Tài liệu dạy học môn Toán lớp 10 phần Hình học học kì 1 – Lê Quang Xe

Giới thiệu Tài liệu dạy học môn Toán lớp 10 phần Hình học học kì 1 – Lê Quang Xe

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Tài liệu dạy học môn Toán lớp 10 phần Hình học học kì 1 – Lê Quang Xe.

Tài liệu môn Toán 10 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu Tài liệu dạy học môn Toán lớp 10 phần Hình học học kì 1 – Lê Quang Xe

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 10 tại đây

QUYỂN SỐ 1 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH GV: LÊ QUANG XE B TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 2 sA = −a +c b 2bc 2 2 Lớp 10 co A α BÀI TẬP THEO MỨC ĐỘ C TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA Năm 2021 – 2022 Mục lục 2 MỤC LỤC PHẦN I. HÌNH HỌC 10 – HKI CHƯƠNG 1 VEC TƠ TRANG 7 BÀI 1. VÉC-TƠ, CÁC ĐỊNH NGHĨA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . 8 1.3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN THEO MỨC ĐỘ . . . . . . . . . . . . . 14 BÀI 2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 GV: LÊ QUANG XE 2.2. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . 21 2.3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN THEO MỨC ĐỘ . . . . . . . . . . . . . 36 BÀI 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . 47 3.3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN THEO MỨC ĐỘ . . . . . . . . . . . . . 71 BÀI 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.1. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . 87 4.3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN THEO MỨC ĐỘ . . . . . . . . . . . . 100 CHƯƠNG 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ… TRANG 111 BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ . . . . 111 1.1. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 1.2. Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 BÀI 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 2.1. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 2.2. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . 130 2.3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN THEO MỨC ĐỘ . . . . . . . . . . . . 146 TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Muåc luåc 3 BÀI 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC . . . . . 158 3.1. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 3.2. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . 159 3.3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN THEO MỨC ĐỘ . . . . . . . . . . . . 173 GV: LÊ QUANG XE Mục lục 4 GV: LÊ QUANG XE TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Phêìn I. HÒNH HOÅC 10 – HKI 5 Phần I HÌNH HỌC 10 – HKI GV: LÊ QUANG XE Chûúng 1. Vec tú 7 VEC TƠ Chûúng 1 BÀI 1. VÉC-TƠ, CÁC ĐỊNH NGHĨA 1.1. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 1.1.1. Khái niệm vectơ Định nghĩa 1.1.1. Cho đoạn thẳng AB . Nếu chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B . Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng. Định nghĩa 1.1.2. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Chú ý. Nếu chỉ rõ điểm đầu là A và điểm cuối là B, ta có # » “vectơ AB”, kí hiệu AB. Nếu không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối, ta dùng #» các chữ cái thường để kí hiệu. Ví dụ #» a , b , #» x , … B A #» x 1.1.2. Vectơ cùng phương, cùng hướng Định nghĩa 1.1.3. Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ đó. Chú ý. Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Khi hai vectơ cùng phương, chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. #» a #» b #» c #» d #» e GV: LÊ QUANG XE #» f 8 Bài 1. VÉC-TƠ, CÁC ĐỊNH NGHĨA #» #» • Các cặp vec tơ cùng phương: #» a và b ; #» a và f ; #» #» • Các cặp vec tơ cùng hướng: #» a và b ; #» c và d . #» • Các cặp vec tơ ngược hướng: #» a và f ; #» c và #» e; #» d và #» e ,… #» d và #» e; 1.1.3. Vectơ bằng nhau Định nghĩa 1.1.4. Độ dài vectơ là khoảng cách từ điểm đầu đến điểm cuối của vec tơ đó. Chú ý. # » # » # » Độ dài #» a , kí hiệu | #» a |; Độ dài AB, kí hiệu |AB| và hiển nhiên |AB| = AB. Vec tơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị. Hai vec tơ bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ lớn. GV: LÊ QUANG XE Ví dụ:Cho hình bình hành ABCD tâm O, ta có vài kết quả sau # » # » • AB = DC # » # » • AD = BC # » # » • OA = CO # » # » • DO = OB D C O A B 1.1.4. Vectơ-không Định nghĩa 1.1.5. Véc-tơ không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Chú ý. #» #» # » # » Kí hiệu 0 , nghĩa là 0 = AA = BB…; #» Độ dài vectơ-không bằng 0, nghĩa là 0 = 0. Qui ước: Vec tơ-không cùng phương và cùng hướng với mọi véc tơ. 1.2. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 1.1. Xác định một véc-tơ Ví dụ 1 Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D. Xác định được bao nhiêu véc-tơ khác véc-tơ-không có đỉnh là các điểm nói trên. A 10. B 12. D 6. C 8. Lời giải Các véc-tơ khác véc-tơ-không có đỉnh là các điểm A, B, C, D là TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 9 # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD, DC. Ví dụ 2 Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Có tất cả bao nhiêu véc-tơ khác véc-tơ- không và có điểm đầu, điểm cuối là hai điểm trong ba điểm A, B, C ? C 5. A 3. B 4. D 6. Lời giải A B C # » # » # » # » # » # » Có các véc-tơ AB, BA, AC, CA, BC, CB. Vậy có 6 véctơ. Dạng 1.2. Sự cùng phương và hướng của hai véc-tơ Ví dụ 1 Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây. #» A 0 cùng hướng với mọi véc-tơ. # » #» C AA = 0 . B D #» 0 cùng phương với mọi véc-tơ. # » AB > 0. Lời giải # » # » Mệnh đề AB > 0 là mệnh đề sai, vì khi A ≡ B thì AB = 0. Ví dụ 2 # » # » Cho ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = k AC. Điểm A nằm trong đoạn BC thì k phải thỏa mãn A k < 0. B k = 1. C 0 < k < 1. D k > 1. Lời giải # » # » # » # » Điểm A nằm trong đoạn BC sao cho AB = k AC thì hai véc-tơ AB, AC ngược hướng nên k < 0. Ví dụ 3 #» #» #» Cho hai véc-tơ #» a và b là các véc-tơ khác 0 và #» a là véc-tơ đối của b . Chọn khẳng định sai? GV: LÊ QUANG XE 10 Bài 1. VÉC-TƠ, CÁC ĐỊNH NGHĨA A C #» a và #» a và #» b cùng độ dài. #» b cùng phương. B D #» a và #» a và #» b ngược hướng. #» b cùng hướng. Lời giải . Ví dụ 4 Mệnh đề nào sau đây đúng? A Có vô số vectơ cùng phương với mọi véc-tơ. B Không có vectơ nào cùng phương với mọi véc-tơ. C Có ít nhất 2 vectơ cùng phương với mọi véc-tơ. D Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi véc-tơ. Lời giải #» Véc-tơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi véc-tơ. Ví dụ 5 GV: LÊ QUANG XE #» #» Cho ba véc-tơ #» a , b , #» c đều khác véc-tơ-không. Biết rằng hai véc-tơ #» a , b cùng ngược hướng với véc-tơ #» c . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng? #» #» #» #» A a = b. B a và b ngược hướng. #» #» #» #» C a và b cùng hướng. D |a| = b . Lời giải Hai véc-tơ cùng ngược hướng với một véc-tơ khác véc-tơ-không thì cùng hướng với nhau. Ví dụ 6 # » #» # » Cho véc-tơ M N 6= 0 . Số véc-tơ cùng phương với véc-tơ M N là A 1. B 2. C 3. D vô số. Lời giải Có vô số véc-tơ cùng phương với một véc-tơ khác véc-tơ-không cho trước. Dạng 1.3. Hai véc-tơ bằng nhau, độ dài của véc-tơ Ví dụ 1 # » # » # » #» Cho AB khác 0 và cho điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa AB = CD ? A C Vô số. 2 điểm. B D # » # » Ta có AB = CD ⇔ AB = CD. 1 điểm. Không có điểm nào. Lời giải Suy ra tập hợp các điểm D là đường tròn tâm C bán kính AB. TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 11 Ví dụ 2 Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Hãy chọn khẳng định đúng. # » # » # » # » # » # » # » # » C AO = OC. A AB = AD. B AC = BD. D BO = DO. Lời giải # » # » Ta có: O là trung điểm của AC ⇒ AO = OC. Ví dụ 3 Cho 4ABC vuông cân tại A, H là trung điểm BC, đẳng thức nào sau đây là đúng? # » # » # » # » A AB = AC. B BC = 2CH. # » # » # » # » C BC = 2AH. D BH = HC. Lời giải A B H C # » # » # » # » AB = AC sai vì hai véc-tơ AB và AC không cùng hướng. # » # » # » # » BC = 2CH sai vì hai véc-tơ BC và CH ngược hướng. # » # » # » # » BC = 2AH sai vì hai véc-tơ BC và AH không cùng hướng. # » # » BH = HC đúng vì H là trung điểm của BC. Ví dụ 4 # » # » Cho tam giác ABC cân tại A, cạnh AB = 5, BC = 8. Độ dài của véc-tơ BA + CA bằng A 10. B 8. C 3. D 6. Lời giải Gọi AH là đường cao của tam giác ABC đã cho. # » # » # » # » # » # » # » Ta có BA + CA = BH + HA + CH + HA = 2HA. √ √ Tam giác AHB vuông ở H nên AH = AB 2 − BH 2 = 52 − 42 = 3. # » # » # » Do đó BA + CA = 2 HA = 6. A B GV: LÊ QUANG XE H C 12 Bài 1. VÉC-TƠ, CÁC ĐỊNH NGHĨA Ví dụ 5 Cho hình bình hành ABCD. Trong các khẳng định sau hãy tìm khẳng định sai? # » # » # » # » A AD = CB . B AD = CB. # » # » # » # » C AD = DC. D AB = CD . Lời giải # » # » # » # » Khẳng định AD = CB sai vì AD = BC. A D B C Ví dụ 6 GV: LÊ QUANG XE Cho ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là đúng? # » # » # » # » A AB = AC. B AB = AC . # » # » # » # » C AB và AC cùng hướng. D AB và AC cùng phương. Lời giải # » # » Ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng thì AB và AC cùng phương. Ví dụ 7 # » # » Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB = CD ? A AB = CD và AB //CD. B ABDC là hình bình hành. C AD và BC có cùng trung điểm. D ABCD là hình bình hành. Lời giải Xét từng phương án, ta có # » Phương án “AB = CD và AB //CD” sai vì khi AB = CD và AB //CD thì AB và # » CD có thể không cùng hướng. Chẳng hạn, trong hình bình hành ABCD. Các phương án “ABDC là hình bình hành”, “ABCD là hình bình hành” đều sai vì # » # » khi AB = CD thì bốn điểm A, B, C, D có thể thẳng hàng. Vậy phương án “AD và BC có cùng trung điểm” là đúng. Thật vậy, gọi I là trung điểm của AD và K là trung điểm của BC ta có # » # » #» #» # » # » #» #» # » # » AB = CD ⇔ AI + IB = CK + KD ⇔ ID + IB = KB + KD # » # » # » # » #» # » #» ⇔ ID − KD + IB − KB = 0 ⇔ 2IK = 0 ⇔ I ≡ K TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 13 Ví dụ 8 Cho tam giác ABC và M là một điểm không thuộc các cạnh của tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Vẽ điểm P đối xứng với M qua D, điểm Q # » # » đối xứng với P qua E, điểm N đối xứng với Q qua F . Chứng minh rằng M A = AN . Lời giải Q C M F E D B A P N # » # » Theo giả thiết ta có tứ giác AN CQ là hình bình hành. Suy ra AN = QC. # » # » Theo giả thiết ta có tứ giác AM BP là hình bình hành. Suy ra M A = BP . # » # » Theo giả thiết ta có tứ giác P BQC là hình bình hành. Suy ra BP = QC. # » # » Từ (1), (2) và (3) ta được M A = AN . (1) (2) (3) Ví dụ 9 Cho tam giác ABC. Vẽ D đối xứng với A qua B, E đối xứng với B qua C và F đối xứng với C qua A. Gọi G là giao điểm giữa trung tuyến AM của tam giác ABC với trung tuyến DN của tam giác DEF . Gọi I, K lần lượt là trung điểm của GD và GA. Chứng minh # » # » # » # » a AB = N M . b N K = M I. Lời giải E C M N G A K I B F GV: LÊ QUANG XE D 14 Bài 1. VÉC-TƠ, CÁC ĐỊNH NGHĨA a Xét tam giác F CE có N , A lần lượt là trung điểm của F E và F C nên 1 1 N A = EC = BC = M B. 2 2 Hơn nữa N A//EC, mà EC ≡ M B nên N A//M B. Suy ra tứ giác ABM N là hình bình hành. # » # » Vậy AB = N M . b Xét tam giác GAD có I, K lần lượt là trung điểm GD, GA nên IK = Lại có AB = N M . Suy ra IK = M N . Do ABM N là hình bình hành nên AB //M N . Mà IK //AB nên IK //M N . Do đó tứ giác IKN M là hình bình hành. # » # » Vậy N K = M I. 1 AD = AB. 2 1.3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN THEO MỨC ĐỘ 1.3.1. Nhận biết GV: LÊ QUANG XE Câu 1. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Có tất cả bao nhiêu véc-tơ khác véc-tơ – không có điểm đầu, điểm cuối là hai điểm trong ba điểm A, B, C? C 5. D 6. # » # » # » # » # » # » Hûúáng dêîn: Các véc-tơ cần tìm là: AB, BA, AC, CA, BC, CB, có 6 véc-tơ thỏa mãn. A 3. B 4. Chọn đáp án D Câu 2. Cho ngũ giác ABCDE. Có bao nhiêu véc-tơ khác véc-tơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của ngũ giác đó. C 20. 15. D 10. # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » Hûúáng dêîn: AB, AC, AD, AE, BA, BC, BD, BE, CA, CB, CD, CE, DA, DC, DB, DE, # » # » # » # » EA, EC, EB, ED. A 5. B Chọn đáp án C Câu 3. Chọn khẳng định đúng. A B C D Véc-tơ là một đoạn thẳng không phân biệt điểm đầu và điểm cuối. Véc-tơ là một đoạn thẳng có hướng. Véc-tơ là một đường thẳng có hướng. Véc-tơ là một đoạn thẳng. Hûúáng dêîn: Chọn đáp án B #» Câu 4. Cho tứ giác ABCD. Có bao nhiêu véc-tơ khác 0 có điểm đầu, điểm cuối là hai trong số bốn đỉnh của tứ giác? 12. D 6. # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » Hûúáng dêîn: Có 12 véc-tơ, gồm: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC. A 16. B 4. C TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 15 Chọn đáp án C Câu 5. Điền từ thích hợp vào dấu (. . . ) để được mệnh đề đúng. Hai véc-tơ ngược hướng thì . . . . A C Bằng nhau. Cùng phương. B D Cùng độ dài. Cùng điểm đầu. Hûúáng dêîn: Chọn đáp án C Câu 6. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các véc-tơ khác véc-tơ không, cùng phương # » với OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là A 4. B 6. C 7. D 9. Hûúáng dêîn: B C O A D F E # » # » # » # » # » # » Các véc-tơ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: ED, DE, AB, BA, F C, CF . Chọn đáp án B Câu 7. Cho ba điểm M , N , P thẳng hàng, trong đó điểm N nằm giữa hai điểm M và P . Khi đó các cặp véc-tơ nào sau đây cùng hướng? # » # » A M N và M P . # » # » C M P và P N . B D # » # » N M và N P . # » # » M N và P N . Hûúáng dêîn: M N P # » # » Từ hình vẽ trên ta thấy M N và M P là hai véc-tơ cùng hướng. Chọn đáp án A # » Câu 8. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Ba véc-tơ bằng véc-tơ BA là A C # » # » # » OF , DE, OC. # » # » # » OF , DE, CO. B D # » # » # » CA, OF , DE. # » # » # » OF , ED, OC. Hûúáng dêîn: GV: LÊ QUANG XE 16 Bài 1. VÉC-TƠ, CÁC ĐỊNH NGHĨA E D F C O A B # » # » # » # » Dựa vào hình vẽ ta có BA = CO = OF = DE . Chọn đáp án C # » # » # » #» Câu 9. Cho AB khác 0 và cho điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa AB = CD ? A C Vô số. 2 điểm. B D # » 1 điểm. Không có điểm nào. # » Hûúáng dêîn: Ta có AB = CD ⇔ AB = CD. Suy ra tập hợp các điểm D là đường tròn tâm C bán kính AB. GV: LÊ QUANG XE Chọn đáp án A Câu 10. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây sai ? A C # » # » AC = BD . # » # » AD = BC . B D # » # » BC = DA . # » # » AB = CD . Hûúáng dêîn: A B D C # » # » Ta có AC = BD là đẳng thức sai vì độ dài hai đường chéo của hình bình hành không bằng nhau. Chọn đáp án A Câu 11. Hai véc-tơ được gọi là bằng nhau nếu A B C D Chúng có độ dài bằng nhau và ngược hướng. Chúng có độ dài bằng nhau. Chúng có độ dài bằng nhau và cùng phương. Chúng có độ dài bằng nhau và cùng hướng. Hûúáng dêîn: Theo lý thuyết giáo khoa ta có “Hai véc-tơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài”. Chọn đáp án D TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 17 1.3.2. Thông hiểu #» #» #» Câu 12. Cho đoạn thẳng AB và điểm I thoả mãn IA + 3IB = 0 . Hình nào dưới đây mô tả đúng giả thiết này? A I A A I B B Hình 3 B Hình 2 A I B Hình 4 D Hình 4. Hình 2. C Hình 1. #» # » #» #» #» #» #» Hûúáng dêîn: Ta có IA + 3IB = 0 ⇔ IA = −3IB ⇔ IA; IB ngược hướng và IA = 3IB. A Hình 3. I Hình 1 B Chọn đáp án C Câu 13. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Đẳng thức nào sau đây đúng? # » # » # » # » #» AO + OB + CO + DO = 0 . # » # » # » # » #» C D AO + BO + CO + DO = 0 . # » # » #» # » # » #» Hûúáng dêîn: Ta có ABCD là hình bình hành tâm O. Khi đó AO+CO = 0 và BO+DO = 0 . # » # » # » # » #» Do đó AO + BO + CO + DO = 0 . A # » # » # » # » AO + BO + OC + DO = # » # » # » # » OA + BO + CO + DO = #» 0. #» 0. B Chọn đáp án D Câu 14. Cho tam giác ABC. Gọi A0 , B 0 , C 0 lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, # » AB. Véc-tơ A0 B 0 cùng hướng với véc-tơ nào sau đây? # » # » # » A AB. B C 0 B. C BA. D # » AC 0 . Hûúáng dêîn: Ta có A0 B 0 là đường trung bình của 4ABC # » # » ⇒ A0 B 0 //AB ⇒ A0 B 0 cùng phương với AB. # » # » Vậy A0 B 0 cùng hướng với BA. A C0 B0 A0 B Chọn đáp án C # » C # » #» Câu 15. Cho véc-tơ M N 6= 0 . Số véc-tơ cùng hướng với véc-tơ M N là A 1. B 2. C 3. D vô số. Hûúáng dêîn: Có vô số véc-tơ cùng hướng với một véc-tơ khác véc-tơ-không cho trước. Chọn đáp án D #» #» Câu 16. Cho ba véc-tơ #» a , b và #» c đều khác véc-tơ không. Trong đó hai véc-tơ #» a , b cùng hướng, hai véc-tơ #» a , #» c đối nhau. Khẳng định nào sau đây đúng? GV: LÊ QUANG XE 18 Bài 1. VÉC-TƠ, CÁC ĐỊNH NGHĨA #» Hai véc-tơ b và #» c bằng nhau. #» #» B Hai véc-tơ b và c ngược hướng. #» #» C Hai véc-tơ b và c đối nhau. #» #» D Hai véc-tơ b và c cùng hướng. #» #» Hûúáng dêîn: Do #» a , b cùng hướng mà #» a , #» c đối nhau suy ra b và #» c ngược hướng nhau. A Chọn đáp án B Câu 17. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O (như hình vẽ). Đẳng thức nào sau đây là sai? # » # » # » # » A AB = AF . B OD = BC. # » # » # » # » C OB = OE. D AB = ED. A B O F E C D Hûúáng dêîn: GV: LÊ QUANG XE Ta có tứ giác ABCDEF là lục giác đều có độ dài hai cạnh kề bằng nhau. # » # » # » # » Ta có OD = BC và AB = ED vì hai véc-tơ cùng hướng và cùng độ dài. # » # » Vì OB và OE là hai véc-tơ đối nhau nên hai véc-tơ này không bằng nhau. Chọn đáp án C ’ = 60◦ (như hình vẽ). Đẳng thức nào sau Câu 18. Cho hình thoi ABCD cạnh a và BAD đây đúng? # » # » A AB = AD. # » # » C BD = AC. B D # » BD = a. # » # » BC = DA. B A C D # » # » # » # » # » # » Hûúáng dêîn: Các hệ thức AB = AD, BD = AC, BC = DA đều sai, vì các cặp véc-tơ tương ứng không cùng hướng. # » ’ = 60◦ nên tam giác ABD là tam giác đều. Hệ thức BD = a đúng. Do AB = AD và BAD # » Vì thế BD = BD = AD = a. Chọn đáp án B # » # » Câu 19. Cho tứ giác ABCD có AD = BC, mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai? A C ABCD là hình bình hành. # » # » AC = BD. B D BADC là hình bình hành. # » # » AB = DC. TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 19 Hûúáng dêîn: # » # » Cho tứ giác ABCD có AD = BC nên ABCD là hình bình # » # » hành, suy ra BADC là hình bình hành, AB = DC. A B D C Chọn đáp án C Câu 20. Cho hình bình hành M N P Q, khi đó A C # » # » # » # » M N = P Q và N P = M Q. # » # » # » # » M N = QP và N P = QM . B D # » # » # » # » M N = P Q và N P = QM . # » # » # » # » M N = QP và N P = M Q. Hûúáng dêîn: # » # » # » Do M N P Q là hình bình hành nên M N = QP và N P = # » M Q. M N Q P Chọn đáp án D ĐÁP ÁN BÀI 1 1.D 2.C 3.B 4.C 5.C 6.B 7.A 8.C 9.A 10.A 11.D 12.C 13.D 14.C 15.D 16.B 17.C 18.B 19.C 20.D GV: LÊ QUANG XE 20 Bài 2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ BÀI 2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ 2.1. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 2.1.1. Vectơ bằng nhau, vectơ đối nhau Định nghĩa 1.2.1. Hai vec tơ bằng nhau nếu chúng có cùng độ lớn và cùng hướng. Hai vec tơ đối nhau nếu chúng có cùng độ lớn nhưng ngược hướng. Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD tâm O, ta có vài kết quả sau # » # » # » • Các vectơ bằng nhau AB = DC; AD = # » # » # » # » # » BC; AO = OC; DO = OB,... # » # » # » • Các vectơ đối nhau: AB đối CD; BC đối # » # » # » # » # » DA; OA đối OC; OB đối OD;... D C O A B Hình 1. 2.1.2. Phép toán cộng hai vectơ GV: LÊ QUANG XE Định nghĩa 1.2.2. Phép cộng hai vectơ có tính chất giao hoán. Khi thực hiện phép toán cộng hai vec tơ, ta chú ý các quy tắc sau Quy tắc 3 điểm: A Với ba điểm A, B, C bất kì, ta luôn có # » # » # » AB + BC = AC • Dấu hiệu nhận biết là "điểm liên tiếp nhau". • Các hệ thức tương tự # » # » # » # » # » # » BA + AC = BC, CB + BA = CA, ... B C Quy tắc hình bình hành: Xét hình bình hành ABCD, ta luôn có # » # » # » AB + AD = AC • Dấu hiệu nhận biết là "cùng gốc". • Các hệ thức tương tự # » # » # » # » # » # » BA + BC = BD, CB + CD = CA, ... B A C D Quy tắc cộng vectơ đối: #» #» #» • Nếu #» a và b đối nhau thì #» a + b = 0. # » # » #» # » # » #» # » # » #» • Trong Hình 1 ở trên, ta có AD + CB = 0 ; AB + CD = 0 ; OA + OC = 0 ;... 2.1.3. Phép toán hiệu hai vectơ Định nghĩa 1.2.3. # » # » # » # » Vec tơ đối của AB là BA, nghĩa là −BA = AB (dùng để làm mất dấu trừ trước TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 21 vectơ). # » # » # » Với ba điểm A, B, C bất kì, ta luôn có AB − AC = CB 2.1.4. Công thức trung điểm, trọng tâm Định nghĩa 1.2.4. Công thức trung điểm: # » # » #» • Nếu M là trung điểm của đoạn AB thì M A + M B = 0 . # » # » #» • Tương tự AM + BM = 0 . Công thức trọng tâm: # » # » # » #» • Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì GA + GB + GC = 0 . # » # » # » #» • Tương tự AG + BG + CG = 0 . 2.2. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 2.1. Tổng của hai véc-tơ, tổng của nhiều véc-tơ Ví dụ 1 Cho hình vuông ABCD tâm O. Đẳng thức nào sau đây là sai? # » # » # » # » # » # » A DA + OC = OB. B AO + DO = CD. # » # » # » # » C AB = DC. D BO − DO = AC. Lời giải A B O D C # » # » # » # » # » # » Ta có AO + DO = OC + DO = DC = −CD. Ví dụ 2 Nếu N là trung điểm của AB thì # » # » #» A NA + NB = 0 . # » # » #» C NA − NB = 0 . B D # » # » # » AN + N B = AB. # » # » # » N A + N B = BA. Lời giải # » # » #» Theo tính chất trung điểm của đoạn thẳng thì ta có N A + N B = 0 . GV: LÊ QUANG XE 22 Bài 2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ Ví dụ 3 Cho hình bình hành ABCD, tâm O, gọi G là trọng tâm tam giác ABD. Tìm mệnh đề sai? # » # » # » # » # » # » A AB + AD = AC. B AB + AD = 3AG. # » # » # » # » # » C AB − AD = 2BO. D 3GO = OC. Lời giải A D G O B C # » # » # » # » AB − AD = DB = 2OB (sai). Ví dụ 4 GV: LÊ QUANG XE Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng? # » # » # » # » # » # » A AB + CA = CB. B AA + BB = AB. # » # » # » # » # » # » C AB + AC = BC. D CA + BA = CB. # » # » # » # » # » Ta có AB + CA = CA + AB = CB. Lời giải Ví dụ 5 Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Tổng # » # » M P + N P bằng vec-tơ nào? # » # » # » # » A P A. B AM . C P B. D AP . Lời giải A Ta có tứ giác M AN PÄ là hình bình hành. # » # » # » # »ä # » # » Mà M P + N P = − P M + P N = −P A = AP . M B N P Ví dụ 6 # » # » Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 45. Tính GB + GC . √ C 15. A 45. B 3 5. D 30. Lời giải TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 C Chûúng 1. Vec tú 23 B Gọi I là trung điểm của BC. Có 2#» 2 BC BC # » # » #» GB + GC = 2GI = AI = · = = 15. 3 3 2 3 I G C A Ví dụ 7 Cho hình bình hànhABCD có tâm O và G là trọng tâm của tam giác BCD. Đẳng thức nào sau đây sai? # » # » #» # » # » # » A OA + OC = 0 . B OB + OC = AB. # » # » # » # » # » # » #» C GB + GD = GA. D BG + CG + DG = 0 . Lời giải # » # » # » # » # » GB + GD = −GC mà GA 6= −GC. # » # » # » Do đó phương án GB + GD = GA sai. A B O D N G M C Ví dụ 8 Cho tam giác M N P và một điểm A tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là đúng? # » # » # » # » # » A AN − 2020AP + 2019AM = 2020M P − N P . # » # » # » # » # » B AN − 2020AP + 2019AM = 2020M P + P M . # » # » # » # » # » C AN − 2020AP + 2019AM = 2020N P + M P . # » # » # » # » # » D AN − 2020AP + 2019AM = 2019P M + P N . Lời giải Ta có biến đổi # » # » # » # » # » # » # » # » AN − 2020AP + 2019AM = AP + P N − 2020AP + 2019AP + 2019P M # » # » = 2019P M + P N . Ví dụ 9 Cho hình bình hành ABCD tâm O. Đẳng thức nào sau đây sai? # » # » # » # » # » # » # » A AB − AD = DB. B BC − BA = DC − DA. # » # » # » # » # » # » # » C OA − OB = CD. D OB − OC = OD − OA. Lời giải GV: LÊ QUANG XE 24 Bài 2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ # » # » # » # » Rõ ràng đẳng thức OB − OC = OD − OA là sai vì: # » # » # » # » # » # » # » # » OB − OC = CB, OD − OA = AD mà CB = −AD. B C O A D Dạng 2.2. Chứng minh đẳng thức véc-tơ Ví dụ 1 Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB (A khác B). Mệnh đề nào sau đây đúng? # » #» # » # » #» A AB = 2IA. B IA + AB = 0 . # » # » #» # » # » #» C IA − IB = 0 . D IA + IB = 0 . GV: LÊ QUANG XE Lời giải # » # » #» Điểm I là trung điểm của đoạn AB thì IA + IB = 0 . Ví dụ 2 Cho hình bình hành ABCD. Phát biểu nào sai? # » # » A BA = CD. B # » # » # » C AB + BD = CB. D # » # » #» AB + CD = 0 . # » # » # » AC = AB + AD. Lời giải # » # » # » # » Ta có AB + BD = AD = BC. # » # » # » Suy ra khẳng định AB + BD = CB sai. A B D C Ví dụ 3 Câu 39Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC. Đẳng thức nào dưới đây là sai? # » # » # » #» # » # » # » #» A AB + BC + CA = 0 . B GA + GB + GC = 0 . # » # » #» # » # » #» C GA + GM = 0 . D MB + MC = 0 . Lời giải # » # » # » # » # » # » #» AB + BC + CA = AC + CA = AA = 0 . # » # » # » #» Theo tính chất trọng tâm của tam giác, ta có GA + GB + GC = 0 . TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 25 # » # » #» Theo tính chất trung điểm, ta có M B + M C = 0 . # » # » Ta có GA = −2GM . Ví dụ 4 Cho hình vuông ABCD tâm O. Đẳng thức nào sau đây sai? # » # » # » # » # » A BO − DO = AC. B DA + OC = OB. # » # » # » # » # » C AB = DC. D AO + DO = CD. Lời giải # » # » # » # » # » Ta có: BO − DO = BO + OD = BD = BD = AC suy ra đáp án A đúng. # » # » # » # » # » # » DA ® + OC = DA + AC = DO = OB suy ra đáp án B đúng. AB = DC # » # » ⇒ AB = DC suy ra đáp án C đúng. AB //DC # » # » # » # » # » # » AO + DO = AO + OB = AB = DC suy ra đáp án D sai. B C O A D Ví dụ 5 Cho hình hộp ABCD.A0 B 0 C 0 D0 . Gọi M là trung điểm của AD. Khẳng định nào dưới đây là đúng? # » # » # » # » # » # » # » 1# » A B 0 M = B 0 B + B 0 A0 + B 0 C 0 . B C 0 M = C 0 C + C 0 D0 + C 0 B 0 . 2 # 0 » # 0 »0 # 0 »0 #0» # 0 » # 0 » 1 # 0 »0 1 # 0 »0 C B B + B A + B C = 2B D. D CM =CC+ CD + CB. 2 2 Lời giải # » # » # » # » Ta có C 0 A = C 0 C + C 0 D0 + C 0 B 0 . # » # » # » 1 Mà C 0 A = C 0 M + M A; M A = C 0 B 0 . # » # » # » # » 2# » ⇒ C 0 M + M A = C 0 C + C 0 D0 + C 0 B 0 # » # » # » 1 ⇒ C 0 M = C 0 C + C 0 D0 + C 0 B 0 . 2 B0 A0 D0 B A C M Ví dụ 6 Cho 4 điểm bất kì A, B, C, D. Đẳng thức nào sau đây sai? # » # » # » # » # » # » A AB = AC + BC. B DA = BD − CD. # » # » # » # » # » # » C AB = DB − DA. D BC = BD + DC. # » # » # » Ta có BD − CD = BC. C0 Lời giải GV: LÊ QUANG XE D 26 Bài 2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ Ví dụ 7 Cho hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đây là sai # » # » # » # » # » # » # » A AB + BD = CB + CD. B AB + AD = CB + CD . # » # » # » # » # » # » C AD − AC = CD. D AB + AD = BC − CD. Lời giải # » # » # » Xét khẳng định AB + BD = CB + CD. # » # » # » # » # » # » # » Có V T = AB + BD = AD; V P = CB + CD = CA, mà AD 6= CA ⇒ khẳng định A sai. Ví dụ 8 Cho tam giác ABC với M , N , P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Tính tổng # » # » # » AP + BM + CN . Lời giải GV: LÊ QUANG XE # » # » Dễ dàng có BP N M là hình bình hành suy ra BM = P N và # » # » CN = N A vì N là trung điểm của CA. Do đó # » # » # » # » # » # » #» AP + BM + CN = AP + P N + N A = 0 . C N A M P B Ví dụ 9 Cho 7 điểm A, B, C, D, E, F , G. Chứng minh rằng # » # » # » # » # » a AB + CD + EA = CB + ED. # » # » # » # » # » # » # » b AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF . # » # » # » # » # » # » #» c AB − AF + CD − CB + EF − ED = 0 . Lời giải Ä # » # » # » # » # » # »ä # » # » Ä # » # » # »ä a Ta có AB + CD + EA = EA + AC + CB + CD = CB + EA + AC + CD = # » # » CB + ED. # » # » # » # » # » Ä # » # »ä Ä # » # »ä # » # » # » b Ta có AB + CD + EF + GA = AB + CB + BD + ED + DF + GA = CB + ED + Ä # » # » # » # »ä # » # » # » GA + AB + BD + DF = CB + ED + GF . # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » #» c Ta có AB − AF + CD − CB + EF − ED = F B + BD + DF = F F = 0 . Ví dụ 10 Cho tam giác ABC. Gọi M , N lần lượt là trung điẻm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú # » 27 # » # » #» # » # » # » # » # » # » # » #» # » # » # » #» # » 1# » AC. 2 # » 1 Ä # » # »ä f AM = AB + AC . 2 # » # » # » #» g AM + BN + CP = 0 . # » # » # » # » # » h AP + BM + AN + BP = P C. a AB + BC + CA = 0 . e AP + BM = #» b MN + NP + P M = 0 . c AN + CM − P B = 0 . d AP + BM + M P = 0 . Lời giải A N P C M B # » # » # » # » #» a Ta có AB + BC + CA = AA = 0 . # » # » # » # » #» b MN + NP + P M = MM = 0 . # » # » c Vì N là trung điểm AC nên AN = N C. # » # » # » Từ giả thiết suy ra tứ giác N P BM là hình bình hành, suy ra −P B = BP = M N . # » # » # » # » # » # » # » #» Khi đó AN + CM − P B = N C + CM + M N = N N = 0 . # » # » # » # » # » # » # » # » # » #» Khi đó AP + BM + M P = P B + BM + M P = P P = 0 . d Vi P là trung điểm AB nên AP = P B. # » # » e Vi P là trung điểm AB nên AP = P B. M , P lần lượt là trung điểm của BC và AB nên M P là đường trung bình của tam 1 # » 1# » giác ABC nên P M //AC và P M = AC hay P M = AC. 2 2 # » # » # » # » # » 1# » Khi đó AP + BM = P B + BM = P M = AC. 2 f Ta có # » # » # » AM = AB + BM (1) # » # » # » AM = AC + CM (2) # » # » # » Ä # » # »ä # » # » Cộng (1) và (2) theo vế ta có 2AM = AB + AC + BM + CM = AB + AC, do M # » # » #» là trung điểm của AB nên BM + CM = 0 . # » 1 Ä # » # »ä Vậy AM = AB + AC . 2 GV: LÊ QUANG XE 28 Bài 2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ g Ta có # » 1 Ä # » # »ä AB + AC . AM = 2 # » 1 Ä # » # »ä BN = BA + BC . 2 # » 1 Ä # » # »ä CP = CA + CB . 2 # » # » # » 1 Ä # » # »ä 1 Ä # » # »ä Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta có AM +BN +CP = AB + BA + AC + CA + 2 2 1 Ä # » # »ä #» # » # » # » #» CB + BC = 0 . AM + BN + CP = 0 . 2 # » # » # » # » h Từ giả thiết ta có AP = P B, BM Ä= M C. # » # »ä # » # » # » # » # » # » # » Khi đó AP + BM + AN + BP = P B + BP + M C + P M = P C. Dạng 2.3. Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véc-tơ Ví dụ 1 GV: LÊ QUANG XE # » # » Xác định vị trí của ba điểm A, B, C thỏa mãn hệ thức AB = CA. A A là trung điểm của BC. B Tam giác ABC cân. C Ba điểm A, B, C thẳng hàng. D Điểm C trùng với điểm B. Lời giải # » # » Hệ thức đã cho tương đương với AB = −AC. Điều này xảy ra khi và chỉ khi A là trung điểm của BC. Ví dụ 2 Cho hai điểm phân biệt A và B. Điều kiện cần và đủ để điểm I là trung điểm của đoạn AB là #» #» #» #» #» #» C IA = IB. D IA = −IB. A IA = IB. B AI = BI. Lời giải #» #» #» #» IA = −IB ⇔ IA, IB ngược hướng và IA = IB ⇔ I là trung điểm AB. Ví dụ 3 Điều kiện cần và đủ để O là trung điểm đoạn AB là # » # » A OA = OB. B OA = OB. # » # » # » # » #» C AO = BO. D OA + OB = 0 . Lời giải # » # » #» Ta có O là trung điểm đoạn AB ⇔ OA + OB = 0 . TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 29 Ví dụ 4 # » # » # » Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn 2M A + M B = CA. Khẳng định nào sau đây là đúng? A M là trọng tâm của tam giác ABC. B M trùng B. C M trùng C. D M trùng A. Lời giải Ä # » # » # » # » # »ä Ä # » # »ä #» # » # » # » Ta biến đổi 2M A+ M B = CA ⇔ M A + M B + M A + AC = 0 ⇔ M A+ M B + M C = #» 0. Đẳng thức này chứng tỏ điểm M là trọng tâm của tam giác ABC. Ví dụ 5 Cho tam giác ABC và I là trung điểm của cạnh BC. Điểm G có tính chất nào sau đây là điều kiện cần và đủ để G là trọng tâm của tam giác ABC là # » # » # » #» # » # » #» A AG + BG + CG = 0 . B GB + GC = 2GI. C AI = 3GI. D GA = 2GI. Lời giải # » # » # » #» # » # » Theo tính chất G là trọng tâm của tam giác ABC thì: GA + GB + GC = 0 ⇔ AG + BG + # » #» CG = 0 . Ví dụ 6 # » # » Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt thỏa mãn AB = −CD. Khẳng định nào sau đây đúng? # » # » #» A ABCD là hình bình hành. B AB + DC = 0 . # » # » # » # » C AB và CD cùng hướng. D AB và CD cùng độ dài. Lời giải # » # » • AB = −CD suy ra 4 điểm A, B, C, D thẳng hàng hoặc ABCD là hình bình hành. # » # » #» # » # » # » # » # » # » • AB + DC = 0 ⇔ AB = −DC, mà AB = −CD suy ra DC = CD ⇔ D ≡ C. # » # » # » # » • AB = −CD suy ra AB và CD ngược hướng. # » # » # » # » # » • AB = −CD ⇒ AB = −CD = CD . Ví dụ 7 Cho 4ABC vuông tại A với M là trung điểm của BC. Câu nào sau đây đúng? # » # » # » # » # » A M B = −M C. B AM = M B = M C. # » # » # » 1# » C M B = M C. D AM = BC. 2 Lời giải GV: LÊ QUANG XE 30 Bài 2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ B M C A # » # » Ta có M là trung điểm của BC ⇔ M B = −M C. Ví dụ 8 # » # » Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn đẳng thức M A − M B # » # » M A + M B là A C đường tròn đường kính AB. đường trung trực của đoạn AB. B D = đường tròn bán kính AB. Không có điểm M nào thỏa mãn. Lời giải # » # » # » # » ÷ Ta có M A − M B = M A + M B ⇔ M A ⊥ M B ⇔ AM B = 90◦ . GV: LÊ QUANG XE Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AB. Ví dụ 9 # » # » # » # » Cho tam giác ABC. Nếu điểm M thỏa mãn điều kiện M A − M B + M C = BC. Tìm vị trí điểm M Lời giải # » # » # » # » # » # » # » # » # » M A − M B + M C = BC ⇔ BA − BC = CM ⇔ CA = CM ⇒ Điểm M trùng với điểm A. Ví dụ 10 # » # » # » Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn M B + M C = AB. Tìm vị trí điểm M . Lời giải # » # » # » # » # » # » #» # » # » #» Ta có M B + M C = AB ⇔ M B + BA + M C = 0 ⇔ M A + M C = 0 . Suy ra M là trung điểm AC. Dạng 2.4. Tìm véc-tơ đối, hiệu của hai véc-tơ Ví dụ 1 Hai véc-tơ có cùng độ dài và ngược hướng gọi là A hai véc-tơ bằng nhau. B hai véc-tơ đối nhau. C hai véc-tơ cùng hướng. D hai véc-tơ không cùng phương. Lời giải Hia véc-tơ cùng độ dài và ngược hướng là hai véc-tơ đối nhau. TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 31 Ví dụ 2 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? A Hai véc-tơ bằng nhau thì cùng phương. B Hai véc-tơ đối nhau thì cùng độ dài. C Hai véc-tơ cùng hướng thì cùng phương. D Hai véc-tơ cùng phương thì cùng hướng. Lời giải Hai véc-tơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng. Ví dụ 3 #» #» #» Cho hai véc-tơ #» a và b là các véc-tơ khác 0 và #» a là véc-tơ đối của b . Chọn khẳng định sai? #» #» #» #» A a và b cùng độ dài. B a và b ngược hướng. #» #» #» #» D a và b cùng hướng. C a và b cùng phương. #» #» a và b cùng hướng . Lời giải Ví dụ 4 Cho hình bình hành ABCD tâm O. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau: # » # » # » # » # » # » A AB + AD = AC. B AB − AD = DB. # » # » # » # » # » # » D OA + OB = CB. C OA + OB = AD. Lời giải # » # » # » # » Gọi M là trung điểm AB, ta có: OA + OB = 2OM = DA. Ví dụ 5 # » # » Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Tính OB − OC. # » # » # » A OB − OC = BC. B # » # » # » # » C OB − OC = OD − OA. D # » # » # » # » Ta có OB − OC = CB = DA. # » # » # » OB − OC = DA. # » # » # » OB − OC = AB. Lời giải Ví dụ 6 Cho hình bình hành M N P Q. Tìm đẳng thức đúng # » # » # » # » # » # » A M N + M P = M Q. B P N + P Q = P M. # » # » # » # » # » # » C P N − P M = NM. D N M + QN = M Q. Lời giải # » # » # » Theo công thức hình bình hành ta có P N + P Q = P M . GV: LÊ QUANG XE 32 Bài 2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ Ví dụ 7 Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB? # » # » #» A IA = IB. B IA + IB = 0 . # » # » #» #» #» C IA − IB = 0 . D IA = IB. Lời giải Với đoạn thẳng AB cho trước, ta có #» #» #» #» #» #» I là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔ IA = BI ⇔ IA − BI = 0 ⇔ IA + IB = 0. Ví dụ 8 # » # » # » Rút gọn biểu thức véc-tơ AM + M B − AC ta được kết quả đúng là # » # » # » A M B. B BC. C CB. D # » AB. Lời giải # » # » # » # » # » # » Ta có AM + M B − AC = AB − AC = CB. GV: LÊ QUANG XE Ví dụ 9 Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng? # » # » # » # » # » # » # » # » A GA + GC + GD = BD. B GA + GC + GD = CD. # » # » # » #» # » # » # » # » C GA + GC + GD = O. D GA + GD + GC = CD. B A G D C Lời giải # » # » # » #» # » # » # » Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA + GB + GC = 0 ⇒ GA + GC = −GB. # » # » # » # » # » # » # » # » Do đó GA + GC + GD = −GB + GD = GD − GB = BD. Ví dụ 10 # » # » Cho hình bình hành ABCD, khi đó AB − AC bằng # » # » #» A BD. B CB. C 0. D # » BC. Lời giải # » # » # » Theo quy tắc ba điểm ta có AB − AC = CB. Dạng 2.5. Tính độ dài tổng và hiệu các véc-tơ Ví dụ 1 # » # » Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Giá trị AB − CA bằng bao nhiêu? √ √ a 3 A . B a. C a 3. D 2a. 2 Lời giải TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 33 A Gọi M là trung điểm của BC và D là điểm đối xứng với A qua M . Ta có ABDC là hình bình hành. # » # » # » # » # » Ta có AB − CA = AB + AC = AD = 2AM . B Do tam giác √ ABC đều cạnh a nên √ a 3 # » # » AM = ⇒ AB − CA = a 3. 2 C M D Ví dụ 2 Cho hình thang ABCD có hai đáy AB = a, CD = 2a. Gọi M , N là trung điểm của # » # » # » AD và BC. Khi đó DM − BA − CN bằng: 3a A B 3a. D 2a. . C a. 2 Lời giải Ta có: # » # » # » # » # » # » # » # » # » DM − BA − CN = M A + AB + N C = M A + AB + BN 3a AB + CD # » = . = MN = MN = 2 2 A B M N D C Ví dụ 3 # » # » Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Độ dài của tổng hai vectơ AB và BC bằng bao nhiêu? √ √ a 3 C a. A 2a. B a 3. D . 2 # » # » # » |AB + BC| = |AC| = a. Lời giải Ví dụ 4 # » # » Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh OA = a. Tính 2OA + BC . Ä √ √ ä A 2a 2. B a. C 1 + 2 a. √ D 2a. Lời giải # » # » Vì là ABCD hình vuông nên ta có CA = 2OA. # » # » # » # » # » # » # » Suy ra 2OA + BC = CA + BC = BC + CA = BA. # » # » # » Do đó: 2OA + BC = BA = BA = a. A B O D GV: LÊ QUANG XE a C 34 Bài 2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ Ví dụ 5 #» # » #» # » #» # » Cho ba lực F 1 = M A, F 2 = M B, F 3 = M C cùng tác động vào một vật tại điểm M và #» #» vật đứng yên. Cho biết cường độ lực F 1 , F 2 đều bằng 60 N và tam giác M AB vuông #» tại M . Tìm cường độ lực F 3 . A 84,58 N. B 84,86 N. C 84, 85 N. D 120 N. Lời giải A Để vật đứng yên thì #» #» #» #» F1 + F2 + F3 = 0 # » # » # » #» ⇔ MA + MB + MC = 0 # » # » #» ⇔ MD + MC = 0 . ⇒ M D = M C, #» F1 #» F2 #» C F M 3 D là đỉnh thứ tư của hình bình hành AM BD. D GV: LÊ QUANG XE B √ ◦ ÷ Do M A = M B = 60 và AM B = 90 , suy ra AM BD là hình vuông, suy ra M D = 60 2. √ #» Vậy cường độ lực F 3 bằng 60 2 ≈ 84,85 N. Ví dụ 6 # » # » Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA = 4. Tính 2OA − OB . # » # » # » # » A 2OA − OB = 4. B 2OA − OB = 2. √ # » # » # » # » C 2OA − OB = 12. D 2OA − OB = 4 5. Lời giải B Trên tia OA lấy điểm C sao cho A là trung điểm OC. # » # » # » # » # » Ta có 2OA − OB = OC − OB = BC = √ √ 42 + 82 = 4 5. O Ví dụ 7 #» # » #» # » #» # » Cho ba lực F1 = M A, F2 = M B, F3 = M C cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng #» #» #» C F3 yên. Cho biết cường độ của F1 , F2 đều bằng 25N #» ÷ và góc AM B = 60◦ . Khi đó cường độ lực của F3 là √ √ √ C 50 2N . A 25 3N . B 50 3N . Lời giải TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 A C A M #» 60◦F1 D #» F2 B √ 100 3N . Chûúng 1. Vec tú 35 A #» F3 C #» F1 M N #» F2 B Ä #» #»ä #» Vật đứng yên nên ba lực đã cho cân bằng. Ta được F3 = − F1 + F2 . #» #» # » # » # » Dựng hình bình hành AM BN . Ta√ có −F1 − F2 = −M A − M B = −M N . √ 2 3M A #» # » Suy ra F3 = −M N = M N = = 25 3. 2 Ví dụ 8 # » # » Cho tam giác đều ABC cạnh 4a. Độ dài của véc-tơ hiệu CA − CB là . . . . . . . . . . . . . . Lời giải # » # » # » # » # » # » Ta có CA − CB = BA ⇒ CA − CB = BA = BA = 4a. Ví dụ 9 Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng # » # » # » # » # » a AB − BC = DB, AB + AD = AC. # » # » # » # » b Nếu AB + AD = CB − CD thì ABCD là hình chữ nhật. Lời giải # » # » # » # » # » # » # » D # » # » # » Vì ABCD là hình bình hành nên AB + AD = AC. A # » # » # » Do đó AB + AD = AC = AC. D a Hình bình hành ABCD có # » # » # » # » # » # » AB + AD = CB − CD ⇔ AC = DB ⇔ AC = DB. A Do đó ABCD là hình chữ nhật. a Ta có AB − BC = AB + CB = AB + DA = DB. C O B C O B Ví dụ 10 # » #» Cho tam giác đều ABC có cạnh a, I là trung điểm của BC, độ dài của AB + AI là . Lời giải GV: LÊ QUANG XE 36 Bài 2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ Lấy điểm D sao cho ABDI là hình bình hành. Gọi K là giao điểm của AD và BI. # » #» # » # » # » #» # » Ta có AB + AI = AD = 2AK ⇒ AB + AI = 2 · AK = 2 · AK. Áp dụng định lý Py-ta-go vào 4AIK vuông tại I ta có Å ã √ BC 2 2 2 2 AK = AI + KI = AI + = 4 sÇ √ å 2  a 2 a 3 + 2 4 √ a 13 ⇒ AK = . 4 √ a 13 # » #» Vậy AB + AI = . 2 A K B I C D 2.3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN THEO MỨC ĐỘ GV: LÊ QUANG XE 2.3.1. Nhận biết # » # » # » Câu 1. Cho #» u = DC + AB + BD với 4 điểm bất kì A, B, C, D. Chọn khẳng định đúng ? # » #» #» #» #» # » B u = 2DC. u = 0. C u = AC. # » # » # » # » # » # » # » # » Hûúáng dêîn: #» u = DC + AB + BD = DC + AD = AD + DC = AC A # » #» u = BC. D Chọn đáp án C Câu 2. Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB. A C AO = BO. # » # » AO = BO. B D # » # » OA = OB. # » # » #» OA + OB = 0 . # » # » Hûúáng dêîn: Ta có O là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi OA và OB là hai # » # » #» véc-tơ đối nhau ⇔ OA + OB = 0 . Chọn đáp án D Câu 3. Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Hỏi đẳng thức nào đúng? A C # » # » #» 2AI + AB = 0 . #» #» #» AI − 2BI = IB . B D #» #» IA − IB = #» #» AI − IB = #» 0 . #» 0 . Hûúáng dêîn: # » # » # » # » #» Ta có: + AI − IB = AI + BI = 0 nên D đúng #» # » # » # » # » #» + 2AI + AB = AB + AB = 2AB 6= 0 nên A sai # » # » # » #» + IA − IB = BA 6= 0 nên B sai #» #» #» #» #» #» + AI − 2BI = IB + 2IB = 3IB 6= IB nên C sai A I Chọn đáp án D Câu 4. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Khẳng định nào sau đây là đúng ? TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 B Chûúng 1. Vec tú A C 37 # » # » # » AB − AC = DA. # » # » # » AO − BO = CD. B D # » # » # » AO + AC = BO. # » # » # » AO + BO = BD. Hûúáng dêîn: B C O A D # » # » # » # » # » # » # » # » Ta có AB − AC = CB. Do ABCD là hình bình hành nên CB = DA nên AB − AC = DA. Chọn đáp án A Câu 5. Cho hình bình hành ABCD với I là giao điểm của hai đường chéo. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? # » # » #» A IA + IC = 0 . # » # » C AB = DC. B D # » # » # » AB + AD = AC. # » # » AC = BD. Hûúáng dêîn: B C I A D ABCD là hình bình hành với I là giao điểm của hai đường chéo nên I là trung điểm của #» #» # » # » # » # » # » #» # » # » AC và BD nên ta có IA + IC = 0 ; AB + AD = AC; AB = DC. Hai véc-tơ AC và BD khác phương nên không bằng nhau. Chọn đáp án D Câu 6. Cho ba điểm A, B, C. Đẳng thức nào dưới đây đúng? A C # » # » # » CA − CB = AB. # » # » # » AC = CB + BA. B D # » # » # » BC = AB − AC. # » # » # » CB = CA + AB. Hûúáng dêîn: Ta có # » # » # » CA − CB = BA. # » # » # » AB − AC = CB. # » # » # » CB + BA = CA. # » # » # » CA + AB = CB. Chọn đáp án D Câu 7. Cho ABCD là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây là sai? GV: LÊ QUANG XE 38 Bài 2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ A C # » # » # » AB = CB − CA. # » # » # » AC = AB + AD. B D # » # » # » BD = AD + BA. # » # » # » DB = AD − BD. Hûúáng dêîn: # » # » # » AB = CB − CA: quy tắc trừ. # » # » # » BD = AD + BA: quy tắc cộng. # » # » # » AC = AB + AD: quy tắc hình bình hành. # » # » # » DB = AD − BD: sai. Chọn đáp án D Câu 8. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Đẳng thức nào sau đây đúng? # » # » # » # » # » # » CA − BA = CB. B AB + AC = CB. # » # » # » # » # » # » C AB + CA = BC. D AB − AC = BC. # » # » # » # » # » Hûúáng dêîn: Ta có CA − BA = CA + AB = CB. Mặt khác # » # » # » # » # » # » # » # » AB + AC = AC + CB + AC = 2AC + CB 6= CB. # » # » # » # » # » # » AB + CA = CA + AB = CB 6= BC. # » # » # » # » AB − AC = CB 6= BC. A GV: LÊ QUANG XE Chọn đáp án A Câu 9. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A B C D Hai véc-tơ đối nhau thì cùng phương. Hai véc-tơ cùng phương thì đối nhau. Hai véc-tơ có cùng độ dài thì bằng nhau. Hai véc-tơ cùng hướng thì bằng nhau. Hûúáng dêîn: Hai véc-tơ đối nhau là hai véc-tơ ngược hướng và có cùng độ dài nên hai véc-tơ đó cùng phương. Chọn đáp án A Câu 10. Cho ba điểm A, B, C. Đẳng thức nào sau đây đúng? # » # » # » BC = AB − AC. # » # » # » C D CA − CB = AB. # » # » # » Hûúáng dêîn: Theo quy tắc hiệu hai véc-tơ, ta có: AB = CB − CA. A # » # » # » AB = CB − CA. # » # » # » AC − CB = BA. B Chọn đáp án A Câu 11. Trong các phát biểu sau đây, phát biểu nào đúng? A B C D Hai véc-tơ không bằng nhau thì có độ dài không bằng nhau. Hiệu của hai véc-tơ có độ dài bằng nhau là véc-tơ-không. Tổng của hai véc-tơ khác véc-tơ-không là một véc-tơ khác véc-tơ-không. Hai véc-tơ cùng phương với một véc-tơ khác véc-tơ không thì chúng cùng phương. Hûúáng dêîn: TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 39 Chọn đáp án D 2.3.2. Thông hiểu Câu 12. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm BC và AD. Tính # » #» JC − IC không bằng # » A DC. B #» JI. C # » AB. D # » AC. Hûúáng dêîn: # » #» # » #» # » # » # » Ta có JC − IC = JC + CI = JC + DJ = DC = #» # » JI = AB. . D C J I A B Chọn đáp án D Câu 13. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F . Đẳng thức nào sau đây đúng? # » # » # » # » # » # » #» AB + CD + F A + BC + EF + DE = 0 . # » # » # » # » # » # » # » B AB + CD + F A + BC + EF + DE = AE. # » # » # » # » # » # » # » C AB + CD + F A + BC + EF + DE = AF . # » # » # » # » # » # » # » D AB + CD + F A + BC + EF + DE = AD. Ä # » # »ä Ä # » # »ä Ä # » # »ä # » # » # » Hûúáng dêîn: Ta có V T = AB + BC + CD + DE + EF + F A = AC + CE + EA = # » # » #» AE + EA = 0 . A Chọn đáp án A Câu 14. Cho 4 điểm bất kỳ A, B, C, O. Đẳng thức nào sau đây là đúng? # » # » # » #» # » # » # » BC − AC + AB = 0 . B OA = OB − BA. # » # » # » # » # » # » C OA = CA + CO. D BA = OB − OA. # » # » # » # » # » # » # » # » # » #» Hûúáng dêîn: Ta có BC − AC + AB = BC + CA + AB = BA + AB = BB = 0 . A Chọn đáp án A Câu 15. Cho các điểm phân biệt A, B, C, D. Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau # » # » # » # » # » # » # » B AB − CB − DC = AD. AB + AC = BC. # » # » # » # » # » # » # » C AB − AC = BC. D AB + BC − DC = DA. # » # » # » # » # » # » # » Hûúáng dêîn: Ta có AB − CB − DC = AB + BC + CD = AD. A Chọn đáp án B # » Câu 16. Cho hình chữ nhật ABCD. Vectơ nào sau đây bằng vectơ CA ? A C # » # » −OA + OC. # » # » BC + AB. B D # » # » DC − CB. # » # » CB + CD. GV: LÊ QUANG XE 40 Bài 2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ Hûúáng dêîn: # » # » Áp dụng quy tắc hình bình hành CB + CD. D C A B Chọn đáp án D Câu 17. Trong mặt phẳng cho bốn điểm bất kì A, B, C, O. Đẳng thức nào sau đây là đúng? A C # » # » # » AB = OB + OA. # » # » # » OA = CA − CO. B D # » # » # » AB = AC + BC. # » # » # » OA = OB − BA. Hûúáng dêîn: Nhắc lại lý thuyết: Với 3 điểm O, A, B bất kì: # » # » # » Quy tắc 3 điểm: OA + AB = OB. # » # » # » Quy tắc hiệu: OA − OB = BA. Chọn đáp án C # » # » # » #» Câu 18. Cho véc-tơ AB và một điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB − CD = 0 Vô số. B 1. # » # » #» # » # » Hûúáng dêîn: AB − CD = 0 ⇔ CD = AB. A C 2. D 0. GV: LÊ QUANG XE Với các điểm A, B, C cho trước thì tồn tại duy nhất một điểm D thỏa mãn đẳng thức trên. (Theo SGK Hình học 10 ban cơ bản trang 6 mục chú ý: Khi cho trước véc-tơ #» a và điểm O, # » #» thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho OA = a ). Chọn đáp án B # » # » # » #» Câu 19. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn M A − M B + M C = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? M là trọng tâm tam giác ABC. B M là trung điểm của AC. C ABCM là hình bình hành. D ABM C là hình bình hành. # » # » # » #» # » # » Hûúáng dêîn: Ta có M A − M B + M C = 0 ⇔ BA = CM ⇔ ABCM là hình bình hành. A Chọn đáp án C Câu 20. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB? A C IA = IB. # » # » #» IA − IB = 0 . B D # » # » #» IA + IB = 0 . #» #» IA = IB. Hûúáng dêîn: A I B #» #» # » # » #» Ta có I là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔ IA = −IB ⇔ IA + IB = 0 . Chọn đáp án B Câu 21. Cho hình bình hành ABCD tâm O, ABCD không là hình thoi. Trên đường chéo BD lấy 2 điểm M , N sao cho BM = M N = N D. Gọi P , Q là giao điểm của AN và CD; CM và AB. Tìm mệnh đề sai. TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú A B C D 41 M là trọng tâm tam giác ABC. P và Q đối xứng qua O. M và N đối xứng qua O. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Hûúáng dêîn: Vì nếu M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác suy ra M A = M C nên tam giác M AC cân tại M suy ra M O vuông góc AC suy ra ABCD là hình thoi (vô lý). Q A M N O D Chọn đáp án D # » B P C # » Câu 22. Cho hình bình hành ABCD. Véc-tơ BC − AB bằng véc-tơ nào dưới đây? # » BD. # » # » # » # » # » Hûúáng dêîn: BC − AB = BC + BA = BD. A # » DB. B Chọn đáp án B C # » AC. # » D # » # » # » CA. #» Câu 23. Cho tam giác ABC. Vị trí của điểm M sao cho M A − M B + M C = 0 là trùng C. B là đỉnh thứ tư của hình bình hành CBAM . C trùng B. là đỉnh thứ tư của hình bình hành CABM . D # » # » # » #» # » # » #» # » # » Hûúáng dêîn: M A − M B + M C = 0 ⇔ BA + M C = 0 ⇔ CM = BA. Vậy M thỏa mãn CBAM là hình bình hành. A M M M M Chọn đáp án D Câu 24. Một giá đỡ dựa vào bức tường như hình vẽ, tam giác ABC vuông cân ở đỉnh C. Người ta treo vào điểm A một vật có trọng lượng 10N . Khi đó lực tác động vào bức tường tại hai điểm B và C có cường độ lần lượt là √ A 10 2N và 10N . B 10N và 10N . √ √ √ C 10N và 10 2N . D 10 2N và 10 2N . B A C 10N Hûúáng dêîn: √ CA · P = 10 2N . CH Lực tác dụng lên C là N = P = 10N . Lực tác dụng lên B là T = B H C GV: LÊ QUANG XE #» T #» T0 #» N A #» P 42 Bài 2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ Chọn đáp án A #» #» #» Câu 25. Câu 34Cho #» a + b = 4, | #» a | = 2, b = 3. Tính #» a− b . A √ 3. B 10. √ C 12. D 2. Hûúáng dêîn: Ta có ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ #» #» a + b =4 Ä #»ä2 #» a + b = 16 #» #» #» a 2 + 2 #» a b + b 2 = 16 #» 4 + 2 #» a b + 9 = 16 #» 2 #» a b = 3. Từ đó, ta có ⇒ #» 2 #» #» #» a − b = #» a 2 − 2 #» a b + b 2 = 22 − 3 + 32 = 10 √ #» #» a − b = 10. Chọn đáp án B GV: LÊ QUANG XE #» Câu 26. Với hai véc-tơ #» a và b bất kì, khẳng định nào sau đây đúng? #» #» #» #» #» #» B a + b < |a| + a + b = | #» a| + b . #» #» #» #» #» #» #» C a + b > |a| + b . D a + b ≤ |a| + #» # » # » # » #» Hûúáng dêîn: Chọn AB = #» a , BC = b ⇒ #» a + b = AC. #» Theo bất đẳng thức tam giác thì AC ≤ AB + BC ⇔ #» a + b ≤ | #» a| + A Chọn đáp án D # » #» b . #» b . #» b . # » Câu 27. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Khi đó AB + AC bằng A C # » # » AB + AC = 2a. √ # » # » AB + AC = a 3. B D Một đáp án khác. √ a 3 # » # » AB + AC = . 2 Hûúáng dêîn: √ a 3 . Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó AM = 2 # » # » # » # » # » # » Ta có AB + AC = 2AM ⇒ AB + AC = 2AM = 2AM = √ a 3. A B Chọn đáp án C TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 M C Chûúng 1. Vec tú 43 2.3.3. Vận dụng thấp Câu 28. Cho ABCD là hình bình hành. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BC và CD. #» # » Tính AI + AK. 2# » A AC. 3 B # » 3AC. C # » 2AC. D 3# » AC. 2 Hûúáng dêîn: Ta có A #» # » # » #» # » # » AI + AK = (AB + BI) + (AD + DK) # » 1# » # » 1 = AB + AD + AD + AB 2 2 3# » 3# » = AB + AD 2 2 3# » = AC 2 B I D K C Chọn đáp án D Câu 29. Cho hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm. Đẳng thức nào sau đây là sai? A C # » # » # » AE + BF + CD = # » # » # » DB + EC + F A = #» 0. #» 0. B D # » # » # » AD + BE + CF = # » # » # » AE + BF + CE = #» 0. #» 0. Hûúáng dêîn: Gọi G là trọng tâm của 2 tam giác ABC và DEF . # » # » # » #» # » # » # » #» Suy ra AG + BG + CG = 0 và GD + GE + GF = 0 . # » # » # » #» Xét phương án “AE + BF + CE = 0 ” ta có # » # » # » #» AE + BF + CE = 0 # » # » # » # » # » # » #» ⇔ AG + GE + BG + GF + CG + GE = 0 Ä # » # » # »ä Ä # » # » # »ä #» ⇔ AG + BG + CG + GE + GF + GE = 0 # » #» #» Ä # » # »ä #» ⇔ 0 + −GD + GE = 0 ⇔ DE = 0 ⇔ D ≡ E. (vô lý) # » # » # » #» # » # » # » (Vì GD + GE + GF = 0 nên GE + GF = −GD) Chọn đáp án D # » # » # » #» Câu 30. Cho 4ABC và một điểm M thoả M A − M B + M C = 0 . Mệnh đề nào sau đây sai? # » # » # » AM + AB = AC. C D M ABC là hình bình hành. # » # » # » #» # » # » #» # » # » Hûúáng dêîn: Theo giả thiết: M A − M B + M C = 0 ⇔ BA + M C = 0 ⇔ BA = CM . # » # » # » # » # » # » # » # » Xét phương án A: BA + BC = BM ⇔ BA = BM − BC ⇔ BA = CM (đúng). # » # » # » # » # » # » # » # » Xét phương án B: AM + AB = AC ⇔ AM − AC = −AB ⇔ BA = CM (đúng). # » # » # » # » # » # » # » # » Xét phương án C: M A = BC ⇔ CA − CM = −CB ⇔ CA + CB = CM (sai). # » # » Xét phương án D: M ABC là hình bình hành⇔ BA = CM (đúng). A # » # » # » BA + BC = BM . # » # » M A = BC. B Chọn đáp án C Câu 31. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tìm tập hợp GV: LÊ QUANG XE 44 Bài 2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ # » # » # » # » các điểm M thỏa mãn đẳng thức M A + M B = M A − M B . A Đường tròn tâm I, đường kính AB . 2 Đường tròn đường kính AB. C Đường trung trực của đoạn thẳng AB. D Đường trung trực của đoạn thẳng IA. AB # » # » # » # » Hûúáng dêîn: Ta có: M A + M B = M A − M B ⇔ 2M I = AB ⇔ IM = . 2 AB Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I, bán kính . 2 Chọn đáp án B # » # » Câu 32. Cho tam giác ABC đều, cạnh 2a, trọng tâm G. Độ dài của véc-tơ AB − CG là √ √ √ √ 4a 3 8a 3 4a 3 A 8a 3. B 4a + D . C . . 3 3 3 B Hûúáng dêîn: GV: LÊ QUANG XE # » # » Dựng điểm D sao cho AD = CG. Gọi E là giao điểm của CG và BD. Ta có AG = BE = ED ⇒ BD = 2AG. AB 2 Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên AG = = cos 30◦ √ 2a 3 . 3# » # » # » # » # » Mà AB − CG = AB − AD = DB. √ √ 2a 3 4a 3 # » # » # » = . Suy ra AB − CG = DB = DB = 2 · 3 3 Chọn đáp án D D A E G B # » C # » Câu 33. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3. Khi đó BA + BD bằng A √ 3 5. √ B 3. C √ 3 3 . 2 D √ 3 5 . 2 Hûúáng dêîn: Gọi E là điểm đối xứng với C qua D. Ta có ABDE là hình bình hành tâm I với I là trung điểm của AD. Å ã2 √ 3 # » # » # » 2 Khi đó BA + BD = BE = 2BI = 2 3 + = 3 5. 2 Chọn đáp án A #» #» #» #» cường độ là 40N , lực F2 có cường độ là 30N và hai lực hợp với nhau một góc 90◦ . Tìm cường độ của lực tổng hợp của chúng tác động vào M . Câu 34. Cho hai lực F1 và F2 cùng tác động vào một vật M đặt cố định. Biết lực F1 có A 35N . B 50N . C 70N . TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 D 10N . Chûúng 1. Vec tú 45 Hûúáng dêîn: #» # » #» # » #» #» #» # » # » # » Đặt F1 = M A, F2 = M B, hợp lực F = F1 +F2 = M A+M B = M C. #» #» Vì F1 ⊥ F2 nên tứ giác M ACB là hình chữ nhật. √ √ Suy ra M C = M A2 + M B 2 = 402 + 302 = 50. Vậy cường độ lực tổng hợp là 50N . C B #» F #» F2 #» F1 M A Chọn đáp án B ĐÁP ÁN BÀI 2 1.C 2.D 3.D 4.A 5.D 6.D 7.D 8.A 9.A 10.A 11.D 12.D 13.A 14.A 15.B 16.D 17.C 18.B 19.C 20.B 21.D 22.B 23.D 24.A 25.B 26.D 27.C 28.D 29.D 30.C 31.B 32.D 33.A 34.B GV: LÊ QUANG XE 46 Bài 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC BÀI 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC 3.1. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 3.1.1. Định nghĩa Định nghĩa 1.3.1. Cho số thực k 6= 0 và #» a = 6 0. Tích của vec tơ #» a với số thực k là một #» vec tơ, kí hiệu k a . #» #» a b k #» a cùng hướng với #» a nếu k > 0. k #» a ngược hướng với #» a nếu k < 0. a . Độ dài vec tơ k #» a là |k| · #» #» #» Theo hình vẽ bên, thì b = 3 a ; #» c = −2 #» a; 2 #» #» c = − b; 3 #» c #» Chú ý. Quy ước: 0 · #» a = 0. GV: LÊ QUANG XE 3.1.2. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm tam giác Định nghĩa 1.3.2. Trung điểm của đoạn thẳng: # » # » # » • Nếu I là trung điểm của đoạn AB với mọi điểm M ta có M A + M B = 2M I. Trọng tâm của tam giác: # » # » • Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có GA + GB + # » # » GC = 3M G. 3.1.3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương Định nghĩa 1.3.3. #» #» #» Điều kiện cần và đủ để #» a và b = 6 0 cùng phương là có một số thực k để #» a = kb. # » # » Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi có số thực k để AB = k AC. 3.1.4. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương Định nghĩa 1.3.4. #» Cho hai vectơ #» a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ #» c đều phân tích được một cách duy nhất theo hai #» #» vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho #» #» c = h #» a +kb • Theo quy tắc hình bình hành, ta có # » # » #» c = OH + OK #» #» # » # » • Giả sử OH = h #» a và OK = k b thì #» c = h #» a +kb. TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 K #» c #» b O #» a H Chûúng 1. Vec tú 47 3.2. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 3.1. Xác định véc-tơ k #» a , tính độ dài véc-tơ Ví dụ 1 # » # » # » Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB + AC + AD . Ä √ ä √ A 3a. B 2 + 2 a. C a 2. √ 2 2a. D Lời giải √ Ta có AC = a 2. Suy ra √ # » # » # » # » AB + AC + AD = 2 AC = 2 2a. √ # » # » # » Vậy AB + AC + AD = 2 2a. D C a A B Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm BC. Tìm khẳng định sai? #» #» #» #» #» A IB + IC + IA = IA. B IB + IC = BC. # » # » # » # » C AB + AC = 2AI. D AB + AC = 3GA. Lời giải #» #» # » # » #» Vì I là trung điểm của BC nên IB + IC = 0 và AB + AC = #» 2AI. Từ tính chất của trọng tâm G ta có 2AI = 3GA. Như thế, các khẳng định đúng là #» #» #» #» #» # » IB + IC + IA = 0 + IA = IA = IA. # » # » #» AB + AC = 2AI = 2AI. A G B I # » # » AB + AC = 2AI = 3GA. #» #» #» #» #» Ta có IB + IC = 0 = 0 nên khẳng định IB + IC = BC là sai. Ví dụ 3 # » # » Cho tam giác ABC đều có cạnh AB = 5, H là trung điểm của BC. Tính CA − HC . √ 5 3 # » # » # » # » A CA − HC = . B CA − HC = 5. 2 √ √ 5 7 5 7 # » # » # » # » C CA − HC = . D CA − HC = . 4 2 GV: LÊ QUANG XE C 48 Bài 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC Lời giải A E B H C GV: LÊ QUANG XE # » # » # » # » # » Ta có: CA − HC = CA + CH = 2CE = 2CE (với E là trung điểm của AH). √ 5 3 Ta lại có: AH = (∆ABC đều, AH là đường cao). 2 Trong tam giác HEC vuông có: s tại H, Ç √ å2 √ √ √ 5 7 5 3 5 7 # » # » 2 2 2 EC = CH + HE = 2.5 + = ⇒ CA − HC = 2CE = . 4 4 2 Ví dụ 4 # » # » Cho AB = −3AC. Khẳng định nào sau đây là sai? # » # » #» A BA + 3CA = 0 . B A, B, C thẳng hàng. # » # » # » # » #» C BC = 4AC. D 2CB + 3BA = 0 . Lời giải C A B Ä # » # »ä #» # » # » # » # » # » #» Ta có AB = −3AC ⇔ −BA + 3 BC − BA = 0 ⇔ 3CB + 4BA = 0 . # » # » #» Vậy mệnh đề sai là “2CB + 3BA = 0 ”. Ví dụ 5 Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, AN . Khẳng định nào sau đây là đúng? # » 1# » # » 1# » A M P = BC. B N M = AC. 4 2 1# » # » # » 1# » C AP = N A. D AM = − AB. 2 2 Lời giải TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 49 1# » 1# » 1# » # » # » M P = BN = BC nên M P = BC 2 4 4 đúng. 1# » # » # » 1# » N M = − AC nên N M = AC sai. 2 2 1# » # » 1# » # » 1# » AP = AN = − N A nên AP = N A sai. 2 2 2 1# » # » 1# » # » AM = AB nên AM = − AB sai. 2 2 A M B P C N Ví dụ 6 # » # » # » Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Tính AB + AC + AD . √ √ C 2a 2. A 4a 2. B 4a. D 2a. Lời giải A B D C # » # » # » # » Ta có AB + AC + AD = 2AC = 2AC. √ Đường chéo AC của hình vuông có độ dài là AC = 2a 2. √ √ # » # » # » Vậy AB + AC + AD = 2.2a 2 = 4a 2. Ví dụ 7 Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Đẳng thức nào dưới đây là đúng? # » # » # » # » A BC = 2EF . B BC = −2EF . # » # » # » # » C EF = BD. D AB = DE. Lời giải A F B E D C # » # » Khẳng định đúng là BC = −2EF . GV: LÊ QUANG XE 50 Bài 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC Ví dụ 8 # » # » Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA = 4. Tính 2OA − OB . √ # » # » # » # » A 2OA − OB = 4. B 2OA − OB = 4 2. √ # » # » # » # » C 2OA − OB = 12. D 2OA − OB = 4 5. Lời giải C A GV: LÊ QUANG XE O B # » # » # » # » # » # » # » Dựng OC = 2OA ⇒ 2OA − OB = OC − OB = BC = BC. √ √ √ BC = OC 2 + OB 2 = 82 + 42 = 4 5. Ví dụ 9 Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của OA và # » # » # » Biết M N = a.AB + b.AD. Tính a + b. 1 3 A a + b = 1. B a+b= . C a+b= . D a+b= 2 4 Lời giải 1# » 1# » # » # » # » M N = M O + ON = AC + AD 4 2 1 Ä # » # »ä = AB + BC + 4 1 Ä # » # »ä = AB + AD + 4 1# » 3# » = AB + AD. 4 4 1# » AD 2 1# » AD 2 1 3 ⇒ a = ; b = . Vậy a + b = 1. 4 4 Dạng 3.2. Chứng minh các đẳng thức véc-tơ, thu gọn biểu thức TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 CD. 1 . 4 Chûúng 1. Vec tú 51 Ví dụ 1 Cho hai tam giác ABC và A0 B 0 C 0 lần lượt có trọng tâm là G và G0 . Đẳng thức nào sau đây là sai? # » # » # » # » # » # » # » # » A 3GG0 = AB 0 + BC 0 + CA0 . B 3GG0 = AA0 + BB 0 + CC 0 . # » # » # » # » # » # » # » # » C 3GG0 = AC 0 + BA0 + CB 0 . D 3GG0 = A0 A + B 0 B + C 0 C. Lời giải # 0 » # 0 » # 0 » # 0 »0 # 0 » # » # 0 »0 # 0 » # » # 0 »0 # 0 » # » # » Vì A A + B B + C C = A G + G G + GA + B G + G G + GB + C G + G G + GC 6= 3GG0 . Ví dụ 2 #» #» #» # » #» Cho tam giác ABC. Gọi I, J là hai điểm xác định bởi IA = 2IB, 3JA + 2JC = 0 . Hệ thức nào đúng? #» 5 # » # » #» 5 # » # » A IJ = AC − 2AB. B IJ = AB − 2AC. 2 2 #» 2 # » # » #» 2 # » # » C IJ = AB − 2AC. D IJ = AC − 2AB. 5 5 Lời giải #» # » # » # » 2# » 2# » # » Ta có IJ = IA + AJ = −2AB + AC = AC − 2AB. 5 5 Ví dụ 3 Gọi CM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của CM . Đẳng thức nào sau đây sai? # » # » # » # » # » # » A CA + CB = 2CM . B CA + CB = 2CD. # » # » # » # » # » # » C CB + M B = 2DB. D AC + AM = 2AD. Lời giải # » # » # » # » Ta có CA + CB = 2CM = 4CD. C D B M Ví dụ 4 Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Mệnh đề nào sau đây sai? # » # » # » # » # » # » # » #» A M A + M B + M C = 3M G, ∀M . B GA + GB + GC = 0 . # » # » # » # » # » # » C GB + GC = 2GA. D 3AG = AB + AC. # » # » # » # » Ta có GB + GC = 2GM = −GA. Lời giải GV: LÊ QUANG XE A 52 Bài 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC Ví dụ 5 #» Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho #» a = (1; 2), b = (2; 3), #» c = (−6; −10). Hãy chọn đẳng thức đúng. #» #» #» #» #» #» #» A a + b và c cùng hướng. B a + b và a − b cùng phương. #» #» #» #» #» #» C a − b và c cùng hướng. D a + b và c ngược hướng. Lời giải ä #» #» #» Ta có #» a + b = (3; 5) ⇒ #» c = −2 #» a + b ⇒ #» a + b và #» c ngược hướng. Ä Ví dụ 6 Cho tam giác ABC, có M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AM . Tìm khẳng định đúng dưới đây. # » # » # » #» # » # » # » #» A IA + IB + IC = 0 . B IA − IB − IC = 0 . #» #» #» #» # » # » # » #» C 2IA + IB + IC = 4IA. D 2IA + IB + IC = 0 . Lời giải GV: LÊ QUANG XE #» #» # » Vì M là trung điểm của BC nên IB + IC = 2IM . Do đó, #» #» #» #» # » 2IA + IB + IC = 2IA + 2IM Ä # » # »ä = 2 IA + IM #» = 0. A I B M C Ví dụ 7 Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và DC. Chứng minh rằng # » # » # » #» # » 1 Ä# » # »ä # » # » 3# » a OA + OM + ON = 0 . b AM = AD + 2AB . c AM + AN = AC. 2 2 Lời giải A B O D M N # » # » C # » a Theo quy tắc hình bình hành ta có OM + ON = OC. Do đó # » # » # » # » # » #» OA + OM + ON = OA + OC = 0 . TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 53 b Vì M là trung điểm của BC nên # » 1 Ä # » # »ä 1 Ä # » # » # »ä 1 Ä # » # »ä AM = AC + AB = AD + AB + AB = AD + 2AB . 2 2 2 Ä ä Ä ä # » 1 # » # » # » 1 # » # » c Ta có AM = AC + AB và AN = AC + AD nên 2 2 # » # » 1 Ä # » # » # » # »ä 1 Ä # » # » # »ä 3 # » AM + AN = AC + AB + AC + AD = 2AC + AB + AD = AC. 2 2 2 Ví dụ 8 Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm AB, D là trung điểm BC, N là điểm thuộc # » # » AC sao cho CN = 2N A. Gọi K là trung điểm của M N . Chứng minh rằng: # » 1# » 1# » # » 1# » 1# » a AK = AB + AC. b KD = AB + AC. 4 6 4 3 Lời giải # » 1# » a M là trung điểm AB nên AM = AB. 2 # » # » # » 1# » CN = 2N A nên AN = AC. 3 Ta có # » 1 Ä # » # »ä AM + AN AK = 2Å ã 1 1# » 1# » = AB + AC 2 2 3 1# » 1# » = AB + AC 4 6 A N M B K D C b Ta có # » 1 Ä # » # »ä KB + KC KD = 2 1 Ä # » # » # » # »ä = KA + AB + KA + AC 2 # » 1# » 1# » = −AK + AB + AC 2 2 1# » 1# » 1# » 1# » = − AB − AC + AB + AC 4 6 2 2 1# » 1# » = AB + AC. 4 3 Ví dụ 9 Cho tam giác ABC, gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác và I là tâm đường tròn đi qua các trung điểm của ba cạnh. Chứng minh rằng # » # » # » # » # » a OA + OB + OC = OH = 3OG. # » # » # » # » # » b HA + HB + HC = 2HO = 3HG. # » #» c OH = 2OI. Lời giải GV: LÊ QUANG XE 54 Bài 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC A P H N G B O M C D # » # » # » # » # » a Chứng minh OA + OB + OC = OH = 3OG. GV: LÊ QUANG XE Gọi M là trung điểm của BC. # » # » # » # » # » Ta có OA + OB + OC = OA + 2OM . Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Khi đó ® BH //CD (vì cùng vuông góc với AC) CH //BD (1) (vì cùng vuông góc với AB). Suy ra CHBD là hình( bình hành. Do đó M là trung điểm của HD. O là trung điểm của AD Xét tam giác DHA có M là trung điểm của HD. Suy ra OM là đường trung bình của tam giác DHA. # » # » Do đó AH = 2OM . (2) # » # » # » # » # » # » Từ (1) và (2), suy ra OA + OB + OC = OA + AH = OH. # » # » # » # » Mặt khác, G là trọng tâm của tam giác ABC nên OA + OB + OC = 3OG. # » # » # » # » # » Vậy OA + OB + OC = OH = 3OG. # » # » # » # » # » b Chứng minh HA + HB + HC = 2HO = 3HG. Ta có # » # » # » # » # » # » # » # » # » HA + HB + HC = HO + OA + HO + OB + HO + OC # » Ä # » # » # »ä = 3HO + OA + OB + OC # » # » = 3HO + OH # » = 2HO. # » # » # » # » Mặt khác, G là trọng tâm của tam giác ABC nên HA + HB + HC = 3HG. # » # » # » # » # » Vậy HA + HB + HC = 2HO = 3HG. # » #» c Chứng minh OH = 2OI. Xét tam giác M N P , có O là trực tâm và G là trọng tâm và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Theo kết quả câu a, suy ra #» #» #» #» # » #» # » IO = 3IG ⇔ IO = 3IO + 3OG ⇔ 2OI = 3OG. TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 55 # » # » Mặt khác, ta có OH = 3OG (theo câu a). # » #» Vậy OH = 2OI. Ví dụ 10 Cho 4ABC đều, tâm O, M là điểm di động trên đường tròn cố định (O; b) (nằm trong tam giác). Gọi A0 , B 0 , C 0 tương ứng là chân các đường vuông góc hạ từ M đến các cạnh BC, CA, AB của tam giác và G0 là trọng tâm tam giác A0 B 0 C 0 . # » # » # » 3# » a Chứng minh rằng M A0 + M B 0 + M C 0 = M O. 2 0 b Chứng minh rằng G di động trên đường tròn cố định. Lời giải A A3 C0 B3 B M O B1 A0 A2 B0 C2 C1 C a Từ M vẽ các đường thẳng song song với các cạnh tam giác và cắt các cạnh tại các điểm như hình vẽ. Khi đó các tam giác M B1 C1 , M C2 A2 và M A3 B3 là tam giác đều mà có M A0 , M B 0 , M C 0 lần lượt là các đường cao và là đường trung tuyến. # » 1 Ä # » # »ä # »0 1 Ä # » # »ä # »0 1 Ä # » # »ä M B1 + M C1 ; M B = M A2 + M C2 ; M C = M B3 + M A 3 . Ta có M A0 = 2 2 2 Ä # » # » # » 1 # » # » # » # » # » # »ä Suy ra M A0 + M B 0 + M C 0 = M B1 + M C1 + M A2 + M C2 + M B3 + M A3 = 2 Ä ä 1 # » # » # » 3# » M A + M B + M C = M O. 2 2 # »0 # »0 # »0 # » b Ta có M A + M B + M C = 3M G0 . # » # » Suy ra M O = 2M G0 ⇒ G0 là trung điểm của OM . Do đó G0 thuộc đường tròn tâm O b bán kính . 2 Dạng 3.3. Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véc-tơ Ví dụ 1 Điều kiện nào dưới đây là cần và đủ để điểm M là trung điểm của đoạn AB? # » # » # » # » A M A = M B. B AM = BM . # » # » #» C MA + MB = 0 . D M A = M B. GV: LÊ QUANG XE 56 Bài 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC Lời giải # » # » #» Điều kiện cần và đủ để điểm M là trung điểm của đoạn AB là M A + M B = 0 . Ví dụ 2 Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho M B = 2M C. Khi đó # » 1# » 2# » # » 2# » 1# » A AM = AB + AC. B AM = AB + AC. 3 3 3 3 # » # » # » # » 2# » 3# » D AM = AB + AC. C AM = AB + AC. 5 5 Lời giải # » # » # » # » 2 # » # » 2 Ä # » # »ä 1 # » 2 # » Cách 1: Ta có AM = AB + BM = AB + BC = AB + AC − AB = AB + AC. 3# » 3 3 # » # 3» # » Cách 2: Ta có M B = 2M C ⇔ M B = −2M C (vì M B và M C ngược hướng) Ä # » # »ä # » # » # » 1# » 2# » ⇔ AB − AM = −2 AC − AM ⇔ AM = AB + AC. 3 3 Ví dụ 3 GV: LÊ QUANG XE 1 # » # » # » # » Cho 4ABC, tập hợp các điểm M thỏa mãn M A + BC = M A − M B là 2 A Đường trung trực đoạn BC. AB B Đường tròn tâm I, bán kính R = với I là đỉnh hình bình hành ABIC. 2 C Đường thẳng song song với BC. AB D Đường tròn tâm I, bán kính R = với I là đỉnh hình bình hành ABCI. 2 Lời giải # » #» Vẽ hình bình hành ABCI ⇒ BC = AI. 1 # » # » 1 # » # » # » # » #» M A + BC = M A − M B ⇔ M A + AI = BA ⇔ 2 2 1 # » M I = AB. 2 AB . Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R = 2 A B I C Ví dụ 4 Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC; BD thức nào sau đây sai? # » # » A AC = 2AO. B # » # » C DB = 2BO. D của hình bình hành ABCD. Đẳng # » # » # » OB − OD = 2OB. # » # » # » CB + CD = CA. Lời giải # » # » # » # » DB = 2OB = −2BO 6= 2BO. TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 57 Ví dụ 5 Câu 6Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Tìm mệnh đề đúng? # » # » # » # » # » # » A AB + AC = AM . B GB + GC = GA. # » # » # » # » # » # » C GB + GC = 2GA. D GB + GC = 2GM . Lời giải # » # » # » Ta có GB + GC = 2GM . Ví dụ 6 Gọi M là trung điểm đoạn AB. Khẳng định nào sau đây là sai? # » # » # » # » A M A = M B. B AB = 2M B. 1# » # » # » # » #» D MA + MB = 0 . C M A = − AB. 2 Lời giải # » # » Khẳng định sai là M A = M B, vì khi đó hai điểm A và B sẽ trùng nhau, điều này là vô lý. Ví dụ 7 Cho tam giác ABC có trọng tâm G và tam giác A0 B 0 C 0 có trọng tâm G0 . # » # » # » # » a Chứng minh hệ thức AA0 + BB 0 + CC 0 = 3GG0 . b Suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm. Lời giải # » # » # » #» a Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó AG + BG + CG = 0 . Do đó # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » AA0 + BB 0 + CC 0 = AG + BG + CG + 3GG0 + GA0 + GB 0 + GC 0 = 3GG0 . # » # » # » #» b Suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm là AA0 + BB 0 + CC 0 = 0 . Ví dụ 8 # » # » #» Cho điểm A, B. Xác định điểm M biết: 2M A − 3M B = 0 . Lời giải B M A Ä # » # »ä # » # » # » # » # » #» # » # » Ta có 2M A − 3M B = 2M A − 3 M A + M B = −M A − 3M B = 0 ⇔ AM = 3AB. Khi đó điểm M được xác định như sau: # » # » M nằm trên đường thẳng AB và nằm ngoài đoạn AB, gần B. Hai véc-tơ AM , AB cùng hướng. Độ dài AM = 3AB, nghĩa là điểm B chia AM ra 3 đoạn bằng nhau. GV: LÊ QUANG XE 58 Bài 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC Ví dụ 9 Cho 4ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N thuộc cạnh AC, sao cho N C = 2N A. Hãy xác định K và D khi # » # » # » #» # » # » # » #» a 3AB + 2AC − 12AK = 0 . b 3AB + 4AC − 12KD = 0 . GV: LÊ QUANG XE Lời giải # » # » # » #» a Xác định điểm K thỏa: 3AB + 2AC − 12AK = 0 (1) ( AB = 2AM C # » Theo giả thiết thì: ⇔ AB = # » # » AB ↑↑ AM # » 2AM (2) ( D AC = 3AN # » # » và # » ⇔ AC = 3 AN (3) N # » K AC ↑↑ AN # » # » Thay (2) và (3) vào (1) ta được: 6AM + 6AN − A M B # » #» # » 1 Ä # » # »ä AM + AN . 12AK = 0 ⇔ AK = 2 Suy ra K là trung điểm của M N . # » # » # » #» b Xác định điểm D thỏa: 3AB + 4AC − 12KD = 0 (4) # » # » # » # » 1# » 1# » Ta có KD = AD − AK (5). Mà theo (4) suy ra AK = AB + AC (6) 4 3 # » # » 1# » 1# » (7) Thay (6) vào (5) ta được: KD = AD − AB − AC 4 Å3 ã # » # » # » 1# » 1# » # » #» Thay (7) vào (4) ta được 3AB + 4AC − 12 AD − AB − AC = 0 ⇔ AD = 4 3 1 Ä # » # »ä AB + AC . 2 Suy ra D là trung điểm của BC. Dạng 3.4. Phân tích một véc-tơ theo hai véc-tơ không cùng phương Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Khẳng định nào sau đây là đúng ? # » 1# » 1# » # » 1# » 1# » A AG = AB + AC. B AG = AB + AC. 2 2 3 3 # » 1# » 1# » # » 2# » 2# » C AG = AB + AC. D AG = AB + AC. 3 2 3 3 Lời giải A G B M TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 C Chûúng 1. Vec tú 59 # » 2 # » 2 1 Ä # » # »ä 1 # » 1 # » AB + AC = AB + AC. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Có AG = AM = · 3 3 2 3 3 Ví dụ 2 Điều kiện nào sau đây không phải là điều kiện cần và đủ để G là trọng tâm tam giác ABC (với M là trung điểm của BC) 3# » # » # » # » #» # » A GA + GB + GC = 0 . B AM = − GA. # » # » # » #» # » #2 » C AG + BG + CG = 0 . D 2GM = GA. Lời giải # » # » # » # » Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có 2GM = AG. Do đó 2GM = GA sai. Ví dụ 3 Cho tam giác ABC có I, D lần lượt là trung điểm AB, CI. Đẳng thức nào sau đây đúng? 3# » 1# » # » 1# » 3# » # » A BD = AB − AC. B BD = − AB + AC. 2 4 4 2 1# » 3# » 3# » 1# » # » # » C BD = − AB + AC. D BD = − AB − AC. 4 2 4 2 Lời giải A Vì I, D lần lượt là trung điểm AB, CI nên ta có # » 1 Ä # » # »ä BI + BC BD = 2Å ã 1 1# » # » # » = BA + BA + AC 2 2 3# » 1# » = − AB + AC. 4 2 I D B C Ví dụ 4 # » # » # » Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Đặt CA = #» u , CB = #» v . Khi đó AG bằng #» #» #» #» #» #» 2u − v 2u + v u − 2v −2 #» u + #» v C . . . . A B D 3 3 3 3 Lời giải Ta có # » # » # » 2 # » # » 1 Ä # » # »ä # » AG = CG − CA = CM − CA = CA + CB − CA 3 3 2 # » 1 # » −2 #» u + #» v = − CA + CB = . 3 3 3 C G A GV: LÊ QUANG XE M B 60 Bài 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC Ví dụ 5 Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho BM = 2M C. Trên đoạn # » #» # » AM , xác định các điểm I, J sao cho AI = IJ = JM . Đặt BC = x · BI + y · CJ. Tính giá trị của biểu thức T = 2x + y. 5 3 C T = . A T = −3. B T = 0. D T = . 2 2 Lời giải GV: LÊ QUANG XE # » A Ta có M ∈ BC sao cho BM = 2M C nên CM = 1# » − BC. 3 Ta có I, J lần lượt là trung điểm của AJ, IM . Khi đó I ta suy ra (# » # » # » BI = BC + CI J # » # » #» 2CJ = CM + CI #» # » # » # » # » 1# » 4# » ⇒ BI − 2CJ = BC − CM = BC + BC = BC 3 3 B # » 3# » 3# » ⇔ BC = BI − CJ (1) 4 2  3   x = # » #» # » 4 Lại có BC = x · BI + y · CJ (2). Từ (1) và (2) suy ra  y = − 3 . 2 3 3 Do đó T = 2x + y = 2 · − = 0. 4 2 M C Ví dụ 6 # » # » #» # » # » #» Cho tam giác ABC. Gọi M , N là các điểm thỏa M A + M B = 0 , 2N A + 3N C = 0 và # » # » BC = k BP . Tìm k để ba điểm M , N , P thẳng hàng. 2 3 1 A k= . B k= . C k= . D k = 3. 3 5 3 Lời giải # » #» Trường hợp 1: Nếu k = 0 thì BC = 0 vô lý. Trường hợp 2: Xét k 6= 0. # » # » #» # » # » #» # » 1# » * M A + M B = 0 ⇔ BA − 2BM = 0 ⇔ BM = BA. 2 # » # » #» # » # » # » # » #» # » 2# » 3# » * 2N A + 3N C = 0 ⇔ 2BA − 2BN + 3BC − 3BN = 0 ⇔ BN = BA + BC. 5 5 # » # » # » 1# » * BC = k BP ⇔ BP = BC k 1 # » 3# » # » # » # » # » # » # » * M N = BN − BM = − BA + BC → 10M N = −BA + 6BC. 10 5 1# » 1# » # » # » # » # » # » # » M P = BP − BM = − BA + BC → 2k M P = −kBA + 2BC. 2 k # » # » # » # » * Ba điểm M, N, P thẳng hàng khi M N và M P cùng phương, hay 10M N và 2k M P cùng −k 2 1 phương. Suy ra = →k= . −1 6 3 TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 61 Ví dụ 7 # » Cho 4ABC có trọng tâm G. Gọi D là điểm đối xứng với A qua B. Phân tích DG theo # » # » hai véc-tơ AB và AC. # » 1# » 5# » # » # » # » A DG = AC − AB. B DG = AC − 5AB. 3 3 # » 7# » 1# » # » 1# » 5# » C DG = AB − AC. D DG = AB − AC. 3 3 3 3 Lời giải # » # » Ta có D đối xứng với A qua B ⇒ B là trung điểm của AD ⇒ AD = 2AB. # » 1# » 1# » G là trọng tâm 4ABC ⇒ AG = AB + AC. 3 3 # » # » # » 1# » 5# » Suy ra DG = AG − AD = AC − AC. 3 3 Ví dụ 8 # » Cho tứ giác ABCD, trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M , N sao cho 3AM = # » # » # » # » # » # » 2AB và 3DN = 2DC. Biểu diễn véc-tơ M N theo hai véc-tơ AD, BC. # » 1# » 1# » # » 1# » 2# » A M N = AD + BC. B M N = AD − BC. 3 3 3 3 # » 1# » 2# » # » 2# » 1# » C M N = AD + BC. D M N = AD + BC. 3 3 3 3 Lời giải # » # » # » # » Ta có M N = M A + AD + DN 2# » # » 2# » = BA + AD + DC 3 3 2 Ä # » # »ä # » 2 Ä # » # »ä = BC + CA + AD + DA + AC 3 3 2# » # » 2# » = BC + AD − AD 3 3 1# » 2# » = AD + BC. 3 3 # » 1# » 2# » Vậy M N = AD + BC. 3 3 D A N M B C Ví dụ 9 # » # » #» # » #» Cho tam giác ABC. Gọi D và I là hai điểm thỏa mãn : 3DB − 2DC = 0 ; IA + 3IB − # » #» 2IC = 0 . # » # » # » a Tính AD theo AB và AC. b Chứng minh rằng ba điểm A, I, D thẳng hàng. # » # » c Gọi M là trung điểm của AB, N thuộc AC sao cho AN = k AC. Tìm k để ba đường thẳng AD, M N, BC đồng quy. Lời giải GV: LÊ QUANG XE 62 Bài 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC A M D # » # » B C # » # » # » # » #» # » # » # » # » # » # » ⇔ DA = 3AB − 2AC ⇔ AD = 2AC − 3AB. (1) #» #» # » #» #» #» # » #» # » #» b Theo giả thiết IA + 3IB − 2IC = 0 ⇔ IA + 3IA + 3AB − 2IA − 2AC = 0 . 1Ä # » #» # » # » #» #» # »ä ⇔ 2IA + 3AB − 2AC = 0 ⇔ AI = − 2AC − 3AB . (2) 2 1# » #» # » #» Từ (1) và (2) suy ra AI = − AD. Do đó hai véc-tơ AI và AD cùng phương, suy ra 2 A, I, D thẳng hàng. #» a Ta có 3DB − 2DC = 0 ⇔ 3DA + 3AB − 2DA − 2AC = 0 . c Ta có D = AD ∩ BC. GV: LÊ QUANG XE Nên suy ra AD, M N, BC đồng quy khi và chỉ khi D, M, N là thẳng hàng. # » 1# » 1# » Vì M là trung điểm của AB nên DM = DA + DB (3). 2 2 Thay (1) vào (3), ta được # » # » 3# » 1# » # » 3# » 1# » 1# » DM = AC − AB + BC = AC − AB + AC − AB 2 2 2 2 2 # » 3# » # » ⇒ DM = AC − 2AB. 2 # » # » # » # » # » # » # » # » # » Mặt khác AN = k AC ⇔ AD + DN = k AB + k BC = k AB + k AC − k AB. # » # » # » # » # » # » ⇒ DN = k AC + 2AC − 3AB = −3AB + (k + 2) AC. 3 2 1 D, M, N thẳng hàng ⇔ = (k + 2) ⇔ k = . 2 3 4 Ví dụ 10 Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm, M là điểm đối xứng của B qua G. # » # » # » # » a Biểu diễn AM , CM qua các véc-tơ AB, AC. # » b Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng IM = Lời giải A M G B I TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 C 1# » 5# » AC − AB. 6 6 Chûúng 1. Vec tú 63 # » # » # » # » a Biểu diễn AM , CM qua các véc-tơ AB, AC. Ta có Ä # » # »ä # » # » # » # » # » # » AM = AB + BM = AB + 2BG = AB + 2 AG − AB 2#» # » = −AB + 2 · AI (với I là trung điểm của BC) 3 2 1 Ä # » # »ä # » = −AB + 2 · · · AB + AC 3 2 1# » 2# » = − AB + AC. 3 3 Ta có 1# » 1# » # » # » # » # » 1# » 2# » CM = CA + AM = −AC − AB + AC = − AB − AC. 3 3 3 3 # » 1# » 5# » b Chứng minh rằng IM = AC − AB. 6 6 ã Å 1 Ä # » # »ä 5# » 1# » 1# » 2# » # » # » #» AB + AC = − AB + AC. IM = AM − AI = − AB + AC − 3 3 2 6 6 Dạng 3.5. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song, hai điểm trùng nhau Ví dụ 1 Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Tìm khẳng định sai khi nêu điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng. # » # » # » # » A ∃k ∈ R : AB = k AC. B ∃k ∈ R : AB = k BC. # » # » # » #» # » # » C ∀M : M A + M B + M C = 0 . D ∃k ∈ R : BC = k BA. Lời giải # » # » # » #» Đó là khẳng định ∀M : M A + M B + M C = 0 . Ví dụ 2 Cho hình bình hành ABCD tâm O. Hai điểm M , N lần lượt nằm trên hai đường thẳng # » # » # » # » AB và AD. Giả sử AM = xAB và AN = y AD với x, y 6= 0. Khi M , N , C thẳng hàng, tìm phát biểu đúng trong các phát biểu dưới đây? A x + y = xy. B x + y = 2xy. C x + y = 3xy. D x + y = 4xy. Lời giải N A D M B C GV: LÊ QUANG XE 64 Bài 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC # » # » # » # » # » # » # » # » Ta có CM = CB + BM = −AD + AM − AB = (x − 1) AB − AD. # » # » # » # » # » # » # » # » # » Và CN = CD + DA + AN = −AB − AD + y AD = −AB + (y − 1) AD. −1 x−1 # » # » = ⇔x+y = Để C, M , N thẳng hàng thì CM , CN cùng phương, do đó ta có −1 y−1 xy. Ví dụ 3 ’ = 60◦ . Gọi E, F lần lượt là Cho hình bình hành ABCD có AB = a, AB ⊥ BD, BAD # » # » trung điểm √ của BD, AD. Độ dài √ véc-tơ BE + AF là √ a 13 a 10 a 7 A . B . C . D 2a. 2 2 2 Lời giải GV: LÊ QUANG XE Ta có: √ BD = a · tan 60◦ = a 3.… √ 2 √ a a 13 GD = BD2 + BG2 = + 3a2 = . # » # » # » # »4 # » 2# » BE + AF = −(DE + DF√ ) = −2DH = −DG. a 13 # » # » ⇒ BE + AF = DG = . 2 B G A C E H F D Ví dụ 4 # » # » # » #» # » #» Cho 4ABC. Gọi M , N là các điểm thỏa mãn M A + M B = 0 , 2N A + 3N C = 0 và # » # » BC = k BP . Tìm k để ba điểm M , N , P thẳng hàng. 1 2 3 A k= . B k = 3. C k= . D k= . 3 3 5 Lời giải Cách tự luận. Ta có A # » # » # » 3# » 1# » M N = AN − AM = AC − AB. 5 2 # » # » # » M N P = N C + CP N Ä ä 2# » # » # » = AC + BP − BC 5 Å ã B C 2# » 1 # » = AC + − 1 BC 5 k Å ãÄ 2# » 1 # » # »ä = AC + − 1 AC − AB 5 k Å ã Å ã 1 2 # » 1 # » = − AC − − 1 AB. k 5 k # » # » Để ba điểm M , N , P thẳng hàng thì ∃m ∈ R : N P = mM N hay Å ã Å ã 1 3 # » 1 # » 3m # » m # » − AC − − 1 AB = AC − AB. k 5 k 5 2 TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 P Chûúng 1. Vec tú 65   1 3 3m    − = m = 4 k Å5 5 ã Suy ra ⇔ 1 m  k = 1 .  −1 =− − 3 k 2 1 Vậy k = . 3 Cách trắc nghiệm. Ta có MA # » # » #» # » # » M A + M B = 0 ⇔ M A = −M B ⇒ = −1. MB PB # » # » # » # » BC = k BP ⇔ P B = (1 − k)P C ⇒ = 1 − k. PC 3# » 3 NA # » # » #» # » 2N A + 3N C = 0 ⇔ 2N A = − N C ⇒ =− . 2 2 NC Theo định lí Menelaus, ba điểm M , N , P thẳng hàng khi Å ã MA P B NC 1 3 =1⇔k= . · · = 1 ⇔ (−1) · (1 − k) · − 2 3 MB P C NA 1 Vậy k = . 3 Ví dụ 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(m − 1; 2), B(2; 5 − 2m) và C(m − 3; 4). Tìm giá trị m để A, B và C thẳng hàng. A m = −2. B m = 2. C m = 1. D m = 3. Lời giải # » # » Ta có AB = (3 − m; 3 − 2m), AC = (−2; 2).  ® m = 2 3 − m = −2k # » # » Để A, B, C thẳng hàng thì AB = k AC ⇔ ⇔ k = − 1 . 3 − 2m = 2k 2 Ví dụ 6 2# » 2# » # » # » Cho tam giác ABC. Dựng các điểm M , N sao cho AM = AB, AN = AC. Chứng 3 3 minh M N //BC. Lời giải A M B N C GV: LÊ QUANG XE 66 Bài 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC # » # » # » 2 Ä # » # »ä 2 # » AC − AB = BC ⇒ M N //BC. Ta có M N = AN − AM = 3 3 Ví dụ 7 Cho 4ABC có M là trung điểm của cạnh BC. Các điểm D, E thỏa mãn đẳng thức # » # » # » # » BD = 4BA, AE = 3AC. Chứng minh DE //AM . Lời giải # » 1 Ä # » # »ä AB + AC . Ta có M là trung điểm của BC nên AM = 2 # » # » # » # » Vì BD = 4BA ⇒ AD = −3AB. Do đó # » # » # » # » # » # » DE = AE − AD = 3AC + 3AB = 6AM . # » # » Suy ra hai véc-tơ DE và AM cùng phương. Vậy DE //AM . D A B M C GV: LÊ QUANG XE E Ví dụ 8 # » # » Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, G được xác định bởi các hệ thức 2AD = AB, # » # » # » # » AE = 2CE, 2DG = GC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh BE //CD và ba điểm A, G, M thẳng hàng. Lời giải A D G C B M E Cách 1: Từ cách xác định các điểm ta có ngay D là trung điểm của AB, C là trung điểm của AE còn G là trọng tâm tam giác ABC. Do đó CD là đường trung bình của tam giác ABE ⇒ CD//BE. Lại có M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC nên A, G, M thẳng hàng. TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú Cách 2: Ta có 67 # » # » # » BE = BA + AE # » # » = 2DA + 2AC # » = 2DC ⇒ BE //CD. Lại có # » # » # » # » # » # » 2DG = GC ⇔ 2AG − 2AD = AC − AG # » # » # » ⇔ 3AG = 2AD + AC # » # » # » ⇔ 3AG = AB + AC # » # » ⇔ 3AG = 2AM Suy ra ba điểm A, G, M thẳng hàng. Ví dụ 9 # » #» 1# » # » Cho tam giác ABC. Dựng các điểm I, J sao cho AI = AB, AJ = 3AC. Chứng minh 3 rằng IC //BJ. Lời giải #» 1# » # » #» Từ AI = AB suy ra AC + CI = 3 1# » # » 1# » # » AB hay CI = AB − AC. 3 # »3 # » Mặt khác, từ AJ = 3AC suy ra # » # » # » # » AB + BJ = 3AC hay BJ = # » # » −AB + 3AC. 1# » #» Vậy CI = − BJ hay M N //BC. 3 B I A C J Dạng 3.6. Tập hợp điểm Ví dụ 1 Cho hai điểm cố định A, B, gọi I là trung điểm AB. Tập hợp các điểm M thỏa # » # » # » # » M A + M B = M A − M B là A C đường tròn đường kính AB. đường tròn tâm I, bán kính AB. B D đường trung trực của AB. nửa đường tròn đường kinh AB. Lời giải GV: LÊ QUANG XE 68 Bài 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC Gọi I là trung điểm AB. AB # » # » # » # » # » # » nên tập Ta có M A + M B = M A − M B ⇔ 2 M I = BA ⇔ 2M I = BA ⇔ IM = 2 AB hợp điểm M là đường tròn tâm I, bán kính R = . 2 Ví dụ 2 Cho hình chữ nhật ABCD và số thực k > 0. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng # » # » # » # » thức M A + M B + M C + M D = k. A C Một đường thẳng. Một điểm. B D Một đường tròn. Một đoạn thẳng. Lời giải GV: LÊ QUANG XE Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD, khi đó # » # » # » # » MA + MB + MC + MD = k # » Ä # » # »ä Ä # » # »ä ⇔ 4M O + OA + OC + OB + OD = k # » ⇔ 4 MO = k ⇔ OM = k . 4 Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm O bán kính R = k . 4 Ví dụ 3 # » # » # » Cho tam giác ABC có trọng tâm G, tập hợp các điểm M sao cho |M A+ M B + M C| = 6 là A Đường thẳng qua G song song với AB. B Đường tròn tâm G bán kính 2. C Đường tròn tâm G bán kính 6. D Đường trung tuyến AG. Lời giải # » # » # » # » Ta có |M A + M B + M C| = 6 ⇔ 3|M G| = 6 ⇔ M G = 2. Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G bán kính 2. Ví dụ 4 Cho hai điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho # » # » # » # » # » # » # » # » a MA + MB = MA − MB ; b 2M A + M B = M A + 2M B . Lời giải # » # » # » # » # » # » a Gọi I là trung điểm AB ta có M A + M B = M A − M B ⇔ 2M I = BA ⇔ AB MI = . 2 Suy ra M thuộc đường tròn đường kính AB. TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 69 #» #» #» #» # » #» b Gọi I, J là hai điểm thỏa mãn 2IA + IB = 0 và JA + 2JB = 0 . # » # » # » # » # » # » Khi đó ta có 2M A + M B = M A + 2M B ⇔ 3M I = 3M J ⇔ M I = M J. Suy ra M thuộc đường trung trực của IJ. AJ 1 AI 2 # » # » #» #» # » #» Mặt khác, do 2IA + IB = 0 và JA + 2JB = 0 nên = và = nên trung AB 3 AB 3 điểm của IJ cũng là trung điểm của AB. Do đó, trung trực của IJ chính là trung trực của AB. Ví dụ 5 Cho 4ABC. Lấy hai điểm M , N di động trên các cạnh AB và AC sao cho AM CN = . AB CA Dựng hình bình hành M N CP . Tìm tập hợp các điểm P . Lời giải CN AM # » # » # » = = k ⇒ AM = k AB và CN = Đặt CA # » AB # » # » #» k CA. Gọi I là trung điểm BC ta có AB+AC = 2AI Ta có # » # » # » AP = AM + M P # » # » = k AB + N C # » # » = k AB − k CA Ä # » # »ä = k AB + AC #» = 2k AI. Vậy P nằm trên đường thẳng chứa trung tuyến AI. A M P B N C Dạng 3.7. Cực trị Ví dụ 1 Trong mặt phẳng cho hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 2), B(1; −3), # » # » # » C(−2; 2). Điểm M thuộc trục tung sao cho M A + M B + M C nhỏ nhất có tung độ là 1 1 1 . C − . . A 1. B D 3 3 2 Lời giải # » # » # » #» Gọi Å G là ã điểm thỏa mãn GA + GB + GC = 0 nên G là trọng tâm của tam giác ABC ⇒ 1 1 G ; . 3 3 # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » Ta có M A + M B + M C = M G + GA + M G + GB + M G + GC = 3 M G = 3M G. # » # » # » Để M A + M B + M C nhỏ nhất thì M G nhỏ nhất. Do điểm thuộc trục tung nên M là hình chiếu của điểm G lên trục tung. ÅMã 1 1 Vậy M 0; nên yM = . 3 3 GV: LÊ QUANG XE 70 Bài 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC Ví dụ 2 1# » # » Cho 4ABC có trọng tâm G và H là chân đường cao kẻ từ A sao cho BH = HC. 3 # » # » # » # » Điểm M di động trên BC sao cho BM = xBC. Tìm x sao cho M A + GC nhỏ nhất. 6 5 5 4 A . B . C . D . 5 4 6 5 Lời giải GV: LÊ QUANG XE A Gọi E, D lần lượt là trung điểm AC, BC. Ta có # » # » # » # » # » M A + GC = M G + GA + GC E # » # » # » # » = M G − GB = M G + BG. J I # » # » # » # » G Suy ra M A + GC = M G + BG . # » # » Gọi M I = BG và J là trung điểm B C H KD F M GI. Khi đó tứ giác BGIM là hình bình hành, suy ra # » # » # » # » # » # » # » # » M G + BG = M G + M I = 2M J ⇒ M G + M I = 2 M J = 2M J. # » # » Do đó M A + GC nhỏ nhất khi M J nhỏ nhất. Mà M J nhỏ nhất khi M J = d (BC, GI) (do BC //GI) ⇒ M J vuông góc GI ⇒ 4M GI cân tại M ⇒ 4BGM cân tại G. Gọi K là chân đường cao kẻ từ G trong 4BGM . Ta có 2 1 4 1 5 1 BM = 2BK = 2(BH +HK) = 2BH +2HK = 2· BC +2· HD = BC + · BC = BC. 4 3 2 3 4 6 5 # » 5# » Vậy BM = BC ⇒ x = . 6 6 Ví dụ 3 Cho tam giác ABC có A(1; 4), B(−3; 2), C(3; 1). Tìm M thuộc Oy sao cho # » # » # » M A + M B + 2M C nhỏ nhất. A M (0; 1). B M (0; 2). C M (0; −1). D M (0; −2). Lời giải # » # » # » Gọi M (0; a) thuộc Oy. Khi đó M A = (1; 4 − a); M B = (−3; 2 − a); M C = (3; 1 − a) ⇒ # » 2M C = (6; 2 − 2a). » # » # » # » # » # » # » M A + M B + 2M C = (4; 8 − 4a) ⇒ M A + M B + 2M C = 16 + (8 − 4a)2 ≥ 4. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 8 − 4a = 0 ⇔ a = 2. Vậy M (0; 2). Ví dụ 4 # » 1# » Cho 4ABC có trọng tâm G, H là chân đường cao kẻ từ A sao cho BH = HC. Điểm 3 # » # » # » # » M di động trên BC sao cho BM = xBC. Tìm x sao cho M A + GC nhỏ nhất. TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú A 71 5 . 4 B 6 . 5 C 5 . 6 D 4 . 5 Lời giải # » # » # » # » # » # » # » #» M A + GC = M A + AG + BG = M G + BG = 2 GI , A với I là trung điểm BM . # » # » Vậy M A + GC nhỏ nhất khi GI nhỏ nhất hay I là hình chiếu của G trên BC. Gọi F là trung điểm BC. # » 1# » Ta có BH = HC suy ra: H là trung điểm của BF (1). 3 2 Vì G là trọng tâm nên HI = F H (2). 3 5 5 # » Từ (1) và (2) suy ra: BI = BF ⇔ BM = BC ⇒ BM = 6 6 5# » BC. 6 5 Vậy x = . 6 G B H IF M C Ví dụ 5 Cho tứ giác ABCD và một đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho # » # » # » # » M A + M B + M C + M D có giá trị nhỏ nhất. Lời giải Ta có # » # » # » # » MA + MB + MC + MD # » # » = 2M I + 2M J (với I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD) # » = 4M H (với H là trung điểm của IJ). # » # » # » # » # » Suy ra M A + M B + M C + M D = 4 M H nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của H trên đường thẳng d. 3.3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN THEO MỨC ĐỘ 3.3.1. Nhận biết # » # » Câu 1. Điểm P được xác định N P = 4M P . Điểm P được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây? M A P Hình 1 Hình 4. N N M Hình 2 B Hình 1. P N M P Hình 3 C Hình 3. GV: LÊ QUANG XE M P Hình 4 D Hình 2. N 72 Bài 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC Hûúáng dêîn: Chọn đáp án C Câu 2. Cho 4ABC có trọng tâm G và M là một điểm bất kì. Đẳng thức nào sau đây là sai? # » # » # » # » 3GM = M A + M B + M C. # » 1 Ä # » # »ä AB + AC . C AG = 3 # » # » # » # » Hûúáng dêîn: Vì M A + M B + M C = 3M G. A # » # » # » #» AG + BG + CG = 0 . # » # » # » #» BA + BC + 3GB = 0 . B D Chọn đáp án A Câu 3. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Tìm khẳng định sai khi nêu điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng. # » # » A ∃k ∈ R : AB = k · AC. # » # » # » #» C ∀M : M A + M B + M C = 0 . # » # » ∃k ∈ R : AB = k · BC. # » # » D ∃k ∈ R : BC = k · BA. # » # » # » Hûúáng dêîn: Do A, B, C phân biệt nên các véc-tơ AC, BC, BA khác véc-tơ-không. Do đó B GV: LÊ QUANG XE các khẳng định # » # » ∃k ∈ R : AB = k · AC. # » # » ∃k ∈ R : AB = k · BC. # » # » ∃k ∈ R : BC = k · BA. là các khẳng định đúng. Nếu A, B, C thẳng hàng và A không là trung điểm của BC. Với M ≡ A, ta có # » # » # » # » # » # » # » # » #» M A + M B + M C = AA + AB + AC = AB + AC 6= 0 # » # » # » #» Vậy khẳng định ∀M : M A + M B + M C = 0 là sai. Chọn đáp án C 3.3.2. Thông hiểu # » # » # » Câu 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB + AC + AD . A 3a. B Ä 2+ √ ä 2 a. C √ a 2. D √ 2 2a. Hûúáng dêîn: √ Ta có AC = a 2. Suy ra √ # » # » # » # » AB + AC + AD = 2 AC = 2 2a. √ # » # » # » Vậy AB + AC + AD = 2 2a. D A Chọn đáp án D Câu 5. Cho C nằm giữa A và B sao cho AC = 3CB. Mệnh đề nào sau đây đúng? A C # » # » AB = 4BC. # » # » AC = −3BC. B D # » AB = # » AC = TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 4# » BC. 3 −3 # » AB. 4 C a B Chûúng 1. Vec tú 73 Hûúáng dêîn: A C B # » # » AB = −4BC nên đáp án A và B sai. # » 3# » AC = AB đáp án D sai. 4 Chọn đáp án C # » # » Câu 6. Câu 39Cho tam giác ABC đều cạnh a có G là trọng tâm. Khi đó GB + GC có giá trị bằng A √ a 3 . 2 B √ 2a 3 . 3 C √ a 3 . 3 √ a 3 . 6 D Hûúáng dêîn: C Gọi I là trung điểm của BC. Ta có: √ √ 1 a 3 a 3 1 # » # » #» = . GB + GC = 2 GI = 2 · · AI = 2 · · 3 3 2 3 I G A B Chọn đáp án C Câu 7. Cho tứ giác ABCD có M , N , E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Khi đó # » # » A M N = EF . # » # » C M N = −EF . B D # » # » NE = F M. # » # » ME = F N. Hûúáng dêîn: # » # » 1# » # » # » 1# » Ta có M N = F E = AC, N E = M F = BD. 2# » 2 # » # » Vậy M N = F E = −EF . A F E M B D N C Chọn đáp án C Câu 8. Cho 4ABC, gọi M , N lần lượt là trung điểm AB, AC. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? # » 2# » 4# » A AB = BN − CM . 3 3 4# » 2# » # » C AB = − BN − CM . 3 3 B D 4# » 2# » # » AB = − BN + CM . 3 3 # » 4# » 2# » AB = BN − CM . 3 3 GV: LÊ QUANG XE 74 Bài 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC Hûúáng dêîn: # » # » # » #» Gọi G là trọng tâm 4ABC thì GA + GB + GC = 0 ⇒ # » # » # » AG = GB + GC. Ta có # » # » # » # » # » # » # » # » AB = AG = GB + GC + GB = 2GB + GC Å + GB ã 2# » 2# » 4# » 2# » = 2 − BN − CM = − BN − CM . 3 3 3 3 A M N G B C Chọn đáp án C Câu 9. Cho tam giác ABC. Vẽ bên ngoài tam giác các hình bình hành ABEF , ACP Q, BCM N . Xét các mệnh đề: # » # » # » (I) N E + F Q = M P ; # » # » # » (II) EF + QP = −M N ; # » # » # » # » # » # » (III) AP + BF + CN = AQ + EB + M C. GV: LÊ QUANG XE Mệnh đề đúng là A (I) và (II). B Chỉ (I). C Chỉ (III). D Chỉ (II). Hûúáng dêîn: F Q A E P B C N M Ä ä Ä # » # »ä # » # » # » # » # » # » # » # » Mệnh đề (I) đúng vì N E + F Q = N B + BE + F A + AQ = N B + AQ = M C + CP = # » MP . # » # » # » # » # » # » Mệnh đề (II) đúng vì EF + QP = BA + ACÄ = BC = − MN ä Ä #. » # »ä Ä # » # »ä # » # » # » # » # » Mệnh đề (III) sai vì AP + BF + CN = AQ + AC + BE + BA + CM + CB = # » # » # » # » Ä # » # »ä # » Ä # » # »ä # » # » #» AQ + BE + CM = AQ − EB + M C 6= AQ + EB + M C (do BE + CM 6= 0 ). Chọn đáp án A Câu 10. Cho hình bình hành ABCD, gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng? # » # » # » # » A GA + GC + GD = BD. # » # » # » #» C GA + GC + GD = 0 . B D # » # » # » # » GA + GC + GD = CD. # » # » # » # » GA + GC + GD = DB. Hûúáng dêîn: TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 75 D A G B O C Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. # » # » # » # » # » # » # » # » Ta có GA + GC + GD = 2GO + GD = BG + GD = BD. Chọn đáp án A Câu 11. Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC, và I trung điểm của AM Đẳng thức nào sau đây là đúng? # » # » # » #» A −IA + IB + IC = 0 . # » # » # » #» C 2IA + IB + IC = 0 . B D #» #» #» IA + IB − IC = #» #» #» IA + IB + IC = #» # » #» 0. #» 0. # » #» Hûúáng dêîn: Vì M , I là trung điểm của BC và AM nên IA+ IM = 0 và IM = #» 1 #» #» # » # » # » #» #» Suy ra IA + (IB + IC) = 0 ⇔ 2IA + IB + IC = 0 . 2 Chọn đáp án C 1 #» #» (IB + IC). 2 Câu 12. Cho tam giác ABC, trọng tâm G, gọi M là trung điểm BC. Tìm mệnh đề đúng? A C # » # » # » AB + AC = 2AG. # » # » # » GA + GB = CG. B D # » # » # » AB + AC = AM . # » # » # » AB − AC = BC. Hûúáng dêîn: Do G là trọng tâm tam giác ABC nên # » # » # » #» GA + GB + GC = 0 # » # » # » ⇔GA + GB = −GC # » # » # » ⇔GA + GB = CG. C M G A B Chọn đáp án C Câu 13. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Đẳng thức nào sau đây là sai? A C # » # » # » # » #» OA + OB + OC + OD = 0 . # » # » # » AC = AB + AD. B D # » # » # » # » |BA + BC| = |DA + DC|. # » # » # » # » AB + CD = AB + CB. Hûúáng dêîn: +) Vì ABCD là hình bình hành tâm O nên O là trung điểm hai đường chéo AC, BD. Suy ra # » # » #» # » # » #» # » # » # » # » OA+OC = 0 ; OB+OD = 0 ⇒ OA+OC+OB+OD = #» 0. +) Lại có ABCD là hình bình hành nên theo qui tắc hình bình hành ta có A B O D GV: LÊ QUANG XE C 76 Bài 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » BA + BC = BD; DA + DC = DB ⇒ |BA + BC| = |DA + DC| = |DB| = BD. # » # » # » +) Ta có AC = AB + AD (theo quy tắc hình bình hành). # » # » #» # » # » # » # » # » # » # » # » # » +) Ta có AB + CD = 0 ; AB + CB = DC + CB = DB ⇒ AB + CD 6= AB + CB. Chọn đáp án D Câu 14. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Lấy điểm O tùy ý. Khẳng định nào dưới đây sai? # » # » #» A AG + 2M G = 0 . # » # » # » # » C OA + OB − CG = 2OG. B D # » # » # » AB + AC = 3AG. # » # » AM = 3M G. Hûúáng dêîn: # » # » Ta có: AM = −3M G. A G B M C GV: LÊ QUANG XE Chọn đáp án D Câu 15. Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB sao cho 3M A = 2M B. Khi đó ta có A C 2# » # » M A = − AB. 5 # » 2# » M A = M B. 3 B D 3# » # » M A = − AB. 5 # » 2# » M A = AB. 5 Hûúáng dêîn: A M B 2 2# » # » Vì điểm M thuộc đoạn thẳng AB sao cho 3M A = 2M B ⇒ M A = AB ⇒ M A = − AB. 5 5 Chọn đáp án A #» # » #» Câu 16. Cho đoạn thẳng AB và điểm I thỏa mãn IB + 3IA = 0 . Hình nào sau đây mô tả đúng giả thiết này? A I B A B Hình 1 I A A I B Hình 2 Hình 3. C Hình 4. #» # » #» #» #» Hûúáng dêîn: Ta có IB + 3IA = 0 ⇔ IB = −3IA. #» #» Từ đó suy ra IB = 3IA và IA và IB ngược hướng. 1 Vậy I là điểm thuộc đoạn thẳng AB mà IA = AB. 4 A Hình 2. Hình 2 B Hình 2 I B TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 D Hình 1. Chûúng 1. Vec tú 77 Chọn đáp án C Câu 17. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và trọng tâm G. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng. Ä # » # »ä # » A AM = 2 AB + AC . # » # » #» C 2AM + 3GA = 0 . B D # » # » AM = −3GM . Ä # » # » # »ä # » MG = 3 MA + MB + MC . Hûúáng dêîn: Tam giác ABC có trung tuyến AM và trọng tâm G 3# » # » # » # » #» ⇒ AM = − GA ⇒ 2AM + 3GA = 0 . 2 Chọn đáp án C Câu 18. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt # » #» # » # » #» AB = b ; AC = #» c ; AD = d . Khẳng định nào sau đây là đúng? # » 1 #» #» #» # » 1 #» #» #» A M P = ( d + c − b ). B M P = ( c + d + b ). 2 2 # » 1 #» #» #» # » 1 #» #» #» C M P = ( c + b − d ). D M P = ( d + b − c ). 2 2 Hûúáng dêîn: Vì P là trung điểm của CD nên 1 # » # » # » # » # » 1 # » # » M P = (M C + M D) = (AC − AM + AD − AM ) 2 2 1 # » # » 1 # » # » # » 1 #» #» # » = (AC + AD − 2AM ) = (AC + AD − AB) = ( #» c + d − b ). 2 2 2 Chọn đáp án A #» #» #» Câu 19. Cho tam giác ABC và điểm I thỏa mãn IA = −2IB. Biểu diễn IC theo các véc-tơ # » # » AB, AC. #» # » # » #» # » # » A IC = −2AB + AC. B IC = 2AB + AC. 2# » # » #» # » 2# » # » C IC = − AB + AC. D IC = AB + AC. 3 3 Hûúáng dêîn: A I B 2# » #» #» #» Ta có IA = −2IB ⇒ IA = − AB. 3 2# » # » #» #» # » Vậy IC = IA + AC = − AB + AC. 3 Chọn đáp án C C Câu 20. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của đoạn BC. Tìm mệnh đề đúng. A C 1# » 1# » # » AM = − AB + AC. 2 2 # » 1# » 1# » AM = AB + AC. 2 2 B D # » 1# » 1# » AM = AB − AC. 2 2 1# » 1# » # » AM = − AB − AC. 2 2 GV: LÊ QUANG XE 78 Bài 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC Hûúáng dêîn: A Vì M là trung điểm của BC nên ta có # » 1 Ä # » # »ä 1 # » 1 # » AM = AB + AC = AB + AC. 2 2 2 B M Chọn đáp án C C #» # » Câu 21. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của BC, biết rằng AI = mAD + # » nAB. Cặp (m; n) thỏa mãn bài toán là Å Å ã ã 1 1 3 1; A . B ; . 2 4 4 Å C Å ã 1 ;1 . 2 D ã 3 1 ; . 4 4 Hûúáng dêîn: GV: LÊ QUANG XE # » # » Vì ABCD là hình bình hành, nên ta có AC = AB + # » AD. Vì I là trung điểm của BC, ta có # »ä 1 # » # » # » 1 Ä # » # »ä 1 Ä # » AB + AC = AD + 2AB = AD+AB. (1) AI = 2 2 2 #» # » # » Theo bài ta có AI = m AD + n AB. (2)  m = 1 B 2 Từ (1) và (2) ta có  n = 1. Chọn đáp án C #» D A I C #» Câu 22. Cho tam giác ABC điểm I thoả IA = 2IB. Chọn mệnh đề đúng. A C # » # » # » CA − 2CB CI = . 3 #» # » # » CI = −CA + 2CB. B D # » # » # » CA + 2CB CI = . # » 3 # » # » CA + 2CB . CI = −3 Hûúáng dêîn: #» #» Ta có IA = 2IB ⇔ B là trung điểm của AI #» # » # » #» # » # » ⇔ CI + CA = 2CB ⇔ CI = −CA + 2CB. C A B I Chọn đáp án C Câu 23. Cho hình bình hành ABCD có N là trung điểm AB và G là trọng tâm 4ABC. # » # » # » Phân tích GA theo BD và N C 1# » 2# » # » A GA = − BD + N C. 3 3 # » 1# » 2# » C GA = BD + N C. 3 3 B D # » GA = # » GA = TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 1# » BD − 3 1# » BD − 3 4# » N C. 3 2# » N C. 3 Chûúng 1. Vec tú 79 Hûúáng dêîn: Vì G là trọng tâm 4ABC nên N A Ä # » # »ä # » # » # » #» # » GA + GB + GC = 0 ⇔ GA = − GB + GC . Å ã 1# » 2# » 1# » 2# » # » Suy ra GA = − − BD + N C = BD − N C. 3 3 3 3 Chọn đáp án D G O D #» B C #» #» Câu 24. Cho tam giác ABC và điểm I thỏa mãn IA = −2IB. Biểu diễn IC theo các véc-tơ # » # » AB, AC. #» # » # » A IC = −2AB + AC. 2# » # » #» C IC = − AB + AC. 3 B D #» # » # » IC = 2AB + AC. # » 2# » # » IC = AB + AC. 3 Hûúáng dêîn: 2# » #» #» #» Ta có IA = −2IB ⇒ IA = − AB. 3 2# » # » #» #» # » Vậy IC = IA + AC = − AB + AC. 3 A I B Chọn đáp án C C # » # » # » Câu 25. Câu 36Cho tam giác ABC. M là điểm thỏa mãn M B = −2M C. Nếu AM = # » # » xAB + y AC thì (x; y) là cặp nào? ã ã Å Å 1 2 1 2 . ; . A (1; 2). B (2; 1). C − ; D 3 3 3 3 Ä # » # »ä # » # » # » # » # » 1 Ä# » # »ä Hûúáng dêîn: Ta có M B = −2M C ⇔ AB−AM = −2 AC − AM ⇔ AM = AB + 2AC . 3  1  x = 3 Suy ra 2  y = . 3 Chọn đáp án D Câu 26. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I, J, K lần lượt là trung điểm GA, GB, GC. # » # » # » # » # » Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn |4M A + M B + M C| = 2|AB − AC|? 2 Đường tròn tâm J, bán kính BC. 3 1 C D Đường tròn tâm I, bán kính BC. 3 (# » # » # » # » M A + M B + M C = 3M G Hûúáng dêîn: Theo quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm suy ra # » # » # » M A + M G = 2M I. # » # » # » # » # » # » Ä # » # » # »ä # » # » Như vậy |4M A+ M B+ M C| = 2|AB− AC| ⇔ 3M A + M A + M B + M C = 2|AB− AC| BC # » # » # » # » # » Hay 3M A + 3M G = 2|CB| ⇔ 6M I = 2 CB ⇔ 6M I = 2BC ⇔ M I = . Do đó tập 3 A Đường tròn tâm G, bán kính BC. 1 Đường tròn tâm K, bán kính BC. 6 B GV: LÊ QUANG XE 80 Bài 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC hợp các điểm M thỏa mãn là đường tròn tâm I bán kính BC . 3 Chọn đáp án D 3.3.3. Vận dụng thấp # » # » Câu 27. Cho tam giác vuông cân ABC với AB = AC = a. Khi đó, |2AB + AC| bằng A √ a 5. B 5a. 2a. C D √ a 3. Hûúáng dêîn: # » # » Dựng điểm E sao cho AE = 2AB và điểm D sao cho # » # » # » AEDC là hình bình hành, khi đó AD = 2AB + AC. Ta có √ √ AE = 2a ⇒ AD = AE 2 + AC 2 = a 5. A B C E GV: LÊ QUANG XE D Chọn đáp án A # » # » # » # » Câu 28. Cho tam giác ABC, BA + BC = BA − BC . Mệnh đề nào sau đây đúng? A C Tam giác ABC cân tại B. Tam giác ABC vuông tại C. B D Tam giác ABC vuông tại B. Tam giác ABC vuông tại A. Hûúáng dêîn: # » # » # » Ta có BA + BC = BD, với D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD. # » # » # » Suy ra BA + BC = BD = BD. # » # » # » # » # » # » Và BA − BC = CA, suy ra BA − BC = CA = CA. # » # » # » # » Do đó BA + BC = BA − BC ⇔ BD = AC. Hình bình hành ABCD có BD = AC nên ABCD là hình chữ nhật. Suy ra tam giác ABC vuông tại B. Chọn đáp án B A B D C # » # » Câu 29. Cho tam giác ABC và M , N là các điểm được xác định bởi hệ thức BM = BC − # » # » # » # » 2AB và CN = xAC − BC. Để ba điểm A, M , N thẳng hàng giá trị của x là 1 1 1 1 A x= . B x=− . C x=− . D x= . 2 3 2 3 # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » Hûúáng dêîn: Ta có CN = xAC − BC ⇔ AN − AC = xAC − BC ⇔ AN = (x + 1)AC − BC. # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » Và BM = BC − 2AB ⇔ AM − AB = BC − 2AB ⇔ AM = BC − AB ⇔ AM = # » # » # » # » # » # » # » # » # » BC − (CB − CA) ⇔ AM = 2BC + CA ⇔ AM = −AC + 2BC. TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú Ba điểm A, M , N thẳng hàng ⇔ 81 −1 1 x+1 = ⇔x=− . −1 2 2 Chọn đáp án C #» #» Câu 30. Cho hai véc-tơ #» a, b = 6 0 và không cùng phương. Hai véc-tơ nào sau đây cùng phương? 3 3 #» #» #» u = #» a + 3 b , #» v = 2 #» a − b. 5 5 2 #» #» #» #» #» #» B u = a + 3 b , v = 2a − 9 b . 3 1 #» 1 #» #» #» 3 #» #» C u = 2a − b , v = − a + b . 2 3 4 #» #» 1 #» #» #» #» D u = 2a + 3 b , v = a − 3 b . 2 #» #» #» #» Hûúáng dêîn: Giả sử u = m1 #» a + n1 b và #» v = m2 #» a + n2 b , với #» a và b không cùng phương, A m1 , m2 , n1 , n2 đều khác 0. n1 m1 Ta có nhận xét, #» u cùng phương #» v khi và chỉ khi = . m2 n2 3 #» #» 1 1 #» #» #» Từ đó, xét từng đáp án, ta nhận cặp véc-tơ u = 2 a − b , v = − #» a + b. 2 3 4 Chọn đáp án C # » # » #» # » # » #» Câu 31. Cho 4ABC. Gọi M , N là các điểm thỏa mãn M A + M B = 0 , 2N A + 3N C = 0 # » # » và BC = k BP . Tìm k để ba điểm M , N , P thẳng hàng. 1 2 3 C k= . A k= . B k = 3. D k= . 3 3 5 Hûúáng dêîn: Cách tự luận. Ta có A # » # » # » 3# » 1# » M N = AN − AM = AC − AB. 5 2 # » # » # » M N P = N C + CP N Ä ä 2# » # » # » = AC + BP − BC 5 Å ã B C 2# » 1 # » = AC + − 1 BC 5 k Å ãÄ 1 2# » # » # »ä − 1 AC − AB = AC + 5 k Å ã Å ã 1 2 # » 1 # » = − AC − − 1 AB. k 5 k # » # » Để ba điểm M , N , P thẳng hàng thì ∃m ∈ R : N P = mM N hay Å ã Å ã 1 3 # » 1 # » 3m # » m # » − AC − − 1 AB = AC − AB. k 5 k 5 2   1 3 3m    − = m = 4 k Å5 5 ã Suy ra 1 m ⇔ k = 1 .   − − 1 = −  3 k 2 1 Vậy k = . 3 GV: LÊ QUANG XE P 82 Bài 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC Cách trắc nghiệm. Ta có MA # » # » #» # » # » = −1. M A + M B = 0 ⇔ M A = −M B ⇒ MB PB # » # » # » # » BC = k BP ⇔ P B = (1 − k)P C ⇒ = 1 − k. PC 3# » NA 3 # » # » #» # » 2N A + 3N C = 0 ⇔ 2N A = − N C ⇒ =− . 2 2 NC Theo định lí Menelaus, ba điểm M , N , P thẳng hàng khi Å ã MA P B NC 1 3 =1⇔k= . · · = 1 ⇔ (−1) · (1 − k) · − 2 3 MB P C NA 1 Vậy k = . 3 Chọn đáp án A # » # » Câu 32. Cho tam giác ABC, I là trung điểm của BC và điểm M sao cho M B + M C = # » # » 2 AB − AC . Khi đó tập hợp điểm M là GV: LÊ QUANG XE A C Đường trung trực của BC. Đường tròn tâm C, bán kính IB. B D Đường tròn tâm B, bán kính IC. Đường tròn tâm I, bán kính BC. Hûúáng dêîn: A B I C M # » # » #» Vì I là trung điểm của BC nên IB + IC = 0 . Ta có # » # » # » # » # » #» # » #» # » M B + M C = 2 AB − AC ⇔ M I + IB + M I + IC = 2 CB # » Ä # » # »ä ⇔ 2M I + IB + IC = 2CB # » ⇔ 2M I = 2CB ⇔ 2M I = 2CB ⇔ M I = CB. Vì I cố định, CB không đổi nên tập hợp điểm M là đường tròn tâm I, bán kính BC. TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 83 Chọn đáp án D # » # » Câu 33. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, BC = 5. Khi đó BA + BC bằng A 4. B √ 13. C 5. D √ 2 13. Hûúáng dêîn: Ta có A # » # » BA + BC … = # » # » BA + BC 2 √ = …BA2 + BC 2 + 2BA · BC · cos B √ 3 = 9 + 25 + 2 · 3 · 5 · = 2 13. 5 B C Chọn đáp án D # » # » # » Câu 34. Cho tam giác ABC. Tập hợp những điểm M sao cho M A + M B = M C + M B là A B C D đường tròn tâm I, bán kính R = 2AB với I nằm trên cạnh AB sao cho IA = 2IB. đường tròn tâm I, bán kính R = 2AC với I nằm trên cạnh AB sao cho IA = 2IB. đường trung trực của IJ với I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC. đường trung trực của BC. Hûúáng dêîn: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC, khi đó # » # » # » # » # » M A + M B = M C + M B ⇔ 2M I = 2M J ⇔ M I = M J. Điều này tương đương tập các điểm M là đường trung trực của IJ. Chọn đáp án C # » # » # » # » # » Câu 35. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn 2 M A + M B + M C = 3 M B + M C . Tập hợp điểm M là A C Một đường tròn. Một đoạn thẳng. B D Một nửa đường tròn. Một đường thẳng. Hûúáng dêîn: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, I là trung điểm cạnh BC ta có G, I là các điểm cố định và # » # » # » # » # » # » # » 2 M A + M B + M C = 3 M B + M C ⇔ 2 3M G = 3 2M I ⇔ M G = M I. Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng GI. Chọn đáp án D 3.3.4. Vận dụng cao Câu 36. Cho tam giác ABC. Trên đoạn AB, AC lấy các điểm M , N sao cho BM = 2M A, AN = CN . Gọi I là giao điểm của BN và CM . Đường thẳng AI cắt đoạn BC tại điểm P . # » # » Đặt CI = x · IM , BC = y · P B. Tính giá trị của biểu thức T = x · y 9 C T =− . A T = 1. B T = −1. D T = −3. 4 Hûúáng dêîn: GV: LÊ QUANG XE 84 Bài 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC A M N I B P C P B AC IN · · = 1. P C AN IB P B IN 1 Vì AN = CN ⇒ AC = 2AN nên thay vào (1) nên ta có · = . P C IB 2 M A IB CN Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABN ta có: · · = 1. M B IN CA ® ® AN = CN AC = 2CN IB 1 Vì ⇒ , thay vào (3) ta có = . IN 4 M B = 2M A M B = 2M A IB 1 PB 3 # » 3 # » Thay = vào (2) ta được = 2 ⇒ BC = − · P B ⇒ y = − . IN 4 PC 2 2 3 # » 3# » Tương tự ta dễ dàng chứng minh được CI = IM ⇒ x = . 2 2 9 Vậy ta có T = x · y = − . 4 Chọn đáp án C Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác BN C ta có (1) (2) (3) GV: LÊ QUANG XE # » Câu 37. Tam giác ABC là tam giác nhọn có AA0 là đường cao. Khi đó véc-tơ #» u = (tan B) A0 B+ # » (tan C) A0 C là #» # » A u = BC. B #» #» u = 0. C # » #» u = AB. D # » #» u = AC. Hûúáng dêîn: # » # » Ta có #» u = (tan B) A0 B + (tan C) A0 C AA0 # 0 » AA0 # 0 » #» ⇔ u = AB+ A C. BA0 CA00 AA # 0 » AA0 # 0 » Ta thấy hai véc-tơ A B và A C ngược BA0 CA0 hướng và độ dài mỗi véc-tơ bằng AA0 nên chúng là hai véc-tơ đối nhau. #» Vậy #» u = 0. A A0 B C Chọn đáp án B Câu 38. Tam giác ABC là tam giác nhọn có AA0 là đường cao. # » # » Khi đó véc-tơ #» u = (tan B) A0 B + (tan C) A0 C là #» # » #» #» A u = BC. B u = 0. C # » #» u = AB. TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 D # » #» u = AC. Chûúng 1. Vec tú 85 Hûúáng dêîn: # » # » Ta có #» u = (tan B) A0 B + (tan C) A0 C AA0 # 0 » AA0 # 0 » #» ⇔ u = AB+ A C. BA0 CA00 AA0 # 0 » AA # 0 » A B và A C ngược Ta thấy hai véc-tơ BA0 CA0 hướng và độ dài mỗi véc-tơ bằng AA0 nên chúng là hai véc-tơ đối nhau. #» Vậy #» u = 0. A A0 B C Chọn đáp án B ĐÁP ÁN BÀI 3 1.C 2.A 3.C 4.D 5.C 6.C 7.C 8.C 9.A 10.A 11.C 12.C 13.D 14.D 15.A 16.C 17.C 18.A 19.C 20.C 21.C 22.C 23.D 24.C 25.D 26.D 27.A 28.B 29.C 30.C 31.A 32.D 33.D 34.C 35.D 36.C 37.B 38.B GV: LÊ QUANG XE 86 Bài 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ BÀI 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 4.1. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 4.1.1. Trục tọa độ Định nghĩa 1.4.1. Trục tọa độ là đường thẳng trên đó xác định một điểm gốc là O và một vec tơ đơn vị #» e , kí hiệu #» (O, e ). # » Xét điểm M trên trục (O, #» e ), ta luôn có OM = k #» e. O #» e M x Khi đó k là tọa độ của M trên trục đã cho. 4.1.2. Hệ trục tọa độ Định nghĩa 1.4.2. GV: LÊ QUANG XE Hệ trục tọa độ bao gồm 2 trục vuông góc nhau #» #» (hình vẽ), kí hiệu (O, i , j ) hay Oxy. • O là gốc tọa độ; #» #» #» #» • i , j là các vec tơ đơn vị và | i | = | j | = 1. # » #» #» Xét điểm M trên trục (O, i , j ), ta luôn có OM = #» #» x i + y j . Khi đó (x, y) là tọa độ của M trên hệ trục đã cho. y M K #» j O #» i H 4.1.3. Tọa độ vectơ #» Định nghĩa 1.4.3. Cho hai vectơ #» a = (a1 ; a2 ) và b = (b1 ; b2 ). Khi đó #» #» a ± b = (a ± b ; a ± b ) . 1 1 2 2 k #» a = (ka1 ; ka2 ), với k là một hằng số.‘ ® a1 = b 1 #» #» a = b ⇔ . a2 = b 2 #» #» #» a cùng phương với b ⇔ ∃k ∈ R : #» a =kb . 4.1.4. Tọa độ điểm Định nghĩa 1.4.4. Cho ba điểm A (xA ; yA ), B (xB ; yB ) và C (xC ; yC ) # » AB = (xB − xA ; yB − yA ) xA + xB yA + yB Trung điểm I của AB: xI = và yI = 2 2 xA + x B + xC yA + yB + yC G là trọng tâm tam giác ABC: xG = và yG = . 3 3 TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 x Chûúng 1. Vec tú 87 4.2. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 4.1. Tìm tọa độ của một điểm và độ dài đại số của một véc-tơ trên trục Ví dụ 1 Cho trục tọa độ (O, #» e ). Khẳng định nào sau đây luôn đúng? A AB = AB. B AB = AB . # » #» C Điểm M có tọa độ là a đối với trục tọa độ (O, e ) thì OM = a. D AB = AB. Lời giải Theo lý thuyết sách giáo khoa thì C đúng. Ví dụ 2 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A = (2; 1), B = (−1; −2), C = (−3; 2). Tọa Å độ trọng ã tâm G của tam giác ABC là Å ã 2 1 2 2 A G − ; B G − ; . . Å 3 3ã Å 3 ã3 1 1 2 1 C G − ; . ; . D G 3 3 3 3 Lời giải  x + xB + x C −2  x G = A = 3 3 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là y + y + y 1  B C y G = A = . 3 3 Ví dụ 3 Cho A (−6; 10), B (12; 2). Tính AB. √ A 6 5. B 10. C √ 2 97. D √ 2 65. Lời giải Ta có √ Vậy AB = 2 97. » √ AB = (12 − (−6))2 + (2 − 10)2 = 2 97. Ví dụ 4 Cho tam giác ABC có A(4; 11), B(10; −1), trọng tâm G(5; 4). Tổng hoành và tung độ của C là C −15. A 3. B −6. D 1. Lời giải GV: LÊ QUANG XE 88 Bài 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ® Ta có xA + xB + xC = 3xG yA + yB + yC = 3yG Khi đó xC + yC = 3. ® ⇔ xC = 1 yC = 2. Ví dụ 5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1), B(4; −3). Khi đó tọa độ trung điểm của đoạn AB là C (6; −2). A (1; −1). B (2; −4). D (3; −1). Lời giải  x + xB  x I = A =3 2 Gọi I là trung điểm của đoạn AB, ta có ⇒ I(3; −1).  yI = yA + yB = −1 2 Ví dụ 6 GV: LÊ QUANG XE Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 1), B(4; −3) và C(3; 5). Tìm tọa độ trọng Å tâm ã G của 4ABC. 9 3 A G ; . B G(3; 1). C G(1; 3). D G(9; 3). 2 2 Lời giải   2+4+3 x + xB + xC   =3 x G = A x G = 3 3 Vì G là trọng tâm của 4ABC nên ⇒   y G = y A + y B + y C y = 1 + (−3) + 5 = 1. G 3 3 Vậy G(3; 1). Ví dụ 7 # » Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho B(2; 3); C(−1; −2). Điểm M thỏa mãn 2M B + # » #» 3M C = 0Åcó tọa ã độ là Å ã 1 1 A M ;0 . B M − ;0 . Å5 ã Å 5 ã 1 1 C M 0; . . D M 0; − 5 5 Lời giải Gọi M (x; y) là điểm cần tìm. Ta có  ® ® x = 1 2(2 − x) + 3(−1 − x) = 0 − 5x = −1 # » # » #» 5 2M B + 3M C = 0 ⇔ ⇔ ⇔  2(3 − y) + 3(−2 − y) = 0 − 5y = 0 y = 0. Ví dụ 8 Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A(1; 3), B(4; 0), C(2; −5). Tọa độ điểm M thỏa # » # » # » #» mãn M A + M B − 3M C = 0 là: TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú A M (1; 18). 89 B M (−1; 18). C M (1; −18). D M (−18; 1). Lời giải Phương pháp # » Sử dụng các công thức : AB = (xB − xA ; yB − yA ),(a; a2 )+(b1 ; b2 ) = (a1 + b1 ; a2 + b2 ),(a; a2 ) = ® a1 = b 1 (b1 ; b2 ) ⇔ . a2 = b 2 Cách giải: # » # » Gọi M (x0 ; y0 ) ta có M A = (4 − x0 ; −y0 );M C = (2 − x0 ; −5 − y0 ) # » # » # » #» M A + M B − 3M C = 0 ⇔ (−1 + x0 ; 18 + y0 ) = (0; 0) ® ® − 1 + x0 = 0 x0 = 1 ⇔ ⇒ M (1; −18) ⇔ 18 + y0 = 0 y0 = −18 Ví dụ 9 Cho tam giác ABC. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm BC, CA và AB. Biết A(1; 3), B(−3; 3), C(8; 0). Giá trị xM + xN + xP bằng A 1. B 6. C 2. D 3. Lời giải  xB + xC   xM =   2   xC + xA Ta có xN =  2    x + xB  x P = A . 2 x B + xC xC + xA xA + xB + + = xA + xB + xC = 1 + (−3) + 8 = 6. ⇒ xM + xN + x P = 2 2 2 Ví dụ 10 # » Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(3; 2), B(−2; −3). Khi đó |AB| bằng √ √ A 2. B 5 2. C 10. D 5. Lời giải » √ # » Ta có |AB| = (−2 − 3)2 + (−3 − 2)2 = 5 2. Dạng 4.2. Tìm tọa độ các véc-tơ tổng, hiệu và k #» a GV: LÊ QUANG XE 90 Bài 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Ví dụ 1 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (1; 3), B (−2; 1) và C (0; −3). # » # » Véc-tơ AB + AC có tọa độ là C (−1; −1). A (4; 8). B (1; 1). D (−4; −8). Lời giải # » # » # » # » Ta có AB = (−3; −2) ; AC = (−1; −6). Vậy AB + AC = (−4; −8). Ví dụ 2 #» #» Cho #» a = (0; 1), b = (−1; 2), #» c = (−3; −2). Tọa độ của #» u = 3 #» a + 2 b − 4 #» c là A (10; −15). B (10; 15). D (−10; 15). C (15; 10). Lời giải #» Ta có 3 #» a = (0; 3); 2 b = (−2; 4) và 4 #» c = (−12; −8). Khi đó tọa độ #» u = (10; 15). Ví dụ 3 GV: LÊ QUANG XE #» Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho #» a = (2; 4) và b = (1; −5). Tìm tọa độ của véc-tơ #» #» u = #» a + b. #» #» A u = (3; −1). B u = (1; 9). #» #» C u = (3; 9). D u = (−1; 3). Lời giải #» Ta có #» u = #» a + b = (2 + 1; 4 − 5) = (3; −1). Ví dụ 4 #» #» #» #» #» Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai véc-tơ #» a = 2 i − 3 j , b = i + 2 j . Khi đó, tọa độ #» của #» a − b là: A (2; −1). B (1; 2). C (1; −5). D (2; −3). Lời giải #» Ä #» #» #»ä Ä #» #»ä #» #» Ta có #» a − b = 2 i − 3 j − i + 2 j = i − 5 j . Do đó tọa độ của #» a − b là (1; −5). Ví dụ 5 #» #» Trong mặt phẳng Oxy, cho #» u = 2 i − 5 j . Tọa độ #» u là #» #» A u = (2; −5). B u = (−2; 5). #» #» C u = (2; −5). D u = (−2; −5). Lời giải . TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 91 Ví dụ 6 Câu 46Trong mặt phẳng Oxy, cho #» a = (2; −4) #» #» 2a − b . #» A u = (7; −7). B #» C u = (9; −5). D #» và b = (−5; 3). Tìm tọa độ #» u = #» u = (9; −11). #» u = (−1; 5). Lời giải ( #» 2 a = (4; −8) #» Ta có: ⇒ #» u = 2 #» a − b = (9; −11). #» − b = (5; −3) Ví dụ 7 #» #» Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho #» a (2; −4); b (−5; 3). Véc-tơ 2 #» a − b có tọa độ là A (7; −7). B (9; −5). C (−1; 5). D (9; −11). Lời giải #» #» #» #» a (2; −4) ⇒ 2 a = (4; −8) ⇒ 2 a − b = (9; −11). Ví dụ 8 #» #» Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho #» a = (−3; 1), b = (2; −4). Tọa độ véc-tơ #» u = 2 #» a−b là #» #» A u = (6; −8). B u = (−8; 6). #» #» C u = (−8; −6). D u = (6; 8). Lời giải Ta có #» u = (−8; 6). Ví dụ 9 #» Biết rằng hai véc-tơ #» a và b không cùng phương. Tìm giá trị của x sao cho hai véc-tơ #» #» 2 #» a − 3 b và #» a + (x − 1) b cùng phương. 1 3 1 3 . . A B − . C − . D 2 2 2 2 Lời giải #» #» #» #» Do hai véc-tơ 2 a − 3 b và a + (x − 1) b cùng phương nên î #» #»ó 2 #» a − 3 b = k #» a + (x − 1) b (k 6= 0, k ∈ R) #» #» ⇔ 2 #» a − 3 b = k #» a + k(x − 1) b #» #» ⇔ (k − 2) #» a + [k(x − 1) + 3] b = 0 . #» Theo đầu bài hai véc-tơ #» a và b không cùng phương nên ® (1) ⇔ 1 Vậy x = − . 2 k=2 k(x − 1) = −3 ⇔  k = 2 x − 1 = − 3 2 ⇔ GV: LÊ QUANG XE  k = 2 x = − 1 . 2 (1) 92 Bài 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Ví dụ 10 #» #» = #» Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho #» a (2; −3) và b (−4; 5). Tọa độ của véc-tơ m a − #» #» 3 b + 2 i là A (−16; 18). B (14; −18). C (16; −18). D (1; −9). #» là (x; y). Khi đó Gỉa sử toạ độ véc-tơ m #» Vậy m(16; −18). Lời giải ® x = 2 − 3 · (−4) + 2 = 16 y = −3 − 3 · 5 = −18. Dạng 4.3. Xác định tọa độ của véc-tơ và của một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy Ví dụ 1 GV: LÊ QUANG XE Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 1), B(−1; −2), C(−3; 2). Tọa độ trọng tâm Å G của ã tam giác ABC là Å ã 2 1 2 2 A G − ; . B G − ; . Å 3 3ã Å 3 ã3 1 1 2 1 . ; . C G − ; D G 3 3 3 3 Lời giải  xA + xB + xC −2   = x G = 3 3 Å ã Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là 1 −2 1 yA + yB + yC   = ⇔G ; . y G = 3 3 3 3 Ví dụ 2 #» #» #» = 2 #» Cho #» a = (1; 2), b = (3; 4). Véc-tơ m a + 3 b có tọa độ là #» #» A m = (10; 12). B m = (11; 16). #» #» C m = (12; 15). D m = (13; 14). Lời giải ( #» 2 a = (2; 4) #» #» = 2 #» Ta có . Vậy ta có m a + 3 b = (11; 16). #» 3 b = (9; 12) Ví dụ 3 Cho ba điểm A (2; −4), B (6; 0), C (m; 4). Định m để A, B, C thẳng hàng? A m = 2. B m = 10. C m = −10. D m = −6. Lời giải TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 93 # » # » Ta có AB = (4; 4) ; BC = (m − 6; 4). # » # » Để A, B, C thẳng hàng thì BC = k AB với k 6= 0. ® ® m − 6 = 4k k=1 # » # » BC = k AB ⇔ ⇔ . 4 = 4k m = 10 Vậy m = 10. Ví dụ 4 Ä #» #»ä Ä #» # » #»ä #» #» Trong hệ trục O; i ; j , cho véc-tơ OM = 3 i + 4 j + 5 j − 2 i . Tọa độ điểm M là: C (−1; −17). A (−1; −9). B (1; 17). D (1; 9). Lời giải Ä ä # » #» #» #» #» #» #» OM = 3 i + 4 j + 5 j − 2 i = i + 17 j . Suy ra M (1; 17). Ví dụ 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(−1; 2). Nếu I(3; −1) là trung điểm của đoạn thẳng AB thì tọa độ điểm B là A (5; −4). B (7; −3). D (5; 3). C (7; −4). Lời giải  x + xB ® ®  x I = A xB = 2xI − xA xB = 7 2 Ta có ⇒ ⇒  yB = 2yI − yA yB = −4. yI = yA + yB 2 Vậy B = (7; −4). Ví dụ 6 #» Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hai véc-tơ #» a = (2m + 1; n − 2), b = (3; m) với m, n là #» các số thực. Nếu #» a = b thì m + n bằng C 3. A 1. B 5. D 4. Lời giải ® Theo giả thiết ta có 2m + 1 = 3 n−2=m ® ⇔ m=1 n=3 ⇒ m + n = 4. Ví dụ 7 # » # » #» Cho 2 điểm A(1; 2) và B(−5; 8). Tìm tọa độ điểm I biết: IA + IB = 0 C I(3; −3). A I(−3; 3). B I(−2; 5). D I(6; −6). Lời giải  x + xB  x I = A = −2 2 Từ giả thiết ta có I là trung điểm của đoạn AB như vậy .  yI = yA + yB = 5. 2 GV: LÊ QUANG XE 94 Bài 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Ví dụ 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O, hai đỉnh A(−2; 2) và B(3; 5). Tọa độ đỉnh C là C (−3; −5). A (−1; −7). B (2; −2). D (1; 7). Lời giải  −2 + 3 + x C ®   =0 xC = −1 3 ⇔ Ta có  yC = −7.  2 + 5 + yC = 0 3 Vậy C(−1; −7). Ví dụ 9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh # » # » # » A(2; 2), B(1; −3), C(−2; 2). Điểm M thuộc trục tung sao cho |M A + M B + M C| nhỏ nhất có tung độ là 1 1 1 C . . A 1. B − . D 3 2 3 GV: LÊ QUANG XE Lời giải ã 1 1 ; . Gọi G là trọng tam của tam giác ABC, khi đó tọa độ của G là 3 3 # » # » # » # » # » # » # » Áp dụng tính chất trọng tâm thì M A + M B + M C = 3M G ⇒ |M A + M B + M C| = 3M G. # » # » # » Để |M A + M B + M C| nhỏ nhất thì M là hình chiếu của G lên Oy, hay tung độ của M là 1 . 3 Å Ví dụ 10 Trong hệ trục tọa độ Oxy cho 4ABC có A(−4; 1), B(2; 1), C(−3; −4). Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Tìm tọa độ điểm D có tung độ dương thuộc đường thẳng BC sao cho SABC = 10SIBD . C D(3; 2). A D(−3; 2). B D(2; 3). D D(1; 0). Lời giải A B K H C Do điểm D nằm trên đường thẳng BC nên “# » # » BC = 5BD SABC BC AH = 10 ⇔ · = 10 ⇔ BC = 5BD ⇔ # » # » SIBD BD IK BC = −5BD. # » # » # » 1# » TH1: BC = 5BD ⇔ BD = BC = (−1; −1) ⇒ D(1; 0) – Không thỏa mãn. 5 1# » # » # » # » TH2: BC = −5BD ⇔ BD = − BC = (1; 1) ⇒ D(3; 2) – Thỏa mãn. 5 TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 95 Dạng 4.4. Phân tích một véc-tơ theo hai véc-tơ không cùng phương Ví dụ 1 #» #» Cho #» a = (2; 1), b = (−3; 4), #» c = (−4; 9). Hai số thực m, n thỏa mãn m #» a + n b = #» c. 2 2 Tính m + n . C 4. A 5. B 3. D 1. Lời giải ® 2m − 3n = −4 m=1 #» #» #» Ta có m a + n b = c ⇔ ⇔ m + 4n = 9 n = 2. 2 2 2 2 Vậy m + n = 1 + 2 = 5. ® Ví dụ 2 #» #» Cho #» a = (2; −2), b = (1; 4), #» c = (5; 2). Biết #» c = m #» a + n b , tính S = m2 + n. 25 13 116 A S = . B S = . C S = . D S = 3. 4 25 4 Lời giải  9 ®   m = 5 = 2m + n #» 5 ⇒ S = m2 + n = 116 . Ta có #» c = m #» a +nb ⇔ ⇔ 7  25 2 = −2m + 4n n = 5 Ví dụ 3 #» Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho #» a (6; −4); b (−3; 9); #» c (5; −8). Đẳng thức nào sau đây đúng? 2 #» 1 #» 4 #» 2 #» #» #» A a = − b + c. B a = − b + c. 3 4 3 5 2 #» 8 #» 4 #» #» #» #» C a = b + c. D a = b +2c. 3 5 3 Lời giải #» Đặt #» a = x b + y #» c = (−3x + 5y; 9x −  8y). ® x = 4 − 3x + 5y = 6 #» 3 Mà a (6; −4) ⇒ ⇔  9x − 8y = −4 y = 2. 4 #» c. Khi đó: #» a = b + 2 #» 3 Ví dụ 4 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Hai điểm M, N thay đổi trên hai cạnh AB, AD sao cho AM = x (0 ≤ x ≤ 1), DN = y (0 ≤ y ≤ 1). Tìm mối liên hệ giữa x, y sao cho CM ⊥ BN ? √ A x − y 2 = 0. B x − y = 0. GV: LÊ QUANG XE 96 Bài 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ C x + y = 1. D √ x − y 3 = 0. Lời giải # » # » # » # » # » Ta có BN = AN − AB = (1 Ä− y)AD − AB và # » # » # » # » # » # »ä # » # » CM = AM − AC = xAB − AB + AD = (x − 1)AB − AD Do đó ta có # » # » CM ⊥ BN ⇔ CM · BN = 0 î # » # »ó î # » # »ó ⇔ (1 − y)AD − AB (x − 1)AB − AD = 0 A N M B ⇔ y−1+1−x=0 D C Ví dụ 5 #» #» Biểu diễn véc-tơ #» c theo #» a và b biết #» a = (1; 1), b = (2; −3), #» c = (−1; 3). GV: LÊ QUANG XE Lời giải  3 ®   x = x + 2y = −1 3 4 #» #» 5 . Vậy #» ⇔ Giả sử #» c = x #» a +yb ⇔ c = #» a − b. 4  5 5 x − 3y = 3 y = − 5 Dạng 4.5. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song Ví dụ 1 Tìm giá trị của m để hai véc-tơ #» u = (5; 0) và #» v = (1; m) cùng phương. 1 A m = 0. B m= . C m = 1. D m = 5. 3 Lời giải ® ® 5=k·1 k=5 #» #» #» #» Ta có u cùng phương với v nên u = k v ⇒ ⇔ ⇒ m = 0. 0=k·m m=0 Ví dụ 2 Câu 9Cho ba điểm A(1; 1), B(3; 2) và C(m + 4; 2m + 1). Tìm m để ba điểm A, B, C thẳng hàng? A m = −1. B m = 1. C m = −2. D m = 0. Lời giải # » # » Ta có AB = (2; 1), AC = (m + 3; 2m). m+3 2m # » # » Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ AB cùng phương AC ⇔ = ⇔ m + 3 = 2m ⇔ 2 1 m = 1. TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú 97 Ví dụ 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(3; 1); B(1; −3); C(−2; −1). Khi đó A Ba điểm A,B,C thẳng hàng. B Điểm C là trung điểm của AB. # » # » C AB, BC ngược hướng. D A, B, C là ba đỉnh của tam giác. Lời giải # » # » # » # » Ta có AB = (−2; −4); AC = (−5; −2), ta thấy không tồn tại k sao cho AB = k · AC. Suy ra ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Vậy A, B, C là ba đỉnh của tam giác. Ví dụ 4 Câu 38Cho A(3; −2), B(7; 1), C(0; 1), D(−8; −5). Khẳng định nào đúng? # » # » # » # » A AB, CD đối nhau. B AB, CD ngược hướng. # » # » C AB, CD cùng hướng. D A, B, C, D thẳng hàng. Lời giải # » # » # » # » Ta có AB = (4; 3), CD = (−8; −6) ⇒ CD = −2AB. # » # » Vậy AB, CD ngược hướng. Ví dụ 5 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2) và điểm B(−2; 1), đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm K. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A K(−5; 0) và hai điểm A, B nằm khác phía đối với K. B K(−5; 0) và hai điểm A, B nằm cùng phía đối với K. C K(−4; 0) và hai điểm A, B nằm cùng phía đối với K. D K(5; 0) và hai điểm A, B nằm cùng phía đối với K. Lời giải Gọi K(x; 0) ∈ Ox # » # » KA = (1 − x; 2); KB = (−2 − x; 1) # » # » Ba điểm K, A, B thẳng hàng ⇔ ∃k : KA = k KB ⇔ ® 1 − x = k(−2 − x) ® ⇔ 2=k Suy ra K(−5; 0) và k = 2 > 0 nên hai điểm A, B nằm cùng phía đối với K. Ví dụ 6 Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2; 5), B(1; 2), C(4; −7). a Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. # » # » # » #» b Tìm tọa độ điểm M sao cho AM = 2AB − 3BC + 5 i . c Tìm điểm N trên trục hoành sao cho A, B, N thẳng hàng. Lời giải GV: LÊ QUANG XE x = −5 k = 2. 98 Bài 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ # » # » a Ta có AB = (−1; −3), AC = (2; −12). Do # » với AC. Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. −3 −1 # » 6= nên AB không cùng phương 2 −12 b Ta có # » # » # » #» AM = 2AB−3BC+5 i ⇔ ® xM − xA = 2 (xB − xA ) − 3 (xC − xB ) + 5 yM − yA = 2 (yB − yA ) − 3 (yC − yB ) + 0 ® ⇔ xM = −4 yM = 26 # » c Gọi N (xN ; 0), ta có AN = (xN − 2; −5). Để A, B, N thẳng hàng thì xN − 2 −5 1 = ⇔ xN = . −1 −3 3 Å ã 1 Vậy nên tọa độ điểm N thỏa bài toán là ;0 . 3 Ví dụ 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(1; 1), B(3; 3), C(2; 0). a Tính diện tích tam giác ABC. ÷ b Hãy tìm tất cả các điểm M trên trục hoành Ox sao cho góc AM B nhỏ nhất. GV: LÊ QUANG XE Lời giải # » # » # » a Ta có AB = (2; 2), AC = (1; −1), BC = (−1; −3). Nhận thấy AB 2 + AC 2 = BC 2 = 10 nên tam giác ABC vuông tại A. 1 Suy ra diện tích tam giác ABC là S = · AB · AC = 2. 2 # » # » b Gọi M (xM ; 0) thuộc Ox, ta có M A = (1 − xM ; 1), M B = (3 − xM ; 3). # » # » ÷ ÷ Góc AM B nhỏ nhất khi AM B = 0◦ , xảy ra khi M A, M B cùng hướng 1 − xM 1 ⇔ = ⇔ xM = 0 ⇔ M (0; 0). 3 − xM 3 Ví dụ 8 Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(−3; 4), B(1; 1), C(9; −5). a Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. b Tìm tọa độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. c Tìm tọa độ điểm E trên trục hoành Ox sao cho A, B, E thẳng hàng. # » Lời giải # » a Ta có AB = (4; −3), AC = (12; −9). Do 4 −3 # » # » = nên AB cùng phương với AC. Vậy A, B, C thẳng hàng. 12 −9 b A là trung điểm của BD nên ® xB + xD = 2xA yB + yD = 2yA ® ⇔ xD = 2xA − xB = −7 yD = 2yA − yB = 7 TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 ⇒ D(−7; 7). ⇔ M (−4; 26) Chûúng 1. Vec tú 99 # » c Gọi E (xE ; 0), ta có AE = (xE + 3; −4). Để A, B, E thẳng hàng thì xE + 3 −4 16 7 = ⇔ xE + 3 = ⇔ xE = . 4 −3 3 ã 3 Å 7 ;0 . Vậy nên tọa độ điểm E thỏa bài toán là 3 Ví dụ 9 Cho ba điểm A(1; 1), B(−2; 1), C(m + 1; 2m + 3). Tìm m để ba điểm A, B, C thẳng hàng. Lời giải # » # » Ta có AB = (−3; 0), AC = (m; 2m + 2). # » # » Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi AB cùng phương với AC khi và chỉ khi (−3) × (2m + 2) − 0 × m = 0 ⇔ 3(2m + 2) = 0 ⇔ m = −1. Ví dụ 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ba điểm A(0; 2), B(4; 2), C(3; 5). a Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b Tính cosin và sin của góc BAC. c Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC. # » # » # » d Tìm tọa độ điểm M thuộc trục tung sao cho M A + 2M B + 3M C đạt giá trị nhỏ nhất. e Tìm tọa độ điểm N thuộc trục hoành sao cho |N B − N C| đạt giá trị lớn nhất. Lời giải 4 0 # » # » # » # » a Ta có AB = (4; 0), AC = (3; 3), vì 6= nên AB và AC không cùng phương. Vậy ba 3 3 điểm A, B, C không thẳng hàng hay A, B, C lập thành một tam giác. √ √ # » √ √ √ b Ta có AB = 16 = 4, AC = 9 + 9 = 3 2, BC = (−1; 3) ⇒ BC = 1 + 9 = 10. √ 2 2 2 AB + AC − BC 16 + 18 − 10 2 ’ = √ = cos BAC = . 2AB · AC 2 2·4·3 2 ’ ⇒ BAC = 45◦ . √ 2 ◦ ’ ⇒ sin BAC = sin 45 = . 2 √ # » # » Ä # » # »ä 12 AB · AC 2 ’ = cos AB, AC = Hoặc dùng tích vô hướng cos BAC # » # » = 12√2 = 2 . AB · AC # » # » c Gọi H(a; b) là trực tâm tam giác ABC, ta có AH = (a; b − 2), BH = (a − 4; b − 2). H là trực tâm tam giác ABC khi và chỉ khi (# » # » ® ® ® AH · BC = 0 − a + 3(b − 2) = 0 4a − 12 = 0 a=3 ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ H(3; 3). # » # » 3(a − 4) + 3(b − 2) = 0 3b − 6 − a = 0 b=3 BH · AC = 0 GV: LÊ QUANG XE 100 Bài 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ # » # » d Điểm M thuộc trục tung nên M (0; m). Khi đó M A = (0; 2 − m), M B = (4; 2 − m), GV: LÊ QUANG XE # » M C = (3; 5 − m). # » # » # » Suy ra M A + 2M B + 3M C = (17; 21 − 6m). » # » # » # » M A + 2M B + 3M C = 172 + (21 − 6m)2 √ = 36m2 − 252m + 730 ã Å 7 2 + 289 = 36 m − 2 √ ≥ 289 = 17. Å ã 7 7 7 # » # » # » min M A + 2M B + 3M C = 17 ⇔ m − = 0 ⇔ m = ⇒ M 0; . 2 2 2 # » # » e Điểm N thuộc trục hoành nên N (n; 0). Ta có N B = (4 − n; 2), N C = (3 − n; 5). Do B, C nằm cùng phía đối với trục hoành và |N B − N C| ≤ BC nên max |N B − √ N C| = BC = 10 khi và chỉ khi N , B, C thẳng hàng  2 ®  Å ã  k = 4 − n = k(3 − n) 14 # » # » 5 ⇔ ⇔ N B = kN C ⇔ ⇒N ;0 .  3 2 = 5k n = 14 3 4.3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN THEO MỨC ĐỘ 4.3.1. Nhận biết # » Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3; 2), B(−2 · −3). Khi đó AB bằng 5. √ 5 2. 10. √ # » # » Hûúáng dêîn: Ta có: AB = (−5; −5), do đó AB = 5 2. A B C Chọn đáp án B Câu 2. Cho ba điểm A (1; −3), B (4; 5), C (2; −3). Xét các mệnh đề sau: # » 1. AB = (3; 8). 2. A0 là trung điểm của BC thì A0 (6; 2). Å ã 7 1 3. Tam giác ABC có trọng tâm G ;− . 3 3 Hỏi mệnh đề nào đúng? A C Chỉ 1 và 3. Cả 1, 2 và 3. B D Chỉ 1 và 2. Chỉ 2 và 3. Hûúáng dêîn: Ta có # » # » Tọa độ AB là AB = (3; 8). Tọa độ trung điểm A0 của BC là A0 (3; 1). Å ã 7 1 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là G ;− . 3 3 TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 D √ 2. Chûúng 1. Vec tú 101 Vậy chỉ mệnh đề 1 và 3 đúng Chọn đáp án A Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(3; −5), B(1; 7). Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ là B I(−2; 12).  x + xB  x I = A =2 2 Hûúáng dêîn: Ta có  yI = yA + yB = 1. 2 Chọn đáp án D A I(2; −1). I(4; 2). C D I(2; 1). Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng? # » # » #» #» #» #» A OM = −2 i − 3 j . B OM = 2 i − 3 j . # » # » #» #» #» #» C OM = −3 i + 2 j . D OM = 3 i − 2 j . y M 2 x −3 # » #» O #» Hûúáng dêîn: Từ đồ thị ta có M (−3; 2) ⇒ OM = −3 i + 2 j . Chọn đáp án C Câu 5. Câu 10Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(2; 3), B(4; 1), C(3; −5). Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC. Å ã 1 A 3; − . 3 (9; −1). D (−1; 9). ã Å ã Å 1 2+4+3 3+1−5 = 3; − . Hûúáng dêîn: Ta có tọa độ trọng tâm G ; 3 3 3 B C Å ã 1 − ;3 . 3 Chọn đáp án A #» #» #» #» #» Câu 6. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ #» a = 2 i − 3 j , b = i + 2 j . Khi đó tọa #» độ véc-tơ #» a − b là C (1; −5). D (2; −3). (1; 2). #» #» #» #» #» #» Hûúáng dêîn: Ta có #» a = 2 i − 3 j ⇒ #» a = (2; −3) ; b = i + 2 j ⇒ b = (1; 2) suy ra #» #» a − b = (1; −5). A (2; −1). B Chọn đáp án C Câu 7. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(−1; 1), B(1; 3), C(−2; 0). Khẳng định nào sau đây sai? # » # » #» A BA + 2CA = 0 . C A, B, C thẳng hàng. B D # » # » AB = 2AC. # » 2# » BA = BC. 3 Hûúáng dêîn: GV: LÊ QUANG XE 102 Bài 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ # » # » # » # » #» Vì BA = (−2; −2) và CA = (1; 1) suy ra BA + 2CA = (0; 0) = 0 nên A đúng. # » # » # » # » Vì AB = (2; 2) và AC = (−1; −1) suy ra AB = −2AC nên B sai. # » # » # » # » AB = (2; 2) và AC = (−1; −1) suy ra AB = −2AC nên ba điểm A, B, C thẳng hàng. # » # » # » 2# » Vì BA = (−2; −2) và BC = (−3; −3) suy ra BA = BC nên D đúng. 3 Chọn đáp án B #» #» Câu 8. Câu 5Trong hệ trục tọa độ Oxy cho #» a = 2 i + 3 j . Tìm tọa độ của véc-tơ #» a ? A C #» a = (−2; 3). #» a = (2; −3). B D #» a = (2; 3). #» a = (3; 2). #» #» Hûúáng dêîn: Véc-tơ #» a = 2 i + 3 j ⇔ #» a = (2; 3). Chọn đáp án B #» #» Câu 9. Trong mặt phẳng Oxy, cho #» a = (−1; 2), b = (5; −7). Toạ độ của #» a + b là C (6; 9). B (4; −5). #» Hûúáng dêîn: Ta có #» a + b = (−1 + 5; 2 + (−7)) = (4; −5). A (−6; 9). D (−5; −14). GV: LÊ QUANG XE Chọn đáp án B #» #» #» = 2 #» Câu 10. Cho #» a = (1; 2) và b = (3; 4). Véc-tơ m a + 3 b có toạ độ là #» #» A m = (10; 12). B m = (11; 16). #» #» C m = (12; 15). D m = (13; 14). #» #» = 2 #» Hûúáng dêîn: Ta có m a + 3 b = (11; 16). Chọn đáp án B #» Câu 11. Cho véc-tơ #» u = 2 i . Tọa độ của véc-tơ #» u là A C #» u = (2; 0). #» u = (0; 2). B D #» u = (−2; 0). #» u = (0; −2). #» #» Hûúáng dêîn: Ta có #» u = 2 i + 0 j ⇒ #» u = (2; 0). Chọn đáp án A Câu 12. # » # » Cho véc-tơ AB như hình vẽ. Tọa độ của véc-tơ AB là y B −1 O1 A A (3; 2). B (−2; 3). C (−3; −2). Hûúáng dêîn: Ta có A(−2; −1), B(1; 1). # » Vậy AB = (3; 2). TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 D (−1; 0). x Chûúng 1. Vec tú 103 Chọn đáp án A Câu 13. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) và C(xC ; yC ). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là x + x + x y + y + y  A B C A B C ; . A G  x − x2 + x y + y3 + y  A B C A B C C G ; . 3 3 x + x + x y + y + y  A B C A B C ; .  x + x3 + x y + y2 + y  A B C A B C D G ; . 3 3 x + x + x y + y + y  A B C A B C ; . Hûúáng dêîn: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì G 3 3 Chọn đáp án D ã Å 1 # » # » ; 0 . Ta có AB = xAC thì giá trị x là Câu 14. Cho A (3; −2), B (−5; 4) và C 3 A x = 3. B x = −3. B G C x = 2. D x = −2. Å ã 8 # » # » Hûúáng dêîn: Ta có AB = (−8; 6), AC = − ; 2 . 3 # » # » Suy ra AB = 3AC. Vậy x = 3. Chọn đáp án A 4.3.2. Thông hiểu Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có A(−2; 3), B(0; 4), C(5; −4). Tọa độ đỉnh D là: Ä √ ä Ä√ ä 7; 2 . 3; 2 . D ® ® 5−x=2 x=3 # » # » Hûúáng dêîn: Vì ABCD là hình bình hành nên AB = DC ⇔ ⇔ ⇔ −4−y =1 y = −5 (x; y) = (3; −5). A (3; −5). B (3; 7). C Chọn đáp án A Câu 16. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (−1; 3), N (2; 2), P (1; 0) lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Tọa độ đỉnh C là A (2; 1). B (0; 5). C (−2; −1). D (4; −1). Hûúáng dêîn: Å Ta có I ã 3 ; 1 là trung điểm của N P . 2 A Å Nhận thấy M N CP là hình bình hành nên I ã 3 ; 1 cũng là 2 trung điểm của M C. Gọi C(x; y),  ® x − 1 = 2 · 3 x=4 2 ⇔ ta có:  y = −1. y+3=2·1 M N I B P C Chọn đáp án D Câu 17. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm M (2; −3), N (−1; 2), P (3; −2). Gọi Q là # » # » # » #» điểm thoả mãn QP + QN − 4M Q = 0 . Tìm toạ độ điểm Q. GV: LÊ QUANG XE 104 Bài 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ã 5 Q − ;2 . 3 Å A ã 5 ; −2 . Q 3 Å B ã 3 ;2 . Q 5 Å C ã 3 ; −2 . Q 5 Å D Hûúáng dêîn: Gọi Q(x; y) ta có # »   QP = (3 − x; −2 − y) ®   x = 5 (3 − x) + (−1 − x) + (−4x + 8) = 0 # » 3 ⇒ ⇔ QN = (−1 − x; 2 − y)   (−2 − y) + (2 − y) + (−4y − 12) = 0  # » y = −2.  − 4M Q = (−4x + 8; −4y − 12) Chọn đáp án B #» #» Câu 18. Trong mặt phẳng (Oxy) cho #» a = (4; −7), b = (−1; 3). Tọa độ của 2 #» a − b là A (7; −17). B (9; −17). C (9; −11). D (7; −11). #» Hûúáng dêîn: Ta có: 2 #» a − b = (8; −14) − (−1; 3) = (9; −17). Chọn đáp án B #» #» #» #» Câu 19. Trong hệ tọa độ Oxy, cho #» u = 2 i − j và #» v = i + x j . Tìm x sao cho #» u và #» v GV: LÊ QUANG XE cùng phương. 1 1 A x=− . B x= . D x = −1. C x = 2. 2 4 Hûúáng dêîn: Ta có #» u = (2; −1) và #» v = (1; x). 1 x 1 Do #» u và #» v cùng phương nên = ⇔x=− . 2 −1 2 Chọn đáp án A #» #» #» #» Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho b (−3; 4) và #» a = − j + 2 i . Tọa độ của #» a +2b là C (−7; 10). (−4; −7). D (−4; 6). #» #» #» Hûúáng dêîn: Ta có #» a = − j + 2 i suy ra #» a = (2; −1). Tọa độ của véc-tơ #» a + 2 b là (2 − 6; −1 + 8) = (−4; 7). A (−4; 7). B Chọn đáp án A Ä #» #»ä #» #» #» #» #» Câu 21. Trong hệ trục tọa độ O; i ; j , cho hai véc-tơ #» a = 2 i − 4 j ; b = −5 i + 3 j . Tọa #» độ của véc-tơ #» u = 2 #» a − b là #» A u = (7; −7). #» C u = (9; −5). B D #» u = (9; −11). #» u = (−1; 5). #» Hûúáng dêîn: Ta có #» a = (2; −4); b = (−5; 3), suy ra #» u = (9; −11). Chọn đáp án B #» Câu 22. Biết rằng hai véc-tơ #» a và b không cùng phương. Tìm giá trị của x sao cho hai #» #» véc-tơ 2 #» a − 3 b và #» a + (x − 1) b cùng phương. 1 3 A . B − . 2 2 C 1 − . 2 TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 D 3 . 2 Chûúng 1. Vec tú 105 #» #» Hûúáng dêîn: Do hai véc-tơ 2 #» a − 3 b và #» a + (x − 1) b cùng phương nên î #» #»ó 2 #» a − 3 b = k #» a + (x − 1) b (k 6= 0, k ∈ R) #» #» ⇔ 2 #» a − 3 b = k #» a + k(x − 1) b #» #» ⇔ (k − 2) #» a + [k(x − 1) + 3] b = 0 . #» Theo đầu bài hai véc-tơ #» a và b không cùng phương nên ® (1) ⇔ k=2 k(x − 1) = −3 ⇔ 1 Vậy x = − . 2 Chọn đáp án C  k = 2 x − 1 = − 3 2 ⇔ (1)  k = 2 x = − 1 . 2 # » Câu 23. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(−2, 5), B(1; −1). Tìm tọa độ M sao cho M A = # » −2M B D M (0; 1). M (0; 1). C M (−1; 0). Ä ä # » # » # » # » # » # » # » Hûúáng dêîn: Ta có M A = −2M B ⇔ OA − OM = −2 OB − OM ⇒ OM = (0; 1) ⇒ M (0; 1). A M (1; 0). B Chọn đáp án D Câu 24. Cho A(2; 1), B(1; 2). Để tứ giác OABC là hình bình hành thì tọa độ điểm C là A Å ã 1 −1; . 2 B (−1; −1). C (1; 1). D (−1; 1). Hûúáng dêîn: Gọi tọa độ điểm C(xC ; yC ). # » # » Để tứ giác OABC là hình bình hành thì OA = CB ⇔ ® 2 = 1 − xC 1 = 2 − yC ® ⇔ xC = −1 yC = 1 . Vậy C(−1; 1). Chọn đáp án D Câu 25. Cho hai điểm M (8; −1) và N (3; 2). Nếu P là điểm đối xứng với điểm M qua điểm N thì P có tọa độ là Å A (−2; 5). B (13; −3). C (11; −1). D ã 11 1 ; . 2 2 Hûúáng dêîn: Do P là điểm đối xứng của M qua N suy ra N là trung điểm của M P . ® Suy ra xP = 2xN − xM yP = 2yN − yM Vậy P (−2; 5). ® ⇒ xP = 2 · 3 − 8 yP = 2 · 2 + 1 ® ⇒ xP = −2 yP = 5. Chọn đáp án A Câu 26. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1; 2), B(−2; −3) và G(−1; −1). Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC. A (1; −1). B (−2; −2). C (2; −2). GV: LÊ QUANG XE D (−1; 1). 106 Bài 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ® Hûúáng dêîn: Ta có: xC = 3xG − xA − xB yC = 3yG − yA − yB ® ⇒ xC = −2 yC = −2. Chọn đáp án B Å ã Å ã 5 3 7 Câu 27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M − ; −1 , N − ; − , 2 2 2 Å ã 1 P 0; lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Tọa độ trọng tâm G của tam giác 2 ABC là Å ã 4 4 . A G − ;− B G(−4; −4). Å 3 ã3 4 4 C G ; . D G(4; −4). 3 3 Hûúáng dêîn: GV: LÊ QUANG XE Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên G cũng là trọng tâm tam giác M N P . x + xN + xP  x G = M 3 Tọa độ điểm G là y + y  M N + yP y G = 3  4  x G = − 3 ⇔ 4  yG = − . 3 ã Å 4 4 Vậy G − ; − . 3 3 A P N G B M C Chọn đáp án A #» #» Câu 28. Cho #» a = (2; 1), b = (−3; 4), #» c = (−4; 9). Hai số thực m, n thỏa mãn m #» a +nb = #» c . Tính m2 + n2 . 5. A B 3. #» Hûúáng dêîn: Ta có m #» a + n b = #» c ⇔ 2 2 2 C ® 4. 2m − 3n = −4 m + 4n = 9 D ® ⇔ 1. m=1 n = 2. 2 Vậy m + n = 1 + 2 = 5. Chọn đáp án A #» #» Câu 29. Cho véc-tơ #» a = (2; 1) và b = (−1; 3). Nếu #» c = (m; n) cùng phương với 2 #» a −3b thì m + n là 3. ä #» #» a − 3 b = (7k; −7k). Hûúáng dêîn: Ta có 2 #» a − 3 b = (7; −7) ⇒ k 2 #» ® Ä ä m = 7k #» #» Vì #» c cùng phương 2 #» a − 3 b nên #» c = k 2 #» a −3b ⇒ n = −7k. Do đó m + n = 7k − 7k = 0. A 0. B 2. C D 1. Ä Chọn đáp án A #» Câu 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các véc-tơ #» u = (2; −4), #» a = (−1; −2), b = #» (1; −3). Biết #» u = m #» a + n b , tính m − n. TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 1. Vec tú A 107 5. B −2. C −5. D 2.  2 ®  m = − − m + n = 2 #» 5 Hûúáng dêîn: Ta có #» u = m #» a +nb ⇔ ⇔ 8  − 2m − 3n = −4 n = . 5 Vậy m − n = −2. Chọn đáp án B #» Câu 31. Cho hai véc-tơ #» a = (2; −2) và b = (1; 4). Hãy biểu diễn véc-tơ #» c = (5; 0) theo hai #» véc-tơ #» a, b . A C 1 #» #» c = − #» a +2b. 2 #» #» c = #» a +2b. B D #» c = 2 #» a− #» c = 2 #» a+ 1 #» b. 2 #» b. #» Hûúáng dêîn: Giả sử #» c = m #» a + n b . Khi đó ta có hệ phương trình sau: ® 5 = 2m + n ® ⇔ 0 = −2m + 4n #» Vậy #» c = 2 #» a + b. m=2 n = 1. Chọn đáp án D Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(2; −4), B(−2; 6). Điểm H thuộc đường thẳng (d) : y = x − 13 sao cho các điểm A, B, H thẳng hàng có tọa độ là (9; −4). # » Hûúáng dêîn: Ta có: AB = (−4; 10) ⇒ đường thẳng AB có một VTPT #» n = (5; 2) ⇒ AB : 5x + 2y − 2 = 0. A, B, H thẳng hàng ⇒ H = d ∩ AB® ® 5x + 2y = 2 x=4 Suy ra tọa độ H là nghiệm của hệ ⇔ . Vậy H(4; −9). x − y = 13 y = −9 A (−4; −9). B (13; 0). C (4; −9). D Chọn đáp án C Câu 33. Cho 4 điểm M (1; −2), N (0; 3), P (−3; 4), Q (−1; 8). Ba điểm nào trong 4 điểm đã cho là thẳng hàng? B M, N, P . C N , P , Q. D M , N , Q. # » # » # » # » # » Hûúáng dêîn: Ta có M N = (−1; 5), M P = (−4; 6), M Q = (−2; 10), N P = (−3; 1), N Q = (−1; 5). # » # » Suy ra M N = N Q hay M , N , Q thẳng hàng. A M , P , Q. Chọn đáp án D Câu 34. Cho 4 điểm A(1; −2), B(0; 3), C(−3; 4), D(−1; 8). Ba điểm nào trong 4 điểm đã cho là thẳng hàng? B, C, D. C A, B, D. D A, C, D. # » # » # » # » Hûúáng dêîn: Ta có AB = (−1; 5), AD = (−2; 10) ⇒ AD = 2AB ⇒ A, B, D thẳng hàng. A A, B, C. B Chọn đáp án C Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(−1; 1), B(0; 2), C(3; 1) và D(0; −2). GV: LÊ QUANG XE 108 Bài 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Khẳng định nào sau đây là đúng? Tứ giác ABCD là hình bình hành. B Tứ giác ABCD là hình thoi. C Tứ giác ABCD là hình thang cân. D Tứ giác ABCD không nội tiếp được đường tròn. # » # » # » # » # » Hûúáng dêîn: Ta có AB = (1; 1), DC = (3; 3) suy ra DC = 3AB. Do đó AB cùng phương # » với DC. Suy  ra AB //DC ⇒ ABCD là hình thang. # » # » AC = (4; 0) ⇒ AC = 4 ⇒ AC = BD. Vậy tứ giác ABCD là hình thang cân. Mà # » # » BD = (0; −4) ⇒ BD =4 A Chọn đáp án C Câu 36. Trong hệ trục tọa độ cho bốn điểm A(1; 1), B(2; −1), C(4; 3), D(3; 5). Khẳng định GV: LÊ QUANG XE nào sau đây đúng? # » # » A AB = CD. B Tứ giác ABCD là hình bình hành. ã Å 5 # » # » là trọng tâm tam giác BCD. C G 2; D AC, AD cùng phương. 3 # » # » # » # » # » Hûúáng dêîn: Ta có AB = (1; −2), CD = (−1; 2) nên AB = −CD = DC. # » # » Mà BC = (2; 4) không cùng phương với AB nên A, B, C không thẳng hàng. Vậy ABCD là hình bình hành. Chọn đáp án B Câu 37. Trên mặt phẳng Oxy, cho M (−5; 7); N (3; 5); P (3x + 2; 4). Tìm x để 3 điểm M , N , P thẳng hàng. 4 4 A x=− . B x= . C x = −1. 3 3 # » # » Hûúáng dêîn: Ta có: M N = (8; −2); N P = (3x − 1; −1). # » # » Ba điểm M, N, P thẳng hàng ⇔ M N và N P cùng phương −1 5 3x − 1 ⇔ = ⇔ 3x − 1 = 4 ⇔ x = . 8 −2 3 Chọn đáp án D D 5 x= . 3 4.3.3. Vận dụng thấp Câu 38. Cho 4ABC với A (−5; 6), B (3; 2), C (0; −4). Chân đường phân giác trong góc A có tọa độ Å ã 5 2 A − ;− . 3 3 Å B ã 5 2 ;− . 3 3 Å C (5; −2). Hûúáng dêîn: Ta có » √ # » AB = AB = (3 − (−5))2 + (2 − 6)2 = 4 5 » √ # » AC = AC = (0 − (−5))2 + (−4 − 6)2 = 5 5. TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 D ã 5 2 ;− . 2 3 Chûúng 1. Vec tú 109 Gọi D (x; y) là chân đường phân giác trong góc A. Suy ra  5 ®  # » x = − 5 (x − 3) = 4 (x − 0) BD 4 AB # » # » 3 . ⇔ # » = − AC = − 5 ⇒ −5BD = 4CD ⇔  − 5 (y − 2) = 4 (y + 4) CD y = − 2 3 Å ã 5 2 Vậy D ;− . 3 3 Chọn đáp án B Câu Å 39. Trên ã mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD biết A(−3; 3), C(1; 1) và 4 2 G − ; 3 3 A là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm D. D(−1; 7). B D(2; −4). C D(−4; 0). D D(0; 6). Hûúáng dêîn: Theo bài ta có G là trọng tâm của 4ABC nên Å ã   4 xA + xB + xC  ® ®   +3−1 x G = x B = 3 · − x = 3x − x − x xB = −2 3 B G A C 3 Å ã ⇔ ⇔ ⇔ 2   yB = 3yG − yA − yC yB = −2. y G = y A + y B + y C  y B = 3 · −3−1 3 3 Vậy B(−2; −2). ® ® − 2 + 3 = 1 − xD xD = 0 # » # » Do ABCD là hình bình hành nên AB = DC ⇒ ⇔ − 2 − 3 = 1 − yD yD = 6. Vậy D(0; 6). Chọn đáp án D #» #» Câu 40. Trong mặt phẳng Oxy, cho #» a = (−3; 0), b = (4; x). Giá trị của x để #» a và b cùng phương là A x = 0. B 4 x=− . 3 C 3 x=− . 4 D x ∈ ∅.  ® k = −3 − 3 = 4k #» #» #» #» 4 Hûúáng dêîn: a và b cùng phương ⇔ a = k b ⇔ ⇔  0 = kx x = 0. #» #» Vậy x = 0 thì a và b cùng phương. Chọn đáp án A ĐÁP ÁN BÀI 4 1.B 2.A 3.D 4.C 5.A 6.C 7.B 8.B 9.B 10.B 11.A 12.A 13.D 14.A 15.A 16.D 17.B 18.B 19.A 20.A 21.B 22.C 23.D 24.D 25.A 26.B 27.A 28.A 29.A 30.B 31.D 32.C 33.D 34.C 35.C 36.B 37.D 38.B 39.D 40.A GV: LÊ QUANG XE 110 Bài 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ GV: LÊ QUANG XE TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú… 111 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Chûúng 2 BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ 1.1. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 1.1.1. Định nghĩa Định nghĩa 2.1.1. Với mỗi góc α (0◦ ≤ α ≤ 180◦ ) ta xác định một điểm M trên nửa ’ = α và giả sử điểm M có tọa độ M (x0 ; y0 ) đường tròn đơn vị sao cho xOM y Khi đó ta có định nghĩa: a sin của góc α là y0 , kí hiệu sin α = y0 ; 1 M y0 b cosin của góc α là x0 , kí hiệu cos α = x0 ; y0 y0 c tang của góc α là (x0 6= 0) , kí hiệu tan α = ; x0 x0 α x0 x0 x −1 0 O 1x d cotang của góc α là (y0 6= 0), kí hiệu cot α = . y0 y0 1.1.2. Tính chất: Tính chất 2.1.1. y Trên hình bên ta có dây cung N M song song với trục Ox và ’ = α thì xON ’ = 180◦ − α. nếu xOM Ta có yM = yN = y0 , xM = −xN = x0 . Do đó y0 N a sin α = sin(180◦ − α) c tan α = − tan(180◦ − α) b cos α = − cos(180◦ − α) d cot α = − cot(180◦ − α) M α −x0 O x0 x 1.1.3. Góc giữa hai véc tơ: #» #» Định nghĩa 2.1.2. Cho hai vectơ #» a và b đều khác vectơ 0 . Từ một điểm O bất kì ta vẽ # » # » #» ’ với số đo từ 0◦ đến 180◦ được gọi là góc giữa hai vectơ OA = #» a và OB = b . Góc AOB #» #» #» #» a và b . Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ #» a và b là ( #» a , b ). A #» a B #» b O GV: LÊ QUANG XE 112 Bài 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ #» #» • Từ định nghĩa ta có ( #» a , b ) = ( b , #» a ). #» #» #» • Nếu ( #» a , b ) = 90◦ thì ta nói rằng #» a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là #» a ⊥ b #» hoặc b ⊥ #» a 1.1.4. Bảng giá trị lượng giác của các góc đặt biệt Chú ý. Giá trị α lượng giác 0◦ sin α 0 cos α 1 tan α 0 cot α || 30◦ 1 2 √ 3 2 1 √ 3 √ 3 45◦ √ 2 2 √ 2 2 1 1 60◦ √ 3 2 1 2 √ 3 90◦ 180◦ 1 0 0 −1 || 0 0 || 1 √ 3 GV: LÊ QUANG XE Dạng 1.1. Xét dấu của các giá trị lượng giác Ví dụ 1 Cho α là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? A sin α < 0. B cos α > 0. C tan α < 0. D cot α > 0. D cos α > 0. Lời giải ® Vì α là góc tù suy ra sin α > 0 cos α < 0 ⇒ tan α < 0. Ví dụ 2 Cho α ∈ (90◦ ; 180◦ ). Khẳng định nào sau đây là đúng? C tan α < 0. A cot α > 0. B sin α < 0. Lời giải Theo khái niệm “Giá trị lượng giác của một cung” thì tan α < 0. Ví dụ 3 Cho hai góc nhọn α và β trong đó α < β. Khẳng định nào sau đây sai? A sin α < sin β. B cos α < cos β. ◦ C cos α = sin β ⇔ α + β = 90 . D cot α + tan β > 0. Lời giải TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú… 113 Vì α, β là hai góc nhọn và α < β nên ® ® sin α > 0 tan α > 0 ⇒ ⇒ tan α + cot α > 0. cos α > 0 cot α > 0 α + β = 90◦ ⇔ α = 90◦ − β ⇔ cos α = cos (90◦ − β) ⇔ cos α = sin β. sin α < sin β. cos α > cos β. Vậy khẳng định sai là cos α < cos β. Ví dụ 4 b = 60◦ ; b = 10; c = 20. Diện tích của tam giác ABC bằng Tam giác ABC có A √ √ √ A 50 2. B 50. D 50 5. C 50 3. Lời giải FB tác giả: Thubon Bui √ 1 Ta có S = bc · sin A = 50 3. 2 Ví dụ 5 “ = 30◦ , C b = 45◦ , AB = 3 Tính độ dài cạnh AC. Tam giác√ABC có B √ √ 3 2 2 6 A . B 6. C . 2 3 D √ 3 6 . 2 Lời giải FB tác giả: Thubon Bui AB AC AC 3 Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có: = = ⇒ ⇒ ◦ b “ sin 45 sin 30◦ sin C sin B √ 3 2 . AC = 2 Dạng 1.2. Tính các giá trị lượng giác Ví dụ 1 Giá trị của tan 60◦ là A −1. B √ − 3. √ C 3. D 0. Lời giải Ví dụ 2 Cho góc α = 135◦ . Tính giá trị biểu thức A = 2 sin α +√cos α. √ √ 2 A B − 2. 2. C − . 2 GV: LÊ QUANG XE √ D 2 . 2 114 Bài 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ Lời giải Ta có √ √ √ 2 2 2 − = . A = 2 sin α + cos α = 2 sin 135 + cos 135 = 2 sin 45 − cos 45 = 2 · 2 2 2 ◦ ◦ ◦ ◦ Ví dụ 3 Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng? A cot α = cot (180◦ − α). B tan α = tan (180◦ − α). C cos α = cos (180◦ − α). D sin α = sin (180◦ − α). Lời giải Ví dụ 4 4 (90◦ < α < 180◦ ). Tính cos α 5 4 cos α = − . 5 5 cos α = . 3 Cho sin α = A C B D GV: LÊ QUANG XE 3 cos α = − . 5 3 cos α = . 5 Lời giải p Ta có sin α + cos α = 1 ⇔ cos α = 1 − sin α ⇔ cos α = ± 1 − sin2 α = ± 2 2 2 2 Å ã2 4 1− = 5 3 ± . 5 3 Vì 90◦ < α < 180◦ nên cosα = − . 5 Ví dụ 5 Cho tan α − cot α = 3. Tính giá trị của biểu thức A = tan2 α + cot2 α. C 13. A 12. B 11. D 5. Lời giải Ta có A = tan2 α + cot2 α = (tan α − cot α)2 + 2 = 11. Ví dụ 6 4 Cho góc α là góc tù thỏa tan α = − . Tính giá trị biểu thức A = 2 sin α − cos α. 3 11 7 9 A A= . B A = 1. C A=− . D A= . 5 5 5 Lời giải Ta có α là góc tù nên sin α > 0; cos α < 0. 1 1 Khi đó 1 + tan2 α = ⇒ cos2 α = = 2 cos α 1 + tan2 α 1 9 3 = ⇒ cos α = − . 16 25 5 1+ 9 Å ã 4 4 3 11 Suy ra sin α = cosα · tan α = nên A = 2 sin α − cos α = 2 · − − = . 5 5 5 5 TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú... 115 Ví dụ 7 #» #» #» #» Trong mặt √phẳng Oxy, nếu a = (−1; 1), b = (2; 0) thì cosin của góc giữa a và b là 2 1 1 1 . . C √ . A − B − √ . D 2 2 2 2 2 Lời giải Ta có | #» a| = » √ (−1)2 + 12 = 2 Do đó #»ä cos #» a; b = Ä #» a· | #» a| · ; » #» b = (2)2 + 02 = 2. √ #» b (−1) · 2 + 1 · 0 2 √ =− . #» = 2 2· 2 b Ví dụ 8 Biết cot α = −a, a > 0. Tính cos α. a A cos α = √ . 1 + a2 1 C cos α = − √ . 1 + a2 B D 1 cos α = √ . 1 + a2 a cos α = − √ . 1 + a2 Lời giải Ta có tan α = − 1 a a2 1 1 = = ã Å tan2 α + 1 1 + a2 1 2 +1 − a Do sin α ≥ 0 với mọi α ∈ [0◦ ; 180◦ ] nên từ cot α = −a, a > 0 ta suy ra cos α < 0. a Vậy cos α = − √ . 1 + a2 Ta có cos2 α = Ví dụ 9 Cho tan x = −1. Tính giá trị của biểu thức P = A −1. B 1. sin x + 2 cos x . cos x + 2 sin x C 2. D Lời giải sin x +2 sin x + 2 cos x tan x + 2 −1 + 2 Ta có P = = = cos x = = −1. sin x cos x + 2 sin x 1 + 2 tan x 1 + 2 · (−1) 1+2 cos x Ví dụ 10 8 và 0 < α < 90◦ ta có 17 8 tan α = − . 15 Với sin α = A B cos α = GV: LÊ QUANG XE 15 . 17 −2. 116 Bài 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ C tan α = 15 . 8 D cos α = − 15 . 17 Lời giải Do 0 < α < 90◦ nên cos α > 0 ⇒ tan α > 0. Å ã2 p 8 15 2 = . Ta có: cos α = 1 − sin α = 1 − 17 17 Dạng 1.3. Chứng minh, rút gọn các biểu thức lượng giác Ví dụ 1 Cho tam giác ABC. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? √ √ A sin A = ± 1 + cos2 A. B sin A = 1 − cos2 A. √ √ C sin A = − 1 − cos2 A. D sin A = ± 1 − cos2 A. GV: LÊ QUANG XE Lời giải Do 0 < A < π ⇒ sin A > 0. √ Ta có sin2 A + cos2 A = 1 ⇔ sin2 A = 1 − cos2 A ⇒ sin A = 1 − cos2 A. Ví dụ 2 Cho 0◦ < α < 90◦ . Khẳng định nào sau đây đúng? A cot (90◦ + α) = tan α. B cos (90◦ + α) = − sin α. C sin (90◦ + α) = − cos α. D tan (90◦ + α) = cot α. Lời giải Khẳng định đúng là cos (90◦ + α) = − sin α. Ví dụ 3 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A cos α = − cos (180◦ − α). C tan α = tan (180◦ − α). B D cot α = cot (180◦ − α). sin α = − sin (180◦ − α). Lời giải Với hai góc bù nhau ta có cos α = − cos (180◦ − α). Ví dụ 4 √ Biết sin α = sin α . 1 + cos α 2017 + 1 , 90◦ < α < 180◦ . Tính giá trị của biểu thức M = cot α + 2018 TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú... A C 117 √ 2017 + 1 M =− . 2018 2018 M = −√ . 2017 + 1 √ B D 2017 + 1 . 2018 2018 M=√ . 2017 + 1 M= Lời giải M = cot α + sin α cos α sin α 1 + cos α 1 2018 = + = = =√ . 1 + cos α sin α 1 + cos α sin α (1 + cos α) sin α 2017 + 1 Ví dụ 5 Cho tam giác ABC. Đẳng thức nào sai? A C sin(A + B − 2C) = sin 3C. A + B + 2C C cos = sin . 2 2 B D A B+C = sin . 2 2 sin(A + B) = sin C. cos Lời giải ã Å ã A + B + 2C A+B+C +C π C C Do cos = cos = cos + = − sin . 2 2 2 2 2 Å Ví dụ 6 Cho tan α + cot α = m. Giá trị biểu thức cot3 α + tan3 α bằng 1 4π A 3m3 − m. B . C . 4 3 D m3 − 3m. Lời giải 3 Ta có m3 = (tan α + cot α) = cot3 α + tan3 α + 3 tan α · cot α (tan α + cot α) = cot3 α + tan3 α + 3m. Vậy cot3 α + tan3 α = m3 − 3m. Ví dụ 7 Cho 0◦ < x < 90◦ . Khi đó biểu thức P = A C sin2 x + cos2 x. 2 sin2 x. 2 1 − cot x + bằng 1 + tan x 1 + cot x B 2 cos2 x. 2 D sin x − cos2 x. Lời giải cos x sin x − cos x 1− 2 2 cos x sin x sin x + cos x = sin x + cos x + sin x + cos x sin x 1+ 1+ sin x cos x sin x 2 cos x sin x − cos x = + = 1 = sin2 x + cos2 x. sin x + cos x sin x + cos x 2 1 − cot x P = + = 1 + tan x 1 + cot x GV: LÊ QUANG XE 118 Bài 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ Dạng 1.4. Xác định góc giữa hai véc-tơ, góc giữa hai đường thẳng Ví dụ 1 #» #» Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho #» a (2; 1) và b (3; −6). Góc giữa hai véc-tơ #» a và b bằng C 180◦ . A 0◦ . B 90◦ . D 60◦ . Lời giải #» #» Ta có a · b = 6 − 6 = 0. #» Suy ra góc giữa hai véc-tơ #» a và b bằng 90◦ . Ví dụ 2 #» Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai véc-tơ #» a = (5; 1) và b = (2; 3). Tìm góc giữa #» a #» và b . C 30◦ . A 135◦ . B 60◦ . D 45◦ . GV: LÊ QUANG XE Ä #»ä #» b = Ta có cos a; #» a· | #» a| · Lời giải #» Ä #»ä 1 b 13 #» √ √ √ = ⇒ a ; b = 45◦ . = #» 26 · 13 2 b Ví dụ 3 Tìm cô-sin của góc giữa hai đường thẳng ∆1 : 2x + 3y − 10 = 0 và ∆2 : 2x − 3y + 4 = 0. √ 5 6 5 A . B . C √ . D 13. 13 13 13 Lời giải Đường thẳng ∆1 có một véc-tơ pháp tuyến là #» n 1 = (2; 3), ∆2 có một véc-tơ pháp tuyến là #» n 2 = (2; −3). |2 · 2 + 3 · (−3)| 5 p Vậy cos (∆1 , ∆2 ) = |cos ( #» n 1 , #» n 2 )| = √ = . 13 22 + 32 · 22 + (−3)2 Ví dụ 4 Ä # » # »ä Ä # » # »ä b = 60◦ . Tính tổng AB, Cho tam giác ABC với A BC + BC, CA . ◦ ◦ C 270◦ . A 120 . B 360 . Lời giải A B C D TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 E D 240◦ . Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú... 119 # » # » # » # » Vẽ cácÄvéc-tơ BD = AB, CE = BC. # » # »ä Ä # » # »ä Ä # » # »ä Ä # » # »ä ’ ’ Ta có AB, BC + BC, CA = BD, BC + CE, CA = CBD + ACE Ä ä Ä ä ’ +180◦ − ACB ’ = 360◦ − ABC ’ + ACB ’ = 360◦ − 180◦ − A b = 360◦ −120◦ = = 180◦ − ABC 240◦ . Ví dụ 5 Ä # » # »ä “ = 30◦ . Tính giá trị của sin AB, AC + Cho tam giác ABC vuông ở A và góc B Ä # » # »ä cos BC, BA . √ √ √ √ 1+3 3 2+ 5 3 2 2+ 3 A . B . C . D . 2 4 5 2 Lời giải Ä # » # »ä Ä # » # »ä sin AB, AC + cos BC, BA = sin 90◦ + cos 30◦ = 1 + √ √ 3 2+ 3 = . 2 2 Ví dụ 6 #» Cho hai véc-tơ #» a = (4; 3), b (−1; −7). Tính góc giữa hai véc-tơ đó A 135◦ . B 45◦ . C 30◦ . D 60◦ . Lời giải #» #» Ä #»ä Ä #»ä 1 −25 a· b #» √ √ Có cos #» a, b = = − ⇒ a , b = 135◦ . = #» #» 5 · 5 2 2 |a| · b Ví dụ 7 Ä # » # »ä Ä # » # »ä Ä # » # »ä Cho tam giác đều ABC. Tính cos AB, AC + cos BA, BC + cos CB, CA . √ √ 3 3 3 3 3 A B C − D − . . . . 2 2 2 2 Lời giải A 60◦ B C Ä # » # »ä Ä # » # »ä Ä # » # »ä 3 Ta có cos AB, AC + cos BA, BC + cos CB, CA = 3 cos 60◦ = . 2 Ví dụ 8 Ä # » # »ä Ä # » # »ä Ä # » # »ä Cho tam giác đều ABC. Tính cos AB, AC + cos BA, BC + cos CB, CA . GV: LÊ QUANG XE 120 Bài 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ A 3 . 2 B √ 3 3 . 2 √ C − 3 . 2 D 3 − . 2 D 120◦ . Lời giải A 60◦ B C Ä # » # »ä Ä # » # »ä Ä # » # »ä 3 Ta có cos AB, AC + cos BA, BC + cos CB, CA = 3 cos 60◦ = . 2 GV: LÊ QUANG XE Ví dụ 9 Ä #»ä 1 #» #» #» #» a | · b (với #» Tính #» a , b , biết #» a · b = − · | #» a , b 6= 0 ). 2 A 135◦ . B 60◦ . C 150◦ . Lời giải Ta có #» 1 #» #» a · b = | #» a| · b 2 #» #» 1 a· b =− ⇒ #» 2 | #» a| · b Ä #»ä 1 ⇒ cos #» a, b = − 2 Ä #»ä ◦ #» ⇒ a , b = 120 . Ví dụ 10 Ä # » # »ä Cho tam giác ABC đều. Giá trị sin BC, AC là √ 1 1 3 A . B − . C − . 2 2 2 √ 3 . 2 D Lời giải # » # » Dựng BD Ä # =» AC. # »ä Ä # » # »ä ’ Khi đó, BC, AC = BC, BD = CBD = 60◦ . √ Ä # » # »ä 3 Vậy sin BC, AC = sin 60◦ = . 2 C 60◦ A TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 D B Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú... 121 1.2. Bài tập tự luyện 1.2.1. Nhận biết Câu 1. Cho góc x thoả mãn 90◦ < x < 180◦ . Đặt P = sin x cos x. Chọn khẳng định đúng. A P = 0. B P > 0. C P < 0. D P > 1. Hûúáng dêîn: Ta có với 90◦ < x < 180◦ thì sin x > 0, cos x < 0 nên P = sin x cos x < 0. Chọn đáp án C Câu 2. Cho α là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? C tan α < 0. cos α > 0. ® sin α > 0 ⇒ tan α < 0. Hûúáng dêîn: Vì α là góc tù suy ra cos α < 0 A sin α < 0. B D cot α > 0. Chọn đáp án C Câu 3. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây A C tan 45◦ < tan 60◦ . sin 60◦ < sin 80◦ . B D cos 45◦ 6 sin 45◦ . cos 35◦ > cos 10◦ . Hûúáng dêîn: Khi α ∈ (0◦ ; 90◦ ) hàm cos α là hàm giảm nên cos 35◦ < cos 10◦ suy ra “cos 35◦ > cos 10◦ ” sai. Chọn đáp án D Câu 4. Trong các hệ thức sau đây, hệ thức nào là hệ thức đúng? A C sin2 x + cos2 x = 1. sin 2x + cos 2x = 1. B D sin x2 + cos x2 = 1. sin2 x + cos x2 = 1. Hûúáng dêîn: Theo lý thuyết ta có hệ thức đúng là sin2 x + cos2 x = 1. Chọn đáp án A Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + 2y = 0 và d2 : 2x + y = 0. Khi đó giá trị cos góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là 4 2 A . B √ . C 1. 5 5 1 √ . 3 #» Hûúáng dêîn: Đường thẳng d1 và d2 có véc-tơ pháp tuyến lần lượt là n 1 = (1; 2); #» n 2 = (2; 1). #» #» | n 1 · n 2| |1 · 2 + 2 · 1| 4 √ Ta có cos(d1 ; d2 ) = |cos ( #» n 1 ; #» n 2 )| = #» =√ = . #» | n 1| · | n 2| 5 12 + 22 · 22 + 12 D Chọn đáp án A #» #» #» #» Câu 6. Cho hai véc-tơ #» a và b khác 0 và thoả mãn #» a · b = − | #» a | · b . Khi đó góc giữa hai #» véc-tơ #» a và b là A 45◦ . B 0◦ . C 180◦ . GV: LÊ QUANG XE D 90◦ . 122 Bài 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ Ä #»ä #» #» a , b , nên theo giả thiết ta có Hûúáng dêîn: Ta có #» a · b = | #» a | · b cos #» Ä #»ä #» #» | #» a | · b cos #» a , b = − | #» a| · b Ä #»ä ⇔ cos #» a , b = −1 Ä #»ä ⇔ #» a , b = 180◦ . Chọn đáp án C 1.2.2. Thông hiểu π . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 2 sin a > 0, cos a > 0. B sin a > 0, cos a < 0. sin a < 0, cos a > 0. D sin a < 0, cos a < 0. Câu 7. Cho 0 < a < A C Hûúáng dêîn: Chọn đáp án A GV: LÊ QUANG XE Câu 8. Cho góc 0◦ ≤ α ≤ 180◦ . Tìm điều kiện của góc α để các giá trị lượng giác sin α và tan α trái dấu. A C 0◦ < α < 90◦ . 90◦ < α ≤ 180◦ . B D 90◦ ≤ α ≤ 180◦ . 90◦ < α < 180◦ . Hûúáng dêîn: Vẽ đường tròn lượng giác với 0◦ ≤ α ≤ 180◦ . sin B M tan cos A0 O A B0 M0 Khi đó sin α ≥ 0 ⇒ tan α < 0 ⇒ 90◦ < α < 180◦ . Chọn đáp án D −4 và góc x thỏa mãn 90◦ < x < 180◦ . Khi đó 5 4 3 4 C tan x = . A cot x = . B sin x = . 3 5 5 √ 3 Hûúáng dêîn: Có sin2 x + cos2 x = 1 ⇔ sin x = 1 − cos2 x ⇔ sin x = ± . 5 3 ◦ ◦ Vì 90 < x < 180 nên sin x = . 5 Chọn đáp án B 4 Câu 10. Cho biết sin α = (90◦ < α < 180◦ ). Khi đó giá trị cos α bằng 5 Câu 9. Cho cos x = TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 D sin x = −3 . 5 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú... 1 3 1 . C − . D − . 5 5 5 ◦ ◦ Hûúáng dêîn: Vì 90 < α < 180 nên cos α < 0. 16 9 3 Ta có cos2 α = 1 − sin2 α = 1 − = ⇒ cos α = − . 25 25 5 Chọn đáp án C 2 Câu 11. Biết sin α = (90◦ < α < 180◦ ). Hỏi giá trị tan α là bao nhiêu? 3 √ √ 2 5 2 5 A 2. B −2. C − . D . 5 5 √ … p 4 5 2 ◦ ◦ Hûúáng dêîn: Vì 90 < α < 180 ⇒ cos α < 0 ⇒ cos α = − 1 − sin α = − 1 − = − . 9 3 √ sin α 2 5 Vậy tan α = =− . cos α 5 Chọn đáp án C A 3 . 5 123 B Câu 12. Câu 43Cho tam giác ABC có sin A · cos A < 0. Khẳng định nào sau đây là sai? A C Tam giác ABC là tam giác tù. BC − AC < 0. B D Góc A là góc lớn nhất. b>B “ + C. b A b < 180◦ ⇒ A b là góc tù ⇒ A b là Hûúáng dêîn: Ta có sin A · cos A < 0 ⇒ cos A < 0 ⇒ 90◦ < A góc lớn nhất. Mà trong tam giác “cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn”nên suy ra BC − AC > 0. Chọn đáp án C Câu 13. Cho tan x = −1. Tính giá trị của biểu thức P = A −1. B 1. C sin x + 2 cos x . cos x + 2 sin x 2. D −2. sin x +2 sin x + 2 cos x tan x + 2 −1 + 2 Hûúáng dêîn: P = = cos x = = = −1. sin x cos x + 2 sin x 1 + 2 tan x 1−2 1+2 cos x Chọn đáp án A 2 sin α − cos α Câu 14. Cho α là góc thỏa mãn tan α = 2. Tính giá trị biểu thức P = . sin α + 2 cos α 1 3 1 C P = . A P = . B P = 0. D P = . 2 4 4 2 tan α − 1 3 Hûúáng dêîn: Ta có cos α 6= 0 nên suy ra P = = . tan α + 2 4 Chọn đáp án D 4 sin α + cos α Câu 15. Cho sin α = , với 90◦ ≤ α ≤ 180◦ . Tính giá trị của M = . 5 cos3 α 25 35 25 175 A M =− . B M = . C M = . D M = . 27 27 27 27 3 Hûúáng dêîn: Ta có sin2 α + cos2 α = 1 ⇒ cos α = ± . 5 GV: LÊ QUANG XE 124 Bài 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ GV: LÊ QUANG XE 25 3 Vì 90◦ ≤ α ≤ 180◦ , nên cos α = − . Thay vào biểu thức ta có M = − . 5 27 Chọn đáp án A 3 π Câu 16. Cho góc α thỏa mãn < α < π và tan α = − . Tính cos α. 2 4 4 3 A cos α = . B cos α = − . 5 5 4 3 C cos α = − . D cos α = . 5 5 1 9 25 16 Hûúáng dêîn: Ta có = 1 + tan2 α = 1 + = ⇒ cos2 α = . 2 cos α 16 16 25 π 4 Do < α < π nên cos α < 0, suy ra cos α = − . 2 5 Chọn đáp án C 1 Câu 17. Biết sin α = (90◦ < α < 180◦ ). Hỏi giá trị của cot α bằng bao nhiêu? 4 √ √ √ √ 15 15 15. A − . B − 15. C D . 15 15 1 1 − 1 = Å ã2 − 1 = 15. Hûúáng dêîn: Ta có cot2 α = 2 sin α 1 4 √ ◦ ◦ Do 90 < α < 180 nên cot α = − 15. Chọn đáp án B Câu 18. Biểu thức A cos 2α. 1 + sin 4α − cos 4α có kết quả rút gọn bằng 1 + sin 4α + cos 4α C tan 2α. B cot 2α. D sin 2α. Hûúáng dêîn: Có sin2 2α + cos2 2α + 2 sin 2α cos 2α − cos2 2α + sin2 2α 1 + sin 4α − cos 4α = 1 + sin 4α + cos 4α sin2 2α + cos2 2α + 2 sin 2α cos 2α + cos2 2α − sin2 2α 2 sin 2α(sin 2α + cos 2α) 2 sin 2α = = = tan 2α. 2 cos 2α(sin 2α + cos 2α) 2 cos 2α Chọn đáp án C Câu 19. Các cặp đẳng thức nào sau đây đồng thời xảy ra? A C 1 1 và cos α = − . 2 2√ 1 3 sin α = và cos α = − . 2 2 sin α = √ B sin α = 3 và cos α = 0. D sin α = 1 và cos α = 1. Hûúáng dêîn: 1 1 và cos α = − , ta có 2 Å ã2 Å 2 ã2 1 1 1 1 1 sin2 α + cos2 α = + − = 6= 1, nên cặp đẳng thức sin α = và cos α = − 2 2 2 2 2 không đồng thời xảy ra. Với sin α = Với sin α = √ 3 và cos α = 0, ta có TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú... sin2 α + cos2 α = 125 Ä√ ä2 √ 3 + (0)2 = 3 6= 1, nên cặp đẳng thức sin α = 3 và cos α = 0 không đồng thời xảy ra. √ 1 3 , ta có Với sin α = và cos α = − 2 2 Ç å2 √ √ Å ã2 1 3 3 1 sin2 α + cos2 α = + − = 1, nên cặp đẳng thức sin α = và cos α = − 2 2 2 2 đồng thời xảy ra. Với sin α = 1 và cos α = 1, ta có sin2 α + cos2 α = (1)2 + (1)2 = 2 6= 1, nên cặp đẳng thức sin α = 1 và cos α = 1 không đồng thời xảy ra. Chọn đáp án C Câu 20. Cho α và β là hai góc khác nhau và bù nhau. Mệnh đề nào sau đây sai? A C cot α = cot β. tan α = − tan β. B D sin α = sin β. cos α = − cos β. Hûúáng dêîn: Cho α và β là hai góc khác nhau và bù nhau thì cot α = − cot β. Chọn đáp án A Câu 21. Giá trị của biểu thức 3 sin2 35◦ +3 sin2 55◦ −2 cos2 65◦ −2 sin2 115◦ +5 tan 20◦ ·tan 70◦ là A 2. B 6. C 1 . 2 D 1 . 4 Hûúáng dêîn: 3 sin2 35◦ + 3 sin2 55◦ − 2 cos2 65◦ − 2 sin2 115◦ + 5 tan 20◦ · tan 70◦ = 3 sin2 35◦ + 3 cos2 35◦ − 2 cos2 65◦ − 2 sin2 65◦ + 5 tan 20◦ · cot 20◦   = 3 sin2 35◦ + cos2 35◦ − 2 cos2 65◦ + sin2 65◦ + 5 tan 20◦ · cot 20◦ = 3 − 2 + 5 = 6. Chọn đáp án B Ä #»ä 1 #» #» #» #» a , b , biết #» a · b = − | #» Câu 22. Cho hai vec-tơ #» a và b khác 0 . Tính #» a| · b . 2 60 . C 150 . D 120◦ . Ä #»ä #» #» Hûúáng dêîn: Ta có #» a · b = | #» a | · b · cos #» a, b . Ä #»ä Ä #»ä 1 1 #» #» Mà #» a · b = − | #» a | · b ⇒ cos #» a , b = − ⇒ #» a , b = 120◦ . 2 2 Chọn đáp án D #» #» Câu 23. Cho góc giữa hai véc-tơ #» a và b bằng 60◦ . Hỏi góc giữa hai véc-tơ 2 #» a và −3 b bằng A ◦ 135 . B 120◦ . B ◦ ◦ 60◦ . C 90◦ . D 30◦ . #» #» #» Hûúáng dêîn: (2 #» a , −3 b ) = ( #» a , − b ) = 180◦ − ( #» a , b ) = 180◦ − 60◦ = 120◦ . A GV: LÊ QUANG XE 126 Bài 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ Chọn đáp án A Ä # » # »ä Ä # » # »ä Ä # » # »ä Câu 24. Cho tam giác đều ABC. Tính P = cos AB, BC +cos BC, CA +cos CA, AB . A C √ 3 3 P = . 2 3 P =− . 2 B D 3 P = . 2 √ 3 3 P =− . 2 Hûúáng dêîn: Dựa hình vẽ bên, ta có: Ä # vài » # »ä Ä # »0 # »ä ÷ • AB, BC = BB , BC = B 0 BC = 120◦ . Ä # » # »ä Ä # » # »ä 0 CA = 120◦ . • BC, CA = CC 0 , CA = C’ Ä # » # »ä Ä # » # »ä 0 AB = 120◦ . ’ • CA, AB = AA0 , AB = A 3 Suy ra P = 3 · cos 120◦ = − . 2 B0 B A0 C A GV: LÊ QUANG XE C0 Chọn đáp án C # » # » Câu 25. Cho 4ABC đều cạnh a. Góc giữa hai véc-tơ AB và BC là A 120◦ . B 60◦ . C # » 45◦ . D 135◦ . # » # » Hûúáng dêîn: Ta có góc giữa hai véc-tơ BA và BC bằng 60◦ suy ra góc giữa hai véc-tơ AB # » và BC bằng 120◦ . Chọn đáp án A Ä # » # »ä Ä # » # »ä Câu 26. Cho tam giác ABC vuông ở A. Tìm tổng AB, BC + BC, CA . A 180◦ . B 360◦ . C 270◦ . D 240◦ . “+ C b = 90◦ . Hûúáng dêîn: Vì tam giác ABC vuông ở A nên B Ä # » # »ä Ä # » # »ä “ + 180◦ − C b Ta có: AB, BC + BC, CA = 180◦ − B Ä ä “+ C b = 360◦ − 90◦ = 270◦ . = 360◦ − B Chọn đáp án C 1.2.3. Vận dụng thấp Câu 27. Cho tam giác ABC có ba cạnh BC = a, AC = b, AB = c. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A C a2 = b2 + c2 + 2bc · sin A. a2 = b2 + c2 − 2bc · sin A. B D a2 = b2 + c2 + 2bc · cos A. a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A. Hûúáng dêîn: FB tác giả: Thubon Bui Áp dụng định lý cô-sin vào tam giác ABC ta có: a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A. TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú... 127 Chọn đáp án D √ sin α − cos α 2. Tính B = . 3 sin α + 3 cos3 α + 2 sin α Ä√ ä √ 3 2−1 3 2−1 √ . A B = B B = √ . 3√+ 8 2 8√2 + 3 3( 2 − 1) 3 2+1 √ C B = . . D B = √ 8 2+1 8 2−1 1 1 tan α · − 2 sin α − cos α cos α cos2 α Hûúáng dêîn: B = = 3 1 sin α + 3 cos3 α + 2 sin α tan3 α + 3 + 2 tan α · cos2 α 2 2 tan α (1 + tan α) − (1 + tan α) = 2 tan3 α + 3 + 2 tan α (1 + tanÄ α) ä √ 2 3 2−1 (1 + tan α) (tan α − 1) = √ = . 3 tan3 α + 2 tan α + 3 8 2+3 Câu 28. Cho tan α = Chọn đáp án A Ä # » # »ä Câu 29. Cho tam giác ABC đều. Giá trị sin BC, AC là A 1 . 2 B 1 − . 2 C √ 3 − . 2 √ D 3 . 2 Hûúáng dêîn: # » # » Dựng BD Ä # =» AC. # »ä Ä # » # »ä ’ Khi đó, BC, AC = BC, BD = CBD = 60◦ . √ Ä # » # »ä 3 Vậy sin BC, AC = sin 60◦ = . 2 C D 60◦ A B Chọn đáp án D #» Câu 30. Trong mặt phẳng Oxy, cho #» a = (3; 2), b = (5; −1). Khi đó góc giữa hai véc-tơ #» a #» và b bằng 60◦ . C 45◦ . D 30◦ . Ä #»ä 3·5−2·1 13 1 p a, b = √ = √ =√ . Hûúáng dêîn: Ta có: cos #» 13 2 2 32 + 22 · 52 + (−1)2 #» #» ◦ Vậy góc giữa hai véc-tơ a và b bằng 45 . A 90◦ . B Chọn đáp án C GV: LÊ QUANG XE 128 Bài 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ 1.2.4. Toán thực tế Câu 31. C Từ một đỉnh tháp chiều cao CD = 80m, người ta nhìn hai điểm A, B trên mặt đất dưới các góc nhìn là 72◦ 120 và 34◦ 260 so với phương ngang. Ba điểm A, B, D thẳng hàng. Tính khoảng cách AB. A 71 m. B 91 m. C 79 m. D 40 m. ◦ 0 34 26 ◦ 0 72 12 B A D ’ = 90◦ − 72◦ 120 = 17◦ 480 , BCD ’ = 90◦ − 34◦ 260 = 55◦ 340 . Hûúáng dêîn: Theo đề ta có ACD Ta có Ä ä ’ − CD · tan ACD ’ = CD tan BCD ’ − tan ACD ’ ≈ 91 m. AB = BD − AD = CD · tan BCD GV: LÊ QUANG XE Chọn đáp án B ĐÁP ÁN BÀI 1 1.C 2.C 3.D 4.A 5.A 6.C 7.A 8.D 9.B 10.C 11.C 12.C 13.A 14.D 15.A 16.C 17.B 18.C 19.C 20.A 21.B 22.D 23.A 24.C 25.A 26.C 27.D 28.A 29.D 30.C 31.B TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú... 129 BÀI 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ 2.1. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 2.1.1. Định nghĩa tích vô hướng hai véc - tơ #» #» Định nghĩa 2.2.1. Cho hai véc-tơ #» a và b đều khác véc-tơ 0 . Tích vô hướng của #» a và #» #» #» b là một số, kí hiệu là a · b , được xác định bởi công thức sau: Ä #»ä #» #» #» a · b = | #» a | · b cos #» a, b #» #» Trường hợp ít nhất một trong hai véc-tơ #» a và b bằng véc-tơ ta quy ước #» a · b = 0. #» #» #» #» • Với #» a và b khác véc-tơ 0 ta có #» a · b = 0 ⇔ #» a ⊥ b. #» #» • Khi #» a = b tích vô hướng #» a · #» a được kí hiệu là a2 và số này được gọi là bình phương vô hướng của véc-tơ #» a . Ta có: #» a 2 = | #» a | · | #» a | · cos 0◦ = | #» a |2 2.1.2. Các tính chất của tích vô hướng: #» Tính chất 2.2.1. Với ba véc-tơ #» a , b , #» c bất kì và mọi số k ta có: #» #» a #» a · b = b · #» a (tính chất giao hoán); Ä #» ä #» b #» a b + #» c = #» a · b + #» a · #» c (tính chất phân phối); #» #» #» c (k #» a ) · b = k( #» a · b ) = #» a · (k b ); d #» a 2 ≥ 0, #» a 2 = 0 ⇔ #» a = 0. Hệ quả 2.2.1. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai véc-tơ ta suy ra Ä #»ä2 #» #» #» a a + b = #» a 2 + 2 #» a · b + b 2; Ä #»ä2 #» #» #» a − b = #» b a 2 − 2 #» a · b + b 2; Ä #»ä Ä #» #»ä #»2 #»2 #» c a+ b a− b = a − b . 2.1.3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: #» #» Định nghĩa 2.2.2. Trên mặt phẳng tọa độ (O; i ; j ), cho hai véc-tơ #» a = (a1 ; a2 ), #» #» #» b = (b1 ; b2 ). Khi đó tích vô hướng a · b là: #» #» a · b = a1 b1 + a2 b2 #» #» Chú ý. Hai véc-tơ #» a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ) đều khác véc-tơ 0 vuông góc với nhau khi và chỉ khi a1 b 1 + a2 b 2 = 0 2.1.4. Ứng dụng: GV: LÊ QUANG XE 130 Bài 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ Định nghĩa 2.2.3. a Độ dài của véc-tơ Độ dài của véc-tơ #» a = (a1 ; a2 ) được tính theo công thức: » | #» a | = a2 + a2 1 2 b Góc giữa hai véc-tơ Từ định nghĩa tích vô hướng của hai véc-tơ ta suy ra nếu #» a = (a1 ; a2 ) và #» #» b = (b1 ; b2 ) đều khác 0 thì ta có #» #» Ä #»ä a1 b 1 + a2 b 2 ab #» p =p 2 cos a , b = #» a1 + a22 · b21 + b22 | #» a| · b c Khoảng cách giữa hai điểm Khoảng cách giữa hai điểm A(xA ; yA ) và B(xB ; yB ) được tính theo công thức: » AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 2.2. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN GV: LÊ QUANG XE Dạng 2.1. Tính tích vô hướng của hai véc-tơ và xác định góc Ví dụ 1 # » # » Cho tam giác ABC đều cạnh 1. Tính tích vô hướng AB · AC. 1 1 3 C − . . . A B 2 2 6 D 3 − . 8 Lời giải Ä ä 1 # » # » # » # » # » # » AB · AC = AB · AC cos AB, AC = 1 · 1 · cos 60◦ = . 2 Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có A (1; −1), B (3; −3), C (6; 0). Diện tích tam giác ABC là √ A 6. B 6 2. C 12. D 9. Lời giải # » # » # » # » Ta có AB = (2; −2), BC = (3; 3). Do AB · BC = 0 nên 4ABC vuông tại B. √ 1 # » # » 1 √ SABC = · AB · BC = · 2 2 · 3 2 = 6. 2 2 Ví dụ 3 Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 2. Hỏi mệnh đề Änào sau đâyä sai? # » # » # » # » # » A BC · CA = −2. B BC − AC · BA = 4. Ä # » # »ä # » Ä # » # »ä # » # » C AB + BC · AC = −4. D AB · AC · BC = 2BC. Lời giải TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú... Ä # » # »ä # » # » BC · CA = BC · CA · cos BC, CA = 2 · 2 · cos 120◦ = −2. Ä # » # »ä # » Ä # » # »ä # » # » # » BC − AC · BA = BC + CA · BA = BA· BA = BA2 = 4. Ä # » # »ä # » # » # » AB + BC · AC = AC · AC = AC 2 = 4. Ä # » # »ä # » # » # » AB · AC · BC = AB · AC · cos 60◦ · BC = 2BC. 131 A B C Ví dụ 4 Ä #»ä #» Cho hai véc-tơ #» a = (1; 2), b = (−2; 1). Tính giá trị của cos #» a, b . Ä #»ä Ä #»ä 4 #» #» A cos a , b = −1. B cos a , b = − . 5 Ä #»ä 3 Ä #»ä #» #» C cos a , b = . D cos a , b = 0. 5 Lời giải #»ä Ta có cos #» a, b = Ä #» a· | #» a| · #» b −2 + 2 #» = √5 · √5 = 0. b Ví dụ 5 √ Cho tam giác vuông tại A có AB = a, AC = a 3 và AM là đường trung tuyến. Tính # » # » tích vô hướng BM · AM có giá trị bằng a2 a2 . A B a2 . C −a2 . D − . 2 2 Lời giải # » # » Dựng M N = AM . q Ä√ ä2 1 1 Tam giác vuông tại A có AM là trung tuyến ⇒ AM = BC = BM = a2 + 3a = a. 2 2 Å ã Å ã # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » ⁄ ⁄ BM · AM = BM · AM cos BM · AM = M C · M N cos M C · M N . ÷ 4BAM có AB = AM = M C = aÅ⇒ 4ABM ãđều ⇒ N M C = 60◦ . a2 # » # » # » # » # » # » ⁄ ⇒ BM · AM = M C · M N cos M C · M N = a · a · cos 60◦ = . 2 Ví dụ 6 # » # » Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB · BC. √ a2 a2 3 2 A a . B . C . 2 2 D a2 − . 2 Lời giải 2 # » # » # » # » ’ = −a · a · cos 60◦ = − a . Ta có AB · BC = −BA · BC = −BA · BC · cos ABC 2 GV: LÊ QUANG XE 132 Bài 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ Ví dụ 7 # » # » Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 4. Khi đó AB · AC ta được C −6. A 8. B −8. D 6. Lời giải # » # » Ta có AB · AC = AB · AC · cos A = 4 · 4 · cos 60◦ = 8. Ví dụ 8 #» #» #» #» Cho các véc-tơ #» a , b , #» c thỏa mãn | #» a | = x, b = y, | #» c | = z và #» a + b + 3 #» c = 0 . Tính #» #» A = #» a · b + b · #» c + #» c · #» a. 2 2 3x − z + y 2 3z 2 − x2 − y 2 A A= . B A= . 22 22 2 2 2 2 3y − x − z 3z + x + y C A= . D A= . 2 2 Lời giải Ta có GV: LÊ QUANG XE #» #» #» #» a + b + 3 #» c = 0 ⇒ #» a + b + #» c = −2 #» c Ä ä2 #» ⇒ #» a + b + #» c = (−2 #» c )2 Ä ä #» #» #» ⇒ #» a 2 + b 2 + #» c 2 + 2 #» a · b + b · #» c + #» c · #» a = 4 #» c2 Ä ä #» #» ⇒ x2 + y 2 + 2 #» a · b + b · #» c + #» c · #» a = 3z 2 3z 2 − x2 − y 2 #» #» . ⇒ #» a · b + b · #» c + #» c · #» a = 2 Ví dụ 9 Cho hai véc-tơ #» #» a · b = − | #» a| · A α = 90◦ . #» #» #» #» a và b khác 0 . Xác định góc α giữa hai véc-tơ #» a và b biết rằng #» b B α = 0◦ . C α = 45◦ . Lời giải Ta có #» #» #» a · b = − | #» a| · b Ä #»ä #» #» ⇔ | #» a | b cos #» a ; b = − | #» a| · b Ä #»ä ⇔ cos #» a ; b = −1 Ä #»ä ⇔ #» a ; b = 180◦ . Ví dụ 10 Cho hình bình hành ABCD có AB = # » # » # » # » a Tính AB · AD, BA · BC. √ ’ = 30◦ . 3, AD = 1 và BAD TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 D α = 180◦ . Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú... 133 b Tính độ dài hai đường chéo AC và BD. Ä # » # »ä c Tính cos AC, BD . Lời giải √ D 1 3 C O A B # » # » # » # » a Tính AB · AD, BA · BC. √ # » # » # » # » AB · AD = AB · AD · cos 30◦ = 3 · 1 · √ 3 3 = . 2 √2 å Ç √ 3 3 # » # » # » # » BA · BC = BA · BC · cos 150◦ = 3 · 1 · − =− . 2 2 b Tính độ dài hai đường chéo AC và BD. Theo định lí Cô-sin, ta có AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 · AB · BC · cos B = √ ⇒ AC = 7. BD2 = AB 2 + AD2 − 2 · AB · AD · cos A = ⇒ BD = 1. Ä # » # »ä c Tính cos AC, BD . Ä√ ä2 √ 3 + 12 − 2 · 3 · 1 · cos 150◦ = 7. Ä√ ä2 √ 3 + 12 − 2 · 3 · 1 · cos 30◦ = 1. Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có Ç √ å2 Å ã2 Ä√ ä2 1 7 + 3 − Ä # » # »ä Ä # » # »ä OC 2 + OD2 − DC 2 2 2 2 √ cos AC, BD = cos OC, OD = = = −√ . 2 · OC · OD 7 1 7 · 2· 2 2 Dạng 2.2. Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng hoặc độ dài Ví dụ 1 Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hai điểm M (1; 1), # » MN. √ # » A M N = 13. B √ # » C M N = 29. D √ # » # » Ta có M N = (3; −2) ⇒ M N = 13. N (4; −1). Tính độ dài của véc-tơ # » M N = 5. # » M N = 3. Lời giải GV: LÊ QUANG XE 134 Bài 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ Ví dụ 2 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 4), B(3; 2), C(5; 4). Tính chu vi P của tam giác đã cho. √ √ A P = 4 + 4 2. B P = 8 + 8 2. √ √ C P = 2 + 2 2. D P = 4 + 2 2. Lời giải √ # » AB = (2; −2) ⇒ AB = 2 2. # » AC = (4; 0) ⇒ AC = 4. √ # » BC = (2; 2) ⇒ BC = 2 2. √ Vậy chu vi tam giác là P = AB + AC + BC = 4 + 4 2. Ví dụ 3 GV: LÊ QUANG XE # » # » Đoạn thẳng AB có độ dài 2a, I là trung điểm AB. Khi M A · M B = 3a2 . Độ dài M I là √ √ C a 3. A 2a. B a. D a 7. Lời giải # » # » Ä # » # »ä Ä # » # » ä # » Ä # » # »ä # » # » Ta có M A · M B = M I + IA M I + IB = M I 2 + M I IA + IB + IA · IB = M I 2 − # » # » IA2 ⇒ M I 2 = M A · M B + IA2 = 3a2 + a2 = 4a2 ⇒ M I = 2a. Ví dụ 4 Ä #»ä #» #» #» Cho hai véc-tơ #» a , b có | #» a | = 4, b = 5 và #» a , b = 120◦ . Tính #» a+ b . √ √ A 21. B 61. C 21. D 61. Lời giải #» 2 #» #» Ta có #» a |2 + 2 #» a· b + b a + b = | #» √ #» a + b = 21. Do đó #» 2 = 42 + 2 · 4 · 5 · cos 120◦ + 52 = 21. Ví dụ 5 Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12. Tổng hai véc-tơ # » # » GB + GC có độ dài bằng bao nhiêu? √ C 8. A 2. B 4. D 2 3. Lời giải TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú... 135 Gọi M là trung điểm của BC. M cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC tại A. # » # » # » Ta có GB + GC = 2GM . # » Mà G là trọng tâm tam giác vuông ABC nên GM = 1# » AM . 3 # » # » # » 2# » Do đó GB + GC = 2GM = AM . 3 2 # » 2 # » # » # » AM = AM Suy ra GB + GC = 2 GM = 3 3 2 1 2 1 = · BC = · · 12 = 4. 3 2 3 2 B M G A D C Ví dụ 6 Cho 4ABC và hai điểm M , M 0 bất kì. Gọi I và I 0 , H và H 0 , K và K 0 theo thứ tự là # » #» # » hình chiếu vuông góc của M và M 0 lên BC, CA, AB. Chứng minh BC · II 0 + CA · # » # » # » HH 0 + AB · KK 0 = 0. Lời giải # » # »0 # » # »0 # » # »0 # » # » # » # » # » # » Ta cóÄ BC · II + CA ä· HH + AB · KK = BC · M M 0 + CA · M M 0 + AB · M M 0 = # » # » # » # » # » #» M M 0 AB + BC + CA = M M 0 · 0 = 0. Ví dụ 7 Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(0; 4), B(3; 2), D(3; 0). a Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng, biết rằng C(−6 − 3t; 8 + 2t), ∀t ∈ R. b Chứng minh rằng A, B, D không thẳng hàng. Từ đó tính chu vi của tam giác ABD. Lời giải # » # » a Ta có AB = (3; −2), AC = (−6 − 3t; 4 + 2t), do 4 + 2t −6 − 3t # » = = −t − 2 nên AB 3 −2 # » luôn cùng phương với AC. Suy ra A, B, C luôn thẳng hàng với mọi t ∈ R. 3 −2 # » # » # » # » nên AB không cùng phương AD b Ta có AD = (3; −4) và BD = (0; −2), do 6= 3 −4 nên A, B, D không thẳng hàng. √ √ √ Chu vi tam giác ABD là P = AB + BD + DA = 13 + 2 + 25 = 7 + 13. Ví dụ 8 # » # » Cho 4ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh M H · M A = 1 BC 2 . 4 Lời giải GV: LÊ QUANG XE 136 Bài 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ ’ ’ = 90◦ và F , D là A Tứ giác AF DC có AF C = ADC hai đỉnh liên tiếp của tứ giác nên AF DC là tứ giác nội tiếp, suy ra BD · BC = BF · BA. ’ = ADB ’ = 90◦ và D, E là Tứ giác AEDB có AEB E hai đỉnh liên tiếp của tứ giác nên AEDB là tứ giác F nội tiếp, suy ra CE · CA = CD · CB. H Ta có 1 Ä # » # »ä 1 Ä # » # »ä # » # » MH · MA = BH + CH · BA + CA B 2 2 D M Ä 1 # » # » # » # » # » # » # » # »ä BH · BA + BH · CA + CH · BA + ·CH · CA = 4 1 Ä # » # » # » # »ä 1 = BH · BA + CH · CA = (BF · BA + CE · CA) 4 4 1 1 (BD · BC + CD · CB) = BC 2 . = 4 4 C Ví dụ 9 GV: LÊ QUANG XE Cho 4ABC có b = 60◦ . Hãy tính độ dài cạnh BC. a AB = 2, AC = 3, A “ = 45◦ . Hãy tính độ dài cạnh AC. b AB = 3, BC = 4, B b = 120◦ . Hãy tính độ dài cạnh AB. c AC = 5, BC = 6, C Ví dụ 10 Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là một điểm bất kì. a Chứng minh rằng: M A2 − M B 2 + M C 2 = M D 2 − 2(OB 2 − OA2 ). b Giả sử M di động, tìm các vị trí của M để M A2 − M B 2 + M C 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Dạng 2.3. Điều kiện vuông góc Ví dụ 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hai véc-tơ #» u = (a1 ; a2 ), #» v = (b1 , b2 ) vuông góc với nhau khi và chỉ khi: A a1 b1 + a2 b2 = 0. B a1 b1 − a2 b2 = 0. C a1 b2 + a2 b1 = 0. D a1 b2 − a2 b1 = 0. Lời giải Công thức tích vô hướng. TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú... 137 Ví dụ 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác M N P vuông tại M . Biết điểm M (2; 1), N (3; −2) và P là điểm nằm trên trục Oy. Tính diện tích tam giác M N P . 10 5 16 20 A B C D . . . . 3 3 3 3 Lời giải Do P ∈ Oy ⇒ P (0; y). # » # » Ta có M P = (−2; y − 1), M N = (1; −3). 1 # » # » Nên M P · M N = 0 ⇔ −2 − 3(y − 1) = 0 ⇔ y = . √3 … ã Å √ 2 10 2 4 # » ⇒ MP = 4 + = và M N = 10. Mà ⇒ M P = −2; − 3 3 √9 √ 1 10 1 2 10 = . Vậy SM N P = · M N · M P = · 10 · 2 2 3 3 Ví dụ 3 #» Cho #» a = (1; −2). Với giá trị nào của y thì b = (−3; y) vuông góc với #» a? 3 A −6. B 6. C − . D 3. 2 Lời giải 3 #» #» Ta có #» a ⊥ b ⇔ #» a · b = 0 ⇔ 1 · (−3) + (−2) · y = 0 ⇔ −3 − 2y = 0 ⇔ y = − . 2 Ví dụ 4 1 #» #» #» #» v = k i − 4 j . Tìm k để #» u ⊥ #» v. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai véc-tơ #» u = i − 5 j , #» 2 A k = 40. B k = −40. C k = 20. D k = −20. Lời giải ã 1 1 Ta có: #» u ; −5 , #» v (k; −4). Ta có #» u ⊥ #» v ⇔ #» u · #» v = 0 ⇔ k+(−5)·(−4) = 0 ⇔ k = −40. 2 2 Å Ví dụ 5 √ #» #» #» #» Cho hai véc-tơ #» a , b sao cho | #» a | = 2, b = 2 và hai véc-tơ #» x = #» a + b ; #» y = 2 #» a−b #» vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai véc-tơ #» a và b . A 120◦ . B 60◦ . C 90◦ . D 30◦ . Lời giải #» #» nên #» x · #» y = 0. Do đó ÄVì hai#»véc-tơ ä Ä x và äy vuông góc nhau #» #» #» #» #» #» #» 2 2 a + b 2 a − b = 0 ⇔ 2 a + a · b − b = 0. #» #» 2 #» #» Mà #» a 2 = | #» a |2 = 2; b 2 = b = 4. Suy ra #» a · b = 0. Góc giữa hai véc-tơ #» a và b là 90◦ . GV: LÊ QUANG XE 138 Bài 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ Ví dụ 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(−2; 4), B(8; 4). Có mấy điểm C trên Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C? C 1. A 3. B 4. D 2. Lời giải Vì C thuộc Ox nên C(x; 0). # » # » Có AC = (x + 2; −4); BC = (x − 8; −4). Vì tam giác ABC vuông tại C nên ñ x=0 # » # » AC · BC = 0 ⇔ (x + 2) · (x − 8) + 16 = 0 ⇔ x2 − 6x = 0 ⇔ x = 6. Vậy có 2 điểm C thỏa mãn. Ví dụ 7 GV: LÊ QUANG XE Cho ∆ABC đều cạnh a. Lấy các điểm M , N , P lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BC = 3M C, AC = 3AN , AP = x, x > 0. Tìm x để AM vuông góc với NP . 5a a 4a 7a C x= A x= . B x= . . D x= . 12 2 5 12 Lời giải Theo giả thiết, ta có AP x # » x# » = ⇒ AP = AB. AB a a # » # » # » # » 2 # » # » 2 Ä # » # »ä 1 # » 2 # » Mặt khác AM = AB + BM = AB + BC = AB + AC − AB = AB + AC. 3 3 3 3 # » # » # » x# » 1# » và N P = AP − AN = AB − AC. a 3 Suy ra Å ãÅ ã 1# » 2# » x# » 1# » # » # » AM · N P = AB + AC AB − AC 3 3 a 3 x # »2 1 # » # » 2x # » # » 2 # »2 = AB − AB · AC + AB · AC − AC 3a 9 3a 9 x 1 2x 2 = AB 2 − AB · AC · cos A + AB · AC · cos A − AC 2 3a 9 3a 9 x 2 1 2x 2 = a − a · a · cos 60◦ + a · a · cos 60◦ − a2 3a 9 3a 9 2ax 5a2 = − . 3 18 2ax 5a2 5a # » # » Khi đó AM ⊥ N P ⇔ AM · N P = 0 ⇔ − =0⇔x= . 3 18 12 Ví dụ 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 2) , B (−3; 1). Tìm tọa độ điểm C trên trục Oy sao cho tam giác ABC vuông tại A. A C (6; 0). B C (0; 6). C C (−6; 0). D C (0; −6). TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú… 139 Lời giải # » # » Gọi điểm C trên trục Oy có tọa độ là (0; a). Khi đó AB = (−4; −1) , AC = (−1; a − 2). # » # » Tam giác ABC vuông tại A, khi đó AB · AC = 0 ⇔ (−4) · (−1) + 2 − a = 0 ⇔ a = 6. Tọa độ điểm C là C (0; 6). Ví dụ 9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 4), B(−3; 2) và véc-tơ #» v = (2m + 1; 3 − 4m). # » 1 Tìm tất cả các giá trị của m để #» v cùng phương với AB. # » 2 Tìm tất cả các giá trị của m để #» v ⊥ AB. Ví dụ 10 # » # » Cho tứ giác ABCD. Chứng minh AB 2 + CD2 = BC 2 + AD2 + 2AC · BD. Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau. Lời giải Ta có Ä # » # »ä2 Ä # » # »ä2 CA − CB + CA + AD # » Ä # » # »ä = BC 2 + AD2 + 2CA2 + 2CA AD − CB # » Ä # » # » # »ä = BC 2 + AD2 + 2CA CA + AD − CB # » Ä # » # »ä = BC 2 + AD2 + 2CA CD − CB # » # » = BC 2 + AD2 + 2CA · BD # » # » = BC 2 + AD2 − 2AC · BD. # » # » Điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau là AC · BD = 0 ⇔ AB 2 + CD2 = BC 2 + AD2 . AB 2 + CD2 = Dạng 2.4. Các bài toán tìm điểm và tập hợp điểm Ví dụ 1 Trong hệ trục tọa độ Oxy cho A(1; 1), B(−1; 3) và H(0; 1). Tìm tọa độ điểm C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. C C(0; 1). A C(−1; 0). B C(1; 0). D C(0; −1). Lời giải Giả sử C(x; y). # » # » # » # » Ta có: AH = (−1; 0), BC = (x + 1; y − 3), BH = (1; −2), AC = (x − 1; y − 1). H là trực tâm của tam giác ABC (# » # » ® ® AH · BC = 0 − 1(x + 1) + 0(y − 3) = 0 x = −1 ⇔ # » # » ⇔ ⇔ 1(x − 1) + (−2)(y − 1) = 0 y = 0. BH · AC = 0 Vậy C(−1; 0). GV: LÊ QUANG XE 140 Bài 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ Ví dụ 2 #» #» # » Cho hai véc-tơ #» a và b không cùng phương. Các điểm A, B, C thỏa AB = 2 #» a −3b; 1 #» # » AC = m #» a − b . Để A, B, C thẳng hàng thì giá trị của m thỏa 2 A m ∈ (2; 3). B m ∈ (1; 2). C m ∈ (−1; 0). D m ∈ (0; 1). Lời giải 1 − m 1 # » # » YBCT⇔ AB cùng phương AC ⇔ = 2 ⇔m= . 2 −3 3 Vậy m ∈ (0; 1). Ví dụ 3 # » # » # » # » # » # » Xét đẳng thức HA · BC + HB · CA + HC · AB = 0. A Đẳng thức trên chỉ xảy ra khi H là trực tâm tam giác ABC. B Với bốn điểm A, B, C, H bất kỳ ta luôn có đẳng thức trên. C Đẳng thức trên chỉ xảy ra khi có ít nhất hai điểm trùng nhau. D Đẳng thức trên không bao giờ xảy ra. GV: LÊ QUANG XE Lời giải Ta có # » # » # » # » # » # » HA · BC + HB · CA + HC · AB # » # » Ä # » # »ä # » Ä # » # »ä # » = HA · BC + HA + AB · CA + HA + AC · AB # » Ä # » # » # »ä # » # » # » # » = HA · BC + CA + AB + AB · CA + AC · AB # » # » # » # » # » # » = HA · BB − AB · AC + AC · AB = 0. # » # » # » # » # » # » Suy ra, đẳng thức HA · BC + HB · CA + HC · AB = 0 đúng với bốn điểm A, B, C, H bất kỳ. Ví dụ 4 Cho hình vuông ABCD, biết đỉnh A(1; −1), B(3; 0) và đỉnh C có tọa độ dương. Tìm tọa độ C. C C (2; 4). A C (4; −2). B C (4; 2). D C (2; 2). Lời giải # » # » Gọi C(x; y) (x > 0), AB = (2; 1), BC = (x − 3; y). # » # » AB · BC = 0 ⇔ 2(x − 3) + y = 0 ⇔ 2x + y = 6 ⇒ y = 6 − 2x. AB 2 = BC 2 ⇔ (x − 3)2 + y 2 = 5 ⇔ (x − 3)2 + (6 − 2x)2 = 5 TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú… 141 ⇔ 5×2 − 30x + 40 = 0 ñ ñ x=4 y = −2 ⇔ ⇒ x=2 y = 2. Vì vị trí của A, B nên tung độ của C phải dương nên C (2; 2). Ví dụ 5 Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tập hợp các điểm M thỏa mãn 4M A2 + M B 2 + 5a2 nằm trên một đường tròn (C) có bán kính R. Tính R. M C2 = 2 √ a a a 3 a C R= . A R= √ . B R= . D R= √ . 4 2 3 6 Lời giải Gọi I là trung điểm của AG. Ta có Ä # » # »ä2 Ä # » # »ä2 Ä # » # »ä2 4M A2 + M B 2 + M C 2 = 3M A2 + M G + GA + M G + GB + M G + GC = 3M A2 + 3M G2 + GA2 + GB 2 + GC 2 Ä # » # »ä2 Ä # » # »ä2 = 3 M I + IA + 3 M I + IG + GA2 + GB 2 + GC 2 = 6M I 2 + 3IA2 + 3IG2 + GA2 + GB 2 + GC 2 = 6IM 2 + ⇒ 4M A2 + M B 2 + M C 2 = ⇔ 6IM 2 + 3a2 2 5a2 2 3a2 5a2 a = ⇔ IM = √ 2 2 6 a ⇒ R= √ . 6 Ví dụ 6 # » # » # » # » # » Cho tam giác ABC, M và N là hai điểm thỏa mãn: BM = BC − 2AB, CN = xAC − # » BC. Xác định x để A, M , N thẳng hàng. 1 1 C 2. A 3. B − . D − . 3 2 Lời giải Ta có # » # » # » # » # » # » # » # » # » BM = BC − 2AB ⇔ AM = BC − AB ⇔ AM = −AC + 2BC. # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » CN = xAC − BC ⇔ CA + AN = xAC − BC ⇔ AN = (x + 1)AC − BC. # » # » Để A, M, N thẳng hàng thì ∃k 6= 0 sao cho AM = k AN .  −1 ®   k = Ä ä x + 1 = −k # » # » # » # » 2 Hay (x + 1)AC − BC = k −AC + 2BC ⇔ ⇔ −1  − 1 = 2k x = . 2 GV: LÊ QUANG XE 142 Bài 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ Ví dụ 7 # » # » # » # » # » Cho 4ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho |M A + 3M B − 2M C| = |2M A − M B − # » M C|. A Tập hợp các điểm M là một đường tròn. B Tập hợp của các điểm M là một đường thẳng. C Tập hợp các điểm M là tập rỗng. D Tập hợp các điểm M chỉ là một điểm trùng với A. Lời giải #» #» # » #» Gọi I là điểm thỏa mãn IA + 3IB − 2IC = 0 . Ta có # » # » # » # » # » # » M A + 3M B − 2M C = 2M A − M B − M C # » #» #» #» # » # » ⇔ 2M I + IA + 3IB − 2IC = BA + CA . (1) A GV: LÊ QUANG XE B N C # » # » Gọi N là trung điểm BC. Ta được (1) ⇔ 2 M I = 2 −AN ⇔ IM = AN . Vì I, A, N cố định nên tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I, bán kính AN . Dạng 2.5. Cực trị và chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 1 # » # » # » Cho M (−1; −2), N (3; 2), P (4; −1). Tìm E trên Ox sao cho EM + EN + EP nhỏ nhất. A E(4; 0). B E(3; 0). C E(1; 0). D E(2; 0). Lời giải Do E ∈ Ox nên E(a; 0). # » # » # » Ta có EM = (−1 − a; −2); EN = (3 − a; 2); EP = (4 − a; −1) # » # » # » Suy ra EM + EN + EP = (6 − 3a; −1). p p # » # » # » Do đó EM + EN + EP = (6 − 3a)2 + (−1)2 = (6 − 3a)2 + 1 > 1. Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 6 − 3a = 0 ⇔ a = 2. # » # » # » Suy ra giá trị nhỏ nhất của EM + EN + EP bằng 1. Vậy E(2; 0). Ví dụ 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(−2; 5), B(2; 2). Điểm E thuộc trục Ox # » # » thỏa AE + BE đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm E. TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú… ã 2 ;3 . E 3 Å A B ã Å 2 E − ;0 . 3 143 ã 2 ;0 . E 3 Å C E(3; 0). D Lời giải Giả sử E(e; 0) là điểm bất kỳ thuộc trục hoành. # » # » # » # » Ta có AE = (e + 2; −5) và BE = (e − 2; −2) ⇒ AE + 2BE = (3e − 2; −11) p # » # » Suy ra AE + 2BE = (3e − 2)2 + 121 ≥ 11. Å ã 2 2 # » # » Do đó AE + 2BE đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi e = , hay E ;0 . 3 3 Ví dụ 3 #» # » #» # » #» # » Cho ba lực F1 = M A, F2 = M B, F3 = M C cùng tác động vào một vật tại điểm M khiến vật đứng yên như #» #» hình vẽ. Cho biết cường độ của F1 , F2 đều bằng 25N và #» ÷ góc AM B = 120◦ . Khi đó cường độ lực của F3 là √ √ A 50 2N . B 25 3N . √ C 100 3N . D 25N . #» F1 #» F3 C M 120◦ #» F2 Lời giải #» #» #» Do vật đứng yên nên ta có F1 + F2 = −F3 #» #» 2 #» 2 #» #» #» #» #» ⇒ F1 + F2 = F3 ⇒ F3 = F1 + 2F1 · F2 + F2 #» ⇒ F3 = 25N . 2 A B = 252 + 2 · 25 · 25 · cos 120◦ + 252 = 625 Ví dụ 4 Cho ba điểm A(0; 6), B(2; 5), M (2t − 2; t). Tìm tọa độ điểm M sao cho a M A + M B nhỏ nhất. b |M A − M B| lớn nhất. Lời giải a Ta có » » (2t − 2)2 + (t − 6)2 + (2t − 4)2 + (t − 5)2 √ √ = 5t2 − 12t + 40 + 5t2 − 26t + 41 ! Å ã2 √ » 13 36 5 (t − 2)2 + 22 + = −t + 5 25 Å ã2 Å ã √ 13 6 2 √ ≥ 5· t−2+ −t + 2+ = 53. 5 5 13 Å ã −t t−2 19 11 19 5 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = ⇔t= ⇒M ; . 6 2 8 4 4 5 MA + MB = GV: LÊ QUANG XE 144 Bài 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ b Ta có » » 2 2 (2t − 2) + (t − 6) − (2t − 4)2 + (t − 5)2 |M A − M B| = » √ ≤ (2t − 2 − 2t + 4)2 + (t − 6 + 5 − t)2 = 5. Å ã t−6 7 7 2t − 2 = ⇔ t = ⇒ M 5; . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 − 2t 5−t 2 2 Ví dụ 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số √ √ x2 + 4x + 8 + x2 − 2x + 2. Lời giải p p 2 + 22 + Ta có x2 + 4x + 8 + x2 − 2x + 2 = (x + 2) (1 − x)2 + 12 . p #» #» #» #» 2 2 Xét p hai véc-tơ u = (x + 2; 2) ⇒ | u | = (x + 2) + 2 , véc-tơ v = (1 − x; 1) ⇒ | v | = (1 − x)2 + 12 . √ Khi đó #» u + #» v = (3; 3) ⇒ | #» u + #» v | = 3 2. √ √ √ Áp dụng bất đẳng thức | #» u | + | #» v | ≥ | #» u + #» v | ta được x2 + 4x + 8 + x2 − 2x + 2 ≥ 3 2. x+2 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi #» u , #» v cùng hướng ⇔ = > 0 ⇔ x = 0. 1−x 1 √ √ GV: LÊ QUANG XE Ví dụ 6 Tìm GTNN của biểu thức p p x2 + y 2 + 2x − 4y + 5 + x2 + y 2 − 6x − 4y + 13. Lời giải p p 2 2 Ta có P = (x + 1) + (y − 2) + (3 −p x)2 + (y − 2)2 . v = (3 − x; y − 2) ⇒ Xét haipvéc-tơ #» u = (x + 1; y − 2) ⇒ | #» u | = (x + 1)2 + (y − 2)2 , véc-tơ #» #» 2 2 | v | = (3 − x) + (y − 2) . p Khi đó #» u + #» v = (4; 2(y − 2)) ⇒ | #» u + #» v | = 42 + 4(y − 2)2 ≥ 4 (1). Áp dụng bất đẳng thức | #» u | + | #» v | ≥ | #» u + #» v | ta được » p p x2 + y 2 + 2x − 4y + 5 + x2 + y 2 − 6x − 4y + 13 ≥ 42 + 4(y − 2)2 . (2) Từ (1) và (2) suy ra p p x2 + y 2 + 2x − 4y + 5 + x2 + y 2 − 6x − 4y + 13 ≥ 4. ® #» #» ® ® u , v cùng hướng (x + 1)(3 − x) ≥ 0 −1≤x≤3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ⇔ ⇔ y−2=0 y=2 y = 2. Ví dụ 7 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số √ √ x2 − 2ax + 2a2 + x2 − 2bx + 2b2 , với a, b ∈ R. Lời giải p p Ta có − 2ax + + − 2bx + p = (x − a)2 + a2 + (b − x)2 + b2 . Xét hai véc-tơ #» u = (x − a; |a|) ⇒ | #» u | = (x − a)2 + a2 , véc-tơ #» v = (b − x; |b|) ⇒ | #» v| = p 2 2 (b − x) + b . p Khi đó #» u + #» v = (b − a; |a| + |b|) ⇒ | #» u + #» v | = 2a2 + 2b2 + 2 |ab| − 2ab. Áp dụng bất đẳng thức | #» u | + | #» v | ≥ | #» u + #» v | ta được » √ √ 2 2 2 2 x − 2ax + 2a + x − 2bx + 2b ≥ 2a2 + 2b2 + 2 |ab| − 2ab. √ x2 2a2 √ x2 2b2 TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú… 145 x+a |a| |a| b + a |b| Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi #» u , #» v cùng hướng ⇔ = >0⇔x= . b−x |b| |a| + |b| Ví dụ 8 Cho a, b, c ∈ R. Chứng p 2 2 2 4 sin a sin b + sin (a − b) ≥ 2. minh rằng p 4 cos2 a cos2 b + sin2 (a − b) + Lời giải Xét hai véc-tơ #» u = (2 cos a cos b; sin(a − b)) và #» v = (2 sin a sin b; sin(a − b)) ⇒ #» u + #» v = (2 cos(a − b); 2 sin(a − b)). Áp dụng bất đẳng thức | #» u | + | #» v | ≥ | #» u + #» v | ta được » » » 4 cos2 a cos2 b + sin2 (a − b)+ 4 sin2 a sin2 b + sin2 (a − b) ≥ 2 cos2 (a − b) + sin2 (a − b) = 2. Ví dụ 9 Cho 4ABC có M là điểm tùy ý. Tìm vị trí M trong các trường hợp sau a M A2 + M B 2 − M C 2 đạt giá trị nhỏ nhất. b M thuộc đường tròn ngoại tiếp 4ABC và M A2 + 3M B 2 − M C 2 đạt giá trị lớn nhất. Lời giải # » # » # » #» a Gọi I là điểm thỏa mãn IA + IB − IC = 0 . Ta có Ä # » # » ä2 Ä # » # » ä2 Ä # » # » ä2 M A2 + M B 2 − M C 2 = M I + IA + M I + IB − M I + IC # » Ä # » # » # »ä = M I 2 + 2M I IA + IB − IC + IA2 + IB 2 − IC 2 = M I 2 + IA2 + IB 2 − IC 2 . Vì I là điểm cố định nên IA2 + IB 2 − IC 2 là không đổi nên M A2 + M B 2 − M C 2 = M I 2 + IA2 + IB 2 − IC 2 ≥ IA2 + IB 2 − IC 2 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M ≡ I. b Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC. Ta có Ä # » # »ä2 Ä # » # »ä2 Ä # » # »ä2 M A2 + 3M B 2 − M C 2 = M O + OA + 3 M O + OB − M O + OC # » Ä# » # » # »ä = 3M O2 + OA2 + 3OB 2 − OC 2 + 2M O OA + 3OB − OC # » Ä# » # » # »ä # » # » = 6R2 + 2M O OA + 3OB − OC = 6R2 + 2M O · #» v = 6R2 + 2R| #» v | cos(M O, #» v ) ≤ 6R2 + 2R Ä # » # » # » # » # » # » # »ä Với #» v = OA+3OB − OC. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M O ↑↑ OA + 3OB − OC . Ví dụ 10 ® Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x2 + xy + y 2 = 3 y 2 + yz + z 2 = 16 xy + yz + zx ≤ 8. Lời giải GV: LÊ QUANG XE . Chứng minh rằng 146 Bài 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ Từ giả thiết ta có  x 2 Ç √3x å2    ® 2 =3   2 +y + 2 x + xy + y 2 = 3 ⇔ Ç √ å2 z 2  y 2 + yz + z 2 = 16  3z   + + y = 16.  2 2 Ç√ å Ç √ å z 3x 3z x + y; , #» v = ; + y với x, y, z dương, áp dụng bất đẳng thức Đặt #» u = 2 2 2 2 | #» u · #» v | ≤ | #» u | · | #» v | ta có Ô # “Ç √ å2 # x  √3z √3x  z  x 2 Ç √3x å2 z 2 3z +y · + · +y ≤ +y + · + +y 2 2 2 2 2 2 2 2 √ √ 3 ⇔ (xy + yz + zx) ≤ 3 · 16 2 ⇔ xy + yz + zx ≤ 8. Dấu đẳng thức xảy ra khi #» u , #» v cùng hướng và thỏa mãn giả thiết. GV: LÊ QUANG XE 2.3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN THEO MỨC ĐỘ 2.3.1. Nhận biết #» #» Câu 1. Câu 44Cho #» a , b khác 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A B C D Ä #» ä #»ä #» a , b = − b , #» a . Ä #»ä #» Nếu #» a , b = 0◦ thì #» a , b có giá trùng nhau. Ä Ä #»ä #»ä #» a , − b = − #» a, b . Ä #»ä Ä #» #»ä #» k · a , b = a , b với mọi k ∈ R+ . Ä Ä #»ä Ä #»ä Hûúáng dêîn: Vì k ∈ R+ nên k · #» a cùng hướng với #» a suy ra k · #» a , b = #» a, b . Chọn đáp án D #» Câu 2. Tìm m để hai véc-tơ #» a = (1; −3), b = (m2 ; 4) vuông góc với nhau. √ m = −2 3. ” √ m = 2 3 #» #» √ Hûúáng dêîn: Để #» a ⊥ b thì #» a · b = 0 ⇔ m2 − 12 = 0 ⇔ m = −2 3. A m = 12. B √ m = 2 3. C D √ m = ±2 3. Chọn đáp án D 2.3.2. Thông hiểu Câu 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, có số đo góc B là 60◦ và AB = a. Kết quả nào sau đây là sai? √ # » # » A AC · CB = −3 2a. # » # » C AB · AC = 0. B D # » # » AB · BC = −a2 . # » # » CA · CB = 3a2 . TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú… 147 Hûúáng dêîn: √ AC AC ⇔ AC = a 3; sin 60◦ = ⇔ BC = Ta có tan 60◦ = AB BC √ 2 3a. Ä # » # »ä √ √ # » # » Suy ra AC · CB = AC · CB · cos AC, CB = 2 3a · 3a · √ cos 150◦ = −3 3a2 . B ◦ 60 A C Chọn đáp án A Câu 4. Cho hai điểm A(2; 0) và điểm B(5; 1). Tính độ dài đoạn thẳng AB. √ AB = 2 10. D AB = 10. C √ √ # » Hûúáng dêîn: Ta có AB = (3; 1) nên suy ra AB = 32 + 12 = 10. A √ AB = 10. AB = 2. B Chọn đáp án A # » # » √ Câu 5. Cho tam giác ABC vuông tại B, BC = a 3. Tính AC · CB. A 2 3a . B √ a2 3 − . 2 C √ a2 3 . 2 D −3a2 . Hûúáng dêîn: A B √ a 3 C Ä # » # »ä Ä ä # » # » # » # » # » # » b AC · CB = AC CB · cos AC, CB = AC CB · cos 180◦ − C # » # » # » # » BC b = − AC = −BC 2 = −3a2 . = − AC CB · cos C CB · AC Chọn đáp án D Câu 6. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a, trọng tâm G. Tích vô hướng của hai véc-tơ # » # » BC · CG bằng a2 A √ . 2 B a2 −√ . 2 C a2 . 2 GV: LÊ QUANG XE D − a2 . 2 148 Bài 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ Hûúáng dêîn: Ta có Ä # » # »ä # » # » # » # » BC · CG = BC · CG · cos BC, CG Ä # » # »ä = BC · CG · cos CB 0 , CG = BC · CG · cos 150◦ √ Ç √ å 3 2 a 3 · − =a· · 3 2 2 a2 =− . 2 Chọn đáp án D A G B B0 C # » # » b = 90◦ , B “ = 60◦ và AB = a. Khi đó AC Câu 7. Cho tam giác ABC có A · CB bằng A −2a2 . B 2a2 . C 3a2 . D −3a2 . Hûúáng dêîn: GV: LÊ QUANG XE “ = 60◦ nên C b = 30◦ , BC = 2a, Vì ABC vuông tại A có B √ AC = a 3. a Suy ra √ √ # »# » # »# » b = − 3a·2a· 3 = −3a20◦. AC·CB = −CA·CB = −CA·CB·cos C 6 2 A B C Chọn đáp án D #» #» #» #» Câu 8. Cho hai véc-tơ #» a và b khác 0 . Xác định góc giữa hai véc-tơ #» a và b biết #» a · b = #» − | #» a| b . 180◦ . C 45◦ . D 90◦ . Ä #»ä Ä #»ä Ä #»ä #» #» #» Hûúáng dêîn: Ta có #» a · b = | #» a | b cos #» a , b = − | #» a | b ⇒ cos #» a , b = −1 ⇒ #» a, b = ◦ 180 . A 0◦ . B Chọn đáp án B Câu 9. Cho tam giác ABC có A (1; −1), B (3; −3), C (6; 0). Diện tích 4ABC là √ 6 2. C 12. D 9. # » # » # » # » Hûúáng dêîn: Ta có AB = (2; −2), BC = (3; 3). Do AB · BC = 0 nên 4ABC vuông tại B. √ 1 # » # » 1 √ SABC = · AB · BC = · 2 2 · 3 2 = 6. 2 2 Chọn đáp án A # » # » # » # » Câu 10. Cho 4ABC vuông tại A, biết AB · CB = 4, AC · BC = 9. Khi đó AB, AC, BC có độ dài là √ √ √ A 2; 3; 13. B 3; 4; 5. C 2; 4; 2 5. D 4; 6; 2 13. # » # » Hûúáng dêîn: Do 4ABC vuông tại A nên AB · AC = 0. Ta có A 6. B TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú… 149  # » Ä # » # »ä ( #» 2 # » # » (# » # » ® AB · AB − AC = 4 AB − AB · AC = 4 AB · CB = 4 AB 2 = 4 ä Ä ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ #» # » # » # » # » # » # » # » AC AC 2 = 9 AC 2 − AC · AB = 9 AC · BC = 9 · AC − AB = 9 ® AB = 2 AC = 3. √ √ ⇒ BC = AB 2 + AC 2 = 13. Chọn đáp án A #» Câu 11. Cho #» a = (−3; 4), b = (4; 3). Kết luận nào sau đây sai. #» #» #» #» A |a| = b . B a cùng phương b . #» #» #» #» C a ⊥ b. D a · b = 0. Hûúáng dêîn: Ta có #» a = (−3; 4) ⇒ | #» a | = 5. #» #» b = (4; 3) ⇒ b = 5. #» #» #» a · b = −3 · 4 + 4 · 3 = 0 ⇒ #» a ⊥ b. Chọn đáp án B # » # » Câu 12. Cho 4ABC đều, AB = 6 và M là trung điểm của BC. Tích vô hướng AB · M A bằng A −18. B 27. C 18. D −27. Hûúáng dêîn: A B C M √ # » # » Ta có AB · M A = AB · M A · cos 150◦ = 6 · 3 3 · Ç √ å 3 − = −27. 2 Chọn đáp án D Câu 13. Cho tam giác ABC có A(5; 3), B(2; −1), C(−1; 5). Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC. A H(−3; 2). B H(−3; −2). C H(3; 2). Hûúáng dêîn: Gọi H(x; y) là tọa độ cần tìm. Ta# có» ( AH = (x − 5; y − 3) # » # » ⇒ AH · BC = 0 ⇔ −3x + 6y − 3 = 0 (1). # » BC = (−3; 6) GV: LÊ QUANG XE D H(3; −2). 150 Bài 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ (# » BH = (x − 2; y + 1) # » # » ⇒ BH · AC = 0 ⇔ −6x + 2y + 14 = 0 (2). # » AC = (−6; 2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình ® ® − 3x + 6y = 3 x=3 ⇔ − 6x + 2y = −14 y = 2. Vậy H(3; 2) là tọa độ cần tìm. Chọn đáp án C Ä# » # »ä # » Câu 14. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng OA + OB AB = 0 khi ba điểm O, A, B không thẳng hàng là tam giác OAB cân tại O. C D tam giác OAB vuông cân tại O. # » # » #» Hûúáng dêîn: Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó OA + OB = 2OI. Ä # » # »ä # » #» # » #» # » Vậy OA + OB AB = 0 ⇔ 2OI · AB = 0 ⇔ OI ⊥ AB hay 4OAB cân tại O. A tam giác OAB đều. tam giác OAB vuông tại O. B Chọn đáp án B Câu 15. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(2; −1) và B(−2; 1). Tìm điểm M GV: LÊ QUANG XE thuộc tia Ox sao cho tam giác ABM vuông tại M . Ä√ ä Ä√ ä Ä √ ä A M 5; 0 . B M 3; 0 và M − 3; 0 . Ä √ ä Ä √ ä Ä√ ä C M − 5; 0 . D M − 5; 0 và M 5; 0 . Hûúáng dêîn: Gọi M (m; 0) ∈ Ox, (m > 0). # » # » AM = (m − 2; 1), BM = (m + 2; −1). Ä√ ä √ # » # » Tam giác ABM vuông tại M ⇒ AM · BM = 0 ⇔ m2 −4−1 = 0 ⇔ m = 5. Vậy M 5; 0 . Chọn đáp án A Câu 16. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A B #» a· #» a· #» #» #» b = | #» a | · b khi và chỉ khi #» a và b cùng hướng. #» #» #» b = − | #» a | · b khi và chỉ khi #» a và b ngược hướng. # » # »2 AB 2 = AB 2 = AB . #» #» #» #» D a ⊥ b ⇔ a · b = 0. #» #» #» #» Hûúáng dêîn: Mệnh đề “ #» a ⊥ b ⇔ #» a · b = 0” là sai vì #» a · b = 0 có thể xảy ra khi #» a hoặc b #» bằng 0 . C Chọn đáp án D # » # » # » # » Câu 17. Cho tam giác ABC, biết AB + AC = AB − AC . Mệnh đề nào sau đây đúng? Tam giác ABC vuông tại B. C D Tam giác ABC cân tại A. # » # » # » # » Hûúáng dêîn: Gọi M là trung điểm của BC. Ta có AB + AC = AB − AC ⇔ 2AM = BC hay tam giác ABC vuông tại A. A Tam giác ABC vuông tại A. Tam giác ABC vuông tại C. B TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú… 151 Chọn đáp án A Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(−3; 0), B(3; 0) và C(2; 6). Gọi H(a; b) là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính a + 6b. A a + 6b = 5. B a + 6b = 6. C a + 6b = 7. D a + 6b = 8. Hûúáng dêîn: Gọi H(a; b) là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho khi đó ta có # » # » # » # » AH(a + 3; b), BC(−1; 6) ⇒ AH · BC = 0 ⇔ −a − 3 + 6b = 0 # » # » # » # » BH(a − 3; b), AC(5; 6) ⇒ BH · AC = 0 ⇔ 5a − 15 + 6b = 0 ® a = 2 − a + 6b = 3 Từ đó ta có hệ phương trình ⇔ ⇒ a + 6b = 7. b = 5 5a + 6b = 15 6 Chọn đáp án C Câu 19. Trong mặt phẳng Oxy cho A(−1; 1) và B(4; 4). Tọa độ của các điểm N trên trục Oy để 4ABN vuông tại N là A C (0; 0), (0; 3). (0; 1), (0; 5). B D (0; 0), (0; 5). (0; 1), (0; 4). # » # » Hûúáng dêîn: Vì N trên trục Oy ⇒ N (0; y). Ta có AN = (1; y − 1), BN = (−4; y − 4). Tam giác ABN vuông tại N khi và chỉ khi ñ y=0 # » # » AN · BN = 0 ⇔ −4 + (y − 1)(y − 4) = 0 ⇔ y = 5. Vậy tọa độ các điểm N là (0; 0), (0; 5). Chọn đáp án B Câu 20. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 4); B(−4; −4); C(4; 2). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tọa độ điểm I là A (0; 0). B (1; 0). C (1; −1). D (0; −1). Hûúáng dêîn: Gọi I(xI ; yI ). Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ® » »  (0 − xI )2 + (4 − yI )2 = (−4 − xI )2 + (−4 − yI )2 IA = IB » ⇔ »  (0 − x )2 + (4 − y )2 = (4 − x )2 + (2 − y )2 IA = IC I I I I ® x2I + 16 − 8yI + yI2 = 16 + 8xI + x2I + 16 + 8yI + yI2 ⇔ x2I + 16 − 8yI + yI2 = 16 − 8xI + x2I + 4 − 4yI + yI2 ® ® 0 = 8xI + 16 + 16yI xI = 0 ⇔ ⇔ 0 = −8xI + 4 + 4yI yI = −1. Chọn đáp án D 2.3.3. Vận dụng thấp Ä# » # »ä Ä # » # » # »ä BC + BD + BA . Câu 21. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính P = AB + AC A √ P = 2 2a. B P = 2a2 . C P = a2 . GV: LÊ QUANG XE D P = −2a2 . 152 Bài 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ Hûúáng dêîn: P = = = = = Ä # » # »ä Ä # » # » # »ä AB + AC BC + BD + BA Ä # » # »ä Ä # » # »ä AB + AC BD + BD Ä # » # »ä # » 2 AB + AC BD # » # » # » # » 2AB · BD + 2AC · BD √ 2a · a 2 · cos 135◦ + 0 = −2a2 . D C A B Chọn đáp án D Câu 22. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có AB Ä = 6a , CD = ä 3a và AD = 3a. Gọi # » # » # » M là điểm thuộc cạnh AD sao cho M A = a. Tính T = M B + 2M C · CB A T = 45a2 . B T = 27a2 . C T = −27a2 . D T = −45a2 . Hûúáng dêîn: GV: LÊ QUANG XE D C M A Ta có B Ä# » # »ä # » T = M B + 2M C · CB îÄ # » # »ä Ä # » # »äó Ä # » # »ä = M A + AB + 2 M D + DC AB − AC Ä# » # » ä î # » # » # » Ä # » # »äó = M A + AB + 2M D + 2DC AB − AD + DC Å ãÅ ã 1# » # » 2# » 1# » # » # » 1# » = − AD + AB + 2 · AD + 2 · AB AB − AD − AB 3 3 2 2 Ä # » # »ä Å 1 # » # »ã = 2AB + AD AB − AD 2 # » # » # » # » 1# » # » = AB 2 − 2AB · AD + AD · AB − AD2 2 2 2 2 2 = (6a) − (3a) = 36a − 9a = 27a2 . Chọn đáp án B # » # » Câu 23. Cho tam giác đều ABC cạnh 2a có G là trọng tâm. Khi đó AB − GC là A √ a 3 . 3 B √ 2a 3 . 3 C √ 4a 3 . 3 TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 D 2a . 3 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú… 153 Hûúáng dêîn: # » Gọi M là trung điểm BC, dựng điểm N sao cho BN = # » AG. Ta có # » # » # » # » # » AB − GC = GB − GA − GC # » Ä # » # »ä = GB − GA + GC # » = 2GB √ 2 2a 3 = 2 · GB = 2 · · 3 2 √ 4a 3 = . 3 A G B M C N Chọn đáp án C Câu 24. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 3), B(−2; 1). Điểm C thuộc tia Ox sao cho M ABC vuông tại C có tọa độ là A C(3; 0). B C(−3; 0). C C(−1; 0). D C(1; 0). Hûúáng dêîn: Điểm C thuộc tia Ox nên C(x; 0), (x > 0). # » # » AC = (x − 2; −3), BC = (x + 2; −1). Tam giác ABC vuông tại C nên ñ x = 1 (nhận) # » # » AC · BC = 0 ⇔ (x − 2)(x + 2) + (−3)(−1) = 0 ⇔ x2 − 1 = 0 x = −1 (loại). Vậy C(1; 0). Chọn đáp án D Câu 25. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 3), B(−2; 1). Điểm C thuộc tia Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C có tọa độ là A C(3; 0). B C(−3; 0). C C(−1; 0). # » D C(2; 0). # » Hûúáng dêîn: Ta có C ∈ Ox ⇒ C(x; 0). Khi đó AC = (x − 2; −3); BC = (x + 2; −1). # » # » # »# » Tam giác ABC vuông tại C ⇒ AC ⊥ BC ⇔ AC.BC = 0 ⇔ x2 − 4 + 3 = 0 ⇔ x = ±1. Vậy C(−1; 0) hoặc C(1; 0). Chọn đáp án C Câu 26. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(−4; 0), B(5; −3), C(−2; −4). Tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là A (2; 1). B (1; 0). C (1; 2). D Hûúáng dêîn: Gọi I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, khi đó ⇔ AI ® = BI2= CI (x + 4) + y 2 = (x − 5)2 + (y + 3)2 (x + 4)2 + y 2 = (x + 2)2 + (y + 4)2 GV: LÊ QUANG XE (0; 1). 154 Bài 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ ® ⇔ 4x − 8y = 4 ® ⇔ 18x − 6y = 18 x=1 y = 0. Vậy I(1; 0). Chọn đáp án B Câu 27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; −1) và B(3; 2). Tìm M thuộc trục tung sao cho M A2 + M B 2 nhỏ nhất. A C M (0; Å 1). ã 1 M 0; . 2 B D M (0; Å −1).ã 1 M 0; − . 2 Hûúáng dêîn: Gọi tọa độ của M nằm trên Oy là (0; m). Å ã 1 2 29 29 Khi đó M A +M B = 1 +(−1−m) +3 +(2−m) = 2m −2m+15 = 2 m − + ≥ . 2 2 2 29 1 2 2 Vậy M A + M B nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi m = . 2 2 Chọn đáp án C 2 2 2 2 2 2 2 GV: LÊ QUANG XE 2.3.4. Vận dụng cao # » # » Câu 28. Cho tam giác đều ABC, gọi D là điểm thỏa mãn DC = 2BD. Gọi R và r lần lượt R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ADC. Tính tỉ số . r √ √ √ 5 5+7 7 7+5 5 7+5 7 A B C D . . . . 2 9 9 9 Hûúáng dêîn: A a B D 2a 3 C Đặt AB = BC = CA = a. 2a a # » # » # » # » # » # » # » 2# » Có DC = 2BD = −2DB ⇒ DC = −2DC + 2BC ⇒ DC = BC, nên DC = , BD = . 3 3 3 Áp dụng định lý cô-sin trong tam giác ADC, ta có Å ã2 2a 2a 7a2 2 2 2 2 AD = AC + DC − 2AC · DC · cos ACD = a + − 2a · · cos 60◦ = . 3 3 9 … √ 7a2 a 7 Suy ra AD = = . 9 3 TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú… 155 AD + DC + CA AD · DC · CA = · r. Khi đó, tam giác ADC có S4ADC = 4R 2 √ √ 2 2 a2 3 a2 3 Mà S4ADC = S4ABC = · = . 3 3 √4 6 a 7 2a √ · ·a AD · DC · CA a 21 3 3 √ Nên R = = = . 4S4ADC 9 a2 3 4· 6√ a2 3 √ 2· a 3 2 · S4ADC 6 √ . Và r = = √ = AD + DC + CA a 7 2a 5+ 7 + +a 3 3 Ä √ ä √ √ √ √ 5+ 7 · 7 R a 21 a 3 7+5 7 √ = Do đó, ta có được = : = . r 9 9 9 5+ 7 Chọn đáp án D Câu 29. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Lấy M, N, P lần lượt nằm trên ba cạnh BC, CA, AB sao cho BM = 2M C, AC = 3AN , AP = x, x > 0. Tìm x để AM vuông góc với N P . 5a 4a a 7a A x= . B x= . C x= . D x= . 2 12 12 5 Hûúáng dêîn: Ta có # » # » 1# » # » # » # » # » 1 # » # » AB − AC = AB + AM = AC + CM = AC + CB = AC + 3 3 3 2# » AC. 3 # » # » # » x# » 1# » N P = N A + AP = AB − AC. a 3 Để AM ⊥ N P thì Å ã Å ã 1# » 2# » x# » 1# » # » # » AM · N P = 0 ⇔ AB + AC · AB − AC = 0 3 3 a 3 Å ã x # »2 2x 1 # » # » 2 # »2 ⇔ AB + − AB · AC − AC = 0 3a 3a 9 9 Å ã 2 2 xa a 2x 1 2a ⇔ + − · − =0 3 3a 9 2 9 2x 5a ⇔ − =0 3 18 5a ⇔ x= . 12 Chọn đáp án C C M N A P B Câu 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ điểm N trên cạnh BC của tam giác ABC có A(1; −2), B(2; 3), C(−1; −2) sao cho SABN = 3SAN C là Å ã Å ã Å ã 1 3 1 3 1 1 A ; . B − ;− . C ;− . 4 4 4 4 3 3 GV: LÊ QUANG XE D Å ã 1 1 − ; . 3 3 156 Bài 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ Hûúáng dêîn: A Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC. Theo đề ra ta có SABN = 3SACN 1 3 ⇔ AH · BN = AH · CN 2 2 ⇔ BN = 3CN B H # » # » ⇔ BN = −3CN Ä # » # »ä # » ⇔ BN = −3 BN − BC # » # » ⇔ 4BN = 3BC. (∗) # » # » Ta có BN = (xN − 2; yN − 3); BC = (−3;  −5). 1 ®  Å ã x N = − 4(xN − 2) = 3(−3) 1 3 4 Do đó (∗) ⇔ ⇔ . Vậy N − ; − .  4 4 4(yN − 3) = 3(−5) y N = − 3 4 Chọn đáp án B N C GV: LÊ QUANG XE Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ điểm N trên cạnh BC của tam giác ABC có A(1; −2), B(2; 3), C(−1; −2) sao cho SABN = 3SAN C là ã ã ã Å Å Å 1 3 1 3 1 1 . A ; B − ;− . C ;− . 4 4 4 4 3 3 D ã Å 1 1 . − ; 3 3 Hûúáng dêîn: A Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC. Theo đề ra ta có SABN = 3SACN 1 3 ⇔ AH · BN = AH · CN 2 2 ⇔ BN = 3CN B H # » # » ⇔ BN = −3CN Ä # » # »ä # » ⇔ BN = −3 BN − BC # » # » ⇔ 4BN = 3BC. (∗) # » # » Ta có BN = (xN − 2; yN − 3); BC = (−3;  −5). 1 ®  Å ã x N = − 4(xN − 2) = 3(−3) 1 3 4 Do đó (∗) ⇔ ⇔ . Vậy N − ; − .  4 4 4(yN − 3) = 3(−5) y N = − 3 4 Chọn đáp án B N C ĐÁP ÁN BÀI 2 1.D 2.D 3.A 4.A 5.D 6.D 7.D 8.B 9.A 10.A 11.B 12.D 13.C 14.B 15.A 16.D 17.A 18.C 19.B 20.D TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú… 21.D 22.B 23.C 24.D 25.C 157 26.B 27.C 31.B GV: LÊ QUANG XE 28.D 29.C 30.B 158 Bài 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC BÀI 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC 3.1. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 3.1.1. Định lý cô-sin Định lý 2.3.1. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b và AB = c. Ta có A a a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A. b b2 = c2 + a2 − 2ca · cos B. 2 2 c b 2 c c = a + b − 2ab · cos C. a B C Hệ quả 2.3.1. a cos A = b 2 + c 2 − a2 . 2bc b cos B = c 2 + a2 − b 2 . 2ca c cos C = a2 + b 2 − c 2 . 2ab GV: LÊ QUANG XE 3.1.2. Định lý sin Định lý 2.3.2. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có a b c = = = 2R sin A sin B sin C A c b R I a B C 3.1.3. Công thức tính độ dài đường trung tuyến Hệ quả 2.3.2. Cho tam giác ABC có ma , mb , mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta có A b 2 + c 2 a2 − . 2 4 2 2 a +c b2 − . b m2b = 2 4 2 2 a +b c2 c m2c = − . 2 4 a m2a = ma b c mb B 3.1.4. Công thức tính diện tích tam giác: TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 a mc C Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú… 159 Định nghĩa 2.3.1. Gọi S là diện tích tam giác ABC. Ta có 1 1 1 a S = a · ha = b · hb = c · hc . 2 2 2 1 1 1 b S = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 2 2 abc c S= . 4R d S =p·r p e S = p(p − a)(p − b)(p − c). Trong đó: • ha , hb , hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB. • R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. • r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. a+b+c • p= là nửa chu vi tam giác. 2 3.2. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 3.1. Tính toán các đại lượng trong tam giác Ví dụ 1 Cho 4ABC có √ AB = 6, AC = 8, BC = 13. Tính độ dài đoạn √ trung tuyến ma . 430 31 A ma = . B ma = . √2 √2 197 346 C ma = D ma = . . 2 2 Lời giải 2(AB 2 + AC 2 ) − BC 2 31 Ta có m2a = = ⇒ ma = 4 4 √ 31 . 2 Ví dụ 2 “ = 60◦ . Độ dài cạnh AC là Cho tam giác ABC có BC = 8, AB = 3, B √ A 61. B 49. C 7. √ D 97. Lời giải Áp dụng định lý hàm số cos ta được AC 2 = AB 2 +BC 2 −2AB·BC·cos B ⇔ AC 2 = 82 +32 −2·8·3·cos 60◦ ⇔ AC 2 = 49 ⇒ AC = 7. GV: LÊ QUANG XE 160 Bài 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC Ví dụ 3 Cho tam giác ABC có ba cạnh BC = a, AC = b, AB = c. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A a2 = b2 + c2 + 2bc · sin A. B a2 = b2 + c2 + 2bc · cos A. C a2 = b2 + c2 − 2bc · sin A. D a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A. Lời giải Áp dụng định lý cô-sin vào tam giác ABC ta có: a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A. Ví dụ 4 Tam giác ABC có S = 84 là diện tích tam giác; các cạnh a = 13, b = 14, c = 15. Hỏi độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác là cặp số nào? 65 65 65 65 A ; 4. B ; 8. C ; 4. D ; 8. 8 8 2 2 Lời giải GV: LÊ QUANG XE Ta có nửa chu vi của tam giác ABC là: p = 21. S 84 Ta có bán kính đường tròn nội tiếp: r = = = 4. p 21 abc 13 · 14 · 15 65 abc ⇒R= = = . Bán kính đường tròn ngoại tiếp: S = 4R 4S 4 · 84 8 Ví dụ 5 √ √ Cho tam giác ABC có a = 2, b = 6, c = 3 + 1. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam √ giác ABC. √ √ √ 2 2 A R= . B R= . C R = 2. D R = 3. 3 2 Lời giải √ √ b 2 + c 2 − a2 6+4+2 3−4 2 b = 45◦ (Do 0◦ < A b < 180◦ ). ä = Ta có cos A = = √ Ä√ ⇒A 2bc 2 2 6 3+1 √ a Áp dụng định lý sin ta có R = = 2. 2 sin A Ví dụ 6 b = 60◦ , b = 10, c = 20. Diện tích tam giác ABC bằng Cho tam giác ABC có A √ √ √ √ A 70 3. B 60 3. C 50 3. D 40 3. Lời giải Ta có S4ABC = √ 1 1 · b · c · sin A = · 10 · 20 · sin 60◦ = 50 3. 2 2 Ví dụ 7 Hình bình hành ABCD có AB = 3, BC = 4, BD = 2. Khi đó SABCD bằng TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú... √ A 15 . 4 161 √ B 15 . 2 C √ 3 15 . 2 D √ 3 15 . 4 Lời giải 9 BC + CD + BD = . Gọi P là nửa chu vi của tam giác BCD thì P = 2ã 2 √ Å ãÅ ãÅ 9 9 9 9 3 15 Ta có SABCD = 2SBCD = 2 · −2 −3 −4 = . 2 2 2 2 2 Ví dụ 8 ◦ ’ Cho 4ABC có √ BC = a, BAC = 120 . Bán kính đường tròn √ ngoại tiếp 4ABC là a 3 a a 3 A R= . B R= . C R= . D R = a. 2 2 3 Lời giải √ BC 1 a a 3 Theo định lý sin trong tam giác ta có 2R = = . ⇒R= · 2 sin 120◦ 3 ’ sin BAC Ví dụ 9 b = 135◦ . Diện tích tam giác ABC là Cho tam giác ABC có a = 2, b = 6 và C √ √ √ C 3 2. A 4. B 6 2. D 4 3. Lời giải Diện tích tam giác ABC là S = √ 1 · 2 · 6 · sin 135◦ = 3 2. 2 Ví dụ 10 ’ = Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB, đáy lớn CD. Biết AB = AD và tan BDC 3 ’ . Tính cos BAD. 4 17 7 5 17 A . B − . C . D − . 25 25 25 25 Lời giải Gọi E là hình chiếu vuông góc của B trên DC. Đặt AB = AD = BC = x. DC − x Ta có EC = (1). 2 Trong tam giác vuông BDE ta có ’ = 3 ⇔ BE = 3 ⇔ BE = 3 ED tan BDC ED 4 ã 4 Å4 3 DC − x 3 ⇔ BE = DC − = (DC + x) (2). 4 2 8 2 tam giác vuông BEC ta có BC = EC 2 + BE 2 (3). GV: LÊ QUANG XE Trong A D B E C 162 Bài 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC 25 DC hay Thay (1), (2) vào (3) biến đổi ta được: 39x2 + 14DC.x − 25DC 2 = 0 ⇔ x = 39 7 39 DC = x. Khi đó EC = x. 25 25 ’ = − cos BCE ’ = − EC = − 7 . Mặt khác cos BAD BC 25 Dạng 3.2. Chứng minh các hệ thức Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Chọn đẳng thức sai. A b2 = a2 + c2 − 2ac cos B. B a2 = b2 + c2 − 2bc cos A. C c2 = b2 + a2 + 2ab cos C. D c2 = b2 + a2 − 2ab cos C. Lời giải Theo định lý côsin trong tam giác ABC, ta có c2 = b2 + a2 − 2ab cos C. Ví dụ 2 GV: LÊ QUANG XE Cho ∆ABC với các cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Gọi R, r, S lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác ABC. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? abc a A S = . B R= . 4R sin A 1 C S = ab sin C. D a2 + b2 − c2 = 2ab cos C. 2 Lời giải a = 2R. Theo định lí sin trong tam giác, ta có sin A Ví dụ 3 Cho 4ABC với các cạnh AB = c , AC = b, BC = a . Gọi R , r , S lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác ABC . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? abc a A S = . B R= . 4R sin A 1 C S = ab sin C . D a2 + b2 − c2 = 2ac cos C. 2 Lời giải a Theo định lý sin trong tam giác, ta có = 2R sin A Ví dụ 4 Cho 4ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Mệnh đề nào sau đây đúng? A a2 = b2 + c2 − bc. cos A. B a2 = b2 + c2 − 2bc. TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú... C 163 a. sin A = b. sin B = c. sin C. D b 2 + c 2 − a2 . cos A = 2bc Lời giải Mệnh đề cos A = b 2 + c 2 − a2 là mệnh đề đúng. 2bc Ví dụ 5 b = 120◦ , AD = x là phân giác trong của góc A và độ dài các cạnh Cho 4ABC có A BC, CA, AB lần lượt là a, b, c. Hệ thức nào sau đây là đúng? 1 1 1 1 1 1 + = . A + 2 = 2. B 2 c c x b c x 1 1 1 1 1 1 1 1 C D + + = . + 2 + 2 = 2. 2 a b c x a b c x Lời giải 1 A Ta có BD2 = AB 2 +AD2 −2AB·AD·cos ⇔ BD2 = c2 +x2 −2c·x· ⇔ BD2 = c2 +x2 −c·x. 2 2 A 1 DC 2 = AC 2 + AD2 − 2 · AC · AD cos ⇔ DC 2 = b2 + x2 − 2bx · ⇔ DC 2 = b2 + c2 − cx. 2 2 Å ã AB c BD 2 c2 + x2 − c · x c2 BD = = ⇒ = 2 = 2 Mà DC AC b DC b + c2 − cx b 1 1 1 ⇔ x(b + c) − bc = 0 ⇔ = + . x b c Ví dụ 6 Cho 4ABC có trọng tâm G, độ dài các cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c và GB ⊥ GC. Hệ thức nào sau đây là đúng? A b2 + c2 = 5a2 . B b2 + c2 = 3a2 . C b2 + c2 = 4a2 . D b2 + c2 = 6a2 . Lời giải 2 2 2 Vì tam giác GBC vuông tại G nên ta có GB + GC = BC ⇔ a2 Å 2 mb 3 ã2 Å + 2 mc 3 ã2 = (1). 2(a2 + c2 ) − b2 2 2(a2 + b2 ) − c2 ; mc = . Mặt khác theo công thức đường trung tuyến ta có = 4 4 Do đó ï ò 4 2 4 2(a2 + c2 ) − b2 2(a2 + b2 ) − c2 2 2 (1) ⇔ (m + mb ) = a ⇔ + = a2 9 c 9 4 4 ⇔ 4a2 + b2 + c2 = 9a2 ⇔ b2 + c2 = 5a2 . m2b Ví dụ 7 Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc với nhau. Khi GV: LÊ QUANG XE 164 Bài 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC CA2 + CB 2 đó tỉ số bằng AB 2 A 20. B 1. C 10. D 5. Lời giải Gọi M, N lần lượt là trung điểm CB, CA. Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác, ta có 2 (CA2 + AB 2 ) − CB 2 2 (CB 2 + AB 2 ) − CA2 AM 2 = ; BN 2 = . 4 4 4 4 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có: AG2 = AM 2 , BG2 = BN 2 . 9 9 Theo giả thiết, tam giác AGB vuông tại G nên ta có AG2 + BG2 = AB 2 2 (CA2 + AB 2 ) − CB 2 2 (CB 2 + AB 2 ) − CA2 + = AB 2 9 9 CA2 + CB 2 + 4AB 2 = AB 2 ⇔ 9 ⇔ CA2 + CB 2 = 5AB 2 ⇔ GV: LÊ QUANG XE ⇔ CA2 + CB 2 = 5. AB 2 Ví dụ 8 Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức b + c = 2a. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A cos B + cos C = 2 cos A. B sin B + sin C = 2 sin A. 1 C sin B + sin C = sin A. D sin B + cos C = 2 sin A. 2 Lời giải b + c = 2a ⇔ 2R sin B + 2R sin C = 4R sin A ⇔ sin B + sin C = 2 sin A. Ví dụ 9 Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trên cạnh AC lấy điểm M sao cho diện tích tam 4 giác ABC bằng diện tích tam giác ABM . Đẳng thức nào sau đây đúng? 3 3 A AC = 3AM . B AM = M C. 4 1 C AM = M C. D AM = 3M C. 4 Lời giải 4 1 4 1 Ta có SABC = SABM ⇔ BA · AC = · BA · AM ⇔ AC = 3 2 3 2 4 AM ⇔ AM = 3M C. 3 B A TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 M C Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú... 165 Ví dụ 10 Trong tam giác ABC có b+c . A ma = 2 b+c C ma < . 2 B D b+c . 2 ma = b + c. ma > Lời giải  2 2 2 m2 = 2(b + c ) − a a 4 Ta có  a > |b − c| 2(b2 + c2 ) − (b − c)2 b2 + c2 + 2bc (b + c)2 Suy ra m2a < = = 4 4 4 b+c Hay ma < . 2 Dạng 3.3. Nhận dạng tam giác Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi góc C bằng A 60◦ . B 150◦ . C 120◦ . D 90◦ . Lời giải 1 ’ ≤ 1 a.b. Diện tích tam giác SABC = CB.CA sin ACB 2 2 1 ’ =1⇒ Do đó diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất bằng ab, đạt được khi sin ACB 2 ’ = 90◦ . ACB Ví dụ 2 1 Cho 4ABC có độ dài các cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c và diện tích S = (a + 2 b − c)(a − b + c). Khẳng định nào sau đây đúng? A 4ABC đều. B 4ABC cân. C 4ABC vuông tại A. D 4ABC vuông tại B. Lời giải p Theo công thức Hê – rông: S = p(p − a)(p − b)(p − c) = 1p (a + b + c)(b + c − a)(a + c − b)(a + b − c). 2 1 Ta có S = (a + b − c)(a − b + c) 2 1p 1 ⇔ (a + b + c)(b + c − a)(a + c − b)(a + b − c) = (a + c + b)(a + c − b) 2 2 GV: LÊ QUANG XE 166 Bài 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC ⇔ (a + b + c)(b + c − a)(a + c − b)(a + b − c) = (a + c + b)2 (a + c − b)2 ⇔ (b + c − a)(a + b − c) = (a + c + b)(a + c − b) ⇔ b2 − (a − c)2 = (a + c)2 − b2 ⇔ b2 − a2 − c2 + 2ac = a2 + c2 + 2ac − b2 ⇔ a2 + c 2 = b 2 . Vậy 4ABC vuông tại B. Ví dụ 3 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A Nếu b2 + c2 − a2 > 0 thì góc A tù. B Nếu b2 + c2 − a2 < 0 thì góc A vuông. C Nếu b2 + c2 − a2 < 0 thì góc A nhọn. D Nếu b2 + c2 − a2 > 0 thì góc A nhọn. Lời giải b 2 + c 2 − a2 . 2bc Nếu b2 + c2 − a2 > 0 thì suy ra cos A > 0 hay góc A nhọn. Áp dụng định lý cô-sin ta có cos A = GV: LÊ QUANG XE Ví dụ 4 Cho M (1; 4), N (−1; 3), P (0; 6). Gọi Q(a; b) là điểm thỏa mãn N P M Q là hình bình hành. Tổng a + b bằng A −1. B 0. C 2. D 1. Lời giải # » # » Ta có P N = (−1; −3) và M Q = (a − 1; b − 4). # » # » Tứ giác N P M Q là hình bình hành khi và chỉ khi P N = M Q ⇔ ® a − 1 = −1 b − 4 = −3 Do đó a + b = 1. Ví dụ 5 #» #» #» Cho #» a + b = 4, | #» a | = 2, b = 3. Tính #» a− b . √ √ A 3. B 10. C 12. D Lời giải A C0 B TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 C 2. ® ⇔ a=0 b = 1. Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú… 167 # » # » #» Gọi 3 điểm A, B, C thỏa mãn AB = #» a , BC = b . Suy ra 3 điểm A, B, C lập thành một tam giác với AB = 2, BC = 3, CA = 4. # » #» # » # » Ta có #» a − b = AB − BC = AC 0 , với C 0 là điểm đối xứng của C qua B. AC 02 + AC 2 CC 02 Áp dụng công thức trung tuyến cho tam giác ACC 0 ta có AB 2 = − 2 4 2 02 2 √ 4AB + CC − 2AC 4 · 4 + 36 − 2 · 16 02 02 0 Suy ra AC = ⇔ AC = ⇔ AC = 10. 2 2 Ví dụ 6 ® Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức sin B + sin C = 2 sin A cos B + cos C = 2 cos A đây đúng? A 4ABC vuông tại B. C 4ABC vuông tại A. Ta có ® sin B + sin C = 2 sin A B D . Khẳng định nào sau 4ABC cân tại C. 4ABC đều. Lời giải  b + c = 2a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇔ a + c − b + a + b − c = b + c − a cos B + cos C = 2 cos A 2ac 2ac bc ® b + c = 2a ⇔ b(a2 + c2 − b2 ) + c(a2 + b2 − c2 ) = 2a(b2 + c2 − a2 ) ® b + c = 2a ⇔ a2 (b + c) + bc(b + c) − (b3 + c3 ) = 2a(b2 + c2 ) − 2a3 ® b + c = 2a ⇔ 2a3 + 2abc − ((b + c)3 − 3bc(b + c)) = 2a((b + c)2 − 2bc) − 2a3 ® ® b + c = 2a b + c = 2a ⇔ ⇔ 3 3 2 4a + 2abc − (8a − 6abc) = 2a(4a − 2bc) bc = a2 ⇔ a = b = c. Vậy tam giác đều. Ví dụ 7 Cho 4ABC có độ dài các cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c và 2a + c √ . Khẳng định nào sau đây đúng? 4a2 − c2 A 4ABC đều. B 4ABC cân tại C. C 4ABC vuông tạiA. D 4ABC vuông tại B. 1 + cos B = sin B Lời giải (2a + c)2 1 + cos B 2a + c (1 + cos B)2 1 + cos B 2a + c √ = ⇔ = ⇔ = 2 2 2 2 2 sin B 4a − c 1 − cos B 2a − c sin B 4a − c 1 + cos B 2a + c 2 cos B 2c Ta có . ⇔ −1= −1⇔ = ⇔ 2a cos B = c 1 − cos B 2a − c 1 − cos B 2a − c ⇔ 2ac · cos B = c2 ⇔ a2 + c2 − b2 = c2 ⇔ a2 = b2 ⇔ a = b GV: LÊ QUANG XE 168 Bài 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC Dạng 3.4. Giải tam giác và các ứng dụng thực tế Ví dụ 1 Trên ngọn đồi có một tháp cao 100m (hình vẽ bên ). Đỉnh tháp B chân tháp C nhìn điểm A dưới chân đồi dưới một góc tương ứng 30◦ và 60◦ so với phương thẳng đứng. Xác định chiều cao CH của ngọn đồi. C 50m. A 45m. B 60m. D 40m. B 30◦ C 60◦ H A GV: LÊ QUANG XE Lời giải ’ = 60◦ − 30◦ = 30◦ . (Áp dụng tính chất góc ngoài tam giác). Ta có BAC Suy ra 4ABC cân tại C ⇒ AC = BC = 100m. ’ = 30◦ ⇒ HC = 1 AC = 50m. Xét 4AHC có HAC 2 Ví dụ 2 B Trên ngọn đồi có một cái tháp cao 100 m (hình vẽ). Đỉnh tháp B và chân tháp C lần lượt nhìn điểm A ở chân đồi dưới các góc tương ứng bằng 30◦ và 60◦ so với phương thẳng đứng. Tính chiều cao AH của ngọn đồi. A 55 m. B 45 m. C 60 m. D 50 m. 30◦ H C 60◦ h A Lời giải TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú… 169 Gọi I = AB ∩ CH. 100 Ta có BC = 100 ⇒ CI = BC tan 30 = √ . (1) 3 Tam giác AHI vuông tại H h ⇒ IH = h tan 30◦ = √ . (2) 3 Tam giác AHC vuông tại H √ (3) ⇒ CH = h tan 60◦ = h 3. 100 h Từ (1), (2), (3) và CH = CI + IH suy ra √ + √ = 3 3 √ h 3 2h 100 ⇒ √ = √ ⇔ h = 50. 3 3 B ◦ 30◦ H I C 60◦ h A Ví dụ 3 #» # » #» # » Cho hai lực F1 = M A, F2 = M B cùng tác động vào một vật tại điểm M cường độ hai #» #» ÷ B = 90◦ . Tìm cường độ của lực tổng hợp lực F1 , F2 lần lượt là 300(N) và 400(N). AM tác động vào vật. A 0(N). B 700(N). D 500(N). C 100(N). Lời giải #» #» #» # » # » Cường độ lực tổng hợp là F = F1 + F 2 = M A + M B # » = 2 M I = AB (I là trung điểm của AB ). √ #» Ta có AB = M A2 + M B 2 = 500, suy ra F = 500(N). B #» F2 I #» F1 M A Ví dụ 4 Cho tam giác ABC có chu vi bằng 26 cm và tam giác ABC. √ A 2 23 (cm2 ). √ C 3 39 (cm2 ). sin A sin B sin C = = . Tính diện tích của 2 6 5 √ B 6 13 (cm2 ). √ D 5 21 (cm2 ). Lời giải   sin B = 3 sin A sin A sin B sin C Ta có = = ⇔  sin C = 5 sin A. 2 6 5 2 GV: LÊ QUANG XE 170 Bài 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC  b = 3a a B c Mặt khác theo định lí sin trong tam giác ABC ta có = = ⇔ c = 5 a. sin A sin B sin C 2 5 13a Mà a + b + c = 26 ⇔ a + 3a + a = 26 ⇔ = 26 ⇔ a = 4 ⇒ b = 12 và c = 10. 2 2 Vậy diện tích tam giác ABC là » √ S4ABC = 13(13 − 4)(13 − 12)(13 − 10) = 3 39 (cm2 ). Ví dụ 5 Từ một đỉnh tháp chiều cao CD = 80m, người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các góc nhìn là 72◦ 120 và 34◦ 260 . Ba điểm A, B, D thẳng hàng. Tính khoảng cách AB gần đúng bằng A 91m. B 71m. D 40m. C 79m. Lời giải GV: LÊ QUANG XE CD . tan 72◦ 120 CD Xét tam giác BCD có: BD = . tan 34◦ 260 CD CD Vậy AB = BD−AD = − = ◦ 0 tan 34 26 tan 72◦ 120 80 80 − ≈ 91m. ◦ 0 tan 34 26 tan 72◦ 120 C Xét tam giác ACD có: AD = 0 12 72 0 ◦ 34 B ◦ 26 D A Ví dụ 6 Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao h = 1, 3m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1 , B1 cùng thẳng hàng với C1 thuộc chiều cao CD ◦ ◊ của tháp. Người ta đo được góc DA 1 C1 = 49 ◦ ◊ và DB 1 C1 = 35 . Tính chiều cao CD của tháp. D 49◦ C1 22, 77m. B 21, 47m. C 35◦ B1 12m C A A1 20, 47m. 12m A D B 21, 77m. Lời giải ◦ ◦ ◦ ◊ ◦ ◦ ◦ ◦ ◊ ◊ a Ta có C 1 DA1 = 90 − 49 = 41 , C1 DB1 = 90 − 35 = 55 , nên A1 DB1 = 14 . b Xét tam giác A1 DB1 , ta có A1 B1 A1 D 12. sin 35◦ = ⇒ A1 D = ≈ 28, 45m. sin 14◦ ◊ ◊ sin A sin A 1 DB1 1 B1 D TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú… 171 c Xét tam giác C1 A1 D vuông tại C1 , ta có ◊ d sin C 1 A1 D = C1 D ⇒ C1 D = A1 D · sin C1 A1 D = 28, 45 · sin 49◦ ≈ 21, 47m A1 D e ⇒ CD = C1 D + CC1 ≈ 22, 77m. Ví dụ 7 Gọi S, √R lần lượt là diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi √ √ 3 2 S = R thì biểu thức 12 sin A + 2 sin B + 3 sin C đạt giá trị nhỏ nhất bằng m. 2 Tìm khẳng định Å đúng. ã Å ã 11 13 ;6 . . A m∈ B m ∈ 6; Å2 Å 2ã ã 31 11 C m ∈ 15; . D m ∈ 5; . 2 2 Lời giải √ √ √ √ a b c 12 sin A + 2 sin B + 3 sin C = 2 3 · +2· + 3· 2R 2R … 2R … √ √ a b c 3 3 3abc ≥3 2 3· ·2· · 3· =3 . Ta có 2R 2R 2R 2R3 … √ Å ã » √ 6 11 3 2 6 3 3 3 abc · =3 R · 2 = 3 3 3 = m ∈ 5; =3 4R R2 2 R 2 Ví dụ 8 Trên cánh đồng có 2 con bò được cột vào 2 cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa hai cọc là 4 mét, còn 2 sợi dây cột 2 con bò dài 3 mét và 2 mét. Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất). A 1,989m2 . B 1,034m2 . C 1,574m2 . D 2,824m2 . Lời giải C A B Con bò thứ nhất có thể ăn cỏ trong hình tròn tâm A bán kính AC = 3m. Con bò thứ hai có thể ăn cỏ trong hình tròn tâm B bán kính BC = 2m. GV: LÊ QUANG XE 172 Bài 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC Phần diện tích lớn nhất hai con có thể ăn chung là phần giao của hai hình tròn. Xét tam giác ABC có AC = 3; BC = 2; AB = 4. 2 2 2 ’ = BA + BC − AC = 11 ⇒ ABC ’ ≈ 46◦ 340 ⇒ CBD ’ ≈ 93◦ 80 . ⇒ cos ABC 2BA · BC 16 57◦ 540 · πAC 2 93◦ 80 · πBC 2 2 ≈ 3,251 m . ⇒ S = ≈ 4, 548 m2 . ⇒ SCBD = CAD 360◦ 360◦ 1 ’ ≈ 1, 997 m2 và S∆CAD = 1 AC · AD · sin CAD ’ ≈ 3, 812 Lại có S∆CBD = BC · BD · sin CBD 2 2 m2 . Vậy S = (SqCAD − S∆CAD ) + (SqCBD − S∆CBD ) = (4,548 − 3,812) + (3,251 − 1,997) = 1,99 m2 . Nhận xét: mỗi con bò có thể ăn cỏ trong hình tròn có tâm là cọc buộc, bán kính là dây buộc. Do đó phần diện tích cỏ có thể ăn chung lớn nhất chính là phần giao nhau của hai hình tròn. Ví dụ 9 Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (Hình vẽ). Biết AH = 4 m, HB = 20 m, ’ = 45◦ . Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây? BAC GV: LÊ QUANG XE C A 45◦ 20 m H A 14 m. B 15 m. B C 17 m. D 16 m. Lời giải √ √ √ Ta có AB = AH 2 + BH 2 = 42 + 202 = 4 26. ’ = HB = 20 = 5 ⇒ HAB ’ ≈ 78,69◦ . tan HAB HA 4 ’ = HAB ’ ≈ 78,69◦ . Do AH //BC nên ABC ’ = 180◦ − 45◦ − ABC ’ ≈ 56,31◦ . ACB Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ABC ta có √ BC AB 4 26 = = ⇒ BC ≈ 17,33. sin 45◦ sin 56,31◦ sin 56,31◦ C A 45◦ H TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 B Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú… 173 3.3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN THEO MỨC ĐỘ 3.3.1. Nhận biết √ Câu 1. Tam giác đều cạnh 2a 3 có diện tích bằng √ A 3 2 a. 3 B 1 2 a. 2 √ C 3 2 a. 2 D √ 3 3a2 . √ 3 Hûúáng dêîn: Ta có diện tích của tam giác đều cạnh bằng a là a . 4 √ √ √ 3 Áp dụng ta được (2a 3)2 = 3 3a2 . 4 Chọn đáp án D 2 Câu 2. Cho 4ABC với các cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Gọi R, r, S lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác ABC. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? abc a A S = B R= . . 4R sin A 1 D a2 + b2 − c2 = 2ab cos C. C S = ab sin C. 2 a = 2R. Hûúáng dêîn: Theo định lí Sin trong tam giác, ta có sin A Chọn đáp án B Câu 3. Câu 9Cho 4ABC có độ dài các cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c. Hệ thức nào sau đây là đúng? A C a cos A + b cos B = c. a cos B + b cos A = c. B D Hûúáng dêîn: Ta có a cos B + b cos A = a · a cos A − b cos B = c. a cos B − b cos A = c. a2 + c 2 − b 2 b 2 + c 2 − a2 2c2 +b· = = c. 2ac 2bc 2c Chọn đáp án C Câu 4. Cho tam giác ABC với độ dài các cạnh lần lượt là 13, 14, 15. Diện tích của tam giác bằng A √ 42. B √ 84. C 84. D 42. 13 + 14 + 15 = 21. 2 p Theo công thức Hê – rông, ta có diện tích của 4ABC là p(p − a)(p − b)(p − c) = 84. Hûúáng dêîn: Nửa chu vi của tam giác là p = Chọn đáp án C 3.3.2. Thông hiểu Câu 5. Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi ’ bằng bao nhiêu độ? đẳng thức b(b2 − a2 ) = c(a2 − c2 ). Khi đó góc BAC A 30◦ . B 45◦ . C 60◦ . GV: LÊ QUANG XE D 90◦ . 174 Bài 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC Hûúáng dêîn: Ta có b(b2 − a2 ) = c(a2 − c2 ) ⇔ b3 − ba2 − ca2 + c3 = 0 ⇔ (b + c)(b2 − bc + c2 ) − a2 (b + c) = 0 ⇔ (b + c)(b2 − bc + c2 − a2 ) = 0 ⇔ b2 + c2 − a2 = bc b 2 + c 2 − a2 1 ⇔ = 2bc 2 1 ’= ⇔ cos BAC 2 ◦ ’ ⇔ BAC = 60 . Chọn đáp án C b = 75◦ , B “ = 45◦ . Tỷ số AB bằng Câu 6. Tam giác ABC có các góc A √ A 6 . 3 √ B 6. C √ AC 6 . 2 D 1, 2. b = 180◦ − 75◦ − 45◦ = 60◦ . Hûúáng dêîn: Ta có C GV: LÊ QUANG XE √ AB sin C sin 60◦ 6 Theo định lý sin, ta có: = = = . ◦ AC sin B sin 45 2 Chọn đáp án C Câu 7. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 2. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Diện tích tam giác M N P bằng √ √ 3 3 . . A B 6 3 C √ 3 . 4 √ D 3 . 2 Hûúáng dêîn: 1 Ta có M , N lần lượt là trung điểm BA, BC nên M N = AC = 1. 2 Tương tự ta có N P = M P = 1. √ 3 Vậy diện tích tam giác M N P bằng . 4 A P M C N B Chọn đáp án C Câu 8. Cho G1 , G2 , G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác đều ABC, ACD, BCE. Số đo ÿ G 2 G1 G3 bằng A 135◦ . B 150◦ . C 100◦ . TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 D 120◦ . Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú… 175 Hûúáng dêîn: B Gọi H là trung điểm của cạnh AC, từ giả thiết ta có ÿ ÷ G 2 G1 G3 = 2CG1 H Ä ä ÷ = 2 90◦ − G 1 CH G1 H G3 = 2 (90◦ − 30◦ ) = 120◦ . ◦ ÿ Vậy G 2 G1 G3 = 120 . A G2 E C D Chọn đáp án D Câu 9. Cho tam giác ABC đều có bán kính đường tròn ngoại tiếp R. Tính diện tích tam giác ABC. A √ 3 3R . 4 2 B R 2 √ √ 3. C 3 R . 4 2 √ D R 2 3 . 2 √ BC = 2R ⇒ BC = 2R sin 60◦ = R 3. sin A √ √ 3 3 = 3R2 . Suy ra diện tích tam giác đều ABC là S = BC 2 · 4 4 Chọn đáp án A Hûúáng dêîn: Áp dụng định lý sin ta có Câu 10. Cho một hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b. Công thức nào dưới đây là công thức tính diện tích của hình bình hành đó? ’ A a2 + b 2 . B ab sin ABC. Hûúáng dêîn: SABCD = 2SABC = 2 · C ab. D 2(a + b). 1 ’ = ab sin ABC. ’ · AB · BC sin ABC 2 Chọn đáp án B Câu 11. Cho 4ABC có AB = 5, A = 40◦ , B = 60◦ . Độ dài BC gần nhất với kết quả nào? 3,3. C 3,5. Ä ä b = 180◦ − A b+B “ = 80◦ Hûúáng dêîn: Ta có C BC AB 5 · sin 40◦ Áp dụng định lí sin: = ⇒ BC = ≈ 3,7. sin A sin C sin 80◦ Chọn đáp án A A 3,7. B D 3,1. Câu 12. Cho 4ABC vuông ở A, biết C = 30◦ , AB = 3. Tính độ dài trung tuyến AM . A 3. B 4. C 5 . 2 Hûúáng dêîn: GV: LÊ QUANG XE D 7 . 2 176 Bài 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC A B 30◦ M C b = 30◦ , AB = 3 nên BC = AB = 6. Do tam giác 4ABC vuông ở A, C sin 30◦ 1 Độ dài đường trung tuyến AM = BC = 3. 2 Chọn đáp án A Câu 13. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C. Tìm khẳng định sai? cos C + cos(A + B) = 0. A+C B = cos . C cot B = cot(A + C). D sin 2 2 Hûúáng dêîn: Ta có: A + B + C = π ⇔ C = π − (A + B). ⇒ cot C = cot [π − (A + B)] ⇔ cot C = − cot(A + B). Đáp án cot B = cot(A + C) sai. A sin A = sin(B + C). B GV: LÊ QUANG XE Chọn đáp án C Câu 14. Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức b + c = 2a. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A C cos B + cos C = 2 cos A. 1 sin B + sin C = sin A. 2 B sin B + sin C = 2 sin A. D sin B + cos C = 2 sin A.   a = 2R sin A b c a = = = 2R ⇔ b = 2R sin B Hûúáng dêîn: Ta có  sin A sin B sin C  c = 2R sin C. Mà b + c = 2a ⇔ 2R sin B + 2R sin C = 4R sin A ⇔ sin B + sin C = 2 sin A. Chọn đáp án B Câu 15. Cho tam giác ABC. Đẳng thức nào sai? B+C A = sin . sin(A + B − 2C) = sin 3C. B cos 2 2 A + B + 2C C C cos = sin . D sin(A + B) = sin C. 2 2 Å ã Å ã Å ã A + B + 2C π+C π C C = cos = cos + = − sin . Hûúáng dêîn: Ta có cos 2 2 2 2 2 A Chọn đáp án C Câu 16. Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức b + c = 2a. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú… A C 177 cos B + cos C = 2 cos A. 1 sin B + sin C = sin A. 2 B sin B + sin C = 2 sin A. D sin B + cos C = 2 sin A. Hûúáng dêîn: Theo định lý sin trong tam giác ta có a b c = = = 2R ⇒ sin A sin B sin C   a = 2R sin A b = 2R sin B   c = 2R sin C. Do đó b + c = 2a ⇔ 2R (sin B + sin C) = 4R sin A ⇔ sin B + sin C = 2 sin A. Chọn đáp án D Câu 17. Cho 4ABC với các cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Gọi R, r, S lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác ABC. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? abc a . . A S = B R= 4R sin A 1 C S = ab sin C. D a2 + b2 − c2 = 2ab cos C. 2 a Hûúáng dêîn: Theo định lý Sin trong tam giác, ta có = 2R. Nên mệnh đề sai là sin A a “R = ”. sin A Chọn đáp án B √ Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC thỏa mãn b2 + c2 − a2 = 3bc. Khi đó b = 45◦ . b = 30◦ . b = 60◦ . b = 75◦ . A A B A C A D A Hûúáng dêîn: Theo định lý cô-sin ta có cos A = Theo bài ra b 2 + c 2 − a2 = √ b 2 + c 2 − a2 . 2bc √ √ 3bc 3 3bc ⇒ cos A = = ⇒ A = 30◦ . 2bc 2 b = 30◦ . Vậy A Chọn đáp án B Câu 19. Cho 4ABC có sin A = 2 sin B · cos C. Khẳng định nào sau đây đúng? A C 4ABC cân tại A. 4ABC vuông tại A. B D Hûúáng dêîn: Có sin A = 2 sin B · cos C ⇔ a = 2b · Vậy 4ABC cân tại A. 4ABC cân tại B. 4ABC đều. a2 + b 2 − c 2 ⇔ b = c. 2ab Chọn đáp án D Câu 20. Cho tam giác 4ABC có độ dài các cạnh BC, AB, AC lần lượt là a, b, c và cos … b+c . Khẳng định nào sau đây đúng? 2c GV: LÊ QUANG XE A = 2 178 A C Bài 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC 4ABC vuông tại B. 4ABC vuông tại A. Hûúáng dêîn: Ta có cos B D A = 2 … b 2 + c 2 − a2 b = ⇔ b 2 + a2 = c 2 . 2bc c Vậy 4ABC vuông tại C. 4ABC vuông tại C. 4ABC đều. b+c A b+c 1 + cos A b 1 ⇔ cos2 = ⇔ = + ⇔ 2c 2 2c 2 2c 2 Chọn đáp án B Câu 21. Cho tam giác ABC có a + 3b + 5c = 28 và sin A + 3 sin B + 5 sin C = 7. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 1 1 A R= . B R= . C R = 2. D R = 4. 4 2 Hûúáng dêîn: Ta có a + 3b + 5c = 28 ⇔ 2R (sin A + 3 sin B + sin C) = 28 ⇒ R = 2. Chọn đáp án C Câu 22. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 78◦ 240 . Biết CA = 250 m, CB = 120 m. Khoảng cách AB bằng bao nhiêu? GV: LÊ QUANG XE A 266 m. B 255 m. C 166 m. D 298 m. Hûúáng dêîn: Áp dụng định lí cô-sin cho 4ABC, ta có AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA · CB · cos C C = 2502 + 1202 − 2 · 250 · 120 · cos 78◦ 240 . 78◦ 240 250 m ≈ 64835 ⇒ AB ≈ 255 (m). A 120 m B Chọn đáp án B 3 . Đường cao ha của tam giác bằng 5 √ √ C 80 3. D 8 3. Câu 23. Cho tam giác ABC có b = 7, c = 5, cos A = A 8. B √ 7 2 . 2 √ 4 1 1 − cos2 A = , ⇒ S4ABC = · b · c · sin A = 14; 5 2 √ √ lại có a = b2 + c2 − 2bc · cos A = 4 2. √ 2 · S4ABC 14 7 2 Từ đây có ha = = √ = . a 2 2 2 Hûúáng dêîn: Ta có sin A = Chọn đáp án B Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 4), B(3; 2), C(5; 4). Chu vi của tam giác đã cho là √ A P = 8 + 8 2. √ C P = 4 + 2 2. B D √ P = 2 + 2 2. √ P = 4 + 4 2. TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú… 179 p √ (3 − 1)2 + (2 − 4)2 = 2 2; AC = (5 − 1)2 + (4 − 4)2 = 4; p √ BC = (5 − 3)2 + (4 − 2)2 = 2 2. √ Chu vi tam giác ABC là: P = AB + AC + BC = 4 + 4 2. Hûúáng dêîn: Ta có: AB = p Chọn đáp án C 3.3.3. Vận dụng thấp Câu 25. Tam giác ABC có các trung tuyến ma = 10, mb = 8 và mc = 6. Tính diện tích S của tam giác ABC. A S = 32. B S = 24. C S = 48. D S = 64. Hûúáng dêîn: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB, G là trọng tâm tam giác ABC. Theo bài ra ta có AM = 10, BN = 8, CP = 6. Lấy Q đối xứng với G qua M thì BGCQ là hình bình 2CP hành và ta có BQ = CG = = 4, QG = 2GM = 3 2AM 20 = . 3 3 16 2BN = nên QG2 = BG2 + BQ2 hay Mà BG = 3 3 4BGQ vuông tại B. BG · BQ 32 Suy ra SBGQ = = . 2 3 1 Mà SBGQ = SBGC = SABC ⇒ SABC = 32. 3 Chọn đáp án A A P N G B M C Q Câu 26. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 4, BC = 6, M là trung điểm của BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho N D = 3N C. Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AM N bằng √ √ √ √ 3 5 5 2 A 3 5. B . C 5 2. D . 2 2 Hûúáng dêîn: B M C N A Ta có M N = √ 45. D √ √ √ √ M C 2 + N C 2 = 10; AM = AB 2 + BM 2 = 5; AN = AD2 + DN 2 = GV: LÊ QUANG XE 180 Bài 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC Do đó AM + AN + M N = p= 2 √ 10 + 5 + 2 √ 45 và » 15 p(p − AM )(p − AN )(p − M N ) = . 2 Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AM N là √ AM · AN · M N 5 2 R= = . 4SAM N 2 SAM N = Chọn đáp án D b = 90◦ , AB = 3, BC = 6. Độ dài đường phân giác AD bằng Câu 27. Cho 4ABC có A A C ä √ Ä√ 3 6 3−1 Ä√ ä 3−1 √ . Ä√ 2 ä 3 3+1 √ . 2 3 B Ä√ 2 ä 3 3+1 D 2 . . Hûúáng dêîn: GV: LÊ QUANG XE Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông ABC có √ AC 2 = BC 2 − AB 2 = 36 − 9 = 27 ⇒ AC = 3 3. Lại có A S4ABC = S4ABD + S4DAC 1 1 1 ⇔ AB · AC = AC · AD · sin 45◦ + AB · AD B · sin 45◦ D 2 2 2 √ ä 9√ 2Ä √ 3 3 + 3 · AD ⇔ 3= 2 4 √ 9 3 ⇔ AD = √ Ä ä 2 √ 3 3+3 2√ 3 6 ⇔ AD = √ 3+1 ä √ Ä√ 3−1 3 6 . ⇔ AD = √ Ä√ 2 ä 3 6 3−1 Vậy AD = . 2 Chú ý: Có thể tính góc B rồi suy ra góc ADB. Áp dụng định lí sin tính AD. Chọn đáp án B # » C # » Câu 28. Cho tam giác đều ABC, gọi D là điểm thỏa mãn DC = 2BD. Gọi R, r lần lượt là R bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ADC. Tính tỉ số . r √ √ √ 7+5 7 5+7 7 7+5 5 A . B . C . 9 9 9 TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 D 5 . 2 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú… 181 Hûúáng dêîn: Giả sử cạnh tam giác đều ABC là a, (a > 0). √ 2 2 a2 3 S4ACD = S4ABC = · = 3 3 4 √ a2 3 ; 6 2 2a CD = BC = . 3 3 2 2 AD = AC + CD2 − 2AC · CD · cos 60◦ Å ã2 2a 1 7a2 2a 2 B − 2a · · = = a + 3 3 2 9 √ a 7 . ⇒ AD = 3 √ a 7 2a · ·a AD · CD · AC 3 R= = 3 2√ = 4 · S4ACD a 3 4· 6 √ a 21 ; 9 √ Ä a 7 2a √ ä + + a a 5 + 7 AD + CD + AC 3 p= = 3 = . 2 2 6 √ a2 3 √ S4ACD 3 a √ ; = Ä 6√ ä = r= p 5+ 7 a 5+ 7 √ R 7+5 7 ⇒ = . r 9 Chọn đáp án A A O I D C 6 Câu 29. Nếu tam giác ABC có a2 < b2 + c2 thì A C b là góc tù. A b là góc nhọn. A B D b là góc vuông. A b là góc nhỏ nhất. A Hûúáng dêîn: Ta có a2 = b2 + c2 − 2bc cos A ⇒ cos A = cos A > 0. b là góc nhọn. Vậy A b 2 + c 2 − a2 . Do a2 < b2 + c2 nên 2bc Chọn đáp án C Câu 30. Cho 4ABC có AB = 2, AC = 3, A = 60◦ . Tính độ dài đường phân giác trong góc A của tam giác ABC. A 12 . 5 B √ 6 2 . 5 C √ 6 3 . 5 Hûúáng dêîn: GV: LÊ QUANG XE D 6 . 5 182 Bài 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC B D 2 A C 3 Gọi AD là đường phân giác trong của góc A. Ta có SABD + SACD = SABC 1 A 1 A 1 · AD · AB · sin + · AD · AC · sin = · AB · AC · sin A 2 2 2 2 2 A AD · sin · (AB + AC) = AB · AC · sin A 2 AB · AC · sin A AD = A (AB + AC) · sin 2√ ◦ 2 · 3 · sin 60 6 3 D= = ◦ (2 + 3) · sin 30 5 ⇔ ⇔ GV: LÊ QUANG XE ⇔ ⇔ Chọn đáp án C Câu 31. Cho tam giác ABC thay đổi có BC = a và CA = 2a với a là độ dài cho trước. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi góc C bằng: A 60◦ . B 90◦ . Hûúáng dêîn: Diện tích của tam giác ABC: S = C 150◦ . D 120◦ . 1 1 · BC · CA · sin C = · a · 2a · sin C = 2 2 a2 · sin C ≤ a2 . Đẳng thức xảy ra ⇔ sin C = 1 ⇔ C = 90◦ . Vậy diện tích của tam giác ABC lớn nhất khi C = 90◦ . Chọn đáp án B Câu 32. Cho tam giác ABC thỏa mãn sin2 B + sin2 C = 2 sin2 A. Khẳng định nào sau đây đúng? A C 4ABC vuông tại B. ’ ≤ 60◦ . BAC B D ’ ≤ 60◦ . ABC 4ABC đều. Hûúáng dêîn: Ta có sin2 B + sin2 C = 2 sin2 A ⇔ b2 + c2 = 2a2 . ’= Có cos BAC b 2 + c 2 − a2 a2 a2 1 ’ ≤ 60◦ . = ≥ 2 = ⇒ BAC 2 2bc 2bc b +c 2 Chọn đáp án C Câu 33. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 4, BC = 6, M là trung điểm của BC, TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú... 183 N là điểm trên cạnh CD sao cho N D = 3N C . Khi đó bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AM N bằng √ √ √ √ 3 5 5 2 . . A 3 5. B C 5 2. D 2 2 Hûúáng dêîn: Ta có: B √ M C = 3, N C = 1 ⇒ M N = 10, BM = 3, AB = 4 ⇒ AM = 5, √ AD = 6, N D = 3 ⇒ AN = √ 45, √ 10 + 5 + 45 AM + AN + M N = , p= 2 p2 SAM N = p (p − AM ) (p − AN ) (p − M N ) = 15 2 Bán kính của đường tròn ngoại tiếp của tam giác A AM N là: √ AM.AN.M N 5 2 R= = 4SAM N 2 M C N D Chọn đáp án D Câu 34. Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh thuận người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao h = 1, 3m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1 , B1 cùng thẳng hàng với C1 thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được ◦ ◦ ◊ ◊ góc DA 1 C1 = 49 và DB1 C1 = 35 . Tính chiều cao CD của tháp. D 49◦ C1 A1 12m 1,3m C A 22, 77m. A B 35◦ B1 21, 47m. 12m C B 21, 77m. D 20, 47m. Hûúáng dêîn: ∆A1 C1 B vuông nên A1 C1 = DC1 · cot DA1 C1 = DC1 · cot 49◦ . ∆B1 C1 D vuông nên B1 C1 = DC1 · cot DB1 C1 = DC1 · cot 35◦ . B1 C1 − A1 C1 = 12 ⇔ DC1 (cot 35◦ − cot 49◦ ) = 12 ⇒ DC1 ≈ 21 · 47. Do đó chiều cao tháp CD = CC1 + C1 D ≈ 1, 3 + 21, 47 ≈ 22, 77m. Chọn đáp án A #» # » #» # » Câu 35. Cho hai lực F1 = M A, F2 = M B cùng tác động vào một vật tại điểm M cường độ #» #» ÷ hai lực F1 , F2 lần lượt là 300(N) và 400(N). AM B = 90◦ . Tìm cường độ của lực tổng hợp GV: LÊ QUANG XE 184 Bài 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC tác động vào vật. A 0(N). B 700(N). C 100(N). 500(N). D Hûúáng dêîn: # » # » #» #» #» Cường độ lực tổng hợp là F = F1 + F 2 = M A + M B # » = 2 M I = AB (I là trung điểm của AB ). √ #» Ta có AB = M A2 + M B 2 = 500, suy ra F = 500(N). B #» F2 I #» F1 M A Chọn đáp án D GV: LÊ QUANG XE 3.3.4. Toán thực tế Câu 36. D Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12 m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3 m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A0 , B 0 cùng thẳng hàng với C 0 thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo 0 C 0 = 49◦ và DB 0 C 0 = 35◦ . Chiều cao ÷ ÷ được góc DA CD của tháp là?(làm tròn đến hàng phần trăm). A 21,77 m. B 22,77 m. C0 49◦ C C 35◦ 0 21,47 m. A B0 A B D 20,47 m. Hûúáng dêîn: Ta có CC 0 = 1,3 m. Áp dụng định lý sin trong 4A0 B 0 D ta được B0D A0 B 0 B0D 12 12 · sin 131◦ 0 = ⇔ = ⇔ B D = . 0 A0 D) 0 A0 D − 35◦ ) sin 131◦ sin 14◦ sin 14◦ ÷ ÷ sin(180◦ − C sin(180◦ − B Xét 4B 0 C 0 D có 12 · sin 131◦ · sin 35◦ C D = B D · sin 35 = ≈ 21,47 sin 14◦ Độ dài CD = C 0 D + CC 0 ≈ 22,77 m. 0 0 ◦ TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 10 m. Chûúng 2. Tñch vö hûúáng cuãa hai vectú... 185 Chọn đáp án B Câu 37. B Cho hai vị trí A, B cách nhau 615 m, cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ song lần lượt là 118 m và 487 m. Một người đi từ A đến bờ sông lấy nước mang về B. Tính đoạn đường ngắn nhất mà người ấy có thể đi. A 779,8 m. B 671,4 m. C 741,2 m. D 596,5 m. A H M K Bờ sông Hûúáng dêîn: B Gọi H, K là hình chiếu của A, B trên bờ sông, lấy A0 đối 0 xứng với A qua bờ HK. Nối A B cắt bờ HK tại M . Suy ra AM = A0 M . Ta có AM + M B = A0 M + M B ≥ A0 B nên quãng đường A ngắn nhất người đó đi là AM + M B = A0 B. C Kẻ AC ⊥ BK tại C ⇒ AHKC là hình chữ nhật có H K CK = AH = 118 m. M Suy ra CB = BK − CK = 487 − 118 = 369 m. A0 Tam giác CAB vuông tại C ⇒ AC = HK = √ AB 2 − BC 2 = 492 m. HM A0 M A0 H 118 Ta có HA0 //BK ⇒ = = = MK MB BK 487 HM 118 HM 118 118 ⇒ = ⇒ = = ⇔ MK 487 HM + M K 118 + 487 605 118 HM = HK 605 HM 118 58056 ⇔ = ⇒ HM = . 492 605 605 Å ã √ 58056 2 0 0 2 02 Xét tam giác HM A có M A = HM + HA = + 1182 ≈ 152, 093. 605 A0 M 118 A0 M 118 A0 M 118 A0 M.605 Tù đó = ⇒ 0 = ⇔ 0 = ⇔ A0 B = ≈ MB 487 A M + MB 118 + 487 AB 05 118 779,8 m. Chọn đáp án A ĐÁP ÁN BÀI 3 1.D 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C 7.C 8.D 9.A 10.B 11.A 12.A 13.C 14.B 15.C 16.D 17.B 18.B 19.D 20.B 21.C 22.B 23.B 24.C 25.A 26.D 27.B 28.A 29.C 30.C 31.B 32.C 33.D 34.A 35.D 36.B 37.A GV: LÊ QUANG XE
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top