Trắc nghiệm nâng cao số phức – Đặng Việt Đông

Giới thiệu Trắc nghiệm nâng cao số phức – Đặng Việt Đông

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Trắc nghiệm nâng cao số phức – Đặng Việt Đông CHƯƠNG SỐ PHỨC.

Trắc nghiệm nâng cao số phức – Đặng Việt Đông

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Trắc nghiệm nâng cao số phức – Đặng Việt Đông

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Trắc nghiệm nâng cao số phức – Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Số Phức Nâng Cao Trang 0 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao A – LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa – Một biểu thức dạng a  bi với a, b  R, i 2  1 được gọi là một số phức. – Đối với số phức z  a  bi, ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z. – Tập hợp số phức kí hiệu là  2. Hai số phức bằng nhau – Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau. a  c – Công thức: a  bi  c  di   b  d Biểu diễn hình học của số phức. – Điểm M  a; b  trong hệ tọa độ vuông góc Oxy được gọi là điểm biểu diễn của số phức z  a  bi. Môđun của số phức. – Cho số phức z  a  bi có điểm biểu diễn là M  a; b  trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Độ dài của  véctơ OM được gọi là mô đun của số phức z và kí hiệu là z .  – Công thức z  OM  a  bi  a 2  b 2 . 3. Số phức liên hợp – Cho số phức z  a  bi, số phức dạng z  a  bi được gọi là số phức liên hợp của z. Phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia. – Cho số phức z1  a  bi, z2  c  di, ta có z1  z2   a  bi    c  di    a  c    b  d  i. – Cho số phức z1  a  bi, z2  c  di, ta có z1  z2   a  bi    c  di    a  c    b  d  i. – Cho số phức z1  a  bi, z2  c  di, ta có z1.z2   a  bi  .  c  di    ac  bd    ad  bc  i. – Cho số phức z1  a  bi, z2  c  di, (với z2  0 ) tacó: z1 a  bi  a  bi  c  di   ac  bd   bc  ad  i.    2  2 z2 c  di  c  di  c  di  c d2 c d2 Phương trình bậc hai với hệ số thực. Cho phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 với a, b, c  R và a  0. Phương trình này có biệt thức   b 2  4ac, nếu: –   0 phương trình có nghiệm thực x   b . 2a –   0 phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1,2  b   . 2a File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A –   0 phương trình có hai nghiệm phức x1,2  Số Phức Nâng Cao b  i  . 2a 4. Acgumen của số phức z  0 ĐỊNH NGHĨA 1 Cho số phức z  0 . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z . Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là acgumen của z. CHÚ Ý Nếu  là một acgumen của z (hình dưới) thì gọi acgumen của z có dạng   k 2 , k  Z . (người ta thường nói: Acgumen của z  0 xác định sai khác k 2 , k  Z ). 5. Dạng lượng giác của số phức Xét số phức z  a  bi  0  a, b    . Kí hiệu r là mô đun của z và  của một acgumen của z (hình dưới) thì dễ thấy rằng: a  r cos  , b  r sin  . Vậy z  a  bi  0 có thể viết dưới dạng z  r  cos +i sin   . ĐỊNH NGHĨA Dạng z  r  cos +i sin   , trong đó r  0, được gọi là dạng lượng giác của số phức z  0. Dạng z  a  bi  0  a, b    , được gọi là dạng đại số của số phức z. Nhận xét. Để tìm dạng lượng giác z  r  cos +i sin   của số phức z  a  bi  0  a, b    khác 0 cho trước ta cần: 1. Tìm r : đó là mô đun của z , r  a 2  b 2 ; số r cũng là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức. 2. Tìm  : đó là một acgumen của z;  là số thực sao cho cos = a b và sin   ; số  đó cũng là r r số đo một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM . CHÚ Ý 1. Z  1 khi và chỉ khi Z  cos +i sin  ;     . 2. Khi z  0 thì z  r  0 nhưng acgumen của z không xác định (đôi khi coi acgumen của 0 là số thực tùy ý và vẫn viết 0  0  cos +i sin   . 3. Cần để ý đòi hỏi r  0 trong dạng lượng giác r  cos +i sin   của số phức z  0. 6. Nhân và chia số phức lượng giác Ta đã công thức nhân và chia số phức dưới dạng đại số. Sau đây là định lý nêu lên công thức nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác; chúng giúp cho các quy tắc tính toán đơn giản về nhân và chia số phức. ĐỊNH LÝ Nếu z  r  cos +i sin   ; z ‘  r ‘  cos ‘ +i sin  ‘  r  0, r ‘  0  Thì zz ‘  rr ‘  cos    ‘ +i sin    ‘   ; z r  cos    ‘  +i sin    ‘   ;  khi r  0  z’ r’  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Nói một cách khác, để nhân các số phức dưới dạng lượng giác, ta lấy tích các mô đun và tổng acgumen; để chia các số phức dưới dạng lượng giác ta lấy thương các mô đun và hiệu các acgumen. Chứng minh zz ‘   r  cos +i sin     r ‘  cos ‘+i sin  ‘  lim x   rr ‘  cos .cos ‘ sin  .sin  ‘ i  sin  .cos ‘+cos .sin ‘    rr ‘  cos    ‘ +i sin    ‘   . 1 1   cos     i sin     . Theo công thức nhân số phức, z r z 1 r Ta có:  z.   cos    ‘  +i sin    ‘   . z’ z’ r’ Mặt khác, ta có 7. Công thức Moa-vrơ (Moivre) Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng quy nạp toán học dễ dàng suy ra rằng với mọi số nguyên dương n. n  r  cos +i sin     r n  cosn +i sin n  Và khi r  1, ta có  cos +i sin   n  cosn +i sin n Cả hai công thức đó đều được gọi là công thức Moa – vrơ. 8. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Từ công thức Moa – vrơ, dễ thấy số phức z  r  cos +i sin   , r  0 có căn bậc hai là           r  cos +i sin  và  r  cos +i sin   r  cos( + )+i sin(   )  . 2 2 2 2 2 2     File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1: TÍNH TOÁN TRÊN SỐ PHỨC Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn A. 13  5 z i z 1   2  i 1 . Tính mô đun của số phức   1  z  z . B. 15 2 C. 17 D. 19 Hướng dẫn giải: Giả sử z  a  bi 5  a  bi  i   2  i  5a  5i  b  1  2a  2bi  2  ai  bi 2  i a  bi  1 3a  2  b  0 a  1  3a  2  b  i  5b  5  2b  a  1  0     z  1 i 3b  a  4  0 b  1 1    1  1  i  1  2i  1  2  3i    4  9  13 Chọn A. Câu 2: Cho z1 , z2 là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn z1   và z1  z2  2 3. Tính z22 môđun của số phức z1. A. z1  5. B. z1  3. C. z1  2. D. z1  5 . 2 Hướng dẫn giải: Gọi z1  a  bi  z2  a  bi;  a  ; b    . Không mất tính tổng quát ta gọi b  0. Do z1  z2  2 3  2bi  2 3  b  3. z1 z13    z13  . Do z1 , z2 là hai số phức liên hợp của nhau nên z1.z2   , mà 2  2 z2  z1 z2  b  0 3 Ta có: z13   a  bi    a 3  3ab 2    3a 2b  b3  i    3a 2b  b3  0   2  a 2  1. 2 3a  b Vậy z1  a 2  b 2  2. Chọn C. m Câu 3:  2  6i  Cho số phức z    , m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m  1;50 để z là số  3i  thuần ảo? A. 24. B. 26. C. 25. D. 50. Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao m  2  6i  m m m Ta có: z     (2i)  2 .i  3i  z là số thuần ảo khi và chỉ khi m  2k  1, k   (do z  0; m  * ). Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài. Chọn C. Câu 4: Nếu z  1 thì z 2 1 z A. lấy mọi giá trị phức. B. là số thuần ảo. C. bằng 0. D. lấy mọi giá trị thực. Hướng dẫn giải: Ta có: 1 z 2 1 z z  z  z  z  2  z  z là số thuần ảo. z z z .z z Chọn B. Câu 5: Nếu z  a;  a  0  thì z2 a z A. lấy mọi giá trị phức. B. là số thuần ảo. C. bằng 0. D. lấy mọi giá trị thực. Hướng dẫn giải: Ta có: z 2  a2 a a2 z a2 z z z  z  2  z  z là số thuần ảo. z z z .z z Chọn B. Câu 6: Có bao nhiêu số phức z thỏa A. 1. B. 2. z 1 z i  1 và  1? iz 2 z C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải:  z 1 3  x  i  z 1   z  1  i  z x   y    2  z   3  3 i. Ta có:     2 2  4 x  2 y  3  y  3  z  i  1  z  i  2  z  2  z  2 Chọn A. Câu 7: Cho hai số phức z1 , z2 thảo mãn z1  z 2  1; z1  z 2  3. Tính z1  z2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Nhận xét: Bài này nhìn vào có vẻ khá khó, nhưng các em cần phải bình tĩnh, chỉ cần gọi z1  a1  b1i; z2  a2  b2i  a1 , a2 , b1 , b2    sau đó viết hết các giả thiết đề bài cho: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2 2 2 2  z1  z2  1 a1  b1  a2  b2  1   2 2 z  z  3  1 2  a1  a2    b1  b2   3 2 2 2 Và viết cái cần tính ra z1  z 2   a1  a2    b1  b2  . Hãy quan sát cái cần tính và thấy rằng chỉ cần bình phương lên là có thể dùng được giả thiết. Hướng dẫn giải: Ta có: z1  a1  b1i; z2  a2  b2i  a1 , a2 , b1 , b2    2 2 2 2  z1  z2  1 2 2 a1  b1  a2  b2  1   2  a1b1  a2b2   1   a1  a2    b1  b2   1  2 2  z1  z2  3  a1  a2    b1  b2   3 2 2 2 Vậy: z1  z2   a1  a2    b1  b2   1. Chọn A. Câu 8: Tính z  i  i 2  i 3  …  i 2008 có kết quả: B. 1 A. 0 C. i D. i Hướng dẫn giải: Ta có iz  i 2  i 3  …  i 2008  i 2009 và z  i  i 2  i 3  …  i 2008 . Suy ra z  i  1  i 2009  i  i  i 2008  1  0  z  0 Chọn A. Câu 9: Tính S  1009  i  2i 2  3i 3  …  2017i 2017 . A. S  2017  1009i. B. 1009  2017i. C. 2017  1009i. D. 1008  1009i. Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có S  1009  i  2i 2  3i 3  4i 4  …  2017i 2017  1009   4i 4  8i8  …  2016i 2016    i  5i 5  9i 9  …  2017i 2017     2i 2  6i 6  10i10  …  2014i 2014    3i 3  7i 7  11i11  …  2015i 2015  504 505 504 504  1009    4n   i   4n  3    4n  2   i   4n  1 n 1 n 1 n 1 n 1  1009  509040  509545i  508032  508536i  2017  1009i. Cách khác: Đặt f  x   1  x  x 2  x3  ….  x 2017 f   x   1  2 x  3 x 2  …  2017 x 2016 xf   x   x  2 x 2  3 x 3  …  2017 x 2017 1 Mặt khác: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: dangvietdong.[email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao x 2018  1 x 1 2017 2018 2018 x  x  1   x  1 f  x   1  x  x 2  x 3  ….  x 2017  f  x  2  x  1 2018 x 2017  x  1   x 2018  1  xf   x   x.  2 2  x  1 Thay x  i vào 1 và  2  ta được: 2018i 2017  i  1   i 2018  1 2018  2018i  2  1009  i  2017  1009i S  1009  i. 2 2i  i  1 Câu 10: Cho số phức z có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn biểu thức 1 1 1   . z w zw Môđun của số phức w bằng: A. 1 B. 2 C. 2016 D. 2017 Hướng dẫn giải: 2  z  w  zw  0 zw 1 1 1 1   0 Từ   z w zw zw zw zw  z  w  1 3  z 2  w2  zw  0  z 2  zw  w2  w2  0 4 4 2 2 1  3 2 1   i 3w      z  w    w   z  w     2  4 2   2    2 2 2  1 i 3 w   i 3w  z  Từ  z       z      w  w= 2  2  2   1 i 3   2    2   2 Suy ra: w  2017  2017 1 3  4 4 Chọn D. Câu 11: ho số phức z thoả mãn: z  A. 21008 z 6  7i . Tìm phần thực của số phức z 2017 .  1  3i 5 B. 21008 C. 2504 D. 22017 Hướng dẫn giải: Cho số phức z thoả mãn: z  z 6  7i . Tìm phần thực của số phức z 2013 .  1  3i 5 Gọi số phức z  a  bi (a, b  )  z  a  bi thay vào (1) ta có a  bi  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay a  bi 6  7i  1  3i 5 Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao (a  bi )(1  3i ) 6  7i   10a  10bi  a  3b  i (b  3a)  12  14i 10 5  9a  3b  i (11b  3a)  12  14i a  bi  9a  3b  12 a  1   11b  3a  14 b  1 a  b  1  z  1  i  z 2017   (1+i) 4  504 504 1  i    4 1  i   21008  21008 i Chọn B. Câu 12: Cho các số phức z1 , z2 khác nhau thỏa mãn: z1  z2 . Chọn phương án đúng: A. z1  z2  0. z1  z2 B. z1  z2 là số phức với phần thực và phần ảo đều khác 0 . z1  z2 C. z1  z2 là số thực. z1  z2 D. z1  z2 là số thuần ảo. z1  z2 Hướng dẫn giải: Chọn D. Phương pháp tự luận: Vì z1  z2 và z1  z2 nên cả hai số phức đều khác 0 . Đặt w  z1  z2 và z1  z2  a , ta z1  z2 có a2 a2   z1  z2  z1  z 2 z1 z2 z1  z2 w  2   w  2 z2  z1  z1  z 2  z1  z2 a  a z1 z2 Từ đó suy ra w là số thuần ảo. Chọn D. Phương pháp trắc nghiệm: Số phức z1 , z2 khác nhau thỏa mãn z1  z2 nên chọn z1  1; z2  i , suy ra z1  z2 1  i  i z1  z2 1  i là số thuần ảo. Câu 13: Cho hai số phức u,v thỏa mãn u  v  10 và 3u  4v  2016 . Tính M  4u  3v . A. 2984 B. 2884 2894 C. D. 24 Hướng dẫn giải: 2 Ta có z  z. z . Đặt N  3u  4v .   2 2   Khi đó N 2   3u  4v  3u  4v  9 u  16 v  12 uv  vu . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2  2 Số Phức Nâng Cao  Tương tự ta có M 2  16 u  9 v  12 uv  vu .  2 Do đó M 2  N 2  25 u  v 2   5000 . Suy ra M 2  5000  N 2  5000  2016  2984  M  2984 . Câu 4( Số phức).Cho các số phức z thỏa mãn z  2 .Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w  3  2i   2  i  z là một đường tròn.Tính bán kính r của đường tròn đó. A. 20 B. 20 C. 7 D. 7 Hướng dẫn giải: Chọn B. Đặt w  x  yi,  x, y    w  3  2i   2  i  z  x  yi  3  2i   2  i  z z x  3   y  2 i 2i 2 2 2x  y  8 x  2 y 1  2x  y  8   x  2 y 1    i     2 5 5 5 5     2 2  x 2  y 2  6 x  4 y  7  0   x  3   y  2   20 Bán kính của đường tròn là r  20 Câu 14: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2  z3  1 . Mệnh đề nào sau đây là sai. A. Trong ba số đó có hai số đối nhau. B. Trong ba số đó phải có một số bằng 1. C. Trong ba số đó có nhiều nhất hai số bằng 1. D. Tích của ba số đó luôn bằng 1. Hướng dẫn giải: Ta có: z1  z2  z3  1  1  z1  z2  z3 . Nếu 1  z1  0 thì z2  z3  0  z2   z3 . Nếu 1  z1  0 thì điểm P biểu diễn số phức 1 z1  z2  z3 không trùng với góc tọa độ O. Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z1 và A là điểm biểu diễn của số 1.    Khi đó ta có OA  OM  OP (do P là điểm biểu diễn của số 1  z1  ) nên OAPM là hình bình hành. Mà z1  z2  z3  1 nên các điểm biểu diễn cho ba số z1 , z2 , z3 đều nằm trên đường tròn đơn vị. Ta cũng có OA  OM  1 nên OAPM là hình thoi. Khi đó ta thấy M, A là giao điểm của đường trung trực đoạn OP với đường tròn đơn vị. Tương tự do P cũng là điểm biểu diễn của z2  z3 , nếu M’ và A’ là hai điểm biểu diễn của số z2 , z3 thì ta cũng có M’, A’ là giao điểm đường trung trực của OP và đường tròn đơn vị. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Vậy M ‘  M , A ‘  A hoặc ngược lại. Nghĩa là z2  1, z3   z1 hoặc z3  1, z2   z1 . Do đó A, B là mệnh đề đúng. C đúng là hiển nhiên, vì nếu ba số đều 1 một thì tổng bằng 3. 2 2 2 2  i, z3    i thỏa hai tính chất trên của đề bài nhưng 2 2 2 2 D sai vì với z1  1, z2  z1 z2 z3  1 . Chọn D. Câu 15: Cho số phức z  m 1  m    . Số các giá trị nguyên của m để z  i  1 là 1  m  2i  1 B. 1 A. 0 C. 4 D. Vô số Hướng dẫn giải: Ta có z  i   z i  m  1  i 1  2mi  m  3m  1   m  1 i m 1 i   1  m  2i  1 1  m  2i  1 1  m  2mi 3m  1   m  1 i 1  m  2mi  3m  1   m  1 i 1  m  2mi 2 1 2 2  3m  1   m  1 i  1  m  2mi   3m  1   m  1  1  m   4m 2  5m 2  6m  1  0  1  m   1 5 Vì m    Không có giá trị của m thỏa mãn. Câu 16: Cho z là số phức có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn 1 1 1   . Mô đun z w zw của số phức z là: B. 1 A. 2015 C. 2017 D. 0 Hướng dẫn giải: Từ 1 1 1   ta suy ra z 2  w 2  zw  0 z w zw 2 2  1 i 3 w   i 3w     z       z      w 2  2  2 2    Lấy mô đun hai vế ta có z  w  2017. Chọn C. Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Đặt A  A. A  1 . B. A  1 . 2z  i . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2  iz C. A  1 . D. A  1 . Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Chọn A. Đặt Có a  a  bi,  a, b     a 2  b 2  1 (do z  1 ) 2a   2b  1 i 4a 2   2b  1 2z  i A   2 2  iz 2  b  ai  2  b  a2 Ta chứng minh Thật vậy ta có 4a 2   2b  1 2  b 2 2  b 2 2  1.  a2 4a 2   2b  1 a 2 2 2 2  1  4a 2   2b  1   2  b   a 2  a 2  b 2  1 2 Dấu “=” xảy ra khi a 2  b 2  1 . Vậy A  1 . Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2  4  2 z . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 3 1 3 1  z  . B. 6 6 5  1  z  5  1. C. 6  1  z  6  1. D. 2 1 2 1  z  . 3 3 Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức u  v  u  v , ta được 2 2 2 z  4  z 2  4  4  z  z  2 z  4  0  z  5  1. 2 2 2 z  z  z 2  4   z 2  4  z  2 z  4  0  z  5  1. Vậy, z nhỏ nhất là 5  1, khi z  i  i 5 và z lớn nhất là 5  1, khi z  i  i 5. Chọn B. Câu 19: Cho z1 , z2 , z3 là các số phức thỏa mãn z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3  1. Khẳng định nào dưới đây là sai ? A. z13  z23  z33  z13  z23  z33 . B. z13  z23  z33  z13  z 23  z33 . C. z13  z23  z33  z13  z 23  z33 . D. z13  z23  z33  z13  z23  z33 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Cách 1: Ta có: z1  z2  z3  0  z2  z3   z1  z1  z2  z3  3  z13  z23  z33  3  z1 z2  z1 z3  z1  z2  z3   3z 2 z3  z2  z3  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  z13  z23  z33  3z1 z2 z3  z13  z23  z33  3z1 z2 z3 .  z13  z23  z33  3z1 z 2 z3  3 z1 z 2 z3  3 3 3 3 Mặt khác z1  z2  z3  1 nên z1  z2  z3  3 . Vậy phương án D sai. Cách 2: thay thử z1  z2  z3  1 vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai Câu 20: Cho z1 , z2 , z3 là các số phức thỏa z1  z2  z3  1. Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . B. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . C. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . D. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Cách 1: Kí hiệu Re : là phần thực của số phức. 2 2 2 2 Ta có z1  z2  z3  z1  z2  z3  2 Re  z1 z 2  z2 z3  z3 z1   3  2 Re  z1 z2  z2 z3  z3 z1  (1). 2 2 2 2 z1 z2  z2 z3  z3 z1  z1 z2  z2 z3  z3 z1  2 Re  z1 z2 z2 z3  z2 z3 z3 z1  z3 z1 z1 z2  2 2 2 2 2  2 2 2 2  z1 . z2  z2 . z3  z3 . z1  2 Re z1 z2 z3  z2 z3 z1  z3 z1 z2   3  2 Re  z1 z3  z2 z1  z3 z2   3  2 Re  z1 z2  z3 z3  z3 z1  (2). Từ 1 và  2  suy ra z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . Các h khác: B hoặc C đúng suy ra D đúngLoại B, C. Chọn z1  z2  z3  A đúng và D sai Cách 2: thay thử z1  z2  z3  1 vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai Câu 21: Tìm số phức z có z  1 và z  i max : A. 1 B. 1 D. i C. i Hướng dẫn giải: Đặt z  a  bi thì z  a 2  b 2 ; z  i  a 2   b  1 Khi 2 đó ta có: 2 z  1  a 2  b 2  1  b  1; z  i  a 2   b  1  a 2  b 2  2b  1  2b  2  2 Do đó giá trị lớn nhất đạt được bằng 2 khi a  0; b  1; z  i. Chọn C. Câu 22: Tìm phần thực của số phức z  1  i  , n   thỏa mãn phương trình: n log 4  n  3  log 4  n  9   3 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 5 B. 6 Số Phức Nâng Cao C. 7 D. 8 Hướng dẫn giải: Điều kiện n  3, n   Phương trình: log 4  n  3  log 4  n  9   3  log 4  n  3 n  9   3  n  7 (so đk) 3 7 2 3 z  1  i   1  i  1  i    1  i  2i   8  8i   Vậy phần thực của số phức z là 8. Chọn D. Câu 23: Cho hai số phức phân biệt z1; z2 thỏa mãn điều kiện z1  z2 là số ảo. Khẳng định nào sau z1  z2 đây đúng? A. z1  1; z2  1 B. z1  z2 C. z1  z2 D. z1   z2 Hướng dẫn giải: z1  z2  z1  z2  0 Thì  z z z z  z1  z2 là số ảo  1 2   1 2   0. z1  z2  z1  z2  z1  z2 z1  z2 z1  z 2   0   z1  z2  z1  z 2    z1  z2  z1  z2   0. z1  z2 z1  z2    2 z1 z1  z 2 z2  0  z1 z1  z2 z 2  0  z1  z 2  0. Chọn C. Câu 24: Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z  2i  1  z  i . Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1, 3 . A. 3  i . B. 1  3i . C. 2  3i . D. 2  3i . Hướng dẫn giải: Gọi M  x, y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi  x, y  R  Gọi E 1, 2  là điểm biểu diễn số phức 1  2i Gọi F  0, 1 là điểm biểu diễn số phức i Ta có: z  2i  1  z  i  ME  MF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trục EF : x  y  2  0 . Để MA ngắn nhất khi MA  EF tại M  M  3,1  z  3  i Câu 25: Trong các số phức z thỏa mãn z  1. Tìm số phức z để 1  z  3 1  z đạt giá trị lớn nhất. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 4 3 4 3 A. z    i, z    i. 5 5 5 5 C. z  Số Phức Nâng Cao 3 3 B. z   i, z  i. 5 5 4 3 4 3  i, z   i. 5 5 5 5 3 4 3 D. z   i, z    i. 5 5 5 Hướng dẫn giải: Giả sử z  x  yi,  x, y    Vì z  1  x 2  y 2  1  x 2  y 2  1 Khi đó: 1 z  3 1 z    x  1 2  y2  3  x  1  x  12  1  x 2  3  x  12  1  x2 Xét hàm số f  x   2  2  y2  2  1 x  3 1 x   1  x  3 1  x trên đoạn  1;1 ta có: 3  4  1 f ‘ x  2   ; f ‘ x  0  x   5  2 1 x 2 1 x   4 Ta có: f  1  6; f     2 10  5 Vậy f max 4 3  4  x ;y  x    4 5 5  f     2 10    5   5 x   4 ; y  3  y 2  1  x 2  5 5 4 3 4 3 Vậy z    i, z    i. 5 5 5 5 Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÊN SỐ PHỨC Câu 1: 2 3 Tính tổng mô-đun tất cả các nghiệm của phương trình:  z  i   z  1 z  i   0 A. 3. B. 4. C. 6. D. 8 Hướng dẫn giải:  z  i  z  i  z  1  z  i  z  1   z  i  z  i   z 2  1 z 3  i   0   z  1   z  i  3 3  2 i  5  z  i  0  z   z  iz  1  0 2  Suy ra tổng mô-đun các nghiệm bằng 6. Chọn C. Câu 2: Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm của phương trình z 2  2 z  2  0 trên tập số phức. Tìm mô đun của số phức    z1  1 2015 A.   5   z2  1 2016 . B.   2 C.   1 D.   3 Hướng dẫn giải: Phương trình z 2  2 z  2  0 có  ‘  1  2  1  i 2 . z  1 i z  1 i hoặc  1 Suy ra phương trình có hai nghiệm  1  z2  1  i  z2  1  i 1007 1013 z  1 i 2015 Thay  1 vào  ta được:    i   i 2016    i 2  .i   i 2   1  i.  z2  1  i 1002 1003 z  1 i 2016   i 2  .i   i 2   1  i. Thay  1 vào   i 2015   i   z2  1  i Vậy   2. Chọn B. Câu 3: Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z ) z 2  bz  c  0 nhận z  1  i là một nghiệm. A. b  2; c  2 B. b  2; c  2 C. b  2; c  2 D. b  1; c  1 Hướng dẫn giải: Nếu z  1  i là nghiệm thì: 1  i  2 b  c  0 b  2  b 1  i   c  0  b  c   b  2  i  0    b  2  0 c  2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Một phương trình bậc hai với hệ số thực, nếu có một nghiệm phức z thì cũng nhận z lam nghiệm. Vậy nếu z  1  i là một nghiệm thì z  1  i cũng là nghiệm. Theo định lý Vi-ét: 1  i   1  i   b  b  2  1  i 1  i   2  c Chọn A. Câu 4: Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực m, n để phương trình z 4  mz 2  n  0 không có nghiệm thực. A. m2  4n  0.  m 2  4n  0  B. m2  4n  0 hoặc m  0 . n  0   m2  4n  0  C. m  0 . n  0  m 2  4 n  0  D. m2  4n  0 hoặc m  0 . n  0  Hướng dẫn giải: Phương trình z 4  mz 2  n  0 không có nghiệm thực trong các trường hợp: TH1: Phương trình vô nghiệm, tức là m2  4n  0. TH2: Phương trình t 4  mt 2  n  0;  t  z 2   m 2  4n  0   0   có hai nghiệm âm  S  0   m  0 . P  0 n  0   Chọn D. Câu 5: Trong mặt phẳng phức, các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình  iz  1 z  3i   z  2  3i   0 là các điểm nào sau đây? A. A  0; 1 ; B  0; 3 ; C  2;3 B. A 1;0  ; B  3;0  ; C  2; 3 C. A  0; 2  ; B  0;1 ; C  2;3 D. A  2; 2  ; B  1;1 ; C  1;0  Hướng dẫn giải: 1   z  i  i iz  1  0  z  i     iz  1 z  3i  z  2  3i  0   z  3i  0   z  3i   z  3i  z  2  3i  z  2  3i  0  z  2  3i      Vậy các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình đã cho là A  0; 1 ; B  0; 3 ; C  2;3 . Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 6: Số Phức Nâng Cao Tìm các số thực a, b, c sao cho hai phương trình az 2  bz  c  0, cz 2  bz  a  16  16i  0 có nghiệm chung là z  1  2i A.  a, b, c   1; 2;5  B.  a, b, c   1;2;5 C.  a, b, c    1; 2;5  D.  a, b, c   1; 2; 5  Hướng dẫn giải: Theo giả thiết phương trình az 2  bz  c  0 có nghiệm z  1  2i khi  3a  b  c  0 2 a 1  2i   b 1  2i   c  0  3a  b  c   4a  2b  i  0    4a  2b  0 1 Tương tự phương trình cz 2  bz  a  16  16i  0 có nghiệm z  1  2i khi 2 c 1  2i   b 1  2i   a  16  16i  0  c  3  4i   b  2bi  a  16  16i  0 a  b  3c  16  0   a  b  3c  16   2  b  2c  8  i  0   b  2c  8  0  2 Từ 1 ,  2  suy ra  a, b, c   1; 2;5  . Chọn A. Câu 7: Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z ) z 3  az 2  bz  c  0 nhận z  1  i làm nghiệm và cũng nhận z  2 làm nghiệm. A. a  4; b  6; c  4 B. a  4; b  5; c  4 C. a  3; b  4; c  2 D. a  1; b  0; c  2 Hướng dẫn giải: 3 2 z  1  i là nghiệm thì 1  i   a 1  i   b 1  i   c  0 z  2 là ngiệm thì 8  4a  2b  c  0 b  c  2  0 1  Từ đó ta có hệ phương trình 2a  b  2  0  2  4a  2b  c  8  0  3 Từ 1 suy ra c  2  b Từ  2  suy ra b  2  2a  c  2   2  2a   4  2a Thay vào  3  ta có: 4a  2  2  2a   4  2a  8  0  a  4 Với a  4  b  6; c  4. Chọn A. 4 Câu 8:  z 1  Phương trình    1 có bao nhiêu nghiệm.  z 1  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm Số Phức Nâng Cao D. 4 nghiệm Hướng dẫn giải:  z  1 2  4   1, 1 z  1    z 1     1  2  z 1   z  1   1,  2   z  1   z 1  z 1  1  z  1  z 1 i  i    z0 1    z  1  1  z  1   z  1  z  0  z  1  z 1  z 1  i  z  1  iz  1 z  1    2    z  1  iz  1  z  1  z  1  i  z  1 Vậy nghiệm phương trình là: z  0; z  1; z  1 Chọn C. Câu 9: Số nghiệm phức của phương trình z  A. 1 nghiệm 25  8  6i là? z B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Hướng dẫn giải: Giả sử z  a  bi với; a, b  R và a, b không đồng thời bằng 0. 1 1 a  bi Khi đó z  a  bi;   2 z a  bi a  b 2 Khi đó phương trình a  a 2  b 2  25   8  a 2  b 2  25  a  bi  25  z  8  6i  a  bi  2  8  6i   2 2 2 2 2 z a b b  a  b  25   6  a  b  Lấy 1 chia  2  theo vế ta có b  1 .  2 3 a, thế vào 1 . Ta có a  0 hoặc a  4. 4 Với a  0  b  0 (Loại) Với a  4  b  3. Ta có số phức z  4  3i. Chọn B. Câu 10: Gọi z1 ; z2 ; z3 ; z4 là 4 nghiệm phức của phương trình z 4   4  m  z 2  4m  0. Tìm tất cả các giá trị m để z1  z2  z3  z4  6. A. m  1 B. m  2 C. m  3 D. m  1 Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  z1,2  2i z 4   4  m  z 2  4m  0   z 2  4  z 2  m   0    z3,4    m  z1;2  2i Nếu m  0 hoặc   nếu m  0  z3;4  i m 6  z1  z2  z3  z4  4  2 m Khi đó   m  1 m  0 6  z1  z2  z3  z4  4  2 m Hoặc   m 1 m  0 Kết hợp lại m  1 thỏa mãn bài toán. Chọn D. 4  z 1  Câu 11: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm của phương trình    1. Tính giá trị biểu thức  2z  i  P   z12  1 z22  1 z32  1 z42  1 . A. P  2. B. P  17 . 9 C. P  16 . 9 D. P  15 . 9 Hướng dẫn giải: 4 4 Ta có phương trình  f  z    2 z  i    z  1  0. Suy ra: f  z   15  z  z1  z  z2  z  z3  z  z 4  . Vì z12  1   z1  i  z1  i   P  4 f  i  . f  i  1 . 225 4 4 Mà f  i   i 4   i  1  5; f  i    3i    i  1  85. Vậy từ 1  P  17 . 9 Chọn B. Câu 12: Tìm số thực m  a  b 20 (a, b là các số nguyên khác 0) để phương trình 2 z 2  2(m  1) z  (2m  1)  0 có hai nghiệm phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn z1  z2  10 . Tìm a. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải:  ‘  m 2  6m  1   TH1:  ‘  0 hay m  (;3  10)  (3  10; ) Khi đó z1  z2  10  z12  z22  2 z1 z 2  10 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao   2m  1  0  2  m  1  10  (1  m)  10 2  (1  m)  (2m  1)  2m  1  10    2m  1  0  m  3  20    m 2  6m  11  0 (loai ) TH2:  ‘  0 hay m  (3  10;3  10) 1  m  i (m 2  6m  1) 1  m  i (m 2  6m  1)   10 Khi đó: z1  z2  10  2 2 Hay (1  m)2  ( m 2  6m  1)  10  m  2 Vậy m = 2 hoặc m  3  20 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao DẠNG 3: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM, BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Câu 1: Tìm tập hợp T  các điểm M biểu diễn các số phức z sao cho log 1 z  2  log 1 z . 2 2 A. Miền phẳng nằm bên phải đường thẳng x  1 B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 C. Hình vành khăn gồm các điểm giữa hai hình tròn  O;1 và  O; 2  kể cả các điểm nằm trên đường tròn  O; 2  ; không kể các điểm nằm trên đường tròn  O;1 D. Đường thẳng x  1 Hướng dẫn giải: Điều kiện: z  0, z  2 Cách 1: Đặt z  x  yi,  x, y  R  . 2 log 1 z  2  log 1 z  z  2  z   x  2   y 2  x 2  y 2  x  1. 2 2 Do đó, tập hợp T  các điểm .. biểu diễn các số phức z là miền phẳng nằm bên phải đường thẳng x  1 . Cách 2: Ta có: log 1 z  2  log 1 z  z  2  z . 2 2 Gọi A là điểm biểu diễn số phức z1  2  A  2;0  Xét trường hợp z  2  z  MA  MO Khi đó M chạy trên đường trung trực  của đoạn OA, có phương trình x  1. Với trường hợp z  2  z  MA  MB  M nằm bên phải đường thẳng  . Do đó, tập hợp T  các điểm M biểu diễn các số phức z là miền phẳng nằm bên phải đường thẳng  , trung trực của đoạn thẳng OA là miền phẳng nằm bên phải đường thẳng x  1. Chọn A. Câu 2: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện z  1  z  1  4 là: A. x2  y 2  4 C. x2 y 2  1 4 3 2 2 B.  x  1   y  1  4 D. 3x 2  4 y 2  36  0 Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Xét hai điểm: F1  1;0  , F2 1;0  , theo giả thiết ta có: z  1  z  1  4  MF1  MF2  4, M  z  . Vậy tập hợp điểm cần tìm là elip có các tiêu điểm F1  1;0  , F2 1;0  , nửa trục lớn a  2, nửa trục nhỏ b  3 . Phương trình elip x2 y 2   1. 4 3 Chọn C. Câu 3: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện z  2  z  2  3 là: 2 A. x2  y 2  1 C. 2 B.  x  2    y  2   9 x2 y 2  1 3 2 x2 D. 3   2 2  y2  7    2  2 1 Hướng dẫn giải: Xét hai điểm F1  2;0  , F2  2;0  , theo giả thiết ta có: z  2  z  2  3  MF1  MF2  3, M  z  . Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hyperbol có các tiêu điểm F1  2;0  , F2  2;0  , nửa trục lớn 3 3 a  , nửa trục nhỏ b  . 2 2 Phương trình của hyperbol x2 3   2 2  y2  7    2  2  1. Chọn D. Câu 4: Cho 3 số phức: 1;3i; 3  5i biểu diễn bởi các điểm A, B, C . Điểm I     2IA  3IB  2 IC  0 biểu diễn số phức nào sau đây? A. 4  19i B. 4  19i C. 4  19i thỏa mãn D. 4  6i Hướng dẫn giải: Ta có: A 1;0  , B  0;3 , C  3; 5            2 IA  3IB  2 IC  0  2 OA  OI  3 OB  OI  2 OC  OI  0      OI  2OA  3OB  2OC  I  4; 19        Vậy điểm I biểu diễn số phức z  4  19i. Chọn C. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 22 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 5: Số Phức Nâng Cao Tập hợp điểm biểu diễn số phức z  2i  3 là đường tròn tâm I . Tất cả giá trị m thỏa mãn khoảng cách từ I đến  : 3x  4 y  m  0 bằng 1 là: 5 A. m  7; m  9 C. m  7; m  9 B. m  8; m  8 D. m  8; m  9 Hướng dẫn giải: 2 2 z  2i  3  x   y  2  i  3  x 2   y  2   3  x 2   y  2   9  I  0; 2  3.0  4.2  m d  I,  d  I,  2 3 4 2  1 8m 5 8  m  1 m  7 1 1 1  8m     5 5 5 8  m  1  m  9 Chọn C. Câu 6: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ thảo mãn điều kiện: 2 z  5 z  5 z  0. A. Đường thẳng qua gốc tọa độ. B. Đường tròn bán kính 1. C. Đường tròn tâm I  5;0  bán kính 5 D. Đường tròn tâm I  5;0  bán kính 3 Hướng dẫn giải: Đặt z  x  yi, ta có z  x  yi. 2 2 Do đó: z  5 z  5 z  0  x 2  y 2  5 x  5 yi  5 x  5 yi  0   x  5   y 2  25 Trên mặt phẳng tọa độ, đó là tập hợp các điểm thuộc đường tròn bán kính bằng 5 và tâm là I  5;0  . Chọn C. Câu 7: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u  z  2  3i là một số thuần ảo. zi A. Đường tròn tâm I  1; 1 , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm  0;1 và  2; 3 . B. Đường tròn tâm I  1; 3 , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm  0;1 và  2; 3 . C. Đường tròn tâm I  1; 4  , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm  0;1 và  2; 3 . D. Đường tròn tâm I  2; 1 , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm  0;1 và  2; 3 . Hướng dẫn giải: Giả sử z  a  bi  a, b    ,  z  i  , khi đó: u a  2  bi  3i  a  2   b  3 i   a   b  1 i   2 a   b  1 i a 2   b  1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Tử số bằng a 2  b 2  2a  2b  3  2  2a  b  1 i u là số thuần ảo khi và chỉ khi: 2 2 a 2  b 2  2a  2b  3  0  a  1   b  1  5   2   1  0 a b   a; b    0;1 ,  2; 3 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  1; 1 , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm  0;1 và  2; 3 . Chọn A. Câu 8: Tìm trong mặt phẳng tập hợp    các điểm M biểu diễn số phức z sao cho Z  z  4 là z một số thực. A. Trục hoành x ‘ Ox ngoại trừ điểm gốc và đường tròn tâm O , bán kính R  2 B. Trục hoành x ‘ Ox ngoại trừ điểm gốc và đường tròn tâm O , bán kính R  1 C. Đường tròn tâm O , bán kính R  1 D. Trục hoành x ‘ Ox ngoại trừ điểm gốc Hướng dẫn giải: Đặt z  x  yi,  z  0  với x, y   Ta có: Z  z  Z  4  x  yi  4 4  x  yi   x  yi  2 z x  yi x  y2 x  x 2  y 2  4   y  x 2  y 2  4 i x2  y2 2 2 2 2  y  x  y  4   0  y  0  x  y  4  2 Z là một số thực:   2 2 2  x  y  0  x  y  0 Do đó    gồm: – Trục hoành x ‘ Ox ngoại trừ điểm gốc. – Đường tròn tâm O, bán kính R  2. Chọn A. Câu 9: Trong mặt phẳng phức, cho M là điểm biểu diễn số phức z  x  yi, M  0. Xem số phức 1 1 Z   z 2  2  . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thực. 2 z  A. Trục tung (hay trục hoành ), không kể điểm O. B. Trục tung hay trục hoành C. Đường thẳng y  1 D. Đường thẳng x  1 Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 24 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Trường hợp Z là một số thực  Phần ảo bằng 0.  xy x 2 y 2 2   x 2  y 2  2  1  0  xy  0, x 2  y 2  0   x  0, y  0  y  0, x  0    Tập hợp điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z là – Trục tung, không kể điểm O. – Trục hoành, không kể điểm O. Chọn A. Câu 10: Trong mặt phẳng phức, cho M là điểm biểu diễn số phức z  x  yi, M  0. Xem số phức 1 1 Z   z 2  2  . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thuần ảo. 2 z  A. Đường tròn tâm O, bán kính R  1 B. Đường tròn tâm I  0;1 bán kính R  1 C. Đường thẳng y  1 D. Đường thẳng x  1 Hướng dẫn giải: Trường hợp Z là một số thuần ảo  Phần thực bằng 0. 2   x 2  y 2   1  0  x2  y 2  1 Tập hợp điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R  1 . Chọn A. Câu 11: Cho Z  1  iz , z   , z  x  yi với x, y   . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số 1  iz thực. A. Trục tung ngoại trừ điểm A  0;1 B. Trục hoành ngoại trừ điểm A  0;1 C. Đường thẳng y  1 D. Đường thẳng x  1 Hướng dẫn giải: Ta có: z  x  yi; x, y  R  Z  1  zi 1  i  x  yi   1  zi 1  i  x  yi  1  yi 2  xi 1  y  xi 1  y  xi 1  y  xi  Z   1  yi 2  xi 1  y  xi 1  y  xi 1  y  xi  2 1  xi   y 2   2 1  y   x 2i 2  1  x 2i 2  2 xi  y 2 1  y  2  x2  1  x 2  y 2  2 xi 1  y  2  x2 Z là một số thực  x  0, y  0 Ta có z  yi, y  1 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 25 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là trục tung ngoại trừ điểm A 1;0  . Chọn A. Câu 12: Cho Z  1  iz , z   , z  x  yi với x, y   . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số 1  iz thuần ảo. A. Đường tròn tâm O, bán kính R  1 ngoại trừ điểm A  0;1 B. Đường tròn tâm O, bán kính R  1 C. Đường thẳng y  1 D. Đường thẳng x  1 Hướng dẫn giải: 1  x 2  y 2  0 x2  y 2  1 Số phức Z là một số thuần ảo khi và chỉ khi:    2 2  x  0, y  0 1  y   x  0  Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm O, bán kính R  1 ngoại trừ điểm A  0;1 Chọn A. Câu 13: Trong mặt phẳng phức, cho m và M là điểm biểu diễn số phức z  x  yi, M  0. 1 1 Z  X  Yi   z   . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thực. 2 z A. Đường tròn tâm O , bán kính R  1 và trục hoành Ox, không kể điểm gốc O B. Đường tròn tâm O , bán kính R  1 C. Đường thẳng y  1. D. Đường thẳng x   1 và trục hoành Ox 2 Hướng dẫn giải: 2 2 2 2 1 1 1 1   x  y  1 x  x  y  1 x Ta có: Z   z     x  yi    2 z 2 x  yi  2  x2  y2  2  x2  y 2   x 2  y 2  1 y  0 Z là số thực khi và chỉ khi: Y  0   2 2  x  y  0 1 y  0 y  0 Ta có: 1   2  2 2 2  x  y 1  0 x  y  1 Tập hợp các điểm M phải gồm: + Trục hoành Ox, không kể điểm gốc O. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 26 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao + Đường tròn tâm O , bán kính R  1 Chọn A. Câu 14: Trong mặt phẳng phức, cho m và M theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi z 1 và Z  . Tìm tập hợp các điểm m sao cho: Z là một số thuần ảo. z  2i 5 1  A. Đường tròn tâm I  ; 1 , bán kính R  2 2  B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 C. Đường thẳng y  2 x  2 D. Đường thẳng x  1 Hướng dẫn giải: Ta có: Z  Z   x  yi   1  x  1  yi   x  1  yi   x   y  2  i  z 1  z  2i  x  yi   2i x   y  2  i  x   y  2  i   x   y  2  i  x  x  1  y  y  2    y  2 x  2  i x2   y  2 2 Z là một số thuần ảo khi và chỉ khi: x  x  1  y  y  2   0  x 2  y 2  x  2 y  0 5 1  Tập hợp các điểm m là đường tròn tâm I  ; 1 , bán kính R  . 2 2  Chọn A. Câu 15: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z sao cho: z  2 z  i . 8 4 A. x 2  y 2  y   0 3 3 B.  x  1   y  1  4 x2 y 2 C.  1 4 3 D. 3×2  4 y 2  36  0 2 2 Hướng dẫn giải: Cách 1. Đặt z  x  yi,  z  0  với x, y  R 8 4  y2  y   0 3 3      Cách 2. Ta có: z  2 z  i  OM  2 OM  OB  OM  2 BM  Ta có: z  2 z  i  x 2  y 2  4 x 2   y  1 2  x 2 Với B 1;0  là điểm biểu diễn số i. Do đó ta có: OM  2 BM  MO 2 MB File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 27 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Ta suy ra tập hợp các điểm M là đường tròn Apollonius đường kính IJ , với I , J thuộc trục tung và:   OI  2 IB  2    I  0;  và J  0; 2   3 OJ  2 JB 2  Phương trình đường tròn: x 2   y   3  2  y  2  0  x 2  y 2  8 4 y 0 3 3 Chọn A. Câu 16: Cho A là điểm biểu diễn của các số phức: z  1  2i; M1 , M 2 lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 và z2 . Điều kiện để AM1M 2 cân tại A là: A. z1  z2 B. z1  1  2i  z2  1  zi C. z1  z2  1  2i D. z1  1  2i  z1  z2 Hướng dẫn giải: AM1M 2 cân tại A nên M1 A  M1M 2 hay: z1  1  2i  z2  1  2i Chọn B. Câu 17: Trong mặt phẳng phức, cho số phức a bất kì, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho: z  a . z  a  aa. A. Đường tròn tâm A , bán kính R  AO B. Đường tròn tâm A , bán kính R  2 C. Một hyperbol vuông góc D. Đường thẳng x  1 Hướng dẫn giải: 2 Ta có: z  a . z  a  aa  z  a  a 2 1 Gọi A là điểm biểu diễn số phức a trong mặt phẳng phức.  2  2 Ta có: 1  MA  OA  AM 2  OA2  AM  AO Do đó, tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A , bán kính R  AO . Chọn A. Câu 18: Trong mặt phẳng phức, cho số phức a bất kì, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z 2 2 sao cho: z 2  a 2  z  a . A. Đường tròn tâm A , bán kính R  AO B. Đường tròn tâm A , bán kính R  2 C. Một hyperbol vuông góc D. Đường thẳng x  1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 28 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Hướng dẫn giải: 2 2 2 2      Ta có: z 2  a 2  z  a  z 2  z  a 2  a  z  z z  z  a  a a  a   2  z  x  yi Đặt:  a     i Ta có:  2   2 x  2 yi   2  2  i   xy   Do đó, tập hợp các điểm M là một hyperbol vuông góc. Chọn C. Câu 19: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm M là ảnh của số phức z sao cho: Ảnh của các số i, z , iz thẳng hàng. 2 1 1 ngoại trừ điểm  0;1 A. Đường tròn x 2  y 2  x  y  0, có tâm I  ;  , bán kính R  2 2 2 2 1 1 B. Đường tròn x 2  y 2  x  y  0, có tâm I  ;  , bán kính R  2 2 2 C. Một hyperbol vuông góc D. Đường thẳng x  1 Hướng dẫn giải: Cách 1: Gọi điểm biểu diễn số phức z là M  x; y  . Gọi điểm biểu diễn số phức i là N  0;1 . Gọi điểm biểu diễn số phức iz là P   y; x  .   NM   x; y  1 ; NP    y; x  1 Vì 3 điểm M , N , P thẳng hàng nên ta có: x  x  1   y  y  1  x 2  y 2  x  y  0. 1 1 Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn x 2  y 2  x  y  0, có tâm I  ;  , bán kính 2 2 2 R ngoại trừ điểm  0;1 . 2 Cách 2: Kí hiệu M  z  dùng để chỉ M là điểm biểu diễn số phức z hay ảnh của số phức z. Giả sử các điểm A  i  , M  z  , M ‘  iz  thẳng hàng:   iz  z  MM ‘  k MA, k  R  iz  z  k  i  z   k  iz Đặt z  x  yi  k    y  x    x  y  i    x   y  1 i  i  x  yi    x  yi  k   i   x  yi    x   y  1 i    x   y  1 i  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 29 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A k x2  y 2  x  y x 2   y  1 2  x2  y 2  x  y x 2   y  1 2 Số Phức Nâng Cao i  x 2  y 2  x  y  0 k là một số thực. Do đó ta có:  2 2  x   y  1  0 1 1 Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn x 2  y 2  x  y  0, có tâm I  ;  , bán kính 2 2 2 R ngoại trừ điểm  0;1 . 2 Chọn A. Câu 20: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm M là ảnh của số phức z sao cho: Ảnh của các số z, z 2 , z 4 thẳng hàng. 1 1 A. Đường tròn x 2  y 2  x  y  0, có tâm I  ;  , bán kính R  1 ngoại trừ điểm  0;1 2 2 2 1 1 B. Đường tròn x 2  y 2  x  y  0, có tâm I  ;  , bán kính R  2 2 2 C. Một hyperbol vuông góc và trục hoành Ox D. Đường thẳng x   1 và trục hoành Ox 2 Hướng dẫn giải: Các điểm M  z  , M ‘  z 2  , M ”  z 4  thẳng hàng.    MM ”  k MM ‘, k  R  z 4  z  k  z 2  z   z  z 3  1  kz  z  1  0  z  z  1  z 2  z  1  k   0, z  0,1  z 2  z  1  k  0 Đặt z  x  yi; x, y  R 2 Ta có: k  z 2  z  1   x  yi    x  yi  i  1  k  x 2  y 2  x  1   2 xy  y  i k  R  2 xy  x  0  y  0  x   1 2 Vậy tập hợp điểm M gồm: + Trục hoành Ox. 1 + Đường thẳng x   . 2 Chọn D. Câu 21: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho: z  z  k z . Với k là một số thực cho trước. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 30 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao A. Đường tròn tâm O  0;0  , bán kính R  1 B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 C. Nửa trục Ox, nửa trục Ox’ D. Nửa trục Ox’ Hướng dẫn giải: Đặt z  x  yi; x, y  R Ta có: z  z  k z 1  2 x  k x2  y 2  2 Nếu k  0, ta có: x  0 Tập hợp các điểm M là trục tung. Xét k  0 : 4 x 2  k 2  x 2  y 2   4  k 2  x 2  k 2 y 2 Ta có:  2     kx  0 kx  0 Với 2  k  2 và k  0, ta có: y2  4 k2 2 4  k2 x  y   x k2 k  kx  0  Do đó, tập hợp M phải tìm là: – Các đường thẳng y   4  k2 x k + Giới hạn bởi 0  k  2, x  0. + Hoặc giới hạn bởi 2  k  0, x  0. – Nửa trục Ox nếu k  2. – Nửa trục Ox ‘ nếu k  2. Chọn C. Câu 22: Cho hai số phức: p  a  bi; q  c  di Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho số  z  p  z  q  là số thực. A. Đường tròn tâm O  0;0  , bán kính R  1 B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 C. Một hyperbol vuông góc có tiệm cận là x  ac bd ;y 2 2 D. Các đường thẳng y  2 x, trừ gốc tọa độ O  0;0  Hướng dẫn giải: Đặt z  x  yi; x, y  R File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 31 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có: z  p  x  a   y  b  i ; Số Phức Nâng Cao z  q  x  c   y  d i   z  p  z  q    x  a   y  b  i   x  c   y  d  i    x  a  x  c    y  b  y  d    x  a  y  d    x  c  y  b   i  z  p  z  q  là một số thực.   x  a  x  c    y  b  y  d   0   x  a    x  c   y   x  a  d   x  c  b  y  b  d  x   ad  bc  2x  a  c với x  ac 2 Do đó ta có tập hợp các điểm M là một hyperbol vuông góc có tiệm cận là ac bd x ;y 2 2 Chọn C. Câu 23: Trong mặt phẳng phức, cho M , M ‘ theo thứ tự là điểm biểu diễn của hai số phức z và z 1  i z ‘ : z  x  yi, z ‘  . Tìm tập hợp điểm  E  các điểm M sao cho: Điểm M ‘ nằm z 1 trên trục tung và M ‘  0. 1 1  A. Đường tròn tâm I 1;   , bán kính R  ngoại trừ các điểm 1;0  và 1; 1 . 2 2  B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 ngoại trừ các điểm 1;0  và 1; 1 . C. Đường thẳng y  1 ngoại trừ các điểm 1;0  và 1; 1 . D. Đường thẳng x  1 ngoại trừ các điểm 1;0  và 1; 1 . Hướng dẫn giải: 2 z  1  i  x  1   y  1 i  x  1  y  y  1   x  1 i Ta có: z ‘    2 z 1  x  1  yi  x  1  y 2 Trường hợp M ‘ nằm trên trục tung và M ‘  0.  z ‘ là một số thuần ảo khác 0. 2  x2  y 2  2 x  y  1  0  x  1  y  y  1  0    x  1  0 x  1 1 1    E  là đường tròn tâm I  1;   bán kính R  ngoại trừ các điểm 1;0  và 1; 1 . 2 2  Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 32 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 24: Trong mặt phẳng phức, cho M , M ‘ theo thứ tự là điểm biểu diễn của hai số phức z và z 1  i z ‘ : z  x  yi, z ‘  . Tìm tập hợp điểm  E  các điểm M sao cho: Điểm M ‘ nằm z 1 trên trục hoành và M ‘  0. 1 1  A. Đường tròn tâm I 1;   , bán kính R  ngoại trừ các điểm 1;0  và 1; 1 . 2 2  B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 ngoại trừ các điểm 1;0  và 1; 1 . C. Đường thẳng y  1 ngoại trừ các điểm 1;0  và 1; 1 . D. Đường thẳng x  1 ngoại trừ các điểm 1;0  và 1; 1 . Hướng dẫn giải: 2 z  1  i  x  1   y  1 i  x  1  y  y  1   x  1 i Ta có: z ‘    2 z 1  x  1  yi  x  1  y 2 Trường hợp M ‘ nằm trên trục tung và M ‘  0.  z ‘ là một số thực. 2  x  1  y  y  1  0   x  1  0   E  là đường thẳng x  1 ngoại trừ các điểm 1;0  và 1; 1 . Chọn D.   Câu 25: Tìm quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức w  1  i 3 z  2 biết số phức z thỏa mãn: z  1  2 1 . 2  A. Hình tròn  x  3  y  3 2  C. Hình tròn  x  3  y  3  2  2  2  16 B. Hình tròn  x  3  y  3  25 D. Hình tròn  x  3  y  3  2  2  9 2  36 Hướng dẫn giải: Giả sử w  a  bi   Ta có: a  bi  1  i 3 z  2  z  1   a  3  b  3i 1 i 3  2  a  3  b  3i a  2  bi  z 1  1 i 3 1 i 3  a  3 2   b  3i 2   2 2   2   a  3  b  3 2  Vậy quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức là hình tròn  x  3  y  3   2  16 2  16 (kể cả những điểm nằm trên biên) File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 33 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Chọn A. Câu 26: Trong mặt phẳng phức, gọi N , M , A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn các số: z 1 z  x  yi; Z  X  Yi  ;1; 1. Tìm tập hợp điểm M khi N chạy trên đường tròn z 1 x2  y 2  1.   A. Đường tròn tâm I 2  2;0 , bán kính R  5  4 2 B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 C. Trục tung D. Trục hoành Hướng dẫn giải: Ta có: Z  X  Yi  z 1 x2  y2 1 2 y X ; Y  2 2 z 1  x  1  y 2  x  1  y 2 2 2 Vì N chạy trên đường tròn:  x  1  y 2  1 nên ta có  x  1  y 2  1  X  0 Vậy tập hợp điểm M là trục tung. Chọn C. Câu 27: Gọi M và A là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z  x  yi; a  10  6i. Tìm tập hợp E1 các điểm M sao cho tích z  z  a  là một số thực.   A. Đường tròn tâm I 2  2;0 , bán kính R  5  4 2 B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 C. Là một hyperbol vuông góc y  D. Là một hyperbol y  3x ,x 5 x 5 3x ,x 5 x 5 Hướng dẫn giải: Ta có: z  z  a    x  yi  x  yi  10  6i    x  yi   x  10    y  6  i   x  x  10   y  y  6    2 xy  10 y  6 x  i Tích z  z  a  là một số thực.  2 xy  10 y  6 x  0  y  3 ,x 5 x 5 Trong mặt phẳng phức, tập hợp E1 là một hyperbol vuông góc có phương trình: 3x y , x  5. x 5 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 34 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Chọn C. Câu 28: Gọi M và A là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z  x  yi; a  10  6i. Tìm tập hợp E2 các điểm M sao cho tích z  z  a  là một số thuần ảo.   A. Đường tròn tâm I 2  2;0 , bán kính R  5  4 2 B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 C. Là một hyperbol vuông góc có tâm đối xứng I  5; 3 , có trục thực nằm trên trục Ox, độ dài các trục đều bằng 8. D. Là một hyperbol có tâm đối xứng I  5;3 , có trục thực nằm trên trục Ox, độ dài các trục đều bằng 8. Hướng dẫn giải: Tích z  z  a  là một số thuần ảo  Phần thực bằng 0.  x  x  10   y  y  6   0   x 2  10 x    y 2  6 y   0 2   x  5    y  3 2  x  5  16  16 2  y  3  16 2 1 Trong mặt phẳng phức, tập hợp E2 là một hyperbol có tâm đối xứng I  5;3 , có trục thực nằm trên trục Ox, độ dài các trục đều bằng 8. Chọn C. Câu 29: Tìm tập hợp T  các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức zz  z A. Đường tròn tâm O  0;0  , bán kính R  1 B. Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 C. Đường thẳng x  y 3, x   y 3 D. Đường thẳng y  x 3, y   x 3 Hướng dẫn giải: Đặt z  x  yi với x, y   Ta có z  z  z   x  yi    x  yi   x 2  y 2  2 x  x 2  y 2  x  0 x  0  2   2 2 4 x  x  y  y   x 3 Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng biểu diễn số phức z  x  yi gồm hai đường thẳng: D1 : y  x 3 D2 : y   x 3 Chọn D. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 35 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 1 Câu 30: Điểm M biểu diễn số phức z  0 và điểm M’ biểu diễn số phức z ‘  . Nếu điểm M di động z trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính R  2 thì M’ di động trên đường nào? A. x 2  y 2  2 x  2 y  0 B. 2 x  2 y  1  0 C. 2 x  2 y  1  0 D. 2 x  2 y  1  0 Đáp án: C x  x’  2  x  y2 1 z  Giải: Ta có z ‘   2 . Do đó  y z z y ‘  2  x  y2 M di động trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính R  2 nên x2  y 2  2 x  2 y 0  x  1   y  1  2  x  y  2 x  2 y  0  x2  y 2 2x 2y  1 2  2  0  2 x ‘ 2 y ‘ 1  0 2 x y x  y2 2 2 2 2 Câu 31: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  3  4i  2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w  2 z  1  i là hình tròn có diện tích A. S  9 . B. S  12 . C. S  16 . D. S  25 . Hướng dẫn giải: Chọn C. w  2z 1 i  z  z  3  4i  2  Giả sử w  x  yi w 1  i 2 w 1  i  3  4i  2  w  1  i  6  8i  4  w  7  9i  4 1 2  x, y    , khi đó 1   x  7 2   y  9 2  16 Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I  7;  9  , bán kính r  4. Vậy diện tích cần tìm là S   .42  16 . 2 và điểm A trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z . 2 1 Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức w  là một trong bốn điểm M , iz N , P , Q . Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là y Q Câu 32: Cho số phức z thỏa mãn z  A. điểm Q . B. điểm M . C. điểm N . D. điểm P . Hướng dẫn giải: M Chọn D. O N File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay P A x Trang 36 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Do điểm A là điểm biểu diễn của z nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng Oxy nên gọi z  a  bi (a, b  0) . Do z  2 nên 2 a 2  b2  2 . 2 a 1 b  2  2 i nên điểm biểu diễn w nằm trong góc phần tư thứ ba của 2 iz a  b a  b 2 mặt phẳng Oxy . Lại có w  w 1 1   2  2 z  2OA . iz i . z Vậy điểm biểu diễn của số phức w là điểm P . Câu 33: Biết số phức z thỏa điều kiện 3  z  3i  1  5 . Tập hợp các điểm biểu diễn của z tạo thành một hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó bằng A. 16 B. 4 C. 9 D. 25 Đáp án chi tiết : 8 Đặt z  x  yi 6 z  3i  1  x  1  ( y  3)i  ( x  1) 2  ( y  3) 2 Do đó 4 3  z  3i  1  5  9  ( x  1) 2  ( y  3)2  25 2 Tập hợp các điểm biểu diễn của Z là hình phẳng nằm trong đường tròn O Tâm I 1 ;3 với bán kính bằng R  5 đồng thời nằm 5 2 ngoài đường tròn tâm I 1 ;3 với bán kính r  3 Diện tích của hình phẳng đó là S   .52   .32  16 z  2 z  3i , trong đó z là số phức thỏa mãn z2  2    2  i  z  i   3  i  z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho Ox, ON  2 , trong đó     Ox, OM là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm Câu 34: Gọi M là điểm biểu diễn số phức       trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ (I). B. Góc phần tư thứ (II). C. Góc phần tư thứ (III). D. Góc phần tư thứ (IV). Hướng dẫn giải: Ta có:  2  i  z  i   3  i  z  z  1  i  w  5 1 1 5 1  i  M  ;   tan   . 4 4 5 4 4 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 37 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lúc đó: sin 2  Số Phức Nâng Cao 2 tan  5 1  tan 2  12   0; cos 2    0. 1  tan 2  13 1  tan 2  13 Chọn A. 1 i z;  z  0  trên mặt phẳng tọa 2 độ ( A, B, C và A, B, C  đều không thẳng hàng). Với O là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng? A. Tam giác OAB đều. B. Tam giác OAB vuông cân tại O. C. Tam giác OAB vuông cân tại B. D. Tam giác OAB vuông cân tại A. Câu 35: Gọi điểm A, B lần lượt biểu diễn các số phức z và z   Hướng dẫn giải: Ta có: OA  z ; OB  z   1 i 1 i 2 .z  .z  z. 2 2 2    1 i 1 i 2 Ta có: BA  OA  OB  BA  z  z   z  z  .z  z. 2 2 2 Suy ra: OA2  OB 2  AB 2 và AB  OB  OAB là tam giác vuông cân tại B. Chọn C. Câu 36: Cho A, B, C , D là bốn điểm trong mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn các số phức 1  2i; 1  3  i; 1  3  i; 1  2i . Biết ABCD là tứ giác nội tiếp tâm I . Tâm I biểu diễn số phức nào sau đây? A. z  3. B. z  1  3i. C. z  1. D. z  1. Hướng dẫn giải:   3  3i Ta có AB biểu diễn số phức 3  i; DB biểu diễn số phức 3  3i . Mặt khác  3i 3 i     nên AB.DB  0 . Tương tự (hay vì lí do đối xứng qua Ox ), DC. AC  0 . Từ đó suy ra AD là một đường kính của đường tròn đi qua A, B , C , D. Vậy I 1;0   z  1. Chọn C. 2 Câu 37: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy điểm M là điểm biểu diễn số phức z   2  i   4  i  và  gọi  là góc tạo bởi chiều dương trục hoành và vectơ OM . Tính cos 2 . A.  425 . 87 B. 475 . 87 C.  475 . 87 D. 425 . 87 Hướng dẫn giải: 2 Ta có: z   2  i   4  i   16  13i  M 16;13  tan   Ta có: cos 2  13 . 16 1  tan 2  425  . 1  tan 2  87 Chọn D. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 38 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 38: Gọi điểm A, B lần lượt biểu diễn các số phức z1 ; z2 ;  z1.z2  0  trên mặt phẳng tọa độ ( A, B, C và A, B, C  đều không thẳng hàng) và z12  z22  z1.z2 . Với O là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng? B. Tam giác OAB vuông cân tại O. A. Tam giác OAB đều. C. Tam giác OAB vuông cân tại B. D. Diện tích tam giác OAB không đổi. Hướng dẫn giải: 2 2 1 2 2 2 1 Ta có: z  z  z1. z2  z  z1  z2  z1  ; z1 2 z  z1 . z2  z1 . Do z1  0  z2  z1  2 ; z1 (1) 2 2 1 Mặt khác: z  z2  z1  z2   z1 2 2 z  z2 . z1  z2  z1  z2  1 (do z2  0 ) (2) z2 2 z z Từ (1) và (2) suy ra: 2  1  z1  z2 . Vậy ta có: z1 z2 z1  z2  z2  z1  OA  OB  AB . Chọn A. 2z  z 1 i , trong đó z là số phức thỏa mãn z2  i   1  i  z  i   2  i  z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho Ox, ON  2 , trong đó     Ox, OM là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm Câu 39: Gọi M là điểm biểu diễn số phức       trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ (I). B. Góc phần tư thứ (II). C. Góc phần tư thứ (III). D. Góc phần tư thứ (IV). Hướng dẫn giải: Ta có: 1  i  z  i   2  i  z  z  3i  w   7 19 19  7 19   i  M   ;    tan   . 82 82 7  82 82  2 tan  133 1  tan 2  156 Lúc đó: sin 2    0; cos 2   0. 2 2 1  tan  205 1  tan  205 Chọn C. Câu 40: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 2 z  3  4i  5 và biểu thức 2 M  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z  i. A. z  i  2 41 B. z  i  3 5. C. z  i  5 2 D. z  i  41. Hướng dẫn giải: 2 2 Gọi z  x  yi;  x  ; y    . Ta có: z  3  4i  5   C  :  x  3   y  4   5 : tâm I  3;4  và R  5. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 39 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Mặt khác: 2 2 2 2 M  z  2  z  i   x  2   y 2   x 2    y  1   4 x  2 y  3  d : 4 x  2 y  3  M  0.   Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và  C  có điểm chung  d I;d   R  23  M 2 5  5  23  M  10  13  M  33 4 x  2 y  30  0 x  5  M max  33     z  i  5  4i  z  i  41. 2 2  y  5  x  3    y  4   5 Chọn D. Câu 41: Các điểm A, B, C và A, B, C  lần lượt biểu diễn các số phức z1 , z2 , z3 và z1, z2 , z3 trên mặt phẳng tọa độ ( A, B, C và A, B, C  đều không thẳng hàng). Biết z1  z2  z3  z1  z2  z3 , khẳng định nào sau đây đúng? A. Hai tam giác ABC và ABC  bằng nhau. B. Hai tam giác ABC và ABC  có cùng trực tâm. C. Hai tam giác ABC và ABC  có cùng trọng tâm. D. Hai tam giác ABC và ABC  có cùng tâm đường tròn ngoại tiếp. Hướng dẫn giải:   Gọi z1  x1  y1i; z2  x2  y2i; z3  x3  y3i; xk ; yk  ; k  1;3 . Khi đó: A  x1; y1  ; B  x2 ; y2  ; C  x3 ; y3  , gọi G là trọng tâm  x  x  x y  y  y3  ABC  G  1 2 3 ; 1 2 . 3 3     Tương tự, gọi z1  x1  y1i; z2  x2  y2 i; z3  x3  y3i; xk ; yk  ; k  1;3 . Khi đó: A  x1; y1  ; B  x2 ; y2  ; C   x3 ; y3  ,  x  x  x y  y2  y3  gọi G là trọng tâm ABC   G   1 2 3 ; 1 . 3 3   Do z1  z2  z3  z1  z2  z3   x1  x2  x3    y1  y2  y3  i   x1  x2  x3    y1  y2  y3  i  x1  x2  x3  x1  x2  x3   G  G.  y1  y2  y3  y1  y2  y3 Chọn C. Câu 42: Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  3 , z2  2 được biểu diễn trong mặt phẳng phức lần    z z lượt là các điểm M , N . Biết  OM , ON  , tính giá trị của biểu thức 1 2 . 6 z1  z 2   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 40 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A B. 1 A. 13 C. Số Phức Nâng Cao 7 3 2 D. 1 13 Hướng dẫn giải: Dựng hình bình hành OMPN trong mặt phẳng phức, khi đó biểu diễn của :  z1  z2  OP    z1  z2  MN  z  z  z 2  z 2  2 z z cos 1500  1   1 2 1 2  1 2   z1  z 2  z1 2  z 2 2  2 z1 z 2 cos  300   1  z z z z  1 2  1 2  1. z1  z2 z1  z2 Chọn B. 10  1  2i . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho z số phức w   3  4i  z  1  2i là đường tròn I , bán kính R . Khi đó. Câu 43: Cho thỏa mãn z  thỏa mãn  2  i  z  A. I  1; 2  , R  5. C. I  1;2  , R  5. B. I 1; 2  , R  5. D. I 1; 2  , R  5. Hướng dẫn giải: Chọn C. Đặt z  a  bi và z  c  0 , với a; b; c   . Lại có w   3  4i  z  1  2i  z  w  1  2i . 3  4i Gọi w  x  yi với x; y   . Khi đó z  c   2 w  1  2i w  1  2i c  c  x  yi  1  2i  5c 3  4i 3  4i  x  1   y  2  2 2 2  5c   x  1   y  2   25c 2 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn I  1; 2  . Khi đó chỉ có đáp án C có khả năng đúng và theo đó R  5  5c  5  c  1 . Thử c  1 vào phương trình (1) thì thỏa mãn. Câu 44: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện: z  4  z  4  10. A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm O  0;0  và có bán kính R  4. . B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình x2 y 2   1. 9 25 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 41 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao C. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm M  x; y  trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn phương trình  x  4 2  y2   x  4 2  y 2  12. D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình x2 y2   1. 25 9 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi. Gọi A  4;0  là điểm biểu diễn của số phức z  4. Gọi B  4;0  là điểm biểu diễn của số phức z  4. Khi đó: z  4  z  4  10  MA  MB  10. (*) Hệ thức trên chứng tỏ tập hợp các điểm M là elip nhận A, B là các tiêu điểm. Gọi phương trình của elip là x2 y 2   1,  a  b  0, a 2  b 2  c 2  a2 b2 Từ (*) ta có: 2a  10  a  5. AB  2c  8  2c  c  4  b 2  a 2  c 2  9 Vậy quỹ tích các điểm M là elip:  E  : x2 y 2   1. 25 9 Câu 45: Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z  2i  1  z  i . Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1, 3 . A. 3  i . Hướng dẫn giải: B. 1  3i . C. 2  3i . D. 2  3i . Gọi M  x, y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi  x, y  R  Gọi E 1, 2  là điểm biểu diễn số phức 1  2i Gọi F  0, 1 là điểm biểu diễn số phức i Ta có: z  2i  1  z  i  ME  MF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trục EF : x  y  2  0 . Để MA ngắn nhất khi MA  EF tại M  M  3,1  z  3  i Chọn A. Câu 46: Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn  2 2 z 2  z  2 z  16 là hai đường thẳng d1 , d2 . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 , d2 là bao nhiêu? File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 42 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. d  d1 , d 2   2 . Hướng dẫn giải: B. d  d1 , d 2   4 . Số Phức Nâng Cao C. d  d1 , d 2   1 . D. d  d1 , d 2   6 . Gọi M  x, y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi  x, y  R   Ta có: z 2  z 2 2  2 z  16  x 2  2 xyi  y 2  x 2  2 xyi  y 2  2 x 2  2 y 2  16  4 x 2  16  x  2  d  d1 , d 2   4 Chọn B. Ở đây lưu ý hai đường thẳng x = 2 và x = -2 song song với nhau. Câu 47: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  z  2  10 . 2 2 2 2 A. Đường tròn  x  2    y  2   100 . C. Đường tròn  x  2    y  2   10 . B. Elip x2 y 2  1. 25 4 D. Elip x2 y 2  1. 25 21 Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi , x, y   . Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2 Gọi B là điểm biểu diễn số phức 2 Ta có: z  2  z  2  10  MB  MA  10 . Ta có AB  4 . Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip với 2 tiêu điểm là A  2;0  , B  2;0  , tiêu cự AB  4  2c , độ dài trục lớn là 10  2a , độ dài trục bé là 2b  2 a 2  c 2  2 25  4  2 21 . Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  z  2  10 là Elip có phương trình x2 y2   1. 25 21 Câu 48: Cho số phức z thỏa mãn z  m 2  2m  5 với m là số thực. Biết rằng tập hợp điểm của số phức w   3  4i  z  2i là đường tròn. Tìm bán kính R nhỏ nhất của đường tròn đó. A. R  5 . B. R  10 . C. R  15 . D. R  20 Hướng dẫn giải: 2 w  2i   3  4i  z  w  2i   3  4i  z   3  4i  z  5  m  1  4   20 .    w  2i  20 . Vậy đường tròn có bán kính Rmin  20 với tâm I  0;2  Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi m  1 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 43 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2 và điểm A trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z . 2 1 Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức w  là một trong bốn điểm M , iz N , P , Q . Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là: Câu 49: Cho số phức z thỏa mãn z  A. Điểm Q . C. Điểm M . B. Điểm N . D. Điểm P Hướng dẫn giải: Gọi z  a  bi  a, b    là điểm biểu diễn số phức A . Do z thuộc góc phần tư thứ nhất trong mặt phẳng Oxy , nên a, b  0 . Lại có w  a 1 b  2  2 i 2 iz a  b a  b 2  Điểm biểu diễn w nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng Oxy . w 1 1   2  2 z  2OA . iz i . z Vậy điểm biểu diễn của số phức w là điểm P . Câu 50: Trong mặt phẳng phức cho các điểm O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A ‘ biểu diễn số phức z ‘  0 và B ‘ biểu diễn số phức zz ‘. Nhận định nào sau đây đúng? A. Tam giác OAB đều B. Hai tam giác OAB, OA ‘ B ‘ là hai tam giác đồng dạng C. O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AA ‘ B ‘ D. Trọng tâm của OAB là điểm biểu diễn của số phức z1  z2  z3 Hướng dẫn giải:     Ta có z  OB ,1  OA , z ‘  OA ‘ , zz ‘  z . z ‘  OB ‘ y    Ta có: AB  OB  OA  z  1 B    A ‘ B ‘  OB ‘  OA ‘  zz ‘ z ‘  z ‘ . z  1 B’ Từ trên ta suy ra z’ z . z’ z ‘ . z 1 OA ‘ OB ‘ A ‘ B ‘      A 1 z z 1 OA OB AB  OA ‘ B ‘  OAB. O A’ x Chọn B. Câu 51: Cho z1  1  i; z2  1  i. Tìm z3   sao cho các điểm biểu diễn z1 , z2 , z3 tạo thành tam giác đều. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 44 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao A. z3   2 1  i  và z3  2 1  i  B. z3   3 1  i  và z3  3 1  i  C. z3  2 1  i  và z3   2 1  i  D. z3  3 1  i  và z3   3 1  i  Hướng dẫn giải: Để giải bài toán này ta cần chú ý đến kiến thức sau: Giả sử M 1  x1; y1  biểu diễn số phức z1  x1  y1i Giả sử M 2  x2 ; y2  biểu diễn số phức z2  x2  y2i Khi đó khoảng cách giữa 2 điểm M1M 2 bằng mô đun của số phức z1  z2 . Vậy M 1 M 2  z1  z2  2  x1  x2    y1  y2  2 Áp dụng vào bài toán: Giả sử z3  x  yi Để các điểm biểu diễn của z1 , z2 , z3 tạo thành một tam giác đều thì   z1  z2  z1  z3  44     z1  z2  z2  z3  44    x  12   y  12 2  x  1   y  1 2 2 2  x  1   y  1  8   x  y  0  2 y2  6  y   3  x   3 Vậy có hai số phức thỏa mãn là: z3  3 1  i  và z3   3 1  i  Chọn D. Câu 52: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần. Ký hiệu  a; b  là kết quả sẽ xảy ra sau khi gieo, trong đó a, b lần lượt là số chấm xuất hiện lần thứ nhất, thứ hai. Gọi A là biến cố số chấm xuất hiện trên hai lần gieo như nhau. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là tập hợp con của tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện nào sau đây? A. z  2  3i  12 B. z  2  3i  10 C. z  2  3i  13 D. z  2  3i  11 Hướng dẫn giải: Ta có A  1;1 ,  2; 2  ,  3;3 ,  4; 4  ,  5;5 ,  6;6  2  x  2    y  3 Gọi z  x  yi; x, y  R khi đó z  2  3i  Giả sử z  2  3i  R  2 2  x  2    y  3 2 2 R 2   x  2    y  3  R 2 . Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là những điểm thuộc miền trong và trên đường tròn tâm I  2; 3  và bán kính R. Để tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là tập hợp con của tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thì IM  R, M  R. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 45 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Khi đó ta được R  13 Chọn C. 1 1 1   . Biết z1 , z2 , z3 z1 z2 z3 lần lượt được biểu diễn bởi các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức. Tính góc ACB . Câu 53: Cho 3 số phức z1 , z2 , z3 phân biệt thỏa mãn z1  z2  z3  3 và Hướng dẫn giải: Ta có: 1 1 1 z z z    1  2  3 z1 z2 z3 z1.z1 z 2 .z2 z3 .z3  z1 z1 2  z2 z2 2  z3 z3 2  z1  z2  z3 Do tính đối xứng trục Ox nên C là điểm thứ 3 của hình bình hành OACB . OB  AC Từ đó ta có:   OA  OC  AC . OB  OA  OC  OAC là tam giác đều  Góc ACB  1200 . Câu 54: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa: z1  z2  5 . Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: z  z1  2 z  z2 là đường tròn và có bán kính R . Tính giá trị của R . 5 A. R  . 3 Hướng dẫn giải: B. R  7 . 3 C. R  10 . 3 D. R  14 3 Trong mặt phẳng phức, gọi Z , Z1 , Z 2 lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z, z1 , z2 . A là điểm thứ tư của hình bình hành OZ2 AZ1 .     OZ1  OZ 2  OA .  z1  z2  OA  5   Ta có: z  z1  OZ  OZ1  ZZ1 và   z  z2  OZ  OZ 2  OP với P là điểm thứ tư của hình bình hành OZ 2 PZ . Gọi N là trung điểm OA  ON  2,5 và H là trung điểm cạnh OP  OP  2OH và H cũng là trung điểm cạnh ZZ2 . Ta có HN là đường trung bình của ZZ1Z 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 46 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  ZZ1  2HN . z  z1  2 z  z2  ZZ1  2OP  2 HN  4OH  HN  2 HO .  ON 2, 5    IN  2 IO  OI  3 3 . Gọi I , J lần lượt là hai điểm thỏa:     JN  2 JO  OJ  ON  2,5  Ta chứng minh được HI , HJ lần lượt đường phân giác trong và phân giác ngoài tại đỉnh H 10 của HON  HI  HJ  H thuộc đường tròn đường kính IJ  . 3 Gọi O1 là trung điểm IJ  O1 I  5 . 3 Gọi O ‘ là là điểm sao cho O1 là trung điểm O ‘ Z2 . Ta có: O1H là đường trung bình của O ‘ ZZ 2  O ‘ Z  2O1H  10 . 3 Với z1 , z2 không đổi thì A, Z1 , Z 2  N cố định  I , J cố định  O1 cố định  O ‘ cố định. Vậy Z thuộc đường tròn tâm O ‘ , bán kính R  10 . 3 2 Câu 55: Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa mãn z  z  z  0 là đường tròn  C  . Diện tích S của đường tròn  C  bằng bao nhiêu? A. S  4 . B. S  2 . C. S  3 . D. S   Hướng dẫn giải: Đặt z  x  yi  x, y    , ta có z  x  yi và z  x 2  y 2 . 2 2 Khi đó, giả thiết z  z  z  0  x 2  y 2  x  yi  x  yi  0   x  1  y 2  1. Suy ra tập hợp biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  1;0  , bán kính R  1  SC    . Chọn D. Câu 56: Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa 1  z  1  i  2 là hình vành khăn. Chu vi P của hình vành khăn là bao nhiêu? A. P  4 . B. P   . C. P  2 . D. P  3 Hướng dẫn giải: Đặt z  x  yi  x, y    , khi đó ta có z  1  i  x  1   y  1 i  2  x  1   y  1 2 2 2  1   x  1   y  1  1  Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm bên ngoài hình tròn có tâm I1  1;1 , bán kính R1  1. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 47 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A z  1  i  x  1   y  1 i  2  x  1   y  1 2 Số Phức Nâng Cao 2 2  2   x  1   y  1  4  Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm bên trong hình tròn có tâm I 2  1;1 , bán kính R2  2. Vì hai đường tròn đồng tâm nên chu vi P hình vành khăn là P  C2  C2  2  R2  R1   2 . Chọn C. Câu 57: Trong mặt phẳng phức Oxy, giả sử M là điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn z  2  z  2  8 . Tập hợp những điểm M là? A.  E  : x2 y2  1. 16 12 2 B.  E  : x2 y2  1. 12 16 2 2 C.  T  :  x  2    y  2   64 . 2 D.  T  :  x  2    y  2   8 Hướng dẫn giải: Xét điểm F1  2;0  và F2  2;0  , ta có MF1  MF2  8  2a  a  4 F1F2  4  2c  c  2  b 2  a 2  c 2  12  Tập hợp điểm là Elip  E  : x2 y2  1. 16 12 Chọn A. Câu 58: Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa z  2i  1  z  i . Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1;3 A. 3  i . B. 1  3i . C. 2  3i . D. 2  3i Hướng dẫn giải: Xét điểm B 1; 2  , C  0; 1  MB  MC  Tập hợp điểm M là đường thẳng trung được của BC . 1 3 Ta có:  BC  : x  y  1  0 và trung điểm BC là H  ;    Phương trình đường trung 2 2 trực BC là:  : x  y  2  0 . Lại có: AM  d  A,    2 2 . Dấu bằng khi M là hình chiếu của A lên  2 2 2 2 Khi đó: AM  2 2   xM  1   yM  3  8   xM  1   xM  5   8 2   x M  3  0  xM  3  M  3;1 . Chọn A. Câu 59: Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3 . Nhận định nào sau đây đúng: A. Tam giác ABC đều B. O là tâm của tam giác ABC File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 48 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao C. O là trọng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D. Trọng tâm của ABC là điểm biểu diễn của số phức z1  z2  z3 Hướng dẫn giải: Từ điều kiện z1  z2  z3 chứng tỏ A, B, C nằm trên một đường tròn tâm O bán kính R  z1 . Nếu ABC là tam giác đều thì tâm O là trọng tâm của tam giác ABC.     Theo tính chất trọng tâm ta có: OA  OB  OC  0 hay z1  z2  z3  0 Đảo lại, nếu z1  z2  z3  0 , ta có:         OA  OB  OC  0  OC   OA  OB  OD     Điểm D cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC ( vì OC   OD , OADB là hình bình hành có OA  OB  BD  DA ). Các tam giác OAD và OBD là các tam giác đều. Suy ra   1200. sd AB   1200. Làm tương tự ta chứng minh được sd AC Suy ra ABC đều. Chọn A. Câu 60: Cho các số phức z thỏa mãn z  4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w  (3  4i ) z  i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r  4. B. r  5. C. r  20. D. r  22. Hướng dẫn giải: Gọi w  a  bi , ta có w  a  bi  (3  4i ) z  i  z  a  (b  1)i  a  (b  1)i  (3  4i )  3  4i 9  16i 2 (3a  4b  4) 2  (3b  4a  3)2 3a  4b  4 (3b  4a  3)   .i  z  25 25 25 Mà z = 4 nên  (3a  4b  4)2  (3b  4a  3)2  1002  a2  b2  2b  399 Theo giả thiết, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w  (3  4i ) z  i là một đường tròn nên ta có a 2  b 2  2b  399  a 2  (b  1) 2  400  r  400  20 Chọn C. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 49 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao DẠNG 4: SỐ PHỨC CÓ MODDUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  4 5 . Giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là A. 5. B. 3 5 . C. 5 5 . D. 5 3 Hướng dẫn giải: Ta có 4 5  z  1  2i  z  1  2i  z  5  z  3 5. Chọn B. Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn (1  i) z  1  7i  2 . Tìm giá trị lớn nhất của z A. max z  4 . B. max z  3 . C. max 7 . D. max z  6 Hướng dẫn giải: Đặt w  (1  i) z  1  7i  z  w  (1  7i ) 1 i Ta có: w  2 . Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I là điểm biểu diễn số phức 2 0  (1  7i)  3  4i , tức là I (3; 4) . Bán kính r  1 1 i 1 i Vậy max z  OI  r  6 Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  1 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là A. 2 2  1; 2 2  1 . B. 2  1; 2  1 . C. 2;1 . D. 3  1; 3  1 Hướng dẫn giải: Ta có z  2  2i   z  z  2  2i  z  2 2  z  2 2  1. Lại có z  2  2i  2i  2  z  2  2i  2i  2  z  z  1  2 2. Chọn A. Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z  2i. A. 26  6 17 . B. 26  6 17 . C. 26  8 17 . D. 26  4 17 . Hướng dẫn giải: Gọi z  x  yi;  x  ; y     z  2i  x   y  2  i . Ta có: 2 2 z  1  2i  9   x  1   y  2   9 . Đặt x  1  3sin t ; y  2  3cos t ; t  0; 2 . 2 2 2  z  2i  1  3sin t    4  3cos t   26  6  sin t  4 cos t   26  6 17 sin  t    ;     .  26  6 17  z  2i  26  6 17  z  2i max  26  6 17 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 50 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Chọn A. Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. 9  4 5. A. B. 11  4 5 C. 64 5 D. 5 6 5 Hướng dẫn giải: 2 2 Gọi z  x  yi;  x  ; y    . Ta có: z  1  2i  2   x  1   y  2   4. Đặt x  1  2sin t ; y  2  2 cos t ; t   0; 2  . Lúc đó: 2 2 2 z  1  2sin t    2  2 cos t   9   4sin t  8cos t   9  42  82 sin  t    ;     2  z  9  4 5 sin  t     z    9  4 5 ; 9  4 5     zmax  9  4 5 đạt được khi z  5  2 5 10  4 5  i. 5 5 Chọn A. Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  6  2i  10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. A. 4 5 D. 3  5 C. 3. B. 3 5. Hướng dẫn giải: Gọi z  x  yi;  x  ; y    . Ta có: 1  i  z  6  2i  10  1  i  . z  2 6  2i  10  z  2  4i 1 i 2  5   x  2    y  4   5. Đặt x  2  5 sin t; y  4  5 cos t ; t  0; 2  . Lúc đó: 2  2 2    4  5 cos t   25   4  4 5   8 5  sin t    ;     z  2  5 sin t 2  25  5 sin t  8 5 cos t  2 2  z  25  20sin  t     z   5;3 5   zmax  3 5 đạt được khi z  3  6i. Chọn B. Câu 7: Cho số phức z thoã mãn z  3  4i  2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z . Tính giá trị của biểu thức P  A2  2 B . A. P  43 . B. P  80 . C. P  8 . D. P  48 Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 51 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  3; 4  bán kính R  2 Khi đó A  z max  OI  R  5  2  7 ; B  z min  OI  R  3 Suy ra P  43 . Chọn Câu 8: A. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  2i. A. 5 D. 3  2 C. 3 2 B. 3 5. Hướng dẫn giải: Gọi z  x  yi;  x  ; y    . Ta có: z  2  4i  z  2i  2 2  x  2   y  4  2 2 2  x 2   y  2   x  y  4  0  y  4  x. 2 2 Ta có: z  2i  x 2   y  2   x 2   6  x   2 x 2  12 x  36  2  x  3  18  18  z  2i min  18  3 2 khi z  3  i. Chọn C. Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  1  i. B. 2 2. A. 4. C. 2. D. 2. Hướng dẫn giải: Gọi z  x  yi;  x  ; y     z  1  i   x  1   y  1 i . Ta có: 2 2 z  1  2i  9   x  1   y  2   9 . Đặt x  1  3sin t ; y  2  3cos t ; t  0; 2 . 2 2 2  z  1  i   3sin t    1  3cos t   10  6 cos t  2  z  2i  4  z  1  i min  2 , khi z  1  i. Chọn C. Câu 10: Trong các số phức z thỏa mãn: z  3  4i  z thì số phức z có modul nhỏ nhất là A. z  11 i. 2 B. z  3  2i . 2 5 C. z  5  i . 2 1 D. z  3  i 6 Hướng dẫn giải: 2 2 Ta có a  bi  3  4i  a  bi   a  3   b  4   a 2  b 2  25  6a  8b  0  a  2 8b  25 6 2 25 2 100 625  5 10  25 25 3  8b  25  2  z  b  b     b  2  a  .  b  b  9 9 36  3 3 4 4 2  6  Chọn B. 2 Câu 11: Trong các số phức z thỏa mãn: z  2  4i  z  2i thì số phức z có modul nhỏ nhất là File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 52 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. z  2  2i . B. z  2  2i . Số Phức Nâng Cao C. z  2  2i . D. z  2  2i Hướng dẫn giải: 2 2 Ta có a  bi  2  4i  a  bi  2i   a  2    b  4   a 2   b  2  2  20  4a  8b  4  4b  4a  4b  16  b  4  a 2 2 2  z  a 2   4  a   2a 2  8a  16  2  a  2   8  a  2  b  2. Chọn D. Câu 12: Cho số phức z thoả mãn điều kiện A. 13  3 . z  2  3i  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z B. 2. C. 13  2 . D. 2 Hướng dẫn giải: Các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn z  2  3i  3 nằm trên đường tròn (C) tâm I(2; −3) y và bán kính R = 3 . x (Ý nghĩa hình học của z : độ dài OM) O z Ta có |z| đạt giá trị nhỏ nhất  điểm M(C) và OM nhỏ nhất. M C (Bài toán hình học giải tích quen thuộc) I Ta có: OM  OI – IM = OI – R = 13  3 . Dấu « = » xảy ra khi M là giao điểm của (C) và đoạn thẳng OI. Vậy GTNN của z là: 13  3 . Chọn A. Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn: z  2  2i  1 . Số phức z  i có môđun nhỏ nhất là: A. 5 1 B. 5 1 C. 52 D. 52. Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi z  x  yi , x, y   . Ta có: z  2  2i  1  ( x  2)  ( y  2)i  1  ( x  2)2  ( y  2)2  1 y I 1 M O 1 x Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn của số phức z là đường tròn (C ) tâm I (2; 2) và bán kính R  1 . 2 z  i  x 2   y  1  IM , với I  2;2  là tâm đường File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 53 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao tròn, M là điểm chạy trên đường tròn. Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm N  0;1  Oy, I  2;2  với đường tròn (C). IM min  IN  R  5  1 Câu 14: Trong các số phức z thỏa z  3  4i  2 , gọi z0 là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó A. Không tồn tại số phức z0 . B. z0  2 . C. z0  7 . D. z0  3 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Cách 1: Đặt z  a  bi (a, b  ) . Khi đó z  3  4i  2  (a  3)2  (b  4)2  4 . Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường tròn  C  tâm I  3; 4  và bán kính R  5 . Gọi M  z  là điểm biểu diễn số phức z . Ta có: M  z   C  . z  OM  OI  R  3 . Vậy z bé nhất bằng 3 khi M  z    C   IM . Cách 2: a  3  2cos  a  3  2cos  Đặt  .  b  4  2sin  b  4  2sin   z  a 2  b 2  (2cos   3) 2  (2sin   4) 2  29  12cos   16sin  . 4 3   29  20  cos   sin    29  20 cos(   )  9 5 5  .  z0  3 A Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z  1  2i  5 và w  z  1  i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng: B. 3 2 . A. 2 5 . C. D. 5 2 . 6. Hướng dẫn giải: Chọn B. Gọi z  x  yi  x, y    Ta có: z  1  2i  5   z  1  2i   x  1   y  2  i 2  x  1   y  2 2 2 2  5   x  1   y  2   5 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 54 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Suy ra tập hợp điểm M  x; y  biểu diễn số phức z thuộc đường tròn  C  tâm I 1; 2  bán kính R  5 như hình vẽ: Dễ thấy O   C  , N  1; 1   C  Theo đề ta có: M  x; y    C  là điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: w  z  1  i  x  yi  1  i   x  1   y  1 i  z  1  i  2  x  1   y  1 2   MN Suy ra z  1  i đạt giá trị lớn nhất  MN lớn nhất Mà M , N   C  nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn  C  2  I là trung điểm MN  M  3; 3  z  3  3i  z  32   3  3 2 Câu 15: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  3i  z  2  i . Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? 1 2 B. z    i . 5 5 A. z  1  2i . 1 2 C. z   i . 5 5 D. z  1  2i . Hướng dẫn giải: Chọn C. Phương pháp tự luận Giả sử z  x  yi  x, y    2 2 2 2 2 z  3i  z  2  i  x   y  3 i   x  2    y  1 i  x 2   y  3   x  2    y  1  6 y  9  4x  4  2 y 1  4x  8 y  4  0  x  2 y 1  0  x  2 y  1 2 2 1 5  z  x  y   2 y  1  y  5 y  4 y  1  5  y     5 5 5  2 2 2 Suy ra z min  2 2 5 2 1 khi y    x  5 5 5 1 2 Vậy z   i. 5 5 Phương pháp trắc nghiệm Giả sử z  x  yi  x, y    2 z  3i  z  2  i  x   y  3 i   x  2    y  1 i  x 2   y  3   x  2    y  1  6 y  9  4x  4  2 y 1  4x  8 y  4  0  x  2 y 1  0 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z  3i  z  2  i là đường thẳng d : x  2 y 1  0 . Phương án A: z  1  2i có điểm biểu diễn 1;  2   d nên loại A. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 55 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 2 Phương án B: z    i có điểm biểu diễn 5 5 Số Phức Nâng Cao  1 2   ;   d nên loại B.  5 5 Phương án D: z  1  2i có điểm biểu diễn  1;2   d nên loại B. 1 2 1 2 Phương án C: z   i có điểm biểu diễn  ;    d 5 5 5 5 Câu 16: Cho số phức z thảo mãn z  4i  2  4. Tìm giá trị nhỏ nhất của z . B. 3 A. 1 C. 7 D. 8 Hướng dẫn giải: 2 2 Giả sử z  a  bi, ta có: a  bi  3  4i  4   a  3   b  4   16 a  3  4sin  a  3  4sin  Đặt   b  4  4cos  b  4 cos   4 2  z  a 2  b 2  9  16sin 2   24sin   16  32cos  4 3   41  24sin   32 cos   41  40  sin   cos  5 5  3 4 2 Đặt cos = ,sin    z  a 2  b 2  41  40 sin      1. 5 5 Dấu ”  ” xảy ra khi         k 2        k 2 . 2 2 Vậy min z  1. Chọn A. Câu 17: Trong các sô phức thỏa điều kiện z  4i  2  2i  z , mô đun nhỏ nhất của số phức z bằng: A. 2 2 B. 2 D. 3 2 C. 1 Hướng dẫn giải: Giả sử số phức z  x  yi Theo đề z  4i  2  2i  z  2  x  2   y  4 2 2  x 2   y  2   x  y  4  0  y  4  x 1 2 Mà z  x 2  y 2  x 2   4  x  (thay 1 vào) 2  2  x  2   8  2 2. Chọn A. Câu 18: Số phức z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện z 1  i   3  2i  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 13 là: 2 Trang 56 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. z  1  3i B. z  2 1  i 2 2 Số Phức Nâng Cao C. z  3 1  i 2 2 D. z  3 15  i 4 4 Hướng dẫn giải: + Gọi z  x  yi 2 2 Từ giả thiết ta có:  x  y  3   x  y  2   13 . 4 + Đồng thời z  x 2  y 2 lớn nhất. Kiểm tra các đáp án và so sánh. Chọn D. Câu 19: Trong các số phức z thỏa: z  3  4i  z , biết rằng số phức z  a  bi,  a, b    có modul nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của P  a 2  b là A. P  1 . 4 B. P  1 . 2 1 C. P   . 4 D. P   1 2 Hướng dẫn giải: 2 2 Ta có a  bi  3  4i  a  bi   a  3   b  4   a 2  b 2  25  6a  8b  0  b  2 25  6a 8 2 25 2 75 625  5 15  25 3  25  6a   z  a  a  a  a    a   b  2.   16 64  4 8 4 2  8  16 2 2 Chọn A. Câu 20: Trong các số phức z thỏa mãn: z  1  5i  z  3  i , biết rằng số phức z  a  bi,  a, b    có modul nhỏ nhất. Khi đó, tỉ số A. 3 . B. a bằng b 1 . 3 C. 2 . 3 D. P   2 Hướng dẫn giải: 2 2 2 Ta có a  bi  1  5i  a  bi  3  i   a  1   b  5    a  3   b  1 2  26  2a  10b  10  6a  2b  4a  12b  16  a  4  3b 2 12  8 6 2   z   4  3b   b  10b  24b  16   b 10    5  b  5  a  5. 10   2 2 2 2 Chọn B. Câu 21: Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa z  5i  3 . Nếu số phức z có môđun nhỏ nhất thì phần ảo bằng bao nhiêu? A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 4 Hướng dẫn giải: Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm A  0;5   AM  3 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 57 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn tâm A bán kính R  3  OM  AO  AM  5  3  2 . Chọn C. Câu 22: Trong mặt phẳng phức Oxy, trong các số phức z thỏa z  1  i  1 . Nếu số phức z có môđun lớn nhất thì số phức z có phần thực bằng bao nhiêu? A.  22 . 2 B. 22 . 2 C. 2 2 . 2 D. 2 2 2 Hướng dẫn giải: Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm A  1;1  AM  1 Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn  C  tâm A bán kính R  1  OM  AO  AM  2  1 . Dấu bằng khi M là giao điểm của  C  và OA : y   x 2  2 2  2  xM   yM   xM   xM  (chọn điểm xa O hơn). 2 2 2 2  xM  1   yM  1  1 Chọn A. Câu 23: Trong mặt phẳng phức Oxy , trong các số phức z thỏa z  1  i  1 . Nếu số phức z có môđun lớn nhất thì số phức z có phần thực bằng bao nhiêu? A.  22 . 2 B. 22 . 2 C. 2 2 . 2 D. 2 2 . 2 Hướng dẫn giải: Gọi M  x, y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi  x, y  R  Gọi A là điểm biểu diễn số phức 1  i Ta có: z  1  i  1  MA  1 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là hình tròn tâm A  1,1 , R  1 như hình vẽ Để max z  max  OM  2 2 2 2 2 2  x  1   y  1  1  M thỏa hệ:  x ,x 2 2 y  x  Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1 và số phức w thỏa w  z  2  2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của w . Hướng dẫn giải: Ta có: z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 58 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao   z  1  2i   0   z  1  2i  z  1  2i    z  1  2i  z  3i  1   .   z  1  2i    z  3i  1 Trường hợp 1:  z  1  2i   0  z  1  2i  w  1 . Trường hợp 2:  z  1  2i    z  3i  1  b   1  3   w   a  i   2  2i   a  2   i  w  2  2  1 với z  a  bi  a, b    . 2  a  2 2  9 3  . 4 2 Câu 25: Cho số phức z  a  bi  a, b  ; a, b  0  . Đặt đa thức f  x   ax 2  bx  2 . Biết f  1  0, 5 1 f     . Tính giá trị lớn nhất của z . 4 4 Hướng dẫn giải: Ta có: f  1  0  a  b  2  0  b  a  2 5 a b 5 a 1 f        2    b  3 . 4 16 4 4 4 4 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Oxy là một miền kín được giới hạn bởi các đường thẳng sau: x x  0; y  0; y  x  2; y    3 . 4 Gọi M là điểm biễu diễn số phức z  max z  max OM .  M là 1 trong các định sau A  0;0  , B  2;0  , C  2; 4  , D  0;3 .  max Om  OC  2 5 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 59 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao DẠNG 5: GTLN, GTNN TRÊN SỐ PHỨC Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1  i là: A. 13  2 . B. 4. C. 6. D. 13  1 Hướng dẫn giải: Ta có: z  2  3i  1  z  2  3i  1  z  2  3i  1  z  (2  3i )  1 Đặt w  z  1  i Tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn tâm I, tâm I là điểm biểu diễn của số phức 2  3i  1  i  3  2i , tức là I (3; 2) , bán kính r  1 Vậy w max  OI  r  32  ( 2) 2  1  13  1 Chọn D Câu 2: Số phức z  0 thỏa mãn z  2. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z i . z A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải Ta có 1  i i i 1 i 1  1  1  1  1  1 . z z z z z z Mặt khác z  2  1 1 1 3  suy ra  P  . z 2 2 2 Suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là 3 1 , . Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 2 2 nhất của biểu thức P là 2. Chọn B. Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  1  A. 5. B. 4. C. 6. 5i . z D. 8. Hướng dẫn giải: Ta có: A  1  5i 5i 5 1  1   6. Khi z  i  A  6. z z z Chọn C. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 60 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 4: Số Phức Nâng Cao Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất M max và giá trị nhỏ nhất M min của biểu thức M  z 2  z  1  z 3  1 . A. M max  5; M min  1. B. M max  5; M min  2. C. M max  4; M min  1. D. M max  4; M min  2. Hướng dẫn giải: 2 3 Ta có: M  z  z  1  z  1  5 , khi z  1  M  5  M max  5. Mặt khác: M  1  z3 1 z 3  1 z  1  z3 2  1  z3 2  1  z3  1  z3 2  1, khi z  1  M  1  M min  1. Chọn A. Câu 5: Cho số phức z thỏa z  2 . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P A. zi . z 3 . 4 C. 2 . B. 1. D. 2 . 3 Hướng dẫn giải: Ta có P  1  i 1 3 i 1 1  1  . Mặt khác: 1   1   . |z| 2 z |z| 2 z 1 3 xảy ra Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là , xảy ra khi z  2i; giá trị lớn nhất của P bằng 2 2 khi z  2i. Chọn A. Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  3 1  z . A. 3 15 B. 6 5 20 C. D. 2 20. Hướng dẫn giải: Gọi z  x  yi;  x  ; y    . Ta có: z  1  x 2  y 2  1  y 2  1  x 2  x   1;1. Ta có: P  1  z  3 1  z  1  x  2 2  y 2  3 1  x   y 2  2 1  x   3 2 1  x  . Xét hàm số f  x   2 1  x   3 2 1  x  ; x   1;1. Hàm số liên tục trên  1;1 và với x   1;1 ta có: f   x   1 2 1  x   3 4  0  x     1;1 . 5 2 1  x   4 Ta có: f 1  2; f  1  6; f     2 20  Pmax  2 20.  5 Chọn D. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 61 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 7: Số Phức Nâng Cao Cho số phức z thỏa mãn z  1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z 2  z  1 . Tính giá trị của M .m . A. 13 3 . 4 B. 39 . 4 C. 3 3. D. 13 . 4 Hướng dẫn giải: Gọi z  x  yi;  x  ; y    . Ta có: z  1  z.z  1 Đặt t  z  1 , ta có 0  z  1  z  1  z  1  2  t  0;2. Ta có t 2  1  z 1  z   1  z.z  z  z  2  2 x  x  Suy ra z 2  z  1  z 2  z  z.z  z z  1  z  t2  2 . 2  2 x  1 2  2x 1  t 2  3 . Xét hàm số f  t   t  t 2  3 , t   0; 2. Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra max f  t   13 13 3 ; min f  t   3  M .n  . 4 4 Chọn A. Câu 8: Gọi z  x  yi  x, y    là số phức thỏa mãn hai điều kiện z  2  z  2  26 và 2 z 2 3 3  i đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy. 2 2 9 A. xy  . 4 B. xy  13 . 2 C. xy  16 . 9 9 D. xy  . 2 Hướng dẫn giải: Đặt z  x  iy  x, y    . Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được x2  y 2  36. Đặt x  3cos t , y  3sin t. Thay vào điều kiện thứ hai, ta có P  z 3 3    i  18  18sin  t    6. 4 2 2  3 3 2 3 2   Dấu bằng xảy ra khi sin  t    1  t   z  i. 4 2 2  4 Chọn D. Câu 9: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  8  6i và z1  z2  2 . Tìm giá trị lớn nhất của P  z1  z2 . A. P  4 6 Hướng dẫn giải: B. P  2 26 C. P  5  3 5 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. P  32  3 2 Trang 62 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2 2 a  c   b  d  i  8  6i  z1  a  bi  a  c    b  d   100 Gọi:   .  a, b, c, d      2 2 2 2  z2  c  di  a  c    b  d   4  a  c    b  d   4 2 2 2 2   a  c    b  d    a  c    b  d   104  a 2  b 2  c 2  d 2  52 . B .C . S Mặc khác: P  a 2  b 2  c 2  d 2  1 2  12  a 2  b 2  c 2  d 2   2 26 . Cách 2: Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 , z2 trên mặt phẳng phức và D là điểm thứ tư của hình bình hành AOBD  D là điểm biểu diễn số phức  z1  z2   OD  z1  z2  10 . z1  z2 chính là độ dài đoạn AB . OAB có  AB 2  OA2  OB 2  2OA.OB.cos  AOB  4 2  104  2  OA2  OB 2    OA  OB   2 2 2 AOB  100 OD  OA  OB  2OA.OB.cos    OA  OB max  104  2 26   z1  z2  max  2 26 . Câu 10: Cho số phức z thỏa z  1 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T  z  1  2 z  1 . A. max T  2 5 . Hướng dẫn giải: B. max T  2 10 . C. max T  3 5 . D. max T  3 2 Gọi z  a  bi  a, b     a 2  b 2  1 . Ta có: T  z  1  2 z  1   a  1 2  b2  2  a  1 2  b2 B .C . S  a 2  b 2  2 a  1  2 a 2  b 2  2a  1  2 a  2  2 2  2 a  1 2  22   4   2 5 . Vậy max T  2 5 . Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1 . Tính min | w | , với w  z  2  2i . A. min | w | 3 . 2 B. min | w | 2 . C. min | w | 1 . D. min | w | 1 . 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1   z  1  2i  z  1  2i    z  1  2i  z  3i  1  z  1  2i  0  .   z  1  2i    z  3i  1 Trường hợp 1: z  1  2i  0  w  1  w  1 1 . Trường hợp 2: z  1  2i  z  3i  1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 63 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Gọi z  a  bi (với a, b   ) khi đó ta được 1 2 2 a  1   b  2  i   a  1   b  3 i   b  2    b  3  b   . 2 3 Suy ra w  z  2  2i  a  2  i  w  2  a  2 2  9 3  4 2  2 . Từ 1 ,  2  suy ra min | w | 1 . Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2 . Tìm giá trị lớn nhất của T  z i  z  2i . B. max T  4 . A. max T  8 2 . D. max T  8 . C. max T  4 2 . Hướng dẫn giải: T  z  i  z  2  i   z  1  1  i    z  1  1  i  . Đặt w  z  1 . Ta có w  1 và T  w  1  i   w  1  i  . 2 Đặt w  x  y.i . Khi đó w  2  x 2  y 2 . T   x  1   y  1 i   x  1   y  1 i  1.  2  x  1   y  1 1 2  2  1. 2  x  1   y  1 2 2 2 2  12   x  1   y  1   x  1   y  1 2   2  2 x 2  2 y 2  4  4 Vậy max T  4 . Chọn B. Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1  i là B. 4 . A. 13  2 . D. 13  1 . C. 6 . Hướng dẫn giải: Gọi z  x  yi ta có z  2  3i  x  yi  2  3i  x  2   y  3 i . 2 2 Theo giả thiết  x  2    y  3  1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm I  2;3 bán kính R  1 . M2 Ta có M1 z  1  i  x  yi  1  i  x  1  1  y  i  Gọi M  x; y  và H  1;1 thì HM  2  x  1   y  1 2  x  1   y  1 2 . I H 2 . Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 64 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao  x  2  3t Phương trình HI :  , giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn: y  3  2 t  1 3 2  3 2    9t 2  4t 2  1  t   nên M  2  ;3  ;3  , M  2  . 13 13 13  13 13    Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM  13  1 . Chọn D. Câu 14: Cho số phức thỏa z  1 . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  z 1  z2  z 1 . Hướng dẫn giải: Đặt z  a  bi  a; b     a 2  b 2  1 . z 1   a  1 2  b 2  2  a  1 z 2  z  1   a 2  2abi  b 2    a  bi   a 2  b 2   2a 2  a    2a  1 bi   2a 2 2 2  a    2a  1 b2   2a  1 2 a 2  b 2   2a  1 . Vậy P  2  a  1  2a  1 .   7  13 max P  P 1  3 max P  P     1    8  4  1  . Xét a   1;    . Xét a   ;1   1   2  min P  P    3  2  1 min P  P    3 2   2  13 7 15 P z  i max  4 8 8 z  1  Kết luận  . 1 3  min P  3  z   i  2 2 z  1  Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 Giá trị lớn nhất của z  1  i là B. 4. A. 13  2. C. 6. D. 13  1. Hướng dẫn giải: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  2;3 bán kính R  1 . Gọi z  x  yi  z  1  i  x  1  yi  i   x  1   y  1 i . Gọi K  1;1 Do đó z  1  i max  IK  R  1  13 . Chọn D. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 65 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 16: Cho số phức z thoã mãn điều kiện z  2i  z  1  2i . Gọi w là số phức thoã mãn điều kiện w  1  i  z  2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  w là: 1 A. Pmin  . 5 B. Pmin  5 . 34 C. Pmin  5 . 41 D. Pmin  1 3 Hướng dẫn giải: Ta có: z  2i  z  1  2i  1  i  z  2  2i  1  i  z  1  3i  w  4  2i  w  1  3i . Gọi A  4; 2  ; B 1;3 và M  w suy ra MA  MB nên tập hợp điểm M là trung trực của AB có PT là: 3 x  5 y  5  0  d  Ta có: w  OM  OM min  d  O; d   5 . 34 Chọn B. Câu 17: Cho số phức z thoã mãn z  1  i  2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z  2  i . Giá trị của biểu thức P  2 A  B 2 gần bằng. A. 6. B. 7. C. 8. D. 9 Hướng dẫn giải: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 1;1 bán kính R  2 Gọi K  2; 1 khi đó A  z  2  i max  IK  R  5  2 ; B  5  2 Do đó P  2 A  B 2  8 . Chọn C. Câu 18: Cho số phức z thoã mãn A. 2  2 . 1 i z  1  i  2 . Giá trị lớn nhất của A  z  2  i là. 1 i B. 5 2. C. 2  5 . D. 5 Hướng dẫn giải: Ta có: 1 i z  1  i  2  iz  1  i  2  i . z  1  i  2  z  1  i  2 1 i Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  1; 1 bán kính R  2 Gọi K  2; 1 suy ra Amax  IK  R  5 . Chọn D. Câu 19: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn 1  i  z  2  1 1 i hãy tìm số phức z có mođun nhỏ nhất. A. z min  1 . B. z min  2  2 . C. z min  0 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. z min  2 Trang 66 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Hướng dẫn giải: 1  i  z  2  1  1 i 2 1  i  1 i z  1  z  2i  1 1 i 1 i Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  0;2  bán kính R  1 Ta có: z min  OI  R  1 . Chọn A. Câu 20: Xét số phức z thỏa mãn z  i  1  z  4i  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  2i  1 . A. 98 . 5 B. 102 . 5 C. 7 10 . 5 470 . 5 D. Hướng dẫn giải: 2 2 2 Ta có a  bi  i  1  a  bi  4i  2   a  1   b  1   a  2    b  4  2  2  2a  2b  20  4a  8b  2a  6b  18  0  a  3b  9. 2 2 2 2 2 Khi đó z  2i  1  a  bi  2i  1   a  1   b  2    3b  8    b  2  2 2 22  98 98 7 10   10b  44b  68   b 10    5  5  z  2i  1  5 . 10   2 Chọn C. Câu 21: Xét số phức z thỏa mãn z  2  3i  1. Tìm giá trị lớn nhất của z  i  1 . A. 1  13. B. 2  13. C. 4. D. 6. Hướng dẫn giải:  a  2  sin x 2 2 Giả sử a  bi  2  3i  1   a  2    b  3  1   b  3  cos x 2 2 2 2 2 Ta có z  i  1  a  bi  i  1   a  1   b  1   3  sin x    2  cos x   14  2  3sin x  2 cos x   14  2 3 2 2  22  sin 2 x  cos 2 x   14  2 13  z  i  1  1  13. Chọn A. Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn: z 1  i   1  2i  2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z  1  3i . Khi đó 2 A2  B 2 có giá gần nhất bằng A. 20. B. 18. C. 64. D. 32 Hướng dẫn giải: Ta có z 1  i   1  2i  2  z  1  2i  1 3i   z     2 1 i 2 2  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 67 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 1 3 Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm F  1; 3 và E  ;   EM  2 2 2 Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn  C  tâm E bán kính R  2 Ta có: FE  EM  MF  FE  EM  3 10 3 10  2  MF   2  2 A2  B 2  64 . 2 2 Chọn C. Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất z . Khi đó M  m bằng A. 4  7. B. 4  7. D. 4  5. C. 7. Hướng dẫn giải: Gọi z  x  yi với x; y   . Ta có 8  z  3  z  3  z  3  z  3  2 z  z  4 . Do đó M  max z  4 . Mà z  3  z  3  8  x  3  yi  x  3  yi  8   x  3 2  y2   x  3 2  y2  8 . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 8  1.  x  3 2  y 2  1.  x  3 2  y2  1 2 2 2  12   x  3  y 2   x  3  y 2     8  2  2 x 2  2 y 2  18  2  2 x 2  2 y 2  18  64  x2  y2  7  x2  y2  7  z  7 . Do đó M  min z  7 . Vậy M  m  4  7 . Chọn B. Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn: z  1  2i  2 5 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z  i . Khi đó A.B có giá trị bằng A. 10. B. -10. C. 12. D. -12 Hướng dẫn giải: Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm F  0; 1 và E  1; 2   EM  2 5 Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn  C  tâm E bán kính R  2 5 Ta có: FE  EM  MF  FE  EM  2 5  10  MF  2 5  10  AB  10 . Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 68 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn: z  1  i  2 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z  2 . Khi đó A2  B 2 có giá trị bằng A. 20. B. 18. C. 24. D. 32 Hướng dẫn giải: Giả sử M là điểm biểu diễn số phức z . Xét điểm F  2;0  và E 1; 1  EM  2 Tập hợp điểm M là các điểm không nằm ngoài đường tròn  C  tâm E bán kính R  2 Ta có: FE  EM  MF  FE  EM  10  2  MF  10  2  A2  B 2  24 . Chọn C. Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  4 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  2  i . Giá trị của T  M 2  m 2 là A. T  50 . B. T  64 . C. T  68 . D. T  16 Hướng dẫn giải: Đặt w  z  2  i  z  w  2  i , khi đó z  1  2i  w  2  i  1  2i  w  3  3i  4. M  w  32  32  4  3 2  4  max Suy ra   M 2  m 2  68. m  w min  32  32  4  3 2  4 Chọn C. Câu 27: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  10 . Giá trị lớn nhất của z  1  4i bằng A. 10 . B. 10 3 . C. 3 10 . D. 4 10 Hướng dẫn giải: 2   Ta có z  1  2i  10  z  1  2i  10  z  1  2i .z  1  2i  10 .    z  1  2i .  z  1  2i   10  z  1  2i . z  1  2i  10  z  1  2i  10. . Đặt w  z  1  4i  z  w  1  4i , khi đó z  1  2i  w  2  6i  10. Vậy giá trị lớn nhất là w max  10  2 2  6 2  3 10  z  1  4i max  3 10. Chọn C. Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn  2  i  z  1  1 . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  1 bằng A. 3 . B. 2 2 . C. 2 . 5 D. 2 3 Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 69 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  2  i z 1 Ta có  2  i  z  1  1  2i  Số Phức Nâng Cao 1 1 2 i 1  z  z   . 2i 2i 5 5 5 Đặt w  z  1  z  w  1 , khi đó 2 2 2 i 7 i 1 1 1 7 1 z    w    w max         2 . 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2 Và w max 2 1 1 7 1        2 . Vậy w min  w max  2 2. 5 5  5 5 Chọn B. Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1 là A. 2 1. B. 2 1 . C. D. 1 2. Đặt w  z  1  z  w  1 , khi đó z  2  i  w  1  i  1  w max  12  12  1  1  2. Chọn A. Câu 30: Cho số phức z  x  yi  x, y    thỏa mãn điều kiện z  1  i  z  2  3i  5 . Gọi M , m 2 lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  x. z . Tổng M  2m bằng A.  54. B. 27. C. 18. D.  9. Hướng dẫn giải: Đặt z  x  yi  x, y     M  z    x; y  và A  1;1 , B   2;3 suy ra AB  5. Từ giả thiết ta có z  1  i  z  2  3i  2  x  1   y  1 2  2  x  2    y  3 2  MA  MB  AB.  M thuộc đường thẳng  AB  : 2 x  y  1  0  y   2 x  1 với x    2; 1 . 2 2 Khi đó P  x. z  x.  x 2   2 x  1   5 x 3  4 x 2  x . Đặt f  x   5 x3  4 x 2  x .   Xét hàm số f  x  trên đoạn   2; 1 , có f ‘  x   15 x 2  8 x  1  0; x    2; 1 .  M  f  1   2 Suy ra f  x  là hàm số đồng biến trên   2; 1    M  2m   54. m  f   2    26 Chọn A. Câu 31: Cho số phức z  x  2 yi  x; y    thỏa z  1 . Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P  x y. A. 0. B. 5. C.  5 . D. 5 2 Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 70 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Theo giả thiết ta có: 2 2 2 2 2 2  z  1  x  4 y  1  P  y   4 y  1  0 5 y  2 Py  P  1  0 *     . x  P  y  P  x  y  x  P  y  x  P  y Để hệ có nghiệm thì phương trình * có nghiệm với mọi y   .   ‘*  P 2  5  P 2  1  0  P2  5 5 5  P 4 2 2  max P  min P  0 . Câu 32: Cho số phức z  im  m    . Gọi k  k    là giá trị nhỏ nhất sao cho tồn tại 1  m  m  2i  z  1  k . Giá trị k thuộc khoảng nào sau đây. 1 1 A.  ;  . 3 2 Hướng dẫn giải: z 1 2 B.  ;  . 2 3 2 4 C.  ;  . 3 5 4  D.  ;1 5  1  m   i im im 1  2   z 1  2 1  m  m  2i  i  2mi  m im m i 1  m   i a m2  2 m  1 a Ta có:    b  0  . Áp dụng z  1  b b mi m2  1 k  0 m 2  2m  2   z  1  k   m 2  2m  2 . Xét f m    m2  1  k2  2  m 1 Theo yêu cầu bài toán, tồn tại kmin để z  1  k  min f  m   k 2  1 5  3  5 Ta có min f  m   f     2 2   Vậy k    2 5 1 4 k 5 1 k  0 . 2 5 1 là giá trị k cần tìm  B . 2 Cách biến đổi khác, bình thường hơn: z i m im 1 m i  2   2  2 2 1  m  m  2i  i  2mi  m i  m m 1 m 1 2  m  m2  1   1  m  m2  1 i  z 1    z  1     2  2 m2  1 m2  1  m 1   m 1  2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 71 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2 2  m   m 2  1   1  2 m 2  2m  m 2  1   m 2  1  1 m 2  2m  2  .  z 1       2  2 2 m2  1  m  1   m  1   m2  1 Câu 33: Cho số phức z 2017  1  1 . Gọi P  z . Tính A  2017.  max P   2017.  min P  . A. A  2017.2016 2 . B. A  2017.2017 3 . C. A  2017.2017 2 . D. A  2017 Hướng dẫn giải: Ta có: max P  z  0  max P 2017  z min P  z  0  min P 2017  z 2017 2017  z 2017 .  z 2017 . Gọi z 2017  a  bi  a, b     Tập hợp điểm biểu diễn số phức z 2017 là đường tròn tâm I  0;1 có bán kính R  1 . 2017  2 max P  2017.2017 2 max P    A  2017.2017 2 . 2017 0 min P min P  0 Câu 34: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  1  i  z  2i và P  z  2  3i  z  1 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P  a  2b : Hướng dẫn giải: Ta có: z  1  i  z  2i  a  b  1 . P  P  z  2  3i  z  1  2  a  2    b  3 2   a  1 2  b2 . Xét trong mặt phẳng phức Oab , xét các điểm M  a; b  , A  2;3 , B  1;0  với M điểm biểu diễn số phức z  M   d  : a  b  1  0 . Ta có: MA  MB  2  a  2    b  3 2   a  1 2  b 2 . Vậy ta tìm M  d sao cho  MA  MB min . Do  x A  y A  1 xB  yB  1  0  A, B cùng thuộc một phía so với đường thẳng d .  Gọi A ‘ là điểm đối xứng của A qua d . MA  MB  MA ‘ MB  A ‘ B . 5 3 1 M  A ‘ B  d  M  ;   P  a  2b  . 2 2 2 Ta có: Dấu “” xảy ra khi Câu 35: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  1  i  z  2i và P  z  2  3i  z  1  2i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P  a  2b : Hướng dẫn giải: Ta có: z  1  i  z  2i  a  b  1 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 72 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A P  P  z  2  3i  z  1  2  a  2    b  3 2 Số Phức Nâng Cao 2  a  1   b  2   2 . Xét trong mặt phẳng phức Oab , xét các điểm M  a; b  , A  2;3 , B 1; 2  với M điểm biểu diễn số phức z  M   d  : a  b  1  0 . Ta có: MA  MB  2  a  2    b  3 2  2  a  1   b  2  2 . Vậy ta tìm M  d sao cho  MA  MB min . Do  x A  y A  1 xB  yB  1  0  A, B khác phía so với đường thẳng d . 5 3 1 Ta có: MA  MB  AB . Dấu ”  ” xảy ra khi M  AB  d  M  ;   P  a  2b  . 2  2 2 Câu 36: Cho số phức z  a  bi thỏa z  1  i  z  2i và P  z  3i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính A  a  2b . Hướng dẫn giải: Gọi z  a  bi  a, b    . Ta có: z  1  i  z  2i  a  b  1  0 . Vậy tập hợp điểm M     : a  b  1  0 . Trong mặt phẳng phức xét A  0;3  P  MA với M     . Vậy MAmin  d  A;      2 2 . Câu 37: Cho số phức z  a  2bi  a, b    và đa thức: f  x   ax 2  bx  1 . Biết f  1  1 . Tính giá trị lớn nhất của z . A. 2 . B. 2 2 . C. 5. D. 7 Hướng dẫn giải: 2 Ta có: z  a 2   2b  . f  1  1  a  b  1  1  2a  2b  2  2 1 . Đặt a  x ,  2b  y ta có 2 x  y  4  0 2 x  y  4  0 2  2 x  y  2  2   1  2 x  y  2  2    * 2  2 x  y  2  2 2 x  y  0 2 x  y  0 . Miền nghiệm S của * là tứ giác ABCD (kể cả cạnh). Với A  0;0  , B  1; 2  , C  2;0  , D  1; 2  . Dễ dàng nhận thấy ABCD là hình thoi. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 73 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy  M chạy tung tăng trong miền S . Ta có z  OM  z max  OM max . Ta dễ nhận thấy OM max  OB  OD  z max  5 . Nhưng nhóm muốn chứng minh thêm cho mọi người xem, phần chữ màu đỏ. CHỨNG MINH: Vì OBC và ODC đối xứng nhau qua trục Ox nên xét M chạy tung tăng trên OBC ( O  A ). Gọi N  OM  BC  OM  ON và N thuộc cạnh BC .  HN  HB H là hình chiếu của O trên BC   .  HN  HC Ta lại có HN là hình chiếu của ON trên BC . HB là hình chiếu của OB trên BC . HC là hình chiếu của OC trên BC . ON  OB OM  OB Từ đó ta có    OM max  max OB; OC . ON  OC OM  OC OB  5 Mà   OM max  OB  5  M  B . OC  2  M  B  1; 2  Do tính đối xứng nên OM max    z max  5 . M  D  1;  2    Câu 38: Cho hàm số phức f  z    4  i  z 2  az  b với a, b là số phức. Biết f 1 , f  i  là số thực. Tính giá trị nhỏ nhất của P  a  b . Hướng dẫn giải:  a  x1  y1i Gọi:   x1 , x2 , y1 , y2    . b  x2  y2 i Ta có: f  z    4  i  z 2  az  b .  f 1  4  i  a  b   4  x1  x2    y1  y2  1 i .  f  i     4  i   ai  b   4  y1  x2    1  x1  y2  i .  y  y2  1  0 Do f 1 , f  i  là số thực   1  x1  y1  2  0 .  x1  y2  1  0 Vậy để thỏa yêu cầu bài toán thì a     : x  y  2  0 trong mặt phẳng Oxy còn b là số phức tự do.  Pmin  a  b  d O;      0  2 . Câu 39: Cho số phức z thỏa z  1  2i  2 2 . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  2017 z  3  4i . Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 74 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Gọi z  a  bi  a, b    . Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức. Trong mặt phẳng phức xét các điểm A 1;0  , B  3; 4  . MA2  MB 2  AB 2  py  ta  go  2 Ta luôn có:    P  2017 MB   MB 2  AB 2  0 .  P  MA  2017 MB   2017 2  1 MB 2  2.P.2017 MB   P 2  AB 2   0 * . Để phương trình * có nghiệm thì:  ‘*  0  2017 2 P 2   2017 2  1 P 2  AB 2   0  P 2  AB 2  2017 2  1  P  AB  2017 2  1 . Câu 40: Cho số phức z thỏa mãn z   3  4i   5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị 2 2 nhỏ nhất của P  z  2  z  i . Tính giá trị A  M 2  m 2 . Hướng dẫn giải: Gọi z  a  bi  a, b    . 2 2 Ta có: z   3  4i   5   a  3    b  4   5 .  z thuộc đường tròn  C  có tâm I  3;4  và bán kính R  5 . 2 2 Mặt khác: P  z  2  z  i  4a  2b  3  P  0 . Vậy z thuộc đường thẳng    : 4a  2b  3  P  0 .  z   C  Ta có:   Để z thì  C       d  I ;      R  z      23  P 2 5  5  13  P  33  A  1258 . Câu 41: Cho số phức z  0 thoả z  2 . Họi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P zi . Tính A  M 2  m 2 : z Hướng dẫn giải: Gọi T  zi  T  1 z  i . T  1  Không có số phức nào thoả mãn. z Xét T  1  z  i i 1  z   2  T 1  . T 1 T 1 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 75 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức T là hình tròn tâm I 1;0  có bán kính R  1 . 2 3   M  OI  R  2 5   A . 2 m  OI  R  1  2 Câu 42: Cho số phức z thỏa z  5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 3  4i . z5 Hướng dẫn giải: 3  4i 3  5 A  4i 3  5 A  4i z  z  z 5 A A 3  5 A  4i   5  3  5 A  4i  5 A . A Đặt A  Gọi A  x  yi  x, y     2  5 x  3   5 y  4  2  5 x2  y 2 .  6x  8 y  5  0 . Vậy tập hợp điểm của số phức A     : 6 x  8 y  5  0 . 1  min A  d O;      . 2 Câu 43: Cho số phức z thỏa z  5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  4i . z 5 Hướng dẫn giải: Đặt A  z z  4i . Xét A  1  không có số phức z nào thỏa. Vậy A  1 z 5 5 A  4i 5 A  4i 5 A  4i  z    5  5 A  4i  5 A  1 . A 1 A 1 A 1 Gọi A  x  yi  x, y     2 5 x   5 y  4 2 5  x  1 2  y2 .  50 x  40 y  9  0 . Vậy tập hợp điểm của số phức A     : 50 x  40 y  9  0 .  min A  d O;      9 10 41 . z2  z1 là số thực. Gọi M , m lần 1 i lượt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1  z2 . Tính A  M 2  m 2 . Câu 44: Cho z1 là số phức, z2 là số thực thoả mãn z1  2i  1 và Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 76 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Trong mặt phẳng phức Oxy : Gọi A, B lần lượt là điểm biểu điểm số phức z1 , z2 . 2  A   C  : x 2   y  2   1 và B  Ox     z2  z1  OB  OA  AB .  z1  z2  k  k     AB  k 1;1  1  2i Đường thẳng AB có véctơ pháp tuyến là 1; 1 . Ta có Ta có: AB tạo với trục Ox một góc 450 .  max AB  AO  AB   sin 450 max AB   max AO 3  3 2 0 sin 45 sin 450  P  20 . min AO 1   2 sin 450 sin 450 Câu 45: Cho z1 , z2 là nghiệm của phương trình 6  3i  iz  2 z  6  9i thõa mãn z1  z2  8 . Gọi 5 M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1  z2 . Tính P  M  m . Hướng dẫn giải: 2 2 Đặt z  a  bi  a, b    . Ta có: 6  3i  iz  2 z  6  9i   a  3   b  4   1  C  . Trong mặt phẳng phức Oxy , gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 , z2 và I , H lần lượt là tâm đường tròn  C  , trung điểm AB .  A, B   C  :  x  32   y  4  2  1  .     z  z  OA  OB  2 OH  2 OH  1 2 Với 3 điểm O, I , H ta có: OI  IH  OH  OH  HI .  2 OI  IA2   44 56 AB 2 AB 2   2OH  2 OI  IA2   2OH   P  20 .  4 4 5 5   Dấu ”  ” xảy ra: Khi OH đạt giá trị nhỏ nhất thì O, H , I thẳng hàng theo thứ tự đó. Khi OH đạt giá trị lớn nhất thì O, I , H thẳng hàng theo thứ tự đó. z1  z2 là số thực. Gọi M , m 2i lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1  z2 . Tính P  M  m . Câu 46: Cho số phức z1 , z2 thoả mãn z1  3  4i  1, z2  1  z2  i và Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 77 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z1 , z2 .     z2  z1  OA  OB  AB  z2  z1  AB . Ta có   z1  z2  k  k     AB  k  2; 1  2i Đường thẳng AB có véctơ pháp tuyến là 1;2  . Trong mặt phẳng phức Oxy ta có:  z1   C  :  x  32   y  4  2  1 .   z2   d  : x  y  0 Ta có góc giữa AB và d là:   nAB .nd 3 10 1 cos  AB; d       sin  AB; d   . 10 10 nAB . nd Ta có  C  không cắt  d   d  I ;  d    R C   0 . Gọi H là hình chiếu của A trên  d  .  d  I ;  d    R C  max AH   7 5  10 max AB  sin  AB; d  sin  AB; d   AO  AB    P  14 5 . sin  AB; d   d I d R  ;     min AH   C   7 5  10 max AB  sin AB; d  sin AB; d      Câu 47: Cho số phức z thoả mãn z không phải là số thực và w  z là thực. Giá trị lớn nhất của 2  z2 P  z  1  i là: Hướng dẫn giải: z 1 2  z2  2        z  . Do z    z  0 . Ta có: w  2 2 z w z z  Gọi z  a  bi  a, b    .  2  a  bi  2 2  2a   2  z  a  bi  2  a  bi   2  a  b 2  1 i . 2 2 2 z a  bi a b  a b   a b  Do b  0  loai  1  2     b  2 2  1  0   2 2 . w  a b   a  b  2 Vậy tập hợp điểm của số phức z là đường tròn  C  : a 2  b 2  2 trong mặt phẳng phức. Trong mặt phẳng phức xét điểm A  1;1  P  MA  max P  OA  R C   2 2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 78 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 48: Cho số phức z thỏa z  3  4i  2 và P  z  2  i . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P . Tính A  M  m . Hướng dẫn giải: Gọi z  a  bi  a, b    . 2 2 Ta có: z  3  4i  2   a  3   b  4   4 . 2 2 Vậy tập hợp điểm M   C  :  a  3   b  4   4 có tâm I  3;4  và bán kính R  2 Trong mặt phẳng phức 2 2 xét A  2;1 , ta có: P  z  2  i  MA với M   C  :  a  3   b  4   4 . MAmin  AI  R  34  2 Vậy:  . MAmax  AI  R  34  2 Câu 49: Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn iz1  2  1 và z2  iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 z1  z2 . A. 2  1 2 B. 2  1 2 C. 2 1 2 D. 1 2 2 Hướng dẫn giải: y Bài toán này, thực chất là dựa trên kiến thức “ Biểu diễn hình học số phức”. Ta thấy nếu đặt z1  x1  y1i  x1; y1    . Khi đó điểm M  x1; y1  là điểm biểu diễn số phức z1 thỏa mãn: 1 1  ix1  y1  2  2 2 2 1  x12  y1  2  . Suy ra tập hợp các điểm M 4 biểu diễn z1 là đường trong  C  có tâm I 0; 2 và i  x1  y1i   2     bán kính R   N I M M’ x O 1 . 2 Khi đó nếu N là điểm biểu diễn của số phức z2 thì việc tìm GTNN của z1  z2 là việc tìm GTNN của MN. Theo đề thì z2  iz1   y1  x1i  N   y1 ; x1  là điểm biểu diễn z2 . Ta nhận thấy rõ ràng   OM .ON   x1 y1  x1 y1  0  OM  ON . Dễ nhận thấy OM  ON  x12  y12 Ta có hình vẽ sau: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 79 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Do OMN là tam giác vuông cân tại O nên MN  OM 2 , do đó để MN nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất. Dễ thấy, OM nhỏ nhất khi M  M ‘ (M’ là giao điểm của OI với đường tròn như 1 1 1   hình vẽ) Tức là M  0; 2   . Khi đó MN  OM 2   2   2  2  . 2 2 2   Câu 50: Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M , M  . Số phức w  z (4  3i) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N , N  . Biết rằng M , M , N , N  là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z  4i  5 . A. 5 . 34 B. 2 . 5 1 . 2 C. D. 4 13 Hướng dẫn giải: Gọi số phức z  a  bi  a, b    .  w   a  bi  4  3i    4a  3b    3a  4b  i  w   4a  3b    3a  4b  i Ta có: M và M ‘ đối xứng nhau qua trục Ox , N và N ‘ đối xứng nhau qua trục Ox  MM ‘  Ox .   NN ‘  Ox Ta có: M , M , N , N  là bốn đỉnh của hình chữ nhật MM ‘ N ‘ N hoặc MM ‘ NN ‘ . Trong mặt phẳng phức Oab , xét điểm A  5; 4   z  4i  5  MA Trường hợp 1: Với hình chữ nhật MM ‘ N ‘ N .  MN  M ‘ N ‘  MN / / Ox  yM  y N  b   3a  4b   a  b  0  M   d1  : a  b  0 . Vậy MAmin  d  A;  d1    5   4  2  1 2 . Trường hợp 2: Với hình chữ nhật MM ‘ NN ‘ .  MN ‘  M ‘ M ‘  MN ‘/ / Ox  yM  yN ‘  b    3a  4b   3a  5b  0  M   d 2  : 3a  5b  0 . Vậy MAmin  d  A;  d 2    Vì d  A;  d1    d  A;  d 2    MAmin  3.5  5.  4  32  52  5 . 34 1 . 2 Câu 51: Cho số phức z1 thỏa z1  1  i  z1 , số phức z2 thỏa 5  35i là số thực và số phức w 5 z2  23  4i thỏa điều kiện 2 w  1  i  3 w  2  i  2 . Cho P  w  z1  w  z 2  z1  z2 , gọi a là giá trị nhỏ nhất của biểu thức P (nếu có). Đáp án nào sau đây là đúng: 16 10 . 5 Hướng dẫn giải: A. a  B. a  8 10 . 5 C. a  64 5 . 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. a  34 5 2 Trang 80 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Trong mặt phẳng phức Oxy gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của số phức w, z1 , z2 . Gọi z1  a  bi  a, b     z1  1  i  z1  a  b  1  0 .  z1   1  : x  y  1  0 trong mặt phẳng phức Oxy . Ta có:  1 5  35i  k  k     CD  1; 7  5 z2  23  4i k  23 4  với D  ;  . Vậy z2 thuộc đường thẳng có véctơ chỉ phương là 1; 7  và đi qua điểm  5 5 23 4 D nhưng không lấy điểm D  z2    2  : 7 x  y  33  0 và z2   i . 5 5 Ta có: 2 w  1  i  3 w  2  i  2  2 AE  3 AF  2 với E 1; 1 F  2; 1 . Mà 2 AE  2 AF  2EF  2 . vậy dấu ”  ” xảy ra khi w  2  i .  P  AB  BC  CA . Ta có A thuộc góc nhọn được tạo bởi 2 đường thẳng  1  ,   2  .  A1  2;3  AB  A1 B  và   38 1  Gọi A1 , A2 lần lượt là điểm đối xứng của A qua  1  ,   2     AC  A2C  A2  5 ;  5      P  AB  BC  CA  A1 B  BC  A2C  A1 A2  16 10  Chọn A … ah mà thôi:v. 5  B  A1 A2   1  . Ta cần tìm tọa độ C để so sánh với điểm Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi  C  A A      1 2 2  23 4  loại đi trên   2   C  ;   Không tồn tại điểm C  Không tồn tại Pmin .  5 5 Câu 52: Cho số phức z1 , z2 thỏa z  1  i  z và z1  z2  6 2 , số phức w1 , w2 thỏa điều kiện 1 i là số thực và w1  w2  3 2 , số phức u thỏa 2 u  2  i  3 u  1  2i  6 2 . Gọi w  4  2i giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có) là P  u  z1  u  z2  u  w1  u  w2 . Đáp án nào sau đây là đúng: A. 3  26 . Hướng dẫn giải: B. 9 2  6 . C. 6  2 26 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 3  26 Trang 81 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Trong mặt phẳng phức gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 , z 2  z1  z2  6 2  AB  6 2 . Gọi z  a  bi  a, b     z  1  i  z  a  b  1  0 . Vậy z1 , z2     : x  y  1  0 trong mặt phẳng phức với z1  z2  6 2 . Trong mặt phẳng phức gọi X , C , D lần lượt là là điểm biểu diễn số phức w, w1 , w2  w1  w2  3 2  CD  3 2 .  1 i  k  k     XY  k 1;1 w  4  2i với Y  4; 2  . Ta có: Vậy w thuộc đường thẳng có véctơ chỉ phương là 1;1 và đi qua điểm Y  4; 2  nhưng w  4  2i .  w    2  : x  y  6  0 loại đi điểm Y  4; 2  . Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn số phức u . Ta có E  2;1 , F 1; 2   2 u  2  i  3 u  1  2i  6 2  2 ME  3MF  6 2 . Mà 2ME  2 MF  2 EF  6 2 . Vậy dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi MF  0  M 1; 2  .  P  MA  MB  MC  MD với AB  2CD  6 2 . Ta cần tìm Pmin . Gọi E , F lần lượt là định thứ tư của hình bình hành MCDE , MBAF . Gọi E ‘ là điểm đối xứng của E qua   2  , F ‘ là điểm đối xứng của F qua  1  . MC  DE  DE ‘ Ta có:   P   E ‘ D  DM    F ‘ A  AM   E ‘ M  F ‘ M . MB  AF  AF ‘  D  ME ‘   2  Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi  . A  MF ‘      1 Gọi N là hình chiếu của M trên  1   MHA  ANF ‘  g  c  g  với N  FF ‘  1   MA  AF ‘  AF  MB  MAB cân tại M . Chứng minh tương tự MCD cân tại M .  Pmin  MA  MB  MC  MD  6  2 26 . Kiểm tra lại tọa độ của C , D . Ta viết phương trình đường tròn tâm M bán kính R  MC . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 82 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao C  4; 2   C, D   C    2    Không tồn tại Pmin do w  4  2i .  D 1; 5 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 83
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top