Tài liệu học tập Toán 10 học kỳ 2

MỤC LỤC PHẦN ĐẠI SỐ CHƯƠNG IV: BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH …………………………………………………….. 1 §1: BẤT ĐẲNG THỨC ………………………………………………………………………………………………………. 1 §2-3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN ………………………… 8 §4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN …………………………………………………………… 14 §5: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI ……………………………………………………………………………… 19 CHƯƠNG VI: GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC …….. 29 §1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC ………………………………………………………………………………. 29 §2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG. ……………………………………………………………… 33 §3: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC. ……………………………………………………………………………………. 40 PHẦN HÌNH HỌC CHƯƠNG II: TÍCH VÔ HƯỚNG ………………………………………………………………………………………….. 48 §2: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ ……………………………………………………………………… 48 §3 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC- GIẢI TAM GIÁC……………………………………. 53 CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ………………………………………… 59 §1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ……………………………………………………………………………… 59 §2 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC …………………………………………………………………………………………… 67 §3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN ………………………………………………………………………………… 74 §4: PHƯƠNG TRÌNH ELIP ………………………………………………………………………………………………. 82 PHẦN ĐẠI SỐ CHƯƠNG IV: BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH §1: BẤT ĐẲNG THỨC A. TÓM TẮC LÝ THUYẾT. Ñieàu kieän Noäi dung Cộng hai vế với số bất kì ab acbc (1) một số dương: c  0 a  b  ac  bc (2a) một số âm: c  0 a  b  ac  bc (2b) Cộng vế theo vế các BĐT cùng chiều a  b  ac bd  c  d (3) Nhân từng vế BĐT khi biết nó dương a  b  0  ac  bd  c  d  0 (4) Mũ lẻ a  b  a 2 n 1  b2 n  1 (5a) Mũ chẵn 0  a  b  a2n  b2 n (5b) a0 ab a  b (6 a) a bất kỳ ab 3 a  3 b (6b) Nhân hai vế Nâng lũy thừa với n   Lấy căn hai vế Nếu a, b cùng dấu: ab  0 ab 1 1  a b (7 a) Nếu a, b trái dấu: ab  0 ab 1 1  a b (7 b) Nghịch đảo BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (AM – GM) ab  ab . Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi a  b. 2 abc 3  abc . Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi a  b  c.  a  0; b  0; c  0 thì ta có: 3  a  0; b  0 thì ta có: BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACÔPXKI (CAUCHY SCHWARZ) ( a.x  b.y )2  ( a 2  b 2 )( x 2  y 2 )  x; y; a; b   thì:  2 2 2 2  a.x  b.y  ( a  b )( x  y )  Dấu ”  ” xảy ra khi ( a.x  b.y  c.z)2  ( a2  b 2  c 2 )( x2  y 2  z 2 )  x; y; z; a; b; c   thì:  2 2 2 2 2 2  a.x  b.y  c.z  ( a  b  c )( x  y  z )  x y  , ( a; b  0). a b Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi x y z   ( a; b; c  0). a b c x y x 2 y 2 ( x  y )2    Dấu ”  ” xảy ra khi   a b ab a b  x; y   và a  0, b  0 thì  x; y; z   và a  0, b  0, c  0 thì x y z x 2 y 2 z 2 ( x  y  z) 2     Dấu ”  ”     a b c abc a b c BẤT ĐẲNG THỨC VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Điều kiện Nội dung x  0, x  x , x   x x  a  a x  a a>0  x  a x a   x  a a  b  ab  a  b BẤT ĐẲNG THỨC VỀ CẠNH CỦA TAM GIÁC Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có: + a, b, c > 0. + ab  c  ab ; bc  a  bc; ca  b  ca. B. BÀI TẬP TỰ LUẬN. Bài 1: Cho a, b, c, d, e  R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a2  b2  c2  ab  bc  ca b) a2  b2  1  ab  a  b c) a2  b2  c 2  3  2(a  b  c) d) a2  b2  c2  2(ab  bc  ca) HD: a)  (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2  0 b)  (a  b)2  (a  1)2  (b  1)2  0 c)  (a  1)2  (b  1)2  (c  1)2  0 d)  (a  b  c)2  0 Bài 2: Cho a, b, c  0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: b) (a  b  c)(a2  b2  c 2 )  9abc a) (a  b)(b  c)(c  a)  8abc 3 c) (1  a )(1  b)(1  c )  1  3 abc  d) bc ca ab    a  b  c ; với a, b, c > 0. a b c HD: a) a  b  2 ab ; b  c  2 bc ; c  a  2 ca  đpcm. 3 b) a  b  c  33 abc ; a2  b2  c2  3 a2 b2c2  đpcm. c)  (1  a)(1  b)(1  c)  1  a  b  c  ab  bc  ca  abc  a  b  c  33 abc 3  ab  bc  ca  3 a2 b2c2 3  (1  a)(1  b)(1  c)  1  33 abc  3 3 a2 b2 c2  abc  1  3 abc  bc ca abc2 ca ab a2 bc ab bc ab2c d)  2  2c ,  2  2a ,  2  2b đpcm a b ab b c bc c a ac Bài 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: a) ab  bc  ca  a2 +b2  c2 <2(ab  bc  ca) b) abc  (a  b  c )(b  c  a)(a  c  b) c) 2 a 2 b2  2 b 2 c 2  2c 2 a 2  a 4  b 4  c 4  0 d) a(b  c)2  b(c  a)2  c(a  b)2  a3  b3  c3 HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a  b  c  a2  b2  2bc  c2 . Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. b) Ta có: a2  a2  (b  c)2  a2  (a  b  c)(a  b  c) . Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. c)  (a  b  c)(a  b  c)(b  c  a)(c  a  b)  0 . d)  (a  b  c)(b  c  a)(c  a  b)  0 . Bài 3: Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau: x 18 x 2 a) y   ; x  0 . b) y   ; x  1. 2 x 2 x 1 HD: a) Miny = 6 khi x = 6 b) Miny = 3 khi x = 3 2 Bài 4: Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau: a) y  ( x  3)(5  x );  3  x  5 b) y  x (6  x ); 0  x  6 HD: a) Maxy = 16 khi x = 1 c) Maxy = 121 1 khi x =  8 4 b) Maxy = 9 khi x = 3 d) Maxy = 625 5 khi x = 8 4 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Câu 1. Cho bất đẳng thức a  b  a  b . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? A. a  b . B. ab  0 . C. ab  0 . D. ab  0 . C. 0 . D. Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2  3 x với x   là: A.  9 . 4 B.  3 . 2 3 . 2 Câu 3. Cho biểu thức f  x   1  x 2 . Kết luận nào sau đây đúng? A.Hàm số f  x  chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất. B.Hàm số f  x  chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất. C. Hàm số f  x  có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. D. Hàm số f  x  không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất. Câu 4. Cho hàm số f  x   1 x2  1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. f  x  có giá trị nhỏ nhất là 0 , giá trị lớn nhất bằng 1. B. f  x  không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1. C. f  x  có giá trị nhỏ nhất là 1, giá trị lớn nhất bằng 2 . D. f  x  không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. Câu 5. Cho biết hai số a và b có tổng bằng 3 . Khi đó, tích hai số a và b A. có giá trị nhỏ nhất là 9 . 4 B. có giá trị lớn nhất là 9 . 4 C. có giá trị lớn nhất là 3 . 2 D. không có giá trị lớn nhất. Câu 6. Cho ba số a ; b ; c thoả mãn đồng thời: a  b  c  0 ; b  c  a  0 ; c  a  b  0 . Để ba số a ; b ; c là ba cạnh của một tam giác thì cần thêm đều kiện gì ? A. Cần có cả a, b, c  0 . B. Cần có cả a, b, c  0 . C. Chỉ cần một trong ba số a, b, c dương D. Không cần thêm điều kiện gì. Câu 7. Trong các hình chữ nhật có cùng chi vi thì A. Hình vuông có diện tích nhỏ nhất. B. Hình vuông có diện tích lớn nhất. C. Không xác định được hình có diện tích lớn nhất. D. Cả A, B, C đều sai. Câu 8. Tìm mệnh đề đúng? 1 1  . a b A. a  b  ac  bc . B. a  b  C. a  b và c  d  ac  bd . D. a  b  ac  bc,  c  0  . Câu 9. Suy luận nào sau đây đúng? a  b  ac  bd . c  d B.  a  b a b   . c d c  d a  b  ac  bd . c  d D.  A.  C.  a  b  0  ac  bd . c  d  0 Câu 10. Trong các tính chất sau, tính chất nào sai? a  b  ac bd . c  d B.  0  a  b  ac  bd . 0  c  d D.  A.  0  a  b a b   . d c 0  c  d a  b  ac  bd . c  d C.  Câu 11. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? A. a  b  1 1  . a b B. a  b  ac  bc . a  b  ac  bd . D. Cả A, B, C đều sai. c  d C.  Câu 12. Mệnh đề nào sau đây sai? a  b  ac bd . c  d B.  a  b  ac  bd . c  d D. ac  bc  a  b .  c  0  A.  C.  a  b  ac  bd . c  d Câu 13. Cho biểu thức P  a  a với a  0 . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A.Giá trị nhỏ nhất của P là 1 . 4 B.Giá trị lớn nhất của P là 1 . 4 C.Giá trị lớn nhất của P là 1 . 2 D. P đạt giá trị lớn nhất tại a  Câu 14. Giá trị lớn nhất của hàm số f  x   A. 11 . 4 B. 1 . 4 2 bằng x  5x  9 2 4 . 11 C. 11 . 8 D. 8 . 11 Câu 15. Cho f  x   x  x 2 . Kết luận nào sau đây là đúng? A. f  x  có giá trị nhỏ nhất bằng 1 . 4 C. f  x  có giá trị nhỏ nhất bằng  1 . 4 B. f  x  có giá trị lớn nhất bằng 1 . 2 D. f  x  có giá trị lớn nhất bằng 1 . 4 2 Câu 16. Bất đẳng thức  m  n   4 mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây? 2 2 B. m2  n2  2mn . A. n  m  1  m  n  1  0 . 2 2 C.  m  n   m  n  0 . D.  m  n   2mn . Câu 17. Với mọi a, b  0 , ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? 2 2 B. a  ab  b  0 . A. a  b  0 . 2 2 C. a  ab  b  0 . D. a  b  0 . Câu 18. Với hai số x , y dương thoả xy  36 , bất đẳng thức nào sau đây đúng? 2 A. x  y  2 xy  12 . B. x  y  2 xy  72 . 2 2 C. 4xy  x  y .  x y   xy  36  2  D.  . Câu 19. Cho hai số x , y dương thoả x  y  12 , bất đẳng thức nào sau đây đúng? 2  x y   36 .  2  A. xy  6 . 2 B. xy   2 C. 2xy  x  y . D. xy  6 . Câu 20. Cho x , y là hai số thực bất kỳ thỏavà xy  2 . Giá trị nhỏ nhất của A  x 2  y 2 . A. 2 . B. 1. C. 0 . Câu 21. Với a, b, c, d  0 . Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề sai? A. a a ac . 1  b b bc B. a a ac . 1  b b bc D. 4 . C. a c a ac c     . b d b bd d D. Có ít nhất hai trong ba mệnh đề trên là sai. 2 a2  b2  a  b  Câu 22. Hai số a, b thoả bất đẳng thức   thì 2  2  A. a  b . B. a  b . C. a  b . D. a  b . §2-3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 1.Định nghĩa: Bất phương trình bậc nhất là bất phương trình có dạng: + ≤ 0, + ≥ 0 ax  b  0, ax  b  0, với a, b ∈ . (1) 2. Giải và biện luận bất phương trình dạng: ax + b < 0 Điều kiện Kết quả tập nghiệm  b  a   b  S =   ;    a  S =  ;  a>0 a<0 b0 b<0 a=0 S= S=R 3. Dấu của nhị thức bậc nhất: Cho nhị thức bậc nhất f(x)= ax + b x f ( x)  ax  b  -∞ Trái dấu với a b a +∞ 0 Cùng dấu với a 4. Giải hệ bất phương trình bậc nhất 1 ẩn: ― Giải từng bất phương trình trong hệ. ― Lấy giao nghiệm. 5. Một số phép biến đổi tương đương bất phương trình: ― ( )< ( )⟺ ( )+ ( )< ( )+ ( ) ― ( ) < ( ) ⟺ ( ). ( ) < ( ). ( ) ế ( ) > 0, ∀ ― ( ) < ( ) ⟺ ( ). ( ) > ( ). ( ) ế ( ) < 0, ∀ ― ( ) < ( ) ⟺ [ ( )] < [ ( )] ế ( ) ≥ 0, ( ) ≥ 0, ∀ 6. Bất phương trình qui về bất pt bậc nhất một ẩn: 6.1. Bất phương trình tích  Dạng: P(x).Q(x) > 0 (1) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)  Cách giải: Lập bảng xét dấu của P(x).Q(x). Từ đó suy ra tập nghiệm của (1). 6.2. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu P( x )  Dạng: (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)  0 (2) Q( x ) P( x )  Cách giải: Lập bảng xét dấu của . Từ đó suy ra tập nghiệm của (2). Q( x ) Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu. 6.3. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ  Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.  g( x )  0  Dạng 1: f ( x )  g( x )    g( x )  f ( x )  g( x )   g( x )  0   f ( x ) coù nghóa   Dạng 2: f ( x )  g( x )    g( x )  0     f ( x )   g( x )    f ( x )  g( x )  Chú ý: Với B > 0 ta có: A  B  B  A  B ; B. BÀI TẬP TỰ LUẬN: Bài 1. Giải các bất phương trình sau: 3( x  1) x 1 2x 1 3 a) 2  b) 3   3  x 8 4 5 4  A  B . A B A  B c) 5( x  1) 2( x  1) 1  6 3 Bài 2. Giải và biện luận các bất phương trình sau: a) mx  1  m 2  x b) mx  6  2 x  3m m( x  2) x  m x  1 c) (m  1) x  m  3m  4 d)   6 3 2 Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm: a) 3  mx  2( x  m)  (m  1)2 b) m2 x  1  m  (3m  2) x c) mx  m 2  mx  4 Bài 4. Giải các hệ bất phương trình sau:  a) 3 x  1  2 x  7 4 x  3  2 x  19 x 4 2  x  3 d)   2 x  9  19  x  3 2 Bài 5. Giải các bất phương trình sau: a) ( x  1)( x  1)(3x  6)  0  4x  5  x 3  b)  7  3x  8  2 x  5  4 11  x  2x  5  e)  2 2  3 x  1  x  8  2 4 1  3  12 x  x  2 c)   4x  3  2  x  2 3  1 15 x  2  2 x  3 f)  2  x  4   3 x  14  2 b) (2 x  7)(4  5x )  0 c) x 2  x  20  2( x  11) d) 3x(2 x  7)(9  3x )  0 e) x 3  8 x 2  17 x  10  0 Bài 6. Giải các bất phương trình sau: f) x 3  6 x 2  11x  6  0 2 x  5 3x  2 b)  3x  2 2 x  5 3x  4 d) e) 1 x2 Bài 7. Giải các bất phương trình sau: a) 3 x  2  7 b) a) x 3 x 5  x 1 x  2 2x  5  1 2 x x  3 1  2x  x 5 x 3 2 5 f)  x 1 2x 1 c) c) 2x  8  7 x f) x  2  2 i) x  2  x  1 5 x  12  3 x 1 e) x  1  2 h) 2 x  1  x d) 3 x  15  3 g) 2 x  5  x  1 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM: Câu 1. Cho nhị thức bậc nhất f  x   23x  20 . Khẳng định nào sau đây đúng? 20 B. f  x   0 với x   ;  . 23   5 20 C. f  x   0 với x   . D. f  x   0 với x   ;   2  23  Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f  x   x  x  6   5  2 x  10  x  x  8  luôn A. f  x   0 với x   . Câu 2. dương? A.  . Câu 3. Câu 4. C.  ;5 . B. R. 1 1  x 1   x2  1 x2 x 1 A. x  2 và x  1 . B. x  1 . C. x  1 . D. x  2 . 2  1 âm? Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x   1 x A.  ; 1 . B.  ; 1  1;   . Các giá trị của x thoả mãn điều kiện đa thức f  x   C. 1;   . Câu 5. Câu 7. Câu 8. D.  1;1 . Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x    x  1 x  3 không âm A.  3,1 . Câu 6. D.  5;   . B.  3,1 . C.  , 3  1,   . D.  , 3  1,   . 4 x  1  3 không dương 3x  1 4  4 1  4 1   4  A.   ,   B.   ,   C.  ,   . D.   ,   . 5  5 3  5 3   5  4 Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x    2 không dương x3 A.  , 3   1,   . B.  3, 1 . C.  1,   . D.  , 1 . Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x   Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x   2 x  5  3 không dương A. 1  x  4 . B. x  5 . 2 C. x  0 . D. x  1. Câu 9. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức f  x   x 1 A. S   ;1 . không dương? x  4x  3 B. S   3; 1  1;   . C. S   ; 3   1;1 . D. S   3;1 . 2 2 x không âm? 2x 1 1  1   A. S    ; 2  . B. S   ;     2;   . 2  2   1   1  C. S   ;     2;   . D. S    ; 2  . 2   2  Câu 11. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức f  x   x x2  1 không âm? Câu 10. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x    A.  ; 1  1;   . B.  1;0  1;   .  C.  ; 1   0;1 . D.  1;1 . Câu 12. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x   2 x  3  1 không dương? A. 1  x  3 . B. 1  x  1 . C. 1  x  2 . D. 1  x  2 . x 1 Câu 13. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f  x   5 x   4   2 x  7  luôn âm 5 A.  . B. R. C.  ; 1 . D.  1;   . Câu 14. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f  x   x 2  2 x  3 luôn dương A.  . B. R. C.  ; 1   3;   . D.  1;3 . Câu 15. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f  x   x 2  9  6 x luôn dương A.  3 . B. R. C.  3;   . D.  ;3 . 2 Câu 16. Tìm tham số thực m để tồn tại x thỏa f  x   m x  3   mx  4  âm C. m  1 hoặc m  0 . D. m   . 3 3   Câu 17. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f  x   2 x   3  âm 2x  4  2x  4  3 3 A. 2 x  3 . B. x  và x  2 . C. x  . D. Tất cả đều đúng. 2 2 Câu 18. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f  x   2  x  1  x   3  x  1  2 x  5 luôn A. m  1 . B. m  0 . dương A. x   . B. x  3, 24 . C. x  2,12 . D. Vô nghiệm.  Câu 19. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x   5  x  1  x  7  x   x2  2 x luôn dương A. Vô nghiệm. B. x  . C. x  2, 5 . D. x  2, 6 . Câu 20. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f  x   x 2  6 x  8 không dương.  A.  2;3 . B.  ; 2   4;   . C.  2;4 . D. 1;4 . Câu 21. Số các giá trị nguyên âm của x để đa thức f  x    x  3 x  2  x  4  không âm là A. 0 . D. 3 .  5 x 13 x   9 2 x  Câu 22. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f  x           luôn âm  5 21 15   25 35  257 5 A. x  0 . B. x  C. x   . D. x  5 . 295 2 x2 Câu 23. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x   không dương x5 A.  2,5 . B.  2,5  C.  2,5 . D.  2,5 . B. 1. C. 2 . 1 1 luôn âm  x 1 x 1 D. Một đáp số khác. Câu 24. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x   A. R. C.  1,1 . B.  . Câu 25. Các số tự nhiên bé hơn 4 để đa thức f  x   A. 4; 3; 2; 1;0;1; 2;3 . C. 0;1; 2;3 . 2x  23   2 x  16  luôn âm 5 35 B.   x  4 . 8 D. 0;1; 2; 3 Câu 26. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f  x   x  5 x  2   x  x 2  6  không dương A.  ;1   4;   . B. 1;4 . C. 1; 4  . D.  0;1   4;   Câu 27. Với giá trị nào của m thì không tồn tại giá trị của x để f  x   mx  m  2 x luôn âm A. m  0 . B. m  2 . C. m  2 . D. m   . Câu 28. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f  x   x 2 – 4 x  3 luôn âm A.  ;1   3;   . B.  ;1   4;   . C. 1;3 . D. 1;3 . Câu 29. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f  x   2 x 2  7 x – 15 không âm 3  3  A.  ;     5;   . B.  ; 5   ;   . 2  2  3   3  C.  5;  . D.   ;5 . 2   2  Câu 30. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x    x 2  6 x  7 không âm A.  ; 1   7;   B.  1;7 Câu 31. Tìm số nguyên nhỏ nhất của x để f  x   A. x  –3. B. x  4. C.  ; 7  1;   x 5 luôn dương  x  7  x  2  C. x  –5. D.  7;1 . D. x  –6. 1  2x  Câu 32. Các số tự nhiên bé hơn 6 để đa thức f  x   5 x   12   luôn dương 3  3  A. 2;3; 4;5 . B. 3; 4;5 . C. 0;1; 2;3; 4;5 . D. 3; 4;5;6 . 3x  5  x2  1    x  luôn âm 2  3  A. Vô nghiệm. B. Mọi x đều là nghiệm. C. x  4,11 . D. x  5. x 1 x  2 Câu 34. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f  x   không âm?  x  2 x 1 1 1    1  A.  2;   . B.  2;   . C.  2;    1;   . D.  ; 2     ;1 . 2 2    2  Câu 33. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f  x   §4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm của nó.  Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng: ax  by  c  0, ax  by  c  0, ax  by  c  0, ax  by  c  0 trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số. – Mỗi cặp số (x0; y0) sao cho ax0 + by0 < c gọi là một nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 , - Nghiệm của các bất phương trình dạng ax  by  c, ax  by  c, ax  by  c cũng được định nghĩa tương tự.  Trong mặt phẳng tọa độ thì mỗi nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập hợp điểm. Ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trình. 2. Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn. * Định lí : Trong mặt phẳng tọa độ đường thẳng  d  : ax  by  c  0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax  by  c  0 , nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax  by  c  0 . * Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 , ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) như sau: Bước 1. Vẽ đường thẳng (d): ax  by  c  0 Bước 2. Xét một điểm M  x0 ; y0  không nằm trên (d).   Nếu ax0  by0  c  0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 . Nếu ax0  by0  c  0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 . Chú ý: Đối với các bất phương trình dạng ax  by  c  0 hoặc ax  by  c  0 thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN  Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Tương tự hệ bất phương trình một ẩn, ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau:   Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ (tô màu) miền còn lại. Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch (tô màu) chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. B. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất pt: a) 3 x  y  2  0 b) x  3  2(2 y  5)  2(1  x ) 2 x  3 y  6  0  Bài 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất pt:  x  0 2 x  3 y  1  0  C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Câu nào sau đây sai?. Miền nghiệm của bất phương trình  x  2  2  y  2   2 1  x  là nửa mặt phẳng chứa điểm Câu 2: A.  0;0  . B. 1;1 . C.  4; 2  . D. 1; 1 . Câu nào sau đây đúng?. Miền nghiệm của bất phương trình 3  x  1  4  y  2   5 x  3 là nửa mặt phẳng chứa điểm A.  0;0  . Câu 3: C.  2; 2  . D.  5;3 . Câu nào sau đây sai?. Miền nghiệm của bất phương trình x  3  2  2 y  5   2 1  x  là nửa mặt phẳng chứa điểm A.  3; 4  . Câu 4: B.  4; 2  . B.  2; 5 . C.  1; 6  . D.  0;0  . Câu nào sau đây đúng?. Miền nghiệm của bất phương trình 4  x  1  5  y  3  2 x  9 là nửa mặt phẳng chứa điểm A.  0;0  . Câu 5: B. 1;1 . C.  1;1 . D.  2;5  . Câu nào sau đây đúng?.  x y  2  3 1  0  3y   4 là phần mặt phẳng chứa điểm Miền nghiệm của hệ bất phương trình 2( x  1)  2  x0    A.  2;1 . B.  0;0  . C. 1;1 . D.  3;4  . Câu 6: Câu 7: Câu 8: 2 x  3 y  1  0 Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình  ?  5x  y  4  0 A.  1; 4  . B.  2; 4  . C.  0;0  . D.  3; 4  . 2 x  5 y  1  0  Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình  2 x  y  5  0 ?  x  y 1  0  A.  0;0  . B. 1;0  . C.  0; 2  . D.  0; 2  .  x y 0  Miền nghiệm của hệ bất phương trình  x  3 y  3  0 là phần mặt phẳng chứa điểm  x  y 5  0  A.  5;3 . Câu 9: B.  0;0  . C. 1; 1 . D.  2; 2  . 3 x  y  9 x  y  3  Miền nghiệm của hệ bất phương trình  là phần mặt phẳng chứa điểm 2 y  8  x  y  6 A.  0;0  . B. 1; 2  . C.  2;1 . D.  8;4  . Câu 10: Miền nghiệm của bất phương trình 3x  2  y  3  4  x  1  y  3 là phần mặt phẳng chứa điểm nào? A.  3;0  . B.  3;1 . C. 1;1 . D.  0;0  . . Câu 11: Miền nghiệm của bất phương trình 5  x  2   9  2 x  2 y  7 là phần mặt phẳng không chứa điểm nào? A.  2;1 . B.  2;3 . C.  2; 1 . D.  0;0  . Câu 12: Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình 2 x  y  1 ? A.  2;1 . B.  3; 7  . C.  0;1 . D.  0;0  . Câu 13: Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình x  4 y  5  0 ? A.  5;0  . B.  2;1 . C. 1; 3 . D.  0;0  . Câu 14: Miền nghiệm của bất phương trình 2 x  y  1 không chứa điểm nào sau đây? A. A 1 ; 1 . B. B  2 ; 2  . C. C  3 ; 3 .    D. D  1 ;  1  Câu 15: Miền nghiệm của bất phương trình 1  3 x  1  3 y  2 chứa điểm nào sau đây? A. A 1 ;  1 . B. B  1 ;  1 .  C. C  1 ; 1 .  D. D  3 ; 3 . Câu 16: Miền nghiệm của bất phương trình x  2  2  y  1  2 x  4 chứa điểm nào sau đây? A. A 1 ; 1 . B. B 1 ; 5 . C. C  4 ; 3 . D. D  0 ; 4  . Câu 17: Miền nghiệm của bất phương trình 2 x  2 y  2  2  0 chứa điểm nào sau đây? A. A 1 ; 1 . B. B 1 ; 0  . C. C   2; 2 . D. D   2; 2 .  x y20 Câu 18: Trong các cặp số sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình  là 2 x  3 y  2  0 A.  0;0  . B. 1;1 . C.  1;1 . D.  1; 1 . Câu 19: Cho bất phương trình 2 x  4 y  5 có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. 1;1  S . B. 1;10   S . C. 1; 1  S . D. 1;5   S . Câu 20: Cho bất phương trình x  2 y  5  0 có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A.  2; 2   S . B. 1;3  S . C.  2; 2   S . D.  2; 4   S x  y  0 Câu 21: Cho hệ bất phương trình  có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng 2 x  5 y  0 định đúng? 1   1 2 A. 1;1  S . B.  1; 1  S . C. 1;    S . D.   ;   S . 2   2 5  x  0 Câu 22: Cho hệ bất phương trình  có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là  x  3 y  1  0 khẳng định đúng? A. 1; 1  S . B. 1;  3  S . C. 1; 5  S . D. 4; 3  S .        x  0 Câu 23: Cho hệ bất phương trình  có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là  x  3 y  1  0 khẳng định đúng? A.  1; 2   S . B. 2;0  S . C. 1;  3  S . D. 3;0  S .       x  y  3  Câu 24: Cho hệ bất phương trình  1 có tập nghiệm S . Khẳng định nào sau đây là khẳng 1  2 x  y  0 định đúng ? A. 1; 2   S . B.  2;1  S . C.  5; 6   S . D. S   . §5: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐỊNH LÝ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 1.Tam thức bậc hai: (đối với x ) là biểu thức dạng ax 2  bx  c . Trong đó a, b, c là số cho trước với ≠ 0. Nghiệm của phương trình ax 2  bx  c  0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c . 2. Dấu của tam thức bậc hai: <0 =0 >0 (lập bảng xét dấu) f(x) = ax 2  bx  c (a  0) f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, x  R  b f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, x  R    2a  a.f(x) > 0, x  (–∞; x1)  (x2; +∞) a.f(x) < 0, x  (x1; x2) Bảng xét dấu của f(x) khi  > 0 x f(x) -∞ x1 x2 Cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI +∞ cùng dấu với a Bất phương trình bậc hai một ẩn ax 2  bx  c  0 (hoặc  0; < 0;  0) Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai. BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ BẤT PT BẬC HAI 1. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.  f ( x )  0 C1  g( x )  0 C2   f ( x )  g( x )   Dạng 1: f ( x )  g( x )    f ( x )  g( x )      f ( x )   g( x )   f ( x )  0   f ( x )   g( x )  f ( x )  g( x )  Dạng 2: f ( x )  g( x )    f ( x )   g( x )  Dạng 3:  g( x )  0 f ( x )  g( x )    g( x )  f ( x )  g( x )   g( x )  0   f ( x ) coù nghóa  f ( x )  g( x )    g( x )  0     f ( x )   g( x )    f ( x )  g( x )   Dạng 4: Chú ý:  A  A  A  0; A  A  A  0  Với B > 0 ta có: A  B  B  A  B ;  A  B  A  B  AB  0 ;  A  B . A B A  B A  B  A  B  AB  0 2. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng phép nâng luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.  g( x )  0  Dạng 1: f ( x )  g( x )   2  f ( x )   g( x )  f ( x )  0 (hoaëc g( x )  0)  Dạng 2: f ( x )  g( x )    f ( x )  g( x )  Dạng 3:  Dạng 4:  Dạng 5:  Dạng 6: t  f ( x ), t  0 a. f ( x )  b. f ( x )  c  0   2  at  bt  c  0 u  f ( x ) f ( x )  g( x )  h( x ) . Đặt  ; u, v  0 đưa về hệ u, v. v  g( x )  f (x)  0 f ( x )  g( x )   g( x )  0  f ( x )   g( x )2    g( x )  0  f ( x )  0  f ( x )  g( x )    g( x )  0    f ( x )   g( x )2   B. BÀI TẬP TỰ LUẬN: Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau: a) 2 x 2  7 x  5 b)  x 2  4 x  5 c) 4 x 2  12 x  9 d) 3 x 2  2 x  8 e)  x 2  2 x  1 f) 2 x 2  7 x  5 g) (3 x 2  10 x  3)(4 x  5) (3 x 2  x )(3  x 2 ) h) (3 x 2  4 x )(2 x 2  x  1) i) b) 5 x 2  4 x  12  0 c) 16 x 2  40 x  25  0 4×2  x  3 Bài 2. Giải các bất phương trình sau: a) x 2  x  6  0 d) 2 x 2  3 x  7  0 e) 3 x 2  4 x  4  0 f) 3 x 2  x  4 x 2  3x  5 0 Bài 3. Giải và biện luận các bất phương trình sau: a) mx 2  2 x  4  0 b) (1  m) x 2  2mx  2m  0 c) Bài 4. Giải các hệ bất phương trình sau:  x 2  x  5  0 2 x 2  x  6  0 2 x 2  5x  4  0 a)  2 b)  2 c)  2  x  6 x  1  0 3x  10 x  3  0  x  3x  10  0 x2  4x  3  0  x 2  4 x  7  0  x2  2x  7 d) 2 x 2  x  10  0 e)  2 f) 4  1 2 x 2  5 x  3  0  x  2 x  1  0 x2  1  Bài 5. Tìm m để các phương trình sau: i) có nghiệm 2 ii) vô nghiệm 2 a) (1  m) x  2mx  2m  0 b) (m  2) x  2(2m  3) x  5m  6  0 c) (3  m) x 2  2(m  3) x  m  2  0 d) (m  2) x 2  4mx  2m  6  0 e) (m2  2m  3) x 2  2(2  3m) x  3  0 Bài 6. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: a) 3 x 2  2(m  1) x  m  4  0 b) x 2  (m  1) x  2m  7  0 c) 2 x 2  (m  2) x  m  4  0 d) mx 2  (m  1) x  m  1  0 e) (m  1) x 2  2(m  1) x  3(m  2)  0 f) 3(m  6) x 2  3(m  3) x  2m  3  3 Bài 7. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm: a) (m  2) x 2  2(m  1) x  4  0 b) (m  3) x 2  (m  2) x  4  0 c) (m2  2m  3) x 2  2(m  1) x  1  0 d) mx 2  2(m  1) x  4  0 e) (3  m) x 2  2(2m  5) x  2m  5  0 Bài 8. Giải các phương trình sau: a) x 2  5 x  4  x 2  6 x  5 f) mx 2  4(m  1) x  m  5  0 b) x 2  1  x 2  2 x  8 c) 2  3 x 2  6  x 2  0 e) x  1  1  x x2 1  x  1 f) 2 x ( x  2) a) 2 x 2  5 x  3  0 b) x  8  x 2  3 x  4 c) x 2  1  2 x  0 d) x 2  4 x  3  x 2  4 x  5 e) x  3  x  1  2 f) x 2  3 x  2  x 2  2 x d) 2 x  x  3  3 2 Bài 9. Giải các bất phương trình sau: g) x2  4x 1 h) 2x  3  x  3 b) 2 x  x2 Bài 10. Giải các phương trình sau: a) 2x  5 1  0 x 3 5 x  10  8  x i) x 2 2 x  5x  6 3 c) x  2 x  5  4 d) x2  2x  4  2  x e) 3x 2  9 x  1  x  2 f) g) 3x  7  x  1  2 h) x2  9  x2  7  2 i) 3x 2  9 x  1  x  2 21  x  21  x 21  x  21  x  21 x Bài 11. Giải các phương trình sau: (đặt ẩn phụ) a) ( x  4)( x  1)  3 x 2  5x  2  6 b) ( x  3)2  3 x  22  x 2  3x  7 Bài 12. Giải các bất phương trình sau: c) ( x  1)( x  2)  x 2  3 x  4 a) x 2  x  12  8  x b) x 2  x  12  7  x c)  x 2  4 x  21  x  3 d) x 2  3 x  10  x  2 e) 3 x 2  13 x  4  x  2 f) 2x  6×2  1  x  1 g) x  3  7  x  2 x  8 h) Bài 13. Giải các bất phương trình sau: a) ( x  3)(8  x )  26   x 2  11x c) ( x  1)( x  4)  5 x 2  5x  28 Bài 14. Giải các bất phương trình sau: a) x2  4x 2 3 x c) ( x  3) x 2  4  x 2  9 2  x  7  x  3  2 x i) 2x  3  x  2  1 b) ( x  5)( x  2)  3 x ( x  3)  0 d) 3x 2  5x  7  3x 2  5x  2  1 b) 2 x 2  15 x  17 0 x 3 d)  x2  x  6  x2  x  6  2x  5 x4 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình A.  ; 1  1;   B. (–;–1) Câu 2: Bất phương trình 5x – 1 > A. x > 20 23 2 < 1 là 1 x B. x < 2 C. (–1;1) D. (1;+) 2x + 3 có nghiệm là 5 C. x < 3 D. x >  5 2 Câu 3: Bất phương trình 2 x  1 > x có tập nghiệm là   1 3 A.  ;   1;   B.  C. R 1  3  D.  ;1 Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình x(x – 6) + 5 – 2x > 10 + x(x – 8) là A.  B. (–; 5) C. (5;+) D. R Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình 1  1 là : x 1 A. 1;  B. 1;2  C.  ;1   2;   D.  ;1 Câu 6: Bất phương trình 2 x  1  x có nghiệm là   1 3 A.  ;   1;   B.  1  3  D.  ;1 C. R x 1  1 là x 3 C.  D.  ;5 Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình A.  3;  B. R x  2006 > Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình A.  2006  x là B. [2006; +) C. (–; 2006) D. {2006} 3  1 là 2 x Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình A.  ; 1   2    B.  ;2  C.  1;2  D.  1;   Câu 10: Cho bất phương trình x2 –6 x + 8 ≤ 0 (1). Tập nghiệm của (1) là A. [2; 8] C. (– ∞ ; 2]  [4 ; + ∞) B. [2; 3] Câu 11: Tập nghiệm của bất phương trình 5 x  A.  ; 1 x 1  4  2 x  7 là 5 B.  1;   Câu 12: Nghiệm của bất phương trình A. (–;–3)  (–1;1) D. [1; 4] C.  D. R x 1  0 là x  4x  3 2 B. (–3;–1)  [1;+) C. (–;1) D. (–3;1) Câu 13: Tìm tập nghiệm của bất phương trình x 2  4 x < 0 A.  B. (–;0)  (4;+) C. (0;4) D. {} 2 Câu 14: Tìm m để bất phương trình m x + 3 < mx + 4 có nghiệm A. mR B. m = 1 C. m = 0 D. m = 1  m = 0 Câu 15: Tập nghiệm của bất phương trình x 2  5x  6  0 là x 1 A. (1;2]  [3;+) B. (1;3] C. [2;3] D. (–;1)  [2;3] 2 Câu 16: : Cho f(x) = mx –2x –1 . Xác định m để f(x) < 0 với mọi x   . A. m < –1 B. m < 0 2 C. –1 < m < 0 D. m < 1 và m ≠ 0 Câu 17: Phương trình x  7mx  m  6  0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi A. m > 6 B. m < 6 C. m > – 6 D. m < - 6 2 Câu 18: Tập nghiệm của bất phương trình x(x – 1)  0 là A. [1;0]  [1; + ) B. (–; –1]  [0;1) C. (–; –1)  [1; + ) D. [–1;1] 2 Câu 19: Tìm m để x – 2(2m – 3)x + 4m – 3 > 0, x   . A. 1 < m < 3 B. m > 3 4 C. m > 3 2 D. 3 3 1 3 B. m > 2 C. m < 1 3 D. m < 2 Câu 21: Cho bất phương trình x 2  2 3 x  1  0 có tập nghiệm là S. Khi đó A. 5  S B. 1 S C. 3 S 2 D. 1  S Câu 22: Trong các phép biến đổi sau, phép nào là phép biến đổi tương đương: A.  2 x  3   3x  2 2 2 x  3  3x  2   . 3 x  2  0   2 x  1  3x  2  2 x  1  3 x  2 B. 2 x  1  3 x  2   3x  2  0 2.  2 x  1   3 x  2  C. 2 x  1  3 x  2   D. 3x  5  3 x  2  3x  5  3 x  2  0. Câu 23: Phương trình A. 2 x  9  x   x 2  9 x  3 có bao nhiêu nghiệm: B. 1 C. 3 D. 4 2 Câu 24: Phương trình  x  5 2  x   3 x  3x có bao nhiêu nghiệm: A. 2 B. 1 C. 3 D. 0  x 2  7 x  6  0 Câu 25: Tập nghiệm của hệ bất phương trình  là  2 x  1  3 A. (1;2) B.  C. (–;1)(2;+) D. [1;2]  x 2  9  0 Câu 26: Hệ bất phương trình :  có nghiệm là: 2 ( x  1)(3x  7 x  4)  0 4 ≤ x ≤ –1 hay 1 ≤ x < 3 3 4 C. –3 < x ≤  hay –1 ≤ x ≤ 1 3 A.  B. –1 ≤ x < 2 D.  4 ≤ x ≤ –1 hay x ≥ 1 3  3  x  6   3  Câu 27: Hệ bất phương trình  5 x  m có nghiệm khi và chỉ khi:  7   2 A. m > –11 B. m ≥ –11  x2  1  0 Câu 28: Hệ bất phương trình  x  m  0 A. m< 1 B. m> 1 C. m < –11 D. m ≤ –11 có nghiệm khi: C. m =1 D. m  1 ( x  3)(4  x )  0 có nghiệm khi: x  m 1 Câu 29: Hệ bất phương trình  A. m > –2 B. m < 5 C. m > 5 D. m = – 2  2x  1  3   x  1 Câu 30: Cho hệ bất phương trình  (1). Tập nghiệm của (1) là 4  3 x   2 4 4 4 4 A. (–2; ) B. [–2; ] C. (–2; ] D. [–2; ) 5 5 5 5  2 x  1  3x  2 là :  x  3  0  Câu 31: Tập nghiệm của hệ bất phương trình  A.  3;3 B.  ; 3   3;   C.  3 :   D.  ;3 5  6 x  7  4 x  7 Câu 32: Cho hệ bất phương trình  (1). Số nghiệm nguyên của (1) là 8 x  3   2 x  25  2 A. 8 B. 0 C. Vô số  x 2  4 x  3  0 Câu 33: Tập nghiệm của hệ bất phương trình  2 là  x  6 x  8  0 D. 4 A. (–;1)  (4;+) C. (1;4) B. (–;1)  (3;+ ) D. (–;2)  (3;+ ) 2  x  0 là 2 x  1  x  2  Câu 34: Tập nghiệm của hệ bất phương trình  A. (–3;2) B. (2;+) C. (–3;+) D. (–;–3) Câu 35: Phương trình  x  4  1  x 2  x 2  16 có bao nhiêu nghiệm: A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 Câu 36: Cho phương trình x 3  4 x  0 (1). Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình hệ quả của phương trình (1):   x  5x   0. C.  x  2   x  4 x   0. A. x 2  4 2 2 B. x 2  4 x  4  0. D. x 2  4 x  0. Câu 37: Trong các phép biến đổi sau, phép biến đổi nào là tương đương: 2 x  3  x 2 2 2 x  3  x  . A.  2 2 x  3   x  3x 3x B. x 2  2 x    x 2  2 x  0. x2 x2 2 C. 2 x  1  3 x  2  2 x  1   3x  2  . D.  x  4   2  x 2 x4  2x   .  2  x  0 Câu 38: Trong các cách viết dưới đây, cách nào là sai: x  0 A. x 3  4 x  0   2 . x  4  0 x  0 B. x  4 x  0   x  2 .   x  2 3 C. x 3  4 x  0  x  0; x  2; x  2. D. x 3  4 x  0  x  0 hoặc x 2  4  0. Câu 39: Phương trình x 2  2 x  x  1 có bao nhiêu nghiệm: A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 Câu 40: Phương trình  m  1 x 2  2  m  1 x  m  2  0 , có hai nghiệm phân biệt khi: m  3 .  m  1 B. m  3. A.  Câu 41: Phương trình A. 1  m  2 .  m  1 C. m  2. D.  x 3  2 x  4  2  x có bao nhiêu nghiệm: B. 2 C. 3 D. 0 Câu 42: Phép biến đổi tương đương là: A. Phép biến đổi không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình. B. Phép rút gọn, qui đồng, bình phương. C. Phép biến đổi không làm thay đổi tập hợp nghiệm của phương trình. D. Các phép biến đổi trừ phép qui đồng, bình phương, rút gọn. Câu 43: Với giá trị nào của m thì ptr mx 2  x  1  0 có nghiệm:  1  4  1  4   1 4 1 4   C. m   ;   . Câu 44: Phương trình A. 2   B. m    ;   0. A. m    ;   .   D. m   ;0  . x 2  6 x  9  2 x  5 có bao nhiêu nghiệm: B. 1 C. 3 D. 0 2 x2  5 Câu 45: Điều kiện xác định của phương trình  3 3x  6  2 x  2  B.  x  5 .  2  x  3  x   2 3. A.   x  5 2  0: 5 x C. 2  x  5. D. 2  x  5. Câu 46: Trong các phép biến đổi sau, phép nào là phép biến đổi nào là đúng: A. B. 2 3x  5  2 x  1  3x  5   2 x  1 . 2 5 x  3   3x  2  5 x  3  3x  2   . 3x  2  0 3 x  1  0 . 2  3x  0 C. 3x  1  2  3x  0   D. 3  2 x  x 2  1  x 3  2x  x  1  x   . 1  x  0 2 Câu 47: Phương trình m2 x  m 2  25 x  3m  10  0 có nghiệm khi: A. m   5. B. m   5. C. m  5. D. m   5. CHƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC §1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. I. Khái niệm cung và góc lượng giác. 1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác 2. Góc lượng giác Kí hiệu góc lượng giác đó là OC, OD . + A D M O 3. Đường tròn lượng giác Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R  1 . Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A 1;0, A ‘ 1;0 , B 0;1, B ‘ 0;1. C + O Ta lấy A 1;0 làm điểm gốc của đường tròn đó. Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A ). II. Số đo của cung và góc lượng giác. 1. Độ và radian a) Đơn vị radian Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad. b) Quan hệ giữa độ và radian 0 1   180 rad và 1rad  1800  c) Độ dài của một cung tròn Cung có số đo a rad của đường tròn bán kính R có độ dài:   R. 2. Số đo của một cung lượng giác. sđ AM  a  k 2 , k  trong đó  là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A , điểm cuối là M . 3. Số đo của một góc lượng giác Số đo của góc lượng giác OA, OC  là số đo của cung lượng giác AC tương ứng. B. BÀI TẬP TỰ LUẬN. Bài 1: Đổi số đo của các góc sau ra Radian. a) 72 0 c) 37 0 45’ 30” b) 6000 e) 225o f) 720 o d) 270o . Bài 2: Đổi số đo của các góc sau ra độ a) b) 5 18 c)  4 3 5 d) 9 2 e)  4 7 f)  5 3 Bài 3: Một đường tròn có bán kính 36m . Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là a) 3 4 0 b) 51 f) 2 3 g) 3 7 c) 1 3 h) 49 0 d) 700 i) 4 3 e) 1050 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Câu 1: Góc có số đo 108o đổi ra radian là 3  A. . B. . 5 10 Câu 2: Biết một số đo của góc  Ox, Oy   A.  Ox, Oy   C.  Ox, Oy   Câu 3: C.  4 . B.  Ox, Oy     k 2 .  k . 2 2 Góc có số đo đổi sang độ là 5 A. 240o . B. 135o .  D. 3  2001 . Giá trị tổng quát của góc  Ox, Oy  là 2 3  k . 2  3 . 2 D.  Ox, Oy   C. 72 o .  2  k 2 . D. 270o . Câu 4: Góc có số đo Câu 5: A. 15o . B. 18o . C. 20o . D. 25o . Cho  Ox, Oy   22o30 ‘ k 360o . Với k bằng bao nhiêu thì  Ox, Oy   1822o 30 ‘ ? 9 đổi sang độ là A. k . Câu 6: Câu 7: Câu 8: Câu 9: Câu 10: Câu 11: Câu 12: Câu 13: Câu 14: Góc có số đo B. k  3.  24 C. k  5. D. k  5. C. 8o . D. 8o30 ‘ .  C. . 4 D. đổi sang độ là A. 7 o . B. 7 o 30 ‘ . Góc có số đo 120o đổi sang rađian là góc  3 A. . B. . 10 2 2 . 3 Số đo góc 22o30 đổi sang rađian là:  7   A. . B. C. . D. . . 8 12 6 5 o Đổi số đo góc 105 sang rađian bằng 5 7 9 5 A. . B. C. D. . . 12 12 12 8  Giá trị k để cung    k 2 thỏa mãn 10    11 là 2 A. k  4. B. k  6. C. k  7. D. k  5. 10  Một đường tròn có bán kính R  cm . Tìm độ dài của cung trên đường tròn.  2 2 20 A. 10 cm . B. 5 cm . C. 2 cm . D. cm .  20 Một đường tròn có bán kính R  10 cm . Độ dài cung 40o trên đường tròn gần bằng: A. 7 cm . B. 9 cm . C. 11cm . D. 13cm . o Góc 18 có số đo bằng rađian là    A. . B. . C. . D.  . 18 10 360  Góc có số đo bằng độ là: 18 A. 18o . B. 36o . C. 10o . D. 12o . Câu 15: Một đường tròn có bán kính 20 cm . Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo  15 (tính gần đúng đến hàng phần trăm). A. 4,19 cm . B. 4,18 cm . C. 95, 49 cm . D. 95,50 cm . Câu 16: Chọn điểm A 1;0  làm điểm đầu của cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Tìm điểm 25 . 4 A. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ I . B. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ II . C. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ III . D. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ IV . Câu 17: Cho đường tròn có bán kính 6 cm . Tìm số đo ( rad ) của cung có độ dài là 3 cm : A. 0,5 . B. 3 . C. 2 . D. 1 . cuối M của cung lượng giác có số đo   k 2  k    . Để a  19; 27  thì giá trị của k là 3 A. k  2 , k  3 . B. k  3 , k  4 . C. k  4 , k  5 . D. k  5 , k  6 . Câu 19: Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là A. 30o. B. 40o. C. 50o. D. 60o. 63 Câu 20: Nếu góc lượng giác có sđ  Ox, Oz    thì hai tia Ox và Oz 2 A. Trùng nhau. B. Vuông góc. 3 C. Tạo với nhau một góc bằng . D. Đối nhau. 4 Câu 18: Cho a  32 | P a g e sin tang §2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG. A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác Cho (OA, OM )   . Giả sử M ( x; y) . cos   x  OH sin   y  OK   sin   tan    AT     k  cos   2  cos    k  cot    BS sin  Nhận xét:   ,  1  cos  1;  1  sin   1  tan xác định khi    2 B K T cotang S M   k , k  Z cosin H O A  cot xác định khi   k , k  Z  sin(  k 2 )  sin  cos(  k 2 )  cos 2. Dấu của các giá trị lượng giác  tan(  k )  tan  cot(  k )  cot  Phần tư Giá trị lượng giác cos sin tan cot I II III IV + + + + – + – – – – + + + – – – 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.     6 4 3 00 300 450 sin 0 1 2 cos 1 tan 0 0 2 2 3 3 4  3 2 2 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 –1 0 3 2 2 2 1 2 0 –1 0 1 3 3 1 3 3 1 3 3 cot 0  1 2  2 2  3 –1 3 3 –1  0 0 0 4. Hệ thức cơ bản:    33 | P a g e  .  . .  . .. . 5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt Góc đối nhau Góc bù nhau cos( )  cos  sin(   )  sin  sin( )   sin  cos(   )   cos tan( )   tan  tan(   )   tan  cot( )   cot  cot(   )   cot  Góc hơn kém  Góc phụ nhau   sin      cos  2    cos      sin  2    tan      cot  2    cot      tan  2  Góc hơn kém  2 sin(   )   sin    sin      cos  2  cos(   )   cos   cos       sin  2  tan(   )  tan    tan       cot  2  cot(   )  cot    cot       tan  2  B. BÀI TẬP TỰ LUẬN. Bài 1. Tính giá trị còn lại của góc x, biết 1 với 900  x  1800 . 2 2/ sin x   3 3 với   x  . 5 2 4/ cos x  6/ cos x   8/ cos x  1/ sin x  3/ sin x   5/ cos x  7/ cos x  9/ sin x  3 với 0  x  900 . 5 2 5 với    x  0. 2 5  với  x  . 13 2 11/ tan x  3 với   x  34 | P a g e 3 . 2 4 với 2700  x  3600 . 5 1  với 0  x  . 4 2 5 với 1800  x  2700 . 13 4 với 2700  x  3600 . 5 10/ sin x   1 với 1800  x  2700 . 3 12/ tan x  2 với   x  . 2 13/ tan x   1  với  x   . 2 2 3 3 với   x  . 4 2 16/ tan x   2 với   x  . 2 17/ cot x  2  với 0  x  . 3 2 18/ cot x   3 với   x  . 2 3  x  2 . 2 1/ Cho tan x  2 . Tính: A1  5 cot x  4 tan x 2 sin x  cos x . , A2  5 cot x  4 tan x cos x  3 sin x 2/ Cho cot x  2 . Tính: B1  3 sin x  cos x sin x  3 cos x . , B2  sin x  cos x sin x  3 cos x 4/ Cho tan x  2 . Tính: D1  Bài 4. Bài 5. Bài 6. 20/ cot150  2  3 Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau 3/ Cho cot x  2 . Tính: C1  Bài 3. 3 . 2 15/ tan x  19/ cot x  3 với Bài 2. 14/ cot x  3 với   x  2 sin x  3 cos x 2 . , C2  2 3 sin x  2 cos x cos x  sin x cos x 3 sin x  2 cos x 2 sin x  3 cos x , , D2  4 sin x  5 cos x 5 sin3 x  4 cos3 x Diễn tả giá trị lượng giác của các góc sau bằng giá trị lượng giác của góc x   1/ sin x  900 . 5/ cos x  5400 .     sin 2700  x . 4/   sin x  5400 . 8/ 2/ cos 1800  x . 3/ 6/ cot 1800  x . 7/   sin x  1800 .     tan 3600  x .   Diễn tả giá trị lượng giác của các góc sau bằng giá trị lượng giác của góc x 1/ cot x   . 2/ sin   x . 3/ tan 2  x  . 4/ cot 3  x . 5/ sin x  7 . 6/ tan x  5 . 7/  5  sin   x .  2  8/  3  cos   x .   2 Rút gọn (đơn giản) các biểu thức 1/   A  cos x    sin x   .  2  2/         B  cos   x  sin   x  cos   x  sin   x .     2 2 2 2 3/  7   3  C  2 cos x  3 cos   x  sin   x  tan   x .   2 2 4/    3    D  2 sin   x  sin(5  x)  sin   x  cos   x . 2  2  2  Rút gọn và tính giá trị của biểu thức (không dùng máy tính) A  cos 00  cos 200  cos 400  ……  cos1800 . 35 | P a g e C  cos100  cos 400  cos 700  ……  cos1700 F  sin 50  sin100  sin150  ……  sin 3600 I  tan 100. tan 200. tan 300…… tan 800 L  cos2 20  cos2 40  cos2 60  ……  cos2 880 Bài 7. Chứng minh các đẳng thức sau 1/ cos2 x  sin 2 x  1  2 sin2 x . 2/ 2 cos2 x  1  1  2 sin2 x . 3/ . 3  4 sin 2 x  4 cos2 x  1 . 4/ sin x cot x  cos x tan x  sin x  cos x 5/ sin4 x  cos4 x  1  2 sin2 x cos2 x . 6/ cos 4 x  sin 4 x  cos2 x  sin 2 x . 7/ 4 cos2 x  3  1  2 sin x1  2 sin x . 8/ 1  cos xsin 2 9/  x  cos x  cos2 x  sin2 x . sin4 x  cos4 x  1  2cos2 x  2sin2 x  1 . 10/ sin3 x cos x  sin x cos3 x  sin x cos x . 11/ tan2 x  sin2 x  tan2 x sin 2 x . Bài 8. 12/ cot2 x  cos2 x  cot2 x cos2 x . 1 . sin x cos x 13/ tan x  cot x  15/ 1 1   1. 1  tan x 1  cot x 14/ 1  cos x sin x .  sin x 1  cos x 16/    1  1  1  1   tan2 x  0 .    cos x  cos x  Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x 1/ A  cos4 x  sin 4 x  2 sin2 x . 2/ B  sin 4 x  sin2 x cos2 x  cos2 x . 3/ C  cos4 x  sin2 x cos2 x  sin2 x . 4/ D  cos4 x 2 cos2 x  3  sin 4 x 2 sin2 x  3 .     C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Câu 1. Đơn giản biểu thức A  1 – sin 2 x  .cot 2 x  1 – cot 2 x  , ta có Câu 2. Câu 3. A. A  sin 2 x . B. A  cos2 x . C. A  – sin 2 x . D. A  – cos 2 x . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng ? A. sin 1800 – a   – cos a . B. sin 1800 – a    sin a . C. sin 1800 – a   sin a . D. sin 1800 – a   cos a . Chọn đẳng thức sai trong các đẳng thức sau   A. sin   x   cos x . 2    C. tan   x   cot x . 2    B. sin   x   cos x . 2    D. tan   x   cot x . 2  36 | P a g e cos 7500  sin 4200 bằng sin  3300   cos  3900  Câu 4. Giá trị của biểu thức A  Câu 5. 2 3 1 3 . D. . 3 1 3         Đơn giản biểu thức A  cos      sin      cos      sin     , ta có : 2  2  2  2  A  2sin a A  2cos a A  sin a – cos a A  0. A. . B. . C. . D. Giá trị của cot1458 là A. 3  3 . Câu 6. Câu 7. Câu 8. Câu 11. Câu 12. Câu 13. Câu 14. Câu 15. D. 52 5 . D. 5 . 2 1        k , k    . 2 cos   2  k   D. tan   cot   1   ,k . 2   B. 1  tan 2   1   k , k    . sin 2  1 Cho biết tan   . Tính cot  2 1 1 A. cot   2 . B. cot   . C. cot   . D. cot   2 . 4 2 3  Cho sin   và     . Giá trị của cos là : 5 2 4 4 4 16 A. . B.  . C.  . D. . 5 5 5 25 3 cot   2 tan  Cho sin   và 900    1800 . Giá trị của biểu thức E  là : 5 tan   3cot  2 2 4 4 A. . B.  . C. . D.  . 57 57 57 57 3sin   cos  Cho tan   2 . Giá trị của A  là : sin   cos  5 7 A. 5 . B. . C. 7 . D. . 3 3 Các cặp đẳng thức nào sau đây đồng thời xảy ra? 1 3 A. sin   1 và cos   1 . B. sin   và cos    . 2 2 1 1 C. sin   và cos   . D. sin   3 và cos   0 . 2 2 4  Cho cos   với 0    . Tính sin  . 5 2 1 1 3 3 A. sin   . B. sin    . C. sin   . D. sin    . 5 5 5 5 Tính  biết cos   1 A.   k  k    . B.   k 2  k    . C. 1  cot 2   Câu 10. C. A. 1. B. 1 . C. 0 . Trong các giá trị sau, sin  có thể nhận giá trị nào? 4 A. 0, 7 . B. . C.  2 . 3 Trong các công thức sau, công thức nào sai? A. sin 2   cos2   1 . Câu 9. B. 2  3 3 . 37 | P a g e C.    2  k 2  k   . k   . 3 5 7  cos 2  cos 2 bằng 8 8 8 8 A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 1 . Câu 17. Cho tam giác ABC. Hãy tìm mệnh đề sai AC B AC B  cos .  sin . A. sin B. cos 2 2 2 2 C. sin  A  B   sin C . D. cos  A  B   cos C . Câu 16. Giá trị của A  cos 2  D.     k 2  cos 2   Câu 18. Đơn giản biểu thức A  cos      sin     , ta có 2  A. A  cos a  sin a . B. A  2sin a . C. A  sin a – cos a . 0 0 sin  234   cos 216 Câu 19. Rút gọn biểu thức A  . tan 360 , ta có A bằng sin1440  cos1260 A. 2 . B. 2 .  cot 44  tan 2260  .cos 4060 C. 1 . D. A  0 . D. 1 . 0 Câu 20. Biểu thức B  A. 1 . Câu 23. Câu 24. Câu 25. Câu 26. Câu 27. B. 1 .  cot 720.cot180 có kết quả rút gọn bằng C. 1 . 2 D. 1 . 2 12  và     . Giá trị của sin  và tan  lần lượt là 13 2 5 2 2 5 5 5 5 5 A.  ; . B. ;  . C.  ; . D. ;  . 13 3 3 12 13 12 13 12   Biết tan   2 và 180    270 . Giá trị cos   sin  bằng 3 5 3 5 5 1 A.  . B. 1 – 5 . C. . D. . 5 2 2 Biểu thức D  cos2 x.cot 2 x  3cos2 x – cot 2 x  2sin 2 x không phụ thuộc x và bằng A. 2. B. –2 . C. 3. D. –3 . 4 3    2 . Khi đó : Cho tan    với 5 2 4 5 4 5 A. sin    , cos    . B. sin   , cos   . 41 41 41 41 4 5 4 5 C. sin    cos   . D. sin   , cos    . 41 41 41 41 2 cos 2 x  1 Đơn giản biểu thức A  ta có sin x  cos x A. A  cos x  sin x . B. A  cos x – sin x . C. A  sin x – cos x . D. A   sin x – cos x . Tính giá trị của biểu thức A  sin 6 x  cos 6 x  3sin 2 x cos 2 x . A. A  –1 . B. A  1 . C. A  4 . D. A  –4 . 0 0 2 sin 2550 .cos  188  1 Giá trị của biểu thức A =  bằng : tan 3680 2 cos 6380  cos 980 A. 1. B. 2 . C. 1 . D. 0 . Câu 21. Cho cos   – Câu 22. cos 3160 38 | P a g e tan 2 a  sin 2 a bằng : cot 2 a  cos 2 a B. cos 6 a . C. tan 4 a . Câu 28. Biểu thức rút gọn của A = A. tan 6 a . 39 | P a g e D. sin 6 a . §3: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC. A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Công thức cộng     . .  .  . Hệ quả:   . . 2. Công thức nhân đôi Công thức nhân đôi  .  .   . . Công thức nhân ba (mở rộng) Công thức hạ bậc  .   .  .  .  . 3. Công thức biến đổi 40 | P a g e .  Công thức biến đổi tổng thành tích ● . ● ● . . ● . ● . ● . ● . ● .  Hệ quả ● . ● .  Công thức biến đổi tích thành tổng ● . ● . ● . B. BÀI TẬP TỰ LUẬN. Bài 1. Không dùng máy tính. Hãy tính giá trị của các biểu thức 1/ A  sin 120. cos 480  cos120. sin 480 . 2/ B  cos 380.cos 220  sin 380.sin 220 . 3/ C  sin100.cos 550  cos100.sin 550 . 4/ D  sin 360.cos 60  sin1260.cos 840 . 5/ E  cos1120.cos 230  sin1120.sin 230 . 6/ F  sin 2000.sin 3100  cos 3400. cos 500 . Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau 1/ 41 | P a g e A 1  tan 150 1  tan 150 . 2/ B tan 250  tan 200 1  tan 250 tan 200 . 3/ C 5/ E sin 100 cos 200  sin 200 cos100 cos17 0 cos130  sin 17 0 sin 130 . sin 730 cos 30  sin 87 0 cos 17 0 cos 1320 cos 620  cos 420 cos 28 0 . 4/ D 6/ F tan 2250  cot 810 cot 690 . cot2610  tan 2010 cot2250  cot 79o0 ot 710 cot2590  cot 2510 . Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau 1/   1  và 0  x  . A  cos x x   biết sin x  3  2  3 2/   12 3 và   x  . B  sin   x biết cos x   13 2 3  3/ C  cos x  300 biết tan x  2 và 0  x  900 . 4/   3  D  tan x   biết sin x  và  x   .   3 5 2 5/   12 3 E  cos   x biết sin x   và  x  2 . 3  13 2 6/  4 3  . F  cot x   biết sin x   và   x   4  5 2   4 8 , 00    900 và sin   , 900    1800 . Hãy tính giá trị của biểu 5 17 thức A  cos    và B  sin    . Bài 4. Biết sin       Bài 5. Rút gọn các biểu thức 1/ A  sin x cos 5x  cos x sin 5x . 2/ B  sin 4x cot2x  cos 4x . 3/ C  cos 6x tan 3x  sin 6x . 4/ D  sin x  y cos x  y  sin x  y cos  x  y . 5/ 6/         G  sin x  10  cos 2x  80   sin  x  100  cos 2x  10  . E  cos 400  x cos x  200  sin 400  x sin x  200 . 0 0 0 0 Bài 6. Cho tam giác ABC với A, B,C lần lượt là ba góc của tam giác. Chứng minh 1/ sin C  sin A.cos B  sin B.cos A . 2/ sin A  sin B cos C  sin C cos B . 3/ cos A  sin B sin C  cos B cosC . 4/ sin C  tan A  tan B, cos A.cos B 5/ tan A  tan B  tan C  tan A. tan B. tan C, 42 | P a g e A, B  90  . 0 A, B,C  90  . 0 6/ cot A.cot B  cot B.cotC  cotC.cot A  1 . Bài 7. Tính giá trị của các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi)    sin2 . 8 8 2/ B  3 cos100  4 cos3 100 . C  sin 200 1  4 cos2 200 .  4/ D  4 sin 3 400  3 sin 1300 . E  4 sin 3 500  3 cos1400 . 6/ F 1/ A  cos2 3/ 5/  tan150 1  tan2 150 . Bài 8. Rút gọn các biểu thức Bài 9. 2 1/ A  sin x  cos x . 2/ B  1  4 sin2 x cos2 x . 3/ C  sin x cos x cos 2x . 4/ D  cos4 2x  sin4 2x . 5/  E  cos2 x   6/ F  sin x cos x cos2x . A 3/ C  5/ Bài 11.   . 2  Tính giá trị của các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi) 1/ Bài 10.      sin2 x   2  E 2 cos2 x  1 . sin x  cos x 2 1  tan x1  cot x . sin 2x cos 2x  . sin x cos x 1  2 sin2 2x . cos 2x  sin 2x 2/ B 4/ D  1  tan2 x cot x . 6/ F   cot x  tan x . cos 2x Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết 3  ,  x . 5 2 1/ sin 2x, cos 2x khi sin x  2/ sin 2x, cos 2x khi sin x  cos x  2 . 3/ cos 2x, sin 2x, tan 2x khi cos x   4/ cos 2x, sin 2x, tan 2x khi tan x  2 . 5/ 4  3 . sin x, cos x khi sin 2x   , x 5 2 2 5 3 . , x 13 2 Chứng minh các đẳng thức sau   1/ cos4 x  sin4 x  cos 2x . 2/ sin 4x  4 sin x cos x 1  2 sin2 x . 3/ cos2 2x  sin2 x  cos x cos 3x . 4/ cos 4x  8 cos4 x  8 cos2 x  1 . 5/ 8 sin 4 x  3  4 cos 2x  cos 4x . 6/ sin 4  cos4 x  43 | P a g e 3 1  cos 4x . 4 4 Bài 12. sin6 x  cos6 x  A  cos 3x  cos x . 2/ B  sin 3x  sin 2x . 3/ C  cos 4x  cos x . 4/ D  sin 5x  sin x . Biến đổi thành tích các biểu thức sau đây 1/ Bài 13. Biến đổi thành tổng các biểu thức sau A  sin  2 sin . 5 5 2/ B  sin 5x cos 3x . 3/ C  sin 3  cos . 4 6 4/ D  sin 6/ F  sin x  300 cos x  300 . 2/ sin x  sin 3x  sin 7x  sin 5x . 4/ cos 7x  sin 3x  sin 2x  cos 3x . 1/ 5/ Bài 14. Bài 15. sin 4  cos4 x  6 cos2 x sin2 x  cos 4x . E  sin x  y cos x  y .  7 cos . 12 12  1/ A cos 2x  cos 4x khi x  200 . sin 4x  sin 2x 2/ B cos x.cos13x  khi x  . cos 3x  cos 5x 17 3/ C cos x.cos10x  khi x  . cos 2x  cos 4x 13 4/ D tan 2x  sin 2x 2 khi tan x  tan 2x  sin 2x 15  Biến đổi thành tích các biểu thức sau đây 3/ sin x  sin 2x  sin 5x  sin 8x . Trong ΔABC có ba góc làn lượt là A, B,C . Chứng minh rằng 1/ sin A  sin B  sin C  4 cos A B C cos cos . 2 2 2 2/ sin A  sin B  sin C  4 sin A B C sin cos . 2 2 2 3/ cos A  cos B  cos C  1  4 sin 4/ sin 2A  sin 2B  sin 2C  4 sin A sin B sin C . A B C sin sin . 2 2 2 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1.   Tính giá trị của biểu thức 1/ 1  cos x  cos 2x  cos 3x . Bài 16. 5 3  cos 4x . 8 8 8/ 7/ Trong các công thức sau, công thức nào sai? cot 2 x  1 A. cot 2 x  . 2 cot x 44 | P a g e B. tan 2 x  2 tan x . 1  tan 2 x Câu 2. Câu 3. Câu 4. Câu 5. Câu 6. Câu 7. C. cos 3 x  4 cos3 x  3cos x . Trong các công thức sau, công thức nào sai? A. cos 2a  cos 2 a – sin 2 a. C. cos 2a  2 cos 2 a – 1. Trong các công thức sau, công thức nào đúng? A. cos  a – b   cos a.cos b  sin a.sin b. D. sin 3 x  3sin x  4 sin 3 x C. sin  a – b   sin a.cos b  cos a.sin b. D. sin  a  b   sin a.cos b  cos.sin b. B. cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b. Trong các công thức sau, công thức nào đúng? tan a  tan b . A. tan  a  b   B. tan  a – b   tan a  tan b. 1  tan a tan b tan a  tan b . C. tan  a  b   D. tan  a  b   tan a  tan b. 1  tan a tan b Trong các công thức sau, công thức nào sai? 1 1 A. cos a cos b  cos  a – b   cos  a  b   . B. sin a sin b  cos  a – b  – cos  a  b   . 2 2 1 1 C. sin a cos b  sin  a – b   sin  a  b   . D. sin a cos b  sin  a  b   cos  a  b   . 2 2 Trong các công thức sau, công thức nào sai? ab a b ab ab .cos . .sin . A. cos a  cos b  2 cos B. cos a – cos b  2 sin 2 2 2 2 ab a b ab a b .cos . .sin . C. sin a  sin b  2 sin D. sin a – sin b  2 cos 2 2 2 2 Rút gọn biểu thức : sin  a –17  .cos  a  13  – sin  a  13  .cos  a –17  , ta được : A. sin 2a. Câu 8. B. cos 2a  cos 2 a  sin 2 a. D. cos 2a  1 – 2 sin 2 a. B. cos 2a. Cho x, y là các góc nhọn, cot x  . B. A. 2 2 7 3 . 18 A. sin  a  b  sin a  sin b  . sin  a  b  sin a  sin b D. 1 . 2 3 1 , cot y  . Tổng x  y bằng : 4 7 3  . C. . 4 4 3 Câu 9. Cho cot a  15 , giá trị sin 2a có thể nhận giá trị nào dưới đây: 11 13 15 . . . A. B. C. 113 113 113 Câu 10. trị của sin 2  a  b  là : A.  1 C.  . 2 D.  . D. 17 . 113 3 2 7 3 4 2 7 3 5 2 7 3 C. D. . . . 18 18 18     Câu 11. Biểu thức A  cos 2 x  cos 2   x   cos 2   x  không phụ thuộc x và bằng : 3  3  3 4 3 2 A. . B. . C. . D. . 4 3 2 3 sin  a  b  Câu 12. Biểu thức bằng biểu thức nào sau đây? (Giả sử biểu thức có nghĩa) sin  a  b  45 | P a g e B. B. sin  a  b  sin a  sin b  . sin  a  b  sin a  sin b C. sin  a  b  tan a  tan b  . sin  a  b  tan a  tan b D. sin  a  b  cot a  cot b  . sin  a  b  cot a  cot b Câu 13. Cho A , B , C là ba góc của một tam giác. Hãy chỉ ra hệ thức SAI. A  B  3C  cos C. A. sin B. cos  A  B – C   – cos 2C. 2 A  B  2C 3C A  B  2C C  cot .  tan . C. tan D. cot 2 2 2 2     Câu 14. Nếu tan  4 tan thì tan bằng : 2 2 2 3sin  3sin  3cos  3cos  . . . . A. B. C. D. 5  3cos  5  3cos  5  3cos  5  3cos  Câu 15. Kết quả nào sau đây SAI ? sin 9 sin12  . A. sin 33  cos 60  cos 3. B. sin 48 sin 81 1 1 4 C. cos 20  2sin 2 55  1  2 sin 65. D.   . cos 290 3 sin 250 3 Câu 16. Nếu 5sin   3sin   2  thì : A. tan      2 tan  . B. tan      3 tan  . C. tan      4 tan  . D. tan      5 tan  . 3 3 ; sin a  0 ; sin b  ; cos b  0 . Giá trị của cos  a  b  . bằng : 4 5 3 7 3 7 3 7 3 7 A. 1  B.   1  C. 1  D.   1   .  .  . . 5 4  5 4  5 4  5 4  Câu 18. Rút gọn biểu thức : cos 120 – x   cos 120  x  – cos x ta được kết quả là A. 0. B. – cos x. C. –2cos x. D. sin x – cos x. 2 2 2 Câu 19. Cho biểu thức A  sin  a  b  – sin a – sin b. Hãy chọn kết quả đúng : Câu 17. Cho cos a  A. A  2cos a.sin b.sin  a  b  . B. A  2sin a.cos b.cos  a  b  . C. A  2 cos a.cos b.cos  a  b  . D. A  2sin a.sin b.cos  a  b  . 3 3 ; cos a  0 ; cos b  ; sin b  0 . Giá trị sin  a  b  bằng : 5 4 1 9 1 9 1 9 1 9 A.   7   . B.   7   . C.  7   . D.  7   . 5 4 5 4 5 4 5 4 1 1 Câu 21. Cho hai góc nhọn a và b . Biết cos a  , cos b  . Giá trị cos  a  b  .cos  a  b  bằng : 3 4 113 115 117 119 . . . . A.  B.  C.  D.  144 144 144 144 sin x  sin 2 x  sin 3x Câu 22. Rút gọn biểu thức A  cos x  cos 2 x  cos 3x A. A  tan 6 x. B. A  tan 3x. C. A  tan 2 x. D. A  tan x  tan 2 x  tan 3x. Câu 23. Biến đổi biểu thức sin a  1 thành tích. a   a   a   a   A. sin a  1  2 sin    cos    . B. sin a  1  2 cos    sin    . 2 4 2 4 2 4 2 4 Câu 20. Cho sin a  46 | P a g e         C. sin a  1  2sin  a   cos  a   . D. sin a  1  2 cos  a   sin  a   . 2 2 2  2    Câu 24. Cho A , B , C là ba góc của một tam giác. Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau. A. cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1  cos A.cos B.cos C . B. cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1 – cos A.cos B.cos C . C. cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1  2 cos A.cos B.cos C . D. cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1 – 2 cos A.cos B.cos C . 47 | P a g e PHẦN HÌNH HỌC CHƯƠNG II: TÍCH VÔ HƯỚNG §2: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Góc giữa hai vectơ        Cho a, b  0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA  a , OB  b .  a   AOB với 00   AOB  1800. Khi đó  a , b     A a O  Chú ý: b     0   + a , b = 90  a  b     +  a , b  = 00  a , b cùng hướng     +  a , b  = 1800  a , b ngược hướng     +  a, b    b , a  2. Tích vô hướng của hai vectơ       Định nghĩa: a.b  a . b .cos  a , b  .   2 Đặc biệt: a.a  a 2  a .     Tính chất: Với a , b , c bất kì và kR, ta có:        + a.b  b .a ; a  b  c   a.b  a.c ;         ka  .b  k  a.b   a.  kb  ; a 2  0; a 2  0  a  0 .      2     a  b 2  a 2  2a.b  b 2 ; +  a  b   a 2  2a.b  b 2 ;       a 2  b 2   a  b  a  b  .       + a.b > 0   a , b  nhoïn + a.b < 0   a , b  tuø    a.b = 0   a , b  vuoâng. 3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng    a.b  a1b1  a2 b2 .  Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2). Khi đó:   a  a12  a22 ;  b   cos(a , b )  a1b1  a2 b2 a12  a22 . b12  b22 B   a  b  a1b1  a2 b2  0 ;  Cho A( x A ; y A ), B( xB ; yB ) . Khi đó: AB  ( xB  x A )2  ( yB  y A )2 . B. BÀI TẬP TỰ LUẬN Baøi 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng:             a) AB. AC b) AC .CB c) AB.BC Baøi 2. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: a) AB. AC b) AC .CB c) AB.BC Baøi 3. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:   a) AB. AC       b) ( AB  AD)( BD  BC )         d) AB.BD e) ( AB  AC  AD )(DA  DB  DC ) Baøi 4. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0). 48 | P a g e   c) ( AC  AB)(2 AD  AB) a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.  b) Tìm toạ độ điểm M biết CM  2 AB  3 AC . c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Baøi 5. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).   a) Tính AB. AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC. d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC. e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng. f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N. g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật. h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox AOKBlà thang đáy AO.  để   hình  i) Tìm toạ độ điểm T thoả TA  2TB  3TC  0 k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B. l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ABC. Bài 6. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;3) và B(4;2) a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA=DB b) Tính chu vi tam giác OAB c) Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB Bài 7. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3 điểm A(7;-3) ; B(8;4) và C(0;-2) a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM   Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc  ABC  650 . Khi đó góc AB, BC có giá trị  A. 115o B. 65o C. 25o  D. 155o Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc  ABC  650 . Gọi M là trung điểm BC. Khi đó góc    AM ; BC  có giá trị là: A. 65o B. 130 o C. 50o D. 100 o Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc  ABC  350 . Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó     góc AM , BA có giá trị. A. 35o B. 55o C. 125o   Câu 4: Cho ABC đều. Khi đó góc AB, BC có giá trị là:  A. 60 o D. 145o  B. 120 o C. 90o D. 300   Câu 5: Cho ABC đều.Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó góc AM , BA có giá trị là:  A. 120 o B. 60 o C. 150 o  D. 300   Câu 6: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Góc AO, BA có giá trị là:  A. 60 o B. 135o  D. 90o C. 450   Câu 7: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Góc CO, BA có giá trị là:  A. 135 o B. 30 0  D. 90o C. 450     Câu 8: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Góc CO, AO có giá trị là: 0 A. 45 B. 90 o C. 180 o    D. 135o  Câu 9: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Khi đó cos OB, AB có giá trị là: 49 | P a g e A.  2 2 B. 3 2 C. 2 2 D. 0     Câu 10: Cho tam giác ABC đều. Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó sin AM , CA có giá trị là: 1 2 1 2 3 2   Câu 11: Cho tam giác ABC đều. Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó sin BM , AC có giá trị là: A. B. C. 0 D.  A. 1 2 B.  3 2 C. 1 2  3 2 D. Câu 12: Cho tam giác đều ABC cạnh AB  6cm . Gọi M là một điểm trên AC sao cho AM  A. 6   1 AM . Khi đó tích vô hướng AM .CA bằng: 3 B. 12 C. 6 D. 12 Câu 13: Cho ABC đều cạnh bằng 6cm . Gọi M là một điểm trên AC sao cho AM    1 AC . Khi 3 đó tích vô hướng AM .BA bằng: A. 6 B. 6 D. 6 2 C. 6 3   Câu 14: Cho hình thoi ABCD cạnh a và  A  60 . Tính các tích vô hướng sau đây: AB. AD ; 0   AC.BD a 2 A. ;0 2 a 2 a 2 a2 a2 3 C. ; ; 2 2 2 2     Câu 15: Cho hai véc tơ a và b . Cho biết a  6, b  3 ,     N  3a  4b 3a  4b . Tính 2M  3N  B.  B. 684  54 2 0      Đặt M  a 2a  3b ; C. 585  81 2 D. 585  81 2 tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính giá trị của biểu thức::     F  AB  2 AC AB  3BC   7a 2 a2 C. 5a 2 D. 2 2           Câu 17: Cho hai véc tơ a; b thỏa mãn a  b  1 , 4a  3b  13 . Lập c  xa  yb . Biết c có độ   dài bằng 1 và vuông góc với a  b . Tính 2 x 2  3 y 2 5 5 A. 0 B. C. 5 D. 2 3   0   120 . Hãy xác định góc của các véc tơ AB, CB Câu 18: Cho tam giác ABC cân tại A và BAC A. 13a 2 2    a; b   45 . a2 ;0 2  A. 684  54 2 Câu 16: Cho  D. B.  B. 30o      Câu 19: Cho a  1; b  2; a; b  300 . Tính a.b A. 900 C. 600 D. 150 o   6  6 C. 2 2      0 Câu 20: Cho a  3; b  6; a; b  45 . Tính a.b A. 2 2 B. D. 1   A. 3 50 | P a g e B. 3 C. 3 2 D. 3 2 2   Câu 21: Cho a     1  ; b  3 3; a; b  600 . Tính a.b 3   3 2 3 3 3 2 C. 2 2      0 Câu 22: Cho a  3 3; b  5 6; a; b  135 . Tính a.b A. D.  B.  3 2   A. 45 3 B. 45  C. 45  D.      45 2 2 Câu 23: Cho a  3  2; b  3  2; a; b  1800 . Tính a.b A. 1 2 3 2 B. C. 1 D. 1       Câu 24: Cho hình vuông ABCD có cạnh AB =1. Tính giá trị của biểu thức sau: AB  2AD 3AB  CD A. 1 B. 3 C. 2  D. 4          Câu 25: Cho các véc tơ a, b, c có độ dài tương ứng là 1,2,3 và a, b  300 , a, c  900 , b, c  600 . Tính giá      trị của các biểu thức sau: a  b  2c 2b  3c    A. 49  2 3       B. 49  2 3 C. 49  2 3 D. 49  2 3          Câu 26: Cho các véc tơ a, b, c có độ dài tương ứng là 1,2,3 và a, b  300 , a, c  900 , b, c  600 . Tính giá   2   2     trị của các biểu thức sau: a  b  c  b  2a  b a  2c    A. 1  3    B. 8  3 Câu 27: Cho tam giác ABC có     Q  AB  2AC 2.AB  AC        C. 8  3 D. 2  3 0 A  120 . AB=1, AC=3. Tính giá trị của các biểu thức  41 23 31 C. D. 2 2 2         1 Câu 34: Cho a  6; b  4;cos a; b  . Tính góc giữa hai véc tơ a  b và a  2b 6 o o A. 60 B. 90 C. 30o D. 45o   300 . Tính giá trị của biểu thức sau: Câu 35: Cho tam giác ABC vuông ở A và B   AC , CB     P  cos AB, BC  sin BA, BC  tan 2 1  3 1 3 3 1 3 1  3 A. B. C. D. 2 2 2 2 0  Câu 36: Cho tam giác ABC cân tại A và B  30 . Tính giá trị của biểu thức   AB, CA     P  sin AC , AB  cos AC , BC  tan 2 1 3 3 2 A. B. C. D. 2 2 3 2    Câu 37: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a . Nếu AM  2 AB  AD thì độ dài đoạn AB là: a A. 3a B. a C. D. 2a 2 A. 41 2   B.            51 | P a g e        Câu 39: Cho hình thang vuông ABCD có hai đáy là AD  2 a; BC  4a đường cao AB  2a 2 .   Tính góc giữa véc tơ AC ; BD . A. 93o B. 120 o C. 35o D. 58o Câu 40. Tính sin x biết cos x = 3/5 (0 < x < π/2). A. sin x = 4/5 B. sin x = 2/5 C. sin x = 1/5 D. sin x = 0 Câu 41. Tính giá trị của biểu thức P = sin x cos x biết sin x – cos x = 2/3. A. P = 5/9 B. P = –5/9 C. P = –5/18 D. P = 5/18 Câu 42. Tính giá trị của biểu thức P = cos 0° + cos 10° + cos 20° + ... + cos 170°. A. P = 1 B. P = –1 C. P = 0 D. P = 2 Câu 43. Tính giá trị của biểu thức P = cos² 120° – sin² 150° + 2tan 135°. A. P = –1 B. P = 2 C. P = 0 D. P = –2   Câu 44. Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G. Tính góc giữa hai vector GB, GC A. 120° B. 60° C. 30° D. 90° Câu 45. Cho A(–1; –1) và B(4; 4). Tìm tọa độ của điểm M trên trục Ox để ΔABM cân tại M. A. (2; 0) B. (2; 1) C. (3; 0) D. (3; 1) Câu 46. Cho A(–1; 1) và B(4; 4). Tìm tọa độ của điểm N trên trục Oy để ΔABN vuông tại N. A. (0; 0) hoặc (0; 3) B. (0; 1) hoặc (0; 4) C. (0; 1) hoặc (0; 5) D. (0; 0) hoặc (0; 5)     Câu 47. Cho a = (4; 3) và b = (k; –4). Tìm k để hai vector a, b vuông góc nhau A. k = 3 B. k = –3 C. k = 5 D. k = –5 Câu 48. Cho ΔABC có A (–4; 1); B(2; 4); C(2; –2). Diện tích tam giác ABC là A. 12 B. 18 C. 9 D. 6 Câu 49. Cho ΔABC có A (–4; 4), B(6; 6), C(–2; –2). Tìm tọa độ trực tâm H của ΔABC. A. (–3; 1) B. (–2; 3) C. (–1; 2) D. (–3; 3)  Câu 50. Cho ABC có AB = 7, AC = 5, góc A = 120°. Giá trị của biểu thức P = AB.AC là A. P = –35/2 B. P = 35/2 C. P = –35 D. P = 35 Câu 51. Cho 2 điểm M, N phân biệt nằm trên      nửa  đường tròn đường kính AB = 2R, hai đường thẳng AM và BN cắt nhau tại I. Tính AM.AI  BN.BI theo R. A. R² B. 2R² C. 4R² D. 8R²   Câu 52. Cho đoạn thẳng AB cố định, AB = 2a, k là số thực dương. Tìm tập hợp điểm M thỏa MA.MB = k². A. Đường tròn có tâm là trung điểm của AB và có bán kính r = 2a + k B. Đường thẳng song song cách AB một khoảng a + k C. Đường tròn có tâm là trung điểm của AB và có bán kính r = a + k D. Đường tròn có tâm là trung điểm của AB và có bán kính r = a 2  k 2 Câu 53. Cho hai điểm A(–3; 2), B(4; 3) tìm tọa độ của điểm C sao cho ΔABC vuông cân tại C. A. (1; –1) V (0; 6) B. (1; 0) V (0; 6) C. (1; 0) V (0; 5) D. (1; –1) V (0; 5) Câu 54. Cho 3 điểm A (–1; 1), B(3; 1), C(0; 4). Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên BC; tìm tọa độ A’. A. (0; 2) B. (1; 3) C. (2; 3) D. (0; 3) Câu 55. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8). Tính góc BAC. A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 52 | P a g e §3 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC- GIẢI TAM GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Cho ABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c – độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc – độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc – bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r – nửa chu vi tam giác: p – diện tích tam giác: S 1. Định lí côsin a2  b2  c2  2bc.cos A ; b2  c 2  a2  2ca.cos B ; 2. Định lí sin a b c    2R sin A sin B sin C 3. Độ dài trung tuyến c2  a2  b2  2ab.cos C 2(b2  c2 )  a2 2(a2  c2 )  b2 2 m  ; ; b 4 4 4. Diện tích tam giác 1 1 1 S = aha  bhb  chc 2 2 2 1 1 1 = bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 2 2 abc = 4R = pr ma2  = mc2  2(a2  b2 )  c2 4 p( p  a)( p  b)( p  c) (công thức Hê–rông) Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước. 5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại) Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao. A  BC 2  AB 2  AC 2 (định lí Pi–ta–go)  AB 2  BC .BH ,  AH 2  BH .CH , AC 2  BC .CH 1 1 1   AH 2 AB 2 AC 2 B H C  AH .BC  AB. AC  b  a.sin B  a.cos C  c tan B  c cot C ; c  a.sin C  a.cos B  b tan C  b cot C B. BÀI TẬP TỰ LUẬN Giải tam giác ABC, biết: Baøi 1. a) c  14; A  600 ; B  400 c) c  35; A  40 0 ; C  120 0 Baøi 2. b) b  4,5; A  300 ; C  750 d) a  137,5; B  830 ; C  570 Giải tam giác ABC, biết: a) a  6,3; b  6,3; C  540 c) a  7; b  23; C  130 0 53 | P a g e b) b  32; c  45; A  870 d) b  14; c  10; A  1450 Baøi 3. Giải tam giác ABC, biết: a) a  14; b  18; c  20 b) a  6; b  7,3; c  4,8 c) a  4; b  5; c  7 d) a  2 3; b  2 2; c  6  2 Baøi 4. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: a) Nếu b + c = 2a thì 2 1 1   ha hb hc b) Nếu bc = a2 thì sin B sin C  sin2 A, hb hc  ha2 c) A vuông  mb2  mc2  5ma2 Bài 5. Cho ABC có a =12, b =15, c =13 a. Tính số đo các góc của ABC b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ABC c. Tính S, R, r d. Tính ha , hb , hc Bài 6. Cho ABC có AB = 6, AC= 8,  A 1200 a. Tính diện tích ABC b. Tính cạnh BC và bán kính R Bài 7. Cho ABC có a = 8, b =10, c =13 a. ABC co góc tù hay không? b. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC c. Tính diện tích ABC   450 , b  2 tính độ dài cạnh a, c bán kính đường tròn ngoại tiếp A  600 , B Bài 8. Cho ABC có  ABC và diện tích tam giác 3 tính BC, S, ha , R 5 Bài 10. Cho ABC có mb  4, mc  2 và a = 3 tính độ dài cạnh AB, AC Bài 9. Cho ABC AC = 7, AB = 5 và cos A  Bài 11. Cho ABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích S  3 3 . Tính cạnh BC Bài 12. Tính bán kính đường tròn nội tiếp ABC biết AB = 2, AC = 3, BC = 4 A của ABC có các cạnh a, b, c thỏa hệ thức b  b 2  a 2   c  a 2  c 2  Bài 13. Tính  C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho ABC có b  6, c  8, A  600 . Độ dài cạnh a là: Câu 2. Câu 3. Câu 4. Câu 5. Câu 6. A. 2 13. B. 3 12. C. 2 37. D. 20. Cho ABC có S  84, a  13, b  14, c  15. Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác trên là: A. 8,125. B. 130. C. 8. D. 8,5. Cho ABC có a  6, b  8, c  10. Diện tích S của tam giác trên là: A. 48. B. 24. C. 12. D. 30. Cho ABC thỏa mãn : 2cos B  2 . Khi đó: A. B  300. B. B  600. C. B  450. D. B  750.   250 . Số đo của góc A là: Cho ABC vuông tại B và có C A. A  650. B. A  600. C. A  1550. D. A  750. Cho ABC có B  600 , a  8, c  5. Độ dài cạnh b bằng: B. 129. C. 49.   450 , B   750 . Số đo của góc A là: Cho ABC có C D. 129 . A. A  650. D. A  750. A. 7. Câu 7. 54 | P a g e B. A  700 C. A  600. Câu 8. Câu 9. Cho ABC có S  10 3 , nửa chu vi p  10 . Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác trên là: A. 3. B. 2. C. 2. D. 3 . 0 Cho ABC có a  4, c  5, B  150 . Diện tích của tam giác là: A. 5 3. B. 5. C. 10. D. 10 3 . Câu 10. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2 cos A  1 . Khi đó: A. A  300. B. A  450. C. A  1200. D. A  600. 3 Câu 11. Cho tam giác ABC có b = 7; c = 5, cos A  . Đường cao ha của tam giác ABC là 5 7 2 A. B. 8. C. 8 3 . D. 80 3 . . 2 Câu 12. Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng trong các đáp án sau: b2  c2 a 2 a2  c2 b2 2 2 A. ma   . B. ma   . 2 4 2 4 2 2 2 2 2 a b c 2c  2b  a 2 C. ma2   . D. ma2  . 2 4 4 Câu 13. Cho tam giác ABC . Tìm công thức sai: a a c sin A A. B. sin A  C. b sin B  2R . D. sin C   2R . . . sin A 2R a Câu 14. Chọn công thức đúng trong các đáp án sau: 1 1 1 1 A. S  bc sin A . B. S  ac sin A . C. S  bc sin B . D. S  bc sin B . 2 2 2 2 Câu 15. Cho tam giác ABC có a  8, b  10 , góc C bằng 600 . Độ dài cạnh c là ? A. c  3 21 . B. c  7 2 . C. c  2 11 . Câu 16. Cho tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây là đúng ? 1 2 b2  c 2  a 2 C. cos B  . 2bc Câu 17. Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng ? A. SABC  a.b.c . D. c  2 21 . a R. sin A 2b 2  2a 2  c 2 D. mc2  . 4 B. A. AB 2  AC 2  BC 2  2 AC . AB cos C . B. AB 2  AC 2  BC 2  2 AC .BC cos C . C. AB 2  AC 2  BC 2  2 AC .BC cos C . D. AB 2  AC 2  BC 2  2 AC .BC  cos C . Câu 18. Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b  c  2a . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? A. cos B  cos C  2 cos A. B. sin B  sin C  2sin A. 1 C. sin B  sin C  sin A . D. sin B  cos C  2sin A. 2 Câu 19. Cho tam giác ABC. Đẳng thức nào sai ? BC A A. sin( A  B  2C )  sin 3C. B. cos  sin . 2 2 A  B  2C C C. sin( A  B)  sin C. D. cos  sin . 2 2 2 2 2 Câu 20. Gọi S  ma  mb  mc là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác ABC . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ? 3 3 A. S  (a 2  b2  c 2 ) . B. S  a 2  b 2  c 2 . C. S  ( a 2  b 2  c 2 ) . D. S  3(a 2  b 2  c 2 ) 4 2 . 55 | P a g e Câu 21. Độ dài trung tuyến mc ứng với cạnh c của ABC bằng biểu thức nào sau đây A. b2  a2 c2  . 2 4 B. b2  a2 c2  . 2 4 b2  a 2  c 2 1 2 2 2 D. . 2 b  2 a  c .   2 4 Tam giác ABC có cos B bằng biểu thức nào sau đây? b2  c 2  a 2 a2  c2  b2 A. . B. 1  sin 2 B . C. cos( A  C ). D. . 2bc 2ac Cho tam giác ABC có a 2  b2  c2  0 . Khi đó : A. Góc C  900 B. Góc C  900 C. Góc C  900 D. Không thể kết luận được gì về góc C. Chọn đáp án sai : Một tam giác giải được nếu biết : A. Độ dài 3 cạnh B. Độ dài 2 cạnh và 1 góc bất kỳ C. Số đo 3 góc D. Độ dài 1 cạnh và 2 góc bất kỳ Một tam giác có ba cạnh là 13,14,15 . Diện tích tam giác bằng bao nhiêu ? A. 84. B. 84 . C. 42. D. 168 . Một tam giác có ba cạnh là 26, 28,30. Bán kính đường tròn nội tiếp là: A. 16. B. 8. C. 4. D. 4 2. Một tam giác có ba cạnh là 52,56,60. Bán kính đường tròn ngoại tiếp là: C. Câu 22. Câu 23. Câu 24. Câu 25. Câu 26. Câu 27. A. 65 . 8 B. 40. C. 32,5. D. 65 . 4 Câu 28. Tam giác với ba cạnh là 3, 4,5. Có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 2. Câu 29. Tam giác ABC có a  6, b  4 2, c  2. M là điểm trên cạnh BC sao cho BM  3 . Độ dài đoạn AM bằng bao nhiêu ? 1 A. 9 . B. 9. C. 3. D. 108 . 2 Câu 30. Cho tam giác ABC có a  4, b  6, c  8 . Khi đó diện tích của tam giác là: A. 9 15. B. 3 15. C. 105. D. 2 15. 3     Câu 31. Cho ABC , biết a  AB  (a1 ; a2 ) và b  AC  (b1 ; b2 ) . Để tính diện tích S của ABC . Một học sinh làm như sau:   a.b ( I ) Tính cos A    a .b  2  a.b  2 ( II ) Tính sin A  1  cos A  1  2 2 a .b 1 1  2  2    2 a b  a.b ( III ) S  AB. AC.sinA  2 2 1 ( IV ) S   a12  a22  b12  b22    a1b1  a2b2 2 2 1 2 S  a1b2  a2b1  2  1 S  (a1b2  a2b1 ) 2 56 | P a g e  Câu 32. Câu 33. Câu 34. Câu 35. Học sinh đó đã làm sai bắt đàu từ bước nào? A. ( I ) B. ( II ) C. ( III ) D. ( IV ) Câu nào sau đây là phương tích của điểm M (1;2) đối với đường tròn (C ) . tâm I (2;1) , bán kính R  2 : A. 6. B. 8. C. 0. D. 5. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 78o 24' . Biết CA  250 m, CB  120 m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu ? A. 266 m. B. 255 m. C. 166 m. D. 298 m. Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 600 . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30 km / h , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40 km / h . Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km ? A. 13. B. 15 13. C. 10 13. D. 15. Từ một đỉnh tháp chiều cao CD  80 m , người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các góc nhìn là 72012' và 340 26' . Ba điểm A, B, D thẳng hàng. Tính khoảng cách AB ? A. 71 m. B. 91 m. C. 79 m. D. 40 m. Câu 36. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 56016' . Biết CA  200 m , CB  180 m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu ? A. 163 m. B. 224 m. C. 112 m. D. 168 m. Câu 37. Cho đường tròn (C ) đường kính AB với A(1; 2) ; B (2;1) . Kết quả nào sau đây là phương tích của điểm M (1;2) đối với đường tròn (C ) . A. 3. B. 4. C. 5. D. 2. Câu 38. Cho các điểm A(1; 2), B(2;3), C (0; 4). Diện tích ABC bằng bao nhiêu ? A. 13 . 2 B. 13. C. 26. D. 13 . 4 Câu 39. Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(3; 3), C (6;0). Diện tích ABC là A. 12. B. 6. C. 6 2. D. 9.     Câu 40. Cho a  (2; 3) và b  (5; m) . Giá trị của m để a và b cùng phương là: 13 15 A. 6. B.  . C. 12. D.  . 2 2  bằng bao nhiêu? Câu 41. Cho các điểm A(1;1), B(2;4), C (10; 2). Góc BAC A. 900 . B. 600. C. 450. D. 300. Câu 42. Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn ngoại tiếp là ? 13 11 A. 6. B. 8. C. . D. . 2 2 Câu 43. Cho tam giác ABC có a  4, b  6, c  8 . Khi đó diện tích của tam giác là: A. 9 15. B. 3 15. C. 105. D. 2 15. 3 Câu 44. Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu ? A. 2. B. 2 2. C. 2 3. D. 3. Câu 45. Tam giác với ba cạnh là 6;8;10 có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng bao nhiêu ? A. 5. B. 4 2. C. 5 2. D. 6 . 2 2 2 Câu 46. Cho tam giác ABC thoả mãn : b  c  a  3bc . Khi đó : A. A  300. 57 | P a g e B. A  450. C. A  600. D. A  750 .   56013' ; C   710 . Cạnh c bằng bao nhiêu? Câu 47. Tam giác ABC có a  16,8 ; B A. 29,9. B. 14,1. C. 17,5. D. 19,9. a b c a c a.sin C 16,8.sin 710     c   19,9. sin A sin B sin C sin A sin C sin A sin 520 47 ' Câu 48. Cho tam giác ABC , biết a  24, b  13, c  15. Tính góc A ? Mặt khác A. 33034'. B. 1170 49'. C. 28037'. D. 580 24'.   340 44 ' , AB  117. Tính AC ? Câu 49. Tam giác ABC có A  68012 ' , B A. 68. B. 168. C. 118. D. 200. 0  Câu 50. Tam giác ABC có a  8, c  3, B  60 . Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu ? A. 49. B. 97 C. 7. D. 61. Câu 51. Cho tam giác ABC , biết a  13, b  14, c  15. Tính góc B ? A. 590 49'. 58 | P a g e B. 5307'. C. 590 29'. D. 620 22'. CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG §1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng :   a. Định nghĩa : Cho đường thẳng  . Vectơ n  0 gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của  nếu giá của  n vuông góc với  . Nhận xét :   - Nếu n là VTPT của  thì kn  k  0 cũng là VTPT của  . b. Phương trình tổng quát của đường thẳng  Cho đường thẳng  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT n  ( a; b) .     Khi đó M( x; y)    MM0  n  MM 0 .n  0  a( x  x0 )  b( y  y0 )  0  ax  by  c  0 ( c  ax0  by0 ) (1) (1) gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng  . Chú ý :  - Nếu đường thẳng  : ax  by  c  0 thì n  ( a; b) là VTPT của  . 3. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số của đường thẳng : a. Định nghĩa vectơ chỉ phương :   Cho đường thẳng  . Vectơ u  0 gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng  nếu giá của nó song song hoặc trùng với  . Nhận xét :   - Nếu u là VTCP của  thì ku  k  0 cũng là VTCP của  .   - VTPT và VTCP vuông góc với nhau. Do vậy nếu  có VTCP u  ( a; b) thì n  (b; a) là một VTPT của  . b. Phương trình tham số của đường thẳng :  Cho đường thẳng  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và u  ( a; b) là VTCP.    x  x0  at t  R . (1) Khi đó M( x; y)   .  MM0  tu     y  y  bt 0   Hệ (1) gọi là phương trình tham số của đường thẳng  , t gọi là tham số Nhận xét : Nếu  có phương trình tham số là (1) khi đó A    A( x0  at ; y0  bt ) 4. Phương trình chính tắc của đường thẳng. 59 | P a g e  Cho đường thẳng  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và u  ( a; b) (với a  0, b  0 ) là vectơ chỉ phương thì phương trình x  x0 y  y0  được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng  . a b c) Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát   song song hoặc trùng với trục Ox   : by  c  0   song song hoặc trùng với trục Oy   : ax  c  0   đi qua gốc tọa độ   : ax  by  0 x y   đi qua hai điểm A a; 0 , B 0; b   :   1 với ab  0 a b  Phương trình đường thẳng có hệ số góc k là y  kx  m với k  tan  ,  là góc hợp bởi tia Mt của  ở phía trên trục Ox và tia Mx 5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng d1 : a1 x  b1 y  c1  0; d2 : a2 x  b2 y  c 2  0  d1 cắt d2 khi và chỉ khi a1 a2 b1 0 b2  d1 / / d2 khi và chỉ khi a1 a2 b1 b  0 và 1 b2 b2  d1  d2 khi và chỉ khi a1 a2 b1 b  1 b2 b2 c1 a  0 , hoặc 1 c2 a2 c1 c  1 c2 c2 b1 c  0 và 1 b2 c2 a1 0 a2 a1 0 a2 Chú ý: Với trường hợp a2 .b2 .c2  0 khi đó + Nếu a1 a2 thì hai đường thẳng cắt nhau.  b1 b2 + Nếu a1 a2 c1   b1 b2 c2 thì hai đường thẳng song song nhau. + Nếu a1 a2 c1   b1 b2 c2 thì hai đường thẳng trùng nhau. B. BÀI TẬP TỰ LUẬN.  Baøi 1. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP u :    a) M(–2; 3) , u  (5; 1) b) M(–1; 2), u  (2;3) c) M(3; –1), u  (2; 5)    d) M(1; 2), u  (5; 0) e) M(7; –3), u  (0;3) f) M  O(0; 0), u  (2;5)  Baøi 2. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTPT n :    a) M(–2; 3) , n  (5; 1) b) M(–1; 2), n  (2;3) c) M(3; –1), n  (2; 5) 60 | P a g e    d) M(1; 2), n  (5; 0) e) M(7; –3), n  (0;3) f) M  O(0; 0), n  (2;5) Baøi 3. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số góc k: a) M(–3; 1), k = –2 b) M(–3; 4), k = 3 c) M(5; 2), k = 1 d) M(–3; –5), k = –1 e) M(2; –4), k = 0 f) M  O(0; 0), k = 4 Baøi 4. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B: a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8) d) A(–2; 3), B(1; 3) e) A(4; 0), B(3; 0) f) A(0; 3), B(0; –2) g) A(3; 0), B(0; 5) h) A(0; 4), B(–3; 0) i) A(–2; 0), B(0; –6) Baøi 5. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: 4 x  10 y  1  0 b) M(–1; 2), d  Ox c) M(4; 3), d  Oy x 1 y  4  x  1  2t d) M(2; –3), d:  e) M(0; 3), d:  y  3  4 t 3 2  Baøi 6. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: 4 x  10 y  1  0 b) M(–1; 2), d  Ox c) M(4; 3), d  Oy x 1 y  4  x  1  2t d) M(2; –3), d:  e) M(0; 3), d:  y  3  4 t 3 2  Baøi 7. Cho tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao của tam giác với: a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2) c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1) d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6) Baøi 8. Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình các đường cao của tam giác, với: a) AB : 2 x  3 y  1  0, BC : x  3y  7  0, CA : 5 x  2 y  1  0 b) AB : 2 x  y  2  0, BC : 4 x  5y  8  0, CA : 4 x  y  8  0 Baøi 9. Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P, với: 3 5 5 7 a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) b) M  ;   , N  ;   , P(2; 4) 2 2 2 2   3  7  3 1 c) M  2;   , N  1;   , P (1; 2) d) M  ;2  , N  ;3  , P (1; 4)  2  2 2  2  Baøi 10. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và chắn trên hai trục toạ độ 2 đoạn bằng nhau, với: a) M(–4; 10) b) M(2; 1) c) M(–3; –2) d) M(2; –1) Baøi 11. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cùng với hai trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích S, với: a) M(–4; 10), S = 2 b) M(2; 1), S = 4 c) M(–3; –2), S = 3 d) M(2; –1), S = 4 Baøi 12. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M đối xứng với M qua đường thẳng d với: a) M(2; 1), d : 2 x  y  3  0 b) M(3; – 1), d : 2 x  5y  30  0 c) M(4; 1), d : x  2 y  4  0 d) M(– 5; 13), d : 2 x  3y  3  0 Baøi 13. Cho tam giác ABC biết A 2; 0 , B 0; 4 , C (1; 3) . Viết phương trình tổng quát của a) Đường cao AH b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC . c) Đường thẳng AB . 61 | P a g e d) Đường thẳng qua C và song song với đường thẳng AB . Baøi 14. Cho đường thẳng d : x  2 y  3  0 và điểm M 1; 2 . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  biết: a)  đi qua điểm M và có hệ số góc k  3 b)  đi qua M và vuông góc với đường thẳng d c)  đối xứng với đường thẳng d qua M . C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Câu 1: Cho phương trình: ax  by  c  0 1 với a 2  b 2  0 . Mệnh đề nào sau đây sai?  A. 1 là phương trình tổng quát của đường thẳng có vectơ pháp tuyến là n   a; b  . B. a  0 1 là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với trục ox . C. b  0 1 là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với trục oy . D. Điểm M 0  x0 ; y0  thuộc đường thẳng 1 khi và chỉ khi ax0  by0  c  0 . Câu 2: Mệnh đề nào sau đây sai? Đường thẳng  d  được xác định khi biết. A. Một vecto pháp tuyến hoặc một vec tơ chỉ phương. B. Hệ số góc và một điểm thuộc đường thẳng. C. Một điểm thuộc  d  và biết  d  song song với một đường thẳng cho trước. D. Hai điểm phân biệt thuộc  d  . Câu 3: Câu 4: Cho tam giác ABC . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?  A. BC là một vecto pháp tuyến của đường cao AH.  B. BC là một vecto chỉ phương của đường thẳng BC. C. Các đường thẳng AB, BC, CA đều có hệ số góc.  D. Đường trung trực của AB có AB là vecto pháp tuyến. Đường thẳng  d  có vecto pháp tuyến n   a; b  . Mệnh đề nào sau đây sai ?  A. u1   b; a  là vecto chỉ phương của  d  .  B. u 2   b; a  là vecto chỉ phương của  d  .  C. n   ka; kb  k  R là vecto pháp tuyến của  d  . b b  0 . a  Đường thẳng đi qua A  1;2  , nhận n   2; 4  làm véc tơ pháo tuyến có phương trình là: D.  d  có hệ số góc k  Câu 5: A. x  2 y  4  0 B. x  y  4  0 C.  x  2 y  4  0 D. x  2 y  5  0 Câu 6: Cho đường thẳng (d): 2 x  3 y  4  0 . Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của (d)?  A. n1   3; 2  . Câu 7:  B. n2   4; 6  .  C. n3   2; 3 . Cho đường thẳng  d  : 3x  7 y  15  0 . Mệnh đề nào sau đây sai? 62 | P a g e  D. n4   2;3 .  A. u   7;3 là vecto chỉ phương của  d  . 3 . 7 C.  d  không đi qua góc tọa độ. B.  d  có hệ số góc k  Câu 8:  1  D.  d  đi qua hai điểm M   ; 2  và N  5;0  .  3  Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A  2; 4  ; B  6;1 là: A. 3 x  4 y  10  0. B. 3 x  4 y  22  0. C. 3 x  4 y  8  0. Câu 9: D. 3 x  4 y  22  0 Cho đường thẳng  d  : 3x  5 y  15  0 . Phương trình nào sau đây không phải là một dạng khác của (d). 5  x  5  t D.  3 t  R  .  y  t Câu 10: Cho đường thẳng  d  : x  2 y  1  0 . Nếu đường thẳng    đi qua M 1; 1 và song song x y A.   1 . 5 3 3 B. y   x  3 5 x  t C.  t  R  y  5 với  d  thì    có phương trình A. x  2 y  3  0 B. x  2 y  5  0 C. x  2 y  3  0 D. x  2 y  1  0 Câu 11: Cho ba điểm A 1; 2  , B  5; 4  , C  1; 4  . Đường cao AA của tam giác ABC có phương trình A. 3 x  4 y  8  0 B. 3 x  4 y  11  0 C. 6 x  8 y  11  0 D. 8 x  6 y  13  0 Câu 12: Cho hai đường thẳng  d1  : mx  y  m  1 ,  d 2  : x  my  2 cắt nhau khi và chỉ khi : A. m  2. B. m  1. C. m  1. D. m  1. Câu 13: Cho hai điểm A  4;0  , B  0;5  . Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng AB? x y x4 y 5  x  4  4t  x  15 A.  C. D. y   t  R  B. 4  5  1 4 5 4  y  5t Câu 14: Đường thẳng    : 3 x  2 y  7  0 cắt đường thẳng nào sau đây? A.  d1  : 3x  2 y  0 B.  d 2  : 3x  2 y  0 C.  d3  : 3x  2 y  7  0. D.  d 4  : 6 x  4 y  14  0. Câu 15: Mệnh đề nào sau đây đúng? Đường thẳng  d  : x  2 y  5  0 : A. Đi qua A 1; 2  . x  t B. Có phương trình tham số:  t  R  .  y  2t 1 C.  d  có hệ số góc k  . 2 D.  d  cắt  d   có phương trình: x  2 y  0 . 63 | P a g e Câu 16: Cho đường thẳng  d  : 4 x  3 y  5  0 . Nếu đường thẳng    đi qua góc tọa độ và vuông góc với  d  thì    có phương trình: A. 4 x  3 y  0 B. 3 x  4 y  0 C. 3 x  4 y  0 D. 4 x  3 y  0 Câu 17: Cho tam giác ABC có A  4;1 B  2; 7  C  5; 6  và đường thẳng  d  : 3x  y  11  0 . Quan hệ giữa  d  và tam giác ABC là: A. Đường cao vẽ từ A. B. Đường cao vẽ từ B. C. Đường trung tuyến vẽ từ A. . D. Đường Phân giác góc BAC  x  1  2t Câu 18: Giao điểm M của  d  :  và  d   : 3 x  2 y  1  0 là  y  3  5t 11  1   1   1  A. M  2;   . B. M  0;  . C. M  0;   . D. M   ; 0  . 2 2   2   2  Câu 19: Phương trình nào sau đây biểu diển đường thẳng không song song với đường thẳng  d  : y  2x 1 ? A. 2 x  y  5  0. B. 2 x  y  5  0. C. 2 x  y  0. D. 2 x  y  5  0. Câu 20: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm I  1;2  và vuông góc với đường thẳng có phương trình 2 x  y  4  0 A.  x  2 y  5  0 B. x  2 y  3  0 C. x  2 y  0 D. x  2 y  5  0  x  2  5t Câu 21: Hai đường thẳng  d1  :  và  d 2  : 4 x  3 y  18  0 . Cắt nhau tại điểm có tọa độ:  y  2t A.  2;3  . B.  3; 2  . C. 1; 2  . D.  2;1 .  x  2  3t 7  Câu 22: Cho đường thẳng  d  :  và điểm A  ; 2  . Điểm A   d  ứng với giá trị nào 2   y  1  2t của t? 3 1 1 A. t  . B. t  . C. t   . D. t  2 2 2 2 Câu 23: Phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm M  2;3 và vuông góc với đường thẳng  d   : 3x  4 y  1  0 là  x  2  4t  x  2  3t  x  2  3t  x  5  4t A.  B.  C.  D.   y  3  3t  y  3  4t  y  3  4t  y  6  3t Câu 24: Cho ABC có A  2; 1 ; B  4;5 ; C  3;2  . Viết phương trình tổng quát của đường cao AH . A. 3 x  7 y  1  0 64 | P a g e B. 7 x  3 y  13  0 C. 3 x  7 y  13  0 D. 7 x  3 y  11  0 Câu 25: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M đường thẳng có phương trình    C. 1  2  x   A. 1  2 x     2 1 x   2  1 y  1  0 2 1 y 1 2 2  0   2;1 và vuông góc với  2 1 y  0 .   D.  x   3  2 2  y  B.  x  3  2 2 y  3  2  0 2 0  Câu 26: Cho đường thẳng  d  đi qua điểm M 1;3 và có vecto chỉ phương a  1; 2  . Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của  d  ? x 1 y  3 x  1 t  . A.  B. C. 2 x  y  5  0. D. y  2 x  5. 1 2  y  3  2t. Câu 27: Cho tam giác ABC có A  2;3 , B 1; 2  , C  5; 4  . Đường trung trực trung tuyến AM có phương trình tham số x  2 A.  3  2t.  x  2  4t B.   y  3  2t.  x  2t C.   y  2  3t.  x  2 D.   y  3  2t.  x  2  3t Câu 28: Cho  d  :  . Điểm nào sau đây không thuộc  d  ?  y  5  4t A. A  5;3 . B. B  2;5  . C. C  1;9  . D. D  8; 3 .  x  2  3t Câu 29: Cho  d  :  . Hỏi có bao nhiêu điểm M   d  cách A  9;1 một đoạn bằng 5.  y  3  t. A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 Câu 30: Cho hai điểm A  2;3 ; B  4; 1 . viết phương trình trung trực đoạn AB. A. x  y  1  0. B. 2 x  3 y  1  0. C. 2 x  3 y  5  0. D. 3 x  2 y  1  0. Câu 31: Cho hai đường thẳng  d1  : mx  y  m  1 ,  d 2  : x  my  2 song song nhau khi và chỉ khi A. m  2. B. m  1. C. m  1. D. m  1. Câu 32: Cho hai đường thẳng  1  :11x  12 y  1  0 và   2  :12 x  11y  9  0 . Khi đó hai đường thẳng này A. Vuông góc nhau C. trùng nhau B. cắt nhau nhưng không vuông góc D. song song với nhau  x  1   m 2  1 t m Câu 33: Với giá trị nào của thì hai đường thẳng sau đây vuông góc  1  :  và  y  2  mt  x  2  3t '  2  :   y  1  4mt ' A. m   3 B. m   3 C. m  3 D. không có m Câu 34: Cho 4 điểm A 1; 2  , B  4;0  , C 1; 3 , D  7; 7  . Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và CD . A. Song song. 65 | P a g e B. Cắt nhau nhưng không vuông góc. C. Trùng nhau. Câu 35: Với giá trị nào của m D. Vuông góc nhau. thì hai đường thẳng  1  : 3x  4 y  1  0 và   2  :  2m  1 x  m2 y  1  0 trùng nhau. A. m  2 B. mọi m C. không có m D. m  1 Câu 36: Cho 4 điểm A  3;1 , B  9; 3 , C  6;0  , D  2; 4  . Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng AB và CD . A.  6; 1 B.  9; 3 C.  9;3 D.  0; 4  Câu 37: Cho tam giác ABC có A  1; 2  ; B  0;2  ; C  2;1 . Đường trung tuyến BM có phương trình là: A. 5 x  3 y  6  0 B. 3 x  5 y  10  0 C. x  3 y  6  0 D. 3 x  y  2  0 Câu 38: Cho tam giác ABC với A  2; 1 ; B  4;5  ; C  3;2  . Phương trình tổng quát của đường cao đi qua A của tam giác là A. 3 x  7 y  1  0 B. 7 x  3 y  13  0 C. 3 x  7 y  13  0 D. 7 x  3 y  11  0 Câu 39: Cho tam giác ABC với A  2;3 ; B  4;5 ; C  6; 5  . M , N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Phương trình tham số của đường trung bình MN là: x  4  t  x  1  t  x  1  5t  x  4  5t A.  B.  C.  D.   y  1  t y  4t  y  4  5t  y  1  5t Câu 40: Phương trình đường thẳng đi qua điểm M  5; 3 và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB là: A. 3 x  5 y  30  0. 66 | P a g e B. 3 x  5 y  30  0. C. 5 x  3 y  34  0. D. 5 x  3 y  34  0 §2 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Khoảng cách. 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đường thẳng : ax  by  c  0 và điểm M0 ( x0 ; y0 ) . d ( M0 ,  )  ax0  by0  c a2  b2 2. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng Cho đường thẳng : ax  by  c  0 và hai điểm M ( xM ; yM ), N ( x N ; yN )  . – M, N nằm cùng phía đối với   (ax M  byM  c)(ax N  byN  c)  0 . – M, N nằm khác phía đối với   (ax M  byM  c)(ax N  byN  c)  0 . 3. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  0 và 2: a2 x  b2 y  c2  0 cắt nhau. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là: a1 x  b1y  c1 a x  b2 y  c2  2 a12  b12 a22  b22 Chú ý: Để lập phương trình đường phân giác trong hoặc ngoài của góc A trong tam giác ABC ta có thể thực hiện như sau: Cách 1: – Tìm toạ độ chân đường phân giác trong hoặc ngoài (dựa vào tính chất đường phân giác của góc trong tam giác). Cho ABC với đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE (D, E  BC)   AB  AB  ta có: DB   .DC , EB  .EC . AC AC – Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm. Cách 2: – Viết phương trình các đường phân giác d1, d2 của các góc tạo bởi hai đường thẳng AB, AC. – Kiểm tra vị trí của hai điểm B, C đối với d1 (hoặc d2). + Nếu B, C nằm khác phía đối với d1 thì d1 là đường phân giác trong. + Nếu B, C nằm cùng phía đối với d1 thì d1 là đường phân giác ngoài. II. Góc giữa hai đường thẳng  Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  0 (có VTPT n1  (a1; b1 ) )  và 2: a2 x  b2 y  c2  0 (có VTPT n2  (a2 ; b2 ) ). (n , n )  (1 , 2 )   1 0 2       khi (n1 , n2 )  90 0 0 180  (n1, n2 ) khi (n1 , n2 )  90   n1.n2     cos(1 , 2 )  cos(n1 , n2 )     n1 . n2 Chú ý: a1b1  a2 b2 a12  b12 . a22  b22 1, 2  90 0 .  00      1  2  a1a2  b1b2  0 .  Cho 1: y  k1 x  m1 , 2: y  k2 x  m2 thì: 67 | P a g e + 1 // 2  k1 = k2 + 1  2  k1. k2 = –1.  Cho ABC. Để tính góc A trong ABC, ta có thể sử dụng công thức:     AB. AC cos A  cos  AB, AC     AB . AC B. BÀI TẬP TỰ LUẬN. Baøi 1. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, với: a) M (4; 5), d : 3 x  4 y  8  0 b) M (3;5), d : x  y  1  0  x  2t c) M (4; 5), d :   y  2  3t d) M (3;5), d : x  2 y 1  2 3 Baøi 2. a) Cho đường thẳng : 2 x  y  3  0 . Tính bán kính đường tròn tâm I(–5; 3) và tiếp xúc với . b) Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình 2 cạnh là: 2 x  3y  5  0, 3 x  2 y  7  0 và đỉnh A(2; –3). Tính diện tích hình chữ nhật đó. c) Tính diện tích hình vuông có 4 đỉnh nằm trên 2 đường thẳng song song: d1 : 3 x  4 y  6  0 và d2 : 6 x  8y  13  0 . Baøi 3. Cho tam giác ABC. Tính diện tích tam giác ABC, với: a) A(–1; –1), B(2; –4), C(4; 3) b) A(–2; 14), B(4; –2), C(5; –4) Baøi 4. Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đường thẳng  một khoảng k, với:  x  3t , k 3 b)  :   y  2  4t c)  : y  3  0, k  5 d)  : x  2  0, k  4 Baøi 5. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng  và cách điểm A một khoảng bằng k, với: a)  : 2 x  y  3  0, k  5 a)  : 3 x  4 y  12  0, A(2;3), k  2 b)  : x  4 y  2  0, A(2;3), k  3 c)  : y  3  0, A(3; 5), k  5 d)  : x  2  0, A(3;1), k  4 Baøi 6. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng d, với: a) A(–1; 2), B(3; 5), d = 3 b) A(–1; 3), B(4; 2), d = 5 c) A(5; 1), B(2; –3), d = 5 d) A(3; 0), B(0; 4), d = 4. Baøi 7. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cách đều hai điểm P, Q, với: a) M(2; 5), P(–1; 2), Q(5; 4) b) M(1; 2), P(2; 3), Q(4; –5) c) M(10; 2), P(3; 0), Q(–5; 4) d) M(2; 3), P(3; –1), Q(3; 5) Baøi 8. Viết phương trình đường thẳng d cách điểm A một khoảng bằng h và cách điểm B một khoảng bằng k, với: a) A(1; 1), B(2; 3), h = 2, k = 4 b) A(2; 5), B(–1; 2), h = 1, k = 3 Baøi 9. Cho đường thẳng : x  y  2  0 và các điểm O(0; 0), A(2; 0), B(–2; 2). a) Chứng minh đường thẳng  cắt đoạn thẳng AB. b) Chứng minh rằng hai điểm O, A nằm cùng về một phía đối với đường thẳng . c) Tìm điểm O đối xứng với O qua . Baøi 10. Tính góc giữa hai đường thẳng: 68 | P a g e a) x  2 y  1  0, x  3y  11  0 b) 2 x  y  5  0, 3 x  y  6  0 c) 3 x  7 y  26  0, 2 x  5y  13  0 d) 3 x  4 y  5  0, 4 x  3y  11  0 Baøi 11. Tính số đo của các góc trong tam giác ABC, với: a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1) b) A(1; 2), B(5; 2), C(1; –3) c) AB : 2 x  3y  21  0, BC : 2 x  3 y  9  0, CA : 3 x  2 y  6  0 d) AB : 4 x  3y  12  0, BC : 3 x  4 y  24  0, CA : 3 x  4 y  6  0 Baøi 12. Cho hai đường thẳng d và . Tìm m để góc giữa hai đường thẳng đó bằng , với: a) d : 2mx  (m  3)y  4m  1  0,  : (m  1) x  (m  2)y  m  2  0,   450 . b) d : (m  3) x  (m  1) y  m  3  0,  : (m  2) x  (m  1)y  m  1  0,   90 0 . Baøi 13. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và tạo với đường thẳng  một góc , với: a) A(6;2),  : 3 x  2 y  6  0,   450 c) A(2;5),  : x  3y  6  0,   60 0 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Câu 1: b) A(2; 0),  : x  3y  3  0,   450 d) A(1;3),  : x  y  0,   300 2 2 Cho điểm M  x0 ; y0  và đường thẳng  : ax  by  c  0 với a  b  0 . Khi đó khoảng cách d M ;  là A. d  M ;   C. d  M ;  Câu 2: Câu 3: ax0  by0  c a2  b2  c2 ax  by0  c  0 . a2  b2 . B. d M ;   D. d M ;   ax0  by0  c a2  b2  c2 ax0  by0  c a 2  b2 .  x  2  3t Khoảng cách từ điểm M 15;1 đến đường thẳng  :  là y  t 1 16 A. 5 . B. . C. 10 . D. . 10 5 Khoảng cách từ điểm M  5; 1 đến đường thẳng  : 3 x  2 y  13  0 là 13 28 . B. 2 . C. . 2 13 Khoảng cách từ điểm M  0;1 đến đường thẳng  : 5 x  12 y  1  0 là A. Câu 4: . D. 2 13 . 11 13 . B. . C. 1 . D. 13 . 13 17 Cho ba điểm A  0;1 , B 12;5 , C  3;5  . Đường thẳng nào sau đây cách đều ba điểm A , B A. Câu 5: , C? A. 5 x  y  1  0 . Câu 6: B. 2 x  6 y  21  0 . C. x  y  0 . D. x  3 y  4  0 . Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục Ox và cách đều 2 đường thẳng: 1 : 3x  2 y  6  0 và  2 : 3x  2 y  3  0   A. 0; 2 . Câu 7: 1  B.  ;0  . 2  C. 1; 0  .  x  1  3t Khoảng cách từ điểm M  2;0  đến đường thẳng  :  là  y  2  4t 69 | P a g e D.   2; 0 . Câu 8: 5 10 . D. . 2 5 Khoảng cách từ điểm M 1; 1 đến đường thẳng  : 3 x  4 y  17  0 là A. 2 . B.. 2 . 5 B. 2 . 5 B. 2 . 5 B. 2 . 10 . C. 2 . 5 Khoảng cách từ điểm M 1;0  đến đường thẳng  : 3 x  4 y  1  0 là A. Câu 9: C. D.  18 . 5 2 10 . C. 2 . D. . 25 5 Câu 10: Khoảng cách từ điểm M  1;1 đến đường thẳng  : 3 x  4 y  3  0 là A. 4 . 5 x y Câu 11: Khoảng cách từ điểm O  0;0  đến đường thẳng  :   1 là 6 8 1 48 A. 4,8 . B. . C. . 10 14 Câu 12: Khoảng cách từ điểm M 1; 1 đến đường thẳng  : 3 x  y  4  0 là A. C. 5 3 10 . C. . 2 5 Câu 13: Khoảng cách từ điểm O  0;0  đến đường thẳng  : 4 x  3 y  5  0 là A. 2 10 . B. D. 4 . 25 D. 1 . 14 D. 1 . 1 . 5 Câu 14: Cho hai điểm A 1; 2  , B  1; 2  . Đường trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là A. 2 x  y  0 . B. x  2 y  0 . C. x  2 y  0 . D. x  2 y  1  0 . A. 0 . B. 5 . C. 1 . D. Câu 15: Khoảng cách từ điểm M  0;3 đến đường thẳng  : x cos   y sin   3  2  sin    0 là 3 . sin   cos  Câu 16: Cho đường thẳng  : 7 x  10 y  15  0 . Trong các điểm M 1; 3 , N  0;4  , P  8;0  , Q 1;5 điểm nào cách xa đường thẳng  nhất? A. N . B. M . C. P . D. Q . A. 6. B. 6 . C. 3sin  . D. Câu 17: Tính diện tích tam giác ABC biết A  2; 1 , B 1; 2  , C  2; 4  3 . C. 3 . 37 Câu 18: Tính diện tích tam giác ABC biết A  3; 2  , B  0;1 , C 1;5  A. 3. B. 11 . B. 17 . C. 11 . 17 Câu 19: Tính diện tích tam giác ABC biết A  3; 4  , C  3;1 , B 1;5  A. D. 3 . 2 D. 11 . 2 A. 10 . B. 5 . C. 26 . D. 2 5 . Câu 20: Tính chiều cao tương ứng với cạnh BC của tam giác ABC biết A 1; 2  , C  4;0  , B  0;3 A. 3 . 70 | P a g e B. 1 . 5 C. 1 . 25 D. 3 . 5 Câu 21: Khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 : 7 x  y  3  0 và 2 : 7 x  y  12  0 là 3 2 9 . B. 9 . C. . D. 15 . 2 50 Câu 22: Khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 : 3x  4 y  0 và 2 : 6 x  8 y  101  0 là A. A. 1, 01 . B. 101 . C. 10,1 . D. 101 . Câu 23: Khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 : 5x  7 y  4  0 và 2 : 5x  7 y  6  0 là 4 6 2 10 A. . B. . C. . D. . 74 74 74 74 Câu 24: Cho đường thẳng đi qua hai điểm A  3; 1 , B  0;3 . Tìm tọa độ điểm M thuộc Ox sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1 7  A. M  ;0  và M 1;0  . B. M 13;0 . 2  C. M  4;0  . D. M  2;0  .   Câu 25: Cho hai điểm A  2;3 , B 1; 4  . Đường thẳng nào sau đây cách đều A và B ? A. x  y  1  0 . B. x  2 y  0 . C. 2 x  2 y  10  0 . D. x  y  100  0 . Câu 26: Góc giữa hai đường thẳng 1 : a1 x  b1 y  c1  0 và  2 : a2 x  b2 y  c2  0 được xác định theo công thức: a1a2  b1b2 a1a2  b1b2 A. cos  1 ,  2   . B. cos  1 ,  2   . 2 2 2 2 a1  b1 . a2  b2 a12  b12 . a22  b22 C. cos  1 ,  2   a1a2  b1b2 a12  b12  a12  b12 . D. cos  1 ,  2   a1a2  b1b2  c1c2 . a 2  b2 x  2  t Câu 27: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng 1 : 10 x  5 y  1  0 và  2 :  .  y  1 t 3 . 10 3 10 3 . D. . 10 5 Câu 28: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng 1 : x  2 y  2  0 và  2 : x  y  0 . A. B. 10 . 10 C. 10 2 3 . . B. 2. C. D. . 10 3 3 Câu 29: Tìm côsin giữa 2 đường thẳng 1 : 2 x  3 y  10  0 và  2 : 2 x  3 y  4  0 . A. 7 6 5 . B. . C. 13. D. . 13 13 13 Câu 30: Tìm góc giữa 2 đường thẳng 1 : 2 x  2 3 y  5  0 và  2 : y  6  0 A. A. 60 . B. 125 . C. 145 . Câu 31: Tìm góc giữa hai đường thẳng 1 : x  3 y  0 và  2 : x  10  0 . D. 30 . A. 45 . B. 125 . C. 30 . D. 60 . Câu 32: Tìm góc giữa 2 đường thẳng 1 : 2 x  y  10  0 và  2 : x  3 y  9  0 . 71 | P a g e A. 60 . B. 0 . C. 90 . D. 45 . Câu 33: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng 1 : x  2 y  7  0 và  2 : 2 x  4 y  9  0 . 3 1 2 3 . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Câu 34: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng 1 : x  2 y  6  0 và  2 : x  3 y  9  0 . Tính A. góc tạo bởi 1 và  2 A. 30. B. 135. C. 45. D. 60. Câu 35: Cho hai đường thẳng d1 : x  2 y  4  0; d 2 : 2 x  y  6  0 . Số đo góc giữa d1 và d 2 là A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . x  10  6 t  Câu 36: Tìm góc giữa 2 đường thẳng 1 : 6 x  5 y  15  0 và  2 :  .  y  1  5t A. 90 . B. 60 . C. 0 . D. 45 .  x  15  12t Câu 37: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng 1 : 3 x  4 y  1  0 và  2 :  .  y  1  5t 56 63 33 6 . B. . C. . D. . 65 13 65 65 Câu 38: Cho đoạn thẳng AB với A 1; 2  , B(3; 4) và đường thẳng d : 4 x  7 y  m  0 . Định m để A. d và đoạn thẳng AB có điểm chung. A. 10  m  40 . B. m  40 hoặc m  10 . C. m  40 . D. m  10 . Câu 39: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi đường thẳng  : x  y  0 và trục hoành Ox ? A. (1  2) x  y  0 ; x  (1  2) y  0 . B. (1  2) x  y  0 ; x  (1  2) y  0 . C. (1  2) x  y  0 ; x  (1  2) y  0 . D. x  (1  2) y  0 ; x  (1  2) y  0 . x  2  t Câu 40: Cho đường thẳng d :  và 2 điểm A 1 ; 2  , B(2 ; m). Định m để A và B nằm y  1  3 t  cùng phía đối với d . A. m  13 . B. m  13 . C. . m  13. D. m  13 . Câu 41: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi 2 đường thẳng 1 : x  2 y  3  0 và  2 : 2 x  y  3  0 . A. 3 x  y  0 và x  3 y  0 . B. 3 x  y  0 và x  3 y  6  0 . C. 3 x  y  0 và  x  3 y  6  0 . D. 3 x  y  6  0 và x  3 y  6  0 . Câu 42: Cho hai đường thẳng d1 : 2 x  4 y  3  0; d 2 : 3 x  y  17  0 . Số đo góc giữa d1 và d 2 là   3  A. . B. . C.  . D.  . 4 2 4 4 72 | P a g e Câu 43: Cho đường thẳng d : 3 x  4 y  5  0 và 2 điểm A 1;3 , B  2; m  . Định m để A và B nằm cùng phía đối với d . 1 1 . C. m  1 . D. m   . 4 4 Câu 44: Cho ABC với A 1;3 , B(2; 4), C (1;5) và đường thẳng d : 2 x  3 y  6  0 . Đường thẳng A. m  0 . B. m   d cắt cạnh nào của ABC ? A. Cạnh AC . B. Không cạnh nào. C. Cạnh AB . D. Cạnh BC . Câu 45: Cho hai đường thẳng 1 : x  y  5  0 và  2 : y  10 . Góc giữa 1 và Δ 2 là A. 30 . B. 45 . C. 8857 '52 '' . D. 113'8 '' .  x  2  at Câu 46: Xác định giá trị của a để góc tạo bởi hai đường thẳng  và đường thẳng  y  1  2t 3 x  4 y  12  0 một góc bằng 45 . 2 2 A. a  ; a  14 . B. a  ; a  14 . C. a  1; a  14 . D. a  2; a  14 . 7 7 Câu 47: Đường thẳng ax  by  3  0, a, b   đi qua điểm M 1;1 và tạo với đường thẳng  : 3 x  y  7  0 một góc 45 . Khi đó a  b bằng A. 6. B. 4. C. 3. Câu 48: Cho d : 3 x  y  0 và d ' : mx  y  1  0 . Tìm m để cos  d , d '  D. 1. 1 10 4 3 hoặc m  0 . C. m  hoặc m  0 . D. m   3 . 3 4 Câu 49: Có hai giá trị m1 , m2 để đường thẳng x  my  3  0 hợp với đường thẳng x  y  0 một góc 60 . Tổng m1  m2 bằng: A. 1 . B. 1 . C. 4 . D. 4 . Câu 50: Phương trình đường thẳng đi qua A  2;0  và tạo với đường thẳng d : x  3 y  3  0 một góc A. m  0 . B. m  45 là A. 2 x  y  4  0; x  2 y  2  0 . C. 2 x  y  4  0; x  2 y  2  0 . 73 | P a g e B. 2 x  y  4  0; x  2 y  2  0 . D. 2 x  y  4  0; x  2 y  2  0 . §3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Phương trình đường tròn 2 2 2 Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R: ( x  a)  ( y  b)  R . Nhận xét: Phương trình x 2  y 2  2ax  2by  c  0 , với a2  b 2  c  0 , là phương trình đường tròn tâm I(–a; –b), bán kính R = a2  b2  c . 2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng .  tiếp xúc với (C)  d (I ,  )  R Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính R của (C). Khi đó phương trình đường tròn (C) là: ( x  a)2  ( y  b)2  R 2 Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A. – Bán kính R = IA. Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng . – Bán kính R = d ( I ,  ) . Dạng 3: (C) có đường kính AB. – Tâm I là trung điểm của AB. AB – Bán kính R = . 2 Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng . – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Xác định tâm I là giao điểm của d và . – Bán kính R = IA. Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng . – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.  – Tâm I của (C) thoả mãn:  I  d .  d ( I ,  )  IA – Bán kính R = IA. Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B. – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Viết phương trình đường thẳng  đi qua B và vuông góc với . – Xác định tâm I là giao điểm của d và . – Bán kính R = IA. Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2. d ( I , 1 )  d (I , 2 ) (1) – Tâm I của (C) thoả mãn:  (2) d ( I , 1 )  IA – Bán kính R = IA. Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi 1 và 2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến 1 và 2. 1 – Nếu 1 // 2, ta tính R = d (1 , 2 ) , và (2) được thay thế bới IA = R. 2 Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d. 74 | P a g e d (I , 1 )  d (I , 2 ) – Tâm I của (C) thoả mãn:  . I  d – Bán kính R = d ( I , 1 ) . Dạng 9: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác). Cách 1: – Phương trình của (C) có dạng: x 2  y 2  2ax  2by  c  0 (*). – Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình. – Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c  phương trình của (C).  Cách 2: – Tâm I của (C) thoả mãn:  IA  IB .  IA  IC – Bán kính R = IA = IB = IC. Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC. – Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai góc trong tam giác – Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên. – Bán kính R = d ( I , AB ) . Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C) Để biện luận số giao điểm của đường thẳng d: Ax  By  C  0 và đường tròn (C): x 2  y 2  2ax  2by  c  0 , ta có thể thực hiện như sau:.  Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R. – Xác định tâm I và bán kính R của (C). – Tính khoảng cách từ I đến d. + d ( I , d )  R  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. + d ( I , d )  R  d tiếp xúc với (C). + d ( I , d )  R  d và (C) không có điểm chung.  Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) của d và (C) là nghiệm của hệ phương trình:  Ax  By  C  0 (*)  2 2  x  y  2ax  2by  c  0 + Hệ (*) có 2 nghiệm  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. + Hệ (*) có 1 nghiệm  d tiếp xúc với (C). + Hệ (*) vô nghiệm  d và (C) không có điểm chung. Vị trí tương đối của hai đường tròn (C1) và (C2) Để biện luận số giao điểm của hai đường tròn (C1): x 2  y 2  2a1x  2b1y  c1  0 , (C2): x 2  y 2  2a2 x  2b2 y  c2  0 . ta có thể thực hiện như sau:  Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I1I2 với các bán kính R1, R2. + R1  R2  I1I 2  R1  R2  (C1) cắt (C2) tại 2 điểm. + I1I 2  R1  R2  (C1) tiếp xúc ngoài với (C2). + I1I 2  R1  R2  (C1) tiếp xúc trong với (C2). + I1I 2  R1  R2  (C1) và (C2) ở ngoài nhau. + I1I 2  R1  R2  (C1) và (C2) ở trong nhau.  Cách 2: Toạ độ các giao điểm (nếu có) của (C1) và (C2) là nghiệm của hệ phương trình: 75 | P a g e  x 2  y 2  2a x  2b y  c  0 1 1 1 (*)  2 2 x  y  2 a x  2 b y  c  2 2 2 0 + Hệ (*) có hai nghiệm  (C1) cắt (C2) tại 2 điểm. + Hệ (*) có một nghiệm  (C1) tiếp xúc với (C2). + Hệ (*) vô nghiệm  (C1) và (C2) không có điểm chung. B. BÀI TẬP TỰ LUẬN. Baøi 1. Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua điểm A, với: (dạng 1) a) I(2; 4), A(–1; 3) b) I(–3; 2), A(1; –1) c) I(–1; 0), A(3; –11) d) I(1; 2), A(5; 2) Baøi 2. Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng , với: (dạng 2) a) I (3; 4),  : 4 x  3y  15  0 b) I (2;3),  : 5 x  12 y  7  0 c) I (3;2),   Ox d) I (3; 5),   Oy Baøi 3. Viết phương trình đường tròn có đường kính AB, với: (dạng 3) a) A(–2; 3), B(6; 5) b) A(0; 1), C(5; 1) c) A(–3; 4), B(7; 2) d) A(5; 2), B(3; 6) Baøi 4. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng , với: (dạng 4) a) A(2;3), B(1;1),  : x  3y  11  0 b) A(0; 4), B(2; 6),  : x  2 y  5  0 c) A(2; 2), B(8; 6),  : 5 x  3y  6  0 Baøi 5. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng , với: (dạng 5) a) A(1; 2), B(3; 4),  : 3 x  y  3  0 b) A(6;3), B(3;2),  : x  2 y  2  0 c) A(1; 2), B(2;1),  : 2 x  y  2  0 d) A(2; 0), B(4;2),   Oy Baøi 6. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B, với: (dạng 6) a) A(2; 6),  : 3 x  4 y  15  0, B(1; 3) b) A(2;1),  : 3 x  2 y  6  0, B(4;3) c) A(6; 2),   Ox , B(6; 0) d) A(4; 3),  : x  2 y  3  0, B(3; 0) Baøi 7. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2, với: (dạng 7) a) A(2;3), 1 : 3 x  4 y  1  0, 2 : 4 x  3y  7  0 b) A(1;3), 1 : x  2 y  2  0, 2 : 2 x  y  9  0 c) A  O(0; 0), 1 : x  y  4  0, 2 : x  y  4  0 d) A(3; 6), 1  Ox , 2  Oy Baøi 8. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d, với: (dạng 8) a) 1 : 3x  2 y  3  0, 2 : 2 x  3y  15  0, d : x  y  0 b) 1 : x  y  4  0, 2 : 7 x  y  4  0, d : 4 x  3y  2  0 c) 1 : 4 x  3y  16  0, 2 : 3x  4 y  3  0, d : 2 x  y  3  0 d) 1 : 4 x  y  2  0, 2 : x  4 y  17  0, d : x  y  5  0 Baøi 9. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, với: (dạng 9) 76 | P a g e a) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) b) A(5; 3), B(6; 2), C(3; –1) c) A(1; 2), B(3; 1), C(–3; –1) d) A(–1; –7), B(–4; –3), C  O(0; 0) e) AB : x  y  2  0, BC : 2 x  3 y  1  0, CA : 4 x  y  17  0 f) AB : x  2 y  5  0, BC : 2 x  y  7  0, CA : x  y  1  0 Baøi 10. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với: (dạng 10) a) A(2; 6), B(–3; –4), C(5; 0) b) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) c) AB : 2 x  3 y  21  0, BC : 3 x  2 y  6  0, CA : 2 x  3y  9  0 d) AB : 7 x  y  11  0, BC : x  y  15, CA : 7 x  17 y  65  0 Baøi 11. Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (C), với: a) d : mx  y  3m  2  0, (C ) : x 2  y 2  4 x  2 y  0 b) d : 2 x  y  m  0, (C ) : x 2  y 2  6 x  2 y  5  0 c) d : x  y  1  0, (C ) : x 2  y 2  2(2m  1) x  4 y  4  m  0 d) d : mx  y  4m  0, (C ) : x 2  y 2  2 x  4 y  4  0 Baøi 12. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (C1) và (C2), tìm toạ độ giao điểm, nếu có, với: a) (C1 ) : x 2  y 2  6 x  10 y  24  0, (C2 ) : x 2  y 2  6 x  4 y  12  0 b) (C1 ) : x 2  y 2  4 x  6 y  4  0, (C2 ) : x 2  y 2  10 x  14 y  70  0  5 5 c) (C1 ) : x 2  y 2  6x  3y  0, (C2 ) coù taâm I 2  5;  vaø baùn kính R2   2 2 Baøi 13. Cho đường tròn (C) và đường thẳng d. i) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục toạ độ. ii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d. iii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d. a) (C ) : x 2  y 2  6 x  2 y  5  0, d : 2 x  y  3  0 b) (C ) : x 2  y 2  4 x  6 y  0, d : 2 x  3y  1  0 Baøi 14. Cho đường tròn (C), điểm A và đường thẳng d. i) Chứng tỏ điểm A ở ngoài (C). ii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A. iii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d. iv) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d. a) (C ) : x 2  y 2  4 x  6 y  12  0, A(7;7), d : 3 x  4 y  6  0 b) (C ) : x 2  y 2  4 x  8y  10  0, A(2;2), d : x  2 y  6  0 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Câu 1: Đường tròn tâm I  a; b  và bán kính R có dạng: 2 2 B.  x  a    y  b   R 2 . 2 2 D.  x  a    y  b   R 2 . A.  x  a    y  b   R 2 . C.  x  a    y  b   R 2 . Câu 2: 2 2 2 2 2 2 Đường tròn tâm I  a; b  và bán kính R có phương trình  x  a    y  b   R 2 được viết lại thành x2  y 2  2ax  2by  c  0 . Khi đó biểu thức nào sau đây đúng? 77 | P a g e Câu 3: A. c  a 2  b 2  R 2 . B. c  a 2  b 2  R 2 . C. c   a 2  b 2  R 2 . Điểu kiện để  C  : x 2  y 2  2ax  2by  c  0 là một đường tròn là D. c  R 2  a 2  b 2 . Câu 4: A. a 2  b 2  c 2  0 . B. a 2  b 2  c 2  0 . C. a 2  b 2  c  0 . D. a 2  b 2  c  0 . Cho đường tròn có phương trình  C  : x 2  y 2  2ax  2by  c  0 . Khẳng định nào sau đây là sai? A. Đường tròn có tâm là I  a; b  . B. Đường tròn có bán kính là R  a 2  b 2  c . C. a 2  b 2  c  0 . C. Tâm của đường tròn là I  a; b  . Câu 5: Cho đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn  C  có tâm I , bán kính R tại điểm M , khẳng định nào sau đây sai? A. d I ;   R . d  I ;  D. IM không vuông góc với  . 1. R Cho điêm M  x0 ; y0  thuộc đường tròn  C  tâm I  a; b  . Phương trình tiếp tuyến  của C. Câu 6: B. d I ;   IM  0 . đường tròn  C  tại điểm M là A.  x0  a  x  x0    y0  b  y  y0   0 . B.  x0  a  x  x0    y0  b  y  y0   0 . C.  x0  a  x  x0    y0  b  y  y0   0 . D.  x0  a  x  x0    y0  b  y  y0   0 . 2 2 Câu 7: Đường tròn x  y  10 x  11  0 có bán kính bằng bao nhiêu? Câu 8: A. 6 . B. 2 . C. 36 . D. 6 . Một đường tròn có tâm I  3 ; 2  tiếp xúc với đường thẳng  : x  5 y  1  0 . Hỏi bán kính đường tròn bằng bao nhiêu ? A. 6 . Câu 9: B. 26 . Một đường tròn có tâm là điểm O  0 ;0  7 14 . D. . 13 26 và tiếp xúc với đường thẳng  : x  y  4 2  0 . C. Hỏi bán kính đường tròn đó bằng bao nhiêu ? A. 2 B. 1 C. 4 2 2 Câu 10: Đường tròn x  y  5 y  0 có bán kính bằng bao nhiêu ? 5 2 Câu 11: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn? A. 5 B. 25 . C. `D. 4 2 D. 25 . 2 A. x2  y 2  2 x  8 y  20  0 . B. 4 x 2  y 2  10 x  6 y  2  0 . C. x2  y 2  4 x  6 y  12  0 . D. x2  2 y 2  4 x  8 y  1  0 . Câu 12: Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A  0; 4  , B  2; 4  , C  4;0  . A.  0;0  . 78 | P a g e B. 1;0  . C.  3; 2  . D. 1;1 . Câu 13: Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A  0; 4  , B  3; 4  , C  3;0  . 10 . 2 Câu 14: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình đường tròn ? A. 5 . B. 3 . C. 5 D. . 2 A. x2  y 2  x  y  4  0 B. x2  y 2  y  0 C. x2  y 2  2  0 . D. x 2  y 2  100 y  1  0 . Câu 15: Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A  0;5  , B  3; 4  , C (4; 3) . A. (6; 2) . B. (1; 1) . 2 C.  3;1 . D.  0;0  . 2 Câu 16: Đường tròn x  y  4 y  0 không tiếp xúc đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây? B. x  y  3  0 . A. x  2  0 . 2 C. x  2  0 . D.Trục hoành. 2 Câu 17: Đường tròn x  y  1  0 tiếp xúc đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây? A. x  y  0 . B. 3x  4 y  1  0 . C. 3x  4 y  5  0 . D. x  y  1  0 . Câu 18: Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A  0;0  , B  0;6  , C  8;0  . A. 6 . B. 5 . C. 10 . D. 5 . 2 2 2 2 Câu 19: Tìm giao điểm 2 đường tròn  C2  : x  y  4  0 và  C2  : x  y  4 x  4 y  4  0 A.    2; 2 và  2;  2 . C.  2;0  và  0; 2  . B.  0; 2  và (0; 2) . D.  2;0  và (2;0) . Câu 20: Đường tròn x2  y 2  2 x  10 y  1  0 đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây ? A.  2;1 B. (3; 2) C. (1;3) D. (4; 1) Câu 21: Một đường tròn có tâm I 1;3 tiếp xúc với đường thẳng  : 3x  4 y  0 . Hỏi bán kính đường tròn bằng bao nhiêu ? 3 B. 1 C. 3 . D. 15 . 5 Câu 22: Đường tròn  C  : ( x  2)2 ( y  1)2  25 không cắt đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây? A. A.Đường thẳng đi qua điểm  2;6  và điểm  45;50  . B.Đường thẳng có phương trình y – 4  0 . C.Đường thẳng đi qua điểm (3; 2) và điểm 19;33 . D.Đường thẳng có phương trình x  8  0 . Câu 23: Đường tròn nào dưới đây đi qua 3 điểm A  2;0  , B  0;6  , O  0;0  ? A. x2  y 2  3 y  8  0 . B. x2  y 2  2 x  6 y  1  0 . C. x2  y 2  2 x  3 y  0 . D. x2  y 2  2 x  6 y  0 . Câu 24: Đường tròn nào dưới đây đi qua điểm A(4; 2) . 79 | P a g e A. x2  y 2  2 x  6 y  0 . B. x2  y 2  4 x  7 y  8  0 . C. x2  y 2  6 x  2 y  9  0 . D. x2  y 2  2 x  20  0 . Câu 25: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn  C1  : x 2  y 2  4 2 2 và  C2  :  x  10    y  16   1 . A.Cắt nhau. B.Không cắt nhau. C.Tiếp xúc ngoài. D.Tiếp xúc trong. 2 2 2 2 Câu 26: Tìm giao điểm 2 đường tròn  C1  : x  y  5 và  C2  : x  y  4 x  8 y  15  0 A. 1; 2  và   2; 3 . B. 1; 2  . C. 1; 2  và   3; 2 . D. 1; 2  và  2;1 . Câu 27: Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Ox ? A. x2  y 2  2 x  10 y  0 . B. x2  y 2  6 x  5 y  9  0 . C. x2  y 2  10 y  1  0 . D. x2  y 2  5  0 . Câu 28: Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Oy ? A. x2  y 2  10 y  1  0 B. x2  y 2  6 x  5 y  1  0 C. x2  y 2  2 x  0 . D. x2  y 2  5  0 . Câu 29: Tâm đường tròn x2  y 2  10 x  1  0 cách trục Oy bao nhiêu ? A. 5 . B. 0 . C. 10 . D. 5 . Câu 30: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm O  0;0  , A  a;0  , B  0; b  . A. x2  y 2  2ax  by  0 . 2 B. 2 x  y  ax  by  xy  0 . C. x2  y 2  ax  by  0 . D. x2  y 2  ay  by  0 . Câu 31: Với những giá trị nào của m thì đường thẳng  : 4 x  3 y  m  0 tiếp xúc với đường tròn  C  : x2  y 2  9  0 . A. m  3 . B. m  3 và m  3 . C. m  3 . D. m  15 và m  15 . Câu 32: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng  : x  2 y  3  0 và đường tròn C  x2  y 2  2 x  4 y  0 . A.  3;3 và (1;1) . B. (1;1) và (3; 3) C.  3;3 và 1;1 D.Không có Câu 33: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn  C1  : x2  y 2  4 x  0 và  C2  x2  y 2  8 y  0 . : A.Tiếp xúc trong. B.Không cắt nhau. C.Cắt nhau. D.Tiếp xúc ngoài. Câu 34: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng  : x  y  7  0 và đường tròn  C  : x 2  y 2  25  0 . A.  3; 4  và  4; 3 . 2 B.  4; 3  . C.  3; 4  . D.  3; 4  và  4; 3  . 2 Câu 35: Đường tròn x  y  2 x  2 y  23  0 cắt đường thẳng  : x  y  2  0 theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu ? A. 5 . B. 2 23. C. 10 . Câu 36: Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Oy ? 80 | P a g e D. 5 2. A. x2  y 2  10 x  2 y  1  0 . B. x2  y 2  4 y  5  0 . C. x2  y 2  1  0. D. x2  y 2  x  y  3  0 . Câu 37: Tìm giao điểm 2 đường tròn  C1  : x 2  y 2  2  0 và  C2  : x 2  y 2  2 x  0    A.  2; 0  và  0; 2  . B. C. 1;  1 và 1; 1 . D.  1; 0  và  0;  1 .  2; 1 và 1;  2 . Vậy có hai giao điểm là: 1;  1 và 1; 1 . Câu 38: Đường tròn x2  y 2  4 x  2 y  1  0 tiếp xúc đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây? A.Trục tung. B. 1 : 4 x  2 y  1  0 . C.Trục hoành. D.  2 : 2 x  y  4  0 . Câu 39: Với những giá trị nào của m thì đường thẳng : 3 x  4 y  3  0 tiếp xúc với đường tròn (C): ( x  m)2  y 2  9 A. m  0 và m  1 . 81 | P a g e B. m  4 và m  6 . C. m  2 . D. m  6 . §4: PHƯƠNG TRÌNH ELIP A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2  2c (c > 0). M  (E )  MF1  MF2  2a (a > c) F1, F2: các tiêu điểm, F1F2  2c : tiêu cự. 2. Phương trình chính tắc của elip x2 2  y2 2 1 (a  b  0, b2  a2  c 2 ) a b  Toạ độ các tiêu điểm: F1(c; 0), F2 (c; 0) .  Với M(x; y)  (E), MF1 , MF2 đgl các bán kính qua tiêu điểm của M. c c x, MF2  a  x a a MF1  a  3. Hình dạng của elip  (E) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng. A1(a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; b), B2 (0; b)  Toạ độ các đỉnh: trục lớn: A1 A2  2a , trục nhỏ: B1B2  2b  Độ dài các trục: c (0 < e < 1) a  Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x   a, y   b (ngoại tiếp elip). Xác định các yếu tố của (E)  Tâm sai của (E): e y2   1 . Xác định a, b, c. a2 b 2 – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b. – Tiêu cự 2c. – Toạ độ các tiêu điểm F1(c; 0), F2 (c; 0) . Đưa phương trình của (E) về dạng chính tắc: Các yếu tố: x2 – Toạ độ các đỉnh A1(a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; b), B2 (0; b) . c . a Lập phương trình chính tắc của (E) Để lập phương trình chính tắc của (E) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b của (E). Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (E): c + b2  a2  c 2 + e  + Các tiêu điểm F1(c; 0), F2 (c; 0) a + Các đỉnh: A1(a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; b), B2 (0; b) – Tâm sai e  B. BÀI TẬP TỰ LUẬN. Bài 1. Cho elip (E). Xác định độ dài các trục, tiêu cự, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh, tâm sai, với (E) có phương trình: a) x 2 y2  1 9 4 82 | P a g e b) x 2 y2  1 16 9 c) x 2 y2  1 25 9 d) x 2 y2  1 4 1 e) 16 x 2  25y 2  400 f) x 2  4 y 2  1 Bài 2. Lập phương trình chính tắc của (E), biết: g) 4 x 2  9 y 2  5 h) 9 x 2  25y 2  1 a) Độ dài trục lớn bằng 6, trục nhỏ bằng 4. b) Độ dài trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 6. c) Độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng tiêu cự. d) Tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm M  15; 1 . e) Độ dài trục nhỏ bằng 6 và đi qua điểm M  2 5;2  . e) Một tiêu điểm là F1(2; 0) và độ dài trục lớn bằng 10.  3 f) Một tiêu điểm là F1   3; 0  và đi qua điểm M  1; .  2   3  g) Đi qua hai điểm M (1; 0), N  ;1 .  2  h) Đi qua hai điểm M  4;  3  , N  2 2;3  . Bài 3. Lập phương trình chính tắc của (E), biết: a) Độ dài trục lớn bằng 10, tâm sai bằng 3 . 5 b) Một tiêu điểm là F1(8; 0) và tâm sai bằng 4 . 5 c) Độ dài trục nhỏ bằng 6, phương trình các đường chuẩn là x 7  16  0 . 3 d) Một đỉnh là A1 (8; 0) , tâm sai bằng . 4   2 5 e) Đi qua điểm M  2;   và có tâm sai bằng . 3  3 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Câu 1. Dạng chính tắc của Elip là x2 y2 x2 y2 A. 2  2  1 . B. 2  2  1 . a b a b C. y 2  2 px . D. y  px 2 . x2 y2 Câu 2. Cho Elip  E  có phương trình chính tắc là 2  2  1 , với a  b  0 . Khi đó khẳng định nào a b sau đây đúng? A. Nếu c 2  a 2  b 2 thì  E  có các tiêu điểm là F1  c;0  , F2  c;0  . B. Nếu c 2  a 2  b 2 thì  E  có các tiêu điểm là F1  0; c  , F2  0; c  . C. Nếu c 2  a 2  b 2 thì  E  có các tiêu điểm là F1  c;0  , F2  c;0  . D. Nếu c 2  a 2  b 2 thì  E  có các tiêu điểm là F1  0; c  , F2  0; c  . Câu 3. Cho Elip  E  có phương trình chính tắc là x2 y2   1 , với a  b  0 . Khi đó khẳng định nào a2 b2 sau đây đúng? A. Với c 2  a 2  b 2  c  0  , tâm sai của elip là e  83 | P a g e c . a a . c c C. Với c 2  a 2  b 2  c  0  , tâm sai của elip là e   . a a D. Với c 2  a 2  b 2  c  0  , tâm sai của elip là e   . c 2 2 x y Câu 4. Cho Elip  E  có phương trình chính tắc là 2  2  1 , với a  b  0 . Khi đó khẳng định nào a b sau đây sai? A. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục lớn là A1  a;0  , A1  a;0  . B. Với c 2  a 2  b 2  c  0  , tâm sai của elip là e  B. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục nhỏ là B1  0; b  , A1  0; b  . C. Với c 2  a 2  b 2  c  0  , độ dài tiêu cự là 2c . D. Với c 2  a 2  b 2  c  0  , tâm sai của elip là e  a . c x2 y 2   1 có tâm sai bằng bao nhiêu? 25 9 4 5 5 3 A. . B. . C. . D. . 5 4 3 5 2 2 x y Câu 6. Đường Elip   1 có tiêu cự bằng : 16 7 9 6 A. 3 . B. 6 . C. . D. . 16 7 Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho elip  E  có độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục Câu 5. Elip (E): bé bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip  E  x2 y2 x2 y 2  1. D.  0. 36 9 144 36 1 Câu 8. Tìm phương trình chính tắc của Elip có tâm sai bằng và trục lớn bằng 6 . 3 2 2 2 2 x y x y x2 y 2 x2 y 2 A.   1. B.   1. C.   1. D.   1. 9 3 9 8 9 5 6 5 Câu 9. Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đường chuẩn là x  4  0 và một tiêu điểm là  1;0  . A. x2 y2  1. 144 36 B. x2 y2   1. 9 36 C. x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2   1. B.   1. C.   0. D.   1. 4 3 16 15 16 9 9 8 Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm A  0;5  . A. Câu 10. x2 y2 x2 y2 x2 y 2 x2 y2  1. B.  1. C.  1. D.  1. 100 81 34 25 25 9 25 16 Câu 11. Cho Elip có phương trình : 9 x2  25 y 2  225 . Lúc đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng A. 15. B. 40. C. 60. D. 30. 2 2 x y Câu 12. Cho Elip  E  :   1 . Với M là điểm bất kì nằm trên  E  , khẳng định nào sau đây là 16 9 khẳng định đúng ? A. 4  OM  5. B. OM  5. C. OM  3. D. 3  OM  4. Câu 13. Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4 3 A. 84 | P a g e x2 y2 x2 y2 x2 y2  1. B.  1. C.   1. 36 9 36 24 24 6 Cho elip  E  : x 2  4 y 2  1 và cho các mệnh đề: A. Câu 14.  I   E  có trục lớn bằng 4  3 F1  0;   2  Trong các mệnh đề trên, tìm mệnh đề đúng? A.  I  . B.  II  và  IV  .  III   E  có tiêu điểm Câu 15. D. x2 y 2   1. 16 4  II   E  có trục nhỏ bằng 1  IV   E  có tiêu cự bằng C.  I  và  III  . 3 D.  IV  . Phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm A  2; 2  là A. x2 y2   1. 24 6 B. x2 y2   1. 36 9 C. x2 y 2   1. 16 4 D. x2 y2   1. 20 5 x2 y 2 Câu 16. Cho Elip  E  :   1 và điểm M nằm trên  E  Nếu điểm M có hoành độ bằng 1 thì 16 12 các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của  E  bằng : A. 4  2 . Câu 17. B. 3 và 5 . C. 3,5 và 4,5 . D. 4  2 . 2 x2 y 2   1 và cho các mệnh đề : 25 9 (I)  E  có tiêu điểm F1  – 3;0  và F2  3; 0  . Cho elip  E  : c 4  . a 5 (III)  E  có đỉnh A1  –5; 0  . (II)  E  có tỉ số (IV)  E  có độ dài trục nhỏ bằng 3 . Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào sai ? A. I và II . B. II và III . C. I và III. D. IV và I. 12 Câu 18. Một elip có trục lớn bằng 26 , tâm sai e  . Trục nhỏ của elip có độ dài bằng bao nhiêu? 13 A. 10. B. 12. C. 24. D. 5. 2 2 x y Câu 19. Đường Elip   1 có tiêu cự bằng : 5 4 A. 2. B. 4. C. 9. D. 1. 2 2 x y Câu 20. Cho Elip  E  :   1 và điểm M nằm trên  E  . Nếu điểm M có hoành độ bằng 13 169 144 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của  E  bằng : Câu 21. A. 8; 18 . B. 13  5 . C.10;16. D. 13  10 . Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M  4;3 . A. 85 | P a g e x2 y 2   1. 16 9 B. x2 y 2   1. 16 9 C. x2 y 2   1. 16 4 D. x2 y 2   1. 4 3