Sổ tay giải toán 12 – Nguyễn Đức Thắng

Giới thiệu Sổ tay giải toán 12 – Nguyễn Đức Thắng

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Sổ tay giải toán 12 – Nguyễn Đức Thắng.

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu Sổ tay giải toán 12 – Nguyễn Đức Thắng

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 12 tại đây

Text Sổ tay giải toán 12 – Nguyễn Đức Thắng
Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool S TAY GII TOÁN 12 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool MC LC CH  TRANG A. KHO SÁT HÀM S 2 B. LU THA – M – LÔGARIT 18 C. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ NG DNG 25 D. S PHC 42 E. NÓN – TR-CU 47 F. PHNG PHÁP TO  TRONG KHÔNG GIAN OXYZ 54 G. KH I A DIN 64 H. GÓC VÀ KHONG CÁCH 67 I. B SUNG MT S KIN THC 77 Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 1 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool A. KHO SÁT HÀM S 1. Tính n iu 1.1. Lí thuyt a) nh ngha: Cho K là mt khong, on hoc na khong. Gi s f(x) là mt hàm s xác nh trên K. – Hàm s f(x) gi là ng bin trên K nu  x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) – Hàm s f(x) gi là nghch bin trên K nu  x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) b. i u ki n c n Gi s f có o hàm trên khong K. – Hàm s f(x) không i trên K  x  K : f ‘( x )  0 – Nu f ng bin trên khong K thì f ‘( x )  0, x  K – Nu f nghch bin trên khong K thì f ‘( x )  0, x  K c. i u ki n  Gi s f có o hàm trên khong K. – Nu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 ti mt s hu hn i!m) thì f ng bin trên K. – Nu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 ti mt s hu hn i!m) thì f nghch bin trên K. – Nu f(x) = 0, x  I thì f không i trên K. 1. 2. M t s” v#n % khác a) &nh lí v% d#u c(a tam th*c b-c hai: g(x )  ax 2  bx  c (a  0) + Nu  < 0 thì g( x ) luôn cùng d"u v#i a.  b  b ), g     0 2a  2a  + Nu  > 0 thì g( x ) có hai nghi%m x1 , x2 và trong khong hai nghi%m thì g( x ) khác d”u + Nu  = 0 thì g( x ) luôn cùng d”u v#i a (tr$ x   v#i a, ngoài khong hai nghi%m thì g( x ) cùng d”u v#i a. a  0 a  0 +) y ‘  0, x  R   Chú ý: – Nu y ‘  ax 2  bx  c (a  0) thì: +) y ‘  0, x  R     0    0 2 – Nu  = 0 hay g( x )  a  x    thì g(x) không i d u khi qua  , d u c a g(x) ph thuc d u c a a. – Nu  > 0 thì g(x) i d”u khi qua x1 , x2 ( i t$+ sang – sang +, hoc i t$ – sang + sang -) b) So sánh các nghim x1 , x2 c(a tam th*c b-c hai g( x )  ax 2  bx  c v#i s 0:   0  +) x1  x2  0   P  0  S  0   0  +) 0  x1  x2   P  0  S  0 +) x1  0  x2  P  0 c) Hàm s” b-c hai: y  ax 2  bx  c (a  0) a>0  th hàm s là mt parabol có &nh a<0  th hàm s là mt parabol có &nh  b    ;   2a 4a   b    ;   2a 4a  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 2 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool  b  Hàm s ng bin trên   ;    2a   b  Hàm s nghch bin trên   ;    2a   b  Hàm s nghch bin trên  ;   2a    b  Hàm s ng bin trên  ;   2a   b  ti x   4a 2a Bng bin thiên b  ti x   4a 2a Bng bin thiên Dng  th: Dng  th: ymin   ymax   d) ng d.ng trong gi/i toán Cho hàm s y=g(x) xác nh trên (a;b) và liên t(c trên [a;b]: +) g( x )  m, x  (a; b)  max g( x )  m ;  a;b  +) g( x )  m, x  (a; b)  min g( x )  m  a;b  e) n iu trên m t kho/ng, o0n ! hàm s y  f ( x ) ng bin trên t*p K nào ó thì tn ti khong ! f’(x)>0 cha t*p K. ! hàm s y  f ( x) nghch bin trên t*p K nào ó thì tn ti khong ! f’(x)<0 cha t*p K B1 tr2: - T*p (; a) là t*p con c+a t*p (; b) khi và ch& khi a  b - T*p (a; ) là t*p con c+a t*p (b; ) khi và ch& khi b  a c  a - Tp (a; b) là tp con ca tp (c; d ) khi và ch khi  b  d 1.3. Tính n i u ca hàm thng gp a) Hàm s a thc bc ba f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) :  a  0 “iu kin  hàm s f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d ng bin trên R là  ; nghch bin trên   0 a  0 R là  ”   0  Hàm s f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d ng bin ( nghch bin) trên K thì kho!ng mà f '( x )  0 ( f '( x )  0 ) ca hàm s ph!i cha K. b) Hàm s phân thc d ng f ( x )  ax  b (c  0, ad  bc  0) cx  d Thy Nguyn c Th ng ( ad  bc  0)   0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool iu kin  hàm s ng bin (nghch bin) trên trên  ;   là ad  bc  0   d    c   ad  bc  0  ad  bc  0   d    c   ad  bc  0  iu kin  hàm s ng bin (nghch bin) trên trên  ;  là +) i v"i hàm hp y  f (g( x)) , trong ó hàm u  g( x ) xác nh và có  o hàm trên  a; b  , ly giá tr trên kho!ng  c; d  ; hàm y  f (u) xác nh  c; d  và có  o hàm trên  c; d  , ly giá tr trên R.   g '( x )  0  x   a; b   g '( x )  0  x   a; b  ho#c  thì hàm s y  f (g( x)) ng bin Nu   f '(u)  0 u   c; d   f '(u)  0 u   c; d  trên  a; b  .   g '( x )  0  x   a; b   g '( x )  0  x   a; b  Nu  ho#c  thì hàm s y  f (g( x)) nghch bin  f '(u)  0 u   c; d   f '(u)  0 u   c; d  trên  a; b  . 2. C3C TR4 CA HÀM S 2.1. Lí thuyt a) nh ngha: Gi s hàm s f ( x) xác nh trên D, x0  D . - im x0 g%i là im c&c tiu ca hàm s f(x) nu tn t i s th&c d ng h sao cho  x0  h; x0  h  cha trong D và f (x)  f ( xo ), x   x0  h; x0  h   x0  Khi ó: + Giá tr f ( x0 ) gi là giá tr c,c ti!u c+a hàm s. + i!m  x0 ; f ( x0 ) gi là i!m c,c ti!u c+a  th hàm s y=f(x). + Hàm s t c,c ti!u ti i!m x0 - im x0 g%i là im c&c  i ca hàm s f(x) nu tn t i s th&c d ng h sao cho  x0  h; x0  h  cha trong D và f ( x )  f ( xo ), x   x0  h; x0  h   x0  Khi ó: Giá tr f ( x0 ) gi là giá tr c,c i c+a hàm s. i!m  x0 ; f ( x0 ) gi là i!m c,c i c+a  th hàm s y=f(x). + Giá tr f ( x0 ) gi là giá tr c,c i c+a hàm s. + i!m  x0 ; f ( x0 )  gi là i!m c,c i c+a  th hàm s y=f(x). + Hàm s t c,c i ti i!m x0 Chú ý: C,c i, c,c ti!u gi chung là c,c tr b) &nh lí: Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 4 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool i-u ki%n cn: Nu hàm s f(x) t c,c tr ti i!m x0 thì hoc không tn ti f '(x 0 ) hoc f '( x0 )  0 i u ki n  1: Gi s tn ti  a; b   D ch x0 , hàm s y=f(x) liên t(c trên (a,b) và có o hàm trên m.i khong  a; x0  ,  x0 ; b    f '( x )  0 x   a; x0  Nu  thì x0 là mt i!m c,c ti!u c+a hàm s f(x)  f '( x )  0 x   x 0 ; b    f '( x )  0 x   a; x0  Nu  thì x0 là mt i!m c,c i c+a hàm s f(x)  f '( x )  0 x   x 0 ; b  i u ki n  2: Gi s tn ti  a; b   D ch x0 , hàm s y=f(x) liên t(c trên (a,b) và có o hàm c"p 1 trên (a;b) và có o hàm c"p hai ti x0 . Khi ó:   f '( x0 )  0 Nu  thì x0 là mt i!m c,c ti!u c+a hàm s f(x)  f ''( x0 )  0  f '( x0 )  0 Nu  thì x0 là mt i!m c,c i c+a hàm s f(x)  f ''( x0 )  0 2.2. M t s" v#n % khác  a) Hàm s a thc bc ba f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) :   a  0 a  0   Hàm s t c,c i ti x0 khi:   f '(x)  0 hoc b  0  c  f ''( x )  0 0   x0   2b   a  0 a  0   Hàm s t c,c ti!u ti x0 khi:   f '(x)  0 hoc b  0  c  f ''( x )  0 0   x0   2b  a  0 a  0 Hàm s không có c,c tr   hoc   0  b  0  f '(x)   a  0 Hàm s có c,c i, c,c ti!u     f '(x)  0 Ph ng trình  ng th/ng i qua hai i!m c,c tr c+a  th hàm s y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0  . V#i i-u ki%n b2  3ac  0 , th,c hi%n phép chia y cho y’ ta  0c y = y’(x).g(x) + Ax + B. Khi ó,  ng th/ng i qua hai i!m c,c tr là y = Ax + B b) Hàm s a thc trùng phng: f ( x )  ax 4  bx 2  c (a  0) TH1: a  0 *) Nu b  0 Hàm s ch& có 1 c,c ti!u *) Nu b  0 Hàm s ch& có 1 c,c i *) Nu b  0 Hàm s không có c,c tr Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 5 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected]  TH2: a  0 . Khi ó: y '  4ax 3  2bx  2 x 2ax 2  b  Tr ng PTLC Vinschool *) Nu a.b<0 thì hàm s có ba c&c tr. C' th a>0: Hàm s có 2 c,c ti!u, 1 c,c i a<0: Hàm s có 2 c,c i, 1 c,c ti!u *) Nu a.b  0 : Hàm s ch có úng mt c&c tr a>0: Hàm s có 1 c,c ti!u a<0: Hàm s có 1 c,c i Tham kho: Tr ng h0p  th hàm s: y  ax 4  bx 2  c  a  0  có ba i!m c,c tr   b b2  b b2  Ba i!m c,c tr là A  0; c  , B    ; c   và C   ; c   .   2a 4a  2a 4a    Khi ó ta có AB  AC  b 4  8ab 16a 2 và BC   2b . a Dng 1.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr t o thành ba nh ca mt tam giác  ab  0 . vuông khi và ch khi  3  b  8a  0 Dng 2.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr t o thành ba nh ca mt tam giác u  ab  0 . khi và ch khi  3  b  24a  0 Dng 3.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr A, B, C t o thành ba nh ca mt tam ab  0   giác cân có mt góc BAC   cho tr"c khi và ch khi  b3  8a cos    b3  8a  Dng 4.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr A, B, C th(a mãn iu kin BC  OA  ab  0 (v"i O là gc t%a ) khi và ch khi  2 .  ac  2b  0 Dng 5.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr A, B, C t o thành ba nh ca mt tam ab  0  giác có din tích là S cho tr"c khi và ch khi  b5 . S    32a3  Dng 6.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr A, B, C t o thành ba nh ca mt tam ab  0  b3  8a . giác có bán kính )ng tròn ngo i tip là R khi và ch khi  R  8ab  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 6 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool Dng 7.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr A, B, C t o thành ba nh ca mt tam  ab  0  b2   4a . giác có bán kính )ng tròn ni tip là r khi và ch khi  r  b2  1  1  8a Dng 8.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr A, B, C t o thành ba nh ca mt tam  3 giác nhn gc O là tr&c tâm khi và ch khi  b  8a  4abc  0 c  0 Dng 9.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr A, B, C t o thành ba nh ca mt tam  3 giác nhn gc O là tâm )ng tròn ngo i tip khi và ch khi  b  8a  8abc  0 c  0 c) Hàm s phân thc dng f ( x )  d) Hàm s" b-c 2/b-c 1 y  ax  b (c  0, ad  bc  0) không có c&c tr cx  d ax 2  bx  c có c c i và c,c ti!u khi và ch& khi ph a'x b' hai nghi%m phân bi%t khác  b' . Khi ó, ph a' ng trình  ng trình y’ = 0 có ng th/ng i qua hai i!m c,c tr c+a  ax 2  bx  c 2ax  b là y  . th hàm s y  a' x  b' a' 3. GIÁ TR4 L6N NH7T – GIÁ TR4 NH8 NH7T CA HÀM S 3.1. Lí thuyt Gi s f xác nh trên D   . Ta có  f  x   M x  D  f  x   m x  D   ; m  min f  x  Nu  . M  max f  x  Nu  xD xD   x0  D : f  x0   M x0  D : f  x0   m 3.2. Chú ý: ! tìm giá GTLN, GTNN c+a hàm s y  f ( x ) liên t(c on  a; b  , có o hàm trên  a; b  và f '( x )  0 có hu hn nghi%m , ta làm nh sau: B1 Tìm các i!m x1 , x2 , …, xm thuc khong  a; b  mà ti ó hàm s f có o hàm b1ng 0 hoc không có o hàm. B2 Tính f  x1  , f  x2  , …, f  xm  , f  a  , f  b  . B3 So sánh các giá tr tìm  0c 2 b #c 2. S l#n nh"t trong các giá tr ó chính là GTLN c+a f trên on  a; b  ; s nh3 nh"t trong các giá tr ó chính là GTNN c+a f trên on  a; b  .     max f  x   max f  x1  , f  x2  ,  , f  xm  , f  a  , f  b  . x a;b  min f  x   min f  x1  , f  x2  ,  , f  xm  , f  a  , f  b  . x a;b  3.3. Quy  c. Khi nói n GTLN, GTNN c+a hàm s f mà không ch& rõ GTLN, GTNN trên t*p nào thì Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool 3.4. Chú ý: Gi! s* f(x) là mt hàm s liên t'c trên min D và tn t i min f ( x )  m; max f ( x )  M . Khi D D ó: 1) Ph ng trình f ( x )   có nghim trên D  m    M. 2) Bt ph ng trình f ( x )   có nghim trên D  M  . 3) Bt ph ng trình f ( x )   có nghim trên D  m  . 4) Bt ph ng trình f(x)   úng v"i m%i x  D  m  . 5) Bt ph ng trình f(x)   úng v"i m%i x  D  M  . Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 8 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool 4. TIM C9N CA : TH4 HÀM S Khái nim Hình /nh minh ho0 Ph+ng pháp tìm tim c-n 1. Tim c-n *ng: B1. Tìm t*p xác nh B2. Tìm các giá tr x0 mà ti )ng th+ng x  x0 (vuông góc Ox) g%i là tim cn ng c+a  th hàm s: y=f(x) Nu có ít nh"t mt trong các gi#i hn sau: x0 hàm s: y=f(x) không xác x  x0 x  x0 nh. B3. Tính các gi#i hn: lim y   & lim y   x  x0 x  x0 B4. Kt lu*n. lim f ( x )  , lim f ( x )  , lim f ( x )  , lim f ( x )  , 2. Tim c-n ngang Hàm s y  f ( x) xác nh trên mt kho!ng vô h n (có th! là  ; a  ,  b;   ,  ;   x  x0 x  x0 B1. Tìm t*p xác nh B2. Tính các gi#i hn: lim y  y0 & lim y  y0 x  x  B3. Kt lu*n )ng th+ng y  y0 (vuông góc Oy) g%i là tim cn ngang c+a  th hàm s: y=f(x) Nu có ít nh"t mt trong các gi#i hn sau: lim f ( x )  y0 , lim f ( x )  y0 x  x  3. Tim c-n xiên Hàm s y  f ( x) xác nh trên mt kho!ng vô h n (có th! là  ; a  ,  b;   ,  ;   )ng th+ng y  ax  b ( a  0 ) g%i là tim cn xiên c+a  th hàm s: y=f(x) Nu có ít nh"t mt trong các gi#i hn sau: lim  f ( x )   ax  b    0, x  lim  f ( x )   ax  b    0. B1. Tìm t*p xác nh B2. Tính các gi#i hn:  f (x)  lim  a x   x  hoc lim  f ( x )  ax   b x   f (x)  lim  a x   x  lim  f ( x )  ax   b x  B3. Kt lu*n x   Chú ý: 1. Hàm s: y  ax  b d a có ti%m c*n ng là: x   , ti%m c*n ngang là: y  cx  d c c 2.Hàm s: y  ax2  bx  c k n  px  q  có ti%m c*n ng là: x   , ti%m c*n xiên là: mx  n mx  n m y  px  q Thy Nguyn c Th ng 3. lim x  0969119789 –[email protected] n n 1 m m 1 an x  an 1 x bm x  bm 1 x  n  m : TCÑ & TCN   ...  b1 x  b0  n  m :TCÑ & TCX  a  0  có ti%m c*n xiên là y  5. Hàm s: y  f ( x )  mx  n  p ax 2  bx  c a x b 2a  a  0  có ti%m c*n xiên là b 2a mx  n 6. Hàm s: y  ng PTLC Vinschool  ...  a1 x  a0 4. Hàm s: y  f ( x )  ax 2  bx  c y  mx  n  p a x  Tr ch& có ti%m c*n ngang, có th! có ti%m c*n ng nu ax 2  bx  c  0 2 ax  bx  c có nghi%m. B1 sung m t s" kin th*c: ng th/ng  : ax  by  c  0 - Công thc khong cách:  Khong cách t$ M n 4 là: d  M ,    ;c bit: -  (a2  b2  0) và M  x0 ; y0  . ax0  by0  c a2  b2 ng th/ng  : y  m thì d  M ,    y0  m - ng th/ng  : x  n thì d  M ,    x0  n - Công thc gi i hn: C  nchaün  0 vôùi  k  0  & lim x n   , lim x n   vôùi n  N  n leû x  x x  x   + Gi#i hn ti vô c,c: lim + Gi#i hn mt bên: lim  x  x0 k c   Neáu c  0 &  x  x 0   Neáu c  0 lim x  x0 c   Neáu c  0  x  x 0   Neáu c  0 5. TNG GIAO HAI : TH4 HÀM S 5.1. Kin thc Cho hai  ng cong:  C1  : y  f ( x ) và  C2  : y  g( x )  y  f ( x) +) Nu M ( x0 ; y0 ) là i!m chung c+a  C1  và  C2   M  x0 ; y0  là nghi%m c+a h%:   y  g( x) + Hoành  giao i!m c+a  C1  và  C2  là nghi%m c+a ph +) S nghi%m ph ng trình: f (x )  g( x ) (*) ng trình (*) b1ng s giao i!m c+a  C1  và  C2  5.2 . B! sung m"t s kin thc a) Phng trình bc 2 -Ph   0 ng trình: g( x )  ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghi%m phân bi%t khác x0    g( x0 )  0 -Ph   0  ng trình: g( x )  ax 2  bx  c  0  a  0  có nghi%m kép khác x0   b  2a  0 -Ph ng trình: g( x )  ax 2  bx  c  0  a  0  vô nghi%m    0 Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 10 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr b) Phng trình bc 3 hay tng giao # th hàm a thc bc ba và tr$c Ox ng PTLC Vinschool T ng giao ca  th hàm bc 3 y  a ' x 3  b ' x 2  c ' x  d '  a '  0  và tr'c Ox: Ph ng trình hoành  giao im: a ' x 3  b ' x 2  c ' x  d '  0   Trng h%p 1: Bin ,i ph ng trình: a ' x 3  b ' x 2  c ' x  d '  0 thành  x    ax 2  bx  c  0    ng trình:  x    ax 2  bx  c  0 có ba nghi%m phân bi%t  Ph Ph ng trình: ax 2  bx  c  0 có hai nghi%m phân bi%t khác  .    ng trình:  x    ax 2  bx  c  0 có hai nghi%m phân bi%t  Ph Ph ng trình: ax 2  bx  c  0 có nghi%m kép khác  hoc có hai nghi%m phân bi%t trong ó có mt    0   g( )  0 nghi%m b1ng         0   g( )  0    ng trình:  x    ax 2  bx  c  0 ch& có mt nghi%m  Ph Ph ng trình:    0 ax  bx  c  0 có nghi%m kép b1ng  hoc vô nghi%m    g( )  0    0 Tr+=ng h2p 2: Không nh5m  0c nghi%m  2 S giao i!m c+a  th hàm s y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0  và Ox b1ng s nghi%m c+a ph ng trình: ax 3  bx 2  cx  d  0  Ch có mt nghim khi và ch& khi: Hàm s luôn ng bin hoc luôn nghch bin; hoc có hai  y '  0  c,c tr n1m v- cùng mt phía i v#i Ox   y '  0 trong ó: x1 , x2 là nghi%m c+a    y( x1 ).y( x2 )  0  ph ng trình: y '  0  Ch có hai nghim khi và ch& khi hàm s có hai c,c tr, trong ó có mt c,c tr n1m trên Ox    0 trong ó: x1 , x2 là nghi%m c+a ph ng trình: y '  0   y'  y x y x ( ). ( ) 0  1 2 Ch có ba nghim phân bit khi và ch& khi hàm s có hai c,c tr, trong ó có hai c,c tr n1m   0 trong ó: x1 , x2 là nghi%m c+a ph v- hai phía c+a tr(c Ox   y '  y( x1 ).y( x2 )  0 ng trình: y'  0 B1 sung: Ph ng trình  ng th/ng qua hai c,c tr (nu có) là y  mx  n (Bi!u thc mx  n là a thc d khi chia y cho y’). Xét y '  3ax 2  2bx  c  0 Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 11 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool c) Phng trình bc bn trùng phng hay tng giao ca # th hàm a thc bc 4 trùng phng vàc trucj Ox)  t  x2  0 f ( x )  ax 4  bx 2  c  0  a  0    . t = x2 x =  t f ( t )  0  S nghi%m 4 3 2 1 i-u ki%n 0  P0 S 0  P0  S 0 P  0      0   S / 2  0  P  0   S  0    0    S / 2  0 0 CSC    0   P  0   S  0     0  0  t1  t2   t2  3 t1 M"t s kin thc hình h&c b! sung:     - Cho: u1   x1; y1  , u2   x2 ; y2   u1.u2  x1 x2  y1y2  - Cho A1 ( x1; y1 ), A2 ( x2 ; y2 ) : A1 A2   x2  x1; y2  y1  ; A1 A2  2  x2  x1    y2  y1  2 - Cho tam giác  A1 A2 A3 trong ó: A1 ( x1; y1 ), A2 ( x2 ; y2 ), A3 ( x3 ; y3 ) không th/ng hàng:   + Tam giác  A1 A2 A3 vuông ti A1  A1 A2 . A1 A3  0   AA  AA 1 3  1 2 + Tam giác  A1 A2 A3 -u      A1 A2  A2 A3 - Di%n tích tam giác : S ABC  1 1 abc  p  p  a  p  b  p  c  h.a  b.c sin A  pr  2 2 4R 6. HÀM S VÀ : TH4 6.1. # th hàm s bc 3  th hàm s luôn c t tr(c Ox ti ít nh"t mt i!m  b  b   th nh*n i!m I   ; f     là tâm i xng  3a  3a   Bng bin thiên và dng  th Tr+=ng a>0 h2p a<0 y'  0 vô nghim *) Hàm s luôn ng bin trên R *) Hàm s không có c,c tr *) Hàm s luôn nghch bin trên R *) Hàm s không có c,c tr Thy Nguyn c Th ng y'  0 09691197889 –[email protected] Tr ng PTLC C Vinschool *) Hàm s luôn ng bin trên t R *) Hàm s không có c,c tr *) Hàm s luôn nghch bin trên R *) Hàm s không có c,c tr *) Hàm s ng bin trên kkhong *) Hàm s nghch bin trên kho ong *) Hàm s t c,c i ti m s t c,c ti!u x  X1; yCÑ  f ( X1 ) . Hàm *) Hàm s t c,c i ti x  X1; yCT  f ( X1 ) . Hàm s t  c,c có nghim kép y'  0 có hai nghim phân bit  ; X1  và  X2 ;   . Hàmm s nghch bin  ; X1  và  X2 ;   . Hàm s ng bin trên  X1; X2  . trên  X1; X2  . ti x  X2 ; yCT  f ( X2 ) . ti!u ti x  X2 ; yCÑ  f ( X2 ) . Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool 6.2. # th hàm s bc 4 trùng phng: f ( x )  ax 4  bx 2  c (a  0)    Vì hàm s là ch6n trên R nên  th luôn nh*n tr(c tung làm tr(c i xng. Hàm s luôn có c,c tr (mt c,c tr nu a.b>0 ; ba c,c tr nu a.b<0) Có mt c,c tr luôn thuc tr(c Oy. Tr ng h0p có 3 i!m c,c tr thì ba i!m c,c tr là 3 &nh c+a tam giác cân. B/ng bin thiên và d0ng ? th& Các d0ng a>0 a<0 *) n iu *) n iu Hàm s ng bin trên các khong Hàm s nghch bin trên các khong    b  b    ; 0  và   ;      2a  2a    Hàm s nghch bin trên các khong    b  b    ; 0  và   ;      2a  2a    Hàm s ng bin trên các khong   b  b   ;    và  0;     2a  2a    * [email protected] tr&   b  b   ;    và  0;     2a  2a    * [email protected] tr& Hàm s t c,c ti!u ti : xCT    y’ = 0 có 3 nghim phân bit  PT (*) có hai nghim phân bit khác 0  ab < 0 b 2a Hàm s t c,c ti!u ti : xCÑ    b 2a và yCT  Y1  f (xCT ) .Hàm s t c,c và yCÑ  Y1  f (xCÑ ) .Hàm s t c,c i i ti xCÑ  0 và yCÑ  Y2  c . ti xCT  0 và yCT  Y2  c . * GiAi h0n * GiAi h0n  lim  ax   Neáu a  0  c     Neáu a  0  Neáu a  0 lim ax 4  bx 2  c   x    Neáu a  0 x  4  bx 2  lim  ax   Neáu a  0  c     Neáu a  0  Neáu a  0 lim ax 4  bx 2  c   x    Neáu a  0 x  4  bx 2  th hàm s không có ti%m c*n *) B/ng BT  th hàm s không có ti%m c*n *) B/ng BT 3. ? th& 3. ? th& Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] *) n iu Hàm s ng bin trên các khong y’ = 0 chB có 1 nghim  PT (*) vô nghim ho;c chB có m t nghim bDng 0  ab > 0 Tr ng PTLC Vinschool *) n iu Hàm s ng bin trên các khong  0;  . Hàm s nghch bin trên các khong  ; 0   ; 0 . Hàm s nghch bin trên các khong  0;   * [email protected] tr& Hàm s t c,c ti!u ti xCT  0 và * [email protected] tr& Hàm s t c,c ti!u ti xCÑ  0 và yCT  Y2  c . yCÑ  Y2  c . * GiAi h0n * GiAi h0n  lim  ax   Neáu a  0  c     Neáu a  0  Neáu a  0 lim ax 4  bx 2  c     Neáu a  0 x  4 x   bx 2  lim  ax   Neáu a  0  c     Neáu a  0  Neáu a  0 lim ax 4  bx 2  c     Neáu a  0 x  4 x   bx 2 *) B/ng BT *) B/ng BT  th hàm s không có ti%m c*n 3. ? th&  th hàm s không có ti%m c*n 3. ? th& 6.3.# th hàm s phân thc d ng f ( x )  ax  b (c  0, ad  bc  0) cx  d Bng bin thiên và dng  th ad  bc  0 ad  bc  0 *)n i u *)n i u  d Hàm s ng bin trên các khong  ;   và c   d Hàm s nghch bin trên các khong  ;   c  Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected]  d    ;    c  *) C’c tr Hàm s không có c,c tr *) Gi i hn lim  d x     c  y   và th/ng x   lim y  x  lim  d x     c ng PTLC Vinschool  d  và   ;    c  *) C’c tr Hàm s không có c,c tr *) Gi i hn  y   nên  ng d là ti%m c*n ng c a a và lim y  nên  x  c c lim  d x     c  y   và th/ng x   ng th/ng a là ti%m c*n ngang c *) Bng bin thiên : lim y  x  lim  d x     c  y   nên  ng d là ti%m c*n ng c a a và lim y  nên  x  c c ng th/ng a là ti%m c*n ngang c *) Bng bin thiên : y y 3. ? th& 3. ? th& 7. BÀI TOÁN TIP TUYN D0ng 1. Ph Tr ng trình tip tuyn c+a  ng cong (C): y  f ( x) ti tip i!m M  x0 ; y0  có dng: d : y  f ‘ x   x  x0   y0 0 Áp d’ng trong các tr)ng hp sau: Trng h%p 1. Vit ph ng trình tip tuyn d c+a (C) t0i i!m M  x0 ; y0  . 2. Vit ph ng trình tip tuyn d c+a (C) ti i!m có hoành  x  x0 3. Vit ph ng trình tip tuyn d c+a (C) ti i!m có tung  y  y0 4. Vit ph ng trình tip tuyn d c+a (C) , bit h% s góc k c+a tip tuyn d . C n tìm Ghí chú H% s góc : f ‘  x0  H% s góc : f ‘  x0    f ‘  x0  T$ x0     f  x0  Hoành  tip i!m x0 Gii ph ng trình y0  f  x0  Hoành  tip i!m x0 Gii ph ng trình f ‘  x0   k Tung  tip i!m y0  f  x0  H% s góc : f ‘  x0  Tung  tip i!m y  f  x  Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Chú ý: Gi k1 là h% s góc c+a  ng th/ng d1 và k 2 là h% s góc c+a  Tr ng PTLC Vinschool ng th/ng d2 Nu d1 song song v#i d2 thì k1  k2 Nu d1 vuông góc v#i d2 thì k1.k2  1 D0ng 2 (tham kh/o). Vit ph Phng pháp: B”c 1. Vit ph ng trình tip tuyn c+a  ng trình  d : y  k  x  x1   y1 ng cong (C) i qua i!m A  x1; y1  ng th/ng d i qua i!m A và có h% s góc k B”c 2. Tìm i-u ki%n ! d là tip tuyn c+a  ng cong (C) :  f ( x )  k  x  x1   y1 ng cong (C)   có nghi m.  f ‘  x   k (*) B”c 3. Kh k , tìm x , thay x vào (*) ! tìm k , t$ ó suy ra các tip tuyn cn tìm d tip xúc v#i  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 17 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] B. M – LOGARIT 1. nh ngha và các công thc lu( th*a và m+ a) L+y th*a C s” a S” mE  LuG thIa a Tr ng PTLC Vinschool   n  N* aR a  an  a.a……a (n tha s a)  0 a0 a  a0  1   n ( n  N * ) a0 a  an   m (m  Z , n  N , n  2) n a0   lim rn (rn  Q , n  N * )  a a0 a a n  a m ( n a  b  b n  a) r ng, và  là nhng s th,c tùy ý, ta có (a )  a .  (a  )  a   an a  lim a n 2. Các phép toán: V#i a và b là nhng s th,c d a .a   a   m an 1  a a    b b (ab)  a .b 3. So sánh: Nu a  1 thì a  a      ; Nu 0  a  1 thì a  a      V#i 0 < a < b ta có: am  bm  m  0 ; b) C,n bc n: am  bm  m  0  Khái nim : C7n b*c n c+a a là s b sao cho b n  a .  V#i a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có: n  ab  n a .n b ; Nu n a na  (b  0) ; b nb p q n m  thì a p  aq (a  0) n m n p a p   n a  (a  0) #c bit n n a mn mn a  mn a am anb. - Nu n là s nguyên d ng l8 và a < b thì - Nu n là s nguyên d ng ch6n và 0 < a < b thì n anb. Chú ý: + Khi n l8, m.i s th,c a ch& có mt c7n b*c n. Kí hi%u n a . + Khi n ch6n, m.i s th,c d ng a có úng hai c7n b*c n là hai s i nhau, c7n có giá tr d ng ký hi%u là n a khi n l a an   khi n chn a 2. nh ngha và các công thc lôgarit  n * &nh nghJa : log a b    a  b * Phép toán : V"i a, b > 0; a  1; log a 1  0 ; b1, b2 > 0;  R ta có: log a a  1 ; Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành log a a b  b ; a loga b b t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 18 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool * So sánh: Nu a > 1 thì log a b  log a c  b  c . Nu 0 < a < 1 thì log a b  log a c  b  c * Phép toán: log a (b1b2 )  log a b1  log a b2 b  loga  1   loga b1  loga b2  b2  log a b   log a b * 1i c s" : V#i a, b, c > 0 và a, b  1, ta có: logb c  log a c log a b hay log a b.log b c  log a c log a b  1 log b a loga c  1 loga c (  0)  * Logarit th-p phân: lg b  log b  log10 b n * Logarit [email protected] nhiên (logarit Nepe):  1 ln b  loge b (v#i e  lim  1    2, 718281…… )  n 3. HÀM S- L/Y TH1A * D0ng: y  x ,   R * T-p xác &nh: D  nguyên d ng thì TX là D = R  nguyên âm hoc b1ng 0 thì TX là D = R {0}.  không là s nguyên thì TX là D = (0; +). * 0o hàm : ( x )’   .x 1 ( x  D) . (u )’   .u 1.u ‘ v#i u là hàm h0p. * Tính n iu : trên khong (0 ; +) hàm s ng bin nu >0 và nghch bin nu < 0 . *# th :  Luôn i qua i!m (1; 1)   0  th không có ti%m c*n.  < 0  th có ti%m c*n ngang là tr(c Ox, ti%m c*n ng là tr(c Oy. * Chú ý: Hàm s y   n x   1 xn 1 n n x n 1 không ng nht v"i hàm s y  n x (n  N *) . ( v"i x > 0 khi n ch-n và x 0 khi n l.)  n u   u’ n n u n1 4. HÀM S- M/ * D0ng: y  a x (a > 0, a  1). * T-p xác &nh: * T-p giá tr&: D = R. T = (0; +).   eu   eu .u ‘ * 0o hàm:  e x   e x * Tính n iu:  Khi a > 1 hàm s ng bin trên R.  Khi 0 < a < 1 hàm s nghch bin trên R. * ? th&:  Luôn i qua các i!m (0; 1) ; (1 ; a)   th có ti%m c*n ngang là tr(c Ox. Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành  a x   a x .ln a  au   au .u '.ln a t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 19 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] y y=ax 1 Tr ng PTLC Vinschool y y=ax 1 x a>1 x 0 0, a  1) * T-p xác &nh: D = (0; +). * T-p giá tr&: T = R. * 0o hàm:  ln x   1 x  ln u   u (x 0); u  loga x   x ln1 a (x0)  loga u   u lnu a * Tính n iu:  Khi a > 1 hàm s ng bin trên (0; +).  Khi 0 < a < 1 hàm s nghch bin trên (0; +). * ? th&:  Luôn i qua i!m (1; 0) và (a ; 1).   th có ti%m c*n ng là tr(c Oy. y y O y=logax y=logax 1 O 01 Chú ý : Gi#i hn c bi%t: x 1 x lim x 0 ln(1  x ) 1 x 6. PH23NG TRÌNH M/ b  0 6.1. Ph+ng trình mE c b/n: V#i a > 0, a  1: a x  b    x  log a b 6.2. M t s” ph+ng pháp gi/i ph+ng trình mE a) +a v% cùng c s”: V#i a > 0, a  1: a f ( x )  a g( x )  f ( x )  g( x ) Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 20 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –[email protected] Chú ý: Trong tr)ng hp c s có cha /n s thì: Tr ng PTLC Vinschool a M  a N  (a  1)( M  N )  0 b) Logarit hoá: a f ( x )  b g( x )  f ( x )   log a b  .g( x ) c) ;t Kn ph.:  Dng 1:  Dng 2:  a f (x)  , t  0 , trong ó P(t) là a thc theo t. P (a f ( x ) )  0  t  a P ( t )  0  2 f ( x)   (ab) f (x)  b 2 f (x)  0 Chia 2 v cho b 2 f (x) a , ri t 5n ph( t    b  Dng 3: a f ( x )  b f ( x )  m , v#i ab  1. t t  a f ( x )  b f ( x )  f (x) 1 t d) SL d.ng tính n iu c(a hàm s” Xét ph ng trình: f(x) = g(x) (1)  oán nh*n x0 là mt nghi%m c+a (1).  D,a vào tính ng bin, nghch bin c+a f(x) và g(x) ! kt lu*n x0 là nghi%m duy nh”t:  Nu f(x) ng bin (hoc nghch bin) thì f (u)  f (v)  u  v CMn nhA: +) a>1: Hàm s y  a x ng bin (ngh9a là: Nu x1  x2  a x1  a x2 ) +) 0 0, a  1: log a x  b  x  a b 8.2. M t s” ph+ng pháp gi/i ph+ng trình logarit 8.3. D0ng c b/n D0ng 1: Ph ng trình dng log a f ( x )  log a g( x ); 0  a  1 Ph ng pháp gi!i:  f ( x )  g( x ) loga f ( x )  loga g( x )    g( x )  0 D0ng 2: Ph ng trình dng : log a f ( x )  b Ph ng pháp gi!i: Ph ng trình log a f ( x )  b  f ( x )  a b D0ng 3: Ph ng trình có dng log a f ( x )  log b g( x ) (0  a, b  1) Ph ng pháp gi!i:  f ( x )  at +) loga f ( x )  logb g( x )   t g( x )  b Kh 5n x !  a v- ph ng trình m: 5n t. a   f  x  g x    +) log f  x  g  x   a      f  x  ; g  x   0; f  x   1 D0ng 4: Ph ng trình dng t  loga x +) f  loga x   0  0  a  1    f  t   0 t  loga g  x  +) f  loga g  x    0  0  a  1    f  t   0 8.4. M t s” ph+ng pháp gi/i ph+ng trình mE: a) Ph+ng pháp +a v% cùng c s” Cn nh# các công thc bin i sau: 1. a m n m  a .a n 2. a mn  am 3. a an n  1 an 4. a nx    a x n 5. x n a n  a x 6. a nx  1 a  x n b) Ph+ng pháp lôgarit hoá S d(ng mt s công thc sau: 1. loga  x.y   loga x  loga y 3. log a x   log a x 5. loga b  logc b logc a  x, y  0,0  a  1 2.  x  0, 0  a  1  0  a, c  1, b  0  Chú ý: log a x 2 n  2n loga x 4. log a x loga    log a x  loga y  x , y  0, 0  a  1 y 1 x  loga x x  0,0  a  1,  0  6. loga x    loga x    x  0,0  a  1,   0 x  0 c) Ph+ng pháp ;t Kn ph. Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 22 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com + #t /n ph’ hoàn toàn: Cn nh# mt s công thc sau: log a b  log c b log c a  0  a, c  1, b  0  , loga  x   loga x  Tr ng PTLC Vinschool  x  0,0  a  1,   0 t t  log a x . Mt s công thc bin i + #t /n ph’ không hoàn toàn S d(ng bi%t thc  cho tam thc b*c 2 5n t, trong ó t  log a x ! phân tích thành tích d) Ph+ng pháp sL d.ng tính n iu c(a hàm s” CMn nhA: +) a>1: Hàm s y  log a x ng bin trên R (ngh9a là: Nu 0  x1  x2  log a x1  log a x2 ) +) 0 0 và a, b, c  1: a logb c  c logb a 9. B4T PH23NG TRÌNH LOGARIT: Khi gii các b”t ph ng trình logarit ta cn chú ý tính  n i%u c+a hàm s logarit.  a  1   f ( x )  g( x )  0 loga f ( x )  log a g( x )      0  a  1   0  f ( x )  g( x ) Chú ý: Trong tr)ng hp c s a có cha /n s thì: loga A log a B  0  (a  1)( B  1)  0 ;  0  ( A  1)( B  1)  0 . log a B 10. MT S BÀI TOÁN TH3C T 10.1. LÃI 3N S ti-n lãi ch& tính trên s ti-n gc mà không tính trên s ti-n lãi mà s ti-n gc sinh ra Công thc tính lãi  n : Tn  M 1  r.n  V#i Tn : s ti-n c vn l;n lãi sau n k< hn ; M : s ti-n vn ban u. r : Lãi su"t nh k< ( tính theo % ) Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 23 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool n : s k< hn tính lãi. 10.2. LÃI KÉP S ti-n lãi không ch& tính trên s ti-n gc mà còn tính trên s ti-n lãi do s ti-n gc sinh ra thay i theo t$ng nh k<. a) Lãi kép gLi m t lMn : Công thc tính lãi kép : Tn  M 1  r  n V#i Tn : s ti-n c vn l;n lãi sau n k< hn ; M : s ti-n vn ban u. r : Lãi su"t nh k< ( tính theo % ) n : s k< hn tính lãi. b) Lãi kép, gLi &nh kN : *Trng h%p 1 : Tin c g*i vào cui m i tháng Cui tháng th nht ng)i ó b3t 0u g*i tin : T1 = M Cui tháng th hai ng)ió có s tin là : M(1 + r) + M = M[(1+r) + 1] = M [(1  r )2  1] r M M [(1  r )2  1] (1+r) + M= [(1  r )3  1] r r M Cui tháng th n ng)ió có s tin là : Tn  [(1  r )n  1] r *Trng h%p 2 : Tin c g*i vào 0u m i tháng M Cui tháng th n ng)ió có s tin là : Tn  [(1  r )n  1](1  r ) r c) Vay tr/ góp : Vay A, lãi su"t r, s kì vay n, tr hàng kì : M n M Tn  A 1  r   [(1  r )n  1] r d) TOng l+ng : Kh2i i!m A, t& l% t7ng hàng kì : r, s ln t7ng l ng : n A n Tng ti-n : Tn  [(1  r )n  1] và ti-n l ng 2 kì t7ng l ng th n là Tn  A 1  r  r Cui tháng th ba ng)ió có s tin là : Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 24 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com C. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ NG DNG TÍCH PHÂN I. LÍ THUYT NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN 1. Nguyên hàm c b/n  1  1  ax  b     ax  b  dx   dx 1  ax  b  a ln ax  b  c e ax  b m   dx  ax  b 1  tg  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   c 1 m ax  b  c a ln m 1  cotg  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   c 1 x  arctg  c a a2  x 2 a dx a2  x 2 dx x2  a    1 sin bx dx   ax  b c 2 2 a b sin ax  b   1 cotg  ax  b   c a  1  tg ax  b   c a dx cos2  ax  b  1 a  x 2  a2   ln c a x x x 2  a2 dx b  2 e ax  a sin bx  b cos bx  a2  b2 dx 1 ax  b c 2 c  sin  ax  b   a ln tg c  cos x  ln tan  2  4   C dx x   dx x x 2  a2 dx  x 2 2 a x  a  ln x  x 2  a2  C 2 2  sin x  ln tan 2 dx 2  ln  ax  b  dx   x  a  ln  ax  b   x  c e ax  a cos bx  b sin bx  ax  e cos bx dx  ax   ln x  x 2  a  c dx e  1 a x ln c 2a a  x  sin  ax  b   a ln tg 1 cos  ax  b   c a  sin  ax  b  dx  c dx   1 1 ax  b e c a dx  ng PTLC Vinschool  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c  c ,  1 a   1  Tr C  x 2  a2 dx   x 2 2 a x  a  ln x  x 2  a2  C 2 2 2. Tích phân  Cho hàm s f liên t'c trên K và a, b  K. Nu F là mt nguyên hàm ca f trên K thì: b F(b) – F(a) c g%i l tích phân ca f t* a n b và kí hiu là  b f ( x )dx : a  f ( x )dx  F(b)  F(a) a  i v"i bin s ly tích phân, ta có th ch%n bt kì mt ch4 khác thay cho x, tc là: b  a b b a a f ( x )dx   f (t )dt   f (u)du  ...  F (b)  F(a)  Ý ngha hình h&c: Nu hàm s y = f(x) liên t'c và không âm trên o n [a; b] thì din tích S ca hình thang cong gi"i h n b b5i  th ca y = f(x), tr'c Ox và hai )ng th+ng x = a, x = b là: S   f ( x )dx Thy Nguyn c Th ng 3. Tính ch#t c(a tích phân  0  f ( x )dx  0 0969119789 –thangnd286@gmail.com  0 b  a a f ( x )dx    f ( x )dx b b b b b a a a a    f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx   Nu f(x)  0 trên [a; b] thì b    Tr b b a a  kf ( x )dx  k  f ( x )dx (k: h6ng s) c b a c f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx f ( x )dx  0  Nu f(x)  g(x) trên [a; b] thì a b  a Nu m  f ( x )  M trên [a; b] thì m(b  a)   ng PTLC Vinschool b f ( x )dx   g( x )dx a b  f ( x )dx M (b  a) a 4. Ph+ng pháp tính tích phân b a) Phng pháp !i bin s:  f  u( x ) .u '( x )dx  u( b )  u( a ) a f (u)du trong ó: u = u(x) có  o hàm liên t'c trên K, y = f(u) liên t'c và hàm hp f[u(x)] xác nh trên K, a, b  K. b) Phng pháp tích phân t*ng ph n b Nu u, v là hai hàm s có  o hàm liên t'c trên K, a, b  K thì: b b  udv  uv   vdu a a a Chú ý: – C0n xem l i các ph ng pháp tìm nguyên hàm. b – Trong ph ng pháp tích phân tng ph0n, ta c0n ch%n sao cho  vdu d7 tính h b n a b – Khi tính   udv . a f ( x)dx c0n chú ý xem hàm s y = f(x) có liên t'c trên a; b không ? Nu có thì a áp d'ng ph ng pháp ã h%c  tính tích phân. Nu không kt lun tích phân không tn t i. II. PHNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Ph+ng pháp 1: Tính tích phân bDng ph+ng pháp 1i bin b Dng 1: Gi! s* c0n tính tích phân:  f ( x )dx . Nu f ( x )  f  u( x ) .u '( x ) thì : b  a a f ( x )dx  u( b )  f (u)du u( a ) b Dng 2: Gi! s* c0n tính tích phân:  f ( x )dx . Nhng tính theo d a v hàm lng giác. Ta th)ng g#p các d ng sau:   a 2  x 2 dx 1 dx a2  x 2 #t x  a sin t ho#c #t : x  a cos t ng 1 không c, lúc này ta chuyn Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com a2  x 2 dx 1 dx 2 2 a x 1  2 2 dx a x     #t x  a tan t x 2  a2 dx 1 dx x 2  a2 #t x  n 1 f ho#c #t x  a cos t CÁCH I BIN t t  ax  b ).x n dx t t  x n1  t t  dx x . x x  f  sin x  cos xdx t t  sin x  f  cos x  sin xdx t t  cos x dx  f  tan x   f  cot x   f e x 2 cos x dx 2 sin x   t t  tan x   t t  cot x ;  f  tan x  1  tan2 x dx ;  f  cot x  1  cot 2 x dx  .e dx t t  e x dx x t t  ln x x  f  ln x  ng PTLC Vinschool ho#c #t : x  a cot t DNG  f  ax  b  dx  f (x a sin t Tr  1  1     f  x  x  .  x  x  dx t t  x  1 x Ph+ng pháp 2: Tính tích phân bDng ph+ng pháp tích phân tIng phMn V"i P(x) là a thc /n x, có các d ng sau: b x  P( x ).e dx a  t u  t dv  b  P( x ).cos xdx a b  P ( x ).sin xdx a P(x) P(x) P(x) e x dx cos xdx sin xdx Th t, u tiên t u trong ph b  P( x ).ln xdx a lnx P(x) ng pháp Nguyên hàm t$ng phn: sin x ,cos x Lôgarít  a thc   x e IV. TÍCH PHÂN HÀM HPU TQ Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành (Hàm lng giác) (Hàm m) t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 27 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool - Loi 1: Nu bc ca P(x)  bc ca Q(x) thì ta th&c hin phép chia a thc. - Loi 2: Nu bc ca P(x) < bc ca Q(x) và Q(x) có d ng tích nhiu nhân t* thì ta phân tích f(x) thành t,ng ca nhiu phân thc (b6ng ph ng pháp h s bt nh). Các dng dùng phöông phaùp heä soá baát ñònh thng gp: Dng 1: M;u s có nghi%m  n: P( x ) P( x ) A B    Q( x ) ( x  a)( x  b) x  a x  b P( x ) P( x ) A B C     Q( x ) ( x  a)( x  b)( x  c) x  a x  b ( x  c) Dng 2: M;u s có nghi%m  n và b*c 2 vô nghi%m: P( x ) P( x ) A Bx  C    , vôùi   b 2  4 ac  0 2 2 Q ( x ) ( x  m )(ax  bx  c ) x  m ax  bx  c Dng 3: M;u s có nghi%m bi: P( x ) P( x ) A B    2 2 Q( x )  x  a  x  a x  a P( x ) P( x ) A B C     3 3 2 Q( x )  x  a  x  a  x  a x  a P( x ) P( x ) A B C D      2 2 2 Q( x ) ( x  a) ( x  b) x  a ( x  a) x  b ( x  b )2 P( x ) P( x ) A B C D E       2 3 2 2 Q( x ) ( x  a) ( x  b) x  a ( x  a) x  b ( x  b) ( x  b )3 - Lo0i 3: Mt s nguyên hàm ta dùng ph V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TQ ng pháp i bin hoc t$ng phn  ax  b  + D0ng 1: f  x   R  x , m  cx  d    t:   1 + D0ng 2: f  x   R   ( x  a)( x  b)     t: t  x  a  x  b tm ax  b cx  d + D0ng 3: f  x   R  x , n ax  b , m ax  b   t: t  n.m ax  b + D0ng 4:   a2  x 2 dx 1 dx a2  x 2 #t x  a sin t,  + D0ng 5:   a2  x 2 dx 1 dx a2  x 2 #t x  a tan t ,  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành   t 2 2   t 2 2 hoaëc: x  a cos t, 0  t   hoaëc: x  a cot t, 0  t   t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 28 Thy Nguyn c Th ng + D0ng 6:   + D0ng 7: 0969119789 –thangnd286@gmail.com a x dx ax ax dx a x Tr ng PTLC Vinschool #t x  a cos2t #t x  a   b  a  sin2 t   x  a  b  x dx VI. TÍCH PHÂN HÀM LRNG GIÁC   sin ax.sin bxdx  D0ng 1: Các d0ng:   sin ax.sin bxdx  sin ax.sin bxdx   1  cos a.cos b  2  cos  a  b   cos  a  b    1  Ph+ng pháp gi/i: Dùng công thc bin ,i thành t,ng: sin a.sin b   cos  a  b   cos  a  b  2  sin a.cos b  1 sin  a  b   sin  a  b     2  sin n axdx D0ng 2:   n   cos axdx n  N  + VAi n lS :  sin n axdx   sin n 1 ax.sin axdx   sin n 1 ax.sin axdx    sin2 ax  cos n  n 1 2 .sin axdx    1  cos2 ax  n 1 2 .sin axdx . t : u  cos x axdx . Phân tích nh trên sau ó #t: u  sin x + VAi n chTn: S* d'ng công thc h bc: cos2 ax  1  cos 2ax 1  cos 2ax ; sin 2 ax  2 2 D0ng 3:  sin n ax.cosm axdx (n, m  N) + VAi n lS hay m lS : n lS t u = cosax ; + VAi n và m chTn: S d(ng công thc h b*c: cos2 ax  1  cos 2ax ; 2 sin 2 ax  m lS t u = sinax 1  cos 2ax 1 ; sin x.cos x  sin 2 x 2 2  1   1  cos ax dx D0ng 4:  1  dx  1  cos ax S* d'ng công thc: 1  cos ax  2 cos2 ax ax và 1  cos ax  2 sin 2 2 2 Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 29 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com    sin a  cos a  2 sin  a   4      CMn nhA: sin a  cos a  2 cos  a   4      sin a  cos a   2 cos  a  4     Tr ng PTLC Vinschool  1 dx   D0ng 5:  sin ax .   1 dx  cos ax Ph+ng pháp: 1  sin ax dx    1   n dx D0ng 6:  sin ax   1 dx  cosn ax Ph+ng pháp:   1 n sin ax dx   1 n cos ax 1 sin ax  n 2 2 . 1  cos ax  2  tan n axdx D0ng 7:   n   cot axdx sin ax dx . t u  cos x 1  cos2 ax 1 cos ax cos ax dx . t u  sin x  cos ax dx   2 dx   cos ax 1  sin2 ax 2 sin ax dx   n  N  2 dx   sin ax n 2 2 1 2 sin ax .  dx   1  tan ax 1 2 2 cos ax  2  n 2 2 dx   1  cot ax  . n 2 2 1 sin 2 ax . dx ; t u  tan ax . 1 cos2 ax dx ; t u  cot ax n  N  Ph+ng pháp: + Bin i sao cho tan2 ax làm th$a s chung + Thay : tan2 ax   tan n ax dx   cos2 ax D0ng 8:  n  cot ax dx   sin2 ax D0ng 9: n  N  . 1 cos2 ax 1 Ph+ng pháp: t u  tan ax hoc u  cot ax dx  a.sin x  b.cos x  c Cách 1: Ph ng pháp chung: Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 30 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com  2dt dx   x  1  t2   t : t  tan 2 2 sin x  2t ; cos x  1  t ; tan x  2t  1  t2 1  t2 1- t 2 Cách 2: Ph Tr ng PTLC Vinschool ng pháp riêng: Nu c  a2  b2 . 1 1 1 1   . . a sin x  b cos x  c c 1  cos  x -   2c 2 x    cos 2 a b ; cos   Trong ó : sin   a2  b2 a2  b2 Ta có:  x   dx 1  tan  C c 2  2 x   cos 2 a.sin x  b.cos x D0ng 10:  dx c.sin x  d .cos x Khi ó : I  1 2c  a.sin x  b.cos x B(c.cos x  d .sin x )  A c.sin x  d .cos x c.sin x  d .cos x Sau ó dùng ng nh"t thc tìm A, B. Ph+ng pháp: Phân tích D0ng 11: a.sin x  b.cos x  m  c.sin x  d .cos x  n dx Ph+ng pháp: a.sin x  b.cos x  m B(c.cos x  d .sin x ) C  A  c.sin x  d .cos x  n c.sin x  d .cos x  n c.sin x  d .cos x  n Sau ó dùng ng nh"t thc tìm A, B, C. Phân tích D0ng 12: dx  sin  x  a  sin  x  b  Ta th,c hi%n theo các b #c sau : + B #c 1: S d(ng ng nh"t thc : 1  sin  a  b  sin  a  b   sin  x  a    x  b   a  b + B #c 2: Ta  0c : sin  x  a    x  b   1 dx   sin  x  a  sin  x  b  sin  a  b   sin  x  a  sin  x  b  dx  sin  x  a  cos  x - b   sin  x  b  cos  x - a  1 dx  sin  a  b  sin  x  a  sin  x  b    cos  x  b  cos  x  a   1 dx  dx   sin  a  b   sin  x  b  sin  x  a    sin  x  b  1 1  ln sin  x  b   ln sin  x  a    ln C   sin  a  b  sin  a  b  sin  x  a  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 31 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr * Chú ý: phng pháp trên c+ng %c áp d$ng cho các dng tích phân sau : dx s d(ng ng nh"t thc : 1   cos  x  a  cos  x  b  dx s d(ng ng nh"t thc : 1   sin  x  a  cos  x  b  D0ng 13: ng PTLC Vinschool sin  a  b  sin  a  b  cos  a  b  cos  a  b  . dx  sin x  sin  * Dùng công thc tng thành tích bin i v- dng 12 ri gii bình th ng. * Chú ý : Ph ng pháp trên c:ng áp d(ng cho các dng tích phân sau : dx D0ng 14:  dx dx  cos x  cos ;  sin x  m ;  cos x  m a1 sin2 x  b1 sin x cos x  c1 cos2 x a2 sin x  b2 cos x m 1 . dx . + Bin i :  a1 sin2 x  b1 sin x cos x  c1 cos2 x   A sin x  B cos x  a2 sin x  b2 cos x   C sin2 x  cos2 x + Khi ó:   A sin x  B cos x  a2 sin x  b2 cos x   C  sin2 x  cos2 x  a2 sin x  b2 cos x    A sin x  B cos x   C  Trong ó : sin    b2 a22  b22 dx a2 sin x  b2 cos x C   A cos x  B sin x  D0ng 15:  dx   A cos x  B sin x   2 sin  x    a22  b2 ; cos   a2 a22  b22 C a22  b22 x  C 2 ln tan . dx a sin2 x  b sin x cos x  c cos2 x + Bin i v- dng :  dx 1 2 cos x dx  dx  1  tan2 2 2 a sin x  b sin x cos x  c cos x n   dx  atan x  b tan x  c  cot dt x  dx  1  t  dx  dx  1 t 2 a sin x  b sin x cos x  c cos x + t: t  tan x  dt  + Khi ó  2 2 2 x 2 2 dt 2 at  bt  c . n D0ng 16: A1.1 =   sinx  dx ; A1.2   cosx  dx 1. Công th*c h0 b-c sin 2 x  1  cos 2 x 1  cos 2 x  sin 3 x  3sin x cos3 x  3cos x ; cos2 x  ; sin3 x  ; cos3 x  2 2 4 4 Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 32 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com 2. Ph+ng pháp 2.1. Nu n ch6n thì s d(ng công thc h b*c 2.2. Nu n  3 thì s d(ng công thc h b*c hoc bin i theo 2.3. 2.3. Nu 3  n l8 (n  2p 1) thì th,c hi%n bin i: n A1.1 =   sinx  dx =   sinx  2p+1 dx    sin x  2p Tr ng PTLC Vinschool p sin xdx    1  cos2 x  d  cos x  k p  k p    C p0  C1p cos2 x  ...   1 C pk  cos2 x   ...   1 C pp  cos2 x   d  cos x     1k k  1 p p 2 k 1 2 p 1 1 1 0 3  c     C p cos x  C p cos x  ...   ...  C p cos x C p  cos x  3 2k  1 2p 1   n A1.2 =   cosx  dx =   cosx  2p+1 dx    cos x  2p p cos xdx   1  sin 2 x  d  sin x  k p  k p   C p0  C1p sin2 x  ...   1 C pk  sin2 x   ...   1 C pp  sin2 x   d  sin x     1k k  1 p p 2 k 1 2 p 1 1 0 1 3 c C p  sin x  C p  sin x   C p sin x  C p sin x  ...   ...  3 2k  1 2 p 1   D0ng 17: B =  sin m x cosn x dx (m, nN) 1. Ph+ng pháp: 1.1. Trng h%p 1: m, n là các s nguyên a. Nu m ch6n, n ch6n thì s d(ng công thc h b*c, bin i tích thành tng. b. Nu m ch6n, n l8 (n 2p 1) thì bin i: m B =   sinx   cosx  2p+1 m dx    sin x   cos x  2p cos xdx    sin x  m 1  sin 2 x  p d  sin x  k p k p m    sin x  C p0  C1p sin2 x  ...   1 C pk  sin2 x   ...   1 C pp  sin2 x   d  sin x   2 k 1 m 2 p 1 m    m1 1  sin x m 3 k k  sin x  p p  sin x  C p0 sin x c      Cp  ...  1 C p  ...  1 C p m 1 m3 2k  1  m 2 p  1  m   c. Nu m ch6n, n l8 (n 2p 1) thì bin i: B =   sinx  2p+1 p  cosx n dx    cos x n  sin x 2 p sin xdx     cos x n 1  cos2 x  d  cos x  k p k p n     cos x  C p0  C1p cos2 x  ...   1 C pk  cos2 x   ...   1 C pp  cos2 x   d  cos x   2 k 1 n 2 p 1 n  n3   cos x n1 k k  cos x  p p  cos x  0 1  cos x   c      Cp  Cp  ...  1 C p  ...  1 C p n 1 n3 2k  1  n 2 p  1  n   d. Nu m l8, n l8 thì s d(ng bin i 1.2. hoc 1.3. cho s m: l8 bé h n. 1.2. Nu m, n là các s h6u t7 thì bin !i và t u  sinx ta có: m B   sin x cos xdx    sin x   cos2 x  m n • Tích phân (*) tính  0c  1 trong 3 s n1 2 cos xdx   u 1  u2  m m 1 2 du (*) m  1 n 1 m  k ; ; là s nguyên 2 2 2 n n D0ng 18: C3 .1 =   tg x  dx ; C3 . 2 =   cotg x  dx (nN) 1. Công th*c sL d.ng Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 33 Thy Nguyn c Th ng  1  tg  0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool dx   d  tg x   tg x  c cos2 x dx   d  cotg x    cotg x  c •  1  cotg2 x dx   sin2 x sin x d  cos x  •  tg xdx   dx      ln cos x  c cos x cos x cos x d  sin x  •  cotg xdx   dx    ln sin x  c sin x sin x • 2 x dx     D0ng 19: D 4 .1 =   tg x m  cos x n dx ; D 4 . 2 =  1. Ph+ng pháp: Xét i di%n D4.1    cotg x m dx  sin x n  tg x m  cos x n dx 1.1. Nu n ch8n (n  2k) thì bin !i: D 4.1 =   tgx m  cosx 2k m 1  dx    tg x     cos2 x  k 1 dx cos2 x    tg x  m 1  tg2 x  k 1 d  tg x  1 p k 1  m    tg x  Ck01  Ck11 tg2 x  ...  Ckp1 tg2 x  ...  Ckk11 tg2 x  d  tg x  m 1 m 3 m  2 p 1 m  2 k 1 0  tg x  1  tg x  p  tg x  k 1  tg x   Ck 1  Ck 1  ...  Ck 1  ...  Ck 1 c m 1 m3 m  2p 1 m  2k  1       1.2. Nu m l9, n l9 (m  2k 1, n  2h 1) thì bin !i: D 4 .1 =   tgx 2k+1  cosx 2h+1 dx    tg x  k  1   1     1   2  cos x   cos x  2h 2k  1     cos x  2h tg x dx   tg2 x cosx  k  1  2 2h d     u  1 u du  cos x   k  1     cos x  (2 ây u  2h sin x cos2 x dx 1 ) cos x k k 1 k p   p k   u2 h Ck0  u2   Ck1  u 2   ...   1 Ckp  u2   ...   1 Ckk  du  Ck0 p k u 2 k  2 h 1 u 2 k  2 h 1 u 2 k  2 h 2 p 1 u 2 h 1  Ck1  ...   1 Ckp  ...   1 Ckk c 2k  2 h  1 2k  2h  1 2k  2h  2 p  1 2h  1 1.3. Nu m ch8n, n l9 (m  2k, n  2h  1) thì s: d$ng bin !i: D4.1   D4.1    tg x 2k  cos x  2 h 1 dx   u2 k du 1  u2 k h1   sin x 2 k cos x  cos x  2 k  h 1 dx   u2 k 2 1  1  u2   1  u2 k  h1  sin x 2 k 1  sin x  du   2 k  h 1 u2 k 2 du 1  u2 k h1 d  sin x  ;  u  s inx   u2 k 2 du 1  u2 k  h H% thc trên là h% thc truy hi, kt h0p v#i bài tích phân hàm phân thc hu t& ta có th! tính  0c D4.1. D0ng 20: SL d.ng công th*c bin 1i tích thành t1ng 1. Ph+ng pháp: Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 34 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr E5.1    cos mx  cos nx  dx  1   cos  m  n  x  cos  m  n  x  dx 2 1 E5.2    sin mx  sin nx  dx    cos  m  n  x  cos  m  n  x  dx 2    E5.3   sin mx cos nx dx  1  sin  m  n  x  sin  m  n  x  dx 2    E5.4   cos mx sin nx dx  1  sin  m  n  x  sin  m  n  x  dx 2 VI. TÍCH PHÂN HÀM CÓ CHA TR4 TUYT  I ng PTLC Vinschool b D0ng 1: Gi s cn tính tích phân I   f ( x ) dx , ta th,c hi%n các b #c sau: a + B+Ac 1. L*p bng xét d"u (BXD) c+a hàm s f(x) trên on [a; b], gi s f(x) có BXD: x f ( x) x1 a 0  b x1 a a + B+Ac 2. Tính I   f ( x ) dx   b x2  0 f ( x )dx  x2  x1  f ( x )dx  b  f ( x )dx . x2 b D0ng 2: Gi s cn tính tích phân I    f ( x )  g( x )  dx , ta th,c hi%n: a b b b a a a Cách 1. Tách I    f ( x )  g( x )  dx   f ( x ) dx   g( x ) dx ri s d(ng dng 1 2 trên. Cách 2. B+Ac 1. L*p bng xét d"u chung c+a hàm s f(x) và g(x) trên on [a; b]. B+Ac 2. D,a vào bng xét d"u ta b3 giá tr tuy%t i c+a f(x) và g(x). b b a a D0ng 3: ! tính các tích phân I   max  f ( x ), g( x ) dx và J   min  f ( x ), g( x ) dx , ta th,c hi%n các b #c sau: B+Ac 1. L*p bng xét d"u hàm s h( x )  f ( x )  g( x ) trên on [a; b]. B+Ac 2. + Nu h( x )  0 thì max  f ( x ), g( x )  f ( x) và min  f ( x ), g( x )  g( x ) . + Nu h( x )  0 thì max  f ( x), g( x )  g( x ) và min  f ( x ), g( x )  f ( x ) . VII. TÍCH PHÂN MT S HÀM UC BIT 1. Cho hàm s y  f ( x) liên t(c và l8 trên on a; a  . Khi ó: I  2. Cho hàm s y  f ( x) liên t(c và ch6n trên on  a; a  . Khi ó Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành a  f ( x )dx  0 . a I a  a a f ( x )dx  2  f ( x )dx . t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni 0 Page 35 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com 3. Cho hàm s y  f ( x) liên t(c và ch6n trên on  :   . Khi ó:   4. Cho f(x) liên t(c trên on  0;  .Khi ó:  2 5. Hàm s f ( x) liên t(c trên  a; b  Khi ó:  2  f (sin x )dx  0  2  Tr    ng PTLC Vinschool 1  dx   f ( x )dx 2  ax  1 f (x) f (cos x )dx . 0 b b a a  f ( x )dx   f (a b x )dx b abb 6. Hàm s f ( x) liên t(c trên  a; b  tho mãn: f ( x )  f (a  b  x ) thì  xf ( x )dx  f ( x )dx 2 a a Nh-n xét : B1ng cách làm t ng t, ta có các công thc *Nu f(x) liên t'c trên 0;1 thì *Nu f(x) liên t'c trên  0;1 thì        xf (sin x )dx  f (sin x )dx 2  2   xf (cos x )dx   2    f (cos x )dx  VIII. NG DNG CA TÍCH PHÂN 1. Din tích hình phVng D0ng 1: Cho hàm s y  f  x  liên t(c trên  a; b  . Khi ó di%n tích hình ph/ng gi#i hn b2i  th hàm s y  f  x  , tr(c Ox ( y  0 ) và hai  ng th/ng x  a và x  b là: b S   f ( x ) dx a xb (C) : y  f ( x) y xa O y0 a x b Phng pháp gii: B c 1. Lp b!ng xét du hàm s y  f ( x) trên o n  a; b  . b B c 2. D&a vào b!ng xét du tính tích phân :  f ( x ) dx . a b Chú ý: có 2 cách tính tích phân  f ( x ) dx a Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 36 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr b + Cách 1: Nu trên on  a; b  hàm s f  x  không i d"u thì:  a ng PTLC Vinschool f ( x ) dx  b  f ( x )dx a + Cách 2: L*p bng xét d"u hàm s f  x  trên on  a; b  ri kh tr tuy%t i. D0ng 2: Cho hàm s x  f  y  liên t(c trên  a; b  . Khi ó di%n tích hình ph/ng gi#i hn b2i  th hàm s x  f  y  , tr(c Oy ( x  0 ) và hai  ng th/ng y  a và y  b là: b S   f ( y) dy a y yb (C ) : x  f ( y ) b x0 ya a x O 2. Din tích hình phVng D0ng 1: Cho 2 hàm s y  f  x  và y  g  x  liên t(c trên  a; b  . Khi ó di%n tích c+a hình ph/ng (H) gi#i hn b2i  th hai hàm s y  f  x  và y  g  x  và hai  ng th/ng x  a và x  b là: b S   f ( x )  g( x ) dx a y xa (H ) O xb (C1 ) : y  f ( x) (C2 ) : y  g ( x ) x a b Phng pháp gii: B c 1. Lp b!ng xét du hàm s f  x   g  x  trên o n  a; b  . b B c 2. D&a vào b!ng xét du tính tích phân  f ( x )  g( x ) dx . a D0ng 2: Cho hai hàm s y  f  x  và y  g  x  liên t(c trên  a; b  . Di%n tích hình ph/ng gi#i hn b2i các  ng y  f  x  và y  g  x  là: S  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành   f ( x )  g( x ) dx .  t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 37 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng trình f  x   g  x  Trong ó  ,  là nghi%m nh3 nh"t và l#n nh"t c+a ph ng PTLC Vinschool  a      b Phng pháp gii: B c 1. Gi!i ph ng trình f  x   g  x   0 . Gi! s* ta tìm c  ,  là nghim nh( nht và l"n nht ca ph ng trình  a      b  . B c 2. Lp b!ng xét du hàm s : f  x   g  x  trên o n  ;   .   B c 3. D&a vào b!ng xét du tính tích phân: f ( x )  g( x ) dx .  D0ng 3: Cho hai hàm s x  f  y  và x  g  y  liên t(c trên  a; b  . Khi ó di%n tích c+a hình ph/ng (H) gi#i hn b2i  th hai hàm s x  f  y  và x  g  y  và hai  ng th/ng y  a và y  b là: b S   f ( y )  g( y ) dy y a (C 2 ) : x  g ( y ) yb b (H ) ya a x O (C1 ) : x  f ( y ) Phng pháp gii: B c 1. Lp b!ng xét du hàm s f  y   g  y  trên o n  a; b  . b  B c 2. D&a vào b!ng xét du tính tích phân f ( y )  g( y ) dy . a D0ng 4: Cho hai hàm s x  f  y  và x  g  y  liên t(c trên  a; b  . Di%n tích hình ph/ng gi#i hn b2i các  ng x  f  y  và x  g  y  là: S    g1(y)  g2 (y) dy .  Trong ó  ,  là nghi%m nh3 nh"t và l#n nh"t c+a ph ng trình f  y   g  y   a      b Phng pháp gii: B c 1. Gi!i ph ng trình f  y   g  y   0 . Gi! s* ta tìm c  ,  là nghim nh( nht và l"n nht ca ph ng trình  a      b  . B c 2. Lp b!ng xét du hàm s : f  y   g  y  trên o n  ;   .  B c 3. D&a vào b!ng xét du tính tích phân:  f ( y )  g( y ) dy .  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 38 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool D0ng 5: khi tính din tích giAi h0n 3 hàm s" trW lên thì ph+ng pháp chung là vX ? th& r?i d@a vào ? th& Y tính. Cách tính gi i hn ca 3 hàm s: Cho 3 hàm s y  f  x  , y  g  x  và y  h  x  liên t(c trên  a; b  . Khi ó di%n tích c+a hình ph/ng (H) gi#i hn b2i  th 3 hàm s y  f  x  , y  g  x  và y  h  x  là: S V#i: x2 x3 x1 x2  f  x   g  x  dx   h  x   g  x  dx + x1 là nghi%m ph ng trình: f  x   g  x  + x2 là nghi%m ph ng trình: f  x   h  x  + x 3 là nghi%m ph ng trình: h  x   g  x  Trong ó: a  x1  x2  x3  b Tóm l0i khi gi/i toán ta th+=ng g;p các d0ng sau:  y  f (x) b  1. Di n ;ch S ca mi n gi i hn:  y  0  S   f ( x ) dx  x  a; x  b a   y  f (x) b  2. Di n ;ch S ca mi n gi i hn:  y  g( x )  S   f ( x )  g( x ) dx  x  a; x  b a   x  f ( y) b  3. Di n ;ch S ca mi n gi i hn:  x  g( y)  S   f ( y )  g( y ) dy  y  a; y  b a  Chú ý: 1. ! tính di%n tích S ta phi tính tích phân (1) , mun v*y ta phi “phá” d"u giá tr tuy%t i .   b b a a b b a a Nu f ( x)  0 , x  a ; b thì S   f ( x ) dx   f ( x )dx Nu f ( x)  0 , x  a ; b thì S   f ( x ) dx     f ( x )  dx  Mun “phá” d"u giá tr tuy%t i ta phi xét d"u c+a bi!u thc f(x) . Th ng có hai cách làm nh sau : -Cách 1: Dùng nh lí “d"u c+a nh thc b*t nh"t” , nh lí “d"u c+a tam thc b*c hai” ! xét d"u các bi!u thc f(x) ; ôi khi phi gii các b"t ph ng trình f(x) 8 0 , f(x) 9 0 trên on a ; b -Cách 2: D&a vào  th ca hàm s y =f(x) trên o n a ; b ! suy ra d"u c+a f(x) trên on ó . Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 39 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool  Nu trên on [a ; b]  th hàm s y = f(x) n1m phía “trên” tr(c hoành thì  f ( x )  0 , x  a ; b  Nu trên on [a ; b]  th hàm s y = f(x) n1m phía “d #i” tr(c hoành thì f ( x )  0 , x  a ; b b b a a -Cách 3 Nu f(x) không i d"u trên [a ; b] thì ta có : S   f ( x ) dx   f ( x )dx 2. Nu ph ng trình f(x) = 0 có k nghi%m phân bi%t x1 , x2 , …, xk thuc (a ; b) thì trên m.i khong (a ; x1 ) , (x1 ; x2) , …, (xk ; b) bi!u thc f(x) có d"u không i . b Khi ó ! tính tích phân S   f ( x ) dx ta có th! tính nh sau : a b x1 a a S   f ( x ) dx   f ( x )dx  x2  f ( x )dx  ...  x1 b  f ( x )dx xk 2. Tính thY tích kh"i tròn xoay khi quay hình phVng quay quanh tr.c Ox, Oy D0ng 1: Th! tích c+a v*t th! tròn xoay khi cho hình ph/ng gi#i hn b2i các  ng y  f  x  , tr(c Ox b và hai  2 ng th/ng x  a và x  b  a  b  quay xung quanh tr(c Ox là: VOx     f  x   dx . a xb (C ) : y  f ( x) y xa O Chú ý: Hàm s y  f  x   0 a x y0 b x  a; b và liên t(c trên on  a; b  . D0ng 2: Th! tích c+a v*t th! tròn xoay khi cho hình ph/ng gi#i hn b2i các  ng x  f  y  , tr(c Oy b và hai  2 ng th/ng y  a và y  b  a  b  quay xung quanh tr(c Oy là: VOy     f  y   dy . a y b x0 a yb (C ) : x  g ( y) ya x O Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 40 Thy Nguyn c Th ng Chú ý: Hàm s x  f  y   0 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool y  a; b và liên t(c trên on  a; b  . D0ng 3: Cho hai hàm s y  f  x  và y  g  x  liên t(c, cùng d"u trên on  a; b  . Hình ph/ng gi#i hn b2i  th c+a các hàm s trên và hai  ng th/ng x  a và x  b  a  b  quay xung quanh b 2 2 tr(c Ox to nên mt khi tròn xoay có th! tích là: VOx     f  x     g  x   dx a D0ng 4: Cho hai hàm s x  f  y  và x  g  y  liên t(c, cùng d"u trên on  a; b  . Hình ph/ng gi#i hn b2i  th c+a các hàm s trên và hai  ng th/ng y  a và y  b  a  b  quay xung quanh b 2 2 tr(c Ox to nên mt khi tròn xoay có th! tích là: VOy     f  y     g  y   dx a Tóm l0i khi gi/i toán ta th+=ng g;p các d0ng sau:  y  f (x)  1. Th tích ca khi tròn xoay sinh ra khi quay min gi"i h n các )ng sau:  y  0 quanh Ox  x  a; x  b  b mt vòng là : VOx    f 2  x .dx . a  y  f (x)  2. Th tích ca khi tròn xoay sinh ra khi quay min gi"i h n các )ng sau:  y  g( x ) quanh Ox  x  a; x  b  b mt vòng là : VOx    f 2  x   g2  x  .dx . a  x  f ( y)  3. Th tích ca khi tròn xoay sinh ra khi quay min gi"i h n các )ng sau:  x  0 quanh Oy  y  a; y  b  b mt vòng là : VOy    f 2  y .dy . a  x  f ( y)  4. Th tích ca khi tròn xoay sinh ra khi quay min gi"i h n các )ng sau:  x  g( y) quanh Oy  y  a; y  b  b mt vòng là : VOy    f 2  y   g 2  y  .dy . a Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 41 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com D. S PHC 1. Các &nh nghJa, công th*c, tính ch#t s" ph*c: 1.1. nh ngha s phc Tr ng PTLC Vinschool M.i bi!u thc dng a  bi , trong ó a, b  , i 2  1  0c gi là mt s" ph*c i v#i s phc z  a  bi , ta nói a là phMn th@c, b là phMn /o c+a z . T*p h0p các s phc kí hi%u là  . Chú ý:  M.i s th,c a  0c coi là mt s phc v#i phn o b1ng 0: a  a  0i  Nh v*y ta có    .  S phc bi v#i b  0c gi là s" thuMn /o ( hoc s" /o)  S 0  0c gi là s v$a th,c v$a o; s i  0c gi là n v& /o. 1.2. S phc bn hình h&c ca s phc i!m M(a; b) trong mt h% tr(c ta  vuông góc c+a mt ph/ng  0c gi là iYm biYu diZn s” ph*c z  a  bi . 1.5. Môun ca s phc  Gi s s phc z  a  bi  0c bi!u din b2i M(a; b) trên mt ph/ng ta .  dài c+a vect OM  0c gi là môun c(a s” ph*c z và kí hi%u là | z | .  V*y: | z || OM | hay | z | a2  b2 . Nhn xét: | z ||  z || z | . 2. C ng, trI, nhân, chia hai s” ph*c 2.1. Phép c”ng và phép tr* Phép cng và phép tr$ hai s phc  0c th,c hi%n theo quy t c cng, tr$ hai a thc. Tng quát: (a  bi )  (c  di)  (a  c)  (b  d )i (a  bi )  (c  di)  (a  c)  (b  d )i 2.2. Phép nhân Phép nhân hai s phc  0c th,c hi%n theo quy t c nhân a thc ri thay i2  1 trong kt qu nh*n  0c. Tng quát: (a  bi).(c  di)  (ac  bd )  (ad  bc)i. Chú ý:  Phép cng và phép nhân các s phc có y + các >nh ch”t c+a phép cng và phép nhân các s th,c.  Cho s phc z  a  bi , a, b  , i 2  1 . Ta có: z  z  2a ; z.z | z |2 . Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 42 Thy Nguyn c Th ng 2.3. Phép chia hai s phc V#i a  bi  0 , ! >nh th 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool c  di , ta nhân c t và m;u v#i s phc liên h0p c+a a  bi a  bi ng c  di (c  di)(a  bi) ac  bd ad  bc i.    a  bi (a  bi)(a  bi) a2  b2 a2  b2 2.4. Các tính ch?t c n nh C( th!: Cho s phc z  a  bi , a, b  , i 2  1  Tính ch?t 1: S phc z là s th,c  z  z  Tính ch?t 2: S phc z là s o  z   z  Cho hai s phc z1  a1  b1i; z2  a2  b2i; a1 , b1 , a2 , b2   ta có:  Tính ch?t 3: z1  z2  z1  z2  Tính ch?t 4: z1.z2  z1.z2 z  z  Tính ch?t 5:  1   1 ; z2  0  z2  z2  Tính ch?t 6: | z1.z2 || z1 | . | z2 |  Tính ch?t 7: z1 z2  | z1 | | z2 | ; z2  0  Tính ch?t 8: | z1  z2 |  | z1 |  | z2 | 3. COn b-c hai c(a m t s” ph*c Phng pháp: Cho s phc w = a + bi . Tìm c7n b*c hai c+a s phc này. +) Nu w = 0  w có mt c7n b*c hai là 0 +) Nu w = a > 0 (a  R)  w có hai c7n b*c hai là a và – a +) Nu w = a < 0 (a  R)  w có hai c7n b*c hai là i a và i  a +) Nu w = a + bi (b  0) 2  2 Gi s z = x +yi (x, y thuc R) là mt c7n b*c hai c+a w  z2 = w  (x+yi)2 = a + bi   x  y  a 2 xy  b ! tìm c7n b*c hai c+a w ta cn gii h% này ! tìm x, y. M.i cp (x, y) nghi%m úng ph trình ó cho ta mt c7n b*c hai c+a w. Chú ý: Có r"t nhi-u cách ! gii h% này, sau ây là hai cách th ng dùng ! gii. Cách 1: S d(ng ph ng pháp th: Rút x theo y t$ ph ng trình (2) th vào pt (1) ri bin i thành ph ng trình trùng ph ng ! gii. Cách 2: Ta bin i h% nh sau:  2 2 2  a2  x 2  y2  a  x y  2 2 2 x  y  a     x 2  y 2  a 2  b2   2 xy   b2  2 xy  b 2 xy  b  xy  b / 2     ng  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 43 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 2 2 T$ h% này, ta có th! gii ra x và y mt cách d dàng, sau ó kt h0p v#i i-u ki%n xy=b/2 ! xem xét x, y cùng d"u hay trái d"u t$ ó chn  0c nghi%m thích h0p. Nh*n xét: M.i s phc khác 0 có hai c7n b*c hai là hai s i nhau. 4. Ph+ng trình b-c hai vAi h s" th@c 4.1.Công thc nghi m ca phng trình bc hai Xét ph ng trình b*c hai: Az2  Bz  C  0 ( A, B, C là các s th,c, A  0) có   B2  4 AC  Nu   0 thì ph ng trình có 2 nghi%m th,c phân bi%t z   Nu   0 thì ph ng trình có nghi%m kép th,c z  B   2A B 2A  Nu   0    i 2 ( ) thì ph ng trình có 2 nghi%m phc phân bi%t  B  i  2A  Chú ý : Khi A, B, C là các s phc z B 2A    0 thì ph ng trình có nghi%m kép th,c z     0 thì ph ng trình (1) có hai nghi%m phân bi%t z1 = B   B   , z2 = 2A 2A (trong ó  là mt c7n b*c hai c+a ). 4.2. Chú ý  Ph ng trình b*c hai trên t*p h0p s phc v#i h% s th,c luôn có 2 nghi%m là 2 s phc liên h0p.  Khi b là s ch6n ta có th! >nh  ‘ và công thc nghi%m t ng t, nh trong t*p h0p s th,c. 2  Gi z1, z2 là 2 nghi%m c+a ph ng trình az  bz  c  0 (a  0) a, b, c là các s th,c ho7c s  b  z1  z2  a phc. Khi ó ta có:   z .z  c  1 2 a Dng 1. Th’c hi n các phép tính trên tp h%p s phc. xác nh ph n th’c, ph n áo và tính môun ca m”t s phc Ph+ng pháp  S* d’ng các qui t3c cng, tr, nhân, chia s phc  tính toán giá tr các biu thc.   xác nh ph0n th&c, ph0n !o và môun ca s phc z thì ta ph!i s* d’ng các khái nim liên quan n s phc và các phép toán trên tp hp s phc  bin ,i s phc z  a  bi(a; b  ) . Khi ó: z có ph0n th&c b6ng a; ph0n !o b6ng b; z  a2  b 2  Trong khi tính toán v s phc ta có th s* d’ng các h6ng +ng thc áng nh” nh trong s th&c. 2. Tìm s phc th@a mãn i u ki n cho tr c Ph+ng pháp  Nu trong iu kin  bài ch có duy nht mt kí hiu z ho#c z thì ta quy v bài toán th&c hin phép :nh.  Nu trong iu kin  bài có nhiu h n mt kí hiu z ho#c z ho#c có kí hiu môun ta gi!i theo ph ng pháp sau:  G%i z  a  bi , a, b  . Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 44 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool  S* d’ng gi! thit bài toán và khái nim v s lp h hai ph ng trình v”i hai /n a,b  Gi!i h ph ng trình lp c trên tp hp s th&c và kt lun. 3. Gii phng trình trên tp h%p s phc Ph+ng pháp gi/i ph+ng trình az2  bz  c  0 (a  0)  Tính   b 2 4ac  D&a vào giá tr ca   xác nh công thc nghim . 4. Bi=u di>n hình h&c s phc. tìm tp h%p i=m bi=u di>n s phc th@a mãn i u ki n cho tr c Ph+ng pháp  G%i z  x  yi (x, y  R)  M(x; y) biu di7n cho s phc z trong m#t ph+ng to .  D&a vào d4 kin bài toán, thit lp mi liên h gi4a x và y  D&a vào mi liên h ó,  kt lun tp hp im trong m#t ph+ng biu di7n cho s phc z . 5. Tìm s phc có hình bi=u di>n cho tr c Ph+ng pháp  Tìm to  im M (ph’ thuc tham s) biu di7n cho s phc z trên m#t ph+ng to .  Cho M thuc và hình biu di7n ca z , ta tìm c giá tr ca tham s.  Kt lun s phc z c0n tìm. Chú ý: -Ph ng trình  2 a2  b2  c  0 ). Ph 2  x  a    y  b   R 2 hoc x 2  y2  2ax  2by  c  0 2 2 ng trình hình tròn:  x  a    y  b   R 2 ng tròn: – Ph ng trình  ng th/ng: ax  by  c  0, x  x0 , y  y0 – Ph ng trình  ng Elip: x2 a2  y2 b2  1 . Ph ng trình  ng Hypebol: x2 a2  y2 b2 (trong ó 1 – Ph ng trình  ng Parabol: y  ax 2  bx  c, x  ay 2  by  c 6. Tính ch#t liên quan n hình biYu diZn c(a s” ph*c Ph+ng pháp: ! chng minh các i!m bi!u din cho các s phc tho mãn i-u ki%n (T), thông th ng ta làm nh sau  c to  các i!m bi!u din cho các s phc ã cho.  D,a vào i!u ki%n (T), ta qui  0c bài toán v- bài toán hình gii tích trong mt ph/ng. Chú ý: – Nu M 1 , M 2 , M 3 l0n lt biu di7n s phc z1 , z2 , z3 thì:  M 2 M1 biu di7n s phc z1  z2   z  z2  OI (v”i I là trung im M 1M 2 ) biu di7n s phc 1 . Suy ra: 2 OI biu di7n s phc 2 z1  z2 . Do ó, z1  z2  0 thì trung im I ca M1 , M2 trùng v”i O.   z  z2  z3  OG (v”i G là tr%ng tâm M 1M 2 M 3 ) biu di7n s phc 1 . Suy ra: 3 OG biu di7n 3 s phc z1  z2  z3 . Do ó, z1  z2  z3  0 thì tr%ng tâm G ca tam giác M1M 2 M 3 trùng v”i  gc to  O. – Nu z  (a  bi)  R thì im M n6m trên )ng tròn tâm I(a;b) bán kính R. – Nu z1  z2  R thì  dài M1M 2  R – Nu z  k , s phc z tho! mãn z  (a  bi)  R . Khi ó, im biu di7n s phc z.z0 n6m trên 0 )ng tròn I(a;b) bán kính k.R. Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 45 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 7. C’c tr ca s phc Ph+ng pháp : Các bài toán qui v- bài toán tìm giá tr l#n nh”t, giá tr nh3 nh”t c+a hàm mt bin, tìm giá tr l#n nh”t, giá tr nh3 nh”t c+a mt bi!u thc hai bin mà các bin tho mãn i-u ki%n cho tr #c Bài toán: Trong các s phc z tho mãn i-u ki%n T. Tìm s phc z ! bi!u thc P t giá tr nh3 nh”t, l#n nh”t  T$ i-u ki%n T, bin i ! tìm cách rút 5n ri th vào bi!u thc P !  0c hàm mt bin  Tìm giá tr l#n nh”t (hoc nh3 nh”t) tu< theo yêu cu bài toán c+a hàm s mt bin v$a tìm  0c.  S d(ng các b"t /ng thc c bn nh : B"t /ng thc liên h% gia trung bình cng và trung bình nhân, b"t /ng thc Bunhia- Cpxki, b"t /ng thc hình hc.  B"t /ng thc liên quan n s phc: *) z1  z2  z1  z2 *) z1  z2  z1  z2 *) z1  z2  z1  z2 Chú ý: B#t Vng th*c th+=ng g;p: 1. B"t /ng thc Côsi: Cho a1 ,12 ,...an  0 , a1  a2  ...  an n  a1.a2 ...an D"u “=” xy ra khi n a1  a2  ...an  2. B"t /ng thc Bunhiacopski: a1b1  a2 b2  ...an bn D"u “=” xy ra khi:   a 2 2 1   a22  ...  a22 b12  b22  ...  bn2  a a1 a2   ...  n b1 b2 bn 3. B"t /ng thc Mincopski: a  a   b  b  2 1 2 1 2 2  a12  b12  a22  b22 D"u “=” khi a1 b1  0 a2 b2 4. B"t /ng thc tam giác: Cho tam giác ABC, khi ó: AB  BC  AC  AB  BC Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 46 Thy Nguyn c Th ng E. NÓN – TR - CU 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 1. MUT NÓN – HÌNH NÓN 1.1 M;t nón tròn xoay Trong mt ph/ng (P), cho 2  ng th/ng d, 4 c t nhau ti O và chúng to thành góc B v#i 0 < B < 900. Hình tròn xoay to ra khi quay  ng th/ng d xung quanh tr(c 4 v#i góc B không thay i  0c gi là mt nón tròn xoay &nh O (hình 1).  ng th/ng 4 gi là tr(c,  ng th/ng d  0c gi là  ng sinh và góc 2B gi là góc 2 &nh c+a mt nón. 1.2. Hình nón tròn xoay Cho 4OIM vuông ti I . Hình tròn xoay to ra khi quay  ng g"p khúc OMI quanh cnh góc vuông OI gi là hình nón tròn xoay (gi t t là hình nón) (hình 2). +  ng th/ng OI gi là tr(c, O là &nh, OI gi là  ng cao và OM gi là  ng sinh c+a hình nón. + Hình tròn tâm I, bán kính r = IM là áy c+a hình nón. Khi nón tròn xoay là hình to b2i mi-n tam giác OMI quay quanh cnh góc vuông OI 1.3. Công th*c din tích và thY tích c(a hình nón Cho hình nón có chi-u cao là h, bán kính áy r và  ng sinh là ?. Hc sinh cn nh# các công thc: + Mi liên h% h, r, ?: h2  r 2  2 + Di%n tích xung quanh: Sxq=@.r.? + Di%n tích áy (hình tròn): Sñ   .r 2 + Di%n tích toàn phn hình tròn: Stp  Sñ  S xq 1 1 + Th! tích khi nón: Vnoùn  Sñ .h   r 2 h 3 3 h 2 2 + Th! tích khi nón c(t: V  R  r  R.r 3   1.4. Tính ch#t: * Nu c t mt nón tròn xoay b2i mt ph/ng i qua Bnh thì có các tr ng h0p sau xy ra: + Mt ph/ng c t mt nón theo 2  ng sinh ⇒ Thit di%n là tam giác cân. + Mt ph/ng Ap xúc v#i mt nón theo mt  ng sinh. Trong tr ng h0p này, ng i ta gi ó là mt ph/ng Ap di%n c+a mt nón. * Nu c t mt nón tròn xoay b2i mt ph/ng không i qua Bnh thì có các tr ng h0p sau xy ra: + Nu mt ph/ng c t vuông góc v#i tr(c hình nón ⇒ giao tuyn là mt  ng tròn. + Nu mt ph/ng c t song song v#i 2  ng sinh hình nón ⇒ giao tuyn là 2 nhánh c+a 1 hypebol. + Nu mt ph/ng c t song song v#i 1  ng sinh hình nón ⇒ giao tuyn là Thy Nguyn c Th ng 09691197889 –thangnd286@gmail.com Tr 2. HÌNH TR - KH I TR 2.1. M;t tr. tròn xoay + Trong mp(P) cho hai  ng th/ng 4 vàà ? song song nhau, cách nhau mt khong r. Khi quay mp(P) quanh tr(c c nh 4 thì  ng th/ng ? sinh ra mt mt tròn xoay  0c gi là mt tr( ttròn xoay hay gi t t là mt tr(. +  ng th/ng 4  0c gi là tr(c. +  ng th/ng ?  0c gi là  ng sinh. + Khong cách r  0c gi là bán kính c+ +a mt tr(. ng PTLC C Vinschool 2.2. Hình tr. tròn xoay + Khi quay hình ch nh*t ABCD xung quaanh  ng th/ng cha mt cnh, ch/ng hn cnh AB thì  ng g"p khúcABCD to thành mt hình, hình ó  0c gi là hình tr( tròn xoay hay gi t t là hình tr(. +  ng th/ng AB  0c gi là tr(c. + on th/ng CD  0c gi là  ng sinh. nh. +  dài on th/ng AB = CD = h  0c ggi là chi-u cao c+a hình tr(. + Hình tròn tâm A, bán kính r = AD và hình tròn tâm B, bán kính r = BC  0c gi là 2 áy c+a hình tr(. + Khi tr( tròn xoay, gi t t là khi tr(, là phn không gian gi#i hn b2i hình tr( tròn xoay k! c hình tr(. 2.3. Công th*c tính din tích và thY tích h c(a hình tr. Cho hình tr( có chi-u cao là h và bán kín nh áy b1ng r, khi ó: + Di%n tích xung quanh c+a hình tr(: Sxqq = 2@rh 2 + Di%n tích toàn phn c+a hình tr(: Stp=S =Sxq+S=2@rh+2@r + Th! tích khi tr(: V = Bh = @r2h . 2.4. Tính ch#t  Nu c t mt tr( tròn xoay (có bán kính là r ) b2i mt mp   vuông góc v#i tr(c  th hì ta  0c  b kính b1ng r v#i r c:ng chính là bán kính c+a mt tr( ó.  ng tròn có tâm trên  và có bán Nu c t mt tr( tròn xoay (có bán kính là r ) b2i mt mp   không vuông góc v#i trr(c  nh ng c t t"t c các  ng sinh, ta  0c giao tuyn là mt  ng elíp có tr( nh3 b1ng 2r và 2r tr(c l#n b1ng , trong ó  là góc gia tr(c  và mp   v#i 0 0    900 . sin   Cho mp   song song v#i tr(c  cc+a mt tr( tròn xoay và cách  mt khong k . Nu k  r thì mp   c t mt tr( th heo hai  ng sinh  thit di%n là hình ch nh*t. Nu k  r thì mp   Ap xúc v#i mt m tr( theo mt  ng sinh. Nu k  r thì mp   không c t mt tr(. 3. MUT CU – KH I CU 3.1. M;t cMu – Kh"i cMu: &nh nghJa  M;t cMu: S(O; R)  M OM  R  Kh"i cMu: V(O; R)  M OM  R Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com 3.2.V& trí t+ng "i c(a m t iYm "i vAi m;t cMu Tr ng PTLC Vinschool Cho mt cu S  O;R  và mt i!m A b"t kì, khi ó:    Nu OA  R  A  S  O; R  . Khi ó OA gi là bán kính mt cu. Nu   OA và OB là hai bán kính sao cho OA  OB thì on th/ng AB gi là 1  ng kính c+a mt cu. Nu OA  R  A n1m trong mt cu. Nu OA  R  A n1m ngoài mt cu.  Khi cu S  O;R  là t*p h0p t"t c các i!m M sao cho OM  R . B O A A A 3.3. V& trí t+ng "i c(a m;t phVng và m;t cMu Cho mt cu S  O;R  và mt mp  P  . Gi d là khong cách t$ tâm O c+a mt cu n mp  P  và H là hình chiu c+a O trên mp  P   d  OH .  Nu d  R  mp  P  c t mt cu S O;R  theo giao tuyn là  ng tròn n1m trên mp  P  có tâm là H và bán kính r  HM  R2  d 2  R2  OH 2 (hình a).   Nu d  R  mp  P  không c t mt cu S O; R  (hình b) Nu d  R  mp  P  có mt i!m chung duy nh"t. Lúc này, ta gi mt cu S O; R  Ap xúc mp  P  . Do ó, i-u ki%n cn và + ! mp  P  Ap xúc v#i mt cu S O; R  là   d O, mp  P   R (hình c). d Hình a d= Hình b Hình c 3.4. V& trí t+ng "i c(a +=ng thVng và m;t cMu Cho mt cu S  O;R  và mt  ng th/ng  . Gi H là hình chiu c+a O trên  d  OH là khong cách t$ tâm O c+a mt cu n    Nu d  R   không c t mt cu S O; R  . ng th/ng  . Khi ó: Nu d  R   c t mt cu S O;R  ti hai i!m phân bi%t. ng th/ng  và Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool  Nu d  R   và mt cu Ap xúc nhau (ti mt i!m duy nh"t). Do ó: i-u ki%n cn và + !  ng th/ng  Ap xúc v#i mt cu là d  d O,    R . &nh lí: Nu i!m A n1m ngoài mt cu S  O;R  thì:  Qua A có vô s Ap tuyn v#i mt cu S  O; R  .    dài on th/ng ni A v#i các Ap i!m -u b1ng nhau. T*p h0p các i!m này là mt  ng tròn n1m trên mt cu S  O; R  . 3.5. M;t cMu ngo0i [p kh"i a din M;t cMu ngo0i tip Hình a din T"t c các &nh c+a hình a di%n -u n1m trên mt cu Hình tr. Hai  ng tròn áy c+a hình tr( n1m trên mt cu Hình nón Mt cu i qua &nh và  ng tròn áy c+a hình nón a/ Các khái nim c b/n  Tr.c c(a a giác áy: là  ng th/ng i qua tâm  ng tròn ngoi Ap c+a a giác áy và vuông góc v#i mt ph/ng cha a giác áy.  B"t kì mt i!m nào n1m trên tr(c c+a a giác thì cách -u các &nh c+a a giác ó.  +=ng trung tr@c c(a o0n thVng: là  ng th/ng i qua trung i!m c+a on th/ng và vuông góc v#i on th/ng ó.  B"t kì mt i!m nào n1m trên  ng trung tr,c thì cách -u hai u mút c+a on th/ng.  M;t trung tr@c c(a o0n thVng: là mt ph/ng i qua trung i!m c+a on th/ng và vuông góc v#i on th/ng ó.  B"t kì mt i!m nào n1m trên mt trung tr,c thì cách -u hai u mút c+a on th/ng. b/ Tâm và bán kính m;t cMu ngo0i [p hình chóp  Tâm m;t cMu ngo0i [p hình chóp: là i!m cách -u các &nh c+a hình chóp. Hay nói cách khác, nó chính là giao i!m I c+a tr(c )ng tròn ngo i ;p m#t ph+ng áy và m#t ph+ng trung tr&c ca mt c nh bên hình chóp.  Bán kính: là khong cách t$ I n các &nh c+a hình chóp. c/ Cách xác &nh tâm và bán kính m;t cMu c(a m t s" hình a din c b/n  Cách 1: Nu (n – 2) &nh c+a a di%n nhìn hai &nh còn li d #i mt góc vuông thì tâm c+a mt cu là trung i!m c+a on th/ng ni hai &nh ó.  Cách 2: ! xác nh tâm c+a mt cu ngoi tip hình chóp. – Xác nh tr(c  c+a áy ( là  ng th/ng vuông góc v#i áy ti tâm  ng tròn ngoi tip a giác áy). – Xác nh mt ph/ng trung tr,c (P) c+a mt cnh bên. – Giao i!m c+a (P) và  là tâm c+a mt cu ngoi tip hình chóp. D0ng 1: Hình h p ch nh-t, hình l-p ph+ng. A B  Tâm: trùng v#i tâm i xng c+a hình hp ch A nh*t (hình l*p ph ng). D C  Tâm là I , là trung i!m c+a AC ' . I A I  Bán kính: b1ng na  dài  ng chéo hình hp B’ ch nh*t (hình l*p ph ng). C’ D Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni C’ Page 50 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool AC ' . 2 D0ng 2: Hình lOng tr. *ng có áy n i [p +=ng tròn.  Bán kính: R  Xét hình l7ng tr( ng A1 A2 A3 ... An . A1' A2' A3' ... An' , trong ó có 2 áy ng tròn  O  và  O '  . Lúc A1 A2 A3 ... An và A1' A2' A3' ... An' ni Ap  An A1 ó, mt cu ni Ap hình l7ng tr( ng có:  Tâm: I v#i I là trung i!m c+a OO ' .  O A2 A3 I Bán kính: R  IA1  IA2  ...  IAn' . A’n A’1 D0ng 3: Hình chóp có các Bnh nhìn o0n thVng n"i 2 Bnh còn l0i d+Ai 1 góc vuông.   SBC   900 .  Hình chóp S.ABC có SAC S + Tâm: I là trung i!m c+a SC . SC + Bán kính: R   IA  IB  IC . 2  Hình chóp S.ABCD có   SBC   SDC   900 . SAC I I là  c t SA ti M và c t SO ti I  I là tâm c+a mt cu. Bán kính: SM SI   Bán kính là: Ta có: SMI  SOA  SO SA ni Ap  0c trong  ng tròn tâm O . Tâm và bán kính mt cu ngoi Ap hình chóp S.ABC...  0c xác nh nh sau:  T$ tâm O ngoi Ap c+a  ng tròn áy, ta vC  ng th/ng d vuông góc v#i mp  ABC... ti O . Trong mp  d , SA  , ta d,ng  ng trung tr,c  c+a cnh SA C B S  M I D O B C S d M A , c t SA ti M , c t d ti I .  I là tâm mt cu ngoi Ap hình chóp và bán kính R  IA  IB  IC  IS  ...  Tìm bán kính: Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành A C A SM.SA SA2 R  IS    IA  IB  IC  ... SO 2SO D0ng 5: Hình chóp có c0nh bên vuông góc vAi m;t phVng áy. Cho hình chóp S.ABC... có cnh bên SA  áy  ABC... và áy ABC...  A’3 S A + Tâm: I là trung i!m c+a SC . SC + Bán kính: R   IA  IB  IC  ID . B 2 D0ng 4: Hình chóp %u. Cho hình chóp -u S.ABC...  Gi O là tâm c+a áy  SO là tr(c c+a áy.  Trong mt ph/ng xác nh b2i SO và mt cnh bên, ch/ng hn nh mp  SAO  , ta vC  ng trung tr,c c+a cnh SA  O A’2 t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni I O  C B Page 51 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 2  SA  Ta có: MIOB là hình ch nh*t.Xét  MAI vuông ti M có: R  AI  MI  MA  AO    .  2  2 2 2 D0ng 6: Hình chóp khác.  D,ng tr(c  c+a áy.  D,ng mt ph/ng trung tr,c   c+a mt cnh bên b"t kì.       I  I là tâm mt cu ngoi Ap hình chóp.  Chú ý: Bán kính: khong cách t$ I n các &nh c+a hình chóp. - i-u ki%n ! mt hình chóp ni tip mt cu là áy ni tip mt  ng tròn -  ng tròn ngoi Ap mt s a giác th ng gp. Khi xác nh tâm mt cu, ta cn xác nh tr(c c+a mt ph/ng áy, ó chính là  ng th/ng vuông góc v#i mt ph/ng áy ti tâm O c+a  ng tròn ngoi Ap áy. Do ó, vi%c xác nh tâm ngoi O là yu t r"t quan trng c+a bài toán. O O Hình vuông: O là giao i!m 2  O Hình ch nh*t: O là giao i!m ng chéo. c+a hai  D -u: O là giao i!m c+a 2  ng chéo. ng trung tuyn (trng tâm). O O D vuông: O là trung i!m c+a cnh huy-n. D th  ng: O là giao i!m c+a hai ng trung tr,c c+a hai cnh D. - Hình chóp có các cnh bên -u b1ng nhau luôn ni tip mt mt cu. - Các &nh c+a mt hình a di%n luôn nhìn mt on th/ng mt góc vuông thì hình a di%n ó ni tip mt cu, có tâm là trung i!m on th/ng. 3.6. Din ]ch và thY ]ch m;t cMu * Di%n >ch mt cu: SC  4 R2 . 4 * Th! >ch mt cu: VC   R3 . 3 Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 52 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 3.6. M;t cMu n i tip M;t cMu n i tip Hình a din T”t c các mt c+a hình a di%n -u tip xúc v#i mt cu Hình tr. Mt cu tip xúc v#i các mt áy và mi  ng sinh c+a hình tr( Hình nón Mt cu tip xúc v#i mt áy và mi  ng sinh c+a hình nón a) nh ngha 1: mt ph/ng phân giác c+a mt góc là mt ph/ng qua gc và mi i-m n1m trên mt ph/ng -u cách -u 2 tia c+a góc. T ng t, ta c:ng nh ngh9a mt ph/ng phân giác c+a mt góc nh di%n là t*p h0p t”t c các i!m trong không gian sao cho khong cách t$ i!m ó n m.i mt ph/ng c+a nh di%n là nh nhau. b) nh ngha 2: Mt cu ni tip a di%n là mt cu tip xúc t”t c các mt c+a a di%n. Khi ó ta c:ng nói a di%n ngoi tip mt cu. Chú ý:  T”t c các t di%n và t”t c các a di%n -u -u có mt cu ni tip và v#i a di%n -u thì tâm c+a mt cu ni tip trùng v#i tâm c+a mt cu ngoi tip.  Mt l7ng tr( có mt cu ni tip khi và ch& khi l7ng tr( ó là l7ng tr( ng có mt áy là a giác ngoi tip  0c  ng tròn và có chi-u cao b1ng 2 ln bán kính  ng tròn ni tip a giác áy.  Nu chân  ng  ng cao c+a hình chóp cách -u các cnh trong mt áy thì hình chóp có mt cu ni tip.  Nu hình chóp có các mt bên to v#i áy các góc b1ng nhau thì hình chóp có mt cu ni tip. c) Cách xác &nh tâm và bán kính m;t cMu n i tip m t hình chóp * Xác &nh tâm: – D,ng 3 mt ph/ng phân giác c+a góc to b2i hai mt ph/ng (Mt ph/ng cha  ng phân giác c+a mt góc n1m trong mt ph/ng vuông góc v#i giao tuyn c+a hai mt ó) – Tìm i!m chung c+a 3 giao tuyn ( ba giao tuyên không song song) c+a ba mt ph/ng phân giác. Suy ra, tâm mt cu ngoi tip hình chóp c bi t: Nu H là chân  ng cao c+a hình chóp và cách -u các mt bên. Gi I là hình chiu c+a S IH c t SH ti tâm mt cu ni tip hình xung 1 cnh áy. Ta d,ng  ng phân giác c+a góc S chóp. * Xác &nh bán kính Cách 1: Bán kính mt cu ni tip a di%n  0c tính theo công thc r  3V n Trong ó Si là di%n là di%n tích c+a mt th i c+a  Si i 1 a di%n. Cách 2: S d(ng h% thc phân giác: AD là phân giác trong c+a tam giác ABC. Khi ó BD BA  CD CA Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool F. PHNG PHÁP TO  TRONG KHÔNG GIAN OXYZ I. HA TRCC TOD E 1. ng d.ng tích có h+Ang       a cùng ph ng b   a, b   0      b  a.b  0  a         u, v, w không ng ph/ng  u, v  .w  0 () .           u, v, w ng ph/ng u, v  .w  0 () (ba véc t có giá song song hoc n1m trên mt mt   ph/ng).     A, B, C không th/ng hàng(3 &nh c+a mt tam giác)   AB, AC   0 .       A, B, C th/ng hàng   AB, AC   0 .       Bn i!m A, B, C, D ng ph/ng   AB, AC  . AD  0 () (bn i!m n1m trên mt mt   ph/ng).     Bn i!m A, B, C, D không ng ph/ng   AB, AC  . AD  0 () (bn &nh c+a mt t di%n).      Di%n tích hình bình hành: SABCD   AB, AD  ()    2  2   2 1    Di%n tích tam giác: S ABC   AB, AC  () ; S ABC  AB . AC  AB. AC  2     Th! tích khi hp: VABCD . A’B’C ‘ D ‘   AB, AD  .AA ‘ ()   1     Th! tích t di%n: VABCD   AB, AC  .AD ()  6 2. Cho A( x A ; y A ; zA ), B( x B ; yB ; zB )  AB  ( xB  x A ; yB  yA ; zB  zA )         AB   ( x B  x A )2  ( yB  y A )2  ( zB  zA )2  x  xB y A  yB zA  zB  To  trung i!m M c+a on th/ng AB: M  A ; ;  2 2 2    x  xB  xC y A  yB  yC zA  zB  zC  To  trng tâm G c+a tam giác ABC: G  A ; ;  3 3 3   To  trng tâm G c+a t di%n ABCD:  x  xB  xC  xD y A  yB  yC  yD zA  zB  zC  zC  G A ; ;  4 4 4     ABCD là hình bình hành  AB  DC Cho ABC có các chân E, F c+a các   AB  BC. Ta có: FB  .FC AC Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành ng phân giác trong và ngoài c+a góc A c+a ABC trên t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 54 Thy Nguyn c Th ng  0969119789 –thangnd286@gmail.com   Nu M chia on AB theo t& s k ( MA  k MB ) thì ta có : xM   Tr ng PTLC Vinschool x A  kxB y  kyB z  kzB ; yM  A ; zM  A V#i k E 1 1 k 1 k 1 k Cho i!m M(a;b;c). Hình chiu c+a M lên Ox, Oy,Oz, (Oxy), (Oyz), (Oxz) ln l0t là: M1  a;0;0  , M2  0; b; 0  , M3  0;0;c  , M4  a; b; 0  , M5  0; b; c  , M6  a; 0; c   Cho i!m M(a;b;c). i!m i xng v#i i!m M qua Ox, Oy,Oz, (Oxy),(Oyz), (Oxz) ln l0t là:  Cho i!m M(a;b;c). i!m i xng v#i M qua O là M13  a; b; c  .  i!m thuc tr(c Ox, Oy, Oz ln l 0t có to  :  x0 ; 0; 0  ,  0; y0 ; 0  ,  0; 0; z0  . i!m thuc M7  a; b;  c , M8  a; b;  c , M9  a;  b;c , M10  a; b; c  , M11  a; b;c , M12  a; b;c mt ph/ng (Oxy), (Oyz), (Oxz) l 0t có to  là :  x0 ; yo ;0  ,  0; y0 ; z0  ,  x0 ;0; z0  . II. PH23NG TRÌNH MFT CGU – M”t s v?n  tr&ng tâm 2 2 2 1. Phng trình mt c u: Mt cu có tâm I(a; b; c) và bán kính R :  x  a    y  b    z  c   R 2 ng trình mt cu dng khai tri!n:x2 +y2 +z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0, k: a2 + b2 + c2 – d > 0 (2) Ph Tâm I(a; b; c) và bán kính R= a2  b2  c 2  d 2. Chú ý:  2 2  x A  xI    y A  yI    zA  zI  Mt cu có tâm I và qua A thì R = IA = 2 1 AB và tâm I là trung i!m AB 2  Mt cu qua 4 i!m A, B,C, D thì vit ph ng trình mt cu 2 dng (2) ri thay ta  t$ng i!m vào ph ng trình và gii h% ! tìm a, b, c, d. (Hoc ) 3. V trí tng i ca i=m v i mt c u:  Mt cu có   Cho (S) : x  a ng kính AB thì R =    y  b  z  c 2 2 2  R 2 và i!m M ( x0 ; y0 ; z0 ) , Gi I (a; b; c) là tâm mc(S), R là bán kính c+a mt cu.  IM > R i!m M n1m ngoài mt cu (S)  IM < R i!m M n1m trong mt cu (S)  IM = R  i!m M thuc mt cu (S) (Hay Thay ta  i!m M vào PT mt cu th3a mãn) 4. V trí t ng i gi4a hai m#t c0u: Cho hai m#t c0u S1(I1, R1) và S2(I2, R2).  I1I 2  R1  R2  (S1), (S2) trong nhau  I1I 2  R1  R2  (S1), (S2) ngoài nhau  I1I 2  R1  R2  (S1), (S2) tip xúc trong  I1I 2  R1  R2  (S1), (S2) tip xúc ngoài  R1  R2  I1I 2  R1  R2  (S1), (S2) c3t nhau theo mt )ng tròn. 5. V& trí t+ng "i gia m;t phVng và m;t cMu Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 55 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool Cho mt ph/ng. và mt cu ..  x  a    y  b    z  c   R 2 (S) có tâm I  a; b; c  , bán kính R . Gi . 2   d  d I ;    A.a  B.b  C .c  D A2  B2  C 2 2 2 . + Nu d  R    và (S) không giao nhau. + Nu d  R    và (S) tip xúc nhau ti mt i!m H. (   gi là tip di%n c+a mt cu (S)). + Nu d  R    và (S) c t nhau theo giao tuyn là mt  ng tròn (C) có bán kính r  R2  d 2 và có tâm H là hình chiu vuông góc c+a I trên   . Lu ý: ! tìm ta  tâm H c+a  - L*p ph ng trình  ng tròn (C) ta làm nh sau ng th/ng  i qua I và vuông góc v#i   . - Ta  i!m H là nghi%m c+a h% gm ph ng trình c+a  và ph ng trình   . 6. V& trí t+ng "i gia +=ng thVng và m;t cMu  x  x0  at 2 2 2  Cho  ng th/ng th/ng  :  y  y0  bt và mt cu (S):  x  a    y  b    z  c   R 2  z  z  ct 0     u, M I   0   Gi d  d  I ,    , trong ó M0 (x0 ; y0 ; z0 )  , u  (a;b; c) là VTCP c+a   u + Nu d  R   và (S) không có i!m chung + Nu d  R   tip xúc v#i (S) (  là tip tuyn c+a mt cu (S)) + Nu d  R   c t (S) tai hai i!m A, B (  gi là cát tuyn c+a mt cu (S)). III. PH23NG TRÌNH MFT PHHNG  1. Mt ph/ng   i qua i!m M o ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTPT n   A; B; C  có ph ng trình A( x  x0 )  B( y  y0 )  C(z  z0 )  0 Chú ý:   Véc t n  0 vuông góc v#i mt ph/ng    0c gi là VTPT c+a mt ph/ng   .   Véc t u  0 có giá song song hoc n1m trên mt ph/ng    0c gi là VTCP c+a mt ph/ng   .   Nu u, v là hai véc t không cùng ph ng có giá song song hoc n1m trên mt ph/ng   thì    u, v   n là mt VTPT c+a mt ph/ng   .      Nu ba i!m A, B, C không th/ng hàng thì  AB, AC   n là mt VTPT c+a mt ph/ng (ABC).   Các tr)ng hp riêng Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 56 Thy Nguyn c Th ng Các h s" 0969119789 –thangnd286@gmail.com Ph+ng trình m;t phVng () Tr ng PTLC Vinschool Tính ch#t m;t phVng () D=0 Ax  By  Cz  0 () i qua gc to  O A=0 By  Cz  D  0 () // Ox hoc ()  Ox B=0 Ax  Cz  D  0 () // Oy hoc ()  Oy C=0 Ax  By  D  0 () // Oz hoc ()  Oz A=B=0 Cz  D  0 () // (Oxy) hoc ()  (Oxy) +Nu trong ph ng trình ca () không cha /n nào thì () song song ho#c cha tr'c t ng ng. + Ph ng trình m#t ph+ng theo o n ch3n: x y z    1 . () c3t các tr'c to  t i các im (a; 0; a b c 0), (0; b; 0), (0; 0; c) 2. V& trí t+ng "i gia hai m;t phVng Cho   : Ax  By  Cz  D  0 và    : A' x  B' y  C ' z  D'  0 khi ó:         n, n '  0   n, n '  0     .  *            *               0  n ,MM' 0 n ,MM'          *   ,    c t nhau   n, n '  0   Tr)ng hp #c bit: A '.B '.C '.D '  0   n  kn' A B C D +             ' A' B ' C ' D '  D  kD   n  kn' A B C D +             ' A' B ' C ' D '  D  kD   +   và    c t nhau  n  kn'   A : B : C   A' : B ' : C '   +   và    vuông góc v# nhau n.n'  0  AA'  BB'  CC '  0   3. V& trí t+ng "i gia +=ng thVng và m;t phVng  x  x0  at   Cho  ng th/ng  :  y  y0  bt ; M0 ( x0 ; y0 ; z0 )  , VTCP u  (a; b; c) và mt ph/ng  z  z  ct 0     : Ax  By  Cz  D  0 có VTPT n   A; B; C  . ng trình A  x0  at   B  y0  bt   C  z0  ct   D  0 () 5n là t , khi ó  +      ph ng trình (*) vô nghi%m u.n  0, M 0     +      ph ng trình (*) có vô s nghi%m u.n  0, M 0     +  và   c t nhau ti mt i!m  ph ng trình (*) có nghi%m duy nh"t u.n  0   Lu ý:      u  k n Xét ph  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành    t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni   Page 57 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 4. Góc gia +=ng thVng và m;t phVng    ng th/ng  có VTCP u  (a; b; c) và mt ph/ng   có VTPT n  ( A; B; C ) thì  u.n   Aa  Bb  Cc sin ,    cos u, n     ; 00   ,   900 u.n A 2  B 2  C 2 . a2  b2  c 2  5. Góc gia hai m;t phVng Nu mt ph/ng    cos   ,             cos  n, n'       có VTPT n  ( A; B; C ) và mt ph/ng  có VTPT n'  A' ; B ' ; C ' thì   n.n' AA'  BB '  CC '     ; 0 0   ,    90 0 A2  B 2  C 2 . A'2  B '2  C '2 n . n'       6. Kho/ng cách tI m t iYm n m;t phVng Cho i!m M 0 ( x 0 ; y0 ; z0 ) và mp   : Ax  By  Cz  D  0 thì:   d M 0 ;    Ax0  By0  Cz0  D A2  B 2  C 2 7. Kho/ng cách tI +=ng thVng n m;t phVng song song Cho   ng th/ng     : Ax  By  Cz  D  0 , M 0 ( x 0 ; y0 ; z0 ) là mt i!m thuc     d ,     d M 0 ;     Ax0  By0  Cz0  D A2  B 2  C 2 8. Kho/ng cách gia hai m;t phVng song song Cho hai mt ph/ng song song   : Ax  By  Cz  D  0 và    : A' x  B' y  C ' z  D'  0 , khi ó     d   ,     d M 0 ;     A' x0  B ' y0  C ' z0  D '   . trong ó M 0 ( x 0 ; y0 ; z0 ) là mt i!m   A'2  B '2  C '2 9. M t s" d0ng l-p ph+ng trình m;t phVng th+=ng g;p Lp ph ng trình m#t ph+ng () ta c0n xác nh mt i=m thuc () và mt VTPT ca nó.  D0ng 1: () i qua i!m . M  x0 ; y0 ; z0  có VTPT n   A; B;C  : (): A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0      D0ng 2: () i qua i!m M  x0 ; y0 ; z0  có cp VTCP a , b : Khi ó mt VTPT ca () là n   a, b  . D0ng 3: () i qua i!m M  x0 ; y0 ; z0  và song song v#i mt ph/ng (): Ax + By + Cz + D = 0: (): A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 D0ng 4: () i qua 3 i!m không th/ng hàng A, B, C: Khi ó ta có th xác nh mt VTPT ca () là:    n   AB, AC  D0ng 5: () i qua mt i!m M và mt  ng th/ng (d) không cha M:  – Trên (d) ly im A và VTCP u .    – Mt VTPT ca () là: n   AM , u  D0ng 6: () i qua mt i!m M và vuông góc v#i mt  ng th/ng (d): Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 58 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com  VTCP u ca )ng th+ng (d) là mt VTPT ca (). D0ng 7: () i qua 2  ng th/ng c t nhau d1, d2:   – Xác nh các VTCP a , b ca các )ng th+ng d1, d2.    – Mt VTPT ca () là: n   a, b  . Tr ng PTLC Vinschool – Ly mt im M thuc d1 ho#c d2  M  (). D0ng 8: () cha  ng th/ng d1 và song song v#i  ng th/ng d2 (d1, d2 chéo nhau):   – Xác nh các VTCP a , b ca các )ng th+ng d1, d2.    – Mt VTPT ca () là: n   a, b  . – Ly mt im M thuc d1  M  (). D0ng 9: () i qua i!m M và song song v#i hai  ng th/ng chéo nhau d1, d2:   – Xác nh các VTCP a , b ca các )ng th+ng d1, d2.    – Mt VTPT ca () là: n   a, b  . D0ng 10: () i qua mt  ng th/ng (d) và vuông góc v#i mt mt ph/ng ():   – Xác nh VTCP u ca (d) và VTPT n ca ().   – Mt VTPT ca () là: n  u, n  . – Ly mt im M thuc d  M  (). D0ng 11: () i qua i!m M và vuông góc v#i hai mt ph/ng c t nhau (), ():   – Xác nh các VTPT n , n ca () và ().    – Mt VTPT ca () là: n  u , n  . D0ng 12: () i qua  ng th/ng (d) cho tr #c và cách i!m M cho tr #c mt khong k cho tr #c: – Gi! s* () có ph ng trình: Ax  By  Cz+D  0  A2  B 2  C 2  0  . – Ly 2 im A, B  (d)  A, B  () (ta c hai ph ng trình (1), (2)). – T iu kin kho!ng cách d( M ,( ))  k , ta c ph ng trình (3). – Gi!i h ph ng trình (1), (2), (3) (b6ng cách cho giá tr mt /n, tìm các /n còn l i). D0ng 13: () là tip xúc v#i mt cu (S) ti i!m H: – Gi! s* m#t c/u (S) có tâm I và bán kính R.   – Mt VTPT ca () là: n  IH IV. PH23NG TRÌNH 2ING THHNG 1.   ng th/ng  i qua i!m M o ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP u   a; b; c  , khi ó + Ph  x  x0  at  ng trình tham s là:  y  y0  bt ;(t  R) , t gi là tham s.  z  z  ct 0  + Ph ng trình chính t c là: x  x0 y  y0 z  z0   (abc  0) . a b c Chú ý:   Véc t u  0 có giá song song hoc trùng v#i  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành ng th/ng   0c gi là VTCP c+a  t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni ng th/ng  . Page 59 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool Nu hai mt ph/ng   : Ax  By  Cz  D  0 và    : A' x  B' y  C ' z  D'  0 giao nhau thì  Ax  By  Cz  D  0  0c gi là ph ng trình:  ' ' ' ' A x  B y  C z  D  0 trong không gian. 2. V& trí t+ng "i gia hai +=ng thVng h% ph Cho hai  ng th/ng  ng trình tng quát c+a   x  x0  at   ng th/ng  :  y  y0  bt ; M0 ( x0 ; y0 ; z0 )  , VTCP u  (a; b; c)  z  z  ct 0   x  x '  a' t '  0  '  ' ' ' ' ' ' ' '  :  y  y0  b t ; M0 ( x0 ; y0 ; z0 )   , VTCP u'  (a' ; b' ; c' )  z  z'  c't' 0   x  at  x '  a't' 0  0 ' Xét h% ph ng trình  y0  bt  y0  b't' (I ) , khi ó  z  ct  z'  c't ' 0  0   u  ku'  ' , hay h% ph ng trình (I) có vô s nghi%m. +   ' ' M   M    0 0    u  ku'   ' +   '   u  ku và h% (I) vô nghi%m. , hay ' ' M  M     0 0   ' +  và  c t nhau  u  ku' và h% ph ng trình (I) có nghi%m duy nh"t       ' '  hay u, u  .M0 M0  0  .             ' ' hay u , u'  .M0 M0'  0  +  và  chéo nhau  u  ku và h% ph ng trình (I) vô nghi%m           3. Góc gia hai +=ng thVng Nu    ng th/ng  có VTCP u  (a; b; c) và  ng th/ng  ' có VTCP u  (a' ; b' ; c' ) thì   u.u' aa'  bb'  cc' ' cos ,      ; 00  ,  '  900 a2  b2  c 2 . a'2  b'2  c'2 u . u'       4. Kho/ng cách tI m t iYm n m t +=ng thVng Khong cách t$ i!m M  xM ; yM ; zM  n  ng th/ng    x  x0  at u, M M   0     :  y  y0  bt ; M0 ( x0 ; y0 ; z0 )  , VTCP u  (a; b; c) ;  0c tính b2i CT: d  M ,     u  z  z  ct 0  5. Kho/ng cách gia hai +=ng thVng chéo nhau Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 60 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool  Nu  ng th/ng  i qua i!m M 0 ( x 0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP u  (a; b; c) . ng th/ng  ' i qua     u, u'  .M M '    0 0 i!m M 0' ( x '0 ; y '0 ; z' 0 ) và có VTCP u'  (a' ; b' ; c' ) thì d ,  '     u, u'    Lu ý: Khong cách gia hai  ng th/ng song song b1ng khong cách t$ mt i!m n1m trên ng    u' , M M '  0 0   th/ng này n  ng th/ng còn li, ngh9a là d , '  d M0 , '  , M0   .  u'       6. M t s" d0ng l-p ph+ng trình +=ng thVng th+=ng g;p Lp ph ng trình )ng th+ng d ta c0n xác nh mt i=m thuc d và mt VTCP ca nó.  D0ng 1: d i qua i!m M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) :  x  xo  a1t  (d ) :  y  yo  a2 t z  z  a t o 3  ( t  R) D0ng 2: d i qua hai i!m A, B:  Mt VTCP ca d là AB . D0ng 3: d i qua i!m M0 (x0 ; y0 ; z0 ) và song song v#i  ng th/ng  cho tr #c: Vì d //  nên VTCP ca  cch hình hp ch nh*t: V  a.b.c  S1.S2 .S3  2 2 2 ng chéo: l  a  b  c ng V  a3 – Th! >ch khi l*p ph  ng chéo: a 3 – Th tích khi chóp c’t: V  h B  B ‘ B.B ‘ 3  Trong ó: B, B’ là din tích hai áy, h là chiu cao khi chóp c’t (h=OO’) S b. T> s th tích: * Cho khi chóp S.ABC. A’SA, B’SB, C’SC VS . ABC SA.SB.SC B’ A’ C’ C A Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool S * MSC, ta có: M C VS . ABM SA.SB.SM SM   VS . ABC SA.SB.SC SC A B 4. M”t s công thc tính xác nh nhanh tâm và bán kính mt c u ngoi tip khi a di n KiYu hình Tâm Bán kính m;t cMu ngo0i tip T din u c nh a. Tâm O c+a mt cu ngoi tip A n1m trên AH và cách (BCD) a 6 mt khong OH= O 12 B a 6 D R= . H 4 E C T din OABC có OA=a, OB=b,OC=c và OA,OB,OC ôi mt vuông góc. C O n1m trên  ng th/ng d vuông góc mp(ABC) ti trung c i!m H c+a AB và OH= . 2 M O S B H A T di%n SABC có SA=b,SA  (ABC). BC=a c nh, A thay i trên mt ph/ng (ABC) sao cho BAC   . Ta xét hình tr( ngoi tip hình chóp SABC. Khi ó tâm O c+a mt cu ngoi tip hình chóp SABC trùng v#i trung i!m on ni hai tâm c+a hình tròn áy c+a hình tr( T di%n ABCD có tính ch”t AB=CD=a, BC=AD=b,CA=BD=c. M2 rng t di%n ABCD thành hình hp ch nh*t AB1CC1.E1DD1B nh hình vC. D nh*n ra r1ng tâm O c+a mt cu ngoi tip t di%n ABCD chính là tâm c+a hình hp ch nh*t AB1CC1.E1DD1B B1 C A C1 O D1 D E1 B R a 2  b2  c2 2 R b2 .sin 2   4a 2 2sin  R a2  b2  c2 8 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com H. GÓC VÀ KHONG CÁCH Tr ng PTLC Vinschool 1. +=ng thVng vuông góc vAi m;t phVng Phng pháp 1 ! chng minh  ng th/ng d vuông góc v#i mt ph/ng ( ) ta chng minh d vuông góc v#i hai  ng th/ng a, b c t nhau n1m trong ( ) . d  da  db  d  (P) . a, b  (P) a  b  I  a I b  Phng pháp 2 S d(ng tính ch”t: d   , mà   ( ) thì d  ( ) .  d I K  Phng pháp 3 Nu hai mt ph/ng ( ) , ( ) vuông góc v#i nhau và c t nhau theo giao tuyn  ,  ng th/ng nào n1m trong mt ph/ng ( ) mà vuông góc v#i giao tuyn  thì vuông góc v#i mt ph/ng ( ) .  d   Phng pháp 4 Nu hai mt ph/ng phân bi%t cùng vuông góc v#i mt ph/ng th ba thì giao tuyn c+a chúng vuông góc v#i mt ph/ng th ba ó. d    (P )  ( R)  (Q)  ( R)   a  ( R) . (P)  (Q)  a  Thy Nguyn c Th ng Phng pháp 5 0969119789 –thangnd286@gmail.com Nu hai mt ph/ng song song v#i nhau,  góc v#i mt ph/ng kia. Tr ng PTLC Vinschool ng th/ng d vuông góc v#i mt ph/ng này thì nó vuông d   2. Hai m;t phVng vuông góc  Phng pháp 1 Mun chng minh hai mt ph/ng vuông góc v#i nhau ta chng minh mt ph/ng này cha mt  ng th/ng vuông góc mt ph/ng kia. d d  ( )  ( )  ( ) d  ( )   Phng pháp 2 S d(ng tính ch”t:  ( )  ( )   ( )  ( ) . ( )  ( )   d l Phng pháp 3 S d(ng tính ch”t ( )  d , mà d  ( ) hoc d  ( ) thì ( )  ( ) .  d 3. Hai +=ng thVng vuông góc Phng pháp 1 Mun chng minh hai  ng th/ng vuông góc v#i nhau ta chng minh  ng th/ng này vuông góc v#i mt ph/ng cha  ng th/ng kia. d  ( )   d  a. a  ( )  a  Thy Nguyn c Th ng Phng pháp 2 0969119789 –thangnd286@gmail.com Nu  ng th/ng a song song mt ph/ng ( ) , mà  d vuông góc v#i  ng th/ng a . Tr ng PTLC Vinschool ng th/ng d vuông góc mt ph/ng ( ) , thì d a  d  ( )  d  a. a  ( )  4. Góc 4.1 Góc gi6a hai ng thJng Phng pháp B #c 1: Tìm mt i!m O tùy ý (có th! l”y trên  ng th/ng a hoc b ). T$ O d,ng hai tia Oa’ và Ob’ ln l 0t song song v#i a và b  0c góc a ‘ Ob ‘   . B #c 2. Tính s o c+a góc  b1ng các nh lý và tính ch”t c+a hình hc ph/ng hay nh lý côsin. Chú ý: góc gia hai  ng th/ng không l#n h n 900 . a a’ O b’ b 4.2 Góc gia +=ng thVng và m;t phVng Phng pháp ! xác nh góc gia  ng th/ng d và mt ph/ng ( ) ta th,c hi%n nh sau: B #c 1: Xác nh hình chiu vuông góc c+a d xung mt ph/ng ( ) là d ‘ . + Tìm giao i!m O  d  ( ) . + D,ng hình chiu vuông góc c+a A xung ( ) là H (chn  v#i ( ) ). ng th/ng i qua A và vuông góc B #c 2: Góc gia  ng th/ng d và d ‘ là góc  ng th/ng d và mt ph/ng ( ) . Tính s o c+a góc ó b1ng h% thc l 0ng trong tam giác vuông. Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool A H O  4.3 Góc gia hai m;t phVng ! xác nh góc gia hai mt ph/ng ( ) và ( ) ta làm nh sau: Phng pháp 1 Tìm hai  ng th/ng a, b ln l 0t vuông góc v#i hai mt ph/ng ( ) và ( ) . Khi ó góc gia hai  ng th/ng a, b chính là góc gia hai mt ph/ng ( ) và ( ) .  a b a  ( )     (a, b)   ( ),( )  . b  ( )  Phng pháp 2 Xác nh giao tuyn  c+a ( ) và ( ) . L”y i!m I   .Trong ( ) d,ng a   ti I . Trong ( ) d,ng b   ti I . Khi ó góc gia hai  ng th/ng a, b chính là góc gia hai mt ph/ng ( ) và ( ) .  b I a  Phng pháp 3 Xác nh giao tuyn  c+a ( ) và ( ) . Trong ( ) l”y i!m A . D,ng hình chiu H c+a A xung mt ph/ng ( ) . T$ H d,ng HI   . Khi ó góc  AHI là góc gia hai mt ph/ng ( ) và ( ) . Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool  A I b a H  Phng pháp 4 Xác nh giao tuyn  c+a ( ) và ( ) . Chn mt ph/ng ( )   . Tìm các giao tuyn a  ( )  ( ) , b  ( )  ( ) . Khi ó góc gia hai  ng th/ng a, b chính là góc gia hai mt ph/ng ( ) và ( ) .   b a  Phng pháp 5 S d(ng công thc di%n tích hình chiu S ‘  S cos . 5. Kho/ng cách 5.1 Kho/ng cách tI m t iYm n m t +=ng thVng ! tính khong cách t$ i!m M n  ng th/ng  ta cn xác nh  0c hình chiu H c+a i!m M trên  ng th/ng  . i!m H th ng  0c d,ng theo hai cách sau: – Trong mt ph/ng ( M , ) vC MH   . Khi ó: d (M , )  MH . – D,ng mt ph/ng ( ) qua M và vuông góc v#i  ti H . Khi ó: d ( M, )  MH . M  H  5.2 Kho/ng cách tI m t iYm n m t m;t phVng Cho i!m M và mt ph/ng ( ) . Gi H là hình chiu c+a M xung ( ) . Khi ó MH  0c gi là khong cách t$ i!m M n mt ph/ng ( ) . Phng pháp 1 B #c 1: Chn mt ph/ng ( ) qua M và vuông góc v#i ( ) . B #c 2: Xác nh giao tuyn d  ( )  ( ) . Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com B #c 3: Trong mt ph/ng ( ) k8 MH  d . V*y MH  d (M ,( )) . Tr M d  H  Phng pháp 2 Gi s ã bit d ( A,( )) , IM và IA . – Nu AM  ( ) thì d ( M ,( ))  d ( A,( )) . – Nu AM c t ( ) ti I thì d ( M ,( )) IM  . d ( A,( )) IA M M A A H K H  K  5.3 Kho/ng cách gia hai +=ng thVng Khong cách gia hai  ng th/ng  và  ‘ : – Nu  và  ‘ c t nhau hoc trùng nhau thì d (,  ‘)  0 . – Nu  và  ‘ song song v#i nhau thì d (,  ‘)  d ( M ,  ‘)  d ( N , ) M K H N  ’ 5.4 Kho/ng cách gia +=ng thVng và m;t phVng Khong cách gia  ng th/ng  và ( ) : – Nu  c t ( ) hoc  n1m trong ( ) thì d (,( ))  0 . – Nu   ( ) thì d (,( ))  d ( M ,( )) . M  5.5 Kho/ng cách gia hai m;t phVng H  I ng PTLC Vinschool Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Khong cách gia hai mt ph/ng ( ) và ( ) Tr ng PTLC Vinschool – Nu ( ) c t ( ) hoc ( )  ( ) thì d (( ),( ))  0 . – Nu ( )  ( ) thì d (( ),( ))  d (M ,( )) . M  H  5.6 Kho/ng cách gia hai +=ng thVng chéo nhau  ng vuông góc chung c+a hai  ng th/ng chéo nhau  và ’ là  c t ’ 2 N ng th i vuông góc v#i c  và ’ . on MN  0c gi là on vuông góc chung c+a hai  M ng th/ng a c t  2 M và ng th/ng chéo nhau  và ’ .  ’ N Phng pháp 1 Chn mt ph/ng ( ) cha  ng th/ng  và song song v#i ’ . Khi ó d (,  ‘)  d( ‘, ( )) . ’ M  H  Phng pháp 2 D,ng hai mt ph/ng song song và ln l 0t cha hai  ó là khong cách cn tìm. ng th/ng. Khong cách gia hai mt ph/ng   ’  Phng pháp 3 D,ng on vuông góc chung và tính  dài on ó. Tr)ng hp 1:  và  ‘ v$a chéo nhau v$a vuông góc v#i nhau B #c 1: Chn mt ph/ng ( ) cha  ‘ và vuông góc v#i  ti I . Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Khi ó IJ là on vuông góc chung và d (,  ‘)  IJ . Tr ng PTLC Vinschool  ’ I J  Tr)ng hp 2:  và ’ chéo nhau mà không vuông góc v#i nhau B #c 1: Chn mt ph/ng ( ) cha ’ và song song v#i  . B #c 2: D,ng d là hình chiu vuông góc c+a  xung ( ) b1ng cách l”y i!m M   d,ng on MN    , lúc ó d là  ng th/ng i qua N và song song v#i  . B #c 3: Gi H  d   ‘ , d,ng HK  MN Khi ó HK là on vuông góc chung và d (,  ‘)  HK  MN . H  M K d N ’  Hoc B #c 1: Chn mt ph/ng ( )   ti I . B #c 2: Tìm hình chiu d c+a ’ xung mt ph/ng ( ) . B #c 3: Trong mt ph/ng ( ) , d,ng IJ  d , t$ J d,ng  H , t$ H d,ng HM  IJ . ng th/ng song song v#i  c t ’ ti Khi ó HM là on vuông góc chung và d (,  ‘)  HM  IJ .  M ’ H I d J  6. Bài toán khác DNG 1: Thit di n to bKi mt phJng i qua m”t i=m và vuông góc v i m”t ng thJng d cho tr c Cách xác nh mp(  ) i qua i!m A và vuông góc v#i  Cách 1: + K8  ng th/ng a qua A và vuông góc v#i d. ng th/ng d: Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Khi ó, mp(a,b) chính là mp(  ) cn d,ng. Tr ng PTLC Vinschool Cách 2: Nu có d vuông góc v#i (P). D,ng   qua A và   / /(P) DNG 2: Thit di n to bKi mt phJng cha m”t ng thJng và vuông góc m”t mt phJng cho tr c. Cách xác nh mp(  ) cha  a  mp    ): + Chn mt i!m A trên  + K8  ng th/ng a và vuông góc v#i  ng th/ng mp(  ) trong ó ( ng th/ng a. ng th/ng qua A và vuông góc v#i mp(  ). Khi ó, mp(a,b) chính là mp(  ) cn d,ng. Kt qu: + Nu mt  ng th/ng và mt mp cùng vuông góc v#i mt  trong mt ph/ng) thì song song. ng th/ng ( + Nu mt  ng th/ng và mt mp cùng vuông góc v#i mt ph/ng ( mt ph/ng thì song song. ng th/ng không n1m ng th/ng không n1m trong DNG 3: D’ng m”t ng thJng d qua m”t i=m A và vuông góc v i mt phJng (P) Cách 1: Nu có a  (P ) : D,ng d song song v#i a. Khi ó d  ( P ) Cách 2: + D,ng mt ph/ng (Q) qua i!m A và  Q   (P) ; + Tìm giao tuyn b c+a (P) và (Q); + T$ i!m A d,ng  Khi ó: d là  ng th/ng d vuông góc v#i b. ng th/ng cn d,ng DNG 4: Ch&n m”t mt phJng qua i=m A và vuông góc v i mt phJng (P ) cho tr c Cách 1: Nu ã có mt  ng th/ng a vuông góc v#i  T$ mt i!m M nào ó trên a, k8 mt  ng th/ng b trong (P). ng th/ng MH vuông góc v#i b. Khi ó: mp(a,H) chính là mt ph/ng cn d,ng. Cách 2: Nu bit mt ph/ng (Q) vuông góc v#i (P). T$ i!m A k8 ln l 0t hai  ng th/ng song song v#i hai  ng th/ng c t nhau trong (P). DNG 5: Tìm hình chiu H ca i=m M lên mt phJng (P) Quy t c chung: + i!m thuc mt ph/ng thì hình chiu c+a i!m ó lên mt ph/ng là chính nó; + i!m không thuc mt ph/ng: – D,ng mt  ng th/ng d qua i!m A và vuông góc v#i (P); – DFNG 3 – Tìm giao i!m c+aH c+a d và mt ph/ng (P). Khi ó, H chính là hình chiu c+a i!m A lên (P) DNG 6: Tìm hình chiu ca ng thJng d ( không vuông góc v i (P)) lên mt phJng (P). Cách 1: Chn trên d hai i!m A & B. (nu d c t (P) nên chn 1 i!m là giao c+a d và (P)) Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 75 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com + Tìm hình chiu A’, B’ ln l 0t c+a A, B lên (P). + Tr ng PTLC Vinschool t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 76 ng th/ng d’ qua A’, B’ chính là hình chiu c+a d lên (P) Cách 2: + Chn mt ph/ng (Q) cha d và  Q   (P) ; + Khi ó, giao tuyn d’ c+a (P) và (Q) chính là hình chiu c+a d lên (P). DNG 7: T7 s khong cách + Nu  ng th/ng AB c t (P) ti M thì: d ( A,(P)) AM  d (B,(P)) BM + Nu AB song song v#i (P) thì d ( A,(P))  d (B,(P)) . Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com I. MT S KIN THC B SUNG 1/ Các h thc l%ng trong tam giác vuông Cho  ABC vuông ti A, AH là  ng cao, AM là  A C S ABC H M  S ABC  AM  2/ Các h thc l%ng trong tam giác thng ng trung tuyn. Ta có: 1 1 1 2 2 2 1 1 1  ab sin C  bc sin A  ac sin B 2 2 2 abc  ,S  p.r 4 R  ABC  abc  p  p  a  p  b  p  c  ,  p   2   c BC 2 b 2  c2  a2 2 bc 2  a c2  b2  b 2  a 2  c 2  2 ac cos B  cos B  2 ac 2 a  b2  c2  c 2  a 2  b 2  2 ab cos C  cos C  2 ab  a 2  b 2  c 2  2 bc cos A  cos A  a) nh lí hàm s A cosin b a B ng PTLC Vinschool  S ABC  a.ha  b.hb  c.hc  S ABC B Tr C b) nh lí hàm s sin A c B a b c = = = 2R sin A sin B sin C b (R là bán kính ng tròn ngoi tip ABC) C a R c) Công thc >nh di%n >ch c+a tam giác A b c a B 1 1 1 2 2 2 1 1 1  ab sin C  bc sin A  ac sin B 2 2 2 abc  , S ABC  p.r 4R  abc  p pa pb pc ,  p   2    S ABC  a.ha  b.hb  c.hc  S ABC C p – na chu vi r – bán kính   S ABC  S ABC ng tròn d) Công thc >nh  dài      ng trung tuyn c+a tam giác A K B  AM 2  N M AB2  AC 2 BC 2  . 2 4 C Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành  BN 2  BA2  BC 2 AC 2  . 2 4  CK 2  CA2  CB2 AB2  . 2 4 t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 77 Thy Nguyn c Th ng 3/ nh lí Talet 0969119789 –thangnd286@gmail.com ng PTLC Vinschool AM AN MN   k AB AC BC 2  AM  2   k  AB   MN / / BC  A M Tr N B S AMN  C S ABC (T din tích bng t bình phng ng dng) 4/ Di n ;ch ca a giác B a/ Din :ch tam giác vuông ⇒ S ΔABC =  Di%n >ch tam giác vuông b1ng ½ >ch 2 cnh góc vuông. C A b/ Din :ch tam giác u  Di%n >ch tam giác -u:  Chi-u cao tam giác -u: B 2 canh 3 4 canh. 3 h  2 S  h a A C A B c/ Din :ch hình vuông và hình ch4 nht a  Di%n >ch hình vuông b1ng cnh bình ph ng.   ng chéo hình vuông b1ng cnh nhân 2 .  Di%n >ch hình ch nh*t b1ng dài nhân rng. 1 AB.AC 2 O D C ⎧⎪ a2 3 ⎪⎪S ΔABC = ⎪ 4 ⇒ ⎪⎨ ⎪⎪ a 3 ⎪⎪h = 2 ⎪⎩ ⎧⎪S HV = a 2 ⎪ ⇒ ⎪⎨ ⎪⎪AC = BD = a 2 ⎪⎩ d/ Din :ch hình thang A D  Di%n >ch hình thang: 1 SHình Thang  .(áy l#n + áy bé) x chi-u cao 2 ⇒S = B e/ Din :ch t giác có hai )ng chéo vuông góc  Di%n >ch t giác có hai  ng chéo vuông góc A nhau b1ng ½ >ch hai  ng chéo.  Hình thoi có hai  ng chéo vuông góc nhau ti trung i!m c+a m.i  ng. H (AD + BC ).AH 2 C B C ⇒ S H .Thoi = 1 AC .BD 2 D L+u ý: Trong >nh toán di%n >ch, ta có th! chia a giác thành nhng hình  n gin d >nh di%n >ch, sau ó cng các di%n >ch  0c chia này, ta  0c di%n >ch a giác. Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 78 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr 5. M t s” phép bin 1i ? th& 1. Các phép bin 1i n gi/n. a. Hai i!m M  x; y  và M   x;  y  i xng v#i nhau qua tr(c hoành . ng PTLC Vinschool b. Hai i!m M  x; y  và M    x; y  i xng v#i nhau qua tr(c tung . c. Hai i!m M  x; y  và M    x;  y  i xng v#i nhau qua gc to  O . T$ các phép bin i  n gin này ta có. 2. Các phép bin 1i ? th&. a.  th c+a hai hàm s y  f  x  và y   f  x  i xng v#i nhau qua tr(c hoành. b.  th c+a hai hàm s y  f  x  và y  f   x  i xng v#i nhau qua tr(c tung. c.  th c+a hai hàm s y  f  x  và y   f   x  i xng v#i nhau qua gc ta  O. H qu/ 1.  th hàm s ch-n nhn tr’c tung làm tr’c i xng. H qu/ 2.  th hàm s l. nhn gc t%a  O làm tâm i xng. T$ các kt qu trên ta có các dng c bn v-  th c+a hàm s có cha d”u giá tr tuy%t i. 3. Các d0ng c b/n D0ng 1. T  th (C) ca hàm s y  f  x  , suy ra cách v@  th (G) ca hàm s y  f  x   f  x  khi f  x   0 Li gii. Ta có y  f  x     f  x  khi f  x   0   là phn i xng qua tr(c hoành c+a phn  th (C) n1m phía d #i tr(c hoành  y   0  Suy ra  G    C1    C2  v#i  C1  là phn  th (C) n1m phía trên tr(c hoành y C  0 , còn  C2    C   D0ng 2. T  th (C) ca hàm s y  f  x  , suy ra cách v@  th (H) ca hàm s y  f x   L=i gi/i. Vì  x  x nên y  f x là hàm s ch6n, suy ra  th (H) nh*n tr(c tung làm tr(c i xng. Vì v*y (H )   C3    C4  v#i  C3  là phn  th c+a (C) n1m bên phi tr(c tung  x  0 , còn C4  là phn i xng c+a C3  qua tr(c tung.   D0ng 3. T  th (C) ca hàm s y  f  x  , suy ra cách v@  th (K) ca hàm s y  f x      f x Li gii. Ta có y  f x    f x     khi f  x   0 khi f x  0   Suy ra (K )   H1    H2  v#i  H1  là phn  th c+a (H) c+a hàm s y  f x n1m phía trên tr(c  hoành  y    0 . hoành y H   0 , còn  H2  là phn i xng qua tr(c hoành c+a phn  th (H) 2 phía d #i tr(c H D0ng 4. T  th (C) ca hàm s y  u x v x Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành , suy ra cách v@  th (L) ca hàm s y  t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni ux vx Page 79 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool u  x  khi u  x   0  u x v x  Li gii. y  v x  u x khi u  x   0   v x  Suy ra  L    C1    C2  v#i  C1  là phn c+a  th (C) có hoành  th3a mãn i-u ki%n u  x   0 và  C2  là phn i xng qua tr(c hoành c+a phn  th (C) có hoành  th3a mãn u  x   0 . D0ng 5. T  th (C) ca hàm s y  u x v x , suy ra cách v@  th (M) ca hàm s y  u x . v x u x khi v  x   0  ux vx  Li gii. y  v x  ux  khi v  x   0  vx  Suy ra  M    C3    C4  v#i  C3  là phn c+a  th (C) có hoành  th3a mãn i-u ki%n v  x   0 và  C4  là phn i xng qua tr(c hoành c+a phn  th (C) có hoành  th3a mãn v  x   0 . D0ng 6. T  th (C) ca hàm s y  u x v x ux , suy ra cách v@  th (N) ca hàm s y  u x u x 0 khi  ux v x v x  Li gii. y  u x v x  u x  khi 0  vx v x    vx  .  Suy ra  N    C5    C6  v#i  C5  là phn c+a  th (C) n1m phía trên tr(c hoành y C  0 và   C6  là phn i xng qua tr(c hoành c+a phn  th (C) n1m phía d #i tr(c hoành  yC   0  . u x  u x . , suy ra cách v@  th (Q) ca hàm s y  D0ng 7. T  th (C) ca hàm s y  v x v x  L=i gi/i. Vì  x  x nên y    là hàm s ch6n, suy ra  th (Q) nh*n tr(c tung làm tr(c i v x  u x xng. Vì v*y (Q)   C7    C8  v#i  C7  là phn  th c+a (C) n1m bên phi tr(c tung  x  0 , còn C8  là phn i xng c+a C7  qua tr(c tung. u x  u x D0ng 8. T  th (C) ca hàm s y  , suy ra cách v@  th (R) ca hàm s y  v x v x  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 80 Thy Nguyn c Th ng Li gii. y    v x  u x 0969119789 –thangnd286@gmail.com         u x   v x   u x   v x khi khi Tr  0 v x  u x  0 v x  ng PTLC Vinschool u x   n1m phía trên tr(c v x  u x Suy ra  R    Q1    Q2  v#i  Q1  là phn  th (Q) c+a hàm s y  hoành  y Q  0  , còn  Q2  là phn i xng qua tr(c hoành c+a phn  th (Q) 2 phía d #i tr(c     hoành  y Q  0  .     6. Công th*c 0o hàm 6.1. Các quy tLc tính o hàm (Ký hi u U=U(x), V=V(x)).     U  U .V  U .V   U  V   U   V   UV   U V  UV      {f[U(x)]}x/ = f ‘u . U x 2 V V     1 sin x ‘ U’  lim 1   kU   k .U ‘      UVW   U ‘ VW  UV ‘ W  UVW ‘ 2 x 0 x U U  6.2. Các công thc tính o hàm: Công th*c 0o hàm 0o hàm c(a hàm s” h2p Tên hàm s”  Các hàm s” C  =0 (C là h1ng s) th+=ng g;p ‘   1  n  x  =1, (kx)’=k (k là h1ng s )  n    n 1 .u ‘ u  0 u u    x n =n.xn-1 (n  N, n  2) u   .u 1 .u ‘      1 1     2 (x  0) x x   1  n  n    n 1 (x  0) x x   1 u/ (u  0)    2 u u   1  n  n    n 1 .u ‘ (u  0) u u  1 ( x ) = (x>0) 2 x ‘ 1 n x  ( x  0) n n x n1  u   2u u  u   n u1    Hàm s” l+2ng giác / cos x  cot x    12   1  cot 2 x sin x (xH)/= H x H -1 Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành  (u  0) ‘ n n 1 .u ‘ (u  0) /  sin x   cos x /  cos x    sin x /  tanx   12  1  tan2 x / Hàm lEy thIa n /  sin u   cos u.u/ /  cos u    sin u.u/ /  tan u   12 .u/  cos u  cot u    12 .u/ sin u (uH)/= H u H -1u/ / t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 81 Thy Nguyn c Th ng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool x x u u Hàm s” mE (e )’ = e ( e )’ = u’ .e (ax)’ = axlna ( au)’ = u’ .au.lna Hàm logarít 1 u’ (lnx )’ = (x>0) (u>0) ( lnu)’ = x u 1 u’ (ln /x/ )’ = (xE0) ( ln /u/ )’ = (uE0) x u 1 u’ ( log a x )’ = (x>0, 00, 00, 00, 0
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top