Tổng hợp lý thuyết môn Toán 12 – Nguyễn Hoàng Việt

Giới thiệu Tổng hợp lý thuyết môn Toán 12 – Nguyễn Hoàng Việt

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Tổng hợp lý thuyết môn Toán 12 – Nguyễn Hoàng Việt.

Tổng hợp lý thuyết môn Toán 12 – Nguyễn Hoàng Việt

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu Tổng hợp lý thuyết môn Toán 12 – Nguyễn Hoàng Việt

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 12 tại đây

Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star MỤC LỤC PHẦN I Đại số 1 CHƯƠNG 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 1 2 3 4 5 6 7 8 3 Sự đồng biến nghịch biến của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cực trị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đường tiệm cận của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tương giao đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Điểm đặc biệt của họ đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CHƯƠNG 2 Mũ và Logarit 1 2 3 4 3 7 15 16 17 25 27 30 35 Lũy thừa và hàm số lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lôgarit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bất phương trình mũ và logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài toán lãi suất ngân hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CHƯƠNG 3 Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng tích phân 35 38 39 41 45 1 2 3 4 5 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Các phương pháp tính nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phương pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 CHƯƠNG 4 Số phức 1 2 3 45 47 51 52 54 69 Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Phép cộng trừ, nhân chia số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Phương trình bậc hai với hệ số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 MỤC LỤC i Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 4 5 Tập hợp điểm biểu diễn số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Bài toán liên quan đến max, min mô-đun số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 PHẦN II Hình học 75 CHƯƠNG 1 Khối đa diện 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Khối lăng trụ và khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hai đa diện bằng nhau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phân chia và lắp ghép các khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Khối đa diện lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thể tích khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Các công thức hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . Các công thức đặc biệt của thể tích tứ diện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CHƯƠNG 2 Mặt nón – mặt trụ – mặt cầu 1 2 3 4 5 6 77 77 78 80 80 83 85 87 90 93 Mặt nón tròn xoay và khối nón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Mặt trụ tròn xoay và khối trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Mặt cầu và khối cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 CHƯƠNG 3 Hệ tọa độ trong không gian 1 2 3 4 5 77 123 Hệ tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Một số bài toán giải nhanh cực trị không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 ii Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star PHẦN I ĐẠI SỐ 1 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 2 Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star CHƯƠNG 1 BÀI ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A ĐỊNH NGHĨA Ký hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên K, ta có  Hàm số y = f (x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 thì f (x1 ) < f (x2 ).  Hàm số y = f (x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 thì f (x1 ) > f (x2 ). Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K. Nhận xét.  Hàm số f (x) đồng biến trên K khi và chỉ khi f (x2 ) − f (x1 ) > 0, ∀x1 , x2 ∈ K, x1 6= x2 . x2 − x1 y O x Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.  Hàm số f (x) nghịch biến trên K khi và chỉ khi y f (x2 ) − f (x1 ) < 0, ∀x1 , x2 ∈ K, x1 6= x2 . x2 − x1 Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải. O x 3 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Nếu f 0 (x) > 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (a; b).  Nếu f 0 (x) < 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (a; b).  Nếu f 0 (x) = 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số f (x) không đổi trên khoảng (a; b).  Nếu hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (a; b) thì f 0 (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b).  Nếu hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (a; b) thì f 0 (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b).  Nếu thay đổi khoảng (a; b) bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số f (x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. B QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Cho u = u(x), v = v(x) và C là hằng số. 0  Tổng, hiệu: (u ± v) = u0 ± v 0 .  Tích: (uv)0 = u0 v + v 0 u ⇒ (C · u)0 = C · u0 . Å ã0  u 0 u0 · v − v 0 · u C C · u0  Thương: = , (v = 6 0) ⇒ = − . v v2 u u2  Đạo hàm hàm hợp: Nếu y = f (u) với u = u(x) thì yx0 = yu0 · u0x . C CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM HÀM PHÂN THỨC Å ã ax + b ax + b 0 ad − bc  y= ⇒ y0 = = . cx + d cx + d (cx + d)2 a 2  y= ax + bx + c ⇒ y0 = a0 x2 + b0 x + c0 Å 2 ax + bx + c a0 x2 + b0 x + c0 ã0 = a b 0 b 0 x2 + 2 a 0 a c 0 c x+ 2 (a0 x2 + b0 x + c0 ) D BẢNG CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM Hàm sơ cấp 0 (C) = 0, α 0 Hàm hợp (C là hằng số) (x ) = α · xα−1 Å ã0 1 1 = − 2 , (x 6= 0) x x √ 0 1 ( x) = √ , (x > 0) 2 x 0 (uα ) = α · uα−1 · u0 Å ã0 1 u0 = − 2 , (u 6= 0) u u √ 0 u0 ( u) = √ , (u > 0) 2 u 4 Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn b 0 b c c0 . Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star (sin x)0 = cos x (sin u)0 = u0 · cos u (cos x)0 = − sin x 1 (tan x)0 = cos2 x 1 (cot x)0 = − 2 sin x 0 (sinn x) = n · sinn−1 x · cos x (cos u)0 = −u0 · sin u u0 (tan u)0 = cos2 u u0 0 (cot u) = − 2 sin u 0 (sinn u) = n · u0 · sinn−1 u · cos u 0 (cosn x) = −n · cosn−1 x · sin x 1 0 (tann x) = n · tann−1 x · cos2 x 1 0 (cotn x) = −n · cotn−1 x · sin2 x x 0 x (e ) = e 0 (ax ) = ax · ln a 1 (ln |x|)0 = , (x 6= 0) x 1 0 (loga |x|) = , (x 6= 0) x ln a 0 (cosn u) = −n · u0 · cosn−1 u · sin u 1 0 (tann u) = n · u0 · tann−1 u · cos2 u 1 0 (cotn u) = −n · u0 · cotn−1 u · sin2 u u 0 0 u (e ) = u · e 0 (au ) = u0 · au · ln a u0 (ln |u|)0 = , (u 6= 0) u u0 0 (loga |u|) = , (u 6= 0) u · ln a E ĐẠO HÀM CẤP HAI 1 Định nghĩa 0 f 00 (x) = [f 0 (x)] . 2 Ý nghĩa cơ học Gia tốc tức thời của chuyển động s = f (t) tại thời điểm t0 là a (t0 ) = f 00 (t0 ). 3 Đạo hàm cấp cao î ó0 f (n) (x) = f (n−1) (x) , (n ∈ N, n ≥ 2). F MỘT SỐ CHÚ Ý  Nếu hàm số f (x) và g(x) cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số f (x)+g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu f (x) − g(x).  Nếu hàm số f (x) và g(x) là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số f (x) · g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số f (x), g(x) không là các hàm số dương trên K. 1. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số 5 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Nhận xét. Cho hàm số u = u(x) xác định với mọi x ∈ (a; b) và u(x) ∈ (c; d). Hàm số f [u(x)] cũng xác định với x ∈ (a; b).  Giả sử hàm số u = u(x) đồng biến với x ∈ (a; b). Khi đó, hàm số f [u(x)] đồng biến với x ∈ (a; b) khi và chỉ khi f (u) đồng biến với u ∈ (c; d).  Giả sử hàm số u = u(x) nghịch biến với x ∈ (a; b). Khi đó, hàm số f [u(x)] nghịch biến với x ∈ (a; b) khi và chỉ khi f (u) nghịch biến với u ∈ (c; d). G QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K.  Nếu f 0 (x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f 0 (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K thì hàm số f đồng biến trên K.  Nếu f 0 (x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f 0 (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K thì hàm số f nghịch biến trên K. Chú ý ax + b  Đối với hàm phân thức hữu tỉ y = , cx + d dấu đạo hàm y 0 không xảy ra. Å ã d x 6= − thì dấu “=” khi xét c  Giả sử y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ⇒ f 0 (x) = 3ax2 + 2bx + c. • Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi ® a>0  ∆≤0   f 0 (x) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  a=0    b=0   c > 0. • Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi ® a<0  ∆≤0   f 0 (x) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔   a = 0   b=0   c < 0. 6 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Trường hợp a = b = 0 thì c phải khác 0. Vì nếu a = b = c = 0 thì f (x) = d có đồ thị là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox nên không đơn điệu.  Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng ` ta giải như sau • Bước 1. Tính y 0 = f 0 (x; m) = ax2 + bx + c. • Bước 2. Hàm số đơn điệu trên (x1 ; x2 ) khi®và chỉ khi y 0 = 0 có 2 a 6= 0 nghiệm phân biệt. Điều kiện tương đương là (∗) ∆ > 0. • Bước 3. Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng ` khi và chỉ khi 2 |x1 − x2 | = ` ⇔ (x1 + x2 ) − 4×1 x2 = `2 ⇔ S 2 − 4P = `2 . (∗∗) • Bước 4. Giải (∗) và giao với (∗∗) để suy ra giá trị m cần tìm. BÀI 2 CỰC TRỊ HÀM SỐ A ĐỊNH NGHĨA Giả sử hàm f xác định trên tập K và x0 ∈ K. Ta nói  x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa x0 sao cho (a; b) ⊂ K và f (x) > f (x0 ), ∀x ∈ (a; b) \ {x0 }. Khi đó f (x0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .  x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa x0 sao cho (a; b) ⊂ K và f (x) < f (x0 ), ∀x ∈ (a; b) \ {x0 }. Khi đó f (x0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f .  Điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.  Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.  Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì điểm (x0 ; f (x0 )) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f . Nhận xét. 2. Cực trị hàm số 7 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Giá trị cực đại (cực tiểu) f (x0 ) nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập D; f (x0 ) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a; b) nào đó chứa x0 hay nói cách khác khi x0 là điểm cực đại (cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a; b) chứa x0 sao cho f (x0 ) là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng (a; b).  Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K. Hàm số có thể không có cực trị trên một tập cho trước. B MINH HỌA ĐỒ THỊ Với (a; b) là khoảng chứa tất cả các số thực thỏa a < x < b. y y (c; f (c)) f (c) f (c) (c; f (c)) O c x Hàm số f đạt cực đại tại x = c O c x Hàm số f đạt cực tiểu tại x = c C MỘT SỐ ĐIỂM CẦN LƯU Ý  Hàm số f có cực trị khi và chỉ khi y 0 đổi dấu.  Hàm số f không có cực trị khi và chỉ khi y không đổi dấu. 0 y Điểm cực đại của đồ thị  Hàm số f chỉ có 1 cực trị khi và chỉ khi y 0 đổi dấu 1 lần.  Hàm số f có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu) khi và chỉ khi y 0 đổi dấu 2 lần. yCĐ  Cách gọi tên: cực trị, điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số,. . . Điểm cực tiểu của hàm số Điểm cực đại của hàm số  Hàm số f có 3 cực trị khi và chỉ khi y 0 đổi dấu 3 lần.  Đối với một hàm số bất kỳ, hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc đạo hàm không xác định. Giá trị cực đại (cực đại) của hàm số xCT xCĐ O x yCT Giá trị cực tiểu (cực tiểu) của hàm số Điểm cực tiểu của đồ thị 8 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star D ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ Định lí 1. Giả sử hàm số y = f (x) đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu y = f (x) có đạo hàm tại điểm x0 thì f 0 (x0 ) = 0. Chú ý !  Đạo hàm f 0 (x) có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0 .  Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.  Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm. E ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ Định lí 2. Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm x0 thì f 0 (x0 ) = 0.  Nếu f 0 (x) > 0 trên khoảng (x0 − h; x0 ) và f 0 (x) < 0 trên khoảng (x0 ; x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f (x).  Nếu f 0 (x) < 0 trên khoảng (x0 − h; x0 ) và f 0 (x) > 0 trên khoảng (x0 ; x0 + h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f (x). F QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ 1 Quy tắc 1 Để tìm cực trị của hàm số y = f (x) ta thực hiện theo các bước sau  Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f 0 (x).  Bước 2: Tìm các điểm xi (i = 1; 2; . . .) mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.  Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu của f 0 (x). Nếu f 0 (x) đổi dấu khi đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi . Định lí 3. Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x0 − h; x0 + h) với h > 0. Khi đó  Nếu f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0 .  Nếu f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0 . Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số. 2. Cực trị hàm số 9 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 2 Quy tắc 2 Để tìm cực trị của hàm số y = f (x) ta thực hiện theo các bước sau  Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f 0 (x).  Bước 2: Tìm các nghiệm xi (i = 1; 2; . . .) của phương trình f 0 (x) = 0.  Bước 3: Tính f 00 (x) và tính f 00 (xi ). • Nếu f 00 (xi ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xi . • Nếu f 00 (xi ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xi . G MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 1 Cực trị của hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d, (a 6= 0) 1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước. (a) Bài toán tổng quát Cho hàm số y = f (x; m) = ax3 + bx2 + cx + d. Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 , x2 thỏa mãn điều kiện K cho trước. Phương pháp  Bước 1: Tập xác định D = R. Đạo hàm y 0 = 3ax2 + 2bx + c = Ax2 + Bx + C.  Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu) khi và chỉ khi y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt và y 0 đổi dấu qua hai nghiệm đó. Phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ® ® A = 3a 6= 0 a 6= 0 ⇔ 2 ⇒ m ∈ D1 . 2 2 ∆y0 = B − 4AC = 4b − 12ac > 0 b − 3ac > 0  Bước 3: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình y 0 = 0. Khi đó  B 2b  S = x1 + x2 = − = − A 3a  P = x x = C = c . 1 2 A 3a  Bước 4: Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P . Từ đó giải ra tìm được m ∈ D2 .  Bước 5: Kết luận các giá trị m thỏa mãn m ∈ D1 ∩ D2 . ! 4 Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0). Ta có y 0 = 3ax2 + 2bx + c. 10 Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Hàm số không có cực trị khi b2 − 3ac ≤ 0.  Hàm số có hai điểm cực trị khi b2 − 3ac > 0. (b) Điều kiện để hàm số có các điểm cực trị cùng dấu, trái dấu.  Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi và chỉ khi phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu, tức là A · C = 3ac < 0 ⇔ ac < 0.  Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu khi và chỉ khi phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu, tức là   ∆y 0 > 0 P = x1 x2 = C > 0. A  Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu dương khi và chỉ khi phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt, tức là  ∆y 0 > 0      B S = x1 + x2 = − > 0 A    C  P = x1 x2 = > 0. A  Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu âm khi và chỉ khi phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt, tức là  ∆y 0 > 0      B S = x1 + x2 = − < 0 A    C  P = x1 x2 = > 0. A ± x1 < α < x2 (c) Tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1 < x2 < α α < x1 < x2 .  Hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1 < α < x2 khi và chỉ khi (x1 − α)(x2 − α) < 0 ⇔ x1 x2 − α(x1 + x2 ) + α2 < 0.  Hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1 < x2 < α khi và chỉ khi ® ® (x1 − α)(x2 − α) > 0 x1 x2 − α(x1 + x2 ) + α2 > 0 ⇔ x1 + x2 < 2α x1 + x2 < 2α. 2. Cực trị hàm số 11 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn α < x1 < x2 khi và chỉ khi ® ® (x1 − α)(x2 − α) > 0 x1 x2 − α(x1 + x2 ) + α2 > 0 ⇔ x1 + x2 > 2α x1 + x2 > 2α. 2 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác phía so với một đường thẳng. (a) Vị trí tương đối của hai điểm với đường thẳng. Cho hai điểm A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) và đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0.  Nếu (axA + byA + c)(axB + byB + C) < 0 thì hai điểm A, B nằm về hai phía so với đường thẳng ∆.  Nếu (axA + byA + c)(axB + byB + C) > 0 thì hai điểm A, B nằm cùng phía so với đường thẳng ∆. (b) Một số trường hợp đặc biệt.  Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về một phía đối với trục Oy khi và chỉ khi hàm số có 2 điểm cực trị cùng dấu, tức là phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.  Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về hai phía đối với trục Oy khi và chỉ khi hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu, tức là phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm trái dấu.  Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về một phía đối với trục Ox khi và chỉ khi phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt và yCĐ · yCT > 0. Đặc biệt • Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng về phía trên đối với trục® Ox khi và chỉ khi phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt yCĐ · yCT > 0 và yCĐ + yCT > 0. • Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng về phía dưới đối với trục® Ox khi và chỉ khi phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt yCĐ · yCT > 0 và yCĐ + yCT < 0.  Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía đối với trục Ox khi và chỉ khi phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt và yCĐ · yCT < 0. (Áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số).  Hoặc các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía đối với trục Ox khi và chỉ khi đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt (khi nhẩm được nghiệm) hay phương trình hoành độ giao điểm f (x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt. 3 Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị. 12 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Å g(x) = 2c 2b2 − 3 9a ã x+d− bc y 0 · y 00 hoặc g(x) = y − 9a 18a hoặc g(x) = y − y 0 · y 00 3y 000 4 Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là AB = b2 − 3ac 4e + 16e3 với e = . a 9a 2 Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c, (a 6= 0) 1 Một số kết quả cần nhớ.  Hàm số có một cực trị khi và chỉ khi ab ≥ 0.  Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi ab < 0. ®  Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu khi và chỉ khi ®  Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại khi và chỉ khi ®  Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại khi và chỉ khi b ≥ 0. a<0 b ≤ 0. a>0 b < 0. ®  Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại khi và chỉ khi a>0 a<0 b > 0. 2 Một số công thức tính nhanh. Ç … å b ∆ Giả sử đồ thị hàm số y = ax +bx +c có 3 điểm cực trị là A(0; c), B − − ; − , 2a 4a Ç… å b ∆ C − ;− tạo thành tam giác ABC thỏa mãn điều kiện ab < 0. 2a 4a 4 2 3 ’ = α thì cot2 α = − b . Đặt BAC 2 8a a > 0, b < 0 Công thức a < 0, b > 0 2. Cực trị hàm số 13 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star y A x1 x2 x O B C … … b b x1 = − − , x2 = − , 2a Ç … 2a å b ∆ A(0; c), B − − ;− , 2a 4a å Ç… b ∆ − ;− . C 2a 4a y B C O x1 x2 x A 3 ’ = α thì cot2 α = − b . Đặt BAC 2 8a MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH LIÊN QUAN ĐẾN BA ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG STT Dữ Kiện Công thức thoả mãn ab < 0 và c 6= 0 1 Tam giác ABC vuông cân tại A b3 = −8a 2 Tam giác ABC đều b3 = −24a 3 Tam giác ABC có diện tích S4ABC = S0 4 Tam giác ABC có diện tích maxS0 5 Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r4ABC = r0 32a3 (S0 ) + b5 = 0 … b5 S0 = − 32a3 b2 Ç … r= 2 4|a| 1 + b3 1− 8a b3 − 8a 8|a|b 6 Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R4ABC = R R= 7 Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m0 am20 + 2b = 0 8 Tam giác ABC có độ dài cạnh AB = AC = n0 16a2 n20 − b4 + 8ab = 0 9 Tam giác ABC có cực trị B, C ∈ Ox b2 = 4ac 10 Tam giác ABC có 3 góc nhọn  b 8a + b3 > 0 11 Tam giác ABC có trọng tâm O b2 = 6ac 12 Tam giác ABC có trực tâm O b3 + 8a − 4ac = 0 13 Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành hình thoi b2 = 2ac 14 Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp b3 − 8a − 4abc = 0 14 Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn å Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 15 Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp b3 − 8a − 8abc = 0 16 Tam giác ABC có cạnh BC = kAB = kAC 17 Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau  b3 · k 2 − 8a k 2 − 4 = 0 √ b2 = 4 2|ac| 18 Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành b2 = 8ac Phương trình Å đường tròn ã ngoạiÅtiếp 4ABC ã là 2 ∆ 2 ∆ 2 2 x +y − − +c y+c − =0 b 4a b 4a 19 BÀI 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A ĐỊNH NGHĨA 1 Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên D nếu ® f (x) ≤ M, ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D, f (x0 ) = M. Kí hiệu: M = max f (x). x∈D 2 Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên D nếu ® f (x) ≥ m, ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D, f (x0 ) = m. Kí hiệu: m = min f (x). x∈D B PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN 1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp  Tính f 0 (x) và tìm các điểm x1 , x2 , . . ., xn ∈ D mà tại đó f 0 (x) = 0 hoặc hàm số không có đạo hàm.  Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. 2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn 3. Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất 15 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Hàm số đã cho y = f (x) xác định và liên tục trên trên đoạn [a; b].  Tìm các điểm x1 , x2 , . . ., xn trên khoảng (a; b), tại đó f 0 (x) = 0 hoặc f 0 (x) không xác định.  Tính f (a), f (x1 ), f (x2 ), . . ., f (xn ), f (b).  Khi đó • max f (x) = max{f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn ), f (a), f (b)}. x∈[a;b] • min f (x) = min{f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn ), f (a), f (b)}. x∈[a;b] 3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng  Tính đạo hàm f 0 (x).  Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ (a; b) của phương trình f 0 (x) = 0 và tất cả các điểm αi ∈ (a; b) làm cho f 0 (x) không xác định.  Tính A = lim+ f (x), B = lim− f (x), f (xi ), f (αi ). x→a x→b  So sánh các giá trị và kết luận M = max f (x), m = min f (x). x∈(a;b) x∈(a;b) Lưu ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận hàm số không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). Chú ý:  Nếu y = f (x) đồng biến trên [a; b] thì min f (x) = f (a) và max f (x) = f (b). x∈[a;b] x∈[a;b]  Nếu y = f (x) nghịch biến trên [a; b] thì min f (x) = f (b) và max f (x) = f (a). x∈[a;b] x∈[a;b]  Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.  Ngoài phương pháp dùng đạo hàm, ta có thể dùng phương pháp MGT, BĐT, … BÀI 4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ A ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG Cho hàm số y = f (x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +∞), (−∞; b) hoặc (−∞; +∞)). Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f (x) = y0 , lim f (x) = y0 . x→+∞ x→−∞ 16 Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star B ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn: lim f (x) = +∞, lim− f (x) = −∞, lim+ f (x) = −∞, lim− f (x) = +∞. x→x+ 0 x→x0 x→x0 x→x0 ax + b (c 6= 0; ad − bc 6= 0) luôn có tiệm cx + d d a cận ngang là đường thẳng y = và tiệm cận đứng là đường thẳng x = − . c c Lưu ý : Với đồ thị hàm phân thức dạng y = BÀI 5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ A KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC 1 Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0)  Tập xác định D = R.  Tính y 0 và cho y 0 = 0 (y 0 = 0 hoặc có 2 nghiệm, hoặc có nghiệm kép, hoặc vô nghiệm).  Tính các giới hạn lim f (x), lim f (x). x→+∞ x→−∞  Lập bảng biến thiên • Nếu y 0 = 0 có hai nghiệm thì dấu của y 0 là “Trong trái ngoài cùng”. • Nếu y 0 = 0 có nghiệm kép thì dấu của y 0 là “Luôn cùng dấu với a” (ngoại trừ tại nghiệm kép). • Nếu y 0 = 0 vô nghiệm thì dấu của y 0 là “Luôn cùng dấu với a”.  Kết luận • Tính chất đơn điệu của hàm số. • Cực trị của hàm số.  Tính y 00 và cho y 00 = 0. Suy ra điểm uốn.  Chọn hai điểm đặc biệt của đồ thị.  Vẽ đồ thị: Đồ thị có 6 dạng và luôn luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 17 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star y0 = 0 a>0 a<0 y Có 2 nghiệm y O x y O x y Có nghiệm kép O x y Vô nghiệm O x y O x O x 2 Hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0)  Tập xác định D = R.  Tính y 0 và cho y 0 = 0 (y 0 = 0 hoặc có 3 nghiệm, hoặc có 1 nghiệm và luôn có nghiệm x = 0).  Tính các giới hạn lim f (x), lim f (x). x→+∞ x→−∞  Lập bảng biến thiên: “Bên phải bảng biến thiên, dấu y 0 luôn luôn cùng dấu với a” 18 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Kết luận • Tính chất đơn điệu của hàm số. • Cực trị của hàm số.  Chọn hai điểm đặc biệt của đồ thị.  Vẽ đồ thị: Đồ thị có 4 dạng và luôn luôn nhận trục tung làm trục đối xứng. y0 = 0 a>0 a<0 y y Có 3 nghiệm O O y Có 1 nghiệm y O O x x x x ax + b (c 6= 0, ad − bc 6= 0) cx + d ™ ß d  Tập xác định D = R \ − . c 3 Hàm số nhất biến y =  Tính y 0 = ad − bc (y 0 hoặc luôn dương, hoặc luôn âm ∀x ∈ D) (cx + d)2  Đường tiệm cận: • Tiệm cận đứng là đường thẳng x = − d vì lim y = . . . và lim − y = . . .. c x→(− dc )+ x→(− dc ) a a vì lim y = . x→±∞ c c a  Lập bảng biến thiên: Nhớ: Khi x → ±∞ thì y → . c “Nghĩa là hai đầu bảng biến thiên là giá trị của tiệm cận ngang” • Tiệm cận ngang là đường thẳng y = 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 19 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Kết luận • Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định hoặc luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định. • Hàm số không có cực trị.  Chọn ít nhất 4 điểm đặc biệt của đồ thị và phải có tọa độ giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa độ.  Vẽ đồ thị: Đồ thị có 2 dạng và luôn luôn nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. ad − bc > 0 ad − bc < 0 y O y x O x B ĐỒ THỊ HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI 1 Dạng 1: (C 0 ) : y = f (|x|) Từ đồ thị (C) : y =® f (x) suy ra đồ thị (C 0 ) : y = f (|x|). f (x) khi x ≥ 0 Ta có y = f (|x|) = f (−x) khi x < 0 và y = f (|x|) là hàm chẵn nên đồ thị (C 0 ) nhận Oy làm trục đối xứng.  Cách vẽ (C 0 ) từ (C):  Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị (C) : y = f (x).  Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của (C), lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy. 20 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star d Ví dụ 1 y 4 y 4 O 1 x 3 (C) : y = x3 − 6x + 9x −3 O −1 1 3 x (C 0 ) : y = |x|3 − 6x2 + 9|x| 2 Dạng 2: (C 0 ) : y = |f (x)| Từ đồ thị (C) : y =® f (x) suy ra đồ thị (C 0 ) : y = |f (x)|. f (x) khi x ≥ 0 Ta có y = |f (x)| = − f (x) khi x < 0.  Cách vẽ (C 0 ) từ (C):  Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C) : y = f (x).  Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. d Ví dụ 2 y 2 y O −2 2 1 x −2 O −3 −2 −1 (C) : y = x3 + 3x2 − 2 1 x (C 0 ) : y = x3 + 3x2 − 2 ! Với dạng y = |f (|x|)| ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y = f (|x|) và y = |f (x)|. 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 21 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 3 Dạng 3: (C 0 ) : y = |u(x)| · v(x) Từ đồ thị (C) : y = u(x) ·®v(x) suy ra đồ thị (C 0 ) : y = |u(x)| · v(x). u(x) · v(x) khi x ≥ 0 Ta có y = |u(x)| · v(x) = − u(x) · v(x) khi x < 0.  Cách vẽ (C 0 ) từ (C):  Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u(x) ≥ 0 của đồ thị (C) : y = f (x).  Bỏ phần đồ thị trên miền u(x) < 0 của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. d Ví dụ 3 y y 1 1 O O x 1 1 x −1 (C 0 ) : y = |x − 1| · (2x2 − x − 1) (C) : y = 2x3 − 3x + 1 d Ví dụ 4 y y 2 1 O O 1 2 x 1 2 −1 −2 22 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn x Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star (C) : y = x−2 x−1 (C 0 ) : y = x−2 |x − 1| C MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), hãy suy ra đồ thị (C 0 ) của hàm số. STT ĐỒ THỊ CÁCH VẼ 1 y = f (−x) Lấy đối xứng (C) qua trục Oy. 2 y = −f (x) Lấy đối xứng (C) qua trục Ox.  Giữ nguyên bên phải Oy. 3 y = f (|x|) phần đồ thị  Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của (C), lấy đối xứng đồ thị được giữ qua Oy.  Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C). 4 y = |f (x)| 5 y = |f (|x|)|  Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. Ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y = f (|x|) và y = |f (x)|.  Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u(x) ≥ 0 của đồ thị (C). 6 y = |u(x)| · v(x) với (C) : y = u(x) · v(x)  Bỏ phần đồ thị trên miền u(x) < 0 của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 23 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 7 y = f (x) + p, p > 0 Tịnh tiến đồ thị (C) lên trên p đơn vị. 8 y = f (x) − p, p > 0 Tịnh tiến đồ thị (C) xuống dưới p đơn vị. 9 y = f (x + q), q > 0 Tịnh tiến đồ thị (C) sang trái q đơn vị. 10 y = f (x − q), q > 0 Tịnh tiến đồ thị (C) sang phải q đơn vị. 11 y = f (kx), k > 1 Co đồ thị (C) theo chiều ngang hệ số k. 12 y = f (kx), 0 < k < 1 13 y = kf (x), k > 1 14 y = kf (x), 0 < k < 1 Giãn đồ thị (C) theo chiều ngang hệ số 1 . k Giãn đồ thị (C) theo chiều dọc hệ số k. 1 Co đồ thị (C) theo chiều dọc hệ số . k  Vẽ đồ thị y = |f (x)|. 15 16 y = |f (x)| + m y = |f (x + m)|  Tịnh tiến đồ thị lên hoặc xuống m đơn vị.  Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc sang trái m đơn vị.  Sau đó vẽ như cách vẽ đồ thị y = |f (x)|. 17 y = |f (|x| + m)|  Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc sang trái m đơn vị.  Sau đó vẽ như cách vẽ đồ thị y = f (|x|).  Vẽ đồ thị y = |f (x)|. 18 y = |f (|x + m|)|  Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc sang trái m đơn vị. 24 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star BÀI 6 TIẾP TUYẾN A TIẾP TUYẾN Cho hàm số y = f (x), có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) ∈ (C) có dạng y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + y0 Trong đó điểm M0 (x0 ; y0 ) ∈ (C) được gọi là tiếp điểm với y0 = f (x0 ) và k = f 0 (x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến. { DẠNG 1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm M (x0 ; y0 ) Phương pháp giải. 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng số a.  Gọi M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm.  Ta có x0 = a.  Thế x = a vào phương trình y = f (x) tìm được y0 .  Tính f 0 (x) từ đó tính f 0 (x0 ).  Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng y − y0 = f 0 (x0 )(x − x0 ). 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng số b.  Gọi M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm.  Ta có y0 = b.  Thế y = b vào phương trình y = f (x) từ đó tìm được x0 .  Tính f 0 (x), từ đó tính được f 0 (x0 ).  Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng y − y0 = f 0 (x0 )(x − x0 ). { DẠNG 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) có phương cho trước Phương pháp giải. 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến 6. Tiếp tuyến 25 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star bằng k.  Gọi M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm.  Hệ số góc tiếp tuyến bằng k nên f 0 (x0 ) = k. Giải phương trình này ta tìm được x0 .  Thế x0 vào phương trình y = f (x) tìm được y0 .  Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng y − y0 = f 0 (x0 )(x − x0 ). 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = ax + b.  Gọi M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm.  Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = ax + b ⇒ f 0 (x0 ) = a. Giải phương trình này tìm được x0 .  Thế x0 vào phương trình y = f (x) tìm được y0 .  Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng y − y0 = f 0 (x0 )(x − x0 ). kiểm tra tính song song của tiếp tuyến cần tìm để loại bỏ ! Nhớ đáp án. 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y = ax + b.  Gọi M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm. 1  Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y = ax + b ⇒ f 0 (x0 ) = − . a Giải phương trình này tìm được x0 .  Thế x0 vào phương trình y = f (x) tìm được y0 .  Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng y − y0 = f 0 (x0 )(x − x0 ). { DẠNG 3. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) đi qua điểm M (x0 ; y0 ) Phương pháp giải. 26 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến d đi qua M .  Suy ra d : y − y0 = k(x − x0 ) ⇔ y = kx − kx0 + y0 (∗). ® f (x) = kx − kx0 + y0 (1)  d tiếp xúc với (C) ⇔ có nghiệm. f 0 (x) = k (2)  Thế (2) vào (1) để tìm hoành độ tiếp điểm x.  Thế x vào phương trình (2) để tìm hệ số góc k của tiếp tuyến.  Thế k vào (∗) tìm được phương trình tiếp tuyến đi qua M . ! Khi thế (2) vào (1) và giả sử thu được phương trình ẩn số là x và được kí hiệu là (1). Thông thường phương trình (1) có bao nhiêu nghiệm x thì qua điểm M có bấy nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C). Từ đó ta giải quyết được bài toán “Tìm điều kiện để qua M có thể vẽ được đến đồ thị (C) n tiếp tuyến”. B ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC Cho hai hàm số (C) : y = f (x) ® và (C 0 ) : y = g(x). Đồ thị (C) và (C 0 ) tiếp xúc với nhau f (x) = g(x) khi và chỉ khi hệ phương trình có nghiệm. f 0 (x) = g 0 (x) BÀI 7 TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C1 ) và y = g(x) có đồ thị (C2 ). Phương trình hoành độ giao điểm của (C1 ) và (C2 ) là f (x) = g(x) (1). Khi đó 1 Số giao điểm của (C1 ) và (C2 ) bằng số nghiệm của phương trình (1). 2 Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ x0 của giao điểm . 3 Để tính tung độ y0 của giao điểm, ta thay hoành độ x0 vào y = f (x) hoặc y = g(x). 4 Điểm M (x0 ; y0 ) là giao điểm của (C1 ) và (C2 ). 7. Tương giao đồ thị 27 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star { DẠNG 1. Tìm tham số để đồ thị (C) : y = ax + b cắt đường thẳng (d) tại cx + d hai điểm Phương pháp giải. 1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d ta được g(x) = ax2 + bx + c = 0 (∗) (x 6= x0 ) với x0 là nghiệm của mẫu số. 2 d cắt (C) tại hai điểm  phân biệt khi và chỉ khi phương trình (∗) có hai nghiệm  a 6= 0 phân biệt khác x0 ⇔ ∆ > 0 ⇒ tìm được tham số.   g(x0 ) 6= 0 { DẠNG 2. Tìm tham số để đồ thị (C) : y = ax3 + bx2 + cx + d cắt đường thẳng (d) tại 3 điểm Phương pháp giải. 1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) gọi là phương trình (∗). 2 Nhẩm nghiệm của phương trình (∗) và giả sử được một nghiệm x = x0 . Dùng sơ đồ Hoocner để biến đổi phương trình (∗) về dạng ñ x = x0 2 (x − x0 )(ax + Bx + C) = 0 ⇔ g(x) = ax2 + Bx + C = 0 (1). 3 (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (∗) có 3 nghiệm phân  biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác  a 6= 0 x0 ⇔ ∆g > 0 ⇒ tìm được tham số.   g(x0 ) 6= 0 28 Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Công thức trắc nghiệm 1 Đồ thị hàm số y = ax3 +bx2 +cx+d cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành ! độ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình ax3 +bx2 +cx+d = b 0 có 1 nghiệm là x = − . 3a 2 Đồ thị hàm số y = ax3 +bx2 +cx+d cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ lập thành cấp số nhân…khi và chỉ khi phương trình ax3 +bx2 +cx+d = d 0 có 1 nghiệm là x = − 3 . a { DẠNG 3. Tìm tham số để đồ thị (C) : y = ax4 + bx2 + c cắt đường thẳng d tại 4 điểm Phương pháp giải. 1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d giả sử được phương trình Ax4 + Bx2 + C = 0 (∗). 2 Đặt t = x2 , t ≥ 0. Phương trình (∗) trở thành At2 + Bt + C = 0 (1). 3 d cắt (C) tại 4 điểm khi và chỉ khi phương trình (∗) có 4 nghiệm khi và chỉ   B   ∆ > 0 S = − A từ đây khi phương trình (1) có hai nghiệm dương ⇔ S > 0 với C     P = P >0 A tìm được tham số. ! Công thức trắc nghiệm Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt t1 , t2  2 b − 4ac > 0      b  − >0 a (t1 < t2 ) thỏa mãn t2 = 9t1 ⇔  c > 0    a  9ab2 = 100a2 c. 7. Tương giao đồ thị 29 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star { DẠNG 4. Tìm tham số để đồ thị (C) : y = f (x) cắt đường thẳng d tại n điểm thỏa mãn tính chất nào đó Phương pháp giải. 1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là g(x) = 0 (∗). 2 d cắt (C) tại n điểm ⇔ phương trình (∗) có n nghiệm. 3 Khi đó hoành độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của phương trình (∗) và thông thường sử dụng định lí Vi-ét để giải quyết bài toán. BÀI 8 ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG A BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG Xét họ đường cong (Cm ) có phương trình y = f (x, m), trong đó f là hàm đa thức theo biến x với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong khi m thay đổi. Phương pháp giải  Bước 1: Đưa phương trình y = f (x, m) về dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau: Am + B = 0 hoặc Am2 + Bm + C = 0.  Bước 2: Cho các hệ  số bằng 0, ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương ®  A = 0 A=0 trình hoặc B = 0  B=0  C = 0.  Bước 3: Kết luận • Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (Cm ) không có điểm cố định. • Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (Cm ) B BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN Cho đường cong (C) có phương trình (Cm ) : y = P (x) (hàm phân thức). Hãy tìm những Q(x) điểm có tọa độ nguyên của đường cong? Phương pháp giải  Bước 1: Thực hiện chia đa thức, ta được: y = P (x) k = H(x) + , trong đó Q(x) Q(x) H(x) là đa thức và k ∈ R. 30 Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Bước 2: y ∈ Z ⇔ H(x) + k k ∈Z⇔ ∈ Z ⇔ k ∈ Ư(k). Q(x) Q(x)  Bước 3: Lần lượt cho Q(x) nhận giá trị (là các ước của k) để tìm giá trị của x và y tương ứng. điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của ! Những điểm đó đều là số nguyên. C BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CÓ TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG Cho đường cong (C) có phương trình y = f (x). Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm, qua đường thẳng. 1 Bài toán 1: Cho đồ thị (C) : y = Ax3 + Bx2 + Cx + D trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I(xI ; yI ) Phương pháp giải  Gọi M (a; Aa3 + Ba2 + Ca + D), N (b; Ab3 + Bb2 + Cb + D) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua điểm I. ® a + b = 2xI  Ta có A(a3 + b3 ) + B(a2 + b2 ) + C(a + b) + 2D = 2yI .  Giải hệ phương trình tìm được a, b từ đó tìm được tọa độ M , N .  2 Bài toán 2: Cho đồ thị (C) : y = Ax3 + Bx2 + Cx + D. Trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Phương pháp giải  Gọi M (a; Aa3 + Ba2 + Ca + D), N (b; Ab3 + Bb2 + Cb + D) là hai điểm trên (C) đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. ® a+b=0  Ta có A(a3 + b3 ) + B(a2 + b2 ) + C(a + b) + 2D = 0.  Giải hệ phương trình tìm được a, b từ đó tìm được tọa độ M , N .  3 Bài toán 3: Cho đồ thị (C) : y = Ax3 + Bx2 + Cx + D trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) : y = A1 x + B1 . Phương pháp giải 8. Điểm đặc biệt của họ đường cong 31 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Gọi M (a; Aa3 + Ba2 + Ca + D), N (b; Ab3 + Bb2 + Cb + D) là hai điểm trên (C) đối xứng với nhau qua đường thẳng d. ( I ∈ (d) − (với I là trung điểm của M N và → u d là véc-tơ chỉ  Ta có: −−→ → MN · − u =0 d phương của đường thẳng (d)).  Giải hệ phương trình tìm được M , N .  D BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM ĐẶC BIỆT, KHOẢNG CÁCH 1 Lý thuyết  Cho hai điểm A(x1 ; y1 ), B(x2 ; y2 ), suy ra AB = p (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .  Cho điểm M (x0 ; y0 ) và đường thẳng (d) : Ax + By + C = 0, thì khoảng cách từ M |Ax0 + By0 + C| √ . đến d là h(M ; (d)) = A2 + B 2 ax + b tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận đứng, tiệm cận cx + d ngang ở A và B thì M là trung điểm của AB. Khi đó diện tích của 4M AB không 2 đổi: SM AB = 2 |ad − bc|. c  Cho hàm phân thức: y = 2 Các bài toán thường gặp ax + b (c 6= 0, ad − bc 6= 0) có đồ thị (C). Hãy tìm cx + d trên (C) hai điểm A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất. 1 Bài toán 1: Cho hàm số y = Phương pháp giải d do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm c về hai phía của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số α, β là hai số dương. d d d  Nếu A thuộc nhánh trái: xA < − ⇒ xA = − − α < − ; yA = f (xA ). c c c d d d  Nếu B thuộc nhánh phải: xB > − ⇒ xB = − + β > − ; yB = f (xB ). c c c 2 2  Sau đó tính: AB 2 = (xB −xA )+(yB −yA )2 = [(α + β) − (a − α)] +(yB − yA ) .  (C) có tiệm cận đứng x = −  Áp dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ tìm ra kết quả. 32 Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  2 Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f (x). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất. Phương pháp giải  Gọi M (x; y) và tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là d thì d = |x|+|y|.  Xét các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên trục hoành, trên trục tung.  Sau đó xét tổng quát, những điểm M có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến.  Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của d.  3 Bài toán 3: Cho đồ thị (C) có phương trình y = f (x). Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoảng cách từ M đến trục Oy. ñ ñ y = kx f (x) = kx Theo đầu bài ta có |y| = k|x| ⇔ ⇔ y = −kx f (x) = −kx.  ax + b (c 6= 0, cx + d ad − bc 6= 0) tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho độ dài M I ngắn nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận). 4 Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f (x) = Phương pháp giải d a  Tiệm cận đứng x = − ; tiệm cận ngang y = . c c Å ã d a của hai tiệm cận.  Ta tìm được tọa độ giao điểm I − ; c c Å ã a 2 d 2 2 yM − = g (xM ).  Gọi M (xM ; yM ) là điểm cần tìm thì IM = xM + c c  Sử dụng phương pháp tìm GTLN – GTNN cho hàm số g để thu được kết quả.  5 Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f (x) và đường thẳng (d) : Ax+By+C = 0. Tìm điểm I trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất. Phương pháp giải  Gọi I ∈ (C), suy ra I (x0 ; y0 ) và y0 = f (x0 ). 8. Điểm đặc biệt của họ đường cong 33 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Khoảng cách từ I đến d là g(x0 ) = h(I; (d)) = |Ax0 + By0 + C| √ . A2 + B 2  Khảo sát hàm số y = g(x) để tìm ra điểm I thỏa mãn yêu cầu.  34 Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star CHƯƠNG 2 MŨ VÀ LOGARIT BÀI 1 LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA A KHÁI NIỆM LŨY THỪA 1 Lũy thừa với số mũ nguyên Cho n là một số nguyên dương. Với a là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a. an = |a · a{z · · · · a} (n thừa số a). n 1 . an Ta gọi a là cơ số, n là số mũ. Và chú ý 00 và 0−n không có nghĩa. Với a 6= 0 thì a0 = 1, a−n = 2 Một số tính chất của lũy thừa Giả thiết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa  aα · aβ = aα+β  aα = aα−β aβ β  (aα ) = aα·β α  (ab) = aα · bα   a α aα bα  a α = b = b Å ã−α b  a  Nếu a > 1 thì aα > aβ ⇔ α > β  Nếu 0 < a < 1 thì aα > aβ ⇔ α < β  Với 0 < a < b thì am < bm ⇔ m > 0  Với 0 < a < b thì am > bm ⇔ m < 0 ! 4  Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.  Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.  Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương. 35 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star B PHƯƠNG TRÌNH X N = B Ta có kết quả biện luận số nghiệm phương trình xn = b như sau TH.1 Khi n lẻ: Với mọi số thực b phương trình có nghiệm duy nhất. TH.2 Khi n chẵn: a) Với b < 0, phương trình vô nghiệm. b) Với b = 0, phương trình có một nghiệm x = 0. √ c) Với b > 0, phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là n b, giá √ trị âm là − n b. C MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CĂN BẬC N Với a, b ∈ R và n ∈ N∗ , ta có √ 2n  a2n = |a|. √  2n+1  2n  √ a2n+1 = a. ab = √ 2n+1 p 2n |a| · √   p 2n √ 2n+1  b, ∀a, b.  p … 2n |a| a 2n p , ∀ab ≥ 0, b 6= 0. = 2n  b |b|  ab = 2n+1 a· |b|, ∀ab ≥ 0. √ 2n+1 a a √ , ∀a ≥ 0, b 6= 0. = 2n+1 b b √ √ m n am = ( n a) , ∀m ∈ Z, a > 0. p √ √ n m a = mn a, ∀m ∈ N∗ , a > 0. √ √ q p = thì n ap = m aq , ∀m ∈ Nếu n m N∗ , ∀p, q ∈ Z, a > 0. √ √ n a = mn am , a > 0, m ∈ N∗ . … 2n+1 D HÀM SỐ LŨY THỪA 1 Khái niệm Xét hàm số y = xα với α là số thực cho trước. Hàm số y = xα , với α ∈ R được gọi là hàm số lũy thừa. ! Tập xác định của hàm số lũy thừa y = xα tùy thuộc vào giá trị của α. 4  Với α nguyên dương thì D = R.  Với α nguyên âm hoặc bằng 0 thì D = R \ {0}.  Với α không nguyên thì D = (0; +∞). 2 Khảo sát hàm số lũy thừa Tập xác định của hàm số lũy thừa y = xα luôn chứa khoảng (0; +∞). Trong trường hợp tổng quát, chúng ta khảo sát hàm số y = xα trên (0; +∞). 36 Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star y = xα , α > 0 y = xα , α < 0 1 Tập xác định (0; +∞). 1 Tập xác định (0; +∞). 2 Sự biến thiên 2 Sự biến thiên  y 0 = α · xα−1 > 0, ∀x > 0.  y 0 = α · xα−1 < 0, ∀x > 0.  Giới hạn đặc biệt  Giới hạn đặc biệt lim xα = 0, lim xα = +∞. lim xα = +∞, lim xα = 0. x→+∞ x→0+  Tiệm cận: không có.  Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang; Oy là tiệm cận đứng. 3 Bảng biến thiên x x→+∞ x→0+ 3 Bảng biến thiên x +∞ 0 y0 y0 + +∞ +∞ 0 − +∞ y y 0 0 Đồ thị hàm số y α>1 α=1 0<α<1 1 α=0 α<0 O x 1 Đồ thị hàm số y = xα luôn đi qua điểm I(1; 1). 1. Lũy thừa và hàm số lũy thừa 37 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star E KHẢO SÁT HÀM SỐ MŨ Y = AX y = ax , a > 1 y = ax , 0 < a < 1 1 Tập xác định R. 1 Tập xác định R. 2 Sự biến thiên 2 Sự biến thiên  y 0 = ax · ln a > 0, ∀x.  y 0 = ax · ln a < 0, ∀x.  Giới hạn đặc biệt  Giới hạn đặc biệt lim ax = 0, lim ax = +∞. x→−∞  Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang. 3 Bảng biến thiên x −∞ y0 +∞ 1 x→+∞  Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang. −∞ x 0 y0 + +∞ 1 y 1 +∞ 1 − +∞ a 0 x→−∞ 3 Bảng biến thiên 0 y lim ax = +∞, lim ax = 0. x→+∞ a 0 4 Đồ thị như hình sau 4 Đồ thị như hình sau y = ax y y y = ax a 1 1 a O 1 x BÀI O 2 1 x LÔGARIT 38 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star A KHÁI NIỆM LÔGARIT Cho hai số dương a, b với a 6= 1. Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là lôgarit cơ số a của b và được kí hiệu là loga b. α = loga b ⇔ aα = b. Không có lôgarit của số âm và số 0. B BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC MŨ - LÔGARIT THƯỜNG GẶP Với các điều kiện của a, b, c để mỗi biểu thức có nghĩa, ta có bảng sau Công thức mũ Công thức lôgarit  a0 = 1, a 6= 0.  loga 1 = 0.  a1 = a.  loga a = 1.  a−α =  1 . aα  loga aα = α.  loga bα = α loga b, b > 0.  aα · aβ = aα+β α  aα · bα = (a · b) .  a α aα  α = , b 6= 0. b b √ m  a n = n am , n ∈ N, n ≥ 2, m ∈ Z. α β  (a ) = aαβ .  aα = b ⇒ α = loga b.  logaβ b = 3 1 loga b. β  logaβ bα = α loga b. β  loga b + loga c = loga (bc). b  loga b − loga c = loga . c  loga b = BÀI 1 . α  logα a a= aα = aα−β . aβ 1 , 1 6= b > 0. logb a BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 3. Bất phương trình mũ và logarit 39 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star A BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ax > b (hoặc ax ≥ b, ax < b, ax ≤ b) với a > 0, a 6= 1. Ta xét bất phương trình có dạng ax > b.  Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R, vì ax > b, ∀x ∈ R.  Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với ax > aloga b . • Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > loga b. • Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < loga b. Ta minh họa bằng đồ thị như sau: Với a > 1 ta có đồ thị sau Với 0 < a < 1 ta có đồ thị sau y y y = ax y = ax y=b b y=b b 1 1 O loga b x loga b O x B BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CƠ BẢN Bất phương trình logarit cơ bản có dạng loga x > b (hoặc loga x ≥ b, loga x < b, loga x ≤ b) với a > 0, a 6= 1. Ta xét bất phương trình có dạng ax > b.  Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > ab .  Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là 0 < x < ab . Ta minh họa bằng đồ thị như sau: 40 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Với a > 1 ta có đồ thị sau y Với 0 < a < 1 ta có đồ thị sau y y = loga x 1 b y=b ab x O y=b b 1 O x ab y = loga x Quan sát đồ thị, ta thấy rằng:  Với a > 1, ta có loga x > b khi và chỉ khi x > ab .  Với 0 < a < 1, ta có loga x > b khi và chỉ khi 0 < x < ab . BÀI 4 BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG A LÃI ĐƠN 1 Định nghĩa Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến rút tiền ra. 2 Công thức tính Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N∗ ) là Sn = A + nAr = A(1 + nr). ! 4 Trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ r% là r . 100 B LÃI KÉP 4. Bài toán lãi suất ngân hàng 41 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 1 Định nghĩa Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau. 2 Công thức tính Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N∗ ) là Sn = A(1 + r)n . Các công thức liên quan Å ã Sn a) n = log1+r ; A … b) r% = n Sn − 1; A c) A = Sn . (1 + r)n C TIỀN GỬI HÀNG THÁNG 1 Định nghĩa Tiền gửi hàng tháng là mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào một thời gian cố định. 2 Công thức tính Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r%/tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng (n ∈ N∗ ) (nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là Sn = Các công thức liên quan Å ã rSn a) n = log1+r +1 ; A(1 + r) A [(1 + r)n − 1] (1 + r). r b) A = rSn . (1 + r) [(1 + r)n − 1] D GỬI NGÂN HÀNG VÀ RÚT TIỀN GỬI HÀNG THÁNG Công thức tính Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng. Tính số tiền còn lại sau n tháng là Sn = A(1 + r)n − X · (1 + r)n − 1 . r 42 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star E VAY VỐN TRẢ GÓP 1 Định nghĩa Vay vốn trả góp là vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng. 2 Công thức tính Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có Sn = A(1 + r)n − X · (1 + r)n − 1 . r Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì Sn = 0 nên A(1 + r)n − X · Ar(1 + r)n (1 + r)n − 1 =0⇔X= . r (1 + r)n − 1 F BÀI TOÁN TĂNG LƯƠNG 1 Định nghĩa Bài toán tăng lương được mô tả như sau: Một người được lãnh lương khởi điểm là A đồng/tháng. Cứ sau n tháng thì lương người đó được tăng thêm r%/tháng. Hỏi sau kn tháng người đó lĩnh được tất cả số tiền là bao nhiêu? 2 Công thức tính Tổng số tiền nhận được sau kn tháng là Skn = Ak · (1 + r)k − 1 . r G BÀI TOÁN TĂNG TRƯỞNG DÂN SỐ Công thức tính tăng trưởng dân số là Xm = Xn (1 + r)m−n , m, n ∈ Z+ , m ≥ n. Trong đó  r% là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m; 4. Bài toán lãi suất ngân hàng 43 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Xm là dân số năm m, Xn là dân số năm n. Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là r% = m−n Xm − 1. Xn H LÃI KÉP LIÊN TỤC Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau n năm (n ∈ N∗ ) là Sn = A(1 + r)n . r Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi suất mỗi kì hạn là % thì số m  r mn . tiền thu được sau n năm là Sn = A 1 + m Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là m → +∞, gọi là hình thức lãi kép tiên tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là S = Aenr (công thức tăng trưởng mũ). 44 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1 BÀI NGUYÊN HÀM A ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số f (x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F (x) được Z gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên K nếu F 0 (x) = f (x) với mọi x ∈ K. Kí hiệu: f (x) dx = F (x) + C. Định lí 1. 1) Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F (x) + C cũng là một nguyên hàm của f (x) trên K. 2) Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì mọi nguyên hàm của f (x) trên K đều có dạng F (x) + C, với C là một hằng số. Do đó F (x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f (x) trên K. B TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM Z ÅZ ã0 ÅZ ã  f (x) dx = f (x) và f 0 (x) dx = f (x) + C; d f (x) dx = f (x) dx.  Nếu F (x) có đạo hàm thì:   Z Z d(F (x)) = F (x) + C. Z kf (x) dx = k f (x) dx với k là hằng số khác 0. Z Z [f (x) ± g(x)] dx = Z f (x) dx ± g(x) dx.  CôngZthức đổi biến số: Cho y =Zf (u) và y = g(x). Z Nếu f (x) dx = F (x) + C thì f (g(x))g 0 (x) dx = f (u) du = F (u) + C. 45 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star C SỰ TỒN TẠI NGUYÊN HÀM Định lí 2. Mọi hàm số f (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. D BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP   Z 0 dx = C Z dx = x + C Z 1  x dx = xa+1 + C, α+1 (α 6= −1) Z 1 1  dx = − + C 2 x Z x 1  dx = ln |x| + C Z x ex dx = ex + C          a ax +C a dx = ln a Z cos x dx = sin x + C Z sin x dx = − cos x + C Z tan x dx = − ln | cos x| + C Z cot x dx = ln | sin x| + C Z 1 dx = tan x + C 2 Z cos x 1 dx = − cot x + C 2 Z sin x  1 + tan2 x dx = tan x + Z x C   Z (ax + b)α dx = −1            Z 1 (ax + b)α+1 + C, α 6= a α+1 x2 +C 2 1 dx = ln |ax + b| + C ax + b a 1 ax+b e dx = eax+b + C a 1 akx+b +C akx+b dx = k ln a 1 cos(ax + b) dx = sin(ax + b) + C a 1 sin(ax + b) dx = − cos(ax + b) + C a 1 tan(ax + b) dx = − ln | cos(ax + b)| + C a 1 cot(ax + b) dx = ln | sin(ax + b)| + C a 1 1 dx = tan(ax + b) + C 2 cos (ax + b) a 1 1 dx = − cot(ax + b) + C 2 a sin (ax + b)  1 2 1 + tan (ax + b) dx = tan(ax+b)+ a x dx = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z C Z 2  1 + cot x dx = − cot x+ C  Z  1 1 + cot2 (ax + b) dx = − cot(ax + a b) + C E BẢNG NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG 46 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star     Z Z Z Z 1 x dx = arctan + C a2 + x2 a a p dx = ln(x+ x2 + a2 )+C x2 + a2 √ x arcsin dx a 2 2 a −x +C Z x  arccos dx a p 2 2 a −x +C Z x  arctan dx a  a 2 2 ln a + x + C 2 Z x  arccot dx a  a ln a2 + x2 + C 2  p dx 1 a+x = ln +C a2 − x2 2a a−x √ x dx = arcsin +C 2 |a| −x a2 Z 1 dx x √ = arccos +C a a x x2 −Za2 dx √  = 2 + a2 x x √ 1 a + x2 + a2 − ln +C a x Z Å ã b  ln(ax + b) dx = x + ln(ax + a b) − x + C C √ x a2 − x2 + 2    Z p a2 − x2 dx = a2 x arcsin + C 2 a BÀI 2 Z  Z x arcsin x + a x arccos x − a = x arctan x − a = x + a = = x arccot 1 dx ax + b = ln tan + sin(ax + b) a 2  Z eax cos bx dx = ax e (a cos bx + b sin bx) +C a2 + bZ2 eax sin bx dx = ax e (a sin bx − b cos bx) +C a2 + b2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM A PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 1 Đổi biến dạng 1 Z Nếu f (x) dx = F (x) + C và với u = ϕ(t) là hàm số có đạo hàm thì Z f (u) du = F (ϕ(t)) + C 2. Các phương pháp tính nguyên hàm 47 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 1 Phương pháp chung  Bước 1: Chọn x = ϕ(t) , trong đó ϕ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp.  Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx = ϕ0 (t) dt.  Bước 3: Biến đổi : f (x) dx = f [ϕ(t)]ϕ0 (t) dt = g(t) dt. Z Z  Bước 4: Khi đó tính : f (x) dx = g(t) dt = G(t) + C. 2 Các dấu hiệu đổi biến thường gặp Dấu hiệu √ a2 − x2 √ √ x2 − a2 a2 + x2 … a+x a−x hoặc a − x a+x p (x − a)(b − x) 1 a 2 + x2 Cách chọn h π πi Đặt x = |a| sin t; với t ∈ − ; hoặc x = 2 2 |a| cos t; với t ∈ [0; π]. h π πi |a| ; với t ∈ − ; \ {0} hoặc Đặt x = sin t 2 2 n o |a| π x= ; với t ∈ [0; π] \ . cos t 2 π π  Đặt x = |a| tan t; với t ∈ − ; hoặc x = 2 2 |a| cot t; với t ∈ (0; π). … Đặt x = a cos 2t Đặt x = a + (b − a) sin2 t  π π . Đặt x = a tan t; với t ∈ − ; 2 2 2 Đổi biến dạng 2 Nếu hàm số f (x) liên tục thì đặtx = ϕ(t). Trong đó ϕ(t) cùng với đạo hàm của nó (ϕ0 (t) là những hàm số liên tục) thì ta được: Z Z Z 0 f (x) dx = f [ϕ(t)]ϕ (t) dt = g(t) dt = G(t) + C 1 Phương pháp chung  Bước 1: Chọn t = ϕ(x) , trong đó ϕ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.  Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dt = ϕ0 (t) dt.  Bước 3: Biến đổi : f (x) dx = f [ϕ(t)]ϕ0 (t) dt = g(t) dt. 48 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Bước 4: Khi đó tính : I = Z Z f (x) dx = g(t) dt = G(t) + C. 2 Các dấu hiệu đổi biến thường gặp Dấu hiệu Cách chọn Hàm số có mẫu số p Hàm số f (x; ϕ(x)) a sin x + b cos x Hàm số f (x) = c sin x + d cos x + e 1 Hàm số f (x) = p (x + a)(x + b) t là mẫu số p Đặt t = ϕ(x).  x  x Đặt t = tan ; cos 6= 0 . 2 2 Với x + a√> 0 và x√ + b > 0. Đặt t = x + a + x + b. Với x + a√< 0 và x +√b < 0. Đặt t = −x − a + −x − b. B PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K: Z Z u(x) · v 0 (x) dx = u(x) · v(x) − v(x) · u0 (x) dx Z Z  Hay u dv = uv − v du , với du = u0 (x) dx, dv = v 0 (x) dx . 1 Phương pháp chung  Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng : Z I= ®  Bước 2: Đặt Z f (x) dx = f1 (x) · f2 (x) dx.  0 du = f1 (x) dx u = f1 (x) Z ⇒ v = f2 (x) dx. dv = f2 (x)  Bước 3: Khi đó: Z Z u dv = uv − v du. 2. Các phương pháp tính nguyên hàm 49 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 2 Các dạng thường gặp { DẠNG 1.     sin x   dx. P (x) cos x    x  e  0  = P 0 (x) dx   u · du     − cos x     ⇒  v= dx sin x        x  e      − cos x    Z  · P 0 (x) dx. − sin x     x   e Z Phương pháp giải. I =   u = P (x)       sin x     Đặt  dv = cos x       x   e    − cos x Vậy I = P (x) sin x   x e { DẠNG 2. Z P (x) · ln x dx.  1 ®   du = dx u = ln x Zx Đặt ⇒  dv = P (x) dx v = P (x) dx = Q(x). Z 1 Vậy I = ln x · Q(x) − Q(x) · dx. x Phương pháp giải. I = { DẠNG 3. Z  x Phương pháp giải. I = ex sin cos x dx. ® ® u = ex du = ex dx Đặt ⇒  cos x . sin x dv = cos x dx Z v = − sin x  cos x − cos x Vậy I = ex · − − · ex dx. sin x sin x Z − cos x Bằng phương pháp tương tự ta tính được · ex dx sau đó thay vào sin x I. 50 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star BÀI 3 TÍCH PHÂN A CÔNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN Zb b f (x) dx = F (x)|a = F (b) − F (a) . a Zb Nhận xét. Tích phân của hàm số f từ a đến b được kí hiệu là Zb f (x) dx hay a f (t) dt. a Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số. B TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Cho hàm số f (x) và g(x) liên tục trên K, a, b, c là ba số thuộc K. Khi đó ta có: Za f (x) dx = 0. 1 a Zb Za f (x) dx = − 2 a b Zb Zc f (x) dx = 3 a f (x) dx. Zb f (x) dx + a c Zb Zb [f (x) ± g(x)] dx = 4 a f (x) dx + ± g(x) dx. a Zb k · f (x) dx = k · a Zb a Zb 5 f (x) dx. f (x) dx. a Zb 6 Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] thì f (x) dx ≥ 0, ∀x ∈ [a; b]. a 3. Tích phân 51 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Zb 7 ∀x ∈ [a; b] : f (x) ≤ g(x) ⇒ Zb f (x) dx ≤ a g(x) dx. a Zb 8 ∀x ∈ [a; b], nếu M ≥ f (x) ≥ N ⇒ M (b − a) ≤ f (x) dx ≤ N (b − a). a BÀI 4 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 1 Phương pháp đổi biến số dạng 1 Định lý Nếu 1 Hàm x = u(t) có đạo hàm liên tục trên [α; β]. 2 Hàm hợp f (u(t)) được xác định trên [α; β]. 3 u(α) = a, u(β) = b. Zβ Zb Khi đó f (x) dx = a f (u(t))u0 (t) dt. α Phương pháp chung Bước 1. Đặt x = u(t). x=a t=α Bước 2. Tính vi phân hai vế x = u(t) ⇒ dx = u0 (t) dt. Đổi cận |x=b ⇒ |t=β . Bước 3. Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t. Zβ Zb Vậy I = f (x) dx = a 0 Zβ α β g(t) dt = G(t)|α = G(β) − G(α). f (u[t])u (t) dt = α 52 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 2 Phương pháp đổi biến số dạng 2 Định lý Nếu hàm số u = u(x) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] sao cho f (x) dx = u(b) Z 0 g (u(x)) u (x) dx = g(u) du thì I = g(u) du. u(a) Phương pháp chung  Đặt u = u(x) ⇒ du = u0 (x)dx.  Đổi cận: x=b u=u(b) ⇒ . x=a u=u(a)  Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo u. Zb Vậy I = Zb f (x) dx = a u(a) Z 0 g [u(x)] .u (x) dx = a g(u) du. u(b) B PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1 Định lý Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [a; b] thì Zb Zb b 0 − u(x)v (x) dx = (u(x)v(x)) v(x)u0 (x) dx, a a a hay Zb Zb b − u dv = uv v du. a a a 2 Phương pháp chung  Bước 1: Viết f (x) dưới dạng u dv = uv 0 dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f (x) làm u(x) và phần còn lại dv = v 0 (x) dx. Z Z  Tính du = u0 dx và v = dv = v 0 (x) dx. 4. Phương pháp tính tích phân 53 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Tính Zb b vu0 (x) dx = và uv . a a Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần Đặt u theo thứ tự ưu tiên Log - đa - mũ - lượng Zb P (x)ex dx Zb Zb P (x) ln(x) dx Zb P (x) cos x dx ex cos x dx a a a a u P (x) ln x P (x) ex dv ex dx P (x) dx cos x dx cos x dx Chú ý: Nên chọn u là phần của f (x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv = v 0 dx là phần của f (x) dx là vi phân của một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm. BÀI 5 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN A TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ DẠNG 1: Zβ I= 1 dx = = ax + b a α Zβ Chú ý: Nếu I = Zβ 1 adx = ln |ax + b| ax + b a β (a 6= 0). α α dx 1 = (ax + b)k a α Zβ (ax + b)−k .a dx = β 1 .(ax + b)−k+1 . a(1 − k) α α DẠNG 2: Zβ I= dx ax2 + bx + c (a 6= 0, ax2 + bx + c 6= 0 ∀x ∈ [α; β] . α Xét ∆ = b2 − 4ac. √ √ −b + ∆ −b + ∆  Nếu ∆ > 0 thì x1 = , x2 = , khi đó 2a 2a 1 1 1 = = 2 ax + bx + c a(x − x1 )(x − x2 ) a(x1 − x2 ) Å 1 1 − x − x1 x − x2 ã 54 Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn , Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star suy ra Zβ Å 1 I= a(x1 − x2 ) 1 1 − x − x1 x − x2 ã dx = 1 x − x1 . ln a(x1 − x2 ) x − x2 β . α α  Nếu ∆ = 0 thì ax2 1 1 −b = trong đó x0 = . Suy ra 2 + bx + c a(x − x0 ) 2a Zβ I= dx 1 = 2 ax + bx + c a α Zβ dx 1 =− 2 (x − x0 ) a(x − x0 ) β . α α Zβ Zβ dx å2 # . ã2 Ç… b −∆ α α a x+ + 2a 4a2 … …  −∆ −∆ b = tan t ⇒ dx = 1 + tan2 t dt. Khi đó Đặt x + 2 2 2a 4a 4a …  −∆ Zβ Zβ 1 + tan2 t 2 1 4a2 1 4a2 4a “Ç… I= dt = (β − α). å2 Ç… å2 # dt = a −∆ a −∆ −∆ −∆ α α a tan t + 4a2 4a2  Nếu ∆ < 0 thì I = dx = ax2 + bx + c "Å DẠNG 3: Zβ I= mx + n dx. ax2 + bx + c α trong đó, a 6= 0 và f (x) = mx + n liên tục trên đoạn [α; β]. ax2 + bx + c 1 Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta tìm được A và B sao cho mx + n A(ax2 + bx + c)0 B = + 2 2 ax + bx + c ax2 + bx + c ax + bx + c A(2ax + b) B = 2 + 2 . ax + bx + c ax + bx + c Zβ 2 Suy ra α mx + n dx = ax2 + bx + c Zβ α A(2ax + b) dx + ax2 + bx + c Zβ B dx. ax2 + bx + c α 5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản 55 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  I1 = Zβ A(2ax + b) dx = A ln ax2 + bx + c ax2 + bx + c β . α α  I2 = Zβ B dx thuộc dạng 2. ax2 + bx + c α DẠNG 4: Zβ I= P (x) dx. Q(x) α trong đó, P (x) và Q(x) là các đa thức biến x. 1 Nếu bậc P (x) lớn hơn hoặc bằng bậc Q(x) thì ta dùng phép chia đa thức. 2 Nếu bậc của P (x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:  Q(x) chỉ có các nghiệm đơn α1 , α2 , · · · , αn thì P (x) A1 A2 An = + + ··· + . Q(x) x − α1 x − α2 x − αn   Khi Q(x) có nghiệm đơn và vô nghiệm: Q(x) = (x − α) x2 + px + q với ∆ = p2 − 4q < 0 thì A Bx + C P (x) = + . Q(x) x − α x2 + px + q  Khi Q(x) có nghiệm bội • Q(x) = (x − α)(x − β)2 thì P (x) A B C = + + . Q(x) x−α x−β (x − β)2 • Q(x) = (x − α)2 (x − β)3 thì A B D P (x) C E = + + + + . Q(x) x − α (x − α)2 x−β (x − β)2 (x − β)3 B TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ Zβ I= R [x; f (x)] dx. α trong đó, R [x; f (x)] có dạng 56 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star ã Å … a−x đặt x = a · cos 2t,  R x; a+x h πi t ∈ 0; . 2 Ä √ ä  R x; a2 − x2 đặt x = |a| · cos t, t ∈ [0; π] hoặc x = |a| · sin t, h π πi t∈ − ; . 2 2 nπo ä Ä √ |a| , t ∈ [0; π]\ .  R x; x2 − a2 đặt x = cos t 2  π π Ä √ ä  R x; a2 + x2 đặt x = |a| · tan t, t ∈ − ; . 2 2 Ç … å … ax + b n ax + b  R x; đặt t = n . cx + d cx + d 1 p với (αx2 + βx + γ)0 = ax + b. (ax + b) αx2 + βx + γ p 1 . Đặt t = αx2 + βx + γ hoặc t = ax + b  R (x; f (x)) =  R (x; √ n1 x, √ n2 x, · · · , √ nk x), gọi k = BSCNN {n1 , · · · , nk } đặt x = tk . DẠNG 1: Zβ I= √ α ax2 1 dx , + bx + c a 6= 0. ô ñÅ ã b 2 ∆ Ta có f (x) = ax + bx + c = a x + − . 2a 4a  b  u = x + 2a Đặt ⇒ du = dx.  k = ∆ 4a p p  Nếu a > 0 và ∆ < 0 suy ra f (x) = a(u2 + k 2 ). Phương √ pháp giải √ Đặt ax2 + bx + c = t − a · x suy ra 2 ®  t2 − c 2   √ ; dx = √ tdt x =  b+2 a b+2 a ⇒ 2  √ √ x = α ⇒ t = t0 ; x = β ⇒ t = t1  t − a · x = t − a t −√c . b+2 a √ bx + c = t2 − 2 a · x 5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản 57 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star p √ b f (x) = a x + . 2a Phương pháp giải  b β b 1 √ · ln x + nếu x + >0 Zβ  a 2a 2a α 1  dx =  Khi đó I = √ b 1 b β b a x + 2a − √ · ln x + < 0. nếu x + α 2a α 2a a p p  Nếu ∆ > 0 suy ra f (x) = a(x − x1 )(x − x2 ). ñ p (x − x1 )t • Nếu a > 0 đặt a(x − x1 )(x − x2 ) = (x − x2 )t. ñ p (x1 − x)t • Nếu a < 0 đặt a(x − x1 )(x − x2 ) = (x2 − x)t.  Nếu ∆ = 0 suy ra DẠNG 2: Zβ I= √ α mx + n dx , ax2 + bx + c a 6= 0. Phương pháp giải 0 A ax2 + bx + c B mx + n  Phân tích √ = √ +√ 2 2 2 ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c (∗).  Quy đồng mẫu số, sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A, B.  Giải hệ tìm A, B thay vào (∗).  Tính I = 2A p ax2 Zβ β +B + bx + c α α Zβ Trong đó √ α √ ax2 1 dx. + bx + c 1 dx được tính ở dạng 1. ax2 + bx + c DẠNG 3: Zβ I= α 1 √ dx , (mx + n) ax2 + bx + c a · m 6= 0. Phương pháp giải 58 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 1 1 √ =  (1). n 2 (mx + n) ax + bx + c m x+ ax2 + bx + c m  1 1  y= ⇒ dy = − dt   x+t (x + t)2 1 n  Đặt = x + ⇒ Å ã2 Å ã  y m  x = 1 − t ⇒ ax2 + bx + c = a 1 − t + b 1 − t + c. y y y  Phân tích √  Thay tất cả vào (1) ta được I = Zβ 0 1 p α0 Ly 2 + My + N dy, tích phân này đã tính ở dạng 1. DẠNG 4: Zβ I= R x; m ax + b cx + d ! dx. α trong đó R(x; y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x, y và α, β, γ, δ là các hằng số đã biết. Phương pháp giải … m ax + b  Đặt t = (1). cx + d  Tính x theo t (bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x = ϕ(t)).  Tính vi phân hai vế dx = ϕ0 (t)dt và đổi cận.  Khi đó I = Zβ 0 R (t; ϕ(t)) ϕ0 (t)dt. α0 C TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC 1 Một số công thức lượng giác 1 Công thức cộng  cos(a ± b) = cos a · cos b ∓ sin a · sin b;  sin(a ± b) = sin a · cos b ± sin b · cos a; 5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản 59 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  tan(a ± b) = tan a ± tan b . 1 ∓ tan a · tan b 2 Công thức nhân đôi  cos 2a = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a = 1 − tan2 a ; 1 + tan2 a 2 tan a 2 tan a ; 2 ; tan 2a = 1 + tan a 1 − tan2 a  cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α; sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α.  sin 2a = 2 sin a · cos a = 3 Công thức hạ bậc 1 − cos 2a 1 + cos 2a 1 − cos 2a ; cos2 a = ; tan2 a = ; 2 2 1 + cos 2a 3 sin α − sin 3α cos 3α + 3 cos α  sin3 α = ; cos3 α = . 4 4  sin2 a = 4 Công thức tính theo t  Với t = tan a 2t 1 − t2 2t thì sin a = ; cos a = ; tan a = . 2 2 2 1+t 1+t 1 − t2 5 Công thức biến đổi tích thành tổng 1 [cos(α + β) + cos(α − β)]; 2 1  sin α · sin β = [cos(α − β) − cos(α + β)]; 2 1  sin α · cos β = [sin(α + β) + sin(α − β)]. 2  cos α · cos β = 6 Công thức biến đổi tổng thành tích α+β α−β · cos ; 2 2 α−β α+β · sin ; cos α − cos β = −2 sin 2 2 α+β α−β sin α + sin β = 2 sin · cos ; 2 2 α+β α−β sin α − sin β = 2 cos · sin ; 2 2 sin(α + β) tan α + tan β = ; cos α cos β  cos α + cos β = 2 cos     60 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  tan α − tan β = sin(α − β) . cos α cos β 7 Công thức thường dùng 3 + cos 4α ; 4 5 + 3 cos 4α .  cos6 α + sin6 α = 8  cos4 α + sin4 α = Hệ quả √   π √ π 2 cos α − = 2 sin α + ; 4 4    √ √ π π  cos α − sin α = 2 cos α + = − 2 sin α − . 4 4  cos α + sin α = 2 Một số dạng tích phân lượng giác  Nếu gặp dạng I = Zb f (sin x) cos xdx ta đặt t = sin x. a  Nếu gặp dạng I = Zb f (cos x) sin xdx ta đặt t = cos x. a  Nếu gặp dạng I = Zb f (tan x) dx ta đặt t = tan x. cos2 x f (cot x) dx ta đặt t = cot x. sin2 x a  Nếu gặp dạng I = Zb a Z DẠNG 1. I1 = n (sin x) dx; I2 Z (cos x)n dx Phương pháp giải  Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc. 5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản 61 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Nếu n = 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi.  Nếu 3n lẻ (n = 2p + 1) thì thực hiện biến đổi Z Z (sin x)n dx = (sin x)2p + 1dx I1 = Z Z p 2p = (sin x) sin xdx = − 1 − cos2 x d(cos x) Z h k = − C0p − C1p cos2 x + · · · + (−1)k Ckp cos2 x p ó + . . . + (−1)p Cpp cos2 x d(cos x) ñ 1 (−1)k k = − C0p cos x − C1p cos3 x + · · · + C (cos x)2k+1 3 2k + 1 p ò (−1)p p + ··· + Cp (cos x)2p+1 + C. 2p + 1 Z = Z DẠNG 2. I = (cos x)n dx = Z (cos x)2p + 1dx Z Z p = (cos x)2p cos xdx = 1 − sin2 x d(sin x) Z h k = C0p − C1p sin2 x + · · · + (−1)k Ckp sin2 x p ó + · · · + (−1)p Cpp sin2 x d(sin x) ñ (−1)k k 1 C (sin x)2k+1 = C0p sin x − C1p sin3 x + · · · + 3 2k + 1 p ò (−1)p p + ··· + Cp (sin x)2p+1 + C. 2p + 1 I2 sinm x cosn xdx (m, n ∈ N) Phương pháp giải 1 Trường hợp 1: m, n là các số nguyên.  Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng. 62 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Nếu m chẵn, Z I = Z = Z = n lẻ (n = 2p + 1) thì biến đổi Z m 2p (sin x) (cos x) + 1dx = (sin x)m (cos x)2p cos xdx (sin x)m 1 − sin2 x p d(sin x) h k (sin x)m C0p − C1p sin2 x + · · · + (−1)k Ckp sin2 x p ó + · · · + (−1)p Cpp sin2 x d(sin x) ï (sin x)m+3 (sin x)m+1 − C1p = C0p m+1 m+3 (sin x)2k+1+m + · · · + (−1)k Ckp 2k + 1 + m ò (sin x)2p+1+m + · · · + (−1)p Cpp + C. 2p + 1 + m  Nếu m lẻ (m = 2p + 1), n chẵn thì biến đổi Z Z 2p n I = (sin x) + 1(cos x) dx = (cos x)n (sin x)2p sin xdx Z p = − (cos x)n 1 − cos2 x d(cos x) Z h k = − (cos x)n C0p − C1p cos2 x + · · · + (−1)k Ckp cos2 x p ó d(cos x) + · · · + (−1)p Cpp cos2 x ï (cos x)n+3 (cos x)n+1 − C1p = − C0p n+1 n+3 2k+1+n (cos x) + · · · + (−1)k Ckp 2k + 1 + n ò (cos x)2p+1+n + · · · + (−1)p Cpp + C. 2p + 1 + n  Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.  Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u = sin x. Z Z  n−1 B = sinm x cosn xdx = (sin x)m cos2 x 2 cos xdx Z  n−1 = um 1 − u2 2 du (∗) 5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản 63 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Tích phân (∗) tính được ⇔ 1 trong 3 số m+1 n−1 m+k ; ; là số 2 2 2 nguyên. Z DẠNG 3. I1 = n (tan x) dx; I2 = Phương pháp giải Z Z   1 + tan2 x dx = dx = cos2 x (cot x)n dx(n ∈ N) Z d(tan x) = tan x + C; Z dx = − d(cot x) = − cot x + C; sin2 x Z Z Z sin x d(cos x)  tan xdx = dx = − = − ln | cos x| + C; cos x cos x Z Z Z d(sin x) cos x dx = = ln | sin x| + C.  cot xdx = sin x sin x  Z Z  1 + cot2 x dx = BÀI 6 Z ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b], Z b trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định: S = |f (x)|dx. a 64 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star y y = f (x) O a c1 c2  y = f (x)    Z b y = 0 S= (H) |f (x)|dx x = a a    x=b c3 x b 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b được xác định: b Z |f (x) − g(x)|dx. S= a y  (C ) : y = f1 (x)   1   (C ) : y = f (x) 2 2 (H) x = a    x=b Z b S= |f1 (x) − f2 (x)| dx (C2 ) a O a c1 c2 b x (C1 ) 6. Ứng dụng của tích phân 65 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Nếu trên đoạn [a; b] hàm số f (x) không đổi dấu thì: Z b Z |f (x)|dx = b f (x)dx . a a  Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối.  Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), x = h(y) và hai Z d đường thẳng y = c, y = d được xác định: |g(y) − h(y)|dy. c B THỂ TÍCH VẬT THỂ VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 1 Thể tích vật thể Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x, (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. (V ) O x a b x S(x) Z V = b S(x)dx a 2 Thể tích khối tròn xoay  Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox: 66 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star y y = f (x) O a b x  (C) : y = f (x)    (Ox) : y = 0  x=a    x=b Z b Vx = π [f (x)]2 dx a  Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), trục hoành và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy: y d  (C) : x = g(y)    (Oy) : x = 0  y=c    y=d Z d Vy = π [g(y)]2 dy c c x O  Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox: Z b V =π f 2 (x) − g 2 (x) dx. a 6. Ứng dụng của tích phân 67 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 68 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star CHƯƠNG 4 SỐ PHỨC BÀI 1 SỐ PHỨC A KHÁI NIỆM SỐ PHỨC  Số phức (dạng đại số): z = a + bi (a, b ∈ R). Trong đó a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = −1.  Tập hợp số phức kí hiệu là C.  z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).  z là số ảo (hay còn gọi là thuần ảo) ⇔ phần thực bằng 0 (a = 0).  Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. B HAI SỐ PHỨC BẰNG NHAU  Hai số phức z1 = a + bi (a, b ∈ R) và z2 = c + di (c, d ∈ R) bằng nhau khi phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau. ñ a=c  Khi đó ta viết z1 = z2 ⇔ a + bi = c + di ⇔ b = d. C BIỂU DIỄN HÌNH HỌC SỐ PHỨC Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) được biểu diễn bởi điểm − M (a; b) hay bởi → u = (a; b) trong mặt phẳng phức (mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy). y M b O a x 69 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star D SỐ PHỨC LIÊN HỢP Số phức liên hợp của z = a + bi (a, b ∈ R) là z = a − bi.  z = z;  Å z1 z2 z ± z0 = z ± z0; ã = z · z0 = z · z0. z1 ; z · z = a2 + b2 . z2  z là số thực ⇔ z = z; z là số ảo khi và chỉ khi z = −z. E MÔ-ĐUN CỦA SỐ PHỨC 1 Định nghĩa −−→ Độ dài của véc-tơ OM được gọi là mô-đun của số phức z và kí hiệu là |z|. √ −−→ −−→ Vậy |z| = OM hay |z| = |a + bi| = OM = a2 + b2 . 2 Một số tính chất  |z| = √ a2 + b2 = √ −−→ zz = OM ; |z| = |z|.  |z| ≥ 0, ∀z ∈ C; |z| = 0 ⇔ z = 0.  |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |; z1 |z1 | z1 z1 z 2 = ; = 2. z2 |z2 | z2 |z2 |  ||z1 | − |z2 || ≤ |z1 ± z2 | ≤ |z1 | + |z2 |. BÀI 2 PHÉP CỘNG TRỪ, NHÂN CHIA SỐ PHỨC A PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ SỐ PHỨC Cho hai số phức z1 = a + bi (a, b ∈ R) và z2 = c + di (c, d ∈ R). Khi đó z1 ± z2 = (a + c) ± (b + d) i.  Số đối của số phức z = a + bi là −z = −a − bi.  Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó: z = a + bi, z + z = 2a. 70 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star B PHÉP NHÂN SỐ PHỨC  Cho hai số phức z1 = a + bi (a, b ∈ R) và z2 = c + di (c, d ∈ R), khi đó z1 z2 = (a + bi) (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc) i.  Với mọi số thực k và mọi số phức z = a + bi (a, b ∈ R), ta có kz = k · (a + bi) = ka + kbi. Đặc biệt, 0 · z = 0 với mọi số phức z.  Lũy thừa của i, với mọi n ∈ N∗ ta có • i0 = 1. • i4n = 1. • i1 = i. • i4n+1 = i. • i2 = −1. • i4n+2 = −1. • i3 = i2 · i = −i. • i4n+3 = −i. C CHIA HAI SỐ PHỨC  Số phức nghịch đảo của z khác 0 là số z −1 =  Phép chia hai số phức z 0 và z 6= 0 là BÀI 3 1 |z| 2 · z. z0 z0 · z z0 · z = z 0 z −1 = . = 2 z z·z |z| PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC A CĂN BẬC HAI CỦA SỐ THỰC ÂM  Cho số z, nếu có số phức z1 sao cho z12 = z thì ta nói z1 là một căn bậc hai của z.  Mọi số phức z 6= 0 đều có hai căn bậc hai. p  Căn bậc hai của số thực z âm là ±i |z|. p  Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là ±i |a|. 3. Phương trình bậc hai với hệ số thực 71 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star B PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, ∀a, b, c ∈ R, a 6= 0. Xét biệt số ∆ = b2 − 4ac của phương trình. Ta thấy  Khi ∆ = 0, phương trình có một nghiệm thực x = −b . 2a √ −b ± ∆  Khi ∆ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 = . 2 p −b ± i |∆|  Khi ∆ < 0, phương trình có hai nghiệm phức x1,2 = . 2a BÀI 4 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC A ĐỊNH NGHĨA Trong mặt phẳng phức, số phức z = x+y ·i với x, y ∈ R được biểu diễn bởi điểm M (x, y). Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp  ax + by + c = 0 ⇒ tập hợp điểm là đường thẳng.  x = 0 ⇒ tập hợp điểm là trục tung Oy.  y = 0 ⇒ tập hợp điểm là trục hoành Ox. 2 2  (x − a) + (y − b) < R2 ⇒ tập hợp điểm là hình tròn tâm I (a; b), bán kính R. ñ 2 2 (x − a) + (y − b) = R2  ⇒ tập hợp điểm là đường tròn có tâm I (a; b), bán x2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 √ kính R = a2 + b2 − c.  x > 0 ⇒ tập hợp điểm là miền bên phải trục tung.  y < 0 ⇒ tập hợp điểm là miền phía dưới trục hoành.  x < 0 ⇒ tập hợp điểm là miền bên trái trục tung.  y > 0 ⇒ tập hợp điểm là miền phía trên trục hoành.  y = ax2 + bx + c ⇒ tập hợp điểm là đường Parabol.  x2 y2 + 2 = 1 ⇒ tập hợp điểm là đường Elip. 2 a b  x2 y2 − = 1 ⇒ tập hợp điểm là đường Hyperbol. a2 b2 72 Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star BÀI 5 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX, MIN MÔ-ĐUN SỐ PHỨC  z2 r    max |x| = z + |z | 1 1  Cho số phức z thỏa mãn |z1 · z + z2 | = r, (r > 0), thì  r z 2   min |z| = . − z1 |z1 |  Cho số phức z thỏa mãn |z1 · z − z2 | = r, (r > 0). max P = z2 r và min P = − z3 + z1 |z1 | z2 r . − z3 − z1 |z1 |  Cho số phức z thỏa mãn |z1 · z + z2 | + |z1 · z − z2 | = k, (r > 0) thì » 2 k 2 − 4 |z2 | k max |z| = và min |z| = . 2 |z1 | 2 |z1 | 5. Bài toán liên quan đến max, min mô-đun số phức 73 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 74 Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star PHẦN II HÌNH HỌC 75 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 76 Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star CHƯƠNG 1 KHỐI ĐA DIỆN BÀI 1 KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP 1 Khối lăng trụ (chóp) là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (chóp) kể cả hình lăng trụ (chóp) ấy. Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy. 2 Điểm không thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) được gọi là điểm ngoài của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt). Điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) đó được gọi là điểm trong của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt). BÀI 2 KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN A KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN 1 Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo đỉnh bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:  Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.  Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. 2 Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các cạnh mặt đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện. 77 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star B KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN  Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. điểm trong  Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. điểm ngoài M N Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp những điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.  Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đó. BÀI 3 HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU A PHÉP DỜI HÌNH TRONG KHÔNG GIAN Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M 0 xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian. Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý. * Một số phép dời hình trong không gian: 1 Phép tịnh tiến theo vectơ ~v Nội dung Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M 0 −−−→ − sao cho M M 0 = → v. Hình vẽ M0 → − v M 2 Phép đối xứng qua mặt phẳng (P ) 78 Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Nội dung Hình vẽ M Là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P ) thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc (P ) thành điểm M 0 sao cho (P ) là mặt phẳng trung trực của M M 0. I P M0 Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P ) biến hình H thành chính nó thì (P ) được gọi là mặt phẳng đối xứng của H. 3 Phép đối xứng qua tâm O Nội dung Hình vẽ Là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M 0 sao cho O là trung điểm M M 0 . M O M0 Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H). 4 Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ (phép đối xứng trục ∆) Nội dung Hình vẽ Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng ∆ thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc ∆ thành điểm M 0 sao cho ∆ là đường trung trực của M M 0. ∆ M O M0 Nếu phép đối xứng trục ∆ biến hình (H) thành chính nó thì ∆ được gọi là trục đối xứng của (H). Nhận xét.  Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.  Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H 0 ), biến đỉnh, cạnh, mặt của (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của (H 0 ). 3. Hai đa diện bằng nhau 79 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star B HAI HÌNH BẰNG NHAU Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. BÀI 4 PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nội dung Hình vẽ Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H1 ), (H2 ) sao cho (H1 ) và (H2 ) không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H1 ) và (H2 ), hay có thể lắp ghép hai khối đa diện (H1 ) và (H2 ) với nhau để được khối đa diện (H). BÀI 5 (H1 ) (H) (H2 ) KHỐI ĐA DIỆN LỒI A KHỐI ĐA DIỆN LỒI Một khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kì hai điểm A và B nào của nó thì mọi điểm của đoạn AB cũng thuộc khối đó. Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi 80 Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Lưu ý : 1 Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó. 2 Công thức Ơ-le: Trong một khối đa diện lồi nếu gọi Đ là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt thì ta luôn có Đ + M = C + 2. B KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 1 Định nghĩa 1 Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây  Các mặt là những đa giác đều p cạnh.  Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q cạnh. 2 Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {p; q}. 2 Định lí Chỉ có năm khối đa diện đều. Đó là:  Loại {3; 3}: khối tứ diện đều.  Loại {4; 3}: khối lập phương.  Loại {3; 4}: khối bát diện đều.  Loại {5; 3}: khối mười hai mặt đều.  Loại {3; 5}: khối hai mươi mặt đều. Tham khảo hình biểu diễn của năm loại khối đa diện. Khối hai mươi Khối tứ diện đều Khối lập phương Khối bát diện đều Khối mười hai mặt đều mặt đều 5. Khối đa diện lồi 81 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 3 Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều Đa diện đều cạnh a Bán kính R mặt cầu ngoại tiếp √ a 6 6 4 4 √ a 3 12 6 a3 2 √ 3 √ 2a a 2 12 8 3√ √ 2√ 15 + 7 5 3 3 + 15 30 12 a a 4 √ √ 4√ 15 + 5 5 3 10 + 20 30 20 a a 12 4 có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt thì ta luôn có Số Số đỉnh cạnh Tứ diện đều {3; 3} 4 Lập phương {4; 3} 8 Bát diện đều {3; 4} 6 Mười hai mặt đều {5; 3} 20 Hai mươi mặt đều {3; 5} 12 Giả sử khối đa diện đều loại {p; q} Số mặt Thể tích V √ 3 2a 12 q · Đ = 2C = p · M C MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG VỀ KHỐI ĐA DIỆN LỒI 1 Kết quả 1 Cho một khối tứ diện đều. Khi đó:  Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều;  Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều). 2 Kết quả 2 Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều. 3 Kết quả 3 Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một khối lập phương. 4 Kết quả 4 Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó:  Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường; 82 Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;  Ba đường chéo bằng nhau. BÀI 6 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Nội dung Trong đó Hình vẽ 1 VChóp = Sđáy · h 3 ® Sđáy là diện tích mặt đáy VS.ABCD = S h h là chiều cao khối chóp. A 1 SABCD · d(S, (ABCD)) 3 D H C B B THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Nội dung VLăng trụ = Sđáy · h ® Sđáy là diện tích mặt đáy Trong đó h là chiều cao lăng trụ. Lưu ý : Lăng trụ đứng có chiều cao chính là độ dài cạnh bên. Hình vẽ C0 A0 B0 h A C H B 6. Thể tích khối đa diện 83 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star C THỂ TÍCH KHỐI HỘP CHỮ NHẬT Nội dung Hình vẽ Trong đó a, b, c là độ dài các cạnh khối hộp chữ nhật. D0 A0 VHộp chữ nhật = abc B0 C0 c A a D b B C D THỂ TÍCH KHỐI LẬP PHƯƠNG Nội dung Hình vẽ D0 A0 B0 C0 V = a3 A D B C E TỈ SỐ THỂ TÍCH Nội dung Hình vẽ S VS.A0 B 0 C 0 SA0 SB 0 SC 0 = · · VS.ABC SA SB SC A0 Thể tích khối chóp cụt ABC.A0 B 0 C 0 A C0 B0 ä √ hÄ V = B + B 0 + BB 0 3 Với B, B 0 , h là diện tích hai đáy và chiều cao B 84 Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn C Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star F MỘT SỐ CHÚ Ý VỀ ĐỘ DÀI CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT √  Đường chéo của hình vuông cạnh a là a 2. √  Đường chéo của hình lập phương cạnh a là a 3.  Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là √ a 3  Đường cao của tam giác đều cạnh a là . 2 BÀI 7 √ a2 + b2 + c2 . CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG A HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1 Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH  AB 2 + AC 2 = BC 2 . A  AB 2 = BH · BC.  AC 2 = CH · BC.  AH · BC = AB · AC.  B 1 1 1 = + . AH 2 AB 2 AC 2 H C  AB = BC · sin C = BC cos B = AC tan C = AC cot B. 2 Cho 4 ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c, độ dài các đường trung tuyến là ma , mb , mc ; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi là p  Định lí hàm số côsin a2 = b2 +c2 −2bc cos A.  Định lí hàm số sin : b2 = a2 +c2 −2ac cos B. c2 = a2 +b2 −2ab cos C. a b c = = = 2R. sin A sin B sin C  Độ dài trung tuyến m2a = 2(b2 + c2 ) − a2 . 4 m2b = 2(a2 + c2 ) − b2 . 4 m2c = 2(a2 + b2 ) − c2 . 4 7. Các công thức hình phẳng 85 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 3 Các công thức tính diện tích 3.1 Tam giác  S= 1 1 1 a · ha = b · hb = c · hc . 2 2 2  S= 1 1 1 bc sin A = ca sin B = ab sin C. 2 2 2  S= abc . 4R  S = pr. p  S = p(p − a)(p − b)(p − c). BC · AH AB · AC = . 2 2 √ √ a 3 a2 3  4ABC đều, cạnh a : AH = ,S = . 2 4  4ABC vuông tại A : S = 3.2 Hình vuông  S = a2 3.3 ( a là cạnh hình vuông ) Hình chữ nhật  S =a·b 3.4 ( a, b là hai kích thước ) Hình bình hành ’  S = đáy × cao = AB · AD · sin BAD 3.5 Hình thoi ’ = 1 AC · AD  S = AB · AD · sin BAD 2 3.6 ( a, b là hai kích thước ) Hình thang  S= 1 (a + b) h 2 ( a, b là hai đáy, h là chiều cao ) 86 Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 3.7 Tứ giác có hai đường chéo vuông góc AC và BD  S= BÀI 1 AC · BD 2 8 MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP Nội dung Hình vẽ A Cho hình chóp S.ABC với các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SAC) vuông góc với nhau từng đôi một, diện tích các tam giác SAB, SBC, SAC lần lượt là S1 , S2 , S3 . Khi đó √ 2S1 · S2 · S3 . VS.ABC = 3 S C B S Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) ’ = α, BSC ’ = β. vuông góc với nhau, ASB Khi đó VS.ABC = SB 3 · sin 2α · tan β . 12 A C B Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng b. Khi đó √ a2 3b2 − a2 VS.ABC = . 12 S A C G M B 8. Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp 87 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star S Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc α. Khi đó VS.ABC = a3 tan α . 24 A C G M B Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β. Khi đó √ 3 3b · sin β · cos2 β VS.ABC = . 4 S A C G M B S Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β. Khi đó VS.ABC = a3 · tan β 12 A C G M B S Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a và SA = SB = SC = SD = b. Khi đó √ a2 4b2 − 2a2 VS.ABCD = . 6 D C A O M B 88 Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star S Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là α. Khi đó VS.ABCD = a3 tan α . 6 A D M O B C S Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh ’ = α với α ∈ (45◦ ; 90◦ ). Khi đáy bằng a, SAB đó √ a3 tan2 α − 1 VS.ABCD = . 6 α D A O B C S Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a, góc tạo bởi giữa mặt bên và mặt đáy bằng α với α ∈ (0◦ ; 90◦ ). Khi đó 4a3 tan α VS.ABCD = p . 3 (2 + tan2 α)3 A D α O M B S Cho hình tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi (P ) là mặt phẳng đi qua A, song song với BC và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Biết α là góc giữa (P ) và mặt phẳng đáy. Khi đó VS.ABC = a3 cot α . 24 C F N E A C G M B 8. Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp 89 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star D0 A0 Khối bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của hình lập phương cạnh a. Khi đó thể tích khối bát diện đều là V = C0 B0 a3 . 6 D A B C S Tâm các mặt bên của một bát diện đều cạnh a là đỉnh của một khối lập phương. Khi đó thể tích của khối lập phương là √ 2a3 2 V = . 27 D A C B S0 BÀI 9 CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT CỦA THỂ TÍCH TỨ DIỆN Công thức Điều kiện S Thể tích tứ diện khi biết ba cạnh chung một đỉnh và ba góc giữa các cạnh ở đỉnh đó VSABC = abc p 1 − x2 − y 2 − z 2 + 2xyz. 6 Trong đó x = cos α, y = cos β, z = cos γ. C0 A G M C B0 B ( SA = a, SB = b, SC = c ’ = α, BSC ’ = β, CSA ’ = γ. ASB 90 Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star D0 B Thể tích tứ diện khi biết cặp cạnh đối, khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đó VABCD = M0 C0 1 abd sin α. 6 A α D M C  AB = a, CD = b   d(AB, CD) = d   (AB, CD) = α. S Thể tích của tứ diện khi biết độ dài cạnh chung của hai mặt, diện tích và góc giữa hai mặt đó VSABC H 2S1 S2 sin α = . 3a A α K C B ® S4SAB = S1 , S4SAC = S2 SA = a, ((SAB), (SAC)) = α. S Thể tích khối chóp tam giác khi biết ba cạnh bên, hai góc ở đỉnh và một góc giữa hai mặt bên (góc nhị diện) VS.ABC abc sin α sin β sin ϕ. = 6 H A ϕ K B0 C B  SA = a, SB = b, SC = c   ’ = α, ASC ’=β ASB   ((SAB), (SAC)) = ϕ. 9. Các công thức đặc biệt của thể tích tứ diện 91 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Thể tích khối tứ diện đều VABCD √ a3 2 = . 12 Tứ diện có tất cả các cạnh bằng a. D A C G B √ 2xyz Thể tích tứ diện gần đều V = . 12 2 2 2 2 2 Với x = a + b − c , y = b + c − a2 , z = c2 + a2 − b2 . M Tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. A C B0 D D0 B C0 92 Th.s Nguyễn Hoàng Việt – 0905193688 – Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star CHƯƠNG 2 MẶT NÓN – MẶT TRỤ – MẶT CẦU BÀI 1 MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN A MẶT NÓN TRÒN XOAY Nội dung Hình vẽ Đường thẳng d, ∆ cắt nhau tại O và tạo thành góc β với 0◦ < β < 90◦ , mặt phẳng (P ) chứa d, ∆. (P ) quay quanh trục ∆ với góc β không đổi ⇒ mặt nón tròn xoay đỉnh O. O β  ∆ gọi là trục. d ∆  d được gọi là đường sinh.  Góc 2β gọi là góc ở đỉnh. r B KHỐI NÓN Nội dung Hình vẽ 1. Mặt nón tròn xoay và khối nón 93 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star O  Là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó. Những điểm không thuộc khối nón gọi là những điểm ngoài của khối nón. h  Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón tương ứng gọi là những điểm trong của khối nón. Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón cũng là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng. l I r M Cho hình nón có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r.  Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq nón = πrl .  Diện tích đáy (hình tròn): Sđáy = πr2 .  Diện tích toàn phần của hình nón: Stp = Sxq + Sđáy = πrl + πr2 .  Thể tích khối nón: Vnón = 1 1 Sđáy h = πr2 h . 3 3 C THIẾT DIỆN KHI CẮT BỞI MẶT PHẲNG Điều kiện Kết quả Cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng (Q) đi qua đỉnh của mặt nón.  Mp (Q) cắt mặt nón theo 2 đường sinh.  Mp (Q) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh.  Thiết diện là tam giác cân.  (Q) là mặt phẳng tiếp diện của hình nón. Cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng (Q) không đi qua đỉnh của mặt nón. 94 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Mp (Q) vuông góc với trục hình nón.  Giao tuyến là 1 đường parabol.  Mp (Q) song song với 2 đường sinh hình nón.  Giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.  Mp (Q) song song với 1 đường sinh hình nón.  Giao tuyến là một đường tròn. BÀI 2 MẶT TRỤ TRÒN XOAY VÀ KHỐI TRỤ A MẶT TRỤ Nội dung Hình vẽ ∆ Trong mặt phẳng (P ) cho hai đường thẳng ∆ và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P ) xung quanh ∆ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay, gọi tắt là mặt trụ. A D h  Đường thẳng ∆ gọi là trục. l  Đường thẳng l là đường sinh.  r là bán kính của mặt trụ đó. B r C B HÌNH TRỤ TRÒN XOAY VÀ KHỐI TRỤ TRÒN XOAY Nội dung Hình vẽ 2. Mặt trụ tròn xoay và khối trụ 95 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star ∆ A Ta xét hình chữ nhật ABCD. Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh nào đó, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD sẽ tạo thành một hình gọi là hình trụ tròn xoay, hay gọi tắt là hình trụ. D h l B r C  Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ.  Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ.  Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên CD khi quay xung quanh AB gọi là mặt xung quanh của hình trụ.  Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ. Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ tròn xoay đó. Những điểm không thuộc khối trụ gọi là những điểm ngoài của khối trụ. Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ tương ứng gọi là những điểm trong của khối trụ. Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ cũng là Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng. Hình trụ có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r.  Diện tích xung quanh: Sxq = 2πrh .  Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + 2 · Sđáy = 2πrh + 2πr2 .  Thể tích khối trụ: Vtrụ = Sđáy · h = πr2 h . BÀI 3 MẶT CẦU VÀ KHỐI CẦU 96 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star A MẶT CẦU Nội dung Hình vẽ Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R. Kí hiệu S(I; R). Khi đó S(I; R) = {M |IM = R} I B R A B VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Cho mặt cầu S(I; R) và mặt phẳng (P ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I lên mặt phẳng (P ). Suy ra d = IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P ). Khi đó d>R Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung. I d=R d R IH = R IH < R ∆ không cắt mặt cầu. ∆ tiếp xúc với mặt cầu. ∆ : Tiếp tuyến của (S). H : Tiếp điểm. ∆ cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt. ∆ H B H R H R ∆ ∆ I R A I I Lưu ý: Trong trường hợp ∆ cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:   d (I, ∆) = IH ã Å p AB 2  R = IH 2 + AH 2 = IH 2 + . 2 D ĐƯỜNG KINH TUYẾN VÀ VĨ TUYẾN CỦA MẶT CẦU 98 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Nội dung Hình vẽ Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến. Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu. Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu. A vĩ tuyến O B kinh tuyến * Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện. Nội dung Hình vẽ Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện. Còn nói hình đa diện ngoại tiếp mặt cầu. Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. Còn nói hình đa diện nội tiếp mặt cầu. Mặt cầu tâm O bán kính r ngoại tiếp hình chóp S.ABCD khi và chỉ khi OA = OB = OC = OD = OS = r S O B A D C Cho mặt cầu S(I; R)  Diện tích mặt cầu: S = 4πR2 3. Mặt cầu và khối cầu 99 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Thể tích khối cầu: V = BÀI 4 4 3 πR 3 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI NÓN VÀ TRỤ A BÀI TOÁN MẶT NÓN 1 Dạng 1. Thiết diện của hình nón cắt bởi một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác cân. S O A B Thiết diện qua đỉnh của hình nón là những tam giác cân có hai cạnh bên là hai đường sinh của hình nón. S A O B Thiết diện vuông góc với trục của hình nón là những đường tròn có tâm nằm trên trục của hình nón. S O A 100 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn B Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 2 Dạng 2. Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh của hình nón Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh `. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là d. Nội dung Hình vẽ Gọi M là trung điểm của AC. Khi đó:  AC ⊥ (SM I). S ’I.  Góc giữa (SAC) và (ABC) là góc SM ’  Góc giữa (SAC) và (SI) là góc M SI.  d (I, (SAC)) = IH = d. Diện tích thiết diện Std = = = H 1 S4SAC = SM · AC 2 p 1p 2 SI + IM 2 · 2 AI 2 − IM 2 2 h2 + h2 d2 · h2 − d2 r2 − A I B M C h2 d2 . h2 − d2 3 Dạng 3. Bài toán hình nón ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp Nội dung Hình vẽ Hình nón nội tiếp hình chóp S.ABCD đều là hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD. Khi đó hình nón có: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD S  Bán kính đáy r = IM = AB . 2 A  Đường cao h = SI, đường sinh ` = SM . D I M B C 4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ 101 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Hình nón ngoại tiếp hình chóp đều S.ABCD đều là hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Khi đó hình nón có: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD S  Bán kính đáy √ AC AB 2 r = IA = = . 2 2 A  Chiều cao h = SI. D I  Đường sinh ` = SA. Hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC đều là hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó hình nón có B C Hình chóp tam giác đều S.ABC S  Bán kính đáy √ AM AB 3 r = IM = = . 3 6 A C  Chiều cao h = SI. I  Đường sinh ` = SM . M B 102 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC đều là hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó hình nón có Hình chóp tam giác đều S.ABC S  Bán kính đáy √ 2AM AB 3 r = IA = = . 3 3  Chiều cao h = SI.  Đường sinh ` = SA. A C M I B 4 Dạng 4. Bài toán hình nón cụt Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong hình nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa hai mặt phẳng nói trên được gọi là hình nón cụt. Nội dung Hình vẽ Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với đáy thì được mặt cắt là một hình tròn. Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với trục thì được mặt cắt là một hình thang cân. 4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ 103 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Cho hình nón cụt có R, r, h lần lượt là bán kính đáy lớn, bán kính đáy nhỏ và chiều cao. Diện tích xung quanh của hình nón cụt Sxq = π · ` · (R + r). r Diện tích đáy (hình tròn) ® Sđáy 1 = πr2 Sđáy 2 = πR 2 ⇒ X Sđáy = π(r2 + R2 ). h ` R Diện tích toàn phần của hình chóp cụt Stp = π · ` · (R + r) + πr2 + πR2 . Thể tích khối nón cụt V = 1 πh(R2 + r2 + Rr). 3 5 Dạng 5. Bài toán hình nón tạo bởi phần còn lại của hình tròn sau khi cắt bỏ đi hình quạt Nội dung Từ hình tròn (O; R) cắt bỏ đi hình quạt ˘ bằng x. Phần AmB. Độ dài cung AnB còn lại của hình tròn ghép lại được một hình nón. Tìm bán kính, chiều cao và độ dài đường sinh của hình nón đó. Hình nón được tạo thành có  `=R    x 2πr = x ⇒ r = 2π   p  h = `2 − r2 . Hình vẽ O n O A R h R B m r A≡B B MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT TRỤ 104 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 1 Dạng 1. Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng Nội dung Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán kính R. Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật ABCD trong đó AB = 2R và AD = h. Nếu thiết diện qua trục là một hình vuông thì h = 2R. Thiết diện song song với trục và không chứa trục là hình chữ nhật BGHC có khoảng cách tới trục là d(OO0 , (BGHC)) = OM . Hình vẽ O A G D B M O0 C H 4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ 105 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 2 Dạng 2. Thể tích khối tứ diện có 2 cạnh là đường kính 2 đáy Nội dung Hình vẽ Nếu như AB và CD là hai đường kính bất kỳ trên hai đáy của hình trụ thì VABCD 1 = AB · CD · OO0 · sin(AB, CD). 6 O A B Đặc biệt: Nếu AB và CD vuông góc nhau thì VABCD = 1 AB · CD · OO0 . 6 C O0 D 3 Dạng 3. Xác định góc, khoảng cách Nội dung Hình vẽ O A 0 AB. ÷ Góc giữa AB và trục OO0 bằng A O0 B A0 O A Khoảng cách giữa AB và trục OO0 bằng O0 M . O0 A0 M B 106 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star A Nếu ABCD là một hình vuông nội tiếp trong hình trụ thì đường chéo của hình vuông cũng bằng đường chéo của hình trụ. Nghĩa là cạnh hình vuông bằng O B I AB = h2 2R2 + . 2 D O0 C 4 Dạng 4. Xác định mối liên hệ giữa diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích khối trụ trong bài toán tối ưu Nội dung Hình vẽ Một khối trụ có thể tích V không đổi.  Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích toàn phần nhỏ nhất …   3 V  R = 4π Stp min ⇔ …   h = 2 3 V . 4π O R M h  Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích xung quanh cộng với diện tích một đáy và nhỏ nhất …   3 V  R = π S min ⇔ …  V  3 h = . π O0 5 Dạng 5. Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp một hình lăng trụ đứng Cho hình lăng trụ tam giác đều nội tiếp trong một hình trụ. Thể tích khối lăng trụ là V 4πV thì thể tích khối trụ là V(T ) = . 9 Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A0 B 0 C 0 D0 ngoại tiếp trong một hình trụ. Diện tích 2S xung quanh hình trụ là S thì diện tích xung quanh của hình lăng trụ là Sxq = . π 4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ 107 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star BÀI 5 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU A MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN 1 Các khái niệm cơ bản Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy. Bất kì một điểm nào nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy thì cách đều các đỉnh của đa giác đó. Đường trung trực của đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. Mặt trung trực của đoạn thẳng là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. 2 Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp. Bán kính là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp. 3 Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện Hình hộp chữ nhật, hình lập phương Nội dung Hình vẽ A0 Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương). Suy ra tâm là I, là trung điểm của A0 C Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương). AC 0 Suy ra bán kính: R = . 2 B0 D0 C0 I A D B C 108 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn Nội dung Xét hình lăng trụ đứng A1 , A2 , A3 · · · An .A01 , A02 , A03 , · · · A0n , trong đó có 2 đáy A1 A2 A3 · · · An và A01 A02 A03 · · · A0n nội tiếp đường tròn (O) và (O0 ). Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có  Tâm: I, với I là trung điểm của OO0 .  Bán kính: R = IA1 = IA2 = · · · = IA0n Hình vẽ A1 An O0 A2 A3 I A01 A0n A02 O A03 Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông Nội dung Hình vẽ S ’ = SBC ’ = 90◦ . Hình chóp S.ABC có SAC I  Tâm: I là trung điểm SC.  Bán kính: R = SC = IA = IB = IC. 2 A C B 5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu 109 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star S ’ = SBC ’ = SDC ’ = 90◦ . Hình chóp S.ABCD có SAC  Tâm: I là trung điểm SC.  Bán kính: R = SC = IA = IB = IC = ID. 2 I A B D C Hình chóp đều Nội dung Hình vẽ Hình chóp đều S.ABC · · · S  Gọi O là tâm của đáy ⇒ SO là trụ của đáy.  Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên, chẳng hạn như mặt phẳng (SAO), ta vẽ đường trung trực của cạnh SA là ∆ cắt SA tại M và cắt SO tại I ⇒ I là tâm của mặt cầu. Bán kính: SI SM = Ta có 4SM I ∼ 4SOA ⇒ SO SA SA2 SM · SA = = ⇒ R = IS = SO 2 · SO IA = IB = IC = · · · ∆ M I A D O B C Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Nội dung Hình vẽ 110 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Cho hình chóp S.ABC · · · có cạnh bên SA ⊥ (ABC · · · ) và đáy ABC · · · nội tiếp đường tròn tâm O. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC · · · được xác định như sau:  Từ tâm O ngoại tiếp đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC · · · ) tại O.  Trong mặt phẳng (d, SA), ta dựng đường trung trực ∆ của cạnh SA cắt SA tại M , cắt d tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính R = IA = IC = IS = · · · S d M I A  Tìm bán kính. Ta có M IOB là hình chữ nhật. Xét 4M AI vuông tại M có: √ R = AI = M I 2 + M A2 = Å ã SA 2 2 AO + . 2 O ∆ C B Hình chóp khác  Dựng trục ∆ của đáy.  Dựng mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên bất kì.  (α) ∩ ∆ = I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp.  Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp. Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm O là yếu tố rất quan trọng của bài toán. 5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu 111 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Hình vuông: O là giao điểm 2 đường chéo. O Hình chữ nhật: O là giao điểm 2 đường chéo. O O Tam giác đều: O là trọng tâm tam giác. O Tam giác vuông: O là trung điểm của cạnh huyền. O Tam giác thường: O là giao điểm của 2 đường trung trực của 112 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 2 cạnh trong tam giác. B KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP Nội dung Hình vẽ Cho hình chóp S.A1 A2 . . . An (thỏa mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước S α  Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng ∆ là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.  Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên. Lúc đó Tâm O của mặt cầu là giao điểm của đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α). Bán kính R = SA = SO. Tùy vào từng trường hợp. I O A D C H B C KỸ NĂNG XÁC ĐỊNH TRỤC ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP ĐA GIÁC ĐÁY 1 Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Nội dung Hình vẽ Định nghĩa Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính chất Với mọi M ∈ d0 thì M A = M B = M C. Suy ra M A = M B = M C ⇔ M ∈ d0 . 5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu 113 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Các bước xác định trục d0  Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.  Bước 2: Qua H dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng đáy. M 0 Một số trường hợp đặc biệt A  Đáy là tam giác vuông. C H B  Đáy là tam giác đều.  Đáy là tam giác thường. d0 H B C A d0 B C H A d0 B H C A 2 Kỹ năng tam giác đồng dạng Nội dung Hình vẽ 114 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 4SM O đồng dạng với 4SIA, suy ra SO SM = . SA SI S M O I A 3 Nhận xét quan trọng ® MA = MB = MC ∃M, S sao cho thì SM là trục đường tròn ngoại tiếp 4ABC. SA = SB = SC D KỸ THUẬT SỬ DỤNG HAI TRỤC XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN Nội dung Hình vẽ Cho hình chóp S.A1 A2 . . . An (thỏa mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước S I  Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng d0 là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.  Bước 2: Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp một mặt bên (dễ xác định) của khối chóp. Lúc đó d0 d B A D C • Tâm I của mặt cầu là {I} = d0 ∩ d. • Bán kính R = IA = IS. Tùy vào từng trường hợp. E TỔNG KẾT CÁC DẠNG TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU 1 Dạng 1 Nội dung Hình vẽ 5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu 115 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star S A C B ’ = 90◦ . Cạnh bên SA vuông góc đáy và ABC SC và tâm là trung điểm của Khi đó R = 2 SC. S B A D C 2 Dạng 2 Nội dung Hình vẽ Cạnh bên SA vuông góc đáy và bất kể đáy là hình gì, chỉ cần tìm được bán kính đường tròn ngoại tiếp SA2 2 của đáy là RD , khi đó R2 = RD + . 4 • RD = abc p với p là nửa 4 p(p − a)(p − b)(p − c) chu vi. • Nếu 4ABC vuông tại A thì RD  1 AB 2 + AC 2 + SA2 . 4 √ a 2 . • Đáy là hình vuông cạnh a thì RD = 2 • Nếu đáy là tam giác đều cạnh a thì RD S K I A C O = B √ a 3 = . 3 116 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 3 Dạng 3 Nội dung Hình vẽ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau SA = SB = SC = SD, ta có S R= SA2 . 2SO  ABCD là hình vuông, hình chữ nhật, khi đó O là giao của hai đường chéo. A D O  4ABC vuông, khi đó O là trung điểm cạnh huyền. B C  4ABC đều, khi đó O là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. 4 Dạng 4 Nội dung Hình vẽ Hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) vuông góc với nhau và có giao tuyến AB. Khi đó, ta gọi R1 , R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác SAB và SAC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp R2 = R12 + R22 − AB 2 . 4 S O I A C J B 5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu 117 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 5 Dạng 5 Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SH, tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là O. Khi đó, 2 ta giải phương trình (SH − x)2 + OH 2 = x2 + RD . Với giá trị x vừa tìm được, ta có 2 R 2 = x2 + RD . F DẠNG 6 Bán kính mặt cầu nội tiếp r = BÀI 6 3V . Stp TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY A CHỎM CẦU Nội dung Hình vẽ Ta có công thức tính diện tích và thể tích   2 2 Sxq = 2πRh = π r + h ã Å  πh 2 h V = πh2 R − = h + 3r2 3 6 R r h B HÌNH TRỤ CỤT Nội dung Hình vẽ 118 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Ta có công thức tính thể tích, diện tích  Sxq = πR (h1 + h2 ) Å ã h1 + h2 V = πR 2 h1 h2 R C HÌNH NÊM LOẠI 1 Nội dung Hình vẽ Ta có công thức tính thể tích V = 2 3 R tan α. 3 α R D HÌNH NÊM LOẠI 2 Nội dung Hình vẽ 6. Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay 119 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Ta có công thức tính thể tích Å V = ã π 2 − R3 tan α. 2 3 α R E PARABOL BẬC HAI - PARABOLOID Nội dung Hình vẽ  4   Sparabol = Rh   3   Å… ã3  3  x a S0 = =  S h R      V = 1 πR2 h = 1 Vtrụ . 2 2 R R h h a x F DIỆN TÍCH ELIP VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY SINH BỞI ELIP Nội dung Hình vẽ 120 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Selip = πab      Vxoay quanh 2a =     Vxoay quanh 2b = a 4 πab2 3 4 2 πa b. 3 b a b G DIỆN TÍCH HÌNH VÀNH KHĂN Nội dung Hình vẽ  S = π R2 − r 2 . R r H THỂ TÍCH HÌNH XUYẾN (PHAO) Nội dung V = 2π 2 Å R+r 2 ãÅ Hình vẽ R−r 2 ã2 . r R 6. Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay 121 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 122 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star CHƯƠNG 3 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT 1 Khái niệm mở đầu Trong không gian cho ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Gốc tọa độ O, trục hoành Ox, trục tung Oy, trục cao Oz, các mặt tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx). 2 Khái niệm về hệ trục tọa độ Khi không gian có hệ trục tọa độ thì gọi là không gian tọa độ Oxyz hay không gian Oxyz. ! 4 Chú ý → − → − → −  i 2 = j 2 = k 2 = 1. 2 − −  → a 2 = |→ a| . − → − → → − → − → − → −  i · j = j · k = k · i = 0. 3 Tọa độ véctơ → − → − → − → − − u = (x; y; z) ⇔ → u =x i +y j +zk. 4 Tọa độ điểm → − −−→ → − → − M (x; y; z) ⇔ OM = x i + y j + z k . 123 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 5 Các công thức tọa độ cần nhớ − − Cho → u = (a; b; c), → v = (a0 ; b0 ; c0 ).  0  a = a → − → − 0  u = v ⇔ b=b   c = c0 . − −  → u ±→ v = (a ± a0 ; b ± b0 ; c ± c0 ). −  k·→ u = (ka; kb; kc). − − − − − −  → u ·→ v = |→ u | · |→ v | · cos (→ u,→ v ) = aa0 + bb0 + cc0 . → − − u ·→ v aa0 + bb0 + cc0 − − √  cos (→ u,→ v)= → =√ . − → − |u|·|v| a2 + b2 + c2 · a02 + b02 + c02 √− √ −  |→ u|= → u 2 = a2 + b2 + c2 . − − − −  → u ⊥→ v ⇔→ u ·→ v = 0. −−→  AB = (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA ). » −−→ 2 2 2  AB = AB = (xB − xA ) + (yB − yA ) + (zB − zA ) . 6 Chú ý − − Góc của hai véc-tơ (→ u,→ v ) là (nhỏ) giữa hai tia mang các véc-tơ đó, giá trị pgóc hình học − − → − → − u,→ v ) ≥ 0. trong [0; π] là sin ( u ; v ) = 1 − cos2 (→ 7 Chia tỉ lệ đoạn thẳng −−→ −−→ Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k nghĩa là M A = k M B. Công thức tọa độ của M là  xA − kxB   xM =   1−k    yA − kyB yM =  1−k     zA − kzB  zM = . 1−k 124 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 8 Công thức trung điểm Nếu M là trung điểm của đoạn AB thì  xA + xB   xM =   2   −−→ −−→ → − yA + yB M A + M B = 0 ⇔ yM =  2    z + zB  A zM = . 2 9 Công thức trọng tâm tam giác Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì  xA + xB + xC   xG =   3   −→ −−→ −−→ → − yA + yB + yC GA + GB + GC = 0 ⇔ yG =  3     zG = zA + zB + zC . 3 10 Công thức trọng tâm tứ diện Nếu G là trọng tâm tứ diện ABCD thì  xA + xB + xC + xD   xG =   4   −→ −−→ −−→ −−→ → − yA + yB + yC + yD GA + GB + GC + GD = 0 ⇔ yG =  4    z + z + zC + zD  A B zG = . 4 11 Tích có hướng của hai véc-tơ − Cho hai véc-tơ → u = (a; b; c) và − − một véc-tơ, kí hiệu [→ u,→ v ] hay − − [→ u,→ v]= b b0 → − − − v = (a0 ; b0 ; c0 ). Tích có hướng của hai véc-tơ → u và → v là → − → − u ∧ v , có tọa độ ! c c a a b ; ; = (bc0 − b0 c; ca0 − ac0 ; ab0 − ba0 ) . c0 c0 a0 a0 b0 12 Tính chất của tích có hướng của hai véc-tơ − − − −  [→ u,→ v ] vuông góc với → u và → v. 1. Hệ tọa độ trong không gian 125 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star − − − − − −  |[→ u,→ v ]| = |→ u | · |→ v | · sin (→ u,→ v ). → − − − − −  [→ u,→ v]= 0 ⇔→ u, → v cùng phương. 13 Ứng dụng của tích có hướng của hai véc-tơ  Diện tích hình bình hành ABCD: S = î−−→ −−→ó AB, AD . 1 î−−→ −→ó · AB, AC . 2 − − − − − −  Ba véc-tơ → u, → v, → w đồng phẳng ⇔ [→ u,→ v]·→ w = 0.  Diện tích tam giác ABC: S =  Thể tích khối hộp có đáy là hình bình hành ABCD và cạnh bên AA0 : î−−→ −−→ó −−→ V = AB, AD · AA0 .  Thể tích khối tứ diện S.ABC: V = 1 î−−→ −→ó −→ · AB, AC · SA . 6 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP 1 Các phép toán về tọa độ của véc-tơ và của điểm Phương pháp giải  Sử dụng các công thức về tọa độ của véc-tơ và của điểm trong không gian.  Sử dụng các phép toán về véc-tơ trong không gian. 2 Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích Thể tích Phương pháp giải  Sử dụng các công thức về tọa độ của véc-tơ và của điểm trong không gian.  Sử dụng các phép toán về véc-tơ trong không gian.  Công thức xác định tọa độ của các điểm đặc biệt.  Tính chất hình học của các điểm đặc biệt. î−−→ −→ó −−→ −→ −−→ −→ • A, B, C thẳng hàng ⇔ AB, AC cùng phương ⇔ AB = k AC ⇔ AB, AC = → − 0. 126 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star −−→ −−→ • ABCD là hình bình hành ⇔ AB = DC. • Cho 4ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của −−→ AB −−→ −−→ AB −−→ góc A trên BC. Ta có EB = − · EC, F B = · F C. AC AC −−→ −→ −−→ • îA, B, C, D không đồng phẳng ⇔ AB, AC, AD không đồng phẳng ⇔ −−→ −→ó −−→ AB, AC · AD 6= 0. BÀI 2 MẶT PHẲNG A CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT 1 Khái niệm về véc-tơ pháp tuyến → − − Véc-tơ → n khác 0 và có giá vuông góc mp(P ) được gọi là véc-tơ pháp tuyến của (P ). 2 Tính chất của véc-tơ pháp tuyến − − Nếu → n là véc-tơ pháp tuyến của (P ) thì k → n (k 6= 0) cũng là véc-tơ pháp tuyến của (P ). 3 Phương trình tổng quát của mặt phẳng Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P ) qua M (x0 ; y0 ; z0 ) và có véc-tơ pháp tuyến → − n = (A; B; C) là A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0. 4 Khai triển của phương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 (trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0). 5 Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát  (P ) qua gốc tọa độ ⇔ D = 0.  (P ) song song hoặc trùng (Oxy) ⇔ A = B = 0.  (P ) song song hoặc trùng (Oyz) ⇔ B = C = 0.  (P ) song song hoặc trùng (Ozx) ⇔ A = C = 0.  (P ) song song hoặc chứa trục Ox ⇔ A = 0. 2. Mặt phẳng 127 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  (P ) song song hoặc chứa trục Oy ⇔ B = 0.  (P ) song song hoặc chứa trục Oz ⇔ C = 0.  (P ) (không qua gốc tọa độ) cắt Ox tại A(a; 0; 0), cắt Oy tại B(0; y; 0), cắt Oz tại x y z C(0; 0; c) ⇔ (P ) có phương trình + + = 1. a b c 6 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng Cho M (x0 ; y0 ; z0 ) và (P ) : Ax + By + Cz + D = 0, khi đó d [M ; (P )] = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ . A2 + B 2 + C 2 7 Chùm mặt phẳng Nội dung Hình vẽ  Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) gọi là một chùm mặt phẳng.  Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 và (β) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.  Khi đó nếu (P ) là mặt phẳng chứa d thì mặt phẳng (P ) có dạng m(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + n(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 với m2 + n2 6= 0. d (β) (α) (P ) B VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Để lập phương trình mặt phẳng (α) ta cần xác định một điểm thuộc (α) và một VTPT của nó. 1 Dạng 1 Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) và có VTPT ~n = (A; B; C) thì (α) : A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0. 128 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 2 Dạng 2 î ó Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) và có cặp VTCP ~a, ~b thì ~n = ~a, ~b là một VTPT của (α). 3 Dạng 3 Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) và song song với (β) : Ax + By + Cz = 0 thì (α) : A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0. 4 Dạng 4 Mặt phẳng (α) đi qua ba điểm B, C không thẳng hàng. Khi đó ta có thể xác định î−−→ A, −→ó một VTPT của (α) là ~n = AB, AC . 5 Dạng 5 Mặt phẳng (α) đi qua một điểm M và một đường thẳng d không chứa M :  Trên d lấy điểm A và VTCP ~u. î−−→ ó  Một VTPT của (α) là ~n = AM , ~u . 6 Dạng 6 Mặt phẳng (α) đi qua một điểm M , vuông góc với đường thẳng d thì VTCP ~u của đường thẳng d là một VTPT của (α). 7 Dạng 7 Mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau d1 , d2 :  Xác định các VTCP ~a, ~b của các đường thẳng d1 , d2 . î ó  Một VTPT của (α) là ~n = ~a, ~b .  Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2 ⇒ M ∈ (α). 2. Mặt phẳng 129 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 8 Dạng 8 Mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (hai đường d1 , d2 chéo nhau):  Xác định các VTCP ~a, ~b của các đường thẳng d1 , d2 . î ó  Một VTPT của (α) là ~n = ~a, ~b .  Lấy một điểm M thuộc d1 ⇒ M ∈ (α). 9 Dạng 9 Mặt phẳng (α) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1 , d2 :  Xác định các VTCP ~a, ~b của các đường thẳng d1 , d2 . î ó  Một VTPT của (α) là ~n = ~a, ~b . 10 Dạng 10 Mặt phẳng (α) chứa một đường thẳng d và vuông góc với một mặt phẳng (β):  Xác định VTCP ~u của d và VTPT ~nβ của (β).  Một VTPT của (α) là ~n = [~u, ~nβ ].  Lấy một điểm M thuộc d ⇒ M ∈ (α). 11 Dạng 11 Mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (β), (γ):  Xác định các VTPT ~nβ , ~nγ của (β) và (γ).  Một VTPT của (α) là ~n = [~nβ , ~nγ ]. 12 Dạng 12 Mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước:   Giả sử (α) có phương trình A + By + Cz + D = 0, A2 + B 2 + C 2 6= 0 .  Lấy hai điểm A, B ∈ d ⇒ A, B ∈ (α), ta được hai phương trình (1) và (2). 130 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Từ điều kiện khoảng cách d [M, (α)] = k, ta được phương trình (3).  Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại). 13 Dạng 13 Mặt phẳng (α) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm H:  Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R. −→  Một VTPT của (α) là ~n = IH. C VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG Cho hai mặt phẳng (P ) : Ax + By + Cz + D = 0 và (P 0 ) : A0 x + B 0 y + C 0 z + D0 = 0. Khi đó  (P ) cắt (P 0 ) ⇔ A : B : C 6= A0 : B 0 : C 0 .  (P ) k (P 0 ) ⇔ A B C D = 0 = 0 6= 0 . A0 B C D  (P ) ≡ (P 0 ) ⇔ A B C D = 0 = 0 = 0. 0 A B C D  (P ) ⊥ (P 0 ) ⇔ ~n(P ) ⊥ ~n(P 0 ) ⇔ ~n(P ) · ~n(P 0 ) = 0 ⇔ AA0 + BB 0 + CC 0 = 0. D KHOẢNG CÁCH VÀ HÌNH CHIẾU 1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Khoảng cách từ điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 là |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ d [M0 ; (α)] = . A2 + B 2 + C 2 2 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 3 Hình chiếu của một điểm lên một mặt Điểm H là hình chiếu của điểm M lên (P ) ⇔ ®−−→ M H, ~n cùng phương H ∈ (P ) . 2. Mặt phẳng 131 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 4 Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng −−−→ −−→ Điểm M 0 đối xứng M qua (P ) ⇔ M M 0 = 2M H. E GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình (α) : A1 x+B1 y+C1 z +D1 = 0 và (β) : A2 x+ B2 y + C2 z + D2 = 0. Góc giữa (α), (β) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT ~n1 , ~n2 . cos [(α); (β)] = ! 4 |A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 | |~n1 · ~n2 | p =p 2 . |~n1 | · |~n2 | A1 + B12 + C12 · A22 + B22 + C22 h i ◊ 0◦ ≤ (α); (β) ≤ 90◦ ; (α) ⊥ (β) ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0. F VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TIẾP XÚC MẶT CẦU. Cho mặt phẳng (α) : Ax+By+Cz+D = 0 và mặt cầu (S) : (x−a)2 +(y−b)2 +(z−c)2 = R2 có tâm I.  (α) và (S) không có điểm chung ⇔ d [I; (α)] > R.  (α) tiếp xúc (S) ⇔ d [I; (α)] = R với (α) là tiếp diện. Để tìm tọa độ tiếp điểm, ta có thể thực hiện như sau  Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc (α).  Tìm tọa độ giao điểm H của d và (α), H là giao điểm của (S) với (α).  (α) cắt (S) theo một đường tròn ⇔ d [I; (α)] < R. Để xác định tâm và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau  Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc (α).  Tìm tọa độ giao điểm H của d và (α), với H là tâm của đường tròn giao tuyến của (S) với (α).  Bán kính r của đường tròn giao tuyến r = √ R2 − IH 2 . 132 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star BÀI 3 ĐƯỜNG THẲNG A PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG 1 Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng → − − Định nghĩa 1. Cho đường thẳng d. Nếu véc-tơ → a 6= 0 và có giá song song hoặc trùng − với đường phẳng d thì được gọi là véc-tơ chỉ phương của đường phẳng d. Kí hiệu: → a = (a1 ; a2 ; a3 ). ! 4 − −  → a là VTCP của d thì k → a (k 6= 0) cũng là VTCP của d; −−→  Nếu d đi qua hai điểm A, B thì AB là một VTCP của d; → − −  Trục Ox có véc-tơ chỉ phương → a = i = (1; 0; 0); → − −  Trục Oy có vectơ chỉ phương → a = j = (0; 1; 0); → − −  Trục Oz có vectơ chỉ phương → a = k = (0; 0; 1). 2 Phương trình tham số của đường thẳng Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm − M0 (x0 ; y0 ; z0 ) và nhận → a = (a1 ; a2 ; a3 ) làm VTCP là   x = x0 + a1 t ∆ : y = y0 + a2 t (t ∈ R).   z = z0 + a3 t z − → a ∆ M (x; y; z) M0 O y x 3 Phương trình chính tắc của đường thẳng − Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) và nhận → a = (a1 ; a2 ; a3 ) làm VTCP là x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 (a1 , a2 , a3 6= 0) . 3. Đường thẳng 133 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star B VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI 1 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng ∆ − → a M − → a ∆ − → n − → n − → n M α α α M − → a ∆ Phương pháp hình học   x = x0 + a1 t (1) Định lí 1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ : y = y0 + a2 t (2) có véc-tơ   z = z0 + a3 t (3) → − chỉ phương a = (a1 ; a2 ; a3 ) và đi qua M = (x0 ; y0 ; z0 ) và mặt phẳng (α) : Ax + By + − Cz + D = 0 có véc-tơ pháp tuyến → n = (A; B; C). Khi đó − −  ∆ ∩ (α) = {A} ⇔ → a ·→ n 6= 0 ⇔ Aa + Ba + Ca 6= 0; 1  ∆ k (α) ⇔  ∆ ⊂ (α) ⇔ ®→ − − a ·→ n =0 M∈ / (α) ®→ − − a ·→ n =0 M ∈ (α) ® ⇔ ⇔ 2 3 Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0 Ax0 + By0 + Cz0 + D 6= 0; ® Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0 Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. − − Đặc biệt. ∆ ⊥ (α) ⇔ → a và → n cùng phương ⇔ a1 : a2 : a3 = A : B : C. ∆ − → a − → n α Phương pháp đại số ® Muốn tìm giao điểm M của ∆ và (α), ta giải hệ phương trình pt (∆) pt (α) tìm x, y, z. Suy ra M (x; y; z). Thế (1), (2) và (3) vào phương trình (α) và rút gọn đưa về dạng at + b = 0. (∗)  ∆ cắt (α) tại một điểm ⇔ pt(∗) có một nghiệm t;  ∆ song song với (α) ⇔ pt(∗) vô nghiệm;  ∆ nằm trong (α) ⇔ pt(∗) có vô số nghiệm t; − −  ∆ ⊥ (α) ⇔ → a và → n cùng phương. 134 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 N M M − → u2 − → u1 − → u2 ∆1 ∆2 N ∆1 ∆2 − → u1 M M N ∆2 − → − → u 1 u 2 ∆1 − → u1 N − → u2 ∆2 Phương pháp hình học − Cho hai đường thẳng: ∆1 đi qua M và có một véc-tơ chỉ phương → u 1; → − ∆ đi qua N và có một véc-tơ chỉ phương u . 2 2 î −−→ó → − − − −  ∆1 ≡ ∆2 ⇔ [→ u 1, → u 2] = → u 1, M N = 0 ;  → − − −  [→ u 1, → u 2] = 0 ó î  ∆ 1 k ∆2 ⇔ −−→ → − −  → u , M N 6= 0 ; 1 ( → → − − [− u 1, → u 2 ] 6= 0  ∆1 cắt ∆2 ⇔ −−→ − − [→ u ,→ u ] · M N = 0; 1 2 −−→ − −  ∆1 và ∆2 chéo nhau ⇔ [→ u 1, → u 2 ] · M N 6= 0. Phương pháp đại số ® Muốn tìm giao điểm M của ∆1 và ∆2 , ta giải hệ phương trình pt (∆1 ) pt (∆2 ) tìm x, y, z. Suy ra M (x; y; z). 3 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu   x = x0 + a1 t (1) Cho đường thẳng ∆ : y = y0 + a2 t (2) và mặt cầu (S) : (x−a)2 +(y−b)2 +(z−c)2 = R2   z = z0 + a3 t (3) có tâm I(a; b; c), bán kính R. Phương pháp hình học Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến đường thẳng ∆ là î−−→ ó − IM , → a h = d(I, ∆) = . → − |a| Bước 2: So sánh d(I, ∆) với bán kính R của mặt cầu: 3. Đường thẳng 135 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Nếu d(I, ∆) > R thì ∆ không cắt (S);  Nếu d(I, ∆) = R thì ∆ tiếp xúc với (S);  Nếu d(I, ∆) < R thì ∆ cắt (S) tại hai điểm phân biệt M, N và M N vuông góc với đường kính (bán kính) mặt cầu. Phương pháp đại số Thế (1), (2) và (3) vào phương trình (S) và rút gọn và đưa về phương trình bậc hai theo t. (∗)  Nếu phương trình (∗) vô nghiệm thì ∆ không cắt (S);  Nếu phương trình (∗) có một nghiệm thì ∆ không cắt (S);  Nếu phương trình (∗) có hai nghiệm thì d cắt (S) tại hai điểm phân biệt M , N . ! Để tìm tọa độ M , N , ta thay giá trị vào phương trình đường thẳng ∆. C GÓC TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α), (β) xác định bởi phương trình: → − n 1 = (A1 ; B1 ; C1 ) → − n 2 = (A2 ; B2 ; C2 ) (α) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 (β) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β), ta có công thức: cos ϕ = p A21 |A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 | p + B12 + C12 · A22 + B22 + C22 β α 2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Nội dung Hình vẽ 136 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Cho đường thẳng (∆) : (∆) x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c → − u = (a; b; c) → − n = (A; B; C) và mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0. Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) ta có công thức: sin ϕ = √ |Aa + Bb + Cc| √ 2 A + B 2 + C 2 · a2 + b2 + c2 α 0◦ ≤ ϕ ≤ 90◦ 3 Góc giữa hai đường thẳng Nội dung Hình vẽ Cho hai đường thẳng: x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c x − x00 y − y00 z − z00 (∆2 ) : = = a0 b0 c0 ; b; c) −a 1 = (a → (∆1 ) : Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng (∆1 ) và (∆2 ) ta có công thức: cos ϕ = √ |aa0 + bb0 + cc0 | √ a2 + b2 + c2 · a02 + b02 + c02 ∆1 ∆2 → − a2 = 0 (a ; b 0 ; c 0) 0◦ ≤ ϕ ≤ 90◦ D KHOẢNG CÁCH 1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ 3. Đường thẳng 137 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M (x0 ; y0 ; z0 ). Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) được tính bởi: d [M, (α)] = M (x0 ; y0 ; z0 ) |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ . A2 + B 2 + C 2 H α 2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Nội dung Cho đường thẳng (∆) đi qua điểm − M0 (x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP → u = (a; b; c). Khi đó khoảng cách từ điểm M1 đến (∆) được tính bởi công thức: î−−−−→ ó − M0 M1 ; → u d(M1 , ∆) = . → − |u| Hình vẽ M1 → − u M0 (x0 ; y0 ; z0 ) H 3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Nội dung Trong không gian (Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau: − (∆1 ) có VTCP → u = (a; b; c) và qua M0 (x0 ; y0 ; z0 ) → −0 (∆2 ) có VTCP u = (a0 ; b0 ; c0 ) và qua M00 (x00 ; y00 ; z00 ) Khi đó khoảng cách giữa (∆1 ) và (∆2 ) được tính bởi công thức h → − i −−−−→ → − u , u0 · M0 M00 h → . d(∆1 , ∆2 ) = −i → − u , u0 Hình vẽ M0 ∆1 ∆2 M 0 −u → → − u0 0 138 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn (∆) Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star E LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó. 1 Dạng 1   x = x0 + a1 t → − d đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP a = (a1 ; a2 ; a3 ) là d : y = y0 + a2 t (t ∈ R).   z = z0 + a 3 t 2 Dạng 2 −−→ d đi qua hai điểm A, B: d có một VTCP là AB. 3 Dạng 3 d đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) và song song với đường thẳng ∆ cho trước: Vì d k ∆ nên VTCP của ∆ cũng là VTCP của d. 4 Dạng 4 d đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với mặt phẳng (P ) cho trước. Vì d ⊥ (P ) nên VTPT của (P ) cũng là VTCP của d. 5 Dạng 5 d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P ), (Q): Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP. ®  Tìm tọa độ một điểm A ∈ d bằng cách giải hệ phương trình (P ) (Q) (với việc chọn giá trị cho một ẩn). − − −  Tìm một VTCP của d: → a = [→ nP,→ n Q ]. Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. 6 Dạng 6 d đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với hai đường thẳng d1 , d2 : − − − Vì d ⊥ d1 , d ⊥ d2 nên một VTCP của d là → a = [→ a d1 , → a d2 ]. 3. Đường thẳng 139 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 7 Dạng 7 d đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ), vuông góc và cắt đường thẳng ∆.  Cách 1: ( Gọi H là hình chiếu vuông góc của M0 trên đường thẳng ∆. H∈∆ Ta có −−−→ → . Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M0 , H. M0 H ⊥ − u∆  Cách 2: Gọi (P ) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d; Q là mặt phẳng đi qua A và chứa d. Khi đó d = (P ) ∩ (Q). 8 Dạng 8 d đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) và cắt hai đường thẳng d1 , d2 :  Cách 1: Gọi M1 ∈ d1 , M2 ∈ d2 . Từ điều kiện M , M1 , M2 thẳng hàng ta tìm được M1 , M2 . Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d.  Cách 2: Gọi (P ) = (M0 , d1 ), (Q) = (M0 , d2 ). Khi đó d = (P ) ∩ (Q). Do đó một − − − VTCP của d có thể chọn là → a = [→ nP,→ n Q ]. 9 Dạng 9 d nằm trong mặt phẳng (P ) và cắt cả hai đường thẳng d1 , d2 : Tìm các giao điểm A = d1 ∩ (P ), B = d2 ∩ (P ). Khi đó d chính là đường thẳng AB. 10 Dạng 10 Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa ∆ và d1 , mặt phẳng (Q) chứa ∆ và d2 . Khi đó d = (P ) ∩ (Q). 11 Dạng 11 d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 , d2 chéo nhau. 1 Cách 1: ® Gọi M1 ∈ d1 , M2 ∈ d2 . Từ điều kiện M N ⊥ d1 M N ⊥ d2 ta tìm được M, N . Khi đó d là đường thẳng M N . 2 Cách 2: 140 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star − − −  Vì d ⊥ d1 và d ⊥ nên một véc-tơ chỉ phương của d là → a = [→ a d1 ; → a d2 ].  Lập phương trình mặt phẳng (P ) chứa d và d1 bằng cách. • Lấy một điểm A trên d1 . − − − • Một véc-tơ chỉ phương của (P ) là → n P = [→ a ,→ a d1 ].  Tương tự lập phương trình của mặt phẳng (Q) chứa d và d2 . Khi đó d = (P ) ∩ (Q). 12 Dạng 12 d đi qua điểm M , vuông góc với d1 và cắt d2 . 1 Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d2 . Từ điều kiện M N ⊥ d1 , ta tìm được N . Khi đó, d là đường thẳng M N . 2 Cách 2:  Viết phương trình mặt phẳng (P ) và qua M và vuông góc với d1 .  Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d2 .  Khi đó d = (P ) ∩ (Q). 13 Dạng 13 d đi qua M , vuông góc với d1 và cắt d2 . 1 Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d2 . Từ điều kiện M N ⊥ d1 ta tìm được N . Khi đó, d là đường thẳng M N . 2 Cách 2:  Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M và vuông góc với d1 .  Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d2 .  Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d2 .  Khi đó d = (P ) ∩ (Q). 3. Đường thẳng 141 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star F VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI 1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng Để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: 1 Phương pháp hình học: Dụa vào mối quan hệ giữa các véc-tơ chỉ phương và các điểm thuộc đường thẳng. 2 Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng. 2 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: 1 Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa véc-tơ chỉ phuwpwng của đường thẳng và véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng. 2 Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng. G KHOẢNG CÁCH 1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d 1 Cách 1: − Cho đường thẳng d đi qua M0 và có véc-tơ chỉ phương → a thì î−−−→ ó − M0 M , → a d (M, d) = . → − |a| 2 Cách 2:  Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d.  d (M, d) = M H. 3 Cách 3: 142 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Gọi N (x; y; z) ∈ d. Tính M N 2 theo t (t là tham số trong đường thẳng d).  Tìm t để M N 2 nhỏ nhất.  Khi đó N ≡ H, do đó d (M, d) = M H. 2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 . Biết d1 đi qua điểm M1 và có véc-tơ chỉ − − phương → a 1 , d2 đi qua điểm M2 và có véc-tơ chỉ phương → a 2 thì −−−−→ − − [→ a 1, → a 2 ] · M1 M2 d (d1 , d2 ) = . − − |[→ a ,→ a ]| 1 2 • Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 , d2 bằng khoảng cách giữa d1 mà mặt phẳng (α) chứa d2 và song song với d1 . 3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia. 4 Khoảng cách giữa một đường thẳng mà mặt phẳng song song Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt (α) song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên d đến mặt phẳng (α). H GÓC 1 Góc giữa hai đường thẳng − − Cho hai đường thẳng d1 , d2 lần lượt có các véc-tơ chỉ phương → a 1, → a 2 . Gọi α là góc giữa d1 , d2 d1 , d2 , ta có − − |→ a1·→ a 2| − − . cos α = |cos (→ a 1, → a 2 )| = → − − | a 1 | · |→ a 2| 2 Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng − Cho đường thẳng d có véc-tơ chỉ phương → a = (a1 ; a2 ; a3 ) và mặt phẳng (α) có → − véc-tơ pháp tuyến n = (A; B; C). 3. Đường thẳng 143 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng góc giữa d và hình chiếu vuông góc d0 của nó trên (α). Ta có   ’ sin d, (α) = √ BÀI |Aa1 + Ba2 + Ca3 | p . a21 + a22 + a23 A2 + B 2 + C 2 · 4 MẶT CẦU A PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 1 Phương trình chính tắc  Phương trình của mặt cầu (S) tâm I (a; b; c), bán kính R là 2 2 2 (S) : (x − a) + (y − b) + (z − c) = R2 (1)  Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu  Đặc biệt : Khi I ≡ O thì (S) : x2 + y 2 + z 2 = R2 2 Phương trình tổng quát  Phương trình : x2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với a2 + b2 + c2 − d√> 0 là phương trình của mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), bán kính R = a2 + b2 + c2 − d B GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG  Cho mặt phẳng (α) và mặt cầu (S) có phương trình : (α) : Ax + By + Cz + D = 0 2 2 2 (S) : (x − a) + (y − b) + (z − c) = R2  Gọi d (I; (α)) là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (α).  Cho mặt cầu S (I; R) và mặt phẳng (P ).  Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P ) ⇒ d = IH = d (I, (P )) d>R d=R d 0 thì (S) có tâm I (−a; − b; − c) và bán kính R = a2 + b2 + c2 − d. Đặc biệt : Cho hai mặt cầu S1 (I1 ; R1 ) và S2 (I2 ; R2 ).  I1 I2 < |R1 − R2 | ⇔ (S1 ) , (S2 ) trong nhau.  I1 I2 > R1 + R2 ⇔ (S1 ) , (S2 ) ngoài nhau.  I1 I2 = |R1 − R2 | ⇔ (S1 ) , (S2 ) tiếp xúc trong.  I1 I2 = R1 + R2 ⇔ (S1 ) , (S2 ) tiếp xúc ngoài.  |R − 1 − R2 | < I1 I2 < R1 + R2 ⇔ (S1 ) , (S2 ) cắt nhau theo một đường tròn (đường tròn giao tuyến). 7 Dạng 7 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), tiếp xúc với mặt phẳng (P ) cho trước thì bán kính mặt cầu R = d (I; (P )). 8 Dạng 8 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), cắt mặt phẳng (P ) cho trước theo giao tuyến là một đường tròn thoả điều kiện.  Đường tròn cho trước (bán kính hoặc diện tích hoặc chu vi) thì từ công thức diện tích đường tròn S = πr2 hoặc chu vi đường tròn P = 2πr ta tìm được bán kính đường tròn giao tuyến r. 146 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star  Tính d = d (I, (P )).  Tính bán kính mặt cầu R = √ d2 + r 2 .  Kết luận phương trình mặt cầu. 9 Dạng 9 Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với một đường thẳng ∆ cho trước và có tâm I (a; b; c) cho trước thì đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) ta có R = d (I, ∆). 10 Dạng 10 Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với một đường thẳng ∆ tại tiếp điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) thuộc ∆ và có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước thì ta làm như sau  Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng ∆.  Toạ độ tâm I = (P ) ∪ ∆ là nghiệm của phương trình.  Bán kính mặt cầu R = IM = d (I, ∆).  Kết luận về phương trình mặt cầu (S). 11 Dạng 11 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c) và cắt đường thẳng ∆ tại hai điểm A, B thoả mãn điều kiện  Độ dài AB là một hằng số.  Tam giác IAB là tam giác vuông.  Tam giác IAB là tam giác đều. Thì ta xác định d (I, ∆) = IH, vì 4IAB cân tại I nên HB = AB và bán kính mặt cầu 2 R được tính như sau √  R = IH 2 + HB 2 .  R= IH . sin 45◦  R= IH . sin 60◦ 4. Mặt cầu 147 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 12 Dạng 12 Tập hợp điểm là mặt cầu. Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P ) nào đó.  Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M . 2 2 2 (x − a) + (y − b) + (z − c) = R2 hoặc x2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0.  Tìm giới hạn quỹ tích (nếu có). 13 Dạng 13 Tìm tập hợp tâm mặt cầu   x = f (t)  Tìm toạ độ của tâm I, chẳng hạn : y = g (t)   z = h (t) (*)  Khử t trong (*) ta có phương trình tập hợp điểm.  Tìm giới hạn quỹ tích (nếu có). BÀI 5 MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN A DẠNG 1. Cho mặt phẳng (P ) và hai điểm A, B. Tìm M ∈ (P ) để (M A + M B)min . • Phương pháp  Nếu A và B nằm khác phía so với (P ) ⇒M , A, B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P ).  Nếu A và B nằm cùng phía so với (P ) ⇒ B 0 là điểm đối xứng với B qua (P ). B DẠNG 2. Cho mặt phẳng (P ) và hai điểm A, B. Tìm M ∈ (P ) để |M A − M B|max . • Phương pháp  Nếu A và B nằm khác phía so với (P ) ⇒ M , A, B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P ).  Nếu A và B nằm cùng phía so với (P ) ⇒ B 0 là điểm đối xứng với B qua (P ) ⇒ |M A − M B 0 | = AB 0 . 148 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star C DẠNG 3. Cho điểm M (xM ; yM ; zM ) không thuộc các trục và các mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho VO.ABC nhỏ nhất. • Phương pháp (P ) : y z x + + = 1. 3xM 3yM 3zM D DẠNG 4. Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d, sao cho khoảng cách từ điểm M∈ / d đến (P ) là lớn nhất . • Phương pháp ( Qua A ∈ d îî (P ) : → −−→ó − ó − − nP = → u d ; AM ; → ud . E DẠNG 5. Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A và cách M một khoảng lớn nhất. • Phương pháp ( Qua A (P ) : → −−→ − n = AM . P F DẠNG 6. Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d, sao cho (P ) tạo với ∆ một góc lớn nhất(∆ không song song với đường thẳng d ). • Phương pháp ® (P ) : Qua A ∈ d → − − − − n P = [[→ u d, → u ∆] , → u d] . G DẠNG 7. Cho ∆ k (P ). Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P ) song song với ∆ và cách ∆ một khoảng nhỏ nhất . • Phương pháp 5. Một số bài toán giải nhanh cực trị không gian 149 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Qua A0 → − − ud =→ u ∆. ® 0  Lấy điểm A ∈ ∆, gọi A là hình chiếu vuông góc của A lên (P ) thì d : H DẠNG 8. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ∈ (P ) cho trước và nằm trong mặt phẳng (P ) cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là lớn nhất (AM không vuông góc với (P )). • Phương pháp Lấy điểm A ∈ ∆, gọi A0 là hình chiếu vuông góc của A lên (P ) thì ( Qua A ∈ d î (d) : → −−→ó − − ud = → n P , AM . I DẠNG 9. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ∈ (P ) cho trước và nằm trong mặt phẳng (P ) cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là nhỏ nhất (AM không vuông góc với (P )). • Phương pháp ( Qua A ∈ d îî d: → −−→ó − ó − − n P , AM , → nP . ud = → J DẠNG 10. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ∈ (P ) cho trước, sao cho d nằm trong (P ) và tạo với đường thẳng ∆ một góc nhỏ nhất (∆ cắt nhưng không vuông góc với (P )). • Phương pháp ( Qua A ∈ d îî d: → −−→ó − ó − − ud = → n P , AM , → nP . 150 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top