Tài liệu học tập Toán 10 học kì 2 – Trần Quốc Nghĩa

Đề cương Toán 10

Giới thiệu Tài liệu học tập Toán 10 học kì 2 – Trần Quốc Nghĩa

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Tài liệu học tập Toán 10 học kì 2 – Trần Quốc Nghĩa.

Tài liệu môn Toán 10 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu Tài liệu học tập Toán 10 học kì 2 – Trần Quốc Nghĩa

Tải xuống

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 10 tại đây

Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 BAÁT ÑAÚNG THÖÙC BAÁT PHÖÔNG TRÌNH Chủđề 4 1. BẤT ĐẲNG THỨC Tóm tắt tắt lí thuyết 1. Tínhchất: ðiều kiện Cộng hai vế với số bất kì Bắc cầu c>0 Nhân hai vế c<0 Nội dung a bc a < b ⇔ a+c < b+d c < d Cộng vế theo vế các BðT cùng chiều Lấy căn hai vế Nghịch ñảo (4) 0 < a < b  ⇔ ac < bd 0 < c < d (5) M ũ lẻ Mũ chẵn a≥0 a b⇔ > a b (7b) Nhân 2 vế BðT khi biết nó dương: a > 0, c > 0 Nâng lên lũy thừa với n ∈ ℤ + (1) (2) (3a) (3b) a, b cùng dấu a, b khác dấu (8a) (8b)  Lưu ý:  Không có qui tắc chia hai về bất ñẳng thức cùng chiều.  Ta chỉ nhân hai vế bất ñẳng thức khi biết chúng dương.  Cần nắm vững các hằng ñẳng thức ñáng nhớ và cách biến ñổi. 2. Bấtđẳngthứcvềcáccạnhcủatamgiác: Với a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác, ta có: • a −b < c < a +b • a, b, c > 0 • b−c < a B bằng ñịnh nghĩa, ta lựa chọn theo các hướng sau: Hướng 1. Chứng minh A – B > 0 Hướng 2. Thực hiện các phép biến ñổi ñại số ñể biến ñổi bất ñẳng thức ban ñầu về một bất ñẳng thức ñúng. Hướng 3. Xuất phát từ một bất ñẳng thức ñúng. Hướng 4. Biến ñổi vế trái hoặc vế phải thành vế còn lại. Chú ý: Với các hướng 1 và hướng 2 công việc thường là biến ñổi A – B thành tổng các ñại lượng không âm. Và với các bất ñẳng thức A – B ≥ 0 chúng ta cần chỉ ra dấu “=” xảy ra khi nào ? B. BÀI TẬP MẪU VD 1.1 Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh các bất ñẳng thức sau: ① a 2 + b 2 ≥ 2ab ② a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b ③ a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ④ Nếu ⑤ a3 + b3 ≥ a 2b + b 2 a = ab(a + b) ⑥ a a a+c < 1 thì < b b b+c a 2 + x 2 + b2 + y 2 ≥ 2 ( a + b) + ( x + y ) 2 .................................................................................................................................................................................................................... GV. Trần Quốc Nghĩa 3 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... 4 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.1 Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh các bất ñẳng thức sau: ① a2 + b2 + c 2 + 3 ≥ 2 ( a + b + c ) ③ a2 + b 2 + c 2 ≥ ab − ac + 2bc 4 ⑤ a 2 (1 + b 2 ) + b 2 (1 + c 2 ) + c 2 (1 + a 2 ) ≥ 6abc ⑦ 1.2 ④ a 4 + b 4 + c 2 + 1 ≥ 2a ( a 2b − a + c + 1) ⑥ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e2 ≥ a ( b + c + d + e ) 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + , với a, b, c > 0 ⑧ a + b + c ≥ ab + bc + ca , với a, b, c ≥ 0 a b c ab bc ca Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh các bất ñẳng thức sau: ① 3 a 3 + b3  a + b  ≥  , với a, b ≥ 0 2  2  ③ a 4 + 3 ≥ 4a 2 ⑤ a4 + b4 ≤ ⑦ 1.3 ② a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2 ( ab + bc − ca ) a 6 b6 + , với a, b ≠ 0 b2 a 2 1 1 2 + ≥ , với a, b > 1 2 2 1 + a 1 + b 1 + ab ② a 4 + b 4 ≥ a 3b + ab3 ④ a3 + b3 + c 3 ≥ abc , với a,b,c ≥ 0 ⑥ a2 + 3 a2 + 2 >2 ⑧ ( a5 + b5 ) ( a + b ) ≥ ( a 4 + b 4 )( a 2 + b 2 ) ,với ab > 0 Cho a, b, c, d , e ∈ ℝ . Chứng minh a 2 + b 2 ≥ 2ab (1). Áp dụng bất ñẳng thức (1) ñể chứng minh các bất ñẳng thức sau: ① ( a 2 + 1)( b 2 + 1)( c 2 + 1) ≥ 8abc ② ( a 2 + 4 )( b 2 + 4 )( c 2 + 4 )( d 2 + 4 ) ≥ 256abcd ③ a 4 + b 4 + c 4 + d 4 ≥ 4abcd 1.4 Cho a, b, c ∈ ℝ . Chứng minh a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca (2). Áp dụng bất ñẳng thức (2) ñể chứng minh các bất ñẳng thức sau: ① ( a + b + c ) ≤ 3 ( a2 + b2 + c 2 ) ② a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc ( a + b + c ) ③ ( a + b + c ) ≥ 3 ( ab + bc + ca ) ④ 2 ⑤ 1.5 a +b+c ab + bc + ca ≥ , với a, b, c > 0 3 3 Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh rằng: nếu a 2 + b2 + c2  a + b + c  ≥  3 3   2 ⑥ a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc , với a + b + c = 1 a a a+c < 1 thì < (3). Áp dụng bất ñẳng thức (3) ñể b b b+c chứng minh các bất ñẳng thức sau: a b c a b c d ① + + <2② 1< + + + <2 a +b b+c c+a a +b+c b+c+d c+d +a d +a +b a +b b+c c+d d +a ③ 2< + + + <3 a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b GV. Trần Quốc Nghĩa 5 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh 1.6 TI LIU H C T P TON 10 Cho a, b, c ∈ ℝ . Chứng minh a3 + b3 ≥ a 2b + b 2 a = ab ( a + b ) (4). Áp dụng bất ñẳng thức (4) ñể chứng minh các bất ñẳng thức sau: ① ② ③ ④ ⑤ 1.7 a 3 + b3 b3 + c 3 c3 + a 3 + + ≥ 2 (a + b + c) ab bc ca 1 1 1 1 + 3 3 + 3 ≤ , a, b, c > 0 3 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 1 1 1 + 3 3 + 3 ≤ 1 , với abc = 1 3 3 a + b + 1 b + c + 1 c + a3 + 1 1 1 1 + + ≤ 1 , với a, b, c > 0 và abc = 1 a + b +1 b + c +1 c + a +1 3 4 ( a 3 + b3 ) + 3 4 ( b3 + c 3 ) + 3 4 ( c 3 + a 3 ) ≥ 2(a + b + c) , a, b, c ≥ 0 Cho a, b, x, y ∈ ℝ . Chứng minh bất ñẳng thức sau (BðT Min-côp-xki): a 2 + x 2 + b2 + y 2 ≥ 2 ( a + b) + ( x + y ) 2 (5). Áp dụng (5): ① Cho a, b ≥ 0 thỏa a + b = 1 . Chứng minh: ② Tìm GTNN của P = a 2 + 1 + a2 + 1 + b2 ≥ 5 1 1 + b 2 + 2 , với a, b ≠ 0 2 b a ③ Cho x, y, z > 0 thỏa x + y + z = 1 . Chứng minh: x2 + 1 1 1 + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82 2 x y z ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 6 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 Dạng2. ChứngminhBĐTdựavàoBĐTCauchy(AM-GM)  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Các dạng của bất ñẳng thức Cauchy (AM-GM):  x + y ≥ 2 xy ① • Với x, y ≥ 0 thì  . Dấu “=” xảy ra khi x = y . 2 2 x y 2 xy + ≥ ②   x + y  2 ≥ xy ③  • Với x, y ∈ ℝ thì  2  . Dấu “=” xảy ra khi x = y .  2 ( x + y ) ≥ 4 xy ④  x + y + z ≥ 3 3 xyz ⑤  • Với x, y, z ≥ 0 thì  x + y + z 3 . Dấu “=” khi x = y = z ≥ xyz ⑥   3   B. BÀI TẬP MẪU Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và ngược lại: VD 1.2 Cho a, b, c > 0 . Chứng minh các bất ñẳng thức sau: ① ( a + b ) ≥ 4ab ② 2 ( a 2 + b 2 ) ≥ ( a + b ) 2 2 ③ 1 1 4 + ≥ a b a+b ④ 1 1 1 9 + + ≥ a b c a+b+c ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. GV. Trần Quốc Nghĩa 7 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 Loại 2: Tách cặp nghịch đảo VD 1.3 Chứng minh các bất ñẳng thức sau: a b + ≥ 2 ( ∀a, b > 0 ) b a 2 x ③ + ≥ 3 ( ∀x > 2 ) 2 x−2 ① x 18 + ≥ 6 ( ∀x > 0 ) 2 x 1 10 ④ a+ ≥ ( ∀a ≥ 3) a 3 ② ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Loại 3: Sử dụng bổ đề suy luận từ BĐT Cauchy (AM-GM): 1 1 1 1 4 +  ≥ 4 hay + ≥ (1) . Dấu “=” xảy ra khi x = y x y x+ y x y Dạng 1: ( x + y) Dạng 2: ( x + y + z) 1 1 1 1 1 1 9 + +  ≥ 9 hay + + ≥ (2) . Dấu “=” xảy ra khi x=y=z x y z x+ y+ z x y z VD 1.4 Cho a, b > 0 . Chứng minh 1 1 4 (1). Áp dụng bất ñẳng thức (1) ñể chứng minh các bất + ≥ a b a+b ñẳng thức sau: 1 1 1 1 1   1 ① + + ≥ 2 + +  ( ∀a, b, c > 0 ) a b c  a +b b+c c+a  ② 8 1 1 1 1 1 1   + + ≥ 2 + +  a +b b+c c+a  2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b  ( ∀a, b, c > 0 ) GV. Trần Quốc Nghĩa TI LIU H C T P TON 10 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Loại 4: Đặt ẩn phụ để áo dụng BĐT Cauchy: VD 1.5 Cho a, b, c > 0 . Chứng minh bất ñẳng thức (BðT Nesbit) sau: a b c 3 + + ≥ b+c c+a a+b 2 b + c = x  HD: ðặt c + a = y a + b = z  ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. GV. Trần Quốc Nghĩa 9 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và ngược lại: 1.8 Cho a, b, c > 0 . Chứng minh các bất ñẳng thức sau: ① a 2 + b 2 ≥ 2ab ② (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab  1 1 1 ③ ( a + b + c)  + +  ≥ 9 a b c 1 1 ④ ( a + b)  +  ≥ 4 a b  a  b  c  ⑤  1 + 1 +  1 +  ≥ 8  b  c  a  ⑥ 1 1 1 1 16 + + + ≥ a b c d a +b+c+d ⑦ (1 + a + b )( a + b + ab ) ≥ 9ab ⑧ ( ⑨ 3a 3 + 7b3 ≥ 9ab 2 ⑩ ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ 8abc ⑪ 1.9 ( a+ b ) 2 ≥ 2 2(a + b) ab ⑫ a+ b 8 ) ≥ 64ab ( a + b ) 2 a+4 ≥ 2, ∀a > −3 a +3 Cho a, b, c > 0 . Chứng minh các bất ñẳng thức sau: ① a + b + c ≥ ab + bc + ca ② ab + bc + ca ≥ abc ab bc ac + + ≥ a+b+c c a b a b ⑤ ab + + ≥ a + b + 1 b a ④ ( a+ b+ c ) a b c 1 1 1 + + ≥ + + bc ca ab a b c a 3 b3 c 3 ⑥ + + ≥ ab + bc + ca b c a ③ 1.10 Cho a, b, c > 0 . Chứng minh các bất ñẳng thức sau: a 2 b2 c2 ① + + ≥ a +b+c b c a a3 b3 c3 a 2 b2 c 2 + + ③ 2+ 2+ 2≥ b c a b c a 3 3 3 a b c ⑤ + + ≥ ab + bc + ca b c a a 3 b3 c 3 ② 2 + 2 + 2 ≥ a+b+c b c a a 3 b3 c 3 ④ + + ≥ a +b+c bc ca ab a 5 b5 c5 ⑥ 3 + 3 + 3 ≥ a2 + b2 + c 2 b c a Loại 2: Tách cặp nghịch đảo 1.11 Chứng minh các bất ñẳng thức sau: ① a+ ③ 1 9 ≥ a2 4 x+8 ≥6 x −1 ② ( ∀a ≥ 2 ) a2 + 2 ≥ 2 ( ∀a ∈ ℝ ) a2 +1 1 ④ a+ ≥ 3 ( ∀a > b > 0 ) a (a − b) ( ∀x > 1) Loại 3: Sử dụng bổ đề suy luận từ BĐT Cauchy (AM-GM): 1.12 Cho a, b > 0 . Chứng minh 1 1 4 (1). Áp dụng bất ñẳng thức (1) ñể chứng minh các bất + ≥ a b a+b ñẳng thức sau, với a, b, c > 0 : 10 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 ① 1 1 1 1 1   1 + + ≥ 2 + +  a b c  a +b b+c c+a  ③ 1 1 1 1 1 1 + + ≤ 1 với + + = 4 2 a + b + c a + 2b + c a + b + 2c a b c ④ 1 1 1 1 1 1   + + ≥ 2 + +  a +b b+c c+a  2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b  ② ab bc ca a+b+c + + ≤ a +b b+c c+a 2 1.13 Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 1 1 1  1 1 1 + + ≥ 2 + +  p − a p −b p −c a b c 1.14 Cho a, b, c > 0 . Chứng minh 1 1 1 9 (2). Áp dụng bất ñẳng thức (2) ñể chứng minh + + ≥ a b c a+b+c các bất ñẳng thức sau: ① ② ③ ④ ⑤ 2 2 2 9 + + ≥ ( ∀ a, b , c > 0 ) a +b b+c c+a a +b+c ( a2 + b2 + c 2 )  a 1+ b + b +1 c + c +1 a  ≥ 23 (a + b + c) ( ∀a, b, c > 0) x y z 3 + + ≤ ( ∀x > y > z > 0; x + y + z = 1) x +1 y +1 z +1 4 1 1 1 + 2 + 2 ≥ 9 ( ∀ a, b, c > 0 ) 2 a + 2bc b + 2ac c + 2ab 1 1 1 1 + + + ≥ 30 ( ∀a, b, c > 0 ) 2 2 2 a + b + c ab bc ca Loại 4: Đặt ẩn phụ để áp dụng BĐT Cauchy: 1.15 Cho x > 2014 . Chứng minh bất ñẳng thức sau: x − 2013 x − 2014 1 1 + ≤ + . HD: ðặt x+2 x 2 2015 2 2014 a = x − 2013 ≥ 0  b = x − 2014 ≥ 0 1.16 Cho x, y, z > 0 . Chứng minh bất ñẳng thức sau: a = 2 x + y + z > 0 x y z 3  + + ≤ . HD: ðặt b = x + 2 y + z > 0 2 x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z 4 c = x + y + 2 z > 0  ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. GV. Trần Quốc Nghĩa 11 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 Dạng3. ChứngminhBĐTdựavàoBĐTCauchySchwarz  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Thực chất bất ñẳng thức Cauchy Schwarz là hệ quả trực tiếp của bất ñẳng thức Bunhiacôpski mà ở ñây dễ dàng hình dung, tạm gọi là bất ñẳng thức cộng mẫu số.  a b  1. Cho a, b ∈ ℝ và x, y > 0 . Áp dụng BðT Bunhiacôpski cho bộ hai số:  , ; x, y  x y    ta ñược: Bunhiacôpski    a 2 b2  a b a 2 b 2 ( a + b) 2 . x+ . y⇔ + ≥ (1)  +  ( x + y ) ≥   y x y x+ y y  x  x  ( )  a b c  , ,  ; x y z   2. Cho a, b, c ∈ ℝ và x, y , z > 0 . Áp dụng BðT Bunhiacôpski cho bộ ba số:   ( ) x , y , z ta ñược: Bunhiacôpski    a 2 b2 c 2  a b c + + x + y + z ≥  . x+ . y+ . z ( )    x  y z  y z  x   ⇔ a 2 b 2 c 2 (a + b + c )2 + + ≥ (2) x y z x+ y+z B. BÀI TẬP MẪU VD 1.6 Chứng minh: a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ , với a, b, c > 0 b+c c +a a +b 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 12 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 VD 1.7 Với a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 3 . Chứng minh rằng: ① a b c + + ≥1 a + 2bc b + 2ac c + 2ab ② a b c + + ≤1 2a + bc 2b + ac 2c + ab ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.17 Chứng minh: a b c ① + + ≥ 1 , với a, b, c > 0 b + 2c c + 2a a + 2b a b c 3 ② + + ≥ , với a, b, c > 0 b+c c+a a+b 2 a3 b3 c3 a 2 + b2 + c 2 + + ≥ , với a, b, c ∈ ℝ b+c c+a a +b 2 9 a b c + + ≥ ④ , với a, b, c > 0 2 2 2 (b + c ) ( c + a ) ( a + c ) 4 ( a + b + c ) ③ ⑤ a2 b2 c2 + + ≥ 1 , với a, b, c > 0 và a + b + c = 3 . a + 2b 2 b + 2c 2 c + 2a 2 1.18 Với a, b, c là ñộ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 ① + + ≥ a +b+c b +c − a c + a −b a +b −c GV. Trần Quốc Nghĩa a3 b3 c3 ② + + ≥ a 2 + b2 + c2 b +c − a c + a −b a +b −c 13 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 Dạng4. ChứngminhBĐTdựavàoBĐTC.B. C.B.S C.B.  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cho a, b, x, y ∈ ℝ Cho a, b, c, x, y, z ∈ ℝ ① ( ax + by ) ≤ ( a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) ❶ ( ax + by + cz ) ≤ ( a 2 + b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 a b = x y Dấu “=”xảy ra khi ② ax + by ≤ (a 2 (a 2 ❷ ax + by + cz ≤ a b = x y (a 2 + b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) Dấu “=”xảy ra khi ❸ ax + by + cz ≤ + b 2 )( x 2 + y 2 ) Dấu “=” xảy ra khi a b c = = x y z Dấu “=”xảy ra khi + b 2 )( x 2 + y 2 ) Dấu “=”xảy ra khi ③ ax + by ≤ 2 a b = ≥0 x y (a 2 a b c = = x y z + b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) Dấu “=” xảy ra khi a b c = = ≥0 x y z B. BÀI TẬP MẪU VD 1.8 Chứng minh rằng: ① Nếu x 2 + y 2 = 1 thì x + y ≤ 2 . ① Ta có: ( x + y ) 2 ② Nếu 4 x − 3 y = 15 thì x 2 + y 2 ≥ 9 . Giải = x + y + 2 xy ≤ 2 ( x + y 2 ) = 2 nên x + y ≤ 2 . 2 2 2 x = y Dấu “=” xảy ra khi:  2 ⇔ 2 x + y = 1  4 Ta có: 4 x − 5 y = 15 ⇔ y = x − 5 . 3 x = y 1 ⇔ x= y=± .  2 2 x = 1 2  2 16 40 4  Do ñó: x + y = x +  x − 5  = x 2 + x 2 − x + 25 9 3 3  2 2 2 2 25 2 40 5  = x − x + 25 =  x − 4  + 9 ≥ 9 . 9 3 3  5  x = 12 / 5  x−4=0 Dấu “=” xảy ra khi:  3 . ⇔ y = − 9 / 5  4 x − 3 y = 15 VD 1.9 Chứng minh rằng: Nếu 2 x + 3 y = 7 thì 2 x 2 + 3 y 2 ≥ 2 Ta có: 7 2 = ( 2 x + 3 y ) = ⇒ 2×2 + 3 y2 ≥ ( Giải 2.x 2 + 3.x 3 ≤ ( 2 + 3) ( 2 x 2 + 3 y 2 ) = 5 ( 2 x 2 + 3 y 2 ) ) 49 . 5 Dấu “=” xảy ra khi ta có: 14 49 . 5 x 2 2 = 2 x + 3 y = 7 7 ⇔ ⇒x=y= . 5 3 x = y y 3 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 VD 1.10 Chứng minh rằng: ① Nếu x 2 + y 2 = 1 thì 3 x + 4 y ≤ 5 ② Nếu x 2 + y 2 = 1 thì x + 2 y ≤ 5 ③ Nếu 3 x + 4 y = 1 thì x 2 + y 2 ≥ 1 25 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.19 Chứng minh các bất ñẳng thức sau: ① Nếu x 2 + y 2 = 1 thì 3 x + 4 y ≤ 5 ③ Nếu x 2 + 4 y 2 = 1 thì x − y ≤ 5 2 ② Nếu x 2 + 2 y 2 = 8 thì 2 x + 3 y ≤ 2 17 ④ Nếu 36 x 2 + 16 y 2 = 9 thì y − 2 x ≤ 5 4 1.20 Chứng minh các bất ñẳng thức sau: ① Nếu x ∈ [1; 3] thì A = 6 x − 1 + 8 3 − x ≤ 10 2 ② Nếu x ∈ [1; 5] thì B = 3 x − 1 + 4 5 − x ≤ 10 ③ Nếu x ∈ [ − 2; 1] thì C = 1 − x + 2 + x ≤ 6 ④ Nếu x ∈ [4; 13] thì D = 2 x − 4 + 13 − x ≤ 3 5 GV. Trần Quốc Nghĩa 15 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 Dạng5. ChứngminhBĐTdựavàotọađộvectơ  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. a = ( x; y ) ⇒ a = x 2 + y 2 2. AB = 2 ( xB − x A ) + ( y B − y A ) 2 3. AB + BC ≥ AC , dấu “=” xảy ra khi B nằm giữa A và C. 4. u − v ≤ u + v ≤ u + v , dấu “=” xảy ra khi u , v cùng hướng 5. u + v + w ≤ u + v + w , dấu “=” xảy ra khi u , v , w cùng hướng 6. u .v ≤ u . v B. BÀI TẬP MẪU VD 1.11 Chứng minh rằng: ∀x, y, z ta luôn có x 2 + xy + y 2 + x 2 + xz + z 2 ≥ y 2 + yz + z 2 Giải:   y 3  z 3  Trong mặt phẳng ( Oxy ) , xét: a =  x + ; y  và b =  − x − ; z  2 2  2 2    y z 3 3  Suy ra a + b =  − ; y+ z. 2  2 2 2 2 2 y 3 2 z 3 2   a = x+  + y ; b = x+  + z 2 4 2 4   2 3   y−z  3 a+b =  y+ z  +  2   2   2 Ta có a + b ≥ a + b 2 2 2 2 y 3 z 3 3     y−z  3 ⇔  x +  + y2 +  x +  + z 2 ≥  y+ z  +  2 4 2 4 2     2   2 x 2 + xy + y 2 + x 2 + xz + z 2 ≥ 2 y 2 + yz + z 2 (ñpcm) VD 1.12 Với mọ i x , y , z thỏa x + y + z = 1 . Chứng minh rằng: x2 + 1 1 1 + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82 . 2 x y z Giải: Trong mặt phẳng ( Oxy ) ðặt: 16  1 1 a =  x;  ⇒ a = x 2 + 2 ; x  x  1 1 b =  y;  ⇒ b = y 2 + 2 y  y GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10  1 1 c =  z;  ⇒ c = x2 + 2 z  z  1 1 1 Suy ra a + b + c =  x + y + z; + +  và a + b + c = x y z  Ta có a + b + c ≥ a + b + c ⇔ x2 + Lại có Vậy VD 1.13 CMR: 1 1 1 + y2 + 2 + x2 + 2 ≥ 2 x y z ( x + y + z) 2 (x + y + z) 2 1 1 1 + + +  x y z 1 1 1 + + +  x y z 1 1 1 1 3 + + ≥ 32 ≥ =9 x y z xyz x + y + z 3 1 1 1 x 2 + 2 + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82 x y z (a + c) 2 + b2 + (a − c) 2 + b2 ≥ 2 a 2 + b 2 , với a, b, c ∈ ℝ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. VD 1.14 Chứng minh rằng với mọ i x , y , z ta có: x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 ≥ 3 ( x + y + z ) . ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. GV. Trần Quốc Nghĩa 17 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.21 Chứng minh bất ñẳng thức sau: ① a 2 + 4b 2 + 6a + 9 + a 2 + 4b 2 − 2a − 12b + 10 ≥ 5 ,với a, b, c ∈ ℝ ② a 2 + ab + b 2 + a 2 + ac + c 2 ≥ b 2 + cb + c 2 , với a, b, c ∈ ℝ ③ (a − b) 2 + c2 + (a + b) 2 + c 2 ≥ 2 a 2 + c 2 , với a, b, c ∈ ℝ ④ −1 ≤ x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 < 1 , với x ∈ ℝ ⑤ c ( a − c ) + c ( b − c ) ≤ ab , với a > c > 0, b > c Dạng6. Bấtđẳngthứcvềgiátrịtuyệtđối  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. − x ≤ x ≤ x , với mọi số thực x 2. x ≥ 0; x ≥ x; x ≥ − x , với mọi số thực x 3. x ≤ a ⇔ − a ≤ x ≤ a với a ≥ 0 4. x ≥ a ⇔ x ≤ −a hoặc x ≥ a với a ≥ 0 5. ðịnh lí: ∀a, b ta có: a − b ≤ a + b ≤ a + b B. BÀI TẬP MẪU 18 GV. Trần Quốc Nghĩa TI LIU H C T P TON 10 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh VD 1.15 ① Chứng minh rằng với mọ i số thực a , b ta có a ± b ≥ a − b . ② Biết rằng a > 2 b . Chứng minh rằng a < 2 a − b . Giải Ta có: a = ( a ± b ) ∓ b ≤ a ± b + b ⇒ a − b ≤ a ± b Ta biến ñổ i: a > 2 b = 2 a − ( a − b ) > 2 ( a − a − b ) ⇔ a < 2 a − b VD 1.16 Chứng minh rằng: a −b a b x y ≥ . ② Với hai số a , b tuỳ ý, ta có ≤ + . x +1 y +1 1+ a − b 1+ a 1+ b Giải x y ≥ ⇔ x ( y + 1) ≥ y ( x + 1) ⇔ a ≥ y (luôn ñúng). Với x ≥ y ≥ 0 , ta có: x +1 y +1 Vì a − b ≤ a + b , áp dụng kết quả câu a), ta có: ① Nếu x ≥ y ≥ 0 thì a −b a+b a b a b ≤ = + ≤ + 1+ a − b 1+ a + b 1+ a + b 1+ a + b 1+ a 1+ b VD 1.17 Với các số a, b tùy ý. Chứng minh rằng: a − b ≤ a + b .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.22 Với các số a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng: ① a+b+c ≤ a + b + c GV. Trần Quốc Nghĩa ② a −b + b −c ≥ a −c 19 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh ③ TI LIU H C T P TON 10 a−b a b ≤ ≤ 1+ a − b 1+ a 1+ b ④ 1.23 Chứng minh rằng: nếu x ≥ y ≥ 0 thì a+b a+b ≤ 1+ a + b 1+ a + b x y ≥ x +1 y +1 1.24 Chứng minh rằng: x + x ≥ 0 với mọ i x ∈ ℝ . Áp dụng: Chứng minh rằng x + x 2 − x + 1 xác ñịnh với mọ i ∀x ∈ ℝ . 1.25 Chứng minh rằng: ① Nếu a < 1 , b − 1 < 10 , a − c < 10 thì ab − c < 20 . ② Nếu a < 1 , b < 1 thì a + b < 1 + ab . Dạng7. Sửdụngphươngpháplàmtrội  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ðể chứng minh A < B , ta làm trội A thành C ( A ≤ C ), trong ñó C là dạng tính ñược tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn, sau ñó chứng minh C ≤ B (biểu thức C ñóng vai trò trung gian ñể so sánh A và B). • Phương pháp chung ñể tính tổng hữu hạn S n = a1 + a2 + a3 +…+ an là cố gắng biểu diễn mỗi nhân tử ak của S n dưới dạng hiệu 2 số hạng liên tiếp nhau ak = mk – mk +1 . Khi ñó: S n = ( m1 – m2 ) + ( m2 – m3 ) + ( mn – mn +1 ) = m1 – mn +1 • Phương pháp chung ñể tính tích hữu hạn Pn = a1.a2 .a3. … an là cố gắng biểu diễn mỗi nhân tử ak của Pn dưới dạng thương 2 số hạng liên tiếp nhau ak = Pn = mk . Khi ñó: mk +1 m m1 m2 m ⋅ ⋅⋯ ⋅ n = 1 m2 m3 mn +1 mn +1 B. BÀI TẬP MẪU VD 1.18 CMR: 1 1 1 1 + + +⋯ + < 1 với n ∈ ℕ * (1) 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) Giải Ta có: 1 1 1 = − 1.2 1 2 1 1 1 = − 2.3 2 3 ……………………… 1 1 1 = − n(n + 1) n n + 1 Do ñó VT (1)= 20 1 1 1 1 + +⋯ + = 1− < 1 với n ∈ ℕ * 1.2 2.3 n(n + 1) n +1 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 Vậy 1 1 1 1 + + +⋯ + < 1 với n ∈ ℕ * 1.2 2.3 3.4 n(n + 1)   1 3  1 8   VD 1.19 CMR:  1 +  1 +  ⋅⋯ ⋅  1 + 1  4  ≥ (1) với n ∈ ℕ * n + 2n  3 2 Giải 2 1 k 2 + 2k + 1 ( k + 1) k +1 k +1 Ta có: 1 + 2 = = = ⋅ k + 2k k ( k + 2) k ( k + 2) k k+2 1 4 2 2 ⇒ 1+ = = ⋅ 3 3 1 3 1 9 3 3 1+ = = ⋅ 8 8 2 4 ……………………… 1 n +1 n +1 1+ 2 = ⋅ n + 2n n n+2 1  2 n + 1 2n + 2 2 4  1 1  = = 2− ≥ Do ñó, VT (1):  1 +  1 +  ⋅⋯ ⋅  1 + 2 = ⋅ n+2 3  3  8  n + 2n  1 n + 2 n + 2 1  4  1 1  Vậy  1 +  1 +  ⋅⋯ ⋅  1 + 2  ≥ với n ∈ ℕ *  3  8  n + 2n  3 VD 1.20Cho k > 0 , chứng minh: Áp dụng: CM: 1 1   1 < 2 − ( k + 1) k  k k + 1  1 1 1 1 + + + ... + < 2 , với n ∈ ℕ * . 2 3 2 4 3 ( n + 1) n .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... GV. Trần Quốc Nghĩa 21 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.26 Chứng minh rằng với mọ i số nguyên dương n, ta có: 1 1 1 1 ① + + + ... + <1 ② 1.2 2.3 3.4 n ( n + 1) 1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + 2 < 2 2 1 2 3 n 1 1 1 1 1 + + + ... + ≥ n +1 n + 2 n + 3 2n 2 1 1 1 1 1 1 1 − . Áp dụng: CM: 3 + 3 + 3 + ... + 3 < 2 , với n ∈ ℕ * . 1.27 Cho k > 0 , chứng minh 3 < k k −1 k 1 2 3 n ③ Dạng8. ỨngdụngBĐTđểgiảiPT,HPT,BPT   f ( x ) = 0 2 2 • Loại 1: Tổng hai số không âm:  f ( x )  +  g ( x )  = 0 ⇔   g ( x ) = 0 • Loại 2: Phương pháp ñối lập:  Giải phương trình f ( x ) = g ( x ) (*)  f ( x ) ≥ M  f ( x ) = M thì (*) ⇔   Nếu chứng minh ñược   g ( x ) ≤ M  g ( x ) = M • Loại 3: Sử dụng tính chất:  Giải phương trình f ( x ) + g ( x ) = M + N (*)  f ( x ) ≤ M  f ( x ) = M  Nếu chứng minh ñược  thì (*) ⇔   g ( x ) ≤ N  g ( x ) = N B. BÀI TẬP MẪU VD 1.21 Giải phương trình x2 − 2 x + 5 + x − 1 = 2 . Giải Nhận xét rằng: VT = x 2 − 2 x + 5 + x − 1 = ( x − 1) 2 + 4 + x −1 ≥ 2 . Vậy, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: VT = 2 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1 . Vậy, phương trình có nghiệm x = 1 . x− y + x+ y = 2 (1)  xy = 1 (2) VD 1.22 Giải hệ phương trình:  . Giải Biến ñổ i (1) về dạng: 2 2 4 = ( x − y ) + ( x + y ) + 2 x2 − y 2 = 2 ( x 2 + y 2 ) + 2 x 2 − y 2 ³2 ( x 2 + y 2 ) ³4 xy = 4 2 x 2 − y 2 = 0  x = y = 1 ⇔ Vậy, hệ tương ñương với:  x = y .  x = y = −1  xy = 1  Vậy, hệ có 2 nghiệm (1;1) và ( −1; −1) . 22 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 x − 4 + 6 − x = x 2 − 10 x + 27 VD 1.23 Giải phương trình sau: .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... x2 + x − 1 + x2 − x + 1 = x 2 − x + 2 VD 1.24 Giải phương trình sau: .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.28 Giải các phương trình sau: ① x 2 − 2 x + 3 = 2 x 2 − x + −3 x 2 + 3x + 1 . ② ③ 2 x − 3 + 5 − 2 x = 3 x 2 − 12 x + 4 ④ 2 x − 1 + 19 − 2 x = ⑤ x2 − 2 x + 5 + x − 1 = 1 − x2 + 2 x . x − 2 + 4 − x = x 2 − 6 x + 11 6 − x + 10 x − 24 2 ⑥ 3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 − 2 x − x 2 ⑦ 3x 2 + 6 x + 7 + 2 x 2 + 4 x + 3 = 2 − 2 x − x 2 ⑧ 3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 24 x 2 − 2 x − x 2 GV. Trần Quốc Nghĩa 23 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 Bàitậptrắcnghiệmchủđề1:Bấtđẳngthức  TN1.1 TN1.2 TN1.3 Nếu a > b và c > d . thì bất ñẳng thức nào sau ñây luôn ñúng? A. ac > bd . B. a − c > b − d . C. a − d > b − c . D. −ac > −bd . Nếu m > 0 , n < 0 thì bất ñẳng thức nào sau ñây luôn ñúng? A. m > −n . B. n – m < 0 . C. – m > – n . D. m – n < 0 . Nếu a, b và c là các số bất kì và a > b thì bất ñẳng nào sau ñây ñúng? B. a 2 bc . TN1.4 TN1.5 TN1.6 Nếu a > b và c > d thì bất ñẳng thức nào sau ñây luôn ñúng? a b A. > . B. a − c > b − d . C. ac > bd . c d Bất ñẳng thức nào sau ñây ñúng với mọ i số thực a? A. 6a > 3a . B. 3a > 6a . C. 6 − 3a > 3 − 6a . D. c − a > c − b . D. a + c > b + d . D. 6 + a > 3 + a . Nếu a, b, c là các số bất kì và a b + c . B. a 2 bc . Nếu a > b > 0 , c > d > 0 thì bất ñẳng thức nào sau ñây không ñúng? A. ac > bc . B. a − c > b − d . C. a 2 > b 2 . D. ac < bc . D. ac > bd . TN1.8 Nếu a > b > 0 , c > d > 0. thì bất ñẳng thức nào sau ñây không ñúng? a b a d D. > . A. a + c > b + d . B. ac > bd . C. > . c d b c TN1.9 Sắp xếp ba số TN1.10 3 + 16 theo thứ tự từ bé ñến lớn thì thứ tự ñúng là A. 19 , 3 + 16 , 6 + 13 . B. 3 + 16 , 19 , 6 + 13 . C. 19 , 6 + 13 , 3 + 16 . D. 6 + 13 , 3 + 16 , 19 . Nếu a + 2c > b + 2c thì bất ñẳng thức nào sau ñây ñúng? A. −3a > −3b . TN1.11 6 + 13 , 19 và B. a 2 > b 2 . C. 2a > 2b . Nếu 2a > 2b và −3b < −3c thì bất ñẳng thức nào sau ñây ñúng? A. a < c . B. a > c . C. −3a > −3c . D. 1 1 < a b. D. a 2 > c 2 . TN1.12 Một tam giác có ñộ dài các cạnh là 1, 2, x trong ñó x là số nguyên. Khi ñó, x bằng A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . TN1.13 Với số thực a bất kì, biểu thức nào sau ñây có thể nhận giá trị âm? A. a 2 + 2a + 1 . B. a 2 + a + 1 . C. a 2 − 2a + 1 . TN1.14 Với số thực a bất kì, biểu thức nào sau ñây luôn luôn dương. A. a 2 + 2a + 1 . TN1.15 24 D. a 2 + 2a − 1 . B. a 2 + a + 1 . C. a 2 − 2a + 1 . D. a 2 + 2a − 1 . Trong các số 3 + 2 , 15 , 2 + 3 , 4 A. số nhỏ nhất là 15 , số lớn nhất là 2 + 3 B. số nhỏ nhất là 2 + 3 , số lớn nhất là 4 . C. số nhỏ nhất là 15 , số lớn nhất là 3 + 2 . D. số nhỏ nhất là 2 + 3 , số lớn nhất là 3 + 2 . GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 TN1.16 Cho hai số thực a, b sao cho a > b . Bất ñẳng thức nào sau ñây không ñúng? A. a 4 > b 4 . B. −2a + 1 < −2b + 1 . C. b − a < 0 . TN1.17 Nếu 0 < a < 1 thì bất ñẳng thức nào sau ñây ñúng ? 1 1 A. > a B. a > C. a > a . a a. . D. a − 2 > b − 2 . D. a3 > a 2 . TN1.18 Cho a, b, c, d là các số thực trong ñó a, c ≠ 0 . Nghiệm của phương trình ax + b = 0 nhỏ hơ n nghiệm của phương trình cx + d = 0 khi và chỉ khi b c b c b a b d A. < . B. > . C. > . D. > . a d a d d c a c TN1.19 Nếu a + b < a và b − a > b thì bất ñẳng thức nào sau ñây ñúng? B. b < a . A. ab > 0 . C. a 0 và b < 0 . TN1.20 Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Mệnh ñề nào sau ñây không ñúng ? A. a 2 < ab + ac . B. ab + bc > b 2 C. b 2 + c 2 < a 2 + 2bc . D. b 2 + c 2 > a 2 + 2bc . 2a . Bất ñẳng thức nào sau ñây ñúng với mọ i a ? a2 + 1 B. P > 1 . C. P < −1 . D. P ≤ 1 . TN1.21 Cho a là số thực bất kì, P = A. P > −1 . TN1.22 Cho Q = a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca với a, b, c là ba số thực. Khẳng ñịnh nào sau ñây là ñúng? A. Q ≥ 0 chỉ ñúng khi a, b, c là những số dương. B. Q ≥ 0 chỉ ñúng khi a, b, c là những số không âm. C. Q > 0. với a, b, c là những số bất kì. D. Q ≥ 0 với a, b, c là những số bất kì. TN1.23 Số nguyên a lớn nhất sao cho a 200 < 3300 là: A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. TN1.24 Cho hai số thực a, b tùy ý. Mệnh ñề nào sau ñây là ñúng? A. a + b = a + b B. a + b ≤ a + b C. a + b < a + b D. a + b > a + b TN1.25 Cho hai số thực a, b tùy ý. Mệnh ñề nào sau ñây là ñúng? a a > với b ≠ 0 . b −b A. − ab < a . b . B. C. Nếu a a − b . TN1.26 Cho hai số thực a, b tùy ý. Mệnh ñề nào sau ñây là ñúng? A. a − b ≤ a + b . B. a − b = a + b . C. a − b = a − b . TN1.27 Bất ñẳng thức nào sau ñây ñúng với mọ i số thực x ? 2 A. x > x . B. x > − x . C. x > x 2 . D. a − b > a − b . D. x ≥ x . TN1.28 Nếu a, b là những số thực và a ≤ b thì bất ñẳng thức nào sau ñây luôn ñúng? A. a 2 ≤ b 2 . GV. Trần Quốc Nghĩa B. 1 1 ≤ với ab ≠ 0 . C. −b ≤ a ≤ b . a b D. a ≤ b . 25 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TN1.29 Cho a > 0 . Nếu x < a thì bất ñẳng thức nào sau ñây luôn ñúng? A. x < a . TN1.30 B. − x ≤ x . B. 1 1 < . x a C. − x < − a . B. ab ≥ 2a b − 1 . 1 1 > . x a D. x < a . C. ab < 2b a − 1 . D. 2 b − 1 ≤ b . ðiền dấu ( >, <, ≥, ≤ ) thích hợp vào ô trống ñể ñược một bất ñẳng thức ñúng A. Nếu a, b dương thì ab a+b a+b 4 . B. Với a, b bất kỳ 2 ( a 2 − ab + b 2 ) C. Nếu a, b, c dương thì TN1.33 D. Cho a ≥ 1, b ≥ 1 . Bất ñẳng thức nào sau ñây không ñúng ? A. a ≥ 2 a − 1 . TN1.32 C. x < a . Nếu x < a thì bất ñẳng thức nào sau ñây luôn ñúng? A. x < −a . TN1.31 TI LIU H C T P TON 10 a 2 + b2 . a b c + + b+c c+a a+b 1. Cho a, b là các số thực. Xét tính ñúng–sai của các mệnh ñề sau: 2 2 2  a+b a +b A.  .  ≥ 2  2  B. a 2 + b 2 + 1 ≥ a + b + ab . C. a 2 + b 2 + 9 > 3 ( a + b ) + ab . TN1.34 Cho a, b, c, d là các số dương. Hãy ñiền dấu ( >, <, ≥, ≤ ) thích hợp vào ô trống a c a+b > thì b d a a c a+b B. Nếu > thì b d b A. Nếu ab + bc + ca . C. a + b + c D. 2 ab TN1.35 ( a+ b ) 2ab + a + b . Cho a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Hãy xác ñịnh tính ñúng-sai của các mệnh ñề sau: 1 A. ab + bc + ca ≥ 0 . B. ab + bc + ca ≥ − . 2 C. ab + bc + ca < 1 . 26 c+d . c c+d . d D. ab + bc + ca ≤ 1 . GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Tóm tắt tắt lí thuyết thuyết niệm hàm Khái ni ệm GTLN, GTNN của h àm ssố ố (biểu thức): Xét hàm số y = f ( x ) với tập xác ñịnh D:  f ( x ) ≤ M , ∀x ∈ D • M là GTLN của f ( x ) trên D ⇔  ∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = M Kí hiệu: max f ( x ) = M khi x = x0 .  f ( x ) ≥ m, ∀x ∈ D • m là GTNN của f ( x ) trên D ⇔  ∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = m Kí hiệu: min f ( x ) = m khi x = x0 . • Chú ý: - Biểu thức có thể không có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất. - Biểu thức có thể có cả hai giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Phương pháp giải giải toán Dạng1. Dùngtamthứcbậchai  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 2 • P = m +  f ( x )  ≥ m ⇒ min P = m ⇔ f ( x ) = 0 2 • P = M −  f ( x )  ≤ M ⇒ max P = M ⇔ f ( x ) = 0 B. BÀI TẬP MẪU 2 2 VD 1.1 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: P = a + 2b − 2ab + 2a − 4b − 12 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... GV. Trần Quốc Nghĩa 27 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 2 2 VD 1.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: I = a + b + ab − 3a − 3b + 2014 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... 2 2 VD 1.3 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: H = xy ( x – 2 )( y + 6 ) + 12 x – 24 x + 3 y + 18 y + 36 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... 2 2 2 VD 1.4 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: G = x + 2 y + 9 z – 2 x + 12 y + 6 z + 24 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.1 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: ③ C = x y + x – 6 xy + 4 x – 3 ④ D = x + 15 y + xy + 8 x + y + 2017 ⑤ E = x + 2x + y – 4 y + 5 ⑥ F = x y + 2 x + 24 xy + 16 x + 191 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Cho a, b, c ñôi một khác nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: ① 28 2 ② B = ( x –1) + ( y – 5 ) + ( x – y + 4 ) 2 1.2 2 ① A = x + y + z + 4x – 2 y – 4z + 9 2 f ( x) = ( x − a ) + ( x − b ) 2 ② 2 2 f ( x) = ( x − a ) + ( x − b) + ( x − c) 2 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 Dạng2. DùngBĐTCauchy  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Hệ quả: • Nếu x, y > 0 có S = x + y không ñổi thì P = xy lớn nhất khi x = y . • Nếu x, y > 0 có P = xy không ñổi thì S = x + y nhỏ nhất khi x = y . B. BÀI TẬP MẪU  1 2 ; .  2 3  VD 1.5 Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: y = ( 2 x + 1)( 2 − 3x ) , với x ∈  − Giải 1 1 1 2 1  2  1  Ta có: y = ( 2 x + 1)( 2 − 3 x ) =  x +  .  − x  =  x +  − x  2 2 3 3 2  3  6  1 2 1 2 Với − ≤ x ≤ thì x + ≥ 0 và − x ≥ 0 , do ñó sử dụng bất ñẳng thức Côsi ta ñược: 2 3 2 3 2  1 2  x +  +  − x 2   1  1 5 25 2  3    y≤ = .  = 6 2 6  12  864    25 1 2 1 Từ ñó suy ra ymax = , ñạt ñược khi: x + = − x ⇔ x = 864 2 3 12  1 2 ; .  2 3  VD 1.6 Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: y = ( 2 x + 1)( 2 − 3x ) , với x ∈  − Giải 1 1 1 2 1  2  1  Ta có: y = ( 2 x + 1)( 2 − 3 x ) =  x +  .  − x  =  x +  − x  2 2 3 3 2  3  6  1 2 1 2 Với − ≤ x ≤ thì x + ≥ 0 và − x ≥ 0 , do ñó sử dụng bất ñẳng thức Côsi ta ñược: 2 3 2 3 2  1 2  x +  +  − x 2   1 2  3   = 1 .  5  = 25 y ≤    6 2 6  12  864    25 1 2 1 , ñạt ñược khi: x + = − x ⇔ x = Từ ñó suy ra ymax = 864 2 3 12 VD 1.7 Tìm giác trị nhỏ nhất của hàm số: y = x + 2 với x > 1 . x −1 2 là hai số dương. x −1 2 2 2 Do ñó: y = x + = 1+ x −1+ ≥ 1 + 2 ( x − 1) ⋅ = 1+ 2 2 x −1 x −1 x −1 2 Từ ñó, suy ra ymin = 1 + 2 2 , ñạt ñược khi: x − 1 = ⇒ x = 1 + 2 2 (do x > 1 ) x −1 Giải : Vì x > 1 nên x − 1 và GV. Trần Quốc Nghĩa 29 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 VD 1.8 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A = x −1 + 4 − x Giải 2 Với 1 ≤ x ≤ 4 , ta có: A = Ta có: 3 ≤ 3 + 2 ( x −1 + 4 − x ) 2 = 3+ 2 ( x − 1)( 4 − x ) ( x − 1)( 4 − x ) ≤ 3 + x − 1 + 4 − x = 6 ⇔ 3 ≤ A≤ 6 Từ ñó, suy ra: 5 . 2 = 3 , ñạt ñược khi: ( x − 1)( 4 − x ) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 4 . • Amax = 6 , ñạt ñược khi: x − 1 = 4 − x ⇔ x = • Amin VD 1.9 Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: ① G = ( x – 3)( 7 – x ) , với 3 ≤ x ≤ 7 ② H = ( 2 x – 1)( 3 – x ) , với 0,5 ≤ x ≤ 3 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. VD 1.10 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: ( x + 201) ①K= 2 , với x > 0 x 2 ③ P = x 2 + 3 , với x > 0 x ② L= ( 4 + x )( 2 + x ) , với x>0 x x 2 ④ Q= + , với x > 2 2 x−2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 30 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 VD 1.11 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: ① y = x −1 + 5 − x ② y = 1 − 2x + x + 8 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.3 Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: ① A = 3x 2 ( 8 – x 2 ) với −2 2 ≤ x ≤ 2 2 ② B = x(2 – x) ③ C = ( 2 x – 1)( 3 – x ) ④ D = x 3 – 3x ⑤ E = 4 x (8 – 5x ) 1.4 1.5 1.6 ( với 0,5 ≤ x ≤ 3 với 0 ≤ x ≤ 2 ) ⑥ F = 4 ( x –1)( 8 – 5 x ) với 0 ≤ x ≤ 8 / 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: 4 ① A = x + , với x > 0 x 3x 2 ③C= + , với x > 1 2 x −1 3 ⑤ E = 2 x + , với x > 0 x ( x + 2)(8 + x ) ⑦G= , với x > 0 x 9 x 2 − 21x + 25 ⑨I= , với x > 0 3x với 0 ≤ x ≤ 3 với 1 ≤ x ≤ 8 / 5 x+2 36 + , với x > −2 4 x+2 2 1 D = x+ , với x > 3x − 1 3 1 F = x+ , với x > 1 x −1 4×2 + 9 H= , với x > 0 2x x2 + 2 x + 4 J= , với x > 0 x ② B= ④ ⑥ ⑧ ⑩ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: ① y = x −1 + 3 − x ② y = x −1 + 4 − x ③ y = 2 x −4 + 8− x ④ y = 3− x + x +5 ⑤ y = 4 x+3 +5 4− x ⑥ y = 5 x +1 + 3 6 − x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = GV. Trần Quốc Nghĩa a b c + + , với a, b, c > 0 b+c c+a a +b 31 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 Dạng3. DùngBĐTC.B. C.B.S C.B.  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Nếu a1 x1 + a2 x2 + … + an xn = c là hằng số thì: min ( x12 + x22 + … + xn2 ) = x c2 x x ⇔ 1 = 2 = … = n 2 2 2 a1 + a2 + … + an a1 a2 an  Nếu x12 + x12 + … + xn2 = c 2 là hằng số thì: x x1 x2 = = … = n ≥ 0 a1 a2 an x x x max ( a1 x1 + a2 x2 + … + an xn ) = − c a12 + a22 + … + an2 ⇔ 1 = 2 = … = n ≤ 0 a1 a2 an max ( a1 x1 + a2 x2 + … + an xn ) = c a12 + a22 + … + an2 ⇔ B. BÀI TẬP MẪU 2 2 VD 1.12 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhát của biểu thức: S = 3x + 4 y , biết x + y = 1 . 2 Ta có: S = ( 3x + 4 y ) 2 Giải ≤ ( 3 + 4 )( x + y ) = 25 ⇔ 3 x + 4 y ≤ 5 ⇔ −5 ≤ 3x + 4 y ≤ 5 . 2 2 2 2 Dấu “=” xảy ra khi: x 3  = ⇔ y 4 x2 + y2 = 1  3 4  x= , y= 4 x = 3 y  4 x = 3 y 4 x = 3 y  5 5 ⇔ . ⇔ 2  2 3 ⇔ 2 2 x = − 3 , y = − 4 9 x + 9 y = 9 9 x + 16 x = 9  x = ± 5  5 5 Từ ñó, suy ra: 3 4 • S max = 5 , ñạt ñược khi x = , y = . 5 5 3 4 • S min = 5 , ñạt ñược khi x = − , y = − . 5 5 2 2 VD 1.13 Từ ñó áp dụng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 7 a + 11b , biết a, b thỏa mãn 3a − 5b = 8 . Giải : Từ giả thiết, ta có 8 = 3a − 5b = 3 5 7a− 11 b . 7 11 5   3 Áp dụng bất ñẳng thức Bunhiacopski cho hai cặp số  ;−  và 11   7 ( ) 7 a; 11 b , ta có 2 5 2464  3   9 25  . 8 = 7a− 11 b  ≤  +  ( 7 a 2 + 11b 2 ) ⇔ 7 a 2 + 11b 2 ≥ 137 11  7   7 11  5 3 35a + 33b = 0 52 140  =− Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi  7a ⇔a= và b = − . 11b ⇔  107 107 3a − 5b = 8 3a − 5b = 8 2 52  a=  2464  107 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là . , khi  137 b = − 140  107 32 GV. Trần Quốc Nghĩa TI LIU H C T P TON 10 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh VD 1.14 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: ① P = 2 x + y , biết x 2 + y 2 = 5 ② P = 4 x + 2 y , biết 2 x 2 + 3 y 2 = 6 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.7 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: ① P = 3x + 4 y , biết x 2 + y 2 = 1 1.8 ② P = 4 3x + 2 + 9 − x ③ P = 2 x + 7 y , biết 3 x 2 + 8 y 2 = 1 ④ P = 2 x + y , biết 2 x 2 + 5 y 2 = 8 Hai số dương x, y thỏa mãn 3 x + 2 y = 6 xy . Tìm GTNN của tổng x + y . GV. Trần Quốc Nghĩa 33 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 Dạng4. DùngBĐTchứadấugiátrịtuyệtđối  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Sử dụng các bất ñẳng thức sau: ① P = m + f ( x ) ≥ m ⇒ min P = m ⇔ f ( x ) = 0 2 ② P = M − f ( x ) ≤ M ⇒ max P = M ⇔ f ( x ) = 0 2 a ≥ 0 a ≤ 0 ③ a + b ≥ a − b . Dấu “=” xảy ra  hoặc  b ≤ 0 b ≥ 0 a ≥ 0 ④ a + b ≤ a + b . Dấu “=” xảy ra  hoặc b ≥ 0 a ≤ 0  b ≤ 0 a ≥ 0  ⑤ a + b + c ≤ a + b + c . Dấu “=” xảy ra b ≥ 0 hoặc c ≥ 0  a ≤ 0  b ≤ 0 c ≤ 0  B. BÀI TẬP MẪU VD 1.15 Tìm giá trị nhỏ nhất cảu các biểu thức sau ① A= x+2 + x+5 . ② B = x − 3 + x −1 + x + 1 + x + 3 . Giải ① Ta có A = x + 2 + − x − 5 ≥ ( x + 2 ) + ( − x − 5 ) = 3 . Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi ( x + 2 )( − x − 5) ≥ 0 ⇔ −5 ≤ x ≤ −2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3 , khi −5 ≤ x ≤ −2 . ② Ta có B = x − 3 + x − 1 + x + 1 + x + 3 = 3 − x + x + 3 + 1 − x + x + 1 ≥ ( 3 − x ) + ( x + 3) + (1 − x ) + ( x + 1) = 6 + 2 = 8 Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi x = 0 . Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 8 , khi x = 0 . VD 1.16 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: ① P = 5 + x − 2019 ② P = x − 2019 + x − 2020 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 34 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 VD 1.17 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ( ) ( ) x + 2 1 + x +1 + x + 2 1− x +1 . ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.9 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: ① P = x + 1 + 2 x + 5 + 3x − 18 ② Q = x + 2 + x + 1 + 2x − 5 ③ Q = x − 1 + y − 2 + z − 3 với x + y + z = 2014 GV. Trần Quốc Nghĩa 35 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 Dạng5. Dùngtọađộvectơ  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. a = ( x; y ) ⇒ a = x 2 + y 2 2. AB = 2 ( xB − x A ) + ( y B − y A ) 2 3. AB + BC ≥ AC , dấu “=” xảy ra khi B nằm giữa A và C. 4. u − v ≤ u + v ≤ u + v , dấu “=” xảy ra khi u , v cùng hướng 5. u + v + w ≤ u + v + w , dấu “=” xảy ra khi u , v , w cùng hướng 6. u .v ≤ u . v B. BÀI TẬP MẪU VD 1.18 [HKI-THPT DĨ AN – BD năm 1819] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 − 10 x + 793 + x 2 + 14 x + 292 . Giải Ta có 2 2 x − 10 x + 793 = ( x − 5 ) + 768 > 0 ∀x ∈ ℝ 2 x 2 + 14 x + 292 = ( x + 7 ) + 243 > 0 ∀x ∈ ℝ Suy ra P xác ñịnh với mọ i ∀x ∈ ℝ . P = x 2 − 10 x + 793 + x 2 + 14 x + 292 = Chọn u = 5 − x;16 3 ⇒ u = ( ) (5 − x ) 2 (5 − x ) 2 ( x + 7) 2 + 243 + 768 và v = x + 7;9 3 ⇒ v = ( Suy ra u + v = 12; 25 3 ⇒ u + v = 122 + 25 3 ( + 768 + ) ( ) 2 ) ( x + 7) 2 + 243 = 2019 Khi ñó: P = u + v ≥ u + v = 2019 Dấu “=” xảy ra khi u và v cùng hướng 5 − x 16 3 67 = ⇒ 9 ( 5 − x ) = 16 ( x + 7 ) ⇔ x = − . x+7 9 3 25 67 Vậy Pmin = 2019 khi x = − . 25 ⇔ VD 1.19 Tìm GTNN: P = x2 − x + 1 + x2 + x +1 . ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 36 GV. Trần Quốc Nghĩa TI LIU H C T P TON 10 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. VD 1.20 Tìm GTNN: P = x2 + 4x + 8 + x2 − 2x + 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.10 Tìm GTLN, GTNN: ① Tìm GTNN: P = x 2 − 2ax + 2a 2 + x 2 − 2bx + 2b 2 , a < 0, b > 0 ② Tìm GTNN: P = a 2 − 6a + 13 + a 2 + 2a + 2 ③ Tìm GTLN: P = x 2 + 10 x + 26 + x 2 + 4 x + 4 GV. Trần Quốc Nghĩa 37 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 BÀI TẬP TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 2: GTLN9 GTLN9GTNN  TN1.1 Cho f ( x ) = x − x 2 . Kết luận nào sau ñây là ñúng? A. f ( x ) có giá trị nhỏ nhất bằng 1 . 4 1 C. f ( x ) có giá trị nhỏ nhất bằng − . 4 TN1.2 Cho hàm số f ( x ) = 1 . 2 1 D. f ( x ) có giá trị lớn nhất bằng . 4 B. f ( x ) có giá trị lớn nhất bằng 1 . Mệnh ñề nào sau ñây là ñúng ? x2 +1 A. f ( x ) có giá trị nhỏ nhất là 0 , giá trị lớn nhất bằng 1 . B. f ( x ) không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1 . C. f ( x ) có giá trị nhỏ nhất là 1 , giá trị lớn nhất bằng 2 . D. f ( x ) không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. TN1.3 x + y = 1 Với giá trị nào của a thì hệ phương trình  có nghiệm ( x; y ) với x. y lớn nhất  x − y = 2a − 1 1 1 1 A. a = . B. a = C. a = − D. a = 1 . 4 2 2 TN1.4 Cho biết hai số a và b có tổng bằng 3 . Khi ñó, tích hai số a và b 9 9 B. có giá trị lớn nhất là . A. có giá trị nhỏ nhất là 4. 4 3 C. có giá trị lớn nhất là . D. không có giá trị lớn nhất. 2 TN1.5 Cho a − b = 2 . Khi ñó, tích hai số a và b A. có giá trị nhỏ nhất là −1 . C. có giá trị nhỏ nhất khi a = b . Cho x 2 + y 2 = 1 , gọi S = x + y . Khi ñó ta có TN1.6 A. S ≤ − 2 . TN1.7 B. S ≥ 2 . TN1.10 2 . x B. giá trị nhỏ nhất của m là 4 . D. giá trị lớn nhất của m là 4 . 2 2 2 x +1 x , , , , giá trị biểu thức nào là nhỏ nhất? x x + 1 x −1 2 2 2 2 x B. . C. . D. . x +1 x −1 2 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2 + 3 x với x ∈ ℝ là: 3 9 27 A. − . B. − . C. − 2 4 4 D. − 81 8 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2 + 3 x với x ∈ ℝ là: 9 A. − . 4 38 D. −1 ≤ S ≤ 1 . Với mỗi x > 2 , trong các biểu thức: A. TN1.9 C. − 2 ≤ S ≤ 2 . Cho x, y là hai số thực thay ñổ i sao cho x + y = 2 . Gọi m = x 2 + y 2 . Khi ñó ta có: A. giá trị nhỏ nhất của m là 2 . C. giá trị lớn nhất của m là 2 . TN1.8 B. có giá trị lớn nhất là −1 . D. không có giá trị nhỏ nhất. 3 B. − . 2 C. 0 . D. 3 . 2 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 TN1.11 Giá trị nhỏ nhất củabiểu thức x 2 − 6 x với x ∈ ℝ là: B. −6 . A. −9 . C. 0 . D. 3 . TN1.12 Cho biểu thức P = −a + a với a ≥ 0 . Mệnh ñề nào sau ñây là mệnh ñề ñúng? 1 1 A. GTLN của P là . B. GTLN của P là . 4 4 1 1 C. GTLN của P là . D. P ñạt GTLN tại a = . 2 4 2 TN1.13 Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = 2 bằng x − 5x + 9 11 4 11 8 A. . B. . C. D. 4 11 8. 11 . TN1.14 Cho biểu thức f ( x ) = 1 − x 2 . Kết luận nào sau ñây ñúng? A. Hàm số f ( x ) chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất. B. Hàm số f ( x ) chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất. C. Hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. D. Hàm số f ( x ) không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất. TN1.15 Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x + A. 4. B. 2 với x > 0 là x 1 . 2 C. TN1.16 Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = 2 x + A. 4 3 . B. 6. TN1.17 Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = A. 2 . B. 3 với x > 0 là x C. 2 3 . 1 2 2 . B. 5 . 2 2 . 2 TN1.19 Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = 2 x + A. 2 . B. 1 . 2 TN1.20 Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = 2 x + A. 1 . B. 2 . D. 2 2 . D. 2 6 . x 2 + với x >1 là 2 x −1 C. 2 2 . TN1.18 Cho x ≥ 2 . Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = A. 2. x−2 bằng x 2 C. . 2 D. 3. D. 1 . 2 1 với x > 0 là x 2. D. 2 2 . 1 với x > 0 là x2 C. 3 . D. 2 2 . C. TN1.21 ðiền số thích hợp vào chỗ chấm ñể ñược mệnh ñề ñúng A. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x − 1 + 3 − x với 1 ≤ x ≤ 3 là…. ………….. B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 x 2 − 5 x + 1 là …………… GV. Trần Quốc Nghĩa 39 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 BÀI TẬP TỔNG HỢP PHẦN 1  1.11 Chứng minh rằng: x 4 − x5 + x − x + 1 > 0, ∀x ≥ 0 . HD ñặt t = x . a +b b+c c+a + + ≥6. c a b 1.13 Cho a + b = 2 . Chứng minh rằng: a) a 2 + b 2 ≥ 2 b) a 4 + b 4 ≥ 2 c) a8 + b8 ≥ 2 1.12 Chứng minh rằng: 1.14 Cho a > 0, b > 0 . Chứng minh a b + ≥ a+ b b a 1.15 Chứng minh các bất ñẳng thức sau: ① 5 ( x − 1) < x5 − 1 < 5 x 4 ( x − 1) , nếu x –1 > 0 . ② x 5 + y 5 − x 4 y − xy 4 ≥ 0 , biết x + y ≥ 0 1 4a + 1 + 4b + 1 + 4c + 1 < 5 , biết a, b, c > − , a + b + c = 1 . 4 1 1 1.16 Chứng minh rằng nếu a > b và ab > 0 thì < . a b ③ 1.17 Chứng minh rằng a 2 + ab + b 2 ≥ 0 với mọ i số thực a, b . 1.18 Chứng minh rằng: a + b a 2 + b 2 a 3 + b3 ① ⋅ ≤ , nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 . 2 2 2 a + b a 2 + b 2 a3 + b3 a 6 + b 6 ⋅ ⋅ ≤ , nếu a, b, c ∈ ℝ . ② 2 2 3 6 x y ≥ 1.19 Chứng minh rằng, nếu x ≥ y ≥ 0 thì x +1 y +1 1.20 Chứng minh rằng: ① Nếu a, b là hai số cùng dấu thì ② Nếu a, b là hai số trái dấu thì a b + ≥2 b a 1.21 Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 thì: a b + ≤ −2 b a a4 b4 c 4 + + ≥ 3abc . b c a 2 1.22 Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 thì: ( a + b + c ) ≤ 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) . 4  a+b+c+d  1.23 CMR nếu a, b, c, d không âm thì:   ≥ abcd . 4   a+b a b 1.24 Chứng minh rằng nếu a, b không âm thì: ≤ + . 1+ a + b 1+ a 1+ b 1.25 Chứng minh các bất ñẳng thức sau: ① a + b + c ≥ ab + bc + ca , với a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 . ② a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ abc(a + b + c ) , với a, b, c ∈ ℝ . 1.26 Chứng minh các bất ñẳng thức sau: a2 + 6 ① ≥ 4 , với a ∈ ℝ . a2 + 2 40 ② a2 + 3 a2 + 2 > 2 , với a ∈ ℝ . GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 1.27 So sánh: a + 2 + a + 4 và a + a + 6 , với a ≥ 0 . 1.28 Cho a, b, c ≥ 0 . Chứng minh rằng: a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc ( a + b + c ) . 1.29 Cho a, b, c ∈ ( 0; 1) . Chứng minh rằng ít nhất một trong các bất ñẳng thức sau là sai: 1 1 1 a (1 − b ) > , b (1 − c ) > , c (1 − a ) > . 4 4 4 1.30 Giả sử a, b, c là ba số dương sao cho: ax + b (1 – x ) > cx (1 – x ) với mọ i giá trị của x . Chứng minh rằng khi ñó, với mọ i giá trị của x ta cũng có: ax + c (1 − x ) > bx (1 − x ) và bx + c (1 − x ) > ax (1 − x ) . 1.31 Cho các số thực x, y, z > 0 . Chứng minh: 16 xyz ( x + y + z ) ≤ 3 3 ( x + y ) 4 4 ( y + z) ( z + x) 4 1.32 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 . Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3 + + ≥ (1 + b )(1 + c ) (1 + a )(1 + c ) (1 + b )(1 + a ) 4 1  1  1  729  1.33 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 6 . Chứng minh rằng:  1 + 3  1 + 3  1 + 3  ≥  a  b  c  512 1.34 Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: p< p − a + p − b + p − c ≤ 3p 1.35 Cho a, b, c, p, q là 5 số dương tùy ý. Chứng minh rằng: a b c 3 + + ≥ pb + qc pc + qa pa + qb p + q a 2 b2 c 2 a b c + + ≥ + + b2 c2 a 2 b c a 1.37 Áp dụng BðT Cô-si ñể tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: x 18 x 18 3x 1 ① y= + (∀x > 0) ② y= + (∀x > 1) ③ y= + (∀x > −1) 2 x 2 x 2 x +1 x 5  1 x3 + 1 x 5 ④ y= + ∀ x > ⑤ y = + ( ∀ : 0 < x < 1) ⑥ y = (∀x > 0)   3 2 x −1  2 1− x x x2 1.38 Áp dụng BðT Cô-si ñể tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 1.36 Cho a, b, c là ba số khác 0 . Chứng minh rằng: ① y = ( x + 3)( 5 − x ) với (−3 ≤ x ≤ 5) ② y = x ( 6 − x ) với (0 ≤ x ≤ 6) 5 ③ y = ( x + 3)( 5 − 2 x ) (−3 ≤ x ≤ ) 2 ④ y = ( 2 x + 5 )( 5 − x ) (−5 / 2 ≤ x ≤ 5) ⑤ y = ( 6 x + 3)( 5 − 2 x ) (−1/ 2 ≤ x ≤ 5 / 2) ⑥ y = x 2 9 − x2 1.39 Giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau: ① x2 − 2 x + 5 + x − 1 = 2 ② 4x −1 + 2 2x −1 = 1 ③ x −1 + 2 x − 2 − x − 1− 2 x − 2 = 2 ④ 2 7 x 3 − 11x 2 + 25 x − 12 = x 2 + 6 x − 1 1 4 ⑤ 2 x 4 + (1 − 2 x ) = 27 ⑥ x + 1− x + 4 x + 4 1− x = 2 + 4 8 GV. Trần Quốc Nghĩa (−3 ≤ x ≤ 3) ðS: x = 1 ðS: ¼ ≤ x ≤ ½ ðS: x ≥ 3 ðS: x = 1 ∨ x = 7 ðS: x = 1 / 3 ðS: x = 1 / 2 41 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh ⑦ TI LIU H C T P TON 10 x − x2 −1 + x + x2 −1 ≤ 2 ðS: x = 1 ⑧ 3x + 1 ≤ 2 x − 1 + x + 2 ðS: x ∈ ℝ ⑨ 2 x + 3 ≥ 3x + 5 − x + 2 ðS: x ∈ ℝ  xy + 1 − x ≤ x ⑩ 2 xy − x + x = 1 2 2  x − y + y − x = 2 ⑪ 2 2  x + y − x − y = 2 ðS: (1; 1) 1+ 5 1+ 5  1− 5 1− 5  ðS:  ; ; ,  , ( 0; −1) , ( −1;0 ) 2   2 2   2 a b + . b a 1 1.41 Cho a ≥ 3 . Tìm GTNN của biểu thức: S = a + . a 1 1.42 Cho a ≥ 2 . Tìm GTNN của biểu thức: S = a + 2 . a 1.40 Cho a, b > 0 . Tìm GTNN của biểu thức: S = 1.43 Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1 . Tìm GTNN của biểu thức: S = ab + 1.44 Cho a, b > 0 . Tìm GTNN của biểu thức: S = 1 . ab a+b ab + . ab a + b 3 1 1 1 . Tìm GTNN của biểu thức: S = a + b + c + + + 2 a b c 1 1 1 3 1.46 Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ . Tìm GTNN của biểu thức: S = a 2 + 2 + b 2 + 2 + c 2 + 2 2 b c a 1.45 Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 1.47 Cho a, b, c0 và a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Tìm GTNN của: S = a + b + c + 1 abc 1 1  1 1  1 1   1.48 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =  3 + +  3 + +   3 + +  a b  b c  c a  1.49 Cho a, b, c khác 0 . Tìm GTNN của T = a2 a2 + (b + c ) 2 + b2 b2 + ( c + a ) 2 + c2 c2 + ( a + b ) 2 1.50 Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ab bc ca P= + + . c a b 1.51 Cho hai số thực a và b thỏa ñiều kiện a + b = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = a 8 + b8 . 1.52 Cho x, y là hai số thay ñổ i và thỏa mãn ñiều kiện 0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ 4 . Tìm giá trị lớn nhất của P = (3 − x )(4 − y )(2 x + 3 y ) . a+b b+c c+a 1.53 Cho 3 số dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = + + c a b 1.54 Với a, b, c là ñộ dài 3 cạnh của một tam giác. 4a 9b 16c Tìm giá trị nhỏ nhất của: T = + + . b+c−a c+a−b a+b−c 42 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHẦN 1  TN1.22 Cho a > b > 0 . Bất ñẳng thức nào sau ñây ñúng? 2 2 A. a3 + b3 > ( a + b )( a − b ) . B. ( a + b ) > 4ab . C. a ( a + 2b ) > b ( b + 2a ) . D. Cả 3 ñáp án trên. TN1.23 Cho 2 số a và b . Câu nào sau ñây sai? 2 A. 4 (1 − a ) ≥ 2 − 4a 2 . C. B. a b < . 1+ a 1+ b a −b a b < + . 1+ a − b 1+ a 1+ b 2 2 D. 4ab ( a − b ) ≤ ( a 2 − b 2 ) . TN1.24 Cho a, b, c với a ≤ b và a ≤ c . Câu nào sau ñây ñúng? A. a 2 ≤ bc . B. 2a 2 − b 2 ≤ c 2 . C. 2a − b ≤ c . D. Cả 3 ñáp án trên. TN1.25 Cho a, b, c, d với a > b > 0 và c > d > 0 . Bất ñẳng thức nào sau ñây sai? A. a + c > b + d . B. a − c > b − d . C. ac > bd . D. a 2 + c 2 > b 2 + d 2 . TN1.26 Cho 3 số a, b, c không âm. Bất ñẳng thức nào sau ñây sai? 2 ( ) 2 A. ( a + b − c ) ≤ 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) . B. C. ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 . D. ( a + b )( ab + 1) ≥ 4ab . a+ b ≥ 4 ab . TN1.27 Xét các mệnh ñề sau ñây: 3 2 I. a3 − b3 ≤ ( a − b ) ( a 2 + b 2 ) . II. a + b ≥ 2 ab . III. ( a + b + c ) ≥ 3 ( ab + bc + ca ) . 2 Mệnh ñề nào ñúng? A. I và II. B. II và III. C. I và III. D. I, II và III. TN1.28 Bất ñẳng thức nào sau ñây sai? a6 +1 1 a2 + 3 A. B. 6 ≥ . ≤2. a +5 4 a2 + 2 C. ab 1 ≤ . ab + 1 2 D. Cả 3 ñáp án trên. TN1.29 Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác. Xét các bất ñẳng thức sau ñây: I. a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca. II. a 2 + b 2 + c 2 > 2 ( ab + bc + ca ) . 2 2 2 III. a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a + b ) > a 3 + b3 + c 3 . Bất ñẳng thức nào ñúng? A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Chỉ III. TN1.30 Cho a, b, c là 3 số không âm. Xét bất ñẳng thức nào sau ñây ñúng? A. ( a+ b )( ) ab + 1 ≥ 4 ab . D. I và III. B. a3 + b3 ≤ ( a + b ) ab . C. a 2 + b 2 + c 2 ≤ ab + bc + ca . D. Cả A và C. TN1.31 Câu 10. Câu nào sau ñây ñúng với mọ i số x và y ? 2 2 1  1  A. 4  x −  ≤  x 2 −  . x  x  1 x C. x + ≥ 2 . y y GV. Trần Quốc Nghĩa B. x 4 − y 4 ≥ 2 ( x 2 − y 2 ) xy . D. Cả A và B. 43 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TN1.32 TN1.33 TI LIU H C T P TON 10 Cho a, b, c dương. Bất ñẳng thức nào ñúng? a +b b+c c+a A. + + ≥8. c a b a +b b+c c+a C. + + ≥ 9. c a b C. a 2 + b 2 ≥ 1 2 ( a + b) . 2 D. TN1.37 TN1.38 TN1.39  1 1 1 B. (a + b + c)  + +  ≤ 9. a b c A. |12 x + 5 y |≤ 13. B. |12 x + 5 y |≤ 17. C. |12 x + 5 y |≤ 169. D. |12 x + 5 y |≤ 289. Cho bốn số a, b, x, y thỏa mãn x 2 + y 2 = 2, a = 3x, b = 3 y . Tìm bất ñẳng thức ñúng. A. | ax + by |≤ 3. B. | ax + by |≤ 9. C. a ( x + y ) + b ( x − y ) ≤ 3 6. D. a ( x + y ) + b ( x − y ) ≤ 54 . 5  Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = −2 x 2 + 15 x − 25 trên  ;5 2  25 25 A. . B. . C. 0 . 4 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + D. 5 . 4 D. 4 ( x > 1) . B. 1 − 2 . C. 2 2 . D. 2 2 + 1 . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = − x8 − 32 x 4 trên [ 0; 2] . B. 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = a + C. 32 . 8. 16 với a > 0 . a B. 8. D. 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A = 7 − x + x + 2 với −2 ≤ x ≤ 7 . A. 18 và 9 . B. 18 và 3 . C. 9 và 3 2 . 44 2 x −1 A. 1 + 2 . A. 16. C. 4. TN1.41 D. Cả A và C. Cho x 2 + y 2 = 1 . Câu nào sau ñây sai ? A. 64 . TN1.40 1 1 4 + ≥ . a b a+b Cho a, b, c dương. Bất ñẳng thức nào ñúng? a 2 + 1 b2 + 1 c 2 + 1 + + ≥6. a b c 1  1  1  C.  + a  + b  + c  ≥ 8 . b  c  a  TN1.36 D. Cả A và C. B. ( a + b )( b + c )( c + a ) ≤ 8abc . A. TN1.35 a +b b+c c+a + + ≥6. c a b Cho a, b, c dương. Câu nào sau ñây sai ? A. a3 + b3 ≥ ab ( a + b ) . TN1.34 B. D. 3 2 và 3 . GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 ðÁP ÁN TRẮC NGHIỆM PHẦN 1 1 C 2 B 3 C 4 D 5 D 6 A 7 B 8 C 9 A 10 C 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B B D B D A A D A D 21 D 22 D 23 C 24 B 25 C 26 A 27 D 28 A 29 B 30 D 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C D D A D D 41 C 42 A 43 B 44 B 45 C 46 A 47 A 48 D 49 C 50 D 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 D B A D C B C C B 61 A 62 C 63 D 64 D 65 A 66 D 67 B 68 B 69 D 70 A 71 72 73 74 75 76 C B D A B D TN1.32 A. ≥ ; B. ≥ ; C. ≥ . TN1.33 A. sai; B. ñúng; C. ñúng. TN1.34 A. < ; B. > ; C. ≥ ; D. ≤ . TN1.35 A. sai; B. ñúng; C. sai; D. ñúng. TN1.56 2 2 khi x = 2 ; − GV. Trần Quốc Nghĩa 17 5 khi x = 8 4 45 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ BPT BẬC NHẤT MỘT ẨN Tóm tắt tắt lí thuyết 1. Điềukiệnxácđịnhcủabấtphươngtrình: ðiều kiện của bất phương tình là ñiều kiện mà ẩn số phải thõa mãn ñể các biểu thức ở hai vế của bất phương tình có nghĩa. Cụ thể, ta có các trường hợp sau: 1 ① Dạng → ðiều kiện: Q ( x ) ≠ 0 Q ( x) ② Dạng Dạng ③ Dạng 2n P ( x ) (n ∈ ℕ*) → ðiều kiện: P ( x ) ≥ 0 P ( x ) (n ∈ ℕ*) → ðiều kiện: P ( x ) có nghĩa 1 → ðiều kiện: Q ( x ) > 0 2 n +1 Q ( x) 2. Haibấtphươngtrìnhtươngđương: Hai bất phương trình ñược gọi là tương ñương với nhau nếu chúng có cùng một tập nghiệm. Chú ý: Hai bất phương trình cùng vô nghiệm thì tương ñương. 3. Giảivàbiệnluậnbấtphươngtrìnhbậcnhấtdạng:ax+b<0 ðiều kiện Kết quả tập nghiệm b  S =  −∞; −  a  a>0  b  S =  − ; +∞   a  S =∅ S =ℝ a<0 a=0 b≥0 b<0 Các dạng: ax + b > 0 , ax + b ≥ 0 , ax + b ≤ 0 làm tương tự. Phương pháp giải giải toán Dạng1. Tìmđiềukiệnxácđịnhcủabấtphươngtrình  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Xem phần tóm tắt lí thuyết B. BÀI TẬP MẪU 46 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 VD2.1 Tìm ñiều kiện xác ñịnh của mỗi bất phương trình sau: 1 1 1 2x ① < 1− ② 2 ≤ 2 x x +1 x − 4 x − 4x + 3 1 ④ 2 1 − x > 3x + ⑤ 3 − x + x +1 ≤ x2 x+4 ③ 2 x −1 + 3 x −1 < ⑥ x+ 2x x +1 1 1 < 1+ x x .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... VD2.2 Chứng minh các bất phương trình sau ñây vô nghiệm: ① x 2 + x + 8 ≤ −3 ② 1 + x2 − 7 + x2 > 1 ③ 1 + 2 ( x − 3) + 5 − 4 x + x 2 < 2 3 2 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... GV. Trần Quốc Nghĩa 47 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 C. BÀI TẬP CƠ BẢN 2.1 Cho bất phương trình: x +1 ( x − 2) 2 < x +1 ① Tìm ñiều kiện của bất phương trình ñã cho. ② Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn ñiều kiện ñó. 2.2 Tìm tập hợp tất cả cả giá trị của x thỏa mãn ñiều kiện bất phương trình: ñó suy ra rằng bất phương trình ñã cho vô nghiệm. 2.3 Tìm ñiều kiện của mỗ i bất phương trình sau: 1 ① 2x − 3 − < x2 − x x−5 1 ③ x2 − x − 2 < 2 2.4 3 − x + x − 5 ≥ −10 . Từ ② x3 ≤ 1 ④ 3 x4 + x − 1 + x2 − 1 ≥ 0 Chứng minh các bất phương trình sau ñây vô nghiệm: 1 1 <1 ② x2 − x + 1 + <2 ① x2 + 2 x +1 x2 − x + 1 ③ x2 + 1 + x 4 − x2 + 1 < 2 4 x6 + 1 D. BÀI TẬP NÂNG CAO 2.5 Tìm ñiều kiện của mỗ i bất phương trình sau: ① x−2 ≥ 2− x ③ x < x −3 ⑤ 2.6 1 ( x + 1) 2 + ② 3 x −3 ④ 3x + 1 >2 x−3 ⑥ 1 1 ≥ 2+ x−2 x−2 x +1 1 1 + > x − 1 ( x − 2 )( x − 3) x − 4 Chứng minh các bất phương trình sau ñây vô nghiệm: ① ② ( x − 1) + x 2 ≤ −3 2 x − 2 +1 < 0 ③ x 2 + ( x − 3) + 2 > ( x − 3) + x 2 + 5 2 2.7 2 x − 3 < 1 + 2x − 3 ④ 1 + 2 ( x + 1) + 10 − 6 x + x 2 < 2 2 2 Chứng minh các bất phương trình sau ñây luôn ñúng với mọ i x ∈ ℝ ① x + x +1 > 0 4 2 ( x − 2) ② 2 2 x +1 ≥0 ③ x 2 + ( x − 1) 2 + 1 > x2 x +1 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 48 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 Dạng2. Bấtphươngtrìnhtươngđương  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Bấtphươngtrìnhtươngđương:  Hai BPT tương ñương nhau khi chúng có chung tập nghiệm.  Hai BPT cùng vô nghiệm thì tương ñương nhau. 2. Cácphépbiếnđổitươngđương: Cho BPT f ( x ) < g ( x ) , có TXð D và h ( x ) cũng xñ trên D .  f ( x) < g ( x) ⇔ f ( x) + h ( x) < g ( x) + h ( x)  f ( x ) < g ( x ) ⇔ f ( x ) .h ( x ) < g ( x ) .h ( x ) nếu h ( x ) > 0 , ∀x ∈ D  f ( x ) < g ( x ) ⇔ f ( x ) .h ( x ) > g ( x ) .h ( x ) nếu h ( x ) < 0 , ∀x ∈ D B. BÀI TẬP MẪU VD2.3 Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương ñương ? ① −4 x + 1 > 0 và 4 x − 1 < 0 ③ x + 1 > 0 và x + 1 + ② 2 x 2 + 5 ≤ 2 x − 1 và 2 x 2 − 2 x + 6 ≤ 0 1 1 > 2 x +1 x +1 2 ④ x − 1 ≥ x và ( 2 x + 1) x − 1 ≥ x ( 2 x + 1) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. VD2.4 Trong hai bất phương trình sau ñây, bất phương trình nào tương ñương với bất phương trình 2 x –1 ≥ 0 ? ① 2x −1+ 1 1 ≥ ② x −3 x −3 2x −1 − 1 1 ≥− x+3 x+3 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. GV. Trần Quốc Nghĩa 49 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.8 Các cặp bất phương trình sau ñây tương ñương không ? Vì sao ? 1 1 1 1 > ② 2 x − 1 > 0 và 2 x − 1 + > ① 2 x − 1 > 0 và 2 x − 1 + x−2 x−2 x+2 x+2 2 2 ③ x − 3 < 0 và x ( x − 3) < 0 ④ x − 3 > 0 và x ( x − 3) > 0 ⑤ x − 2 > 0 và ( x − 2 ) > 0 ⑥ x − 5 > 0 và ( x − 2 ) ( x 2 − 2 x + 2 ) > 0 2 2.9 Trong bốn cặp bất phương trình sau ñây, hãy chọn ra các cặp bất phương trình tương ñương (nếu có): ① x − 2 > 0 và x 2 ( x − 2 ) < 0 ② x − 2 < 0 và x 2 ( x − 2 ) > 0 ③ x − 2 ≤ 0 và x 2 ( x − 2 ) ≤ 0 ④ x − 2 ≤ 0 và x 2 ( x − 2 ) ≥ 0 Dạng3. Giảibấtphươngtrìnhbậcnhấtmộtẩn  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI – Bước 1. ðặt ñiều kiện cho bất phương trình có nghĩa (nếu có) – Bước 2. Chuyển vế và giải. – Bước 3. Giao nghiệm với ñiều kiện ñược tập nghiệm S. B. BÀI TẬP MẪU VD2.5 Giải các bất phương trình sau: ① ( x + 2 )( 2 x − 1) − 2 ≤ x 2 + ( x − 1)( x + 3) ② ( 2 x − 1)( x + 3) − 3x + 1 ≤ ( x − 1)( x + 3) + x 2 − 5 ③ x+2 − x +1 > x + 3 3 ⑤ 1− 2 x < 3 − 2 2 ( ) ④ 3x + 1 x − 2 1 − 2 x − < 2 3 4 ⑥ x+ 3 ( 2 ) ≥ ( x − 3) 2 +2 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... 50 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.10 Giải các bất phương trình sau: 3x + 5 x+2 ① −1 ≤ +x 2 3 ③ x+ 2 ( ⑤ 2 ) ≤ (x − 2) 2 ( )( x+3 +3 3 ④ x ( 7 − x ) + 6 ( x − 1) < x ( 2 − x ) +2 x + 2 x − 2 x −1 x + + ≥ 3+ 2 3 4 2 ⑦ x+ x > 2 x +3 ② 2( x − 1) + x > ) x −1 ⑥ ( x + 1)( 2 x − 1) + x ≤ 3 + 2 x 2 ⑧ ( x + 1)( x + 2 )( x + 3) − x > x3 + 6 x 2 − 5 2.11 Giải các bất phương trình sau: ① 2 ( x − 4 ) ( x + 1) > 0 ② 2 ( x + 2 ) ( x − 3) > 0 ③ ( x + 2) x + 3 x + 4 ≤ 0 ④ ( x + 2) ⑤ ⑥ 2 ( x − 1) ( x − 2 ) ≥ 0 ( x + 3)( x + 4) < 0 2 x − 8 − 4 x − 21 > 0 Dạng4. Giảihệbấtphươngtrìnhbậcnhấtmộtẩn  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI – Bước 1. ðặt ñiều kiện cho hệ bất phương trình có nghĩa (nếu có) – Bước 2. Giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập nghiệm thu ñược. – Bước 3. Giao nghiệm với ñiều kiện ñược tập nghiệm S. B. BÀI TẬP MẪU 5  6 + < 4x + 7 x  7 VD2.6 Giải các hệ bất phương trình sau: ①  8x + 3 < 2x + 5  2 GV. Trần Quốc Nghĩa ② 1  15 x − 2 > 2 x +  3  2( x − 4) < 3 x − 14  2 51 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.12 Giải các hệ bất phương trình sau: 5 x − 2 > 4 x + 5 ① 5 x − 4 < x + 2  2 x + 1 > 3x + 4 ② 5 x + 3 ≥ 8 x − 9  5x + 2  3 ≥ 4 − x ③  6 − 5x < 3x + 1  13 (1 − x )2 > 5 + 3 x + x 2 ④ 3 3 2 ( x + 2 ) < x + 6 x − 7 x − 5 4x − 5  7 < x + 3 ⑤  3x + 8 > 2 x − 5  4 x −1 ≤ 2x − 3 3 x < x + 5 ⑥  5 − 3x ≤ x − 3  2 5  6 x + 7 > 4 x + 7 ⑦  8 x + 3 < 2 x + 25  2 1  15 x − 2 > 2 x + 3 ⑧ 2 ( x − 4 ) < 3 x − 14  2 3 2x − 7  −2 x + 5 > 3 ⑨  x − 1 < 5 ( 3x − 1)  2 2  3x + 1 3 − x x + 1 2 x − 1  2 − 3 ≤ 4 − 3 ⑩ 3 − 2 x + 1 > x + 4  5 3 3  3 x + 5 < x + 2 ⑪  6x − 3 < 2x + 1  2  4x + 5  6 < x − 3 ⑫ 2 x + 3 > 7 x − 4  3 2.13 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của mỗ i hệ bất phương trình sau: 1  45 x − 2 > 6 x + 42 x + 5 > 28 x + 49   3 ① 8x + 3 ②  2 < 2 x + 25 2 ( 3 x − 4 ) < 9 x − 14  2 52 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 Dạng5. Bấtphươngtrình,hệbấtphươngtrìnhbậcnhấtmộtẩnchứathamsố  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Giảivàbiệnluậnbấtphươngtrìnhbậcnhấtdạng:ax+b<0 ðiều kiện Kết quả tập nghiệm b  S =  −∞; −  a>0 a  a<0 a=0 b≥0 b<0  b  S =  − ; +∞   a  S =∅ S =ℝ 2. Giảivàbiệnluậnbấtphươngtrìnhdạng: ( a1 x + b1 )( a2 x + b2 ) > 0 hoặc • ðặt x1 = − a1 x + b1 > 0 a2 x + b2 b1 b , x2 = − 2 . Tính x1 – x2 . a1 a2 • Lập bảng xét dấu chung a1 .a2 ; x1 – x2 . • Từ bảng xét dấu, ta chia bài toán thành nhiều trường hợp. Trong mỗi trường hợp ta xét a x + b1 dấu của ( a1 x + b1 )( a2 x + b2 ) hoặc 1 nhờ qui tắc ñan dấu. a2 x + b2 a x + b1 > 0 (1) 3. GiảivàbiệnluậnhệBPTbậcnhấtdạng:  1 a2 x + b2 > 0 (2) • Giải (1); (2) tìm tập nghiệm S1 , S2 tương ứng  Tập nghiệm của hệ là S = S1 ∩ S2 . • Hệ có nghiệm khi S = S1 ∩ S 2 ≠ ∅ . • Hệ vô nghiệm khi S = S1 ∩ S2 = ∅ .  f ( x; m ) ≥ a • Hệ có nghiệm duy nhất khi hệ có dạng  ⇔ a =b  g ( x; m ) ≤ b B. BÀI TẬP MẪU VD2.7 Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số m : ① mx + 1 > x + m 2 ② 2mx ≥ x + 4m − 3 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. GV. Trần Quốc Nghĩa 53 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. x + m ≤ 0 có nghiệm ? − x + 3 < 0 VD2.8 Tìm m ñể hệ bất phương trình  .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... x − 7 ≤ 0 vô nghiệm ? mx ≥ m + 12 VD2.9 Tìm m ñể hệ bất phương trình  .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... 54 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 VD2.10 Tìm m ñể bất phương trình mx − 3m + 2 > 0 có tập nghiệm là khoảng (0; +∞) . ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.14 Giải và biệt luận các bất phương trình sau: ① m( x − m) ≤ 4x + 5 ② mx + 6 > 2 x + 3m ③ ( x + 1) k + x < 3 x + 4 ④ ( a + 1) x + a + 3 ≥ 4 x + 1 ⑤ m( x − m) > 2 (4 − x) ⑥ 3 x + m 2 ≥ m ( x + 3) ⑦ k ( x − 1) + 4 x ≥ 5 ⑧ b ( x − 1) ≤ 2 − x 2.15 Tìm m ñể mỗ i bất phương trình sau vô nghiệm: ① m 2 x + 4m − 3 < x + m 2 ② m2 x + 1 ≥ m + ( 3m − 2 ) x ③ 3 − mx < 2 ( x − m ) − ( m + 1) ④ mx − m 2 > mx − 4 2.16 Tìm m ñể mỗ i bất phương trình sau có nghiệm: 2 ① m ( x − m) ≤ x −1 ② mx + 6 > 2 x + 3m ④ mx + 1 > m 2 + x ③ ( m + 1) x + m < 3m + 4 2.17 Tìm m ñể mỗ i hệ bất phương trình sau có nghiệm:  x + 4m 2 ≤ 2mx + 1 3 x − 2 > −4 x + 5 x − 2 ≤ 0 ① ② ③ 3 x + m + 2 < 0 m + x > 1 3 x + 2 > 2 x − 1 2.18 Tìm m ñể mỗ i hệ bất phương trình sau vô nghiệm: ( x − 3) 2 ≥ x 2 + 7 x + 1 mx + 9 < 3x + m 2 2 x + 7 < 8 x − 1 ① ② ③ −2 x + m + 5 ≥ 0 2m − 5 x ≤ 8 4 x + 1 < − x + 6 2.19 Tìm m ñể mỗ i bất phương trình sau có tập nghiệm là D cho trước: ① x + m ≥1 có tập nghiệm D = [ −2; + ∞ ) ② 2 x − m < 3 ( x − 1) có tập nghiệm D = ( 4; + ∞ ) ③ mx − 16 ≥ 2 ( x − m3 ) có tập nghiệm D = [ −38; + ∞ ) ④ m3 ( x + 2) ≤ m 2 ( x − 1) có tập nghiệm D = ℝ GV. Trần Quốc Nghĩa  4 x − 5 > −3 x + 2 ④ 3 x + 2m + 2 < 0 2 x + 7 < 8 x − 1 ④ m + 5 < 2 x 55 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh ⑤ m( x + m) ≤ 1 TI LIU H C T P TON 10 có tập nghiệm D = ∅ BÀI TẬP TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 3  TN2.1 Cho các mệnh ñề sau: (I) x = 1 là nghiệm của bất phương trình 2 x − 1 > 0 . (II) x = −1 là nghiệm của bất phương trình 2 x − 1 > 0 . 1  (III) S =  ; +∞  là một tập nghiệm của bất phương trình 2 x − 1 > 0 . 2  1  (IV) S =  ; +∞  là một tập nghiệm của bất phương trình 2 x − 1 ≥ 0 . 2  Số mệnh ñề ñúng là: A. 1 . B. 2 . C. 5 . D. 4 . TN2.2 Cho bất phương trình 2 − 3x < 3 . Hãy chỉ ra giá trị của x không phải là nghiệm của bất phương trình ñã cho trong các giá trị sau : 5 1 1 5 B. x = − C. x = D. x = A. x = − 3 3 3 3 TN2.3 3 3 ≥ 2+ (1). Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng trong các khẳng x−2 x−2 ñịnh sau. Tập nghiệm của phương trình là A. S = [ 2; +∞ ) . B. S = ( 2; +∞ ) . C. S = ℝ {2} . D. S = ( −∞; 2 ) . Cho bất phương trình x + TN2.4 Cho bất phương trình x − 3 ≥ 3 − x . Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng trong các khẳng ñịnh sau. Tập nghiệm của bất phương trình là A. S = ( 3; +∞ ) . B. ( −∞;3) . C. S = {3} . D. S = ∅ . TN2.5 Cho bất phương trình 2 x + 1 + 1 > 0 . Hãy chỉ ra khẳng ñịnh sai trong các khẳng ñịnh sau.  −1 1  A. Bất phương trình ñã cho có nghiệm ñúng với mọ i x thuộc  ;  .  2 2 B. Bất phương trình ñã cho có nghiệm ñúng với mọ i x thuộc ( 0; +∞ ) . C. Tập nghiệm của bất phương trình ñã cho là ℝ .  −1  D. Tập nghiệm của bất phương trình ñã cho là  ; +∞  . 2  TN2.6 Cho bất phương trình x + 2 x ≥ 0 . Tập nghiệm của bất phương trình là A. ℝ . TN2.7 2 Tập nghiệm của bất phương trình x 2 + ( x − 1) + A. ℝ . TN2.8 B. ( 0; +∞ ) . B. [ 0; +∞ ) . C. ( −∞; 0] . D. [ 0; +∞ ) . 1 ≥ x 2 là x C. ( 0; +∞ ) . D. [1; +∞ ) . Cho bất phương trình ( 3 − 2 x ) 3 x + 2 ≥ 0 (1). Hãy chỉ ra kết luận sai trong các kết luận sau. Bất phương trình (1) có nghiệm ñúng với mọ i x sao cho 56 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 2 A. − ≤ x < 0 . 3 TN2.9 B. 0 ≤ x < 3 . 2 2 3 C. − ≤ x < . 3 2 D. x ≤ 3 . 2 Hãy chọn kết luận ñúng trong các kết luận sau. Tập nghiệm của bất phương trình x − 2 + x + 1 ≤ 0 là B. [1; 2] . A. ℝ . D. ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) C. ∅ . TN2.10 Trong các bất phương trình cho sau ñây, hãy chỉ ra các bất phương trình tương ñương với bất phương trình 4 x + 1 > 0 . (1) : 4 x − 2 x +1 > x −1 x −1 x2 − 1 > x−2 x +1 A. (1) và ( 2 ) . ( 2) : ( 2 ) 2 x +1 > 4 x 1 −x2 > x 2 + 1 x2 + 1 C. ( 3) và ( 4 ) . D. (1) và ( 4 ) . ( 3) : 4 x + ( 4) : 4 x + B. ( 2 ) và ( 3) . TN2.11 Hãy chỉ ra sai lầm ở bước nào trong các bước giải bất phương trình 2 1 > (*): x +1 x A. ðiều kiện của bất phương trình: x ≠ −1 và x ≠ 0 . B. (*) ⇔ 2 x > x + 1 . C. ⇔ x > 1 . D. Tập nghiệm của bất phương trình ñã cho là (1; +∞ ) . TN2.12 Hãy chỉ ra sai lầm ở bước x 2 − 2 x − 3 > ( x + 1)( 2 x + 5 ) (*) nào trong các bước giải bất phương trình A. (*) ⇔ ( x + 1)( x − 3) > ( x + 1)( 2 x + 5) . B. ⇔ x − 3 > 2 x + 5 . C. x < −8 . D. Tập nghiệm của bất phương trình ñã cho là ( −∞;8 ) . TN2.13 Hãy chỉ ra sai lầm ở bước nào trong các bước giải bất phương trình 2 x 2 + 1 ≤ x + 2 (*) A. (*) ⇔ x 2 + 1 ≤ ( x + 2 ) . B. ⇔ x 2 + 1 ≤ x 2 + 4 x + 4 . C. ⇔ 4 x ≥ −3 . D. ⇔ x ≥ −4 . 3 TN2.14 Xét các mệnh ñề sau, mệnh ñề nào là mệnh ñề sai ? 3  A. Tập nghiệm của 2 x − 3 > 0 là S =  ; + ∞  . 2  3  B. Tập nghiệm của 3 − 2 x > 0 là S =  −∞;  . 2   3  C. Tập nghiệm của 2 x − 3 < 0 là S =  − ; + ∞  .  2  3  D. Tập nghiệm của −3 − 2 x > 0 là S =  −∞; −  . 2  GV. Trần Quốc Nghĩa 57 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TN2.15 2 x − 5 ( x + 1) < 4 Hệ bất phương trình  2 có tập nghiệm là 2 ( m + 1) x − 2 < m x A. S = ( −∞; −3) TN2.16 B. S = [ 7; +∞ ) C. S = ( 3; +∞ ) D. S = ( −3; 2 ) có tập nghiệm là C. S = [ −2;3) D. ( −∞; −2] có tập nghiệm là 8  C. S =  ;8  3  D. [ 7;8] | 2 x − 3 |< 1 Hệ bất phương trình  có tập nghiệm là |1 − 2 x |> 3 3  A. S =  −∞; −  2  4  C. S =  ; 2  3  TN2.19 B. S = ∅ 2 x − 1 ≥ 3 ( x − 3)  2 − x Hệ bất phương trình  < x −3 2   x − 3 ≥ 2 A. S = ∅ TN2.18 B. S = ∅ x2 − 4 < x + 2 Hệ bất phương trình  x + 2 ≤ 0 A. S = ( 3; +∞ ) TN2.17 TI LIU H C T P TON 10 B. S = ( 2; +∞ ) 3  D. S =  −∞; −  ∪ ( 2; +∞ ) 2  Cho bất phương trình ax ≤ 3 (*) . Mệnh ñề nào sau ñây là mệnh ñề sai ? A. Khi a = 0 thì tập nghiệm của phương trình (*) là S = ∅ . 3  B Khi a > 0 thì tập nghiệm của phương trình (*) là S =  −∞;  . a  3  C. Khi a < 0 thì tập nghiệm của phương trình (*) là S =  ; + ∞  . a  D. Khi a = 0 thì tập nghiệm của phương trình (*) là S = ℝ . TN2.20 Cho bất phương trình ax ≤ 0 (*) . Mệnh ñề nào sau ñây là mệnh ñề sai ? A. Khi a > 0 thì tập nghiệm của phương trình (*) là S = ( −∞; 0] . B. Khi a < 0 thì tập nghiệm của phương trình (*) là S = [ 0; + ∞ ) . C. Khi a = 0 thì tập nghiệm của phương trình (*) là S = ℝ . D. Khi a = 0 thì tập nghiệm của phương trình (*) là S = ∅ . TN2.21 Cho bất phương trình ax > 1 (*) . Mệnh ñề nào sau ñây là mệnh ñề sai ? 1  A. Khi a > 0 thì tập nghiệm của phương trình (*) là S =  ; +∞  . a  1  B. Khi a < 0 thì tập nghiệm của phương trình (*) là S =  −∞;  . a  C. Khi a = 0 thì tập nghiệm của phương trình (*) là S = ∅ . D. Khi a = 0 thì tập nghiệm của phương trình (*) là S = ℝ . TN2.22 Cho bất phương trình ( m − 1) x ≥ m 2 − 1 (*) . Mệnh ñề nào sau ñây là mệnh ñề sai ? 58 GV. Trần Quốc Nghĩa TI LIU H C T P TON 10 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh A. Khi m > 1 thì tập nghiệm của phương trình (*) là S = ∅ . B. Khi m < 1 thì tập nghiệm của phương trình (*) là S = ( −∞; m + 1] . C. Khi m = 1 thì tập nghiệm của phương trình (*) là S = ℝ . D. Khi m > 1 thì tập nghiệm của phương trình (*) là S = [ m + 1; +∞ ) . TN2.23 Chọn khẳng ñịnh sai. Bất phương trình m2 x < 4 x − 1 vô nghiệm khi B. m = 2 A. m = 0 C. m = −2 D. m = 2 hoặc m = −2 TN2.24 Cho bất phương trình mx + 2 ≥ x + 2m (*). Khẳng ñịnh nào sau ñây là khẳng ñịnh sai ? A. Khi m = 1 thì tập nghiệm của phương trình (*) là S = ℝ . B. Khi m = 2 thì tập nghiệm của phương trình (*) là S = [ 2; +∞ ) . C. (*) ⇔ ( m − 1) x ≥ 2 ( m − 1) ⇔ x ≥ 2 . D. (*) Có nghiệm với mọ i giá trị của m . TN2.25 Khẳng ñịnh nào sau ñây là khẳng ñịnh sai ? A. Bất phương trình bậc nhất một ẩn luôn có nghiệm. B. Bất phương trình ax + b < 0 vô nghiệm khi a = 0 và b ≥ 0 . C. Bất phương trình ax + b < 0 có tập nghiệm là ℝ khi a = 0 và b < 0 . D. Bất phương trình ax + b < 0 vô nghiệm khi a = 0 . 2 x + 3 ≥ 2 − x TN2.26 Cho hệ bất phương trình  . Hãy chọn kết luận ñúng trong các kết luận sau. x − m < 0 Hệ bất phương trình ñã cho có nghiệm khi −1    1 A. m ∈  −∞;  . B. m ∈ −  . 3    3  −1  C. m ∈  ; +∞  .  3  D. m ∈ ∅ . mx + 2m > 0  TN2.27 Cho hệ bất phương trình  2 x + 3 3x . Xét các mệnh ñề sau: > 1 −  5 5 (I) Khi m < 0 thì hệ bất phương trình ñã cho vô nghiệm. (II) Khi m = 0 thì hệ bất phương trình ñã cho có tập nghiệm là ℝ . 2  (III) Khi m ≥ 0 thì hệ bất phương trình ñã cho có tập nghiệm là  ; +∞  . 5  2  (IV)Khi m > 0 thì hệ bất phương trình ñã cho có tập nghiệm là  ; +∞  . 5  Trong các mệnh ñề trên có bao nhiêu mệnh ñề ñúng ? A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 GV. Trần Quốc Nghĩa 59 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 DAÁU CUÛA NHÒ THÖÙC BAÄC NHAÁT Chủđề 4 BPT QUI VEÀ BPT BAÄC NHAÁT MOÄT AÅN Tóm tắt tắt lí thuyết 1. Dấucủanhịthứcbậcnhất:f(x)=ax+b trái44 ph phải ùng:: vvới a) Sử dụng bảng xét dấu: ((trái trái trái ải ccùng ùng ới hệ số a) f(x) = ax + b a>0 a<0 – + b) Sử dụng trục số: − • b a 0 0 − –∞ x Nếu a > 0 thì: b a +∞ + – f ( x ) = ax + b > 0 x f ( x ) = ax + b < 0 • f ( x ) = ax + b > 0 Nếu a < 0 thì: x b − a 2. Bấtphươngtrìnhtíchsố: f ( x ) = ax + b < 0 • Dạng: P ( x ) .Q ( x ) > 0 . Trong ñó P ( x ) , Q ( x ) là các nhị thức bậc nhất. • Phương pháp: Lập bảng xét dấu P ( x ) .Q ( x ) . Từ ñó suy ra tập nghiệm. 3. Bấtphươngtrìnhchứaẩnsốởmẫu: • Dạng: P ( x) > 0 (2). Trong ñó P ( x ) , Q ( x ) là nhị thức bậc nhất. Q ( x) P ( x) . Từ ñó suy ra tập nghiệm. Q ( x)  Lưu ý: Nếu bất phương trình chưa có dạng như bpt (2) thì ta ñưa về bpt (2) theo các bước: “Chuyển vế → Qui ñồng không khử mẫu”. • Phương pháp: Lập bảng xét dấu Phương pháp giải giải toán Dạng1. Xétdấubiểuthức  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI x f ( x ) = ax + b 60 –∞ trái dấu với a − b a 0 +∞ cùng dấu với a GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 B. BÀI TẬP MẪU VD2.11 Xét dấu các biểu thức sau: ① f ( x ) = 3x + 2 ④ f ( x) = −4 3 − 3x + 1 2 − x ② f ( x ) = −2 x + 5 ⑤ f ( x) = ( 4 x − 1)( x + 2 ) −3 x + 5 ③ f ( x) = 4 − 3x 2x +1 ⑥ f ( x ) = ( 4 x − 1)( x + 2 )( 3x − 5 )( 7 − 2 x ) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. GV. Trần Quốc Nghĩa 61 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 VD2.12 Xét dấu các biểu thức sau: ① f ( x ) = 4×2 −1 ④ f ( x) = ② f ( x ) = 2×2 − 2 + 3 x + 3 ( 1 1 − 3− x 3+ x ⑤ f ( x) = ) x2 − 6 x + 8 x 2 + 8x − 9 ③ f ( x ) = x3 + x 2 − 5 x + 3 ⑥ f ( x) = x2 + 4x + 4 x 4 − 2 x2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.20 Xét dấu các biểu thức sau: ① f ( x ) = ( 2 x − 1)( x + 3) ② f ( x ) = ( −3 x − 3)( x + 2 )( x + 3) 2 x ( x − 3) ③ f ( x) = ( x − 5)(1 − x ) ④ f ( x) = 2x + 1 ( x − 1)( x + 2 ) 2.21 Xét dấu các biểu thức sau: 62 ① f ( x ) = 4×2 −1 ② f ( x ) = x2 − x − 2 2 ④ f ( x ) = − x3 + 7 x − 6 ⑤ f ( x) = 1− 2− x 3x − 2 ③ f ( x ) = − x2 + x + 6 ⑥ f ( x) = 3 1 − 2x −1 x + 2 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 Dạng2. Giảibấtphươngtrìnhtích  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ðể giải bất phương trình dạng: P ( x ) > 0; P ( x ) ≥ 0; P ( x ) < 0; P ( x ) ≤ 0 Trong ñó P ( x ) = ( a1 x + b1 )( a2 x + b2 ) ... ( an x + bn ) . Bước 1: Tìm các nghiệm của các nhị thức a1 x + b1 , a2 x + b2 , …, an x + bn Bước 2: Sắp xếp các nghiệm tìm ñược theo thứ tự tăng dần, xét dấu. Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu suy ra nghiệm của bất phương trình. B. BÀI TẬP MẪU VD2.13 Giải các bất phương trình sau: ① ( x + 1)( x − 1)( 3 x − 6 ) > 0 ② ( 2 x − 7 )( 4 − 5 x ) ≥ 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. VD2.14 Giải các bất phương trình: ① x3 + 4 x 2 + x − 6 ≤ 0 ② −2 x 2 + 7 x 2 − 2 x − 3 > 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. GV. Trần Quốc Nghĩa 63 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.22 Giải các bất phương trình sau: ① x 2 − x − 20 > 2 ( x − 11) ② 3 x ( 2 x + 7 )( 9 − 3 x ) ≥ 0 ③ ( x + 1)( x − 1)( 3 x − 6 ) > 0 ④ ( 2 x − 7 )( 4 − 5 x ) ≥ 0 ⑤ 3 x ( 2 x + 7 )( 9 − 3 x ) ≥ 0 ⑥ − 2 x + 2 ( x + 1)( 2 x − 3) > 0 ② x 3 + 6 x 2 + 11x + 6 > 0 ③ 2 x3 − 5 x 2 − 2 x + 2 < 0 ⑤ 2 x3 − 3x 2 − 5 x + 6 > 0 ⑥ x3 + 2 x2 − 5x − 6 < 0 ⑧ x 3 − 3x 2 − 10 x + 24 ≥ 0 ⑨ x 3 + 4 x 2 − 17 x − 60 ≥ 0 ( ) 2.23 Giải các bất phương trình sau: ① x 3 + 8 x 2 + 17 x + 10 < 0 ④ ( x 2 − 2 x − 3) ≥ ( 3x − 3) 2 2 ⑦ 3 x3 + 8 x 2 + 3 x − 2 ≤ 0 2.24 Giải và biệt luận các bất phương trình sau: ① mx + 4 > 2 x + m 2 ② 2mx + 1 ≥ x + 4m 2 ③ x ( m 2 − 1) < m 4 − 1 ④ 2 ( m + 1) x ≤ ( m + 1) ( x − 1) 2 Dạng3. Giảibấtphươngcóẩnởmẫu  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ðể giải bất phương trình dạng: P ( x) P ( x) P( x) P ( x) > 0; ≥ 0; < 0; ≤0 Q ( x) Q ( x) Q ( x) Q( x) Trong ñó P ( x ) , Q ( x ) là tích của những nhị thức bậc nhất.. Bước 1: Tìm các nghiệm của P ( x ) = 0, Q ( x ) = 0 . Bước 2: Sắp xếp các nghiệm tìm ñược theo thứ tự tăng dần, xét dấu. Chú ý dùng kí hiệu || (không xác ñịnh) tại những vị trí Q ( x ) = 0 . Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu suy ra nghiệm của bất phương trình. B. BÀI TẬP MẪU VD2.15 Giải các bất phương trình sau: ① ( 2 x − 5 )( x + 2) > 0 3 − 4x ② 1 1 < x + 1 ( x − 1) 2 ③ 1 2 3 + < ④ x x+4 x+3 1 2 3 + < x x+4 x+3 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... 64 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.25 Giải các bất phương trình sau: ① x 2 − 3x + 1 <1 x2 −1 ② 3 5 ≥ 1 − x 2x +1 ③ ( 3 − x )( x − 2 ) ≤ 0 ④ 3 − 2x <0 ( 3x − 1)( x − 4 ) ⑤ −3 x + 1 ≤ −2 2x +1 ⑥ x+2 x−2 ≤ 3x + 1 2 x − 1 ⑦ x 1 ≥ x−5 2 ⑧ 4x + 3 ≤6 2x − 5 ⑨ 2 x − 5 3x + 2 < 3x + 2 2 x − 5 4 ⑬ x +1 > x +1 ⑩ −4 3 < 3x + 1 2 − x 1 2 ⑭ < x −1 x − x2 ⑪ x+2 x−2 ⑰ > 3x + 1 2 x − 1 1 2 3 ⑱ + > x +1 x + 2 x + 3 ( x + 2) ( x + 6) ≥ 0 ⑲ 3 2 ( x − 7 ) ( x − 2) GV. Trần Quốc Nghĩa x +1 2 x2 + x ≥ 1− x 1 − 2x 5x − 6 ⑮ ≤1 x+6 4 2 5 ≤ x −1 2x −1 x −1 ⑯ ≥2 x−3 ⑫ 3 ( x − 1) ( x + 2 ) ⑳ 5 x2 ( x − 7 ) 4 ≥0 65 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 Dạng4. Dấunhịthứctrênmộtmiền  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Với f ( x ) = ax + b , ta lưu ý các kết quả sau: a = 0 ① f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  b ≥ 0 a = 0 ② f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  b ≤ 0 a ≥ 0 ③ f ( x ) ≥ 0, ∀x ≥ α ⇔   f (α ) ≥ 0 a ≤ 0 ④ f ( x ) ≤ 0, ∀x ≥ α ⇔   f (α ) ≤ 0 a ≤ 0 ⑤ f ( x ) ≥ 0, ∀x ≤ α ⇔   f (α ) ≥ 0 a ≥ 0 ⑥ f ( x ) ≤ 0, ∀x ≤ α ⇔   f (α ) ≤ 0  f ( β ) ≥ 0 ⑦ f ( x ) ≥ 0, ∀x ≤ (α ; β ) ⇔   f (α ) ≥ 0  f ( β ) ≤ 0 ⑧ f ( x ) ≤ 0, ∀x ≤ (α ; β ) ⇔   f (α ) ≤ 0 B. BÀI TẬP MẪU VD2.16 Cho bất phương trình: ( m + 1) x − m + 2 > 0 . Tìm m ñể: ① Nghiệm ñúng với mọ i x . ② Nghiệm ñúng với mọ i x ≥ 2 ③ Nghiệm ñúng với mọ i x < 1 ④ Nghiệm ñúng ∀x ∈ [1;3] .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... 66 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 Dạng5. GiảiPT,BPTchứadấugiátrịtuyệtđối  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt ñối, ta thường sử dụng ñịnh nghĩa hoặc tính chất của dấu giá trị tuyệt ñối ñể khử dấu giá trị tuyệt ñối. • Dạng ①: A B ⇔  hoặc  A < − B  A : có nghia  A > B  • Dạng ③: a f ( x ) + b g ( x ) > h ( x ) : dùng PP chia khoảng.  A < −B  Lưu ý: Với B > 0 , ta luôn có: A B ⇔  A > B B. BÀI TẬP MẪU VD2.17 Giải các bất phương trình sau: ① −2 x + 1 + x − 3 < 5 ② 2 x − 3 − 3x + 1 ≤ x + 5 ③ 2 <1 x−4 ④ 2x −1 >2 x −1 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. GV. Trần Quốc Nghĩa 67 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.26 Giải các phương trình, bất phương trình sau: ① x +1 + x −1 = 4 ② 2x − 2 + ④ 2x − 4 ≥ x + 1 ⑤ −5 10 < ⑦ x+2 x −1 ⑩ 3 ≤ x+3 x − 4 −1 ⑬ x −1 2 > 2x − 3 2 − x > 3x − 2 ③ 2 x − 5 ≤ x + 1 ⑥ 2− x ≥2 x +1 1  2 ≤  ⑧  2 x −1 3 − x  x ≤ 1 ⑨ x−2 ≥3 x − 5x + 6 ⑪ 3x − 5 < 2 ⑫ ( 1 2x −1 > ( x + 1)( x − 2) 2 2 ) 2 − 3 x +1 ≤ 3 + 2 ⑭ x +1 ≤ x − x + 2 BÀI TẬP TẬP TRẮC NGHIỆM NGHIỆM CHỦ ĐỀ 4  TN2.28 Cho f ( x ) = 2 x + 1 . Khẳng ñịnh nào sau ñây là khẳng ñịnh sai ? A. f ( x ) > 0, ∀x > 2 . C. f ( x ) > 0, ∀x > 0 . TN2.29 1 B. f ( x ) > 0, ∀x > − . 2 1 D. f ( x ) > 0, ∀x < 2 Cho f ( x ) = ( m 2 + 1) x − 1 . Khẳng ñịnh nào sau ñây là khẳng ñịnh sai ? A. f ( x ) > 0 với mọ i x thuộc ( 0; +∞ ) .  1  B. f ( x ) > 0 với mọ i x thuộc  2 ; +∞  .  m +1  C. Khi m = 0 thì f ( x ) > 0 với mọ i x thuộc (1; +∞ ) . D. Tập nghiệm của bất phương trình f ( x ) > 0 ñược chứa trong ( 0; +∞ ) với ∀m . TN2.30 TN2.31 Cho f ( x ) = 3 − 5 x và m là một số bất kì khác 0. Hãy chọn ra số âm trong các số sau A. f ( 0 ) . B. f ( −1) . 3  C. f  − m 2  . 5  3  D. f  + m 2  . 5  Cho f ( x ) = ( 2 x + 1)( x − 3) . Khẳng ñịnh nào sau ñây là khẳng ñịnh sai ? 1  A. f ( x ) > 0 với mọ i x ∈  −∞; −  . 2   1  C. f ( x ) < 0 với mọ i x ∈  − ; 3  .  2  68 1  B. f ( x ) < 0 với mọ i x ∈  −∞; −  . 2  D. f ( x ) > 0 với mọ i x ∈ ( 3; +∞ ) . GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 TN2.32 Cho f ( x ) = ( 3x + 4 )( 2 − 3 x ) . Khẳng ñịnh nào sau ñây là khẳng ñịnh sai ? 4  A. f ( x ) > 0 với mọ i x thuộc  −∞; −  . 3  4  C. f ( x ) < 0 với mọ i x ∈  −∞; −  . 3  TN2.33 Cho f ( x ) = ( x + 1)( 2 − x ) 2x − 7  4 2 B. f ( x ) > 0 với mọ i x thuộc  − ;  .  3 3 2  D. f ( x ) > 0 với mọ i x ∈  ; +∞  . 3  . Khẳng ñịnh nào sau ñây là khẳng ñịnh ñúng ? A. f ( x0 ) = 0 Khi và chỉ khi x0 = −1 , x0 = −2 hoặc x0 = 7 . 2 B. f ( x ) > 0 với mọ i x thuộc ( −1; 2 ) .  7 7  C. Trên mỗ i khoảng ( −∞; −1) , ( −1; 2 ) ,  2;  ,  ; +∞  , f ( x ) không ñổi dấu và f ( x ) ñổi  2 2  7 dấu khi qua mỗ i giá trị x = −1 , x = −2 và x = . 2 7   7 D. f ( x ) > 0, ∀x ∈ ( −1; 2 ) ∪  ; +∞  , f ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −∞; −1)  2;  . 2   2 TN2.34 Cho f ( x ) =| 3x + 2 | − |1 − 4 x | . Khẳng ñịnh nào sau ñây là khẳng ñịnh sai ? 2  A. Trên  −∞; −  thì f ( x ) = ( −3x − 2 ) − (1 − 4 x ) . 3   2 1 B. Trên  − ;  thì f ( x ) = ( 3x + 2 ) − ( 4 x − 1) .  3 4  2 1 C. Trên  − ;  thì f ( x ) = 7 x + 1 .  3 4 1  D. Trên  ; +∞  thì f ( x ) = 3 − x . 4  TN2.35 Tập nghiệm của bất phương trình (1 − 2 x )( 2 x − 5 )( x + 1) < 0 1  A. S =  −1;  2  1 5   C. S =  −1;  ∪  ; +∞  2 2   5  B. S =  −1;  2  D. ( −1; +∞ ) TN2.36 Tập nghiệm của bất phương trình x ( x 2 + 3x + 2 ) ≥ 0 là A. S = ( −∞; −2] B. S = [ −2; −1] C. ( −∞; −2 ) ∪ [ 2; +∞ ) D. S = [ −2; −1] ∪ [ 0; +∞ ) TN2.37 Tập nghiệm của bất phương trình x ( x 2 + 3x + 2 ) ≥ 0 là A. S = [ 0;1] B. S = ( −∞;1] ∪ ( 2; +∞ ) C. S = [ 0;1] ∪ [ 2; +∞ ) D. S = ( −∞;1] ∪ [ 2; +∞ ) GV. Trần Quốc Nghĩa 69 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 2 | 3 x − 1| ( x + 2 ) TN2.38 Tập nghiệm của bất phương trình ≥ 0 là x −5  1 B. S = ( 5; +∞ ) A. S =  −2;  ∪ ( 5; +∞ )  3 1  C. S =  −∞;  ∪ ( 5; +∞ ) 3  TN2.39 Tập nghiệm của bất phương trình | x − 3 | +2 x + 1 < 0 là 2  B. S =  −∞;  3  A. S = ( −∞; −4 ) TN2.40  1 D. −2;  ∪ ( 5; +∞ )  3 Cho bất phương trình ( x + 4)( x − 2) − 1 < 0 C. S = ∅ D. S = ( −∞;3) (*). Xét các mệnh ñề sau: (I) Tập nghiệm của bất phương trình (*) là tập nghiệm của hệ bất phương trình ( x − 4 )( x − 2 ) ≥ 0 .  ( x + 4 )( x − 2 ) < 1 ( ) (II) Tập nghiệm của (*) là S = −1 − 10; −1 + 10 . (III) Bất phương trình (*) vô nghiệm . ( ) (IV)Tập nghiệm của (*) là −1 − 10; −4 ∪  2; −1 + 10 . Trong các mệnh ñề trên có bao nhiêu mệnh ñề ñúng ? A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... 70 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 5. BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ BPT BẬC NHẤT HAI ẨN Tóm tắt tắt lí thuyết 1. Bấtphươngtrìnhbậcnhấthaiẩn: ① ax + by + c < 0 ; ② ax + by + c ≤ 0 ; ③ ax + by + c > 0 ; ④ ax + by + c ≥ 0 ; 2. Hệbấtphươngtrìnhbậcnhấthaiẩn: Là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.  x − 2 y < 0 2 x + 3 y − 6 < 0   Ví dụ:  x + 3 y > −2 ,  x ≥ 0 y − x < 3 2 x − 3 y − 1 ≤ 0   Phương pháp giải giải toán Dạng1. Bấtphươngtrìnhbậcnhấthaiẩn  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ðể xác ñịnh miền nghiệm của ax + by + c < 0 (tương tự cho 3 dạng còn lại) ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Vẽ ñường thẳng d : ax + by + c = 0 Bước 2: Lấy ñiểm M ( x0 ; y0 ) không nằm trên d và xác ñịnh giá trị của d M = ax0 + by0 + c . Nếu:  d M < 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ d ) chứa ñiểm M là miền nghiệm của ax + by + c < 0 .  d M > 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ d ) chứa ñiểm M không là miền nghiệm của ax + by + c > 0 . Bước 3: Gạch bỏ miền không là nghiệm, miền còn lại không gạch chính là miền nghiệm của ax + by + c > 0 . Chú ý: Miền nghiệm ax + by + c ≥ 0 và ax + by + c ≤ 0 bao gồm tất cả những ñiểm nằm trên ñường thẳng d : ax + by + c = 0 . B. BÀI TẬP MẪU VD2.1 Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bpt bậc nhất hai ẩn sau: ① − x + 2 + 2 ( y − 2 ) < 2 (1 − x ) ② 3 ( x − 1) + 4 ( y − 2 ) < 5 x − 3 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... GV. Trần Quốc Nghĩa 71 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.1 Xác ñịnh miền nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau: ① −3x + y + 2 ≤ 0 ② 2x + y > 1 ③ x + 3 + 2 ( 2 y + 5 ) < 2 (1 − x ) ④ 1+ 3 x − 1− 3 y ≥ 2 ⑤ x − 2 + 2 ( y − 1) > 2 x + 4 ⑥ 2x − 2 y + 2 − 2 ≤ 0 ( ) ( ) Dạng2. Hệbấtphươngtrìnhbậcnhấthaiẩn  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ðể xác ñịnh miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta lần lượt tìm miền nghiệm của từng bất phương trình. Dựa vào ñồ thị suy ra miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch bỏ. B. BÀI TẬP MẪU VD2.2 Biểu diễn hình học tập nghiệm của các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau: x − 2 y < 0  ①  x + 3 y > −2 y − x < 3  2 x + 3 y − 6 < 0  ② x ≥ 0 2 x − 3 y − 1 ≤ 0  .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... 72 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.2 Xác ñịnh miền nghiệm của các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau ñây: 2 x − 1 ≤ 0 3 − y < 0 x − 2 y < 0 ① ② ③ −3x + 5 ≤ 0 2 x − 3 y + 1 > 0  x + 3 y > −2 3 x − 2 y − 6 ≥ 0  3y  ≤4 ④ 2 ( x − 1) + 2   x ≥ 0 x − y > 0  ⑤  x − 3 y ≤ −3 x + y > 5  x − 3y < 0  ⑥  x + 2 y > −3 y + x < 2  Dạng3. Mộtvídụápdụngvàokinhtế  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Vấn ñề tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất có liên quan chặt chẽ ñến ngành toán học có nhiều ứng dụng trong ñời sống - Ngành Quy hoạch tuyến tính. Dưới ñây là một phương pháp giải một bài toán "Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức bậc nhất 2 ẩn" Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by . Với ( x; y ) nghiệm ñúng một hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn cho trước. Giải:  Xác ñịnh miền nghiệm S của hệ bất phương trình ñã cho Ta thường ñược S là một ña giác.  Tính giá trị của F ứng với (x, y) là tọa ñộ các ñỉnh của ña giác.  Kết luận: + Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các giá trì tìm ñược. + Giá trị nhỏ nhất của F là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm ñược. GV. Trần Quốc Nghĩa 73 TI LIU H C T P TON 10 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh B. BÀI TẬP MẪU x − y +1 ≤ 0 2 x − y + 4 ≥ 0  VD2.3 Tìm GTLN và NN của F = 3x + 9 y , với ( x; y ) là nghiệm của hệ bất phương  x + y +1 ≥ 0 2 x + y − 4 ≤ 0 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... 74 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.3 2 x − y ≥ 2  Gọi ( S ) là tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ thỏa hệ:  x − 2 y ≤ 2 x + y ≤ 5  a) Hãy xác ñịnh ( S ) ñể thấy ( S ) là một tam giác. b) Trong ( S ) hãy tìm ñiểm ( x; y ) làm cho biểu thức f ( x, y ) = y − x có giá trị nhỏ nhất. 2.4 Có ba nhóm máy A, B, C dùng ñể sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. ðể sản xuất một ñơn vị sản phẩm mỗ i loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết ñể sản xuất ra một ñơn vị sản phẩm thuộc mỗi lo ại ñược cho trong bảng sau: Nhóm Số máy trong mỗ i nhóm A B C 10 4 12 Số máy trong từng nhóm ñể sản xuât ra một ñơn vị sản phẩm Loại I Loại II 2 2 0 2 2 4 Một ñơn vị sản phẩm I lãi 3 nghìn ñồng, một ñơn vị sản phẩm II lãi 5 nghìn ñồng. Hãy lập phương án ñể việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất. 2.5 Một xưởng có máy cắt và máy tiện dùng ñể sản xuất trục sắt và ñinh ốc. Sản xuất 1 tấn trục sắt thì lần lượt máy cắt chạy trong 3 giờ và máy tiện chạy trong 1 giờ, tiền lãi là 2 triệu. Sản xuất 1 tấn ñinh ốc thì lần lượt máy cắt và máy tiện chạy trong 1 giờ, tiền lãi là 1 triệu. Một máy không thể sản xuất cả 2 loại. Máy cắt làm không quá 6giờ/ngày, máy tiện làm không quá 4giờ/ngày. Một ngày xưởng nên sản xuất bao nhiêu tấn mỗ i loại ñể tiền lãi cao nhất. 2.6 Trong 1 cuộc thi pha chế, mỗ i ñội ñược dùng tối ña 24g hương liệu, 9 lít nước và 210g ñường ñể pha nước cam và nước táo. Pha 1 lít nước cam cần 30g ñường, 1 lít nước và 1g hương liệu; pha 1 lít nước táo cần 10g ñường, 1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít nước cam ñược 60 ñiểm, mỗ i lít nước táo ñược 80 ñiểm. Cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗ i loại ñể ñạt ñiểm cao nhất. 2.7 Một phân xưởng có hai máy ñặc chủng M1, M2 sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu là I và II. Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu ñồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu ñồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại I phải dùng máy M1 trong 3 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại II phải dùng máy M1 trong 1 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Một máy không thể dùng ñể sản xuất ñồng thời hai loại sản phẩm. Máy M1 làm việc không quá 6 giờ trong một ngày, máy M2 chỉ làm việc không quá 4 giờ. Hãy ñặt kế hoạch sản xuất sao cho tổng số tiền lãi cao nhất. 2.8 Một người có thể tiếp nhận mỗ i ngày không quá 600 ñơn vị vitamin A và không quá 500 ñơn vị vitamin B. Một ngày mỗ i người cần 400 ñến 1000 ñơn vị vitamin cả A lẫn B. Do tác ñộng phố i hợp 1 của hai loại vitamin, mỗ i ngày số ñơn vị vitamin B phải không ít hơn số ñơn vị vitamin A nhưng 2 không nhiều hơn ba lần số ñơn vị vitamin A. Hãy xác ñịnh số ñơn vị vitamin A, B phải dùng mỗ i ngày sao cho giá thành rẻ nhất, biết rằng giá mỗ i ñơn vị vitamin A là 9 ñồng và vitamin B là 12 ñồng. GV. Trần Quốc Nghĩa 75 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 BÀI TẬP TẬP TRẮC TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 5  TN2.41 Cho bất phương trình 2 x + 4 y < 5 có tập nghiệm là S . Khẳng ñịnh nào sau ñây là khẳng ñịnh ñúng ? A. (1;1) ∈ S . B. (1;10 ) ∈ S . C. (1; −1) ∈ S . D. (1;5 ) ∈ S . TN2.42 Cho bất phương trình x − 2 y + 5 > 0 có tập nghiệm là S . Khẳng ñịnh nào sau ñây là khẳng ñịnh ñúng ? A. ( 2; 2 ) ∈ S . B. (1;3) ∈ S . C. ( −2; 2 ) ∉ S . D. ( −2; 4 ) ∈ S . TN2.43 Cho bất phương trình −2 x + 3 y + 2 ≤ 0 có tập nghiệm là S . Khẳng ñịnh nào sau ñây là khẳng ñịnh ñúng ?  2  A. (1;1) ∈ S B.  ; 0  ∈ S C. (1; −2 ) ∉ S D. (1; 0 ) ∉ S 2   TN2.44 TN2.45 x + y > 0 Cho hệ bất phương trình  có tập nghiệm là S . Khẳng ñịnh nào sau ñây là khẳng 2 x + 5 y < 0 ñịnh ñúng ? 1   1 2 D.  − ;  ∈ S A. (1;1) ∈ S B. ( −1; −1) ∈ S C.  1; −  ∉ S 2   2 5  x > 0 Cho hệ bất phương trình  có tập nghiệm là S . Khẳng ñịnh nào sau ñây là  x + 3 y + 1 ≤ 0 khẳng ñịnh ñúng ? A. (1; −1) ∈ S . B. 1; − 3 ∈ S . C. −1; 5 ∉ S . D. −4; 3 ∈ S . ( TN2.46 TN2.48 76 ( ) ( )  x > 0 Cho hệ bất phương trình  có tập nghiệm là S . Khẳng ñịnh nào sau ñây là  x + 3 y + 1 > 0 khẳng ñịnh ñúng ? A. ( −1; 2 ) ∈ S . B. 2; 0 ∈ S . C. 1; − 3 ∈ S . D. 3;0 ∈ S . ( TN2.47 ) ) ( ) ( ) x − y > 3  Cho hệ bất phương trình  1 có tập nghiệm S . Khẳng ñịnh nào sau ñây là khẳng 1 − x + y > 0  2 ñịnh ñúng ? A. (1; −2 ) ∈ S . B. ( 2;1) ∈ S . C. ( 5; −6 ) ∈ S . D. S = ∅ . 3  2 x − y ≥ 1 Cho hệ bất phương trình  có tập nghiệm S . Khẳng ñịnh nào sau ñây là khẳng 2 4 x − 3 y ≤ 2 ñịnh ñúng ?  1  A.  − ; −1 ∉ S . B. S = {( x; y ) | 4 x − 3 = 2} .  4  C. Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa ñộ và kể cả bờ d , với d là là ñường thẳng 4 x − 3 y = 2 . D. Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa ñộ và kể cả bờ d , với d là là ñường thẳng 4 x − 3 y = 2 . GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 TN2.49 Miền nghiệm của bất phương trình 3 x − 2 y > −6 là y y 3 3 A. B. x 2 −2 x O O y y −2 3 C. −2 x O x O D. 3 TN2.50 Miền nghiệm của bất phương trình 3 x + 2 y > 6 là y y 3 3 A. B. x 2 −2 O x O y y −2 3 C. D. −2 GV. Trần Quốc Nghĩa x O O x 3 77 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 TN2.51 Miền nghiệm của bất phương trình 3 x − 2 y < −6 là y y 3 3 A. B. x 2 −2 x O O y y 3 −2 x O C. D. −2 TN2.52 x O 3 Miền nghiệm của bất phương trình 3 x + 2 y > −6 là y y 3 3 A. B. x 2 −2 x O O y y −2 3 x O C. D. −2 78 O x 3 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TN2.53 TI LIU H C T P TON 10 2 x + 3 y < 5 (1)  Cho hệ  . Gọi S1 là tập nghiệm của bất phương trình (1), S 2 là tập nghiệm của 3  x + 2 y < 5 (2) bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì A. S1 ⊂ S2 . B. S 2 ⊂ S1 . C. S 2 ⊂ S . D. S1 ≠ S . TN2.54 Phần không gạch chéo ở hình sau ñây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D ? y 3 2 x O y > 0 . A.  3 x + 2 y < 6 y > 0 B.  . 3 x + 2 y < −6 x > 0 C.  . 3 x + 2 y < 6 x > 0 D.  . 3 x + 2 y > −6 TN2.55 Miền tam giác ABC kể cả ba cạnh sau ñây là miền nghiệm của hệ bết phương trình nào trong bốn bệ A, B, C, D ? A 2 B O 5 2 x C GV. Trần Quốc Nghĩa 79 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 y ≥ 0  A. 5 x − 4 y ≥ 10 . 5 x + 4 y ≤ 10  x ≥ 0  B. 4 x − 5 y ≤ 10 . 5 x + 4 y ≤ 10  x ≥ 0  C. 5 x − 4 y ≤ 10 . 4 x + 5 y ≤ 10  x > 0  D. 5 x − 4 y ≤ 10 . 4 x + 5 y ≤ 10  x − y ≤ 2 3 x + 5 y ≤ 15  . Khẳng ñịnh nào sau ñây là khẳng ñịnh sai ? TN2.56 Cho hệ bất phương trình  x ≥ 0  y ≥ 0 A. Trên mặt phẳng tọa ñộ Oxy , biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ñã cho là miền  25 9  tứ giác ABCO kể cả các cạnh với A ( 0;3) , B  ;  , C ( 2; 0 ) và O ( 0; 0 ) .  8 8 17 B. ðường thẳng ∆ : x + y = m có giao ñiểm với tứ giác ABCO kể cả khi −1 ≤ m ≤ . 4 17 . C. Giá trị lớn nhất của biểu thức x + y , với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình ñã cho là 4 D. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x + y , với x và y thõa mãn hệ bất phương trình ñã cho là 0. TN2.57 80 Biểu thức L = y − x , với x và y thõa mãn hệ bất phương trình ở bài tập 13, ñạt giá trị lớn nhất là a và ñạt giá trị nhỏ nhất là b . Hãy chọn kết quả ñúng trong các kết quả sau: 25 −9 và b = −2 . B. a = 3 và b = −2 . C. a = 3 và b = 0 . D. a = 3 và b = . A. a = 8 8 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Tóm tắt tắt lí thuyết Địnhlívềdấutamthứcbậchai: f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ∆<0 a. f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ f ( x ) cùng dấu với a ∆=0  b a. f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ −   2a  f ( x ) cùng dấu với a ∆>0 a. f ( x ) < 0, ∀x ∈ ( x1 ; x2 ) Trong trái a. f ( x ) > 0, ∀x ∈ (– ∞; x1 ) ∪ ( x2 ; +∞) Ngoài cùng Phương pháp giải giải toán Dạng1. Xétdấubiểuthức  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Dấucủatamthứcbậchai: ∆ = b 2 − 4ac / ∆′ = b′2 − ac ① TH1: ∆ < 0 : f ( x ) vô nghiệm x +∞ –∞ f ( x) cùng dấu với a b 2a b − 2a ② TH2: ∆ = 0 : f ( x ) có nghiệm kép x1 = x2 = − x –∞ cùng dấu với a f ( x) 0 +∞ cùng dấu với a ③ TH3: ∆ > 0 : f ( x ) có 2 nghiệm x1 , x2 ( x1 < x2 ) : x f ( x) x1 –∞ cùng 0 x2 trái 0 +∞ cùng “Trong traùi, ngoaøi cuøng” B. BÀI TẬP MẪU GV. Trần Quốc Nghĩa 81 TI LIU H C T P TON 10 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh VD2.4 Xét dấu các biểu thức sau: ① f ( x ) = − x 2 + 3x − 5 ② f ( x ) = 3 x 2 + 2 x + 5 ③ f ( x ) = 9 x 2 − 24 x + 16 ④ f ( x ) = ⑤ f ( x ) = ( 3x − 10 x + 3) ( 4 x − 5 ) 2 ⑥ f ( x) ( 3x = 2 2x2 − x −1 x2 − 4 − x )( 3 − x 2 ) 4x2 + x − 3 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... 82 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 C. BÀI TẬP CƠ BẢN 2.9 Xét dấu các biểu thức sau: ① f ( x ) = 5 x 2 − 3x + 1 ② f ( x ) = −2 x 2 + 3x + 5 ③ f ( x ) = x 2 + 12 x + 36 ④ f ( x ) = ( 2 x − 3)( x + 5 ) ⑤ f ( x ) = 3x 2 − 2 x + 1 ⑥ f ( x ) = − x2 + 4 x −1 3 4 2 ⑩ f ( x ) = 4 x − 3x −1 ⑧ f ( x ) = 3x 2 + x + 5 ⑨ f ( x ) = 2 x 2 + 5x + 2 ⑦ f ( x ) = x 2 − 3x + ⑪ f ( x ) = −3 x 2 + 5 x + 1 ( ) ⑫ f ( x ) = 1 − 2 x2 − 2x +1 + 2 D. BÀI TẬP NÂNG CAO 2.10 Xét dấu các biểu thức sau: ① f ( x ) = ( 3x 2 − 10 x + 3) ( 4 x − 5 ) ② f ( x ) = ( 3x 2 − 4 x )( 2 x 2 − x − 1) ③ f ( x ) = ( 4 x 2 − 1)( −8 x 2 + x − 3 ) ④ f ( x ) = ( 3x 2 − 4 x )( 2 x 2 − x − 1) ⑤ f ( x) = 3x − 2 x − 3x2 + 2 ⑥ f ( x) = ⑦ f ( x) = 11x + 3 − x 2 + 5x − 7 ⑧ f ( x) = 3 x−7 4 x − 19 x + 12 2 x 2 + 4 x − 12 6 x 2 + 3x + 2 x2 − 3x − 2 ⑨ f ( x) = 2 − x + x −1 x3 − 5x + 4 ⑩ f ( x) = 4 x − 4 x3 + 8x − 5 15 x 2 − 7 x − 2 ⑪ f ( x) = 6 x2 − x + 5 x 4 − 17 x 2 + 60 ⑫ f ( x) = x ( x 2 − 8 x + 5) Dạng2. Giảibấtphươngtrìnhbậchai  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Bước 1. Cho f ( x ) = 0 tìm nghiệm x1 , x2 (nếu có) • Bước 2. Lập bảng xét dấu f ( x ) dựa vào dấu của tam thức bậc hai (chú ý sắp xếp các nghiệm theo thứ tự). • Bước 3. Từ bảng xét dấu, suy ra tập nghiệm của bất phương trình. B. BÀI TẬP MẪU VD2.5Giải các bất phương trình sau: ① 3x2 + 2 x + 5 > 0 ② −2 x 2 + 3x + 5 > 0 ③ −3x 2 + 7 x − 4 < 0 ④ 9 x 2 − 24 x + 16 ≥ 0 ⑤ x2 − 4 x + 3 ≥ 0 ⑥ −2 x 2 + 5 x − 3 ≥ 0 ⑦ − x2 + 6 x − 9 > 0 ⑧ 16 x 2 + 40 x + 25 > 0 ⑨ 2 x2 + 4 x + 3 < 0 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... GV. Trần Quốc Nghĩa 83 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP CƠ BẢN 2.11 Giải các bất phương trình sau: ① 4 x2 − x + 1 < 0 ② −3x 2 + x + 4 ≥ 0 ③ x2 − x − 6 ≤ 0 ④ x2 − 2x + 3 > 0 ⑤ −5 x 2 + 4 x + 12 < 0 ⑥ 16 x 2 + 40 x + 25 < 0 ⑦ 3x2 − 4 x + 4 ≥ 0 ⑧ x2 − x − 6 ≤ 0 ⑨ x2 + 9 > 6 x ⑩ 6×2 − x − 2 ≥ 0 ⑪ ⑬ 2 ( x + 2 ) − 3,5 ≥ 2 x ⑭ x ( x + 5) ≤ 2 ( x 2 + 2 ) 2 84 1 2 x − 3x + 6 < 0 3 ⑫ 2 x 2 − 7 x − 15 ≥ 0 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 Dạng3. Giảibấtphươngtrìnhtích,thương  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Giảibấtphươngtrìnhdạng: f ( x ) . g ( x ) > 0 hoặc f ( x) >0 g ( x) • Bước 1. Tìm ñiều kiện xác ñịnh D1 nếu có. • Bước 2. Cho f ( x ) = 0; g ( x ) = 0 tìm nghiệm xi ( i = 1. .n ) • Bước 3. Lập bảng xét dấu của f ( x ) , g ( x ) suy ra dấu của f ( x ) . g ( x ) và f ( x) . g ( x) • Bước 4. Từ bảng xét dấu, suy ra tập nghiệm S1 . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = D1 ∩ S1 . B. BÀI TẬP MẪU VD2.6 Giải các bất phương trình sau: ( 2 − x )( x ② 2 ① (1 − 2 x ) ( x + x − 30 ) < 0 2 ③ 2 x2 + 3x − 2 ≥0 x2 − 5 x + 6 2 − 2 x + 1) − x + 3x + 4 2 ④ >0 2 x 2 − 16 x + 27 ≤2 x 2 − 7 x + 10 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. GV. Trần Quốc Nghĩa 85 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.12 Giải các bất phương trình sau: ① x 4 − 3x 2 ≤ 0 ② ( 2 x + 1) ( x 2 + x − 30 ) ≥ 0 ③ 3×4 − x3 + 4 x2 − x + 3 ≥ 0 ④ (1 − 2 x ) ( x 2 + x − 30 ) < 0 ⑤ x 4 − 5x 2 + 4 < 0 ⑥ x 4 − 2 x 2 − 63 ≤ 0 ⑦ x 4 − 3x 2 + 2 > 0 ⑧ x 6 + 19 x3 − 216 ≥ 0 2.13 Giải các bất phương trình sau: ① x4 − x 2 ≤0 x2 + 5 x + 6 ② x 2 − 9 x + 14 ≥0 x 2 − 5x + 4 ③ x−2 >0 x − 9 x + 20 ④ 4 x2 + 3x − 1 >0 x 2 + 5x + 7 ⑤ 5 x 2 + 3x − 8 <0 x2 − 7 x + 6 ⑥ x2 + 4 x + 4 <0 2x2 − x −1 ⑦ x4 + x 2 + 1 ≤0 x2 − 4 x − 5 ⑧ x 2 − 7 x + 12 >0 2 x2 + 4 x + 5 ⑨ x 2 − 7 x + 12 >0 2 x2 + 4 x + 5 ② −2 x 2 + 7 x + 7 ≤ −1 x 2 − 3 x − 10 ③ 1 1 < 2 x − 5 x + 4 x − 7 x + 10 x 2 − 5x + 6 x + 1 ≥ x2 + 5 x + 6 x 2x − 5 1 ⑧ 2 < x − 6x − 7 x − 3 1 1 2 ⑪ − ≤ x−2 x x+2 ⑥ 2 2.14 Giải các bất phương trình sau: ① 1 3 < 2 x − 4 3x + x − 4 2 x 2 − 10 x + 14 ≥1 x 2 − 3x + 2 2 1 1 ⑦ + − ≤0 x x −1 x +1 1 2 3 ⑩ + < x +1 x + 3 x + 2 ⑤ 14 x 9 x − 30 < x +1 x−4 ⑭ ④ ⑬ 2 2 1 2x −1 − ≥ 3 x − x +1 x +1 x +1 1 1 1 + > ⑨ x − 2 x −1 x x −1 x +1 ⑫ − <2 x x −1 2 2 ( x − 4) 1 ≥ ( x − 1)( x − 7 ) x − 2 2.15 Giải các bất phương trình sau: ① ( x 2 + x + 1)( x 2 + x + 3) ≥ 15 ② ( x 2 + 3x + 1)( x 2 + 3 x − 3) ≥ 5 ③ ( x 2 − x − 1)( x 2 − x − 7 ) < −5 ④ 2 x2 + 2 x − 15 +1 < 0 x + x +1 2 2.16 Tìm các giá trị nguyên không âm của x thỏa mãn bất phương trình: x+3 1 2x − < 2 x − 4 x + 2 2 x − x2 2.17 Tìm tập xác ñịnh của các hàm số sau: ① y= ③ 86 y= ( 2 x + 5)(1 − 2 x ) 3 − 3x −1 2 − x − 2 x + 15 ② y= x2 + 5 x + 4 2 x2 + 3x + 1 ④ y= x 2 − 5x + 4 x2 + 5 x + 4 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 Dạng4. Giảihệbấtphươngbậchai  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI  f ( x ) = ax 2 + bx + c > 0 (1) Giảihệbptbậchaimộtẩn:  2 ′ ′ ′ g x = a x + b x + c > 0 2 ( ) ( )  • Bước 1. Giải (1) , ( 2 ) ñược tập nghiệm tương ứng S1 , S 2 . • Bước 2. Tập nghiệm của hệ là S = S1 ∩ S2 . B. BÀI TẬP MẪU VD2.7 Giải các hệ bất phương trình sau: 2 3 x − 7 x + 2 > 0 ① 2 −2 x + x + 3 > 0 2 x + 1 > 5 ② 2 2 x − 9 x + 7 ≤ 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. GV. Trần Quốc Nghĩa 87 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.18 Giải các hệ bất phương trình sau: 2 2 x + 9 x + 7 > 0 ① 2 ②  x + x − 6 < 0 2 x 2 + x − 6 > 0 ④ 2 ⑤ 3 x − 10 x + 3 > 0 2 4 x − 5 x − 6 ≤ 0  2 −4 x + 12 x − 5 < 0  x 2 − 2 x − 3 > 0  2  x − 11x + 28 ≥ 0 3 x 2 − 4 x + 1 > 0 ⑦ 2 3 x − 5 x + 2 ≤ 0  x 2 − 8 x + 7 < 0 ⑧ 2  x − 8 x + 20 > 0 ( x − 1)( 2 x + 3) > 0  ⑩ 1  ( x − 4 )  x +  ≤ 0  4   x 2 ≥ 4 x ⑪ 2 ( 2 x − 1) < 9 2 −2 x − 5 x + 4 ≤ 0 ③ 2 − x − 3x + 10 ≥ 0  x 2 ≥ 0, 25 ⑥ 2  x − x ≤ 0  2 1 x − > 0 ⑨ 4 −2 x 2 + 5 x − 5 > 0  2 x − 3 < ( x + 1)( x − 2 ) ⑫ 2  x − x ≤ 6 2.19 Giải các hệ bất phương trình sau:  x 2 − 9 < 0 ① 2 ( x − 1) ( 3x + 7 x + 4 ) ≥ 0 x2 − 4 > 0  ② 1 1 1  x +1 + x + 2 ≥ x  x2 − 4 x − 5 < 0  ④ x2 − 6x + 8 > 0 2 x − 3 ≥ 0   ( 2 x + 1)( 4 − x ) ≤0  ⑤  x2 + 2 x − 3 ( x 2 − 16 x + 21) 2 < 36 x 2   x 2 + 3x + 2 < 0  ③ x  x +1 ≥ 0   x 2 − 7 x + 4  2  >4  x − 2  ⑥  x2 − 5  x − 1 ≤ 0  ( 4 x 2 − 3 x + 8 ) 2 − ( 5 x 2 + 4 x )2 ≥0  ⑧  2×2 + x − 3 2  2 ( x − 8 x ) < ( x + 10 )  x 2 − 12 x − 64 < 0  ⑦  x 2 − 8 x + 15 > 0 −0, 75 ≤ x ≤ 6,5  2.20 Tìm giá trị của a sao cho ∀x ta luôn có: −1 ≤ x2 + 5 x + a <7 2 x 2 − 3x + 2 Dạng5. Phươngtrình&B Phươngtrình&Bấtph ối ình&Bấtphươngtr ấtphươngtrìnhch ươngtrìnhchứadấugiátrịtuyệt ìnhchứadấugiátrịtuyệtđ ứadấugiátrịtuyệtđối  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • ðể giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu trị tuyệt ñối, ta thường sủ dụng ñịnh nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt ñối ñể khử dấu giá trị tuyệt ñối. • Xem lại cách giải phương trình trị tuyệt ñối (Chương 3) • Các dạng thường gặp sau: Dạng ①: A > B ⇔ A < − B hoặc A > B Dạng ②: A B ⇔ ( A − B )( A + B ) > 0 Dạng ④: a A + b B > C : dùng phương pháp chia khoảng.  Lưu ý:  A = A⇔ A≥0  A = −A ⇔ A ≤ 0 88 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 B. BÀI TẬP MẪU VD2.8 Giải các phương trình, bất phương trình sau: ① x 2 − x + 3x − 2 > 0 ② x 2 − 8 x + 15 = x − 3 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.21 Giải các phương trình sau: ① x − 5x + 4 = x + 6 x + 5 ② x −1 = 2x −1 x2 − 2 ③ =2 x +1 ④ 2 x + 3 = 4 − 3x ⑤ x2 − 2x − 3 = 2x + 2 ⑥ x2 − 2 x − 1 = 0 ⑦ x2 − 2 x − 3 = x2 − 2 x + 5 ⑧ 2x − 3 = x −1 2 2 2.22 Giải các bất phương trình sau: ① − x2 + x − 1 ≤ 2 x + 5 ② x2 − x ≤ x2 −1 ③ x 2 − 5x + 4 ≤ x2 + 6 x + 5 ④ 4 x2 + 4 x − 2 x + 1 ≥ 5 ⑤ 3×2 − 5x + 2 > 0 ⑥ 2.23 Giải các bất phương trình sau: ① x −1 + x + 2 < 3 2.24 Tìm tất cả các giá trị x thỏa mãn: 3 ① x 2 + x + 1 = 2 x − 1 và x < 3 ③ x + 3 + x2 + 3x = 0 GV. Trần Quốc Nghĩa 2x −1 1 < x − 3x − 4 2 2 ② 2 x − 3 − 3x + 1 ≤ x + 5 ② x 2 + 2 x − 4 + 2 x + 6 = 0 và x + 18 < 1 ④ x 2 − 20 x − 9 = 3x 2 + 10 x + 21 89 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 Dạng6. Phươngtrình&B Phươngtrình&Bấtph ình&Bấtphươngtr ấtphươngtrìnhch ươngtrìnhchứac ìnhchứacănth ứacănthức ănthức ức  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • ðể giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng phép nâng lũy thừa hoặc ñặt ẩn phụ ñể khử căn. • Xem lại cách giải phương trình có dấu căn (Chương 3) • Các dạng bất phương trình có chứa ẩn trong căn thức thường gặp: B ≥ 0 Dạng ①: A > B ⇔  A > B  Lưu ý: ðối với các phương Dạng ②: A ≥ 0  A 0  A < B2  Dạng ③:  A ≥ 0  B < 0 A > B ⇔  B ≥ 0    A > B 2 trình, bất phương trình không có dạng chuẩn như lí thuyết, ta thực hiện:  B1: ðặt ñiều kiện cho căn có nghĩa.  B2: Chuyển vế sao cho 2 vế ñều không âm. ñể khử căn. B. BÀI TẬP MẪU VD2.9 Giải các hệ bất phương trình sau: ① x2 − 1 ≥ x + 2 ② ④ x ( x + 3) ≤ 6 − x 2 − 3 x ⑤ ( x 2 + x − 2) 2 x 2 −1 < 0 x 2 − 3x − 10 < x − 2 ③ x 2 − 2 x − 15 < x − 3 ⑥ x + 3 − x −1 < x − 2 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... 90 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... GV. Trần Quốc Nghĩa 91 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.25 Giải các phương trình sau: ① 2 x2 + 4 x − 1 = x + 1 ② 9 x + 3x − 2 = 0 ③ − x2 + 2 x + 4 = x − 2 ④ x2 − 2 x − 3 = 2 x + 3 ⑤ 5 x 2 − 6 x − 4 = 2 ( x − 1) ⑥ 9 − 5x = 3 − x + ⑦ x2 − 4 = 2 x − 3 ( ) 6 3− x ⑧ 4 x 2 + 101x + 64 = 2 ( x + 10 ) 2.26 Giải các phương trình sau: ① x 2 + 2 x = −2 x 2 − 4 x + 3 ② ③ x 2 + 3 x + 12 = x 2 + 3x ④ 2 x2 − 3 − 5 2 x 2 + 3 = 0 ⑤ 18 − 2 81 − 7x3 = x3 ( x + 1)( x + 2 ) = x2 + 3x − 4 ⑥ 2 x2 + 3x + 3 = 5 2 x3 + 3x + 9 ⑦ 2 x 2 + 6 − 2 2 x 2 − 3 x + 2 = 3 ( x + 1) 2.27 Giải các phương trình sau: ① ( x + 1) 16 x + 17 = ( x + 1)( 8 x − 23) ③ 2x 13x + 2 =6 2 x − 5x + 3 2 x + x + 3 2 21 − x2 + 4 x − 6 = 0 x − 4 x + 10 2 x   2 ④ x +  =1  x −1  ② 2 2.28 Giải các bất phương trình sau: ① x2 + x − 6 < x − 1 ② 2 x −1 ≤ 2 x − 3 ③ ④ x 2 − 5 x − 14 ≥ 2 x − 1 ⑤ x2 + 6 x + 8 ≤ 2 x + 3 ⑥ ⑧ x 2 − x − 12 ≥ x − 1 ⑨ 2.29 Giải các bất phương trình sau: ② ① 1− x + 4 + x ≤ 3 x+2 − x−6 > 2 ③ 22 − x − 10 − x < 2 x + 2 − x −1 < x ⑥ 2x +1 ≤ 2 x − x − 3 x + 3 − 7 − x ≥ 2x − 8 ⑨ ⑦ 2 x2 + 7 x + 5 > x + 1 ⑩ x 2 − 4 x − 12 ≤ x − 4 x2 + 4 x − 5 ≤ x + 3 ④ x2 + 9 − x 2 + 7 ≥ 2 ⑦ x + 3 − x −1 < x − 2 ⑧ ⑩ 4 x + 2 > 5 x 2 + 61x ⑬ 2 x2 − 1 > 1 − x 2 − x + 4x − 3 ≥2 x ⑤ x + 3 − x −1 < x − 2 ⑪ − x 2 − 8 x − 12 > x + 4 ⑫ 5 x 2 + 61x < 4 x + 2 ⑭ ⑮ − x2 + 6 x − 5 > 8 − 2 x x + 3 < 1− x 2.30 Giải các bất phương trình sau: ①6 92 ( x − 2 )( x − 32 ) ≤ x 2 − 34 x + 48 ② ( x + 4 )( x + 1) − 3 x 2 + 5 x + 2 < 6 ③ x 2 − 4 x − 6 ≥ 2 x 2 − 8 x + 12 ④ 2 x ( x − 1) + 1 > x 2 − x + 1 ⑤ 5 x 2 + 10 x + 1 ≥ 7 − 2 x − x 2 ⑥ ( x + 1)( x + 4 ) < 5 x 2 + 5 x + 28 ⑦ ( 4 + x )( 6 − x ) ≤ x2 − 2 x − 12 ⑧ −4 ⑨ x ( x + 3) ≤ − x 2 − 3 x + 6 ⑩ ( 4 − x )( x + 2 ) ≤ x 2 − 2 x − 12 ( x + 1)( x + 2 ) < x 2 + 3x − 4 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 2.31 Giải các bất phương trình sau: 4x x −1 3 − > x −1 4x 2 ① ③2 ②2 6x −1 2x < +1 x 6 x −1 3x − 1 x ≥ +1 x 3x − 1 5 ④5 x+ < 2x + 2 x 1 +4 2x 2.32 Giải các bất phương trình sau: ① x +1 + 3 − x + ② x ( x + 4 ) − x2 + 4 x + ( x − 2) < 2 2 ( x − 1)( 3 − x ) ≤ 2 ③ 7 x + 7 + 7 x − 6 + 2 49 x 2 + 7 x − 42 < 181 − 14 x 2.33 Giải các bất phương trình sau (nhân lượng liên hợp): ① ③ x +8 ( ( ) ② x+3 − x ≥ 3 3x + 6 + 3 x − 3 )( ( ⑤ 4 ( x + 1) < ( 2 x + 10 ) 1 − 3 + 2 x 2 ) ④ 3x + 1 − 3x − 2 ≤ 3 ) x −1 ( ) x − 3 − 8 − x ≥ 2 x − 11 16 x 2 ( ) 4x + 1 −1 2 ≥ 4 (3x − 2 ) 2 2.34 Giải các bất phương trình sau: ① x 2 − 4 x + 3 − 2 x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1 ② x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 4 ③ x2 + x − 2 + x 2 + 2 x − 3 ≤ x2 + 4 x − 5 ④ x2 + 3x + 2 + x2 + 6 x + 5 ≤ 2 x2 + 9 x + 7 2.35 Giải các bất phương trình sau: ① ( x − 2 ) x2 + 4 ≤ x2 − 4 ② ( 2 x + 1) x + 1 < 4 x 2 − 1 ③ ( x − 3) x 2 − 4 ≤ x 2 − 9 ④ ( x − 3) x 2 + 4 ≤ x 2 − 9 ⑤ 9 x2 − 4 5x 2 − 1 ≤ 3x + 2 ⑥ 3 ( 4 x2 − 9) 3x 2 − 3 ≤ 2x + 3 2.36 Giải các bất phương trình sau: ① ③ 2x − 4 x 2 − 3 x − 10 >1 x+5 <1 1− x ② − x2 + x + 6 − x2 + x + 6 ≥ 2x + 5 x−4 ④ 12 + x − x 2 12 + x − x 2 ≥ x − 11 2x − 9 2.37 Giải các bất phương trình sau: ① ( x − 1) x 2 − x − 2 ≥ 0 ② ( x 2 − 3x ) 2 x 2 − 3 x − 2 ≥ 0 2.38 Tìm tập xác ñịnh của các hàm số sau: ① y= x + 3x − 4 − x + 8 ② y= ③ y= 1 1 − 2 x − 7 x + 5 x + 2x + 5 ④ y= 2 2 GV. Trần Quốc Nghĩa x2 + x + 1 2x −1 − x − 2 x 2 − 5 x − 14 − x + 3 93 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 Dạng7. Bàitoánchứathamsốtrongphươngtrình&bấtphươngtrình  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Tamthứcbậchaikhôngđổidấutrên ℝ : Từ ñịnh lí về dấu của tam thức bậc hai, ta suy ra kết quả sau: Cho f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) a > 0 ① f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ < 0 a > 0 ② f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ ≤ 0 a < 0 a < 0 ③ f ( x ) < 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ④ f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ < 0 ∆ ≤ 0  Trong trường hợp hệ số a có chứa tham số ta xét 2 trường hợp:  Trường hợp 1: a = 0 , giải tìm giá trị m rồi thay vào f ( x ) kiểm tra  Trường hợp 2: a ≠ 0 : Áp dụng 1 trong 4 công thức trên. Từ ñó ta có thể suy ra ñiều kiện vô nghiệm của bất phương trình: a < 0 ⑤ ðể BPT f ( x ) > 0 vô nghiệm ⇔ f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ ≤ 0 a < 0 ⑥ ðể BPT f ( x ) ≥ 0 vô nghiệm ⇔ f ( x ) < 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ < 0 a > 0 ⑦ ðể BPT f ( x ) < 0 vô nghiệm ⇔ f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ ≤ 0 a > 0 ⑧ ðể BPT f ( x ) ≤ 0 vô nghiệm ⇔ f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ < 0 2. Giảivàbiệnluậnbấtphươngtrìnhbậchai:f(x)=ax2+bx+c>0 • Bước 1. Xét a = 0 (nếu hệ số a có tham số) • Bước 2. Lập ∆ , cho ∆ = 0 ñể tìm nghiệm, nếu có nghiệm thì nghiệm là mi = … • Bước 3. Lập bảng xét dấu a và ∆ trên cùng một bảng xét dấu (biến số là m ). • Bước 4. Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm của bất phương trình. B. BÀI TẬP MẪU ( ) 2 2 2 VD2.10 Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: 2 x − m − m + 1 x + 2m − 3m − 5 = 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 94 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 VD2.11 Tìm m ñể các biểu thức ( m + 2 ) x 2 + 2 ( m + 2 ) x + m + 3 luôn luôn dương. • • Giải Với m = −2 , tam thức bậc hai trở thành 1 > 0 : ñúng với mọ i x . Với m ≠ −2 , yêu cầu bài toán ⇔ ( m + 2 ) x 2 + 2 ( m + 2 ) x + m + 3 > 0, ∀x ∈ ℝ a > 0 m + 2 > 0 m + 2 > 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ m > −2 . 2 ∆′ < 0 −m − 2 < 0 ( m + 2 ) − ( m + 2 )( m + 3) < 0 VD2.12 Tìm m ñể biểu thức sau luôn dương. ① ( m + 2 ) x2 + 2 ( m + 2) x + m + 3 . ② ( m 2 + 2 ) x 2 − 2 ( m + 1) x + 1 . .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... VD2.13 Tìm m ñể các biểu thức sau luôn âm ① f ( x ) = mx 2 − x − 1 . ② g ( x ) = ( m − 4 ) x 2 + ( 2m − 8 ) x + m − 5 . .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... GV. Trần Quốc Nghĩa 95 TI LIU H C T P TON 10 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh VD2.14 Tìm m ñể x 2 + 2 ( m + 1) x − m + 3 ≥ 0 ñúng với mọ i x ≥ 0 . .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... VD2.15 Tìm m ñể bất phương trình sau vô nghiệm: ( m − 2 ) x 2 + 2 ( m + 1) x + 2m > 0 . ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 96 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 VD2.16 Tìm m ñể hàm số sau có tập xác ñịnh là ℝ : y = f ( x ) = 2 x − 3 + ( m − 1) x 2 + 3 ( m − 1) x + m ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. VD2.17 Giải và biện luận bpt: 2 x 2 + ( m − 9 ) x + m2 + 3m + 4 ≥ 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. GV. Trần Quốc Nghĩa 97 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.39 Tìm m ñể mỗ i phương trình sau ñây có nghiệm: ① ( m − 5 ) x 2 − 4mx + m − 2 = 0 ② ( m + 1) x 2 + 2 ( m − 1) x + 2m − 3 = 0 ③ x 2 + (m − 2) x − 2m + 3 = 0 2.40 Tìm m ñể mỗ i phương trình sau ñây vô nghiệm: ① ( 3 − m ) x 2 − 2 ( m + 3) x + m + 2 = 0 ② ( m − 2 ) x 2 + 2 ( 2 m − 3 ) x + 5m − 6 = 0 2.41 CMR: mỗ i phương trình sau vô nghiệm dù m lấy bất kì giá trị nào: ① x 2 − 2 ( m + 1) x + 2m 2 + m + 3 = 0 ② ( m 2 + 1) x 2 + 2 ( m + 2 ) x + 6 = 0 ③ ( 2m 2 + 1) x 2 − 4mx + 2 = 0 ④ x 2 + 2 ( m + 1) x + 2 ( m2 + m + 1) = 0 ⑤ x 2 + 2 ( m − 3) x + 2m 2 − 7 m + 10 = 0 ⑥ x2 − ( ) 3m − 1 x + m 2 − 3m + 2 = 0 2.42 Chứng minh rằng mỗ i phương trình sau ñây luôn có nghiệm với mọ i giá trị của tham số m : 1 ② x 2 − 2 ( m − 1) x + m − 3 = 0 ① x 2 + ( m + 1) x + m − = 0 3 3 1 ③ x 2 + ( m + 1) x + m + = 0 ④ ( m − 1) x 2 + ( 3m − 2 ) x + 3 − 2m = 0 4 2 2.43 Tìm m ñể mỗ i bất phương trình sau ñây vô nghiệm: ① x2 + 6x + m + 7 ≤ 0 ② − x 2 + 2 ( m − 1) x + 1 ≥ 0 ③ ( m − 2) x2 + 2x − 4 ≥ 0 ④ mx 2 − 4 ( m + 1) x + m − 5 < 0 ⑤ ( m − 2 ) x2 + 2 ( m − 2) + m + 4 ≤ 0 ⑥ ( m − 4 ) x 2 + ( m + 1) x + 2m − 1 ≥ 0 ⑦ ( m − 1) x 2 + 2 ( m − 1) x + 3m − 2 > 0 ⑧ ( 3m + 1) x 2 − ( 3m − 4 ) x − 2m + 1 < 0 ⑨ ( m 2 + 2m − 3) x 2 + 2 ( m − 1) x + 1 < 0 ⑩ m ( m + 8 ) x 2 − 2 ( m + 8 ) x + 8m + 1 ≥ 0 2.44 Tìm m ñể mỗ i hàm số sau có tập xác ñịnh là ℝ : ① y = f ( x) = ③ y = f ( x) = ⑤ y = f ( x) = (m 2 + 4m − 5 ) x 2 − 2 ( m − 1) x + 2 ② y = f ( x ) = 4x + 5 ( 2 − 3m ) x2 + 2mx + m − 1 mx 2 + ( m + 2 ) x + 2 x −1 ⑥ y = f ( x ) = 5 x 2 + 2m − ( 3m + 1) x 2 − ( 3m + 1) x + m + 4 + x − 2 ④ y = f ( x ) = 3 x 2 + mx − 7 − 3x 2 − 4 x −2 x 2 + mx + m + m2 − 3m + 2017 ( m + 1) x2 − 2 ( m − 1) + 2 − 2m 2.45 Tìm các giá trị của m ñể mỗ i biểu thức sau luôn dương: ① x2 − 4x + m − 5 ③ x2 + 4x + ( m − 2) 98 ② x 2 − ( m + 2 ) x + 8m + 1 2 ④ ( 3m + 1) x 2 − ( 3m + 1) x + m + 4 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 2.46 Tìm các giá trị của m ñể mỗ i biểu thức sau luôn âm: ① ( m + 2 ) x2 + 5 x − 4 ② ( m − 4 ) x 2 + ( m + 1) x + 2m − 1 ③ mx 2 − 12 x − 5 ④ − x 2 + 4 ( m + 1) x + 1 − m 2 2.47 Tìm các giá trị của m ñể bất phương trình sau nghiệm ñúng với mọ i x (có tập nghiệm là ℝ ): ① − x 2 + 2m 2 x − 2m 2 − 1 < 0 ② ( m2 − 1) x 2 + 2 ( m + 1) x + 3 > 0 ③ ( m2 + 3) x 2 + 2 ( m + 1) x + 1 > 0 ④ ( m 2 + 2 ) x 2 − 2 ( m + 1) x + 1 > 0 ⑤ ( m − 1) x 2 + 2 ( m − 1) x − 4m < 0 ⑥ ( m − 4 ) x2 − ( m − 6 ) x + m − 5 ≤ 0 ⑦ ( m + 1) x 2 − ( m − 1) x − 1 − 2m < 0 ⑧ ( m + 1) x 2 − 2 ( m − 1) x − m + 2 > 0 ⑨ ( m − 2 ) x 2 − 2 ( m − 3) x + m − 1 < 0 ⑩ ( m − 1) x 2 − 2 ( m + 1) x + 3 ( m − 2 ) > 0 2.48 Tìm các giá trị của m ñể mỗ i hệ bất phương trình sau có nghiệm:  x 2 + 2 x − 15 < 0 ① ( m + 1) x ≥ 3  x 2 − 5x + 6 < 0 ② mx + 4 < 0 4 x + 1 < 7 x − 2 ③ 2  x − 2mx + 1 ≤ 0  x 2 − 3x − 4 ≤ 0 ④ ( m − 1) x − 2 ≥ 0 2.49 Tìm các giá trị của m ñể mỗ i hệ bất phương trình sau vô nghiệm:  x 2 − 3x − 4 ≤ 0 ② ( m − 1) x − 2 ≥ 0  x 2 + 10 x + 16 ≤ 0 ① mx ≥ 3m + 1 2.50 Tìm các giá trị của m ñể: ① x 2 + 2 ( m + 1) x − m + 3 ≥ 0 ñúng ∀x ≤ 0 ② x 2 − ( m + 1) x + 1 > 0 ñúng ∀x > 0 ③ ( 3 − m ) x 2 − 2 ( m + 1) x + 1 > 0 ñúng ∀x < 0 ④ x 2 − 2 ( m − 2 ) x + m − 2 ≤ 0 ñúng ∀x ∈ [ 0; 1] ⑤ x 2 − 2mx + 3m − 2 > 0 ñúng ∀x ∈ (1; 2 ) 2.51 Tìm tham số m ñể bất phương trình: mx 2 − 2 ( m − 1) x − m − 5 ≤ 0 ① Có nghiệm ② Có duy nhất một nghiệm ③ Có nghiệm là một ñoạn trên trục số có ñộ dài bằng 2. 2.52 Tìm tham số m ñể bất phương trình: (1 − m ) x 2 + 2mx + m − 6 ≥ 0 ① Có nghiệm ② Có duy nhất một nghiệm ③ Có nghiệm là một ñoạn trên trục số có ñộ dài bằng 1. 2.53 Tìm các giá trị của m sao cho phương trình: x 4 + (1 − 2m ) x 2 + m 2 − 1 = 0 ① Vô nghiệm ② Có 2 nghiệm phan biệt. ③ Có 4 nghiệm phân biệt. 2.54 Tìm các giá trị của a sao cho phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: ( a − 1) x 4 − ax2 + a 2 − 1 = 0 GV. Trần Quốc Nghĩa 99 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 BÀI TẬP TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 6  TN2.58 Cho tam thức bậc hai f ( x ) = x 2 − x − 12 . Khẳng ñịnh nào sau ñây là khẳng ñịnh sai ?  2371  A. f  −  < 0.  801   1583492  C. f   >0.  4100013  TN2.59  35683  B. f  −  < 0.  12110  D. f ( x ) < 0 với mọ i x thuộc ( −∞; −3 ) . Cho tam thức bậc hai f ( x ) = x 2 − x − 12 . Khẳng ñịnh nào sau ñây là khẳng ñịnh sai ? A. f ( x ) > 0 với mọ i x ≥ 0 . B. Tồn tại giá trị của x mà f ( x ) < 0 . C. Tập nghiệm của bất phương trình f ( x ) > 0 là ℝ . D. Phương trình f ( x ) = 0 , vô nghiệm. TN2.60 Cho tam thức bậc hai f ( x ) = 4 5 x − x 2 − 20 . Khẳng ñịnh nào sau ñây là khẳng ñịnh ñúng ? A. f ( −2016 ) < 0 . ( ) C. f 2 5 < 0 . TN2.61 B. f ( 2017 ) > 0 . D. Phương trình f ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt. Xét các khẳng ñịnh sau: x2 − x − 24 < 0 với mọ i x thuộc ℝ . 2 (II) ( x + 6 )( 8 − x ) > 0 với mọ i x thuộc ( 6; 8 ) . (I) (III) ( x + 6 )( 8 − x ) ≥ 0 với mọ i x thuộc ℝ ( 6; 8) . (IV) x 2 − 2 x − 48 < 0 với mọ i x thuộc ℝ . (V) − x 2 + 2 x + 48 < 0 với mọ i x thuộc ℝ [ 6; 8] . Số khẳng ñịnh ñúng trong các khẳng ñịnh trên là A. 1 B. 4 C. 3 TN2.62 D. 2 Cho f ( x ) = ax 2 + bx + c với a ≠ 0 , ∆ = b 2 − 4ac . Khẳng ñịnh nào sau ñây là khẳng ñịnh sai ? A. Nếu a < 0 và tồn tại số x0 sao cho f ( x0 ) > 0 thì ∆ > 0 . B. Nếu tồn tại số x0 sao cho af ( x0 ) > 0 thì phương trình f ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt. C. Nếu tồn tại số x0 sao cho af ( x0 ) > 0 thì ∆ < 0 . D. Nếu với mọ i số x ñều có af ( x0 ) > 0 thì phương trình f ( x ) = 0 vô nghiệm. Cho biểu thức f ( mx 2 − 5 x − 1) . Chọn kết quả ñúng trong mỗi bài tập 6 và 7. TN2.63 Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho biểu thức f ( x ) = ( mx 2 − 5 x − 1) > 0, x ∈ ℝ . A. m > 0 . C. m < − 100 25 . 4  25  B. m ∈  − ; 0  .  4  D. Không có giá trị nào của m . GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 TN2.64 Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho biểu thức f ( x ) = ( mx 2 − 5 x − 1) < 0, x ∈ ℝ . A. m < 0 . 25 C. m < − . 4 B. m = 0 . D. Không có giá trị nào của m . TN2.65 Cho biểu thức f ( x ) = x 2 + 2mx − 1 . Xét các khẳng ñịnh sau: (I) Không có giá trị nào của m ñể f ( x ) < 0 với mọ i giá trị của x . (II) Không có giá trị nào của m ñể f ( x ) > 0 với mọ i giá trị của x . (III) Với mỗ i giá trị của m ñều tồn tại x0 sao cho f ( x ) < 0 . (IV)Với mỗ i giá trị của m ñều tồn tại x0 sao cho f ( x ) > 0 . Các khẳng ñịnh ñúng là: A. ( I ) và ( II ) . B. ( I ) và ( IV ) . C. ( II ) và ( III ) . TN2.66 Tập nghiệm S của bất phương trình 3 x 2 − 5 x − 8 < 0 là  8  8 B. S =  −1;  . C. S = ℝ  −1;  . A. S = ∅ . 3   3 D. ( III ) và ( IV ) . D. S = ℝ . TN2.67 Trong các bất phương trình sau, bất phương trình có tập nghiệm S = [ 0;5] là A. x 2 + 5 x > 0 . B. x 2 + 5 x ≤ 0 C. x 2 + 5 x < 0 . D. − x 2 + 5 x ≥ 0 . TN2.68 Trong các bất phương trình sau, bất phương trình vô nghiệm là A. x 2 − 2 x + m 2 + 2 ≤ 0 . B. x 2 − 2 x − ( m 2 + 2 ) < 0 . D. x 2 + 2 x − ( m 2 + 2 ) > 0 . C. x 2 − 2 x + m 2 + 2 > 0 . TN2.69 Bất phương trình luôn có tập nghiệm ℝ với mọ i giá trị của m là A. x 2 − 2mx + 2m 2 − m + 1 < 0 . B. x 2 − 2mx + 2m 2 − m − 1 > 0 . C. x 2 − 2mx + 2m 2 − m + 1 > 0 . D. x 2 − 2mx + 2m 2 − m − 1 < 0 TN2.70 Tập nghiệm S của bất phương trình ( 2 x 2 − 3x + 2 )(1 − x 2 ) < 0 là A. S = ( −∞;1) ∪ (1; +∞ ) . C. S = ∅ . B. S = ( −1;1) . D. S = ℝ . TN2.71 Tập nghiệm S của bất phương trình ( x − 1 − x 2 )( 4 − x 2 ) ≥ 0 là A. S = ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) . B. S = ( −2; 2 ) . C. S = [ −2; 2] . x2 + 4 x + 4 ≤ 0 là x 2 − 5x + 4 B. S = ( 2;3) ∪ {−2} . C. S = ( −∞; 2 ) ∪ ( 3; +∞ ) . D. S = ℝ ( −2; 2 ) . TN2.72 Tập nghiệm S của bất phương trình A. S = [ 2;3] . TN2.73 Tập nghiệm S của bất phương trình D. S = [ 2;3] ∪ {−2} . 2 x 2 − x − 1 ≥ 1 là  1 − 17 1   1 + 17  A. S =  ; −  ∪ 1;  . 4 2 4     1 − 17 1   1 + 17  B. S =  ; −  ∪ 1; . 4 2 4     1 − 17 1 + 17  C. S =  ; . 4   4   1 − 17  1 + 17 D. S =  −∞; ; +∞  . ∪ 4   4   GV. Trần Quốc Nghĩa 101 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 TN2.74 Tập nghiệm S của bất phương trình TN2.75 2 x2 − x − 1 < 5 là 2 1 − 59 1 + 59  A. S =  ; . 4   4 1 − 59 1   1 + 59  B. S =  ; −  ∪ 1; . 2  4   4  1 − 59 1   1 + 59  C. S =  ; −  ∪ 1;  . 4 2 4       1 − 59  1 + 59 ; +∞  . D. S =  −∞; ∪ 4   4   Tập nghiệm S của bất phương trình | x − 2 x 2 + 3 |≤ 2 là 1 − 41 1   1 + 41  A. S =  ; −  ∪ 1; . 4 2 4     B. S = ∅ . 1  3  C. S =  −1; −  ∪ 1;  . 2  2   1 − 41   3 1 + 41  D. S =  ; −1 ∪  ; . 4   4  2 BAØI TAÄP TOÅNG HÔÏP PHAÀN 2  2.55 Giải các bất phương trình sau: 3x −1 − x + 2 > 2x − 3 ① 3 ( ② 2x + 5 3x − 7 −3 ≤ + x+2 3 4 ( ) ④ x− 5 ③ 1+ 3 x ≤ 4 + 2 3 2 ) ≥ (x + 5) 2 − 10 2.56 Giải các bất phương trình sau: ① x 2 − 16 x −3 + x−3 > 5 x−3 ② x6 − 4 x3 + 4 > x − 3 2 ② x + 14 x − 49 + x − 14 x − 49 = 14 ③ 3x 2 + 5 x + 7 − 3x 2 + 5 x + 2 > 1 2.57 Giải các phương trình sau: ① x + 3 − 4 x −1 + x + 8 − 6 x −1 = 1 ③ 2 2 x −1 −1 = 3 ④ x + 1 − x 2 = − 2 ( 2 x 2 − 1) 2.58 Giải các phương trình sau: ① x2 − 2x − 3 − 2 > 2x −1 ② 2 x + 1 < x − 2 + 3x + 1 ③ ④ x − 6 > x 2 − 5x + 9 x − 3 −1 + x + 5 −1 > 2 ⑤ 3x + 1 <3 x −3 ⑦ 3 ≥ x+2 x + 3 −1 ⑥ x+2 − x >0 4 − x3 9 ⑧ ≥ x−2 x −5 −3 2.59 Giải các hệ bất phương trình sau: 102 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 2 x 2 + 9 x + 9 > 0 ① 2 5 x − 7 x − 3 ≤ 0 3 x 2 + 11x − 4 ≤ 0 ② 2  x − 8 x − 20 ≤ 0 2 ( x − 1) − 3 ( x − 4 ) > x + 5  ③  3x − 4 ≥0  2  x + 4x + 4  3×2 − 7 x + 8 >1  x2 + 1 ④ 2  3x − 7 x + 8 ≤ 2  x 2 + 1 2.60 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của mỗ i hệ bất phương trình sau: 5 1   15 x − 2 > 2 x + 3 6 x + 7 > 4 x + 7 ① ② 2 ( x − 4 ) < 3 x − 14  8 x + 3 < 2 x + 25   2 2 2.61 Giải các bất phương trình sau: ① 3− x +5 > x ② 7 4− x +9 > x −9 ③ x + 13 + 24 − 6 6 − x > 0 ④ x ( x + 6) + 9 − x2 − 6x + 6 > 1 2.62 Giải và biện luận các bất phương trình sau theo tham số m : ① mx − 1 > 3x + m 2 ③ 3x (m − 7) 2 < ② m ( m − 2) x + 1 ≥ m −1 x −1 m−7 ④ x 2 + 2mx + 5 ≥ 0 ⑤ mx 2 + 4 x + 1 ≤ 0 ⑥ ( m − 3) x 2 − 2 ( m + 1) x − ( 2m − 3) ≤ 0 2.63 Tìm a và b ñể bất phương trình sau có tập nghiệm là [ 0; 2] : ( x − 2a + b − 1)( x + a − 2b + 1) ≤ 0 2.64 Tìm a và b ( b > –1 ) ñể hai bất phương trình sau tương ñương: ( x − a + b )( x + 2a − b ) ≤ 0 và x + a − 2 ≤ b + 1 2.65 Giải các bất phương trình, hệ bất phương trình sau (ẩn m ): ① 2m 2 − m − 5 > 0 ② −m 2 + m + 9 > 0 ③ ( 2m − 1) − 4 ( m + 1)( m − 2 ) ≥ 0 ④ m 2 − ( 2m − 1)( m + 1) < 0  2 2 ( 2m − 1) − 4 ( m − m ) ≥ 0   1 ⑤ 2 >0 m − m   2m − 1  m2 − m > 0  2 ( m − 2 ) − ( m + 3)( m − 1) ≥ 0  m − 2 ⑥ <0 m + 3   m −1  m + 3 > 0 2m − 1 > 0 ⑦ 2 m − ( m − 2 )( 2m − 1) < 0 m 2 − m − 2 < 0 ⑧ 2 2 ( 2m − 1) − 4 ( m − m − 2 ) ≤ 0 2 GV. Trần Quốc Nghĩa 103 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 2.66 Tìm các giá trị của tham số m ñể các tam thức bậc hai sau có dấu không ñổi (dấu không phụ thuộc vào x ): ① f ( x ) = 2 x 2 − ( m + 2) x + m2 − m − 1 ② f ( x ) = ( m 2 − m − 1) x 2 − ( 2m − 1) x + 1 2.67 Tìm các giá trị của tham số m ñể mỗ i phương trình sau ñây có nghiệm: ① 2 x 2 + 2 ( m + 2 ) x + 3 + 4m + m 2 = 0 ② ( m − 1) x 2 − 2 ( m + 3) x − m + 2 = 0 2.68 Tìm các giá trị của tham số m ñể mỗ i phương trình sau ñây có hai nghiệm phân biệt trái dấu: ① ( m 2 − 1) x 2 + ( m + 3) x + ( m 2 + m ) = 0 ② x 2 − ( m3 + m − 2 ) x + m 2 + m − 5 = 0 2.69 Tìm các giá trị của tham số m ñể mỗ i phương trình sau ñây có hai nghiệm dương phân biệt: ① x 2 − 2 x + m2 + m + 3 = 0 ② ( m 2 + m + 3) x 2 + ( 4m 2 + m + 2 ) x + m = 0 ③ ( m2 + m + 1) x 2 + ( 2m − 3) x + m − 5 = 0 ④ x 2 − 6mx + 2 − 2m + 9m 2 = 0 ⑤ ( m − 2 ) x 2 − 2mx + m + 3 = 0 2.70 Cho: mx 2 – ( 2m + 1) x + m + 3 = 0 . Tìm m ñể phương trình có: ① hai nghiệm trái dấu ② hai nghiệm âm ③ 2 nghiệm dương phân biệt 2.71 Cho tam thức: f ( x ) = x 2 – 2mx + 5m – 4 . ① Tìm m ñể f ( x ) > 0 với mọ i x . ② Tìm m ñể phương trình f ( x ) = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt. 2.72 Cho tam thức: f ( x ) = ( m – 3) x 2 – 2 ( m + 1) x + m + 3 . ① Tìm m ñể f ( x ) < 0 với mọ i x . ② Tìm m ñể phương trình có hai nghiệm cùng dấu. 2.73 Cho phương trình: ( m + 1) x 2 – 2 ( m + 2 ) x + m + 7 = 0 . Tìm m ñể phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: ① x1 < 2 < x2 ② x1 < x2 < 2 ③ 2 < x1 < x2 2.74 Tìm m sao cho 2 nghiệm x1 , x2 của phương trình: 104 ① ( m – 5 ) x 2 – 2 ( m – 1) x + 2m = 0 thỏa x1 < –1 < x2 ② ( m + 3) x 2 – 2 ( m + 9 ) x + 5 ( m –1) = 0 thỏa 1 < x1 < x2 ③ ( 2m + 1) x 2 + 2 x + m + 1 = 0 thỏa x1 < x2 < 4 ④ ( m + 1) x 2 – 2 ( m + 9 ) x + 5 ( m – 1) = 0 thỏa x1 < 1 < x2 ⑤ x 2 – 2mx + 3m – 2 = 0 thỏa x1 < 2 < x2 ⑤ ( m + 3) x 2 + 2 ( m – 3) x + m – 2 = 0 thỏa x1 < x2 < 6 ⑥ ( m – 2 ) x 2 + 2 ( 4 – 3m ) x + 10m – 11 = 0 thỏa –4 < x1 < x2 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 2.75 Cho tam thức: f ( x ) = ( m – 2 ) x 2 – 2mx + m – 1 . ðịnh m ñể: ① f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ . ② Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: x1 ≤ x2 < 2 2.76 Cho phương trình: ( m – 4 ) x 4 + 2 ( m – 2 ) x 2 + m – 1 = 0 ① Tìm m sao cho phương trình vô nghiệm. ② Tìm m sao cho phương trình có 4 nghiệm phân biệt. 2.77 Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm thỏa mãn ñiều kiện x > 0 và y > 0 ? 2 x − ( m 2 + m + 1) y = −m 2 − 9   4 2 m x + ( 2m + 1) y = 1 2.78 Tìm m ñể các bất phương trình sau ñây luôn ñúng với mọ i x : ① 5x 2 − x + m > 0 ② ( m + 1) x 2 − 2 ( m − 1) x + 3m − 3 ≥ 0 x 2 − mx − 2 > −1 x 2 − 3x + 4 ⑤ mx 2 − 10 x − 5 < 0 ④ m ( m + 2 ) x 2 + 2mx + 2 > 0 ③ ⑦ ⑥ ( m2 + 4m − 5 ) x 2 − 2 ( m − 1) x + 2 < 0 x 2 + mx − 1 <1 2 x2 − 2 x + 3 ⑨ −4 < 2 x 2 + mx − 4 <6 −x2 + x −1 ⑧ 3x 2 − 5x + 4 >0 ( m − 4 ) x2 + (1 + m ) x + 2m − 1 ⑩ x 2 − 8 x + 20 <0 mx 2 + 2 ( m + 1) x + 9m + 4 2.79 Tìm m ñể mỗ i hệ bất phương trình sau ñây có nghiệm: 7 x − 2 ≥ −4 x + 19 ① ② 2 x − 3m + 2 < 0 2.80 Tìm m ñể các bất phương trình sau ñây vô nghiệm:  2 x + 1 > x − 2  m + x > 2 ② mx 2 − 10 x − 5 ≥ 0 ① 5x 2 − x + m ≤ 0 2.81 Tùy theo giá trị của m , hãy biện luận số nghiệm phương trình: ( m + 3) x 4 − ( 2m − 1) x 2 − 3 = 0 2.82 Tùy theo giá trị của m , hãy xác ñịnh số nghiệm phương trình: x 2 − 2 x − 3 = m 2.83 Tìm tất cả các giá trị của m ñể ứng với mỗ i giá trị ñó phương trình sau có ñúng một nghiệm: 1 − mx = 1 + (1 − 2m ) x + mx 2 ( ) 2.84 Cho phương trình: m − 5 x 2 − 3mx + m + 1 = 0 . Với giá trị nào của m thì phương tình ñã cho: ① Có nghiệm ? ② Có hai nghiệm trái dấu ? 2.85 Cho phương trình: ( m − 2 ) x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2m − 1 = 0 . Tìm m ñể phương trình trên có: ① Một nghiệm. ② Hai nghiệm phân biệt. ③ Bốn nghiệm phân biệt. GV. Trần Quốc Nghĩa 105 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 BAØI TAÄP TRAÉC NGHIEÄM PHAÀN 2  TN2.76 TN2.77 TN2.78 Tìm ñiều kiện xác ñịnh của bpt 2 x − 6 + 3 < 2 − x . A. x ≥ 3 . B. x ≤ 2 . C. 2 ≤ x ≤ 3 . D. x ≤ 2 hoặc x ≥ 3 . Tìm ñiều kiện xác ñịnh của bpt 4 − 2 x < x − 2 + 5 . A. x = 2 . B. x ≤ 2 . C. x ≥ 2 . D. −2 ≤ x ≤ 2 . A. 1 < x < 6 . TN2.79 2 < 5x 1 + < 0. x − 5x + 6 5 x − 10 B. 2 < x < 3 . C. x ≠ 2 và x ≠ 3 . x+3 > 0 và x + 3 > 0 . x2 Xét các cặp bất phương trình sau: I. III. x + 1 > 0 và ( x + 1) ( x 2 − 2 x + 3) > 0 . 1+ 3 . 2 ) B. x ≥ 1+ 3 . 2 ( ) 2 C. x ≤ − D. x < 5 và x ≠ 1 . 3 ( D. x ≤ 1+ 3 . 2 2 C. x > −2 5 . D. x < −2 5 . C. x = 5 hoặc x = 0 . D. x ≥ 5 hoặc x = 0 . C. x ≤ 2 . D. x ≥ 2 . x 4 ( x − 5) ≥ 0 B. x ≥ 0 . Giải bất phương trình sau: ) 1+ 3 . 2 < 40 + x + 3 5 . B. x < 2 5 . Giải bất phương trình sau: A. x = 1 hoặc x = 2 . 106 ( Giải bất phương trình sau: x − 5 A. x ≥ 5 . TN2.87 D. Vô nghiệm Giải bất phương trình sau: 2 3 − 4 x < 1 − 3. A. x > 2 5 . TN2.86 x2 + 3x + 2 + x < −x − 3 . x +1 5 5 B. x > − và x ≠ 1 . C. x > . 3 3 D. I và III. Giải bất phương trình sau: A. x ≥ − TN2.85 C. II và III. Giải bất phương trình sau: 2 x − 5 + 4 x ≥ 10 + 5 − 2 x . 5 5 5 B. x ≤ . C. x = . A. x ≥ . 2 2 2 5 A. x < − . 3 TN2.84 D. x > 2 và x ≠ 3 . x −7 1 ≤ 2 . x −5 x − 11x + 24 C. x ≥ 7 và x ≠ 8 . D. x > 7 và x ≠ 8 . Cặp bất phương trình nào tương ñương? A. Chỉ I. B. Chỉ II. TN2.83 D. x < 1 hoặc x > 6 . x2 − 6 x + 9 + B. x ≥ 7 . II. x − 5 > 0 và ( x − 5 ) ( x 2 − 2 x + 3) > 0 . TN2.82 1 . 6− x C. 1 ≤ x ≤ 6 . 2 Tìm ñiều kiện xác ñịnh của bất phương trình: A. x ≠ 5 và x ≠ 8 . TN2.81 x − 2x + 1 B. x < 6 và x ≠ 1 . Tìm ñiều kiện xác ñịnh của bpt A. x > 3 . TN2.80 x −5 Tìm ñiều kiện xác ñịnh của bpt ( x − 1)( x − 2 ) ≤ 0 . B. x ≤ 1 . GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 TN2.88 Giải bất phương trình sau: | 10 − 5 x | 4 − x ≤ 0 . A. x = 2 . B. x = 4 hoặc x = 2 . C. x ≤ 4 . D. x = 4 . TN2.89 Tập hợp nghiệm của bất phương trình sau: ( x 2 + 4 ) 2 x + 5 ≥ 0 là A. ℝ . B. (1; +∞ ) . TN2.90 Tập hợp nghiệm của bất phương trình sau: A. ( 0; +∞ ) . B. ℝ {0;1} . TN2.91 Giải bất phương trình sau: C. [1; +∞ ) . D. ( −∞;1) . 1 1 1 − 3x − > 2 là x −1 x x − x C. ( −∞; 0 ) . D. (1; +∞ ) . 2 x − 5 2x + 4 ≥ . x−4 x −3 B. 3 < x < 4 . D. x ≤ 1 hoặc 3 ≤ x ≤ 4 A. x ≤ 1 hoặc 3 < x < 4 . C. 1 ≤ x < 3 ∨ x > 4 . TN2.92 Giải bất phương trình sau: x −3 x + ≤ 2. x + 1 x −1 5 A. −1 ≤ x ≤ . 3 5 . 3 5 D. x ≤ −1 hoặc 1 < x ≤ . 3 B. x < −1 hoặc 1 < x ≤ 5 C. −1 < x < 1 hoặc x ≥ . 3 3x2 − 5x + 6 < 3x + 1 . x−4 B. −3 < x < 4 . C. x > 4 . TN2.93 Giải bất phương trình sau: A. x > −3 . TN2.94 D. x > 4 hoặc x < −3 . −3 x 2 − 5 x + 6 Giải bất phương trình sau: > −3 . ( x − 3)( x + 2 ) 2 A. x < −2 hoặc − < x < 3 . 3 2 C. −2 < x < − hoặc x > 3 . 3 B. x < −2 hoặc x > 3 . D. −2 < x < 3 . TN2.95 Bất phương trình ( 4m − 5 ) x + 3 ≥ 4mx + 5m có tập hợp nghiệm là tập con của ( −∞; 0] khi và chỉ khi: 3 A. m ≥ − . 5 3 B. m ≥ . 5 3 C. m ≤ − . 5 D. m ≤ 3 . 5 TN2.96 Bất phương trình ( m 2 − 2 ) x − m 2 < 7 x + 4m + 3 A. Vô nghiệm khi và chỉ khi m = −3. m +1   B. Có tập nghiệm là  −∞;  khi và chỉ khi m−3   m < −3 m > 3 .   m +1  C. Có tập nghiệm à  ; +∞  khi và chỉ khi −3 < m < 3.  m −3  D. Cả 3 ñáp án trên. GV. Trần Quốc Nghĩa 107 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 TN2.97 Tập hợp nghiệm của bất phương trình 2 x − 6 < 2 x + 5 là:  5  A.  − ; +∞  .  2  TN2.98 1  B.  ; +∞  . 4  D. ðáp số khác. C. [ −2;3) . D. [ −2;3] . Giải phương trình: x − 3 + x + 2 = 5 . A. Vô nghiệm. TN2.99  5 1 C.  − ;  .  2 4 Giải bất phương trình: B. {−2;3} . 2x + 3 5 + > 2. x x −1 3 hoặc x > 1 . 8 3 C. x < 0 hoặc < x < 1 . 8 A. 0 < x < B. x < 0 hoặc x > 1 . 3 D. 0 < x < . 8 TN2.100 Cho bất phương trình: (m + 3)( x − 4) > m 2 + 4m + 3 (1) . Xét các mệnh ñề sau: I. Nếu m < −3 : (1) có nghiệm là x < m − 3. II. Nếu m > −3 : (1) có nghiệm là x > m − 3 . III. Nếu m = −3 : (1) vô số nghiệm. Mệnh ñề nào ñúng? A. Chỉ I. B. Chỉ II. TN2.101 Giải bất phương trình: D. I, II và III. 3x − 4 2 x − 4 ≤ . x+2 x−2 A. −2 < x ≤ 8 . C. −2 < x < 2 hoặc 2 < x ≤ 8 . TN2.102 Giải bất phương trình: C. I và II. B. x ≥ 8 hoặc x < −2 . D. x ≥ 8 . x 2 − 8 x + 15 2 x 2 + 2 x . > x 2 − 25 x +5 3 hoặc x > 1 . 2 3 C. x < −5 hoặc x > 1 . D. x < −5 hoặc − < x < 1 . 2 4 3 2 TN2.103 Giải bất phương trình: x − 5 x + 5 x + 5 x − 6 ≤ 0. A. −1 ≤ x ≤ 1 hoặc 2 ≤ x ≤ 3 . B. x ≤ −1 hoặc 1 ≤ x ≤ 2 hoặc x ≥ 3 . C. −1 ≤ x ≤ 3 . D. −1 ≤ x ≤ 2 hoặc x ≥ 3 . x3 − 549 2 TN2.104 Miền nghiệm của bất phương trình: ( x − 4 ) x − 5 x > là: x2 − 5x 61 61 A. − < x < 9 . B. − < x < 0 hoặc 5 < x < 9 . 9 9 61 61 C. x < − hoặc x > 9 . D. x < − hoặc 0 < x < 5 . 9 9 − x2 + 2 x + 7 TN2.105 Miền nghiệm của bất phương trình: −1 < < 4 là: x2 + 1 3 A. −4 < x < − hoặc x > 1 B. −4 < x < 1. 5 3 C. − < x < 1 . D. x < −4 hoặc x > 1 . 5 A. −5 < x < 1 . 108 B. −5 < x < − GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 TN2.106 Giải bất phương trình: ( x 2 − 9)(4 − x ) > x 2 − 7 x + 12 : A. −4 ≤ x ≤ 4. C. x < −4 hoặc x > 3 . TN2.107 Giải phương trình: A. x = 10 . B. −4 < x < 3 hoặc x > 4 D. x < −4 hoặc 3 < x < 4 . 3x − 5 = x − 5 B. x = 3 . TN2.108 Giải bất phương trình: x 2 + 2 x + 2 ≤ 2 x + 3 . 7 A. x ≤ − hoặc x ≥ −1 . 3 7 C. − ≤ x ≤ −1 . 3 C. x = 3 hoặc x = 10 . D. Vô nghiệm. B. x ≤ − 7 3 hoặc x ≥ − . 3 2 D. x ≥ −1 . TN2.109 ðịnh m ñể bất phương trình − x 2 + 2(m − 4) x + 2m − 11 < 0 có miền nghiệm là ℝ . B. 1 < m < 5 . D. −5 < m < −1. A. m < 1 hoặc m > 5 . C. m < −5 hoặc m > −1 . x 2 − 2mx + m ≤ 3 có miền nghiệm là ℝ khi và chỉ khi: x2 + x + 2 13 3 3 B. m ≤ − hoặc m ≥ 12 . C. −3 ≤ m ≤ . D. m ≤ −3 hoặc m ≥ . 2 2 2 TN2.110 Giải bất phương trình −4 ≤ A. − 13 ≤ m ≤ 12. 2 TN2.111 ðịnh m ñể phương trình x 2 + ( m + 1) x + 2m − 2 > 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x13 + x23 < 0 . A. m > −1 và m ≠ 3 B. m > 3 . C. m < −1 . TN2.112 Giải bất phương trình: x 2 + 2 x + 2 ≤ 2 x + 3 . 7 7 3 A. x ≤ − hoặc x ≥ −1 . B. x ≤ − hoặc x ≥ − . 3 3 2 D. −1 < m < 3. 7 C. − ≤ x ≤ −1 . D. x ≥ −1 . 3 TN2.113 Với ñiều kiện nào của m ñể phương trình mx 2 + 2(3m − 2) x + 8m − 16 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác 0 thỏa mãn x1 x2 + > 1. x2 x1 A. −2 < m < 2 . B. m ≠ 0 và m ≠ 2 . C. m < 0 hoặc m > 2 . D. 0 < x < 2 . TN2.114 Tập nghiệm của phương trình: x 2 + 7 x + 4 = x + 11 là A. {−7;1} . B. {−5; −3} . C. {−3; −1} . D. {−7; −5; −3;1} . TN2.115 Giải bất phương trình: x 2 + 5 x ≥ x + 5. A. −5 ≤ x ≤ −1 hoặc x ≥ 1 . B. −5 ≤ x ≤ 1 . C. x ≤ −1 hoặc x ≥ 1 . D. −1 ≤ x ≤ 1 .  x 2 − 5x + 6 < 0 (1)  TN2.116 Giải hệ phương trình:  2 5x (2) x−2 + x+3 > 5  26 26 A. 2 < x < 3 . B. 2 < x < . C. x < −3 hoặc 2 < x < . 3 3 GV. Trần Quốc Nghĩa D. x < −3 hoặc 3 < x < 26 . 3 109 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 ( 2 x − 4 )2 + ( x − 2 ) 2 ≥ 0 TN2.117 Giải hệ phương trình:  2 − x + x + 6 > 0 A. 2 < x < 3 . C. x ≤ 2 hoặc x ≥ 3 . (1) (2) B. −2 < x < 3 . D. x ≤ −2 hoặc x ≥ 3 .  x2 − 6x + 8 >0  2 4x + 4x + 2 TN2.118 Giải hệ phương trình:  2  x + x+2 <0  x 2 − 8 x + 15 A. x < 2 hoặc x > 5 . C. 3 < x < 4 .  2 x 2x + 9  x − 3 − x + 3 > 0 TN2.119 Giải hệ phương trình:  2  x + x+2 <0  x 2 − 8 x + 15 A. −9 < x < −3 hoặc x > 3 . C. −3 < x < 1 . x2 − 4 x + 9 <3. x2 + 2x + 3 B. −5 < x < 1 . (1) (2) B. 2 < x < 3 hoặc x > 4 . D. 3 < x < 5 . (1) (2) B. −3 < x < 3 . D. Vô nghiệm. TN2.120 Giải bất phương trình: 1 < C. −5 < x < 0 . D. 0 < x < 1 .  x 2 − 5x + 4 ≥ 0  TN2.121 Miền nghiệm của hệ bất phương trình:  x 2 − 8 x + 15 ≤ 0 .  2 − x + 10 x − 9 ≥ 0 B. 4 ≤ x ≤ 5 . C.Vô nghiệm. A. x < 1 ∨ x > 4 . D. 3 ≤ x ≤ 9 . A. x < 1 .  x 2 + 7 x + 10 ≥ 0 TN2.122 Miền nghiệm của hệ bất phương trình  3 . 2  x + 2 x − x − 2 ≤ 0 B. −5 ≤ x ≤ −2 hoặc −1 ≤ x ≤ 1 . A. −5 ≤ x ≤ −2 . C. x ≤ −2 hoặc −1 ≤ x ≤ 1 . D. Vô nghiệm.  x 2 + 5x + 4 ≤ 0 TN2.123 ðịnh m ñể hệ bất phương trình sau có nghiệm  . (m − 5) x − 7 ≥ 0 B. −4 ≤ m ≤ 4 . C. m ≤ 5 . A. −4 ≤ x ≤ 5 . D. Không tồn tại m .  x 2 − 6 x + 5 ≥ 0 TN2.124 ðịnh m ñể hệ bất phương trình sau vô nghiệm:  2 . 2  x + (2m + 3) x + m + 3m ≤ 0 A. 1 < m < 2 . B. m < 1 hoặc m > 2 . C. m < 1 . D. Không tồn tại m . 2 x 2 + 3x + a TN2.125 Tìm các giá trị của a sao cho với mọ i x, ta luôn có: 1 ≤ 2 < 5. x + 2x + 2 9 71 9 71 9 A. a ≤ hoặc a ≥ . B. ≤ a ≤ . C. a ≤ . D.Không tồn tại a . 4 12 4 12 4 110 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 TN2.126 Giải phương trình 3 x − 5 = x + 6 . 11 . 2 11 1 C. x = hoặc x = − . 2 4 1 B. x = − . 4 11 1 D. x = − hoặc x = . 2 4 A. x = TN2.127 Số nghiệm của phương trình x 2 − 5 x + 4 = −4 x + 4 là A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 0 . TN2.128 Tập nghiệm của phương trình x 2 − 3 x + 5 − −4 x + 5 = 0 là: A. {−1;0; 2} . B. {−1; 0} . 4x − 9 ≤ 7. 2x + 3 3 A. x ≤ −3 hoặc x > − . 2 3 2 C. x ≤ − hoặc x ≥ − . 2 3 C. {2;5} . D. {−1; 0; 2;5} . TN2.129 Giải bất phương trình 2 B. x ≤ −3 hoặc x ≥ − . 3 D. ℝ . TN2.130 Giải bất phương trình 9 x + 5 ≥ x 2 − 2 x + 5. A. −1 ≤ x ≤ 1. C. x ≤ −2 hoặc x ≥ 11 . TN2.131 Giải phương trình A. x = −2 . B. −2 ≤ x ≤ −1 hoặc −5 ≤ x ≤ 11 . D. Vô nghiệm. 3x 2 − 16 x + 5 = 5 − x . B. x = 5 . C. −2 ≤ x ≤ 5 . D. x = 2 ∨ x = 5 . TN2.132 Giải phương trình: x 2 + 5 x + 6 = x + 3 . A. x = −1 hoặc x = −3 . C. x = 1 hoặc x = 3 . B. x = −1 . D. x = 1 hoặc x = −3 . TN2.133 Giải phương trình 59 − x 2 = x 2 − 3 . A. x = −5 hoặc x = 10 . C. x = − 10 hoặc x = 10 . TN2.134 Tìm nghiệm của bất phương trình: 1 1 ≤x< . 4 2 1 1 C. x < hoặc x ≥ . 4 2 A. B. x = 10 . D. x = − 5 hoặc x = 5 . 2 x2 + x ≥ 1− x . 1 − 2x 1 1 ≤x≤ . 4 2 1 1 D. x ≤ hoặc x ≥ . 4 2 B. TN2.135 Với giá trị nào của m thì bất phương trình sau vô nghiệm: ( m + 3) x 2 + 2 ( m + 2 ) x > 4 . A. m < −4 . B. m = −4 . C. m ≤ −4 . D. Không tồn tại m . TN2.136 Với giá trị nào của m thì bất phương trình sau vô nghiệm: 2 ( m − 1) x ≥ − mx 2 − 4 . A. 1 − 2 < m < 1 + 2 . B. m < 1 − 2 hoặc m > 1 + 2 . C. 3 − 2 2 < m < 3 + 2 2 . D. m < 3 − 2 2 hoặc m > 3 + 2 2 . GV. Trần Quốc Nghĩa 111 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 TN2.137 ðịnh m ñể bất phương trình ( m − 7 ) x − 2m > 4 + ( m − 2 ) x có tập hợp nghiệm là tập hợp con của ( −∞;1] . A. m ≤ −5 . B. m < 5 . C. m > 1 . D. m ≥ 1 . TN2.138 ðịnh m ñể bất phương trình ( 2m − 7 ) x + 2 ≤ 2mx − 4m có tập hợp nghiệm là tập hợp con của [ −2; +∞ ) . A. m ≥ 4 . B. m ≤ 4 . C. m ≤ −4 . D. m ≥ −4 . 2 − 3x + 3 < 0 có học sinh lí luận qua các giai ñoạn sau: 4x + 5 2 − 3x + 3 ( 4 x + 5) 2 − 3x 9x + 7 +3< 0 ⇔ <0⇔ I. < 0. (1) 4x + 5 4x + 5 4x + 5 II. (1) ⇔ ( 9 x + 7 )( 4 x + 5 ) < 0. (2) TN2.139 ðể giải bất phương trình 5 7 III. (2) ⇔ − < x < − . 4 9  5 7 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là:  − ; −  .  4 9 Lí luận trên ñúng hay sai? Nếu sai thì sai từ giai ñoạn nào? A. Sai từ giai ñoạn I. B. Sai từ giai ñoạn II. C. Sai từ giai ñoạn III. D. Cả I, II, III ñều ñúng. x+5  x + 4 ≥ 2 TN2.140 Giải hệ bất phương trình:  . x − 3  < −2  x + 6 A. x < −4 hoặc x ≥ −3 . B. −4 < x < −3 . C. x ≤ −4 hoặc x ≥ −3 . D. −6 ≤ x < −3 . 2 2 ( x − 5 ) − ( x + 4 ) ≤ 0  TN2.141 Giải hệ bất phương trình:  x + 2 x − 2 . − ≤ 0  x −2 x+ 2 1 1 A. ≤ x < 2 . B. x ≤ hoặc x ≥ 2 . 2 2 1 C. x ≤ −2 hoặc 0 ≤ x < 2 . D. x < −2 hoặc x ≥ . 2 4  −1  x + 2 ≤ 2 x − 5 TN2.142 Giải hệ bất phương trình:  . x+3 − 2 ≥ 0  x − 5 x − 2 1 5 A. x < 2 hoặc x > 5 . B. −2 < x ≤ − hoặc x > . 2 2 5 1 C. x < 2 hoặc x > . D. −2 < x ≤ − hoặc x > 5 . 2 2 TN2.143 Giải bất phương trình: −5 ≤ A. x ≤ 5 hoặc x > 8 . C. x ≤ 5 hoặc x ≥ 112 37 . 2 2x + 5 ≤ 4. x −8 B. x < 8 hoặc x > 37 . 2 D. x < −8 hoặc x > 8 . GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh x+ 2  x − 2 > 3 TN2.144 Giải hệ bất phương trình:  .  x + 5x ≥ 6  x − 3 x + 3 A. 2 < x ≤ 4 . 37 C. x ≤ 5 hoặc x ≥ . 2 TI LIU H C T P TON 10 B.Vô nghiệm. D. x < −3 hoặc 2 < x ≤ 4 hoặc x ≥ 9 . 2 TN2.145 Gọi x1 và x2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình: 3 x + 5 = x − 5 . Khi ñó x12 + x22 bằng A. −25 . B. 5 . C. 25 . TN2.146 Giải bất phương trình: 5 x 2 + 5 x + 28 > x 2 + 5 x + 4 . A. −9 < x < 4 . B. x < −9 hoặc x > 4 . C. 0 < x < 8 . D. −5 . D. x < 0 hoặc x > 8 . TN2.147 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = x − 2 + 6 − x với 2 ≤ x ≤ 6 . A. 0 và 4 . B. 2 và 4 . C. 2 và 2 2 . D. 2 2 và 4 . Giả thiết sau dùng cho 3 câu 148, 149, 150. Cho năm hàm số: 1 1 1 f1 ( x 2 + 2 x + 3) , f 2 ( x ) =| x | + , f3 ( x ) = x + , f 4 ( x ) = x + và f5 ( x ) = 1 − x 2 + 2 x . Hãy chọn | x| x x khẳng ñịnh ñúng: TN2.148 Hàm số không có giá trị nhỏ nhất là A. f1 ( x ) . B. f 2 ( x ) . C. f3 ( x ) . D. f5 ( x ) . TN2.149 Hàm số có giá trị lớn nhất bằng -2 trên khoảng ( −∞; 0 ) là A. f1 ( x ) . B. f 2 ( x ) . C. f3 ( x ) . D. f 4 ( x ) . TN2.150 Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 là A. f1 ( x ) . B. f 4 ( x ) . C. f5 ( x ) . D. f3 ( x ) . TN2.151 Hãy chỉ ra khẳng ñịnh sai trong các khẳng ñịnh sau. Mọ i nghiệm của bất phương trình 2 x + 1 > 0 ñều là nghiệm của bất phương trình mx − m + 1 > 0 khi 2 2 2 A. m = 0 . B. m = . C. m < 0 hoặc m > . D. 0 < m < . 3 3 3 TN2.152 Cho năm phương trình: x 2 + ( m + 2) x + m = 0 (1) 2 ( m 2 + 1) x 2 − 2mx + 1 = 0 (3) x2 + ( x 2 − 2 ( m + 1) x + m − 5 = 0 (2) x 2 − 2 ( m − 2 ) x + 3m 2 − 5m + 12 = 0 (4) ) 3m + 1 x + m 2 − 3m + 7 = 0 (5) Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng trong các khẳng ñịnh sau. Trong năm phương trình trên, các phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọ i giá trị của m là A. (1). B. (1) và (2) C. (1), (2) và (5). D. (1) và (5). GV. Trần Quốc Nghĩa 113 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 TN2.153 Với năm phương trình ñã cho ở bài TN2.152, hãy chọn khẳng ñịnh ñúng. Các phương trình có ít hơn hai ngiệm với mọ i giá trị của m là A. (3). B. (3) và (5). C. (3), (4) và (5). D. (3) và (4). TN2.154 Cho ba biểu thức f1 ( x ) = x 2 + 4 x + m − 1 f2 ( x ) = − 2 x2 + 2 x + m − 2 f3 ( x ) = ( 3m + 2 ) x 2 − ( 3m + 4 ) x + m + 1 . Trong các khẳng ñịnh sau, khẳng ñịnh nào sai ?  2−2 7 2+ 2 7  A. Với mọ i m thuộc  ;  ta ñều có f3 ( x ) luôn là số âm khi x thay ñổ i. 3 3   B. Khi m > 5 thì f1 ( x ) > 0 với mọ i giá trị của x . C. Không có giá trị nào của m ñể f1 ( x ) < 0 với mọ i giá trị của x . D. Chỉ khi m > 2 − 2 thì mới tồn tại x0 ñể f 2 ( x0 ) > 0 . 2 ðÁP ÁN TRẮC NGHIỆM PHẦN 2 1 B 2 D 3 B 4 C 5 C 6 D 7 C 8 D 9 C 10 C 11 B 12 B 13 A 14 C 15 D 16 B 17 D 18 C 19 A 20 D 21 A 22 A 23 A 24 C 25 D 26 C 27 C 28 D 29 A 30 D 31 D 32 A 33 C 34 B 35 C 36 D 37 B 38 D 39 A 40 C 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 C A B C B D D B C A B D A A C B B C B A 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 C C D C D B D A C A D D D C A C A B D C 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 B C A D C D A B D D A C B A D D B D A C 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 C D A B A D A D B C A D C D C A B C D C 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 B A B A B C A B B D D A C A D C A D D B 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 A 114 D C B C A C D D C C B C A GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 7. TRÍCH ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG  A – BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI 3.1 [ðHA-03] Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x + y + z ≤ 1 . Chứng minh rằng: x2 + 1 1 1 + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82 2 x y z 1 1 1 + + = 4 . Chứng minh rằng: x y z 1 1 1 + + ≤1 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z 3.2 [ðHA-05] Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 3.3 [ðHD-05] Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1 . Chứng minh rằng: 1 + x3 + y3 1 + y3 + z 3 1 + z 3 + x3 + + ≥3 3 xy yz zx 3.4 [ðHA-06] Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay ñổi và thỏa mãn ñiều kiện ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 3.5 1 1 + x3 y 3 [ðHB-06] Cho x, y là các số thực thay ñổ i. ( x − 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 3.6 2 + y2 + ( x + 1) 2 + y2 + y − 2 [ðHA-07] Cho x, y, z là số thực dương thay ñổ i và thỏa mãn ñiều kiện xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 3.7 ðS: MaxA = 16 khi x = y = 1/2 x2 ( y + z ) y y + 2z z + y2 ( z + x ) z z + 2x x + z2 ( x + y) x x + 2y y [ðHB-07] Cho x, y, z là ba số thực dương thay ñổi. x 1  y 1  z 1  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x  +  + y  +  + z  +  .  2 zx   2 xy   2 yz  3.8 [ðHA-07] Cho x, y, z là các biến số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  x y z  P = 3 4 ( x3 + y 3 ) + 3 4 ( x 3 + z 3 ) + 3 4 ( z 3 + x 3 ) + 2  2 + 2 + 2  z x  y 3.9 [ðHB-08] Cho hai số thực x, y thay ñổ i và thỏa mãn x 2 + y 2 = 1 . Tìm giá trị lón nhất và giá trịn nhỏ nhất của biểu thức: P = 2 ( x 2 + 6 xy ) 1 + 2 xy + 2 y 2 3.10 [ðHD-08] Cho x, y là hai số thực không âm thay ñổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = ( x − y )(1 − xy ) . 2 2 (1 + x ) (1 + y ) GV. Trần Quốc Nghĩa 115 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 3.11 [Cð-08] Cho hai số thực x, y thay ñổ i và thỏa mãn x 2 + y 2 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2 ( x 3 + y 3 ) − 3xy . 3.12 [DBðHB-08] Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 2 3 −3 yz . Chứng minh rằng: x ≤ 3x 6 3.13 [ðHA-09] Chứng minh rằng với mọ i số thực dương 3 x, y, z 3 thỏa mãn ñiều kiện 3 x ( x + y + z ) = 3 yz , ta có: ( x + y ) + ( x + z ) + 3 ( x + y )( x + z )( y + z ) ≤ 5 ( y + z ) 3 3.14 [ðHB-09] Cho các số thực x, y thay ñổ i và thỏa mãn ( x + y ) + 4 xy ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 3 ( x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) − 2 ( x 2 + y 2 ) + 1 3.15 [ðHD-09] Cho các số thực không âm x, y thay ñổ i và thỏa mãn x + y = 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = ( 4 x 2 + 3 y )( 4 y 2 + 3x ) + 25 xy 3.16 [ðHB-10] Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 3 ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) + 3 ( ab + bc + ca ) + 2 a 2 + b 2 + c 2 3.17 [ðHD-10] Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = − x 2 + 4 x + 21 − − x 2 + 3 x + 10 . 3.18 [Cð-10] Cho hai số thực dương thay ñổi x, y thỏa mãn ñiều kiện 3 x + y ≤ 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 1 1 + x xy 3.19 [ðHAA1-11] Cho x, y, z là ba số thực thuộc ñoạn [1; 4] và x ≥ y , x ≥ z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x y z + + 2x + 3 y y + z z + x 3.20 [ðHB-11] Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 2 ( a 2 + b 2 ) + ab = ( a + b )( ab + 2 ) . Tìm giá trị  a 3 b3   a 2 b 2  nhỏ nhất của biểu thức: P = 4  3 + 3  − 9  2 + 2  a  b a  b 2 2 3.21 [ðHD-11] Cho các số thực x, y thỏa mãn ñiều kiện ( x − 4 ) + ( y − 4 ) + 2 xy ≤ 32 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x3 + y 3 + 3 ( xy − 1)( x + y − 2 ) . 3.22 [ðHB-12] Cho các số thực x, y, z thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 0 và x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x5 + y 5 + z 5 2 2 3.23 [ðHD-12] Cho các số thực x, y thỏa mãn ñiều kiện ( x − 4 ) + ( y − 4 ) + 2 xy ≤ 32 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x3 + y 3 + 3 ( xy − 1)( x + y − 2 ) 3.24 [ðHAA1-12] Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ñiều kiện ( a + c )( b + c ) = 4c 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 116 32a3 ( b + 3c ) 3 + 32b3 ( a + 3c ) 3 − a 2 + b2 c GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 3.25 [ðHB-13] Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= 4 a 2 + b2 + c2 + 4 − 9 ( a − b ) ( a + 2c )( b + 2c ) 3.26 [ðHD-13] Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xy ≤ y –1 . Tìm giá trị lớn nhất của x+ y biểu thức: P = x 2 − xy + 3 y 2 − x −2y 6( x + y) 3.27 [ðHAA1-14] Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa ñiều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 1 + yz x2 y−z + − 2 9 x + yz + x + 1 x + y + z + 1 3.28 [ðHB-14] Cho các số thực a, b, c không âm thỏa mãn ñiều kiện ( a + b ) c > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a b c + + b+c a + c 2 (a + b) 3.29 [ðHD-14] Cho hai số thực x, y thỏa mãn các ñiều kiện 1 ≤ x ≤ 2; 1 ≤ y ≤ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất x + 2y y + 2x 1 + 2 + của biểu thức: P = 2 x + 3 y + 5 y + 3x + 5 4( x + y − 1) 3.30 [THPTQG-15] Cho các số thực a, b, c thuộc ñoạn [1; 3] và a + b + c = 6 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 + 12abc + 72 1 − abc . ab + bc + ca 2 B BẤT PHƯƠ PHƯƠNG ƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I. Bấtphươngtrình 3.31 Giải bất phương trình: x 2 − 2 x − 3 ≤ 3 x − 3 ðH Văn hóa HN – 98 ðS: 2 ≤ x ≤ 5 3.32 Giải bất phương trình: x − 5 − x 2 + 7 x − 9 ≥ 0 ðH DL Thăng Long – 99 ðS: 3 − 5 ≤ x ≤ 4 + 2 3.33 Giải bất phương trình: x 2 − 2 x − 3 ≥ 5 ( x − 3) ðH Văn hóa HN – 00 3.34 Giải bất phương trình: x 2 − 3 > x 2 − 2 x + 1 ðH An Giang – 01 ðS: x ≤ 3 ∨ x ≥ 4 ðS: x < (−1 − 17)/2 ∨ x > 2 II. Bấtphươngtrìnhcóchứathamsố 3.35 Tìm m ñể: x 2 + 2 x − m + m 2 + 3m + 1 < 0 có nghiệm ? HV Kỹ Thuật Quân sự - 96 3.36 Tìm a ñể bất phương trình: x 2 + x − a < 3 có nghiệm âm ? HV Kỹ Thuật Quân sự - 00 GV. Trần Quốc Nghĩa ðS: −1 < m < −1/2 ðS: −13/4 < a < 3 117 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 C BẤT PHƯƠ PHƯƠNG ƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CHỨA CĂN THỨC I. Bấtphươngtrình 3.37 Giải bất phương trình: x − 3 − x −1 < x − 2 TH Kỹ Thuật Y Tế 3 - 97 3.38 Giải bất phương trình: x≤ ðS: x ≥ 3 1 ∨ x =1 2 ðHDL Văn Lang - 97 ðS: x ≤ −5/6 ∨ x ≥ 3 3.39 Giải bất phương trình: x 2 − 3x + 2 > x + 3 ðH SP Vinh Khối D – 99 3.40 Giải bất phương trình: ðH Bách Khoa – 99 x +1 > 3 − x + 4 3.41 Giải bất phương trình: 5x + 1 − 4 x −1 ≤ 3 x ðS: x < −7/9 ðS: x > 0 ðS: x ≥ 1/4 ðH An Ninh Khối D – 99 3.42 Giải bất phương trình: 3− x − x + 7 ≤ x + 2 Cð Kinh Tế Kĩ Thuật CN II – 07 3.43 Giải bất phương trình: ðH Tây Nguyên – 99 x + 3 ≥ 2x − 8 + 7 − x 3.44 Giải bất phương trình: x −1 − x − 2 > x − 3 ðS: −2 ≤ x ≤ 3 ðS: 4 ≤ x ≤ 5 ∨ 6 ≤ x ≤ 7 ðH Tây Nguyên – 99 ðS: 3 ≤ x < 12 + x − x 2 12 + x − x 2 ≥ x − 11 2x − 9 3.45 Giải bất phương trình: ðH Huế Khối D - 99 ðS: x = −3 ∨ −2 ≤ x ≤ 4 3.46 Giải bất phương trình: x + 2 x −1 + x − 2 x − 1 > 3 2 ðH Ngân Hàng – 99 3.47 Giải bất phương trình: ðS: x ≥ 1 2x (3 − 2 9 + 2x ) 2 < x + 21 ðH Mỏ ðịa Chất HN - 99 3.48 Giải bất phương trình: ðS: −9/2 ≤ x < 7/2 ∧ x ≠ 0 x2 − x < x ðH Mỹ Thuật Công Nghiệp - 99 3.49 Giải bất phương trình: ðH Dược Hà Nội - 00 ðS: x ≥ 1 x 2 − 8 x + 15 + x 2 + 2 x − 15 ≤ 4 x 2 − 18 x + 18 ðS: x ≤ −5 ∨ x = 3 ∨ 5 ≤ x ≤ 17/3 3.50 Giải bất phương trình: x 2 + 3 x + 2 + x 2 + 6 x + 5 ≤ 2 x 2 + 9 x + 7 ðH BK Hà Nội Khối D - 00 118 6+2 3 3 ðS: x = −5 ∨ x = −1 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh 3.51 Giải bất phương trình: (x 2 TI LIU H C T P TON 10 + x − 2) 2 x 2 −1 < 0 CðSP Nhà Trẻ Mẫu Giáo - 00 ðS: −2 < x < − 2 /2 ∨ 2/2 < x < 1 3.52 Giải bất phương trình: x + x 2 + 4 x > 1 HV Chính Trị QG TpHCM – 00 3.53 Giải bất phương trình: ðS: x > 1/6 x + 1 ≥ 2 ( x 2 − 1) ðHDL Duy Tâm Khối D – 00 ðS: x = −1 ∨ 1 ≤ x ≤ 3 ( x + 1)( 4 − x ) > x − 2 3.54 Giải bất phương trình: ðH Mỏ ñịa chất HN – 00 ðS: −1 ≤ x < 7/2 3.55 Giải bất phương trình: ðH Thủy Lợi - 00 x + 2 − 3 − x > 5 − 2x 3.56 Giải bất phương trình: 7 x − 13 − 3x − 9 ≤ 5 x − 27 ðS: 2 < x ≤ 5/2 ðHDL Phương ðông - 00 ðS: x ≥ (229 + 8 411)/59 3.57 Giải bất phương trình: x + 6 > x + 1 + 2x − 5 ðHDL Kỹ Thuật CN – 00 ðS: 5/2 ≤ x < 3 x2 − x − 3 < x2 − 2 + 2 − x − 3 3.58 Giải bất phương trình: ðH An Giang - 01 ðS: x > 1 x 2 − 3x + 2 > 2 x − 5 3.59 Giải bất phương trình: ðH Thái Nguyên Khối D – 01 ðS: x ≤ 1 ∨ 2 ≤ x < (17 + 13)/6 ( x + 5)( 3x + 4 ) > 4 ( x − 1) 3.60 Giải bất phương trình: ðH Kinh Tế Quốc Dân – 01 3.61 Giải bất phương trình: ðHDL Bình Dương – 01 ðS: −4/3 ≤ x < 4 ∨ x ≤ −5 x +1 + x −1 ≤ 4 ðS: 1 ≤ x ≤ 65/16 3.62 Giải bất phương trình: 3x + 4 + x − 3 ≤ 4 x + 9 ðHDL Bình Dương - 01 3.63 Giải bất phương trình: x + 4 < x −1 + x − 3 ðHDL Thăng Long Khối D - 01 3.64 Giải bất phương trình: ( x − 3) ðS: x ≤ −13/6 ∨ x ≥ 3 x+5 −3 x−4 ðHDL Hồng ðức - 01 ðS: −5 ≤ x < 4 ∨ x > 4 3.66 Giải bất phương trình: x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 4 ðH Y Dược TpHCM – 01 3.67 Giải bất phương trình: ðH Ngoại Thương – 01 GV. Trần Quốc Nghĩa ðS: x > 52 / 3 x2 − 4 ≤ x2 − 9 ðH Y Dược TpHCM – 01 3.65 Giải bất phương trình: ðS: 3 ≤ x ≤ 4 ðS: x = 1 ∨ x ≥ 4 1+ x − 1− x ≥ x ðS: 0 ≤ x ≤ 1 119 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 3.68 Giải bất phương trình: x 2 − 4 x + 3 − 2 x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1 ðH Kiến Trúc Hà Nội – 01 3.69 Giải bất phương trình: x (1 + 1+ x ) 2 > x−4 ðH Vinh – 01 ðS: −1 ≤ x < 8 3.70 Giải bất phương trình: (x 2 − 3x ) 2 x 2 − 3 x − 2 ≥ 0 ðH Khối D - 02 ðS: x ≤ −1/2 ∨ x = 2 ∨ x ≥ 3 3.71 Giải bất phương trình: Dự bị ðH Khối B - 02 x + 12 ≥ x − 3 + 2 x + 1 3.72 Giải bất phương trình: Cð ðiều Dưỡng - 04 x + 11 ≥ x − 4 + 2 x − 1 ðS: 3 ≤ x ≤ 4 ðS: 4 ≤ x ≤ 5 3.73 Giải bất phương trình: x2 + x − 6 ≥ x + 2 ðH Hùng Vương - Hệ Cð - 04 3.74 Giải bất phương trình: 2 ( x 2 − 16 ) x−3 ðS: x ≤ −3 + x −3 > 7− x x −3 ðH Khối A – 04 ðS: x > 10 − 34 3.75 Giải bất phương trình: Dự bị ðH Khối D – 05 2 x + 7 − 5 − x ≥ 3x − 2 3.76 Giải bất phương trình: ðH Khối A – 05 5x −1 − x − 1 > 2 x − 4 3.77 Giải bất phương trình: Dự bị ðH Khối B – 05 x2 − 6 x + 1 − 4 x + 1 ≤ 0 3.78 Giải bất phương trình: Cð KT Y Tế I – 06 x2 − 4 x + 5 + 2 x ≥ 3 3.79 Giải phương trình: ðS: x ≤ 1/2 ∨ x = 1 2 ðS: 2/3 ≤ x ≤ 1 ∨ 14/3 ≤ x ≤ 5 ðS: 2 ≤ x < 10 ðS: x = 1/4 ∨ x ≥ 1/2 ðS: x ≥ 2/3 1 3x +1 > 2 1− x 1 − x2 Dự bị ðH Khối A – 08 3.80 Giải bất phương trình: Cð Khối A, B, D – 09 3.81 Giải bất phương trình: ðS: −1 < x < 2/2 ∨ 2 5/5 < x < 1 x + 1 + 2 x − 2 ≤ 5x + 1 ðS: 2 ≤ x ≤ 3 x− x 1 − 2 ( x 2 − x + 1) ≥1 ðH Khối A - 10 ðS: x = (3 − 5)/2 II. Phươngphápđặtẩnphụ 3.82 Giải bất phương trình: ðHQG TpHCM - 99 120 2 x ( x − 4 ) − x2 + 4 x + ( x − 2) < 2 ðS: 2 − 3 < x < 2 + 3 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh 3.83 Giải bất phương trình: (x 3 TI LIU H C T P TON 10 + 1) + ( x 2 + 1) + 3x x + 1 > 0 ðH Xây Dựng – 99 3.84 Giải bất phương trình: ðS: x ≥ −1 x −1 x −1 −2 ≥3 x x ðH Mở Hà Nội – 99 3.85 Giải bất phương trình: ðS: −1/8 ≤ x < 0 ( x + 1)( x + 4) < 5 x 2 + 5 x + 28 HV Quan hệ Quốc Tế - 00 ðS: −9 < x < 4 3.86 Giải bất phương trình: 2 x 2 + 4 x + 3 3 − 2 x − x 2 > 1 ðHDL Phương ðông – 00 3 1 < 2x + −7 3.87 Giải bất phương trình: 3 x + 2x 2 x ðH Thái Nguyên - 00 3.88 Giải bất phương trình: ðH An Ninh - 00 ðS: −3 ≤ x ≤ 1 ðS: 0 < x < 4 − 3 7 /2 ∨ x > 4 + 3 7 /2 7 x + 7 + 7 x − 6 + 2 49 x 2 + 7 x − 42 < 181 − 14 x ðS: 6/7 ≤ x < 6 2 3x − 2 + x + 2 ≥ 3 4 ( 3 x − 2 )( x + 2 ) 3.89 Giải bất phương trình: ðH Hải Phòng - 01 3.90 Giải bất phương trình: ðS: 2/3 ≤ x ≤ 34/47 ∨ x ≥ 2 −4 ( 4 − x )( 2 + x ) > x2 − 2 x − 8 Cð Nông Lâm – 01 3.91 Giải bất phương trình: ðS: vn x ( x + 1) − x 2 + x + 4 + 2 ≥ 0 ðH Cần Thơ Khối D – 01 3.92 Giải bất phương trình: ðS: x ≤ −1 ∨ x ≥ 0 x x −1 3 + ≥ x −1 x 2 ðHDL Thăng Long – 01 3.93 Giải bất phương trình: ðS: −1 ≤ x < 0 ∨ 1 < x ≤ 2 x + 4 − x 2 = 2 + 3x 4 − x 2 ðH Mỏ - ðịa chất - 01 3.94 Giải bất phương trình: ðS: x = 0 ∨ x = 2 ∨ x = −(2 + 14)/3 2 x 2 + x 2 − 5 x − 6 > 10 x + 15 ðH Y Hà Nội – 01 3.95 Giải bất phương trình: Cð KT Cao Thắng – 07 3.96 Giải bất phương trình: ðS: x < (5 − 53)/2 ∨ x > (5 + 53)/2 5 x 2 + 10 x + 1 ≥ 7 − 2 x − x 2 ðS: x ≤ −3 ∨ x ≥ 1 ( x + 1)( x − 3) − x 2 + 2 x + 3 < 2 − ( x − 1) Dự bị ðH Khối D - 08 3.97 Giải bất phương trình: ðH Khối B - 12 GV. Trần Quốc Nghĩa 2 ðS: 1 − 3 < x < 1 + 3 x +1 + x2 − 4x +1 ≥ 3 x ðS: 0 ≤ x ≤ 1/4 ∨ x ≥ 4 121 Chng 4: B t ñng thc. B t phng trnh TI LIU H C T P TON 10 III. Phươngphápdùnghàmsố 3.98 Giải bất phương trình: x +1 + 1− x ≤ 2 − x2 4 CðSP TPHCM - 98 ðS: −1 ≤ x ≤ 1 3.99 Giải bất phương trình: 1 − x − x 2 + 1 < x Cð Kinh Tế ðối Ngoại - 00 3.100 Giải phương trình: ðS: 0 < x ≤ 1 3x 2 − 7 x + 3 + x 2 − 3 x + 4 > x 2 − 2 + 3x 2 − 5 x − 1 ðH Cảnh Sát Nhân Dân – 01 ðS: x ≤ − 2 ∨ (5+ 37 )/6 ≤ x < 2 IV. Bấtphươngtrìnhcóchứathamsố 3.101 Giải và biện luận bất phương trình: x − m − x − 2m > x − 3m ðHQG TpHCM – 97 3.102 Cho bất phương trình: ( m là tham số) ðS: m ≤ 0 : vn; m > 0 : 3m ≤ x < (x 2 (6 + 2 3 ) m 3 2 + 1) + m ≤ x x 2 + 2 + 4 a. Giải hệ phương trình khi m = 3 . b. Xác ñịnh m ñể bất phương trình ñã cho thỏa ∀x ∈ ( 0;1) . ðHQG TpHCM - 97 ðS: a. 0 ≤ x ≤ 2 − 1 ; b. m ≤ 3 3.103 Tìm m ñể bất phương trình sau có nghiệm: x − m x − 1 > m + 1 ( m là tham số) HV Kỹ Thuật Mật Mã – 99 ðS: ∀m 3.104 Cho bất phương trình: mx − x − 3 ≤ m + 1 a. Giải hệ phương trình khi m = 1 . b. Xác ñịnh m ñể bất phương trình ñã cho có nghiệm. ðHDL Hùng Vương – 99 ðS: a. vn ; b. m < 1+ 3 4  x + y = 3 3.105 Tìm tất cả các giá trị của a ñể hệ sau có nghiệm ( x; y ) thỏa x ≥ 4 :   x + 5 + y + 3 ≤ a ðHSP Hà Nội - 01 ðS: a ≥ 5  x 2 − 5 x + 4 ≤ 0 3.106 Tìm tất cả các giá trị của m ñể hệ sau có nghiệm:  2 3 x − mx x + 16 = 0 Dự bị ðH Khối D - 04 3.107 Tìm m ñể phương trình: m ðS: ( ) x 2 − 2 x + 2 + 1 + x ( 2 − x ) ≤ 0 có nghiệm x ∈ 0;1 + 3  . Dự bị ðH Khối B - 07 3.108 Tìm m ñể bất phương trình: Cð Khối A,A1,B,D - 13 122 ðS: m ≤ 2/3 ( x − 2 − m) x − 1 ≤ m − 4 có nghiệm. ðS: m ≥ 2 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 THOÁNG KEÂ Chủđề 5 A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. BNG PH N B T N S V T N SUT 1. Khi ni m v thng k Thống kê là khoa học về các phương pháp thu thập, tổ chức, trình bày, phân tích và xử lý số liệu. 2. Mu s li u • Dấu hiệu là một vấn ñề hay hiện tượng nào ñó mà người ñiều tra quan tâm tìm hiểu. Mỗi ñối tượng ñiều tra gọi là một ñơn vị ñiều tra. Mỗi ñơn vị ñiều tra có một số liệu, số liệu ñó gọi là giá trị của dấu hiệu trên ñơn vị ñiều tra ñó. • Một tập con hữu hạn các ñơn vị ñiều tra ñược gọi là một mẫu. Số phần tử của một mẫu ñược gọi là kích thước mẫu. Các giá trị của dấu hiệu thu ñược trên mẫu ñược gọi là một mẫu số liệu (mỗi giá trị như thế còn gọi là một số liệu của mẫu). • Nếu thực hiện ñiều tra trên trên mọi ñơn vị ñiều tra thì ñó là ñiều tra toàn bộ. Nếu chỉ ñiều tra trên một mẫu thì ñó là ñiều tra mẫu. 3. Bng phn b tn s - tn su t. Bng phn b tn s - tn su t gh!p l"p • Tần số của giá trị xi là số lần lặp lại của giá trị xi trong mẫu số liệu. • Tần suất fi của giá trị xi là tỷ số giữa tần số ni và kích thước mẫu N hay fi = ni . N Người ta thường viết tần suất dưới dạng phần trăm. • Bảng phân bố tần số (gọi tắt là bảng tần số) ñược trình bày ngang như sau: Giá trị ( x ) x1 x2 x3 xm ... Tần số ( n ) m n1 n2 n3 ... nm N = ∑ ni i =1 m Trên hàng tần số, người ta dành một ô ñể ghi kích thước mẫu N hàng tổng các tần số (tức N = ∑ ni ). i =1 • Bổ sung thêm một hàng tần suất vào bảng trên, ta ñược bảng phân bố tần số - tần suất (gọi tắt là bảng tần số - tần suất). Giá trị ( x ) x1 x2 x3 xm ... Tần số ( n ) m n1 n2 n3 ... nm N = ∑ ni i =1 f1 f2 f3 fm ... Tần suất %  Chú ý: Người ta cũng thể hiện bảng phân bố tần số - tần suất dưới dạng bảng dọc. • Nếu kích thước mẫu số liệu khá lớn, thì người ta thường chia số liệu thành nhiều lớp dưới dạng [ a; b ] hay [ a; b ) (thường có ñộ dài các lớp bằng nhau). Khi ñó tần số của lớp [ a; b ] là số giá trị xi ∈ [ a; b ] (hay xi ∈ [ a; b ) ) xuất hiện trong lớp ñó. Tần suất của lớp [ a; b ] là f = n trong ñó n N là tần số của lớp [ a; b ] và N là kích thước mẫu.  Bảng phân bố tần suất ghép lớp ñược xác ñịnh tương tự như trên. a +b  Giá trị ñại diện của lớp [ a; b ] là c = . 2 GV. Trần Quốc Nghĩa 123 Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 2. BIU ð 1. Bi#u ñ% tn su t h&nh c(t • ðể mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp, người ta dựng các cột thẳng ñứng (xếp liền nhau hoặc rời nhau) có chiều rộng cột bằng ñộ dài của lớp, chiều cao cột bằng tần số, tâng suất của lớp tương ứng. Biểu ñồ 1: Xếp loại học sinh. • Lưu ý: Thể hiện sự biến ñộng của một ñối tượng 2. ð*+ng g p kh,c tn su t • Trên mặt phẳng tọa ñộ xác ñịnh các ñiểm ( Ci , fi ) i = 1, 2, 3, ... trong ñó Ci , là giá trị ñại diện (giá trị trung bình cộng của hai mút lớp thứ i ) của lớp thứ. i . , fi là tần suất của lớp thứ i . Biểu ñồ 2: Lượng mưa hằng ngày. • ðường gấp khúc nối các ñiểm theo ( Ci ; fi ) thứ tự i = 1, 2, 3, ... là ñường gấp khúc tần suất.  Lưu ý: Thể hiện sự diễn biến của các ñối tượng khác nhau về ñơn vị qua nhiều ñơn vị thời gian. 3. Bi#u ñ% h&nh qu.t Vẽ ñường tròn tâm O rồi vẽ các hình quạt có ñỉnh O , góc ở ñinh tỉ lệ với tần suất của các lớp. Hình biểu diễn trực quan bằng bảng phân bố tần suất như vậy gọ i là biểu ñồ tần suất hình quạt.  Lưu ý: Thể hiện quy mô và cơ cấu của ñối tượng (theo tỷ lệ % tương ñối) Biểu ñồ 3: Xếp loại học sinh lớp 10A1 cuối năm học. 3. S TRUNG BNH CNG. S TRUNG V - M T 1. S trung b&nh x1 + x2 + ... + xN N n x + n x + ... + nk xk • Với mẫu số liệu ñược cho bởi bảng phân bố tần số: x = 1 1 2 2 N n c + n c + ... + nk ck • Với mẫu số liệu ñược cho bởi bảng phân bố tần số ghép lớp: x = 1 1 2 2 N ( ci là giá trị ñại diện của lớp thứ i ) • Với mẫu số liệu kích thước N là { x1 , x2 ,..., xN } : x = 2. S trung v1 • Giả sử ta có một mẫu gồ m N số liệu ñược sắp xếp theo thứ tự không giảm (hoặc không tăng). Khi ñó số trung vị Me là:  Số ñứng giữa nếu N lẻ;  Trung bình cộng của hai số ñứng giữa nếu N chẵn. 124 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 3. Mt • Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và ñược kí hiệu là M O . • Chú ý:  Số trung bình của mẫu số liệu ñược dùng làm ñại diện cho các số liệu của mẫu.  Nếu các số liệu trong mẫu có sự chênh lệch quá lớn thì dùng số trung vị làm ñại diện cho các số liệu của mẫu.  Nếu quan tâm ñến giá trị có tần số lớn nhất thì dùng mốt làm ñại diện. Một mẫu số liệu có thể có nhiều mốt. 4. PH!"NG SAI V ð L%CH CHU&N 1. 2 ngh3a v5 cch s6 d8ng ph*9ng sai: • Phương sai của một bảng số liệu là số ñặc trưng cho ñộ phân tán của các số liệu so với số trung bình của nó. Phương sai của bảng thống kê dấu hiệu x , kí hiệu là s x2 . • Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng ñơn vị ño và có số trung bình bằng nhau hoặc sấp xỉ nhau, dãy có phương sai càng nhỏ thì mức ñộ phân tán (so với trung bình) của các số liệu thống kê càng ít. 2. Cnh: • Cách 1: Tính theo tần số 2 1 k  sx2 = ∑ ni xi − x ñối với bảng phân bố tần số. n i =1 2 1 k  sx2 = ∑ ni ci − x ñối với bảng phân bố tần số ghép lớp. n i =1 • Cách 2: Tính theo tần suất k ( ) ( )  sx2 = ∑ fi xi − x ( ) 2 ñối với bảng phân bố tần suất. i =1 k  sx2 = ∑ fi ci − x ( ) 2 ñối với bảng phân bố tần suất ghép lớp. i =1 Trong ñó ni , f i lần lượt là tần số, tần suất của giá trị xi trong bảng phân bố tần số, tần suất (hay là tần số, tần suất của lớp thứ i trong bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp); n là số liệu thống kê ( n1 + n2 + n3 + … + nk = n ) ; x là số trung bình cộng của các số liệu thống kê; ci là giá trị ñại diện của lớp thứ i. () • Cách 3: Sử dụng công thức s x2 = x 2 − x 2 Trong ñó x 2 là trung bình cộng của các bình phương số liệu thống kê, tức là 1 k  k  x 2 =  ∑ ni xi 2  = ∑ f i xi 2 ñối với bảng phân bố tần số, tần suất. n  i =1  i =1 1 k  k  x 2 =  ∑ ni ci 2  = ∑ fi ci 2 ñối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp. n  i =1  i =1 3. ð( l ch chu?n • ðộ lệch chuẩn: sx là căn bậc hai của phương sai s x2 : sx = sx2 • ðộ lệch chuẩn cũng ñược sử dụng ñể ñánh giá mức ñộ phân tán của các số liệu thống kê (so với trung bình). • Cách sử dụng ñộ lệch chuẩn hoàn toàn giống như cách sử dụng phương sai. Khi cần chú ý ñến ñơn vị ño, ta dùng ñộ lệch chuẩn sx (vì sx có cùng ñơn vị ño với dấu hiệu X ñược nghiên cứu). GV. Trần Quốc Nghĩa 125 Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 B. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1. [0D5-2] ðiểm kiểm tra của 2 nhóm học sinh lớp 10 ñược cho như sau: Nhóm 1: (9 học sinh) 1, 2, 3, 5, 6, 6, 7, 8, 9 Nhóm 2: (11 học sinh) 1, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 10 Hãy lập các bảng phân bố tần số và tuần suất ghép lớp với các lớp [1, 4]; [5, 6]; [7, 8]; [9, 10] của 2 nhóm. Lời giải Bảng phân bố tần số – tần suất ghép lớp là Lớp Tần số Tần suất ñiểm ni fi [1; 4] 3 33% [5; 6] 3 33% [7; 8] 2 22% [9; 10] 1 11% N 9 100% Lớp ñiểm [1; 4] [5; 6] [7; 8] [9; 10] N Tần số Tần suất ni fi 5 45% 1 9% 4 36% 1 9% 11 100% Ví dụ 2. Sau một tháng gieo trồng một giống hoa, người ta thu ñược số liệu sau về chiều cao (ñơn vị là milimét) của các cây hoa ñược trồng: Nhóm Chiều cao Số cây ñạt ñược 1 Từ 100 ñến 199 20 2 Từ 200 ñến 299 75 3 Từ 300 ñến 399 70 4 Từ 400 ñến 499 25 5 Từ 500 ñến 599 10 Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp của mẫu số liệ u trên. Lời giải Bảng phân bố tần suất: Lớp chiều cao Tần suất [100;199) [200;299) [300;399) [400;499) [500;599) N 10% 38% 35% 13% 5% 100% Ví dụ 3. [0D5-2] Chiều cao của 40 vận ñộng viên bóng chuyền ñược cho trong bảng sau: Lớp chiều cao (cm) [ 168 ; 172 ) [ 172 ; 176 ) [ 176 ; 180 ) [ 180 ; 184 ) [ 184 ; 188 ) [ 188 ; 192 ] Cộng Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp ? Lời giải 126 Tần số 4 4 6 14 8 4 40 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Bảng phân bố tần suất: Tần Lớp chiều cao suất [168;172) [172;176) [176;180) [180;184) [184;188) [188;192] N Lớp chiều cao [168;172) [172;176) [176;180) [180;184) [184;188) [188;192] N 10% 10% 15% 35% 20% 10% 100% Tần suất 10% 10% 15% 35% 20% 10% 100% Giá trị ñại diện ci 170 174 178 182 186 190 Ví dụ 4. [0D5-2] Thống kê ñiểm thi tốt nghiệp môn Toán của 926 em học sinh Trường THPT A cho ta kết quả sau ñây: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ðiểm bài thi ( x ) 17 Tần số ( n ) 38 … 124 176 183 119 … 50 25 Tần suất % . . . . . . 12,10 . . . … . . . 8,63 8,86 Chuyển bảng trên thành dạng cột và ñiền tiếp vào các ô còn trống. Lời giải Ta có N = 926 do ñó ta có kết quả sau Tần suất % ðiểm bài thi ( x ) Tần số ( n ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 38 112 124 176 183 119 82 50 25 1.84 4.10 12.10 13.39 19.01 19.76 12.85 8.86 5.40 2.70 Ví dụ 5. [0D5-2] Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh lớp hai lớp gồm lớp thực nghiệm (TN) và học sinh lớp ñố i chứng (ðC) ñược thể hiện thông qua Bảng thống kê sau ñây: Lớp Số HS Số bài kiểm tra ñạt ñiểm tương ứng 1 0 2 1 3 2 4 6 5 10 6 12 7 8 8 7 10 C1 46 10 C2 46 0 0 0 2 4 6 12 10 Hãy lập bảng phân bố tần suất của mẫu số liệu trên (trong một bảng). Lời giải Bảng phân bố tần suất ñiểm của bài kiểm tra: Lớp Số HS 10 C1 10 C2 46 46 GV. Trần Quốc Nghĩa 9 0 10 0 8 4 ðiểm TB 6.3 7.4 Số % bài kiểm tra ñạt ñiểm tương ứng 1 0 2 0 3 2,2 4 8,7 5 21,7 6 26,1 7 21,7 8 8,7 9 8,7 10 2,2 0 0 0 4,3 8,7 13 26,1 21,7 17,4 8,7 127 Chng 5: TH NG K Ví dụ 6. Cho bảng phân bố tần số như sau Lớp [163; 165] [166; 168] [169; 171] [172; 174] [175; 177] TI LIU H C T P TON 10 Tần số 12 10 6 4 5 37 Tần suất 32,4 27,1 16,2 10,8 13,5 100% Chúng ta vẽ biểu ñồ của nó như sau Ví dụ 7. Chiều cao của 36 học sinh nữ của lớp 10A1 trường Lương Thế Vinh ñược cho bởi bảng phân bố tần số sau: Lớp Tần số Tần suất (%) [156 cm; 160 cm) 6 17 [160 cm; 165 cm) 12 33 [165 cm; 170 cm) 10 28 [170 cm; 175 cm) 5 14 [175 cm; 180 cm) 3 8 36 128 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Ví dụ 8. Thống kê ñiểm kiểm tra toán của lớp 10C, giáo viên bộ môn thu ñược số liệu: ðiểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tần số 1 1 1 5 6 7 11 5 4 2 2 N = 45 Lời giải a) Tính: Số trung bình, phương sai và ñộ lệch chuẩn. 1 10 Số trung bình: x = ∑ ni xi ≈ 5,5 . 45 i =0 2 1 10 1  10  Phương sai: s = ∑ ni xi 2 − 2  ∑ ni xi  ≈ 4, 7 . 45 i =0 45  i = 0  2 ðộ lệch chuẩn: s = s 2 ≈ 2, 2 . Ví dụ 9. Cho hai bảng phân bố tần số mô tả kết quả ñiểm thi môn Toán của hai lớp 10A và 10B của một trường (Hai lớp làm cùng một ñề) như sau: Bảng 1: iểm thi của lớp 10A ðiểm Tần số 1 1 3 3 4 4 5 8 6 10 7 3 8 1 N=30 Bảng 2:ðiểm thi của lớp 10B ðiểm 1 2 3 4 5 6 7 8 Tần số 1 2 3 4 6 7 3 3 a) Tính phương sai của bảng 1 và bảng 2. b) Nhận xét lớp nào có ñiểm thi môn Toán ñồng ñều hơn, vì sao? Lời giải a) Tính phương sai của bảng 1 và bảng 2. 9 1 N=30 Gọi x , y lần lượt là số TBC của các số liệu trong bảng 1,bảng 2 ta có: 1 (1.2 + 3.3 + … + 1.8) = 5, 2. 30 1 y = (1.1 + 2.2 + … + 1.9) = 5, 2. 30 1 S x2 = [(2 − 5, 2) 2 + 3(3 − 5, 2) 2 + … + (8 − 5, 2) 2 ] ≈ 1,83 30 1 S y2 = [(1 − 5, 2) 2 + 2(2 − 5, 2) 2 + … + (9 − 5, 2) 2 ] ≈ 3, 69 30 b) Nhận xét lớp nào có ñiểm thi môn Toán ñồng ñều hơn,vì sao? x= Vì x = y =5,2 nhưng S x2 < S y2 nên ñiểm thi môn Toán của lớp 10A ñồng ñều hơn lớp 10B. Ví dụ 10. Khi ñiều tra “Năng suất lúa hè thu năm 1998” của 31 tỉnh, người ta thu thập ñược các số liệu ghi trong bảng dưới ñây. Năng suất lúa hè thu (tạ/ha) năm 1998 của 31 tỉnh 30 30 25 25 35 45 40 40 35 45 25 45 30 30 30 40 30 25 45 45 35 35 30 40 40 40 35 35 35 35 35 Tính phương sai và ñộ lệch chuẩn của các số liệu trên. Lời giải GV. Trần Quốc Nghĩa 129 Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Năng suất lúa (tạ/ha) Tần số Tần suất (%) 25 4 12,9 30 7 22,6 35 9 29,0 40 6 19,4 45 5 16,1 Cộng 31 100(%) 5 1 25.4 + 30.7 + 35.9 + 40.6 + 45.5 Số trung bình: x = ∑ ni xi = ≈ 35, 2 . 31 i =0 31 1 s x2 = [4(25 − 35, 2) 2 + 7(30 − 35, 2) 2 + 9(35 − 35, 2) 2 + 6(40 − 35, 2) 2 + 5(45 − 35, 2) 2 ] ≈ 39,5 . 31 s = s 2 ≈ 6, 28 . Ví dụ 11. ðể chuẩn bị may ñồng phục cho học sinh, người ta ño chiều cao của 36 học sinh trong một lớp học và thu ñược các số liệu thống kê ghi trong bảng sau: Chiều cao của 36 học sinh: Lớp ño chiều cao (cm) Tần số Tần suất(%) [150; 156) 6 16,7 [156; 162) 12 33,3 [162; 168) 13 36,1 [168; 174) 5 13,9 Cộng 36 100(%) Tính phương sai và ñộ lệch chuẩn của các số liệu trên. Lời giải • Cách 1: Tính theo tần số: 6.153 + 12.159 + 13.165 + 5.171 Số trung bình cộng là x = ≈ 162 (cm) 36 Mỗi số liệu thống kê thuộc một lớp ñược thay thế bởi các giá trị ñại diện của lớp ñó. 2 2 2 2 6 (153 − 162 ) + 12 (159 − 162 ) + 13 (165 − 162 ) + 5 (171 − 162 ) Phương sai s = ≈ 31 36 2 x ðộ lệch chuẩn sx = sx2 = 31 ≈ 5, 6 (cm). • Cách 2: Tính theo tần suất: 16, 7.153 + 33,3.159 + 36,1.165 + 13,9.171 ≈ 162 (cm) Số trung bình cộng là x = 100 Phương sai 2 2 2 2 16, 7 (153 − 162 ) + 33,3 (159 − 162 ) + 36,1(165 − 162 ) + 13,9 (171 − 162 ) s = ≈ 31 100 2 x ðộ lệch chuẩn sx = sx2 = 31 ≈ 5, 6 (cm). () • Cách 3: Sử dụng công thức sx2 = x 2 − x 2 1 k  6.1532 + 12.1592 + 13.1652 + 5.1712 Ta tính x 2 =  ∑ ni ci 2  = = 26221 . n  i =1 36  130 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Ví dụ 12. Cho bảng số liệu sau: Thành tích chạy 50 m của học sinh lớp 10A ở trường Trung học phổ thông C Lớp thời gian chạy (giây) Tần số Tần suất(%) [6,0; 6,5) 2 6,06 [6,5; 7,0) 5 15,15 [7,0; 7,5) 10 30,30 [7,5; 8,0) 9 27,27 [8,0; 8,5) 4 12,12 [8,5; 9,0] 3 9,10 Cộng 33 100(%) a) Tính phương sai và ñộ lệch chuẩn của các số liệu thống kê cho ở bảng trên. b) Giả sử xét thêm lớp 10D cũng thuộc trường Trung học phổ thông C có thành tích chạy 50 m trung bình là 7,5 giây, có phương sai là 0,5 . So sánh thành tích chạy 50 m kể trên của hai lớp 10A và 10D. Lời giải a) Tính phương sai và ñộ lệch chuẩn của các số liệu thống kê • Cách 1: Tính theo tần số ghép lớp 1 x = ( 2.6, 25 + 5.6, 75 + 10.7, 25 + 9.7, 75 + 4.8, 25 + 8, 75 ) ≈ 7,5 (giây). 33 1 2 2 2 2 2 s x2 =  2. ( 6, 25 − 7,5 ) + 5. ( 6, 75 − 7,5 ) + 10. ( 7, 25 − 7,5 ) + 9. ( 7, 75 − 7,5 ) + 4. ( 8, 25 − 7,5 ) +  33 sx = sx2 = 0, 43 ≈ 0, 66 . • Cách 2: Tính theo tần suất ghép lớp 1 x= ( 6, 06.6, 25 + 15,15.6, 75 + 30,30.7, 25 + 27, 27.7,75 + 12,12.8, 25 + 9,10.8, 75) ≈ 7,5 100 1  2 2 2 2 s x2 = 6, 06. ( 6, 25 − 7,5 ) + 15,15. ( 6, 75 − 7, 5) + 30,30. ( 7, 25 − 7,5 ) + 27, 27. ( 7, 75 − 7,5 ) + 1 100  sx = sx2 = 0, 43 ≈ 0, 66 . () • Cách 3: Sử dụng công thức sx2 = x 2 − x 2 1 k 2.6, 252 + 5.6, 752 + 10.7, 252 + 9.7, 752 + 4.8, 252 + 3.8,752 2 x =  ∑ ni ci  = = 56,79 n  i =1 33  2 ( x) 2 2 = ( 7,507575 ) ≈ 56,36 Suy ra s x2 ≈ 56, 79 − 56,36 ≈ 0, 43. sx = sx2 = 0, 43 ≈ 0, 66  x = xD = 7,5 b) Theo giả thiết ta có  2A và s A2 = 0, 43 do ñó sD2 > s 2A . sD = 0,5 Suy ra thành tích chạy 50 m của học sinh ở hai lớp nhanh như nhau, nhưng thành tích của các học sinh ở lớp 10A ñồng ñều hơn. Ví dụ 13. Cho bảng các số liệu thống kê sau: Chiều cao của 120 học sinh lớp 11 ở Trường trung học phổ thông M GV. Trần Quốc Nghĩa 131 Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Lớp chiều cao (cm) Tần số Tần suất Nam Nữ Nam Nữ [135, 145) 5 8 8,33 13.33 [145, 155) 9 15 15,00 25,00 [155, 165) 19 16 31,67 26.67 [165, 175) 17 14 28.33 23,33 [175, 185] 10 7 16,67 11,67 Cộng 60 60 100(%) 100(%) a) Tính số trung bình của dãy số liệu về chiều cao của các học sinh nam, nữ và của tất cả 120 học sinh cho ở bảng trên. b) Tính phương sai và ñộ lệch chuẩn của các số liệu trên về chiều cao của nam và nữ. c) Giả sử trường trung học phổ thông M còn có một nhóm học sinh nam lớp 10 chuyên toán (kí hiệu là nhóm T) có chiều cao trung bình là x = 163 cm, có ñộ lệch chuẩn là sx = 13 . So sánh chiều cao của ba nhóm học sinh ñã cho (nhóm nam, nhóm nữ, nhóm T). Lời giải a) Tính số trung bình của dãy số liệu về chiều cao của các học sinh nam, nữ và của tất cả 120 học sinh cho ở bảng trên • Chiều cao trung bình của các học sinh nam: 1  Cách 1: Dùng tần số x1 = (140.5 + 150.9 + 160.19 + 170.17 + 180.10 ) = 163 (cm). 60  Cách 2: Dùng tần suất 1 x1 = (140.8,33 + 150.15 + 160.31, 67 + 170.28, 33 + 180.16, 67 ) = 163 (cm). 100 • Chiều cao trung bình của các học sinh nữ: 1  Cách 1: Dùng tần số x1 = (140.8 + 150.15 + 160.16 + 170.14 + 180.7 ) = 159,5 (cm). 60  Cách 2: Dùng tần suất 1 x1 = (140.13,33 + 150.25 + 160.26, 67 + 170.23,33 + 180.11, 67 ) = 159,5 (cm). 100 • Chiều cao trung bình của tất cả 120 học sinh: 1 x= ( 60.159,5 + 60.163) ≈ 161 (cm) 120 b) Dãy các số liệu chiều cao của các học sinh nam có: 1 s x21 = ( (140 − 163) 2 .5 + (150 − 163) 2 .9 + (160 − 163) 2 .19 + (170 − 163) 2 .17 + (180 − 163) 2 .10 ) ≈ 134,3 60 sx1 = sx2 = 134,3 ≈ 11,59 1 Dãy các số liệu chiều cao của các học sinh nữ có: s x22 = 1 ( (140 − 159,5)2 .8 + (150 − 159, 5)2 .15 + (160 − 159, 5)2 .16 + (170 − 159,5) 2 .14 + (180 − 159,5)2 .7 ) 60 ⇒ sx22 = 148 . Suy ra sx2 = sx22 = 148 ≈ 12,17 c) Nhóm T có x3 = 163 , sx23 = 169; sx3 = 13 . Học sinh ở nhóm nam và nhóm T có chiều cao như nhau và có cùng lớn hơn chiều cao của học sinh nữ (vì x1 = x3 > x2 ). Vì x1 = x3 = 163 (cm) và sx1 < sx3 nên chiều cao của các học sinh nam ñồng dều hơn chiều cao của học sinh nhóm T. 132 GV. Trần Quốc Nghĩa TI LIU H C T P TON 10 Chng 5: TH NG K Ví dụ 14. Hai xạ thủ cùng tập bắn, một người ñã bắn 30 viên ñạn vào bia. Kết quả ñược ghi lại ở các bảng sau: ðiểm số của xạ thủ A 8 9 10 9 9 10 8 7 6 8 10 7 10 9 8 10 8 9 8 6 10 9 7 9 9 9 6 8 6 8 ðiểm số của xạ thủ B 9 9 10 6 9 10 8 8 5 9 9 10 6 10 7 8 10 9 10 9 9 10 7 7 8 9 8 7 8 8 a) Tính số trung bình, phương sai và ñộ lệch chuẩn của các số liệu thống kê trên. b) Xét xem trong lần bắn này, xạ thủ nào bắn chụm hơn? Lời giải a) ðiểm số của xạ thủ A có x ≈ 8,3; sx2 ≈ 1, 6; sx ≈ 1, 27 . ðiểm số của xạ thủ B có y ≈ 8, 4; s 2y ≈ 1, 77; sx ≈ 1,33 . b) x ≈ y = 8, 4 ñiểm, s 2y > sx2 , như vậy mức ñộ phân tán của các ñiểm số (so với số trung bình) của xạ thủ A là bé hơn. Vì vậy trong lần tập bắn này xạ thủ A bắn chụm hơn. Ví dụ 15. Cho các số liệu thống kê ghi ở bảng sau Số người xem trong 60 buổi chiếu phim của một rạp chiếu phim nhỏ 4 12 18 23 29 31 37 40 46 52 5 13 19 24 30 32 38 41 47 53 6 14 21 25 32 33 39 42 48 54 9 15 20 26 32 34 32 43 49 55 8 10 21 27 32 35 40 44 50 56 11 17 22 28 30 36 41 45 51 59 a) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, với các lớp [0; 10); [10; 20); [20; 30); [30; 40); [40; 50); [50; 60). b) Tính số trung bình, phương sai và ñộ lệch chuẩn của các số liệu thống kê ñã cho. Lời giải a) Số người xem trong 60 buổi chiếu phim của một rạp chiếu phim nhỏ Lớp người xem Tần số Tần suất(%) [0; 10) 5 8,33 [10; 20) 9 15,00 18,33 [20; 30) 11 [30; 40) 15 25,00 [40; 50) 12 20,00 [50; 60) 8 13,34 Cộng 60 100(%) b) x ≈ 32 (người), s x2 ≈ 219, 7; sx ≈ 15 (người). GV. Trần Quốc Nghĩa 133 Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1. BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT Sử dụng giả thiết sau cho câu 1, câu 2: Số học sinh giỏ i của 30 lớp ở một trường THPT A ñược thống kê lại như sau: 0 2 1 0 0 3 0 0 1 1 0 1 6 6 0 1 5 2 4 5 1 0 1 2 4 0 3 3 1 0 Câu 1. Dấu hiệu và ñơn vị ñiều tra ở ñây là gì? Kích thước mẫu bao nhiêu? A. Dấu hiệu là 30 lớp, ñơn vị ñiều tra là mỗ i lớp của trường THPT A . B. Dấu hiệu là học sinh giỏ i, ñơn vị ñiều tra 30 lớp. C. Dấu hiệu trường THPT A, ñơn vị ñiều tra là 30 lớp. D. Dấu hiệu là học sinh giỏ i, ñơn vị ñiều tra là 30 lớp của trường THPT A . Câu 2. Viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên B. 0;1; 2;3;5;6 . C. 0; 2;3; 4;5;6 . A. 0;1;2;3;4;5 . D. 0;1;2;3; 4;5;6 . Sử dụng giả thiết sau cho câu 3, câu 4: ðể may ñồng phục cho khối học sinh lớp năm của trường tiểu học A . Người ta chọn ra một lớp 5A , thống kê chiều cao của 45 học sinh lớp 5A (tính bằng cm) ñược ghi lại như sau: 102 102 113 138 111 109 98 114 101 103 127 118 111 130 124 115 122 126 107 134 108 118 122 99 109 106 109 104 122 133 124 108 102 130 107 114 147 104 141 103 108 118 113 138 112 Câu 3. Dấu hiệu và ñơn vị ñiều tra ở ñây là gì? Kích thước mẫu bao nhiêu? A. Dấu hiệu là chiều cao của mỗ i học sinh, ñơn vị ñiều tra là một học sinh của lớp 45 học sinh. Kích thước mẫu là N = 45 . B. Dấu hiệu là trường tiểu học A, ñơn vị ñiều tra là một học sinh của lớp 5A . Kích thước mẫu là N = 45 . C. Dấu hiệu 45 học sinh, ñơn vị ñiều tra là một học sinh của lớp 5A . Kích thước mẫu là N = 45 . D. Dấu hiệu là chiều cao của mỗ i học sinh, ñơn vị ñiều tra là một học sinh của lớp 5A . Kích thước mẫu là N = 45 . Câu 4. Viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên A. 102;113;138;109;98;114;101;103;127;118;111;130;124;115;122;126;107; 134;108;99;106 ;104 ;133;147;141;138;143 . B. 102;113;138;109;98;114;111;103;127;118;111;130;124;115;122;126;107; 134;108;99;106;104;133;147;141;138;112 . C. 102;113;138;109;98;114;101;103;127;118;111;130;124;115;112;126;107; 134;108;99;106;104;133;147;141;138;112 . D. 102;113;138;109;98;114;101;103;127;118;111;130;124;115;122;126;107; 134;108;99;106;104;133;147;141;138;112 . 134 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Câu 5. Thống kê ñiểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 10 ñược cho ở bảng sau: 4 5 ðiểm thi 0 1 2 3 6 7 8 9 10 3 7 Tần số 3 2 1 1 4 8 9 3 1 Cho biết ñơn vị ñiều tra và kích thước của mẫu số liệu trên? A. ðơn vị ñiều tra: môn Toán, kích thước của mẫu số liệu: 42 B. ðơn vị ñiều tra: môn Toán, kích thước của mẫu số liệu: 40 C. ðơn vị ñiều tra: một học sinh lớp 10, kích thước của mẫu số liệu: 40 D. ðơn vị ñiều tra: một học sinh lớp 10, kích thước của mẫu số liệu: 42 Sử dụng giả thiết sau cho câu 6, câu 7: Số con của 40 gia ñình ở huyện A ñược thống kê lại như sau 2 4 3 2 0 2 2 2 2 5 2 1 2 2 5 2 7 3 4 2 2 3 5 2 1 2 4 4 3 2 2 3 4 3 3 4 5 2 2 3 Câu 6. Dấu hiệu và ñơn vị ñiều tra ở ñây là gì? Kích thước mẫu bao nhiêu? A. Dấu hiệu 40 gia ñình, ñơn vị ñiều tra là mỗ i gia ñình ở huyện A, kích thước mẫu là N=40 B. Dấu hiệu huyện A, ñơn vị ñiều tra là mỗ i gia ñình ở huyện A, kích thước mẫu là N=40 C. Dấu hiệu là số con, ñơn vị ñiều tra là mỗ i gia ñình ở huyện A, kích thước mẫu là N=36 D. Dấu hiệu là số con, ñơn vị ñiều tra là mỗ i gia ñình ở huyện A, kích thước mẫu là N=40 Câu 7. Viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên A. 1;2;3;4;5 B. 1;2;3;5;7 C. 1;2;3; 4;5;7;9 Câu 8. D. 1;2;3;4;5;7 Tiến hành một cuộc thăm dò về số cân nặng của mỗi học sinh nữ lớp 10 trường THPT A, người ñiều tra chọn ngẫu nhiên 30 học sinh nữ lớp 10 và ñề nghị các em cho biết số cân nặng của mình. Kết quả thu ñược ghi lại trong bảng sau (ñơn vị là kg): 43 50 43 48 45 40 38 48 45 50 43 45 48 43 38 40 43 48 40 43 45 43 50 40 50 43 45 50 43 45 Dấu hiệu và ñơn vị ñiều tra ở ñây là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu? A. ðơn vị ñiều tra: số cân nặng học sinh nữ. Kích thước mẫu: 30 B. ðơn vị ñiều tra: Một học sinh nữ. Kích thước mẫu: 10 C. ðơn vị ñiều tra: lớp 10. Kích thước mẫu: 30 D. ðơn vị ñiều tra: Một học sinh nữ. Kích thước mẫu: 30 2. BIỂU ĐỒ Sử dụng giả thiết sau cho các câu 9, 10, 11: TỈ LỆ BỆNH U HẮC TỐ (TRÊN 10 000 NGƯỜI) Biểu ñồ phân tán dưới ñây biểu diễn t ỉ lệ u hắc tố (tính theo ñơn vị 100 000 người) từ năm 1940 ñến 1970. GV. Trần Quốc Nghĩa 135 Chng 5: TH NG K Câu 9. TI LIU H C T P TON 10 Dựa vào biểu ñồ 1 em hãy cho biết năm 1969 có bao nhiêu ca mắt bệnh u hắc tố? A. 5. B. 50. C. 50 000. D. 500 000. Câu 10. Dựa vào biểu ñồ 1 em hãy cho biết khoảng biến thiên giao ñộ của số ca nhiễm bệnh u hắc tố giữa hai năm 1945 và 1950 gẫn nhất với số nào dưới ñây? A. 50 000. B. 100 000. C. 170 000. D. 360 000. Câu 11. Trung bình cộng số ca mắc bệnh u hắc tính qua các năm gần nhất so với ñáp án nào dưới ñây? A. 13 000. B. 3 300. C. 3,3. D. 1,3. Sử dụng giả thiết sau cho các câu 12, 13, 14, 15: Cho biểu ñồ. Chọn phát biểu ñúng. Câu 12. Gia ñình có ñông con nhất là gia ñình có A. 1. B. 2. C. 5. D. Không xác ñịnh. Câu 13. Số gia ñình có từ 2 con trở lên là A. 20. B. 25 C. 40. D. 45. Câu 14. Số gia ñình có từ 3 con trở lên là A. 10. B. 15. C. 20. D. 5. Câu 15. Số gia ñình có ít hơn 2 con là A. 10. C. 55. C. 45. D. 80. Sử dụng giả thiết sau cho các câu 16, 17: Cho biểu ñồ mức thu nhập trong năm 2000 của 75 hộ dân trong một xã ở vùng núi cao. Chọn phát biểu ñúng. Câu 16. Hộ gia ñình có thu nhập (triệu ñồng) cao nhất là A. 75. B. 13. C. 6.5. D. 30. Câu 17. Mức thu nhập (triệu ñồng) nhiều gia ñình ñạt ñược nhất là A. 75. B. 13. C. 6.5. D. 30. 136 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Sử dụng giả thiết sau cho các câu 18, 19, 20, 21, 22: Cho biểu ñồ Câu 18. Tổng số hộ dân của xã miền núi là A. 30. B. 100. C. 52. D. 52, 2 . Câu 19. Tổng thu nhập (triệu ñồng) của xã miền núi ñó là B. 5220 . C. 619 . A. 52, 2 . D. 619,5 . Câu 20. Số hộ dân có thu nhập trên 10 triệu là A. 100 . B. 10 . C. 5. D. 13 . Câu 21. Số hộ dân có thu nhập dưới 6 triệu là A. 50 . B. 60 . C. 5,5 . D. 25 . Câu 22. Thu nhập (triệu ñồng) bình quân của mỗ i hộ dân là A. 3,5 . B. 6 . C. 6, 2 . D. 6,195 . Sử dụng giả thiết sau cho các câu 23, 24: Cho biểu ñồ biểu diễn diện tích và dân số một số vùng của nước tA. Câu 23. Mật ñộ dân số theo thứ tự giảm dần là: A. ðông Nam Bộ, ðồng bằng sông Hồng, Tây Nguyên. B. ðồng bằng sông Hồng, ðông Nam Bộ, Tây Nguyên. C. ðông Nam Bộ, Tây Nguyên, ðồng bằng sông Hồng. D. ðồng bằng sông Hồng, Tây Nguyên, ðông Nam Bộ. Câu 24. Vùng có mật ñộ dân cư thấp nhất là: A. ðông Nam Bộ. C. Tây nguyên. GV. Trần Quốc Nghĩa B. ðồng bằng sông Hồng. D. Ba vùng có mật ñộ dân cư như nhau. 137 Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Sử dụng giả thiết sau cho các câu 25, 26, 27: Cho biểu ñồ biểu diễn ñiểm thi môn Toán HK II năm học 2017 – 2018 của trường THPT Lê Quý ðôn. Câu 25. Chọn khẳng ñịnh ñúng A. Không có học sinh ñạt ñiểm 10. B. Số học sinh ñạt ñiểm 7 nhiều hơn tổng số học sinh ñạt ñiểm 5 cộng số học sinh ñạt ñiểm 9. C. Tống số học sinh bị ñiểm kém (không vượt quá 3) là 25. D. Tổng số học sinh ñạt ñiểm giỏ i (từ 8 ñiểm trở lên) là 40. Câu 26. Số học sinh ñạt ñiểm 10 là B. 3. A. 0 . C. 4 . Câu 27. Tổng số học sinh khố i 12 của trường THPT Lê Quý ðôn là A. 155 . B. 156 . C. 157 . D. 5. D. 158 . Sử dụng giả thiết sau cho các câu 28, 29: Cho biểu ñồ giá bán vàng trong tháng 4 năm 2017. (lưu ý giá mua vào thấp hơn giá bán ra 100 000 ñồng một lượng) Câu 28. Chọn phát biểu ñúng A. Giá vàng có xu hướng tăng ñều. B. Giá một lượng vàng trong tháng 4 thấp nhất là 30 540 000 ñồng. C. Nếu mua một lượng vàng tại thời ñiểm giá vàng thấp nhất và bán ra tại thời ñiểm giá vàng cao nhất thì ñược lãi 1 380 000 ñồng. D. Nếu mua một lượng vàng tại thời ñiểm giá vàng thấp nhất và bán ra tại thời ñiểm giá vàng cao nhất thì ñược lãi 1 310 000 ñồng.. Câu 29. Một người mua một lượng vàng vào ngày 11/4 sau ñó bán ra vào ngày 21/4 thì A. Lãi 220 000 ñồng. B. Lỗ 220 000 ñồng. C. Lãi 210 000 ñồng. D. Lãi 230 000 ñồng. 138 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Câu 30. Cho biểu ñồ Chọn phát biểu ñúng. A. Giá vàng trong nước luôn cao hơn giá vàng thế giới. B. Giá vàng trong nước tăng còn giá vàng thế giới giảm. C. Giá vàng trong nước giảm còn giá vàng thế giới tăng. D. Giá vàng trong nước và thế giới cùng tăng. Sử dụng giả thiết sau cho các câu 31, 32, 33, 34, 35: Cho biểu ñồ xếp loại học sinh lớp 10A Câu 31. Nếu lớp 10A có 40 học sinh thì số học sinh giỏ i là A. 7 . B. 9. C. 24 . D. 17,5% . Câu 32. Nếu lớp 10A có 40 học sinh thì số học sinh khá là A. 7 . B. 9. C. 24 . D. 22, 5% . Câu 33. Nếu lớp 10A có 40 học sinh thì số học sinh trung bình là A. 7 . B. 9. C. 24 . D. 60% . Câu 34. Nếu lớp 10A có 40 học sinh thì số học sinh không ñạt loại giỏ i là A. 7 . B. 33 . C. 24 . D. 82% . Câu 35. Nếu lớp 10A có 40 học sinh thì số học sinh giỏ i ít hơn số học sinh khá là A. 7 . GV. Trần Quốc Nghĩa B. 9. C. 2 . D. 17,5% . 139 Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Sử dụng giả thiết sau cho các câu 36, 37, 38, 39, 40: Cho biểu ñồ phân loại sách trên một kệ sách Câu 36. Nếu trên kệ sách tổng cộng có 40 quyển sách thì số quyển sách Toán trên kệ là A. 40 . B. 12 . C. 13 . D. 25 . Câu 37. Nếu trên kệ sách có 13 quyển sách Tiếng Anh thì số quyển sách Toán trên kệ là A. 40 . B. 12 . C. 13 . D. 25 . Câu 38. Nếu trên kệ sách có 12 quyển sách Tiếng Việt thì số quyển sách Toán trên kệ là A. 40 . B. 12 . C. 13 . D. 25 . Câu 39. Nếu trên kệ sách có 25 quyển sách Toán thì số quyển sách Tiếng Anh trên kệ là A. 40 . B. 12 . C. 13 . D. 25 . Câu 40. Nếu tổng số quyển sách Tiếng Anh và Tiếng Việt nhiều hơn số quyển sách Toán là 10 quyển thì tổng số quyển sách trên kệ là A. 40 . B. 12 . C. 13 . D. 25 . Sử dụng giả thiết sau cho các câu 41, 42, 43, 44: Cho biểu ñồ diện tích cây trồng ở một tỉnh miền núi Câu 41. Nếu tổng diện tích ( ha ) cây trồng là 36 000 ha thì diện tích ( ha ) trồng cây lương thực là A. 2592000 . B. 4680 . C. 5400 . D. 25920 . Câu 42. Nếu tổng diện tích ( ha ) cây trồng là 36 000 ha thì diện tích ( ha ) trồng cây công nghiệp là A. 2592000 . 140 B. 4680 . C. 5400 . D. 25920 . GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Câu 43. Nếu tổng diện tích ( ha ) cây trồng là 36 000 ha thì diện tích ( ha ) trồng cây thực phẩm là B. 4680 . A. 2592000 . C. 5400 . D. 25920 . Câu 44. Nếu tổng diện tích ( ha ) cây trồng là 36 000 ha thì diện tích ( ha ) trồng cây thực phẩm nhiều hơn diện tích trồng cây công nghiệp là A. 720 . B. 21240 . C. 5400 . D. 480 . Câu 45. Cho biểu ñồ số cổ ñộng viên các ñội bóng nhí của trường Tiểu học Lương Thế Vinh mùa giả i 2017- 2018. Biết tổng số cổ ñộng viên là 200 học sinh. Chọn khẳng ñịnh sai A. Số cổ ñộng viên của ñọi Gấu ðen bằng một nửa số cổ ñộng viên của ñội Hươu Vàng. B. Số cổ ñộn viên của ñội Sóc Nâu là nhiều nhất. C. Số cổ ñộng viên của ñội Gấu ðen là ít nhất. D. Số cổ ñộng viên của ñội Hươu Vàng là 25 cổ ñộng viên. 3. SỐ TRUNG BÌNH CỘNG. SỐ TRUNG VỊ – MỐT Câu 46. Các giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu ñược gọi là A. Số trung bình. B. Số trung vị. C. Mốt. D. ðộ lệch chuẩn. Câu 47. Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏ i Hóa (thang ñiểm 20). Kết quả như sau ðiểm Tần số 9 1 10 1 11 3 12 5 13 8 Số trung bình, số trung vị và mốt lần lượt là A. 15,20; 15,50, 15. C. 15,23; 14; 16. 14 13 15 19 16 24 17 14 18 10 19 2 B. 15,21; 16; 17. D. 15,25; 16,5; 14. Câu 48. Sản lượng lúa (ñơn vị là tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích ñược trình bày trong bảng số liệu sau Sản lượng 20 21 22 23 24 Tần số 5 8 11 10 6 N = 40 Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng: A. 22,1. B. 22,2. C. 22,3. Câu 49. Cho mẫu số liệu thống kê {6,5,5,2,9,10,8}. Mốt của mẫu số liệu là A. 5. B. 10. C. 2. GV. Trần Quốc Nghĩa D. 22,4. D. 6 141 Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Câu 50. 41 học sinh của một lớp kiểm tra chất lượng ñầu năm (thang ñiểm 30). Kết quả như sau Số lượng(Tần số) 3 6 4 4 6 7 3 4 2 2 ðiểm 9 11 14 16 17 18 20 21 23 25 ðiểm trung bình, số trung vị và mốt của dấu hiệu lần lượt là A. 16,61; 17,5; 18. B. 17,4; 16, 17. C. 22; 15; 20. D. 18,81; 18; 19. Câu 51. Trên con ñường A, trạm kiểm soát ñã ghi lại tốc ñộ của 30 chiếc ô tô (ñơn vị km/h) Vận tốc 60 61 62 63 65 67 68 69 70 72 Tần số 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 Vận tốc 73 75 76 80 82 83 84 85 88 Tần số 2 3 2 1 1 1 1 3 1 Vận tốc trung bình, số trung vị và mốt của mẫu số liệu trên là A. 73; 77,5; 75. B. 73,63; 72,5; 75 và 85. C. 74; 73; 85. D. 74,02; 73,5; 80. 90 1 4. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN Sử dụng giả thiết sau cho các câu 52, 53, 54: ðể khảo sát kết quả thi tuyển sinh môn Toán trong kì thi tuyển sinh ñại học năm vừa qua của trường A người ñiều tra chọn một mẫu gồm 100 học sinh tham gia tuyển sinh ñó. ðiểm môn Toán (thang ñiểm 10) của các học sinh này ñược cho ở bảng phân bố sau ñây. ðiểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tần số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 N=100 Câu 52. Số trung bình là: A. 6, 23 . B. 6, 24 . C. 6, 25 . D. 6, 26 Câu 53. Phương sai (chính xác ñến hàng phần trăm) là: A. 3,96 . B. 3,99 . C. 3,98 . D. 3,97 . Câu 54. ðộ lệch chuẩn (chính xác ñến hàng phần trăm) là: A. 1,99 . B. 1,98 . C. 1, 97 . D. 1,96 . . Sử dụng giả thiết sau cho các câu 55, 56, 57: Tiền lãi (nghìn ñồng) trong 30 ngày ñược khảo sát ở một quầy bán báo. 81 37 74 65 31 63 58 82 67 77 63 46 30 53 73 51 44 52 92 93 53 85 77 47 42 57 57 85 55 64 Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất theo các lớp như sau: [29,5; 40,5); [40,5; 51,5); [51,5; 62,5); [62,5; 73,5); [73,5; 84,5); [84,5; 95,5). Câu 55. Tính số trung bình cộng: A. 63, 23 . B. 63, 28 . C. 63, 27 . D. 63, 25 . Câu 56. Tính phương sai A. 279, 78 . B. 269, 78 . C. 289, 78 . D. 279, 75 . Câu 57. Tính ñộ lệch chuẩn A. 16, 73 . B. 16, 74 . C. 16, 67 . D. 16, 67 . 142 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Sử dụng giả thiết sau cho các câu 58, 59, 60: ðo chiều cao (cm) của 40 học sinh nam ở một trường THPT, người ta thu ñược mẫu số liệu sau: 176 176 175 163 167 166 174 173 165 166 175 175 164 163 146 147 144 156 157 160 176 170 170 170 162 161 165 169 175 176 176 176 149 148 152 168 144 143 142 141 Lập bảng phân bố tần số – tần suất ghép lớp theo chiều cao của học sinh với các lớp: [141;146], [147;152], …, [171;176]. Câu 58. Dựa vào bảng phân bố tần số ghép lớp trên, tính chiều cao trung bình A. x = 162, 4 . B. x = 160, 4 . C. x = 162,3 . D. x = 161, 4 . Câu 59. Dựa vào bảng phân bố tần số ghép lớp trên, tính phương sai. A. s 2 = 116,19 . B. s 2 = 116,14 . C. s 2 = 116,15 . D. s 2 = 116,17 . Câu 60. Dựa vào bảng phân bố tần số ghép lớp trên, tính ñộ lệch chuẩn của mẫu số liệu ñã cho. A. s = 10, 74 . B. s = 10, 78 . C. s = 10, 72 . D. s = 10, 71 . Sử dụng giả thiết sau cho các câu 61, 62, 63: Có 100 học sinh tham dự kỳ thi học sinh giỏ i môn toán, kết quả ñược cho trong bảng sau: (thang ñiểm là 20) ðiểm Tần số 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 N=100 Câu 61. Tính số trung bình A. x = 15, 22 . B. x = 15, 23 . C. x = 15, 21 . D. x = 15, 2 . Câu 62. Tính phương sai A. s 2 = 3,93 . B. s 2 = 3,97 . C. s 2 = 3,98 . D. s 2 = 3,96 . Câu 63. Tính ñộ lệch chuẩn. A. s = 1,95 . B. s = 1,92 . C. s = 1,99 . D. s = 1,912 . Sử dụng giả thiết sau cho các câu 64, 65, 66: Người ta ñã thống kê số gia cầm bị tiêu hủy trong vùng dịch của 6 xã A,B,…,F như sau (ñơn vị: nghìn con): Xã Số lượng gia cầm bị tiêu hủy A 12 B 27 C 22 D 15 E 45 F 5 Câu 64. Số trung bình: A. x = 22 . B. x = 27 . C. x = 21 . D. x = 23 . Câu 65. Phương sai A. s 2 = 164, 233 . B. s 2 = 164,133 . C. s 2 = 164,333 . D. s 2 = 164,373 . Câu 66. ðộ lệch chuẩn A. s = 12,8 . B. s = 12,9 . C. s = 12, 7 . D. s = 12,5 . GV. Trần Quốc Nghĩa 143 Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Sử dụng giả thiết sau cho các câu 67, 68, 69: ðiểm kiểm tra môn toán của hai học sinh An và Bình ñược ghi lại như sau: An 9 8 4 10 3 10 9 7 Bình 6 7 9 5 7 8 9 9 Câu 67. Tính ñiểm trung bình của An. A. 7,5 . B. 7,9 . C. 7,8 . D. 7, 6 . Câu 68. Tính phương sai và ñộ lệch chuẩn về ñiểm của Bình (chính xác ñến hàng phần trăm). A. phương sai: s B2 = 3 ; ðộ lệch chuẩn: s = 1, 73 . B. phương sai: s B2 = 4 ; ðộ lệch chuẩn: s = 2 . C. phương sai: s B2 = 2 ; ðộ lệch chuẩn: s = 1, 41 . D. phương sai: sB2 = 1 ; ðộ lệch chuẩn: s = 1 . Câu 69. Học sinh nào có kết quả ổn ñịnh hơn? Vì sao? A. Bình có kết quả ổn ñịnh hơn. C. Như nhau. B. An có kết quả ổn ñịnh hơn. D. Không so sánh ñược. D. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN Bài 1: BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT Câu 1. ðể ñiều tra về ñiện năng tiêu thụ trong một tháng (tính theo kw/h) của 30 gia ñình ở khu phố X. Người ta thu ñược mẫu số liệu sau: 80 100 40 85 100 70 65 80 65 65 70 45 50 65 85 45 80 100 100 50 85 45 90 100 Có bao nhiêu gia ñình tiêu thụ trên 110kw/h một tháng? A. 2 B. 4 C. 6 Câu 2. Câu 3. 70 160 50 D. 8 Một học sinh ghi lại bảng phân bố tần suất của một mẫu số liệu như sau: Giá trị (x) 0 1 2 3 4 Tần số Tần suất 12,5% 0% 50% 25% 2,5% Tuy nhiên em ñó quên ghi kích thước N. Khi ñó giá trị nhỏ nhất có thể có của N là A. 4 B. 6 C. 16 D. 24 N= 100% ðể ñiều tra các con trong mỗ i gia ñình ở một chung cư gồn 100 gia ñình. Người ta chọn ra 20 gia ñình ở tầng 4 và thu ñược mẫu số liệu sau ñây: 2 1 4 2 2 2 1 3 3 4 5 1 Có bao nhiêu giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên: A. 6 B. 15 C. 20 144 100 120 75 1 1 1 2 2 3 3 4 D. 5 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Câu 4. Bảng phân bố tần số sau ñây ghi lại số ghế trống trong các chuyến bay từ Hà Nội ñến TPHCM: Nhóm Khoảng Tần số 1 [ 0; 4 ] 3 2 [ 5; 9 ] 8 3 [ 10;1 4 ] 15 4 [ 15; 19 ] 18 5 [ 20; 24 ] 12 6 [ 25; 29 ] 6 Tỷ lệ phần trăm số chuyến bay có nhiều nhất 19 ghế trống xấp xỉ là A. 75% B. 73% C. 71% D. Không thể xác ñịnh ñược từ bảng trên Câu 5. Cho bảng phân bố tần suất ghép lớp, chiều cao 40 học sinh lớp 10: Các lớp số ño của [150;156) [156;162) [162;168) [168;174] Cộng chiều cao X (cm) Tần số n i 7 12 17 4 40 Mệnh ñề ñúng là A. Giá trị trung tâm của lớp [150;156) là 155 B. Tần số của lớp [156;162) là 19 C. Tần số của lớp [168;174) là 36 D. Số 168 không phụ thuộc lớp [162;168). Câu 6. Cho bảng phân bố tần số ghép lớp: Các lớp giá trị của X [50;52) [52;54) [54;56) [56;58) [58;60] Cộng Tần số n i 15 20 45 15 5 100 Mệnh ñề ñúng là mệnh ñề: A. Giá trị trung tâm của lớp [50;52) là 53 B. Tần số của lớp [58;60) là 95 C. Tần số của lớp [52;54) là 35 D. Số 50 không phụ thuộc lớp [54;56). Câu 7. Cho bảng phân bố tần số ghép lớp: Các lớp giá trị của X [50;54) Tần số n i 15 Mệnh ñề sai là mệnh ñề: A. Số 54 không phụ thuộc lớp [50;54). C. Tần suất của lớp [58;62) là 50% Câu 8. Cho bảng phân bố tần số ghép lớp: Các lớp giá trị của X [60;64) Tần số n i 65 Mệnh ñề sai là mệnh ñề: A. Số 68 không phụ thuộc lớp [64;68). C. Tần suất của lớp [68;72) là 10% Câu 9. Cho bảng phân bố tần số rời rạc: xi x1 x2 ni n1 n2 Mốt là A. Số nhỏ nhất trong các số x i với i = 1, k C. Số x i có tần số nhỏ nhất GV. Trần Quốc Nghĩa [54;58) 65 [58;62) 15 [62;66] Cộng 5 100 B. Số 58 thuộc lớp [58; 62) D. Giá trị trung tâm của lớp [62;66) là 64 [64;68) 15 [68;72) 5 [72;76] Cộng 15 100 B. Số 72 thuộc lớp [72; 76] D. Giá trị trung tâm của lớp [64;68) là 66 x3 ………………x k Cộng n3 ………………n i n B. Số lớn nhất trong các số x i với i = 1, k D. Số x i có tần số lớn nhất 145 Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Câu 10. Cho bảng phân bố tần số rời rạc: 2 xi 1 3 ni 10 5 15 4 5 6 Cộng 10 5 5 50 Mệnh ñề sai là mệnh ñề: A. Tần suất của 4 là 20 % C. Tần số của 5 là 45 B. Tần suất của 2 là 20 % D. Tần suất của 5 là 90 % Câu 11. ðể ñiều tra về ñiện năng tiêu thụ trong một tháng (tính theo kw/h) của 30 gia ñình ở khu phố X. Người ta thu ñược mẫu số liệu sau: 80 100 40 85 100 70 65 80 65 65 70 45 50 65 85 45 80 100 Giá trị nhỏ nhất của dấu hiệu là bao nhiêu: A. 20 B. 30 100 50 85 45 90 100 100 120 75 C. 40 70 160 50 D. 60 Câu 12. ðể ñiều tra về ñiện năng tiêu thụ trong một tháng (tính theo kw/h) của 30 gia ñình ở khu phố X. Người ta thu ñược mẫu số liệu sau: 80 100 40 85 100 70 65 80 65 65 70 45 50 65 85 45 80 100 100 50 85 45 90 100 100 120 75 Số gia ñình có mức tiêu thụ 80 kw/ h một tháng là A. 15 B. 20 C. 3 Câu 13. Cho bảng phân bố tần số ghép lớp: Các lớp giá trị của X [50;52) Tần số n i 15 70 160 50 D. 4 [52;54) [54;56) [56;58) [58;60] Cộng 20 45 15 5 100 Mệnh ñề ñúng là mệnh ñề: A. Giá trị trung tâm của lớp [50;52) là 53 C. Tần số của lớp [52;54) là 35 B. Tần số của lớp [58;60) là 95 D. Số 56 không phụ thuộc lớp [54;56). Câu 14. ðể ñiều tra về ñiện năng tiêu thụ trong một tháng (tính theo kw/h) của 30 gia ñình ở khu phố X. 80 100 40 85 100 70 65 80 65 65 70 45 50 65 85 45 80 100 Giá trị lớn nhất của dấu hiệu là bao nhiêu: A. 40 B. 160 100 50 85 45 90 100 C. 120 100 120 75 70 160 50 D. 180 Cho bảng phân bố tần số ghép lớp: (Dùng cho câu 15, 16, 17) Các lớp giá trị của X Tần số n i Câu 15. Tần số của lớp [56;58) là A. 10 B. 20 146 [50;52) [52;54) 15 20 [54;56) 45 C. 15 [56;58) [58;60] Cộng …. 5 100 D. 25 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Câu 16. Tần suất của lớp [56;58) là A. 5% B. 10% C. 15 % D. 20% Câu 17. Số các số liệu thống kê là A. 60 B. 80 C. 90 D. 100 Cho bảng phân bố tần số rời rạc: (dùng cho câu 18, 19, 20 ) xi 1 2 3 4 5 6 Cộng f i (%) 20 10 30 20 …. 10 100% ni … 5 … … … … Câu 18. Tần số của số 4 là A. 15 B. 10 C. 25 D. 20 Câu 19. Tần suất của số 5 là A. 10% B. 15% C. 20% D. 25% C. 50 D. 100 Câu 20. Số các số liệu thống kê là A. 40 B. 60 Bài 2: BIỂU ĐỒ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT Câu 21. Cho bảng phân bố ghép lớp: Các lớp giá trị của X Tần số n i [7;13) [13;19) [19;25) [25;31] Cộng 5 10 20 15 50 Mệnh ñề sai là mệnh ñề: A. Tần suất của lớp [25;31] là 15 C. Bảng ñã cho là bảng tần số ghép lớp. B. Tần suất của lớp [7;13) là 0,1 D. Tần suất của lớp là [13;19) là 10% Cho biểu ñồ hình quạt thống kê giá trị xuất khẩu của một nước như sau: (Dùng cho câu 22, 23 ) Câu 22. Nguyên liệu nào xuất khẩu nhiều nhất: A. Dầu hoả B. Than ñá C. Sắt D. Nhôm Câu 23. Cho biết giá trị xuất của dầu hoả là 800 triệu USD. Hỏi giá trị xuất khẩu than ñá là bao nhiêu triệu USD A. 100 B. 200 C. 250 D. 400 Bài 3: SỐ TRUNG BÌNH CỘNG – MỐT – SỐ TRUNG VỊ Câu 24. Ba nhóm học sinh gòm 410 người, 15 người, 25 người. Khố i lượng trung bình của mỗ i nhóm lần lượt là 50 kg, 38 kg, 40 kg. Khố i lượng trung bình của cả 3 nhóm học sinh là A. 41,6 kg B. 42,4 kg C. 41,8 kg D. 40,5 GV. Trần Quốc Nghĩa 147 Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Câu 25. Cho dãy số liệu thống kê: 48, 36, 33, 38, 32, 48, 42, 33, 39. Số trung vị của dãy là A. 32 B. 36 C. 38 D. 40 Câu 26. Cho X, Y, Z là ba mẫu số liệu ñôi một không có phần tử chung. Số trung bình của các mẫu số liệu, X, Y, Z, X ∪ Y , X ∪ Z , Y ∪ Z ñược cho trong mẫu dưới ñây: X∪ Z Y∪ Z Mẫu X Y Z X∪Y Số trung bình 37 23 41 29 39,5 33 Khi ñó số trung bình của mẫu X ∪ Y ∪ Z là A. 38 B. 33,5 C. 33,66 D. 34 Câu 27. Cho bảng phân bố tần số rời rạc: Tuổi của 169 ñoàn viên thanh niên. Tuổi x i 18 19 20 21 22 Tần số n i 10 50 70 Số trung vị của bảng phân bố ñã cho là A. 18 B. 20 29 Cộng 169 10 C. 24 D. 22 Câu 28. Cho mẫu số liệu thống kê {6, 5, 5, 2, 9, 10, 8}. Mốt của mẫu số liệu thống kê trên là A. 5 B. 10 C. 2 D. 6 Câu 29. Tiền lương trong một tuần lao ñộng (nghìn ñồng ) của một nhóm người như sau: 196 190 165 154 158 206 189 140 174 183 174 180 166 148 148 172 Số trung bình và số trung vị là A. 189,2 – 169 C. 169 – 106 156 166 225 135 147 175 192 128 120 173 B. 167,8 – 169 D. 176,5 – 177 Câu 30. Cho mẫu số liệu thống kê {28, 16, 13, 18, 12, 28, 13, 19}. Số trung vị của mẫu số liệu thống kê trên là A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 Câu 31. ðiểm thi học kì của một học như sau: 4, 6, 2, 7, 3, 5, 9, 8, 7, 10, 9. Số trung bình và số trung vị là A. 6,22 – 7 B. 7– 6 C. 6,6 – 7 D. 6 – 6 Câu 32. Cho mẫu số liệu thống kê {8, 10, 12, 14, 16}. Số trung bình của mẫu số liệu thống kê trên là A. 12 B. 14 C. 13 D. 12,5 Câu 33. Cho bảng phân bố tần số rời rạc: Chiều cao (cm ) của 50 học sinh: Chiều cao x i (cm) 152 156 160 164 Tần số n i 5 10 Số trung vị của bảng phân bố tần số trên là A. 160 B. 156 20 C. 164 5 168 Cộng 10 50 D. 152 Câu 34. Cho dãy số liệu thống kê: 21, 23, 24, 25, 22, 20. Số trung bình cộng của dãy số liệu thống kê trên là A. 23,5 B. 22 C. 22,5 D. 14 148 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Câu 35. Một trăm học sinh của t ỉnh A (gồm 11 lớp 12) tham dự kì thi giỏ i toán của tỉnh (thang ñiểm 20) và ñiểm trung bình của họ là 10. Biết rằng số học sinh lớp 11 nhiều hơn 50 % số học sinh lớp 12 và ñiểm trung bình của khố i 12 cao hơn ñiểm trung bình của khố i 11 là 50 %. ðiểm trung bình của khố i 12 là A. 10 B. 11,25 C. 12,5 D. 15 Câu 36. Cho bảng phân bố tần số rời rạc: xi 2 ni 5 3 4 5 6 Cộng 15 10 6 7 43 Mốt của bảng phân bố ñã cho là A. 2 B. 6 C. 3 D. 5 Câu 37. ðiểm thi tiếng anh của một lớp học ñược thống kê trong bảng sau: (tối ña 100 ñiểm). Nhóm Khoảng Tần số 1 [ 40; 4 9] 3 2 [ 50; 59 ] 6 3 [ 60; 69 ] 19 4 [ 70; 79 ] 23 5 [ 80; 89 ] 9 Cộng N = 60 ðiểm trung bình là A. 69,1 B. 65,33 C. 71,2 D. 69,33 Câu 38. Số ñiểm trắc nghiệm hệ số (IQ) của một nhóm học sinh như sau: 52, 41, 13, 43, 46, 39, 21. Số trung vị và số trung bình là A. 41– 36 B. 41–36,43 C. 36,43– 41 D. 36,4 – 43 Câu 39. Cho dãy số liệu thống kê: 11, 13, 14, 15, 12, 10. Số trung bình cộng của dãy số liệu ñó là A. 13,5 B. 12 C. 12,5 D. Một ñáp số khác Câu 40. Ba nhóm học sinh gồ m 10 người, 15 người, 25 người. Khố i lượng trung bình của mỗ i nhóm lần lượt là 50 kg, 30 kg, 40 kg. Khố i lượng trung bình của cả 3 nhóm là A. 40 B. 42,4 C. 26 D. 37 Cho bảng phân bố tần số sau: ðiểm số của 50 học sinh (thang ñiểm 20). (dùng cho các câu 41, 42, 43) ðiểm số x i 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Cộng Tần số n i 1 1 3 5 8 13 19 14 14 10 2 50 Câu 41. Số trung bình cộng của bảng phân bố tần số là A. 13 B. 14 C. 15 D. 15,23 Câu 42. Số trung vị của bảng phân bố tần số là A. 14 B. 15 C. 15,5 D. 16 Câu 43. Mốt của bảng phân bố tần số là A. 16 B. 17 C. 15 D. 14 GV. Trần Quốc Nghĩa 149 Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Bài 4: PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN Câu 44. Cho mẫu số liệu thống kê { 2, 4, 6, 8, 10 A. 6 B. 8 } . Phương sai của mẫu số liệu trên: C. 10 D. 40 Câu 45. Cho dãy số liệu thống kê: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Phương sai của dãy số liệu trên: A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 Câu 46. Các giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu thống kê ñược gọi là A. Mốt B. Số trung bình C. Số trung vị D. ðộ lệch chuẩn Câu 47. Nếu ñơn vị của số liệu là kg thì phương sai có ñơn vị: B. kg 2 A. kg C. không có ñơn vị D. kg 2 Câu 48. Cho dãy số liệu thống kê: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. ðộ lệch chuẩn của dãy số liệu trên: A. 1 B. C. 2 D. 2 3 Câu 49. Cho dãy số liệu thống kê: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. ðộ lệch chuẩn của dãy số liệu trên gần bằng A. 2,3 B. 3,3 C. 4,3 D. 5,3 Câu 50. Tỉ số giữa tần số và kích thước mẫu A. Mốt B. Phương sai C. Tần suất D. Số trung vị Câu 51. Các giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu ñược gọi là A. Tần suất B. Mốt C. Số trung bình D. ðộ lệch chuẩn Cho bảng phân bố tần số sau: Chiều cao (cm) của 20 học sinh (Dùng cho câu 52, 53). Chiều cao x i Tần số n i 150 155 160 165 Cộng 2 5 8 5 20 Câu 52. Phương sai của bảng số liệu thống kê trên là A. 18,5 B. 19,5 C. 20,5 D. 21,5 Câu 53. ðộ lệch chuẩn của các số liệu thống kê gần bằng A. 4,30 B. 4,42 C. 4,53 D. 4,63 Câu 54. Một dàn nhạc giao hưởng có 35 nhạc công có ñộ tuổi như sau: Nhóm Khoảng Tần số 1 [ 20; 24 ] 2 2 [ 25; 29 ] 7 3 [ 30; 34 ] 15 4 [ 35; 39 ] 8 5 [ 40; 44 ] 3 ðộ lệch chuẩn là A. 4,98 B. 4,88 C. 5,1 D. 5,02 Câu 55. Số ôtô ñi qua một cây cầu trong một tuần ñếm ñược như sau: 83, 74, 71, 79, 83, 69, 92. Phương sai và ñộ lệch chuẩn của dãy số ñó là A. 79– 7,5 B. 74– 7,46 C. 79– 7,46 D. 74– 7,5 150 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Cho bảng phân bố tần số ghép lớp ghi chiều cao của các cây hoa trong vườn như sau (Dùng cho câu 56, 57, 58): Chiều cao (m) [ 0; 0,5) [ 0,5; 1) [ 1; 1,5 ] 8 16 8 Số cây Câu 56. Chiều cao trung bình ( x ) của cây hoa là A. x =0,5 B. x = 0,75 C. x = 0,6 D. x = 0,7 B. 0,125 m 2 C. 0,75 m 2 D. 0,5 m 2 C. 0,3 D. 0,2 Câu 57. Phương sai của mẫu là A. 0,35 m Câu 58. ðộ lệch chuẩn của mẫu trên là A. 0,35 B. 0,4 Câu 59. Cho mẫu số liệu thống kê {8, 10, 2, 4, 6}. ðộ lệch chuẩn của mẫu là A. 2,8 B. 8 C. 6 D. 2,4 Câu 60. Hệ số biến thiên của mẫu số liệu thống kê {8, 10, 2, 4, 6} là A. 28,2 % B. 0,28% C. 47,1% D. 0,47% ðiều tra số con của một tổ dân phố gồm 50 gia ñình của một thành phố ta ñược bảng số liệu sau (Dùng cho câu 61, 62, 63): 0 3 1 2 3 5 1 0 3 4 2 2 3 4 2 3 0 6 2 0 3 5 4 1 2 7 2 3 3 4 2 1 2 5 3 1 3 1 2 1 6 6 2 0 3 2 2 5 1 1 Câu 61. Số trung vị bằng A. 2 B. 3 C. 4 D. 2,5 Câu 62. Số trung bình bằng A. 2,58 B. 2,59 C. 3,01 D. 2,56 Câu 63. ðộ lệch chuẩn bằng A. 1,72 B. 2,96 C. 2,58 D. 1,75 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 5 Câu 64. Thống kê ñiểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 10 ñược cho ở bảng sau: 4 5 ðiểm thi 0 1 2 3 6 7 8 9 10 3 7 Tần số 3 2 1 1 4 8 9 3 1 Cho biết ñơn vị ñiều tra và kích thước của mẫu số liệu trên? A. ðơn vị ñiều tra: môn Toán, kích thước của mẫu số liệu:42 B. ðơn vị ñiều tra: môn Toán, kích thước của mẫu số liệu:42 C. ðơn vị ñiều tra: một hsinh lớp 10, kích thước của mẫu số liệu:40 D. ðơn vị ñiều tra: một hsinh lớp 10, kích thước của mẫu số liệu:42 GV. Trần Quốc Nghĩa 151 Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Câu 65. Công việc nào sau ñây không phụ thuộc vào công việc của môn thống kê? A. Thu nhập số liệu. B. Trình bày số liệu C. Phân tích và xử lý số liệu D. Ra quyết ñịnh dựa trên số liệu Câu 66. ðể ñiều tra các con trong mỗ i gia ñình ở một chung cư gồm 100 gia ñình. Người ta chọn ra 20 gia ñình ở tầng 2 và thu ñược mẫu số liệu sau: 2431233512 1223411324 Dấu hiệu ở ñây là gì? A. Số gia ñình ở tầng 2. B. Số con ở mỗ i gia ñình. C. Số tầng của chung cư. D. Số người trong mỗ i gia ñình. Câu 67. ðiều tra thời gian hoàn thành một sản phẩmcủa 20 công nhân, người ta thu ñược mẫu số liệu sau (thời gian tính bằng phút). 10 12 13 15 11 13 16 18 19 21 23 21 15 17 16 15 20 13 16 11 Kích thước mẫu là bao nhiêu? A. 23 B. 20 C. 10 D. 200 Câu 68. Thống kê về ñiểm thi môn toán trong một kì thi của 450 em học sinh. Người ta thấy có 99 bài ñược ñiểm 7. Hỏi tần suất của giá trị xi= 7 là bao nhiêu? A. 7% B. 22% C. 45% D. 50% Câu 69. Nhiệt ñộ trung bình của tháng 12 tại thành phố Thanh Hóa từ năm 1961 ñến hết năm 1990 ñược cho trong bảng sau: Các lớp nhiệt ñộ (0 C) Tần số Tần suất(%) 5 50 [15;17) 2 20 [17;19) * 30 [19;21] Cộng 100% Hãy ñiền số thích hợp vào *: A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Câu 70. Khố i lượng của 30 củ khoai tây thu hoạch ở một nông trường Lớp khố i lượng (gam) Tần số 3 [70;80) 6 [80;90) 12 [90;100) 6 [100;110) 3 [110;120) Cộng 30 Tần suất ghép lớp của lớp [100;110) là A. 20% B. 40% C. 60% D. 80% Câu 71. Cho bảng phân phố i thực nghiệm tần số rời rạc: Mẫu thứ xi 1 2 3 4 5 Tần số ni 2100 1860 1950 2000 2090 Mệnh ñề nào sau ñây là ñúng? A. Tần suất của 3 là 20% B. Tần suất của 4 là 20% C. Tần suất của 4 là 2% D. Tần suất của 4 là 50% 152 Cộng 10000 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Câu 72. Chiều dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành Lớp của chiều dài ( cm) [10;20) [20;30) [30;40) [40;50) Tần số 8 18 24 10 Số lá có chiều dài từ 30 cm ñến 50 cm chiếm bao nhiêu phần trăm? A. 50,0% B. 56,0% C. 56,7% D. 57% Cho bảng tần số, tần suất ghép lớp như sau: dùng cho: Câu 75, Câu 76, Câu 77 Lớp [160;162] [163;165] [166;*] [169;171] [172;174] Tần Số 6 12 ** 5 3 N =36 Tần Suất 16,7% 33,3% 27,8% *** 8,3% 100% Câu 73. Hãy ñiền số thích hợp vào* A. 167 B. 168 C. 169 D. 164 Câu 74. Hãy ñiền số thích hợp vào** A. 10 B. 12 C. 8 D. 13 Câu 75. Hãy ñiền số thích hợp vào*** A. 3,9% B. 5,9% C. 13,9% D. 23,9% Câu 76. Thống kê ñiểm môn toán trong một kì thi của 400 em học sinh thấy có 72 bài ñược ñiểm 5. Hỏi giá trị tần suất của giá trị xi =5 là A. 72% B. 36% C. 18% D. 10% Câu 77. Thống kê ñiểm môn toán trong một kì thi của 500 em học sinh thấy số bài ñược ñiểm 9 tỉ lệ 2%. Hỏi tần số của giá trị xi =9 là bao nhiêu? A. 10 B. 20 C. 30 D. 5 Câu 78. ðiều tra thời gian hoàn thành một sản phẩmcủa 20 công nhân, người ta thu ñược mẫu số liệu sau(thời gian tính bằng phút). 10 12 13 15 11 13 16 18 19 21 23 21 15 17 16 15 20 13 16 11 Có bao nhiêu giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên A. 10 B. 12 C. 20 D. 23 Câu 79. ðể ñiều tra về ñiện năng tiêu thụ trong 1 tháng (tính theo kw/h) của 1 khu chung cư có 50 gia ñình, người ta ñến 15 gia ñình và thu ñược mẫu số liệu sau: 80 75 35 105 110 60 83 71 94 102 36 78 130 120 96 Có bao nhiêu gia ñình tiêu thụñiện trên 100 kw/h trong một tháng A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 GV. Trần Quốc Nghĩa 153 Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Câu 80. ðiểm thi học kì 1 của lớp 10A ñược cho như bảng sau: 8 6,5 7 5 5,5 8 8 4,5 10 7 8 6 6 6 2,5 8 8 7 9 6,5 9 7,5 7 6 6 9 5,5 7 8 6 Số các giá trị khác nhau của dấu hiệu cho ở bảng trên là A. 14 B. 13 C. 12 4 9 4 6 5 5 6 10 3 6 7 8 6 6 4 D. 11 Câu 81. Thèng kª vÒ ®iÓm thi m«n to¸n trong mét k× thi cña 850 em häc sinh. Ng−êi ta thÊy cã 105 bµi ®−îc ®iÓm 7. Hái tÇn suÊt cña gi¸ trÞ xi= 7 lµ bao nhiªu? A. 7% B. 12% C. 45% D. 50% Câu 82. Tuổi thọ của 30 bóng ñèn ñược thắp thử. Hãy ñiền số thích hợp vào * Tuæi thä(giê) TÇn sè TÇn suÊt(%) 1150 3 10 1160 6 20 1170 * 40 1180 6 ** 1190 3 10 Céng 30 100% A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 Câu 83. Hãy ñiền số thích hợp vào ** ở bảng trên: A. 10 B. 20 D. 40 C. 30 Câu 84. Khố i lượng của 30 củ khoai tây thu hoạch ở một nông trường: Lớp khố i lượng (gam) Tần số [70;80) 3 [80;90) 6 12 [90;100) 6 [100;110) 3 [110;120) Cộng 30 Mệnh ñề nào ñúng: A. giá trị trung tâm của lớp [ 70;80 ) là 83 B. tần số của lớp [80;90 ) là 85 C. tần số của lớp [110;120 ) là 5 D. số 105 thuộc lớp [100;110 ) Cho bảng tần số, tần suất ghép lớp như sau: dùng cho: Câu 87, Câu 88, Câu 89 Doanh thu của 50 cữa hàng của một công ty trong một tháng ( ñv: triệu ñồng) STT Khoảng Tần số Tần suất % 1 26,5-48,5 2 4 2 48,5-70,5 8 16 3 70,5-92,5 12 24 4 92,5-114,5 12 24 5 114,5-136,5 * 16 6 136,5-158,5 7 *** 7 158,5-180,5 1 2 N = ** 100% 154 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Câu 85. Hãy ñiền số thích hợp vào * A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 Câu 86. Hãy ñiền số thích hợp vào ** A. 50 B. 70 C. 80 D. 100 Câu 87. Hãy ñiền số thích hợp vào *** A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 Sử dụng giả thiết sau cho các câu 88, 89, 90: Cho các số liệu thống kê về sản lượng chè thu ñược trong 1năm ( kg/sào) của 20 hộ gia ñình 111 112 112 113 114 114 115 114 115 116 112 113 113 114 Lập bảng phân bố tần sô- tần suất. 115 114 116 117 113 115 Câu 88. Tìm số trung bình A. 111 B. 113,8 C. 113,6 D. 113,9 Câu 89. Tìm số trung vị A. M e = 111 B. M e = 116 C. M e = 114 D. M e = 117 Câu 90. Tìm số mốt B. M 0 = 111 B. M 0 = 113 C. M 0 = 114 D. M 0 = 117 Sử dụng giả thiết sau cho các câu 91, 92, 93, 94, 95: ðể khảo sát kết quả thi tuyển sinh môn Toán trong kì thi tuyển sinh ñại học năm vừa qua của trường A, người ñiều tra chọn một mẫu gồ m 100 học sinh tham gia kì thi tuyển sinh ñó. ðiểm môn Toán (thang ñiểm 10) của các học sinh này ñược cho ở bảng phân bố tần số sau ñây. ðiểm Tần số 0 1 1 1 2 3 3 5 4 8 5 13 6 19 7 24 8 14 9 10 10 2 N=100 Câu 91. Tìm mốt A. M O = 7 B. M O = 5 C. M O = 8 D. M O = 4 Câu 92. Tìm số trung vị A. M e = 7,5 B. M e = 6,5 C. M e = 5,5 D. M e = 6 Câu 93. Tìm số trung bình A. 6,25 B. 6,24 C. 6,23 D. 6,26 Câu 94. Tìm phương sai A. 3,97 B. 3,99 C. 3,98 D. 3,96 Câu 95. Tìm ñộ lệch chuẩn A. 1,99 B. 1,98 C. 1,97 D. 1,96 Sử dụng giả thiết sau cho các câu 96, 97, 98: Tiền lãi (nghìn ñồng) trong 30 ngày ñược khảo sát ở một quầy bán báo. 81 37 74 65 31 63 58 82 67 77 63 46 30 53 73 51 44 52 92 93 53 85 77 47 42 57 57 85 55 64 Hãy lập bảng phân bố tần số- tần suất ghép lớp theo: [29.5; 40.5),[40.5; 51.5),[51.5; 62.5),[62.5; 73.5),[73.5; 84.5),[84.5; 95.5] GV. Trần Quốc Nghĩa 155 Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Câu 96. Tính số trung bình cộng: A. 63,23 B. 63,28 C. 63,27 D. 63,25 Câu 97. Tính phương sai: A. 269,78 B. 279,78 C. 289,79 D. 279,75 Câu 98. Tính ñộ lệch chuẩn A. 16,76 B. 16,74 C. 16,73 D. 16,79 Câu 99. Cho mẫu số liệu gồ m bốn số tự nhiên khác nhau và khác 0, biết số trung bình là 6 và số trung vị là 5. Tìm các giá trị của mẫu số liệu ñó sao cho hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu ñạt giá trị nhỏ nhất. A. 3;4;6;11 B. 2;4;7;11 C. 3;5;6;11 D. 2;4;6;12 Câu 100. Thời gian chạy 50m của 20 học sinh ñược ghi lại trong bảng dưới ñây: Thời gian 8,3 8,4 8,5 8,7 8,8 (giây) Tần số 2 3 9 5 1 Số trung bình cộng thời gian chạy của học sinh là A. 8,54 B. 4 C. 8,50 D. 8,53 Câu 101. ðiểm kiểm tra của 24 học sinh ñược ghi lại trong bảng sau: 7 2 3 5 8 2 8 5 8 4 9 6 6 1 9 3 6 7 3 6 6 7 2 9 Tìm mốt của ñiểm ñiều tra. A. 2 B. 7 C. 6 D. 9 Câu 102. Số trái cam hái ñược từ 4 cây cam trong vườn là2; 8; 12; 16. Số trung vị là A. 5 B. 10 C. 14 D. 9,5 Sử dụng giả thiết sau cho các câu 103, 104: Cho bảng phân bố tần số khối lượng 30 quả trứng gà của một rổ trúng gà: Khố i lượng (g) Tần số 25 3 30 5 35 10 40 6 45 4 50 2 Cộng 30 Câu 103. Tìm số trung vị. A. 37,5 B. 40 C. 35 D. 75 Câu 104. Tìm số mốt. A. 40 B. 35 C. 30 D. 25 Câu 105. Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏ i Hóa (thang ñiểm 20). Kết quả như sau: ðiểm 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Tần số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 Số trung bình là A. x = 15, 20 156 B. x = 15, 21 C. x = 15, 23 D. x = 15, 25 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Câu 106. Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏ i Hóa (thang ñiểm 20). Kết quả như sau: ðiểm 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Tần số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 Số trung vị là A. M e = 15 B. M e = 15,50 C. M e = 16 D. M e = 16,5 19 2 Câu 107. Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏ i Hóa (thang ñiểm 20). Kết quả như sau: ðiểm 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Tần số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 Phương sai là A. s x2 = 3,95 B. s x2 = 3,96 C. s x2 = 3,97 D. ñáp số khác Câu 108. Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏ i Hóa (thang ñiểm 20). Kết quả như sau: ðiểm 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Tần số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 ðộ lệch chuẩn B. s x = 1,98 C. s x = 1,96 D. s x = 1,99 A. s x = 1,97 Câu 109. Cho bảng phân bố tần số- tần suất ghép lớp khi ño chiều cao(cm) của 40 học sinh nam tại một trường THPT: Lớp Tần số Tần suất (%) [141;146] 6 15.0 [147;152] 4 10.0 [153;158] 2 5.0 [159;164] 6 15.0 [165;170] 10 25.0 [171;176] 12 30.0 N = 40 Chiều cao trung bình là A. x = 162, 4 B. x = 160, 4 C. x = 162,3 D. x = 161, 4 Sử dụng giả thiết sau cho các câu 110, 111, 112: Chiều cao của 45 học sinh lớp 5 (tính bằng cm) ñược ghi lại như sau: (lập bảng ghép lớp: [98; 103); [103; 108); [108; 113); [113; 118); [118; 123); [123; 128); [128; 133); [133; 138); [138; 143); [143; 148]) 102 102 113 138 111 109 98 114 101 103 127 118 111 130 124 115 122 126 107 134 108 118 122 99 109 106 109 104 122 133 124 108 102 130 107 114 147 104 141 103 108 118 113 138 112 Câu 110. Số trung bình cộng là A. x = 116, 4 B. x = 115, 4 C. x = 116,3 D. x = 166, 4 Câu 111. Phương sai là A. s x2 = 155, 4 B. s x2 = 151, 4 C. s x2 = 151,14 D. s x2 = 152, 4 GV. Trần Quốc Nghĩa 157 Chng 5: TH NG K Câu 112. ðộ lệch chuẩn là A. sx = 13, 2 TI LIU H C T P TON 10 B. sx = 11, 2 C. sx = 12,3 D. sx = 13,3 Sử dụng giả thiết sau cho các câu 113, 114, 115: Số tiết tự học tại nhà trong 1 tuần (tiết/tuần) của 20 học sinh lớp 10 trường THPT A ñược ghi lại như sau: 9 15 11 12 16 12 10 14 14 15 16 13 16 8 9 11 10 12 18 18 Câu 113. Số trung bình cộng là A. x = 12,90 B. x = 12,95 C. x = 12,80 D. x = 12,59 Câu 114. Phương sai là A. s x2 = 8, 65 B. s x2 = 8,56 C. s x2 = 8,55 D. s x2 = 8, 66 Câu 115. ðộ lệch chuẩn là A. sx = 2, 49 B. sx = 2, 99 C. sx = 2, 94 D. sx = 2, 90 Sử dụng giả thiết sau cho các câu 116, 117, 118, 119, 120, 121: ðiểm trung bình kiểm tra cua 2 nhóm học sinh lớp 10 ñược cho như sau: Nhóm 1:(9 học sinh) 1, 2, 3, 5, 6, 6, 7, 8, 9 Nhóm 2:(11 học sinh) 1, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 10 Lập bảng phân bố tần số- tần suất ghép lớp: [1, 4] ; [5, 6] ; [7, 8] ; [9, 10] của 2 nhóm: Câu 116. Tính số trung bình cộng nhóm 1. A. xn1 = 5,39 B. xn1 = 5,93 C. xn1 = 6, 39 D. xn1 = 6, 93 B. xn2 = 5, 23 C. xn2 = 6,32 D. xn2 = 6, 23 Câu 118. Tính phương sai của nhóm 1. B. sn21 = 5,56 A. sn21 = 5, 65 C. sn21 = 5,55 D. sn21 = 6, 65 Câu 119. Tính phương sai của nhóm 2. A. sn22 = 6, 39 B. sn22 = 6, 93 C. sn22 = 5,93 D. sn22 = 6, 99 Câu 120. Tính ñộ lệch chuẩn của nhóm 1. B. sn1 = 2,83 A. sn1 = 2, 49 C. sn1 = 2,88 D. sn1 = 2, 38 Câu 121. Tính ñộ lệch chuẩn của nhóm 2. A. sn2 = 2,59 B. sn2 = 2, 63 C. sn2 = 2,36 D. sn2 = 2, 66 Câu 117. Tính số trung bình cộng nhóm 2. A. xn2 = 5, 32 Sử dụng giả thiết sau cho các câu 122, 123, 124: ðiểm thi của 32 học sinh trong kì thi Tiếng Anh (thang ñiểm 100) như sau: 68 79 65 85 52 81 55 65 49 42 68 66 56 57 65 72 69 60 50 63 74 88 78 95 41 87 61 72 59 47 90 74 Lập bảng phân bố tần số- tần suất ghép lớp: [ 40;50 ) ; [50; 60 ) ; [60;70 ) ; [70;80 ) ; [80;90 ) ; [90;100] Câu 122. Số ñiểm trung bình là A. x = 66,88 158 B. x = 68, 68 C. x = 88, 66 D. x = 68,88 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Câu 123. Số phương sai là A. s x2 = 192, 03 B. s x2 = 190, 23 C. s x2 = 193, 20 D. s x2 = 192, 23 Câu 124. ðộ lệch chuẩn là A. sx = 17,39 B. sx = 19, 73 C. sx = 13, 79 D. sx = 17,97 Sử dụng giả thiết sau cho các câu 125, 126, 127: Tiền lãi ( nghìn ñồng) trong 30 ngày ñược khảo sát ở một quầy bán báo: 81 37 74 65 31 63 58 82 67 77 63 46 30 53 73 51 44 52 92 93 53 85 77 47 42 57 57 85 55 64 Lập bảng phân bố tần số- tần suất ghép lớp: [29.5; 40.5),[40.5; 51.5),[51.5; 62.5),[62.5; 73.5),[73.5; 84.5),[84.5; 95.5] Câu 125. Số trung bình cộng là A. x = 62,33 B. x = 63, 23 Câu 126. Số phương sai là A. s x2 = 279, 78 C. s x2 = 299, 78 Câu 127. ðộ lệch chuẩn là A. sx = 16, 73 C. sx = 13, 67 C. x = 66, 23 D. x = 68,88 B. s x2 = 297, 78 D. s x2 = 229, 78 B. sx = 17, 63 D. sx = 16,37 Sử dụng giả thiết sau cho các câu 129, 130, 131, 132: Sau một tháng gieo trồng một giống hoa, người ta thu ñược số liệu sau về chiều cao ( ñv:mm) của các cây hoa ñược trồng: Nhóm Chiều cao Số cây ñạt ñược 1 Từ 100 ñến 199 20 2 Từ 200 ñến 299 75 3 Từ 300 ñến 399 70 4 Từ 400 ñến 499 25 5 Từ 500 ñến 599 10 Lập bảng phân bố tần số- tần suất ghép lớp. Câu 128. Số trung bình cộng là A. x = 315 B. x = 351 C. x = 531 D. x = 135 Câu 129. Phương sai là A. s x2 = 9757 B. s x2 = 9775 C. s x2 = 9577 D. s x2 = 7957 Câu 130. ðộ lệch chuẩn là A. sx = 78,98 C. sx = 89, 78 GV. Trần Quốc Nghĩa B. sx = 97,88 D. sx = 98,87 159 Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Sử dụng giả thiết sau cho các câu 133, 134: Tiền công nhật của 65 nhân viên trong xí nghiệp tư nhân ñược thông kê như sau(ñv:ngàn ñồng) Các lớp tiền lương Số nhân viên [50;60 ) [ 60; 70 ) [ 70;80 ) [80;90 ) [90;100 ) [100;110 ) [110;120 ) 8 10 16 14 10 5 2 Lập bảng phân bố tần số- tần suất ghép lớp. Câu 131. Tiền công trung bình là A. x = 79, 77 Câu 132. Phương sai là A. s x2 = 234,3 B. x = 77, 97 C. x = 97,97 D. x = 99, 77 B. s x2 = 243, 2 C. s x2 = 442, 2 D. s x2 = 324, 2 Câu 133. ðể ñiều tra về ñiện năng tiêu thụ trong một tháng (tính theo kw/h) của 30 gia ñình ở khu phố X. Người ta thu ñược mẫu số liệu sau: 80 100 40 85 100 70 65 80 65 65 70 45 50 65 85 45 80 100 100 50 85 45 90 100 Có bao nhiêu gia ñình tiêu thụ dưới 60 kw/h một tháng? A. 5 B. 7 C. 9 100 120 75 70 160 50 D. 11 Câu 134. Thống kê ñiểm thi toán trong một kì thi của 400 em học sinh. Người ta thấy có 72 bài ñiểm 5. Hỏi tần suất của giá trị x i = 5 là bao nhiêu? A. 72% B. 36% C. 18% D. 26% Câu 135. Thống kê ñiểm thi toán trong một kì thi của 400 em học sinh. Người ta thấy có số bài ñiểm 10 chiếm tỉ lệ 2,5%. Hỏi tần số của giá trị x i = 10 là bao nhiêu? A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 Câu 136. ðể ñiều tra về ñiện năng tiêu thụ trong một tháng (tính theo kw/h) của 30 gia ñình ở khu phố X. Người ta thu ñược mẫu số liệu sau: 80 100 40 85 100 70 65 80 65 65 70 45 50 65 85 45 80 100 100 50 85 Có bao nhiêu giá trị khác nhau trong mẫu số liệu thống kê trên: A. 12 B. 24 C. 36 160 45 90 100 100 120 75 70 160 50 D. 80 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Câu 137. ðể ñiều tra về ñiện năng tiêu thụ trong một tháng (tính theo kw/h) của 30 gia ñình ở khu phố X. Người ta thu ñược mẫu số liệu sau: 80 100 40 85 100 70 65 80 65 65 70 45 Kích thước mẫu là bao nhiêu A. 30 B. 60 50 65 85 45 80 100 100 50 85 45 90 100 C. 90 100 120 75 70 160 50 D. 120 Biểu ñồ tần số hình cột của chiều cao của 36 học sunh (cm) như sau (Dùng cho các câu (115, 116, 117) n sầ 14 tần 12 10 8 6 4 2 x 0 160 162 163 165 166 168 169 171 172 174 Câu 138. Có bao nhiêu học sinh có chiều cao nằm trong khoảng [166cm; 168cm]? A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 Câu 139. Có bao nhiêu học sinh có chiều cao nằm trong khoảng [160cm; 168cm]? A. 6 B. 12 C. 10 D. 28 Câu 140. Tần suất của lớp [163; 165] là A. 12 % B. 33,3 % C. 50 % D. Một ñáp số khác Biểu ñồ hình quạt thống kê giá trị xuất khẩu của một nước cho bởi hình dưới ñây (Dùng cho câu 118, 119, 120): Câu 141. Nguyên liệu xuất khẩu nhiều nhất: A. Sắt B. than ñá C. nhôm D. thép Câu 142. Cho biết giá trị xuất khẩu của sắt là 200 triệu USD. Giá trị xuất khẩu của than ñá là A. 200 triệu USD B. 400 triệu USD C. 500 triệu USD D. 100 triệu USD Câu 143. Cho biết giá trị xuất khẩu của than ñá là 600 triệu USD. Giá trị xuất khẩu của nhôm là A. 300 triệu USD B. 200 triệu USD C. 150 triệu USD D. 600 triệu USD GV. Trần Quốc Nghĩa 161 Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Câu 144. Một ñiều tra xã hội học cho biết ñộ tuổi của người thích nhạc cổ ñiển như sau: Nhóm Khoảng ñiểm Tần số 1 [ 20; 29 ] 7 2 [ 30; 39 ] 13 3 [ 40; 49 ] 15 4 [ 50; 59 ] 25 5 [ 60; 69 ] 10 Tuổi trung bình là A. 53,25 B. 49,5 C. 47,01 D. 50,27 Cho bảng phân bố tần số sau: Chiều cao (cm) của 50 học sinh (Dùng cho các câu 122, 123, 124). Chiều cao x i Tần số n i 152 156 160 164 168 Cộng 5 10 20 5 10 50 Câu 145. Số trung bình cộng của bảng phân bố tần số là A. 152 B. 156 C. 160 D. 160,4 Câu 146. Mốt củabảng phân bố tần số là A. 152 B. 156 C. 160 D. 164 và 168 Câu 147. Số trung vị của bảng phân bố tần số là A. 160 B. 156 C. 152 D. 158 Cho bảng phân bố tần số sau: Cỡ áo bán ra tại một cửa hàng trong một tháng ((Dùng cho các câu 125, 126, 127): Cỡ áo x i 36 37 38 39 40 41 42 Cộng Số áo bán ñược n i 13 45 110 184 126 40 5 523 Câu 148. Số trung bình cộng của bảng phân bố tần số là A. 38,97 B. 37,97 C. 40,97 D. 39 Câu 149. Mốt củabảng phân bố tần số là A. 37 B. 38 C. 39 D. 40 Câu 150. Số trung vị của bảng phân bố tần số là A. 38,97 B. 38 C. 39 D. 40 Câu 151. Cho bảng phân bố tần suất ghép lớp: Lớp các giá trị x [10; 12) Tần số n i 10 Số trung bình cộng là A. 13 B. 14 [12; 14) 25 C. 15 [14; 16] 65 Cộng 100% D. 14,1 Câu 152. Người ta xác ñịnh cân nặng của 10 em học sinh và xếp yheo thứ tự tăng dần. Số trung vị cân nặng của 10 học sinh cho bởi số liệu này là A. Khố i lượng của học sinh thứ năm B. Khố i lượng của học sinh thứ sáu C. Không tìm ñược số trung vị D. Khố i lượng trung bình của học sinh thứ năm và thứ sáu Câu 153. ðộ lệch chuẩn là A. Bình phương của phương sai C. Căn số học bậc hai của phương sai 162 B. Một nữa của phương sai D. Tỉ số của phương sai vàkích thước mẫu GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 Bảng số liệu sau ñây cho ta lãi hàng tháng của một của hàng năm 2005 (ñơn vị triệu ñồng) (Dùng cho các câu 131, 132, 133) Tháng Lãi 1 12 2 15 3 18 4 13 5 13 6 16 7 18 8 19 9 15 10 17 11 20 Câu 154. Số trung bình của mẫu số liệu trên là A. 15,67 B. 15 C. 16 D. 17 Câu 155. Số trung vị của mẫu số liệu trên là A. 15 B. 16,67 C. 16 D. 17 Câu 156. Phương sai của mẫu số liệu trên là A. 121,98 B. 11,04 C. 48,39 D. 140,21 12 17 Thời gian hoàn thành một sản phẩm của 45 công nhân ñược cho trong bảng sau (Dùng cho các câu 134, 135, 136): 124 112 119 153 109 134 151 125 100 154 Câu 157. Số trung bình là A. 124,3 152 126 141 108 123 104 142 134 124 108 B. 125,3 162 129 138 109 106 104 117 129 138 142 125 138 115 107 106 135 128 146 112 108 C. 126,3 Câu 158. ðộ lệch chuẩn bằng A. 15,15 B. 16,15 140 143 134 111 119 D. 127,3 C. 17,15 D. 18,15 Kết quả thi học sinh giỏi của 100 học sinh (thang ñiểm 20) ñược cho trong bảng sau (Dùng cho các câu 136, 137, 138): ðiểm Tần số 9 1 10 1 11 3 12 5 13 8 14 13 15 19 16 24 17 14 Câu 159. Trung bình của mẫu là A. 15 B. 15,23 C. 15,5 D. 16 Câu 160. Số trung vị của mẫu là A. 14,23 B. 15,28 C. 15,5 D. 16,5 Câu 161. Mốt của mẫu là A. 19 B. 9 C. 16 D. 15,5 GV. Trần Quốc Nghĩa 18 10 19 2 163 Chng 5: TH NG K TI LIU H C T P TON 10 E. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM PHẦN C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D B D D D D D A D A A D D C C B C B D D 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A D B C C C B C C D A B C B C D D D C A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 D B C A D C C A A A B A A A A A A A A A 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 B D C C C A A C A PHẦN D. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B D C D D C C D A C C D B C C D B A C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D A C B C D B A B C C A A C C C D C C D 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 D C A B A A B D A C B D D A C B B A A C 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A A A D D B B B B A B C B A C C A B C B 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 B D B D C A C D C C A B C D A A B C A D 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 C B C A C B B D A A B C B A C A B A B D 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 B A B C B A A A B D A B B C A A A C D B 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 B B C C D C A A C C D D C A D A C B B C 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 C 164 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC Chủđề 6 sin I. Giátrị Giátrịlượ lượnggiáccủ nggiáccủagóc(cung)lượ agóc(cung)lượnggiác nggiác 1. Địnhnghĩacácgiátrịlượnggiác tang Tóm tắ tắt lí thuyế thuyết Cho ( OA, OM ) = α . Giả sử M ( x; y ) . B K • cos α = x = OH S M T cotang • sin α = y = OK sin α π   = AT  α ≠ + kπ  cosα 2   co s α • co t α = = BS (α ≠ kπ ) sinα  Nhận xét:  ∀a, –1 ≤ cosα ≤ 1 ; –1 ≤ sinα ≤ 1  tan α xác ñịnh khi α ≠ cosin α • tan α = O H A π + kπ , k ∈ℤ  cot α xác ñịnh khi α ≠ kπ , k ∈ ℤ 2 2. Dấucủacácgiátrịlượnggiác “Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos” sin Góc (I) (II) (III) (IV) HSLG (II) (I) sin + + – – cos + – – + (III) (IV) tan + – + – cot + – + – 3. Mộtsốlưuý: π  180  ① Quan hệ giữa ñộ và rañian: 1° = ( rad ) và 1( rad ) =   180  π  cos 0 ② Với π ≈ 3,14 thì 1° ≈ 0, 0175 ( rad ) , và 1 ( rad ) ≈ 57 017′45′′ ③ ðộ dài l của cung tròn có số ño α (rad), bán kính R là l = Rα . þ ④ Số ño của các cung lượng giác có ñiểm ñầu A , ñiểm cuối là B : sñ AB = α + k 2π, k ∈ℤ þ ⑤ Mỗi cung lượng giác CD ứng với một góc lượng giác ( OC , OD ) và ngược lại. II. Cungliênkế Cungliênkết t ñối, sin bù, phụ chéo, khác π tan” “Cos • Cung ñối nhau: α và −α sin ( –α ) = – sin α cos ( –α ) = cos α tan ( –α ) = – tan α cot ( –α ) = – cot α • Cung hơn kém k 2π sin (α + k 2π ) = sin α cos (α + k 2π ) = cos α tan (α + k 2π ) = tan α cot (α + k 2π ) = cot α • Cung bù: π–α và α sin (π − α ) = sin α cos (π − α ) = − cos α tan (π − α ) = − tan α cot ( π − α ) = − cot α tan (π + α ) = tan α cot ( π + α ) = cot α • Cung khác π : π + α và α sin (π + α ) = – sin α cos (π + α ) = – cos α GV. Trần Quốc Nghĩa 165 Chng 6: C NG THC LNG GIC • Cung hơn kém π 2 : π  sin  + α  = cosα 2  • Cung phụ π 2 TI LIU H C T P TON 10 π  cos  + α  = − sin α 2  π  tan  + α  = − cot α 2  π  cot  + α  = − tan α 2  π  cos  − α  = sin α 2  π  tan  − α  = cot α 2  π  cot  − α  = tan α 2  − α và α : π  sin  − α  = cos α 2  III. Cácgiátrị Cácgiátrịlượ lượnggiáccủ nggiáccủamộ amộtsố tsốgóc(cung)đặ góc(cung)đặcbiệ cbiệt ðộ 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° Rad 0 π π π π 6 4 3 2 2π 3 3π 4 5π 6 π sin 0 1 2 2 2 1 2 0 1 3 2 2 2 3 2 1 − 2 2 2 cos 3 2 1 2 tan 0 3 3 1 3 || − 3 cot || 3 1 3 3 0 − 3 3 1 0 − 2 2 − 3 2 –1 –1 − 3 3 0 –1 − 3 || IV. Côngthứ Côngthứclượ clượnggiác: nggiác: • Hệthứccơbản: 1) sin 2 x + cos 2 x = 1 cos x sin x • Côngthứccộng: 5) 1 + tan 2 x = 1 cos2 x sin x cos x 6) 1 + cot 2 x = 1 sin 2 x 4) cot x = 7) sin ( a + b ) = sin a.cos b + cos a.sin b 8) sin ( a – b ) = sin a.cos b – cos a.sin b 9) cos ( a + b ) = cos a.cos b – sin a.sin b 10) cos ( a – b ) = cos a.cos b + sin a.sin b 11) tan ( a + b ) = 166 3) tan x = 2) tan x.cot x = 1 tan a + tan b 1 − tan a.tan b 12) tan ( a − b ) = tan a − tan b 1 + tan a.tan b GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 • Côngthứcnhânhai: 15) tan 2a = 13) sin 2a = 2sin a.cos a 2 tan a 1 − tan 2 a 16) cot 2a = cot 2 a − 1 2cot a 14) cos 2a = cos2 a – sin 2 a = 2cos 2 a – 1 = 1 – 2sin 2 a = cos 4 a – sin 4 a = ( cos a − sin a )( cos a + sin a ) • Côngthứcnhânba: (chứng minh trước khi dùng) 17) sin 3a = 3sin a – 4sin 3 a 19) tan 3a = 18) cos3a = 4cos3 a – 3cos a 3 tan a − tan 3 a 1 − 3tan 2 a 20) cot 3a = 3cot 2 a − 1 cot 3 a − 3cot a 23) tan 2 a = 1 − cos 2a 1 + cos 2a • Côngthứchạbậc: 21) sin 2 a = 1 − cos 2a 2 22) cos 2 a = 1 + cos 2a 2 24) co t 2 a = 1 + cos 2a 1 − cos 2a • Côngthứcbiếnđổitíchthànhtổng: 1  sin ( a + b ) + sin ( a − b )  2 1 27) cos a.cos b = cos ( a + b ) + cos ( a − b )  2 25) sin a.cos b = 1 sin ( a + b ) − sin ( a − b )  2 1 28) sin a.sin b = − cos ( a + b ) − cos ( a − b )  2 26) cos a.sin b = • Côngthứcbiếnđổitổngthànhtích:(Các công thức 33–36 phải chứng minh) a+b a−b cos 2 2 a+b a−b 31) cos a + cos b = 2cos cos 2 2 sin ( a + b ) 33) tan a + tan b = cos a.cos b sin ( b + a ) 35) cot a + cot b = sin a.sin b 29) sin a + sin b = 2sin a+b a−b sin 2 2 a+b a −b 32) cos a − cos b = −2sin sin 2 2 sin ( a − b ) 34) tan a − tan b = cos a.cos b sin ( b − a ) 36) cot a − cot b = sin a.sin b 30) sin a − sin b = 2cos • Mộtsốhệquả: 1 37) sin a cos a = sin 2a 2 ka 39) 1 + cos ka = 2cos 2 2 ka ka   41) 1 + sin ka =  sin + cos  2 2   1 38) sin 2 a cos2 a = sin 2 2a 4 ka 40) 1 − cos ka = 2sin 2 2 2 π  43) sin x + cos x = 2 sin  x +  4  ka ka   42) 1 − sin ka =  sin − cos  2 2   2 π  44) sin x − cosx = 2 sin  x −  4  π  45) cos x + sin x = 2 cos  x −  4  π  46) cos x − sin x = 2 cos  x +  4  1 3 1 47) sin 4 x + cos4 x = 1 − 2sin 2 x cos 2 x = 1 − sin 2 2 x = + cos 4 x 2 4 4 3 5 3 48) sin 6 x + cos 6 x = 1 − 3sin 2 x cos2 x = 1 − sin 2 2 x = + cos 4 x 4 8 8 GV. Trần Quốc Nghĩa 167 Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 Phương pháp giả giải toán Vấn ñề 1. GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC Dạng1. Mốiliênhệgiữađộvàrad  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Dùng công thức a = 180.α π hoặc α = π .a 180 . Trong ñó : a : là số ño bằng ñộ của góc hoặc cung α : số ño bằng rad của góc hoặc cung • Có thể dùng máy tính bỏ túi ñể ñổi ñơn vị ño ñược nhanh hơn. B. CÁC VÍ DỤ VD 1.1 ðổi số ño của các cung sau sang radian: 54° , 30°45′ , 30°, 45°, − 60°, 90°, − 120°, − 210° . ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. VD 1.2 ðổi số ño của các cung sau sang ñộ: π 3π 5 ; 4 ;− 2π 5π 4π 5π π 4π ;− ; ;− ; ; 5, 34 ; 2,34π 3 4 3 6 18 3 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. C. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.1 1.2 168 ðổi số ño của các góc sau ra radian: a) 15° b) 12°30′ c) 22°30′ ðổi số ño của các cung sau ra ñộ, phút, giây: 5π 3π a) b) 1 c) 6 16 d) 71°52′ d) 3 4 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 Dạng2. Cácbàitoánliênquanđếngóc(cung)lượnggiác  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Số ño tổng quát của cung lượng giác có dạng: α + k 2π , (k ∈ℤ) • Cho góc có số ño β tùy ý ta luôn ñưa về ñược dạng α + k 2π , (k ∈ℤ) . Trong ñó −π < α ≤ π Khi ñó α còn ñược gọi là số ño hình học của góc. • Nếu cho góc (cung) có số ño β , muốn xem nó có phải là số ño của một góc (cung) có số ño tổng quát trên hay không, ta giải phương trình β = α + k 2π tìm k trên tập ℤ . • Nếu hai góc (cung) lượng giác x1 = α1 + m 2π và x2 = α 2 + n2π khi biểu diễn trên ñường tròn lượng giác có ñiểm cuối trùng nhau khi và chỉ khi x1 − x2 = k 2π có nghiệm với m, n, k ∈ ℤ . B. CÁC VÍ DỤ VD 1.3 Tìm số ño hình học của góc: a) x = 10π 7 b) y = −2345° .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... VD 1.4 Trên ñường tròn lượng giác với ñiểm A (1; 0 ) là gốc, xác ñịnh vị trí tia OM của góc lượng giác α = ( OA, OM ) trong các trường hợp sau: α = −750°, α = 120°, α = VD 1.5 7π 8π ,α =− . 4 3 Cho ñiểm B trên ñường tròn lượng giác với gốc là ñiểm A (1; 0 ) sao cho ( OA, OB ) = 60° . Tìm thêm 3 góc lượng giác ( OA, OB ) có giá trị dương và 3 góc lượng giác ( OA, OB ) có giá trị âm. .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... GV. Trần Quốc Nghĩa 169 Chng 6: C NG THC LNG GIC VD 1.6 TI LIU H C T P TON 10 Trên ñường tròn lượng giác có ñiểm gốc A các cung lượng giác có số ño 37π mπ , có ñiểm 4 3 cuối trùng nhau hay không ? .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... VD 1.7 Cho x = − 7π + kπ (k ∈ ℤ) . Tìm các góc (cung) x thỏa 0 < x < π 12 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.3 Cho sñ ( Ox, Oy ) = π 8 + kp ( k ∈ ℤ ) a) Tính k ñể sñ ( Ox, Oy ) = − b) Giá trị − 1.4 63π . 8 65π có phải là một số ño của ( Ox, Oy ) không ? Tại sao ? 8 Cho sñ ( Ox, Oy ) = 33°20′ + k 360° với k ∈ ℤ . a) ðịnh k ñể sñ ( Ox, Oy ) lần lượt là 1113°20′ và –686°40′ . b) Giá trị 946°40′ có phải là sñ ( Ox, Oy ) không ? Tại sao ? 1.5 Cho x = a) − π 2 π 5 + k 2π ( k ∈ ℤ ) . Tìm các góc (cung) x thỏa một các ñiều kiện sau: ≤x≤ π b) 4 π 2 c) −2 < x < 3 ≤ x ≤ 4π Dạng3. DựngcácngọncunglượnggiáctrênđườngtrònLG  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI þ • Biểu diễn cung lượng giác AM trên ñường tròn lượng giác, tức là ñi xác ñịnh ñiểm cuối M0, M1, M2, … của cung ñó trên ñường tròn lượng giác. Ta có thể lập bảng: k … –3 –2 –1 0 1 2 3 4 … þ AM … M–3 M–2 M–1 þ • Chú ý: Cung AM = α + 170 M0 M1 M2 M3 M4 … k 2π thì sẽ biểu diễn ñược ñúng n ñiểm n GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 B. CÁC VÍ DỤ þ VD 1.8 Trên ñường tròn lượng giác có gốc A . Hãy xác ñịnh các ñiểm M biết cung lượng giác AM có số ño: kπ ; kπ kπ π 2π ; ; +k ( k ∈ ℤ) 2 4 3 3 Biểu diễn các cung lượng giác có số ño trên ñường tròn lượng giác, từ ñó tìm công thức số ño π π π chung của các cung ñó: + kπ ; lπ ; + m (k , l , m ∈ ℤ ) 2 4 2 VD 1.9 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... VD 1.10 Tìm công thức tính số ño của các cung lượng giác, biết số ño của chúng thỏa mãn các ñiều π π π π   x= +k x = + k  kiện sau, với: a)  3 3 (k , m ∈ ℤ) b) 3 3 (k , m ∈ ℤ)   x ≠ mπ  x ≠ mπ .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.6 Trên ñường tròn lượng giác gốc A , dựng ñiểm cuố i các cung lượng giác có số ño (k ∈ ℤ) : þ 2π a) AM = + k 4 3 þ d) AM = π π 4 +k π 3 GV. Trần Quốc Nghĩa þ b) AM = π + k π 4 þ e) AM = –150° + k .90° þ c) AM = 60° + k120° þ f) AM = π 6 +k π 2 171 Chng 6: C NG THC LNG GIC 1.7 TI LIU H C T P TON 10 Trên ñường tròn lượng giác, biểu diễn các cung có số ño: 3π 5π 11π ; –60° ; –315° ; − ; . 4 4 3 Tìm các ngọn cung trùng nhau, tại sao ? þ 1.8 Trên ñường tròn ñịnh hướng, cho ba ñiểm A , M , N sao cho sñ AM = π 4 þ , sñ AN = 2π . Gọi P là 3 þ ñiểm thuộc ñường tròn ñó ñể tam giác MNP là tam giác cân tại P . Hãy tìm sñ AP . 1.9 Tìm công thức tính số ño của các cung lượng giác, biết số ño của chúng thỏa mãn các ñiều kiện sau, với (k , m ∈ ℤ) :  x = kπ b)  x = m π 3   x = kπ a)  π  x = + mπ  2  x = kπ  c)  π  x = m 3 Dạng4. Độdàicủamộtcungtròn  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Dùng công thức l = R.α l Trong ñó: R: bán kính ñường tròn α: số ño bằng rad của cung l: ñộ dài cung • Chú ý: Áp dụng vào các bài toán có liên qua ñến thực tế α R B. CÁC VÍ DỤ VD 1.11 Trên ñường tròn có bán kính bằng 20cm , tìm ñộ dài của các cung có số ño sau: 15° ; 25° ; 3π ; 2, 45 (tính chính xác ñến hàng phần ngàn) 5 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... VD 1.12 Hai người số ở trên cùng một kinh tuyến, lần lượt ở 25° vĩ nam và 10° vĩ ñô nam. Tính khoảng cách theo ñường chim bay giữa hai người ñó. Biết bán kính của Trái ðất là 6378 km . .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... 172 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 C. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.10 Bánh xe của người ñi xe ñạp quay ñược 11 vòng trong 5 giây. a) Tính góc (ñộ và rad) mà bánh xe quay ñược trong 1 giây. b) Tính ñộ dài quãng ñường mà người ñi xe ñã ñi ñược trong 1 phút, biết rằng ñường kính bánh xe ñạp là 680mm . 1.11 Một xe ôtô biết bánh xe có ñường kính 120 cm . Nếu xe ñó chạy ñược 100 km thì bánh xe quay ñược bao nhiêu vòng ? 1.12 Một chiếc ñòng hồ có kim giờ dài 2,1m ; kim phút dài 2,5m . a) Hỏi sau 45 phút mũi kim giờ, mũi kim phút vạch nên ñược các cung tròn có ñộ dài bao nhiêu mét? b) Giả sử hai kim cùng xuất phát cùng vị trí khi tia Ox chỉ số 12 . Hỏi sau bao lâu thì hai kim trùng nhau lần 1 ? trùng nhau lần 2 ? Dạng5. Tínhcácgiátrịlượnggiáccủamộtcungkhi biếtmộtgiátrịlượnggiáccủanó  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Sử dụng 6 hệ thức cơ bản ñã nêu trong phần tóm tắt lí thuyết. • Chú ý sử dụng bảng dấu của hàm số lượng giác ñể loại ñi những giá trị không hợp lí. B. CÁC VÍ DỤ 3  5  VD 1.13 Cho sin α = − ,  π < α < 3π 2   . Tính cos α , tan α và cot α  .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... VD 1.14 Cho tan α = −2 . Tính: a) A = sin 2 α + sin α cos α − 2cos 2 α 2 sin α + 3cos α b) B = 3sin α − 2 cos α 1 + 4sin 2 α .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... GV. Trần Quốc Nghĩa 173 Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... VD 1.15 Cho sin α + cos α = m và π 2 < α < π . Tính: a) A = sin α − cos α b) B = sin 6 α + cos 6 α .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.13 Tính các giá trị lượng giác của cung α biết: 1 a) sin α = 3 c) tan a = –2 và e) sin α = 0,8 và g) cos α = π 2 π 2 <α <π < a <π 3 π π và − < α < 0 – <α<0 2 2 2 2 π và − < α < 0 2 5 3π d) cot α = 3 và π < a < 2 b) cos α = f) tan α = 3 và 180° < a < 270° h) cot α = 2 và 0° < α < 90° 3 1.14 Cho sin x + cos x = m với 90° < x < 180° . Tính theo m : a) sin x.cos x b) sin x – cos x 4 4 d) sin x + cos x e) sin 6 x + cos 6 x c) sin 3 x + cos3 x f) tan 2 x + cot 2 x 1.15 Cho sin x.cos x = n . Tính theo n : a) sin x.cos x b) sin x – cos x 4 4 d) sin x + cos x e) sin 6 x + cos 6 x c) sin 3 x + cos3 x f) tan 2 x + cot 2 x 174 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 1.16 Cho tan x – cot x = m . Tính theo m : b) tan 2 x + cot 2 x a) tan x + cot x 1.17 a) Cho tan x = – 2 và 90° < x < 180° . Tính A = c) tan 3 x – cot 3 x 2 sin x + cos x cos x − 3sin x 2 sin x + 3cos x . 3sin x − 2 cos x 1 tan x + cot x sin x = . Tính C = 3 tan x − cot x sin 2 x + 3sin x.cos x − 2cos 2 x cot x = –3 . Tính D = 1 + 4sin 2 x 3sin 3 x − 2sin x + cos x 1 tan x = . Tính E = 2 cos3 x + 2sin x.cos 2 x 4 1 + tan x cos α = − và 180° < x < 270° . Tính F = . 5 1 − tan x 3 π cot x + tan x sin α = và 0 < x < . Tính G = . 5 2 cot x − tan x sin 2 x + 2sin x.cos x − 2 cos 2 x tan x = –3 . Tính H = 2sin 2 x − 3sin x.cos x + 4 cos 2 x b) Cho tan x = –2 . Tính B = c) Cho d) Cho e) Cho f) Cho g) Cho h) Cho Dạng6. Rútgọn–Chứngminh  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Sử dụng linh hoạt các công thức cở bản từ 1 ñến 6, các phép biến ñổi ñại số, sử dụng các hằng ñẳng thức ñáng nhớ ñể rút gọn và chứng minh. B. CÁC VÍ DỤ VD 1.16 Chứng minh: a) 3 ( sin 4 x + cos 4 x ) − 2 ( sin 6 x + cos6 x ) = 1 b) 1 2 − cot 4 x = −1 4 sin x sin 2 x .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... GV. Trần Quốc Nghĩa 175 Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 VD 1.17 Chứng minh giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x: a) A = cos 4 x ( 2 cos 2 x − 3) + sin 4 x ( 2sin 2 x − 3 ) b) B = 3 ( sin 8 x − cos8 x ) + 4 ( cos 6 x − 2sin 6 x ) + 6sin 4 x .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... VD 1.18 Chứng minh: tan 2 x − sin 2 x = tan 6 x 2 2 cot x − cos x 1 + sin 2 α c) = 1 + 2 tan 2 α . 2 1 − sin α a) b) 1 + cos x 1 − cos x − = −2 cot x, (π < x < 2π ) 1 − cos x 1 + cos x d) cos 2 x ( cos 2 x + 2 sin 2 x + sin 2 x tan 2 x ) = 1 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... 176 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.18 Rút gọn các biểu thức lượng giác sau: 2 cos 2 x − 1 A= sin x + cos x cos x C = tan x + 1 + sin x sin x + tan x − sin x.cos x tan x cos x.tan x D= − cos x.cot x sin 2 x B= sin 2 x cos 2 x F = 1− − 1 + cot x 1 + tan x 2 E = (1 + sin x ) tan x (1 – sin x ) 2 G = ( cot x + tan x ) – ( tan x – cot x ) ( 2 ) H = sin 3 x (1 + cot x ) + cos 3 x (1 + tan x ) I = 1 – sin 2 x cot 2 x + 1 – cot 2 x F= 1 + sin x 1 − sin x − 1 − sin x 1 + sin x L= K= 2 π  0 < x <  2  2 M = sin x (1 + cot x ) + cos x (1 + tan x ) P= cos 2 x − sin 2 x −1 sin 4 x + cos 4 x − sin 2 x 1 sin x − cot 2 x − cos 2 x 1 + cos x  (1 − cos x ) N= 1 − sin x  sin 2 x  (π < x < 2π ) 2    2 cos 2 x − 1  3π  , < x < 2π   cos x − tan x − sin x  2 GV. Trần Quốc Nghĩa 2 2 177 Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 1.19 Chứng minh các ñẳng thức lượng giác sau: a) sin 4 x + cos 4 x = 1 – 2sin 2 x.cos 2 x c) tan 2 x – sin 2 x = tan 2 x.sin 2 x d) cot 2 x – cos 2 x = cot 2 x.cos 2 x cot 2 x − sin 2 x = sin 2 x.cos 2 x cot 2 x − tan 2 x tan x sin x h) − = cos x sin x cot x e) sin 4 x – cos 4 x = 2sin 2 x –1 g) b) sin 6 x + cos 6 x = 1 – 3sin 2 x.cos 2 x f) 1 − sin x cos x − cos x 1 + sin x tan x cot 2 x − 1 ⋅ =1 1 − tan 2 x cot x tan x + tan y k) tan x.tan y = cot x + cot y sin x + cos x − 1 cos x = sin x − cos x + 1 1 + sin x i) j) m) 1 + 2 sin x.cos x tan x + 1 = sin 2 x − cos 2 x tan x − 1 cos x 1 + tan x = o) 1 + sin x cos x 1 + sin 2 x = 1 + 2 tan 2 x l) 2 1 − sin x 1 − 2 cos 2 x n) = tan 2 x − cot 2 x 2 2 sin x.cos x tan 2 x − tan 2 y sin 2 x − sin 2 y p) = tan 2 x.tan 2 y sin 2 x.sin 2 y 1 + tan 2 x 1 = 2 2 1 − tan x cos x − sin 2 x cos x + sin x s) = tan 3 x + tan 2 x + tan x + 1 3 cos x sin x + cos x − 1 2 cos x = 1 − cos x sin x − cos x + 1 sin x cos x 1 + cot 2 x t) − = sin x + cos x cos x − sin x 1 − cot 2 x q) r) 2  1 + sin x 1 − sin x  2 v)  −  = 4 tan x 1 − sin x 1 + sin x   2 sin x sin x + cos x 1  1   w) − = sin x + cos x x)  1 + tan x +  1 + tan x −  = 2 tan x 2 sin x − cos x tan x − 1 cos x  cos x   y) sin 2 x.tan x + cos 2 x.cot x + 2sin x.cos x = tan x + cot x z) 1 + sin x + cos x + tan x = (1 + cos x )(1 + tan x ) 1 − cos 2 x 1 u) + tan x.cot x = 2 1 − sin x cos 2 x 1.20 Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x, y: 2 2 a) ( cot x + tan x ) – ( cot x – tan x ) b) cos 2 x.cot 2 x + 3cos 2 x – cot 2 x + 2sin 2 x ( ) ( c) 2 sin 6 x + cos 6 x – 3 sin 4 x + cos 4 x ) ( ) ( ) d) 3 sin 8 x – cos8 x + 4 cos 6 x – 2sin 6 x + 6sin 4 x e) 2cos 4 x – sin 4 x + sin 2 x.cos 2 x + 3sin 2 x 2 f) 2 ( sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x.cos 2 x ) – ( sin 8 x + cos8 x ) g) sin 2 x (1 + cot x ) + cos 2 x (1 – tan x ) h) sin 6 x + cos 6 x – 2sin 4 x – cos 4 x + sin 2 x i) sin 2 x.tan 2 x + 2sin 2 x – tan 2 x + cos 2 x j) sin x + sin 4 x + cos2 x.sin 2 x , π < x < 2π cot 2 x − cos 2 x sin x.cos x k) + cot 2 x cot x sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4 sin 2 x 2 cot x + 1 m) + tan x − 1 cot x − 1 n) sin 8 x + cos8 x + 6sin 4 x.cos 4 x + 4sin 2 x.cos2 x sin 4 x + cos 4 x + 1 l) ( 178 ) GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 Dạng7. Cácdạngtoánkhác  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Tính giá trị lượng giác của một cung (góc) có số ño khá lớn ta thường biến ñổi chúng về dạng x = α + k 2π hoặc x = a° + k 360° rồi sau ñó áp dụng: “ α và α + k 2π có ñiểm ngọn trùng nhau nên có giá trị lượng giác như nhau” • Xét dấu một biểu thức lượng giá là ta biểu diễn ñiểm cuối của cung lượng giác ñó lên ñường tròn lượng giác rồi xem nó thuộc góc phần tư thứ mấy ñể suy ra dấu (dùng bảng xét dấu trong phần tóm tắt lí thuyết) của nó. B. CÁC VÍ DỤ VD 1.19 Tính giá trị của góc (cung) lượng giác sau: 225° ; –1575° ; 750° ; 510° ; 5π 11π 10π 17π ; ; − ; − 3 6 3 3 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... 225° –1575° 750° 510° 5π 3 11π 6 − 10π 3 − 17π 3 sin cos tan cot VD 1.20 Tính giá trị lượng giác của các góc sau với k nguyên dương: a) − π 3 + ( 2k + 1) π b) π 4 + kπ .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... GV. Trần Quốc Nghĩa 179 Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 VD 1.21 Xét dấu các biểu thức sau: a) sin156° ; cos ( −80° ) ; π  b) sin  α +  ; 4  3π  cos  α − 8   17π  tan  − tan 556° ;  8  π π  tan  α −  với 0 < α < 2 2   ;  .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.21 Tính sin α và cos α biết: a) α = –675° 1.22 Cho 0 < α < π 2 b) α = –390° 3π   d) cos  α −  8   1.23 Xét dấu các biểu thức sau: a) sin 50°.cos ( –30° ) d) sin ( –190° ) .cos ( 400° ) ⇔ b) cos α = 0 ⇔ c) cos α = −1 ⇔ 180 17π 3 d) α = 17π 2 . Xét dấu các biểu thức sau: a) cos (α + π ) 1.24 Tìm α , biết: a) cos α = 1 c) α = − 2π   e) cot  α −  5   2π  c) sin  α + 5  6π  f) sin  α − 7  b) cot120°.sin ( –120° ) c) sin 200°.cos ( –20° ) b) tan (α – π ) e) tan 6π −π .tan 5 7 f) cot       4π 11π .cot 5 3 d) sin α = 1 sin 1 B ⇔ e) sin α = 0 ⇔ C −1 O A cos 1 f) sin α = −1 ⇔ −1 D GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 Vấn ñề 2. CUNG LIÊN KẾT Dạng1. Tínhcácgiátrịlượnggiáccủamộtcung bằngcáchrútvềcungphầntưthứnhất  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Dựa vào ñịnh nghĩa và các công thức quy gọn góc ñã biết, kết hợp với dấu của các giá trị lượng giác ñể suy ra kết quả. −4π −2π 0 π 2 π 3π 2 2π 4π • Nếu gặp biểu thức phức tạp, ta cần rút gọn trước khi tính. • Ghi nhớ các trường hợp thường gặp sau ñây: −α ; π 2 −α; π 2 + α ; π − α ; π − α ; α + k2π ; α − k2π B. CÁC VÍ DỤ VD 1.22 Tính a) sin 930° ; b) cos1140° c) tan 750° .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... VD 1.23 Cho sin x = −0,96 với 3π π   3π  < x < 2π . Tính: a) cos (π − x ) ; b) tan  − x  ; c) cot  − x 2 2   2  .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.25 Tính các giá trị lượng giác của cung α biết: a) α = 3180° b) α = –1380° 31π 27π e) α = f) α = 3 6 c) α = 480° 15π g) α = 4 d) a = 2010° 11π h) α = − 3 1.26 Tính: a) sin150° ; b) sin 29π ; 6 cos135° ; cos 2017π ; 3 2π ; 3  159π  tan  − ; 4   tan c) sin 210° ; cos 225° ; tan 240° ; d) sin 330° ; e) sin 300° ; cos 420° ; cos 330° ; tan 300° ; tan 3150 ; GV. Trần Quốc Nghĩa −π 4  115π  cot  −  6    7π  cot  −   6  cot 750° cot 315° cot 181 Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 Dạng2. Tínhgiátrịbiểuthứclượnggiác  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Dựa vào ñịnh nghĩa và các công thức quy gọn góc ñã biết, kết hợp với dấu của các giá trị lượng giác ñể suy ra kết quả. −4π −2π 0 π 2 π 3π 2 2π 4π • Nếu gặp biểu thức phức tạp, ta cần rút gọn trước khi tính. • Ghi nhớ các trường hợp thường gặp sau ñây: −α ; π 2 −α; π 2 + α ; π − α ; π − α ; α + k2π ; α − k2π B. CÁC VÍ DỤ VD 1.24 Tính A = cos 2 π 3 + cos 2 5π π 11π 13π 2π + cos 2 + cos 2 + cos 2 + cos 2 6 9 18 18 9 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... VD 1.25 Tính B = ( cot 44° + tan 226°) .cos 406° − cot 72°.cot18° cos 316° .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... 182 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 C. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.27 Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau: 13π 16π 5π A = 2 sin + cos − 3 tan 3 6 4 C = 2sin 390° – 3 tan 225° + cot120° E= 2sin 2550°.cos ( −188° ) 1 + tan 368° 2 cos 638° + cos 98° 2π π  π B = cos  −  − 2sin + 4sin .sin π 3 5  6 sin130° − cos 220° D= cos 50°.cot 320° sin ( −234° ) − cos 216° F= ⋅ tan 36° sin144° − cos126° G = 2 tan1095° + cot 975° + tan ( –195° ) biết tan15° = 2 – 3 1.28 Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau: A = tan 20°. tan 45°. tan 70° B = cot 25°.cot 45°.cot 65° C = tan 5°.tan 45°. an 265° D = tan1°.cot 2°.tan 3°.cot 4°… cot 88°.tan 89° E = sin 2 70° + sin 2 45° + sin 2 20° F = tan 20°.tan 70° + 3 cot 20° cot 70° G = tan1° tan 2° tan 3°… tan 88° tan 89° H = cot 585° – 2 cos1440° + 2 sin1125° . I = cos 0° + cos 20° + cos 40° + cos 60° +… + cos160° + cos180° J = tan10°.tan 20°. tan 30°.tan 40°.tan 50°. tan 60°.tan 70°.tan 80° K = sin 2 10° + sin 2 20° + sin 2 30° +…+ sin 2 170° + sin 2 180° L = sin 825° – cos ( –15° ) + cos 75°.sin ( –195° ) + tan155°. tan 245° Dạng3. Rútgọn–Chứngminh  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Sử dụng cung liên kết ñể ñưa về các giá trị lượng giá của cùng một cung (góc) ñể rút gọn. • Chú ý sử dụng các biến ñổi ñại số ñã biết. B. CÁC VÍ DỤ   VD 1.26 Rút gọn các giá trị lượng giác sau: sin  a − 3π 2 3π    , cos  a − 2   3π    , tan  a − 2   3π    , cot  a − 2    .  .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... GV. Trần Quốc Nghĩa 183 Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 π  π  2 cos  − x  sin  + x  tan (π − x ) 2  2  VD 1.27 Rút gọn: A = − 2cos x π  cot  + x  sin ( π − x ) 2  .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................  3π  π   3π  π  sin  + α  tan  + β  sin  − β  cot  + α   2  2 −  2  2  + cot β cot β − tan β VD 1.28 Rút gọn: B = ( )  3π  cos ( 2π − β ) tan ( π − α ) cos ( π − α ) cot  −β  2  .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... 184 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10  5π   13π  − α  − cos  − α  − 3sin (α − 5π ) − 2sin α − cos α  2   2  VD 1.29 Rút gọn: C = sin  .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... VD 1.30 Chứng minh: a) sin 2 10° + sin 2 20° + ... + sin 2 70° + sin 2 80° = 4 b) cos 4455° − cos 945° + tan1035° − cot ( −1500° ) + 1 = 3 3 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.29 Rút gọn các biểu thức lượng giác sau: π  A = cos  + x  + cos ( 2π – x ) + cos ( 3π + x ) 2   7π   3π  B = 2 cos x – 3cos(π – x) + 5sin  – x  + cot  – x  2   2  π   3π  π  C = 2sin  + x  + sin ( 5π – x ) + sin  + x  + cos  + x  2   2  2   3π   3π  D = cos ( 5π – x ) – sin  + x  + tan  – x  + cot ( 3π – x )  2   2  GV. Trần Quốc Nghĩa 185 Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 π   3π  E = sin (π + x ) – cos  – x  + cot(2π – x) + tan  – x 2   2  3π   π   3π  F = cos ( π – x ) + sin  x – – x  – tan  + x  .cot  2   2   2  π  G = cos  + x  + cos ( 2π – x ) + sin (π – x ) + cos ( π + x ) 2  π   3π  H = 2 cos x – 3cos (π + x ) – 5sin  – x  + cot  – x 2   2   3π   3π  I = cos (π – x ) – 2sin  – x  + cot ( 2π – x ) + x  + tan   2   2  7π  3π     5π  J = 3sin  x – – x  – 2 cos ( 3π – x ) + tan  x –  + cot  2  2     2  π  sin ( π + x ) .cos  x −  .tan ( 7π + x ) 2  K=  3π  cos ( 5π − x ) .sin  + x  .tan ( 2π + x )  2  9π    5π  L = sin (13π + x ) – cos  x – – x  + cot(12π – x ) + tan  2    2   3π   5π   7π   9π  M = sin  + x  + sin  + x  + tan  + x – x  + cot   2   2   2   2  N = cos (1710° x ) – 2 sin ( x – 2250° ) + cos ( x + 90° ) + 2 sin ( 720° x ) + cos ( 540° − x )  19π  tan  − x  .cos ( 36π − x ) .sin ( x − 5π )  2  O= 9 π   sin  − x  .cos ( x − 99π )  2  P = sin ( π + x ) + sin ( 2π + x ) + sin ( 3π + x ) +…+ sin (100π + x ) 1.30 Chứng minh: m π  ( −1) sin α  a) sin  α + k  =  2  ( −1) m cos α   π   tan α  b) tan  α + k  =  2  − cot α  1.31 Chứng minh: 85π  a) sin  x + 2  khi k = 2m khi k = 2m + 1 ( k, m ∈ ℤ ) khi k = 2m (k, m ∈ ℤ) khi k = 2m + 1 3π  2 2  + cos ( 207π + x ) + sin ( 33π + x ) + sin  x − 2     =1  b) sin ( x + a ) + sin ( x + 2a ) + sin ( x + 3a ) + ... + sin ( x + 100a ) = 0 π π π   1.32 Tìm cos x nếu biết: sin  x −  + sin = sin  x +  . 2 2 2   186 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 Dạng4. Hệthứclượngtrongtamgiác  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Cho ∆ABC , ta có các kết quả sau:  A + B + C = π ⇒ 0 < A, B, C < π A B C π A B C π + + = ⇒0< , , < 2 2 2 2 2 2 2 2  A + B và C ; B + C và A ; A + C và B là các cặp góc bù nhau. A B C B C A A C B  + và ; + và ; + và là các cặp góc phụ nhau. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 • Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác khi cần thiết.  B. CÁC VÍ DỤ VD 1.31 Cho A , B , C là các góc của tam giác. Chứng minh các ñẳng thức sau: a) sin ( A + B ) = sin C b) cos ( A + B ) + cos C = 0 A+ B C = cos 2 2 e) cos C + cos ( A + B + 2C ) = 0 A+ B C = sin 2 2 f) cos ( A – B ) + cos ( 2 B + C ) = 0 c) sin d) cos .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... GV. Trần Quốc Nghĩa 187 Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 VD 1.32 Cho A, B, C, a, b, c lần lượt làcác góc và các cạnh của tam giác. Chứng minh: a) a 2 .cot 2 A − b 2 .cot 2 ( A + C ) = b 2 − a 2   B+C − A  A + B − C  b) b cos   + cos    = ( a + c ) sin B 2 2      .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... 188 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 C. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.33 Chứng minh rằng trong ∆ABC ta có: 3A + B + C a) sin A + cos =0 2 c) tan ( 2 A + B + C ) = tan A e) 1 − sin 2 ( A + B ) +1 = 1 − cos2 ( A + B + 2C ) A B+C .tan =1 2 2 d) cot ( A + B ) + cot C = 0 b) tan 1  A+ B −C  cos 2   2   C  A−B   f) tan   = cot  B +  2  2   1.34 Cho A , B , C , a , b , c lần lượt là ba góc và ba cạnh của ∆ABC . CMR: a) a 2 cot 2 A – b 2 cot 2 ( A + C ) = b2 – a 2 b) a 2 cot 2 A + b 2 cot 2 B + c 2 cot 2 C = a 2 cot 2 ( B + C ) + b 2 cot 2 ( C + A) + c 2 cot 2 ( A + B ) A+C − B = b sin ( B + C ) 2 3A + B + C d) a.sin ( A + B + 2C ) = c.cos 2 B+C − A A+ B −C   e) b  cos + cos  + ( a + c ) sin ( A + 2 B + C ) = 0 2 2   c) a cos Vấn ñề 3. CÔNG THỨC CỘNG Dạng1. Sửdụngtrụctiếpcáccôngthứcđểtínhhayđơngiảnbiểuthức  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Tính giá trị của một biểu thức • Rút gọn hoặc ñơn giản một biểu thức • Cần chú ý phân tích các số ño cung lượng giác qua các cung liên quan ñặc biệt ñã biết như: 0° , 30° , 45° , 60° , 90° . B. CÁC VÍ DỤ VD 1.33 Không dùug máy tính, hãy tính những giá trị sau: a) A = cos 25° cos 5° − sin 25° sin 5° c) C = sin 36° cos 6° − sin126° cos84° b) B = cos 38° cos 22° − sin 38° sin 22° d) D = cos 75° .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... GV. Trần Quốc Nghĩa 189 Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 2 π 3 3π , < α < π và cos β = − , − < β < −π . 3 2 4 2 Tính sin (α + β ) , cos (α + β ) , sin (α − β ) , cos (α − β ) VD 1.34 a) Cho sin α = b) Cho sin α = − 9 3π π  , π <α < . Tính tan  − α  11 2 4  .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... 1 1 , cos α − cos β = . Tính cos (α − β ) . 3 2 b) Tính tan 2α và tan 2 β , biết tan (α + β ) = 8 và tan (α − β ) = 5 VD 1.35 a) Cho sin α − sin β = .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... 190 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 VD 1.36 Rút gọn: 1 3 a) M = cos x − sin x b) N = sin (14° + 2 x ) cos (16° − 2 x ) + cos (14° + 2 x ) sin (16° − 2 x ) 2 2 c) P = sin x cos 5 x − cos x sin 5 x d) Q = sin ( x + y ) cos ( x − y ) + sin ( x − y ) cos ( x + y ) e) R = tan 3 x + tan x 1 + tan x tan 3x f) S = tan ( a − 45° ) + 1 1 − tan ( a − 45° ) .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.35 Tính giá trị lượng giác của các cung có số ño sau. 5π 13π a) –15° ; b) ; c) ; 12 12 1.36 Tính: 85π 103π a) sin 3045° ; b) cos ; c) tan ; 12 12 d) 19π 12 d) cot 299π 12 π 3 π  và < α < π . Tính tan  α +  5 2 3  b) Biết tan a = 2 và 0° < a < 90° . Tính cos ( a + 30° ) . 1.37 a) Biết sin α = GV. Trần Quốc Nghĩa 191 Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 4 8 , 0° < a < 90° , sin b = , 90° < a < 180° . 5 17 Tính cos ( a + b ) , sin ( a – b ) , tan ( a + b ) . c) Biết sin a = d) Cho 2 góc nhọn a và b với tan a = 1 1 , tan a = . Tính a + b . 2 3 π  e) Biết tan  α +  = m với m ≠ −1 . Tính tan α . 4  π  5π   f) Biết cot  − a  = m . Tính tan  a +  . 4  2   π 2 2 g) Cho a – b = . Tính: A = ( cos a + cos b ) + ( sin a + sin b ) 3 2 B = ( cos a + sin b ) + ( cos b – sin a ) h) Cho cos a = 2 1 1 và cos b = . Tính cos ( a + b ) .cos ( a – b ) . 3 4 i) Cho a, b > 0 , a + b = π 4 và tan a.tan b = 3 – 2 2 . Tính: * tan a + tan b * tan a , tan b rồi suy ra a và b . 3 3 j) Cho x + y = 60° và tan x + tan y = . Tính tan x , tan y . 4 k) Tính tan ( a + 45° ) theo tan α . Áp dụng: Tính tan15° . 1.38 Tính: 1 + tan15° 1 − tan15° 3 b) B = sin15° + cos15° 3 c) C = cos ( –53) °.sin ( –337° ) + sin 307°.sin113° a) A = d) D = cos 68°.cos 78° + cos 22°.cos12° + cos190° e) E = sin160°.cos110° + sin 250°.cos 340° + tan110°.tan 340° π π π 3π      f) F = cos  x –  .cos  x +  + cos  x +  .cos  x +  3 4 6 4      1.39 ðơn giản các biểu thức: cos ( a + b ) + sin a sin b a) A = cos ( a − b ) − sin a sin b c) C = sin ( a − b ) + 2 cos a sin b 2 cos a cos b − cos ( a − b ) b) B = d) D = sin ( a + b ) + sin ( a − b ) sin ( a + b ) − sin ( a − b ) cos ( 45° + x ) − cos ( 45° − x ) sin ( 45° + x ) − sin ( 45° − x ) 1.40 ðơn giản các biểu thức: 2 sin ( a + b ) a) A = − tan b cos ( a + b ) + cos ( a − b ) b) B = cos ( x + y ) .cos ( x – y ) + sin 2 x c) C = cos ( a + b ) . (1 + tan a tan b ) – cos ( a – b ) . (1 – tan a tan b ) . 192 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 Dạng2. Chứngminhđẳngthức  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Áp dụng các công thức cộng thích hợp ñể: • Biến ñổi vế này thành vế kia • Bến ñổi hai vế cùng bằng một ñại lượng. • Biến ñổi ñẳng thức tương ñương với một ñẳng thức ñúng, … B. CÁC VÍ DỤ VD 1.37 Chứng minh các ñẳng thức sau: a) sin ( x + 60° ) .sin ( x − 60° ) = sin 2 x − c) 3 4 cos ( a − b ) cot a cot b + 1 = cos ( a + b ) cot a cot b − 1 g) sin ( a + b ) .sin ( a − b ) = sin 2 a − sin 2 b π  π  b) sin  + a  − sin  − a  = sin a 3  3  cos ( a + b ) .cos ( a − b ) d) = 1 − tan 2 a.tan 2 b cos2 a cos2 b h) sin 2 ( a − b ) + sin 2 b + 2 sin ( a − b ) .sin b.cos a = sin 2 a ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. GV. Trần Quốc Nghĩa 193 Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. VD 1.38 Chứng minh các ñẳng thức sau: a) b) π π   cos x + sin x = 2 cos  x −  = 2 sin  x −  4 4   π π   cos x − sin x = 2 cos  x +  = − 2 sin  x −  4 4   ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 194 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 C. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.41 Chứng minh: π π   a) sin x + cos x = sin  x +  = 2 cos  x −  4 4   π π   b) sin x − cos x = sin  x −  = − 2 cos  x +  4 4   c) 1 + tan a π  = tan  + a  1 − tan a 4  d) 1 − tan a π  = tan  − a  1 + tan a 4  e) sin ( a + b ) .cos ( a – b ) = sin a.cos a + sin b.cos b f) sin ( a + b ) .sin ( a – b ) = sin 2 a – sin 2 b = cos 2 b – cos 2 a g) cos ( a + b ) .cos ( a – b ) = cos 2 a – sin 2 b = cos 2 b – sin 2 a π  π  h) sin  + a  − sin  − a  = 2 sin a 4  4  cos a + sin a π  = tan + a  cos a − sin a 4  i) j) tan ( a – b ) – tan a – tan b = tan a. tan b.tan ( a + b ) k) tan a + tan b tan a − tan b − = −2 tan a tan b tan ( a + b ) tan ( a − b ) 1.42 Chứng minh rằng: tan x + tan 2 x – tan 3 x = – tan x. tan 2 x. tan 3x Áp dụng tính: A = tan 62°.tan 54° – tan 62°.tan 26° – tan 54°.tan 26° 1.43 Chứng minh: 1 a) tan a.tan b = , nếu cos ( a + b ) = 2 cos ( a – b ) 3 b) tan ( a + b ) = 2 tan a , nếu 3sin b = sin ( 2a + b ) và a , a + b ≠ 90° + k180° . c) tan ( a + b ) = 3 tan b , nếu sin ( a + 2b ) = 2sin a d) Nếu sin b = sin ( 2a + b ) thì tan ( a + b ) = tan 2a d) Nếu cos ( a + b ) = 0 thì sin ( a + 2b ) = sin a sin 2a = sin 2b e) Nếu tan a. tan b = 1 thì  .  cos 2a = − cos 2b GV. Trần Quốc Nghĩa 195 Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 Dạng3. Chứngminhmộtbiểuthứckhôngphụthuộcđốisố  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Chứng minh một biểu thức lượng giác M không phụ thuộc vào giá trị ñối số x của góc ñang xét ta rút gọn biểu thức M cho ñến khi trong biểu thức không còn x . • Như vậy: biểu thức M không phụ thuộc vào ñối số x . B. CÁC VÍ DỤ VD 1.39 Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x : π π π 3π      A = cos  x −  .cos  x +  + cos  x +  .cos  x +  3 4 6 4      ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. C. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.44 Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x : π  π  a) A = sin 2 x + cos  + x  .cos  − x  b) B = sin 2 x + sin 2 ( 60° + x ) + sin 2 ( x − 60° ) 3  3  c) C = cos 2 x + cos 2 (120° + x ) + cos 2 (120° − x ) d) D = cos 2 x + sin ( 30° + x ) .sin ( 30° − x )  2π   2π  π  π  + x  + sin 2  − x  f) F = cos 2 x + cos2  + x  + cos2  − x   3   3  3  3  2π  2π  π π     g) G = tan x.tan  x +  + tan  x +  .tan  x +  + tan  x +  .tan x 3 3 3  3      e) E = sin 2 x + sin 2  196 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 Dạng4. Hệthứclượngtrongtamgiác  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Cho ∆ABC, ta có các kết quả sau:  A + B + C = π ⇒ 0 < A, B, C < π A B C π A B C π + + = ⇒0< , , < 2 2 2 2 2 2 2 2  A + B và C ; B + C và A ; A + C và B là các cặp góc bù nhau. A B C B C A A C B  + và ; + và ; + và là các cặp góc phụ nhau. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 • Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác khi cần thiết.  B. CÁC VÍ DỤ VD 1.40 Cho tam giác ABC . Chúng minh các ñẳng thức sau: a) sin B cos C + sin C cos B = sin A A B C B C c) sin = cos cos − sin sin 2 2 2 2 2 b) cos A cos B − sin A sin B = − cos C A B B C C A d) tan tan + tan tan + tan tan = 1 2 2 2 2 2 2 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... GV. Trần Quốc Nghĩa 197 Chng 6: C NG THC LNG GIC VD 1.41 Cho ∆ABC thỏa: TI LIU H C T P TON 10 a b c = + . Chứng minh rằng: ∆ABC vuông. sin B sin C cos B cos C .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.45 Chứng minh rằng trong ∆ABC ta có: a) sin A = sin B.cos C + sin C .cos B c) sin A B C B C = cos cos − sin sin 2 2 2 2 2 d) cos A B C B C = sin cos − cos sin 2 2 2 2 2 b) cos A = sin B.sin C – cos B.cos C e) sin 2 A + sin 2 B – sin 2 C = 2sin A.sin B.cos C f) cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 – 2cos A.cos B.cos C g) sin 2 A B C A B C + sin 2 + sin 2 = 1 − 2 sin .sin .cos 2 2 2 2 2 2 h) tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C ( ∆ABC không vuông) i) cot A B C A B C + cot + cot = cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2 j) cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A = 1 k) tan A = a sin B (với A ≠ 90° ) c − a cos B 1.46 a) Cho ∆ABC thỏa: a = 2b.cos C . Chứng minh rằng: ∆ABC cân. b) Cho ∆ABC thỏa: ma2 + mb2 + mc2 = 3 3S ∆ABC . Chứng minh rằng: ∆ABC ñều. 198 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 Vấn ñề 4. CÔNG THỨC NHÂN Dạng1. Sửdụngtrụctiếpcáccôngthứcđểtínhhayđơngiảnbiểuthức  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Áp dụng công thức nhân 2, nhân 3, hạ bậc, … thích hợp ta có thể tính giá trị của các biểu thức lượng giác hay có th rút gọn các biểu thức lượng giác. B. CÁC VÍ DỤ VD 1.42 Rút gọn các biểu thức sau: a) A = sin 5a cos 5a x x c) C = cos 2 − sin 2 2 2 b) B = sin a.cos a.cos 2a.cos 4a d) D = ( sin 5a.cos 2a − sin 2a.cos 5a )( cos 2a cos a − sin 2a sin a ) .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... GV. Trần Quốc Nghĩa 199 Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 VD 1.43 Tính giá trị của các biểu thức tan15° 1 − tan 2 15° a) A = sin 6°.cos12°.cos 24°.cos 48° b) B = π π − sin 2 8 8 e) E = sin120° (1 − 4cos 2 20° ) d) D = 3cos10° − 4 cos3 10° c) C = cos 2 f) F = 4sin 3 40° + 3cos130° .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... x 2t 1− t2 2t , với x ≠ π + k 2π . Chứng minh: sin x = ; ; tan x = cos x = 2 2 2 1+ t 1+ t 1− t2 sin x tan x + sin x sin x + cos x Áp dụng tính A = ; B= ;C= theo t . 3 − 2 cos x tan x − sin x 3sin x − 2 cos x VD 1.44 Cho t = tan .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... 200 GV. Trần Quốc Nghĩa Chng 6: C NG THC LNG GIC TI LIU H C T P TON 10 .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................