Tài liệu ôn tập học kì 1 Toán 10

Giới thiệu Tài liệu ôn tập học kì 1 Toán 10

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Tài liệu ôn tập học kì 1 Toán 10.

Tài liệu môn Toán 10 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu Tài liệu ôn tập học kì 1 Toán 10

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 10 tại đây

MỤC LỤC PHẦN I ĐẠI SỐ 5 CHƯƠNG 1 MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP 1 MỆNH ĐỀ 7 A Tóm tắt lý thuyết 7 B Các dạng toán và ví dụ 9 Dạng 1.1. Xác định mệnh đề. Tính đúng sai của mệnh đề 9 C 2 7 Dạng 1.2. Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định của một mệnh đề 10 Dạng 1.3. Phát biểu định lí dạng điều kiện cần, điều kiện đủ 10 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 17 TẬP HỢP 21 A Tóm tắt lý thuyết 21 B Các dạng toán và ví dụ 21 Dạng 2.1. Cách biểu diễn tập hợp 21 Dạng 2.2. Tập con – hai tập bằng nhau 22 Dạng 2.3. Các phép toán trên tập hợp 24 Dạng 2.4. Tập con của tập số thực 26 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 30 C CHƯƠNG 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI 1 HÀM SỐ 41 41 A Tóm tắt lý thuyết 41 B Các dạng toán và ví dụ 42 Dạng 1.1. Tính giá trị của hàm số tại một điểm 42 Dạng 1.2. Đồ thị hàm số 42 Dạng 1.3. Tìm tập xác định của hàm số 43 Dạng 1.4. Sự biến thiên của hàm số 46 Dạng 1.5. Hàm số chẵn – Hàm số lẻ 47 1 MỤC LỤC 2 C 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT 2 64 B Các dạng toán và ví dụ 65 Dạng 2.1. Xét tính đồng biến, nghịch biến 65 Dạng 2.2. Đồ thị hàm số y = ax + b 65 Dạng 2.3. Đồ thị hàm số y = |ax + b| 67 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 68 HÀM SỐ BẬC HAI 75 A Tóm tắt lý thuyết 75 B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 78 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 87 87 A Tóm tắt lý thuyết 87 B Phương pháp giải 88 C Bài Tập Tự Luyện 89 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 96 Phương trình quy về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai A B 3 64 Tóm tắt lý thuyết CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1 51 A C 3 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan Các dạng toán thường gặp – Ví dụ – Bài tập rèn luyện 107 Dạng 2.1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn 107 Dạng 2.2. Giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn 109 Dạng 2.3. Định lí Vi-ét 112 Dạng 2.4. Phương trình vô tỷ 114 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 123 HỆ PHƯƠNG TRÌNH A 107 139 Các dạng toán và ví dụ 139 Dạng 3.1. Phương pháp thế 139 Dạng 3.2. Hệ phương trình đối xứng loại 1 140 MỤC LỤC 3 B Dạng 3.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 142 Dạng 3.4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP 144 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 147 Dạng 3.5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 154 Dạng 3.6. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP 156 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1 BẤT ĐẲNG THỨC 159 A Tóm tắt lý thuyết 159 B Bài tập tự luyện 159 C Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 160 PHẦN II HÌNH HỌC CHƯƠNG 5 VEC-TƠ 1 2 3 159 VEC-TƠ 165 167 167 A Tóm tắt lý thuyết 167 B Các ví dụ 167 C Bài tập tự luận 169 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 172 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 179 A Tóm tắt lý thuyết 179 B Các dạng toán và ví dụ 179 Dạng 2.1. Chứng minh đẳng thức vectơ 179 Dạng 2.2. Tính độ dài của vectơ tổng 181 C Bài tập tự luận 181 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 184 TÍCH CỦA VÉC-TƠ VỚI MỘT SỐ 190 A Tóm tắt lý thuyết 190 B Các dạng toán và ví dụ 190 Dạng 3.1. Chứng minh đẳng thức véc-tơ 190 MỤC LỤC 4 Dạng 3.2. Xác định điểm thỏa điều kiện cho trước 191 Dạng 3.3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng 191 C Bài tập tự luận 193 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 198 CHƯƠNG 6 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ 205 1 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 205 A Tóm tắt lý thuyết 205 B Ví dụ 206 TÍCH VÔ HƯỚNG 207 A Tóm tắt lý thuyết 207 B Các dạng toán 207 Dạng 2.1. Tính tích vô hướng và tính góc 207 Dạng 2.2. Chứng minh vuông góc 208 Dạng 2.3. Các điểm đặc biệt trong tam giác 209 C Bài tập tự luận 211 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 213 Phần I ĐẠI SỐ 5 CHƯƠNG 1 MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP BÀI A. 1. MỆNH ĐỀ 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Mệnh đề Mệnh đề là một khẳng định hoặc là đúng hoặc là sai và không thể vừa đúng vừa sai. VÍ DỤ 1. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. 2. Mệnh đề chứa biến Mệnh đề chứa biến là một câu chứa biến, với mỗi giá trị của biến ta được một mệnh đề. VÍ DỤ 2. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. 3. Phủ định của một mệnh đề Phủ định của mệnh đề P ký hiệu là P là một mệnh đề thỏa mãn tính chất P Đúng Sai P Sai Đúng VÍ DỤ 3. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. Để phủ định mệnh đề P , thông thường ta thêm “không phải” hoặc “không” vào những vị trí phù hợp trong mệnh đề P để có câu tròn ý. VÍ DỤ 4. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. 4. Mệnh đề kéo theo Mệnh đề “Nếu P thì Q ”gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu P ⇒ Q. Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng đồng thời Q sai. Tóm tắt: P Đúng Sai Sai Đúng Q Sai Đúng Sai Đúng 7 P ⇒Q Sai Đúng Đúng Đúng CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP 8 Mệnh đề “−10 < −1 ⇒ (−10)2 < (−1)2 ” là mệnh đề sai. √ Mệnh đề “ 3 < 2 ⇒ 3 < 4” là mệnh đề đúng. VÍ DỤ 5. △ ! Định lý trong toán học là mệnh đề đúng có dạng P ⇒ Q. P : gọi là giả thiết (hay P là điều kiện đủ để có Q). Q: gọi là kết luận (hay Q là điều kiện cần để có P ). VÍ DỤ 6. ................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................ 5. Mệnh đề đảo - Hai mệnh đề tương đương Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P . △ ! Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng chưa hẳn là một mệnh đề đúng. Nếu hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương. Ký hiệu P ⇔ Q. Tóm tắt: P Đúng Sai Sai Đúng Cách phát biểu khác: Q Đúng Sai Đúng Sai P ⇒Q Đúng Đúng Sai Sai + P khi và chỉ khi Q. + P là điều kiện cần và đủ để có Q. + Q là điều kiện cần và đủ để có P . VÍ DỤ 7. Tam giác ABC cân có một góc 60◦ là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều. VÍ DỤ 8. Tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi có một góc bằng tổng hai góc còn lại. VÍ DỤ 9. ................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................ 6. Ký hiệu ∀, ∃, ∃! Ký hiệu ∀: đọc là với mọi; ký hiệu ∃: đọc là tồn tại; ký hiệu ∃!: đọc là tồn tại duy nhất. Xét câu “Bình phương của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng 0” là một mệnh đề. Ta viết: ∀x ∈ R : x2 ≥ 0 hay x2 ≥ 0, ∀x ∈ R. VÍ DỤ 10. Câu 1 2 3 4 5 Mệnh đề ∀n ∈ N : n2 > 1 ∃x ∈ Z : x2 = x ∃!x ∈ Z : |x| < 1 Đọc là Có một số nguyên nhỏ hơn 0 Có một số tự nhiên n mà 2n + 1 = 0 Mệnh đề đúng Mệnh đề sai 1. MỆNH ĐỀ 7. 9 Phủ định của mệnh đề với mọi, tồn tại Mệnh đề P : ∀x ∈ X, T (x) có mệnh đề phủ định là ∃x ∈ X, T (x). Mệnh đề P : ∃x ∈ X, T (x) có mệnh đề phủ định là ∀x ∈ X, T (x). Phủ định của “a < b” là “a ≥ b”. △ ! Phủ định của “a = b” là “a 6= b”. Phủ định của “a > b” là “a ≤ b”. Phủ định của “a chia hết cho b” là “a không chỉa hết cho b”. VÍ DỤ 11. P : ∃n ∈ Z, n < 0 phủ định của P là P : ∀n ∈ Z, n ≥ 0. VÍ DỤ 12. ................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................ B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ { DẠNG 1.1. Xác định mệnh đề. Tính đúng sai của mệnh đề Căn cứ trên định nghĩa mệnh đề và tính đúng sai của chúng. Lưu ý rằng: P, P không cùng tính đúng sai. P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng, Q sai. P ⇔ Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P và Q đều đúng hay đều sai. ∀x ∈ X, P (x) đúng khi P (x0 ) đúng với mọi x0 ∈ X. ∃x ∈ X, P (x) đúng khi có x0 ∈ X sao cho P (x0 ) đúng. VÍ DỤ 13. Xét xem các phát biểu sau có phải là mệnh đề không? Nếu là mệnh đề thì cho biết đó là mệnh đề đúng hay sai? 1 Số 1 là số nguyên tố. 2 Hà Nội là thủ đô nước nào? 3 Phương trình x2 + 1 = 0 vô nghiệm. 4 Hình học là môn học khó thật! 5 x + 4 là một số âm. 6 Nếu n là số chẵn thì n chia hết cho 4. 7 Nếu n chia hết cho 4 thì n là số chẵn. 8 n là số chẵn nếu và chỉ nếu n2 chia hết cho 4. 9 ∃n ∈ N, n3 − n không là bội của 3. 10 ∀x ∈ R, x2 − x + 1 > 0. Lời giải. a) “Số 1 là số nguyên tố” là một mệnh đề sai vì số nguyên tố là số lớn hơn 1. b) “Hà Nội là thủ đô nước nào?” không phải là mệnh đề đây là câu hỏi. c) “Phương trình x2 + 1 = 0 vô nghiệm.” là mệnh đề đúng. d) “Hình học là môn học khó thật!” không phải là mệnh đề vì đây là câu cảm thán. e) “x + 4 là một số âm.” là mệnh đề chứa biến. f) “Nếu n là số chẵn thì n chia hết cho 4.” là mệnh đề sai vì n = 2 là số chẵn nhưng không chia hết cho 4. g) “Nếu n chia hết cho 4 thì n là số chẵn.” là mệnh đề đúng. h) “n là số chẵn nếu và chỉ nếu n2 chia hết cho 4.” là mệnh đề đúng. CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP 10 i) “∃n ∈ N, n3 − n không là bội của 3.” là mệnh đề sai vì ∀n ∈ N, n3 − n = (n − 1)n(n + 1) chia hết cho 3. ã Å 1 2 3 + > 0. j) “∀x ∈ R, x2 − x + 1 > 0.” là mệnh đề đúng vì x2 − x + 1 = x − 2 4  { DẠNG 1.2. Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định của một mệnh đề Mệnh đề phủ định của P là “không phải P ”. Mệnh đề phủ định của “∀x ∈ X, P (x)” là “∃x ∈ X, P (x)”. Mệnh đề phủ định của “∃x ∈ X, P (x)” là “∀x ∈ X, P (x)”. Mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q. VÍ DỤ 14. Tìm mệnh đề đảo của mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đảo đúng hay sai: “Nếu hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau”. Lời giải. Mệnh đề đã cho có dạng P ⇒ Q trong đó P là “hai góc đối đỉnh”, Q là “hai góc bằng nhau”. Vậy mệnh đề đảo là “Nếu hai góc bằng nhau thì chúng đối đỉnh”. Mệnh đề này sai.  VÍ DỤ 15. Tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết chúng đúng hay sai? a) P : “∀x ∈ R, (x − 1)2 ≥ 0”. b) Q: “Có một tam giác không có góc nào lớn hơn 60◦ ”. Lời giải. a) Mệnh đề phủ định của P là P : “∃x ∈ R, (x − 1)2 < 0”. Đây là mệnh đề sai. b) Mệnh đề phủ định của Q là Q: “Mọi tam giác luôn có một góc lớn hơn 60◦ ”. Đây là mệnh đề sai vì tam giác đều không có góc lớn hơn 60◦ ”.  VÍ DỤ 16. Phát biểu thành lời và phủ định các mệnh đề sau. 1 ∀x ∈ R, x2 > 0. 2 ∃!n ∈ N, n2 + n = 0. Lời giải. a) Bình phương của một số thực là số dương. Mệnh đề phủ định là “Tồn tại bình phương của một số thực là số không dương”. b) Có một số tự nhiên n mà tích của nó với số liền sau nó bằng 0. Mệnh đề phủ định là “Với mọi số tự nhiên n mà tích của nó với số liền sau nó khác 0”.  { DẠNG 1.3. Phát biểu định lí dạng điều kiện cần, điều kiện đủ Một định lí thường có dạng “∀x ∈ X, P (x) ⇒ Q(x)”. Xác định P (x), Q(x). Lấy x ∈ X sao cho P (x) đúng, chứng minh Q(x) đúng. P (x) là điều kiện đủ để có Q(x) hay Q(x) là điều kiện cần để có P (x). VÍ DỤ 17. Sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” phát biểu các định lí sau. a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. b) Nếu a + b > 0 thì ít nhất có một số a hay b dương. 1. MỆNH ĐỀ 11 Lời giải. a) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau. Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiền cần để chúng bằng nhau. b) a + b > 0 là điều kiện đủ để ít nhất có một số a hay b dương. Ít nhất có một số a hay b dương là điều kiện cần để a + b > 0.  VÍ DỤ 18. Sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” phát biểu các định lí sau. a) Một số có tổng chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại. b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại. c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương. Lời giải. a) Một số có tổng chia hết cho 9 là điều kiện cần và đủ để số đó chia hết cho 9. b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là điều kiện cần và đủ để hình đó là một hình thoi. c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là điều kiện cần và đủ để biệt thức của nó dương. Bài 1. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề? Phát biểu nào là mệnh đề chứa biến?  a. 2009 + 1 > 2020. b. 2x + 3 = 0. c. x2 + 1 > 0. d. Mọi tam giác đều đều là tam giác cân. e. Số π có lớn hơn 3 hay không? f. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. g. 3 là một số nguyên tố. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 2. Phát biểu thành lời, xét tính đúng sai và lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề dưới đây: a. ∃x ∈ R : x2 = −10. b. ∀x ∈ R : x2 + x + 12 6= −10. c. ∀x ∈ R : x2 ≤ 0. e. ∃x ∈ R : x2 + x + 5 > 0. d. ∃x ∈ R : x2 ≤ 0. f. ∀x ∈ R : x2 + x + 5 > 0. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 3. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến? a. 10 < 1. b. 2 + x > x + 1. c. x − y = 1. d. √ 2 là số vô tỉ. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 4. Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy cho biết mệnh đề đó đúng hay sai. CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP 12 a. Không được đi lối này. b. Bây giờ là mấy giờ? c. 7 không là số nguyên tố. d. √ 5 là số vô tỉ. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 5. Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy cho biết mệnh đề đó đúng hay sai. a. Số π có lớn hơn 3 hay không? b. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. c. Mọi tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc nhau. d. Phương trình x2 + 2020x − 2021 = 0 vô nghiệm. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 6. Tìm hai giá trị thực của x để từ mỗi câu sau ta được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. a. x2 < x. b. x = 5x. c. x2 > 0. d. x > 1 . x ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 7. Cho mệnh đề chứa biến “P (x) : x > x3 ”, xét tính đúng sai của các mệnh đề sau Å ã 1 c. ∀x ∈ N, P (x). a. P (1). . b. P 3 d. ∃x ∈ N, P (x). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 8. Dùng các ký hiệu ∀, ∃ trước các mệnh đề chứa biến để được mệnh đề đúng a. x + 2 > 3. e. x + y > 1. i. (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 . b. a + 3 = 3 + a. f. (a − b)(a + b) = a2 − b2 . c. 15 là bội của x. j. (x − 2) = 1. g. (a − b)2 = a2 − b2 . k. x2 − 5x + 6 = 0. d. (x − 2) > −1. h. x2 > 0. l. (x + y)z = xz + yz. 2 2 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 9. Lập mệnh đề phủ định và xét tính đúng sai của chúng. a. ∃x ∈ Q : 9×2 − 3 = 0. b. ∃n ∈ N : n2 + 1 chia hết cho 8. c. ∀x ∈ R : (x − 1)2 6= x − 1. d. ∀n ∈ N : n > n2 . ……………………………………………………………………………………………………….. 1. MỆNH ĐỀ 13 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 10. Cho số thực x. Xét các mệnh đề P : “x2 = 1 ”và Q : “x = 1 ” a. Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và mệnh đề đảo của nó. b. Xét tính đúng sai của hai mệnh đề trên. c. Chỉ ra một giá trị của x để mệnh đề P ⇒ Q sai. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 11. Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng hai cách và xét tính đúng sai của nó a. P : “Tứ giác ABCD là hình thoi” và Q : “Tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau”. p √ b. P : “Bất phương trình x2 − 3x > 1 có nghiệm ”và Q : “ (−1)2 − 3(−1) > 1”. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 12. Lập mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương của hai mệnh đề sau đây và cho biết tính đúng, sai của chúng. Biết: P : “Điểm M nằm trên phân giác của góc Oxy”. Q : “Điểm M cách đều hai cạnh Ox, Oy ”. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 13. Dùng các ký hiệu ∀ hoặc ∃ để viết các mệnh đề sau: a. Có một số nguyên không chia hết cho chính nó. b. Mọi số thực cộng với số 0 bằng chính nó. c. Có một số hữu tỉ nhỏ hơn nghịch đảo của nó. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 14. Sử dụng khái niệm “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ” phát biểu các mệnh đề sau: a. Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau. b. Số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5. c. Nếu a = b thì a2 = b2 . d. Nếu a + b > 0 thì trong hai số a và b lớn hơn 0. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 15. Phát biểu một “điều kiện đủ” CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP 14 a. Để tứ giác ABCD là hình bình hành. b. Để tứ giác ABCD là hình chữ nhật. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 16. Xác định tính đúng – sai của các mệnh đề sau: a. ∀x ∈ R : x > −2 ⇒ x2 > 4. b. ∀x ∈ R : x > 2 ⇒ x2 > 4. c. ∀m, n ∈ N : m và n là các số lẻ ⇔ m2 + n2 là số chẵn. d. ∀x ∈ R : x2 > 4 ⇒ x > 2. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 17. Xét tính đúng- sai của các mệnh đề sau a. ∃a ∈ Q, a2 = 2. b. ∀n ∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 3. c. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : x > y ⇔ x3 > y 3 . √ d. ∀x ∈ R, ∀y ∈ R : x + y ≥ 2 xy. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 18. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó. a) A : “6 là số nguyên tố ”. √ b) B : “( 3 − 1)2 là số nguyên ”; c) C : “∃n ∈ N, n(n + 1) là số chính phương ”; d) D : “∀n ∈ N, 2n + 1 là số lẻ ”. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 19. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề đó. A : “∃x ∈ N, n2 + 3 chia hết cho 4 ”và B : “∃x ∈ N, x chia hết cho x + 1 ”. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 20. Nêu mệnh đề phủ định cúa các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó. a) A : “Phương trình x4 − 2×2 + 2 = 0 có nghiệm”; b) B : “Bất phương trình x2013 > 2030 vô nghiệm ”; Ä äÄ ä √ √ c) C : “∀x ∈ R, x4 − x2 + 1 = x2 + 3x + 1 x2 − 3x + 1 ”; d) D : “∃q ∈ Q, 2q 2 − 1 = 0 ”. 1. MỆNH ĐỀ 15 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 21. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó. a) A : “∀x ∈ R, x3 − x2 + 1 > 0 ”; 1 ≤ 2 ”. a ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. b) B : “Tồn tại số thực a sao cho a + Bài 22. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và nêu mệnh đề phủ định của nó a) P (x) : “∃x ∈ Z, x2 = 3 ”. b) P (n) : “∀n ∈ N∗ : 2n + 3 là một số nguyên tố ”. c) P (x) : “∀x ∈ R, x2 + 4x + 5 > 0 ”. d) P (x) : “∀x ∈ R, x4 − x2 + 2x + 2 ≥ 0 ”. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 23. Hãy phát biểu mệnh đề kéo theo P ⇒ Q, Q ⇒ P và xét đúng sai của mệnh đề này. a) Cho tứ giác ABCD và hai mệnh đề P : “Tổng hai góc đối cùa tứ giác lồi bằng 180◦” và Q : ” Tứ giác nội tiếp được đường tròn”. √ √ √ √ b) P : ” 2 − 3 > −1″ và Q : ”( 2 − 3)2 > (−1)2 “. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 24. Sử dụng khái niệm “điều kiện cần ” đề phát biều các định lí sau a) Nếu một số tự nhiên chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 5. b) Nếu a = b thì a2 = b2 . c) Trong mặt phằng, nếu hai đường thằng phân biệt cùng vuông góc với một đường thằng thứ ba thì hai đường thằng ấy song song với nhau. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 25. Dùng khái niệm ” điều kiện cần ” để phát biểu các định lí sau a) Nếu M A ⊥ M B thì M thuộc đường tròn đường kính AB. b) a 6= 0 hoặc b 6= 0 là điều kiện đủ để a2 + b2 > 0. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 16 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP Bài 26. Sừ dụng khái niệm “điều kiện đủ ” đề phát biểu các định lí sau a) Nếu a và b là hai số hũu tỉ thì tổng a + b là số hũu tỉ. b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. c) Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 27. Cho định lí “Cho số tự nhiên n, nếu n5 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”. Định lí này được viết dưới dạng P ⇒ Q. a) Hãy xác định các mệnh đề P và Q. b) Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện cần”. c) Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện đủ”. d) Hãy phát biểu định lí đảo (nếu có) của định lí trên rồi dùng các thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” phát biều gộp cả hai định lí thuận và đảo. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 28. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”đề phát biều định lí sau a) Nếu một tứ giác là hình vuông thì nó có bốn cạnh bằng nhau. Có định lí đảo của định lí trên không, vì sao? b) Nếu một tứ giác là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc. Có định lí đảo của định lí trên không, vì sao? ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 29. Phát biểu các mệnh đề sau với thuật ngũ “điều kiện cần ”, “điều kiện đủ” a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. b) Nếu số nguyên dương chia hết cho 6 thì chia hết cho 3. c) Nếu hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân. d) Nếu tam giác ABC vuông tai A và AH là đường cao thì AB 2 = BC · BH. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 30. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ ”để phát biểu các định lí sau a) Một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện của nó bằng 180◦. b) Tam giác cân khi và chỉ khi có trung tuyến bằng nhau. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 31. Dùng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ ” đề phát biều định lí sau 1. MỆNH ĐỀ 17 a) Một tam giác là tam giác cân nếu và chỉ nếu nó có hai góc bằng nhau. b) Tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 32. Dùng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ ” đề phát biều định lí sau a) Tam giác ABC vuông khi và chi khi AB 2 + AC 2 = BC 2 . b) Tứ giác là hình chũ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông. c) Tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau. d) Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi nó có chữ số tận cùng là số chẵn. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A. Số π có phải là số nguyên không?. B. Số 4 là một số nguyên tố. C. Tam giác đều có 3 góc bằng nhau và bằng 60◦ phải không?. D. a2 + b2 = c2 . ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 2. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. 10 chia hết cho 2. B. 2 là một ước số của 10. C. 2 chia hết cho 10. D. 2 và 10 là hai số chẵn. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 3. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A. 15 là số nguyên tố. B. a = b + c. C. x2 + x = 0. D. 2n + 1 chia hết cho 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 4. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “14 là hợp số” là mệnh đề A. 14 là số nguyên tố. B. 14 chia hết cho 2. C. 14 không phải là hợp số. D. 14 chia hết cho 7. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 5. Mênh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A. 20 chia hết cho 5. B. 5 chia hết cho 20. C. 20 là bội số của 5. D. 5 chia hết 20. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 18 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 6. Mệnh đề nào sau đây đúng? √ D. 5 + 4 ≥ 10. A. 5 + 4 < 10. B. 5 + 4 > 10. C. 2 − 1 < 0. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 7. Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề? √ D. 5 + x = 2. A. 5 + 2 = 8. B. −2 ≤ 0. C. 4 − 17 > 0. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu “33 là hợp số” thì “15 chia hết cho 25”. B. Nếu “7 là số nguyên tố” thì “8 là bội số của 3”. C. Nếu “20 là hợp số” thì “24 chia hết cho 6”. D. Nếu “3 + 9 = 12” thì “4 > 7”. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 9. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A. Nếu a và b chia hết cho c thì a + b chia hết cho c. B. Nếu hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau. C. Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9. D. Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 10. Trong các mệnh đề tương đương sau đây, mệnh đề nào sai? A. n là số nguyên lẻ khi và khi n2 là số lẻ. B. n chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của n chia hết cho 3. C. ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi AC = BD. b = 60◦ . D. ABC là tam giác đều khi và chỉ khi AB = AC và A ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 11. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 2 A. −π B. √ π < 4 ⇔ π 2 < 16.√ √ < −2 ⇔ π√ < 4. C. 23 < 5 ⇒ 2 23 < 2 · 5. D. 23 < 5 ⇒ (−2) 23 > (−2) · 5. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 12. Xét câu P (n): “n chia hết cho 12”. Với giá trị nào của n thì P (n) là mệnh đề đúng? A. 48. B. 4. C. 3. D. 88. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 1. MỆNH ĐỀ 19 Câu 13. Với giá trị nào của biến số x sau đây thì mệnh đề chứa biến P (x): “x2 − 3x + 2 = 0” trở thành một mệnh đề đúng? A. 0. B. 1. C. −1. D. −2. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 14. Mệnh đề chứa biến: “x3 − 3×2 + 2x = 0” đúng với giá trị nào của x? A. x = 0; x = 2. B. x = 0; x = 3. C. x = 0; x = 2; x = 3. D. x = 0; x = 1; x = 2. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 15. Cho mệnh đề P : “∀x ∈ R, x2 − 1 6= 0”, Q: “∃n ∈ Z, n = n2 ”. Xét tính đúng, sai của hai mệnh đề P, Q. A. P đúng và Q sai. B. P sai và Q đúng. C. P, Q đều đúng. D. P, Q đều sai. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 16. Với số thực x bất kì, mệnh đề nào sau đây đúng? A. ∀x, x2 ≤ 16 ⇔ x ≤ ±4. B. ∀x, x2 ≤ 16 ⇔ −4 ≤ x ≤ 4. 2 C. ∀x, x ≤ 16 ⇔ x ≤ −4, x ≥ 4. D. ∀x, x2 ≤ 16 ⇔ −4 < x < 4. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 17. Với số thực x bất nào sau đây đúng? √ kì, mệnh đề√ √ √ A. ∀x, x2 > 5 ⇒ x > √ 5 hoặc x < − 5. B. ∀x, x2 > 5 ⇒ − 5√< x < 5. √ D. ∀x, x2 > 5 ⇒ x ≥ 5 hoặc x ≤ − 5. C. ∀x, x2 > 5 ⇒ x > ± 5. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 18. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. ∀x ∈ R, x ≤ x2 . B. ∀x ∈ R, |x| < 3 ⇔ x < 3. C. ∀n ∈ N, n2 + 1 chia hết cho 3. D. ∃a ∈ Q, a2 = 2. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 19. Với giá trị nào của x mệnh đề chứa biến P (x): “2x2 − 1 < 0” là mệnh đề đúng? √ A. 0. B. 5. C. 1. D. 2. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 20. Cho mệnh đề P (x): “∀x ∈ R, x2 − x + 7 < 0”. Phủ định của mệnh đề P (x) là A. ∃x ∈ R, x2 − x + 7 > 0. B. ∀x ∈ R, x2 − x + 7 ≥ 0. C. ∀x ∈ / R, x2 − x + 7 > 0. D. ∃x ∈ R, x2 − x + 7 ≥ 0. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 20 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP Câu 21. Trong các câu sau, câu nào đúng? A. Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ Q, 4×2 − 1 = 0” là mệnh đề “∀x ∈ Q, 4×2 − 1 > 0”. B. Phủ định của mệnh đề “∃n ∈ N, n2 + 1 chia hết cho 4” là mệnh đề “∀n ∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 4”. C. Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ R, (x − 1)2 6= x − 1” là mệnh đề “∀x ∈ R, (x − 1)2 = x − 1”. D. Phủ định của mệnh đề “∀n ∈ N, n2 > n” là mệnh đề “∃n ∈ N, n2 < n”. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 22. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P (x): “x2 + 3x + 1 > 0 với mọi x” là A. Tồn tại x sao cho x2 + 3x + 1 > 0. B. Tồn tại x sao cho x2 + 3x + 1 ≤ 0. 2 C. Tồn tại x sao cho x + 3x + 1 = 0. D. Tồn tại x sao cho x2 + 3x + 1 < 0. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 23. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P (x): “∃x ∈ R : x2 + 2x + 5 là số nguyên tố” là A. ∀x ∈ R : x2 + 2x + 5 không là số nguyên tố. B. ∃x ∈ R : x2 + 2x + 5 không là số nguyên tố. 2 C. ∀x ∈ / R : x + 2x + 5 không là số nguyên tố. D. ∃x ∈ R : x2 + 2x + 5 là số thực. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 24. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P (x): “∃x ∈ R : 5x − 3x2 = 1” là A. ∃x ∈ R, 5x − 3x2 = 1. B. ∀x ∈ R, 5x − 3x2 = 1. C. ∀x ∈ R, 5x − 3x2 6= 1. D. ∃x ∈ R, 5x − 3x2 ≥ 1. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 25. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không phải là định lí? A. ∀x ∈ N, x2 chia hết cho 3 ⇒ x chia hết cho 3. B. ∀x ∈ N, x2 chia hết cho 6 ⇒ x chia hết cho 3. 2 C. ∀x ∈ N, x chia hết cho 9 ⇒ x chia hết cho 9. D. ∀x ∈ Z, x chia hết cho 4 và 6 ⇒ x chia hết cho 12. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 26. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là định lí? A. ∀x ∈ R, x > −2 ⇒ x2 > 4. B. ∀x ∈ R, x > 2 ⇒ x2 > 4. 2 C. ∀x ∈ R, x > 4 ⇒ x > 2. D. Nếu a + b chia hết cho 3 thì a, b đều chia hết cho 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 2. TẬP HỢP 21 BÀI A. TẬP HỢP 2. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Tập hợp (hay còn gọi là 1 tập) là một khái niệm nguyên thuỷ, không định nghĩa. Ta hiểu khái niệm tập hợp qua các ví dụ sau X là tập hợp các chữ cái của chữ MARIE CURIE . VÍ DỤ 1. Y là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 7. Hai tập hợp X và Y trong ví dụ trên được minh hoạ bởi một đường cong khép kín mà ta gọi là Biểu đồ Venn. (Do nhà toán học Jonh Venn người Anh xây dựng năm 1881) Y X M A C I 0 R 2 E 1 3 5 U 4 6 Mỗi tập hợp gồm các phần tử cùng có chung một hay một vài tính chất nào đó. Phần tử a của tập hợp X được kí hiệu a ∈ X, còn được gọi là a thuộc tập hợp X. Phần tử b không của tập hợp X được kí hiệu b ∈ / X, còn được gọi là b không thuộc X. Trong lí thuyết tập hợp, người ta thừa nhận tập hợp không chứa một phần tử nào cả, tập hợp đó được gọi là tập hợp rỗng và kí hiệu là ∅. VÍ DỤ 2. Tập hợp các nghiệm thực của phương trình x2 + 1 = 0 là tập hợp rỗng. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ { DẠNG 2.1. Cách biểu diễn tập hợp Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp. Có thể xác định một tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của chúng ở giữa dấu {}. Ví dụ: X = {0; 5; 10; 15} là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 17 và chia hết cho 5. Y = {1; 2} là tập hợp các nghiệm của phương trình x2 − 3x + 2 = 0. Z = {0; 1; 2; 3; 4; . . . , 99} là tập hợp 100 số tự nhiên đầu tiên. Cách 2. Nêu tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp. Không phải mọi tập hợp đều liệt kê rành mạch được các phần tử theo thứ tự nào đó. Chẳng hạn, tập hợp các số tự từ 1 đến 2 là không liệt kê được. (Số thực đứng sau 1 là số nào ? Không biết được). Khi đó, chúng có thể được mô tả bằng các tính chất đặc trưng ở giữa dấu {}, mà nhờ chúng ta có thể xác định một đối tượng nào đó có thuộc tập hợp này hay không Ví dụ: A là tập hợp các số thực từ 1 đến 2 được mô tả A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 2}. △ ! Chú ý 1. ○ N là tập hợp các số tự nhiên. ○ Q là tập hợp các số hữu tỉ. ○ Z là tập hợp các số nguyên. ○ R là tập hợp các số thực. △ ! Chú ý 2. Tập hợp {∅} là tập hợp không rỗng. VÍ DỤ 3. Xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê 1 3 A = {x ∈ N | (2x + 4)(2×2 − 5x) = 0}. C = {x ∈ R | x = 2n2 − n − 3 với n ∈ N, n < 3}. 2 4 B = {x ∈ Z | 4 < x2 ≤ 25}. D = {x ∈ Z | 5 < |x| ≤ 6}. CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP 22 5 E = {x ∈ R | |x − 1| = 1}. Lời giải.  x = −2  x = 0 ; do đó A = {0}. Ta có (2x + 4)(2x2 − 5x) = 0 ⇔   5 x= 2 B = {3; 4; 5}. n là số tự nhiên và n < 3 nên n = 0, n = 1, n = 2, do đó C = {−3; −2; 3}. D = {−6; 6}. |x − 1| = 1 ⇔ ñ x=0 x=2 , do đó E = {0; 2}.  VÍ DỤ 4. Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng của các phần tử của nó √ √ 1 A = {0; 2; 4; 6; 8}. 2 B = {− 2; 2}. Lời giải. A = {x | x = 2n với n ∈ N, n < 5}. B = {x ∈ R | x2 − 2 = 0}. Bài 1. Xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó. 1 A = {x ∈ N | 2 < x < 15 và x là số chẵn}. 2 B = {x ∈ Z | 3x2 − 10x + 3 = 0}. 3 C = {x ∈ N | (x2 − 3)(x2 − 5x + 6) = 0}. 4 D = {x ∈ Z | (x2 − 8)(4x − 5) = 0}. 5 E = {x ∈ N | 2x − 1 = 0}. 6 F = {x ∈ Z | |x| < 4}. 7 G = {x ∈ R | x3 − 4x = 0 và x < 1}. 8 H = {x ∈ R | x = 2n2 − 3, x ∈ N và x < 10}.  ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 2. Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng của các phần tử của nó 1 A = {1; 3; 5; 7; 9}. 2 B = {0; 1; 4; 9; 16; 25}. 3 C = {1; 7; −3; 6}. 4 D = {−3; −2; −1; 1; 2; 3}. E = ∅. 6 ™ 1 3 5 7 9 ; ; ; ; . 2 4 8 16 32 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 5 F = ß { DẠNG 2.2. Tập con - hai tập bằng nhau Tập A được gọi là tập con của tập B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B và kí hiệu A ⊂ B. ! △ A ⊂ B ⇔ (∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B) 2. TẬP HỢP 23 B Các cách gọi: A là tập con của tập B. A Tập A bị chứa trong tập B. △ ! Tập B chứa tập A và được kí hiệu B ⊃ A. Chú ý 1 Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C (Tính bắc cầu). Với mọi tập A ta đều có A ⊂ A. Với mọi tập A ta đều có ∅ ⊂ A. △ ! Chú ý 2. N∗ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Cho hai tập hợp A và B. Nếu A ⊂ B và B ⊂ A thì ta gọi hai tập A và B bằng nhau, kí hiệu A = B. A B A = B ⇔ (∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B) Bài 3. Xác định các tập hợp con của tập hợp A = {x ∈ R| (x2 − 2)(x2 − x) = 0} ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 4. Cho các tâp hợp A = {x ∈ R|x3 − x = 0}, B = {x ∈ Z|x2 ≤ 1}, C = {x ∈ N|2x + 10 < 0}, D = {x ∈ N|x3 = x}. Tập nào là con tập nào? Các tập nào bằng nhau? ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 5. Tìm tất cả các tập hợp X sao cho {1; 3} ⊂ X và X ⊂ {1; 2; 3; 4; 5}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 6. Tìm tất cả các tập hợp X sao cho X ⊂ {−3; −2; 0; 1; 3} và X ⊂ {−1; 0; 1; 2; 3; 4}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 7. Cho các tập hợp A = {x ∈ R | x3 − x = 0}, B = {x ∈ Z | (x2 − x)(x2 − 3x + 2) = 0}, C = {x ∈ R | x2 + 10 = 0}, D = {x ∈ Z| x2 < 5}.Tập nào là con tập nào? Các tập nào bằng nhau? ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 8. Cho ba tập hợp A = {1; 2; −1}, B = {2; −1}, C = {x ∈ R| x2 − 1 = 0} Tập nào là con tập nào? Các tập nào bằng nhau? ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP 24 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 9. Tìm tất cả các tập con của tập A = {x ∈ N| x < 6} mà có hai phần tử. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 10. Tìm tất cả các tập con của tập X = {a; b; c; d} thoả 1 Có trên hai phần tử 2 Có đúng hai phần tử 3 Có ít hơn hai phần tử 4 Không có phần tử c ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... { DẠNG 2.3. Các phép toán trên tập hợp 1 Phép hợp Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B. Kí hiệu A ∪ B. A x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A hoặc x ∈ B. B A ∪ B là phần gạch chéo 2 Phép giao Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc cả A và B. Kí hiệu A ∩ B. x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A và x ∈ B. A B A ∩ B là phần gạch chéo 3 Phép lấy bù Cho A là tập con của tập E. Phần bù của A trong E là một tập hợp gồm tất cả các phần tử của E mà không là phần tử của A. Kí hiệu CE A. A ⊂ E, x ∈ CE A ⇔ x ∈ E và x ∈ / A. E A CE A là phần gạch chéo 4 Phép hiệu Hiệu của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Kí hiệu A B. x ∈ A B ⇔ x ∈ A và x ∈ / B. △ ! A B Nếu A ⊂ B thì A B = CA B. A B là phần gạch chéo 2. TẬP HỢP 25 VÍ DỤ 5. Cho hai tập hợp A và B. Tìm các tập hợp A ∪ B, A ∩ B, A B và B A với A = {x ∈ N | 3 ≤ x < 7} và B = {x ∈ Z | −1 ≤ x < 5}. Lời giải. Ta có A = {3; 4; 5; 6} và B = {−1; 0; 1; 2; 3; 4}. Do đó A ∪ B = {−1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. A ∩ B = {3; 4}. A B = {5; 6}. B A = {−1; 0; 1; 2}.  VÍ DỤ 6. Cho hai tập hợp A và B. Tìm các tập hợp A ∪ B, A ∩ B, A B và B A với A = {−1; 2; 3; 7} và B = {x ∈ R | (x − 2)(x − 3) = 0}. Lời giải. Ta có A = {−1; 2; 3; 7} và B = {2; 3}. Do đó A ∪ B = {−1; 2; 3; 7}. A ∩ B = {2; 3}. A B = {−1; 7}. B A = ∅.  Bài 11. Cho hai tập hợp A = {0; 1; 3; 5} và B = {−1; 0; 2; 3}. Chứng minh (A ∪ B) (A ∩ B) = (A B) ∪ (B A). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... .......................................................................................................................    Bài 12. Cho hai tập hợp A = x ∈ R | x3 − 8 2x2 − x − 3 = 0 và B = {x ∈ Z | 2|x| − 5 ≤ 0}. Tìm tập hợp (A ∪ B) (A ∩ B). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ß ™   2k + 12 2 Bài 13. Cho ba tập hợp A = {n ∈ N | n ≥ 2}, B = x ∈ N | (x − 5) x + 1 < 0 và C = k ∈ N 2 là số nguyên . k +k Tìm tập hợp A ∩ B ∩ C. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 14. Tìm tất cả các tập X thỏa mãn {1; 3} ∪ X = {0; 1; 2; 3}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 15. Xác định hai tập hợp A và B biết rằng A B = {1; 5; 7; 8}, B A = {2; 10} và A ∩ B = {3; 6; 9}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP 26 Bài 16. Cho tập hợp A = {1; 3; 6}. Tìm tất cả các tập X thỏa mãn A ∪ X = {1; 2; 3; 4; 5; 6} và A ∩ X = {3}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... { DẠNG 2.4. Tập con của tập số thực Tên gọi Kí hiệu Tập hợp Biểu diễn trên trục số (Phần không bị gạch chéo) Tập số thực Đoạn Khoảng Nửa khoảng Nửa khoảng Nửa khoảng Nửa khoảng Khoảng Khoảng (−∞; +∞) [a; b] (a; b) [a; b) (a; b] (−∞; a] [a; +∞) (−∞; a) (a; +∞) 0 R {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} ah {x ∈ R | a < x < b} a  {x ∈ R | a ≤ x < b} ah {x ∈ R | a < x ≤ b} a  {x ∈ R | x ≤ a} [a; b] (a; b) [a; b) (a; b] (−∞; a] ah {x ∈ R | x ≥ a} {x ∈ R | x < a} (−∞; a) a  {x ∈ R | x > a} VÍ DỤ 7. Các tập sau là các đoạn, khoảng, nửa khoảng nào? Vẽ hình. 1 A = {x ∈ R | −6 < x < 7}. Lời giải. 1 Ta có A = (−6; 7). Biểu diễn 2 ib B = {x ∈ R | 5x + 1 ≥ 8}. b  b  ib ai [a; +∞) a  (a; +∞) 2. TẬP HỢP 27 −6  2 7  Ta có ï ã 7 Vậy B = ; +∞ . Biểu diễn 5 5x + 1 ≥ 8 ⇔ 5x ≥ 7 ⇔ x ≥ 7 . 5 7 5h  VÍ DỤ 8. Các mệnh đề sau là đúng hay sai? Giải thích. {−4; 2} ⊂ [−4; 2]. 1 2 [1; +∞) = {1; 2; 3; 4; . . .}. Lời giải. 1 2 Mệnh đề đúng. Thật vậy, vì −4 ∈ [−4; 2] và 2 ∈ [−4; 2] nên {−4; 2} ⊂ [−4; 2]. Mệnh đề sai. Thật vậy, vì 1,5 ∈ [1; +∞) nhưng 1,5 ∈ / {1; 2; 3; 4; . . .} nên hai tập hợp đã cho không bằng nhau.  VÍ DỤ 9. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn trên trục số. (−2; 7) ∩ (3; +∞). 1 2 (−3; 4) ∪ {−3; 4}. Lời giải. 1 2 Ta có (−2; 7) ∩ (3; +∞) = (3; 7). Biểu diễn 3  7  −3 h 4i Ta có (−3; 4) ∪ {−3; 4} = [−3; 4]. Biểu diễn  VÍ DỤ 10. Xác định các tập hợp A ∩ B, A ∪ B, A B, B A và biểu diễn bằng trục số trong các trường hợp sau. 1 A = {1; 2; 3; 4; 5}, B = {−3; −2; −1; 0; 1}. 2 A = {x ∈ Z | |x| ≤ 3}, B = {x ∈ N | x < 7}. 3 A = (−1; 2018), B = [−2019; 9]. 4 A = {x ∈ R | x ≤ 2018}, B = {x ∈ R | x > 0}. Lời giải. a) Ta có A ∩ B = {1}. A ∪ B = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}. A B = {2; 3; 4; 5}. B A = {−3; −2; −1; 0}. CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP 28 b) Ta có A = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3} và B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. A ∩ B = {0; 1; 2; 3}. A ∪ B = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. A B = {−3; −2; −1}. B A = {4; 5; 6}. c) Ta có A ∩ B = (−1; 9]. Biểu diễn −1  9i −2019 h 2018  9  2018  −2019 h −1 i 0  2018 i A ∪ B = [−2019; 2018). Biểu diễn A B = (9; 2018). Biểu diễn B A = [−2019; −1]. Biểu diễn d) Ta có A = (−∞; 2018] và B = (0; +∞). A ∩ B = (0; 2018]. Biểu diễn A ∪ B = (−∞; +∞). Biểu diễn 0 A B = (−∞; 0]. Biểu diễn 0i B A = (2018; +∞). Biểu diễn 2018   VÍ DỤ 11. Cho tập hợp M = {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}. a) Tìm tất cả tập hợp con có 1 phần tử của tập M . b) Tìm tất cả tập hợp con có 2 phần tử của tập M . c) Tập M có tất cả bao nhiêu tập hợp con? d) Tập M có tất cả bao nhiêu tập hợp con có ít nhất 1 phần tử? e) Tập M có tất cả bao nhiêu tập hợp con khác M ? Lời giải. 2. TẬP HỢP 1 2 3 4 5 29 Tất cả tập con có 1 phần tử của M là {−2}, {−1}, {0}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}. Tất cả tập con có 2 phần tử của M là {−2; −1}, {−2; 0}, {−2; 1}, {−2; 2}, {−2; 3}, {−2; 4}, {−2; 5}, {−1; 0}, {−1; 1}, {−1; 2}, {−1; 3}, {−1; 4}, {−1; 5}, {0; 1}, {0; 2}, {0; 3}, {0; 4}, {0; 5}, {1; 2}, {1; 3}, {1; 4}, {1; 5}, {2; 3}, {2; 4}, {2; 5}, {3; 4}, {3; 5}, {4; 5}. Tập hợp M có 8 phần tử. Số tập hợp con của M là 28 = 256. Tập con không có phần tử của M là ∅. Số tập hợp con có ít nhất 1 phần tử của M là 28 − 1 = 255. Số tập hợp con khác M là 28 − 1 = 255.  Bài 17. Các tập hợp sau là các đoạn, khoảng, nửa khoảng nào? Vẽ hình. 1 A = {x ∈ R | −2 ≤ x + 1 ≤ 3}. 2 B = {x ∈ R | −3 < 3x − 2 ≤ 2}. 3 C = {x ∈ R | 2 < 2x + 3 < 4}. 4 D = {x ∈ R | −4 ≤ 2x < 3}. 5 E = {x ∈ R | 5x − 3 ≤ 0}. 6 H = {x ∈ R | 2x − 7 > 4}. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 18. Các mệnh đề sau là đúng hay sai? Giải thích. 1 (−1; 3) = {−1; 0; 1; 2; 3}. 2 (−2; 2] = [−2; 2). 3 N ⊂ [0; +∞). 4 {−3; 1} (−3; 1) = {−3; 1}. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 19. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn trên trục số. 1 [−3; 1) ∪ (0; 4]. 2 (−1; 2] ∪ [−2; 1). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 20. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn trên trục số. 1 (−8; 4] ∩ [−1; 4]. 2 (−∞; 3) ∩ [−2; 6). 3 [−3; 5] (−2; 7). 4 [−2; +∞) (−4; 5]. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 21. Cho hai tập A = [4; 7] và B = (m; 9). Tìm số thực m sao cho 1 A ∩ B = ∅. 2 A ⊂ B. 3 A B = ∅. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP 30 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. N ⊂ Z. B. Q ⊂ N. C. R ⊂ Q. D. R ⊂ Z. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 2. Cho A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật và C là tập hợp các hình vuông. Khi đó A. A ∩ B = C. B. A ∪ B = C. C. A B = C. D. B A = C. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 3. Cách viết nào sau đây không đúng? A. 1 ⊂ N. B. 1 ∈ N. C. {1} ⊂ N. D. 1 ∈ N⋆ . ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. Câu 4. Có bao nhiêu cách cho một tập hợp? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 5. Có bao nhiêu phép toán trên tập hợp? A. 5. B. 2. C. 3. D. 4. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 6. Cách viết nào sau đây thể hiện tập hợp A bằng B? A. A = B. B. A 6= B. C. A < B. D. A ⊂ B. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 7. Số tập con của tập A = {1; 2; 3} là A. 8. B. 6. C. 5. D. 7. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ Câu 8. Viết tập M = {x ∈ N sao cho x là ước của 8} dạng liệt kê các phần tử là A. M = {1; 4; 16; 64}. B. M = {0; 1; 4; 16; 64}. C. M = {1; 2; 4; 8}. D. M = {0; 1; 2; 4; 8}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 2. TẬP HỢP 31 Câu 9. Xác định tập hợp M = {1; 3; 9; 27; 81} bằng cách nêu tính chất đặc trưng của tập hợp A. M = {n ∈ N sao cho 1 ≤ n ≤ 8}. B. M = {x sao cho x = 3k ; k ∈ N; 0 ≤ k ≤ 4}. k C. M = {n ∈ N sao cho n = 3 }. D. M = {Có 5 số lẻ}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 10. Cho tập M = {a; b; c; d; e}. Hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu sau A. M có 32 tập hợp con. B. M có 25 tập hợp con. C. M có 120 tập hợp con. D. M có 5 tập hợp con. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... . . Câu 11. Cho ba tập hợp M = {n ∈ N | n .. 5}, P = {n ∈ N | n .. 10}, Q = {x ∈ R | x2 + 3x + 5 = 0}. Hãy chọn khẳng định đúng? A. Q ⊂ P ⊂ M . B. Q ⊂ M ⊂ P . C. M ⊂ Q ⊂ P . D. M ⊂ P ⊂ Q. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 12. Cho biết x là một phần tử của tập hợp A. Xét các mệnh đề sau (I) : x ∈ A; (II) : {x} ∈ A; (III) : x ⊂ A; (IV ) : {x} ⊂ A Hỏi trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng? A. (I) và (IV ). B. (I) và (III). C. (I) và (II). D. (II) và (IV ). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 13. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp X = {x ∈ R | x2 + x + 1 = 0}. A. X = {0}. B. X = 0. C. X = {∅}. D. X = ∅. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 14. Cho tập X = {2; 3; 4}. Hỏi tập hợp X có bao nhiêu tập hợp con? A. 7. B. 6. C. 5. D. 8. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 15. Tính số các tập con có 2 phần tử của M = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. A. 15. B. 16. C. 18. D. 22. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 2 Câu 16. Tìm các phần tử của tập X = {x ™ ß ∈™R | 2x − 5x + 3 = 0}. ß 3 3 . C. X = 1; . D. X = {0}. A. X = {1}. B. X = 2 2 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 32 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 17. Hỏi tập hợp nào là tập rỗng trong các tập hợp sau? A. A = {x ∈ Z | 6x2 − 7x + 1 = 0}. B. B = {x ∈ Q | x2 − 4x + 2 = 0}. C. C = {x ∈ Z | |x| < 1}. D. D = {x ∈ R | x2 − 4x + 3 = 0}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 18. Cho A là tập tất cả các nghiệm của phương trình x2 − 7x + 6 = 0, B là tập hợp các số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 4. Hỏi kết quả nào sau đây là đúng? A. B A = ∅. B. A ∩ B = A ∪ B. C. A B = {6}. D. A ∪ B = A. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 19. Cho tập hợp A = {1; 2; 3}. Tập hợp nào sau đây không phải là tập con của tập A? A. {12; 3}. B. ∅. C. A. D. {1; 2; 3}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 20. Cho tập hợp X = {0; 1; 2}. Tập X có bao nhiêu tập con? A. 8. B. 6. C. 3. D. 5. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 21. Cho tập hợp X = {0; 1; 2; a; b}. Tập X có bao nhiêu phần tử? A. 5. B. 2. C. 3. D. 4. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 22. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 5; 7}, B = {2; 4; 5; 6; 8}. Tập hợp A ∩ B là A. {5}. B. {2}. C. {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. D. {2; 5}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 23. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 5; 7}, B = {2; 4; 5; 6; 8}. Tập hợp A B là A. {4; 6; 8}. B. {1; 3; 7}. C. {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. D. {2; 5}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 24. Cho A = {x ∈ R | x2 − 4 6= 0}. Tập hợp A viết lại dạng liệt kê là A. R. B. {−2; 2}. C. R {−2; 2}. D. R {2}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 2. TẬP HỢP 33 Câu 25. Cho A = {x ∈ R | x2 + 4 > 0}. Tập hợp A viết lại dạng liệt kê là A. ∅. B. [2; +∞). C. R. D. [−2; +∞). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 26. Cho tập A = {−2; 1; 2; 3; 4}, B = {x ∈ N | x2 − 4 = 0}. Mệnh đề nào sai? A. A ∩ B = {2}. B. A ∪ B = {2; −2}. C. A B = {1; 3; 4}. D. A ∪ B = B. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 27. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; x; y}. Xét các mệnh đề sau đây (I) : “3 ∈ A”; (II) : {3; 4} ∈ A; (III) : {x; 3; y} ∈ A. Phát biểu nào sau đây đúng? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 28. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau A. Q ∪ R = R. B. N ∩ Z = N. C. Q ∩ N⋆ = N⋆ . D. Q ∪ N⋆ = N⋆ . ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 29. Chọn kết quả sai trong các kết quả sau A. A ∩ B = A ⇔ A ⊂ B. B. A ∪ B = A ⇔ A ⊂ B. C. A B = A ⇔ A ∩ B = ∅. D. B A = B ⇔ A ∩ B = ∅. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 30. Cho các mệnh đề sau. (I) : {2; 1; 3} = {1; 2; 3}; (II) : ∅ ⊂ ∅; (III) : ∅ ∈ {∅}. Chọn khẳng định đúng. A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (I) và (II) đúng. C. Chỉ (I) và (III) đúng. D. Cả (I), (II) và (III) đều đúng. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 31. Cho X = {7; 2; 8; 4; 9; 12}; Y = {1; 3; 7; 4}. Tập hợp nào sau đây bằng X ∩ Y ? A. {1; 2; 3; 4; 8; 9; 7; 12}. B. {2; 8; 9; 12}. C. {4; 7}. D. {1; 3}. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 32. Cho hai tập hợp A = {2; 4; 6; 9} và B = {1; 2; 3; 4}. Tập hợp A B bằng tập nào sau đây? A. {1; 2; 3; 5}. B. {1; 3; 6; 9}. C. {6; 9}. D. ∅. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 34 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP Câu 33. Cho hai tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4} và B = {2; 3; 4; 5; 6}. Tập hợp A B bằng A. {0}. B. {0; 1}. C. {1; 2}. D. {1; 5}. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 34. Cho hai tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4} và B = {2; 3; 4; 5; 6}. Tập hợp B A bằng A. {5}. B. {0; 1}. C. {2; 3; 4}. D. {5; 6}. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 35. Cho hai tập hợp A = {1; 5} và B = {1; 3; 5}. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau A. A ∩ B = {1}. B. A ∩ B = {1; 3}. C. A ∩ B = {1; 5}. D. A ∩ B = {1; 3; 5}. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 36. Cho A = {1; 2; 3}. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. ∅ ⊂ A. B. 1 ∈ A. C. {1; 2} ⊂ A. D. 2 = A. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 37. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai? A. A ∈ A. B. ∅ ⊂ A. C. A ⊂ A. D. A 6= {A}. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..  Câu 38. Cho tập hợp A = x ∈ R | x2 + x + 1 = 0 . Các phần tử của tập hợp A là A. A = 0. B. A = {0}. C. A = ∅. D. A = {∅}. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..    Câu 39. Cho tập hợp A = x ∈ R | x2 − 1 x2 + 2 = 0 . Các phần tử của tập A là √ C. A = {−1}. D. A = {1}. A. A = {−1; 1}. B. A = {−1; 1; 2}. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..  Câu 40. Các phần tử của tập hợp A = x ∈ R | 2×2 − 5x + 3 = 0 là ß ™ ß ™ 3 3 A. A = {0}. B. A = {1}. C. A = . D. A = 1; . 2 2 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 41. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng?   A. A = x ∈ N | x2 − 4 = 0 . B. B = x ∈ R | x2 + 2x + 3 = 0 . C. C = x ∈ R | x2 − 5 = 0 . D. D = x ∈ Q | x2 + x − 12 = 0 . ……………………………………………………………………………………………………….. 2. TẬP HỢP 35 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 42. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào khác rỗng?   A. A = x ∈ R | x2 + x + 1 = 0 . B. B = x ∈ N | x2 − 2 = 0 .  C. C = x ∈ Z | x3 − 3 x2 + 1 = 0 . D. D = x ∈ Q | x x2 + 3 = 0 . ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. Câu 43. Trong các tập sau, tập hợp nào có đúng một tập hợp con? A. ∅. B. {a}. C. {∅}. D. {a, ∅}. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 44. Trong các tập sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con? A. {x; y}. B. {x}. C. {∅; x}. D. {∅; x; y}. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 45. Cho tập hợp A = {2; 5}. Tập hợp A có tất cả bao nhiêu phần tử? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..  Câu 46. Cho tập hợp B = x ∈ Z | x2 − 4 = 0 . Chọn kết quả đúng? A. B = {2; 4}. B. B = {−2; 4}. C. B = {−4; 4}. D. B = {−2; 2}. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 47. Cho hai tập hợp A = {0; 2; 3; 5} và B = {2; 7}. Khi đó A ∩ B bằng A. A ∩ B{2; 5}. B. A ∩ B = {2}. C. A ∩ B∅. D. A ∩ B = {0; 2; 3; 5; 7}. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 48. Cho A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật và C là tập hợp các hình vuông. Khi đó A. A ∩ B = C. B. A ∪ B = C. C. A B = C. D. B A = C. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 49. Cách viết nào sau đây không đúng? A. 1 ⊂ N. B. 1 ∈ N. C. {1} ⊂ N. D. 1 ∈ N∗ . ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. 36 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP Câu 50. Hỏi  tập hợp nào là tập hợp rỗng, trong các tập hợp sau? A. A = x ∈ R | 6×2 − 7x + 1 = 0 . B. B = {x  ∈ Z | |x| < 1}. C. C = x ∈ Q | x2 − 4x + 2 = 0 . D. D = x ∈ R | x2 − 4x + 3 = 0 . ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 51. Cho tập hợp X = {0; 1; 2}. Tập hợp X có bao nhiêu tập con? A. 8. B. 3. C. 6. D. 5. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... .......................................................................................................................   Câu 52. Tập hợp A = x ∈ R | (x − 1)(x − 2) x3 + 4x = 0 có bao nhiêu phần tử? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 53. Cho tập hợp X = {0; 1; 2; a; b}. Số phần tử của tập X là A. 5. B. 4. C. 3. D. 2. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 54. Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 15 học sinh được xếp loại học lực giỏi, 20 học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt, 10 em vừa xếp loại học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi có bao nhiêu học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt? A. 25. B. 10. C. 45. D. 35. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 55. Một lớp có 45 học sinh. Mỗi em đều đăng ký chơi ít nhất một trong hai môn bóng đá và bóng chuyền. Có 35 em đăng ký môn bóng đá, 15 em đăng ký môn bóng chuyền. Hỏi có bao nhiêu em đăng ký chơi cả 2 môn? A. 5. B. 10. C. 45. D. 35. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 56. Cho A = {1; 2; 3; 5; 7}, B = {2; 4; 5; 6}. Tập hợp A B là A. {1; 3; 7}. B. {2; 5}. C. {4; 6; 8}. D. {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... .......................................................................................................................  Câu 57. Cho A = x ∈ R|x2 − 4 6= 0 . Tập hợp A viết lại dạng liệt kê là A. R {2; −2}. B. {2; −2}. C. R. D. R {2}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 2. TẬP HỢP 37  Câu 58. Cho A = x ∈ R|x2 + 4 > 0 . Tập hợp A viết lại dạng liệt kê là A. R. B. ∅. C. [−2; +∞). D. [2; +∞). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 59. Lớp 10A có 40 học sinh trong đó có 10 bạn giỏi Toán, 15 bạn giỏi Lý, và 22 bạn không giỏi môn học nào trong hai môn Toán, Lý. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn học sinh vừa giỏi Toán, vừa giỏi Lý? A. 7. B. 25. C. 10. D. 18. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 60. Một lớp học có 25 học sinh học khá các môn tự nhiên, 24 học sinh học khá các môn xã hội 10 học sinh học khá cả môn tự nhiên lẫn môn xã hội, đặc biệt vẫn còn 3 học sinh chưa học khá cả hai nhóm môn ấy. Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh chỉ khá đúng một nhóm môn (tự nhiên hoặc xã hội). A. 39. B. 26. C. 29. D. 36. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 61. Cho tập A = −2; 1; 2; 3; 4; B = x ∈ N : x2 − 4 = 0. Mệnh đề nào đúng? A. A ∩ B = {2}. B. A ∩ B = {−2; 2}. C. A {1; 3; 4}. D. A ∪ B = B. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 62. Số tập con của tập hợp có n (n ≥ 1; n ∈ N) phần tử là A. 2n . B. 2n+1 . C. 2n−1 . D. 2n+2 . ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..   Câu 63. Cho hai tập A = x ∈ Z : (x + 3)(x2 − 3) = 0 ; B = x ∈ R : x2 + 6 = 0 khi đó A. B A = B. B. A ⊂ B. C. A B = B. D. A ∩ B = A. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 64. ñ Cho hai tập A = [−1; 3); Bñ= [a; a + 3]. Với giá trị nào của ñ a thì A ∩ B = ∅? ñ a≥3 a>3 a≥3 a>3 A. . B. . C. . D. . a < −4 a < −4 a ≤ −4 a ≤ −4 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 65. Tập hợp (−2; 3] ∩ (3; 4] là tập hợp nào sau đây? A. ∅. B. {3}. C. {−2; 3}. D. {3; 4}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP 38 Câu 66. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. A = (A ∩ B) ∪ (A B). B. B = (A ∩ B) ∩ (A B). C. B = (A ∩ B) ∪ (A B). D. A = (A ∩ B) ∩ (A B). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 67. Cho 3 tập hợp. A = [−3; 5); B = [−4; 1]; và C = (−4; −3]. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. A ∩ B = [−3; 1]. B. (A ∪ B) ∪ C = [−4; 5]. C. CB C = [−3; 1). D. B A = [−4; −3]. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 68. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. A ∩ (B A) = ∅. B. B ∩ (B A) = ∅. C. A ∪ (B A) = ∅. D. A ∪ (B A) = B. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 69. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng? A. M =  {x ∈ N|2x − 1 = 0}. B. M =  {x ∈ Q|3x + 2 = 0}. C. M = x ∈ R|x2 − 6x + 9 = 0 . D. M = x ∈ Z|x2 = 0 . ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... .......................................................................................................................  Câu 70. Cho tập hợp A = x ∈ R|x2 + 3x + 4 = 0 , khẳng định nào sau đây đúng? A. Tập hợp A có 1 phần tử. B. Tập hợp A có 2 phần tử. C. Tập hợp A = ∅. D. Tập hợp A có vô số phần tử. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 71. Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 15 học sinh được xếp loại học lực giỏi, 20 học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt, 10 em vừa xếp loại học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi có bao nhiêu học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt? A. 25. B. 10. C. 45. D. 35. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 72. Biểu diễn trên trục số các tập hợp [−4; 3] [−2; 1] là hình nào sau đây?  B. −4  −4 −2  C. −4 −2  A. −2  1 1  1  3  . 3 . 3  . −4 −2 1 3 . D. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 2. TẬP HỢP 39 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 73. Biểu diễn trên trục số các tập hợp [−4; 1) ∩ (−2; 3] là hình nào sau đây?  B. −4  −4 −2  C. −4 −2  A. −2  1 1  1  3  . 3 . 3  . −4 −2 1 3 D. . ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 74. Biểu diễn trên trục số các tập hợp (−4; 1] ∩ [−2; 3] là hình nào sau đây?  B. −4  −4 −2  C. −4 −2  A. −2  1 1  1  3  . 3 . 3  . −4 −2 1 3 D. . ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 40 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP CHƯƠNG 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI BÀI A. HÀM SỐ 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Ở lớp dưới ta đã làm quen với khái niệm hàm số. VÍ DỤ 1. Cho hàm số y = f (x) = x2 + 2x. Với x = 1 thì y = f (1) = 12 + 2 · 1 = 3. Với x = −2 thì y = f (−2) = (−2)2 + 2 · (−2) = 0. Với x = 0 thì y = f (0) = 02 + 2 · 0 = 0. Ä√ ä Ä√ ä2 √ √ √ Với x = 2 thì y = f 2 = 2 + 2 · 2 = 2 + 2 2. f D Tập xác định Biến số (hay đối số) R f x=1 y=3 x=2 x=0 f f √ x= 2 y=0 √ y =2+ 2 Giá trị của hàm số tại x = 1 Giá trị của hàm số tại x = −2 và x = 0 Giá trị của hàm số tại x = √ 2 Kí hiệu f: R y = f (x) = x2 + 2x D x Cho D ⊂ R, D 6= ∅. Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x ∈ D với một và chỉ một số y ∈ R. D được gọi là tập xác định của hàm số. x được gọi là biến số (đối số) của hàm số f . f (x) được gọi là giá trị của hàm số f tại x. △ ! Một hàm số được cho bởi một biểu thức hoặc nhiều biểu thức VÍ DỤ 2. – Hàm số y = f (x) = – Hàm số y = g(x) = x2 − 3x + 1 . x−1 ® 2x − 1 nếu x ≤ 1 x2 + 2 nếu x > 1. Nếu hàm số y = f (x) không giải thích gì thêm thì tập xác định của nó là tập hợp các số thực x sao cho giá trị của biểu thức f (x) được xác định. 41 CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI 42 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ { DẠNG 1.1. Tính giá trị của hàm số tại một điểm Để tính giá trị cùa hàm số y = f (x) tại x = a, ta thế x = a vào biểu thức f (x) và được giá trị f (a). VÍ DỤ 3. Cho hàm số y = f (x) = ® 4x + 1 nếu x ≤ 2 − x2 + 3 nếu x > 2 . Tính f (3), f (2), f (−2), f Ä√ ä Ä √ ä 2 và f 2 2 . Lời giải. Ta√có f (3)√= −32 + 3 = √ −6, f (2)√= 4 · 2 + 1 = 9, f (−2) = 4 · (−2) + 1 = −7. f ( 2) = 4 2 + 1, f (2 2) = −(2 2)2 + 3 = −5. VÍ DỤ 4. Cho hàm số y = f (x) = ® nếu x ≥ −2 8 x − 2x nếu x < −2 2  . Tính f (−3), f (2), f (−2) và f (0). Lời giải. Ta có f (−3) = (−3)2 − 2(−3) = 15, f (2) = 8, f (−2) = 8, f (0) = 8. VÍ DỤ 5. Cho hàm số y = f (x) = ® 4x + 1 nếu x ≥ 2 − x3 + 3 nếu x < 2 . Tính f (2), f  Ä√ ä 2 . Lời giải. √ √ √ Ta có f (2) = 4 · 2 + 1 = 9, f ( 2) = −( 2)3 + 3 = −2 2 + 3. VÍ DỤ 6. Cho hàm số y = h(x) = Lời giải. Ta có h(1) = −2(12 + 1) = −4, h(2) = √ ® − 2(x2 + 1) nếu x ≤ 1 . Tính h(1), h(2), h √ x−1 nếu x > 1  Ç√ å √ 2 , h( 2). 2 ! Ç√ å Ç √ å2 Ä√ ä p√ 2 2 2 − 1 = 1, h 2 = 2 − 1. + 1 = −3, h = −2 2 2  { DẠNG 1.2. Đồ thị hàm số Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ (x; f (x)) với x ∈ D gọi là đồ thị của hàm số y = f (x). Để biết điểm M (a; b) có thuộc đồ thị hàm số y = f (x) không, ta thế x = a vào biểu thức f (x). – Nếu f (a) = b thì điểm M (a; b) thuộc đồ thị hàm số y = f (x). – Nếu f (a) 6= b thì điểm M (a; b) không thuộc đồ thị hàm số y = f (x). VÍ DỤ 7. Cho hàm số y = f (x) = x2 + thuộc đồ thị của hàm số đã cho? √ Ä √ ä x − 3. Trong các điểm A(2; 8), B(4; 12) và C 5; 25 + 2 , điểm nào Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3. Tập xác định: D = [3; +∞). Ta có 2 ∈ / D nên A(2; 8) không thuộc đồ thị của hàm số. √ Ta có f (4) = 42 + 4 − 3 = 17 6= 12 nên B(4; 12) không thuộc đồ thị của hàm số. Ä √ √ ä √ Ta có f (5) = 52 + 5 − 3 = 25 + 2 nên C 5; 25 + 2 thuộc đồ thị của hàm số.  1. HÀM SỐ 43 VÍ DỤ 8. Cho hàm số y = f (x) = 2×2 − 5x + 5 (C). ã Å 1 a) Các điểm A(1; 2), B(−1; 5), C − ; 8 có thuộc đồ thị (C) của hàm số đã cho không? 2 b) Tìm các điểm thuộc đồ thị của hàm số mà có tung độ bằng 2. Lời giải. Tập xác định: D = R. a) Ta có f (1) = 2 · 12 − 5 · 1 + 5 = 2 nên A(1; 2) thuộc đồ thị (C) của hàm số. f (−1) = 2 · (−1)2 − 5 · (−1) + 5 = 12 6= 5 nên B(−1; 5) không thuộc đồ thị (C) của hàm số. ã Å ã ã Å Å ã Å 1 2 1 1 1 =2· − + 5 = 8 nên C − ; 8 thuộc đồ thị (C) của hàm số. −5· − f − 2 2 2 2  x=1 b) f (x) = 2 ⇔ 2×2 − 5x + 5 = 2 ⇔ 2×2 − 5x + 3 = 0 ⇔  3 x= . 2 ã Å 3 ;2 . Vậy có hai điểm cần tìm là M (1; 2) và N 2  −2x Bài 1. Cho hàm số y = g(x) = 2 . Tìm các điểm thuộc đồ thị của hàm số mà có tung độ bằng 2. x − 2x − 3 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ® 2 x −6 nếu x ≤ 1 Bài 2. Cho hàm số y = f (x) = 2 x − 3x nếu x > 1. a) Điểm nào trong các điểm sau đây thuộc đồ thị của hàm số? A(3; 3), B(−1; −5), C(1; −2) và D(3; 0). b) Tìm các điểm thuộc đồ thị của hàm số mà có tung độ bằng −2. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. { DẠNG 1.3. Tìm tập xác định của hàm số Tập xác định của hàm số y = f (x) là tập hợp các số thực x sao cho biểu thức f (x) xác định. A ! xác định khi và chỉ khi f (x) 6= 0 (A là hằng số). Hàm số y = △ f (x) p Hàm số y = f (x) xác định khi và chỉ khi f (x) ≥ 0. △ ! A Hàm số y = p xác định khi và chỉ khi f (x) > 0. f (x) ® P (x) 6= 0 P (x) · Q(x) 6= 0 ⇔ Q(x) 6= 0. △ Nếu a ≤ x ≤ b thì D = [a; b]. ! Nếu a ≤ x < b thì D = [a; b). Nếu ® a a thì D = (a; +∞). Nếu x ≤ b thì D = (−∞; b]. ñ   a 0 ⇔ x > −1 ⇔      2 x = 6 0. x = 6 0   x − 4x 6= 0   x 6= 4 ò Å 7 {0}. Vậy tập xác định D = −1; 3  x3 − 3 √ . VÍ DỤ 12. Tìm tập xác định của hàm số y = √ x − 2 − 7 − 3x Lời giải.    x≥2   7  x − 2 ≥ 0    7    2 ≤ x ≤ 2≤x≤ 7 3 3 ⇔ x≤ ⇔ Hàm số xác định khi và chỉ khi 7 − 3x ≥ 0 ⇔ 9     3 √ √   x 6= . x − 2 6= 7 − 3x  √x − 2 6= √7 − 3x x − 2 − 7 − 3x 6= 0 4 ï ò ß ™ 7 9 Vậy tập xác định D = 2; .  3 4 VÍ DỤ 13. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = 3x + 5 có tập xác định D = R. x2 + 3x + m − 1 Lời giải. Hàm số có tập xác định D = R khi và chỉ khi x2 + 3x + m − 1 6= 0, ∀x ∈ R ⇔ x2 + 3x + m − 1 = 0 ⇔ ∆ = 13 − 4m < 0 13 . ⇔ m> 4 Vậy m > vô nghiệm 13 . 4 √ VÍ DỤ 14. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = x2 + 2 3x − 2m + 1 có tập xác định D = [−1; +∞). Lời giải.  1. HÀM SỐ 45 2m − 1 . Hàm số xác định khi và chỉ khi 3x − 2m + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 2m − 1 Vì tập xác định D = [−1; +∞) nên = −1 ⇔ m = −1. 3 Vậy m = −1. Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau 1 y = x2 − 3x + 2. 3 y= x2 + 2x − 3 . 2 (x − 9x)(x2 + x + 1)  2 y= 4 y= x2 x−1 + 2x − 3 √ x−1 . x2 − 4 √ x+1 x x 5 y= √ 6 y= . + . x − 1 x x x−1 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 4. Tìm tập xác định của các hàm số sau √ √ x 2x + 5 − 3 2 − 5x √ . 1 y= 4 x2 + 4 √ 2x − x + 2 √ . 3 y= 7 − 2x 5 7 2×2 + x − 3 √ . (x2 − 5x) x − 2 √ √ 2x + 4 + 3 4 − x . y= x2 − 3x + 2 y= 2 y= 4 y= 6 8 √ 3x + 4 + x2 + 2 . (x2 + x + 5) (|x| + 1) x2 − 4x + 3 √ . (x2 + 2x + 4) 2×2 + 1 √ 2x − 3 √ + 5 − x. y= 3−x √ 3x + 6 − x √ . y= 1+ x+4 x2 + 2 √ 3x + 2x − 5 9 − 2x 2x + 10 √ √ . . 9 y= 10 y = 2− x−2 1− 3−x √ √ √ √ 3 − 4x + x x x2 + 10 − 2x + 11 11 y = 12 y = . . |2x − 7| + 2 |3x − 2| − 4 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. x3 + 2 có tập xác định D = R. Bài 5. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = 2 x − 3x + m − 5 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 2×2 − 5 Bài 6. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = có tập xác định D = R {2}. 3mx − 4m + 8 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ Bài 7. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = x2 − 2mx + m2 − m + 1 có tập xác định D = R. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 2 CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI 46 { DẠNG 1.4. Sự biến thiên của hàm số Hàm số f xác định trên khoảng K và x1 , x2 ∈ K. Hàm số f gọi là đồng biến trên K nếu x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ). Hàm số f gọi là nghịch biến trên K nếu x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ). △ ! Hàm số f xác định trên khoảng K. Nếu f (x1 ) = f (x2 ) với mọi x1 , x2 ∈ K, nghĩa là f (x) = c (c là hằng số) thì f gọi là hàm số hằng (còn gọi là hàm số không đổi) trên K. Hàm số f xác định trên khoảng K. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f nghĩa là xem f đồng biến, hoặc nghịch biến, hoặc không đổi trên các khoảng nào đó trong tập xác định của nó. Phương pháp giải toán KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ TRÊN KHOẢNG K Cho hàm số y = f (x) và hai số tùy ý x1 , x2 ∈ K. CÁCH 1. Giả sử x1 < x2 . Nếu f (x1 ) − f (x2 ) < 0 thì f đồng biến trên K. Nếu f (x1 ) − f (x2 ) > 0 thì f nghịch biến trên K, CÁCH 2. Giả sử x1 6= x2 . Nếu f (x1 ) − f (x2 ) > 0 thì f đồng biến trên K. x1 − x2 Nếu f (x1 ) − f (x2 ) < 0 thì f nghịch biến trên K. x1 − x2 VÍ DỤ 15. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f (x) = 2x − 7 trên khoảng (−∞; +∞). Lời giải. Với ∀x1 , x2 ∈ (−∞; +∞), x1 6= x2 . Ta có: Vậy hàm số đồng biến trên (−∞; +∞). f (x1 ) − f (x2 ) 2x1 − 7 − 2x2 + 7 2(x1 − x2 ) = = = 2 > 0. x1 − x2 x1 − x2 x1 − x2  VÍ DỤ 16. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = h(x) = x2 + 2x − 3 trong khoảng (−∞; −1). Lời giải. Với ∀x1 , x2 ∈ (−∞; −1), x1 6= x2 . Ta có: f (x1 ) − f (x2 ) x1 − x2 = = = = ® x21 + 2×1 − 3 − x22 − 2×2 + 3 x1 − x2 2 2 x1 − x2 + 2(x1 − x2 ) x1 − x2 (x1 − x2 )(x1 + x2 ) + 2(x1 − x2 ) x1 − x2 (x1 − x2 )(x1 + x2 + 2) = x1 + x2 + 2. x1 − x2 ® x1 ∈ (−∞; −1) x1 < −1 ⇒ ⇒ x1 + x2 < −2 ⇒ x1 + x2 + 2 < 0. x2 ∈ (−∞; −1) x2 < −1 Vậy hàm số giảm trên (−∞; −1) Vì VÍ DỤ 17. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = g(x) = 4x trên khoảng (1; +∞). x−1 Lời giải. Với ∀x1 , x2 ∈ (1; +∞), x1 6= x2 . Ta có: f (x1 ) − f (x2 ) = 4x2 4x1 − x1 − 1 x2 − 1  1. HÀM SỐ 47 = −4(x1 − x2 ) . (x1 − 1)(x2 − 1) Khi đó: f (x1 ) − f (x2 ) x1 − x2 = = ® −4(x1 − x2 ) : (x1 − x2 ) (x1 − 1)(x2 − 1) −4 . (x1 − 1)(x2 − 1) ® ® x1 ∈ (1; +∞) x1 > 1 x1 − 1 > 0 −4 < 0. Vì ⇒ ⇒ ⇒ (x1 − 1)(x2 − 1) x2 ∈ (1; +∞) x2 > 1 x2 − 1 > 0 Vậy hàm số giảm trên (1; +∞) Bài 8. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau:  a. y = f (x) = (2 − x)2 − (1 − x)2 trong khoảng (−∞; +∞). b. y = f (x) = 2 − x(x − 4) trên khoảng (2; +∞). c. y = f (x) = 1 − d. y = k(x) = e. y = x−5 trên khoảng (3; +∞). x−3 x2 − 4 trên khoảng (−∞; −2). (x + 2)2 √ x + 1 trên khoảng (−1; +∞). 1 trên khoảng (−∞; −1). x+1 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. f. y = { DẠNG 1.5. Hàm số chẵn – Hàm số lẻ 1 Tập đối xứng. D là tập con của tập số thực R gọi là tập đối xứng nếu thỏa: với mọi x thuộc D thì −x cũng thuộc D. −a ( 2 −x 0 x Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số f xác định trên tập đối xứng D. Nếu ∀x ∈ D mà f (−x) = f (x) thì ta nói f là hàm số chẵn trên D. Nếu ∀x ∈ D mà f (−x) = −f (x) thì ta nói f là hàm số lẻ trên D. 3 Đồ thị hàm số chẵn, hàm số lẻ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. y y O O Đồ thị hàm số chẵn x Đồ thị hàm số lẻ Phương pháp giải CÁCH XÉT TÍNH CHẴN – LẺ CỦA HÀM SỐ Tìm tập xác định D của hàm số y = f (x). x a ) CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI 48 Nếu D không là tập đối xứng thì hàm số f không chẵn và không lẻ trên D. Nếu D là tập đối xứng: Với ∀x ∈ D, tính f (−x). – Nếu f (−x) 6= ±f (x): Chọn một giá trị thích hợp x = a ∈ D để có f (−a) 6= ±f (a). Từ đó kết luận hàm số không chẵn và không lẻ trên D. – Nếu f (−x) = f (x) thì f là hàm số chẵn trên D. – Nếu f (−x) = −f (x) thì f là hàm số lẻ trên D. VÍ DỤ 18. R là tập đối xứng vì ∀x ∈ R ⇒ −x ∈ R. R {−1; 1} là tập đối xứng vì ∀x ∈ R {−1; 1} ⇒ −x ∈ R {−1; 1}. {−a; a}, (với a > 0) là tập đối xứng vì ∀x ∈ {−a; a} ⇒ −x ∈ {−a; a}. [−a; a], (với a > 0) là tập đối xứng vì ∀x ∈ [−a; a] ⇒ −x ∈ [−a; a]. {−a; a} {0}, (với a > 0) là tập đối xứng vì ∀x ∈ {−a; a} {0} ⇒ −x ∈ {−a; a} {0}. [−a; a] {0}, (với a > 0) là tập đối xứng vì ∀x ∈ [−a; a] {0} ⇒ −x ∈ [−a; a] {0}. VÍ DỤ 19. R {2} không là tập đối xứng vì x = −2 ∈ R {2} nhưng −x = 2 ∈ / R {2}. [−4; 4) không là tập đối xứng vì x = −4 ∈ [−4; 4) nhưng −x = 4 ∈ / [−4; 4). [−4; 6] không là tập đối xứng vì x = 5 ∈ [−4; 6] nhưng −x = −5 ∈ / [−4; 6]. [−5; 5] {1} không là tập đối xứng vì x = −1 ∈ [−5; 5] nhưng −x = 1 ∈ / [−5; 5]. VÍ DỤ 20. Xét tính chẵn-lẻ của hàm số y = f (x) = √ 2x − 3 Lời giải. 3 Hàm số xác định ⇔ 2x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ . 2 ï ã 3 ⇒ Tập xác định D = ; +∞ . 2 Với x = 3 ∈ D nhưng x = −3 ∈ / D nên D không phải là tập đối xứng. Vậy hàm số không chẵn, không lẻ. VÍ DỤ 21. Xét tính chẵn-lẻ của hàm số y = g(x) = 2x − 1 + Lời giải. Hàm số xác định ⇔ ® 3+x≥0 ⇔ ® x ≥ −3 x≤3 3−x≥0 ⇒ Tập xác định D = [−3; 3] là tập đối xứng. Với ∀x ∈ D. Xét g(−x) = = = Chọn a = 2, ta có  √ √ 3+x+ 3−x ⇔ −3 ≤ x ≤ 3. » » 2(−x) − 1 + 3 + (−x) + 3 − (−x) √ √ −2x − 1 + 3 − x + 3 + x Ä ä √ √ − 2x + 1 − 3 − x − 3 + x . √ √ g(−2) = −4 + 5; g(2) = 4 + 5 ⇒ Vậy hàm số không chẵn, không lẻ. VÍ DỤ 22. Xét tính chẵn-lẻ của hàm số y = f (x) = ® g(−2) 6= g(2) g(−2) 6= −g(2).  √ √ 3+x+ 3−x x2 1. HÀM SỐ 49 Lời giải.   ®   x ≥ −3 3 + x ≥ 0 −3≤x≤3 . Hàm số xác định ⇔ 3 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3 ⇔   x 6= 0   2 x 6= 0 x 6= 0 ⇒ Tập xác định D = [−3; 3] {0} là tập đối xứng. Với ∀x ∈ D. Xét p p 3 + (−x) + 3 − (−x) f (−x) = (−x)2 √ √ 3−x+ 3+x = f (x). = x2 Vậy hàm số chẵn.  VÍ DỤ 23. Xét tính chẵn-lẻ của hàm số y = h(x) = x3 − x + Lời giải. √ √ 1+x− 1−x ® ® 1+x≥0 x ≥ −1 ⇔ ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. 1−x≥0 x≤1 ⇒ Tập xác định D = [−1; 1] là tập đối xứng. Với ∀x ∈ D. Xét Hàm số xác định ⇔ h(−x) = = = Vậy hàm số lẻ. » » (−x)3 − (−x) + 1 + (−x) − 1 − (−x) √ √ −x3 + x + 1 − x − 1 + x ä Ä √ √ − x3 − x + 1 + x − 1 − x = −h(x) 5x nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Bài 9. Chứng minh đồ thị hàm số y = f (x) = 2 x −4  Lời giải. 5x là lẻ. −4 2 Thật vậy: Hàm số xác định ⇔ x − 4 6= 0 ⇔ x 6= ±2. Suy ra tập xác định D = R {±2} là tập đối xứng. Với ∀x ∈ D. Xét Ta cần chứng minh hàm số y = f (x) = x2 f (−x) = = 5(−x) (−x)2 − 4 −5x = −f (x). x2 − 4 Vậy hàm số lẻ. Bài 10. Chứng minh đồ thị hàm số y = g(x) = |2 − x| + |2 + x| nhận trục tung làm trục đối xứng.  Lời giải. Ta cần chứng minh hàm số y = g(x) = |2 − x| + |2 + x| là chẵn. Thật vậy: Hàm số xác định ∀x ∈ R ⇒ Tập xác định D = R là tập đối xứng. Với ∀x ∈ D. Xét g(−x) = = |2 − (−x)| + |2 + (−x)| |2 + x| + |2 − x| = g(x). Vậy hàm số chẵn. Bài 11. Xét tính chẵn-lẻ của các hàm số sau. 1 y = f (x) = 3 y = g(x) = 5 y = u(x) = Lời giải. 2×4 . x2 − 9 √ √ 2 + x + 2 − x. √ √ 5+x+ 5−x . x−1  2 y = h(x) = x2 − 3x. 4 y = k(x) = 6 2×3 √ y = v(x) = √ . 6 + 3x − 6 − 3x x3 − 5x . |x − 1| + |x + 1| CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI 50 1 2×4 . x2 − 9 Hàm số xác định ⇔ x2 − 9 6= 0 ⇔ x 6= ±3. ⇒ Tập xác định D = R {−3; 3} là tập đối xứng. Với ∀x ∈ D. Xét y = f (x) = f (−x) = = 2(−x)4 (−x)2 − 9 2×4 = f (x). 2 x −9 Vậy hàm số chẵn. 2 y = h(x) = x2 − 3x. Tập xác định D = R là tập đối xứng. Với ∀x ∈ D. Xét h(−x) = (−x)2 − 3(−x) = x2 + 3x. Chọn a = 2, ta có h(−2) = 10; h(2) = −2 ⇒ 3 ® h(−2) 6= h(2) h(−2) 6= −h(2). Vậy hàm số không chẵn, không lẻ. √ √ y = g(x) = 2 + x +® 2 − x. ® x ≥ −2 2+x≥0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2. ⇔ Hàm số xác định ⇔ x≤2 2−x≥0 Suy ra tập xác định D = [−2; 2] là tập đối xứng. Với ∀x ∈ D. Xét » » 2 + (−x) + 2 − (−x) g(−x) = √ √ 2 − x + 2 + x = g(x). = Vậy hàm số chẵn. 4 x3 − 5x . |x − 1| + |x + 1| Tập xác định D = R là tập đối xứng. Với ∀x ∈ D. Xét y = k(x) = k(−x) 5 6 (−x)3 − 5(−x) |(−x) − 1| + |(−x) + 1| −x3 + 5x = |x + 1| + |x − 1| x3 − 5x = −k(x) = − |x − 1| + |x + 1| = Vậy hàm số lẻ. √ √ 5+x+ 5−x . y = u(x) = x −1    5 + x ≥ 0 x ≥ −5 Hàm số xác định ⇔ 5 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 5 ⇔ −5 ≤ x ≤ 5 và x 6= 1.     x − 1 6= 0 x 6= 1 Tập xác định D = [−5; 5] {1} không phải là tập đối xứng. Vậy hàm số không chẵn, không lẻ. 2×3 √ . y = v(x) = √ 6 + 3x  − 6 − 3x  ®   x ≥ −2 6 + 3x ≥ 0 −2≤x≤2 ⇔ x≤2 ⇔ . Hàm số xác định ⇔ 6 − 3x ≥ 0   x 6= 0 √ √ √ √   6 + 3x − 6 − 3x 6= 0 6 + 3x 6= 6 − 3x Tập xác định D = [−2; 2] {0} là tập đối xứng. Với ∀x ∈ D. Xét v(−x) = 2(−x)3 p p 6 + 3(−x) − 6 − 3(−x) 1. HÀM SỐ 51 = = −2×3 √ √ 6 − 3x − 6 + 3x 2×3 √ √ = v(x). 6 + 3x − 6 − 3x Vậy hàm số chẵn.  C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN √ √ 2−x+ x+2 . x A. D = [−2; 2]. B. D = (−2; 2){0}. C. D = [−2; 2]{0}. D. D = R. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ 2x + 1 √ Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y = 6 − x + . 1+ x−1 A. D = (1; +∞). B. D = [1; 6]. C. D = R. D. D = (−∞; −6). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ x+2 Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số y = √ . 2 x x − 4x + 4 A. D = [−2; +∞){0; 2}. B. D = R. C. D = [−2; +∞). D. D = (−2; +∞). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. x √ . Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số y = x− x−6 A. D = [0; +∞). B. D = [0; +∞){9}. C. D = 9. D. D = R. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ x−1+ 4−x Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số y = . (x − 2)(x − 3) A. D = [1; 4]. B. D = (1; 4){2; 3}. C. D = [1; 4]{2; 3}. D. D = (−∞; 1] ∪ [4; +∞). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 2018 √ Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y = √ . 3 2 x − 3x + 2 − 3 x2 − 7 A. D = R{3}. B. D = R. C. D = (−∞; 1) ∪ (2; +∞). D. D = R{0}. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y = CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI 52 |x| . |x − 2| + |x2 + 2x| A. D = R. B. D = R{0; −2}. C. D = (−2; 0). D. D = (2; +∞). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 2x − 1 Câu 8. Tìm tập xác định D của hàm số y = p . x|x − 4| A. D = R{0; 4}. B. D = (0; +∞). C. D = [0; +∞){4}. D. D = (0; +∞){4}. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. p 5 − 3|x| . Câu 9. Tìm tập xác định D của hàm số y = 2 x + 4x + 3 ò Å ã ï ò ï 5 5 5 5 5 5 {−1}. B. D = R. C. D = − ; {−1}. D. D = − ; . A. D = − ; 3 3 3 3 3 3 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số y = Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−3; 3] để hàm số f (x) = (m + 1)x + m − 2 đồng biến trên R. A. 7. B. 5. C. 4. D. 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 11. Trong các hàm số sau, hàm số √ nào là hàm số lẻ. √ √ A. y = x2018 − 2017. B. y = 2x + 3. C. y = 3 + x − 3 − x. D. y = |x + 3| + |x − 3|. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 12. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A. y = |x + 1| + |x − 1|. B. y = |x + 3| + |x − 2|. C. y = 2×2 − 3x. D. y = 2×4 − 3×2 + x. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ |x + 2015| + |x − 2015| Câu 13. Trong các hàm số y = |x + 2| − |x − 2|, y = |2x + 1| + 4×2 − 4x + 1, y = x (|x| − 2), y = |x + 2015| − |x − 2015| có bao nhiêu hàm số lẻ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..  3 khi x ≤ −2  −x −6 Câu 14. Cho hàm số f (x) = A. f (x là hàm số lẻ. B. f (x) là hàm số chẵn.   |x| 3 x −6 khi − 2 < x < 2 . Khẳng định nào đúng? khi x ≥ 2 1. HÀM SỐ 53 C. Đồ thị của hàm số f (x) đối xứng qua gốc tọa độ. D. Đồ thị của hàm số f (x) đối xứng qua trục hoành. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 15. Tìm điều kiện của tham số để hàm số f (x) = ax2 + bx + c là hàm số chẵn. A. a tùy ý, b = 0, c = 0. B. a tùy ý, b = 0, c tùy ý. C. a, b, c tùy ý. D. a tùy ý, b tùy ý, c = 0. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... x+1 xác định trên [0; 1) khi. Câu 16. Hàm số y = x − 2m + 1  ñ 1 m≥2 m< 1  2. D. . A. m < . B. m ≥ 1. C. 2 m<1 m≥1 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... x4 − 3x2 + x + 7 − 1 có tập xác định là x4 − 2x2 + 1 A. [−2; −1] ∪ (1; 3]. B. (−2; −1] ∪ [1; 3). C. [−2; 3]{−1; 1}. D. [−2; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 3]. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... x−2 Câu 18. Hàm số y = √ có tập xác định là. 2 x −3+x−2 ä Ä ä Ä ä ß7™ Ä √ ó î√ √ √ 3; +∞ . B. D = −∞; − 3 ∪ 3; +∞ A. D = −∞; − 3 ∪ . 4 ß ™ Å ã ä Ä ä ä Ä Ä √ 7 √ √ √ 7 3; +∞ 3; C. D = −∞; − 3 ∪ . D. D = −∞; − 3 ∪ . 4 4 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 17. Hàm số y = Câu 19. Cho hai hàm số f (x) = |x + 2| − |x − 2| và g(x) = −x4 + x2 + 1. Khi đó. A. f (x) và g(x) cùng chẵn. B. f (x) và g(x) cùng lẻ. C. f (x) chẵn, g(x) lẻ. D. f (x) lẻ, g(x) chẵn. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... x3 có tập xác định là. |x| − 2 A. (−2; 0] ∪ (2; +∞). B. (−∞; −2) ∪ (0; +∞). C. (−∞; −2) ∪ (0; 2). D. (−∞; 0) ∪ (2; +∞). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... x+1 xác định trên [0; 1) khi. Câu 21. Hàm số y = x − 2m + 1 Câu 20. Hàm số y = 54 CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI  ñ 1 m≥2 m< 1 2. B. m ≥ 1. C.  . A. m < . D. 2 m<1 m≥1 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ Câu 22. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 2 x + 2 là. A. −4. B. −3. C. −2. D. −1. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ x 2+1 có tập xác định là R. Câu 23. Tìm m để hàm số y = 2 x + 2x − m + 1 A. m ≥ 1. B. m < 0. C. m > 2. D. m ≤ 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 24. Hàm số nào trong các hàm số sau không là hàm số chẵn. x2 + 1 A. y = . B. y = |1 + 2x| + |1 − 2x|. |2 − x| + |2√+ x| √ √ √ 3 3 C. y = 2 + x + 2 − x + 5. D. y = 3 2 − x − 3 2 + x. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 25. Hàm số nào trong các hàm số sau là hàm số lẻ. x2 + 1 1 A. y = |x − 1| + |x + 1|. B. y = . C. y = 4 . D. y = 1 − 3x + x3 . x x − 2×2 + 3 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ Câu 26. Hàm số y = x2 − x − 20 + 6 − x có tập xác định là. A. (−∞; −4) ∪ (5; 6]. B. (−∞; −4) ∪ (5; 6). C. (−∞; −4] ∪ [5; 6]. D. (−∞; −4) ∪ [5; 6). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. x3 có tập xác định là. |x| − 2 A. (−2; 0] ∪ (2; +∞). B. (−∞; −2) ∪ (0; +∞). C. (−∞; −2) ∪ (0; 2). D. (−∞; 0) ∪ (2; +∞). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 27. Hàm số y = Câu 28. Cho hàm số f (x) = |x + 2| + |x − 2| và g(x) = x3 + 5x. Khi đó. A. f (x) và g(x) đều là hàm số lẻ. B. f (x) và g(x) đều là hàm số chẵn. C. f (x) lẻ, g(x) chẵn. D. f (x) chẵn, g(x) lẻ. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 1. HÀM SỐ 55 ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 29. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải hàm số chẵn. A. y = |x − 5| + |x + 5|. B. y = x4 − x2 + 12. C. y = |1 − x| + |x + 1|. D. y = x2 − 1 + x. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 30. Trong các hàm số sau, hàm số nào giảm trên khoảng (0; 1)? √ 1 D. y = x. A. y = x2 . B. y = x3 . C. y = . x ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 31. Hàm số y = x (1 − |x|) là hàm số. A. Chẵn. B. Lẻ. C. Không chẵn, không lẻ. D. Vừa chẵn, vừa lẻ. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 1−x Câu 32. Cho hàm số y = f (x) = . Hệ thức nào sai? 1+x Å ã 1 . B. f [f (f (x))] = f (x). A. f (x) = −f x Å ã 1 2 . C. f (x + 1) = f (x) + 1. D. f =1− x+1 x+2 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ Câu 33. Tập xác định của hàm số y = x − 2m − 4 − 2x là [1; 2] khi và chi khi 1 1 1 A. m = − . B. m = 1. C. m = . D. m > . 2 2 2 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ Câu 34. Tập xác định của hàm số y = x − m − 6 − 2x là một đoạn trên trục số khi và chi khi 1 A. m = 3. B. m < 3. C. m > 3. D. m < . 3 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 1 Câu 35. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y = ? x−1 A. M1 (2; 1). B. M2 (1; 1). C. M3 (2; 0). D. M4 (0; 1). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ x2 − 4x + 4 Câu 36. Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số y = xÅ ã 1 . D. D(−1; −3). A. A(1; −1). B. B(2; 0). C. C 3; 3 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 56 CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... .......................................................................................................................  2  x ∈ (−∞; 0)  x − 1 √ . Tính f (4). Câu 37. Cho hàm sô f (x) =   2x + 1 x ∈ [0; 2] x − 1 x ∈ (2; 5] √ 2 D. f (4) = 0. B. f (4) = 15. C. f (4) = 5. A. f (4) = . 3 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... .......................................................................................................................  √  2 x+2−3 x ≥ 2 . Tính P = f (2) + f (−2). Câu 38. Cho hàm số f (x) =  2 x−1 x +1 x<2 5 8 A. P = . B. P = 4. C. P = 6. D. P = . 3 3 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 2x − 1 . Câu 39. Tìm tập xác định D của hàm số y = (2x + ß ™ 1)(x − 3) Å ã 1 1 A. D = (3; +∞). B. D = R − ; 3 . C. D = − ; +∞ . D. D = R. 2 2 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... x2 + 1 . Câu 40. Tìm tập xác định D của hàm số y = 2 x + 3x − 4 A. D = {1; −4}. B. D = R{1; −4}. C. D = R {1; 4}. D. D = R. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... x+1 Câu 41. Tìm tập xác định D của hàm số y = . (x + 1) (x2 + 3x + 4) A. D = R {1}. B. D = {−1}. C. D = R {−1}. D. D = R. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 2x + 1 Câu 42. Tìm tập xác định D của hàm số y = 3 x − 3x + 2 A. D = R {1}. B. D = R{−2; 1}. C. D = R {−2}. D. D = R. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ √ Câu 43. Tìm tập xác định D của hàm số y = x + 2 − x + 3 A. D = [−3; +∞). B. D = [−2; +∞). C. D = R. D. D = [2; +∞). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 1. HÀM SỐ 57 √ √ Câu 44. Tìm tập xác định D của hàm số y = 6 − 3x − x − 1 A. D = (1; 2). B. D = [1; 2]. C. D = [1; 3]. D. D = [−1; 2]. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ 3x − 2 + 6x √ Câu 45. Tìm tập xác định D của hàm số y = 4 − 3x ï ã ï ã ï ã Å ã 2 4 3 4 2 3 4 A. D = ; ; ; . B. D = . C. D = . D. D = −∞; . 3 3 2 3 3 4 3 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... x+4 Câu 46. Tìm tập xác định D của hàm số y = √ x2 − 16 A. D = (−∞; −2) ∪ (2; +∞). B. D = R. C. D = (−∞, −4) ∪ (4; +∞). D. D = (−4; 4). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ √ Câu 47. Tìm tập xác định D của hàm số y = x2 − 2x + 1 + x − 3 A. D = (−∞; 3]. B. D = [1; 3]. C. D = [3; +∞). D. D = (3; +∞). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ x+1 Câu 48. Tìm tập xác định D của hàm số y = 2 x −x−6 A. D = {3}. B. D = [−1; +∞) {3}. C. D = R. D. D = [−1; +∞). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... x+1 √ Câu 49. Tìm tập xác định D của hàm số y = (x − 3) ã 2x − 1 Å ã ï ã Å 1 1 1 C. D = ; +∞ {3}. D. D = ; +∞ {3}. A. D = R. B. D = − ; +∞ {3}. 2 2 2 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ 3 x−1 Câu 50. Tìm tập xác định D của hàm số y = 2 x +x+1 A. D = (1; +∞). B. D = {1}. C. D = R. D. D = (−1; +∞). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 51. Xét tính đồng biến,nghịch biến của hàm số f (x) = x2 − 4x + 5 trên khoảng (−∞; 2) và trên khoảng (2; +∞). Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2), đồng biến trên (2; +∞). B. Hàm số đồng biến trên (−∞; 2), nghịch biến trên (2; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞). 58 CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 3 Câu 52. Xét sự biến thiên của hàm số f (x) = trên khoảng (0; +∞). Khẳng định nào sau đây đúng? x A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞). C. Hàm số vừa đồng biến và nghịch biến trên khoảng (0; +∞). D. Hàm số không đồng biến cũng không nghịch biến trên khoảng (0; +∞). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 1 Câu 53. Xét sự biến thiên của hảm số f (x) = x + trên khoáng (1; +∞). Khắng định nào sau đây đúng? x A. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞). B. Hàm só nghịch biến trên khoáng (1; +∞). C. Hàm số vừa đồng biến vừa nghịch biến trên khoảng (1; +∞). D. Hàm số không đồng biến cũng không nghịch biến trên khoảng (1; +∞). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... x−3 trên khoảng (−∞; −5) và trên khoảng (−5; +∞) . Câu 54. Xét tính đồng biến,nghịch biến của hàm số f (x) = x+5 Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên (−∞; −5), đồng biến trên (−5; +∞). B. Hàm só đồng biến trên (−∞; −5), nghịch biến trên (−5; +∞). C. Hàm só nghịch biến trên các khoảng (−∞; −5) và (−5; +∞). D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −5) và (−5; +∞). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ 2x − 7. Khẳng định nào sau đây đúng? Câu 55. Cho hàm số f (x) = Å ã Å ã 7 7 ; +∞ . B. Hàm số đồng biến trên ; +∞ . A. Hàm số nghịch biến trên 2 2 C. Hàm số đồng biến trên R. D. Hàm số nghịch biến trên R. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 56. Trong các hàm số y = 2015x, y = 2015x + 2, y = 3x2 − 1, y = 2x3 − 3x có bao nhiêu hàm sô lẻ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 57. Cho hai hàm số f (x) = −2x3 + 3x và g(x) = x2017 + 3. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. f (x) là hàm số lẻ; g(x) là hàm số lẻ. B. f (x) là hàm sô chẵn; g(x) là hàm số chẵn. C. Cả f (x) và g(x) đều là hàm số không chẵn, không lẻ. D. f (x) là hàm số lẻ; g(x) là hàm số không chẵn, không lẻ. 1. HÀM SỐ 59 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 58. Cho hàm số f (x) = x2 − |x|. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. f (x) là hàm số lẻ. B. f (x) là hàm số chẵn. C. Đồ thị của hàm số f (x) đối xứng qua gốc tọa độ. D. Đồ thị của hàm số f (x) đối xứng qua trục hoành. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 59. Cho hàm số f (x) = |x − 2|. Khẳng đinh nào sau đây là đúng? A. f (x) là hàm số lẻ. B. f (x) là hàm số chẵn. C. f (x) là hàm số vừa chẵn,vừa lẻ. D. f (x) là hàm số không chẵn,không lẻ. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ 2x + 5 . Câu 60. Tìm tập xác định của hàm số y = x − 2 + x−4 A. D = R{4}. B. D = R{2}. C. D = (−∞; 2]. D. D = [2; +∞){4}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 2x + 1 là Câu 61. Tập xác định của hàm số y = 2 x −4 ß ™ 1 A. D = R. B. D = R{−2; 2}. C. D = R − . D. D = {−2; 2}. 2 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ Câu 62. Tập Å xác định ã của hàm số y = ï3 − 2x là ã Å ò ã ï 1 3 3 3 1 3 A. D = − ; . B. D = . D. D = −∞; . ; +∞ . C. D = − ; 2 2 2 2 2 2 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ß −2(x − 2) khi − 1 ≤ x < 1 . Giá trị f (−1) bằng Câu 63. Cho hàm số f (x) = √ 2 x −1 khi x ≥ 1 A. −6. B. 6. C. 5. D. −5. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 64. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng (0; +∞). A. y = −2x + 1. B. y = x2 − 2x + 1. C. y = x. D. y = −x. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 60 CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI p Câu 65. ã nào sau đây là tậpÅ xác định ã của hàm số y = |2x Å − 3|. ò ï Tập hợp 3 3 3 D. R. ; +∞ . B. ; +∞ . C. −∞; . A. 2 2 2 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 66. Trong các hàm số sau đây y = |x|, y = x2 + 4x, y = −x4 + 2x2 có bao nhiêu hàm số chẵn? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 67. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ ? x x x−1 x A. y = − . B. y = − + 1. C. y = − . D. y = − + 2. 2 2 2 2 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 68. Xét tính chẵn, lẻ của hai hàm số f (x) = |x + 2| − |x − 2|, g(x) = −|x| A. f (x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số chẵn. B. f (x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số chẵn. C. f (x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số lẻ. D. f (x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 69. Xét tính chất chẵn lẻ của hàm số: y = 2x3 + 3x + 1. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng? A. y là hàm số chẵn. B. y là hàm số lẻ. C. y là hàm số không có tính chẵn lẻ. D. y là hàm số vừa chẵn vừa lẻ. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 70. Cho hàm số y = 3x4 − 4x2 + 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. y là hàm số chẵn. B. y là hàm số lẻ. C. y là hàm số không có tính chẵn lẻ. D. y là hàm số vừa chẵn vừa lẻ. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 71. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số lẻ? 1 A. y = x3 + 1 . B. y = x3 − x. C. y = x3 + x . D. y = . x ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 72. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số chẵn? A. y = |x + 1| + |1 − x|. B. y = |x + 1| − |1 − x|. C. y = |x2 + 1| + |1 − x2 |. D. y = |x2 + 1| − |1 − x2 |. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 1. HÀM SỐ 61 Câu 73. Cho hàm số y = f (x) = |2x − 3|. Tìm x để f (x) = 3 A. x = 3. B. x = 3 hoặc x = 0. C. x = ±3. D. x = ±1. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ Câu 74. Cho hàm số y = f (x) = x3 − 9x. Kết quả nào sau đây đúng? A. f (0) = 2,√ f (−3) = −4 . B. f (2) không xác định, f (−3) = −5. C. f (−1) = 8, f (2) không xác định. D. Tất cả các câu trên đều đúng. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... x+5 x−1 + là Câu 75. Tập xác định của hàm số f (x) = x−1 x+5 A. D = R . B. D = R {1}. C. D = R {−5}. D. D = R {−5; 1}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ 1 là Câu 76. Tập xác định của hàm số f (x) = x − 3 + √ 1−x A. D = (1; 3]. B. D = (−∞; 1) ∪ [3; +∞). C. D = (−∞; 1) ∪ (3; +∞). D. D = ∅. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 3x + 4 √ là Câu 77. Tập xác định của hàm số y = (x − 2) x + 4 A. D = R {2}. B. D = (−4; +∞) {2}. C. D = [−4; +∞) {2} . D. D = ∅. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ 1 là Câu 78. Tập xác định của hàm số f (x) = x − 3 + x−3 A. D = R {3}. B. D = [3; +∞). C. D = (3; +∞) . D. D = (−∞; 3) . ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ 1 là Câu 79. Tập xác định của hàm số f (x) = x − 5 + √ 13 − x A. D = [5; 13]. B. D = (5; 13). C. D = (5; 13]. D. D = [5; 13). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ 1 Câu 80. Tập xác định của hàm số y = x + 1 + là |x| − 2 A. D = (−1; +∞) {±2}. B. D = [−1; +∞) {2}. C. D = [−1; +∞) {−2}. D. D = (−1; +∞) {2}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 62 CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI ....................................................................................................................... Câu 81. Cho hàm số y = f (x) = 3x4 − 4x2 + 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. y = f (x) là hàm số chẵn. B. y = f (x) là hàm số lẻ. C. y = f (x) là hàm số không có tính chẵn lẻ. D. y = f (x) là hàm số vừa chẵn vừa lẻ. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 82. Cho hai hàm số f (x) = x3 − 3x và g(x) = −x3 + x2 . Khi đó A. f (x) và g(x) đều là hàm số lẻ. B. f (x) và g(x) đều là hàm số chẵn. C. f (x) chẵn, g(x) lẻ. D. f (x) lẻ, g(x) không chẵn không lẻ. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 1 Câu 83. Cho hai hàm số f (x) = và g(x) = −x4 + x2 − 1. Khi đó x A. f (x) và g(x) đều là hàm số lẻ. B. f (x) và g(x) đều là hàm số chẵn. C. f (x) lẻ, g(x) chẵn. D. f (x) chẵn, g(x) lẻ. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 84. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải hàm số chẵn? |x + 1| + |1 − x| . A. y = |x + 1| + |1 − x|. B. y = |x + 1| − |1 − x|. C. y = |x2 + 1| + |x2 − 1|. D. y = x2 + 4 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 85. Trong các hàm số sau, hàm số nào tăng trên khoảng (−1; 0)? 1 A. y = x. B. y = . C. y = |x|. D. y = x2 . x ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 86. Câu nào sau đây đúng? A. Hàm số y = a2 x + b đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0. B. Hàm số y = a2 x + b đồng biến khi b > 0 và nghịch biến khi b < 0. C. Với mọi giá trị thực của b, hàm số y = −a2 x + b nghịch biến khi a 6= 0. D. Hàm số y = a2 x + b đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi b < 0. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 1 Câu 87. Xét sự biến thiên của hàm số y = 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x A. Hàm số đồng biến trên (−∞; 0), nghịch biến trên (0; +∞). B. Hàm số đồng biến trên (0; +∞), nghịch biến trên (−∞; 0). C. Hàm số đồng biến trên (−∞; 1), nghịch biến trên (1; +∞). D. Hàm số nghịch biến trên (−∞; 0) ∪ (0; +∞). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 1. HÀM SỐ 63 ....................................................................................................................... 4 . Khi đó Câu 88. Cho hàm số f (x) = x+1 A. f (x) tăng trên khoảng (−∞; −1) và giảm trên khoảng (−1; +∞). B. f (x) tăng trên hai khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). C. f (x) giảm trên khoảng (−∞; −1) và tăng trên khoảng (−1; +∞). D. f (x) giảm trên hai khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... x Câu 89. Xét sự biến thiên của hàm số y = . Chọn khẳng định đúng. x−1 A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. B. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. C. Hàm số đồng biến trên (−∞; 1), nghịch biến trên (1; +∞). D. Hàm số đồng biến trên (−∞; 1). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ 16 − x2 Câu 90. Cho hàm số y = . Kết quả nào sau đây đúng? √ x+2 11 15 . B. f (0) = 2; f (−3) = − . A. f (0) = 2; f (1) = 3 24 √ 14 C. f (2) = 1; f (−2) không xác định. D. f (0) = 2; f (1) = . 3 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... .......................................................................................................................  x  ,x ≥ 0  x+1 . Giá trị của f (0), f (2), f (−2) là Câu 91. Cho hàm số f (x) =   1 ,x < 0 x−1 2 2 1 A. f (0) = 0; f (2) = , f (−2) = 2. B. f (0) = 0; f (2) = ; f (−2) = − . 3 3 3 1 D. f (0) = 0; f (2) = 1; f (−2) = 2. C. f (0) = 0; f (2) = 1; f (−2) = − . 3 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ 1 . Tập nào sau đây là tập xác định của hàm số f (x)? Câu 92. Cho hàm số f (x) = x − 1 + x−3 A. (1; +∞). B. [1; +∞]. C. [1; 3) ∪ (3; +∞). D. [1; +∞) {3}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ √ Câu 93. Hàm số y = x2 − x − 20 + 6 − x có tập xác định là A. (−∞; 4) ∪ (5; 6]. B. (−∞; −4) ∪ (5; 6). C. (−∞; −4] ∪ [5; 6]. D. (−∞; −4) ∪ [5; 6). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI 64 BÀI A. 1. 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT TÓM TẮT LÝ THUYẾT Hàm số bậc nhất y = ax + b (a 6= 0) Tập xác định: D = R. Sự biến thiên: – Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến (tăng) trên R. – Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến (giảm) trên R. Å ã b Đồ thị hàm số là một đường thẳng có hệ số góc bằng a, cắt trục hoành tại điểm A − ; 0 và cắt trục tung tại a điểm B(0; b). y y B B A A x O O x y = ax + b (a < 0) y = ax + b (a > 0) Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho d : y = ax + b (a 6= 0) và d′ : y = a′ x + b′ (a′ 6= 0). ® a = a′ ′ – dkd ⇔ b 6= b′ . ® a = a′ – d ≡ d′ ⇔ b = b′ . – d cắt d′ ⇔ a 6= a′ . – d ⊥ d′ ⇔ a · a′ = −1. – d cắt d tại một điểm trên trục tung ⇔ ′ 2. ® a 6= a′ b = b′ . Hàm số hằng y = b Đồ thị hàm số y = b là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm (0; b). Đường thẳng này gọi là đường thẳng y = b. y b O y=b x 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT 3. 65 Hàm số y = |ax + b| (a 6= 0)   ax + b b a y = |ax + b| =   − (ax + b) nếu x < − b . a Để vẽ đồ thị hàm số y = |ax + b| (a 6= 0) ta có thể vẽ hai đường thẳng y = ax + b và y = −ax − b rồi xóa đi hai phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành. B. nếu x ≥ − CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ { DẠNG 2.1. Xét tính đồng biến, nghịch biến Muốn xét tính đơn điệu của hàm số bậc nhất, ta cần đưa hàm số về đúng dạng y = a x + b. Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến (tăng) trên R. Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến (giảm) trên R. VÍ DỤ 1. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: 1 y = 2x + 1. 2 y = −x + 1. 3 y= 1−x . 2 4 x y=− . 2 Lời giải. 1 Hàm số y = 2x + 1 có hệ số a = 2 > 0 nên hàm số đồng biến (tăng) trên R. 2 Hàm số y = −x + 1 có hệ số a = −1 < 0 nên hàm số nghịch biến (giảm) trên R. 3 Hàm số y = 4 1 1 1 1−x = − x + có hệ số a = − < 0 nên hàm số nghịch biến (giảm) trên R. 2 2 2 2 1 1 x Hàm số y = − = − x có hệ số a = − < 0 nên hàm số nghịch biến (giảm) trên R. 2 2 2  VÍ DỤ 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 y = (m − 1)x + 1 đồng biến trên R. 2 y = −mx + m + 1 nghịch biến trên R. 3 y = −(m2 + 1)x + m + 1 nghịch biến trên R. 4 y= 1 x + 2 đồng biến trên R. m−1 Lời giải. 1 2 3 4 Hàm số y = (m − 1)x + 1 đồng biến trên R ⇔ m − 1 > 0 ⇔ m > 1. Vậy m > 1. Hàm số y = −mx + m + 1 nghịch biến trên R ⇔ −m < 0 ⇔ m > 0. Vậy m > 0. Hàm số y = −(m2 + 1)x + m + 1 nghịch biến trên R ⇔ −(m2 + 1) < 0 ⇔ m2 + 1 > 0 (luôn đúng với mọi m ∈ R). Vậy m ∈ R. Hàm số y = Vậy m > 1. 1 1 x + 2 đồng biến trên R ⇔ > 0 ⇔ m − 1 > 0 ⇔ m > 1. m−1 m−1  { DẠNG 2.2. Đồ thị hàm số y = ax + b Đưa hàm số về đúng dạng y = a x + b, (a 6= 0). Đồ thị hàm số là một đường thẳng. Nếu a > 0 thì đồ thị “đi lên từ trái sang phải”. CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI 66 Nếu a < 0 thì đồ thị “đi xuống từ trái sang phải”. Xác định giao điểm của đường thẳng với hai trục tọa độ rồi nối hai điểm đó lại ta được đường thẳng là đồ thị của hàm số. VÍ DỤ 3. Xét tính đơn điệu và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1 y = 2x + 1. 2 y = −x + 1. 3 y= 1−x . 2 4 y=− x + 2. 4 Lời giải. 1 y = 2x + 1. Tập xác định D = R. Hàm số y = 2x + 1 có hệ số a = 2 > 0 nên hàm số đồng biến (tăng) trên Å ã R. 1 Đồ thị hàm số y = 2x+1 là một đường thẳng đi qua hai điểm A − ; 0 và B(0; 1). 2 y y = 2x + 1 1 1 − 2 x O 2 y = −x + 1. Tập xác định D = R. Hàm số y = −x + 1 có hệ số a = −1 < 0 nên hàm số nghịch biến (giảm) trên R. Đồ thị hàm số y = −x + 1 là một đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; 1). y 1 x 1 O y = −x + 1 3 1 1 1−x =− x+ . 2 2 2 Tập xác định D = R. 1 1−x có hệ số a = − < 0 nên hàm số nghịch biến (giảm) trên R. Hàm số y = 2 2 Å ã 1−x 1 Đồ thị hàm số y = là một đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 0) và B 0; . 2 2 y= y 1 2 x 1 O y= 4 1−x 2 x + 2. 4 Tập xác định D = R. x 1 Hàm số y = − + 2 có hệ số a = − < 0 nên hàm số nghịch biến (giảm) trên R. 4 4 x Đồ thị hàm số y = − + 2 là một đường thẳng đi qua hai điểm A(8; 0) và B(0; 2). 4 y=− y 2 x O 8 y=− x +2 4  2. HÀM SỐ BẬC NHẤT 67 { DẠNG 2.3. Đồ thị hàm số y   ax + b = |ax + b| b a y = |ax + b| =   − (ax + b) khi x < − b . a khi x ≥ − Để vẽ đồ thị hàm số y = |ax + b|, (a 6= 0) ta có thể vẽ hai đường thẳng y = ax + b và y = −ax − b rồi xóa đi hai phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành. VÍ DỤ 4. Xét tính đơn điệu và vẽ đồ thị các hàm số sau. 1 y = |x − 1| 2 y = | − x + 1| + 1 3 y = |x + 1| + |x| 4 y = x + |x + 1| Lời giải. 1 Ta có ® x−1 khi x ≥ 1 − x + 1 khi x < 1. Hàm số đồng biến trên (1; +∞) và nghịch biến trên (−∞; 1). y = |x − 1| = y 1 O 2 1 x 1 x Ta có ® − x + 2 khi x ≤ 1 x khi x > 1. Hàm số nghịch biến trên (1; +∞) và đồng biến trên (−∞; 1). y = | − x + 1| + 1 = y 2 1 O 3 Ta có   2x + 1 khi x ≥ 0 1 khi − 1 < x < 0   − 2x − 1 khi x ≤ −1. Hàm số đồng biến trên (0; +∞) và nghịch biến trên (−∞; −1). y = |x + 1| + |x| = y 1 −1 4 Ta có O x CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI 68 y = x + |x + 1| = ® 2x + 1 khi x ≥ −1 y −1 khi x < −1. Hàm số đồng biến trên (−1; +∞). 1 −1 x O −1  C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Tìm m để hàm số y = (2m + 1)x + m − 3 đồng biến trên R. 1 1 1 1 B. m < . C. m < − . D. m > − . A. m > . 2 2 2 2 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 2. Tìm m để hàm số y = m(x + 2) − x(2m + 1) nghịch biến trên R. 1 1 A. m > −1. B. m < − . C. m < −1. D. m > − . 2 2 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 3. Tìm m để hàm số y = −(m2 + 1)x + m − 4 nghịch biến trên R. A. m > 1. B. Với mọi m. C. m < −1. D. m > −1. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2017; 2017] để hàm số y = (m − 2)x + 2m đồng biến trên R. A. 2014. B. 2016. C. Vô số. D. 2015. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2017; 2017] để hàm số y = (m2 − 4)x + 2m đồng biến trên R. A. 4030. B. 4034. C. Vô số. D. 2015. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ Câu 6. Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng y = 2x. √ √ √ 1 C. y + 2x = 2. B. y = √ x − 3. D. y − 2x = 5. A. y = 1 − 2x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT 69 Câu 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = (m2 − 3)x + 2m − 3 song song với đường thẳng y = x + 1. A. m = 2. B. m = ±2. C. m = −2. D. m = 1. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 3x + 1 song song với đường thẳng y = (m2 − 1)x + m − 1. A. m = ±2. B. m = 2. C. m = −2. D. m = 0. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 9. Biết rằng đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm M (1; 4) và song song với đường thẳng y = 2x + 1. Tính tổng S = a + b. A. S = 4. B. S = 2. C. S = 0. D. S = −4. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 10. Biết rằng đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm E(2; −1) và song song với đường thẳng ON với O là gốc tọa độ và N (1; 3). Tính giá trị biểu thức S = a2 + b2 . A. S = −4. B. S = −40. C. S = −58. D. S = 58. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = (3m + 2)x − 7m − 1 vuông góc với đường thẳng ∆ : y = 2x − 1. 5 1 5 C. m < . D. m > − . A. m = 0. B. m = − . 6 6 2 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 12. Biết rằng đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm N (4; −1) và vuông góc với đường thẳng 4x − y + 1 = 0. Tính tích P = ab. 1 1 1 C. P = . D. P = − . A. P = 0. B. P = − . 4 4 2 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 13. Tìm a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua các điểm A(−2; 1) và B(1; −2). A. a = −2 và b = −1. B. a = 2 và b = 1. C. a = 1 và b = 1. D. a = −1 và b = −1. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 14. Biết rằng đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm M (−1; 3) và N (1; 2). Tính tổng S = a + b. 5 1 B. S = 3. C. S = 2. D. S = . A. S = − . 2 2 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 70 CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 15. Biết rằng đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(−3; 1) và có hệ số góc bằng −2. Tính tích P = ab. A. P = −10. B. P = 10. C. P = −7. D. P = −5. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. x  1 − 3x và y = − + 1 là Câu 16. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y = 4 ã3 Å 1 . D. (3; −2). A. (0; −1). B. (2; −3). C. 0; 4 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng y = m2 x + 2 cắt đường thẳng y = 4x + 3 A. m = ±2. B. m 6= ±2. C. m 6= 2. D. m 6= −2. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 18. Cho hàm số y = 2x + m + 1. Tìm giá trị thực của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. A. m = 7. B. m = 3. C. m = −7. D. m = ±7. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 19. Cho hàm số y = 2x + m + 1. Tìm giá trị thực của m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −2. A. m = −3. B. m = 3. C. m = 0. D. m = −1. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 20. Tìm giá trị thực của m để hai đường thẳng d : y = mx − 3 và ∆ : y + x = m cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung. A. m = −3. B. m = 3. C. m = ±3. D. m = 0. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 21. Tìm giá trị thực của m để hai đường thẳng d : y = mx − 3 và ∆ : y + x = m cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành. √ √ √ A. m = 3. B. m = ± 3. C. m = − 3. D. m = 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 22. Cho hàm số bậc nhất y = ax + b. Tìm a và b, biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm M (−1; 1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 5. 1 5 1 5 1 5 1 5 A. a = , b = . B. a = − , b = − . C. a = , b = − . D. a = − , b = . 6 6 6 6 6 6 6 6 ……………………………………………………………………………………………………….. 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT 71 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 23. Cho hàm số bậc nhất y = ax + b. Tìm a và b, biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng ∆1 : y = 2x + 5 tại điểm có hoành độ bằng −2 và cắt đường thẳng ∆2 : y = −3x + 4 tại điểm có tung độ bằng −2. 1 3 1 3 1 3 1 3 B. a = − ; b = . C. a = − ; b = − . D. a = ; b = − . A. a = ; b = . 4 2 4 2 4 2 4 2 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 24. Tìm giá trị thực của tham số m để ba đường thẳng y = 2x, y = −x − 3 và y = mx + 5 phân biệt và đồng qui. A. m = −7. B. m = 5. C. m = −5. D. m = 7. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 25. Tìm giá trị thực của tham số m để ba đường thẳng y = −5(x + 1), y = mx + 3 và y = 3x + m phân biệt và đồng qui. A. m 6= 3. B. m = 13. C. m = −13. D. m = 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 26. Cho hàm số y = x − 1 có đồ thị là đường ∆. Đường thẳng ∆ tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích S bằng bao nhiêu? 1 3 A. S = . B. S = 1. C. S = 2. D. S = . 2 2 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 27. Tìm phương trình đường thẳng d : y = ax + b. Biết đường thẳng d đi qua điểm I(2; 3) và tạo với hai tia Ox, Oy một tam giác vuông cân. A. y = x + 5. B. y = −x + 5. C. y = −x − 5. D. y = x − 5. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 28. Tìm phương trình đường thẳng d : y = ax + b. Biết đường thẳng d đi qua điểm I(1; 2) và tạo với hai tia Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 4. A. y = −2x − 4. B. y = −2x + 4. C. y = 2x − 4. D. y = 2x + 4. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. x y Câu 29. Đường thẳng d : + = 1, (a 6= 0, b 6= 0) đi qua điểm M (−1; 6) tạo với các tia Ox, Oy một tam giác có diện a b tích bằng 4. Tìm S = a + 2b. √ −5 + 7 7 38 B. S = . C. S = 10. D. S = 6. A. S = − . 3 3 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI 72 ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 30. Tìm phương trình đường√thẳng d : y = ax + b. Biết đường thẳng d đi qua điểm I(1; 3), cắt hai tia Ox, Oy và cách gốc tọa độ một khoảng bằng 5. A. y = 2x + 5. B. y = −2x − 5. C. y = 2x − 5. D. y = −2x + 5. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 31. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y = x + 1. B. y = −x + 2. C. y = 2x + 1. D. y = −x + 1. y 1 x O 1 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 32. Hàm số y = 2x − 1 có đồ thị là hình nào trong bốn hình sau? y y y O 1x O 1x O y 1x O 1x −1 −1 −1 −1 . B. . C. . D. . A. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 33. Cho hàm số y = ax + b có đồ thị là hình bên. Tìm a và b. 3 A. a = −2 và b = 3. B. a = − và b = 2. 2 3 C. a = −3 và b = 3. D. a = và b = 3. 2 y 3 −2 O x ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 34. 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT 73 Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y = |x|. B. y = −x. C. y = |x| với x < 0. D. y = −x với x < 0. y 1 −1 x O ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 35. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 1 −1 O 1 x A. y = |x|. B. y = |x| + 1. C. y = 1 − |x|. D. y = |x| − 1. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 36. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 3 1 −1 x 1 O A. y = |x| + 1. B. y = 2|x| + 1. C. y = |2x + 1|. D. y = |x + 1|. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 37. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y = |2x + 3|. B. y = |2x + 3| − 1. C. y = |x − 2|. D. y = |3x + 2| − 1. y 2 3 −2 − 2 O x −1 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI 74 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 38. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới ® ® đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 2x − 3 khi x < 1 2x − 3 khi x ≥ 1 . . B. f (x) = A. f (x) = x − 2 khi x ≥ 1 x − 2 khi x < 1 ® 3x − 4 khi x ≥ 1 C. f (x) = . D. y = |x − 2|. − x khi x < 1 y 1 O 2 x −1 −3 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 39. Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây? x −∞ 1 2 +∞ +∞ 2 +∞ f (x) 0 A. y = 2x − 1. B. y = |2x − 1|. C. y = 1 − 2x. D. y = −|2x − 1|. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 40. Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây? x −∞ 4 3 +∞ +∞ 2 +∞ f (x) 0 A. y = |4x + 3|. B. y = |4x − 3|. C. y = | − 3x + 4|. D. y = |3x + 4|. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 3. HÀM SỐ BẬC HAI 75 BÀI A. 1. HÀM SỐ BẬC HAI 3. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Hàm số bậc hai Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax2 + bx + c trong đó a, b, c là các hằng số và a 6= 0. Đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c được gọi là một Parabol . SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI Hàm số y = ax2 + bx + c a>0 x a<0 −b 2a −∞ x +∞ +∞ −b 2a −∞ +∞ y −∆ 4a fy −∆ 4a ã Å b . Hàm số nghịch biến trên khoảng −∞; − 2a ã Å b Hàm số đồng biến trên khoảng − ; +∞ . 2a +∞ −∞ +∞ ã Å b . Hàm số đồng biến trên khoảng −∞; − 2a ã Å b Hàm số nghịch biến trên khoảng − ; +∞ . 2a y y − ∆ − 4a b 2a x O − O ∆ 4a Å ã b ∆ Tọa độ đỉnh I − ; − . 2a 4a Trục đối xứng là đường thẳng x = − Đặc biệt Khi a > 0 hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là ymin = − Khi a < 0 hàm số đạt giá trị lớn nhất là ymax = − ∆ b tại x = − . 4a 2a ∆ b tại x = − . 4a 2a b . 2a − b 2a x CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI 76 CÁC BƯỚC VẼ PARABOL: (P ) : y = ax2 + bx + c (a 6= 0) Å ã b ∆ B1. Xác định tọa độ đỉnh I − ; − . 2a 4a B2. Xác định trục đối xứng ∆ : x = − b và hướng bề lõm của parabol. 2a B3. Lập bảng giá trị, xác định các điểm thuộc (P ). B4. Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để nối các điểm đó lại. VÍ DỤ 1. Cho hàm số y = −x2 + bx + 2 có đồ thị là parabol (P ). Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho, biết rằng (P ) có đỉnh nằm trên đường thẳng x = −2. Lời giải. Vì đỉnh của parabol nằm trên đường thẳng x = −2 nên − (P ) : y = −x2 − 4x + 2. b −b = −2 ⇔ = −2 ⇔ b = −4. Khi đó ta có 2a 2 · (−1) Bảng biến thiên x −∞ +∞ −2 6 y −∞ +∞ Vẽ đồ thị hàm số. Tọa độ đỉnh của parabol (P ) là I (−2; 6). Trục đối xứng ∆ : x = −2, bề lõm hướng xuống dưới. Bảng giá trị xác định các điểm thuộc (P ): x y -3 5 -2 6 -1 5 Đồ thị hàm số y 6 5 −3 −2 −1 O x  VÍ DỤ 2. Cho hàm số y = −2x2 + bx + c có đồ thị là parabol (P ). Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho, biết rằng (P ) đi qua điểm A(1; −2) và hoành độ của đỉnh là 2. Lời giải. b b =2⇔− = 2 ⇔ b = 8. Khi đó (P ) : y = −2x2 + 8x + c. 2a 2 · (−2) Mặt khác (P ) đi qua điểm A(1; −2) nên −2 = −2 · (1)2 + 8 · 1 + c ⇔ c = −8. Vậy (P ) : y = −2x2 + 8x − 8. Vì hoành độ đỉnh của parabol là 2 nên − 3. HÀM SỐ BẬC HAI 77 Bảng biến thiên x −∞ +∞ 2 0 y −∞ +∞ Vẽ đồ thị hàm số. Tọa độ đỉnh của parabol (P ) là I (2; 0). Trục đối xứng ∆ : x = 2, bề lõm hướng xuống dưới. Bảng giá trị xác định các điểm thuộc (P ): x y 1 -2 2 0 3 -2 Đồ thị hàm số y 1 2 3 x O −2  VÍ DỤ 3. Cho hàm số y = x2 + bx + c có đồ thị là parabol (P ). Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho, biết rằng (P ) có đỉnh I(−1; −2). Lời giải.   − b = −1 (1) 2a Vì (P ) có đỉnh là I(−1; −2) nên  A ∈ (P ). (2) b = −1 ⇔ b = 2. (1) ⇔ − 2·1 (2) ⇔ −2 = (−1)2 + 2(−1) + c ⇔ c = −1. Vậy (P ) : y = x2 + 2x − 1. Bảng biến thiên x −∞ +∞ −1 +∞ +∞ f (x) −2 Vẽ đồ thị hàm số. Tọa độ đỉnh của parabol (P ) là I (−1; −2). Trục đối xứng ∆ : x = −1, bề lõm hướng lên trên. Bảng giá trị xác định các điểm thuộc (P ): x y Đồ thị hàm số -2 -1 -1 -2 0 -1 CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI 78 y −2 x −1 O −1 −2 △ ! B. THIẾU BTTL BỔ SUNG SAU  CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN √ √ 2−x+ x+2 Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y = . x A. D = [−2; 2]. B. D = (−2; 2) {0}. C. D = [−2; 2] {0}. D. D = R. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ 2x + 1 √ . Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y = 6 − x + 1+ x−1 A. D = (1; +∞). B. D = [1; 6]. C. D = R. D. D = (−∞; 6). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ x+2 Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số y = √ . 2 x x − 4x + 4 A. D = [−2; +∞) {0; 2}. B. D = R. C. D = [−2; +∞). D. D = (−2; +∞) {0; 2}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... x √ . Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số y = x− x−6 A. D = [0; +∞). B. D = [0; +∞) {9}. C. D = {9}. D. D = R. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ √ x−1+ 4−x Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số y = . (x − 2)(x − 3) A. D = [1; 4]. B. D = (1; 4) {2; 3}. C. D = [1; 4] {2; 3}. D. D = (−∞; 1] ∪ [4; +∞). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 2018 √ . Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y = √ 3 2 x − 3x + 2 − 3 x2 − 7 A. D = R {3}. B. D = R. C. D = (−∞; 1) ∪ (2; +∞). D. D = R {0}. 3. HÀM SỐ BẬC HAI 79 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... |x| . Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số y = |x − 2| + |x2 + 2x| A. D = R. B. D = R {0; −2}. C. D = (−2; 0). D. D = (2; +∞). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 2x − 1 Câu 8. Tìm tập xác định D của hàm số y = p . x |x − 4| A. D = R {0; 4}. B. D = (0; +∞). C. D = [0; +∞) {4}. D. D = (0; +∞) {4}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... p 5 − 3 |x| Câu 9. Tìm tập xác định D của hàm số y = 2 . x + 4x + 3 ò Å ã ï ò ï 5 5 5 5 5 5 {−1}. B. D = R. C. D = − ; {−1}. D. D = − ; . A. D = − ; 3 3 3 3 3 3 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−3; 3] để hàm số f (x) = (m + 1)x + m − 2 đồng biến trên R. A. 7. B. 5. C. 4. D. 3. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 11. Trong các hàm số sau đây, hàm√số nào là hàm số lẻ? √ √ A. y = x2018 − 2017. B. y = 2x + 3. C. y = 3 + x − 3 − x. D. y = |x + 3| + |x − 3|. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 12. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn? A. y = |x + 1| + |x − 1|. B. y = |x + 3| + |x − 2|. C. y = 2x3 − 3x. D. y = 2x4 − 3x2 + x. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ Câu 13. Trong các hàm số y = |x + 2| − |x − 2|, y = |2x + 1| + 4x2 − 4x + 1, |x + 2015| + |x − 2015| có bao nhiêu hàm số lẻ? y = x (|x| − 2), y = |x + 2015| − |x − 2015| A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 80 CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI  3 ; x ≤ −2  −x −6 ; −2 < x < 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? Câu 14. Cho hàm số f (x) = |x|   3 x −6 ;x ≥ 2 A. f (x) là hàm số lẻ. B. f (x) là hàm số chẵn. C. Đồ thị của hàm số f (x) đối xứng qua gốc tọa độ. D. Đồ thị của hàm số f (x) đối xứng qua trục hoành. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 15. Tìm điều kiện của tham số để các hàm số f (x =)ax2 + bx + c là hàm số chẵn. A. a tùy ý, b = 0, c = 0. B. a tùy ý, b = 0, c tùy ý. C. a, b, c tùy ý. D. a tùy ý, b tùy ý, c = 0. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... x+1 xác định trên [0; 1) khi Câu 16. Hàm số y = x − 2m + 1 1 1 A. m < . B. m ≥ 1. C. m < hoặc m ≥ 1. D. m ≥ 2 hoặc m < 1. 2 2 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... x4 − 3x2 + x + 7 − 1 có tập xác định là x4 − 2x2 + 1 A. [−2; −1) ∪ (1; 3]. B. (−2; 1] ∪ [1; 3). C. [−2; 3] {1}. D. [−2; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 3]. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... x−2 có tập xác định là Câu 18. Hàm số y = √ 2 x −3+x−2 Ä ä Ä ä Ä ä ß7™ √ √ ó î√ √ A. −∞; − 3 ∪ 3; +∞ . B. −∞; − 3 ∪ 3; +∞ . 4 ß ™ Å ã ä Ä ä ä Ä Ä √ 7 √ √ √ 7 3; +∞ 3; C. −∞; − 3 ∪ . D. −∞; − 3 ∪ . 4 4 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 17. Hàm số y = Câu 19. Cho hai hàm số f (x) = |x + 2| − |x − 2| và g(x) = −x4 + x2 + 1. Khi đó A. f (x) và g(x) cùng chẵn. B. f (x) và g(x) cùng lẻ. C. f (x) chẵn, g(x) lẻ. D. f (x) lẻ, g(x) chẵn. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... x3 có tập xác định là |x| − 2 A. (−2; 0] ∪ (2; +∞). B. (−∞; −2) ∪ (0; +∞). C. (−∞; −2) ∪ (0; 2). D. (−∞; 0) ∪ (2; +∞). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 20. Hàm số y = 3. HÀM SỐ BẬC HAI Câu 21. Hàm số y = 81 x+1 xác định trên [0; 1) khi x − 2m + 1 1 1 B. m ≥ 1. C. m < hoặc m ≥ 1. D. m ≥ 2 hoặc m < 1. A. m < . 2 2 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ Câu 22. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 2 x + 2 là A. −4. B. −3. C. −2. D. −1. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ x 2+1 có tập xác định là R Câu 23. Tìm m hàm số y = 2 x + 2x − m + 1 A. m ≥ 1. B. m < 0. C. m > 2. D. m ≤ 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 24. Hàm số nào trong các hàm số sau không là hàm số chẵn ? x2 + 1 A. y = . B. y = |1 + 2x| + |1 − 2x|. |2 − x| + |2√+ x| √ √ √ C. y = 3 2 + x + 3 2 − x + 5. D. y = 3 2 − x − 3 2 + x. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 25. Hàm số nào trong các hàm số sau là hàm số lẻ 1 x2 + 1 . C. y = 4 . D. y = 1 − 3x + x3 . A. y = |x − 1| + |x + 1|. B. y = x x − 2×2 + 3 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ Câu 26 (0D2B1-2). Hàm số y = x2 − x − 20 + 6 − x có tập xác định là A. (−∞; −4) ∪ (5; 6]. B. (−∞; −4) ∪ (5; 6). C. (−∞; −4) ∪ [5; 6]. D. (−∞; −4) ∪ [5; 6). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. x3 có tập xác định là |x| − 2 A. (−2; 0] ∪ (2; +∞). B. (−∞; −2) ∪ (0; +∞) . C. (−∞; −2) ∪ (0; 2). D. (−∞; 0) ∪ (2; +∞). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 27. Hàm số y = Câu 28. Cho hàm số f (x) = |x + 2| + |x − 2| và g(x) = x3 + 5x. Khi đó A. f (x) và g(x) đều là hàm số lẻ. B. f (x) và g(x) đều là hàm số chẵn. C. f (x) lẻ, g(x) chẵn. D. f (x) chẵn, g(x) lẻ. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 82 CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 29. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải hàm số chẵn A. y = |x − 5| + |x + 5|. B. y = x4 − x2 + 12. C. y = |1 − x| + |x + 1|. D. y = x2 − 1 + x. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 30. Trong các hàm số sau, hàm số nào giảm trên khoảng (0; 1)? √ 1 D. y = x. A. y = x2 . B. y = x3 . C. y = . x ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 31. Hàm số y = x (1 − |x|) là hàm số A. chẵn. B. lẻ. C. không chẵn, không lẻ. D. vừa chẵn, vừa lẻ. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 1−x Câu 32. Cho hàm số y = f (x) = . Hệ thức nào sai? 1 +x Å ã 1 A. f (x) = −f . B. f [f (f (x))] = f (x). x ã Å 2 1 = 1− . C. f (x + 1) = f (x) + 1. D. f x+1 x+2 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 33. Cho (P ) : y = x2 − 4x + 3. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên (−∞; 4). B. Hàm số nghịch biến trên (−∞; 4). C. Hàm số đồng biến trên (−∞; 2). D. Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 34. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đi qua điểm M (1; 3) và trục đối xứng x = 3? A. y = −x2 + 6x. B. y = x2 + 3x − 1. C. y = x2 + 2x − 2. D. y = −x2 + 6x − 2. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 35.Å Cho hàmãsố y = ax2 + bx + Å c (a 6= 0) có ã đồ thị (P ). Khi đó, Å tọa độ đỉnh ã của (P ) là Å ã b ∆ b ∆ ∆ ∆ b b A. I − ; ; . B. I − ; − . C. I − ; − . D. I . 2a 4a a a 2a 4a 2a 2a ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 36. Cho hàm số y = x2 − 2x có đồ thị (P ). Tọa độ đỉnh của (P ) là A. (0; 0). B. (1; −1). C. (−1; 3). D. (2; 0). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 3. HÀM SỐ BẬC HAI 83 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 37. Cho hàm số y = 2×2 + 6x + 3 có đồ thị (P ). Trục đối xứng của (P ) là 3 3 B. y = − . C. x = 2. D. x = −2. A. x = − . 2 2 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 38. Cho hàm số y = x2 + 2x − 3 có đồ thị là parabol (P ). Trục đối xứng của (P ) là A. x = −1. B. x = 1. C. x = 2. D. x = −2. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 2 Câu 39.Å Parabol là ã ã y = 2x + x + 2 có đỉnh Å Å ã Å ã 1 19 1 15 1 15 1 15 A. I . B. I − ; . C. I . D. I − ; − . ; ; 4 8 4 8 4 8 4 8 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 40. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 + 2x + 3 bằng A. 3. B. 5. C. 4. D. 2. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 41. Đồ thị hàm số y = −x2 + 2x + 3 cắt trục hoành tại mấy điểm? A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 42. Cho hàm số y = x2 − 4x + 7. Chọn khẳng định đúng? A. Hàm số đồng biến trên R. B. Hàm số nghịch biến trên R. C. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −2). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 43. Parabol y = 2×2 + 3x + 1 nhận đường thẳng 3 3 B. x = − làm trục đối xứng. A. x = làm trục đối xứng. 2 4 3 3 C. x = − làm trục đối xứng. D. x = làm trục đối xứng. 2 4 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 44. Parabol y = x2 − 4x + 4 có đỉnh là A. I(1; 1). B. I(2; 0). C. I(−1; 1). D. I(−1; 2). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 84 CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 45. Cho hàm số y = x2 − 2x + 2. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. y tăng trên (1; +∞). B. y giảm trên (1; +∞). C. y giảm trên (−∞; 1). D. y tăng trên (3; +∞). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 46. Hàm trong khoảng (−∞; 0)? √ √ √ số nào sau đây nghịch biến √ B. y = − 2×2 + 1. C. y = 2(x + 1)2 . D. y = − 2(x + 1)2 . A. y = 2×2 + 1. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 47. Hàm √ khoảng (−1; +∞)? √ √ √ số nào sau đây đồng biến trong B. y = − 2×2 + 1. D. y = − 2(x + 1)2 . C. y = 2(x + 1)2 . A. y = 2×2 + 1. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 48. Cho hàm số y = x2 − 2x + 3. Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng? A. y tăng trên (0; +∞). B. y giảm trên (−∞; 1). C. Đồ thị y có đỉnh I(1; 0). D. y tăng trên (−1; +∞). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 49. Tìm tập xác định của hàm số y = x2 − 2x + 1 là A. D = R. B. D = R {1}. C. D = (−∞; 1). D. D = (1; +∞). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 50. Cho (P ) : y = x2 − 2x + 3. Tìm mệnh đề đúng? A. Hàm số đồng biến trên (−∞; 1). B. Hàm số nghịch biến trên (−∞; 1). C. Hàm số đồng biến trên (−∞; 2). D. Hàm số nghịch biến (−∞; 2). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 51. Cho hàm số y = 2×2 − x + 3, điểm nào thuộc đồ thị hàm số A. M (2; 1). B. M (−1; 1). C. M (2; 3). D. M (0; 3). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 52. Parabol y = x2 − 4x + 4 có đỉnh là A. I(1; 1). B. I(2; 0). C. I(−1; 1). D. I(−1; 2). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 3. HÀM SỐ BẬC HAI 85 Câu 53. Cho (P ) : y = x2 − 4x + 3. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên (−∞; 4). B. Hàm số nghịch biến trên (−∞; 4). C. Hàm số đồng biến trên (−∞; 2). D. Hàm số nghịch biến (−∞; 2). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 54. Parabol y = x2 − 3x + 2 có đỉnh I và cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt M , N . Tính diện tích S của tam giác IM N ? 1 1 1 C. S = . D. S = . A. S = 1. B. S = . 5 8 4 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 55. Parabol (P ) : y = ax2 + bx + c đạt cực tiểu bằng 4 tại x = 2 và đồ thị đi qua điểm A(0; 6). Tính giá trị biểu thức P = 2a − b + c. A. P = 0. B. P = −3. C. P = 5. D. P = 9. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 56. Tính khoảng cách d ngắn nhất từ đỉnh I của parabol y = 3×2 − 6mx + 4m2 − 2m + 4 đến trục Ox. A. d = 1. B. d = 2. C. d = 3. D. d = 4. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 57. Tính khoảng cách d ngắn nhất từ đỉnh I của parabol y = x2 − 4mx + 3m2 − 4m − 2 đến trục Ox. A. d = 1. B. d = 2. C. d = 3. D. d = 4. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ Câu 58. Hàm số y = x2 − 4mx − 2x + 13m + 5 luôn đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (m2 + 4m + 4; +∞). B. (m2 − 3m + 1; +∞). C. (m2 − m + 2; +∞). D. (m2 + m + 2; +∞). ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 59. Tìm m để hàm số y = −x2 − 4mx + 4m − 9 nghịch biến trên khoảng (2; +∞). A. m ≤ 2. B. m ≥ −1. C. m > 1. D. m < 1. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 60. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = −x2 + 8x + 5m − 24 có giá trị lớn nhất trên đoạn [1; 6] bằng −1 A. m = 1,5. B. m = 2,5. C. m = 1,4. D. m = 5. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI 86 Câu 61. Cho hàm số y = −x2 + 5x − 4. Hàm số có bảng biến thiên nào sau đây? 5 x x −∞ −∞ +∞ 2 − y A. x −∞ 5 2 +∞ . − B. x +∞ 9 4 y −∞ +∞ +∞ y −∞ +∞ y +∞ 9 4 −∞ 5 2 9 4 5 2 . +∞ 9 4 −∞ −∞ C. . D. . ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 62. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) = 4x2 − 4mx + m2 − 2m trên đoạn [−2; 0] bằng 3. Tính tổng T các phần tử của S. 1 9 3 3 B. T = . C. T = . D. T = . A. T = − . 2 2 2 2 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 63. Cho hàm số f (x) = ax2 + bx + c đồ thị như hình bên. Hỏi với những giá trị nào của tham số thực m thì phương trình |f (x)| = m có đúng 4 nghiệm thực phân biệt. A. 0 < m < 1. B. m > 3. C. m = −1, m = 3. D. −1 < m < 0. y 2 O x ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... −1 Câu 64. Cho (P ) : y = x2 − 4x + 3 và đường thẳng d : y = mx + 3. Tìm tất cả các giá trị thực của m để d cắt (P ) tại 9 hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 A. m = 7. B. m = −7. C. m = 1, m = −7. D. m = −1. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... CHƯƠNG 3 BÀI A. 1. 1. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÓM TẮT LÝ THUYẾT Phương trình một ẩn Khái niệm phương trình thực ra đã có trong chương trình toán bậc THCS, bài này chỉ muốn trình bày lại theo cách nhìn của khái niệm mệnh đề chứa biến. Cho hai biểu thức f (x) và g(x). Mệnh đề chứa biến f (x) = g(x) gọi là phương trình một ẩn. x gọi là ẩn số (hay gọi tắt là ẩn). f (x) gọi là vế trái, g(x) gọi là vế phải. Nếu có một số thưc x0 sao cho f (x0 ) = g (x0 ) là mệnh đề đúng thì x0 goi là một nghiệm của phương trình. Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình gọi là tâp nghiệm của phương trình đó. Giải phương trình là tim tất cả các nghiệm của phương trình đó, nghĩa là tìm tập nghiệm cùa phương trình. Nếu phương trình không có nghiệm nào thì ta nói phương trình vô nghiêm (hoặc có tập nghiệm là rỗng). VÍ DỤ 1. Mênh đề chứa biến x(x − 2) = 2x − 3 là phương trình một ẩn. Với x = 3 thế vào phương trình ta được 3(3 − 2) = 2.3 − 3 ⇔ 3 = 3 là một mệnh đề đúng, do đó x = 3 là một nghiệm của phương trình. Với x = 4 thế vào phương trình ta được 4(4 − 2) = 2.4 − 3 ⇔ 8 = 5 là một mênh đề sai, nên x = 4 không là nghiệm của phương trình. 2. Phương trình tương đương và phương trình hệ quả Cho hai phương trình f (x) = g(x) (1) có tập nghiệm S1 và h(x) = k(x) (2) có tập nghiệm S2 . Nếu tập nghiệm S1 , S2 bằng nhau thì ta gọi (1) và (2) là hai phương trình tương đương. Kí hiệu f (x) = g(x) ⇔ h(x) = k(x). Nếu S1 ⊂ S2 thì ta gọi (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1). Kí hiệu f (x) = g(x) ⇒ h(x) = k(x). Ở phương trình hệ quả có thể xuất hiện khả năng có 1 giá trị x0 ∈ S2 nhưng x0 ∈ / S1 (Nghĩa là x0 là nghiệm của (2) nhưng không là nghiệm của (1)). Ta gọi x0 là nghiệm ngoại lai. 3. Phép biến đổi tương đương Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiên của nó thì ta được một phương trình mới tương đương (gọi là phép biến đối tương đương). 1 Cộng hay trừ hai vế cùng một số hoặc cùng một biều thức. 2 Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0. 87 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 88 B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phương trình đóng vai trò quan trọng trong chương trình toán bậc THPT. Do đó việc nắm vững các phép biến đối là cần thiết. Các phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương. Việc đặt điều kiện để được phép biến đồi tương đương đòi hỏi sự linh hoạt và nắm được bản chất vấn đề "Không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình". Nếu chưa nắm rõ khi nào cần hoặc không cần đặt điều kiện cho phương trình, thì tốt hơn cả là cứ đặt điều kiện đề an tâm. Nếu chưa thực sự biết một phép biến đổi nào đó có tương đương không, thì nên biến đổi thành phương trình hệ quả, sau đó thử các giá trị ẩn số tìm được vào phương trình đã cho để kết luận tập nghiệm của phương trình. Sau cùng, không được sử dụng tùy tiện các kí hiệu " ⇒ " hoặc " ⇔ " hoặc "để trống" trong các phép biến đổi phương trình này thành phương trình kia. VÍ DỤ 2. Giải phương trình x2 − x − 4 √ √ = x − 1. x−1 Lời giải. Phân tích lời giải Vài cách trình bày cẩu thả 1 Ta có x2 − x − 4 = x − 1 ⇔ ... Phương trình nào tương đương với x2 − x − 4 = x − 1? x2 − x − 4 √ √ = x − 1 ⇔ x2 − x − 4 = x − 1 ⇔ x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ x = 3 hay x = −1. x−1 Sử dụng “⇔”, “⇒” tùy tiện. 2 Ta có 3 Ta có: x2 − x − 4 √ √ = x − 1 ⇔ x2 − x − 4 = x − 1 x−1 x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 3 Tại sao lại “để trống”? 4 Điều kiện: x − 1 > 0 ⇔ x > 1. ⇔ √ x2 − x − 4 √ = x − 1 ⇔ x2 − x − 4 = x − 1 x−1 Quá sai lầm! Cách giải đúng Cách 1: Không đặt điều kiện và sử dụng phép biến đổi hệ quả Ta có x2 − x − 4 √ √ = x − 1 ⇒ x2 − x − 4 = x − 1 x−1 ⇒ x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ x = −1 hay x = 3. 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 89 Thử lại √ 1+1−4 √ √ = −2 không thỏa vì −2 không tồn tại. −2 √ √ 9−3−4 √ √ = 2 ⇔ 2 = 2 thỏa. – Với x = 3 phương trình đã cho trở thành 2 Vậy phương trình có một nghiệm x = 3. – Với x = −1 phương trình đã cho trở thành Cách 2: Đặt điều kiện và sử dụng phép biến đổi tương đương. Điều kiện x − 1 > 0 ⇔ x > 1. Ta có x2 − x − 4 √ √ = x−1 x−1 ⇔ x2 − x − 4 = x − 1 ⇔ x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 3. So với điều kiện x > 1, phương trình đã cho có một nghiệm x = 3.  C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Giải phương trình sau 1 x2 − 5x − 3 √ x2 − 3x − 3 √ √ = √ = x−3 b. x−1 x−1 x−3 2x − 5 4 1 − 2x 1 1 2x c. − = 2 d. 1 + 2 = + x+1 x−1 x −1 x +x x+1 x ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. a. Bài đọc thêm 1. Điều kiện của một phương trình Thực ra, việc tìm điều kiện của một phương trình không đơn giản như tìm tập xác định của hàm số, hoặc tìm điều kiện của ẩn số x để các vế của phương trình có nghĩa, nó còn mang ý nghĩa rộng hơn, đó là tìm điều kiện để trong phương trình dấu “=” có thề xảy ra được, và đôi khi cũng không nhất nhiết phải tìm cho đến điều kiện của ẩn số x, điều này đòi hỏi sự linh hoạt. Ta xem các ví dụ sau VÍ DỤ 3. Tìm điều kiện của phương trình x−3 = x + 1. x−2 Lời giải. Điều kiện x − 2 6= 0 ⇔ x 6= 2. VÍ DỤ 4. Tìm điều kiện của phương trình  √ x − 1 = −x3 + x2 − x + 1. Lời giải. Biều thức trong căn không âm nên ta có điều kiện của phương trình là x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1. (a) Mặt khác, với x ≥ 1 thì vế trái của phương trình không âm, nên để dấu “=” trong phương trình có thể xảy ra, ta có thêm điều kiện vế phải của phương trình cũng không âm, nghĩa là   −x3 + x2 − x + 1 ≥ 0 ⇔ −x3 − x + x2 + 1 ≥ 0 ⇔ −x x2 + 1 + x2 + 1 ≥ 0    ⇔ x2 + 1 (−x + 1) ≥ 0 ⇔ −x + 1 ≥ 0 vì x2 + 1 > 0 ⇔ x ≤ 1. (b) Hai điều kiện (a) và (b) cho điều kiện chung của phương trình là x = 1. (Hơn nữa nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình, nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.)  CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 90 VÍ DỤ 5. Tìm điều kiện của phương trình p √ √ (x − 1)2 (−x − 3) + x + 2 = 3. Lời giải. Lời giải sai: Điều kiện: ® ® ® x ≤ −3 (x − 1)2 (−x − 3) ≥ 0 (∗) − x − 3 ≥ 0 (vì (x − 1)2 ≥ 0) ⇔ ⇔ ⇔ x ∈ ∅. x ≥ −2 x+2≥0 x+2≥0 (Nghĩa là phương trình vô nghiệm) Nhận xét Sai lầm ở biến đổi điều kiên (*) A.B ≥ 0.  Trong Ví dụ 2. A = x2 + 1 > 0 và B = −x + 1 nên  A · B ≥ 0 ⇔ x2 + 1 · (−x + 1) ≥ 0 ⇔ −x + 1 ≥ 0 là ĐÚNG. Trong Ví dụ 3. A = (x − 1)2 ≥ 0 và B = −x − 3 nên A · B ≥ 0 ⇔ (x − 1)2 · (−x − 3) ≥ 0 ⇔ −x − 3 ≥ 0 là SAI. △ ! 2 A ·B ≥0⇔ ® A2 = 0 hay B có nghĩa ® B≥0 A có nghĩa. Lời giải đúng. Điều kiện ® ⇔ ® (x − 1)2 (−x − 3) ≥ 0 (∗) x+2≥0 x=1 hay x ≥ −2 ® ⇔ ® (x − 1)2 = 0 x+2≥0 x ≤ −3 ⇔ x = 1. x ≥ −2 hay ® −x−3≥0 x+2≥0 Vậy điều kiện của phương trình là x = 1. (Hơn nữa nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình, nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.) VÍ DỤ 6. Xét phương trình Lời giải.  x3 + 2x − 3 √ = 1. x3 − x + x − 1 ® x−1≥0 √ (*) x3 − x + x − 1 6= 0. Việc giải điều kiện (*) còn phức tạp hơn việc giải phương trình đã cho. Do vậy không cần thiết phải giải điều kiện (*), hãy để nguyên điều kiện này và giải phương trình để tìm giá trị của x, sau đó xem những giá trị x nào thỏa điều kiện (*) thì giá trị đó là nghiệm của phương trình.  Điều kiện của phương trình là 2. Phép biến đổi tương đương Để giải một phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy được gọi là phép biến đổi tương đương. Các phép biến đổi sau là phép biến đổi tương đương. 3. Phép cộng (trừ) hai vế với cùng một biểu thức Cho phương trình f (x) = g(x) có tập xác định là D và h(x) là biểu thức xác định trên D. Khi đó f (x) = g(x) và f (x) + h(x) = g(x) + h(x) là hai phương trình tương đương. Ta viết f (x) = g(x) ⇔ f (x) + h(x) = g(x) + h(x). Cộng hoặc trừ hai vế của phương trình với cùng một biểu thức ta được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Như vậy ta có f (x) = g(x) ⇔ f (x) − g(x) = 0. Chuyển g(x) sang vế trái là phép biến đổi tương đương. 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 91 f (x) = g(x) + h(x) ⇔ f (x) − h(x) = g(x). Chuyển h(x) từ vế này sang vế kia là phép biến đổi tương đương. VÍ DỤ 7. Giải phương trình x + Lời giải. Lời giải sai Ta có  √ √ x − 1 x = 3x + 4 + x x − 1. Ä ä √ √ x + x − 1 x = 3x + 4 + x x − 1 √ √ ⇔ x2 + x x − 1 = 3x + 4 + x x − 1 (1) √ ⇔ x2 = 3x + 4 (2) ( đơn giản cho x x − 1) ⇔ x2 − 3x − 4 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 4. Cách giải này SAI vì tập √ xác định của phương trình (1) là [1; +∞), còn tập xác định của phương trình (2) là R. Phép biến đổi đơn giản cho x x − 1 đã làm thay đổi điều kiện x ≥ 1 của phương trình (1) nên đây không là phép biến đổi tương đương. Lời giải đúng Cách 1. Đặt điều kiện để sử dụng phép biến đổi tương đương . Điều kiện x ≥ 1. Ta có ä √ √ x − 1 x = 3x + 4 + x x − 1 √ √ ⇔ x2 + x x − 1 = 3x + 4 + x x − 1 ⇔ x2 − 3x − 4 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 4. Ä x+ So với điều kiện x ≥ 1, phương trình đã cho có một nghiệm x = 4. Cách 2. Không đặt điều kiện và sử dụng phép biến đổi hệ quả. Ta có ä √ √ x − 1 x = 3x + 4 + x x − 1 √ √ ⇒ x2 + x x − 1 = 3x + 4 + x x − 1 ⇒ x2 − 3x − 4 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 4. Ä x+ √ √ √ Với x = −1 phương trình đã cho trở thành (−1 + −2)(−1) = −3 + 4 − −2 vô nghĩa vì −2 không tồn tại. Suy ra loại x = −1. √ √ Với x = 4 phương trình đã cho trở thành (4 + 3)(4) = 12 + 4 + 4 3 ⇔ 16 = 16 thỏa. Suy ra nhận x = 4. △ Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 4. Chú thích: x = −1 gọi là nghiệm ngoại lai. ! Chú ý 1. f (x) + h(x) = g(x) + h(x) (1) ⇔ f (x) = g(x) định thì đơn giản hai vế cho h(x) là SAI. (2). Nếu hai phương trình (1) và (2) không cùng tập xác  Ä ä √ √ VÍ DỤ 8. Giải phương trình x + x2 + 1 x = 3x + 4 + x x2 + 1. Lời giải. Ta có ä p p x2 + 1 x = 3x + 4 + x x2 + 1 p p ⇔ x2 + x x2 + 1 = 3x + 4 + x x2 + 1 (1) p ⇔ x2 = 3x + 4 (2) ( đơn giản cho x x2 + 1) Ä x+ ⇔ x2 − 3x − 4 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 4. √ Cách giải này ĐÚNG vì tập xác định của phương trình (1) và (2) cùng là R. Phép biến đổi đơn giản cho x x2 + 1 không làm thay đổi điều kiện x ∈ R của phương trình (1) nên đây là phép biến đổi tương đương. CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 92 △ ! Chú ý 2. f (x) + h(x) = g(x) + h(x) (1) ⇔ f (x) = g(x) (2). Nếu hai phương trình (1) và (2) có cùng tập xác định thì đơn giản hai vế cho h(x) là ĐÚNG.  4. Phép nhân (chia) hai vế với cùng một biểu thức khác 0. Cho phương trình f (x) = g(x) có tập xác định là D và h(x) là biểu thức xác định trên D, thỏa h(x) 6= 0, ∀x ∈ D. Khi đó f (x) = g(x) và f (x) · h(x) = g(x) · h(x) là hai phương trình tương đương. Ta viết f (x) = g(x) ⇔ f (x) · h(x) = g(x) · h(x). Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với cùng một biểu thức khác 0 ta được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Như vậy ta có f (x) · h(x) = g(x) · h(x) ⇔ f (x) = g(x). (Với điều kiện hai phương trình có cùng tập xác định D và h(x) 6= 0, ∀x ∈ D.) Đơn giản hai vế cho h(x) 6= 0 là phép biến đổi tương đương. f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g(x) · h(x). h(x) (Với điều kiện hai phương trình có cùng tập xác định D và h(x) 6= 0, ∀x ∈ D.) f (x) = g(x) + h(x) ⇔ f (x) − h(x) = g(x). Nhân hai vế cho h(x) 6= 0 là phép biến đổi tương đương.  √ √ VÍ DỤ 9. Giải phương trình x ( x + 1) = ( x + 1) x2 − x − 3 . Lời giải. Lời√giải sai √ √ Vì x > 0 nên x + 1 > 1. Do đó x + 1 6= 0. Vậy    √ √ x + 1 x2 − x − 3 x x+1 x= (1) 2 ⇔ x = x − x − 3 (2) ⇔ x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 3. √ Cách giải này SAI vì mặc dù x + 1 6= 0, ∀x ≥ 0, nhưng tập xác √ định của phương trình (1) là [0; +∞), còn tập xác định của phương trình (2) là R. Do đó phép biến đổi đơn giản cho ( x + 1) đã làm thay đổi điều kiện x ≥ 0 của phương trình (1) nên đây không là phép biến đổi tương đương. Lời giải đúng √ Điều kiện x ≥ 0, khi đó x + 1 6= 0. Do vậy x √    √ x+1 x= x + 1 x2 − x − 3 ⇔ x = x2 − x − 3 ⇔ x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 3. So với điều kiện x ≥ 0, phương trình đã cho có một nghiệm x = 3.  VÍ DỤ 10. Giải phương trình x3 + 2x = (5x + 8)(x2 + 2). Lời giải. Ta có x3 + 2x = (5x + 8)(x2 + 2) ⇔ x(x2 + 2) = (5x + 8)(x2 + 2) (1) ⇔ x = 5x + 8 (2) (vì x2 + 2 6= 0, ∀x ∈ R) ⇔ x = −2 là nghiệm của phương trình đã cho. 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 93 Cách giải này ĐÚNG vì tập xác định của phương trình (1) và (2) cùng là R, đồng thời x2 + 2 6= 0, ∀x ∈ R. Do đó phép biến đổi đơn giản cho (x2 + 2) không làm thay đổi điều kiện x ∈ R của phương trình (1) nên đây là phép biến đổi tương đương.  VÍ DỤ 11. Giải phương trình 5×3 − 20x = x4 − 16. Lời giải. Lời giải sai Ta có 5×3 − 20x = x4 − 16 ⇔ ⇔ 5x(x2 − 4) = (x2 − 4)(x2 + 4) 5x = x2 + 4 ⇔ x2 − 5x + 4 = 0 ⇔ x = 1 hay x = 4. Cách giải này SAI vì mặc dù các phép biến đổi không làm thay đổi tập xác định R của phương trình ban đầu nhưng biểu thức (x2 − 4) không khác 0 với mọi x ∈ R. Lời giải đúng Ta có 5×3 − 20x = x4 − 16 ⇔ 5x(x2 − 4) = (x2 − 4)(x2 + 4) ⇔ (x2 − 4)(x2 − 5x + 4) = 0 ⇔ x = ±2 hay x = 1 hay x = 4. △ ! Chú ý 3. f (x) · h(x) = g(x) · h(x) (1) ⇔ f (x) = g(x) (2). Nếu hai phương trình (1) và (2) không cùng tập xác định, hoặc h(x) không khác 0 với mọi x thuộc tập xác định của phương trình (1) thì đơn giản hai vế cho h(x) là SAI. Khi đó ta biến đổi (Đặt h(x) làm nhân tử chung) f (x) · h(x) = g(x) · h(x) ⇔ h(x) [f (x) − g(x)] = 0 là ĐÚNG  VÍ DỤ 12. Giải phương trình x3 − 3 = x − 2. x2 + 1 Lời giải. Vì x2 + 1 6= 0, ∀x ∈ R nên ta có x3 − 3 =x−2 x2 + 1 ⇔ x3 − 3 = (x2 + 1)(x − 2) 1 ⇔ x3 − 3 = x3 − 2×2 + x − 2 ⇔ 2×2 − x − 1 = 0 ⇔ x = 1 hay x = − . 2 △ ! Chú ý 4. Nếu h(x) 6= 0, ∀x ∈ R thì ta có f (x) = g(x) ⇔ f (x) = h(x) · g(x). h(x)  VÍ DỤ 13. Giải phương trình 2x − 3 = x − 2. x Lời giải. Cách 1. Điều kiện x 6= 0. Khi đó Ta có 2x − 3 =x−2 x ⇔ 2x − 3 = x(x − 2) ⇔ x2 − 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1 hay x = 3 (thỏa) x 6= 0. Cách 2. Ta có 2x − 3 =x−2 x (1) CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 94 ⇔ 2x − 3 = x(x − 2) (2) (vì x = 0 không là nghiệm của phương trình) ⇔ 2x − 3 = x2 − 2x ⇔ x2 − 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1 hay x = 3.  Nhận xét Phương trình (1) có điều kiện x 6= 0. Thế x = 0 vào phương trình (2) ta được −3 = 0 là mệnh đề sai , nên x = 0 không là nghiệm của (2), nghĩa là 2x − 3 phương trình (2) hiển nhiên có x 6= 0. Mà nếu phương trình (2) có x 6= 0 thì = x − 2 ⇔ 2x − 3 = x(x − 2) x là phép biến đổi tương đương. Có thể hiểu cách khác x = 0 không thuộc tập nghiệm của (1) và (2), nên (1) và (2) là hai phương trình tương 2x − 3 đương, do đó không cần điều kiện x 6= 0 ta vẫn có phép biến đổi = x − 2 ⇔ 2x − 3 = x(x − 2) là ĐÚNG. x Chú ý 5. Nếu mọi nghiệm của mẫu số h(x) không là nghiệm của tử số f (x) thì không cần điều kiện h(x) 6= 0 ta vẫn được phép biến đổi tương đương f (x) = g(x) ⇔ f (x) = h(x) · g(x). h(x) △ ! VÍ DỤ 14. Giải phương trình x3 + 3x = x − 2. x2 − 2x − 3 Nhận xét Cho mẫu số bằng 0: x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 3. Thế x = −1 vào tử số (−1)3 + 3 · (−1) = −4 6= 0 nên x = −1 không là nghiệm của tử số. Thế x = 3 vào tử số 33 + 3 · 3 = 36 6= 0 nên x = 3 không là nghiệm của tử số. Mọi nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử nên không cần điều kiện mẫu khác 0. Lời giải. Ta có x3 + 3x =x−2 − 2x − 3 ⇔ x3 + 3x = (x2 − 2x − 3)(x − 2) (Vì x = −1, x = 3 không là nghiệm) ⇔ x3 + 3x = x3 − 2×2 − 3x − 2×2 + 4x + 6 3 ⇔ 4×2 + 2x − 6 = 0 ⇔ x = 1 hay x = − là nghiệm của phương trình đã cho. 2 x2  VÍ DỤ 15. Giải phương trình 2×2 − 3x + 1 = x − 2. x−1 Nhận xét Cho mẫu số bằng 0: x − 1 = 0 ⇔ x = 1. Thế x = 1 vào tử số 2 · 12 − 3 · 1 + 1 = 0 nên x = 1 là nghiệm của tử số. Vậy bài toán này phải có điều kiện mẫu số khác 0. Lời giải. Điều kiện x 6= 1. Khi đó Ta có 2×2 − 3x + 1 =x−2 x−1 ⇔ 2×2 − 3x + 1 = (x − 1)(x − 2) ⇔ 2×2 − 3x + 1 = x2 − 2x − x + 2 ⇔ x2 − 1 = 0 ⇔ x = −1 hay x = 1. 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 95 So với điều kiện x 6= 1, phương trình đã cho có một nghiệm x = −1. △ ! Chú ý 6. Nếu có một nghiệm của mẫu số h(x) là nghiệm của tử số f (x) thì phải đặt điều kiện h(x) 6= 0. ® h(x) 6= 0 f (x) = g(x) ⇔ h(x) f (x) = h(x) · g(x). VÍ DỤ 16. Giải phương trình  2×3 − x + 14 = x − 7. 2×2 + 3x − 2 Nhận xét Cho mẫu số bằng 0: 2×2 + 3x − 2 = 0 ⇔ x = −2 hay x = 1 . 2 Thế x = −2 vào tử số 2 · (−2)3 − (−2) + 14 = 0 nên x = −2 là nghiệm của tử số. Có một nghiệm x = −2 của mẫu là nghiệm của tử.nên phải có điều kiện mẫu khác 0. Lời giải. Điều kiện 2×2 + 3x − 2 6= 0 ⇔ x 6= −2 và x 6= 1 . Khi đó 2 Ta có 2×3 − x + 14 =x−7 2×2 + 3x − 2 ⇔ 2×3 − x + 14 = (2×2 + 3x − 2)(x − 7) ⇔ 11×2 + 22x = 0 ⇔ x = 0 hay x = −2. So với điều kiện x 6= −2 và x 6= 1 , phương trình đã cho có một nghiệm x = 0. 2  VÍ DỤ 17. Giải phương trình √ x − 2(x2 − x − 6) = 0. Lời giải. Lời giải sai Ta có Cách giải này sai vì √ x − 2(x2 − x − 6) = 0 (1)  ñ√ x=2 x−2=0  ⇔ ⇔ x = 3 x2 − x − 6 = 0 (∗) x = −2. Phương trình (1) có điều kiện x ≥ 2. Phương trình (∗) có điều kiện x ∈ R. Phép biến đổi đã làm thay đổi điều kiện của phương trình ban đầu nên đây không là phép biến đổi tương đương. Lời giải đúng Điều kiện x ≥ 2. Khi đó Ta có √ x − 2(x2 − x − 6) = 0  ñ√ x=2 x−2=0  ⇔ ⇔ x = 3 x2 − x − 6 = 0 x = −2. CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 96 So với điều kiện x ≥ 2, phương trình đã cho có hai nghiệm x = 2 và x = 3. △ !  Chú ý 7. Đặt điều kiện cho phương trình f (x) · g(x) = 0. Khi đó ñ f (x) = 0 f (x) · g(x) = 0 ⇔ g(x) = 0. D. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 1 Câu 1. Điều kiện của phương trình √ = x + 3 là x−3 A. x = 3. B. x 6= 3. C. x > 3. D. x ≥ 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 2. Trong bốn phép biến đổi sau, phép biến đổi nào là phép biến đổi tương đương? x(x − 1) = 1 ⇔ x = 1. B. |x| = 2 ⇔ x = 2. A. x− √1 √ √ √ C. x + x − 4 = 3 + x − 4 ⇔ x = 3. D. x − x − 5 = 3 ⇔ x − 3 = x − 5. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 2x + 3 x+2 = là Câu 3. Nghiệm của phương trình x 2x − 4 3 8 8 3 B. x = . C. x = . D. x = − . A. x = − . 8 8 3 3 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 3 2 5 Câu 4. Tập nghiệm của phương trình − = là x − 2 x + 1 x − 1 ™ ß ™ ß ™ ß ™ ß 1 1 1 1 ; −6 . B. − ; 6 . C. − ; 3 . D. ; −3 . A. 2 2 4 4 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..   Câu 5. Số nghiệm của phương trình x2 + 1 10×2 − 31x + 24 = 0 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 5 5 = 12 + . Câu 6. Tìm điều kiện xác định của phương trình x + x−4 x−4 A. x 6= 4. B. x ∈ R. C. x 6= ±4. D. x 6= 4. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 97 √ Câu 7. Tìm điều kiện xác định của phương trình x + 1 = x + 1. A. x ≥ 1. B. x ≥ −1. C. x ≤ 1. D. x ∈ R. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 3 2x −5= 2 . Câu 8. Tìm điều kiện xác định của phương trình 2 x +1 x +1 A. x 6= 1. B. x 6= −1. C. x 6= ±1. D. x ∈ R. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 1 3 4 Câu 9. Tìm điều kiện xác định của phương trình − = 2 . x+2 x−2 x −4 A. x > 2. B. x 6= ±2. C. x ≥ 2. D. x ∈ R. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. x−2 1 2 Câu 10. Tìm điều kiện xác định của phương trình − = . x+2 x x(x − 2) A. x 6= ±2; x 6= 0. B. x ≥ 2. C. x > 2. D. x 6= 2; x 6= 0. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 5 5 = 12 + . Câu 11. Tìm điều kiện xác định của phương trình 3x + x−4 x−4 A. x 6= 4. B. x ≥ 4. C. x > 4. D. x ∈ R. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 2x 1 6 − 5x Câu 12. Tìm điều kiện xác định của phương trình + = . 3 − x 2x − 1 3x − 2 1 3 1 2 A. x > 3. B. x ≥ 3. C. x 6= ; x 6= 3; x 6= . D. x 6= ; x 6= 3; x 6= . 2 2 2 3 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ 1 Câu 13. Điều kiện xác định của phương trình √ + x2 − 1 = 0 là x A. x ≥ 0. B. x > 0 và x2 − 1 ≥ 0. C. x > 0. D. x ≥ 0 và x2 − 1 > 0. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ Câu 14. Tìm điều kiện xác định của phương trình 3x − 2 + 4 − 3x = 1. 2 4 2 4 2 4 4 B. . C. x 6= ; x 6= . D. ≤x≤ . A. x > . 3 3 3 3 3 3 3 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 98 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH √ √ √ Câu 15. Tìm điều kiện xác định của phương trình x − 1 + x − 2 = x − 3. A. x > 3. B. x ≥ 2. C. x ≥ 1. D. x ≥ 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 16. Trong khẳng định nào đúng? √ √ √ các khẳng định sau, 3x = x2 − x − 2. B. x − 1 = 3x ⇔ x − 1 = 9×2 . A. 3x + √x − 2 = x2 ⇔√ C. 3x + x − 2 = x2 + x − 2 ⇔ 3x = x2 . D. |x| = 2 ⇔ x = 2. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 17. định sai. √ Chỉ ra khẳng √ √ A. x − 2 = 3 2 − x ⇔ x − 2 = 0. B. x − 3 = 2 ⇒ x − 3 = 4. x(x − 2) = 2 ⇒ x = 2. D. |x| = 2 ⇔ x = 2. C. x−2 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 18. định sai. √ Chỉ ra khẳng √ √ √ A. x − 1 = 2 1 − x ⇔ x − 1 = 0. B. x + x − 2 = 1 + x − 2 ⇔ x = 1. C. |x| = 1 ⇔ x = ±1. D. |x − 2| = x + 1 ⇔ (x − 2)2 = (x + 1)2 . ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 19. định sai. √ √ √ Chỉ ra khẳng B. x − 3 = 2 ⇒ x − 3 = 4. A. x − 2 = 3 2 − x ⇔ x − 2 = 0. C. |x − 2| = 2x + 1 ⇔ (x − 2)2 = (2x + 1)2 . D. x2 = 1 ⇔ x = ±1. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..  Câu 20. Phương trình x2 + 1 (x − 1)(x + 1) = 0 tương đương với phương trình A. x − 1 = 0. B. x + 1 = 0. C. x2 + 1 = 0. D. (x + 1)(x − 1) = 0. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 3x + 1 16 Câu 21. Phương trình = tương đương với phương trình x−5 x−5 √ 16 3x + 1 √ 3x + 1 16 +3= + 3. B. − 2−x= − 2 − x. A. x−5 x−5 x−5 x−5 √ 16 3x + 1 √ 16 3x + 1 D. + 2−x= + 2 − x. · 2x = · 2x. C. x−5 x−5 x−5 x−5 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 22. Phương trình (x − 4)2 = x √ − 2 là phương trình hệ quả của trình nào sau đây? √ √ phương √ C. x − 4 = x − 2. D. x − 4 = x − 2. A. x − 4 = x − 2. B. x − 2 = x − 4. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 99 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ x2 + 5 = 0. Câu 23. Tìm điều kiện xác định của phương trình x − 2 + √ 7−x A. x > 2. B. x ≥ 7. C. 2 ≤ x < 7. D. 2 ≤ x ≤ 7. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ √ Câu 24. Tập nghiệm T của phương trình x2 − 2x = 2x − x2 là A. T = {0}. B. T = ∅. C. T = {0; 2}. D. T = {2}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ x √ = −x là Câu 25. Tập nghiệm T của phương trình x A. T = {0}. B. T = ∅. C. T = {1}. D. T = {−1}. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 26. Cho phương trình 2x2 − x = 0 (1). Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình hệ quả của phương trình (1)? 2 x A. 2x − = 0. B. 4x3 − x = 0. C. 2x2 − x = 0. D. x2 − 2x + 1 = 0. 1−x ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 27. Phương trình x2 = 3x tương đương với phương trình √ √ 1 1 A. x2 + x − 2 = 3x + x − 2. B. x2 + = 3x + . x−3 x− √ √3 √ √ 2 2 C. x x − 3 = 3x x − 3. D. x + x2 + 1 = 3x + x2 + 1. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 28. Khẳng định nào sau đây sai? √ A. x − 2 = 1 ⇒ x − 2 = 1. x(x − 1) = 1 ⇔ x = 1. √(x − 1) √ 2 C. |3x − 2| = x − 3 ⇒ 8x − 4x − 5 = 0. D. x − 3 = 9 − 2x ⇒ 3x − 12 = 0. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ Câu 29. Khi giải phương trình 3x2 + 1 = 2x + 1 (1), ta tiến hành các bước sau B. Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được 3x2 + 1 = (2x + 1)2 . (2) Bước 2: Khai triển và rút gọn (2) ta được x2 + 4x = 0 ⇔ x = 0 hay x = −4. Bước 3: Khi x = 0, ta có 3x2 + 1 > 0. Khi x = −4, ta có 3×2 + 1 > 0. Vậy tập nghiệm của phương trình là {0; −4}. CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 100 Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào? A. Đúng. B. Sai ở bước 1. C. Sai ở bước 2. D. Sai ở bước 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ (1), một học sinh tiến hành các bước sau Câu 30. Khi giải phương trình x2 − 5 = 2 − x Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được x2 − 5 = (2 − x)2 . (2) Bước 2: Khai triển và rút gọn (2) ta được 4x = 9. 9 . 4 9 Vậy phương trình có một nghiệm là x = . 4 Bước 3: (2) ⇔ x = Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào? A. Đúng. B. Sai ở bước 1. C. Sai ở bước 2. D. Sai ở bước 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 31. Khi giải phương trình |x − 2| = 2x − 3 (1), một học sinh tiến hành các bước sau Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được x2 − 4x + 4 = 4×2 − 12x + 9. (2) Bước 2: Khai triển và rút gọn (2) ta được 3×2 − 8x + 5 = 0. Bước 3: (2) ⇔ x = 1 hoặc x = 5 . 3 Bước 4: Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 5 . 3 Cách giải trên sai từ bước nào? A. Sai ở bước 1. B. Sai ở bước 2. C. Sai ở bước 3. D. Sai ở bước 4. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. (x − 3)(x − 4) √ =0 (1), một học sinh tiến hành các bước sau Câu 32. Khi giải phương trình x−2 (x − 3) Bước 1: (1) ⇔ √ (x − 4) = 0. x−2  (x − 3) √ =0  x−2 Bước 2: ⇔ x−4=0 (2) Bước 3: ⇔ x = 3 hoặc x = 4. Bước 4: Vậy phương trình có tập nghiệm là T = {3; 4}. Cách giải trên sai từ bước nào? A. Sai ở bước 1. B. Sai ở bước 2. C. Sai ở bước 3. D. Sai ở bước 4. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 101 Câu 33. x = 9 là nghiệm của phương trình nào sau đây? √ √ √ 8 2×2 =√ . C. 2x + 7 = x − 4. A. 2 − x = x. B. √ D. 14 − 2x = x − 3. x+1 x+1 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ Câu 34. Nghiệm của phương trình x + 3 = 1 (nếu có) là A. x = 2. B. x = −2. C. x = −3. D. vô nghiệm. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. (x − 5)(x − 4) √ Câu 35. Khi giải phương trình =0 (1), một học sinh tiến hành các bước sau x−3 (x − 5) Bước 1: (1) ⇔ √ (x − 4) = 0. x−3 (2)  (x − 5) √ =0  x−3 Bước 2: ⇔ x−4=0 Bước 3: ⇔ x = 5 hoặc x = 4. Bước 4: Vậy phương trình có tập nghiệm là T = {5; 4}. Cách giải trên sai từ bước nào? A. Sai ở bước 1. B. Sai ở bước 2. C. Sai ở bước 3. D. Sai ở bước 4. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 2x + 3 1 =− (1), một học sinh tiến hành các bước sau Câu 36. Khi giải phương trình x + x+2 x+2 Bước 1: Điều kiện x 6= 2. Bước 2: với điều kiện trên (1) ⇔ x(x + 2) + 1 = −(2x + 3). (2) Bước 3: (2) ⇔ x2 + 4x + 4 = 0 ⇔ x = −2 Bước 4: Vậy phương trình có tập nghiệm là T = {−2}. Cách giải trên sai từ bước nào? A. Sai ở bước 1. B. Sai ở bước 2. C. Sai ở bước 3. D. Sai ở bước 4. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ Câu 37. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm x = −x? A. 0. B. 1. C. 2. D. vô số. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 102 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Câu 38. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm |x| = −x? A. 0. B. 1. C. 2. D. vô số. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ Câu 39. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm x − 2 = 2 − x? A. 0. B. 1. C. 2. D. vô số. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 40. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm |x − 2| = 2 − x? A. 0. B. 1. C. 2. D. vô số. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ Câu 41. Phương trình −x2 + 10x − 25 = 0 A. vô nghiệm. B. vô số nghiệm. C. mọi x đều là nghiệm. D. có nghiệm duy nhất. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ Câu 42. Phương trình 2x + 5 = −2x − 5 có nghiệm là 5 5 2 2 A. x = . B. x = − . C. x = − . D. x = − . 2 2 5 5 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ Câu 43. Tập nghiệm của phương trình x − x − 3 = 3 − x + 3 là A. S = ∅. B. S = {3}. C. S = [3; +∞). D. S = R. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ Câu 44. Tập nghiệm của phương trình x + x = x − 1 là A. S = ∅. B. S = {−1}. C. S = {0}. D. S = R. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..  √ Câu 45. Tập nghiệm của phương trình x − 2 x2 − 3x + 2 = 0 là A. S = ∅. B. S = {1}. C. S = {2}. D. S = {1; 2}. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ (2). Chọn khằng định sai? Câu 46. Cho các phương trình x − 1 = 3, (1) và ( x − 1)2 = (−3)2 A. Phương trình (1) là phương trình hệ quả của phương trình (2). B. Phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1). C. Phương trình (1) và phương trình (2) là hai phương trình tương đương. 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 103 D. Phương trình (2) vô nghiệm. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 5x x2 + 6 = là Câu 47. Số nghiệm của phương trình x−2 x−2 A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ Câu 48. Tập √ √ nghiệm √ của phương trình √2x − 1 = x − 1 là A. {2 + 2; 2 − 2}. B. {2 − 2}. C. {2 + 2}. D. ∅. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ Câu 49. Số nghiệm của phương trình x x − 2 = 2 − x là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 50. Hãy chỉ ra khẳng định sai? √ √ A. x − 1 = 2 1 − x ⇔ x − 1 = 0. x−1 = 0. B. x2 + 1 = 0 ⇔ √ x−1 C. |x − 2| = x + 1 ⇔ (x − 2)2 = (x + 1)2 . D. x2 = 1 ⇔ x = 1, x > 0. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. x2 4 Câu 51. Tập nghiệm của phương trình √ = √ là x−1 x−1 A. S = {2}. B. S = {−2; 2}. C. S = {−2}. D. S = ∅. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ Câu 52. Tập nghiệm của phương trình 3 − x + x = 3 − x + 4 là A. S = {3}. B. S = {3; 4}. C. S = {4}. D. S = ∅. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 53. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x2 − 4 = 0?  A. (2 + x) −x2 + 2x + 1 = 0. B. (x − 2) x2 + 3x + 2 = 0. √ D. x2 − 4x + 4 = 0. C. x2 − 3 = 1. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 104 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Câu 54. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x2 − 3x = 0? √ √ 1 1 = 3x + . A. x2 + x − 2 = 3x + x − 2. B. x2 + x − 3 x − √ √3 √ √ 2 2 2 2 C. x x − 3 = 3x x − 3. D. x + x + 1 = 3x + x + 1. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 1 Câu 55. Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình x + = 1? x √ √ √ √ B. |2x − 1| + 2x + 1 = 0. C. x x − 5 = 0. D. 7 + 6x − 1 = −18. A. x2 + x = −1. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 56. Chọn cặp phương √ √ trình tương đương trong các cặp phương trình √ sau √ A. √ x + x − 1 =√1 + x − 1 và x = 1. B. x + x − 2 = 1 + x − 2 và x = 1. C. x(x + 2) = x và x + 2 = 1. D. x(x + 2) = x và x + 2 = 1. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 57. Chọn căp phương trình tương đương trong các cặp phương √trình sau √ √ x x+1 A. 2x + x − 3 = 1 + x − 3 và 2x = 1. = 0 và x = 0. B. √ x√ +1 √ √ C. x + 1 = 2 − x và x + 1 = (2 − x)2 . D. x + x − 2 = 1 + x − 2 và x = 1. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 58. Chọn căp phương trình không tương đương trong các cặp √ phương trình √ sau √ √ A. x√ + 1 = x2 − 2x và x + 2 = (x√− 1)2 . B. √ 3x x + 1 = 8 3 − x và 6x x + 1 = 16 3 − x. C. x 3 − 2x + x2 = x2 + x và x 3 − 2x = x. D. x + 2 = 2x và x + 2 = 4×2 . ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 59. Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương dương 2×2 + mx − 2 = 0 (1) và 2×3 + (m + 4)x2 + 2(m − 1)x − 4 = 0 (2). 1 D. m = −2. A. m = 2. B. m = 3. C. m = . 2 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 60. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương mx2 − 2(m − 1)x + m − 2 = 0 (1) và (m − 2)x2 − 3x + m2 − 15 = 0 (2). A. m = −5. B. m = −5, m = 4. C. m = 4. D. m = 5. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 61. Khẳng định nào sau đây là sai? √ A. x − 2 = 1 ⇒ x − 2 = 1. B. x(x − 1) = 1 ⇒ x = 1. x−1 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 105 √ √ C. |3x − 2| = x − 3 ⇒ 8×2 − 4x − 5 = 0. D. x − 3 = 9 − 2x ⇒ 3x − 12 = 0. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 62. Cho phương trình 2×2 − x = 0. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình đã cho? x = 0. B. 4×3 − x = 0. A. 2x − 1 −x 2 C. 2×2 − x + (x − 5)2 = 0. D. 2×3 + x2 − x = 0. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ Câu 63. Tập nghiệm của phương trình x2 − 2x = 2x − x2 là A. S = {0}. B. S = ∅. C. S = {0; 2}. D. S = {2}. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ Câu 64. Phương trình x x2 − 1 x − 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ Câu 65. Phương trình −x2 + 6x − 9 + x3 = 27 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. p √ Câu 66. Phương trình (x − 3)2 (5 − 3x) + 2x = 3x − 5 + 4 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ Câu 67. Phương trình x + x − 1 = 1 − x có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ √ Câu 68. Phương trình 2x + x − 2 = 2 − x + 2 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 106 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH √ √ Câu 69. Phương trình x3 − 4×2 + 5x − 2 + x = 2 − x có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 2x − 1 1 = có bao nhiêu nghiệm? Câu 70. Phương trình x + x−1 x−1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ Câu 71. Phương trình x2 − 3x + 2 x − 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ Câu 72. Phương trình x2 − x − 2 x + 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. x2 − 4x − 2 √ = x − 2 có tất cả bao nhiêu nghiệm? Câu 73. Phương trình √ x−2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI BÀI A. 2. 107 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP – VÍ DỤ – BÀI TẬP RÈN LUYỆN { DẠNG 2.1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn Cách giải và biện luận phương trình ax = b. Trường hợp 1: a 6= 0. Phương trình có nghiệm duy nhất x = b . a Trường hợp 2: a = 0. Giải đề tìm tham số, thế tham số vào phương trình ax = b. + Nếu được 0x = 0 thì phương trình có vô số nghiệm (tập nghiệm S = R). + Nếu được 0x = b (b 6= 0) thì phương trình vô nghiệm. △ ! 1. Phương trình ax = b có nghiệm duy nhất ⇔ a 6= 0. ® a=0 Phương trình ax = b vô nghiệm ⇔ b 6= 0. ® a=0 Phương trình ax = b có tập nghiệm là R ⇔ b = 0. Ví dụ VÍ DỤ 1. Giải và biện luận theo tham số m phương trình (2m − 4)x = m − 2. Lời giải. 2m − 4 6= 0 ⇔ m 6= 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = m−2 1 = . 2m − 4 2 2m − 4 = 0 ⇔ m = 2 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0 ⇒ Phương trình có vô số nghiệm.   VÍ DỤ 2. Giải và biện luận theo tham số m phương trình m2 − 1 x + 1 = m. Lời giải.   m2 − 1 x + 1 = m ⇔ m2 − 1 x = m − 1 ® m 6= 1 m−1 1 2 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2 m − 1 6= 0 ⇔ = . m −1 m+1 m 6= −1 ñ m=1 2 m −1=0⇔ m = −1. – Với m = 1 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0 ⇒ Phương trình có vô số nghiệm. – Với m = −1 thì phương trình đã cho trở thành 0x = −2 ⇒ Phương trình vô nghiệm.  VÍ DỤ 3. Giải và biện luận theo tham số m phương trình m3 x = m2 + 4 + 4m(x − 1). Lời giải.  m3 x = m2 + 4 + 4m(x − 1) ⇔ m3 − 4m x = m2 − 4m + 4. CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 108   m 6= 0 m3 − 4m m(m + 2) 3 m − 4m 6= 0 ⇔ m 6= 2 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2 = .  m − 4m + 4 m−2  m 6= −2  m=0  3 m − 4m = 0 ⇔ m = 2 m = −2. – Với m = 0 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 4 ⇒ Phương trình vô nghiệm. – Với m = 2 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0 ⇒ Phương trình vô số nghiệm. – Với m = −2 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 16 ⇒ Phương trình vô nghiệm.   VÍ DỤ 4. Giải và biện luận theo tham số a và b phương trình a ax + 2b2 − a3 = b2 (x + a). Lời giải.   a ax + 2b2 − a3 = b2 (x + a) ⇔ a2 − b2 x = a3 − ab2 . ® a 6= b a3 − ab2 2 2 = a. a − b 6= 0 ⇔ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2 a − b2 a 6= −b ñ a=b 2 2 a −b =0⇔ a = −b – Với a = b thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0 ⇒ Phương trình có vô số nghiệm. – Với a = −b thì phương trình đã cho trở thành 0x = 0 ⇒ Phương trình có vô số nghiệm.  VÍ DỤ 5. Giải và biện luận theo tham số m phương trình Lời giải. m(x − 1) − 3 =2⇔ x+1 ® m(x − 1) − 3 = 2x + 2 x 6= −1 ⇔ ® m(x − 1) − 3 = 2. x+1 (m − 2)x = m + 5 x 6= −1  (m − 2)x = m + 5 ⇔ m 6= −3 . 2   m − 2 6= 0 m 6= 2 m+5 . ⇔ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = m 6= −3 m 6= −3 m−2 2 2  m − 2 = 0 ⇔ m = 2 thì phương trình đã cho trở thành 0x = 7 ⇒ Phương trình vô nghiệm. m 6= −3 2  VÍ DỤ 6. Tìm tham số m để phương trình m2 x + 2 = x + 2m có nghiệm duy nhất. Lời giải.  m2 x + 2 = x + 2m ⇔ m2 − 1 x = 2m − 2 (1) (1) có nghiệm duy nhất ⇔ m2 − 1 6= 0 ⇔ m 6= ±1.  VÍ DỤ 7. Tìm tham số m để phương trình m2 x + 6 = 4x + 3m vô nghiệm. Lời giải.  m2 x + 6 = 4x + 3m m2 − 4 x = 3m − 6 (1) ® ⇔ m2 − 4 = 0 ⇔ m = −2. (1) vô nghiệm ⇔ 3m − 6 6= 0  2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 109 VÍ DỤ 8. Tìm tham số m để phương trình m2 (x − 1) + m = x(3m − 2) có tập nghiệm là R. Lời giải.  m2 (x − 1) + m = x(3m − 2) ⇔ m2 − 3m + 2 x = m2 − m (1) ® 2 m − 3m + 2 = 0 (1) có tập nghiệm là R ⇔ ⇔ m = 1. m2 − m = 0 2.  Bài tập tự rèn luyện Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m 1 m(x − m) = x + m − 2 2 3 2m2 (x − 1) + 7 = 2(x + 1) + 3m 4 2(m − 1)x − m(x − 1) = 2m + 3  m2 + 3 (x − 1) − m = (3 − 2m)x − 5 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 2. Giải và biện luận theo tham số a và b các phương trình 1 a2 x = a(x + b) − b 2  (a + b)2 x + 2a2 = 2a(a + b) + a2 + b2 x a(x − 2a) b2 bx − a2 b2 + = + 12 4 12 6 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 3 Bài 3. Giải và biện luận theo tham số m các phương trình 3 m(x + 4) − 1 m =m+1 =1 =2 2 3 2x − 2 x+2 mx + 3 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 1 Bài 4. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình 1 m2 x − m = 4x − 2 có nghiệm duy nhất. 3 (m + 1)2 x + 1 − m = (7m − 5)x vô nghiệm. 2 m(mx − 1) = 1 + x có tập nghiệm là R. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Bài 5. Chứng minh rằng phương trình m(m − 1)x + 2mx = (2m − 1)x + m có nghiệm duy nhất với mọi m ∈ R. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. { DẠNG 2.2. Giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn Cách giải và biện luận phương trình ax2 + bx + c = 0. Trường hợp 1. a = 0, giải tìm tham số. Thế tham số này vào phương trình đã cho để có kết luận. CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 110 Trường hợp 2. a 6= 0. Tính ∆ = b2 − 4ac. (Nếu b chẵn thì tính ∆′ = b2 − ac với b′ = Nếu ® b ) 2 a 6= 0 thì phương trình vô nghiệm. ∆<0 ® a 6= 0 b b′ thì phương trình có nghiệm kép x = − . (Nếu tính ∆′ thì x = − ). 2a a ∆=0 ® √ a 6= 0 −b ± ∆ . Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 2a ∆>0 √ −b′ ± ∆′ (Nếu tính ∆′ thì x = ). a Nếu 1. VÍ DỤ VÍ DỤ 9. Tìm tham số m để phương trình mx2 − 2(m + 3)x + m + 1 = 0 (∗) vô nghiệm. Lời giải. 1 Trường hợp 1. a = 0 ⇔ m = 0. Thay vào phương trình (∗) ta được −6x + 1 = 0 ⇔ x = . 6 1 Suy ra phương trình có một nghiệm x = nên m = 0 không thỏa mãn. 6 Trường hợp 2. a 6= 0 ⇔ m 6= 0. Ta có ∆′ = (m + 3)2 − m(m + 1) = 5m + 9. Phương trình (∗) vô nghiệm khi và chỉ khi 9 ∆′ < 0 ⇔ 5m + 9 < 0 ⇔ m < − . 5 Vậy m < − 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 5  VÍ DỤ 10. Tìm tham số m để phương trình (2 − m)x2 − 4x + 3 = 0 (∗) có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. Lời giải. Ta có ∆′ = (−2)2 − 3(2 − m) = 3m − 2. Phương trình (∗) có nghiệm kép khi và chỉ khi ® a 6= 0 ∆′ = 0 ⇔ ® Khi đó phương trình (∗) có nghiệm kép là x = −  m 6= 2 2 ⇔m= . ⇔ 2 m = 3 3m − 2 = 0 3 2 − m 6= 0 2 3 b = = . 2a 2−m 2 VÍ DỤ 11. Tìm tham số m để phương trình (2m − 1)x2 − 2(m − 1)x − 1 = 0 (∗) có hai nghiệm phân biệt. Tính hai nghiệm này. Lời giải. Ta có ∆′ = (m − 1)2 − (2m − 1)(−1) = m2 . Phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ® a 6= 0 ⇔ ∆′ > 0 Khi đó phương trình (∗) có nghiệm phân biệt là x1,2 Nhận xét: ® 2m − 1 6= 0 m2 > 0 −b′ ± = a √ ∆  m 6= 1 2 ⇔  m 6= 0. = (m − 1) ± m 1 ⇔ x1 = 1; x2 = − . 2m − 1 2m − 1  2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 111 Ta có thể tính nhanh hai nghiệm bằng cách: phương trình này có các hệ số a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0 nên 1 c .  phương trình có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm x2 = = − a 2m − 1 VÍ DỤ 12. Tìm tham số m để phương trình (m + 2)x2 − 2mx + m − 3 = 0 (∗) có nghiệm phân biệt. Tính các nghiệm này. Lời giải. Ta có ∆′ = m2 − (m + 2)(m − 3) = m + 6. Phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ® ® ® a 6= 0 m + 2 6= 0 m 6= −2 ⇔ ⇔ ∆′ > 0 m+6>0 m > −6. √ √ m± m+6 −b′ ± ∆ = . Khi đó phương trình (∗) có nghiệm phân biệt là x1,2 = a m+2  VÍ DỤ 13. Giải và biện luận theo tham số m phương trình (m − 3)x2 − 2(m − 2)x + m = 0 (∗). Lời giải. 3 Trường hợp 1. a = 0 ⇔ m − 3 = 0 ⇔ m = 3. Thay vào phương trình (∗) ta được −2x + 3 = 0 ⇔ x = . 2 3 Suy ra phương trình có một nghiệm x = . 2 Trường hợp 2. a 6= 0 ⇔ m 6= 3. Ta có ∆′ = (m − 2)2 − m(m − 3) = −m + 4. ® ® a 6= 0 m 6= 3 Nếu ⇔ ⇔ m > 4 thì phương trình (∗) vô nghiệm. ′ ∆ <0 −m+4<0 ® ® a 6= 0 m 6= 3 Nếu ⇔ ⇔ m = 4 thì phương trình (∗) có nghiệm kép ′ ∆ =0 −m+4=0 x=− Nếu ® a 6= 0 ′ ∆ >0 ⇔ ® m 6= 3 −m+4>0 m 6= 3 thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt m<4 √ √ −b′ ± ∆ m − 2 ± −m + 4 = = . a m−3 ⇔ x1,2 ® b m−2 = = 2. 2a m−3  2. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 6. Tìm tham số m để phương trình 1 2 3 4 (m − 1)x2 + 3x − 1 = 0 vô nghiệm. mx2 − (2m + 3)x + m = 0 có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. mx2 − 2(m + 3)x + m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt. Tính các nghiệm này. (m − 1)x2 + 7x − 12 = 0 có nghiệm. Tính các nghiệm này. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 112 Bài 7. Giải và biện luận theo tham số m phương trình 1 x2 + 2(m + 1)x + m2 + 7 = 0. 2 (2 − m)x2 − 4x + 3 = 0. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... { DẠNG 2.3. Định lí Vi-ét Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 và x2 thì S = x1 + x2 = − △ ! 1 Phương trình 7x2 − 2x + 3 = 0 có S = − b c và P = x1 · x2 = . a a 2 3 b = và P = là SAI vì phương trình này vô nghiệm. a 7 7 b = 2 và P = −5 là ĐÚNG vì phương trình này có nghiệm. a Tìm hiểu thêm về định lí Viete cho phương trình bậc 3 Nếu phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 và x3 thì  b   x1 + x2 + x3 = −   a   c x1 · x2 + x2 · x3 + x3 · x1 = a     d  x1 x2 x3 = − . a 2 1. Phương trình x2 − 2x − 5 = 0 có S = − Ví dụ VÍ DỤ 1. Tìm tham số m để phương trình x2 + mx + 15 = 0 có một nghiệm là 5. Tính nghiệm còn lại. Lời giải. Vì phương trình x2 + mx + 15 = 0 có một nghiệm là 5 nên ta có 52 + 5m + 15 = 0 ⇔ m = −8. Với m = −8, ta có phương trình x2 − 8m + 15 = 0 ⇔ ñ x=3 x = 5. Vậy nghiệm còn lại là x = 5.  VÍ DỤ 2. Tìm giá trị tham số m để phương trình x2 − mx + 36 = 0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa hệ thức 1 1 5 + = . x1 x2 12 Lời giải. ñ m ≤ −12 . Phương trình x − mx + 36 = 0 có hai nghiệm x1 và x2 khi và chỉ khi m − 4 · 36 ≥ 0 ⇔ m ≥ 12 ® x1 + x2 = m Áp dụng định lí Viete, ta có x1 ẋ2 = 36. Khi đó, 1 5 5 x1 + x2 m 5 1 + = = ⇔ ⇔ = ⇔ m = 15 (thỏa mãn). x1 x2 12 x1 · x2 12 36 12 2 Vậy m = 15. 2  2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 113 VÍ DỤ 3. Tìm tham số m để phương trình mx2 + 2(1 − m)x + 3(m − 2) = 0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa hệ thức x1 + 2x2 = 2. Lời giải. Phương trình mx2 + 2(1 − m)x + 3(m − 2) = 0 có hai nghiệm x1 và x2 khi và chỉ khi  ® ® m 6= 0 m 6= 0 m 6= 0 √ √ ⇔ 2− 6 ⇔ 2+ 6  − 2m2 + 4m + 1 ≥ 0 (1 − m)2 − 3m(m − 2) ≥ 0 ≤m≤ . 2 2  m−1  x1 + x2 = m Áp dụng định lí Viete, ta có  3(m − 2) x · x = . 1 2 m   2  x1 = − x + x = m − 1 1 2 m m , ta có Từ hệ phương trình, m+1    x1 + 2x2 = 2 . x2 = m Suy ra 3(m − 2) 2 m+1 3(m − 2) x1 · x2 = ⇔− · = ⇔ 3m2 − 4m + 2 = 0( vô nghiệm). m m m m Vậy không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán.  VÍ DỤ 4. Tìm tham số m để phương trình x2 − x + m − 2 = 0. 1 Giải phương trình khi m = 1. 2 Tìm m để phương trình có nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lịa của phương trình. 3 Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó theo m. Lời giải. 1 Với m = 1, ta có phương trình √ 1± 5 Vậy S = { }. 2 2 √  1− 5 x = 2√ x2 − x − 1 = 0 ⇔   1+ 5 . x= 2 Vì phương trình x2 − x + m − 2 = 0 có nghiệm bằng 2 nên ta có 22 − 2 + m − 2 = 0 ⇔ m = 0. Với m = 0, ta có phương trình x2 − x − 2 = 0 ⇔ ñ x = −1 x = 2. Nghiệm còn lại của phương trình là x = −1. 3 2. 9 Phương trình x2 − x + m − 2 = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi ∆ = 0 ⇔ 1 − 4(m − 2) = 0 ⇔ m = . Khi đó, nghiệm 4 1 kép của phương trình là x = − . 2  Bài tập rèn luyện Bài 8. Tìm tham số m để phương trình (m − 1)x2 − 2(m + 1)x − 1 = 0 có một nghiệm là 3. Tính nghiệm còn lại. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 114 Bài 9. Tìm tham số m để phương trình 1 x2 − 2mx + 3m − 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 đồng thời thỏa hệ thức x21 + x22 + 3x1 x2 = 5. 2 x2 − (m + 2)x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 đồng thời thỏa hệ thức 3 x2 − 4x + m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 đồng thời thỏa hệ thức x31 + x32 = 40. 4 x2 9 x1 + = . x2 x1 2 x2 − (m + 1)x + 10 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 đồng thời thỏa hệ thức x1 = 3x2 . ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... { DẠNG 2.4. Phương trình vô tỷ √ A = B Phương pháp giải toán √ Biến đổi phương trình về dạng A = B. Cách1. Sử dụng phép ® biến đổi tương đương. √ B≥0 A=B⇔ A = B2. Cách2. Sử dụng phép biến đổi hệ quả. √ • A = B ⇒ A = B2. (1) • Giải phương trình (1) tìm được ẩn số x và thế vào phương trình đã cho để nhận nghiệm. 1. Ví dụ VÍ DỤ 5. Giải phương trình √ 4x2 + 2x + 10 − 3x = 1. Lời giải. Ta có p p 4x2 + 2x + 10 − 3x = 1 ⇔ 4x2 + 2x + 10 = 3x + 1 ⇔  1    x≥−   1 3 x ≥ −  3 ⇔ ⇔ x = 1 (nhận)  2    5x + 4x − 9 = 0    x = − 9 (loại). 5 ® 3x + 1 ≥ 0 4x2 + 2x + 10 = (3x + 1)2 Vậy nghiệm của phương trình là x = 1. VÍ DỤ 6. Giải phương trình Lời giải. Ta có p √ 2x + 6x2 + 1 = x + 1. ( ( » p x ≥ −1 x+1≥0 p p ⇔ 2x + 6x2 + 1 = x + 1 ⇔ 6x2 + 1 = x2 + 1 2x + 6x2 + 1 = (x + 1)2 ® ® ® x ≥ −1 x ≥ −1 x ≥ −1 ⇔ ⇔ ⇔ 4 2 2 2 2 x2 (x2 − 4) = 0 x − 4x = 0 6x + 1 = (x + 1)    x ≥ −1     x = 0 (nhận) xñ ≥ −1 2 x =0 ⇔  ⇔   x = 2 (nhận)   2   x −4=0  x = −2 (loại).  2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 115 Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 và x = 2.  √ VÍ DỤ 7. Giải phương trình x + 3 x2 − 3 = 7. Lời giải. Ta có  7−x   ≥0  p p 3 7−x ã Å x + 3 x2 − 3 = 7 ⇔ x2 − 3 = ⇔ 7−x 2  3 2  x − 3 = 3  x≤7    √   ® ®   −7 + 3 73 7−x≥0 x≤7 ⇔ ⇔ ⇔ x = 8√   9(x2 − 3) = (7 − x)2 4x2 + 7x − 38 = 0     −7 − 3 73   x= 8 √ √ −7 + 3 73 −7 − 3 73 Vậy nghiệm của phương trình là x = và x = . 8 8 (nhận) (nhận).  √ x+1 = 2. VÍ DỤ 8. Giải phương trình x−2 Lời giải. ® Điều kiện: Ta có x+1≥0 x − 2 6= 0 ⇔ ® x ≥ −1 x 6= 2. ® √ √ x−2≥0 x+1 = 2 ⇔ x + 1 = 2(x − 2) ⇔ x−2 x + 1 = 4(x − 2)2  x≥2  ®   x≥2 x = 3 (nhận) ⇔ ⇔   4x2 − 17x + 15 = 0   x = 5 (loại). 4 Vậy phương trình có nghiệm là x = 3. VÍ DỤ 9. Giải phương trình Lời giải. ® Điều kiện: Ta có x+1≥0 4−x≥0 ⇔ √ √ x + 1 · 4 − x = 2. ® x ≥ −1 x≤4 ⇔ −1 ≤ x ≤ 4. » √ 4 − x = 2 ⇔ (x + 1) · (4 − x) = 2 ⇔ (x + 1) · (4 − x) = 4 ñ x = 0 (nhận) 2 ⇔ −x + 3x = 0 ⇔ x = 3 (nhận). √ x+1· Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 và x = 3. 2.   Bài tập rèn luyện Bài 10. Giải các phương trình sau: √ 1 x + 5x + 10 = 8 2 x− √ 2x + 7 = 4 3 2x − √ −x2 + 6x − 5 = 6 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 116 Bài 11. Giải các phương trình sau: p √ 1 2x + 6x2 + 1 = x + 1 2 p √ √ x + 5x + 10 = 2 2 3 p √ x2 + x + 8 − x = 1 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ √ A = B Phương pháp giải Cách 1. Sử dụng phép ®biến đổi tương đương. √ √ A ≥ 0 (hoặc B ≥ 0) A= B⇔ A=B Cách 2. Sử dụng phép biến đổi hệ quả. √ √ • A= B⇒A=B (1) • Giải phương trình (1) tìm được ẩn số x và thế vào phương trình đã cho để nhận nghiệm. 1. Ví dụ VÍ DỤ 10. Giải phương trình √ 2x2 − 5x + 2 − √ 6 − 3x = 0. Lời giải. Ta có p p √ √ 2x2 − 5x + 2 − 6 − 3x = 0 ⇔ 2x2 − 5x + 2 = 6 − 3x ⇔  x≤2 ®  ñ x≤2 x = −1 (nhận) ⇔ ⇔  x2 − x − 2 = 0  x = 2 (nhận). ® 6 − 3x ≥ 0 2x2 − 5x + 2 = 6 − 3x Vậy nghiệm của phương trình là x = −1 và x = 2. VÍ DỤ 11. Giải phương trình √  √ x2 + 3x = 2 3x − 2. Lời giải.  2    x≥  2   3 √ 3x − 2 ≥ 0 √ x≥ 3 Ta có x2 + 3x = 2 3x − 2 ⇔ ⇔ ⇔ ñx = 1 2   x + 3x = 4(3x − 2)  x2 − 9x + 8 = 0   x=8 Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = 8. ® 2. (nhận) (nhận).  Bài tập rèn luyện Bài 12. Giải các phương trình sau: p √ √ √ 3√ 1√ 2 3 2x − 1 − x + 3 = 0. x2 + 3x = 2(x + 1). 2x2 − 3x + 4 = x + 5. 2 2 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 1 Bài 13. Giải các phương trình sau: √ √ 2x2 + x − 3 = 0. 1 2 2 p p (x + 1)2 + 7 = 7(x + 5). 3 p √ (x + 1)(x − 3) − x = 0. 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 117 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... △ ! Thiếu dạng 3,4,5,6,7,8 NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP (NÂNG CAO) 1. VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP RÈN LUYỆN VÍ DỤ 12. Giải phương trình 3 2 + Lời giải.  √ √ x − 2 = 2x + x + 6. ® x−2≥0 ⇔ x ≥ 2. x+6≥0  √ √ √ √ Ta có 3 2 + x − 2 = 2x + x + 6 ⇔ 2 (3 − x) = x + 6 − 3 x − 2. (∗) √ √ Nhân hai vế của phương trình cho x + 6 + 3 x − 2 6= 0 ta được: î√ ó √ (∗) ⇔ 2 (3 − x) x + 6 + 3 x − 2 = (x + 6) − 9(x − 2) ó î√ √ ⇔ 2 (3 − x) x + 6 + 3 x − 2 = 8(3 − x) ñ x=3 ( thỏa x ≥ 2) ⇔ √ √ x + 6 + 3 x − 2 = 4. (1) » (1) ⇔ (x + 6) + 9(x − 2) + 6 (x + 6)(x − 2) = 16 ® p 14 − 5x ≥ 0 2 ⇔ 3 x + 4x − 12 = 14 − 5x ⇔ 9(x2 + 4x − 12) = (14 − 5x)2   14  √  x ≤ x ≤ 14 11 − 3 5 5 √ ⇔x= 5 ⇔ ⇔ ( thỏa x ≥ 2).   2 11 ± 3 5  16x2 − 176x + 304 = 0 x = 2 √ 11 − 3 5 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 3 hay x = . 2 Điều kiện cho phương trình có nghĩa:  Bài 14. Giải phương trình sau. √ √ x+3 3x − 2 = 5 √ √ p √ 2 2 b. 3x − 5x + 1 − x − 2 = 3(x2 − x − 1) − x2 − 3x + 4. a. 4x + 1 − Lời giải: a. √ 4x + 1 − √ x+3 3x − 2 = 5  1  x ≥ − 4x + 1 ≥ 0 4 ⇔ x ≥ 2. ⇔ Phương trình xác định khi và chỉ khi 2  3 3x − 2 ≥ 0 x ≥ 3 √ √ Nhân hai vế của phương trình cho 4x + 1 + 3x − 2. Ta được ä √ x + 3 Ä√ x+3 = 4x + 1 + 3x − 2 Å5 äã √ 1 Ä√ ⇔ (x + 3) · 1 − 4x + 1 + 3x − 2 = 0 5  x = −3 (l) (1) ä ⇔  √ 1 Ä√ 4x + 1 + 3x − 2 = 0 (2) 1− 5 ® CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 118 Giải (2): √ √ 4x + 1 + 3x − 2 = 5 p ⇔ 2 12x2 − 5x − 2 = 26 − 7x ® 26 − 7x ≥ 0 ⇔ 4(12x2 − 5x − 2) = 49x2 − 364x + 676  x ≤ 26 7 ⇔  2 x − 344x + 684 = 0  26   x ≤ 7 ñ ⇔ x = 342 (l) ⇔ x = 2.    x=2 (n) Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 2. p √ √ √ b. 3x2 − 5x + 1 − x2 − 2 = 3(x2 − x − 1) − x2 − 3x + 4.  2 3x − 5x + 1 ≥ 0     x2 − 2 ≥ 0 Phương trình xác định khi và chỉ khi  3(x2 − x − 1) ≥ 0     2 x − 3x + 4) ≥ 0. Để ý rằng: (3x2 − 5x + 1) − 3(x2 − x − 1) = −2(x − 2). (x2 − 2) − (x2 − 3x + 4) = 3(x − 2). Do đó phương trình đã cho được biến đổi như sau: » p p p 3x2 − 5x + 1 − 3(x2 − x − 1) = x2 − 2 − x2 − 3x + 4 Nhân lượng liên hợp cho vế trái và nhân lượng liên hợp cho vế phải. Ta có 3(x − 2) −2(x − 2) √ p √ = √ x2 − 2 + x2 − 3x + 4 3x2 − 5x + 1 + 3(x2 − x − 1) Ç å −2 3 p √ ⇔ (x − 2) √ =0 −√ x2 − 2 + x2 − 3x + 4 3x2 − 5x + 1 + 3(x2 − x − 1)   (n) x − 2 = 0 ⇔ x = 2 3 −2 ⇔ √ p  = 0 (1) −√ √ 2 x2 − 2 + x2 − 3x + 4 3x − 5x + 1 + 3(x2 − x − 1) Dễ thấy (1) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 2. VÍ DỤ 13. Giải phương trình √ x2 + 12 + 5 = 3x + √ x2 + 5. Lời giải. Nhận xét Dùng máy tính cầm tay nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình. Do đó phương trình đã cho có thể phân tích thành (x − 2) · P (x) = 0. Để thực hiện điều đó, ta biến đổi sao cho mỗi biểu thức trong phương trình đều xuất hiện thừa số x − 2 bằng cách: √ √ √ – Thế x = 2 vào biểu thức x2 + 12 ta được: x2 + 12 = 22 + 12 = 4. – Thế x = 2 vào biểu thức 3x ta được: 3 · x = 3 · 2 = 6. √ √ √ – Thế x = 2 vào biểu thức x2 + 5 ta được: x2 + 5 = 22 + 5 = 3. Từ đó có hướng biến đổi hằng số 5 trong phương trình thành: Äp ä Äp ä p p x2 + 12 + 5 = 3x + x2 + 5 ⇔ x2 + 12 − 4 = (3x − 6) + x2 + 5 − 3 . 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 119 Giải Phương trình đã cho xác định trên R. Ta có: p p x2 + 12 + 5 = 3x + x2 + 5 ä Äp ä Äp x2 + 12 − 4 = (3x − 6) + x2 + 5 − 3 ⇔ x2 − 4 x2 − 4 √ = 3(x − 2) + √ x2 + 12 + 4 x2 + 5 + 3 ã Å x+2 x+2 −√ −3 =0 ⇔ (x − 2) √ x2 + 12 + 4 x2 + 5 + 3  x=2  ⇔ x+2 x+2 √ −√ − 3 = 0. (1) x2 + 12 + 4 x2 + 5 + 3 ⇔ Từ phương trình đã cho ta lại có: p p p p x2 + 12 + 5 = 3x + x2 + 5 ⇔ x2 + 12 − x2 + 5 = 3x − 5. √ √ 5 x2 + 12 > x2 + 5 nên điều kiện để phương trình có nghiệm là 3x − 5 > 0 ⇔ x > . 3 √ √ 2 2 Suy ra x + 2 > 0 và hiển nhiên x + 12 + 4 > x + 5 + 3 Vì x+2 x+2 −√ − 3 < 0, nghĩa là phương trình (1) vô nghiệm. Do đó: √ 2 2 x + 12 + 4 x +5+3 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 2.  Bài 15. Giải các phương trình sau: 1 √ √ 3x + 1 − 6 − x + 3x2 − 14x − 8 = 0. 2 3 √ 1 7 x+3 = x− + 5. 2 2x 4 √ √ 3 1 7 2 1 = . + 2 + x 2x 4 x−1 x+8+ √ √ x2 + 1 + x + x2 = 1 + 2. x+1 Lời giải. √ √ 1. 3x + 1 − 6 − x + 3x2 − 14x − 8 = 0. 1 Phương trình đã cho xác định khi − ≤ x ≤ 6. 3   √ √ Phương trình ⇔ 3x + 1 − 4 − 6 − x − 1 + (3x2 − 14x − 5) = 0. 3x − 15 5−x √ −√ + (x − 5)(3x + 1) = 0 3x + 1 + 4 6−x+1 Å ã 3 1 ⇔ (x − 5) √ +√ + (3x + 1) = 0 3x + 1 + 4 6−x+1  x−5=0⇔x=5 (n)  ⇔ 1 3 √ +√ + (3x + 1) = 0 (VN do vế trái ≥ 0). 3x + 1 + 4 6−x+1 ⇔ Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 5. 2. √ 1 1 2 7 + + = . 2x 4 x − 1 x2 Phương trình đã cho xác định khi ® x>1 x 6= 0. CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 120 1 3×2 − 2x − 8 Phương trình ⇔ √ . −1= 4×2 x−1 √ 1− x−1 3×2 − 2x − 8 √ ⇔ = 4×2 x−1 2−x (x − 2)(3x + 4) = √ ⇔ √ 4×2 x−1 1+ x−1 å Ç 3x + 4 1  √ √ =0 ⇔ (x − 2) + 4×2 x−1 1+ x−1  x−2=0⇔x=2  3x + 4 1 ⇔  = 0 (VN do vế trái ≥ 0). √ +√ 4×2 x−1 1+ x−1 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 2. 3. √ 1 7 x+3= x− + 5. 2 2x Phương trình đã cho xác định khi Phương trình ⇔ ® x ≥ −3 x 6= 0. √ 7 1 + 3. x+3−2= x− 2 2x x−1 x2 + 6x − 7 √ = 2x x+3+2 (x − 1)(x + 7) x−1 = ⇔ √ 2x x+3+2 Å ã 1 x+7 ⇔ (x − 1) √ − =0 2x x+3+2  x−1=0⇔x=1 (n)  ⇔ x+7 1 √ − =0 (VN). 2x x+3+2 ⇔ Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 1. 4. √ 3 √ √ x2 + 1 + x + x2 = 1 + 2. x+1 ® x≥0 Phương trình đã cho xác định khi x 6= −1. Ä ä √   √ √ Phương trình ⇔ 3 x + 8 − 2 + x2 + 1 − 1 + x + x2 = x+8+ 1 − 1. x+1 Ä√ ä Äp ä  √ 3 x+8−2 + x2 + 1 − 1 + x + x2 = 1 −1 x+1 x x − x2 x2 x + +√ =0 +√ ⇔  √ √ 2 2 2 3 3 x − x x + 1 x + 1 + 1 x+8 +2 x+8+4 ! 1 1−x 1 x ⇔ x =0 +√ + +√ 2 √ √ 3 x+1 x − x2 x2 + 1 + 1 x+8 +23x+8+4  x=0  1−x 1 1 x ⇔  +√ + =0 (VN). +√ 2 √ √ 2 2+1+1 3 3 x − x x + 1 x x+8 +2 x+8+4 ⇔ Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 0.  VÍ DỤ 14. Giải phương trình √ 3x + 1 + √ 5x + 4 = 3×2 − x + 3. 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 121 Lời giải. Nhận xét Dùng máy tính cầm tay nhận thấy x = 0 hay x = 1 là hai nghiệm của phương trình. Do đó phương trình đã cho có thể phân tích thành x · (x − 1) · P (x) = 0. Để thực hiện điều đó, ta biến đổi sao cho mỗi biểu thức trong phương trình đều xuất hiện thừa số x(x − 2) bằng cách: ® ® √ n=1 1=n ⇔ – Xét 3x + 1 = mx + n. Thế x = 0 và x = 1 ta được m = 1. 2=m+n ® ® √ 2=q q=2 – Xét 5x + 4 = px + q. Thế x = 0 và x = 1 ta được ⇔ 3=p+q p = 1. Giải 1 Phương trình đã cho xác định khi x ≥ − . 3 Ta có: √ √ 3x + 1 + 5x + 4 = 3×2 − x + 3. î√ ó î√ ó ⇔ 3x + 1 − (x + 1) + 5x + 4 − (x + 2) = (3×2 − x + 3) − (x − 1) − (x − 2) (3x + 1) − (x + 1)2 (5x + 4) − (x + 2)2 √ + √ = 3×2 − 3x 3x + 1 + (x + 1) 5x + 4 + (x + 2) −x2 + x −x2 + x +√ = 3(x2 − x) ⇔ √ 3x + 1 + (x + 1) 5x + 4 + (x + 2) ï ò 1 1 ⇔ (−x2 + x) √ +√ +3 =0 3x + 1 + (x + 1) 5x + 4 + (x + 2)  2 −x +x=0 ⇔  1 1 √ +√ + 3 = 0 ( vô nghiệm vì V T > 0) 3x + 1 + (x + 1) 5x + 4 + (x + 2) ñ x=0 ⇔ x = 1. ⇔ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ñ x=0 x = 1. Bài 16. Giải các phương trình sau: a. √ x2 + 3x − 9 + √ 5 3x − 5 = x2 − 2x + 2, biết x ≥ . 3 √ √ b. 5 x + 3 + 5 3x − 2 = 5×2 − 31x + 41. √ √ √ c. 4 3x − 2 + 4 10 − x + 4 5x + 4 = 4×2 − 37x + 61. √ √ d. 2 3x + 4 + 3 5x + 9 = x2 + 6x + 13. √ e. (x + 3) x2 + x + 2 = x2 + 3x + 4. Lời giải. a. √ x2 + 3x − 9 + √ 5 3x − 5 = x2 − 2x + 2, biết x ≥ . 3 1 Phương trình đã cho xác định khi x ≥ − . 3 ñ x=2 là nghiệm Nhận thấy x=3 î√ ó √  Phương trình ⇔ x2 + 3x − 9 − (2x − 3) + 3x − 5 − (x − 1) = x2 − 5x + 6. ⇔ 3x − 5 − (x − 1)2 x2 + 3x − 9 − (2x − 3)2 √ +√ = x2 − 5x + 6 3x − 5 + (x − 1) x2 + 3x − 9 + (2x − 3)  CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 122 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −x2 + 5x − 6 −3×2 + 15x − 18 +√ = x2 − 5x + 6 3x − 5 + (x − 1) x2 + 3x − 9 + (2x − 3) å Ç 1 3 +√ +1 =0 (x2 − 5x + 6) √ 3x − 5 + (x − 1) x2 + 3x − 9 + (2x − 3)  2 x − 5x + 6 = 0  1 3 √ +√ + 1 = 0 ( vô nghiệm vì V T > 0)) 2 3x − 5 + (x − 1) x + 3x − 9 + (2x − 3) ñ x = 3 (n) √ x = 2 (n). Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 3 hoặc x = 2. √ √ b. 5 x + 3 + 5 3x − 2 = 5×2 − 31x + 41. ñ x=1 Nhận thấy là nghiệm. x=6  √   √  Phương trình ⇔ 5 x + 3 − (x + 9) + 5 3x − 2 − (3x + 2) = 5×2 − 35x + 30. −9×2 + 63x − 54 −x2 + 7x − 6 √ + √ = 5×2 − 35x + 30 5 x + 3 + (x + 9) 5 3x − 2 + (3x + 2) − (x − 1) (x − 6) −9 (x − 1) (x − 6) √ ⇔ + √ = 5 (x − 1) (x − 6) 5 x + 3 + (x + 9) 5 3x − 2 + (3x + 2) Å ã 1 9 ⇔ (x − 1) (x − 6) 5 + √ =0 + √ 5 x + 3 + (x + 9) 5 3x − 2 + (3x + 2)  x = 1(n) x = 6(n)  ⇔   1 9 5+ √ + √ =0 (VN). 5 x + 3 + (x + 9) 5 3x − 2 + (3x + 2) ⇔ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 hoặc x = 6. √ √ √ c. 4 3x − 2 + 4 10 − x + 4 5x + 4 = 4×2 − 37x + 61. ñ x=1 Nhận thấy là nghiệm x=9 Phương  √ trình   √   √  ⇔ 4 3x − 2 − (2x + 2) + 4 10 − x − (−x + 13) + 4 5x + 4 − (2x + 10) = 4×2 − 40x + 36. −x2 + 10x − 9 −4×2 + 40x − 36 −4×2 + 40x − 36 √ + √ + √ = 4×2 − 40x + 36 4 3x − 2 + 2x + 2 4 10 − x − x + 13 4 5x + 4 + 2x + 10 Å ã  4 1 4 ⇔ x2 − 10x + 9 4 + √ =0 + √ + √ 4 3x − 2 + 2x + 2 4 10 − x − x + 13 4 5x + 4 + 2x + 10  x=1 (n)  (n) x = 9 ⇔   1 4 4 + √ + √ =0 (VN). 4+ √ 4 3x − 2 + 2x + 2 4 10 − x − x + 13 4 5x + 4 + 2x + 10 ⇔ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 hoặc x = 9. √ √ d. 2 3x + 4 + 3 5x + 9 = x2 + 6x + 13. ñ x=0 Nhận thấy là nghiệm x = −1  √   √  Phương trình ⇔ 2 3x + 4 − (2x + 4) + 3 5x + 9 − (3x + 9) = x2 + x. ⇔ ⇔ −9×2 − 9x −4×2 − 4x √ + √ = x2 + x 2 3x + 4 + 2x + 4 3 5x + 9 + 3x + 9 Å ã  4 9 x2 + x 1 + √ + √ =0 2 3x + 4 + 2x + 4 3 5x + 9 + 3x + 9 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 123  x=0 (n)  (n) x = −1 ⇔   9 4 + √ = 0 (V N ). 1+ √ 2 3x + 4 + 2x + 4 3 5x + 9 + 3x + 9 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = −1 hoặc x = 0. √ e. (x + 3) x2 + x + 2 = x2 + 3x + 4. ñ x=1 Nhận thấy là nghiệm x = −2 √ √ x2 + 3x + 4 x2 + 3x + 4 Phương trình ⇔ x2 + x + 2 = ⇔ x2 + x + 2 − 2 = − 2. x+3 x+3 x2 + x − 2 x2 + x − 2 √ = x+3 x2 + x + 2 + 2 Å ã  1 1 ⇔ x2 + x − 2 √ =0 − x2 + x + 2 + 2 x + 3  x=1  x = −2 ⇔   1 1 √ − = 0 (V N ) 2 x +x+2+2 x+3 ⇔ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 hoặc x = −2.  Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đốiGhi chú: Theo công văn số 5842/BGDĐT-VP ngày 01/09/2011 của BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO, từ năm học 2011, phần “Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối” là nội dung “đọc thêm”. ® ® A nếu A ≥ 0 B≥0 . |A| = |B| ⇔ A = ±B. |A| = . |A| = B ⇔ A = ±B − A nếu A < 0 B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Phương trình −2x2 − 4x + 3 = m có nghiệm khi A. m ≤ 5. B. m ≥ 5. C. m > 5. D. m < 5. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m2 (x + m) = x + m có vô số nghiệm ? A. m = ±1. B. m = 0 hoặc m = −1. C. m = 0 hoặc m = 1. D. −1 < m < 1, m 6= 0. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 3. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình x2 − 2x − 8 = 0 là A. 17. B. 20. C. 12. D. 10. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 4. Tổng lập phương hai nghiệm của phương trình x2 − 2x − 8 = 0 là A. 40. B. −40. C. 52. D. 56. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 124 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH √ √ Câu 5. Phương trình x4 + ( 2 − 3)x2 = 0 có bao nhiêu nghiệm ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 6. Phương trình 1, 5x4 − 2, 6x2 − 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 2 2 2 Câu 7.ñ Với giá trị nào của m để phương trình x2 − 2(m − 1)x + m ñ x1 + x2 = 8 ? ñ − 3m = 0 có hai nghiệm thoả ñ m = −2 m=2 m = −2 m=2 . . D. . C. . B. A. m=1 m=1 m = −1 m = −1 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 2 10 50 Câu 8. Tìm điều kiện xác định của phương trình 1 + = − x − 2 x + 3 (2 − x)(x + 3) ® ® ® ® x 6= −2 x 6= 2 x 6= −2 x 6= 2 A. . B. . C. . D. . x 6= 3 x 6= −3 x 6= −3 x 6= 3 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 5x + 3 2x + = 1 là Câu 9. Nghiệm của phương trình x−3 x+3 ñ x=0 A. . B. x = −1. C. x = 0. D. x = 1. x=1 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 1 Câu 10. Cho phương trình x2 − (m − 3)x + m2 − 2m + 7 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 4 1 1 1 1 A. m ≥ . B. m < − . C. m > . D. m < . 2 2 2 2 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 11. Cho phương trình x2 − 2mx + m2 − m = 0. Tất cả các tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoảñ mãn x21 + x22 = 3x1 x2 . ® m=0 m=0 . C. m = 0. D. m = 5. . B. A. m=5 m=5 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 12. Nghiệm của phương trình |3x − 1| = 5 là   x=2 x=2 1 A. x = 2. B. x = . C.  . D.  1 4. 3 x= x=− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................... 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 125 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 13. Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x + m2 − 3m + 4 = 0. Tìm m để phương trình có hai nhiệm phân biệt x1 , x2 thoả x21ñ+ x22 = 20. ñ m = −3 m=3 A. . B. m = 4. C. m = −3. D. . m=4 m = −4 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 14. Phương trình x2 − 2x + m = 0 có nghiệm khi A. m ≤ 1. B. m ≥ 1. C. m ≥ −1. D. m ≤ −1. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 15. Phương trình x2 − 2x − m = 0 có nghiệm khi A. m ≤ 1. B. m ≥ 1. C. m ≥ −1. D. m ≤ −1. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 16. Phương trình 4x2 − 4x + m + 1 = 0 có nghiệm khi A. m ≤ 0. B. m ≥ 0. C. m ≥ 1. D. m ≤ −1. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 17. Phương trình 4x2 − 4x + m + 1 = 0 vô nghiệm khi A. m < 0. B. m > 0. C. m > 1. D. m < 1. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 18. Cho phương trình ax + b = 0. Chọn mệnh đề đúng ? A. Nếu phương trình có nghiệm thì a 6= 0. B. Nếu phương trình vô nghiệm thì a = 0. C. Nếu phương trình vô nghiệm thì b = 0. D. Nếu phương trình có nghiệm thì b 6= 0. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 19. Phương trình ax2 + bx + c ® = 0 có nghiệm®duy nhất khi và chỉ khi ® a 6= 0 a=0 a 6= 0 A. a = 0. B. hoặc . C. a = b = 0. D. . ∆=0 b 6= 0 ∆=0 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ √ Câu 20. Phương trình x2 − (2 + 3)x + 2 3 = 0 A. Có 2 nghiệm trái dấu. B. Có hai nghiệm âm phân biệt. C. Có hai nghiệm dương phân biệt. D. Vô nghiệm. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 126 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 21. Phương trình x2 + m = 0 có nghiệm khi và chỉ khi A. m > 0. B. m < 0. C. m ≤ 0. D. m ≥ 0. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 22. Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (1). Hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau ? A. Nếu P < 0 thì (1) có hai nghiệm trái dấu. B. Nếu P > 0 và S < 0 thì (1) có hai nghiệm. C. Nếu P > 0, S < 0 và ∆ > 0 thì (1) có 2 nghiệm âm. D. Nếu P > 0, S > 0 và ∆ > 0 thì (1) có 2 nghiệm dương. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 23. Cho phương trình ax2 + bx+ c = 0 (với a 6= 0). Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi  ® ® ∆>0 ∆>0     ∆>0 ∆>0 S<0. D. A. C. S > 0 . . . B.   S<0 P >0   P >0 P >0 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ √ √ Câu 24. Cho phương trình ( 3 + 1)x2 + (2 − 5)x + 2 − 3 = 0. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. Phương trình vô nghiệm. B. Phương trình có hai nghiệm dương. C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu. D. Phương trình có hai nghiệm âm. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ Câu 25. Hai số 1 − 2 và 1 + 2 là hai nghiệm của phương trình A. x2 − 2x − 1 = 0. B. x2 + 2x − 1 = 0. C. x2 + 2x + 1 = 0. D. x2 − 2x + 1 = 0. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ Câu 26. 2√và √ 3 là hai √ nghiệm của phương trình √ √ √ B. x2 − (√2 + √3)x + √6 = 0. A. x2 − (√2 − √3)x − √6 = 0. C. x2 + ( 2 + 3)x + 6 = 0. D. x2 + ( 2 − 3)x − 6 = 0. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 27. Phương trình (m2 − m)x + m − 3 = 0 là phương trình bậc ñ nhất khi và chỉ khi ® m 6= 1 m 6= 1 A. m 6= 0. B. m 6= 1. C. . D. . m 6= 0 m 6= 0 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 127 Câu 28. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai 5 A. Phương trình 3x + 5 = 0 có nghiệm là x = − . 3 B. Phương trình 0x − 7 = 0 vô nghiệm. C. Phương trình 0x + 0 = 0 có tập nghiệm là R. D. Phương trình m2 x = 1 có nghiệm duy nhất với mọi m ∈ R. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 29. Phương trình (a − 3)x + b = 0 vô nghiệm với giá trị a, b là A. a = 3, b tuỳ ý. B. a tuỳ ý, b = 2. C. a = 3, b = 2. D. a = 3, b 6= 2. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 30. Cho phương trình x2 +7x−260 = 0 (1). Biết rằng phương trình có nghiệm x1 = 13. Hỏi x2 bằng bao nhiêu A. −27. B. −20. C. 20. D. 8. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..  Câu 31. Phương trình m2 − 4m + 3 x = m2 − 3m + 2 có nghiệm duy nhất khi A. m 6= 1. B. m 6= 3. C. m 6= 1 và m 6= 3. D. m = 1 và m = 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..  Câu 32. Phương trình m2 − 2m x = m2 − 3m + 2 có nghiệm khi A. m = 0. B. m = 2. C. m 6= 0 và m 6= 2. D. m 6= 0. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..  Câu 33. Tìm m để phương trình m2 − 4 x = m(m + 2) có tập nghiệm R. A. m = 2. B. m = −2. C. m = 0. D. m 6= −2 và m 6= 2. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..  Câu 34. Phương trình m2 − 3m + 2 x + m2 + 4m + 5 = 0 có tập nghiệm là R khi A. m = −2. B. m = −5. C. m = 1. D. Không tồn tại m. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..  Câu 35. Phương trình m2 − 5m + 6 x = m2 − 2m vô nghiệm khi A. m = 1. B. m = 6. C. m = 2. D. m = 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 128 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Câu 36. Phương trình (m + 1)2 x + 1 = (7m − 5)x + m vô nghiệm khi A. m = 2 hoặc m = 3. B. m = 2. C. m = 1. D. m = 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 37. Điều kiện để phương trình m(x − m + 3) = m(x − 2) + 6 vô nghiệm là A. m = 2 hoặc m = 3. B. m 6= 2 và m 6= 3. C. m 6= 2 hoặc m = 3. D. m = 2 hoặc m 6= 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 38. Phương trình (m − 1)x2 + 3x − 1 = 0 có nghiệm khi 5 5 5 5 B. m ≤ − . C. m = − . D. m = . A. m ≥ − . 4 4 4 4 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 39. Cho phương trình x2 + 2(m + 2)x − 2m − 1 = 0. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có nghiệm? A. m ≤ −5 hoặc m ≥ −1. B. m < −5 hoặc m > −1. C. −5 ≤ m ≤ −1. D. m ≤ 1 hoặc m ≥ 5. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 40. Cho phương trình mx2 − 2(m − 2)x + m − 3 = 0. Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu m > 4 thì phương trình vô nghiệm. √ √ m−2+ 4−m m−2− 4−m ,x= . B. Nếu m ≤ 4 và m 6= 0 thì phương trình có nghiệm x = m m 3 C. Nếu m = 0 thì phương trình có nghiệm x = . 4 3 D. Nếu m = 4 thì phương trình có nghiệm kép x = . 4 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 41. Với giá trị nào của m thì phương trình mx2 + 2(m − 2)x + m − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt? A. m ≤ 4. B. m < 4. C. m < 4 và m 6= 0. D. m 6= 0. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 42. Với giá trị nào của m thì phương trình (m + 1)x2 − 6(m + 1)x + 2m + 3 = 0 có nghiệm kép? 6 6 7 B. m = . C. m = − . D. m = −1. A. m = . 6 7 7 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... .......................................................................................................................  Câu 43. Với giá trị nào của m thì phương trình 2 x2 − 1 = x(mx + 1) có nghiệm duy nhất? 17 17 . B. m = 2 hoặc m = . C. m = 2. D. m = 0. A. m = 8 8 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 129 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 44. Để hai đồ thị y = −x2 − 2x + 3 và y = x2 − m có hai điểm chung thì A. m = −3, 5. B. m < −3, 5. C. m > −3, 5. D. m ≥ −3, 5. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 45. Nghiệm của phương trình x2 − 3x + 5 = 0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số A. y = x2 và y = −3x + 5. B. y = x2 và y = −3x − 5. C. y = x2 và y = 3x − 5. D. y = x2 và y = 3x + 5. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 46. Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình x2 − 3x − 1 = 0. Ta có tổng x21 + x22 bằng A. 8. B. 9. C. 10. D. 11. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 2 Câu 47. = 0. Khi đó giá trị của T = |x1 − x2 | bằng √ Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình 2x − 4x − 1 √ A. 2. B. 2. C. 6. D. 4. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 48. Phương trình 3(m + 4)x + 1 = 2x + 2(m − 3) có nghiệm duy nhất với giá trị của m bằng 4 3 10 4 A. m = . B. m = − . C. m 6= − . D. m 6= . 3 4 3 3 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..  Câu 49. Tìm m để phương trình m2 − 2 (x + 1) = x + 2 vô nghiệm. √ A. m = 0. B. m = ±1. C. m = ±2. D. m = ± 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..  Câu 50. Tập nghiệm của phương trình m2 − 9 x + 6 − 2m = 0 trong trường hợp m2 − 9 6= 0 là ß ™ ß ™ 2 2 A. R. B. ∅. C. . D. . m−3 m+3 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 51. Hiện tại tuổi cha của An gấp 3 lần tuổi của An, 5 năm trước tuổi cha An gấp 4 lần tuổi An. Hỏi cha An sinh An lúc bao nhiêu tuổi? A. 30. B. 25. C. 35. D. 28. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 130 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Câu 52. Tập nghiệm của phương trình x4 − 5×2 + 4 = 0 là A. S = {1, 4}. B. S = {1, 2, −2}. C. S = {−1, 1, 2, −2}. D. S = {1, 2}. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 53. Tìm giá trị của m để phương trình 2×2 − 3x + m = 0 có một nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm còn lại. 1 1 1 1 B. m = −1 và x2 = . C. m = −1 và x2 = − . D. m = 1 và x2 = − . A. m = 1 và x2 = . 2 2 2 2 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 54. Tìm giá trị m để phương trình mx2 − 3x − 5 = 0 có một nghiệm bằng −1. A. m = 4. B. m = −4. C. m = 2. D. m = −2. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 55. Với giá trị nào của m thì phương trình (m − 1)x2 + 3x − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu? A. m > 1. B. m < 1. C. Với mọi m. D. Không tồn tại m. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... −b c Câu 56. Cho phương trình ax4 + bx2 + c = 0 (a 6= 0) (1). Đặt ∆ = b2 − 4ac, S = , P = . Phương trình (1) vô a a nghiệm khi và chỉ khi  ® ®  ∆ ≥ 0 ∆>0 ∆>0 C. A. ∆ < 0. B. ∆ < 0 hoặc S < 0 . . D. .  S<0 P >0  P >0 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. c −b , P = . Phương trình (1) có 4 Câu 57. Cho phương trình ax4 + bx2 + c = 0 (a 6= 0) (1). Đặt ∆ = b2 − 4ac, S = a a nghiệm phân biệt khi và chỉ khi       ∆ > 0 ∆ ≥ 0 ∆ > 0 S>0. D. S < 0 . C. S > 0 . A. ∆ > 0. B.       P >0 P >0 P >0 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 58. Để phương trình m2 (x − 1) = 4x + 5m + 4 có nghiệm âm thì giá trị thích hợp cho tham số m là A. m < −4 hay m > −2. B. −4 < m < −2 hay −1 < m < 2. C. m < −2 hay m > 2. D. m < −4 hay m > −1. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 59. Điều kiện cho tham số m để phương trình (m − 1)x = m − 2 có nghiệm âm là A. m < 1. B. m = 1. C. 1 < m < 2. D. m > 2. ……………………………………………………………………………………………………….. 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 131 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 60. Cho phương trình m3 x = mx + m2 − m. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có vô số nghiệm. A. m = 0 hay m = 1. B. m = 0 hay m = −1. C. m = −1 hay m = 1. D. Không có giá trị nào của m. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 61. Cho phương trình bậc hai x2 − 2(m + 6)x + m2 = 0. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó? A. m = −3, x1 = x2 = 3. B. m = −3, x1 = x2 = −3. C. m = 3, x1 = x2 = 3. D. m = 3, x1 = x2 = −3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 62. Cho phương trình (m − 1)x2 − 6(m − 1)x + 2m − 3 = 0. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép? 6 6 7 B. m = − . C. m = . D. m = −1. A. m = . 6 7 7 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 63. Để phương trình mx2 + 2(m − 3)x + m − 5 = 0 vô nghiệm, với giá trị của m là A. m > 9. B. m ≥ 9. C. m < 9. D. m < 9 và m 6= 0. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... b Câu 64. Phương trình = a có nghiệm duy nhất khi x+1 A. a 6= 0. B. a = 0. C. a 6= 0 và b 6= 0. D. a = b = 0. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ Câu 65. Với giá trị nào của tham số a thì phương trình (x2 − 5x + 4) x − a = 0 có hai nghiệm phân biệt? A. a < 1. B. 1 ≤ a < 4. C. a ≥ 4. D. không có a. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... √ Câu 66. Số nghiệm của phương trình x − 4(x2 − 3x + 2) = 0 là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 67. Phương trình (x2 − 3x + m)(x − 1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi 9 9 9 9 B. m ≤ và m 6= 2. C. m < và m 6= 2. D. m ≥ . A. m < . 4 4 4 4 ....................................................................................................................... 132 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 68. Phương trình x6 + 2003x3 − 2005 = 0 có bao nhiêu nghiệm âm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 6. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... c b Câu 69. Cho phương trình ax4 + bx2 + c = 0 (1) (a 6= 0). Đặt ∆ = b2 − 4ac, S = − , P = . Phương trình (1) vô a a nghiệm khi và chỉ khi  ® ®  ∆ ≥ 0 ∆>0 ∆>0 . . D. C. A. ∆ < 0. B. ∆ < 0 hoặc S < 0 .  P <0 S<0  P >0 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ √ Câu 70. Phương trình x4 + ( 65 − 3)x2 + 2(8 + 63) = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 2. B. 3. C. 4. D. 0. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ Câu 71. Phương trình −x4 − 2( 2 − 1)x2 + 2(3 − 2 2) = 0 (1) có bao nhiêu nghiệm? A. 2. B. 3. C. 4. D. 0. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. √ √ Câu 72. Phương trình −x4 + 2 − 3×2 = 0 (1) có bao nhiêu nghiệm? A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 73. Phương trình x4 − 2005×2 − 13 = 0 (1) có bao nhiêu nghiệm âm? A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 74. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m2 − 4)x = 3m + 6 vô nghiệm. A. m = 1. B. m = 2. C. m = ±2. D. m = −2. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 75. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx − m = 0 vô nghiệm. A. m ∈ ∅. B. m = {0}. C. m ∈ R+ . D. m ∈ R. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 133 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 76. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m2 − 5m + 6)x = m2 − 3m vô nghiệm. A. m = 1. B. m = 2. C. m = 3. D. m = 6. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 77. Cho phương trình (m + 1)2 x + 2 = (7m − 5)x + m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho vô nghiệm A. m = 1. B. m = 2; m = 3. C. m = 2. D. m = 3. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 78. Cho hai hàm số y = (m + 1)x2 + 3m2 x + m và y = (m + 1)x2 + 12x + 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho không cắt nhau. A. m = 2. B. m = ±2. C. m = −2. D. m = 1. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 79. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình (2m − 4)x = m − 2 có nghiệm duy nhất A. m = −1. B. m = 2. C. m =6= −1. D. m 6= 2. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 80. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−10; 10] để phương trình (m2 − 9)x = 3m(m − 3) có nghiệm duy nhất? A. 2. B. 19. C. 20. D. 21. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 81. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−5; 10] để phương trình (m + 1)x = (3m2 − 1)x + m − 1 có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử trong S bằng A. 15. B. 16. C. 39. D. 40. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 82. Tím tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m2 + m)x = m + 1 có nghiệm duy nhất x = 1. A. m = −1. B. m 6= 0. C. m 6= −1. D. m = 1. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 83. Cho hai hàm số y = (m + 1)2 x − 2 và y = (3m + 7)x + m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau. A. m 6= 2. B. m 6= −3. C. m 6= −2, m 6= 3. D. m = −2, m = 3. ……………………………………………………………………………………………………….. 134 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 84. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m2 − 1)x = m − 1 có nghiệm đúng với mọi x ∈ R. A. m = 1. B. m = ±1. C. m = −1. D. m = 0. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 85. Cho phương trình m2 x + 6 = 4x + 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm. A. m = 2. B. m 6= −2. C. m 6= −2, m 6= 2. D. m ∈ R. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 86. Cho phương trình (m2 − 3m + 2)x + m2 − 5m + 4 = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈ R. A. m = −2. B. m = −5. C. m = 1. D. Không tồn tại. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 87. Cho phương trình (m2 − m)x = m2 − 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm. A. m = 0. B. m = 1. C. m 6= 0, m 6= 3. D. m 6= 1. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 88. Cho hai hàm số y = (m + 1)x + 1 và y = (3m2 − 1)x + m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho trùng nhau. 2 2 2 B. m 6= 1, m 6= − . C. m = 1. D. m = − . A. m = 1, m = − . 3 3 3 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 89. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−10; 10] để phương trình x2 −x+m = 0 vô nghiệm? A. 10. B. 9. C. 20. D. 21. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 90. Phương trình 2(x2 − 1) = x(mx + 1) có nghiệm duy nhất khi 17 17 . B. m = 2; m = . C. m = 2. D. m = −1. A. m = 8 8 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 135 Câu 91. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m − 2)x2 − 2x + 1 − 2m = 0 có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử trong S bằng 7 9 5 B. 3. C. . D. . A. . 2 2 2 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 92. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−5; 5] để phương trình mx2 − 2(m + 2)x + m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt? A. 5. B. 6. C. 9. D. 10. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..  Câu 93. Phương trình m2 + 2 x2 + (m − 2)x − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi A. 0 < m < 2. B. m > 2. C. m ∈ R. D. m ≤ 2. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 94. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = 2x + m tiếp xúc với parabol (P ) : y = (m − 1)x2 + 2mx + 3m − 1. A. m = 1. B. m = −1. C. m = 0. D. m = 2. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 95. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−20; 20] để phương trình x2 −2mx+144 = 0 có nghiệm. Tổng các phần tử trong S bằng A. 21. B. 18. C. 1. D. 0. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 96. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hai đồ thị hàm số y = −x2 − 2x + 3 và y = x2 − m có điểm chung. 7 7 7 7 A. m = − . B. m < − . C. m > − . D. m ≥ − . 2 2 2 2 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 97. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−10; 10] để phương trình mx2 − mx + 1 = 0 có nghiệm. A. 17. B. 18. C. 20. D. 21. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 98. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3×2 − (m + 2)x + m − 1 = 0 có một nghiệm gấp đôi nghiệm còn ßlại. ™ ™ ß ™ ß ß ™ 2 3 1 5 C. m ∈ 0; . D. m ∈ − ; 1 . A. m ∈ ;7 . B. m ∈ −2; − . 2 2 5 4 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 136 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 99. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3×2 − 2(m + 1)x + 3m − 5 = 0 có một nghiệm gấp ba nghiệm còn lại. A. m = 7. B. m = 3. C. m = 3; m = 7. D. m ∈ ∅. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..  Câu 100. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (x − 1) x2 − 4mx − 4 = 0 có ba nghiệm phân biệt? 3 3 D. m 6= − . A. m ∈ R. B. m 6= ∅. C. m 6= . 4 4 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 2 c = 0(a 6= 0) có hai nghiệm phân Câu 101. ® Phương trình ax + bx + ® ® biệt cùng dấu khi và chỉ khi ® ∆>0 ∆≥0 ∆>0 ∆>0 A. . B. . C. . D. . P >0 P >0 S>0 S<0 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 102. Phương trình ax2 + bx +  c = 0(a 6= 0) có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi ® ® ∆ > 0   ∆ > 0  ∆>0 ∆>0 P > 0. D. . C. P > 0 . A. . B.   S>0 P >0   S<0 S>0 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 2 Câu 103. c = 0(a 6= 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ® Phương trình ax + bx + ® ∆>0 ∆>0 . C. P < 0. D. P > 0. . B. A. S>0 S<0 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 104. Phương trình x2 − mx + 1 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi A. m < −2. B. m > 2. C. m ≥ −2. D. m 6= 0. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 105. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [−5; 5] để phương trình x2 + 4mx + m2 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt? A. 5. B. 6. C. 10. D. 11. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 137 Câu 106. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx2 + x + m = 0 có hai nghiệm âm phân biệt? ã Å ã ã Å Å 1 1 1 1 . C. m ∈ (0; 2). D. m ∈ 0; . B. m ∈ − ; A. m ∈ − ; 0 . 2 2 2 2 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 107. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2; 6] để phương trình x2 + 4mx + m2 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. Tổng các phần tử trong S bằng A. −3. B. 2. C. 18. D. 21. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 108. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x2 − 2(m + 1)x + m2 − 1 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt là Å ã 1 A. m ∈ (−1; 1). B. m ∈ (1; +∞). C. m ∈ − ; 0 . D. m ∈ (−∞; −1). 2 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 109. Phương trình (m − 1)x2 + 3x − 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi A. m > 1. B. m < 1. C. m ≥ 1. D. m ≤ 1. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 110. Giả sử phương trình x2 − (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm là x1 ; x2 . Tính giá trị biểu thức P = 3x1 x2 − 5(x1 + x2 ) theo m. A. P = 3m2 − 10m + 6. B. P = 3m2 + 10m − 5. C. P = 3m2 − 10m + 1. D. P = 3m2 + 10m + 1. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 4 trên khoảng (0; 1) là Câu 111. Số nghiệm của phương trình 20x3 (1 − x)3 = 25 A. 6. B. 3. C. 2. D. 1. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 112. Giả sử phương trình x2 − 3x − m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm là x1 ; x2 . Tính giá trị của biểu thức P = x21 (1 − x2 ) + x22 (1 − x1 ). A. P = −m + 9. B. P = 5m + 9. C. P = m + 9. D. P = −5m + 9. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 113. Giả sử phương trình 2x2 − 4ax − 1 = 0 có hai nghiệm là x1 ; x√ 2 . Tính giá trị của biểu thức T√= |x1 − x2 |. √ a2 + 8 a2 + 8 4a2 + 2 C. T = A. T = . B. T = 4a2 + 2. . D. T = . 3 2 4 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 138 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 114. Cho phương trình x2 + px + q = 0 trong đó p > 0, q > 0. Nếu hiệu các nghiệm của phương trình bằng 1. Khi đó p bằng √ √ √ A. 4q + 1. B. 4q − 1. C. − 4q + 1. D. q + 1. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 115. Nếu m 6= 0 và n 6= 0 là các nghiệm của phương trình x2 + mx + n = 0 thì tổng m + n bằng 1 1 B. −1. C. . D. 1. A. − . 2 2 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. Câu 116. Giá trị nào của m thì phương trình x2 − mx + 1 − 3m = 0 có hai nghiệm trái dấu? 1 1 A. m > . B. m < . C. m > 2. D. m < 2. 3 3 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 117. Tìm tham số thực m để phương trình (m − 1)x2 − 2(m − 2)x + m − 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu? A. m < 1. B. m > 2. C. m > 3. D. 1 < m < 3. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 118. Phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 có hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi A. m < 3. B. m < 1. C. m = 1. D. 1 < m < 3. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 119. Phương trình x2 + x + m = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi 3 1 5 3 B. m < − . C. m > . D. m > − . A. m > − . 4 4 4 4 ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH 139 BÀI A. HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3. CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ { DẠNG 3.1. Phương pháp thế 1. Ví dụ VÍ DỤ 1. Giải hệ phương trình ® 2x − y + 1 = 0 (1) 4×2 − y 2 + 2xy + 5y = 0. (2) Lời giải. Từ (1) suy ra y = 2x + 1 thay vào phương trình (2) ta được 4×2 − (2x + 1)2 + 2x(2x + 1) + 5(2x + 1) = 0 ⇔ 4×2 + 8x + 4 = 0 ⇔ x = −1. Với x = −1 ⇒ y = −1. Vậy hệ Phương trình có nghiệm là (−1; −1). VÍ DỤ 2. Giải hệ phương trình ® x+y =1 3  (1) 3 x − y = 3(x − y). (2) Lời giải. Từ (1) suy ra y = 1 − x thay vào (2) ta được  x = −1  x=2 x3 − (1 − x)3 − 3(x − 1 + x) ⇔ 2×3 − 3×2 − 3x + 2 = 0 ⇔   1 x= . 2 Với x = −1 ⇒ y = 2. Với x = 2 ⇒ y = −1. 1 1 Với x = ⇒ y = . 2 2 Å ã 1 1 Vậy phương trình có các nghiệm là (−1; 2), (2; −1), . ; 2 2 2.  Bài tập tự rèn luyện Bài 1. Giải các hệ phương trình sau ® x + 2y = 5 1 2 3 ® 5 ® 2 ® 2x + y = 1 2 x+y+2=0 4 ® x + 2y = 4 6 ® x + 2y − 2xy = 5. x2 + y = 4x 2x + y = 5. x + 2y = 4 2 2 x + 3y = 7. x2 − 5xy + y 2 = 7. x2 + y 2 − xy = 13. x2 + 3y 2 − xy + 2x − 5y = 4. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 140 { DẠNG 3.2. Hệ phương trình đối xứng loại 1 3. Phương pháp giải toán Định nghĩa 1. Hệ phương trình đối xứng loại 1 có dạng ® f (x, y) = 0 g(x, y) = 0 với ® f (x, y) = f (y, x) g(x, y) = g(y, x). Cách ® giải: S =x+y (điều kiện hệ có nghiệm S 2 ≥ 4P ). Đặt P = xy Thế S, P vào hệ. Khi đ1o x, y là nghiệm của phương trình X 2 − SX + P = 0. ! Một số biểu thức đối xứng thường gặp △ x2 + y 2 = (x + y)2 − 2xy = S 2 − 2P .   x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 ) = (x + y) (x + y)2 − 3xy = S(S 2 − 3P ) = S 3 − 3P S. 2 2 x4 + y 4 = x2 + y 2 − 2×2 · y 2 = S 2 − 2P − 2P 2 . 4. Ví dụ VÍ DỤ 3. Giải hệ phương trình ® Lời giải. x + y + xy = 5 x2 + y 2 = 5. ® x + y + xy = 5 Hệ phương trình đã cho tương đương với (x + y)2 − 2xy = 5. ® S =x+y (điều kiện có nghiệm S 2 ≥ 4P ). Đặt P = xy Khi đó hệ phương trình trở thành ® ® S+P =5 ⇔ ® P =5−S S 2 − 2(5 − S) = 5  ®  Pñ = 5 − S P =5−S ⇔ ⇔ S=3  S 2 + 2S − 15 = 0  S = −5 ® S=3  P = 2 (Nhận)  ⇔ ®  S = −5 (Loại) P = 10. 2 S − 2P = 5 S=3 ñ X=1 khi đó x, y là nghiệm của phương trình X − 3X + 2 = 0 ⇔ X = 2. P =2 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1; 2), (2; 1). Với VÍ DỤ 4. Giải hệ phương trình Lời giải. 2 ® x + y + xy = 11 x2 y + xy 2 = 30. ® x + y + xy = 11 Hệ phương trình đã cho tương đương với xy(x + y) = 30. ® S =x+y Đặt (điều kiện có nghiệm S 2 ≥ 4P ). P = xy  3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH 141 Khi đó hệ phương trình trở thành ® Với ® ® S = 11 − P (11 − P )P = 30  ®  Sñ = 11 − P S = 11 − P ⇔ ⇔ P =6  − P 2 + 11P − 30 = 0  P =5 ® S=5  P = 6 (nhận)  ⇔ ®  S=6 (nhận) P = 5. S=5 S + P = 11 ⇔ S · P = 30 khi đó x, y là nghiệm của phương trình X 2 − 5X + 6 = 0 ⇔ ñ X=3 ®P = 6 ñX = 2. S=6 X=1 Với khi đó x, y là nghiệm của phương trình X 2 − 6X + 5 = 0 ⇔ P =5 X = 5. Vậy hệ phương trình có các nghiệm là (3; 2), (2; 3), (1; 5), (5; 1). VÍ DỤ 5. Giải hệ phương trình ®  x+y =1 x3 + y 3 = x2 + y 2 . Lời giải. ® x+y =1 Hệ phương trình đã cho tương đương với (x + y)3 − 3(x + y)xy = (x + y)2 − 2xy ® S =x+y Đặt (điều kiện có nghiệm S 2 ≥ 4P ). P = xy Khi đó hệ phương trình trở thành ® ⇔ Với ® ® S=1 3 2 S − 3SP = S − 2P ⇔ ® S=1 (nhận) P = 0. S=1 S=1 1 − 3P = 1 − 2P ñ X =0 khi đó x, y là nghiệm của phương trình X − X = 0 ⇔ P =0 X = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm là (0; 1), (1; 0). VÍ DỤ 6. Giải hệ phương trình Lời giải. 2 ® x2 + y 2 = 5 x4 + y 4 − x2 y 2 = 13. ( (x + y)2 − 2xy = 5 Hệ phương trình đã cho tương đương với  2 2 2 x + y − 3(xy)2 = 13. ® S =x+y Đặt (điều kiện có nghiệm S 2 ≥ 4P ). P = xy Khi đó hệ phương trình trở thành ® S 2 − 2P = 5 ⇔ ® S 2 − 2P = 5 52 − 3P 2 = 13 (S 2 − 2P )2 − 3P 2 = 13 ® P =2  2   Sñ = 5 + 2P  S2 = 9 ⇔ ⇔ P =2  ®P = −2    P = −2 S2 = 1  CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 142 ® P  S  ®  P    S ⇔   ®P    S ®   P =2 =3 =2 = −3 = −2 =1 = −2 S = −1. ® ñ S=3 X=1 2 Với khi đó x, y là nghiệm của phương trình X − 3X + 2 = 0 ⇔ P =2 X = 2. ñ ® X = −1 S = −3 2 khi đó x, y là nghiệm của phương trình X + 3X + 2 = 0 ⇔ Với ®P = 2 ñ X = −2. S=1 X = −1 Với khi đó x, y là nghiệm của phương trình X 2 − X − 2 = 0 ⇔ P = −2 X = 2. ñ ® X=1 S = −1 khi đó x, y là nghiệm của phương trình X 2 + X − 2 = 0 ⇔ Với X = −2. P = −2 Vậy hệ phương trình có các nghiệm là (1; 2), (2; 1), (−1; −2), (−2; −1), (−1; 2), (2; −1), (1; −2), (−2; 1). 5.  Bài tập tự rèn luyện Bài 2. Giải các hệ phương trình sau ® xy + x + y = 5 1 2 2 2 ® 4 ® x + y + x + y = 8. 3 ® x+y = 2 x + xy + y = 11 x2 + y 2 + 3(x + y) = 28. x2 + y 2 = 13 3(x + y) + 2xy + 9 = 0. x4 + y 4 = 34. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. { DẠNG 3.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 ® f (x; y) = 0 Phương pháp giải toán f (y; x) = 0. Lấy vế trừ vế rồi đặt x − y làm nhân tử chung, sau đó dùng phương pháp thế để tìm nghiệm. 6. Ví dụ VÍ DỤ 7. Giải hệ phương trình Lời giải. ® 2 x − 2y 2 = 2x + y Ta có y 2 − 2×2 = 2y + x Lấy vế trừ vế ta được ® x2 − 2y 2 = 2x + y y 2 − 2×2 = 2y + x. (1) (2). 3×2 − 3y 2 = x − y ⇔ 3(x − y)(x + y) − (x − y) = 0 ñ x−y =0 ⇔ (x − y)(3x + 3y − 1) = 0 ⇔ 3x + 3y − 1 = 0. 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH 143 Trường hợp 1: x − y = 0 ⇔ y = x. ñ x=0 Thay vào phương trình (1) ta được x − 2x = 2x + x ⇔ −x − 3x = 0 ⇔ x = −3 2 Trường hợp 2 : 3x + 3y − 1 = 0 ⇔ y = Thay vào phương trình (2) ta được 2 2 ⇒y=0 ⇒ y = −3. 1 − 3x . 3 1 − 3x (1 − 3x)2 = 2x + 9 3 9×2 − 3x + 5 = 0 x2 − 2 ⇔ ⇔ x ∈ ∅. Vậy S = {(0; 0); (−3; −3)}.  VÍ DỤ 8. Giải hệ phương trình ® x3 + 1 = 2y (1) 3 y + 1 = 2x (2). Lời giải. Lấy (1) − (2) ta được x3 − y 3 = 2y − 2x ⇔ (x − y)(x2 + xy + y 2 ) + 2(x − y) = 0 ⇔ (x − y)[x2 + y 2 + xy + 2] = 0 ñ y=x ⇔ x2 + y 2 + xy + 2 = 0. Trường hợp 1: y = x. Thay vào phương trình (1