Tổng hợp kiến thức cơ bản Toán 9

TỔNG HỢP KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 9
PHẦN I – ĐẠI SỐ
A. Kiến thức cần nhớ.
1. §iÒu kiÖn ®Ó c¨n thøc cã nghÜa.
A cã nghÜa khi A  0
2. C¸c c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc.
A2  A
a.
b.

AB  A. B

c.

A

B

d.

A2 B  A B

e.

A
B

( A  0; B  0)

A B  A2 B

A 1

B B

( B  0)
( A  0; B  0)

A B   A2 B

f.

( A  0; B  0)

AB

( A  0; B  0)

( AB  0; B  0)

i.

A
A B

B
B

k.

C
C ( A B)

A  B2
AB

m.

C
C( A
B)

2
A B
A B

( B  0)
( A  0; A  B 2 )
( A  0; B  0; A  B )

3. Hµm sè y = ax + b (a  0)

– TÝnh chÊt:
+ Hµm sè ®ång biÕn trªn R khi a > 0.
+ Hµm sè nghÞch biÕn trªn R khi a < 0. – §å thÞ: §å thÞ lµ mét ®-êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(0;b); B(-b/a;0). 4. Hµm sè y = ax2 (a  0) – TÝnh chÊt: + NÕu a > 0 hµm sè nghÞch biÕn khi x < 0 vµ ®ång biÕn khi x > 0.
+ NÕu a < 0 hµm sè ®ång biÕn khi x < 0 vµ nghÞch biÕn khi x > 0.

– §å thÞ:
§å thÞ lµ mét ®-êng cong Parabol ®i qua gèc to¹ ®é O(0;0).
+ NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh.
+ NÕu a < 0 th× ®å thÞ n»m phÝa d-íi trôc hoµnh. 5. VÞ trÝ tư¬ng ®èi cña hai ®ưêng th¼ng XÐt ®-êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = a’x + b’ (d’) (d) vµ (d’) c¾t nhau  a  a’ (d) // (d’)  a = a’ vµ b  b’ (d)  (d’)  a = a’ vµ b = b’ 6. VÞ trÝ tư ¬ng ®èi cña ®ư êng th¼ng vµ ®ư êng cong. XÐt ®-êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = ax2 (P) (d) vµ (P) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm (d) tiÕp xóc víi (P) t¹i mét ®iÓm (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung 7. Phư ¬ng tr×nh bËc hai. XÐt ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) C«ng thøc nghiÖm C«ng thøc nghiÖm thu gän 2  = b – 4ac ’ = b’2 – ac víi b = 2b’ NÕu  > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm
– NÕu ’ > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm
ph©n biÖt:
ph©n biÖt:
x1 

b 
b 
; x2 
2a
2a

NÕu  = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp :
b
x1  x2 
2a

x1 

 b ‘  ’
 b ‘  ’
; x2 
a
a

– NÕu ’ = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp:

x1  x2 

NÕu  < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm  b’ a – NÕu ’ < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm 8. HÖ thøc Viet vµ øng dông. – HÖ thøc Viet: NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) th×: b  S  x  x  1 2  a   P  x .x  c 1 2  a – Mét sè øng dông: + T×m hai sè u vµ v biÕt u + v = S; u.v = P ta gi¶i ph-¬ng tr×nh: x2 – Sx + P = 0 (§iÒu kiÖn S2 – 4P  0) + NhÈm nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) NÕu a + b + c = 0 th× ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = 1 ; x2 = c a NÕu a – b + c = 0 th× ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = -1 ; x2 =  c a 9. Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp phư ¬ng tr×nh, hÖ phư ¬ng tr×nh B-íc 1: LËp ph-¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph-¬ng tr×nh B-íc 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph-¬ng tr×nh B-íc 3: KiÓm tra c¸c nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph-¬ng tr×nh nghiÖm nµo thÝch hîp víi bµi to¸n vµ kÕt luËn B. Các dạng bài tập D¹ng 1: Rút gọn biểu thức Bµi to¸n: Rót gän biÓu thøc A  §Ó rót gän biÓu thøc A ta thùc hiÖn c¸c b-íc sau: – Quy ®ång mÉu thøc (nÕu cã) 2 - §ư a bít thõa sè ra ngoµi c¨n thøc (nÕu cã) – Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã) – Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh: luü thõa, khai c¨n, nh©n chia…. – Céng trõ c¸c sè h¹ng ®ång d¹ng. D¹ng 2: Bài toán tính toán Bµi to¸n 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A.  TÝnh A mµ kh«ng cã ®iÒu kiÖn kÌm theo ®ång nghÜa víi bµi to¸n Rót gän biÓu thøc A Bµi to¸n 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A(x) biÕt x = a  C¸ch gi¶i: – Rót gän biÓu thøc A(x). – Thay x = a vµo biÓu thøc rót gän. D¹ng 3: Chứng minh đẳng thức Bµi to¸n : Chøng minh ®¼ng thøc A = B  Mét sè phư ¬ng ph¸p chøng minh: – Phư ¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa. A=B A-B=0 – Phư ¬ng ph¸p 2: BiÕn ®æi trùc tiÕp. A = A1 = A2 = … = B – Phư ¬ng ph¸p 3: Phư ¬ng ph¸p so s¸nh. A = A1 = A2 = … = C A=B B = B1 = B2 = … = C – Phư ¬ng ph¸p 4: Phư ¬ng ph¸p tư ¬ng ®ư ¬ng. A = B  A’ = B’  A” = B”  …… (*) (*) ®óng do ®ã A = B – Phư ¬ng ph¸p 5: Phư ¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt. – Phư ¬ng ph¸p 6: Phư ¬ng ph¸p quy n¹p. – Phư ¬ng ph¸p 7: Phư ¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô. D¹ng 4: Chứng minh bất đẳng thức Bµi to¸n: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc A > B
 Mét sè bÊt ®¼ng thøc quan träng:
– BÊt ®¼ng thøc Cosi:

a1  a2  a3  …  an n
 a1.a2 .a3 …an (víi a1.a2 .a3 …an  0 )
n
DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi: a1  a2  a3  …  an

– BÊt ®¼ng thøc BunhiaC«pxki:
Víi mäi sè a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn

a1b1  a2b2  a3b3  …  anbn 2  (a12  a22  a32  …  an2 )(b12  b22  b32  …  bn2 )

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi:

a
a1 a2 a3


 …  n
b1 b2 b3
bn

 Mét sè ph-¬ng ph¸p chøng minh:
– Phư ¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa
A>B A-B>0
– Phư ¬ng ph¸p 2: BiÕn ®æi trùc tiÕp
A = A1 = A2 = … = B + M2 > B nÕu M  0

3

- Phư ¬ng ph¸p 3: Phư ¬ng ph¸p tư ¬ng ®ư ¬ng
A > B  A’ > B’  A” > B”  …… (*)
(*) ®óng do ®ã A > B
– Phư ¬ng ph¸p 4: Phư ¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt b¾c cÇu
A > C vµ C > B  A > B
– Phư ¬ng ph¸p 5: Phư ¬ng ph¸p ph¶n chøng
§Ó chøng minh A > B ta gi¶ sö B > A vµ dïng c¸c phÐp biÕn ®æi tư ¬ng ®ư ¬ng
®Ó dÉn ®Õn ®iÒu v« lÝ khi ®ã ta kÕt luËn A > B.
– Phư ¬ng ph¸p 6: Phư ¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt.
– Phư ¬ng ph¸p 7: Phư ¬ng ph¸p quy n¹p.
– Phư ¬ng ph¸p 8: Phư ¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô.
D¹ng 5: Bài toán liên quan đến phương trình bậc hai
Bµi to¸n 1: Gi¶i phư ¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0)
 C¸c phư ¬ng ph¸p gi¶i:
– Phư ¬ng ph¸p 1: Ph©n tÝch ®ư a vÒ phư ¬ng tr×nh tÝch.
– Phư ¬ng ph¸p 2: Dïng kiÕn thøc vÒ c¨n bËc hai
x2 = a  x =  a
– Phư ¬ng ph¸p 3: Dïng c«ng thøc nghiÖm
Ta cã  = b2 – 4ac
+ NÕu  > 0 : Phư ¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
x1 

b 
b 
; x2 
2a
2a

+ NÕu  = 0 : Phư ¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
x1  x2 

b
2a

+ NÕu  < 0 : Phư ¬ng tr×nh v« nghiÖm – Phư ¬ng ph¸p 4: Dïng c«ng thøc nghiÖm thu gän Ta cã ’ = b’2 – ac víi b = 2b’ + NÕu ’ > 0 : Phư ¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
x1 

 b ‘  ’
 b ‘  ’
; x2 
a
a

+ NÕu ’ = 0 : Phư ¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp

 b’
x1  x2 
a

+ NÕu ’ < 0 : Phư ¬ng tr×nh v« nghiÖm – Phư ¬ng ph¸p 5: NhÈm nghiÖm nhê ®Þnh lÝ Vi-et. NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña phư ¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) th×: b   x1  x2  a   x .x  c  1 2 a Chó ý: NÕu a, c tr¸i dÊu tøc lµ a.c < 0 th× ph-¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. Bµi to¸n 2: BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña phư ¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ).  XÐt hÖ sè a: Cã thÓ cã 2 kh¶ n¨ng 4 a. Trư êng hîp a = 0 víi vµi gi¸ trÞ nµo ®ã cña m. Gi¶ sö a = 0  m = m0 ta cã: (*) trë thµnh ph-¬ng tr×nh bËc nhÊt ax + c = 0 (**) + NÕu b  0 víi m = m0: (**) cã mét nghiÖm x = -c/b + NÕu b = 0 vµ c = 0 víi m = m0: (**) v« ®Þnh  (*) v« ®Þnh + NÕu b = 0 vµ c  0 víi m = m0: (**) v« nghiÖm  (*) v« nghiÖm b. Tr-êng hîp a  0: TÝnh  hoÆc ’ + TÝnh  = b2 – 4ac NÕu  > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
x1 

b 
b 
; x2 
2a
2a

NÕu  = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : x1  x2 

b
2a

NÕu  < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm + TÝnh ’ = b’2 – ac víi b = 2b’ NÕu ’ > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
x1 

 b ‘  ’
 b ‘  ’
; x2 
a
a

 b’
NÕu ’ = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1  x2 
a

NÕu ’ < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm – Ghi tãm t¾t phÇn biÖn luËn trªn. Bµi to¸n 3: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiÖm.  Cã hai kh¶ n¨ng ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 cã nghiÖm: 1. HoÆc a = 0, b  0 2. HoÆc a  0,   0 hoÆc ’  0 TËp hîp c¸c gi¸ trÞ m lµ toµn bé c¸c gi¸ trÞ m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 1 hoÆc ®iÒu kiÖn 2. Bµi to¸n 4: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. a  0 a  0 hoÆc  ‘   0   0  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm ph©n biÖt  Bµi to¸n 5: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 1 nghiÖm.  §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm: a  0 a  0 hoÆc  hoÆc  b  0   0 a  0  ‘   0 Bµi to¸n 6: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiÖm kÐp. a  0  §iÒu kiÖn cã nghiÖm kÐp:    0 a  0 hoÆc  ‘   0 Bµi to¸n 7: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) v« nghiÖm. 5 a  0  §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm:    0 a  0 hoÆc  ‘   0 Bµi to¸n 8: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 1 nghiÖm. a  0 a  0 hoÆc  hoÆc b  0   0  §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm:  a  0  ‘   0 Bµi to¸n 9 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã hai nghiÖm cïng dÊu.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm cïng dÊu: ’  0   0   hoÆc   c c P  a  0 P   0 a  Bµi to¸n 10 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm d-¬ng.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm d-¬ng:     0 ’  0   c c   P   0 hoÆc  P   0 a a   b b   S   a  0 S   a  0 Bµi to¸n 11 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 2 nghiÖm ©m.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm ©m:     0 ’  0   c c   P   0 hoÆc  P   0 a a   b b   S   a  0 S   a  0 Bµi to¸n 12 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm tr¸i dÊu: P < 0 hoÆc a vµ c tr¸i dÊu. Bµi to¸n 13 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (*) ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã mét nghiÖm x = x1.  C¸ch gi¶i: – Thay x = x1 vµo ph-¬ng tr×nh (*) ta cã: ax12 + bx1 + c = 0  m – Thay gi¸ trÞ cña m vµo (*)  x1, x2 – HoÆc tÝnh x2 = S – x1 hoÆc x2 = P x1 Bµi to¸n 14 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: a. x1  x2   c. 1 1  n x1 x2 b. x12  x22  k d. x12  x22  h e. x13  x23  t 6  §iÒu kiÖn chung:   0 hoÆc ’  0 (*) Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: b   x1  x2  a  S (1)   x .x  c  P (2)  1 2 a a. Tr-êng hîp: x1  x2   b   x1  x2  Gi¶i hÖ  a x1  x2   x1, x2 Thay x1, x2 vµo (2)  m Chän c¸c gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n (*) b. Tr-êng hîp: x12  x22  k  ( x1  x2 )2  2 x1 x2  k Thay x1 + x2 = S = c b vµ x1.x2 = P = vµo ta cã: a a S2 – 2P = k  T×m ®-îc gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n (*) c. Tr-êng hîp: 1 1   n  x1  x2  nx1.x2   b  nc x1 x2 Gi¶i ph-¬ng tr×nh – b = nc t×m ®-îc m tho¶ m·n (*) d. Tr-êng hîp: x12  x22  h  S 2  2P  h  0 Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh S2 – 2P – h  0 chän m tho¶ m·n (*) e. Tr-êng hîp: x13  x23  t  S 3  3PS  t Gi¶i ph-¬ng tr×nh S 3  3PS  t chän m tho¶ m·n (*) Bµi to¸n 15 : T×m hai sè u vµ v biÕt tæng u + v = S vµ tÝch u.v = P cña chóng.  Ta cã u vµ v lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh: x – Sx + P = 0 (*) (§iÒu kiÖn S2 – 4P  0) Gi¶i ph-¬ng tr×nh (*) ta t×m ®-îc hai sè u vµ v cÇn t×m. 2 Néi dung 6: Giải phương trình, bất phương trình Bµi to¸n1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh trïng ph-¬ng ax4 + bx2 + c = 0  §Æt t = x2 (t0) ta cã ph-¬ng tr×nh at2 + bt + c = 0 Gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai Èn t sau ®ã thay vµo t×m Èn x B¶ng tãm t¾t at2 + bt + c = 0 v« nghiÖm 2 nghiÖm ©m nghiÖm kÐp ©m 1 nghiÖm d-¬ng 2 nghiÖm d-¬ng ax4 + bx2 + c = 0 v« nghiÖm v« nghiÖm v« nghiÖm 2 nghiÖm ®èi nhau 4 nghiÖm 2 cÆp nghiÖm ®èi nhau 7 Bµi to¸n 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh A( x 2  1 1 )  B( x  )  C  0 2 x x 1 = t  x2 – tx + 1 = 0 x 1 1 1 Suy ra t2 = ( x  )2 = x 2  2  2  x 2  2  t 2  2 x x x  §Æt x  Thay vµo ph-¬ng tr×nh ta cã: A(t2 – 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C – 2A = 0 1 = t gi¶i t×m x. x 1 1 Bµi to¸n 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh A( x 2  2 )  B( x  )  C  0 x x 1  §Æt x  = t  x2 – tx – 1 = 0 x 1 1 1 Suy ra t2 = ( x  )2 = x 2  2  2  x 2  2  t 2  2 x x x Gi¶i ph-¬ng tr×nh Èn t sau ®ã thÕ vµo x  Thay vµo ph-¬ng tr×nh ta cã: A(t2 + 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C + 2A = 0 Gi¶i ph-¬ng tr×nh Èn t sau ®ã thÕ vµo x  1 = t gi¶i t×m x. x Bµi to¸n 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc cao  Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi ®-a ph-¬ng tr×nh bËc cao vÒ d¹ng: + Ph-¬ng tr×nh tÝch + Ph-¬ng tr×nh bËc hai. Néi dung 7: Giải hệ phương trình ax  by  c a ‘ x  b ‘ y  c ‘ Bµi to¸n: Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh   C¸c ph-¬ng ph¸p gi¶i: + Ph-¬ng ph¸p ®å thÞ + Ph-¬ng ph¸p céng + Ph-¬ng ph¸p thÕ + Ph-¬ng ph¸p ®Æt Èn phô Néi dung 7: Giải phương trình vô tỉ Bµi to¸n 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng f ( x)  g ( x) (1)  Ta cã  g ( x)  0 f ( x)  g ( x)   2  f ( x)  g ( x) (2) (3) Gi¶i (3) ®èi chiÕu ®iÒu kiÖn (2) chän nghiÖm thÝch hîp  nghiÖm cña (1) Bµi to¸n 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng f ( x )  h( x )  g ( x ) 8  §iÒu kiÖn cã nghÜa cña ph-¬ng tr×nh  f ( x)  0  h( x)  0  g ( x)  0  Víi ®iÒu kiÖn trªn tho¶ m·n ta b×nh ph-¬ng hai vÕ ®Ó gi¶i t×m x. Néi dung 8: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Bµi to¸n: Gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng f ( x)  g ( x)  Ph-¬ng ph¸p 1:  g ( x)  0 f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x) 2 2 XÐt f(x)  0  f(x) = g(x) XÐt f(x) < 0  – f(x) = g(x)  Ph-¬ng ph¸p 3: Víi g(x)  0 ta cã f(x) =  g(x)  Ph-¬ng ph¸p 2: Néi dung 9: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bµi to¸n: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y = f(x)  Ph-¬ng ph¸p 1: Dùa vµo luü thõa bËc ch½n. – BiÕn ®æi hµm sè y = f(x) sao cho: y = M – [g(x)]2n , n Z  y  M Do ®ã ymax = M khi g(x) = 0 – BiÕn ®æi hµm sè y = f(x) sao cho: y = m + [h(x)]2k kZ  y  m Do ®ã ymin = m khi h(x) = 0  Ph-¬ng ph¸p 2: Dùa vµo tËp gi¸ trÞ hµm.  Ph-¬ng ph¸p 3: Dùa vµo ®¼ng thøc. Néi dung 10: Các bài toán liên quan đến hàm số * Điểm thuộc đồ thị Bµi to¸n: Cho (C) lµ ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) vµ mét ®iÓm A(xA;yA). Hái (C) cã ®i qua A kh«ng?  §å thÞ (C) ®i qua A(xA;yA) khi vµ chØ khi to¹ ®é cña A nghiÖm ®óng ph-¬ng tr×nh cña (C) A(C)  yA = f(xA) Dã ®ã tÝnh f(xA) NÕu f(xA) = yA th× (C) ®i qua A. NÕu f(xA)  yA th× (C) kh«ng ®i qua A. * Sự tương giao của hai đồ thị Bµi to¸n : Cho (C) vµ (L) theo thø tù lµ ®é thÞ hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) H·y kh¶o s¸t sù t-¬ng giao cña hai ®å thÞ  To¹ ®é ®iÓm chung cña (C) vµ (L) lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung: f(x) = g(x) (*) – NÕu (*) v« nghiÖm th× (C) vµ (L) kh«ng cã ®iÓm chung. – NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (C) vµ (L) tiÕp xóc nhau. – NÕu (*) cã 1 nghiÖm th× (C) vµ (L) cã 1 ®iÓm chung. – NÕu (*) cã 2 nghiÖm th× (C) vµ (L) cã 2 ®iÓm chung. * Lập phương trình đường thẳng 9 Bµi to¸n 1: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A(xA;yA) vµ cã hÖ sè gãc b»ng k.  Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = ax + b (*) – X¸c ®Þnh a: ta cã a = k – X¸c ®Þnh b: (D) ®i qua A(xA;yA) nªn ta cã yA = kxA + b  b = yA – kxA – Thay a = k; b = yA – kxA vµo (*) ta cã ph-¬ng tr×nh cña (D) Bµi to¸n 2: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A(xA;yA); B(xB;yB)  Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = ax + b  y A  ax A  b  y B  ax B  b (D) ®i qua A vµ B nªn ta cã:  Gi¶i hÖ ta t×m ®-îc a vµ b suy ra ph-¬ng tr×nh cña (D) Bµi to¸n 3: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) cã hÖ sè gãc k vµ tiÕp xóc víi ®-êng cong (C): y = f(x)  Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = kx + b Ph-¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (D) vµ (P) lµ: f(x) = kx + b (*) V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiÖm kÐp. Tõ ®iÒu kiÖn nµy ta t×m ®-îc b vµ suy ra ph-¬ng tr×nh cña (D) Bµi to¸n 3: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A(xA;yA) k vµ tiÕp xóc víi ®-êng cong (C): y = f(x)  Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = kx + b Ph-¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (D) vµ (P) lµ: f(x) = kx + b (*) V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiÖm kÐp. Tõ ®iÒu kiÖn nµy ta t×m ®-îc hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a vµ b (**) MÆt kh¸c: (D) qua A(xA;yA) do ®ã ta cã yA = axA + b (***) Tõ (**) vµ (***)  a vµ b  Ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (D). PHẦN II – HÌNH HỌC A. Kiến thức cần nhớ 1. HÖ thøc l-îng trong tam gi¸c vu«ng. b2 = ab’ c2 = ac’ A h2 = b’c’ b c ah = bc a2 = b 2 + c 2 h B 1 1 1  2 2 2 h b c 2. TØ sè l-îng gi¸c cña gãc nhän. 0 < sin < 1 0 < coss < 1 sin  cos tg  cot g  cos sin  c’ b’ C H a sin2 + cos2 = 1 10 tg.cotg = 1 1  tg 2  1 cos2  1  cot g 2  3. HÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng. 1 sin 2  B b = asinB = acosC a b = ctgB = ccotgC c c = a sinC = acosB c = btgC = bcotg B A 4. §-êng trßn. b C – C¸ch x¸c ®Þnh: Qua ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng ta vÏ ®-îc mét vµ chØ mét ®-êng trßn. – T©m ®èi xøng, trôc ®èi xøng: §-êng trßn cã mét t©m ®èi xøng; cã v« sè trôc ®èi xøng. – Quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®-êng kÝnh vµ d©y. Trong mét ®-êng trßn + §-êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy + §-êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy. – Liªn hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y: Trong mét ®-êng trßn: + Hai d©y b»ng nhau th× c¸ch ®Òu t©m + Hai d©y c¸ch ®Òu t©m th× b»ng nhau + D©y nµo lín h¬n th× d©y ®ã gÇn t©m h¬n + D©y nµo gÇn t©m h¬n th× d©y ®ã lín h¬n – Liªn hÖ gi÷a cung vµ d©y: Trong mét ®-êng trßn hay trong hai ®-êng trßn b»ng nhau: + Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau + Hai d©y b»ng nhau c¨ng hai cung b»ng nhau + Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n + D©y lín h¬n c¨ng cung lín h¬n. – VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña ®-êng th¼ng vµ ®-êng trßn: VÞ trÝ t-¬ng ®èi Sè ®iÓm chung HÖ thøc liªn hÖ gi÷a d vµ R 11 - §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn c¾t nhau 2 dR

– §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn tiÕp xóc nhau

– §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn kh«ng giao nhau

– VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña ®-êng th¼ng vµ ®-êng trßn:
VÞ trÝ t-¬ng ®èi

Sè ®iÓm
chung

HÖ thøc liªn hÖ gi÷a d vµ
R

2

R – r < OO’ < R + r – Hai ®-êng trßn c¾t nhau – Hai ®-êng trßn tiÕp xóc nhau + TiÕp xóc ngoµi OO’ = R + r 1 + TiÕp xóc trong OO’ = R – r – Hai ®-êng trßn kh«ng giao nhau + (O) vµ (O’) ë ngoµi nhau OO’ > R + r

+ (O) ®ùng (O’)
+ (O) vµ (O’) ®ång t©m

0

OO’ < R – r OO’ = 0 5. TiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn – TÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn: TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm. – DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn: 12 + §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn chØ cã mét ®iÓm chung + Kho¶ng c¸ch tõ t©m cña ®-êng trßn ®Õn ®-êng th¼ng b»ng b¸n kÝnh + §-êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña ®-êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua A ®iÓm ®ã. – TÝnh chÊt cña 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau O M MA, MB lµ hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau th×: + MA = MB B + MO lµ ph©n gi¸c cña gãc AMB + OM lµ ph©n gi¸c cña gãc AOB – TiÕp tuyÕn chung cña hai ®-êng trßn: lµ ®-êng th¼ng tiÕp xóc víi c¶ hai ®-êng trßn ®ã: TiÕp tuyÕn chung ngoµi TiÕp tuyÕn chung trong d d d’ O O’ O O’ d’ 6. Gãc víi ®-êng trßn Lo¹i gãc H×nh vÏ C«ng thøc tÝnh sè ®o A B 1. Gãc ë t©m AOB  sd AB O A B O 2. Gãc néi tiÕp AMB  1 sd AB 2 M x A 3. Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung. B xBA  O 1 sd AB 2 13 B A M 4. Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®-êng trßn O AMB  1 ( sd AB  sdCD) 2 AMB  1 ( sd AB  sdCD) 2 C D M D C 5. Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®-êng trßn O A B  Chó ý: Trong mét ®-êng trßn – C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n c¸c cung b»ng nhau – C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau – C¸c gãc néi tiÕp ch¾n c¸c cung b»ng nhau th× b»ng nhau – Gãc néi tiÕp nhá h¬n hoÆc b»ng 900 cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung. – Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®-êng trßn lµ gãc vu«ng vµ ng-îc l¹i gãc vu«ng néi tiÕp th× ch¾n nöa ®-êng trßn. – Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau. 7. §é dµi ®-êng trßn – §é dµi cung trßn. – §é dµi ®-êng trßn b¸n kÝnh R: C = 2R = d  Rn – §é dµi cung trßn n0 b¸n kÝnh R : l  180 8. DiÖn tÝch h×nh trßn – DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn – DiÖn tÝch h×nh trßn: S = R2 – DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n0: S  9. C¸c lo¹i ®-êng trßn §-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c  R2n 360 §-êng trßn néi tiÕp tam gi¸c A  lR 2 §-êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c A A B C O O F B E J C B C T©m ®-êng trßn lµ giao cña ba ®-êng trung trùc cña tam gi¸c T©m ®-êng trßn lµ giao cña ba T©m cña ®-êng trßn bµng ®-êng ph©n gi¸c trong cña tiÕp trong gãc A lµ giao tam gi¸c ®iÓm cña hai ®-êng ph©n 14 gi¸c c¸c gãc ngoµi t¹i B hoÆc C hoÆc lµ giao ®iÓm cña ®-êng ph©n gi¸c gãc A vµ ®-êng ph©n gi¸c ngoµi t¹i B (hoÆc C) 10. C¸c lo¹i h×nh kh«ng gian. a. H×nh trô. – DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2rh – DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2rh + r2 – ThÓ tÝch h×nh trô: V = Sh = r2h r: b¸n kÝnh Trong ®ã h: chiÒu cao b. H×nh nãn: – DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2rl – DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2rl + r2 – ThÓ tÝch h×nh trô: V = 1  r 2h 3 c. H×nh nãn côt: – DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = (r1 + r2)l – ThÓ tÝch: V = 1  h(r12  r22  r1 r2 ) 3 Trong ®ã r: b¸n kÝnh l: ®-êng sinh h: chiÒu cao r1: b¸n kÝnh d¸y lín r2: b¸n kÝnh ®¸y nhá Trong ®ã l: ®-êng sinh h: chiÒu cao d. H×nh cÇu. – DiÖn tÝch mÆt cÇu: S = 4R2 = d 4 – ThÓ tÝch h×nh cÇu: V =  R 3 3 R: b¸n kÝnh Trong ®ã d: ®-êng kÝnh 11. Tø gi¸c néi tiÕp:  DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: – Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800 – Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn – Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm. – Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i d-íi mét gãc . B. C¸c d¹ng bµi tËp. D¹ng 1: Chøng minh hai gãc b»ng nhau.  C¸ch chøng minh: – Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba – Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau kh¸c – Hai gãc b»ng tæng hoÆc hiÖu cña hai gãc theo thø tù ®«i mét b»ng nhau – Hai gãc cïng phô (hoÆc cïng bï) víi gãc thø ba – Hai gãc cïng nhän hoÆc cïng tï cã c¸c c¹nh ®«i mét song song hoÆc vu«ng gãc – Hai gãc ã le trong, so le ngoµi hoÆc ®ång vÞ – Hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh – Hai gãc cña cïng mé tam gi¸c c©n hoÆc ®Òu – Hai gãc t-¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau hoÆc ®ång d¹ng 15 - Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n hai cung b»ng nhau. D¹ng 2: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau  C¸ch chøng minh: – Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng ®o¹n thø ba – Hai c¹nh cña mmét tam gi¸c c©n hoÆc tam gi¸c ®Òu – Hai c¹nh t-¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau – Hai c¹nh ®èi cña h×nh b×nh hµnh (ch÷ nhËt, h×nh thoi, h×nh vu«ng) – Hai c¹nh bªn cña h×nh thang c©n – Hai d©y tr-¬ng hai cung b»ng nhau trong mét ®-êng trßn hoÆc hai ®-êng b»ng nhau. D¹ng 2: Chøng minh hai ®-êng th¼ng song song  C¸ch chøng minh: – Chøng minh hai ®-êng th¼ng cïng song song víi ®-êng th¼ng thø ba – Chøng minh hai ®-êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®-êng th¼ng thø ba – Chøng minh chóng cïng t¹o víi mét c¸t tuyÕn hai gãc b»ng nhau: + ë vÞ trÝ so le trong + ë vÞ trÝ so le ngoµi + ë vÞ trÝ ®ång vÞ. – Lµ hai d©y ch¾n gi÷a chóng hai cung b»ng nhau trong mét ®-êng trßn – Chóng lµ hai c¹nh ®èi cña mét h×nh b×nh hµnh D¹ng 3: Chøng minh hai ®-êng th¼ng vu«ng gãc  C¸ch chøng minh: – Chóng song song song song víi hai ®-êng th¼ng vu«ng gãc kh¸c. – Chøng minh chóng lµ ch©n ®-êng cao trong mét tam gi¸c. – §-êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm d©y vµ d©y. – Chóng lµ ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï nhau. D¹ng 4: Chøng minh ba ®-êng th¼ng ®ång quy.  C¸ch chøng minh: – Chøng minh chóng lµ ba ®-êng cao, ba trung tuyÕn, ba trung trùc, ba ph©n gi¸c trong (hoÆc mét ph©n gi¸c trong vµ ph©n gi¸c ngoµi cña hai gãc kia) – VËn dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Talet. D¹ng 5: Chøng minh hai tam gi¸c b»ng nhau  C¸ch chøng minh: * Hai tam gi¸c th-êng: – Tr-êng hîp gãc – c¹nh – gãc (g-c-g) – Tr-êng hîp c¹nh – gãc – c¹nh (c-g-c) – Tr-êng hîp c¹nh – c¹nh – c¹nh (c-c-c) 16 * Hai tam gi¸c vu«ng: – Cã c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän b»ng nhau – Cã c¹nh huyÒn b»ng nhau vµ mét c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau – C¹nh gãc vu«ng ®«i mét b»ng nhau D¹ng 6: Chøng minh hai tam gi¸c ®ång d¹ng  C¸ch chøng minh: * Hai tam gi¸c th-êng: – Cã hai gãc b»ng nhau ®«i mét – Cã mét gãc b»ng nhau xen gi÷a hai c¹nh t-¬ng øng tû lÖ – Cã ba c¹nh t-¬ng øng tû lÖ * Hai tam gi¸c vu«ng: – Cã mét gãc nhän b»ng nhau – Cã hai c¹nh gãc vu«ng t-¬ng øng tû lÖ D¹ng 7: Chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc  C¸ch chøng minh: Gi¶ sö ph¶i chøng minh ®¼ng thøc: MA.MB = MC.MD (*) – Chøng minh: MAC  MDB hoÆc MAD  MCB – NÕu 5 ®iÓm M, A, B, C, D cóng n»m trªn mét ®-êng th¼ng th× ph¶i chøng minh c¸c tÝch trªn cïng b»ng tÝch thø ba: MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF Tøc lµ ta chøng minh: MAE  MFB MCE  MFD  MA.MB = MC.MD * Tr-êng hîp ®Æc biÖt: MT2 = MA.MB ta chøng minh MTA  MBT D¹ng 8: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp  C¸ch chøng minh: DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: – Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800 – Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn – Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm. – Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i d-íi mét gãc . D¹ng 9: Chøng minh MT lµ tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn (O;R)  C¸ch chøng minh: – Chøng minh OT  MT t¹i T  (O;R) – Chøng minh kho¶ng c¸ch tõ t©m O ®Õn ®-êng th¼ng MT b»ng b¸n kÝnh – Dïng gãc néi tiÕp. D¹ng 10: C¸c bµi to¸n tÝnh to¸n ®é dµi c¹nh, ®é lín gãc  C¸ch tÝnh: – Dùa vµo hÖ thøc l-îng trong tam gi¸c vu«ng. – Dùa vµo tû sè l-îng gi¸c – Dùa vµo hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng – Dùa vµo c«ng thøc tÝnh ®é dµi, diÖn tÝch, thÓ tÝch… 17