Tập hợp biểu diễn số phức – Trần Văn Toàn

Giới thiệu Tập hợp biểu diễn số phức – Trần Văn Toàn

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Tập hợp biểu diễn số phức – Trần Văn Toàn CHƯƠNG SỐ PHỨC.

Tập hợp biểu diễn số phức – Trần Văn Toàn

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Tập hợp biểu diễn số phức – Trần Văn Toàn

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Tập hợp biểu diễn số phức – Trần Văn Toàn
Mục lục Chương 1. Số phức 1.1 Tập hợp biểu diễn số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 28 28 Chương 2. Tiếp tuyến 2.1 Hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Hàm bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 31 36 1 Chương 1 Số phức 1.1 Tập hợp biểu diễn số phức Tính chất 1.1 Cho hai số phức z và z1 . Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z, A là điểm biểu diễn cho số phức z1 . Đại lượng | z − z1 | là độ dài đoạn thẳng AM . Chứng minh. Gọi M ( x, y), A ( x1 , y1 ). Ta có q | z − z1 | = ( x − x1 )2 + ( y − y1 )2 . Tính chất 1.2 Cho số phức z1 = a + bi, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả | z − z1 | = R là đường tròn tâm I (a; b), bán kính R . Chứng minh. Gọi M ( x, y). Từ giả thiết ta có ( x − a)2 + ( y − b)2 = R 2 . Ví dụ 1.1 Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thoả | z + 2 − i | = 3 là đường tròn tâm (−2, 1) bán kính R = 3. Ví dụ 1.2 Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thoả | z + i | = 1 là đường tròn tâm (0, −1) bán kính R = 1. 2 1.1. Tập hợp biểu diễn số phức 3 Ví dụ 1.3 Cho số phức z thoả | z + 3 + i | = 5. Tính giá trị của biểu thức E = | z + 7 − 2 i |2 + | z + 6 + 5 i | 2 + | z − 3 i |2 + | z − 1 + 4 i | 2 . y D A x O T C B Lời giải. Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z, thì M thuộc đường tròn tâm T (−3, −1), bán kính R = 5. Xét các điểm A (−7, 2), B(−6, −5), C (1, −4), D (0, 3). Ta có E = AM 2 + BM 2 + CM 2 + DM 2 . Để ý rằng, ABCD là hình vuông có các đỉnh thuộc đường tròn, nên E = AM 2 + BM 2 + CM 2 + DM 2 = 8R 2 = 200. ♦ Lời bình. Cho đa giác đều A 1 A 2 . . . A n nội tiếp trong đường tròn (C ) có tâm O , bán kính R . Với M là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng chứa đường tròn, ta có A 1 M 2 + A 2 M 2 + · · · + A n M 2 = n(R 2 + OM 2 ). ♣ Chương 1. Số phức 4 Ví dụ 1.4 p Cho số phức z thoả | z + 4 − i | = 5 2. Tính giá trị của biểu thức E = | z + 12 + 5 i |2 + | z + 10 − 9 i |2 + | z − 4 − 7 i |2 + | z − 2 + 7 i |2 . y B 9 C 7 T −12 1 2 −10 −4 4 O −5 A −7 D Lời giải. Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z, thì M thuộc đường tròn (C ) có tâm T (−4, 1), p bán kính R = 5 2. x 1.1. Tập hợp biểu diễn số phức 5 Xét các điểm A (−12, −5), B(−10, 9), C (4, 7), C (2, −7). Ta có E = AM 2 + BM 2 + CM 2 + DM 2 . Để ý rằng, ABCD là hình vuông ngoại tiếp đường tròn (C ), nên E = AM 2 + BM 2 + CM 2 + DM 2 = 3 AB2 = 600. ♦ Tính chất 1.3 Cho các số phức z, z1 , z2 thoả | z − z1 | = R . Tập hợp biểu diễn của số phức w = z + z2 là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn cho số phức z1 + z2 và bán kính bằng R . Chứng minh. Ta có w = z + z2 , nên w − z2 − z1 = z − z1 . Do đó | w − z2 − z1 | = | z − z1 | . Hay |w − ( z1 + z2 )| = R. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn cho số phức z1 + z2 và bán kính bằng R . Ví dụ 1.5 Cho số phức z thoả | z+2−3 i | = 3. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w = z+3+ i . Lời giải. Ta viết lại giả thiết thành | z − (−2 + 3 i )| = 3. Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w = z + 3 + i là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn cho số phức (−2 + 3 i ) + (3 + i ) = 1 + 4 i. Tức có tâm là điểm I (1, 4). Bán kính của đường tròn là R = 3. Ví dụ 1.6 Cho số phức z thoả | z − i | = 4. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w = z − 5 + 2 i . ♦ Chương 1. Số phức 6 Lời giải. Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w = z − 5 + 2 i là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn cho số phức i + (−5 + 2i) = −5 + 3i. Tức có tâm là điểm I (−5, 3). Bán kính của đường tròn là R = 4. ♦ Ví dụ 1.7 Cho số phức z thoả | z − 1 − i | = 5. Xét số phức w = z + 2 + 3 i . Tìm giá trị lớn nhất của môđun w. Lời giải. Với z1 = 1 + i , z2 = 2 + 3 i . Tập hợp các điểm biểu diễn cho w là đường tròn (C ) có tâm là điểm biểu diễn cho số phức z1 + z2 = 3 + 4 i , bán kính R = 5. Phương trình đường tròn (C ) là ( x − 3)2 + ( y − 4)2 = 25. Để ý rằng (C ) qua gốc toạ độ O . Do đó, |w| lớn nhất khi và chỉ khi |w| là đường kính của (C ). Vậy max|w| = 10. ♦ Tính chất 1.4 Cho các số phức z, z1 , z2 ( z2 6= 0), z3 với | z − z1 | = R . Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w = z · z2 + z3 là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn cho số phức z1 · z2 + z3 , bán kính bằng | z2 |R. Chứng minh. Ta có w = z · z2 + z3 ⇔ Dẫn đến Lấy mođun hai vế, ta được Hay w − z3 = z. z2 w − z3 − z1 = z − z1 . z2 | w − z3 − z1 · z2 | = | z − z1 | . | z2 | |w − ( z1 · z2 + z3 )| = | z2 |R. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn cho số phức z1 · z2 + z3 , bán kính bằng | z2 |R. Ví dụ 1.8 (Câu 34, Đề minh hoạ môn Toán kì thi THPT quốc gia 2017 của Bộ GD& ĐT). Cho số phức z thoả mãn | z| = 4. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (3 + 4 i ) z + i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. 1.1. Tập hợp biểu diễn số phức 7 Lời giải. Bán kính r = |3 + 4 i | · 4 = 20. ♦ Ví dụ 1.9 Cho số phức z thoả mãn | z + i | = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (4 + 3 i ) z + 2 + i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. Lời giải. Tâm của đường tròn biểu diễn số phức w là điểm biểu diễn cho số phức (− i )(4 + 3 i ) + 2 + i = 5 − 3 i, tức tâm đường tròn là điểm (5, −3). Bán kính của đường tròn là r = |4 + 3 i | · 2 = 10. ♦ Ví dụ 1.10 Cho số phức z thoả mãn | z + 1 + 2 i | = 3. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (5 + 12 i ) z + 3 − i là một đường tròn. Xác định tâm và tính bán kính r của đường tròn đó. Lời giải. Ta có | z + 1 + 2 i | = 3 ⇔ | z − (−1 − 2 i )| = 3. Tâm của đường tròn biểu diễn số phức w là điểm biểu diễn cho số phức (−1 − 2 i )(5 + 12 i ) + 3 − i = 22 − 23 i, tức tâm đường tròn là điểm (22, −23). Bán kính của đường tròn là r = |5 + 12 i | · 3 = 39. ♦ Tính chất 1.5 Cho các số phức z, z1 , z2 ( z2 6= 0), z3 với | z − z1 | = R . Tìm tập hợp biểu diễn của số phức z z1 w = + z3 là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn cho số phức + z3 , bán kính đường z2 R tròn bằng . | z2 | z2 z + z3 là đường z2 z1 R tròn có tâm là điểm biểu diễn cho số phức + z3 , bán kính đường tròn bằng . z2 | z2 | Chứng minh. Chứng minh tương tự, tập hợp biểu diễn của số phức w = Chương 1. Số phức 8 Ví dụ 1.11 Cho số phức z thoả điều kiện | z − 5| = 3. Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z + 1 − i. w= 3 + 4i Lời giải. Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w = biểu diễn cho số phức z + 1 − i là đường tròn có tâm là điểm 3 + 4i 5 8 9i +1− i = − . 3 + 4i 5 5 Bán kính của đường tròn bằng 5 = 1. |3 + 4i| 8 Đáp số. x − 5 µ ¶2 9 + y+ 5 µ ¶2 = 1. ♦ Ví dụ 1.12 Cho số phức z thoả điều kiện | z − 4 − 3i| = 3. Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z + 2 + i. w= 5 − 12i Tính chất 1.6 Cho hai số phức z, z1 thoả | z − z1 | = R . Giá trị lớn nhất của | z| là | z1 | + R và giá trị nhỏ nhất của | z| là || z1 | − R |. Chứng minh. Gọi I là điểm biểu diễn cho số phức z1 và M là điểm biểu diễn cho số phức z. • Với ba điểm O , I , M , ta có OI + I M > OM hay | z1 | + R > | z|. Do đó, Giá trị lớn nhất của | z| là | z1 | + R . • Mặt khác |OI − I M | 6 OM hay || z1 | − R | 6 | z|. Do đó, giá trị nhỏ nhất của | z| là || z1 | − R |. Ví dụ 1.13 Cho số phức z thoả | z + 5 + 12 i | = 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của | z|. Lời giải. Số phức −5 − 12 i có môđun là Giá trị lớn nhất của | z| là 3 + 13 = 16. p 52 + 122 = 13. Giá trị nhỏ nhất của | z| là 13 − 3 = 10. ♦ 1.1. Tập hợp biểu diễn số phức 9 Tính chất 1.7 Cho hai số phức z, z1 thoả | z − z1 | = R . Giá trị lớn nhất của | z + z2 | là | z1 + z2 | + R và giá trị nhỏ nhất của | z + z2 | là || z1 + z2 | − R |. Ví dụ 1.14 Cho số phức z thoả | z + 3 + i| = 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của | z + 6 + 5i|. Lời giải. Ta viết lại giả thiết như sau: | z + 3 + i| = 3 ⇔ | z − (−3 − i|) = 3. Giá trị lớn nhất của | z + 6 + 5i| là 3 + |(−3 − i) + 6 + 5i| = 3 + |3 + 4i| = 3 + 5 = 8. Giá trị nhỏ nhất của | z + 6 + 5i| là |(−3 − i) + 6 + 5i| − 3 = |3 + 4i| − 3 = 5 − 3 = 2. ♦ Ví dụ 1.15: (Thi thử lần IV trường Đại học Vinh, 2016–2017). Cho số phức z thoả mãn không phải là số thực và số w = nhỏ nhất của biểu thức M = | z + 1 − i|. z là số thực. Tìm giá trị 2 + z2 Tính chất 1.8 Cho các số phức z, z1 ( z1 6= 0), z2 thoả | z · z1 + z2 | = R . Giá trị lớn nhất của | z| là Giá trị nhỏ nhất của | z| là Chứng minh. Ta có |R − | z2 || . | z1 | R + | z2 | ; | z1 | ¯ ¯ ¯ z2 ¯¯ R ¯ . | z · z1 + z2 | = R ⇔ ¯ z + ¯ = z |z | 1 1 Dựa theo Tính chất 1.1, ta có được các kết quả của Tính chất 1.1. Bài tập 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của | z| trong các trường hợp sau: 1) | z(3 − 4 i ) + i | = 2. 2) |2 z + (5 + 12 i )| = 3. Đáp số. 5 6 | z| 6 8. 3) | z(4 + 3 i ) + 3 + 4 i | = 10. Đáp số. 1 6 | z| 6 3. Chương 1. Số phức 10 4) | z(3 + 4 i ) + 5 + 12 i | = 10. Đáp số. 23 3 6 | z| 6 . 5 5 Tính chất 1.9 Cho các số phức z, z1 ( z1 6= 0), ¯z2 thoả | z¯· z1 + z2 | = R . Giá trị lớn nhất của | z + z3 | là ¯ R ¯ R z2 + | z4 |; Giá trị nhỏ nhất của ¯¯ − | z4 |¯¯, ở đây, z4 = z3 − . | z1 | Chứng minh. Ta có | z1 | z1 ¯ ¯ ¯ ¯ z R 2 | z · z1 + z2 | = R ⇔ ¯¯ z + ¯¯ = . z |z | 1 Hay z2 Đặt w = z + z3 , z4 = z3 − , ta được z1 1 ¯ ¶¯ µ ¯ ¯ ¯ z + z3 − z3 − z2 ¯ = R . ¯ z ¯ |z | 1 | w − z4 | = 1 R . | z1 | Dựa theo Tính chất 1.1, ta có được các kết quả của Tính chất 1.1. Ví dụ 1.16 Cho số phức z thoả |(8 + 15i) z + 3 + 4i| = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của | z + 3i|. Đáp số. 3 6 | z + 3i| 6 53 . 17 Ví dụ 1.17 Cho số phức z thoả |(3 − 4i) z + 12 − 5i| = 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của | z + 3i|. Đáp số. 16 12 6 | z + 3i| 6 . 5 5 Ví dụ 1.18 Cho số phức z thoả |(3 + 4i) z + 5 + 12i| = 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của | z + 4i|. Đáp số. 18 24 6 | z + 4i| 6 . 5 5 Ví dụ 1.19 Cho số phức z thoả |(3 − 4i) z + 1 + 2i| = 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của | z − 1 + i|. Đáp số. 2 8 6 | z − 1 + i| 6 . 5 5 1.1. Tập hợp biểu diễn số phức 11 Tính chất 1.10 Cho các số phức z, z1 , z2 , z3 thoả | z − z1 | = | z − z2 |. Tìm giá trị nhỏ nhất của môđun số phức w = z + z3 . Chứng minh. Ta có z = w − z3 . Thay vào giả thiết đã cho, ta được |w − ( z1 + z3 )| = |w − ( z2 + z3 )|. (1.1) Gọi A là điểm biểu diễn cho số phức z1 + z3 ; B là điểm biểu diễn cho số phức z2 + z3 ; M là điểm biểu diễn cho số phức w. Từ (1.1), ta có AM = BM . Như vậy M thuộc đường trung trực (∆) của đoạn AB. Ta có |w| nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất hay OM là khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (∆). Ví dụ 1.20 (Thi thử trường THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, lần III, 2016 – 2017) Cho số phức z thoả mãn | z − 1 − 2i| = | z − 2 + i|. Đặt w = z + 2 − 3i. Tìm giá trị nhỏ nhất của |w|. 11 Đáp số. p 10 Ví dụ 1.21 Cho số phức z thoả mãn | z − 3 + 4i| = | z + 2 + 3i|. Đặt w = z + 1 + 4i. Tìm giá trị nhỏ nhất của |w|. Tính chất 1.11 Cho đường thẳng ∆ có phương trình ax + b y + c = 0 và hai điểm C ( x1 , y1 ), D ( x2 , y2 ). Đặt f ( x, y) = ax + b y + c. Ta có 1) C và D ở cùng phía của ∆ khi và chỉ khi (ax1 + b y1 + c) · (ax2 + b y2 + c) > 0. 2) C và D ở khác phía của ∆ khi và chỉ khi (ax1 + b y1 + c) · (ax2 + b y2 + c) < 0. . Chương 1. Số phức 12 Tính chất 1.12 Cho các số phức z, z1 , z2 , z3 , z4 thoả | z − z1 | = | z − z2 |. Tìm giá trị nhỏ nhất của W = | z − z 3 | + | z − z 4 |. Chứng minh. Gọi A , B, C , D , M lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1 , z2 , z3 , z4 , z. Từ giả thiết, ta có AM = BM , tức M thuộc đường trung trực (∆) của đoạn AB. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của tổng CM + DM . Có hai khả năng sau: D C (∆) H M E • Hai điểm C và D ở khác phía của đường thẳng (∆). Khi đó M là giao điểm của (∆) và đường thẳng CD . Giá trị nhỏ nhất cần tìm chính là CD hay cũng là môđun của số phức z3 − z4 . • Hai điểm C và D ở cùng phía của đường thẳng (∆). Gọi E là điểm đối xứng của C qua (∆). Giá trị nhỏ nhất cần tìm chính là ED hay cũng là môđun của số phức z5 − z4 , ở đây E là điểm biểu diễn cho số phức z5 . Lúc đó, M là giao điểm của đường ED và ∆. Ví dụ 1.22 Cho số phức z thoả | z − 1 − 6i| = | z − 5 − 4i|. Tìm giá trị nhỏ nhất của | z + 3 − i| + | z − 1 + 7i|. Lời giải. Gọi A (1, 6), B(5, 4), C (−3, 1), D (1, −7), M ( x, y). Từ giả thiết, ta có AM = BM , như vậy M thuộc đường trung trực ∆ của đoạn AB. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của tổng CM + DM . # » Phương trình ∆ qua trung điểm T (3, 5) của đoạn AB và nhận AB = (4, −2) làm vectơ pháp tuyến là 4( x − 3) − 2( y − 5) = 0 ⇔ 2 x − y − 1 = 0. 1.1. Tập hợp biểu diễn số phức 13 Đặt f ( x, y) = 2 x − y − 1. Ta có f (−3, 1) · f (1, −7) = [2 · (−3) − 1 − 1] · [2 · 1 + 7 − 1] = −64 < 0, nên hai điểm C và D ở khác phía của (∆). Do đó, M là giao điểm của đường thẳng CD và p (∆). Toạ độ M (−1, −3). Lúc đó, CM + DM = CD = 4 5. ♦ Lời bình. Ta có thể lí luận như sau để biết giao điểm của đường thẳng CD với (∆) ở trong hay ở ngoài đoạn CD như sau: Phương trình đường thẳng CD là 2 x + y + 5 = 0. #» #» Gọi I là giao điểm của ∆ và CD , thì I (−1, −3). Ta có IC = (−2, 4), ID = (2, −4). Do đó, #» #» IC = − ID , nên I là trong đoạn CD và M trùng với I . p Giá trị nhỏ nhất của CM + DM là CD = 4 5. ♣ Ví dụ 1.23 Cho số phức z thoả | z + 1 − 3i| = | z + 4 − i|. Tìm giá trị nhỏ nhất của E = | z + 1 − 2i| + | z + 5 + i|. µ ¶ 5 Đáp số. min E = 5 tại M −2, . 4 Ví dụ 1.24 Cho số phức z thoả | z + 5 + 6i| = | z + 7 + 4i|. Tìm giá trị nhỏ nhất của E = | z + 1 + 2i| + | z + 3 + 4i|. Đáp số. min E = 4 tại M (−3, −2). Ví dụ 1.25 Cho số phức z thoả | z − 2 − 3i| = | z − 4 − 5i|. Tìm giá trị nhỏ nhất của E = | z + 1 + 2i| + | z + 3 − 4i|. µ ¶ p 3 11 . Đáp số. min E = 4 10 tại M , 2 2 Chương 1. Số phức 14 Tính chất 1.13 Cho đường tròn (C ) và hai điểm A , B cố định thuộc (C ). Điểm M trên (C ) sao cho M A + MB 1) nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng với A hay M trùng với B. 2) lớn nhất khi M là một trong hai giao điểm của đường trung trực đoạn AB với đường tròn (C ). Chứng minh. 1) Ta có M A + MB > AB. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M trùng với A hay M trùng với B. Khi đó, giá trị nhỏ nhất của M A + MB là AB. Ví dụ 1.26 p 5 và 5w = (2 + i )( z − 4). Tìm giá trị lớn nhất và giá Cho số phức z và w thoả |w + i | = 5 trị nhỏ nhất của biểu thức | z − 1 − 2 i | + | z − 5 − 2 i |. y A H B x O T M Lời giải. ♦ 1.1. Tập hợp biểu diễn số phức 15 Ví dụ 1.27 Cho số phức z thoả | z − 1 − 2i| = 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của w = | z + 2 + 2i| + | z − 4 − 6i|. p Đáp số. 10 6 w 6 10 2. Ví dụ 1.28 Cho số phức z thoả | z + 1 + 3i| = 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của w = | z + 4 − i| + | z − 2 + 7i|. p Đáp số. 10 6 w 6 10 2. Ví dụ 1.29 Cho số phức z thoả | z + 1 + 3i| = 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của w = | z − 5 − 5i| + | z − 2 − i|. Đáp số. 5 6 w 6 25. Ví dụ 1.30 Cho số phức z thoả | z − 2 + i| = 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của w = | z + 10 + 6i| + | z − 14 − 4i|. p Đáp số. min w = 26, tại z = −10 − 6i và max w = 26 2, tại z = −3 − 11i. Ví dụ 1.31 Cho số phức z thoả | z − 1 − 2i| = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của w = | z + 3 + i| + | z − 4 − 6i|. p Đáp số. min w = 7 2, tại z = −3 − i. Ví dụ 1.32 Cho số phức z thoả | z + 1 + 3i| = 5. Tìm giá trị giá trị nhỏ nhất của w = | z + 3 + 4i| + | z − 2 − i|. p Đáp số. min w = 5 2, tại z = 2 + i. Chương 1. Số phức 16 Ví dụ 1.33 Cho số phức z thoả | z + 1 − 2i| = 5. Tìm giá trị giá trị nhỏ nhất của w = | z − 2 − 6i| + | z − 3 − 5i|. p Đáp số. min w = 2, tại z = 2 + 6i. Bài tập 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của w, biết rằng: 1) z thoả | z − 2 + 4i| = 5 và w = | z + 6 + 10i| + | z − 10 − 2i|. p Đáp số. min w = 20, tại z = −2 − 7i và max w = 10 5, tại z = −1. 2) z thoả | z − 2 + 4i| = 20 và w = | z + 4 + 12i| + | z − 8 − 4i|. p Đáp số. min w = 40, tại z = −10 − 20i và max w = 20 5, tại z = −4 + 8i. 3) z thoả | z − 2 − 3i| = 20 và w = | z + 7 + 9i| + | z − 11 − 15i|. Đáp số. min w = 40, tại z = −10 − 13i và max w = 50, tại z = −14 + 15i. 4) z thoả | z − 2 − 3i| = 10 và w = | z + 7 − 15i| + | z − 11 + 9i|. p Đáp số. min w = 30, tại z = −4 + 11i và max w = 10 13, tại z = −6 − 3i. Tính chất 1.14 Cho hai số phức z, z1 thoả | z − z1 | + | z + z1 | = k. Giá trị lớn nhất của | z| là k và giá trị nhỏ nhất của | z| là 2 s k2 − | z 1 |2 . 4 Chứng minh. Ta có k = | z − z1 | + | z + z1 | > | z − z1 + z + z1 | = 2| z| ⇔ | z| 6 Mặt khác k6 q ¡ ¢ 2 | z − z 1 |2 + | z + z 1 | 2 . Sử dụng tính chất ¡ ¢ | z − z 1 | 2 + | z + z 1 |2 = 2 | z | 2 + | z 1 |2 , ta suy ra ¡ ¢ k 2 6 4 | z |2 + | z 1 |2 . Do đó, s | z| > k2 − | z 1 |2 . 4 k . 2 1.1. Tập hợp biểu diễn số phức 17 Ví dụ 1.34 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của | z|, biết rằng | z + 5| + | z − 5| = 26. Lời giải. Ngoài kết quả đã chứng minh ở trên, ta có thể giải ví dụ bằng phương pháp hình học như sau. Gọi F1 (−5, 0), F2 (5, 0), M ( x, y) là tập hợp các điểm biểu diễn cho z. Từ giả thiết, ta có MF1 + MF2 = 26. Do đó, tập hợp các điểm M là một elip (E ). Đặt 2a = 26, hay a = 13. Do 2 c = F1 F2 = 10, nên c = 5. Mặt khác, a2 = b2 + c2 , nên b2 = a2 − c2 = 144. Vậy phương trình của (E ) là y2 x2 + = 1. 169 144 Độ dài nửa trục lớn của (E ) là 13 và độ dài nửa trục nhỏ của (E ) là 12. Do đó, | z| lớn nhất là 13, tại z = 13 hoặc z = −13 và | z| nhỏ nhất là 12, tại z = 12 i hoặc z = −12 i . ♦ Ví dụ 1.35 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của | z|, biết rằng ¯ ¯ ¯ ¯ p p ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ z + 2 3 + 2 i ¯ + ¯ z − 2 3 − 2 i ¯ = 10. Lời giải. Một lần nữa, ta cũng giải bằng phương pháp hình học. p p Gọi F1 (−2 3, −2), F2 (2 3, 2), M ( x, y) là tập hợp các điểm biểu diễn cho z. Từ giả thiết, ta có MF1 + MF2 = 10. Do đó, tập hợp các điểm M là một elip (E ). Ta có 2a = 10, hay a = 5. Do 2 c = F1 F2 = 8, nên c = 4. Mặt khác, b2 = a2 − c2 = 9. Độ dài nửa trục lớn của (E ) là 5 và độ dài nửa trục nhỏ của (E ) là 3. Chương 1. Số phức 18 y B02 A 02 F2 O A 01 x F1 B01 Do đó, | z| lớn nhất là 5, bằng là nửa độ dài đoạn A 01 A 02 (dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M trùng A 01 hoặc A 02 ) và | z| nhỏ nhất là 3, bằng là nửa độ dài đoạn B1 B2 (dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M trùng B01 hoặc B02 ). p • Chú ý rằng, phương trình đường thẳng F1 F2 là x − y 3 = 0. Toạ độ các điểm A 01 và A 02 là nghiệm của hệ phương trình  p  x − y 3 = 0,  x2 + y2 = 25. ! à p ! p 5 3 5 5 3 5 Giải hệ trên, ta có được A 01 − ,− và A 02 , . 2 2 2 2 p p 5 3 5 5 3 5 Do đó, | z| lớn nhất là 5 tại z = − − i hoặc z = + i. 2 2 2 2 à • Đường thẳng B01 B02 qua O và vuông góc với đường thẳng A 01 A 02 , nên có phương trình p 3 x + y = 0. Toạ độ các điểm B01 và B02 là nghiệm của hệ phương trình p  3 x + y = 0,  x2 + y2 = 9. à p ! p ! 3 3 3 3 3 3 Giải hệ trên, ta có được B01 , − và B02 − , . 2 2 2 2 p p 3 3 3 3 3 3 Do đó, | z| nhỏ nhất là 3 tại z = − + i hoặc z = − i. 2 2 2 2 à ♦ Lời bình. Phương trình elip có trong bài trên không có dạng chính tắc. Elip có được bằng cách quay elip có phương trình x2 y2 + = 1 một góc 30◦ , với tâm quay là điểm O (0, 0). 25 9 1.1. Tập hợp biểu diễn số phức 19 y B02 A 02 F2 O x F1 A 01 B01 ♣ Bài tập 3. Tìm phương trình biểu diễn các số phức z thoả 1) | z + 3| + | z − 3| = 10. Đáp số. x2 y2 + = 1. 25 16 2) | z + 4| + | z − 4| = 10. Đáp số. x2 y2 + = 1. 25 9 3) | z + 5| + | z − 5| = 26. Đáp số. 4) | z + 12| + | z − 12| = 26. x2 y2 + = 1. 169 144 Đáp số. x2 y2 + = 1. 169 25 Bài tập 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của | z|, biết rằng 1) | z + 9| + | z − 9| = 30. Đáp số. max | z| = 15, tại z = −15; min | z| = 12, tại z = −12 i . 2) | z + 4 i | + | z − 4 i | = 10. Đáp số. max | z| = 5, tại z = −5; 3) | z − 4 + 3 i | + | z + 4 − 3 i | = 26. Đáp số. max | z| = 13, tại z = − 52 39 + i; 5 5 4) | z − 9 + 12 i | + | z + 9 − 12 i | = 34. Đáp số. max | z| = 17, tại z = − 51 68 + i; 5 5 min | z| = 3, tại z = −3 i . min | z| = 12, tại z = − 36 48 − i. 5 5 min | z| = 8, tại z = − 32 24 − i. 5 5 Chương 1. Số phức 20 5) | z − 9 + 12 i | + | z + 9 − 12 i | = 50. Đáp số. max | z| = 25, tại z = −15 + 20 i ; 6) | z − 2 + i | + | z + 2 − i | = 6. p p 6 5 3 5 + i; Đáp số. max | z| = 3, tại z = − 5 5 min | z| = 20, tại z = −16 − 12 i . p p 2 5 4 5 min | z| = 2, tại z = − + i. 5 5 Tính chất 1.15 Cho hai số phức z, z1 thoả m| z − z1 | + n| z + z1 | = k. Tìm giá trị lớn nhất của và giá trị nhỏ nhất | z|. Ví dụ 1.36 Cho số phức z thoả | z + 1| + 4| z − 1| = 25. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của | z|. Đáp số. 28 22 6w6 . 5 5 Lời giải. Gọi A (−1, 0), B(1, 0), M ( x, y) là điểm biểu diễn cho z. Để ý O (0, 0) là trung điểm của đoạn AB và AB = 2. Từ giả thiết ta có AM + 4BM = 25. Ta cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của đoạn OM . Đặt a = AM , b = BM (a, b > 0) thoả a + 4b = 25 hay a = 25 − 4 b. Ta có | M A − MB| 6 AB hay |a − b| 6 2 ⇔ |25 − 4 b − b| 6 2 ⇔ 23 27 6b6 . 5 5 Mặt khác, OM 2 = AM 2 + BM 2 AB2 (25 − 4 b)2 + b2 17 b2 623 − = −1 = − 100 b + . 2 4 2 2 2 17 b2 623 23 27 784 − 100 b + với 6 b 6 , ta được giá trị lớn nhất của f (b) là 2 2 5 5 25 484 28 và giá trị nhỏ nhất của f (b) là . Khi đó, giá trị lớn nhất của | z| là và giá trị nhỏ nhất 25 5 22 của | z| là . ♦ 25 Xét hàm số f (b) = Lời bình. Việc tìm max | z| có thể làm đơn giản như sau: Ta có |5 z| = |( z + 1) + 4( z − 1) + 3| 6 | z + 1| + 4| z − 1| + |3| Do đó, giá trị lớn nhất của | z| là 28 . 5 6 25 + 3. ♣ 1.1. Tập hợp biểu diễn số phức 21 Ví dụ 1.37 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của | z| biết z thoả | z − 15 + 36 i | + 3| z − 10 + 24 i | = 21. Lời giải. Đặt t= z+ 25 (−15 + 36 i ) + (−10 + 24 i ) = z− + 30 i. 2 2 Hay z = t+ Khi đó 25 − 30 i. 2 z − 15 + 36 i = t + 25 5 − 30 i − 15 + 36 i = t − + 6 i 2 2 z − 10 + 24 i = t + 25 5 − 30 i − 10 + 24 i = t + − 6 i. 2 2 và Giả thiết đã cho thành ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ t − 5 + 6 i ¯ + 3 ¯ t + 5 − 6 i ¯ = 21. ¯ ¯ ¯ ¯ 2 2 ¶ µ ¶ 5 5 Gọi A , −6 , B − , 6 , M ( x, y) là điểm biểu diễn cho t. Để ý O (0, 0) là trung điểm của đoạn 2 2 AB và AB = 13. Từ giả thiết ta có AM + 3BM = 21. Ta cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ µ nhất của đoạn OM . Đặt a = AM , b = BM (a, b > 0) thoả a + 3b = 21 hay a = 21 − 3 b. Ta có | M A − MB| 6 AB hay |a − b| 6 13 ⇔ |21 − 3 b − b| 6 13 ⇔ 2 6 b 6 17 . 2 Mặt khác, OM 2 = AM 2 + BM 2 AB2 (21 − 3 b)2 + b2 132 713 − = − = 5 b2 − 63 b + . 2 4 2 4 4 713 17 289 với 2 6 b 6 , ta được giá trị lớn nhất của f (b) là và 4 2 4 17 giá trị nhỏ nhất của f (b) là 0. Khi đó, giá trị lớn nhất của | t| là tại b = 2 và giá trị nhỏ 2 nhất của | t| là 0 tại ♦ Xét hàm số f (b) = 5 b2 − 63b + Bài tập 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của | z| trong các trường hợp sau: 1) 4| z + i | + 3| z − i | = 10. Đáp số. max | z| = 11 11 , tại z = ; 7 7 min | z| = 1, tại z = − 2) 2| z + 1| + 5| z − 1| = 25. Đáp số. max | z| = 4, tại z = 4; min | z| = 24 7 + i. 25 25 22 22 , tại z = − . 7 7 Chương 1. Số phức 22 3) 2| z + 2 i | + 5| z − 2 i | = 12. Đáp số. max | z| = 18 18 , tại z = i ; 7 7 4) | z − 4 + 3 i | + 4| z + 4 − 3 i | = 20. Đáp số. max | z| = 7, tại z = − 5) | z − 5 + 12 i | + 2 | z + 5 − 12 i | = 30. Đáp số. max | z| = 28 21 + i; 5 5 43 215 172 , tại z = − + i; 3 39 13 6) 3 | z + 4 + 3 i | + 2 | z − 4 − 3 i | = 26. Đáp số. max | z| = 2 2 min | z| = , tại z = i . 3 3 5 4 min | z| = , tại z = − + i . 3 3 min | z| = 9, tại z = − 124 93 31 , tại z = − − i; 5 25 25 45 108 + i. 13 13 min | z| = 1, tại z = 4 3 + i. 5 5 Bài tập 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của | z| trong các trường hợp sau: 1) 3| z − 4 − 3 i | + 4| z − 8 − 6 i | = 20. Đáp số. max | z| = 75 60 45 , tại z = + i; 7 7 7 2) 4| z + 4 − 3 i | + | z + 8 − 6 i | = 20. Đáp số. max | z| = 10, tại z = −8 + 6 i ; 3) 5| z + 4 − 3 i | + 3| z + 8 − 6 i | = 17. Đáp số. max | z| = 6, tại z = − 24 18 + i; 5 5 4) 4| z − 9 + 12 i | + | z − 6 + 8 i | = 20. Đáp số. max | z| = 18, tại z = min | z| = 5, tại z = 4 + 3 i . 8 6 min | z| = 2, tại z = − + i . 5 5 min | z| = 54 72 − i; 5 5 19 19 57 , tại z = − + i . 4 5 20 min | z| = 10, tại z = 6 − 8 i . Ví dụ 1.38 Cho số phức z có | z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức w = 3 | z + 3| + 4 | z − 3| . Lời giải. Đặt z = cos ϕ + i sin ϕ, ϕ ∈ [0, 2π]. Khi đó, ¯ ¯ ¯ ¯ w = 3 ¯cos ϕ + i sin ϕ + 3¯ + 4 ¯cos ϕ + i sin ϕ − 3¯ . Lấy môđun các số phức ở vế phải của biểu thức trên, ta được w = 3· p Đặt t = cos ϕ, −1 6 t 6 1, w trở thành f ( t) = 10 + 6 cos ϕ + 4 · p 10 + 6 cos ϕ. ´ p ³ p p 2 3 · 5 + 3t + 4 · 5 − 3t . 1.1. Tập hợp biểu diễn số phức 23 Đạo hàm của hàm số f ( t) là µ ¶ p 6 9 f ( t) = 2 − p + p . 5 − 3t 2 5 + 3t 0 7 . Ta có, 15 µ ¶ p 7 f (1) = 20, f − = 10 5. 15 Nghiệm của phương trình f 0 ( t) = 0 là t = − f (−1) = 22, • Giá trị nhỏ nhất của w là 20, đạt được tại t = 1. Khi đó cos ϕ = 1. Dẫn đến z = 1. p 7 • Giá trị lớn nhất của w là 10 5, đạt được tại t = − . 15 p p 4 11 7 4 11 7 và sin ϕ = − . Số phức cần tìm là z = − − i. Khi đó cos ϕ = − 15 15 15 15 ♦ Ví dụ 1.39 Cho số phức z có | z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức w = 5| z − 3 − 4 i | + 12| z + 3 + 4 i |. Lời giải. Vì | z| = 1, nên đặt z = cos ϕ + i sin ϕ, ϕ ∈ [0, 2π]. Khi đó, ¯ ¯ ¯ ¯ w = 5 ¯cos ϕ + i sin ϕ − 3 − 4 i ¯ + 12 ¯cos ϕ + i sin ϕ + 3 + 4 i ¯ . Lấy mô đun các số phức trên, ta được q q w = 5 (cos ϕ − 3)2 + (sin ϕ − 4)2 + 12 (cos ϕ + 3)2 + (sin ϕ + 4)2 . Hay p p w = 5 26 − 6 cos ϕ − 8 sin ϕ + 12 26 + 6 cos ϕ + 8 sin ϕ. Đặt t = 6 cos ϕ + 8 sin ϕ, chú ý −10 6 t 6 10, ta thu được p p f ( t) = 5 26 − t + 12 26 + t, Ta có −10 6 t 6 10. 5 6 f 0 ( t) = − p +p . 2 26 − t 26 + t 238 Giải phương trình f 0 ( t) = 0, ta được t = . Giá trị này không thoả điều kiện −10 6 t 6 10. 13 Mặt khác, f (−10) = 78, f (10) = 92. Chương 1. Số phức 24 • Giá trị lớn nhất của f ( t), cũng là giá trị lớn nhất của w là 92, đạt được tại t = 10. Để tìm số phức z, ta giải hệ  6 cos ϕ + 8 sin ϕ = 10, cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1 Số phức z là z =   cos ϕ = 3 , 5 ⇔ 4  sin ϕ = . 5 3 4 + i. 5 5 • Giá trị nhỏ nhất của f ( t), cũng là giá trị nhỏ nhất của w là 78, đạt được tại t = −10. Để tìm số phức z, ta giải hệ  6 cos ϕ + 8 sin ϕ = −10, cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1 3 5   cos ϕ = − 3 , 5 ⇔ 4  sin ϕ = − . 5 4 5 Số phức z là z = − − i. ♦ Bài tập 7. Cho số phức z có | z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: 1) w = 4| z + 1| + 3| z − 1|. Đáp số. max w = 10, tại z = 2) w = 5| z − i | + 12| z + i |. 7 24 − i, 25 25 min w = 6, tại z = − i . 120 119 + i, 169 169 min w = 10, tại z = − i . Đáp số. max w = 10, tại z = − i , min w = −24, tại z = i . Đáp số. max w = 26, tại z = − 3) w = 5| z − i | − 12| z + i |. 4) w = 3| z + 5 − 12 i | + 4| z − 5 + 12 i |. Đáp số. max w = 92, tại z = − 5) w = 2 | z + 5 + 12 i | + 3 | z − 5 − 12 i |. Đáp số. max w = 66, tại z = − Đáp số. 90 6 w 6 92. 5 12 + i, 13 13 min w = 90, tại z = 5 12 − i. 13 13 5 12 − i, 13 13 min w = 64, tại z = 5 12 + i. 13 13 Tính chất 1.16 Cho (C ) là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và M là điểm trên (C ). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tổng S = AM + BM + CM + DM. 1.1. Tập hợp biểu diễn số phức 25 Ví dụ 1.40 Cho số phức z thoả mãn điều kiện | z − 5 − i | = 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tổng S = | z − 1 + 2 i | + | z − 2 − 5 i | + | z − 8 + 3 i | + | z − 9 − 4 i |. Tính chất 1.17 Với hai số phức z1 , z2 tuỳ ý, ta có ¢2 1) | z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 = 2 | z1 |2 + | z2 | ; ¡ 2) (| z1 | + | z2 |)2 6 | z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi | z1 | = | z2 |. Chứng minh. Đặt z1 = a + bi , z2 = c + di . Gọi M (a, b), N ( c, d ) lần lượt là các điểm biểu diễn cho z1 và z2 . Ta có | z1 | = OM , | z2 | = ON . Ta có z1 + z2 = a + c + ( b + d ) i. Gọi C (a + c, b + d ) là điểm biểu diễn cho số phức z1 + z2 . Khi đó, | z1 + z2 | = OC . Mặt khác z1 − z2 = a − c + ( b − d ) i. # » # » # » # » Để ý rằng N M = (a − c, b − d ), nên | z1 − z2 | = MN. Ta có OC = OM + ON , nên tứ giác OMCN là hình bình hành. Do đó OC 2 + MN 2 = 2(OM 2 + ON 2 ), (1.2) hay | z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 = 2(| z1 |2 + | z2 |)2 . Mặt khác, ta có (OM + ON )2 6 2(OM 2 + ON 2 ). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi OM = ON . Từ (1.2) và (1.3), suy ra (OM + ON )2 6 OC 2 + MN 2 , hay (| z1 | + | z2 |)2 6 | z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 . Lời bình. Ta có thể chứng minh đẳng thức ¡ ¢2 | z 1 + z 2 |2 + | z 1 − z 2 | 2 = 2 | z 1 | 2 + | z 2 | . (1.3) Chương 1. Số phức 26 như sau: | z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 = (a + c)2 + ( b + d )2 + (a − c)2 + ( b − d )2 = 2(a2 + b2 + c2 + d 2 ) ¡ ¢ = 2 | z 1 |2 + | z 2 | 2 ♣ Ví dụ 1.41 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thoả | z − 3 − 4 i |2 + | z + 3 + 4 i |2 = 150. Lời giải. Đặt z1 = 3 + 4 i . Giả thiết đã cho được viết lại thành | z − z1 |2 + | z + z1 |2 = 150. Tương đương ¡ ¢ ¡ ¢ 2 | z1 |2 + | z|2 = 150 ⇔ 2 25 + | z|2 = 150 ⇔ | z|2 = 50. p Vậy tập hợp cần tìm là đường tròn có tâm là gốc toạ độ, bán kính R = 5 2. ♦ Ví dụ 1.42 | z 1 − z 2 |2 Cho các số phức z, z1 , z2 và số thực k thoả k > . Tìm tập hợp các điểm biểu 2 diễn cho số phức z thoả | z − z1 |2 + | z − z2 |2 = k. Lời giải. Cách 1. Gọi M , A , B lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z, z1 , z2 . Từ giả thiết dẫn đến AM 2 + BM 2 = k. Gọi I là trung điểm đoạn AB. Áp dụng công thức đường trung tuyến trong tam giác M AB, ta có I M2 = AM 2 + BM 2 AB2 k AB2 − = − . 2 4 2 4 s Từ đây, tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I , bán kính R = k | z 1 − z 2 |2 − . 2 4 Vậy tập hợp các điểm biểu s diễn số phức z là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn cho số phức z1 + z2 , bán kính R = 2 k | z 1 − z 2 |2 − . 2 4 1.1. Tập hợp biểu diễn số phức Cách 2. Đặt t= 27 ( z − z1 ) + ( z − z2 ) z1 + z2 = z− , 2 2 hay z = t+ Ta có z1 + z2 . 2 z1 + z2 z1 − z2 − z1 = t − , 2 2 z1 + z2 z1 − z2 z − z2 = t + − z2 = t + . 2 2 z − z1 = t + Từ giả thiết, ta có ¯ z1 − z2 ¯¯2 ¯¯ z1 − z2 ¯¯2 ¯ ¯t − ¯ + ¯t + ¯ = k. 2 2 Dẫn đến, ¯ z − z ¯´2 ³ ¯ 1 2¯ 2 | t |2 + ¯ ¯ = k. 2 Suy ra k | z 1 − z 2 |2 . | t| = − 2 4 2 s Tập hợp các điểm biểu diễn số phức t là đường tròn tâm O (0, 0), bán kính R = k | z 1 − z 2 |2 − . 2 4 z1 + z2 , nên tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm là điểm 2 s z1 + z2 k | z 1 − z 2 |2 biểu diễn cho số phức , bán kính R = − . ♦ 2 2 4 Mà z = t + Bài tập 8. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z, biết rằng 1) | z − 4|2 + | z + 4|2 = 40; Đáp số. x2 + y2 = 4. 2) | z − 2 i |2 + | z + 2|2 = 12; Đáp số. ( x + 1)2 + ( y − 1)2 − 4 = 0. 3) | z − 6|2 + | z + 8 i |2 = 68; Đáp số. ( x − 3)2 + ( y + 4)2 − 9 = 0. 4) | z − 2|2 + | z + 2|2 = 26; 2 Đáp số. x2 + y2 = 9. 3 Đáp số. x + 2 µ 2 5) | z − i| + | z + 3| = 13. ¶2 1 + y− 2 µ ¶2 Ví dụ 1.43: (Thi thử lần III, THPT Lương Thế Vinh, Hà Nôi, 2016 – 2017) Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn | z 1 − z 2 | = 1, Tìm giá trị lớn nhất của | z1 | + | z2 |. | z 1 + z 2 | = 3. − 4 = 0. Chương 1. Số phức 28 Ví dụ 1.44: (Thi thử lần IV, Đại học Vinh, 2016 – 2017) Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn | z 1 | = | z 2 | = | z 1 − z 2 | = 1. Tính | z1 + z2 |. Ví dụ 1.45: (Thi thử lần II, Đại học Vinh, 2017 – 2018) Cho z1 , z2 là hai trong số các số phức thoả mãn | z − 1 + 2 i | = 5 và | z1 − z2 | = 8. Tìm môđun của số phức w = z1 + z2 − 2 + 4 i . 1.2 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Ví dụ 1.46: (Thi thử lần II, THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai, 2017 – 2018) Có bao nhiêu số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: ¯ z − 10 + 2 i ¯ = ¯ z + 2 − 14 i ¯ ¯ ¯ và ¯ z − 1 − 10 i ¯ = 5? ¯ ¯ ¯ ¯ Lời giải. Gọi M ( x; y) biểu diễn cho z, ta có hệ  3 x − 4 y + 12 = 0, ( x − 1)2 + ( y − 10)2 = 25. Để ý đường thẳng 3 x − 4 y + 12 = 0 tiếp xúc với đường tròn ( x − 1)2 + ( y − 10)2 = 25, nên chỉ có một số phức. ♦ Ví dụ 1.47 Cho hai số phức z1 , z2 đồng thời thoả mãn hai điều kiện: | z − 1| = p 34, | z + 1 + mi | = | z + m + 2 i |, trong đó, m ∈ R và sao cho | z1 − z2 | lớn nhất. Khi đó, giá trị của | z1 + z2 | là bao nhiêu? 1.3 Bài tập Bài tập 9. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z, biết rằng: 1) | z + i + 1| = | z − 3i|; Đáp số. 2 x − 4 y − 7 = 0. 1.3. Bài tập 29 Đáp số. 6 x + 4 y + 5 = 0. 2) | z − 2 + i| = | z + 1 − 3i|; ¯ ¯ ¯ z+i ¯ ¯ = 1. ¯ 3) ¯ z − 5i + 1 ¯ Đáp số. 2 x − 12 y + 25 = 0. Bài tập 10. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z, biết rằng: 1) z · z + (1 + i ) · z + (1 − i ) z + 1 = 0; Đáp số. ( x + 1)2 + ( y + 1)2 − 1 = 0. 2) z · z + (2 + i ) · z + (2 − i ) z = 4; Đáp số. ( x + 2)2 + ( y + 1)2 − 9 = 0. 3) z · z + (3 + i ) · z + (3 − i ) z = 6. Đáp số. ( x + 3)2 + ( y + 1)2 − 16 = 0. Bài tập 11. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z, biết rằng: 1) |2 z + i| = | − z + i + 3|; 2) | z + 3 − 2i| = |2 z − 2i + 1|; ¯ ¯ ¯ 3 z + 2 + 3i ¯ ¯ ¯ = 1. 3) ¯ 2z + i − 1 ¯ Đáp số. ( x + 1)2 + ( y + 1)2 − 5 = 0. ¶ µ ¶ 2 2 29 1 2 + y− − = 0. Đáp số. x − 3 3 9 µ ¶ µ ¶ 8 2 7 2 58 Đáp số. x + + y+ − = 0. 5 5 25 µ Bài tập 12. Cho số phức z thoả mãn điều kiện cho trước. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w, biết rằng 1) | z + 1 − 2i| = 1, w + z = −2 − 5i; Đáp số. ( x + 1)2 + ( y + 7)2 = 1. 2) | z + 2 + 5i| = 3, w − z = 1 + 2i; Đáp số. ( x + 1)2 + ( y + 3)2 = 9. 3) | z + 3 − 2i| = 4, w = i z + 2; 4) | z + 1 − 3i| = 2, 2w − z = −2 + 3i. Đáp số. x2 + ( y + 3)2 = 16. 3 Đáp số. x + 2 µ ¶2 + ( y − 3)2 = 16. Bài tập 13. Cho số phức z. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w, biết rằng 1) w = i z + 2 i − 1, | z − 2i| 6 2; 2) w = i z + 3 − 2i, | z + 2i + 4| 6 3; 3) w = i z + 3 − i, 4) w = 2 z + 3 − i, |2 z + i|2 > 4; | 2 z + i | 2 − z · z − 1 6 0. Đáp số. Hình tròn ( x + 3)2 + ( y − 2)2 6 4. Đáp số. Hình tròn ( x − 1)2 + ( y + 6)2 6 9. 7 Đáp số. x − 2 µ ¶2 + ( y + 1)2 − 1 > 0. 7 Đáp số. ( x − 3) + y + 3 2 Bài tập 14. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z, biết rằng µ ¶2 6 16 . 9 Chương 1. Số phức 30 1) | z + 3i| = | z + 2 z + 2i|; Đáp số. Parabol y = 2) |5 z + i + 1| = |2 z − 3 z + 2i|; Đáp số. Parabol y = ¢ 1 ¡ 2 8x − 5 . 10 ¢ 1¡ 12 x2 + 5 x − 1 . 5 Đáp số. Parabol y = 4 x2 + 5 x − 2. 3) | z + i − 2| = |2 z + z + 1|. 3 4 1 6 Đáp số. Hai đường thẳng y = − ∨ y = − . 4) | z − i| = |2 z − 3 z + 2i|. Bài tập 15. Tìm số phức z có modul nhỏ nhất trong các trường hợp sau: 1) | z + 3i + 4| = | z − 5i + 10|. Đáp số. z = −3 + 4i. 2) | z − 3i + 4| = | z + 5i + 10|; Đáp số. z = −3 − 4i. 3) | z + 2 + i| = | z + 5 + 2i|; Đáp số. z = −2 + 2i. 4) | z + 2i − 3| = | z − i − 8|; Đáp số. z = 5 + i. 5) | z + 3i + 2| = | z − i + 8|. Đáp số. z = −3 + 2i. Bài tập 16. Tìm số phức z có modul nhỏ nhất, lớn nhất biết rằng 1) | z − 3i + 4| = 5; 2) | z − 3i − 4| = 10; Đáp số. z = 0, z = −8 + 6i. Đáp số. z = −3 − 4i, z = 9 + 12i. Đáp số. z = −10 + 24i, 3) | z − 5 + 12i| = 39; p z = 20 + 48i. 4) | z − i + 1| = 2 · 2; Đáp số. z = 1 − i, 5) | z − 2 − 2i| = 4 · 2; Đáp số. z = −2 − 2i, z = 6 + 6i. Đáp số. z = 1 − i, z = 3 − 3i. p p 6) | z − 2 + 2i| = 2; p Đáp số. z = −3 − 3i, 7) | z + 4 + 4i| = 2. z = −3 + 3i. z = −5 − 5i. Bài tập 17. Cho số phức z thoả mãn | z + i| = 3. Biết tập hợp biểu diễn của số phức w = (3 + 4i) z − 2i là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. Đáp số. 15. Bài tập 18. Cho số phức z thoả mãn | z − 1 + i| = 7. Biết tập hợp biểu diễn của số phức w = (3 + 4i) z là một đường tròn. Xác định tâm và bán kính đường tròn đó. Đáp số. Tâm I (7; 1), R = 35. Bài tập 19. Xét số phức z thoả mãn p | z + 2 − i | + | z − 4 − 7 i | = 6 2. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của | z − 1 + i |. Tính m + Mp. p 5 2 + 2 73 Đáp số. . 2 Chương 2 Tiếp tuyến 2.1 Hàm phân thức Ví dụ 2.1 ax + b với ad − bc 6= 0 và c 6= 0. Biện luận số tiếp tuyến đi qua điểm cx + d M ( m, n) đối với đồ thị (C ). Cho hàm số y = Lời giải. Gọi ∆ là đường thẳng qua M (m, n) với hệ số góc k. Phương trình ∆ có dạng y = k( x − m) + n. Xét hệ phương trình      ax + b = k( x − m) + n, cx + d ad − bc    = k.  (ax + b)2 (2.1a) (2.1b) Thay k từ phương trình (2.1b) vào phương trình (2.1a), ta thu được phương trình c(a − cn) x2 + 2 c( b − d ) x + adm − bcm − d 2 n + bd = 0. ( cx + d )2 (2.2) Với điều kiện cx + d 6= 0, (2.2) tương đương với c(a − cn) x2 + 2 c( b − d ) x + adm − bcm − d 2 n + bd = 0. Biệt thức của (2.3) là ∆ = −4 c(ad − bc)( b + am − dn − cmn). Để ý rằng (2.3) có nghiệm là − d khi và chỉ khi c (ad − bc)( d + cm) = 0 ⇔ d + cm = 0. c Ta có các khả năng sau: 31 (2.3) Chương 2. Tiếp tuyến 32 1) Qua M vẽ được hai tiếp tuyến đến (C ). Điều này xảy ra khi và chỉ khi (2.3) có hai d c nghiệm phân biệt khác − . Hay     c(a − cn) 6= 0,    − c(ad − bc)( b + am − dn − cmn) > 0. d + cm 6= 0, (2.4a) (2.4b) (2.4c) • (2.4a) có nghĩa là M không thuộc tiệm cận ngang của (C ). • Từ (2.4b) suy ra M không thuộc tiệm cận đứng của (C ). • Từ (2.4c), ta lại xét hai khả năng xảy ra. – Nếu ad − bc > 0, tức hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định, khi đó b + am − dn − cmn < 0 ⇔ am + b < n( cm + d ), tương đương    cm + d > 0, am + b   n. cm + d Điều này có nghĩa là, nếu M nằm ở bên phải của tiệm cận đứng, thì M phải nằm phía dưới nhánh đồ thị của (C ) ở bên phải của tiệm cận đứng hoặc nếu M nằm ở bên trái của tiệm cận đứng, thì M phải nằm phía trên nhánh đồ thị của (C ) ở bên trái của tiệm cận đứng. 2) Qua M vẽ được một tiếp tuyến đến (C ). Điều này xảy ra khi và chỉ khi (2.3) có đúng d c một nghiệm phân khác − . ♦ Ví dụ 2.2 Cho hàm số y = x−1 . Biện luận số tiếp tuyến đi qua điểm M (a, b) đối với đồ thị (C ). x+1 Lời giải. Gọi ∆ là đường thẳng qua M (a, b) với hệ số góc k. Phương trình ∆ có dạng y = k( x − a) + b. Xét hệ phương trình x−1 = k( x − a) + b, x+1 2    = k. ( x + 1)2     (2.5a) (2.5b) Thay k từ phương trình (2.5b) vào phương trình (2.5a), ta thu được phương trình ( b − 1) x2 + 2( b + 1) x + 1 − 2a + b = 0. (2.6) 2.1. Hàm phân thức 33 Số tiếp tuyến đi qua M cũng là số nghiệm khác −1 của phương trình (2.6). Để ý rằng định thức của (2.6) là ∆ = 8(1 − a + b + ab) và x = −1 là nghiệm của (2.6) khi và chỉ khi a = −1. Các khả năng xảy ra như sau: • (2.6) có hai nghiệm phân biệt khác −1 khi và chỉ khi     b 6= 1, b − 1 = 6 0 ,       ⇔ a 6= −1, a 6= −1,        b(a + 1) > a − 1. ∆ > 0 Điều này tương đương với    b 6= 1,    a > −1,   a−1   b > a+1 hoặc    b 6= 1,    a < −1,   a−1   b < . a+1 Hệ thứ nhất có nghĩa là M không nằm trên tiệm cận ngang của (C ) (b 6= 1), và nếu M nằmµ phía bên¶ phải của đường tiệm cận đứng (a > −1), thì M phải nằm phía trên của (C ) b > a−1 . a+1 Hệ thứ hai có nghĩa là M không nằm trên tiệm cận ngang của (C ) ( b 6= 1), và nếu M nằmµ phía bên ¶ trái của đường tiệm cận đứng (a < −1), thì M phải nằm phía dưới của (C ) b < a−1 . a+1 Từ những điều trên, ta có kết quả là, qua M kẻ được hai tiếp tuyến đến (C ) khi và chỉ khi M thuộc miền không bị gạch và không thuộc hai đường tiệm cận của (C ). • Trường hợp 2. Phương trình (2.6) có đúng một nghiệm khác −1. – (2.6) là phương trình bậc hai và có nghiệm kép khác −1   b − 1 6= 0, ∆ = 0 ⇔   b 6= 1,  b(a + 1) = a − 1    b 6= 1, ⇔ a−1  b = a+1 Hệ sau cùng có nghĩa M không thuộc tiệm cận ngang và M thuộc (C ). Ta chỉ cần M thuộc (C ) là đương nhiên M không thuộc tiệm cận ngang. – (2.6) có hai nghiệm phân biệt, trong đó, có một nghiệm là −1.   b 6= 1,    b(a + 1) > a − 1,    a = −1. Điều này có nghĩa M thuộc đường tiệm cận đứng của (C ) nhưng không trùng với giao điểm của hai tiệm cận. Chương 2. Tiếp tuyến 34 – (2.6) là phương trình bậc nhất và có nghiệm khác −1. Dẫn đến   b = 1, a 6= −1. Điều này có nghĩa M thuộc đường tiệm cận ngang của (C ) nhưng không trùng với giao điểm của hai tiệm cận. Từ những điều trên, suy ra rằng, qua M kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (C ) khi và chỉ khi M thuộc (C ) hoặc M thuộc một trong các đường tiệm cận của (C ) nhưng không trùng với giao điểm của hai tiệm cận. • Qua M không kẻ được tiếp tuyến đến (C ) khi và chỉ khi M thuộc miền bị gạch hoặc M trùng với giao điểm của hai tiệm cận. y O x ♦ Lời bình. Kết quả trên cũng đúng cho hàm số có dạng y = ax + b với ad − bc 6= 0, c 6= 0. cx + d ♣ Ví dụ 2.3 −x + 2 có đồ thị (C ) và điểm A (a; 1). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị x−1 thực của a để có đúng một tiếp tuyến của (C ) qua A . Tính tổng giá trị các phần tử của Cho hàm số y = S. Lời giải. (C ) có phương trình tiệm cận đứng là x = 1 và phương trình tiệm cận ngang là y = −1. Điểm A thuộc đường thẳng ∆ có phương trình y = 1, ∆ song song với tiệm cận ngang. Yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi A là giao điểm của đồ thị (C ) và ∆ hoặc A là giao điểm của đường tiệm cận đứng và ∆. 2.1. Hàm phân thức 35 • Hệ phương trình    y = −x + 2 , x−1  y = 1   x = 3 , 2 ⇔   y = 1. ¶ 3 Do đó, toạ độ giao điểm của đồ thị (C ) và ∆ là ; 1 . 2 µ • Dễ thấy, toạ độ giao điểm của đường tiệm cận đứng và ∆ là (1, 1). ½ ¾ 3 3 3 5 Như vậy, a = hoặc a = 1. Do đó, S = , 1 . Tổng các phần tử của S là + 1 = . 2 2 2 2 ♦ Ví dụ 2.4 Cho hàm số y = −x − 7 có đồ thị (C ). x+1 1) Tìm toạ độ các điểm trên đường thẳng ∆ : y = 2 x + 9 mà từ đó kẻ được một tiếp tuyến đến (C ). 2) Có bao nhiêu điểm thuộc đường tròn có phương trình ( x − 1)2 + ( y − 1)2 = 25 mà từ đó kẻ được một tiếp tuyến đến (C )? Lời giải. 1) (C ) có tiệm cận đứng x = −1 và tiệm cận ngang y = −1. Giao điểm hai tiệm cận là I (−1, −1) không thuộc ∆. Các điểm cần tìm chính là giao điểm của ∆ và (C ) và các tiệm cận. Đáp số. {(−4, 1), (−2, 5), (−1, 7), (−5, −1)} . 2) Đáp số. p p p p ª © (−4, 1), (−2, 5), (1, −4), (5, −2), (1 − 21, −1), (1 + 21, −1), (−1, 1 − 21), (−1, 1 + 21) . ♦ Chương 2. Tiếp tuyến 36 2.2 Hàm bậc ba y O x Ta có kết quả sau: Cho hàm số y = x3 − 3 x2 + 2 có đồ thị là (C ) và ∆ : y = 3 − 3 x là tiếp tuyến của (C ) tại điểm uốn (điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y00 = 0. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng sao cho từ đó có thể kẻ được • một tiếp tuyến với (C ) là miền bị gạch và điểm uốn của (C ); • hai tiếp tuyến với (C ) là những điểm nằm trên (C ) hoặc những điểm nằm trên ∆ nhưng không kể điểm uốn của (C ); • ba tiếp tuyến với (C ) là những điểm thuộc miền không bị gạch. Ví dụ 2.5 Cho hàm số y = x3 − 3 x2 + 2 có đồ thị là (C ). 1) Qua điểm P (−2, −18) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C )? 2) Tìm những điểm trên đường thẳng (`) : y = 4 x + 2 mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C ). Lời giải. Ta có y0 = 3 x2 − 6 x, y00 = 6 x − 6. Nghiệm của phương trình y00 = 0 là x = 1. Khi đó, y = 0. Điểm uốn của (C ) là A (1, 0). Tiếp tuyến ∆ tại A (1, 0) có phương trình là y = y0 (1)( x − 1) + 0 ⇔ y = 3 − 3 x. 1) Để ý điểm P thuộc (C ) và không là điểm uốn của (C ), nên qua A có hai tiếp tuyến đến (C ). 2.2. Hàm bậc ba 37 2) Đường thẳng (`) không đi qua điểm điểm uốn của (C ), nên tập hợp những điểm cần tìm là giao điểm của (`) và (C ) hoặc giao điểm của (`) và ∆. Phương trình x3 − 3 x2 + 2 = 4 x + 2 có ba nghiệm là x = −1 ∨ x = 0 ∨ x = 4 và phương trình 1 4 x + 2 = 3 − 3 x có nghiệm là x = . 7 Vậy có bốn điểm trên đường thẳng (`) mà từ mỗi điểm đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C ). ♦ Đồng Nai, năm học 2018 – 2019, Sắp chữ bằng LATEX bởi Trần Văn Toàn, Giáo viên trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai.
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top