Tổng ôn cực trị số phức – Phạm Minh Tuấn

Giới thiệu Tổng ôn cực trị số phức – Phạm Minh Tuấn

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Tổng ôn cực trị số phức – Phạm Minh Tuấn CHƯƠNG SỐ PHỨC.

Tổng ôn cực trị số phức – Phạm Minh Tuấn

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Tổng ôn cực trị số phức – Phạm Minh Tuấn

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Tổng ôn cực trị số phức – Phạm Minh Tuấn
TỔNG ÔN CỰC TRỊ SỐ PHỨC Sưu tầm và biên soạn: Phạm Minh Tuấn Wednesday, 21 April Luôn yêu để Sống, luôn sống để học Toán, luôn học toán để Yêu Contents CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC ………………………………………………………………………………………….. 1 1. MỘT SỐ VÍ DỤ MÌNH HỌA …………………………………………………………………………………………… 1 2. ĐỀ TỰ LUYỆN ………………………………………………………………………………………………………………….. 4 ĐỀ SỐ 1 ………………………………………………………………………………………………………………………………… 4  ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 1 ……………………………………………………………………………………… 7 ĐỀ SỐ 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………. 14  ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 2 ……………………………………………………………………………………. 16 ĐỀ SỐ 3 ………………………………………………………………………………………………………………………………. 22  ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 3 ……………………………………………………………………………………. 25 ĐỀ SỐ 4 ………………………………………………………………………………………………………………………………. 33  ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 4 ……………………………………………………………………………………. 35 ĐỀ SỐ 5 ………………………………………………………………………………………………………………………………. 44  ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 5 ……………………………………………………………………………………. 48 CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC 1. MỘT SỐ VÍ DỤ MÌNH HỌA Ví dụ 1: [THPT Nguyễn Khuyến] Xét số phức z thỏa mãn 2 z  1  3 z  i  2 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng? B. z  A. z  2 . 1 . 2 C. 1 3  z . 2 2 D. 3  z 2. 2 HƯỚNG DẪN GIẢI Cách 1. Chọn z  i . Cách 2.   2 2  2 z 1  3 z  i  2 z 1  z  i  z  i  2 z  1 z  i  z  i  2 i 1  z  i  2 2  z  i  2 2 . Dấu ”  ” xảy ra khi z  i  0 hay z  i  z  i  1. . PMT 1 Ví dụ 2: [THPT Kim Liên-HN – 2017] Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Tìm giá trị lớn nhất của z  1  i . A. 6 . B. 13  1 . C. 13  2 . D. 4 . HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt w  z  1  i . Ta có z  2  3i  1  z  2  3i  1  z  2  3i  1  z  1  i  3  2i  1 .  w  3  2i  1 .   Ta có: 1  w  3  2i  w  3  2i  w  1  13 .  Max z  1  i  1  13 . [THPT Hùng Vương-PT ] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1   1  i  z . Đặt Ví dụ 3: m  z , tìm giá trị lớn nhất của m . A. 1. B. 2. C. 2  1. D. 2 1. HƯỚNG DẪN GIẢI y M2 I 1 O x x . Đặt z  x  iy với x, y  . Ta có z  1   1  i  z  z  1  1  i . z .    x  1  y 2  2 x 2  y 2 2   x2  y 2  2x  1  0 .  tập các điểm biểu diễn z là đường tròn tâm I  1; 0  và bán kính R  2 . PMT 2  Max z  OM2  OI  R  1  2 . Ví dụ 4: [THPT chuyên Phan Bội Châu] Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1  i là. A. 4 . B. 13  1 . C. 13  2 . D. 6 . HƯỚNG DẪN GIẢI M2 I M1 H . Gọi z  x  yi ta có z  2  3i  x  yi  2  3i  x  2   y  3  i .  Theo giả thiết x  2    y  3 2 2  1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm I  2; 3  bán kính R  1 . Ta có z  1  i  x  yi  1  i  x  1   1  y  i  Gọi M  x; y  và H  1;1 thì HM   x  1   y  1 2  x  1    y  1 2 2 . 2 . Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn.  x  2  3t , giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn: y  3  2 t  Phương trình HI :  9t 2  4t 2  1  t   1 13  3  13 nên M  2  ;3  2  3 2  ;3 ,M2 . 13  13 13   Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM  13  1 . Ví dụ 5: [TT Hiếu Học Minh Châu] Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và w  z 2  z2 là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  1  i là. PMT 3 B. 2 2 . A. 2 2 . C. 8 . D. 2. HƯỚNG DẪN GIẢI 1 2  z  . Gọi z  a  bi , b  0 . w z Cách 1. Xét z  0 suy ra Suy ra Vì 1 2  2a   2   z    2 2  a   b  2 2  1 i . w z a b   a b  b  0 2   1  0   2 2 . 2 a b  a  b  2  1  w nên b  2 Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy là đường tròn  C  : x 2  y 2  2 . Xét điểm A  1;1 là điểm biểu diễn số phức z0  1  i suy ra P  MA  max P  OA  r  2 2 . Với r là bán kính đường tròn  C  : x 2  y 2  2 . Cách 2. w    z 1  w 2  z 2  z  z 2  z  2  0  *  .  *  là phương trình bậc hai với hệ 2 w 2z 1    . Vì z thỏa  *  nên z là nghiệm phương trình  *  . Gọi z1 , z2 là hai nghiệm w  số thực  của  *  suy ra z1 .z2  2  z1 .z2  2  z1 z2  2  z  2 . Suy ra P  z  1  i  z  1  i  2  2  2 2 . Dấu bằng xảy ra khi z  1  i . 2. ĐỀ TỰ LUYỆN ĐỀ SỐ 1 THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT Câu 1: (Sở GD Cần Thơ-Đề 324-2018) Cho số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện 2 2 z  3  4i  5 và biểu thức M  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Môđun của số phức z  2  i bằng A. 5. B. 9 . C. 25 . D. 5 . PMT 4 Câu 2: Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  3 , z2  2 được biểu diễn trong mặt phẳng phức   lần lượt là các điểm M , N . Biết OM , ON  Câu 3: 6 B. 1 . 13 . A.  , tính giá trị của biểu thức C. 7 3 . 2 D. z1  z2 . z1  z2 1 13 .  a, b   . Biết tập là đường tròn  C  có tâm I  4; 3  và (THTT – Số 484 – Tháng 10 – 2017 – BTN) Cho số phức z  a  bi hợp các điểm A biểu diễn hình học số phức z bán kính R  3 . Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của F  4a  3b  1 . Tính giá trị M  m . A. M  m  63 . B. M  m  48 . C. M  m  50 . D. M  m  41 Câu 4: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Q Trị – HKII) Cho số phức z thỏa mãn z  1  4 . Tính z giá trị lớn nhất của z . A. 2  3 . Câu 5: C. 4  3 . B. 4  5 . D. 2  5 . (THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Q Trị – HKII) Gọi M và m là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức z thỏa mãn z  1  2 . Tính M  m . B. 2 . A. 3 . Câu 6: C. 4 . D. 5 . [THPT Hà Huy Tập – 2017] Cho số phức z thỏa mãn z  1  z  i . Tìm mô đun nhỏ nhất của số phức w  2z  2  i . A. Câu 7: 3 2 . 2 B. 3 . 2 C. 3 2 . D. 3 2 2 . [THPT TH Cao Nguyên – 2017] Cho các số phức z1  3i , z2  1  3i , z3  m  2i . Tập giá trị tham số m để số phức z3 có môđun nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho là.   D.    5 . B. ;  5  C.   5; 5  . 5;  Câu 8:  A.  5; 5 .   5;  . (Chuyên Quang Trung – Bình Phước) Cho số phức z thỏa mãn z  2i  z  4i và z  3  3i  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  2 là: PMT 5 13  1 . A. Câu 9: 10  1 . B. 13 . C. 10 . D. (Chuyên Quang Trung – Bình Phước) Trong tập hợp các số phức, gọi z1 , z2 là nghiệm của phương trình z 2  z  2017  0 , với z2 có thành phần ảo dương. Cho số phức z 4 thoả mãn z  z1  1 . Giá trị nhỏ nhất của P  z  z2 là 2016  1 . A. Câu 10: 2017  1 . 2 B. 2016  1 . 2 C. 2017  1 . D. (THPT Chuyên Hạ Long – Quảng Ninh) Cho các số phức z1  2  i , z2  2  i và số 2 phức z thay đổi thỏa mãn z  z1  z  z2 2  16 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức M2  m2 bằng A. 15 Câu 11: B. 7 C. 11 D. 8 (Chuyên KHTN – Lần 3) Cho số phức z thỏa mãn 2 z  3  4i  10 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Khi đó M  m bằng. A. 5 . Câu 12: B. 15 . (THPT Kinh Môn – Hải Dương) C. 10 . Cho hai số phức D. 20 . z1 , z2 thỏa mãn z1  5  5, z2  1  3i  z2  3  6i . Giá trị nhỏ nhất của z1  z2 là: A. Câu 13: 5 2 B. 7 2 C. 1 2 D. 3 2 (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 2) Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn 1  i  z  2  i  4 và M  x; y  là điểm biểu diễn cho z trong mặt phẳng phức. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  x  y  3 . A. 4  2 2 . Câu 14: B. 8 . C. 4 . D. 4 2 . (THPT Chuyên Quốc Học Huế – Lần 2) Cho số phức z  x  yi với x, y  thỏa mãn z  1  i  1 và z  3  3i  5 . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  2 y . Tính tỉ số A. 9 . 4 B. 7 . 2 M . m C. 5 . 4 D. 14 . 5 PMT 6 Câu 15: (Sở GD và ĐT Cần Thơ) Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  2 1  z bằng A. B. 6 5 . 5. D. 4 5 . C. 2 5 .  ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 1 CÂU 1: Lời giải Chọn D Đặt z  x  yi ,  x , y  2   z  3  4i  2  Ta có: M  z  2  z  i  x  2  4  x  3   2  y  4   23  20 Dấu ”  ” xảy ra khi chỉ khi  2 5   x  3   y  4   5 2 2 1 .  y 2  x2   y  1  4x  2 y  3 2  x  3   y  4  2 2  23  33 . x3 4  kết hợp với  1 suy ra y4 2  x  y  5  z  5  5i   x  1, y  3  z  1  3i Thử lại ta có Mmax  33  z  5  5i  z  2  i  5 . CÂU 2: Lời giải Chọn B Dựng hình bình hành OMPN trong mặt phẳng phức, khi đó biểu diễn của : PMT 7    z1  z2   z1  z2  OP     z1  z2   z1  z2  MN  z z z z  1 2  1 2  1. z1  z2 z1  z2 2 2 2 2   cos  30   1 z1  z2  2 z1 z2 cos 1500  1 z1  z2  2 z1 z2 0 CÂU 3: Lời giải Chọn B.      y  3  9 . Do điểm A nằm trên đường tròn  C  nên ta có  a  4    b  3   9 . Mặt khác F  4 a  3b  1  4  a  4   3  b  3   24  F  24  4  a  4   3  b  3  . Cách 1. Ta có phương trình đường tròn C : x  4 2 2 2 2          b  3   25.9  255 .  15  4  a  4   3  b  3   15  15  F  24  15  9  F  39 .  2 Ta có  4 a  4  3 b  3   4 2  32  a  4 2 2 Khi đó M  39 , m  9 . Vậy M  m  48 . Cách 2. Ta có F  4a  3b  1  a  F  1  3b 4 2  a  4    b  3   9   F  14 3b  4   b2  6b  9  9   2 2  25b  2  3F  3  b  F  225  0 2 2    3F  3  25F 2  5625 2   0  16F 2  18F  5625  0  9  F  39. CÂU 4: Lời giải Chọn D Ta có z  1 1 1  z   4  z   z  2 5. z z z CÂU 5: Lời giải Chọn C PMT 8 Gọi z  x  yi được biểu diễn bởi điểm M  x; y  . Khi đó OM  z . z 1  2   x  1 2  y 2  2   x  1  y2  4  1 . Chứng tỏ M thuộc đường 2 tròn  C  có phương trình  1 , tâm I  1; 0  , bán kính R  2 . Yêu cầu bài toán  M   C  sao cho OM lớn nhất, nhỏ nhất. Ta có OI  1 nên điểm O nằm trong đường tròn  R  OI  OM  OI  R  1  OM  3 . Do đó M  3 và m  1 . Vậy M  m  4 . CÂU 6: Lời giải Chọn A Giả sử z  a  bi  z  a  bi . Khi đó z  1  z  i  a  1  bi  a   b  1 i .   a  1  b2  a2   b  1  a  b  0 . 2 2 Khi đó w  2z  2  i  2  a  ai   2  i   2 a  2   i  a  1 . w  2 a  2    2 a  1 2 2  8a2  4a  5  3 2 . 2 CÂU 7: Lời giải Chọn A  Ta có: z1  3 , z2  10 , z3  m2  4 .  Để số phức z3 có môđun nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho thì m2  4  3   5  m  5 . CÂU 8: Lời giải Chọn C PMT 9 Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z ta có: z  2i  z  4i  x2   y  2   x2   y  4  2 2  y  3 ; z  3  3i  1  điểm M nằm trên đường tròn tâm I  3; 3  và bán kính bằng 1. Biểu thức P  z  2  AM trong đó A  2; 0  , theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất của P  z  2 đạt được khi M  4; 3  nên max P  4  2  3  0 2 2  13 . CÂU 9: Lời giải Chọn A Xét phương trình z 2  z  2017 0 4  1 2016 i  z1   2 2  Ta có:   2016  0  phương trình có hai nghiệm phức .  1 2016 i  z2    2 2 Khi đó: z1  z2  i 2016 z  z2   z  z1    z1  z2   z1  z2  z  z1  P  2016  1 . Vậy Pmin  2016  1 . CÂU 10: PMT 10 Lời giải Chọn D Giả sử z  x  yi  x , y  . Ta z  z1  z  z2  16  x  yi  2  i  x  yi  2  i  16 có: 2 2 2 2  x2   y  1  4 . 2 Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm số phức I  0; 1 bán kính R  2 . Do đó m  1 , M  3 . Vậy M2  m2  8 . CÂU 11: Lời giải Chọn C Đặt z  x  yi . 2 2 3  3 Ta có: 2 z  3  4i  10  z   2i  5   x     y  2   25 . 2 2  3 2  Tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa đề là đường tròn tâm I  ; 2  , bán kính R  5 .  PMT 11 m  IO  R  M  m  2R  10 .  M  IO  R Khi đó:  CÂU 12: Lời giải Chọn A Giả sử z1  a1  b1i  a1 , b1  , z 2  a2  b2 i  a2 , b2  . Ta có z1  5  5   a1  5  b12  25 . Do đó, tập hợp các điểm A biểu diễn cho số phức 2 z1 là đường tròn C  :  x  5   y 2  25 có tâm là điểm I  5; 0  và bán kính R  5 . 2 z2  1  3i  z2  3  6i   a2  1   b2  3   a2  3   b2  6  2 2 2 2  8a2  6b2  35  0 . Do đó tập hợp các điểm B biểu diễn cho số phức z2 là đường thẳng  : 8x  6 y  35  0 . Khi đó, ta có z1  z2  AB . Suy ra z1  z2 min  ABmin  d  I ;    R  Vậy giá trị nhỏ nhất của z1  z2 là 8.  5   6.0  35 82  62 5  5 .` 2 5 . 2 CÂU 13: Lời giải Chọn B Ta có  1  i  z  2  i  4  z  1 3  i  2 2 . Vậy quỹ tích điểm biểu diễn cho số 2 2  1 3  2 2 phức z là đường tròn  C  tâm I   ;  bán kính R  2 2 (1). x  y  3  T  0 (2). x  y  3  T  0 Biểu thức T  x  y  3 , với T  0 thì ta có  PMT 12 Khi đó điểm M là điểm thuộc đường tròn  C  và một trong hai đường thẳng trong (2). Điều kiện để một trong hai đường thẳng trên cắt đường tròn  C  là  4 T 2 2  0  T  8  2   0  T  8 . Vậy maxT  8 . T4 8  T  0   2 2  2 CÂU 14: y Lời giải Chọn B J 3 1 O I 1 3 x Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z . Từ giả thiết z  1  i  1 ta có A là các điểm nằm bên ngoài hình tròn  C1  có tâm I  1;1 bán kính R1  1 . Mặt khác z  3  3i  5 ta có A là các điểm nằm bên trong hình tròn  C 2  có tâm J  3; 3  bán kính R2  5 . Ta lại có: P  x  2 y  x  2 y  P  0    . Do đó để tồn tại x, y thì    và phần   gạch chéo phải có điểm chung tức là d J ;   5   9  P  5  4  P  14 . Suy ra m  4; M  14  9P 5  5 M 7  . m 2 CÂU 15: PMT 13 Lời giải Chọn C Gọi số phức z  x  yi , với x, y  . Theo giả thiết, ta có z  1  x 2  y 2  1 . Suy ra 1  x  1 . Khi đó, P  1  z  2 1  z  Suy ra P  1 2  x  1 2  y2  2  x  1 2  y 2  2x  2  2 2  2x .   2 2  2 x  2    2  2 x   hay P  2 5 , với mọi 1  x  1 . Vậy Pmax  2 5 khi 2 2x  2  2  2x  x   3 4 , y . 5 5 ——————————————————————————————————————————ĐỀ SỐ 2 THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT Câu 1: (THPT Chuyên Tiền Giang – Lần 1) Biết số phức z thỏa mãn z  3  4i  5 và biểu 2 2 thức T  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Tính z . A. z  33 . Câu 2: B. z  50 . C. z  10 . D. z  5 2 . (Đoàn Trí Dũng – Lần 7) Biết rằng z  1  2 . Tìm giá trị lớn nhất của module số phức w  z  2i ? A. Câu 3: 5 2 B. 5 2 C. 2 5 (THPT Quảng Xương 1 – Thanh Hóa) Cho số phức z thỏa mãn D. 2  5 z 1 1  . Tìm giá z  3i 2 trị lớn nhất của biểu thức P  z  i  2 z  4  7i . A. 8 . Câu 4: B. 10 . C. 2 5 . D. 4 5 . (Sở GD Bạc Liêu – HKII – 2018 Xét số phức z  a  bi  a , b  R , b  0  thỏa mãn z  1 . Tính P  2a  4b2 khi z 3  z  2 đạt giá trị lớn nhất . A. P  4 . B. P  2  2 . C. P  2 . D. P  2  2 . PMT 14 (THPT Quốc Oai – Hà Nội – HKII) Trong các số phức z thỏa mãn z  i  z  2  3i . Câu 5: Hãy tìm z có môđun nhỏ nhất. A. z  27 6  i. 5 5 B. z   6 27  i. 5 5 C. z   6 27  i. 5 5 D. z  3 6  i. 5 5 [TRẦN HƯNG ĐẠO – NB] Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  3i  z  2  i . Câu 6: Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? A. z  1  2i . B. z   1 2  i. 5 5 C. z  1 2  i. 5 5 D. z  1  2i . Câu 7: [LẠNG GIANG SỐ 1] Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất z . Khi đó M  m bằng A. 4  7. Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Đặt A  A. A  1 . Câu 9: B. 4  7. B. A  1 . C. 7. D. 4  5. 2z  i . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2  iz C. A  1 . D. A  1 . Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất Mmax và giá trị nhỏ nhất Mmin của biểu thức M  z 2  z  1  z 3  1 . Câu 10: A. Mmax  5; Mmin  1 . B. Mmax  5; Mmin  2 . C. Mmax  4; Mmin  1 . D. Mmax  4; Mmin  2 . Cho số phức z thỏa z  2 . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P zi . z 3 4 A. . Câu 11: C. 2 . D. 2 . 3 Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  3 1  z . A. 3 15 . Câu 12: B. 1. B. 6 5 . C. 20 . D. 2 20 . Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. PMT 15 A. Câu 13: 9  4 5.  C. 64 5 . D. 56 5 .  Cho số phức z thỏa mãn 1  i z  6  2i  10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. B. 3 5. A. 4 5 Câu 14: 11  4 5 . B. D. 3  5 C. 3. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  2i. A. Câu 15: 5 D. 3  2 C. 3 2 B. 3 5. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  1  i. B. 2 2. A. 4. C. 2. D. 2.  ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 2 CÂU 1: Lời giải Chọn D  Đặt z  x  yi , theo giả thiết z  3  4i  5  x  3 2 2 Ngoài ra T  z  2  z  i  4x  2 y  3  T  0 Rõ ràng  C  và    có điểm chung do đó 23  T 2 5    y  4 2 2  5 . C     đạt giá trị lớn nhất.  5  13  T  33 . Vì T đạt giá trị lớn nhất nên T  33 suy ra 4x  2 y  30  0  y  15  2x thay vào  C  ta được 5×2  50x  125  0  x  5  y  5 . Vậy z 5 2. CÂU 2: Lời giải Chọn D Quỹ tích M  z  là đường tròn tâm I  1, 0  bán kính R  2 . Còn w  z  2i  MA với A  0, 2  . Khi đó w max  IA  R  2  5 . PMT 16 CÂU 3: Lời giải Chọn B Gọi z  x  yi với x, y  z 1 1   2 z  1  z  3i  2  x  1  yi  x   y  3  i z  3i 2 phức z . Ta có:  2  x  1 , gọi M là điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số 2  y 2  x 2   y  3    x  2    y  3  20 . 2 2 2 Như vậy, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn  C  tâm I  2; 3  và bán kính R  2 5 . Gọi A  0; 1 , B  4; 7  lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1  i , z2  4  7 i . Dễ thấy A , B thuộc đường tròn  C  . Vì AB  4 5  2R nên AB là đường kính của đường tròn  C   MA2  MB2  AB2  20 . Từ đó: P  z  i  2 z  4  7i  z  i  2 z  4  7 i  MA  2 MB  1 2  22  MA 2   MB2  10 .   MA  2  MB  2 MA .  2 2   MA  MB  20  MB  4 Dấu ”  ” xảy ra khi  Vậy max P  10 . CÂU 4: Lời giải Chọn C 1 z Do b  0  1  a  1 z 1 z Ta có : z 3  z  2  z  2 2 1 2  2  z  z  2 z  2 bi   a  bi  z z  2 bi  a2  b2  2abi AB  2 6 PMT 17   = 2 b 2  4 ab 2  1  2 1  a 2  4a 1  a 2  1  2 4a3  a2  4a  2 Biểu thức trên đạt GTLN trên miền 1  a  1 khi a  3 1 (do b  0 )  b 2 2 Vậy P  2a  4b2  2 CÂU 5: Lời giải Chọn D  x , y    z  x  yi . x  yi  i  x  yi  2  3i  x   y  1 i   x  2    y  3  i Giả sử z  x  yi Ta có  x2   y  1   x  2    y  3 2 2 2  1  2y  13  4x  6y  4x  12  8 y  x  2y  3 . 2  6  9 9 Do đó z  x  y   2 y  3   y  5 y  12 y  9   y 5     . 5 5 5  2 2 2 2 Dấu ”  ” xảy ra  y   2 2 6 3 3 6 , khi đó x   z   i . 5 5 5 5 CÂU 6: Lời giải Chọn C Phương pháp tự luận Giả sử z  x  yi  x , y   z  3i  z  2  i  x   y  3 i   x  2    y  1 i  x2   y  3    x  2    y  1 2 2 2  6 y  9  4x  4  2 y  1  4 x  8 y  4  0  x  2 y  1  0  x  2 y  1 2  2 1 5 z  x  y   2 y  1  y  5 y  4 y  1  5  y     5 5 5  2 Suy ra z Vậy z  2 2 min  2 2 5 2 1 khi y    x  5 5 5 1 2  i. 5 5 Phương pháp trắc nghiệm Giả sử z  x  yi  x, y   PMT 18 z  3i  z  2  i  x   y  3 i   x  2    y  1 i  x2   y  3    x  2    y  1 2 2 2  6 y  9  4x  4  2 y  1  4x  8 y  4  0  x  2 y  1  0 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z  3i  z  2  i là đường thẳng d : x  2 y  1  0 . Phương án A: z  1  2i có điểm biểu diễn  1;  2   d nên loại A. Phương án B: z   1 2  i có điểm biểu diễn 5 5  1 2   5 ; 5   d nên loại B.   Phương án D: z  1  2i có điểm biểu diễn  1; 2   d nên loại B. Phương án C: z  1 2  5 ; 5 d   1 2  i có điểm biểu diễn 5 5 CÂU 7: Lời giải Chọn B Gọi z  x  yi với x; y  . Ta có 8  z  3  z  3  z  3  z  3  2 z  z  4 . Do đó M  max z  4 . Mà  x  3 z  3  z  3  8  x  3  yi  x  3  yi  8  2  y2   x  3 2  y2  8 . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 8  1.  x  3 2  y 2  1.   x  3  2  y2  1 2   2 2  12  x  3   y 2   x  3   y 2      8  2 2 x 2  2 y 2  18  2 2 x 2  2 y 2  18  64  x2  y 2  7  x2  y 2  7  z  7 . Do đó M  min z  7 . Vậy M  m  4  7 . CÂU 8: PMT 19 Lời giải Chọn A Đặt Có a  a  bi ,  a , b  a 2  b 2  1 (do z  1 ) 2 a   2 b  1 i 4 a 2   2 b  1 2z  i A   2 2  iz 2  b  ai  2  b   a2 Ta chứng minh 4a2   2b  1  2  b  a 4a   2b  1  2  b  a 2 2 Thật vậy ta có 2 2 2 1. 2 2  1  4 a 2   2 b  1   2  b   a 2  a 2  b 2  1 2 2 2 Dấu “=” xảy ra khi a2  b2  1 . Vậy A  1 . CÂU 9: Lời giải Chọn A 2 3 Ta có: M  z  z  1  z  1  5 , khi z  1  M  5  Mmax  5. Mặt khác: M  1  z3 1 z  1 z  3 1  z3 2  1  z3 2  1  z3  1  z3 2  1, khi z  1  M  1  Mmin  1 . CÂU 10: Lời giải Chọn A Ta có P  1  i 1 3 i 1 1  1  . Mặt khác: 1   1   . z | z| 2 z | z| 2 Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là 1 3 , xảy ra khi z  2i ; giá trị lớn nhất của P bằng xảy 2 2 ra khi z  2i. CÂU 11: Lời giải PMT 20 Chọn D Gọi z  x  yi ; x ;y  . Ta có: z  1  x2  y2  1  y2  1  x2  x    1;1 1  x   y  3 1  x   y  2 1  x   3 2 1  x  . 2 1  x   3 2 1  x  ; x    1;1  1;1 . Hàm số liên tục trên  2 Ta có: P  1  z  3 1  z    Xét hàm số f x    và với x   1;1 ta có: f  x     2 2 1 2 1  x   2 4  0  x     1;1 5 2 1  x  3  4  5 Ta có: f 1  2; f 1  6; f     2 20  Pmax  2 20 . CÂU 12: Lời giải Chọn A Gọi z  x  yi ; x ;y  . Ta có: z  1  2i  2   x  1   y  2   4. 2 2 Đặt x  1  2 sin t ; y  2  2 cos t ; t  0; 2  . Lúc đó: z  1  2sin t    2  2cos t   9   4sin t  8cos t   9  42  82 sin  t    ;   2 2 2  2  z  9  4 5 sin  t     z    9  4 5 ; 9  4 5     zmax  9  4 5 đạt được khi z  5  2 5 10  4 5  i. 5 5 CÂU 13: Lời giải Chọn B Gọi z  x  yi ; x ;y . Ta có:  1  i  z  6  2i  10   1  i  . z  2 2 6  2i  10  z  2  4i  5   x  2    y  4   5. 1 i Đặt x  2  5 sin t ; y  4  5 cos t ; t  0; 2  . Lúc đó: PMT 21 2     4  5 cos t   25   4  4 5    8 5  sin t    ;    z  2  5 sin t  25  2 2 2 5 sin t  8 5 cos t  2 2  z  25  20 sin  t     z   5; 3 5     zmax  3 5 đạt được khi z  3  6i . CÂU 14: Lời giải Chọn C Gọi z  x  yi ; x . ;y Ta có:  x  2    y  4   x   y  2   x  y  4  0  y  4  x.   y  2   x   6  x   2x  12x  36  2  x  3   18  18 2 z  2  4i  z  2i  2 Ta có: z  2i  x2 2 2 2 2 2 2 2 2  z  2i min  18  3 2 khi z  3  i. CÂU 15: Lời giải Chọn C  x  ; y    z  1  i   x  1   y  1 i . Ta có: z  1  2i  9   x  1   y  2   9 . Gọi z  x  yi ; 2 2 Đặt x  1  3 sin t ; y  2  3 cos t ; t  0; 2  .  z  1  i   3sin t    1  3cos t   10  6cos t  2  z  2i  4  z  1  i min  2 2 2 2 , khi z  1  i. ——————————————————————————————————————————ĐỀ SỐ 3 THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT Câu : Cho số phức z  m  i , m 1  m  m  2i  . Tìm môđun lớn nhất của z. PMT 22 A. 1. Câu 2: B. 0. C. 1 . 2 D.2. (Toán học tuổi trẻ tháng 1) Cho 2018 phức z thoả mãn z  3  4i  5 . Gọi M và 2 2 m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  2  z  i . Tính môđun của 2018 phức w  M  mi . A. w  1258 . C. w  2 314 . B. w  1258 . D. w  2 309 . Câu 3: (SGD BINH THUAN) Xét các số phức z1  3  4i và z2  2  mi ,  m  nhất của môđun số phức A. Câu 4. 2 . 5  . Giá trị nhỏ z2 bằng? z1 B. 2 . C. 3 . [SGD SOC TRANG] Cho số phức z  a  bi D.  a, b   1 . 5 thỏa z  4  z  4  10 và z  6 lớn nhất. Tính S  a  b . A. S  3 . Câu 5: C. S  5 . B. S  5 . D. S  11 . Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn (Sở GD Kiên Giang) z1  2  3i  2 và z2  1  2i  1 . Tìm giá trị lớn nhất của P  z1  z2 . A. P  3  34 . Câu 6: D. P  3 . C. P  6 . (SỞ GD-ĐT PHÚ THỌ) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng 2 số phức z thỏa z   m  1  i  8 và z  1  i  z  2  3i . B. 66 . A. 130 . Câu 7: B. P  3  10 . D. 131 . C. 65 . [NGUYỄN TRÃI] Cho số phức z thỏa mãn: z  2  2i  1 . Số phức z  i có môđun nhỏ nhất là: A. Câu 8: 5  1. [CHUYÊN B. LƯƠNG 5  1. THẾ C. VINH] Cho 5  2. số D. phức z z2  2z  5   z  1  2i  z  3i  1 . Tính min|w|, với w  z  2  2i . 5 2. thỏa mãn PMT 23 A. min| w | min| w| 3 . 2 B. min|w| 2 . C. min|w| 1 . D. 1 . 2 [CHUYÊN SƠN LA]Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z  1  2i  5 và Câu 9: w  z  1  i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng: B. 3 2 . A. 2 5 . C. D. 5 2 . 6. [CHU VĂN AN – HN] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2 . Tìm giá trị lớn Câu 10: nhất của T  z  i  z  2  i . A. max T  8 2 . Câu 11: B. max T  4 . C. max T  4 2 . D. max T  8 . (SGD Bà Rịa – Vũng Tàu)Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  5 . Gọi m , M lần 2 2 lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức P  z  i  z  2 . Tính A  m  M . B. A  2 . A. A  3 . Câu 12: D. A  10 . C. A  5 . (THPT Ninh Giang – Hải Dương) Cho các số phức z thỏa mãn z  3  z  i . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  z . A. Pmin  Pmin  Câu 13: 10 . 5 B. Pmin  3 . C. Pmin  2 10 . 5 D. 3 10 . 5 [CHUYÊN SƠN LA – 2017] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z  1  2i  5 và w  z  1  i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng: A. Câu 14: 6. B. 3 2 . C. 5 2 . D. 2 5 . [THPT THÁI PHIÊN HP – 2017] Trong tập hợp các số phức z thỏa mãn: z2i  2. Tìm môđun lớn nhất của số phức z  i . z 1 i A. 2  2 . B. 3  2 . C. 3  2 . D. 2  2 . PMT 24 Câu 15: [THPT Lý Thường Kiệt – 2017] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho điểm A  4; 4  và M là điểm biển diễn số phức z thoả mãn điều kiện z  1  z  2  i . Tìm toạ độ điểm M để đoạn thẳng AM nhỏ nhất. A. M  1;  1 . B. M  2;  4  . C. M  1; 5  . D. M  2; 8  .  ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 3 CÂU 1: Lời giải Chọn A Ta có: z m  i 1 m i  2  2 z  1  z max  1  z  i ; m  0 . 2 1  m  m  2i  m  1 m  1 m 1 CÂU 2: Lời giải Chọn B Giả sử z  a  bi ( a, b  ). z  3  4i  5   a  3   b  4   5 (1) . 2 2 2 2 2 2 P  z  2  z  i   a  2   b2  a2   b  1   4a  2b  3 (2) .   Từ (1) và (2) ta có 20 a 2   64  8 P  a  P 2  22 P  137  0 (*) . Phương trình (*) có nghiệm khi   4P2  184P  1716  0  13  P  33  w  1258 . CÂU 3: Lời giải Chọn A z2 2  mi  2  mi  3  4i  6  4m   3m  8  i 6  4m 3m  8 i      z1 3  4i  3  4i  3  4i  25 25 25 PMT 25 2 2 z z2  6  4 m   3m  8  36  48m  16m2  9m2  48m  64  2         z1 z1 252  25   25   z2 z2 m2  4 25m2  100 4 2      . 2 z1 z1 25 25 5 25 Hoặc dùng công thức: z z2  2 . z1 z1 CÂU 4: Lời giải Chọn C Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn số phức z  a  bi  a, b   , A  4; 0  , B  4; 0  , C  6; 0  lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1  4 , z2  4 , z3  6 . Khi đó ta có z  4  z  4  10  MA  MB  10 suy ra tập hợp điểm M là  E  nhận A , B là các tiêu điểm, độ dài trục lớn 2a  10  a  5 , tiêu cự 2c  8  c  4 , b  3   E : x2 y 2   1. 25 9 Ta tìm giá trị lớn nhất của z  6  MC , khi đó MCmax  EF  FC  11 , khi đó M  E với E  5; 0  , F  5; 0   z  5 . Vậy S  a  b  5 . CÂU 5: Lời giải Chọn A PMT 26 Gọi M  x1 ; y1  là điểm biều diễn số phức z1 , N  x2 ; y 2  là điểm biểu diễn số phức z2  Số phức z1 thỏa mãn z1  2  3i  2  x1  2  y 2 1  3  4 suy ra M  x1 ; y1  2 nằm trên đường tròn tâm I  2; 3  và bán kính R1  2 .    2 Số phức z2 thỏa mãn z2  1  2i  1  x2  1  y1  2  2  1 suy ra N  x2 ; y2  nằm trên đường tròn tâm J  1; 2  và bán kính R2  1 . Ta có z1  z2  MN đạt giá trị lớn nhất bằng R1  IJ  R2  2  34  1  3  34 . CÂU 6: Lời giải Chọn B Đặt z  x  iy  x, y   Ta có: z   m  1  i  2  tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  m  1; 1 , bán kính R  8 . Ta có: z  1  i  z  2  3i  tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng d : 2x  8 y  11  0 . Yêu cầu bài toán  khoảng cách từ I đến d nhỏ hơn R  2m  21  8 68  21 21  4 68  m   4 68 2 2 Vì m  nên 22  m  43  có 66 giá trị thỏa yêu cầu bài toán. PMT 27 CÂU 7: Lời giải Chọn A y I 1 M O Gọi z  x  yi , x, y  1 x . Ta có: z  2  2i  1  ( x  2)  ( y  2)i  1  ( x  2) 2  ( y  2) 2  1 . Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn của số phức z là đường tròn (C ) tâm I(2; 2) và bán kính R  1 . z  i  x 2   y  1  IM , với I  2; 2  là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên đường 2 tròn. Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm N  0;1  Oy , I  2; 2  với đường tròn (C). IMmin  IN  R  5  1 CÂU 8: Lời giải Chọn C Ta có z2  2z  5   z  1  2i  z  3i  1   z  1  2i  z  1  2i    z  1  2i  z  3i  1  z  1  2i  0 .    z  1  2i    z  3i  1 Trường hợp 1 : z  1  2i  0  w  1  w  1  1 . Trường hợp 2: z  1  2i  z  3i  1 Gọi z  a  bi (với a , b  ) khi đó ta được 2 2 1 a  1   b  2  i   a  1   b  3  i   b  2    b  3   b   . 2 PMT 28 Suy ra w  z  2  2i  a  2  3 i w  2 a  2 2  9 3  4 2 2 . Từ  1 ,  2  suy ra min|w| 1 . CÂU 9: Lời giải Chọn B Gọi z  x  yi  x, y   Ta có: z  1  2i  5   z  1  2 i   x  1   y  2  i  x  1   y  2  2 2  5   x  1   y  2   5 2 2 Suy ra tập hợp điểm M  x; y  biểu diễn số phức z thuộc đường tròn  C  tâm I  1; 2  bán kính R  5 như hình vẽ: Dễ thấy O   C  , N  1; 1   C  . Theo đề ta có: M  x; y    C  là điểm biểu diễn cho sốphức z thỏa mãn: w  z  1  i  x  yi  1  i   x  1   y  1 i  z 1 i   x  1   y  1  2 2  MN Suy ra z  1  i đạt giá trị lớn nhất  MN lớn nhất. PMT 29 Mà M , N   C  nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn  C  .  I là trung điểm MN  M  3; 3   z  3  3i  z  32   3   3 2 . 2 CÂU 10: Lời giải Chọn B T  z  i  z  2  i   z  1   1  i    z  1   1  i  . Đặt w  z  1 . Ta có w  1 và T  w   1  i   w   1  i  . 2 Đặt w  x  y.i . Khi đó w  2  x2  y 2 . T   x  1   y  1  i   x  1    y  1  i  1.   x  1    y  1 2 1 2  12 2  1.  x  1   y  1 2 2   x  1   y  1   x  1   y  1   2  2x 2 2 2 2 2   2y2  4  4 Vậy max T  4 . CÂU 11: Lời giải Chọn B. z  x  iy Đặt (x, y ) z  2  3i  5  x  iy  2  3i  5 thì   x  2    y  3  5 . 2 2 P  z  i  z  2  x  iy  i  x  iy  2  x2   y  1   x  2   y 2 2 2 2 2 2 2  4x  2 y  3 . Đặt x  2  5 sin t , y  3  5 cos t , t      .  P  4 2  5 sin t  2 3  5 cos t  3  4 5 sin t  2 5 cos t  1 .  P  1 2   4 5 sin t  2 5 cos t  2   80  20  .1  10  P  1  10  11  P  9 Vậy A  11  9  2 . CÂU 12: PMT 30 Lời giải Chọn C Gọi z  a  bi ,  a , b   Ta có: P  z  a2  b2 Mà z  3  z  i  Hay a  ib  3  a  ib  i   a  3   ib  a   b  1 i  a  3  2  b2  a2   b  1 2  b  4  3a Lúc đó P  z  a 2  b2  a 2   4  3a   10a 2  24a  16 2  24 144  8 2 10  10  x2  x    10 100  5 5  CÂU 13: Lời giải Chọn B Gọi z  x  yi  x, y   Ta có: z  1  2i  5   z  1  2 i   x  1   y  2  i .  x  1   y  2  2 2  5   x  1   y  2   5 . 2 2 PMT 31 Suy ra tập hợp điểm M  x; y  biểu diễn số phức z thuộc đường tròn  C  tâm I  1; 2  bán kính R  5 như hình vẽ. Dễ thấy O   C  , N  1; 1   C  . Theo đề ta có: M  x; y    C  là điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: w  z  1  i  x  yi  1  i   x  1   y  1 i  x  1   y  1  2  z 1 i  2  MN . Suy ra z  1  i đạt giá trị lớn nhất  MN lớn nhất. Mà M , N   C  nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn  C   I là     trung điểm MN  M 3; 3  z  3  3i  z  32  3 2 3 2. CÂU 14: Lời giải Chọn A Đặt z  x  yi , x, y  . z2i z2i  2  2   x  2    y  1 i  2  x  1   y  1 i . z  1 i z  1 i   x  2    y  1 2 2  2  x  1   y  1 2 2 . 2 2 2 2 2   x  2    y  1  2  x  1   y  1  .  x2   y  1  2 .     Suy ra y  1  2  2  y  1 2 .  Ta có: x2  y  1 2 2  2  x2   y  1  2  4 y 2    z  i  2  4y  2  4 1  2  6  4 2 .  z 1  6 4 2  2  2 . PMT 32 Vậy z  1  2  2 là môđun lớn nhất của số phức z  i . CÂU 15: Lời giải Chọn C Gọi z  x  yi ,  x , y  R  .   2  Ta có z  1  z  2  i  x  1  y 2  x  2    y  1 2 2  3x  y  2  0 . Tập hợp điểm M  x; y  biểu diễn số phức z là đường thẳng  d  : 3 x  y  2  0 . Để đoạn AM nhỏ nhất thì M là hình chiếu của A trên d . d qua A và vuông góc với d có phương trình x  3y  16  0 . Tọa độ M là nghiệm  x  3 y  16  0 x  1  . 3x  y  2  0 y  5 của hệ phương trình  Vậy M  1; 5  . ĐỀ SỐ 4 THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT Câu 1.   [Cụm 1 HCM – 2017] Cho số phức z thỏa điều kiện z 2  4  z z  2i . Giá trị nhỏ nhất của z  i bằng ? A. 3. Câu 2. B. 4. C. 1. D. 2. [SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH L2 – 2017] Gọi T là tập hợp tất cả các số phức z thõa mãn z  i  2 và z  1  4 . Gọi z1 , z2  T lần lượt là các số phức có mô đun nhỏ nhất và lớn nhất trong T . Khi đó z1  z2 bằng: A. 5 . Câu 3. B. 4  i . C. 5  i . D. 5  i . [THPT Chuyên Hà Tĩnh – 2017] Cho số phức z thỏa mãn z  3i  z  3i  10 . Gọi M1 , M2 lần lượt là điểm biểu diễn số phức z có môđun lớn nhất và nhỏ nhất. Gọi M là trung điểm của M1 M2 , M  a; b  biểu diễn số phức w , tổng a  b nhận giá trị nào sau đây? PMT 33 A. Câu 4. 7 . 2 B. 5 . C. 4 . D. 9 . 2 [Sở Hải Dương – 2017] Cho số phức z thỏa mãn z.z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  z3  3z  z  z  z . A. Câu 5: 15 . 4 B. 3 . C. 13 . 4 (Sở Quảng Bình – 2018)Cho các số phức z, D. w 3 . 4 thỏa mãn z  5, w   4  3i  z  1  2i . Giá trị nhỏ nhất của w là : A. 3 5 Câu 6: B. 4 5 C. 5 5 D. 6 5 (SGD VĨNH PHÚC – 2018) Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z2  4z  13  0 , với z1 có phần ảo dương. Biết số phức z thỏa mãn 2 z  z1  z  z2 , phần thực nhỏ nhất của z là B. 2 A. 6 Câu 7: C. 1 D. 9 [THPT Chuyên Thái Bình) Cho các số phức z , w thỏa mãn z  5  3i  3 , iw  4  2i  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  3iz  2 w . Câu 8: 554  5 578  5 554  13 (THPT THÁI PHIÊN-HẢI PHÒNG) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có A. B. 578  13 C. D. đúng hai số phức z thỏa mãn z   m  1  i  8 và z  1  i  z  2  3i . A. 131 . Câu 9. B. 63 . C. 66 . D. 130 . (Toán Học Tuổi Trẻ – Tháng 12 – 2017) Tìm giá trị lớn nhất của P  z 2  z  z 2  z  1 với z là số phức thỏa mãn z  1 . A. Câu 10. 3. B. 3 . C. 13 . 4 D. 5 . (TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH) Trong các số phức z thỏa mãn z 2  1  2 z gọi z1 và z2 lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Khi đó môđun của số phức w  z1  z2 là A. w  2 2 . B. w  2 . C. w  2 . D. w  1 2 . PMT 34 Câu 11. (THPT Lê Hồng Phong – Nam Định) Cho số phức z và w thỏa mãn z  w  3  4i và z  w  9 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  z  w . A. max T  176 . B. max T  14 . C. max T  4 . D. max T  106 . Câu 12:   m  max z , n  min z và số phức w  m  ni . Tính w A. 41009 . Câu 13:   (Chuyên Thái Bình) Cho số phức z thỏa mãn 1  i z  2  1  i z  2  4 2 . Gọi (THPT Thúc Hứa – D. 21009 . C. 61009 . B. 51009 . Đặng 2018 Nghệ An) Cho số phức z thỏa mãn 5 z  i  z  1  3i  3 z  1  i . Tìm giá trị lớn nhất M của z  2  3i ? A. M  Câu 14: 10 3 B. M  1  13 C. M  4 5 D. M  9 (THPT Chuyên Hà Tĩnh) Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  1 , số phức w thỏa mãn w  2  3i  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  w . A. Câu 15: 13  3 B. 17  3 C. 17  3 D. 13  3 [THPT Lê Hồng Phong-HCM] Cho số phức z thỏa z  1 . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P  z5  z 3  6z  2 z 4  1 . Tính M  m . A. m  4 , n  3 . B. m  4 , n  3 C. m  4 , n  4 . D. m 4, n  4 .  ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 4 CÂU 1: Lời giải Chọn C Giả sử z  x  yi  x , y  . z 2  4  z  z  2i   z 2   2i   z  z  2i    z  2i  z  2i   z  z  2i  2  z  2i  0   z  2i  z 1 .  2 PMT 35  1  z  2i . Suy ra z  i  2i  i  i  1 .  2   x  yi  2i  x  yi  x2   y  2   x2  y 2  x2  y 2  4 y  4  x2  y 2 2  y  1.   Suy ra z  i  x  yi  i  x 2  y  1 2  x 2  4  2 , x  . Vậy giá trị nhỏ nhất của z  i bằng 1 . CÂU 2: Lời giải Chọn C . Đặt z  x  yi khi đó ta có:  x 2   y  1 2  4  x   y  1 i  2  z  i  2     .  2  z  1  4   x  1  yi  4  x  1  y 2  16 Vậy T là phần mặt phẳng giữa hai đường tròn  C1  tâm I 1  0;1 bán kính r1  2 và đường tròn  C 2  tâm I 2  1; 0  bán kính r2  4 . Dựa vào hình vẽ ta thấy z1  0  i , z2  5 là hai số phức có điểm biểu diễn lần lượt là M1  0; 1 , M  5; 0  có mô-đun nhỏ nhất và lớn nhất. Do đó z1  z2  i   5   5  i . CÂU 3: Lời giải PMT 36 Chọn D . Gọi z  x  yi ,  x, y   . Theo giả thiết, ta có z  3i  z  3i  10 .  x   y  3  i  x   y  3  i  10 .  x 2   y  3   x 2   y  3   10 2 2   . Gọi E  x; y  , F1  0; 3  và F2  0; 3  . Khi đó    MF1  MF2  10  F1 F2  6 nên tập hợp các điểm E là đường elip  E  có hai tiêu điểm F1 và F2 . Và độ dài trục lớn bằng 10 . Ta có c  3 ; 2b  10  b  5 và a2  b2  c2  16 . Do đó, phương trình chính tắc của  E  là x2 y 2   1. 16 25 Vậy max z  OB  OB  5 khi z  5i có điểm biểu diễn là M1  0; 5  . và min z  OA  OA  4 khi z  4 có điểm biểu diễn là M 2  4; 0  .  Tọa độ trung điểm của M1 M2 là M  2;   Vậy a  b  2  5 . 2  5 9  . 2 2 CÂU 4: Lời giải PMT 37 Chọn D Gọi z  a  bi , với a , b  . 2 Ta có: z  z  2a ; z.z  1  z  1  z  1 .  3 2 Khi đó P  z  3 z  z  z  z  z  z  3   P  z . z 3 2 z2 z P  z  z  Vậy Pmin  2 z  zz . z   z  z  z 2  2 zz  z 2  1  z  z . 2 2  1 3 3  1  z  z  4a  1  2 a  4a  1  2 a   2 a     . 2 4 4  2 2 3 . 4 CÂU 5: Lời giải Chọn B   Theo giả thiết ta có w  4  3i z  1  2i  z  Mặt khác z  5  w  1  2i . 4  3i w  1  2i  5  w  1  2i  5 5 . 4  3i Vậy tập hợp điểm biễu diễn số phức w là đường tròn tâm I  1; 2  và bán kính 5 5 . Do đó min w  R  OI  4 5 . CÂU 6: Lời giải Chọn B Ta có z2  4z  13  0  z1  2  3i hoặc z2  2  3i . Gọi z  x  yi , với x, y  . PMT 38  x  2   y  3 2 Theo giả thiết, 2 z  z1  z  z2  2 2  x  2   y  3 2  2 2 2 2 2 2 2  4  x  2    y  3     x  2    y  3    x  2    y  5   16 .   Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là miền trong của hình tròn  C  có tâm I  2; 5  , bán kính R  4 , kể cả hình tròn đó. Do đó, phần thực nhỏ nhất của z là xmin  2 . CÂU 7: Lời giải Chọn D z  5  3i  3  3iz  15i  9  9 là đường tròn có tâm I  9;15  và R  9 . iw  4  2i  2  2w  8i  4  4 là đường tròn có tâm J  4; 8  và R  4 . T  3iz  2 w đạt giá trị lớn nhất khi T  IJ  R  R  554  13 . CÂU 8: Lời giải Chọn C – Đặt z  x  yi , với x , y  .       y  1  64 , do đó tập hợp các là đường tròn T  có tâm I  m  1; 1 , bán kính R  8 – Từ giả thiết z   m  1  i  8  x  m  1 điểm M biểu diễn số phức z 2 2 .    2    x  2     y  3 – Từ giả thiết z  1  i  z  2  3i  x  1  y  1 2 2 2 PMT 39  2x  8y  11  0 hay M nằm trên đường thẳng  : 2x  8 y  11  0 . – Yêu cầu bài toán   cắt T  tại 2 điểm phân biệt  d  I;   R  2  m  1  8  11 2 17  8  2m  21  16 17 21  16 17 21  16 17 , do m  nên m  22; 21;…; 42; 43 . m 2 2 Vậy có tất cả 66 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.  CÂU 9: Lời giải Chọn C Đặt z  a  bi  a , b   . Do z  1 nên a2  b2  1 . Sử dụng công thức: u.v  u v ta có: z 2  z  z z  1  z  1  z2  z  1   a  bi   a  bi  1  a2  b2  a  1   2ab  b  i  2  a  1 a 2 2  b 2  2  2a .   b2  a  1   2ab  b  2 2  a2 (2a  1)2  b2  2a  1  2a  1 (vì a2  b2  1 ). 2 Vậy P  2a  1  2  2a . TH1: a   1 . 2   Suy ra P  2a  1  2  2a  2  2a  2  2a  3  4  2  3  3 (vì 0  2  2a  2 ). TH2: a   1 . 2 2  1 1 13 Suy ra P  2a  1  2  2a    2  2a   2  2a  3    2  2a    3   . 2 4 4  Xảy ra khi a  7 . 16 CÂU 10: Lời giải Chọn A PMT 40 Đặt z  a  bi  a , b   thì z 2  1  2 z   a  bi   1  2 a  bi 2    2  a2  b2  1  2abi  2 a  bi  a2  b2  1  4a2 b2  4 a2  b2    2  a4  b4  1  2a2  6b2  2a2b2  0  a2  b2  1  4b2  0     a2  b2  1  2b a2  b2  1  2b  0  a 2  b 2  1  2b  0  2 2  a  b  1  2b  0   TH1: a2  b2  1  2b  0  a2  b  1 2  2. Khi đó tập hợp điểm M  a; b  biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I 1  0;1 , bán   kính R  2 , giao điểm của OI (trục tung) với đường tròn là M1 0; 2  1 và  M2 0;1  2 w      2  1 i  1  2 i  w  2i  w  2   TH2: a2  b2  1  2b  0  a2  b  1 2  2. Khi đó tập hợp điểm M  a; b  biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I 2  0; 1 ,   bán kính R  2 , giao điểm của OI (trục tung) với đường tròn là M3 0; 2  1 và    w   2  1 i   1  2  i  w  2i  w  2 . M4 0;  2  1 CÂU 11: Lời giải Chọn D Đặt z  x  yi  x , y   . Do z  w  3  4i nên w   3  x    4  y  i . PMT 41 Mặt khác z  w  9 nên zw   2x  3   2 y  4  2 2  4 x 2  4 y 2  12 x  16 y  25  9  2 x 2  2 y 2  6 x  8 y  28  1 . Suy ra T  z  w  x 2  y 2   3  x   4  y 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có T 2  2 2×2  2 y 2  6x  8 y  25 Dấu ”  ” xảy ra khi x2  y 2   3  x  4  y 2 2 2 .  2 . .  Từ  1 và  2  ta có T 2  2. 28  25   106  T  106 . Vậy MaxT  106 . CÂU 12: Lời giải Chọn C     Ta có 1  i z  2  1  i z  2  4 2  z  1  i  z  1  i  4 . Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z , F1  1;1 là điểm biểu diễn của số phức z1  1  i và F2  1;  1 là điểm biểu diễn của số phức z2  1  i . Khi đó ta có MF1  MF2  4 . Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip nhận F1 và F2 làm hai tiêu điểm. Ta có F1F2  2c  2c  2 2  c  2 . 2 2 Mặt khác 2a  4  a  2 suy ra b  a  c  4  2  2 . Do đó Elip có độ dài trục lớn là A1 A2  2a  4 , độ dài trục bé là B1 B2  2b  2 2 . Mặt khác O là trung điểm của AB nên m  max z  maxOM  OA1  a  2 và n  min z  minOM  OB1  b  2 . Do đó w  2  2i suy ra w  6  w 2018  61009 . CÂU 13: Lời giải Gọi A  0;1 , B  1; 3  , C  1; 1 . Ta thấy A là trung điểm của BC PMT 42 MB2  MC 2 BC 2 BC 2 2 2 2  MB  MC  2 MA   MA   2 MA2  10 .  2 2 4 2 Ta lại có : 5 z  i  z  1  3i  3 z  1  i  5 MA  MB  3 MC  10. MB2  MC 2    25MA2  10 2 MA2  10  MC  2 5 Mà z  2  3i   z  i    2  4i   z  i  2  4i  z  i  2 5  4 5 .  zi  2 5  Dấu ”  ” xảy ra khi  a b  1 , với z  a  bi ; a , b    2 4 .  z  2  3i  loai  .   z  2  5i CÂU 14: Lời giải Chọn B Gọi M  x; y  biểu diễn số phức z  x  iy thì M thuộc đường tròn  C1  có tâm I1  1;1 , bán kính R1  1 . N  x; y  biểu diễn số phức w  x  iy thì N thuộc đường tròn  C 2  có tâm I 2  2; 3  , bán kính R2  2 . Giá trị nhỏ nhất của z  w chính là giá trị nhỏ nhất của đoạn MN .   Ta có I1 I 2  1; 4  I1 I 2  17  R1  R2   C1  và  C 2  ở ngoài nhau.  MNmin  I1I 2  R1  R2  17  3 CÂU 15: Lời giải Chọn A Vì z  1 và z.z  z 2 nên ta có z  1 . z PMT 43 Từ đó, P  z5  z 3  6z  2 z 4  1  z z4  z 4  6  2 z 4  1  z4  z 4  6  2 z 4  1 . . Do z  1 nên z 4  x 2  y 2  1 và 1  x, y  1 . Đặt z 4  x  iy , với x, y  Khi đó P  x  iy  x  iy  6  2 x  iy  1  2 x  6  2  2x  6  2 2x  2     x  1 2  y2 2 2x  2  1  3 . Do đó P  3 . Lại có 1  x  1  0  2x  2  2  1  2x  2  1  1  P  4 . Vậy M  4 khi z4  1 và m  3 khi z 4   1 3  i . Suy ra M  m  1 . 2 2 ĐỀ SỐ 5 THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 PHÚT Câu 1: (THPT Hậu Lộc 2 – Thanh Hóa) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  1  i  2 và z2  iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức z1  z2 ? A. m  2  1 . B. m  2 2 . C. m  2 . m  2 2 2 Câu 2: (SGD Hà Nam – Năm) Xét các số phức     z  a  bi , 2 4 z  z  15i  i z  z  1 . Tính F  a  4b khi z  A. F  7 . Câu 3. B. F  6 . D.  a, b   thỏa mãn 1  3i đạt giá trị nhỏ nhất 2 C. F  5 . D. F  4 . (SỞ GD VÀ ĐT HƯNG YÊN NĂM 2018) Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M , M  . Số phức z  4  3i  và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N , N . Biết rằng M , M  , N , N là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z  4i  5 . A. Câu 4: 1 2 . B. 4 13 . C. 5 34 . D. 2 5 . 3 5 và 5 5w   2  i  z  4  . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  1  2i  z  5  2i bằng CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Cho các số phức w , z thỏa mãn w  i  PMT 44 A. 6 7 . Câu 5: B. 4  2 13 . D. 4 13 . C. 2 53 . (THPT Chuyên Quốc Học Huế) Cho z  x  yi với x , y  là số phức thỏa mãn điều kiện z  2  3i  z  i  2  5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  y 2  8 x  6 y . Tính M  m . Câu 6: 156  20 10 . 5 156 D. 60  2 10 .  20 10 . 5 (THPT HAU LOC 2_THANH HOA) Cho các số phức z , z1 , z2 thỏa mãn A. B. 60  20 10 . C. z1  4  5i  z2  1 và z  4i  z  8  4i . Tính M  z1  z2 khi P  z  z1  z  z2 đạt giá trị nhỏ nhất. A. Câu 7: 41 . C. 2 5 . B. 6 . [SGD NINH BINH] Xét các số phức z  a  bi ( a , b    ảo dương. Tính giá trị biểu thức S   5 a  b  2  2018 D. 8 . ) có môđun bằng 2 và phần khi biểu thức P  2  z  3 2  z đạt giá trị lớn nhất. A. S  1 . Câu 8: B. S  22018 . C. S  21009 . D. S  0 . (Sở GD Thanh Hoá) Cho số phức z thỏa mãn  z  2  i  1   z  2  i  1  10 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính tổng S  M  m . A. S  9 . B. S  8 . C. S  2 21 . D. S  2 21  1 . Câu 9. (SỞ GD-ĐT HẬU GIANG) Cho hai số phức z , z thỏa mãn z  5  5 và z  1  3i  z  3  6i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  z . A. Câu 10. 5 . 2 B. (Chuyên Thái Nguyên) 5 . 4 C. 10 . D. 3 10 . Tìm số phức z thỏa mãn z  1  i  5 và biểu thức T  z  7  9i  2 z  8i đạt giá trị nhỏ nhất. A. z  5  2i . C. z  1  6i và z  5  2i . B. z  1  6i . D. z  4  5i . PMT 45 Câu 11: [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An] z1  3  4i  1 và z2  3  4i  Biết rằng hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 1 . Số phức z có phần thực là a và phần ảo là b thỏa 2 mãn 3a  2b  12 . Giá trị nhỏ nhất của P  z  z1  z  2 z2  2 bằng: A. Pmin  9945 . 11 B. Pmin  5  2 3 . 9945 . 13 C. Pmin  D. Pmin  5  2 5 . Câu 12: (THPT Chuyên Võ Nguyên) Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  12 và z2  3  4i  5 . Giá trị nhỏ nhất của z1  z2 là: A. 0 . Câu 13: D. 17 C. 7 B. 2 (THPT Ninh Giang – Hải Dương) Cho các số phức z thỏa mãn z  4  3i  2 . Giả sử biểu thức P  z đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất khi z lần lượt bằng z1  a1  b1i  a1 , b1  A. S  4 . Câu 14: 2  a2  b2i  a2 , b2  B. S  6 .  . Tính S  a 1  a2 C. S  8 . D. S  10 . (THPT Ninh Giang – Hải Dương) Cho các số phức z thỏa mãn z2  4   z  2i  z  1  2i  . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  z  3  2i . A. Pmin  4 . Câu 15:  và z B. Pmin  2 . C. Pmin  7 . 2 D. Pmin  3 . (THPT Ninh Giang – Hải Dương) Cho các số phức z thỏa mãn z  1  i  z  8  3i  53 . Tìm giá trị lớn nhất của P  z  1  2i . A. Pmax  53 . B. Pmax  185 . 2 C. Pmax  106 . D. Pmax  53 Câu 16: (SGD – Quảng Nam – Lần 1) Cho số phức z thỏa mãn z  2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 z  1  2 z  1  z  z  4i bằng: A. 4  2 3 . B. 2  3 . C. 4  14 15 . D. 2  7 15 . PMT 46 Câu 17: (PTNK Cơ Sở 2 – TPHCM) Nếu z là số phức thỏa z  z  2i thì giá trị nhỏ nhất của z  i  z  4 là A. 2 . Câu 18: B. C. 4 . 3. D. 5 . (THPT Vũng Tàu – BRVT) Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  z  3i và số phức 1 w  . Tìm giá trị lớn nhất của w . z A. w max w max  Câu 19.  4 5 . 7 B. w max  2 5 . 7 9 5 . 10 D. z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình 6  3i  iz  2 z  6  9i , thỏa mãn z1  z2  Câu 20: max  7 5 . 10 [THPT Hoàng Văn Thụ] Cho A. C. w 31 . 5 B. 4 2 . 8 . Giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng. 5 56 C. 5. D. . 5 (THPT-Chuyên Ngữ Hà Nội) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  3i  5  2 và iz2  1  2i  4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  2iz1  3z2 . A. 313  16 . B. 313 . C. 313  8 . D. 313  2 5 . Câu 21: (Chuyên Vinh – Lần 1 – 2018) Giả sử z1 , z2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn iz  2  i  1 và z1  z2  2 . Giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng A. 4 . Câu 22: B. 2 3 . C. 3 2 . D. 3 . (SGD VĨNH PHÚC) Cho hai số phức u , v thỏa mãn 3 u  6i  3 u  1  3i  5 10 , v  1  2i  v  i . Giá trị nhỏ nhất của u  v là: A. Câu 23: 10 3 B. 2 10 3 (THPT Kim Liên-Hà Nội) C. 10 Xét các số phức zV a  bi ( a , b  D. 5 10 3 ) thỏa mãn z  3  2i  2 . Tính a  b khi z  1  2i  2 z  2  5i ũđạt giá trị nhỏ nhất. A. 4  3 . B. 2  3 . V ă C. 3 . n B ắ c D. 4  3 . PMT 47 Câu 24: (THPT Sơn Tây – Hà Nội) Gọi n là số các số phức z đồng thời thỏa mãn iz  1  2i  3 và biểu thức T  2 z  5  2i  3 z  3i đạt giá trị lớn nhất. Gọi M là giá trị lớn nhất của T . Giá trị tích của M.n là A. 10 21 C. 5 21 B. 6 13 D. 2 13  ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 5 CÂU 1: Lời giải Chọn D  z2  b  ai Đặt z1  a  bi; a, b   z1  z2   a  b    b  a  i . Nên z1  z2   a  b  b  a 2 2  2. z1 Ta lại có 2  z1  1  i  z1  1  i  z1  2  z1  2  2 . Suy ra z1  z2  2. z1  2 2  2 . Dấu ”  ” xảy ra khi a b  0. 1 1 Vậy m  min z1  z2  2 2  2 . CÂU 2: Lời giải Chọn A Ta có     4 z  z  15i  i z  z  1  4  a  bi  a  bi   15i  i  a  bi  a  bi  1 2  8b  15   2a  1 suy ra b  2 1 1 z   3i  2 2 15 . 8  2 a  1   2 b  6  2 2 2  1 1 8b  15  4b 2  24b  36  4b 2  32b  21 2 2 PMT 48 Xét hàm số f  x   4 x 2  32 x  21 với x  f   x   8 x  32  0, x  15 8  15  15 suy ra f  x  là hàm số đồng biến trên  ;   nên 8 8   15  4353 f  x  f    . 16  8  Do đó z  1 4353 1 15 1  3i đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi b  ;a  . 2 16 2 8 2 Khi đó F  a  4b  7 . CÂU 3: Lời giải Chọn A Gọi z  a  bi  M  a; b  , M   a; b  . Ta có: z  4  3i    a  bi  4  3i   4 a  3b   3a  4b  i  N  4a  3b; 3a  4b  , N   4a  3b; 3a  4b  . Vì MM và NN cùng vuông góc với trục Ox nên M , M  , N , N là bốn đỉnh của  2b 2   6a  8b 2   MM   NN  hình chữ nhật khi    3a  3b  .0   3a  3b  .  2b   0  MN  MM  b  0, 3a  4b  0  a  b  0  . b  0, 3a  4b  0  a  5   b  4  Khi đó: z  4i  5   a  5    b  4  i  2 2   a  5   4  a 2 2 2  9 1 1  2 a  18a  41  2  a     . 2 2 2  2 Vậy giá trị nhỏ nhất của z  4i  5 là 1 2 khi a  9 9 b . 2 2 PMT 49 CÂU 4: Lời giải Chọn C Gọi z  x  yi , với x, y  . Khi đó M  x; y  là điểm biểu diễn cho số phức z . Theo giả thiết, 5w   2  i  z  4   5  w  i    2  i  z  4   5i   2  i  w  i   z  3  2i  z  3  2i  3 . Suy ra M  x; y  thuộc đường tròn C  :  x  3   y  2   9 . 2 2 Ta có P  z  1  2i  z  5  2i  MA  MB , với A  1; 2  và B  5; 2  . Gọi H là trung điểm của AB , ta có H  3; 2  và khi đó:   P  MA  MB  2 MA2  MB2 hay P  4 MH 2  AB2 . Mặt khác, MH  KH với mọi M   C  nên P  4KH 2  AB2  4  IH  R   AB2  2 53 . 2 M  K 3 11 hay z  3  5i và w   i . 5 5  MA  MB Vậy Pmax  2 53 khi  CÂU 5: Lời giải Chọn B PMT 50 6 y 4 B 2 x 2 x 15 10 -1 5 5 -1 10 15 I 2 K J 4 6 A 8 10 – Theo bài ra: z  2  3i  z  i  2  5   x  2    y  3 2 2  x  2    y  1 2  2 5  2 x  y  2  0  2 2 x  2  y  1  25        tập hợp điểm biểu diễn số phức z là miền mặt phẳng T  thỏa mãn 2 x  y  2  0  2 2  x  2    y  1  25 – Gọi A  2; 6  , B  2; 2  là các giao điểm của đường thẳng 2x  y  2  0 và đường   tròn C : x  2    y  1 2 2  25 .  – Ta có: P  x 2  y 2  8 x  6 y  x  4    y  3 2 2  P  25 . Gọi  C  là đường tròn tâm J  4; 3  , bán kính R  P  25 . – Đường tròn  C  cắt miền T  khi và chỉ khi JK  R  JA  IJ  IK  R  IA  2 10  5  25  P  3 5  40  20 10  P  20  M  20 và m  40  20 10 . Vậy M  m  60  20 10 . CÂU 6: PMT 51 Lời giải Chọn C Gọi I  4; 5  , J  1; 0  . Gọi A , B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 , z2 . Khi đó A nằm trên đường tròn tâm I bán kính R  1 , B nằm trên đường tròn tâm J bán kính R  1 . Đặt z  x  yi , x, y  . Ta có: z  4i  z  8  4i  x  yi  4i  x  yi  8  4i  x2   4  y    x  8    y  4  2 2 2  16x  16 y  64  0  : xy4  0 Gọi C là điểm biểu diễn số phức z thì C     . Ta có: P  z  z1  z  z2  CA  CB . d  I ,   x I 454 1   1 2 2  5  2  1  R , d  J,    1 0  4 1   1 2 2  3 2 1 R.   yI  4  xJ  y J  4   4  5  4 1  0  4   0  hai đường tròn không cắt  và nằm cùng phía với  . Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua  , suy ra A1 nằm trên đường tròn tâm I 1 bán kính R  1 (với I 1 là điểm đối xứng với I qua  ). Ta có I1  9; 0  . PMT 52  A1  A .  B  B Khi đó: P  CA  CB  CA1  CB  A1B nên Pmin  A1Bmin   Khi đó: I1 A  Như vậy: 7 1 I1 J  A  8; 0  ; I1 B  I1 J  B  2; 0  . 8 8   A  4; 4  . Vậy Pmin khi A đối xứng A qua  và B  B   B 2; 0     M  z1  z2  AB  20  2 5 . CÂU 7: Lời giải Chọn D z  a  bi ; z  2  a2  b2  2  a2  b2  4 . P  2z 3 2z  4a  8  3 8  4 a   a  2 1 Dấu đẳng thức xẩy ra khi Với a   2 2  b2  3  2  a 2  b 2  4a  8  3 8  4 a .   32  8  4 a  8  4 a   4 10 . 8  4a 4a  8 8  9  4a  8   8  4a  a   .  5 3 1 8 6  b  (do b  0 ). 5 5   8 6  8 6 Vậy min P  4 10  z    i . Khi đó S   5      2  5 5   5 5  2018  0. CÂU 8: Lời giải Chọn C Giả sử z  a  bi ,  a , b    z  a  bi . Chia hai vế cho i ta được: z  2  i  z  2  i  10 . Đặt M  a ; b  , N  a ;  b  , A  2 ;1 , B  2 ;  1 , C  2 ;1  NB  MC . PMT 53   Ta có: MA  MC  10  M  E : X2 Y 2   1. 25 21 Elip này có phương trình chính tắc với hệ trục tọa độ IXY , I  0 ;1 là trung điểm AC . X  x x2  y  1 Áp dụng công thức đổi trục     1. 21 Y  y  1 25 2 a  5 sin t 2 , t   0 ; 2   z  OM 2  a2  b2 b  1  21 cos t Đặt    25 sin 2 t  1  21 cos t   2   26  4 cos2 t  2 21 cos t .  a  0 . z max  1  21  cos t  1   b 1 21      a  0 . z min  1  21  cos t  1    b  1  21  M  m  2 21 . CÂU 9: Hướng dẫn giải Chọn A PMT 54 Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi , N  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi .  Ta có z  5  5  x  5  yi  5  x  5  2  y 2  52 .     y 5 z  1  3i  z  3  6i   x  1   y  3  i   x  3    y  6  i   x  1   y  3   x  3   y  6   8x  6 y  35 Vậy M thuộc đường tròn C : x  5 2 2 2 2 2 2 2 Vậy N thuộc đường thẳng  : 8x  6 y  35 Dễ thấy đường thẳng  không cắt  C  và z  z  MN Áp dụng bất đẳng thức tam giác, cho bộ ba điểm  I , M , N  ta có. MN  IN  IM  IN  R  IN 0  R  d  I ,    R  8.  5   6.0  5 82  62 5  5 2 Dấu bằng đạt tại M  M0 ; N  N0 . CÂU 10: Lời giải Chọn B PMT 55 M I K A M0 B Từ giả thiết z  1  i  5 suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C) tâm I  1;1 , bán kính R  5 . Xét các điểm A  7; 9  và B  0; 8  . Ta thấy IA  10  2.IM . Gọi K là điểm trên tia IA sao cho IK  5  1 IA  K   ; 3  4 2  IM IK 1   , góc MIK chung  IKM ∽ IMA  c.g.c  IA IM 2 MK IK 1     MA  2.MK . MA IM 2 Lại có: T  z  7  9i  2 z  8i  MA  2.MB  2  MK  MB   2.BK  5 5 Do  Tmin  5 5  M  BK   C  , M nằm giữa B và K  0  xM  5 . 2 Ta có: phương trình đường thẳng BK là: 2x+y-8=0 x  1   2 x  y  8  0 y  6    M   1; 6  . Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:  2 2  x  5 x  1  y  1  25          y  2 Vậy z  1  6i là số phức cần tìm. CÂU 11: Hướng dẫn giải Chọn C Gọi M1 , M2 , M lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z1 , 2z2 , z trên hệ trục tọa độ Oxy . Khi đó quỹ tích của điểm M1 là đường tròn  C1  tâm I  3; 4  , bán kính R  1; quỹ tích của điểm M2 là đường  C 2  tròn tâm I  6; 8  , bán kính R  1 ; quỹ tích của điểm M là đường thẳng d : 3x  2 y  12  0 . Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của MM1  MM2  2 . PMT 56 y I2 8 B 4 O I1 A 3 I3 M x 6  138 64  ;  , R  1 là đường tròn đối xứng với  C 2  qua d . Khi  13 13  Gọi  C 3  có tâm I 3  đó min  MM1  MM2  2   min  MM1  MM3  2  với M 3   C 3  . Gọi A , B lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng I1 I 3 với  C1  ,  C 3  . Khi đó với mọi điểm M1   C1  , M 3   C 3  , M  d ta có MM1  MM3  2  AB  2 , dấu “=” xảy ra khi M1  A, M3  B . Do đó Pmin  AB  2  I1I 3  2  2  I1 I 3  9945 . 13 CÂU 12: Lời giải Chọn B Gọi z1  x1  y1i và z2  x2  y2 i , trong đó x1 , y1 , x2 , y2  ; đồng thời M1  x1 ; y1  và M 2  x2 ; y2  lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 , z2 . 2 2   x1  y1  144 Theo giả thiết, ta có:  . 2 2     x 3 y 4 25   2    2 Do đó M1 thuộc đường tròn  C1  có tâm O  0; 0  và bán kính R1  12 , M2 thuộc đường tròn  C 2  có tâm I  3; 4  và bán kính R2  5 .  O   C2  Mặt khác, ta có   OI  5  7  R1  R2 nên  C 2  chứa trong  C1  . PMT 57 M2 (C2) M1 I O (C1) Khi đó z1  z2  M1 M2 . Suy ra z1  z2 min   M1 M 2 min  M1 M2  R1  2R2  2 . CÂU 13: Lời giải Chọn C Gọi z  a  bi ,  a , b   z  4  3i  2  a  ib  4  3i  2  a  4   b  3  i  2   a  4    b  3  4 2 2 Khi đó tập hợp các điểm M  a; b  biểu diễn số phức z  a  bi thuộc vào đường tròn  C  có tâm I  4; 3  , R  2 . Ta có OI  32  4 2  5 . Suy ra z max  OI  R  5  2  7 , z min  OI  R  5  2  3 . Gọi  là đường thẳng qua hai điểm OI ta có phương trình của    : 3 x  4 y  0 . Gọi M và N lần lượt là hai giao điểm của    và  C  sao cho OM  3 và ON  7 khi đó  3  12 9   28 21 OM  OI  M  ;   z1   i  5 5    5 5 5  S  28  12  8 .   5 5 ON  7 OI  N  28 ;  21   z  12  9 i 2    5 5 5 5    5 CÂU 14: Lời giải Chọn D PMT 58  Ta có z2  4  z  2i  z  1  2i   z  2i  z  2i  z  1  2i   0  z  2i  0 .   z  2i  z  1  2i Do đó tập hợp các điểm N biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm A  0; 2  và đường trung trực của đoạn thẳng BC với B  0; 2  , C  1; 2  . 1 2    Ta có BC  1; 0 , M  ; 0  là trung điểm BC nên phương trình đường trung trực  của BC là  : 2x  1  0 .   Đặt D  3; 2  , DA  3 , d D ,   7 . 2 Khi đó P  z  3  2i  DN , với N là điểm biểu diễn cho z .   Suy ra min P  min DA, d D,    3 . CÂU 15: Lời giải Chọn C Xét A  1;1 , B  8; 3  ta có AB  53  các điểm biểu diễn z là đoạn thẳng AB P  z  1  2i  MM  với M là điểm biểu diễn số phức z , M  là điểm biểu diễn số phức z  1  2i Phương trình đường thẳng AB : 2x  7 y  5  0  87 13  ;   53 53  Hình chiếu vuông góc của M  lên AB là M1    Ta có A nằm giữa M1 và B nên P  MM lớn nhất  MM1 lớn nhất  M  B  z  8  3i  Pmax  106 . CÂU 16: Lời giải Chọn A Gọi z  x  yi,  x , y   . Theo giả thiết, ta có z  2  x2  y 2  4 . Suy ra 2  x, y  2 . PMT 59   Khi đó, P  2 z  1  2 z  1  z  z  4i  2    P  2   x  1 2 1  x   y2  2  x  1 2  x  1  y2  2   y2  y  2       y 2  y  2   2 2 1  y2  2  y .  Dấu “  ” xảy ra khi x  0 .   Xét hàm số f y  2 1  y 2  2  y trên đoạn   2; 2  , ta có: f  y  2y 1 y 2 1  2y  1  y2 1 y 2   ; f y  0  y  1 3 .  1    2  3 ; f  2   4  2 5 ; f  2   2 5 .  3 Ta có f    Suy ra min f y  2  3 khi y    2; 2   1 3 .  Do đó P  2 2  3  4  2 3 . Vậy Pmin  4  2 3 khi z  1 3 i. CÂU 17: Lời giải Chọn D Đặt z  x  yi với x , y  theo giả thiết z  z  2i  y  1 .  d  Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng  d  . Gọi A  0;1 , B  4; 0  suy ra z  i  z  4  P là tổng khoảng cách từ điểm M  x;  1 đến hai điểm A , B . Thấy ngay A  0;1 và B  4; 0  nằm cùng phía với  d  . Lấy điểm đối xứng với A  0;1 qua đường thẳng  d  ta được điểm A  0;  3  . 2 2 Do đó khoảng cách ngắn nhất là AB  3  4  5 . CÂU 18: Lời giải Chọn B. PMT 60 Đặt z  a  bi  a , b  . z  1  i  z  3i   a  1   b  1  a2   b  3   a  2b  2 2 2 7 . 2 2 2 49   7  49 7 7  5b     z  a  b   2b    b 2  5b2  14b  4 5  20 2 5 2   2 w  Vậy w 2 1 63 7 1 2 5 . Đẳng thức xảy ra khi b  và a  .   z 5 10 7 z max  2 5 . 7 min|w| 1 . CÂU 19: Lời giải Chọn D Đặt z  a  bi , a, b  . Ta có 6  3i  iz  2 z  6  9i  a 2  b 2  6 a  8b  24  0 .  z1   3  4i   1 2 2    a  3    b  4   1  z   3  4i   1   . z  3  4 i  1    2 Ta lại có: 2  z1  3  4i   2  1  1      z   3  4i   2 2 2   z  z 2  z  z  6  8i 2 .   1 2 1 2  hbh 2 2 64 6  z1  z2   6  8i   z1  z2   6  8i   . 25 5       Ta có: z1  z2  z1  z2  6  8i  6  8i  z1  z2  6  8i  6  8i  6 56  10  . 5 5 CÂU 20: Lời giải Chọn A PMT 61 Ta có z1  3i  5  2  2iz1  6  10i  4  1 ; iz2  1  2i  4   3 z2   6  3i  12 2 . Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2iz1 , B là điểm biểu diễn số phức 3z2 . Từ  1 và  2  suy ra điểm A nằm trên đường tròn tâm I1  6; 10  và bán kính R1  4 ; điểm B nằm trên đường tròn tâm I 2  6; 3  và bán kính R2  12 . A B I2 I1 Ta có T  2iz1  3z2  AB  I1I 2  R1  R2  122  132  4  12  313  16 . Vậy max T  313  16 . CÂU 21: Lời giải Chọn A   Ta có iz  2  i  1  z  1  i 2  1 . Gọi z0  1  i 2 có điểm biểu diễn là   I 1; 2 . Gọi A , B lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 , z2 . Vì z1  z2  2 nên I là trung điểm của AB .   Ta có z1  z2  OA  OB  2 OA 2  OB2  4OI 2  AB2  16  4 . Dấu bằng khi OA  OB . CÂU 22: Lời giải Chọn B PMT 62  Ta có: 3 u  6i  3 u  1  3i  5 10  u  6i  u  1  3i   MF1  MF2  5 10 S 3 5 10 . 3  u có điểm biểu diễn M thuộc elip với hai tiêu điểm F1  0; 6  , F2  1; 3  , tâm 1 9 5 10 5 10 I  ;  và độ dài trục lớn là 2a  . a 3 6 2 2 F1F2   1; 3   F1F2 : 3x  y  6  0 .  Ta có: v  1  2i  v  i  v  i  NA  NB  v có điểm biểu diễn N thuộc đường thẳng d là trung trực của đoạn AB với A  1; 2  , B  0;1 . 1 1 AB   1; 3  , K  ;   là trung điểm của AB  d : x  3y  2  0 . 2 2 d  I , d  1 27  2 2 2 12   3  2  3 10 2   2 10 . 3 Dễ thấy F1F2  d  min u  v  min MN  d I , d  a  CÂU 23: Lời giải Chọn D Cách 1:  x , y   . Theo bài ra ta có Đặt z  3  2i  w với w  x  yi w  2  x2  y 2  4 . Ta có P  z  1  2i  2 z  2  5i  w  4  2 w  1  3i   20  8 x  2  x  1   y  3  2   2  x2  y 2  2x  1   2  2 5  2x  2  x  1   y  3  2 2     2   x  4 2  y2  2  x  1   y  3  2  x  1 2  y2   x  1   y  3  2 2 2  x  1   y  3  2 PMT 2    63    2 y  y  3  2 y  3 y  6.  x  1  x  1  P  6  y  3  y   0   . y  3   2 2 x  y  4   Vậy GTNN của P là bằng 6 đạt được khi z  2  2  3 i . Cách 2: z  3  2i  2  MI  2  M   I ; 2  với I   3; 2  . P  z  1  2i  2 z  2  5i  MA  2 MB với A   1; 2  , B   2; 5  . Ta có IM  2 ; IA  4 . Chọn K  2; 2  thì IK  1 . Do đó ta có IA.IK  IM 2  IA IM  IM IK  IAM và IMK đồng dạng với nhau  AM IM   2  AM  2 MK . MK IK Từ đó P  MA  2 MB  2  MK  MB   2BK . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M , K , B thẳng hàng và M thuộc đoạn thẳng BK .   Từ đó tìm được M  2; 2  3 . Cách 3: PMT 64 Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn số phức z  a  bi. Đặt I   3; 2  , A  1; 2  và B  2; 5  . Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn  C  có tâm I , bán kính R  2 sao cho biểu thức P  MA  2 MB đạt giá trị nhỏ nhất. Trước tiên, ta tìm điểm K  x; y  sao cho MA  2 MK M   C  .  Ta có MA  2 MK  MA 2  4 MK 2  MI  IA   2   4 MI  IK    2   MI 2  IA2  2 MI.IA  4 MI 2  IK 2  2 MI .IK  2 MI IA  4IK  3R2  4IK 2  IA2 *  .  IA  4 IK  0  *  luôn đúng M  C    2 2 2  3R  4 IK  IA  0 .  x  2 4  x  3   4 . IA  4 IK  0    y  2 y 4  2  0      Thử trực tiếp ta thấy K  2; 2  thỏa mãn 3R2  4IK 2  IA2  0 . Vì BI 2  12  32  10  R2  4 nên B nằm ngoài  C  . Vì KI 2  1  R2  4 nên K nằm trong  C  . Ta có MA  2 MB  2 MK  2 MB  2  MK  MB   2 KB . Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK . Do đó MA  2 MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của  C  và đoạn thẳng BK. Phương trình đường thẳng BK : x  2 .   Phương trình đường tròn C : x  3    y  2 2 2  4. PMT 65  x  2 x  2  hoặc  2 2 x 3 y 2 4     y 2 3           Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ   x  2 .  y  2  3     Thử lại thấy M 2; 2  3 thuộc đoạn BK . Vậy a  2 , b  2  3  a  b  4  3 . CÂU 23: Lời giải Chọn A Gọi z  x  yi , với x, y  . Khi đó M  x; y  là điểm biểu diễn cho số phức z .  Theo giả thiết, iz  1  2i  3  z  2  i  3  x  2    y  1 2 2 9. Ta có T  2 z  5  2i  3 z  3i  2 MA  3MB , với A  5; 2  và B  0; 3  . Nhận xét rằng A , B , I thẳng hàng và 2 IA  3IB . Cách 1: Gọi  là đường trung trực của AB , ta có  : x  y  5  0 . T  2 MA  3MB  PA  PB . Dấu “  ” xảy ra khi M  P hoặc M  Q .  x  y  5  0  8  2 2  2   8  2 2  2  và Q  ; ;  P   . 2 2    2 2 2 2  x  2    y  1  9     Giải hệ  PMT 66 Khi đó M  max T  5 21 . Vậy M.n  10 21 . Cách 2: Ta có A , B , I thẳng hàng và 2 IA  3IB nên 2 IA  3IB  0 .     2 2  2MA2  3MB2  2 MI  IA  3 MI  IB  5MI 2  2IA2  3IB2  105 . Do đó T 2   2. 2 MA  3. 3 MB  2    5 2 MA2  3MB2  525 hay T  5 21 . Khi đó M  max T  5 21 . Dấu “  ” xảy ra khi M  P hoặc M  Q . Vậy M.n  10 21 . PMT 67
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top