Trắc nghiệm dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân trong các đề thi thử Toán 2018

Câu 1: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  un  có u1  2 và công sai d  3 . Tìm số hạng u10 . A. u10  2.39 . B. u10  25 . C. u10  28 . D. u10  29 . Lời giải Chọn B Ta có u10  u1  9d  2  9.3  25 . 1 Câu 2: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho một cấp số cộng  un  có u1  , 3 u8  26. Tìm công sai d A. d  11 . 3 B. d  10 . 3 C. d  3 . 10 D. d  3 . 11 Lời giải Chọn A 1 11 u8  u1  7 d  26   7 d  d  . 3 3 1 Câu 3: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2-năm 2017-2018) Cho một cấp số cộng  un  có u1  , 3 u8  26. Tìm công sai d A. d  11 . 3 B. d  10 . 3 C. d  3 . 10 D. d  3 . 11 Lời giải Chọn A 1 11 u8  u1  7 d  26   7 d  d  . 3 3 Câu 4: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho dãy số  un  với un  3n. Tính un 1 ? A. un1  3n  3. B. un1  3.3n. C. un1  3n  1. D. un 1  3  n  1 . Lời giải Chọn B Ta có un1  3n 1  3.3n. Câu 5: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  un  : 2, a, 6, b. Tích ab bằng? A. 32 . B. 40 . C. 12 . Lời giải D. 22 . Chọn A  2  6  2a a  4 Ta có    ab  32. a  b  2.6 b  8 Câu 6: (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Trong các dãy số sau đây dãy số nào là cấp số nhân? A. Dãy số 2 , 2 , 2 , 2 , …, 2 , 2 , 2 , 2 , … B. Dãy số  un  , xác định bởi công thức un  3n  1 với n  * . u1  1 C. Dãy số  un  , xác định bởi hệ:  . * un  un 1  2  n   : n  2  D. Dãy số các số tự nhiên 1, 2 , 3 , …. Lời giải Chọn A Dãy số 2 , 2 , 2 , 2 , …, 2 , 2 , 2 , 2 , …. là cấp số nhân với số hạng đầu u1  2 , công bội q  1 . Dãy số  un  xác định bởi công thức un  3n  1 có u1  31  1  4 , u2  32  1  10 , u3  33  1  28 . Nhận xét: u3 u2 nên  un  không là cấp số nhân.  u2 u1 u1  1 Dãy số  un  , xác định bởi hệ:  có u1  1 , u1  3 , u3  5 . Nhận * u  u  2 n   : n  2   n n  1  u u xét: 3  2 nên  un  không là cấp số nhân. u2 u1 Dãy số các số tự nhiên 1, 2 , 3 , …. có u1  1 , u1  2 , u3  3 . Nhận xét: u3 u2 nên không là  u2 u1 cấp số nhân. Câu 7: (THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn I  lim A. I  1 . 2 B. I   . C. I  2 . 2n  1 n 1 D. I  1 . Lời giải Chọn C 1 2 2n  1 n  2. Ta có I  lim  lim 1 n 1 1 n Câu 8: (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho một cấp số cộng có u4  2 , u2  4 . Hỏi u1 bằng bao nhiêu? A. u1  6 . B. u1  1 . C. u1  5 . Lời giải Chọn C Theo giả thiết ta có u4  2 u  3d  2 u  5 .  1  1  d  1 u2  4 u1  d  4 D. u1  1 . Câu 1: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  un  có số hạng tổng quát là un  3n  2 . Tìm công sai d của cấp số cộng. A. d  3 . B. d  2 . C. d  2 . Lời giải D. d  3 . Chọn A Ta có un1  un  3  n  1  2  3n  2  3 Suy ra d  3 là công sai của cấp số cộng. 1 1 1 Câu 2: (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Tổng S   2    n   có giá trị là: 3 3 3 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 9 4 3 2 Lời giải Chọn D 1 1 1 1 Ta có S   2    n   là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn  un  với un  n có số hạng 3 3 3 3 1 1 đầu u1  , công sai q  . 3 3 1 u1 1 Do đó S   3  . 1 q 1 1 2 3 Câu 3: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai? A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. B. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương. C. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng. D. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng. Lời giải Chọn B Một phản ví dụ: dãy số  un  , với un  n  2 là cấp số cộng có công sai d  1  0 . Nhưng dạng khai triển của nó là 1 ; 0 ; 1… không phải là một dãy số dương. Câu 4: (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  un  có u1  11 và công sai d  4 . Hãy tính u99 . A. 401 . B. 403 . C. 402 . Lời giải D. 404 . Chọn B Ta có : u99  u1  98d  11  98.4  403 . Câu 5: (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng ? u1  1  A.  un  :  . un1  un  2, n  1 u1  3  B.  un  :  . un1  2un  1, n  1 C.  un  : 1; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ;  . D.  un  : 1 ; 1; 1 ; 1; 1 ;  . Lời giải Chọn A Dãy số ở đáp án A thỏa un1  un  2 với mọi n  1 nên là cấp số cộng. Câu 6: (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD , các điểm M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD . Không thể kết luận G là trọng tâm tứ diện ABCD trong trường hợp    A. GM  GN  0 . B. GM  GN .      C. GA  GB  GC  GD  0 .      D. 4PG  PA  PB  PC  PD với P là điểm bất kỳ. Lời giải Chọn B Theo giả thiết ta có GM  GN thì chưa thể kết luận ngay được G là trung điểm MN .      GV GIẢI đã đề xuất sửa đáp án D của đề gốc, từ 4PG  PA  PB  PC  PC thành      4PG  PA  PB  PC  PD với P là điểm bất kỳ. Các phương án còn lại ta kết luận được ngay G là trọng tâm của tứ diện ABCD . Câu 7: (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Một cấp số nhân có số hạng đầu u1  3 , công bội q  2 . Biết Sn  765 . Tìm n ? A. n  7 . B. n  6 . C. n  8 . D. n  9 . Hướng dẫn giải Chọn C Áp dụng công thức của cấp số nhân ta có: Sn  u1 1  q n  1 q  3. 1  2n  1 2  765  n  8 . Câu 1: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA   ABCD  . Gọi I là trung điểm của SC . Khoảng cách từ I đến mặt phẳng  ABCD  bằng độ dài đoạn thẳng nào? A. IO . B. IA . C. IC . Lời giải D. IB . Chọn A Do I là trung điểm của SC và O là trung điểm AC nên IO //SA . Do SA   ABCD  nên IO   ABCD  , hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng  ABCD  bằng độ dài đoạn thẳng IO . S I B A O D C Câu 2: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho I  lim 4n 2  5  n 4n  n 2  1 . Khi đó giá trị của I là A. I  1 . B. I  5 . 3 C. I  1 . D. I  3 . 4 Lời giải Chọn A 5 1 4n  5  n n2 Ta có I  lim  lim 1 1 4n  n 2  1 4  1 2 n 2 4 Câu 3: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng có u1  3 , d  4 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. u5  15 . B. u4  8 . C. u3  5 . Lời giải Chọn C Ta có u3  u1  2d  3  2.4  5 . D. u2  2 . Câu 4: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 8 lập được bao nhiêu số có ba chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 2 và 3 . A. 35 số. B. 52 số. C. 32 số. D. 48 số. Lời giải Chọn A Số chia hết cho 2 và 3 là số chẵn và có tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 . Gọi a1a2 a3 là số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 2 và 3 được lập từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 8 .  Trường hợp 1: a3  0 Khi đó các chữ số a1 , a2 được lập từ các tập 1; 2 , 1;5 , 1;8 , 2;4 , 4;5 , 4;8 . Trường hợp này có 6.2!  12 số.  Trường hợp 2: a3  2 Khi đó các chữ số a1 , a2 được lập từ các tập 1;0 , 4;0 , 1;3 , 3; 4 , 5;8 . Trường hợp này có 2  3.2!  8 số.  Trường hợp 3: a3  4 Khi đó các chữ số a1 , a2 được lập từ các tập 2;0 , 2;3 , 3;5 , 3;8 . Trường hợp này có 1  3.2!  7 số.  Trường hợp 4: a3  8 Khi đó các chữ số a1 , a2 được lập từ các tập 0;1 , 0; 4 , 1;3 , 2;5 , 3; 4 . Trường hợp này có 2  3.2!  8 số. Vậy có tất cả 12  8  7  8  35 số cần tìm. Câu 5: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số nhân  un  có u1  2 và công bội q  3 . Số hạng u2 là A. u2  6 . B. u2  6 . C. u2  1 . D. u2  18 . Lời giải Chọn A Số hạng u2 là u2  u1.q  6 Câu 6: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số  un  thỏa mãn un  2n1  1 . n Tìm số hạng thứ 10 của dãy số đã cho. A. 51, 2 . B. 51, 3 . C. 51,1 . D. 102,3 . Lời giải Chọn B Ta có: u10  2101  1  51,3 . 10 u  4 Câu 7: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số  1 . Tìm số un 1  un  n hạng thứ 5 của dãy số. A. 16 . B. 12 . C. 15 . D. 14 . Lời giải Chọn D Ta có u2  u1  1  5 ; u3  u2  2  7 ; u4  u3  3  10 . Do đó số hạng thứ 5 của dãy số là u5  u4  4  14 . x 1 . x  x 1 Câu 8: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Tính lim A. 1 . B. 1. 2018 D. 0 . C. 2 . Lời giải Chọn D 1 1  2 x 1 1 lim 2018  lim 2017 . x x  0 . x  x 1  1 x x 1  2017 x Câu 9: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) lim A. 2 . 11 B. 1 . 2 2n 4  2n  2 bằng 4n 4  2 n  5 C.  . D. 0 . Lời giải Chọn B 2 2 2 3  4 2n 4  2n  2 n n 1. Ta có lim 4  lim 2 5 4n  2 n  5 4 3  4 2 n n Câu 10: (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần 1 – năm 2017 – 2018) Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm? 2n  1 A. un  n 2 . B. un  2n . C. un  n3  1 . D. un  . n 1 Lời giải Chọn D 2 3 n  * ta có: n 2   n  1 nên A sai; 2n  2  n  1 nên B sai; n3  1   n  1  1 nên C sai. Với un  3 2n  1 2n  1 thì un1  un  giảm.  0 nên dãy un  n 1 n 1  n  1 .n Câu 11: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 – năm 2017 – 2018) Cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1  3 , công sai d  2 thì số hạng thứ 5 là A. u5  8 . B. u5  1 . C. u5  5 . D. u5  7 . Lời giải Chọn C Ta có: u5  u1  4d  3  4.  2   5 . Câu 12: (THPT Kim Liên – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho dãy số  un  là một cấp số cộng có u1  3 và công sai d  4 . Biết tổng n số hạng đầu của dãy số  un  là Sn  253 . Tìm n . A. 9 . B. 11. C. 12 . Lời giải D. 10 . Chọn B Ta có Sn  n  2u1   n  1 d  2  n  2.3   n  1 .4   n  11 .  4n  2n  506  0    n   23  L   2 2 2  253 Câu 1: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An – năm 2017-2018) Có bao nhiêu tập con gồm 3 phần tử của tập hợp X  1; 2;3; 4;7;8;9 ? A. A73 . B. C93 . C. C73 . Lời giải D. A93 . Chọn C Số tập con gồm 3 phần tử của tập hợp X  1; 2;3; 4;7;8;9 là số tổ hợp chập 3 của 7 phần tử. Vậy có C73 tập hợp. 3x  2 bằng x  2 x  4 1 A.  . 2 3 B.  . 4 C. 1. D. 3 . 2 3x  2 bằng 2x  4 1 A.  . 2 3 B.  . 4 C. 1. D. 3 . 2 Câu 2: lim Câu 3: lim x  Lời giải Chọn D 2 3x  2 x 3 . Ta có: lim  lim x  2 x  4 x  4 2 2 x 3 u  10 Câu 4: Cho cấp số cộng  un  thỏa mãn  4 có công sai là u4  u6  26 A. d  3 . B. d  3 . C. d  5 . Câu 5: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A. 1; 2; 3; 4; 5 . B. 1; 2; 4; 8; 16 . C. 1;  1; 1;  1; 1 . u  10 Câu 6: Cho cấp số cộng  un  thỏa mãn  4 có công sai là u4  u6  26 A. d  3 . B. d  3 . C. d  5 . Lời giải Chọn B Gọi d là công sai. u  10 u  3d  10 u  1 Ta có:  4 .  1  1 d  3 2u1  8d  26 u4  u6  26 Vậy công sai d  3 . Câu 7: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A. 1; 2; 3; 4; 5 . B. 1; 2; 4; 8; 16 . C. 1;  1; 1;  1; 1 . Lời giải Chọn A Dãy 1; 2; 4; 8; 16 là cấp số nhân với công bội q  2 . Dãy 1;  1; 1;  1; 1 là cấp số nhân với công bội q  1 . Dãy 1;  2; 4;  8; 16 là cấp số nhân với công bội q  2 . Dãy 1; 2; 3; 4; 5 là cấp số cộng với công sai d  1 . Câu 8: Cho dãy số  un  với un  2n  1 . Dãy số  un  là dãy số D. d  6 . D. 1;  2; 4;  8; 16 . D. d  6 . D. 1;  2; 4;  8; 16 . A.Bị chặn trên bởi 1. C. Bị chặn dưới bởi 2. B. Giảm. D. Tăng. Câu 9: Cho dãy số  un  với un  2n  1 . Dãy số  un  là dãy số A.Bị chặn trên bởi 1. B. Giảm. C. Bị chặn dưới bởi 2. D. Tăng. Lời giải Chọn D n  * ta có: un1  un  2  n  1  1   2n  1  2  0 nên un 1  un vậy dãy số  un  tăng. Câu 10: Cho cấp số nhân  un  có số hạng đầu u1  5 và công bội q  2 . Số hạng thứ sáu của  un  là: A. u6  160 . B. u6  320 . C. u6  160 . D. u6  320 . Câu 11: Biết bốn số 5 ; x ; 15 ; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức 3 x  2 y bằng. A. 50 . B. 70 . C. 30 . D. 80 . Câu 12: Cho cấp số nhân  un  có số hạng đầu u1  5 và công bội q  2 . Số hạng thứ sáu của  un  là: A. u6  160 . B. u6  320 . C. u6  160 . D. u6  320 . Hướng dẫn giải Chọn C 5 Ta có u6  u1q 5  5.  2   160 . Câu 13: Biết bốn số 5 ; x ; 15 ; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức 3 x  2 y bằng. A. 50 . B. 70 . C. 30 . D. 80 . Hướng dẫn giải Chọn B 5  15  10  y  20 . Vậy 3 x  2 y  70 . 2 Câu 14: Số cách sắp xếp 6 học sinh vào một bàn dài có 10 chỗ ngồi là: A. 6.A106 . B. C106 . C. A106 . D. 10P6 . Câu 15: Số cách sắp xếp 6 học sinh vào một bàn dài có 10 chỗ ngồi là: A. 6.A106 . B. C106 . C. A106 . D. 10P6 . Ta có: x  Lời giải Chọn C Số cách sắp xếp 6 học sinh vào một bàn dài có 10 chỗ ngồi là số chỉnh hợp chập 6 của 10 phần tử. Vậy số cách sắp xếp là: A106 . Câu 16: Cho cấp số cộng  un  có u1  4; u2  1 . Giá trị của u10 bằng A. u10  31 . B. u10  23 . C. u10  20 . D. u10  15. Câu 17: Cho cấp số cộng  un  có u1  4; u2  1 . Giá trị của u10 bằng A. u10  31 . B. u10  23 . C. u10  20 . Hướng dẫn giải Chọn B D. u10  15. u1  4; u2  1  d  3 . Vậy u10  u1  9d  4  9.  3  23 Câu 18: Cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1  3 , công sai d  5 , số hạng thứ tư là A. u 4  23 . B. u4  18 . C. u4  8 . D. u4  14 . Câu 19: Cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1  3 , công sai d  5 , số hạng thứ tư là A. u4  23 . B. u4  18 . C. u4  8 . Lời giải D. u4  14 . Chọn B u 4  u1  3 d  3  5.3  18 . Câu 20: Khẳng định nào dưới đây sai? A. Số hạng tổng quát của cấp số nhân  un  là un  u1 .q n1 , với công bội q và số hạng đầu u1 . B. Số hạng tổng quát của cấp số cộng  un  là un  u1   n  1 d , với công sai d và số hạng đầu u1 . C. Số hạng tổng quát của cấp số cộng  un  là un  u1  nd , với công sai d và số hạng đầu u1 . D. Nếu dãy số  un  là một cấp số cộng thì un 1  un  u n  2 n  * . 2 Câu 21: Khẳng định nào dưới đây sai? A. Số hạng tổng quát của cấp số nhân  un  là un  u1 .q n1 , với công bội q và số hạng đầu u1 . B. Số hạng tổng quát của cấp số cộng  un  là un  u1   n  1 d , với công sai d và số hạng đầu u1 . C. Số hạng tổng quát của cấp số cộng  un  là un  u1  nd , với công sai d và số hạng đầu u1 . un  u n  2 n  * . 2 Lời giải D. Nếu dãy số  un  là một cấp số cộng thì un 1  Chọn C Câu 22: Cho cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1  3 và công sai d  2 . Tính u5 . A. 11. B. 15 . C. 12 . D. 14 . Câu 23: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc với  ABCD  và H là hình chiếu vuông góc của A lên SB . Khẳng định nào sau đây là sai? A. AH  BC . B. AH  SC . C. BD  SC . D. AC  SB . Câu 24: Cho cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1  3 và công sai d  2 . Tính u5 . A. 11. B. 15 . C. 12 . Lời giải D. 14 . Chọn A Ta có u5  u1  4d  3  4.2  11 . Câu 25: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc với  ABCD  và H là hình chiếu vuông góc của A lên SB . Khẳng định nào sau đây là sai? A. AH  BC . B. AH  SC . C. BD  SC . D. AC  SB . Lời giải Chọn D Đáp án A đúng do BC   SAB  nên AH  BC . Đáp án B đúng do AH   SBC  nên AH  SC . Đáp án C đúng do BD   SAC  nên BD  SC . Câu 26: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? A. 1  4n . B. n3  3n . n 1 C. n 1 . n2 D. 1  2n 3 . n3  5n C. n 1 . n2 D. 1  2n 3 . n3  5n Câu 27: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? A. 1  4n . B. n3  3n . n 1 Lời giải Chọn C Ta có lim n 1 1 1   lim   2   0 . 2 n n n  Câu 28: Cho dãy số  un  là một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q . Đẳng thức nào sau đây sai? A. un 1  un q ,  n  1 . B. un  u1q n 1 ,  n  2  . C. un  u1q n ,  n  2  . D. uk2  uk 1uk 1 ,  k  2  . Câu 29: Cho dãy số  un  là một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q . Đẳng thức nào sau đây sai? A. un 1  un q ,  n  1 . B. un  u1q n 1 ,  n  2  . C. un  u1q n ,  n  2  . D. uk2  uk 1uk 1 ,  k  2  . Lời giải Chọn C . Cho dãy số  un  là một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q . Từ định nghĩa của cấp số nhân ta có các kết quả sau: un1  un q ,  n  1 , un  u1q n 1 ,  n  2  , uk2  uk 1uk 1 ,  k  2  . Kết quả của đáp án C là sai. Câu 1: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai? A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. B. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng. C. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng. D. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương. Lời giải. Chọn D A. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q  1 . B. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d  0 . C. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số cộng có công sai dương nên: un1  un  d  0  un 1  un . D. Sai. Ví dụ dãy 5 ; 2 ; 1 ; 3 ; … là dãy số có d  3  0 nhưng không phải là dãy số dương. Câu 2: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  un  và gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết S7  77 và S12  192 . Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng đó A. un  5  4n . B. un  3  2n . C. un  2  3n . D. un  4  5n . Lời giải Chọn B Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là u1 và công sai d . 7.6.d  7u1   77  S  77  7 7u  21d  77 u  5  2 Ta có:    1  1 . d  2 12u1  66d  192  S12  192 12u  12.11.d  192  1 2 Khi đó: un  u1   n  1 d  5  2  n  1  3  2n . Câu 3: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Cho cấp số nhân  un  ; u1  1, q  2 . Hỏi số 1024 là số hạng thứ mấy? A. 11 . B. 9 . C. 8 . Lời giải D. 10 . Chọn A Ta có un  u1.q n 1  1.2n 1  1024  2 n 1  210  n  1  10  n  11 . Câu 4: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân? n n A. un   1 n . B. un  n2 . C. un  2n . D. un  n . 3 Lời giải Chọn C u Lập tỉ số n1 un n 1 u  1 .  n  1   n  1  u không phải cấp số nhân. A: n 1   n n un n  1 .n 2 B: un1  n  1   un  không phải là cấp số nhân.  un n2 un 1 2n 1  n  2  un 1  2un   un  là cấp số nhân có công bội bằng 2 . C: un 2 D: un 1 n  1   un  không phải là cấp số nhân.  un 3n Câu 5: (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân  un  có u4  u2  54 và u5  u3  108 . A. u1  3 và q  2 . B. u1  9 và q  2 . C. u1  9 và q  –2 . D. u1  3 và q  –2 . Lời giải Chọn B Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là u1 và công bội là q . Theo giả thiết, ta có q  q 2  1 u1.q 3  u1 .q  54 u4  u2  54 54 1  2 2    q 2.   4 2 q  q  1 108 2 u1.q  u1.q  108 u5  u3  108 Với q  2 , ta có 8u1  2u1  54  6u1  54  u1  9 . Câu 6: (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Xác định số hàng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng  un  có u9  5u2 và u13  2u6  5 . A. u1  3 và d  4 . B. u1  3 và d  5 . C. u1  4 và d  5 . D. u1  4 và d  3 . Lời giải Chọn A u1  8d  5  u1  d  u1  12d  2  u1  5d   5 Ta có: un  u1   n  1 d . Theo đầu bài ta có hpt:  4u1  3d  0 u  3 .   1 u1  2d  5 d  4 Câu 7: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Với mọi n  * , dãy số  un  nào sau đây không phải là cấp số cộng hay cấp số nhân? n A. un  2017n  2018 .  2017  B. un   1   .  2018  u1  1  C.  . un un1  2018 , n  1, 2,3,… u1  1 D.  . un 1  2017un  2018 n Lời giải Chọn D  Xét dãy số  un  trong phương án A, ta có un1  un   2017  n  1  2018   2017n  2018   2017 với mọi n  * . Vậy dãy số này là một cấp số cộng.  Xét dãy số  un  trong phương án B, ta có n 1 2017   1    2018    2017 với mọi n  * . Vậy dãy số này là một cấp số nhân.  n 2018 n  2017   1    2018  n 1 un1 un  Xét dãy số  un  trong phương án C, ta có un1 un un 1 với mọi n  * . Vậy dãy số này là một cấp số nhân.  2018  un 2018  Xét dãy số  un  trong phương án D, ta có un1  un   2017un  2018    2017un 1  2018   2017  un  un 1   2017 2  un 1  un  2   20173  un 2  un3   …  2017 n1  u2  u1   2017n 1  2017  2018   1  2.2017 n Vậy dãy số này không phải là cấp số cộng. Mặt khác, ta có un 1 2017un  2018 2018 .   2017  un un un Tỷ số này thay đổi khi un thay đổi nên dãy  un  không là cấp số nhân. Câu 8: (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Cho ba số a, b, c theo thứ tự đó vừa lập thành cấp số cộng, vừa lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi A. a  1; b  2; c  3 . B. a  d ; b  2d ; c  3d với d  0 cho trước. 2 3 C. a  q; b  q ; c  q với q  0 cho trước. D. a  b  c . Lời giải Chọn D Gọi d và q lần lượt là công sai của cấp số cộng và công bội của cấp số nhân. b  a  d  aq Ta có:   d  aq 2  aq  a  aq 2  aq  aq  q 2  2q  1  0 2 c  a  2 d  aq   q 1 d  0  a  b  c . Câu 9: (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho chuyển động xác định bởi phương trình S  t 3  3t 2  9t , trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu. A. 12 m/s 2 . B. 21 m/s . C. 12 m/s 2 . D. 12 m/s . Lời giải Chọn D Ta có v  t   S ‘  t   3t 2  6t  9 và a  t   v ‘  t   6t  6. Tại thời điểm gia tốc triệt tiêu thì 6t  6  0  t  1 . Vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là v 1  12 m/s 2 . Câu 10: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  un  có u1  123 , u3  u15  84 . Số hạng u17 bằng A. 235 . C. 96000cm 3 . B. 11. D. 81000cm3 . Lời giải Chọn B Giả sử cấp số cộng  un  có công sai d . Theo giả thiết ta có: u3  u15  84  u1  2d  u1  14d  84  12d  84  d  7 . Vậy u17  u1  16d  123  16.  7   11 . Câu 11: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Cho cấp số nhân  un  có S 2  4; S3  13 . Biết u2  0 , giá trị S5 bằng A. 35 . 16 B. 181 . 16 C. 2 . D. 121 . Lời giải Chọn B  u1 1  q 2  4  1 q  S2  4  1 2  u1 1  q   4 1 q  1  q  q 13   Ta có:  2 3 u 1  q  q  13   u 1  q 1     u  4 1   2 S   13  3  1 1 q  1 q   q  3  u1  1 1 q 4  2 Xét 1 :   4 q  9q  9  0   3 2 1 q  q 13 q   4  u1  16 Với q  3; u1  1  u2  u1.q  3  0 (loại) 3 Với q   ; u1  16  u2  u1.q  12  0 (Thỏa mãn). 4   3 5  16 1        4   181 u1 1  q 5   Vậy S5  .   3 1 q 16 1 4 Câu 12: (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Một cấp số cộng có số hạng đầu u1  2018 công sai d  5 . Hỏi bắt đầu từ số hạng nào của cấp số cộng đó thì nó nhận giá trị âm. A. u406 . B. u403 . C. u405 . Lời giải Chọn C Ta có un   n  1 d  u1  n    . Theo đề ra un  2018  5  n  1  0  2018  5  n  1  2023  5n  n  2023  n  405 5 PP trắc nghiệm: Vì un   n  1 d  u1  2018  5  n  1 D. u404 . Thay từng giá trị vào ta có: u403  2018  5.402  8 u404  2018  5.403  3 u405  2018  5.404  2 . Câu 13: (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Một cấp số cộng có tổng của n số hạng đầu Sn tính theo công thức S n  5n 2  3n ,  n  *  . Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng đó. A. u1  8; d  10 . B. u1  8; d  10 . C. . u1  8; d  10 .. D. u1  8; d  10 . Lời giải Chọn C Ta có S1  5.12  3.1  8  u1 Lại có S 2  u1  u2  2u1  d  26  d  10. Câu 14: (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng. B. Một cấp số nhân có công bội q  1 là một dãy tăng. C. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. D. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy tăng. Lời giải Chọn B Xét cấp số nhân  un  với u1  2 và công bội q  3  1 . Ta có: u2   2  .3  6  u1 ; u3   2  .  6   12  u2 ; u4   2  .12  24  u3 ; … là dãy số không tăng, không giảm. Câu 15: (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho un  là cấp số cộng có công sai là d , vn  là cấp số nhân có công bội là q và các khẳng định. I) un  d  un 1 n  2, n   . III) un  un1  un 1 2 n  2, n   . II) vn  q n v1 n  2, n   . IV) vn1.vn  vn21 n  2, n   . n  v1  vn  n  2, n   . 2 Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên? A. 4 . B. 2 . C. 3 . Lời giải Chọn B V) v1  v2  …  vn  D. 5 . I) ĐÚNG : theo định nghĩa cấp số cộng. II) SAI: do vn  q n 1v1 , n  2, n   theo công thức tổng quát của cấp số nhân. III) ĐÚNG: theo tính chất cấp số cộng. IV) SAI: do vn 1 .vn 1  vn2 , n  2, n   theo tính chất cấp số nhân. V) SAI: do đây là công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng. Số câu đúng là: 2 . Câu 16: (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số nhân  un  có u1  3 , công bội q  2 . Hỏi 192 là số hạng thứ mấy của  un  ? A. Số hạng thứ 6 . B. Số hạng thứ 7 . C. Số hạng thứ 5 . D. Số hạng thứ 8 . Lời giải Chọn B Giả sử 192 là số hạng thứ n của  un  với n  * . Ta có 192  u1 .q n 1  192   3 .  2  n1  64   2  n1 6   2    2  n1  6  n 1  7  n . Do đó 192 là số hạng thứ 7 của  un  . Câu 17: (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  un  có u5  15 , u20  60 . Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là: A. S10  125 . B. S10  250 . C. S10  200 . Lời giải Chọn A Gọi u1 , d lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng. u5  15 u1  4d  15 u1  35 Ta có:  .   d  5 u1  19d  60 u20  60 10 Vậy S10  .  2u1  9d   5.  2.  35   9.5  125 . 2 D. S10  200 . Câu 1: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Xác định x dương để 2 x  3 ; x ; 2 x  3 lập thành cấp số nhân. A. x  3 . B. x  3 . C. x   3 . D. không có giá trị nào của x . Lời giải Chọn B 2 x  3 ; x ; 2 x  3 lập thành cấp số nhân  x 2   2 x  3 2 x  3  x 2  4 x 2  9  x 2  3  x 3. Vì x dương nên x  3 . Câu 2: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Cho dãy số  u n  xác định bởi u1  1 . Giá trị của n để un  2017 n  2018  0 là  un 1  un  2n  1, n  1 A. Không có n . B. 1009 . C. 2018 . Lời giải D. 2017 . Chọn C Cách 1 : Với n  1 ta có: u 2  u1  3  4  2 2 . Với n  2 ta có: u3  u2  2.2  1  9  32 . Với n  3 ta có: u4  u3  2.3  1  16  42 . Từ đó ta có: u n  n 2 .  n  1 L  Suy ra un  2017 n  2018  0   n 2  2017 n  2018  0   .  n  2018  N  Cách 2 : Ta có : u2  u1  2.1  1 u3  u2  2.2  1 u4  u3  2.3  1 ………………. un  un 1  2.  n  1  1 Cộng các vế tương ứng ta được : un  u1  2. 1  2  3  …..n  1  n  1 un  1  2. n 1 1  n  1  n  1 2  n  1  L  . un  n 2 . Suy ra un  2017 n  2018  0   n 2  2017 n  2018  0    n  2018  N  Câu 3: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Cấp số nhân  un  có công bội âm, biết u3  12 , u7  192 . Tìm u10 . A. u10  1536 . B. u10  1536 . C. u10  3072 . D. u10  3072 . Lời giải Chọn B Gọi q là công bội của cấp số nhân đề bài cho  q  0  . u  12  u1q 2 u1q 6 192 Ta có  3    q 4  16 . 2 6 u q 12 u7  192  u1q 1 Mà q  0  q  2  u1  12  3. q2 9 Do đó u10  u1q 9  3.  2   1536 . Câu 4: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Cho dãy số  un  xác định bởi u1  cos   0       . Số hạng thứ 2017 của dãy số đã cho là  1  un , n  1 un1  2     A. u2017  sin  2017  . 2           B. u2017  cos  2017  . C. u2017  cos  2016  . D. u2017  sin  2016  . 2  2  2  Lời giải Chọn C Do 0     nên Ta có u2  1  cos     cos 2  cos . 2 2 2 1  cos u3   2  cos 2   cos  2 4 4    Vậy un  cos  n 1  với mọi n * . Ta sẽ chứng mình bằng quy nạp. 2  Với n  1 đúng.       Giả sử với n  k * ta có uk  cos  k 1  . Ta chứng minh uk 1  cos  k 1  . 2  2     1  cos  k 1  2  1  uk   Thật vậy uk 1    cos 2  k   cos  k  . 2  2  2 2    Từ đó ta có u2017  cos  2016  . 2  u20  8u17 Câu 5: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cấp số nhân  un  có  . Tìm u1  u5  272 u1 , biết rằng u1  100 . A. u1  16. B. u1  2. C. u1  16. D. u1  2. Lời giải Chọn A Ta có:  16 3 u1.q19  8u1q16 u20  8u17 u1q  q  8   01 .    4 4 u1  u5  272 u1 1  q   272 2  u1  u1.q  272 q  0 Từ  2  suy ra u1  0 do đó: 1   . q  2 Nếu q  0 thì  2   u1  272 không thõa điều kiện u1  100 . Nếu q  2 thì  2   u1  16 thõa điều kiện u1  100 . Câu 6: (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  un  có u1  1 và công sai d  2 . Tổng S10  u1  u2  u3 …..  u10 bằng: A. S10  110 . B. S10  100 . C. S10  21 . D. S10  19 . Lời giải Chọn B * Áp dụng công thức Sn  n  un  u1  n  2u1   n  1 d  ta được:  2 2 10  2  10  1 2  S10    100 . 2 Câu 7: (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Tổng của n số hạng đầu tiên của một dãy số  an  , n  1 là Sn  2n 2  3n . Khi đó A.  an  là một cấp số cộng với công sai bằng 4 . B.  an  là một cấp số nhân với công bội bằng 4 . C.  an  là một cấp số cộng với công sai bằng 1. D.  an  là một cấp số nhân với công bội bằng 1. Lời giải Chọn A Ta có Sn  2n 2  3n  u1  S1  5 , u1  u2  S2  14  u2  9 , u1  u2  u3  S3  27  u3  13  Dựa vào nội dung các đáp án ta chọn được đáp án A. Câu 8: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  un  có u1  3 , u6  27 . Tính công sai d . A. d  7 . B. d  5 . C. d  8 . Lời giải D. d  6 . Chọn D Ta có u6  u1  5d  27  d  6 . Câu 9: (SGD Ninh Bình năm 2017-2018) Cho cấp số nhân  un  , biết u1  1 ; u4  64 . Tính công bội q của cấp số nhân. A. q  21 . B. q  4 . C. q  4 . D. q  2 2 . Lời giải Chọn C Theo công thức tổng quát của cấp số nhân u4  u1q 3  64  1.q3  q  4 . Câu 10: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  un  , biết u2  3 và u4  7 . Giá trị của u15 bằng A. 27 . B. 31 . C. 35 . Lời giải D. 29 . Chọn D u1  d  3 u  1  1 Từ giả thiết u2  3 và u4  7 suy ra ta có hệ phương trình:  . d  2 u1  3d  7 Vậy u15  u1  14d  29 . Câu 11: (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây là dãy số giảm? 5  3n n5 A. un  B. un  ,  n   * . ,  n   * . 2n  3 4n  1 C. un  2n3  3,  n   * . D. un  cos  2n  1 ,  n   * . Hướng dẫn giải Chọn A Xét un  5  3  n  1 5  3n 5  3n 2  3n 5  3n ,  n   * , ta có un1  un     2n  3 2  n  1  3 2n  3 2n  5 2n  3   2  3n  2n  3   2n  5  5  3n   2n  5  2n  3  4n  6n 2  6  9n  10n  6n 2  25  15n 19   0, n   * .  2n  5 2n  3  2n  5 2n  3 Vậy un  5  3n ,  n   * là dãy giảm. 2n  3 Câu 12: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần 3 năm 2017-2018) Cho cấp số nhân  un  có u1  1, công bội q 1 1 . Hỏi 2017 là số hạng thứ mấy của  un  ? 10 10 A. Số hạng thứ 2018. B. Số hạng thứ 2017. C. Số hạng thứ 2019. D. Số hạng thứ 2016. Lời giải Chọn A Ta có un  u1q n 1  1     10  n 1 . n 1 1 1  1 Khi đó un  2017       2017  n  2018 . 10 10  10  1 Do đó 2017 là số hạng thứ 2018 của  un  . 10 Câu 13: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần 3 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  un  có u4  12 , u14  18 . Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này. A. S16  24 . B. S16  26 . C. S16  25 . Lời giải Chọn D D. S16  24 . u1  3d  12 u  21  1 Gọi d là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có  . d  3 u1  13d  18  2u1  15d  .16  8 42  45  24 . Khi đó, S16    2 Câu 14: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Viết ba số xen giữa 2 và 22 để ta được một cấp số cộng có 5 số hạng? A. 6 , 12 , 18 . B. 8 , 13 , 18 . C. 7 , 12 , 17 . D. 6 , 10 , 14 . Hướng dẫn giải Chọn C u1  2 Xem cấp số cộng cần tìm là  un  có:  . Suy ra: u5  22 u1  2 .  d  5 Vậy cấp số cộng cần tìm là  un  : 2 , 7 , 12 , 17 , 22 . Câu 15: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Cho cấp số nhân un có 1 u2  , u5  16 . Tìm công bội q và số hạng đầu u1 . 4 1 1 1 1 1 1 A. q  , u1  . B. q   , u1   . C. q  4 , u1   . D. q  4 , u1  . 2 2 2 2 16 16 Hướng dẫn giải Chọn D 1  1  1 u2  u1.q  4 Ta có  . 4  4 u5  16 u1.q  16  2  1 . 16 Câu 16: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Xác định x để bộ ba số 2 x  1 , x , 2 x  1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. 1 1 A. x   . B. x   . 3 3 C. x   3 . D. Không có giá trị nào của x . Hướng dẫn giải Chọn B Bộ ba số 2 x  1 , x , 2 x  1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên ta có 1  2 x  1 2 x  1  x 2  4 x 2  1  x 2  x   . 3 Chia hai vế của  2  cho 1 ta được q 3  64  q  4  u1  Câu 17: (THPT Hoài Ân-Hải Phòng năm 2017-2018) Tính giới hạn lim x 0 A. 2 . B. 1 . C. 2 . Lời giải Chọn D Ta có: lim x 0 4 x2  2 x  1  1  2 x  lim x 0 x x 4×2  4 x2  2 x  1  1  2 x  4×2  2x  1  1  2x . x D. 0 .  lim x0 4x  4 x2  2 x  1  1  2 x  0. Câu 18: (THPT Hồng Quang-Hải Dương năm 2017-2018) Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm ? A. un  1 . 2n B. un  3n  1 . n 1 C. un  n 2 . D. un  n  2 . Lời giải Chọn A Ta có un  1 1  n 1  un 1 n  * . n 2 2 Câu 19: (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp 1 số nhân có số hạng đầu là , số hạng thứ tư là 32 và số hạng cuối là 2048 ? 2 1365 5416 5461 21845 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C 1 Theo bài ra ta có u1  , u4  32 và un  2048 . 2 1 u4  u1.q 3  32  .q 3  q  4 2 n 1 un  2048  u1. q  2048  4n1  46  n  7 1 7 u1 1  q 7  2 1  4  5461   Khi đó tổng của cấp số nhân này là S7  . 1 q 1 4 2 Câu 20: (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  un  , biết: u1  3 , u2  1 . Chọn đáp án đúng. A. u3  4 . B. u3  7 . C. u3  2 . D. u3  5 . Lời giải Chọn D Ta có  un  là cấp số cộng nên 2u2  u1  u3 suy ra u3  2u2  u1  5 . Câu 21: (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Cho cấp số nhân  un  thỏa mãn: u1  u2  u3  13 . Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân  un  là  u4  u1  26 A. S8  3280 . B. S8  9841 . C. S8  3820 . Lời giải D. S8  1093 . Chọn A Ta có : u1 1  q  q 2   13 q 3  1  u1  u2  u3  13 26     q  1  2  q  3  u1  1 .   2 3 1  q  q  13 u4  u1  26 u1  q  1  26 S8  11  38   3280 . 1 3 Câu 22: (THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018) Xen giữa số 3 và số 768 là 7 số để được một cấp số nhân có u1  3 . Khi đó u5 là: A. 72 . C. 48 . Lời giải B. 48 . D. 48 . Chọn D Ta có u1  3 và u9  768 nên 768  3.q8  q8  256  q  2 . Do đó u5  u1.q 4  3.24  48 . Câu 23: (THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  un  , biết u1  5 , d  2 . Số 81 là số hạng thứ bao nhiêu? A. 100 . B. 50 . C. 75 . D. 44 . Lời giải Chọn D Ta có un  u1   n  1 d  81  5   n  1 2  n  44 . Vậy 81 là số hạng thứ 44 . Câu 24: (THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABC có SA   ABC  , góc giữa SB và  ABC  là 60 , ABC đều cạnh a . Thể tích khối chóp bằng A. a 3 . B. a3 . 4 C. a3 . 2 D. a 3 . Lời giải Chọn B S A C B a2 3 . 4 SA   ABC  nên AB là hình chiếu của SB lên  ABC  . Diện tích ABC là S ABC    60 .   SB,  ABC     SB, AB   SBA  a 3.   60 , ta có SA  AB.tan SBA SAB vuông tại A có SBA 1 1 a2 3 a3 Thể tích khối chóp là V  .S ABC .SA  . .a 3  . 3 3 4 4 Câu 25: (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy số là cấp số cộng ? a) Dãy số  un  với un  4n . b) Dãy số  vn  với vn  2n 2  1 . n  7 . d) Dãy số  tn  với tn  5  5n . 3 B. 2 . C. 1. Lời giải b) Dãy số  wn  với wn  A. 4 . D. 3 . Chọn D Dãy số  un  với un  4n có un 1  4  n  1  4n  4  un 1  un  4 , n  *  dãy số  un  là cấp số cộng với công sai d  4 . Dãy số  vn  với vn  2n 2  1 có v1  3 , v2  9 , v3  19 nên dãy số  vn  không là cấp số cộng. n n 1 n 1 1  7 có wn1   7   7   un 1  un  , n  *  dãy 3 3 3 3 3 1 là cấp số cộng với công sai d  . 3 Dãy số  wn  với wn  số  wn  Dãy số  tn  với tn  5  5n có tn 1  5  5n  5  un 1  un  5 , n  *  dãy số  wn  là cấp số cộng với công sai d  5 . Vậy có 3 dãy số là cấp số cộng. Câu 26: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Cho dãy số vô hạn un  là cấp số cộng có công sai d , số hạng đầu u1 . Hãy chọn khẳng định sai? u u A. u5  1 9 . B. un  un 1  d , n  2 . 2 n C. S12   2u1  11d  . D. un  u1  (n  1).d , n  * . 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: S n  nu1  n  n  1 d 2 12.11.d n Suy ra S12  12u1   6  2u1  11d    2u1  11d  . 2 2 Câu 27: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị thực của m để  x 1 1 khi x  0  hàm số f ( x)   liên tục trên  . x  2  x  1  m khi x  0 A. m  3 . 2 B. m  1 . 2 C. m  2 . Lời giải Chọn B Khi x  0 ta có: f ( x)  x 1 1 liên tục trên khoảng  0;   . x Khi x  0 ta có: f ( x)  x 2  1  m liên tục trên khoảng  ;0  . Hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x  0 . 1 D. m   . 2 Ta có: lim f ( x)  lim x 0 x 0 lim f ( x)  lim x 0 x 0  x 1 1  lim x 0 x 1 1  . x 1 1 2  x2  1  m  1  m  f  0 . 1 1  1 m  m  . 2 2 Do đó hàm số liên tục tại x  0 khi và chỉ khi Câu 28: (THPT Trần Nhân Tông-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Một loại vi khuẩn sau mỗi phút số lượng tăng gấp đôi biết rằng sau 5 phút người ta đếm được có 64000 con hỏi sau bao nhiêu phút thì có được 2048000 con. A. 10 . B. 11. C. 26 . D. 50 . Hướng dẫn giải Chọn A Số lượng vi khuẩn tăng lên là cấp số nhân  un  với công bội q  2 . Ta có: u6  64000  u1.q5  64000  u1  2000 . Sau n phút thì số lượng vi khuẩn là un1 . un1  2048000  u1 .q n  2048000  2000.2 n  2048000  n  10 . Vậy sau 10 phút thì có được 2048000 con. Câu 29: (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Tính F ( x)   x sin 2 xdx . Chọn kết quả đúng? 1 A. F ( x)  (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C . 4 1 C. F ( x)   (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C . 4 1 B. F ( x)   (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C . 4 1 D. F ( x)  (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C . 4 Hướng dẫn giải Chọn C du  dx u  x  Đặt  , ta được  1 dv  sin 2 xdx v   cos 2 x  2 1 1 1 1 1 F ( x)   x cos 2 x   cos 2 xdx   x cos 2 x  sin 2 x  C   (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C . 2 4 4 2 2 Câu 30: (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho một cấp số cộng (un ) có u1  1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính S  A. S  123 . B. S  4 . 23 1 1 1   …  u1 u2 u2u3 u49u50 C. S  9 . 246 Hướng dẫn giải Chọn D n  u1  un   24850  u100  496 . 2 u u  u1  99d  d  100 1  d  5 . 99 Ta có S100  24850  Vậy u100 D. S  49 . 246 S 1 1 1 1 1 1 1 .     …    …  241.246 u1 u2 u2u3 u49u50 1.6 6.11 11.16 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1    …       …   1.6 6.11 11.16 241.246 1 6 6 11 241 246 1 1 245 49 .    S 1 246 246 246  5S  Câu 1: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Cho ba số x ; 5 ; 2 y theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số x ; 4 ; 2 y theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì x  2 y bằng A. x  2 y  8 . B. x  2 y  9 . C. x  2 y  6 . D. x  2 y  10 . Lời giải Chọn C Ta có:  x   2 y   2.5  x  2 y  10 x  8 x  2 hoặc  .     2  x.  2 y   16 2 y  2 2 y  8  x.  2 y   4 Từ đó, ta có x  2 y  8  2  6 . Câu 2: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu là Sn  3n 2  4n , n  * . Giá trị của số hạng thứ 10 của cấp số cộng là A. u10  55 . B. u10  67 . C. u10  61 . D. u10  59. Lời giải Chọn C Từ giả thiết ta có S1  u1  3.12  4.1  7 . Ta có Sn  3n 2  4n  n  8  6n  n  7  6n  1   un  6n  1  u10  61 . 2 2 Câu 3: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Cho ba số x , 5 , 3y theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số x , 3 , 3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì 3y  x bằng? A. 8 . B. 6 . C. 9 . D. 10 . Lời giải Chọn A Ta có x , 5 , 3y theo thứ tự lập thành cấp số cộng  x  3 y  5.2  x  10  3 y . Lại có x , 3 , 3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân  x.3 y  32  xy  3 .  y  3  x  1  3y  x  8 Do đó y 10  3 y   3  3 y  10 y  3  0    y  1  x  9  3y  x  8  3 2 Vậy 3 y  x  8 . Câu 4: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  SMN  bằng A. a . 7 B. 7a . 3 C. 3a . 7 Lời giải Chọn C Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , khi đó SG   ABC  .    60 .   SAG Ta có SA;  ABC    SM ; AG   SAG Ta có AG  2 2 a 3 a 3 nên suy ra AM  .  3 3 2 3 D. a . 3   a 3 .tan 60  a . SG  AG.tan SAG 3 Gọi K là giao điểm của BG với MN , khi đó BG  MN , nên suy ra MN   SGK  . Kẻ GH  SK , với H  SK . Từ MN   SGK   MN  GH .   Từ GH  SK và MN  GH suy ra GH   SMN  , do đó GH  d G;  SMN  . Vì CN  3 nên d  C ;  SMN    3d  G;  SMN    3GH . GN 2  a 3   a 2 a 1 1 a 3 a 3 2 2 Ta có GN  CN  . , GK  GN  NG   .        3 3 2 6 4 3  6  4 1 1 1 1 1 49 a     2  2  GH  . 2 2 2 2 a 7 GH GK SG  a  a   4 3 3a Vậy d  C ;  SMN    3GH  . 7 S H N A B K G M C Câu 5: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  u n  có u1  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của u1u2  u2u3  u3u1 ? A. 20 . B. 6 . C. 8 . D. 24 . Lời giải Chọn D Ta gọi d là công sai của cấp số cộng. u1u2  u2u3  u3u1  4  4  d    4  d  4  2d   4  4  2d  2  2d 2  24d  48  2  d  6   24  24 Dấu ”  ” xảy ra khi d  6 Vậy giá trị nhỏ nhất của u1u2  u2 u3  u3u1 là 24 . Câu 6: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài các cạnh của tam giác đó là: A. 1 5 ;1; . 3 3 B. 1 7 ;1; . 4 4 C. 3 5 ;1; . 4 4 D. 1 3 ;1; . 2 2 Lời giải Chọn C Gọi d là công sai của cấp số cộng và các cạnh có độ dài lần lượt là a  d , a , a  d 0  d  a . Vì tam giác có chu vi bằng 3 nên 3a  3  a  1 . 1 2 2 Vì tam giác vuông nên theo định lý Pytago ta có 1  d   1  d   12  4d  1  d  . 4 3 5 Suy ra ba cạnh của tam giác có độ dài là ;1; . 4 4 Câu 7: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Cho cấp số nhân u1  1 , u6  0, 00001 . Khi đó q và số hạng tổng quát là A. q  1 1 , un  n1 . 10 10 B. q  1 , un  10n 1 . 10 D. q  1 1 , un  n1 . 10 10 n  1 1 C. q  , un  n1 . 10 10 Lời giải Chọn C Ta có: u6  u1.q 5  0, 00001  q 5  1 1  1   un  u1.q n 1  1.   q 5 10 10  10  n1   1 n 10n1 . Câu 8: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn u2  6 , u4  24 . Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. B. 212  1 . A. 3.212  3 . C. 3.212  1 . Lời giải D. 3.212 . Chọn A Gọi công bội của CSN bằng q . Suy ra u4  u2 .q 2  q  2 . Do CSN có các số hạng không âm nên q  2. Ta có S12  u1. 1  212 1  q12  3.  3  212  1 . 1 2 1 q Câu 9: (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị y  x 2  2 x và y   x 2  x ? A. 9 . 8 B. 6 . C. 12 . Lời giải Chọn A x  0  Ta có x  2 x   x  x   3 x   2 2 2 D. 10 . 3 3 2 3 3 2  x3 x 2  2 9 Nên S 2 x  3x dx   2 x  3 x dx   2  3  .  3 2  0 8 0 0  2  2  Câu 10: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  un  có u5  15 , u20  60 . Tổng S 20 của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là A. S 20  600 . B. S20  60 . C. S 20  250 . D. S20  500 . Lời giải Chọn C u5  15 u1  4d  15 u  35   1 Ta có:  . d  5 u1  19d  60 u20  60 20.19 20.19  S 20  20u1  .d  20.  35  .5  250 . 2 2 Câu 11: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Tam giác ABC có ba cạnh a , b , c thỏa mãn a 2 , b 2 , c 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. tan 2 A , tan 2 B , tan 2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. B. cot 2 A , cot 2 B , cot 2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. C. cos A , cos B , cos C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. D. sin 2 A , sin 2 B , sin 2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Lời giải Chọn D Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có a  2 R sin A , b  2 R sin B , c  2 R sin C Theo giả thiết a 2 , b 2 , c 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên a 2  c 2  2b 2  4 R 2 .sin 2 A  4 R 2 .sin 2 C  2.4 R 2 .sin 2 B  sin 2 A  sin 2 C  2.sin 2 B . Vậy sin 2 A , sin 2 B , sin 2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Câu 12: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa cạnh SD và mặt đáy bằng 30 . Độ dài cạnh SD bằng A. 2a . B. 2a 3 . 3 C. a . 2 D. a 3 . Lời giải Chọn B Vì SA vuông góc với mặt đáy nên hình chiếu vuông góc của SD lên  ABCD  là AD . Do đó   30 . Suy ra SD  góc giữa SD và  ABCD  là SDA AD 2a 3 .  cos 30 3 Câu 13: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số  un  xác định bởi u1  1 và 2 bằng un 1  un2  2 , n  * . Tổng S  u12  u22  u32  …  u1001 A. 1002001. B. 1001001. C. 1001002 . Lời giải D. 1002002 . Chọn A Từ giả thiết un 1  un2  2 ta có un21  un2  2 . Xét dãy số vn  un2 với n  * ta có vn 1  u n21  un2  2 hay vn 1  vn  2  dãy số  vn  là một cấp số cộng với số hạng đầu v1  u12  1 và công sai d  2 . Do đó 2  v1  v2  v3  …  v1001  S  u12  u22  u32  …  u1001 1001  2.1  1001  1 2  2  10002001 . Câu 14: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Cho  un  là cấp số cộng biết u3  u13  80 . Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng A. 800 . B. 600 . C. 570 . Lời giải D. 630 Chọn B Cách 1: S15  u1  u2  u3  …  u15   u1  u15    u2  u14    u3  u13   …   u7  u9   u8 Vì u1  u15  u2  u14  u3  u13  …  u7  u9  2u8 và u3  u13  80  S  7.80  40  600 . Cách 2: Gọi d là công sai của cấp số cộng. Ta có u3  u13  80   u1  2d    u1  12d   80  u1  7d  40. Khi đó S15  15 15  u1  u15    u1  u1  14d   15  u1  7d   15.40  600. 2 2 x 2  42018 Câu 15: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) lim bằng 2018 x  22018 x  2 A.  . B. 22018 . C. 2 . Lời giải Chọn D  x  2  x  2 x 2  42018  lim2018 2018 x2 x  22018 x2 2018 Ta có lim 2018 x2 2018  D. 22019 . lim  x  22018   22018  22018  22019 . x  22018 Câu 16: (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau và OA  OB  OC  a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC bằng A. 3 a. 2 B. 1 a. 2 C. Lời giải Chọn C Cách 1. 2 a. 2 D. 3 a. 2 A O C M B Gọi M là trung điểm của BC . Khi đó: OM  BC và OM  OA (do OA   OBC  ). BC a 2 .  2 2 Cách 2. Gắn hệ trục tọa Oxyz với gốc tọa độ trùng với điểm O , OA  Oz , OB  Ox , Do đó d  OA, BC   OM  OC  Oy . Khi đó, ta có: O  0;0;0  , A  0;0; a  , B  a;0;0  , C  0; a;0  .     Ta có: OA  0;0; a  , BC  a; a;0   OA, BC    a 2 ; a 2 ;0  .    OA, BC  .OB  a 2 .a  a 2 .0  0.0 a3 a 2   . d  OA, BC     2    4 4 2 2 a 2 OA, BC  a  a  0   Câu 17: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho 4 số thực a , b , c , d là 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Biết tổng của chúng bằng 4 và tổng các bình phương của chúng bằng 24 . Tính P  a 3  b3  c 3  d 3 . A. P  64 . B. P  80 . C. P  16 . D. P  79 . Lời giải Chọn A a  d  b  c Theo giả thiết ta có:   ad  bc  2. a  b  c  d  4 2 2 a 2  b 2  c 2  d 2   a  d    b  c   2  ad  bc  2 2  ad  bc  a 2  b 2  c 2  d 2   a  d    b  c   8 . P  a 3  b3  c3  d 3   a  d   a 2  ad  d 2    b  c   b 2  bc  c 2   2  a 2  b 2  c 2  d 2  ad  bc   64 Câu 18: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Một công ti trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ti là 4,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 0, 3 triệu đồng mỗi quý. Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư nhận được sau 3 năm làm việc cho công ti. A. 83, 7 (triệu đồng). B. 78,3 (triệu đồng). C. 73,8 (triệu đồng). D. 87, 3 (triệu đồng). Lời giải Chọn C Ta có 3 năm bằng 12 quý. Gọi u1 , u2 , …, u12 là tiền lương kĩ sư đó trong các quý (từ quý 1 đến quý 12 ). Suy ra  un  là cấp số cộng với công sai 4, 5 . Vậy số tiền lương kĩ sư nhận được là 2u   n  1 d 2  4, 5  11 0,3 S12  n 1  12  73,8 (triệu đồng). 2 2 Câu 19: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  un  có u2013  u6  1000 . Tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là A. 1009000 . B. 100800 . C. 1008000 . Lời giải D. 100900 . Chọn A Gọi d là công sai của cấp số cộng. Khi đó: u2013  u6  1000  u1  2012d  u1  5d  1000  2u1  2017d  1000 . Ta có: S 2018  2018u1  2017.2018 d  1009.  2u1  2017 d   1009000 . 2 Câu 20: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Người ta viết thêm 999 số thực vào giữa số 1 và số 2018 để được cấp số cộng có 1001 số hạng. Tìm số hạng thứ 501 . 2019 2021 A. 1009 . B. . C. 1010 . D. . 2 2 Lời giải Chọn B Áp dụng công thức cấp số cộng ta có: 2017 . un  u1   n  1 d  u1001  u1  1001  1 d  2018  1  1001  1 d  d  1000 2019 Vậy số hạng thứ 501 là u501  u1   501  1 d  . 2 Câu 21: (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần 1 – năm 2017 – 2018) Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số bị chặn? 2n  1 A. un  . B. un  2n  sin n . C. un  n 2 . D. un  n3  1 . n 1 Lời giải Chọn A 2n  1 Xét đáp án A, ta có 0  un   2, n   . n 1 Câu 22: (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho 3 số a , b , c theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân với công bội khác 1 . Biết cũng theo thứ tự đó chúng lần lượt là số hạng thứ a nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng với công sai là s  0 . Tính . s A. 4 . 9 B. 3 . C. 4 . 3 D. 9 . Lời giải Chọn D b 2  ac 2  Theo đề bài ta có hệ phương trình b  a  3s   a  3s   a  a  7 s   9 s 2  as  0 . c  a  7 s  Do s  0 nên a  9 s  a 9. s Câu 23: (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABC D có đáy là hình vuông cạnh a . Mặt phẳng   cắt các cạnh bên AA , BB , CC  , DD lần lượt tại 4 điểm M , N , P , Q . Góc giữa mặt phẳng   và mặt phẳng  ABCD  là 60 . Diện tích của hình tứ giác MNPQ là A. 2a 2 . B. 2 2 a . 3 C. 1 2 a . 2 D. 3 2 a . 2 Lời giải Chọn A A’ B’ N C’ D’ M B A P Q D Ta có SMNPQ  C S ABCD a2   2a 2 . cos60 1 2 Câu 24: (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho dãy số  un  gồm 89 số hạng thỏa mãn un  tan n , n   , 1  n  89 . Gọi P là tích của tất cả 89 số hạng của dãy số. Giá trị của biểu thức log P là A. 1. B. 0 . C. 10 . Lời giải D. 89 . Chọn B Ta có: P  tan1.tan 2…tan 88.tan 89   tan1.tan 89  .  tan 2.tan 88  ….  tan 44.tan 46  .tan 45  1 .  log P  log1  0 . Câu 25: (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Giải phương trình 1  8  15  22  x  7944 A. x  330 . B. x  220 . C. x  351 . Lời giải D. x  407 . Chọn A Ta có cấp số cộng với u1  1 , d  7 , un  x , Sn  7944 . Áp dụng công thức  n  48  N   2u1   n  1 d  n  2.1   n  1 7  n 2 Sn   7944   7n  5n  15888  0   .  n   331  L  2 2  7 Vậy x  u48  1  47.7  330 . Câu 26: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Tổng các số hạng của cấp số nhân đó là A. 215 . B. 315 . C. 415 . D. 515 . Lời giải Chọn B u1  160 u 1 Từ giả thiết ta có  q 5 6  . u1 2 u6  5   1 6  160  1      2  u1 1  q 6     315 . Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: S   1 1 q 2 Câu 27: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Người ta trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây….Số hàng cây trong khu vườn là A. 31 . B. 30 . C. 29 . D. 28 . Lời giải Chọn B Cách trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác như trên lập thành một cấp số cộng  un  với số un là số cây ở hàng thứ n và u1  1 và công sai d  1 . Tổng số cây trồng được là: S n  465   n  30 n  n  1 .  465  n 2  n  930  0   2  n  31 l  Như vậy số hàng cây trong khu vườn là 30 . Câu 28: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho cấp số cộng  un  có u1  3 và công sai d  7 . Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số hạng của  un  đều lớn hơn 2018 ? A. 287 . B. 289 . C. 288 . Lời giải D. 286 . Chọn B Ta có: un  u1   n  1 d  3  7  n  1  7 n  4 ; un  2018  7 n  4  2018  n  Vậy n  289 . 2022 7 Câu 1: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Cho dãy số  xn  thỏa mãn 3n  n  3 với mọi n   * . Khẳng định nào dưới đây là đúng và đầy đủ nhất. 2 là cấp số cộng với công sai âm. x1  x2  …  xn  A.  xn  B.  xn  là cấp số nhân với công bội âm. C.  xn  là cấp số cộng với công sai dương. D.  xn  là cấp số nhân với công bội dương. Lời giải Chọn C Ta có: xn  3n  n  3 3  n  1 n  1  3  3n  3 2 2 Ta lại có: xn1  xn  3  n  1  3  3n  3  3 .  Vậy  xn  là cấp số cộng với công sai dương. Câu 2: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho cấp số nhân u  un  , biết u1  12 , 3  243 . Tìm u9 . u8 A. u9  2 . 2187 B. u9  4 . 6563 C. u9  78732 . D. u9  4 . 2187 Lời giải Chọn D Gọi q là công bội của cấp số nhân  un  . Ta có u3  u1q 2 , u8  u1q 7  u3 1 1  5  243  q  . 3 u8 q 8 4 1 Do đó u9  u1q8  12.    .  3  2187 Câu 3: [1D3- 2(THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018)] Cho một cấp số cộng có và tổng của số hạng đầu bằng . Tìm công thức của số hạng tổng quát . A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Ta có: . Số hạng tổng quát của cấp số cộng bằng . Câu 4: (THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho cấp số nhân  un  có tổng n số hạng đầu tiên là Sn  5n  1 với n  1, 2,… . Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó? A. u1  5 , q  4 . B. u1  5 , q  6 . C. u1  4 , q  5 . Lời giải Chọn C D. u1  6 , q  5 . u1  S1  5  1  4 u1  4 u  Ta có:   u1  4 , q  2  5 .  2 u1 u1  u2  S2  5  1  24 u2  24  u1  20 Câu 5: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S . ABC có tam giác ABC vuông cân tại B có AB  BC  a , tam giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  SBC  A.  ABC  ( tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng bằng. a 42 . 14 B. 2a . C. a 42 . 7 D. a 21 . 14 Lời giải Chọn C S K C A H M B Gọi H và M lần lượt là trung điểm của AC và BC . Ta có d  A,  SBC    2d  H ,  SBC   . Theo giả thiết tam giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABC  nên SH   ABC   SH  BC 1 Do tam giác tam giác ABC vuông cân tại B nên HM  BC  2 Từ 1 và  2  ta có BC   SHM    SHM    SBC  . Trong mặt phẳng  SHM  kẻ HK  SM thì d  H ,  SBC    HK . Theo đề bài ta có có tam giác ABC 1 a có AB  BC  a  AC  BA2  BC 2  a 2 , HM  AB  . 2 2 vuông cân tại B Mặt khác tam giác SAC đều nên SH  a 6 . Xét tam giác vuông SHM 2 ta có a 42 1 1 1 1 1 1 1 28   2  2  .    2  HK  2 2 2 2 2 6a a 14 HK HK HM SH HK 6a 4 4 Vậy d  A,  SBC    2 HK  a 42 7 u1  u2  u3  13 Câu 6: (SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho cấp số nhân  un  thỏa mãn  . u4  u1  26 Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân  un  là A. S8  1093 . B. S8  3820 . C. S8  9841 . D. S8  3280 . Hướng dẫn giải Chọn D u1 1  q  q 2   13 u1  u1.q  u1.q 2  13 u1  u2  u3  13  Ta có    3 2 u  u  26 u1 .q  u1  26  4 1 u1.  q  1 1  q  q   26 u 1  q  q 2   13 u  1 .  1  1 q  3 q  3 Vậy tổng S8  u1 1  q8  1 q  11  38  1 3  3280 . Câu 7: (THPT Chu Văn An – Hà Nội – năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  un  , n  * có số hạng tổng quát un  1  3n . Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng A. 59048 . B. 59049 . C. 155 . Lời giải D. 310 . Chọn C u1  1  3.1  2 Ta có: un  1  3n   . u10  1  3.10  29 Áp dụng công thức: S  n  u1  un  2  10  u1  u10  2  155 . Câu 8: Cho cấp số nhân  un  biết u6  2 và u9  6 . Tìm giá trị của u21 . A. 18 . B. 54 . C. 162 . D. 486 . Câu 9: Cho cấp số nhân  un  biết u6  2 và u9  6 . Tìm giá trị của u21 . A. 18 . B. 54 . Chọn D Gọi  un  có số hạng đầu u1 và công bội q . C. 162 . Lời giải D. 486 . q  3 3 5  u  2 u1q  2  2 Ta có  6  u   8 1 2 u  6 u q  6  9   1 3 33  20 2 Suy ra u21  u1.q 20  . 3 3  486 . 2 3 33       Câu 10: Bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng 28 và tổng các bình phương của chúng bằng 276 . Tích của bốn số đó là : A. 585 . B. 161 . C. 404 . D. 276 . Câu 11: Bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng 28 và tổng các bình phương của chúng bằng 276 . Tích của bốn số đó là : A. 585 . B. 161 . C. 404 . D. 276 . Lời giải Chọn A Gọi 4 số cần tìm là a  3r , a  r , a  r , a  3r . a  3r  a  r  a  r  a  3r  28 a  7 a  7 Ta có:  .  2  2 2 2 2 r  2  a  3r    a  r    a  r    a  3r   276 r  4 Bốn số cần tìm là 1 , 5 , 9 , 13 có tích bằng 585 . Câu 12: Sinh nhật lần thứ 17 của An vào ngày 01 tháng 5 năm 2018 . Bạn An muốn mua một chiếc máy ảnh giá 3850000 đồng để làm quà sinh nhật cho chính mình nên An quyết định bỏ ống heo 1000 đồng vào ngày 01 tháng 02 năm 2018 . Trong các ngày tiếp theo, ngày sau bỏ ống nhiều hơn ngày trước 1000 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của mình, An có bao nhiêu tiền (tính đến ngày 30 tháng 4 năm 2018 )? A. 4095000 đồng. B. 89000 đồng. C. 4005000 đồng. D. 3960000 đồng. Câu 13: Sinh nhật lần thứ 17 của An vào ngày 01 tháng 5 năm 2018 . Bạn An muốn mua một chiếc máy ảnh giá 3850000 đồng để làm quà sinh nhật cho chính mình nên An quyết định bỏ ống heo 1000 đồng vào ngày 01 tháng 02 năm 2018 . Trong các ngày tiếp theo, ngày sau bỏ ống nhiều hơn ngày trước 1000 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của mình, An có bao nhiêu tiền (tính đến ngày 30 tháng 4 năm 2018 )? A. 4095000 đồng. B. 89000 đồng. C. 4005000 đồng. D. 3960000 đồng. Lời giải Chọn C * Số tiền bỏ heo của An mỗi ngày tạo thành một cấp số cộng có số hạng đầu u1  1000 công sai d  1000 . * Tổng số tiền bỏ heo tính đến ngày thứ n là: S n  u1  u2  …  un  n  u1  un  n  2u1   n  1 d   2 2 * Tính đến ngày 30 tháng 4 năm 2018 (tính đến ngày thứ 89 ) tổng số tiền bỏ heo là: S89  89  2.1000   89  1 .1000  2  45.89.1000  4005000 đồng. 2 . Số hạng thứ năm của  un  là 3 16 27 16 B. . C.  . D.  . 27 16 27 2 có số hạng đầu u1  3 và công bội q  . Số hạng thứ năm của  un  là 3 16 27 16 B. . C.  . D.  . 27 16 27 Lời giải Câu 14: Cho cấp số nhân  un  có số hạng đầu u1  3 và công bội q  A. 27 . 16 Câu 15: Cho cấp số nhân  un  A. 27 . 16 Chọn D 4 Ta có un  u1.q n 1 16 2  u5  3.     . 27 3 Câu 16: Cho khối chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  và SA  a . Đáy ABC thỏa mãn AB  a 3 (tham khảo hình vẽ). Tìm số đo góc giữa S a đường thẳng SB và mặt phẳng  ABC  . C A A. 30 . B. 45 . C. 90 . D. 60 . Câu 17: Cho khối chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng a 3  ABC  B và SA  a . Đáy ABC thỏa mãn AB  a 3 (tham khảo hình vẽ). S a C A a 3 B Tìm số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  ABC  . A. 30 . B. 45 . C. 90 . D. 60 . Lời giải Chọn A . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  ABC  là SBA  Ta có: tan SBA 1   30 .  SBA 3 Câu 18: Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5.000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có nước. Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó? A. 4.000.000 đồng. B. 10.125.000 đồng. C. 52.500.000 đồng. D. 52.500.000 đồng. Câu 19: Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5.000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có nước. Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó? A. 4.000.000 đồng. B. 10.125.000 đồng. C. 52.500.000 đồng. D. 52.500.000 đồng. Lời giải Chọn B * Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu u1  80.000 , công sai d  5.000 ta được số tiền phải trả khi khoan đến mét thứ n là n  u1  un  n  2u1   n  1 d   2 2 * Khi khoan đến mét thứ 50 , số tiền phải trả là Sn  S50  50  2.80000   50  1 .5000 2  10.125.000 đồng. Câu 20: Cho cấp số cộng có u1  1 và công sai d  2 . Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là S n  9800 . Giá trị n là A. 100 . B. 99 . C. 101 . D. 98 . Câu 21: Cho cấp số cộng có u1  1 và công sai d  2 . Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là S n  9800 . Giá trị n là A. 100 . B. 99 . C. 101 . D. 98 . Lời giải Chọn A Sn  n  2u1   n  1 d   9800  n 2  2  n  1  19600  0  n  100 . 2 Câu 22: Cho dãy số  un  là cấp số cộng với u1  3 ; u5  19 . Tính u12 . A. u12  51 . B. u12  57 . C. u12  47 . D. u12  207 . 5 D. u12  207 . 5 Câu 23: Cho dãy số  un  là cấp số cộng với u1  3 ; u5  19 . Tính u12 . A. u12  51 . B. u12  57 . C. u12  47 . Lời giải Chọn C Ta có: u5  19  u1  4d  19  3  4d  19  d  4 Do đó: u12  u1  11d  3  11.4  47 . Câu 24: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SAD  . S D A C A. 1 . 3 B 1 B.  . 3 C.  2 2 . 3 D. 2 2 . 3 Câu 25: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SAD  . S D C A. 1 . 3 A B 1 B.  . 3 C.  2 2 . 3 D. 2 2 . 3 Lời giải Chọn A S I A D C B Gọi I là trung điểm SA . Vì các tam giác SAB và SAD là tam giác đều nên ta có BI và DI cùng vuông góc với SA  góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SAD  là  BI , DI  .   Trong tam giác BID ta có: cos  BI , DI   cos BID DI 2  BI 2  BD 2 1  . 2 BI .DI 3 Vậy cosin của góc giữa mặt phẳng  SAB  và  SAD  bằng 1 . 3 Câu 26: Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288 m 2 ). Tính diện tích mặt trên cùng. A. 8m 2 . B. 6m 2 . C. 12m 2 . D. 10m 2 . Câu 27: Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288 m 2 ). Tính diện tích mặt trên cùng. A. 8m2 . B. 6m2 . C. 12m2 . D. 10m2 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta nhận thấy diện tích các mặt trên của mỗi tầng lập thành 1 cấp số nhân với công bội q  1 2 Số hạng đầu u1  12288 . Khi đó mặt trên cùng tầng 11 ứng với u12 . 11 1 Do đó u12  u1 .q11  12288.    6 .  2 Câu 28: Xác định x để 3 số 2 x  1 ; x ; 2 x  1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân? 1 1 1 A. x  . B. x   . C. x   . D. x   3 . 3 3 3 Câu 29: Xác định x để 3 số 2 x  1 ; x ; 2 x  1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân? 1 1 1 A. x  . B. x   . C. x   . D. x   3 . 3 3 3 Lời giải Chọn B Vì 2 x  1 ; x ; 2 x  1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân 1 1 nên x 2   2 x  1 2 x  1  x 2  4 x 2  1  x 2   x   . 3 3 Câu 30: Người ta trồng cây theo hình tam giác với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây,… ở hàng thứ n có n cây. Biết rằng người ta trồng hết 4950 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu? A. 99 . B. 100 . C. 101 . D. 98 . Câu 31: Người ta trồng cây theo hình tam giác với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây,… ở hàng thứ n có n cây. Biết rằng người ta trồng hết 4950 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu? A. 99 . B. 100 . C. 101 . D. 98 . Lời giải Chọn A Ta thấy số cây ở mỗi hàng tạo nên một cấp số cộng có số hạng đầu u1  1 và công sai d  1 . Ta có S n   2u   n  1 d  n  n 1 2 2 n  4950  n 2  n  9900  0  n  99 . 2 Câu 32: Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào không phải là một cấp số nhân lùi vô hạn? n 2 4 8 2 A. , , ,…,   ,…. 3 9 27 3 n C. 3 9 27 3 , , ,…,   ,…. 2 4 8 2 B. 1 1 1 1 , , ,…, n ,…. 3 9 27 3 1 1 1 1  1 D. 1,  , ,  , ,…,    2 4 8 16  2 n1 ,…. Câu 33: Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào không phải là một cấp số nhân lùi vô hạn? n A. 2 4 8 2 , , ,…,   ,…. 3 9 27 3 C. 3 9 27 3 , , ,…,   ,…. 2 4 8 2 n B. 1 1 1 1 , , ,…, n ,…. 3 9 27 3 1 1 1 1  1 D. 1,  , ,  , ,…,    2 4 8 16  2 Lời giải n1 ,…. Chọn C n Chọn đáp án C vì dãy ở đây là một CSN có công bội q  3 3 9 27 3 ,…,   ,…  1 , nên dãy , , 2 2 4 8 2 không phải là dãy lùi vô hạn Câu 34: Một du khách vào chuồng đua ngựa đặt cược, lần đầu tiên đặt 20000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi tiền đặt lần trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10 . Hỏi du khách đó thắng hay thua bao nhiêu? A. Thắng 20000 đồng. B. Hòa vốn. C. Thua 20000 đồng. D. Thua 40000 đồng. Câu 35: Một du khách vào chuồng đua ngựa đặt cược, lần đầu tiên đặt 20000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi tiền đặt lần trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10 . Hỏi du khách đó thắng hay thua bao nhiêu? A. Thắng 20000 đồng. B. Hòa vốn. C. Thua 20000 đồng. D. Thua 40000 đồng. Hướng dẫn giải Chọn A u  20000 Số tiền du khách đó đặt cược là một cấp số nhân với  1 . q  2 9 lần đầu người đó thua  số tiền thua là tổng 9 số hạng đầu của cấp số nhân ở trên. Vậy 1  29  10220000 (đồng) 1 2 Số tiền người đó thắng được ở lần thứ 10 là u10  u1.q 9  20000.29  10240000 (đồng) số tiền người đó thua là S9  20000 Ta có u10  S9  10240000  10220000  20000 (đồng) Vậy người đó thắng 20000 đồng. Câu 1: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Một hình vuông ABCD có cạnh AB  a , diện tích S1 . Nối 4 trung điểm A1 , B1 , C1 , D1 theo thứ tự của 4 cạnh AB , BC , CD , DA ta được hình vuông thứ hai là A1 B1C1 D1 có diện tích S2 . Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba A2 B2C2 D2 có diện tích S3 và cứ tiếp tục như thế, ta được diện tích S4 , S5 ,… Tính S  S1  S 2  S3  …  S100 . 2100  1 A. S  99 2 . 2 a B. S  a  2100  1 . C. S  299 Lời giải a 2  2100  1 299 . D. S  a 2  299  1 299 . Chọn C Dễ thấy: S1  a 2 ; S 2  a2 a2 a2 ; S3  ;…; S100  99 . 2 4 2 Như vậy S1 , S 2 , S3 ,…, S100 là cấp số nhân với công bội q  S  S1  S2  …  S100 1 . 2 2 100 1  a  2  1  1 1  a 1   2  …  99   . 2  299  2 2 2 Câu 2: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm n3 A. un  . n 1 n B. u n  . 2 2 C. un  2 . n Lời giải D. un  1  3n n . Chọn C Xét A: Ta có un  n3 n2 n2 n3 4 . Khi đó : u n 1  un  ; u n 1     0 n   n 1 n2 n  2 n  1  n  1 n  2  Vậy  un  là dãy số tăng. Xét B: n n 1 n 1 n 1 Ta có un  ; un 1  . Khi đó : un 1  un     0 n   2 2 2 2 2 Vậy  un  là dãy số tăng. Xét C: Ta có un  2 2 , un 1  2 2 n  n  1 un 1 n2 n2    1, n    . Vậy  un  là dãy giảm. 2 2 un  n  1 n Xét D: Ta có u1  1 1 1 . Vậy  un  là dãy số không tăng không giảm . ; u2  ; u3  3 9 27 Câu 3: [1D3 – 2] (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Vì . Vậy A đúng.  x2 khi x  1, x  0   x Câu 4: (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho hàm số f  x   0 . khi x  0   x khi x  1  Khẳng định nào đúng A. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn  0;1 . B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x  0 . C. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc  . D. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x  1 . Lời giải Chọn C Tập xác định D   .  Nếu x  0 , x  1 thì hàm số y  f  x  liên tục trên mỗi khoảng  ;0 ,  0;1 và 1;  .  Nếu x0 lim f  x   lim x0 x 0 f  0  0 thì x2 x2  lim x  0; lim f  x   lim  lim x  0 . x 0 x 0 x x 0 x x0 Suy ra: lim f  x   0  f  0  . x 0 Do đó, hàm số y  f  x  liên tục tại x  0 .   x2 lim f x  lim x 1     x1 x  xlim 1 Nếu x  1 thì f 1  1 và  x1  lim f  x   1  f 1 . x 1  lim f  x   lim x  1   x 1  x 1 Do đó, hàm số y  f  x  liên tục tại x  1 . Vậy hàm số y  f  x  liên tục trên  . Câu 5: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho dãy số  un  được xác định bởi u1  3 . Tính lim un .  2  n  1 un 1  nun  n  2 A. lim un  1. B. lim un  4. C. lim un  3. D. lim un  0. Lời giải Chọn A Ta có un 1  n n2 un  (*) 2n  2 2n  2 Đặt a  lim un , trong biểu thức (*) cho n   ta được a  1 1 a   a  1  lim un . 2 2  Chú ý: Để chặt chẽ hơn ta có thể lập luận như sau: Sử dụng quy nạp toán học, ta chứng minh được un  1 với mọi n   * , nên dãy  un  bị chặn dưới. và n.un n.un n2 n2    .un  un nên dãy  un  là dãy giảm. 2n  2 2n  2 2n  2 2n  2 Khi đó ta cũng có un 1  Vậy, dãy  un  có giới hạn (Học sinh cần chú ý tính chất: một dãy giảm và bị chặn dưới, hoặc tăng và bị chặn trên, thì có giới hạn). Đặt a  lim un , trong biểu thức (*) cho n   ta được a  1 1 a   a  1  lim un . 2 2 Câu 6: (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho dãy số  un  với un   1 Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số  un  là dãy số bị chặn. B. Dãy số  un  là dãy số giảm. C. Dãy số  un  là dãy số tăng. D. Dãy số  un  là dãy số không bị chặn. n n. Lời giải Chọn D Dãy số un   1 n n là dãy số không bị chặn vì lim un  lim n   . Câu 7: (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho dãy số un  sin  n . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây: A. Dãy số tăng.  . n 1 D. Dãy số không tăng, không giảm. B. un1  sin C. Dãy số bị chặn. Lời giải Chọn A  un 1  sin  n 1  Do 1  sin  n nên B đúng.  1 nên dãy số bị chặn, do đó C đúng.  u1  sin   0 , u2  sin  2  1 , u3  sin  3  u1  u2 3 . Do  nên dãy số không tăng, không 2 u2  u3 giảm. Vậy D đúng. Do đó A sai. Câu 8: (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Cho tam giác ABC cân tại A . Biết rằng độ dài cạnh BC , trung tuyến AM và độ dài cạnh AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có công bội q . Tìm công bội q của cấp số nhân đó. A. q  1 2 . 2 B. q  22 2 . 2 C. q  1  2 . 2 D. q  2  2 2 . 2 Lời giải Chọn B 2 2  AB 2  AC 2   BC 2 1 . 4 Do ba cạnh BC , AM , AB lập thành cấp số nhân nên ta có: BC. AB  AM 2  2  Ta có: AM  Thay  2  vào 1 ta được 2  AB 2  AC 2   BC 2 4  BC. AB  4 AB 2  4 AB.BC  BC 2  0  AB 1  2   AB  AB  BC 2   4  4  1  0   BC  AB 1  2  BC    loai   2  BC 2 AB 1  2 1 2 22 2  . q  BC 2 2 2 Câu 9: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để  phương trình x3  3x 2  mx  2  m  0 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng. A. m  3 . B. m  3 . D. m tùy ý. C. m  0 . Lời giải Chọn A x3  3x 2  mx  2  m  0 (1) x  1   x  1  x 2  2 x  2  m   0   2  x  2 x  2  m  0 (2) Phương trình (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng khi phương trình (2) có 2 nghiệm x1 ; x2  x1  1  x2 (Vì pt (2) nếu có nghiệm thì tổng các nghiệm là 2 )  x1  x2  2 thoả mãn   phương trình (2) có 2 nghiệm    0  3  m  0  m  3. Câu 10: (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Cho dãy số  xn  thoả mãn x1  40 và xn  1,1.xn 1 với mọi n  2, 3, 4,… Tính giá trị của S  x1  x2  …  x12 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). A. 855, 4 . B. 855,3 . C. 741, 2 . Lời giải D. 741,3 . Chọn A Ta có xn  1,1.xn 1 và x1  40 nên dãy số  xn  là một cấp số nhân có số hạng đầu x1  40 và công bội q  xn  1,1 . xn 1 S  x1  x2  …  x12  40. 1  1,112  855, 4 . 1  1,1 u1  1 Câu 11: (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số  un  với  2  un1  un  n , n   Tính u21. A. u21  3080. B. u21  3312. C. u21  2871. Lời giải Chọn C Từ un1  un  n2 , với mọi n   , ta có: D. u21  3011. . u2  u1  12 . u3  u 2  2 2 . … 2 un  un1   n  1 . un1  un  n 2 . Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được: un 1  1  12  22  …  n 2  , với mọi n   . Mặt khác, ta luôn có: 12  2 2  …  n 2  n  n  1 2n  1 6 nên suy ra: n  n  1 2n  1 , với mọi n   . 6 20.21.  2.20  1 Cho n  20 , ta được: u21  1   2871. 6 un1  1  Câu 12: (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa năm 2017-2018) Có bao nhiêu cấp số nhân có 5 số hạng? Biết rằng tổng 5 số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1024 . A. 1 . B. 2 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn C Gọi cấp số nhân thỏa yêu cầu bài toán có số hạng đầu u1 và công bội q . Theo giả thiết ta có u1.u1q.u1q 2 .u1q 3 .u1q 4  1024  u15 .q10  1024  u1q 2  4 1 .   Lại có u1  u1q  u1q 2  u1q 3  u1q 4  31  u1 1  q  q 2  q 3  q 4  31  2  . Giải hệ hai phương trình 1 và  2  ta được các nghiệm: q1  2 , q2  1 7  33 7  33 , q3  , q4  . 2 4 4 Vậy có 4 cấp số nhân thỏa yêu cầu bài toán. Câu 1: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Trong sân vận động có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều hơn dãy trước 4 ghế, hỏi sân vận động đó có tất cả bao nhiêu ghế? A. 2250 . B. 1740 . C. 4380 . D. 2190 . Lời giải Chọn C Gọi u1 , u2 ,…u30 lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai,… và dãy ghế số ba mươi. Ta có công thức truy hồi ta có un  un 1  4 ,  n  2,3,…,30  . Ký hiệu: S30  u1  u2  …  u30 , theo công thức tổng các số hạng của một cấp số cộng với u1  15 , d  4 ta được: 30  2u1   30  1 4   15  2.15  29.4   2190 . 2 Câu 2: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Cho hình vuông A1 B1C1 D1 có cạnh S30  bằng 1. Gọi Ak 1 , Bk 1 , Ck 1 , Dk 1 thứ tự là trung điểm các cạnh Ak Bk , Bk Ck , Ck Dk , Dk Ak (với k  1, 2, …). Chu vi của hình vuông A2018 B2018C2018 D2018 bằng A. 2 2 2018 B. . 2 1007 2 . C. 2 Lời giải : 2 2017 . D. 2 1006 2 . Chọn B Hình vuông có cạnh bằng a thì có chu vi là 4a . Hình vuông có các đỉnh là trung điểm của hình vuông ban đầu có cạnh bằng a 2 có chu vi là 2a 2 . 2 Đường chéo của hình vuông A1B1C1 D1 có độ dài bằng 2 nên cạnh của hình vuông A2 B2C2 D2 2 . 2 Đường chéo của hình vuông A2 B2C2 D2 có độ dài bằng 1 nên cạnh của hình vuông A3 B3C3 D3 có độ dài bằng có độ dài bằng 1 . 2 Đường chéo của hình vuông A3 B3C3 D3 có độ dài bằng A4 B4C4 D4 có độ dài bằng 1 2 2 . 2 nên cạnh của hình vuông 2 Cứ như thế độ dài các cạnh hình vuông tạo thành một cấp số nhân có u1  1 , công bội q  nên độ dài cạnh của hình vuông A2018 B2018C2018 D2018 là: u2008  1   2 đó là: 4u2018  4   2 2017  2 1007 2 2017 nên chu vi hình vuông . Câu 3: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số un  1 2  un  với 1 1 1 . Tính lim un .   …  1.3 3.5  2n  1 2n  1 A. 0 . B. 1 . 2 1 . 4 Lời giải D. 1. C. Chọn B * Cách 1: Ta có 1 1 1 1  suy ra     2n  1 2n  1 2  2n  1 2n  1  1 1 1 1      1.3 2  1 3  1 11 1    … 3.5 2  3 5  … 1 1 1 1 1 1  1 1 1  1 un    …      nên lim un  lim    . 1.3 3.5 2  1 2n  1  2  2n  1 2n  1 2  1 2n  1  * Cách 2: 1 2 3 n Ta có u1  ; u2  ; u3  . Ta chứng minh un  * bằng qui nạp 3 5 7 2n  1 + Với n  1 , công thức * đúng. + Giả sử công thức uk 1  đúng với n  k  1  uk  k . Ta cần chứng minh 2k  1 k 1 . Thật vậy, ta có 2  k  1  1 uk 1  uk    * k 1 2k 2  3k  1 1     2  k  1  1  2  k  1  1 2k  1  2k  1 2k  3  2k  1 2k  3  k  1 2k  1  k  1 . Vậy công thức u  n *  n 2n  1  2k  1 2k  3 2  k  1  1 Khi đó lim un  lim đúng với mọi n  * . n 1  . 2n  1 2 Câu 4: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện S . ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a và BC  a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC . A. 45 . B. 120 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn C Cách 1: Gọi M là trung điểm của BC . Ta có: BC 2  AB 2  AC 2 nên tam giác ABC vuông cân tại A . Và BC 2  SB 2  SC 2 nên tam giác SBC vuông cân tại S .  và SC  CD  a . Vẽ hình chữ nhật (cũng là hình vuông) ABDC   AB, SC  SCD   2 a 2 a 2 . AM  SM  MD  a     2  2  2  SAM vuông tại M . SM  BC   ABCD     SM   ABCD   SM  MD . SM  AM   ABCD   2 2  a 2   a 2  a2 a2  SD  SM  MD    SD  a .      2 2 2 2     2 2 2   60 . Suy ra tam giác SCD đều   AB, SC  SCD   Cách 2:     SC. SB  SA   SC. AB cos SC , AB       SC. AB SC. AB         SC.SA.cos  SC.SB.cos BSC ASC SC. AB   a.a.cos 90  a.a.cos 60 1  SC ; AB  120 .  a.a 2   Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và SC là 60 . Câu 5: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số  an  xác định bởi a1  2 , an 1  2an , n  1 , n   . Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số. A. 2050 . 3 B. 2046 . C. 682 . D. 2046 . Lời giải Chọn C Vì a1  2 .  q  2 an 1  2 suy ra  an  là một cấp số nhân với an Suy ra S10  a1 1  q10  1 q  682 . Câu 6: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho dãy số  un  xác định bởi u1   41 và 20 un1  21un  1 với mọi n  1. Tìm số hạng thứ 2018 của dãy số đã cho. 1 . 20 1  2.212017  . 20 1 . 20 1  2.212018  . 20 A. u2018  2.212018  B. u2018  2.212017  C. u2018 D. u2018 Lời giải Chọn C Ta có un 1  21un  1  un 1  1 1    21 un   . 20 20   1 , ta có vn1  21vn . 20 41 1 là một CSN với v1     2 và công bội q  21 . 20 20 Đặt vn  un  Do đó  vn  Do đó số hạng tổng quát của dãy  vn  là vn  v1.q n 1  2.21n 1  un  2.21n 1  Khi đó u2018  2.212017  1 . 20 1 . 20 Câu 7: (SGD Bắc Ninh năm 2017-2018) Cho hình vuông  C1  có cạnh bằng a . Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông  C2  (Hình vẽ). Từ hình vuông  C2  lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông C1 , C2 , C3 ,., Cn … Gọi Si là diện tích của hình vuông Ci  i  1, 2,3,….. . Đặt T  S1  S2  S3  …Sn  … . Biết T  32 , tính a ? 3 A. 2 . B. 5 . 2 2. C. D. 2 2 . Lời giải Chọn A 2 2 a 10 3  1  Cạnh của hình vuông  C2  là: a2   a    a   . Do đó diện tích 4 4  4  5 5 S 2  a 2  S1 . 8 8 2 Cạnh của hình vuông  C3  2 2  10  a 10 3  1  là: a3   a2    a2   2  a   . Do đó diện tích 4 4  4   4  2 5 5 S3    a 2  S2 . Lý luận tương tự ta có các S1 , S2 , S3 ,…Sn … . tạo thành một dãy cấp số 8 8 5 nhân lùi vô hạn có u1  S1 và công bội q  . 8 2 8a 32 S . Với T  ta có a 2  4  a  2 . T 1  3 3 1 q Câu 8: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần 1 năm 2017-2018) Cho hai cấp số cộng  an  : a1  4 ; a2  7 ;…; a100 và  bn  : b1  1 ; b2  6 ;…; b100 . Hỏi có bao nhiêu số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên. A. 32 . B. 20 . C. 33 . D. 53 . Lời giải Chọn B Cấp số cộng  an  : a1  4 ; a2  7 ;…; a100 có số hạng tổng quát: an  4   n  1 3  3n  1 . Cấp số cộng  bn  : b1  1 ; b2  6 ;…; b100 có số hạng tổng quát: bm  1   m  1 5  5m  4 . Các số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên thỏa mãn hệ: 3n  5  m  1 3n  1  5m  4    1  n  100 . 1  n  100 1  m  100 1  m  100   Vì 3n  5  m  1 nên n 5 và m  1 3 với m 1  0 Ta lại có n  100  3n  300  5  m  1  300  m  61 . Có m  1 3  m  3t  1 , t  *. Vì 1  m  61  1  3t  1  61  0  t  20 . Vì t  *  t  1; 2;3;…; 20 . Vậy có 20 số hạng có mặt đồng thời ở hai dãy số trên. Câu 9: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần 3 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  un  biết u5  18 và 4 S n S 2 n . Tìm số hạng đầu tiên u1 và công sai d của cấp số cộng. A. u1  2 ; d  4 . B. u1  2 ; d  3 . C. u1  2 ; d  2 . D. u1  3 ; d  2 . Lời giải Chọn A Ta có: u5  18  u1  4d  18 1 .  n  n  1 d   2n  2n  1 d  4 S n S 2 n  4  nu1     2nu1    4u1  2nd  2d  2u1  2nd  d 2 2      2u1  d  0  2  . Từ 1 và  2  suy ra u1  2 ; d  4 . Câu 10: (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  un  biết u5  18 và 4 S n  S 2 n . Giá trị u1 và d là A. u1  2 , d  3 . B. u1  3 , d  2 . C. u1  2 , d  2 . D. u1  2 , d  4 . Lời giải Chọn D Ta có u5  18  u1  4d  18 . 5.4  10.9  Lại có 4S5  S10  4  5u1  d   10u1  d  2u1  d  0 . 2  2  u  4d  18 u1  2 Khi đó ta có hệ phương trình  1 .  d  4 2u1  d  0 Câu 11: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Giả sử sin  , cos  , tan  theo thứ tự đó là một 6 cấp số nhân. Tính cos 2 . A. 3 . 2 B.  3 . 2 1 . 2 Hướng dẫn giải 1 D.  . 2 C. Chọn D Điều kiện: cos   0     2 k   .  k Theo tính chất của cấp số nhân, ta có: cos 2   sin 2  sin  . .tan   6 cos 2   6 cos   6 cos3   sin 2   0  6 cos3   cos 2   1  0  cos   1 . 2 2 1 1 Ta có: cos 2  2 cos 2   1  2.    1   . 2  2 Câu 12: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho bốn số a, b , c, d theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân với công bội khác 1 . Biết tổng ba số hạng đầu bằng 148 , đồng thời 9 theo thứ tự đó chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng. Tính giá trị biểu thức T  a  b  c  d . A. T  101 . 27 B. T  100 . 27 C. T   100 . 27 D. T   101 . 27 Lời giải Chọn C   ac  b 2  Ta có bd  c 2   a  b  c  148 9  1  2 .  3 Và cấp số cộng có u1  a , u4  b , u8  c . Gọi x là công sai của cấp số cộng. Vì cấp số nhân có công bội khác 1 nên x  0 . b  a  3x Ta có :   4 . c  a  7 x 2 Từ 1 và  4  ta được : a  a  7 x    a  3 x   ax  9 x 2  0 . Do x  0 nên a  9 x . Từ  3 và  4  , suy ra 3a  10 x  148 . 9  16 b  3  a  4 64    Do đó :  . c  4 9 x    9 256  d  27  100 Vậy T  a  b  c  d  . 27 Câu 13: (THPT Chuyên 2 Biên 3 Hòa-Hà S  1  2.2  3.2  4.2  ……..  2018 .2 A. S  2017.22018  1 . Nam-lần 1 năm 2017-2018) Tính tổng 2017 B. S  2017.22018 . C. S  2018.22018  1 . D. S  2019.22018  1 . Lời giải Chọn A Ta có A  1  2  22  23  …  2n  2n1  1 Xét 2 S  1.2  2.2 2  3.2 3  4.2 4  …  2017 .2 2017  2018 .2 2018 Và S  1  2.2  3.2 2  4.2 3  …  2017.2 2016  2018.2 2017 Suy ra S  2018.22018  1  2  22  23  …  22017   2018.22018   22018  1  2017.2 2018  1 . Câu 14: (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 2 , thứ 9 , thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 820 ? A. 20 . B. 42 . C. 21 . Lời giải D. 17 . Chọn A Gọi ba số đó là x , y , z . Do ba số là các số hạng thứ 2 , thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng nên ta có: x ; y  x  7 d ; z  x  42d (với d là công sai của cấp số cộng). Theo giả thiết, ta có: x  y  z  x  x  7d  x  42d  3 x  49d  217 . Mặt khác, do x , y , z là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên: d  0 2 y 2  xz   x  7 d   x  x  42d   d  4 x  7 d   0    4 x  7 d  0 217 217 2460 Với d  0 , ta có: x  y  z  . Suy ra n  820 :   . 3 3 217  4 x  7 d  0 x  7 Với 4 x  7 d  0 , ta có:  . Suy ra u1  7  4  3 .  3 x  49d  217 d  4  n  20  2u1   n  1 d  n  2.3  4  n  1 n   820  Do đó, S n  820   820    n   41 2 2  2 Vậy n  20 . Câu 15: (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi S M là trung điểm của SA (hình vẽ bên cạnh). Biết hai đường thẳng CM và SB hợp nhau một góc 45 , khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SB bằng bao nhiêu? M 1 . 5 1 C. . 3 A. 1 . 6 1 D. . 2 B. C A B Lời giải Chọn B S M H C A N B  Gọi N là trung điểm cạnh AB nên MN //SB .  CM , SB    CM , MN   CMN Ta có CN  AB , CN  SA suy ra CN   SAB  hay CN  NM CN  3   CN  MN  a 3 , AM  MN 2  AN 2  , tan CMN MN 2 2 d  CM , SB   d  SB,  CMN    d  B,  CMN    d  A,  CMN   Kẻ AH  MN suy ra d  A,  CMN    AH 3 1 2   4 4 2 1 1 1 1 6 .     4  2  AH  2 2 2 2 6 AH AN AM AH THI THỬ – THPT MỘ ĐỨC 2 – QUẢNG NGÃI GV giải: Đặng Thanh Quang – CÂU 38 – 39 Câu 16: (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số  un  xác định bởi n n . Mệnh đề nào dưới đây đúng?  2018cos 2 3  un , n   . B. un15  un , n   . C. un12  un , n   . D. un 6  un , n   . un  2017 sin A. un9 Lời giải Chọn C Ta có un 12  2017 sin  n  12   2  2018cos  n  12   3 n n  n   n   2018cos  un .  2017 sin   6   2018cos   4   2017 sin 2 3  2   3  Câu 17: (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Cho hai cấp số cộng  xn  : 4 , 7 , 10 ,… và  yn  : 1, 6 , 11,…. Hỏi trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số có bao nhiêu số hạng chung? A. 404 . B. 673 . C. 403 . D. 672 . Lời giải Chọn C Số hạng tổng quát của cấp số cộng  xn  là: xn  4   n  1 .3  3n  1 . Số hạng tổng quát của cấp số cộng  yn  là: ym  1   m  1 .5  5m  4 . Giả sử k là 1 số hạng chung của hai cấp số cộng trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số. Vì k là 1 số hạng của cấp số cộng  xn  nên k  3i  1 với 1  i  2018 và i  * . Vì k là 1 số hạng của cấp số cộng  yn  nên k  5 j  4 với 1  j  2018 và j  * . Do đó 3i  1  5 j  4  3i  5 j  5  i  5  i  5;10;15;…; 2015  có 403 số hạng chung. Câu 1: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Ông Trung vay ngân hàng 800 triệu đồng theo hình thức trả góp hàng tháng trong 60 tháng. Lãi suất ngân hàng cố định 0, 5 /tháng. Mỗi tháng ông Trung phải trả (lần đầu tiên phải trả là 1 tháng sau khi vay) số tiền gốc là số tiền vay ban đầu chia cho 60 và số tiền lãi sinh ra từ số tiền gốc còn nợ ngân hàng. Tổng số tiền lãi mà ông Trung phải trả trong toàn bộ quá trình trả nợ là bao nhiêu? A. 118.000.000 đồng. B. 126.066.666 đồng. C. 122.000.000 đồng. D. 135.500.000 đồng. Lời giải Chọn C Gọi số tiền gốc ban đầu là N và phần trăm lãi là r . Tháng thứ nhất ông Trung phải trả số tiền lãi là N .r . 59 Tháng thứ hai ông Trung phải trả số tiền lãi là N .r . 60 58 Tháng thứ ba ông Trung phải trả số tiền lãi là N .r . 60 .. 1 Tháng thứ sáu mươi ông Trung phải trả số tiền lãi là N .r . 60 Tổng số tiền lãi mà ông Trung phải trả trong suốt quá trình lãi là N .r   60.  60  1  1  59 58 1  59 58 .N .r  .N .r  …  .N .r  1    …   N .r  1   N .r 2.60  60 60 60 60   60 60  61 .800.0,5%  122.000.000 . 2 Vậy tổng số tiền lãi mà ông Trung phải trả trong toàn bộ quá trình trả nợ là 122.000.000 đồng.  Câu 2: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Tính diện tích S D của hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y  1 ln x , trục hoành Ox và các đường x  ; x  2 ? e x 1 1  ln 2  . 2 1 1 C. SD  ln 2 2  . 2 2 1 1  ln 2 2  .  2 1 D. SD  1  ln 2 2  . 2 A. SD  B. SD  Lời giải Chọn B Diện tích hình phẳng cần tìm là 2 SD   1 e 1 1 2 ln x ln x ln x dx   dx   dx x x x 1 1 e 2 ln x ln x  ln x    dx   dx   x 2 1 x 1 e 2 1 1 e  ln x   2 2 2 2 1 1  ln 2   1  ln 2 2 .   2 2 2  1  Câu 3: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Trong hội chợ tết Mậu Tuất 2018 , một công ty sữa muốn xếp 900 hộp sữa theo số lượng 1, 3 , 5 , … từ trên xuống dưới (số hộp sữa trên mỗi hàng xếp từ trên xuống là các số lẻ liên tiếp – mô hình như hình bên). Hàng dưới cùng có bao nhiêu hộp sữa? A. 59. B. 30. C. 61. Lời giải D. 57. Chọn A Cách 1: p dụng công thức tính tổng n số hạng liên tiếp của CSC: n n S n   2u1   n  1 d   900   2.1   n  1 .2   n 2  900  n  30. 2 2 Vậy u30  1  29* 2  59. Cách 2: Áp dụng công thức 1  3  5  …..   2n  1  n 2 , suy ra n  30. Vậy 2n  1  59. Câu 4: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Cho dãy số  un  xác định bởi: u1  u n 1 u u .un . Tổng S  u1  2  3  …  10 bằng 3n 2 3 10 3280 29524 25942 A. . B. . C. . 6561 59049 59049 Lời giải Chọn B u n 1 1 un 1 u 1 Theo đề ta có: un 1  mà u1  hay 1  .un  n 1  3n n 1 3 n 3 1 3 và un 1  2 2 3 D. 1 . 243 10 u u 1 1 1 u 1 1 1 1 Nên ta có 2  .    ; 3  .      ; … ; 10    . 2 3 3 3 3 3  3 3 10  3  1 1 u  Hay dãy  n  là một cấp số nhân có số hạng đầu u1  , công bội q  . 3 3  n Khi đó S  u1  u u2 u3 310  1 59048 29524   …  10    . 2.310 2 3 10 2.310 59049 Câu 5: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để  m 2 x 2 khi x  2 hàm số f  x    liên tục trên  ? 1  m  x khi x  2 A. 0 . B. 2 . C. 3 . Lời giải Chọn B Ta có hàm số luôn liên tục x  2 . Tại x  2 , ta có lim f  x   lim 1  m  x  1  m  2 ; x2 lim f  x   lim  m x 2 x  2 x2 x 2 2   4m 2 ; f  2   4m 2 . Hàm số liên tục tại x  2 khi và chỉ khi D. 4 . 1 3 lim f  x   lim f  x   f  2   4m2  1  m  2  4m2  2m  2  0 1 x  2 x 2 Phương trình (1) luôn có hai nghiệm thực phân biệt. Vậy có hai giá trị của m . Câu 6: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Giá trị của tổng 4  44  444  …  44…4 (tổng đó có 2018 số hạng) bằng A. 40 2018 10  1  2018 . 9 B.  4  102019  10  2018  .  9 9  C.  4  102019  10  2018  .  9 9  D. 4 102018  1 . 9 Lời giải Chọn B Cách 1: Đặt S  4  44  444  …  44…4 (tổng đó có 2018 số hạng). Ta có: 9 S  9  99  999  …  99…9  10  1  102  1  103  1  … 102018  1 4 9 Suy ra: S  10  102  103  …  102018   2018  A  2018 . 4 Với A  10  10 2  103  …  102018 là tổng 2018 số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu u1  10 , công bội q  10 nên ta có A  u1 Do đó 1  102018 102019  10 1  q 2018 .  10  9 9 1 q  4  102019  10 9 102019  10  2018  . S  2018  S   9 9 4 9  u1  4 u1  4  Cách 2: Xét dãy số có   4 4  un 1  10un  4 un 1  9  10  un  9     40  4 v1  Đặt vn  un     v  n  là cấp số nhân. 9 9 vn1  10vn 4 v 4 2018.4 Ta có: S n  u1  u2  …….  u2018  v1   v2  …  v2018   v1  v2  …  v2018  9 9 9 9 Trong đó Sv 2018 Vậy tổng là S  2018 1  qn 1  102018 40 40. 10  1  .v1  .  1 q 1  10 9 81  40 2018 4 4  102019  10 10  1  .2018    2018  .  81 9 9 9  Câu 7: (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  un  u2  u3  u5  10  . Tính S  u1  u4  u7  …  u2011 u4  u6  26 A. S  2023736 . B. S  2023563 . C. S  6730444 . Lời giải D. S  6734134 . Chọn A u2  u3  u5  10 u1  d  u1  2d  u1  4d  10 u1  3d  10 u  1 .    1  d  3 u4  u6  26 u1  3d  u1  5d  26 2u1  8d  26 thỏa u4  10 , u7  19 , u10  28 … Ta có u1 , u4 , u7 , u10 , …, u2011 S u1  1  là cấp số cộng có d  9 n  671  671  2.1  670.9   2023736 . 2  un  Câu 8: Cho dãy số thỏa mãn un  un 1  6 , n  2 và log 2 u5  log 2 u9  8  11 . Đặt S n  u1  u2  …  un . Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn S n  20172018 . A. 2587 . B. 2590 . C. 2593 . D. 2584 . Câu 9: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho dãy số  un  thỏa mãn un  un 1  6 , n  2 và log 2 u5  log 2 u9  8  11 . Đặt Sn  u1  u2  …  un . Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn S n  20172018 . A. 2587 . B. 2590 . C. 2593 . Lời giải D. 2584 . Chọn C Ta có dãy số  un  là cấp số cộng có công sai d  6 . log 2 u5  log 2 u9  8  11  log 2 u5  u9  8   11 * với u5  0 . Mặt khác u5  u1  4d  u1  24 và u9  u1  8d  u1  48 . u1  8  u5  32 Thay vào * ta được  . Suy ra u1  8 . u1  88  u5  64 n S n  20172018   2u1   n  1 d   20172018  3n 2  5n  20172018  0 . 2 Vậy số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn S n  20172018 là n  2593 . Câu 10: (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và có diện tích S1 . Nối 4 trung điểm A1 , B1 , C1 , D1 theo thứ tự của 4 cạnh AB , BC , CD , DA ta được hình vuông thứ hai có diện tích S2 . Tiếp tục làm như thế, ta được hình vuông thứ ba là A2 B2C2 D2 có diện tích S3 , …và cứ tiếp tục làm như thế, ta tính được các hình vuông lần lượt có diện tích S4 , S5 ,…, S100 (tham khảo hình bên). Tính tổng S  S1  S2  S3  …  S100 . A. S  a 2  2100  1 Chọn B 2100 . B. S  a 2  2100  1 299 a2 . C. S  100 . 2 Lời giải D. S  a 2  299  1 298 . Ta có S1  a 2 ; S 2  1 2 1 a ; S3  a 2 ,… 2 4 Do đó S1 , S2 , S3 ,…, S100 là cấp số nhân với số hạng đầu u1  S1  a 2 và công bội q  Suy ra S  S1  S2  S3  …  S100 1 . 2 2 100 1  q n a  2  1  .  S1. 299 1 q u1  1 Câu 11: (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018) Cho dãy số  un  xác định bởi  . 3 * un 1  un  n , n   Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho A. n  2017 . B. n  2019 . un  1  2039190 . C. n  2020 . Lời giải D. n  2018 . Chọn C u1  1  3 u2  u1  1 3  Ta có u3  u2  23  un  1  13  23  …   n  1 ……………..  un 1  un  n3   n  n  1  Ta lại có 1  2  …   n  1  1  2  3  …  n  1    2   3 3 3 2 2 2  n  n  1  Suy ra un  1    2   Theo giả thiết ta có n  n  1  n  2020 mà n là số un  1  2039190   2039190  n  n  1  4078380   2  n  2019 nguyên dương nhỏ nhất nên n  2020 . Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v1  t   2t  m/s  . Đi được 12 giây, người lái xe gặp chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a  12  m/s 2  . Tính quãng đường s  m  đi được của ôtô từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi dừng hẳn? A. s  168  m  . B. s  166  m  . C. s  144  m  . D. s  152  m  . Lời giải Chọn A Giai đoạn 1: Xe bắt đầu chuyển động đến khi gặp chướng ngại vật. Quãng đường xe đi được là: 12 12 S1   v1  t  dt   2tdt  t 2 0 12 0  144  m  . 0 Giai đoạn 2: Xe gặp chướng ngại vật đến khi dừng hẳn. Ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v2  t    adt  12t  c . Vận tốc của xe khi gặp chướng ngại vật là: v2  0   v1 12   2.12  24  m/s  .  12.0  c  24  c  24  v2  t   12t  24 . Thời gian khi xe gặp chướng ngại vật đến khi xe dừng hẳn là nghiệm phương trình: 12t  24  0  t  2 . Khi đó, quãng đường xe đi được là: 2 2 2 S 2   v2  t  dt    12t  24  dt   6t 2  24t   24  m  . 0 0 0 Vậy tổng quãng đường xe đi được là: S  S1  S2  168  m  . Câu 2: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Có hai cơ sở khoan giếng A và B. Cơ sở A giá mét khoan đầu tiên là 8000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 (đồng) so với giá của mét khoan ngay trước đó. Cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 6000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước đó. Một công ty giống cây trồng muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần lượt là 20  m  và 25  m  để phục vụ sản xuất. Giả thiết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau. Công ty ấy nên chọn cơ sở nào để tiết kiệm chi phí nhất? A. luôn chọn A. B. luôn chọn B. C. giếng 20  m  chọn A còn giếng 25  m  chọn B. D. giếng 20  m  chọn B còn giếng 25  m  chọn B. Lời giải Chọn D Cơ sở A giá mét khoan đầu tiên là 8000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 (đồng) so với giá của mét khoan ngay trước đó. Do đó theo tổng của một cấp số cộng ta có: 20 + Nếu đào giếng 20  m  hết số tiền là: S 20   2.8000   20  1 500   255000 (đồng). 2  25  2.8000   25  1 500  350000 (đồng). + Nếu đào giếng 25  m  hết số tiền là: S 25  2  Cơ sở B giá của mét khoan đầu tiên là 6000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước đó. Do đó theo tổng của một cấp số nhân ta có:   6000 + Nếu đào giếng 20  m  hết số tiền là: S20   6000 + Nếu đào giếng 25  m  hết số tiền là: S25 1  1,07  20  245973 (đồng). 1  1, 07 1  1, 07  25 1  1, 07  379494 (đồng).   S20 , S25   S25 nên giếng 20  m  chọn B còn giếng 25  m  chọn A. Ta thấy S20 Câu 3: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho f  x   10 lim x 1 x 1  5 . Giới hạn lim x 1 A. 1. f  x   10   4 f  x  9  3 x 1 B. 2 .  bằng C. 10 . D. 5 . 3 Lời giải Chọn A f  x   10 x 1 x 1  5  x  1 hay f  x    5x  5 lim  5 nên f  x   10  x 1 x 1 Do đó lim x 1 f  x   10   x 1 5  lim x 1   4 f  x  9  3    lim x 1 5 x  5  10   x 1 4 5x  5  9  3   lim x 1 5  x  1  x  1    x 1 20 x  29  3  x 1 20 x  29  3   1. Cách 2: Giả sử: f  x   10   x  1 g  x  . f  x   10  x  1 g  x   lim g x  5 .  lim   x  1 x 1 x 1 x 1 Ta có: lim x 1 Vậy lim x 1 f  x   10   lim x 1  x 1 4 f  x  9  3 g  x    x  1 g  x    lim x 1   x  1 x 1 4  x  1 g  x   10   9  3    x 1 4  x  1 g  x   10   9  3 5 1  1 4  0.5  10   9  3  1. Câu 4: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho dãy số  un  bởi công thức truy hồi sau  u1  0 ; u218 nhận giá trị nào sau đây?  un 1  un  n; n  1 A. 23653 . Chọn A B. 46872 . C. 23871 . Lời giải D. 23436 . Đặt vn  un 1  un  n , suy ra  vn  là một câp số cộng với số hạng đầu v1  u2  u1  1 và công sai d  1 . Xét tổng S217  v1  v2  …  v217 . Ta có S 217  v1  v2  …  v217  217.  v1  v217  2  217. 1  217  2  23653 . Mà vn  un 1  un suy ra S 217  v1  v2  …  v217   u2  u1    u3  u2   …   u218  u217   u218  u1  u218  S217  u1  23653 . Câu 5: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – năm 2017-2018) Cho dãy số  an  thỏa mãn a1  1 và an  10an 1  1 , n  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của n để log an  100 . A. 100 . B. 101 . C. 102 . D. 103 . Hướng dẫn giải Chọn C an  10an1  1  an  1 1   10  an 1   (1) . 9 9  1 1 8 Đặt bn  an   b1  a1   . Từ (1)  bn  10bn1 , n  2 9 9 9 8 Dãy  bn  là cấp số nhân với công bội là q  10 . Nên bn  b1.q n1  .10n 1 . 9 Do đó an  bn  1 8 n 1 1  10  , n  1, 2,… . 9 9 9 8 1 Ta có log an  100  a n  10100  10n 1   10100 . 9 9 Vậy giá trị nhỏ nhất của n để log an  100 là n  102 . Câu 6: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh – năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  un  có các số hạng đều dương, số hạng đầu u1  1 và tổng của 100 số hạng đầu tiên bằng 14950 . Tính giá trị của tổng S A. u2 1 1 1 .   …  u1  u1 u2 u3 u2  u2 u3 u2018 u2017  u2017 u2018 1 1  1  . 3 6052  B. 1  1 . C. 2018 . 6052 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi d là công sai của cấp số cộng. Khi đó: S100  100u1  100.99 d  100  4950d  14950  d  3 . 2 Do đó u2018  u1  2017d  6052 . D. 1 . Ta có: uk 1 1 1 1 u  uk 1  1 1   . k 1  .  d d  uk uk  uk uk 1 uk . uk 1 uk 1 uk . uk 1 . uk  uk 1    .   Do đó: S 1  1 1  1  1 1  1  1 1 .   .     …  .        d  u1 d  u2017 u 2  d  u2 u3  u2018  1  1 1    .  d  u u2018   1     1 1   1  . 3 6052  Câu 7: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An – năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  un  có tất cả các số hạng đều dương thoả mãn u1  u2  …  u2018  4  u1  u2  …  u1009  . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  log 32 u2  log 32 u5  log 32 u14 bằng A. 3 . B. 1. C. 2 . Lời giải D. 4 . Chọn C 2018 1009  2u1  2017d  , S1009   2u1  1008d  2 2 2018 1009 u1  u2  …  u2018  4  u1  u2  …  u1009    2u1  2017d   4.  2u1  1008d  2 2 d  2u1  2017d  2  2u1  1008d   u1  . 2 d 3d 5d Dãy số  un  : , , , … 2 2 2 3d 9d 27d Ta có P  log32 u2  log32 u5  log32 u14  log 32  log32  log 32 2 2 2 Ta có S 2018  2 2 2 d  d  d d   1  log 3    2  log 3    3  log 3  . Đặt log 3  x thì 2  2  2 2  2 2 2 2 P  1  x    2  x    3  x   3x 2  12 x  14  3  x  2   2  2 . Dấu bằng xảy ra khi x  2  d  2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2. 9 Câu 8: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  CBD  bằng A. a 3 . 3 B. a 3 . 2 C. a 2 . 2 D. 2a 3 . 3 Câu 9: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  CBD  bằng A. a 3 . 3 B. a 3 . 2 C. a 2 . 2 Hướng dẫn giải Chọn D D. 2a 3 . 3 C B D A I C’ H B’ O’ A’ D’ Gọi I  AC   CO ta có I  AC    CBD  . Gọi H là hình chiếu của C  lên CO . Khi đó CC .C O d  C ;  CBD    C H  CC 2  C O2  a 3 . 3 Mặt khác, ta có AI  2C I nên d  A;  CBD    2d  C ;  CBD   2a 3 . 3 Câu 10: Người ta trồng 3003 cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây, …, cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Số hàng cây được trồng là A. 77 . B. 79 . C. 76 . D. 78 . Câu 11: Người ta trồng 3003 cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây, …, cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Số hàng cây được trồng là A. 77 . B. 79 . C. 76 . D. 78 . Lời giải Chọn A Gọi số cây ở hàng thứ n là un . Ta có: u1  1 , u2  2 , u3  3 , … và S  u1  u2  u3  …  un  3003 . Nhận xét dãy số  un  là cấp số cộng có u1  1 , công sai d  1 . n  2u1   n  1 d  Khi đó S    3003 . 2 Suy ra n  2.1   n  11 2  n  77  3003  n  n  1  6006  n 2  n  6006  0    n  77  n  78 (vì n   ). Vậy số hàng cây được trồng là 77 . Câu 12: Trong tủ đồ chơi của bạn An có 5 con thú bông gồm: vịt, chó, mèo, gấu, voi. Bạn An muốn lấy ra một số thú bông. Xác suất để trong những con thú bông An lấy ra không có con vịt. A. 16 . 31 B. 1 . 2 C. 15 . 32 D. 15 . 31 Câu 13: Trong tủ đồ chơi của bạn An có 5 con thú bông gồm: vịt, chó, mèo, gấu, voi. Bạn An muốn lấy ra một số thú bông. Xác suất để trong những con thú bông An lấy ra không có con vịt. A. 16 . 31 B. 1 . 2 C. 15 . 32 D. 15 . 31 Lời giải Chọn D Trường hợp 1: Bạn An chỉ lấy 1 con thú bông  có 5 cách. Trường hợp 2: Bạn An lấy 2 con thú bông  có C52 cách. Trường hợp 3: Bạn An lấy 3 con thú bông  có C53 cách. Trường hợp 4: Bạn An lấy 4 con thú bông  có C54 cách. Trường hợp 5: Bạn An lấy cả 5 con thú bông  có C55 cách. Do đó, số phần tử của không gian mẫu là n     5  C52  C53  C54  C55  31 . Gọi A là biến cố: “trong những con thú bông An lấy ra không có con vịt” Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n  A   4  C42  C43  C44  15 Vậy xác suất cần tìm là P  A   n  A  15  . n    31 Câu 14: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 81m . Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước. Tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa bằng A. 234 . B. 567 . C. 162 . D. 405 . Câu 15: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 81m . Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước. Tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa bằng A. 234 . B. 567 . C. 162 . D. 405 . Lời giải Chọn D Gọi ri là khoảng cách lần rơi thứ i n 1 2 2 Ta có r1  81 , r2  .81 ,…, rn    .81 ,… 3 3 Suy ra tổng các khoảng cách rơi của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần rơi thứ n bằng n 2 1   3 81.   . 2 1 3 Gọi ti là khoảng cách lần nảy thứ i n 1 2 2 2 2 2 Ta có t1  .81 , t2    . 81 ,…, tn    .81 ,… 3 3 3 3 3 Suy ra tổng các khoảng cách nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến đến lần nảy thứ n bằng  2 1   2 3 .81.   2 3 1 3 n1 . Vậy tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy n n1  2 2  1     1   2 3 3 nữa bằng S  lim  81.    .81.     405 . 2 2   3 1 1  3 3   Câu 16: Cho dãy  un  : u1  e3 , un 1  un2 , k  * thỏa mãn u1.u2 …uk  e765 . Giá trị của k là: A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 9 . Câu 17: Cho dãy  un  : u1  e3 , un 1  un2 , k  * thỏa mãn u1.u2 …uk  e765 . Giá trị của k là: A. 6 . B. 7 . C. 8 . Hướng dẫn giải D. 9 . Chọn C Ta có un  evn , với vn  3.2n1 , n  * . 2k  1  3  2k  1 . 2 1 v1  v2 … vk . u1.u2 …uk  e v1  v2  …  vk  3. Suy ra 3  2k  1  765  2k  1  255  2k  256  k  8 . Câu 18: Cho dãy số  un  có u1  uk 52018  1 .  4.52018 k 1 k A. n  2019 . 1 n 1 và un 1  un , n  1 . Tìm tất cả giá trị n để 5 5n n S  Câu 19: Cho dãy số  un  có u1  uk 52018  1 .  4.52018 k 1 k A. n  2019 . B. n  2018 . C. n  2020 . D. n  2017 . 1 n 1 và un 1  un , n  1 . Tìm tất cả giá trị n để 5 5n n S  B. n  2018 . C. n  2020 . Lời giải D. n  2017 . Chọn B Ta có un 1  Đặt vn  u n 1 1 u un  n 1   n . 5n n 1 5 n un 1 1 , n  1 . Suy ra  vn  là cấp số nhận có công bội q  và v1  . n 5 5 n 1 1   n n uk 1  qn 1 1 5n  1 5 Ta có S     vk  v1       n  Tn . 1 q 5 1 1 4 5 k 1 k k 1 5 Do vn  0 , n  1 nên  Tn  là dãy tăng. Suy ra Tn  52018  1  T2018  n  2018 . 4.52018 Câu 20: Xét các số thực dương a , b sao cho 25 , 2a , 3b là cấp số cộng và 2 , a  2 , b  3 là cấp số nhân. Khi đó a 2  b 2  3ab bằng : A. 59 . B. 89 . C. 31 . D. 76 . Câu 21: Xét các số thực dương a , b sao cho 25 , 2a , 3b là cấp số cộng và 2 , a  2 , b  3 là cấp số nhân. Khi đó a 2  b 2  3ab bằng : A. 59 . B. 89 . C. 31 . Lời giải D. 76 . Chọn A Vì 25 , 2a , 3b là cấp số cộng nên 25  3b  4a  3b  9  4a  16 . 2 Vì 2 , a  2 , b  3 là cấp số nhân nên 2  b  3   a  2  . Suy ra 2  4a  16   3  a  2 2 2  2  4a  16   3  a  2   3a 2  4a  20  0 Vì a  0 nên a  2 suy ra b  11 . Vậy a 2  b 2  3ab  4  121  66  59 Câu 22: Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC . Ta xây dựng dãy các tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,… sao cho A1B1C1 là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n  2 , tam giác An BnCn là tam giác trung bình của tam giác An 1 Bn 1Cn1 . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu Sn tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác An Bn Cn . Tính tổng S  S1  S2  …  Sn  … ? 15 9 B. S  4 . C. S  D. S  5 . . . 4 2 Câu 23: Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC . Ta xây dựng dãy các tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,… sao A. S  cho A1B1C1 là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n  2 , tam giác An BnCn là tam giác trung bình của tam giác An 1 Bn 1Cn1 . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu Sn tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác An Bn Cn . Tính tổng S  S1  S2  …  Sn  … ? A. S  15 . 4 B. S  4 . C. S  9 . 2 D. S  5 . Lời giải Chọn B 2 2 2   3 3  3 1  3 3  3 1 3 Ta có S1   .  3.  .S1 ; S3   .  .  .S2   3 ; S 2   .  .     4 4  3  2 3   4 3  16 4 Ta có S1 , S2 , S3 , …, Sn tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là S1  3 và công bội q  1 4 S1 3   4 . 1 q 1 1 4 Câu 24: Bạn An chơi trò chơi xếp các que diêm thành tháp theo qui tắc thể hiện như hình vẽ. Để xếp được tháp có 10 tầng thì bạn An cần đúng bao nhiêu que diêm? Suy ra S  S1  S2  …  Sn  …  A. 210 . B. 39 . C. 100 . D. 270 . Câu 25: Bạn An chơi trò chơi xếp các que diêm thành tháp theo qui tắc thể hiện như hình vẽ. Để xếp được tháp có 10 tầng thì bạn An cần đúng bao nhiêu que diêm? A. 210 . B. 39 . C. 100 . Lời giải D. 270 . Chọn A Số que ở 1 tầng là u1  3 . Tổng số que ở 2 tầng là u1  u2  3  7 . Tổng số que ở 3 tầng là u1  u2  u3  3  7  11 . . Ta có cấp số cộng u1  3 , d  4 , tính S10 ? Để cần có 10 tầng cần tổng S10  10  2.3  9.4   210 que. 2 Câu 26: Cho a  b  c là ba số nguyên. Biết a , b , c theo thứ tự tạo thành một cấp số cộng và a , c , b theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân. Tìm giá trị nhỏ nhất của c . A. 2 . B. 2 . C. 1 . D. 4 . Câu 27: Cho a  b  c là ba số nguyên. Biết a , b , c theo thứ tự tạo thành một cấp số cộng và a , c , b theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân. Tìm giá trị nhỏ nhất của c . A. 2 . B. 2 . C. 1 . D. 4 . Lời giải Chọn B c  a  L   2b  a  c Ta có  2 . Suy ra: 2c 2  a  a  c   2c 2  ac  a 2  0   . c   a  b  a   c c  ab  0  2 4 2 a  0 Suy ra a , b trái dấu với c   . c  0 Do a , b , c nguyên nên c chia hết cho 2 . Do đó c nhỏ nhất bằng 2 khi đó a  4 , b  1 (thỏa mãn). Câu 28: Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác cân tại   120 , AB  BB  a . Gọi I là trung điểm của CC  . Tính A , BAC B C cosin của góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABI  . A. 70 . 10 B. 5 . 5 A B I C A C. 30 . 10 15 . 5 D. Câu 29: Cho dãy số  un  thỏa mãn u1  2 và un 1  2  un với mọi n  1 . Tìm u2018 . A. u2018  2 cos  2 2017 . B. u2018  2 cos  2 2019 . C. u2018  2 cos  2 2018 . D. u2018  2 .   120 , Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác cân tại A , BAC AB  BB  a . Gọi I là trung điểm của CC  . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABI  . B C I A B C A A. 70 . 10 B. 5 . 5 30 . 10 C. 15 . 5 D. Lời giải Chọn C Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ và độ dài đơn vị trên các trục là a ta có: BC  a 3 , OA   3      3 3  1  nên A  0; ;0  , B  ;0;1 , C   ;0;0  , C    ; 0;1 ,   2   2   2   2   3 1 I   ;0;  2  2 z B’ C’ A’ x I B O C A y   3 1   AB   ;  ;1 // 2   2   3 1 1 1 3; 1; 2 ; AI    ;  ;  =  3; 1;1 . 2 2 2  2   Mặt phẳng  ABC  có véc tơ pháp tuyến là n1  k   0; 0;1 .    Mặt phẳng  ABI  có véc tơ pháp tuyến là n2   AB; AI   1; 3 3; 2 3 .       a 2   n1.n2 30 .  cos   ABC  ;  ABI       10 n1 . n2 Cách 2: Dùng công thức hình chiếu: cos   ABC  ;  ABI    S ABC . S ABI Câu 31: Cho dãy số  un  thỏa mãn u1  2 và un 1  2  un với mọi n  1 . Tìm u2018 . A. u2018  2 cos  2 2017 . B. u2018  2 cos  2 2019 . C. u2018  2 cos  2 2018 . D. u2018  2 . Lời giải Chọn B Ta có: u1  2  2 cos  4  2 cos u2  2  2  2 cos  8  22 .  2 cos  23 .  Dự đoán: un  2 cos . 2n 1 Chứng minh theo quy nạp ta có. u1  2 cos  4  2 , công thức 1 đúng với n  1 . Giả sử công thức 1 đúng với n  k , k  1  ta có uk  2 cos 2k 1 . Ta có: uk 1  2  uk  2  2 cos (vì 0    2 k 1         2 1  cos k 1   4 cos 2  k  2   2 cos k  2 2  2  2   với mọi k  1 ). 2 2 Công thức 1 đúng với n  k  1 . k 2  Vậy un  2 cos  2 n 1 , n  N . Suy ra u2018  2 cos  22019 .    1 Câu 32: Cho dãy  xn  thỏa lim xn   . Tính giới hạn lim  xn  cos  1  xn     A. Không tồn tại. B. 1 . C. 0 .    1 Câu 33: Cho dãy  xn  thỏa lim xn   . Tính giới hạn lim  xn  cos  1  xn     A. Không tồn tại. B. 1 . C. 0 . Lời giải Chọn C  1    1 lim  xn  cos  1   lim  xn   1    xn D. 1 . D. 1 .  1    sin 2    2  2 xn  2 1   0.1  0 .  2sin    lim .  2 xn   xn  1  2        2 xn   Câu 1: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng đi qua đường chéo BD . Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu được. A. 6 . 2 B. 6 . 4 2. C. D. 6 . 3 Lời giải Chọn A A B D I C M A O N H D K C B Gọi O là tâm của hình lập phương. Vì các mặt bên của hình lập phương là các mặt phẳng song song nên mặt phẳng qua đường chéo BD cắt các mặt bên theo các giao tuyến song song. Thiết diện là hình bình hành BMDN . Ta có S BMDN  2 S BMD  BD.MH . Có BD  3 nên diện tích đạt GTNN khi và chỉ khi MH nhỏ nhất. Do AA và BD chéo nhau nên MH là đoạn vuông góc chung của AA và BD hay MH  OI  Vậy S BMD ‘ N  2 S BMD ‘  BD.MH  3. 2 . 2 2 6  . 2 2 Câu 2: (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Trong dịp hội trại hè 2017, bạn Anh thả một quả bóng cao su từ độ cao 6  m  so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng quãng đường quả bóng đã bay (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa) khoảng: A. 44  m  . B. 45  m  . C. 42  m  . D. 43  m  . Lời giải Chọn C Ta có quãng đường bóng bay bằng tổng quảng đường bóng nảy lên và quãng đường bóng rơi xuống. 3 Vì mỗi lần bóng nảy lên bằng lần nảy trước nên ta có tổng quãng đường bóng nảy lên là 4 2 3 n 3 3 3 3 S1  6.  6.    6.    …  6.    … 4 4 4 4 3 9 3 Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1  6.  và công bội q  . Suy ra 4 2 4 9 S1  2  18 . 3 1 4 Tổng quãng đường bóng rơi xuống bằng khoảng cách độ cao ban đầu và tổng quãng đường n 2 3 3 3 bóng nảy lên nên là S 2  6  6.    6.    …  6.    … 4 4 4 Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1  6 và công bội q  3 . Suy ra 4 6  24 . 3 1 4 Vậy tổng quãng đường bóng bay là S  S1  S2  18  24  42 . S2  Câu 3: (THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số u1  2  * u  un  2  1 , n   . Tính u2018 . n 1  1  2  1 un  A. u2018  7  5 2 . B. u2018  2 .  C. u2018  7  5 2 . Chọn A Đặt tan   2 . Ta có tan tan   tan 1  tan  8  8 un  tan  2  1 . Suy ra un1  1  tan  8  8 .un  8  tan      .   8  . tan un   Bằng quy nạp, ta chứng minh được un  tan    n  1  . 8   Vậy u2018 thỏa mãn  Lời giải Có u2   un  2017    tan   tan 8    tan     75 2 .   tan      8  8  1  tan  .tan    8 D. u2018  7  2 . Câu 1: (THPT Triệu Sơn 1-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , AD ; H là giao điểm của CN và DM . Biết SH  3a và vuông góc với mặt đáy  ABCD  . Khoảng cách giữa hai đường thẳng MD và SC là A. 12a 15 . 61 B. a 61 . 61 12a 61 . 61 Lời giải C. D. 6a 61 . 61 Chọn C A D N H 2a M B C E Cách 1: Dựng đường thẳng d qua C và song song với DM . d  AB  E . Dựng HK  SC , K  SC . Ta có DMA  CDN (c.c.c )  Suy ra NCD ADM   CND   90     90  CHD   90  MD  CN tại H . Lại có NCD ADM  CND CE  CH Suy ra   CE   CSH   CE  HK . (1) CE  SH  HK  CE (1) Suy ta   HK   CSE   HK  CS d  DM , SC   d  DM ,  CSE    d  H ,  CSE    HK . Ta có NC  DC 2  DN 2  4a 2  a 2  a 5. S K K D A H M B E C DC 2 4a 2 4 5a   . NC a 5 5 Xét tam giác vuông NCD ta có HC  Suy ta HK  HS .HC 2 2  12 61 a. 61 HS  HC Cách 2: Dễ thấy CN  DM  CH  DM Tam giác ADM vuông tại A có: DM  AD 2  AM 2  a 5 2 CH  DM Ta có :   DM   SHC   SH  DM 1 4a S DCM  CH .DM  2a 2  CH  2 5 Trong SHC hạ HK  SC  d  DM , SC   HK Tam giác SHC vuông tại H có: 1 1 1 12a 61 .    HK  2 2 2 HK SH HC 61 Câu 2: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC . Ta xây dựng dãy các tam giác A1B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,… sao cho A1B1C1 là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n  2 , tam giác An BnCn là tam giác trung bình của tam giác An 1Bn 1Cn1 . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu Sn tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác An BnCn . Tính tổng S  S1  S2  …  Sn  … ? A. S  15 . 4 B. S  4 . C. S  9 . 2 D. S  5 . Lời giải Chọn B Vì dãy các tam giác A1B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,… là các tam giác đều nên bán kính đường tròn 3 . 3 Với n  1 thì tam giác đều A1B1C1 có cạnh bằng 3 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ngoại tiếp các tam giác bằng cạnh  2  3 3 A1 B1C1 có bán kính R1  3.  S1    3.  . 3  3  3 Với n  2 thì tam giác đều A2 B2C2 có cạnh bằng nên đường tròn ngoại tiếp tam giác 2 2  1 3 1 3 A2 B2C2 có bán kính R2  3. .  S2    3. .  . 2 3  2 3  3 Với n  3 thì tam giác đều A3 B3C3 có cạnh bằng nên đường tròn ngoại tiếp tam giác 4 2  1 3 1 3 A2 B2C2 có bán kính R3  3. .  S3    3. .  . 4 3  4 3  ………………. 1 Như vậy tam giác đều An BnCn có cạnh bằng 3.    2 n1 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác 2   1 n1 3  3  Sn    3.   .  . .  2 3  3  Khi đó ta được dãy S1 , S2 , …Sn … là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1  S1  3 1 và công bội q  . 4 u Do đó tổng S  S1  S2  …  Sn  …  1  4 . 1 q 1 An BnCn có bán kính Rn  3.   2 n 1 Câu 1: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số xác định bởi u1  1 , 1 n 1  * un 1   2un  2  ; n   . Khi đó u2018 bằng 3 n  3n  2  A. u2018  22016 1 .  2017 3 2019 B. u2018  2 2018 1 .  2017 3 2019 C. u2018  22017 1 .  2018 3 2019 D. u2018  22017 1 .  2018 3 2019 Lời giải Chọn A 1 n 1  1  3 2  2 1 2 1 Ta có: u n 1   2u n  2 .   .    2un    un  3 n  3n  2  3  n  2 n 1  3 n  2 3 n 1 1 2 1   un 1    un   1 n2 3 n 1  1 2 , từ 1 ta suy ra: vn 1  vn . n 1 3 1 1 2 là cấp số nhân với v1  u1   , công bội q  . 2 2 3 Đặt vn  un  Do đó  vn  Suy ra: vn  v1 .q Vậy u2018 n 1 1 2  .  2 3 1 2  .  2 3 2017  n 1 1 1 2  un   .  n 1 2  3  n 1 1 2  un  .   2 3 n 1  1 . n 1 22016 1 1 .  2017  2019 2019 3 Câu 2: ———-HẾT———-(THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số  un  được xác định bởi u1  2 ; un  2un1  3n  1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho là biểu thức có dạng a.2n  bn  c , với a , b , c là các số nguyên, n  2 ; n   . Khi đó tổng a  b  c có giá trị bằng A. 4 . B. 4 . C. 3 . D. 3 . Lời giải Chọn C Ta có un  2un1  3n  1  un  3n  5  2 un1  3  n  1  5 , với n  2 ; n   . Đặt vn  un  3n  5 , ta có vn  2vn1 với n  2 ; n   . Như vậy,  vn  là cấp số nhân với công bội q  2 và v1  10 , do đó vn  10.2 n1  5.2n . Do đó un  3n  5  5.2n , hay un  5.2n  3n  5 với n  2 ; n   . Suy ra a  5 , b  3 , c  5 . Nên a  b  c  5   3   5  3 . Câu 3: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số  un  như sau: un  A. n 1  n2  n4 1 . 4 , n  1 , 2 ,… Tính giới hạn lim  u1  u2  …  un  . x  B. 1. C. Lời giải Chọn C 1 . 2 D. 1 . 3 Ta có un  n 2 2 1  n   n2  n 1 1 1    2  2  2 n  n  1 n  n  1   n  n  1 n  n  1  2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  Ta có u1  u2  …  un   1         …  2  2  2  3 3 7 7 13 13 21 n  n 1 n  n 1  2 1 1  1 n n  1  2   2  n  n  1  2 n2  n  1 1 1 1 n 1. Suy ra lim  u1  u2  …  un   lim 1 1 2 1  2 2 n n Câu 4: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Trong năm đầu tiên đi làm, anh A được nhận lương là 10 triệu đồng mỗi tháng. Cứ hết một năm, anh A lại được tăng lương, mỗi tháng năm sau tăng 12% so với mỗi tháng năm trước. Mỗi khi lĩnh lương anh A đều cất đi phần lương tăng so với năm ngay trước để tiết kiệm mua ô tô. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì anh A mua được ô tô giá 500 triệu biết rằng anh A được gia đình hỗ trợ 32% giá trị chiếc xe? A. 11. B. 12. C. 13 . D. 10 . Lời giải Chọn C Số tiền anh A cần tiết kiệm là 500  500.0,12  340 (triệu). Gọi số tiền mà anh A nhận được ở mỗi tháng trong năm đầu tiên là u1  10 (triệu). Thì số tiền mà anh A nhận được ở mỗi tháng trong năm thứ hai là u2  u1. 1  0,12   u1.1,12 (triệu). Số tiền mà anh A nhận được ở mỗi tháng trong năm thứ ba là 2 2 u3  u1. 1  0,12   u1. 1,12  (triệu). … Số tiền mà anh A nhận được ở mỗi tháng trong năm thứ n là un  u1. 1  0,12  n 1  u1. 1,12  n 1 (triệu). Vậy số tiền mà anh A tiết kiệm được sau n năm là n 1 12.  u2  u1  u3  u2    un1  un 2  un  un 1   12.  un  u1   12. u1. 1,12   u1  .   23 23 n 1 n1 Cho 12. u1. 1,12   u1   340  1,12    n  log1,12  1  n  13 .   6 6 Vậy sau ít nhất 13 năm thì anh A sẽ tiết kiệm đủ tiền để mua ô tô. Câu 5: (THPT Kim Liên – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có AB  a . M là một điểm di động trên đoạn AB . Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng CM . Tính độ dài đoạn thẳng BH khi tam giác AHC có diện tích lớn nhất. A. a 3 . 3 B. a . 2 a C. Lời giải Chọn C  . 3 1 2  3  D. a   1 . 2   M A B H C B’ A’ C’ Ta có AA   ABC  nên AA  CM . Mặt khác AH  CM . Do đó CM   AAH  . Suy ra CM  AH . Vậy H còn là hình chiếu của A trên CM . Ta có S AHC  1 1 1 AC 2 a 2 . Dấu bằng xảy ra khi AH  HC , tức AH .HC  .  AH 2  HC 2    2 2 2 4 4 là khi  ACM  45 . Vậy tam giác AHC có diện tích lớn nhất khi M ở vị trí sao cho a 2    15 . và HCB ACM  45 . Khi đó HC  2  Trong tam giác HBC : BH 2  HC 2  BC 2  2 HC.BC.cos HCB     4  2 3 a2 a 3 1 a2 a 2 2 6 2   a  2. .a.   BH  . 2 2 4 4 2 Câu 6: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho dãy số  un  thỏa mãn ln  u12  u22  10   ln  2u1  6u2  và un  2  un  2un1  1 với mọi n  1. Giá trị nhỏ nhất của n để un  5050 bằng. A. 100 . B. 99 . C. 101 . Lời giải D. 102 . Chọn D Ta có: ln  u12  u22  10   ln  2u1  6u2   u12  u22  10  2u1  6u2 u  1 2 2 .   u1  1   u2  3  0   1 u2  3 Đặt vn  un1  un với n  1  v1  u2  u1  2 . Theo giả thiết: un  2  un  2un1  1  un 2  un 1  un1  un  1  vn 1  vn  1 , n  1 . Suy ra  vn  là cấp số cộng có công sai d  1  vn  v1   n  1 d  n  3 . Ta có: un 1  un 1  un  un  un 1  …  u3  u2  u2  u1  u1  S n  u1 .         vn vn1 v2 v1 n  n  1 n .  v1  vn   2 2 n  n  1  n  1 n  2   1 . Suy ra: un1   1  un  2 2  n  1 n  2   1  5050  n2  3n  10096  0  n  101,99 . Ta có: un  5050  2 Vậy số n nhỏ nhất thỏa yêu cầu là 102 . Với S n  v1  v2  …  vn 