Sổ tay giải toán 12 – Nguyễn Đức Thắng

Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool S TAY GII TOÁN 12 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool MC LC CH  TRANG A. KHO SÁT HÀM S 2 B. LU THA – M – LÔGARIT 18 C. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ NG DNG 25 D. S PHC 42 E. NÓN – TR-CU 47 F. PHNG PHÁP TO  TRONG KHÔNG GIAN OXYZ 54 G. KH I A DIN 64 H. GÓC VÀ KHONG CÁCH 67 I. B SUNG MT S KIN THC 77 Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 1 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool A. KHO SÁT HÀM S 1. Tính n iu 1.1. Lí thuyt a) nh ngha: Cho K là mt khong, on hoc na khong. Gi s f(x) là mt hàm s xác nh trên K. – Hàm s f(x) gi là ng bin trên K nu  x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) – Hàm s f(x) gi là nghch bin trên K nu  x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) b. i u ki n c n Gi s f có o hàm trên khong K. – Hàm s f(x) không i trên K  x  K : f ‘( x )  0 – Nu f ng bin trên khong K thì f ‘( x )  0, x  K – Nu f nghch bin trên khong K thì f ‘( x )  0, x  K c. i u ki n  Gi s f có o hàm trên khong K. – Nu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 ti mt s hu hn i!m) thì f ng bin trên K. – Nu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 ti mt s hu hn i!m) thì f nghch bin trên K. – Nu f(x) = 0, x  I thì f không i trên K. 1. 2. M t s” v#n % khác a) &nh lí v% d#u c(a tam th*c b-c hai: g(x )  ax 2  bx  c (a  0) + Nu  < 0 thì g( x ) luôn cùng d"u v#i a.  b  b ), g     0 2a  2a  + Nu  > 0 thì g( x ) có hai nghi%m x1 , x2 và trong khong hai nghi%m thì g( x ) khác d”u + Nu  = 0 thì g( x ) luôn cùng d”u v#i a (tr$ x   v#i a, ngoài khong hai nghi%m thì g( x ) cùng d”u v#i a. a  0 a  0 +) y ‘  0, x  R   Chú ý: – Nu y ‘  ax 2  bx  c (a  0) thì: +) y ‘  0, x  R     0    0 2 – Nu  = 0 hay g( x )  a  x    thì g(x) không i d u khi qua  , d u c a g(x) ph thuc d u c a a. – Nu  > 0 thì g(x) i d”u khi qua x1 , x2 ( i t$+ sang – sang +, hoc i t$ – sang + sang -) b) So sánh các nghim x1 , x2 c(a tam th*c b-c hai g( x )  ax 2  bx  c v#i s 0:   0  +) x1  x2  0   P  0  S  0   0  +) 0  x1  x2   P  0  S  0 +) x1  0  x2  P  0 c) Hàm s” b-c hai: y  ax 2  bx  c (a  0) a>0  th hàm s là mt parabol có &nh a<0  th hàm s là mt parabol có &nh  b    ;   2a 4a   b    ;   2a 4a  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 2 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool  b  Hàm s ng bin trên   ;    2a   b  Hàm s nghch bin trên   ;    2a   b  Hàm s nghch bin trên  ;   2a    b  Hàm s ng bin trên  ;   2a   b  ti x   4a 2a Bng bin thiên b  ti x   4a 2a Bng bin thiên Dng  th: Dng  th: ymin   ymax   d) ng d.ng trong gi/i toán Cho hàm s y=g(x) xác nh trên (a;b) và liên t(c trên [a;b]: +) g( x )  m, x  (a; b)  max g( x )  m ;  a;b  +) g( x )  m, x  (a; b)  min g( x )  m  a;b  e) n iu trên m t kho/ng, o0n ! hàm s y  f ( x ) ng bin trên t*p K nào ó thì tn ti khong ! f’(x)>0 cha t*p K. ! hàm s y  f ( x) nghch bin trên t*p K nào ó thì tn ti khong ! f’(x)<0 cha t*p K B1 tr2: - T*p (; a) là t*p con c+a t*p (; b) khi và ch& khi a  b - T*p (a; ) là t*p con c+a t*p (b; ) khi và ch& khi b  a c  a - Tp (a; b) là tp con ca tp (c; d ) khi và ch khi  b  d 1.3. Tính n i u ca hàm thng gp a) Hàm s a thc bc ba f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) :  a  0 “iu kin  hàm s f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d ng bin trên R là  ; nghch bin trên   0 a  0 R là  ”   0  Hàm s f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d ng bin ( nghch bin) trên K thì kho!ng mà f '( x )  0 ( f '( x )  0 ) ca hàm s ph!i cha K. b) Hàm s phân thc d ng f ( x )  ax  b (c  0, ad  bc  0) cx  d Thy Nguyn c Th ng ( ad  bc  0)   0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool iu kin  hàm s ng bin (nghch bin) trên trên  ;   là ad  bc  0   d    c   ad  bc  0  ad  bc  0   d    c   ad  bc  0  iu kin  hàm s ng bin (nghch bin) trên trên  ;  là +) i v"i hàm hp y  f (g( x)) , trong ó hàm u  g( x ) xác nh và có  o hàm trên  a; b  , ly giá tr trên kho!ng  c; d  ; hàm y  f (u) xác nh  c; d  và có  o hàm trên  c; d  , ly giá tr trên R.   g '( x )  0  x   a; b   g '( x )  0  x   a; b  ho#c  thì hàm s y  f (g( x)) ng bin Nu   f '(u)  0 u   c; d   f '(u)  0 u   c; d  trên  a; b  .   g '( x )  0  x   a; b   g '( x )  0  x   a; b  Nu  ho#c  thì hàm s y  f (g( x)) nghch bin  f '(u)  0 u   c; d   f '(u)  0 u   c; d  trên  a; b  . 2. C3C TR4 CA HÀM S 2.1. Lí thuyt a) nh ngha: Gi s hàm s f ( x) xác nh trên D, x0  D . - im x0 g%i là im c&c tiu ca hàm s f(x) nu tn t i s th&c d ng h sao cho  x0  h; x0  h  cha trong D và f (x)  f ( xo ), x   x0  h; x0  h   x0  Khi ó: + Giá tr f ( x0 ) gi là giá tr c,c ti!u c+a hàm s. + i!m  x0 ; f ( x0 ) gi là i!m c,c ti!u c+a  th hàm s y=f(x). + Hàm s t c,c ti!u ti i!m x0 - im x0 g%i là im c&c  i ca hàm s f(x) nu tn t i s th&c d ng h sao cho  x0  h; x0  h  cha trong D và f ( x )  f ( xo ), x   x0  h; x0  h   x0  Khi ó: Giá tr f ( x0 ) gi là giá tr c,c i c+a hàm s. i!m  x0 ; f ( x0 ) gi là i!m c,c i c+a  th hàm s y=f(x). + Giá tr f ( x0 ) gi là giá tr c,c i c+a hàm s. + i!m  x0 ; f ( x0 )  gi là i!m c,c i c+a  th hàm s y=f(x). + Hàm s t c,c i ti i!m x0 Chú ý: C,c i, c,c ti!u gi chung là c,c tr b) &nh lí: Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 4 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool i-u ki%n cn: Nu hàm s f(x) t c,c tr ti i!m x0 thì hoc không tn ti f '(x 0 ) hoc f '( x0 )  0 i u ki n  1: Gi s tn ti  a; b   D ch x0 , hàm s y=f(x) liên t(c trên (a,b) và có o hàm trên m.i khong  a; x0  ,  x0 ; b    f '( x )  0 x   a; x0  Nu  thì x0 là mt i!m c,c ti!u c+a hàm s f(x)  f '( x )  0 x   x 0 ; b    f '( x )  0 x   a; x0  Nu  thì x0 là mt i!m c,c i c+a hàm s f(x)  f '( x )  0 x   x 0 ; b  i u ki n  2: Gi s tn ti  a; b   D ch x0 , hàm s y=f(x) liên t(c trên (a,b) và có o hàm c"p 1 trên (a;b) và có o hàm c"p hai ti x0 . Khi ó:   f '( x0 )  0 Nu  thì x0 là mt i!m c,c ti!u c+a hàm s f(x)  f ''( x0 )  0  f '( x0 )  0 Nu  thì x0 là mt i!m c,c i c+a hàm s f(x)  f ''( x0 )  0 2.2. M t s" v#n % khác  a) Hàm s a thc bc ba f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) :   a  0 a  0   Hàm s t c,c i ti x0 khi:   f '(x)  0 hoc b  0  c  f ''( x )  0 0   x0   2b   a  0 a  0   Hàm s t c,c ti!u ti x0 khi:   f '(x)  0 hoc b  0  c  f ''( x )  0 0   x0   2b  a  0 a  0 Hàm s không có c,c tr   hoc   0  b  0  f '(x)   a  0 Hàm s có c,c i, c,c ti!u     f '(x)  0 Ph ng trình  ng th/ng i qua hai i!m c,c tr c+a  th hàm s y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0  . V#i i-u ki%n b2  3ac  0 , th,c hi%n phép chia y cho y’ ta  0c y = y’(x).g(x) + Ax + B. Khi ó,  ng th/ng i qua hai i!m c,c tr là y = Ax + B b) Hàm s a thc trùng phng: f ( x )  ax 4  bx 2  c (a  0) TH1: a  0 *) Nu b  0 Hàm s ch& có 1 c,c ti!u *) Nu b  0 Hàm s ch& có 1 c,c i *) Nu b  0 Hàm s không có c,c tr Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 5 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected]  TH2: a  0 . Khi ó: y '  4ax 3  2bx  2 x 2ax 2  b  Tr ng PTLC Vinschool *) Nu a.b<0 thì hàm s có ba c&c tr. C' th a>0: Hàm s có 2 c,c ti!u, 1 c,c i a<0: Hàm s có 2 c,c i, 1 c,c ti!u *) Nu a.b  0 : Hàm s ch có úng mt c&c tr a>0: Hàm s có 1 c,c ti!u a<0: Hàm s có 1 c,c i Tham kho: Tr ng h0p  th hàm s: y  ax 4  bx 2  c  a  0  có ba i!m c,c tr   b b2  b b2  Ba i!m c,c tr là A  0; c  , B    ; c   và C   ; c   .   2a 4a  2a 4a    Khi ó ta có AB  AC  b 4  8ab 16a 2 và BC   2b . a Dng 1.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr t o thành ba nh ca mt tam giác  ab  0 . vuông khi và ch khi  3  b  8a  0 Dng 2.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr t o thành ba nh ca mt tam giác u  ab  0 . khi và ch khi  3  b  24a  0 Dng 3.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr A, B, C t o thành ba nh ca mt tam ab  0   giác cân có mt góc BAC   cho tr"c khi và ch khi  b3  8a cos    b3  8a  Dng 4.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr A, B, C th(a mãn iu kin BC  OA  ab  0 (v"i O là gc t%a ) khi và ch khi  2 .  ac  2b  0 Dng 5.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr A, B, C t o thành ba nh ca mt tam ab  0  giác có din tích là S cho tr"c khi và ch khi  b5 . S    32a3  Dng 6.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr A, B, C t o thành ba nh ca mt tam ab  0  b3  8a . giác có bán kính )ng tròn ngo i tip là R khi và ch khi  R  8ab  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 6 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool Dng 7.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr A, B, C t o thành ba nh ca mt tam  ab  0  b2   4a . giác có bán kính )ng tròn ni tip là r khi và ch khi  r  b2  1  1  8a Dng 8.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr A, B, C t o thành ba nh ca mt tam  3 giác nhn gc O là tr&c tâm khi và ch khi  b  8a  4abc  0 c  0 Dng 9.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr A, B, C t o thành ba nh ca mt tam  3 giác nhn gc O là tâm )ng tròn ngo i tip khi và ch khi  b  8a  8abc  0 c  0 c) Hàm s phân thc dng f ( x )  d) Hàm s" b-c 2/b-c 1 y  ax  b (c  0, ad  bc  0) không có c&c tr cx  d ax 2  bx  c có c c i và c,c ti!u khi và ch& khi ph a'x b' hai nghi%m phân bi%t khác  b' . Khi ó, ph a' ng trình  ng trình y’ = 0 có ng th/ng i qua hai i!m c,c tr c+a  ax 2  bx  c 2ax  b là y  . th hàm s y  a' x  b' a' 3. GIÁ TR4 L6N NH7T – GIÁ TR4 NH8 NH7T CA HÀM S 3.1. Lí thuyt Gi s f xác nh trên D   . Ta có  f  x   M x  D  f  x   m x  D   ; m  min f  x  Nu  . M  max f  x  Nu  xD xD   x0  D : f  x0   M x0  D : f  x0   m 3.2. Chú ý: ! tìm giá GTLN, GTNN c+a hàm s y  f ( x ) liên t(c on  a; b  , có o hàm trên  a; b  và f '( x )  0 có hu hn nghi%m , ta làm nh sau: B1 Tìm các i!m x1 , x2 , …, xm thuc khong  a; b  mà ti ó hàm s f có o hàm b1ng 0 hoc không có o hàm. B2 Tính f  x1  , f  x2  , …, f  xm  , f  a  , f  b  . B3 So sánh các giá tr tìm  0c 2 b #c 2. S l#n nh"t trong các giá tr ó chính là GTLN c+a f trên on  a; b  ; s nh3 nh"t trong các giá tr ó chính là GTNN c+a f trên on  a; b  .     max f  x   max f  x1  , f  x2  ,  , f  xm  , f  a  , f  b  . x a;b  min f  x   min f  x1  , f  x2  ,  , f  xm  , f  a  , f  b  . x a;b  3.3. Quy  c. Khi nói n GTLN, GTNN c+a hàm s f mà không ch& rõ GTLN, GTNN trên t*p nào thì Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool 3.4. Chú ý: Gi! s* f(x) là mt hàm s liên t'c trên min D và tn t i min f ( x )  m; max f ( x )  M . Khi D D ó: 1) Ph ng trình f ( x )   có nghim trên D  m    M. 2) Bt ph ng trình f ( x )   có nghim trên D  M  . 3) Bt ph ng trình f ( x )   có nghim trên D  m  . 4) Bt ph ng trình f(x)   úng v"i m%i x  D  m  . 5) Bt ph ng trình f(x)   úng v"i m%i x  D  M  . Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 8 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool 4. TIM C9N CA : TH4 HÀM S Khái nim Hình /nh minh ho0 Ph+ng pháp tìm tim c-n 1. Tim c-n *ng: B1. Tìm t*p xác nh B2. Tìm các giá tr x0 mà ti )ng th+ng x  x0 (vuông góc Ox) g%i là tim cn ng c+a  th hàm s: y=f(x) Nu có ít nh"t mt trong các gi#i hn sau: x0 hàm s: y=f(x) không xác x  x0 x  x0 nh. B3. Tính các gi#i hn: lim y   & lim y   x  x0 x  x0 B4. Kt lu*n. lim f ( x )  , lim f ( x )  , lim f ( x )  , lim f ( x )  , 2. Tim c-n ngang Hàm s y  f ( x) xác nh trên mt kho!ng vô h n (có th! là  ; a  ,  b;   ,  ;   x  x0 x  x0 B1. Tìm t*p xác nh B2. Tính các gi#i hn: lim y  y0 & lim y  y0 x  x  B3. Kt lu*n )ng th+ng y  y0 (vuông góc Oy) g%i là tim cn ngang c+a  th hàm s: y=f(x) Nu có ít nh"t mt trong các gi#i hn sau: lim f ( x )  y0 , lim f ( x )  y0 x  x  3. Tim c-n xiên Hàm s y  f ( x) xác nh trên mt kho!ng vô h n (có th! là  ; a  ,  b;   ,  ;   )ng th+ng y  ax  b ( a  0 ) g%i là tim cn xiên c+a  th hàm s: y=f(x) Nu có ít nh"t mt trong các gi#i hn sau: lim  f ( x )   ax  b    0, x  lim  f ( x )   ax  b    0. B1. Tìm t*p xác nh B2. Tính các gi#i hn:  f (x)  lim  a x   x  hoc lim  f ( x )  ax   b x   f (x)  lim  a x   x  lim  f ( x )  ax   b x  B3. Kt lu*n x   Chú ý: 1. Hàm s: y  ax  b d a có ti%m c*n ng là: x   , ti%m c*n ngang là: y  cx  d c c 2.Hàm s: y  ax2  bx  c k n  px  q  có ti%m c*n ng là: x   , ti%m c*n xiên là: mx  n mx  n m y  px  q Thy Nguyn c Th ng 3. lim x  0969119789 –[email protected] n n 1 m m 1 an x  an 1 x bm x  bm 1 x  n  m : TCÑ & TCN   ...  b1 x  b0  n  m :TCÑ & TCX  a  0  có ti%m c*n xiên là y  5. Hàm s: y  f ( x )  mx  n  p ax 2  bx  c a x b 2a  a  0  có ti%m c*n xiên là b 2a mx  n 6. Hàm s: y  ng PTLC Vinschool  ...  a1 x  a0 4. Hàm s: y  f ( x )  ax 2  bx  c y  mx  n  p a x  Tr ch& có ti%m c*n ngang, có th! có ti%m c*n ng nu ax 2  bx  c  0 2 ax  bx  c có nghi%m. B1 sung m t s" kin th*c: ng th/ng  : ax  by  c  0 - Công thc khong cách:  Khong cách t$ M n 4 là: d  M ,    ;c bit: -  (a2  b2  0) và M  x0 ; y0  . ax0  by0  c a2  b2 ng th/ng  : y  m thì d  M ,    y0  m - ng th/ng  : x  n thì d  M ,    x0  n - Công thc gi i hn: C  nchaün  0 vôùi  k  0  & lim x n   , lim x n   vôùi n  N  n leû x  x x  x   + Gi#i hn ti vô c,c: lim + Gi#i hn mt bên: lim  x  x0 k c   Neáu c  0 &  x  x 0   Neáu c  0 lim x  x0 c   Neáu c  0  x  x 0   Neáu c  0 5. TNG GIAO HAI : TH4 HÀM S 5.1. Kin thc Cho hai  ng cong:  C1  : y  f ( x ) và  C2  : y  g( x )  y  f ( x) +) Nu M ( x0 ; y0 ) là i!m chung c+a  C1  và  C2   M  x0 ; y0  là nghi%m c+a h%:   y  g( x) + Hoành  giao i!m c+a  C1  và  C2  là nghi%m c+a ph +) S nghi%m ph ng trình: f (x )  g( x ) (*) ng trình (*) b1ng s giao i!m c+a  C1  và  C2  5.2 . B! sung m"t s kin thc a) Phng trình bc 2 -Ph   0 ng trình: g( x )  ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghi%m phân bi%t khác x0    g( x0 )  0 -Ph   0  ng trình: g( x )  ax 2  bx  c  0  a  0  có nghi%m kép khác x0   b  2a  0 -Ph ng trình: g( x )  ax 2  bx  c  0  a  0  vô nghi%m    0 Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 10 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr b) Phng trình bc 3 hay tng giao # th hàm a thc bc ba và tr$c Ox ng PTLC Vinschool T ng giao ca  th hàm bc 3 y  a ' x 3  b ' x 2  c ' x  d '  a '  0  và tr'c Ox: Ph ng trình hoành  giao im: a ' x 3  b ' x 2  c ' x  d '  0   Trng h%p 1: Bin ,i ph ng trình: a ' x 3  b ' x 2  c ' x  d '  0 thành  x    ax 2  bx  c  0    ng trình:  x    ax 2  bx  c  0 có ba nghi%m phân bi%t  Ph Ph ng trình: ax 2  bx  c  0 có hai nghi%m phân bi%t khác  .    ng trình:  x    ax 2  bx  c  0 có hai nghi%m phân bi%t  Ph Ph ng trình: ax 2  bx  c  0 có nghi%m kép khác  hoc có hai nghi%m phân bi%t trong ó có mt    0   g( )  0 nghi%m b1ng         0   g( )  0    ng trình:  x    ax 2  bx  c  0 ch& có mt nghi%m  Ph Ph ng trình:    0 ax  bx  c  0 có nghi%m kép b1ng  hoc vô nghi%m    g( )  0    0 Tr+=ng h2p 2: Không nh5m  0c nghi%m  2 S giao i!m c+a  th hàm s y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0  và Ox b1ng s nghi%m c+a ph ng trình: ax 3  bx 2  cx  d  0  Ch có mt nghim khi và ch& khi: Hàm s luôn ng bin hoc luôn nghch bin; hoc có hai  y '  0  c,c tr n1m v- cùng mt phía i v#i Ox   y '  0 trong ó: x1 , x2 là nghi%m c+a    y( x1 ).y( x2 )  0  ph ng trình: y '  0  Ch có hai nghim khi và ch& khi hàm s có hai c,c tr, trong ó có mt c,c tr n1m trên Ox    0 trong ó: x1 , x2 là nghi%m c+a ph ng trình: y '  0   y'  y x y x ( ). ( ) 0  1 2 Ch có ba nghim phân bit khi và ch& khi hàm s có hai c,c tr, trong ó có hai c,c tr n1m   0 trong ó: x1 , x2 là nghi%m c+a ph v- hai phía c+a tr(c Ox   y '  y( x1 ).y( x2 )  0 ng trình: y'  0 B1 sung: Ph ng trình  ng th/ng qua hai c,c tr (nu có) là y  mx  n (Bi!u thc mx  n là a thc d khi chia y cho y’). Xét y '  3ax 2  2bx  c  0 Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 11 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool c) Phng trình bc bn trùng phng hay tng giao ca # th hàm a thc bc 4 trùng phng vàc trucj Ox)  t  x2  0 f ( x )  ax 4  bx 2  c  0  a  0    . t = x2 x =  t f ( t )  0  S nghi%m 4 3 2 1 i-u ki%n 0  P0 S 0  P0  S 0 P  0      0   S / 2  0  P  0   S  0    0    S / 2  0 0 CSC    0   P  0   S  0     0  0  t1  t2   t2  3 t1 M"t s kin thc hình h&c b! sung:     - Cho: u1   x1; y1  , u2   x2 ; y2   u1.u2  x1 x2  y1y2  - Cho A1 ( x1; y1 ), A2 ( x2 ; y2 ) : A1 A2   x2  x1; y2  y1  ; A1 A2  2  x2  x1    y2  y1  2 - Cho tam giác  A1 A2 A3 trong ó: A1 ( x1; y1 ), A2 ( x2 ; y2 ), A3 ( x3 ; y3 ) không th/ng hàng:   + Tam giác  A1 A2 A3 vuông ti A1  A1 A2 . A1 A3  0   AA  AA 1 3  1 2 + Tam giác  A1 A2 A3 -u      A1 A2  A2 A3 - Di%n tích tam giác : S ABC  1 1 abc  p  p  a  p  b  p  c  h.a  b.c sin A  pr  2 2 4R 6. HÀM S VÀ : TH4 6.1. # th hàm s bc 3  th hàm s luôn c t tr(c Ox ti ít nh"t mt i!m  b  b   th nh*n i!m I   ; f     là tâm i xng  3a  3a   Bng bin thiên và dng  th Tr+=ng a>0 h2p a<0 y'  0 vô nghim *) Hàm s luôn ng bin trên R *) Hàm s không có c,c tr *) Hàm s luôn nghch bin trên R *) Hàm s không có c,c tr Thy Nguyn c Th ng y'  0 09691197889 –[email protected] Tr ng PTLC C Vinschool *) Hàm s luôn ng bin trên t R *) Hàm s không có c,c tr *) Hàm s luôn nghch bin trên R *) Hàm s không có c,c tr *) Hàm s ng bin trên kkhong *) Hàm s nghch bin trên kho ong *) Hàm s t c,c i ti m s t c,c ti!u x  X1; yCÑ  f ( X1 ) . Hàm *) Hàm s t c,c i ti x  X1; yCT  f ( X1 ) . Hàm s t  c,c có nghim kép y'  0 có hai nghim phân bit  ; X1  và  X2 ;   . Hàmm s nghch bin  ; X1  và  X2 ;   . Hàm s ng bin trên  X1; X2  . trên  X1; X2  . ti x  X2 ; yCT  f ( X2 ) . ti!u ti x  X2 ; yCÑ  f ( X2 ) . Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool 6.2. # th hàm s bc 4 trùng phng: f ( x )  ax 4  bx 2  c (a  0)    Vì hàm s là ch6n trên R nên  th luôn nh*n tr(c tung làm tr(c i xng. Hàm s luôn có c,c tr (mt c,c tr nu a.b>0 ; ba c,c tr nu a.b<0) Có mt c,c tr luôn thuc tr(c Oy. Tr ng h0p có 3 i!m c,c tr thì ba i!m c,c tr là 3 &nh c+a tam giác cân. B/ng bin thiên và d0ng ? th& Các d0ng a>0 a<0 *) n iu *) n iu Hàm s ng bin trên các khong Hàm s nghch bin trên các khong    b  b    ; 0  và   ;      2a  2a    Hàm s nghch bin trên các khong    b  b    ; 0  và   ;      2a  2a    Hàm s ng bin trên các khong   b  b   ;    và  0;     2a  2a    * [email protected] tr&   b  b   ;    và  0;     2a  2a    * [email protected] tr& Hàm s t c,c ti!u ti : xCT    y’ = 0 có 3 nghim phân bit  PT (*) có hai nghim phân bit khác 0  ab < 0 b 2a Hàm s t c,c ti!u ti : xCÑ    b 2a và yCT  Y1  f (xCT ) .Hàm s t c,c và yCÑ  Y1  f (xCÑ ) .Hàm s t c,c i i ti xCÑ  0 và yCÑ  Y2  c . ti xCT  0 và yCT  Y2  c . * GiAi h0n * GiAi h0n  lim  ax   Neáu a  0  c     Neáu a  0  Neáu a  0 lim ax 4  bx 2  c   x    Neáu a  0 x  4  bx 2  lim  ax   Neáu a  0  c     Neáu a  0  Neáu a  0 lim ax 4  bx 2  c   x    Neáu a  0 x  4  bx 2  th hàm s không có ti%m c*n *) B/ng BT  th hàm s không có ti%m c*n *) B/ng BT 3. ? th& 3. ? th& Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] *) n iu Hàm s ng bin trên các khong y’ = 0 chB có 1 nghim  PT (*) vô nghim ho;c chB có m t nghim bDng 0  ab > 0 Tr ng PTLC Vinschool *) n iu Hàm s ng bin trên các khong  0;  . Hàm s nghch bin trên các khong  ; 0   ; 0 . Hàm s nghch bin trên các khong  0;   * [email protected] tr& Hàm s t c,c ti!u ti xCT  0 và * [email protected] tr& Hàm s t c,c ti!u ti xCÑ  0 và yCT  Y2  c . yCÑ  Y2  c . * GiAi h0n * GiAi h0n  lim  ax   Neáu a  0  c     Neáu a  0  Neáu a  0 lim ax 4  bx 2  c     Neáu a  0 x  4 x   bx 2  lim  ax   Neáu a  0  c     Neáu a  0  Neáu a  0 lim ax 4  bx 2  c     Neáu a  0 x  4 x   bx 2 *) B/ng BT *) B/ng BT  th hàm s không có ti%m c*n 3. ? th&  th hàm s không có ti%m c*n 3. ? th& 6.3.# th hàm s phân thc d ng f ( x )  ax  b (c  0, ad  bc  0) cx  d Bng bin thiên và dng  th ad  bc  0 ad  bc  0 *)n i u *)n i u  d Hàm s ng bin trên các khong  ;   và c   d Hàm s nghch bin trên các khong  ;   c  Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected]  d    ;    c  *) C’c tr Hàm s không có c,c tr *) Gi i hn lim  d x     c  y   và th/ng x   lim y  x  lim  d x     c ng PTLC Vinschool  d  và   ;    c  *) C’c tr Hàm s không có c,c tr *) Gi i hn  y   nên  ng d là ti%m c*n ng c a a và lim y  nên  x  c c lim  d x     c  y   và th/ng x   ng th/ng a là ti%m c*n ngang c *) Bng bin thiên : lim y  x  lim  d x     c  y   nên  ng d là ti%m c*n ng c a a và lim y  nên  x  c c ng th/ng a là ti%m c*n ngang c *) Bng bin thiên : y y 3. ? th& 3. ? th& 7. BÀI TOÁN TIP TUYN D0ng 1. Ph Tr ng trình tip tuyn c+a  ng cong (C): y  f ( x) ti tip i!m M  x0 ; y0  có dng: d : y  f ‘ x   x  x0   y0 0 Áp d’ng trong các tr)ng hp sau: Trng h%p 1. Vit ph ng trình tip tuyn d c+a (C) t0i i!m M  x0 ; y0  . 2. Vit ph ng trình tip tuyn d c+a (C) ti i!m có hoành  x  x0 3. Vit ph ng trình tip tuyn d c+a (C) ti i!m có tung  y  y0 4. Vit ph ng trình tip tuyn d c+a (C) , bit h% s góc k c+a tip tuyn d . C n tìm Ghí chú H% s góc : f ‘  x0  H% s góc : f ‘  x0    f ‘  x0  T$ x0     f  x0  Hoành  tip i!m x0 Gii ph ng trình y0  f  x0  Hoành  tip i!m x0 Gii ph ng trình f ‘  x0   k Tung  tip i!m y0  f  x0  H% s góc : f ‘  x0  Tung  tip i!m y  f  x  Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Chú ý: Gi k1 là h% s góc c+a  ng th/ng d1 và k 2 là h% s góc c+a  Tr ng PTLC Vinschool ng th/ng d2 Nu d1 song song v#i d2 thì k1  k2 Nu d1 vuông góc v#i d2 thì k1.k2  1 D0ng 2 (tham kh/o). Vit ph Phng pháp: B”c 1. Vit ph ng trình tip tuyn c+a  ng trình  d : y  k  x  x1   y1 ng cong (C) i qua i!m A  x1; y1  ng th/ng d i qua i!m A và có h% s góc k B”c 2. Tìm i-u ki%n ! d là tip tuyn c+a  ng cong (C) :  f ( x )  k  x  x1   y1 ng cong (C)   có nghi m.  f ‘  x   k (*) B”c 3. Kh k , tìm x , thay x vào (*) ! tìm k , t$ ó suy ra các tip tuyn cn tìm d tip xúc v#i  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 17 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] B. M – LOGARIT 1. nh ngha và các công thc lu( th*a và m+ a) L+y th*a C s” a S” mE  LuG thIa a Tr ng PTLC Vinschool   n  N* aR a  an  a.a……a (n tha s a)  0 a0 a  a0  1   n ( n  N * ) a0 a  an   m (m  Z , n  N , n  2) n a0   lim rn (rn  Q , n  N * )  a a0 a a n  a m ( n a  b  b n  a) r ng, và  là nhng s th,c tùy ý, ta có (a )  a .  (a  )  a   an a  lim a n 2. Các phép toán: V#i a và b là nhng s th,c d a .a   a   m an 1  a a    b b (ab)  a .b 3. So sánh: Nu a  1 thì a  a      ; Nu 0  a  1 thì a  a      V#i 0 < a < b ta có: am  bm  m  0 ; b) C,n bc n: am  bm  m  0  Khái nim : C7n b*c n c+a a là s b sao cho b n  a .  V#i a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có: n  ab  n a .n b ; Nu n a na  (b  0) ; b nb p q n m  thì a p  aq (a  0) n m n p a p   n a  (a  0) #c bit n n a mn mn a  mn a am anb. - Nu n là s nguyên d ng l8 và a < b thì - Nu n là s nguyên d ng ch6n và 0 < a < b thì n anb. Chú ý: + Khi n l8, m.i s th,c a ch& có mt c7n b*c n. Kí hi%u n a . + Khi n ch6n, m.i s th,c d ng a có úng hai c7n b*c n là hai s i nhau, c7n có giá tr d ng ký hi%u là n a khi n l a an   khi n chn a 2. nh ngha và các công thc lôgarit  n * &nh nghJa : log a b    a  b * Phép toán : V"i a, b > 0; a  1; log a 1  0 ; b1, b2 > 0;  R ta có: log a a  1 ; Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành log a a b  b ; a loga b b t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 18 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool * So sánh: Nu a > 1 thì log a b  log a c  b  c . Nu 0 < a < 1 thì log a b  log a c  b  c * Phép toán: log a (b1b2 )  log a b1  log a b2 b  loga  1   loga b1  loga b2  b2  log a b   log a b * 1i c s" : V#i a, b, c > 0 và a, b  1, ta có: logb c  log a c log a b hay log a b.log b c  log a c log a b  1 log b a loga c  1 loga c (  0)  * Logarit th-p phân: lg b  log b  log10 b n * Logarit [email protected] nhiên (logarit Nepe):  1 ln b  loge b (v#i e  lim  1    2, 718281…… )  n 3. HÀM S- L/Y TH1A * D0ng: y  x ,   R * T-p xác &nh: D  nguyên d ng thì TX là D = R  nguyên âm hoc b1ng 0 thì TX là D = R {0}.  không là s nguyên thì TX là D = (0; +). * 0o hàm : ( x )’   .x 1 ( x  D) . (u )’   .u 1.u ‘ v#i u là hàm h0p. * Tính n iu : trên khong (0 ; +) hàm s ng bin nu >0 và nghch bin nu < 0 . *# th :  Luôn i qua i!m (1; 1)   0  th không có ti%m c*n.  < 0  th có ti%m c*n ngang là tr(c Ox, ti%m c*n ng là tr(c Oy. * Chú ý: Hàm s y   n x   1 xn 1 n n x n 1 không ng nht v"i hàm s y  n x (n  N *) . ( v"i x > 0 khi n ch-n và x 0 khi n l.)  n u   u’ n n u n1 4. HÀM S- M/ * D0ng: y  a x (a > 0, a  1). * T-p xác &nh: * T-p giá tr&: D = R. T = (0; +).   eu   eu .u ‘ * 0o hàm:  e x   e x * Tính n iu:  Khi a > 1 hàm s ng bin trên R.  Khi 0 < a < 1 hàm s nghch bin trên R. * ? th&:  Luôn i qua các i!m (0; 1) ; (1 ; a)   th có ti%m c*n ngang là tr(c Ox. Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành  a x   a x .ln a  au   au .u '.ln a t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 19 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] y y=ax 1 Tr ng PTLC Vinschool y y=ax 1 x a>1 x 0 0, a  1) * T-p xác &nh: D = (0; +). * T-p giá tr&: T = R. * 0o hàm:  ln x   1 x  ln u   u (x 0); u  loga x   x ln1 a (x0)  loga u   u lnu a * Tính n iu:  Khi a > 1 hàm s ng bin trên (0; +).  Khi 0 < a < 1 hàm s nghch bin trên (0; +). * ? th&:  Luôn i qua i!m (1; 0) và (a ; 1).   th có ti%m c*n ng là tr(c Oy. y y O y=logax y=logax 1 O 01 Chú ý : Gi#i hn c bi%t: x 1 x lim x 0 ln(1  x ) 1 x 6. PH23NG TRÌNH M/ b  0 6.1. Ph+ng trình mE c b/n: V#i a > 0, a  1: a x  b    x  log a b 6.2. M t s” ph+ng pháp gi/i ph+ng trình mE a) +a v% cùng c s”: V#i a > 0, a  1: a f ( x )  a g( x )  f ( x )  g( x ) Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 20 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Chú ý: Trong tr)ng hp c s có cha /n s thì: Tr ng PTLC Vinschool a M  a N  (a  1)( M  N )  0 b) Logarit hoá: a f ( x )  b g( x )  f ( x )   log a b  .g( x ) c) ;t Kn ph.:  Dng 1:  Dng 2:  a f (x)  , t  0 , trong ó P(t) là a thc theo t. P (a f ( x ) )  0  t  a P ( t )  0  2 f ( x)   (ab) f (x)  b 2 f (x)  0 Chia 2 v cho b 2 f (x) a , ri t 5n ph( t    b  Dng 3: a f ( x )  b f ( x )  m , v#i ab  1. t t  a f ( x )  b f ( x )  f (x) 1 t d) SL d.ng tính n iu c(a hàm s” Xét ph ng trình: f(x) = g(x) (1)  oán nh*n x0 là mt nghi%m c+a (1).  D,a vào tính ng bin, nghch bin c+a f(x) và g(x) ! kt lu*n x0 là nghi%m duy nh”t:  Nu f(x) ng bin (hoc nghch bin) thì f (u)  f (v)  u  v CMn nhA: +) a>1: Hàm s y  a x ng bin (ngh9a là: Nu x1  x2  a x1  a x2 ) +) 0 0, a  1: log a x  b  x  a b 8.2. M t s” ph+ng pháp gi/i ph+ng trình logarit 8.3. D0ng c b/n D0ng 1: Ph ng trình dng log a f ( x )  log a g( x ); 0  a  1 Ph ng pháp gi!i:  f ( x )  g( x ) loga f ( x )  loga g( x )    g( x )  0 D0ng 2: Ph ng trình dng : log a f ( x )  b Ph ng pháp gi!i: Ph ng trình log a f ( x )  b  f ( x )  a b D0ng 3: Ph ng trình có dng log a f ( x )  log b g( x ) (0  a, b  1) Ph ng pháp gi!i:  f ( x )  at +) loga f ( x )  logb g( x )   t g( x )  b Kh 5n x !  a v- ph ng trình m: 5n t. a   f  x  g x    +) log f  x  g  x   a      f  x  ; g  x   0; f  x   1 D0ng 4: Ph ng trình dng t  loga x +) f  loga x   0  0  a  1    f  t   0 t  loga g  x  +) f  loga g  x    0  0  a  1    f  t   0 8.4. M t s” ph+ng pháp gi/i ph+ng trình mE: a) Ph+ng pháp +a v% cùng c s” Cn nh# các công thc bin i sau: 1. a m n m  a .a n 2. a mn  am 3. a an n  1 an 4. a nx    a x n 5. x n a n  a x 6. a nx  1 a  x n b) Ph+ng pháp lôgarit hoá S d(ng mt s công thc sau: 1. loga  x.y   loga x  loga y 3. log a x   log a x 5. loga b  logc b logc a  x, y  0,0  a  1 2.  x  0, 0  a  1  0  a, c  1, b  0  Chú ý: log a x 2 n  2n loga x 4. log a x loga    log a x  loga y  x , y  0, 0  a  1 y 1 x  loga x x  0,0  a  1,  0  6. loga x    loga x    x  0,0  a  1,   0 x  0 c) Ph+ng pháp ;t Kn ph. Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 22 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com + #t /n ph’ hoàn toàn: Cn nh# mt s công thc sau: log a b  log c b log c a  0  a, c  1, b  0  , loga  x   loga x  Tr ng PTLC Vinschool  x  0,0  a  1,   0 t t  log a x . Mt s công thc bin i + #t /n ph’ không hoàn toàn S d(ng bi%t thc  cho tam thc b*c 2 5n t, trong ó t  log a x ! phân tích thành tích d) Ph+ng pháp sL d.ng tính n iu c(a hàm s” CMn nhA: +) a>1: Hàm s y  log a x ng bin trên R (ngh9a là: Nu 0  x1  x2  log a x1  log a x2 ) +) 0 0 và a, b, c  1: a logb c  c logb a 9. B4T PH23NG TRÌNH LOGARIT: Khi gii các b”t ph ng trình logarit ta cn chú ý tính  n i%u c+a hàm s logarit.  a  1   f ( x )  g( x )  0 loga f ( x )  log a g( x )      0  a  1   0  f ( x )  g( x ) Chú ý: Trong tr)ng hp c s a có cha /n s thì: loga A log a B  0  (a  1)( B  1)  0 ;  0  ( A  1)( B  1)  0 . log a B 10. MT S BÀI TOÁN TH3C T 10.1. LÃI 3N S ti-n lãi ch& tính trên s ti-n gc mà không tính trên s ti-n lãi mà s ti-n gc sinh ra Công thc tính lãi  n : Tn  M 1  r.n  V#i Tn : s ti-n c vn l;n lãi sau n k< hn ; M : s ti-n vn ban u. r : Lãi su"t nh k< ( tính theo % ) Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 23 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool n : s k< hn tính lãi. 10.2. LÃI KÉP S ti-n lãi không ch& tính trên s ti-n gc mà còn tính trên s ti-n lãi do s ti-n gc sinh ra thay i theo t$ng nh k<. a) Lãi kép gLi m t lMn : Công thc tính lãi kép : Tn  M 1  r  n V#i Tn : s ti-n c vn l;n lãi sau n k< hn ; M : s ti-n vn ban u. r : Lãi su"t nh k< ( tính theo % ) n : s k< hn tính lãi. b) Lãi kép, gLi &nh kN : *Trng h%p 1 : Tin c g*i vào cui m i tháng Cui tháng th nht ng)i ó b3t 0u g*i tin : T1 = M Cui tháng th hai ng)ió có s tin là : M(1 + r) + M = M[(1+r) + 1] = M [(1  r )2  1] r M M [(1  r )2  1] (1+r) + M= [(1  r )3  1] r r M Cui tháng th n ng)ió có s tin là : Tn  [(1  r )n  1] r *Trng h%p 2 : Tin c g*i vào 0u m i tháng M Cui tháng th n ng)ió có s tin là : Tn  [(1  r )n  1](1  r ) r c) Vay tr/ góp : Vay A, lãi su"t r, s kì vay n, tr hàng kì : M n M Tn  A 1  r   [(1  r )n  1] r d) TOng l+ng : Kh2i i!m A, t& l% t7ng hàng kì : r, s ln t7ng l ng : n A n Tng ti-n : Tn  [(1  r )n  1] và ti-n l ng 2 kì t7ng l ng th n là Tn  A 1  r  r Cui tháng th ba ng)ió có s tin là : Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 24 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com C. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ NG DNG TÍCH PHÂN I. LÍ THUYT NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN 1. Nguyên hàm c b/n  1  1  ax  b     ax  b  dx   dx 1  ax  b  a ln ax  b  c e ax  b m   dx  ax  b 1  tg  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   c 1 m ax  b  c a ln m 1  cotg  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   c 1 x  arctg  c a a2  x 2 a dx a2  x 2 dx x2  a    1 sin bx dx   ax  b c 2 2 a b sin ax  b   1 cotg  ax  b   c a  1  tg ax  b   c a dx cos2  ax  b  1 a  x 2  a2   ln c a x x x 2  a2 dx b  2 e ax  a sin bx  b cos bx  a2  b2 dx 1 ax  b c 2 c  sin  ax  b   a ln tg c  cos x  ln tan  2  4   C dx x   dx x x 2  a2 dx  x 2 2 a x  a  ln x  x 2  a2  C 2 2  sin x  ln tan 2 dx 2  ln  ax  b  dx   x  a  ln  ax  b   x  c e ax  a cos bx  b sin bx  ax  e cos bx dx  ax   ln x  x 2  a  c dx e  1 a x ln c 2a a  x  sin  ax  b   a ln tg 1 cos  ax  b   c a  sin  ax  b  dx  c dx   1 1 ax  b e c a dx  ng PTLC Vinschool  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c  c ,  1 a   1  Tr C  x 2  a2 dx   x 2 2 a x  a  ln x  x 2  a2  C 2 2 2. Tích phân  Cho hàm s f liên t'c trên K và a, b  K. Nu F là mt nguyên hàm ca f trên K thì: b F(b) – F(a) c g%i l tích phân ca f t* a n b và kí hiu là  b f ( x )dx : a  f ( x )dx  F(b)  F(a) a  i v"i bin s ly tích phân, ta có th ch%n bt kì mt ch4 khác thay cho x, tc là: b  a b b a a f ( x )dx   f (t )dt   f (u)du  ...  F (b)  F(a)  Ý ngha hình h&c: Nu hàm s y = f(x) liên t'c và không âm trên o n [a; b] thì din tích S ca hình thang cong gi"i h n b b5i  th ca y = f(x), tr'c Ox và hai )ng th+ng x = a, x = b là: S   f ( x )dx Thy Nguyn c Th ng 3. Tính ch#t c(a tích phân  0  f ( x )dx  0 0969119789 –thangnd286@gmail.com  0 b  a a f ( x )dx    f ( x )dx b b b b b a a a a    f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx   Nu f(x)  0 trên [a; b] thì b    Tr b b a a  kf ( x )dx  k  f ( x )dx (k: h6ng s) c b a c f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx f ( x )dx  0  Nu f(x)  g(x) trên [a; b] thì a b  a Nu m  f ( x )  M trên [a; b] thì m(b  a)   ng PTLC Vinschool b f ( x )dx   g( x )dx a b  f ( x )dx M (b  a) a 4. Ph+ng pháp tính tích phân b a) Phng pháp !i bin s:  f  u( x ) .u '( x )dx  u( b )  u( a ) a f (u)du trong ó: u = u(x) có  o hàm liên t'c trên K, y = f(u) liên t'c và hàm hp f[u(x)] xác nh trên K, a, b  K. b) Phng pháp tích phân t*ng ph n b Nu u, v là hai hàm s có  o hàm liên t'c trên K, a, b  K thì: b b  udv  uv   vdu a a a Chú ý: – C0n xem l i các ph ng pháp tìm nguyên hàm. b – Trong ph ng pháp tích phân tng ph0n, ta c0n ch%n sao cho  vdu d7 tính h b n a b – Khi tính   udv . a f ( x)dx c0n chú ý xem hàm s y = f(x) có liên t'c trên a; b không ? Nu có thì a áp d'ng ph ng pháp ã h%c  tính tích phân. Nu không kt lun tích phân không tn t i. II. PHNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Ph+ng pháp 1: Tính tích phân bDng ph+ng pháp 1i bin b Dng 1: Gi! s* c0n tính tích phân:  f ( x )dx . Nu f ( x )  f  u( x ) .u '( x ) thì : b  a a f ( x )dx  u( b )  f (u)du u( a ) b Dng 2: Gi! s* c0n tính tích phân:  f ( x )dx . Nhng tính theo d a v hàm lng giác. Ta th)ng g#p các d ng sau:   a 2  x 2 dx 1 dx a2  x 2 #t x  a sin t ho#c #t : x  a cos t ng 1 không c, lúc này ta chuyn Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com a2  x 2 dx 1 dx 2 2 a x 1  2 2 dx a x     #t x  a tan t x 2  a2 dx 1 dx x 2  a2 #t x  n 1 f ho#c #t x  a cos t CÁCH I BIN t t  ax  b ).x n dx t t  x n1  t t  dx x . x x  f  sin x  cos xdx t t  sin x  f  cos x  sin xdx t t  cos x dx  f  tan x   f  cot x   f e x 2 cos x dx 2 sin x   t t  tan x   t t  cot x ;  f  tan x  1  tan2 x dx ;  f  cot x  1  cot 2 x dx  .e dx t t  e x dx x t t  ln x x  f  ln x  ng PTLC Vinschool ho#c #t : x  a cot t DNG  f  ax  b  dx  f (x a sin t Tr  1  1     f  x  x  .  x  x  dx t t  x  1 x Ph+ng pháp 2: Tính tích phân bDng ph+ng pháp tích phân tIng phMn V"i P(x) là a thc /n x, có các d ng sau: b x  P( x ).e dx a  t u  t dv  b  P( x ).cos xdx a b  P ( x ).sin xdx a P(x) P(x) P(x) e x dx cos xdx sin xdx Th t, u tiên t u trong ph b  P( x ).ln xdx a lnx P(x) ng pháp Nguyên hàm t$ng phn: sin x ,cos x Lôgarít  a thc   x e IV. TÍCH PHÂN HÀM HPU TQ Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành (Hàm lng giác) (Hàm m) t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 27 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool - Loi 1: Nu bc ca P(x)  bc ca Q(x) thì ta th&c hin phép chia a thc. - Loi 2: Nu bc ca P(x) < bc ca Q(x) và Q(x) có d ng tích nhiu nhân t* thì ta phân tích f(x) thành t,ng ca nhiu phân thc (b6ng ph ng pháp h s bt nh). Các dng dùng phöông phaùp heä soá baát ñònh thng gp: Dng 1: M;u s có nghi%m  n: P( x ) P( x ) A B    Q( x ) ( x  a)( x  b) x  a x  b P( x ) P( x ) A B C     Q( x ) ( x  a)( x  b)( x  c) x  a x  b ( x  c) Dng 2: M;u s có nghi%m  n và b*c 2 vô nghi%m: P( x ) P( x ) A Bx  C    , vôùi   b 2  4 ac  0 2 2 Q ( x ) ( x  m )(ax  bx  c ) x  m ax  bx  c Dng 3: M;u s có nghi%m bi: P( x ) P( x ) A B    2 2 Q( x )  x  a  x  a x  a P( x ) P( x ) A B C     3 3 2 Q( x )  x  a  x  a  x  a x  a P( x ) P( x ) A B C D      2 2 2 Q( x ) ( x  a) ( x  b) x  a ( x  a) x  b ( x  b )2 P( x ) P( x ) A B C D E       2 3 2 2 Q( x ) ( x  a) ( x  b) x  a ( x  a) x  b ( x  b) ( x  b )3 - Lo0i 3: Mt s nguyên hàm ta dùng ph V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TQ ng pháp i bin hoc t$ng phn  ax  b  + D0ng 1: f  x   R  x , m  cx  d    t:   1 + D0ng 2: f  x   R   ( x  a)( x  b)     t: t  x  a  x  b tm ax  b cx  d + D0ng 3: f  x   R  x , n ax  b , m ax  b   t: t  n.m ax  b + D0ng 4:   a2  x 2 dx 1 dx a2  x 2 #t x  a sin t,  + D0ng 5:   a2  x 2 dx 1 dx a2  x 2 #t x  a tan t ,  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành   t 2 2   t 2 2 hoaëc: x  a cos t, 0  t   hoaëc: x  a cot t, 0  t   t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 28 Thy Nguyn c Th ng + D0ng 6:   + D0ng 7: 0969119789 –thangnd286@gmail.com a x dx ax ax dx a x Tr ng PTLC Vinschool #t x  a cos2t #t x  a   b  a  sin2 t   x  a  b  x dx VI. TÍCH PHÂN HÀM LRNG GIÁC   sin ax.sin bxdx  D0ng 1: Các d0ng:   sin ax.sin bxdx  sin ax.sin bxdx   1  cos a.cos b  2  cos  a  b   cos  a  b    1  Ph+ng pháp gi/i: Dùng công thc bin ,i thành t,ng: sin a.sin b   cos  a  b   cos  a  b  2  sin a.cos b  1 sin  a  b   sin  a  b     2  sin n axdx D0ng 2:   n   cos axdx n  N  + VAi n lS :  sin n axdx   sin n 1 ax.sin axdx   sin n 1 ax.sin axdx    sin2 ax  cos n  n 1 2 .sin axdx    1  cos2 ax  n 1 2 .sin axdx . t : u  cos x axdx . Phân tích nh trên sau ó #t: u  sin x + VAi n chTn: S* d'ng công thc h bc: cos2 ax  1  cos 2ax 1  cos 2ax ; sin 2 ax  2 2 D0ng 3:  sin n ax.cosm axdx (n, m  N) + VAi n lS hay m lS : n lS t u = cosax ; + VAi n và m chTn: S d(ng công thc h b*c: cos2 ax  1  cos 2ax ; 2 sin 2 ax  m lS t u = sinax 1  cos 2ax 1 ; sin x.cos x  sin 2 x 2 2  1   1  cos ax dx D0ng 4:  1  dx  1  cos ax S* d'ng công thc: 1  cos ax  2 cos2 ax ax và 1  cos ax  2 sin 2 2 2 Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 29 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com    sin a  cos a  2 sin  a   4      CMn nhA: sin a  cos a  2 cos  a   4      sin a  cos a   2 cos  a  4     Tr ng PTLC Vinschool  1 dx   D0ng 5:  sin ax .   1 dx  cos ax Ph+ng pháp: 1  sin ax dx    1   n dx D0ng 6:  sin ax   1 dx  cosn ax Ph+ng pháp:   1 n sin ax dx   1 n cos ax 1 sin ax  n 2 2 . 1  cos ax  2  tan n axdx D0ng 7:   n   cot axdx sin ax dx . t u  cos x 1  cos2 ax 1 cos ax cos ax dx . t u  sin x  cos ax dx   2 dx   cos ax 1  sin2 ax 2 sin ax dx   n  N  2 dx   sin ax n 2 2 1 2 sin ax .  dx   1  tan ax 1 2 2 cos ax  2  n 2 2 dx   1  cot ax  . n 2 2 1 sin 2 ax . dx ; t u  tan ax . 1 cos2 ax dx ; t u  cot ax n  N  Ph+ng pháp: + Bin i sao cho tan2 ax làm th$a s chung + Thay : tan2 ax   tan n ax dx   cos2 ax D0ng 8:  n  cot ax dx   sin2 ax D0ng 9: n  N  . 1 cos2 ax 1 Ph+ng pháp: t u  tan ax hoc u  cot ax dx  a.sin x  b.cos x  c Cách 1: Ph ng pháp chung: Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 30 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com  2dt dx   x  1  t2   t : t  tan 2 2 sin x  2t ; cos x  1  t ; tan x  2t  1  t2 1  t2 1- t 2 Cách 2: Ph Tr ng PTLC Vinschool ng pháp riêng: Nu c  a2  b2 . 1 1 1 1   . . a sin x  b cos x  c c 1  cos  x -   2c 2 x    cos 2 a b ; cos   Trong ó : sin   a2  b2 a2  b2 Ta có:  x   dx 1  tan  C c 2  2 x   cos 2 a.sin x  b.cos x D0ng 10:  dx c.sin x  d .cos x Khi ó : I  1 2c  a.sin x  b.cos x B(c.cos x  d .sin x )  A c.sin x  d .cos x c.sin x  d .cos x Sau ó dùng ng nh"t thc tìm A, B. Ph+ng pháp: Phân tích D0ng 11: a.sin x  b.cos x  m  c.sin x  d .cos x  n dx Ph+ng pháp: a.sin x  b.cos x  m B(c.cos x  d .sin x ) C  A  c.sin x  d .cos x  n c.sin x  d .cos x  n c.sin x  d .cos x  n Sau ó dùng ng nh"t thc tìm A, B, C. Phân tích D0ng 12: dx  sin  x  a  sin  x  b  Ta th,c hi%n theo các b #c sau : + B #c 1: S d(ng ng nh"t thc : 1  sin  a  b  sin  a  b   sin  x  a    x  b   a  b + B #c 2: Ta  0c : sin  x  a    x  b   1 dx   sin  x  a  sin  x  b  sin  a  b   sin  x  a  sin  x  b  dx  sin  x  a  cos  x - b   sin  x  b  cos  x - a  1 dx  sin  a  b  sin  x  a  sin  x  b    cos  x  b  cos  x  a   1 dx  dx   sin  a  b   sin  x  b  sin  x  a    sin  x  b  1 1  ln sin  x  b   ln sin  x  a    ln C   sin  a  b  sin  a  b  sin  x  a  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 31 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr * Chú ý: phng pháp trên c+ng %c áp d$ng cho các dng tích phân sau : dx s d(ng ng nh"t thc : 1   cos  x  a  cos  x  b  dx s d(ng ng nh"t thc : 1   sin  x  a  cos  x  b  D0ng 13: ng PTLC Vinschool sin  a  b  sin  a  b  cos  a  b  cos  a  b  . dx  sin x  sin  * Dùng công thc tng thành tích bin i v- dng 12 ri gii bình th ng. * Chú ý : Ph ng pháp trên c:ng áp d(ng cho các dng tích phân sau : dx D0ng 14:  dx dx  cos x  cos ;  sin x  m ;  cos x  m a1 sin2 x  b1 sin x cos x  c1 cos2 x a2 sin x  b2 cos x m 1 . dx . + Bin i :  a1 sin2 x  b1 sin x cos x  c1 cos2 x   A sin x  B cos x  a2 sin x  b2 cos x   C sin2 x  cos2 x + Khi ó:   A sin x  B cos x  a2 sin x  b2 cos x   C  sin2 x  cos2 x  a2 sin x  b2 cos x    A sin x  B cos x   C  Trong ó : sin    b2 a22  b22 dx a2 sin x  b2 cos x C   A cos x  B sin x  D0ng 15:  dx   A cos x  B sin x   2 sin  x    a22  b2 ; cos   a2 a22  b22 C a22  b22 x  C 2 ln tan . dx a sin2 x  b sin x cos x  c cos2 x + Bin i v- dng :  dx 1 2 cos x dx  dx  1  tan2 2 2 a sin x  b sin x cos x  c cos x n   dx  atan x  b tan x  c  cot dt x  dx  1  t  dx  dx  1 t 2 a sin x  b sin x cos x  c cos x + t: t  tan x  dt  + Khi ó  2 2 2 x 2 2 dt 2 at  bt  c . n D0ng 16: A1.1 =   sinx  dx ; A1.2   cosx  dx 1. Công th*c h0 b-c sin 2 x  1  cos 2 x 1  cos 2 x  sin 3 x  3sin x cos3 x  3cos x ; cos2 x  ; sin3 x  ; cos3 x  2 2 4 4 Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 32 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com 2. Ph+ng pháp 2.1. Nu n ch6n thì s d(ng công thc h b*c 2.2. Nu n  3 thì s d(ng công thc h b*c hoc bin i theo 2.3. 2.3. Nu 3  n l8 (n  2p 1) thì th,c hi%n bin i: n A1.1 =   sinx  dx =   sinx  2p+1 dx    sin x  2p Tr ng PTLC Vinschool p sin xdx    1  cos2 x  d  cos x  k p  k p    C p0  C1p cos2 x  ...   1 C pk  cos2 x   ...   1 C pp  cos2 x   d  cos x     1k k  1 p p 2 k 1 2 p 1 1 1 0 3  c     C p cos x  C p cos x  ...   ...  C p cos x C p  cos x  3 2k  1 2p 1   n A1.2 =   cosx  dx =   cosx  2p+1 dx    cos x  2p p cos xdx   1  sin 2 x  d  sin x  k p  k p   C p0  C1p sin2 x  ...   1 C pk  sin2 x   ...   1 C pp  sin2 x   d  sin x     1k k  1 p p 2 k 1 2 p 1 1 0 1 3 c C p  sin x  C p  sin x   C p sin x  C p sin x  ...   ...  3 2k  1 2 p 1   D0ng 17: B =  sin m x cosn x dx (m, nN) 1. Ph+ng pháp: 1.1. Trng h%p 1: m, n là các s nguyên a. Nu m ch6n, n ch6n thì s d(ng công thc h b*c, bin i tích thành tng. b. Nu m ch6n, n l8 (n 2p 1) thì bin i: m B =   sinx   cosx  2p+1 m dx    sin x   cos x  2p cos xdx    sin x  m 1  sin 2 x  p d  sin x  k p k p m    sin x  C p0  C1p sin2 x  ...   1 C pk  sin2 x   ...   1 C pp  sin2 x   d  sin x   2 k 1 m 2 p 1 m    m1 1  sin x m 3 k k  sin x  p p  sin x  C p0 sin x c      Cp  ...  1 C p  ...  1 C p m 1 m3 2k  1  m 2 p  1  m   c. Nu m ch6n, n l8 (n 2p 1) thì bin i: B =   sinx  2p+1 p  cosx n dx    cos x n  sin x 2 p sin xdx     cos x n 1  cos2 x  d  cos x  k p k p n     cos x  C p0  C1p cos2 x  ...   1 C pk  cos2 x   ...   1 C pp  cos2 x   d  cos x   2 k 1 n 2 p 1 n  n3   cos x n1 k k  cos x  p p  cos x  0 1  cos x   c      Cp  Cp  ...  1 C p  ...  1 C p n 1 n3 2k  1  n 2 p  1  n   d. Nu m l8, n l8 thì s d(ng bin i 1.2. hoc 1.3. cho s m: l8 bé h n. 1.2. Nu m, n là các s h6u t7 thì bin !i và t u  sinx ta có: m B   sin x cos xdx    sin x   cos2 x  m n • Tích phân (*) tính  0c  1 trong 3 s n1 2 cos xdx   u 1  u2  m m 1 2 du (*) m  1 n 1 m  k ; ; là s nguyên 2 2 2 n n D0ng 18: C3 .1 =   tg x  dx ; C3 . 2 =   cotg x  dx (nN) 1. Công th*c sL d.ng Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 33 Thy Nguyn c Th ng  1  tg  0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool dx   d  tg x   tg x  c cos2 x dx   d  cotg x    cotg x  c •  1  cotg2 x dx   sin2 x sin x d  cos x  •  tg xdx   dx      ln cos x  c cos x cos x cos x d  sin x  •  cotg xdx   dx    ln sin x  c sin x sin x • 2 x dx     D0ng 19: D 4 .1 =   tg x m  cos x n dx ; D 4 . 2 =  1. Ph+ng pháp: Xét i di%n D4.1    cotg x m dx  sin x n  tg x m  cos x n dx 1.1. Nu n ch8n (n  2k) thì bin !i: D 4.1 =   tgx m  cosx 2k m 1  dx    tg x     cos2 x  k 1 dx cos2 x    tg x  m 1  tg2 x  k 1 d  tg x  1 p k 1  m    tg x  Ck01  Ck11 tg2 x  ...  Ckp1 tg2 x  ...  Ckk11 tg2 x  d  tg x  m 1 m 3 m  2 p 1 m  2 k 1 0  tg x  1  tg x  p  tg x  k 1  tg x   Ck 1  Ck 1  ...  Ck 1  ...  Ck 1 c m 1 m3 m  2p 1 m  2k  1       1.2. Nu m l9, n l9 (m  2k 1, n  2h 1) thì bin !i: D 4 .1 =   tgx 2k+1  cosx 2h+1 dx    tg x  k  1   1     1   2  cos x   cos x  2h 2k  1     cos x  2h tg x dx   tg2 x cosx  k  1  2 2h d     u  1 u du  cos x   k  1     cos x  (2 ây u  2h sin x cos2 x dx 1 ) cos x k k 1 k p   p k   u2 h Ck0  u2   Ck1  u 2   ...   1 Ckp  u2   ...   1 Ckk  du  Ck0 p k u 2 k  2 h 1 u 2 k  2 h 1 u 2 k  2 h 2 p 1 u 2 h 1  Ck1  ...   1 Ckp  ...   1 Ckk c 2k  2 h  1 2k  2h  1 2k  2h  2 p  1 2h  1 1.3. Nu m ch8n, n l9 (m  2k, n  2h  1) thì s: d$ng bin !i: D4.1   D4.1    tg x 2k  cos x  2 h 1 dx   u2 k du 1  u2 k h1   sin x 2 k cos x  cos x  2 k  h 1 dx   u2 k 2 1  1  u2   1  u2 k  h1  sin x 2 k 1  sin x  du   2 k  h 1 u2 k 2 du 1  u2 k h1 d  sin x  ;  u  s inx   u2 k 2 du 1  u2 k  h H% thc trên là h% thc truy hi, kt h0p v#i bài tích phân hàm phân thc hu t& ta có th! tính  0c D4.1. D0ng 20: SL d.ng công th*c bin 1i tích thành t1ng 1. Ph+ng pháp: Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 34 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr E5.1    cos mx  cos nx  dx  1   cos  m  n  x  cos  m  n  x  dx 2 1 E5.2    sin mx  sin nx  dx    cos  m  n  x  cos  m  n  x  dx 2    E5.3   sin mx cos nx dx  1  sin  m  n  x  sin  m  n  x  dx 2    E5.4   cos mx sin nx dx  1  sin  m  n  x  sin  m  n  x  dx 2 VI. TÍCH PHÂN HÀM CÓ CHA TR4 TUYT  I ng PTLC Vinschool b D0ng 1: Gi s cn tính tích phân I   f ( x ) dx , ta th,c hi%n các b #c sau: a + B+Ac 1. L*p bng xét d"u (BXD) c+a hàm s f(x) trên on [a; b], gi s f(x) có BXD: x f ( x) x1 a 0  b x1 a a + B+Ac 2. Tính I   f ( x ) dx   b x2  0 f ( x )dx  x2  x1  f ( x )dx  b  f ( x )dx . x2 b D0ng 2: Gi s cn tính tích phân I    f ( x )  g( x )  dx , ta th,c hi%n: a b b b a a a Cách 1. Tách I    f ( x )  g( x )  dx   f ( x ) dx   g( x ) dx ri s d(ng dng 1 2 trên. Cách 2. B+Ac 1. L*p bng xét d"u chung c+a hàm s f(x) và g(x) trên on [a; b]. B+Ac 2. D,a vào bng xét d"u ta b3 giá tr tuy%t i c+a f(x) và g(x). b b a a D0ng 3: ! tính các tích phân I   max  f ( x ), g( x ) dx và J   min  f ( x ), g( x ) dx , ta th,c hi%n các b #c sau: B+Ac 1. L*p bng xét d"u hàm s h( x )  f ( x )  g( x ) trên on [a; b]. B+Ac 2. + Nu h( x )  0 thì max  f ( x ), g( x )  f ( x) và min  f ( x ), g( x )  g( x ) . + Nu h( x )  0 thì max  f ( x), g( x )  g( x ) và min  f ( x ), g( x )  f ( x ) . VII. TÍCH PHÂN MT S HÀM UC BIT 1. Cho hàm s y  f ( x) liên t(c và l8 trên on a; a  . Khi ó: I  2. Cho hàm s y  f ( x) liên t(c và ch6n trên on  a; a  . Khi ó Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành a  f ( x )dx  0 . a I a  a a f ( x )dx  2  f ( x )dx . t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni 0 Page 35 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com 3. Cho hàm s y  f ( x) liên t(c và ch6n trên on  :   . Khi ó:   4. Cho f(x) liên t(c trên on  0;  .Khi ó:  2 5. Hàm s f ( x) liên t(c trên  a; b  Khi ó:  2  f (sin x )dx  0  2  Tr    ng PTLC Vinschool 1  dx   f ( x )dx 2  ax  1 f (x) f (cos x )dx . 0 b b a a  f ( x )dx   f (a b x )dx b abb 6. Hàm s f ( x) liên t(c trên  a; b  tho mãn: f ( x )  f (a  b  x ) thì  xf ( x )dx  f ( x )dx 2 a a Nh-n xét : B1ng cách làm t ng t, ta có các công thc *Nu f(x) liên t'c trên 0;1 thì *Nu f(x) liên t'c trên  0;1 thì        xf (sin x )dx  f (sin x )dx 2  2   xf (cos x )dx   2    f (cos x )dx  VIII. NG DNG CA TÍCH PHÂN 1. Din tích hình phVng D0ng 1: Cho hàm s y  f  x  liên t(c trên  a; b  . Khi ó di%n tích hình ph/ng gi#i hn b2i  th hàm s y  f  x  , tr(c Ox ( y  0 ) và hai  ng th/ng x  a và x  b là: b S   f ( x ) dx a xb (C) : y  f ( x) y xa O y0 a x b Phng pháp gii: B c 1. Lp b!ng xét du hàm s y  f ( x) trên o n  a; b  . b B c 2. D&a vào b!ng xét du tính tích phân :  f ( x ) dx . a b Chú ý: có 2 cách tính tích phân  f ( x ) dx a Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 36 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr b + Cách 1: Nu trên on  a; b  hàm s f  x  không i d"u thì:  a ng PTLC Vinschool f ( x ) dx  b  f ( x )dx a + Cách 2: L*p bng xét d"u hàm s f  x  trên on  a; b  ri kh tr tuy%t i. D0ng 2: Cho hàm s x  f  y  liên t(c trên  a; b  . Khi ó di%n tích hình ph/ng gi#i hn b2i  th hàm s x  f  y  , tr(c Oy ( x  0 ) và hai  ng th/ng y  a và y  b là: b S   f ( y) dy a y yb (C ) : x  f ( y ) b x0 ya a x O 2. Din tích hình phVng D0ng 1: Cho 2 hàm s y  f  x  và y  g  x  liên t(c trên  a; b  . Khi ó di%n tích c+a hình ph/ng (H) gi#i hn b2i  th hai hàm s y  f  x  và y  g  x  và hai  ng th/ng x  a và x  b là: b S   f ( x )  g( x ) dx a y xa (H ) O xb (C1 ) : y  f ( x) (C2 ) : y  g ( x ) x a b Phng pháp gii: B c 1. Lp b!ng xét du hàm s f  x   g  x  trên o n  a; b  . b B c 2. D&a vào b!ng xét du tính tích phân  f ( x )  g( x ) dx . a D0ng 2: Cho hai hàm s y  f  x  và y  g  x  liên t(c trên  a; b  . Di%n tích hình ph/ng gi#i hn b2i các  ng y  f  x  và y  g  x  là: S  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành   f ( x )  g( x ) dx .  t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 37 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng trình f  x   g  x  Trong ó  ,  là nghi%m nh3 nh"t và l#n nh"t c+a ph ng PTLC Vinschool  a      b Phng pháp gii: B c 1. Gi!i ph ng trình f  x   g  x   0 . Gi! s* ta tìm c  ,  là nghim nh( nht và l"n nht ca ph ng trình  a      b  . B c 2. Lp b!ng xét du hàm s : f  x   g  x  trên o n  ;   .   B c 3. D&a vào b!ng xét du tính tích phân: f ( x )  g( x ) dx .  D0ng 3: Cho hai hàm s x  f  y  và x  g  y  liên t(c trên  a; b  . Khi ó di%n tích c+a hình ph/ng (H) gi#i hn b2i  th hai hàm s x  f  y  và x  g  y  và hai  ng th/ng y  a và y  b là: b S   f ( y )  g( y ) dy y a (C 2 ) : x  g ( y ) yb b (H ) ya a x O (C1 ) : x  f ( y ) Phng pháp gii: B c 1. Lp b!ng xét du hàm s f  y   g  y  trên o n  a; b  . b  B c 2. D&a vào b!ng xét du tính tích phân f ( y )  g( y ) dy . a D0ng 4: Cho hai hàm s x  f  y  và x  g  y  liên t(c trên  a; b  . Di%n tích hình ph/ng gi#i hn b2i các  ng x  f  y  và x  g  y  là: S    g1(y)  g2 (y) dy .  Trong ó  ,  là nghi%m nh3 nh"t và l#n nh"t c+a ph ng trình f  y   g  y   a      b Phng pháp gii: B c 1. Gi!i ph ng trình f  y   g  y   0 . Gi! s* ta tìm c  ,  là nghim nh( nht và l"n nht ca ph ng trình  a      b  . B c 2. Lp b!ng xét du hàm s : f  y   g  y  trên o n  ;   .  B c 3. D&a vào b!ng xét du tính tích phân:  f ( y )  g( y ) dy .  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 38 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool D0ng 5: khi tính din tích giAi h0n 3 hàm s" trW lên thì ph+ng pháp chung là vX ? th& r?i d@a vào ? th& Y tính. Cách tính gi i hn ca 3 hàm s: Cho 3 hàm s y  f  x  , y  g  x  và y  h  x  liên t(c trên  a; b  . Khi ó di%n tích c+a hình ph/ng (H) gi#i hn b2i  th 3 hàm s y  f  x  , y  g  x  và y  h  x  là: S V#i: x2 x3 x1 x2  f  x   g  x  dx   h  x   g  x  dx + x1 là nghi%m ph ng trình: f  x   g  x  + x2 là nghi%m ph ng trình: f  x   h  x  + x 3 là nghi%m ph ng trình: h  x   g  x  Trong ó: a  x1  x2  x3  b Tóm l0i khi gi/i toán ta th+=ng g;p các d0ng sau:  y  f (x) b  1. Di n ;ch S ca mi n gi i hn:  y  0  S   f ( x ) dx  x  a; x  b a   y  f (x) b  2. Di n ;ch S ca mi n gi i hn:  y  g( x )  S   f ( x )  g( x ) dx  x  a; x  b a   x  f ( y) b  3. Di n ;ch S ca mi n gi i hn:  x  g( y)  S   f ( y )  g( y ) dy  y  a; y  b a  Chú ý: 1. ! tính di%n tích S ta phi tính tích phân (1) , mun v*y ta phi “phá” d"u giá tr tuy%t i .   b b a a b b a a Nu f ( x)  0 , x  a ; b thì S   f ( x ) dx   f ( x )dx Nu f ( x)  0 , x  a ; b thì S   f ( x ) dx     f ( x )  dx  Mun “phá” d"u giá tr tuy%t i ta phi xét d"u c+a bi!u thc f(x) . Th ng có hai cách làm nh sau : -Cách 1: Dùng nh lí “d"u c+a nh thc b*t nh"t” , nh lí “d"u c+a tam thc b*c hai” ! xét d"u các bi!u thc f(x) ; ôi khi phi gii các b"t ph ng trình f(x) 8 0 , f(x) 9 0 trên on a ; b -Cách 2: D&a vào  th ca hàm s y =f(x) trên o n a ; b ! suy ra d"u c+a f(x) trên on ó . Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 39 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool  Nu trên on [a ; b]  th hàm s y = f(x) n1m phía “trên” tr(c hoành thì  f ( x )  0 , x  a ; b  Nu trên on [a ; b]  th hàm s y = f(x) n1m phía “d #i” tr(c hoành thì f ( x )  0 , x  a ; b b b a a -Cách 3 Nu f(x) không i d"u trên [a ; b] thì ta có : S   f ( x ) dx   f ( x )dx 2. Nu ph ng trình f(x) = 0 có k nghi%m phân bi%t x1 , x2 , …, xk thuc (a ; b) thì trên m.i khong (a ; x1 ) , (x1 ; x2) , …, (xk ; b) bi!u thc f(x) có d"u không i . b Khi ó ! tính tích phân S   f ( x ) dx ta có th! tính nh sau : a b x1 a a S   f ( x ) dx   f ( x )dx  x2  f ( x )dx  ...  x1 b  f ( x )dx xk 2. Tính thY tích kh"i tròn xoay khi quay hình phVng quay quanh tr.c Ox, Oy D0ng 1: Th! tích c+a v*t th! tròn xoay khi cho hình ph/ng gi#i hn b2i các  ng y  f  x  , tr(c Ox b và hai  2 ng th/ng x  a và x  b  a  b  quay xung quanh tr(c Ox là: VOx     f  x   dx . a xb (C ) : y  f ( x) y xa O Chú ý: Hàm s y  f  x   0 a x y0 b x  a; b và liên t(c trên on  a; b  . D0ng 2: Th! tích c+a v*t th! tròn xoay khi cho hình ph/ng gi#i hn b2i các  ng x  f  y  , tr(c Oy b và hai  2 ng th/ng y  a và y  b  a  b  quay xung quanh tr(c Oy là: VOy     f  y   dy . a y b x0 a yb (C ) : x  g ( y) ya x O Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 40 Thy Nguyn c Th ng Chú ý: Hàm s x  f  y   0 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool y  a; b và liên t(c trên on  a; b  . D0ng 3: Cho hai hàm s y  f  x  và y  g  x  liên t(c, cùng d"u trên on  a; b  . Hình ph/ng gi#i hn b2i  th c+a các hàm s trên và hai  ng th/ng x  a và x  b  a  b  quay xung quanh b 2 2 tr(c Ox to nên mt khi tròn xoay có th! tích là: VOx     f  x     g  x   dx a D0ng 4: Cho hai hàm s x  f  y  và x  g  y  liên t(c, cùng d"u trên on  a; b  . Hình ph/ng gi#i hn b2i  th c+a các hàm s trên và hai  ng th/ng y  a và y  b  a  b  quay xung quanh b 2 2 tr(c Ox to nên mt khi tròn xoay có th! tích là: VOy     f  y     g  y   dx a Tóm l0i khi gi/i toán ta th+=ng g;p các d0ng sau:  y  f (x)  1. Th tích ca khi tròn xoay sinh ra khi quay min gi"i h n các )ng sau:  y  0 quanh Ox  x  a; x  b  b mt vòng là : VOx    f 2  x .dx . a  y  f (x)  2. Th tích ca khi tròn xoay sinh ra khi quay min gi"i h n các )ng sau:  y  g( x ) quanh Ox  x  a; x  b  b mt vòng là : VOx    f 2  x   g2  x  .dx . a  x  f ( y)  3. Th tích ca khi tròn xoay sinh ra khi quay min gi"i h n các )ng sau:  x  0 quanh Oy  y  a; y  b  b mt vòng là : VOy    f 2  y .dy . a  x  f ( y)  4. Th tích ca khi tròn xoay sinh ra khi quay min gi"i h n các )ng sau:  x  g( y) quanh Oy  y  a; y  b  b mt vòng là : VOy    f 2  y   g 2  y  .dy . a Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 41 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com D. S PHC 1. Các &nh nghJa, công th*c, tính ch#t s" ph*c: 1.1. nh ngha s phc Tr ng PTLC Vinschool M.i bi!u thc dng a  bi , trong ó a, b  , i 2  1  0c gi là mt s" ph*c i v#i s phc z  a  bi , ta nói a là phMn th@c, b là phMn /o c+a z . T*p h0p các s phc kí hi%u là  . Chú ý:  M.i s th,c a  0c coi là mt s phc v#i phn o b1ng 0: a  a  0i  Nh v*y ta có    .  S phc bi v#i b  0c gi là s" thuMn /o ( hoc s" /o)  S 0  0c gi là s v$a th,c v$a o; s i  0c gi là n v& /o. 1.2. S phc bn hình h&c ca s phc i!m M(a; b) trong mt h% tr(c ta  vuông góc c+a mt ph/ng  0c gi là iYm biYu diZn s” ph*c z  a  bi . 1.5. Môun ca s phc  Gi s s phc z  a  bi  0c bi!u din b2i M(a; b) trên mt ph/ng ta .  dài c+a vect OM  0c gi là môun c(a s” ph*c z và kí hi%u là | z | .  V*y: | z || OM | hay | z | a2  b2 . Nhn xét: | z ||  z || z | . 2. C ng, trI, nhân, chia hai s” ph*c 2.1. Phép c”ng và phép tr* Phép cng và phép tr$ hai s phc  0c th,c hi%n theo quy t c cng, tr$ hai a thc. Tng quát: (a  bi )  (c  di)  (a  c)  (b  d )i (a  bi )  (c  di)  (a  c)  (b  d )i 2.2. Phép nhân Phép nhân hai s phc  0c th,c hi%n theo quy t c nhân a thc ri thay i2  1 trong kt qu nh*n  0c. Tng quát: (a  bi).(c  di)  (ac  bd )  (ad  bc)i. Chú ý:  Phép cng và phép nhân các s phc có y + các >nh ch”t c+a phép cng và phép nhân các s th,c.  Cho s phc z  a  bi , a, b  , i 2  1 . Ta có: z  z  2a ; z.z | z |2 . Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 42 Thy Nguyn c Th ng 2.3. Phép chia hai s phc V#i a  bi  0 , ! >nh th 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool c  di , ta nhân c t và m;u v#i s phc liên h0p c+a a  bi a  bi ng c  di (c  di)(a  bi) ac  bd ad  bc i.    a  bi (a  bi)(a  bi) a2  b2 a2  b2 2.4. Các tính ch?t c n nh C( th!: Cho s phc z  a  bi , a, b  , i 2  1  Tính ch?t 1: S phc z là s th,c  z  z  Tính ch?t 2: S phc z là s o  z   z  Cho hai s phc z1  a1  b1i; z2  a2  b2i; a1 , b1 , a2 , b2   ta có:  Tính ch?t 3: z1  z2  z1  z2  Tính ch?t 4: z1.z2  z1.z2 z  z  Tính ch?t 5:  1   1 ; z2  0  z2  z2  Tính ch?t 6: | z1.z2 || z1 | . | z2 |  Tính ch?t 7: z1 z2  | z1 | | z2 | ; z2  0  Tính ch?t 8: | z1  z2 |  | z1 |  | z2 | 3. COn b-c hai c(a m t s” ph*c Phng pháp: Cho s phc w = a + bi . Tìm c7n b*c hai c+a s phc này. +) Nu w = 0  w có mt c7n b*c hai là 0 +) Nu w = a > 0 (a  R)  w có hai c7n b*c hai là a và – a +) Nu w = a < 0 (a  R)  w có hai c7n b*c hai là i a và i  a +) Nu w = a + bi (b  0) 2  2 Gi s z = x +yi (x, y thuc R) là mt c7n b*c hai c+a w  z2 = w  (x+yi)2 = a + bi   x  y  a 2 xy  b ! tìm c7n b*c hai c+a w ta cn gii h% này ! tìm x, y. M.i cp (x, y) nghi%m úng ph trình ó cho ta mt c7n b*c hai c+a w. Chú ý: Có r"t nhi-u cách ! gii h% này, sau ây là hai cách th ng dùng ! gii. Cách 1: S d(ng ph ng pháp th: Rút x theo y t$ ph ng trình (2) th vào pt (1) ri bin i thành ph ng trình trùng ph ng ! gii. Cách 2: Ta bin i h% nh sau:  2 2 2  a2  x 2  y2  a  x y  2 2 2 x  y  a     x 2  y 2  a 2  b2   2 xy   b2  2 xy  b 2 xy  b  xy  b / 2     ng  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 43 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 2 2 T$ h% này, ta có th! gii ra x và y mt cách d dàng, sau ó kt h0p v#i i-u ki%n xy=b/2 ! xem xét x, y cùng d"u hay trái d"u t$ ó chn  0c nghi%m thích h0p. Nh*n xét: M.i s phc khác 0 có hai c7n b*c hai là hai s i nhau. 4. Ph+ng trình b-c hai vAi h s" th@c 4.1.Công thc nghi m ca phng trình bc hai Xét ph ng trình b*c hai: Az2  Bz  C  0 ( A, B, C là các s th,c, A  0) có   B2  4 AC  Nu   0 thì ph ng trình có 2 nghi%m th,c phân bi%t z   Nu   0 thì ph ng trình có nghi%m kép th,c z  B   2A B 2A  Nu   0    i 2 ( ) thì ph ng trình có 2 nghi%m phc phân bi%t  B  i  2A  Chú ý : Khi A, B, C là các s phc z B 2A    0 thì ph ng trình có nghi%m kép th,c z     0 thì ph ng trình (1) có hai nghi%m phân bi%t z1 = B   B   , z2 = 2A 2A (trong ó  là mt c7n b*c hai c+a ). 4.2. Chú ý  Ph ng trình b*c hai trên t*p h0p s phc v#i h% s th,c luôn có 2 nghi%m là 2 s phc liên h0p.  Khi b là s ch6n ta có th! >nh  ‘ và công thc nghi%m t ng t, nh trong t*p h0p s th,c. 2  Gi z1, z2 là 2 nghi%m c+a ph ng trình az  bz  c  0 (a  0) a, b, c là các s th,c ho7c s  b  z1  z2  a phc. Khi ó ta có:   z .z  c  1 2 a Dng 1. Th’c hi n các phép tính trên tp h%p s phc. xác nh ph n th’c, ph n áo và tính môun ca m”t s phc Ph+ng pháp  S* d’ng các qui t3c cng, tr, nhân, chia s phc  tính toán giá tr các biu thc.   xác nh ph0n th&c, ph0n !o và môun ca s phc z thì ta ph!i s* d’ng các khái nim liên quan n s phc và các phép toán trên tp hp s phc  bin ,i s phc z  a  bi(a; b  ) . Khi ó: z có ph0n th&c b6ng a; ph0n !o b6ng b; z  a2  b 2  Trong khi tính toán v s phc ta có th s* d’ng các h6ng +ng thc áng nh” nh trong s th&c. 2. Tìm s phc th@a mãn i u ki n cho tr c Ph+ng pháp  Nu trong iu kin  bài ch có duy nht mt kí hiu z ho#c z thì ta quy v bài toán th&c hin phép :nh.  Nu trong iu kin  bài có nhiu h n mt kí hiu z ho#c z ho#c có kí hiu môun ta gi!i theo ph ng pháp sau:  G%i z  a  bi , a, b  . Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 44 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool  S* d’ng gi! thit bài toán và khái nim v s lp h hai ph ng trình v”i hai /n a,b  Gi!i h ph ng trình lp c trên tp hp s th&c và kt lun. 3. Gii phng trình trên tp h%p s phc Ph+ng pháp gi/i ph+ng trình az2  bz  c  0 (a  0)  Tính   b 2 4ac  D&a vào giá tr ca   xác nh công thc nghim . 4. Bi=u di>n hình h&c s phc. tìm tp h%p i=m bi=u di>n s phc th@a mãn i u ki n cho tr c Ph+ng pháp  G%i z  x  yi (x, y  R)  M(x; y) biu di7n cho s phc z trong m#t ph+ng to .  D&a vào d4 kin bài toán, thit lp mi liên h gi4a x và y  D&a vào mi liên h ó,  kt lun tp hp im trong m#t ph+ng biu di7n cho s phc z . 5. Tìm s phc có hình bi=u di>n cho tr c Ph+ng pháp  Tìm to  im M (ph’ thuc tham s) biu di7n cho s phc z trên m#t ph+ng to .  Cho M thuc và hình biu di7n ca z , ta tìm c giá tr ca tham s.  Kt lun s phc z c0n tìm. Chú ý: -Ph ng trình  2 a2  b2  c  0 ). Ph 2  x  a    y  b   R 2 hoc x 2  y2  2ax  2by  c  0 2 2 ng trình hình tròn:  x  a    y  b   R 2 ng tròn: – Ph ng trình  ng th/ng: ax  by  c  0, x  x0 , y  y0 – Ph ng trình  ng Elip: x2 a2  y2 b2  1 . Ph ng trình  ng Hypebol: x2 a2  y2 b2 (trong ó 1 – Ph ng trình  ng Parabol: y  ax 2  bx  c, x  ay 2  by  c 6. Tính ch#t liên quan n hình biYu diZn c(a s” ph*c Ph+ng pháp: ! chng minh các i!m bi!u din cho các s phc tho mãn i-u ki%n (T), thông th ng ta làm nh sau  c to  các i!m bi!u din cho các s phc ã cho.  D,a vào i!u ki%n (T), ta qui  0c bài toán v- bài toán hình gii tích trong mt ph/ng. Chú ý: – Nu M 1 , M 2 , M 3 l0n lt biu di7n s phc z1 , z2 , z3 thì:  M 2 M1 biu di7n s phc z1  z2   z  z2  OI (v”i I là trung im M 1M 2 ) biu di7n s phc 1 . Suy ra: 2 OI biu di7n s phc 2 z1  z2 . Do ó, z1  z2  0 thì trung im I ca M1 , M2 trùng v”i O.   z  z2  z3  OG (v”i G là tr%ng tâm M 1M 2 M 3 ) biu di7n s phc 1 . Suy ra: 3 OG biu di7n 3 s phc z1  z2  z3 . Do ó, z1  z2  z3  0 thì tr%ng tâm G ca tam giác M1M 2 M 3 trùng v”i  gc to  O. – Nu z  (a  bi)  R thì im M n6m trên )ng tròn tâm I(a;b) bán kính R. – Nu z1  z2  R thì  dài M1M 2  R – Nu z  k , s phc z tho! mãn z  (a  bi)  R . Khi ó, im biu di7n s phc z.z0 n6m trên 0 )ng tròn I(a;b) bán kính k.R. Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 45 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 7. C’c tr ca s phc Ph+ng pháp : Các bài toán qui v- bài toán tìm giá tr l#n nh”t, giá tr nh3 nh”t c+a hàm mt bin, tìm giá tr l#n nh”t, giá tr nh3 nh”t c+a mt bi!u thc hai bin mà các bin tho mãn i-u ki%n cho tr #c Bài toán: Trong các s phc z tho mãn i-u ki%n T. Tìm s phc z ! bi!u thc P t giá tr nh3 nh”t, l#n nh”t  T$ i-u ki%n T, bin i ! tìm cách rút 5n ri th vào bi!u thc P !  0c hàm mt bin  Tìm giá tr l#n nh”t (hoc nh3 nh”t) tu< theo yêu cu bài toán c+a hàm s mt bin v$a tìm  0c.  S d(ng các b"t /ng thc c bn nh : B"t /ng thc liên h% gia trung bình cng và trung bình nhân, b"t /ng thc Bunhia- Cpxki, b"t /ng thc hình hc.  B"t /ng thc liên quan n s phc: *) z1  z2  z1  z2 *) z1  z2  z1  z2 *) z1  z2  z1  z2 Chú ý: B#t Vng th*c th+=ng g;p: 1. B"t /ng thc Côsi: Cho a1 ,12 ,...an  0 , a1  a2  ...  an n  a1.a2 ...an D"u “=” xy ra khi n a1  a2  ...an  2. B"t /ng thc Bunhiacopski: a1b1  a2 b2  ...an bn D"u “=” xy ra khi:   a 2 2 1   a22  ...  a22 b12  b22  ...  bn2  a a1 a2   ...  n b1 b2 bn 3. B"t /ng thc Mincopski: a  a   b  b  2 1 2 1 2 2  a12  b12  a22  b22 D"u “=” khi a1 b1  0 a2 b2 4. B"t /ng thc tam giác: Cho tam giác ABC, khi ó: AB  BC  AC  AB  BC Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 46 Thy Nguyn c Th ng E. NÓN – TR - CU 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 1. MUT NÓN – HÌNH NÓN 1.1 M;t nón tròn xoay Trong mt ph/ng (P), cho 2  ng th/ng d, 4 c t nhau ti O và chúng to thành góc B v#i 0 < B < 900. Hình tròn xoay to ra khi quay  ng th/ng d xung quanh tr(c 4 v#i góc B không thay i  0c gi là mt nón tròn xoay &nh O (hình 1).  ng th/ng 4 gi là tr(c,  ng th/ng d  0c gi là  ng sinh và góc 2B gi là góc 2 &nh c+a mt nón. 1.2. Hình nón tròn xoay Cho 4OIM vuông ti I . Hình tròn xoay to ra khi quay  ng g"p khúc OMI quanh cnh góc vuông OI gi là hình nón tròn xoay (gi t t là hình nón) (hình 2). +  ng th/ng OI gi là tr(c, O là &nh, OI gi là  ng cao và OM gi là  ng sinh c+a hình nón. + Hình tròn tâm I, bán kính r = IM là áy c+a hình nón. Khi nón tròn xoay là hình to b2i mi-n tam giác OMI quay quanh cnh góc vuông OI 1.3. Công th*c din tích và thY tích c(a hình nón Cho hình nón có chi-u cao là h, bán kính áy r và  ng sinh là ?. Hc sinh cn nh# các công thc: + Mi liên h% h, r, ?: h2  r 2  2 + Di%n tích xung quanh: Sxq=@.r.? + Di%n tích áy (hình tròn): Sñ   .r 2 + Di%n tích toàn phn hình tròn: Stp  Sñ  S xq 1 1 + Th! tích khi nón: Vnoùn  Sñ .h   r 2 h 3 3 h 2 2 + Th! tích khi nón c(t: V  R  r  R.r 3   1.4. Tính ch#t: * Nu c t mt nón tròn xoay b2i mt ph/ng i qua Bnh thì có các tr ng h0p sau xy ra: + Mt ph/ng c t mt nón theo 2  ng sinh ⇒ Thit di%n là tam giác cân. + Mt ph/ng Ap xúc v#i mt nón theo mt  ng sinh. Trong tr ng h0p này, ng i ta gi ó là mt ph/ng Ap di%n c+a mt nón. * Nu c t mt nón tròn xoay b2i mt ph/ng không i qua Bnh thì có các tr ng h0p sau xy ra: + Nu mt ph/ng c t vuông góc v#i tr(c hình nón ⇒ giao tuyn là mt  ng tròn. + Nu mt ph/ng c t song song v#i 2  ng sinh hình nón ⇒ giao tuyn là 2 nhánh c+a 1 hypebol. + Nu mt ph/ng c t song song v#i 1  ng sinh hình nón ⇒ giao tuyn là Thy Nguyn c Th ng 09691197889 –thangnd286@gmail.com Tr 2. HÌNH TR - KH I TR 2.1. M;t tr. tròn xoay + Trong mp(P) cho hai  ng th/ng 4 vàà ? song song nhau, cách nhau mt khong r. Khi quay mp(P) quanh tr(c c nh 4 thì  ng th/ng ? sinh ra mt mt tròn xoay  0c gi là mt tr( ttròn xoay hay gi t t là mt tr(. +  ng th/ng 4  0c gi là tr(c. +  ng th/ng ?  0c gi là  ng sinh. + Khong cách r  0c gi là bán kính c+ +a mt tr(. ng PTLC C Vinschool 2.2. Hình tr. tròn xoay + Khi quay hình ch nh*t ABCD xung quaanh  ng th/ng cha mt cnh, ch/ng hn cnh AB thì  ng g"p khúcABCD to thành mt hình, hình ó  0c gi là hình tr( tròn xoay hay gi t t là hình tr(. +  ng th/ng AB  0c gi là tr(c. + on th/ng CD  0c gi là  ng sinh. nh. +  dài on th/ng AB = CD = h  0c ggi là chi-u cao c+a hình tr(. + Hình tròn tâm A, bán kính r = AD và hình tròn tâm B, bán kính r = BC  0c gi là 2 áy c+a hình tr(. + Khi tr( tròn xoay, gi t t là khi tr(, là phn không gian gi#i hn b2i hình tr( tròn xoay k! c hình tr(. 2.3. Công th*c tính din tích và thY tích h c(a hình tr. Cho hình tr( có chi-u cao là h và bán kín nh áy b1ng r, khi ó: + Di%n tích xung quanh c+a hình tr(: Sxqq = 2@rh 2 + Di%n tích toàn phn c+a hình tr(: Stp=S =Sxq+S=2@rh+2@r + Th! tích khi tr(: V = Bh = @r2h . 2.4. Tính ch#t  Nu c t mt tr( tròn xoay (có bán kính là r ) b2i mt mp   vuông góc v#i tr(c  th hì ta  0c  b kính b1ng r v#i r c:ng chính là bán kính c+a mt tr( ó.  ng tròn có tâm trên  và có bán Nu c t mt tr( tròn xoay (có bán kính là r ) b2i mt mp   không vuông góc v#i trr(c  nh ng c t t"t c các  ng sinh, ta  0c giao tuyn là mt  ng elíp có tr( nh3 b1ng 2r và 2r tr(c l#n b1ng , trong ó  là góc gia tr(c  và mp   v#i 0 0    900 . sin   Cho mp   song song v#i tr(c  cc+a mt tr( tròn xoay và cách  mt khong k . Nu k  r thì mp   c t mt tr( th heo hai  ng sinh  thit di%n là hình ch nh*t. Nu k  r thì mp   Ap xúc v#i mt m tr( theo mt  ng sinh. Nu k  r thì mp   không c t mt tr(. 3. MUT CU – KH I CU 3.1. M;t cMu – Kh"i cMu: &nh nghJa  M;t cMu: S(O; R)  M OM  R  Kh"i cMu: V(O; R)  M OM  R Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com 3.2.V& trí t+ng "i c(a m t iYm "i vAi m;t cMu Tr ng PTLC Vinschool Cho mt cu S  O;R  và mt i!m A b"t kì, khi ó:    Nu OA  R  A  S  O; R  . Khi ó OA gi là bán kính mt cu. Nu   OA và OB là hai bán kính sao cho OA  OB thì on th/ng AB gi là 1  ng kính c+a mt cu. Nu OA  R  A n1m trong mt cu. Nu OA  R  A n1m ngoài mt cu.  Khi cu S  O;R  là t*p h0p t"t c các i!m M sao cho OM  R . B O A A A 3.3. V& trí t+ng "i c(a m;t phVng và m;t cMu Cho mt cu S  O;R  và mt mp  P  . Gi d là khong cách t$ tâm O c+a mt cu n mp  P  và H là hình chiu c+a O trên mp  P   d  OH .  Nu d  R  mp  P  c t mt cu S O;R  theo giao tuyn là  ng tròn n1m trên mp  P  có tâm là H và bán kính r  HM  R2  d 2  R2  OH 2 (hình a).   Nu d  R  mp  P  không c t mt cu S O; R  (hình b) Nu d  R  mp  P  có mt i!m chung duy nh"t. Lúc này, ta gi mt cu S O; R  Ap xúc mp  P  . Do ó, i-u ki%n cn và + ! mp  P  Ap xúc v#i mt cu S O; R  là   d O, mp  P   R (hình c). d Hình a d= Hình b Hình c 3.4. V& trí t+ng "i c(a +=ng thVng và m;t cMu Cho mt cu S  O;R  và mt  ng th/ng  . Gi H là hình chiu c+a O trên  d  OH là khong cách t$ tâm O c+a mt cu n    Nu d  R   không c t mt cu S O; R  . ng th/ng  . Khi ó: Nu d  R   c t mt cu S O;R  ti hai i!m phân bi%t. ng th/ng  và Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool  Nu d  R   và mt cu Ap xúc nhau (ti mt i!m duy nh"t). Do ó: i-u ki%n cn và + !  ng th/ng  Ap xúc v#i mt cu là d  d O,    R . &nh lí: Nu i!m A n1m ngoài mt cu S  O;R  thì:  Qua A có vô s Ap tuyn v#i mt cu S  O; R  .    dài on th/ng ni A v#i các Ap i!m -u b1ng nhau. T*p h0p các i!m này là mt  ng tròn n1m trên mt cu S  O; R  . 3.5. M;t cMu ngo0i [p kh"i a din M;t cMu ngo0i tip Hình a din T"t c các &nh c+a hình a di%n -u n1m trên mt cu Hình tr. Hai  ng tròn áy c+a hình tr( n1m trên mt cu Hình nón Mt cu i qua &nh và  ng tròn áy c+a hình nón a/ Các khái nim c b/n  Tr.c c(a a giác áy: là  ng th/ng i qua tâm  ng tròn ngoi Ap c+a a giác áy và vuông góc v#i mt ph/ng cha a giác áy.  B"t kì mt i!m nào n1m trên tr(c c+a a giác thì cách -u các &nh c+a a giác ó.  +=ng trung tr@c c(a o0n thVng: là  ng th/ng i qua trung i!m c+a on th/ng và vuông góc v#i on th/ng ó.  B"t kì mt i!m nào n1m trên  ng trung tr,c thì cách -u hai u mút c+a on th/ng.  M;t trung tr@c c(a o0n thVng: là mt ph/ng i qua trung i!m c+a on th/ng và vuông góc v#i on th/ng ó.  B"t kì mt i!m nào n1m trên mt trung tr,c thì cách -u hai u mút c+a on th/ng. b/ Tâm và bán kính m;t cMu ngo0i [p hình chóp  Tâm m;t cMu ngo0i [p hình chóp: là i!m cách -u các &nh c+a hình chóp. Hay nói cách khác, nó chính là giao i!m I c+a tr(c )ng tròn ngo i ;p m#t ph+ng áy và m#t ph+ng trung tr&c ca mt c nh bên hình chóp.  Bán kính: là khong cách t$ I n các &nh c+a hình chóp. c/ Cách xác &nh tâm và bán kính m;t cMu c(a m t s" hình a din c b/n  Cách 1: Nu (n – 2) &nh c+a a di%n nhìn hai &nh còn li d #i mt góc vuông thì tâm c+a mt cu là trung i!m c+a on th/ng ni hai &nh ó.  Cách 2: ! xác nh tâm c+a mt cu ngoi tip hình chóp. – Xác nh tr(c  c+a áy ( là  ng th/ng vuông góc v#i áy ti tâm  ng tròn ngoi tip a giác áy). – Xác nh mt ph/ng trung tr,c (P) c+a mt cnh bên. – Giao i!m c+a (P) và  là tâm c+a mt cu ngoi tip hình chóp. D0ng 1: Hình h p ch nh-t, hình l-p ph+ng. A B  Tâm: trùng v#i tâm i xng c+a hình hp ch A nh*t (hình l*p ph ng). D C  Tâm là I , là trung i!m c+a AC ' . I A I  Bán kính: b1ng na  dài  ng chéo hình hp B’ ch nh*t (hình l*p ph ng). C’ D Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni C’ Page 50 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool AC ' . 2 D0ng 2: Hình lOng tr. *ng có áy n i [p +=ng tròn.  Bán kính: R  Xét hình l7ng tr( ng A1 A2 A3 ... An . A1' A2' A3' ... An' , trong ó có 2 áy ng tròn  O  và  O '  . Lúc A1 A2 A3 ... An và A1' A2' A3' ... An' ni Ap  An A1 ó, mt cu ni Ap hình l7ng tr( ng có:  Tâm: I v#i I là trung i!m c+a OO ' .  O A2 A3 I Bán kính: R  IA1  IA2  ...  IAn' . A’n A’1 D0ng 3: Hình chóp có các Bnh nhìn o0n thVng n"i 2 Bnh còn l0i d+Ai 1 góc vuông.   SBC   900 .  Hình chóp S.ABC có SAC S + Tâm: I là trung i!m c+a SC . SC + Bán kính: R   IA  IB  IC . 2  Hình chóp S.ABCD có   SBC   SDC   900 . SAC I I là  c t SA ti M và c t SO ti I  I là tâm c+a mt cu. Bán kính: SM SI   Bán kính là: Ta có: SMI  SOA  SO SA ni Ap  0c trong  ng tròn tâm O . Tâm và bán kính mt cu ngoi Ap hình chóp S.ABC...  0c xác nh nh sau:  T$ tâm O ngoi Ap c+a  ng tròn áy, ta vC  ng th/ng d vuông góc v#i mp  ABC... ti O . Trong mp  d , SA  , ta d,ng  ng trung tr,c  c+a cnh SA C B S  M I D O B C S d M A , c t SA ti M , c t d ti I .  I là tâm mt cu ngoi Ap hình chóp và bán kính R  IA  IB  IC  IS  ...  Tìm bán kính: Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành A C A SM.SA SA2 R  IS    IA  IB  IC  ... SO 2SO D0ng 5: Hình chóp có c0nh bên vuông góc vAi m;t phVng áy. Cho hình chóp S.ABC... có cnh bên SA  áy  ABC... và áy ABC...  A’3 S A + Tâm: I là trung i!m c+a SC . SC + Bán kính: R   IA  IB  IC  ID . B 2 D0ng 4: Hình chóp %u. Cho hình chóp -u S.ABC...  Gi O là tâm c+a áy  SO là tr(c c+a áy.  Trong mt ph/ng xác nh b2i SO và mt cnh bên, ch/ng hn nh mp  SAO  , ta vC  ng trung tr,c c+a cnh SA  O A’2 t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni I O  C B Page 51 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 2  SA  Ta có: MIOB là hình ch nh*t.Xét  MAI vuông ti M có: R  AI  MI  MA  AO    .  2  2 2 2 D0ng 6: Hình chóp khác.  D,ng tr(c  c+a áy.  D,ng mt ph/ng trung tr,c   c+a mt cnh bên b"t kì.       I  I là tâm mt cu ngoi Ap hình chóp.  Chú ý: Bán kính: khong cách t$ I n các &nh c+a hình chóp. - i-u ki%n ! mt hình chóp ni tip mt cu là áy ni tip mt  ng tròn -  ng tròn ngoi Ap mt s a giác th ng gp. Khi xác nh tâm mt cu, ta cn xác nh tr(c c+a mt ph/ng áy, ó chính là  ng th/ng vuông góc v#i mt ph/ng áy ti tâm O c+a  ng tròn ngoi Ap áy. Do ó, vi%c xác nh tâm ngoi O là yu t r"t quan trng c+a bài toán. O O Hình vuông: O là giao i!m 2  O Hình ch nh*t: O là giao i!m ng chéo. c+a hai  D -u: O là giao i!m c+a 2  ng chéo. ng trung tuyn (trng tâm). O O D vuông: O là trung i!m c+a cnh huy-n. D th  ng: O là giao i!m c+a hai ng trung tr,c c+a hai cnh D. - Hình chóp có các cnh bên -u b1ng nhau luôn ni tip mt mt cu. - Các &nh c+a mt hình a di%n luôn nhìn mt on th/ng mt góc vuông thì hình a di%n ó ni tip mt cu, có tâm là trung i!m on th/ng. 3.6. Din ]ch và thY ]ch m;t cMu * Di%n >ch mt cu: SC  4 R2 . 4 * Th! >ch mt cu: VC   R3 . 3 Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 52 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 3.6. M;t cMu n i tip M;t cMu n i tip Hình a din T”t c các mt c+a hình a di%n -u tip xúc v#i mt cu Hình tr. Mt cu tip xúc v#i các mt áy và mi  ng sinh c+a hình tr( Hình nón Mt cu tip xúc v#i mt áy và mi  ng sinh c+a hình nón a) nh ngha 1: mt ph/ng phân giác c+a mt góc là mt ph/ng qua gc và mi i-m n1m trên mt ph/ng -u cách -u 2 tia c+a góc. T ng t, ta c:ng nh ngh9a mt ph/ng phân giác c+a mt góc nh di%n là t*p h0p t”t c các i!m trong không gian sao cho khong cách t$ i!m ó n m.i mt ph/ng c+a nh di%n là nh nhau. b) nh ngha 2: Mt cu ni tip a di%n là mt cu tip xúc t”t c các mt c+a a di%n. Khi ó ta c:ng nói a di%n ngoi tip mt cu. Chú ý:  T”t c các t di%n và t”t c các a di%n -u -u có mt cu ni tip và v#i a di%n -u thì tâm c+a mt cu ni tip trùng v#i tâm c+a mt cu ngoi tip.  Mt l7ng tr( có mt cu ni tip khi và ch& khi l7ng tr( ó là l7ng tr( ng có mt áy là a giác ngoi tip  0c  ng tròn và có chi-u cao b1ng 2 ln bán kính  ng tròn ni tip a giác áy.  Nu chân  ng  ng cao c+a hình chóp cách -u các cnh trong mt áy thì hình chóp có mt cu ni tip.  Nu hình chóp có các mt bên to v#i áy các góc b1ng nhau thì hình chóp có mt cu ni tip. c) Cách xác &nh tâm và bán kính m;t cMu n i tip m t hình chóp * Xác &nh tâm: – D,ng 3 mt ph/ng phân giác c+a góc to b2i hai mt ph/ng (Mt ph/ng cha  ng phân giác c+a mt góc n1m trong mt ph/ng vuông góc v#i giao tuyn c+a hai mt ó) – Tìm i!m chung c+a 3 giao tuyn ( ba giao tuyên không song song) c+a ba mt ph/ng phân giác. Suy ra, tâm mt cu ngoi tip hình chóp c bi t: Nu H là chân  ng cao c+a hình chóp và cách -u các mt bên. Gi I là hình chiu c+a S IH c t SH ti tâm mt cu ni tip hình xung 1 cnh áy. Ta d,ng  ng phân giác c+a góc S chóp. * Xác &nh bán kính Cách 1: Bán kính mt cu ni tip a di%n  0c tính theo công thc r  3V n Trong ó Si là di%n là di%n tích c+a mt th i c+a  Si i 1 a di%n. Cách 2: S d(ng h% thc phân giác: AD là phân giác trong c+a tam giác ABC. Khi ó BD BA  CD CA Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool F. PHNG PHÁP TO  TRONG KHÔNG GIAN OXYZ I. HA TRCC TOD E 1. ng d.ng tích có h+Ang       a cùng ph ng b   a, b   0      b  a.b  0  a         u, v, w không ng ph/ng  u, v  .w  0 () .           u, v, w ng ph/ng u, v  .w  0 () (ba véc t có giá song song hoc n1m trên mt mt   ph/ng).     A, B, C không th/ng hàng(3 &nh c+a mt tam giác)   AB, AC   0 .       A, B, C th/ng hàng   AB, AC   0 .       Bn i!m A, B, C, D ng ph/ng   AB, AC  . AD  0 () (bn i!m n1m trên mt mt   ph/ng).     Bn i!m A, B, C, D không ng ph/ng   AB, AC  . AD  0 () (bn &nh c+a mt t di%n).      Di%n tích hình bình hành: SABCD   AB, AD  ()    2  2   2 1    Di%n tích tam giác: S ABC   AB, AC  () ; S ABC  AB . AC  AB. AC  2     Th! tích khi hp: VABCD . A’B’C ‘ D ‘   AB, AD  .AA ‘ ()   1     Th! tích t di%n: VABCD   AB, AC  .AD ()  6 2. Cho A( x A ; y A ; zA ), B( x B ; yB ; zB )  AB  ( xB  x A ; yB  yA ; zB  zA )         AB   ( x B  x A )2  ( yB  y A )2  ( zB  zA )2  x  xB y A  yB zA  zB  To  trung i!m M c+a on th/ng AB: M  A ; ;  2 2 2    x  xB  xC y A  yB  yC zA  zB  zC  To  trng tâm G c+a tam giác ABC: G  A ; ;  3 3 3   To  trng tâm G c+a t di%n ABCD:  x  xB  xC  xD y A  yB  yC  yD zA  zB  zC  zC  G A ; ;  4 4 4     ABCD là hình bình hành  AB  DC Cho ABC có các chân E, F c+a các   AB  BC. Ta có: FB  .FC AC Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành ng phân giác trong và ngoài c+a góc A c+a ABC trên t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 54 Thy Nguyn c Th ng  0969119789 –thangnd286@gmail.com   Nu M chia on AB theo t& s k ( MA  k MB ) thì ta có : xM   Tr ng PTLC Vinschool x A  kxB y  kyB z  kzB ; yM  A ; zM  A V#i k E 1 1 k 1 k 1 k Cho i!m M(a;b;c). Hình chiu c+a M lên Ox, Oy,Oz, (Oxy), (Oyz), (Oxz) ln l0t là: M1  a;0;0  , M2  0; b; 0  , M3  0;0;c  , M4  a; b; 0  , M5  0; b; c  , M6  a; 0; c   Cho i!m M(a;b;c). i!m i xng v#i i!m M qua Ox, Oy,Oz, (Oxy),(Oyz), (Oxz) ln l0t là:  Cho i!m M(a;b;c). i!m i xng v#i M qua O là M13  a; b; c  .  i!m thuc tr(c Ox, Oy, Oz ln l 0t có to  :  x0 ; 0; 0  ,  0; y0 ; 0  ,  0; 0; z0  . i!m thuc M7  a; b;  c , M8  a; b;  c , M9  a;  b;c , M10  a; b; c  , M11  a; b;c , M12  a; b;c mt ph/ng (Oxy), (Oyz), (Oxz) l 0t có to  là :  x0 ; yo ;0  ,  0; y0 ; z0  ,  x0 ;0; z0  . II. PH23NG TRÌNH MFT CGU – M”t s v?n  tr&ng tâm 2 2 2 1. Phng trình mt c u: Mt cu có tâm I(a; b; c) và bán kính R :  x  a    y  b    z  c   R 2 ng trình mt cu dng khai tri!n:x2 +y2 +z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0, k: a2 + b2 + c2 – d > 0 (2) Ph Tâm I(a; b; c) và bán kính R= a2  b2  c 2  d 2. Chú ý:  2 2  x A  xI    y A  yI    zA  zI  Mt cu có tâm I và qua A thì R = IA = 2 1 AB và tâm I là trung i!m AB 2  Mt cu qua 4 i!m A, B,C, D thì vit ph ng trình mt cu 2 dng (2) ri thay ta  t$ng i!m vào ph ng trình và gii h% ! tìm a, b, c, d. (Hoc ) 3. V trí tng i ca i=m v i mt c u:  Mt cu có   Cho (S) : x  a ng kính AB thì R =    y  b  z  c 2 2 2  R 2 và i!m M ( x0 ; y0 ; z0 ) , Gi I (a; b; c) là tâm mc(S), R là bán kính c+a mt cu.  IM > R i!m M n1m ngoài mt cu (S)  IM < R i!m M n1m trong mt cu (S)  IM = R  i!m M thuc mt cu (S) (Hay Thay ta  i!m M vào PT mt cu th3a mãn) 4. V trí t ng i gi4a hai m#t c0u: Cho hai m#t c0u S1(I1, R1) và S2(I2, R2).  I1I 2  R1  R2  (S1), (S2) trong nhau  I1I 2  R1  R2  (S1), (S2) ngoài nhau  I1I 2  R1  R2  (S1), (S2) tip xúc trong  I1I 2  R1  R2  (S1), (S2) tip xúc ngoài  R1  R2  I1I 2  R1  R2  (S1), (S2) c3t nhau theo mt )ng tròn. 5. V& trí t+ng "i gia m;t phVng và m;t cMu Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 55 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool Cho mt ph/ng. và mt cu ..  x  a    y  b    z  c   R 2 (S) có tâm I  a; b; c  , bán kính R . Gi . 2   d  d I ;    A.a  B.b  C .c  D A2  B2  C 2 2 2 . + Nu d  R    và (S) không giao nhau. + Nu d  R    và (S) tip xúc nhau ti mt i!m H. (   gi là tip di%n c+a mt cu (S)). + Nu d  R    và (S) c t nhau theo giao tuyn là mt  ng tròn (C) có bán kính r  R2  d 2 và có tâm H là hình chiu vuông góc c+a I trên   . Lu ý: ! tìm ta  tâm H c+a  - L*p ph ng trình  ng tròn (C) ta làm nh sau ng th/ng  i qua I và vuông góc v#i   . - Ta  i!m H là nghi%m c+a h% gm ph ng trình c+a  và ph ng trình   . 6. V& trí t+ng "i gia +=ng thVng và m;t cMu  x  x0  at 2 2 2  Cho  ng th/ng th/ng  :  y  y0  bt và mt cu (S):  x  a    y  b    z  c   R 2  z  z  ct 0     u, M I   0   Gi d  d  I ,    , trong ó M0 (x0 ; y0 ; z0 )  , u  (a;b; c) là VTCP c+a   u + Nu d  R   và (S) không có i!m chung + Nu d  R   tip xúc v#i (S) (  là tip tuyn c+a mt cu (S)) + Nu d  R   c t (S) tai hai i!m A, B (  gi là cát tuyn c+a mt cu (S)). III. PH23NG TRÌNH MFT PHHNG  1. Mt ph/ng   i qua i!m M o ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTPT n   A; B; C  có ph ng trình A( x  x0 )  B( y  y0 )  C(z  z0 )  0 Chú ý:   Véc t n  0 vuông góc v#i mt ph/ng    0c gi là VTPT c+a mt ph/ng   .   Véc t u  0 có giá song song hoc n1m trên mt ph/ng    0c gi là VTCP c+a mt ph/ng   .   Nu u, v là hai véc t không cùng ph ng có giá song song hoc n1m trên mt ph/ng   thì    u, v   n là mt VTPT c+a mt ph/ng   .      Nu ba i!m A, B, C không th/ng hàng thì  AB, AC   n là mt VTPT c+a mt ph/ng (ABC).   Các tr)ng hp riêng Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 56 Thy Nguyn c Th ng Các h s" 0969119789 –thangnd286@gmail.com Ph+ng trình m;t phVng () Tr ng PTLC Vinschool Tính ch#t m;t phVng () D=0 Ax  By  Cz  0 () i qua gc to  O A=0 By  Cz  D  0 () // Ox hoc ()  Ox B=0 Ax  Cz  D  0 () // Oy hoc ()  Oy C=0 Ax  By  D  0 () // Oz hoc ()  Oz A=B=0 Cz  D  0 () // (Oxy) hoc ()  (Oxy) +Nu trong ph ng trình ca () không cha /n nào thì () song song ho#c cha tr'c t ng ng. + Ph ng trình m#t ph+ng theo o n ch3n: x y z    1 . () c3t các tr'c to  t i các im (a; 0; a b c 0), (0; b; 0), (0; 0; c) 2. V& trí t+ng "i gia hai m;t phVng Cho   : Ax  By  Cz  D  0 và    : A' x  B' y  C ' z  D'  0 khi ó:         n, n '  0   n, n '  0     .  *            *               0  n ,MM' 0 n ,MM'          *   ,    c t nhau   n, n '  0   Tr)ng hp #c bit: A '.B '.C '.D '  0   n  kn' A B C D +             ' A' B ' C ' D '  D  kD   n  kn' A B C D +             ' A' B ' C ' D '  D  kD   +   và    c t nhau  n  kn'   A : B : C   A' : B ' : C '   +   và    vuông góc v# nhau n.n'  0  AA'  BB'  CC '  0   3. V& trí t+ng "i gia +=ng thVng và m;t phVng  x  x0  at   Cho  ng th/ng  :  y  y0  bt ; M0 ( x0 ; y0 ; z0 )  , VTCP u  (a; b; c) và mt ph/ng  z  z  ct 0     : Ax  By  Cz  D  0 có VTPT n   A; B; C  . ng trình A  x0  at   B  y0  bt   C  z0  ct   D  0 () 5n là t , khi ó  +      ph ng trình (*) vô nghi%m u.n  0, M 0     +      ph ng trình (*) có vô s nghi%m u.n  0, M 0     +  và   c t nhau ti mt i!m  ph ng trình (*) có nghi%m duy nh"t u.n  0   Lu ý:      u  k n Xét ph  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành    t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni   Page 57 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 4. Góc gia +=ng thVng và m;t phVng    ng th/ng  có VTCP u  (a; b; c) và mt ph/ng   có VTPT n  ( A; B; C ) thì  u.n   Aa  Bb  Cc sin ,    cos u, n     ; 00   ,   900 u.n A 2  B 2  C 2 . a2  b2  c 2  5. Góc gia hai m;t phVng Nu mt ph/ng    cos   ,             cos  n, n'       có VTPT n  ( A; B; C ) và mt ph/ng  có VTPT n'  A' ; B ' ; C ' thì   n.n' AA'  BB '  CC '     ; 0 0   ,    90 0 A2  B 2  C 2 . A'2  B '2  C '2 n . n'       6. Kho/ng cách tI m t iYm n m;t phVng Cho i!m M 0 ( x 0 ; y0 ; z0 ) và mp   : Ax  By  Cz  D  0 thì:   d M 0 ;    Ax0  By0  Cz0  D A2  B 2  C 2 7. Kho/ng cách tI +=ng thVng n m;t phVng song song Cho   ng th/ng     : Ax  By  Cz  D  0 , M 0 ( x 0 ; y0 ; z0 ) là mt i!m thuc     d ,     d M 0 ;     Ax0  By0  Cz0  D A2  B 2  C 2 8. Kho/ng cách gia hai m;t phVng song song Cho hai mt ph/ng song song   : Ax  By  Cz  D  0 và    : A' x  B' y  C ' z  D'  0 , khi ó     d   ,     d M 0 ;     A' x0  B ' y0  C ' z0  D '   . trong ó M 0 ( x 0 ; y0 ; z0 ) là mt i!m   A'2  B '2  C '2 9. M t s" d0ng l-p ph+ng trình m;t phVng th+=ng g;p Lp ph ng trình m#t ph+ng () ta c0n xác nh mt i=m thuc () và mt VTPT ca nó.  D0ng 1: () i qua i!m . M  x0 ; y0 ; z0  có VTPT n   A; B;C  : (): A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0      D0ng 2: () i qua i!m M  x0 ; y0 ; z0  có cp VTCP a , b : Khi ó mt VTPT ca () là n   a, b  . D0ng 3: () i qua i!m M  x0 ; y0 ; z0  và song song v#i mt ph/ng (): Ax + By + Cz + D = 0: (): A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 D0ng 4: () i qua 3 i!m không th/ng hàng A, B, C: Khi ó ta có th xác nh mt VTPT ca () là:    n   AB, AC  D0ng 5: () i qua mt i!m M và mt  ng th/ng (d) không cha M:  – Trên (d) ly im A và VTCP u .    – Mt VTPT ca () là: n   AM , u  D0ng 6: () i qua mt i!m M và vuông góc v#i mt  ng th/ng (d): Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 58 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com  VTCP u ca )ng th+ng (d) là mt VTPT ca (). D0ng 7: () i qua 2  ng th/ng c t nhau d1, d2:   – Xác nh các VTCP a , b ca các )ng th+ng d1, d2.    – Mt VTPT ca () là: n   a, b  . Tr ng PTLC Vinschool – Ly mt im M thuc d1 ho#c d2  M  (). D0ng 8: () cha  ng th/ng d1 và song song v#i  ng th/ng d2 (d1, d2 chéo nhau):   – Xác nh các VTCP a , b ca các )ng th+ng d1, d2.    – Mt VTPT ca () là: n   a, b  . – Ly mt im M thuc d1  M  (). D0ng 9: () i qua i!m M và song song v#i hai  ng th/ng chéo nhau d1, d2:   – Xác nh các VTCP a , b ca các )ng th+ng d1, d2.    – Mt VTPT ca () là: n   a, b  . D0ng 10: () i qua mt  ng th/ng (d) và vuông góc v#i mt mt ph/ng ():   – Xác nh VTCP u ca (d) và VTPT n ca ().   – Mt VTPT ca () là: n  u, n  . – Ly mt im M thuc d  M  (). D0ng 11: () i qua i!m M và vuông góc v#i hai mt ph/ng c t nhau (), ():   – Xác nh các VTPT n , n ca () và ().    – Mt VTPT ca () là: n  u , n  . D0ng 12: () i qua  ng th/ng (d) cho tr #c và cách i!m M cho tr #c mt khong k cho tr #c: – Gi! s* () có ph ng trình: Ax  By  Cz+D  0  A2  B 2  C 2  0  . – Ly 2 im A, B  (d)  A, B  () (ta c hai ph ng trình (1), (2)). – T iu kin kho!ng cách d( M ,( ))  k , ta c ph ng trình (3). – Gi!i h ph ng trình (1), (2), (3) (b6ng cách cho giá tr mt /n, tìm các /n còn l i). D0ng 13: () là tip xúc v#i mt cu (S) ti i!m H: – Gi! s* m#t c/u (S) có tâm I và bán kính R.   – Mt VTPT ca () là: n  IH IV. PH23NG TRÌNH 2ING THHNG 1.   ng th/ng  i qua i!m M o ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP u   a; b; c  , khi ó + Ph  x  x0  at  ng trình tham s là:  y  y0  bt ;(t  R) , t gi là tham s.  z  z  ct 0  + Ph ng trình chính t c là: x  x0 y  y0 z  z0   (abc  0) . a b c Chú ý:   Véc t u  0 có giá song song hoc trùng v#i  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành ng th/ng   0c gi là VTCP c+a  t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni ng th/ng  . Page 59 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool Nu hai mt ph/ng   : Ax  By  Cz  D  0 và    : A' x  B' y  C ' z  D'  0 giao nhau thì  Ax  By  Cz  D  0  0c gi là ph ng trình:  ' ' ' ' A x  B y  C z  D  0 trong không gian. 2. V& trí t+ng "i gia hai +=ng thVng h% ph Cho hai  ng th/ng  ng trình tng quát c+a   x  x0  at   ng th/ng  :  y  y0  bt ; M0 ( x0 ; y0 ; z0 )  , VTCP u  (a; b; c)  z  z  ct 0   x  x '  a' t '  0  '  ' ' ' ' ' ' ' '  :  y  y0  b t ; M0 ( x0 ; y0 ; z0 )   , VTCP u'  (a' ; b' ; c' )  z  z'  c't' 0   x  at  x '  a't' 0  0 ' Xét h% ph ng trình  y0  bt  y0  b't' (I ) , khi ó  z  ct  z'  c't ' 0  0   u  ku'  ' , hay h% ph ng trình (I) có vô s nghi%m. +   ' ' M   M    0 0    u  ku'   ' +   '   u  ku và h% (I) vô nghi%m. , hay ' ' M  M     0 0   ' +  và  c t nhau  u  ku' và h% ph ng trình (I) có nghi%m duy nh"t       ' '  hay u, u  .M0 M0  0  .             ' ' hay u , u'  .M0 M0'  0  +  và  chéo nhau  u  ku và h% ph ng trình (I) vô nghi%m           3. Góc gia hai +=ng thVng Nu    ng th/ng  có VTCP u  (a; b; c) và  ng th/ng  ' có VTCP u  (a' ; b' ; c' ) thì   u.u' aa'  bb'  cc' ' cos ,      ; 00  ,  '  900 a2  b2  c 2 . a'2  b'2  c'2 u . u'       4. Kho/ng cách tI m t iYm n m t +=ng thVng Khong cách t$ i!m M  xM ; yM ; zM  n  ng th/ng    x  x0  at u, M M   0     :  y  y0  bt ; M0 ( x0 ; y0 ; z0 )  , VTCP u  (a; b; c) ;  0c tính b2i CT: d  M ,     u  z  z  ct 0  5. Kho/ng cách gia hai +=ng thVng chéo nhau Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 60 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool  Nu  ng th/ng  i qua i!m M 0 ( x 0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP u  (a; b; c) . ng th/ng  ' i qua     u, u'  .M M '    0 0 i!m M 0' ( x '0 ; y '0 ; z' 0 ) và có VTCP u'  (a' ; b' ; c' ) thì d ,  '     u, u'    Lu ý: Khong cách gia hai  ng th/ng song song b1ng khong cách t$ mt i!m n1m trên ng    u' , M M '  0 0   th/ng này n  ng th/ng còn li, ngh9a là d , '  d M0 , '  , M0   .  u'       6. M t s" d0ng l-p ph+ng trình +=ng thVng th+=ng g;p Lp ph ng trình )ng th+ng d ta c0n xác nh mt i=m thuc d và mt VTCP ca nó.  D0ng 1: d i qua i!m M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) :  x  xo  a1t  (d ) :  y  yo  a2 t z  z  a t o 3  ( t  R) D0ng 2: d i qua hai i!m A, B:  Mt VTCP ca d là AB . D0ng 3: d i qua i!m M0 (x0 ; y0 ; z0 ) và song song v#i  ng th/ng  cho tr #c: Vì d //  nên VTCP ca  cch hình hp ch nh*t: V  a.b.c  S1.S2 .S3  2 2 2 ng chéo: l  a  b  c ng V  a3 – Th! >ch khi l*p ph  ng chéo: a 3 – Th tích khi chóp c’t: V  h B  B ‘ B.B ‘ 3  Trong ó: B, B’ là din tích hai áy, h là chiu cao khi chóp c’t (h=OO’) S b. T> s th tích: * Cho khi chóp S.ABC. A’SA, B’SB, C’SC VS . ABC SA.SB.SC B’ A’ C’ C A Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool S * MSC, ta có: M C VS . ABM SA.SB.SM SM   VS . ABC SA.SB.SC SC A B 4. M”t s công thc tính xác nh nhanh tâm và bán kính mt c u ngoi tip khi a di n KiYu hình Tâm Bán kính m;t cMu ngo0i tip T din u c nh a. Tâm O c+a mt cu ngoi tip A n1m trên AH và cách (BCD) a 6 mt khong OH= O 12 B a 6 D R= . H 4 E C T din OABC có OA=a, OB=b,OC=c và OA,OB,OC ôi mt vuông góc. C O n1m trên  ng th/ng d vuông góc mp(ABC) ti trung c i!m H c+a AB và OH= . 2 M O S B H A T di%n SABC có SA=b,SA  (ABC). BC=a c nh, A thay i trên mt ph/ng (ABC) sao cho BAC   . Ta xét hình tr( ngoi tip hình chóp SABC. Khi ó tâm O c+a mt cu ngoi tip hình chóp SABC trùng v#i trung i!m on ni hai tâm c+a hình tròn áy c+a hình tr( T di%n ABCD có tính ch”t AB=CD=a, BC=AD=b,CA=BD=c. M2 rng t di%n ABCD thành hình hp ch nh*t AB1CC1.E1DD1B nh hình vC. D nh*n ra r1ng tâm O c+a mt cu ngoi tip t di%n ABCD chính là tâm c+a hình hp ch nh*t AB1CC1.E1DD1B B1 C A C1 O D1 D E1 B R a 2  b2  c2 2 R b2 .sin 2   4a 2 2sin  R a2  b2  c2 8 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com H. GÓC VÀ KHONG CÁCH Tr ng PTLC Vinschool 1. +=ng thVng vuông góc vAi m;t phVng Phng pháp 1 ! chng minh  ng th/ng d vuông góc v#i mt ph/ng ( ) ta chng minh d vuông góc v#i hai  ng th/ng a, b c t nhau n1m trong ( ) . d  da  db  d  (P) . a, b  (P) a  b  I  a I b  Phng pháp 2 S d(ng tính ch”t: d   , mà   ( ) thì d  ( ) .  d I K  Phng pháp 3 Nu hai mt ph/ng ( ) , ( ) vuông góc v#i nhau và c t nhau theo giao tuyn  ,  ng th/ng nào n1m trong mt ph/ng ( ) mà vuông góc v#i giao tuyn  thì vuông góc v#i mt ph/ng ( ) .  d   Phng pháp 4 Nu hai mt ph/ng phân bi%t cùng vuông góc v#i mt ph/ng th ba thì giao tuyn c+a chúng vuông góc v#i mt ph/ng th ba ó. d    (P )  ( R)  (Q)  ( R)   a  ( R) . (P)  (Q)  a  Thy Nguyn c Th ng Phng pháp 5 0969119789 –thangnd286@gmail.com Nu hai mt ph/ng song song v#i nhau,  góc v#i mt ph/ng kia. Tr ng PTLC Vinschool ng th/ng d vuông góc v#i mt ph/ng này thì nó vuông d   2. Hai m;t phVng vuông góc  Phng pháp 1 Mun chng minh hai mt ph/ng vuông góc v#i nhau ta chng minh mt ph/ng này cha mt  ng th/ng vuông góc mt ph/ng kia. d d  ( )  ( )  ( ) d  ( )   Phng pháp 2 S d(ng tính ch”t:  ( )  ( )   ( )  ( ) . ( )  ( )   d l Phng pháp 3 S d(ng tính ch”t ( )  d , mà d  ( ) hoc d  ( ) thì ( )  ( ) .  d 3. Hai +=ng thVng vuông góc Phng pháp 1 Mun chng minh hai  ng th/ng vuông góc v#i nhau ta chng minh  ng th/ng này vuông góc v#i mt ph/ng cha  ng th/ng kia. d  ( )   d  a. a  ( )  a  Thy Nguyn c Th ng Phng pháp 2 0969119789 –thangnd286@gmail.com Nu  ng th/ng a song song mt ph/ng ( ) , mà  d vuông góc v#i  ng th/ng a . Tr ng PTLC Vinschool ng th/ng d vuông góc mt ph/ng ( ) , thì d a  d  ( )  d  a. a  ( )  4. Góc 4.1 Góc gi6a hai ng thJng Phng pháp B #c 1: Tìm mt i!m O tùy ý (có th! l”y trên  ng th/ng a hoc b ). T$ O d,ng hai tia Oa’ và Ob’ ln l 0t song song v#i a và b  0c góc a ‘ Ob ‘   . B #c 2. Tính s o c+a góc  b1ng các nh lý và tính ch”t c+a hình hc ph/ng hay nh lý côsin. Chú ý: góc gia hai  ng th/ng không l#n h n 900 . a a’ O b’ b 4.2 Góc gia +=ng thVng và m;t phVng Phng pháp ! xác nh góc gia  ng th/ng d và mt ph/ng ( ) ta th,c hi%n nh sau: B #c 1: Xác nh hình chiu vuông góc c+a d xung mt ph/ng ( ) là d ‘ . + Tìm giao i!m O  d  ( ) . + D,ng hình chiu vuông góc c+a A xung ( ) là H (chn  v#i ( ) ). ng th/ng i qua A và vuông góc B #c 2: Góc gia  ng th/ng d và d ‘ là góc  ng th/ng d và mt ph/ng ( ) . Tính s o c+a góc ó b1ng h% thc l 0ng trong tam giác vuông. Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool A H O  4.3 Góc gia hai m;t phVng ! xác nh góc gia hai mt ph/ng ( ) và ( ) ta làm nh sau: Phng pháp 1 Tìm hai  ng th/ng a, b ln l 0t vuông góc v#i hai mt ph/ng ( ) và ( ) . Khi ó góc gia hai  ng th/ng a, b chính là góc gia hai mt ph/ng ( ) và ( ) .  a b a  ( )     (a, b)   ( ),( )  . b  ( )  Phng pháp 2 Xác nh giao tuyn  c+a ( ) và ( ) . L”y i!m I   .Trong ( ) d,ng a   ti I . Trong ( ) d,ng b   ti I . Khi ó góc gia hai  ng th/ng a, b chính là góc gia hai mt ph/ng ( ) và ( ) .  b I a  Phng pháp 3 Xác nh giao tuyn  c+a ( ) và ( ) . Trong ( ) l”y i!m A . D,ng hình chiu H c+a A xung mt ph/ng ( ) . T$ H d,ng HI   . Khi ó góc  AHI là góc gia hai mt ph/ng ( ) và ( ) . Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool  A I b a H  Phng pháp 4 Xác nh giao tuyn  c+a ( ) và ( ) . Chn mt ph/ng ( )   . Tìm các giao tuyn a  ( )  ( ) , b  ( )  ( ) . Khi ó góc gia hai  ng th/ng a, b chính là góc gia hai mt ph/ng ( ) và ( ) .   b a  Phng pháp 5 S d(ng công thc di%n tích hình chiu S ‘  S cos . 5. Kho/ng cách 5.1 Kho/ng cách tI m t iYm n m t +=ng thVng ! tính khong cách t$ i!m M n  ng th/ng  ta cn xác nh  0c hình chiu H c+a i!m M trên  ng th/ng  . i!m H th ng  0c d,ng theo hai cách sau: – Trong mt ph/ng ( M , ) vC MH   . Khi ó: d (M , )  MH . – D,ng mt ph/ng ( ) qua M và vuông góc v#i  ti H . Khi ó: d ( M, )  MH . M  H  5.2 Kho/ng cách tI m t iYm n m t m;t phVng Cho i!m M và mt ph/ng ( ) . Gi H là hình chiu c+a M xung ( ) . Khi ó MH  0c gi là khong cách t$ i!m M n mt ph/ng ( ) . Phng pháp 1 B #c 1: Chn mt ph/ng ( ) qua M và vuông góc v#i ( ) . B #c 2: Xác nh giao tuyn d  ( )  ( ) . Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com B #c 3: Trong mt ph/ng ( ) k8 MH  d . V*y MH  d (M ,( )) . Tr M d  H  Phng pháp 2 Gi s ã bit d ( A,( )) , IM và IA . – Nu AM  ( ) thì d ( M ,( ))  d ( A,( )) . – Nu AM c t ( ) ti I thì d ( M ,( )) IM  . d ( A,( )) IA M M A A H K H  K  5.3 Kho/ng cách gia hai +=ng thVng Khong cách gia hai  ng th/ng  và  ‘ : – Nu  và  ‘ c t nhau hoc trùng nhau thì d (,  ‘)  0 . – Nu  và  ‘ song song v#i nhau thì d (,  ‘)  d ( M ,  ‘)  d ( N , ) M K H N  ’ 5.4 Kho/ng cách gia +=ng thVng và m;t phVng Khong cách gia  ng th/ng  và ( ) : – Nu  c t ( ) hoc  n1m trong ( ) thì d (,( ))  0 . – Nu   ( ) thì d (,( ))  d ( M ,( )) . M  5.5 Kho/ng cách gia hai m;t phVng H  I ng PTLC Vinschool Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Khong cách gia hai mt ph/ng ( ) và ( ) Tr ng PTLC Vinschool – Nu ( ) c t ( ) hoc ( )  ( ) thì d (( ),( ))  0 . – Nu ( )  ( ) thì d (( ),( ))  d (M ,( )) . M  H  5.6 Kho/ng cách gia hai +=ng thVng chéo nhau  ng vuông góc chung c+a hai  ng th/ng chéo nhau  và ’ là  c t ’ 2 N ng th i vuông góc v#i c  và ’ . on MN  0c gi là on vuông góc chung c+a hai  M ng th/ng a c t  2 M và ng th/ng chéo nhau  và ’ .  ’ N Phng pháp 1 Chn mt ph/ng ( ) cha  ng th/ng  và song song v#i ’ . Khi ó d (,  ‘)  d( ‘, ( )) . ’ M  H  Phng pháp 2 D,ng hai mt ph/ng song song và ln l 0t cha hai  ó là khong cách cn tìm. ng th/ng. Khong cách gia hai mt ph/ng   ’  Phng pháp 3 D,ng on vuông góc chung và tính  dài on ó. Tr)ng hp 1:  và  ‘ v$a chéo nhau v$a vuông góc v#i nhau B #c 1: Chn mt ph/ng ( ) cha  ‘ và vuông góc v#i  ti I . Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Khi ó IJ là on vuông góc chung và d (,  ‘)  IJ . Tr ng PTLC Vinschool  ’ I J  Tr)ng hp 2:  và ’ chéo nhau mà không vuông góc v#i nhau B #c 1: Chn mt ph/ng ( ) cha ’ và song song v#i  . B #c 2: D,ng d là hình chiu vuông góc c+a  xung ( ) b1ng cách l”y i!m M   d,ng on MN    , lúc ó d là  ng th/ng i qua N và song song v#i  . B #c 3: Gi H  d   ‘ , d,ng HK  MN Khi ó HK là on vuông góc chung và d (,  ‘)  HK  MN . H  M K d N ’  Hoc B #c 1: Chn mt ph/ng ( )   ti I . B #c 2: Tìm hình chiu d c+a ’ xung mt ph/ng ( ) . B #c 3: Trong mt ph/ng ( ) , d,ng IJ  d , t$ J d,ng  H , t$ H d,ng HM  IJ . ng th/ng song song v#i  c t ’ ti Khi ó HM là on vuông góc chung và d (,  ‘)  HM  IJ .  M ’ H I d J  6. Bài toán khác DNG 1: Thit di n to bKi mt phJng i qua m”t i=m và vuông góc v i m”t ng thJng d cho tr c Cách xác nh mp(  ) i qua i!m A và vuông góc v#i  Cách 1: + K8  ng th/ng a qua A và vuông góc v#i d. ng th/ng d: Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Khi ó, mp(a,b) chính là mp(  ) cn d,ng. Tr ng PTLC Vinschool Cách 2: Nu có d vuông góc v#i (P). D,ng   qua A và   / /(P) DNG 2: Thit di n to bKi mt phJng cha m”t ng thJng và vuông góc m”t mt phJng cho tr c. Cách xác nh mp(  ) cha  a  mp    ): + Chn mt i!m A trên  + K8  ng th/ng a và vuông góc v#i  ng th/ng mp(  ) trong ó ( ng th/ng a. ng th/ng qua A và vuông góc v#i mp(  ). Khi ó, mp(a,b) chính là mp(  ) cn d,ng. Kt qu: + Nu mt  ng th/ng và mt mp cùng vuông góc v#i mt  trong mt ph/ng) thì song song. ng th/ng ( + Nu mt  ng th/ng và mt mp cùng vuông góc v#i mt ph/ng ( mt ph/ng thì song song. ng th/ng không n1m ng th/ng không n1m trong DNG 3: D’ng m”t ng thJng d qua m”t i=m A và vuông góc v i mt phJng (P) Cách 1: Nu có a  (P ) : D,ng d song song v#i a. Khi ó d  ( P ) Cách 2: + D,ng mt ph/ng (Q) qua i!m A và  Q   (P) ; + Tìm giao tuyn b c+a (P) và (Q); + T$ i!m A d,ng  Khi ó: d là  ng th/ng d vuông góc v#i b. ng th/ng cn d,ng DNG 4: Ch&n m”t mt phJng qua i=m A và vuông góc v i mt phJng (P ) cho tr c Cách 1: Nu ã có mt  ng th/ng a vuông góc v#i  T$ mt i!m M nào ó trên a, k8 mt  ng th/ng b trong (P). ng th/ng MH vuông góc v#i b. Khi ó: mp(a,H) chính là mt ph/ng cn d,ng. Cách 2: Nu bit mt ph/ng (Q) vuông góc v#i (P). T$ i!m A k8 ln l 0t hai  ng th/ng song song v#i hai  ng th/ng c t nhau trong (P). DNG 5: Tìm hình chiu H ca i=m M lên mt phJng (P) Quy t c chung: + i!m thuc mt ph/ng thì hình chiu c+a i!m ó lên mt ph/ng là chính nó; + i!m không thuc mt ph/ng: – D,ng mt  ng th/ng d qua i!m A và vuông góc v#i (P); – DFNG 3 – Tìm giao i!m c+aH c+a d và mt ph/ng (P). Khi ó, H chính là hình chiu c+a i!m A lên (P) DNG 6: Tìm hình chiu ca ng thJng d ( không vuông góc v i (P)) lên mt phJng (P). Cách 1: Chn trên d hai i!m A & B. (nu d c t (P) nên chn 1 i!m là giao c+a d và (P)) Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 75 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com + Tìm hình chiu A’, B’ ln l 0t c+a A, B lên (P). + Tr ng PTLC Vinschool t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 76 ng th/ng d’ qua A’, B’ chính là hình chiu c+a d lên (P) Cách 2: + Chn mt ph/ng (Q) cha d và  Q   (P) ; + Khi ó, giao tuyn d’ c+a (P) và (Q) chính là hình chiu c+a d lên (P). DNG 7: T7 s khong cách + Nu  ng th/ng AB c t (P) ti M thì: d ( A,(P)) AM  d (B,(P)) BM + Nu AB song song v#i (P) thì d ( A,(P))  d (B,(P)) . Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com I. MT S KIN THC B SUNG 1/ Các h thc l%ng trong tam giác vuông Cho  ABC vuông ti A, AH là  ng cao, AM là  A C S ABC H M  S ABC  AM  2/ Các h thc l%ng trong tam giác thng ng trung tuyn. Ta có: 1 1 1 2 2 2 1 1 1  ab sin C  bc sin A  ac sin B 2 2 2 abc  ,S  p.r 4 R  ABC  abc  p  p  a  p  b  p  c  ,  p   2   c BC 2 b 2  c2  a2 2 bc 2  a c2  b2  b 2  a 2  c 2  2 ac cos B  cos B  2 ac 2 a  b2  c2  c 2  a 2  b 2  2 ab cos C  cos C  2 ab  a 2  b 2  c 2  2 bc cos A  cos A  a) nh lí hàm s A cosin b a B ng PTLC Vinschool  S ABC  a.ha  b.hb  c.hc  S ABC B Tr C b) nh lí hàm s sin A c B a b c = = = 2R sin A sin B sin C b (R là bán kính ng tròn ngoi tip ABC) C a R c) Công thc >nh di%n >ch c+a tam giác A b c a B 1 1 1 2 2 2 1 1 1  ab sin C  bc sin A  ac sin B 2 2 2 abc  , S ABC  p.r 4R  abc  p pa pb pc ,  p   2    S ABC  a.ha  b.hb  c.hc  S ABC C p – na chu vi r – bán kính   S ABC  S ABC ng tròn d) Công thc >nh  dài      ng trung tuyn c+a tam giác A K B  AM 2  N M AB2  AC 2 BC 2  . 2 4 C Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành  BN 2  BA2  BC 2 AC 2  . 2 4  CK 2  CA2  CB2 AB2  . 2 4 t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 77 Thy Nguyn c Th ng 3/ nh lí Talet 0969119789 –thangnd286@gmail.com ng PTLC Vinschool AM AN MN   k AB AC BC 2  AM  2   k  AB   MN / / BC  A M Tr N B S AMN  C S ABC (T din tích bng t bình phng ng dng) 4/ Di n ;ch ca a giác B a/ Din :ch tam giác vuông ⇒ S ΔABC =  Di%n >ch tam giác vuông b1ng ½ >ch 2 cnh góc vuông. C A b/ Din :ch tam giác u  Di%n >ch tam giác -u:  Chi-u cao tam giác -u: B 2 canh 3 4 canh. 3 h  2 S  h a A C A B c/ Din :ch hình vuông và hình ch4 nht a  Di%n >ch hình vuông b1ng cnh bình ph ng.   ng chéo hình vuông b1ng cnh nhân 2 .  Di%n >ch hình ch nh*t b1ng dài nhân rng. 1 AB.AC 2 O D C ⎧⎪ a2 3 ⎪⎪S ΔABC = ⎪ 4 ⇒ ⎪⎨ ⎪⎪ a 3 ⎪⎪h = 2 ⎪⎩ ⎧⎪S HV = a 2 ⎪ ⇒ ⎪⎨ ⎪⎪AC = BD = a 2 ⎪⎩ d/ Din :ch hình thang A D  Di%n >ch hình thang: 1 SHình Thang  .(áy l#n + áy bé) x chi-u cao 2 ⇒S = B e/ Din :ch t giác có hai )ng chéo vuông góc  Di%n >ch t giác có hai  ng chéo vuông góc A nhau b1ng ½ >ch hai  ng chéo.  Hình thoi có hai  ng chéo vuông góc nhau ti trung i!m c+a m.i  ng. H (AD + BC ).AH 2 C B C ⇒ S H .Thoi = 1 AC .BD 2 D L+u ý: Trong >nh toán di%n >ch, ta có th! chia a giác thành nhng hình  n gin d >nh di%n >ch, sau ó cng các di%n >ch  0c chia này, ta  0c di%n >ch a giác. Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 78 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr 5. M t s” phép bin 1i ? th& 1. Các phép bin 1i n gi/n. a. Hai i!m M  x; y  và M   x;  y  i xng v#i nhau qua tr(c hoành . ng PTLC Vinschool b. Hai i!m M  x; y  và M    x; y  i xng v#i nhau qua tr(c tung . c. Hai i!m M  x; y  và M    x;  y  i xng v#i nhau qua gc to  O . T$ các phép bin i  n gin này ta có. 2. Các phép bin 1i ? th&. a.  th c+a hai hàm s y  f  x  và y   f  x  i xng v#i nhau qua tr(c hoành. b.  th c+a hai hàm s y  f  x  và y  f   x  i xng v#i nhau qua tr(c tung. c.  th c+a hai hàm s y  f  x  và y   f   x  i xng v#i nhau qua gc ta  O. H qu/ 1.  th hàm s ch-n nhn tr’c tung làm tr’c i xng. H qu/ 2.  th hàm s l. nhn gc t%a  O làm tâm i xng. T$ các kt qu trên ta có các dng c bn v-  th c+a hàm s có cha d”u giá tr tuy%t i. 3. Các d0ng c b/n D0ng 1. T  th (C) ca hàm s y  f  x  , suy ra cách v@  th (G) ca hàm s y  f  x   f  x  khi f  x   0 Li gii. Ta có y  f  x     f  x  khi f  x   0   là phn i xng qua tr(c hoành c+a phn  th (C) n1m phía d #i tr(c hoành  y   0  Suy ra  G    C1    C2  v#i  C1  là phn  th (C) n1m phía trên tr(c hoành y C  0 , còn  C2    C   D0ng 2. T  th (C) ca hàm s y  f  x  , suy ra cách v@  th (H) ca hàm s y  f x   L=i gi/i. Vì  x  x nên y  f x là hàm s ch6n, suy ra  th (H) nh*n tr(c tung làm tr(c i xng. Vì v*y (H )   C3    C4  v#i  C3  là phn  th c+a (C) n1m bên phi tr(c tung  x  0 , còn C4  là phn i xng c+a C3  qua tr(c tung.   D0ng 3. T  th (C) ca hàm s y  f  x  , suy ra cách v@  th (K) ca hàm s y  f x      f x Li gii. Ta có y  f x    f x     khi f  x   0 khi f x  0   Suy ra (K )   H1    H2  v#i  H1  là phn  th c+a (H) c+a hàm s y  f x n1m phía trên tr(c  hoành  y    0 . hoành y H   0 , còn  H2  là phn i xng qua tr(c hoành c+a phn  th (H) 2 phía d #i tr(c H D0ng 4. T  th (C) ca hàm s y  u x v x Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành , suy ra cách v@  th (L) ca hàm s y  t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni ux vx Page 79 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool u  x  khi u  x   0  u x v x  Li gii. y  v x  u x khi u  x   0   v x  Suy ra  L    C1    C2  v#i  C1  là phn c+a  th (C) có hoành  th3a mãn i-u ki%n u  x   0 và  C2  là phn i xng qua tr(c hoành c+a phn  th (C) có hoành  th3a mãn u  x   0 . D0ng 5. T  th (C) ca hàm s y  u x v x , suy ra cách v@  th (M) ca hàm s y  u x . v x u x khi v  x   0  ux vx  Li gii. y  v x  ux  khi v  x   0  vx  Suy ra  M    C3    C4  v#i  C3  là phn c+a  th (C) có hoành  th3a mãn i-u ki%n v  x   0 và  C4  là phn i xng qua tr(c hoành c+a phn  th (C) có hoành  th3a mãn v  x   0 . D0ng 6. T  th (C) ca hàm s y  u x v x ux , suy ra cách v@  th (N) ca hàm s y  u x u x 0 khi  ux v x v x  Li gii. y  u x v x  u x  khi 0  vx v x    vx  .  Suy ra  N    C5    C6  v#i  C5  là phn c+a  th (C) n1m phía trên tr(c hoành y C  0 và   C6  là phn i xng qua tr(c hoành c+a phn  th (C) n1m phía d #i tr(c hoành  yC   0  . u x  u x . , suy ra cách v@  th (Q) ca hàm s y  D0ng 7. T  th (C) ca hàm s y  v x v x  L=i gi/i. Vì  x  x nên y    là hàm s ch6n, suy ra  th (Q) nh*n tr(c tung làm tr(c i v x  u x xng. Vì v*y (Q)   C7    C8  v#i  C7  là phn  th c+a (C) n1m bên phi tr(c tung  x  0 , còn C8  là phn i xng c+a C7  qua tr(c tung. u x  u x D0ng 8. T  th (C) ca hàm s y  , suy ra cách v@  th (R) ca hàm s y  v x v x  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 80 Thy Nguyn c Th ng Li gii. y    v x  u x 0969119789 –thangnd286@gmail.com         u x   v x   u x   v x khi khi Tr  0 v x  u x  0 v x  ng PTLC Vinschool u x   n1m phía trên tr(c v x  u x Suy ra  R    Q1    Q2  v#i  Q1  là phn  th (Q) c+a hàm s y  hoành  y Q  0  , còn  Q2  là phn i xng qua tr(c hoành c+a phn  th (Q) 2 phía d #i tr(c     hoành  y Q  0  .     6. Công th*c 0o hàm 6.1. Các quy tLc tính o hàm (Ký hi u U=U(x), V=V(x)).     U  U .V  U .V   U  V   U   V   UV   U V  UV      {f[U(x)]}x/ = f ‘u . U x 2 V V     1 sin x ‘ U’  lim 1   kU   k .U ‘      UVW   U ‘ VW  UV ‘ W  UVW ‘ 2 x 0 x U U  6.2. Các công thc tính o hàm: Công th*c 0o hàm 0o hàm c(a hàm s” h2p Tên hàm s”  Các hàm s” C  =0 (C là h1ng s) th+=ng g;p ‘   1  n  x  =1, (kx)’=k (k là h1ng s )  n    n 1 .u ‘ u  0 u u    x n =n.xn-1 (n  N, n  2) u   .u 1 .u ‘      1 1     2 (x  0) x x   1  n  n    n 1 (x  0) x x   1 u/ (u  0)    2 u u   1  n  n    n 1 .u ‘ (u  0) u u  1 ( x ) = (x>0) 2 x ‘ 1 n x  ( x  0) n n x n1  u   2u u  u   n u1    Hàm s” l+2ng giác / cos x  cot x    12   1  cot 2 x sin x (xH)/= H x H -1 Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành  (u  0) ‘ n n 1 .u ‘ (u  0) /  sin x   cos x /  cos x    sin x /  tanx   12  1  tan2 x / Hàm lEy thIa n /  sin u   cos u.u/ /  cos u    sin u.u/ /  tan u   12 .u/  cos u  cot u    12 .u/ sin u (uH)/= H u H -1u/ / t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 81 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool x x u u Hàm s” mE (e )’ = e ( e )’ = u’ .e (ax)’ = axlna ( au)’ = u’ .au.lna Hàm logarít 1 u’ (lnx )’ = (x>0) (u>0) ( lnu)’ = x u 1 u’ (ln /x/ )’ = (xE0) ( ln /u/ )’ = (uE0) x u 1 u’ ( log a x )’ = (x>0, 00, 00, 00, 0