Tài liệu tự học nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Trọng

Giới thiệu Tài liệu tự học nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Trọng

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Tài liệu tự học nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Trọng CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Tài liệu tự học nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Trọng
Tài liệu tự học nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Trọng

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Tài liệu tự học nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Trọng

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Tài liệu tự học nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Trọng
Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH B I 1: NGUYÊN HÀM _ Dạng 1. Định nghĩa, tính chất và nguyên hàm cơ bản -Phương pháp: _ Sử dụng bảng nguyên hàm Hàm sơ cấp Hàm số hợp u  u  x  Thường gặp .  dx  x  C .  du  u  C . . Vi phân d  ax  b   x 1 .  x dx  C  1   1 u 1 .  u du  C  1   1 . . dx  x  ln x  C  x  0 . du  u  ln u  C u  x   0 .  .  cos xdx  sin x  C .  cos udu  sin u  C .  sin xdx   cos x  C .  sin udu   cos u  C 1 .  cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C a 1 .  sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C a  .   1 dx  tan x  C cos2 x Với x  2 1 2 x dx   cot x  C . .  Với x  k .  e dx  e x  C  1 du  tan u  C cos2 u Với u  x   k .  sin .    a x  b  2 ax C ln a  0  a  1 .  a x dx  1 1 dx   (ax  b) 1  C a  1 dx 1  ln ax  b  C  a  0  ax  b a .  dx 1  tan  ax  b   C   cos ax  b a .  dx 1  cot  ax  b   C   sin ax  b a 2  k 1 du   cot u  C sin 2 u Với u  x   k .  eu du  eu  C x 1 dx a 2 1 .  eaxb dx  eax b  C a 1 .  a px  q dx  a px q  C p.ln a au C ln a  0  a  1 .  au du   0  a  1 _ Dùng máy tính cầm tay Cho  f ( x)dx F (x)  C . Tìm f ( x) hoặc F( x) d ( F ( X )) x X  f ( X ) dx . Nhấn phím Calc nhập X = 2.5 . Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0 ) thì đó là đáp án cần chọn . Nhấn shift 1 Fb: ThayTrongDGl Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH _Bài tập minh họa: Câu 1. Tất cả nguyên hàm của hàm số f  x   A. 1 là 2x  3 1 ln 2 x  3  C . 2 1 ln  2 x  3  C . 2 1 D. ln 2 x  3  C . ln 2 PP nhanh trắc nghiệm  Dùng máy tính cầm tay: B. C. ln 2 x  3  C . Lời giải Chọn A 1 1 1 1  f  x  dx   2x  3 dx  2  2x  3 d  2x  3  2 ln 2x  3  C . d 1 ( ln(| 2x dx 2 3 |)) |x 1 X 2x 3 CALC X = -2 Lưu ý: Trong kết quả A và C nếu cho X = 2 thì đều cho kết quả là 0. Vậy khi có trị tuyệt đối thì cho X một giá trị cho biểu thức trong trị tuyệt đối âm. Câu 2. Nếu  f  x dx  4 x A. f  x   x 4  3  x 2  C thì hàm số f  x  bằng x3  Cx . 3 B. f  x   12 x 2  2 x  C . x3 D. f  x   x  . 3 C. f  x   12 x  2 x . 2 4 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm  Dùng máy tính cầm tay tương tự câu 1 Chọn C Ta có: f  x     f  x dx    4x 3  x 2  C   12 x 2  2 x 1 1 với mọi x  và f 1  1 . Khi đó giá trị của f  5  bằng 2x 1 2 A. ln 2 . B. ln 3 . C. ln 2  1 . D. ln 3  1. Lời giải PP nhanh trắc nghiệm  Tư duy : Chọn D 5 Ta có:  f ‘  x  dx  f  x   C nên 1 f   x dx  f  5  f 1 1 1 . f  x   dx  ln 2 x  1  C 5 5 2x 1 2  f  5   f 1   f   x dx  1   f   x dx Mặt khác theo đề ra ta có: 1 1 1  Quy trình bấm máy : Sử dụng chức f 1  1  ln 2.1  1  C  1  C  1 nên 2 năng tính tích phân: 5 1 1 f  x   ln 2 x  1  1 Tính 1 2 x  1 dx và lưu vào A 2 1 1 Do vậy f  5  ln 2.5  1  1  ln 9  1  ln 3  1. 2 2 Câu 3. Cho hàm số f  x  có f ‘  x   2 Fb: ThayTrongDGl Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH – Tìm phương án có giá trị bằng 1 + A A. D. – Là giá trị rất nhỏ gần đến 0 nên thỏa mãn. Chọn D _Bài tập áp dụng: (10 câu NB; 10 câu TH) 1. Nhận biết: (10 câu) Câu 1. Câu 2. Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x3  A.  C.  1 . x 1 C . x2 1 f  x  dx  3x 2  2  C . x f  x  dx  3x 2  D.  Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  sin x là: B. 6 x  cos x  C . D. 6 x  cos x  C . Tất cả nguyên hàm của hàm số f  x   A. 1 là. 2x  3 1 ln 2 x  3  C . 2 1 ln  2 x  3  C . 2 1 ln 2 x  3  C . D. ln 2 B. C. ln 2 x  3  C . Câu 5.  x4  ln x  C . 4 x4 f  x  dx   ln x  C . 4 f  x  dx  Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 x e1 A.  cos 2 xdx  sin 2 x  C . B.  x e dx  C 2 e 1 1 xe1 C.  dx  ln x  C . D.  xe dx  C x x 1 A. x3  cos x  C . C. x3  cos x  C . Câu 4. B. Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa công thức nào sau đây sai? 1 dx  tan x  C . A.  B.  e x dx  e x  C . 2 cos x 3 Fb: ThayTrongDGl Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH C.  lnxdx  Câu 6. 1 c. x D.  sin xdx   cos x  C . Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e 2 x  x 2 là A. F  x   e2 x x3  C. 2 3 B. F  x   e2 x  x3  C . x3 D. F  x   e   C . 3 C. F  x   2e  2 x  C . 2x Câu 7. 2x Nguyên hàm của hàm số f  x   x3  3x  2 là hàm số nào trong các hàm số sau? x4  3x 2  2 x  C . 3 x4 x2 D. F  x     2 x  C . 4 2 B. F  x   A. F  x   3x 2  3x  C . C. F  x   Câu 8. x 4 3x 2   2x  C . 4 2 Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x (3  e x ) là 1 C . ex C. F ( x)  3e x  e x ln e x  C . A. F ( x)  3e x  Câu 9. New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH B. F ( x)  3e x  x  C . D. F ( x)  3e x  x  C . Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  cos x là 1 x1 e  sin x  C . x 1 D. e x  sin x  C . A. e x  sin x  C . B. C. xe x 1  sin x  C . Câu 10. Nguyên hàm của hàm số f x A. F x C. F x x2 2 x2 2 3x ln 3 3 x x 3x là: C. B. F x C. D. F x 1 x2 2 3x ln 3 C. 3x.ln 3 C . 2. Thông hiểu: (10 câu)   Câu 11. Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin x  cos x thoả mãn F    2 . 2 A. F  x   cos x  sin x  3 . B. F  x    cos x  sin x  3 . C. F  x    cos x  sin x  1 . D. F  x    cos x  sin x  1 . cos 2 x dx 2 x cos2 x A. F  x    cos x  sin x  C . B. F  x   cos x  sin x  C . C. F  x   cot x  tan x  C . D. F  x    cot x  tan x  C . Câu 12. Tìm nguyên hàm  sin Câu 13. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  4e2 x  2 x thỏa mãn F  0   1 . Tìm F  x  . 2x 2 A. F  x   4e  x  3 . 2x 2 B. F  x   2e  x  1 . 2x 2 C. F  x   2e  x  1 . 2x 2 D. F  x   2e  x  1 . 4 Fb: ThayTrongDGl Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH Câu 14. Cho hàm số y  F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  x 2 . Biểu thức F   25  bằng A. 125 . B. 625 . C. 5 . Câu 15. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   A. F 1  ln 2  1 . B. F 1  1 ln 2  1 . 2 D. 25 . x và F  0   1 . Tính F 1 . x 1 2 C. F 1  0 . D. F 1  ln 2  2 . Câu 16. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  2 x thoả mãn F  0   0 . Ta có F  x  bằng A. x 2  2x 1 . ln 2 B. x 2  1  2x . ln 2 C. 1   2 x  1 ln 2 . D. x 2  2x  1 . 1 . Biết F 1  2 . Giá trị của F  2  là 2x 1 1 C. F  2   ln 3  2. D. F  2   2 ln 3  2. 2 Câu 17. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   1 A. F  2   ln 3  2. 2 B. F  2   ln 3  2. Câu 18. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2 x  A.  cot x  x  2 2 16 B. cot x  x  2 . 2 16 Câu 19. Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x A. F ( x) C. F ( x) 1   thỏa mãn F    1 là 2 sin x 4 D. cot x  x  C.  cot x  x  1. 2 2 . sin  cos( 2 x) 1 . 2 2 cos( 2 x) 1. 2 2 x thỏa mãn F B. F ( x) D. F ( x)  2 cos( 2 x) 2 cos( 2 x) 2 2 16 . 1. 1 . 2 1 . 2 Câu 20. Tìm F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x  1 trên  ;   , biết F  0   2 . A. F  x   ln x  x  1 . C. F  x   Bảng đáp án 1.D 11.D B. F  x   e x  x  1 . 1  x  1. ex 2.D 12.D 3.C 13.B D. F  x   e x  x  1 . 4.A 14.B 5.C 15.D 6.A 16.A 7.C 17.A 8.D 18.A 9.D 19.B 10.A 20.D Hướng dẫn giải Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x3  1 . x x4 B.  f  x  dx   ln x  C . 4 x4 D.  f  x  dx   ln x  C . 4 Lời giải 1 f  x  dx  3x  2  C . x A.  C.  f  x  dx  3x 2 2  1 C . x2 Chọn D 5 Fb: ThayTrongDGl Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH Ta có: Câu 2. Câu 3.  1 1 x4  f  x  dx    x3   dx   x3dx   dx   ln x  C . x x 4  Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 x e1 A.  cos 2 xdx  sin 2 x  C . B.  x e dx  C . e 1 2 1 xe1 C.  dx  ln x  C . D.  xe dx  C . x x 1 Lời giải Chọn D Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  sin x là: A. x3  cos x  C . Chọn C Ta có Câu 4. New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH   3x 2 B. 6 x  cos x  C . D. 6 x  cos x  C .  sin x  dx  x3  cos x  C . Tất cả nguyên hàm của hàm số f  x   A. C. x3  cos x  C . Lời giải 1 là 2x  3 1 ln 2 x  3  C . 2 1 ln  2 x  3  C . 2 1 D. ln 2 x  3  C . ln 2 Lời giải B. C. ln 2 x  3  C . Chọn A 1 1  f  x  dx   2x  3 dx  2 ln 2x  3  C . Câu 5. Câu 6. Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa công thức nào sau đây sai? 1 A.  B.  e x dx  e x  C . dx  tan x  C . 2 cos x 1 C.  lnxdx   c . D.  sin xdx   cos x  C . x Lời giải Chọn C 1 Theo bảng nguyên hàm ta chọn câu sai là  lnxdx   c . x Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e 2 x  x 2 là A. F  x   e2 x x3  C. 2 3 B. F  x   e2 x  x3  C . x3 D. F  x   e   C . 3 Lời giải C. F  x   2e  2 x  C . 2x 2x Chọn A Ta có F  x    f  x  dx    e2 x  x 2 dx  e 2 x x3  C . 2 3 6 Fb: ThayTrongDGl Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH Vậy F  x   Câu 7. New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH e2 x x3  C. 2 3 Nguyên hàm của hàm số f  x   x3  3x  2 là hàm số nào trong các hàm số sau? x4  3x 2  2 x  C . 3 x4 x2 D. F  x     2 x  C . 4 2 Lời giải B. F  x   A. F  x   3x 2  3x  C . x 4 3x 2   2x  C . 4 2 C. F  x   Chọn C   Ta có: F ( x)   f  x  dx   x3  3x  2 dx  Câu 8. x 4 3x 2   2x  C . 4 2 Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x (3  e x ) là 1 C . ex C. F ( x)  3e x  e x ln e x  C . A. F ( x)  3e x  B. F ( x)  3e x  x  C . D. F ( x)  3e x  x  C . Lời giải Chọn D  e (3  e x Câu 9. x )dx    3e x  1 dx  3e x  x  C . Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  cos x là 1 x1 e  sin x  C . x 1 D. e x  sin x  C . Lời giải A. e x  sin x  C . B. C. xe x 1  sin x  C . Chọn D Ta có:  e x  cos x  dx  e x  sin x  C . Câu 10. Nguyên hàm của hàm số f x x2 2 x2 2 A. F x C. F x 3x ln 3 3x x 3x là: C. C. B. F x 1 D. F x x2 2 3x ln 3 C. 3x.ln 3 C . Lời giải Chọn A Ta có: f x dx x 3x dx x2 2 3x ln 3 C.   Câu 11. Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin x  cos x thoả mãn F    2 2 A. F  x   cos x  sin x  3 . B. F  x    cos x  sin x  3 . C. F  x    cos x  sin x  1 . D. F  x    cos x  sin x  1 . Lời giải 7 Fb: ThayTrongDGl Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH Chọn D Có  cos udu  sin u  C ;  sin udu   cos u  C nên  f  x dx    sin x  cos x dx   cos x  sin x  C π π   π F     cos  sin  C  1  C. Mà F    2  C  1 . Do đó F  x    cos x  sin x 1 . 2 2 2 2 cos 2 x dx 2 x cos2 x A. F  x    cos x  sin x  C . B. F  x   cos x  sin x  C C. F  x   cot x  tan x  C . D. F  x    cot x  tan x  C . Câu 12. Tìm nguyên hàm  sin Lời giải Chọn D Ta có: cos 2 x cos 2 x  sin 2 x 1   1 d x   sin 2 x cos2 x  sin 2 x cos2 x dx    sin 2 x  cos2 x  dx   cot x  tan x  C Câu 13. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  4e2 x  2 x thỏa mãn F  0   1 . Tìm F  x  . 2x 2 A. F  x   4e  x  3 . 2x 2 B. F  x   2e  x  1 . 2x 2 C. F  x   2e  x  1 . 2x 2 D. F  x   2e  x  1 . Lời giải Chọn B   Ta có: F  x    4e 2 x  2 x dx  2e 2 x  x 2  C . F  0   2.e 2.0  02  C  2  C . Mà F  0   1  2  C  1  C  1 . Do đó: F  x   2e 2 x  x 2  1. Câu 14. Cho hàm số y  F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y  x 2 . Biểu thức F ‘(25) bằng: A. 125 . B. 625 . C. 5 . Lời giải D. 25 . Chọn B Ta có: F  x  được gọi là nguyên hàm của f  x  trên K nếu F ‘( x)  f ( x), x  K Mà y  F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y  x 2 nên F ‘( x)  x 2 Vậy F ‘(25)  252  625 . Câu 15. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   A. F 1  ln 2  1 . B. F 1  x và F  0   1 . Tính F 1 . x 1 2 1 ln 2  1 . C. F 1  0 . 2 Lời giải D. F 1  ln 2  2 . Chọn B  2 x 1 d  x  1 1 f  x  dx   2 dx    ln  x 2  1  c . 2 2 2 x 1 x 1 Vì F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  nên F  x   1 ln  x 2  1  c . 2 8 Fb: ThayTrongDGl Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 1 ln1  c  1  c  1 . 2 1 Do đó F  x   ln  x 2  1  1 . 2 1 1 Vậy F 1  ln 12  1  1  ln 2  1 . 2 2 F  0  1  Câu 16. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  2 x thoả mãn F  0   0 . Ta có F  x  bằng A. x 2  2x 1 . ln 2 B. x 2  1  2x . ln 2 C. 1   2 x  1 ln 2 . D. x 2  2x  1 . Lời giải Chọn A 2x Ta có:   2 x  2  dx  x   C . Do đó. ln 2 20 1 Theo giả thiết F  0   0  02  . C  0  C   ln 2 ln 2 2x 1 2x 1 Vậy F  x   x 2  .   x2  ln 2 ln 2 ln 2 x 2 Câu 17. Cho hàm số f  x  có f ‘  x   1 1 với mọi x  và f 1  2 . Khi đó giá trị của f  2  2x 1 2 bằng 1 A. F  2   ln 3  2 . 2 B. F  2   ln 3  2 . C. F  2   2 ln 3  2 . 1 D. F  2   ln 3  2 . 2 Lời giải Chọn D 1 1 d  2 x  1 1 dx    ln 2 x  1  C 2x 1 2 2 x 1 2 1 1 Mặt khác theo đề ra ta có: f 1  2  ln 2.1  1  C  2  C  2 nên f  x   ln 2 x  1  2 2 2 1 1 Do vậy f  2   ln 2.2  1  2  ln 3  2 . 2 2 Ta có:  f ‘  x  dx  f  x   C nên f  x    Câu 18. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2 x  A.  cot x  x  2 2 16 . B. cot x  x 2  2 16 1   thỏa mãn F    1 là 2 sin x 4 C.  cot x  x 2  1. . D. cot x  x 2  2 16 . Lời giải Chọn A 1   Ta có F ( x)    2 x  2  dx  x 2  cot x  C sin x         F    1     cot  C  1  C   4 16 4 4 2 2 9 Fb: ThayTrongDGl Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH 2 Vậy F(x) =  cot x  x 2  16 Câu 19. Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x A. F ( x) C. F ( x) New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH sin  cos( 2 x) 1 . 2 2 cos( 2 x) 1. 2 2 x thỏa mãn F B. F ( x) D. F ( x)  2 cos( 2 x) 2 cos( 2 x) 2 1. 1 . 2 1 . 2 Lời giải Chọn B sin  + F x + F  2 Vậy F ( x) 1 2 1 2 x dx C 1 cos( 2 x) 2 cos  2 x 2 1 C 2 C 1 2 Câu 20. Tìm F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x  1 trên  ;   , biết F  0   2 . A. F  x   ln x  x  1 . B. F  x   e x  x  1 . C. F  x   1  x  1 . D. F  x   e x  x  1 . ex Lời giải Chọn D Ta có: F  x    f  x  dx    e x  1 dx  e x  x  C . Theo bài: F  0   2  e0  0  C  2  1  C  2  C  1 . Vậy F  x   e x  x  1 . _ Dạng 2. Đổi biến -Phương pháp: _ . Chọn t    x  . Trong đó   x  là hàm số mà ta chọn thích hợp. . Tính vi phân hai vế: dt   ‘  x  dx . . Biểu thị: f ( x)dx  g   x    ‘  x  dx  g (t )dt . . Khi đó: I   f ( x)dx   g (t )dt  G (t )  C _Casio: Cho  f ( x)dx F (x)  C . Tìm f ( x) hoặc F( x) d ( F ( X )) x X  f ( X ) dx . Nhấn phím Calc nhập X  2.5 . Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0 ) thì đó là đáp án cần chọn _Bài tập minh. họa: Nhấn shift Fb: ThayTrongDGl 10 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH _Bài tập minh họa: Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin x . 1  3cos x A.  1 f ( x) dx  ln 1  3cos x  C . 3 B.  f ( x) dx  ln 1  3cos x  C . C.  f ( x) dx  3ln 1  3cos x  C . D.  f ( x) dx  Lời giải Chọn D  Đặt t  1  3cos x  dt  3sin xdx 1 1 1 1  f ( x) dx   3  t dt   3 ln | t | C  3 ln 1  3cos x  C Câu 2. Tính nguyên hàm I   PP nhanh trắc nghiệm  Dùng máy tính cầm tay 1 dx . x ln x  1 2 (ln x  1)3  C . 3 1 (ln x  1)2  C . C. I  2 Lời giải A. I  B. I  ln x  1  C . D. I  2 ln x  1  C . PP nhanh trắc nghiệm  Dùng máy tính cầm tay Chọn D  Đặt t  ln x  1  t 2  ln x  1  2tdt  I  1 ln 1  3cos x  C . 3 1 dx x 1 dx  2 dt  2t  C  2 ln x  1  C x ln x  1 Câu 3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x. 3 x 2  1 ? 4 3 A. F  x    ( x 2  1) 3  C . 8 4 8 B. F  x   ( x 2  1) 3  C . 3 3 3 C. F  x   ( x 2  1) 4  C . 8 4 3 D. F  x   ( x 2  1) 3  C . 8 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm  Dùng máy tính cầm tay. Chọn D  Đặt t  3 x 2  1  t 3  x 2  1  3t 2 dt  2 xdx 4 3 3 34 3 2  x. x  1dx  2  t dt  8t  C  8 ( x  1) 3  C 3 2 Fb: ThayTrongDGl 11 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH _Bài tập áp dụng: (10 câu NB; 10 câu TH) 1. Nhận biết: (10 câu) Câu 1. Tìm  ln x dx có kết quả là. x A. ln ln x  C . Câu 2. Câu 3. B. ln 1  1 Nguyên hàm x Câu 6. C. 2ln | x  1| C . D. 2 x  2ln | x  1 | C . Cho hàm số F  x    x x 2  2dx . Biết F B. 11 . 1 e 2. 2  1  Tính nguyên hàm    dx .  2x  3  1 A. 2ln 2 x  3  C . B. ln 2 x  3  C . 2 23 . 6 D. C. 1 e 1 . 2 40 . 3 3 1 . Giá trị F   là: 2 2 1 1 D. e  . 2 2 C. ln 2 x  3  C . D. 1 ln  2 x  3  C . 2  Xét I   x3 4 x4  3 dx . Bằng cách đặt u  4 x 4  3 , khẳng định nào sau đây đúng? 5 1 5 u du . 4 B. I   u 5 du . C. I  1 5 u du . 12  D. I  4  x  D. 2 1 5 u du . 16  Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 4  x3 là: 2 9 4  x  3 3 C . B. 2 4  x3  C . C. 1 9 3 3 C . 4  x  3 3 C .  x  2 10 dx bằng: Nguyên hàm   x  112 1  x2 A.   C . 33  x  1  1  x2 B.   C . 11  x  1  1 x2 C.   C . 3  x 1  1  x2 D.    C . 11  x  1  11 11 11 Câu 9. C. B. 2e  1 .  1 2 ln x  C . 2  2   23 , tính F  7  . Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f  x   e 2 x và F  0   A. Câu 8. D. B. 2 x  C . A. I  Câu 7. x2  ln x  1  C . 2 A. 2 x  2ln | x  1| C . A. Câu 5. C. dx bằng. A. 7 . Câu 4. x2 C. 2 11 Nguyên hàm của hàm số f (x ) A. 1 cos3 x 4 Fb: ThayTrongDGl C sin3 x. cos x là: B. 1 3 sin x 4 12 Tài liệu biên soạn và sưu tầm C Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH C. 1 4 sin x 4 New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH C D. 1 4 sin x 4 cos x C   Câu 10. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin 2 2 x.cos3 2 x thỏa F    0 là: 4 1 1 4 1 1 1 A. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  . B. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  . 6 10 15 6 10 15 1 1 1 1 1 1 C. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  . D. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  . 6 10 15 6 10 15 2. Thông hiểu: (10 câu)  x  1 Câu 11. Nếu F  x    x2  2x  3 x 1 A. F  x   ln x  2x  3 2 dx thì.  2 C. F  x   x  2 x  3  C . D. F  x   1 . 2 B. I 1 2 x  2x  3  C . 2 ln x . Tính F  e   F 1 . x 1 C. I . D. I e Câu 12. Cho F x là nguyên hàm của hàm số f x A. I 1. Câu 13. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f  x   A. F  x   x  1 .  1 B. F  x   ln x 2  2 x  3  C . 2 C . B. F  x   4 x  1 . 2 ? x 1 C. F  x   2 x  1 . e2 x Câu 14. Nguyên hàm của hàm số y  f  x   x là: e 1 e. D. F  x   A. I  x  ln x  C . B. I  e x  ln  e x  1  C . C. I  x  ln x  C . D. I  e x  1  ln  e x  1  C . 1 . x 1 Câu 15. Một nguyên hàm của hàm số y  x 1  x 2 là: 1 A. 3  1 x 2 . 6 1 B. 3 Câu 16. Tìm nguyên hàm I    1 x 2 . x2 C. 2 3  1 x 2 . 2 x2 D. 2 B. I  x  ln 1  e x  C . C. I  x  ln 1  e x  C . D. I  x  ln 1  e x  C .  2 x  3x  2  6 dx  A  3x  2   B  3x  2   C với A , B  thức 12 A  7 B bằng: 23 A. . 252 Fb: ThayTrongDGl 1  x2 . 3 dx . 1  ex A. I   x  ln 1  e x  C . Câu 17. Cho  8 B. 241 . 252 7 C. 52 . 9 13 Tài liệu biên soạn và sưu tầm và C  D. . Giá trị của biểu 7 . 9 Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH Câu 18. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f  x     f  x  dx  ln 3sin x  2 cos x  C . C.  f  x  dx  ln 3cos x  2sin x  C . A.  Câu 19. Khi tính nguyên hàm A.  2  u2  4 du . 3sin x  2cos x dx . 3cos x  2sin x B.  f  x  dx   ln  3cos x  2sin x   C . D.  f  x  dx   ln 3cos x  2sin x  C . x3 dx , bằng cách đặt u  x  1 ta được nguyên hàm nào? x 1 B. Câu 20. Kết quả của phép tính e x  u 2  3du . C.  2u  u2  4 du . ex 1 C . B. ln x e 2 C. ln  e  2e  1  C . 1 ex 1 D. ln x C . 3 e 2 Bảng đáp án 1.D 11.C x 2.D 12.A 3.A 13.B D.  u 2  4 du . dx bằng:  2.e x  1 1 ex 1 C. A. ln x 3 e 2 x New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 4.B 14.D 5.C 15.B 6.D 16.D 7.A 17.D 8.A 18.B 9.D 19.A 10.C 20.A Hướng dẫn giải Câu 1. Tìm  ln x dx có kết quả là. x A. ln ln x  C . B. ln x2 C. 2 C. x2  ln x  1  C . 2 D. 1 2 ln x  C . 2 Lời giải Chọn D ln x ln 2 x Ta có  dx   ln xd ln x  C . x 2 Câu 2. Nguyên hàm 1  1 x dx bằng. A. 2 x  2ln | x  1| C . B. 2 x  C . C. 2ln | x  1| C . D. 2 x  2ln | x  1 | C . Lời giải Chọn D Đặt x  t  x  t 2  dx  2tdt . 2t  2   1  t dt    2  1  t dt  2t  2 ln 1  t  C  2 Câu 3. Cho hàm số F  x    x x 2  2dx . Biết F A. 7 . B. 11 . x  2 ln | x  1| C .  2   23 , tính F  7  . C. 23 . 6 D. 40 . 3 Lời giải Chọn A Fb: ThayTrongDGl 14 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH Ta có: F  x    x x 2  2dx    1 1 x 2  2d  x 2  2    2 3 3 x2  2  C  2   23  83  C  32  C  2 Vậy F  7   9  2  7 . Mà F Câu 4. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f  x   e 2 x và F  0   A. 1 e 2. 2 B. 2e  1 . C. 1 e 1 . 2 3 1 . Giá trị F   là 2 2 1 1 D. e  . 2 2 Lời giải Chọn B 1 Ta có: F  x    f  x  dx   e2 x dx  e2 x  C . 2 3 1 Theo giả thiết: F  0    C  1 . Vậy F    2e  1 . 2 2 Câu 5. Câu 6.  1  Tính nguyên hàm    dx .  2x  3  1 A. 2ln 2 x  3  C . B. ln 2 x  3  C . C. ln 2 x  3  C . 2 Lời giải Chọn B 1  1  1  1  Ta có:    dx     d  2 x  3  ln 2 x  3  C . 2  2x  3  2  2x  3   D. 1 ln  2 x  3  C . 2  Xét I   x3 4 x4  3 dx . Bằng cách đặt u  4 x 4  3 , khẳng định nào sau đây đúng. A. I  5 1 5 u du . 4 B. I   u 5 du . C. I  1 5 u du . 12  D. I  1 5 u du . 16  Lời giải Chọn C Ta có u  4 x 4  3  du  16 x3dx  x3dx  Câu 7. 5 du 1 ; Suy ra: I   x3  4 x 4  3 dx   u 5du . 16 16 Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 4  x3 là: A. 2 9 4  x  3 3 C . B. 2 4  x3  C . C. 1 9 4  x  3 3 C . D. 2 4  x  3 3 C . Lời giải Chọn A Ta có  Câu 8. 2 9 2 3  x 4  x dx  4  x  3 3  1 1 4  x3 d  4  x3    4  x3  3 3 1 2 3 3 2  d  4  x   13 . 32  4  x  3 C C .  x  2 10 dx bằng. Nguyên hàm   x  112 Fb: ThayTrongDGl 15 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 1  x2 A.   C . 33  x  1  1  x2 B.   C . 11  x  1  11 11 1 x2 C.   C . 3  x 1  1  x2 D.    C . 11  x  1  Lời giải 11 11 Chọn A 10  x  2 10 dx  x2 dx =   Biến đổi I   .  . 12  x  1  x  1   x  12 Đặt t  x2 3  dt  dx .  x  12 x 1 1  x2 1 1 Do đó I   t10dt = t11  C =   C . 33  x  1  3 33 11 Câu 9. Nguyên hàm của hàm số f (x ) 1 cos3 x 4 1 C. sin4 x 4 sin3 x. cos x là: 1 3 sin x 4 1 D. sin4 x 4 Lời giải C A. B. C C cos x C Chọn C Sử dụng casio: đạo hàm của đáp án tại 3 trừ hàm dưới dấu tích phân tại 3 bằng 0 thì chọn đáp án.   Câu 10. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin 2 2 x.cos3 2 x thỏa F    0 là 4 1 1 4 1 1 1 A. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  . B. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  . 6 10 15 6 10 15 1 1 1 1 1 1 C. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  . D. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  . 6 10 15 6 10 15 Lời giải Chọn D 1 Đặt t  sin 2 x  dt  2.cos 2 xdx  dt  cos 2 xdx . 2 Ta có: 1 1 1 1 F  x    sin 2 2 x.cos3 2 xdx   t 2 . 1  t 2 dt   t 2  t 4 dt  t 3  t 5  C 2 2 6 10 1 3 1  sin 2 x  sin 5 2 x  C . 6 10 1  1  1   F    0  sin 3  sin 5  C  0  C   . 6 2 10 2 15 4 1 1 1 Vậy F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  . 6 10 15  Câu 11. Nếu F  x    Fb: ThayTrongDGl  x  1 x2  2x  3    dx thì: 16 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH A. F  x   ln New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH x 1 x  2x  3 2   1 B. F  x   ln x 2  2 x  3  C . 2 C . 2 C. F  x   x  2 x  3  C . D. F  x   1 2 x  2x  3  C . 2 Lời giải Chọn C 2 2 2 Đặt t  x  2 x  3  t  x  2 x  3  2tdt  2  x  1 dx   x  1 dx  tdt . Do đó F  x     x  1 dx x2  2 x  3  tdt  t  C  x2  2x  3  C . t Câu 12. Cho F x là nguyên hàm của hàm số f x A. I 1 . 2 B. I 1. ln x . Tính F e x 1 C. I . e Lời giải F 1 D. I e. Chọn A Đặt t ln x ln x dx x dt dx . x tdt t2 2 C ln 2 x 2 C F x C F e Câu 13. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f  x   A. F  x   x  1 . B. F  x   4 x  1 . F 1 1 . 2 2 ? x 1 C. F  x   2 x  1 . D. F  x   1 . x 1 Lời giải Chọn B d  x  1 2 dx  4  4 x 1  C . x 1 2 x 1 2 dx  4 x  1  C , nên hàm số đã cho có một Họ nguyên hàm của hàm số đã cho là  x 1 Ta có: F  x    nguyên hàm là hàm F  x   4 x  1 . Câu 14. Nguyên hàm của hàm số y  f  x   e2 x là: ex  1 A. I  x  ln x  C . B. I  e x  ln  e x  1  C . C. I  x  ln x  C . D. I  e x  1  ln  e x  1  C . Lời giải Chọn D e2 x ex x I  x dx   x e dx . e 1 e 1 Đặt t  e x  1  e x  t  1  dt  e x dx . Fb: ThayTrongDGl 17 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH Ta có I   New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH t 1  1 dt   1   dt  t  ln t  C . 1  t Trở lại biến cũ ta được I  e x  1  ln  e x  1  C . Câu 15. Một nguyên hàm của hàm số y  x 1  x 2 là: A. 1 3  1  x2  6 . B. 1 3  1  x2  3 . C. x2 2  1  x2  2 . D. x2 2  1  x2 . 3 Lời giải Chọn B Đặt t  x 2  1  t 2  x 2  1  tdt  xdx . 3 t C  3   x x 2  1dx   t 2 dt  Câu 16. Tìm nguyên hàm I    x2  1 3  C. 3 dx . 1  ex A. I   x  ln 1  e x  C . B. I  x  ln 1  e x  C . C. I  x  ln 1  e x  C . D. I  x  ln 1  e x  C . Lời giải Chọn D dx e x dx I   . 1  e x  e x 1  e x  Đặt t  e x  dt  e x dx . I  e x dx dt 1 1  x x       ln t  ln t  1  C  ln e  ln e  1  C x x t 1  t  e 1  e   t t 1   x  ln e x  1  C . Câu 17. Cho  2 x  3x  2  6 dx  A  3x  2   B  3x  2   C với A , B  thức 12 A  7 B bằng: 23 A. . 252 8 B. 241 . 252 7 52 . 9 Lời giải C. và C  D. . Giá trị của biểu 7 . 9 Chọn D t2 1  dt  dx . 3 3 2 t8 4 t 7 2 t2 6 2 1 4 8 7 Ta có:  .t dt   t 7 +2t 6 dt  .  .  C  .  3x  2   .  3x  2   C . 9 8 9 7 3 3 9 36 63 1 4 1 4 7 Suy ra A  , B  , 12.  7.  . 36 63 36 63 9 Đặt t  3x  2  x    Câu 18. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f  x    A.  f  x  dx  ln 3sin x  2 cos x  C . Fb: ThayTrongDGl 3sin x  2cos x dx . 3cos x  2sin x B.  f  x  dx   ln  3cos x  2sin x   C . 18 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH C. New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH  f  x  dx  ln 3cos x  2sin x  C . D.  f  x  dx   ln 3cos x  2sin x  C . Lời giải Chọn B Ta có:  f  x  dx   Câu 19. Khi tính nguyên hàm d  3cos x  2sin x    ln  3cos x  2sin x   C . 3cos x  2sin x  A.  2  u2  4 du . x3 dx , bằng cách đặt u  x  1 ta được nguyên hàm nào? x 1 B.  u 2  3du . C.  2u  u2  4 du . D.  u 2  4 du . Lời giải Chọn A  dx  2 u d u Đặt u  x  1 , u  0 nên u 2  x  1   . 2 x  u 1 Khi đó  x 3 u2  1  3 dx   .2udu   2  u 2  4 du . u x 1 Câu 20. Kết quả của phép tính e x dx bằng:  2.e x  1 1 ex 1 C. A. ln x 3 e 2 B. ln C. ln  e x  2e  x  1  C . D. Fb: ThayTrongDGl ex 1 C . ex  2 1 ex 1 ln C . 3 ex  2 19 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH _ Dạng 3. Từng Phần -Phương pháp: _ Định lý. Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn  a; b  và có đạo hàm liên tục trên đoạn  a; b  . Khi đó:  udv  uv   vdu. * _ Tự luận. Để tính nguyên hàm  f  x  dx bằng từng phần ta làm như sau: Bước 1. Chọn u , v sao cho f  x  dx  udv (chú ý dv  v ‘  x  dx ). Sau đó tính v   dv và du  u ‘.dx . Bước 2. Thay vào công thức * và tính  vdu . Chú ý : Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân  vdu dễ tính hơn  udv . Ta thường gặp các dạng sau: sin x  ⍟Dạng 1. I   P  x    dx , trong đó P  x  là đa thức. cos x  u  P  x   Với dạng này, ta đặt  sin x  . dv  cos x  dx    ax  b ⍟ Dạng 2. I   P  x  e dx , trong đó P  x  là đa thức. u  P  x  Với dạng này, ta đặt  . ax b dv  e dx ⍟ Dạng 3. I   P  x  ln  mx  n  dx , trong đó P  x  là đa thức. u  ln  mx  n  Với dạng này, ta đặt  . dv  P  x  dx _ Casio: Cho  f ( x)dx  F (x)  C . Tìm f ( x) hoặc F( x) d ( f ( X )) x X  F ( X ) dx . Nhấn phím Calc nhập X  2.5 . Nhấn shift . Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0 ) thì đó là đáp án cần chọn . Nguyên tắc chung để đặt u và dv : Tìm được v dễ dàng và  v.du tính được. Nhấn mạnh: Thứ tự ưu tiên khi chọn đặt u : “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ). Fb: ThayTrongDGl 20 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH _Bài tập minh họa: Câu 1. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x cos 2 x là: x sin 2 x cos 2 x  C . 2 4 cos 2 x C. x sin 2 x  C . 2 Lời giải cos 2 x C . 2 x sin 2 x cos 2 x D.  C . 2 4 PP nhanh trắc nghiệm  Máy tính cầm tay. B. x sin 2 x  A. Chọn A I   x cos 2 xdx . du  dx u  x   Đặt  . 1 dv  cos 2 xdx v  sin 2 x  2 Khi đó 1 1 1 1 I  x sin 2 x   sin 2 xdx  x sin 2 x  cos 2 x  C . 2 2 2 4 Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x ln 2 x là: x2  1 A.  ln 2 x    C . 2 2 C. x2 B. x ln 2 x   C . 2 2 x2  ln 2 x  1  C . 2 Lời giải x2 ln 2 x  x 2  C . 2 PP nhanh trắc nghiệm  Máy tính cầm tay D. Chọn A 1  du   u  ln 2 x  x   Đặt  . 2 dv  xdx v  x  2 2 x 1 x2 F  x    f  x  dx  .ln 2 x   . dx 2 x 2 . 2 2 2 x x x  1  ln 2 x   C   ln 2 x    C 2 4 2 2 Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x.e2 x . A. F x 1 2x e x 2 1 2 C. B. F x C. F x 2e2x x 1 2 C. D. F x Lời giải Chọn A 2e2x x 1 2x e x 2 C. 2 2 C. PP nhanh trắc nghiệm  Máy tính cầm tay Ta có: F  x    x.e 2 x dx . Đặt Fb: ThayTrongDGl 21 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH du  dx u  x    1 2x 2x dv  e dx v  e  2 1 1 1  1  F  x   xe2 x   e2 x dx  e2 x  x    C 2 2 2  2 _Bài tập áp dụng: (10 câu NB; 10 câu TH) 1. Nhận biết: (10 câu) Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f  x   x sin x là: A. – x cos x  sin x  C . C. x cos x  sin x  C . Câu 2. B. x sin x  cos x  C . D. x cos x  sin x  C . Kết quả của I   xe x dx là: x2 x x e e C . 2 x2 x I  e C . C. 2 A. I  Câu 3. B. I  e x  xe x  C . D. I  xe x  e x  C . Tính F ( x)   x sin 2 xdx . Chọn kết quả đúng? 1 A. F ( x)  (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C . 4 1 C. F ( x)   (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C . 4 Câu 4. Nguyên hàm của hàm số f  x    x  1 e x là A. xe x  C . Câu 5. B.  x  2  e x  C . x2 1 ln x  x 2  C. 2 4 2 x 1 ln x  x 2  C. C. 2 4 Câu 7. C.  x  1 e x  C . D. 2 xe x  C . Họ các nguyên hàm của f  x   x ln x là: 1 B. x 2 ln x  x 2  C. 2 A. Câu 6. 1 B. F ( x)   (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C . 4 1 D. F ( x)  (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C . 4 D. x ln x  1 x  C. 2 Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x ln  x  2  . A.  C.  x2 x2  4 x ln  x  2   C . 2 2 x2 x2  4 x f  x  dx  ln  x  2   C . 2 4 f  x  dx  B.  D.  x2  4 x2  4 x ln  x  2   C . 2 2 x2  4 x2  4 x f  x  dx  ln  x  2   C . 2 4 f  x  dx  Cho hàm số y   x sin 2 xdx . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:    3 A. y    .  6  12    C. y    .  6  12 Fb: ThayTrongDGl    3 B. y    . 6 6    D. y    .  6  24 22 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH Câu 8. Câu 9. Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   xe x . Tính F  x  biết F  0   1 . A. F  x    x  1 e x  2 . B. F  x     x  1 e  x  1. C. F  x     x  1 e x  2 . D. F  x    x  1 e x  1 . Tìm họ nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   x.e2 x . A. F  x   2e2 x  x  2   C . 1 B. F  x   e2 x  x  2   C . 2 1 1  D. F  x   e2 x  x    C . 2  2 1  C. F  x   2e 2 x  x    C . 2  Câu 10. New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f  x    5 x  1 e x và F  0   3 . Tính F 1 . A. F 1  e  2 . B. F 1  11e  3 . C. F 1  e  3 . D. F 1  e  7 . B. x ln x  C . C. x ln x  x  C . D. x ln x  x . 2. Thông hiểu: (10 câu) Câu 11. Kết quả của  ln xdx là: A. x ln x  x  C . Câu 12. Câu 13. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x ln x . A.  C.  2 32 x  3ln x  2   C . 9 2 3 f  x  dx  x 2  3ln x  2   C . 3 Biết  x cos 2 xdx  ax sin 2 x  b cos 2 x  C 1 A. ab   . 4 Câu 14. Biết  xe A. ab  2x B. với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? 1 B. ab  . 8 dx  axe 2 x  be 2 x  C  a, b  1 . 4 C. ab  . 1 B. ab   . 8 2 Câu 15. 1 32 f x d x  x  3ln x  2   C .    9 2 3 D.  f  x  dx  x 2  3ln x  1  C . 9 f  x  dx  1 . 4 1 D. ab   . 8 Tính tích ab . 1 C. ab  . 8 1 D. ab   . 4 x Biết I    3x  1 e 2 dx  a  be với a, b là các số nguyên. Tính S  a  b. 0 A. S  8 . Câu 16. Ta có B. S  10 .  x .e dx   x 2 A. 0 . Câu 17. x 2 C. S  12 . D. S  16 .   mx  n e x  C khi đó m.n bằng. B. 4 . C. 5 . D. 4 . Nguyên hàm của hàm 2018 f  x   x.e2 x là: 1 A. F ( x)  e2 x  x  2   C . 2 1  1 B. F ( x)  e 2 x  x    C . 2  2 1  C. F ( x)  2e2 x  x    C . 2  D. F ( x)  2e2 x  x  2   C . Fb: ThayTrongDGl 23 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH Câu 18. New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH Cho F  x    ax 2  bx  c  e 2 x là một nguyên hàm của hàm số f  x    2018 x 2  3x  1 e2 x trên khoảng  ;   . Tính T  a  2b  4c . A. T  1011 . Câu 19.   x  3 .e Biết B. T  3035 . 2 x dx   bằng A. 5 . C. T  1007 . 1 2 x e  2 x  n   C , với m, n  m B. 65 . D. T  5053 . . Khi đó tổng S  m2  n2 có giá trị D. 10 . C. 41 . Câu 20. Tìm nguyên hàm  sin x dx . A.  sin x dx  2 cos x  2sin x  C . B.  sin x dx   cos x  C . C.  sin x dx  cos x  C . D.  sin x dx  Bảng đáp án 1.A 11.C 2.D 12.B 3.C 13.B 4.A 14.B 5.C 15.C 6.D 16.B 7.C 17.B 1 2 x cos x  C . 8.C 18.B 9.D 19.B 10.D 20.A Hướng dẫn giải Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f  x   x sin x là A. – x cos x  sin x  C . C. x cos x  sin x  C . B. x sin x  cos x  C . D. x cos x  sin x  C . Lời giải Chọn A Ta có:  x sin xdx . u  x  du  dx  Đặt  . dv  sin xdx v   cos x Vậy Câu 2.  x sin xdx   x cos x   cos xdx   x cos x  sin x  C . Kết quả của I   xe x dx là x2 x x e e C . 2 x2 C. I  e x  C . 2 A. I  B. I  e x  xe x  C . D. I  xe x  e x  C . Lời giải Chọn D Cách 1: Sử dụng tích phân từng phần ta có I   xe x dx   x de x  xe x   e x dx  xe x  e x  C. Cách 2: Ta có I    xe x  e x  C   e x  xe x  e x  xe x . Câu 3. Tính F ( x)   x sin 2 xdx . Chọn kết quả đúng? 1 A. F ( x)  (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C . 4 Fb: ThayTrongDGl 1 B. F ( x)   (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C . 4 24 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 1 C. F ( x)   (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C . 4 1 D. F ( x)  (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C . 4 Lời giải Chọn C du  dx u  x   Đặt  , ta được 1 dv  sin 2 xdx v   cos 2 x  2 1 1 1 1 1 F ( x)   x cos 2 x   cos 2 xdx   x cos 2 x  sin 2 x  C   (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C . 2 2 2 4 4 Câu 4. Nguyên hàm của hàm số f  x    x  1 e x là A. xe x  C . B.  x  2  e x  C . C.  x  1 e x  C . D. 2 xe x  C . Lời giải Chọn A  f  x dx    x  1 e dx    x  1de   x  1 e   e dx   x  1 e x Xét Câu 5. x x x x  e x  C  xe x  C . Họ các nguyên hàm của f  x   x ln x là: A. x2 1 ln x  x 2  C. 2 4 x2 1 1 ln x  x 2  C. B. x 2 ln x  x 2  C. C. 2 4 2 Lời giải: D. x ln x  1 x  C. 2 Chọn C 1  v  x2  xdx  dv  2  Đặt  . Suy ra 1 ln x  u du   x Câu 6. 1 2 1 x2 1 x ln x d x  x ln x  x d x  ln x  x 2  C.   2 2 2 4 Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x ln  x  2  . A.  C.  x2 x2  4 x f  x  dx  ln  x  2   C . 2 2 x2 x2  4 x f  x  dx  ln  x  2   C . 2 4 B.  D.  x2  4 x2  4 x f  x  dx  ln  x  2   C . 2 2 x2  4 x2  4 x f  x  dx  ln  x  2   C . 2 4 Lời giải Chọn D Đối với nguyên hàm dạng u  ln Q  x   P x ln Q x d x   ta đặt để tính theo phương pháp         d v  P x d x    nguyên hàm từng phần. Câu 7. Cho hàm số y   x sin 2 xdx . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:    3 A. y    .  6  12    3 B. y    . 6 6    C. y    .  6  12 Lời giải    D. y    .  6  24 Chọn C Fb: ThayTrongDGl 25 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH       y   x sin 2 xdx  y  x sin 2 x ; y    sin  2.   . 6 6  6  12 Câu 8. Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   xe x . Tính F  x  biết F  0   1 . A. F  x    x  1 e x  2 . B. F  x     x  1 e  x  1. C. F  x     x  1 e x  2 . D. F  x    x  1 e x  1 . Lời giải Chọn C u  x du  dx  Đặt  .  x x  dv  e d x  v   e Do đó  xe x dx   xe  x   e  x dx   xe x  e  x  C  F  x; C  . F  0   1  e0  C  1  C  2 . Vậy F  x     x  1 e  x  2 . Câu 9. Tìm họ nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   x.e2 x . A. F  x   2e2 x  x  2   C . 1  C. F  x   2e 2 x  x    C . 2  1 B. F  x   e2 x  x  2   C . 2 1 1  D. F  x   e2 x  x    C . 2  2 Lời giải Chọn D du  dx u  x   Đặt  1 2x 2x  v  e dx v  2 e 1 1 1 1 1 1 1  F  x    f  x  dx  xe2 x   e2 x dx  xe2 x  . e2 x  C  e 2 x  x    C . 2  2 2 2 2 2 2 Câu 10. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f  x    5 x  1 e x và F  0   3 . Tính F 1 . A. F 1  e  2 . B. F 1  11e  3 . C. F 1  e  3 . D. F 1  e  7 . Lời giải Chọn D Ta có F  x     5 x  1 e x dx . u  5 x  1 du  5dx  Đặt  . x x  dv  e d x  ve F  x    5 x  1 e x   5e x dx   5 x  1 e x  5e x  C   5 x  4  e x  C . Mặt khác F  0   3  4  C  3  C  7 .  F  x   5x  4 e x  7 . Vậy F 1  e  7 . Câu 11. Kết quả của  ln xdx là A. x ln x  x  C . Fb: ThayTrongDGl B. x ln x  C . C. x ln x  x  C . Lời giải 26 Tài liệu biên soạn và sưu tầm D. x ln x  x . Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH Chọn C 1  u  ln x du  dx 1 Đặt     ln xdx  x ln x   .xdx  x ln x  x  C . x x dv=dx v  x Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x ln x . A.  C.  2 32 x  3ln x  2   C . 9 2 3 f  x  dx  x 2  3ln x  2   C . 3 f  x  dx  1 32 f x d x  x  3ln x  2   C .    9 2 3 D.  f  x  dx  x 2  3ln x  1  C . 9 Lời giải B. Chọn B I   f  x  dx   x ln x.dx . Đặt: t  x  dt  1 2 x dx  2tdt  dx  I  2  t 2 ln t 2 .dt  4  t 2 ln t.dt . 1  du  dt  u  ln t  t  Đặt:  . 2 3 dv  t dt v  t  3 1 1 1  1  2  I  2  t 3 ln t   t 2dt   2  t 3 ln t  t 3  C   t 3  3ln t  1  C 3 9 3  3  9   2 32 1 32  x 3ln x  1  C  x  3ln x  2   C . 9 9 Câu 13. Biết  x cos 2 xdx  ax sin 2 x  b cos 2 x  C 1 A. ab   . 4 với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? 1 B. ab  . 8 C. ab  1 . 4 1 D. ab   . 8 Lời giải Chọn B du  dx u  x   Đặt  1 d v  cos 2 xdx v  sin 2 x  2 1 1 1 1 Khi đó  x cos 2 xdx  x sin 2 x   sin 2 xdx  x sin 2 x  cos 2 x  C 2 2 2 4 1 1 a , b . 2 4 1 Vậy ab  . 8 Câu 14. Biết  xe A. ab  2x 1 . 4 dx  axe 2 x  be 2 x  C  a, b  1 B. ab   . 8 . Tính tích ab . 1 C. ab  . 8 Lời giải 1 D. ab   . 4 Chọn B Fb: ThayTrongDGl 27 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH du  dx u  x   Đặt  1 2x 2x dv  e dx v  e  2 1 1 1 1 Suy ra:  xe2 x dx  xe2 x   e2 x dx  xe2 x  e2 x  C 2 2 2 4 1 1 1 Vậy: a  ; b    ab   . 2 4 8 2 Câu 15. x Biết I    3x  1 e 2 dx  a  be với a, b là các số nguyên. Tính S  a  b. 0 A. S  8 . B. S  10 . C. S  12 . Lời giải D. S  16 . Chọn C 2 x I    3x  1 e 2 dx . 0 u  3x  1 du  3dx     Đặt  .  x x 2 2   d v  e dx v  2e   Ta có: I  2  3x  1 e x 2 2 0 2 x 2   6e dx  10e  2  12 e 0 x 2 2  10e  2  12e  12  14  2e . 0 Vậy a  b  12 . Câu 16. Ta có  x .e dx   x 2 x 2   mx  n e x  C khi đó m.n bằng. B. 4 . A. 0 . C. 5 . Lời giải D. 4 . Chọn B 2  du  2 xdx u  x Đặt  .   x x dv  e dx v  e    x 2 .e x dx  x 2 e x   2 xe x dx . u  2 x du  2dx  Đặt  . x x dv  e dx v  e   2 xe x dx  2 xe x   2e x dx  2 xe x  2e x  C .     x 2 .e x dx  x 2  2 x  2 e x  C . Khi đó m.n  4 . Câu 17. Nguyên hàm của hàm 2018 f  x   x.e2 x là: 1 A. F ( x)  e2 x  x  2   C . 2 1  1 B. F ( x)  e 2 x  x    C . 2  2 1  C. F ( x)  2e2 x  x    C . 2  D. F ( x)  2e2 x  x  2   C . Lời giải Chọn B Fb: ThayTrongDGl 28 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH du  dx u  x   Đặt  1 2x . 2x dv  e dx v  e  2 1 1 1 1 1 1  Khi đó: F  x    x.e2 x dx  x.e2 x   e2 x dx  x.e2 x  e2 x  C  e2 x  x    C . 2 2 2 4 2  2 Câu 18. Cho F  x    ax 2  bx  c  e 2 x là một nguyên hàm của hàm số f  x    2018 x 2  3x  1 e2 x trên khoảng  ;   . Tính T  a  2b  4c . A. T  1011 . B. T  3035 . C. T  1007 . Lời giải D. T  5053 . Chọn B Vì F  x    ax 2  bx  c  e 2 x là một nguyên hàm của hàm số f  x    2018 x 2  3x  1 e2 x trên khoảng  ;   nên ta có:  F  x    f  x  , với mọi x   ;   .   2ax 2  x  2b  2a   2c  b  e 2 x   2018 x 2  3x  1 e 2 x , với mọi x   ;   .  a  1009 2a  2018  2021    2b  2a  3  b   . 2  2c  b  1  2023  c   4  2021   2023  Vậy T  a  2b  4c  1009  2.     4.     3035 . 2  4    Câu 19. Biết   x  3 .e bằng: A. 5 . 2 x dx   1 2 x e  2 x  n   C , với m, n  m B. 65 . . Khi đó tổng S  m2  n2 có giá trị D. 10 . C. 41 . Lời giải Chọn B du  dx u  x  3   Đặt  1 2 x 2 x dv  e dx v   e  2 1 1 1 1 Khi đó   x  3 .e2 x dx   e2 x  x  3   e2 x dx   .e2 x  x  3  e2 x  C 2 2 2 4 1 1   e2 x .  2 x  6  1  C   e2 x  2 x  7   C  m  4; n  7 4 4 2 2  m  n  65 . Câu 20. Tìm nguyên hàm  sin xdx . A.  sin xdx  2 cos x  2sin x  C . B.  sin xdx   cos x  C . C.  sin xdx  cos x  C . D.  sin xdx  1 2 x cos x  C . Lời giải Fb: ThayTrongDGl 29 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH Chọn A Đặt t  x , ta có  sin xdx   2t sin tdt u  2t Đặt  ta có dv  sin tdt . du  2dt .  v   cos tdt  2t sin tdt  2t cos t   2 cos tdt   2t cos t  2sin t  C  2 x cos x  2sin x  C . B I 2: TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ _ Dạng 1. Đổi biến số dạng 1 -Phương pháp: _Định lí. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u  u ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và   u( x)   . Giả sử có thể viết f ( x)  g (u ( x))u ‘( x), x [a;b], với g liên tục trên đoạn [ ;  ]. Khi đó, ta có b b I   f ( x)dx   g (u ( x))u ( x)dx  u (b ) ‘ a a  g (u )du. u(a) b _Phương pháp. Để tính tích phân: I   g  x  dx ta thực hiện các bước: a . Bước 1. Biến đổi để chọn phép đặt t  u  x   dt  u( x)dx . Bước 2. Thực hiện phép đổi cận:  Với x  a thì t  u  a  .  Với x  b thì t  u  b  . (Nhớ : đổi biến phải đổi cận) u (b ) . Bước 3. Đưa về dạng I   f (t )dt đơn giản và dễ tính hơn. u (a) _Dấu hiệu nhận biết và cách tính tích phân Dấu hiệu Có f  x Có thể đặt t f ( x) Có (ax  b) n t  ax  b Có a f ( x ) t  f ( x) Có dx và ln x x t  ln x hoặc biểu thức chứa ln x Có e x dx t  e x hoặc biểu thức chứa e x Có sin xdx t  cos x Có cos xdx t  sin xdx Có dx cos 2 x t  tan x Có dx sin 2 x t  cot x Fb: ThayTrongDGl 30 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH _Bài tập minh họa: 1 Câu 1. Tính tích phân I   x(1  x 2 ) 4 dx : 0 A. I  16 . 5 B. I  31 . 10 Lời giải Chọn B  Đặt t  1  x 2  dt  2 xdx .  Đổi cận: x  0  t  1 ; x 1 t  2 2 4 t t 5 2 31  .  Nên I   dt  2 10 1 10 1 1 1 . D. I   . 10 10 PP nhanh trắc nghiệm  Để tính giá trị 1 tích phân xác định bằng máy tính 570ES. . Bước 1. Sử dụng lệnh để màn hình máy tính cầm tay hiện: C. I  . Bước 2. Nhập hàm số f(x) . Bước 3. Nhập cận . Bước 4. Ấn phím = 2 Câu 2. Tính tích phân I   2 x x 2  1dx bằng cách đặt u  x 2  1 , mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2 3 B. I   udu . A. I  2 udu . 1 0 0 Lời giải 2 3 C. I   udu . D. I  1 udu . 2 1 PP nhanh trắc nghiệm + Tính tích phân I bằng MTCT. + Tính tích phân từng đáp án A, B, C, D. + Đối chiếu kết quả, chọn đáp án C. Chọn C  Đặt u  x 2  1  du  2 xdx .  Đổi cận x  1  u  0 ; x  2  u  3 3  Nên I   udu . 0  Câu 3. Tính tích phân I   cos3 x.sin xdx . 0 1 A. I    4 . 4 B. I   4 . Lời giải Chọn C  Đặt t  cos x  dt   sin xdx  dt  sin xdx  Đổi cận: với x  0  t  1 ; với x    t  1 . 1 1 t4  Vậy I    t dt   t dt  4 1 1 3 Fb: ThayTrongDGl 3 C. I  0 . 1 D. I   . 4 PP nhanh trắc nghiệm  Sử dụng máy tính, tính tích phân hàm lượng giác phải chuyển về đơn vị radian. 14  1    0. 4 4 1 1 4 31 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH _Bài tập áp dụng: (10 câu NB; 10 câu TH) 1. Nhận biết: (10 câu) Câu 1. 1 Tính tích phân I   ( x 2  x  2)5 (2 x  1)dx chọn cách đổi biến hợp lí nhất. 0 A. t  ( x  x) dx . B. t  2 x  1. C. t  ( x 2  x)5 (2 x  1) . D. t  x 2  x  2 . 2 Câu 2. 5 Tính tích phân I   1 x5  x3  1(5x 4  3x 2 )dx chọn cách đổi biến hợp lí nhất. 0 B. t  5x 4  3x 2 . A. t  ( x5  x3 )dx . Câu 3. Tính tích phân I   0 A. t  Câu 4. 1 . x  x3  2 4 Tính tích phân I   e 1 A. t  Câu 5. 1 4 x3  3x 2 dx chọn cách đổi biến hợp lí nhất. x 4  x3  2 4 x3  3x 2 B. t  4 x3  3x 2 . C. t  4 . x  x3  2 1 . x B. t  ln x . 1 Tính tích phân I   e x 2 x 0 3 1 x x Tính tích phân I   3 A. t  x3  3x 2 . D. t  x 4  x3  2 . C. t  ln 5 x . D. t  dx . x (2x  1)dx chọn cách đổi biến hợp lí nhất. B. t  2 x  1. 0 D. t  x5  x3 dx . 1 5 ln xdx chọn cách đổi biến hợp lí nhất. x A. t  x 2  3x  1 . Câu 6. C. t  x5  x3  1 . C. t  x 2  x . D. t  e x 2 x (2 x  1) . (3x 2  1)dx chọn cách đổi biến hợp lí nhất. B. t  3x 2  x . C. t  x3  x . D. t  3x  x (3x 2  1) . 3  Câu 7. Tính tích phân I   2 sin 6 x cos xdx chọn cách đổi biến hợp lí nhất. 0 A. t  sin x . B. t  sin x . 6 C. t  cos x . D. t  sin 6 x.cos x .  Câu 8. Tính tích phân I   2 cos6 x.sinxdx chọn cách đổi biến hợp lí nhất. 0 A. t  cos x . B. t  sin x . 6  Câu 9. C. t  cos x . 1 dx chọn cách đổi biến hợp lí nhất. cos2 x B. t  tan x . C. t  cos x . D. t  cos6 x.sin x . Tính tích phân I   4 tan 6 x. 0 A. t  tan 6 x .  Câu 10. Tính tích phân I  4 cot 6 x. 6 A. t  cot x . 1 dx chọn cách đổi biến hợp lí nhất. sin 2 x B. t  sin x . 6 D. t  cos 2 x . C. t  cot x . D. t  sin 2 x . 2. Thông hiểu: (10 câu) 2 Câu 11. Tích phân x 0 A. 6. Fb: ThayTrongDGl 2 x 1 a dx  ln . Khi đó a  b bằng: 3 2 b B. 8. C. 9. 32 Tài liệu biên soạn và sưu tầm D. 10. Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 1 Câu 12. Cho tích phân  3 1  xdx , với cách đặt t  3 1  x thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào 0 sau đây? 1 1 1 B.  t 3dt . A. 3 tdt . 0 0 1 x Câu 13. Cho I   x 1 2 0 1 C. 3 t 2dt . D. 3 t 3dt . 0 0 dx ,với cách đặt t  x 2  1 thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào sau đây? 2 A. 2 1 B. 2  tdt . 0 2 2  t dt . 2 C. 0  t dt . 2 D.  dt . 1 0  Câu 14. Tích phân  cos 2 x.sin x dx bằng 0 3 A.  . 2 B. 2 . 3 2 C.  . 3 D. 3 . 2  Câu 16. Cho 2 0 0  f  x  dx  7 . Tính I   cos x. f  sin x  dx . Câu 15. Cho f là hàm số liên tục thỏa A. 1 . 1 B. 9 . C. 3 . 4 2 0 0 D. 7 .  f ( x)dx  2018 . Tính tích phân I    f (2 x)  f (4  2 x) dx A. I  0 . B. I  2018 . C. I  4036 . 4 2 0 0 D. I  1009 . Câu 17. Cho tích phân I   f  x  dx  32. Tính tích phân J   f  2 x  dx. A. J  32. B. J  64. 1 Câu 18. Cho I   xe1 x dx .Biếtrằng I  2 0 A. 1 . C. J  8. ae  b . Khiđó, a  b bằng: 2 C. 2 . B. 0 . e Câu 19. Với cách đổi biến u  1  3ln x thì tích phân x 1 2 A. 2 2 u 2  1 du .   31 B. e Câu 20. Tính tích phân I   1 Bảng đáp án 1.D 2.C Fb: ThayTrongDGl 2 u 2  1 du .   91 D. 4 . ln x dx trở thành: 1  3ln x 2 C. 2  u 2  1 du . 1 2 B. I   tdt . 31 3.D 2 u2 1 du . 9 1 u 2 D. 1  3ln x dx bằng cách đặt t  1  3ln x , mệnh đề nào dưới đây sai? x 2 2 2 A. I  t 3 . 9 1 D. J  16. 4.B 5.C C. I  6.C 2 2 2 t dt . 3 1 7.B 33 Tài liệu biên soạn và sưu tầm D. I  8.C 9.B 14 . 9 10.C Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH 11.D New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 12.D 13.A 14.B 15.D 16.B 17.A 18.C 19.B 20.B Hướng dẫn giải( phần TH) 2 x Câu 11. Tích phân 2 0 x 1 a dx  ln khi đó a  b bằng 3 2 b A. 6. B. 8. C. 9. Lời giải D. 10. Chọn D Đặt t  x 2  3  dt  2 xdx . Đổi cận x  0  t  3 ; x  2  t  7 7 dt 1 7  ln 2t 2 3 3 Nên I   1 Câu 12. Cho tích phân  3 1  xdx , với cách đặt t  3 1  x thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào 0 sau đây? 1 1 B.  t dt . A. 3 tdt . 3 0 0 1 C. 3 t dt . 2 0 1 D. 3 t 3dt . 0 Lời giải Chọn D Đặt t  3 1  x  t 3  (1  x)  3t 2  dx . Đổi cận x  0  t  1 ; x  1  t  0 0 1 Nên I    t.3t dt   3t 3dt 2 1 1 0 x Câu 13. Cho I   dx ,với cách đặt t  x 2  1 thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào sau x 1 2 0 đây? 2 A.  tdt . B. 0 1 2 2 2  t dt . 2 2 C. 0 2  t dt . D.  dt . 1 0 Lời giải Chọn D Đặt t  x 2  1  t 2  x 2  1  tdt  xdx . Đổi cận x  0  t  1 ; x  1  t  2 2 Nên I  t dt  t  1 2  dt . 1  Câu 14. Tích phân  cos 2 x.sin x dx bằng 0 3 A.  . 2 B. 2 . 3 2 C.  . 3 D. 3 . 2 Lời giải Chọn B Fb: ThayTrongDGl 34 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH Đặt t  cos x  tdt  sin x.dx . Đổi cận: x  0  t  1 , x    t  1 . 1 Khi đó: I   t 2 dt  1 2 . 3  1 Câu 15. Cho f là hàm số liên tục thỏa  2 f  x  dx  7 . Tính I   cos x. f  sin x  dx . 0 0 A. 1 . B. 9 . C. 3 . D. 7 . Lời giải Chọn D Đặt t  sin x  dt  cos x.dx Đổi cận x  0  t  0 ; x   2  t 1 1 Khi đó: I   f (t ) dt  7 . 0 4 2 0 0  f ( x)dx  2018 . Tính tích phân I    f (2 x)  f (4  2 x) dx . Câu 16. Cho A. I  0 . B. I  2018 . C. I  4036 . Lời giải D. I  1009 . Chọn B 2 Ta có  2 x t f (2 x)dx  0 2  4 1 f (t )dt . 2 0 0 4  2 x t f (4  2 x)dx   0 4 1 1 f (t )dt   f (t )dt  24 20 2 4 4 0 0 0 Suy ra I    f (2 x)  f (4  2 x) dx   f (t )dt   f ( x)dx 2018 . 4 2 0 0 Câu 17. Cho tích phân I   f  x  dx  32. Tính tích phân J   f  2 x  dx. A. J  32. B. J  64. C. J  8. Lời giải D. J  16. Chọn D dt  dx. 2 Đổi cận: x  0  t  0; x  2  t  4. Đặt t  2 x  dt  2dx  2 4 4 1 1 1 J   f  2 x  dx   f  t  dt   f  t  dt  I  16. 2 20 2 0 0 1 Câu 18. Cho I   xe1 x dx . Biết rằng I  2 0 A. 1 . Fb: ThayTrongDGl B. 0 . ae  b . Khi đó, a  b bằng: 2 C. 2 . Lời giải 35 Tài liệu biên soạn và sưu tầm D. 4 . Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH Chọn C Đặt t  1  x 2  dt  2 xdx . Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  0. 1 t 1 e 1 . e dt   et dt   21 20 2 0 I  1 e Câu 19. Với cách đổi biến u  1  3ln x thì tích phân x 1 2 A. 2 2 u 2  1 du .   31 B. ln x dx trở thành: 1  3ln x 2 2 u 2  1 du .   91 C. 2  u 2  1 du . 1 2 u2 1 du . 9 1 u 2 D. Lời giải Chọn B 1 2u Đặt u  1  3ln x  u 2  1  3ln x  dx  .du x 3 x  1  u  1 Đổi cận:  x  e  u  2 2 Khi đó I   u 1 2  1 2u 2 . .dt  .  u 2  1 .du u .3 3 9 1 2 e Câu 20. Tính tích phân I   1 1  3ln x dx bằng cách đặt t  1  3ln x , mệnh đề nào dưới đây sai? x 2 2 2 A. I  t 3 . 9 1 2 2 B. I   tdt . 31 2 C. I   t 2dt . 31 D. I  14 . 9 Lời giải Chọn C 1 2t Đặt t  1  3ln x  t 2  1  3ln x  dx  .dt x 3 x  1  t  1 Đổi cận:  . x  e  t  2 2 Khi đó I   t. 1 2 2t 2 14 .dt  . t 2 .dt  . 3 3 1 9 _ Dạng 2. Đổi biến số dạng 2 b _ Phương pháp: Để tính tích phân: I   f  x  dx , mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng a 1. 2. 3.    a 2  x 2 : đặt x | a | sin t; t    ;   2 2 |a|    x 2  a 2 : đặt x  ; t    ;  \{0} sin t  2 2    x 2  a 2 : x  a tan t ; t    ;   2 2 ax hoặc ax Fb: ThayTrongDGl 4. ax : đặt x  a.cos 2t 36 ax Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH _Bài tập minh họa: 1 Tính tích phân sau: I   1  x 2 dx . Câu 1. 0 A.  . 4 B. 1. D.  C. 0 . 4 PP nhanh trắc nghiệm  . Bước 1. Sử dụng lệnh để màn hình máy tính cầm tay hiện: Lời giải Chọn A  Đặt x  sin t ta có dx  cos tdt. Đổi cận: x  0  t  0; x  1  t   2  . Vậy   1 2 2 0 0 0  I   1  x 2 dx   | cos t |cos tdt   cos 2 tdt   2 0 1  cos 2t  dt  . 2 4 . Bước 2. Nhập hàm số f(x) . Bước 3. Nhập cận . Bước 4. Ấn phím = 1 dx . 1  x2 0 Tính tích phân sau: I   Câu 2. A.  . 4 B.  12 . C.  . 6 D. Lời giải  6 3 . 4  PP nhanh trắc nghiệm  . Bước 1. Sử dụng lệnh để màn hình máy tính cầm tay hiện Chọn A  Đặt x  tan t , ta có dx  1  tan 2 t  dt . x  0  t  0  Đổi cận:  .  x  1  t  4  . Bước 2. Nhập hàm số f(x) . Bước 3. Nhập cận . Bước 4. Ấn phím =  4 dx  4  dt  t | . Vậy I   0  2  1  x 4 0 0 1 5 Câu 3. Khi đổi biến x  5 tant thì tích phân I  x 0   4 4 A. I   5dt. B. I   0 0 dx trở thành tích phân nào sau đây? 5 2  5 dt. 5  6 C. I   5tdt. 0 Lời giải Chọn B Đặt x  5 tan t  dx  5(1  tan 2 t)dt Đổi cận. x  5 t   4 ; x 0t 0 6 1 D. I   dt. t 0 PP nhanh trắc nghiệm  + Tính tích phân I bằng mt. + Tính tích phân từng đáp án A,B,C,D. + Đối chiếu kết quả, chọn đáp án C. I trở thành Fb: ThayTrongDGl 37 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH  4  0 5 1  tan 2 t  dt 5 tan t  5 2  5 1  tan 2 t  dt 4  New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 5(tan t  1) 2 0  4  0 5dt . 5 _Bài tập áp dụng: (10 câu NB; 10 câu TH) 1. Nhận biết:(10 câu) 1 Câu 1. Tính tích phân I   0 dx chọn cách đổi biến hợp lí nhất: x 3 2 B. x  3 tan t . A. t  x 2  3 . 4 Câu 2. Tính tích phân I   0 dx chọn cách đổi biến hợp lí nhất: x  16 A. t  x  16 . B. t  4sin x . 5 Tính tích phân I   0 7 x 0 C. t  5sin x . D. x  5tan t . dx chọn cách đổi biến hợp lí nhất: 7 2 B. x  7 tan t . A. t  x  7 . 2 D. x  t 2  4 . dx chọn cách đổi biến hợp lí nhất: x  25 B. x  t 2  5 . Tính tích phân I  C. x  4 tan t . 2 A. t  x 2  25 . Câu 4. D. x  t 2  3 . 2 2 Câu 3. C. t  3 sin x . C. t  7sin x . D. x  t 2  7 . 2 Câu 5. dx chọn cách đổi biến hợp lí nhất: 4  x2 0 Tính tích phân I   A. t  4  x 2 . B. x  4 tan t . C. t  4sin x . D. x  t 2  4 . 2 Câu 6. Tính tích phân I   4  x 2 dx, chọn cách đổi biến hợp lí nhất: 0 B. t  4  x 2 . A. x  2 tan t . C. x  2sin t . D. t  2sin x . 3 Câu 7. Tính tích phân I   9  x 2 dx chọn cách đổi biến hợp lí nhất: 0 B. t  9  x 2 . A. x  3cos t . C. x  3tan t . D. t  3tan x . 5 Câu 8. Tính tích phân I   25  x 2 dx chọn cách đổi biến hợp lí nhất: 0 A. t  25  x . 2 B. x  5cos t . C. x  5tan t . D. t  5tan x . 4 Câu 9. Tích phân  16  x 2 dx chọn cách đổi biến hợp lí nhất: 0 A. t  16  x 2 . B. x  4 tan t . C. t  4sin x . D. x  4cos t . 3 Câu 10. Tích phân  3  x 2 dx chọn cách đổi biến hợp lí nhất: 0 A. t  3  x 2 Fb: ThayTrongDGl B. x  2 cos t C. x  3 tan t 38 Tài liệu biên soạn và sưu tầm D. t  3tan x Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 2. Thông hiểu: (10 câu) 8 Câu 11. Đổi biến số x  4sin t của tích phân  16  x 2 dx ta được: 0   4 A. I  16  cos 2 tdt . 0 4 B. I  8 1  cos 2t dt . 0   4 C. I  16  sin 2 tdt . 0 4 D. I  8 1  cos 2t dt . 0 1 Câu 12. Tích phân  1  x 2 dx bằng: 0    2 2 2 A.   sin 2 t.dx . B.  sin 2 t.dt . 0 1  0  dx 4  x2 0  tdt . B. 0  6  dt . C. 3 Câu 14. Khi đổi biến x  3tan t thì tích phân I   0  4 4 4 3 5 Câu 15. Tích phân  3 5 A. dx 9  x2 25 1 0 3 dt  4 B. 5 dt . 3  C.  6 0 dx a  x2 2  3 B. 0 3 dt . 5  D.  6 54 dt . 3  6 với a  0 bằng:  4  dt . 0 bằng: 6 A.  0 4  4 D.  3dt  Câu 16. Tích phân 0 C.  3dt 4 a 2 D.  dt   3 dt . 5   3 dx trở thành tích phân nào sau đây? x 9  0 0 2  B. 1  t dt . 0 0 A.  3dt 2 D.  cos 2 t.dt . trở thành:  6 6 A. C.   cos 2 t.dt . 0 Câu 13. Đổi biến x  2sin t tích phân   dt . 0  6  12  dt . C.  dt . D. a 4 C. . 4 a 4 D. . 32 0 0 a Câu 17. Tích phân: I =  a 2  x 2 dx với a > 0 bằng: 0 a A. . 8 4 Fb: ThayTrongDGl a 4 B. . 16 39 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 3 Câu 18. Tích phân: I =  9  x 2 dx bằng: 0 A. 81 . 8 B. 81 . 4 C. 814  . 16 D. 81 . 32 4 Câu 19. Tích phân: I =  16  x 2 dx bằng: 0 A. 32 . B. 64 . C. 16 . D. 8 . C. 16 . D. 8 . 5 Câu 20. Tích phân: I =  25  x 2 dx bằng: 0 A. 32 . Bảng đáp án 1.B 11.B B. 64 . 2.C 12.C 3.D 13.A 4.B 14.B 5.B 15.A 6.C 16.A 7.A 17.B 8.B 18.C 9.D 19.B 10.B 20.B Hướng dẫn giải( phần TH) 8 Câu 11. Đổi biến số x  4sin t của tích phân  16  x 2 dx ta được: 0   4 4 B. I  8 1  cos 2t dt . A. I  16  cos 2 tdt . 0 0   4 4 D. I  8 1  cos 2t dt . C. I  16  sin 2 tdt . 0 0 Lời giải Chọn B Đặt x  4sin t ta có dx  4cos tdt. Đổi cận: x  0  t  0; x  8  t  8 Vậy : I    4 .   4 4 0 0  1  x 2 dx  16  | cos t |cos tdt  16  cos 2 tdt  8 4 (1  cos 2t )dt. 0 0 1 Câu 12. Tích phân  1  x 2 dx bằng 0    2 2 2 A.   sin t.dx . 2 0 B.  sin t.dt . 2 0  C.   cos t.dt . 2 0 2 D.  cos 2 t.dt . 0 Lời giải Chọn D Đặt x  sin t ta có dx  cos tdt. Đổi cận: x  0  t  0; x  1  t  Fb: ThayTrongDGl  2 . 40 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 1   2 2 0 0 Vậy I   1  x dx   | cos t |cos tdt   cos 2 tdt. 2 0 1 Câu 13. Đổi biến x  2sin t tích phân  0  4  x2 trở thành:  6  6 6 A. dx  tdt . B. 0  dt . C. 1  t dt . 0 0  3 D.  dt 0 Lời giải Chọn B Đặt x  2sin t ta có dx  2cos tdt. Đổi cận: x  0  t  0; x  1  t   . 6  1 dx Vậy: I   4  x2 0 6 dx   0  6 2 cos t 4  4sin 2 t dt   dt 0 3 Câu 14. Khi đổi biến x  3tan t thì tích phân I   0 dx trở thành tích phân nào sau đây? x 9 2     4 4 4 4 1 B.  dt 3 0 A.  3dt 0 C.  3dt 0 D.  3dt 0 Lời giải Chọn B    Đặt x  3 tan t, t    ;   dx  3 1  tan 2 t  dt  2 2 Đổi cận: x  0  t  0 ; x  3  t    4 .  4 1 1 2 .3 1  tan t dt  dt .   2  9  9 tan t 3 0 0 4 Suy ra: I   Fb: ThayTrongDGl 41 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH B I 3: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN  _ Dạng 1.   sin ax    f  x  cos ax  dx . eax  -Phương pháp: u  f  x  du  f ‘  x  dx   sin ax  sin ax    Đặt:       . dv  cos ax d x v  cos ax       dx ax ax   e  e    _Bài tập minh họa: 2 Câu 1. x Tính tích phân I   xe dx . 1 A. I  e . B. I  e2 . 2 Lời giải 2 1 D. I  3e2  2e . PP nhanh trắc nghiệm – Tính tích phân Chọn A u  x du  dx  Đặt   x x dv  e dx v  e I   xe x dx  xe x C. I  e . 2 2 1   e x dx  2e 2  e  e x 2 1 1  2e2  e   e2  e   e2 . – Lưu kết quả bằng biến A – Kiểm tra các đáp án: A đúng 1 Câu 2. 2x Tính tích phân I   ( x  2)e dx . 0 A. I  5  3e . 4 Lời giải Chọn B Fb: ThayTrongDGl 2 B. I  5  3e2 . 4 5  3e2 5  3e2 . D. I  . 4 4 PP nhanh trắc nghiệm  Tính tích phân: C. I  42 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH du  dx u  x  2    Đặt  1 2 x (chọn C  0 ) 2x dv  e dx v  e  2 1 1 5  3e2  I  ( x  2) e2 x   e2 x dx  . 2 20 4 0 1 1 – Lưu kết quả bằng biến B – Kiểm tra các đáp án: B đúng  Câu 3. Tích phân   3x  2 cos 2 x dx bằng: 0 A. 3 2   . 4 B. 3 2   . 4 Lời giải C. 1 2   . 4 D. 1 2   . 4 PP nhanh trắc nghiệm  Tinh tích phân: Chọn B   Đặt I    3x  2  cos 2 x dx . Ta có: 0   1  3x  2 1  cos 2 x  dx 2 0    1 1     3 x  2  dx    3 x  2  cos 2 x dx    I1  I 2  . – Lưu kết quả bằng biến C 2 0 0  2   3 3  I1    3x  2  dx   x 2  2 x    2  2 . 2 0 2 0  I 2    3x  2  cos 2 x dx . Dùng tích phân từng phần 0 du  3dx u  3x  2   Đặt  . 1 dv  cos 2 x dx v  sin 2 x  2 Khi đó  Kiểm tra các đáp án: B đúng  1 3 I 2   3x  2  sin 2 x   sin 2 x dx 2 20 0   0 3  cos 2 x   0 . 4 0 13  3 Vậy I    2  2    2   . 22  4 Fb: ThayTrongDGl 43 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH _Bài tập áp dụng: (10 câu NB; 10 câu TH) 1. Nhận biết:(10 câu)  4 Câu 1. Cho tích phân I    x  1 sin 2 xdx. Tìm đẳng thức đúng? 0  1 B. I    x  1 cos2 x 2 A. I    x  1 cos2 x   cos2 xdx . 0 4 4   cos2 xdx . 0 0   1 C. I    x  1 cos2 x 2   4 4 0 14   cos2 xdx . 20  D. I    x  1 cos2 x 4  4   cos2 xdx . 0 0  2 Câu 2. Tính tích phân I    2 x  1 cos xdx . 0 C.  1 . B.   3 . A.   2 . D.   4 .  4 Câu 3. Giá trị của I   x cos 2 xdx là: 0 A.  . 8 B. 1  + . 4 8 C.  1 – . 4 4 D.  1 – . 8 4 C. 8 . 9 D. 5 . 9  6 Câu 4. Tính tích phân   2  x  sin 3xdx bằng: 0 A. 4 . 9 B. 7 . 9  Tính tích phân I    x 2  1 sin xdx bằng: 2 Câu 5. 0 A. I    1. B. I   2 1. C. I  1   . D. I  1   2 .  2 Câu 6. Tính tích phân I   (2x  1)sin 3xdx 0 A. 5 9 B.  5 9 C. 5 8 D.  5 8  4 Câu 7. Tính tích phân I 4   x(1  sin 2x)dx 0 2 A. 32  2 1 4 B. 32  1 4 2 C. 32  3 4 2 D. 32  3 4 2 Câu 8. Tính tích phân I8   (2x  1)e x dx 1 Fb: ThayTrongDGl 44 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH A. e2  e . B. e2  e  1. C. e2  e D. e2  e  1 . 1 Câu 9. Tính tích phân I    x  1 e3x dx 0 A. 4  e2 9 B. 4  e3 9 C. 4  2e3 9 D. 4  e3 9 1 Câu 10. Tính tích phân I    e2x  x  e x dx 0 A. 2  1 e B. 3  1 e C. 1  1 e D. 4  1 e 2. Thông hiểu: (10 câu) 1 Câu 11. Tính tích phân I   (x 2  1)e x dx 0 A. 2e  5 B. 2e  3 1  C. 2e  1 D. 2e  4  Câu 12. Tính tích phân I   x e2 x  3 x  1 dx 0 A. 1 2 1 e  . 4 8 B. 1 2 1 e  4 10 C. 1 2 1 e  4 14 D. 1 2 1 e  4 14 u  2 x  1 Câu 13. Cho I    2 x  1 e x dx . Đặt  . Chọn khẳng định đúng. x  dv  e dx 0 1 1 1 1 0 0 0 A. I  3e  1  2  e x dx . B. I  3e  1  2  e x dx . C. I  3e  2  e x dx . Câu 14. Biết tích phân  x  3e dx  a  be 1 x 0 e Câu 15. Cho biết tích phân I   x(2 x 2  ln x)dx  1 Tính tổng: a  b  c A. 4. B. 1. C. a  b  4  3e. .   x  1 f ‘( x)dx  2 C. 3.  f ( x)dx  ? 0 B. I  1 . 1 Câu 17. Cho C. I  2 .   2 x  1 f ‘( x)dx  3 và 3 f (1)  f (0)  1 . Tính 0 A. I  1 . D. 2. 1 và 2 f (1)  f (0)  1 . Tính 0 A. I  1 . D. a  b  1 . a.e4  b.e2  c với a, b, c là các ước nguyên của 4. 4 1 Câu 16. Cho 0 với a,b  . Tìm tổng a+b. B. a  b  25. . A. a  b  1. . 1 D. I  3e  2  e x dx . 1 B. I   . 2 D. I  2 . 1  f ( x)dx  ? 0 C. I  1 . D. I  1 . 2 π Câu 18. Tính J   x sin x dx . 0 Fb: ThayTrongDGl 45 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH A. π . B. π . C. π . 4 D. π . 2 1 Câu 19. Biết  ( x  2020)e x dx  a.e  b. Với a, b  . Tính T  a  b 0 A. T  1 . B. T  2 . C. T  3 . D. T  4 . B. I   e2 . C. I  3e2  2 e . D. I  e . 2 Câu 20. Tính I   xe x dx . 1 A. I  e . 2 Bảng đáp án 1.C 11.B 2.B 12.C 3.D 13.B 4.D 14.A 5.A 15.D 6.B 16.A 7.A 17.A 8.C 18.B 9.D 19.A 10.A 20.A _ Dạng 2.  ) ln(ax)dx _ Dạng 2. :  f ( xhọa: _Bài tập minh  -Phương pháp: dx  u  ln(ax) du  x Đặt:   dv  f ( x)dx v  f ( x)dx   e Câu 1. Cho I   x ln xdx  1 a.e2  b với a , b , c  . Tính T  a  b  c . c A. 5 . C. 4 . B. 3 . Lời giải D. 6 . PP nhanh trắc nghiệm  Chọn D 1  du  dx  u  ln x  x Ta có:  nên  . 2 dv  xdx v  x  2 e x2 1 e2  1 I   x ln xdx  ln x   xdx  . 2 21 4 1 1 e e a  1   b  1 . c  4  Vậy T  a  b  c  6 . Fb: ThayTrongDGl 46 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 5 Tính tích phân I    x  1 ln  x  3 dx ? Câu 2. 4 B. 10ln 2  A. 10ln 2 . 19 . 4 19 19 D. 10ln 2  .  10ln 2 . 4 4 PP nhanh trắc nghiệm Quy trình bấm máy.  Bấm máy tính: C. Lời giải  Chọn D 1  du  dx u  ln  x  3  x 3  Đặt  . 1 2 dv  x  1 v  x  x  2 1 2 5 x x 5 1  I   x 2  x  ln  x  3   2 dx 4 4 x 3 2   Lưu kết quả: 35 1 x2  9  9 x 33  ln 2   dx   dx 2 2 4 x 3 x 3 4 5 5  Kiểm tra kết quả: 35 19   ln 2    3  9 ln 2   1  3ln 2  2 22   10ln 2  19 . 4 2 Câu 3. Biết  2 x ln  x  1 dx  a.ln b , với a, b  * , b là số nguyên tố. Tính 6a  7b . 0 A. 33 . B. 25 . Lời giải C. 42 . D. 39 . PP nhanh trắc nghiệm  _Quy trình bấm máy. Chọn D  Xét I   2 x ln  x  1 dx  6 . Ta có a.ln b  ln ba Bước 1. 1  u  ln  x  1 dx  du   Đặt  x 1 .  dv  2 xdx  v  x 2  1 Ta có: Bước 2. A  ln ba  ba  e A 2 0 2 I   x 2  1 ln  x  1   2 0 0 x2 1 dx x 1 2  x2   3ln 3    x  1 dx  3ln 3    x   3ln 3 .  2 0 0 Vậy a  3 , b  3  6a  7b  39 . 2 Bước 3. Bấm Shift + FACT Vậy a  3 , b  3  6a  7b  39 . Fb: ThayTrongDGl 47 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH _Bài tập áp dụng: (10 câu NB; 10 câu TH) 1. Nhận biết:(10 câu) e Câu 1. Tính tích phân I   ( x  2) ln xdx : 1 A. I  Câu 2. 1 . 2 B. I  e2  2 . 2 C. I  e2  1 . 4 D. I  e2  1 . 4 e  u  ln x Nếu đặt  thì tích phân I    2 x  1 ln xdx trở thành: dv   2 x  1 dx 1 e A. I   x  x     x  1 dx . e 2 1 1 1 e e D. I   x  x  ln x    x  1 dx . C. I  x ln x 1   xdx . e 2 e B. I  x ln x 1    x  1 dx . e 2 2 e 1 1 1 2 Câu 3. Tính tích phân J   x ln(x  1) dx . 0 A. J  5 B. J  ln 3 . 3 4 ln 3 . 3 C. J  3 ln 3 . 2 D. J  3 ln 3 . 4 2 Câu 4. Biết rằng  ln  x  1 dx  a ln 3  b ln 2  c với a , b , c là các số nguyên. Tính S  a  b  c . 1 A. S  0 . B. S  1 . C. S  2 . D. S  2 . 2 Câu 5. Biết  2 x ln  x  1 dx  a.ln b , với a, b  * , b là số nguyên tố. Tính a  b . 0 A. 33 . C. 42 . B. 25 . D. 6 . 5 Câu 6. Tính tích phân I    x  1 ln  x  3 dx ? 4 B. 10ln 2  A. 10ln 2 . 19 . 4 C. 2 Câu 7. Biết  2 x ln 1  x  dx  a.ln b , với a, b  * 19  10ln 2 . 4 D. 10ln 2  19 . 4 , b là số nguyên tố. Tính 3a  4b . 0 A. 42 . B. 21 . C. 12 . D. 32 . 3 Câu 8. Biết  ln( x  1)dx  a ln 2  b với a, b là các số nguyên. Khi đó, a  b bằng 2 A. 0. B. 1. 2 Câu 9. Tính I   1 ln x  x  1 2 D. 2. dx  a ln 3  b ln 2 . Tính T  a  3b . B. T  5 . A. T  1 . C. 3. C. T  3 . D. T  4 . C. 3ln 3  2 . D. 2  3ln 3 . 3 Câu 10. Tích Phân I   ln( x 2  x)dx là : 2 A. 3ln 3 . Fb: ThayTrongDGl B. 2 ln 2 . 48 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 2. Thông hiểu: (10 câu) 2 ln x dx bằng: 2 x 1 Câu 11. Tích phân I   A. 1 1  ln 2 . 2 B. 1 1  ln 2 . 2 C. 1  ln 2 1 . 2 D. 1 1  ln 2 . 4 2 Câu 12. Tích phân K   (2 x  1) ln xdx bằng: 1 1 A. K  3ln 2  . 2 e Câu 13. Cho 3  x ln xdx  1 1 B. K  . 2 C. K  3ln 2 . 1 D. K  2ln 2  . 2 3e a  1 với a, b  . Tổng a  b bằng b A. 20 . B. 10 . C. 17 . D. 12 . e Câu 14. Biết I   x 2 ln xdx  ae3  b với a , b là các số hữu tỉ. Giá trị của 9  a  b  bằng 1 A. 3 . B. 10 . C. 9 . 2 Câu 15. Biết  2 x ln  x  1 dx  a ln b , với a, b  * D. 6 . , b là số nguyên tố. Tính 6a  7b . 0 A. 33 . B. 25 . C. 42 . D. 39 . 2 Câu 16. Biết  (4 x  1) lnx dx  a ln 2  b. , với a, b  . Tính 2a  b . 0 A. 5 . B. 8 . D. 10 . C. 13 . 2 ln x b dx   a ln 2 với a là số thực, b và c là các số nguyên dương, đồng 2 x c 1 Câu 17. Cho tích phân I   b là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P  2a  3b  c . c A. P  6 . B. P  6 . C. P  5 . thời D. P  4 . 5 Câu 18. Cho  ln  x 2  x dx  a ln 5  b ln 2  c với a , b , c là các số nguyên. Tính S  a  2b  c . 2 A. S  23 . x  ln x 2 Câu 19. Cho I   1 B. S  20 .  x  1 2 dx  C. S  17 . D. S  11 . a 1 ln 2  với a , b , m là các số nguyên dương và là phân số tối giản. b c ab . c 5 B. S  . 6 Tính giá trị của biểu thức S  A. S  2 . 3 C. S  1 . 2 1 D. S  . 3 b Câu 20. Cho a  b  1 . Tích phân I   ln  x  1 dx bằng biểu thức nào sau đây? a Fb: ThayTrongDGl 49 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH A. I   x  1 ln  x  1 a  a  b . B. I   x  1 ln  x  1 a  b  a . b b b 1 C. I  .  x  1 a Bảng đáp án 1.C 11.A 2.D 12.D New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH b D. I  x ln  x  1 a   b a 3.C 13.A 4.A 14.A 5.D 15.D 6.D 16.D 7.B 17.D 8.B 18.B x dx . x 1 9.D 19.B 10.C 20.B _ Dạng 3.  ax sin ax  e  . cosax dx  -Phương pháp:   acosax    sin ax  du   dx u   a sin ax      Đặt:  cos ax     v  1 eax ax dv  e dx  a _ Dạng 3. _Bài tập minh họa:  2 Câu 1. Tính tích phân I   cosx.e x dx . 0   e2  2 A. . 2 e2  2 B. . 2   e 2 1 C. . 2 Lời giải e 2 1 D. . 2 PP nhanh trắc nghiệm  Tính: Chọn D  2  I   cosx.e x dx 0 u  cosx du   sin xdx  Đặt:  x x dv  e dx v  e I  cosx.e x  2 0   2 2 0 0   sin x.e x dx  1   sin x.e x dx (*)  2 J   sin x.e x dx Kiểm tra các đáp án: 0 u  sin x du  cosxdx  Đặt:  x x dv  e dx v  e Fb: ThayTrongDGl 50 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH  J  sin x.e x  2 0 New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH   2 2   co s x.e x dx  e 2   cos x.e x dx 0 0   e 2  I (2*)  Thay (2*) vào (*) ta có: I  e 2 1 2  2 Câu 2. Tính tích phân I   sin x.e  x dx . 0 A. -e   2 2 2 . B. -e  2 2 2 . C. -e   2 2 Lời giải 1 . D. -e   2 1 2 PP nhanh trắc nghiệm .  Tính: Chọn D  2  I   sin x.e  x dx 0 u  sin x du  cosxdx  Đặt:  x x dv  e dx v  e  I   sin x.e x  2 0 2   cosx.e x dx  e   2 J (*) 0  2 Kiểm tra các đáp án: J   cosx.e x dx 0 u  cosx du   sin xdx  Đặt:  x x dv  e dx v  e   J  co s x.e  x 2 0 2   sin x.e  x dx 0  1  I (2*) Thay (2*) vào (*) ta có: I  e   2 1 2  2 Câu 3. I   esinx .sin 2 xdx 0 A. 1 . Fb: ThayTrongDGl B. 2 . C. 1 . 51 Tài liệu biên soạn và sưu tầm D. 2 . Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH Lời giải PP nhanh trắc nghiệm  Tính: Chọn B  2  I  2  es inx .sin x cos xdx . 0 u  sin x du  cos xdx  Đặt  sin x cos xdx v  esin x dv  e  I  2 sin xesin x  2e  2esin x   2 0  2 0 2   esin x .cos xdx 0 2 _Bài tập áp dụng:  4 Câu 1. Tính tích phân I   e x cos2 xdx : 0    e 4 1 A. I  . 5 e4  2 B. I  . 5  e4 3 C. I  . 5 e4  4 D. I  . 5  4 Câu 2. Tính tích phân I   e x cos2 xdx : 0 1  2e A. I  3   2  2e B. I  3 4 .   4 . 3  2e C. I  3   4 . 4  2e D. I  3   4 .  2 Câu 3. Tính tích phân I   e x sin xdx . 0   A. I  e  2 . B. I  e  1. 2 2  C. I  e  3 . 2  D. I  e 2  1 . 2  4 Câu 4. Tính tích phân I   e x sin 2 xdx . 0   e4 3 A. I  . 5 e 4 1 B. I  . 5  e4  2 C. I  . 5  e4  4 D. I  . 5  6 Câu 5. Tính tích phân I   e x sin 3xdx 0  e 6 1 A. I  . 7 Fb: ThayTrongDGl  e 6 1 B. I  . 8  e 6 1 C. I  . 9 52 Tài liệu biên soạn và sưu tầm  e 6 1 D. I  . 10 Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH  6 Câu 6. Tính tích phân I   e3 x cosxdx 0 3 3 1 2 3  )e  . A. I  ( 10 2 6 10 3 3 1 2 3  )e  . B. I  ( 10 2 6 10 3 3 1 2 3  )e  . C. I  ( 10 2 6 10 3 3 1 2 3  )e  . D. I  ( 10 2 6 10  4 Câu 7. Tính tích phân I   e  x sin xdx 0 1  2e A. I  2   1  2e B. I  2 4 .    4 .  1  2e 4 C. I  . 2 1  2e 4 D. I  . 2    3 Câu 8. x Tính tích phân I   e 2 sin xdx 0  ( 3  2)e 6  1 A. I  . 2  ( 3  2)e 6  1 ( 3  2)e 6  1 ( 3  2)e 6  1 B. I  . C. I  . D. I  . 5 3 4  4 Câu 9. Tính tích phân I   e x cos 2 xdx 0 A. I     3e  3 . 5 4 B. I  3e  2 . 5 4 C. I   3e  4 . 5 4 D. I  3e 4  1 . 5  4 Câu 10. Tính tích phân I   e x sin 2 xdx 0  A. I  Bảng đáp án 1.A 2e  1 . 5 2.A Fb: ThayTrongDGl   4 B. I  3.B 4.C 2e  2 . 5 4 5.D C. I  6.B  2e  3 . 5 4 7.A 53 Tài liệu biên soạn và sưu tầm D. I  8.D 9.A 2e 4  4 5 10.B Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH B I 4: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC _ Dạng 1. Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng _ Dạng 1. Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng -Phương pháp:  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  a; b  , trục b hoành và hai đường thẳng x  a , x  b được xác định: S   f ( x) dx . a y y  f ( x) O a c1 c2 y  f ( x)  y  0 (H )  x  a  x  b c3 b x b S   f ( x ) dx a  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) liên tục trên đoạn  a; b  b và hai đường thẳng x  a , x  b được xác định: S   f ( x)  g ( x) dx y a (C1 ) : y  f1 ( x )  (C ) : y  f2 ( x ) (H )  2 x  a x  b  (C1 ) (C2 ) b O c2 a c1 b S   f1 ( x )  f 2 ( x ) dx x a Chú ý: b – Nếu trên đoạn [a; b] , hàm số f ( x) không đổi dấu thì:  b f ( x) dx  a  f ( x)dx . a – Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối – Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g ( y) , x  h( y) và hai đường thẳng y  c , d y  d được xác định: S   g ( y )  h( y ) dy . c Fb: ThayTrongDGl 54 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH _Bài tập minh họa: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2  x 2 và y  x. Câu 1. 9 . 2 A. 11 . 2 PP nhanh trắc nghiệm   Trên  1; 2 hàm số y  f ( x)   x 2  x  2 B. 7 . C. 5 . Lời giải Chọn A  Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị  x  2 . là: 2  x 2  x  x 2  x  2  0   x  1 1 không đổi dấu nên S   x  x  2 dx  2  ( x  x  2)dx 2 2  x  2 dx vào màn hình bằng cách bấm lần lượt các phím sau: – Khi đó trên màn hình xuất hiện  x x  9      2x   .  3 2  2 2 Câu 2.  x 2 1 2  f ( x)dx . 2 1 – Nhập biểu thức 2 3 f ( x) dx   Quy trình bấm máy. 1 2  1 2 Diện tích của hình phẳng cần tìm là 1 D. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  ln x , y  0 , x  1 , x  e . Mệnh x2 đề nào dưới đây đúng? e ln x A. S    2 dx . x 1 e Lời giải  Ta có S   1 2  ln x  D. S     2  dx . x  1 e PP nhanh trắc nghiệm ln x  Xét dấu của hàm số y  2 trên đoạn [1;e] . x Chọn B e 2  ln x  C. S    2  dx . x  1 e ln x B. S   2 dx . x 1 ln x dx . x2 e Vì x  [1;e], ln x  0  Câu 3. ln x ln x  0  S   2 dx . 2 x x 1 1 x 3 x2 , y Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y y vẽ. 4 và trục hoành như hình 3 y = x2 2 1 1 7 A. . 3 56 B. . 3 Lời giải Chọn D  Dựa vào đồ thị ta có: Diện tích hình phẳng cần tìm là Fb: ThayTrongDGl O y=- 3 4 x+ 3 39 x C. 4 . 2 11 6 PP nhanh trắc nghiệm   Quy trình bấm máy. 1 D. 1 – Nhập biểu thức  1 4  x dx     3 x  3 dx 0 55 Tài liệu biên soạn và sưu tầm 4 2 vào màn 1 Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH 4  x2 4  4 1  1 S   x dx     x  dx  x3     x  3 3 3 0  6 3 1 0 1 1 1 4 New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 2 hình (thao tác tương tự câu 1). – Khi đó trên màn hình xuất hiện 1 8 7 11     . 3 3 6 6 _Bài tập áp dụng: (10 câu NB; 10 câu TH) 1. Nhận biết:(10 câu) Câu 1. Diện tích phần hình phẳng tô đen trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào dưới đây? 3 A. 3   f ( x)  g ( x)  dx . B. 0 C. 3   f ( x)  g ( x)  dx    g( x)  f ( x)  dx . 2 Câu 2. 0 3 2 0   g ( x)  f ( x)  dx    f ( x)  g ( x)  dx . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y  x3  11x  6 và y  6 x 2 là B. 14 . C. 1 . 4 D. 1 . 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x 2 ; y  0; x  1; x  2 bằng A. Câu 4. D. 0 A. 52 . Câu 3.   g ( x)  f ( x)  dx . 2 2 7 . 3 B. 4 . 3 C. 8 . 3 D. 1 . Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 2 A.   2x 2  2 x  4  dx . 1 Fb: ThayTrongDGl 2 B.   2x 2  2 x  4  dx . 1 56 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH 2 C. 2 2   2 x  2 x  4  dx . D. 1 Câu 5. New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH   2 x 2  2 x  4  dx . 1 Tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) giới hạn bởi hai đồ thị hàm số f  x   x ; g  x   x  2 trong hình sau y 2 O 7 . 3 A. S  Câu 6. B. S  2 10 . 3 x 4 C. S  11 . 3 D. S  7 . 3 Tính diện tích S của hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường cong y   x3  12 x và y   x 2 . A. S  937 . 12 B. S  343 . 12 C. S  793 . 4 D. S  397 . 4 x 1 và các trục tọa độ. x 1 Câu 7. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  H  : y  Câu 8. Khi đó giá trị của S bằng A. S  2ln 2  1 . B. S  ln 2  1 . C. S  ln 2 1 . D. S  2ln 2  1 . Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 3 A.  x 2  4 x  3 dx . 3 B. 1 2   x  2 x  11 dx . 3 D. 1 Câu 9. 2  2 x  11 dx . 1 3 C.  x x 2  4 x  3 dx . 1 Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 0 A.  x 2  3x  dx . 3 Fb: ThayTrongDGl 0 B.  x 2  3x  dx . 3 57 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH 0 C. New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 0 2    x  5x  2 dx . D. 3  x 2  5 x  2  dx . 3 Câu 10. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 1 A.   2 x  3 1  3 x  1 dx . 2 B. 1 2  1 C.  x 2  2 x  3  dx . 3 1 2 1 3 2   2 x  3x  1 dx .   2x D. 1 2   2 x 3  x 2  2 x  3  dx . 1 2  2. Thông hiểu: (10 câu) Câu 11. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 3 A. x 3  5 x 2  9 x  7  dx . 3 B. 1  x 3  5 x 2  9 x  7  dx . 1 3 C.  x 3  x  9 x  9  dx . 2 3 D. 1 x 3  x 2  9 x  9  dx . 1 Câu 12. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?  A. 1 2   5 x  8  dx . 2 Fb: ThayTrongDGl  B. 1 2  2x 2  5 x  2  dx . 2 58 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH  C. New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 1 2    5 x  8  d x . D. 2 1 2   2 x 2  5 x  2  dx . 2 Câu 13. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  x 3 và y  x5 ? A. S  1 . B. S  2 . C. S  1 . 6 1 D. S  . 3 Câu 14. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  2 x , y  0 , x  10 , x  10 . A. S  2000 . 3 B. S  2008 . C. S  2000 . D. S  2008 . 3 Câu 15. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 2 A.   2x 2 2  2 x  4  dx . B. 1 2 C.   2 x  2  dx . 1 2   2 x  2  dx . D. 1   2 x 2  2 x  4  dx . 1 2 Câu 16. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  4 x  x và trục Ox . A. 11 . B. 34 . 3 C. 31 . 3 D. 32 . 3 Câu 17. Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e 2 x , trục Ox , Oy và đường thẳng 2 . Tính S hình phẳng trên. 1 A. e4  1 . B.  e4  1 . 2 x C. 1 4 e . 2 D.   1 4 e 1 . 2 1 2 x7 x  8x  7  ,  H  : y  .  3 3 x 161 C. 3  ln 4 . D.  4ln 3  8ln 2 . 9 Câu 18. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị  P  : y   A. 3, 455 . B. 9  8ln 2 . Câu 19. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  2 x , y  0 , x  10 , x  10 . A. S  2000 . 3 B. S  2008 . C. S  2000 . D. S  2008 . 3 Câu 20. Cho đồ thị hàm số y  f ( x) . Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là Fb: ThayTrongDGl 59 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH 0 A. S   2 2 C. S   0 Bảng đáp án 1.C 11.C 1 1 f ( x)dx   f ( x)dx B. S  1 0 f ( x)dx   f ( x)dx D. S  4.C 14.D  2 0 3.A 13.C  f ( x)dx 2 0 2.D 12.D New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 5.B 15.D 6.A 16.D 1 f ( x)dx   f ( x)dx 7.A 17.B 0 8.A 18.B 9.B 19.D 10.C 20.D Hướng dẫn giải( phần TH) Câu 1. Diện tích phần hình phẳng tô đen trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào dưới đây? 3 3   f ( x)  g ( x)  dx . A. B. 0 3 2 0   f ( x)  g ( x)  dx    g( x)  f ( x)  dx . C.   g ( x)  f ( x)  dx . 2 2 D. 0 3 2 0   g ( x)  f ( x)  dx    f ( x)  g ( x)  dx . Lời giải Chọn C Từ đồ thị hai hàm số y  f ( x) và y  g ( x) ta có diện tích phần hình phẳng tô đen trong hình vẽ bên dưới được tính là: 3 S  f ( x)  g ( x) dx 2 0   2  Câu 2. 3 f ( x)  g ( x) dx   f ( x)  g ( x) dx 0 0 3 2 0   f ( x)  g ( x)  dx    g ( x)  f ( x)  dx. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y  x3  11x  6 và y  6 x 2 là A. 52 . Fb: ThayTrongDGl B. 14 . C. 1 . 4 Lời giải 60 Tài liệu biên soạn và sưu tầm D. 1 . 2 Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH Chọn D  x 1 Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: x  11x  6  6 x   x  2 .   x  3 3 2 Diện tích của hình phẳng là : S  x 3 2 3  6 x  11x  6  dx  x 2 1 3  6 x 2  11x  6  dx 2 2 3  x4   x4  11 2 11 1 1 1 3    2 x  x  6 x     2 x3  x 2  6 x     . 2 2 4 4 2  4 1  4 2 Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x 2 ; y  0; x  1; x  2 bằng A. 7 . 3 B. 4 . 3 8 . 3 C. D. 1 . Lời giải Chọn A 2 Diện tích của hình phẳng là S   1 Câu 4. 2 2 x3 7 x dx   x dx   . 31 3 1 2 2 Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 2 A.   2x 2 2  2 x  4  dx . B. 1 2  2 x  4  dx . 1 2 C.   2x 2 2   2 x  2 x  4  dx . D. 1   2 x 2  2 x  4  dx . 1 Lời giải Chọn C Từ đồ thị ta thấy  x 2  3  x 2  2 x  1 , x   1; 2 . Vậy diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là 2 S     x 2  3   x 2  2 x  1  dx  1 Câu 5. 2   2 x 2  2 x  4  dx . 1 Tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) giới hạn bởi hai đồ thị hàm số f  x   x ; g  x   x  2 trong hình sau Fb: ThayTrongDGl 61 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH y 2 O A. S  7 . 3 B. S  2 4 10 . 3 x C. S  11 . 3 D. S  7 . 3 Lời giải Chọn B 4 x   x  2  dx   S 0 Câu 6. 4  2 3 x2  10 x   x  2 dx   x 2   2 x   . 2 3 2 3 4 0 Tính diện tích S của hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường cong y   x3  12 x và y   x 2 . A. S  937 . 12 B. S  343 . 12 C. S  793 . 4 D. S  397 . 4 Lời giải Chọn A Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 đường cong: x  0  x  12 x   x  x( x  x  12)  0   x  3 .  x  4 3 2 2 4  Diện tích cần tìm là: S  0 x  x  12 x dx  3 2 3 0   x 3   x  12 x dx  2 3  Câu 7. 4  0  3 4 x  x  12 x dx   x 3  x 2  12 x dx 3 2 0 0 4  x 4 x3   x 4 x3  x  x  12 x dx     6 x 2      6 x 2   4 3  3  4 3 0 3 2  99 160 937   . 4 3 12 Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  H  : y  Khi đó giá trị của S bằng A. S  2ln 2  1 . B. S  ln 2  1 . C. S  ln 2 1 . Lời giải x 1 và các trục tọa độ. x 1 D. S  2ln 2  1 . Chọn A x 1 ,  H  cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A 1;0  , B  0;  1 . x 1 x 1 Gọi  K  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  , y  0, x  0 x 1 H : y  1 Suy ra S   0 2  x 1 x 1  không đổi dấu với x   0;1 ) dx   1  dx (do x 1  x 1 x 1 0 1 1   x  2ln 1  x   2 ln 2  1 . Vậy S  2ln 2  1 . 0 Fb: ThayTrongDGl 62 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH Câu 8. Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH New 2020 Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 3 A.  x 2 3  4 x  3 dx . B. 1  x  2 x  11 dx . 1 3 C. 2 3 2   x  2 x  11 dx . x D. 1 2  4 x  3 dx . 1 Lời giải Chọn A Ta thấy: x  1;3 :  x 2  3x  4  7  x nên 3 3 1 1 S     x 2  3x  4    7  x   dx     x 2  4 x  3 dx . Câu 9. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 0 A. 0 2   x  3x  dx . B. 0  x 2 2  3x  dx . 3 3 C.  x 0  5 x  2  dx . D. 3  x 2  5 x  2  dx . 3 Lời giải Chọn B Ta thấy: x   3;0 : x  1  x 2  4 x  1 nên 0 S    x  1   x 2  4 x  1  dx  3 0  x 2  3x  dx . 3 Câu 10. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? Fb: ThayTrongDGl 63 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH 1 A.   2 x   2x B.    2x  1  3 x 2  1 dx . 1 2 1 C. 3 3 New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 3  x 2  2 x  3  dx . 1 2 1  3 x  1 dx . 2   2 x D. 1 2  3  x 2  2 x  3  dx . 1 2 Lời giải Chọn C  1  Ta thấy: x    ;1 : 2 x3  2 x 2  x  1  x 2  x  2 nên  2  3 3 1 1 S    2 x3  2 x 2  x  1   x 2  x  2   dx    2 x 3  3 x 2  1 dx . Câu 11. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 3 A. x 3 3  5 x  9 x  7  dx . 2 B. 1  x  5 x 2  9 x  7  dx . 1 3 C. 3 3 3 2    x  x  9 x  9  dx . D. 1 x 3  x 2  9 x  9  dx . 1 Lời giải Chọn C Ta thấy: x  1;3 : 2 x 2  9 x  8  x3  3x 2  1 nên 3 3 1 1 S    2 x 2  9 x  8    x 3  3x 2  1  dx     x3  x 2  9 x  9  dx . Câu 12. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? Fb: ThayTrongDGl 64 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH  1 2    5 x  8  dx . A. B. C. 1 2  2x 2  5 x  2  dx . 2 2  New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 1 2    5 x  8  d x . D. 2 1 2   2 x 2  5 x  2  dx . 2 Lời giải Chọn D 1  Ta thấy: x   2;   :  x 2  5x  5  x 2  3 nên 2   S 1 2    x 2 2  5 x  5    x 2  3  dx   1 2   2 x 2  5 x  2  dx . 2 Câu 13. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  x 3 và y  x5 ? A. S  1 . B. S  2 . C. S  1 . 6 1 D. S  . 3 Lời giải Chọn C  x  1 Xét phương trình hoành độ giao điểm x  x  x  x  0  x  x  1  0   x  0 .   x  1 5 3 5 3 3 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  x 3 và y  x5 là: 1 S x 5  x 3 dx . 1 Cách 1: Bấm máy tính 1 Ta được S  x 5  x 3 dx  1 1 . 6 Cách 2: Giải tự luận 0 1 S  x5  x 3 dx  5 3   x  x dx  1 1 0 1 1 1 6 1 4 1 6 1 4 5 3 0  x  x dx =  6 x  4 x    6 x  4 x   6 . 1 0 1 Câu 14. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  2 x , y  0 , x  10 , x  10 . A. S  2000 . 3 B. S  2008 . C. S  2000 . D. S  2008 . 3 Lời giải Chọn D Fb: ThayTrongDGl 65 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường  C  : y  x 2  2 x và  d  : y  0 là: x  0 x2  2 x  0   . x  2 Bảng xét dấu: Diện tích cần tìm: 10 S  0 x 2  2 x dx  10  x 10 0 2 2 10  2 x  dx    x 2  2 x  dx    x 2  2 x  dx 0 2 2 10  x3   x3   x3  1300 4 704 2008 .    x2     x2     x2      3 3 3 3  3  10  3 0  3 2 Cách 2: Dùng MTCT Casio fx 580VN X . Câu 15. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 2 A.   2x 2 2  2 x  4  dx . B.   2 x  2  dx . 1 1 2 2 C.   2 x  2  dx . D. 1   2 x 2  2 x  4  dx . 1 Lời giải Chọn D Từ đồ thị hai hàm số y   x 2  3 và y  x 2  2 x  1 ta có  x 2  3  x 2  2 x  1 , x   1; 2 . Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là Fb: ThayTrongDGl 66 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 2 S     x 2  3   x 2  2 x  1  dx  1 2   2 x 2  2 x  4  dx . 1 2 Câu 16. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  4 x  x và trục Ox . A. 11 . B. 34 . 3 C. 31 . 3 D. 32 . 3 Lời giải Chọn D 2 Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  4 x  x và trục Ox . x  0 . x  4 Xét phương trình 4 x  x 2  0   4 4 4 x3 32 Ta có S   4 x  x dx   (4 x  x )dx  (2 x  )  . 3 3 0 0 0 2 2 2 Câu 17. Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e 2 x , trục Ox , Oy và đường thẳng 2 . Tính S hình phẳng trên. 1 A. e4  1 . B.  e4  1 . 2 x C. 1 4 e . 2 D.   1 4 e 1 . 2 Lời giải Chọn B 2 e2 x dx Ta có: S 0 1 2x e 2 2 0 1 4 e 1 . 2 1 2 x7 x  8x  7  ,  H  : y  .  3 3 x 161 C. 3  ln 4 . D.  4ln 3  8ln 2 . 9 Câu 18. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị  P  : y   A. 3, 455 . B. 9  8ln 2 . Lời giải Chọn B x  0 1 x7   x  7   x2  4x   0   x  4 . Phương trình hoành độ giao điểm   x 2  8x  7    3 3 x  x  7 Fb: ThayTrongDGl 67 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 7 Diện tích hình phẳng là S   4 x7 1 2 x7 1 2   x  8 x  7  dx     x  8 x  7  dx 3 x 3 3  x 3 4 7 7 4 1  x7 1 2        x  8 x  7   dx   1    x2  8x  7   3 x 3 3 x 3   4 4 7 7   1  x3    x  4 ln 3  x    4 x 2  7 x    9  8ln 2 . 3 3  4  Câu 19. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  2 x , y  0 , x  10 , x  10 . A. S  2000 . 3 B. S  2008 . C. S  2000 . D. S  2008 . 3 Lời giải Chọn D Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường  C  : y  x 2  2 x và  d  : y  0 là: x  0 x2  2 x  0   . x  2 Bảng xét dấu: Diện tích cần tìm: 10 S  0  x 2  2 x dx  10 10 0 2 10  x2  2 x  dx    x2  2 x  dx    x2  2 x  dx 0 2 2 10 x  x  x  1300 4 704 2008 .    x2     x2     x2      3 3 3 3  3  10  3 0  3 2 Cách 2: Dùng MTCT Casio fx 580VN X 3 3 3 Câu 20. Cho đồ thị hàm số y  f ( x) . Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là 0 A. S   2 Fb: ThayTrongDGl 1 1 f ( x)dx   f ( x)dx 0 B. S   f ( x)dx 2 68 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH 2 C. S   0 New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 1 0 f ( x)dx   f ( x)dx D. S   2 0 1 f ( x)dx   f ( x)dx 0 Lời giải Chọn D x [-2;0], f(x)  0; x [ 0;1], f(x)  0 nên ta có: S  0 1 2 0  f ( x)dx  f ( x)dx _ Dạng 2. Ứng dụng của tích phân tính thể tích _ Dạng 2. Ứng dụng của tích phân tính thể tích -Phương pháp: 1. Bài toán1: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền  D  giới hạn bởi y  f  x  ; y  0 và x  a, x  b khi quay quanh trục Ox . b * Phương pháp giải: áp dụng công thức: V    y 2 dx a 2. Bài toán 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: y  f  x  ; y  g  x  quay quanh trục Ox . * Phương pháp giải: + Giải phương trình: f  x   g  x  có nghiệm x  a, x  b b + Khi đó thể tích cần tìm : V    f 2  x   g 2  x  dx a 3. Bài toán3: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: x  g  y  ; y  a; y  b b * Phương pháp giải: áp dụng công thức: V    x 2 dy a 4. Bài toán 4: Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi : x  f  y  ; x  g  y  và y  a, y  b . * Phương pháp giải: b Áp dụng công thức: V    f 2 ( y )  g 2 ( y ) dy a 5. Bài toán 5: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền  D  giới hạn bởi một đường cong  C  kín. * Phương pháp giải: 69 1/ Khi  D  quay quanh trục Ox : Fb: ThayTrongDGl Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Chia đường cong  C  thành 2 cung: y1  f1  x  và y2  f 2  x  với x   a; b  và Ôn thi QG Lớp KHXH Fb: ThayTrongDGl Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 70 Tài liệu biên soạn và sưu tầm New 2020 Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH _Bài tập minh họa: Câu 1. Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn a ;b  . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b (a  b) . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức b A. V   2  f 2 ( x)dx . a b B. V    f 2 ( x)dx . a Lời giải b b C. V   2  f ( x)dx . D. V  2  f 2 ( x)dx . a a PP nhanh trắc nghiệm  Học thuộc công thức. Chọn B b  x  [a; b] ta có V    f 2 ( x)dx a Câu 2. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  1 và x  3 , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 1  x  3 ) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và A. V  32  2 15. C. V  3x 2  2 . B. V  124 . 3 124 . 3 D. V  (32  2 15) . Lời giải PP nhanh trắc nghiệm 3 Chọn C  Ta nhập biểu thức  3 x. 3 x 2  2dx như sau:  Diện tích thiết diện là: S ( x)  3x. 3x 2  2 1 3  Thể tích vật thể là: V   3x. 3x 2  2dx  124 . 1 3 y3Q(s3Q(dp2R1E3= + Màn hình hiển thị: Chọn C Câu 3. Gọi S là diện tích hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  1 , x  2 (như hình vẽ bên dưới). Đặt a  0  1 2 f  x  dx , b   f  x  dx , mệnh đề nào sau 0 đây đúng? Fb: ThayTrongDGl 71 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH A. S  b  a B. S  b  a C. S  b  a Lời giải S 0 2 1 0  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx 1 0 2 1 0 D. S  b  a PP nhanh trắc nghiệm  Dựa vào đồ thị ta thấy f ( x) là hàm đồng biến trên nên ta có thể chọn một hàm đồng biến trên để thay thế, ví dụ chọn f ( x)  x , suy ra Chọn A  Ta có: 2 New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 2 0    f  x  dx   f  x  dx  a  b . 1 a   xdx   , b   xdx  2 , 2 0 1 2 Vậy S   x dx  5 2 1 Lại thấy b  a  5 , chọn A 2 _Bài tập áp dụng: (10 câu NB; 10 câu TH) 1. Nhận biết:(10 câu) Câu 1. Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  sin x ; Ox ; x  0 ; x   . Quay  H  xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. Câu 2. 2 2 . B.  . 2 D.  2 . C.  . Cho hình  H  giới hạn bởi y  sin x , x  0, x   và y  0 . Thể tích khối tròn xoay khi quay  H  quanh trục Ox bằng: A. Câu 3.  B. 2 . . 2 C. 2 4 . D. 2 2 . Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x ln x, trục Ox, x  1, x  e . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng  H  quanh trục Ox . A. Câu 4.   e2  1 4 . B.   e  1 3 . C.   e  1 3 . D.   e2  1 4 . Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol  P  : y  x 2 và đường thẳng d : y  2 x quay quanh trục Ox bằng: 2 2 2 0 0 0 A.   4x 2 dx    x 4 dx . B.    x 2  2 x  dx . Câu 5. 2 2 2 2 0 0 0 C.   4x 2 dx    x 4 dx . D.    x 2  2 x  dx . Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi y x ln x , trục Ox và đường thẳng 2 quay xung quanh trục Ox . Fb: ThayTrongDGl 72 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH C. 2 ln 2  . B. 2 ln 2  . A. 2ln 2 1 . Câu 6. New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH D. 2 ln 2 1 . Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y  x 2  1 , trục hoành và các đường thẳng x  0, x  1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? A. V  Câu 7. 4 3 B. V  2 4 3 D. V  2 Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2  sin x , trục hoành và các đường thẳng x  0 , x   . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? B. V  2   1 . A. V  2 2 . Câu 8. C. V  D. V  2   1 . C. V  2 . Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x 2  3 , y  0 , x  0 , x  2 . Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 0 0 2 A. V     x 2  3 dx . B. V     x 2  3 dx . C. V    x 2  3 dx . D. V    x 2  3 dx . 2 0 Câu 9. 2 0 Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường thẳng y  x  2, y  0, x  1, x  2 . Gọi V là thể 2 tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2   2   2  2    A. V    x 2  2 dx . B. V   x 2  2 dx . C. V    x 2  2 dx . D. V   x 2  2 dx . 2 1 2 1 1 1 Câu 10. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox và hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  , xung quanh trục Ox . b A. V    f 2  x dx . a b B. V   f 2  x dx . a b b C. V    f  x dx . D. V   f  x  dx . a a 2. Thông hiểu: (10 câu) Câu 11. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a ; b  . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức b A. V    f 2  x  dx . a b b a a b B. V  2  f 2  x  dx . C. V   2  f 2  x  dx . D. V   2  f  x  dx . a Câu 12. Kí hiệu  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2( x  1)e , trục tung và trục hoành. x Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H  xung quanh trục Ox . A. V  4  2e . B. V   4  2e   . C. V  e2  5 . D. V   e 2  5   . Câu 13. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y  3x  x 2 , y  0 . A. 16 . 15 Fb: ThayTrongDGl B. 16 . 15 C. 81 . 10 73 Tài liệu biên soạn và sưu tầm D. 16 . 15 Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH Câu 14. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y   x3  x 2  2, y  2 . 12 3564 3654 729 B. C. D. . . . . 35 35 35 35 Câu 15. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y  2 x 2 , y  x3 . A. 256 1536 1536 265 π. B. C. . D. . π. 35 35 35 35 Câu 16. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y  x3 , y  0, x  1 . A.   4 . C. . D. . 4 2 7 7 Câu 17. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn A.  . B. bởi đồ thị của các hàm số y  2 x 2  3; y  1; y  2; x  0 .  206 9 . C. . D. . 2 15 4 Câu 18. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số xy  9, y  0, x  1, x  3 . A. 54 . B. 6 . C. 12 . D. 6 . Câu 19. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn 1 bởi đồ thị của các hàm số y  cos  x  , y  0, x  0, x  .     2    sin 2  2  sin 2  2  2 A. . B. . C. . D. . 8 4 4 8 Câu 20. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y  cos 2 x, y  0, x  0, x   . A. 8 . A. 2 2 Bảng đáp án 1.A 11.A B. . B. 2.D 12.D 3.D 13.C 3 . 8 C. 4.A 14.A 5.C 15.B 6.A 16.D 3 2 . 8 7.B 17.C D. 8.A 18.A  2 . 9.A 19.B 10.A 20.C Hướng dẫn giải Câu 1. Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  sin x ; Ox ; x  0 ; x   . Quay  H  xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là A. 2 2 . B.  . 2 D.  2 . C.  . Lời giải Chọn A  Thể tích khối tròn xoay là V    sin 2 x.dx  0 Câu 2.  2   1  cos2 x .dx  0 2 1   . x  sin 2 x   0 2 2 2   Cho hình  H  giới hạn bởi y  sin x , x  0, x   và y  0 . Thể tích khối tròn xoay khi Fb: ThayTrongDGl 74 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH quay  H  quanh trục Ox bằng A.  B. 2 . . 2 C. 2 4 . D. 2 2 . Lời giải Chọn D Thể tích khối tròn xoay  H  quanh trục Ox là:     1 cos2x   1  2  . V    sin xdx    dx   1 cos2x  dx   x  sin2x   .  2 20 2 2 2 0 2 0 0 2 Câu 3. Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x ln x, trục Ox, x  1, x  e . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng  H  quanh trục Ox . A.   e2  1 4 . B.   e  1 3 . C.   e  1 3 . D.   e2  1 4 . Lời giải Chọn D e Ta có VOx    x ln 2 xdx 1 2  du  ln xdx   1 2 2  e e  u  ln x  x  Đặt  . Suy ra VOx     x ln x    x ln xdx  .  2  1 1 dv  x v  1 x 2    2 2 1  du  dx  u  ln x  x  Đặt  . dv  x 1  v  x 2  2 e e  1 2 2  e  1 2   1 Suy ra VOx     x ln x    x ln x    xdx   2  1  2 1 2 1   e e e  1  e2  1   1  1       x 2 ln 2 x    x 2 ln x    x 2      .  2  2 4 4        1 1 1  Câu 4. Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol  P  : y  x 2 và đường thẳng d : y  2 x quay quanh trục Ox bằng 2 2 2 0 0 0 A.   4x 2 dx    x 4 dx . B.    x 2  2 x  dx . 2 2 2 2 0 0 0 C.   4x 2 dx    x 4 dx .D.    x 2  2 x  dx . Lời giải Chọn A Fb: ThayTrongDGl 75 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH x  0 Phương trình hoành độ giao điểm của  P  và d là x 2  2 x   . x  2 2 2   2 2 2 Thể tích của khối tròn xoay là    2x   x 2  dx    4x 2 dx    x 4 dx   0 0 0 Câu 5. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi y ln x , trục Ox và đường thẳng x 2 quay xung quanh trục Ox . A. 2ln 2 1 . B. 2 ln 2  . C. 2 ln 2  . D. 2 ln 2 1 . Lời giải Chọn C Giao của đồ thị hàm số y ln x 0 x ln x với trục Ox có hoành độ là nghiệm của phương trình 1. 2 Gọi V là thể tích vật thể cần tìm, ta có: V  2  x ln x ln xdx 1 Câu 6. 2 1  dx 2 ln 2  1 Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y  x 2  1 , trục hoành và các đường thẳng x  0, x  1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? A. V  4 3 B. V  2 C. V  4 3 D. V  2 Lời giải Chọn A Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức: 1 V  0 Câu 7.   1  x3  4 . x  1 dx     x  1 dx     x   3 3   0 0 2 2 1 2 Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2  sin x , trục hoành và các đường thẳng x  0 , x   . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? A. V  2 2 . B. V  2   1 . C. V  2 . D. V  2   1 . Lời giải Chọn B Ta có phương trình Fb: ThayTrongDGl 2  sin x  0 vô nghiệm nên: 76 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH  V      2  sin x dx     2  sin x  dx    2 x  cos x  0  2   1 . 0 Câu 8. New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 2 0 Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x 2  3 , y  0 , x  0 , x  2 . Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 0 0 2 A. V     x 2  3 dx . B. V     x 2  3 dx . C. V    x 2  3 dx . D. V    x 2  3 dx . 2 0 2 0 Lời giải Chọn A Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox là: 2 V     x 2  3 dx . 2 0 Câu 9. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường thẳng y  x 2  2, y  0, x  1, x  2 . Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 1 1 A. V     x 2  2  dx . B. V    x 2  2  dx . C. V     x 2  2  dx . D. V    x 2  2  dx . 2 1 2 1 Lời giải Chọn A 2   Ta có: V    x 2  2 dx . 2 1 Câu 10. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox và hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  , xung quanh trục Ox . b A. V    f 2  x dx . a b B. V   f 2 b  x dx . C. V    f  x dx . a a b D. V   f  x  dx . a Lời giải Chọn A Câu 11. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a ; b  . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức b A. V    f 2  x  dx . a b B. V  2  f 2  x  dx . C. V   a b 2  f  x  dx . 2 a D. V   b 2  f  x  dx . a Lời giải Chọn A Theo công thức tính thể tích vật tròn xoay khi quay hình  H  quanh trục hoành ta có b V    f 2  x  dx . a Fb: ThayTrongDGl 77 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH Câu 12. Kí hiệu  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2( x  1)e x , trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H  xung quanh trục Ox B. V   4  2e   . A. V  4  2e . D. V   e 2  5   . C. V  e2  5 . Lời giải Chọn D Phương trình hoành độ giao điểm 2  x  1 e x  0  x  1 Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H  xung quanh trục Ox là: du  2  x  1 dx 2  u   x  1   V     2  x  1 e  dx  4   x  1 e dx . Đặt   e2 x 2x v  dv  e dx 0 0    2  1 1 2 x 2 1 2x 1 1 1 2x e2 x e2 x 2 e  V  4  x  1  4  2  x  1 dx  4  x  1  4   x  1 e2 x dx 2 0 2 2 0 0 0 2 u  x  1  du  dx  Gọi I1    x  1 e dx . Đặt  e2 x 2x dv  e dx  v  0  2  1 2x 1 1 1 e2 x e2 x  I1  4  x  1  4  dx  2   e2 x  2   e2    3   e2 0 2 0 2 0 1 e2 x Vậy V  4  x  1  I1  2  3   e2   e2  5 2 0  2    Câu 13. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y  3x  x 2 , y  0 . A. 16 . 15 16 . 15 B. 81 . 10 Lời giải C. D. 16 . 15 Chọn C x  0 Ta có: 3x  x 2  0   x  3 3  Thể tích: V    3x  x 2  2 dx  0 81 . 10 Câu 14. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y   x3  x 2  2, y  2 . A. 12 . 35 B. 3564 . 35 C. 3654 . 35 D. 729 . 35 Lời giải Chọn A x  0 Ta có:  x 3  x 2  2  2   x  1 1  Thể tích: V     x3  x 2  2 0 Fb: ThayTrongDGl  2  22 dx  12 . 35 78 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH Câu 15. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y  2 x 2 , y  x3 . A. 1536 π. 35 B. 256 π. 35 1536 . 35 Lời giải C. D. 265 . 35 Chọn B 2 x  0 256 Ta có: 2 x  x   . Thể tích: V    x6  4 x 4 dx  . 35 x  2 0 2 3 Câu 16. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y  x3 , y  0, x  1 . A.  4 . B. 4 . 7 C.  2 . D.  . 7 Lời giải Chọn D 1 1 Ta có: x3  0  x  0 . Thể tích: V    x6dx   . 7 0 Câu 17. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y  2 x 2  3; y  1; y  2; x  0 . A. 8 . B.  2 . C. 9 . 4 D. 206 . 15 Lời giải Chọn C Ta có: y  2 x 2  3  x   y 3 nên thể tích của khối tròn xoay được tạo thành là: 2 2 2 2  y 3   y2 3  9  y 3 V     d y   d y      y   .    2  2   4 2 1 4 1 1 Câu 18. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số xy  9, y  0, x  1, x  3 . 2 B. 6 . A. 54 . C. 12 . Lời giải D. 6 . Chọn A 3 Ta có: xy  9  y  81 9 Thể tích: V    2 dx  54 . x 1 x Câu 19. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn 1 bởi đồ thị của các hàm số y  cos  x  , y  0, x  0, x  . A.    2  8 . B.   sin 2  2  4  . C. sin 2  2 . 4 D.  2 8 . Lời giải Chọn B Fb: ThayTrongDGl 79 Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! Ôn thi QG Lớp KHXH New 2020 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp KHXH 1 1   Thể tích: V    cos 2  x  dx   0 1  cos  2 x   dx  2    sin 2  2  0 4  Câu 20. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y  cos 2 x, y  0, x  0, x   . A. 2 2 . B. 3 . 8 3 2 . 8 C. D.  2 . Lời giải Chọn C  Thể tích: V    cos 4 xdx  0 Fb: ThayTrongDGl  1 1    1  cos 2 x 2 dx    3  4 cos 2 x  cos 4 x  dx   4 8 0 0 80 Tài liệu biên soạn và sưu tầm 3 2  8 Chúc các em học tốt !
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top