Tài liệu tự học chuyên đề đa diện và thể tích khối đa diện – Lê Minh Cường

LÊ MINH CƯỜNG “Cuộc sống cũng giống như đạp xe đạp, muốn giữ thăng bằng, phải liên tục chuyển động” – Albert Einstein Chuyên đề 3: ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN (theo từng chuyên đề và có lời giải chi tiết) TOÁN 12 Vol.2. CĐ3.HH Sài Gòn, mùa Noel – 2017 Tài liệu lưu hành nội bộ GV. Lê Minh Cường – fb.com/cuong.thayleminh.7 – 01666658231 Tài liệu tự học I Lời nói đầu HỌC của học sinh. Thầy cùng một số thầy/cô khác đã dày công biên soạn và sưu tầm các dạng Toán TRẮC NGHIỆM lớp 12 và cho ra đời tập “TÀI LIỆU TỰ HỌC – TOÁN 12, Vol.2.” để đáp ứng nhu cầu học sinh cũng như làm thỏa mãn tính TỰ HỌC ở những bạn đã sớm ý thức được kỹ năng CẦN THIẾT này. Trong quá trình biên soạn, mặc dù đã kiểm tra rất kỹ lưỡng không thể tránh khỏi những sai sót ngoài ý muốn, bạn đọc và các em học sinh có thắc mắc hãy thẳng thắn gửi mail về địa chỉ [email protected] hoặc gặp thầy Cường. Chúc các em học tập thật tốt và đừng quên sự ủng hộ nhiệt tình của các em sẽ là động lực để thầy hoàn thiện VOL.3. nhé. ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường – 01666658231 GV. Lê Minh Cường – fb.com/cuong.thayleminh.7 – 01666658231 Nhằm tạo nguồn tài liệu dồi dào, phong phú và thích hợp với xu hướng TỰ GV. Lê Minh Cường – [email protected] – 01666658231 Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 2 KHỐI ĐA DIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2.1 Khái niệm khối đa diện 2.1.1 Tính chất, số cạnh, đỉnh, mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2.1.2 Lý thuyết đa diện lồi và đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.3 Tính chất về cạnh – đỉnh – mặt của đa diện lồi và đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.4 Tính chất đối xứng của khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Công thức thể tích đơn giản 2.2.1 Khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.2 Khối lăng trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Thể tích có tính toán thêm một yếu tố 2.3.1 Khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.2 Khối lăng trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Thể tích của khối có chứa góc 2.4.1 Khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.2 Khối lăng trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5 Tính thể tích và khoảng cách gián tiếp 2.5.1 Sử dụng tỷ lệ thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5.2 Tính khoảng cách dựa vào công thức thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.6 Các bài toán tổng hợp 2.6.0.1 Khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.0.2 Khối lăng trụ tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.0.3 Khối hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1 9 17 24 32 37 .37 .45 .46 III 2.7 Vận dụng thực tế 50 GV. Lê Minh Cường – fb.com/cuong.thayleminh.7 – 01666658231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường – 01666658231 2.1 Khái niệm khối đa diện 1 2.2 Công thức thể tích đơn giản 9 2.3 Thể tích có tính toán thêm một yếu tố17 2.4 Thể tích của khối có chứa góc 2.5 Tính thể tích và khoảng cách gián tiếp 32 2.6 Các bài toán tổng hợp 37 2.7 Vận dụng thực tế 50 24 2.1 Khái niệm khối đa diện Lý thuyết đa diện 1. Hình đa diện là hình được tạo thành bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn 2 tính chất: + Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc một đỉnh chung, hoặc một cạnh chung. + Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. 2. Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện kể cả hình đa diện đó. 3. Phân chia và lắp ghép hai khối đa diện: Nếu một khối đa diện là hợp của hai khối đa diện mà không có điểm chung. Ta gọi khối đa diện đó được phân chia thành hai khối, ngược lại được lắp ghép từ 2 khối. 2.1.1 Tính chất, số cạnh, đỉnh, mặt Câu 2.1.1. Một hình lăng trụ có 24 đỉnh sẽ có bao nhiêu cạnh? A. 36. B. 48. C. 24. D. 12. Câu 2.1.2. Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất của bao nhiêu mặt? A. Năm mặt. B. Hai mặt. C. Ba mặt. D. Bốn mặt. Câu 2.1.3. Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu cạnh? A. Năm cạnh. B. Bốn cạnh. C. Ba cạnh. D. Hai cạnh. Câu 2.1.4. Cho một đa diện n cạnh. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng. A. n ≥ 6 . B. n > 6. C. n > 7. D. n ≤ 30. Câu 2.1.5. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. A. Mỗi cạnh của khối đa diện là cạnh chung của đúng 2 mặt của khối đa diện. B. Hai mặt bất kì của khối đa diện luôn có ít nhất một điểm chung. GV. Lê Minh Cường – fb.com/cuong.thayleminh.7 – 01666658231 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN 2 GV. Lê Minh Cường – [email protected] – 01666658231 C. Mỗi đỉnh của khối đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt. D. Mỗi mặt của khối đa diện có ít nhất ba cạnh. Câu 2.1.6. Một khối chóp có đáy là đa giác n cạnh. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Số mặt và số đỉnh bằng nhau. B. Số đỉnh của khối chóp bằng 2n + 1. C. Số cạnh của khối chóp bằng n + 1. D. Số mặt của khối chóp bằng 2n. Câu 2.1.7. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép với nhau là một đa diện lồi. B. Tứ diện là đa diện lồi. C. Hình lập phương là đa điện lồi. D. Hình hộp là đa diện lồi. Câu 2.1.8. Một hình chóp có n mặt (n là số nguyên lớn hơn 3). Hỏi hình chóp ấy có mấy cạnh? A. 2n cạnh. B. 2 (n − 1) cạnh. C. 2n − 1 cạnh. D. 2n + 1 cạnh. Câu 2.1.9. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng: A. Mỗi hình đa diện có ít nhất bốn đỉnh . B. Mỗi hình đa diện có ít nhất ba đỉnh. C. Số đỉnh của một hình đa diện lớn hơn hoặc bằng số cạnh của nó. D. Số mặt của một hình đa diện lớn hơn hoặc bằng số cạnh của nó. Câu 2.1.10. Một khối đa diện lồi được tạo thành bằng cách ghép mặt bên một hình hộp với mặt đáy một hình chóp, biết mặt đáy hình chóp đúng bằng mặt bên của hình hộp. Khi đó khối đa diện lồi được tạo thành có: A. 9 đỉnh, 20 cạnh, 9 mặt. B. 9 đỉnh, 16 cạnh, 11 mặt. C. 13 đỉnh, 16 cạnh, 11 mặt. D. 9 đỉnh, 16 cạnh, 9 mặt. Câu 2.1.11. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Mỗi cạnh của hình đa diện là cạnh chung của đúng hai mặt. B. Hai mặt của một hình đa diện luôn có một đỉnh chung hoặc một cạnh chung. C. Mỗi hình đa diện đều có ít nhất 6 cạnh. D. Mỗi mặt của một hình đa diện là một đa giác. Câu 2.1.12. Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện? A. B. C. D. Câu 2.1.13. Hình nào sau đây không phải là hình đa diện? A. Hình trụ. B. Hình tứ diện. C. Hình lập phương. Thầy Lê Minh Cường – 01666658231 D. Hình chóp. ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.1 Khái niệm khối đa diện 3 Câu 2.1.14. Cho khối chóp S.ABCD. Hỏi hai mặt phẳng (SAC ) và (SBD ) chia khối chóp S.ABCD thành mấy khối chóp nhỏ? A. 4. B. 3. C. 2. D. 5. 2.1.2 2. Định nghĩa: Một khối đa diện đều là khối đa diện lồi thỏa mãn tính chất sau đây: • Tất cả các mặt của nó là các đa giác đều, bằng nhau. • Mỗi đỉnh là giao của một số mặt như nhau (cũng là giao của số cạnh như nhau). 3. Khối đa diện đều loại { p; q} là khối đa diện mà mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh và mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt. 4. Định lý: Có đúng năm loại khối đa diện đều là: loại {3; 3} khối tứ diện đều; {4; 3} khối lập phương; {3; 4} khối bát diện đều; {5; 3} khối 12 mặt đều; {3; 5} khối 20 mặt đều. Khối tứ diện đều Khối lập phương Tên gọi Khối mười hai mặt đều Khối bát diện đều Hình Khối hai mươi mặt đều Loại Đỉnh Cạnh Mặt tâm đx trục đx mặt đx Tứ diện đều {3; 3} 4 6 4 0 3 6 Lập phương {4; 3} 8 12 6 1 9 9 Bắt diện đều {3; 4} 6 12 8 1 3 3 Mười hai mặt đều {5; 3} 20 30 12 1 Hai mươi mặt đều {3; 5} 12 30 20 1 Công thức tính: pM = 2C = qD hoặc công thức Euler: D − C + M = 2. 2.1.3 Tính chất về cạnh – đỉnh – mặt của đa diện lồi và đều Câu 2.1.15. Mỗi đỉnh của hình bát diện đều là cạnh chung của bao nhiêu cạnh? A. 3. B. 8. C. 5. D. 4. Câu 2.1.16. Khối 20 mặt đều thuộc loại A. {3; 5}. B. {3; 4}. C. {4; 3}. D. {4; 5}. Câu 2.1.17. Hỏi hình mười hai mặt đều có bao nhiêu đỉnh? A. Mười hai . B. Mười sáu. C. Hai mươi. ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 D. Ba mươi. Thầy Lê Minh Cường – 01666658231 GV. Lê Minh Cường – fb.com/cuong.thayleminh.7 – 01666658231 Lý thuyết đa diện lồi và đều 1. Khối đa diện lồi là khối đa diện mà nếu đoạn thẳng nối bất kỳ hai điểm của nó thì luôn nằm trong nó. Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN 4 GV. Lê Minh Cường – [email protected] – 01666658231 Câu 2.1.18. Khối đa diện đều có 12 mặt thì có bao nhiêu cạnh? A. 24. B. 12. C. 30. D. 60. Câu 2.1.19. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? A. Hình ( H ) được tạo thành từ một số hữu hạn các miền đa giác thì ( H ) là hình đa diện. B. Khối đa diện ( H ) gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của ( H ) luôn thuộc ( H ). C. Khối chóp đều là khối đa diện đều. D. Khối đa diện lồi ( H ) có tất cả các mặt là đa giác đều thì ( H ) là đa diện đều. Câu 2.1.20. Khối đa diện đều loại {4; 3}có bao nhiêu cạnh? A. 18 . B. 20 . C. 12 . D. 6 . Câu 2.1.21. Khối chóp lục giác đều có bao nhiêu mặt? A. 8 . B. 9 . C. 6 . D. 7 . Câu 2.1.22. Mỗi đỉnh của một khối bát diện đều là đỉnh chung của bao nhiêu cạnh? A. 7. B. 6. C. 5. D. 4. Câu 2.1.23. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai ? A. Hình lăng trụ đều có cạnh bên vuông góc với đáy. B. Hình lăng trụ đều có các mặt bên là hình chữ nhật. C. Hình lăng trụ đều có các cạnh bên bằng đường cao của lăng trụ. D. Hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Câu 2.1.24. Khối đa diện đều nào sau đây có mặt không phải là tam giác đều? A. Bát diện đều. B. Nhị thập diện đều. C. Thập nhị diện đều. D. Tứ diện đều. Câu 2.1.25. Các khối đa diện đều nào có tất cả các mặt là hình vuông? A. Hình tứ diện. B. Hình lập phương. C. Hình bát diện đều. D. Hình nhị thập diện đều. Câu 2.1.26 (THTT Lần 5). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Mỗi khối đa diện đều là một khối đa diện lồi . B. Hình chóp tam giác đều là hình chóp có bốn mặt là các tam giác đều . C. Chỉ có năm loại khối đa diện đều . D. Mỗi cạnh của hình đa diện là cạnh chung của đúng hai mặt. Câu 2.1.27. Khối đa diện nào sau đây có các mặt không phải là tam giác đều? A. Bát diện đều. B. Nhị thập diện đều. C. Tứ diện đều. D. Thập nhị diện đều. Câu 2.1.28. Khối lập phương là khối đa diện đều loại A. {5; 3}. B. {3; 4}. C. {4; 3}. D. {3; 5}. Câu 2.1.29. Có bao nhiêu loại khối đa điện đều mà mỗi mặt của nó là một tam giác đều? A. 5. B. 3. C. 1. D. 2. Câu 2.1.30. Cho hình đa diện đều 12 mặt thuộc loại { p, q}. Tính p − q. A. −2. B. 1. C. 2. D. −1. Câu 2.1.31. Khối đa diện đều loại {5; 3} có số mặt là A. 10. B. 12. C. 8. D. 14. Câu 2.1.32. Trung điểm các cạnh của một hình tứ diện đều là các đỉnh của hình nào trong các hình kể dưới đây? A. Hình lục giác đều. B. Hình chóp tứ giác đều. C. Hình bát diện đều. D. Hình tứ diện đều. Thầy Lê Minh Cường – 01666658231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.1 Khái niệm khối đa diện 5 Câu 2.1.33. Biết hình đa diện đều hai mươi mặt là đa diện đều loại {3; 5}, hỏi hình này có bao nhiêu đỉnh? A. 60. B. 30. C. 20. D. 12. Câu 2.1.35. Hình bát diện đều có số đỉnh, số cạnh, số mặt tương ứng là A. 12; 8; 6. B. 12; 6; 8. C. 6; 12; 8. D. 8; 6; 12. Câu 2.1.36. Hình lăng trụ tứ giác đều là hình A. lăng trụ đứng, đáy là hình vuông. C. lăng trụ đứng, đáy là hình thoi. B. lăng trụ đứng, tất cả các cạnh bằng nhau. D. hình hộp chữ nhật. Câu 2.1.37. Một hình chóp có tất cả 8 cạnh. Tính số đỉnh của hình chóp đó. A. 5. B. 4. C. 6. D. 3. Câu 2.1.38. Khối đa diện nào sau đây có các mặt không phải là các tam giác đều? A. Khối mười hai mặt đều. B. Khối hai mươi mặt đều. C. Khối tứ diện đều. D. Khối bát diện đều. Câu 2.1.39 (THPTQG 2017). Mặt phẳng ( A0 BC ) chia khối lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 thành các khối đa diện nào? A. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác. B. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác. C. Hai khối chóp tam giác. D. Hai khối chóp tứ giác. Các phép dời hình – hai hình bằng nhau 1. Phép dời hình trong không gian là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý. 2. Các phép dời hình: Tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, đối xứng mặt,. . . 3. Hai đa diện gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến đa diện này thành đa diện kia. 4. Hình H có tâm đối xứng là I nếu mọi điểm thuộc hình H lấy đối xứng qua I ta cũng thu được một điểm thuộc hình H. Chú ý: Hình đa diện nói chung chỉ có nhiều nhất một tâm đối xứng và tâm đối xứng đó nằm bên trong hình đa diện đó. 5. Hình H có tâm trục xứng là ∆ nếu mọi điểm thuộc hình H lấy đối xứng qua ∆ ta cũng thu được một điểm thuộc hình H. 6. Hình H có mặt đối xứng là (α) nếu mọi điểm thuộc hình H lấy đối xứng qua (α) ta cũng thu được một điểm thuộc hình H. ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường – 01666658231 GV. Lê Minh Cường – fb.com/cuong.thayleminh.7 – 01666658231 Câu 2.1.34. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Chỉ có năm loại khối đa diện đều. B. Hình chóp tam giác đều là hình chóp có bốn mặt là những tam giác đều. C. Mỗi cạnh của hình đa diện là cạnh chung của đúng hai mặt. D. Mỗi khối đa diện đều là một khối đa diện lồi. Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN 6 GV. Lê Minh Cường – [email protected] – 01666658231 2.1.4 Tính chất đối xứng của khối đa diện Câu 2.1.40 (THPTQG 2017). Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 mặt phẳng. B. 1 mặt phẳng. C. 2 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng. Câu 2.1.41 (THPTQG 2017). Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 mặt phẳng. B. 3 mặt phẳng. C. 6 mặt phẳng. D. 9 mặt phẳng. Câu 2.1.42. Một hình lăng trụ lục giác đều có bao nhiêu trục đối xứng? A. 5. B. 7. C. 3. D. 4. Câu 2.1.43. Mỗi mặt của hình mười hai mặt đều là một đa giác đều có số cạnh là: A. 6. B. 4. C. 5. D. 3. Câu 2.1.44. Hình tứ diện đều có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 3. B. 4. C. 6. D. 2. Câu 2.1.45. Số mặt phẳng đối xứng của khối tứ diện đều là: A. 9. B. 2. C. 6. D. 3. Câu 2.1.46. Hình hộp chữ nhật (không phải là hình lập phương) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Câu 2.1.47. Số mặt phẳng đối xứng của khối tứ diện đều là A. 4. B. 5. C. 6. D. 3. Câu 2.1.48. Một hình chóp tứ giác đều có mấy mặt đối xứng. A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Câu 2.1.49. Khối đa diện đều loại {3; 3} có bao nhiêu trục đối xứng? A. 0. B. 4. C. 3. D. 6. Câu 2.1.50 (ĐỀ MH 2017 Lần 2). Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng? A. Lăng trụ lục giác đều. C. Hình lập phương. B. Tứ diện đều. D. Bát diện đều. Câu 2.1.51. Hình tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. Vô số. B. 3. C. 6. D. 9. Câu 2.1.52. Một hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4. B. 2. C. 3. D. 6. Câu 2.1.53. Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4. B. Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh. C. Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng. D. Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh. Thầy Lê Minh Cường – 01666658231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.1 Khái niệm khối đa diện 7 Câu 2.1.54 (THPTQG 2017). Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát đó. Mệnh đề nào đây đúng? √ diện √ dưới √ 2 2 A. S = 4 3a . B. S = 3a . C. S = 2 3a2 . D. S = 8a2 . A | 2.1.2. A | 2.1.10. C | 2.1.18. B | 2.1.26. D | 2.1.34. B | 2.1.42. A | 2.1.50. C | 2.1.3. D | 2.1.11. C | 2.1.19. B | 2.1.27. B | 2.1.35. B | 2.1.43. B | 2.1.51. C | 2.1.4. A | 2.1.5. B | 2.1.12. C | 2.1.13. B | 2.1.20. C | 2.1.21. D | 2.1.28. C | 2.1.29. C | 2.1.36. A | 2.1.37. C | 2.1.44. C | 2.1.45. C | 2.1.52. A | 2.1.53. ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 B | 2.1.6. A | A | 2.1.14. A | D | 2.1.22. D | B | 2.1.30. C | A | 2.1.38. A | C | 2.1.46. A | B | 2.1.54. C | 2.1.7. 2.1.15. 2.1.23. 2.1.31. 2.1.39. 2.1.47. A| D| D| B| B| C| 2.1.8. 2.1.16. 2.1.24. 2.1.32. 2.1.40. 2.1.48. B| A| C| C| A| D| Thầy Lê Minh Cường – 01666658231 GV. Lê Minh Cường – fb.com/cuong.thayleminh.7 – 01666658231 2.1.1. 2.1.9. 2.1.17. 2.1.25. 2.1.33. 2.1.41. 2.1.49. Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN 8 Ôn tập các hình cơ bản và công thức GV. Lê Minh Cường – [email protected] – 01666658231 Tam giác Với S diện tích, h chiều cao, p = a+b+c nửa chu vi, r bán kính nội tiếp, R bán kính ngoại tiếp. 2 1 1. S = <đáy> × . 2 5. S = abc . 4R 1√ 2 2b + 2c2 − a2 . 2 2 p 7. AD = bcp( p − a). b+c 1 1 1 2. S = ab sin C = bc sin A = ac sin B. 2 2 2 p 3. S = p( p − a)( p − b)( p − c). 6. AM = 4. S = pr. 8. Định lý Côsin a2 = b2 + c2 − 2bc cos A. Tam giác vuông A 1. Pytago a2 = b2 + c2 . 4. h2 = b0 c0 . 1 1 2. S = bc = ah. 2 2 1 1 1 5. 2 = 2 + 2 . h b c a 6. R = . 2 3. b2 = c0 a và b2 = b0 a. c b h c0 B H b0 a C Hình 2.1.1. Tam giác vuông. Tứ giác lồi A B b 1. Diện tích tứ giác lồi khi biết độ dài hai đường chéo và góc giữa 1 1 hai đường chéo là S = AC.BD sin α = ab sin α 2 2 a α C D Hình 2.1.2. Tứ giác lồi. Hình thang A 1 1. Diện tích hình thang S = AH ( AB + CD ). 2 D H B C 2. Hai cạnh đáy song song với nhau. Hình 2.1.3. Hình thang. Thầy Lê Minh Cường – 01666658231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.2 Công thức thể tích đơn giản 9 Hình thoi B 1. Hình thoi có tất cả các cạnh bằng nhau. O A C 3. Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. D 1 [ 4. Diện tích hình thoi S = AC.BD = AB.AD sin BAD. 2 Hình 2.1.4. Hình thoi. Hình vuông A B 1. Hình vuông có tất cả các cạnh bằng nhau. 2. Hai đường chéo vuông góc, bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. √ 3. Độ dài đường chéo là a 2. 4. Diện tích hình vuông S = O D C a2 . Hình 2.1.5. Hình vuông. 2.2 Công thức thể tích đơn giản Ký hiệu: h là đường cao; P là chu vi đáy; S là diện tích đáy; Sxq là diện tích xung quang; V là thể tích. 1 1 1. Vchóp = × = Sh. 3 3 2. Vlăng trụ = × = Sh. 3. Vhộp chữ nhật = × × = abc. 4. Vlập phương = 3 = a3 . Các đa diện thường gặp ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường – 01666658231 GV. Lê Minh Cường – fb.com/cuong.thayleminh.7 – 01666658231 2. Các góc đối diện thì bằng nhau, góc kề thì bù nhau. Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN 10 Tứ diện đều S √ a× 6 . 3 GV. Lê Minh Cường – [email protected] – 01666658231 1. Tứ diện đều thuộc loại {3; 3}. 2. Tất cả các cạnh bằng nhau, tất cả các mặt là tam giác đều. 3. Đường cao h = √ a3 2 4. Thể tích V = . 12 A B G 5. Diện tích toàn phần √ Stp = 4Sđáy = a2 3. C Hình 2.2.1. Tứ diện đều. Lập phương A0 D0 C0 B0 1. Thể tích khối lập phương V = a3 . 2. Diện tích toàn phần Stp = 6a2 . √ 3. Độ dài đường chéo: a 3. D C B A Hình 2.2.2. Lập phương. Chóp tứ giác đều 1. Chóp tứ giác đều S.ABCD là đa diện đều thuộc loại hình chóp có đáy là hình vuông và SO⊥( ABCD ). S 2. Các cạnh đáy bằng nhau và các cạnh bên bằng nhau, các mặt bên là những tam giác cân. 3. Không có tâm đối xứng. 4. Có 1 trục đối xứng. D 5. Có 4 mặt phẳng đối xứng. A 1 6. Thể tích V = a2 h. 3 r 7. Diện tích toàn phần Stp = a2 + 2a Thầy Lê Minh Cường – 01666658231 a2 2 b − . 4 O C B Hình 2.2.3. Chóp tứ giác đều. ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.2 Công thức thể tích đơn giản 11 Lăng trụ tam giác đều 1. Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều. A0 B0 C0 3. Không có tâm đối xứng và trục đối xứng. 4. Có 4 mặt phẳng đối xứng. √ a2 3 5. Thể tích V = h. 4 √ a2 3 3ah 6. Diện tích toàn phần Stp = + . 2 2 B A C Hình 2.2.4. Lăng trụ tam giác đều. Hộp chữ nhật 1. Hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng, có mặt đáy là hình chữ nhât. 2. Tất cả các mặt đều là hình chữ nhật. C0 D0 A0 B0 3. Không có tâm đối xứng 4. Có 3 trục đối xứng. 5. Có 3 mặt phẳng đối xứng. 6. Thể tích khối hộp chữ nhật V = abc. 7. Diện tích toàn phần Stp = 2( ab + bc + ac). √ 8. Độ dài đường chéo a2 + b2 + c2 . ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 D A C B Hình 2.2.5. Hộp chữ nhật. Thầy Lê Minh Cường – 01666658231 GV. Lê Minh Cường – fb.com/cuong.thayleminh.7 – 01666658231 2. Các cạnh đáy bằng nhau và các cạnh bên bằng nhau, các mặt bên là những hình chữ nhật. Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN 12 2.2.1 Khối chóp GV. Lê Minh Cường – [email protected] – 01666658231 Ví dụ 2.2.1 THPTQG 2017 Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. V = 40. B. V = 192. C. V = 32. D. V = 24. p Lời giải. Nửa chu vi của tam giác ABC là p = 12 ⇒ S∆ABC = p( p − 6)( p − 10)( p − 8) = 1 24 ⇒ V = .24.4 = 32 3 Ví dụ 2.2.2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác √ vuông cân tại A, AB = a. Đường thẳng SA V của khối chóp√S.ABC. vuông góc√với mặt phẳng ( ABC√ ) và SA = a 3. Tính thể √ tích 3 3 3 2a 2a 3a 3a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 6 2 3 6 Lời giải. S Có S∆ABC = a2 . 2 1 Vậy V = SA.S∆ABC = 3 √ 3a3 . 6 C A B Câu 2.2.1. Tính thể tích V của khối chóp có diện tích đáy là S và chiều cao là h. 2 1 1 A. V = Sh. B. V = Sh. C. V = Sh. D. V = Sh. 3 2 3 Câu 2.2.2. Công thức nào sau đây là công thức sai: 1 A. Thể tích khối chóp có diện tích đáy là B, chiều cao h là: V = Bh. 3 1 B. Thể tích khối hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là V = abc. 3 C. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy là B, chiều cao h là: V = Bh. D. Thể tích khối lập phương có cạnh bằng a là V = a3 . Câu 2.2.3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai? A. Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. B. Hai khối hộp có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. C. Hai khối lăng trụ có diện tích và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. D. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. Câu 2.2.4. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? A. Thể tích của hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau là bằng nhau. B. Thể tích của khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao. C. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. D. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. √ Câu 2.2.5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AB = a 5, AC = a. Cạnh bên SA √ = 3a và vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABC. 5 3 A. a . B. a3 . C. 2a3 . D. 3a3 . 2 Thầy Lê Minh Cường – 01666658231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.2 Công thức thể tích đơn giản 13 Câu 2.2.6. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng đáy và √ SA = 2a. Tính thể tích khối √ chóp S.ABC √ √ 3 3 a 3 a 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 6 2 3 12 Câu 2.2.8. √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = a 3. Tính thể tích V của khối √ chóp S.ABCD. √ 3 1 3 3 A. V = 3a . B. V = a . C. V = a3 . D. V = a3 . 3 3 Câu 2.2.9. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A0 B0 C 0 có thể tích bằng 1. Tính thể tích V của khối chóp A0 .ABC. 1 1 1 A. V = 3. B. V = . C. V = . D. V = . 4 3 2 Câu 2.2.10. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ), ∆ABC vuông cân tại a, SA = BC = a. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC. a3 a3 a3 B. V = . C. V = 2a3 . D. V = . A. V = . 12 4 2 Câu 2.2.11. Cho khối chóp
S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng ABC và SA = 2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC theo a. a3 a3 a3 a3 B. V = . C. V = . D. V = . A. V = . 4 3 2 6 Câu 2.2.12. Tính thể tích V của khối chóp có đáy là hình vuông cạnh 2a và chiều cao là 3a. 4 A. V = πa3 . B. V = 2a3 . C. V = 12a3 . D. V = 4a3 . 3 Câu 2.2.13. Cho hình chóp S.ABC có AB, AC, SA đôi một vuông góc với nhau, AB = 2a, AC = 4a, SA = 6a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. V = 8a3 . B. V = 48a3 . C. V = 72a3 . D. V = 24a3 . Câu 2.2.14. Cho một khối chóp có thể tích bằng V. Khi giảm diện tích đa giác đáy xuống thể tích khối chóp lúc đó bằng: V V A. . B. . 27 6 C. V . 3 D. 1 lần thì 3 V . 9 Câu 2.2.15. Cho tứ diện O.ABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = 2a, OC = 3a. Thể tích của tứ diện O.ABC bằng A. a3 . B. 2a3 . C. 3a3 . D. 4a3 . Câu √ 2.2.16. Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng 4 và diện tích của một mặt bên bằng 2. Thể tích √của hình chóp đó là √ 4 2 4 3 4 A. V = . B. V = . C. . D. 4. 3 3 3 Câu 2.2.17. Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 150m, cạnh đáy dài 220m. Diện tích xung quanh của√kim tự tháp này là: √ √ A. 2200 346 (m2 ). B. 4400 346 (m2 ). C. 2420000 (m3 ). D. 1100 346 (m2 ). ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường – 01666658231 GV. Lê Minh Cường – fb.com/cuong.thayleminh.7 – 01666658231 Câu 2.2.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng đáy, SD = 2a. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. a3 2a3 a3 A. . B. . C. . D. 2a3 . 3 3 2 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN 14 GV. Lê Minh Cường – [email protected] – 01666658231 Câu 2.2.18. Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao là 154m; độ dài cạnh đáy 270m. Khi đó thể tích của khối kim tự tháp này là A. 3.742.200. B. 3.640.000. C. 3.500.000. D. 3.545.000. 2.2.2 Câu 2.2.19. Kim tự tháp Kê – ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147m, cạnh đáy dài 230m. Thể tích của nó là: A. 2952100m3 . B. 7776300m3 . C. 3888150cm3 . D. 2592100m3 . Câu 2.2.20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA ⊥ ( ABCD ) và SA = 3a. Khi đó thể tích của khối chóp S.ABCD bằng √ a3 3 a3 3 4 C. a . D. . A. a . B. . 3 3 Câu 2.2.21. √ Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a 3 . Thể tích khối chóp S.ABC là: 2a3 a3 3 A. . B. . C. a3 . D. a3 . 3 4 4 Câu 2.2.22. √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết SA⊥ ( ABCD ) và SA = a√3. Thể tích của khối chóp S.ABCD là: √ √ a3 a3 3 a3 3 3 . B. . C. a 3. . A. D. 3 4 12 Câu 2.2.23. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và có cùng độ dài bằng a. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. a3 a3 2a3 A. . B. . C. . D. a3 . 3 6 3 [ = 30◦ ; SO ⊥ ( ABCD ) Câu 2.2.24. √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a; ABC 3a 3 . Thể tích của khối chóp là: và SO = 4 √ √ √ √ a3 2 a3 2 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 8 4 8 4 Khối lăng trụ Ví dụ 2.2.3 THPTQG 2017 0 0 0 0 Cho khối √ lăng trụ đứng ABC.A B C có BB = a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = a 2. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. a3 a3 a3 A. V = a3 . B. V = . C. V = . D. V = . 3 2 √ 6 Lời giải. Tam giác ABC vuông cân tại B và AC = a 2 do đó AB = BC = a. 1 a3 Thể tích khối lăng trụ là V = BB0 .S ABC = a. .a.a = . 2 2 Ví dụ 2.2.4 Cho khối lăng trụ ( T ) có chiều cao bằng a và thể tích bằng 4a3 . Tính diện tích đáy S của ( T ). a2 A. S = 4a2 . B. S = 12a2 . C. S = . D. S = 2a2 . 4 Thầy Lê Minh Cường – 01666658231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.2 Công thức thể tích đơn giản Lời giải. Ta có V = S.h =⇒ S = 15 4a3 V = = 4a2 . h a Câu 2.2.26. Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A0 B0 C 0 có tất cả các cạnh bằng 2a. √ √ √ √ a3 3 a3 3 2a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = 2a3 3. 2 6 3 Câu 2.2.27. Một khối lăng trụ có chiều cao bằng 2a và diện tích đáy bằng 2a2 . Tính thể tích khối lăng trụ. 4a3 2a3 4a2 A. V = . B. V = . C. V = 4a3 . D. V = . 3 3 3 √ √ Câu 2.2.28. Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là a2 3; độ dài cạnh bên a 2. Khi đó thể tích khối lăng trụ là √ √ √ √ a3 6 3 3 3 A. a 6. . B. a 3. C. a 2. D. 3 Câu 2.2.29. Cho khối lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 có thể tích là V. Thể tích của khối chóp C 0 .ABC là: V V V A. . B. . C. 2V. D. . 3 2 6 Câu 2.2.30. √ Thể tích khối lăng3trụ √ tam giác đều có tất 3cả √các cạnh đều bằng a là: √ 3 a 2 a 2 a 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 3 4 2 4 Câu 2.2.31. Lăng trụ đứng ABC.A0 B0 C 0 có đáy là tam giác vuông cân AB = AC = a, A0 C = 2a. Thể tích khối lăng trụ là: √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 3 A. a 3. B. . C. . D. . 2 3 6 Câu 2.2.32. Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B0 C 0 , gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chiều cao của hình lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 bằng: A. A0 O. B. CC 0 . C. A0 C. D. A0 B. √ Câu 2.2.33. Lăng trụ đứng ABC.A0 B0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên có độ dài a 3. Thể tích khối lăng trụ là: 4a3 3a3 3a3 a3 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 4 Câu 2.2.34. Tính thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD.A0 B0 C 0 D 0 có AB = 3, AD = 4, AA0 = 5. A. 12. B. 20. C. 10. D. 60. Câu 2.2.35. Cho khối hộp ABCD.A0 B0 C 0 D 0 . Tỉ lệ thể tích của khối tứ diện ACB0 D 0 và khối hộp bằng? 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 3 2 4 Câu 2.2.36. Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước bằng 2a, 3a, a, với 0 < a ∈ R. Khi đó tính theo a, thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng: A. 2a3 . B. a3 . C. 6a3 . D. 3a3 . ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Câu 2.2.25. √ Cho khối lăng trụ đứng ABC.A0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = BC = 2a, AA0 = a √ 3. Tính thể tích V của khối chóp A.BCC 0 B0 theo√a. √ √ 2a3 3 4a3 3 . B. V = a3 3. C. V = . D. V = 2a3 3. A. V = 3 3 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN 16 GV. Lê Minh Cường - [email protected] - 01666658231 Câu 2.2.37. Một bể cá dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 21000cm3 và chiều dài 35cm, chiều rộng 20cm. Tính chiều cao của bể cá. A. 10cm. B. 20cm. C. 120cm. D. 30cm. 2.2.1. 2.2.9. 2.2.17. 2.2.25. 2.2.33. D | 2.2.2. C | 2.2.10. B | 2.2.18. A | 2.2.26. C | 2.2.34. B | 2.2.3. A | 2.2.11. A | 2.2.19. D | 2.2.27. D | 2.2.35. B | 2.2.4. B | 2.2.12. D | 2.2.20. C | 2.2.28. B | 2.2.36. Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 D | 2.2.5. B | D | 2.2.13. A | C | 2.2.21. B | A | 2.2.29. A | C | 2.2.37. D | 2.2.6. 2.2.14. 2.2.22. 2.2.30. A| C| A| D| 2.2.7. 2.2.15. 2.2.23. 2.2.31. B| A| B| B| 2.2.8. 2.2.16. 2.2.24. 2.2.32. B| C| C| B| ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.2 Công thức thể tích đơn giản 2.3 17 Thể tích có tính toán thêm một yếu tố Phương pháp. Dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác, định lý Pythagore, định lý Talet, ... để tính toán các dữ kiện như chiều cao, diện tích đáy, ... Khối chóp Ví dụ 2.3.5 THPTQG 2017 Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích V của khối chóp √ 3 √ 3 √ 3 √ S.ABC. 13a3 11a 11a 11a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 12 6 4 Lời giải. Gọi H là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó SH là chiều √ cao của khối chóp. √ √ a 3 33 Ta có: CH = , SH = SC2 − CH 2 = . 3√ √ 3 √ 11a3 1 a2 3 33 . = . Do đó V = . 3 4 3 12 S A C H B Ví dụ 2.3.6 THPTQG 2017 Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp √ √ √ √ đã cho. 3 a3 2 a3 14 a3 14 a 2 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 2 6 2 6 Lời giải. S Cạnh đáy AB = a ⇒ diện tích đáy S√ABCD = a2 . √ a 2 Đường chéo AC = a 2 ⇒ H A = . 2 √ √ a 14 B Cạnh bên SA = 2AB = 2a ⇒ SH = SA2 − H A2 = . C 2 √ √ 3 H 1 a 14 a 14 D A Vậy thể tích V = .a2 . = . 3 2 6 Câu 2.3.1 (THPTQG 2017). Cho khối chóp S.ABCD có đáy√ là hình vuông cạnh a, SA vuông góc a 2 với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) bằng . Tính thể tích V của khối chóp đã 2 cho. √ 3 a3 3a a3 A. V = . B. V = a3 . C. V = . D. V = . 2 9 3 Câu 2.3.2 (ĐỀ MH 2017 Lần 1). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông √ cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. √ √ 3 √ 3 √ 3 2a3 2a 2a A. V = . B. V = . C. V = 2a . D. V = . 6 4 3 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 2.3.1 18 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN GV. Lê Minh Cường - [email protected] - 01666658231 Câu 2.3.3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết√thể tích khối chóp S.ABC là a3 . Tính độ dài cạnh √ bên SA. √ 4 3 2 3 A. SA = a. B. SA = 6a. C. SA = a. D. SA = 4 3a. 3 3 Câu 2.3.4. Cho . Tam giác ABC vuông √ hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC )√ tại C, AB = a 3, AC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết rằng SC = a 5. √ √ √ √ 3 3 3 a 6 a 6 a 2 a3 10 A. . B. . C. . D. . 6 4 3 6 √ Câu 2.3.5. Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 2. √ √ √ √ 3 3 3 3 a 3 a 6 a 2 a 6 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 6 6 2 3 Câu 2.3.6. Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh √a. Hai mặt bên SAB và SAC cùng vuông góc SC = a 3. √ với đáy. Tính thể tích √ V của khối chóp biết3 √ √ 3 3 2a 6 a 6 a 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 9 12 2 4 √ Câu 2.3.7. Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ), tam√ giác ABC vuông tại B, AB = a, AC = a 3. Tính thể tích√V của khối chóp S.ABC √ biết rằng SB = a 5. 3 √ √ 3 3 a 6 a 6 a 2 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 6 3 2 Câu 2.3.8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích khối chóp S.ABCD√là: √ a3 2 a3 2 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 2 6 4 3 Câu 2.3.9. có tất cả các cạnh đều bằng a. Thể tích khối √ chóp là √ Cho khối chóp đều3S.ABCD √ 3 3 3 a 3 a 3 a a 2 A. . B. . C. . D. . 6 3 3 6 √ Câu 2.3.10. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, SA = a 3. Tính thể tích V của khối chóp√ S.ABC. √ 3 √ 3 √ 3 2a3 2a 3a 35a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 2 6 6 24 Câu 2.3.11. Cho khối tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc và có thể tích bằng V. Gọi S1 , S2 , S3 theo thứ tự là diện tích các tam giác ABC, ACD, ADB. Khi đó, khẳng định nào dưới đây √ là khẳng định đúng? √ √ √ S1 S2 S3 S1 S2 S3 2S1 S2 S3 2S1 S2 S3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 6 3 6 3 √ Câu 2.3.12. Thể tích của tứ diện đều có cạnh a 3 là √ √ √ √ a2 6 a2 6 a2 3 a2 2 A. . B. . C. . D. . 4 12 4 12 Câu 2.3.13. Cho hình lập phương ABCD.A0 B0 C 0 D 0 có cạnh bằng a, tâm O. Tính thể tích V của khối tứ diện A.A0 B0 O0 theo a. √ a3 a3 a3 a3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 8 12 9 3 √ 6 Câu 2.3.14. Một hình tứ diện đều có chiều cao bằng thì thể tích của nó bằng bao nhiêu ? 3 √ √ √ √ 2 3 2 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 12 4 4 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.2 Công thức thể tích đơn giản 19 Câu 2.3.15. Cho tứ diện MNPQ có MN vuông góc với mặt phẳng ( NPQ), tam giác NPQ vuông √ cân tại P, MN = a, NQ = a 2, với 0 < a ∈ R. Khi đó tính theo a, thể tích của khối tứ diện MNPQ bằng: √ a3 2a3 a3 a3 2 A. . B. . C. . D. . 6 3 2 6 Câu 2.3.17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB = a, SA vuông góc với đáy và SA = a . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SC và SB. Thể tích khối đa diện AMNBC là: 5 5 5 5 A. a3 . B. a3 . C. a3 . D. a3 . 36 12 18 6 Câu 2.3.18. Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. √ √ a3 a3 a3 11 a3 2 B. V = . C. V = . D. V = . A. V = . 12 4 12 12 Câu 2.3.19. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh SA vuông góc với ( ABCD ) SB SC và √ = √ = a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 3 2 a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 2 3 6 12 Câu 2.3.20. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A0 B0 C 0 có cạnh đáy bằng 2, diện tích tam giác A0 BC bằng √ 3. Tính thể tích của khối lăng trụ. √ √ √ 2 5 A. . B. 2 5. C. 2. D. 3 2. 3 Câu 2.3.21. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác vuông cân tại S, SB = 2a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) bằng 3a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. V = 6a3 . B. V = 4a3 . C. V = 2a3 . D. V = 12a3 . Câu 2.3.22. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông cân tại C và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABD ). Tam giác ABD là tam giác đều và có cạnh bằng 2a. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. √ √ 3 3 3 3 √ √ a a A. a3 2. B. . C. . D. a3 3. 3 9 Câu 2.3.23. Cho hình chóp S.ABC có SA = a, tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong √ mặt phẳng vuông góc √ với mặt phẳng đáy. Thể √ tích khối chóp S.ABC √bằng 3 3 3 3 a 6 a 6 a 6 a 6 A. . B. . C. . D. . 12 4 8 24 √ Câu 2.3.24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA = a 2 và SA vuông góc với√mặt phẳng đáy, tam giác SBD là tam giác đều. thể tích của khối chóp S.ABCD. √Tính 3 3 √ √ 2 2a 2a A. . B. 2 2a3 . C. . D. 2a3 . 3 3 Câu 2.3.25. hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD có diện tích 16cm2 , diện tích một mặt √ Cho 2 bên là 8 3cm khối chóp S.ABCD. √ √ √ . Tính thể tích V của √ 32 2 3 32 13 3 32 11 3 32 15 3 A. V = cm . B. V = cm . C. V = cm . D. V = cm . 3 3 3 3 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Câu 2.3.16. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A, BC = a, tam giác SBC đều và nằm trong thể tích khối chóp √ 3 mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC √ ). Tính √ S.ABC. 3 √ 3a 3a 6a3 . B. 3a3 . C. . D. . A. 24 4 8 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN √ Câu 2.3.26. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = a 3. Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC. √ √ 3 √ 3 √ 3 2 6a3 6a 6a 6a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 4 6 12 GV. Lê Minh Cường - [email protected] - 01666658231 20 2.3.2 Câu 2.3.27. S Cho khối đa diện như hình vẽ, biết ABCD.A0 B0 C 0 D 0 là khối lập phương cạnh a, S.ABCD là khối chóp đều có cạnh bên SA = √ a 3 . Thể tích của khối đa diện là 2 √ A 7a3 3a3 a3 6 A. . B. . C. . D. 2a3 . 6 2 2 A0 C D D0 B C0 B0 √ a3 3 Câu 2.3.28. Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng . Cạnh bên của 12 khối chóp đó bằng √ √ √ 3a a 11 a 35 5 a . B. . C. . D. . A. 12 4 4 4 Khối lăng trụ Ví dụ 2.3.7 Diện tích ba mặt của một khối hộp chữ nhật ABCD.A0 B0 C 0 D 0 lần lượt là S1 = 24 cm2 , S2 = 28 cm2 , S3 = 42 cm2 . Tính thể tích V của khối chóp D.AA0 C 0 C. A. V = 56 cm3 . B. V = 168 cm3 . C. V = 112 cm3 . D. V = 84 cm3 . Lời giải. A0 B0 Gọi a, b, c là kích thước ba cạnh của hình hộp chữ nhật. Ta có: 0 D ab = 24, bc = 28, ca = 42.√ C0 Vậy ta có: Vhộp = abc = 24.28.42 = 168. Vhộp Vhộp Vhộp VD.AA0 C0 C = VADC.A0 C0 D0 − VDD0 A0 C0 = − = = 56 2 6 3 B A 3 cm . C D Ví dụ 2.3.8 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = a. Biết rằng 0 A0 A = A0 B tích V của khối √ lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 . √= 3A C = a. Tính theo√a thể 2a 3a3 2a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 4 4 2 Lời giải. Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.2 Công thức thể tích đơn giản 21 C0 B0 A0 O H C K A 0 0 0 0 Câu 2.3.29 √ (ĐỀ MH 2017 Lần 1). Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A B C D , biết 0 A C = a 3. √ 3 √ 3 6a 1 A. V = a3 . B. V = . C. V = 3 3a3 . D. V = a3 . 4 3 Câu 2.3.30. Nếu khối lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh 2a và đường chéo mặt bên bằng 4a thì khối lăng trụ đó có thể tích√bằng √ C. 8 3a3 . D. 12a3 . A. 4a3 . B. 6 3a3 . Câu 2.3.31. Cho √ hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A0 B0 C 0 D 0 có cạnh đáy bằng a. Biết đường chéo của mặt bên là a 3. Khi đó thể tích của khối lăng trụ bằng √ √ √ a3 2 3 3 . D. 2a3 . A. a 3. B. a 2. C. 3 Câu 2.3.32. Một khối gỗ có dạng là lăng trụ, biết diện tích đáy và chiều cao lần lượt là 0, 25 m2 và 1, 2 m. Mỗi mét khối gỗ này trị giá 5 triệu đồng. Hỏi khối gỗ đó có giá bao nhiêu tiền? A. 3 000 000 đồng. B. 500 000 đồng. C. 750 000 đồng. D. 1 500 000 đồng. Câu 2.3.33. Tổng diện tích sáu mặt của hình lập phương bằng 96cm2 . Thể tích khối lập phương đó là: A. 91cm3 . B. 84cm3 . C. 48cm3 . D. 64cm3 . 0 biết AC = 2a là: Câu 2.3.34. Thể tích khối lập phương ABCD.A0 B0 C 0 D√ √ a3 2 2a3 C. . A. 2 2a3 . B. . 3 3 D. a3 . Câu 2.3.35 (THTT Lần 3). Diện tích ba mặt của hình hộp chữ nhật bằng 20cm2 , 28cm2 , 35cm2 . Thể tích của khối hộp đó bằng: A. 160cm3 . B. 190cm3 . C. 140cm3 . D. 165cm3 . Câu 2.3.36. Một hình lăng trụ tam giác đều có diện tích xung quanh bằng 192, tất cả các cạnh của lăng trụ bằng nhau. Thể tích của khối lăng trụ này gần với số nào sau đây nhất ? A. 234. B. 221. C. 229. D. 225. Câu 2.3.37. Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 150. Tính thể tích V của khối lập phương đó. A. V = 200. B. V = 625. C. V = 100. D. V = 125. Câu 2.3.38. Tính độ dài cạnh đáy x của lăng trụ tứ giác đều có chiều cao bằng a, thể tích bằng 4a3 . A. x = 4a. B. x = 3a. C. x = a. D. x = 2a. ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Ta có các tam giác A0 AB và A0 AC là các tam giác đều. Gọi H, K,O lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và BC. 0 O ⊥ ( ABC ). Khi đó ta chứng minh được A√ √ a 2 Có A0 O = A0 H 2 − HO2 = . 2 √ 3 2a a2 . Mà S∆ABC = . Vậy VABC.A0 B0 C0 = B 2 4 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN 22 GV. Lê Minh Cường - [email protected] - 01666658231 Câu 2.3.39. Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37, 13, 30 và diện tích xung quanh của khối lăng trụ đó bằng 480. Khi đó thể tích của khối lăng trụ bằng A. 2017. B. 2040. C. 1080. D. 1010. Câu 2.3.40. Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37, 13, 30 và diện tích xung quanh bằng 480. Tính thể tích V của khối lăng trụ. A. V = 1080. B. V = 1010. C. V = 2010. D. V = 2040. Câu 2.3.41 (THTT Lần 5). Khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và có thể tích là 9 thì độ dài mỗi cạnh bằng 4 √ √ B. 3. C. 3. D. Đáp số khác. A. 6 243. Câu 2.3.42. Cho hình lăng trụ đứng tam giác EFG.E0 F 0 G 0 có đáy EFG là tam giác vuông tại E, EF = a, EG = 2a, EE0 = a, với 0 < a ∈ R. Khi đó tính theo a, thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác EFG.E0 F 0 G 0 bằng: a3 2a3 A. . B. a3 . C. 2a3 . D. . 3 3 Câu 2.3.43. Lăng trụ đứng ABC.A0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 30cm, AC = 40cm, B0 A = 50cm. Tính diện tích toàn phần của khối lăng trụ là A. 4800cm2 . B. 5400cm2 . C. 6000cm2 . D. 7200cm2 . Câu 2.3.44. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B0 C 0 có tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích V của khối 0 B0 C 0 . lăng trụ ABC.A √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 5 3 2 4 Câu 2.3.45 (THTT Lần 3). Cho hình lập phương ABCD.A0 B0 C 0 D 0 có cạnh bằng a. Xét 2 câu sau: √ 3 a . (I) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A0 BD ) là d = 3 (II) Hình lập phương ABCD.A0 B0 C 0 D 0 có 9 mặt phẳng đối xứng A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả 2 đúng. D. Cả 2 sai. Câu 2.3.46. Diện tích toàn phần của một hình lập phương bằng 96. Thể tích của khối lập phương đó là A. 91. B. 64. C. 84. D. 48. √ √ √ Câu 2.3.47. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B0 C 0 D 0 có AC = 5, AC 0 = 15, AD 0 = 13. Tính thể tích V của √ khối hộp chữ nhật. √ √ √ A. V = 2 15. B. V = 3 15. C. V = 4 15. D. V = 5 15. Câu 2.3.48. Nếu tăng ba kích thước của một khối hộp chữ nhật, mỗi kích thước lên k > 0 lần thì thể tích của khối hộp đó tăng lên bao nhiêu lần? A. 3k lần. B. k lần. C. k3 lần. D. 9k3 lần. Câu 2.3.49 (THTT Lần 5). Cho ABCD.A0 B0 C 0 D 0 là hình lập phương có cạnh a. Tính thể tích khối tứ diện ACD 0 B0 . √ √ 1 3 a3 2 a3 a3 6 A. a . B. . C. . D. . 3 3 4 4 Câu 2.3.50. Khi độ dài của một hình lập phương tăng thêm 2 cm thì thể tích của nó tăng thêm 98cm3 . Cạnh của hình lập phương đã cho là: A. 5 cm. B. 4 cm. C. 3 cm. D. 6 cm. Thầy Lê Minh Cường – 01666658231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.2 Công thức thể tích đơn giản 23 Câu 2.3.51. Cho hình lăng trụ đứng tứ giác MNPQ.M0 N 0 P0 Q0 có đáy MNPQ là hình thang vuông tại M và N, MN = a, NP = a, MQ = 3a, MM0 = a, với 0 < a ∈ R. Khi đó tính theo a, thể tích của khối lăng trụ đứng tứ giác MNPQ.M0 N 0 P0 Q0 bằng: a3 A. 4a3 . B. a3 . C. 2a3 . D. . 3 Câu 2.3.55. Tính theo a thể tích V√của khối lập phương ABCD.A0 B0 C 0 D 0 , biết AC 0√= a. √ 3a3 a3 3a3 A. V = 3 3a3 . B. V = . C. V = . D. V = . 3 27 9 2.3.1. 2.3.9. 2.3.17. 2.3.25. 2.3.33. 2.3.41. 2.3.49. D | 2.3.2. D | 2.3.10. A | 2.3.18. C | 2.3.26. D | 2.3.34. B | 2.3.42. A | 2.3.50. D | 2.3.3. B | 2.3.11. D | 2.3.19. D | 2.3.27. A | 2.3.35. B | 2.3.43. C | 2.3.51. D | 2.3.4. D | 2.3.12. B | 2.3.20. A | 2.3.28. C | 2.3.36. C | 2.3.44. C | 2.3.52. ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 C | 2.3.5. A | 2.3.6. B | 2.3.7. C | A | 2.3.13. B | 2.3.14. A | 2.3.15. A | D | 2.3.21. C | 2.3.22. B | 2.3.23. A | C | 2.3.29. A | 2.3.30. C | 2.3.31. B | B | 2.3.37. D | 2.3.38. D | 2.3.39. C | D | 2.3.45. C | 2.3.46. B | 2.3.47. A | B | 2.3.53. C | 2.3.54. B | 2.3.55. D | 2.3.8. 2.3.16. 2.3.24. 2.3.32. 2.3.40. 2.3.48. B| A| A| D| A| C| Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Câu 2.3.52. Cho hình hộp đứng EFGH.E0 F 0 G 0 H 0 có đáy EFGH là hình thoi, biết EG = a, FH = 2a, EE0 = a, với 0 < a ∈ R. Khi đó tính theo a, thể tích của khối hộp đứng EFGH.E0 F 0 G 0 H 0 bằng: 2a3 a3 A. . B. a3 . C. 2a3 . D. . 3 3 √ Câu 2.3.53. Cho hình lập phương có độ dài đường chéo bằng 10 3cm Thể tích của khối lập phương là A. 900cm3 . B. 2700cm3 . C. 1000cm3 . D. 300cm3 . √ Câu 2.3.54. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A0 B0 C 0 D 0 , biết AC = a 2. √ √ 1 3 6a3 B. V = a3 . C. V = 3 3a3 . . A. V = a3 . D. V = 3 4 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN 24 2.4 2.4.1 Thể tích của khối có chứa góc Khối chóp GV. Lê Minh Cường - [email protected] - 01666658231 Ví dụ 2.4.9 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng 60◦ . √ Tính theo a thể tích V √ của khối chóp S.ABCD. √ 3 6a3 6a3 6a a3 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 6 2 3 3 Lời giải. S Ta có S ABCD = a2 , √ √ √ a a 2 6 SO = BO tan 60◦ = 3= . 2 2 √ a3 6 Vậy V = . 6 A B 60◦ D O C Ví dụ 2.4.10 THPTQG 2017 √ Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3, SA vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC ) tạo với đáy√một góc 60◦ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. a3 3a3 A. V = . B. V = . C. V = a3 . D. V = 3a3 . 3 3 √ √ √ [ = 60◦ suy ra SH = AB. tan 60◦ = a 3. Vậy, V = 1 .a 3.a2 3 = Lời giải. Từ giả thiết ta có SBA 3 a3 . Ví dụ 2.4.11 THPTQG 2017 Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng√(SAB) một góc 30◦ . Tính đã cho. √ 3thể tích V của khối chóp 3 3 √ 6a 2a 2a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = 2a3 . 3 3 3 Lời giải. S √ d = 30◦ ⇒ SB = a 3 ⇒ SA = Từ giả thiết ta có góc BSC √ √ a3 2 2a. Từ đó suy ra thể tích của khối chóp bằng . 3 D A B C Câu 2.4.1 (THPTQG 2017). Xét khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) bằng 3. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và ( ABC ). Tính cos α khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất. Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.4 Thể tích của khối có chứa góc √ 1 3 B. cos α = . A. cos α = . 3 3 25 √ C. cos α = 2 . 2 2 D. cos α = . 3 Câu 2.4.3. Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với đáy một góc α. Thể tích khối chóp đó là: √ √ 3 3 3 3 3 3 2 A. b cos2 α sin α. B. b3 cos α sin α. C. b3 cos α sin α. D. b cos2 α sin α. 4 4 4 4 Câu 2.4.4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 4. Mặt bên tạo với đáy một góc√ bằng 60◦ . Tính thể tích √ V của khối chóp đó. √ √ 32 3 27 3 9 3 32 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 2 2 3 Câu 2.4.5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên SD hợp với đáy một góc 60◦ . Hỏi thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng bao nhiêu? √ √ √ √ 2a3 3 a3 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = a3 3. 3 6 3 Câu 2.4.6. Cho hình chóp đều S.ABCD có AC = 2a, mặt bên (SBC ) tạo với mặt đáy ( ABCD ) một góc 45◦ . Tính√ thể tích V của khối chóp S.ABCD. √ 3 2 3 √ a a3 2a 3 . B. V = a3 2. C. V = . D. V = . A. V = 3 3 2 √ Câu 2.4.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = a, AD = a 3. Hình chiếu S lên đáy là trung điểm H của cạnh AB; góc tạo bởi SD và đáy là 60◦ . Thể tích khối chóp S.ABCD là: √ √ a3 13 a3 a3 5 3 . C. . D. . A. a . B. 5 2 2 Câu 2.4.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng (SAC ) và (SAB) cùng vuông góc với ( ABCD ). Góc giữa (SCD ) và ( ABCD ) là 60◦ . Thể tích của khối chóp S.ABCD √ là: √ √ √ a3 6 a3 3 a3 3 a3 6 A. . B. . C. . D. . 3 3 6 6 Câu 2.4.9. Một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc α. Thể tích khối chóp đó là: a2 tan α a3 cot α a3 tan α a3 tan α A. . B. . C. . D. . 12 12 12 4 √ Câu 2.4.10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 3. Cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng đáy, √ góc giữa SB với mặt phẳng đáy bằng 45o . Tính thể khối chóp. √ tích 3 3 √ 3 √ 6a 2 3a A. 3 2a . B. . C. 2 3a3 . D. . 3 3 √ Câu 2.4.11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a 3, BC = a. Các cạnh bên bằng nhau và cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 30o . Thể tích khối chóp SABC là: a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. a3 . 6 9 2 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Câu 2.4.2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy√bằng 60◦ . Tính thể tích√V của khối chóp S.ABC.√ √ 9 3a3 4 3a3 3a3 3a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 4 4 9 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN √ Câu 2.4.12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a 3 góc giữa cạnh bên và mặt phẳng√ đáy bằng 60o . Thể tích khối √ 3chóp bằng: √ 3 √ 3 3 2a 2 2a 9 2a3 A. . B. . C. 3 2a . D. . 2 2 2 GV. Lê Minh Cường - [email protected] - 01666658231 26 Câu 2.4.13 (THTT Lần 3). Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA⊥( ABC ) và SB hợp với đáy một góc 45◦ . Xét hai câu sau: √ a3 3 (I) Thể tích khối chóp S.ABC là V = 12 (II) Tam giác SAB là tam giác cân. Hãy chọn câu đúng. A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả (I) và (II) đúng. D. Cả (I) và (II) sai. Câu 2.4.14. Cho √ tứ diện ABCD có AB = CD = 2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD, MN = a 3. Tính góc giữa AB và CD. A. 30◦. B. 60◦ . C. 90◦ . D. 45◦ . Câu 2.4.15. Một khối chóp tam giác có các cạnh đáy bằng 6, 8, 10. Một cạnh bên bằng 4 và tạo với đáy một góc 60◦ . Thể tích của khối chóp đó bằng √ √ √ 16 2 A. 16 3. B. 8 3. C. 16π. D. . 3 Câu 2.4.16. Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60◦ . Diện tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp là 3πa2 3πa2 3πa2 3πa2 A. . B. . C. . D. . 6 2 8 4 Câu 2.4.17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a. Tam giác SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC√ ) và ( ABCD ) bằng 450 . Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD là 2 1 3 3 A. a . B. a3 . C. 2a3 . D. a3 . 3 3 3 √ Câu 2.4.18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; biết AB = a, AD = a 3. Hình chiếu S lên đáy là trung điểm H của cạnh AB; góc tạo bởi SD và đáy là 60◦ . Thể tích của khối chóp S.ABCD là √ √ √ a3 a3 5 a3 13 a3 5 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 5 √ d = 60o , SA = 1, SB = 2, SC = 2. Thể tích Câu 2.4.19. Cho hình chóp S.ABC có [ ASB = [ ASC = BSC khối chóp S.ABC là: √ √ 1 1 6 2 A. . B. . C. . D. . 3 2 6 3 d = CSA [ = 60◦ , SA = 3, SB = 4, SC = 5. Tính Câu 2.4.20. Cho hình chóp S.ABC có [ ASB = BSC khoảng cách từ C đến mặt phẳng √ (SAB). √ √ √ 5 2 3 5 6 A. 5 2. B. . C. . D. . 3 3 3 Câu 2.4.21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy một góc bẳng√ 60◦ Thể tích khối chóp S.ABCD bằng: √ 3 √ 3 3 √ 6a 6a 6a 3 A. a 6. B. . C. . D. . 12 9 3 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.4 Thể tích của khối có chứa góc 27 Câu 2.4.27. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, √ [ = 60◦ , BC = a, SA = a 3. Gọi M là trung điểm của SB. Tính thể tích V của khối tứ diện góc ACB MABC. a3 a3 a3 a3 B. V = . C. V = . D. V = . A. V = . 2 3 6 4 Câu 2.4.28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 45◦ . Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD bằng √ a3 2 . Tính theo a khoảng cách d giữa hai đường thẳng SB và AC. 3 √ √ √ √ a 6 a 3 a 10 a 2 A. d = . B. d = . C. d = . D. d = . 3 2 5 2 Câu 2.4.29. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt phẳng (SBC ) và ( ABCD ) √ bằng 60◦ . Tính thể tích √ V của khối chóp S.ABC √ theo a. √ 3 3 3 a 3 a 3 a 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 36 6 12 √ a 2 ; cạnh SA vuông Câu 2.4.30. Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AC = 2 góc với mặt đáy. Góc giữa mặt bên (SBC ) và mặt đáy bằng 45◦ . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.√ √ a3 3 a3 a3 2 a3 A. . B. . C. . D. . 48 48 48 48 d = 45◦ , CSA [ = 60◦ . Các Câu 2.4.31. Cho hình chóp S.ABC có SA = 4, SB = 5, SC = 6; [ ASB = BSC # » # » #» #» # » # » điểm M, N, P thỏa mãn đẳng thức AB = 4 AM; BC = 4 BN; CA = 4CP. Tính thể tích khối chóp S.MNP. √ √ 128 2 35 245 35 2 A. . B. . C. . D. . 3 8 32 8 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Câu 2.4.22. Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh 2a tâm O; hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy là trung điểm I của AD. Biết góc giữa SD và ( ABCD ) bẳng 30◦ . Thể tích khối chóp S.COD √ là √ √ a3 3 2 2a3 a3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 9 3 3 3 [ = 120◦ , SBA [= Câu 2.4.23. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB = a, BAC [ = 90◦ . Biết góc giữa SB và đáy bằng 60◦ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. SCA √ √ 3 3 3a3 3a3 a3 3a B. V = . C. V = . D. V = . A. V = . 4 4 4 4 √ Câu 2.4.24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a 2 và vuông góc với mặt đáy. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SC, SD. Tính côsin của góc giữa cạnh √ bên SB với mặt phẳng ( AHK ). √ 3 1 3 2 . B. . C. . D. . A. 2 2 5 5 Câu 2.4.25. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ), đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết rằng 5 AB = 3a, BC = 4a và SC hợp với đáy ( ABC ) một góc α với cos α = . Tính thể tích khối chóp đã 13 cho. A. 72a3 . B. 24a3 . C. 48a3 . D. 12a3 . √ Câu 2.4.26. Cho khối chóp tam giác đều có tổng diện tích các mặt bên bằng 2 3a2 , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60◦ . Tính thể tích của khối chóp. √ 2a3 a3 a3 a3 3 A. √ . . D. . B. √ . C. 6 3 3 3 28 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN GV. Lê Minh Cường - [email protected] - 01666658231 [ = 60◦ ; các mặt phẳng Câu 2.4.32. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 1, BAD (SAD ) và (SCD ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ), góc giữa SC và mặt đáy ABCD bằng 45◦ . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.BCD. 7π 7π 7π 7π . B. . C. . D. . A. 2 4 6 3 Câu 2.4.33. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên hình chóp tạo với đáy một góc bằng 60◦ . Mặt phẳng ( P) chứa AB đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính theo a thể tích V của √ √ khối chóp S.ABMN. √ √ 3 3 3 3 3 3 3 3 B. V = a . C. V = a . D. V = a . A. V = 3a . 4 2 2 Câu 2.4.34. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SB tạo với mặt phẳng (SAD ) một góc bằng 30◦ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. √ √ √ a3 . 3 2a3 a3 . 3 . B. V = . C. V = 2a3 . 3. D. V = . A. V = 3 3 6 Câu 2.4.35. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, đỉnh S cách đều các điểm A, B, C. Biết AC = 2a, BC = a, góc giữa SB và mặt đáy bằng 60◦ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC. √ 3 √ 3 √ 3 6a 6a 6a a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 6 2 12 Câu 2.4.36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa SC và mặt đáy bằng 60◦ . Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng SB. Tính theo a khoảng √cách từ điểm S đến mặt phẳng ( ADI ). √ √ √ a 42 a 7 . B. a 6. . D. a 7. A. C. 7 2 Câu 2.4.37. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60◦ . Tính thể tích SB. √ 3 với M là trung điểm √ của √ 3 √ V3 của khối chóp M.ABC, 3 3a 3a 3a 3a . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 2 4 12 6 Câu 2.4.38. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = 2a. Các tam giác SBA và SCA lần lượt vuông tại B và C, góc giữa cạnh bên SA và mặt phẳng đáy bằng 60◦ . Thể tích √ khối chóp SABC là √ 3 3 6 √ 4a3 4a 3 4a A. . B. 4a3 6. C. . D. . 3 3 3 √ Câu 2.4.39. Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a 2, cạnh bên SA vuông góc với đáy, mặt bên (SBC ) tạo với đáy ( ABC ) một góc bằng 45◦ . Tính theo a thể tích V của khối √ √ chóp S.ABC. √ √ 3 a 3 a3 2 a3 6 3a3 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 12 12 4 Câu 2.4.40. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 45◦ . Thể tích của 16 hình chóp là a3 . Hỏi cạnh hình vuông mặt đáy bằng bao nhiêu? 3 √ √ A. 2 2a. B. a. C. 2a. D. a 2. Câu 2.4.41. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ), đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, AD = a. Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60◦ . Tính thể tích V của khối chóp √ S.ABD theo a. √ 3 √ √ a 15 2a3 15 3 3 A. V = . B. V = 2a 15. C. V = a 15. D. V = . 3 3 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.4 Thể tích của khối có chứa góc 2.4.2 29 Khối lăng trụ Ví dụ 2.4.12 Ví dụ 2.4.13 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 có tam giác ABC cân tại A, B0 BC là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ). Góc giữa đường thẳng B0 A và mặt phẳng ( ABC ) bằng 45◦ . Tính thể√tích V của khối lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 . √ 3 a3 3a3 3a 3a3 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 8 8 8 24 Lời giải. A0 √ a 3 0 Gọi I là trung điểm của BC, ta có B I = 2 √ √ 2 a 3 3a =⇒ AI = . Vậy S∆ABC = . 2 4 3a3 Vậy VABC.A0 B0 C0 = . 8 C0 B0 A 45◦ C I B Ví dụ 2.4.14 [ = 60◦ . Đường Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B0 C 0 có đáy là tam giác vuông tại A, AC = a, ACB chéo BC 0 của mặt bên ( BCC 0 B0 ) tạo với mặt phẳng ( AA0 C 0 C ) một góc 30◦ . Tính thể tích V của khối lăng trụ theo a. √ √ √ √ a3 6 a3 6 2a3 6 3 A. V = a 6. B. V = . C. V = . D. V = . 3 2 3 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B0 C 0 D 0 có đáy ABCD, AB = 4, BC = 3 và góc giữa mặt phẳng (√ ACD 0 ) và đáy bằng 60◦√. Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật đã cho. √ √ 144 3 72 3 . B. . C. 24 3. A. D. 30 3. 5 5 √ 3 12 12 . Vậy Lời giải. Gọi H là hình chiếu của D lên AC. Ta tính được DH = , suy ra DD 0 = 5 5 √ 144 3 thể tích cần tính là V = . 5 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN 30 GV. Lê Minh Cường - [email protected] - 01666658231 C 0 B. [ Dễ thấy góc giữa BC 0 với ACC 0 A0 chính là góc AC √ AB Ta tính được AB = a 3, rồi suy ra AC 0 = = 3a. ◦ tan 30 Lời giải. Sử dụng tính chất của tam giác vuông ACC 0 tính được √ đường cao của lăng trụ là√CC 0 = 2 2a, từ đó suy ra thể tích của lăng trụ bằng a3 6. Vậy chọn phương án A. C 0 60◦ B A 30◦ B0 A0 Câu 2.4.42. Cho hình lăng trụ tất cả các cạnh đều bằng a, đáy là hình lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên và đáy bằng 60◦ . Tính thể tích√V của khối trụ. √ 9 3 3 3 3 3 3 3 3 B. V = a . C. V = a . D. V = a . A. V = a . 4 4 4 2 Câu 2.4.43. Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc tạo bởi hai mặt phẳng ( ABC ) và ( A0 BC ) bằng 60◦ . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0 B0 C 0√ . √ √ √ 3 3 3 3 3a 3 3a 3 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 8 4 6 24 Câu 2.4.44. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A0 B0 C 0 có cạnh đáy bằng a, góc giữa đường thẳng AB0 0 0 0 o Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 . và mặt phẳng √ 3( A B C ) bằng 45 . √ √ 3 √ 3 3a 3a3 3a 3a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 6 12 2 Câu 2.4.45. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a, biết A0 B hợp với đáy một góc 60◦ . Tính thể √ √ tích khối lăng trụ. 3 3 3 a 3 a 3 a A. . B. 2a3 . C. . D. . 6 2 2 Câu 2.4.46. Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy lần lượt là 13 cm, 14 cm, 15 cm, độ dài cạnh bên bằng 8 và tạo với đáy một góc 30◦ . Khi đó thể tích khối lăng trụ đó là: A. 340 cm3 . B. 274 cm3 . C. 124 cm3 . D. 336 cm3 . Câu 2.4.47. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A0 B0 C 0 có cạnh đáy là a, góc giữa AB0 và ( BCC 0 ) bằng 300 . Tính trụ đó: √ thể tích V của khối lăng √ √ 3 3 a 6 a a3 6 a3 6 A. . B. . C. . D. . 4 4 12 2 Câu 2.4.48. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A0 B0 C 0 có góc giữa hai mặt phẳng ( A0 BC ) và ( ABC ) bằng 600 , AB = a. Khi đó thể tích khối ABCC 0 B0 bằng: √ √ 3 3 3 3 3 √ 3a a 3a A. a3 3. B. . C. . D. . 4 4 4 √ Câu 2.4.49. Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A0 B0 C 0 D 0 có thể tích bằng 3a3 , AB = AD, góc giữa hai mặt phẳng ( A0 BCD 0 ) và ( ABCD ) bằng 60o . Tính độ dài cạnh AA0 . √ √ √ a 3 0 0 0 0 A. AA = 2a 3. B. AA = a. C. AA = a 3. D. AA = . 2 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.4 Thể tích của khối có chứa góc 31 Câu 2.4.50. Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng ( AB0 C 0 ) tạo với mặt đáy góc 60◦ . Tính thể tích lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 . √ √ √ 3a3 a3 3 a3 3 3a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 12 8 8 Câu 2.4.52. Cho lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 có tam giác AB0 C 0 vuông tại B0 với AB0 = 4, B0 C 0 = 2. Biết rằng hình chiếu vuông góc của A lên đáy A0 B0 C 0 trùng với trọng tâm của tam giác A0 B0 C 0 và góc giữa mặt phẳng ( AB0 C 0 ) với mặt phẳng đáy ( A0 B0 C 0 ) bằng 60◦ . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A0 B0 C 0√ . √ √ √ B. V = 8 3. C. V = 6 3. D. V = 9 3. A. V = 12 3. Câu 2.4.53. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ A đến (SCD ) bằng 2a. Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD, tính giá trị lớn nhất của V. √ √ 3 √ 3 √ 3 2 3a3 B. 3a . C. 4 3a . D. . A. 2 3a . 3 2.4.1. 2.4.9. 2.4.17. 2.4.25. 2.4.33. 2.4.41. 2.4.49. B | 2.4.2. C | 2.4.10. D | 2.4.18. B | 2.4.26. C | 2.4.34. A | 2.4.42. C | 2.4.50. C | 2.4.3. B | 2.4.11. C | 2.4.19. B | 2.4.27. A | 2.4.35. C | 2.4.43. D | 2.4.51. D | 2.4.4. A | 2.4.5. C | A | 2.4.12. A | 2.4.13. C | A | 2.4.20. D | 2.4.21. D | D | 2.4.28. C | 2.4.29. D | C | 2.4.36. A | 2.4.37. C | A | 2.4.44. A | 2.4.45. C | D | 2.4.52. A | 2.4.53. A | ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.4.6. 2.4.14. 2.4.22. 2.4.30. 2.4.38. 2.4.46. C| B| A| D| C| D| 2.4.7. 2.4.15. 2.4.23. 2.4.31. 2.4.39. 2.4.47. C| A| C| B| B| A| 2.4.8. 2.4.16. 2.4.24. 2.4.32. 2.4.40. 2.4.48. B| B| B| D| A| C| Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 [ = 120◦ . Gọi I là trung Câu 2.4.51. Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B0 C 0 có AB = AC = BB0 = a, BAC 0 điểm√ của CC 0 . Tính cosin của√góc tạo bởi hai mặt phẳng √ ( ABC ) và ( AB I ). √ 3 5 3 2 30 . B. . C. . D. . A. 2 2 12 10 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN 32 2.5 Tính thể tích và khoảng cách gián tiếp GV. Lê Minh Cường - [email protected] - 01666658231 2.5.1 Sử dụng tỷ lệ thể tích Công thức tỷ lệ thể tích của tứ diện: VS.A0 B0 C0 VS.ABC = SA0 .SB0 .SC 0 . SA.SB.SC S A0 C0 B0 B A C Hình 2.5.1. Tỉ lệ thể tích chóp tam giác. Phương pháp. Áp dụng công thức tỷ lệ thể tích, đưa thể tính cần tính theo một tỷ lệ cho trước với một thể tích dễ dàng tính được, từ đó tính được thể tích ban đầu. Ví dụ 2.5.15 Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A0 B0 C 0 D 0 . Tỉ số thể tích của khối tứ diện A0 ABC và khối hộp chữ nhật ABCD.A0 B0 C 0 D 0 bằng. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 6 2 3 Lời giải. Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A0 B0 C 0 D 0 : VABCD.A0 B0 C0 D0 = S ABCD .h. 1 1 Thể tích khối tứ diện A0 ABC:VA0 ABC = S ABC .h = S ABCD .h 3 6 VA0 BCD 1 Do đó: = . VABCD.A0 B0 C0 D0 6 Ví dụ 2.5.16 THPTQG 2017 Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng ( MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối diện chứa đỉnh√ A có thể tích V. Tính√V. √ 3đa diện, trong đó khối √ đa 3 7 2a 11 2a 13 2a3 2a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 216 216 216 18 Lời giải. Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.5 Tính thể tích và khoảng cách gián tiếp A M Q B D E P N C Câu 2.5.1. Cho hình chóp S.ABC có M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC. Tính giá trị V của MNPABC . VSABC 8 7 1 A. . B. . C. . D. 8. 7 8 8 Câu 2.5.2. Cho hình chóp S.ABC. Gọi A0 , B0 lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Tính tỉ số V 0 0 thể tích S.A B C . VS.ABC 1 1 1 1 B. . C. . D. . A. . 2 3 4 8 Câu 2.5.3. Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B0 C 0 có thể tích là V. Tính thể tích V1 của khối tứ diện A0 ABC theo V. 2 1 1 C. V1 = V. D. V1 = V. A. V1 = V. B. V1 = V. 2 3 3 Câu 2.5.4. Cho hình chóp S.ABC. Gọi A0 , B0 lần lượt là trung điểm của SA và SB. Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A0 B0 C và S.ABC bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 2 8 4 Câu 2.5.5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M và N theo thứ tự là V trung điểm của SA và SB. Tỉ số thể tích S.CDMN là: VS.CDAB 5 1 3 1 A. . B. . C. . D. . 8 4 8 2 Câu 2.5.6 (ĐỀ MH 2017 Lần 2). Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm tam giác BCD. Tính thể tích V của khối chóp A.GBC. A. V = 3. B. V = 4. C. V = 6. D. V = 5. Câu 2.5.7. Biết thể tích khối lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 bằng V.Thể tích tứ diện A0 ABC 0 là: V V V A. . B. 2V. C. . D. . 4 2 3 Câu 2.5.8. Cho hình lập phương ABCD.A0 B0 C 0 D 0 cạnh a. Gọi M là trung điểm A0 B0 , N là trung điểm BC. Tính thể tích V của khối tứ diện ADMN. a3 a3 a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 12 6 2 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 √ a3 2 Ta có thể tích khối tứ diện ABCD bằng = 12 X. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của NE với CD và 2 ME với AD. Dễ thấy AQ = CP = a. 3 1 Ta dễ dàng tính được VE.BMN = X. Áp dụng tỉ 2 VE.PQD 2 = . Suy ra VE.PQD = số thể tích ta có VE.BMN 9 7 7 2 .VE.BMN ⇒ VBMNEQP = .VE.BMN = .X 9 9 18 Tức là phần khối đa diện không chứa điểm A 7 có thể tích bằng X, nên phần chứa điểm A có 18 √ 11 2a3 11 . thể tích là X = 18 216 33 34 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN GV. Lê Minh Cường - [email protected] - 01666658231 Câu 2.5.9. Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD.A0 B0 C 0 D 0 . V1 là thể tích của tứ diện A0 ABD. Hệ thức nào sau đây là đúng? A. V = 6V1 . B. V = 4V1 . C. V = 3V1 . D. V = 2V1 . Câu 2.5.10. Cho khối lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 có thể tích bằng 6a3 và đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của tam giác A0 B0 C 0 . Tính thể√tích V của khối chóp G.ABC. A. V = 2a3 . B. V = 3a3 . C. V = 3a3 . D. V = a3 . Câu 2.5.11. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B0 C 0 D 0 có AB = a, AD = 2a. Diện tích tam giác A0 DC √ a2 13 bằng . Tính thể tích của khối chóp A0 .BCC 0 B0 . 2 √ 8a3 13 A. . B. 2a3 . C. 3a3 . D. 6a3 . 39 Câu 2.5.12. Cho khối tứ diện OABC với OA,OB,OC vuông góc từng đôi một và OA = a, OB = 2a, OC = 3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC. Thể tích của khối tứ diện OCMN theo a bằng 2a3 a3 3a3 A. . B. a3 . C. . D. . 4 3 4 Câu 2.5.13. Cho hình chóp S.ABC. Trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A0 , B0 , C 0 sao cho 1 1 1 SA0 = SA, SB0 = SB, SC 0 = SC. Gọi V và V 0 lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và 3 4 2 V0 0 0 0 là S.A B C . Khi đó tỉ số V 1 1 A. 12. B. . C. 24. D. . 12 24 √ √ Câu 2.5.14. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, AB = a 5, AC = 4a, SO = 2 2a. Gọi M là trung điểm SC. Biết SO vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ), tính thể tích của khối chóp M.OBC. √ 3 √ 3 √ 3 2a B. 2a . C. A. 2 2a . . D. 4a3 . 3 Câu 2.5.15. Cho hình lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 có thể tích bằng 48cm3 , M, N, P theo thứ tự là trung điểm các cạnh CC 0 , BC và B0 C 0 , khi đó thể tích khối chóp A0 MNP là. 16 A. 24cm3 . B. cm3 . C. 16cm3 . D. 8cm3 . 3 Câu 2.5.16. Cho khối lăng trụ đều ABC.A0 B0 C 0 và M là trung điểm AB. Mặt phẳng ( B0 C 0 M) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. 6 7 1 3 B. . C. . D. . A. . 5 5 4 8 Câu 2.5.17. Cho hình lập phương ABCD.A0 B0 C 0 D 0 . Gọi M là điểm trên đường chéo CA0 sao cho # » # » MC = −3 MA0 . Tính tỉ số giữa thể tích V1 của khối chóp M.ABCD và thể tích V2 của khối lập phương. V 1 V 3 V 1 V 1 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V2 3 V2 4 V2 9 V2 4 Câu 2.5.18. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M là trung điểm của SC, mặt phẳng ( P) chứa AM và song song với BD chia khối lập phương thành 2 khối đa diện, đặt V1 là thể tích khối đa V diện có chứa đỉnh S và V2 là thể tích khối đa diện có chứa đáy ABCD. Tính 1 . V2 V1 V1 1 V1 2 V 1 A. = 1. B. = . C. = . D. 1 = . V2 V2 2 V2 3 V2 3 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.5 Tính thể tích và khoảng cách gián tiếp 35 Câu 2.5.19. Cho khối lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 có thể tích V. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AA0 , BB0 . Tính thể tích khối đa diện ABCIKC 0 theo V. 3V V 2V 4V A. . B. . C. . D. . 5 3 3 5 2.5.2 Tính khoảng cách dựa vào công thức thể tích 1 3V Phương pháp. Từ công thức thể tích chóp ta có V = Bh ⇔ h = . Vậy muốn tính khoảng 3 B cách từ đỉnh hình chóp tới đáy, ta có thể đi tìm thể tích và đáy tương ứng, rồi thông qua công thức trên để tìm được khoảng cách. Ví dụ 2.5.17 ĐỀ MH 2017 Lần 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a và thể tích bằng a3 . Tính chiều cao h của hình √ chóp đã cho. √ √ √ 3a 3a 3a A. h = . B. h = . C. h = . D. h = 3a. 6 2 3 √ √ √ (2a)2 3 3a3 3V Lời giải. Ta có diện tích đáy là B = = a2 3. Vậy h = = √ = a 3. 4 B a2 3 Câu 2.5.21. Tính chiều cao h của khối chóp có thể tích là 900 cm3 và diện tích đáy bằng 100 cm2 . A. h = 9 cm. B. h = 6 cm. C. h = 27 cm. D. h = 3 cm. Câu 2.5.22. Khối chóp S.ABC có SA vuông góc với ( ABC ), đáy ABC là tam giác vuông tại B và SB = 2a, BC = a. Thể tích khối chóp là a3 . Khoảng cách từ A đến (SBC ) là: √ 3a a 3 A. 3a. B. 6a. C. . D. . 2 4 Câu 2.5.23. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 9a3 và đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tính độ dài đường cao h của khối chóp. A. h = 3a. B. h = 6a. C. h = 9a. D. h = 27a. √ Câu 2.5.24. Một khối chóp tam giác đều có thể tích V = 2a3 , cạnh đáy bằng 2a 3. Tính chiều cao của khối chóp. √ √ √ a 6 2a 3 a A. a 6. B. . C. . D. . 3 3 3 o [ Câu 2.5.25. Cho hình √ chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC = 60 , SA vuông góc với mặt phẳng√ đáy, SA = a 3. Khoảng √cách từ A đến mặt phẳng (SCD ) bằng: √ a 15 a 15 a 3 A. . B. . C. 3a. D. . 5 3 2 Câu 2.5.26. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là chữ nhật có AB = a; tam giác SAD đều cạnh 4a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng√ đáy. Khoảng cách từ D đến (SAB) là: √ √ a 3 A. a 3. B. 2a 3. C. . D. 2a. 2 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Câu 2.5.20. Cho khối lập phương ABCD.A0 B0 C 0 D 0 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, mặt phẳng (C 0 MN ) chia khối lập phương thành 2 khối đa diện, đặt V1 là thể tích khối đa diện V có thể tích nhỏ và V2 là thể tích khối đa diện có thể tích lớn. Tính 1 . V2 1 V1 13 V1 1 V 25 V1 = . B. = . C. = . D. 1 = . A. V2 3 V2 23 V2 2 V2 47 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN √ 0 B0 C 0 có đáy là tam giác vuông cân tại B, cạnh bên CC 0 = a 3. Câu 2.5.27. Lăng trụ đứng ABC.A √ 3 0 Biết thể tích khối trụ bằng 2 3a . Khoảng cách giữa√ hai đường thẳng AB và CC √ √ bằng A. a 2. B. 2a. C. 3a. D. 2 3a. GV. Lê Minh Cường - [email protected] - 01666658231 36 Câu 2.5.28. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,√AB = a, BC = a, a 6 AD = 2a. Hình chiếu của S lên đáy trùng với trung điểm H của AD và SH = . Tính khoảng 2 cách d từ √ B đến mặt phẳng (SCD). √ √ 15a 6a 6a A. d = . B. d = . C. d = a. D. d = . 5 8 4 √ a3 3 Câu 2.5.29. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và thể tích V = . Tính khoảng 4 cách từ √ S đến ( ABC ). 3a 3 3a a a A. . B. . C. . D. . 4 2 6 2 a3 . Tính Câu 2.5.30. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng 12 khoảng SA và BC. √ √ √ √cách giữa hai đường thẳng a 3 a 3 a 10 a 6 . B. . C. . D. . A. 4 4 5 20 Câu 2.5.31. √ Một3viên gạch hình lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 6 cm và thể tích của viên gạch đó bằng 648 3 cm . Tính chiều cao h của viên gạch đó A. 12 cm . B. 4 cm . C. 6 cm . D. 72 cm . √ a 3 a , AC = . Tam giác Câu 2.5.32. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 2 2 SBC cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Nếu thể tích của khối chóp S.ABC bằng √ 3 a 3 . Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). 24 √ √ a 17a 2 17a 2a B. . C. . D. . A. . 17 17 17 17 2.5.1. 2.5.9. 2.5.17. 2.5.25. B | 2.5.2. A | 2.5.10. D | 2.5.18. A | 2.5.26. C | 2.5.3. A | 2.5.11. B | 2.5.19. B | 2.5.27. D | 2.5.4. B | 2.5.12. C | 2.5.20. B | 2.5.28. Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 D | 2.5.5. C | 2.5.6. B | 2.5.7. D | 2.5.8. C | D | 2.5.13. D | 2.5.14. C | 2.5.15. D | 2.5.16. B | D | 2.5.21. C | 2.5.22. A | 2.5.23. D | 2.5.24. C | D | 2.5.29. A | 2.5.30. A | 2.5.31. A | 2.5.32. D | ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.6 Các bài toán tổng hợp 2.6 Các bài toán tổng hợp Ví dụ 2.6.18 THPTQG 2017 √ Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB = x và các cạnh còn lại đều bằng 2 3. Tìm x để thể tích khối tứ diện √ nhất. √ √ ABCD đạt giá trị lớn √ A. x = 6. B. x = 14. C. x = 3 2. D. x = 2 3. Lời giải. Gọi M, r N lần lượt là trung điểm của CD, AB. Khi đó ta tính được AM = BM = 3, x2 suy ra MN = 9 − . 4 r x2 x. 9 − √ 4 và h - Gọi h là chiều cao của khối chóp hạ từ đỉnh A, ta có h = max khi x = 3 2. 3 Câu √ 2.6.1 (ĐỀ MH 2017 Lần 1). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a. Tam giác SAD cân tại S và mặt bên (SAD ) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối 4 chóp S.ABCD bằng a3 . Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD ). 3 2 4 8 3 A. h = a. B. h = a. C. h = a. D. h = a. 3 3 3 4 Câu 2.6.2 (ĐỀ MH 2017 Lần 1). Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau; AB = 6a, AC = 7a và AD = 4a. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm các cạnh BC, CD, DB. Tính thể tích V của tứ diện AMNP. 7 28 A. V = a3 . B. V = 14a3 . C. V = a3 . D. V = 7a3 . 2 3 Câu 2.6.3 (ĐỀ MH 2017√ Lần 2). Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh AC = 2 2. Biết AC 0 tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc 60◦ và AC 0 = 4. Tính thể tích V của khối đa diện ABCB0 C 0 . √ √ 8 16 8 3 16 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 3 3 Khối chóp Câu 2.6.4. Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy;BC = 9m, AB = 10m, AC = 17m. Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 72m3 . Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SBC ). √ 42 18 24 A. h = m. B. h = m. C. h = 34 m. D. h = m. 5 5 5 Câu 2.6.5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình √ vuông; mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; BC = a 3. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SCD ). √ √ √ 3a a 21 2 6a A. h = √ . B. h = a. C. h = . D. h = . 3 3 7 7 √ Câu 2.6.6. Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc mặt phẳng đáy, SA = a, AC = a 2, AB = 3a. Gọi V M, N là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC. Đặt k = SAMN khi đó giá trị của k là VSABC 1 1 1 1 C. . A. . B. √ . D. . 3 30 2 30 √ Câu 2.6.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với độ dài các cạnh bằng a và a 3. Cạnh bên vuông góc với √ mặt phẳng đáy và SA = 2a. Khi đó thể tích khối chóp là: √ SA 3 √ √ 2 3a 3a3 A. . B. . C. 2 3a3 . D. 3a3 . 3 3 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 2.6.0.1 37 38 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN GV. Lê Minh Cường - [email protected] - 01666658231 Câu 2.6.8 (THTT Lần 3). Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật ABCD có BC = 2AB, SA⊥( ABCD ) và M là điểm trên cạnh AD sao cho AM = AB. Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của hai V khối chóp S.ABM và S.ABC thì 1 bằng: V2 1 1 1 1 B. . C. . D. . A. . 8 6 4 2 Câu 2.6.9. Cho hình chóp S.ABCD √ có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Độ dài các cạnh AB = BC = a, AD = 2a, SD = a 5, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Gọi H là hình chiếu của A lên cạnh SB. Tính khoảng cách d từ H đến mặt phẳng (SCD ). √ √ √ √ a 6 a 6 a 6 a 6 A. d = . B. d = . C. d = . D. d = . 12 6 3 24 Câu 2.6.10. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy bằng a, các mặt bên luôn tạo với đáy một góc 60◦ . Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC ). √ √ √ a 2 a 3 3a B. d = . C. d = a 3. . A. d = . D. d = 4 2 2 Câu 2.6.11. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, cạnh SB hợp với đáy một góc 45◦. Thể tích của khối chóp S.ABC là √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 6 a3 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 24 12 24 Câu 2.6.12. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC. √ √ √ √ a3 3 3a3 3 3 3 A. V = . B. V = a 3. C. V = 9a 3. D. V = . 4 3 Câu 2.6.13. Tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và đôi một vuông góc. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA. Thể tích tứ diện OMNP là a3 a3 a3 a3 . B. . C. . D. . A. 4 12 24 6 √ Câu 2.6.14. Cho hình chóp S.ABC có SA⊥( ABC ), SA = a 3. Tam giác ABC vuông cân tại B, AC = 2a. Thể tích khối chóp S.ABC là √ √ √ √ a3 3 2a3 3 a3 3 3 A. . B. a 3 . C. . D. . 3 3 6 Câu 2.6.15. Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Cosin của góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng √ √ √ 2 5 3 33 1 A. . B. . C. . D. . 15 6 6 4 √ Câu 2.6.16. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a 2, tam giác SAB vuông cân tại S và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD ) là √ √ √ √ a 6 a 10 a 2 A. . B. . C. a 2 . D. . 3 5 2 Câu 2.6.17. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với mặt đáy một góc 450 . Tính thể tích của khối chóp đều. a3 2a3 a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 9 9 3 6 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.6 Các bài toán tổng hợp 39 Câu 2.6.19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD. √ √ √ √ a3 2 a3 2 a3 2 a3 3 . B. . C. . D. . A. 3 4 2 3 √ Câu 2.6.20. Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a 3, cạnh bên bằng 2a. Khi đó thể tích của khối chóp S.ABCD là: √ √ √ √ 3 a 10 a3 10 a3 3 a3 3 A. VS.ABCD = . B. VS.ABCD = . C. VS.ABCD = . D. VS.ABCD = . 2 4 6 12 Câu 2.6.21. Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ ( ABC ) , SA = 2a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Kẻ AH ⊥SB, AK√ ⊥SC. Thể tích của khối chóp S.AHK là: √ √ 3 8a3 5a3 8 9a3 3 8a 3 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 75 15 25 75 Câu 2.6.22. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và ( ABCD ) bằng 60◦ . Gọi I là trung điểm của AD. Biết hai mặt phẳng (SBI ) và (SCI ) cùng vuông√ góc với mặt đáy. Tính thể √ tích khối chóp S.ABCD. 3 15 3 15 √ 3a 6a . C. VS.ABCD = . D. VS.ABCD = 6a3 . A. VS.ABCD = 6a3 3. B. VS.ABCD = 5 5 Câu 2.6.23. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = 3, BC = 4. Hai mặt bên (SAB) và (SAC ) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết SC hợp với ( ABC ) góc 45◦ . Thể tích của khối cầu√ ngoại tiếp S.ABC là: √ √ √ 5π 2 25π 2 125π 3 125π 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 3 3 Câu 2.6.24. Cho hình chóp S.ABCD có mặt √ phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ), đáy ABCD là hình vuông, AB = 2a, SA = a 3, SB = a. Gọi M là trung điểm CD. Thể tích của khối chóp S.ABCM √ √ là: √ √ 3 a 3 2a3 2 3a3 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 2 3 2 4 Câu 2.6.25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, AD = a. Hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm H của AB. Biết SC tạo với mặt đáy một góc 450 . Thể tích của √ khối chóp S.ABCD là: √ 3 2a 2 a3 2a3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 2 Câu 2.6.26. Cho hình chóp S.ABCD, gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp G.ABCD và S.ABCD. V 3 V 1 V 2 V 1 A. G.ABCD = . B. G.ABCD = . C. G.ABCD = . D. G.ABCD = . VS.ABCD 4 VS.ABCD 2 VS.ABCD 3 VS.ABCD 3 Câu 2.6.27. √ Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc mặt phẳng đáy, tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 2 2a, SA = a. Tính thể√tích khối chóp S.ABC. a3 3 3 2a3 A. . B. a . C. 3a3 . D. . 4 3 3 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Câu 2.6.18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A0 , B0 , C 0 sao cho SA = 2SA0 , SB = 3SB0 , SC = 4SC 0 . Mặt phẳng ( A0 B0 C 0 ) cắt cạnh V SD tại D 0 . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của hai khối chóp S.A0 B0 C 0 D 0 và S.ABCD. Tính tỉ số 1 . V2 1 1 7 7 A. . B. . C. . D. . 24 12 12 24 GV. Lê Minh Cường - [email protected] - 01666658231 40 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN Câu 2.6.28. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,SA⊥( ABC ). Cạnh bên SC hợp với√mặt đáy một góc 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. √ a3 3 a3 a3 2 a3 A. . B. . C. . D. . 12 6 2 3 √ Câu 2.6.29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a 2. Tam giác SAB cân tại S và mặt bên (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng 4 3 a . Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC ). 3 4 2 8 3 B. a. C. a. D. a. A. a. 3 3 3 4 √ 2 3a Câu 2.6.30. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ), tam giác ABC đều cạnh , góc giữa mặt 3 ◦ bên (SBC √ ) và ( ABC ) bằng 60 . Khoảng cách từ A đến√mặt phẳng (SBC ) là: √ a 6 a a 3 A. . B. . C. . D. a 3. 3 2 2 Câu 2.6.31. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Gọi V là thể tích của khối chóp S.ABC. Khi đó thể tích của khối chóp S.MNP là: V V V V A. . B. . C. . D. . 8 9 6 3 √ Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy có SA = a 3, AB = Câu 2.6.32. √ a, AC =√a 3, BC = 2a. Thể tích khối chóp S.ABC là: √ √ a3 a3 3 a3 3 a3 3 . B. . C. . D. . A. 2 2 6 4 √ Câu 2.6.33. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = 2a 3, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60◦ . Thể tích khối chóp S.ABC là: 9a3 3a3 3 3 A. . B. 3a . C. 9a . D. . 2 2 Câu 2.6.34. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Gọi I là trung điểm AC, tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp √ S.ABC, biết góc giữa SB√và mặt phẳng đáy bằng 450 . √ √ 3 2a3 3a3 2a3 3a A. . B. . C. . D. . 12 12 4 4 Câu 2.6.35. √ tứ diện bằng: √ √ Cho tứ diện đều có √cạnh bằng a, thể tích khối 3 3 3 a 3 a 3 a 2 a3 2 A. . B. . C. . D. . 12 4 12 4 Câu 2.6.36. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a, SA ⊥ ( ABC ), góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và mặt phẳng ( ABC ) bằng 450 . Thể tích khối chóp S.ABC bằng: a3 3a3 A. a3 . B. 3a3 . C. . D. . 8 8 Câu 2.6.37. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 600 . Thể tích khối chóp √ √ √ S.ABCD bằng: 3 √ 3 3 3 a 3 a 3 πa 3 πa 3 A. . B. . C. . D. . 2 6 6 2 Câu 2.6.38. Cho khối lăng trụ tam giác đều, độ dài tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích khối lăng trụ đó.√ √ 3 2 2a3 a3 2a3 3a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 4 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.6 Các bài toán tổng hợp 41 Câu 2.6.39. Cho hình chóp tam giác đều S.ABCcó cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích khối S.ABC. √ chóp √ 3 √ 3 3 a3 11a 11a 11a A. . B. . C. . D. . 96 4 3 12 Câu √ 2.6.41. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA⊥ ( ABCD ) và SB = 3a. √ Tính thể tích khối chóp S.ABCD √ 3 √ 3 √ 3 2a3 2a 2a A. . B. 2a . C. . D. . 2 3 6 √ √ Câu 2.6.42. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a 2 và AC = a 3; √ cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) và SA = a 2. Khoảng cách từ điểm A đến (SBC ) là bao nhiêu? 2a 2a 2a B. d = √ . C. d = √ . D. d = a. A. d = √ . 6 5 7 d = 60◦ , [ Câu 2.6.43. Cho hình chóp tam giác S.ABC có [ ASB = CSB ASC = 90◦ , SA = SB = 1, SC = 3. 1 Gọi M là điểm trên cạnh SC sao cho SM = SC. Khi đó, thể tích của khối chóp S.ABM bằng 3 √ √ √ √ 6 3 2 2 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 36 36 12 4 d =A d = 600 , SA = 3, SB = 6, SC = 9. Tính [ Câu 2.6.44. Cho hình chóp S.ABC có ASB SC = CSB khoảng cách d từ C đến mặt phẳng (SAB). √ √ √ √ 27 2 B. d = 2 6. C. d = . D. d = 3 6. A. d = 9 6. 2 √ √ Câu 2.6.45. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a 2 và cạnh bên bằng a 3. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD. √ √ √ √ 2a3 2 a3 10 3 3 B. V = 2a 2. C. V = . D. V = . A. V = 2a 3. 3 6 Câu 2.6.46. Cho hình chóp S.ABC có√ đáy ABC là√tam giác vuông tại B. Cạnh bên SA vuông góc với đáy ( ABC ). √ Cho biết AB = a; AC = a 3; SA = a 2. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC. 3 √ a3 a 6 a3 A. V = . B. V = a3 2. C. V = . D. V = . 3 4 3 o [ Câu 2.6.47. √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC = 60 , SA = SB = SC = a √3. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. √ √ √ a3 33 a3 2 a3 2 3 A. . B. a 2 . C. . D. . 12 3 6 Câu 2.6.48. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng SM đáy ( ABCD ) và SA = a. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho = k. Xác định k sao cho mặt phẳng SA hai phần có thể tích bằng√nhau. ( BMC ) chia khối √ chóp S.ABCD thành √ √ −1 + 3 −1 + 5 −1 + 2 1+ 5 A. k = . B. k = . C. k = . D. k = . 2 2 2 4 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Câu 2.6.40. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a; AD = a. Hình chiếu của S lên đáy là trung điểm H của cạnh AB, góc tạo bởi SC và đáy là 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD. √ √ 3 2 2a3 a3 2a3 3a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 2 42 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN GV. Lê Minh Cường - [email protected] - 01666658231 Câu 2.6.49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Gọi M là trung điểm của cạnh CD. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAB). √ √ a 2 A. a 2 . B. 2a . C. a . D. . 2 Câu 2.6.50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = 2a. Gọi N là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SN và CD. √ √ 2a 2a A. √ . B. a 5 . C. a 2 . D. √ . 5 3 Câu 2.6.51. Cho hình tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc; SA = 3a, SB = 2a, SC = a. Tính thể tích khối tứ diện SABC. a3 . B. 2a3 . C. a3 . D. 6a3 . A. 2 Câu 2.6.52. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, G là trọng tâm của tứ diện ABCD. Tính theo a khoảng √ √ √cách từ G đến các mặt√của tứ diện. a 6 a 6 a 6 a 6 A. . B. . C. . D. . 9 6 3 12 Câu 2.6.53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD biết SB tạo với mặt phẳng đáy ( ABCD ) một góc 60o . √ √ √ a3 3 2a3 3 2a3 3 A. √ . C. . D. . B. 2a 3. 3 3 3 3 Câu 2.6.54. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC ). Tính thể tích khối chóp S.ABC biết SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc√30o . √ √ √ a3 6 a3 6 2a3 6 a3 6 A. . B. . C. . D. . 9 3 3 6 Câu 2.6.55. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) và SA = 3a. Thể tích của khối chóp S.ABCD là: A. 6a3 . B. 9a3 . C. 3a3 . D. a3 . Câu 2.6.56. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và P là điểm trên cạnh SC sao cho PC = 2SP. Ký hiệu V1 , V2 lần lượt là thể tích của hai khối chóp S.MNP V và S.ABC. Tính tỉ số 1 . V2 V1 4 V 1 V 1 V 1 A. = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V2 3 V2 8 V2 6 V2 12 Câu 2.6.57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông canh a, cạnh bên SA vuông góc √ với mặt đáy.√Cho biết SC = a 5. Tính khối chóp S.BCD. √ theo a thể tích V của3 √ √ a3 5 a3 3 a 3 a3 5 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 6 6 √ Câu 2.6.58. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy ( ABC ), biết AB = a; SA = a 3. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB và M là trung điểm của SC. Ký hiệu V1 , V2 lần lượt là V thể tích của hai khối chóp S.AHM và S.ABC. Tính tỉ số 1 . V2 V1 4 V1 5 V1 5 V 3 A. = . B. = . C. = . D. 1 = . V2 9 V2 12 V2 8 V2 8 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.6 Các bài toán tổng hợp 43 Câu 2.6.62. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên hợp với mặt đáy 0 . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. một góc 60√ √ √ √ a 6 a 6 a 6 a 6 . B. R = . C. R = . D. R = . A. R = 3 4 6 2 Câu 2.6.63. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh a và mặt góc với đáy. Tính theo a √ thể tích V của khối chóp√S.ABCD. √ phẳng (SAD ) vuông3 √ 3 3 a 3 a 3 a3 6 a 3 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 9 4 6 4 Câu 2.6.64. Cho hình chóp S.ABC có thể tích là V. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của cạnh SA, SB. Điểm P thuộc cạnh SC sao cho SP = 2PC. Thể tích khối S.MNP bằng: V V V V A. . B. . C. . D. . 5 4 6 3 Câu 2.6.65. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = 1 (m), SB = 2 (m), SC = 3 (m). Thể tích khối chóp S.ABC là: A. 3(m3 ) . B. 6(m3 ) . C. 2(m3 ) . D. 1(m3 ) . Câu 2.6.66. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Các mặt bên (SAB), (SAC ) cùng vuông góc với đáy ( ABC ); Góc giữa SB với ( ABC ) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. 3a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 4 2 4 12 Câu 2.6.67. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; Mặt bên tạo với đáy 0 một góc √ từ A đến (SBC ) là √ 60 . Khi đó khoảng cách √ a 3 a 2 3a A. . B. . C. a 3. D. . 2 2 4 Câu 2.6.68. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy, SA = a.√Khoảng cách giữa hai√đường thẳng AB và SC√bằng: √ 2a 21 a 21 a 14 2a 21 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Câu 2.6.69. Cho hình chóp S.MNPQ có đáy MNPQ là hình chữ nhật, hai mặt phẳng (SMN ) và (SMQ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( MNPQ), góc giữa đường thẳng SN và mặt phẳng ( MNPQ) bằng 600 , biết MN = a, MQ = 2a, với a là số thực dương. Khi đó tính theo a, khoảng cách giữa √ hai đường thẳng SP và √ NQ bằng: √ √ a 93 2a 57 a 93 2a 93 A. . B. . C. . D. . 62 19 31 31 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Câu 2.6.59. Cho hình chóp S.ABC có đáy√ABC là tam √ giác vuông tại A. Cạnh bên SA vuông góc với đáy ( ABC ). Cho biết AB = a; CA = a 3; SA = a 2. Gọi M là trung điểm của SB, N là điểm 1 trên cạnh SC sao cho SN = NC. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.AMN. 3 √ √ √ √ a3 2 a3 3 a3 6 a3 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 16 36 36 48 Câu 2.6.60. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 60o . Thể tích khối chóp S.BDC là: √ √ √ √ a3 15 a3 15 2a3 15 3 A. D. . B. . C. a 15 . . 3 3 9 là tam giác vuông tại A. Cạnh bên SA vuông góc Câu 2.6.61. Cho hình chóp S.ABC có √đáy ABC √ với đáy ( ABC ), biết AB = a; AC = a 3; SA = a 2. Gọi M là trung điểm của SB, N là hình chiếu vuông góc của √ A trên SC. Tính theo3 a√thể tích V của khối chóp √ A.BCN M. √ 3 3 a 6 2a 6 a 6 a3 6 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 30 15 12 8 44 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN GV. Lê Minh Cường - [email protected] - 01666658231 Câu 2.6.70. Cho hình chóp tam giác S.MNP có đáy MNP là tam giác đều cạnh bằng a, SM vuông góc với mặt phẳng ( MNP), biết SM = 3a, với 0 < a ∈ R. Khi đó tính theo a, thể tích của khối chóp tam giác S.MNP bằng: √ √ √ √ a3 3 a3 3 3a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 2 12 4 4 Câu 2.6.71. Cho hình chóp tứ giác S.MNPQ có đáy MNPQ là hình chữ nhật, SM vuông góc với mặt phẳng ( MNPQ), biết MN = a, MQ = 2a, SM = a, với 0 < a ∈ R. Khi đó tính theo a, thể tích của khối chóp tứ giác S.MNPQ bằng: 4a3 2a3 a3 B. 2a3 . C. . D. . A. . 3 3 3 Câu 2.6.72. Cho hình chóp tứ giác đều S.EFGH có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a, với 0 < a ∈ R. Khi đó tính theo a, thể tích của khối chóp tứ giác đều S.EFGH bằng: √ √ a3 a3 2 a3 2 3 A. . B. a . C. . D. . 3 6 3 Câu 2.6.73. Cho tứ diện MNPQ biết mặt phẳng ( MNP) vuông góc √với mặt phẳng ( NPQ), tam giác MNP là tam giác đều, tam giác NPQ vuông cân tại N, PQ = 2a 2, với 0 < a ∈ R. Khi đó tính theo a, thể tích của khối tứ diện MNPQ bằng: √ √ √ √ 2a3 3 a3 6 a3 3 3 . B. 2a 3. . D. . A. C. 6 12 3 Câu 2.6.74. Cho hình chóp tứ giác S.MNPQ có đáy MNPQ là hình chữ nhật, SM vuông góc với mặt phẳng ( MNPQ), MN = a, MQ = 2a (với 0 < a ∈ R), góc giữa hai mặt phẳng (SNP) và ( MNPQ√ ) bằng 600 . Khi đó tính theo a, thể tích của khối √chóp tứ giác S.MNPQ3bằng: √ 3 3 √ a 3 2a 3 2a 3 . B. 2a3 3. C. . D. . A. 9 3 3 Câu 2.6.75. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy ◦ , tính thể tích khối chóp S.ABCD. ( ABCD √ 60 √ 3 √ ). 3Biết góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD ) bằng √ 3 3a 2a3 6a A. . B. 3a . C. . D. . 6 3 3 Câu 2.6.76. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, SA = 2. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC ) cùng vuông góc với mặt đáy. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: 13π 11π 16π 8π . B. . C. . D. . A. 3 3 3 3 Câu 2.6.77. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA vuông góc với a3 mặt đáy. Thể tích khối chóp S.ABC bằng . Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và ( ABC ) 6 bằng: A. 45o . B. 120o . C. arctan 2 . D. 60o . Câu 2.6.78. Cho hình √ chóp S.ABC √ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a 2, SC = a 3. Khoảng cách giữa SA và BC là: √ √ √ a 3 a 2 a 2 A. . B. . C. a . D. . 2 2 3 Câu 2.6.79. Cho hình chóp S.ABC có SA = 20(cm), SB = 10(cm), SC = 30(cm). Khối chóp S.ABC có thể tích lớn nhất bằng: A. 3000 (cm3 ) . B. 6 (dm3 ) . C. 2000 (cm3 ) . D. 1000 (cm3 ) . Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.6.0.2 2.6 Các bài toán tổng hợp 45 Khối lăng trụ tam giác Câu 2.6.82. Lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A0 lên ( ABC ) là trung điểm của BC. Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là 600 . Khoảng cách từ điểm C 0 đến mặt√phẳng ( ABB0 A0 ) là √ √ √ 3a 13 3a 10 a 3 3a 13 . B. . C. . D. . A. 13 26 20 2 √ Câu 2.6.83. Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh bên bằng a 3 và cạnh đáy bằng a là: a3 3a3 a3 B. . C. . D. a3 . A. . 4 4 3 GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Câu 2.6.80. Cho hình lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 có đáy tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của C lên mặt phẳng A0 B0 C 0 là trung điểm của B0 C 0 , góc giữa cạnh bên CC 0 và mặt phẳng đáy bằng 45o . Khi√đó thể tích khối lăng trụ √ là:: √ √ 3 3 a 3 a3 3 a3 3 a 3 . B. . C. . D. . A. 24 12 8 4 √ Câu 2.6.81 (THTT Lần 3). Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A0 B0 C 0 có cạnh đáy bằng a 2 và 2 . Thể tích khối lăng trụ đó là: mỗi mặt bên có diện tích bằng 4a √ √ √ √ 2a3 6 a3 6 3 3 B. D. A. 2a 6. . C. a 6. . 3 2 Câu 2.6.84. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A0 B0 C 0 có diện tích các mặt bên ABB0 A0 , BCC 0 B0 , CAA0 C 0 lần lượt bằng 63cm2 , 84cm2 , 105cm2 . Tam giác ABC là tam giác gì ? A. Tam giác có một góc bằng 60◦ . B. Tam giác vuông tại B. C. Tam giác vuông cân tại C. D. Tam giác cân tại A. 0 0 0 0 Câu √ 2.6.85. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, AB = AA = a 2. Thể √ tích khối lăng trụ bằng: √ √ √ a3 2 a3 2 a3 2 3 A. . B. . C. a 2. . D. 2 4 6 Câu 2.6.86. Cho lăng trụ √ ABCA0 B0 C 0 , đáy là tam giác đều cạnh bằng a, tứ giác ABB0 A0 là hình 0 AC = 600 ,B0 C = a 3 . Tính thể tích lăng trụ ABCA0 B0 C 0 thoi, A 2 √ √ 3 √ 3 √ 3a 3 3a3 3a 3 3a3 A. . B. . C. . D. . 16 16 4 4 Câu 2.6.87. Biết thể tích của hình chóp S.ABC là VS.ABC = 5a3 . Thể tích của hình lăng trụ SDE.ABC là bao nhiêu ? 10a3 5a3 A. VSDE.ABC = 10a3 . B. VSDE.ABC = . C. VSDE.ABC = . D. VSDE.ABC = 15a3 . 3 3 Câu 2.6.88. Cho hình lăng trụ tam giác đều có các mặt bên là hình vuông, độ dài cạnh đáy bằng a. Thể tích của√khối lăng trụ đó là bao nhiêu? √ a3 3 a3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = a3 . 4 4 12 Câu 2.6.89. Tính theo a thể tích khối lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên BCC 0 B0 là hình vuông cạnh 2a. √ 2a3 A. a3 . B. a3 2. C. . D. 2a3 . 3 Câu 2.6.90. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A0 B0 C 0 có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính theo a thể tích V của lăng √ trụ. √ √ √ 3 a 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 2 4 6 12 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN 46 GV. Lê Minh Cường - [email protected] - 01666658231 Câu 2.6.91. Cho lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông √ góc 0 của A trên mặt đáy ( ABC ) là trọng tâm G của tam giác ABC. Cho biết cạnh bên bằng a 3. Tính 0. theo a thể tích V của khối tứ diện ABCC √ √ √ √ a3 2 a3 2 a3 2 a3 2 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 6 4 3 2 2.6.0.3 Câu 2.6.92. Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều. Thể tích của hình lăng trụ là V. Để diện là √ tích toàn phần của hình √ lăng trụ nhỏ nhất thì √cạnh đáy của lăng trụ √ A. 3 4V. B. 3 V. C. 3 2V. D. 3 6V. Câu 2.6.93. Cho hình lăng trụ tam giác EFG.E0 F 0 G 0 có đáy EFG là tam giác đều cạnh bằng a (với 0 < a ∈ R), hình chiếu vuông góc của điểm E0 trên mặt phẳng ( EFG ) trùng với trung điểm H của đoạn FG, biết góc giữa đường thẳng EE0 và mặt phẳng ( EFG ) bằng 600 . Khi đó tính theo a, thể 0 F 0 G 0 bằng: tích của√khối lăng trụ tam giác EFG.E √ √ √ a3 3 3a3 3 3a3 3 a3 3 . B. . C. . D. . A. 8 4 8 4 Câu 2.6.94. Cho lăng trụ xiên ABC.A0 B0 C 0 ; ∆ABC vuông tại A, AB = a, A0 A = BC = 2a. Biết A0 cách đều √ các đỉnh của ∆ABC.√Thể3 tích khối lăng trụ đã cho là: √ 3a 3a3 3 5a3 A. . B. . C. a3 3. D. . 2 2 2 Câu 2.6.95. Cho hình lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 và M là trung điểm của CC 0 . Gọi khối đa diện ( H ) là phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 sau khi cắt bỏ đi khối chóp M.ABC.Tỷ số thể tích của ( H ) và khối chóp M.ABC là: 1 1 A. . B. 6. C. . D. 5. 6 5 Câu 2.6.96. Cho√ hình lăng trụ đứng ABC.A0 B0 C 0 có cạnh bên bằng a, đáy là tam giác vuông tại A, BC = 2a,AB = a 3. Khoảng cách ( A0 BC ) là: √ từ điểm A đến mặt phẳng √ √ √ a 21 a 21 a 3 a 7 . B. . C. . D. . A. 21 7 21 7 Câu 2.6.97. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, khoảng cách 0 bằng 2a. Thể tích khối lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 là: từ điểm√A đến đường thẳng B0 C √ √ a3 13 3a3 a3 39 a3 39 A. . B. . C. . D. . 24 8 4 8 Khối hộp Câu 2.6.98. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A0 B0 C 0 D 0 có cạnh đáy bằng a, đường chéo AC 0 tạo 0 0 0 B0 C 0 D 0 . với mặt√phẳng ( BCC 0 B0 ) một góc thể tích khối lăng trụ ABCD.A √ α(0 < α < 45 ). Tính√ √ A. a3 cot2 α + 1. B. a3 cot2 α − 1. C. a3 cot 2α. D. a3 tan2 α − 1. Câu 2.6.99. √ Tính thể tích khối lập phương có đường chéo bằng 3a 3 √ √ 27a 2 A. . B. a3 3 . C. 3a3 3 . 4 D. a3 . Câu 2.6.100. Cho một hình hộp với 6 mặt đều là các hình thoi cạnh a, góc nhọn bằng 600 . Khi đó thể tích của √ khối hộp là: √ √ √ 3 a 3 a3 2 a3 3 a3 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 2 2 Câu 2.6.101. Cho hình hộp ABCD.A0 B0 C 0 D 0 . Gọi M là trung điểm của A0 B0 , Vlà thể tích khối hộp V ABCD.A0 B0 C 0 D 0 , V 0 là thể tích khối chópM.ACD. Tính tỉ số 0 . V V V V V A. 0 = 12. B. 0 = 4. C. 0 = 6. D. 0 = 8. V V V V Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.6 Các bài toán tổng hợp 47 Câu 2.6.102. Tính thể tích khối lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A0 B0 C 0 D 0 có đáy ABCD là hình thoi [ = 120o . cạnh a, √ CC 0 = a, góc ABC √ √ 3 3 √ a3 3 a3 3 a . B. . C. a3 3. . A. D. 3 4 2 Câu 2.6.104. Cho một hình lập phương. Biết rằng nếu cộng mỗi cạnh của hình lập phương thêm 5 cm thì thể tích của khối lập phương tăng thêm 2015cm3 . Thể tích của khối lập phương tạo bởi hình lập phương đã cho là: A. 512cm3 . B. 125cm3 . C. 729cm3 . D. 343cm3 . Câu 2.6.105. bằng a. Tính thể tích của tứ diện ACDB √ 3 ABCD.ABCD có cạnh √ 3 Cho hình lập phương 3 6a 2a a a3 A. . B. . C. . D. . 4 3 4 3 GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Câu 2.6.103. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B0 C 0 D 0 , AB = 2BC = 2a, AB0 = 4a. Tính thể tích 0 B0 C 0 D 0 . khối hộp √ chữ nhật ABCD.A √ √ √ 6 3 3 3 A. a . B. a . C. 6a3 . D. 4 3a3 . 3 3 Câu 2.6.106. Diện tích ba mặt chung một đỉnh của một khối hộp chữ nhật lần lượt là 24(cm2 ); 28(cm2 ); 42(cm2 Tính thể tích V của khối hộp trên. A. V = 94(cm3 ). B. V = 188(cm3 ). C. V = 168(cm3 ). D. V = 336(cm3 ). Câu 2.6.107. Cho lăng trụ đứng ABCD.A0 B0 C 0 D 0 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AA0 = AB = a, a khoảng cách giữa AA0 và D 0 C 0 bằng . Thể tích khối lăng trụ ABCD.A0 B0 C 0 D 0 là: 2 √ √ 3 3 a a 3 a3 3 a3 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 6 Câu 2.6.108. Khi người ta gọt một khối lập phương bằng gỗ để lấy khối tám mặt đều nội tiếp nó ( tức là khối có các đỉnh là các tâm của các mặt khối lập phương). Biết các cạnh của khối lập phương bằng a. Hãy tính thể tích của khối tám mặt đều đó. a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 8 12 4 6 Câu 2.6.109. Cho hình hộp MNPQ.M0 N 0 P0 Q0 có đáy MNPQ là hình vuông cạnh bằng a (với 0 < a ∈ R), hình chiếu vuông góc của điểm M0 trên mặt phẳng ( MNPQ) trùng với tâm I của hình vuông MNPQ, biết góc giữa hai mặt phẳng ( MM0 Q0 Q) và ( MNPQ) bằng 600 . Khi đó tính theo a, 0 N 0 P0 Q0 bằng: thể tích√của khối hộp MNPQ.M √ √ 3 6 √ a3 3 a3 3 a . B. . C. a3 3. . A. D. 6 2 2 √ Câu 2.6.110. Cho hình lập phương ABCD.A0 B0 C 0 D 0 có diện tích mặt chéo ACC 0 A0 bằng 2 2a2 . Thể tích khối lập phương là: √ của √ 3 A. 2 2a . B. 2a3 . C. 2a3 . D. a3 . 2.6.1 Tổng hợp Câu 2.6.111. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với đáy ( ABC ). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB và P là hình chiếu vuông góc của A lên SC. Tính chóp S.MNP. √ thể tích V của khối √ √ √ 3 3 3 3 3 3 3 3 A. a . B. a . C. a . D. a . 30 6 15 10 Câu 2.6.112. Cho hình chóp S.ABC có SA = 2, SB = 4, SC = 6, các góc ở đỉnh S của các mặt bên bằng nhau √ và bằng 60◦ . Tính thể tích V của khối chóp. √ √ √ 4 2 2 A. V = . B. V = 2 2. C. V = . D. V = 4 2. 3 9 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 48 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN GV. Lê Minh Cường - [email protected] - 01666658231 Câu 2.6.113. Cho biết thể tích của một khối hộp chữ nhật là V, đáy là hình vuông cạnh a. Khi đó diện tích  bằng   toàn phần  của hình hộp    V 2V V 2V 2 2 2 B. 2 C. 2 A. 2 +a . +a . +a . +a . D. 4 a a a a2 Câu 2.6.114. Cho hình chóp S.ABC có thể tích V. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích của khối chóp S.AHK theo V. 1 1 1 1 B. VS.AHK = V. C. VS.AHK = V. D. VS.AHK = V. A. VS.AHK = V. 2 4 12 6 Câu 2.6.115. Cho khối lập phương ABCD.A0 B0 C 0 D 0 có cạnh là a. Tính thể tích khối chóp tứ giác D.ABC 0 D 0 . √ √ a3 2 a3 2 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 3 6 3 4 Câu 2.6.116. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 1, AD = 2, SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) và SA = 2. Điểm M trên cạnh SA sao cho mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp √ S.ABCD thành hai phần √ MAC. √ có thể tích bằng nhau.√Tính diện tích S của tam giác 5− 5 3 5−5 5 5 . B. S = . C. S = . D. S = . A. S = 2 2 3 4 Câu 2.6.117. Cho khối hộp ABCD.A0 B0 C 0 D 0 . Gọi M thuộc cạnh AB sao cho MB = 2MA. Mặt phẳng ( MB0 D 0 ) chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó. 5 7 13 5 A. . B. . C. . D. . 12 17 41 17 Câu 2.6.118. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. √ √Tính thể tích V của khối √ chóp S.ABI. √ 3 3 3 a 11 a 11 a 11 a3 11 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 24 8 6 Câu 2.6.119. Với mỗi đỉnh của hình lập phương, xét tứ diện xác định bởi đỉnh ấy và các trung điểm của ba cạnh cùng xuất phát từ đỉnh ấy. Khi ta cắt bỏ các khối tứ diện này thì tỉ số thể tích phần còn lại so với khối lập phương bằng 3 39 5 4 A. . B. . C. . D. . 4 50 6 5 Câu 2.6.120.√Tính thể tích V của khối lăng trụ đều ABC.A0 B√0 C 0 biết AB = a và AB0 = 2a. √ a3 3 a3 3 a3 3 3a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 4 2 4 Câu 2.6.121. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SB, BC, CD. √ Tính thể tích V của khối√tứ diện CMNP. √ √ 3 a 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 72 54 96 48 Câu 2.6.122. Cho hình chóp đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Biết rằng BM ⊥ DN . Tính√ thể tích V của khối nón √ nội tiếp hình chóp đều S.ABCD. 3 3 1 a π 10 a π 10 a3 π A. V = πa3 . B. V = . C. V = . D. V = . 3 24 8 24 Câu 2.6.123. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích là V và đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN = 2NB. Mặt phẳng (α) di động đi qua các điểm M, N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q. Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.MNKQ theo V. V V 3V 2V A. . B. . C. . D. . 2 3 4 3 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.6 Các bài toán tổng hợp 49 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B0 C 0 D 0 có thể tích bằng 0 B 48. Tính thể tích phần chung của hai khối chóp A.B0 CD 0 và A0 .BC 0 D. A. 10. B. 12. C. 8. D. 6. B C0 D A C √ 4a 3 Câu 2.6.126. Cho hình lập phương ABCD.A0 B0 C 0 D 0 , khoảng cách từ C 0 đến ( A0 BD ) bằng . 2 0. Tính theo a thể tích V của khối lập√phương ABCD.A0 B0 C 0 D √ A. V = 8a3 . B. V = 3 3a3 . C. V = 8 3a3 . D. V = 216a3 . Câu 2.6.127. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A0 B0 C 0 có thể tích V0 . Gọi P là một điểm trên đường thẳng AA0 . Tính thể tích khối chóp tứ giác P.BCC 0 B0 theo V0 . 2V0 V0 V0 V0 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 4 0 0 0 Câu 2.6.128. Cho√hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, cạnh bên BB0 = a 2. Gọi M là trung điểm của AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng A0 C và BM là 4a a 3a 2a A. √ . B. √ . C. √ . D. √ . 7 7 7 7 Câu 2.6.129 (THPTQG 2017). Cho khối lăng trụ đứng ABC.A0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác cân với [ = 120◦ , mặt phẳng ( AB0 C 0 ) tạo với đáy một góc 60◦ . Tính thể tích V của khối AB = AC = a, BAC lăng trụ đã cho. 9a3 a3 3a3 3a3 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 8 8 8 4 2.6.1. B | 2.6.2. D | 2.6.3. D | 2.6.4. D | 2.6.5. A | 2.6.6. C | 2.6.7. A | 2.6.8. D | 2.6.9. A | 2.6.10. A | 2.6.11. A | 2.6.12. A | 2.6.13. C | 2.6.14. C | 2.6.15. B | 2.6.16. B | 2.6.17. D | 2.6.18. A | 2.6.19. D | 2.6.20. A | 2.6.21. A | 2.6.22. C | 2.6.23. D | 2.6.24. A | 2.6.25. A | 2.6.26. D | 2.6.27. D | 2.6.28. A | 2.6.29. A | 2.6.30. C | 2.6.31. A | 2.6.32. B | 2.6.33. B | 2.6.34. A | 2.6.35. C | 2.6.36. A | 2.6.37. B | 2.6.38. D | 2.6.39. D | 2.6.40. A | 2.6.41. C | 2.6.42. B | 2.6.43. C | 2.6.44. D | 2.6.45. C | 2.6.46. D | 2.6.47. C | 2.6.48. B | 2.6.49. C | 2.6.50. A | 2.6.51. C | 2.6.52. D | 2.6.53. D | 2.6.54. B | 2.6.55. B | 2.6.56. D | 2.6.57. C | 2.6.58. D | 2.6.59. D | 2.6.60. A | 2.6.61. B | 2.6.62. A | 2.6.63. C | 2.6.64. C | 2.6.65. D | 2.6.66. C | 2.6.67. D | 2.6.68. B | 2.6.69. D | 2.6.70. D | 2.6.71. D | 2.6.72. A | 2.6.73. D | 2.6.74. D | 2.6.75. D | 2.6.76. C | 2.6.77. A | 2.6.78. B | 2.6.79. D | 2.6.80. D | 2.6.81. C | 2.6.82. A | 2.6.83. B | 2.6.84. B | 2.6.85. A | 2.6.86. B | 2.6.87. D | 2.6.88. A | 2.6.89. D | 2.6.90. B | 2.6.91. A | 2.6.92. A | 2.6.93. C | 2.6.94. D | 2.6.95. C | 2.6.96. B | 2.6.97. D | 2.6.98. B | 2.6.99. C | 2.6.100. C | 2.6.101. C | 2.6.102. D | 2.6.103. D | 2.6.104. C | 2.6.105. D | 2.6.106. C | 2.6.107. A | 2.6.108. B | 2.6.109. B | 2.6.110. A | 2.6.111. A | 2.6.113. A | 2.6.114. B | 2.6.115. A | 2.6.116. A | 2.6.117. C | 2.6.118. B | 2.6.119. C | 2.6.120. D | 2.6.121. C | 2.6.122. B | 2.6.123. B | 2.6.124. A | 2.6.125. C | 2.6.126. A | 2.6.127. A | 2.6.128. B | 2.6.129. A | ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Câu 2.6.124. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, mặt bên SAB là tam giác √ vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng 3 a 3 . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng 12 √ √ √ √ a 3 2a 3 a 3 A. . B. a 3. C. . D. . 2 3 4 Câu 2.6.125. A0 D0 Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN 50 GV. Lê Minh Cường - [email protected] - 01666658231 2.7 Vận dụng thực tế Câu 2.7.1. Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một hộp dạng hình hộp đứng không nắp trên, có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao h của hình hộp để lượng vàng dùng để mạ là ít nhất, biết rằng lớp mạ vàng ở mọi mặt là như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích khối hộp là 13, 5 dm3 . 1 27 3 A. h = 3. B. h = . C. h = . D. h = . 2 2 2 Câu 2.7.2. Người ta muốn xây một bồn chứa nước dạng khối hộp 1dm chữ nhật trong một phòng tắm. Biết chiều dài, chiều m rộng, chiều cao của khối hộp đó là 5m, 1m, 2m (hình vẽ VH 1d V H bên). Biết mỗi viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm. Hỏi người ta phải sử dụng ít nhất 2m bao nhiêu viên gạch để xây bồn đó và thể tích thực của bình chứa bao nhiêu lít nước? (Giả sử xi măng và cát 1m không đáng kể). 5m A. 1182 viên , 8800 lít. B. 1180 viên , 8820 lít. C. 1180 viên , 8800 lít. D. 1182 viên , 8820 lít. Câu 2.7.3. Chiều dài bé nhất của cái thang AB để có thể tựa vào tường AC và mặt đất BC, ngang qua cột đỡ DH cao 4m, song song và cách tường CH = 0, 5m là: A. Xấp xỉ 5, 602m. C. Xấp xỉ 5, 4902m. B. Xấp xỉ 6, 5902m. D. Xấp xỉ 5, 5902m. Câu 2.7.4. Người ta cần xây một hồ bơi với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích là 500 3 m . Đáy hồ là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê công nhân để xây 3 hồ được tính theo mét vuông ( gồm đáy hồ và bốn mặt bên của hồ). Để chi phí thuê công nhân thấp nhất thì cần xây bờ hồ có chiều rộng bằng bao nhiêu. A. 5m. B. 4m. C. 10m. D. 12m. Câu 2.7.5 (THTT Lần 5). Một viên đá có dạng khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Người ta cưa viên đá đó theo mặt phẳng song song với mặt đáy của khối chóp để chia viên đá thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích thiết diện viên đá bị cưa bởi mặt phẳng nói trên a2 a2 a2 A. √ . B. √ . C. √ . D. Kết quả khác. 3 3 3 2 4 Câu 2.7.6. Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD = 90 cm. Ta gập tấm nhôm theo 2 cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ đứng khuyết 2 đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ là lớn nhất. M B A. x = 25. B. x = 40. C. x = 30. D. x = 32. Q C Q M B x A x N P D C N P A D Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 2.7 Vận dụng thực tế 51 D. 24 viên. Câu 2.7.8. Cho hai số phức z√ của số phức z1 + z2 bằng 1 = 4 − 2i, z2 = −2 + i. Mô-đun √ A. 3. B. 5. C. 3. D. 5. Câu 2.7.9. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ bên để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. x = 2. B. x = 4. C. x = 6. D. x = 3. Câu 2.7.10. Nếu tăng độ dài cạnh hình lập phương gấp 4 lần thì được hình lập phương mới có thể tích hơn thể tích hình lập phương ban đầu là 1701 m3 . Cạnh của hình lập phương ban đầu bằng √ √ 3 A. 576 m . B. 3 m . C. 3 3 m . D. 6 m . Câu 2.7.11. Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD = 60 cm. Ta gập tấm nhôm theo hai cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau, với AN = PD (như hình vẽ dưới đây) để được một hình lăng trụ. Tìm độ dài đoạn AN để thể tích khối lăng trụ lớn nhất. B M Q C M A N P D N Q B≡C P 60 cm A≡D A. AN = 39 cm . B. AN = 20 cm . C. AN = Câu 2.7.12. Một hộp nữ trang (xem hình vẽ) có mặt bên ABCDE với ABCE là hình chữ nhật, cạnh cong CDE là một cung của đường tròn có tâm√là trung điểm M của đoạn thẳng AB. Biết AB = 12 3 cm, BC = 6cm và BQ = 8cm. √ Tính thể 3tích của hộp nữ trang. A. 216√ (3 3 + 4π )cm . B. 216(3 3√− 4π )cm3 . C. 261(√ 3 3 + 4π )cm3 . D. 261(3 3 − 4π )cm3 . ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12 15 cm . 2 D. AN = 15 cm . D Q C E 18 6 A M √ 12 3 B Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Câu 2.7.7. Cho hình vẽ như hình bên. Một con quạ muốn uống nước trong cốc có dạng hộp chữ nhật (không có nắp) với đáy là hình vuông cạnh bằng 5 cm. Mực nước trong cốc đang có chiều cao 5 cm. Vì vậy, con quạ chưa thể uống được. Để uống được nước thì con quạ cần thả các viên bi đá vào cốc sao cho mực nước dâng cao thêm 1 cm nữa. Biết rằng các viên bi là hình cầu có đường kính 1 cm, chìm hoàn toàn trong nước và có số lượng đủ dùng. Hỏi con quạ cần thả ít nhất mấy viên bi vào cốc để có thể uống được nước? A. 48 viên. B. 6 viên. C. 76 viên. Chương 2. KHỐI ĐA DIỆN GV. Lê Minh Cường - [email protected] - 01666658231 52 Câu 2.7.13. Bên cạnh con đường trước khi vào thành phố người ta xây một ngọn tháp đèn lộng lẫy. Ngọn tháp hình chóp ASB = 15◦ . tứ giác đều S.ABCD cạnh bên SA = 600 m, [ Do sự cố đường dây điện tại điểm Q (là trung điểm đoạn SA) bị hỏng, người ta tạo ra một con đường từ A đến Q gồm bốn đoạn thẳng AM, MN, NP, PQ (như hình vẽ). Để tiết kiệm chi phí, kỹ sư đã nghiên cứu và có được chiều dài con đường từ A đến Q ngắn nhất. Tính tỷ số AM + MN k= . NP + PQ 3 4 5 C A. k = . B. k = . C. k = . D. k = 2. 2 3 3 S Q P A N D M B Câu 2.7.14. Một viên đá có hình dạng là khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Người ta cắt khối đá đó bởi mặt phẳng song song với đáy của khối chóp để chia khối đá thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích của thiết diện khối đá bị cưa bởi mặt phẳng nói trên. (Giả thiết rằng tổng thể tích của hai khối đá sau vẫn bằng thể tích của khối đá ban đầu) a2 2a2 a2 a2 √ . D. A. √ . B. √ . C. . 3 3 4 3 2 4 Câu 2.7.15. Hai bạn X và Y có hai miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài bằng a, chiều rộng bằng b. Bạn X cuộn tấm bìa theo chiều dài cho hai mép sát nhau rồi dùng băng dính dán lại được một mặt xung quanh của một hình trụ và khối trụ này có thể tích V1 (khi đó chiều rộng của tấm bìa là chiều cao của hình trụ). Bạn Y cuộn tấm bìa theo chiều rộng theo cách tương tự trên để được một mặt V xung quanh hình trụ và khối trụ này có thể tích V2 . Tính tỉ số 1 . V2 V1 b V1 V1 V a A. = . B. = 1. C. = ab. D. 1 = . V2 a V2 V2 V2 b 2.7.1. 2.7.9. D | 2.7.2. B | 2.7.3. D | 2.7.4. A | 2.7.5. D | 2.7.6. C | 2.7.7. A | 2.7.8. A | 2.7.10. B | 2.7.11. B | 2.7.12. A | 2.7.13. D | 2.7.14. D | 2.7.15. D | Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 B| ? Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 12