Sử dụng phương pháp tỉ số thể tích giải quyết bài toán thể tích khối đa diện – Nguyễn Ngọc Dũng

Giới thiệu Sử dụng phương pháp tỉ số thể tích giải quyết bài toán thể tích khối đa diện – Nguyễn Ngọc Dũng

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Sử dụng phương pháp tỉ số thể tích giải quyết bài toán thể tích khối đa diện – Nguyễn Ngọc Dũng CHƯƠNG Khối Đa Diện.

Tài liệu môn Toán và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Sử dụng phương pháp tỉ số thể tích giải quyết bài toán thể tích khối đa diện – Nguyễn Ngọc Dũng

Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm về môn Toán.

Text Sử dụng phương pháp tỉ số thể tích giải quyết bài toán thể tích khối đa diện – Nguyễn Ngọc Dũng
h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích PHƯƠNG PHÁP TỈ SỐ THỂ TÍCH Nguyễn Ngọc Dũng – Học viên cao học ĐHSP HCM Ngày 29 tháng 9 năm 2018 Tóm tắt lý thuyết 1. Kỹ thuật chuyển đỉnh (đáy không đổi) A. Song song đáy mới cũ Vcũ = Vmới đáy P B. Cắt đáy mới B cũ Vcũ Giao cũ IA = = Vmới IB Giao mới A P 2. I đáy Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi) Sđáy cũ Vcũ = Vmới Sđáy mới 4 a) ! Để kỹ thuật chuyển đáy được thuận lợi, ta nên chọn hai đáy có cùng công thức tính diện tích, khi đó ta sẽ dễ dàng so sánh tỉ số hơn. b) Cả hai kỹ thuật đều nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu về đa diện khác dễ tính thể tích hơn. 3. Tỉ số diện tích của hai tam giác P x M S4OM N OM ON = · S4AP Q OP OQ O N ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – Ô 0976071956 ? Q y Page 1 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – 0976071956 I. h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích 4. Tỉ số thể tích của khối chóp A. Công thức tỉ số thể tích của hình chóp tam giác S M Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – 0976071956 P SM SN SP VS.M N P = · · VS.ABC SA SB SC C A N B 4 Công thức trên chỉ áp dụng cho hình chóp tam giác, do đó trong nhiều trường hợp ta cần linh hoạt phân chia hình chóp đã cho thành nhiều hình chóp tam giác khác nhau rồi mới áp dụng. ! B. Một trường hợp đặc biệt S Nếu (A1 B1 C1 D1 ) k (ABCD) và SB1 SC1 SD1 SA1 = = = = k thì SA SB SC SD A1 VS.A1 B1 C1 D1 = k3 VS.ABCD D1 B1 C1 A B Kết quả vẫn đúng trong trường hợp đáy là n − giác. C D 5. Tỉ số thể tích của khối lăng trụ A. Lăng trụ tam giác A0 Gọi V là thể tích khối lăng trụ, V(4) là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ, V(5) là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó: • V(4) = • V(5) = V 3 B0 C0 A 2V 3 B C V 2V ; VA0 B 0 ABC = . 3 3 Bốn đỉnh được lấy phải tạo thành tứ diện. Ví dụ. VA0 B 0 BC = 4 ! Page 2 of 23 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – Ô 0976071956 ? h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích B. Mặt phẳng cắt các cạnh bên của lăng trụ tam giác A0 Gọi V1 , V2 và V lần lượt là thể tích phần trên, phần dưới AM CN BP và lăng trụ. Giả sử = m, = n, = p. Khi đó: AA0 CC 0 BP 0 B0 M C0 V1 P m m+n+p ·V V2 = 3 p V2 A ! 6. n N C Khối hộp A. Tỉ số thể tích của khối hộp Gọi V là thể tích khối hộp, V(4) là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp. Khi đó: • V(4) 2 đường chéo của V = 3 2 mặt song song A0 D0 C0 A V • V(4) (trường hợp còn lại) = 6 B D 4 Bốn đỉnh được lấy phải tạo thành tứ diện. V V Ví dụ. VA0 C 0 BD = ; VA0 C 0 D0 D = . 3 6 ! B. B0 C Mặt phẳng cắt các cạnh của hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau) A0 B0 Q DM =x DD0 BP =y BB 0    D0 ⇒ V2 =   x+y ·V 2 C0 y A M x V2 D II. P B N C Một số dạng toán Dạng 1: Tỉ số thể tích của khối chóp tam giác 1. Công thức tỉ số thể tích của khối chóp tam giác: ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – Ô 0976071956 ? Page 3 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – 0976071956 4 B AM CN Khi M ≡ A , N ≡ C thì = 1, = 0. 0 AA CC 0 0 h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích S M P VS.M N P SM SN SP = · · VS.ABC SA SB SC C Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – 0976071956 A N B 2. Sử dụng kỹ thuật chuyển đỉnh, kỹ thuật chuyển đáy (trình bày phần lý thuyết) để đưa khối chóp đã cho về khối chóp khác đơn giản hơn. 3. Chú ý các tỉ số đặc biệt trên hình, sử dụng các định lý của hình sơ cấp để tính tỉ số (Ta-lét, tam giác đồng dạng, phương tích,. . . ) 4. Tỉ số diện tích của hai tam giác: P x M OM ON S4OM N = · S4AP Q OP OQ O N 1. Q y Một số ví dụ Ví dụ 1 (THPTQG 2017) Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (M N E) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối có thể tích V . Tính V√. √ đa3 diện, trong đó khối√đa3diện chứa đỉnh A √ 7 2a 11 2a 13 2a3 2a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 216 216 216 18 Lời giải. Page 4 of 23 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – Ô 0976071956 ? h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích A M Q D E P N C √ Dễ dàng tính được VABCD = 2a3 . 12 √ Bài tập trắc nghiệm  Câu 1 (THPT Ngô Sỹ Liên, Bắc Giang, HKII – 2017). Cho hình chóp A.BCD có đáy BCD √ là tam giác vuông tại C, với BC = a, CD = a 3. Hai mặt phẳng (ABD) và (ABC) cùng vuông góc với mặt phẳng (BCD). Biết AB = a, M, N lần lượt thuộc cạnh AC, AD sao cho AM = 2M C, AN = N D. Tính chóp A.BM N. √ thể tích V của khối3 √ √ √ 2a3 3 a 3 a3 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 9 3 18 9 Câu 2 (THPT Vĩnh Lộc, Thanh Hóa, lần 2). Cho hình chóp đều S.ABC có SA = 3a. D thuộc cạnh SB và DB = a. Mặt phẳng (α) đi qua AD và song song với BC cắt SC tại E. Tính tỉ số giữa thể tích khối tứ diện SADE và thể tích khối chóp S.ABC. 2 4 1 1 A. . B. . C. . D. . 9 9 3 4 Câu 3 (THPT Quốc Học, Quy Nhơn, lần 2, 2017). Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE = 3EB. Tính thể tích V 0 của khối tứ diện EBCD theo V. V V V V A. V 0 = . B. V 0 = . C. V 0 = . D. V 0 = . 2 5 3 4 Câu 4 (THPT Lê Quý Đôn, TP HCM, 2017). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB = AC = a, SC vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SC = a. Mặt phẳng qua C, vuông√góc với SB và cắt SA, √ SB lần lượt tại E, F . Tính thể tích khối chóp S.CEF . 3 3 a 2 a 2 a3 a3 . B. . C. . D. . A. 12 36 36 12 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – Ô 0976071956 ? Page 5 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – 2. 2a3 . 6 0976071956 Dùng kỹ thuật chuyển đáy, ta thấy ngay VA.BCD = VA.CDE , do đó VA.BCE = 2VABCD = √ 3 BM BN BE 1 VB.M N E 2a = · · = ⇒ VB.M N E = . Ta có VB.ACE BA BC BE 4 24 ED EP EQ 2 2 VE.DP Q = · · = ⇒ VE.DP Q = VE.BM N Ta có VE.BN M EB EN EM 9 √ 3 9 √ 7 7 2a 11 2a3 ⇒ VDP Q.BN M = VE.BM N = ⇒ V = VABCD − VDP Q.BN M = . 9 216 216 Chọn đáp án B Câu 5 (THPT Phú Xuyên A – Hà Nội – 2017). B Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – 0976071956 h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích Cho hình chóp S.ABC, SA ⊥ (ABC), SA = a, ∆ABC vuông cân, AB = BC = a, B 0 là trung điểm của SB, C 0 là chân đường cao hạ từ A của ∆SAC. Tính thể tích của khối chóp S.AB 0 C 0 . a3 a3 a3 a3 B. . C. . D. . A. . 9 12 36 27 Câu 6 (THPT Phú Xuyên A – Hà Nội – 2017). Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác 1 vuông cân tại B, AC = 2a, SA vuông góc với đáy, SA = a, I thuộc cạnh SB sao cho SI = SB. 3 Tính thể tích khối chóp S.ACI. a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 3 6 12 9 Câu 7 (THPT Phan Bội Châu – Gia Lai – 2017). Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng V . Gọi M , N , K lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Tính thể tích khối chóp S.M N K. V V V V A. . B. . C. . D. . 2 3 4 8 Câu 8 (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 3 – 2017). Cho hình chóp S.ABC có SC = 2a và √ SC ⊥ (ABC). Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và có AB = a 2. Mặt phẳng (α) đi qua C vuông góc với SA và cắt SA, SB lần lượt tại D, E. Tính thể tích khối chóp S.CDE. 2a3 2a3 a3 4a3 . B. . C. . D. . A. 9 3 9 9 Câu 9 (THPT Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương – lần 3 – 2017). Cho khối tứ diện ABCD. Gọi M, N, E, F, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA, AC, BD. Gọi V1 , V2 tương V1 ứng là thể tích của các khối ABCD, M N EF P Q. Tìm t = . V2 A. t = 2. B. t = 4. C. t = 6. D. t = 3. Câu 10 (THPT Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương – lần 3 – 2017). Cho khối chóp S.ABC ÷ = BSC ÷ = CSA ÷ = 30◦ . Mặt phẳng (α) qua A cắt hai cạnh có SA = SB = SC = a (a > 0) và ASB VS.AB 0 C 0 SB, SC tại B 0 , C 0 sao cho chu vi tam giác AB 0 C 0 nhỏ nhất. Tính tỉ số t = . VS.ABC √ √ √  1 A. t = . B. t = 4 − 2 3. C. t = 2 − 2. D. t = 2 2 − 2 . 4 Câu 11 (THPT Hòa Bình – TPHCM – 2017). Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V và G là trọng tâm của tam giác BCD, M là trung điểm CD. Thể tích khối chóp AGM C là V V V V A. . B. . C. . D. . 18 9 6 3 Câu 12 (Sở Đồng Nai – HK2 – 2017). Cho hình tứ diện EF GH có EF vuông góc với EG, EG vuông góc với EH, EH vuông góc với EF ; biết EF = 6a, EG = 8a, EH = 12a, với a > 0, a ∈ R. Gọi I, J tương ứng là trung điểm của hai cạnh F G, F H. Tính khoảng cách d từ điểm F đến mặt phẳng √ (EIJ) theo a. √ √ √ 12 29a 6 29a 24 29a 8 29a . B. d = . C. d = . D. d = . A. d = 29 29 29 29 Câu 13 (THPT Quốc học – Quy Nhơn – lần 1 – 2017). Cho khối chóp S.ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Mặt phẳng (α) qua AG và song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại I, J. Tính tỉ số thể tích của hai khối tứ diện SAIJ và S.ABC. 2 2 4 8 A. . B. . C. . D. . 9 3 9 27 Câu 14 (Sở Tuyên Quang – 2017). Cho khối chóp S.ABC, trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt 1 1 1 lấy ba điểm A0 , B 0 , C 0 sao cho SA0 = SA, SB 0 = SB, SC 0 = SC. Gọi V và V 0 lần lượt là 3 3 3 0 V thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A0 B 0 C 0 . Tính tỉ số . V Page 6 of 23 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – Ô 0976071956 ? Phương pháp tỉ số thể tích h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 1 1 1 1 . B. . C. . D. . 3 27 9 6 Câu 15 (THPT Chuyên Lê Thánh Tông – Quảng Nam – 2017). Cho hình chóp S.ABC. Gọi M là trung điểm cạnh SA và N là điểm trên cạnh SC sao cho SN = 3N C . Tính tỉ số k giữa thể tích khối chóp ABM N và thể tích khối chóp S.ABC. 2 1 3 3 B. k = . C. k = . D. k = . A. k = . 8 5 3 4 Câu 16 (Đề tham khảo Bộ GD-ĐT – 2017). Cho khối tứ diện có thể tích bằng V . Gọi V 0 là thể tích của khối đa điện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ điện đã cho, tính V0 . tỉ số V 0 V 1 V0 1 V0 2 V0 5 A. = . B. = . C. = . D. = . V 2 V 4 V 3 V 8 Câu 17 (THPT Hùng Vương, Phú Thọ – 2017). Cho khối chóp tam giác S.ABC có thể tích bằng V . Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB, N là điểm nằm giữa AC sao cho AN = 2N C. V1 Gọi V1 là thể tích khối chóp S.AM N . Tính tỉ số . V V1 1 V1 1 V1 1 V1 2 A. = . B. = . C. = . D. = . V 3 V 2 V 6 V 3 Câu 18 (Sở Cần Thơ, mã đề 324 – 2017). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60◦ . Tính thể tích V của khối chóp M.ABC, với M là trung điểm của SB. √ 3 √ 3 √ 3 √ 3 3a 3a 3a 3a A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 2 4 12 6 Câu 19 (THPT Mỹ Đức A, Hà Nội – 2017). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC √ thỏa AB = 2a, BC = 4a, AC = 2 5a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính thể√tích V của khối chóp S.AM √ N. 2a3 a3 a3 5 a3 5 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 9 12 2 3 Câu 20 (THPT Nguyễn Huệ, Huế, lần 2 – 2017). Cho hình chóp đều S.ABC có AB = a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm SB, SC. Biết mặt phẳng (AM N ) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính √ diện tích tam giác 2AM √ N. √ √ 2 a 8 a 10 a2 8 a2 10 A. . B. . C. . D. . 8 16 16 8 Câu 21 (Sở GD và ĐT Hải Dương). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, √ ÷ = 60◦ , BC = a, SA = a 3. Gọi M là trung điểm của SB. cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB Tính thể tích V của khối tứ diện M ABC. a3 a3 a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 2 3 6 4 Câu 22 (Sở GD và ĐT Phú Thọ, lần 1). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB và P là hình√chiếu vuông góc của A √ lên SC. Tính thể tích V √của khối chóp S.M N P .√ 3 3 3 3 3 3 3 3 A. a. B. a. C. a. D. a. 30 6 15 10 ÷ = CSB ÷= Câu 23 (Sở GD và ĐT TP HCM, Cụm I). Cho hình chóp tam giác S.ABC có ASB ÷ = 90◦ , SA = SB = 1, SC = 3. Gọi M là điểm trên cạnh SC sao cho SM = 1 SC. Khi 60◦ , ASC 3 đó, thể tích của khối chóp S.ABM bằng A. Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – 0976071956 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – Ô 0976071956 ? Page 7 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – 0976071956 h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích √ √ √ √ 6 3 2 2 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 36 36 12 4 Câu 24 (Sở GD và ĐT TP HCM, Cụm V). Cho hình chóp S.ABC có thể tích V. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích của khối chóp S.AHK theo V. 1 1 1 1 A. VS.AHK = V . B. VS.AHK = V . C. VS.AHK = V . D. VS.AHK = V . 2 4 12 6 Câu 25 (Sở GD và ĐT TP HCM, Cụm VI). Cho hình chóp S.ABC có SA = 4, SB = 5, SC = # » # » # » ÷ = BSC ÷ = 45◦ , CSA ÷ = 60◦ . Các điểm M, N, P thỏa mãn đẳng thức AB 6; ASB = 4AM ; BC = # » # » # » 4BN ; CA √ = 4CP . Tính thể tích khối chóp S.M N P . √ 35 245 35 2 128 2 . B. . C. . D. . A. 3 8 32 8 Câu 26 (THPT Đông Anh, Hà Nội). Cho khối tứ diện OABC với OA, OB, OC vuông góc từng đôi một và OA = a, OB = 4a, OC = 3a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC. Thể tích V của khối tứ diện OCM N tính theo a là a3 3a3 a3 2a3 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 3 2 4 4 Câu 27 (THPT Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang (HKII), 2017). Cho hình chóp A.BCD có đáy BCD √ là tam giác vuông tại C với BC = a, CD = a 3. Hai mặt phẳng (ABD) và (ABC) cùng vuông góc với mặt phẳng (BCD). Biết AB = a và M, N lần lượt thuộc các cạnh AC, AD sao cho AM = 2M√C, AN = N D. Thể tích √khối chóp A.BM N bằng √ √ 2a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 9 3 18 9 Câu 28 (THPT Yên Viên, Hà Nội (HKII), 2017). Cho hình chóp √ S.ABC có M, N lần lượt 3 a 3 là trung điểm của SB, SC. Biết thể tích của khối chóp S.AM N bằng . Tính thể tích V của 4 khối chóp S.ABC. √ √ √ √ a3 3 a3 6 3 3 B. V = 2a 3. C. V = A. V = a 3. . D. V = . 2 2 Câu 29 (Sở GD và ĐT Gia Lai). Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M, N và P lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD √ 3và ACD. Tính thể tích √ V3 của khối chóp A.M √N P. √ ba 3 2a 2a 3 2a 2a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 72 1296 144 162 Câu 30 (Sở GD và ĐT Hải Dương). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, √ ÷ = 60◦ , BC = a, SA = a 3. Gọi M là trung điểm của SB. cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB Tính thể tích V của khối tứ diện M ABC. a3 a3 a3 a3 B. V = . C. V = . D. V = . A. V = . 2 3 6 4 Câu 31 (Sở GD và ĐT Phú Thọ, lần 1). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB và P là hình√chiếu vuông góc của A √ lên SC. Tính thể tích V √của khối chóp S.M N P .√ 3 3 3 3 3 3 3 3 A. a. B. a. C. a. D. a. 30 6 15 10 ÷ = CSB ÷= Câu 32 (Sở GD và ĐT TP HCM, Cụm I). Cho hình chóp tam giác S.ABC có ASB ÷ = 90◦ , SA = SB = 1, SC = 3. Gọi M là điểm trên cạnh SC sao cho SM = 1 SC. Khi 60◦ , ASC 3 đó, thể tích √ của khối chóp S.ABM bằng √ √ √ 6 3 2 2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 36 36 12 4 Page 8 of 23 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – Ô 0976071956 ? h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích Câu 33 (Sở GD và ĐT TP HCM, Cụm V). Cho hình chóp S.ABC có thể tích V. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích của khối chóp S.AHK theo V. 1 1 1 1 B. VS.AHK = V . C. VS.AHK = V . D. VS.AHK = V . A. VS.AHK = V . 2 4 12 6 Câu 34 (THPT Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – 2017). Cho khối tứ diện OABC với OA, OB, OC vuông góc từng đôi một và OA = a, OB = 2a, OC = 3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC. Thể tích của khối tứ diện OCM N theo a bằng 2a3 a3 3a3 . B. a3 . C. . D. . A. 4 3 4 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – 0976071956 Câu 35 (THTT, lần 9 – 2017). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích V của khối chóp S.ABI. √ √ √ √ a3 11 a3 11 a3 11 a3 11 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 24 8 6 Câu 36 (THPT Mỹ Đức A, Hà Nội – 2017). Cho hình chóp S.ABC có thể tích V . Gọi M, N, P # » # » lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Các điểm G, H, K thỏa mãn 5SG = SM , # » # » # » # » 6SH = SN , 7SK = SP . Tính thể tích V 0 của khối chóp S.GHK. V V V V A. V 0 = . B. V 0 = . C. V 0 = . D. V 0 = . 96 240 480 840 ĐÁP ÁN 1. C 11. C 21. D 2. B 12. C 22. A 3. 13. 23. 31. D C C A 4. 14. 24. 32. C B B C 5. 15. 25. 33. C A B B 6. 16. 26. 34. D A B D 7. 17. 27. 35. C A C B 8. 18. 28. 36. C C A D 9. A 19. A 29. D 10. B 20. B 30. D Dạng 2: Tỉ số thể tích của khối chóp tứ giác ? Bước 1. Phân chia lắp ghép khối chóp tứ giác đã cho thành nhiều khối chóp tam giác. ? Bước 2. Sử dụng công thức tỉ số thể tích của khối chóp tam giác và các kỹ thuật chuyển đỉnh, kỹ thuật chuyển đáy để tính thể tích các khối chóp tam giác. ? Bước 3. Kết luận các tính chất về thể tích của khối chóp tứ giác ban đầu. 4 ! Chú ý một trường hợp đặc biệt sau: S Nếu (A1 B1 C1 D1 ) k (ABCD) và SA1 SB1 SC1 SD1 = = = =k SA SB SC SD A1 thì VS.A1 B1 C1 D1 = k3 VS.ABCD D1 B1 C1 A B Kết quả vẫn đúng trong trường hợp đáy là n − giác. C D ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – Ô 0976071956 ? Page 9 of 23 h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 1. Phương pháp tỉ số thể tích Một số ví dụ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – 0976071956 Ví dụ 1 (Sở GD và ĐT Đà Nẵng, mã đề 224 – 2017) Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M là trung điểm của SC, mặt phẳng (P ) chứa AM và song song với BD chia khối chóp thành hai khối đa diện, đặt V1 là thể tích khối đa V1 diện có chứa đỉnh S và V2 là thể tích khối đa diện có chứa đáy ABCD. Tính . V2 V1 1 V1 2 V1 1 V1 = 1. B. = . C. = . D. = . A. V2 V2 2 V2 3 V2 3 Lời giải. S M Q G B C K O A D Gọi O = BD ∩ AC, G = SO ∩ AM . Khi đó G là trọng tâm ∆SAC. Qua G kẻ đường thẳng song song BD cắt SB, SD lần lượt tại Q và K. Khi đó (P ) ≡ (AKM Q). SG SK SQ 2 G là trọng tâm ∆SAC nên: = = = . SO SD  SB  3   VS.AKM Q 1 VS.KAM VS.AQM 1 SK SA SM SA SQ SM 1 = + = · · + · · = Ta có VS.ABCD 2 VS.DAC VS.ABC 2 SD SA SC SA SB SC 3 1 2 ⇒ VS.AKM Q = VS.ABCD = V1 ⇒ V2 = VS.ABCD 3 3 V1 1 = . Vậy V2 2  Chọn đáp án B Ví dụ 2 Cho khối chóp tứ giác đều A.ABCD. Mặt phẳng chứa AB đi qua C 0 nằm trên SC chia khối SC 0 chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tỉ số bằng SC √ 5−1 2 1 4 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 5 Lời giải. Page 10 of 23 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – Ô 0976071956 ? Phương pháp tỉ số thể tích h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 S D0 A D O B Chọn đáp án A 2. C0 C  Bài tập trắc nghiệm Câu 1 (Sở GD và ĐT Bắc Giang – 2017). Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 1, AD = 2, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA = 2. Điểm M trên cạnh SA sao cho mặt phẳng (M BC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện √ tích S của tam giác√M AC. √ √ 3 5−5 5− 5 5 5 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 2 2 3 4 Câu 2 (Sở GD và ĐT Bình Thuận). Cho khối chóp S.ABCD có thể tích là V và đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN = 2N B. Mặt phẳng (α) di động đi qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q. Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.M N KQ theo V . V V 3V 2V A. . B. . C. . D. . 2 3 4 3 Câu 3 (THPT Chuyên Lào Cai, lần 2,2017). Một viên đá có hình dạng là khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Người ta cắt khối đá đó bởi mặt phẳng song song với đáy của khối chóp để chia khối đá thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích của thiết diện khối đá bị cưa bởi mặt phẳng nói trên. (Giả thiết rằng tổng thể tích của hai khối đá sau vẫn bằng thể tích của khối đá ban đầu) a2 a2 a2 2a2 √ A. √ . B. √ . C. . D. . 3 3 4 3 2 4 Câu 4 (THPT Thị xã Quảng Trị, lần 2, 2017). Cho hình chóp S.ABCD có thể tích V , có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi N là trung điểm của SC. Một mặt phẳng đi qua AN cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, P . Gọi V 0 là thể tích của khối chóp S.AM N P . Tính giá trị nhỏ nhất V0 của T = . V 3 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 8 3 3 8 Câu 5 (THPT Quốc Học, Quy Nhơn, lần 2, 2017). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA = a. Mặt phẳng (P ) qua A và ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – Ô 0976071956 ? Page 11 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – 0976071956 Dễ thấy VS.ABCD = 2VS.ABC = 2VS.ACD (∗) Theo đề bài thì: VS.ABC 0 D0 1 = VS.ABCD 2 1 VS.ABC 0 + VS.AC 0 D0 = ⇒ VS.ABCD 2 VS.AC 0 D0 1 VS.ABC 0 + = (do (∗)) ⇒ 2VS.ABC 2VS.ACD 2 1 SC 0 1 SC 0 SD0 1 ⇒ · + · · = 2 SC 2 SC SD 2  2 SC 0 SC 0 + = 1 (do C 0 D0 k CD) ⇒ SC √ SC SC 0 5−1 ⇒ = . SC 2 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – 0976071956 h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B 0 , C 0 , D0 . Tính thể tích V của khối đa diện ABCDD0 C 0 B 0 . 5a3 5a3 5a3 5a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 18 9 12 6 Câu 6 (THPT Lê Quý Đôn, Vũng Tàu, 2017). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, DC. Góc giữa mặt phẳng (SBM ) và mặt phẳng (ABC) bằng 45◦ . Tính thể tích khối chóp S.ABN M . 25a3 25a3 25a3 25a3 . B. . C. . D. . A. 8 16 18 24 Câu 7 (Sở GD và ĐT Bình Thuận). Cho khối chóp S.ABCD có thể tích là V và đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN = 2N B. Mặt phẳng (α) di động đi qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q. Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.M N KQ theo V . V V 3V 2V A. . B. . C. . D. . 2 3 4 3 Câu 8 (Sở Hà Tĩnh – 2017). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi với O là giao điểm của AC và BD. Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCD và SDA. V1 Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của khối chóp S.ABCD và O.M N P Q. Tính tỉ số . V2 27 27 A. 8. B. . C. . D. 9. 4 2 Câu 9 (THPT Phú Xuyên A – Hà Nội – 2017). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =√a, AD = 3a, SA ⊥ ABCD, góc giữa SB và (ABCD) bằng 60◦ , M thuộc a 3 SA sao cho AM = , (BCM ) ∩ SD = N . Tính thể tích của khối chóp S.BCM N . 3 √ √ √ √ 5a3 3 10a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 9 9 27 3 Câu 10 (THPT Anh Sơn 2 – Nghệ An – lần 2 – 2017). Cho hình chóp đều S.ABCD có độ dài cạnh bên, và cạnh đáy đều bằng a. Gọi M , N , O lần lượt là trung điểm SC, SD, AC. Tính tỉ VS.OM N số thể tích . VS.ABCD 1 1 1 1 B. . C. . D. . A. . 6 4 12 16 Câu 11 (Sở Hà Nam – 2017). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Lấy điểm I trên đoạn √ SB sao cho IB = 2IS. Tính √ khoảng cách h từ điểm √ I đến mặt phẳng (SCD). √ a 21 a 21 2a 21 a 21 A. h = . B. h = . C. h = . D. h = . 21 7 21 14 Câu 12 (THPT Ngô Sĩ Liên – Bắc Giang – lần 3 – 2017). Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 18, đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SD sao cho SM = 2M D. Mặt phẳng (ABM ) cắt SC tại N . Tính thể tích khối chóp S.ABN M . A. 9. B. 10. C. 12. D. 6. Câu 13 (THPT Quốc học – Quy Nhơn – lần 1 – 2017). Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A0 , B 0 , C 0 , D0 theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A0 B 0 C 0 D0 và S.ABCD. 1 1 1 1 B. . C. . D. . A. . 4 16 8 2 Page 12 of 23 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – Ô 0976071956 ? Phương pháp tỉ số thể tích h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG – 0976071956 Câu 14 (THPT Lê Quý Đôn – Hà Nội – 2017). Cho khối chóp S.ABCD có thể tích là 3a3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Thể tích của khối chóp G.ABCD là 4 1 D. V = a3 . A. V = a3 . B. V = 2a3 . C. V = a3 . 3 3 Câu 15 (THPT Lê Quý Đôn – Hà Nội – 2017). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA ⊥ (ABC). Biết AB = a, SA = 2a, mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC lần lượt tại H và K. Tính thể tích V của hình chóp S.AHK 8a3 3a3 4a3 8a3 . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 15 45 15 45 Câu 16 (THPT Chuyên Nguyễn Huệ – Hà Nội – 2017). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, mặt bên tạo với đáy góc 60◦ . Mặt phẳng (P ) chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC. (P ) cắt SC, SD lần lượt tại M và N . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABM N √ . √ √ √ 2a3 3 a3 3 5a3 3 4a3 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 3 Câu 17 (THPT Thường Tín – Hà Nội – 2017). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P ) chứa AM và song song với BD chia khối chóp thành hai phần. Gọi V1 là thể tích của phần chứa đỉnh S và V2 là thể tích phần còn lại. V1 Tính tỉ số . V2 2 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 9 3 3 2 Câu 18 (Sở Vũng Tàu – 2017). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi N là trung điểm của SB, M là điểm đối xứng với B qua A. Mặt phẳng (M N C) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần V1 có thể tích lần lượt là V1 , V2 với V1 < V2 . Tính tỉ số k = . V2 5 5 5 5 A. k = . B. k = . C. k = . D. k = . 7 9 11 13 Câu 19 (THPT Đông Hà, Quảng Trị, lần 2 - 2017). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa SC và mặt đáy bằng 60◦ . Gọi I là trung√ điểm của đoạn thẳng SB. Tính theo a khoảng cách √ từ điểm S đến mặt phẳng (ADI). √ √ a 42 a 7 A. . B. a 6. C. . D. a 7. 7 2 Câu 20 (THPT Trần Hưng Đạo, Nam Định - 2017). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích V của khối tứ diện CM N P. √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 72 54 96 48 Câu 21 (THPT Nguyễn Huệ, Huế, lần 2 - 2017). Cho hình chóp đều S.ABCD có SA = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là 60◦ . Gọi M là trung điểm SA, mặt phẳng (P ) đi qua CM và song song với √ BD cắt SB, SD lần lượt√tại E, F . Tính thể tích √ khối chóp S.CEM F . √ a3 15 4a3 15 4a3 15 a3 15 A. . B. . C. . D. . 75 225 225 75 Câu 22 (Sở GD và ĐT Thừa Thiên Huế, mã đề 485). Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên hình chóp tạo với đáy một góc bằng 60◦ . Mặt phẳng (P ) chứa AB đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M , N . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABM N . ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956 ? Page 13 of 23 h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 √ √ √ 3 3 3 3 3 a. C. V = a. A. V = 3a . B. V = 4 2 Phương pháp tỉ số thể tích √ 3 3 3 D. V = a. 2 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Câu 23 (THPT Vĩnh Lộc, Thanh Hóa, lần 2). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tính thể tích khối chóp G.ABCD. 1 1 3 2 3 1 A. a3 . B. a. C. a. D. a3 . 6 12 17 9 Câu 24 (THPT Triệu Sơn 2, Thanh Hoá, lần 3). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Gọi E là trung điểm cạnh CD. Biết a3 thể tích khối chóp S.ABCD bằng . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBE) theo a. √ 3 √ a 2 a 2a a 3 . B. . C. . D. . A. 3 3 3 3 Câu 25 (THPT Chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An, lần 3,2017). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Gọi M là trung điểm của SB, P là điểm thuộc cạnh SD sao cho SP = 2DP . Mặt phẳng (AM P ) cắt cạnh SC tại N . Tính thể tích của khối đa diện ABCDM N P theo V . 23 19 A. VABCDM N P = V . B. VABCDM N P = V . 30 30 2 7 C. VABCDM N P = V . D. VABCDM N P = V . 5 30 Câu 26 (THPT Chuyên Hưng Yên, lần 3,2017). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AD = 2AB = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi √ M, N lần lượt là trung điểm của a 6 SB, SD. Biết khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AM N ) bằng . Tính thể tích V của khối chóp 3 S.ABCD theo √ a. √ 4a3 a3 3 2a3 6 3 . B. V = 4a . C. V = . D. V = . A. V = 9 3 3 Câu 27 (Sở GD và ĐT Thừa Thiên Huế,2017). Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên hình chóp tạo với đáy một góc bằng 60◦ . Mặt phẳng (P ) chứa AB đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M , N . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABM N . √ √ √ √ 3 3 3 3 3 3 3 3 A. V = 3a . B. V = a. C. V = a. D. V = a. 4 2 2 ĐÁP ÁN 1. A 11. A 2. B 3. D 4. B 5. A 6. D 7. B 8. C 9. A 12. B 13. C 14. A 15. B 16. B 17. D 18. A 19. A 21. C 22. C 23. D 24. D 25. A 26. C 27. C 10. D 20. C Dạng 3: Tỉ số thể tích của khối lăng trụ tam giác A. Công thức tỉ số thể tích của khối lăng trụ tam giác. Page 14 of 23 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956 ? Phương pháp tỉ số thể tích h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 A0 Gọi V là thể tích khối lăng trụ, V(4) là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ, V(5) là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó: • V(4) = • V(5) = V 3 B0 C0 A B C 2V V . Ví dụ. VA0 B 0 BC = ; VA0 B 0 ABC = 3 3 ! 4 Bốn đỉnh được lấy phải tạo thành tứ diện. B. Mặt phẳng cắt các cạnh bên của lăng trụ tam giác A0 Gọi V1 , V2 và V lần lượt là thể tích phần trên, phần dưới M AM CN BP và lăng trụ. Giả sử = m, = n, = p. Khi 0 0 0 AA CC BP đó: m m+n+p ·V V2 = V2 3 A AM CN ! 4 Khi M ≡ A0 , N ≡ C thì = 1, = 0. AA0 CC 0 B0 C0 V1 P p B n N C 1. Một số ví dụ Ví dụ 1 (THPT Quốc Oai, Hà Nội (HKII) - 2017) Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A0 B 0 C 0 có tất cả các cạnh đều bằng a. Một mặt phẳng đi qua A0 B 0 và trọng tâm G của tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F . Tính thể tích V của√khối A0 B 0 ABF E. √ √ √ a3 3 2a3 3 a3 3 5a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 27 27 18 54 Lời giải. ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956 ? Page 15 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 2V 3 h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích √ 3a3 A0 . 4 Chia khối đa diện A0 B 0 ABF E thành hai khối chóp A0 .ABF E và A0 .BB 0 F . S4CEF CE CF 4 5 Ta có = · = ⇒ SAEF B = S4ABC ⇒ S4CAB CA CB 9 9 √ 5 5 VABC.A0 B 0 C 0 5 3a3 5 = . VA0 .ABF E = VA0 .ABC = · V(4) = · 9 9 9 3 108 Ta có VA0 .BB 0 F = VA.BB 0 F (chuyển đỉnh song song) S4BAF BF BA 1 Mà = · = . A S4BAC BC BA 3 1 1 Suy ra VA0 .BB 0 F = VA.BB 0 F = VB 0 .BAF = · VB 0 .BAC · · V(4) · 3 3 √ 3 1 VABC.A0 B 0 C 0 3a · = . 3 3 36 √ √ 3 √ 5 3a3 3a 2a3 3 Vậy VA0 B 0 ABF E = + = . 108 36 27 Chọn đáp án B C0 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Ta có VABC.A0 B 0 C 0 = 2. B0 C E G F B  Bài tập trắc nghiệm Câu 1 (THPT Yên Viên, Hà Nội (HKII), 2017). Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A0 B 0 C 0 có thể tích là V1 . Gọi E là trung điểm của A0 C 0 , F là giao điểm của AE và A0 C. Biết khối chóp V2 F.A0 B 0 C 0 có thể tích là V2 . Tính tỉ số . V1 V2 1 V2 1 V2 2 V2 1 A. = . B. = . C. = . D. = . V1 3 V1 6 V1 9 V1 9 Câu 2 (Sở GD và ĐT Cần Thơ, 2017). Cho khối lăng trụ đứng ABC.A0 B 0 C 0 và M là điểm tùy ý thuộc cạnh bên BB 0 . Gọi V, V 0 lần lượt là thể tích của khối lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 và khối V0 . chóp M.AA0 C 0 C. Tính tỉ số k = V 2 1 5 1 A. k = . B. k = . C. k = . D. k = . 3 6 6 3 Câu 3 (Sở Hà Nam - 2017). Cho lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 có thể tích bằng 18. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA0 và BB 0 . Tính thể tích V của khối đa diện CN M A0 B 0 C 0 . A. 12. B. 6. C. 9. D. 15. Câu 4 (THPT Gia Lộc - Hải Dương - lần 2 - 2017). Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B 0 C 0 có đáy √ ABC là tam giác đều. Mặt phẳng (A0 BC) có diện tích bằng 2 3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB 0 và CC 0 . Tính thể tích khối tứ diện A0 AM N . √ √ √ √ A. 2 3. B. 3. C. 3 3. D. 4 3. Câu 5 (THPT Thanh Chương 1 - Nghệ An - lần 2 - 2017). Cho lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 có thể tích V . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp G.A0 BC theo V . V V V V A. . B. . C. . D. . 12 6 5 9 Câu 6 (Sở Quảng Bình - 2017). Cho hình lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 có thể tích V . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, khi đó thể tích khối chóp G.A0 B 0 C 0 là V V A. . B. 3V . C. 2V . D. . 3 2 Page 16 of 23 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956 ? Phương pháp tỉ số thể tích h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Câu 12 (THPT Trần Phú, Vĩnh Phúc, thi tháng 5, 2017). Cho hình lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 ÷ = 60◦ . có AA0 = a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60◦ . Tam giác ABC vuông tại C và góc ABC Hình chiếu vuông góc của B 0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích V của khối tứ diện A0 ABC theo a. 9a3 3a3 27a3 81a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 208 208 208 208 Câu 13 (Sở GD và ĐT Long An, 2017). Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A0 B 0 C 0 có thể tích bằng 36 cm3 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA0 , BB 0 . Tính thể tích V của khối tứ diện AC 0 M N . B. 6 cm3 . C. 9 cm3 . D. 12 cm3 . A. 4 cm3 . Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Câu 7 (Sở Cao Bằng - lần 1 - 2017). Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A0 B 0 C 0 có cạnh đáy √ 0 3. Tính khoảng cách d từ điểm A√đến mặt phẳng (A0 BC). bằng 1, cạnh bên AA = √ √ √ 3 15 3 2 15 A. d = . B. d = . C. d = . D. d = . 2 5 5 4 Câu 8 (Chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An, lần 4 - 2017). Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A0 B 0 C 0 có thể tích V◦ . Gọi P là một điểm trên đường thẳng AA0 . Tính thể tích khối chóp tứ giác P.BCC 0 B 0 theo V◦ . V◦ V◦ V◦ 2V◦ . B. . C. . D. . A. 3 2 3 4 0 0 0 Câu 9 (Sở Yên Bái - 2017). Cho khối lăng trụ ABC.A B C có thể tích là V , thể tích của khối chóp C 0 .ABC là 1 1 1 A. 2V . B. V . C. V . D. V . 2 3 6 Câu 10 (Chuyên Đại học Vinh, lần 4 - 2017). Cho hình lặng trụ tam giác đều ABC.A0 B 0 C 0 có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và B 0 C 0 . Mặt phẳng 0 0 (A0 M N )√cắt cạnh BC tại P . Tính √ 3thể tích của khối đa diện √ 3M BP.A B N . √ 3 7 3a 3a 7 3a 7 3a3 A. . B. . C. . D. . 32 32 68 96 Câu 11 (THPT Triệu Sơn 2, Thanh Hoá, lần 3). Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A0 B 0 C 0 . Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh bên AA0 , CC 0 sao cho M A = M A0 và N C = 4N C 0 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong bốn khối tứ diện GA0 B 0 C 0 , BB 0 M N, ABB 0 C 0 và A0 BCN, khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất? A. Khối A0 BCN . B. Khối GA0 B 0 C 0 . C. Khối ABB 0 C 0 . D. Khối BB 0 M N . Câu 14 (THPT Lê Quý Đôn, Vũng Tàu, 2017). Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A0 B 0 C 0 có AB =√ a, AA0 = 2a. Lấy M là √ trung điểm của CC 0 . Tính √ thể tích khối tứ diện3M.ABC. √ 3 3 a 3 a 3 a3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 6 8 9 12 Câu 15 (THPT Chuyên Lê Khiết - Quảng Ngãi - 2017). Cho khối lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 √ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = BC = 2a, AA0 = a 3. Tính thể tích V của khối chóp A.BCC 0 B 0 theo√a. √ √ √ 4a3 3 2a3 3 3 A. V = . B. V = a 3. C. V = . D. V = 2a3 3. 3 3 Câu 16 (THPT Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội - lần 4 - 2017). Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B√0 C 0 có các cạnh bằng a.√Tính thể tích khối tứ diện AB 0 A0 C. √ √ a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 . B. . C. . D. . A. 12 6 2 4 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956 ? Page 17 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích Câu 17 (THPT Ngô Sĩ Liên - Bắc Giang - lần 3 - 2017). Cho lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu H của A0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. 0 Góc giữa√mặt phẳng (A0 ABB 0 ) và√mặt đáy bằng 60◦ . Tính . √ thể tích khối tứ diện ABCA √ 3 3 3 3 3a 3 a 3 3a 3 a 3 . B. . C. . D. . A. 8 8 16 16 Câu 18 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B 0 C 0 √ ÷ = 120◦ . Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh có AB = a, AC = 2a, AA0 = 2a 3 và BAC CC 0 , BB 0 . Tính thể tích V của khối tứ√diện IA0 BK. √ a3 3 a3 5 a3 a3 B. V = . C. V = . D. V = . A. V = . 2 6 2 6 0 0 0 Câu 19 (Sở GD và ĐT Phú Thọ, lần 1). Cho khối lăng trụ ABC.A B C có thể tích V . Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AA0 , BB 0 . Tính thể tích khối đa diện ABCIKC 0 theo V . V 2V 4V 3V . B. . C. . D. . A. 5 3 3 5 Câu 20 (Sở GD và ĐT Phú Yên). Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B 0 C 0 có thể tích là V . Tính thể tích V1 của khối tứ diện A0 ABC theo V . 1 2 1 A. V1 = V . B. V1 = V . C. V1 = V . D. V1 = V . 2 3 3 Câu 21 (Sở GD và ĐT TP HCM, Cụm VII). Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A0 B 0 C 0 có thể tích bằng 1. Tính thể tích V của khối chóp A0 .ABC. 1 1 1 C. V = . D. V = . A. V = 3. B. V = . 4 3 2 Câu 22 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B 0 C 0 √ ÷ = 120◦ . Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh có AB = a, AC = 2a, AA0 = 2a 3 và BAC CC 0 , BB 0 . Tính thể tích V của khối tứ√diện IA0 BK. √ a3 a3 3 a3 5 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 2 6 2 6 0 0 0 Câu 23 (Sở GD và ĐT Phú Thọ, lần 1). Cho khối lăng trụ ABC.A B C có thể tích V . Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AA0 , BB 0 . Tính thể tích khối đa diện ABCIKC 0 theo V . 3V V 2V 4V A. . B. . C. . D. . 5 3 3 5 Câu 24 (Sở GD và ĐT Phú Yên). Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B 0 C 0 có thể tích là V . Tính thể tích V1 của khối tứ diện A0 ABC theo V . 2 1 1 A. V1 = V . B. V1 = V . C. V1 = V . D. V1 = V . 2 3 3 Câu 25 (Sở GD và ĐT TP HCM, Cụm VII). Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A0 B 0 C 0 có thể tích bằng 1. Tính thể tích V của khối chóp A0 .ABC. 1 1 1 A. V = 3. B. V = . C. V = . D. V = . 4 3 2 Câu 26 (THPT Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - lần 3 - 2017). Cho khối lăng trụ 0 0 0 0 0 ABC.A √ B C có đáy là tam giác đều cạnh a, chiều cao h. Biết thể tích khối tứ diện ABC A 3 3 bằng a . Tính chiều cao h theo a. 6 A. h = 2a. B. h = 3a. C. h = 4a. D. h = a. ĐÁP ÁN 1. D 11. A 2. A 12. A Page 18 of 23 3. A 13. B 21. C 4. B 14. D 22. A 5. D 15. A 23. C 6. A 16. A 24. D 7. C 17. C 25. C 8. A 18. A 26. A 9. C 19. C 10. D 20. D ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956 ? h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích Dạng 4: Tỉ số thể tích của khối hộp A. Công thức tỉ số thể tích của khối hộp. Gọi V là thể tích khối hộp, V(4) là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp. Khi đó: • V(4) 2 đường chéo của V = 3 2 mặt song song A0 B0 D0 C0 A B D Bốn đỉnh được lấy phải tạo thành tứ diện. C V V Ví dụ. VA0 C 0 BD = ; VA0 C 0 D0 D = . 3 6 B. Mặt phẳng cắt các cạnh của hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau). A0 B0 Q 4 ! DM =x DD0 BP =y BB 0      D0 ⇒ V2 = x+y ·V 2 C0 y A M x V2 D 1. P B N C Một số ví dụ Ví dụ 1 (Sở GD và ĐT Đà Nẵng, mã đề 224 - 2017) Cho khối lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và AD, mặt phẳng (C 0 M N ) chia khối lập phương thành 2 khối đa diện, đặt V1 là thể tích khối đa V1 diện có thể tích nhỏ và V2 là thể tích khối đa diện có thể tích lớn. Tính . V2 V1 1 V1 13 V1 1 V1 25 A. = . B. = . C. = . D. = . V2 3 V2 23 V2 2 V2 47 Lời giải. ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956 ? Page 19 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 V • V(4) (trường hợp còn lại) = 6 h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích A0 D0 C0 B0 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 P Q N A M K D O H B C Đặt AB = a. Kéo dài M N cắt BC, DC lần lượt tại H, K. Gọi Q = C 0 H ∩ B 0 B, P = C 0 K ∩ D0 D. 3a3 a3 25a3 47a3 Thể tích đa diện nhỏ: V1 = VC 0 .HCK − 2VQ.M HB = −2· = ⇒ V2 = · 8 72 72 72 25 V1 = · Vậy V2 47 Chọn đáp án D  2. Bài tập trắc nghiệm Câu 1 (THPT Tiên Hưng, Thái Bình). Cho hình lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 có cạnh bằng 0 0 a. Tính thể tích V của khối tứ diện ACD B. √ √ 3 1 3 a 2 a3 a3 6 A. V = a . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 4 4 Câu 2 (Sở GD và ĐT Đồng Tháp). Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A0 B 0 C 0 D0 . Tỉ số thể tích của khối tứ diện A0 ABC và khối hộp chữ nhật ABCD.A0 B 0 C 0 D0 bằng. 1 1 1 1 B. . C. . D. . . A. . 4 6 2 3 Câu 3 (Sở GD và ĐT Đà Nẵng, mã đề 224). Cho hình lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 . Gọi # » # » M là điểm trên đường chéo CA0 sao cho M C = −3M A0 . Tính tỉ số giữa thể tích V1 của khối chóp M.ABCD và thể tích V2 của khối lập phương. 1 V1 3 V1 1 V1 1 V1 A. = . B. = . C. = . D. = . V2 3 V2 4 V2 9 V2 4 Câu 4 (THPT Chuyên Lào Cai, lần 2,2017). Cho khối hộp ABCD.A0 B 0 C 0 D0 . Gọi M thuộc cạnh AB sao cho M B = 2M A. Mặt phẳng (M B 0 D0 ) chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó. 5 7 13 5 A. . B. . C. . D. . 12 17 41 17 Câu 5 (THPT Chuyên Thái Bình, lần 5, 2017). Cho hình hộp ABCD.A0 B 0 C 0 D0 có thể tích V1 là V . Gọi V1 là thể tích của tứ diện ACB 0 D0 . Tính tỉ số . V 1 2 1 4 A. . B. . C. . D. . 3 3 5 5 Page 20 of 23 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956 ? Phương pháp tỉ số thể tích h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Câu 9 (Sở GD và ĐT Đà Nẵng, mã đề 224). Cho khối lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và AD, mặt phẳng (C 0 M N ) chia khối lập phương thành 2 khối đa diện, đặt V1 là thể tích khối đa diện có thể tích nhỏ và V2 là thể tích khối đa diện có thể V1 tích lớn. Tính . V2 1 13 1 25 V1 V1 V1 V1 = . = . = . = . A. B. C. D. V2 3 V2 23 V2 2 V2 47 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Câu 6 (THPT Quốc Học, Quy Nhơn, lần 2, 2017). Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B 0 C 0 D0 có thể tích bằng 1 và G là trọng tâm của tam giác BCD0 . Tính thể tích V của khối chóp GABC 0 . 1 1 1 1 B. V = . C. V = . D. V = . A. V = . 18 12 3 6 0 0 0 0 Câu 7 (Sở GD và ĐT Đồng Tháp). Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D . Tỉ số thể tích của khối tứ diện A0 ABC và khối hộp chữ nhật ABCD.A0 B 0 C 0 D0 bằng. 1 1 1 1 B. . C. . D. . . A. . 4 6 2 3 Câu 8 (Sở GD và ĐT Đà Nẵng, mã đề 224). Cho hình lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 . Gọi # » # » M là điểm trên đường chéo CA0 sao cho M C = −3M A0 . Tính tỉ số giữa thể tích V1 của khối chóp M.ABCD và thể tích V2 của khối lập phương. V1 1 V1 3 V1 1 V1 1 A. = . B. = . C. = . D. = . V2 3 V2 4 V2 9 V2 4 Câu 10 (THPT Gia Lộc - Hải Dương - lần 2 - 2017). Cho hình lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 . Gọi I là trung điểm của BB 0 , mặt phẳng (DIC 0 ) chia khối lập phương thành 2 phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng 2 7 5 3 B. . C. . D. . A. . 8 3 17 12 Câu 11 (Sở Hải Phòng - 2017). Người ta cần cắt một khối lập phương thành hai khối B C đa diện bởi một mặt phẳng đi qua A (như hình vẽ) sao cho phần thể tích của khối đa diện chứa điểm B bằng M một nửa thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số A D CN k= . N CC 0 0 P 1 2 B C0 A. k = . B. k = . 3 3 3 1 C. k = . D. k = . 4 2 A0 D0 Câu 12 (THPT Trần Phú - Hà Nội - 2017). Cho hình lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 có cạnh a = 6 cm. Tính thể tích tứ diện ABB 0 D0 . A. 18 cm2 . B. 36 cm2 . C. 6 cm2 . D. 12 cm2 . Câu 13 (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai - lần 2 - 2017). Cho hình hộp VM.A0 B 0 C 0 ABCD.A0 B 0 C 0 D0 , trên mặt phẳng (ABCD) lấy điểm M . Khi đó tỉ số là VABCD.A0 B 0 C 0 D0 1 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 6 3 Câu 14 (THTT, lần 9 - 2017). Với mỗi đỉnh của hình lập phương, xét tứ diện xác định bởi đỉnh ấy và các trung điểm của ba cạnh cùng xuất phát từ đỉnh ấy. Khi ta cắt bỏ các khối tứ diện này thì tỉ số thể tích phần còn lại so với khối lập phương bằng 39 5 4 3 A. . B. . C. . D. . 4 50 6 5 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956 ? Page 21 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích Câu 15 (THPT Đồng Quan, Hà Nội - 2017). Cho hình lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 có cạnh bằng a, tâm O. Tính thể tích V của khối tứ diện A.A0 B 0 O0 theo a. √ a3 a3 a3 2 a3 B. V = . C. V = . D. V = . A. V = . 8 12 9 3 Câu 16 (THPT Mỹ Đức A, Hà Nội - 2017). Cho hình lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 có cạnh bằng 1. Trên các tia AA0 , AB, AD lần lượt lấy các điểm M, N, P khác A sao cho AM = m, AN = n, AP = p và (M N P ) đi qua đỉnh C 0 . Tính thể tích nhỏ nhất V của khối tứ diện A.M N P . 27 2 9 27 B. V = . C. V = . D. V = . A. V = . 8 4 9 2 Câu 17 (Tạp chí THTT, lần 8 - 2017). Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B 0 C 0 D0 có thể tích bằng 1 và G là trọng tâm của tam giác BCD0 . Tính thể tích V của khối chóp G.ABC 0 . 1 1 1 1 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 6 12 18 Câu 18 (THPT Thị xã Quảng Trị, lần 2, 2017). Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B 0 C 0 D0 có thể tích bằng V . Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD0 . Tính, theo V , thể tích của khối chóp G.ABC 0 . V V V V A. . B. . C. . D. . 3 6 12 18 Câu 19 (THPT Chuyên Biên Hòa, Hà Nam, lần 3, 2017). Cho hình hộp ABCD.A0 B 0 C 0 D0 , gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính tỉ số thể tích của khối chóp O.A0 B 0 C 0 và khối hộp ABCD.A0 B 0 C 0 D0 . 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 3 6 2 0 0 0 0 Câu 20 (THPT Tiên Hưng, Thái Bình). Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng 0 0 a. Tính thể tích V của khối tứ diện ACD √ B. √ 3 1 3 a 2 a3 a3 6 A. V = a . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 4 4 Câu 21 (THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, lần 3). Cho √ hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B 0 C 0 D0 2 a 13 có AB = a, AD = 2a. Diện tích tam giác A0 DC bằng . Tính thể tích của khối chóp 2 0 A0 .BCC 0 B√ . 3 8a 13 A. . B. 2a3 . C. 3a3 . D. 6a3 . 39 Câu 22 (Sở GD và ĐT Bình Phước). Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 . V1 là thể tích của tứ diện A0 ABD. Hệ thức nào sau đây là đúng? A. V = 6V1 . B. V = 4V1 . C. V = 3V1 . D. V = 2V1 . Câu 23 (Sở GD và ĐT Đà Nẵng, mã đề 224). Cho hình lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 cạnh a. Gọi M là trung điểm A0 B 0 , N là trung điểm BC. Tính thể tích V của khối tứ diện ADM N . a3 a3 a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 12 6 2 Câu 24 (Sở GD và ĐT TP HCM, Cụm VII). Cho khối lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 có cạnh là a. Tính thể tích khối chóp tứ giác D.ABC 0 D0 . √ √ a3 a3 2 a3 2 a3 A. . B. . C. . D. . 3 6 3 4 Câu 25 (Sở GD và ĐT Đà Nẵng, mã đề 224). Cho hình lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 cạnh a. Gọi M là trung điểm A0 B 0 , N là trung điểm BC. Tính thể tích V của khối tứ diện ADM N . a3 a3 a3 a3 B. V = . C. V = . D. V = . A. V = . 3 12 6 2 Page 22 of 23 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956 ? Phương pháp tỉ số thể tích h https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Câu 26 (Sở GD và ĐT TP HCM, Cụm VII). Cho khối lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 có cạnh là a. Tính thể tích khối chóp tứ giác D.ABC 0 D0 . √ √ a3 2 a3 2 a3 a3 B. . C. . D. . A. . 3 6 3 4 Câu 27 (THPT Phan Bội Châu - Đắk Lắk - lần 2 - 2017). Tính thể tích khối hộp ABCD.A0 B 0 C 0 D0 biết khối chóp A.BB 0 D0 D có thể tích bằng 5 cm3 . A. 15 cm3 . B. 10 cm3 . C. 40 cm3 . D. 25 cm3 . ĐÁP ÁN 2. B 3. D 4. C 5. A 6. A 7. B 8. D 9. D 12. B 13. C 14. C 15. B 16. D 17. D 18. D 19. C 21. B 22. A 23. C 24. A 25. C 26. A 27. A ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956 ? 10. C 20. A Page 23 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 1. A 11. B
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top