f  x   25 . Hay m  25 . x3;10  Câu 13: (SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Một vật đang chuyển động với vận tốc v  20  m/s  thì thay đổi vận tốc với gia tốc được tính theo thời gian t là a  t   4  2t  m/s 2  . Tính quãng đường vật đi được kể từ thời điểm thay đổi gia tốc đến lúc vật đạt vận tốc bé nhất 104 104 A. B. 104 m . C. 208 m . D. m. m. 3 6 Hướng dẫn giải Chọn A Vận tốc của vật khi thay đổi là v  t     4  2t  dt  t 2  4t  C . Tại thời điểm t  0 (khi vật bắt đầu thay đổi vận tốc) có v0  20  C  20 Suy ra v  t   t 2  4t  20 . 2 Có v  t    t  2   16  16 , suy ra vận tốc của vật đạt bé nhất khi t  2 Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó là 2 2 2 104 1  S   v  t  dt    t  4t  20  dt   t 3  2t 2  20t   m . 3 3 0 0 0 2  2 Câu 14: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho   cos x  0 a , b là các số hữu tỉ, c  0 . Tính tổng S  a  b  c . A. S  3 . B. S  0 . C. S  1 . Lời giải Chọn D Đặt t  cos x  dt   sin xdx .  Đổi cận: x  0  t  1 ; x   t  0 2 Ta có: sin x 2 4 dx  a ln  b , với c  5cos x  6 D. S  4 .  2 sin x 0 1 1  t 3 1  1 0  cos x 2  5cos x  6 dx  1 t 2  5t  6 dt  0  t  3  t  2  dt  ln t  2 4  a ln  b . c a  1  Do đó:  c  3 . b  0  Vậy S  a  b  c  4 . 1  ln 2  ln 0 3 4  ln 2 3 Câu 15: (THPT Chu Văn An – Hà Nội – năm 2017-2018) Xét hàm số f  x  liên tục trên  0;1 và thỏa 1 mãn điều kiện 4 x. f  x   3 f 1  x   1  x . Tích phân I   f  x  dx bằng: 2 2 0 A. I   4 B. I  .  6 C. I  .  20 . D. I   16 . Lời giải Chọn C Vì f  x  liên tục trên  0;1 và 4 x. f  x 2   3 f 1  x   1  x 2 nên ta có 1 1 1 1 1 2 2 2 2  4 x. f  x   3 f 1  x  dx   1  x dx   4 x. f  x  dx   3 f 1  x  dx   1  x dx 1 . 0 0 1 0 1 0 0 1 2 tx Mà  4 x. f  x 2  dx  2 f  x 2  d  x 2    2 f  t  dt  2I 0 0 1 0 1 1 u 1 x  3 f  u  du  3I và  3 f 1  x  dx  3 f 1  x  d 1  x   0 Đồng thời 0 0   1 2 2  x sin t  1  x 2 dx  0 Do đó, 1  2 I  3I  0  4 hay I   12  1  sin 2 t .cos tdt   cos 2 tdt   1  cos 2t  dt  . 20 4 0  20 . Câu 16: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – năm 2017-2018) Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  ln  x  1 , đường thẳng y  1 và trục tung (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của  H  bằng A. e  2 . B. e  1 . C. 1. Hướng dẫn giải D. ln 2 . Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số y  ln  x  1 và đường thẳng y  1 là ln  x  1  1  x  e  1 . e 1 Diện tích của  H  là S   ln  x  1 dx . 0 1  e 1 dx e 1 u  ln  x  1 du  Đặt   x  1 . Khi đó S   x  1 ln  x  1 0   dx  e   e  1  1 . dv  dx 0 v  x  1 – Quảng Bình – năm 2017-2018) Biết Câu 17: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp 2 dx 1 x x  2   x  2  x  a  b  c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính P  a  b  c . A. P  2 . B. P  8 . C. P  46 . Hướng dẫn giải D. P  22 . Chọn B Ta có  2 1   x2 x 2 2 dx dx   dx 1 1 x x  2   x  2 x 2 x x2 x x2 x2 x   2 2 1 1     d x  x  x  2  2  3 3.  1 1 2 x 2 x2  Vậy a  2 ; b  3 ; c  3 nên P  a  b  c  8 . Câu 18: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  .   Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y  f   x  trên đoạn  2;1 và 1; 4 lần lượt bằng 9 và 12 . Cho f 1  3 . Giá trị biểu thức f  2   f  4  bằng B. 9 . A. 21 C. 3 . Hướng dẫn giải D. 2 . Chọn C 1 Theo giả thiết ta có  4 f   x  dx  9 và  f   x  dx  12 . 2 1 1 Dựa vào đồ thị ta có: 1  f   x  dx    f   x  dx   f  x  2 1 2   f  1  f  2  2   f 1  f  2   9 . Tương tự ta có  f  4   f 1  12 . Như vậy   f 1  f  2      f  4   f 1   3  f  2   f  4   2 f 1  3  f  2   f  4   6  3  f  2   f  4   3 . Câu 19: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – năm 2017-2018) Biết hàm số f  x   f  2 x  có đạo hàm bằng 5 tại x  1 và đạo hàm 7 tại x  2 . Tính đạo hàm của hàm số f  x   f  4 x  tại x  1. A. 8 . B. 12 . C. 16 . Hướng dẫn giải Chọn D D. 19 . Có  f  x   f  2 x    f   x   2 f   2 x   f  1  2 f   2   5  f  1  2 f   2   5   f  1  4 f   4   19.   f   2   2 f   4   7 2 f   2   4 f   4   14 Vậy f  1  f   4   19. Câu 20: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên 1 tục trên  thỏa mãn f  2 x   3 f  x  , x   . Biết rằng  f  x  dx  1 . Giá trị của tích phân 0 2 I   f  x  dx bằng bao nhiêu? 1 A. I  5 . B. I  3 . C. I  8 . Hướng dẫn giải D. I  2 . Chọn A 2 Xét tích phân J   f  x  dx , đặt x  2t  dx  2dt . 0 Với x  2  t  1 , x  0  t  0 . 1 1 1 1 1 Ta có J   f  2t  2dt  2 f  2t  dt  2 3 f  t  dt  6 f  t  dt  6 f  x  dx  6 . 0 0 0 2 0 1 0 2 Mặt khác, ta có J   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx 0 2 2 0 1 1 1  I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  J   f  x  dx  5 . 1 0 0 0 2  1 1 1  a 3 x 3  2  dx  3 c , với  2 8 11  1   x x x  b  Câu 21: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 – năm 2017-2018) Biết a, b, c nguyên dương, A. S  51 . a tối giản và c  a . Tính S  a  b  c b B. S  67 . C. S  39 . Lời giải D. S  75 . Chọn C 2 2  1  2 1 1 1  Ta có   3 x  2  2 3 8  11  dx   3 x  2 1  3  dx .   x  x  x x x  1 1 1 1 2  Đặt t  3 x  2  t 3  x  2  3t 2dt   1  3  dx . x x  x  3 2 7 3 7 4 4  3 21 3 1 1 1  Khi đó:   3 x  2  2 3 8  11  dx   3t 3dt  t 4  14 . 4 0 32 x x x  0 1 Vậy S  67 . Câu 22: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 – năm 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình tròn x2 chia hình tròn thành hai phần. Gọi S1 là diện tích phần 2 S nhỏ, S 2 là diện tích phần lớn. Tính tỉ số 1 ? S2  C  : x2  y 2  8 và parabol  P  ; y  A. S1 3  2 .  S 2 9  2 B. S1 3  2 .  S 2 9  2 C. S1 3  2 .  S 2 9  2 D. S1 3  1 .  S 2 9  1 Lời giải Chọn A  x 2  y 2  8 1  Giao điểm của  P  và  C  là nghiệm của hệ phương trình  x2 y   2   2 Thay  2 vào 1 ta được: x 2   x2  4 x4  8  x 4  4 x 2  32  0   2  x  2 4  x  8  L  Phần nhỏ giới hạn bởi các đường y  x2 ; y  8  x 2 ; x  2 ; x  2 nên ta có: 2 2 2 2  x2  x2 S1    8  x 2   dx   8  x 2 dx   dx 2 2 2  2 2          A 2 Tính A   B  8  x 2 dx 2 Đặt x  2 2 sin t  dx  2 2 cos tdt .   Đổi cận: x  2  t   ; x  2  t  . 4 4 A   4 4   4 2 B   4  1 4 8  8sin t .2 2 cos tdt  8  cos tdt  4  1  cos 2t  dt  4  t  sin 2t   2  4 .  2       2 2 4 4 4 2 x 8 dx  . 2 3 2  4 4  S2   R 2  S1  6  . 3 3 S 3  2 Vậy 1  . S 2 9  2  S1  2  Câu 23: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 – năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm tại mọi x   0;   đồng thời thỏa mãn điều kiện: f  x   x  sin x  f ‘  x    cos x 3 2  f  x  sin xdx  4. Khi đó, f   nằm trong khoảng nào?  2 A.  6; 7  . B.  5; 6  . C. 12;13 . Lời giải Chọn B Ta có: D. 11;12  . và f  x   x  sin x  f   x    cos x f  x   xf   x  sin x cos x   2 x2 x x  f  x    1 f  x 1    cos x  c    cos x   x x   x  x  f  x   cos x  cx  Khi đó: 3 2 3 2  f  x  sin xdx  4    cos x  cx  sin xdx  4  2 2 3 2  3 2  cos x sin xdx  c  x sin xdx  4  0  c  2   4  c  2  2 2  f  x   cos x  2 x  f    2  1   5; 6  . Câu 24: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh – năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm 2 liên tục trên  và thỏa mãn f  2   1 , 0  f  2 x  4  dx  1. Tính  xf   x  dx . 1 A. I  1 . B. I  0 . 2 C. I  4 . Hướng dẫn giải D. I  4 . Chọn B Đặt t  2 x  4  dt  2dx , đổi cận x  1  t  2 , x  2  t  0 . 2 0 1   f  2 x  4  dx  1 0 0 1 f  t  dt   f  t  dt  2   f  x  dx  2 . 2 2 2 2 Đặt u  x  du  dx , dv  f   x  dx  v  f  x  . 0 Vậy 0 0  xf   x  dx  xf  x  2   f  x  dx  2 f  2   2  2.1  2  0 . 2 2 Câu 25: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh – năm 2017-2018) Tính diện tích hình phẳng giới han bởi các đường y  x 2  2 và y   x A. 13 . 3 B. 7 . 3 C. 3 . D. 11 . 3 Hướng dẫn giải Chọn B 2 Phương trình hoành độ giao điểm x 2  2   x  x  x  2  0  x  1  x  1 . Diện tích hình phẳng là: 1 S  x 2  2  x dx  1 0 2   x  2  x  dx  2 2   x  2  x  dx    x  2  x  dx 1 1 0 1 1  x3  x3 7 7 7 x2  x2     2x      2x       . 2  1  3 2 0 6 6 3  3 1 0 1 Câu 26: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An – năm 2017-2018) Cho  f  2 x  1 dx  12 và 0  3 2    f sin 2 x sin 2 xdx  3 . Tính 0  f  x  dx . 0 A. 26 . B. 22 . C. 27 . D. 15 . Lời giải Chọn C 3 Đặt 2 x  1  t  12   1 Ta có 3   2 2   0 3 3 1  t 1  1 f t  d     f  t  dt   f  x  dx   f  x  dx  24 . 21  2  21 1    2    f sin 2 x sin 2 xdx   f sin 2 x .2sin x cos xdx   2sin x. f sin 2 x d  sin x  0 0  1 2    1    f sin x d sin x   f  u  du   f  x  dx  3 2 2 0 0 3 1 0 3   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3  24  27 . 0 0 1 Câu 27: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An – năm 2017-2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn y    2  x 2 và đường thẳng d đi qua hai điểm A  2;0 và B 1;1 ( phần tô đậm như hình vẽ) A.  2 2 4 . B. 3  2 2 . 4 C.  2 2 4 . D. 3  2 2 . 4 Lời giải Chọn D    Ta có d đi qua B 1;1 có VTCP u  AB  1  2;1 ( VTPT là n  1;1  2    Suy phương trình tổng quát của d : 1 x  1  1  2 y 1 x 2 1 2 1 2 Từ hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm là     y  1  0   x  1  2  y  2 0 1 1 1   1 1 2  2  2 2  2  x  x  d x 2  x d x  x     dx  A  B     1 2 1 2  1 2 1  2   2  2  2 1  1 x2 1  1 2 1 2 2  Ta có B    x d x   x     2 2 1 2  1 2 2 1 2   2  2 1 S 1 Xét tích phân A   2  x 2 dx  2 Đặt x  2 sin t  dx  2 cos tdt ; Đổi cận: x   2  t     4 4  2 . x 1 t   4 .  3 1  1  4 Khi đó A   2cos 2 tdt   1  cos 2t  dt   t  sin 2t     2 4 2        2 2 2 3 1 1 2 3  2 2 Vậy S  .     4 2 2 2 4 Câu 28: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An – năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên đoạn  3;3 . Biết rằng diện tích hình phẳng S1 , S 2 giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  và đường thẳng y   x  1 lần lượt là M , m . Tính tích phân 3  f  x  dx bằng 3 A. 6  m  M . B. 6  m  M . C. M  m  6 . D. m  M  6 . Lời giải Chọn D 1 Ta có M  S1  1 1    x  1  f  x   dx     x  1 dx   3 3 3 1 1  x2  f  x  dx     x     f  x  dx .  2  3 3 3 3 3 3 3  x2  m  S 2    f  x   x  1 dx   f  x  dx    x  1 dx   f  x  dx    x    f  x  dx  6 .  2 1 1 1 1 1 1 3 1 3 3 1  S1  S 2    f  x  dx   f  x  dx  6  M  m  6    f  x  dx   f  x  dx  3 1 1  3  3  M  m  6   f  x  dx  3 3  f  x  dx  m  M  6 3 Câu 29: Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng y  8 x , y  x và đồ thị hàm số y  x 3 là phân số tối giản a . Khi đó a  b bằng b A. 62 . B. 67 . C. 33 . D. 66 . Câu 30: Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng y  8 x , y  x và đồ thị hàm số y  x 3 là phân số tối giản A. 62 . a . Khi đó a  b bằng b B. 67 . C. 33 . D. 66 . Lời giải Chọn B -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 y 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -1 -2 -3 -4 x 1 2 3 4 5 Ta có x  0 loại x  2 2 x3  8 x    x  2 2 x  0 loại x  1 x3  x    x  1 2 2 Suy ra S   0 2 2 1 2 4 8x  x dx    x  x  dx   82x  x4   0 0 3 3 1  x2 x4  1 63      16   4 4  2 4 0 Khi đó a  b  67 . Câu 31: Cho H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol y  3 2 x và đường Elip có phương trình 2 x2  y 2  1 (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của  H  bằng 4 A. 2  3 . 6 B. 2 . 3 C.  3 4 . D. 3 . 4 Lời giải Chọn A x2 x2 .  y2  1  y   1 4 4 Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong nửa trên của Elip và Parabol là Ta có  x2  1  x  1 x2 3 2 4 2 1  x  3x  x  4  0   2 .  4 x   x 1 4 2   3 Suy ra diện tích hình phẳng  H  cần tính là 1 1  1 3 x2 3 2 . S H     1   x  dx   4  x 2 dx    2 3 4 2  1 1   1 Xét I  4  x 2 dx , đặt x  2sin t ta được  1 1 I 2    6 6 6   6   3  sin 2t  6 . 4  4sin 2 t 2 cos t dt   2 cos 2 t dt   1  cos 2t  dt   t      2  3 2      Do đó S H   6  3  6 6 3 3 2  3 .   2 3 6 1  x2 3 2 Chú ý: Ta có thể bấm máy S H     1   x  dx rồi so sánh kết quả với các phương   4 2 1   án. 1 1  a 2 ln 2  bc ln 3  c  Câu 32: Cho  x  ln  x  2   với a , b , c   . Tính T  a  b  c . d x  x  2  4  0 A. T  13 . Chọn A 1  du   u  ln  x  2   x2 Đặt  .  2 dv  xdx v  x  4  2 B. T  15 . C. T  17 . Lời giải D. T  11 . 1 1 1 1 1  x2  4 x2 x  x ln x  2  d x  ln  x  2    dx   dx   0   x  2 2 2 x2 0 0 0 1 1  3 1  x2  ln 3  2 ln 2    2 x    x  2 ln  x  2   0 2 2 2 0 a  4 3 3 14 ln 3  16 ln 2  7  . Suy ra: b  2 .  ln 3  2 ln 2   1  2  ln 3  ln 2   2 4 4 c  7  Vậy T  a  b  c  13 . π 4 Câu 33: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và 3 f   x   2 f  x   tan 2 x . Tính  f  x  dx  A. 1  π . 2 π  1. 2 B. C. 1  Câu 34: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x  .  f  x   1 trình f  x    có bao nhiêu nghiệm? e A. 0 . B. 1 . 2018 π 4 π . 4 D. 2  π . 2  x.e x với mọi x   và f 1  1 . Hỏi phương C. 3 . D. 2 . m Câu 35: Có bao nhiêu giá trị của tham số m trong khoảng  0;6  thỏa mãn sin x 1  5  4 cos x dx  2 ? 0 A. 6 . B. 12 . C. 8 . D. 4 . π 4 Câu 36: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và 3 f   x   2 f  x   tan 2 x . Tính  f  x  dx  A. 1  π . 2 π  1. 2 B. C. 1  π . 4 π 4 D. 2  π . 2 Lời giải Chọn D  π 4 Cách 1 : Ta có    2 π  2 π π π  π  1  4  1 d x  tan x  x   1    2    π  1   cos2 x   2 4  4 4  4 tan 2 xdx  π 4 4 π 4  3 f   x   2 f  x  dx .  π 4 Đặt t   x  dt  dx , đổi cận x   π 4 π 4 π π π π t  , x t  . 4 4 4 4 π 4  3 f   x   2 f  x  dx   3 f  t   2 f  t  dt   3 f  x   2 f   x  dx  π 4  π 4  π 4 π 4 Suy ra, π 4 π 4 π 4 π π  f  x  dx   f   x  dx  2  2   3 f  x   2 f  x  dx  2  2   f  x  dx  π 4  π 4  π 4  π 4 π 4 Vậy π  f  x  dx  2  2  π 4 Cách 2: ( Trắc nghiệm) Chọn f  x   f   x   tan 2 x (Thỏa mãn giả thiết). π 4 Khi đó π 4 π 4  1  f  x  dx   tan x dx    cos 2 2  π 4  π 4  π 4    1 dx  2  x  2 2018 Câu 37: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x  .  f  x    x.e x với mọi x   và f 1  1 . Hỏi phương 1 trình f  x    có bao nhiêu nghiệm? e A. 0 . B. 1 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn D Ta có:   f   x  .  f  x  2018 dx   x.e x dx    f  x   2018 df  x    x  1 .e x  C 2019 2019 1 .  f  x     x  1 .e x  C   f  x    2019  x  1 .e x  2019C . 2019 2019 Do f 1  1 nên 2019C  1 hay  f  x    2019  x  1 .e x  1 . 2019 1 1 1 Ta có: f  x      f  x     2019  2019  x  1 .e x  1  2019  0 . e e e 1 Xét hàm số g  x   2019  x  1 .e x  1  2019 trên  . e 1 g   x   2019 x.e x , g   x   0  x  0 , g  0   2019  1  2019  0 , lim g  x    , x  e 1 lim g  x   1  2019  0 . x  e Bảng biến thiên của hàm số: Do đó phương trình f  x    1 có đúng 2 nghiệm. e m Câu 38: Có bao nhiêu giá trị của tham số m trong khoảng  0;6  thỏa mãn sin x 0 A. 6 . B. 12 . C. 8 . Lời giải 1  5  4 cos x dx  2 ? D. 4 . Chọn A m Ta có m 1 sin x 1  dx    d  cos x  2 0 5  4 cos x 5  4 cos x 0 m 1 1 1   d  5  4 cos x    ln 5  4 cos x 4 0 5  4 cos x 4 m 1 1   ln  5  4 cos x  2 4 m Mà 5  4 cos x  5  4  0   ln . 0 0 1 5  4 cos m   ln 4 9 5  4 cos m 5  4 cos m 9e 2  5  2   e2  cos m  9 9 4  m   arccos 9e 2  5  k 2  k    . 4  k  0 9e 2  5    arccos 4  k 2   0;6    k  1   k  2 Theo đề bài m   0; 6    . k  1  2   arccos 9e  5  k 2  0;6   k  2     4   k  3 Với mỗi giá trị k trong hai trường hợp trên ta được một giá trị m thỏa mãn. Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn bài toán. 1 Câu 39: Biết rằng  2 a   2 ln   với a , b là các số nguyên dương. Giá trị của a  b x  4x  3  1 b  dx  2 0 bằng A. 3 . B. 5 . 1 Câu 40: Biết rằng C. 9 . D. 7 .  2 a   2 ln   với a , b là các số nguyên dương. Giá trị của a  b 1  b x2  4 x  3   dx  0 bằng A. 3 . B. 5 . C. 9 . Lời giải Chọn B 1 Ta có  0 dx 2 x  4x  3 1  0 dx  x  1 x  3 Đặt t  x  3  x  1 1 1 1   dt     dx  dt  2 x3 x 1  1  x 1  x  3    2   x  1 x  3    D. 7 . 1  dt   2   2dt  dx   t  x  1 x  3  dx t  x  1 x  3 . Khi x  0 thì t  1  3 ; khi x  1 thì t  2  2 . 1  0 2 2 dx 2 2 x  4x  3  1 3 dt  2 ln t t 2 2 1 3  2 ln a  2 2 2   a  b  5. 1 3 b  3 Câu 41: Cho M , N là các số thực, xét hàm số f  x   M .sin πx  N .cos πx thỏa mãn f 1  3 và 1 2 1  f  x  dx   π . Giá trị của 0 A. 5π 2 . 2 1 f    bằng 4 B.  5π 2 . 2 C.  π 2 . 2 D. π 2 . 2 Câu 42: Cho M , N là các số thực, xét hàm số f  x   M .sin πx  N .cos πx thỏa mãn f 1  3 và 1 2 1  f  x  dx   π . Giá trị của 0 A. 5π 2 . 2 1 f    bằng 4 B.  5π 2 . 2 C.  π 2 . 2 D. π 2 . 2 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có f 1  3  M .sin π  N .cos π  3  N  3 . 1 2 Mặt khác 1 2 1 1  f  x  dx   π    M .sin πx  3.cos πx  dx   π 0 0 1 2 3 1 3 M 1  M     cos πx  sin πx          M  2. π π π π π  π 0  1  5π 2 Vậy f  x   2sin πx  3cos πx nên f   x   2π cos πx  3π sin πx  f     . 2 4 Câu 43: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  và đồ thị của f   x  trên đoạn  2;6 như hình bên dưới. Khẳng định nào dưới đây đúng? y 3 (C): y = f(x) 1 2 x 1 O 2 6 A. f  2   f  1  f  2   f  6  . B. f  2   f  2   f  1  f  6  . C. f  2   f  2   f  1  f  6  . D. f  6   f  2   f  2   f  1 . a a là phân số dx  x  cos 4 x  C , với a , b là các số nguyên dương, b b tối giản và C   . Giá trị của a  b bằng A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . Câu 44: Biết   sin 2 x  cos 2 x  2 Câu 45: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  và đồ thị của f   x  trên đoạn  2;6 như hình bên dưới. Khẳng định nào dưới đây đúng? y 3 (C): y = f(x) 1 2 1 O x 2 6 A. f  2   f  1  f  2   f  6  . B. f  2   f  2   f  1  f  6  . C. f  2   f  2   f  1  f  6  . D. f  6   f  2   f  2   f  1 . Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị của hàm f   x  trên đoạn  2;6 ta suy ra bảng biến thiên của hàm số f  x  trên đoạn  2;6 như sau: x 2 f  x 0 f  x 1  0 6 2 0   f  1 f 6 f  2  f  2  f  2   f  1  Dựa vào bảng biến thiên ta có  f  2   f  1 nên A, D sai.   f  2  f  6 y 3 (C): y = f(x) 1 x S1 2 1 O S2 2 6 Chỉ cần so sánh f  2  và f  2  nữa là xong. Gọi S1 , S2 là diện tích hình phẳng được tô đậm như trên hình vẽ. Ta có: 1 S1   1 f   x  dx  2 2 S2    f   x  dx  f  1  f  2  . 2 2 f   x  dx    f   x  dx  f  1  f  2  . 1 1 Dựa vào đồ thị ta thấy S1  S2 nên f  1  f  2   f  1  f  2   f  2   f  2  . a a là phân số dx  x  cos 4 x  C , với a , b là các số nguyên dương, b b tối giản và C   . Giá trị của a  b bằng A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn A 1 2 Ta có   sin 2 x  cos 2 x  dx   1  2sin 2 x cos 2 x  dx   1  sin 4 x  dx  x  cos 4 x  C . 4 a  1 a 2 Mà   sin 2 x  cos 2 x  dx  x  cos 4 x  C nên   a  b  5. b b  4 Câu 46: Biết   sin 2 x  cos 2 x  2 1 Câu 47: Cho y  f  x  là hàm số chẵn và liên tục trên . Biết  0 f  x dx bằng x 1 2 A. 1. 2 f  x  dx  1 f  x  dx  1 . Giá trị của 2 1 2 3 B. 6 . C. 4 . D. 3 . 1 Câu 48: Cho y  f  x  là hàm số chẵn và liên tục trên . Biết  2 f  x  dx  0 f  x dx bằng x 1 2 A. 1. 1 f  x  dx  1 . Giá trị của 2 1 2 3 B. 6 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn D Cách 1: Sử dụng tính chất của hàm số chẵn a a f  x dx   f  x  dx , với f  x  là hàm số chẵn và liên tục trên   a; a  . Ta có:  x b 1 a 0 Áp dụng ta có: 2 2 1 2 f  x  3x  1 dx  0 f  x  dx  0 f  x  dx  1 f  x  dx  1  2  3 2 1 Cách 2: Do 1 2 f  x  dx   0 1 1 f  x  dx  1   f  x  dx 1 và 2 1 0 2 2  f  x  dx  2 1 2   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3 . 0 1 0 f  x Mặt khác  x dx  3 1 2 2 2 f  x f  x 2 3x  1 dx  0 3x  1 dx và y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên  0  f   x   f  x  x   . 0 Xét I  f  x dx . Đặt t   x  dx  dt x 1 3 2 0 f  x f  t  Suy ra I   x dx     t dt = 3 1 3 1 2 2 0 2  0 2 t 3 f t  f  t  dt = dt =  t 1 3 1 0  1 3t 3x f  x  0 3x  1 dx 2 2 x 2 2 3 f  x f  x f  x f  x 2 3x  1 dx  0 3x  1 dx  0 3x  1 dx  0 3x  1 dx  f  x  x dx  3 1 2 0 2 2  0 3 x  1 f  x  3x  1 dx  2  f  x  dx  3 . 0 Câu 49: Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x và nửa đường tròn có phương trình y  4 x  x 2 (với 0  x  4 ) (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của  H  bằng A. 4  15 3 . 24 3 Câu 50: Biết B. 8  9 3 . 6 dx  1 x  1 C. 10  9 3 . 6 D. 10  15 3 . 6 1  a 3  b 2  c  ln 3 2  3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Tính 2 1  x2   P  abc . A. P  1 . 2 B. P  1. 1 2 C. P   . D. P  5 . 2 Câu 51: Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x và nửa đường tròn có phương trình y  4 x  x 2 (với 0  x  4 ) (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của  H  bằng y x 2 O 4  15 3 . 24 A. B. 8  9 3 . 6 4 10  9 3 . 6 Lời giải C. D. 10  15 3 . 6 Chọn B x  0 . 4x  x 2  x  x 2  3 x  0   x  3 Ta có 3 Vậy diện tích hình phẳng  H  là S   0  3  3 4 x  x 2  x dx   4 x  x 2 dx   xdx 0 0 3 2   4   x  2  dx  2 3 . 0     Đặt x  2  2sin t , t   ;   dx  2 cos tdt  2 2 Khi x  0  t    2 ; x  3 t   6 .   6 Suy ra S  6 2 1  sin 2 t .2 cos tdt  2 3     2 1  cos 2t  dt  2  2 3 2    2t  sin 2t  6  2 3 .  3 Câu 52: Biết 2 dx 1  a 3  b 2  c  ln 3 2  3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Tính 2 1 x  1 x   2 1  P  abc . 1 . 2 A. P  1 2 C. P   . B. P  1. D. P  5 . 2 Lời giải Chọn C 3 Ta có dx  1 x  1  1  x2 3   1 1 3 1 ln 3  I 2 2 3 Xét I   1 x 1  x 2 dx 2 x2 Đặt t  1  x 2  tdt  xdx 1  x   1  x 2 dx 2x 3 1  1   ln x  x   2 1 2 3  1 x 1  x 2 dx . 2×2 2 t 2 dt 1 1  t  I 2 2  2 2 2  t  1 2 1   1  1 t 1  1   t  1  t  1  dt   2 t  2 ln t  1 2 2  2  1 1 1 1 2 1  2  2  ln  ln  2 2 3 2 2  1  1 1 1 2  2  ln 3  ln  2 2 2 2  2 1 2  1    2  2  ln 3  ln  2   1 3 1 1   ln 3   2  2  ln 3  ln 2 2 1  x2 2 1 1 1 3 1  3 2   ln 3 2  3 2 2 2 2 1 Vậy P  a  b  c   . 2 Vậy dx  1 x    2 1     2 1    Câu 53: Hàm số f  x  xác định, liên tục trên  và có đạo hàm là f   x   x  1 . Biết rằng f  0   3 . Tính f  2   f  4  ? A. 10 . B. 12 . C. 4 . D. 11. Câu 54: Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v0  15 m / s thì tăng tốc với gia tốc a  t   t 2  4t  m / s 2  . Quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là A. 68, 25 m . B. 67, 25 m . C. 69, 75 m . D. 70, 25 m . Câu 55: Cho hàm số y  x  3x  m có đồ thị  Cm  , với m là tham số thực. Giả sử  Cm  cắt trục Ox 4 2 tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ Gọi S1 , S 2 , S3 là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Giá trị của m để S1  S3  S 2 là 5 A.  . 2 B. 5 . 4 5 C.  . 4 D. 5 . 2 Câu 56: Hàm số f  x  xác định, liên tục trên  và có đạo hàm là f   x   x  1 . Biết rằng f  0   3 . Tính f  2   f  4  ? A. 10 . B. 12 . C. 4 . Lời giải D. 11. Chọn B khi x  1  x 1 Ta có f   x    .   x  1 khi x  1 x2 Khi x  1 thì f  x     x  1 dx   x  C1 . 2  x2  Khi x  1 thì f  x      x  1 dx     x   C2 .  2   x2  Theo đề bài ta có f  0   3 nên C2  3  f  x      x   3 khi x  1 .  2  Mặt khác do hàm số f  x  liên tục tại x  1 nên   x2  x 2     lim f  x   lim f  x   f 1  lim     x   3  lim   x   C1  x 1 x 1 x 1   x 1  2    2  1 1      1  3   1  C1  C1  4 . 2 2  Vậy khi x  1 thì f  x   x2  x  4  f  2   f  4   12 . 2 Câu 57: Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v0  15 m / s thì tăng tốc với gia tốc a  t   t 2  4t  m / s 2  . Quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là A. 68, 25m . B. 67, 25 m . C. 69, 75 m . D. 70, 25 m . Lời giải Chọn C t3  2t 2  C . 3 Theo giả thiết v0  15 m / s  C  15 . Quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là Ta có v  t     t 2  4t  dt  3 3  t3   t4 2  S     2t 2  15  dt    t 3  15t   69, 75 . 3   12 3 0 0 Câu 58: Cho hàm số y  x 4  3x 2  m có đồ thị  Cm  , với m là tham số thực. Giả sử  Cm  cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ Gọi S1 , S2 , S3 là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Giá trị của m để S1  S3  S 2 là A.  5 . 2 B. 5 . 4 C.  5 . 4 D. 5 . 2 Lời giải Chọn B Gọi x1 là nghiệm dương lớn nhất của phương trình x 4  3x 2  m  0 , ta có m   x14  3×12 1 . x1 Vì S1  S3  S 2 và S1  S3 nên S2  2 S3 hay  f  x  dx  0 . 0 x1 Mà  0 x1 x1  x4   x5  x5 f  x  dx    x  3x  m  dx    x 3  mx   1  x13  mx1  x1  1  x12  m  . 5  5   5 0 0 4 2  x4  x4 Do đó, x1  1  x12  m   0  1  x12  m  0 5  5  Từ 1 và  2  , ta có phương trình Vậy m   x14  3 x12   2  . (vì x1  0 ) x14 5  x12  x14  3×12  0  4 x14  10 x12  0  x12  . 2 5 5 . 4 Câu 59: Ba Tí muốn làm cửa sắt được thiết kế như hình bên. Vòm cổng có hình dạng là một parabol. Giá 1m 2 cửa sắt là 660.000 đồng. Cửa sắt có giá (nghìn đồng) là: A. 6500 . Câu 60: Cho hàm số   5 x    ;  4 4 B. 55 3 .10 . 6 C. 5600 . y  f  x  liên tục trên đoạn D. 6050 .  0;      thỏa mãn 2 f   x   tan x ,     2       , f  0   0 , f    1 . Tỉ số giữa f   và f   bằng:  2  3  4 11  ln 2  A. 2  log 2 e  1 . B. 2 . C. . D. 2 1  log 2 e  . 2  ln 2 Câu 61: Ba Tí muốn làm cửa sắt được thiết kế như hình bên. Vòm cổng có hình dạng là một parabol. Giá 1m 2 cửa sắt là 660.000 đồng. Cửa sắt có giá (nghìn đồng) là: A. 6500 . B. 55 3 .10 . 6 C. 5600 . D. 6050 . Hướng dẫn giải Chọn D Từ hình vẽ ta chia cửa rào sắt thành 2 phần như sau: Khi đó S  S1  S2  S1  5.1,5  S1  7,5 Để tính S1 ta vận dụng kiến thức diện tích hình phẳng của tích phân. Gắn hệ trục Oxy trong đó O trùng với trung điểm AB , OB  Ox, OC  Oy , Theo đề bài ta có đường cong có dạng hình Parabol. Giả sử  P  : y  ax 2  bx  c   5  5  25 2 a bc 0  A   2 ;0    P    a  4 2     25  5   5 2 1  25 Khi đó:  B  ;0    P    a  b  c  0  b  0   P  : y   x2  2 25 2  2  4  1 1   1  c  2  C  0,    P  c  2    2 2,5 1 10 55  2 Diện tích S2  2    x 2   dx  m2   S  m2  .   25 2 6 6 0  Vậy giá tiền cửa sắt là: 55 x 660.000  6.050.000 (đồng). 6 Câu 62: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  0;     f   x   tan x ,  thỏa mãn 2   5      2    x    ;    , f  0   0 , f    1 . Tỉ số giữa f   và f   bằng:  4 4  2  3  4 11  ln 2  A. 2  log 2 e  1 . B. 2 . C. . D. 2 1  log 2 e  . 2  ln 2 Hướng dẫn giải Chọn A   ln cos x  C1 Ta có f  x    tan x dx   ln cos x  C    ln   cos x   C 2  khi 0  x  khi  2  2 .  x  f  0   0  C1  0 và f    1  C2  1 .   ln cos x Khi đó f  x     ln   cos x   1   2 Suy ra f   3 khi 0  x   2 .  khi  x  2    1    ln 2  1 và f    ln 2 .  4 2 Vậy tỉ số cần tìm là 2  log 2 e  1 x  m2 (với m là tham số khác 0 ) có đồ thị là  C  . Gọi S là diện tích hình x 1 phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  và hai trục tọa độ. Có bao nhiêu giá trị thực của m thỏa mãn Câu 63: Cho hàm số y  S  1? A. Không. Câu 64: Cho hàm số B. Một. C. Ba. f  x  liên tục trên  và với x   0; 2018 ta có 2018 f  x  . f  2018  x   1 . Giá trị của tích phân I   0 A. 2018 . B. 0 . D. Hai. f  x   0 và 1 dx là 1 f  x C. 1009 . D. 4016 . x  m2 (với m là tham số khác 0 ) có đồ thị là  C  . Gọi S là diện tích hình x 1 phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  và hai trục tọa độ. Có bao nhiêu giá trị thực của m thỏa mãn Câu 65: Cho hàm số y  S  1? A. Không. B. Một. C. Ba. Hướng dẫn giải Chọn D x  0  y   m 2  0 (do m  0 ). y  0  x  m2  0 . D. Hai. m2 Vậy S   0 x  m2 dx  x 1 m2  0 1  m2 1 dx  x 1 m2  1  m2  2 0  x  1  1 dx  1  m  ln x  1  x   m2 0  1  m 2  ln  m 2  1  m 2   Để S  1 thì 1  m 2  ln  m 2  1  m 2  1  1  m 2  ln  m 2  1  1  0 .  ln  m 2  1  1  m 2  1  e  m   e  1 Câu 66: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và với x   0; 2018 ta có 2018 f  x  . f  2018  x   1 . Giá trị của tích phân I   0 A. 2018 . B. 0 . f  x   0 và 1 dx là 1 f  x C. 1009 . Hướng dẫn giải D. 4016 . Chọn C 2018 Xét tích phân I   0 1 dx 1 . 1 f  x Đặt x  2018  t , ta có dx  dt . Khi x  0  t  2018 và khi x  2018  t  0 . 2018 Khi đó I   0 1 dt  1  f  2018  t  2018  0 1 dx . 1  f  2018  x  Mà f  x  . f  2018  x   1 nên f  2018  x   2018 Suy ra I   0 1 dx  1  f  2018  x  2018  0 f  x dx  2  . 1 f  x 2018 Từ 1 và  2  ta có 2 I   dx hay I  0 1 . f  x 1 2 2018  dx  1009 . 0  f   x  . f  x   2  f   x   2  xf 3  x   0   Câu 67: Cho hàm số y  f  x  , x  0 , thỏa mãn  . Tính f 1 .  f   0   0; f  0   1 2 3 6 7 A. . B. . C. . D. . 3 2 7 6 e2 Câu 68: Biết 1  ae 2  be+c  1  d x  , trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của   2 e  ln x ln x  2 a 2  b 2  c 2 bằng A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 9 .  f   x  . f  x   2  f   x   2  xf 3  x   0   Câu 69: Cho hàm số y  f  x  , x  0 , thỏa mãn  . Tính f 1 .  f   0   0; f  0   1 2 3 6 7 A. . B. . C. . D. . 3 2 7 6 Lời giải Chọn C 2 Ta có: f   x  . f  x   2  f   x    xf 3  x  0  f   x  . f  x   2  f   x   f 3  x 2  x  f   x    2   x  f  x  f  x x2  2   C f  x 2 f  0 02  2   C  C  0. f  0 2 f  x x2   f 2  x 2 Do đó 1  0 1 f  x x2 d x   0 2 dx f 2  x 1 1  x3  1     f  x 0  6  0  1 1 1   f 1 f  0  6  f 1  6 . 7 e2 Câu 70: Biết 1  ae 2  be+c  1  d x  , trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của e  ln 2 x ln x  2 a 2  b 2  c 2 bằng A. 5 . B. 3 . C. 4 . Lời giải D. 9 . Chọn A e2 Xét tích phân: 1  ln x dx . e Đặt u  1 1  ; du   dx . dv  dx chọn v  x . ln x x ln 2 x e2 e2 e2 e2 1  e 2  2e 1 x 1  1 Khi đó  . d x  dx    2 dx    2   ln x ln x  2 ln x ln x e e ln x e  e a  1  Do đó b  2 . c  0  Vậy a 2  b 2  c 2  5 Câu 71: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  x 2  4 x  3 3  tuyến kẻ từ điểm A  ; 3  đến đồ thị  P  . Giá trị của S bằng 2   P và các tiếp A. 9 . B. 9 . 8 C. 9 . 4 D. 9 . 2 Câu 72: Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x 2  4 x và trục hoành. Hai đường thẳng y  m và y  n chia  H  thành 3 phần có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ). 3 3 Giá trị biểu thức T   4  m    4  n  bằng A. T  320 . 9 B. T  75 . 2 C. T  Câu 73: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f   512 . 15 x 1 x 1 D. T  450 .  dx  2  x 1  3 x5   C . Nguyên hàm của hàm số f  2 x  trên tập   là: A. x3 C. 2  x2  4 B. a b Câu 74: Biết rằng  1 2 x3 C . x2  4 dx  x  6x  5 Tổng a  b bằng A. 5 . B. 7 . 4  6 C. 2x  3 C. 4  x 2  1 D. 2x  3 C. 8  x 2  1 trong đó a , b là các số nguyên dương và 4  a  b  5 . C. 4 . D. 6 . Câu 75: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  x 2  4 x  3 3  tuyến kẻ từ điểm A  ; 3  đến đồ thị  P  . Giá trị của S bằng 2   9 9 A. 9 . B. . C. . 8 4 Hướng dẫn giải Chọn C D. 9 . 2 P và các tiếp y O x 1 A 2 3   Giả sử  là đường thẳng đi qua A  ; 3  và có hệ số góc k , khi đó  : y  k  x    3 . 3 2   Để đường thẳng  là tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  x 2  4 x  3 thì hệ phương trình 2 x  4  k   2 3  x  4x  3  k  x  2   3    1  2 có nghiệm x  0 3  Thay (1) vào (2) ta được x 2  4 x  3   2 x  4   x    3  x 2  3x  0   . 2  x  3 Với x  0 thì k  4 , khi đó phương trình tiếp tuyến là y  4 x  3 . Với x  3 thì k  2 , khi đó phương trình tiếp tuyến là y  2 x  9 . Diện thích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  x 2  4 x  3 và hai tiếp tuyến y  4 x  3 và y  2 x  6 là 3 2 3 2 3 3 S    x  4 x  3  4 x  3 dx    x  4 x  3  2 x  6  dx   x dx    x 2  6 x  9  dx 2 2 3 2 0 x3  3 3 2 0  x  3  3 3 3  3 2 2 0 3 2 9 . 4 Câu 76: Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x 2  4 x và trục hoành. Hai đường thẳng y  m và y  n chia  H  thành 3 phần có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ). 3 3 Giá trị biểu thức T   4  m    4  n  bằng A. T  320 . 9 B. T  75 . 2 512 . 15 Hướng dẫn giải D. T  450 . C. T  Chọn A Sử dụng công thức: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  ax 2  bx  c và trục hoành bằng S  3 , với a  0 và   b 2  4ac  0 . 2 6a x  0 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành  x 2  4 x  0   . x  4 4 Diện tích hình  H  là S     x 2  4 x  dx  0 32 . 3 Từ đó, diện tích S1 giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x 2  4 x và đường thẳng y  m là 3 16  4m  1 13 S1    S. 6a 6 3 diện tích S2 giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x 2  4 x và đường thẳng y  n là 32 S2   6a    Từ đó     16  4n  6 3  2 S. 3 2  1  64  3 4  m      43  3   6  2 3 16  4n  64  4  n 3  1  128    43  3   6 9 320 3 3 Suy ra T   4  m    4  n   . 9 16  4m  3 32  9 f Câu 77: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn   x 1 x 1  dx  2  x 1  3 x5   C . Nguyên hàm của hàm số f  2 x  trên tập  là:  x3 C. 2  x2  4 A. B. x3 C . x2  4 C. 2x  3 C. 4  x 2  1 D. 2x  3 C. 8  x 2  1 Hướng dẫn giải Chọn D Theo đề ra ta có: f   x 1 x 1  dx  2   x5  C  2   f   x 1 d  x 1  2   x 1  3  2  C . x 1  4 2  t  3 t 3  C   f  t  dt  2  C . 2 t 4 t 4  2x  3 1 1  2x  3 f  2 x  dx   f  2 x  d  2 x     C C 1   8×2  8 2 2   2 x 2  4  Hay 2 f  t  dt  Suy ra x 1  3 a b Câu 78: Biết rằng 1  dx  2  x  6x  5 Tổng a  b bằng A. 5 . B. 7 . 4 trong đó a , b là các số nguyên dương và 4  a  b  5 . 6 C. 4 . Hướng dẫn giải D. 6 . Chọn D a b Ta có  4 a b 1 dx  2 x  6x  5 1  4   x  3 4 2 dx .    Đặt x  3  2sin t , t    ;  , dx  2 cos tdt .  2 2 Đổi cận x  4  t  m    6 , x  a  b  t  arcsin m 2 cos t 2 4  4sin t m  6 6 dt   dt  t   m   6 a  b 3  m. 2 . 6 Theo đề ta có m      arcsin 6 6 Do đó a  3 , b  3 , a  b  6 . a  b 3  a  b 3 3     a  b  3  3. 2 3 2 2 5 Câu 79: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và  f  x  dx  4 , f  5  3 , f  2   2 . Tính 2 2 I   x 3 f   x 2  1 dx 1 A. 3 . B. 4 . C. 1. D. 6 . 5 Câu 80: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và  f  x  dx  4 , f  5  3 , f  2   2 . Tính 2 2 I   x 3 f   x 2  1 dx 1 A. 3 . B. 4 . C. 1. Lời giải D. 6 . Chọn A Đặt t  x 2  1  dt  2 xdx . 5 x  1  t  2 ; x  2  t  5 . Khi đó I  1  t  1 f   t  dt . 2 2 Đặt u  t  1  du  dt ; dv  f   t  dt , chọn v  f  t  . 5 5 1 1 1 I   t  1 f  t    f  t  dt   4 f  5   f  2    2  3 . 2 2 22 2 3 Câu 81: Biết  x ln  x 2  16  dx  a ln 5  b ln 2  0 thức T  a  b  c . A. T  2 . B. T  16 . c trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu 2 C. T  2 . D. T  16 . Câu 82: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y  0 , y  x , y  x  2 . A. 8 . 3 B. 16 . 3 C. 10 . Câu 83: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1 2 D. 8 . 2   y  1  z 2  11 và hai đường thẳng x  5 y 1 z 1 x 1 y z ,  d2  :     . Viết phương trình tất cả các mặt phẳng tiếp 1 1 2 1 2 1 xúc với mặt cầu  S  đồng thời song song với hai đường thẳng  d1  ,  d 2  .  d1  : A.   : 3 x  y  z  15  0 . B.   : 3 x  y  z  7  0 . C.   : 3 x  y  z  7  0 . D.   : 3 x  y  z  7  0 hoặc   : 3 x  y  z  15  0 . 1 Câu 84: Cho f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên  thỏa mãn  f  x  dx  2018 và g  x  là hàm số liên 0 1 tục trên  thỏa mãn g  x   g   x   1 x   . Tính tích phân  f  x  g  x  dx 1 A. I  2018 . B. I  1009 . 2 C. I  4036 . D. I  1008 . 1 1 ; f 0  và x  x2 3 f  3  f  3  0 . Tính giá trị biểu thức T  f  4   f  1  f  4  . Câu 85: Cho hàm số f  x  xác định trên  2;1 thỏa mãn f   x   A. 1 1 ln 2  . 3 3 1 Câu 86: Biết  0 xdx 2 B. ln 80  1 .  5x  4 B. T  26 . 3  x ln  x 2 1  4 1 8 ln    ln 2  1 . D. ln    1 . 3 5 3 5 a a với a , b là các số nguyên dương và phân thức tối giản. Tính giá trị của b b biểu thức T  a 2  b 2 . A. T  13 . T  34 . Câu 87: Biết C. 2  16  dx  a ln 5  b ln 2  0 thức T  a  b  c . A. T  2 . C. T  29 . D. c trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu 2 B. T  16 . Chọn B 2x  du  x 2  16 dx u  ln  x 2  16  Đặt   . 2 dv  xdx v  x  16  2 C. T  2 . Lời giải D. T  16 . 3 3 2  x ln  x  16  dx  Ta có: 0 3 3 x 2  16 x2 x 2  16 ln  x 2  16   ln  x 2  16    x dx  2 2 2 0 0 0 3 0 25 9 9 ln 25  8ln16   25ln 5  32 ln 2  . Do đó a  25, b  32, c  9  T  16 . 2 2 2 Câu 88: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi  các đường y  0 , y  x , y  x  2 . A. 8 . 3 B. 16 . 3 C. 10 . D. 8 . Lời giải Chọn B 0  x  x  0  Ta có: 0  x  2  x  2   x  x2 x  4 Dựa vào hoành độ giao điểm của ba đường ta có diện tích hình phẳng gồm hai phần. Phần thứ nhất giới hạn bởi y  x , y  0 và x  0; x  2 . Phần thứ hai giới hạn bởi y  x , y  x  2 và x  2; x  4 . Thể tích vật thể bằng: 2 V  0   x 2 4 2 2 2 4  2  dx     x  2   x dx    xdx    x   x  2  dx 2 0 2 4 2  x 2  x  2 3  x2 16 .         2 0 2 3 3  2 Câu 89: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1 2 2   y  1  z 2  11 và hai đường thẳng x  5 y 1 z 1 x 1 y z ,  d2  :     . Viết phương trình tất cả các mặt phẳng tiếp 1 1 2 1 2 1 xúc với mặt cầu  S  đồng thời song song với hai đường thẳng  d1  ,  d 2  .  d1  : A.   : 3 x  y  z  15  0 . B.   : 3 x  y  z  7  0 . C.   : 3 x  y  z  7  0 . D.   : 3 x  y  z  7  0 hoặc   : 3 x  y  z  15  0 . Lời giải Chọn D Mặt phẳng   song song với hai đường thẳng  d1  ,    n  ud2 , ud1    3;  1;  1 do đó   : 3 x  y  z  d  0 .  d2  nên có vectơ pháp tuyến Mặt khác:   tiếp xúc với mặt cầu  S  tâm I 1;  1;0  , bán kính R  11 nên: 4d  4  d  11 d  7 .  11    11  4  d  11  d  15 Vậy có 2 mặt phẳng thoả yêu cầu bài toán là:   : 3 x  y  z  7  0 hoặc d  I ,     R  3 x  y  z  15  0 .   : 1 Câu 90: Cho f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên  thỏa mãn  f  x  dx  2018 và g  x  là hàm số liên 0 1 tục trên  thỏa mãn g  x   g   x   1 x   . Tính tích phân  f  x  g  x  dx 1 A. I  2018 . B. I  1009 . 2 C. I  4036 . D. I  1008 . Lời giải Chọn A 1 Ta có I   1 f  x  g  x  dx  1 1 2I    f  x  g   x  dx . 1 1 1 f  x  g  x  dx   f  x  g   x  dx  1 1 1 f  x  g  x   g   x   dx   1 1  1 f  x  dx  2 f  x  dx . 0 1 Vậy  f  x  g  x  dx  2018 . 1 1 1 ; f 0  và 3 x  x2 f  3  f  3  0 . Tính giá trị biểu thức T  f  4   f  1  f  4  . Câu 91: Cho hàm số f  x  xác định trên  2;1 thỏa mãn f   x   A. 1 1 ln 2  . 3 3 B. ln 80  1 . C. 1  4 1 8 ln    ln 2  1 . D. ln    1 . 3 5 3 5 Lời giải Chọn A Ta có f  x  1 1 1 1     .  x  1 x  2 3  x  1 x  2  3 I  f  3  f  4    4 1 x 1 f   x  dx  ln 3 x2 0 1 x 1 J  f  0   f  1   f   x  dx  ln 3 x2 1 4 1 x 1 K  f  4   f  3   f   x dx  ln 3 x2 3 4 3 0 1 3 4 2 1 8  ln . 3 5 2   ln 2 . 3 1 5  ln . 3 4  I  J  K  f  4   f  3  f  1  f  0   f  3  f  4    f  4   f  1  f  4    f  0    f  3  f  3  . f  4   f  1  f  4    I  J  K  f  0    f  3  f  3  . 1 8 2 1 5 1 1 1 T  f  4   f  1  f  4    ln  ln 2  ln   ln 2  3 5 3 3 4 3 3 3 1  Câu 92: Biết 0 xdx 5×2  4  a a với a , b là các số nguyên dương và phân thức tối giản. Tính giá trị của b b biểu thức T  a 2  b 2 . A. T  13 . T  34 . B. T  26 . C. T  29 . D. Lời giải Chọn B Xét  2 1 d 5x  4 1    5x 2  4  C . 2 2 10 5 5x  4 5x  4 xdx 1 Suy ra xdx  5×2  4 0 1  1 1 a 5×2  4   . 5 5 b 0 Do đó T  a 2  b 2  26 . 9 Câu 93: Cho f  x  liên tục trên  thỏa f  x 1 A. I  10 .  x  dx  4 và  3 2  0 B. I  6 . f  sin x  cos xdx  2 . Tính I   f  x  dx . 0 C. I  4 . D. I  2 . Câu 94: Cho hình phẳng  H  như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng  H  . A. 9 ln 3  2 . 2 B. 1. 9 Câu 95: Cho f  x  liên tục trên  thỏa f   x  dx  4 và x 1 A. I  10 . 9 3 ln 3  . 2 2 C. B. I  6 . 9  1 f  x  dx  4 , đặt t  x 3 2  0 f  sin x  cos xdx  2 . Tính I   f  x  dx . C. I  4 . Lời giải x  t 2  x  2t dt  dx đổi cận x  1  t  1 , x  9  t  3 3 3 f t  Do đó ta có:  2t dt  4   f  t  dt  2 (1) t 1 1 9 ln 3  2 . 2  Chọn C Ta có: D. 0 D. I  2 .  2 Ta có:  f  sin x  cos x.dx  4 , đặt t  sin x  dt  cos x.dx 0 đổi cận x  0  t  0 , x   2  t 1  1 2  f  sin x  cos x.dx  2   f  t  dt  2 (2) Do đó ta có: 0 0 3 Từ (1) và (2) ta có: 3  f  x  dx   f  t  dt  4. . 0 0 Câu 96: Cho hình phẳng  H  như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng  H  . A. 9 ln 3  2 . 2 B. 1 . C. 9 3 ln 3  . 2 2 D. 9 ln 3  2 . 2 Lời giải Chọn A 3 Diện tích hình phẳng  H  là: S   x ln xdx . 1 1  du  x dx u  ln x Đặt  , nên:  dv  xdx v  1 x 2  2 3 3 3 3 3 1 1 1 1 9 S   x ln xdx  x 2 ln x   xdx  x 2 ln x  x 2  ln 3  2 . 2 21 2 4 1 2 1 1 1 4 Câu 97: Biết rằng I   3 x2  x  2 a4 b . Với a , b , c là số nguyên dương. Tính a  b  c . dx  c x x2 A. 39 . B. 27 . C. 33 . D. 41 .  Câu 98: Cho hàm số f  x  liên tục trên R và 4 1  f  tan x  dx  4  0 A. I  6 . B. I  2 . 4 Câu 99: Biết rằng I   3 A. 39 . 0 1 x2 f  x  . Tính d x  2 I  0 f  x  dx . x2  1 C. I  3 . D. I  1 . 2 x x2 a4 b . Với a , b , c là số nguyên dương. Tính a  b  c . dx  c x x2 B. 27 . C. 33 . Lời giải D. 41 . Chọn A 4 4  x2 2 x2  x  2 Ta có  dx   x  x  2 dx    x2  2 3 3 x 3   4   25  8 2 25  4 8 x2    6 6 3  3 Suy ra a  25 , b  8 , c  6 . Vậy a  b  c  39 .  Câu 100: Cho hàm số f  x  liên tục trên R và 4 1  f  tan x  dx  4 0 A. I  6 . B. I  2 . 0 1 x2 f  x  d x  2 I  . Tính 0 f  x  dx . x2  1 C. I  3 . Lời giải D. I  1 . Chọn A  1 4 Từ  f  t anx  dx  4 ; Ta đặt t  tan x ta được 0 0 1  x  1  1 f  x  dx  2  1 f x dx  1 f  x  dx  2 x2 f  x  d x  2  0 x2  1 0 0   0 x 2  1 x2  1 2 1 Từ f t  dt  4 2 1 t 1 1   f  x  dx  2   0 0 f  x dx  2  4  6 . x2  1 Câu 101: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2 , y  A. 63 . 8 B. 27 ln 2  63 . 8 C. 27 ln 2 . x2 27 , y . x 8 D. 27 ln 2  63 . 4  2m Câu 102: Cho số hữu tỷ dương m thỏa mãn  x.cos mxdx  0 các khoảng dưới đây? 7  A.  ; 2  . 4   1 B.  0;  .  4  2 2 . Hỏi số m thuộc khoảng nào trong  6 C.  1;  .  5 Câu 103: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2 , y  A. 63 . 8 B. 27 ln 2  63 . 8 C. 27 ln 2 . Lời giải Chọn C Xét phương trình hoành độ giao điểm: 5 8 D.  ;  . 6 7 x2 27 , y . 8 x D. 27 ln 2  63 . 4 x2  x2 x 2 27 27   x  3 ; x2   x0 ;  x  6. x 8 8 x 3 6   27 x 2  x2  Ta có : S HP    x 2   dx      dx . 8  x 8  0 3 3 S HP 6  x3 x3   63 63 x3   27 ln 2        27 ln x     27 ln 2 . 24  3 8 8  3 24  0   2m Câu 104: Cho số hữu tỷ dương m thỏa mãn  x.cos mxdx   2 0 các khoảng dưới đây? 7  A.  ; 2  . 4   1 B.  0;  .  4 2 . Hỏi số m thuộc khoảng nào trong  6 C.  1;  .  5 Lời giải 5 8 D.  ;  . 6 7 Chọn D du  dx u  x  Đặt  .  1 dv  cos mxdx v  sin mx m    2m   2m 2m x 1 2m  1  2 1 Suy ra  x.cos mxdx  sin mx   sin mxdx   2 .cos mx   . 2 . 2 m m 0 2m m  2  m 0 0 0  2 1  2 Theo giả thiết ta có   m  1 . . 2  2  2  m 5 8 Vì m là số hữu tỷ dương nên m  1  ;  . 6 7 1 Câu 105: Cho biết x 2e x   x  2 2 0 a a là dx  .e  c với a , c là các số nguyên, b là số nguyên dương và b b phân số tối giản. Tính a  b  c . A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 3 . 2 Câu 106: Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y   x  3 , trục tung và trục hoành. Gọi k1 , k2  k1  k2  là hệ số góc của hai đường thẳng cùng đi qua điểm A  0;9  và chia  H  làm ba phần có diện tích bằng nhau. Tính k1  k2 . A. 13 . 2 B. 7 . 1 Câu 107: Cho biết x 2e x   x  2 0 2 C. 25 . 4 D. 27 . 4 a a là dx  .e  c với a , c là các số nguyên, b là số nguyên dương và b b phân số tối giản. Tính a  b  c . A. 3 . B. 0 . C. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t  x  2  dt  dx , đổi cận x  0  t  2 , x  1  t  3 . D. 3 . 1 Ta có I   0 x 2e x  x  2 3 dx   2 t  2 t2 2 3 2 et  2 3 3 3  4 4  4 4 dt    1   2  et  2 dt   et  2dt      2  et  2dt t t  t t  2 2 2 3 + Tính I1   et  2dt  et  2  e  1 . 2 2 3  4 4 + Tính I 2      2  et  2 dt . t t  2 4 4 Đặt u   du   2 dt , dv  et  2 dt  v  et  2 t t 3 3 3 3 4 4 4 4  4 4 Ta có  et  2 dt  .et  2   2 et  2 dt  I 2      2  et  2 dt   e  2 . t t t t t  3 2 2 2 2 1 Suy ra I  e  1  a  1 , b  3 , c  1 . Vậy a  b  c  3 . 3 2 Câu 108: Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y   x  3 , trục tung và trục hoành. Gọi k1 , k2  k1  k2  là hệ số góc của hai đường thẳng cùng đi qua điểm A  0;9  và chia  H  làm ba phần có diện tích bằng nhau. Tính k1  k2 . A. 13 . 2 B. 7 . C. 25 . 4 D. 27 . 4 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi d1 : y  k1 x  9 , d 2 : y  k2 x  9  k1  k2  .  9   9   9 9 Gọi M  d1  Ox  M   ;0  ; N  d 2  Ox  N   ;0       k1   k1   k2   k2 2 Giao điểm của  P  : y   x  3 với hai trục tọa độ lần lượt là C  3; 0  , A  0;9  . Theo giả thiết ta có S AON  S ANM  OM  2ON   3 9 18    k2  2k1 . k1 k2 1 243 27 2 Lại có S H   3SAON    x  3 dx  3. .OA.ON  9    k2   . 2 2k2 2 0 Suy ra k1   27 27 .  k1  k2  4 4 Câu 109: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1;3 thỏa mãn f  4  x   f  x  , x  1;3 và 3 3  xf  x  dx  2 . Giá trị  f  x  dx bằng 1 1 A. 2 . B. 1 . C. 2 . D. 1. Câu 110: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1;3 thỏa mãn f  4  x   f  x  , x  1;3 và 3 3  xf  x  dx  2 . Giá trị  f  x  dx bằng 1 1 A. 2 . B. 1 . C. 2 . Lời giải D. 1. Chọn B 3 Xét I   xf ( x)dx (1). 1 Đặt x  4  t , ta có dx  dt ; x  1  t  3 , x  3  t  1 . 3 3 3 Suy ra I    4  t  f (4  t )dt    4  t  f (t )dt , hay I    4  x  f ( x)dx (2). 1 1 1 3 3 Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được 2 I   4 f ( x)dx   f ( x)dx  1 1 I  1 . 2 x2  1 m n p  x3  6 x 2  11x  6 dx  ln  x  1  x  2   x  3  C . Tính 4  m  n  p  . A. 5 . B. 0 . C. 2 . D. 4 . Câu 111: Biết x Câu 112: Xét hàm số F  x    f  t  dt trong đó hàm số y  f  t  có đồ thị như hình vẽ bên. Trong các 2 giá trị dưới đây, giá trị nào là lớn nhất? A. F 1 . B. F  2  . C. F  3 . D. F  0  . Câu 113: Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol y  x 2 và đường tròn x 2  y 2  2 (phần tô đậm trong hình bên). Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay  H  quanh trục hoành. y x O A. V  44 . 15 B. V  22 . 15 C. V  5 . 3 D. V   5 . Câu 114: Cho I n   tan n xdx với n   . Khi đó I 0  I1  2  I 2  I 3  …  I 8   I 9  I10 bằng 9 A.   tan x  r r 1 r 9 C . B.   tan x  r 1 r 1 r 1 10 C . C.   tan x  r 1 r r 10 C . D.   tan x  r 1 r 1 r 1 C . x2  1 m n p  x3  6 x 2  11x  6 dx  ln  x  1  x  2   x  3  C . Tính 4  m  n  p  . A. 5 . B. 0 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn D Câu 115: Biết Ta có:  x2  1 x2  1 A B C     3 2 x  6 x  11x  6  x  1 x  2  x  3 x  1 x  2 x  3 A  x  2  x  3  B  x  1 x  3  C  x  1 x  2  x2  1   x  1 x  2  x  3  x  1 x  2  x  3  x 2  1  A  x  2  x  3  B  x  1 x  3  C  x  1 x  2  A  B  C 1 A 1    5 A  4 B  3C  0   B  5 . 6 A  3B  2C  1 C  5   Suy ra x2  1 1 1 1  x3  6 x2  11x  6 dx   x  1 dx  5 x  2 dx  5 x  3 dx  ln  x  1 x  2  5  x  3 5 C. Vậy 4  m  n  p   4 . x Câu 116: Xét hàm số F  x    f  t  dt trong đó hàm số y  f  t  có đồ thị như hình vẽ bên. Trong các 2 giá trị dưới đây, giá trị nào là lớn nhất? A. F 1 . B. F  2  . C. F  3 . D. F  0  . Lời giải Chọn B x  Ta có F   x     f  t  dt   f  x  .   2  Xét trên đoạn  0;3 , ta thấy F   x   0  f  x   0  x  2 . Dựa vào đồ thị, ta thấy trên  0; 2  hàm số F  x  đồng biến nên F  0   F  2  . Dựa vào đồ thị, ta thấy trên  2;3 hàm số F  x  nghịch biến nên F  3  F  2  . Vậy F  2  là giá trị lớn nhất. Câu 117: Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol y  x 2 và đường tròn x 2  y 2  2 (phần tô đậm trong hình bên). Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay  H  quanh trục hoành. y x O A. V  44 . 15 B. V  22 . 15 C. V  5 . 3 D. V   5 . Lời giải Chọn A  x2  1 x 1 Với y  x 2 thay vào phương trình đường tròn ta được x 2  x 4  2   2 .  x   1 x   2   2 y   2 x Hơn nữa x 2  y 2  2   .  y  2  x 2  y  2  x2   x  1 Thể tích cần tìm chính là thể tích vật thể tròn xoay  H1  :  quay quanh Ox bỏ đi x  1 Ox  2 y  x   x  1 phần thể tích  H 2  :  quay quanh Ox . x  1  Ox 1 2 1  44 2 2 Do đó V     2  x dx    x 2  dx   . 1  1  15   Câu 118: Cho I n   tan n xdx với n   . Khi đó I 0  I1  2  I 2  I 3  …  I 8   I 9  I10 bằng 9 A.   tan x  r 1 r r 9 C . B.  r 1  tan x  r 1 r 1 10 C . C.   tan x  r 1 r r 10 C . D.  r 1  tan x  r 1 Lời giải Chọn A  1  I n   tan n  2 x.tan 2 xdx   tan n  2 x.   1 dx   tan n 2 x.  tan x  dx  I n  2 2  cos x  n 1 tan x   I n2  C n 1 tan n 1 x  I n  I n 2  C . n 1 I 0  I1  2  I 2  I 3  …  I 8   I 9  I10 =  I10  I8    I 9  I 7   …   I 3  I1    I 2  I 0   9 tan 9 x tan 8 x tan 2 x tan r x   ….   tan x  C   C. 9 8 2 r r 1 r 1 C . 2 Câu 119: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0; 2 và thỏa mãn f  2   16 ,  f  x  dx  4 . 0 1 Tính tích phân I   x. f   2 x  dx . 0 A. I  12 . B. I  7 . C. I  13 . D. I  20 . 2 Câu 120: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0; 2 và thỏa mãn f  2   16 ,  f  x  dx  4 . 0 1 Tính tích phân I   x. f   2 x  dx . 0 A. I  12 . B. I  7 . C. I  13 . Hướng dẫn giải D. I  20 . Chọn B du  dx u  x  Đặt   f  2x . dv  f   2 x  dx v   2 x. f  2 x  Khi đó: I  2 1 f  2 1 2 1 16 1   f  2 x  dx    f  t  dt   .4  7 . 20 2 40 2 4 0 1 Câu 121: Cho hàm số f  x  liên tục trên  , có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây sai? 0 A. y 2 0  f  x  dx   f  x  dx . 1 B. 0 2  f  x  dx   f  x  dx  0 . 1 2 0 1 0 C.   f  x  dx  0 . 2 O  f  x  dx  0 . D. 0 x 1 Câu 122: Xét hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn điều kiện 2 f  x   3 f 1  x   x 1  x . 1 Tính tích phân I   f  x  dx . 0 A. I  1 . 25 B. I   4 . 15 C. I   1 . 15 D. I  4 . 75 Câu 123: Xét hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện f 1  1 và f  2   4 . 2  f  x  2 f  x 1  Tính J      dx . x x2  1 A. J  1  ln 4 . B. J  4  ln 2 . C. J  ln 2  1 . 2 D. J  1  ln 4 . 2 Câu 124: Cho hàm số f  x  liên tục trên  , có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây sai? y x 1 A. 0 2  f  x  dx   f  x  dx . 1 0 2 O 0  B. 2 f  x  dx   f  x  dx  0 . 1 2 0 0 C.   f  x  dx  0 . D. 0  f  x  dx  0 . 1 Lời giải Chọn A 0 Dựa vào đồ thị hàm số ta có: S1  2 f  x  dx  S2   f  x  dx 1  1 0 Mà f  x   0 với mọi x   1;0 và x   0; 2 . 0 2 0 Do đó ta có 1    f  x  dx    f  x  dx  1 0 2  1 f  x  dx   f  x  dx . Vậy A sai. 0 Câu 125: Xét hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn điều kiện 2 f  x   3 f 1  x   x 1  x . 1 Tính tích phân I   f  x  dx . 0 A. I  1 . 25 B. I   4 . 15 C. I   1 . 15 D. I  4 . 75 Lời giải Chọn B 1 1 1 Do 2 f  x   3 f 1  x   x 1  x   2 f  x  dx   3 f 1  x  dx   x 1  xdx 0 0 0      I1 1 + Xét I1  3 f 1  x  dx : 0 Đặt t  1  x  dx  dt . Khi x  0  t  1; x  1  t  0 . 1 Khi đó I1  3 f  t  dt  3I . 0 1 + Xét I 2   x 1  xdx . Đặt t  1  x  x  1  t 2  dx  2tdt . 0 Khi x  0  t  1; x  1  t  0 . 0 0  2t 5 2t 3  4 Khi đó I 2   1  t  t  2t  dt      . 5 3 15  1 1 2 Thây vào 1 : 2 I  3I  4 4 I  . 15 15 I2 1 . Câu 126: Xét hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện f 1  1 và f  2   4 . 2  f  x  2 f  x 1   Tính J     dx . x x2  1 A. J  1  ln 4 . B. J  4  ln 2 . C. J  ln 2  1 . 2 D. J  1  ln 4 . 2 Lời giải Chọn D 2 2 2 2  f  x  2 f  x 1  f  x f  x 2 1  Cách 1: Ta có J     d x dx   2 dx     2  dx .   2 x x x x x x   1 1 1 1 1 1   u  du   2 dx Đặt  x x  dv  f   x  dx v  f  x    2 2 2 2 2  f  x  2 f  x 1  f  x f  x 1 2 1  J    d x  . f x  d x  d x     2    2  dx 2 2   x x x x x x x  1  1 1 1 1 2 1 1 1   f  2   f 1   2 ln x     ln 4 . 2 x 1 2  2 2  f  x  2 f  x 1   xf   x   f  x  2 1  Cách 2: J     d x    2  dx   2  x x x2 x x   1 1 2 2  f  x    f  x 1 1 2 1     2 ln x     ln 4 .  dx     2  dx   x  x x  x 1 2  x 1 1 2 Cách 3: ( Trắc nghiệm) a  3  f 1  1 Chọn hàm số f  x   ax  b . Vì   , suy ra f  x   3x  2 .  f  2   4 b  2 2 2 1 1  5 3x  1   Vậy J     2  dx   2 ln x    ln 4  . x x  x 1 2  1 b Câu 127: Tính I   a A. I  a  x2 2b . a  b2 2 2 2 a  x  dx (với a , b là các số thực dương cho trước). B. I  b . a  b2 C. I   a  1 b  1 . D.  a  b2   a  1 I b . a b 2 1 Câu 128: Cho hình phẳng D giới hạn bởi parabol y   x 2  2 x , 2 cung tròn có phương trình y  16  x 2 , với ( 0  x  4 ), trục tung (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích của hình D . 16 16 16 A. 8  . B. 2  . C. 4  . 3 3 3 D. 4  16 . 3 Câu 129: Cho hàm số f  x  liên tục, f  x   0 và f  x  . f  a  x   1 trên đoạn  0; a  . Tính a dx theo a . 1 f  x 0 I  3a . 2 A. I  b Câu 130: Tính I   a B. I  2a . a  x2 2 2 a  x  D. I  a . 2 dx (với a , b là các số thực dương cho trước). 2b . a  b2 A. I  C. I  3a . B. I  2 b . a  b2 C. I   a  1 b  1 . D.  a  b2   a  1 I b . a b 2 Lời giải Chọn C a 1 x2  I  d x a  a 2 dx . 2 2 a a  x    x x  b b a  x2 Đặt t  a a  a   x  dt    2  1 dx . Đổi cận: x  a  t  1  a ; x  b  t   b x b  x  a b b Khi đó: I   1 a a b a b2  a  b  b  1 1 1 b 1b b 1  dt     2 2 t t 1 a t 1 a a  b 1  a  a  b 2   a  1 1 Câu 131: Cho hình phẳng D giới hạn bởi parabol y   x 2  2 x , cung tròn có phương trình 2 y  16  x 2 , với ( 0  x  4 ), trục tung (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích của hình D. y 4 y  16  x 2 x O A. 8  16 . 3 B. 2  1 y   x2  2x 2 16 C. 4  . 3 Lời giải 4 16 . 3 Chọn D 4   1  Diện tích hình phẳng D là S    16  x 2    x 2  2 x   dx .  2  0 4 Xét tích phân I   16  x 2 dx 0     Đặt x  4sin t , t   ;  .  2 2 D. 4  16 . 3   2 2 1 1  Khi đó I   dt  16  16sin 2t .4 cos tdt  16  cos 2 tdt  16  t  sin 2t   4 . 2 2  0 0 4 4  1   1  16 J     x 2  2 x  dx    x3  x 2   . 2   6 0 3 0 Vậy S  4  16 . 3 Câu 132: Cho hàm số f  x  liên tục, f  x   0 và f  x  . f  a  x   1 trên đoạn  0; a  . Tính a dx theo a . 1 f  x 0 I  A. I  3a . 2 B. I  2a . C. I  3a . D. I  a . 2 Lời giải Chọn D a a  f  x  dx a  dt dx 1 * Đặt x  a  t ta có I        1   dx 1 f a  t  0 1 f a  x 0 1 f  x 0  1 f  x  a 0 a dx a a  I  I  . 1 f  x 2 0  I a y 16 Câu 133: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x 2 , y  0 , x  0 , x  4 . Đường thẳng y  k  0  k  16  chia hình  H  thành hai phần k có diện tích S1 , S2 (hình vẽ). Tìm k để S1  S2 . A. k  8 . C. k  5 . S1 S2 B. k  4 . D. k  3 . O 4 x  1 Câu 134: Cho hàm số f  x  xác định trên  thỏa mãn f   x   e x  e  x  2 , f  0   5 và f  ln   0 .  4 Giá trị của biểu thức S  f   ln16   f  ln 4  bằng A. S  31 . 2 B. S  9 . 2 C. S  5 . 2 D. f  0  . f  2   1 . Câu 135: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x 2 , y  0 , x  0 , x  4 . Đường thẳng y  k  0  k  16  chia hình  H  thành hai phần có diện tích S1 , S2 (hình vẽ). y 16 S1 k S2 O 4 x Tìm k để S1  S 2 . A. k  8 . B. k  4 . C. k  5 . Lời giải D. k  3 . Chọn B Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y  x 2 và y  k là x  k . 4 Do đó diện tích S1  4  x 2  k  dx , diện tích S 2   x 2 dx  S1 . 0 k Ta có 4 4  x3  1 S1  S 2    x  k  dx   x 2 dx    kx  20  3  k 4 2  16  6k  k 3   k 3 6  k 2  k 64 k3 32 32   4k   k3  3 3 3 3  k  22 3 k  0;16    16  0   k  2  2 3  k  4   k  2  1 Câu 136: Cho hàm số f  x  xác định trên  thỏa mãn f   x   e x  e  x  2 , f  0   5 và f  ln   0 .  4 Giá trị của biểu thức S  f   ln16   f  ln 4  bằng A. S  31 . 2 9 . 2 B. S  C. S  5 . 2 D. f  0  . f  2   1 . Lời giải Chọn C Ta có f   x   e x  e  x  2  ex 1 ex x   2x 2  2e  2e  C1 Do đó f  x    x x 2e  2  2e 2  C  2 x   2x e  e 2  x x e  2  e 2  khi x  0 khi x0 khi x0 . . khi x  0 Theo đề bài ta có f  0   5 nên 2e0  2e0  C1  5  C1  1 .  f  ln 4   2e ln 4 2  2e  ln 4 2 1  6  1 Tương tự f  ln   0 nên 2e  4  f   ln16   2e    ln16  2 1 ln   4    2   ln16   2e Vậy S  f   ln16   f  ln 4   2  2e 1 ln   4 2  C2  0  C2  5 . 7 5   . 2 5 . 2 Câu 137: Cho nửa đường tròn đường kính AB  4 5. Trên đó người ta vẽ một parabol có đỉnh trùng với tâm của nửa hình tròn, trục đối xứng là đường kính vuông góc với AB . Parabol cắt nửa đường tròn tại hai điểm cách nhau 4 cm và khoảng cách từ hai điểm đó đến AB bằng nhau và bằng 4 cm . Sau đó người ta cắt bỏ phần hình phẳng giới hạn bởi đường tròn và parabol (phần tô màu trong hình vẽ). Đem phần còn lại quay xung quanh trục AB . Thể tích của khối tròn xoay thu được bằng: A. V  C. V   800 15  800 5  5  464 cm3 . B. V   D. V  5  928 cm3 .  3 800 5  928 cm3 . 800 5  928 cm3 .  15   Câu 138: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  x   0 với mọi x   . f   x    2 x  1 f 2  x  và f 1  0,5 . Biết rằng tổng f 1  f  2   f  3  …  f  2017   a a ;  a  , b    với tối b b giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng? B. a   2017; 2017  . C. A. a  b  1 . a  1 . b D. b  a  4035 . Câu 139: Cho hàm số f  x  xác định trên  1 thỏa mãn f   x   1 . Biết f  3  f  3  0 và x 1 2  1 f    2 1 f    2 . Giá trị T  f  2   f  0   f  4  bằng: 2 1 5 1 9 1 9 A. T  2  ln . B. T  1  ln . C. T  3  ln . 2 9 2 5 2 5 D. T  1 9 ln . 2 5 Câu 140: Cho nửa đường tròn đường kính AB  4 5. Trên đó người ta vẽ một parabol có đỉnh trùng với tâm của nửa hình tròn, trục đối xứng là đường kính vuông góc với AB . Parabol cắt nửa đường tròn tại hai điểm cách nhau 4 cm và khoảng cách từ hai điểm đó đến AB bằng nhau và bằng 4 cm . Sau đó người ta cắt bỏ phần hình phẳng giới hạn bởi đường tròn và parabol (phần tô màu trong hình vẽ). Đem phần còn lại quay xung quanh trục AB . Thể tích của khối tròn xoay thu được bằng: A. V  C. V   800 15  800 5 5  464 cm3 .  B. V   D. V  5  928 cm3 .  3 800 5  928 cm3 . 800 5  928 cm3 .  15 Lời giải Chọn D Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ y x 1 A O B   Theo đề bài ta có phương trình đường tròn là y  20  x 2 và phương trình của parabol là y  x2 . Phương trình hoành độ giao điểm là 20  x 2  x 2  x 4  x 2  20  0  x  2 . Do tính chất đối xứng của hình vẽ nên ta có thể tích vật thể tròn xoay được tính theo công thức 2  2 5  1 2 V  2    20  x  dx     20  x 2  x 4  dx    800 5  928 .  0  15 0   Câu 141: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  x   0 với mọi x   . f   x    2 x  1 f 2  x  và f 1  0,5 . Biết rằng tổng f 1  f  2   f  3  …  f  2017   a a ;  a  , b    với tối b b giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a  b  1 . B. a   2017; 2017  . C. a  1 . b D. b  a  4035 . Lời giải Chọn D Ta có f   x    2 x  1 f 2  x    f  x f  x   2 x  1   2 dx    2 x  1 dx 2 f  x f  x 1  x2  x  C f  x Mà f 1   1 1 1 1 nên C  0  f  x    2   . 2 x  x x 1 x Mặt khác 1  1  1 1 1 1  1 f 1  f  2   f  3  …  f  2017     1          …      2   3 2   4 3  2018 2017   f 1  f  2   f  3  …  f  2017   1  1 2017   a  2017 ; b  2018 . 2018 2018 Khi đó b  a  4035 . Câu 142: Cho hàm số f  x  xác định trên  1 thỏa mãn f   x   1 . Biết f  3  f  3  0 và x 1 2  1 1 f     f    2 . Giá trị T  f  2   f  0   f  4  bằng:  2 2 1 5 1 9 1 9 A. T  2  ln . B. T  1  ln . C. T  3  ln . 2 9 2 5 2 5 Lời giải Chọn B 1  1 1  1 x 1 1 Ta có  f   x  dx   2 dx     C .  dx  ln x 1 2  x 1 x 1  2 x 1 D. T  1 9 ln . 2 5  1 x 1  2 ln x  1  C1 khi x  1, x  1 Do đó f  x    .  1 ln 1  x  C khi  1  x  1 2  2 x  1  1 1 Do f  3  f  3  0 nên C1  0 , f     f    2 nên C2  1 .  2 2  1 x 1 khi x  1, x  1  2 ln x  1 1 9 Nên f  x    . T  f  2   f  0   f  4   1  ln . 2 5  1 ln 1  x  1 khi  1  x  1  2 x  1 Câu 143: Tính diện tích S của hình phẳng H  được giới hạn bởi các đồ thị x  1 ,  P  : y  x2  4 x  3 . 2 189 13 A. S  . B. S  . 16 3  d1  : y  2 x  2 ,  d2  : y  2 Câu 144: Cho số thực dương k  0 thỏa  C. S  dx x2  k 1 B. 0  k  . 2  487 . 48 D. S  27 . 4   ln 2  5 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 0 A. k  3 . 2 C. 1  k  1. 2 D. 1  k  3 . 2 Câu 145: Một chiếc xe đua thể thức I bắt đầu chuyển động tăng tốc với gia tốc không đổi, khi vận tốc 80 m/s thì xe chuyển động với vận tốc không đổi trong thời gian 56s , sau đó nó giảm với gia tốc không đổi đến khi dừng lại. Biết rằng thời gian chuyển động của xe là 74s . Tính quảng đường đi được của xe. A. 5200 m . B. 5500 m . C. 5050 m . D. 5350 m . Câu 146: Tính diện tích S của hình phẳng x  1 ,  P  : y  x2  4 x  3 . 2 189 13 A. S  . B. S  . 16 3 H  được giới hạn bởi các đồ thị  d1  : y  2 x  2 ,  d2  : y  C. S  Lời giải Chọn A 487 . 48 D. S  27 . 4 1  x x 9 2 2  Phương trình hoành độ giao điểm:  1  x  4 x  3  x  x  2  0  2  2 2 x  4 x  1 Phương trình hoành độ giao điểm: 2 x  2  x 2  4 x  3  x 2  6 x  5  0   x  5 x 3 Phương trình hoành độ giao điểm: 2 x  2   1  x  3  0  x  2 2 2 Diện tích của hình phẳng  H  : 2 5 x  S     1   x 2  4 x  3   dx    2 x  2   x 2  4 x  3   dx  1 2 2 2 1 1 2 2 5 5  x3 9   x3  189  2 9  .     x  x  2  dx     x 2  6 x  5  dx     x 2  2 x      3 x 2  5 x   2  1  3 4 1  3  2 16 2 2 Câu 147: Cho số thực dương k  0 thỏa dx  x2  k 1 B. 0  k  . 2    ln 2  5 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 0 A. k  3 . 2 C. 1  k  1. 2 D. 1  k  3 . 2 Lời giải Chọn C 1   Đặt t  ln x  x 2  k  dt  2 Ta có  0 dx x2  k x 2 2 2 x2  k dx   dt  t 0  ln x  x 2  k   2 4k 2 4k  ln 2  5   2 5 k k  2 0     ln 2  4  k  ln k  ln 2  5  ln   2 4k  2 5 2  k  2  5  4  k  2  5   1 x  k dx  dt  x  x2  k     ln 2  5 0    k  44k 4 4k  2 5   2   k  4k  2 5 k 2 2  2  k k    2 5  2 5   2  2  5 2 k2  9  4 5 k  0 k  0 k2  4  4 2  5 k   k  1         k 1. Câu 148: Một chiếc xe đua thể thức I bắt đầu chuyển động tăng tốc với gia tốc không đổi, khi vận tốc 80 m/s thì xe chuyển động với vận tốc không đổi trong thời gian 56s , sau đó nó giảm với gia tốc không đổi đến khi dừng lại. Biết rằng thời gian chuyển động của xe là 74s . Tính quảng đường đi được của xe. A. 5200 m . B. 5500 m . C. 5050 m . D. 5350 m . Lời giải Chọn A Lần tăng tốc đầu tiên xe chuyển động với vận tốc v  t   a.t ,  a  0  . 80 s . a Lần giảm tốc, xe chuyển động với vận tốc v3  80  bt ,  b  0  . Đến khi xe đạt vận tốc 80m/s thì xe chuyển động hết t1  80 s  . b 80 80 80 80 Theo yêu cầu bài toán ta có  56   74    18 . a b a b Khi xe dừng lại thì xe chuyển động thêm được t3  80 a t1 Ta có S1   atdt  0 1 802 at dt  . m . 0 2 a S2  80.56  m  . 80 b t3 S3  b   80  bt  dt  0  80  bt  dt  0 1 802 .  m . 2 b 1  80 80  Vậy quảng đường xe chạy được là S3  .80.     80.56  40.18  80.56  5200  m  . 2 b   a Câu 149: Cho hai đường tròn  O1;10  và  O2 ;8  cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho AB là một đường kính của đường tròn  O2  . Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn ( phần được tô màu như hình vẽ). Quay  H  quanh trục O1O2 ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành. A O1 O2 C B A. 824 . 3 B. 608 . 3 C. 97 . 3 D. 145  3 Câu 150: Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  3x 2  2mx  m 2  1 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x  2 đạt giá trị nhỏ nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. m   4; 1 . B. m   3;5 . C. m   0;3 . D. m   2;1 . Câu 151: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  0;1 và thoả mãn f  x   8 x3 f  x 4   1 Tích phân I   f  x  dx có kết quả dạng 0 A. 6 . B. 4 . x3 x2  1 0. a b ab 2 , a, b, c   , , tối giản. Tính a  b  c . c c c C. 4 . D. 10 . Câu 152: Cho hai đường tròn  O1;10  và  O2 ;8  cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho AB là một đường kính của đường tròn  O2  . Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn ( phần được tô màu như hình vẽ). Quay  H  quanh trục O1O2 ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành. A O2 O1 C B A. 824 . 3 B. 608 . 3 C. 97 . 3 D. 145  3 Lời giải Chọn B Ta xây dựng hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ Ta có O1O2  O1 A2  O2 A2  6 . Ta có O2  0;0  , O1  6;0  . Đường tròn  O2 ;8  có phương trình là: x 2  y 2  64  y  64  x 2 . 2 2 Đường tròn  O1;10  có phương trình là:  x  6   y 2  100  y  100   x  6  . 8 4 608 2 Thể tích cần tìm V     64  x 2  dx    100   x  6   dx  .   3 0 0 Câu 153: Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  3x 2  2mx  m 2  1 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x  2 đạt giá trị nhỏ nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. m   4; 1 . B. m   3;5 . C. m   0;3 . D. m   2;1 . Lời giải Chọn D Ta có y  3 x 2  2mx  m 2  1  x 2  2mx  1  2 x 2  1 suy ra y  0, x   . Diện tích hình phẳng cần tìm là 2 S  2 3 x 2  2mx  m 2  1 dx  S  0   3x 2  2mx  m 2  1 dx   x 3  mx 2  m 2 x  x  0 2 0 2  2 1  2 2  2m  2m  2  2 m  2m  3  2  m    3   2  2     2  2 2  2 5 2 .  2  m    2  2  Ta thấy S  5 2 2 , suy ra S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi m   . 2 2 Câu 154: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  0;1 và thoả mãn f  x   8 x3 f  x 4   1 x2  1 0. ab 2 a b , a, b, c   , , tối giản. Tính a  b  c . c c c Tích phân I   f  x  dx có kết quả dạng 0 A. 6 . x3 B. 4 . C. 4 . Lời giải D. 10 . Chọn A x3 f  x   8x f  x   3 4 1  0  f  x   8x f  x   3 x2  1 1 1 x3 I   f  x  dx   8 x3 f  x 4  dx   0 0 0 1 1 4 4 0 Xét  0 0 x x3 x2  1 . dx 1 1 Xét  8 x f  x  dx   2 f  x  d  x 3 1 x2  1 4 4   2 f  x  dx  2I 0 3 x2  1 dx . Đặt t  x 2  1  t 2  x 2  1  tdt  xdx . Đổi cận x  0  t  1 , x  1  t  2 . 1 Nên  0 x3 x2  1 2 dx   1 t 2  1 tdt t 2  t3  2 2   t   3 3  3 1  2 2  2 2 Do đó 1  I  2 I   . I  3  3   Nên a  2 , b  1 , c  3 . Vậy a  b  c  6 . Câu 155: Một ô tô chạy với vận tốc v0  m/s  thì gặp chướng ngại vật nên người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó ôtô chuyển động chậm dần với gia tốc a  8t  m/s 2  trong đó t là thời gian tính bằng giây. Biết từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được 12m . Tính v0 ? A. 3 1296 . B. 3 36 . C. 3 1269 . D. 16 . 2 Câu 156: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0; 4 và  4 f  x  dx  1 ; ; 0  f  x  dx  3 . Tính 0 1  f  3x  1 dx . 1 A. 4 . B. 2 . C. 4 . 3 D. 1. f  tan x  dx  3 và x2 f  x  0 x2  1 dx  1 . Tính  1 4 Câu 157: Cho hàm f  x  liên tục trên  thỏa mãn  0 1  f  x  dx . 0 A. 4 . B. 2 . D. 1. C. 5 . Câu 158: Một ô tô chạy với vận tốc v0  m/s  thì gặp chướng ngại vật nên người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó ôtô chuyển động chậm dần với gia tốc a  8t  m/s 2  trong đó t là thời gian tính bằng giây. Biết từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được 12m . Tính v0 ? A. 3 1296 . B. 3 36 . C. 3 1269 . D. 16 . Lời giải Chọn A a  8t  m / s 2   v   8tdt  4t 2  C . Tại thời điểm t  0 thì vận tốc của vật là v0  m/s  nên ta có v0  C , vậy v  4t 2  v0 . Tại thời điểm t0 vận tốc của vật là 0 nên ta có 0  4t0 2  v0  4t0 2  v0 . Ta có t0   4t 2 0  v0  dt  12   3 4t03 4t 3 36 .  v0t0  12   0  4t0 3  12  t0  2 3 3 2  3 36  3  v0  4.    1296 . 2   2 Câu 159: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0; 4 và  0 4 f  x  dx  1 ;  f  x  dx  3 ;0 1  f  3x  1 dx . 1 A. 4 . 4 . 3 Lời giải B. 2 . C. Chọn C 1 1/3 1  f  3x  1 dx   f 1  3x dx   f  3x  1dx . 1 1 1/3  1/3 1 1 1 f 1  3x d 1  3x    f  3x  1d  3x  1 .  3 1 3 1/3 D. 1. . Tính 0  2 1 1 1 1 4 f  t dt   f  t d  t     3  .1  .  34 30 3 3 3   x2 f  x  0 x2  1 dx  1 . Tính 1 4 Câu 160: Cho hàm f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  tan x  dx  3 và 0 1  f  x  dx . 0 A. 4 . B. 2 . C. 5 . D. 1. Lời giải Chọn A 1 2 1 1 1 2 1 1 x f  x f  x x f  x f  x d x  f x d x  d x  d x  d x    0 x2  1 0 0 x2  1 0 x2  1 0 x2  1 0 f  x  dx . Đặt tan x  t suy ra d  tan x   dt   dx  1 dx  dt  1  tan 2 x  dx  dt . cos 2 x dt dt .  2 1  tan x  1  t 2  1 4  0 f  tan x  dx   f  t  0 dt  1 t2 1 f  x dx =3. 2 1 x 0 1 Vậy  f  x  dx  4 . 0 x2 2 Câu 161: Cho F  x    et dt . Tính F   2  . 0 A. F   2   4e 4 . B. F   2   8e16 . C. F   2   4e16 . D. F   2   e 4 . 2 2 Câu 162: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình tròn  C  : x  2    y  3  1 quanh trục Ox . A. V  2 2 (đvtt). B. V  6 2 (đvtt). C. V   2 (đvtt). ———-HẾT———- D. V  6 (đvtt). BẢNG ĐÁP ÁN 1 B 26 D 2 A 27 A 3 C 28 B 4 A 29 D 5 A 30 B 6 D 31 C 7 C 32 B 8 B 33 B 9 C 34 B 10 C 35 C 11 A 36 D 12 D 37 A 13 B 38 D 14 D 39 D 15 D 40 D 16 D 41 C 17 D 42 C 18 C 43 C 19 B 44 A 20 B 45 D 21 D 46 D 22 D 47 A 23 A 48 D 24 D 49 A HƯỚNG DẪN GIẢI x 2 2 Câu 163: Cho F  x    et dt . Tính F   2  . 0 A. F   2   4e 4 . B. F   2   8e16 . C. F   2   4e16 . Lời giải D. F   2   e 4 . Chọn C 2 Gọi G  x  là nguyên hàm của hàm số et .  F  x   G  x 2   G  0 4  F   x   2 x.G   x 2   2 x.e x .  F   2   4.e16 2 2 Câu 164: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình tròn  C  : x  2    y  3  1 quanh trục Ox . A. V  2 2 (đvtt). B. V  6 2 (đvtt). C. V   2 (đvtt). Lời giải D. V  6 (đvtt). Chọn D  2 Tịnh tiến  C  theo v   2;0  ta được hình tròn  C   : x 2   y  3  1 . 2 Xét x 2   y  3  1  y  3  1  x 2 . Khi đó thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quanh  C   quanh trục Ox là: 1  V     3  1  x2 1   2   3  1 x 2  2 1  2  dx  4  1  x dx . 1 Đặt x  sin t  dx  cos tdt . Đổi cận x  1  t   V  12   2 2   1  sin 2 t cos tdt  12   2  2 , x 1 t   2 .  2 cos 2 tdt  12 2 1 1    2  2 cos 2t  dt  2  1 1 2  12 .  t  sin 2t   6 . 2 4   2 3 Câu 165: Cho x 2 2 x 8 dx  a ln 2  b ln 5 với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?  x2 A. a  b  3 . B. a  2b  11 . C. a  b  5 . Câu 166: Tìm tất cả các giá trị dương của tham số m sao cho A. m  2250 2500  2 . 3 Câu 167: Cho x 2 2 B. m  21000  1 .  m 0 xe 2 x 1 D. a  2b  11 . dx  2500.e m2 1 . C. m  2 250 2500  2 . D. m  21000  1 . x 8 dx  a ln 2  b ln 5 với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?  x2 25 B 50 D A. a  b  3 . B. a  2b  11 . C. a  b  5 . Lời giải D. a  2b  11 . Chọn B 3 3 3 3 x 8 2   3 Ta có  2 dx      dx  3ln x  1 2  2 ln x  2 2  7 ln 2  2 ln 5 . x  x2 x 1 x  2  2 2 a  7 Suy ra   a  2b  11 . b  2 Câu 168: Tìm tất cả các giá trị dương của tham số m sao cho A. m  2250 2500  2 . B. m  21000  1 .  m 0 xe x2 1 dx  2500.e m2 1 . C. m  2 250 2500  2 . D. m  21000  1 . Lời giải Chọn C Ta có  m 0 xe dx   m2 1 1 m x 2 1 tet dt   tet  et  500  xe dx  2 .e  1   2  1  m  2 Theo bài ra  m2 x 2 1 m2 1 0 2 500 2 Câu 169: Cho hàm số f  x  1000 m 2 1  1  2500.e   m 2 1 m2  1  1 e m2 1     m2  1 1 e m 2 1  2500  m2  1  1   2501  2500 2500  2  m  2250 2500  2 . có đạo hàm cấp hai f   x  liên tục trên đoạn  0;1 thoả mãn f 1  f  0   1 , f   0   2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 A.  f   x 1  x  dx  2018 . B. 0 0 1 C.  f   x 1  x  dx  1 . 1  f   x 1  x  dx  2018 . D.  f   x 1  x  dx  1 . 0 0 Câu 170: Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai f   x  liên tục trên đoạn  0;1 thoả mãn f 1  f  0   1 , f   0   2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 A.  f   x 1  x  dx  2018 . B. 0 0 1 C.  f   x 1  x  dx  1 . 1  f   x 1  x  dx  2018 . D.  f   x 1  x  dx  1 . 0 0 Lời giải Chọn A 1 1 Xét I   f   x 1  x  dx   1  x  d  f   x   0 0 u  1  x du  dx Đặt   v  f   x  dv  d  f   x   1 1 1  I  1  x  f   x  0   f   x  dx  1  1 f  1  f   0    f  x  0   f   0    f 1  f  0   0  2018  1  1  2018 . Câu 171: Cho hàm số y  x 4  4 x 2  m có đồ thị  Cm  . Giả sử  Cm  cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi  Cm  với trục hoành có diện tích phần phía trên trục hoành bằng diện tích phần phía dưới trục hoành. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây? A. m   1;1 . B. m   3;5  . C. m   2;3 . D. m   5;    . Câu 172: Cho hàm số y  x 4  4 x 2  m có đồ thị  Cm  . Giả sử  Cm  cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi  Cm  với trục hoành có diện tích phần phía trên trục hoành bằng diện tích phần phía dưới trục hoành. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây? A. m   1;1 . B. m   3;5  . C. m   2;3 . D. m   5;    . Hướng dẫn giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm của  Cm  với trục hoành là x 4  4 x 2  m  0 1 . Đặt t  x 2  t  0  , phương trình 1 trở thành t 2  4t  m  0  2  . Để 1 có bốn nghiệm phân biệt thì  2  phải có hai nghiệm dương phân biệt. Điều này xảy ra   0 4  m  0  khi và chỉ khi  S  4  0    0  m  4  3 . m  0 P  m  0  Gọi t1 và t2  t1  t2  là hai nghiệm của  2  , khi đó bốn nghiệm (theo thứ tự từ nhỏ đến lớn) của phương trình 1 là x1   t2 , x2   t1 , x3  t1 , x4  t2 . Do tính đối xứng của  Cm  nên từ giả thiết ta có x4 x3 x4 4 2   x  4 x  m  dx  4 2    x  4 x  m  dx  0 x3   2x 4  8 x 2  2m  dx  0 0 x4  2 x5 8 x 3  x5 4 x3 x5 4 x 3    2mx   0  4  4  mx4  0  4  4  mx4  0 3 5 3 5 3  5 0  x45 4 x43   mx4  0  3 x44  20 x42  15m  0 . 5 3 Vậy x4 là nghiệm của hệ  x44  4 x42  m  0 15 x44  60 x42  15m  0 12 x44  40 x42  0    4  4  4 2 2 2 3 x4  20 x4  15m  0 3 x4  20 x4  15m  0 3 x4  20 x4  15m  0   x4  0   m  0 12 x44  40 x42  0   2 10 20  4   x4  . Kết hợp điều kiện  3 suy ra m  9 . 2 3 x4  20 x4  15m  0   3   20  m  9  Câu 1: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Cho f  x  là hàm liên tục trên đoạn  0; a  thỏa mãn a  f  x  . f  a  x   1 dx ba b và   , trong đó b , c là hai số nguyên dương và là phân  c 1 f  x c  f  x   0, x   0; a  0 số tối giản. Khi đó b  c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây? A. 11; 22  . B.  0;9  . C.  7; 21 . D.  2017; 2020  . Lời giải Chọn B Cách 1. Đặt t  a  x  dt  dx Đổi cận x  0  t  a; x  a  t  0. 0 a a a f  x  dx dx dt dx dx     Lúc đó I   1 1 f  x a 1 f a  t  0 1 f a  x 0 1 1 f  x 0 0 f  x a a f  x  dx a dx   1dx  a 1  f  x  0 1  f  x  0 0 a Suy ra 2 I  I  I   1 a  b  1; c  2  b  c  3. 2 Cách 2. Chọn f  x   1 là một hàm thỏa các giả thiết. Do đó I  Dễ dàng tính được I  1 a  b  1; c  2  b  c  3. 2 Câu 2: ———-HẾT———-(THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Một chất điểm   đang chuyển động với vận tốc v0  15 m/s thì tăng tốc với gia tốc a  t   t 2  4t m/s 2 . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc. A. 70, 25 m . B. 68, 25 m . C. 67, 25 m . D. 69, 75 m . Lời giải Chọn D t3 a  t   t 2  4t  v  t    a  t  dt   2t 2  C  C    . 3 3 t Mà v  0   C  15  v  t    2t 2  15 . 3 3 3 t  Vậy S     2t 2  15  dt  69,75 m .  0 3 Câu 3: (THPT Yên Lạc 2-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho m  log a ab với a, b  1 và P  log a2 b  54 log b a . Khi đó giá trị của m để P đạt giá trị nhỏ nhất là ? A. 2. B. 4. C. 4. Lời giải Chọn A Ta có P  log a2 b  54 logb a  log a2 b  Đặt P  log a2 b  54 logb a  log a2 b  54 log a b 54 54  t 2  . ( Với t  log a b ) log a b t D. 5. Vì a, b  1 nên t  log a b  0 . Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có 54 2 27 27 t    3 3 27 2  27. t t t 27 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t 2   t  3. t 1 1 1 1 Ta có m  log a ab  log a  ab   1  log a b   1  t   1  3  2. 2 2 2 2 P  t2  Câu 4: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2, 25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Vậy số tiền bác Năm phải trả là: A. 33750000 đồng. B. 3750000 đồng. C. 12750000 đồng. D. 6750000 đồng. Lời giải Chọn D Gọi phương trình parabol  P  : y  ax 2  bx  c . Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho  P  có đỉnh I  Oy (như hình vẽ). y  9 I  0;   4 2 1 1  3  A   ;0   2  1 O 3  B  ;0  2  9 9   4  c,  I   P   c   4  3 9 Ta có hệ phương trình:  a  b  c  0  A   P    a  1 . 2 4 b  0 3 9    4 a  2 b  c  0  B   P   9 . 4 Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là: Vậy  P  : y   x 2  3 2 3 2 9   x3 9  4 9 2 9 9   S     x 2   dx  2    x 2   dx  2   x  m . 4 4 4 0 2 3   3 0 2 Số tiền phải trả là: 9 .1500000  6750000 đồng. 2 x Câu 5: (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  e x 1 , các trục tọa độ và phần đường thẳng y  2  x với x  1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành. 1 e2  1 A. V   . 3 2e 2 B. V    5e2  3 6e2 . C. V  1 e 1  . 2 e D. V  1 e2  1 .  2 2e 2 Lời giải Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong y  e x 1 và đường thẳng y  2  x : e x 1  2  x  x  1 . (Vì y  e x 1 là hàm đồng biến và y  2  x là hàm nghịch biến trên tập xác định  nên phương trình có tối đa 1 nghiệm. Mặt khác x  1 thỏa mãn pt nên đó là nghiệm duy nhất của pt đó). Đường thẳng y  2  x cắt trục hoành tại x  2 . 1 V    e x 1 2  2 2 2 dx     2  x  dx   e 0 1   5e2  1  x3      2x  4   0 6e 2  3 1 2 x2 1 Câu 6: (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Xét hàm số y  f  x  liên tục trên miền D   a, b có đồ thị là một đường cong C . Gọi S là phần giới hạn bởi C và các đường thẳng x  a , b x  b . Người ta chứng minh được rằng độ dài đường cong S bằng  2 1   f   x   dx . Theo kết a quả trên, độ dài đường cong S là phần đồ thị của hàm số f  x   ln x bị giới hạn bởi các đường thẳng x  1 , x  3 là m  m  ln 1 m với m , n   thì giá trị của m 2  mn  n 2 là n bao nhiêu? A. 6 . B. 7 . C. 3 . Lời giải D. 1. Chọn B Ta có f   x   1 . x 3 Khi đó, độ dài đường cong S là l   1 1 1 dx  x2 Đặt t  1  x 2 . Suy ra: t 2  1  x 2  tdt  xdx . 3  1 1  x2 dx  x 3  1 1  x2 xdx . x2 Đổi cận: x  1  t  2 ; x  3  t  2. 2 t2 Suy ra: l   2 dx  t 1 2 2   1 1 t 1 2 1      t  1 t  1  dx  t 2  2 ln t  1 2  2 . 2 1 1 1 3 2 2 1 2  Suy ra: l  2  2   ln  ln 3  2 2   2  2  ln  2  2  ln . 2 3 2 3 3   Mà l  m  m  ln  1 m nên suy ra n m  2 .  n  3 Vậy m 2  mn  n 2  7 . Câu 7: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 1 thỏa mãn f 1  0 , 1 2   f   x  dx  7 và 0 A. 7 . 5 2  x f  x  dx  0 B. 1. C. 1 . Tích phân 3 1  f  x  dx bằng 0 7 . 4 D. 4 . Lời giải Chọn A du  f   x  dx u  f  x   Cách 1: Tính:  x f  x  dx . Đặt  .  x3 2 0 dv  x dx v  3  1 2 1 1 x3 f  x  1 3 Ta có:  x f  x  dx    x . f   x  dx 3 30 0 0 1 2  1 1. f 1  0. f  0  1 1 3 1   x . f   x  dx    x3 . f   x  dx . 3 30 30 1 1 2  x f  x  dx  Mà 0 1 Ta có   f   x   2 1 1 1 1    x3 . f   x  dx    x3 . f   x  dx  1 . 3 30 3 0 dx  7 (1). 0 1 1 6  x dx  0 1 1 x7 1    49 x 6dx  .49  7 7 0 7 7 0 1 (2). 1 3 3  x . f   x  dx  1   14 x . f   x  dx  14 0 (3). 0 1 Cộng hai vế (1) (2) và (3) suy ra   f   x  2 1 dx   49 x dx   14 x3 . f   x  dx  7  7  14  0 . 0 1  0 0 1  2 1 6 2    f   x    14 x 3 f   x   49 x 6 dx  0    f   x   7 x 3  dx  0 . 0 2 1 0 2 Do  f   x   7 x3   0    f   x   7 x 3  dx  0 . Mà 0 4 f  x   1 3 2   f   x   7 x  0 7 7 7x  C . Mà f 1  0    C  0  C  . 4 4 4 dx  0  f   x   7 x 3 . Do đó f  x    1 Vậy  0 7 x4 7  . 4 4 1 1  7 x4 7   7 x5 7  7 f  x  dx       dx     x  . 4 4  20 4  0 5 0 1 Cách 2: Tương tự như trên ta có: 3  x . f   x  dx   1 0 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 2 1 1 1  1  1  2 2 2 2 1 7  7   x 3 f   x  dx   7    x3  dx      f   x   dx   7     f   x   dx    f   x   dx 7 0 0 0  0  0  3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f   x   ax , với a   . 1 1 1 ax 7 Ta có  x . f   x  dx  1   x .ax dx  1   1  a  7 . 7 0 0 0 3 3 3 Suy ra f   x   7 x3  f  x    Do đó f  x   7 7 x4  C , mà f 1  0 nên C  4 4 7 1  x 4  x   . 4 1 1  7 x4 7   7 x5 7  1 7 f x d x    d x  0   0  4 4    20  4 x  0  5 . Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cho hàm số f  x  và g  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Vậy 2 b  b  b  Khi đó, ta có   f  x  g  x  dx     f 2  x  dx     g 2  x  dx  . a  a  a  Chứng minh: Trước hết ta có tính chất: b Nếu hàm số h  x  liên tục và không âm trên đoạn  a; b  thì  h  x  dx  0 a 2 Xét tam thức bậc hai  f  x   g  x     2 f 2  x   2 f  x  g  x   g 2  x   0 , với mọi    Lấy tích phân hai vế trên đoạn  a; b ta được b  2 b b  f  x  dx  2  f  x  g  x  dx   g  x  dx  0 , với mọi    2 2 a a a Coi * là tam thức bậc hai theo biến  nên ta có   0 2 b  b  b     f 2  x  dx     f 2  x  dx   g 2  x  dx   0 a  a  a  2 b  b  b     f 2  x  dx     f 2  x  dx   g 2  x  dx  (đpcm) a  a  a  ———-HẾT———-  * Câu 1: (THPT Kim Liên-Hà Nội năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 5 x 2  12 x  16  m  x  2  x 2  2 có hai nghiệm thực phân biệt thỏa mãn điều kiện 20172 x  x 1  2017 2 x 1  2018 x  2018 .  A. m  2 6;3 3  . 11   C. m   3 3; 3 2 6 . 3   B. m   2 6;3 3  . 11   D. m   2 6; 3 . 3   Lời giải   Chọn A Ta có 2017 2 x   2017 2 x  x 1  20172 x 1  2018 x  2018 x 1  1009 2  x  1  2017 2 x 1  1009 2  x  1          f 2x  x 1  f 2  x 1 . u Xét hàm số f  u   2017  1009u Ta có f   t   2017u ln 2017  1009  0, u  f  u  đồng biến. Nên 2 x  x  1  2  x  1  1  x  1 . 2 Ta lại có 5 x 2  12 x  16  m  x  2  x 2  2  3  x  2   2  x 2  2   m  x  2  x 2  2 2  x2  x2  3 .   2  m. 2 2 x 2  x 2  x2 2  2x Xét t   t  x   2 x 2 x2  2  Nên  3  0, x   1;1 3 t 3. 3 2  m. t 2 3t 2  2 2 Xét hàm số f  t   3t  . ta có f   t   3  2  . t t2 t 6 Cho f   t   0  t  . 3 Bảng biến thiên Khi đó phương trình trở thành 3t 2  2  mt  3t  Dựa vào bảng biến thiên suy ra 2 6  m  3 3 . ———-HẾT———- Câu 2: (THPT Lương Thế Vinh-Hà Nội năm 2017-2018) Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v  t   7t  m/s  . Đi được 5  s  người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a  35  m/s 2  . Tính quãng đường của ô tô đi được từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn? A. 87.5 mét. B. 96.5 mét. C. 102.5 mét. Lời giải Chọn D 5 D. 105 mét. 5 t2 Quãng đường ô tô đi được trong 5  s  đầu là s1   7tdt  7  87,5 (mét). 20 0 Phương trình vận tốc của ô tô khi người lái xe phát hiện chướng ngại vật là v 2  t   35  35t (m/s). Khi xe dừng lại hẳn thì v 2  t   0  35  35t  0  t  1 . Quãng đường ô tô đi được từ khi phanh gấp đến khi dừng lại hẳn là 1 1  t2  s2    35  35t  dt   35t  35   17.5 (mét). 2 0  0 Vậy quãng đường của ô tô đi được từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là s  s1  s2  87.5  17.5  105 (mét). Câu 3: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 3 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  có đồ 2 thị y  f   x  cho như hình dưới đây. Đặt g  x   2 f  x    x  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng. A. min g  x   g 1 . 3;3 B. max g  x   g 1 . 3;3 C. max g  x   g  3 .  3;3 D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của g  x  trên đoạn  3;3 . . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có g  x   2 f  x    x  1 2  g   x   2 f   x    2 x  2   0  f   x   x  1. Quan sát trên đồ thị ta có hoành độ giao điểm của f   x  và y  x  1 trên khoảng  3;3 là x  1 . Vậy ta so sánh các giá trị g  3 , g 1 , g  3 1 Xét 1  g   x dx  2   f   x    x  1 dx  0 3 3  g 1  g  3  0  g 1  g  3 . 3 Tương tự xét 3  g   x dx  2  f   x    x  1dx  0  g  3  g 1  0  g  3  g 1 . 1 3 1 1 3 Xét  g   x dx  2   f   x    x  1 dx  2   f   x    x  1 dx  0 3 3 1  g  3  g  3  0  g  3  g  3 . Vậy ta có g 1  g  3  g  3 . Vậy max g  x   g 1 .  3;3 Câu 4: (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  0 ; f   x    2 x  1 . f 2  x  và f 1  0,5 . Tính tổng f 1  f  2   f  3  …  f  2017   định đúng a A.  1 . b a a ;  a  ; b    với tối giản. Chọn khẳng b b B. a   2017; 2017  . C. b  a  4035 . D. a  b  1 . Lời giải Chọn C Ta có: f   x    2 x  1 . f 2  x    f  x f 2  x  2x 1   f  x f 2  x 1 1  x2  x  C   x2  x  C . f  x f  x Lại có: f 1  0,5  2  12  1  C  C  0 . Vậy 1 1 .    x 2  x    x  x  1 hay  f  x   f  x x  x  1 dx    2 x  1 dx 1 1 1 1    …  1.2 2.3 3.4 2017.2018 1 1 1 1 1 1 1 1 2017 .  1       …    1  2 2 3 3 4 2017 2018 2018 2018 2017 Vậy f 1  f  2   f  3  …  f  2017   hay a  2017 , b  2018  b  a  4035 . 2018 Ta có:  f 1  f  2   f  3  …  f  2017   Câu 5: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  4  x 2 , trục hoành và đường thẳng x  2 , x  m ,  2  m  2  . Tìm số giá 25 . 3 B. 3 . trị của tham số m để S  A. 2 . C. 4 . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn D m Ta có S   4 x 2 dx  2 25 . 3 Phương trình 4  x 2  0  x  2 . Bài ra 2  m  2 nên trên  2; m  thì 4  x 2  0 vô nghiệm. m  4  x 2 dx  2 25  3 m 3   25 x   4  x  dx  3   4 x  3  2  2 3  m  2 25 3 3  m   8  25 m 16 25   4m   4m       8    3   3 3 3 3 3   m3 16 25 1 3 4 m      3 m  4m  3  0  m3  12m  9  0 3 3 3     3 1  m3 16 25  m  12m  41  0  1 m3  4m  41  0  4m  3  3   3  3 3 Xét hàm số f  m   m3  12m , với m   2; 2  có   f   m   3m 2  12  3 m 2  4  0 , m   2; 2  . Do đó f  m  nghịch biến trên  2; 2   f  m   f  2   16  m3  12m  41  0 . Khi đó 1  m3  12m  9  0   m  3  m 2  3m  3  0  m  21  3 thỏa mãn. 2 21  3 thỏa mãn bài toán. 2 Câu 6: (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục Vậy chỉ có m  trên  và thỏa mãn f  x   0 , x   . Biết f  0   1 và f ‘ x  2  2 x . Tìm các giá trị thực f  x của tham số m để phương trình f  x   m có hai nghiệm thực phân biệt. A. m  e . Chọn C B. 0  m  1 . C. 0  m  e . Hướng dẫn giải D. 1  m  e . Ta có f  x f  x  2  2x   f  x f  x dx    2  2 x  dx . 2 2  ln f  x   2 x  x 2  C  f  x   A.e2 x  x . Mà f  0   1 suy ra f  x   e 2 x  x . 2 2 Ta có 2 x  x 2  1   x 2  2 x  1  1   x  1  1 . Suy ra 0  e2 x  x  e và ứng với một giá trị thực t  1 thì phương trình 2x  x 2  t sẽ có hai nghiệm phân biệt. Vậy để phương trình f  x   m có 2 nghiệm phân biệt khi 0  m  e1  e . Câu 7: (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho parabol  P  : y  x2 và hai đường thẳng y  a , y  b 0  a  b (hình vẽ). Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol  P  và đường thẳng y  a (phần tô đen);  S2  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol  P  và đường thẳng y  b (phần gạch chéo). Với điều kiện nào sau đây của a và b thì S1  S 2 ? A. b  3 4a . B. b  3 2a . C. b  3 3a . Lời giải D. b  3 6a . Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm của parabol  P  : y  x 2 với đường thẳng y  b là x2  b  x   b . Phương trình hoành độ giao điểm của parabol  P  : y  x 2 với đường thẳng y  a là x2  a  x   a . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol  P  : y  x 2 và đường thẳng y  b là b b   x3  b b  4b b . S  2   b  x  d x  2  bx    2  b b     3 3 0 3  0   2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol  P  : y  x 2 và đường thẳng y  a (phần tô màu đen) a a   x3  a a  4a a là S1  2   a  x  d x  2  ax    2  a a  .  3  3 3 0  0  2 Do đó S  2 S1  4b b 4a a  2.  3 3  b 3 2  a 3  b  3 2 a  b  3 4a .   Câu 8: (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f x liên tục, không âm     , thỏa mãn f  0   3 và f  x  . f   x   cos x. 1  f 2  x  , x   0;  . Tìm giá   2  2 trên đoạn  0;    . 6 2   trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f x trên đoạn  ; 5 , M 3. 2 A. m  21 , M 2 2. 2 B. m  C. m  5 , M  3. 2 D. m  3 , M  2 2 . Lời giải Chọn A Từ giả thiết f  x  . f   x   cos x. 1  f 2  x   f  x. f  x 1 f 2  x  cos x   f  x. f  x 1 f 2  x dx  sin x  C Đặt t  1  f 2  x   t 2  1  f 2  x   tdt  f  x  f   x  dx . Thay vào ta được  dt  sin x  C  t  sin x  C  1  f 2  x   sin x  C . Do f  0   3  C  2 . Vậy 1  f 2  x   sin x  2  f 2  x   sin 2 x  4sin x  3    f  x   sin 2 x  4sin x  3 , vì hàm số f  x  liên tục, không âm trên đoạn  0;  .  2 1  sin x  1 , xét hàm số g  t   t 2  4t  3 có hoành độ đỉnh t  2 loại. 6 2 2  1  21 Suy ra max g  t   g 1  8 , min g  t   g    . 1  1  2 4  ;1  ;1 Ta có  x 2    2      21 Suy ra max f  x   f    2 2 , min f  x   g    .        6 2 2 ; ;     6 2   6 2     Câu 1: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Giả sử hàm số y  f  x  liên tục nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f 1  1 , f  x   f   x  . 3x  1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 3  f  5   4 . B. 1  f  5   2 . C. 4  f  5   5 . D. 2  f  5   3 . Lời giải Chọn A Từ f  x   f   x  . 3x  1 ta có Suy ra: f  x  f  x d x   Ta có ln f 1  Nên ln f  x   2 Vậy f  5   e 3 f  x 1  . f  x 3x  1 1 2 3x  1  C . d x  ln f  x   3 3x  1 2 4 4 3.1  1  C  ln1   C  C   . 3 3 3 2 2 4 3x  1   f  x   e 3 3 3 3.5 1  4 3 3 x 1  4 3 . 4  e 3   3; 4  . Câu 2: ———-HẾT———-(THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  có đạo 1 hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn 1 2 x   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  0 0 e2  1 và f 1  0 . 4 1 Tính  f  x  dx 0 A. e 1 . 2 B. e2 . 4 C. e  2 . D. e . 2 Lời giải Chọn C 1 1 1 – Tính: I    x  1 e x f  x  dx   xe x f  x  dx   e x f  x  dx  J  K . 0 0 0 1 Tính K   e x f  x  dx 0 x x x u  e f  x  du   e f  x   e f   x   dx Đặt   dv  dx v  x 1 1 1 1  K   xe f  x      xe f  x   xe f   x   dx    xe f  x  dx   xe x f   x  dx  do f 1  0  0 x x x x 0 1 0 1  K   J   xe x f   x  dx  I  J  K    xe x f   x  dx . 0 – Kết hợp giả thiết ta được: 0 0 1 1 2 2 e2  1 e2  1  (1)    f  x   dx     f   x   dx  4 4 0 0  1  1 2 2  xe x f  x dx  e  1 2 xe x f  x dx   e  1 (2)         4 2  0  0 1 – Mặt khác, ta tính được:  x 2 e 2 x dx  0 e2  1 (3) . 4 – Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được: 1    f   x  2 1 x 2 2x  2 xe f   x   x e 1  dx  0    f   x   xe  dx  0     f   x   xe  dx  0 x 2 o 0 x 2 o x hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f   x   xe , trục Ox , các đường thẳng x  0 , x  1 khi quay quanh trục Ox bằng 0  f   x   xe x  0  f   x    xe x  f  x     xe x dx  1  x  e x  C . – Lại do f 1  0  C  0  f  x   1  x  e x 1 1 1 1 1   f  x  dx   1  x  e x dx   1  x  e x    e x dx  1  e x  e  2 . 0 0 0 0 0 1 Vậy  f  x  dx  e  2 . 0 Câu 3: ———-HẾT———-(THPT Kinh Môn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Giả sử hàm số f  x x . Khi đó hiệu  2 f ( x ) liên tục, dương trên  ; thỏa mãn f  0   1 và f  x x 1   T  f 2 2  2 f 1 thuộc khoảng A.  2;3 . B.  7;9  . C.  0;1 . D.  9;12  . Lời giải Chọn C Ta có  f  x dx  f  x x  x 2  1 dx   d  f  x  f  x 2 1 d  x  1 .   2 2 x 1 1 Vậy ln  f  x    ln  x 2  1  C , mà f  0   1  C  0 . Do đó f  x   x 2  1 . 2     Nên f 2 2  3; 2 f 1  2 2  f 2 2  2 f 1  3  2 2   0;1 . Câu 4: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Cho hai đường tròn  O1;5 và  O2 ;3 cắt nhau tại hai điểm A , B sao cho AB là một đường kính của đường tròn  O2 ;3 . Gọi  D  là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ). Quay  D  quanh trục O1O2 ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành. A D O1 C O2 B A. V  36 . B. V  68 . 3 C. V  14 . 3 D. V  40 . 3 Lời giải Chọn D Chọn hệ tọa độ Oxy với O2  O , O2C  Ox , O2 A  Oy . 2 Cạnh O1O2  O1 A2  O2 A2  52  32  4   O1  :  x  4   y 2  25 . Phương trình đường tròn  O2  : x 2  y 2  9 . 2 Kí hiệu  H1  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  25   x  4  , trục Ox , x  0 , x  1 . Kí hiệu  H 2  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  9  x 2 , trục Ox , x  0 , x  3 . Khi đó thể tích V cần tính chính bằng thể tích V2 của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H2  xung quanh trục Ox trừ đi thể tích V1 của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H1  xung quanh trục Ox. 1 4 2 Ta có V2  .  r 3   .33  18 . 2 3 3 3  x  4   2   Lại có V1    y dx    25   x  4  dx    25 x     3  0 0  1 1 1 2 Do đó V  V2  V1  18  Câu (THPT 5: Kinh 3  0 14 . 3 14 40 .  3 3 Môn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm 2 số y  f  x   x   2m  1 x   2  m  x  2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  f  x  có 5 điểm cực trị. A. 5  m  2. 4 B. 2  m  5 . 4 5 C.   m  2 . 4 Lời giải D. 5  m  2. 4 Chọn D Ta có: y  3x 2  2  2m  1 x  2  m Hàm số y  f  x  có 5 điểm cực trị khi chi khi hàm số f  x  có hai điểm cực trị dương.  2  4m 2  m  5  0  2m  1  3  2  m   0   0   1 5    2  2m  1  S  0    m  0  m2 2 3 4  P  0   m  2 2  m  3  0 Câu 6: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm dương, liên tục trên 1 thỏa 1 2 1  3  f   x   f  x     dx  2 9 0  0 A.  0;1 đoạn 3 . 2 B. 1 f  0  1 mãn 3 f   x  f  x  dx . Tính tích phân   f  x   dx : 0 5 . 4 C. 5 . 6 D. 7 . 6 Lời giải Chọn D Từ giả thiết suy ra: 1 1  3 f  x f x 2  2.3 f  x f x  1 dx  0  3 f  x f x  1 2 dx  0 .          0  0          1 1  f  x. f 2  x  . 3 9 1 1 Vì  f 3  x    3. f 2  x  f   x  nên suy ra  f 3  x     f 3  x   x  C . 3 3 Suy ra 3 f   x  f  x   1  0  f  x f  x  Vì f  0   1 nên f 3  0   1  C  1 . 1 Vậy  f 3  x   x  1 . 3 1 Suy ra   f  x  3 0 1 7 1  dx    x  1 dx  . 3 6  0 Câu 7: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên  . Biết rằng đồ thị hàm số y  f   x  như hình 2 dưới đây. y 5 3 1 O 1 2 1 x Lập hàm số g  x   f  x   x 2  x . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. g  1  g 1 . B. g  1  g 1 . C. g 1  g  2  . D. g 1  g  2  . Lời giải Chọn D Xét hàm số h  x   f   x    2 x  1 . Khi đó hàm số h  x  liên tục trên các đoạn  1;1 , 1;2 và có g  x  là một nguyên hàm của hàm số y  h  x  . và y 5 S2 3 S1 -1 O 1 2 x -1  x  1 x  1  Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi  là  y  f  x  y  2x 1  1 S1   1 1 f   x    2 x  1 dx    f   x    2 x  1  dx  g  x  1  g 1  g  1 . 1 1 Vì S1  0 nên g 1  g  1 . x  1 x  2  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  là  y  f x     y  2x 1  2 2 2 S 2   f   x    2 x  1 dx    2 x  1  f   x   dx   g  x  1  g 1  g  2  . 1 1 Vì S 2  0 nên g 1  g  2  . Câu 8: (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Cho f  x  là hàm số liên tục trên  và 1  3 f  x d x  4 , 0  1 f  x  d x  6 . Tính I  0 A. I  3 .  f  2x  1  d x . 1 B. I  5 . C. I  6 . Lời giải D. I  4 . Chọn B 1 Đặt u  2 x  1  d x  d u . Khi x  1 thì u  1 . Khi x  1 thì u  3 . 2 0 3 3  1 1 Nên I   f  u  d u    f  u  d u   f  u  d u  2  1 2 1 0  0 3  1    f  u  d u   f  u  d u  . 2  1 0  1 Xét  f  x  d x  4 . Đặt x  u  d x   d u . 0 Khi x  0 thì u  0 . Khi x  1 thì u  1 . 1 1 0 Nên 4   f  x  d x    f  u  d u  0 0 3 Ta có  f  u  d u . 1 3  f  x  d x  6   f u  d u  6 . 0 0 0 3  1 1 Nên I    f  u  d u   f  u  d u    4  6   5 . 2  1 0  2 Câu 9: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Trong đợt hội trại “Khi tôi 18 ” được tổ chức tại trường THPT X, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD , phần còn lại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán hoa văn là 200.000 đồng cho một m 2 bảng. Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)? A B D C 4m 4m A. 900.000 đồng. B. 1.232.000 đồng. C. 902.000 đồng. Lời giải D. 1.230.000 đồng. Chọn C Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó phương trình đường parabol có dạng: y  ax 2  b . y 4 A B 4m D 2 O 4m x C 2 Parabol cắt trục tung tại điểm  0; 4  và cắt trục hoành tại  2;0  nên: b  4 a  1 .   2 b  4 a .2  b  0   Do đó, phương trình parabol là y   x 2  4 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường parabol và trục hoành là 2 2  x3  32 . S1     x  4  d x     4 x    3  2 3 2 2 Gọi C  t ;0   B  t ; 4  t 2  với 0  t  2 . Ta có CD  2t và BC  4  t 2 . Diện tích hình chữ nhật ABCD là S 2  CD.BC  2t.  4  t 2   2t 3  8t . Diện tích phần trang trí hoa văn là 32 32 S  S1  S 2  .   2t 3  8t   2t 3  8t  3 3 32 Xét hàm số f  t   2t 3  8t  với 0  t  2 . 3 2  t  3   0; 2  Ta có f   t   6t 2  8  0   . 2  t   3   0; 2   Bảng biến thiên: x 2 3 0 f  x – 0 f  x  96  32 3 9 Như vậy, diện tích phần trang trí nhỏ nhất là bằng việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là 2 96  32 3 2 m , khi đó chi phí thấp nhất cho 9 96  32 3 .200000  902000 đồng. 9 Câu 10: ———-HẾT———-(THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Cho một đa giác  H  có 60 đỉnh nội tiếp một đường tròn  O  . Người ta lập một tứ giác tùy ý có bốn đỉnh là các đỉnh của  H  . Xác suất để lập được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của  H  gần với số nào nhất trong các số sau? A. 85, 40% . B. 13, 45% . C. 40,35% . Lời giải D. 80, 70% . Chọn D Số phần tử của không gian mẫu là n     C604 . Gọi E là biến cố “lập được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của  H  ”. Để chọn ra một tứ giác thỏa mãn đề bài ta làm như sau:  Bước 1: Chọn đỉnh đầu tiên của tứ giác, có 60 cách.  Bước 2: Cách 1: Chọn 3 đỉnh còn lại sao cho hai đỉnh bất kỳ của tứ giác cách nhau ít nhất 1 đỉnh. Điều này tương đương với việc ta phải chia m  60 chiếc kẹo cho n  4 đứa trẻ sao cho mỗi đứa trẻ có ít nhất k  2 cái, có Cmn 1n k 11  C553 cách, nhưng làm như thế mỗi tứ giác lặp lại 4 lần. Cách 2: Đánh số các đỉnh A1 ; A2 ;… A60 . Ký hiệu tứ giác cần lập là ABCD . Nếu A  A1 thì các điểm A, B, C , D cách nhau ít nhất 1 điểm. Gọi x1 là số điểm ở giữa A và B x2 là số điểm ở giữa B và C x3 là số điểm ở giữa C và D x4 là số điểm ở giữa D và A  x  x  x  x  56 Ta có:  1 2 3 4  x1 , x2 , x3 , x4  1  x1  1 .  x2  1 .  x3  1 .  x4  1 . 1 Số nghiệm dương của phương trình (1) là số cách chọn B , C , D . Khi đó có C553 cách, nhưng mỗi tứ giác được lặp lại 4 lần tại một đỉnh. A D O B C 3 55 60.C . 4 n  E  60.C553 Xác suất của biến cố E là P  E     80, 7% . n    4.C604 Suy ra, số phần tử của biến cố E là n  E   Câu 11: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  xác định   trên 0;  thỏa mãn  2 A.  4 .   2 2  2   2   0  f  x   2 2 f  x  sin  x  4  d x  2 . Tích phân B. 0 . C. 1 . D.  2  f  x  d x bằng 0 . Lời giải Chọn B Ta có:   2 2  2      2 2sin x  d x  1  cos 2 x  d x      0 0  0 1  sin 2 x  d x 4 2      1   2  2 .   x  cos 2 x   2 2  0   2 Do đó: 2 2    2  2       0 f x  2 2 f x sin x  d x  2sin 2  x   d x         0   4  4 2 2   0  2          f 2  x   2 2 f  x  sin  x    2sin 2  x    d x  0 4 4    0   2 2        f  x   2 sin  x    d x  0 4   0      Suy ra f  x   2 sin  x    0 , hay f  x   2 sin  x   . 4 4   Bởi vậy:   2 2  f  x d x   0 0  2    2 sin  x   d x   2 cos  x    0 . 4 40   Câu 12: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn  O; R  và  O; R  , OO  4 R . Trên đường tròn  O; R  lấy hai điểm A , B sao phẳng  P  đi qua A , B cắt đoạn OO và tạo với đáy một góc 60 ,  P  cho AB  a 3 . Mặt cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết diện đó bằng  4 3 2 A.   R . 2   3  2 3 2 B.   R . 4   3  2 3 2 C.   R . 4   3 Lời giải  4 3 2 D.   R . 2   3 Chọn A Cách 1: Gọi diện tích cần tìm là S , diện tích của hình này chiếu xuống đáy là S . Ta có: S   S .cos 60 . Hình chiếu của phần elip xuống đáy là miền sọc xanh như hình vẽ. Trong AOB ta có: cos  AOB  2 OA2  OB 2  AB 2 1 . AOB     3 2.OA.OB 2 4 Suy ra: sđ  . AOB lớn  3 Do đó S   SquatAOB  SAOB Vậy S  4 1  2  2  2 3 2  3 . R 2  sin   R  R   2 2  3  4   3  2 S 3  2  4 3 2  2     R   R cos 60 4  2   3  3 OA2  OB 2  AB 2 1 R    AOB  120  OH  . 2.OA.OB 2 2 Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ Cách 2: Ta có: cos  AOB  Suy ra: phương trình đường tròn đáy là x 2  y 2  R 2  y   R 2  x 2 . Hình chiếu của phần elip xuống đáy là miền sọc xanh như hình vẽ. R Ta có S  2   R 2  2 3 2 R 2  x 2 dx. Đặt x  R.sin t  S    3  4  R .   Gọi diện tích phần elip cần tính là S .  4 S 3 2  2 S    R . cos 60 2   3 Cách 3: Gọi I , H , K , E là các điểm như hình vẽ. Theo công thức hình chiếu, ta có S     60 * Ta có: IHO 3R 2 R 2 R 3 R ,   OH   OI  OH . tan 60  4 4 2 2 OH IE OK IH   R , IOH  EKH nên ta có:   2  IE  2 R . cos 60 IH OH * Chọn hệ trục tọa độ Ixy như hình vẽ ta có elip  E  có bán trục lớn là a  IE  2 R và  E  đi OH 2  OB 2  BH 2  R 2   x2 y2 R 3 qua A   R; nên có phương trình là E E :   1.      4R2 R 2 2   2R * Diện tích của thiết diện là S  2  R 1  R 2R * Xét tích phân: I   R 2 1 2R x2 x2 d x  2 R 1  dx  4R2 4R2 R x    dx , đặt x  2 R.sin t ; t    ;  ta được 2 4R  2 2  R I 2  2  2  4 R  sin 2t  2 3 3 2 1  cos 2 t d t  t    R  S        R .     3 2 2     3 8  4    6 6 Câu 13: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f 1  1 , f  x   f   x  . 3x  1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2  f  5  3 . B. 1  f  5   2 . C. 4  f  5  5 . D. 3  f  5  4 . Lời giải Chọn D Ta có f  x   f   x  . 3x  1   d  f  x  f  x 2 1 2 dx  ln f  x   3x  1  C  f  x   e 3 3 3x  1  4 Mà f 1  1 nên e 3 Câu C 3 x 1  C 4 4  1  C   . Suy ra f  5   e 3  3, 794 . 3 ———-HẾT———-(THPT 14: f  x f  x 1 1   dx   dx f  x f  x 3x  1 3x  1 Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018)  x sin 2018 x a trong đó a , b là các số nguyên dương. Tính P  2a  b . d x  0 sin 2018 x  cos2018 x b A. P  8 . B. P  10 . C. . P  6 .. Lời giải Chọn A  x sin 2018 x dx. sin 2018 x  cos 2018 x 0 Xét tích phân I   Đặt x    t  d x   d t . Khi x  0 thì t   . Khi x   thì t  0 .   t  sin 2018   t  d t     x  sin 2018 x d x 2018 0 sin 2018 x  cos2018 x   t   cos 2018   t   sin 0 Ta có I      sin 2018 x x sin 2018 x d x  0 sin 2018 x  cos 2018 x d x sin 2018 x  cos 2018 x 0   sin 2018 x dxI . 2018 2018 sin x  cos x 0  Suy ra I   sin 2018 x dx. 2 0 sin 2018 x  cos 2018 x   Xét tích phân J    sin 2018 x dx. sin 2018 x  cos 2018 x 2 Đặt x   2 u  d x  du . D. P  12 . Biết Khi x   2 thì u  0 . Khi x   thì t     2 Nên J    0  2 .   sin 2018   u  0 cos 2018 x 2  du   dx. 2018 x  cos 2018 x   2018   2018    sin sin   u   cos   u   2 2  2  Vì hàm số f  x   cos 2018 x là hàm số chẵn nên: sin 2018 x  cos 2018 x  0   2018 2 cos x cos 2018 x d x  0 sin 2018 x  cos2018 x d x sin 2018 x  cos 2018 x 2 Từ đó ta có:  2    sin x  sin 2018 x sin 2018 x  d x   2018 d x I   2018 d x    2018 2018 2018 2018 2 0 sin x  cos x 2  0 sin x  cos x x  cos x   sin   2  2018    2 sin 2018 x cos 2018 x     2018 d x   2018 d x 2018 2  0 sin x  cos 2018 x sin x  cos x 0     2   2   sin 2 0 sin 2018 2018 2018 x  cos x  2 2 . dx  dx  2018 x  cos x 20 4 Như vậy a  2 , b  4 . Do đó P  2a  b  2.2  4  8 . Câu 15: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện f   0   1 và 2  f   x    f   x  . Đặt T  f 1  f  0  , hãy chọn khẳng định đúng? A. 2  T  1 . B. 1  T  0 . C. 0  T  1 . D. 1  T  2 . Lời giải Chọn A 1 Ta có: T  f 1  f  0    f   x  dx 0 2 Lại có:  f   x    f   x   1    x  c   1    1    2  f   x    f  x  f   x  1 1  f  x  . x  c f  x Mà f   0   1 nên c  1 . 1 1 1 1 dx   ln  x  1 0   ln 2 .  x 1 0 Vậy T   f   x  dx   0 Câu 16: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên 1 2 tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  1 ,   f   x   dx  0 9 và 5 1 2  f  x  dx  5 . Tính tích phân 0 1 I   f  x  dx . 0 A. I  3 . 5 B. I  1 . 4 C. I  3 . 4 D. I  1 . 5 Lời giải Chọn B Đặt t  x  t 2  x  dx  2tdt . Đổi cận x  0  t  0; x  1  t  1 1 Suy ra 1    0 0  x. f  x  dx  0 1 1 0 1 1 Mặt khác Suy ra 1 x dx  2 t. f  t  dt   t. f  t  dt  f 1 1 . Do đó   x. f  x  dx  5 5 0 1 1 1 x2 x2 x2 f  x   f   x  dx    f   x  dx . 2 2 2 0 2 0 0 1 2 x 1 1 3 3 2 0 2 f   x  dx  2  5  10  0 x f   x  dx  5 1 Ta tính được 9 2 2   3x  dx  5 . 0 1 1 2 1 1 2 2 Do đó   f   x   dx  2 3 x 2 f   x  dx    3 x 2  dx  0    f   x   3 x 2  dx  0 0 0 0 2 2 0 3  f   x   3x  0  f   x   3x  f  x   x  C . Vì f 1  1 nên f  x   x 3 1 1 Vậy I   f  x  dx   x 3dx  0 0 1 . 4 Câu 17: ———-HẾT———-(THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp   60 , SA  SB  SD  a 3 . S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I , cạnh a , góc BAD 2 Gọi  là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng  SBC  . Giá trị sin  bằng A. 1 . 3 B. 2 . 3 C. Lời giải Chọn C 5 . 3 D. 2 2 . 3 S I K D A H O C B E Gọi O là tâm hình thoi ABCD , H là trọng tâm tam giác ABD . Từ SA  SB  SD suy ra SH   ABCD  .   60 nên suy ra tam giác ABD là tam giác đều cạnh a Tam giác ABD có AB  AD  a và BAD  AO  a 3 2 a 3 .  AH  BH  AO  2 3 3 2 2 a 3 a 3 a 15 Do đó SH  SA  AH   .  2    3   6     2 2 Ta có BH  AD  BH  BC  BC   SHB  . Kẻ HK  SB  K  SB   HK   SBC  . Trong tam giác SHB vuông tại H , ta có: HK  SH .BH SH 2  BH 2  a 15 a 3 . 6 3 2 2  a 15   a 3       6   3  DE 3 Gọi E  DH  BC   . HE 2 Gọi I là hình chiếu của D trên  SBC  , suy ra:  a 15 . 9 DI DE 3 3 3 a 15 a 15 .     DI  HK  . HK HE 2 2 2 9 6    DSI   . Ta có  SD;  SBC     SD; SI   DSI a 15 DI 5   . sin   sin DSI  6  SD 3 a 3 2 Câu 18: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên 1 tục trên đoạn 0;1 f 1  1 , thỏa mãn 2   f   x  dx  9 và 0 1 1  x f  x  dx  2 . 3 Tích phân 0 1  f  x  dx bằng 0 A. 2 . 3 B. 5 . 2 7 . 4 C. D. 6 . 5 Lời giải Chọn B 1 Ta có:   f   x  2 dx  9 1 0 1 – Tính 1  x f  x  dx  2 . 3 0 du  f   x  dx u  f  x   Đặt   x4 3 v  dv  x .dx   4 1 1 1 1  x4  1 1 4 1 1 4 3     x f  x  dx   . f  x     x . f  x  d x    x . f   x  d x 2 0 4 40  4 0 4 0 1 1   x 4 . f   x  dx  1  18 x 4 . f   x  dx  18  2  0 0 9 1 1 – Lại có: 8  x dx  0 x 9 1  0 1  81 x8dx  9  3 9 0 – Cộng vế với vế các đẳng thức 1 ,  2  và  3 ta được: 1 1 1 2 4 8 4 4 0   f   x   18 x . f   x   81x  dx  0  0  f   x   9 x  dx  0   .0  f   x   9 x  dx  0 Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f   x   9 x 4 , trục hoành Ox , các đường thẳng x  0 , x  1 khi quay quanh Ox bằng 0 9  f   x   9 x 4  0  f   x   9 x 4  f  x    f   x  .dx   x 4  C . 5 14 9 14 Lại do f 1  1  C   f  x    x5  5 5 5 1 1 1  0 14  5 14   3  9 f  x  d x     x 5   dx    x 6  x   . 5 5 5 0 2  10 0 Câu 19: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Cho hai hàm số f  x  và g  x  có đạo hàm trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn hệ thức  f 1  g 1  4   g  x    x. f   x  ; f  x    x.g   x  4 I    f  x   g  x   dx . 1 A. 8ln 2 . B. 3ln 2 . C. 6 ln 2 . D. 4 ln 2 . . Tính Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có f  x   g  x    x  f   x   g   x     f  x  g  x 1  f   x   g  x  x f  x  g  x 1 dx    dx  ln f  x   g  x    ln x  C f   x  g  x x Theo giả thiết ta có C  ln 1  ln f 1  g 1  C  ln 4 . 4   f  x  g  x  x 4 Suy ra  , vì f 1  g 1  4 nên f  x   g  x   x  f  x  g  x   4  x 4  I    f  x   g  x   dx  8ln 2 . 1 Cách 2: Ta có f  x   g  x    x  f   x   g   x      f  x   g  x   dx    x  f   x   g   x   dx .    f  x   g  x   dx   x  f  x   g  x      f  x   g  x   dx .   x  f  x   g  x    C  f  x   g  x    C . Vì f 1  g 1  C  C  4 x 4 4 Do đó f  x   g  x   . Vậy I    f  x   g  x   dx  8ln 2 . x 1 Câu 20: ———-HẾT———-(SGD Phú Thọ – lần 1 – năm 2017 – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên 2 tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn   x  1 1 f  x  dx   , f  2   0 và 3 2 1 2   f   x  2 dx  7 . Tính tích 1 2 phân I   f  x  dx . 1 A. I  7 . 5 7 B. I   . 5 C. I   7 . 20 D. I  7 . 20 Lời giải Chọn B Đặt u  f  x   du  f   x  dx , dv   x  1 2  x  1 dx  v  3 2 3 3 3  x  1 . f x   x  1 f  x dx 1 2 Ta có     x  1 f  x  dx       3 1 3 3 1 2 2 1 2 2 2 1 1 3 3 3       x  1 f   x  dx    x  1 f   x  dx  1    2.7  x  1 f   x  dx  14 3 31 1 1 2 2 6 2 2 2 3 6 Tính được  49  x  1 dx  7    f   x   dx   2.7  x  1 f   x  dx   49  x  1 dx  0 1 1 2 3 2 1 1 4 3   7  x  1  f   x   dx  0  f   x   7  x  1  f  x     1 7  x  1 C . 4 4 7  x  1 7 Do f  2   0  f  x    . 4 4 4 2 2  7  x  1 7  7 Vậy I   f  x  dx      dx   . 4 4  5 1  1  Câu 21: (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 – năm 2017 – 2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn 2  f   x    f  x  . f   x   15 x 4  12 x , x   và f  0   f   0   1 . Giá trị của f 2 1 bằng 9 5 A. . B. . C. 10 . D. 8 . 2 2 Lời giải Chọn D 2 Ta có:  f   x    f  x  . f   x   15 x 4  12 x , x   .   f   x  . f  x    15 x 4  12 x , x    f   x  . f  x   3x 5  6 x 2  C1 Do f  0   f   0   1 nên ta có C1  1. Do đó: f   x  . f  x   3×5  6 x 2  1 1    f 2  x    3 x5  6 x 2  1  f 2  x   x 6  4 x 3  2 x  C2 . 2  Mà f  0   1 nên ta có C2  1. Do đó f 2  x   x 6  4 x 3  2 x  1 . Vậy f 2 1  8. Câu 22: . (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 – năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên 1 tục trên đoạn  0;1 và f  0   f 1  0 . Biết  f 2  x  dx  0 1 , 2 1   f   x  cos  x  dx  2 . 0 1  f  x  dx . 0 A.  . B. 1  . C. 2  . Lời giải Chọn C u  cos  x  du   sin  x  dx Đặt  .  dv  f   x  dx v  f  x  1 Khi đó:  0 1 1 f   x  cos  x  dx  cos  x  f  x  0    f  x  sin  x  dx 0 1 1    f 1  f  0      f  x  sin  x  dx    f  x  sin  x  dx 0 1   f  x  sin  x  dx  0 0 1 . 2 Cách 1: Ta có 1 2 Tìm k sao cho   f  x   k sin  x   dx  0 0 D. 3 . 2 Tính 1 Ta có: 1 2 0  1 1 2 2 2   f  x   k sin  x  dx   f  x  dx  2k  f  x  sin  x  dx  k  sin  x  dx 0 0 0 1 k2 k   0  k  1. 2 2 1 Do đó   f  x   sin  x  2 2 dx  0  f  x   sin  x  (do  f  x   sin  x    0 x   ). 0 1 Vậy  0 1 f  x  dx   sin  x  dx  0 2  . Cách 2: Sử dụng BĐT Holder. 2 b b b  2 2 f x g x d x  f x d x .            g  x  dx . a  a a Dấu “  ” xảy ra  f  x   k .g  x  , x   a; b . 2 1 1 1  1  1 Áp dụng vào bài ta có    f  x  sin  x  dx    f 2  x  dx. sin 2  x  dx  , 4 0 4 0 0  suy ra f  x   k .sin  x  , k   . 1 Mà 1  f  x  sin  x  dx  0 1 Vậy  0 1 1  k  sin 2  x  dx   k  1  f  x   sin  x  2 2 0 1 f  x  dx   sin  x  dx  0 2  . Câu 23: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x   0 xác x định, có đạo hàm trên đoạn  0;1 và thỏa mãn: g  x   1  2018 f  t  dt , g  x   f 2  x  . Tính 0 1  g  x dx . 0 A. 1011 . 2 B. 1009 . 2 2019 . 2 Lời giải C. D. 505 . Chọn A x Ta có g  x   1  2018 f  t  dt  g   x   2018 f  x   2018 g  x  0 g  x  g  x 2  t  2018   0 g x g  x t dx  2018 dx  2  g  t   1  2018t (do g  0   1 )  g  t   1009t  1 1 1 1011  1009 2  .   g  t dt   t t  2  2 0 0 0  g  x  t 0 t  2018 x 0 Câu 24: (SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 1 thỏa f 1  0 mãn 1 2 x   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  và 0 0 e2  1 . 4 Tính tích phân 1 I   f  x  dx . 0 A. I  2  e . B. I  e  2 . C. I  e . 2 D. I  e 1 . 2 Lời giải Chọn B 1 u  f  x  du  f   x  dx Xét A    x  1 e x f  x  dx . Đặt   x x dv   x  1 e dx 0 v  xe x Suy ra A  xe f  x  1 0 1 1   xe f   x  dx    xe x f   x  dx   xe x f   x  dx  0 Xét 2 2x x e 0 1 Ta có 0 1 1 1 x 0 1  e2 4 2 1 1 e 1 1 . dx  e 2 x  x 2  x    2 40 4 2 1 2 1 1 2 x 2 2x x   f   x  dx  2 xe f   x  dx   x e dx  0    f   x   xe  dx  0 0 0 0 0 Suy ra f   x   xe x  0 x   0;1 (do  f   x   xe x 2   0 x   0;1 )  f   x    xe x  f  x   1  x  e x  C Do f 1  0 nên f  x   1  x  e x 1 1 1 Vậy I   f  x  dx   1  x  e x dx   2  x  e x  e  2 . 0 0 0 Câu 25: ———-HẾT———-(THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang – Lần 3 năm 2017 – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn   f   0, 2    f   x   2    cos x f  x  dx  4 . Tính f  2018  . 2 B. 0 . A. 1 . C. 1 . 2 D. 1. Lời giải Chọn D Bằng công thức tích phân từng phần ta có       cos xf x d x   sin xf x   sin xf x d x . Suy ra             sin xf   x  dx   4 .  2 2   2  2    1  cos 2 x   2 x  sin 2 x  dx    .  2 4   4  2 2 Hơn nữa ta tính được  sin 2 xdx   2 2 dx   4 và Do đó:     2 2 2 2 2 2 2   f   x  dx  2 sin xf   x  dx   sin xdx  0    f   x   sin x  dx  0 . 0 0 0 0   Suy ra f   x    sin x . Do đó f  x   cos x  C . Vì f    0 nên C  0 . 2 Ta được f  x   cos x  f  2018   cos  2018   1 . Câu 26: ———-HẾT———-Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  và thỏa mãn 2 f   x    1;1 với x   0; 2  . Biết f  0   f  2   1 . Đặt I   f  x  dx , phát biểu nào dưới 0 đây đúng? A. I   ;0 . B. I   0;1 . C. I  1;   . ———-HẾT———- D. I   0;1 . BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO ĐỀ 139 1 2 A B 3 B 4 5 6 A A B 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D C D A B B B A C A D D C A D A B A B 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 C D D C A C A B C D A C D C A B B B C D A D C A C HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 27: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  và thỏa mãn f   x    1;1 với x   0; 2  . Biết f  0   f  2   1 . Đặt 2 I   f  x  dx , phát biểu nào dưới đây đúng? 0 A. I   ;0 . B. I   0;1 . C. I  1;   . D. I   0;1 . Lời giải Chọn C 2 1 2 Ta có I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . 0 0 1 1  0 1 1 1 f  x  dx   x  1 f  x  0    x  1 f   x  dx  1   1  x  f   x  dx  1   1  x  dx  2  1 2 0 0 0 2 2 2 f  x  dx   x  1 f  x  1    x  1 f   x  dx  1    x  1 f   x  dx  1   1  x  dx  1 1 Từ 1 và  2  suy ra I  1 1 1 1 . 2 1 2  2 . 1 1  1. 2 2 ———-HẾT———- Câu 28: (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018)Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn bằng 1m , trục bé bằng 0,8m , chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3m . Đươc đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m . Tính thể tích V của dầu có trong thùng (Kết quả làm tròn đến phần trăm). A. V  1,52m3 . B. V  1,31m3 . Chọn A Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. C. V  1, 27m3 . Lời giải D. V  1,19m3 . y B x A A O B 2 x y2  1. 1 4 4 25 Gọi M , N lần lượt là giao điểm của dầu với elip. 1 2  Gọi S1 là diện tích của Elip ta có S1   ab   .  . 2 5 5 Gọi S 2 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đường thẳng MN . Theo đề bài ta có phương trình của Elip là Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m nên ta có phương trình của đường thẳng MN là y  Mặt khác từ phương trình Do đường thẳng y  1 . 5 4 1 x2 y2  x2 .   1 ta có y  1 4 5 4 4 25 3 3 1 cắt Elip tại hai điểm M , N có hoành độ lần lượt là  và nên 4 4 5 3 4 3 4 1 1 4 4 1 3 . S 2     x 2   dx    x 2 dx  5 4 5 5 4 10  3 3   4 4 3 4 Tính I  1 1 1  x 2 dx . Đặt x  sin t  dx  cos tdt . 4 2 2   3 4 Đổi cận: Khi x   3 3   thì t   ; Khi x  thì t  . 4 4 3 3  3 Khi đó I    Vậy S 2  3  1 1 1 . cos 2 tdt  2 2 8 3 1  2 3   . 3 2    1  cos 2t  dt  8   3 4 1  2 3 3  3 .       5 8 3 2  10 15 20   3 Thể tích của dầu trong thùng là V     .  5 15 20  .3  1, 52   Câu 29: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  và f   x   x 4  2  2 x x  0 và f 1  1 . Khẳng định nào sau đây x2 đúng? A. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên  0;1 . B. Phương trình f  x   0 có đúng 3 nghiệm trên  0;   . C. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên 1; 2  . C. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên  2;5  . Lời giải Chọn C 2 3 x 6  2 x3  2  x  1  1 2   0 , x  0 . f  x  x  2  2x  x2 x2 x  y  f  x  đồng biến trên  0;   . 4  f  x   0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng  0;   1 . Mặt khác ta có: 2 f   x   x4  2 2 21 2    2 x  0 , x  0   f   x  dx    x 4  2  2 x  dx  2 x x 5  1 1 21 17  f  2  . 5 5 Kết hợp giả thiết ta có y  f  x  liên tục trên 1; 2 và f  2  . f 1  0  2  .  f  2   f 1  Từ 1 và  2  suy ra phương trình f  x   0 có đúng 1 nghiệm trên khoảng 1; 2  . Câu 30: ———-HẾT———-(SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Cho hàm số chẵn y  f  x  liên 1 tục trên  và  1 f  2x dx  8 . Tính 1  2x A. 2 . 2  f  x  dx . 0 B. 4 . C. 8 . Lời giải D. 16 . Chọn D 1 Ta có  1 2 f  2x f  x d x  8  dx  16 . x x  1 2 2 1  2 2 Đặt t   x  dt  dx , khi đó 16  I  f  x  1 2 2 Suy ra 2 I  f  x  1 2 2 2 Vậy  f  x  dx  16 . 0 2 x dx   2 x 2 f  x 1 2 x 2 dx  2 f  t  2 x dx    2 1 2 t 2 dt   2  f  x  dx  2 f  x  dx . 2 0 2 t 2 f t  1 2 t dt . 1 Câu 31: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa f 1  0 , 2   f   x   dx  0 1 1   và  cos  x  f  x  dx  . Tính 2 2  0  A. 2 8 1  f  x  dx . 0 B.  . . 2 1 C.  . D. 2  . Lời giải Chọn D u  f  x  du  f   x  dx   Đặt  x  2 x d v  cos d x v  sin 2  2   1  Do đó  cos  2 0  2  sin x 2 1  x  f  x  dx  2  1 f  x  0 1  sin    0 2 2 1 1   x  f   x  dx    sin  2  2 0   x  f   x  dx   . 4  1 1   Lại có:  sin 2  x  dx  2 2  0 2 1 1  2   2   I     . f   x   dx  2     sin      0 2 0 1  2      f   x   sin   2 0 1   x  f   x  dx   sin 2   2 0  x  dx  2 4 2 2  1  x   dx  2  .  0  8  2 2  2  2    Vì   f   x   sin  x    0 trên đoạn  0;1 nên  2    1 2  2  0    f   x   sin  2 2   x   dx  0   f   x  =sin    2  Suy ra f  x  =cos  2   x   C mà f 1  0 do đó f  x  =cos   2 1 Vậy 1      x   f   x  =  sin  2  2  x.   x.  2  f  x  dx   cos  2 x  dx   . 0 0 Câu 32: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0; 1 1 thỏa mãn 1 x  xf  x  dx  0 và max f  x   1. Tích phân I   e f  x  dx thuộc khoảng nào trong 0 các khoảng sau đây? 5  A.  ;   . 4  [0; 1] 3  B.  ; e  1 . 2   0  5 3 C.   ;  .  4 2 Lời giải Chọn C 1 1 1 Với mọi a   0;1 , ta có 0   xf  x  dx  a  xf  x  dx   axf  x  dx 0 0 0 D.  e  1;    . 1 Kí hiệu I  a     e x  ax  dx . 0 Khi đó, với mọi a   0;1 ta có 1 1 1 1 x x  e f  x  dx   e f  x  dx   axf  x  dx  0 0 0 1 1 1  e  ax  f  x  dx   e x  ax . f  x  dx x 0 0   e x  ax .max f  x  dx   e x  ax dx  I  a  . x 0;1 0 0 1 x I a  e f  x  dx  min   Suy ra a 0;1 0 Mặt khác 1 1 1 a  a  Với mọi a   0;1 ta có I  a    e  ax dx    e  ax  dx   e x  x 2   e   1 2 2 0  0 0 x x 1 min I  a   e  a 0;1 3 3   e x f  x  dx  e   1, 22 . 2 2 0  5 3 Vậy I    ;  .  4 2 Câu 33: (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn     0; 4  và  4   f    0 . Biết 4  f 2  x  dx  0  8 4   f   x  sin 2xdx   4 . , Tính tích phân 0  8 I   f  2 x  dx 0 A. I  1 . 1 . 2 B. I  C. I  2 . D. I  Lời giải Chọn D  4 Tính sin 2 x  u  2 cos 2 xdx  du  f   x  sin 2xdx   4 . Đặt  f   x  dx  dv   f  x   v 0    4  0 4 f   x  sin 2xdx  sin 2x. f  x  04  2  f  x  cos2xdx  sin 0    4 4   . f    sin 0. f  0   2  f  x  cos2xdx  2  f  x  cos2xdx . 2 4 0 0   4 Theo đề bài ta có  f   x  sin 2xdx   0  4 Mặt khác ta lại có  cos 2 2 xdx  0  8 .  4 4    f  x  cos2xdx  8 . 0 , khi đó 1 . 4   4 Do 2 4 2 2   f  x   cos2x  dx    f  x   2f  x  .cos2x  cos 2 x  dx 0 0 f  x   cos 2 x .  8  8 1 1 Ta có I   cos 4 xdx  sin 4 x  . 4 4 0 0     2  0 8 8 8 nên Câu 1: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho hàm số  1 4 f  x  liên tục trên  và biết  f  tan x  dx  4 ,  0 0 x2 f  x  x2  1 dx  2 . Giá trị của tích phân 1  f  x  dx thuộc khoảng nào dưới đây? 0 A.  5;9  . B.  3;6  . C.   2;5 . D. 1;4  . Lời giải Chọn A Đặt x  tan t  dx  1 dt  1  tan 2 t  dt cos 2 t Đổi cận x  0  t  0 ; x  1  t   4  1 Khi đó  0 x2 f  x  x2  1 4 dx    tan 2 t. f  tan t  0 tan 2 t  1  4  tan 2 t  1 dt   tan 2 t. f  tan t  dt 0   4 4 f  tan t   1     1 . f tan t d t  d t     0 cos2t 0 f  tan t  dt . cos 2t  0 4  f  tan t  4 Suy ra  cos 2t 0 dt  6 Đặt x  tan t  dx  1 dt cos 2 t Đổi cận t  0  x  0 ; t   4  x 1.  4 Câu 2: Khi đó  0 f  tan t  cos 2t 1 dt   f  x  dx . Vậy 0 1  f  x  dx  6 .(THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – 0 Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  đồng biến trên  0;   ; y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f  3   2 2 và  f ‘  x     x  1 . f  x  . Mệnh đề 3 nào dưới đây đúng? A. 2613  f 2  8   2614 . B. 2614  f 2  8   2615 . C. 2618  f 2  8  2619 . D. 2616  f 2  8   2617 . Lời giải Chọn A Hàm số y  f  x  đồng biến trên  0;   nên suy ra f   x   0, x   0;   . Mặt khác y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   nên 2  f   x     x  1 f  x   f   x    x  1 f  x  , x   0;   f  x  f  x  f  x  f  x Từ f  3   x  1 , x   0;   ; dx   f  x   1 3  x  1 3 C ; 2 8  3 3 3 suy ra C  2 1 Như vậy f  x    3 Bởi thế: 1 f  8    3  x  1dx 2 8  x  1    3 3 2 3 2 2 4  2 8  2 8 2 8  8  1      9     f 2 8    9     2613, 26 . 3 3  3 3 3 3  ———HẾT——–3 Câu 3: (THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho parabol  P  : y  x 2 và một đường thẳng d thay đổi cắt  P  tại hai điểm A , B sao cho AB  2018 . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  và đường thẳng d . Tìm giá trị lớn nhất Smax của S . A. S max  20183  1 . 6 B. Smax  20183 . 3 C. Smax  20183  1 . 6 D. S max  20183 . 6 Lời giải Chọn D Giả sử A(a; a 2 ) ; B(b; b2 ) (b  a ) sao cho AB  2018 . Phương trình đường thẳng d là: y  (a  b) x  ab . Khi đó b b S   (a  b) x  ab  x 2 dx     a  b  x  ab  x 2  dx  a a 1 3 b  a  . 6 2 2 2  Vì AB  2018   b  a    b 2  a 2   20182   b  a  1   b  a  2   b  a   20182  b  a  b  a  2018  S  2   2018 . 2 20183 20183 . Vậy S max  khi a  1009 và 6 6 b  1009 . Câu 4: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f  x  có f đạo hàm trên  thỏa mãn 3 f   x  .e 3  x  x 2 1 2x  2  0 và f  0   1. Tích phân f  x bằng A. 2 7 . 3 B. 15 . 4 C. 45 . 8 Lời giải Chọn C Ta có 3 f   x  .e f 3  x   x 2 1  3 2 2x  0  3 f 2  x  . f   x  .e f  x   2 x.e x 1 f  x 2 D. 5 7 . 4 7  x. f  x  dx 0 f 3  x  ex f 3  x  ex Suy ra e Do đó e 2 2 1  C . Mặt khác, vì f  0   1 nên C  0 . 1  f 3  x   x2  1  f  x   3 x2  1 . 7 Vậy  7 x. f  x  dx  0  x. 3 x 2  1 dx  0 1 2 7  0 3 3 x 2  1 d  x 2  1   x 2  1 8   3 7 45 x 2  1  . 0 8 Câu 5: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f ( x) 2 liên tục trên  thỏa mãn 3 f  x   f  2  x   2  x  1 e x 2  2 x 1  4 . Tính tích phân I   f  x  dx 0 ta được kết quả: A. I  e  4 . B. I  8 . C. I  2 . D. I  e  2 . Đề ban đầu bị sai vì khi thay x  0 và x  2 vào ta thấy mâu thuẫn nên tôi đã sửa lại đề Lời giải Chọn C 2 2 Theo giả thuyết ta có  3 f  x   f  2  x   dx    2  x  1 e x  0   2 x 1 0 2 Ta tính 2 2  4  dx * .  2 f  2  x  dx    f  2  x  d  2  x    f  x  dx . 0 0 0 2 2 Vì vậy  3 f  x   f  2  x   dx  4  f  x  dx . 0 0 2 2 Hơn nữa  2  x  1 e x 2  2 x 1 dx   e 0 2 x 2  2 x 1 d  x  2 x  1  e 2 x 2  2 x 1 0 2 2 0  0 và  4dx  8 . 0 2 Câu 6: Suy ra 4  f  x  dx  8   f  x  dx  2 . (SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số 0 y  f  x 0 liên tục trên  0;  1 thỏa mãn điều kiện f 1  2 ln 2 x  x  1 . f   x   f  x   x 2  x . Giá trị f  2   a  b ln 3 , với a, b   . Tính a 2  b 2 . A. 25 . 4 B. 9 . 2 5 . 2 Hướng dẫn giải C. D. 13 . 4 Chọn B Từ giả thiết, ta có x  x  1 . f   x   f  x   x 2  x  x 1 x . f  x  f  x  2 x 1 x 1  x  1 x  x  , với x   0;  1 .  . f  x    x 1  x 1 x x x Suy ra . f  x   dx hay . f  x   x  ln x  1  C . x 1 x 1 x 1 x Mặt khác, ta có f 1  2 ln 2 nên C  1 . Do đó . f  x   x  ln x  1  1 . x 1 2 3 3 3 3 Với x  2 thì . f  2   1  ln 3  f  2    ln 3 . Suy ra a  và b   . 3 2 2 2 2 và 9 . 2 Vậy a 2  b 2  Câu 7: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f  x   f   x   1 , x   và f  0   0 . Tìm giá trị lớn nhất của f 1 A. 2e  1 . e B. e 1 . e C. e  1 . D. 2e  1 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có x   , 1 1 0 0 f  x   f   x   1  e x f  x   e x f   x   e x  e x f  x     e x     e x f  x   dx    e x  dx 1  e x f  x    e 0 x 1 0  e. f 1  e  1  f 1  Do đó giá trị lớn nhất của f 1 là 1 . 4121202989 Câu 9: Tính tổng T  A. B. e 1 . e 0 C2018 C1 C2 C3 C 2017 C 2018  2018  2018  2018   2018  2018 . 3 4 5 6 2020 2021 Câu 8: ———HẾT———Tính tổng T  A. e 1 . e 1 . 4121202990 C. 1 . 4121202992 D. 1 . 4121202991 D. 1 . 4121202991 0 C2018 C1 C2 C3 C 2017 C 2018  2018  2018  2018   2018  2018 . 3 4 5 6 2020 2021 1 . 4121202989 B. 1 . 4121202990 C. 1 . 4121202992 Lời giải Chọn B 2018 0 1 2 2018 2018  C2018  C2018 x  C2018 x 2  …  C2018 x Xét khai triển 1  x   x 2 1  x  2018 0 1 2 2018 2020  C2018 x 2  C2018 x 3  C2018 x 4  …  C2018 x 1 1 Ta tính I   x 2 1  x  2018 0 dx , đặt t  1  x , dt  dx , đổi cận x  0  t  1 , x  1  t  0 1 1 2 2018 I   1  t  t 0 1 dt    t 0 2018  2t 2019 t 2020  t 2019 t 2020 t 2021  2   dt   2019  2020 2021  0  1 1 1 1 .    2019 1010 2021 4121202990 Lấy tích phân hai vế của 1 ta được  1 2  x 1  x  0 1 2018 0 1 2 2018 2020 dx    C2018 x 2  C2018 x 3  C2018 x 4  …  C2018 x  dx 0 1 2021  0 x3  x4 x5 1 1 2 2018 x    C2018  C2018  C2018  …  C2018  4121202990  3 4 5 2021  0 1 1 1 1 1 0 1 2 2018 .  C2018  C2018  C2018  …  C2018 4121202990 3 4 5 2021 1 C0 C1 C2 C3 C 2017 C 2018 Vậy T  2018  2018  2018  2018    2018  2018  . 3 4 5 6 2020 2021 4121202990  y  f  x  . Có đạo hàm liên tục trên Câu 10: Cho hàm số  . Biết f 1  e và  x  2  f  x   xf   x   x3 , x   . Tính f  2  . A. 4e 2  4e  4 . B. 4e 2  2e  1 . C. 2e3  2e  2 . Lời giải D. 4e 2  4e  4 . Chọn D Ta có:  x  2  f  x   xf   x   x3   e  x f  x   xf   x    x  2  f  x  x 1    e 3 2 x  x  2  e  x f  x   x Suy ra    dx   e dx 2 x 1  1  2 e 2 f  2  e 1 f 1    e 2  e 1  22 12  e 2 f  2  e1 f 1    e 1  e2 4 1  f  2   4 ef 1  e  1  4e 2  4e  4 . Câu 11: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f  0   0 . Biết 1  f 2  x  dx  0 A. 1  9 và 2 1 f   x  cos  x 2 0 . B. 4  dx  3 . Tích phân 4 . C. 6  1  f  x  dx bằng 0 . D. 2  . Câu 12: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f  0   0 . Biết 1  f 2  x  dx  0 A. 1  9 và 2 1 f   x  cos  x 2 0 . B. 4  dx  3 . Tích phân 4 . C. Lời giải Chọn C 1 Ta có  f   x  cos 0  cos   x 2 1 sin 2 0 1 x 2 1 . f  x   0 x 2 0 1 dx   cos 0  2 .f  x  dx . sin x 2 x 2 d  f  x  .f  x  dx 6  1  f  x  dx bằng 0 . D. 2  . 1 Suy ra  sin 0 x 2 .f  x  dx  3 2 2 1 1 1 1  x Mặt khác   sin  dx   1- cos  x  dx  . 2  20 2 0 1 Do đó  0 1 2 1 x  x  f  x  dx  2 3sin f  x  dx   3sin  dx  0 . 2 2  0 0  2 2 1  x x  dx  0 suy ra f  x   3sin hay   f  x   3sin .  2  2 0  1 Vậy  0 1 f  x  dx   3sin 0 x 2 dx   6  cos x 1 2  0 6  . Câu 13: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng  3 f    b  2  1 f  a,  2 và  0;1 x  xf   x   2 f  x   4 , và f  x   0 , x   0;1 . Biết rằng x   0;1 . Tính tích phân  3 I  sin 2 x.cos x  2sin 2 x dx theo a và b . f 2  sin x  6 A. I  3a  b . 4ab B. I  3b  a . 4ab C. I  Câu 14: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng  3 f    b  2  1 f  a,  2 và 3b  a . 4ab  0;1 x  xf   x   2 f  x   4 , D. I  3a  b . 4ab và f  x   0 , x   0;1 . Biết rằng x   0;1 . Tính tích  3 I  sin 2 x.cos x  2sin 2 x dx theo a và b . f 2  sin x  6 A. I  3a  b . 4ab B. I  3b  a . 4ab C. I  3b  a . 4ab D. I  3a  b . 4ab Lời giải Chọn D x   0;1 ta có: x  xf   x   2 f  x   4  x  4  2 f  x   xf   x   x 2  4 x  2 xf  x   x 2 f   x    2 x 2  4 x 2 xf  x   x f   x  x2  4 x  x2      . f 2  x   f  x   f 2  x f 2  x  3 Tính I    6  2 3 sin x.cos x  2sin 2 x sin 2 x.cos x  4sin x.cos x d x  dx  f 2  sin x  f 2  sin x   6 Đặt t  sin x  dt  cos xdx , đổi cận x   6 t   3 1 , x t  . 3 2 2 phân 2 3 2 Ta có I   1 2 t 2  4t t2 d t  f 2 t  f t  3 2 1 2  3   2      3 f   2  2 1    2   3  1  3a  b . 4ab  1  4b 4a f   2 Câu 15: Cho hàm số y  f  x  liên tục, không âm trên  thỏa mãn f  x  . f   x   2 x  f  x  2  1 và f  0   0 . Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  f  x  trên đoạn 1;3 lần lượt là A. M  20 ; m  2 . C. M  20 ; m  2 . B. M  4 11 ; m  3 . D. M  3 11 ; m  3 . Câu 16: Cho hàm số y  f  x  liên tục, không âm trên  thỏa mãn f  x  . f   x   2 x  f  x  2  1 và f  0   0 . Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  f  x  trên đoạn 1;3 lần lượt là A. M  20 ; m  2 . C. M  20 ; m  2 . B. M  4 11 ; m  3 . D. M  3 11 ; m  3 . Lời giải Chọn D Ta có f  x  . f   x   2 x  f  x  Lấy nguyên hàm hai vế ta có 2 1   f  x  f  x. f  x  f  x  2 2  2x . 1  1  x 2  C , do f  0   0 nên C  1 . Vậy f  x   x 4  2 x 2  x x 2  2 trên đoạn 1;3 . x2  0 với mọi x  1;3 nên f  x  đồng biến trên 1;3 . x2  2 Vậy M  f  3  3 11 ; m  f 1  3 . Ta có f   x   x 2  2  π  Câu 17: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f  x   f   x   sin x.cos x , với 2   mọi x   và f  0   0 . Giá trị của tích phân π 2  x. f   x  dx bằng 0 π A.  . 4 1 B. . 4 C. π . 4 1 D.  . 4 π  Câu 18: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f  x   f   x   sin x.cos x , với 2  mọi x   và f  0   0 . Giá trị của tích phân π 2  x. f   x  dx bằng 0 π A.  . 4 B. 1 . 4 C. Lời giải Chọn D π . 4 1 D.  . 4 π  Theo giả thiết, f  0   0 và f  x   f   x   sin x.cos x nên 2   π π     f  0  f    0  f    0 . 2   2 Ta có: π 2 π 2 π 2 0 π 2 I   x. f   x  dx   xd  f  x     xf  x     f  x  dx 0 0 0 π 2 Suy ra: I    f  x  dx . 0 Mặt khác, ta có: π  f  x   f   x   sin x.cos x  2   Suy ra:  2 0 2 0  1    f  x  dx   f  2  x  dx  02 sin x.cos x dx  2  1 1   f   x  dx    2 f  x  dx  0 2 4 2  0  f  x  dx   2 0  2 π 2 1 Vậy I    f  x  dx   . 4 0 1 Câu 19: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  0; 1 , thỏa mãn  0 1   f  x  2 1 dx  4 . Giá trị của tích phân 0   f  x  3 1 f  x  dx   xf  x  dx  1 và 0 dx bằng 0 A. 1. B. 8 . C. 10 . D. 80 . 1 Câu 20: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  0; 1 , thỏa mãn  1 f  x  dx   xf  x  dx  1 và 0 1   f  x  2 1 dx  4 . Giá trị của tích phân 0   f  x  3 0 dx bằng 0 A. 1. B. 8 . C. 10 . Lời giải D. 80 . Chọn C 1 1 2 2 1 1 2 Xét   f  x    ax  b   dx    f  x   dx  2  f  x  .  ax  b   dx    ax  b  dx 0 0 1 Cần xác định a, b để 0 1 1  4  2a  xf  x  dx  2b  f  x  dx  0 0 0 a2 1 3  4  2 a  b   ab  b 2 . ax  b     3 3a 0 a2   2  b  a  b 2  2b  4  0 3 2 Ta có:   b 2  4b  4   b  2 4 2  0  b  2  a  6 . b  2b  4    3 3 1 Khi đó:   f  x    6 x  2  0 2 dx  0  f  x   6 x  2 1 1 1 1 4 Suy ra   f  x   dx    6 x  2  dx   6 x  2   10 . 24 0 0 0 3 3 Câu 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi  H1  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x2 x2 , y , 4 4 2 x  4 , x  4 và hình  H 2  là hình gồm các điểm  x; y  thỏa: x 2  y 2  16 , x 2   y  2   4 , 2 x2   y  2  4 . Cho  H1  và  H 2  quay quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích lần lượt là V1 , V2 . Đẳng thức nào sau đây đúng? 1 2 A. V1  V2 . B. V1  V2 . C. V1  2V2 . D. V1  V2 2 3 Câu 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi  H1  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x2 x2 , y , 4 4 2 x  4 , x  4 và hình  H 2  là hình gồm các điểm  x; y  thỏa: x 2  y 2  16 , x 2   y  2   4 , 2 x2   y  2  4 . Cho  H1  và  H 2  quay quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích lần lượt là V1 , V2 . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. V1  V2 . 1 B. V1  V2 . 2 C. V1  2V2 . 2 D. V1  V2 3 Hướng dẫn giải Chọn A • Thể tích khối trụ bán kính r  4 , chiều cao h  8 là: V   r 2 h   .42.8  128 . • Thể tích giới hạn bởi Parabol y  x2 , trục tung, đường thẳng y  4 quay quanh Oy là: 4 4 4  V P   π  x 2 dy  π  4 ydy  32π . 0 0 Suy ra thể tích  H1  là: V1  V  2.V P   128π  2.32π  64π . 4 3 256 πR  π. 3 3 4 32 • Thể tích khối cầu bán kính r  2 : VN  π23  π 3 3 256π 2.32π Suy ra thể tích  H 2  là: V2  VL  2.VN    64π . 3 3 Vậy r  2 : V1  V2 . • Thể tích khối cầu bán kính R  4 : VL  Câu 23: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  và đồ thị hàm số y  f   x  trên đoạn  2;6 như hình vẽ. Tìm khẳng định đúng. y 3 2 1 O 2 2 4 6 x 1 A. max y  f  2  . B. max y  f  2  .  2;6 1 B 2 3 4 A A C 5 B 6 B C. max y  f  6  . 2;6 7 8 A B 2;6 D. max y  f  1 .  2;6 BẢNG ĐÁP ÁN 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B B C B D A A A A C B D C B D A A 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B A B C A A C B B A D C D D C A C D B C D A D A C HƯỚNG DẪN GIẢI. Câu 24: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  và đồ thị hàm số y  f   x  trên đoạn  2;6 như hình vẽ. Tìm khẳng định đúng. y 3 2 1 O 2 2 4 6 x 1 A. max y  f  2  . 2;6 B. max y  f  2  . 2;6 C. max y  f  6  . 2;6  Lời giải D. max y  f  1 . 2;6 Chọn C Ta có bảng biến thiên: x 2 f  x 1 0  2 0  6  f  1 f 6 f  x f  2  f  2 Từ bảng biến thiên suy ra max y  max  f  1 ; f  6  .  2;6 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f   x  , trục hoành và hai đường thẳng x  1 và x  2 là 2 2 S1    f   x  dx   f  x  1  f  1  f  2  . 1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f   x  , trục hoành và hai đường thẳng x  2 và x  6 là 6 6 S 2   f   x  dx  f  x  2  f  6   f  2  . 2 Từ hình vẽ suy ra S2  S1  f  6   f  2   f  1  f  2   f  6   f  1 . 12 1 c 1  x a  Câu 25: Vậy max y  max  f  1 ; f  6   f  6  .Cho tích phân I   1  x   .e x .dx  .e d , trong  2;6 x b 1  12 a c đó a , b , c , d là các số nguyên dương và các phân số , là các phân số tối giản. Tính b d bc  ad . 1 A. 24 . B. . C. 12 . D. 1. 6 12 1  x 1 a c  Câu 26: Cho tích phân I    1  x   .e x .dx  .e d , trong đó a , b , c , d là các số nguyên dương và x b 1  12 a c các phân số , là các phân số tối giản. Tính bc  ad . b d 1 A. 24 . B. . C. 12 . D. 1 . 6 Lời giải Chọn A 12 12 12 1 x 1  x 1 1  x 1   – Ta có: I   1  x   .e x .dx   e x .dx    x   e x .dx  J  K x x 1  1 1  12 12 – Tính J   e 12 1 x x .dx . 1 12 1  1  x  1x  x  x du  1  2  e .dx Đặt u  e   x  v  x dv  dx  12  x 1   J   x.e x    12 1 12 12 145 1 145 143 145 1  x 1  .e 12  K    x   .e x .dx  12.e 12  .e 12  K  x 12 12 1  12 145 12 143 .e . 12 a c a c – Theo giả thiết: I  .e d với a , b , c , d là các số nguyên dương và , là các phân số tối b d b a 143 c 145 giản nên  và   a  143 , b  12 , c  145 , d  12 . b 12 d 12 Vậy bc  ad  24 . 3 2  f   x   7 Câu 27: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   0 , x  1; 2 và  . Biết f 1  1 , dx  4 x 375 1 I J K  2 f  2  A. P  22 , tính I   f  x  dx . 15 1 71 . 60 6 B. P  . 5 C. P  73 . 60 37 . 30 3  f   x  7 thỏa mãn f   x   0 , x  1; 2 và   4  dx  . Biết f 1  1 , x 375 1 2 Câu 28: Cho hàm số f  x  D. P  2 22 , tính I   f  x  dx . f  2  15 1 A. P  71 . 60 6 B. P  . 5 C. P  73 . 60 D. P  Lời giải Chọn A +) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 3 3  f   x    f   x   x 2 x 2 3 f  x x2 x2 3     3 . .  4 4 x 125 125 x 125 125 25 3 2 2  f   x   3 f  x x2 Lấy tích phân hai vế BĐT trên ta có:  d x  2 d x  1 125 1 25 dx x4 1 2 3 3 2  f   x   f   x  7 3 7 .    4  dx  2.   f  2   f 1     4  dx  x 375 25 x 375 1 1 2 Kết hợp với giả thiết ta có dấu “  ” của BĐT trên xảy ra 3  f   x   3 x2 x6 x2 x3     f x   f x   f x  C .           125 x4 125 5 15 Mà f 1  1  1  2 +) Ta có I   1 1 14 x 3  14  C  C   f 1  15 15 15 x3  14 71 . dx  15 60 37 . 30 15 x 2 Câu 29: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0 và thỏa mãn 2 f  3 x   3 f     , 2  x 3 2 9 1  f  x  dx  k . Tính I   f  x  dx theo k . 1 2 3 A. I   45  k . 9 B. I  45  k . 9 C. I  45  k . 9 Câu 30: Cho hàm số f  x  xác định trên  0 và thỏa mãn f   x   D. I  45  2k . 9 1 , f 1  a , f  2   b . x  x4 2 Giá trị của biểu thức f  1  f  2  bằng A. b  a . B. a  b . C. a  b . D. a  b .  2 Câu 31: Cho a   4 cos 2 x  3sin 2 x  ln  cos x  2sin x  dx  c ln 2  b , trong đó a , b , c  * , 0 tối giản. Tính T  a  b  c . A. T  9 . B. T  11 . C. T  5 . a là phân số b D. T  7 . 15 x 2 Câu 32: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0 và thỏa mãn 2 f  3 x   3 f     , 2  x 3 2 9 1  f  x  dx  k . Tính I   f  x  dx theo k . 1 2 3 A. I   45  k . 9 B. I  45  k 45  k . C. I  . 9 9 Lời giải D. I  45  2k . 9 Chọn A 1 Đặt t  2 x  dx  dt . Đổi cận 2 1  t 1 2 . 3 x t 3 2 x 3  2 f   dx . t 15 x 5x 2 2 2 Mà 2 f  3 x   3 f      f      f  3x  2 2 3  x  x 3 3 3 3 1  5x 2 5 1 1  Nên I      f  3 x   dx    x dx   f  3 x  dx  5   f  3x  dx (*) 21 2 3 41 31 31  x 1  u  3 1 Đặt u  3x  dx  dx . Đổi cận . x  3 t  9 3 Khi đó I  1 2 1 9 1 k 45  k Khi đó I  5   f  t  dt  5    . 93 9 9 Câu 33: Cho hàm số f  x  xác định trên  0 và thỏa mãn f   x   của biểu thức f  1  f  2  bằng 1 , f 1  a , f  2   b . Giá trị x  x4 2 A. b  a . B. a  b . C. a  b . D. a  b . Lời giải Chọn A Ta có f    x   Do đó 1 2  x   x 4  1 2  f   x  dx   f   x  dx . 2 1  f   x  nên f   x  là hàm chẵn. x  x4 2 1 Suy ra f  1  f  2   f  1  f  2   f  2   f 1  f 1  f  2   1 2  f   x  dx  b  a   f   x  dx  b  a . 2 1  2 Câu 34: Cho a   4 cos 2 x  3sin 2 x  ln  cos x  2sin x  dx  c ln 2  b , trong đó a , b , c   0 giản. Tính T  a  b  c . A. T  9 . B. T  11 . C. T  5 . * , a là phân số tối b D. T  7 . Lời giải Chọn A  2 I    4 cos 2 x  3sin 2 x  ln  cos x  2sin x  dx 0  2   2  cos x  2sin x  2 cos x  sin x  ln  cos x  2sin x  dx . 0 Đặt t  cos x  2sin x  dt    sin x  2 cos x  dx . Với x  0 thì t  1 . Với x   2 thì t  2 . 2 2     t .ln t  Suy ra I   2t ln tdt   ln td t 1 2 1 2 2 1 2 2 t2 3   tdt  4ln 2   4 ln 2  . 21 2 1 a  3  Vậy b  2  T  a  b  c  9 . c  4  Câu 35: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn f   0   9 và 2 9 f   x    f   x   x   9 . Tính T  f 1  f  0  . A. T  2  9 ln 2 . B. T  9 . C. T  1  9 ln 2 . 2 ———-HẾT———- D. T  2  9 ln 2 . ĐÁP ÁN THAM KHẢO 1 2 A B 3 4 A A 5 B 6 7 8 A A B 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D C A C D C B D C C A A C A A A D 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 C C B D D C D D B C A D A C A B B B C C B B A A C HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 36: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn f   0   9 và 2 9 f   x    f   x   x   9 . Tính T  f 1  f  0  . A. T  2  9 ln 2 . B. T  9 . C. T  1  9 ln 2 . 2 D. T  2  9 ln 2 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 Ta có 9 f   x    f   x   x   9  9  f   x   1    f   x   x    f   x   1 1  . 9  f   x   x  2 f   x   1 1 1 x dx   dx   C .  f  x  x 9 9  f ‘  x   x  1 9 9 Do f   0   9 nên C  suy ra f   x   x   f  x  x 9 x 1 x 1 Lấy nguyên hàm hai vế   2 1 1  1 x2   9  Vậy T  f 1  f  0      x  dx   9 ln x  1    9 ln 2  . 2 2 0 x 1   0 ———-HẾT———Câu 37: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;2 . Biết f  0   1 và 2 f  x  . f  2  x   e2 x 2 4 x , với mọi x   0;2 . Tính tích phân I   x 3  3x 2  f   x  f  x 0 A. I   16 . 3 B. I   16 . 5 C. I   14 . 3 D. I   dx . 32 . 5 Câu 38: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;2 . Biết f  0   1 và 2 f  x. f  2  x  e 2 x2 4 x , với mọi x   0;2 . Tính tích phân I   x 3  3x 2  f   x  0 A. I   16 . 3 B. I   16 . 5 C. I   14 . 3 f  x D. I   dx . 32 . 5 Lời giải Chọn B Cách 1: Theo giả thiết, ta có f  x  . f  2  x   e 2 x ln  f  x  . f  2  x    ln e2 x 2 4 x 2 4 x và f  x  nhận giá trị dương nên  ln f  x   ln f  2  x   2 x 2  4 x . Mặt khác, với x  0 , ta có f  0  . f  2   1 và f  0   1 nên f  2   1 . 2 Xét I   0 x 3  3x 2  f   x  f  x 2 dx , ta có I    x 3  3 x 2  . 0 f  x dx f  x u  x3  3 x 2 du   3x 2  6 x  dx   Đặt  f  x v  ln f  x  dv  f x dx    2 2 2 Suy ra I   x 3  3 x 2  ln f  x      3 x 2  6 x  .ln f  x  dx     3 x 2  6 x  .ln f  x  dx 1 . 0 0 0 Đến đây, đổi biến x  2  t  dx  dt . Khi x  0  t  2 và x  2  t  0 . 2 0 Ta có I     3t  6t  .ln f  2  t  dt      3t 2  6t  .ln f  2  t  dt 2 0 2 2 Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên I     3 x 2  6 x  .ln f  2  x  dx  2 . 0 2 Từ 1 và  2  ta cộng vế theo vế, ta được 2 I     3 x 2  6 x  .  ln f  x   ln f  2  x   dx 0 2 Hay I   1 16 3 x 2  6 x  .  2 x 2  4 x  dx   .   5 20 Cách 2 (Trắc nghiệm) Chọn hàm số f  x   e x 2 I  x 3  3 x 2  .e x e 0 2 2 x 2 2 x , khi đó: . 2 x  2 x2  2 x 2 dx    x 3  3 x 2 .  2 x  2  dx  0 16 . 5 Câu 39: Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình dưới đây. Biết phương trình f   x   0 có bốn nghiệm phân biệt a , 0 , b , c với a  0  b  c . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f b  f a  f c  . B. f c  f b  f a  . C. f b  f c   f a  . D. f c  f a  f b . Câu 40: Cho hàm số Tính f  x xác định trên f  1  f  2   0 , thỏa mãn f   x   . A. f  1  f  2   a  b . B. f  1  f  2   a  b . C. f  1  f  2   a  b . D. f  1  f  2   b  a . 1 f 1 a f 2  b ,   và   . 5 x x 3 Câu 41: Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình dưới đây. Biết phương trình f   x   0 có bốn nghiệm phân biệt a , 0 , b , c với a  0  b  c . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f b  f a   f c  . B. f c  f b  f a  . C. f b  f c   f a  . D. f c  f a   f b . Lời giải Chọn C + Từ hình vẽ ta thấy: f   x  0 khi x  b; c  ; f   x  0 khi x  c nên có f b  f c  . 0  + Ta lại có: b c 0 c 0 b a 0  f   x  dx  f   x  dx   f   x dx   f   x dx  f   x dx         a 0   f  x  f  x 0   f 0  f  a  f c  f 0  f a   f c . c a + Vậy f b  f c   f a  . Câu 42: Cho hàm số f  x  xác định trên  0 , thỏa mãn f   x   1 , f 1  a và f  2   b . x  x5 3 Tính f  1  f  2  . A. f  1  f  2   a  b . B. f  1  f  2   a  b . C. f  1  f  2   a  b . D. f  1  f  2   b  a . Lời giải Chọn C Ta có f    x   1 3  x   x 2 Do đó  2 1 f   x  dx  0   2 5  1   f   x  nên f   x  là hàm lẻ. x  x5 3 2 f   x  dx    f   x  dx . 1 Suy ra f  1  f  2    f  2   f 1  f  1  f  2   f  2   f 1  a  b . Câu 43: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên  0;   thỏa mãn f  2   1 và 15 f   x    2 x  4  f 2  x   0 . Tính f 1  f  2   f  3 . A. 7 . 15 B. 11 . 15 C. 11 . 30 D. 7 . 30 Câu 44: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên  0;   thỏa mãn f  2   1 và 15 f   x    2 x  4  f 2  x   0 . Tính f 1  f  2   f  3 . A. 7 . 15 B. 11 . 15 C. 11 . 30 D. 7 . 30 Lời giải Chọn D Vì f   x    2 x  4  f 2  x   0 và f  x   0 , với mọi x   0;   nên ta có  Suy ra f  x  2x  4 . f 2  x 1 1 1 nên C  3 hay f  x   2 .  x 2  4 x  C . Mặt khác f  2   15 x  4x  3 f  x 1 1 1 7 Do đó f 1  f  2   f  3    .  8 15 24 30 Câu 45: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  thỏa  f  0   f   0   1; .   f  x  y   f  x   f  y   3 xy  x  y   1, x,y   1 Tính  f  x  1dx . 0 A. 1 . 2 B.  1 . 4 C. 1 . 4 D. 7 . 4  f  x   0,  x  ,  Câu 46: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp 2 liên tục trên  thoả  f  0   f   0   1, .  2 2  xy  y  yy ,  x  . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 3 3 A.  ln f 1  1 . B. 0  ln f 1  . C.  ln f 1  2 . D. 1  ln f 1  . 2 2 2 2 Câu 47: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  thỏa  f  0   f   0   1; .   f  x  y   f  x   f  y   3 xy  x  y   1, x,y   1 Tính  f  x  1dx . 0 1 A. . 2 B.  1 . 4 C. Lời giải 1 . 4 D. 7 . 4 Chọn C Lấy đạo hàm theo hàm số y f   x  y   f   y   3 x 2  6 xy , x   . Cho y  0  f   x   f   0   3 x 2  f   x   1  3 x 2 Vậy f  x    f   x dx  x 3  x  C mà f  0   1  C  1 suy ra f  x   x 3  x  1 . 0 1  f  x  1dx   1 0 0 0  x4 x 2  1 1 1 f  x dx    x  x  1dx     x      1  . 2 4 2 4  4  1 1 3  f  x   0,  x  ,  Câu 48: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp 2 liên tục trên  thoả  f  0   f   0   1, .  2 2  xy  y  yy ,  x  . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 3 3 A.  ln f 1  1 . B. 0  ln f 1  . C.  ln f 1  2 . D. 1  ln f 1  . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D f   x  x2  y  yy  y2 y x 2 Ta có xy 2  y 2  yy  hay   x  x    C  C .   f  x 2 y2 y 2  y Lại có f  0   f   0   1  C  1 . 1 1 1 f  x f   x  x2  x2  7 7 dx     1 dx  ln  f  x     ln f 1  .  1   0 f  x 2 6 6 f  x 2  0 0 3  1  ln  f 1   . 2 Câu 49: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên  0; 2 . Biết f  0   1 Ta có 2 và f  x  f  2  x   e 2 x2  4 x với mọi x   0; 2 . Tính tích phân I   x 3 f  x 0 A. I   1 2 D B 14 . 3 B. I   3 4 5 6 7 8 A C A A D B 32 . 5 C. I    3x 2  f   x  16 . 3 D. I   dx . 16 . 5 ĐÁP ÁN THAM KHẢO 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D B A A C C B A D A C B C C B B C 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B A B D C A C A C B A A B D D B A D D D B A C C D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 50: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên  0; 2 . Biết f  0   1 2 và f  x  f  2  x   e 2 x 2 4 x với mọi x   0; 2 . Tính tích phân I   0 A. I   14 . 3 B. I   32 . 5 C. I   Lời giải Chọn D 16 . 3 x 3  3x 2  f   x  f  x D. I   dx . 16 . 5 f  x  f  2  x   e2 x 2 4 x suy ra f  0  f  2   e0  f  2   1 . u  x3  3 x 2 2   f   x   du   3x  6 x  dx Đặt  dv  dx v  ln f  x   f x    2 2 2 Khi đó I   x 3  3x 2  ln f  x     3x 2  6 x  ln f  x  dx     3x 2  6 x  ln f  x  dx   J . 0 0 0 Tính J : 2 2 Đặt x  2  t  J    3t 2  6t  ln f  2  t  dt    3x 2  6 x  ln f  2  x  dx . 0 0 2 2 Vậy I  J    3x 2  6 x  ln f  x  dx    3x 2  6 x  ln f  2  x  dx 0 0 2 2     3 x 2  6 x  ln  f  x  f  2  x   dx    3 x 2  6 x  ln e2 x 0 2 4 x  dx 0 2 Câu 51:    3 x 2  6 x  2 x 2  4 x  dx  0 32 32 16 mà I   J  2 I   I   .Cho hàm số y  f  x  liên 5 5 5 1 tục trên đoạn  0;1 thoả mãn x 2 f  x  dx  0 và max f  x   6. Giá trị lớn nhất của tích phân [0;1] 0 1 3 x f  x  dx bằng 0 A. 1.B 11.D 21.C 31.A 41.C  3 2 3 4 1 . 8 B. 2.A 12.B 22 32.A 42.D 3.D 13.A 23.A 33.C 43.B 4.C 14.D 24.A 34.A 44.B 4 . C. BẢNG ĐÁP ÁN 5.D 6.A 15.C 16.D 25.B 26.B 35.A 36.D 45.B 46.A 2 3 4 . 16 7.A 17.A 27.A 37.C 47.D D. 8.C 18.B 28.D 38.B 48.D 1 . 24 9.C 19.A 29.D 39.C 49.A 10.B 20.D 30.B 40.B 50.B HƯỚNG DẪN GIẢI 1 Câu 52: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  0;1 thoả mãn x 2 f  x  dx  0 và max f  x   6. Giá 0 1 trị lớn nhất của tích phân x 3 f  x  dx bằng 0 [0;1]  3 2 3 4 1 A. . 8 B. 4 . C. 2 3 4 . 16 D. 1 . 24 Lời giải Chọn B Ta có f  x   6, x   0;1 . 1 1 1 1 1 Xét I   3 2 6 x3dx   1 6 x 3dx   x 3 f  x  dx   3 2 x3  6  f  x   dx   1 x 3  6  f  x   dx . 0 Suy ra I   3 1 3 2 0 1  2 3 2 0 x 2  6  f  x   dx  0 3 2 1 1 2  1 x  6  f  x   dx 2 32 3 1 312 2 1 1 1 1 3 1 3  6 x dx  3  1 6 x 2 dx  3  x 2 f  x  dx .   x f x d x     3 3 2 0 2 32 2 0 2 2 2 0 3   3 2 3 4 1 3 1 3 3 .  3    x f  x  dx  0   x f  x  dx  0 4 2 2 2 0 3
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự