Tổng hợp lý thuyết và công thức tính nhanh Hình học 12 – Trần Hoàng Long

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 MỤC LỤC PHẦN I. KHỐI ĐA DIỆN…………………………………………………………………………………….. 54 1. KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP……………………………………………………………….. 54 2. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN …………………………………….. 54 2.1. Khái niệm về hình đa diện …………………………………………………………………………. 54 2.2. Khái niệm về khối đa diện …………………………………………………………………………. 54 3. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU ………………………………………………………………………… 55 3.1. Phép dời hình trong không gian …………………………………………………………………. 55 3.2. Hai hình bằng nhau ………………………………………………………………………………….. 56 4. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN …………………………………………. 56 5. KHỐI ĐA DIỆN LỒI …………………………………………………………………………………….. 56 5.1. Khối đa diện lồi ……………………………………………………………………………………….. 56 5.2. Khối đa diện đều ……………………………………………………………………………………… 57 5.3. Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi ………………………………………………. 58 6. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN …………………………………………………………………………… 58 6.1. Thể tích khối chóp ……………………………………………………………………………………. 58 6.2. Thể tích khối lăng trụ………………………………………………………………………………… 58 6.3. Thể tích khối hộp chữ nhật ………………………………………………………………………… 59 6.4. Thể tích khối lập phương…………………………………………………………………………… 59 6.5. Tỉ số thể tích ……………………………………………………………………………………………. 59 6.6. Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt …………………………………………………… 59 7. CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG ………………………………………………………………… 60 7.1. Hệ thức lượng trong tam giác …………………………………………………………………….. 60 7.2. Các công thức tính diện tích ………………………………………………………………………. 60 8. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP 61 9. CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN………………………………………… 63 PHẦN II. MẶT NÓN – MẶT TRỤ – MẶT CẦU ………………………………………………………. 64 1. MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN ………………………………………………………. 64 1.1. Mặt nón tròn xoay ……………………………………………………………………………………. 64 1.2. Khối nón …………………………………………………………………………………………………. 64 1.3. Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng ………………………………………………………………… 65 2. MẶT TRỤ TRÒN XOAY ……………………………………………………………………………….. 65 2.1. Mặt trụ …………………………………………………………………………………………………… 65 2.2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay ……………………………………………………… 65 3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU ……………………………………………………………………………….. 66 Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 51 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.1. Mặt cầu …………………………………………………………………………………………………… 66 3.2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng ………………………………………………….. 66 3.3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng ………………………………………………. 67 3.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu …………………………………………………… 67 4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI ……………………………………………… 68 4.1. Bài toán mặt nón ………………………………………………………………………………………. 68 4.2. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt trụ ………………………………………. 71 5. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU…………….. 72 5.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ………………………………………………………………….. 72 5.2. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp…………………………………………….. 75 5.3. Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy ……………………………….. 75 5.4. Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện ………………….. 76 5.5. Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu …………………………………………….. 77 6. TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY …………………. 78 6.1. Chỏm cầu ……………………………………………………………………………………………….. 78 6.2. Hình trụ cụt …………………………………………………………………………………………….. 78 6.3. Hình nêm loại 1 ……………………………………………………………………………………….. 79 6.4. Hình nêm loại 2 ……………………………………………………………………………………….. 79 6.5. Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay …………………………………………………………… 79 6.6. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip ……………………………………. 79 6.7. Diện tích hình vành khăn …………………………………………………………………………… 79 6.8. Thể tích hình xuyến (phao) ………………………………………………………………………… 79 PHẦN 3. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ ………………………………….. 80 1. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN ………………………………………………………………………….. 80 1.1. Các khái niệm và tính chất …………………………………………………………………………. 80 1.2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp ………………………………………………….. 82 2. MẶT PHẲNG……………………………………………………………………………………………….. 82 2.1. Các khái niệm và tính chất …………………………………………………………………………. 82 2.2. Viết phương trình mặt phẳng……………………………………………………………………… 83 2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng………………………………………………………………. 85 2.4. Khoảng cách và hình chiếu ………………………………………………………………………… 85 2.5. Góc giữa hai mặt phẳng ……………………………………………………………………………. 86 2.6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ……………………………………………………………………………………………………………………. 86 3. ĐƯỜNG THẲNG …………………………………………………………………………………………. 87 3.1. Phương trình của đường thẳng …………………………………………………………………… 87 Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 52 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.2. Vị trí tương đối ………………………………………………………………………………………… 87 3.3. Góc trong không gian ……………………………………………………………………………….. 90 3.4. Khoảng cách ……………………………………………………………………………………………. 90 3.5. Lập phương trình đường thẳng ………………………………………………………………….. 91 3.6. Vị trí tương đối ………………………………………………………………………………………… 94 3.7. Khoảng cách ……………………………………………………………………………………………. 94 3.8. Góc ………………………………………………………………………………………………………… 95 4. MẶT CẦU ……………………………………………………………………………………………………. 95 4.1. Phương trình mặt cầu ……………………………………………………………………………….. 95 4.2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng ………………………………………………………………….. 96 4.3. Một số bài toán liên quan…………………………………………………………………………… 96 5. MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN ……………………………….. 99 5.1. Dạng 1 ……………………………………………………………………………………………………. 99 5.2. Dạng 2 ……………………………………………………………………………………………………. 99 5.3. Dạng 3 ……………………………………………………………………………………………………. 99 5.4. Dạng 4 ……………………………………………………………………………………………………. 99 5.5. Dạng 5 ……………………………………………………………………………………………………. 99 5.6. Dạng 6 ……………………………………………………………………………………………………. 99 5.7. Dạng 7 ………………………………………………………………………………………………….. 100 5.8. Dạng 8 ………………………………………………………………………………………………….. 100 5.9. Dạng 9 ………………………………………………………………………………………………….. 100 5.10. Dạng 10 ………………………………………………………………………………………………. 100 Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 53 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 PHẦN I. KHỐI ĐA DIỆN 1. KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP  Khối lăng trụ (chóp) là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (chóp) kể cả hình lăng trụ (chóp) ấy. Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.  Điểm không thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) được gọi là điểm ngoài của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt). Điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) đó được gọi là điểm trong của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt). B’ S C’ D’ A’ F’ N E’ A B B C D M A F E D C 2. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 2.1. Khái niệm về hình đa diện  Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:  Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.  Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.  Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện. 2.2. Khái niệm về khối đa diện  Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 54 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12  Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp những điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.  Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đó. d Mieàn ngoaøi Ñieåm trong N Ñieåm ngoaøi M 3. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU 3.1. Phép dời hình trong không gian Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M ‘ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian. Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý. * Một số phép dời hình trong không gian:  3.1.1. Phép tịnh tiến theo vectơ v Nội dung Hình vẽ Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành M ‘ sao cho   MM ‘  v . M’ v M   3.1.2. Phép đối xứng qua mặt phẳng P Nội dung Hình vẽ   Là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc P   biến mỗi điểm M không thuộc P M thành chính nó, thành điểm M ‘ sao cho P  là mặt phẳng trung trực của MM ‘ . Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng  P  biến hình  H  thành chính nó thì  P  được gọi là mặt phẳng đối xứng của  H  . I P M’ Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 55 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.1.3. Phép đối xứng qua tâm O Nội dung Hình vẽ Là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M ‘ sao cho O là trung điểm MM ‘ M’ O   Nếu phép đối xứng tâm O biến hình H thành chính nó thì M O được gọi là tâm đối xứng của  H  3.1.4. Phép đối xứng qua đường thẳng  (phép đối xứng trục  ) Nội dung Hình vẽ Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng  thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc  thành điểm M ‘ sao cho  là đường trung trực của MM ‘ . M’ I   Nếu phép đối xứng trục  biến hình H thành chính nó thì M  được gọi là trục đối xứng của  H  * Nhận xét:  Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.   thành đa diện H ‘  , biến đỉnh, cạnh, mặt của H  thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của  H ‘  .  Phép dời hình biến đa diện H 3.2. Hai hình bằng nhau Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. 4. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nội dung Hình vẽ     H  sao cho H  và H  không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện  H  thành hai khối đa diện  H  và  H  , hay có thể lắp ghép hai khối đa diện H  và H  với nhau để được khối đa diện H  . Nếu khối đa diện H là hợp của hai khối đa diện H 1 , 2 1 1 1 2 (H1) 2 2 (H) (H2) 5. KHỐI ĐA DIỆN LỒI 5.1. Khối đa diện lồi Một khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kì hai điểm A và B nào của nó thì mọi điểm của đoạn AB cũng thuộc khối đó. Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 56 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi 5.2. Khối đa diện đều 5.2.1. Định nghĩa  Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:  Các mặt là những đa giác đều n cạnh.  Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh.    Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại n, p . 5.2.2. Định lí           Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại 3; 3 , loại 4; 3 , loại 3; 4 , loại 5;3 , loại 3;5 . Tùy theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt đều. 5.2.3. Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều Khối đa diện đều Số Số Số Loại Số MPĐX đỉnh cạnh mặt Tứ diện đều 4 6 4 3; 3 6 Khối lập phương 8 12 6 4; 3 9 Bát diện đều 6 12 8 3; 4 Mười hai mặt đều 20 30 12 5; 3 9 15 Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 57 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Hai mươi mặt đều 12 30 3;5 20 15   Chú ý: Giả sử khối đa diện đều loại n, p có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt. Khi đó: p Đ  2C  nM . 5.3. Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi 5.3.1. Kết quả 1 Cho một khối tứ diện đều. Khi đó:  Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều;  Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều). 5.3.2. Kết quả 2 Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều. 5.3.3. Kết quả 3 Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một khối lập phương. 5.3.4. Kết quả 4 Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó:  Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường  Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;  Ba đường chéo bằng nhau. 6. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 6.1. Thể tích khối chóp Nội dung V  Hình vẽ 1 S .h 3 đáy  S đáy : Diện tích mặt đáy.  h : Độ dài chiều cao khối chóp. VS.ABCD  1 d .S 3 S,ABCD  ABCD 6.2. Thể tích khối lăng trụ Nội dung Hình vẽ Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 58 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 V  S đáy .h  S đáy : Diện tích mặt đáy.  h : Chiều cao của khối chóp. Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao chính là cạnh bên. 6.3. Thể tích khối hộp chữ nhật Nội dung Hình vẽ V  a.b.c 6.4. Thể tích khối lập phương Nội dung Hình vẽ V  a3 6.5. Tỉ số thể tích Nội dung VS .AB C  VS .ABC  Hình vẽ SA SB  SC  . . SA SB SC S V  h B  B   BB  3  B’ A’ Thể tích hình chóp cụt ABC .AB C  C’ A  B C Với B, B , h là diện tích hai đáy và chiều cao. 6.6. Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt  Đường chéo của hình vuông cạnh a là a 2  Đường chéo của hình lập phương cạnh a là : a 3  Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là : a 2  b 2  c 2  Đường cao của tam giác đều cạnh a là: a 3 2 Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 59 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 7. CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG 7.1. Hệ thức lượng trong tam giác 7.1.1. Cho ABC vuông tại A , đường cao AH 2 2 2  AB  AC  BC  AB 2  BH .BC 2  AC  CH .BC  AH .BC  AB.AC 2  AH  BH .HC 1 1 1   2 2 AH AB AC 2  AB  BC . sin C  BC . cos B  AC . tan C  AC . cot B 7.1.2. Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c độ dài các trung tuyến là ma , mb , mc bán kính  đường tròn ngoại tiếp R ; bán kính đường tròn nội tiếp r nửa chu vi p.  Định lí hàm số cosin: a 2  b 2  c 2 – 2bc.cos A; b 2  c 2  a 2  2ca.cos B; c 2  a 2  b 2  2ab.cos C  Định lí hàm số sin: a b c    2R sin A sin B sin C  Độ dài trung tuyến: ma2  b2  c2 a 2 c2  a 2 b2 a 2  b2 c2  ; mb2   ; mc2   2 4 2 4 2 4 7.2. Các công thức tính diện tích 7.2.1. Tam giác 1 1 1  S  a.ha  b.hb  c.hc 2 2 2 1 1 1  S  bc sin A  ca.sin B  ab sin C 2 2 2 abc 4R  S  pr  S      S  p p a p b p c  ABC vuông tại A : S   AB.AC BC .AH  2 2  ABC đều, cạnh a : AH  a 3 a2 3 , S  2 4 7.2.2. Hình vuông 2  S a ( a : cạnh hình vuông) Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 60 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 7.2.3. Hình chữ nhật  S  ab ( a, b : hai kích thước) 7.2.4. Hình bình hành   S = đáy  cao  AB. AD.sin BAD 7.2.5. Hình thoi   1 AC.BD  S  AB. AD.sin BAD 2 7.2.6. Hình thang 1 a  b h ( a, b : hai đáy, h : chiều cao) 2 7.2.7. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc AC & BD  S   S    1 AC .BD 2 8. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP Nội dung Cho hình chóp SAB  , SBC  , SAC  SABC với Hình vẽ các mặt phẳng A vuông góc với nhau từng đôi một, diện tích các tam giác SAB, SBC , SAC lần lượt là S 1, S2 , S3 . Khi đó: VS .ABC  C 2S1.S2 .S3 3 B   Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với ABC , hai mặt phẳng S SAB  và SBC  vuông S góc với nhau,   , ASB  . BSC C A 3 Khi đó: VS .ABC  SB . sin 2 . tan  12 B Cho hình chóp đều S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng b . Khi đó: VS .ABC  a 2 3b 2  a 2 12 S C A G M B Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a S và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc  . Khi đó: VS .ABC  a 3 tan  24 C A G M B Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 61 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có các cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  . 3b 3 .sin  cos2  4 Khi đó: VS .ABC  S C A G M B Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có các cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  . Khi đó: VS .ABC  a 3 . tan  12 S C A G M B Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, và SA  SB  SC  SD  b . Khi đó: VS .ABC  S a 2 4b 2  2a 2 6 D A M O C B Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng S a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là  . Khi đó: VS .ABCD  a 3 . tan  6 A D M O B C Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng S    với     ;   a, SAB   4 2 Khi đó: VS .ABCD  a 3 D 2 tan   1 6 A M O C B Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có các cạnh bên S bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là  với      0;  .  A 2 3 2  tan   2 M O 4a 3 . tan  Khi đó: VS .ABCD  D B C 3 Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 62 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng S   a. Gọi P là mặt phẳng đi qua A song song với BC và F N   A   vuông góc với SBC , góc giữa P với mặt phẳng đáy là E C x G . Khi đó: VS .ABCD B a 3 cot   24 Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập A’ B’ O’ phương cạnh a. Khi đó: V  M D’ a3 6 O1 C’ O2 O4 A O3 B O D C Cho khối tám mặt đều cạnh a. Nối tâm của các mặt bên S ta được khối lập phương. G2 2a 3 2 Khi đó: V  27 D A G1 N M C B S’ 9. CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN Công thức Điều kiện tứ diện abc 1  cos2   cos2   cos2   2cos cos  cos 6 Công thức tính khi biết 3 cạnh, 3 góc ở đỉnh 1 tứ diện SA  a, SB  b, SC  c         ASB  , BSC   , CSA   1 VABCD  abd sin  6 Công thức tính khi biết 2 cạnh đối, khoảng cách và góc AB  a,CD  b  d AB,CD  d, AB,CD   VS.ABC      2 cạnh đó VSABC  2S 1S 2 sin  3a Công thức tính khi biết một cạnh, diện tích và góc giữa S SAB  S1, S SAC  S2, SA  a   SAB , SAC      2 mặt kề  abc  SA  a, SB  b, SC  c  sin  sin  sin    6    SAB ,  SAC    Công thức tính khi biết 3 cạnh, 2 góc ở đỉnh và 1 góc       nhị diện   ASB   , ASC   VS .ABC    Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 63 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 VABCD  a3 2 12 VABCD  2 12 a Tứ diện đều tất cả các cạnh bằng a 2    b2  c2 b 2  c2  a 2 a 2  c2  b2  Tứ diện gần đều AB  CD  a  AC  BD  b AD  BC  c  PHẦN II. MẶT NÓN – MẶT TRỤ – MẶT CẦU 1. MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN 1.1. Mặt nón tròn xoay Nội dung Hình vẽ Đường thẳng d ,  cắt nhau tại O và tạo thành góc      với 00    900 , mp P chứa d , . P quay quanh trục  với góc  không đổi  mặt nón tròn xoay đỉnh O.   gọi là trục.  d được gọi là đường sinh.  Góc 2  gọi là góc ở đỉnh. 1.2. Khối nón Nội dung Hình vẽ Là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó. Những điểm không thuộc khối nón gọi là những điểm ngoài của khối nón. Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón tương ứng gọi là những điểm trong của khối nón. Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón cũng là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng. Cho hình nón có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r .  Diện tích xung quanh: của hình nón: S xq   rl .  Diện tích đáy (hình tròn): S đáy   r 2 .  Diện tích toàn phần: của hình nón: S tp   rl   r 2 .  Thể tích khối nón: V  1 2 r h . 3 Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 64 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 1.3. Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng Điều kiện Kết quả Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp (Q ) đi qua đỉnh của mặt nón.  mp(Q ) cắt mặt nón theo 2 đường sinh.  Thiết diện là tam giác  mp(Q ) tiếp xúc với mặt nón theo một đường cân.  (Q ) là mặt phẳng tiếp sinh. diện của hình nón. Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp (Q ) không đi qua đỉnh của mặt nón.  mp(Q ) vuông góc với trục hình nón.  Giao tuyến là 1 đường parabol.  mp(Q ) song song với 2 đường sinh hình nón.  mp(Q ) song song với 1 đường sinh hình nón.  Giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.  Giao tuyến là một đường tròn. 2. MẶT TRỤ TRÒN XOAY 2.1. Mặt trụ Nội dung Hình vẽ Trong mặt phẳng  P  cho hai đường thẳng  và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r . Khi quay mặt phẳng  P  xung quanh  thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay, gọi tắt là mặt trụ.  Đường thẳng  gọi là trục.  Đường thẳng l là đường sinh.  r là bán kính của mặt trụ đó. 2.2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay Nội dung Hình vẽ Ta xét hình chữ nhật ABCD . Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh nào đó, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB sẽ tạo thành một hình gọi là hình trụ tròn xoay, hay gọi tắt là hình trụ.  Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ.  Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ. Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 65 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12  Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay xung quanh AB gọi là mặt xung quanh của hình trụ.  Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ. Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ tròn xoay đó. Những điểm không thuộc khối trụ gọi là những điểm ngoài của khối trụ. Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ tương ứng gọi là những điểm trong của khối trụ. Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ cũng là mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng.Hình trụ có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r.  Diện tích xung quanh: S xq  2 rl .  Diện tích toàn phần: S tp  2 rl  2 r 2 .  Thể tích: V   r 2h . 3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU 3.1. Mặt cầu Nội dung Hình vẽ Cho điểm I cố định và một số thực dương R . Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I , bán kính R.   Kí hiệu: S I ; R . Khi đó:     S I ; R  M IM  R 3.2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng       Cho mặt cầu S I ; R và mặt phẳng P . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên P    d  IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng P . Khi đó: d R Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung. d R Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu: d R Mặt phẳng cắt mặt cầu theo P  là mặt phẳng tiếp diện của thiết diện là đường tròn có tâm I và bán kính mặt cầu và H : tiếp điểm. r  R 2  IH 2 Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 66 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Lưu ý:     Khi mặt phẳng P đi qua tâm I của mặt cầu thì mặt phẳng P được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn. 3.3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng   Cho mặt cầu S I ; R và đường thẳng  . Gọi H là hình chiếu của I lên  . Khi đó: IH  R  không cắt mặt cầu. IH  R  tiếp xúc với mặt cầu.    : Tiếp tuyến của S IH  R  cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt. H : tiếp điểm. Lưu ý:     Trong trường hợp  cắt S tại 2 điểm A, B thì bán kính R của S được tính như sau:   d I ;   IH  2   AB  . 2 2 2 R  IH  AH  IH     2   3.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu Nội dung Hình vẽ Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến. Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu. Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu * Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện: Nội dung Hình vẽ Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện. Còn nói hình đa diện ngoại tiếp mặt cầu. Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 67 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. Còn nói hình đa diện nội tiếp mặt cầu. Mặt cầu tâm O bán kính r ngoại tiếp hình chóp S .ABCD khi và chỉ khi OA  OB  OC  OD  OS  r  Cho mặt cầu S I ; R  2  Diện tích mặt cầu: S  4 R .  Thể tích khối cầu: V  4  R3 . 3 4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI 4.1. Bài toán mặt nón 4.1.1.Dạng 1. Thiết diện của hình nón cắt bởi một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác cân. Thiết diện qua đỉnh của hình nón là những tam giác cân có hai cạnh bên là hai đường sinh của hình nón. Thiết diện vuông góc với trục của hình nón là những đường tròn có tâm nằm trên trục của hình nón. 4.1.2. Dạng 2. Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh của hình nón Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh l . Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là d. Nội dung Hình vẽ Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 68 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Gọi M là trung điểm của AC. Khi đó:   AC  SMI  .  Góc giữa SAC và ABC là góc SMI      Góc giữa SAC  và SI d  I , SAC    IH  d.  . là góc MSI Diện tích thiết diện 1 1 Std  SSAC  SM.AC  SI 2  IM 2 .2 AI 2  IM 2 2 2 h 2d 2 h 2d 2 2  r2  2 . h  h  d2 h2  d 2 4.1.3. Dạng 3. Bài toán hình nón ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp Nội dung Hình vẽ Hình nón nội tiếp hình chóp S .ABCD đều là hình nón có đỉnh là S , đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD Hình chóp tứ giác đều S .ABCD S . Khi đó hình nón có: AB , 2  Đường cao h  SI , đường sinh l  SM.  Bán kính đáy r  IM  A D I M B C Hình nón ngoại tiếp hình chóp S .ABCD đều là hình nón Hình chóp có đỉnh là S , đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông S .ABCD ABCD . tứ giác đều S Khi đó hình nón có:  Bán kính đáy: r  IA  AC AB 2  . 2 2 A D I C B  Chiều cao: h  SI .  Đường sinh: l  SA. Hình nón nội tiếp hình chóp S .ABC đều là hình nón có Hình chóp tam giác đều đỉnh là S , đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC . S .ABC S Khi đó hình nón có  Bán kính đáy: r  IM   Chiều cao: h  SI .  Đường sinh: l  SM . AM AB 3  . 3 6 A C I M B Hình nón ngoại tiếp hình chóp S .ABC đều là hình nón Hình chóp tam giác đều có đỉnh là S , đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . S .ABC Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 69 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 S Khi đó hình nón có:  Bán kính đáy: r  IA  2AM AB 3  . 3 3  Chiều cao: h  SI . Đường sinh: l  SA. C A M I B 4.1.4. Dạng 4. Bài toán hình nón cụt Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong hình nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa hai mặt phẳng nói trên được gọi là hình nón cụt. Nội dung Hình vẽ Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với đáy thì được mặt cắt là một hình tròn. Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với trục thì được mặt cắt là một hình thang cân. r Cho hình nón cụt có R, r, h lần lượt là bán kính đáy lớn, bán kính đáy nhỏ và chiều cao. h Diện tích xung quanh của hình nón cụt:   S xq   l R  r . R Diện tích đáy (hình tròn): S đáy 1   r 2   2 S   R  đáy 2 S đáy     r 2  R2 . Diện tích toàn phần của hình nón cụt:   S tp   l R  r   r 2   R 2 . Thể tích khối nón cụt: V  1  h R2  r 2  Rr . 3   4.1.5. Dạng 5. Bài toán hình nón tạo bởi phần còn lại của hình tròn sau khi cắt bỏ đi hình quạt Nội dung Hình vẽ Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 70 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12   Từ hình tròn O; R cắt bỏ đi hình quạt AmB. Độ dài cung  AnB bằng x. Phần còn lại của hình tròn ghép lại được một hình nón. Tìm bán kính, chiều cao và độ dài đường sinh của hình nón đó. Hình nón được tạo thành có l  R  2  . 2 r  x  r  x  h  l 2  r 2 4.2. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt trụ 4.2.1. Dạng 1. Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán kính R Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật ABCD trong O A G M B đó AB  2R và AD  h . Nếu thiết diện qua trục là một hình vuông thì h  2R . Thiết diện song song với trục và không chứa trục là hình chữ nhật BGHC có khoảng cách tới trục là:   d OO ‘; BGHC C D H    OM 4.2.2. Dạng 2. Thể tích khối tứ diện có 2 cạnh là đường kính 2 đáy Nội dung Hình vẽ Nếu như AB và CD là hai đường kính bất kỳ trên hai đáy của hình trụ thì: VABCD  1 AB.CD.OO ‘.sin AB,CD 6  O A  * Đặc biệt: Nếu AB và CD vuông góc nhau thì: 1 VABCD  AB.CD.OO ‘ . 6 4.2.3. Dạng 3. Xác định góc khoảng cách C O’ D Nội dung Hình vẽ Góc giữa AB và trục OO ‘ :    AB, OO ‘   A ‘ AB B O A O’ A’ Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 B Page 71 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Khoảng cách giữa AB và trục OO ‘ :  O A  d AB;OO ‘  OM . O’ M A’ Nếu ABCD là một hình vuông nội tiếp trong hình trụ A O B B thì đường chéo của hình vuông cũng bằng đường chéo của hình trụ. I Nghĩa là cạnh hình vuông: D O’ AB 2  4R2  h 2 . C 4.2.4. Dạng 4. Xác định mối liên hệ giữa diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích khối trụ trong bài toán tối ưu Nội dung Hình vẽ Một khối trụ có thể tích V không đổi.  Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích toàn phần nhỏ nhất:  V R  3  4 Stp min   h  2 3 V  4  Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích xung quanh cộng với diện tích 1 đáy và nhỏ nhất:  V R  3   S min   h  3 V   4.2.5. Dạng 5. Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp một hình lăng trụ đứng Cho hình lăng trụ tam giác đêu nội tiếp trong một hình trụ. Thể tích khối lăng trụ là V thì 4V 9 Cho hình lăng trụ tứ giác đêu ABCD.A ‘ B ‘C ‘ D ‘ ngoại tiếp trong một hình trụ. Diện tích thể tích khối trụ là V(T)  xung quanh hình trụ là S xq thì diện tích xung quanh của hình lăng trụ là S xq  2S  5. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU 5.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 5.1.1. Các khái niệm cơ bản Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy  Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó. Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 72 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.  Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.  Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. 5.1.2. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp. Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp. 5.1.3. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện 5.1.3.1. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương Nội dung Hình vẽ Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương)  Tâm là I , là trung điểm của AC ‘ . Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương).  Bán kính: R  AC ‘ . 2 5.1.3.2. Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn Nội dung Hình vẽ Xét hình lăng trụ đứng A1A2A3 …An .A1′ A2′ A3′ …An’ , trong đó   A …An và A1′ A2′ A3′ …An’ nội tiếp đường tròn O có 2 đáy AA 1 2 3   và O ‘ . Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:  Tâm: I với I là trung điểm của OO ‘ .  Bán kính: R  IA1  IA2  …  IAn’ . 5.1.3.3. Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông Nội dung   SBC   900 . Hình chóp S .ABC có SAC Hình vẽ  Tâm: I là trung điểm của SC . SC  IA  IB  IC . 2 Hình chóp S .ABCD có   SBC   SDC   900 . SAC  Bán kính: R   Tâm: I là trung điểm của SC .  Bán kính: R  SC  IA  IB  IC  ID . 2 Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 73 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 5.1.3.4. Hình chóp đều Nội dung Hình vẽ Cho hình chóp đều S .ABC …  Gọi O là tâm của đáy  SO là trục của đáy.  Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh   bên, chẳng hạn như mp SAO , ta vẽ đường trung trực của cạnh SA là  cắt SA tại M và cắt SO tại I  I là tâm của mặt cầu. Bán kính: Ta có: R  IS  SMI ∽ SOA  SM SI   SO SA Bán kính: SM.SA SA2   IA  IB  IC  … SO 2SO 5.1.3.5. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Nội dung Hình vẽ Cho hình chóp S .ABC … có cạnh bên SA   ABC… và đáy ABC … nội tiếp được trong đường tròn tâm O . Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .ABC … được xác định như sau:  Từ tâm O ngoại tiếp của đường trònđáy, ta vẽ   đường thẳng d vuông góc với mp ABC… tại O .    Trong mp d, SA , ta dựng đường trung trực  của cạnh SA , cắt SA tại M , cắt d tại I  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính R  IA  IB  IC  IS  …  Tìm bán kính Ta có: MIOB là hình chữ nhật. Xét MAI vuông tại M có: 2  SA  R  AI  MI  MA  AO    .  2  2 2 2 5.1.3.6. Hình chóp khác – Dựng trục  của đáy. – Dựng mặt phẳng trung trực  của một cạnh bên bất kì. –      I  I – Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.   là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 5.1.3.7. Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 74 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán. O O Hình vuông: O là giao điểm 2 đường chéo. O Hình chữ nhật: O là giao điểm của hai đường chéo. ∆ đều: O là giao điểm của 2 đường trung tuyến (trọng tâm). O O ∆ vuông: O là trung điểm của cạnh huyền. ∆ thường: O là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh ∆. 5.2. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Nội dung Hình vẽ Cho hình chóp S .A1A2 …An (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu S  ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước: I  Bước 1: O Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng  : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác D A C H đáy. B  Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực ( ) của một cạnh bên. Lúc đó   Tâm O của mặt cầu:   mp(  )  O    Bán kính: R  SA  SO . Tuỳ vào từng trường hợp. 5.3. Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy 5.3.1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Nội dung Hình vẽ Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 75 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Định nghĩa  M Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy. A Tính chất M   : MA  MB  MC Suy ra: MA  MB  MC  M   C H B Các bước xác định trục  Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.  Bước 2: Qua H dựng  vuông góc với mặt phẳng đáy. Một số trường hợp đặc biệt   Đáy là tam giác vuông H B C A   Đáy là tam giác đều B C H A   Đáy là tam giác thường B C H A 5.3.2. Kỹ năng tam giác đồng dạng Nội dung SMO đồng dạng với SIA  Hình vẽ SO SM  . SA SI S M O I A 5.3.3. Nhận xét quan trọng MA  MB  MC M , S :   SM là trục đường tròn ngoại tiếp ABC . SA  SB  SC 5.4. Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện Nội dung Hình vẽ Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 76 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Cho hình chóp S .A1A2 …An (thõa mãn điều kiện tồn tại Δ mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu S ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước: R  Bước 1: d I Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác D đáy. Dựng  : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. C  Bước 2: A B Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp một mặt bên (dễ xác định) của khối chóp. Lúc đó:   Tâm I của mặt cầu:   d  I    Bk: R  IA  IS . Tuỳ vào từng trường hợp. 5.5. Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu 5.5.1. Dạng 1 Nội dung Hình vẽ Cạnh bên SA vuông góc đáy và  ABC  900 khi đó S S SC và tâm là trung điểm SC . R 2 C A A B B D C 5.5.2. Dạng 2 Nội dung Hình vẽ Cạnh bên SA vuông góc đáy và bất kể đáy là hình gì, S chỉ cần tìm được bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy là RD , khi đó : R 2  RD2   RD   Nếu RD  SA2 4 K I abc    4 p p a p b p c  ABC vuông  ( p : nửa chu vi). C A O A tại B 1 AB 2  AC 2  AS 2  .  4  Đáy là hình vuông cạnh a thì RD  thì: a 2 2  nếu đáy là tam giác đều cạnh a thì RD  a 3 . 3 Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 77 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 5.5.3. Dạng 3 Nội dung Hình vẽ Chóp có các cạnh bên bằng nhau: SA  SB  SC  SD : S SA2 . R 2SO  ABCD là hình vuông, hình chữ nhật, khi đó O là A giao hai đường chéo.  ABC vuông, khi đó O là trung điểm cạnh D B C huyền.  ABC đều, khi đó O là trọng tâm, trực tâm. 5.5.4. Dạng 4 Nội dung    Hai mặt phẳng SAB và ABC Hình vẽ  S vuông góc với nhau và có giao tuyến AB . Khi đó ta gọi R1, R2 lần lượt là bán O kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác SAB và ABC . I A Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: J AB 2 R R R  4 2 2 1 C K 2 2 B 5.5.5. Dạng 5 Chóp S.ABCD có đường cao SH , tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là O . Khi đó ta giải  phương trình: SH  x  2 2 2 2  OH 2  x 2  RD2 . Với giá trị x tìm được ta có: R  x  RD . 5.5.6. Dạng 6: Bán kính mặt cầu nội tiếp: r  3V . Stp 6. TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY 6.1. Chỏm cầu Nội dung Hình vẽ   S  2 Rh   r 2  h 2  xq  h  h 2 2  h  3r 2 V   h  R    3 6    h  r R 6.2. Hình trụ cụt Nội dung  S   R h  h 1 2  xq   2 h1  h2 V   R  2   Hình vẽ     h2 h1 R Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 78 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 6.3. Hình nêm loại 1 Nội dung V  Hình vẽ 2 3 R tan  3 6.4. Hình nêm loại 2 Nội dung Hình vẽ  2 V     R 3 tan   2 3 6.5. Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay Nội dung  4 S’ S  parabol  3 Rh; S    1 1 2 V   R h  Vtru  2 2  Hình vẽ 3 3  x a       h R   R R h 6.6. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip Nội dung  Selip   ab  Vxoay quanh 2a   V   xoay quanh 2b Hình vẽ b a a 4  ab 2 3 4 2 a b 3 b 6.7. Diện tích hình vành khăn Nội dung  S   R2  r 2 Hình vẽ  R r 6.8. Thể tích hình xuyến (phao) Nội dung Hình vẽ 2 R  r R  r  V  2     2  2  2 r R Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 79 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 PHẦN 7. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ 1. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 1.1. Các khái niệm và tính chất 1.1.1. Khái niệm mở đầu Trong không gian cho ba trục Ox, Oy, Oz phân biệt và vuông góc từng đôi một. Gốc tọa độ O, truc hoành Ox, trục tung Oy, trục cao Oz , các mặt tọa độ  Oxy  ,  Oyz  ,  Ozx  . 1.1.2. Khái niệm về hệ trục tọa độ Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ Oxyz hay không gian Oxyz. 2  2  2 i  j k 1 2  2 Chú ý: a a    i j  ik  jk  0       1.1.3. Tọa độ véc tơ u  (x ; y; z )  u(x ; y; z )  u  xi  y j  zk     1.1.4. Tọa độ điểm M (x ; y; z )  OM  xi  y j  zk 1.1.5. Các công thức tọa độ cần nhớ   Cho u  (a;b; c), v  (a ;b ; c )  a  a ‘      u  v  b  b ‘     c  c ‘    u  v  a  a ; b  b ; c  c     ku  (ka; kb; kc )       u .v  u . v . cos(u,v )  aa   bb   cc     u.v aa   bb  cc    cos(u,v)     u .v u .v   u     u v   AB  2 u  a 2  b2  c2   u .v  0 x B  x A ; y B  yA ; z B  z A   AB  AB  x B  xA  2   y B  yA 2   z B  zA 2  1.1.6. Chú ý   Góc của 2 véc tơ u, v là góc hình học (nhỏ) giữa 2 tia mang véc tơ có, giá trị trong 0;       là: sin u, v  1  cos2 u, v  0       1.1.7. Chia tỉ lệ đoạn thẳng Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 80 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12   M chia AB theo tỉ số k nghĩa là MA  kMB  x A  kx B x M  1k  y  kyB  Công thức tọa độ của M là : yM  A 1k  z  z A  kz B  M 1k  1.1.8. Công thức trung điểm  xA  xB x M  2     yA  y B  Nếu M là trung điểm AB thì MA  MB  0  yM  2  z  z  A z B  M 2  1.1.9. Công thức trọng tâm tam giác  x A  x B  xC xG  3      yA  yB  yC  Nếu G là trọng tâm của ABC thì GA  GB  GC  0  yG  3  z  z  zC z  A B G  3  1.1.10. Công thức trọng tâm tứ diện Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì  x A  x B  xC  x D xG  4       yA  yB  yC  yD  GA  GB  GC  GD  0  yG  4  z  z  zC  z D z  A B G 4  1.1.11. Tích có hướng 2 véc tơ   Cho 2 véc tơ u  (a; b; c) và v  (a ;b ; c ) ta định nghĩa tích có hướng của 2 véc tơ đó là một     véc tơ, kí hiệu u, v  hay u  v có toạ độ:     b c c a a b  u, v      bc   b c; ca   ac ; ab   ba   ; ;    b c c a  a  b     1.1.12. Tính chất tích có hướng 2 véc tơ       u , v  vuông góc với u và v        u , v   u . v sin u , v         u , v   0  u , v cùng phương 1.1.13. Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 81 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12    Diện tích hình bình hành ABCD : S  AB, AD    1    Diện tích ABC : S  . AB, AC   2         Ba véc tơ u, v, w đồng phẳng: u, v  .w  0    Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành ABCD và cạnh bên AA’ :    V  AB, AD  .AA       1  Thể tích khối tứ diện S . ABC : V  . AB, AC  .SA  6  1.2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp 1.2.1. Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm Phương pháp giải  Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.  Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian. 1.2.2. Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích Phương pháp giải  Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.  Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.  Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt.  Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:         A, B, C thẳng hàng  AB, AC cùng phương  AB  k AC  AB, AC   0    ABCD là hình bình hành  AB  DC  Cho ABC có các chân E , F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của ABC trên BC .  AB  Ta có: EB   .EC , AC  AB  FB  .FC AC     A, B, C , D không đồng phẳng  AB, AC , AD không đồng phẳng     AB, AC  .AD  0 2. MẶT PHẲNG 2.1. Các khái niệm và tính chất 2.1.1. Khái niệm về véc tơ pháp tuyến   n khác 0 và có giá vuông góc mp  P được gọi là véc tơ pháp tuyến của  P. 2.1.2. Tính chất của véc tơ pháp tuyến   Nếu n là véc tơ pháp tuyến của  P thì kn , ( k  0) cũng là véc tơ pháp tuyến của  P. Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 82 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 2.1.3. Phương trình tổng quát của mp  P  Phương trình tổng quát của mp  P qua M (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có véc tơ pháp tuyến n  (A; B;C ) là A(x  x 0 )  B(y  y 0 )  C (z  z 0 )  0 2.1.4. Khai triển của phương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: Ax  By  Cz  D  0 (trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0) 2.1.5. Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát   P  qua gốc tọa độ  D  0   P  song song hoặc trùng Oxy   A  B  0   P  song song hoặc trùng Oyz   B  C  0   P  song song hoặc trùng Ozx   A  C  0   P  song song hoặc chứa Ox  A  0   P  song song hoặc chứa Oy  B  0   P  song song hoặc chứa Oz  C  0   P  cắt Ox tại Aa;0;0 , cắt Oy tại B 0; b;0 và cắt Oz tại C 0;0; c   P  có phương x y z    1 a, b, c  0 a b c 2.1.6. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng  trình  Cho M x 0 ; y 0 ; z 0 và (P ) : Ax  By  Cz  D  0 ; d(M ,(P ))    Ax 0  By0  Cz 0  D A2  B 2  C 2 2.1.7. Chùm mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai   mặt phẳng  và (  ) được gọi là một chùm mặt phẳng  Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng   : A x  B y  C z  D  0 và   : A x  B y  C z  D  0 . Khi đó nếu  P  là mặt phẳng chứa d  thì mặt phẳng P  có dạng : 1 1 1 2 2 2 1 2 m Ax 1  B1 y C1z  D1   n A2 x  B2 y C2 z  D2   0 Với m 2  n 2  0 2.2. Viết phương trình mặt phẳng   Để lập phương trình mặt phẳng    ta cần xác định một điểm thuộc  và một VTPT của nó. Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 83 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 2.2.1. Dạng 1    đi qua điểm M x ; y ; z  có VTPT n  A; B;C  thì:   : A  x  x   B  y  y   C  z  z   0 0 0 0 0 0 2.2.2. Dạng 2 0     đi qua điểm M x ; y ; z  có cặp VTCP a,b thì n  a,b  là 0 0 0   một VTPT của  2.2.3. Dạng 3   đi qua điểm M x ; y ; z  và   : A  x  x   B  y  y   C  z  z   0 0 0 0 0 0 song song với   : Ax  By  Cz  0 thì 0 2.2.4. Dạng 4   đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B,C . Khi đó ta có thể xác định một VTPT của      là: n  AB, AC  2.2.5. Dạng 5   đi qua một điểm M và một đường thẳng d  không chứa M :   Trên d  lấy điểm A và VTCP u .     Một VTPT của   là: n  AM , u  2.2.6. Dạng 6   đi qua một điểm M , vuông góc với đường thẳng d  thì VTCP u d  là một VTPT của   . của đường thẳng 2.2.7. Dạng 7   chứa đường thẳng cắt nhau d , d2 : 1    Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2 .     Một VTPT của  là: n  a , b  .      Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2  M   . 2.2.8. Dạng 8   chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d2 ( d1 , d 2 chéo nhau ) :    Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2 .     Một VTPT của  là: n  a , b  . 1      Lấy một điểm M thuộc d1  M   . 2.2.9. Dạng 9   đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1 , d2 :    Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2 . Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 84 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12     Một VTPT của  là: n  a , b  .   2.2.10. Dạng 10   chứa một đường thẳng d   và vuông góc với một mặt phẳng  :    Xác định VTCP u của d và VTPT n  của  .      là: n  u, n   .    Một VTPT của     Lấy một điểm M thuộc d  M   . 2.2.11. Dạng 11   đi qua điểm M     và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau  ,  :    Xác định các VTPT n , n của  và  .        là: n  u  , n  .    Một VTPT của  2.2.12. Dạng 12   chứa đường thẳng d cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước:    Giả sử () có phương trình: Ax  By  Cz+D  0 A2  B 2  C 2  0 .     Lấy 2 điểm A, B  d  A, B   ( ta được hai phương trình 1 , 2 )   Từ điều kiện khoảng cách d (M ,( ))  k , ta được phương trình 3 .  Giải hệ phương trình 1 , 2 , 3 (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại). 2.2.13. Dạng 13   là tiếp xúc với mặt cầu  S tại điểm H :  Giả sử mặt cầu  S có tâm I và bán kính R.    Một VTPT của   là: n  IH 2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  0 và  P  : Ax  By  C z  D  0. Khi đó:   P cắt  P    A : B : C  A  : B  : C .   P  //  P    P    P    P    P   A B C D    . A B C D A B C D    . A B C D      n P   n P  n P  .n P  0  AA  BB  CC  0.  2.4. Khoảng cách và hình chiếu 2.4.1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 85 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12  Khoảng cách từ điểm M 0 x 0 ; y 0 ; z 0  đến mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 là Ax 0  By0  Cz 0  D d  M 0 ,( )  A2  B 2  C 2 2.4.2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 2.4.3. Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng  MH , n cung phuong Điểm H là hình chiếu của điểm M trên P   . H  ( P )  2.4.4. Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng     Điểm M ‘ đối xứng với điểm M qua  P   MM   2MH 2.5. Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng   ,    có phương   : A x  B y  C z  D  0 Góc giữa   ,    bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT 2 2 2   : A x  B y  C z  D trình: 1 1 1 1 0 2   n1, n2 .   n1.n2 A1A2  B1B2  C1C 2 cos ( ),( )     n1 . n2 A12  B12  C12 . A22  B22  C 22 Chú ý:   00     ,    90 0 ; ( )  ( )  A1A2  B1B2  C 1C 2  0 2.6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu      và S  không có điểm chung  d (I ,( ))  R   tiếp xúc với S   d(I ,( ))  R với   là tiếp diện Cho mặt phẳng  : Ax  By Cz  D  0 và mặt cầu S : (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  R2 có tâm I   Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:      Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của S và vuông góc với  .        Tìm toạ độ giao điểm H của d và  . H là tiếp điểm của S với  .    cắt S  theo một đường tròn  d(I ,( ))  R Để xác định tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:      Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của S và vuông góc với  .    Tìm toạ độ giao điểm H của d và  . Với H là tâm của đường tròn giao tuyến     của S với  .  Bán kính r của đường tròn giao tuyến: r  R 2  IH 2 Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 86 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3. ĐƯỜNG THẲNG 3.1. Phương trình của đường thẳng 3.1.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng 3.1.1.1. Ðịnh nghĩa   Cho đường thẳng d . Nếu vectơ a  0 và có giá song song hoặc trùng với đường phẳng d   thì a được gọi là vectơ chỉ phương của đường phẳng d . Kí hiệu: a  (a1; a2 ;a 3 ) 3.1.1.2. Chú ý    a là VTCP của d thì k .a (k  0) cũng là VTCP của d   Nếu d đi qua hai điểm A, B thì AB là một VTCP của d    Trục Ox có vectơ chỉ phương a  i  (1; 0; 0)    Trục Oy có vectơ chỉ phương a  j  (0;1; 0)    Trục Oz có vectơ chỉ phương a  k  (0; 0;1) 3.1.2. Phương trình tham số của đường thẳng Phương trình tham số của đường thẳng () đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) và nhận  a  (a1 ; a 2 ; a 3 ) làm VTCP là : z  a ( ) M0 M ( x, y , z ) y x  x  ta 0 1  () : y  y 0  ta2 z  z  ta 0 3  t    O x 3.1.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng Phương trình chính tắc của đường thẳng () đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) và nhận  x  x 0 y  y0 z  z 0   a1, a2, a 3  0 a  (a1 ; a 2 ; a 3 ) làm VTCP là () : a1 a2 a3   3.2. Vị trí tương đối 3.2.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng  M a ( )  ( ) a n  n a M a  n a M  a ( ) 3.2.1.1. Phương pháp hình học Định lý Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 87 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 x  x  a t (1) 0 1   Trong không gian Oxyz  cho đường thẳng () : y  y 0  a2t (2) có VTCP a  (a1 ; a 2 ; a 3 ) z  z  a t (3) 0 3   và qua M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 có VTPT n  (A; B;C ) Khi đó :        a.n  0  Aa1  Ba2  Ca3  0    a .n  0   Aa1  Ba2  Ca3  0    / /        Ax0  By0  Cz0  0  M 0   P       a.n  0  Aa1  Ba2  Ca3  0             Ax0  By0  Cz0  0 M 0   P     a  n a Đặc biệt   (  )  (  )  a và n cùng phương  a1 : a 2 : a 3  A : B : C 3.2.1.1. Phương pháp đại số pt() Muốn tìm giao điểm M của  và  ta giải hệ phương trình:  tìm x, y, z. Suy ra: pt( )       Thế 1 ,  2  ,  3  vào phương trình mp  P  và rút gọn dưa về dạng: at  b  0 (*) M x , y, z .  d cắt mp  P  tại một điểm  pt * có một nghiệm t .  d song song với  P   pt * vô nghiệm.       d nằm trong P  Pt * có vô số nghiệm t .    d vuông góc P  a và n cùng phương 3.2.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng M ‘ 0  a  b  u M0  u’ 2 1 2 ‘ 1 M 0 M 0  u  u’ M0 2 M M 0′ M0  u 1 3.2.2.1. Phương pháp hình học ‘ 0 1  u’ 2  Cho hai đường thẳng: 1 đi qua M và có một vectơ chỉ phương u1 .   2 đi qua N và có một vectơ chỉ phương u2 .  1  2  1 // 2        u1 , u2    u1 , MN   0.     u , u   0 1 2    .      u1 , MN   0 Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 88 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12  u , u   0  1 2 .  1 cắt  2      u1 , u2  .MN  0     1 và  2 chéo nhau  u1 , u2  .MN  0. 3.2.2.2. Phương pháp đại số  pt (1 ) Muốn tìm giao điểm M của (1 ) va ( 2 ) ta giải hệ phương trình :  tìm x, y, z. Suy  pt ( 2 )  ra: M x , y, z  3.2.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu x  x  a t (1) 0 1  Cho đường thẳng d : y  y0  a2t (2) và mặt cầu S : (x  a )2  (y  b)2  (z  c)2  R2 có tâm z  z  a t (3) 0 3    I (a;b; c) , bán kính R. 3.2.3.1. Phương pháp hình học  Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I   IM .a   0  h  d (I , d )   a của mặt cầu S  đến đường thẳng d là  Bước 2: So sánh d (I , d ) với bán kính R của mặt cầu:      Nếu d (I , d )  R thì d tiếp xúc S  Nếu d (I , d )  R thì d cắt S  tại hai điểm phân biệt M , Nếu d (I , d )  R thì d không cắt S N và MN vuông góc với đường kính (bán kính) mặt cầu 3.2.2.2. Phương pháp đại số   2  ,  3  Thế 1 , t   vào phương trình S và rút gọn đưa về phương trình bậc hai theo *  Nếu phương trình * vô nghiệm thì d không cắt  S     Nếu phương trình  *  có hai nghiệm thì d cắt S  tại hai điểm phân biệt M ,  Nếu phương trình * có một nghiệm thì d tiếp xúc S  N Chú ý: Ðể tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 89 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.3. Góc trong không gian 3.3.1. Góc giữa hai mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Định lý Trong không gian Oxyz  cho hai mặt phẳng  ,  xác định bởi phương trình : ( ) : A1x  B1y  C 1z  D1  0 ( ) : A2x  B2y  C 2z  D2  0 Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & ( ) ta có công thức: cos   A1A2  B1B2  C 1C 2 A12  B12  C 12 . A22  B22  C 22 3.3.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Nội dung Cho đường thẳng () : x  x0  y  y0 a b và mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 Hình vẽ  z  z0 c Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng () & ( ) ta có công thức: sin   Aa  Bb  Cc A2  B 2  C 2 . a 2  b 2  c 2 3.3.3. Góc giữa hai đường thẳng Nội dung Hình vẽ Cho hai đường thẳng : x  x 0 y  y0 z  z 0   a b c x  x 0 y  y 0 z  z 0 ( 2 ) :   a’ b’ c’ (1 ) : Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (1 ) & (2 ) ta có công thức: cos   aa ‘  bb ‘  cc ‘ a 2  b 2  c 2 . a ‘2  b ‘2  c ‘2 3.4. Khoảng cách 3.4.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 90 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Cho mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 và điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) Khoảng cách từ điểm M 0 đến mặt phẳng ( ) được tính bởi : d(M 0 ; )  Ax 0  By0  Cz 0  D A2  B 2  C 2 3.4.2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Nội dung Hình vẽ Cho đường thẳng () đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có  VTCP u  (a;b;c) . Khi đó khoảng cách từ điểm M1 đến () được tính bởi công thức:   M M ; u   0 1  d (M 1, )   u 3.4.3. Khoảng cách giữa đường thẳng chéo nhau Nội dung Hình vẽ Định lý: Trong không gian nhau :  Oxyz  cho hai đường thẳng chéo  (1) co VTCP u  (a;b;c) va qua M0 (x0; y0; z0 )  (2 ) co VTCP u’  (a ‘ ;b’ ;c’ ) va qua M0′ (x0′ ; y0′ ; z 0′ ) Khi đó khoảng cách giữa (1 ) va ( 2 ) được tính bởi    u, u ‘  .M M ‘   0 0 công thức d (1, 2 )    u; u ‘    3.5. Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định 1 điểm thuộc d và một VTCP của nó. 3.5.1. Dạng 1 x  x  a t o 1   d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có VTCP a  (a1; a2 ; a 3 ) là (d) : y  yo  a2t z  z  a t o 3  (t  R). 3.5.2. Dạng 2  d đi qua hai điểm A, B : Một VTCP của d là AB . 3.5.3. Dạng 3 Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 91 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và song song với đường thẳng  cho trước: Vì d / / nên VTCP của  cũng là VTCP của d . 3.5.4. Dạng 4     d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và vuông góc với mặt phẳng P cho trước: Vì d  P nên   VTPT của P cũng là VTCP của d . 3.5.5. Dạng 5 d là giao tuyến của hai mặt phẳng  P  , Q :  Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP. (P )  Tìm toạ độ một điểm A  d : bằng cách giải hệ phương trình  (với việc chọn (Q ) giá trị cho một ẩn)     Tìm một VTCP của d : a  n P , nQ   Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. 3.5.6. Dạng 6 d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 :    Vì d  d1, d  d2 nên một VTCP của d là: a  ad , ad   1 2 3.5.7. Dạng 7 d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) , vuông góc và cắt đường thẳng  .  Cách 1: H   Gọi H là hình chiếu vuông góc của M 0 trên đường thẳng  . Thì    . Khi M 0H  u đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M 0 , H .  Cách 2:     Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d ; Q là mặt phẳng đi qua A và     chứa d. Khi đó d  P  Q 3.5.8. Dạng 8 d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và cắt hai đường thẳng d1, d2 :  Cách 1: Gọi M 1  d1, M 2  d2 . Từ điều kiện M , M 1, M 2 thẳng hàng ta tìm được M 1, M 2 . Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d .  Cách 2:         Gọi P  (M 0 , d1 ) , Q  (M 0 , d2 ) . Khi đó d  P  Q . Do đó, một VTCP của d có    thể chọn là a  n P , nQ  . Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 92 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.5.9. Dạng 9 d nằm trong mặt phẳng  P  và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 :     Tìm các giao điểm A  d1  P , B  d2  P . Khi đó d chính là đường thẳng AB. 3.5.10. Dạng 10     Viết phương trình mặt phẳng P chứa  và d1, mặt phẳng Q chứa  và d2 .     Khi đó d  P  Q . 3.5.11. Dạng 11 d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau:  Cách 1: MN  d1 Gọi M 1  d1, M 2  d2 . Từ điều kiện  , ta tìm được M , N . Khi đó, d là MN  d2 đường thẳng MN.  Cách 2:     Vì d  d1 và d  d2 nên một VTCP của d có thể là: a  ad , ad  .  1 2  Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa d và d1, bằng cách:  Lấy một điểm A trên d1.     Một VTPT của  P  có thể là: n P  a , ad  .  1   Tương tự lập phương trình mặt phẳng Q  chứa d và d2 . Khi đó d   P   Q  . 3.5.12. Dạng 12 d là hình chiếu của đường thẳng  lên mặt phẳng  P  thì ta Lập phương trình mặt phẳng Q  chứa  và vuông góc với mặt phẳng P  bằng cách:  Lấy M   .     Vì Q  chứa  và vuông góc với  P  nên nQ  a  , n P  .  Khi đó d   P   Q  . 3.5.13. Dạng 13 d đi qua điểm M , vuông góc với d1 và cắt d2 :  Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d2 . Từ điều kiện MN  d1, ta tìm được N. Khi đó, d là đường thẳng MN.  Cách 2:   Viết phương trình mặt phẳng Q  chứa M  Viết phương trình mặt phẳng P qua M và vuông góc với d1.  và d2 . Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 93 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12  Khi đó d   P   Q  . 3.6. Vị trí tương đối 3.6.1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng.  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng. 3.6.2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng.  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng. 3.6.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu ta có thể sử dụng các phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và bán kính.  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu. 3.7. Khoảng cách 3.7.1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d  Cách 1:  M M , a    0  Cho đường thẳng d đi qua M 0 và có VTCP a thì d (M , d )   a  Cách 2:  Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d.    d M , d  MH .  Cách 3:  Gọi N x ; y; z  d . Tính MN 2 theo t (t tham số trong phương trình đường thẳng   d). 2  Tìm t để MN nhỏ nhất.  Khi đó N  H. Do đó d  M , d   MH . 3.7.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 94 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12  Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 . Biết d1 đi qua điểm M1 và có VTCP a 1 , d2 đi     a   1, a2  .M1M 2 qua điểm M 2 và có VTCP a 2 thì d(d1, d2 )    a1, a2  Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 bằng khoảng cách giữa d1 với mặt phẳng   chứa d2 và song song với d1. 3.7.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia. 3.7.4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song   Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng  song song với nó bằng khoảng cách   từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng  . 3.8. Góc 3.8.1. Góc giữa hai đường thẳng   Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP a1, a2 .   a1.a2     Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa a1, a2 là: cos a1, a2     a1 . a2 3.8.2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng   Cho đường thẳng d có VTCP a  (a1; a2 ;a 3 ) và mặt phẳng  có VTPT n  (A; B;C ) .   Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng   bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu   d ‘ của nó trên   là: sin d ,    Aa1  Ba2  Ca3 A2  B 2  C 2 a12  a2 2  a32 4. MẶT CẦU 4.1. Phương trình mặt cầu 4.1.1. Phương trình chính tắc     Phương trình của mặt cầu S tâm I a ; b; c , bán kính R là:  (S ) : (x  a )2  (y  b)2  (z  c )2  R 2 1  Phương trình 1 được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu Đặc biệt: Khi I  O thì (C ) : x 2  y 2  z 2  R 2 4.1.2. Phương trình tổng quát Phương trình : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 với a 2  b 2  c 2  d  0 là phương trình của mặt cầu S có tâm I a ; b; c , bán kính R  a 2  b 2  c 2  d .     Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 95 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 4.2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng   Cho mặt phẳng ( ) và mặt cầu S có phương trình : ( ) : Ax  By  Cz  D  0 (S ) : (x  a )2  (y  b)2  (z  c)2  R2   Gọi d (I ;  ) là khoảng cách từ tâm mặt cầu S đến mặt phẳng  Cho mặt cầu S  I ; R  và mặt phẳng  P .   Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên  P  d  IH  d I ,  P  . d R Mặt cầu và mặt phẳng d R Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu: d R Mặt phẳng cắt mặt cầu P  không có điểm chung. là mặt phẳng tiếp diện của theo thiết diện là đường tròn có tâm I  và bán kính mặt cầu và H : tiếp điểm. r  R 2  IH 2 4.3. Một số bài toán liên quan 4.3.1. Dạng 1 S  có tâm I a;b;c  và bán kính R   thì S : (x  a )2  (y  b)2  (z  c)2  R 2 4.3.2. Dạng 2 S  có tâm I a;b;c  và đi qua điểm A thì bán kính R  IA . 4.3.3. Dạng 3 S  nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:  Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB : x I  xA  xB 2  Bán kính R  IA  ; yI  y A  yB 2 ; zI  zA  zB 2 AB . 2 4.3.4. Dạng 4 S  đi qua bốn điểm A, B,C , D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)  Giả sử phương trình mặt cầu S  có dạng: x  y  z  2ax  2by  2cz  d  0  *  .  Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B,C , D vào  *  , ta được 4 phương trình. 2 2 2 Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 96 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12  Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d  Phương trình mặt cầu S  . 4.3.5. Dạng 5 S  đi qua ba điểm A, B,C   và có tâm I nằm trên mặt phẳng P cho trước thì giải tương tự dạng 4 4.3.6. Dạng 6 S  có tâm I   và tiếp xúc với mặt cầu T cho trước:    Xác định tâm I và bán kính R ‘ của mặt cầu T .  Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu S  . (Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và ngoài) Chú ý:    d  0 thì S  có tâm I  –a; –b; –c  và bán kính R  Với phương trình mặt cầu S : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 với a 2  b 2  c 2 a 2  b2  c2  d . Đặc biệt:     I I  R  R  S  , S  trong nhau I I  R  R  S  , S  ngoài nhau I I  R  R  S  , S  tiếp xúc trong I I  R  R  S  , S  tiếp xúc ngoài R  R  I I  R  R  S  , S  cắt Cho hai mặt cầu S 1 I 1, R1 và S 2 I 2 , R2 .      1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 nhau theo một đường tròn (đường tròn 2 giao tuyến). 4.3.7. Dạng 7       Viết phương trình mặt cầu S có tâm I a ;b; c , tiếp xúc với mặt phẳng P cho trước thì    bán kính mặt cầu R  d I ; P 4.3.8. Dạng 8       Viết phương trình mặt cầu S có tâm I a;b; c , cắt mặt phẳng P cho trước theo giao tuyến là một đường tròn thoả điều kiện .  Đường tròn cho trước (bán kính hoặc diện tích hoặc chu vi) thì từ công thức diện tích đường tròn S   r 2 hoặc chu vi đường tròn P  2 r ta tìm được bán kính đường tròn giao tuyến r .     Tính d  d I , P  Tính bán kính mặt cầu R  d 2  r 2  Kết luận phương trình mặt cầu. 4.3.9. Dạng 9 Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 97 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12   Viết phương trình mặt cầu S  tiếp xúc với một đường thẳng  cho trước và có tâm      I a ;b; c cho trước thì đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S ta có R  d I,  . 4.3.10. Dạng 10    Viết phương trình mặt cầu S tiếp xúc với một đường thẳng  tại tiếp điểm M x o , yo , z o  thuộc  và có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước thì ta làm như sau:    Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng  .    Toạ độ tâm I  P   là nghiệm của phương trình.   Kết luận về phương trình mặt cầu S   Bán kính mặt cầu R  IM  d I,  .  4.3.10. Dạng 10   có tâm I a;b;c  Viết phương trình mặt cầu S và cắt đường thẳng  tại hai điểm A, B thoả mãn điều kiện:  Độ dài AB là một hằng số.  Tam giác IAB là tam giác vuông.  Tam giác IAB là tam giác đều.   Thì ta xác định d I ,   IH , vì IAB cân tại I nên HB  AB và bán kính mặt cầu R 2 được tính như sau:  R  IH 2  HB 2  R IH sin 45o  R IH sin 60o 4.3.11. Dạng 11   Tập hợp điểm là mặt cầu. Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất P nào đó.  Tìm hệ thức giữa các toạ độ x , y, z của điểm M . (x  a )2  (y  b )2  (z  c )2  R 2 hoặc: x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0  Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có). 4.3.12. Dạng 12 Tìm tập hợp tâm mặt cầu x  f (t )   Tìm toạ độ của tâm I , chẳng hạn: y  g(t ) * z  h (t )     Khử t trong * ta có phương trình tập hợp điểm.  Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có). Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 98 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 5. MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN 5.1. Dạng 1 Cho  P  và hai điểm A, B. Tìm M   P  để  MA  MB  ? min Phương pháp  Nếu A và B trái phía so với  P   M , A, B thẳng hàng  M  AB   P   Nếu A và B cùng phía so với  P  thì tìm B ‘ là đối xứng của B qua  P  5.2. Dạng 2   Cho  P  và hai điểm A, B. Tìm M  P để MA  MB max ? Phương pháp  Nếu A và B cùng phía so với  P   M , A, B thẳng hàng  M  AB   P   Nếu A và B trái phía so với  P  thì tìm B ‘ là đối xứng của B qua  P   MA  MB ‘  AB ‘ 5.3. Dạng 3  Cho điểm M x M ; yM ; z M P  qua M  không thuộc các trục và mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình và cắt 3 tia Ox ,Oy,Oz lần lượt tại A, B,C sao cho VO .ABC nhỏ nhất? Phương pháp P  : 3xx M  y z  1 3yM 3z M 5.4. Dạng 4   Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d , sao cho khoảng cách từ điểm M  d đến  P  là lớn nhất? Phương pháp Qua A  d     P :   u d , AM  , u d  n P          5.5. Dạng 5   Viết phương trình mặt phẳng P qua A và cách M một khảng lớn nhất ? Phương pháp Qua A  P :  n P   AM     5.6. Dạng 6     Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d , sao cho P tạo với  (  không song song với d ) một góc lớn nhất là lớn nhất ? Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 99 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Phương pháp Qua A  d     P :      n  u , u , u  P    d   d    5.7. Dạng 7   Cho  / / P . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) song song với  và cách  một khoảng nhỏ nhất ? Phương pháp Qua A  . Lấy A   , gọi A là hình chiếu vuông góc của A trên P thì d :   u  u d     5.8. Dạng 8   Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và nằm trong mặt phẳng P cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là lớn nhất ( AM không vuông   góc với P ) ? Phương pháp Qua A  d    d :    u d  n  P  , AM    5.9. Dạng 9   Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và nằm trong mặt phẳng P cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là nhỏ nhất ( AM không vuông   góc với P ) ? Phương pháp Qua A  d     d :   n P  , AM  , n P   u d       5.10. Dạng 10   Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A  P cho trước, sao cho d nằm trong P  và tạo với đường thẳng    một góc nhỏ nhất (  cắt nhưng không vuông góc với P )? Phương pháp Qua A  d     d :      u  n  d   P  , AM  , n P   Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 100