Tài liệu học tập HK2 Toán 12 – Huỳnh Phú Sĩ

Giới thiệu Tài liệu học tập HK2 Toán 12 – Huỳnh Phú Sĩ

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Tài liệu học tập HK2 Toán 12 – Huỳnh Phú Sĩ.

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu Tài liệu học tập HK2 Toán 12 – Huỳnh Phú Sĩ

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 12 tại đây

TÀI LIỆU HỌC TẬP HK2 TOÁN 12 Trường THCS&THPT Mỹ Thuận Vĩnh Long KẾ HOẠCH TUẦN L TUẦN 22 L TUẦN 19 L TUẦN 20 L TUẦN 23 L TUẦN 21 L TUẦN 24 L TUẦN 25 L TUẦN 28 L TUẦN 29 L TUẦN 26 L TUẦN 27 L TUẦN 30 L TUẦN 31 L TUẦN 34 L TUẦN 32 L TUẦN 35 L TUẦN 33 MỤC LỤC TOÁN 12 MỤC LỤC PHẦN I GIẢI TÍCH 5 Chương 3. Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1. Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Nguyên hàm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Phương pháp tìm nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Khái niệm tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Phương pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Ứng dụng của tích phân trong hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Tính thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Thể tích khối tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 4. Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1. Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Định nghĩa số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Số phức bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Biểu diễn hình học và môđun của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Cộng, trừ và nhân số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Phép vộng và phép trừ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Phép nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Phép chia số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Tổng và tích của hai số phức liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Phép chia hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §4. Phương trình bậc hai với hệ số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Căn bậc hai của số thực âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Phương trình bậc hai với hệ số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PHẦN II HÌNH HỌC 6 6 6 8 9 13 13 14 14 15 19 19 19 20 21 21 25 25 25 25 26 26 28 28 28 28 30 30 30 30 32 32 32 32 34 Chương 3. Phương pháp tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 §1. Hệ tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Tọa độ của điểm và của vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Phương trình mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Phương trình mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Phương trình tham số của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 4 35 35 36 36 37 37 40 40 41 41 42 42 46 46 47 48  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận PHẦN I GIẢI TÍCH Chương 3. Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1. Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Ứng dụng của tích phân trong hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 4. Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1. Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Cộng, trừ và nhân số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Phép chia số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §4. Phương trình bậc hai với hệ số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 5 6 6 13 19 25 25 28 30 32  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Chương 3. Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng TOÁN 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG §1.NGUYÊN HÀM Đặt vấn đề 1) Bổ sung thông tin thích hợp vào các ô trống dưới đây: f 0 (x) STT 1 n · x n−1 2 0 f(x) STT 1 x2 1 √ 2 x − 3 4 f 0 (x) f 0 (x) STT 5 ax · ln a 9 cos x 6 ex 10 − sin x f(x) 1 x 1 x · ln a 7 8 f(x) 1 cos2 x 1 sin2 x 11 12 2) Tìm hàm số f(x) biết rằng a. f 0 (x) = 3x 2 1 b. f 0 (x) = x 2 NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1 Nguyên hàm Định nghĩa − £ é Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu . . . . . . . . . . . . với mọi x ∈ K. Ví dụ 1. • Hàm số F(x) = . . . . . . . . . là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 . • Hàm số F(x) = . . . . . . . . . là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x. Ví dụ 2. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số y = A. F1 (x) = tan x. C. F3 (x) = tan x + 2021. Định lí 1 B. F2 (x) = tan x + 2020. D. F4 (x) = 2020 tan x. 1 ? cos2 x − £ é Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = . . . . . . . . . . . . cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K. Định lí 2 − £ é Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng . . . . . . . . . . . ., với C là một . . . . . . . . . . . .. Z f(x) dx = . . . . . . . . . . . . • F(x) là một . . . . . . . . . . . . của f(x) • F(x) + C là . . . . . . tất cả các nguyên hàm của f(x) • f(x) dx = F 0 (x) dx là vi phân của . . . Ví dụ 3. Tìm các nguyên hàm sau:  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 6  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Nguyên hàm TOÁN 12 Z a) Z Z x dx = 2 b) dx √ = 2 x c) ex dx = 2 Tính chất của nguyên hàm Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Z Tính chất 1. ! f 0 (x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z k · f(x) dx = . . . . . . . . . . . . (k là hằng số) Tính chất 2. Z  Tính chất 3.  f(x) ± g(x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 sin x + 2 trên khoảng (0; +∞). x Ví dụ 5. Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn f 0 (x) · f(4) = 5. Tìm f(x). √ x = 1 và 2 3 Sự tồn tại của nguyên hàm Mọi hàm số . . . . . . . . . . . . trên K đều có nguyên hàm trên K. Z • Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp Z 0 dx = . . . . . . . . . . . . . . . • ax dx = . . . . . . . . . . . . . . . (a > 0, a 6= 1) Z Z dx = . . . . . . . . . . . . . . . • Z Z n x dx = . . . . . . . . . . . . . . . (n 6= −1) • Z 1 dx = . . . . . . . . . . . . . . . x Z • Chú ý sin x dx = . . . . . . . . . . . . . . . • Z • cos x dx = . . . . . . . . . . . . . . . • 1 dx = . . . . . . . . . . . . . . . cos2 x • Z x e dx = . . . . . . . . . . . . . . . − £ é Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ • 1 dx = . . . . . . . . . . . . . . . sin2 x Ví dụ 6. Tìm các nguyên hàm sau: Z  a) Z   1 3x + 2 x 2 b) dx 7  1 + tan2 x dx  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Nguyên hàm TOÁN 12 2 PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1 Phương Z pháp đổi biến số Ví dụ 7. Tìm (x − 2)2021 dx. Định lí 3 − £ é Z Nếu f(u) dx = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì Z Chú ý − £ é Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u = u(x) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x). Ví dụ 8. Tìm f (u(x)) · u0 (x) dx = . . . . . . . . . . . . Z (3x − 2)2021 dx. Hệ quả. Với u = ax + b (a 6= 0) thì Z f (ax + b) dx = . . . . . . . . . . . . Ví dụ 9. Z cos(5x + 7) dx = . . . . . . . . . . . . Ví dụ 10. Xét nguyên hàm I = Z  A. I = 4t 4 − 2t 2 dt. Z  C. I = 2t 4 − 4t 2 dt. Z √ √ x x + 2 dx. Nếu đặt t = x + 2 thì ta được Z  B. I = t 4 − 2t 2 dt. Z  D. I = 2t 4 − t 2 dt. 2 Phương pháp nguyên hàm từng phần Định lí 4 − £ é Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì Z u(x) · v 0 (x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 11. Tìm các nguyên hàm sau: Z a) (x + 1) ln x dx Z b) (x + 1) cos x dx  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 8 Z (x + 1)ex dx Z ex cos x dx c) d)  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Nguyên hàm Tips TOÁN 12 − £ é Thứ tự ưu tiên đặt u(x) là I) Logarit II) Đa thức III) Lượng giác IV) Mũ 3 THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM Câu 1.Z Trong các khẳng định Z sau, khẳng Z định nào là đúng?   A. f(x) · g(x) dx = f(x) dx · g(x) dx. Z B. 0 dx = 0. Z C. f(x) dx = f 0 (x) + C. Z D. f 0 (x) dx = f(x) + C. Câu 2. Cho f(x), g(x) là các hàm số xác định và liên tục trên R. Trong các mệnh đề sau,Zmệnh đề nào sai? Z Z   A. 2f(x) + 3g(x) dx = 2 f(x) dx + 3 g(x) dx. Z Z Z   B. f(x) − g(x) dx = f(x) dx − g(x) dx. Z Z C. 2f(x) dx = 2 f(x) dx. Z Z Z D. f(x) · g(x) dx = f(x) dx · g(x) dx. Câu 3. Cặp số nào sau đây có tính chất “Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại”? 1 . B. sin 2x và sin2 x. A. tan x 2 và cos2 x 2 C. ex và e−x . D. sin 2x và cos2 x. Câu 4.Z Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. cos x dx = sin x + C. Z 1 1 B. dx = − + C. 2 x Z x √ 1 √ dx = x + C. C. Z 2 x D. ax dx = ax · ln a + C (a > 0, a 6= 1). Câu 5. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x + 6x là A. sin x + 3x 2 + C. B. − sin x + 3x 2 + C. 2 C. sin x + 6x + C. D. − sin x + C.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 9  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Nguyên hàm TOÁN 12 Câu 6. Xác định f(x) biết Z f(x) dx = 1 + ex + C. x 1 A. f(x) = ln |x| + ex . B. f(x) = 2 + ex . x 1 C. f(x) = − 2 + ex . D. f(x) = ln x + ex . x Câu 7. Hàm số F(x) = 2 sin x − 3 cos x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A. f(x) = −2 cos x − 3 sin x. B. f(x) = −2 cos x + 3 sin x. C. f(x) = 2 cos x + 3 sin x. D. f(x) = 2 cos x − 3 sin x. Câu 8. Tìm m để hàm số F(x) = mx 3 + (3m + 2)x 2 − 4x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 + 10x − 4. A. m = 3. B. m = 1. C. m = 2. D. m = 0.  3 Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x 1 + 3x là   A. x 2 1 + 3x 2 + C. B. 2x x + x 3 + C.    6x 3 2 3 2 + C. C. x x + x + C. D. x 1 + 5 Câu 10. Z A. Z B. Z C. Z D. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x 2 + x − 1 dx x2 2x 2 + x − 1 dx x2 2 2x + x − 1 dx x2 2 2x + x − 1 dx x2 2x 2 + x − 1 . x2 1 1 − 2 + C. x x 1 = 2x + + ln |x| + C. x 1 = x 2 + ln |x| + + C. x 1 2 = x − + ln |x| + C. x =2+ Câu 11. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x − 3)3 ? (2x − 3)4 (2x − 3)4 + 8. B. F(x) = − 3. A. F(x) = 8 8 4 4 (2x − 3) (2x − 3) . D. F(x) = . C. F(x) = 8 4 1 Câu 12. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f(x) = ? 1−x 1 A. F(x) = − ln |4 − 4x| + 3. B. F(x) = − ln |1 − x| + 4. 4  1 C. F(x) = ln |1 − x| + 2. D. F(x) = ln x 2 − 2x + 1 + 5. 2 Câu 13. Cho hàm số f(x) = x 3 − x 2 + 2x − 1. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x). Biết rằng F(1) = 4. Tìm F(x). x4 x3 x4 x3 A. F(x) = − + x 2 − x. B. F(x) = − + x 2 − x + 1. 4 3 4 3 x4 x3 x4 x3 49 C. F(x) = − + x 2 − x + 2. D. F(x) = − + x2 − x + . 4 3 4 3 12 1 Câu 14. Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = và F(2) = 1. Khi đó x−1 F(3) bằng bao nhiêu? 3 1 A. ln . B. ln 2 + 1. C. ln 2. D. . 2 2 x+2 Câu 15. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = trên khoảng (1; +∞) x−1 là A. x + 3 ln (x − 1) + C. B. x − 3 ln (x − 1) + C. 3 3 C. x − + C. D. x − + C. (x − 1)2 (x − 1)2 x3 Câu 16. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 4 . xZ + 1 Z  3x 4 A. f(x) dx = 4 + C. B. f(x) dx = ln x 4 + 1 + C. 2x + 6 Z Z   1 C. f(x) dx = x 3 ln x 4 + 1 + C. D. f(x) dx = ln x 4 + 1 + C. 4  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 10  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Nguyên hàm TOÁN 12 Câu 17. Z A. Z B. Z C. Z D. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = √ 2 f(x) dx = − (5 − 3x) 5 − 3x + C. 9 √ 2 f(x) dx = − (5 − 3x) 5 − 3x + C. 3 √ 2 f(x) dx = (5 − 3x) 5 − 3x + C. 9 2√ f(x) dx = − 5 − 3x + C. 3 √ 5 − 3x. x Câu 18.Z Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = xe Z . A. f(x) dx = (x + 1)ex + C. B. f(x) dx = (x − 1)ex + C. Z Z C. f(x) dx = xex + C. D. f(x) dx = x 2 ex + C. Z 1 Câu 19. Biết (x + 3) · e−3x+1 dx = − e−3x+1 (3x + n) + C với m, n là các số m nguyên. Tính tổng S = m + n. A. 10. B. 1. C. 9. D. 19. 3 (m/s2 ). Biết rằng vận tốc Câu 20. Một vật chuyển động với vận tốc a(t) = t+1 ban đầu của vật đó là 6 (m/s), hãy tính vận tốc của vật đó tại giây thứ 10. A. 10 m/s. B. 15, 2 m/s. C. 13, 2 m/s. D. 12 m/s. L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK GT12). Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại? a) e−x và −e−x  2 2  4 2 x e và 1 − ex c) 1 − x x b) sin 2x và sin2 x Câu 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) f(x) = e3−2x b) f(x) = tan2 x c) f(x) = sin 5x · cos 3x Câu 3. Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính: Z a) (1 − x)9 dx (đặt u = 1 − x) 1 (1 + x)(1 − 2x) Z b) cos3 x sin x dx (đặt u = cos x) Câu 4. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: Z Z Z  a) x ln(1 + x) dx b) x 2 + 2x − 1 ex dx c) x sin(2x + 1) dx  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ d) f(x) = 11 Z d) (1 − x) cos x dx  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Nguyên hàm TOÁN 12 Vocabulary − £ é derivative đạo hàm antiderivative nguyên hàm differential vi phân  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ method phương pháp change of variable đổi biến số antiderivative by parts nguyên hàm từng phần 12  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Tích phân TOÁN 12 §2.TÍCH PHÂN Đặt vấn đề Nhờ tích phân, ta có thể tính độ dài của một đường cong, diện tích của một hình phẳng, thể tích của một khối tròn xoay hay các bài toán về quãng đường, vận tốc… y x=b y = f(x) c y 9 x O y= 9 2 x=a y = x2 y= O 1 27 x x2 8 6 x 3 KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 1 Diện tích hình thang cong Cho hàm số y = f(x) liên tục, không . . . . . . . . . . . . trên đoạn [a; b]. Hình . . . . . . . . . giởi hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục . . . . . . . . . và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x). Người ta chứng mình được rằng hình thang cong nêu trên có diện tích là S = F(b) − F(a) 2 Định nghĩa tích phân Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Tích phân từ a đến b của hàm số f(x) là hiệu F(b) − F(a). Zb b f(x) dx = F(x) a a = F(b) − F(a) Ta gọi a là cận dưới, b là cận trên. Quy ước: Za ! Ví dụ 1. Tính các tích phân sau: f(x) dx = . . . . . . • a x +3 3 a) Za Ze  Z2 x b) dx  1 1 − 2 x x  dx −1 1 f(x) dx = . . . . . . • b  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 13  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Tích phân 2 TOÁN 12 TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Zb k · f(x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . (k là hằng số) Tính chất 1. a ! Zb Tính chất 2.   f(x) ± g(x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Zc Zb f(x) dx + Tính chất 3. a Ví dụ 2. Tính f(x) dx = . . . . . . . . . . . . (a < c < b) c Z1 |x − 1| dx. 0 3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1 Phương pháp đổi biến số Ví dụ 3. Để tính tích phân Z2 (2x − 1)3 dx, ba bạn Trường, Mỹ và Thuận đưa ra cách 1 giải như sau: Trường Z2 Mỹ Z2 (2x − 1) dx = 1 Đặt u = 2x ( − 1 Ñ du = 2dx. x =1Ñu =2·1−1=1 Đổi cận: x =2Ñu =2·2−1=3 2 Z Z3 1 u4 du 3 Khi đó (2x − 1) dx = u3 = · 2 2 4  8x − 3 · 4x + 3 · 2x − 1 dx 3 3 2 1 Z2 =  8x 3 − 12x 2 + 6x − 1 dx 1 1  = 8· x x x − 12 · +6· −x 4 3 2 4 3 2 = 2x 4 − 4x 3 + 3x 2 − x   3 = 10. 1 1 2 Thuận 1 2 Z2 (2x − 1)3 dx = 1 = 10. 1 (2x − 1)4 · 2 4 2 = 10. 1 1 Hãy so sánh ba lời giải trên. Ví dụ 4. Tính π Z2 Z2 cos2 x sin x dx a) √ b) −2 dx 4 − x2 0  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 14  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Tích phân TOÁN 12 2 Phương pháp tính tích phân từng phần Định lí − £ é Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì Zb u(x) · v 0 (x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Ví dụ 5. Tìm các nguyên hàm sau: Ze Z1 (x + 1) ln x dx a) c) 1 0 π Z2 Z2 π (x + 1) cos x dx b) d) 0 4 (x + 1)ex dx ex cos x dx 0 THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó hiệu số F(0) − F(1) bằng Z1 Z1 Z1 Z1 A. −F(x) dx. B. F(x) dx. C. − f(x) dx. D. f(x) dx. 0 0 0 0 Câu 2. Cho hàm số f(x), g(x) liên tục trên [a; b]. Khẳng định nào sau đây sai? Zb Zb Zb   A. f(x) + g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx. a B. C. D. a Za f(x) dx = f(x) dx. a b Zb Zb f(x) dx = f(t) dt. a a Zb Zb f(x) dx = a  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ a Zb Zc f(x) dx + c 15 f(x) dx. a  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Tích phân TOÁN 12 Câu 3. Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [−2; 3], Z3 f(x) dx = 12 và −2 F(3) = 7. Tính F(−2). A. F(−2) = 19. B. F(−2) = 2. Câu 4. Cho Zb C. F(−2) = 5. Zb f(x) dx = −3 và a Zb g(x) dx = 4. Tính I = a A. I = 25. D. F(−2) = −5. B. I = −24. [4f(x) − 3g(x)] dx. a C. I = 24. D. I = 0. Câu 5. Giả sử các biểu thức trong dấu nguyên hàm, tích phân đều có nghĩa, trong các khẳng Z định sau, khẳng định nào là sai? A. Z B. f 0 (x) dx = f(x) + C. Z kf(x) dx = k f(x) dx, ∀k ∈ R. Zb C. Zb b 0 u0 (x)v(x) dx. u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − a a Zb D. a Zb kf(x) dx = k a f(x) dx, ∀k ∈ R. a Câu 6. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 4], f(1) = 15, f(4) = 8. Z4 Tính f 0 (x) dx. 1 A. C. Z4 B. f 0 (x) dx = 7. Z4 1 1 Z4 Z4 D. f 0 (x) dx = 23. 1 f 0 (x) dx = 3. f 0 (x) dx = −7. 1 Câu 7. Cho biết Z5 Z5 f(x) dx = 3, 2 A. −6. B. −15. Z5   f(x) − 2g(x) dx. g(t) dt = 9. Tính 2 2 C. 12. D. 21. Câu 8. Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên R thỏa mãn Z5   2f(x) + 3g(x) dx = −1 Z5 −5;   3f(x) − 5g(x) dx = 21. Tính −1 A. −5. A. −3. −1 B. 1. Câu 9. Nếu Z2 1 B. −1. −1 A. I = −6. Câu 12. Cho A. I = 5.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ  f(x) + g(x) dx. C. 5. f(x) dx = 1 thì 2 B. I = 6. Z2 D. −1. Z3 Câu 10. Cho hàm số f(x) thỏa mãn Z 1 phân I = f(x) dx. A. 7.  Z3 f(x) dx = −2 và Câu 11. Cho Z5 C. 1. Z 3 f(x) dx bằng 1 f(x) dx = 5 và 1 C. I = 4. Z7 f(x) dx = 2, −1 −1 C. 11. Z4 −2 2 D. 5. Z4 B. I = 3. 16 f(x) dx = 1. Tính tích f(z) dz là f(t) dt = −4. Tính I = −2 −1 D. I = −4. f(t) dt = 9. Giá trị của f(x) dx = 1, 3 Z7 B. 3. Z2 D. 3. Z f(y) dy. 2 C. I = −3. D. I = −5.  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Tích phân TOÁN 12 Z2 Câu 13. Tính I = (2x − x 3 ) dx. 0 A. I = 0. Câu 14. Cho I = B. I = 10. π Z2 π Z2 sin 2x dx, J = 0 C. I = −4. D. I = −10. sin x dx. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề 0 nào đúng? A. I > J. B. I = J. C. I < J. D. I = 2J. C. 4 . ln 3 D. 12 . ln 3 C. 1 5 ln . 2 3 D. 16 . 225 D. 13 . 3 Z1 Câu 15. Tích phân 32x+1 dx bằng 0 27 A. . ln 9 B. 9 . ln 9 Z2 Câu 16. Tích phân dx bằng 2x + 1 1 5 A. log . 3 B. Câu 17. Tính I = Ze2 2 . 15 (1 − ln x)2 dx được kết quả là x e B. 4 A. . 3 Câu 18. Biết rằng Z7 C. 5 . 3 1 . 3 x dx = a ln 2 − b ln 5 với a, b ∈ Q. Giá trị của 2a + b x2 + 1 2 bằng A. B. 3 . 2 C. 1. 1 . 2 D. 2. Zln 5 Câu 19. Biết (x + 1)ex dx = a ln 5 + b ln 2, với a, b là các số nguyên. Tính ln 2 T = 3a − 2b. A. T = 19. B. T = −4. Câu 20. Giá trị của tích phân π Z4 C. T = 11. x sin x dx bằng 0 4+π √ . A. 4 2 4−π 2−π √ . √ . B. C. 4 2 2 2 Zb Câu 21. Tìm giá trị của b để (2x − 6) dx = 0. A. b = 0 hoặc b = 1. C. b = 1 hoặc b = 5. Câu 22. Biết a + b + c. A. S = 6. D. T = −16. Z3 1 D. 2+π √ . 2 2 B. b = 0 hoặc b = 3. D. b = 5 hoặc b = 0. x+2 dx = a + b ln c với a, b, c ∈ Z, c < 9. Tính tổng S = x 1 B. S = 7. C. S = 5. Z1 2 2x + 3x − 6 Câu 23. Tích phân I = dx có giá trị là 2x + 1 D. S = 8. 0 3 7 3 7 − ln 3. B. + ln 3. C. 5 ln 3. D. −2 ln 3. A. 2 2 2 2 Z1 dx Câu 24. Cho = a ln 2 + b ln 3 với a, b là các số nguyên. Mệnh đề 2 x + 3x + 2 0 nào sau đây đúng? A. a + 2b = 0.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ B. a − 2b = 0. 17 C. a + b = −2. D. a + b = 2.  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Tích phân TOÁN 12 Câu 25. Tính tích phân I = Z1 dx . x2 − 9 0 √ 1 1 1 1 1 B. I = − ln . C. I = ln 2. D. I = ln 6 2. A. I = ln . 6 2 6 2 6 Z3 5x + 12 Câu 26. Biết dx = a ln 2+b ln 5+c ln 6. Tính S = 3a+2b+c. x 2 + 5x + 6 A. −11. B. −14. 2 Câu 27. Biết Z1 √ C. −2. D. 3.  2 √ dx a − b với a, b là các số nguyên dương. √ = 3 x+1+ x 0 Tính T = a + b. A. T = 7. Z3 √ Câu 28. Biết B. T = 10. C. T = 6. D. T = 8. √ √ dx √ = a 3 + b 2 + c với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính x+1− x 1 P = a + b + c. 13 16 2 A. P = . B. P = . C. P = 5. D. P = . 2 3 3 Câu 29. Cho hàm số y =√ f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên (0; +∞) và thỏa mãn f(1) = 1, f(x) = f 0 (x) 3x + 1, với mọi x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 4 < f(5) < 5. B. 3 < f(5) < 4. C. 1 < f(5) < 2. D. 2 < f(5) < 3. π Câu 30. Cho hàm số f(x) liên tục trên R, biết Z1 Z4 f (tan x) dx = 4 và 0 x 2 · f(x) dx = x2 + 1 0 Z1 2. Tính I = A. 6. L TỰ LUẬN f(x) dx. B. 1. 0 C. 0. D. 2. Câu 1 (SGK GT12). Tính các tích phân sau: π Z2 a) π sin Z2  − x dx b) 4 Z2 1 dx x(x + 1) 1 2 0 (x + 1)2 dx c) 0 Câu 2 (SGK GT12). Tính các tích phân sau: π sin2 x dx a) Z1 1 Z2 0  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ Z2 b) x −1 dx x2 − 1 3 ln(1 + x) dx c) 0 0 18  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Ứng dụng của tích phân trong hình học TOÁN 12 §3.ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC Đặt vấn đề Zb Trong bài §2. Tích phân, ta đã biết tích phân f(x) dx là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm a số f(x) (không âm), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Mời các em tính diện tích của các hình thang dưới đây: y y y = −x 3 + 3x − 3 1 3 O S S O 1 x 3 x y = x 3 − 3x + 3 S = .................. 1 S = .................. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐƯỜNG CONG VÀ TRỤC HOÀNH Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích S của hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục . . . . . . . . . và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức y Zb a c O x b S= Zc . . . . . . dx = a y = f(x) Zb . . . . . . dx + a . . . . . . dx c Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y = x 2 − 4x + 3, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 5. 2 HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ĐƯỜNG CONG y Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích S của hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức y = f(x) Zb b a x O S= . . . . . . . . . . . . . . . dx a y = g(x)  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai parabol y = x 2 − 2x − 2 và y = 2 − x2. 19  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Ứng dụng của tích phân trong hình học 3 TOÁN 12 TÍNH THỂ TÍCH 1 Thể tích của vật thể Cắt một vật thể V bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a, x = b (a < b). Cắt V bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại diểm x ∈ [a; b] theo thiết diện có diện tích S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b], khi đó vật thể V có thể tích là Zb V= . . . . . . . . . . . . dx a Ví dụ 3. Viết công thức tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = ln 4, bị cắt bởi một mặt phẳng vuông góc với √ trục hoành tại điểm có hoành độ x ∈ (0; ln 4), có thiết diện là một hình vuông cạnh xex . Zln 4 Zln 4√ x A. V = π xe dx. xex dx. B. V = 0 0 Zln 4 C. V = xex dx. Zln 4 D. V = π [xex ]2 dx. 0 0 2 Thể tích khối chóp và khối chóp cụt a) Cho khối chóp có chiều cao h và diện tích đáy B. Chọn hệ trục tọa độ như hình, khi đó hình chóp đã cho có thể tích là Zh V= Zh S(x) dx = 0 . . . . . . dx = . . . . . . . . . 0 b) Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B, B0 và chiều cao bằng h. Khi đó khối chóp cụt đã cho có thể tích bằng V = ...............  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 20  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Ứng dụng của tích phân trong hình học 4 TOÁN 12 THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục . . . . . . tạo thành một khối . . . . . . . . . . . . có thể tích là Zb V = ... . . . . . . . . . dx a Ví dụ 4. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = cos x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = π quanh trục hoành. 5 THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM Câu 1. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là Zb Za A. |f(x) − g(x)| dx. B. |f(x)| dx. C. a b Zb Zb D. f(x) dx. a y −1 O 2 a Câu 2. Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục Ox và đường thẳng x = −1 (phần gạch sọc như hình bên). Gọi S là diện tích của hình phẳng H. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Z0 Z2 Z2 A. S = |f(x)| dx − |f(x)| dx. B. S = f(x) dx. y = f(x) −2 x C. S = −1 Z0 0 Z2 f(x) dx − −1 y y = f(x) c O x=b x f(x) dx. D. S = −1 Z0 Z2 f(x) dx + −1 0 f(x) dx. 0 Câu 3. Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b và f(x) liên tục trên [a; b]) (phần gạch sọc trong hình vẽ) tính theo công thức Zc Zb Zb A. S = − f(x) dx + f(x) dx. B. S = f(x) dx. a x=a |f(x)| dx. C. S = c Zb f(x) dx . a D. S = a Zc Zb f(x) dx + a f(x) dx. c Câu 4. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b. Diện tích S của hình phẳng D là Zb Zb A. S = [f(x) + g(x)] dx. B. S = |f(x) − g(x)| dx. C. S = a a Zb Zb [f(x) − g(x)] dx. a  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ D. S = [g(x) − f(x)] dx. a 21  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Ứng dụng của tích phân trong hình học Câu 5. Diện tích phần hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng Z2 Z2   A. −2x 2 + 2x + 4 dx. B. 2x 2 − 2x − 4 dx. y y = x 2 − 2x − 2 2 −1 x O TOÁN 12 C. −1 Z2  −2x 2 − 2x + 4 dx. D. −1 y = −x 2 + 2 −1 Z2  2x 2 + 2x − 4 dx. −1 Câu 6. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3x , trục Ox và hai đường thẳng x = −1, x = 2. 12 26 26 B. S = 12. C. S = . D. S = . A. S = . 3 ln 3 3 ln 3 Câu 7. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = −x 3 + 3x 2 − 2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 là 3 7 5 B. S = . C. S = . D. S = 4. A. S = . 2 2 2 Câu 8. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 + x và đường thẳng y = −x + 3. 32 16 32 A. S = − . B. S = . C. S = 16. D. S = . 3 3 3 Câu 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) : y = x 4 − 2x 2 + 1 và trục hoành. 8 15 15 16 . B. − . C. . D. . A. 15 16 8 15 x+1 Câu 10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = , trục x+2 hoành và đường thẳng x = 2 là A. 3 + ln 2. B. 3 − ln 2. C. 3 + 2 ln 2. D. 3 − 2 ln 2. Câu 11. Tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) trong hình bên. 8 10 A. S = . B. S = . 3 3 11 7 C. S = . D. S = . 3 3 y y =x−2 y= O 2 y Câu 12. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = y = 2 −√ x. Diện tích của (H) √ là 4 2−1 8 2+3 7 5 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 6 2 1 O x 1 2 4 √ √ x x x, y = 0, x2 Câu 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 , y = , 8 27 y= . x 63 63 63 A. . B. 27 ln 2 − . C. 27 ln 2. D. 27 ln 2 − . 8 8 4 Câu 14. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi elip (E) có phương trình x2 y2 + = 1, với a, b > 0. a2 b2  2 1 1 A. S = π + . B. S = π(a + b)2 . a b πa2 b2 C. S = πab. D. S = . a+b Câu 15. Trên cánh đồng cỏ có hai con bò được cột vào hai cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa hai cọc là 4m còn hai sợi dây cột hai con bò dài 3m và 2m. Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà hai con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất). A. 1, 574m2 . B. 1, 034m2 . C. 1, 989m2 . D. c.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 22  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Ứng dụng của tích phân trong hình học TOÁN 12 Câu 16. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b; V là thể tích của khối tròn xoay được thành khi quay (H) quanh trục Ox. Khẳng định nào sau đây là đúng? Zb Zb A. V = π |f(x)| dx. B. V = f 2 (x) dx. C. V = π a a Zb Zb D. V = f 2 (x) dx. a |f(x)| dx. a Câu 17. Thể tích của √ khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường y = x − 1, trục hoành, x = 2 và x = 5 quanh trục Ox bằng Z5 Z5 √ A. (x − 1) dx. B. x − 1 dx. 2 C. π 2 Z5 D. π (x − 1) dx. Z5 2 y = f(x) y = g(x) a 2 Câu 18. Cho hình phẳng trong hình vẽ bên (phần tô đậm) quay quanh trục hoành. Thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào trong các công thức sau đây? Zb Zb  2   2 A. V = π g (x) − f 2 (x) dx. B. V = π f(x) − g(x) dx. y O (x − 1) dx. 2 b x C. V = π a a Zb Zb   f(x) − g(x) dx. D. V = π a  2  f (x) − g 2 (x) dx. a Câu 19. Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) : y = x 2 và đường thẳng d : y = 2x quay quanh trục Ox. Z2 Z2 Z2 2 2 2 A. π x − 2x dx. B. π 4x dx − π x 4 dx. 0 C. π 0 Z2 Z2 4x 2 dx + π 0 x 4 dx. 0 D. π 0 Z2 2x − x  2 dx. 0 √ Câu 20. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục hoành. 3 3π 2π A. 3π. B. . C. . D. . 2 2 3 Câu 21. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x 2 − 2x, y = 0, x = −1, x = 2 quanh trục Ox bằng 16π 17π 18π 5π A. . B. . C. . D. . 5 5 5 18 √ Câu 22. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + cos x, trục hoành π và các đường thẳng x = 0, x = . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành 2 khi quay D quanh trục hoành. A. V = π − 1. B. V = π + 1. C. V = π(π − 1). D. V = π(π + 1). Câu 23. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = ex , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng  π e2 + 1 e2 − 1 A. V = . B. V = . 2 2  2 2 π e −1 πe C. V = . D. V = . 2 2 Câu 24. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) : y = x 2 và đường thẳng d : y = x xoay quanh trục Ox bằng Z1 Z1 Z1 Z1 2 4 2 A. π x dx − π x dx. B. π x dx + π x 4 dx. 0  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 0 23 0 0  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Ứng dụng của tích phân trong hình học TOÁN 12 C. π Z1 x −x 2 2 dx. 0 D. π Z1  x 2 − x dx. 0 Câu 25. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) : y = 4 và đường thẳng x (d) : y = 5 − x. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) xung quanh trục hoành. A. V = 51π. B. V = 33π. C. V = 9π. D. V = 18π. Câu 26. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số √ y = x, đường thẳng y = 2 − x và trục hoành (phần gạch chéo trong hình vẽ). Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng trên khi quay quanh trục Ox bằng 5π 4π 7π 5π A. . B. . C. . D. . 4 3 6 6 y 2 1 1 O 2 x Câu 27. Tính thể tích V của vật tròn √ xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x 2 và y = x quanh trục Ox. 3π π 7π 9π A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 10 10 10 10 Câu 28. Người ta làm một chiếc phao bơi như hình vẽ (với bề mặt có được bằng cách quay đường tròn C quanh trục d). Biết rằng OI = 30cm, R = 5cm. Tính thể tích V của chiếc phao. R I C A. V = 1500π cm . C. V = 1500πcm3 . 2 3 d O 2 B. V = 9000π cm3 . D. V = 9000πcm3 . Câu 29. Một ô tô đang chạy với tốc độ 36 km/h thì người lái xe đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −5t + 10 m/s, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 10 m. B. 20 m. C. 2 m. D. 0, 2 m. L TỰ LUẬN Câu 30. Một chiếc xe đang chạy đều với vận tốc 20 m/s thì giảm phanh với vận tốc v(t) = 20 − 2t m/s đến khi dừng hẳn. Quãng đường xe đi được từ lúc bắt đầu giảm phanh đến khi dừng hẳn là A. 98 m. B. 94 m. C. 100 m. D. 96 m. Câu 1 (SGK GT12). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y = x 2 , y = x + 2 b) y = (x − 6)2 , y = 6x − x 2 Câu 2 (SGK GT12). Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau a) y = 1 − x 2 , y = 0  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ b) y = tan x, y = 0, x = 0, x = 24 π 4  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Chương 4. Số phức TOÁN 12 Chương 4. SỐ PHỨC §1.SỐ PHỨC Đặt vấn đề Số phức cho phép giải một phương trình nhất định mà không giải được trong trường số thực. Ví dụ, phương trình (x + 1)2 = −9 không có nghiệm thực, vì bình phương của một số thực không thể âm. Các số phức cho phép giải phương trình này. Ý tưởng là mở rộng trường số thực sang đơn vị ảo i với i2 = −1, vì vậy phương trình trên được giải. 1 Số phức được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học, như khoa học kỹ thuật, điện từ học, cơ học lượng tử, toán học ứng dụng chẳng hạn như trong lý thuyết hỗn loạn. Nhà toán học người Ý Gerolamo Cardano là người đầu tiên đưa ra số phức. Ông sử dụng số phức để giải các phương trình bậc ba trong thế kỉ 16. ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC Mỗi biểu thức dạng . . . . . . . . . trong đó a, b ∈ . . . và i2 = . . . được gọi là một số phức. • Đối với số phức z = a + bi, ta nói a là . . . . . . . . . . . ., b là . . . . . . . . . . . . của z. • Số i được gọi là . . . . . . . . . . . . • Tập hợp các số phức kí hiệu là . . . . . . (The set of Complex numbers). √ Ví dụ 1. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức −3 + 5i, 4 − i 2, −3i, 2021. ! 2 • Mỗi số thực a đều là một số phức với phần ảo bằng . . . • Số phức bi có phần thực bằng . . . được gọi là số . . . . . . . . . SỐ PHỨC BẰNG NHAU Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu . . . . . . . . . . . . và . . . . . . . . . . . . của chúng tương ứng bằng nhau. ( a1 = . . . a 1 + b1 i = a 2 + b2 i ⇔ b1 = . . . Ví dụ 2. Tìm x, y để hai số phức z = x + 2 + (y + 4)i và w = 2x + 1 + (3y − 2)i bằng nhau  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 25  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Số phức TOÁN 12 3 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC VÀ MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC 1 Biểu diễn hình học của số phức y N(3; 2) 2 ON = 5 Điểm M(. . . ; . . .) trong hệ trục tọa độ Oxy được gọi là điểm . . . . . . . . . . . . của số phức z = a + bi. Ví dụ 3. Trong hình bên, điểm N biểu diễn số phức nào? 2 Môđun của số phức Cho số phức z = a + bi có điểm biểu diễn là M(a; b). −−Ï . . . . . . . . . của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z, kí hiệu là . . . . . . x 3 O |z| = . . . . . . . . . √ Ví dụ 4. Tính môđun của các số phức z1 = 4 − 3i, z2 = 2021, z3 = i 7. 3 Số phức liên hợp y N(3; 2) 2 ON = 5 a) 3 + 2i OM O 3 = x M(3; −2) • 4 + 3i √ • −i 5 b) 4 − 3i √ c) i 5 5 −2 4 Cho số phức z = a + bi. Ta gọi . . . . . . . . . là số phức liên hợp của z, kí hiệu là . . .. Ví dụ 5. Ghép nối các cặp số phức liên hợp dưới đây: ! • −3 + 2i • Trên mặt phẳng Oxy, các điểm biểu diễn của z và z đối xứng với nhau qua ………… • |z| = . . . . . . và z = . . . . . . THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho √ số phức z = a + bi. Môđun của z là √ A. |z| = a2 + b2 . B. |z| = √a2 − b2 . C. |z| = a2 + b2 . D. |z| = 2 a2 + b2 . Câu 2. Cho số phức z = a + bi. Khẳng định nào sau đây sai? A. z = a√ − bi. B. z = a√ + bi. C. |z| = a2 + b2 . D. |z| = a2 − b2 . Câu 3. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 2 − 3i. A. Phần thực là 2 và phần ảo là 3. B. Phần thực là 2 và phần ảo là −3. C. Phần thực là 2 và phần ảo là 3i. D. Phần thực là 2 và phần ảo là −3i. Câu 4. Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là A. 3 + 4i. B. 4 − 3i. C. 3 − 4i. D. 4 + 3i. Câu 5. Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z = −3 + 2i. Giá trị của a + 2b bằng A. 1. B. −1. C. −4. D. −7.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ Câu 6. Cho số phức z = a + bi. Số phức liên hợp của z là A. z = a − bi. B. z = a − bi. C. z = bi. D. z = −a − bi. Câu 7. Tính môđun của số phức√z = 4 − 3i. A. |z| = 5. B. |z| = 7. C. |z| = 7. D. |z| = 25. 26  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Số phức TOÁN 12 Câu 8. Trong các số phức sau, số nào có môđun nhỏ nhất? A. z1 = 1 + 2i. B. z2 = 2 − i. C. z3 = 2. D. z4 = 1 + i. Câu 9. Trong các số phức sau, số nào có môđun lớn nhất? A. z1 = 1 + 2i. B. z2 = 2 − i. C. z3 = 3i. D. z4 = 1 + i. Câu 10. Cho hai số phức z1 = −1 + 2i và z2 = −1 − 2i. Giá trị của biểu thức |z1 |2 + √ |z2 |2 bằng A. 10. B. 10. C. −6. D. 4. Câu 11. Trong các số phức z1 = −2i, z2 = 2 − i, z3 = 5i, z4 = 4 có bao nhiêu số thuần ảo? A. 4. B. 1. C. 3. D. 2. Câu 12. Cho số phức z = (2m − 1) + (m2 − 4)i, m ∈ R. Tìm m để số phức z là số thuần ảo. A. m = 2, m = −2. B. m = 2. 1 1 C. m = − . D. m = . 2 2 Câu 13. Cho a, b là hai số thực thỏa mãn 2a + (b − 3)i = 4 − 5i với i là đơn vị ảo. Giá trị của a, b bằng A. a = 1, b = 8. B. a = 8, b = 8. C. a = 2, b = −2. D. a = −2, b = 2. Câu 14. Tìm các số thực a, b thỏa mãn (a − 2b) + (a + b + 4)i = (2a + b) + 2bi với i là đơn vị ảo. A. a = −3, b = 1. B. a = 3, b = −1. C. a = −3, b = −1. D. a = 3, b = 1. Câu 15. Tìm các số thực x, y thỏa mãn (2x + 5y) + (4x + 3y)i = 5 + 2i. 8 8 5 5 B. x = , y = − . A. x = , y = − . 14 7 7 14 5 8 5 8 C. x = − , y = . D. x = − , y = − . 14 7 14 7 y 3 x O Câu 16. Điểm M trong hình vẽ bên biểu diễn số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của z. A. −4 và 3. B. 3 và −4i. C. 3 và −4. D. −4 và 3i. −4 Câu 17. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tọa độ của điểm M biểu diễn số phức z = 5 − i. A. M(5; 0). B. M(5; −1). C. M(0; −5). D. M(5; 1). M y B 3 A 1 −2 O 1 x Câu 18. Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A, B như hình vẽ bên. Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức 1 1 B. 2 − i. C. −1 + 2i. D. 2 − i. A. − + 2i. 2 2 Câu 19. Gọi A, B lần lượt biểu diễn các số phức z1 = 2 + 3i và z2 = 2 − 3i. Khẳng định nào sau đây đúng? A. A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ. B. A, B đối xứng nhau qua trục hoành. C. A, B đối xứng nhau qua trục tung. D. A, B đối xứng nhau qua điểm I(1; 0). Câu 20. Cho các số phức z1 = 3i, z2 = −1 − 3i và z3 = m − 2i. Tập giá trị của tham sốh m để số iphức z3 có môđun nhỏ nhất trong số phức đã cho là  √3 √  √ √ A. − 5; 5 . B. − 5; 5 . n √ √ o   √  √ C. − 5; 5 . D. −∞; 5 ∪ 5; +∞ . L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK GT12). Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a) |z| = 1  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ b) |z| ≤ 1 27  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Cộng, trừ và nhân số phức TOÁN 12 §2.CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC 1 PHÉP VỘNG VÀ PHÉP TRỪ Cho hai số phức z1 = a1 + b1 i và z2 = a2 + b2 i, khi đó: • z1 + z2 = . . . . . . . . . . . . . . . • z1 − z2 = . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau: 2 a) (3 − 5i) + (2 + 4i) c) (4 + 3i) − (5 − 7i) b) (−2 − 3i) + (−1 − 7i) d) (2 − 3i) − (5 − 4i) PHÉP NHÂN Vì i2 = . . . . . . nên ta có: (a + bi)(c + di) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính sau: a) (−1 + i)(3 + 7i) 3 b) (3 + 4i)(3 − 4i) c) (2 + 3i)2 THỰC HÀNH Câu 1. Cho hai số phức z1 = 2 − 2i, z2 = −3 + 3i. Khi đó số phức z1 − z2 là A. −1 + i. B. −5 + 5i. C. 5 − 5i. D. −5i. Câu 2. Trong hình vẽ, điểm P biểu diễn số phức z1 , điểm y Q biểu diễn số phức z2 . Tìm số phức z = z1 + z2 . P 2 A. z = 1 + 3i. B. z = −3 + i. C. z = −1 + 2i. D. z = 2 + i. Q 1 −1 0 2 x Câu 3. Cho z1 = 1 + 2i, z2 = 2 − 3i. Khi đó w = z1 − 2z2 bằng A. 5 + 8i. B. −3 + 8i. C. 3 − i. D. −3 − 4i. √ 3 1 i. Tìm số phức w = 1 + z + z2 . Câu 4. Cho số phức z = − + 2 2 √ 1 3 A. w = − + i. B. w = 0. 2 2 √ C. w = 1. D. w = 2 − 3i. Câu 5. Cho số phức z, khi đó z + z là A. Số thực. B. Số ảo. C. 0. D. 2. Câu 6. Cho số√phức z = 2 + bi. Tính z · z. A. z · z = 4 + b2 . B. z · z = 4 − b2 . C. z · z = −b. D. z · z = 4 + b2 .  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 28  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Cộng, trừ và nhân số phức TOÁN 12 Câu 7. Giá trị của biểu thức z = (1 + i)2 là A. 2i. B. −i. C. −2i. D. i. Câu 8. Cho hai số phức z1 = 3 + 2i và z2 = 1 − 5i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z1 + z2 . A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3. B. Phần thực là 4 và phần ảo là −3i. C. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i. D. Phần thực là 4 và phần ảo là −3. 1 Câu 9. Cho hai số phức z1 = − 2i và z2 = 4 − i. Tính môđun của số phức 2 z = z1 · z2 . √ 34 289 17 17 . B. |z| = . C. |z| = . D. |z| = − . A. |z| = 2 4 2 2 Câu 10. Cho hai số√phức z1 = 2 + 3i và z2 = 1 + i. Tính |z1 + 3z2 |. A. |z1 + 3z2 | = √11. B. |z1 + 3z2 | = 11. D. |z1 + 3z2 | = 61. C. |z1 + 3z2 | = 61. Câu 11. Tìm số phức liên hợp của số phức z = (11 − 3i) + (5 + 2i)(1 − i). A. z = 14 + 6i. B. z = 18 + 6i. C. z = 18 − 6i. D. z = 14 − 6i. Câu 12. Cho số phức z thỏa mãn (3 + 2i)z + (2 − i)2 = 4 + i. Hiệu phần thực và phần ảo của z là A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Câu 13. Tìm hai số thực x, y thỏa mãn (2x − 3yi) + (1 − 3i) = −1 + 6i, với i là đơn vị ( ảo. ( ( ( x=1 x = −1 x = −1 x=1 A. . B. . C. . D. . y = −3 y = −3 y = −1 y = −1 Câu 14. Cho số phức z thỏa mãn z + 2z = 6 − 3i có phần ảo bằng A. −3. B. 3. C. 3i. D. 2i. Câu 15. Tìm số phức z thỏa mãn z − 1 + 4i = 2iz. 9 2 9 2 7 2 7 2 A. z = − i. B. z = − + i. C. z = + i. D. z = − − i. 5 5 5 5 3 3 3 3 Câu 16. Cho x, y là các số thực. Số phức z = i (1 + xi + y + 2i) bằng 0 khi A. x = −1; y = −2. B. x = 0; y = 0. C. x = −2; y = −1. D. x = 2; y = 1. Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 2 và z2 + 1 = 4. Tính |z + z|+|z − z|. √ √ √ A. 3 + 7. B. 3 + 2 2. C. 7 + 3. D. 16. Câu 18. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 2 + 3i| = 4. A. Đường tròn tâm I(2; −3) và bán kính R = 4. B. Đường tròn tâm I(−2; 3) và bán kính R = 16. C. Đường tròn tâm I(−2; 3) và bán kính R = 4. D. Đường tròn tâm I(2; −3) và bán kính R = 16. Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn |z + 2 − i| = 3. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức w = 1 + z. A. Đường tròn tâm I(−2; 1) bán kính R = 3. B. Đường tròn tâm I(2; −1) bán kính R = 3. C. Đường tròn tâm I(−1; −1) bán kính R = 9. D. Đường tròn tâm I(−1; −1) bán kính R = 3. Câu 20. Cho số phức z thỏa mãn |z − 1| = |z − i|. Tìm môđun nhỏ nhất của số phức w = 2z + 2 − i. √ √ 3 3 2 3 A. 3 2. B. √ . C. . D. . 2 2 2 2  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 29  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Phép chia số phức TOÁN 12 §3.PHÉP CHIA SỐ PHỨC 1 TỔNG VÀ TÍCH CỦA HAI SỐ PHỨC LIÊN HỢP Cho số phức z = a + bi. Khi đó: ! • z + z = …… • z · z = …… Chú ý: Tổng và tích của một số phức với số phức liên hợp của nó là một số . . . . . . Ví dụ 1. Cho số phức z = 3 − 4i. Tính z + z và z · z. 2 PHÉP CHIA HAI SỐ PHỨC Cho hai số phức z1 = a + bi và z2 = c + di. Khi đó, để tính cho z2 , tức là z1 , ta nhân cả tử và mẫu z2 z1 z1 · z2 = = ………………… z2 z2 · z2 Ví dụ 2. Tính 2+i 5 − 2i và . 3 − 2i i Ví dụ 3. Tìm nghịch đảo của số phức z, biết z = Ví dụ 4. Tìm số phức z thỏa mãn 3 √ 2 − 3i. z + 2 − 3i = 5 − 2i. 4 − 3i THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho số phức z = 1 + i. Số phức nghịch đảo của z là 1−i 1−i A. 1 − i. B. . C. √ . 2 2 z Câu 2. Cho số phức z = 2 + 3i. Tính . z −5 + 12i 5 − 6i 5 − 12i A. . B. . C. . 13 11 13 (−2 − 3i) (−1 + 2i) Câu 3. Tính môđun của số phức z = . 2+i √ √ A. |z| = 13. B. |z| = 5. C. |z| = 13. Câu 4. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = A. Phần thực là −  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 3 29 3 B. Phần thực là − 29 1 C. Phần thực là và 7 1 D. Phần thực là và 7 30 D. −1 + i . 2 D. −5 − 12i . 13 D. |z| = 5. 6 − 3i . 2 + 5i 36 . 29 36 và phần ảo là − i. 29 12 phần ảo là . 7 12 phần ảo là i. 7 và phần ảo là −  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Phép chia số phức TOÁN 12 z+i = 2 − i. Tìm số phức w = 1 + z + z2 . z−1 9 9 D. w = − 2i. A. w = 5 − 2i. B. 5 + 2i. C. w = + 2i. 2 2 Câu 6. Tính môđun của số phức z thỏa mãn z(2 − i) +√13i = 1. √ √ 34 5 34 A. |z| = 34. B. |z| = 34. C. |z| = . D. |z| = . 3 3 Câu 7. Số phức z thỏa mãn điều kiện (3 + i)z + (1 − 2i)2 = 8 − 17i. Khi đó hiệu của phần thực và phần ảo của z là A. 7. B. −3. C. 3. D. −7. Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn (1 − 2i)z + (1 + 3i)2 = 5i. Khi đó điểm nào sau đây biểu diễn số phức z? A. M(2; −3). B. N(2; 3). C. P(−2; 3). D. Q(−2; −3). 4(−3 + i) (3 − i)2 + . Môđun của số phức 1 − 2i −i √ √ √ B. |w| = 4 5. C. |w| = 6 3. D. |w| = 48. Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn z = w = z − iz +√ 1 là A. |w| = 85. L TỰ LUẬN Câu 10. Giá trị của tham số thực m bằng bao nhiêu để bình phương số phức (m + 9i)(1 + i) z= là số thực? 2 A. Không có giá trị m thỏa. B. m = −9. C. m = 9. D. m = ±9. Câu 1 (SGK GT12). Thực hiện các phép tính sau: a) 5i 2 − 3i Câu 2 (SGK GT12). Tìm nghịch đảo a) z = 1 + 2i b) (1 + i)2 (2i)3 i−2 c) 4 − 3i + 1 của số phức z, biết: z 5 + 4i 3 + 6i √ c) z = 5 + i 3 b) z = i Câu 3 (SGK GT12). Giải các phương trình sau: a) (3 − 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ b) (1 + 3i)z − (2 + 5i) = (2 + i)z 31  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §4. Phương trình bậc hai với hệ số thực TOÁN 12 §4.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Đặt vấn đề 1. Căn bậc hai của 9 là . . . . . . . . . 2. Căn bậc hai của −9 là . . . . . . . . . 1 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ THỰC ÂM Căn bậc hai của số thực a < 0 là . . . . . . . . . Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của −1, −4, −9. 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc n (n ≥ 1) đều có đúng . . . . . . nghiệm (không nhất thiết phân biệt). Ví dụ 2. Giải phương trình x 2 − 2x + 5 = 0. 3 THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM Câu 1. Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 3z + 5 = 0. Giá trị của |z√1 | + |z2 | bằng √ A. 2 5. B. 3. C. 5. D. 10. 2 Câu 2. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z − 2z + 2018 = 0. Khi đó giá trị của biểu thức A = |z1 + z2 − z1 z2 | bằng A. 2017. B. 2019. C. 2018. D. 2016. Câu 3. Trong tập số phức, phương trình z2 − 2z + 5 = 0 có nghiệm là A. z = −1 ± 2i. B. z = 2 ± 2i. C. z = −2 ± 2i. D. z = 1 ± 2i. Câu 4. Gọi S là tập nghiệm của phương trình z2 + z + 1 = 0 trên tập số phức. Số tập con của S là A. 2. B. 1. C. 0. D. 4. Câu 5. Tìm nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z2 − 4z + 13 = 0. A. z = −2 − 3i. B. z = 2 − 3i. C. z = −2 + 3i. D. z = 2 + 3i. Câu 6. Biết phương trình z2 + az + b = 0 (a, b ∈ R) có nghiệm z = −2 + i. Tính a + b. A. 4. B. 9. C. −1. D. 1. Câu 7. Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2z2 − 6z + 15 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tọa độ của điểm M biểu diễn số phức z0 . √ ! √ ! 3 21 3 21 A. M − ; i . B. M − ; . 2 2 2 2 √ ! √ ! 3 21 3 21 C. M ; . D. M ; i . 2 2 2 2  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 32  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §4. Phương trình bậc hai với hệ số thực TOÁN 12 Câu 8. Tìm tập nghiệm S của phương trình z4 −7z2 −18 n √= 0√trên tập sốophức. A. S = {−2; 9}. B. S = − 2; 2; −3i; 3i . n √ √ o C. S = {−4i; 4i; −81; 81}. D. S = −3; 3; − 2i; 2i . L TỰ LUẬN Câu 9. Tìm √ một căn bậc hai của √ −8. A. −2 2i. B. −2 2. √ C. 2 2. √ D. 2 −2i. Câu 10. √ Tìm các căn bậc hai√của −6. A. − 6i. B. ± 6i. C. ±6i. D. √ 6i. Câu 1 (SGK GT12). Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: −7, −8, −12, −20, −121. Câu 2 (SGK GT12). Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) −3z2 + 2z − 1 = 0  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ b) 5z2 − 7z + 11 = 0 33 c) z4 + 7z2 + 10 = 0  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận PHẦN II HÌNH HỌC Chương 3. Phương pháp tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 §1. Hệ tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 §2. Phương trình mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 §3. Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 34  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Chương 3. Phương pháp tọa độ trong không gian TOÁN 12 Chương 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN §1.HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Nhắc lại về Hệ tọa độ trong mặt phẳng HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Oxy CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ Ï − − Cho hai vectơ Ï a = (a1 ; a1 ) và b = (b1 ; b1 ) và số k ∈ R. ( Ï − a1 = . . . . . . Ï − • a = b ⇔ a2 = . . . . . . y Ï − − • Ï a ± b = (a1 . . . b1 ; a2 . . . b2 ) − • k·Ï a = (. . . a1 ; . . . a2 ) Ï − j x O Ï − − • Ï a · b = ............... q − • Ï a = a12 + . . . . . . Ï − i  Ï − − • cos Ï a, b = • Hệ trục tọa độ Oxy gồm trục . . . . . . Ox và trục . . . . . . Oy, vuông góc và cắt nhau tại . . . . . . . . . . . . O(. . . ; . . .). Ï − Ï − a ... b Ï − Ï − a ... b Ï − − • Ï a và b cùng phương ⇔ ∃k ∈ R sao cho . . . . . . . . . PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Đường tròn tâm I(a; b) bán kính R có phương trình là − − • Vectơ Ï u = (u1 ; u2 ) nếu Ï u = u1 . . . + u2 . . . −−Ï • Điểm M (x0 ; y0 ) nếu OM = x0 . . . + y0 . . . (x − . . .)2 + (y − . . .)2 = . . . . . . − Ï • AB = (xB . . . xA ; yB . . . yA ) hoặc có thể viết dưới dạng x + x . . . . . . A B • Trung điểm của đoạn AB: I ; ... 2 x2 + y2 − . . . . . . x − . . . . . . y + c = 0 x + x + x . . . . . . . . . √ A B C • Trọng tâm của 4ABC: G ; trong đó R = a2 + b2 − . . . (a2 + b2 − . . . > . . .) … 3 1 TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ 1 Hệ tọa độ z Trong không gian, hệ trục tọa độ Oxyz bao gồm . . . trục Ox, Oy, Oz đôi một . . . . . . . . . . . . Ï − Ï − Ï − • Các vectơ i , j , k lần lượt là các vectơ . . . . . . . . . trên các trục Ox, Oy, Oz. • Điểm O(. . . ; . . . ; . . .) được gọi là . . . . . . . . . . . . Ï − k O x Ï − i Ï − j y • Các mặt phẳng . . . . . ., . . . . . ., . . . . . . đôi một vuông góc với nhau, được gọi là các mặt phẳng tọa độ. • Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian . . . . . . 2 Tọa độ của một điểm và của vectơ −−Ï Điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) nếu OM = . . . . . . . . . . . . . . . Ï − Ï − Ï − Ï − Ï − Ï − − Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, vectơ Ï a = 2 i − 3 j + k , với i , j , k là các vectơ − đơn vị. Tọa độ của vectơ Ï a là A. (1; 2; −3). B. (2; −3; 1). C. (2; 3; 1). D. (1; −3; 2).  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 35  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Hệ tọa độ trong không gian 2 TOÁN 12 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ Định lí − £ é Ï − − Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ Ï a = (a1 ; a2 ; a3 ) và b = (b1 ; b2 ; b3 ). Ta có: Ï − − • Ï a + b = …………… Ï − − • Ï a − b = …………… − • k·Ï a = …………… ~ = (4; −3; 5), ~c = (−2; 4; 6). Tìm tọa Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho a ~ = (2; 1; 3), b ~ độ của vectơ u ~=a ~ + 2b − ~c. A. (10; 9; 6). B. (12; −9; 7).   a1 = . . . Ï − − • Ï a = b ⇔ a2 = . . .   a3 = . . . ! C. (10; −9; 6). D. (12; −9; 6). Ï − Ï − Ï − − • Với vectơ b 6= 0 thì Ï a và b cùng phương khi và chỉ khi ∃k ∈ R sao cho a1 = . . . . . ., a2 = . . . . . ., a3 = . . . . . . Ï − • 0 = ……… − Ï • AB = . . . . . . . . . . . . . . . x + x . . . . . . . . . . . . A B ; ; • Trung điểm của đoạn thẳng AB là M … 2 … x + x + x . . . . . . . . . . . . . . . . . . A B C • Trọng tâm của tam giác ABC là G ; ; … 3 … Ví dụ 3. Cho ba điểm A(1; −1; 1), B(0; 1; 2), C(1; 0; 1). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD. Biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) và D(1; −1; 1). Tọa độ điểm C là A. C(2; 0; 2). 3 B. C(2; 2; 2). C. C(2; −2; 2). D. C(0; −2; 0). TÍCH VÔ HƯỚNG 1 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Ï − − Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ Ï a = (a1 ; a2 ; a3 ) và b = (b1 ; b2 ; b3 ) được xác định bởi công thức Ï − Ï − a · b = …………… Ï − − Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ Ï a = (1; 2; −2), b = Ï − − − − (−4; 0; 1) và Ï c = (0; 3; 3). Tính Ï a + b ·Ï c.    Ï − Ï − − − − − A. Ï a + b ·Ï c = 3. B. Ï a + b ·Ï c = 9.     Ï − Ï − − − − − C. Ï a + b ·Ï c = 0. D. Ï a + b ·Ï c = −10.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 36  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Hệ tọa độ trong không gian TOÁN 12 2 Ứng dụng của tích vô hướng Độ dài của một vectơ − Cho vectơ Ï a = (a1 ; a2 ; a3 ). Khi đó Ï − a = − £ é q a12 + . . . . . . . . . Ví dụ 5. Tính chu vi của tam giác ABC, biết rằng A(1; −1; 1), B(0; 1; 2) và C(1; 0; 1). Góc giữa hai vectơ − £ Ï − − Góc giữa hai vectơ Ï a = (a1 ; a2 ; a3 ) và b = (b1 ; b2 ; b3 ) được tính bởi công thức  Ï − − cos Ï a, b = é Ï − Ï − a … b Ï − = ………………… Ï − a … b Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u ~ = (−1; 1; 0), v~ = (0; 0; −1). Góc giữa u ~ và v~ có số đo bằng A. 120◦ . B. 45◦ . C. 90◦ . D. 60◦ . Ï − − Hệ quả: Ï a ⊥ b ⇔ …………… 4 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Định lí − £ é Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình là M(x; y; z) I(a; b; c) (x − . . .)2 + (y . . . . . .)2 = . . . . . . Ví dụ 7. Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau đây: a) Có tâm C(3; −3; 1) và đi qua điểm A(5; −2; 1) b) Có đường kính AB với A(4; −3; 7) và B(2; 1; 3) Nhận xét: Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng x 2 + y 2 + z2 − . . . . . . x − . . . . . . y − . . . . . . z + d = 0 √ trong đó R = a2 + b2 + c2 − . . . (a2 + b2 + c2 − . . . > . . .) Ví dụ 8. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình x 2 + y 2 + z2 − 8x − 2y + 1 = 0 5 THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ ~ Tìm Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ a ~ = −~i + 2~j − 3k. tọa độ của a ~. A. (2; −3; −1). B. (−3; 2; −1). C. (−1; 2; −3). D. (2; −1; −3). 37  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Hệ tọa độ trong không gian TOÁN 12 − Ï Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1; 1; −2) và B (2; 2; 1). Vectơ AB có tọa độ là A. (3; 3; −1). B. (3; 1; 1). C. (−1; −1; −3). D. (1; 1; 3). Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3) và B(3; 0; −5). Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là A. I(2; 1; −1). B. I(2; 2; −2). C. I(4; 2; −2). D. I(−1; 1; 4). Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 3; 4), B(2; −1; 0), C(3; 1; 2). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.   3 D. G(2; −1; 2). A. G(2; 1; 2). B. G(6; 3; 6). C. G 3; ; 3 . 2 Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 2), B(−2; 1; 3), C(3; 2; 4) và D(6; 9; −5). Tọa độ trọng tâm của tứ diện là A. (2; 3; 1). B. (2; 3; −1). C. (−2; 3; 1). D. (2; −3; 1). ~ = (0; 2; −1), ~c = (3; −1; 5). Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho a ~ = (2; −3; 3), b ~ Tìm tọa độ của vectơ u ~ = 2~ a + 3b − 2~c. A. (10; −2; 13). B. (−2; 2; −7). C. (−2; −2; 7). D. (−2; 2; 7). Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; −1), B(2; −1; 3), C(−3; 5; 1). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. A. D(−4; 8; −5). B. D(−4; 8; −3). C. D(−2; 8; −3). D. Không tồn tại. Câu 9. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2; −1; 5), B(5; −5; 7), M(x; y; 1). Với giá trị nào của x, y thì A, B, M thẳng hàng? A. x = 4; y = 7. B. x = 4; y = −7. C. x = −4; y = 7. D. x = −4; y = −7. Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; 1; −2) và B(3; −1; 1). Tìm tọa −−Ï − Ï độ điểm M sao cho AM = 3AB. A. M(9; −5; 7). B. M(9; 5; 7). C. M(−9; 5; −7). D. M(9; −5; −5). Câu 11. Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc trục Oy? A. N(2; 0; 0). B. Q(0; 3; 2). C. P(2; 0; 3). D. M(0; −3; 0). Câu 12. Trong không gian Oxyz, hình chiếu của điểm M (2; −2; 1) trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là A. (2; 0; 1). B. (2; −2; 0). C. (0; −2; 1). D. (0; 0; 1). Câu 13. Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A(2; 1; −1) lên trục tung. A. H(2; 0; −1). B. H(0; 1; 0). C. H(0; 1; −1). D. H(2; 0; 0). ~ = (−2; 2; 5). Tích Câu 14. Trong ~ = (1; 0; 3) và b  không  gian Oxyz, cho các vectơ a ~ vô hướng a ~· a ~ + b bằng A. 25. B. 23. C. 27. D. 29. Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −1; 4) và B(−2; 2; −6). Tính độ dài đoạn thẳng √ √ √ AB. A. AB = √ 5 5. B. AB = √21 + 44. C. AB = 65. D. AB = 5. Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u ~ = (−1; 1; 0), v~ = (0; −1; 0). Góc giữa u ~ và v~ có số đo bằng A. 120◦ . B. 45◦ . C. 135◦ . D. 60◦ . Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 7)2 + (y + 3)2 + z2 = 16. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S). A. I(−7; 3; 0) và R = 4. B. I(7; −3; 0) và R = 4. C. I(−7; 3; 0) và R = 16. D. I(7; −3; 0) và R = 16. Câu 18. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z2 + 4x − 2y + 2z − 3 = 0 có tâm và bán kính là A. I(2; −1; 1), R = 9. B. I(2; −1; 1), R = 3. C. I(−2; 1; −1), R = 3. D. I(−2; 1; −1), R = 9.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ Câu 19. Trong không gian Oxyz, cho A(−1; 0; 0), B(0; 0; 2), C(0; −3; 0). Tính bán kính mặt cầu√ngoại tiếp tứ diện OABC. √ √ √ 14 14 14 A. R = . B. R = 14. C. R = . D. R = . 4 3 2 38  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Hệ tọa độ trong không gian TOÁN 12 Câu 20. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm là điểm I (0; 0; −3) và đi qua điểm M (4; 0; 0). Phương trình của (S) là A. x 2 + y 2 + (z + 3)2 = 25. B. x 2 + y 2 + (z + 3)2 = 5. 2 2 2 C. x + y + (z − 3) = 25. D. x 2 + y 2 + (z − 3)2 = 5. Câu 21. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; −2; 3) và B(5; 4; 7). Phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính là A. (x − 6)2 + (y − 2)2 + (z − 10)2 = 17. B. (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 17. C. (x − 3)2 + (y − 1)2 + (z − 5)2 = 17. D. (x − 5)2 + (y − 4)2 + (z − 7)2 = 17. Câu 22. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; −2; 3). Gọi (S) là mặt cầu chứa A có tâm I thuộc tia Ox và bán kính bằng 7. Phương trình mặt cầu (S) là A. (x − 7)2 + y 2 + z2 = 49. B. (x + 7)2 + y 2 + z2 = 49. 2 2 2 C. (x + 5) + y + z = 49. D. (x − 3)2 + y 2 + z2 = 49. L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK HH12). Cho hình hộp ABCD.A0 B0 C 0 D 0 biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; −1; 1), C 0 (4; 5; −5). Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp. Ï − − Câu 2 (SGK HH12). Tính Ï a · b biết Ï − − a) Ï a = (3; 0; −6) và b = (2; −4; 0) Ï − − b) Ï a = (1; −5; 2) và b = (4; 3; −5) Vocabulary − £ space không gian coplanar đồng phẳng scalar product tích vô hướng plane mặt phẳng midpoint trung điểm length độ dài centroid trọng tâm sphere mặt cầu coordinates tọa độ point điểm  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ parallel cùng phương 39 é radius bán kính  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Phương trình mặt phẳng TOÁN 12 §2.PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Nhắc lại về Phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG Ï − THẲNG − − Cho đường thẳng ∆ và vectơ Ï n 6= 0 . Nếu . . . . . . của Ï n Ï − vuông góc với ∆ thì ta nói n là vectơ . . . . . . . . . . . . của ∆. • Nếu a1 b1 6= thì ∆1 và ∆2 . . . . . . . . . . . . . . . a2 b2 • Nếu b1 c1 a1 = 6= thì ∆1 và ∆2 . . . . . . . . . . . . . . . a2 b2 c2 • Nếu a1 b1 c1 = = thì ∆1 và ∆2 . . . . . . . . . . . . . . . a2 b2 c2 Ï − n ∆ Góc giữa hai đường thẳng là một góc . . . . . . được xác định bởi công thức • Mỗi đường thẳng có . . . . . . . . . vectơ pháp tuyến. − − • Nếu Ï n là vectơ pháp tuyến của ∆ thì k · Ï n cũng là . . . . . . . . . . . . . . . của ∆. |a1 · a2 + . . . . . .| cos (∆1 , ∆2 ) = q 2 a1 + b12 · . . . . . . . . . . . . PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x0 ; y0 ) và có vectơ pháp − tuyến Ï n = (a; b). Khi đó KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Khoảng cách từ điểm M (x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 bằng ∆ : . . . (x − . . .) + . . . (y − . . .) = 0 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI VÀ GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Cho hai đường thẳng ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 và ∆2 : a2 x + b2 y + c2 = 0. 1 d (M, ∆) = a… + b… + c √ . . .2 + . . .2 VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG 1 Tích có hướng Ï − − Trong không gian, cho hai vectơ Ï a = (a1 ; a2 ; a3 ) và b = (b1 ; b2 ; b3 ). Tích có hướng của Ï − Ï − − − hai vectơ Ï a và b là một . . . . . . . . . . . . . . . . . . với cả Ï a và b . h Ï −i Ï − a , b = (. . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . .) − − Ví dụ 1. Tính tích có hướng của hai vectơ Ï u = (2; 1; −2) và Ï v = (−12; 6; 0). 2 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Định nghĩa − £ é Ï − − Cho mặt phẳng (α). Nếu vectơ Ï n 6= 0 và có . . . . . . vuông góc với mặt phẳng (α) thì Ï − n được gọi là vectơ . . . . . . . . . . . . của (α). • Mỗi mặt phẳng có . . . . . . . . . vectơ pháp tuyến. − − • Nếu Ï n là vectơ pháp tuyến của (α) thì k · Ï n cũng là . . . . . . . . . . . . . . . của (α). Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2; −1; 3), B(4; 0; 1), C(−10; 5; 3). Hãy tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 40  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Phương trình mặt phẳng 2 TOÁN 12 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG 1 Định nghĩa Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ pháp − tuyến Ï n = (a; b; c). Khi đó a (x − . . .) + . . . (y . . . y0 ) + c (. . . − z0 ) = . . . − I Mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 có một vectơ pháp tuyến Ï m = (. . . ; . . . ; . . .). Ví dụ 3. Mặt phẳng (α) : 4x − 2y − 6z + 7 = 0 có một vectơ pháp tuyến là . . . . . . . . . . . . Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2; −1; 3), B(4; 0; 1), C(−10; 5; 3). Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC). 2 Các trường hợp riêng Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0. A = 0: (α) song song hoặc trùng với trục . . . . . . B = 0: (α) song song hoặc trùng với trục . . . . . . ! C = 0: (α) song song hoặc trùng với trục . . . . . . D = 0: (α) đi qua điểm . . . . . . . . . A = B = 0: (α) song song hoặc trùng với mặt phẳng . . . . . . A = C = 0: (α) song song hoặc trùng với mặt phẳng . . . . . . B = C = 0: (α) song song hoặc trùng với mặt phẳng . . . . . . Ví dụ 5. Mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng Oxz và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3. Viết phương trình mặt phẳng (β). Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn − £ é Nếu mặt phẳng (α) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) thì x y z (α) : + + = . . . a b c Ví dụ 6. Viết phương trình mặt phẳng (HKT), biết H(2; 0; 0), K(0; 0; 5), T(0; −3; 0). 3 ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG, VUÔNG GÓC Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (α) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 và (β) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. Khi đó: ( ( (A1 ; B1 ; C1 ) . . . k (A2 ; B2 ; C2 ) (A1 ; B1 ; C1 ) . . . k (A2 ; B2 ; C2 ) • (α) ∥ (β) ⇔ • (α) ≡ (β) ⇔ D1 . . . kD2 D1 . . . kD2 ! • (α) ⊥ (β) ⇔ . . . . . . . . . . . . Ví dụ 7. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Q) : 2x − y + 5z − 15 = 0 và điểm E(1; 2; −3). Mặt phẳng (P) qua E và song song với (Q) có phương trình là A. x + 2y − 3z + 15 = 0. B. x + 2y − 3z − 15 = 0. C. 2x − y + 5z + 15 = 0. D. 2x − y + 5z − 15 = 0.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 41  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Phương trình mặt phẳng 4 TOÁN 12 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 được tính bằng d (M, (α)) = A… + B… + C … + D √ . . .2 + . . .2 + . . .2 Ví dụ 8. Tính khoảng cách từ điểm Q(1; 0; −3) đến mặt phẳng (γ) : x − 2y + 2z − 5 = 0. Ví dụ 9. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (λ) : x − 2y + 2z + 5 = 0 và (γ) : x − 2y + 2z − 5 = 0. 5 THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM ~ = (1; 2; m) và Câu 1. Trong không gian Oxyz, hcho iba vectơ a ~ = (3; −1; −2), b ~ ~c = (5; 1; 7). Tìm giá trị của m để a ~ , b = ~c. A. m = −1. B. m = 0. C. m = 1. D. m = 2. Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x − 5y − 8 = 0. Tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). − − A. Ï n = (2; −5; −8). B. Ï n = (2; −5; 0). Ï − Ï C. n = (2; 0; −5). D. − n = (−1; −2; 0). Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là − phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(5; 2; −1) và có vectơ pháp tuyến Ï n = (1; 1; −2)? A. x + y − 2z + 9 = 0. B. x + y − 2z − 9 = 0. C. 5x + 2y − z + 9 = 0. D. 5x + 2y − z − 9 = 0. Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 1; −1), B(−1; 0; 4) và C(0; −2; −1). Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC? A. x − 2y − 5z − 5 = 0. B. x − 2y − 5z + 5 = 0. C. x − 2y − 5z − 2 = 0. D. 2x + y − z − 5 = 0. Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(1; −2; 0) và song song với mặt phẳng (P) : x − y + 3z − 6 = 0? A. x − y + 3z − 1 = 0. B. x − y + 3z + 1 = 0. C. x − y + 3z − 3 = 0. D. x − y + 3z + 3 = 0. Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho A(2; −3; 0) và mặt phẳng (α) : x+2y−z+3 = 0. Tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua A sao cho (P) vuông góc với (α) và (P) song song với trục Oz? A. 2x + y − 1 = 0. B. y + 2z + 3 = 0. C. 2x − y − 7 = 0. D. x + 2y − z + 4 = 0. Câu 7. Trong không gian Oxyz, chọn câu đúng trong các câu sau: A. Mặt phẳng tọa độ (Oxy) có phương trình z = 0.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 42  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Phương trình mặt phẳng TOÁN 12 B. Mặt phẳng tọa độ (Ozx) có phương trình x = 0. C. Mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình y + z = 0. D. Mặt phẳng tọa độ (Oxy) có phương trình x + y = 0. Câu 8. Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) : (x − 1)2 + (y + 3)2 + (z − 2)2 = 49 tại điểm M(7; −1; 5) có phương trình là A. 6x + 2y + 3z − 55 = 0. B. 6x + 2y + 3z + 55 = 0. C. 3x + y + z − 22 = 0. D. 3x + y + z + 22 = 0. Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(3; −2; 1), B(−4; 0; 3), C(1; 4; −3), D(2; 3; 5). Phương trình mặt phẳng chứa AC và song song với BD là A. 12x − 10y + 21z − 35 = 0. B. 12x + 10y − 21z + 35 = 0. C. 12x + 10y + 21z + 35 = 0. D. 12x − 10y − 21z − 35 = 0. Câu 10. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm M (1; 1; −1) và vuông x+1 y−2 z−1 góc với đường thẳng ∆ : = = có phương trình là 2 2 1 A. 2x + 2y + z + 3 = 0. B. x − 2y − z = 0. C. 2x + 2y + z − 3 = 0. D. x − 2y − z − 2 = 0. Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4; 1; −2) và B(5; 9; 3). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là A. 2x + 6y − 5z + 40 = 0. B. x + 8y − 5z − 41 = 0. C. x − 8y − 5z − 35 = 0. D. x + 8y + 5z − 47 = 0. Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) chứa điểm H(1; 2; 2) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là A. x + 2y − 2z − 9 = 0. B. 2x + y + z − 6 = 0. C. 2x + y + z − 2 = 0. D. x + 2y + 2z − 9 = 0. Câu 13. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−2; 0; 0), B(0; 0; 7), C(0; 3; 0). Phương trình mặt phẳng (ABC) là y z x y z x + + = 1. B. + + = 0. A. −2 7 3 −2 3 7 x y z x y z C. + + = 1. D. + + + 1 = 0. −2 3 7 −2 3 7 Câu 14. Trong không gian Oxyz, cho điểm G(1; 2; 3). Gọi (P) : px +qy +rz +1 = 0 (p, q, r ∈ R) là mặt phẳng qua G và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính T = p + q + r. 11 11 A. T = − . B. T = . C. T = 18. D. T = −18. 18 18 Câu 15. Trong không Oxyz, gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; 2; 3) lên các trục tọa độ. Mặt phẳng (ABC) có phương trình là 1 2 3 x y z A. + + = 1. B. + + = 1. x y z 1 2 3 1 2 3 x y z C. + + = 0. D. + + = 0. x y z 1 2 3 Câu 16. Trong không Oxyz, gọi M, N, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A(2; −3; 1) lên các mặt phẳng tọa độ. Phương trình mặt phẳng (MNK) là x y z A. + + = 1. B. 3x − 2y + 6z = 6. 2 3 1 x y z C. − + = 0. D. 3x − 2y + 6z − 12 = 0. 2 3 1 Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : x − 3y + 2z − 1 = 0 và (Q) : x − z + 2 = 0. Mặt phẳng (α) vuông góc với cả (P) và (Q), đồng thời cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3. Phương trình của (α) là A. x + y + z − 3 = 0. B. x + y + z + 3 = 0. C. −2x + z + 6 = 0. D. −2x + z − 6 = 0. Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 1; −2) và hai mặt phẳng (α) : x + y − 2z − 4 = 0, (β) : 2x − y + 3z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M đồng thời vuông góc với giao tuyến của (α) và (β). A. x − 7y + 3z + 11 = 0. B. x − 7y − 3z − 1 = 0. C. x − y + 3z + 5 = 0. D. x + y − 3z − 9 = 0. Câu 19. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3; −1; 2), B(4; −1; −1) và C(2; 0; 2). Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C có phương trình là A. 3x − 3y + z − 14 = 0. B. 3x + 3y + z − 8 = 0. C. 3x − 2y + z − 8 = 0. D. 2x + 3y − z + 8 = 0.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 43  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Phương trình mặt phẳng TOÁN 12 Câu 20. Trong không gian Oxyz, điểm M(a; b; c) thuộc mặt phẳng (P) : x + y + z − 6 = 0. Tổng a + b + c bằng A. 6. B. −6. C. 0. D. 5. Câu 21. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) : x − 3y + 1 = 0 đi qua điểm nào sau đây? A. A(3; 1; 1). B. B(1; −3; 1). C. C(−1; 0; 0). D. D(1; 0; 0). Câu 22. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : 2x − y − z − 3 = 0 và (Q) : x − z − 2 = 0. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). A. ((P), (Q)) = 30◦ . B. ((P), (Q)) = 45◦ . ◦ C. ((P), (Q)) = 60 . D. ((P), (Q)) = 90◦ .  √  Câu 23. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(0; 2; 0), B(2; 0; 0), C 0; 0; 2 và D(0; −2; 0). Tính số đo góc của hai mặt phẳng (ABC) và (ACD). A. 30◦ . B. 45◦ . C. 60◦ . D. 90◦ . Câu 24. Khoảng cách từ M (1; 4; −7) đến mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z − 9 = 0 là 25 . D. 7. A. 5. B. 12. C. 3 Câu 25. Khoảng cách giữa mặt phẳng (P) : 2x − y + 3z + 5 = 0 và (Q) : 2x − y + 3z + 1 = 0 bằng 6 4 A. 4. B. √ . C. 6. D. √ . 14 14 Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm I(3; −1; 0) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) : x + 2y − 2z − 10 = 0? 1 A. (x − 3)2 + (y + 1)2 + z2 = 9. B. (x − 3)2 + (y + 1)2 + z2 = . 9 1 2 2 2 2 2 2 C. (x + 3) + (y − 1) + z = 9. D. (x + 3) + (y − 1) + z = . 9 Câu 27. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : 2x − 3y + 4z + 20 = 0 và (Q) : 4x − 13y − 6z + 40 = 0. Vị trí tương đối của (P) và (Q) là A. Song song. B. Trùng nhau. C. Cắt nhau nhưng không vuông góc. D. Vuông góc. Câu 28. Trong không gian Oxyz, cặp mặt phẳng nào sau đây song song với nhau? A. (P) : 2x − y + z − 5 = 0 và (Q) : − 3x + 2y − 2z + 10. B. (R) : x − y + z − 3 = 0 và (S) : 2x − 2y + 2z + 6 = 0. y z x C. (T) : x − y + z = 0 và (U) : − + = 0. 2 2 2 D. (X) : 3x − y + 2z − 3 = 0 và (Y ) : 6z − 2y − 6 = 0. Câu 29. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(−1; 2; 1) và hai mặt phẳng (P) : 2x + 4y − 6z − 5 = 0, (Q) : x + 2y − 3z = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P). B. Mặt phẳng (Q) không đi qua A và song song với (P). C. Mặt phẳng (Q) đi qua A và không song song với (P). D. Mặt phẳng (Q) không đi qua A và không song song với (P). Câu 30. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : x − 3y + 2z + 1 = 0 và (Q) : (2m − 1)x + m(1 − 2m)y + (2m − 4)z + 14 = 0. Tìm m để (P) và (Q) vuông góc với nhau. 3 3 B. m = −1 hoặc m = − . A. m = 1 hoặc m = − . 2 2 3 C. m = 2. D. m = . 2  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 44  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Phương trình mặt phẳng TOÁN 12 L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK HH12). Viết phương trình của mặt phẳng − a) Đi qua điểm M(1; −2; 4) và nhận Ï n = (2; 3; 5) làm vectơ pháp tuyến; − − b) Đi qua điểm A(0; −1; 2) và song song với giá của mỗi vectơ Ï u = (3; 2; 1) và Ï v = (−3; 0; 1); c) Đi qua ba điểm A(−3; 0; 0), B(0; −2; 0) và C(0; 0; −1); d) Đi qua điểm M(2; −1; 2) và song song với mặt phẳng (β) : 2x − y + 3z + 4 = 0; e) Đi qua hai điểm A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (β) : 2x − y + z − 7 = 0; f) Trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7) và B(4; 1; 3). Câu 2 (SGK HH12). Xác định các giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau: a) 2x + my + 3z − 5 = 0 và nx − 8y − 6z + 2 = 0  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ b) 3x − 5y + mz − 3 = 0 và 2x + ny − 3z + 1 = 0 45  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Phương trình đường thẳng TOÁN 12 §3.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Nhắc lại về Phương trình tham số của đường thẳng trong mặt phẳng VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNGÏ −THẲNG − − Cho đường thẳng ∆ và vectơ Ï u 6= 0 . Nếu giá của Ï n Ï − . . . . . . . . . . . . hoặc . . . . . . với ∆ thì ta nói u là vectơ . . . . . . . . . . . . của ∆. Ï − u PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x0 ; y0 ) và có vectơ chỉ − phương Ï u = (u1 ; u2 ). Khi đó ( ∆: Chú ý: Nếu u1 , u2 6= 0 thì phương trình trên có thể viết dưới dạng chính tắc như sau: ∆ • Mỗi đường thẳng có . . . . . . . . . vectơ chỉ phương. − − • Nếu Ï u là vectơ chỉ phương của ∆ thì k · Ï u cũng là . . . . . . . . . . . . . . . của ∆. 1 x = …… + ……t y = …… + ……t y − … x − … = … … PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG Định nghĩa − £ é Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) và nhận Ï − u = (u1 ; u2 ; u3 ) làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của ∆ có dạng   x = . . . . . . + . . . . . . t (1) ∆: y = . . . . . . + . . . . . . t   z = …… + ……t trong đó t là . . . . . . . . . . . . Ví dụ 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; −2; 3) và có − vectơ chỉ phương Ï v = (1; 4; 5). ! Nếu u1 , u2 , u3 6= 0 thì phương trình (1) có thể viết dưới dạng chính tắc như sau: y − … y − … x − … = = … … … Ví dụ 2. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng AB với A(1; −2; 3) và B(3; 0; 0). Ví dụ 3. Cho đường thẳng ∆ : x−1 y−2 z = = . Mặt phẳng nào sau đây chứa đường 1 2 3 thẳng ∆? A. (α) : 2x + 4y + 6z + 9 = 0. C. (λ) : x + y − z − 3 = 0.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 46 B. (β) : x + y − z + 3 = 0. D. (γ) : x + 2y − z + 3 = 0.  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Phương trình đường thẳng 2 TOÁN 12 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU Điều kiện để hai đường thẳng song song − − Ï − Gọi Ï u, Ï v lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng ∆M u M ∈ ∆∆11. 1 , ∆2 và điểm ( ( Ï − Ï − u = k…… u = k…… • ∆1 ≡ ∆2 ⇔ • ∆1 ∥ ∆2 ⇔ MÏ . . . . . . ∆2 M . . . . . . ∆2 − ∆2 v Ví dụ 4. Cặp đường thẳng nào dưới đây song song, trùng nhau?   0   x = 3 − t x = 2 − 3t 0 0 a) d : y = 4 + t và d : y = 5 + 3t     z = 5 − 2t z = 3 − 6t 0   0   x = 1 + t x = 2 + 2t 0 0 b) d : y = 2t và d : y = 3 + 4t     z =3−t z = 5 − 2t 0 Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau   0 0   x = x 0 + v 1 t x = x0 + u1 t cắt nhau khi và chỉ và d0 : y = y00 + v2 t 0 Hai đường thẳng d : y = y0 + u2 t     z = z00 + v3 t 0 z = z0 + u3 t khi hệ phương trình  x0 + u1 t = x00 + v1 t 0  y0 + u2 t = y00 + v2 t 0   z0 + u3 t = z00 + v3 t 0 có đúng . . . . . . nghiệm.   x = 3 − t Ví dụ 5. Tìm giao điểm của hai đường thẳng d1 : y = 2 − 3t   z=t  0  x = 1 + 2t 0 và d2 : y = 3 − t   z = 3 − 3t 0 . Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau   0 0   x = x 0 + u1 t x = x 0 + v 1 t chéo nhau khi và Hai đường thẳng d : y = y0 + u2 t và d0 : y = y00 + v2 t 0     z = z0 + u3 t z = z00 + v3 t 0 − − chỉ khi hai vectơ Ï u, Ï v . . . . . . . . . . . . phương và hệ phương trình  0 0  x0 + u1 t = x0 + v1 t 0 0 y0 + u2 t = y0 + v2 t   z0 + u3 t = z00 + v3 t 0 . . . . . . nghiệm.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 47  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Phương trình đường thẳng TOÁN 12   x = 5 − t Ví dụ 6. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 : y = 2 − 3t   z =4+t !   x = x0 + u1 t Để tìm giao điểm của đường thẳng ∆ : y = y0 + u2 t   z = z0 + u3 t By + Cz + D = 0, ta xét phương trình  0  x = 1 + 2t 0 và d2 : y = 3 − t   z = −3t 0 và mặt phẳng (α) : Ax + A (x0 + u1 t) + B (y0 + u2 t) + C (z0 + u3 t) + D = 0 (1) • Nếu (1) vô nghiệm thì ∆ . . . . . . . . . (α) • Nếu (1) vô số nghiệm thì ∆ . . . . . . . . . (α) • Nếu (1) có đúng một nghiệm thì ∆ . . . . . . . . . (α) Ví dụ 7. Tìm giao điểm của mặt phẳng (α) : x + y + z − 3 = 0 với các đường thẳng sau:       x = 1 + 5t x = 1 + 2t x = 2 + t c) d3 : y = 1 − 4t b) d2 : y = 1 − t a) d1 : y = 3 − t       z = 1 + 3t z =1−t z=1 3 THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM Câu 1. Trong không gian Oxyz, điểm nàọ dưới đây thuộc đường thẳng d : y−2 z−1 = ? 3 3 A. P (−1; 2; 1). D. M (1; 2; 1).   x = 3 Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : y = 2 + 2t   z = 1 − 3t Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆. A. M(0; 2; −3). B. M(3; 2; 2). C. M(3; 4; 2). D. M(3; 0; 4).  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ B. Q (1; −2; −1). x+1 = −1 48 C. N (−1; 3; 2). .  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận . §3. Phương trình đường thẳng TOÁN 12   x = 2 + t Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : y = 3 − t   z=1 Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của ∆. − − A. Ï u = (1; −1; 0). B. Ï u = (1; −1; 1). Ï − Ï C. u = (2; 3; 1). D. − u = (2; 3; 0). . Câu 4. Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm M (2; 3; −1) và N (4; 5; 3)? − − − − A. Ï u4 = (1; 1; 1). B. Ï u3 = (1; 1; 2). C. Ï u1 = (3; 4; 1). D. Ï u2 = (3; 4; 2). Câu 5. Trong không gian Oxyz, đường thẳng d : vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương? A. a ~ = (−2; −4; 1). B. C. ~c = (1; −4; 2). D. y−3 z−7 x−1 = = nhận 2 −4 1 ~ = (2; 4; 1). b ~ d = (2; −4; 1). Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(2; −2; 2) và có vectơ chỉ phương Ï − u = (3;1; 1)?    x = 1 + 3t x = 2 + 3t A. B. y = −1 + t . y = −2 + t .     z =1+t z =2+t     x = 3 + t x = 3 + 2t C. D. y =1−t . y = 1 − 2t .     z =1+t z = 1 + 2t Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 1; 2) và B(6; 11; −3)? y − 10 z+5 x+5 y + 10 z−5 x−5 = = . B. = = . A. 1 2 2 1 2 2 x−1 y−1 z−2 x+1 y+1 z+2 C. = = . D. = = . 1 2 −1 1 2 −1 Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(0; 4; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P) : 2x − 2y − z = 0?  x = 2 x = −2   B. A. y = −2 + 4t . y = 2 + 4t .     z = −1 + t z =1+t   x = t x = 2t   . D. C. y = 4 − 2t . y =4−t     z =1−t z = 1 − 2t Câu 9. Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(3; 2; 1) và song song với đường x y z+3 thẳng = = là 2 4 1    x = 3 − 2t x = 2 + 3t A. B. y = 2 − 4t . y = 4 + 2t .     z =1−t z =1+t     x = 2t x = 3 + 2t C. . D. y = 4t y = 2 − 4t .     z =3+t z =1+t Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 5; 3) và hai mặt phẳng (P) : 2x + y + 2z − 8 = 0, (Q) : x − 4y + z − 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và song  song với cả hai mặt phẳng (P), (Q).    x = 3 + t x = 3 + t A. d : y = 5 − t . B. d : y = 5 .     z=3 z =3−t     x = 3 x = 3 + t C. d : y = 5 . D. d : y = 5 + t .     z =3+t z =3−t  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 49  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Phương trình đường thẳng TOÁN 12 x+3 Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; −3; 4), đường thẳng d : = 2 y−5 z−2 = và mặt phẳng (P) : 2x + z − 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng −5 −1 ∆ đi qua M, vuông góc với d và song song với (P). x−1 y+3 z−4 x−1 y+3 z−4 A. ∆ : = = . B. ∆ : = = . 1 −1 −2 −1 −1 −2 x−1 y+3 z−4 x−1 y+3 z−4 C. ∆ : = = . D. ∆ : = = . 1 1 −2 1 −1 2 x−1 y+5 z−3 Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : = = . 2 −1 4 Phương trình nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng  (P) : x + 3 = 0?    x = −3 x = −3 A. . B. y = −5 − t y = −5 + t .     z = −3 + 4t z = 3 + 4t     x = −3 x = −3 C. . D. y = −5 + 2t y = −6 − t .     z =3−t z = 7 + 4t x−1 y−3 z−1 = = cắt 2 −1 1 mặt phẳng (P) : 2x − 3y + z − 2 = 0 tại điểm I(a; b; c). Khi đó a + b + c bằng A. 7. B. 3. C. 9. D. 5. Câu 13. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : Câu 14. Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(−1; 1; 6) trên   x = 2 + t là đường thẳng ∆ : y = 1 − 2t   z = 2t A. M(3; −1; 2). B. H(11; −17; 18). C. K(2; 1; 0). D. N(1; 3; −2). Câu 15. Trong không gian Oxyz, tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(3; 2; −1) lên mặt phẳng (α) : x + y +z = 0 là    5 2 7 1 1 1 A. (−2; 1; 1). B. ; ;− . ; ; C. (1; 1; −2). D. . 3 3 3 2 4 4 x Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆ : = 1   x = 5 − t z−3 y+2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? = và ∆0 : y = −2t  2 −1  z =3+t A. ∆ song song với ∆0 . B. ∆ trùng với ∆0 . C. ∆ vuông góc với ∆0 . D. ∆ và ∆0 chéo nhau. x+4 Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = 2 y+2 z−3 = và mặt phẳng (P) : 4x + 2y + (m − 1)z + 13 = 0. Tìm giá trị của m 1 3 để (P) vuông góc với ∆. 7 7 A. m = −7. B. m = 7. C. m = − . D. m = . 3 3   x = 1 Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : y = 1 + t và hai mặt   z = −1 + t phẳng (P) : x − y + z + 1 = 0, (Q) : 2x + y − z − 4 = 0. Khẳng định nào sau đây đúng? A. d ∥ (P). B. d ∥ (Q). C. (P) ∩ (Q) = d. D. d⊥(P). x−2 Câu 19. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 0; 3) và đường thẳng ∆ : = 1 y+1 z−2 = . Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆. 2 √ −2 √ √ √ 34 26 10 A. . B. . C. . D. 2. 3 3 3 Câu 20. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x −2)2 +(y −3)2 +(z−5)2 = 100 và điểm M(−3; 3; −3) nằm trên mặt phẳng (α) : 2x − 2y + z + 15 = 0. Đường thẳng  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 50  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Phương trình đường thẳng L TỰ LUẬN TOÁN 12 ∆ nằm trên mặt phẳng (α), đi qua M và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B sao cho đoạn thẳng AB có độ dài lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng ∆. x+3 y−3 z+3 x+3 y−3 z+3 A. = = . B. = = . 1 1 3 16 11 −10 x+3 y−3 z+3 x+3 y−3 z+3 C. = = . D. = = . 5 1 8 1 4 6 Câu 1 (SGK HH12). Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: − a) d đi qua điểm M(5; 4; 1) và có vectơ chỉ phương Ï a = (2; −3; 1); b) d đi qua điểm A(2; −1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α) : x + y − z + 5 = 0;   x = 1 + 2t c) d đi qua điểm B(2; 0; −3) và song song với đường thẳng ∆ : y = −3 + 3t ;   z + 4t d) d đi qua hai điểm P(1; 2; 3) và Q(5; 4; 4); Câu 2 (SGK HH12). Xét vị trí   x = −3 + 2t a) d : y = −2 + 3t và d0 :   z = 6 + 4t tương đối của các cặp đường thẳng d và d0 cho bởi các phương trình sau:    0 0    x = 5 + t x = 1 + t x = 1 + 2t b) d : y = 2 + t và d0 : y = −1 + 2t 0 y = −1 − 4t 0       z = 20 + t 0 z =3−t z = 2 − 2t 0   x = −3 + 2t và mặt phẳng (α) : 2x − 2y + z + 3 = 0. Câu 3 (SGK HH12). Tính khoảng cách giữa đường thẳng ∆ : y = −1 + 3t   z = −1 + 2t  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 51  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 PHỤ LỤC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH LONG (Đề có 05 trang) Họ và tên học sinh: ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: TOÁN 12 THPT Thời gian làm bài 90 phút (bao gồm trắc nghiệm và tự luận) Mã đề 101 ……………………………………………………………………………. I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (40 câu, 8.0 điểm) Câu 1. Cặp số nào sau đây có tính chất “Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại”? 1 . B. sin 2x và sin2 x. C. ex và e−x . D. sin 2x và cos2 x. A. tan x 2 và cos2 x 2 Câu 2. ZPhát biểu nào sau đây là đúng? A. C. x sin x dx = x cos x + sin x + C. Z x sin x dx = −x cos x − sin x + C. Câu 3. Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 A. ln . 2 Câu 4. Biết B. ln 2 + 1. Z B. Z D. Z x sin x dx = −x cos x + sin x + C. x sin x dx = x cos x − sin x + C. 1 và F(2) = 1. Khi đó F(3) bằng bao nhiêu? x−1 1 C. ln 2. D. . 2 1 −3x+1 e (3x + n) + C với m, n là các số nguyên. Tính tổng S = m + n. m A. 10. B. 1. C. 9. D. 19. Z1 Câu 5. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên đoạn [−2; 1] và f(−2) = 3, f(1) = 7. Tính I = f 0 (x) dx. (x + 3) · e−3x+1 dx = − −2 7 A. I = . B. I = −4. C. I = 10. D. I = 4. 3 Câu 6. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Mệnh đề nào dưới đây sai? Zb Za Zb A. f(x) dx = − f(x) dx. B. k dx = k(a − b), ∀k ∈ R. a C. a b Zb Zc f(x) dx = f(x) dx + a Câu 7. Nếu Zb a Z3 x √ dx = 1+ 1+x A. f(t) = t 2 − 1. f(x) dx = f(t) dt, với t = √ f(t) dt. a 1 + x thì f(t) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây? C. f(t) = t 2 + t. D. f(t) = 2t 2 − 2t. C. I = 56. D. I = 120. C. D. Z2 (x + 2)3 dx. 0 A. I = 60. Câu 9. Tính I = Z2 B. f(t) = 2t 2 + 2t. Câu 8. Tính tích phân I = Zb a 1 0 Ze2 D. f(x) dx, ∀c ∈ (a; b). c Zb B. I = 240. (1 − ln x)2 dx được kết quả là x e 4 A. . 3 B. Câu 10. Biết rằng A. 81. Câu 11. Cho A. S = 3. 5 . 3 1 . 3 13 . 3 Z5 1 dx = ln a. Giá trị của a là 2x − 1 1 B. 27. π Z2 cos x (sin x) − 5 sin x + 6 2 0  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ dx = a ln C. 3. D. 9. 4 + b, với a, b là các số hữu tỉ, c > 0. Tính tổng S = a + b + c. c B. S = 4. C. S = 0. 52 D. S = 1.  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 Câu 12. Giả sử A. S = 3. Z5 dx = a ln 5 + b ln 3 + c ln 2. Tính giá trị biểu thức S = −2a + b + 3c2 . x2 − x 3 B. S = 6. Câu 13. Cho hàm số f(x) liên tục trên R, biết A. 6. B. 1. π Z4 C. S = −2. D. S = 0. Z1 Z1 f (tan x) dx = 4 và x 2 · f(x) dx = 2. Tính I = x2 + 1 f(x) dx. C. 0. D. 2. 1 2 Câu 14. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y = x và đường thẳng y = x được tính theo công thức nào 2 sau đây? 2  Z2  Z2 Z2 Z2  1 2 1 2 1 2 2 x − 2x dx. C. S = A. S = B. S = x − x dx. x −x dx. D. S = x − x dx. 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 Câu 15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = −x 2 + 4x − 3, x = 0, x = 3, Ox. 4 4 8 8 B. − . C. . D. . A. − . 3 3 3 3 4 2 Câu 16. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) : y = x − 2x + 1 và trục hoành. 15 15 16 8 . B. − . C. . D. . A. 15 16 8 15 Câu 17. √ Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = x, y = 0, y = 2 − x. y Diện tích√của (H) là √ 4 2−1 8 2+3 7 5 A. . B. . C. . D. . 2 3 6 6 6 1 x O 1 2 Câu 18. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục hoành: y = sin x, y = 0, x = 0, x = 12π. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Z12π Z12π Z12π Z12π 2 2 2 2 A. V = π B. V = π sin x dx. C. V = π D. V = π sin x dx. (sin x) dx. (sin x) dx. 0 0 0 0 Câu 19. Cho hàm bậc hai y = f(x) có đồ thị như hình bên. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và Ox quanh Ox. 12π 16π 16π 4π . B. − . C. . D. . A. 3 15 15 5 y 1 x O 1 2 Câu 20. Một ô tô đang chạy với vận tốc 54 km/h thì tăng tốc chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a(t) = 3t − 8 (m/s2 ) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây. Quãng đường mà ô tô đi được sau 10 s kể từ lúc tăng tốc là A. 540 m. B. 150 m. C. 250 m. D. 246 m. Câu 21. Cho hai số phức z = x − yi và w = 2i + 3x, (x, y ∈ R). Biết z = w. Giá trị của x và y lần lượt là A. 2 và −3. B. −2 và 0. C. 0 và 2. D. 0 và −2. −Ï −Ï −Ï Câu 22. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(4; 0), B(0; −3) và điểm C thỏa mãn điều kiện OC = OA + OB. Khi đó số phức được biểu diễn bởi điểm C là A. z = −3 − 4i. B. z = 4 + 3i. C. z = 4 − 3i. D. z = −3 + 4i. Câu 23. Cho số phức z = 6 + 7i. Điểm M biểu diễn cho số phức z trên mặt phẳng Oxy là A. M(−6; −7). B. M(6; −7). C. M(6; 7i). D. M(6; 7). Câu 24. Cho x, y là các số thực. Số phức z = i (1 + xi + y + 2i) bằng 0 khi A. x = −1; y = −2. B. x = 0; y = 0. C. x = −2; y = −1. D. x = 2; y = 1. Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 2 và z + 1 = 4. Tính |z + z| + |z − z|. √ √ √ A. 3 + 7. B. 3 + 2 2. C. 7 + 3. D. 16. 2  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 53  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận 3 Phụ lục TOÁN 12 Câu 26. Cho số phức z = x + yi (x, y ∈ R) có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện |z − 4 − 2i| = |z − 2|. Tính P = x2 + y2. A. 10. B. 16. C. 8. D. 32. Câu 27. √ Tìm các căn bậc hai của −6. √ B. ± 6i. A. − 6i. C. ±6i. D. Câu 28. Trong tập số phức, phương trình z2 − 2z + 5 = 0 có nghiệm là A. z = −1 ± 2i. B. z = 2 ± 2i. C. z = −2 ± 2i. Câu 29. Cho m ~ = (1; 0; −1), n ~ = (0; 1; 1). Kết luận nào sai? A. Góc của m ~ và n ~ là 30◦ . C. m ~ ·n ~ = −1. √ 6i. D. z = 1 ± 2i. B. [m, ~ n ~ ] = (1; −1; 1). D. m ~ và n ~ không cùng phương. Câu 30. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; −2; −1), B(−2; −4; 3), C(1; 3; −1). Tìm điểm M ∈ (Oxy) − − Ï −−Ï −−Ï sao cho MA + MB + 3MC đạt giá trị nhỏ nhất.         1 3 1 3 3 4 1 3 A. − ; ;0 . B. ; ;0 . C. ; ;0 . D. ;− ;0 . 5 5 5 5 5 5 5 5 Câu 31. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z2 + 6x − 4y + 2z − 2 = 0. Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) là A. I(−3; 2; −1) và R = 4. B. I(−3; 2; −1) và R = 16. C. I(3; −2; 1) và R = 4. D. I(3; −2; 1) và R = 16. Câu 32. Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) : (x − 1)2 + (y + 3)2 + (z − 2)2 = 49 tại điểm M(7; −1; 5) có phương trình là A. 6x + 2y + 3z − 55 = 0. B. 6x + 2y + 3z + 55 = 0. C. 3x + y + z − 22 = 0. D. 3x + y + z + 22 = 0. Câu 33. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(3; −2; 1), B(−4; 0; 3), C(1; 4; −3), D(2; 3; 5). Phương trình mặt phẳng chứa AC và song song với BD là A. 12x − 10y + 21z − 35 = 0. B. 12x + 10y − 21z + 35 = 0. C. 12x + 10y + 21z + 35 = 0. D. 12x − 10y − 21z − 35 = 0. Câu 34. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 0) và mặt phẳng (α) : x + 2y − 2z + 1 = 0. Khoảng cách từ M đến (α) là A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Câu 35. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng song song (P) : x − 2y + 2z + 6 = 0 và (Q) : x − 2y + 2z − 10 = 0 có tâm I trên trục Oy là 55 = 0. B. x 2 + y 2 + z2 + 2y − 60 = 0. A. x 2 + y 2 + z2 + 2y − 9 55 C. x 2 + y 2 + z2 − 2y + 55 = 0. D. x 2 + y 2 + z2 − 2y − . 9 Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z2 + 4x − 2y + 6z − 11 = 0 và mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z + 1 = 0. Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của (P) và (S). Tính chu vi đường tròn (C). A. 10π. B. 4π. C. 6π. D. 8π. Câu 37. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng (α) : 3x + 2y − z + 1 = 0 và (α0 ) : 3x + y + 11z − 1 = 0 là A. Vuông góc với nhau. B. Trùng nhau. C. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau. D. Song song với nhau. Câu 38. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua M(0; 2; −3) và có vectơ chỉ phương a ~ = (4; −3; 1). Phương trình tham sốcủa đường thẳng ∆ là        x = 4t x = 4t x = −4t x = 4 A. B. C. D. y = −2 − 3t . y = −2 − 3t . y = 2 + 3t . y = −3 + 2t .         z =3+t z = −3 − t z = −3 − t z = 1 − 3t y z+3 x là Câu 39. Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(3; 2; 1) và song song với đường thẳng = = 2 4 1        x = 3 − 2t x = 2 + 3t x = 2t x = 3 + 2t A. B. C. . D. y = 2 − 4t . y = 4 + 2t . y = 4t y = 2 − 4t         z =1−t z =1+t z =3+t z =1+t . y z+2 x+1 = = . Đường 2 1 3 thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là x−1 y−1 z−1 x−1 y+1 z−1 A. ∆ : = = . B. ∆ : = = . 5 −1 3 5 −1 2 x−1 y+1 z−1 x−1 y−1 z−1 C. ∆ : = = . D. ∆ : = = . 5 −1 −3 5 −1 −3 Câu 40. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + 2y + z − 4 = 0 và đường thẳng d : II. PHẦN TỰ LUẬN (2.0 điểm)  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 54  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục Câu 41. Tính tích phân TOÁN 12 Z1 (2x + 1)5 dx. 0 Câu 42. Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và tính môđun của số phức z = (2 − 4i) (5 + 2i) + 4 − 5i . 2+i Câu 43. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; −3; 4), B(−2; −5; −7), C(6; −3; −1). Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 55  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề có 05 trang) KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2019 Bài thi: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mã đề 101 Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x − y + 3z + 1 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)? − − − − A. Ï n1 = (2; −1; −3). B. Ï n2 = (2; −1; 3). C. Ï n3 = (2; 3; 1). D. Ï n4 = (2; 1; 3). Câu 2. Cho cấp số cộng (un ) với u1 = 2 và u2 = 8. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng A. 4. B. 10. C. −6. D. 6. Câu 3. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên? A. y = x 3 − 3x + 1. B. y = x 4 − 2x 2 + 1. 3 C. y = −x + 3x + 1. D. y = −x 4 + 2x 2 + 1. y 3 1 −1 2 −2 1 x −1 Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : của d? − A. Ï u4 = (2; −5; 3). x−1 y−3 z+2 = = . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương 2 −5 3 − B. Ï u1 = (2; 5; 3). − C. Ï u3 = (1; 3; −2). − D. Ï u2 = (1; 3; 2). Câu 5. Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là 1 4 B. πr 2 h. C. πr 2 h. A. πr 2 h. 3 3 3 Câu 6. Với a là số thực dương tùy ý, log5 a bằng 1 + log5 a. C. 3 + log5 a. A. 3 log5 a. B. 3 Câu 7. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ f 0 (x) 1 − D. 2πr 2 h. D. +∞ 3 + 0 0 1 log5 a. 3 − +∞ 2 f(x) −2 −∞ Hàm số đã cho đạt cực đại tại A. x = 1. B. x = 3. Câu 8. Số phức liên hợp của số phức 5 − 3i là A. −5 + 3i. B. 5 + 3i. C. x = 2. D. x = −2. C. −3 + 5i. D. −5 − 3i. Câu 9. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 6 là A. 2x 2 + 6x + C. B. x 2 + 6x + C. C. 2x 2 + C. Z1 Z1 Z1   Câu 10. Biết f(x)dx = 3 và g(x)dx = −4, khi đó f(x) + g(x) dx bằng A. −7. 0 0 B. 7. 0 Câu 11. Nghiệm của phương trình 3 = 27 là A. x = 1. B. x = 5. D. x 2 + C. C. −1. D. 1. C. x = 4. D. x = 2. 2x+1 Câu 12. Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(3; −1; 1) trên trục Oz có tọa độ là A. (3; 0; 0). B. (3; −1; 0). C. (0; −1; 0). D. (0; 0; 1). Câu 13. Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là A. C25 . B. 52 . C. A52 . Câu 14. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là 1 4 A. 3Bh. B. Bh. C. Bh. 3 3 Câu 15. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau:  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 56 D. 25 . D. Bh.  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 x −∞ 0 −2 − f (x) 0 + 0 +∞ 2 − 0 + 0 +∞ +∞ f(x) 3 1 1 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0; +∞). B. (0; 2). C. (−∞; −2). D. (−2; 0). Câu 16. Cho hàm số f (x) liên tục trên R. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x), y = 0, x = −1 và x = 5 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng? Z1 Z5 Z1 Z5 A. S = − f (x) dx − f (x) dx. B. S = f (x) dx − f (x) dx. −1 C. S = −1 1 Z1 Z5 f (x) dx + −1 D. S = − f (x) dx. 1 −1 1 5 x 1 Z1 Z5 f (x) dx + −1 1 y f (x) dx. −3 1 Câu 17. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ 0 −2 − f (x) 0 0 + 0 +∞ 2 − 0 + +∞ +∞ f(x) 2 −1 −1 Số nghiệm thực của phương trình 3f (x) − 5 = 0 là A. 4. B. 2. C. 0. D. 3. Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (−1; 2; 0) , B (3; 0; 2). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là A. x + y + z − 3 = 0. B. 2x − y + z − 2 = 0. C. 2x + y + z − 4 = 0. D. 2x − y + z + 2 = 0. Câu 19. Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1m và 1, 4m. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 1, 5 m. B. 1, 7 m. C. 2, 4 m. D. 1, 9 m. Câu 20.√Trong không gian Oxyz, cho√mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z2 − 2x + 2y − 7 = 0. Bán kính của mặt cầu đã cho bằng A. 7. B. 15. C. 3. D. 9. Câu 21. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 6z + 14 = 0. Giá trị của z12 + z22 bằng A. 28. B. 36. C. 8. D. 18. Câu 22. Cho a và b là hai số thực dương thoả mãn a3 b3 = 32. Giá trị của 3 log2 a + 2 log2 b bằng A. 4. B. 32. C. 2. D. 5. Câu 23. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A0 B0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnh bằng a và AA0 = 2a (minh họa như√hình vẽ bên). Thể tích cho bằng √của3 khối lăng trụ đã √ √ 3 3a3 3a 3a3 A. 3a . . B. . C. . D. 3 2 6 A0 C0 B0 2a A a C B Câu 24.√Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a, tam giác ABC vuông tại B, AB = a, BC = a 3. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng A. 30◦ . B. 90◦ . C. 45◦ . D. 60◦ .  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 57  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 Câu 25. Nghiệm của phương trình log2 (x + 1) = 1 + log2 (x − 1) là A. x = −2. B. x = 3. C. x = 2. D. x = 1. Câu 26. Cho hai số phức z1 = −2 + i và z2 = 1 + i. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức 2z1 + z2 có tọa độ là A. (−3; 2). B. (2; −3). C. (−3; 3). D. (3; −3). Câu 27. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x 3 − 3x + 2 trên [−3; 3] bằng A. 4. B. 0. C. 20. D. −16. Câu 28. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ 0 y0 +∞ 2 − − + 0 +∞ 2 y 0 −2 −∞ Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. Câu 29. Cho hàm số f(x) có đạo hàm f (x) = x(x − 2) , ∀x ∈ R. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 0. B. 3. C. 1. D. 2. 0 2 Câu 30. Hàm số y = 3x −3x có đạo hàm là 2 2 A. (2x − 3) · 3x −3x · ln 3. B. 3x −3x · ln 3. 2 C. D. (2x − 3) · 3x  2 x 2 − 3x · 3x −3x−1 . 2 −3x . Câu 31. Cho số phức z thỏa mãn 3 (z − i) − (2 + 3i) z = 7 − 16i. Môđun √ của số phức z bằng √ A. 5. B. 3. C. 5. D. 3. 3x − 1 Câu 32. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = trên khoảng (1; +∞) là (x − 1)2 2 1 + C. B. 3 ln (x − 1) + + C. A. 3 ln (x − 1) + x−1 x−1 1 2 C. 3 ln (x − 1) − + C. D. 3 ln (x − 1) − + C. x−1 x−1 π Câu 33. Cho hàm số f (x). Biết f (0) = 4 và f 0 (x) = 2 cos2 x + 3, ∀x ∈ R, khi đó Z4 f (x) dx bằng 0 π2 + 2 π 2 + 8π + 2 π 2 + 6π + 8 π 2 + 8π + 8 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8 Câu 34. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (1; 0; 2) , B (1; 2; 1) , C (3; 2; 0) và D (1; 1; 3). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) có phương  trình là       x = 1 + t x = 2 + t x = 1 − t x = 1 − t . D. A. B. . C. y = 2 − 4t . y = 4t y=4 y = 4 + 4t .         z = 2 + 2t z = 2 + 2t z = 4 + 2t z = 2 − 2t Câu 35. Cho hàm số f (x), bảng xét dấu f 0 (x) như sau: x −∞ 0 −3 − f (x) 0 −1 + 0 +∞ 1 − 0 + Hàm số y = f (5 − 2x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (5; +∞). B. (2; 3). C. (0; 2). D. (3; 5). Câu 36. Cho phương trình log9 x − log3 (6x − 1) = − log3 m (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm? A. Vô số. B. 5. C. 7. D. 6. 2 Câu 37. Cho hàm số f (x), hàm số y = f 0 (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình f (x) > x + m (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x ∈ (0; 2) khi và chỉ khi A. m ≤ f (0). B. m < f (2) − 2. C. m < f (0). D. m ≤ f (2) − 2. y 1 2  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 58 x  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 Câu 38. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 27 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng 13 365 1 14 A. . B. . C. . D. . 27 729 2 27 Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và S nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ√ C đến mặt phẳng (SBD) √ bằng √ √ 21a 21a 2a 21a . B. . C. . D. . A. 7 28 2 14 A D B C √ Câu 40. Cho √ hình trụ có chiều cao bằng 4 2. Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng √ bằng 2, thiết diện thu được có√diện tích bằng 16. Diện tích xung √ quanh của hình trụ đã cho √ bằng B. 24 2π. C. 16 2π. D. 12 2π. A. 8 2π. Câu 41. 3 1 x và parabol y = x 2 + a (a là tham số thực dương). Gọi 4 2 S1 và S2 lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình bên. Khi S1  = S2 thìa thuộc khoảng  nào  dưới đây?     7 1 1 9 3 3 7 ; . B. ; . C. ; . D. 0; . A. 16 32 32 4 4 32 16 Cho đường thẳng y = y 1 y = x2 + a 2 3 y= x 4 S2 S1 Câu 42. Xét số phức z thỏa mãn |z| = √ x O 2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức w = một đường tròn có bán kính bằng √ A. 12. B. 2 3. √ C. 2 5. 3 + iz là 1+z D. 20. Câu 43. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 4; −3). Xét đường thăng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. P(−3; 0; −3). B. M(0; −3; −5). C. Q(0; 11; −3). D. N(0; 3; −5). Câu 44. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Biết f(5) = 1 và Z1 Z5 xf(5x)dx = 1, khi đó 0 A. −25. B. 15. x 2 f 0 (x)dx bằng 0 123 C. . 5 D. 23. Câu 45. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương 1 trình f(x 3 − 3x) = là 2 A. 3. B. 12. C. 6. D. 10. y 2 −2 2 x −1 x x+1 x+2 x+3 + + + và y = |x + 1| − x + m (m là tham số thực) có đồ thị lần x+1 x+2 x+3 x+4 lượt là (C1 ) và (C2 ). Tập hợp các giá trị của m để (C1 ) và (C2 ) cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là A. [3; +∞). B. (−∞; 3]. C. (−∞; 3). D. (3; +∞). √  Câu 47. Cho phương trình 2 log22 x − 3 log2 x − 2 3x − m = 0 (m là tham số thực) có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên Câu 46. Cho hai hàm số y = dương của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt? A. 80. B. 81. C. 79. D. Vô số. √ 2 2 2 Câu 48. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x + y + (z − 2) = 3. Có tất cả bao nhiêu điểm A(a; b; c) (a, b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của (S) đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau? A. 12. B. 4. C. 16. D. 8.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 59  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 Câu 49. Cho hàm số f(x), bảng biến thiên của hàm số f 0 (x) như sau: x −∞ +∞ −1 0 f 0 (x) 1 +∞ +∞ 2 −1 −3  Số điểm cực trị của hàm số y = f x 2 + 2x là A. 7. B. 5. C. 3. D. 9. Câu 50. Cho lăng trụ ABC.A B C có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi M, N và P lần lượt là tâm 0 0 0 0 0 0 các mặt bên √ ABB A , ACC A và BCC B .√Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, M, N, P bằng √ √ 40 3 28 3 A. D. 12 3. . B. . C. 16 3. 3 3 0 0  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 0 60  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top