Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân

Giới thiệu Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân
CHỦ ĐỀ 2. TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b]. Hiệu số F (b) − F (a ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f ( x), kí hiệu là b ∫ f ( x)dx. a b Ta dùng kí hiệu F (= x) a F (b) − F (a ) để chỉ hiệu số F (b) − F (a ) . Vậy Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi b ∫ b )dx ∫ f ( x= a b F (= x) a F (b) − F (a ) . f ( x)dx hay a b ∫ f (t )dt. Tích phân đó a chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số. Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân b ∫ f ( x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục Ox và hai đường a b thẳng= x a= , x b. Vậy S = ∫ f ( x)dx. a 2. Tính chất của tích phân 1. 3. a ∫ f ( x)dx = 0 a b 2. a ∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx a c c b a ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ( a < b < c a b b 5. ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = a b b a a b b b a a ) 4.= ∫ k. f ( x)dx k.∫ f ( x)dx (k ∈ ) ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx . B. KỸ NĂNG CƠ BẢN 1. Một số phương pháp tính tích phân I. Dạng 1: Tính tích phân theo công thức Ví dụ 1: Tính các tính phân sau: 1 1 dx . 3 (1 + x ) 0 a) I = ∫ b) I = ∫ 0 1 dx 0 (1 + x ) 1 1 1 d (1 + x) 0 (1 + x ) 1 x dx . x +1 1 2x + 9 dx . + x 3 0 x dx . 2 − x 4 0 c) I = ∫ d) I = ∫ Hướng dẫn giải 1 2(1 + x) 1 3 8 a) I = . == − = ∫ ∫ 3 3 2 x 1   dx = 1 − ln 2 . ( x ln( x + 1) ) 10 = 1 −  dx =− ∫ x +1 x + 1  0 b) I = ∫ 0 1 0 1 1 2x + 9 3   dx = 3 + 6ln 2 − 3ln 3 . ( 2 x + 3ln( x + 3) ) 0 = 2+  dx = ∫ x+3 x +3 0 0 c) I = ∫ ( ) 2 1 1 x 1 d 4− x 3 d) I = − ∫ = ln | 4 − x 2 | = ln . ∫ 4 − x 2 dx = 2 0 2 0 4− x 4 0 1 Bài tập áp dụng 1) I = 1 3 4 5 ∫ x ( x − 1) dx . 0 2) = I 1 ∫( 0 ) 2 x + 3 x + 1 dx . Trang 1/80 3) I = 16 1 dx . x+9 − x 4) I = ∫ ∫ x 1 − xdx . 0 0 II. Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân b Sử dụng tính chất ∫ [f ( x) + g ( x)]dx = a b ∫ a ∫ | x + 1| dx . −2 2 −1 a 2 Ví dụ 2: Tính tích phân= I  x + 1, Nhận xét: x + 1 =  − x − 1, b f ( x)dx + ∫ g ( x)dx để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. −1 ≤ x ≤ 2 − 2 ≤ x < −1 Hướng dẫn giải . Do đó 2 −1 −1 2 2  x2   x2  I =+ | x 1| dx | x 1| dx | x 1| dx x 1 dx x 1 dx x 5. =+ + + = − + + + = − + + ( ) ( )    + x = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫  2  −2  2  −1 −2 −2 −1 −2 −1 Bài tập áp dụng 3 2 ∫ | x − 4 | dx . 1) = I 2) = I −4 2 ∫| x 3 − 2 x 2 − x + 2 | dx . −1 π 3 ∫| 2 3) = I x − 4 | dx . 2 ∫π 2 | sin x | dx . 4) I = 0 − π ∫ 5)= I 1 + cos 2 xdx . 0 2 III. Dạng 3: Phương pháp đổi biến số 1) Đổi biến số dạng 1 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u = u ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và α ≤ u ( x) ≤ β . Giả sử có thể = viết f ( x) g (u ( x))u '( x), x ∈ [a;b], với g liên tục trên đoạn [α ; β ]. Khi đó, ta có = I b u (b ) a u (a) f ( x)dx ∫= ∫ g (u )du. π 2 Ví dụ 3: Tính tích phân I = ∫ sin 2 x cos xdx . 0 Hướng dẫn giải π π  Đặt u = sin x. Ta có du = cos xdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u (0) = 0; x =⇒ u   = 1. 2 2 π Khi = đó I 2 2 xdx ∫ sin x cos= 0 Bài tập áp dụng 1) I = 1 u du ∫= 2 0 1 2 ∫ x x + 1dx . 1 31 1 = u . 3 0 3 2) I = 3) I = ∫ 1 1 + ln x dx . x 4) I = Có f ( x) e2 3 x + 1dx . ∫ 2x e dx 2 + ln x . Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân Có thể đặt Ví dụ Dấu hiệu 1 ∫x 0 0 e 1 t= f ( x) I =∫ 3 0 x3 dx . Đặt= t x +1 x +1 Trang 2/80 Có (ax + b) n 2 dx . Đặt t= x − 1 e tan x +3 = t tan x + 3 dx . Đặt 0 cos 2 x e ln xdx . Đặt= I =∫ t ln x + 1 1 x (ln x + 1) I =∫4 3 Có a 4 Có 5 Có e x dx t = e x hoặc biểu thức = I chứa e x 6 Có sin xdx t = cos x 7 Có cos xdx t = sin xdx 8 Có dx cos 2 x t = tan x 9 Có dx sin 2 x t = cot x t = ln x hoặc biểu thức chứa ln x dx và ln x x 2016 π t = f ( x) f ( x) 1 ∫0 x( x + 1) = I = t ax + b ln 2 2 x ∫0 e 3e x + 1dx . Đặt t = 3e x + 1 π I = ∫ 2 sin 3 x cos xdx . Đặt t = sin x 0 sin 3 x dx Đặt = t 2cos x + 1 0 2cos x + 1 π π 1 1 4 (1 + tan 2 x ) = = I ∫4 dx dx ∫ 4 0 cos x 0 cos 2 x Đặt t = tan x I =∫ π π ecot x 4 = ∫π 1 − cos 2 x dx 6 = I ∫ ecot x dx . Đặt t = cot x 2sin 2 x 2) Đổi biến số dạng 2 Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α ; β ](*) sao cho= ϕ (α ) a= ,ϕ ( β ) b và a ≤ ϕ (t ) ≤ b với mọi t ∈ [α ; β ]. Khi đó: b ∫ a β f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ '(t )dt. α Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng  π π 1. a 2 − x 2 := đặt x | a | sin t ; t ∈  − ;   2 2 |a|  π π x 2 − a 2 : đặt = x ; t ∈  − ;  {0} sin t  2 2  π π x 2 += a 2 : x | a | tan t ; t ∈  − ;   2 2 a+x a−x hoặc : đặt x = a.cos 2t a−x a+x 2. 3. 4. Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân I = biến dạng 1. 3 ∫ x 2 dx 0 x2 + 1 thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân I = ∫ 0 Ví dụ 4: Tính các tích phân sau: a)= I 1 ∫ 3 x3 dx x2 + 1 thì nên đổi 1 dx . 2 0 1+ x b) I = ∫ 1 − x 2 dx . 0 Hướng dẫn giải a) Đặt x = sin t ta có dx = cos tdt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = π π 1 2 2 0 0 0 π 2 . π Vậy I =∫ 1 − x 2 dx =∫ | cos t |dt =∫ cos tdt =sin t |02 =1. x = 0 → t = 0  π . x = 1 → t =  4 b) Đặt x = tan t , ta có dx= (1 + tan 2 t ) dt . Đổi cận:  Trang 3/80 π 1 dx Vậy = = I ∫ 2 0 1+ x 4 ∫ dt= π π t= |04 4 0 . IV. Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần. Định lí : Nếu u = u ( x) và v = v( x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì b ( x)v '( x)dx ∫ u= a b b ( u ( x)v( x) ) a − ∫ u '( x)v( x)dx , a b b b a a a hay viết gọn là ∫ udv = uv |ba − ∫ vdu . Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I = ∫ P ( x).Q( x)dx Dạng hàm P(x): Đa thức Q(x): sin ( kx ) hay Cách đặt * u = P( x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân P(x): Đa thức Q(x): ln ( ax + b ) P(x): Đa thức Q(x): e kx cos ( kx ) * u = P( x) * u ln ( ax + b ) * dv là Phần còn = lại của biểu thức * dv = P ( x ) dx dưới dấu tích phân P(x): Đa thức Q(x): 1 1 hay 2 sin x cos 2 x * u = P( x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”. π 2 Ví dụ 5: Tính các tích phân sau : a) I = ∫ x sin xdx. b) I = u = x ta có dv = sin xdx ∫ x ln( x + 1)dx . 0 0 a) Đặt  e −1 Hướng dẫn giải du = dx .  v = − cos x π π 2 π π 2 Do đó I = 0 + sin x |02 = 1. ( − x cos x ) |02 + ∫ cos xdx = ∫ x sin xdx = 0 0 = u ln( x + 1) b) Đặt  ta có dv = xdx I= e −1 ∫ 0 1  du = x + 1 dx  2 v = x − 1 2  e −1 e −1   x2 − 1 e 2 − 2e + 2 1  x 2 1 − − = −  − x x ln( x + 1)dx = ln( x + 1) x dx ( 1)  ∫ 2 0 2 0 2 2 2   e −1 0 e 2 − 2e + 2 1 e 2 − 4e + 3 e 2 + 1 = − = . 2 2 2 4 Bài tập áp dụng 1) = I 1 x ∫ (2 x + 2)e dx . 0 π 2 2) I = ∫ 2 x.cos xdx . 0 3) I = 2π ∫ 0 x x 2 .sin dx . 2 4)= I 1 ∫ ( x + 1) 2 2x e dx . 0 Trang 4/80 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. b b b a a a ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx . b b a a C. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx . Câu 2. b ∫ B. a a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx . b b b a a ∫ xf ( x)dx = x ∫ f ( x)dx . D. Cho hàm số f liên tục trên  và số thực dương a . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào luôn đúng? A. a ∫ B. f ( x)dx = 0 . ∫ f ( x)dx = 1 . a ∫ C. a a Câu 3. a f ( x)dx = −1 . D. a ∫ f ( x)dx = f (a) . a a 1 Tích phân ∫ dx có giá trị bằng 0 A. −1 . Câu 4. B. 1. Cho số thực a thỏa mãn a ∫e x +1 C. 0 . D. 2 . dx= e 2 − 1 , khi đó a có giá trị bằng −1 Câu 5. B. −1 . C. 0 . D. 2 . A. 1. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; π ] đạt giá trị bằng 0 ? A. f ( x) = cos 3 x . Câu 6. x π x π C. = D. = f ( x) cos  +  . f ( x) sin  +  . 4 2 4 2 Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác 2 ? A. e2 1 ∫ ln xdx . B. ∫ 2dx . 1 Câu 7. 0 π C. ∫ sin xdx . A. f ( x) = e . B. f ( x) = cos x . D. 0 Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn x Câu 8. B. f ( x) = sin 3 x . 2 ∫ xdx . 0 1 2 −1 −2 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ? C. f ( x) = sin x . D. f ( x)= x + 1 . 5 dx có giá trị bằng x 2 Tích phân I = ∫ A. 3ln 3 . B. 1 ln 3 . 3 C. ln 5 . 2 D. ln 2 . 5 π Câu 9. 2 Tích phân I = ∫ π dx có giá trị bằng sin x 3 A. 1 1 ln . 2 3 Câu 10. Nếu 0 ∫ (4 − e B. 2 ln 3 . − x /2 C. 1 ln 3 . 2 1 D. 2 ln . 3 ) dx = K − 2e thì giá trị của K là −2 A. 12,5 . B. 9 . 1 Câu 11. Tích phân I = ∫ 0 C. 11 . D. 10 . 1 dx có giá trị bằng x −x−2 2 Trang 5/80 2 ln 2 . 3 A. B. − 2 ln 2 . 3 C. −2 ln 2 . Câu 12. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho D. 2 ln 2 . 5 ∫ f ( x)dx = 2 và 1 5 ∫ g ( x)dx = −4 . Giá trị 1 5 ∫ [ g ( x) − f ( x)] dx là của 1 A. −6 . B. 6 . Câu 13. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu C. 2 . D. −2 . 3 ∫ f ( x)dx = 2 thì tích phân 3 ∫ [ x − 2 f ( x)] dx có giá 0 0 trị bằng A. 7 . B. 5 . 2 Câu 14. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu C. 5 . D. 5 3 1 1 ∫ f ( x)dx = 2 và ∫ f ( x)dx = 7 trị bằng B. −5 . C. 9 . A. 5 . Câu 15. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai? 3 3 A. ∫ e x dx = ( e x ) 1 . B. 1 C. 2π −2 1 . 2 thì 5 ∫ f ( x)dx có giá 3 D. −9 . 1 ∫ x dx = ( ln x ) −2 −3 . −3 2π ∫ cos xdx = ( sin x ) π 2 2  x2  D. ∫ ( x + 1) dx = + x  .  2 1 1 . π Câu 16. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b] . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ? A. b ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) . a B. F '( x) = f ( x) với mọi x ∈ (a; b) . C. b ∫ f ( x)dx = f (b) − f (a) . a D. Hàm số G cho bởi G= ( x) F ( x) + 5 cũng thỏa mãn b ∫ f ( x)dx = G(b) − G(a) . a Câu 17. Xét hàm số f liên tục trên  và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. C. b b a a c c b c b a a c ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx . ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx . B. D. b c b a a c b c c a a b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx . ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx . Câu 18. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ a; b ] . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? b A. Nếu m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (a − b) . a Trang 6/80 b ∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) . B. Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì a C. Nếu f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) . a D. Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) . a Câu 19. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] sao cho g ( x) ≠ 0 với mọi x ∈ [a; b] . Xét các khẳng định sau: I. b b b ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx . a II. a b b ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx . a III. a b a b a b b a a ∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx . a b IV. b ∫ a f ( x) dx = g ( x) ∫ f ( x)dx a b . ∫ g ( x)dx a Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai? B. 2 . C. 3 . A. 1. Câu 20. Tích phân 3 ∫ x( x − 1)dx D. 4 . có giá trị bằng với giá trị của tích phân nào trong các tích phân dưới 0 đây? 3π 2 A. ∫ ( x 2 + x − 3) dx . B. 3 ∫ sin xdx . C. ln 10 ∫ 0 0 π D. ∫ cos(3 x + π )dx . e 2 x dx . 0 0 Câu 21. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a; b ] , sao cho b ∫ f ( x)dx ≥ 0 thì f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ [a; b] . a 3 ∫ f ( x)dx = 0 . B. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [−3;3] , luôn có −3 C. Với mọi hàm số f liên tục trên  , ta có b ∫ a a f ( x)dx = ∫ f ( x)d (− x) . b D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [1;5] thì 5 ∫ [ f ( x)] 2 1 3 5 [ f ( x)] dx = 3 . 1 Câu 22. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 1 A. Nếu f là hàm số chẵn trên  thì ∫ f ( x)dx = 0 B. Nếu 0 1 −1 0 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx thì 0 ∫ f ( x)dx . −1 f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] . Trang 7/80 1 ∫ f ( x)dx = 0 thì C. Nếu f là hàm số lẻ trên đoạn [−1;1] . −1 1 ∫ f ( x)dx = 0 thì D. Nếu f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] . −1 Câu 23. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y = x 6 sin 5 x trên khoảng (0; +∞) . Khi đó 2 ∫x 6 sin 5 xdx có giá trị bằng 1 A. F (2) − F (1) . B. − F (1) . C. F (2) . D. F (1) − F (2) . Câu 24. Cho hàm số f liên tục trên  và hai số thực a < b . Nếu b ∫ f ( x)dx = α thì tích phân a b2 ∫ f (2 x)dx có giá trị bằng a 2 α . B. 2α . C. α . D. 4α . 2 Câu 25. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y = x 3 sin 5 x trên khoảng (0; +∞) . Khi đó tích phân A. 2 ∫ 81x 3 sin 5 3 xdx có giá trị bằng 1 A. 3 [ F (6) − F (3) ] . B. F (6) − F (3) . C. 3 [ F (2) − F (1) ] . 2 ∫ f ( x)dx = 6 . Câu 26. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn D. F (2) − F (1) . Giá trị của tích phân 0 π 2 ∫ f (2sin x) cos xdx là 0 B. 6 . A. −6 . e Câu 27. Bài toán tính tích phân I = ∫ 1 C. −3 . ln x + 1 ln x dx được một học sinh giải theo ba bước sau: x I. Đặt ẩn phụ= t ln x + 1 , suy ra dt = x t II. I = e ln x + 1 ln x = dx x ∫ 1 2 ∫ D. 3 . 1 dx và x 1 1 e 2 t ( t − 1) dt 1 2 2  5 2  III. I = 1+ 3 2 .  t −  = ∫1 t ( t − 1) dt = t 1  Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Bài giải đúng. B. Sai từ Bước II. C. Sai từ Bước I. Câu 28. Xét tích phân I = π 3 sin 2 x ∫ 1 + cos x dx . Thực hiện phép đổi biến D. Sai ở Bước III. t = cos x , ta có thể đưa I về dạng 0 nào sau đây π 4 A. I = − ∫ 0 2t dt . 1+ t B. I = π 4 ∫ 0 2t dt . 1+ t 1 2t C. I = − ∫ dt . 1 1+ t 2 1 2t dt . 1 1+ t D. I = ∫ 2 Trang 8/80 Câu 29. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] . Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào luôn đúng? A. b ∫ f ( x) dx > a C. b ∫ b ∫ B. f ( x)dx . a ∫ a a f ( x) dx ≥ b b ∫ D. f ( x)dx . b ∫ a a b f ( x ) dx ≥ ∫ f ( x) dx . a b f ( x ) dx > ∫ f ( x) dx . a Câu 30. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? 1 1 1 A. ∫ sin(1 − x)dx = ∫ sin xdx . 0 B. ∫ (1 + x) x dx = 0. 0 0 π 2 π x C. ∫ sin dx = 2 ∫ sin xdx . 2 0 0 D. 1 ∫x 2017 −1 2 (1 + x)dx = . 2019 Câu 31. Cho hàm số y = f ( x) lẻ và liên tục trên đoạn [−2; 2] . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? A. 2 ∫ B. 2 ∫ f ( x)dx = 0 . 0 −2 2 0 2 −2 −2 −2 C. 2 f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx . ∫ f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx . D. ∫ f ( x)dx = −2 1 ∫ ( x + 1) Câu 32. Bài toán tính tích phân= I 2 2 −2 ∫ f ( x)dx . 0 dx được một học sinh giải theo ba bước sau: −2 t ( x + 1) 2 , suy ra = dt 2( x + 1)dx , I. Đặt ẩn phụ = II. Từ đây suy ra 1 dt dt = dx ⇒ = dx . Đổi cận 2( x + 1) 2 t x −2 t 1 4 1 4 4 t 1 7 III. Vậy I =∫ ( x + 1) dx =∫ dt = t 3 = . 3 3 1 −2 1 2 t Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Sai từ Bước I. B. Sai ở Bước III. C. Sai từ Bước II. D. Bài giải đúng. Câu 33. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5 điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm. Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau: Bài Đề bài Bài giải của học sinh 1 ∫e 1 2 x2 xdx 0 1 2 1 ∫0 x 2 − x − 2 dx π 3 ∫ sin 2 x cos xdx 0 1 2 1 1 1 x2 ( 2 ) e x e −1 e = xdx e d= x = ∫0 ∫ 20 2 0 2 x2 1 ∫x 0 2 1 dx= −x−2 [ln x 2 − x − 2 ] 0= 1 ln 2 − ln 2= 0 Đặt t = cos x , suy ra dt = − sin xdx . Khi x = 0 thì t = 1 ; khi x = π thì t = −1 . Vậy π π −1 1 2t 3 4 sin 2 x cos xdx = 2 sin x cos xdx = − 2 t dt == ∫0 ∫0 ∫1 3 −1 3 2 2 Trang 9/80 e 1 + (4 − 2e) ln x dx = ∫1 x e 1 + (4 − 2e) ln x dx ∫1 x 4 e ∫ [1 + (4 − 2e) ln x ] d ( ln x ) 1 e = x + (4 − 2e) ln 2 x  1 =3 − e Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu? A. 5,0 điểm. B. 2,5 điểm. C. 7,5 điểm. D. 10,0 điểm. Câu 34. Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [a; b] . Gọi F và G lần lượt là một nguyên hàm của f và g trên đoạn [a; b] . Đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. b f ( x)G ( x)dx [ F ( x) g ( x) ] − ∫ F ( x)G ( x)dx . ∫= a a B. b f ( x)G ( x)dx ∫= a C. a b [ F ( x)G ( x)] a − ∫ F ( x) g ( x)dx . b a b b ( x)G ( x)dx [ f ( x) g ( x) ] − ∫ F ( x) g ( x)dx . ∫ f= b a a D. b b b a b f ( x)G ( x)dx [ F ( x)G ( x) ] − ∫ f ( x) g ( x)dx . ∫= b a a Câu 35. Tích phân I = 0 ∫ xe −x a dx có giá trị bằng −2 B. 3e 2 − 1 . C. −e 2 − 1 . D. −2e 2 + 1 . A. −e 2 + 1 . Câu 36. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k bất kỳ trong  . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? A b b b a a a ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx . b b a a C. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx . B. b ∫ a D. a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx . b b b a a ∫ xf ( x)dx = x ∫ f ( x)dx . Câu 37. Cho hàm số f liên tục trên  và số thực dương a . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? A. a ∫ f ( x)dx = 1 . B. a a ∫ f ( x)dx = 0 . C. a ∫ f ( x)dx = −1 . D. ∫ f ( x)dx = f (a) . a a a a 1 Câu 38. Tích phân ∫ dx có giá trị bằng 0 A. 2 . Câu 39. Cho số thực a thỏa mãn B. −1 . a ∫e x +1 C. 0 . D. 1 . dx= e 2 − 1 , khi đó a có giá trị bằng −1 A. 0 . B. −1 . D. 1 . D. 2 . Câu 40. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; π ] đạt giá trị bằng 0 ? A. f ( x) = cos 3 x . B. f ( x) = sin 3 x . x π x π C. = D. = f ( x) cos  +  . f ( x) sin  +  . 4 2 4 2 Câu 41. Tích phân nào trong các tích phân sau có giá trị khác 2 ? π A. ∫ sin xdx . 0 1 B. ∫ 2dx . 0 B. e2 ∫ ln xdx . 1 D. 2 ∫ xdx . 0 Trang 10/80 Câu 42. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn 1 ∫ −1 ∫ f ( x)dx ? −2 x B. f ( x) = sin x . A. f ( x) = cos x . 2 f ( x)dx = C. f ( x) = e . D. f ( x)= x + 1 . C. 3ln 3 . D. ln 5 dx có giá trị bằng x 2 Câu 43. Tích phân I = ∫ 1 ln 3 . 3 A. B. ln 5 . 2 2 . 5 π 2 Câu 44. Tích phân I = ∫ π dx có giá trị bằng sin x 3 1 A. 2 ln . 3 0 ∫ (4 − e Câu 45. Nếu B. 2 ln 3 . − x /2 C. 1 ln 3 . 2 D. 1 1 ln . 2 3 ) dx = K − 2e thì giá trị của K là −2 B. 10 . A. 9 . 1 Câu 46. Tích phân I = ∫ 0 C. 11 . D. 12,5 . 1 dx có giá trị bằng x −x−2 2 A. −2 ln 2 . B. 2 ln 2 . 3 C. − 2 ln 2 . 3 Câu 47. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho 5 ∫ D. Không xác định. f ( x)dx = 2 và 5 ∫ g ( x)dx = −4 . Giá trị 1 1 5 ∫ [ g ( x) − f ( x)] dx là của 1 A. −2 . B. 6 . Câu 48. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu C. 2 . 3 ∫ D. −6 . f ( x)dx = 2 thì tích phân 0 3 ∫ [ x − 2 f ( x)] dx có giá 0 trị bằng A. 7 . B. 5 . 2 Câu 49. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu C. 5 . 5 ∫ f ( x)dx = 2 và 1 D. 3 ∫ f ( x)dx = 7 thì 1 2  x2  A. ∫ ( x + 1) dx = + x  .  2 1 1 C. 2π 2π ∫π cos xdx = ( sin x ) π . 3 5 ∫ f ( x)dx có giá 3 trị bằng A. −9 . B. 5 . C. 9 . Câu 50. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai? 2 1 . 2 D. −5 . 3 B. ∫ e x dx = ( e x ) 1 . 1 D. −2 1 ∫ x dx = ( ln x ) −2 −3 . −3 Câu 51. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b] . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ? A. F ‘( x) = f ( x) với mọi x ∈ (a; b) . Trang 11/80 b ∫ f ( x)dx = f (b) − f (a) . B. a b ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) . C. a b ∫ f ( x)dx = G(b) − G(a) . D. Hàm số G cho bởi G= ( x) F ( x) + 5 cũng thỏa mãn a Câu 52. Xét hàm số f liên tục trên  và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? b c b a c b b a a c c ∫ A. a f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx . B. ∫ D. c b f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx . a ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx . C. b a c b c c a a b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx . Câu 53. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ a; b ] .Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) . a b ∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) . B. Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì a C. Nếu f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) . a b D. Nếu m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (a − b) . a Câu 54. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] sao cho g ( x) ≠ 0 với mọi x ∈ [a; b] . Một học sinh lên bảng và phát biểu các tính chất sau: I. b b b a a a ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx . II. b b b a a ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx . a b III. b b b a a a ∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx . IV. b ∫ a f ( x) dx = g ( x) ∫ f ( x)dx a b . ∫ g ( x)dx a Trong số các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu sai? A. 3 . B. 1 . C. 2 . Câu 55. Tích phân 3 ∫ x( x − 1)dx D. 4 . có giá trị bằng với tích phân nào trong các tích phân dưới đây ? 0 π A. ∫ cos(3 x + π )dx . 0 3π 2 C. ∫ ( x 2 + x − 3) dx . B. 3 ∫ sin xdx . 0 0 D. ln 10 ∫ e 2 x dx . 0 Câu 56. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [−3;3] , luôn có 3 ∫ f ( x)dx = 0 . −3 b a a b B. Với mọi hàm số f liên tục trên  , ta có ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)d (− x) . Trang 12/80 C. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a; b ] , sao cho b ∫ f ( x)dx ≥ 0 thì f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ [a; b] . a D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [1;5] thì 5 ∫ [ f ( x)] 2 3 5 [ f ( x)] dx = 3 1 . 1 Câu 57. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 1 A. Nếu f là hàm số chẵn trên  thì ∫ f ( x)dx = 0 0 1 −1 0 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx thì B. Nếu 1 ∫ f ( x)dx = 0 thì C. Nếu 0 ∫ f ( x)dx . −1 f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] . f là hàm số lẻ trên đoạn [−1;1] . −1 1 ∫ f ( x)dx = 0 thì D. Nếu f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] . −1 Câu 58. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y = giá trị bằng A. F (2) − F (1) . 2 sin x trên khoảng (0; +∞) . Khi đó x B. − F (1) . C. F (2) . sin x dx có x 1 ∫ D. F (2) + F (1) . Câu 59. Cho hàm số f liên tục trên  và hai số thực a < b . Nếu b ∫ f ( x)dx = α thì tích phân a b2 ∫ f (2 x)dx có giá trị bằng a 2 A. α . B. 2α . C. α 2 D. 4α . . sin x trên khoảng (0; +∞) . Khi đó Câu 60. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y = x giá trị bằng A. F (6) − F (3) . Câu 61. Giả sử hàm số B. 3 [ F (6) − F (3) ] . f C. 3 [ F (2) − F (1) ] . liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn 2 sin 3x dx có x 1 ∫ D. F (2) − F (1) . 2 ∫ f ( x)dx = 6 . Giá trị của 0 π 2 ∫ f (2sin x) cos xdx là 0 A. 3 . B. 6 . e Câu 62. Bài toán tính tích phân I = ∫ 1 C. −3 . ln x + 1 ln x dx được một học sinh giải theo ba bước sau: x I. Đặt ẩn phụ= t ln x + 1 , suy ra dt = x t II. I = e ∫ 1 ln x + 1 ln x = dx x 2 ∫ D. −6 . 1 dx và x 1 1 e 2 t ( t − 1) dt 1 Trang 13/80 2 2  5 2  III. I = 1+ 3 2 .  t −  = ∫1 t ( t − 1) dt = t 1  Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Bài giải đúng. B. Sai từ Bước II. Câu 63. Xét tích phân I = π 3 C. Sai từ Bước I. sin 2 x ∫ 1 + cos x dx . Thực hiện phép đổi biến D. Sai ở Bước III. t = cos x , ta có thể đưa I về dạng 0 nào sau đây 1 2t A. I = ∫ dt . 1 1+ t B. I = π 4 ∫ 0 2 π 4 1 2t C. I = − ∫ dt . 1 1+ t 2t dt . 1+ t D. I = − ∫ 0 2 2t dt . 1+ t Câu 64. Cho hàm số y = f ( x) bất kỳ liên tục trên đoạn [a; b] . Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào luôn đúng? A. b ∫ a C. b ∫ b f ( x ) dx ≥ ∫ f ( x) dx . B. a f ( x) dx > a b ∫ b ∫ b ∫ f ( x)dx . f ( x) dx ≥ a D. f ( x)dx . b ∫ a a a b f ( x ) dx > ∫ f ( x) dx . a Câu 65. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? 1 A. ∫ (1 + x) x dx = 0. 0 π 2 π 1 1 0 0 B. ∫ sin(1 − x)dx = ∫ sin xdx . x C. ∫ sin dx = 2 ∫ sin xdx . 2 0 0 D. 1 ∫x 2017 −1 2 (1 + x)dx = . 2019 Câu 66. Cho hàm số y = f ( x) lẻ và liên tục trên đoạn [−2; 2] . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? A. 2 ∫ −2 C. 2 f ( x)dx = −2 ∫ f ( x)dx . B. 0 2 0 −2 −2 2 ∫ −2 ∫ f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx . D. 2 f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx . 0 2 ∫ f ( x)dx = 0 . −2 1 ∫ ( x + 1) Câu 67. Bài toán tính tích phân= I 2 dx được một học sinh giải theo ba bước sau: −2 t ( x + 1) 2 , suy ra = dt 2( x + 1)dx , I. Đặt ẩn phụ = II. Từ đây suy ra dt dt = dx ⇒ = dx . Bảng giá trị 2( x + 1) 2 t x 1 −2 t 1 4 1 4 t 4 1 7 dt = t 3 = . 3 3 1 −2 1 2 t Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? III. Vậy I =∫ ( x + 1) 2 dx =∫ A. Sai ở Bước III. B. Sai từ Bước II. C. Sai từ Bước I. D. Bài giải đúng. Trang 14/80 Câu 68. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5 điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm. Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau: Bài Đề bài Bài giải của học sinh 1 ∫e 1 x2 1 xdx 0 1 1 1 ∫0 x 2 − x − 2 dx= 1 ∫0 x 2 − x − 2 dx 2 ∫ sin 2 x cos xdx [ln x 2 − x − 2 ] 0= 1 π ln 2 − ln 2= 0 π −1 1 2t 3 4 sin 2 cos 2 sin cos 2 x xdx x xdx t dt = = − == ∫0 ∫0 ∫1 3 −1 3 0 e 1 + (4 − 2e) ln x dx = ∫1 x e 4 1 Đặt t = cos x , suy ra dt = − sin xdx . Khi x = 0 thì t = 1 ; khi x = π thì t = −1 . Vậy π 3 2 1 e −1 1 x2 ( 2 ) e x = xdx e d= x ∫0 e = ∫ 20 2 0 2 x2 1 + (4 − 2e) ln x dx ∫1 x 2 2 e ∫ [1 + (4 − 2e) ln x ] d ( ln x ) 1 e = x + (4 − 2e) ln 2 x  1 =3 − e Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu? A. 7,5 điểm. B. 2,5 điểm. C. 5,0 điểm. D. 10,0 điểm. Câu 69. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [a; b] . Đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. b a a B. b a b b a b ( x)G ( x)dx [ f ( x) g ( x) ] − ∫ F ( x) g ( x)dx . ∫ f= b a a D. a f ( x)G ( x)dx [ F ( x)G ( x) ] − ∫ F ( x) g ( x)dx . ∫= b a C. b f ( x)G ( x)dx [ F ( x) g ( x) ] − ∫ F ( x)G ( x)dx . ∫= b b b a Câu 70. Tích phân I = b [ F ( x)G ( x)] a − ∫ f ( x) g ( x)dx . f ( x)G ( x)dx ∫= 0 a a ∫ xe −x dx có giá trị bằng −2 A. −2e 2 + 1 . C. −e 2 + 1 . B. 3e 2 − 1 . Câu 71. Ta đã biết công thức tích phân từng phần b D. −e 2 − 1 . b F ( x) g ( x)dx [ F ( x)G ( x) ] − ∫ f ( x)G ( x)dx , trong ∫= a b a a đó F và G là các nguyên hàm của f và g . Trong các biến đổi sau đây, sử dụng tích phân từng phần ở trên, biến đổi nào là sai? e e e  2  ( ln x ) xdx  x ln x  − 1 ∫ xdx , trong đó F ( x) = ln x , g ( x) = x . A. ∫ =  2 1 2 1 1 1 1 1 B. ∫ = xe dx ( xe x ) 0 − ∫ e x dx , trong đó F ( x) = x , g ( x) = e x . 0 π x 0 π π C. ∫= x sin xdx ( x cos x ) 0 − ∫ cos xdx , trong đó F ( x) = x , g ( x) = sin x . 0 0 Trang 15/80 1 1 1 x +1  2 x +1  2 D. ∫= x 2 dx  x dx , trong đó F ( x) = x , g ( x) = 2 x +1 . −  ∫  ln 2  0 0 ln 2 0 x +1 Câu 72. Tích phân π π  ∫ x cos  x + 4  dx có giá trị bằng 0 (π − 2 ) 2 (π − 2 ) 2 (π + 2 ) 2 (π + 2 ) 2 . B. − . C. . D. − . 2 2 2 2 Câu 73. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [0; 2] . Biết rằng A. 2 ∫ F ( x) g ( x)dx = 3 . Tích phân F (0) = 0 , F (2) = 1 , G (0) = −2 , G (2) = 1 và 0 2 ∫ f ( x)G( x)dx có 0 giá trị bằng A. 3 . B. 0 . C. −2 . D. −4 . Câu 74. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [1; 2] . Biết rằng 3 F (1) = 1 , F (2) = 4 , G (1) = , G (2) = 2 và 2 giá trị bằng 11 A. . 12 B. − 2 ∫ 1 145 . 12 67 . Tích phân f ( x)G ( x)dx = 12 C. − Câu 75. Cho hai số thực a và b thỏa mãn a < b và 11 . 12 b ∫ x sin xdx = π , D. 2 ∫ F ( x) g ( x)dx có 1 145 . 12 đồng thời a cos a = 0 và a b b cos b = −π . Tích phân ∫ cos xdx có giá trị bằng a A. 145 . 12 B. π . e Câu 76. Cho tích phân: I = ∫ 1 0 C. −π . 1 − ln x dx .Đặt = u 2x 1 − ln x .Khi đó I bằng 0 A. I = ∫ u 2 du . B. I = − ∫ u 2 du . 1 1 2 Câu 77. Tích phân I = ∫ 1 D. 0 . 0 1 u2 du . D. I = − ∫ u 2 du . 2 0 1 C. I = ∫ x2 dx có giá trị bằng x 2 − 7x + 12 A. 5ln 2 − 6 ln 3 . B. 1 + 2 ln 2 − 6 ln 3 . C. 3 + 5ln 2 − 7 ln 3 . D. 1 + 25ln 2 − 16 ln 3 . 2 Câu 78. Tích phân I = ∫ x 5 dx có giá trị là: 1 A. 19 . 3 B. 32 . 3 C. 16 . 3 D. C. 1 . 8 D. 12 . 21 . 2 1 xdx bằng ( x + 1)3 0 Câu 79. Tích phân I = ∫ 1 A. − . 7 B. 1 . 6 Trang 16/80 π 2 2 − x, dv = sin xdx thì I ∫ (2 − x) sin xdx . Đặt u = Câu 80. Cho tích phân= I bằng 0 π π 2 π A. −(2 − x) cos x − ∫ cos xdx . 2 0 B. −(2 − x) cos x + ∫ cos xdx . 2 0 0 2 Câu 81. Tích phân 1 D. (2 − x) + ∫ cos xdx . x ∫ (1 + x ) 2 5 0 A. 1 (t − 1)3 dt . 2 ∫1 t 5 Câu 82. Tích phân I = 3 ∫ x( x 1 A. ln 0 dx bằng 2 4 2 0 0 7 2 π C. (2 − x) cos x + ∫ cos xdx . 2 0 0 π π π 2 π B. 1 4 + 1) 3 . 2 (t − 1)3 ∫1 t 5 dt . 2 4 C. 1 (t − 1)3 dt . 2 ∫1 t 4 D. 3 (t − 1)3 dt . 2 ∫1 t 4 C. 1 3 ln . 5 2 D. 1 3 ln . 4 2 dx bằng B. 2 3 1 3 ln . 3 2 2 Câu 83. Cho hai tích phân I = ∫ x dx , J = ∫ xdx .Tìm mối quan hệ giữa I và J 3 0 A. I .J = 8 . 0 B. I .J = 128 C. I − J = . 7 32 . 5 64 D. I + J = . 9 a Câu 84. Cho số thực a thỏa mãn ∫ e x +1dx= e 4 − e 2 , khi đó a có giá trị bằng 1 A. −1 . B. 3. C. 0 . D. 2. 2 Câu 85. Tích phân ∫ ke x dx (với k là hằng số )có giá trị bằng 0 2 A. k (e − 1) . Câu 86. B. e 2 − 1 . C. k (e 2 − e) . D. e 2 − e . Với hằng số k , tích phân nào sau đây có giá trị khác với các tích phân còn lại ? 1 A. ∫ k (e 2 − 1)dx . 0 2 3 2 B. ∫ ke x dx . 2 3 C. ∫ 3ke3 x dx . 0 D. ∫ ke 2 x dx . 0 0 Câu 87. Với số thực k , xét các phát biểu sau: 1 (I) ∫ dx = 2 ; −1 Số phát biểu đúng là A. 4. 1 (II) ∫ kdx = 2k ; −1 B. 3. 1 (III) ∫ xdx = 2 x ; −1 C. 1. Câu 88. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho 1 (IV) ∫ 3kx 2 dx = 2k . 0 D. 2. 5 ∫ f ( x)dx = −7 và 1 5 19 Giá trị của k ∫ [ g ( x) − kf ( x)] dx = 5 ∫ g ( x)dx = 5 và 1 là: 1 A. 2 . B. 6 . C. 2. D. −2 . Trang 17/80 Câu 89. Cho hàm số f liên tục trên  . Nếu 5 ∫ 2 f ( x)dx = 2 và 1 bằng: A. 5 . B. −6 . Câu 90. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu 3 ∫ ∫ ∫ f ( x)dx 1 có giá trị 3 C. 9 . 2 5 f ( x)dx = 7 thì D. −9 . f ( x)dx = 4 và tích phân 1 2 −1 ∫ [ kx − f ( x)] dx = 1 giá trị k bằng A. 7 . B. 5 . 2 C. 5 . D. 2. e Câu 91. Tích phân ∫ (2 x − 5) ln xdx bằng 1 e e A. − ( x 2 − 5 x) ln x − ∫ ( x − 5)dx . 1 1 e e C. ( x 2 − 5 x) ln x − ∫ ( x − 5)dx . 1 1 e e B. ( x 2 − 5 x) ln x + ∫ ( x − 5)dx . 1 e 1 e D. ( x − 5) ln x 1 − ∫ ( x 2 − 5 x)dx . 1 π 2 Câu 92. Tích phân I = ∫ cos 2 x cos 2 xdx có giá trị bằng 0 A. −5π . 8 B. π Câu 93. Tích phân I = ∫ 2 0 A. 4. Câu 94. Tích phân = I 2π ∫ π 2 . 4sin 3 x dx có giá trị bằng 1 + cos x B. 3. C. 3π . 8 C. 2. D. π 8 . D. 1. 1 + sin xdx có giá trị bằng 0 A. 4 2 . B. 3 2 . C. 2. D. − 2 . π 3 Câu 95. Tích phân I = ∫ sin 2 x tan xdx có giá trị bằng 0 3 3 3 A ln 3 − . B. ln 2 − 2 . C. ln 2 − . D. ln 2 − . 4 5 8 4 cos x với mọi x ∈  . Giá trị của tích phân Câu 96. Cho hàm số f(x) liên tục trên  và f ( x) + f (− x) = π I= 2 ∫ f ( x)dx là −π 2 A. −2 . Câu 97. Nếu 0 ∫ (5 − e B. −x 3π . 16 3 C. ln 2 − . 4 3 D. ln 3 − . 5 C. 7. D. 12,5 . ) dx = K − e 2 thì giá trị của K là: −2 A. 11. B. 9 . π Câu 98. Cho tích phân= I 2 ∫ .Đặt u 1 + 3cos x .sin xdx = 3cos x + 1 .Khi đó I bằng 0 Trang 18/80 3 2 2 A. ∫ u 2 du . 31 2 B. ∫ u 2 du . 30 e Câu 99. Tích phân I = ∫ 1 B. Câu 100. Tích phân ∫x 2 3 D. ∫ u 2 du . 3 C. ln 2 − . 4 3 D. ln 3 − . 5 C. 7. D. 12,5 . C. 7. D. 4. C. −2 . D. 5. 1 8ln x + 1 dx bằng x A. −2 . 5 2 2 C. u 3 . 9 1 13 . 6 − 2 x − 3 dx có giá trị bằng −1 A. 0. 64 . 3 B. 2 Câu 101. Tìm a để ∫ (3 − ax)dx = −3 ? 1 A. 2. B. 9 . 5 Câu 102. Nếu ∫ k 2 ( 5 − x3 ) dx = −549 thì giá trị của k là: 2 A. ±2 B. 2. Câu 103. Tích phân 3 ∫ 2 A. 2 x −x+4 dx bằng x +1 1 4 + 6 ln . 3 3 1 4 + 6 ln . 2 3 B. C. 1 4 − ln . 2 3 Câu 104. Cho hàm số f liên tục trên  thỏa f ( x) + f (− x) = D. 1 4 + ln . 2 3 2 + 2 cos 2 x , với mọi x ∈  . Giá trị của π tích phân I = 2 ∫ f ( x)dx là −π 2 A. 2. B. −7 . C. 7. D. −2 . 2 122 Câu 105. Tìm m để ∫ (3 − 2 x) 4 dx = ? 5 m A. 0. B. 9 . C. 7. 4.2 TÍCH PHÂN I. VẬN DỤNG THẤP 1 2 1 Câu 106. Giá trị của tích phân I = ∫ A. π 6 B. . dx là 1 − x2 0 π 4 D.2. C. . π 3 D. . π 2 . 1 dx là 1 + x2 0 Câu 107. Giá trị của tích phân I = ∫ AI = π 2 . Câu 108. Giá trị của tích phân I = B. I = 3 −1 ∫ 0 A. I = 5π . 12 3π . 4 C. I = π . D. I = 3π . 12 D. I = 4 5π . 4 dx là x + 2x + 2 2 B. I = π 6 . C. I = π 12 . Trang 19/80 1 ∫x Câu 109. Tích phân I = 2 x 3 + 5dx có giá trị là 0 A. 4 10 6− 3. 3 9 Câu 110. Tích phân 2 ∫ 4 10 7− 5. 3 9 B. C. 4 10 6− 5. 3 9 D. 2 10 6− 5. 3 9 4 − x 2 dx có giá trị là 0 A. π 4 Câu 111. Tích phân = I π B. . 1 ∫x C. . 2 π 3 D. π . . x 2 + 1dx có giá trị là 0 A. 3 2 −1 . 3 Câu 112. Tích phân = I 2 2 −1 . 3 B. 0 ∫x 3 C. 2 2 −1 . 2 D. 3 2 −1 . 2 C. 3 . 28 D. 9 . 28 C. 16 − 10 2 . 4 D. 16 − 11 2 . 3 C. 1 . 166 D. 1 . 165 C. 52 . 5 D. 51 . 5 x + 1dx có giá trị là −1 A. − 9 . 28 B. − 3 . 28 1 x 2 dx là 0 ( x + 1) x + 1 Câu 113. Giá trị của tích phân I = 2 ∫ A. 16 − 10 2 . 3 B. 1 16 − 11 2 . 4 ∫ x (1 − x ) dx là Câu 114. Giá trị của tích phân = I 3 6 5 0 A. 1 . 167 B. 1 . 168 3 2x2 + x −1 dx là x +1 0 Câu 115. Giá trị của tích phân I = ∫ A. 53 . 5 1 Câu 116. Giá trị của tích phân I = ∫ 0 A. π 2 3− x dx là 1+ x B. − 2+2. Câu 117. Giá trị của tích phân 54 . 5 B. π 3 1 ∫ ( 2 x + 1) − 2+2. 5 C. π 3 − 3+2. D. π 2 − 3+2. dx là 0 1 A. 30 . 3 Câu 118. Giá trị của tích phân 1 B. 60 . 3 1 ∫x 0 A. ln 2 . Câu 119. Giá trị của tích phân C. 2 ln 2 . D. 2 ln 3 . 4x + 2 dx là + x +1 dx ∫ (2 x − 1) 1 2 D. 30 . 3 2 B. ln 3 . 2 2 C. 60 . 3 2 là Trang 20/80 A 1 . 2 B. 3 0 3 A. 3 + 3ln . 2 3 B. 3 + 6 ln . 2 4 Câu 121. Giá trị của tích phân: I = ∫ 1 . 2 x +1 ( 1+ 1+ 2x 0 A. 2 ln 2 − C. 1 . 4 D. 2 . 3 x −3 dx là x +1 + x + 3 ∫ 3. Câu 120. Giá trị của tích phân 1 . 3 ) 3 B. −3 + 6 ln . 2 2 3 D. −3 + 3ln . 2 dx là 1 B. 2 ln 2 − . 3 C. 2 ln 2 − 1 . 4 1 D. ln 2 − . 2 ( 7 x − 1)99 Câu 122. Giá trị của tích phân: I = ∫ dx là 101 0 ( 2 x + 1) 1 A. 1  2100 − 1 . 900  B. 1  2101 − 1 . 900  C. 1  299 − 1 . 900  D. 1  298 − 1 . 900  C. 1 . 2001.21002 D. 1 . 2002.21002 2 x 2001 dx có giá trị là (1 + x 2 )1002 1 Câu 123. Tích phân I = ∫ A. 1 . 2002.21001 Câu 124. Giá trị của tích phân B. 1 . 2001.21001 2π 3 ∫ cos(3x − π 2π )dx là 3 3 3 . 3 A. − 2 . 3 B. − C. − 2 3 . 3 D. − . D. 2 2 . 3 π 2 Câu 125. Giá trị của tích phân I = ∫ cos 2 x cos 2 xdx là 0 A. π 6 B. . π 8 C. . π 4 π 2 . π x sin x dx là 2 1 cos + x 0 Câu 126. Giá trị của tích phân: I = ∫ A. π2 2 B. . π2 6 . C. π2 8 . D. π2 4 . π Câu 127. Giá trị tích phân = J 2 ∫ ( sin 4 x + 1) cos xdx là 0 A. 2 . 5 B. 3 . 5 4 . 5 D. 6 . 5 C. ln 2 . D. 1 ln 2 . 2 C. π 2 Câu 128. Giá trị tích phân I = ∫ π sin x − cos x dx là 1 + sin 2 x 4 A. 3 ln 2 . 2 B. 1 ln 3 . 2 Trang 21/80 π sin x dx là 1 + 3cos x 0 2 Câu 129. Giá trị tích phân I = ∫ A. 2 ln 2 . 3 B. 2 ln 4 . 3 C. 1 ln 4 . 3 D. 1 ln 2 . 3 2 Câu 130. Giá trị của tích phân = I 2 ∫ 6 1 − cos3 x .sin x.cos5 xdx là 1 A. 21 . 91 B. 12 . 91 C. 21 . 19 D. 12 . 19 C. 5 . 8 D. 7 . 8 C. 1 . 2 D. 1 . 6 π cos x dx là (sin x + cos x)3 0 4 Câu 131. Giá trị của tích phân I = ∫ A. 1 . 8 B. 3 . 8 π Câu 132. Giá trị của tích phân I = 2 sin xdx ∫ ( sin x + cos x) 0 A 1 . 4 B. 3 là 1 . 3 π 2 Câu 133. Giá trị của tích phân I = ∫ cos 4 x sin 2 xdx là 0 A. I = π 32 B. I = . π C. I = 16 . π 8 . D. I = π 4 . π 2 4 4 6 6 Câu 134. Giá trị của tích phân I = ∫ (sin x + cos x)(sin x + cos x)dx là 0 A. I = 32 π. 128 B. I = 33 π. 128 C. I = 31 π. 128 D. I = 30 π. 128 π sin 4 x 4 Câu 135. Giá trị của tích phân I = ∫ 6 sin x + cos 6 x 1 B. . 3 0 A. 4 . 3 dx là C. 2 . 3 D. 5 . 3 π xdx là sin x + 1 0 Câu 136. Giá trị của tích phân I = ∫ A. I = π 4 B. I = . π 2 C. I = . π 3 . D. I = π . π sin 2007 x dx là sin 2007 x + cos 2007 x 0 2 Câu 137. Giá trị của tích phân I = ∫ A. I = π 2 B. I = . π 4 . C. I = 3π . 4 D. I = 5π . 4 π 2 Câu 138. Giá trị của tích phân ∫ cos11 xdx là 0 Trang 22/80 A. 250 . 693 254 . 693 B. C. 252 . 693 D. 256 . 693 C. 63π . 512 D. 65π . 512 π 2 Câu 139. Giá trị của tích phân ∫ sin10 xdx là 0 A. 67π . 512 61π . 512 B. 1 dx là 1 + ex 0 Câu 140. Giá trị của tích phân I = ∫  2e  A. ln  .  e +1   e  B. ln  .  e +1  Câu 141. Giá trị của tích phân I = ln 5 e 2 x dx ∫ ex −1 10 B. . 3  e  C. 2 ln  .  e +1   2e  D. 2 ln  .  e +1  là ln 2 A. 5 . 3 Câu 142. Giá trị của tích phân = I ln 2 ∫ e x − 1dx là B. 4 −π . 2 C. 20 . 3 D. 2 . 3 C. 5 −π . 3 D. 5 −π . 2 0 A. 4 −π . 3 Câu 143. Giá trị của tích phân I = ln 3 ∫ 0 A. 2 2 − 1 . (e B. Câu 144. Giá trị của tích phân I = e2 ex x + 1) 3 dx là C. 2 −1. dx ∫ x ln x 2 −2. D. 2 2 − 2 . là e A. 2 ln 3 . B. ln 3 . Câu 145. Giá trị của tích phân: I = ln 3 ∫e A. 2 ln 2 − 1 . Câu 146. Cho M = ∫e 0 A. e dx −1 + ex − 2 B. 2ln3 – 1. ln 2 ln 2 2x 3x x C. ln 2 . D. 2 ln 2 . C. ln 3 − 1 . D. ln 2 − 1 . là 2x 2e + e − 1 dx . Giá trị của e M là + e2 x − e x + 1 3x 7 . 4 B. 9 . 4 C. 11 . 4 D. 5 . 4 B. 3 3 5 3 4  3 − 2 .  8 C. 3 3 4 3 5  3 − 2 .  8 D. 3 3 4 3 4  3 − 2 .  8 e ln x 3 2 + ln 2 x Câu 147. I = ∫ dx . x 1 A 3 3 5 3 5  3 − 2 .  8 1 ln(1 + x) dx là 2 + 1 x 0 Câu 148. Giá trị của tích phân I = ∫ A. I = π 8 ln 3 . B. I = π 4 ln 2 . C. I = π 8 ln 3 . D. I = π 8 ln 2 . Trang 23/80 Câu 149. Cho hàm số f(x) liên tục trên  và thỏa f (− x) + 2 f ( x) = cos x . Giá trị của tích phân π I= 2 ∫π − f ( x)dx là 2 1 . 3 II. VẬN DỤNG CAO A. I = B. I = 4 . 3 2 . 3 C. I = D. I = 1 . 2 Câu 150. Tìm hai số thực A, B sao cho = f ( x) A sin π x + B , biết rằng f '(1) = 2 và ∫ f ( x)dx = 4 . 0  A = −2  A.  2.  B = − π A = 2  B.  2.  B = − π Câu 151. Giá trị của a để đẳng thức  A = −2  C.  2 .  B = π 2 4 2 3 ∫ a + (4 − 4a) x + 4 x  dx = ∫ 2 xdx là đẳng thức đúng 1 A. 4. a ∫x 0 A. π 4a 2 B. 3. Câu 152. Giá trị của = tích phân I B. . 2  A = − D.  π.  B = 2 2 C. 5. D. 6. dx ( a > 0) là + a2 π2 4a C. − . π2 4a D. − . π 4a . π cos x dx là 2 + cos 2 x 3 Câu 153. Giá trị của tích phân I = ∫ 0 A. π 4 2 B. . π 2 2 . C. 4π . 2 D. −π . 2 1 dt . Tích phân nào sau đây có giá trị bằng với giá trị của tích phân đã cho. 2 + t 1 x Câu 154. Cho I = ∫ x x dt . 2 1 1+ t dt . 1+ t2 1 A. − ∫ B. ∫ 1 x 1 x dt . 2 1 1+ t dt . 2 1 1+ t D. − ∫ C. ∫ π 2 Câu 155. Giá trị của tích phân I = ∫ π 1 ln(sin x)dx là sin 2 x 6 A − 3 ln 2 + 3 + π C. − 3 ln 2 − 3 − 3 π 3 π . B. 3 ln 2 + 3 − . D. − 3 ln 2 + 3 − 3 . π 3 . 2 Câu 156. Giá trị của tích phân I = ∫ min {1, x 2 } dx là 0 3 . 4 −3 dx Câu 157. Giá trị của tích phân I = ∫ dx là −8 x 1 − x A. 4 . B. C. 4 . 3 3 D. − . 4 Trang 24/80 2 A. ln . 3 B. 2 . C. − ln 2 . D. 2 ln 2 . a x3 − 2 ln x 1 Câu 158. Biết I= ∫ + ln 2 . Giá trị của a là dx= 2 x 2 1 A. 2. C. π . B. ln 2 . Câu= 159. Cho I1 π 2 sin 2 x dx . Khẳng định nào sau đây là sai ? 2 + x (sin 2) 0 2 ∫ cos x 3sin x + 1dx , I 2 = ∫ 0 A. I1 = D. 3. π 14 . 9 3 3 B. = I 2 2 ln + . 2 2 B. I1 > I 2 . 3 2 D. I 2 2 ln − . = 2 3 m 6 là ∫ ( 2 x + 5) dx = Câu 160. Tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn 0 A. m = 1, m = −6 . B. m = −1, m = −6 . C. m = −1, m = 6. D. = m 1,= m 6. π Câu 161. Cho hàm số h( x) = 2 sin 2 x a cos x b cos x . Tìm để và tính = + h x ( ) I = ∫0 h( x)dx (2 + sin x) 2 (2 + sin x) 2 2 + sin x 2 3 2 3 A. a = B. a =4, b =−2; I =− − 2 ln . −4, b = 2; I = + 2 ln . 3 2 3 2 1 3 1 3 D. a = C. a= 2, b= 4; = I − + 4 ln . −2, b = 4; I = + 4 ln . 3 2 3 2 Câu 162. Giá trị trung bình của hàm số y = f ( x ) trên [ a; b ] , kí hiệu là m ( f ) được tính theo công b 1 thức m ( f ) = f ( x ) dx . Giá trị trung bình của hàm số f ( x ) = sin x trên [ 0; π ] là b − a ∫a A. 4 π B. . 3 π C. . 1 π D. . 2 π . π 1 dx , J = 3x + 1 0 Câu 163. Cho ba tích phân I = ∫ nào có giá trị bằng A. K. 21 ? 2 4 ∫ ( sin B. I. B. ln 2 ∫ (x ∫x a−2 . a −1 2 2 + 3 x + 1) dx . Tích phân −1 C. J. a 0 a−2 . 2a − 1 x − cos 4 x ) dx và K= 0 Câu 164. Với 0 < a < 1 , giá trị của tích phân sau A. ln 4 D. J và K. dx dx là: − 3x + 2 C. ln a−2 . 2 ( a − 1) D. ln a−2 . 2a + 1 1 4 x3 dx = 0 . Khi đó giá trị của 144m 2 − 1 bằng 4 2 ( x + 2) 0 Câu 165. Cho 2 3m − ∫ −2 2 3 2 3 . B. 4 3 − 1 . C. . D. − . 3 3 3 Câu 166. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm liên tục trên ( a; b ) , đồng thời thỏa mãn A. f (a ) = f (b) . Lựa chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. b ∫ f '( x).e a f ( x) dx = 2 . B. b ∫ f '( x).e f ( x) dx = 1 . a Trang 25/80 C. b ∫ f '( x).e f ( x ) dx = −1 . D. a b ∫ f '( x).e f ( x) dx = 0 . a 5 Câu 167. Kết quả phép tính tích phân I = ∫ 1 2 dx có dạng = I a ln 3 + b ln 5 ( a, b ∈ ) . Khi đó x 3x + 1 2 a + ab + 3b có giá trị là A. 1. B. 5. C. 0. D. 4. π 2 ∫ (1 − cos x ) Câu 168. Với n ∈ , n ≥ 1 , tích phân= I n sin xdx có giá trị bằng 0 A. 1 . 2n B. 1 . n −1 C. 1 . n +1 D. 1 . n π Câu 169. Với n ∈ , n > 1 , giá trị của tích phân 2 ∫ 0 A. − π 4 B. . Câu 170. Giá trị của tích phân 2017π ∫ π 4 sin x dx là cos x + n sin x n n C. . 3π . 4 D. − 3π . 4 1 − cos 2xdx là 0 B. −4043 2 . C. 3043 2 . D. 4034 2 .  (1 + sin x)1+ cos x  Câu 171. Giá trị của tích phân ∫ ln   dx là  1 + cos x  0 A. 2 ln 3 − 1 . B. −2 ln 2 − 1 . C. 2 ln 2 − 1 . D. −2 ln 3 − 1 . A. 3034 2 . π 2 b Câu 172. Có mấy giá trị của b thỏa mãn ∫ (3 x 2 − 12 x + 11)dx = 6 0 A. 4. B. 2. b Câu 173. Biết rằng ∫ 6dx = 6 và 0 A. 5. Câu 174. Biết rằng ∫x C. 1. ∫ xe dx = a . Khi đó biểu thức b x D. 3. 2 + a 3 + 3a 2 + 2a có giá trị bằng 0 B. 4. C. 7. D. 3. bπ a 0 A. 2π . a 2 B dx bằng = A , ∫ 2dx = B (với a, b > 0 ). Khi đó giá trị của biểu thức 4aA + 2 2b +a 0 B. π . C. 3π . D. 4π . Trang 26/80 C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A B A A A C D C D B A D B B C C D B C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C A A A B D D D C B B C A B C D B D C A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 C B B C B C D D D D B A A C D B A A C A 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A D A B A D B C B D C D C A D B D A C B 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A D A B A D B C B D C D C A D B D D C A 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A D A B A D B C B D C D C A D B A C B B 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 D A B A A A C D C D B A D B B C C D B C 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 C A A A B D D D C B B C A B C D B D C A 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 C B B C B C D D C D B A A C D B A A C A 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 A D A B A D B C B D C D C A II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. b b b a a a ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx . b b a a C. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx . Câu 2. B. b ∫ a D. a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx . b b b a a ∫ xf ( x)dx = x ∫ f ( x)dx . Cho hàm số f liên tục trên  và số thực dương a . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào luôn đúng? A. a ∫ f ( x)dx = 0 . B. a Câu 3. a ∫ f ( x)dx = 1 . a C. a ∫ f ( x)dx = −1 . a D. a ∫ f ( x)dx = f (a) . a 1 Tích phân ∫ dx có giá trị bằng 0 A. −1 . Câu 4. Cho số thực a thỏa mãn B. 1 . a ∫e x +1 C. 0 . D. 2 . dx= e 2 − 1 , khi đó a có giá trị bằng −1 A. 1 . B. −1 . C. 0 . D. 2 . Trang 27/80 Hướng dẫn giải Ta có a ∫e a x +1 = dx e x +1= e a +1 − e . Vậy yêu cầu bài toán tương đương −1 −1 Câu 5. e a +1 − 1 = e 2 − 1 ⇔ a = 1 . Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; π ] đạt giá trị bằng 0 ? A. f ( x) = cos 3 x . B. f ( x) = sin 3 x . x π x π C. = D. = f ( x) sin  +  . f ( x) cos  +  . 4 2 4 2 Hướng dẫn giải Tính tích phân cho từng hàm số trong các đáp án: π π 1 = 3 xdx = sin 3 x 0, ∫0 cos 3 0 • π π 1 2, − cos 3 x = ∫0 sin 3xdx = 3 0 • π π x π x π ∫0 cos  4 + 2  dx = 4sin  4 + 2  0 = 2 ( 2 − 2 ) , • π π x π x π −4 cos  +  = 2 2. ∫0 sin  4 + 2  dx = 4 2 0 • Vậy chọn f ( x) = cos 3 x . Câu 6. Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác 2 ? A. e2 1 ∫ ln xdx . B. ∫ 2dx . 1 0 π C. ∫ sin xdx . D. 0 2 ∫ xdx . 0 Hướng dẫn giải Dù giải bằng máy tính hay làm tay, ta không nên thử tính lần lượt từng đáp án từ A đến D, mà nên chọn các tích phân đơn giản để thử trướC. Ví dụ • 1 dx ∫ 2= 1 x0 2, 2= 0 • 2 2 x2 xdx = = 2 ∫0 2 0 π • − cos x ∫ sin xdx = π 0 = 2, 0 nên nhận e2 ∫ ln xdx . 1 Câu 7. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn 1 ∫ −1 A. f ( x) = e x . B. f ( x) = cos x . f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx ? −2 C. f ( x) = sin x . D. f ( x)= x + 1 . Hướng dẫn giải Cách 1: Phương pháp tự luận Tính lần lượt từng tích phân (cho đến khi nhận được kết quả đúng), ta được: • 1 1 2 − cos x −1 = 0= ∫ sin xdx = ∫ sin xdx  nhận, −1 −2 Trang 28/80 • 1 1 = = xdx sin x −1 2sin1 , và ∫ cos −1 • 1 ∫ e dx= x 1 e x −1= e − e −1 , và = xdx ∫ cos 2 = sin x −2 2sin 2  loại, −2 2 ∫ e dx= x e x −= e 2 − e −2  loại, 2 −2 −1 • 2 2 2 1 1 ( x + 1) = 2 , và dx ∫−1 ( x + 1)= 2 −1 2 2 ( x + 1) 2 + = = 4  loại. x dx ( 1) ∫ 2 −2 −2 Vậy ta nhận đáp án f ( x) = sin x . Cách 2: Phương pháp tự luận Ta đã biết nếu f là hàm số lẻ và liên tục trên  thì a ∫ f ( x)dx = 0 với mọi số thực a . Trong −a các lựa chọn ở đây, chỉ có hàm số y  f ( x)  sin x là lẻ, nên đó là đáp án của bài toán. Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng) Phép tính Kết quả 1 2 −1 −2 1 2 −1 −2 ∫ sin xdx − ∫ sin xdx 0 ∫ cos xdx − ∫ cos xdx 1 2 −1 −2 ≠0 x x ∫ e dx − ∫ e dx 1 2 −1 −2 ≠0 ∫ ( x + 1)dx − ∫ ( x + 1)dx ≠0 Vậy ta nhận đáp án f ( x) = sin x . Câu 8. 5 dx có giá trị bằng x 2 Tích phân I = ∫ A. 3ln 3 . B. 1 ln 3 . 3 C. ln Hướng dẫn giải Cách 1: Phương pháp tự luận 5 . 2 D. ln 2 . 5 5 5 dx 5 = ln x 2 = ln 5 − ln 2 = ln . x 2 2 I =∫ Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị 0,91629… Bước 2: Lấy e0,91629… cho kết quả 5 5  chọn ln . 2 2 Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng) Phép tính Kết quả Phép tính Kết quả Trang 29/80 5 5 dx 5 ∫2 x − ln 2 dx − 3ln 3 x 2 ∫ 0 5 dx 1 ∫2 x − 3 ln 3  chọn ln ≠0 5 dx 2 − ln x 5 2 ∫ ≠0 ≠0 5 . 2 π Câu 9. 2 Tích phân I = ∫ π dx có giá trị bằng sin x 3 1 1 B. 2 ln 3 . ln . 2 3 Hướng dẫn giải Cách 1: Phương pháp tự luận C. A. 1 ln 3 . 2 1 D. 2 ln . 3 π x  2x cos + sin 2   dx x x 1 2   2 2 = = I ∫= ∫ dx cot + tan  dx  ∫ x x 2π 2 2 π sin x π 2sin cos 3 3 3 2 2 π π 2 2 π  x x2 = ln sin − ln cos  2 2π  3  2 2  1 3 = ln − ln  − ln − ln   2 2   2 2  = ln 3. Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị 0,549306… Bước 2: Lấy e0,549306… cho kết quả 1, 732050808… ≈ 3  chọn 1 ln 3 . 2 Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng) Phép tính Kết quả Phép tính Kết quả π dx 1 ∫π sin x − 2 ln 3 2 π 0 2 3 3 π π dx ∫π sin x − 2 ln 3 2 2 3 ≠0 dx 1 − 2 ln ∫ 3 π sin x dx 1 1 − ln ∫ 2 3 π sin x ≠0 ≠0 3 1 ln 3 . 2 Nhận xét: Ở bài này cách làm bằng máy tính có vẻ nhanh hơn.  chọn Trang 30/80 0 ∫ (4 − e Câu 10. Nếu − x /2 ) dx = K − 2e thì giá trị của K là −2 B. 9 . A. 12,5 . C. 11 . D. 10 . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận 0 0 K =∫ ( 4 − e − x /2 ) dx + 2e =( 4 x + 2e − x /2 ) −2 + 2e =2 − ( −8 + 2e ) + 2e =10 . −2 Phương pháp trắc nghiệm Dùng máy tính tính 0 ∫ (4 − e − x /2 ) dx + 2e như hình −2 bên, thu được giá trị K = 10 . 1 Câu 11. Tích phân I = ∫ 0 1 dx có giá trị bằng x −x−2 2 2 ln 2 2 ln 2 . B. − . 3 3 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận A. 1 1 1 dx ∫0 x 2 − x − 2= C. −2 ln 2 . D. 2 ln 2 . 1 1 1 1  1 1  1 2 ln 2 [ ] . dx − = dx ln x − 2 − ln x + 1 = − 0 ∫0 ( x − 2)( x + 1)= ∫ 3 0  x − 2 x + 1  3 3 Học sinh có thể áp dụng công thức 1 x−a ln + C để giảm một bước a −b x −b 1 dx ∫ ( x −= a )( x − b) tính: 1 1 I= ∫ 2 dx = x −x−2 0 1 1 1 x−2 ∫0 ( x − 2)( x + 1) dx = 3 ln x + 1 1 = − 0 2 ln 2 . 3 Phương pháp trắc nghiệm Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị −0.4620981… 2 ln 2 Bước 2: Loại đáp án dương và loại đáp án nhiễu 3 “Không xác định”. 2 Bước 3: Chia giá trị −0.4620981… cho ln 2 , nhận được − 3 2 ln 2  chọn − . 3 Câu 12. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho 5 ∫ f ( x)dx = 2 và ∫ g ( x)dx = −4 . Giá trị 1 1 của 5 5 ∫ [ g ( x) − f ( x)] dx là 1 A. −6 . Hướng dẫn giải B. 6 . C. 2 . 5 5 5 1 1 1 D. −2 . ∫ [ g ( x) − f ( x)] dx =∫ g ( x)dx − ∫ f ( x)dx =−4 − 2 =−6 . Trang 31/80 Câu 13. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu 3 ∫ f ( x)dx = 2 thì tích phân 3 ∫ [ x − 2 f ( x)] dx có giá 0 0 trị bằng A. 7 . B. Hướng dẫn giải 5 . 2 C. 5 . 3 3 3 0 0 0 D. 9 1 − 2× 2 = . 2 2 ∫ [ x − 2 f ( x)] dx = ∫ xdx − 2∫ f ( x)dx = Câu 14. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu 5 ∫ f ( x)dx = 2 và 1 trị bằng A. 5 . Hướng dẫn giải 1 . 2 3 ∫ f ( x)dx = 7 thì 1 B. −5 . 5 ∫ f ( x)dx có giá 3 C. 9 . D. −9 . 5 1 5 3 5 3 3 1 1 1 − ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = −7 + 2 = −5 . ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = Câu 15. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai? 3 3 A. ∫ e dx = ( e x ) 1 . x B. 1 C. 2π 2π ∫π cos xdx = ( sin x ) π −2 −2 1 ( ) dx ln x = −3 . ∫x −3 2 2  x2  D. ∫ ( x + 1) dx = + x  .  2 1 1 . Hướng dẫn giải Phép tính −2 −2 1 ∫−3 x dx = ( ln x ) −3 là sai. Phép tính đúng là −2 1 ∫ x dx = ( ln x ) −2 −3 . −3 Câu 16. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b] . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ? A. b ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) . a B. F ‘( x) = f ( x) với mọi x ∈ (a; b) . C. b ∫ f ( x)dx = f (b) − f (a) . a D. Hàm số G cho bởi G= ( x) F ( x) + 5 cũng thỏa mãn b ∫ f ( x)dx = G(b) − G(a) . a Câu 17. Xét hàm số f liên tục trên  và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. C. b b a a c c b c b a c ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx . ∫ a f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx . B. D. b c b a a c b c c a b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx . ∫ a f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx . Câu 18. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ a; b ] . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? Trang 32/80 b A. Nếu m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (a − b) . a b ∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) . B. Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì a C. Nếu f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) . a D. Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) . a Hướng dẫn giải Mệnh đề “Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) ” sai, mệnh đề đúng phải là a “Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) ”. a Câu 19. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] sao cho g ( x) ≠ 0 với mọi x ∈ [a; b] . Xét các khẳng định sau: I. b ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = a II. b ∫ a b a b b ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx . a III. b f ( x)dx + ∫ g ( x)dx . a b a b b a a ∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx . a b IV. b ∫ a ∫ f ( x)dx f ( x) dx = g ( x) a b . ∫ g ( x)dx a Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai? A. 1 . B. 2 . C. 3 . Hướng dẫn giải D. 4 . b Các công thức b ∫ a f ( x) dx = g ( x) ∫ f ( x)dx a b và ∫ g ( x)dx b b b a a a ∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx là sai. a Câu 20. Tích phân 3 ∫ x( x − 1)dx có giá trị bằng với giá trị của tích phân nào trong các tích phân dưới 0 đây? 2 A. ∫ ( x 2 + x − 3) dx . 0 3π B. 3 ∫ sin xdx . 0 C. ln 10 ∫ 0 e 2 x dx . π D. ∫ cos(3 x + π )dx . 0 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Tính rõ từng phép tính tích phân để tìm ra kết quả đúng (chỉ tính đến khi nhận được kết quả đúng thì dừng lại): Trang 33/80 • • ln 10 ln 10 e2 x e 2ln 10 − 1 9 , e dx = = = ∫0 2 0 2 2 2x 3π 3π −3cos x 0 = 3 ∫ sin xdx = 6, 0 • 2 3 2 0  3 2 π • 2 x  x 8 4 2 ∫ ( x + x − 3) dx = + − 3x  = + 2 − 6 =− , + π )dx ∫ cos(3x= 0 Vậy chọn ln 10 ∫ 0 3 3 1 1 π ( sin 4π − sin(3= x +π) 0 sin π ) 0 . = 3 3 e 2 x dx . 0 Phương pháp trắc nghiệm Nhập các phép tính sau vào máy tính để thu kết quả: Phép tính Kết quả 3 ln 10 0 0 ∫ x( x − 1)dx − ∫ e 2 x dx 0 3π 3 − 0 0 3 2 0 0 35 6 3 π 0 0 2 ∫ x( x − 1)dx − ∫ ( x + x − 3) dx 9 2 ∫ x( x − 1)dx − ∫ cos(3x + π )dx Vậy chọn ln 10 ∫ 3 2 ∫ x( x − 1)dx − ∫ sin xdx e 2 x dx . 0 Câu 21. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a; b ] , sao cho b ∫ f ( x)dx ≥ 0 thì f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ [a; b] . a 3 ∫ f ( x)dx = 0 . B. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [−3;3] , luôn có −3 C. Với mọi hàm số f liên tục trên  , ta có b a a b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)d (− x) . D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [1;5] thì 5 ∫ [ f ( x)] 2 1 3 f ( x)] [ dx = 3 5 . 1 Hướng dẫn giải Vì d (− x) =− ( 1)dx nên b ∫ a a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx= b a ∫ f ( x)(−1)dx= b a ∫ f ( x)d (− x) . b Câu 22. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 1 A. Nếu f là hàm số chẵn trên  thì ∫ f ( x)dx = 0 0 ∫ f ( x)dx . −1 Trang 34/80 B. Nếu 0 ∫ −1 C. Nếu 1 f ( x)dx = ∫ f ( x)dx thì f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] . 0 1 ∫ f ( x)dx = 0 thì f là hàm số lẻ trên đoạn [−1;1] . −1 D. Nếu 1 ∫ f ( x)dx = 0 thì f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] . −1 Hướng dẫn giải x thỏa 2 Hàm số y = x 3 − • 0 ∫ −1 1 1 ∫ f ( x)dx = 0 , nhưng nó là hàm lẻ trên f ( x)dx = ∫ f ( x)dx và −1 0 [−1;1] . 1 1 thỏa ∫ f ( x)dx = 0 , nhưng nó làm hàm chẵn trên [−1;1] . 3 −1 • Hàm số = y x2 − • ) f (− x) với mọi x ∈  . Đặt t =− x ⇒ dt =−dx Còn khi f là hàm chẵn trên  thì f ( x= và suy ra 1 1 1 1 0 0 0 0 −1 0 0 −1 d (− x) − ∫ f (− x)d (− x) = − ∫ f ( x)(= −1)dx − ∫ f ( x)= − ∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt. 6 5 Câu 23. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y = x sin x trên khoảng (0; +∞) . Khi đó 2 ∫x 6 sin 5 xdx có giá trị bằng 1 A. F (2) − F (1) . B. − F (1) . C. F (2) . D. F (1) − F (2) . Hướng dẫn giải Áp dụng công thức b )dx ∫ f ( x= F (b) − F (a ) , trong đó F là một nguyên hàm của f trên đoạn a [a; b] , ta có 2 ∫x 6 sin 5 xdx = F (2) − F (1) . 1 Câu 24. Cho hàm số f liên tục trên  và hai số thực a < b . Nếu b ∫ f ( x)dx = α thì tích phân a b2 ∫ f (2 x)dx có giá trị bằng a 2 α . B. 2α . 2 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Đặt t = 2 x ⇒ dt = 2dx và A. b2 Vậy f (2 x)dx ∫= a 2 b2 C. α . x a 2 b 2 t a b D. 4α . b 1 1 α f= (2 x)2dx = f (t )dt . ∫ ∫ 2a2 2a 2 Phương pháp trắc nghiệm Phương pháp tự luận tốt hơn cả, nhưng nếu học sinh không nắm rõ, có thể thay f bởi một hàm số đơn giản, xác định trên [0;1] và tính toán. Trang 35/80 Ví dụ f ( x) = x với x ∈ [0;1] . Khi đó = α 1 1 0 0 xdx )dx ∫= ∫ f ( x= 1 , 2 suy ra 1/2 ∫ f (2 x)dx= 1/2 ∫ 2 xdx= 0 0 1 α . = 4 2 Câu 25. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y = x 3 sin 5 x trên khoảng (0; +∞) . Khi đó tích phân 2 ∫ 81x 3 sin 5 3 xdx có giá trị bằng 1 A. 3 [ F (6) − F (3) ] . C. 3 [ F (2) − F (1) ] . B. F (6) − F (3) . Hướng dẫn giải Đăt t = 3 x ⇒ dt = 3dx và đổi cận x t 2 Vậy ∫ 81x3 sin 5 3= xdx 1 1 3 2 3 5 dx ∫ (3x) (sin 3x)3= 1 D. F (2) − F (1) . 2 6 6 ∫t 3 sin 5= tdt F (6) − F (3) . 3 Câu 26. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn 2 ∫ f ( x)dx = 6 . Giá trị của tích phân 0 π 2 ∫ f (2sin x) cos xdx là 0 A. −6 . B. 6 . Hướng dẫn giải Đặt= = 2 cos xdx và t 2sin x ⇒ dt x 0 π 2 t 0 2 π 2 Vậy ∫ 2 C. −3 . f (t ) dt ∫= 2 f (2sin x)= cos xdx 0 0 e Câu 27. Bài toán tính tích phân I = ∫ 1 x t e ∫ 1 ln x + 1 ln x = dx x 2 ∫ 2 1 = f (t )dt 3 . 2 ∫0 ln x + 1 ln x dx được một học sinh giải theo ba bước sau: x I. Đặt ẩn phụ= t ln x + 1 , suy ra dt = II. I = D. 3 . 1 dx và x 1 1 e 2 t ( t − 1) dt 1 2 2  5 2  III. I = 1+ 3 2 .  t −  = ∫1 t ( t − 1) dt = t 1  Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Bài giải đúng. B. Sai từ Bước II. C. Sai từ Bước I. Hướng dẫn giải Bước III sai. Phép tính đúng là I = 2 ∫ 1 D. Sai ở Bước III. 4 ( 2 + 1) 2 5 2 3 . t ( t − 1) dt=  t − t  = 3 15 5 1 2 Trang 36/80 Câu 28. Xét tích phân I = π 3 sin 2 x ∫ 1 + cos x dx . Thực hiện phép đổi biến t = cos x , ta có thể đưa I về dạng 0 nào sau đây π 4 A. I = − ∫ 0 2t dt . 1+ t B. I = π 4 ∫ 0 1 2t dt . 1 1+ t D. I = ∫ 2 2 Hướng dẫn giải Ta có t = cos x ⇒ dt = − sin xdx . Khi x = 0 thì t = 1 , khi x = π 3 1 2t C. I = − ∫ dt . 1 1+ t 2t dt . 1+ t π 3 π 3 thì t = 12 1 . Vậy 2 1 sin 2 x 2sin x cos x 2t 2t −∫ I= dt = dt . ∫0 1 + cos x dx = ∫0 1 + cos x dx = ∫ 1+ t 1+ t 1 12 Câu 29. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] . Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào luôn đúng? A. b ∫ f ( x) dx > a C. b ∫ b ∫ f ( x)dx . B. a f ( x) dx ≥ a b ∫ f ( x)dx . D. a b b a a b b a a ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ ∫ f ( x ) dx > ∫ f ( x) dx . f ( x) dx . Câu 30. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? 1 1 1 B. ∫ (1 + x) x dx = 0. A. ∫ sin(1 − x)dx = ∫ sin xdx . 0 0 0 π 2 π x C. ∫ sin dx = 2 ∫ sin xdx . 2 0 0 D. 1 ∫x 2017 −1 2 (1 + x)dx = . 2019 Hướng dẫn giải Cách 1: Tính trực tiếp các tích phân 1 0 1 1 0 • Đặt t =− 1 x ⇒ dt =−dx ⇒ ∫ sin(1 − x)dx =− ∫ sin tdt =∫ sin tdt 0 π 2 π x 1 x • Đặt t = ⇒ dt = dx ⇒ ∫ sin dx = ∫ 2sin tdt 2 2 2 0 0 • 1 1 ∫x −1 2017  x 2018 x 2019   12018 12019   (−1) 2018 (−1) 2019  2 (1 + x)dx=  + + +  =  − = 2019  2019  2018 2019  −1  2018 2019   2018 1 Vậy ∫ (1 + x) x dx = 0 sai. 0 Cách 2: Nhận xét tích phân Ta thấy (1 + x) x ≥ 1 với mọi x ∈ [0;1] nên 1 1 1 0 0 0 x 1 , vậy “ ∫ (1 + x) x dx = 0 ” là ∫ (1 + x) dx ≥ ∫ 1dx = khẳng định sai. Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm Nhập các phép tính sau vào máy tính để thu kết quả: Phép tính Kết quả 1 ∫ (1 + x) x dx >0 0 Trang 37/80 1 1 0 0 ∫ sin(1 − x)dx − ∫ sin xdx 0 π 2 π x ∫0 sin 2 dx − 2 ∫0 sin xdx 1 ∫x 2017 (1 + x)dx − −1 0 2 2019 0 1 suy ra ∫ (1 + x) x dx = 0 là khẳng định sai. 0 Câu 31. Cho hàm số y = f ( x) lẻ và liên tục trên đoạn [−2; 2] . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? A. 2 ∫ −2 C. 2 ∫ −2 2 f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx . B. 2 ∫ f ( x)dx = 0 . −2 0 0 f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx . D. −2 2 ∫ −2 2 f ( x)dx = −2 ∫ f ( x)dx . 0 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Với hàm số f bất kỳ và số thực dương a , ta luôn nằm lòng 2 tính chất sau đây: Nếu f là hàm số lẻ trên đoạn [-a; a ] thì • a ∫ f ( x)dx = 0 , −a Nếu f là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a ] thì • a ∫ −a Vậy trong bài này ta chọn a f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx . 0 2 ∫ f ( x)dx = 0 . −2 Phương pháp trắc nghiệm Nếu học sinh không nắm rõ hai tính chất kể trên, có thể thay f bởi một hàm số đơn giản, xác định trên [−2; 2] và tính toán. Ví dụ f ( x) = x với x ∈ [−2; 2] . Khi đó 2  ∫ f ( x)dx = 0 ,  −2 2  ∫ −2 0 2 −2 0 ∫ f ( x)dx ≠ 2∫ f ( x)dx , 2 f ( x)dx ≠ 2 ∫ f ( x)dx , Vậy chọn 2  −2 ∫ −2 2 f ( x)dx ≠ −2 ∫ f ( x)dx . 0 2 ∫ f ( x)dx = 0 . −2 1 ∫ ( x + 1) Câu 32. Bài toán tính tích phân= I 2 dx được một học sinh giải theo ba bước sau: −2 t ( x + 1) 2 , suy ra = dt 2( x + 1)dx , I. Đặt ẩn phụ = II. Từ đây suy ra dt dt dx ⇒ dx . Đổi cận = = 2( x + 1) 2 t x −2 t 1 1 4 −2 1 III. Vậy I =∫ ( x + 1) 2 dx =∫ t 1 4 4 1 7 dt = t 3 = . 3 3 2 t 1 Trang 38/80 Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Sai từ Bước I. B. Sai ở Bước III. C. Sai từ Bước II. Hướng dẫn giải Khi đặt = t ( x + 1) 2 với −2 ≤ x ≤ 1 thì không suy ra D. Bài giải đúng. t= x + 1 được, vì x + 1 có thể bị âm khi −2 ≤ x ≤ −1 . Câu 33. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5 điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm. Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau: Bài Đề bài Bài giải của học sinh 1 ∫e 1 x2 xdx 0 1 1 ∫0 x 2 − x − 2 dx 2 π ∫ sin 2 x cos xdx 3 1 2 1 1 1 ∫0 x 2 − x − 2 dx= [ln x 2 − x − 2 ] 0= π π 4 ln 2 − ln 2= 0 −1 1 2t 3 4 −2 ∫ t dt == 2 ∫ sin x cos xdx = ∫0 sin 2 x cos xdx = 3 −1 3 0 1 e 1 + (4 − 2e) ln x dx ∫1 x 1 Đặt t = cos x , suy ra dt = − sin xdx . Khi x = 0 thì t = 1 ; khi x = π thì t = −1 . Vậy 0 e 1 e −1 1 x2 ( 2 ) e x x e = xdx e d= x = ∫0 ∫ 20 2 0 2 2 1 + (4 − 2e) ln x dx = ∫1 x 2 2 e ∫ [1 + (4 − 2e) ln x ] d ( ln x ) 1 e = x + (4 − 2e) ln 2 x  1 =3 − e Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu? A. 5,0 điểm. B. 2,5 điểm. C. 7,5 điểm. Hướng dẫn giải Bài toán 2 giải sai. Cách giải đúng là 1 1 ∫0 x 2 − x − 2 dx = 1 1 1 x−2 ∫0 ( x + 1)( x − 2) dx = 3 ln x + 1 D. 10,0 điểm. 1 0 2 = − ln 2 3 Bài toán 4 ra kết quả đúng, nhưng cách tính nguyên hàm sai hoàn toàn. Lời giải đúng là: e e e 1 + (4 − 2e) ln x 2 ) (   dx = 1 + (4 − 2 e ) ln x d ln x = ln x + (2 − e ) ln x =3 − e ] [   ∫1 ∫1 1 x Kinh nghiệm Kết quả đúng thì chưa chắc bài giải đúng. Câu 34. Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [a; b] . Gọi F và G lần lượt là một nguyên hàm của f và g trên đoạn [a; b] . Đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. b ∫ f ( x)G ( x)dx = a B. b f ( x)G ( x)dx ∫= a C. b b a b [ F ( x)G ( x)] a − ∫ F ( x) g ( x)dx . b a b ( x)G ( x)dx [ f ( x) g ( x) ] − ∫ F ( x) g ( x)dx . ∫ f= a D. b [ F ( x) g ( x)] a − ∫ F ( x)G ( x)dx . b b a a b f ( x)G ( x)dx [ F ( x)G ( x) ] − ∫ f ( x) g ( x)dx . ∫= a b a a Trang 39/80 Câu 35. Tích phân I = 0 ∫ xe −x dx có giá trị bằng −2 2 B. 3e 2 − 1 . A. −e + 1 . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Sử dụng tích phân từng phần, ta được 0 ∫ xe I= −x C. −e 2 − 1 . D. −2e 2 + 1 . dx −2 0 0 0 0 0 0 0   = − ∫ xd ( e − x ) = − ( xe − x ) −2 − ∫ e − x dx  = − ( xe − x ) −2 + ∫ e − x dx = − ( xe − x ) −2 − ( e − x ) −2 = −e 2 − 1. −2  −2  −2 Phương pháp trắc nghiệm 0 ∫ xe Dùng máy tính tính −x dx như hình bên, thu được kết quả −2 như hình bên. Loại được đáp án 3e 2 − 1 . Sau đó thử từng đáp án còn lại để tìm ra kết quả. Câu 36. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k bất kỳ trong  . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? A b b b a a a ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx . b b a a C. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx . B. b ∫ a D. a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx . b b b a a ∫ xf ( x)dx = x ∫ f ( x)dx . Câu 37. Cho hàm số f liên tục trên  và số thực dương a . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? A. a ∫ B. f ( x)dx = 1 . a a ∫ f ( x)dx = 0 . a C. a ∫ f ( x)dx = −1 . a D. a ∫ f ( x)dx = f (a) . a 1 Câu 38. Tích phân ∫ dx có giá trị bằng 0 A. 2 . B. −1 . Câu 39. Cho số thực a thỏa mãn a ∫e x +1 C. 0 . D. 1 . dx= e 2 − 1 , khi đó a có giá trị bằng −1 A. 0 . B. −1 . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Ta có a ∫e x +1 D. 1 . D. 2 . a = dx e x +1= e a +1 − e . Vậy yêu cầu bài toán tương đương −1 −1 e a +1 − 1 = e 2 − 1 ⇔ a = 1 . Câu 40. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; π ] đạt giá trị bằng 0 ? A. f ( x) = cos 3 x . B. f ( x) = sin 3 x . x π x π C. = D. = f ( x) sin  +  . f ( x) cos  +  . 4 2 4 2 Hướng dẫn giải Tính tích phân cho từng hàm số trong các đáp án: Trang 40/80 π π 1 3 xdx = sin 3 x 0 = ∫0 cos 3 0 • π π 1 − cos 3 x = 2 ∫0 sin 3xdx = 3 0 • π π x π x π ∫0 cos  4 + 2  dx = 4sin  4 + 2  0 = 2 ( 2 − 2 ) • π π x π x π −4 cos  +  = 2 2. ∫0 sin  4 + 2  dx = 4 2 0 • Vậy chọn f ( x) = cos 3 x . Câu 41. Tích phân nào trong các tích phân sau có giá trị khác 2 ? π 1 B. ∫ 2dx . A. ∫ sin xdx . 0 e2 ∫ ln xdx . B. 0 1 Câu 42. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn ∫ xdx . 2 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ? −2 x B. f ( x) = sin x . 2 0 1 −1 A. f ( x) = cos x . D. C. f ( x) = e . D. f ( x)= x + 1 . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Tính lần lượt từng tích phân (cho đến khi nhận được kết quả đúng), ta được: • 1 − cos x ∫ sin xdx = −1 • 1 1 −1 2 = 0= ∫ sin xdx  nhận, −2 1 = xdx sin = x −1 2sin1 , và ∫ cos −1 • 1 1 x x −1 ∫ e dx= e −1= e − e , và −1 • 1 2 = xdx ∫ cos 2 sin = x −2 2sin 2  loại, −2 2 2 x x 2 −2 ∫ e dx= e −=2 e − e  loại, −2 2 1 ( x + 1) = 2 , và dx ∫−1 ( x + 1)= 2 −1 2 2 ( x + 1) 2 ( x + 1) = dx = 4  loại. ∫ 2 −2 −2 Vậy ta nhận đáp án f ( x) = sin x . [Phương pháp trắc nghiệm] Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng) Phép tính 1 2 −1 −2 1 2 −1 −2 ∫ sin xdx − ∫ sin xdx ∫ cos xdx − ∫ cos xdx 1 2 −1 −2 x x ∫ e dx − ∫ e dx 1 2 −1 −2 ∫ ( x + 1)dx − ∫ ( x + 1)dx Kết quả 0 ≠0 ≠0 ≠0 Vậy ta nhận đáp án f ( x) = sin x . Trang 41/80 5 dx có giá trị bằng x 2 Câu 43. Tích phân I = ∫ 1 5 B. ln . ln 3 . 2 3 Hướng dẫn giải [Cách 1: Phương pháp tự luận] C. 3ln 3 . A. D. ln 2 . 5 5 5 dx 5 = ln x 2 = ln 5 − ln 2 = ln . x 2 2 I =∫ [Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm] Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị 0,91629… Bước 2: Lấy e0,91629… cho kết quả 5 5  chọn ln . 2 2 [Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm] Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng) Phép tính Kết quả Phép tính Kết quả 5 dx 5 ∫2 x − ln 2 5 dx − 3ln 3 x 2 ∫ 0 5 dx 1 ∫2 x − 3 ln 3  chọn ln ≠0 5 dx 2 − ln x 5 2 ∫ ≠0 ≠0 5 . 2 π 2 Câu 44. Tích phân I = ∫ π dx có giá trị bằng sin x 3 1 1 A. 2 ln . B. 2 ln 3 . C. ln 3 . 3 2 Hướng dẫn giải [Cách 1: Phương pháp tự luận] π π  π x 2 x + sin 2  2 2  cos dx 1 2 x x  2 2  = I ∫= ∫ = dx  cot + tan  dx ∫ x x 2π 2 2 π sin x π 2sin cos 3 3 3 2 2 D. 1 1 ln . 2 3 . π  x x2  2 2  1 3 = ln sin − ln cos  = ln − ln  − ln − ln  = ln 3. 2 2π  2 2   2 2   3 [Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm] Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị 0,549306… Bước 2: Lấy e0,549306… cho kết quả 1, 732050808… ≈ 3  Trang 42/80 chọn 1 ln 3 . 2 [Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm] Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng) Phép tính Kết quả Phép tính Kết quả π π dx 1 ∫π sin x − 2 ln 3 2 2 3 3 π π dx ∫π sin x − 2 ln 3 2 2 dx 1 − 2 ln ∫ 3 π sin x 0 dx 1 1 − ln ∫ 2 3 π sin x ≠0 3 ≠0 ≠0 3 1 ln 3 . 2 Nhận xét: Ở bài này cách làm bằng máy tính có vẻ nhanh hơn.  chọn Câu 45. Nếu 0 ∫ (4 − e − x /2 ) dx = K − 2e thì giá trị của K là −2 A. 9 . B. 10 . C. 11 . D. 12,5 . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 0 0 K =∫ ( 4 − e − x /2 ) dx + 2e =( 4 x + 2e − x /2 ) −2 + 2e =2 − ( −8 + 2e ) + 2e =10 . −2 [Phương pháp trắc nghiệm] Dùng máy tính tính 0 ∫ (4 − e − x /2 ) dx + 2e như hình bên, thu −2 được giá trị K = 10 . 1 Câu 46. Tích phân I = ∫ 0 1 dx có giá trị bằng x −x−2 2 A. −2 ln 2 . B. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 1 1 dx ∫0 x 2 − x − 2= 2 ln 2 . 3 1 2 ln 2 . 3 D. Không xác định. 1 1 1 1  1 1  1 2 ln 2 [ ] . dx − = dx ln x − 2 − ln x + 1 = − 0 ∫0 ( x − 2)( x + 1)= ∫ 3 0  x − 2 x + 1  3 3 Học sinh có thể áp dụng công thức 1 C. − 1 tính: I = ∫ 2 dx = x −x−2 0 1 1 dx ∫ ( x −= a )( x − b) 1 1 x−2 ∫0 ( x − 2)( x + 1) dx = 3 ln x + 1 1 x−a ln + C để giảm một bước a −b x −b 1 = − 0 2 ln 2 3 [Phương pháp trắc nghiệm] Trang 43/80 Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị −0.4620981… 2 ln 2 Bước 2: Loại đáp án dương và loại đáp án nhiễu 3 “Không xác định”. Bước 3: Chia giá trị −0.4620981… cho ln 2 , nhận được 2 − 3 2 ln 2  chọn − . 3 Câu 47. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho 5 ∫ 5 ∫ g ( x)dx = f ( x)dx = 2 và 1 −4 . Giá trị 1 5 ∫ [ g ( x) − f ( x)] dx là của 1 B. 6 . A. −2 . Hướng dẫn giải C. 2 . 5 5 1 1 D. −6 . 5 ∫ [ g ( x) − f ( x)] dx =∫ g ( x)dx − ∫ f ( x)dx =−4 − 2 =−6 . Câu 48. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu 1 3 ∫ f ( x)dx = 2 thì tích phân 3 ∫ [ x − 2 f ( x)] dx có giá 0 0 trị bằng A. 7 . B. Hướng dẫn giải 5 . 2 C. 5 . 3 3 0 0 D. 3 9 1 − 2× 2 = . 2 2 ∫ [ x − 2 f ( x)] dx = ∫ xdx − 2∫ f ( x)dx = Câu 49. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu 0 5 ∫ f ( x)dx = 2 và 1 trị bằng A. −9 . Hướng dẫn giải 5 ∫ 3 1 . 2 3 ∫ f ( x)dx = 7 thì ∫ f ( x)dx có giá 3 1 B. 5 . 5 C. 9 . D. −5 . 1 5 3 5 3 1 1 1 f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = −7 + 2 = −5 . ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = Câu 50. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai? 2 2  x2  A. ∫ ( x + 1) dx = + x  .  2 1 1 C. 2π 2π ∫ cos xdx = ( sin x ) π . 3 3 B. ∫ e x dx = ( e x ) 1 . 1 D. π −2 −2 1 ( ) dx ln x = −3 . ∫−3 x Hướng dẫn giải Phép tính −2 −2 1 ∫−3 x dx = ( ln x ) −3 là sai. Phép tính đúng là −2 1 ∫ x dx = ( ln x ) −2 −3 . −3 Câu 51. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b] . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ? Trang 44/80 A. F ‘( x) = f ( x) với mọi x ∈ (a; b) . b ∫ f ( x)dx = f (b) − f (a) . B. a b ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) . C. a b ∫ f ( x)dx = G(b) − G(a) . ( x) F ( x) + 5 cũng thỏa mãn D. Hàm số G cho bởi G= a Câu 52. Xét hàm số f liên tục trên  và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? b c b a a c b b a c c ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx . A. ∫ C. a c b a a c b c c a b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx . B. f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx . b ∫ D. a f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx . Câu 53. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ a; b ] .Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) . a b ∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) . B. Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì a C. Nếu f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) . a b D. Nếu m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (a − b) . a Hướng dẫn giải Mệnh đề “Nếu f ( x) ≥ M ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≥ M (a − b) ” sai, mệnh đề đúng phải là a “Nếu f ( x) ≥ M ∀x ∈ [a; b] thì b ∫ f ( x)dx ≥ M (b − a) ”. a Câu 54. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] sao cho g ( x) ≠ 0 với mọi x ∈ [a; b] . Một học sinh lên bảng và phát biểu các tính chất sau: I. b b b a a a ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx . II. b b b a a ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx . a b III. b b b a a a ∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx . IV. b ∫ a f ( x) dx = g ( x) ∫ f ( x)dx a b . ∫ g ( x)dx a Trong số các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu sai? A. 3 . B. 1 . C. 2 . Hướng dẫn giải D. 4 . Trang 45/80 b b ∫ Các phát biểu a f ( x) dx = g ( x) ∫ f ( x)dx a b và ∫ g ( x)dx b b b a a a ∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx là sai. a Câu 55. Tích phân 3 ∫ x( x − 1)dx có giá trị bằng với tích phân nào trong các tích phân dưới đây ? 0 3π π 2 C. ∫ ( x 2 + x − 3) dx . B. 3 ∫ sin xdx . A. ∫ cos(3 x + π )dx . 0 0 0 D. ln 10 ∫ e 2 x dx . 0 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Tính rõ từng phép tính tích phân để tìm ra kết quả đúng (Chỉ tính đến khi nhận được kết quả đúng thì dừng lại): • • ln 10 ln 10 e2 x e 2ln 10 − 1 9 , e dx = = ∫0= 2 0 2 2 2x 3π 3π −3cos x 0 = 3 ∫ sin xdx = 6, 0 • 2 2  x3 x 2  8 4 ( ) x + x − 3 dx =  + − 3 x  = + 2 − 6 =− , ∫0 3  3 2 0 3 2 π • + π )dx ∫ cos(3x= 0 Vậy chọn ln 10 ∫ 1 1 π ( sin 4π − = x +π) 0 sin(3= sin π ) 0 . 3 3 e 2 x dx . 0 [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập các phép tính sau vào máy tính để thu kết quả: Phép tính Kết quả 3 ln 10 0 0 ∫ x( x − 1)dx − ∫ 3 Vậy chọn ∫ 0 3π 3 2 ∫ x( x − 1)dx − ∫ sin xdx − 0 0 3 2 + x − 3) dx 35 6 ∫ x( x − 1)dx − ∫ cos(3x + π )dx 9 2 ∫ x( x − 1)dx − ∫ ( x ln 10 e 2 x dx 0 0 3 π 0 0 2 e 2 x dx . 0 Câu 56. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [−3;3] , luôn có 3 ∫ f ( x)dx = 0 . −3 Trang 46/80 b a B. Với mọi hàm số f liên tục trên  , ta có ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)d (− x) . a b C. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a; b ] , sao cho b ∫ f ( x)dx ≥ 0 thì f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ [a; b] . a D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [1;5] thì 5 ∫ [ f ( x)] 2 3 5 [ f ( x)] dx = . 3 1 1 Hướng dẫn giải b a a a a b b b ∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx= ∫ f ( x)(−1)dx= ∫ f ( x)d (− x) . Vì d (− x) =− ( 1)dx nên Câu 57. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 1 A. Nếu f là hàm số chẵn trên  thì ∫ f ( x)dx = 0 B. Nếu C. Nếu 0 1 −1 0 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx thì 1 ∫ f ( x)dx = 0 thì 0 ∫ f ( x)dx . −1 f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] . f là hàm số lẻ trên đoạn [−1;1] . −1 D. Nếu 1 ∫ f ( x)dx = 0 thì f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] . −1 Hướng dẫn giải • x Hàm số y = x − thỏa 2 3 0 1 −1 0 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx 1 ∫ f ( x)dx = 0 , nhưng nó là hàm lẻ trên và −1 [−1;1] . 1 1 thỏa ∫ f ( x)dx = 0 , nhưng nó làm hàm chẵn trên [−1;1] . 3 −1 • Hàm số = y x2 − • Còn khi f là hàm chẵn trên  thì f ( x= ) f (− x) với mọi x ∈  . Đặt t =− x ⇒ dt =−dx và suy ra 1 1 1 0 0 − ∫ f ( x)(−1) = dx − ∫ f ( x)d (− x) ∫ f ( x)dx = 0 1 −1 0 0 0 −1 = − ∫ f (− x)d (− x) = − ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt. Câu 58. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y = giá trị bằng A. F (2) − F (1) . B. − F (1) . sin x trên khoảng (0; +∞) . Khi đó x C. F (2) . 2 sin x dx có x 1 ∫ D. F (2) + F (1) . Hướng dẫn giải Áp dụng công thức b )dx ∫ f ( x= F (b) − F (a ) , trong đó F là một nguyên hàm của f trên đoạn a [a; b] , ta có 2 sin x dx = F (2) − F (1) . x 1 ∫ Trang 47/80 Câu 59. Cho hàm số f liên tục trên  và hai số thực a < b . Nếu b ∫ f ( x)dx = α thì tích phân a b2 ∫ f (2 x)dx có giá trị bằng a 2 A. α . B. 2α . C. α Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Đăt t = 2 x ⇒ dt = 2dx và x a 2 b 2 a b t b2 Vậy b2 2 D. 4α . . b 1 1 α . (2 x)2dx = f= f (t )dt ∫ ∫ 2a2 2a 2 f (2 x)dx ∫= a 2 [Phương pháp trắc nghiệm] Phương pháp tự luận tốt hơn cả, nhưng nếu học sinh không nắm rõ, có thể thay f bởi một hàm số đơn giản, xác định trên [0;1] và tính toán. suy ra ∫ f (2 x)dx= 0 1/2 1 0 0 )dx ∫= xdx ∫ f ( x= Ví dụ f ( x) = x với x ∈ [0;1] . Khi đó = α 1/2 1 1 α . = 4 2 ∫ 2 xdx= 0 Câu 60. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y = giá trị bằng A. F (6) − F (3) . 2 sin 3 x dx ∫1 x = sin x trên khoảng (0; +∞) . Khi đó x C. 3 [ F (2) − F (1) ] . B. 3 [ F (6) − F (3) ] . Hướng dẫn giải Đăt t = 3 x ⇒ dt = 3dx và Vậy x t 2 sin 3 x 3dx ∫1 3x = Câu 61. Giả sử hàm số f 1 2 1 3 2 sin 3x dx có x 1 ∫ D. F (2) − F (1) . 2 6 6 sin t = dt F (6) − F (3) . t 3 ∫ liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn 2 ∫ f ( x)dx = 6 . Giá trị của 0 π 2 ∫ f (2sin x) cos xdx là 0 A. 3 . B. 6 . Hướng dẫn giải Đăt= t 2sin x ⇒ dt = 2 cos xdx và x C. −3 . t π 2 Vậy ∫ 0 f (2sin x)= cos xdx 2 f (t ) dt ∫= 2 0 D. −6 . 0 π 2 0 2 2 1 = f (t )dt 3 . 2 ∫0 Trang 48/80 e Câu 62. Bài toán tính tích phân I = ∫ 1 ln x + 1 ln x dx được một học sinh giải theo ba bước sau: x I. Đặt ẩn phụ= t ln x + 1 , suy ra dt = x t II. I = e ∫ 1 2 ln x + 1 ln x = dx x ∫ 1 dx và x e 2 1 1 t ( t − 1) dt 1 2 2  5 2  III. I = 1+ 3 2 .  t −  = ∫1 t ( t − 1) dt = t 1  Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Bài giải đúng. B. Sai từ Bước II. Hướng dẫn giải Bước III sai. Phép tính đúng là I = 2 ∫ 1 Câu 63. Xét tích phân I = π 3 C. Sai từ Bước I. D. Sai ở Bước III. 4 ( 2 + 1) 2 5 2 3 . t ( t − 1) dt=  t − t  = 3 15 5 1 2 sin 2 x ∫ 1 + cos x dx . Thực hiện phép đổi biến t = cos x , ta có thể đưa I về dạng 0 nào sau đây 1 2t dt . 1 1+ t A. I = ∫ B. I = π 4 ∫ 0 2 2t dt . 1+ t 2t dt . 1 1+ t D. I = − ∫ 0 2 Hướng dẫn giải Ta có t = − sin xdx . Khi x = 0 thì t = 1 , khi x = cos x ⇒ dt = π 3 π 4 1 C. I = − ∫ π 3 π 3 thì t = 12 2t dt . 1+ t 1 . Vậy 2 1 sin 2 x 2sin x cos x 2t 2t I= −∫ dt = dt . ∫0 1 + cos x dx = ∫0 1 + cos x dx = ∫ 1+ t 1+ t 1 12 Câu 64. Cho hàm số y = f ( x) bất kỳ liên tục trên đoạn [a; b] . Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào luôn đúng? A. C. b b a a ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ b ∫ a f ( x) dx > f ( x) dx . b ∫ f ( x)dx . B. b ∫ f ( x) dx ≥ a D. a b ∫ f ( x)dx . a b b a a ∫ f ( x ) dx > ∫ f ( x) dx . Câu 65. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? 1 A. ∫ (1 + x) x dx = 0. 0 π π 2 x C. ∫ sin dx = 2 ∫ sin xdx . 2 0 0 1 1 0 0 B. ∫ sin(1 − x)dx = ∫ sin xdx . D. 1 ∫x −1 2017 2 (1 + x)dx = . 2019 Hướng dẫn giải [Cách 1: Tính trực tiếp các tích phân] Trang 49/80 1 0 1 1 0 • Đặt t =− 1 x ⇒ dt =−dx ⇒ ∫ sin(1 − x)dx =− ∫ sin tdt =∫ sin tdt 0 π 2 π x x 1 • Đặt t = ⇒ dt = dx ⇒ ∫ sin dx = ∫ 2sin tdt 2 2 2 0 0 • 1 1 ∫x 2017 −1  x 2018 x 2019   12018 12019   (−1) 2018 (−1) 2019  2 + = + + (1 + x)dx=    − = 2019  2019  2018 2019  −1  2018 2019   2018 1 Vậy ∫ (1 + x) x dx = 0 sai. 0 [Cách 2: Nhận xét tích phân] Ta thấy (1 + x) x ≥ 1 với mọi x ∈ [0;1] nên 1 1 1 0 0 0 x 1 , vậy “ ∫ (1 + x) x dx = 0 ” là ∫ (1 + x) dx ≥ ∫ 1dx = khẳng định sai. [Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm] Nhập các phép tính sau vào máy tính để thu kết quả: Phép tính Kết quả 1 ∫ (1 + x) x dx >0 0 1 1 0 0 ∫ sin(1 − x)dx − ∫ sin xdx 0 π 2 π x ∫0 sin 2 dx − 2 ∫0 sin xdx 1 ∫x 2017 (1 + x)dx − −1 0 2 2019 0 1 suy ra ∫ (1 + x) x dx = 0 là khẳng định sai. 0 Câu 66. Cho hàm số y = f ( x) lẻ và liên tục trên đoạn [−2; 2] . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? A. 2 ∫ −2 C. 2 f ( x)dx = −2 ∫ f ( x)dx . B. 0 2 0 −2 −2 2 ∫ −2 ∫ f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx . D. 2 f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx . 0 2 ∫ f ( x)dx = 0 . −2 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Với hàm số f bất kỳ và số thực dương a , ta luôn nằm lòng 2 tính chất sau đây: • Nếu f là hàm số lẻ trên đoạn [-a; a ] thì a ∫ f ( x)dx = 0 , −a • Nếu f là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a ] thì a ∫ −a Vậy trong bài này ta chọn a f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx . 0 2 ∫ f ( x)dx = 0 . −2 [Phương pháp trắc nghiệm] Trang 50/80 Nếu học sinh không nắm rõ hai tính chất kể trên, có thể thay f bởi một hàm số đơn giản, xác định trên [−2; 2] và tính toán. Ví dụ f ( x) = x với x ∈ [−2; 2] . Khi đó 2  ∫ f ( x)dx = 0 , 2 0 2 −2  ∫ −2 ∫  −2 2 f ( x)dx ≠ 2 ∫ f ( x)dx , ∫  −2 −2 2 f ( x)dx ≠ 2 ∫ f ( x)dx , 0 2 f ( x)dx ≠ −2 ∫ f ( x)dx . 0 2 ∫ f ( x)dx = 0 . Vậy chọn −2 1 ∫ ( x + 1) Câu 67. Bài toán tính tích phân= I 2 dx được một học sinh giải theo ba bước sau: −2 2 I. Đặt ẩn phụ = dt 2( x + 1)dx , t ( x + 1) , suy ra = II. Từ đây suy ra dt dt = dx ⇒ = dx . Bảng giá trị 2( x + 1) 2 t x −2 1 t 1 4 1 4 4 t 1 7 dt = t 3 = . 3 3 1 1 2 t −2 Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? III. Vậy I =∫ ( x + 1) 2 dx =∫ A. Sai ở Bước III. B. Sai từ Bước II. C. Sai từ Bước I. D. Bài giải đúng. Hướng dẫn giải t ( x + 1) 2 với −2 ≤ x ≤ 1 thì không suy ra Khi đặt = t= x + 1 được, vì x + 1 có thể bị âm khi −2 ≤ x ≤ −1 . Câu 68. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5 điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm. Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau: Bài Đề bài Bài giải của học sinh 1 ∫e 1 x2 xdx 0 1 1 ∫0 x 2 − x − 2 dx 2 π ∫ sin 2 x cos xdx 3 1 1 ∫x 0 4 2 1 dx= −x−2 [ln x 2 − x − 2 ] 0= 1 π ln 2 − ln 2= 0 π −1 1 2t 3 4 x xdx = x xdx = − t dt == sin 2 cos 2 sin cos 2 ∫0 ∫0 ∫1 3 −1 3 e 1 + (4 − 2e) ln x dx ∫1 x 1 Đặt t = cos x , suy ra dt = − sin xdx . Khi x = 0 thì t = 1 ; khi x = π thì t = −1 . Vậy 0 e 2 1 1 x2 ( 2 ) e x e −1 e = xdx e d= x = ∫0 ∫ 20 2 0 2 x2 1 + (4 − 2e) ln x dx = ∫1 x 2 2 e ∫ [1 + (4 − 2e) ln x ] d ( ln x ) 1 e = x + (4 − 2e) ln 2 x  1 =3 − e Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu? A. 7,5 điểm. B. 2,5 điểm. C. 5,0 điểm. Hướng dẫn giải D. 10,0 điểm. Trang 51/80 Bài toán 2 giải sai. Cách giải đúng là 1 1 ∫0 x 2 − x − 2 dx = 1 1 1 x−2 ∫0 ( x + 1)( x − 2) dx = 3 ln x + 1 1 0 2 = − ln 2 3 Bài toán 4 ra kết quả đúng, nhưng cách tính nguyên hàm sai hoàn toàn. Cách tính đúng là: e e e 1 + (4 − 2e) ln x 2 ( )   = + − = + − =3 − e dx 1 (4 2 e ) ln x d ln x ln x (2 e ) ln x ] [   ∫1 ∫1 1 x [Kinh nghiệm] Kết quả đúng thì chưa chắc bài giải đúng. Câu 69. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [a; b] . Đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. b ∫ b a B. a b b ∫ b a b [ f ( x) g ( x)] a − ∫ F ( x) g ( x)dx . b f= ( x)G ( x)dx a D. b [ F ( x)G ( x)] a − ∫ F ( x) g ( x)dx . f ( x)G ( x)dx ∫= a C. b [ F ( x) g ( x)] a − ∫ F ( x)G ( x)dx . = f ( x)G ( x)dx a b b f ( x)G ( x)dx [ F ( x)G ( x) ] − ∫ f ( x) g ( x)dx . ∫= b a a Câu 70. Tích phân I = 0 ∫ xe −x a dx có giá trị bằng −2 A. −2e 2 + 1 . B. 3e 2 − 1 . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Sử dụng tích phân từng phần, ta được I= 0 ∫ xe −x C. −e 2 + 1 . D. −e 2 − 1 . dx −2 0 0 0 0 0 0 0   = − ∫ xd ( e − x ) = − ( xe − x ) −2 − ∫ e − x dx  = − ( xe − x ) −2 + ∫ e − x dx = − ( xe − x ) −2 − ( e − x ) −2 = −e 2 − 1.   −2 −2 −2 [Phương pháp trắc nghiệm] 0 ∫ xe Dùng máy tính tính −x dx như hình bên, thu được kết −2 quả như hình bên. Loại được đáp án 3e 2 − 1 . Sau đó thử từng đáp án còn lại để tìm ra kết quả. Câu 71. Ta đã biết công thức tích phân từng phần b F ( x) g ( x)dx ∫= a b [ F ( x)G ( x)] a − ∫ f ( x)G ( x)dx , trong b a đó F và G là các nguyên hàm của f và g . Trong các biến đổi sau đây, sử dụng tích phân từng phần ở trên, biến đổi nào là sai? e e e  2  ( ln x ) xdx  x ln x  − 1 ∫ xdx , trong đó F ( x) = ln x , g ( x) = x . A. ∫ =  2 1 2 1 1 1 1 1 B. ∫ = xe dx ( xe x ) 0 − ∫ e x dx , trong đó F ( x) = x , g ( x) = e x . 0 x 0 Trang 52/80 π π π C. ∫= x sin xdx ( x cos x ) 0 − ∫ cos xdx , trong đó F ( x) = x , g ( x) = sin x . 0 0 1 1 1 x +1  2 x +1  2 D. ∫= x 2 x +1 dx  x − dx , trong đó F ( x) = x , g ( x) = 2 x +1 .  ∫   ln 2 ln 2 0 0 0 Câu 72. Tích phân π  π ∫ x cos  x + 4  dx có giá trị bằng 0 (π − 2 ) 2 (π − 2 ) 2 . B. − . 2 2 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có A. π π C. (π + 2 ) 2 . 2 π  π π  π     5π ∫0 x cos  x + 4  dx=  x sin  x + 4  0 − ∫0 sin  x + 4  dx= π sin  4 π 2  5π = − + cos   4 2 [Phương pháp trắc nghiệm] Dùng máy tính tính π π  ∫ x cos  x + 4  dx D. − (π + 2 ) 2 . 2 π π      + cos  x +      4  0 (π + 2 ) 2  π  − .  − cos   =  4 2 như hình bên, thu 0 được kết quả như hình bên. Loại được các đáp án dương (π + 2 ) 2 (π − 2 ) 2 và . Sau đó thử từng đáp án còn lại 2 2 để tìm ra kết quả. Câu 73. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [0; 2] . Biết rằng 2 ∫ F ( x) g ( x)dx = 3 . Tích phân F (0) = 0 , F (2) = 1 , G (0) = −2 , G (2) = 1 và 0 giá trị bằng B. 0 . A. 3 . Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có 2 ∫ 0 C. −2 . 2 ∫ f ( x)G( x)dx có 0 D. −4 . 2 2 0 0 f ( x)G ( x)dx = [ F ( x)G ( x) ] 0 − ∫ F ( x) g ( x)dx = F (2)G (2) − F (0)G (0) − ∫ F ( x) g ( x)dx 2 = 1×1 − 0 × (−2) − 3 = −2. Câu 74. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [1; 2] . Biết rằng 3 F (1) = 1 , F (2) = 4 , G (1) = , G (2) = 2 và 2 giá trị bằng 145 11 A. . B. − . 12 12 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có 2 2 ∫ F ( x) g ( x)dx = [ F ( x)G( x)] − ∫ f ( x)G( x)dx = 1 2 1 1 2 ∫ 1 67 . Tích phân f ( x)G ( x)dx = 12 C. − 11 . 12 D. 2 ∫ F ( x) g ( x)dx có 1 145 . 12 2 F (2)G (2) − F (1)G (1) − ∫ f ( x)G ( x)dx 1 3 67 11 = 4 × 2 − 1× − =. 2 12 12 Trang 53/80 Câu 75. Cho hai số thực a và b thỏa mãn a < b và b ∫ x sin xdx = π , đồng thời a cos a = 0 và a b b cos b = −π . Tích phân ∫ cos xdx có giá trị bằng a 145 . B. π . 12 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có A. b b b a a C. −π . D. 0 . b − [ x cos x ] a + ∫ cos xdx ⇒ ∫ cos xdx = [ x cos x ] a + ∫ x sin xdx ∫ x sin xdx = b a b a 0. = b cos b − a cos a + π = −π − 0 + π = e 1 − ln x Câu 76. Cho tích phân: I = ∫ dx .Đặt = u 1 − ln x .Khi đó I bằng 2x 1 0 0 A. I = ∫ u du . B. I = − ∫ u du . 2 1 1 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Đặt u = 1 − ln x ⇒ u 2 =− 1 ln x ⇒ 0 2 0 1 u2 C. I = ∫ du . D. I = − ∫ u 2 du . 2 1 0 dx = −2udu . Với x =1 ⇒ u =1 , x = e ⇒ u = 0 . x Khi đó I = − ∫ u 2 du . 1 [Phương pháp trắc nghiệm] e 1 − ln x dx 2x 1 Bước 2: Bấm SHIFT STO A để lưu vào biến A.  0 2  Bước 3: Bấm A −  − ∫ u du  =0 . Vậy đáp án là A.  1  2 2 x Câu 77. Tích phân I = ∫ 2 dx có giá trị bằng x − 7x + 12 1 Bước 1: Bấm máy tính để tính ∫ A. 5ln 2 − 6 ln 3 . B. 1 + 2 ln 2 − 6 ln 3 . C. 3 + 5ln 2 − 7 ln 3 . D. 1 + 25ln 2 − 16 ln 3 . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 2 2 16 9   Ta có I =∫ 1 + −  dx =( x + 16 ln x − 4 − 9 ln x − 3 ) 1 =1 + 25ln 2 − 16 ln 3 . x −4 x −3 1 [Phương pháp trắc nghiệm] 2 x2 Bấm máy tính ∫ 2 dx − (1 + 25ln 2 − 16 ln 3) được đáp số là 0. x − 7x + 12 1 2 Câu 78. Tích phân I = ∫ x 5 dx có giá trị là: 1 19 . 3 Hướng dẫn giải A. B. 32 . 3 C. 16 . 3 D. 21 . 2 Trang 54/80 2 2 x6 21 Ta có:= . I ∫ x= dx = 6 1 2 1 5 1 xdx bằng 3 x + ( 1) 0 Câu 79. Tích phân I = ∫ 1 1 1 A. − . B. . C. . D. 12 . 6 8 7 Hướng dẫn giải 1 x x +1−1 1 −2 −3 ( x + 1) −2 − ( x + 1) −3 dx = = + − + x x ( 1) ( 1) Ta có ⇒ = = . I 3 3 ∫ ( x + 1) ( x + 1) 8 0 π 2 2 − x, dv = sin xdx thì I ∫ (2 − x) sin xdx . Đặt u = Câu 80. Cho tích phân= I bằng 0 π π 2 π A. −(2 − x) cos x 02 − ∫ cos xdx . B. −(2 − x) cos x 02 + ∫ cos xdx . 0 0 π π 2 π π 2 2 π C. (2 − x) cos x 02 + ∫ cos xdx . D. (2 − x) 02 + ∫ cos xdx . 0 0 Hướng dẫn giải π 2 π 2− x −dx u = du = Đặt  . Vậy I = −(2 − x) cos x 02 − ∫ cos xdx . ⇒ dv = sin xdx v = − cos x 0 1 x7 Câu 81. Tích phân ∫ dx bằng (1 + x 2 )5 0 A. 2 1 (t − 1)3 dt . 2 ∫1 t 5 B. 3 (t − 1)3 ∫1 t 5 dt . Hướng dẫn giải Câu 82. Tích phân I = 3 ∫ x( x 1 1 4 + 1) 3 . 2 Hướng dẫn giải A. ln 2 1 (t − 1)3 dt . 2 ∫1 t 4 4 D. 3 (t − 1)3 dt . 2 ∫1 t 4 D. 1 3 ln . 4 2 2 1 (t − 1)3 1 1 1 . = dt = . 5 5 ∫ 21 t 4 2 128 Đặt t =1 + x 2 ⇒ dt =2 xdx . Vậy = I 4 C. dx bằng B. 1 3 ln . 3 2 1 Đặt t = x ⇒ dt = 2 xdx . Vậy I = 2 2 2 2 0 0 C. 3 1 ∫  t − t 1 2 1 3 ln . 5 2 t  1 3 dt = ln . 4 2 +1  Câu 83. Cho hai tích phân I = ∫ x3 dx , J = ∫ xdx .Tìm mối quan hệ giữa I và J A. I .J = 8 . Hướng dẫn giải = I 2 = J x3 dx 4 và ∫= 0 B. I .J = 2 xdx ∫= 32 . 5 128 C. I − J = . 7 64 D. I + J = . 9 2 , suy ra I .J = 8 . 0 Trang 55/80 a Câu 84. Cho số thực a thỏa mãn ∫ e x +1dx= e 4 − e 2 , khi đó a có giá trị bằng 1 B. 3. A. −1 . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] a a 1 1 Ta có ∫ e x +1dx = e x +1 C. 0 . D. 2. = e a +1 − e 2 = e 4 − e 2 ⇒ a = 3 . [Phương pháp trắc nghiệm] Thế từng đáp án vào và bấm máy 3 ∫e 1 0 x +1 ∫e dx − ( e − e 4 2 −1 0 )= ∫e x +1 dx − ( e 4 − e 2 ) ≈ −53,5981 1 x +1 dx − ( e − e 4 2 2 ) ≈ −51,8798 ∫e 1 x +1 dx − ( e 4 − e 2 ) ≈ −34,5126 . 1 2 Câu 85. Tích phân ∫ ke x dx (với k là hằng số )có giá trị bằng 0 B. e 2 − 1 . 2 A. k (e − 1) . D. e 2 − e . C. k (e 2 − e) . Hướng dẫn giải 2 π x Ta có ∫ ke x= dx ke= k (e 2 − 1) . 0 Câu 86. 0 Với hằng số k , tích phân nào sau đây có giá trị khác với các tích phân còn lại ? 1 A. ∫ k (e 2 − 1)dx . 0 2 3 2 B. ∫ ke x dx . 2 3 C. ∫ 3ke3 x dx . 0 D. ∫ ke 2 x dx . 0 0 Hướng dẫn giải 2 3 2 2 k 2 x 3 k 43 x Ta có  ∫ ke 2= dx e= (e − 1) 2 2 0 0 2 3  1 2  0 (I) ∫ dx = 2 ; −1 Số phát biểu đúng là A. 4. Hướng dẫn giải (III): sai 1 (II) x ke= k (e 2 − 1) 0 ∫ k (e − 1)dx = 2 0 Câu 87. Với số thực k , xét các phát biểu sau: 1 x 0 3x x 3 dx ke3= k (e 2 − 1) 0 ∫ 3ke =  π dx ∫ ke = 1 ∫ kdx = 2k ; (III) ∫ xdx = 2 x ; −1 −1 B. 3. C. 1. Câu 88. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho 1 kx(e 2 − 1) 0 = k (e 2 − 1) . 1 (IV) ∫ 3kx 2 dx = 2k . 0 D. 2. 5 ∫ f ( x)dx = −7 và 1 5 19 Giá trị của k ∫ [ g ( x) − kf ( x)] dx = 5 ∫ g ( x)dx = 5 và 1 là: 1 A. 2 . Hướng dẫn giải B. 6 . C. 2. 5 5 5 1 1 1 D. −2 . Ta có ∫ [ g ( x) − kf ( x) ] dx = 19 ⇔ ∫ g ( x)dx − k ∫ f ( x)dx = 19 ⇔ 5 − k ( −7 ) = 19 ⇔ k = 2 . Trang 56/80 5 ∫ 2 f ( x)dx = 2 và Câu 89. Cho hàm số f liên tục trên  . Nếu 1 bằng: B. −6 . A. 5 . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 5 1 3 ∫ 3 ∫ f ( x)dx 1 có giá trị 3 C. 9 . 5 5 f ( x)dx = 7 thì D. −9 . 5 2 Ta có ∫ f ( x)dx = f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = −7 + = −6 . ∫ 2 3 3 1 1 1 Câu 90. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu 2 ∫ f ( x)dx = 4 và tích phân 1 2 −1 ∫ [ kx − f ( x)] dx = 1 giá trị k bằng A. 7 . 5 . 2 B. Hướng dẫn giải 2 C. 5 . 2 2 1 1 Ta có ∫ [ kx − f ( x) ] dx =−1 ⇔ k ∫ xdx − ∫ f ( x)dx =k 1 D. 2. 3 − 4 =−1 ⇔ k =2 . 2 e Câu 91. Tích phân ∫ (2 x − 5) ln xdx bằng 1 e e A. − ( x − 5 x) ln x − ∫ ( x − 5)dx . 2 1 e B. ( x − 5 x) ln x + ∫ ( x − 5)dx . 1 1 e e C. ( x 2 − 5 x) ln x − ∫ ( x − 5)dx . 1 e e 2 1 e D. ( x − 5) ln x 1 − ∫ ( x 2 − 5 x)dx . 1 1 Hướng dẫn giải 1  e e e u = ln x du = dx 2 Đặt  . Vậy ∫ (2 x − 5) ln xdx = ( x − 5 x) ln x − ∫ ( x − 5)dx . ⇒ x 1 dv (2 x − 5)dx 2 = 1 1 = 5 v x x −  π 2 Câu 92. Tích phân I = ∫ cos 2 x cos 2 xdx có giá trị bằng 0 −5π π . B. . 8 2 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] A. π π 2 2 C. 3π . 8 D. π 8 . π 1 12 2 cos cos 2 (1 cos 2 ) cos 2 (1 + 2 cos 2 x + cos 4 x)dx I= x xdx = + x xdx = ∫0 2 ∫0 4 ∫0 π 2 1 1 π = ( x + sin 2 x + sin 4 x) = . 4 4 8 0 [Phương pháp trắc nghiệm] Chuyển chế độ radian: SHIFT MODE 4. π Bấm máy I = 2 ∫ cos 0 2 π π = x cos 2 xdx − 0 . Vậy đáp án là . 8 8 Trang 57/80 π Câu 93. Tích phân I = ∫ 2 0 4sin 3 x dx có giá trị bằng 1 + cos x B. 3. A. 4. C. 2. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 4sin 3 x 4sin 3 x(1 − cos x) = = 4sin x − 4sin x cos x = 4sin x − 2sin 2 x 1 + cos x sin 2 x ∫ = ⇒I π 2 0 D. 1. (4sin x − 2sin= 2 x)dx 2. [Phương pháp trắc nghiệm] Chuyển chế độ radian: SHIFT MODE 4 π 4sin 3 x 2 Bấm máy tính ∫ dx − 2 = 0 . Vậy đáp án là 2. 0 1 + cos x Câu 94. Tích phân = I 2π ∫ 1 + sin xdx có giá trị bằng 0 A. 4 2 . B. 3 2 . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 2 2π C. 2π 2. D. − 2 . 2π x x x x  x π I = ∫  sin + cos  dx = ∫ sin + cos dx = 2 ∫ sin  +  dx  2 2 2 2 2 4 0 0 0  32π  2π x π x π   = 2  ∫ sin  + dx − ∫ sin  + =  dx 4 2 2 4 2 4  3π 0   2 [Phương pháp trắc nghiệm] 2π Bấm máy tính I = ∫ 1 + sin xdx − 4 2 được đáp số là 0. Vậy đáp án là 4 2 . 0 π 3 Câu 95. Tích phân I = ∫ sin 2 x tan xdx có giá trị bằng 0 3 C. ln 2 − . 4 3 A ln 3 − . B. ln 2 − 2 . 5 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] π π 3 D. ln 2 − . 8 1 2 1− u2 3 sin x (1 − cos x) sin x 2 . Đặt t = cos x ⇒ I = − du =ln 2 − . = x dx dx sin . ∫ ∫0 ∫ u 8 cos x cos x 1 0 [Phương pháp trắc nghiệm] Ta có I = 3 3 2 π Bấm máy tính I = 3 ∫ sin 0 Câu 96. 2 3 3  x tan xdx −  ln 2 −  được đáp số là 0. Vậy đáp án là ln 2 − . 8 8  cos 4 x với mọi x ∈  . Giá trị của tích phân Cho hàm số f(x) liên tục trên  và f ( x) + f (− x) = π I= 2 ∫ f ( x)dx là −π 2 A. −2 . B. 3π . 16 3 C. ln 2 − . 4 3 D. ln 3 − . 5 Trang 58/80 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] π − 2 ∫ Đặt= x −t ⇒ = f ( x)dx −π 2 π π 2 2 ∫ ∫π = f (−t )(−dt ) π − 2 π π π 2 2 2 ] dx ∫ [ f ( x) + f (− x)= ⇒ 2 ∫ f ( x= )dx −π 2 − π 2 π f (−t )= dt ∫π − 2 ∫π cos 2 4 − 2 f (− x)dx 2 3π xdx ⇒ I = . 16 [Phương pháp trắc nghiệm] π 2 ∫π cos Bấm máy tính 4 xdx − − 2 Câu 97. Nếu 0 ∫ (5 − e 3π 3π được đáp số là 0. Vậy đáp án là . 16 16 ) dx = K − e 2 thì giá trị của K là: −x −2 A. 11. B. 9 . C. 7. D. 12,5 . Hướng dẫn giải 0 ∫ (5 − e K= −x 0 ) dx + e2 = ( 5 x + e− x ) −2 + e2 = 11 . −2 π Câu 98. Cho tích phân= I 2 ∫ .Đặt u 1 + 3cos x .sin xdx = 3cos x + 1 .Khi đó I bằng 0 A. 3 2 2 u du . 3 ∫1 2 2 2 u du . 3 ∫0 B. 2 C. Hướng dẫn giải Đặt u = 3 2 3 u . 9 1 3cos x + 1 ⇒ 2udu = −3sin xdx . Khi x = 0 ⇒ u = 2; x = D. ∫ u 2 du . 1 π 2 ⇒ u =1 . 2 2 2 2 2 3 = u du u . ∫ 31 9 1 Khi đó I = e Câu 99. Tích phân I = ∫ 1 8ln x + 1 dx bằng x A. −2 . B. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 13 . 6 3 C. ln 2 − . 4 3 D. ln 3 − . 5 3 3 4 1 2 t3 13 Đặt . = t 8ln x + 1 ⇒= tdt dx . Với x = 1 ⇒ t = 1, x = e ⇒ t = 3 . Vậy= I t = dt = ∫ x 41 12 1 6 [Phương pháp trắc nghiệm] e 8ln x + 1 13 13 Bấm máy tính I = ∫ . Vậy đáp án là . dx được đáp số là x 6 6 1 Câu 100. Tích phân 5 ∫x 2 − 2 x − 3 dx có giá trị bằng −1 A. 0. B. 64 . 3 C. 7. D. 12,5 . Trang 59/80 Hướng dẫn giải 5 ∫ −1 5 3 5 x − 2 x − 3 dx = − ∫ ( x 2 − 2 x − 3) dx + ∫ ( x 2 − 2 x − 3) dx ∫ ( x − 3)( x + 1) dx = 2 −1 −1 3 3 5  x3   x3  64 = −  − x 2 − 3 x  +  − x 2 − 3 x  =.  3  −1  3 3 3 2 Câu 101. Tìm a để ∫ (3 − ax)dx = −3 ? 1 A. 2. Hướng dẫn giải B. 9 . C. 7. D. 4. C. −2 . D. 5. 2 2 a 2  ∫1 (3 − ax)dx =−3 ⇔ 3x − 2 x  1 =−3 ⇔ a =4 . 5 Câu 102. Nếu ∫ k 2 ( 5 − x3 ) dx = −549 thì giá trị của k là: 2 B. 2. A. ±2 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 5 5  x4  −549 ( ) 5 549 5 4⇔k = k − x dx = − ⇔ k x − −549 ⇔ k 2 = = ±2.   = ∫2 −549 4 2  4 3 2 x −x+4 Câu 103. Tích phân ∫ dx bằng x + 1 2 2 3 2 1 4 + 6 ln . 3 3 Hướng dẫn giải A. 3 x2 − x + 4 ∫2 x + 1 dx = B. 1 4 + 6 ln . 2 3 C. 1 4 − ln . 2 3 D. 1 4 + ln . 2 3 3 3  x2  6  1 4  ∫2  x − 2 + x + 1  dx =  2 − 2 x + 6 ln x + 1  = 2 + 6 ln 3 . 2 [Phương pháp trắc nghiệm] 3 x2 − x + 4 Bước 1: Bấm máy tính để tính ∫ dx x +1 2 Bước 2: Bấm SHIFT STO A để lưu vào biến A. 4 1 4 1 0 . Vậy đáp án là + 6 ln . Bước 3: Bấm A −  + 6 ln  = 3 2 3 2 Câu 104. Cho hàm số f liên tục trên  thỏa f ( x) + f (− x) = 2 + 2 cos 2 x , với mọi x ∈  . Giá trị của π tích phân I = 2 ∫ f ( x)dx là −π 2 A. 2. B. −7 . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] π Ta có I = 2 f ( x)dx ∫= − π 2 0 ∫π − 2 C. 7. D. −2 . π 2 f ( x)dx + ∫ f ( x)dx (1) 0 Trang 60/80 Tính I1 = 0 ∫π − f ( x)dx . Đặt x =−t ⇒ dx =−dt ⇒ I1 = π π 2 2 0 0 ∫ f (−t )dt = ∫ f (− x)dx . 2 π π π π 2 2 2 2 0 0 0 0 ∫ [ f (− x) + f ( x)] dx= ∫ Thay vào (1), ta được I= 2 (1 + cos 2 x = ) 2 ∫ cos x dx= 2 ∫ cos xdx= 2 . 2 122 Câu 105. Tìm m để ∫ (3 − 2 x) 4 dx = ? 5 m A. 0. Hướng dẫn giải B. 9 . 2 4 A= ∫ (3 − 2 x) dx =− m I. VẬN DỤNG THẤP 1 Câu 106. Giá trị của tích phân I = ∫ π B. . 6 Hướng dẫn giải dx là 1 − x2 0 π D.2. 2 1 1 122 (3 − 2 x)5 = 0. − (3 − 4)5 − (3 − 2m)5  = ⇒ m = m 10 10 5 4.3 TÍCH PHÂN 1 2 A. C. 7. 4 C. . π 3 D. . π 2 . π 1  π π = x sin t , t ∈  − ;  ⇒= dx cos tdt . Đổi cận : x = 0 ⇒ t = 0, x = ⇒ t = . Đặt 2 6  2 2 π π cos t 6 ∫ Vậy I = 0 1 − sin 2 t 6 ∫ dt = 0 π cos t dt = cos t 6 π ∫ dt = t 06 = 0 π 6 −0 = π 6 . 1 dx là 1 + x2 0 Câu 107. Giá trị của tích phân I = ∫ AI = π B. I = . 2 Hướng dẫn giải 3π . 4 C. I = π 4 D. I = . 5π . 4  π π Đặt = x tan t , t ∈  − ;  ⇒= dx (tan 2 x + 1)dt .  2 2 π π π tan 2 t + 1 Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t = , suy ra= = I ∫ dt 2 4 + t 1 tan 0 Câu 108. Giá trị của tích phân I = 3 −1 ∫ 0 5π . 12 Hướng dẫn giải A. I = = I 3 −1 Câu 109. Tích phân = I 1 ∫x 2 3 −1 ∫ 0 4 dt ∫= 0 π 4 . dx là x + 2x + 2 2 B. I = dx = ∫0 x 2 + 2 x + 2 4 π 6 . C. I = 3π . 12 D. I = π 12 . dx . Đặt x + 1 =tan t 1 + ( x + 1) 2 x 3 + 5dx có giá trị là 0 Trang 61/80 4 10 4 10 4 10 2 10 B. C. D. 7− 5. 6− 3. 6− 5. 6− 5. 3 9 3 9 3 9 3 9 Hướng dẫn giải Ta có t = x3 + 5 ⇒ dt = 3 x 2 dx . Khi x = 0 thì t = 5 ; khi x = 1 thì t = 6 . A. 1 ∫x Vậy I = 2 3 x + 5dx = 0 Câu 110. Tích phân 2 ∫ 1 +1 6 1 6 4 dt 1 1 (t ) 2 6 2 10 2 dt = t = t = t t = 6− 5. ( ) ∫ 5 3 3 35 3 1 +1 5 9 9 2 6 ∫ 5 4 − x 2 dx có giá trị là 0 A. π B. . 4 Hướng dẫn giải π 2 C. . π 3 . D. π . π  π π Đặt = x 2sin t , t ∈  − ;  . Khi x = 0 thì t = 0. Khi x = 2 thì t = . 2  2 2 Từ = x 2sin t ⇒ dx= 2 cos tdt Vậy 2 ∫ 0 π π 2 2 0 0 4 − x 2 dx = ∫ 4 − 4sin 2 t .2 cos tdt = 4 ∫ cos 2 tdt = π . Câu 111. Tích phân I = 1 ∫x x 2 + 1dx có giá trị là 0 3 2 −1 . 3 Hướng dẫn giải A. B. 2 2 −1 . 3 Đặt t = x 2 + 1 ⇒ t 2 = x 2 + 1 ⇒ x 2 = t 2 − 1 ⇒ dx = = I Vậy t 2 dt ∫= 2 1 Câu 112. Tích phân = I 0 C. 2 2 −1 . 2 D. 3 2 −1 . 2 tdt . x t3 2 2 2 −1 = . 31 3 ∫x 3 x + 1dx có giá trị là −1 9 . 28 Hướng dẫn giải A. − Đặt t = 3 B. − 3 . 28 C. 3 . 28 D. 9 . 28 C. 16 − 10 2 . 4 D. 16 − 11 2 . 3 x + 1 ⇒ t 3 = x + 1 ⇒ dx = 3t 2 dt . 1  t7 t4  1 9 3 3 Vậy I = 3 t t − 1 dt = 3 − .  −  = ∫0 ( ) 28 7 40 1 x 2 dx là 0 ( x + 1) x + 1 Câu 113. Giá trị của tích phân I = 2 ∫ 16 − 10 2 . 3 Hướng dẫn giải A. Đặt t = B. 16 − 11 2 . 4 x + 1 ⇒ t 2 = x + 1 ⇒ 2tdt = dx . Trang 62/80 2 ∫ Ta có I= (t 2 1 − 1) 2 t3 2 2  t3 1  2 16 − 11 2  1 .2tdt= 2 ∫  t −  dt= 2  − 2t −  = 3 t t 1 3 1  1 ∫ x (1 − x ) dx là Câu 114. Giá trị của tích phân = I 3 6 5 0 1 . 167 Hướng dẫn giải B. A. 1 . 168 C. 1 . 166 D. 1 . 165 −dt Đặt t = 1 − x3 ⇒ dt = −3 x 2 dx ⇒ dx = 2 , ta có 3x 1 1 1 6 1 6 7 1  t7 t8  1 . t 1 − t dt = t − t dt = ( ) ( )  − = ∫ ∫ 30 30 3  7 8  168 I= 3 2x2 + x −1 dx là x +1 0 Câu 115. Giá trị của tích phân I = ∫ 53 . 5 Hướng dẫn giải B. A. Vậy I= 2 ∫ 2 ( t 2 − 1) + ( t 2 − 1) − 1 2 1 t 1 Câu 116. Giá trị của tích phân I = ∫ 0 π C. 52 . 5 D. 51 . 5 x + 1 = t ⇒ x = t 2 − 1 ⇒ dx = 2tdt . Khi x = 0  t = 1, x = 3  t = 2. Đặt A. 54 . 5 B. − 2+2. 2 Hướng dẫn giải Đặt = t 2  4t 5  128 4 54 2tdt= 2 ∫ ( 2t − 3t ) dt=  . − 2t 3  12= − − 16 + 2= 5 5 5  5  1 4 2 3− x dx là 1+ x π 3 − 2+2. C. π 3 − 3+2. D. π 2 − 3+2. 3 π 3− x t 2 dt ; đặt t = tan u.... ĐS: I = − 3 + 2 . ⇒ = I 8∫ 2 2 3 1+ x (t + 1) 1 1 Chú ý: Phân tích I = ∫ 0 Câu 117. Giá trị của tích phân 3− x t dx , rồi đặt = 1+ x 1 ∫ ( 2 x + 1) 5 1 + x sẽ tính nhanh hơn. dx là 0 1 1 2 A. 30 . B. 60 . C. 60 . 3 3 3 Hướng dẫn giải Đặt = u 2 x + 1 khi x = 0 thì u = 1 . Khi x = 1 thì u = 3 du Ta có: du = 2dx ⇒ dx = . 2 1 3 1 5 2 u6 3 1 6 5 Do đó: ∫ ( 2 x + 1) dx= (3 − 1)= 60 . u du = = ∫ 21 12 1 12 3 0 Câu 118. Giá trị của tích phân 1 ∫x 0 A. ln 2 . 2 D. 30 . 3 4x + 2 dx là + x +1 2 B. ln 3 . C. 2 ln 2 . D. 2 ln 3 . Trang 63/80 Hướng dẫn giải Đặt u = x 2 + x + 1 . Khi x = 0 thì u = 1 . Khi x = 1 thì u = 3 . Ta có: du = (2 x + 1)dx . Do đó: 1 ∫ 0 3 2du 2 ln | u | = = 2(ln 3 − ln1) = 2 ln 3 . ∫1 u 1 3 4x + 2 dx = 2 x + x +1 Câu 119. Giá trị của tích phân 2 dx ∫ (2 x − 1) 1 là 2 1 1 1 A . B. . C. . 3 4 2 Hướng dẫn giải Đặt = u 2 x − 1 . Khi x = 1 thì u = 1 . Khi x = 2 thì u = 3 . du . Ta có du = 2dx ⇒ dx = 2 2 3 dx 1 du 1 3 1 1 1 Do đó ∫ = = − = − ( − 1) = . 2 2 ∫ (2 x − 1) 21u 2u 1 2 3 3 1 Câu 120. Giá trị của tích phân 3 ∫ 3. 0 3 A. 3 + 3ln . 2 Hướng dẫn giải Đặt u = D. 2 . 3 x −3 dx là x +1 + x + 3 3 B. −3 + 6 ln . 2 3 B. 3 + 6 ln . 2 3 D. −3 + 3ln . 2 x = 0 ⇒ u =1 x + 1 ⇒ u 2 − 1 = x ⇒ 2udu = dx ; đổi cận:  x =3 ⇒ u = 2 Ta có 3 2 2 2 x −3 2u 3 − 8u 1 = dx ∫0 3 x + 1 + x + 3 ∫1 u 2 + 3u + 2du = ∫1 (2u − 6)du + 6∫1 u + 1du ( = u 2 − 6u ) 1 + 6 ln u + 1 1 =−3 + 6 ln 32 . 4 Câu 121. Giá trị của tích phân: I = ∫ 0 1 . 2 Hướng dẫn giải A. 2 ln 2 − (1 + 2 2 x +1 1+ 2x ) 1 B. 2 ln 2 − . 3 2 dx là C. 2 ln 2 − 1 . 4 1 D. ln 2 − . 2 dx t 2 − 2t ⇒ dx =(t − 1)dt và x = 2 1+ 2x Đổi cận: x 0 4 t 2 4 Đặt t =1 + 1 + 2 x ⇒ dt = Ta có 4 4 4 1 (t 2 − 2t + 2)(t − 1) 1 t 3 − 3t 2 + 4t − 2 1  4 2 = = = I dt dt  t − 3 + − 2 dt 2 2 ∫ ∫ ∫ t t t t  22 22 2 2 = 1  t2 2 1  − 3t + 4 ln t + =  2 ln 2 − t 2 2 4 Trang 64/80 ( 7 x − 1)99 Câu 122. Giá trị của tích phân: I = ∫ dx là 101 0 ( 2 x + 1) 1 1  2100 − 1 . 900  Hướng dẫn giải B. A. 1  2101 − 1 . 900  99 1 C. 1  299 − 1 . 900  99 1 D. 100 dx 1  7 x −1   7x −1   7 x −1  1 1  7 x −1  ⋅ I=   d =   ∫0  2 x + 1  ( 2 x + 1)2 = ∫ 9 0  2x +1   2 x + 1  9 100  2 x + 1  1  298 − 1 . 900  1 1 [ 100 ] = 2 −1 0 900 2 x 2001 dx có giá trị là (1 + x 2 )1002 1 Câu 123. Tích phân I = ∫ 1 . 2002.21001 Hướng dẫn giải A. B. 2 2 x 2004 = I ∫= .dx x 3 (1 + x 2 )1002 1 Câu 124. Giá trị của tích phân 1 . 2001.21001 1 ∫ 1002  1  x 3  2 + 1 x  1 2π 3 ∫ cos(3x − π C. 1 . 2001.21002 D. 1 . 2002.21002 1 2 .dx . Đặt t = 2 + 1 ⇒ dt = − 3 dx . x x 2π )dx là 3 3 2 3 2 3 . B. − . C. − . 3 3 3 Hướng dẫn giải 2π π 2π 4π π Đặt = . Khi x = thì u = , khi x = thì u = . u 3x − 3 3 3 3 3 du Ta có du = 3dx ⇒ dx = . 3 Do đó: A. − 2π 3 ∫ π 3 4π D. − 2 2 . 3 4π 3 π  1 3 2π 1 3 1 1 4π 3 3 . − sin  =− − = − cos(3 x − )dx =∫ cos udu =sin u = sin   π 3 3π 3 3 3 3  3  2 2  3 3 3 π 2 Câu 125. Giá trị của tích phân I = ∫ cos 2 x cos 2 xdx là 0 A. π . 6 Hướng dẫn giải B. π π 2 2 π 8 . C. π 4 . D. π 2 . π 1 12 I= (1 + cos 2 x) cos 2 xdx =∫ (1 + 2 cos 2 x + cos 4 x)dx ∫0 cos x cos 2 xdx = 2 ∫0 40 2 1 1 π = ( x + sin 2 x + sin 4 x) |π0 /2 = 4 4 8 π x sin x dx là 1 + cos2 x 0 Câu 126. Giá trị của tích phân: I = ∫ Trang 65/80 A. π2 B. . 2 Hướng dẫn giải π2 6 π x =π − t ⇒ dx =−dt ⇒ I =∫ 0 π C. . (π − t ) sin t dt =π π π2 8 sin t ∫ 1 + cos 2 1 + cos t 0 D. . 2 t π2 4 . dt − I π d (cos t ) sin t π2 π π  dt I ⇒ 2I = π∫ = − π = π + ⇒ = ∫0 1 + cos2 t  4 4  1 + cos 2 t 4 0 π Câu 127. Giá trị tích phân = J 2 ∫ ( sin 4 x + 1) cos xdx là 0 2 . 5 Hướng dẫn giải B. A. 3 . 5 4 . 5 D. 6 . 5 C. ln 2 . D. 1 ln 2 . 2 D. 1 ln 2 . 3 C. π π 2 1 2 6 J = ∫ ( sin 4 x + 1) cos xdx =  sin 5 x + sin x  = 5 0 5 0 π 2 Câu 128. Giá trị tích phân I = ∫ π sin x − cos x dx là 1 + sin 2 x 4 3 ln 2 . 2 Hướng dẫn giải A. 1 ln 3 . 2 B. Đặt t = 1 + sin 2 x ⇒ t 2 =1 + sin 2 x ⇒ 2tdt =2 cos 2 xdx tdt ⇒= ⇒= dx I t ( cos x − s inx ) 2 1 dt ∫ t= 1 1 2 ln t = ln( = 2) ln 2 2 1 π sin x dx là 1 + 3cos x 0 2 Câu 129. Giá trị tích phân I = ∫ 2 ln 2 . 3 Hướng dẫn giải A. B. 2 ln 4 . 3 C. 1 ln 4 . 3 4 ln t 1 −dt 1 1 Đặt t =+ 1 3cos x ⇒ dt =−3sin xdx ⇒ dx = ⇒ I = ∫ dt = = ln 4 3sin x 31t 3 3 2 Câu 130. Giá trị của tích phân = I 2 ∫ 6 1 − cos3 x .sin x.cos5 xdx là 1 21 A. . 91 Hướng dẫn giải B. 12 . 91 C. 21 . 19 D. 12 . 19 Đặt t =6 1 − cos3 x ⇔ t 6 =1 − cos3 x ⇒ 6t 5 dt =3cos 2 x sin xdx 1  t 7 t13  1 12 2t 5 dt 6 6 I 2 t 1 t dt 2 ⇒ dx = ⇒ = − = ( )  − = ∫0 cos 2 x sin x  7 13  0 91 π cos x dx là (sin x + cos x)3 0 4 Câu 131. Giá trị của tích phân I = ∫ Trang 66/80 1 . 8 Hướng dẫn giải A. = I B. π π cos x dx ∫0= (sin x + cos x)3 4 4 3 . 8 C. 1 ∫ (tan x + 1) 0 3 cos 2 x 5 . 8 D. 7 . 8 D. 1 . 6 dx . Đặt = t tan x + 1 π Câu 132. Giá trị của tích phân I = sin xdx 2 ∫ ( sin x + cos x) 0 1 . 4 Hướng dẫn giải A π Đặt: x= Vậy I B. là 3 1 . 3 C. − u ⇒ dx = −du . Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 2 π  sin  − u  du 2  3 ∫0=  π  π  − + − u u sin cos     2  2    π π 2 2 π 2 1 . 2 ;x= π 2 ⇒ u = 0. cos xdx ∫ ( sin x + cos x ) 3 0 π  tan  x −  π dx sin x + cos x dx 4  Vậy: 2I = ∫ = ∫= = dx = ∫ 2 1 2 2 π 2 (sin x + cos x) 0 2cos 2  x − 0 ( sin x + cos x ) 0 0   4  π π π 2 2 2 π 2 Câu 133. Giá trị của tích phân I = ∫ cos 4 x sin 2 xdx là 0 A. I = π . 32 Hướng dẫn giải π B. I = π 16 C. I = . π 8 π π D. I = . π 4 . π 2 12 1 2 12 2 2 (1 cos 4 x ) dx cos 2 x sin 2 2 xdx = − + = I ∫= cos 4 x sin 2 xdx cos x sin 2 xdx ∫ ∫ ∫ 16 0 40 40 0 π  x 1 sin 3 2 x  2 π . =− + x sin 4   = 24  0 32  16 64 π 2 4 4 6 6 Câu 134. Giá trị của tích phân I = ∫ (sin x + cos x)(sin x + cos x)dx là 0 32 π. 128 Hướng dẫn giải A. I = B. I = 33 π. 128 C. I = 31 π. 128 D. I = 30 π. 128 33 7 3 33 Ta có: (sin 4 x + cos 4 x)(sin 6 x + cos 6 x) = + cos 4 x + cos8 x ⇒ I = π. 64 16 64 128 π 4 Câu 135. Giá trị của tích phân I = ∫ sin 4 x sin 6 x + cos 6 x 1 B. . 3 dx là 0 A. 4 . 3 C. 2 . 3 D. 5 . 3 Trang 67/80 Hướng dẫn giải π 4 I=∫ 0 1 4 sin 4 x 3 4  2 1  dt = dx . Đặt t = 1 − sin 2 2 x ⇒ I = ∫  − t  3 4 3 t 3 2   1 1 − sin 2 x 4 1 1 4 = 2 . 3 π xdx là sin x + 1 0 Câu 136. Giá trị của tích phân I = ∫ A. I = π B. I = . π C. I = π . 4 2 3 Hướng dẫn giải Đặt: x =π − t ⇒ dx =−dt Đổi cận: x = 0 ⇒ t = π , x = π ⇒ t = 0 0 ⇒ I =− ∫ π . π D. I = π . π π (π − t )dt t dt dt π  π  =∫  − I⇒I = −=  dt π ∫ ∫ sin(π − t ) + 1 0  sin t + 1 sin t + 1  sin t + 1 2 0 sin t + 1 0 t π d −  π dt dt π π π π 2 4 t π  = = tan  − = π . = 2 π 2 π  2 ∫0 2 ∫0  4 ∫0 2 t 2 t 2 4 0 t t cos  −  cos  −   sin + cos  2 4 2 4 2 2  π π Tổng quát: π ∫ xf (sin x)dx = 0 π π π 2 ∫0 f (sin x)dx . π sin 2007 x dx là 2007 2007 + x x sin cos 0 2 Câu 137. Giá trị của tích phân I = ∫ A. I = π B. I = . 2 Hướng dẫn giải π . 4 π C. I = π 3π . 4 D. I = 5π . 4 π Đặt x = − t ⇒ dx =−dt . Đổi cận x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t = 0 . Vậy 2 2 2 π π  sin 2007  − t  2 cos 2007 t 2  I= dx = J (1). −∫ ∫0 sin 2007 t + cos2007 t dx =   2007  π 2007  π π sin  − t  + cos  − t  2 2  2  0 π Mặt khác I + J= 2 ∫ dx= 0 π 2 (2). Từ (1) và (2) suy ra I = π Tổng quát: 4 . π n sin x dx ∫0 sin n x + cosn x= 2 π π cos n x dx , n ∈ + . ∫0 sin n x + cosn x= 4 2 π 2 Câu 138. Giá trị của tích phân ∫ cos11 xdx là 0 250 . 693 Hướng dẫn giải A. B. 254 . 693 C. 252 . 693 D. 256 . 693 π 2 ∫ cos 0 11 xdx = 10!! 2.4.6.8.10 256 . = = 11!! 1.3.5.7.9.11 693 Trang 68/80 π 2 Câu 139. Giá trị của tích phân ∫ sin10 xdx là 0 67π . 512 Hướng dẫn giải 61π . 512 B. A. C. 63π . 512 D. 65π . 512 π 2 xdx ∫ sin= 10 0 9!! π 1.3.5.7.9 π 63π = . = . 10!! 2 2.4.6.8.10 2 512 Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm): π π  (n − 1)!! 2 2  n !! , neáu n leû n n . cos xdx ∫= sin xdx  ∫0 = − π n ( 1)!! 0  . , neáu n chaün  n !! 2 Trong đó: n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn: = 0!! 1;= 1!! 1;= 2!! 2;= 3!! 1.3;= 4!! 2.4;= 5!! 1.3.5; = 6!! 2.4.6; = 7!! 1.3.5.7; = 8!! 2.4.6.8; = 9!! 1.3.5.7.9; = 10!! 2.4.6.8.10 . 1 dx là 1 + ex 0 Câu 140. Giá trị của tích phân I = ∫  2e  A. ln  .  e +1  Hướng dẫn giải  e  B. ln  .  e +1  d (1 + e ex 1 Vì = − ⇒ I =∫ dx − ∫ 1 x x 1+ e 1+ e 1 + ex 0 0 1 Câu 141. Giá trị của tích phân I = ln 5 ∫ 1 e 2 x dx ex −1 10 B. . 3  e  C. 2 ln  .  e +1  x ) =1 − ln 1 + e x  2e  D. 2 ln  .  e +1  1  2e  =1 − ln(1 + e) + ln 2 =ln   0  e +1  là ln 2 5 . 3 Hướng dẫn giải A. C. 20 . 3 D. 2 . 3 2  t 3  2 20 2tdt 2 e − 1 ⇔ t = e − 1 ⇒ dx = ⇒ I = 2 t + 1 dt = 2 ( )  +t = ∫1 ex  3 1 3 x Đặt t = 2 x Câu 142. Giá trị của tích phân = I ln 2 ∫ e x − 1dx là B. 4 −π . 2 0 4 −π . 3 Hướng dẫn giải A. C. e x − 1 ⇒ t 2 = e x − 1 ⇒ 2tdt = e x dx ⇒ dx = Đặt t = 1 5 −π . 3 D. 5 −π . 2 2tdt 2tdt = 2 ex t +1 1 2t 2 1  4 −π  ⇒= I ∫ 2 dt = 2 ∫ 1 − 2 dt = t +1 t +1 2 0 0 Câu 143. Giá trị của tích phân I = ln 3 ∫ 0 (e ex x + 1) 3 dx là Trang 69/80 A. 2 2 − 1 . Hướng dẫn giải B. C. 2 −1. D. 2 2 − 2 . 2 −2. 2tdt tdt 12 = 2 −1 Đặt t = e + 1 ⇔ t =e + 1 ⇔ 2tdt =e dx ⇒ dx = x ⇒ I =2 ∫ 3 =−2. e t t 2 2 x x 2 Câu 144. Giá trị của tích phân I = 2 x e2 dx ∫ x ln x là e A. 2 ln 3 . Hướng dẫn giải B. ln 3 . C. ln 2 . 2 Đặt t = ln x ; x = e ⇒ t = 1, x = e ⇒ t = 2 ⇒ I= 2 ∫ 1 Câu 145. Giá trị của tích phân: I = ln 3 ∫e e dx −1 + ex − 2 ln 2 B. 2ln3 – 1. A. 2 ln 2 − 1 . Hướng dẫn giải e x − 2 , Khi x = Đặt= t 2x 1 x ln 2 ⇒ t = 0;  x = 1 D. 2 ln 2 . 2 dt = ln t 1= ln 2 . t là C. ln 3 − 1 . D. ln 2 − 1 . ln3 ⇒   t = 1; e x = 1 t 2 + 2 ⇒    e x dx =   2tdt 1 (t 2 + 2)tdt 2t + 1 d (t 2 + t + 1) = 2 ∫ (t − 1 + 2 I = 2∫ 2 )dt = 2 ∫ (t − 1)dt + 2 ∫ 2 t + t +1 t + t +1 t + t +1 0 0 0 0 = (t 2 − 2t ) 1 + 2ln(t2 + t + 1) 1 = 2ln3 – 1. 0 0 Câu 146. Cho M = ln 2 ∫ 0 2e3 x + e 2 x − 1 dx . Giá trị của e M là e3 x + e 2 x − e x + 1 7 . 4 Hướng dẫn giải A. B. ln 2 2e3 x + e 2 x − 1 = ∫0 e3 x + e2 x − e x + 1 dx = M ln 2 ∫ = 0 9 . 4 ln 2 ∫ 0 C. 11 . 4 D. 5 . 4 3e3 x + 2e 2 x − e x − (e3 x + e 2 x − e x + 1) dx e3 x + e 2 x − e x + 1 ln 2  3e + 2e − e  11 11 ln 2 − 1dx = ln ( e3 x + e 2 x − e x + 1) 0 − x 0 = ln ⇒ e M =  3x 2 x x 4 4  e + e − e +1  3x 2x x e ln x 3 2 + ln 2 x dx . x 1 Câu 147. I = ∫ 3 3 5 3 5  3 − 2 .  8 Hướng dẫn giải A B. e 3 3 5 3 4  3 − 2 .  8 e C. 3 3 4 3 5  3 − 2 .  8 D. 3 3 4 3 4  3 − 2 .  8 e 1 ln x 3 2 + ln 2 x 1 2 2 3 3 d 2 + ln 2 x = ln 2 + ln ln = 2 + ln I= dx x xd x x ( ) ( ) ( ) ∫1 ∫ ∫ x 21 1 4 3 = . 3 ( 2 + ln 2 x ) 8 e 1 3 =  3 34 − 3 24   8 1 ln(1 + x) dx là 1 + x2 0 Câu 148. Giá trị của tích phân I = ∫ A. I = π ln 3 . 8 Hướng dẫn giải B. I = π 4 ln 2 . C. I = π 8 ln 3 . D. I = π 8 ln 2 . Trang 70/80 Đặt x =tan t ⇒ dx =(1 + tan 2 t )dt . Đổi biến: x = 0 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t = π π ln(1 + tan t ) 2 ∫0 1 + tan 2 t (1 + tan t ) dt= 4 4 ⇒= I π 4 ∫ ln(1 + tan t )dt . 0 π π π Đặt t = − u ⇒ dt =−du ; Đổi cận: t = 0 ⇒ u = , t = ⇒ u = 0 4 4 4 π 0 4  π  ⇒ I =∫ ln(1 + tan t )dt =− ∫ ln 1 + tan  − u   du 4   π 0 4 π π 2   1 − tan u   =+ ∫0 ln 1 1 + tan u  du = ∫0 ln  1 + tan u  du = 4 4 Vậy I = π π 4 4 0 0 ∫ ln 2du − ∫ ln (1 + tan u ) du = π 4 ln 2 − I . π ln 2 . 8 Câu 149. Cho hàm số f(x) liên tục trên  và thỏa f (− x) + 2 f ( x) = cos x . Giá trị của tích phân π I= 2 ∫π − f ( x)dx là 2 1 . 3 Hướng dẫn giải A. I = B. I = 4 . 3 C. I = 2 . 3 D. I = 1 . π Xét tích phân= J 2 ∫π − Đổi cận: x =− f (− x)dx . Đặt x =−t ⇒ dx =−dt . 2 π π π π ⇒ t = , x = ⇒ t =− . 2 2 2 2 π − 2 π π 2 2 Suy ra: J = − ∫ f (t )dt = I. ∫ f (− x )dx = ∫ f (t )dt = − π π 2 2 Do đó: 3I = J + 2 I = − π 2 π π π 2 2 2 ∫π [ f (− x ) + 2 f ( x )] dx = ∫π cos xdx = 2∫ cos xdx = 2 . − − 2 2 0 2 . 3 II. VẬN DỤNG CAO Vậy I = 2 = f ( x) A sin π x + B , biết rằng f '(1) = 2 và ∫ f ( x)dx = 4 . Câu 150. Tìm hai số thực A, B sao cho 0  A = −2  A.  2. B = −  π Hướng dẫn giải A = 2  B.  2. B = −  π  A = −2  C.  2 . B =  π 2  A = − D.  π.  B = 2 Trang 71/80 '( x) A cos π x = f ( x) A sin π x + B ⇒ f= 2 f '(1) = 2 ⇒ Aπ cos π = 2 ⇒ A =− π 2 ∫ f ( x)dx = 0 2 4 ⇒ ∫ ( A sin π x + B)dx = 4 ⇒ − 0 A π cos 2π + 2 B + 2 4 1 2 A π cos 0 = 4 ⇒ B = 2 Câu 151. Giá trị của a để đẳng thức ∫  a 2 + (4 − 4a ) x + 4 x 3  dx = ∫ 2 xdx là đẳng thức đúng A. 4. Hướng dẫn giải 2 ∫ a 12= 2 1 B. 3. 2 a ∫x 0 A. D. 6. + (4 − 4a ) x + 4 x 3  dx=  a 2 x + (2 − 2a ) x 2 + x 4  1 ⇒ a= 3. Câu 152. Giá trị của = tích phân I π C. 5. B. . 4a Hướng dẫn giải dx ( a > 0) là + a2 2 π2 4a C. − . π2 4a D. − . π π  Đặt x = a tan t ; t ∈  ; −  ⇒ dx = a (1 + tan 2 t )dt . Đổi cận 2 2 π π 4a . x = 0 ⇒ t = 0  π.  x = a ⇒ t =  4 π π a (1 + tan t ) 14 = dt ∫0 a 2 tan 2 t + a 2 a= ∫0 dt 4a . 2 4 Vậy = I π 3 Câu 153. Giá trị của tích phân I = ∫ 0 A. π . 4 2 Hướng dẫn giải B. cos x dx là 2 + cos 2 x π 2 2 C. . 4π . 2 D. −π . 2 x = 0 ⇒ t = 0  Đặt t= sin x ⇒ dt= cos xdx . Đổi cận :  π 3. ⇒t = x = 3 2  π Vậy I = 3 ∫ 0 cos x = dx 2 + cos 2 x 3 2 dt ∫0= 3 − 2t 2 1 2 3 2 dt . 3 2 −t 2 ∫ 0 π  t =0→u =  3 3 2  Đặt t =cos u ⇒ dt = , suy ra − sin udu . Đổi cận :  2 2 3 π t= → u=  2 4 I = 1 2 3 2 ∫ 0 π dt = 3 2 −t 2 1 2 2 π∫ 4 3 sin udu 2 = 3 1 − cos 2 u ) ( 2 π 1 4 du = 2 π∫ 4 π 2 1 π u = 2 4 2 π 4 Trang 72/80 1 dt . Tích phân nào sau đây có giá trị bằng với giá trị của tích phân đã cho. 2 1 + t x Câu 154. Cho I = ∫ dt . 2 1 1+ t dt . 2 1 1+ t dt . 2 1 1+ t dt . 1+ t2 1 B. ∫ A. − ∫ 1 x 1 x x x D. − ∫ C. ∫ Hướng dẫn giải 1 1 1 1 Đặt u = ⇒ t = ⇒ dt =− 2 du . Đổi cận t = x ⇒ u = ; t =1 ⇒ u =1 t u u x 1 1 1 du 1 1 1 − 1 x x 2 dt du du dt dt − u = = = ⇒ = ∫x 1 + t 2 ∫1 1 ∫1 u 2 + 1 ∫1 u 2 + 1 ∫x 1 + t 2 ∫1 1 + t 2 1+ 2 x x u π 2 Câu 155. Giá trị của tích phân I = ∫ π 1 ln(sin x)dx là sin 2 x 6 A − 3 ln 2 + 3 + π C. − 3 ln 2 − 3 − 3 π 3 π . B. 3 ln 2 + 3 − . D. − 3 ln 2 + 3 − Hướng dẫn giải u ln(sin x) ⇒= = du cot 2 xdx   1 dv = 2 dx ⇒ v =− cot x sin x  π 3 . π 3 . π π 2 2 1 2 I= ln(s in x ) dx = − cot x ln(sin x ) − cot 2 xdx π ∫π sin 2 x ∫ π 6 6 6 π π 1 π  2 2 = − x − x − 3 ln 2 + 3 − 3 ln cot π =  π 2 3   6 6 2 Câu 156. Giá trị của tích phân I = ∫ min {1, x 2 } dx là 0 A. 4 . B. Hướng dẫn giải 3 . 4 C. 4 . 3 3 D. − . 4 Xét hiệu số 1 − x 2 trên đoạn [0; 2] để tìm min {1, x 2 } . 2 1 2 2 x3 4 2 Vậy I = ∫ min {1, x } dx = ∫ x dx + ∫ dx = + x1 = . 3 0 3 0 0 1 2 Câu 157. Giá trị của tích phân I = −3 ∫x −8 2 A. ln . 3 Hướng dẫn giải 2 dx 1− x B. 2 . dx là C. − ln 2 . D. 2 ln 2 . Trang 73/80  x =−8 ⇒ t =3 Đặt t = 1 − x ⇒ x =− . 1 t 2 ⇒ dx = −2tdt . Đổi cận   x =−3 ⇒ t =2 −3 dx Vậy I ∫ dx = = 1 x x − −8 2 3 3 3 2 tdt dt t +1 −2tdt 2∫ = 2= ln= ln . 2 ∫3 (1= ∫ 2 2 1− t 3 t −1 2 − t )t 2 (1 − t ) t 2 a 1 x3 − 2 ln x Câu 158. Biết I= ∫ dx= + ln 2 . Giá trị của a là 2 2 x 1 A. 2. Hướng dẫn giải a I= ∫ 1 C. π . B. ln 2 . a D. 3. a x3 − 2 ln x 1 ln x 1 dx = + ln 2 = xdx − 2 ∫ 2 dx = + ln 2 2 ∫ x x 2 2 1 1  a2 1   1 1  1 =  −  − 2  ln a + − 1 = + ln 2 ⇒ a = 2 a  2  2 2 a HD casio: Nhập 2 ∫ 1 Câu = 159. Cho I1 x 3 − 2 ln x 1 dx − − ln 2 = 0 nên a = 2 . 2 x 2 π π 2 sin 2 x dx . Khẳng định nào sau đây là sai ? (sin x + 2) 2 0 2 ∫ cos x 3sin x + 1dx , I 2 = ∫ 0 14 . 9 Hướng dẫn giải A. I1 = 3 3 B. = I 2 2 ln + . 2 2 B. I1 > I 2 . 3 2 D. = I 2 2 ln − . 2 3 π = I1 4 2 ∫ cos x 3sin x + 1dx= ∫ 0 1 t 14 dt = 3 9 π 3 sin 2 x 3 2 1 2  I 2 =∫ dx =2 ∫  − 2  dt =2 ln − 2 (sin x + 2) t t  2 3 0 2 2 Câu 160. Tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn m 6 là ∫ ( 2 x + 5) dx = 0 A. m = 1, m = −6 . −1, m = −6 . B. m = −1, m = 6. C. m = m 1,= m 6. D. = Hướng dẫn giải m ∫ ( 2 x + 5) dx = 6 ⇒ ( x 0 2 m + 5 x) = 6 ⇒ m 2 + 5m − 6 = 0 ⇒ m = 1, m = −6. 0 Hướng dẫn casio: Thay m = 1 và m = −6 vào thấy thỏa mãn. π Câu 161. Cho hàm số h( x) = 2 a cos x b cos x sin 2 x . Tìm để và tính = h ( x ) + = I ∫0 h( x)dx (2 + sin x) 2 2 + sin x (2 + sin x) 2 2 3 A. a = −4, b = 2; I = + 2 ln . 3 2 1 3 C. a= 2, b= 4; = I − + 4 ln . 3 2 Hướng dẫn giải Sử dụng đồng nhất thức, ta thấy 2 3 B. a =4, b =−2; I =− − 2 ln . 3 2 1 3 D. a = −2, b = 4; I = + 4 ln . 3 2 Trang 74/80 b a = −4 sin 2 x a cos x b cos x a cos x + b cos x(2 + sin x)  =1 . h( x)= + = = ⇒ 2 ⇒ 2 2 2 b=2 (2 + sin x) 2 + sin x (2 + sin x) (2 + sin x)  a + 2b = 0 π π π  −4 cos x 2 cos x  4  2 Vậy ∫ h( x)dx = + = − + + dx x 2 ln 2 sin  ∫0  (2 + sin x)2 2 + sin x   2 + sin x 0 0 2 2 4 2 3 =− + 2 ln 3 + 2 − 2 ln 2 = + 2 ln . 3 3 2 Câu 162. Giá trị trung bình của hàm số y = f ( x ) trên [ a; b ] , kí hiệu là m ( f ) được tính theo công b 1 thức m ( f ) = f ( x ) dx . Giá trị trung bình của hàm số f ( x ) = sin x trên [ 0; π ] là b − a ∫a A. 4 B. . π 3 π C. . 1 π D. . 2 π . Hướng dẫn giải π 1 2 m( f ) = sin xdx . = ∫ π −0 0 π π 1 dx Câu 163. Cho ba tích phân I = ∫ = , J 3x + 1 0 nào có giá trị bằng A. K. Hướng dẫn giải 21 ? 2 4 ∫ ( sin 4 x − cos x ) dx và K= 4 0 2 ∫ (x 2 + 3 x + 1) dx . Tích phân −1 B. I. C. J. D. J và K. 1 1 dx 1 1 = I ∫ = ln 3 x + 1= ln 4 3x + 1 3 4 0 0 π π 4 4 1 4 4 2 2 − = − J= sin x cos x dx ( ) ∫0 ∫0 ( cos x − sin x ) dx = 2 K= 2 ∫ (x 2 + 3 x + 1) dx= −1 21 . 2 Câu 164. Với 0 < a < 1 , giá trị của tích phân sau a ∫x 0 A. ln a−2 . 2a − 1 B. ln 2 dx dx là: − 3x + 2 a−2 . a −1 C. ln a−2 . 2 ( a − 1) D. ln a−2 . 2a + 1 D. − 2 3 . 3 Hướng dẫn giải a a a 1  dx x−2 a−2  1 ∫0 x 2 − 3x + 2 =∫0  x − 2 − x − 1  dx =ln x − 1 0 =ln a − 1 1 4 x3 dx = 0 . Khi đó giá trị của 144m 2 − 1 bằng 4 2 ( x + 2) 0 Câu 165. Cho 2 3m − ∫ −2 . 3 Hướng dẫn giải A. B. 4 3 − 1 . C. 2 3 . 3 Trang 75/80 1 1 d ( x 4 + 2) 1 1 1 1 . 2 3.m − ∫ 4 = 0 ⇔ 2 3.m + 4 = 0 ⇔ 2 3m + − = 0 ⇔ m = 2 ( x + 2) ( x + 2) 0 3 2 12 3 0 2 −2  1  Vậy = 144m 2 − 1 144  =  −1 3 .  12 3  Câu 166. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm liên tục trên ( a; b ) , đồng thời thỏa mãn f (a ) = f (b) . Lựa chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. b ∫ f '( x).e f ( x ) dx = 2 . B. a C. b ∫ b ∫ f '( x).e f ( x) dx = 1 . a f '( x).e f ( x ) dx = −1 . D. a b ∫ f '( x).e f ( x) dx = 0 . a Hướng dẫn giải b ∫e f ( x) a b b f '( x)dx = ∫ e f ( x ) d ( f ( x)) = e f ( x ) = e f (b ) − e f ( a ) = 0. a a 5 Câu 167. Kết quả phép tính tích phân I = ∫ 1 2 dx có dạng = I a ln 3 + b ln 5 ( a, b ∈ ) . Khi đó x 3x + 1 2 a + ab + 3b có giá trị là A. 1. B. 5. Hướng dẫn giải 5 C. 0. 4 D. 4. 4 1 1  dx  1 Ta có I = 2∫ 2 2 ln 3 − ln 5 , dt = −   dt = ∫1 x 3x + 1 = ∫ t −1 t −1 t +1  2 2 suy ra a = 2, b = −1 . Vậy a 2 + ab + 3b 2 = 4 − 2 + 3 = 5 . π 2 ∫ (1 − cos x ) Câu 168. Với n ∈ , n ≥ 1 , tích phân= I n sin xdx có giá trị bằng 0 1 . 2n Hướng dẫn giải A. 1 . n −1 B. C. π 1 . n +1 D. 1 . n 1 t n +1 1 . = I= ∫0 (1 − cos x ) sin xdx = ∫0 t dt = n +1 0 n +1 2 1 n n π Câu 169. Với n ∈ , n > 1 , giá trị của tích phân 2 ∫ 0 A. − π . 4 Hướng dẫn giải B. π 4 . sin x dx là cos x + n sin x n n C. 3π . 4 D. − 3π . 4 π Đặt t = − x ⇒ dx =−dt 2 Trang 76/80 π 2 ∫ 0 π 0 2  π  − ∫ f  sin  − t   dt = = f (sin x)dx = f t dt (cos ) ∫0 ∫0 f (cos x)dx   2  π 2 π 2 ∫ 0 π 2 π sin x dx = 2 I = n cos x + n sin x Câu 170. Giá trị của tích phân 2017π ∫ π 2 n ∫ dx ⇒ I = 4 0 1 − cos 2xdx là 0 B. −4043 2 . A. 3034 2 . Hướng dẫn giải ) Do hàm số f ( x= C. 3043 2 . 1 − cos 2 x là hàm liên tục và tuần hoàn với chu kì T = π nên ta có T 2T 3T nT 0 T 2T ( n −1)T f ( x)dx ∫= ⇒ nT ∫ f ( x)dx ∫= f (= x)dx 0 ⇒ T ∫ )dx … f ( x= ∫= f ( x)dx + ∫ 2T ∫ ∫ f ( x)dx + … + T 0 2017π D. 4034 2 . f ( x)dx nT ∫ ( n −1)T T f (= x)dx n ∫ f ( x)dx 0 π π 0 0 1 − cos 2 xdx = 2017 ∫ 1 − cos 2 xdx = 2017 2 ∫ sin xdx = 4034 2 0 π 2  (1 + sin x)1+ cos x  Câu 171. Giá trị của tích phân ∫ ln   dx là  1 + cos x  0 A. 2 ln 3 − 1 . B. −2 ln 2 − 1 . C. 2 ln 2 − 1 . Hướng dẫn giải D. −2 ln 3 − 1 . π π π 2 2 2 0 0 0 1+ cos x ∫ ln(1 + sin x) − ln(1 + cos x)  dx = ∫ (1 + cos x) ln(1 + sin x)dx − ∫ ln(1 + cos x)dx π π π Đặt x = − t ⇒ dx =−dt . Đổi cận x = 0 ⇒ t = ; x = ⇒ t = 0 2 2 2 π π 0 π 2  π  I = ∫ ln (1 + cos x )dx = − ∫ ln 1 + cos  − t  dt = ∫ ln (1 + sin t )dt = ∫ ln(1 + sin x)dx  2   π 0 0 0 2 2 2 π π π 2 2 2 ∫ (1 + cos x) ln(1 + sin x)dx − ∫ ln(1 + sin x)dx = ⇒ I= 0 0 ∫ cos x ln(1 + sin x)dx = 2 ln 2 − 1 0 b Câu 172. Có mấy giá trị của b thỏa mãn ∫ (3 x 2 − 12 x + 11)dx = 6 0 A. 4. Hướng dẫn giải b ∫ (3x 2 B. 2. − 12 x + 11)dx = ( x − 6 x + 11x ) 3 2 0 b Câu 173. Biết rằng ∫ 6dx = 6 và 0 A. 5. C. 1. a b 0 D. 3. b = 1 = b − 6b + 11b − 6 = 0 ⇔ b = 2 . b = 3 3 2 ∫ xe dx = a . Khi đó biểu thức b x 2 + a 3 + 3a 2 + 2a có giá trị bằng 0 B. 4. C. 7. D. 3. Trang 77/80 Hướng dẫn giải b +Ta có ∫ 6dx = 6 ⇒ b = 1 . 0 a +Tính ∫ xe x dx 0 = u x= du dx Đặt  . Khi đó, ⇒ x = dx v e x dv e= 2 3 a x x ∫ xe dx = xe 0 a 0 a − ∫ e x dx = e a − e a + 1 = a ⇒ a = 1 . 0 2 Vậy b + a + 3a + 2a = 7. Câu 174. Biết rằng a A. 2π . Hướng dẫn giải +Tính a ∫x 0 bπ B dx ∫0 x 2 + a 2 = A , ∫0 2dx = B (với a, b > 0 ). Khi đó giá trị của biểu thức 4aA + 2b bằng 2 D. 4π . C. 3π . B. π . dx + a2 π π  Đặt t = a tan x; a ∈  ; −  ⇒ dx = a (1 + tan 2 t )dt 2 2 π Đổi cận : x = 0 ⇒ t = 0; x = a ⇒ t = +Tính: bπ ∫ 2dx = 2bπ , suy ra 0 π 4 . Vậy π π a (1 + tan t ) 14 = dt ∫0 a 2 tan 2 t + a 2 a= ∫0 dt 4a 4 2 B =π . 2b Trang 78/80
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top