Tài liệu học tập HK1 Toán 12 – Huỳnh Phú Sĩ

TÀI LIỆU HỌC TẬP HK1 TOÁN 12 Trường THCS&THPT Mỹ Thuận Vĩnh Long KẾ HOẠCH TUẦN L TUẦN 4 L TUẦN 1 L TUẦN 2 L TUẦN 5 L TUẦN 3 L TUẦN 6 L TUẦN 7 L TUẦN 10 L TUẦN 11 L TUẦN 8 L TUẦN 9 L TUẦN 12 L TUẦN 13 L TUẦN 16 L TUẦN 14 L TUẦN 17 L TUẦN 15 L TUẦN 18 MỤC LỤC TOÁN 12 MỤC LỤC PHẦN I GIẢI TÍCH 4 Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1. Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Tính đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Khái niệm cực đại, cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Quy tắc tìm cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Cách tìm GTLN & GTNN của hàm số trên một đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §4. Đường tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Đường tiệm cận ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Đường tiệm cận đứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Sơ đồ khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Khảo sát một số hàm thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Sự tương giao của các đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 6 6 11 11 11 12 13 17 17 17 18 22 22 22 23 26 26 26 28 28 §1. Lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Khái niệm lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Hàm số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Khảo sát hàm số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Khái niệm lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Quy tắc tính lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §4. Hàm số mũ. Hàm số lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Hàm số mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Hàm số lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Phương trình mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Phương trình lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Bất phương trình mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Bất phương trình lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 34 35 36 38 38 38 38 39 41 41 41 42 42 45 45 46 46 50 50 50 51 54 54 54 55 Chương 2. Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 PHẦN II HÌNH HỌC  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 58 4  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận MỤC LỤC TOÁN 12 Chương 1. Khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 §1. Khái niệm về khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Khối lăng trụ và khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Hai đa diện bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Đa diện lồi và Đa diện đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Khối đa diện lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Khối đa diện đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Khái niệm về thể tích khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Thể tích khối lăng trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Thể tích khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 2. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1. Khái niệm về khối tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Sự tạo thành mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Mặt nón tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Mặt trụ tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Mặt cầu và các khái niệm liên quan đến mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Giao của mặt cầu và đường thẳng. Tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Diện tích và thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 5 59 59 59 60 61 61 64 64 64 64 67 67 67 67 68 71 71 71 71 72 73 76 76 76 77 77 78  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận PHẦN I GIẢI TÍCH Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1. §2. §3. §4. §5. Chương 2. §1. §2. §3. §4. §5. §6. Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đường tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hàm số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hàm số mũ. Hàm số lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phương trình mũ và phương trình lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 6 5 5 11 17 22 26 34 34 38 41 45 50 54  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số TOÁN 12 Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ §1.SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Đặt vấn đề Cho hai hàm số y = 2x − 6 và y = 3 + 2x − x 2 lần lượt có bảng biến thiên như sau: x −∞ x +∞ −∞ 1 +∞ +∞ 4 y y −∞ −∞ −∞ 1) Chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của mỗi hàm số trên. 2) Giải thích nguyên nhân của sự biến thiên đó. 3) Hãy cho biết cách tìm các giá trị tại hai đầu mút của từng mũi tên trong bảng. 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y 1 Định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K (khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng). ○ f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với ∀x1 , x2 ∈ K mà x1 < x2 thì f (x1 ) . . . f (x2 ) ○ f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với ∀x1 , x2 ∈ K mà x1 < x2 thì f (x1 ) . . . f (x2 ) O 1 x 3 Hàm số này đồng biến trên khoảng . . . . . ., nghịch biến trên khoảng . . . . . ., không đổi trên khoảng . . . . . . 2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. ○ Nếu f 0 (x) > 0, ∀x ∈ K thì f(x) . . . . . . . . . . . . . . . trên K. ○ Nếu f 0 (x) < 0, ∀x ∈ K thì f(x) . . . . . . . . . . . . . . . trên K. ○ Nếu f 0 (x) = 0, ∀x ∈ K thì f(x) . . . . . . . . . . . . . . . trên K. y Ví dụ 1. Xét sự biến thiên của hàm số y = 3 + 2x − x 2 . I 4 −1 O 1 3 x Parabol y = 3+2x −x 2 có đỉnh . . . . . . và hướng xuống vì a . . .  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 7  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số 2 TOÁN 12 QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Bước 1. Tìm . . . . . . . . . . . . . . . . . . ! Bước 2. Tìm . . . . . . . . . . . . f 0 (x). Tìm x để f 0 (x) . . . . . . hoặc . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bước 3. Lập bảng . . . . . . . . . . . . . . . Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau: a) y = 3 x3 x2 − − 2x + 2 3 2 b) y = x−1 x+2 THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM Câu 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi f 0 (x) ≥ 0, (a; b). B. Nếu f 0 (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng C. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi f 0 (x) > 0, (a; b). D. Nếu f 0 (x) > 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng Câu 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm y 1 khoảng đồng biến của hàm số. A. (−2; 1). B. (−1; 2). −2 −1 0 1 C. (−2; −1). D. (−1; 1). −1 ∀x ∈ (a; b). ∀x ∈ (a; b). x −3 Câu 3. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là đúng? y 1 −1 0 1 −1 2 x −3  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 8  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số A. B. C. D. TOÁN 12 Hàm Hàm Hàm Hàm số số số số đồng biến trên khoảng (−3; 1). nghịch biến trên khoảng (0; 2). nghịch biến trên khoảng (−1; 0). đồng biến trên khoảng (0; 1). Câu 4. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây? x +∞ −∞ −1 0 1 y0 − 0 + +∞ − 0 + 0 +∞ 3 y −2 A. (0; +∞). −2 B. (−1; 1). C. (−∞; 0). D. (−∞; −2). Câu 5. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: x +∞ −∞ 2 y0 − − +∞ 2 y −∞ 2 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên R {2}. B. Hàm số đồng biến trên (−∞; 2) và (2; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2) và (2; +∞). D. Hàm số nghịch biến trên R. Câu 6. Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x −∞ +∞ −2 0 2 0 + − − − y 0 0 Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −2). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 0). Câu 7. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ −4 −1 y 0 + 0 + +∞ − 0 3 y 0 −∞ −∞ Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 3). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −2). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−4; −1). Câu 8. Cho hàm số y = f(x). Biết rằng f(x) có đạo hàm f 0 (x) với đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng về hàm số y = f(x)? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 0). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞). Câu 9. Hàm số y =  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 9 y −1 0 1 2 x x3 x2 3 − − 6x + 3 2 4  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số A. B. C. D. TOÁN 12 Đồng biến trên khoảng (−2; 3). Nghịch biến trên khoảng (−2; 3). Nghịch biến trên khoảng (−∞; −2). Đồng biến trên khoảng (−2; +∞). Câu 10. Cho hàm số y = x 4 −8x 2 −4. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng A. (−2; 0) và (2; +∞). B. (−∞; −2) và (0; 2). C. (−2; 0) và (0; 2). D. (−∞; −2) và (2; +∞). x+1 . Khẳng định nào sau đây đúng? Câu 11. Cho hàm số y = 2−x A. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. B. Hàm số đồng biến trên R. C. Hàm số đồng biến trên (−∞; 2) ∪ (2; +∞). D. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. Câu 12. Cho hàm số y = x 3 − 3x + 1. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 3). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 1). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và (1; +∞). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 1). 3−x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 2x − 1  1 . nghịch biến trên −∞; 2 đồng biến trên R.   1 đồng biến trên ; +∞ . 2 nghịch biến trên R. Câu 13. Cho hàm số y = A. Hàm số B. Hàm số C. Hàm số D. Hàm số Câu 14. Hàm số y = 2x 4 + 3 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (3; +∞). B. (0; +∞). C. (−∞; −3). D. (−∞; 0). √ 2 Câu 15. Hàm số y = 4 − x nghịch biến trên khoảng A. (0; 2). B. (−2; 0). C. (0; +∞). D. (−2; 2). √ 2 Câu 16. Hàm sốy = −x + 3xđồng biến trên     khoảng 3 3 3 3 A. −∞; ;3 . D. ; +∞ . . B. 0; . C. 2 2 2 2 Câu 17. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R? A. y = x 3 − 3x 2 + 4. B. y = −x 4 − 2x 2 − 3. 3 C. y = x + 3x. D. y = −x 3 + 3x 2 − 3x + 2. Câu 18. Hàm √ số nào sau đây đồng biến trên R? A. y = x 2 − 3x + 2. B. y = x 4 + x 2 + 1. x−1 C. y = . D. y = x 3 + 5x + 13. x+1 x3 Câu 19. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = − + mx 2 − (2m + 3 3)x + 4 nghịch biến trên R. A. −1 ≤ m ≤ 3. B. −3 < m < 1. C. −1 < m < 3. D. −3 ≤ m ≤ 1. x3 Câu 20. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = − − mx 2 + (2m − 3 3)x − m + 2 nghịch biến trên R. A. m ∈ (−∞; −3) ∪ (1; +∞). B. m ∈ [−3; 1]. C. m ∈ (−∞; 1]. D. m ∈ (−3; 1). Câu 21. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = đồng biến trên R. A. 0 < m < 1. D. −1 < m < 1. x+2−m Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x+1 nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. A. m ≤ 1. B. m < 1. C. m < −3. D. m ≤ −3. mx + 1 Câu 23. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = đồng biến x+m trên khoảng (2; +∞). A. −2 ≤ m < −1 hoặc m > 1. B. m ≤ −1 hoặc m > 1. C. −1 < m < 1. D. m < −1 hoặc m ≥ 1.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ B. −1 ≤ m ≤ 1. x3 −2mx 2 +4x−5 3 10 C. 0 ≤ m ≤ 1.  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số TOÁN 12 mx − 2 Câu 24. Số giá trị nguyên của m để hàm số y = nghịch biến trên −2x +m   1 khoảng ; +∞ là 2 A. 4. B. 5. C. 3. D. 2. Câu 25. Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d đồng biến trên R khi   a = b, c > 0 a=b=c=0 A.  . B.  . 2 b − 3ac ≤ 0 a > 0, b2 − 3ac < 0   a = b = 0, c > 0 a = b = 0, c > 0 C.  . D.  . 2 a > 0, b − 3ac ≤ 0 a > 0, b2 − 3ac ≥ 0 Câu 26. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f 0 (x) = x(x − 1)2 (x − 2). Tìm khoảng nghịch biến của đồ thị hàm số y = f(x). A. (−∞; 0) và (1; 2). B. (0; 1). C. (0; 2). D. (2; +∞). Câu 27. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm y 0 = x 2 (x − 2). Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên R. B. Hàm số đồng biến trên (0; 2). C. Hàm số nghịch biến trên (−∞; 0) và (2; +∞). D. Hàm số đồng biến trên (2; +∞). Câu 28. Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f 0 (x) = x 2 − 5x + 4, ∀x ∈ R. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 3). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (3; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; 3). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 4). Câu 29. Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: x y0 −∞ 1 − 0 2 + 0 3 + 0 +∞ 4 − + 0 Hàm số y = 3f(x + 2) − x 3 + 3x đồng biến trên khoảng nào sau đây: A. (1; +∞). B. (−∞; −1). C. (−1; 0). D. (0; 2). Câu 30. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f 0 (x) như hình vẽ. Hàm số y = f(3 − 2x) nghịch biến trên khoảng nào sau đây: A. (−1; +∞). B. (0; 2). C. (−∞; −1). D. (1; 3). y −2 0 2 5 x L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK GT12). Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: a) y = 4 + 3x − x 2 c) y = x 4 − 2x 2 + 3 1 b) y = x 3 + 3x 2 − 7x − 2 3 d) y = Câu 2. Tìm m để hàm số y =  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 3x + 1 1−x mx 2 x3 − + 2x + 2019 đồng biến trên R. 3 2 11  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số TOÁN 12 d Vocabulary function hàm số domain tập xác định  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ monotonic tính đơn điệu increasing đồng biến decreasing nghịch biến derivative đạo hàm 12 graph đồ thị variation chart bảng biến thiên  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Cực trị của hàm số TOÁN 12 §2.CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Đặt vấn đề Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. y B 2 x1 x2 x O y2 C y1 A Một cách trực quan, hãy chỉ ra những điểm lồi, điểm lõm của đồ thị. 1 KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU Giả sử hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên K và điểm x0 ∈ K. ○ Nếu ∃h > 0 sao cho f(x) < f (x0 ) với mọi x ∈ (x0 − h; x0 + h) và x 6= x0 thì ta nói f(x) đạt . . . . . . . . . . . . tại x0 . ○ Nếu ∃h > 0 sao cho f(x) > f (x0 ) với mọi x ∈ (x0 − h; x0 + h) và x 6= x0 thì ta nói f(x) đạt . . . . . . . . . . . . tại x0 . Chú ý: y • Nếu f(x) đạt CĐ tại x0 thì ta gọi x0 là điểm CĐ của . . . . . . . . ., f (x0 ) là giá trị CĐ của . . . . . . . . ., còn điểm M (x0 ; f (x0 )) là điểm CĐ của . . . . . . . . .. Ta gọi tương tự đối với cực tiểu. • Các điểm CĐ và CT được gọi chung là . . . . . . . . . . . . . . ., giá trị CĐ và giá trị CT được gọi chung là . . . . . . . . . của hàm số. • Nếu f(x) xác định trên K và đạt cực trị tại x0 thì f 0 (x0 ) = . . .. 1 O 1 x y Điểm cực đại A (x1 ; y1 ) của đồ thị Giá trị cực đại của hàm số y1 Điểm cực tiểu của hàm số Hàm số này đạt cực đại tại x = . . . và đạt cực tiểu tại x = . . . x2 x1 O x y2 Điểm cực đại của hàm số Giá trị cực tiểu của hàm số 2 Điểm cực tiểu B (x2 ; y2 ) của đồ thị ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ Giả sử hàm số y = f(x) . . . . . . . . . trên K và xác định trên K hoặc K {x0 }. ○ Nếu f 0 (x0 ) > 0 khi x < x0 và f 0 (x0 ) < 0 khi x > x0 thì x0 là một điểm . . . . . . . . . của hàm số f(x). ○ Nếu f 0 (x0 ) < 0 khi x < x0 và f 0 (x0 ) > 0 khi x > x0 thì x0 là một điểm . . . . . . . . . của hàm số f(x).  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 13  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Cực trị của hàm số TOÁN 12 Ví dụ 1. Tìm các cực trị của hàm số y = x 3 − x 2 − x + 3. 3 QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ 1 Quy tắc 1 Bước 1. Tìm . . . . . . . . . . . . . . . . . . ! Bước 2. Tìm . . . . . . . . . . . . f 0 (x). Tìm x để f 0 (x) . . . . . . hoặc . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bước 3. Lập bảng . . . . . . . . . . . . . . . Bước 4. Kết luận về các điểm cực trị. Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số y = 3x + 1 . x+1 2 Định lý Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp . . . trên K. ○ Nếu f 0 (x0 ) = 0 và f 00 (x0 ) > 0 thì x0 là điểm . . . . . . . . . của hàm số. ○ Nếu f 0 (x0 ) = 0 và f 00 (x0 ) < 0 thì x0 là điểm . . . . . . . . . của hàm số. Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số y = x4 − 2x 2 + 6. 4 3 Quy tắc 2 Bước 1. Tìm . . . . . . . . . . . . . . . . . . ! Bước 2. Tìm . . . . . . . . . . . . f 0 (x). Tìm x để f 0 (x) . . . 0. Bước 3. Tìm đạo hàm cấp . . . rồi tính các giá trị f 00 (x). Bước 4. Kết luận về các điểm cực trị.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 14  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Cực trị của hàm số TOÁN 12 x3 Ví dụ 4. Cho hàm số y = − (m + 1)x 2 + mx − 2. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại 3 x = −1. 4 THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên đoạn [−2; 2] và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm A. x = 1. B. x = −2. C. x = 2. D. x = −1. Câu 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Giá trị cực đại của hàm số là A. −2. B. 0. C. −1. D. 1. y 4 2 12 x −2 −10 y −1 1 −1 x −2 Câu 3. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. y 2 −1 O 1 x Câu 4. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình. x +∞ −∞ 0 2 y0 − 0 +∞ + 0 − 5 y −∞ 1 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm A. x = 1. B. x = 5.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 15 C. x = 2. D. x = 0.  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Cực trị của hàm số TOÁN 12 Câu 5. Hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. x −∞ y0 1 + +∞ 2 − 0 + +∞ 3 y −∞ 0 Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. f(x) có 2 điểm cực trị. C. f(x) không có giá trị cực tiểu. B. f(x) có đúng 1 điểm cực trị. D. f(x) không có giá trị cực đại. Câu 6. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình. x y −∞ −2 0 + 0 0 − +∞ 2 + 0 3 − 0 3 y −∞ −∞ 1 Giá trị cực đại của hàm số bằng A. −2. B. −1. C. 2. D. 3. Câu 7. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. x +∞ −∞ 1 2 y0 − + − 0 2 y −∞ −∞ Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có giá trị cực đại bằng 1. C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 2. B. Hàm số có đúng 2 cực trị. D. Hàm số không xác định tại x = 1. Câu 8. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình. x y −∞ −1 0 + 0 0 +∞ 1 − + 0 2 − 3 y −∞ −1 −1 2 Hỏi hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Câu 9. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình. x −∞ y0 −1 1 − + +∞ 3 − + 0 +∞ 3 +∞ y −∞ Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) là A. 0. B. 2. −1 −∞ C. 3. D. 1. Câu 10. Tìm điểm cực tiểu của hàm số y = x − 3x − 9x + 2. A. x = 25. B. x = 3. C. x = 7. D. x = −1. 3 2 Câu 11. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x + 5 là A. M(1; 3). B. N(−1; 7). C. Q(3; 1). D. P(7; −1).  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 16  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Cực trị của hàm số TOÁN 12 x3 − x − 11. Giá trị cực tiểu của hàm số là 3 1 5 A. 2. B. − . C. − . D. −1. 3 3 Câu 13. Điểm cực đại của hàm số y = x 4 − 8x 2 − 3 là A. S(0; −3). B. x = 0. C. x = ±2. D. y = 0. x 2 Câu 14. Tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số y = + . 2 x A. N(−2; −2). B. x = −2. C. M(2; 2). D. x = 2. √ 2 Câu 15. Cho hàm số y = x + 12 − 3x . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x = −1. B. Hàm số đạt cực đại tại x = 1. C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1. D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1. Câu 12. Cho hàm số y = Câu 16. Cho hàm số y = −x 4 + 2x 2 + 3 có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu lần lượt là y1 , y2 . Khi đó y1 + y2 bằng A. 7. B. 1. C. 3. D. −1. Câu 17. Đồ thị hàm số y = −x 4 − x 2 + 3 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Câu 18. Hàm số y = x 3 + 3 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 0. C. 1. −2x + 1 có bao nhiêu điểm cực trị? Câu 19. Hàm số y = x−3 A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. D. 2. Câu 20. Đồ thị hàm số nào sau đây có ba điểm cực trị?
2 A. y = 2x 4 − 4x 2 + 3. B. y = x 2 + 2 . C. y = −x 4 − 3x 2 . D. y = x 3 − 6x 2 + 9x − 5. Câu 21. Hàm số nào sau đây không có cực trị? A. y = 2x 3 − 3x 2 . B. y = x 4 + 2. x+1 . D. y = −x 4 + 2x 2 + 1. C. y = x−2 Câu 22. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f 0 (x) = x(x − 1)2 (x + 1). Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 3. C. 2. D. 0. Câu 23. Cho hàm số f(x) có đạo hàm f 0 (x) = (x −1)(x −2)2 (x −3)3 (x −4)4 , ∀x ∈ R. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3. B. 5. C. 2. D. 4.
0 2 Câu 24. Cho hàm số f(x) có đạo hàm f (x) = (x + 1) x − x (x − 1), ∀x ∈ R. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 1. B. 3. C. 2. D. 0. Câu 25. Biết rằng đồ thị hàm số y = x 3 − 3x + 1 có hai điểm cực trị A, B. Khi đó đường thẳng AB có phương trình là A. y = 2x − 1. B. y = x − 2. C. y = −x + 2. D. y = 1 − 2x. Câu 26. Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 +(6m−4)x 2 +1−m có 3 điểm cực trị. 2 2 2 2 A. m ≥ . B. m ≤ . C. m > . D. m < . 3 3 3 3 3 2 Câu 27. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x − 3x + mx + 1 có 2 điểm cực trị. A. m ≤ 3. B. m > 3. C. m > −3. D. m < 3. Câu 28. Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y = có 2 điểm cực trị trái dấu. A. (−∞; 38). B. (−∞; 2). C. (−∞; 2]. x3 −6x 2 +(m −2)x +11 3 D. (2; 38). Câu 29. Hàm số y = x − (m + 2)x + m đạt cực tiểu tại x = 1 khi A. m = −1. B. m = 2. C. m = −2. D. m = 1. 3 Câu 30. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y = x 3 − mx 2 + (2m − 3)x − 3 đạt cực đại tại x = 1? A. m ≤ 3. B. m = 3. C. m < 3. D. m > 3.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 17  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Cực trị của hàm số TOÁN 12 L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK GT12). Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau a) y = 2x 3 + 3x 2 − 36x − 10 b) y = x 4 − 2x 2 + 1 Câu 2 (SGK GT12). Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x 2 + mx + 1 đạt cực đại tại x = 2. x+m d Vocabulary local maximum cực đại extrema cực trị local minimum cực tiểu value giá trị  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ interval khoảng closed interval đoạn 18 sign dấu parameter tham số  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số TOÁN 12 §3.GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Đặt vấn đề Theo yêu cầu của vua Hùng, Sơn Tinh và Thủy Tinh phải đến nông trại của Bạch Cốt Tinh để mang voi chín ngà, gà chín cựa, ngựa chín hồng mao và cùng xuất phát lúc 7h sáng đến chỗ của Mị Nương. Biết rằng chỗ ở của Bạch Cốt Tinh là trong rừng rậm, cách đường quốc lộ 30 km và vị trí của Mị Nương được mô tả như hình:  30 km A g Mị Nương 50km Sơn Tinh đi thẳng theo đường rừng đến chỗ Mị Nương, còn Thủy Tinh đi thẳng ra quốc lộ (điểm A), rồi theo đường quốc lộ đến chỗ của Mị Nương. Biết rằng vận tốc tối đa khi di chuyển trong rừng rậm là 30 km/h, trên đường quốc lộ là 50 km/h và đoạn quốc lộ trong hình là đường thẳng. a) Giữa Sơn Tinh và Thủy Tinh, ai sẽ đến nơi trước? b) Nếu cùng xuất phát như Sơn Tinh và Thủy Tinh, bạn sẽ chọn đường đi thế nào để đến trước họ? 1 ĐỊNH NGHĨA y D Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. 3 ○ Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu f(x) . . . M, ∀x ∈ D và ∃x0 ∈ D sao cho f (x0 ) . . . M. Kí hiệu M = max f(x). C D ○ Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu f(x) . . . m, ∀x ∈ D và ∃x0 ∈ D sao cho f (x0 ) . . . m. Kí hiệu m = min f(x). A 1 − D 3 2 O 1 2 x −1 B Quan sát đồ thị ta thấy max f(x) = . . ., min f(x) = . . . [−2;2] [−2;2] 2 CÁCH TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN 1 Định lý Mọi hàm số . . . . . . . . . trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. 2 Quy tắc ! Bước 1. Tìm các giá trị x ∈ (a; b) để f 0 (x) . . . . . . hoặc . . . . . . . . . . . . Bước 2. Tính . . . . . . của f(x) tại a, b và tại các điểm x vừa tìm được ở bước 1. Bước 3. Tìm số . . . nhất và số . . . nhất trong các số đã tính được ở bước 2.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 19  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số TOÁN 12 Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 3 − 6x 2 + 9x + 2 trên đoạn [−1; 2]. Nhận xét y max min Nếu f 0 (x) không . . . . . . . . . trên [a; b] thì f (x) đạt GTLN và GTNN tại các đầu mút của [a; b]. 2x + 1 Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên x−2 [2020; 2021]. 4 x O 1 f(x) đồng biến trên đoạn [1; 4]. Ví dụ 3. Trong tình huống đã nêu ở đầu bài, hãy tìm ra đường đi sao cho thời gian đến chỗ Mị Nương là ngắn nhất. 3 THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [−1; 3] và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [−1; 3]. Giá trị của M − m bằng A. 0. B. 1. C. 4. D. 5. y 3 1 2 −1 O 3x −2 h √ √ i Câu 2. Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn − 3; 5 và có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng? √ x −1 1 − 3 y0 + 0 − 0 1 √ 5 + √ 2 5 y 0  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 20 −2  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số TOÁN 12 A. B. min √ √ f(x) = 0. [− 3; 5] √ C. max √ √ f(x) = 2 5. [− 3; 5] max √ √ f(x) = 2. [− 3; 5] D. min √ √ f(x) = 2. [− 3; 5] Câu 3. Cho bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như hình. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn [−2; 3]. x +∞ −∞ −2 0 3 +∞ 2 y 1 ( A. M=3 m = −2 . −∞ ( M=0 B. m=3 . −1 ( M=2 C. m = −1 ( D. . M=1 m = −1 . Câu 4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 3 − 3x + 5 trên đoạn [2; 4] là A. 3. B. 7. C. 5. D. 0. Câu 5. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x 3 − 3x + 4 trên đoạn [−2; 2] là A. 10. B. 6. C. 24. D. 4. Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = 2x 3 + 3x 2 − 12x + 2 trên đoạn [−1; 2]. A. max f(x) = 10. B. max f(x) = 6. [−1;2] [−1;2] C. max f(x) = 11. D. max f(x) = 15. [−1;2] [−1;2] Câu 7. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x(5 − 2x)2 trên đoạn [0; 3] là 250 125 250 . B. 0. C. . D. . A. 3 27 27 Câu 8. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x 4 − 3x 2 + 2 trên đoạn [0; 3] là A. 57. B. 55. C. 56. D. 54. Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x 4 − 2x 2 trên đoạn [0; 1]. A. −1. B. 0. C. 1. D. −2. 2 x − 3x trên đoạn [0; 3] bằng Câu 10. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x+1 A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. 4 Câu 11. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 1 + trên đoạn [1; 3]. x 16 A. 4. B. . C. 5. D. 6. 3 √ Câu 12. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 3 + x 2 − 2x + 8 trên đoạn [−2; 2]. √ √ A. 7. B. 9. C. 3 + 2 2. D. 3 + 7. 3x − 1 Câu 13. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = trên đoạn [0; 2]. x−3 1 1 A. − . B. −5. C. 5. D. . 3 3 x+1 Câu 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên đoạn [2; 3]. x−1 A. −3. B. 3. C. 2. D. 4. Câu 15. Giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = x 3 − 3x + 5 trên đoạn [2; 4] là A. 0. B. 5. C. 7. D. 3. √ √ Câu 16. Tìm tập giá trị T của hàm y = x − 1 + 9 − x. h số h √ i √ i A. T = [1; 9]. B. T = 0; 2 2 . C. T = (1; 9). D. T = 2 2; 4 . Câu 17. √ Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 1 − x 2 . Khi đó M − m bằng A. 1. B. 2. C. 4. D. 3. Câu 18. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [−3; 2] và có bảng biến thiên như sau: x −3 −1 0 1 2 3 2 f(x) 2  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 21 0 1  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số TOÁN 12 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [−1; 2]. Tính M + m. A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. x+1 Câu 19. Cho hàm số y = . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ x−1 nhất của hàm số trên đoạn [0; 2]. Khi đó 4M − 2m bằng A. 10. B. 6. C. 5. D. 4. Câu 20. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 2 + 2x + 5 trên nửa khoảng [−4; +∞) là A. 13. B. −17. C. 4. D. −9. 4 Câu 21. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = x − 1 + trên nửa khoảng x−1 (1; +∞). A. m = 5. B. m = 4. C. m = 2. D. m = 3. Câu 22. Hàm số y = x 4 + 2x 2 − 3 A. không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. B. không có cực trị. C. có giá trị nhỏ nhất. D. có giá trị lớn nhất. Câu 23. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = −x 4 − 3x 2 + 2020 trên R. A. max f(x) = 2020. B. max f(x) = 2021. R R C. max f(x) = 2019. D. max f(x) = 2018. R R Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x 4 − 2(m − 1)x 2 + m − 2 đồng biến trên khoảng (1; 3). A. m ∈ (−∞; −5). B. m ∈ [5; 2). C. m ∈ (2; +∞). D. m ∈ (−∞; 2]. Câu 25. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển BC = 5 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B 7 km. Người gác hải đăng có thể chèo đò từ A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 4 km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6 km/h. Vị trí của điểm M phải cách B bao nhiêu km để người đó đến C nhanh nhất? A B A. 0 km. √ C. 2 5 km. M ™ C √ 14 + 5 5 B. km. 12 D. 7 km. Câu 26. Một trang trại mỗi ngày thu hoạch được một tấn rau. Mỗi ngày, nếu bán rau với giá 30000 đồng/kg thì hết sạch rau, nếu giá bán cứ tăng thêm 1000 đồng/kg thì số rau thừa lại tăng thêm 20 kg. Số rau thừa này được thu mua làm thức ăn chăn nuôi với giá 2000 đồng/kg. Hỏi số tiền bán rau nhiều nhất mà trang trại có thể thu được mỗi ngày là bao nhiêu? A. 32.420.000 đồng. B. 32.400.000 đồng. C. 34.400.000 đồng. D. 34.240.000 đồng. Câu 27. Một xưởng sản xuất cần làm 100 chiếc hộp inox bằng nhau, hình dạng là hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông (không có nắp), với thể tích là 108 dm3 /hộp. Giá của inox là 47.000 đồng/dm2 . Hãy tính toán sao cho tổng chi phí sản xuất 100 chiếc hộp là ít nhất, và số tiền tối thiểu đó là bao nhiêu (nếu chỉ tính số inox vừa đủ để sản xuất 100 chiếc hộp, không có phần dư thừa, cắt bỏ)? A. 1.692.000.000 đồng. B. 507.666.000 đồng. C. 1.015.200.000 đồng. D. 235.800.000 đồng. Câu 28. Một chất điểm chuyển động theo phương trình S = −2t 3 + 18t 2 + 1, trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét. Mất bao lâu kể từ lúc xuất phát để chất điểm đạt vận tốc lớn nhất? A. 5 giây. B. 6 giây. C. 3 giây. D. 1 giây.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 22  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số TOÁN 12 Câu 29. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm max |f(x)|. [−2;4] y 2 1 −2 −1 O 4 x 2 −1 −3 A. |f(0)|. L TỰ LUẬN B. 2. C. 3. D. 1. Câu 30. Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất x3 của biểu thức P = + x 2 + y 2 − x + 1. 3 17 115 7 A. . B. 5. C. . D. . 3 3 3 Câu 1 (SGK GT12). Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số 2−x trên [−3; −2] 1−x √ d) y = 5 − 4x trên [−1; 1] a) y = x 3 − 3x 2 − 9x + 35 trên [−4; 4] c) y = b) y = x 4 − 3x 2 + 2 trên [0; 3] Câu 2 (SGK GT12). Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Câu 3 (SGK GT12). Trong số các hình chữ nhật cùng có diện tích 48 m2 , hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất. d Vocabulary absolute maximum giá trị lớn nhất exist tồn tại undefined không xác định absolute minimum giá trị nhỏ nhất equation phương trình square hình vuông continuous liên tục root nghiệm rectangle hình chữ nhật  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 23  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §4. Đường tiệm cận TOÁN 12 §4.ĐƯỜNG TIỆM CẬN Đặt vấn đề Trong công viên xã Mỹ Thuận, người ta xây dựng một cầu trượt tựa vào một bức tường bê tông và được mô phỏng theo 1 đồ thị hàm số y = với mặt đất là trục hoành, bức tường là trục tung (như hình vẽ). x y x O Để nghiệm thu công trình, người ta thả một quả bóng để nó di chuyển dọc theo cầu trượt về phía +∞. Hỏi: a) Khi nào thì quả bóng sẽ chạm đất? b) Phải đặt quả bóng cách mặt đất bao nhiêu để nó chạm vào mặt tường? 1 ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn. Đường thẳng y = y0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f (x) nếu . . . . . . trong các điều kiện sau được thỏa mãn: ○ lim f(x) = . . . ○ lim f(x) = . . . x→+∞ x→−∞ Ví dụ 1. Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 2 2x + 3 . x−5 ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG Đường thẳng x = x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f (x) nếu . . . . . . trong các điều kiện sau được thỏa mãn: ○ lim+ f(x) = . . . . . . ○ lim− f(x) = . . . . . . ○ lim+ f(x) = . . . . . . ○ lim− f(x) = . . . . . . x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 Ví dụ 2. Đồ thị hàm số y =  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 24 x 4 − 12 √ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? (x 2 − 5x + 6) x − 1  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §4. Đường tiệm cận 3 TOÁN 12 THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM Câu 1. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = A. x = −4. B. y = 2. C. x = 4. Câu 2. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = A. y = 5. B. y = 0. C. x = 1. 2x − 3 là x+4 x−3 là x−1 3 D. y = − . 4 D. y = 1. 2x + 2 Câu 3. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số f(x) = 1 + . x−1 A. x = 1. B. y = 1. C. y = 2. D. y = 3. Câu 4. Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 1 − 4x ? 2x − 1 1 C. y = 4. D. y = −2. A. y = 2. B. y = . 2 Câu 5. Đồ thị hàm số f(x) = x 3 + 2x 2 + 3x + 2021 có bao nhiêu đường tiệm cận ngang? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 6. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có đường tiệm cận ngang? 3x 2 − 1 A. y = . B. y = x 4 − x 2 − 2. x+1 2−x C. y = . D. y = x 3 − x 2 + x − 3. x Câu 7. Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào dưới đây? 2x − 1 4x − 1 x+1 2x − 4 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . 1−x 2x + 5 2x + 1 2x + 3 3x − 5 Câu 8. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là x−2 5 A. x = 2. B. y = 2. C. x = 3. D. x = . 3 7 − 2x Câu 9. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là x−2 A. x = −3. B. x = 2. C. x = −2. D. x = 3. Câu 10. Đồ thị của hàm số nào sau đây nhận đường thẳng x = 2 làm tiệm cận đứng? 1 5x A. y = . B. y = . x+1 2−x 1 1 C. y = x − 2 + . D. y = . x+1 x+2 Câu 11. Đồ√thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng? 1 − x2 + 1 x2 − 1 A. y = . B. y = . 2019 x−1 2 x x C. y = 2 . D. y = . x + 2018 x + 12 x 2 − 2x + 3 Câu 12. Đồ thị hàm số y = có tiệm cận đứng là đường thẳng 2x − 4 A. y = 1. B. x = 1. C. x = 2. D. x = −1. 2x − 3 Câu 13. Đồ thị hàm số y = có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang x−1 lần lượt là A. x = 1 và y = 2. B. x = 2 và y = 1. C. x = 1 và y = −3. D. x = −1 và y = 2. x+1 √ có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận Câu 14. Đồ thị hàm số y = x− 2 ngang lần lượt √ là A. x = 2 và y = 1. B. x = 4 và y = 1. 1 C. x = 1 và y = − √ . D. x = 2 và y = 1. 2 4x + 4 Câu 15. Đồ thị hàm số y = 2 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? x + 2x + 1 A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 25  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §4. Đường tiệm cận TOÁN 12 Câu 16. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = A. 1. x 2 − 3x + 2 . x2 − 4 D. 3. B. 2. C. 0. 5x + 5 . Gọi m là số tiệm cận đứng, n là số tiệm cận Câu 17. Cho hàm số y = 2 x −1 ngang của đồ thị hàm số đã cho. Tính S = m + n. A. S = 2. B. S = 3. C. S = 1. D. S = 4. x+1 Câu 18. Đồ thị hàm số y = √ có bao nhiêu đường tiệm cận? x2 − 1 A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. √ x+1 có bao nhiêu đường tiệm cận? Câu 19. Đồ thị hàm số y = 2 x −1 A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. x 2 + 2x + 3 có bao nhiêu đường tiệm cận? Câu 20. Đồ thị hàm số y = √ x 4 − 3x 2 + 2 A. 4. B. 5. C. 3. D. 6. Câu 21. Đồ thị hàm số nào dưới đây không có đường tiệm cận? x 1 A. y = 2 . B. y = . x +1 x 2x + 1 4 2 C. y = x − 3x + 2. D. y = . 2−x ax + 1 Câu 22. Biết rằng đồ thị hàm số y = có đường tiệm cận đứng là x = 2 và bx − 2 đường tiệm cận ngang là y = 3. Tính giá trị của a + b. A. a + b = 1. B. a + b = 5. C. a + b = 4. D. a + b = 0. (m − 2n − 3)x + 5 nhận hai trục tọa độ làm Câu 23. Biết rằng đồ thị hàm số y = x−m−n 2 2 hai đường tiệm cận. Tính tổng S = m + n − 2. A. S = 2. B. S = 0. C. S = −1. D. S = 1. Câu 24. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào? y 2 −1 O x −1 2x − 1 1 − 2x 2x + 1 2x + 1 . B. y = . C. y = . D. y = . x+1 x+1 x−1 x+1 Câu 25. Đường cong trong hình sau là đồ thị của hàm số nào? y A. y = 1 O −1 A. y = −x 3 + 3x + 1. C. y =  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ x−1 . x+1 x 1 B. y = x+1 . x−1 D. y = x 3 − 3x − 1. 26  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §4. Đường tiệm cận TOÁN 12 Câu 26. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình. x +∞ −∞ 1 y0 − 0 − +∞ 2 y −∞ 2 Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng có phương trình A. x = 2. B. y = 2. C. x = 1. D. y = 1. Câu 27. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình. x +∞ −∞ 0 1 y0 − + +∞ 0 − 2 y −1 −2 −∞ Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 3. B. 4. C. 1. D. 2. Câu 28. Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = là A. (2; −3). B. (−2; 3). 3x − 7 x+2 C. (3; −2). D. (−3; 2). x−2 Câu 29. Tìm giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = . x+2 A. M(2; 1). B. N(−2; 2). C. P(−2; −2). D. Q(−2; 1). Câu 30. Đồ thị hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng x = 1 và đi qua điểm A(2; 5)? 2 − 3x x + 13 2x + 1 x+1 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . 1−x x+1 x−1 x−1 L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK GT12). Tìm các tiệm cận của hàm số 2x − 5 a) y = 5x − 2 b) y = x 2−x x2 + x + 1 c) y = 3 − 2x − 5x 2 √ x+1 d) y = √ x−1 d Vocabulary asymptote đường tiệm cận horizontal asymptote tiệm cận ngang vertical asymptote tiệm cận đứng  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ distance khoảng cách limit giới hạn infinity vô cực 27 line đường thẳng curve đường cong condition điều kiện  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số TOÁN 12 §5.KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Đặt vấn đề Theo em, khảo sát một hàm số là làm những việc gì? ○␣ Tìm tập xác định ○␣ Xét tính đơn điệu ○␣ Tìm đường tiệm cận ○␣ Xét tính chẵn lẻ ○␣ Tìm cực trị ○␣ Tìm đạo hàm 1 SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ Bước 1. Tìm . . . . . . . . . . . . . . . . . . ! Bước 2. Xét sự . . . . . . . . . . . . của hàm số Bước 3. Tìm . . . . . . . . . . . . . . . (nếu có) Bước 4. Tìm các đường . . . . . . . . . . . . (nếu có) Bước 5. Vẽ . . . . . . . . . Ví dụ 1. Khảo sát các hàm số y = 2x − 3 và y = 6 − x − x 2 . 2 KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM THƯỜNG GẶP 1 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) • Tập xác định: D = . . . • Đạo hàm: y 0 = . . . . . . . . . . . . . . . b2 − 3ac . . . 0 và a . . . 0 b2 − 3ac . . . 0 và a . . . 0 y y 3 O −1 −1 1 −1 x O y = x 3 − 3x + 1  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ y=− 28 x 1 x3 x2 + + 2x 3 2  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số TOÁN 12 b2 − 3ac . . . 0 và a . . . 0 b2 − 3ac . . . 0 và a . . . 0 y y 1 O x 1 2 x O y= x 2 − x2 + x + 3 3 3 y = 2 − x3 b2 − 3ac . . . 0 và a . . . 0 b2 − 3ac . . . 0 và a . . . 0 y y O x x O y = 1 − x − x3 y = x 3 + x 2 + 2x − 1 2 Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0) • Tập xác định: D = . . . • Đạo hàm: y 0 = . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . a, b . . . . . . dấu và a . . . 0 a, b . . . . . . dấu và a . . . 0 y y 1 O x x O −3 y = −2x 4 − x 2 + 1 y = x 4 + 2x 2 − 3 a, b . . . . . . dấu và a . . . 0 a, b . . . . . . dấu và a . . . 0 y √ − 2 y 2 √ O 2 −1 x O 1 −1 1 x −3 y= x4 − 2x 2 − 1 2 y = −x 4 + 2x 2 + 1 3 Hàm số y =  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ ax + b (c 6= 0, ad − bc 6= 0) cx + d   d • Tập xác định: D = . . . c   d • Tiệm cận đứng: . . . . . . . . . c • Đạo hàm: y 0 = . . . . . . . . . • Tiệm cận ngang: . . . . . . . . . 29  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số TOÁN 12 y0 . . . 0 y0 . . . 0 y y 2 O y= −1 x −1 O −1 2x − 1 x+1 3 1 y= x 1 x+1 x−1 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị (C1 ) và hàm số y = g(x) có đồ thị (C2 ). Để tìm hoành độ giao điểm của (C1 ) và (C2 ), ta giải phương trình . . . . . . . . . . . . y 2 Ví dụ 2. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng y = x − 1 và parabol y = x 2 − x − 1 1 −1 O 1 2 x −1 Ví dụ 3. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình f(x) = m. y 1 O x 8 − 5 −4 4 THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM Câu 1. Đồ thị trong hình vẽ bên là của hàm số x2 x4 x4 − − 1. B. y = − x 2 − 1. A. y = 4 2 4 x4 x4 C. y = − 2x 2 − 1. D. y = − + x 2 − 1. 4 4 −2 y O 2 −1 x −5 Câu 2. Đồ thị trong hình vẽ bên là của hàm số A. y = −x 2 + x − 4. B. y = x 4 − 3x 2 − 4. 3 2 C. y = −x + 2x + 4. D. y = −x 4 + 3x 2 + 4. y 4 −2  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 30 O 2 x  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số TOÁN 12 Câu 3. Đồ thị trong hình vẽ bên là của hàm số x3 A. y = − + x 2 + 1. B. y = x 3 + 3x 2 + 1. 4 C. y = −x 3 + 3x 2 + 1. D. y = x 3 − 3x 2 + 1. 1 y −1 O 2 x −3 Câu 4. Đường cong như hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. y = x 3 − 3x − 2. B. y = −x 3 + 3x + 2. 3 −1 C. y = x − 3x + 2. D. y = −x 3 + 3x − 2. y −1 O 1 x −2 −4 Câu 5. Đồ thị trong hình vẽ bên là của hàm số A. y = 2x 3 + 1. B. y = x 3 + x + 1. 3 C. y = x + 1. D. y = −x 3 + 2x + 1. y 2 1 −1 O Câu 6. Hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ là hàm số nào sau đây? 2x + 1 2x − 1 A. y = . B. y = . x−1 x−1 2x − 1 3x + 1 C. y = . D. y = . x+1 2x + 2 1 x y 2 −1 O −1 Câu 7. Đồ thị như hình bên là của hàm số nào sau đây? 2x + 1 x+2 A. y = . B. y = . x−1 x−2 x+2 x−1 C. y = . D. y = . x+1 x+1 x y 1 −2 O −1 Câu 8. Đồ thị nào sau đây không thể là đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c với a, b, c là các số thực và a 6= 0? y y y y O O x 2 x O x x O x Hình 1  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ Hình 2 Hình 3 31 Hình 4  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số TOÁN 12 A. Hình 1. B. Hình 2. y x O C. Hình 3. D. Hình 4. Câu 9. Đồ thị hàm số y = −x − 3x + 2 là hình nào sau đây? y y y 3 2 x O O x O Hình 1 Hình 2 x Hình 3 Hình 4 A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. x+1 Câu 10. Đồ thị hàm số y = là hình nào sau đây? 1−x y y y D. Hình 4. y O O x x O O x Hình 1 x Hình 2 Hình 3 A. Hình 1. B. Hình 2. Hình 4 C. Hình 3. Câu 11. Bảng biến thiên trong hình bên là của hàm số nào sau đây? A. y = x 3 − 5x 2 + x + 6. B. y = x 3 − 6x 2 + 9x − 1. C. y = −x 3 + 6x 2 − 9x + 7. D. y = x 4 + x 2 − 3. x y0 D. Hình 4. −∞ y +∞ 1 3 + 0 − 0 + +∞ 3 −∞ −1 Câu 12. Đồ thị như hình bên là của hàm số nào sau đây? A. y = x 4 − 2x 2 + 2.
2 B. y = 2 x 2 − 1 . C. y = |x|3 − 3|x| + 2. D. y = x 2 − 2|x|2 + 2. y 2 O −1 Câu 13. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số y = |f (|x|)| có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? A. 9. B. 7. C. 6. D. 8. x 1 y 3 1 −2 1 −1 O 2 x −1 Câu 14. Cho hàm số y = (x − 2) x − 5x + 6 có đồ thị (C ). Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. (C ) không cắt trục hoành. B. (C ) cắt trục hoành tại 3 điểm. C. (C ) cắt trục hoành tại 1 điểm. D. (C ) cắt trục hoành tại 2 điểm. 2
Câu 15. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = −2x 3 −3x 2 +1 với trục hoành là A. 1. B. 0. C. 3. D. 2.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 32  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số TOÁN 12 Câu 16. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 4 − 5x 2 + 4 với trục hoành là A. 3. B. 2. C. 4. D. 1. 2x − 1 Câu 17. Tìm tọa độ giao điểm M của đồ thị hàm số y = với trục tung. x+ 2      1 1 1 A. M ;0 . B. M (0; 2). C. M 0; − . D. M − ; 0 . 2 2 2 Câu 18. Đồ thị của hai hàm số y = −x 3 + 3x 2 + 2x − 1 và y = 3x 2 − 2x − 1 có tất cả bao nhiêu điểm chung? A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Câu 19. Số giao điểm của đường cong y = x 3 − 2x 2 + 2x + 1 và đường thẳng y = 1 − x bằng A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Câu 20. Gọi M và N là giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x 4 − 2x 2 + 2 và y = 4 − x 2 . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là A. (1; 0). B. (0; 2). C. (2; 0). D. (0; 1). 2x + 4 . Câu 21. Gọi M và N là giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x + 1 và y = x−1 Tìm hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN. 5 5 B. xI = 2. C. xI = . D. xI = 1. A. xI = − . 2 2 Câu 22. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau: x +∞ −∞ −1 0 1 y0 + 0 − 0 + 3 0 − 3 y −∞ −1 −∞ Đồ thị của f(x) cắt đường thẳng y = 2021 tại bao nhiêu điểm? A. 2. B. 1. C. 0. D. 4. Câu 23. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau: x +∞ −∞ −2 0 y0 + − 0 0 + +∞ 2 y −∞ −2 Tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x) = m có đúng một nghiệm là A. (−∞; −2) ∪ (2; +∞). B. (−∞; −2] ∪ [2; +∞). C. (−2; 2). D. [−2; 2]. Câu 24. Cho hàm số y = f(x) xác định trên R {0}, liên tục trên từng khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình. x +∞ −∞ 0 1 y0 − + +∞ 0 − 2 y −1 −∞ −∞ Phương trình f(x) = m với m ∈ (−1; 2) có bao nhiêu nghiệm? A. 3. B. 1. C. 0. D. 2. Câu 25. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau: x +∞ −∞ −1 0 1 y0 − 0 +∞ + 0 − 0 + +∞ 0 y −1  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 33 −1  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số TOÁN 12 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x) − 1 = m có đúng 2 nghiệm. A. −2 < m < −1. B. m = −2 hoặc m ≥ −1. C. m = −1 hoặc m > 0. D. m = −2 hoặc m > −1. Câu 26. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x 3 − 12x + m − 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. A. m ∈ [−14; 18]. B.  m ∈ (−14; 18). m < −14 C. m ∈ (−18; 14). D.  . m > 18 Câu 27. Tìm m để đường thẳng y = x − m cắt đồ thị hàm số y = điểm phân biệt. A. m < −1. C. m < −5 hoặc m > −1. L TỰ LUẬN 2x + 1 tại 2 x+1 B. m > −5. D. −5 < m < −1. Câu 28. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2 − x + 3 tại điểm M(1; 0) là A. y = 1 − x. B. y = −4x − 4. C. y = −4x + 4. D. y = 1 − 4x. 3x − 1 tại Câu 29. Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x+2 điểm có hoành độ bằng −1? A. y = 6x + 1. B. y = 5x + 1. C. y = −4x. D. y = 7x + 3. x−1 , có bao nhiêu điểm mà tiếp tuyến tại đó với Câu 30. Trên đồ thị (C ) : y = x−2 (C ) song song với đường thẳng x + y = 1? A. 2. B. 4. C. 1. D. 0. Câu 1 (SGK GT12). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: i) y = x+3 x−1 c) y = x + x + 9x x4 3 g) y = + x2 − 2 2 j) y = 1 − 2x 2x − 4 d) y = −2x 3 + 5 h) y = −2x 2 − x 4 + 3 k) y = −x + 2 2x + 1 a) y = 2 + 3x − x 3 e) y = −x 4 + 8x 2 − 1 b) y = x 3 + 4x 2 + 4x f) y = x 4 − 2x 2 + 2 3 2 Câu 2. Tìm giao điểm của các đồ thị hàm số sau với trục hoành. a) y = x 3 − 3x 2 + 5 b) y = −2x 3 + 3x 2 − 2 c) y = −x 4 + 2x 2 + 1 Câu 3 (SGK GT12). Cho hàm số y = x 3 + (m + 3)x 2 + 1 − m (m là tham số) có đồ thị là (Cm ). a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x = −1 b) Xác định m để đồ thị (Cm ) cắt trục hoành tại x = −2. Câu 4 (SGK GT12). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số f(x) = −x 3 + 3x 2 + 9x + 2. b) Giải bất phương trình f 0 (x − 1) > 0 c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ x0 , biết rằng f 00 (x0 ) = −6.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 34  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số TOÁN 12 d Vocabulary even function hàm số chẵn cubic function hàm số bậc 3 odd function hàm số lẻ biquadratic function hàm số trùng phương constant function hàm hằng linear rational function hàm phân tuyến tính linear function hàm số tuyến tính tangent line tiếp tuyến quadratic function hàm số bậc 2  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ absolute value giá trị tuyệt đối 35  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Chương 2. Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit TOÁN 12 Chương 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT §1.LŨY THỪA 1 KHÁI NIỆM LŨY THỪA 1 Lũy thừa với số mũ nguyên Cho n ∈ N∗ , a ∈ R. Lũy thừa bậc n của a là . . . . . . của . . . thừa số a. an = |a · a · a{z· · · a · a} n số a Số a gọi là . . . . . . . . ., số n gọi là . . . . . . . . . Chú ý: Với a 6= 0 ta có • a−n = . . . . . . • a0 = . . . Ví dụ 1. Tính (1, 5) ,  4 2 − 3 3   √ − 3 5. , 2 Phương trình xn = b ○ Với n lẻ: phương trình có . . . . . . . . . . . . . . . với mọi b. ○ Với n chẵn: – phương trình vô nghiệm nếu b . . . . . . – phương trình có 1 nghiệm . . . . . . . . . nếu b . . . . . . – phương trình có 2 nghiệm . . . . . . . . . nếu b . . . . . . Ví dụ 2. Phương trình nào dưới đây có nghiệm duy nhất khác 0? A. x 5 = 0. B. x 6 = 0. C. x 6 = 1. D. x 5 = 1. 3 Căn bậc n Cho số b ∈ R và số n ∈ N∗ (n ≥ 2). Nếu an = b thì a được gọi là . . . . . . . . . . . . của b. ○ Với n lẻ: có . . . . . . . . . . . . . . . căn bậc n của b ○ Với n chẵn: – Nếu b < 0 thì . . . . . . . . . . . . . . . – Nếu b = 0 thì . . . . . . . . . . . . . . . – Nếu b > 0 thì . . . . . . . . . . . . . . .  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 36  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Lũy thừa TOÁN 12 √ n ! • a· √ n
m √ n a = …… ( √ a nếu n . . . . . . n n • a = |a| nếu n . . . . . . b = …… • √ n a = …… • √ n b Ví dụ 3. Cho số a > 0. Rút gọn biểu thức A = √ a3 · √ 3 a4 · √ 4 a5 . 4 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ Cho số thực a > 0 và số hữu tỉ r = m (m ∈ Z, n ∈ N, n ≥ 2). Khi đó n m ar = a n = . . . . . . p √ 5 Ví dụ 4. Cho x là số thực dương và P = 3 x 2 x . Biết rằng P được biểu diễn dưới m m dạng x n , trong đó là phân số tối giản và m, n ∈ N∗ . Tính m + n. n 5 Lũy thừa với số mũ vô tỉ Cho số thực a > 0 và số vô tỉ α. Khi đó, luôn có một dãy số hữu tỉ (rn ) sao cho lim rn = α và aα = lim arn = . . . . . . 2 TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC Cho a, b > 0 là những số thực; m, n là những số thực tùy ý. ! • (ab)m = . . . . . . • am · an = . . . . . . am • n = …… a • (am )n = . . . . . .  a m • b = ……   4 2 1 − a 3 a 3 + a 3  Ví dụ 5. Rút gọn biểu thức F =  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 37   1 3 1 − a 4 a 4 + a 4   Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Lũy thừa TOÁN 12 ○ Với a > 1: am > an ⇔ m . . . n ○ Với a < 1: am > an ⇔ m . . . n Ví dụ 6. So sánh các cặp số sau: √ a) 3 7 √ 8 3 − 1 và 3−1 b) √ !−2020 2 và 2 √ !−2021 2 2 THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho số dương a và m, n ∈ R. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. am · an = am−n . B. am · an = (am )n . C. am · an = am+n . D. am · an = am·n . Câu 2. Cho số thực dương a và hai số m, n ∈ R. Mệnh đề nào sau đây đúng? am A. am+n = (am )n . B. am+n = n . a C. am+n = am · an . D. am+n = am + n. Câu 3. Với α là một số thực bất kỳ, mệnh đề nào sau đây √sai?α α √ √ A. 10α = 10 2 . 10α = 10 . B. C. (10α )2 = 100α . D. (10α )2 = 10α .  √ 2017 √ 2018  · 1− 3 4+2 3 Câu 4. Tính giá trị của biểu thức P = .  √ 2019 1+ 3 A. P = −22017 . 2 B. P = −1. C. P = −22019 . Câu 5. Cho biết 9x −122 = 0, tính giá trị của biểu thức P = A. 31. B. 23. A. a 3 . B. a 3 . D. P = 22018 . 1 3−x−1 −8·9 x−1 2 +19. C. 22. D. 15. √ Câu 6. Cho a là số thực dương. Biểu thức a2 · 3 a được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là 4 C. a 3 . 7 D. a 3 . 5 2 Câu 7. Kết quả viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ của biểu thức F = r q p √ a a a a với a > 0 là 11 a 16 A. F = a 4 . B. F = a 8 . C. F = a 2 . D. F = a 4 .  √ √7+3 a 7−3 √ . Câu 8. Cho a là một số thực dương. Rút gọn biểu thức P = √ a 11−4 · a5− 11 √ 1 A. P = 3 . B. P = a3 . C. P = a2 . D. P = a2 7−1 . a √ 11 3 m a7 · a 3 √ Câu 9. Rút gọn biểu thức A = với a > 0 ta được kết quả A = a n trong 7 a4 · a−5 m ∗ đó m, n ∈ N và là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng? n 2 2 A. m − n = 312. B. m2 + n2 = 543. 2 2 C. m − n = −312. D. m2 + n2 = 409. 2√ Câu 10. Cho a là một số dương, biểu thức a 3 a dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là A. a 3 . B. a 6 . C. a 6 . 1 3 4  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 5 38 1 7 3 D. a 7 . 6  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Lũy thừa TOÁN 12 r q p √ 3 3 Câu 11. Cho a > 0. Tìm x biết a a 3 a 3 a = ax . 4 A. x = . 9 B. x = C. x = 1 . 81 √ √ a Câu 12. Rút gọn biểu thức P =  A. P = a. 3+1 √ a D. x = 40 . 81 · a2− 3 √2+2 với a > 0. 2−2 B. P = a3 . C. P = a4 . D. P = a5 . 4 a3b Câu 13. A. P C. P Câu 14. 13 . 27 4 + ab 3 √ ta được Cho a, b là các số thực dương. Rút gọn P = √ 3 a+ 3b = ab. B. P = a + b. = a4 b + ab4 . D. P = a2 b + ab2 . 1 √ Rút gọn biểu thức P = x 2 · 8 x với x > 0. A. P = x 16 . B. P = x 8 . C. P = x 16 . D. P = x 4 . 2 √ Câu 15. Cho a là số thực dương. Biểu thức a 3 · a viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là 1 7 11 6 A. a 3 . B. a 6 . C. a 6 . D. a 5 . √  √  3+1 a 3−1 √ √ Câu 16. Rút gọn biểu thức P = (0 < a 6= 1). a4− 5 · a 5−2 A. P = 2. B. P = a2 . C. P = 1. D. P = a. 5 5 1 Câu 17. Phát biểu nào sau đây sai?  2 1 . B. (0, 5) > 2  π 2  π 3 D. < . 2 2 A. e > e . √ 2 √ 3 C. 3 < 3 . 3 2 3 Câu 18. Cho a, b > 0 thỏa mãn a 2 > a 3 và b 3 > b 4 . Khi đó khẳng định nào đúng? A. 0 < a < 1, 0 < b < 1. B. 0 < a < 1, b > 1. C. a > 1, 0 < b < 1. D. a > 1, b > 1. √ m √ n Câu 19. Cho < 2−1 2 − 1 . Khi đó A. m = n. B. m < n. C. m > n. D. m 6= n. 1 1 2 3 Câu 20. Cho biết (x − 2)− 3 > (x − 2)− 6 , khẳng định nào sau đây đúng? A. 2 < x < 3. B. 0 < x < 1. C. x > 2. D. x > 1. 1 L TỰ LUẬN 1 Câu 1 (SGK GT12). Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: 1 a) a 3 · √ a 1 1 b) b 2 · b 3 · √ 6 4 b c) a 3 : √ 3 a √ 3 d) 1 b : b6 d Vocabulary power lũy thừa factor thừa số  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ base cơ số integer số nguyên exponent số mũ rational số hữu tỉ 39 irrational số vô tỉ real số thực  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Hàm số lũy thừa TOÁN 12 §2.HÀM SỐ LŨY THỪA 1 KHÁI NIỆM Cho số thực α. Hàm số y = . . . . . . được gọi là hàm số lũy thừa. Chú ý: Tập xác định của hàm số lũy thừa x α tùy thuộc vào giá trị của . . . ○ Nếu α ∈ Z+ : tập xác định là . . . . . . . . . ○ Nếu α ∈ Z− : tập xác định là . . . . . . . . . ○ Nếu α ∈/ Z: tập xác định là . . . . . . . . . Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) y = (2x − 1)3 2 b) y = (2x − 1)−3 1 c) y = (2x − 1) 3 d) y = √ 3 2x − 1 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA Hàm số lũy thừa y = x α (α ∈ R) có đạo hàm với mọi x . . . . . . 0 (x α ) = . . . . . . . . . Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 3 √ b) y = x π 2 a) y = x 3 c) y = (1 − 3x) 2 KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số y = x α trên khoảng . . . . . . . . . α y = xα, α < 0 y=x ,α>0 Sự biến thiên Giới hạn đặc biệt Tiệm cận y y α>1 α=1 α<1 1 O 1 1 x O α<0 1 x Đồ thị  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 40  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Hàm số lũy thừa TOÁN 12 Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x −3 . 4 THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tập xác định của hàm số y = (x − 2)−3 là A. R {2}. B. [2; +∞). C. R. D. (2; +∞). Câu 2. Tập xác định của hàm số y = (2 − x)−3 là A. (−∞; 2]. B. R {2}. C. (−∞; 2). D. (2; +∞).
−4 là Câu 3. Tập xác định của hàm số y = x 2 − 1 A. R. B. (−1; 1). C. R {−1; 1}. D. (−∞; −1) ∪ (1; +∞).
π Câu 4. Tập xác định của hàm số y = x 2 − 3x + 2 là A. R {1; 2}. B. (1; 2). C. (−∞; 1] ∪ [2; +∞). D. (−∞; 1) ∪ (2; +∞).
π Câu 5. Tập xác định của hàm số y = x 2 − x + 1 là A. R {1}. B. R. C. ∅. D. (−∞; −1) ∪ (1; +∞).
− 1 Câu 6. Tập xác định của hàm số y = x 2 − 5x + 6 3 là A. (−∞; 2) ∪ (3; +∞). B. R {2; 3}. C. (2; 3). D. R.
− 3 Câu 7. Tập xác định của hàm số y = 3x − x 2 2 là A. R. B. (0; 3). C. (−∞; 0) ∪ (3; +∞). D. R {0; 3}.
√2019 Câu 8. Tìm tập xác định D của hàm số y = 5 + 4x − x 2 . A. D = R {−1; 5}. B. D = (−∞; −1) ∪ (5; +∞). C. D = (1; 5). D. D = (−1; 5).
1 Câu 9. Tập xác định của hàm số y = x 2 − 3x − 4 3 là A. (−∞; −1) ∪ (4; +∞). B. R {−1; 4}. C. (−1; 4). D. R.
e 2 Câu 10. Tập xác định của hàm số y = x − 4x là A. R. B. R {0; 4}. C. (−∞; 0) ∪ (4; +∞). D. (0; 4). √ Câu 11. Tìm tập xác định của hàm số y = (x − 2) 3 . A. D = R 2. B. D = (2; +∞). C. D = (−∞; 2). D. D = R. Câu 12. Tìm tập xác định D của hàm số y = (x − 5) . A. D = [5; +∞). B. D = (5; +∞). C. D = (−∞; 5). D. D = R {5}. Câu 13. Tìm tập xác định D của hàm số y = (x − A. D = (0; +∞). B. D = [1; +∞). C. D = (1; +∞). D. D = R. √ 3 1 1) 2 . √ 2 Câu 14. Tìm tập xác định D của hàm số y = (1 − x) . A. D = (1; +∞). B. D = R {1}. C. D = (−∞; 1). D. D = R.
1 Câu 15. Tìm đạo hàm của hàm số y = x 2 − x + 1 3 . 2x − 1 1 A. y 0 = q . B. y 0 = q . 3 3 2 2 3 (x 2 − x + 1) (x 2 − x + 1) 2x − 1 2x − 1 C. y 0 = √ . D. y 0 = q . 3 2 3 2 3 x −x+1 3 (x 2 − x + 1)  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 41  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Hàm số lũy thừa TOÁN 12 Câu 16. Cho hàm số f(x) = (2x − 3) 6 . Tính f 0 (2). 5 5 5 5 A. . B. . C. − . D. − . 6 3 6 3 3
Câu 17. Cho hàm số f(x) = 2x 2 + 3x + 1 2 . Khi đó giá trị của f(1) bằng 2 √ 3 D. 6 3 . A. 8. B. . C. 6 6. 2 5 Câu 18. Cho hàm số y = x − 4 . Khẳng định nào sau đây sai? A. Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận đứng. B. Đồ thị hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. C. Đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ O(0; 0). D. Nghịch biến trên (0; +∞). 3 Câu 19. Cho các số thực α và β. Đồ thị các hàm số y = x α và y = x β trên khoảng (0; +∞) như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 0 < β < α < 1. B. α < 0 < β < 1. C. 0 < β < 1 < α. D. β < 0 < 1 < α. y y = xα y = xβ 1 Câu 20. √ 1 Cho ba hàm số y = x 3 , y = x 5 , y = x −2 . Khi đó đồ thị của ba hàm số đó lần lượt là A. (C3 ) , (C2 ) , (C1 ). B. (C2 ) , (C3 ) , (C1 ). C. (C2 ) , (C1 ) , (C3 ). D. (C1 ) , (C3 ) , (C2 ). x 1 O y (C2 ) (C3 ) 1 (C1 ) O x 1 L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK GT12). Tìm tập xác định của các hàm số a) y = (1 − x)− 3 1 b) y = 2 − x 2
−2 c) y = x 2 − 1
3 5
√ 2 d) y = x 2 − x − 2 Câu 2 (SGK GT12). Tìm đạo hàm của các hàm số a) y = 2x 2 − x + 1
1 3  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ b) y = 4 − x − x 2 π
1 c) y = (3x + 1) 2 4 42 √ d) y = (5 − x) 3  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Lôgarit TOÁN 12 §3.LÔGARIT Đặt vấn đề "Ngày 6.7, nhiều khu vực tại miền nam bang California của Mỹ tiếp tục rung chuyển vì trận động đất thứ hai liên tiếp trong chưa đầy 48 giờ. Cơ quan Khảo sát địa chất Mỹ (USGS) cho biết động đất mạnh 7, 1 độ Richter với tâm chấn ở độ sâu 7 km nằm gần TP.Ridgecrest, cách TP.Los Angeles khoảng 200 km về phía đông bắc. Giới chuyên gia cho biết đây là trận động đất chính, có biên độ rung chấn gấp . . . . . . lần so với trận tiền chấn 6, 4 độ Richter hôm 4.7 (giờ địa phương) cũng gần Ridgecrest". Thanh Niên ngày 7/7/2019 Hãy điền con số còn thiếu trong dấu ". . .", biết rằng cường độ một trận động đất M độ Richter được cho bởi công thức M = log A − log A0 , với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là biên độ chuẩn (A0 là hằng số). 1 KHÁI NIỆM LÔGARIT 1 Định nghĩa Cho hai số . . . . . . a, b với a . . . . . .. Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . và kí hiệu là . . . . . .. α = . . . . . . ⇔ aα = b Số a gọi là . . . . . . . . ., số n gọi là . . . . . . . . . Chú ý: Không có lôgarit của số . . . . . . và số 0. Ví dụ 1. Tính log3 81 và log 1 1024. 2 2 Tính chất Cho hai số . . . . . . a, b với a . . . . . .. Ta có các tính chất sau: ! • loga 1 = . . . • aloga b = . . . • loga a = . . . • loga ab = . . . Ví dụ 2. Tính 5log5 2021 và 81log3 2 . 2 QUY TẮC TÍNH LÔGARIT Cho ba số . . . . . . a, b, c với a . . . . . .. Ta có • loga (b · c) = . . . . . . . . . . . . . . . ! • loga b = ............... c • loga bα = . . . . . . . . ., ∀α  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 43 • loga b = logc . . . (c 6= 1) logc . . . • loga b = 1 (b 6= 1) ...... • logaα b = . . . . . . loga b (α 6= 0)  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Lôgarit TOÁN 12 Ví dụ 3. Tính: a) A = 2 log 1 2 1 3 + log 1 − log 1 2 3 2 8 2 b) C = log5 Ví dụ 4. Chứng tỏ rằng biểu thức S = logx x 3 · 3 √ x· √ 3 25
√ 5 x không phụ thuộc x. LÔGARIT THẬP PHÂN VÀ LÔGARIT TỰ NHIÊN 1 Lôgarit thập phân Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số . . .. log b = . . . . . . Ví dụ 5. Tính log 1000 và log 0, 01. 2 Lôgarit tự nhiên Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số . . . ln b = . . . . . . Ví dụ 6. Dùng máy tính cầm tay tính ln 2, ln 3 và ln 1. 7/2 được xem là ngày của số e 4 THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM Câu 1. Với a 6= 1 là số thực dương tùy ý, giá trị của loga3 a bằng 1 1 A. 3. B. − . C. . D. −3. 3 3 Câu 2. Cho a 6= 1 là số thực dương tùy ý, tính P = loga2 a. 1 1 A. P = 2. B. P = − . C. P = . D. P = −2. 2 2 Câu 3. Với a là số thực dương bất kì, khẳng định nào sau đây đúng?

1 A. log a4 = 4 log a. B. log a4 = log a. 4 1 C. log(4a) = 4 log a. D. log(4a) = log a. 4 Câu 4. Cho a, b > 0 với a, b 6= 1 và x, y là hai số thực dương. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? A. loga (xy) = loga x + loga y. B. logb a · loga x = logb x. 1 1 x C. loga = . D. loga = loga x − loga y. x loga x y Câu 5. Cho số thực 0 < a 6= 1 và hai số thực dương x, y. Khẳng định nào sau đây là đúng? x x loga x A. loga = loga x − loga y. B. loga = . y y loga y x x D. loga = loga (x − y). C. loga = loga x + loga y. y y  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 44  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Lôgarit TOÁN 12 Câu 6. Cho a,
b > 0. Khẳng định nào sau đây đúng? A. log ab2
= log a + 2 log b. B. log(ab) = log a · log b. C. log ab2 = 2 log a + 2 log b. D. log(ab) = log a − log b. Câu 7. Với a là số thực dương bất kì và a 6= 1, mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 . B. log a5 = ln a. A. loga5 e = 5 ln a 5 5 C. log a5 = . D. loga5 e = 5 loga e. ln a Câu 8. Với mọi số thực dương a, b, x, y sao cho a, b 6= 1, mệnh đề nào sau đây không đúng? 1 1 A. loga = . B. loga (xy) = loga x + loga y. x loga x x C. logb a · loga x = logb x. D. loga = loga x − loga y. y Câu 9. Cho a, b là các số thực dương, trong đó a 6= 1. Đẳng thức nào sau đây đúng?  3  3 a a = 3 − 2 loga b. B. loga √ = 3 + 2 loga b. A. loga √ b  3  3b  a a 1 1 C. loga √ D. loga √ = 3 − loga b. = 3 + loga b. 2 2 b b Câu 10. Với số thực dương a tùy ý,
ta có ln(6a) − ln(2a) bằng A. ln(4a). B. ln 12a2 . C. 4 ln a. D. ln 3.
Câu 11. Với a, b là hai số thực khác 0 tùy ý. Khi đó ln a2 b4 bằng A. 2 ln a + 4 ln b. B. 4 ln a + 2 ln b. C. 2 ln |a| + 4 ln |b|. D. 4 (ln |a| + ln |b|). Câu 12. Cho a > 0 và a 6= 1. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: loga x x (x, y > 0). A. loga x n = n loga x (x > 0). B. loga = y loga y C. loga x có nghĩa với mọi x. D. loga 1 = a, loga a = 1. Câu 13. Cho 0 < a 6= 1 và một số thực dương x. Đẳng thức nào dưới đây sai? ln x A. aloga x = a. B. loga x = . ln a 3 loga x √ C. a = x. D. log a x = 6 loga x. a Câu 14. Với a, b là hai số dương tùy ý. Khi đó ln bằng b ln a A. . B. ln a + ln b. C. ln a − ln b. D. ln a · ln b. ln b Câu 15. Cho a là số thực dương khác 1, mệnh đề nào dưới đây sai? 1 A. log a · loga 10 = 1. B. log a = . log 10 1 C. ln a = ln 10 · log a. D. log a = . loga 10 Câu 16. Cho x, y là các số thực dương. Mệnh đề nào sau đây sai? A. log x + log y = log(xy). B. log(x + y) = log x + log y. 1 x √ C. log xy = (log x + log y). D. log = log x − log y. 2 y  3 a Câu 17. Cho a là số thực dương khác 4. Tính I = log a . 64 4 1 1 B. I = −3. C. I = 3. D. I = . A. I = − . 3 3  √  Câu 18. Cho a, b là các số dương (a 6= 1). Khi đó log√a a b bằng 1 1 1 A. 2 + 2 loga b. B. + loga b. C. + loga b. D. 2 + loga b. 2 2 2
Câu 19. Cho a, b là hai số thực dương tùy ý, khi đó ln e2 a7 b5 bằng A. 2 + 5 ln a + 7 ln b. B. 7 ln a + 5 ln b. C. 2 + 7 ln a + 5 ln b. D. 5 ln a + 7 ln b.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ Câu 20. Cho 0 < a 6= 1. Tính giá trị của biểu thức Q = a6 loga4 5 . 3 √ √ A. Q = 5. B. Q = a5 . C. Q = 5 5. D. Q = a 2 . √ √
Câu 21. Rút gọn biểu thức A = loga a3 · a · 5 a ta được kết quả là 3 1 35 37 A. . B. . C. . D. . 10 10 10 10 45  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Lôgarit TOÁN 12
10 2 Câu 22.  Cho  hai số thực 0 < a, b 6= 1. Tính giá trị của biểu thức P = loga2 a b +
a + log √3 b b−2 . log√a √ b√ √ B. P = 1. C. P = 2. D. P = 2. A. P = 3. Câu 23. Với các số thực dương a, b thỏa mãn a2 + b2 = 6ab, biểu thức log2 (a + b) bằng 1 1 B. A. (3 + log2 a + log2 b). (1 + log2 a + log2 b). 2 2 1 1 C. 1 + (log2 a + log2 b). D. 2 + (log2 a + log2 b). 2 2 Câu 24. Với a, b, c là các số thực dương khác 1 tùy ý và x = loga c, y = logb c, tính giá trị của logc (ab). 1 . B. logc (ab) = x + y. A. logc (ab) = xy xy 1 1 C. logc (ab) = . D. logc (ab) = + . x+y x y Câu 25. Cho loga b = −2 và loga c = 5 trong đó a, b, c là các số thực dương ab2 (a 6= 1). Tính S = loga 3 . c A. S = −17. B. S = −18. C. S = 18. D. S = −19. Câu 26. Cho 6 1, b > 0, c > 0 sao cho loga b = 3 và loga c = −2. Tính √
0 < a = loga a3 b2 c . A. 6. B. −18. C. −9. D. 8. Câu 27. Nếu log3 5 = a thì log45 75 bằng 2+a 1+a 1 + 2a 1 + 2a A. . B. . C. . D. . 1 + 2a 2+a 2+a 1+a Câu 28. Nếu log5 3 = a thì log81 75 bằng 1 1 a 1 a+1 a+1 A. + . B. + . C. . D. . 2a 4 2 4 4 4a Câu 29. Cho các số thực a, b thỏa mãn 0 < a < 1 < b. Tìm khẳng định đúng. A. loga b < 0. B. ln a > ln b. C. (0, 5)a < (0, 5)b . D. 2a > 2b . Câu 30. Cho a, b là hai số thực thỏa mãn 0 < a < b < 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. loga b < 1 < logb a. B. logb a < 1 < loga b. C. loga b < logb a < 1. D. 1 < loga b < logb a. L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK GT12). Rút gọn biểu thức a) log3 6 · log8 9 · 62 b) loga b2 + loga2 b4 Câu 2 (SGK GT12). a) Cho a = log30 3, b = log30 5. Hãy tính log30 1350 theo a, b. b) Cho c = log15 3. Hãy tính log25 15 theo c. d Vocabulary logarithm lôgarit positive number số dương negative number số âm  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ expression biểu thức property tính chất prove chứng minh 46 rule quy tắc common logarithm lôgarit thập phân nutural logarithm lôgarit tự nhiên  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §4. Hàm số mũ. Hàm số lôgarit TOÁN 12 §4.HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔGARIT Đặt vấn đề Thạch Sanh trúng giải Ba một tờ vé số trị giá 10.000.000 đồng. Nhưng anh chưa biết nên dùng số tiền đó vào việc gì. Bạn thân của Thạch Sanh là Lý Thông đã đề nghị vay số tiền này với lãi suất 6%/tháng và sẽ trả cả vốn lẫn lãi sau đúng một năm. Lý Thông mang số tiền đó đến Sacombank gửi tiết kiệm theo hình thức lãi kép, với lãi suất 6%/tháng, kỳ hạn gửi là 12 tháng. Sau một năm, Lý Thông đến ngân hàng nhận số tiền cả vốn lẫn lãi, và trả cho Thạch Sanh số tiền như đã hứa. a) Hỏi sau cuộc giao dịch, Lý Thông lãi hay lỗ? b) Hãy nêu sự khác nhau giữa hai hình thức gửi tiền của Thạch Sanh và Lý Thông. 1 HÀM SỐ MŨ 1 Định nghĩa Cho số thực . . . . . . a 6= . . .. Hàm số y = . . . . . . được gọi là hàm số mũ cơ số . . .. Ví dụ 1. Hàm phải hàm số mũ? √sốxnào sau đây không √ x 3 A. y = 3 . B. y = x . C. y = 5 3 . D. y = e−x . 2 Đạo hàm của hàm số mũ Cho số . . . . . . a 6= . . . và hàm hợp u = u(x). Ta có: ! • (ax )0 = . . . . . . . . . • (au )0 = . . . . . . . . . • (ex )0 = . . . . . . . . . • (eu )0 = . . . . . . . . . Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = 7x b) y = ex 3 −3x+1 3 Khảo sát hàm số mũ y = ax y = ax , a > 1 y = ax , a < 1 Sự biến thiên Tiệm cận a>1 y y a 1 1 a O Đồ thị Ví dụ3. So sánh các cặp số sau: √ −5 √ −3 a) 3 và 3  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 47 1 x O 1 a<1 1 x 1 b) 0, 3 5 và 0, 3 3  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §4. Hàm số mũ. Hàm số lôgarit 2 TOÁN 12 HÀM SỐ LÔGARIT 1 Định nghĩa Cho số thực . . . . . . a 6= . . .. Hàm số y = . . . . . . được gọi là hàm số lôgarit cơ số . . .. Ví dụ 4. Hàm số nào sau đây không phải hàm số lôgarit? A. y = log5 x. B. y = log(5x). C. y = ln(5x). D. y = ln e. 2 Đạo hàm của hàm số lôgarit Cho số . . . . . . a 6= . . . và hàm hợp u = u(x). Ta có: ! • (loga x)0 = . . . . . . . . . • (ln x)0 = . . . . . . . . . • (loga u)0 = . . . . . . . . . 1 x ln a • (ln u)0 = . . . . . . . . . 1 x ln a 1 x ln a 1 x ln a Ví dụ 5. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = log2 x b) y = ln(x 2 − 3x + 2) 3 Khảo sát hàm số lôgarit y = loga x y = loga x, a > 1 y = loga x, a < 1 Tập xác định Sự biến thiên Tiệm cận a>1 y y 1 O 1 a x 1 O a1 Đồ thị Ví dụ 6. So√sánh các cặp √ số sau: a) log0,5 3 và log0,5 2 3 x a<1 b) ln 2020 và ln 2021 THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y A. D = R. B. D = (1; +∞). Câu 2. Tập xác định của hàm số y = log A. (−∞; −1) ∪ (1; +∞). C. (1; +∞).
= ln x 2 − 2x + 1 . C. D = ∅. D. D = R {1}.
x 2 − 1 là B. (−∞; 1). D. (−1; 1).
Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số y = log2 3 − 2x − x 2 . A. D = (1; 3). B. D = (−1; 3). C. D = (−3; 1). D. D = (−∞; −3) ∪ (1; +∞). Câu 4. Tập xác định của hàm số y = log(x − 2)2 là A. R. B. R {2}. C. (2; +∞).  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 48 D. [2; +∞).  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §4. Hàm số mũ. Hàm số lôgarit TOÁN 12 Câu 5. Tìm tập xác định của hàm số y = A. (0; +∞). B. (e; +∞). 1 . 1 − ln x C. R {e}. D. (0; +∞). Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y = √ A. D = (−∞; 2) {1}. C. D = [1; 2). 1 + ln(x − 1). 2−x B. D = (1; 2). D. D = (1; 2]. Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số y = √ 1 + ln |x − 1|. 2−x A. D = (−∞; 2) {1}. B. D = (1; 2). C. D = [1; 2). D. D = (1; 2]. √ 3x − 1 Câu 8. Tìm tập xác định D của hàm số y = . log(3x)    1 1 . B. D = ; +∞ . A. D = (0; +∞) 3 3  1 C. D = (0; +∞). D. D = ; +∞ . 3 Câu 9. Tìm đạo hàm của hàm số y = 2020x . A. y 0 = 2020x−1 x. B. y 0 = 2020x · log 2020. 2020x . C. y 0 = 2020x · ln 2020. D. y 0 = ln 2020 Câu 10. Hàm số f(x) = log3 (sin x) có đạo hàm là tan x A. f 0 (x) = . B. f 0 (x) = cot x · ln 3. ln 3 1 cot x C. f 0 (x) = . D. f 0 (x) = . sin x · ln 3 ln 3
Câu 11. Tìm đạo hàm của hàm số y = ln x 2 + 2 . 2x x 2x + 2 1 A. y 0 = 2 . B. y 0 = 2 . C. y 0 = 2 . D. y 0 = 2 . x +2 x +1 x +2 x +2 Câu 12. Đạo hàm của hàm số y = x · ex+1 là A. y 0 = (1 + x)ex+1 . B. y 0 = (1 − x)ex+1 . 0 x+1 C. y = e . D. y 0 = x · ex . Câu 13. Tìm đạo hàm của hàm số y = ln x − x − 1 . x ln2 x ln x − x − 1 C. y 0 = . ln2 x x+1 . ln x x ln x − x − 1 . x ln2 x ln x − x − 1 D. y 0 = . x ln x 1 Câu 14. Tìm đạo hàm của hàm số y = 2x ln x − x . e   1 1 1 A. y 0 = 2x + ln 2 · ln x + x . B. y 0 = 2x ln 2 + + e−x . x e x 2x 1 1 0 0 x C. y = ln 2 + x . D. y = 2 ln 2 + − e−x . x e x Câu 15. Cho hàm số f(x) = e2x+1 . Khi đó f 0 (1) bằng A. e3 . B. e2 . C. 2e3 . D. 2e. A. y 0 = B. y 0 = Câu 16. Đạo hàm của hàm số y = log3 (x + 1) − 2 ln(x − 1) + 2x tại điểm x = 2 bằng 1 1 1 1 A. . B. + 2. C. − 1. D. . 3 3 ln 3 3 ln 3 3 ln 3 Câu 17. Cho hàm số y = e−2x . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. y 00 + y 0 − y = 0. B. y 00 + y 0 + y = 0. 00 0 C. y + y + 2y = 0. D. y 00 + y 0 − 2y = 0. Câu 18. Cho hàm số y = log2019 x có đồ thị (C ). Mệnh đề nào sau đây sai? A. (C ) có đúng một tiệm cận. B. (C ) không có tiệm cận ngang. C. (C ) đồng biến trên tập xác định. D. (C ) không có tiệm cận đứng. Câu 19. Cho hàm số y = log2 x. Khẳng định nào sau đây sai? A. Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận đứng. B. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm A(1; 0). C. Đồ thị hàm số luôn nằm phía trên trục hoành. D. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 49  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §4. Hàm số mũ. Hàm số lôgarit TOÁN 12 Câu 20. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó? √ !x 5 A. y = log π x. . D. y = 2x . B. y = logπ x. C. y = 2 4 Câu 21. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R? x−1 . x+1 4 D. y = x + 2x 2 + 4. A. y = log2 x. B. y = C. y = 3x . Câu 22. Trong hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên R?  π các x
. B. y = log π 2x 2 + 1 . A. y = 4  3 x 2 C. y = . D. y = log 2 x. e 3 Câu 23. Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = 2x −6x+5 . A. (−∞; 3). B. R. C. (3; +∞). D. (−∞; 1) và (5; +∞). 2 Câu 24. Số điểm cực trị của hàm số y = ex + x + 1 là A. 0. B. 3. C. 2. Câu 25. Cho a, b, c dương và khác 1. Đồ thị hàm số y = loga x, y = logb x và y = logc x được cho trong hình vẽ. Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. a > c > b. B. b > c > a. C. c > b > a. D. a > b > c. D. 1. y y = loga x O 1 x y = logb x 2 y = logc x Câu 26. Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị hàm số y = ax , y = bx và y = cx được cho trong hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. a < b < c. B. a < c < b. C. b < c < a. D. c < a < b. y bx cx ax Câu 27. Cho các hàm số y = loga x, y = bx , y = cx có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. b > c > a. B. a > b > c. C. b > a > c. D. c > b > a. O 1 y bx O 1 x 2 cx x 2 loga x Câu 28. Một người gửi tiết kiệm số tiền 80.000.000 đồng với lãi suất 6, 9%/năm. Biết rằng tiền lãi hàng năm được nhập vào tiền gốc, hỏi sau đúng 5 năm người đó rút được cả gốc lẫn lãi với số tiền gần với con số nào nhất sau đây? A. 116.570.000 đồng. B. 107.667.000 đồng. C. 105.370.000 đồng. D. 111.680.000 đồng. Câu 29. Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4 · 105 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây trong rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 10 năm khu rừng đó có số mét khối gỗ gần nhất với số nào sau đây? A. 5, 9 · 105 . B. 5, 92 · 105 . C. 5, 93 · 105 . D. 5, 94 · 105 . Câu 30. Việt Nam là quốc gia nằm ở phía Đông bán đảo Đông Dương thuộc khu vực Đông Nam Á. Với dân số ước tính 93, 7 triệu dân vào đầu năm 2018, Việt Nam  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 50  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §4. Hàm số mũ. Hàm số lôgarit TOÁN 12 là quốc gia đông dân thứ 15 trên thế giới và là quốc gia đông dân thứ 8 ở châu Á, tỉ lệ tăng dân số hàng năm 1, 2%. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số từ năm 2018 đến năm 2030 không thay đổi thì dân số nước ta đầu năm 2030 khoảng bao nhiêu? A. 118, 12 triệu dân. B. 106, 12 triệu dân. C. 128, 12 triệu dân. D. 108, 12 triệu dân. L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK GT12). Tìm đạo hàm của các hàm số: x+1 3x a) y = 2xex + 3 sin 2x c) y = b) y = 5x 2 − 2x cos x d) y = 3x 2 − ln x + 4 sin x e) y = log x 2 + x + 1 f) y =
log3 x x Câu 2 (SGK GT12). Tìm tập xác định của các hàm số: a) y = log2 (5 − 2x) b) y = log3 x 2 − 2x
c) y = log 1 x 2 − 4x + 5 5
d) y = log0,4 3x + 2 1−x d Vocabulary exponential function hàm số mũ composite function hàm hợp compound-interest lãi kép  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ logarithmic function hàm số lôgarit 51  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit TOÁN 12 §5.PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Đặt vấn đề Nobita muốn dùng tiền của mình để mua chiếc xe máy LATTE của hãng YAMAHA trị giá 37.490.000 đồng. Cậu quyết định gửi tiết kiệm 200.000 đồng tiền mừng tuổi hồi Tết vào Agribank với lãi suất 6%/tháng. Hỏi sau bao lâu thì số tiền vốn và lãi của Nobita đủ để mua xe? 1 PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1 Phương trình mũ cơ bản Phương trình mũ cơ bản có dạng . . . . . . . . . (a > . . ., a 6= . . .). b>0 b≤0 Ví dụ 1. Tìm m để phương trình 2020x+1 = m có nghiệm. 2 Cách giải một số phương trình mũ đơn giản Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: 2 a) 2x−1 = 32 c) 2x b) 9x − 4 · 3x − 45 = 0 d) 9x − 6x = 22x+1 3 +2x 2 −3x · 3x−1 = 1 PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1 Định nghĩa Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu . . . . . . 2 Phương trình lôgarit cơ bản Phương trình lôgarit cơ bản có dạng . . . . . . . . . . . . (a > . . ., a 6= . . .). loga x = b ⇔ x = . . . . . .  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 52  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit TOÁN 12 Ví dụ 3. Tìm số nghiệm của phương trình log3 x = 2021. 3 Cách giải một số phương trình lôgarit đơn giản Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: a) log2 x + log2 (x − 1) = 1 3 b) log23 x − 2 log 3x − 7 = 0 THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM Câu 1. Phương trình 52x+1 = 125 có nghiệm là 53 3 A. x = . B. x = . C. x = 3. 2 2 x Câu 2. Phương trình 3 = 2 có nghiệm là A. x = log2 3. B. x = 23 . D. x = 1. C. x = log3 2. 2 D. x = . 3 Câu 3. Tìm tập nghiệm của phương trình 4x+1 + 4x−1 = 272. A. {3; 2}. B. {2}. C. {3}. D. {3; 5}. Câu 4. Giải phương trình 2x 2 −5x+7 = 8. √ A. x = 1, x = −4. B. x = 5± C. x = 1, x = 4. D. x = 5± 5 . 2 √ Câu 5. Nghiệm của phương trình 9 A. x = 4. B. x = 5. x−1 29 2√ . = eln 81 là C. x = 6. D. x = 17. 1 4x+ 2 Câu 6. Tìm tập nghiệm S của phương trình − 5 · 2x + 2 = 0. A. S = {−1; 1}. B. S = {−1}. C. S = {1}. D. S = (−1; 1). Câu 7. Nghiệm của phương trình 9x − 4 · 3x − 45 = 0 là A. x = 9. B. x = −5, x = 9. C. x = 2, x = log3 5. D. x = 2. Câu 8. Tìm số nghiệm thực của phương trình 4x − 2x+2 + 3 = 0. A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.  x 1 có bao nhiêu nghiệm âm? Câu 9. Phương trình 31−x = 2 + 9 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 10. Tìm số nghiệm của phương trình 2x +2x A. 2. B. 1. C. 0. 3 2 −3x · 3x−1 = 1. D. 3. Câu 11. Tìm số nghiệm của phương trình 4x−1 + 2x+3 − 4 = 0. A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. Câu 12. Cho phương trình 21+2x + 15 · 2x − 8 = 0 (1). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. (1) có hai nghiệm dương. B. (1) có hai nghiệm trái dấu. C. (1) có hai nghiệm âm. D. (1) có một nghiệm. Câu 13. Tính tổng các nghiệm của phương trình 3x+1 + 31−x = 10. A. 1. B. 3. C. −1. D. 0. Câu 14. Tính tổng các nghiệm của phương trình log6 (3 · 4x + 2 · 9x ) = x + 1. A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. Câu 15. Tích các nghiệm của phương trình 3x −3x+1 = 81 bằng A. 3. B. 4. C. −3. D. 5. 2  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 53  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit TOÁN 12 Câu 16. Giải phương trình log3 (x − 1) = 2. A. x = 10. B. x = 11. C. x = 8. D. x = 7.
Câu 17. Giá trị nào sau đây là một nghiệm của phương trình log3 2x 2 + 1 = 2? A. x = 2. B. x = 4. C. x = 3. D. x = 1. 1 Câu 18. Tìm tập nghiệm của phương trình log2 (x + 2)2 − 1 = 0. 2 A. {−1; 0}. B. {−4}. C. {0; −4}. D. {0}. Câu 19. Tập nghiệm của phương trình log2 x + log2 (x − 1) = 1 là A. {−1}. B. {2}. C. {2; −1}. D. {−2; 1}. Câu 20. Tìm nghiệm của phương trình log5 (x −1)+log5 (x +3) = log5 (4x −3). 5 A. x = 2. B. x = 0, x = 2. C. x = 0. D. x = . 2 Câu 21. Tìm số nghiệm của phương trình log2 (x − 3) + log2 (x − 1) = 3. A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.
2 Câu 22. Tìm số nghiệm của phương trình log3 x + 4x + log 1 (2x + 3) = 0. A. 2. B. 3. C. 0. 3 √ D. 1. 4 − x + log8 (4 + x)3 . Tổng Câu 23. Cho phương trình log4 (x + 1) + 2 = các nghiệm √ của phương trình đã cho là √ √ B. −4. C. 4 − 2 6. D. 2 − 2 3. A. 4 + 2 6. log√2 2 Câu 24. Tính tổng các nghiệm của phương trình log22 x − log2 9 · log3 x = 3. 17 A. 2. B. −2. C. . D. 8. 2 Câu 25. Biết rằng phương trình log22 (2x) − 5 log2 x = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Tính x1 · x2 . A. x1 · x2 = 8. B. x1 · x2 = 5. C. x1 · x2 = 3. D. x1 · x2 = 1. Câu 26. Tính tích các nghiệm của phương trình log23 x − 2 log3 x − 7 = 0. A. 2. B. −7. C. 1. D. 9. Câu 27. Cho phương trình log22 (4x) − log√2 (2x) = 5. Nghiệm nhỏ nhất của phương trình thuộc khoảng A. (1; 3). B. (5; 9). C. (3; 5). D. (0; 1). Câu 28. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình log2 x = m có nghiệm là A. (0; +∞). B. [0; +∞). C. (−∞; 0). D. R. Câu 29. Một người gửi số tiền 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 8, 4%/năm. Cứ mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho năm tiếp theo. Người đó sẽ lĩnh được số tiền cả vốn lẫn lãi là 80 triệu sau n năm. Hỏi nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền và lãi suất không thay đổi thì n gần nhất với số nào sau đây? A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. Câu 30. Ông Bình gửi số tiền 58 triệu đồng vào một ngân hàng theo hình thức lãi kép và ổn định trong 9 tháng thì lãnh được 61.758.000 đồng. Hỏi lãi suất ngân hàng mỗi tháng là bao nhiêu, biết rằng lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian gửi? A. 0, 8%. B. 0, 6%. C. 0, 7%. D. 0, 5%. L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK GT12). Giải các phương trình sau: a) (0, 3)3x−2 = 1  x 1 = 25 b) 5 c) 2x 2 −3x+2 =4 d) (0, 5)x+7 · (0, 5)1−2x = 2 e) 32x−1 + 32x = 108 g) 64x − 8x − 56 = 0 f) 2x+1 + 2x−1 + 2x = 28 h) 3 · 4x − 2 · 6x = 9x Câu 2 (SGK GT12). Giải các phương trình sau:
1 1 log x 2 + x − 5 = log 5x + log 2 5x
1 f) log x 2 − 4x − 1 = log 8x − log 4x 2 a) log3 (5x + 3) = log3 (7x + 5) e) b) log(x − 1) − log(2x − 11) = log 2 c) log2 (x − 5) + log2 (x + 2) = 3
d) log x 2 − 6x + 7 = log(x − 3)  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ g) log√2 x + 4 log4 x + log8 x = 13 54  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit TOÁN 12 d Vocabulary exponential equation phương trình mũ logarithmic equation phương trình lôgarit logarithmizing lôgarit hóa exponentializing mũ hóa substitutive variable ẩn phụ  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ solve the equation giải phương trình 55  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit TOÁN 12 §6.BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1 Bất phương trình mũ cơ bản Bất phương trình mũ cơ bản có dạng . . . . . . . . . hoặc . . . . . . . . . hoặc . . . . . . . . . hoặc . . . . . . . . . (a > . . ., a 6= . . .). ax > b a>1 00 b≤0 2 Bất phương trình mũ đơn giản Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau: a) 5x 2 2 −x b) 2x + 2−x − 3 < 0 > 25 c) 4x − 2 · 6x < 9x BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1 Bất phương trình lôgarit cơ bản Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng . . . . . . . . . . . . hoặc . . . . . . . . . . . . hoặc . . . . . . . . . . . . hoặc . . . . . . . . . . . . (a > . . ., a 6= . . .). loga x > b a>1 0 log 1 (3x + 1) 2  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ b) log3 (x − 3) + log3 (x − 2) ≤ 1 2 56  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit 3 TOÁN 12 THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM  x 1 Câu 1. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình > 8. 2 A. S = (−3; +∞). B. S = (−∞; 3). C. S = (−∞; −3). D. S = (3; +∞).  x 2 +2x 1 1 > . Câu 2. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 3 27 A. S = (−3; 1). B. S = (1; 3). C. S = (−1; 3). D. S = (−∞; −3) ∪ (1; +∞).  −2x−6 1 Câu 3. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 23x < . 2 A. (−∞; 6). B. (0; 6). C. (0; 64). D. (6; +∞).  e x Câu 4. Tìm tập nghiệm của bất phương trình > 1. π A. R. B. (−∞; 0). C. (0; +∞). D. [0; +∞).  x 1 Câu 5. Tìm tập nghiệm của bất phương trình > 9. 3 A. (−∞; −2). B. (−∞; 2). C. (−2; +∞). D. (2; +∞). Câu 6. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 2x + 2x+1 ≤ 3x + 3x−1 . A. (2; +∞). B. (−∞; 2). C. (−∞; 2]. D. [2; +∞). 1 Câu 7. Tập nghiệm của bất phương trình 3x+2 ≥ là 9 A. [−4; +∞). B. (−∞; 0). C. [0; +∞). D. (−∞; 4).  −x 2 +3x 1 1 < . Câu 8. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2 4 A. S = [1; 2]. B. S = (−∞; 1). C. S = (1; 2). D. S = (2; +∞). 1 Câu 9. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 51−2x > . 125 A. S = (0; 2). B. S = (−∞; 2). C. S = (−∞; −3). D. S = (2; +∞). Câu 10. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 4x+1 ≤ 8x−2 . A. [8; +∞). B. ∅. C. (0; 8). D. (−∞; 8].  π x−1 π x 2 −x−9  ≤ tan . Câu 11. Tìm tập nghiệm của bất phương trình tan 7 h7 √ √ i A. S = (−∞; −2] ∪ [4; +∞). B. S = −2 2; 2 2 .   √ i h √ C. S = −∞; −2 2 ∪ 2 2; +∞ . D. S = [−2; 4].  1−3x 2 25 ≥ . Câu 12. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 5  4  1 A. S = (−∞; 1]. B. S = ; +∞ . 3   1 C. S = −∞; . D. S = [1; +∞). 3  √ x  √ x Câu 13. Giải bất phương trình 10 + 3 11 + 10 − 3 11 ≤ 20. A. 0 ≤ x ≤ 1. B. −1 ≤ x < 1. C. −1 < x ≤ 1. D. −1 ≤ x ≤ 1. x x x Câu 14. Giải bất phương trình  64 · 9 − 84 · 12 + 27 · 16 < 0. x<1 9 3 A. < x < . B.  . C. 1 < x < 2. D. Vô nghiệm. 16 4 x>2 Câu 15. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 2x+2 + 8 · 2−x − 33 < 0. A. 4. B. 6. C. 7. D. Vô số. Câu 16. Tìm tập nghiệm của S của bất phương trình log 1 (x+1) < log 1 (2x−1). 5 5   1 A. S = (2; +∞). B. S = (−1; 2). C. S = (−∞; 2). D. S = ;2 . 2 Câu 17. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log2 (x − 1) < 3. A. (1; 9). B. (−∞; 9). C. (−∞; 10). D. (1; 10).  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 57  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit TOÁN 12 Câu 18. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log0,5 (x − 1) > 1.         3 3 3 3 A. −∞; . B. 1; . C. ; +∞ . D. 1; . 2 2 2 2 Câu 19. Tìm tập nghiệm của bất phương trình ln(3x) < ln(2x + 6). A. [0; 6). B. (0; 6). C. (6; +∞). D. (−∞; 6). Câu 20. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 1 (x − 3) ≥ log 1 4. A. S = (−∞; 7]. B. S = [7; +∞). C. S = (3; 7]. 2 D. S = [3; 7]. 2 Câu 21. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log4 (x + 7) > log2 (x + 1). A. (−1; 2). B. (2; 4). C. (−3; 2). D. (5; +∞).
2 Câu 22. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log 1 x − 5x + 7 > 0. A. (−∞; 2). C. (2; 3). B. (−∞; 2) ∪ (3; +∞). D. (3; +∞). 2 Câu 23. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log 1 (x −1)+log3 (11−2x) ≥ 0. 3   11 A. S = (1; 4]. B. S = (−∞; 4]. C. S = 4; . D. S = (1; 4). 2 Câu 24. Giải bất phương trình logx (log3 (9x − 72)) ≤ 1. i √ A. S = (−∞; 2]. B. S = log3 73; 2 .  i h i √ √ C. S = log3 72; 2 . D. S = log3 73; 2 . Câu 25. Số nghiệm nguyên của bất phương trình log0,8 (15x + 2) > log0,8 (13x + 8) là A. Vô số. B. 4. C. 2. D. 3. Câu 26. Có bao nhiêu số nguyên trên đoạn [0; 10] nghiệm đúng bất phương trình log2 (3x − 4) > log2 (x − 1)? A. 9. B. 10. C. 8. D. 11. 
 Câu 27. Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn bất phương trình log 1 log2 2 − x 2 > 2 0? A. Vô số. B. 1. C. 0. D. 2. x − 3 log2 x + 2 < 0 là khoảng Câu 28. Tập nghiệm của bất phương trình (a; b). Tính a2 + b2 . A. 16. B. 5. C. 20. D. 10. p Câu 29. Tìm tập xác định D của hàm số y = log(x + 1) − 1. A. D = (10; +∞). B. D = [9; +∞). C. D = (−∞; 9]. D. D = R {1}. log22 L TỰ LUẬN Câu 30. Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 5%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Sau ít nhất bao nhiêu năm thì người đó nhận được số tiền lớn hơn 150% số tiền gửi ban đầu? A. 8 năm. B. 10 năm. C. 9 năm. D. 11 năm. Câu 1 (SGK GT12). Giải các bất phương trình sau: a) 2−x 2 +3x <4 b) 3x+2 + 3x−1 ≤ 28 c) 4x − 3 · 2x + 2 > 0 Câu 2 (SGK GT12). Giải các bất phương trình sau: a) log8 (4 − 2x) ≥ 2 b) log 1 (3x − 5) > log 1 (x + 1) 5  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ c) log23 x − 5 log3 x + 6 ≤ 0 5 58  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ TOÁN 12 59  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận PHẦN II HÌNH HỌC Chương 1. Khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 §1. Khái niệm về khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Đa diện lồi và Đa diện đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 2. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1. Khái niệm về khối tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 60 59 64 67 71 71 76  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Chương 1. Khối đa diện Chương 1. TOÁN 12 KHỐI ĐA DIỆN §1.KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN Đặt vấn đề Mặt ngoài của Kim tự tháp Ai Cập có hình dáng là một hình . . . . . ., được tạo thành bởi . . . . . . đa giác. Nếu mỗi đỉnh và cạnh của các đa giác đó đều được gọi là đỉnh và cạnh của hình chóp thì hình chóp đã cho có bao nhiêu đỉnh, bao nhiêu cạnh? 1 KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP • Khối lăng trụ là phần . . . . . . . . . . . . được giới hạn bởi một . . . . . . lăng trụ, kể cả . . . . . . lăng trụ ấy. • Khối chóp là phần . . . . . . . . . . . . được giới hạn bởi một . . . . . . chóp, kể cả . . . . . . chóp ấy. S A B C B A A0 C D Khối chóp S.ABCD có . . . đỉnh, . . . cạnh, . . . mặt. 2 B0 C0 Khối lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 có . . . đỉnh, . . . cạnh, . . . mặt. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 1 Khái niệm về hình đa diện Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các . . . . . . . . . thỏa mãn hai tính chất sau: • Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có . . . . . . chung, hoặc chỉ có một . . . . . . chung, hoặc chỉ có một . . . . . . chung. • Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng . . . . . . đa giác.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 61  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Khái niệm về khối đa diện TOÁN 12 Ví dụ 1. Hình nào sau đây là hình đa diện? Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 2 Khái niệm về khối đa diện Khối đa diện là phần . . . . . . . . . . . . được giới hạn bởi một . . . . . . đa diện, kể cả . . . . . . đa diện đó. • Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm . . . . . ., những điểm thuộc . . . . . . đa diện nhưng không thuộc . . . . . . đa diện giới hạn khối đa diện ấy được gọi là điểm trong. • Tập hợp các điểm . . . . . . được gọi là miền trong của khối đa diện, tập hợp các điểm ngoài được gọi là . . . . . . . . . . . . của khối đa diện. • Chỉ có miền . . . . . . là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy. Ví dụ 2. Hình vẽ nào sau đây là khối đa diện? 3 HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU 1 Phép dời hình trong không gian Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M 0 xác định . . . . . . . . . . . . được gọi là một phép biến hình trong không gian. Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn . . . . . . . . . . . . giữa hai điểm tùy ý. − • Phép tịnh tiến theo vectơ Ï v là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M 0 v~ M0 M M sao cho . . . . . . . . . • Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mỗi điểm N ∈ (P) thành . . . . . . . . ., biến mỗi điểm M ∈/ (P) thành điểm M 0 sao cho (P) là mặt phẳng . . . . . . . . . . . . của đoạn thẳng MM 0 . I P M0 ∆ M0 M  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ • Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến điểm O thành . . . . . . . . ., biến mỗi điểm M 6= O thành điểm M 0 sao cho O là . . . . . . . . . . . . của đoạn thẳng MM 0 . Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O được gọi là . . . . . . . . . . . . . . . của (H). • Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ (hay phép đối xứng qua . . . . . . ∆) là phép biến hình biến mọi điểm N ∈ ∆ thành . . . . . . . . ., biến mỗi điểm M ∈/ ∆ thành điểm M 0 sao cho ∆ là đường . . . . . . . . . . . . của đoạn thẳng MM 0 . Nếu phép đối xứng trục ∆ biến hình (H) thành chính nó thì ∆ được gọi là . . . . . . . . . . . . . . . của (H). 62  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Khái niệm về khối đa diện TOÁN 12 2 Hai hình bằng nhau Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép . . . . . . . . . . . . biến hình này thành hình kia. Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép . . . . . . . . . . . . biến đa diện này thành đa diện kia. Ï − v O (H1) (H) (H2) Các đa diện (H), (H1) và (H2) bằng nhau vì . . . . . . . . . 4 PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H1), (H2) sao cho (H1) và (H2) . . . . . . . . . điểm chung nào thì ta nói khối đa diện (H) có thể chia được thành hai khối đa diện (H1) và (H2). Ngược lại, ta có thể . . . . . . . . . hai khối đa diện (H1) và (H2) với nhau để được khối đa diện (H). Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia được thành các khối . . . . . . . . . Ví dụ 3. Hãy chia một khối lập phương thành 5 khối tứ diện. 5 THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM Câu 1. Mỗi cạnh của một khối đa diện là cạnh chung của bao nhiêu mặt của khối đa diện? A. Bốn mặt. B. Hai mặt. C. Ba mặt. D. Năm mặt. Câu 2. Hãy chọn từ/cụm từ thích hợp để điền vào chỗ trống trong phát biểu: “Số cạnh của một hình đa diện luôn . . . . . . số mặt của hình đa diện ấy”. A. bằng. B. nhỏ hơn hoặc bằng. C. nhỏ hơn. D. lớn hơn. Câu 3. Mỗi đỉnh của một hình lập phương là đỉnh chung của đúng bao nhiêu mặt? A. 3. B. 4. C. 2. D. 5. Câu 4. Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu cạnh? A. 5. B. 4. C. 3. D. 2. Câu 5. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào A. Số cạnh của một hình đa diện luôn lớn B. Số cạnh của một hình đa diện luôn lớn C. Số cạnh của một hình đa diện luôn lớn D. Số cạnh của một hình đa diện luôn lớn  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 63 là đúng? hơn 7. hơn hoặc bằng 8. hơn 6. hơn hoặc bằng 6.  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Khái niệm về khối đa diện TOÁN 12 Câu 6. Số cạnh của một khối chóp tam giác là A. 6. B. 4. C. 7. D. 5. Câu 7. Tổng số đỉnh, cạnh, mặt của hình lập phương là A. 26. B. 14. C. 24. D. 28. Câu 8. Hình lăng trụ ngũ giác có bao nhiêu mặt? A. 9. B. 5. C. 7. D. 2. Câu 9. Hình đa diện ở hình bên có bao nhiêu mặt? A. 8. B. 12. C. 10. D. 11. Câu 10. Đa diện trong hình bên có bao nhiêu mặt? A. 11. B. 14. C. 12. D. 13. Câu 11. Hình đa diện bên có bao nhiêu cạnh? A. 15. B. 12. C. 20. Câu 12. Số đỉnh của hình đa diện bên là A. 8. B. 9. C. 10. D. 16. D. 11. Câu 13. Trong các hình dưới đây, hình nào là hình đa diện? Hình 1 Hình 2 Hình 3 A. Hình 4. B. Hình 2. Hình 4 C. Hình 1. D. Hình 3. Câu 14. Trong các hình dưới đây, hình nào không phải hình đa diện? Hình 1 Hình 2 Hình 3 A. Hình 1. B. Hình 2. Hình 4 C. Hình 3. D. Hình 4. Câu 15. Trong các hình dưới đây, hình nào không phải hình đa diện?  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 64  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Khái niệm về khối đa diện Hình 1 TOÁN 12 Hình 2 Hình 3 A. Hình 1. B. Hình 2. Hình 4 C. Hình 3. D. Hình 4. Câu 16. Hình lăng trụ có thể có số cạnh là số nào sau đây? A. 3000. B. 3001. C. 3005. D. 3007. Câu 17. Cho khối chóp có đáy là đa giác n cạnh. Mệnhh đề nào sau đây là đúng? A. Số mặt của khối chóp là 2n. B. Số đỉnh của khối chóp bằng 2n + 1. C. Số cạnh của khối chóp bằng n + 1. D. Số mặt của khối chóp bằng số đỉnh của nó. Câu 18. Có thể chia khối chóp S.ABCD thành hai khối tứ diện là A. SBCD và SACD. B. SACD và SABD. C. SABC và SABD. D. SABC và SACD. Câu 19. Cho khối lập phương ABCD.A0 B0 C 0 D 0 . Mặt phẳng (BDD0 B0 ) chia khối lập phương thành A. Hai khối lăng trụ tam giác. B. Hai khối tứ diện. C. Hai khối lăng trụ tứ giác. D. Hai khối chóp tứ giác. Câu 20. Cắt khối lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 bởi mặt phẳng (A0 BC) ta được A. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác. B. Hai khối chóp tứ giác. C. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác. D. Hai khối chóp tam giác. L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK GT12). Chia một khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau. d Vocabulary solid polyhedra khối đa diện solid prisms khối lăng trụ solid pyramids khối chóp solid cube khối lập phương  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ tetrahedron tứ diện vertice đỉnh polygon đa giác space không gian edge cạnh translation phép tịnh tiến face mặt reflection phép đối xứng 65  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Đa diện lồi và Đa diện đều TOÁN 12 §2.ĐA DIỆN LỒI VÀ ĐA DIỆN ĐỀU 1 KHỐI ĐA DIỆN LỒI Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm . . . . . . . . . của (H) luôn . . . . . . (H). Khi đó đa diện xác định (H) được gọi là . . . . . . . . . . . . . . .. Miền trong của khối đa diện luôn nằm về . . . . . . phía đối với mỗi mặt phẳng chứa một mặt của nó Ví dụ 1. Trong các hình dưới đây hình nào không phải đa diện lồi? Hình 1 2 Hình 2 Hình 4 Hình 3 KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Định nghĩa Khối đa diện đều là khối đa diện . . . . . . có các tính chất sau đây: • Mỗi mặt của nó là một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p cạnh • Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt. Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại . . . . . .. Ví dụ 2. Khối tứ diện đều là khối đa diện đều loại . . . . . ., khối lập phương là khối đa diện đều loại . . . . . .. Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác . . . . . . . . . . . . . . . nhau. Định lý Chỉ có . . . . . . loại khối đa diện đều là loại . . . . . . (tứ diện đều), . . . . . . (lập phương), . . . . . . (bát diện đều), . . . . . . (thập nhị diện đều) và . . . . . . (nhị thập diện đều). Tứ diện đều Lập phương Bát diện đều • . . . . . . đỉnh • . . . . . . cạnh • . . . . . . mặt • . . . . . . đỉnh • . . . . . . cạnh • . . . . . . mặt • . . . . . . đỉnh • . . . . . . cạnh • . . . . . . mặt 3 Thập nhị diện đều • . . . . . . đỉnh • . . . . . . cạnh • . . . . . . mặt Nhị thập diện đều • . . . . . . đỉnh • . . . . . . cạnh • . . . . . . mặt THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ Câu 1. Cho hình lăng trụ tam giác đều. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Hai đáy là các tam giác đều bằng nhau. B. Các mặt bên là hình vuông. 66  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Đa diện lồi và Đa diện đều TOÁN 12 C. Các cạnh bên vuông góc với mặt đáy. D. Các cạnh bên bằng nhau. Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Khối tứ diện là khối đa diện lồi. B. Khối hộp là khối đa diện lồi. C. Lắp ghép hai khối hộp bất kì thì được một khối đa diện lồi. D. Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi. Câu 3. Trong các hình dưới đây hình nào không phải đa diện lồi? Hình 1 Hình 2 A. Hình 1. Hình 3 B. Hình 2. C. Hình 3. Hình 4 D. Hình 4. Câu 4. Cho các khối hình sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là A. 3. B. 2. C. 4. D. 1. Câu 5. Cho một khối đa diện lồi có 10 đỉnh, 7 mặt. Hỏi khối đa diện này có mấy cạnh? A. 20. B. 18. C. 15. D. 12. Câu 6. Số đỉnh của hình bát diện đều là A. 10. B. 7. C. 8. D. 6. Câu 7. Số đỉnh của hình 12 mặt đều là A. Ba mươi. B. Mười sáu. C. Mười hai. D. Hai mươi. Câu 8. Khối 20 mặt đều có tất cả bao nhiêu cạnh? A. 30. B. 20. C. 12. D. 60. Câu 9. Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh? A. 8. B. 9. C. 12. D. 20. Câu 10. Hình bát diện đều có bao nhiêu mặt? A. 9. B. 8. C. 6. D. 4. Câu 11. Trong các khối đa diện đều, đa diện nào có các mặt là các hình ngũ giác đều? A. Bát diện đều. B. Hình lập phương. C. Mười hai mặt đều. D. Hai mươi mặt đều. Câu 12. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Hình mười hai mặt đều có 20 đỉnh, B. Hình mười hai mặt đều có 30 đỉnh, C. Hình mười hai mặt đều có 30 đỉnh, D. Hình mười hai mặt đều có 30 đỉnh, 30 12 20 12 cạnh, cạnh, cạnh, cạnh, 12 12 12 30 mặt. mặt. mặt. mặt. Câu 13. Trong các hình đa diện đều sau, hình nào có số đỉnh nhỏ hơn số mặt? A. Hình tứ diện đều. B. Hình 20 mặt đều. C. Hình lập phương. D. Hình 12 mặt đều.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ Câu 14. Khối lập phương là khối đa diện đều loại A. {5; 3}. B. {3; 4}. C. {4; 3}. D. {3; 5}. Câu 15. Khối mười hai mặt đều là khối đa diện đều loại? A. {4; 3}. B. {3; 5}. C. {3; 4}. D. {5; 3}. 67  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Đa diện lồi và Đa diện đều TOÁN 12 Câu 16. Tính tổng số đỉnh và số mặt của khối đa diện đều loại {5; 3}. A. 50. B. 20. C. 32. D. 42. Câu 17. Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 1. B. 4. C. 3. D. 2. Câu 18. Một hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 2. B. 3. C. 4. D. 6. Câu 19. Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng? Khối lập phương Khối tứ diện đều Lăng trụ lục giác đều A. Tứ diện đều. C. Lăng trụ lục giác đều. Khối bát diện đều B. Bát diện đều. D. Hình lập phương. Câu 20. Hình đa diện nào sau đây không có tâm đối xứng? A. Tứ diện đều. B. Bát diện đều. C. Lăng trụ lục giác đều. D. Hình lập phương. L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK GT12). Cho hình lập phương (H). Gọi (H 0 ) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H 0 ). d Vocabulary convex polyhedra đa diện lồi regular tetrahedron tứ diện đều non-convex polyhedra đa diện không lồi regular octahedron bát diện đều regular polyhedra đa diệu đều regular dodecahedron thập nhị diện đều regular polygon đa giác đều regular icosahedron nhị thập diện đều  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 68  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện TOÁN 12 §3.KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN Đặt vấn đề Dã Tràng dự định xây dựng một kim tự tháp cao 100m, cạnh đáy 50m bằng những viên gạch hình hộp chữ nhật có độ dài các cạnh lần lượt là 5cm, 10cm, 20cm. Nếu bỏ qua phần xi măng thì Dã Tràng cần chuẩn bị tối thiểu bao nhiêu viên gạch như trên? 1 KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng . . . . . . . . . ba kích thước của nó. Ví dụ 1. Tính thể tích của một viên gạch có độ dài các cạnh lần lượt là 5cm, 10cm, 20cm. Thể tích khối lập phương cạnh a là . . . . . . 2 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là V = ……… Ví dụ 2. Cho khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 5cm. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. 3 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V = ……… Ví dụ 3. Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147m, cạnh đáy dài 230m. Hãy tính thể tích của nó.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 69  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện 4 TOÁN 12 THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM Câu 1. Thể tích V của khối lăng trụ có chiều cao h và diện tích đáy B là 1 1 1 A. V = Bh. B. V = Bh. C. V = Bh. D. V = Bh. 2 6 3 Câu 2. Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là 1 1 B. V = 3Bh. C. V = Bh. D. V = Bh. A. V = Bh. 3 2 Câu 3. Cho khối lăng trụ có thể tích bằng V . Biết diện tích đáy của lăng trụ là B, tính chiều cao h của khối lăng trụ đã cho. V 2V 3V V A. h = . B. h = . C. h = . D. h = . 3B B B B Câu 4. Thể tích của khối lập phương cạnh 2a bằng A. 8a3 . B. 2a3 . C. a3 . D. 6a3 . Câu 5. Thể tích của khối chóp có chiều cao h = a và diện tích đáy S = 3a2 là 1 1 A. V = a3 . B. V = a3 . C. V = 3a3 . D. V = a3 . 3 6 √ Câu 6. Cho khối chóp có diện tích đáy B = a2 2 và chiều cao h = 2a. Thể tích V của khối chóp√là √ √ √ 2a3 2 2a3 2 a3 2 A. V = . B. V = . C. V = 2a3 2. . D. V = 3 9 3 Câu 7. Cho hình chóp √ tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a 6. Thể √ S.ABCD bằng √ √ tích của khối chóp √ 6 6 6 A. a3 6. . C. a3 . D. a3 . B. a3 3 6 2 Câu 8. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA vuông góc √ với mặt phẳng (ABC) và SA = a. Biết rằng thể tích của khối chóp S.ABC bằng 3a3 . Tính độ dài cạnh √ đáy của khối chóp√S.ABC. √ A. 2a 3. B. 3a 3. C. 2a. D. 2a 2. Câu 9. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a và thể tích bằng a3 . Tính chiều cao √ √ h của hình chóp√đã cho. √ 3a 3a 3a . B. h = . C. h = . D. h = 3a. A. h = 6 2 3 Câu 10. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA vuông góc √ với mặt phẳng (ABC) và SA = a. Biết rằng thể tích của khối chóp S.ABC bằng 3a3 . Tính độ dài cạnh √ đáy của khối chóp√S.ABC. √ A. 2a 3. B. 3a 3. C. 2a. D. 2a 2. Câu 11. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là 30a2 và thể tích là 150a3 . Tính theo a khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của khối lăng trụ đã cho. a A. h = 5. B. h = 5a. C. h = . D. h = 15a. 5 Câu 12. Nếu ba kích thước của một khối hộp chữ nhật tăng lên 3 lần thì thể tích của nó tăng lên bao nhiêu lần? A. 3 lần. B. 9 lần. C. 18 lần. D. 27 lần. Câu 13. Một viên gạch dạng khối hộp chữ nhật có ba kích thước là 3cm, 10cm, 20cm. Tính thể tích viên gạch đó. A. 300cm. B. 200cm. C. 600cm. D. 1200cm.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ Câu 14. Tính thể tích khối rubic lập phương có cạnh bằng 8cm (Bỏ các khe hở của khối rubic, xem thể tích của khe hở không đáng kể). 512 A. 24 cm3 . B. 8 cm3 . C. 512 cm3 . D. cm3 . 3 Câu 15. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp ◦ với mặt đáy một √ góc 60 . Tính theo √a thể tích V của khối √ chóp S.ABCD. 3 3 a 6 a3 6 a3 6 a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 6 2 3 3 Câu 16. Cho lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a. Hình 0 chiếu vuông góc của cạnh √ của A lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm0 H 0 BC và A H = a 3. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC.A B0 C 0 . 3a3 3a3 A. V = 3a3 . B. V = a3 . C. V = . D. V = . 4 2 70  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện TOÁN 12 Câu 17. Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a. Thể tích của khối chóp đã √ cho bằng √ √ 4 2a3 8a3 8 2a3 2 2a3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 √ Câu 18.√Cho hình chóp đều S.ABCD có chiều cao bằng a 2 và độ dài cạnh bên bằng a 6. √ Tính thể tích khối chóp √ S.ABCD. √ √ 8a3 2 10a3 2 8a3 3 10a3 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 19. Cho khối lăng trụ √ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và thể tích của khối lăng trụ bằng 2 3. Tính cạnh của khối lăng trụ. A. 6. B. 4. C. 3. D. 2. Câu 20. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) (tham khảo hình √ vẽ). Biết thể tích a3 3 của khối chóp S.ABC là và góc giữa hai 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc nhọn α. Chọn phát biểu đúng. A. α = 60◦ . B. α = 45◦ .√ 3 . C. α = 30◦ . D. tan α = 2 S A C B Câu 21. Cho tứ diện MNPQ. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh VMIJK MN, MP, MQ. Tỉ số bằng VMNPQ 1 1 1 1 B. . C. . D. . A. . 3 4 8 6 Câu 22. Cho hình chóp S.ABC, gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA, SB. VS.ABC Tính tỉ số . VS.MNC 1 1 C. 2. D. . A. 4. B. . 2 4 Câu 23. Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, AD sao cho MA = MB, NA = 2NC, PA = 3PD. Biết thể tích khối tứ diện AMNP bằng V thì khối tứ diện ABCD tính theo V có giá trị là A. 4V . B. 6V . C. 12V . D. 8V . Câu 24. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích 48. Trên SA0 các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt lấy các điểm A0 , B0 , C 0 và D 0 sao cho = SA 0 0 0 SC 1 SB SD 3 = và = = . Tính thể tích V của khối đa diện S.A0 B0 C 0 D 0 . SC 3 SB SD 4 3 A. V = 4. B. V = 9. C. V = . D. V = 6. 2 Câu 25. Cho khối lăng trụ ABC.A0 B0 C 0 có thể tích bằng V . Thể tích của khối đa diện ABCC 0 B0 bằng 3V 2V V V A. . B. . C. . D. . 4 3 2 4 Câu 26. Một bể cá hình hộp chữ nhật có thể tích 0,36m3 . Biết kích thước của đáy bể lần lượt bằng 0,5m và 1,2m. Chiều cao của bể cá bằng A. 0,65m. B. 0,6m. C. 0,7m. D. 0,5m. Câu 27. Tính thể tích của khối gỗ có hình dạng dưới đây 14cm 4cm 15cm 7cm 6cm A. 328cm . B. 456cm3 . 3  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 71 C. 584cm3 . D. 712cm3 .  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện TOÁN 12 Câu 28. Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái hộp này. √ A. 4800cm3 . B. 9600cm3 . C. 2400cm3 . D. 2400 3cm3 . Câu 29. Một người bán gạo muốn đóng một thùng tôn đựng gạo có thể tích không đổi bằng 8m3 , thùng tôn hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, không nắp. Trên thị trường, giá tôn làm đáy thùng là 100.000 đồng/m2 , giá tôn làm thành xung quanh thùng là 50.000 đồng/m2 . Hỏi người bán gạo đó cần đóng thùng đựng gạo với cạnh đáy bằng bao nhiêu để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất? A. 3m. B. 1,5m. C. 2m. D. 1m. 10 m 25m 4m 2m Câu 30. Các kích thước của một bể bơi được cho trên hình vẽ (mặt nước có dạng hình chữ nhật). Hãy tính xem bể bơi chứa được bao nhiêu mét khối nước khi nó đầy ắp nước? A. 1000m3 . B. 640m3 . 3 C. 570m . D. 500m3 . 7m L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK GT12). Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a. Câu 2 (SGK GT12). Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A0 , B0 , C 0 khác với S. Chứng minh rằng VS.A0 B0 C 0 SA0 SB0 SC 0 · · = VS.ABC SA SB SC Câu 3 (SGK GT12). Cho hình lập phương ABCD.A0 B0 C 0 D 0 cạnh a. Gọi M là trung điểm của A0 B0 , N là trung điểm của BC. a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN b) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A, (H 0 ) là khối đa diện còn lại. V(H) Tính tỉ số . V(H 0 ) d Vocabulary volume thể tích area diện tích  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ base mặt đáy height chiều cao 72 ratio tỉ số rectangular hình hộp chữ nhật  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Chương 2. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2. TOÁN 12 MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU §1.KHÁI NIỆM VỀ KHỐI TRÒN XOAY Đặt vấn đề Xung quanh chúng ta có nhiều vật thể mà mặt ngoài của nó có hình dạng là những mặt tròn xoay như bình hoa, nón lá, cái bát (chén) ăn cơm, cái cốc uống nước, một số chi tiết máy… Nhờ có bàn xoay với sự khéo léo của đôi bàn tay, người thợ gốm có thể tạo nên những vật dụng có dạng tròn xoay bằng đất sét. Dựa vào sự quay tròn của trục máy điện, người thợ cơ khí có thể tạo nên những chi tiết máy bằng kim loại có dạng tròn xoay. Vậy các mặt tròn xoay được hình thành như thế nào? 1 SỰ TẠO THÀNH MẶT TRÒN XOAY Trong không gian cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và một đường C . Khi . . . . . . mặt phẳng (P) quanh ∆ một góc . . . . . . thì mỗi điểm M trên đường C vạch ra một đường . . . . . . có tâm O ∈ ∆ và nằm trên mặt phẳng vuông góc với ∆. Như vậy khi quay mặt phẳng (P) quanh đường thẳng ∆ thì đường C sẽ tạo nên một hình được gọi là . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Đường C được gọi là . . . . . . . . . . . . • Đường thẳng ∆ được gọi là . . . . . . Nếu C là đường thẳng cắt ∆ thì ta được một mặt . . . . . . tròn xoay, nếu C là đường thẳng song song với ∆ thì ta được một mặt . . . . . . tròn xoay. 2 MẶT NÓN TRÒN XOAY 1 Định nghĩa Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và ∆ . . . . . . nhau tại điểm O và tạo thành góc β với . . . < β < . . . Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh ∆ thì đường thẳng d sinh ra một mặt . . . . . . . . . được gọi là mặt . . . . . . tròn xoay đỉnh O, gọi tắt là . . . . . . . . . . . . Đường thẳng . . . . . . gọi là trục, đường thẳng . . . . . . gọi là đường sinh. 2 Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay Cho tam giác OIM vuông tại I. Khi quay 4OIM quanh cạnh OI thì đường . . . . . . . . . OIM tạo thành một . . . . . . được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là . . . . . . . . . . . . • Hình tròn tâm I, bán kính IM gọi là . . . . . . . . . • Điểm O gọi là . . . . . . của hình nón • Đoạn OI gọi là . . . . . . . . ., đoạn OM là độ dài ............ Khối nón tròn xoay là phần . . . . . . . . . . . . được giới hạn bởi một . . . . . . nón tròn xoay, kể cả . . . . . . nón đó.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 73  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Khái niệm về khối tròn xoay TOÁN 12 Ví dụ 1. Cho tam giác đều ABC cạnh 3cm, gọi H là trung điểm của cạnh BC. Nếu xoay 4ABC quanh đường cao AH thì ta thu được một hình nón có chiều cao h = . . . . . .cm, độ dài đường sinh ` = . . . . . .cm và diện tích đáy Sđ = . . . . . . . . . 3 Diện tích và thể tích Cho hình nón có chiều cao h, độ dài đường sinh ` và bán kính đáy r. Khi đó: Diện tích xung quanh Diện tích toàn phần Thể tích Ví dụ 2. Cho hình nón có chiều cao h = 4cm và bán kính đáy r = 3cm. Hãy tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón tạo bởi hình nón đã cho. 3 MẶT TRỤ TRÒN XOAY 1 Định nghĩa Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng ` và ∆ . . . . . . . . . . . . với nhau, cách nhau một khoảng r. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh ∆ thì đường thẳng ` sinh ra một mặt . . . . . . . . . được gọi là mặt . . . . . . tròn xoay, gọi tắt là . . . . . . . . . . . . Đường thẳng . . . . . . gọi là trục, đường thẳng . . . . . . gọi là đường sinh, r là . . . . . . . . . của mặt trụ đó. 2 Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay Cho hình chữ nhật ABCD. Khi quay ABCD quanh cạnh AB thì đường . . . . . . . . . ADCB tạo thành một . . . . . . được gọi là hình trụ tròn xoay, gọi tắt là . . . . . . . . . . . . • Hình tròn tâm A, bán kính AD gọi là . . . . . . . . . • Đoạn AB gọi là . . . . . . . . ., đoạn CD là độ dài . . . . . . . . . . . . Khối trụ tròn xoay là phần . . . . . . . . . . . . được giới hạn bởi một . . . . . . trụ tròn xoay, kể cả . . . . . . trụ đó. Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD cạnh 3cm, gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Nếu xoay ABCD quanh đường thẳng MN thì ta thu được một hình . . . . . . có chiều cao h = . . .cm, độ dài đường sinh ` = . . .cm và diện tích đáy Sđ = . . . . . . . . .. 3 Diện tích và thể tích Cho hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r. Khi đó: Diện tích xung quanh Diện tích toàn phần Thể tích Ví dụ 4. Hộp sữa đặc Ông Thọ có chiều cao 8cm và đường kính đáy 7, 5cm. Hãy tính diện tích phần nhãn dán bao quanh thân hộp sữa và dung tích sữa tối đa trong hộp.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 74  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Khái niệm về khối tròn xoay 4 TOÁN 12 THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM Câu 1. Gọi l, h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của một khối nón. Thể tích V của khối nón đó là 1 1 A. V = πR2 h. B. V = πR2 h. C. V = πR2 l. D. V = πR2 l. 3 3 Câu 2. Thể tích của khối trụ có bán kính đáy R và chiều cao h là 4 1 A. V = 2πR2 h. B. V = πR2 h. C. V = πR2 h. D. V = πR2 h. 3 3 Câu 3. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 2a, một mặt phẳng đi qua trục của hình trụ và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông. Tính thể tích V của khối trụ đã cho. A. V = 18πa3 . B. V = 4πa3 . C. V = 8πa3 . D. V = 16πa3 . Câu 4. Cho hình trụ có bán kính đáy r = 3 và diện tích xung quanh S = 6π. Tính thể tích V của khối trụ. A. V = 3π. B. V = 9π. C. V = 18π. D. V = 6π. Câu 5. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a. Tính thể tích của khối trụ đã cho. πa3 πa3 πa3 πa3 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 12 6 2 4 Câu 6. Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và CD thuộc hai đáy của hình trụ, biết AB = 4a, AC = 5a. Tính thể tích của khối trụ. A. V = 4πa3 . B. V = 16πa3 . C. V = 12πa3 . D. V = 8πa3 . Câu 7. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, BC = b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính thể tích khối trụ thu được khi quay hình chữ nhật ABCD quanh trục MN. πa2 b πa2 b πa2 b . B. V = πa2 b. C. V = . D. V = . A. V = 4 12 3 Câu 8. Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng 4, diện tích xung quanh bằng 48π. Tính thể tích của khối trụ đã cho. A. V = 24π. B. V = 32π. C. V = 96π. D. V = 72π. Câu 9. Một hình trụ có đường kính đáy 12cm, chiều cao 10cm. Thể tích khối trụ này là A. 1440π cm3 . B. 360π cm3 . C. 480π cm3 . D. 1440 cm3 . Câu 10. Một khối nón có độ dài đường sinh l = 13cm và bán kính đáy r = 5cm. Tính thể tích khối nón đã cho. A. V = 100πcm3 . B. V = 300πcm3 . 325π 3 C. V = 20πcm3 . D. V = cm . 3 Câu 11. Cho hình nón (N) có chiều cao h, bán kính đáy R và độ dài đường sinh l. Công thức tính diện tích xung quanh S của (N) là 1 B. S = πRl. C. S = 4πR2 . D. S = 2πRl. A. S = πRl. 3 Câu 12. Cho một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình chữ nhật có diện tích bằng 18. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đã cho. A. Sxq = 9. B. Sxq = 18. C. Sxq = 9π. D. Sxq = 18π. Câu 13. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông. Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. Tính giá trị của S1 . S2 1 2 3 4 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 5 Câu 14. Cắt một hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng 3a. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho. 9πa2 13πa2 27πa2 A. Stp = . B. Stp = . C. Stp = 9πa2 . D. Stp = . 2 6 2 Câu 15. Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy R = 3 và đường sinh l = 6 bằng A. 54π. B. 18π. C. 108π. D. 36π.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 75  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Khái niệm về khối tròn xoay TOÁN 12 Câu 16. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a, chiều cao bằng 3a. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng A. 6πa2 . B. 3πa2 . C. 9πa2 . D. 4πa2 . Câu 17. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 4a và chiều cao bằng 3a. Diện tích xung quanh của hình nón bằng A. 18πa2 . B. 20πa2 . C. 12πa2 . D. 15πa2 . Câu 18. Tính chiều cao h của khối nón có bán kính đáy bằng 3 và thể tích bằng 36π. A. h = 18. B. h = 12. C. h = 6. D. h = 16. Câu 19. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = 2a. Tính độ dài đường sinh l của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh trục AB. √ B. l = 2a. A. l = a√2. √ D. l = a 5. C. l = a 3. B a ? A Câu 20. b = 30◦ . Cho tam giác OAB vuông tại O có AB = a và góc A Tính diện tích xung quanh của hình nón có được khi quay tam giác OAB quanh trục AO. πa2 πa2 A. . B. 2πa2 . C. πa2 . D. . 4 2 2a C A 30◦ a O B Câu 21. Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3πa2 và bán kính đáy bằng 2a. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng √ 3a . B. 3a. C. 2a. D. A. 2a 2. 2 Câu 22. Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích xung quanh của hình nón √ đã cho. πa2 πa2 2 A. Sxq = . B. Sxq = . 2 2 3πa2 C. Sxq = . D. Sxq = πa2 . 2 Câu 23. Tìm bán kính đáy của hình nón có diện tích xung quanh là 3πa2 và độ dài đường sinh là 3a. A. 3a. B. a. C. 2a. D. 4a. Câu 24. Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3πa2 và bán kính đáy bằng a. Tính tang của góc giữa một đường sinh và mặt√đáy của hình nón. √ 2 2 1 A. 8. B. 2 2. C. . D. . 3 3 Câu 25. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng a. Tính diện tích mặt xung quanh của hình nón đã cho. 1 2 1 A. πa2 . B. πa2 . C. πa2 . D. πa2 . 2 3 3 √ Câu 26. Cho hình nón có bán kính đáy r = 2 và độ dài đường sinh l = 3. Tính diện tích xung quanh của hình nón √ đã cho. √ C. Sxq = 6π. D. Sxq = 6π 2. A. Sxq = 2π. B. Sxq = 3π 2. Câu 27. Cho hình nón có bán kính đáy bằng a, chiều cao 2a. Độ dài đường sinh của hình√nón bằng √ √ A. a 3. B. 2a 3. C. a 5. D. 4a. Câu 28. Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và độ dài đường sinh bằng 2a. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng A. 4πa2 . B. 2a2 . C. 2πa2 . D. 3πa2 .  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ Câu 29. Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và độ dài đường sinh bằng 3a. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng 3 A. 3πa2 . B. 2πa2 . C. πa2 . D. πa2 . 2 76  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §1. Khái niệm về khối tròn xoay TOÁN 12 Câu 30. Bình Định có câu ca dao: "Cưới nàng đôi nón Gò Găng Xấp lãnh An Thái một khăn trầu nguồn." Nói đến câu ca dao này là nói đến một làng nghề truyền thống có hàng trăm năm tuổi của thị xã An Nhơn, tỉnh Bình Định - làng nghề làm nón lá Gò Găng. Nhân kỷ niệm 10 năm được công nhận thị xã, thị xã An Nhơn lên kế hoạch làm các mô hình biểu tượng làng nghề truyền thống trên địa bàn, trong đó có mô hình chiếc nón lá Gò Găng. Chiếc nón có bán kính đáy 1 mét và chiều cao 1, 5 mét, khung thép dùng làm đường tròn đáy và 10 đường nối từ đỉnh của nón đến đường tròn đáy có giá thành 40.000 đồng/mét, là của cây lá nón Licuala Fatoua Becc dùng để làm mặt nón có giá thành 20.000 đồng/mét vuông. Hỏi nếu bỏ qua diện tích các mép nối thì kinh phí để làm chiếc nón biểu tượng này là bao nhiêu? A. 1.085.000 đồng. B. 1.086.000 đồng. C. 834.000 đồng. D. 833.000 đồng. L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK GT12). Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho b) Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó. c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện đó. Câu 2 (SGK GT12). Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm. a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tạo nên b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên. d Vocabulary circular tròn xoay conical surface mặt nón cylinder surface mặt trụ  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ generator line đường sinh axis trục radius bán kính 77 curved surface area diện tích xung quanh surface area diện tích toàn phần cross-section thiết diện  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Mặt cầu TOÁN 12 §2.MẶT CẦU Đặt vấn đề Hình dạng của Trái Đất rất gần với hình phỏng cầu là hình cầu bị nén dọc theo hướng từ địa cực tới chỗ phình ra ở xích đạo. Phần phình ra này là kết quả của quá trình tự quay và khiến cho độ dài đường kính tại đường xích đạo dài hơn 43 km so với độ dài đường kính tính từ cực tới cực. Độ dài đường kính trung bình của hình phỏng cầu tham chiếu vào khoảng 12.745 km. (Theo Wikipedia) Nếu xem Trái Đất là một hình cầu với đường kính như trên thì diện tích bề mặt của Trái Đất là bao nhiêu km2 ? 1 MẶT CẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU 1 Mặt cầu Tập hợp những điểm M trong . . . . . . . . . . . . cách điểm O cố định một khoảng . . . . . . . . . . . . bằng r > 0 được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r. Kí hiệu: . . . . . . . . . • Nếu hai điểm C, D ∈ S (S; r) thì đoạn thẳng CD gọi là . . . . . . . . . . . .. • Dây cung đi qua tâm được gọi là . . . . . . . . . . . . của mặt cầu. 2 Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu Cho mặt cầu S (O; r) và điểm M bất kì. ! • Nếu OM = r thì M nằm . . . . . . mặt cầu S (O; r) • Nếu OM < r thì M nằm . . . . . . mặt cầu S (O; r) • Nếu OM > r thì M nằm . . . . . . mặt cầu S (O; r) Tập hợp các điểm A sao cho OA ≤ r được gọi là . . . . . . cầu hay . . . . . . cầu tâm O bán kính r. 3 Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu ¹ Giao . . . . . . . . . của mặt cầu với các nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến của mặt cầu. ¹ Giao tuyến của mặt cầu với các mặt phẳng . . . . . . . . . . . . với trục (nếu có) được gọi là . . . . . . . . . . . . của mặt cầu. ¹ Hai giao . . . . . . của mặt cầu với trục được gọi là cực của mặt cầu. 2 GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Cho mặt cầu S (O; r) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (P), khi đó OH = d (O, (P)). ○ Nếu OH > r thì (P) và (S) . . . . . . . . . điểm chung. ○ Nếu OH = r thì (P) . . . . . . . . . với (S) tại . . .. Khi đó, (P) gọi là . . . . . . . . . . . ., H gọi là . . . . . . . . . . . . ○ Nếu OH < r thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là . . . . . . . . . . . . tâm . . ., bán kính r 0 = . . . . . . . . . (Pitago).  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 78  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Mặt cầu TOÁN 12 OH . . . r OH . . . r 3 OH . . . r GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG. TIẾP TUYẾN Cho mặt cầu S (O; r) và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên ∆, khi đó OH = d (O, ∆). ○ Nếu OH > r thì ∆ và (S) . . . . . . . . . điểm chung. ○ Nếu OH = r thì ∆ . . . . . . . . . với (S) tại . . .. Khi đó, ∆ gọi là . . . . . . . . . . . ., H gọi là . . . . . . . . . . . . ○ Nếu OH < r thì ∆ cắt (S) tại . . . điểm. OH . . . r OH . . . r OH . . . r Nhận xét. • Qua một điểm M nằm trên mặt cầu, có . . . . . . tiếp tuyến với mặt cầu. Các tiếp tuyến này tạo thành một . . . . . . . . . . . . của mặt cầu. • Qua một điểm M nằm ngoài mặt cầu, có . . . . . . tiếp tuyến với mặt cầu. Các tiếp tuyến này tạo thành một . . . . . . . . . đỉnh A. • Nếu OM > r thì M nằm . . . . . . mặt cầu S (O; r) 4 DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH Cho mặt cầu bán kính r. Khi đó: Diện tích Thể tích Ví dụ 1. Có một con quạ đang khát nước. Nó tìm thấy một cái hộp hình trụ tròn có bán kính đáy 5cm và cao 20cm. Trong hộp ước chừng có khoảng 1 lít nước. Nó bay ra bờ sông và tìm thấy mấy viên bi của các bạn nhỏ lớp sáu bỏ lại, nó dùng mỏ gắp từng viên và bỏ vào trong hộp. Biết rằng mỗi viên bi có đường kính 1cm, hỏi con quạ cần bỏ vào tối thiểu bao nhiêu viên bi để nước dâng lên đến miệng hộp?  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 79  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Mặt cầu 5 TOÁN 12 THỰC HÀNH Í TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho hình cầu có diện tích S và bán kính R. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 4 A. S = πR3 . B. S = 2πR2 . C. S = πR2 . D. S = 4πR2 . 3 8πa2 . Tính bán kính R của mặt cầu Câu 2. Cho mặt cầu cầu có diện tích bằng 3 đó. √ √ √ √ a 6 a 6 a 2 a 6 A. R = . B. R = . C. R = . D. R = . 3 2 3 6 Câu 3. Cho mặt cầu có bán kính R = 3. Thể tích mặt cầu đó bằng 81 4π A. 9π. B. π. C. 36π. D. . 4 3 Câu 4. Cho mặt cầu có thể tích A. 1. B. 2. 16π . Tính đường kính mặt cầu đã cho. 3 C. 4. D. 4π. Câu 5. Cho mặt cầu có bán kính R = 3. Diện tích hình tròn qua tâm bằng A. 3π. B. 6π. C. 4π. D. 9π. Câu 6. Một khối cầu có đường kính bằng 10cm. Người ta dùng một mặt phẳng cách tâm khối cầu 3cm để cắt khối cầu thành hai phần. Diện tích của mặt cắt bằng A. 16cm. B. 16πcm2 . C. 16cm2 . D. 16πcm3 . Câu 7. Trong các lăng trụ sau, lăng trụ nào nội tiếp được trong một mặt cầu? A. B. C. D. Lăng Lăng Lăng Lăng trụ trụ trụ trụ có đáy là hình chữ nhật. có đáy là hình vuông. đứng có đáy là hình thoi. đứng có đáy là hình thang cân. Câu 8. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? A. B. C. D. Bất Bất Bất Bất kì kì kì kì một một một một hình hình hình hình tứ diện nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. Câu 9. Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là a, b, c. Khi đó bán kính r của mặt cầu bằng √ 1√ 2 A. a + b2 + c2 . B. a2 + b2 + c 2 . 2 √ p a2 + b2 + c 2 C. 2 (a2 + b2 + c2 ). D. . 3 Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b, AC = c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A, B, C, S có bán kính r bằng √ 2(a + b + c) . B. 2 a2 + b2 + c2 . A. 3 √ 1√ 2 C. a + b2 + c2 . D. a2 + b2 + c 2 . 2 L TỰ LUẬN Câu 1 (SGK GT12). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. Câu 2 (SGK GT12). Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 80  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận §2. Mặt cầu TOÁN 12 d Vocabulary sphere mặt cầu inscribe nội tiếp chord dây cung circumscribe ngoại tiếp diameter đường kính tangent plane tiếp diện meridian of longitude kinh tuyến  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ parallel of of latitude vĩ tuyến 81  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 PHỤ LỤC 1 HÀM SỐ 1 Tập xác định của hàm số Tập xác định của hàm số y = f (x) là tập hợp các số thực x sao cho biểu thức f (x) XÁC ĐỊNH (có nghĩa). √ • A xác định khi A ≥ 0. A xác định khi B 6= 0. • B 2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ Cho hàm số y = f (x) có tập xác định D. ( ∀x ∈ D Ñ −x ∈ D f (x) chẵn ⇔ f (−x) = f (x) y ( f (x) lẻ ⇔ ∀x ∈ D Ñ −x ∈ D f (−x) = −f (x) y O x x O Đồ thị hàm chẵn nhận trục tung làm Đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa độ làm TÂM TRỤC ĐỐI XỨNG ĐỐI XỨNG 3 Một vài hàm số thông dụng “ Hàm hằng x=d y y=c c d Hàm hằng là hàm số có dạng y = c (c là hằng số). Hàm hằng có đồ thị là đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung tại điểm có giá trị là c. Tương tự, đường thẳng x = d song song với trục tung, cắt trục hoành tại điểm có giá trị bằng d. x “ Hàm số bậc nhất một ẩn (Hàm số tuyến tính) O Dạng: y = ax + b (a 6= 0 gọi là hệ số góc). y = 2x + 3 y • Đồ thị: đường thẳng. ( a > 0 Đồng biến trên R • Sự biến thiên: a < 0 Nghịch biến trên R. y = 2x ! x O Hai đường thẳng y = 2x + 3 và y = 2x có hệ số góc bằng nhau nên song song. Cho hai đường thẳng ∆1 : y = a1 x + b1 và ∆2 : y = a2 x + b2 , khi đó: ◦ ∆ 1 ∥ ∆ 2 ⇔ a1 = a2 . ◦ ∆1 ⊥∆2 ⇔ a1 · a2 = −1. “ Hàm số bậc hai một ẩn Hàm số y = ax 2 + bx + c (a 6= 0) có tập xác định R, đồ thị là một parabol:   b ∆ • Đỉnh: I − ; − . 2a 4a b • Trục đối xứng: x = − . 2a • Bề lõm hướng lên nếu a > 0, hướng xuống nếu a < 0. • Bảng biến thiên:  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 82  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 a>0 x a<0 b − 2a −∞ x +∞ +∞ −∞ − +∞ − y y ∆ − 4a b 2a +∞ ∆ 4a −∞ −∞ 4 Xét dấu biểu thức  Nhị thức bậc nhất f (x) = ax + b (a 6= 0) x −∞ − f (x) b a +∞ Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a  Tam thức bậc hai f (x) = ax + bx + c (a 6= 0) 2 • ∆<0 x −∞ +∞ f (x) Cùng dấu với a • ∆=0 x −∞ f (x) Cùng dấu với a • ∆>0 x b 2a − +∞ Cùng dấu với a 0 x1 −∞ f (x) 0 CÙNG x2 0 TRÁI +∞ CÙNG Hệ quả ! ( a>0 • ax + bx + c ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆≤0 ( a>0 • ax 2 + bx + c > 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆<0 ( a<0 • ax + bx + c ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆≤0 ( a<0 • ax 2 + bx + c < 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆<0 2 2 5 Giới hạn của hàm số  Giới hạn một bên • lim+ f (x) Giới hạn bên phải (x > x0 ). xÏx0 • lim− f (x) Giới hạn bên trái (x < x0 ).  lim+ f (x) = L   xÏx 0 • lim f (x) = L ⇔ xÏx0  f (x) = L lim  − xÏx0 y  Hàm số liên tục xÏx0 • Hàm số f (x) liên tục tại x0 ⇔ lim f (x) = f (x0 ). xÏx0 O 2 x • Hàm đa thức liên tục trên R. • Hàm số lượng giác, hàm phân thức. . . liên tục TRÊN TỪNG KHOẢNG của tập xác định. 6 Đạo hàm của hàm số x+1 Hàm số y = liên tục x−2 trên khoảng (−∞; 2) và (2; +∞).  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ ♥ Quy tắc tính đạo hàm • (u ± v)0 = u0 ± v 0 0 0  u 0 • • (u · v) = u · v + u · v 0 83 • v yx0 = u0 · v − u · v 0 v2 = yu0 · ux0 (hàm hợp)  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 ♥ Đạo hàm của một số hàm thường gặp
0 • hằng số = 0 • (sin x)0 = cos x • (x n )0 = n · x n−1 • (cos x)0 = − sin x 0 ◦ (x) = 1  0 1 1 ◦ =− 2 x x √
0 1 ◦ x = √ 2 x • (tan x)0 = 1 = 1 + tan2 x cos2 x • (cot x)0 = − ♥ Đạo hàm cấp n: y (n) = y (n−1) ♥ Vi phân: dy = y 0 · dx   1 = − 1 + cot2 x 2 sin x
0 Ứng dụng của đạo hàm • Trong Vật Lý: Nếu một chất điểm chuyển động theo phương trình s (t) thì ◦ Vận tốc tức thời tại thời điểm t là v (t) = s0 (t). ◦ Gia tốc tức thời tại thời điểm t là a (t) = v 0 (t). • Trong Hình Học: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm M (x0 ; y0 ) là y = f 0 (x0 ) · (x − x0 ) + y0 ◦ y0 = f (x0 ). ◦ f 0 (x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến. 2 PHƯƠNG TRÌNH 1 Phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a 6= 0) • ∆ < 0: Phương trình vô nghiệm. b . 2a √  −b + ∆ x = 2a√ • ∆ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt   −b − ∆ x= 2a • ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép x = − Trường hợp đặc biệt  x=1 • a+b+c =0Ñ c. x= a  x = −1 • a−b+c =0Ñ c. x=− a Định lý Vi-ét • Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a 6= 0) có hai nghiệm x1 , x2 thì  x1 + x2 = S = − b ca x · x = P = 1 2 a • Nếu hai số u, v có tổng u + v = S và tích u · v = P thì u, v là hai nghiệm của phương trình x 2 − Sx + P = 0. 2 Phương trình bậc 4 trùng phương ax 4 + bx 2 + c = 0 • Đặt t = x 2 (t ≥ 0). • Giải phương trình at 2 + bt + c = 0. • Chọn nghiệm t ≥ 0. • Kết luận nghiệm x.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 84  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 3 Phương trình tích  A (x) = 0 B (x) = 0  A (x) · B (x) · · · Z (x) = 0 ⇔  … Z (x) = 0 4 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối  g (x) ≥ 0  ” • |f (x)| = g (x) ⇔ f (x) = g (x)   f (x) = −g (x) • |f (x)| = |g (x)| ⇔ ” f (x) = g (x) f (x) = −g (x) 5 Phương trình vô tỉ ( p • 3 f (x) = g (x) ⇔ g (x) ≥ 0 f (x) = [g (x)]2 ”   f (x) ≥ 0 p p g (x) ≥ 0 • f (x) = g (x) ⇔   f (x) = g (x) LŨY THỪA VÀ CĂN THỨC 1 Lũy thừa an = a | · a{z· · · a} (n ∈ N∗ ) n số a • a gọi là cơ số, n gọi là số mũ. • 0n = 0, 1n = 1. • Lũy thừa bậc 2 gọi là bình phương, lũy thừa bậc 3 gọi là lập phương. Tính chất • Với a, b 6= 0 và m, n ∈ Z, ta có ◦ a0 = 1, a1 = a. 1 (n ∈ N∗ ). a = am · an . am = n. a ◦ a−n = ◦ am+n ◦ am−n ( • Với m>n ( Với a>1 thì am > an 0n thì am < an ◦ am.n = (am )n . √ m ◦ a n = n am (a > 0, n ∈ N∗ ). ◦ (a · b)n = an · bn .  a n an = n. ◦ b b ( a>b>0 • Với thì an > bn n>0 ( a>b>0 Với thì an < bn n<0 2 Căn bậc n Cho số tự nhiên n ≥ 2, số b được gọi là căn bậc n của số a nếu bn = a, kí hiệu: b = • Nếu n lẻ thì có duy nhất một căn bậc n của a. • Nếu n chẵn và a ≥ 0 thì có 2 căn bậc n của a là  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 85 √ n √ n a. √ a và − n a.  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 4 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC 1 Điểm và đường trong tam giác A Ù Đường trung bình M B N C A • Mỗi tam giác có 3 đường trung bình. Ù Đường trung tuyến và trọng tâm M N G B • Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh, nó luôn song song và bằng một nửa độ dài của cạnh còn lại. C K A • Đường trung tuyến là một đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. • Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến, chúng đồng quy tại một điểm, gọi là TRỌNG TÂM. Khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh bằng 2/3 độ dài trung tuyến ứng với đỉnh đó. Ù Đường cao và trực tâm N M H B C K A Ù Đường trung trực và tâm đường tròn ngoại tiếp M • Mỗi đoạn thẳng đều có duy nhất một đường trung trực, do đó mỗi tam giác cũng có 3 đường trung trực. N O B • Đường cao của một tam giác là đoạn thẳng hạ từ một đỉnh xuống cạnh đối diện (còn gọi là cạnh đáy ứng với đỉnh đó) và vuông góc với cạnh đó. • Mỗi tam giác có 3 đường cao, chúng đồng quy tại một điểm, gọi là TRỰC TÂM. C K • Ba đường trung trực đồng quy tại một điểm, chính là TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP của tam giác, nó cách đều 3 đỉnh của tam giác. Ù Đường phân giác và tâm đường tròn nội tiếp A • Đường phân giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh đến cạnh đối diện và chia góc ở đỉnh làm 2 phần có số đo góc bằng nhau. • Mỗi tam giác có 3 đường phân giác, chúng đồng quy tại một điểm, chính là TÂM I B ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP tam giác. C 2 Định lý sin & định lý cosin Ù Định lý cosin A c ma Ù Định lý sin b c a = = = 2R sin A sin B sin C • a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A b • b2 = a2 + c2 − 2ac · cos B • c2 = a2 + b2 − 2ab · cos C B a C • Số đo góc b2 + c 2 − a2 cos A = 2bc a2 + c 2 − b2 cos B = 2ac a2 + b2 − c 2 cos C = 2ab • Độ dài trung tuyến
2 b2 + c 2 − a2 2 ma = 4
2 a2 + c 2 − b2 2 mb = 4
2 a2 + b2 − c 2 2 mc = 4 Ù Chu vi & diện tích • Chu vi = a + b + c. • Nửa chu vi p = a+b+c . 2 Diện tích 1 1 1 • S = a · ha = b · hb = c · hc . 2 2 2 1 1 1 • S = ab · sin C = bc · sin A = ca · sin B. 2 2 2 a·b·c • S= . 4R • S = p · r (r là bán kính đường tròn nội tiếp). p • S = p (p − a) (p − b) (p − c) (Công thức Heron).  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 86  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 Ù Tam giác bằng nhau & tam giác đồng dạng d Tam giác bằng nhau d Tam giác đồng dạng Hai tam giác được gọi là bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau. Hai tam giác được gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau (theo cùng một tỉ số) và các góc tương ứng bằng nhau. • Ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau (cạnh – cạnh – cạnh). • Ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau, tỉ số đó được gọi là tỉ số đồng dạng. • Hai cặp cạnh tương ứng và một cặp góc xen giữa bằng nhau (cạnh – góc – cạnh). • Hai cặp góc tương ứng bằng nhau. • Hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau và một cắp góc xen giữa bằng nhau. • Hai cặp góc tương ứng và một cặp cạnh bất kì bằng nhau (góc – cạnh – góc). 3 Phân loại tam giác Ù Tam giác cân A Tam giác cân là tam giác có 2 cạnh bất kỳ độ dài bằng nhau, hai cạnh này được gọi là hai cạnh bên, cạnh còn lại được gọi là cạnh đáy. • Hai cạnh bên chung nhau đỉnh nào thì tam giác sẽ cân tại đỉnh đó và hai góc ở đáy bằng nhau. • Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh cũng là đường cao và là đường phân giác. B Ù Tam giác đều C M Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh bằng nhau hoặc tương đương ba góc bằng nhau, và bằng 60◦ . Tam giác đều có √ 3 • Đường trung tuyến cũng là đường cao, có độ dài bằng cạnh · . 2 • Tâm của đường tròn nội tiếp, tâm của đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm trùng nhau. √ 3 . • Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = cạnh · 3 √ 3 • Diện tích S = (cạnh)2 · . 4 A B C M Ù Tam giác vuông Tam giác vuông là tam giác có một vuông. Nếu 4ABC vuông tại A thì C • Cạnh BC gọi là cạnh huyền, hai cạnh còn lại gọi là cạnh góc vuông, và AB2 + AC 2 = BC 2 (Định lý Pitago) BC . 2 • Nếu AH là đường cao thì AH · BC = AB · AC. • Trung tuyến AM = M H A Đối Huyền Kề cos α = Huyền sin α = α B tan α = Đối Kề cot α = Kề Đối Ù Tam giác vuông cân C Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau. Nếu 4ABC vuông cân tại A thì 1 b=C b = 45◦ . • Góc B • Diện tích S = · (cạnh)2 . √ 2 • Cạnh BC = cạnh · 2. M α A  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ B 87  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 5 HÌNH CHÓP & HÌNH LĂNG TRỤ 1 Hình chóp ␣ Hình chóp S Hình chóp là một đa diện có một mặt là đa giác phẳng (gọi là đáy), còn các mặt còn lại là các tam giác giác có chung một đỉnh không nằm trong mặt đáy (gọi là đỉnh). • Hình chóp có đáy là một n-giác cũng được gọi là hình chóp n-giác, riêng hình chóp tam giác còn được gọi là tứ diện. • Đoạn thẳng kẻ từ đỉnh và hình chiếu vuông góc của đỉnh xuống mặt đáy được gọi là đường cao của hình chóp. B A • Tổng diện tích của tất cả các mặt của hình chóp gọi là diện tích toàn phần, còn tổng diện tích các mặt bên gọi là diện tích xung quanh của hình chóp. ␣ Hình chóp đều C Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và đoạn thẳng nối đỉnh với tâm của đáy là đường cao của hình chóp. D • Các mặt bên của hình chóp đều là những tam giác cân bằng nhau. • Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều và chân đường cao trùng với trọng tâm của đáy. • Hình chóp tứ giác đều có đáy là một hình vuông và chân đường cao trùng với tâm của hình vuông. • Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có các mặt bên là tam giác đều. S S A B S B A B A I I D C Hình chóp tứ giác đều I C Hình chóp tam giác đều C Tứ diện đều 2 Hình lăng trụ A ␣ Hình lăng trụ B C Hình lăng trụ là một đa diện, có hai mặt là những n-giác bằng nhau (gọi là đáy), n mặt còn lại là các hình bình hành (gọi là mặt bên). Hình lăng trụ có hai mặt đáy song song và các cạnh bên song song. A0 B0 C0 A B C • Tổng diện tích tất cả các mặt của hình lăng trụ gọi là diện tích toàn phần, còn tổng diện tích các mặt bên gọi là diện tích xung quanh. • Chiều cao của hình lăng trụ là khoảng cách giữa hai đáy. ␣ Hình lăng trụ đứng Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy. Trong hình lăng trụ đứng • Các mặt bên là các hình chữ nhật. • Mỗi cạnh bên đều là đường cao. A0 B0 C0 • Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. ␣ Hình hộp Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành. Hình hộp có 6 mặt là hình bình hành. • Hình hộp đứng là hình hộp có các cạnh bên vuông góc với đáy, nói cách khác, hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành. • Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng có 6 mặt là hình chữ nhật. • Hình lập phương là hình lăng trụ đứng có 6 mặt là hình vuông.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 88  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 A B D A Phần này ẩn A C B D D A0 B0 D0 6 A0 B0 D0 Hình hộp C C A0 C0 B B0 D0 C0 C0 Hình lập phương Hình hộp chữ nhật VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI, GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH 1 Góc ç Đường thẳng và mặt phẳng Trong không gian, cho đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α). • Nếu ∆⊥ (α) thì (∆, (α)) = 90◦ . • Nếu ∆ không vuông góc với (α) thì (∆, (α)) = (∆, d) với d là hình chiếu vuông góc của ∆ trên (α). ç Mặt phẳng và mặt phẳng Trong không gian, cho hai mặt phẳng (α) và (β). • Nếu (α) ∥ (β) thì ((α) , (β)) = 0◦ . • Nếu (α) ∩ (β) = ∆ thì ((α) , (β)) = (a, b) với a ⊂ (α), b ⊂ (β) và a ∩ ∆ ∩ b = M. β ∆ S ((α) , (β)) = (a, b) b I H α d a α (∆, (α)) = (∆, d) ∆ 2 Khoảng cách S ç Từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm S và mặt phẳng (α). Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên (α). Khi đó SH⊥ (α) và d (S, (α)) = SH α H ç Hai mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 3 Vị trí tương đối ç Đường thẳng và đường thẳng Trong không gian, cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 . Các trường hợp sau có thể xảy ra:
• ∆1 ∩ ∆2 = M ∆1 cắt ∆2 tại giao điểm M • ∆1 ∥ ∆2 • ∆1 ≡ ∆2 • ∆1 và ∆2 chéo nhau (không đồng phẳng). ç Đường thẳng và mặt phẳng Trong không gian, cho đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α). Các trường hợp sau có thể xảy ra:  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 89  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 • ∆ ∥ (α) • ∆ ∩ (α) = M ∆ cắt (α) tại giao điểm M
• ∆ ⊂ (α) ∆ nằm trên (α)
ç Mặt phẳng và mặt phẳng Trong không gian, cho hai mặt phẳng (α) và (β). Các trường hợp sau có thể xảy ra: • (α) ∥ (β) • (α) ∩ (β) = ∆ (α) cắt (β) theo giao tuyến ∆
• (α) ≡ (β) Các định lý và hệ quả a, b cùng song song với mặt phẳng (β) thì (α) ∥ (β). • Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến ấy đồng quy hoặc đôi một song song. Ï Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của hai mặt ấy (nếu có) sẽ song song với hai đường thẳng đó, hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. • Nếu đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) thì cũng vuông góc với mọi đường thẳng d ⊂ (α). • Nếu đường thẳng ∆ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trên mặt phẳng (α) thì ∆⊥ (α). • Nếu mặt phẳng (α) chứa đường thẳng a⊥ (β) thì (α) ⊥ (β). Ï Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng thứ nhất và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng thứ hai. • Nếu đường thẳng ∆ không nằm trên mặt phẳng (α) và ∆ song song với một đường thẳng d ⊂ (α) thì ∆ ∥ (α). • Nếu (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến ∆ và (α) chứa đường thẳng a ∥ (β) thì a ∥ ∆. Ï Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó. • Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó. • Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng a, b và  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 90  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH LONG (Đề có 05 trang) Họ và tên học sinh: ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2019-2020 MÔN: TOÁN 12 THPT Thời gian làm bài 90 phút (bao gồm trắc nghiệm và tự luận) Mã đề 101 ........................................................................................ I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (40 câu, 8.0 điểm) Câu 3. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ 0 1 − f (x) +∞ 3 + 0 0 − +∞ 1 f(x) −3 −∞ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−3; 1). B. (0; +∞). C. (−∞; −2). D. (−2; 0). Câu 4. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R? x−1 A. y = . B. y = −x 3 − x − 2. C. y = x 4 + 2x 2 + 3. D. y = x 3 + x 2 + 2x + 1. x+3 Câu 5. Hình bên là đồ thị hàm số y = f 0 (x). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới y đây? A. (0; 1) và (2; +∞). B. (1; 2). C. (2; +∞). D. (0; 1). 1 O Câu 6. Giả trị cực tiểu yCT của hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 là A. yCT = 0. B. yCT = −2. C. yCT = 1. D. yCT = 4. 1 Câu 7. Số điểm cực trị của hàm số y = x 3 − 2x 2 + 4 là 3 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 2 x Câu 8. Cho hàm số f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c có đồ thị (C ). Mệnh đề nào sau đây sai? A. Đồ thị (C ) luôn có tâm đối xứng. B. Hàm số f(x) luôn có cực trị. C. Đồ thị (C ) luôn cắt trục hoành. D. lim f(x) = +∞. x→+∞ Câu 9. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: x y −∞ 0 −1 − 0 + 0 0 +∞ 1 − 0 + +∞ +∞ y 3 0 0 Giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [−1; 1] bằng A. 1. B. 3. C. −1. Câu 10. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = x − x + 13 trên đoạn [−2; 3]. 51 49 A. m = 13. B. m = . C. m = . 4 4 h πi 2 sin x + 3 Câu 11. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên 0; là sin x + 1 2 4 A. 5. D. 0. 2 B. 2. C. 3. D. m = 205 . 16 D. 5 . 2 Câu 12. Cho hàm số f(x) = x 4 − 4x 3 + 4x 2 + a . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [0; 2]. Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [−3; 2] sao cho M ≤ 2m? A. 7. B. 5. C. 6. D. 4.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 91  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 x + 2 có đồ thị (C ) Mệnh đề nào dưới đây đúng? x−1 A. Đồ thị (C ) có tiệm cận ngang y = 1. B. Đồ thị (C ) có tiệm cận ngang y = 3. C. Đồ thị (C ) không có tiệm cận. D. Đồ thị (C ) có tiệm cận đứng x = 2. Câu 13. Cho hàm số y = Câu 14. x+b có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? cx − 1 A. b < 0, c < 0. B. b < 0, c > 0. C. b > 0, c > 0. D. b > 0, c < 0. Cho hàm số y = y x O Câu 15. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây? A. y = −x 3 + 3x + 2. B. y = x 3 − 2x + 2. 3 C. y = x − 3x + 2. D. y = x 3 + 3x + 2. y 4 2 −1 Câu 16. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị hàm số nào dưới đây? x+2 −x + 1 2x − 3 A. y = . B. y = . C. y = . −2x + 4 x−2 x+2 − y −∞ 2 y O x −1 0 +∞ 3 − + 0 + +∞ y x 1 2 Câu 17. Cho hàm số y = ax 4 +bx 2 +c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a > 0, b < 0, c < 0. B. a < 0, b < 0, c < 0. C. a < 0, b > 0, c < 0. D. a > 0, b < 0, c > 0. x x y −x + 3 D. y = . 2x − 4 O Câu 18. Cho hàm số y = f(x) xác định trên R {−1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình bên. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình f(x) = m có đúng ba nghiệm thực phân biệt. A. (−4; 2). B. [−4; 2). C. (−4; 2]. D. (−∞; 2]. O1 +∞ 2 −∞ −4 x Câu 19. Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị của hàm số y = cắt đường thẳng y = x − m tại hai điểm phân biệt 1−x ◦ A, B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng 60 (O là gốc tọa độ)? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. √ Câu 20. Cho a là số thực dương. Biểu thức a2 · 3a được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là A. a 3 . B. a 3 .  √ 2019 √ 2018  Câu 21. Cho P = 5 − 2 6 5+2 6 . Ta có 4 A. P ∈ (3; 7).  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 7 C. a 3 . D. a 3 . C. P ∈ (9; 10). D. P ∈ (10; 11). 5 B. P ∈ (7; 9). 92 2  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 Câu 22. Cho các số thực a, b thỏa A. a > b. √ 2019 − √ a 2018 B. a < b.
Câu 23. Hàm số f(x) = x 2 + 2x e−x có đạo hàm
A. f 0 (x) = x 2 + 4x + 2 e−x . C. f 0 (x) = (−2x = 2) e−x . > √ 2019 − √ b 2018 C. a = b. . Kết luận nào sau đây đúng? D. a ≥ b. B. f 0 (x) = (2x + 2) e
−x . D. f 0 (x) = −x 2 + 2 e−x . Câu 24. Tìm mệnh đề đúng trong các  mệnh x đề sau: 1 A. Đồ thị hàm số y = ax và y = với 0 < a 6= 1 đối xứng với nhau qua trục Oy. a B. Đồ thị hàm số y = ax với 0 < a 6= 1 luôn đi qua điểm (a; 1). C. Hàm số y = ax với a > 1 nghịch biến trên (−∞; +∞). D. Hàm số y = ax với 0 < a < 1 đồng biến trên (−∞; +∞). Câu 25. Cho các số thực dương a, b với a 6= 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 1 A. loga2 (ab) = 2 + loga b. B. loga2 (ab) = loga b. 2 1 1 1 C. loga2 (ab) = + loga b. D. loga2 (ab) = loga b. 2 2 4 Câu 26. Với log 3 = a thì log 9000 được biểu diễn theo a bằng A. a2 . B. 3 + 2a. C. a2 + 3. D. 3a2 . Câu 27. Cho log2 5 = a và log3 5 = b. Khi đó, log6 5 tính theo a và b là 1 ab A. a2 + b2 . B. . C. . a+b a+b Câu 28. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y = log2 x. B. y = log√2 x. C. y = log2 2x. D. y = log 1 x. D. a + b. y 1 2 2 O 1 x −1 Câu 29. Ông A dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất 7, 5% một năm, để sau 5 năm, số tiền lãi đủ mua một chiếc xe máy trị giá 85 triệu đồng. Biết rằng, cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Hỏi số tiền ông A cần gửi cho ngân hàng gần nhất với số tiền nào dưới đây? A. 60 triệu đồng. B. 189 triệu đồng. C. 196 triệu đồng. D. 210 triệu đồng.
Câu 30. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = log2 x 2 − 2x + m có tập xác định là R. A. m ≥ 1. B. m ≤ 1. C. m > 1. D. m < −1. Câu 31. Tập nghiệm S của phương trình 2x+1 = 8 là A. S = {4}. B. S = {1}. C. S = {3}. D. S = {2}. Câu 32. Có bao nhiêu số thực x thỏa mãn 9log3 x = 4? A. 4. B. 0. C. 2. D. 1. Câu 33. Nghiệm thực của phương trình 9 − 4 · 3 − 45 = 0 là A. x = 9. B. x = −5 hoặc x = 9. C. x = 2 hoặc x = log3 5. x x D. x = 2. Câu 34. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 5x−1 = 2x −1 . Tính P = (x1 + 1) (x2 + 1). A. 0. B. 2 log2 5 + 2. C. 2 log2 5 − 1. D. log2 25. 2 Câu 35. Hình lăng trụ tam giác có bao nhiêu mặt? A. 6. B. 3. C. 9. D. 5. Câu 36. Một hình chóp 100 cạnh có bao nhiêu mặt? A. 53. B. 51. C. 50. D. 52. Câu 37. Trong các hình đa diện đều sau, hình nào có số đỉnh nhỏ hơn số mặt? A. Hình tứ diện đều. B. Hình 20 mặt đều. C. Hình lập phương. D. Hình 12 mặt đều. Câu 38. Số mặt phẳng đối xứng của hình chóp tứ giác đều S.ABCD là A. 2. B. 4. C. 7. D. 6. Câu 39. Cho lăng trụ ABC.A B C có thể tích V . Tính thể tích V1 của khối đa diện BCA B C theo V . 1 1 1 2 B. V1 = V . C. V1 = V . D. V1 = V . A. V1 = V . 3 3 2 4  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 93  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận 0 0 0 0 0 0 Phụ lục TOÁN 12 Câu 40. Hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích 3200cm3 , tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng bằng 2. Khi tổng diện tích các mặt của hình hộp nhỏ nhất, tính diện tích mặt đáy của hình hộp. A. 1200cm2 . B. 120cm2 . C. 160cm2 . D. 1600cm2 . √ Câu 41. Thiết diện qua trục của một hình nón tròn xoay là tam giác đều có diện tích bằng a2 3. Tính thể tích V của khối nón đã cho. √ √ √ √ πa3 3 πa3 3 πa3 6 πa3 3 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 3 2 6 6 Câu 42. Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 3 lần đường kính của đáy; một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng đường kính của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón sao cho đỉnh khối nón nằm trên mặt cầu (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu (bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh). 2 4 5 1 B. . C. . D. . A. . 2 3 9 9 II. PHẦN TỰ LUẬN (2.0 điểm) Câu 43 (0.75 điểm). Tìm các điểm cực trị hàm số f(x) = x 3 − 3x + 1. Câu 44 (0.5 điểm). Giải phương trình log2 x + log2 (x − 6) = log2 7. Câu 45 (0.75 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu của S trên (ABCD) trùng với trung 3a điểm của cạnh AB, cạnh bên SD = . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a. 2  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 94  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề có 05 trang) KÌ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2020 Bài thi: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mã đề 101 Câu 46. Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? A. y = x 3 − 3x 2 + 1. B. y = −x 3 + 3x 2 + 1. 4 2 C. y = −x + 2x + 1. D. y = x 4 − 2x 2 + 1. y O Câu 47. Nghiệm của phương trình 3x−1 = 9 là A. x = −2. B. x = 3. C. x = 2. x D. x = −3. Câu 48. Cho hàm f (x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ y0 0 + +∞ 3 − 0 + 0 +∞ 2 y −∞ −5 Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 3. B. −5. C. 0. D. 2. Câu 49. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau: x y −∞ 0 −1 − 0 +∞ 0 + 0 +∞ 1 − 0 + +∞ 4 y −1 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−∞; −1). B. (0; 1). −1 C. (−1; 1). D. (−1; 0). Câu 50. Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước 3; 4; 5. Thể tích của khối hộp đã cho bằng A. 10. B. 20. C. 12. D. 60. Câu 51. Số phức liên hợp của số phức z = −3 + 5i là A. z = −3 − 5i. B. z = 3 + 5i. C. z = −3 + 5i. D. z = 3 − 5i. Câu 52. Cho hình trụ có bán kính đáy r = 8 và độ dài đường sinh ` = 3. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 24π. B. 192π. C. 48π. D. 64π. Câu 53. Cho khối cầu có bán kính r = 4. Thể tích của khối cầu đã cho bằng 64π 256π . B. 64π. C. . D. 256π. A. 3 3 Câu 54. Với a, b là các số thực dương tùy ý và a 6= 1, loga5 b bằng 1 1 A. 5 loga b. B. + loga b. C. 5 + loga b. D. loga b. 5 5 Câu 55. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + (z + 2)2 = 9. Bán kính của (S) bằng A. 6. B. 18. C. 9. D. 3. 4x + 1 Câu 56. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = là x−1 1 A. y = . B. y = 4. C. y = 1. D. y = −1. 4 Câu 57. Cho khối nón có bán kính đáy r = 5 và chiều cao h = 2. Thể tích khối nón đã cho bằng: 10π 50π A. . B. 10π. C. . D. 50π. 3 3  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 95  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 Câu 58. Nghiệm của phương trình log3 (x − 1) = 2 là A. x = 8. B. x = 9. Z Câu 59. x 2 dx bằng A. 2x + C. C. x = 7. D. x = 10. B. 1 3 x + C. C. x 3 + C. 3 Câu 60. Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh thành một hàng dọc? A. 36. B. 720. C. 6. D. 3x 3 + C. D. 1. Câu 61. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f (x) = −1 là A. 3. B. 1. C. 0. D. 2. y 2 1 −1 O x −2 Câu 62. Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A (3; 2; 1) trên trục Ox có tọa độ là A. (0; 2; 1). B. (3; 0; 0). C. (0; 0; 1). D. (0; 2; 0). Câu 63. Cho khối chóp có diện tích đáy B = 6 và chiều cao h = 2. Thể tích của khối chóp đã cho bằng A. 6. B. 3. C. 4. D. 12. x−3 y−4 z+1 Câu 64. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d · = = . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương 2 −5 3 của d? − − − − A. Ï u2 = (2; 4; −1) . B. Ï u1 = (2; −5; 3). C. Ï u3 = (2; 5; 3). D. Ï u4 = (3; 4; 1). Câu 65. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (3; 0; 0), B (0; 1; 0) và C (0; 0; −2). Mặt phẳng (ABC) có phương trình là: x y z x y z x y z x y z A. + + = 1. B. + + = 1. C. + + = 1. D. + + = 1. 3 −1 2 3 1 −2 3 1 2 −3 1 2 Câu 66. Cho cấp số nhân (un ) với u1 = 3 và công bội q = 2. Giá trị của u2 bằng 3 A. 8. B. 9. C. 6. D. . 2 Câu 67. Cho hai số phức z1 = 3 − 2i và z2 = 2 + i. Số phức z1 + z2 bằng A. 5 + i. B. −5 + i. C. 5 − i. D. −5 − i. 3 3 Z Z Câu 68. Biết f (x) dx = 3. Giá trị của 2f (x) dx bằng 1 A. 5. 1 B. 9. C. 6. D. 3 . 2 Câu 69. Trên mặt phẳng tọa độ, biết M (−3; 1) là điểm biểu diễn số phức z. Phần thực của z bằng A. 1. B. −3. C. −1. D. 3. Câu 70. Tập xác định của hàm số y = log5 x là A. [0; +∞). B. (−∞; 0). C. (0; +∞). D. (−∞; +∞). Câu 71. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x + 3x và đồ thị hàm số y = 3x + 3x là A. 3. B. 1. C. 2. 3 2 2 Câu 72. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là √ tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 15a (tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng A. 45◦ . B. 30◦ . C. 60◦ . D. 90◦ . D. 0. S A C B  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 96  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 Câu 73. Biết F (x) = x là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên R. Giá trị của Z2 [2 + f (x)] dx bằng 2 1 A. 5. B. 3. C. D. 13 . 3 Câu 74. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x 2 − 4 và y = 2x − 4 bằng 4 4π A. 36. B. . C. . 3 3 Câu 75. Trong không gian Oxyz, cho điểm M (2; −2; 3) và đường thẳng d : và vuông góc với d có phương trình là A. 3x + 2y − z + 1 = 0. B. 2x − 2y + 3z − 17 = 0. 7 . 3 D. 36π. x−1 y+2 z−3 = = . Mặt phẳng đi qua M 3 2 −1 C. 3x + 2y − z − 1 = 0. D. 2x − 2y + 3z + 17 = 0. Câu 76. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z2 + 6z + 13 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 1 − z0 là A. N (−2; 2). B. M (4; 2). C. P (4; −2). D. Q (2; −2). Câu 77. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (1; 0; 1), B (1; 1; 0) và C (3; 4; −1). Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là y z−1 x+1 y z+1 x−1 y z−1 x+1 y z+1 x−1 = = . B. = = . C. = = . D. = = . A. 4 5 −1 2 3 −1 2 3 −1 4 5 −1 Câu 78. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có bảng xét dấu của f 0 (x) như sau: x −∞ −1 0 f (x) + 0 − 0 1 + 0 Số điểm cực đại của hàm số đã cho là A. 4. B. 1. Câu 79. Tập nghiệm của bất phương trình 3x A. (4; +∞). B. (−4; 4). 2 −13 < 27 là +∞ 2 − 0 − C. 2. D. 3. C. (−∞; 4). D. (0; 4). Câu 80. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2 và góc ở đỉnh bằng 60◦ . Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng √ √ 16 3π 8 3π A. 8π. B. . C. . D. 16π. 3 3 Câu 81. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x 3 − 24x trên đoạn [2; 19] bằng √ √ A. 32 2. B. −40. C. −32 2. D. −45. Câu 82. Cho hai số phức z = 1 + 2i và w = 3 + i. Môđun của số phức z · w bằng √ √ A. 5 2. B. 26. C. 26. D. 50. 2 Câu 83. Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 4log2 (a b) = 3a3 . Giá trị của ab2 bằng A. 3. B. 6. C. 12. D. 2. x Câu 84. Cho hàm số f (x) = √ . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g (x) = (x + 1) · f 0 (x) là x2 + 2 x 2 + 2x − 2 x−2 x2 + x + 2 x+2 √ A. + C. B. √ + C. C. √ + C. D. √ + C. 2 2 2 2 x +2 x +2 x +2 2 x2 + 2 x+4 đồng biến trên khoảng (−∞; −7) là x+m C. (4; 7). D. (4; +∞). Câu 85. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = A. [4; 7). B. (4; 7]. Câu 86. Trong năm 2019, diện tích rừng trồng mới của tỉnh A là 600 ha. Giả sử diện tích rừng trồng mới của tỉnh A mỗi năm tiếp theo đều tăng 6% so với diện tích rừng trồng mới của năm liền trước. Kể từ sau năm 2019, năm nào dưới đây là năm đầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng mới trong năm đó đạt trên 1000 ha? A. Năm 2028. B. Năm 2047. C. Năm 2027. D. Năm 2046. Câu 87. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 4a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy bằng 60◦ . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng 172πa2 76πa2 172πa2 A. . B. . C. 84πa2 . D. . 3 3 9 Câu 88.  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 97  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Phụ lục TOÁN 12 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B0 C 0 có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của 0 CC 0 (tham cách từ M đến mặt √ khảo hình bên). Khoảng √ √ phẳng (A BC) bằng√ 21a 2a 21a 2a A. . B. . C. . D. . 14 2 7 4 A0 C0 B0 M A C B Câu 89. Cho hàm số bậc bốn f (x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ f 0 (x) −1 − 0 0 + − 0 +∞ +∞ 1 0 + +∞ 3 f(x) −2 −2 Số điểm cực trị của hàm số g (x) = x 4 [f (x + 1)]2 là A. 11. B. 9. C. 7. D. 5. Câu 90. Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a, b, c, d ∈ R) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d? A. 4. B. 1. C. 2. D. 3. y O x Câu 91. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S, xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng 5 65 55 25 . B. . C. . D. . A. 42 21 126 126 Câu 92. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a và O là tâm của đáy. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA và S 0 là điểm đối xứng với S qua O. Thể tích của khối S 0 .MNPQ bằng √ chóp √ √ √ 3 20 14a 40 14a3 10 14a3 2 14a3 A. . B. . C. . D. . 81 81 81 9 Câu 93. Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn 2x + y4x+y−1 ≥ 3. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 + 4x + 6y bằng 33 65 49 57 A. . B. . C. . D. . 4 8 8 8
Câu 94. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 728 số nguyên y thỏa mãn log4 x 2 + y ≥ log3 (x + y)? A. 59. B. 58. C. 116. D. 115. Câu 95. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình
bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f x 3 f(x) + 1 = 0 là A. 8. B. 5. C. 6. D. 4. y O  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ 98 x  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận CHỈ MỤC B Khối đa diện Hai đa diện bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Hình chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Hình chóp đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Hình hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Hình hộp chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Hình lăng trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Hình lăng trụ đứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Hình lập phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Hình đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Hình đa diện lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Hình đa diện đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Bất phương trình bất phương trình lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 bất phương trình mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 C Căn bậc n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 G Góc Góc giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . 89 L H Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Lôgarit thập phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Lôgarit tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36, 85 Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . . 19 Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Hàm hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Hàm phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Hàm số bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Hàm số bậc bốn trùng phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Hàm số bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Hàm số chẵn, hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Hàm số lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Hàm số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Hàm số mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Quy tắc tìm cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . . . . 8 Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số . . . . . . . . . 7 Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên R . . . . . . . . 10 Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng10 Tương giao của các đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Tập xác định của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Xét dấu nhị thức bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Xét dấu tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Xét tính đơn điệu của hàm số dựa vào bảng biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Xét tính đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị . . . . . . 8 Xét tính đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Xét tính đơn điệu của hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị . . . . . . . . . . . . . . 13 Đường tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Đường tiệm cận ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Đường tiệm cận đứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 M Mặt cầu Giao của mặt cầu và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Giao của mặt cầu và đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . 79 Kinh tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Vĩ tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Mặt tròn xoay Mặt nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Mặt trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 P Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Phương trình bậc 4 trùng phương . . . . . . . . . . . . . . . 84 Phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối . 85 Phương trình lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Phương trình mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Phương trình vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Định lý Vi-ét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 T Tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Chu vi tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Công thức Heron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Diện tích tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Tam giác bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Tam giác cân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Tam giác vuông cân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Tam giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Tam giác đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Trọng tâm của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Trực tâm của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 K Khoảng cách Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song . . . . . 89 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . . . . . . . . . . . . 89 99 Phụ lục TOÁN 12 Thể tích khối hộp chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Thể tích khối lăng trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Đường cao của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Đường trung bình của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Đường trung tuyến của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Đường tròn ngoại tiếp tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Đường tròn nội tiếp tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Định lý cosin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Định lý sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Thể tích Thể tích khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69  Soạn: Huỳnh Phú Sĩ V Vị trí tương đối Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . 90 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . 89 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng . . 89 100  Trường THCS-THPT Mỹ Thuận