Số phức trong các đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán

Giới thiệu Số phức trong các đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Số phức trong các đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán CHƯƠNG SỐ PHỨC.

Số phức trong các đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Số phức trong các đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Số phức trong các đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán
SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THQG https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 NỘI DUNG CÂU HỎI Câu 1. Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 3z + 5 = 0. Giá trị của |z1 | + |z2 | bằng √ A. 2 5. B. 3. C. √ 5. D. 10. Lời giải. √ √ 11 11 3 3 Phương trình z − 3z + 5 = 0 có hai nghiệm là z1 = − i; z2 = + i. 2 2 2 2 sÅ ã Ç √ å2 √ 3 2 11 + Do đó |z1 | + |z2 | = 2 · = 2 5. 2 2 Chọn đáp án A 2 Câu 2. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức nào? A. z = 1 + 2i. B. z = 1 − 2i. C. z = −2 + i. D. z = 2 + i.  y M 1 −2 x O Lời giải. Ta có M (−2; 1) là điểm biểu diễn của số phức có phần thực bằng −2 và phần ảo bằng 1. Suy ra điểm biểu diễn của M là số phức z = −2 + i.  Chọn đáp án C Câu 3. Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z = −1+2i A. N . B. P . C. M . y D. Q. Q P 2 1 −2 −1 N 2 x −1 M Lời giải. Số phức z = −1 + 2i có phần thực −1, phần ảo 2 nên có điểm biểu diễn tọa độ (−1; 2) chính là Q.  Chọn đáp án D Câu 4. Tìm các số thực a và b thỏa mãn 2a + (b + i)i = 1 + 2i với i là đơn vị ảo. 1 A. a = 0, b = 2. B. a = , b = 1. C. a = 0, b = 1. D. a = 1, b = 2. 2 Lời giải. ( a=1 Ta có 2a + (b + i)i = 1 + 2i ⇔ (2a − 1) + bi = 1 + 2i ⇔ b = 2.  Chọn đáp án D Câu 5. Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 3z + 5 = 0. Giá trị của |z1 | + |z2 | bằng √ √ A. 2 5. B. 5. C. 3. D. 10. Lời giải. √  3 + 11i z = √ √ 2√ z 2 − 3z + 5 = 0 ⇔  ⇒ |z1 | = |z2 | = 5 ⇒ |z1 | + |z2 | = 2 5.  3 − 11i z= 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án A Câu 6. Xét các số phức z thỏa mãn (z + 2i)(z + 2) là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. (1; −1). B. (1; 1). C. (−1; 1). D. (−1; −1). Lời giải. Giả sử z = a + bi, (a, b ∈ R), ta được (z + 2i)(z + 2) = [a + (b + 2)i][(a + 2) − bi] = [a(a + 2) + b(b + 2)] + [(a + 2)(b + 2) − ab]i. (z + 2i)(z + 2) là số thuần ảo khi và chỉ khi a(a + 2) + b(b + 2) = 0 ⇔ (a + 1)2 + (b + 1)2 = 2 nên tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn phương trình (x + 1)2 + (y + 1)2 = 2 có tâm I(−1; −1).  Chọn đáp án D Câu 7. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z|2 = 2|z + z| + 4 và |z − 1 − i| = |z − 3 + 3i| ? A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. Lời giải. Gọi z = x + yi (x; y ∈ R). Ta có |z|2 = 2|z + z| + 4 ⇔ x2 + y 2 = 4|x| + 4 ” 2 x + y 2 − 4x − 4 = 0, x ≥ 0 (1) ⇔ x2 + y 2 + 4x − 4 = 0, x < 0. (2) Mặt khác |z − 1 − i| = |z − 3 + 3i| ⇔ (x − 1)2 + (y − 1)2 = (x − 3)2 + (y + 3)2 ⇔ 4x = 8y + 16 ⇔ x = 2y + 4 (3) + Thay (3) vào (1) ta được (2y + 4)2 + y 2 − 4(2y + 4) − 4 = 0 ⇔ 5y 2 + 8y − 4 = 0  2 24 y= ⇒x= (nhận) 5 5 ⇔  y = −2 ⇒ x = 0 (nhận). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 + Thay (3) vào (2) ta được (2y + 4)2 + y 2 + 4(2y + 4) − 4 = 0 ⇔5y 2 + 24y + 28 = 0  y = −2 ⇒ x = 0 (loại) ⇔ . 8 14 y = − ⇒ x = − (nhận) 5 5 Vậy có 3 số phức thỏa điều kiện.  Chọn đáp án B Câu 8. Số phức nào sau đây có điểm biểu diễn là M (1; −2)? A. −1 − 2i. Lời giải. C. 1 − 2i. B. 1 + 2i. D. −2 + i. M (1; −2) là điểm biểu diễn cho số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng −2, tức là 1 − 2i.  Chọn đáp án C Câu 9. Tổng phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn iz + (1 − i)z = −2i bằng B. −2. A. 6. Lời giải. D. −6. C. 2. Số phức z có dạng z = x + yi, (x, y ∈ R). Ta có iz + (1 − i)z = −2i ⇔ i(x + yi) + (1 − i)(x − yi) = −2i ⇔ x − 2y − yi = −2i ( ( x=4 x − 2y = 0 ⇔ ⇔ − y = −2 y = 2. Vậy tổng phần thực và phần ảo của z là x + y = 4 + 2 = 6.  Chọn đáp án A Câu 10. Cho a, b ∈ R và thỏa mãn (a + bi)i − 2a = 1 + 3i, với i là đơn vị ảo. Giá trị a − b bằng A. 4. Lời giải. B. −10. C. −4. D. 10. ( Ta có (a + bi)i − 2a = 1 + 3i ⇔ −2a − b + ai = 1 + 3i ⇔ − 2a − b = 1 a=3 ⇔ ( a=3 b = −7. Vậy a − b = 3 + 7 = 10.  Chọn đáp án D Câu 11. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 2 |z − i| = |z − z + 2i| là A. một điểm. B. một đường tròn. C. một đường thẳng. D. một Parabol. Lời giải. Gọi z = x + yi; x, y ∈ R. Ta có 2 |z − i| = |z − z + 2i| ⇔ 4 |z − i|2 = |z − z + 2i|2 ⇔ 4 |x + yi − i|2 = |x + yi − (x − yi) + 2i|2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12   ⇔ 4 x2 + (y − 1)2 = 4(y + 1)2 ⇔ 4x2 − 16y = 0 ⇔ x2 = 4y Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một Parabol.  Chọn đáp án D Câu 12. Gọi S là tập hợp các số phức thỏa mãn |z − 1| = √ 34 và |z + 1 + mi| = |z + m + 2i|, trong đó m ∈ R. Gọi z1 , z2 là hai số phức thuộc S sao cho |z1 − z2 | lớn nhất, khi đó giá trị của |z1 + z2 | bằng A. 2. B. 10. C. √ 2. D. √ 130. Lời giải. Đặt z = x + yi, (x, y ∈ R). √ Khi đó |z − 1| = 34 ⇔ (x − 1)2 + y 2 = 34. Mặt khác |z + 1 + mi| = |z + m + 2i| ⇔ 2(m − 1)x + 2(2 − m)y + 3 = 0. Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là giao điểm của đường tròn (C) : (x − 1)2 + y 2 = 34 và đường thẳng d : 2(m − 1)x + 2(2 − m)y + 3 = 0. Gọi A, B là hai điểm biểu diễn z1 , z2 . Suy ra (C) ∩ d = {A, B}. √ √ √ |z Mặt khác |z1 − z2 | = AB ≤ 2R = 2 34 do đó max 1 − z2 | = 2 34 ⇔ AB = 2 34 ⇔ I(1; 0) ∈ d. " z1 = 6 + 3i 1 Từ đó m = − nên ta có d : 3x − 5y − 3 = 0 ⇒ 2 z2 = −4 − 3i. Vậy z1 + z2 = 2.  Chọn đáp án A Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn z = 3 + 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z. A. Phần thực bằng −3, phần ảo bằng 2. C. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng −2. B. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2. D. Phần thực bằng −3, phần ảo bằng −2. Lời giải. Vì z = 3 + 2i ⇒ z = 3 − 2i. Do đó số phức z có phần thực bằng 3, phần ảo bằng −2.  Chọn đáp án C Câu 14. Cho các số phức z thỏa mãn |z| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = 3 − 2i + (4 − 3i)z là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. √ A. r = 5. B. r = 2 5. C. r = 10. D. r = 20. Lời giải. Cách 1: Giả sử w = x + yi ⇒ z = x + yi − 3 + 2i 4x − 3y − 18 3x + 4y − 1 = + i. 4 − 3i 25 25 Theo bài ra ta có » (4x − 3y − 18)2 + (3x + 4y − 1)2 |z| = 2 ⇔ =2 25 ⇔ (4x − 3y − 18)2 + (3x + 4y − 1)2 = 2500 ⇔ x2 + y 2 − 6x + 4y + 13 = 100 ⇔ (x − 3)2 + (y + 2)2 = 100. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w theo yêu cầu là đường tròn có tâm I(3, −2) và bán kính r = 10. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 5 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Cách 2: Đặt w = x + yi (x, y ∈ R), ta có w = 3 − 2i + (4 − 3i)z ⇔ w − (3 − 2i) = (4 − 3i)z ⇔ |w − (3 − 2i)| = |(4 − 3i)z| ⇔ |(x − 3) + (y + 2)i| = |4 − 3i||z| » » ⇔ (x − 3)2 + (y + 2)2 = 42 + (−3)2 · 2 ⇔ (x − 3)2 + (y + 2)2 = 100 Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = 3 − 2i + (4 − 3i)z là một đường tròn có tâm I(3, −2), bán kính r = 10.  Chọn đáp án C Câu 15. Phần thực và phần ảo của số phức z = 1 + 2i lần lượt là A. 1 và 2. B. 1 và i. C. 1 và 2i. D. 2 và 1. Lời giải. Số phức z có phần thực là 1 và phần ảo là 2. Chọn đáp án A  Câu 16. Cho√số phức z thỏa mãn z(2 − i) + 13i = 1. Tính môđun của số phức z. √ √ 5 34 34 A. |z| = . B. |z| = 34. C. |z| = . D. |z| = 34. 3 3 Lời giải. p √ 1 − 13i = 3 − 5i ⇒ |z| = 32 + (−5)2 = 34. Ta có z(2 − i) + 13i = 1 ⇔ z = 2−i Chọn đáp án D  Câu 17. Cho số phức z = 2 − 3i. Số phức liên hợp của số phức z là: A. z = 3 − 2i. C. z = −2 − 3i. B. z = 3 + 2i. D. z = 2 + 3i. Lời giải. Do định nghĩa số phức liên hợp nên số phức liên hợp của z = 2 − 3i là z = 2 + 3i.  Chọn đáp án D Câu 18. Trong các số phức z thỏa mãn: |z − 1 + i| = |z + 1 − 2i|, số phức z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là 3 A. . 10 Lời giải. B. 3 . 5 3 C. − . 5 D. − 3 . 10 Đặt z = x + iy (với x, y ∈ R và i2 = −1). Khi đó, |z − 1 + i| = |z + 1 − 2i| ⇔ |(x − 1) + i(y + 1)| = |(x + 1) − i(y + 2)| ⇔ (x − 1)2 + (y + 1)2 = (x + 1)2 + (y + 2)2 ⇔ 4x + 2y + 3 = 0 3 ⇔ y = −2x − . 2 Ta có p |z| = x2 + y 2 = x2 Å ã 3 2 + −2x − = 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 6 … Å ã 3 2 9 9 5 x+ + ≥ . 5 20 20 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12   3 3   x = − x = − 5 5 ⇔ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 3   y = − 3 . y = −2x − 2 10 Chọn đáp án D  Câu 19. Tìm hai số thực x và y thỏa mãn (3x + 2yi) + (3 − i) = 4x − 3i với i là đơn vị ảo. 2 C. x = 3; y = −3. D. x = −3; y = −1. A. x = 3; y = −1. B. x = ; y = −1. 3 Lời giải. Ta có ( ( 3x + 3 = 4x x=3 (3x + 2yi) + (3 − i) = 4x − 3i ⇔ (3x + 3) + (2y − 1)i = 4x − 3i ⇔ ⇔ 2y − 1 = −3 y = −1.  Chọn đáp án A 2 Câu 20. Kí√hiệu z1 ; z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z √ −z +1 = 0. Tính P = |z√1 |+|z2 |. 14 3 2 2 3 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 3 3 3 3 Lời giải. √  1 − i 11 z1 = 6√ . 2 Ta có 3z − z + 1 = 0 ⇔   1 + i 11 z2 = 6 √ å sÅ ã Ç √ … 2 2 1 2 3 11 1 Do đó P = |z1 | + |z2 | = 2 =2 = . + 6 6 3 3  Chọn đáp án D Câu 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z biết |z −(2−3i)| ≤ 2. A. Một đường thẳng. B. Một hình tròn. C. Một đường tròn. D. Một đường elip. Lời giải. » Đặt z = x + yi, |z − (2 − 3i)| = |(x − 2) + (y + 3) i| = (x − 2)2 + (y + 3)2 . » Do đó |z − (2 − 3i)| ≤ 2 ⇔ (x − 2)2 + (y + 3)2 ≤ 2 ⇔ (x − 2)2 + (y + 3)2 ≤ 4. Vậy điểm biểu diễn số phức z nằm trên hình tròn có bán kính r = 2. Chọn đáp án B  Câu 22. Biết rằng đồ thị hàm số y = x4 − 2ax2 + b có một điểm cực trị là (1; 2). Khi đó khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho bằng √ √ √ A. 2. B. 26. C. 5. D. 2. Lời giải. Dựa vào điểm cực trị ta tìm được a = 1; b = 3. Tọa độ điểm cực đại A(0; 3), tọa độ một điểm cực tiểu là B(1; 2). √ Khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu là AB = 2.  Chọn đáp án D Câu 23. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn |z + 2 − i| + |z − 4 − i| = 10 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 7 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. 12π. Chương 3-Giải tích 12 B. 20π. C. 15π. D. Đáp án khác. Lời giải. Phương pháp: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức bài cho sau đó tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các điểm đó. Cách giải: Ta có |z + 2 − i| + |z − 4 − i| = 10 ⇔ |z − (−2 + i)| + |z − (4 + i)| = 10 (∗). Gọi z = x + yi ⇒ M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z. Gọi A (−2; 1) là điểm biểu diễn cho số phức −2 + i và B (4; 1) là điểm biểu diễn cho số phức 4 + i. Từ (∗) ⇒ M A + M B = 10 nên tập hợp điểm M là elip có A, B là hai tiêu điểm và độ dài trục lớn bằng 10. Ta có AB = √ 62 = 6 = 2c ⇒ c = 3 và M A + M B = 2a = 10 ⇒ a = 5. ⇒ b2 = a2 − c2 = 52 − 32 = 42 ⇒ b = 4. Vậy S(E) = π · ab = π · 5 · 4 = 20π.  Chọn đáp án B Ä√ ä2019 Câu 24. Cho khai triển 3+x = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . + a2019 x2019 . Hãy tính tổng S = a0 − a2 + a4 − a6 + . . . + a2016 − a2018 . A. Ä√ ä1009 3 . C. 22019 . B. 0. D. 21009 . Lời giải. Phương pháp: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức: (a + b)n = n P Ckn an−k bk . k=0 2019 Ä√ ä2019 X Ä√ äk Ck2019 3+x = 3 x2019−k k=0 = C02019 Ä√ ä2019 Ä√ ä2018 √ 2018 2019 3 + C12019 3 x + . . . + C2018 · 3x + C2019 2019 2019 x = a + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . + a2019 x2019 .  0  1 khi m = 4l     i khi m = 4l + 1 m Ta có: i = (l ∈ Z).  − 1 khi m = 4l + 2      −i khi m = 4l + 3 Chọn x = i ta có: 2019 Ä√ ä2019 X Ä√ äk  3+i = Ck2019 3 i2019−k i2 = −1 k=0 = C02019 Ä√ ä2019 Ä√ ä2018 √ 2019 3 + C12019 3 i + . . . + C2018 3 · i2018 + C2019 2019 · 2019 i = a0 + a1 i + a2 i2 + a3 i3 + . . . + a2018 i2018 + a2019 i2019 = a0 + a1 i − a2 − a3 i + . . . − a2018 − a2019 i. Chọn x = −i ta có: Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 8 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ä√ Chương 3-Giải tích 12 2019 ä2019 X Ä√ äk 3−i = Ck2019 3 (−i)2019−k k=0 = C02019 Ä√ ä2019 Ä√ ä2018 √ 2019 3 − C12019 3 i − . . . + C2018 3 · i2018 − C2019 2019 · 2019 i = a0 − a1 i + a2 i2 − a3 i3 + . . . + a2018 i2018 − a2019 i2019 = a0 − a1 i − a2 + a3 i + . . . − a2018 + a2019 i. Ä√ ä2019 Ä√ ä2019 ⇒ 3+1 3−1 + = 2 (a0 − a2 + a4 − a6 + . . . + a2016 − a2018 ) . i h h Ä√ ä3 673 Ä√ ä3 i673 3+1 + 3−1 = (8i)673 + (−8i)673 = 0 ⇔ 2S = ⇔ 2S = 8673 · i673 − 8673 · i673 = 0 ⇔ S = 0. Chọn đáp án B  Câu 25 (2D4B1-2). Cho số phức z = 2 + 5i. Điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Oxy có tọa độ là A. (5; 2). B. (2; 5). C. (−2; 5). D. (2; −5). Lời giải. Phương pháp: Số phức z = a + bi, (a; b ∈ R) có điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng Oxy là (a; b). Cách giải: Điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Oxy có tọa độ là (2; 5).  Chọn đáp án B Câu 26. Đồ thị hàm số nào đi qua điểm M (1; 2)? x2 − x + 1 −2x − 1 . B. y = 2x3 − x + 1. C. y = . A. y = x+2 x−2 Lời giải. D. y = −x4 + 2x2 − 2. Phương pháp: Thay tọa độ của điểm M vào các hàm số. Cách giải: Ta có 2 = 2 · 13 − 1 + 1 ⇒ M (1; 2) thuộc đồ thị hàm số y = 2x3 − x + 1.  Chọn đáp án B Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)z = 6 − 3i. Phần thực của số phức z là: A. −3. B. 3. C. 0. D. −3i. Lời giải. Phương pháp: Giải phương trình phức cơ bản tìm số phức z. Cách giải: Ta có (1 + 2i) z = 6 − 3i 6 − 3i ⇔z = 1 + 2i (6 − 3i) (1 − 2i) ⇔z = (1 + 2i) (1 − 2i) 6 − 12i − 3i − 6 ⇔z = = −3i. 1+4 Phần thực của số phức z là 0.  Chọn đáp án C Câu 28. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 − 2z + 2018 = 0. Khi đó giá trị biểu thức A = |z1 + z2 − z1 z2 | bằng A. 2017. B. 2019. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 2018. 9 D. 2016. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Phương pháp: Sử dụng định lý Vi-ét. " Cách giải: z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 − 2z + 2018 = 0 ⇒ z1 + z2 = 2 z1 z2 = 2018. A = |z1 + z2 − z1 z2 | = |2 − 2018| = 2016.  Chọn đáp án D √ Câu 29. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z − 2i| = 2 và z 2 là số thuần ảo? A. 3. B. 1. C. 2. D. 4. Lời giải. Phương pháp: Gọi số phức đó là z = a + bi, (a, b ∈ R). Tìm điều kiện của a, b. Cách giải: Gọi số phức đó là z = a + bi, (a, b ∈ R). Ta có: √ √ |z − 2i| = 2 ⇔ |a + bi − 2i| = 2 ⇔ a2 + (b − 2)2 = 2 (1) " z 2 = (a + bi)2 = (a2 − b2 ) + 2abi là số thuần ảo ⇒ a2 − b2 = 0 ⇔ a=b a = −b. a = b. Thay vào (1): a + (a − 2) = 2 ⇔ 2a − 4a + 2 = 0 ⇔ a = 1 = b ⇒ z = 1 + i. 2 2 2 a = −b. Thay vào (1): a2 + (−a − 2)2 = 2 ⇔ 2a2 + 4a + 2 = 0 ⇔ a = −1, b = 1 ⇒ z = −1 + i. Vậy, có 2 số phức z thỏa mãn yêu cầu đề bài.  Chọn đáp án C Câu 30. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 | = 3, |z2 | = 4, |z1 − z2 | = a + bi,√ (a, b ∈ R). Khi đó |b| bằng√ 3 3 3 A. . B. . 8 8 Lời giải. √ 41. Xét số phức z = √ 2 C. . 4 z1 = z2 √ D. 5 . 4 Phương pháp: Biểu diễn lượng giác của số phức. |z1 | z1 = , z2 6= 0. |z2 | z2 Cách giải: Cách 1: Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức z1 , z2 . 2 2 √ ’ = 3 + 4 − 41 = − 2 . Theo đề bài, ta có OA = 3, OB = 4, AB = 41. ⇒ cos AOB 2·3·4 3 Đặt z1 = 3 (cos ϕ + i sin ϕ) . ⇒ z2 = 4 (cos (ϕ ± AOB)) = 4 (cos (ϕ ± α) + i sin (ϕ ± α)) Ä ä ’ . α = AOB z1 3 (cos ϕ + i sin ϕ) = z2 4 (cos (ϕ ± α) + i sin (ϕ ± α)) 3 = · (cos ϕ + i sin ϕ) (cos (ϕ ± α) − i sin (ϕ ± α)) 4 3 = [(cos ϕ · cos (ϕ ± α) + sin ϕ · sin (ϕ ± α)) + i (sin ϕ · cos (ϕ ± α)) − cos ϕ · sin (ϕ ± α)] 4 3 3 = [cos (±α) + i · sin (±α)] = · (cos α ± i sin α) . 4 4 Å ã2 √ 3 3 2 5 ⇒ b = ± sin α ⇒ |b| = 1− = . 4 4 3 4 ⇒ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 10 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Cách 2: Ta có Chương 3-Giải tích 12       |z1 | 3 |z1 | 3   = =  √ |z2 | 4 |z2 | 4 √ √ . |z1 | = 3, |z2 | = 4, |z1 − z2 | = 41 ⇒ ⇔   41 |z1 − z2 |    z1 − 1 = 41  =  |z2 | 4 z2 4  Å ã2  3   a2 + b 2 =     a2 + b 2 = 4 z1 Ç √ å2 ⇔ = a + bi, (a, b ∈ R) ⇒ z=   z2 41  (a − 1)2 + b2 =  (a − 1)2 + b2 = 4 √   9 5  5 2 2 2     b = |b| = b = −a 16 16 ⇔ 4 . ⇔ ⇔ 9 41 1    1 (a − 1)2 + a=−  − a2 =  a=− 16 16 2 2 √ 5 Vậy |b| = . 4 Chọn đáp án D 9 16 . 41 16  Câu 31. Cho các số phức z = −1 + 2i, w = 2 − i. Điểm nào trong hình vẽ bên biểu diễn số phức z + w? A. P . y N B. N . C. Q. D. M . P O x M Q Lời giải. Ta có z + w = 1 + i, suy ra điểm biểu diễn số phức z + w là điểm P . Chọn đáp án A  √ Câu 32. Cho số phức z thỏa mãn (1 − 3i)2 z = 4 − 3i. Môđun của z bằng 5 5 2 4 A. . B. . C. . D. . 4 2 5 5 Lời giải. √ √ 4 − 3i −4 + 3 3 3 + 4 3 √ Cách 1: Ta có z = = + i 8 8 (1 − 3i)2 sÇ √ √ √ å2 Ç √ å2 −4 + 3 3 3 + 4 3 −4 + 3 3 3+4 3 5 Suy ra |z| = + i = + = 8 8 8 8 4 4 − 3i |4 − 3i| |4 − 3i| 5 √ √ √ = Cách 2: Ta có z = Suy ra |z| = = 4 (1 − 3i)2 (1 − 3i)2 | | − 2 − 2 3i| Chọn đáp án A  Câu 33. Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương pháp z 2 + 4z + 7 = 0. Số z1 z2 + z1 z2 bằng A. 2. B. 10. C. 2i. D. 10i. Lời giải. √ 5i Cách 1. Ta có z 2 + 4z + 7 = 0 ⇔ √ z2 = −2 + 5i. √ 2 √ 2 Suy ra z1 z2 + z1 z2 = (−2 − 5i) + (−2 + 5i) = 2. ( z1 + z2 = −4 Cách 2. Áp dụng định lý Vi-et ta có: z1 z2 = 7. " z1 = −2 − Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 11 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Dễ thấy z1 = z2 và z2 = z1 , nên z1 z2 + z1 z2 = z12 + z22 = (z1 + z2 )2 − 2z1 z2 = (−4)2 − 14 = 2.  Chọn đáp án A Câu 34. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z − 1|2 + |z − z| i + (z + z) i2019 = 1? A. 4. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải. Gọi z = a + bi; (a, b ∈ R)⇒ z = a − bi. Ta có: |z − 1|2 = |a + bi − 1|2 =»(a − 1)2 + b2 , |z − z| i = |a + bi − a + bi| i = (2b)2 i = 2 |b| i, 504 i2019 = i4.504+3 = (i4 ) .i3 = i.i2 = −i, (z + z) i2019 = −i (a + bi + a − bi) = −2ai. Suy ra phương trình đã cho tương đương với: (a − 1)2 + b2 + 2 |b| i − 2ai = 1 ( a=0   b=0 "  |b| = 0  ( ( ( (  2 2 2 2 2   a=1 (a − 1) + b = 1 a − 2a + b = 0 2|b| − 2|b| = 0  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ |b| = 1 ⇔   b=1  2|b| − 2a = 0 a = |b| a = |b|    ( a = |b|  a=1  b = −1 Vậy có 3 số phức z thỏa mãn. Chọn đáp án D  Câu 35. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z − 1|2 + |z − z| i + (z + z) i2019 = 1? A. 4. Lời giải. B. 2. C. 1. D. 3. Gọi z = a + bi; (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi. Ta có: |z − 1|2 = |a + bi − 1|2 = (a − 1)2 + b2 . » |z − z| i = |a + bi − a + bi| i = (2b)2 i = 2 |b| i. (z + z) i2019 = −i (a + bi + a − bi) = −2ai. Suy ra phương trình đã cho tương đương với: (a − 1)2 + b2 + 2 |b| i − 2ai = 1 ( a=0   b=0 "  |b| = 0  ( ( ( (  2 2   a=1 (a − 1) + b2 = 1 a2 − 2a + b2 = 0 2|b| − 2 |b| = 0  ⇔ . ⇔ ⇔ ⇔ |b| = 1 ⇔   b=1  2 |b| − 2a = 0 a = |b| a = |b|    ( a = |b|  a=1  b = −1 Vậy có 3 số phức z thỏa mãn. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 12 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án D  Câu 36. Giả sử z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn (z − 6) 8 + zi là số thực. Biết rằng |z1 − z2 | = 4, giá trị nhỏ nhất của |z1 + 3z2 | bằng √ √ A. 5 − 21. B. 20 − 4 21. √ C. 20 − 4 22. D. 5 − √ 22. Lời giải. y B M H A I 4 M0 3 x O Giả sử z = x + yi, x, y ∈ R. Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1 , z2 . Suy ra AB = |z1 − z2 | = 4.  * Ta có (z − 6) 8 + zi = [(x − 6) + yi] · [(8 − y) − xi] = (8x + 6y − 48) − (x2 + y 2 − 6x − 8y)i. Theo  giả thiết (z − 6) 8 + zi là số thực nên ta suy ra x2 + y 2 − 6x − 8y = 0. Tức là các điểm A, B thuộc đường tròn (C) tâm I(3; 4), bán kính R = 5. # » # » #» # » # » # » * Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa M A + 3M B = 0 ⇔ OA + 3OB = 4OM . Gọi H là trung điểm √ √ AB. Ta tính được HI 2 = R2 − HB 2 = 21; IM = HI 2 + HM 2 = 22, suy ra điểm M thuộc đường √ tròn (C 0 ) tâm I(3; 4), bán kính r = 22. # » # » # » * Ta có |z1 + 3z2 | = OA + 3OB = 4OM = 4OM , do đó |z1 + 3z2 | nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất. √ Ta có (OM )min = OM0 = |OI − r| = 5 − 22. √ Vậy |z1 + 3z2 |min = 4OM0 = 20 − 4 22.  Chọn đáp án C Câu 37. Trong hình vẽ bên, điểm P biểu diễn số phức z1 , điểm Q biểu diễn số phức z2 . Tìm số phức z = z1 + z2 . A. 1 + 3i. B. −3 + i. y P C. −1 + 2i. 2 D. 2 + i. Q 1 −1 O 2 x Lời giải. Theo hình vẽ ta có z1 = −1 + 2i, z2 = 2 + i nên z = z1 + z2 = 1 + 3i.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 13 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 38. Cho số thực a > 2 và gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 − 2z + a = 0. Mệnh đề nào sau đây sai? B. z1 − z2 là số ảo. A. z1 + z2 là số thực. C. z1 z2 + là số ảo. z2 z1 D. z1 z2 + là số thực. z2 z1 Lời giải. Xét phương trình z 2 − 2z + a = 0. Ta có ∆0 = 1 − a < 0 (∀a > 2). √ √ Nên phương trình có 2 nghiệm phức là: z1 = 1 + a − 1i; z2 = 1 − a − 1i (không làm mất tính tổng quát). Ta có √ √ a − 1i + 1 − a − 1i = 2 là một số thực nên A đúng. √ √ √ z1 − z2 = (1 + √a − 1i) − (1 −√ a − 1i) = 2 a − 1 là một số ảo (với ∀a > 2) nên B đúng. z1 z2 1 + a − 1i 1− a−1 4 − 2a √ √ + = + = là một số ảo (với ∀a > 2) nên C sai. z2 z1 a 1 − a − 1i 1 + a − 1i z1 + z2 = 1 +  Chọn đáp án C √ 3 và |z1 − z2 | = 2. Môđun |z1 + z2 | bằng √ √ D. 2 2. C. 2. Câu 39. Cho hai số phức z1 ,z2 thỏa mãn |z1 | = |z2 | = A. 2. B. 3. Lời giải. 1 Cách 1: Gọi các số phức z1 = a1 + b1 i, z2 = a2 + b2 i, (a1 , a2 , b1 , b2 ∈ R). p p √ √ Ta có |z1 | = a21 + b21 = 3 ⇒ a21 + b21 = 3, |z2 | = a22 + b22 = 3 ⇒ a22 + b22 = 3. Do đó » ⇔ (a1 − a2 )2 + (b1 − b2 )2 = 2 |z1 − z2 | = 2 ⇔ (a1 − a2 )2 + (b1 − b2 )2 = 4 ⇔ a21 + b21 + a22 + b22 − 2a1 a2 − 2b1 b2 = 4 ⇔ 2a1 a2 + 2b1 b2 = 2. » p √ √ Do đó |z1 + z2 | = (a1 + a2 )2 + (b1 + b2 )2 = a21 + b21 + a22 + b22 + 2a1 a2 + 2b1 b2 = 8 = 2 2. 2 2 2 2 Cách 2: Ta có |z1 − z2 | = (z1 − z2 )(z1 − z2 ) = |z1 | + |z2 | − (z1 z2 + z2 z1 ) = 4 |z1 + z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = |z1 |2 + |z2 |2 + (z1 z2 + z2 z1 ) = 8 √ ⇒ |z1 + z2 | = 2 2.  Chọn đáp án D z + 1 − i. Tìm giá trị lớn nhất của T = w √ √ 2 2 C. . D. 2. 3 Câu 40. Cho số phức z và w thỏa mãn (2 + i)|z| = |w + 1 − i|. √ 4 2 A. . 3 Lời giải. √ 2 B. . 3 Nhận xét z = 0 không thỏa mãn giả thiết của bài toán. Đặt |z| = R, R > 0. Ta có (2 + i)|z| = ⇒ z z + 1 − i ⇔ (2R − 1) + (R + 1)i = w w √ R = 5R2 − 2R + 2 |w| 1 ⇒ = |w| 5R2 − 2R + 2 = R2 … Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 2 2 5− + 2 = R R 14 Å 1 1 2 − R 2 ã2 + 9 3 ≥ √ , ∀R > 0. 2 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 √ Suy ra |w| ≤ 2 , ∀R > 0. ta có 3 √ 4 2 2 √ + 2= . T = |w + 1 − i| ≤ |w| + |1 − i| ≤ 3 3 √ Đẳng thức xảy ra khi    |z| = 2   z = 2 w = k(1 − i), k > 0 ⇔   = 1 (1 − i).  z  (2 + i)|z| = + 1 − i 3 w √ 4 2 Vậy max T = . 3 Chọn đáp án A  Câu 41. Cho số phức z = Oxy. A. (1; 4). (2 − 3i) (4 − i) . Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng 3 + 2i C. (−1; −4). B. (−1; 4). D. (1; −4). Lời giải. Ta có z= (2 − 3i) (4 − i) (8 − 3) − (2 + 12) i = 3 + 2i 3 + 2i 5 − 14i = 3 + 2i (5 − 14i) (3 − 2i) = (3 + 2i) (3 − 2i) (15 − 28) − (10 + 42) i = 9+4 −13 − 52i = = −1 − 4i. 13 Vậy điểm biểu diễn số phức ztrên mặt phẳng Oxy là M (−1; −4).  Chọn đáp án C Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z thỏa mãn |z − 1 + 2i| = |z + 1 + 2i| là đường thẳng có phương trình. A. x − 2y + 1 = 0. C. x − 2y = 0. B. x + 2y = 0. D. x + 2y + 1 = 0. Lời giải. Đặt z = x + yi (x, y ∈ R) ⇒ z = x − yi và M (x; y) là điểm biểu diễn của số phức z. Ta có: |z − 1 + 2i| = |z + 1 + 2i| ⇔ |x + yi − 1 + 2i| = |x − yi + 1 + 2i| ⇔ |(x − 1) + (y + 2)i| = |(x + 1) + (2 − y)i| » » ⇔ (x − 1)2 + (y + 2)2 = (x + 1)2 + (2 − y)2 ⇔ x2 − 2x + 1 + y 2 + 4y + 4 = x2 + 2x + 1 + y 2 − 4y + 4 ⇔ x − 2y = 0. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 15 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Vậy tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng có phương trình là x − 2y = 0.  Chọn đáp án C Câu 43. Cho số phức z = (1 − 2i)2 . Tính mô đun của số phức A. 1 . 5 B. √ 5. C. 1 . z 1 . 5 1 D. √ . 5 Lời giải. Ta có z = (1 − 2i)2 = 1 − 4i + 4i2 = −3 − 4i. 1 1 3 4 ⇒ = = − + i. z −3 − 4i 25 25 ã Å ã2 Å 1 4 1 3 2 = + = . Do đó − z 25 5 5  Chọn đáp án A Câu 44. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 4z + 5 = 0. Tính w = i (z12 z2 + z22 z1 ). 4 A. w = − + 20i. 5 Lời giải. Theo hệ thức Vi-et, ta có B. w = 4 + 20i. 5 C. w = 4 + 20i. 1 1 + + z1 z2 4 D. w = 20 + i. 5 ( z1 + z2 = 4 z1 z2 = 5. Suy ra w = z2 + z1 4 + i (z1 + z2 ) z1 z2 = + 20i. z1 z2 5  Chọn đáp án B Câu 45. Cho số phức z thỏa |z − 1 + 2i| = 3. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w = 2z + i trên mặt phẳng (Oxy) là một đường tròn. Tìm tâm của đường tròn đó. A. I (2; −3). B. I(1; 1). C. I(0; 1). D. I(1; 0). Lời giải. Gọi M là điểm biểu diễn số phức w. w−i Ta có w = 2z + i ⇔ z = . 2 w−i Do đó |z − 1 + 2i| = 3 ⇔ − 1 + 2i = 3 ⇔ |w − 2 + 3i| = 6 ⇔ M I = 6, với I (2; −3). 2 Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm I (2; −3) và bán kính R = 6.  Chọn đáp án A √ √ √ √ Câu 46. Cho hai số phức z, w thỏa mãn |z − 3 2| = 2, |w − 4 2i| = 2 2. Biết rằng |z − w| đạt giá trị nhỏ nhất khi z = z0 , w = w0 . Tính |3z0 − w0 |. √ √ A. 2 2. B. 4 2. C. 1. √ D. 6 2. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 16 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có: y √ √ |z − 3 2| = 2, suy ra tập hợp điểm biểu diễn M √ biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I(3 2; 0), √ bán kính r = 2. √ √ |w − 4 2i| = 2 2, suy ra tập hợp điểm biểu diễn N √ biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm J(0; 4 2), √ bán kính R = 2 2. 8 6 J 4 N Suy ra |z − w| = M N . Mặt khác IM + M N + N J ≥ IJ 2 M ⇒ M N ≥ IJ − IM − N J. √ √ √ √ Hay M N ≥ 5 2 − 2 − 2 2 = 2 2. √ Suy ra min M N = 2 2 khi I, M , N , J thẳng hàng và M , N nằm giữa I, J (Hình vẽ). I −2 O 2 4 6 x Khi đó ta có: # » # » # » 1 #» # » 3 #» |3z0 − w0 | = |3OM − ON |, IM = IJ; IN = IJ. 5 5 # » # » # » # » 3 #» # » #» # » # » 1 #» # » 3 #» Mặt khác ON = OI + IN = OI + IJ; 3OM = 3(OI + IM ) = 3(OI + IJ) = 3OI + IJ. 5 5 5 √ # » # » # » 3 #» # » 3 #» #» Suy ra |3z0 − w0 | = |3OM − ON | = |3OI + IJ − (OI + IJ)| = |2OI| = 6 2. 5 5 Chọn đáp án D  Câu 47. Tính tổng của tất cả các giá trị của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn đồng thời |z| = m và |z − 4m + 3mi| = m2 . A. 4. B. 6. C. 9. D. 10. Lời giải. Đặt z = x + yi (x, y ∈ R). Khi đó, điểm biểu diễn của z là M (x; y). Với m = 0, ta có z = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với m > 0, ta có |z| = m ⇔ M thuộc đường tròn (C1 ) tâm I(0; 0), bán kính R = m. |z − 4m + 3mi| = m2 ⇔ (x − 4m)2 + (y + 3m)2 = m4 ⇔ M thuộc đường tròn (C2 ) tâm I 0 (4m; −3m), bán kính R0 = m2 . Có duy nhất một số phức zthỏa cầu bài toán khi và chỉ khi (C1 ) và (C2 ) tiếp xúc ” mãn yêu 2 5m = m + m  ” ” 0   m=4 II = R + R0 nhau ⇔ ⇔ . 5m = |m2 − m| ⇔  II 0 = |R − R0 | m = 6   m>0 Suy ra, tập giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là {0; 4; 6}. Do đó, tổng tất cả các giá trị của m là 10.  Chọn đáp án D Câu 48. Cho a, b là các số thực thỏa mãn a + 6i = 2 − 2bi, với i là đơn vị ảo. Giá trị của a + b bằng A. −1. C. −4. B. 1. D. 5. Lời giải. Ta có a + 6i = 2 − 2bi ⇒ ( a=2 6 = −2b ⇒ ( a=2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em b = −3 ⇒ a + b = −1. 17 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án A Câu 49. Cho số phức z thỏa mãn (2 + 3i)z + 4 − 3i = 13 + 4i. Mô-đun của z bằng √ √ D. 10. A. 20. B. 4. C. 2 2. Lời giải. (2 + 3i)z + 4 − 3i = 13 + 4i ⇔ (2 + 3i)z = 13 + 4i − 4 + 3i ⇔ (2 + 3i)z = 9 + 7i 9 + 7i ⇔ z= 2 + 3i (9 + 7i)(2 − 3i) ⇔ z= (2 + 3i)(2 − 3i) 18 − 21.i2 + 14i − 27i ⇔ z= 22 + 32 39 − 13i ⇔ z= 13 ⇔ z =3−i » √ ⇒ |z| = 32 + (−1)2 = 10 .  Chọn đáp án D Câu 50. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn |(1 + i)z − 5 + i| = 2 là một đường tròn tâm I và bán kính R lần lượt là √ √ B. I(2; −3), R = 2. C. I(−2; 3), R = 2. D. I(−2; 3), R = 2. A. I(2; −3), R = 2. Lời giải. Gọi số phức z = x + yi. |(1 + i)z − 5 + i| = 2 ⇔ |(1 + i)(x + yi) − 5 + i| = 2 ⇔ |(x − y − 5) + (x + y + 1)i| = 2 ⇔ (x − y − 5)2 + (x + y + 1)2 = 4 ⇔ (x − y)2 − 10(x − y) + 25 + (x + y)2 + 2(x + y) + 1 = 4 ⇔ 2×2 + 2y 2 − 8x + 12y + 22 = 0 ⇔ x2 + y 2 − 4x + 6y + 11 = 0 ⇔ (x − 2)2 + (y + 3)2 = 2 . Vậy đường tròn biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện bài toán có tâm I(2; −3), R = √ 2.  Chọn đáp án A z+2 là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các z − 2i số phức z luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng √ √ A. 1. B. 2. C. 2 2. D. 2. Câu 51. Xét số phức z thỏa mãn Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 18 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Gọi z = a + bi ta có: z+2 (a + 2) + bi [(a + 2) + bi] [a − (b − 2)i] = = z − 2i a + (b − 2i)i [a + (b − 2)i] [a − (b − 2)i] (a + 2)a − (a + 2)(b − 2)i + abi + b(b − 2) = . a2 + (b − 2)2 a2 + 2a + b2 − 2b (a + 2) (b − 2) − ab − i. = a2 + (b − 2)2 a2 + (b − 2)2 Để số trên là số thuần ảo ⇒ có phần thực bằng 0 ⇒ a2 + 2a + b2 − 2b = 0. Vậy » tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(−1; 1), bán kính √ R = (−1)2 + 12 − 0 = 2.  Chọn đáp án B Câu 52. Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn |z1 | = |z2 | = |z3 | = 1 và z13 + z23 + z33 + z1 z2 z3 = 0. Đặt z = z1 + z2 + z3 , giá trị của |z|3 − 3|z|2 bằng A. −2. Lời giải. B. −4. C. 4. D. 2. Do các giả thiết đã cho đúng với mọi cặp số phức z1 , z2 , z3 nên ta chọn z1 = z2 = 1, kết hợp giả thiết ta có: z13 + z23 + z23 + z1 z2 z3 = 0 ⇔ 1 + 1 + z33 + z3 = 0 ⇔ z33 + z3 + 2 = 0 ⇔ z3 = −1, thỏa mãn |z3 | = 1. Khi đó ta có 1 cặp (z1 , z2 , z2 ) = (1; 1; −1) thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Khi đó z = z1 + z2 + z3 = 1 + 1 − 1 = 1. ⇒ |z|3 − 3|x|2 = 1 − 3.1 = −2.  Chọn đáp án A Câu 53. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z. Tìm y 1 phần thực và phần ảo của số phức z. A. Phần thực là −2 và phần ảo là i. x O B. Phần thực là 1 và phần ảo là −2. C. Phần thực là 1 và phần ảo là −2i. −2 M D. Phần thực là −2 và phần ảo là 1. Lời giải. Điểm M có tọa độ M (1; −2) nên z = 1 − 2i. Vậy phần thực là 1 và phần ảo là −2.  Chọn đáp án B Câu 54. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn |z + 2 − i| = 4 là đường tròn có tâm I và bán kính R lần lượt là A. I (2; −1); R = 2. Lời giải. B. I (−2; −1); R = 4. C. I (−2; −1); R = 2. D. I (2; −1); R = 4. Gọi z = x + yi với x, y ∈ R nên điểm biểu diễn của số phức z là M (x; y). Theo giả thiết |z + 2 − i| = 4 nên ta có |x − yi + 2 − i| = 4 » ⇔ (x + 2)2 + (y + 1)2 = 4 ⇔ (x + 2)2 + (y + 1)2 = 16. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (−2; −1) và bán kính R = 4. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 19 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Chọn đáp án B  Câu 55. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z 2 − z + 2 = 0. Tính T = |z1 |2 + |z2 |2 . 2 8 4 11 A. T = . B. T = . C. T = . D. T = − . 3 3 3 9 Lời giải. √  1 + 23i 2 z1 = ⇒ |z1 |2 =  6√ 3 Ta có 3z 2 − z + 2 = 0 ⇔   1 − 23i 2 z2 = ⇒ |z2 |2 = . 6 3 2 2 4 2 2 Vậy T = |z1 | + |z2 | = + = . 3 3 3 Chọn đáp án C  Câu 56. Số phức liên hợp của z = 4 + 3i là A. z = −3 + 4i. B. z = 4 − 3i. C. z = 3 + 4i. D. z = 3 − 4i. Lời giải. Số phức liên hợp của z = 4 + 3i là z = 4 − 3i.  Chọn đáp án B Câu 57. Cho z là số phức thỏa |z| = |z + 2i|. Giá trị nhỏ nhất của |z − 1 + 2i| + |z + 1 + 3i| là √ √ √ √ A. 5. B. 5 2. C. 13. D. 29. Lời giải. Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R). » » 2 2 Ta có T = |z − 1 + 2i| + |z + 1 + 3i| = (x − 1) + (y + 2) + (x + 1)2 + (y + 3)2 = M A + M B, với A (1; −2) , B (−1; −3) , M (x; y). Từ giả thiết |z| = |z + 2i| ⇔ y = −1. Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z nằm trên đường thẳng y = −1, do đó M (x; −1). Ta thấyA (1; −2) , B (−1; −3) nằm cùng phía với đường thẳng y = −1. Gọi A0 là điểm đối xứng với A qua đường thẳng y = −1 thì A0 (1; 0). 0 Å 0 Do đó T = M A + M B = M A + M B nhỏ nhất khi A , B, M thẳng hàng ⇒ M √ Khi đó T = M A + M B = M A0 + M B = 13. ã 1 ;0 . 3  Chọn đáp án C Câu 58. Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) thỏa mãn z + 1 + 3i − |z| i = 0. Tính S = 2a + 3b. A. S = −5. C. S = −6. B. S = 5. D. S = 6. Lời giải. Ä ä √ Ta có z + 1 + 3i − |z| i = 0 ⇔ (a + 1) + b + 3 − a2 + b2 i = 0  ( (  a = −1 a+1=0 a = −1 √ √ ⇔ ⇔ ⇔  b = −4 b + 3 − a2 + b 2 = 0 b + 3 − 1 + b2 = 0 3 Suy ra S = 2a + 3b = −6.  Chọn đáp án C Câu 59. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 20 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức y z = (1 + i)(2 − i)? A. P . B. M . N C. N . 3 M D. Q. Q 1 x −3 −1 1 3 −1 P Lời giải. Ta có: z = 2 − i + 2i − i2 = 3 + i.  Chọn đáp án D Câu 60. Cho số phức z, biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức z; iz và z + iz tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18. Tính mô-đun của số phức z. √ √ A. 2 3. B. 3 2. C. 6. D. 9. Lời giải. Giả sử z = a + bi, với a, b là số thực. Gọi M, N, P lần lượt là điểm biểu diễn số phức z, iz và z + iz. p √ Khi đó M (a; b); N (−b; a); P (a − b; a + b). Suy ra M N = 2(a2 + b2 ); N P = P M = a2 + b2 . Suy ra tam giác M N P vuông cân tại P . √ 1 Ta có S∆M N P = 18 ⇔ · N P · P M = 18 ⇔ a2 + b2 = 36 ⇔ |z| = a2 + b2 = 6. 2 Chọn đáp án C  Câu 61. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z + 2 − i| = 4 là đường tròn tâm I có bán kính R lần lượt là A. I(−2; −1); R = 4. B. I(−2; −1); R = 2. C. I(2; −1); R = 4. D. I(2; −1); R = 2. Lời giải. Gọi z = a + bi, với a, b ∈ R. Suy ra z = a − bi. Ta có |z + 2 − i| = 4 ⇔ (a + 2)2 + (−b − 1)2 = 16 ⇔ (a + 2)2 + (b + 1)2 = 16. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm I(−2; −1), bán kính R = 4.  Chọn đáp án A Câu 62. Cho số phức z = a + bi với (a, b ∈ R). Khẳng định nào sau đây là sai? √ A. |z| = a2 + b2 . B. z = a − bi. C. z 2 là số thực. D. z · z là số thực. Lời giải. Ta có z 2 = (a + bi)2 = a2 − b2 + 2abi ⇒ z 2 không phải là số thực khi ab 6= 0.  Chọn đáp án C Câu 63. Cho hai số phức z và z 0 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. |z + z 0 | = |z| + |z 0 |. B. |z · z 0 | = |z| · |z 0 |. C. z · z 0 = z · z 0 . D. z + z 0 = z + z 0 . Lời giải. Mệnh đề |z + z 0 | = |z| + |z 0 | sai vì với z = 1 + i và z 0 = 1 − i thì |z + z 0 | = |(1 + i) + (1 − i)| = |2| = 2 √ |z| + |z 0 | = |1 + i| + |1 − i| = 2 2 ⇒|z + z 0 | = 6 |z| + |z 0 |.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 21 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 64. Mặt phẳng có phương trình nào sau đây song song với trục Ox? A. y − 2z + 1 = 0. B. 2y + z = 0. C. 2x + y + 1 = 0. D. 3x + 1 = 0. Lời giải. #» Ta có trục Ox có véc-tơ chỉ phương là i = (1; 0; 0). Gọi (P1 ) : y − 2z + 1 = 0, (P2 ) : 2y + z = 0, (P3 ) : 2x + y + 1 = 0, (P4 ) : 3x + 1 = 0. Khi đó, (P1 ), (P2 ), (P3 ), (P4 ) có véc-tơ pháp tuyến lần lượt là #» n 1 = (0; 1; −2), #» n 2 = (0; 2; 1), #» n 3 = (2; 1; 0), #» n 4 = (3; 0; 0). #» Ta thấy #» n 1 · i = 0 và O(0; 0; 0) 6∈ (P1 ) ⇒ (P1 ) k Ox.  Chọn đáp án A Câu 65. Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2 + 6z + 13 = 0. Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức w = (i + 1) z1 . A. M (−5; −1). C. M (−1; −5). B. M (5; 1). D. M (1; 5). Lời giải. ” Ta có z 2 + 6z + 13 = 0 ⇔ z = −3 + 2i z = −3 − 2i. Vì z1 là nghiệm có phần ảo dương nên z1 = −3 + 2i. Ta có w = (i + 1)(−3 + 2i) = −5 − i ⇒ M (−5; −1).  Chọn đáp án A Câu 66. Tập hợp tất cả các số thực x không thỏa mãn bất phương trình 3x 2 −9 + (x2 − 9) 5x+1 ≥ 1 là một khoảng (a; b). Tính b − a. A. 6. B. 3. C. 4. D. 8. Lời giải. Với x2 − 9 ≥ 0 ⇔ Ta có 3x 2 −9 ” x≥3 . x ≤ −3 ≥ 30 = 1 và (x2 − 9) · 5x+1 ≥ 0 nên thỏa mãn bất phương trình. Với x2 − 9 < 0 ⇔ −3 < x < 3. 2 Ta có 3x −9 < 30 = 1 và (x2 − 9) · 5x+1 < 0 nên không thỏa mãn bất phương trình. Suy ra tập hợp các số thực x không thỏa mãn bất phương trình là khoảng (−3; 3). Khi đó a = −3, b = 3 ⇒ b − a = 6.  Chọn đáp án A Câu 67. Tìm mô-đun của số phức z biết z − 4 = (1 + i) |z| − (4 + 3z) i. 1 A. |z| = . B. |z| = 2. C. |z| = 4. 2 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 22 D. |z| = 1. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có z − 4 = (1 + i) |z| − (4 + 3z) i ⇔z − 4 = |z| + i|z| − 4i − 3iz ⇔z(1 + 3i) = |z| + 4 + (|z| − 4) i ⇒ |z(1 + 3i)| = ||z| + 4 + (|z| − 4) i| (lấy mô-đun hai vế) » √ ⇔|z| · 10 = (|z| + 4)2 + (|z| − 4)2 ⇔10|z|2 = 2|z|2 + 32 ⇔|z|2 = 4 ⇔ |z| = 2.  Chọn đáp án B Câu 68. Cho số phức z = x + yi với x, y ∈ R thỏa mãn |z − 1 − i| ≥ 1 và |z − 3 − 3i| ≤ √ 5. Gọi m, M M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + 2y. Tính tỉ số . m 9 7 5 14 A. . B. . C. . D. . 4 2 4 5 Lời giải. Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z, I(1; 1) y là điểm biểu diễn số phức 1 + i và J(3; 3) là điểm biểu diễn số phức 3 + 3i. Theo giả thiết |z − 1 − i| ≥ 1 ⇔ IM ≥ 1 ⇔ M không nằm trong (có thể thuộc) đường tròn (C) có tâm là I(1; 1), bán kính R = 1. √ √ Mặt khác |z − 3 − 3i ≤ 5 ⇔ JM ≤ 5 ⇔ M 6 5 nằm trong hình tròn (C 0 ) có tâm là J(3; 3), bán √ kính R0 = 5. 4 Xét đường thẳng d : x + 2y = P 2 ⇒ d : x + 2y − P = 0. Vì M ∈ d và M nằm trong hình tròn (C 0 ) nên P nhỏ nhất hoặc lớn nhất khi d tiếp xúc với (C 0 ) đồng thời M phải không nằm trong hình tròn 3 1 −1 O −1 x + 2y − 14 = 0 J I 1 2 3 x + 2y = 0 4 5 6 x x + 2y − 4 = 0 (C). Đường thẳng d tiếp xúc với (C 0 ) khi và chỉ khi " P =4 |9 − P | √ d(J; d) = R0 ⇔ √ = 5 ⇔ |9 − P | = 5 ⇔ 5 P = 14. Với P = 4 ⇒ d : x + 2y − 4 = 0. Vì(M là tiếp điểm nên(JM ⊥ d ⇒ JM : 2x − y − 3 = 0. x + 2y − 4 = 0 x=2 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ ⇔ ⇒ M (2; 1) ⇒ IM = 1 = R 2x − y − 3 = 0 y=1 ⇒ M không nằm trong đường tròn (C). Với P = 14 ⇒ d : x + 2y − 14 = 0. ( Vì M là tiếp điểm nên ( JM ⊥ d ⇒ JM : 2x − y − 3 = 0. x + 2y − 14 = 0 x=4 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ ⇔ ⇒ M (4; 5) ⇒ IM = 5 > R 2x − y − 3 = 0 y=5 ⇒ M không nằm trong đường tròn (C). M 14 7 Vậy m = 4 và M = 14 ⇒ = = . m 4 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 23 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án B Câu 69. Cho số phức z = 6 + 17i. Điểm biểu diễn cho số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy là A. M (−6; −17). B. M (−17; −6). C. M (17; 6). D. M (6; 17). Lời giải. Điểm biểu diễn cho số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy là M (6; 17). Chọn đáp án D  1 trên mặt phẳng tọa độ Oxy có tọa độ là Câu 70. Điểm biểu diễn của số phức z = Å ã 2 − 3i 2 3 A. (3; −3). B. ; . C. (3; −2). D. (2; −3). 13 13 Lời giải. 2 3 1 = + i. z= 2 − 3i 13 13 Chọn đáp án B  Câu 71. Trong các số phức z thỏa mãn |z − 1 + i| = |z + 1 − 2i|, số phức z có mô-đun nhỏ nhất là −3 3 3 3 + i. B. + i. 5 10 5 10 Lời giải. Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R). A. C. −3 3 − i. 5 10 D. 3 3 − i. 5 10 |z − 1 + i| = |z + 1 − 2i| ⇔ |x + yi − 1 + i| = |x − yi + 1 − 2i| ⇔ (x − 1)2 + (y + 1)2 = (x + 1)2 + (y + 2)2 ⇔ −2x + 1 + 2y + 1 = 2x + 1 + 4y + 4 ⇔ 4x + 2y = −3 ⇒ (4x + 2y)2 = 9 3 ⇒ 9 ≤ (42 + 22 )(x2 + y 2 ) ⇒ |z| ≥ √ . 2 5   3  2x + y = −3 x = − 5 . Vậy z = − 3 − 3 i. Đẳng thức xảy ra khi x ⇔ y  =  5 10 y = − 3 2 1 10 Chọn đáp án C  Câu 72. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z 2 − 2z + 5| = |(z − 1 + 2i)(z + 3i − 1)|. Giá trị nhỏ nhất của |z − 2 + 2i| bằng √ 3 5 A. 5. B. 1. C. . D. . 2 2 Lời giải. |z 2 − 2z + 5| = |(z − 1 + 2i)(z + 3i − 1)| ⇔ |(z − 1 − 2i)(z − 1 + 2i)| = |(z − 1 + 2i)(z + 3i − 1)| ⇔ |z − (1 + 2i)| · |z − (1 − 2i)| = |z − (1 − 2i)| · |z + (−1 + 3i)| ” |z − (1 − 2i)| = 0 ⇔ |z − (1 + 2i)| = |z + (−1 + 3i)|. • Nếu |z − (1 − 2i)| = 0 ⇒ z = 1 − 2i ⇒ |z − 2 + 2i| = | − 1| = 1. 1 3 • Nếu |z − (1 + 2i)| = |z + (−1 + 3i)| ⇒ y = − . Giá trị nhỏ nhất của |z − 2 + 2i| bằng . 2 2 Nhận xét: Không cần xét trường hợp sau, vì trong các đáp án 1 là giá trị nhỏ nhất. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 24 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án B Câu 73. Tính tổng S = 1 + i3 + i6 + · · · + i2016 . B. S = −1. A. S = 1. C. S = i. D. S = −i. Lời giải. Ta có 1, i3 , i6 , . . . , i2016 là một cấp số nhân có 673 số hạng với u1 = 1 và q = i3 nên S= 1 − (i3 )673 1 − i3 1 − i3 · (−i)672 = = 1. = 1 − i3 1+i 1+i  Chọn đáp án A Câu 74. Cho hai số phức z1 = 1 + 2i và z2 = 2 − 3i. Phần ảo của số phức w = 3z1 − 2z2 là A. 12. B. 1. C. 11. D. 12i. Lời giải. w = 3z1 − 2z2 = −1 + 12i. Vậy w có phần ảo là 12.  Chọn đáp án A Câu 75. Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2x + 1 + (1 − 2y)i = 2(2 − i) + yi − x. Khi đó giá trị của x2 − 3xy − y bằng A. −3. C. −2. B. 1. D. −1. Lời giải. 2x + 1 + (1 − 2y)i = 2(2 − i) + yi − x ⇔ 2x + 1 + (1 − 2y)i = 4 − x + (y − 2)i ( 2x + 1 = 4 − x ⇔ 1 − 2y = y − 2 ( x=1 ⇔ y = 1. Suy ra x2 − 3xy − y = −3.  Chọn đáp án A Câu 76. Cho M là tập hợp các số phức z thỏa |2z − i| = |2 + iz|. Gọi z1 , z2 là hai số phức thuộc tập hợp M sao cho |z1 − z2 | = 1. Tính giá trị của biểu thức P √ = |z1 + z2 |. √ √ 3 B. P = 3. C. P = A. P = 2. . 2 Lời giải. D. P = 2. Gọi z = x + yi, với x, y ∈ R. Ta có |2z − i| = |2 + iz| ⇔ |2x + (2y − 1)i| = |2 − y + xi| ⇔ x2 + y 2 = 1. Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn (C) có tâm O và bán kính R = 1. Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 , z2 . Ta có A, B thuộc (C) và √ # » # » # » |z1 − z2 | = 1 ⇔ AB = 1. Suy ra 4OAB đều nên P = |z1 + z2 | = OA + OB = 2 OH = 3.  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 25 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 77. Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn (2 − i)z = 1 − 2i. i 4 3 B. . C. . A. − . 5 2 5 Lời giải. 1 − 2i 4 3 Ta có (2 − i)z = 1 − 2i ⇒ z = = − i. 2−i 5 5 Chọn đáp án A D. −3i . 2  Câu 78. Cho số phức z có môđun bằng 2018 và w là số phức thỏa mãn biểu thức Môđun của số phức w bằng A. 2018. B. 2019. C. 2017. D. 1 1 1 + = . z w z+w √ 2019. Lời giải. Ç √ å2 Å ã 1 1 1 (z + w)2 − zw 1 2 i 3w Từ giả thiết ta có + = ⇒ = 0, suy ra z + w = − . z w z+w zw(z + w) 2 2 Ç Ç √ å √ å 1 i 3 2018 1 i 3 w hoặc z = − + w ⇒ |w| = − … Khi đó z = − − = 2018. 2 2 2 2 1 3 + 4 4  Chọn đáp án A Å ã4 z−1 2018 Câu 79. Gọi z1 , z2 , z3 và z4 là các nghiệm của phương trình . Tính giá trị của = 2z − i 2019 biểu thức P = (z12 + 1)(z22 + 1)(z32 + 1)(z42 + 1). (81 · 2018 + 2019 · 16)(2018 − 2019 · 16) (81 · 2018 − 2019 · 16)(2018 − 2019 · 16) . B. . A. 2 (2018 · 16 − 2019) (2018 · 16 − 2019)2 (81 · 2019 − 2018 · 16)(2019 − 2018 · 16) (81 · 2018 − 2019 · 16)(2018 + 2019 · 16) . D. . C. 2 (2018 · 16 − 2019) (2018 · 16 − 2019)2 Lời giải. Đặt f (z) = 2018(2z − i)4 − 2019(z − 1)4 = (2018 · 16 − 2019)(z − z1 )(z − z2 )(z − z3 )(z − z4 ). Ta lại có zk2 + 1 = (zk + i)(zk − i), với k = 1, 2, 3, 4. Do đó P = f (i) · f (−i) (81 · 2018 − 2019 · 16)(2018 − 2019 · 16) . 2 = (2018 · 16 − 2019) (2018 · 16 − 2019)2  Chọn đáp án A Câu 80. Gọi M và N lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 , z2 khác 0. Khi đó khẳng định nào sau đây sai? A. |z1 + z2 | = M N . C. |z1 − z2 | = M N . y N B. |z2 | = ON . M D. |z1 | = OM . x O Lời giải. Gọi z1 = a1 + b1 i ⇒ M (a1 , b1 ), z2 = a2 + b2 i ⇒ M (a2 , b2 ). p Ta có |z1 + z2 | = (a1 + a2 )2 + (b1 + b2 )2 . p Mà M N = (a1 − a2 )2 + (b1 − b2 )2 . Suy ra |z1 + z2 | = 6 MN.  Chọn đáp án A Câu 81. Cho các số phức z thỏa mãn |zi − (2 + i)| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Tâm I của đường tròn đó là Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 26 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. I(1; −2) . Chương 3-Giải tích 12 C. I(−1; −2) . B. I(−1; 2) . D. I(1; 2). Lời giải. p Ta có |i(z − 1 + 2i)| = 2 ⇒ |z − 1 + 2i| = 2 ⇒ (x − 1)2 + (y + 2)2 = 2. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1; −2).  Chọn đáp án A Câu 82. Cho số phức z thỏa mãn (1 − i) · z + (1 + 2i) · (1 − 2z) = 10 + 7i. Tính mô đun của z. √ √ A. 3 . B. 3 . C. 5 . D. 5 . Lời giải. Đặt z = a + bi. Ta có (1 − i) · z + (1 + 2i) · (1 − 2z) = 10 + 7i ⇔ (1 − i)(a − bi) + (1 − 2i)(1 − 2(a + bi)) = 10 + 7i ⇔ a − b − ai − bi + (1 − 2i)(1 − 2a − 2bi) = 10 + 7i ⇔ a − b − ai − bi + 1 − 2a − 2(1 − 2a)i − 2bi − 4b = 10 + 7i ⇔ −3a − 5b + 1 + 3ai − 3bi − 2i = 10 + 7i ( − 3a − 5b + 1 = 10 ⇔ 3a − 3b − 2 = 7 ( a=1 ⇔ b = −2. ⇒ |z| = |1 − 2i| = √ 5.  Chọn đáp án D 1 − (1 − i)33 + (1 − 2i) là 1−i 5 3 B. i. C. − i. 2 2 Câu 83. Phần ảo của số phức z = 3 5 . D. − . 2 2 Lời giải. 1 3 5 3 5 3 5 z= − (1 − i)32 + 1 + 2i = + i − (1 − i)32 = + i − (−2i)16 = + i − (−4)8 . 1−i 2 2 2 2 2 2 5 Vậy phần ảo của số phức z là . 2 Chọn đáp án A A.  Câu 84. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn cho số phức nào trong 4 số phức được liệt kê dưới đây? A. z = 4 − 2i. B. z = 2 + 4i. C. z = 4 + 2i. y 4 M D. z = 2 − 4i. O 2 x Lời giải. Ta có tọa độ M (2; 4), suy ra số phức biểu diễn bởi M là z = 2 + 4i.  Chọn đáp án B Câu 85. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho số phức z thỏa mãn |z − 1 + 2i| = 3. Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w = z(1 + i) là đường tròn nào dưới đây? Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 27 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 √ A. Tâm I(3; −1), R = 3 2. √ C. Tâm I(−3; 1), R = 3 2. Lời giải. Ta có w = z(1 + i) ⇔ z = B. Tâm I(−3; 1), R = 3. D. Tâm I(3; −1), R = 3. w . Thay z vào điều kiện |z − 1 + 2i| = 3, ta được 1+i w − 1 + 2i = 3 ⇔ 1+i 1 · |w − 3 + i| = 3 1+i √ ⇔ |w − 3 + i| = 3 2. Giả sử số phức w = x + yi, x, y ∈ R. Ta được √ (x − 3)2 + (y + 1)2 = (3 2)2 . √ Vậy tập hợp của số phức w là đường tròn tâm I(3; −1), bán kính R = 3 2.  Chọn đáp án A Câu 86. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn (1 + i)z + z̄ là số thuần ảo và |z − 2i| = 1. A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số. Lời giải. Giả sử z = a + bi trong đó a, b ∈ R, ta có z̄ = a − bi. Số phức (1+i)z+z̄ = (1+i)(a+bi)+(a−bi) = 2a−b+ai là số thuần ảo khi chỉ khi 2a−b = 0 ⇔ b = 2a. Mặt khác |z − 2i| = 1 ⇔ |a + bi − 2i| = 1 ⇔ a2 + (2a − 2)2 = 1 ⇔ 5a2 − 8a + 3 = 0  a = 1 ⇒ b = 2 ⇒ z = 1 + 2i  ⇔ 6 3 6 3 a = ⇒ b = ⇒ z = + i. 5 5 5 5 Vậy có 2 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án A Câu 87. Cho số phức z thỏa mãn |z + z̄|+|z − z̄| = |z 2 |. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = |z −5−2i| bằng bao nhiêu? √ √ A. 2 + 5 3. B. √ √ 2 + 3 5. C. √ √ 5 + 2 3. D. √ √ 5 + 3 2. Lời giải. Giả sử z = x + yi (trong đó x, y ∈ R) có điểm biểu diễn là M (x; y). Ta có |z + z̄| + |z − z̄| = |z 2 | ⇔ |2x| + |2yi| = x2 + y 2 ⇔ 2|x| + 2|y| = x2 + y 2 √  2 x + y 2 − 2x − 2y = 0 là đường tròn tâm I1 (1; 1) bán kính r = 2 √  2 x + y 2 + 2x + 2y = 0 là đường tròn tâm I2 (−1; −1) bán kính r = 2  ⇔ √ x2 + y 2 − 2x + 2y = 0 là đường tròn tâm I3 (1; −1) bán kính r = 2  √ x2 + y 2 + 2x − 2y = 0 là đường tròn tâm I4 (−1; 1) bán kính r = 2. Mà P = |z − 5 − 2i| = M A với A(5; 2) và M chạy trên 4 đường tròn như hình vẽ bên dưới. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 28 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 y A I4 I1 x O I2 I3 M Dựa vào hình minh họa, rõ ràng Pmax = I2 A + r = √ 36 + 9 + √ √ √ 2 = 3 5 + 2.  Chọn đáp án B Câu 88. Cho số phức z = 6 − 7i. Tìm số phức liên hợp của số phức z. A. z = −6 + 7i. B. z = −6 − 7i. C. z = 6 + 7i. D. z = −i. Lời giải. Ta có z = 6 + 7i.  Chọn đáp án C Câu 89. Biết phương trình z 2 + az + b = 0 (a, b ∈ R) có nghiệm z = −2 + i. Tính a + b. A. 4. C. −1. B. 9. D. 1. Lời giải. Ta có (−2 + i)2 + a(−2 + i) + b = 0 ⇔ (a − 4)i + (b + 3 − 2a) = 0 ⇔ ( a=4 ⇒ a + b = 9. b=5  Chọn đáp án B Câu 90. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự là điểm biểu diễn các số phức 2 + 6i 4i , (1 − i)(1 + 2i), . Gọi I(a; b) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính giá trị −1 + i 3−i của biểu thức P = a + b. A. P = 0. B. P = 1. C. P = 2. D. P = −1. Lời giải. 4i 2 + 6i Ta có = 2 − 2i ⇒ A(2; −2), (1 − i)(1 + 2i) = 3 + i ⇒ B(3; 1), = 2i ⇒ C(0; 2). −1 + i 3−i Lại có ( ( IA = IB (a − 2)2 + (b + 2)2 = (a − 3)2 + (b − 1)2 ⇔ IA = IC (a − 2)2 + (b + 2)2 = a2 + (b − 2)2 ( ( a + 3b = 1 a=1 ⇔ ⇔ ⇒ P = 1. a − 2b = 1 b=0  Chọn đáp án B Câu 91. Xét các số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn |z − 4 − 3i| = 5. Tính P = a + b khi Q = |z + 2 − 2i|2 + 2|z − 4 + i|2 + 3|z + 2i|2 đạt giá trị lớn nhất. A. P = 11. B. P = 14. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. P = 13. 29 D. P = 12. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Gọi M (a; b) và I(4; 3) ⇒ M nằm trên đường tròn tâm I, bán kính 5. 2 2 M 2 Xét A(−2; 2), B(4; −1), C(0; −2) ⇒ Q = M A + 2M B + 3M C . Gọi H(x; y) là điểm thỏa mãn I ( (x + 2) + 2(x − 4) + 3x = 0 # » # » # » #» HA + 2HB + 3HC = 0 ⇔ (y − 2) + 2(y + 1) + 3(y + 2) = 0 ( H x=1 ⇔ ⇒ H(1; −1). y = −1 Ä # » # »ä2 Ä # » # » ä2 Ä # » # »ä2 Ta có Q = M H + HA + 2 M H + HB + 3 M H + HC = 6M H 2 + HA2 + 2HB 2 + 3HC 2 + # » Ä# » # » # »ä 2M H HA + 2HB + 3HC = 6M H 2 + HA2 + 2HB 2 + 3HC 2 . Do A, B, C, H cố định nên HA2 + 2HB 2 + 3HC 2 là hằng số, do vậy Q lớn nhất khi M H lớn nhất # » HM # » IM . ⇔ M , I, H theo thứ tự thẳng hàng ⇔ HM = IM √ # » # » Ta ( có HI = 32 + 42 = 5(⇒ HM = HI + M I = 5 + 5 = 10 ⇒ HM = 2IM a − 1 = 2(a − 4) a=7 ⇒ ⇒ ⇒ P = 14. b + 1 = 2(b − 3) b=7  Chọn đáp án B Câu 92. Cho số phức w thỏa mãn |w + 2| ≤ 1. Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z = 2w + 1 − i là một hình tròn. Tính diện tích S của hình tròn đó. A. S = 2π. B. S = 4π. C. 9π. D. π. Lời giải. Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi (x, y ∈ R). Ta có z = 2w + 1 − i ⇔ x − yi = 2w + 1 − i ⇔ w = x−1 y−1 − i. 2 2 Lại có |w + 2| ≤ 1 nên Å x−1 +2 2 ã2 y−1 + 2 Å ã2 ≤ 1 ⇔ (x + 3)2 + (y − 1)2 = 4. Nên tập hợp điểm biểu diễn z là hình tròn bán kính R = 2 có diện tích S = 4π.  Chọn đáp án B Câu 93. Cho số phức z = x + yi (x, y ∈ R) thỏa mãn |z − 1 + 3i| = |z + 3 − i| và P = ||z − 1 − 2i| − |z + 1 − i|| đạt giá trị lớn nhất. Tính tổng S = x3 + y 3 . A. S = 0. B. S = 16. C. S = 54. D. S = 27. Lời giải. Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi, x, y ∈ R. Ta có |z − 1 + 3i| = |z + 3 − i| ⇔ x − y = 0. Gọi A(1; 2), B(−1; 1), khi đó P = ||z − 1 − 2i| − |z + 1 − i|| = |M A − M B|. Bài toán trở thành: Tìm M thuộc đường thẳng d : x − y = 0 sao cho |M A − M B| lớn nhất. Xét P (x, y) = x − y, ta có P (A) · P (B) = 2 > 0 nên A, B nằm cùng phía đối với d. Gọi I là giao điểm của AB với d, ta tìm được I(3; 3). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 30 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có |M A − M B| ≤ AB. Đẳng thức xảy ra khi M ≡ I. Do đó P đạt giá trị lớn nhất khi tọa độ M là (3; 3). Vậy x = y = 3 và S = 33 + 33 = 54.  Chọn đáp án C Câu 94. Cho khai triển (2018×2 + x + 2018) 2018 a1 − a3 + a5 − · · · + a4035 . A. S = 0. B. S = −1. = a0 + a1 x + · · · + a4036 x4036 . Tính tổng S = C. S = 22018 . D. S = 1. Lời giải. Cho x = i (i2 = −1) trong khai triển (2018×2 + x + 2018) 2018 = a0 + a1 x + · · · + a4036 x4036 ta được i2018 = a0 + a1 i + a2 i2 + · · · + a4036 i4036 ⇔ −1 = (a0 − a2 + a4 − · · · + a4036 ) + (a1 − a3 + a5 − · · · + a4035 ) i Vậy S = a1 − a3 + · · · + a4035 = 0. Chọn đáp án A  Câu 95. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = 8 + 6i và |z1 − z2 | = 2. Tìm giá trị lớn nhất của P = |z1 | + |z2 |. √ A. Pmax = 2 26. Lời giải. √ C. Pmax = 32 + 3 2. B. Pmax = 104. √ D. Pmax = 4 6. Ä ä Ta có |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2 |z1 |2 + |z2 |2 ≥ (|z1 | + |z2 |)2 . √ Suy ra P = |z1 | + |z2 | ≤ 2 26, dấu bằng xảy ra khi  17 19    z1 = + i   |z | = |z | 1 2   5 5    23 11 z1 + z2 = 8 + 6i ⇔ z1 = + i.     5 5    |z1 − z2 | = 2  z2 = 8 + 6i − z1 √ Vậy Pmax = 2 26.  Chọn đáp án A Câu 96. Cho số phức z = 1 + 3i. Gọi M là điểm biểu diễn của số phức liên hợp z. Tọa độ điểm M là A. M (−1; −3). Lời giải. C. M (1; −3). B. M (1; 3). D. M (−1; 3). Số phức liên hợp z = 1 − 3i nên M (1; −3).  Chọn đáp án C Câu 97. Cho số phức z = 1 + 2i. Điểm biểu diễn của số phức z là A. M (−1; 2). Lời giải. B. M (−1; −2). C. M (1; −2). D. M (2; 1). z = 1 − 2i. Suy ra điểm biểu diễn của số phức z là M (1; −2).  Chọn đáp án C Câu 98. Cho phương trình z 2 −4z+5 = 0 có hai nghiệm phức là z1 , z2 . Tính A = |z1 |+|z2 |+z1 ·z2 . √ √ √ A. A = 25 + 2 5. B. A = 0. C. A = 5 − 2 5. D. A = 5 + 2 5. Lời giải. Do z1 , z2 là hai số phức liên hợp của nhau nên |z1 |2 = |z2 |2 = z1 · z2 = 5. √ Suy ra A = 5 + 2 5. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 31 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án D Câu 99. Số phức z = (1 − i)2018 có phần thực bằng B. 21009 . A. 1. C. −21009 . D. 0. Lời giải. 1009 z = (1 − i)2018 = [(1 − i)2 ] = (−2i)1009 = (−2)1009 i = −21009 i. Suy ra phần thực của số phức z bằng 0.  Chọn đáp án D Câu 100. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa |z + 4| + |z − 4| = 10 và |z − 6| lớn nhất. Tính S = a + b. A. S = −3. C. S = −5. B. S = 5. D. S = 11. Lời giải. Gọi M (a, b) là điểm biểu diến của số phức z. y Đặt F1 (−4; 0), F2 (4; 0), I(6; 0). Theo bài ra ta có M |z + 4| + |z − 4| = 10 ⇔ M F1 + M F2 = 10. Suy ra điểm M thuộc elip có độ dài trục lớn bằng 10. |z − 6| = IM ≤ IA0 = 11. A0 F1 O F2 I x Suy ra |z − 6| lớn nhất khi M (−5; 0).  Chọn đáp án C Câu 101. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 3 + 2i. A. Phần thực bằng −3 và phần ảo bằng −2i. B. Phần thực bằng −3 và phần ảo bằng −2. C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i. D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2. Lời giải. Theo định nghĩa thì số phức z = 3 + 2i có phần thực và phần ảo tương ứng là 3 và 2. Chọn đáp án D  Câu 102. Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn z 2 −4z+5 = 0. Biểu thức P = (z1 − 1)2018 +(z2 − 1)2018 có giá trị bằng A. 0. B. 22018 . C. 21009 . D. 2. Lời giải. Ta thấy P là biểu thức có tính đối xứng với z1 và z2 . Ta có ∆0 = −1 = i2 . Do đó phương trình có hai nghiệm phức z1 = 2 − i và z2 = 2 + i. Khi đó  1009  1009 P = (1 − i)2018 + (1 + i)2018 = (1 − i)2 + (1 + i)2 = (−2i)1009 + (2i)1009 = −21009 i + 21009 i = 0.  √ Câu 103. Cho z1 , z2 là các số phức thỏa mãn |z1 | = |z2 | = 1 và |z1 − 2z2 | = 6. Tính giá trị của biểu thức P = |2z1 + z2 |. √ A. P = 2. B. P = 3. C. P = 3. D. P = 1. Chọn đáp án A Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 32 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Đặt z1 = a1 + b1 i; z2 = a2 + b2 i. Suy ra a21 + b21 = a22 + b22 = 1. √ 1 Và |z1 − 2z2 | = 6 ⇔ a1 a2 + b1 b2 = − . 4 Suy ra P = |2z1 + z2 | = 2.  Chọn đáp án A Câu 104. Gọi z1 , z2 là hai trong tất cả các số phức thỏa mãn điều kiện |(i − 1)z − 3i + 3| = 2 và |z1 − z2 | = 2. Gọi m, n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P = |z1 | + |z2 |. Giá trị của S = m3 + n3 bằng A. 72. B. 90. C. 54. D. 126. Lời giải. Ta có: |(i − 1)z − 3i + 3| = 2 ⇔ |(i − 1)(z − 3)| = 2 ⇔ |z − 3| = Gọi M là điểm biểu diễn của z. Ta có M nằm trên đường tròn (C) tâm I(3; 0), R = √ √ 2. y B 2. H Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn cho z1 , z2 . Ta có |z1 − z2 | = 2 ⇔ AB = 2. A I Gọi H là trung điểm AB ta có tam giác IAB vuông tại I (theo định lí Pitago đảo) 2 AB = = 1. ⇒ IH = 2 2 O x ⇒ H chạy trên đường tròn tâm I bán kính R = 1. p P = |z1 | + |z2 | = OA + OB ≤ (12 + 12 )(OA2 + OB 2 ) Mặt khác theo công thức độ dài đường trung tuyến ta có 22 AB 2 = 2OH 2 + = 2OH 2 + 2. OA2 + OB 2 = 2OH 2 + 2 2 ⇒ max P = OI + R = 3 + 1 = 4; min P = |OI − R| = 3 − 1 = 2 ⇒ m = 4; n = 2 ⇒ S = 64 + 8 = 72.  Chọn đáp án A Câu 105. Cho số phức z = a + bi (trong đó a, b là các số thực) thỏa mãn 3z − (4 + 5i)z = −17 + 11i. Tính ab. A. ab = 6. B. ab = −3. C. ab = 3. D. ab = −6. Lời giải. Ta có 3z − (4 + 5i)z = −17 + 11i ⇔ 3(a +(bi) − (4 + 5i)(a − bi) ( = −17 + 11i − a − 5b = −17 a=2 ⇔ −a − 5b + (−5a + 7b)i = −17 + 11i ⇔ ⇔ ⇒ ab = 6. − 5a + 7b = 11 b=3  Chọn đáp án A Câu 106. Tổng các nghiệm phức của phương trình z 3 + z 2 − 2 = 0 là A. 1. B. −1. C. 1 − i. D. 1 + i. Lời giải.  z1 = −1 + i  Ta có z 3 + z 2 − 2 = 0 ⇔ (z − 1)(z 2 + 2z + 2) = 0 ⇔  z2 = −1 − i . z3 = 1 Vậy tổng các nghiệm phức là z1 + z2 + z3 = −1 + i − 1 − i + 1 = −1.  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 33 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 107. Trên mặt phẳng tập hợp các số phức z = x + yi thỏa mãn |z + 2 + i| = |z − 3i| là đường thẳng có phương trình B. y = −x + 1. A. y = x + 1. C. y = −x − 1. D. y = x − 1. Lời giải. Ta có |z + 2 + i| = |z − 3i| ⇔ |(x + 2) + (y + 1)i| = |x − (y + 3)i| ⇔ (x + 2)2 + (y + 1)2 = x2 + (y + 3)2 ⇔ 4x + 4 + 2y + 1 = 6y + 9 ⇔ x − y − 1 = 0.  Chọn đáp án D √ Câu 108. Cho số phức z thỏa mãn |z − 3 − 4i| = 5. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z + 2|2 − |z − i|2 . Tính mô-đun của số phức w = M + mi. √ √ √ √ A. |w| = 1258. B. |w| = 3 137. C. |w| = 2 314. D. |w| = 2 309. Lời giải. Giả sử z = a + bi(a, b ∈ R). √ Theo đề bài ta có |z − 3 − 4i| = 5 ⇔ (a − 3)2 + (b − 4)2 = 5(1). Mặt khác P = |z + 2|2 − |z − i|2 = (a + 2)2 + b2 − [a2 + (b − 1)2 ] = 4a + 2b + 3(2). Từ (1) và (2) ta có 20a2 + (64 − 8P )a + P 2 − 22P + 137 = 0(∗). Phương trình (∗) có nghiệm khi ∆0 = −4P 2 + 184P + −1716 ≥ 0 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33 ⇒ |w| = √ 1258.  Chọn đáp án A Câu 109. Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn cho số z thỏa mãn |(1 + 2i)z − 10| = |(2 + i)z + 5| là A. hai đường thẳng cắt nhau. B. hai đường thẳng song song. C. một đường thẳng. Lời giải. D. một đường tròn. Đặt z = x + yi với x, y ∈ R. Ta có |(1 + 2i)z − 10| = |(2 + i)z + 5| ⇔ |(1 + 2i)(x + yi) − 10| = |(2 + i)(x − yi) + 5| ⇔ |x − 2y − 10 + (2x + y)i| = |(2x + y) + (x − 2y + 5)i| ⇔ (x − 2y − 10)2 + (2x + y)2 = (2x + y)2 + (x − 2y + 5)2 ⇔ 2x − 4y − 5 = 0. Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn cho số z là đường thẳng 2x − 4y − 5 = 0.  Chọn đáp án C Câu 110. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn (1−i)z+(2−i)2 = 5 − 4i là A. M (1; 1). C. M (1; −1). B. M (1; 2). D. M (−1; 1). Lời giải. 5 − 4i − (2 − i)2 Ta có z = = 1 + i ⇒ M = (1; 1). 1−i Chọn đáp án A  Câu 111. Gọi d là giá trị nhỏ nhất của mô-đun số phức z thỏa mãn z + 1 = 2. Khẳng định nào z sao đây là đúng? Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 34 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ã Å 5 . A. d ∈ 2; 2 Lời giải. Chương 3-Giải tích 12 Å B. d ∈ (1; 2). ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ C. d ∈ ã 5 ;3 . 2 D. d ∈ (0; 1). 1 2 1 z+ =2⇔ z+ =4 z z Å ãÅ ã 1 1 z+ z̄ + =4 z z̄ z z̄ 1 |z|2 + + + 2 = 4 z̄ z |z| z 2 + z̄ 2 1 |z|2 + + 2 =4 2 |z| |z| 2 1 (z + z̄) − 2|z|2 + =4 |z|2 + |z|2 |z|2 |z|4 − 6|z|2 + 1 = − (z + z̄)2 ≤ 0 √ √ 3 − 2 2 ≤ |z|2 ≤ 3 + 2 2 √ √ 2 − 1 ≤ |z| ≤ 2 + 1. ( z = −z̄ |z| = 2 − 1 khi √ |z| = 2 − 1. √ Vậy d = 2 − 1 ⇒ d ∈ (0; 1). √  Chọn đáp án D Câu 112. Cho i + 2i2 + 3i3 + · · · + 2018i2018 = a + bi với a, b ∈ R và i là đơn vị ảo. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a = −1010. B. a = −1009. C. a = 1010. D. a = 1009. Lời giải. Xét hàm số f (x) = 1 + x + x2 + x3 + · · · + x2018 . f 0 (x) = 1 + 2x + 3×2 + · · · + 2018×2017 . ⇒ xf 0 (x) = x + 2×2 + 3×3 + · · · + 2018×2018 (1) 2019 x − 1 Mặt khác: f (x) = 1 + x + x2 + x3 + · · · + x2018 = . x−1 Å 2019 ã0 x −1 2019×2018 (x − 1) − (x2019 − 1) . f 0 (x) = = x−1 (x − 1)2 2019×2018 (x − 1) − (x2019 − 1) ⇒ xf 0 (x) = x (2) (x − 1)2 2019×2018 (x − 1) − (x2019 − 1) Từ (1) và (2) ⇒ x + 2×2 + 3×3 + · · · + 2018×2018 = x (x − 1)2 Thay x = i vào (3) ta được i + 2i2 + 3i3 + · · · + 2018i2018 = i. (3) 2019i2018 (i − 1) − (i2019 − 1) = −1010 + 1009i. (i − 1)2 Vậy a = −1010.  Chọn đáp án A Câu 113. Cho số phức z = cos ϕ + i sin ϕ, (ϕ ∈ R). Tìm mô-đun của z. A. | cos ϕ| + | sin ϕ|. C. | cos ϕ + sin ϕ|. B. 1. D. | cos 2ϕ|. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 35 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có z = cos ϕ + i sin ϕ = 1 (cos ϕ + i sin ϕ) nên r = 1. Vậy |z| = 1.  Chọn đáp án B Câu 114. Tìm phần ảo của số phức z biết z − (2 + 3i)z = 1 − 9i. B. −2. A. 1. C. −1. D. 2. Lời giải. Gọi z = x + yi (x, y ∈ R). Ta có z − (2 + 3i)z = 1 − 9i ⇔ x + yi − (2 + 3i)(x − yi) = 1 − 9i ⇔ x + yi − [2x + 3y + (3x − 2y)i] = 1 − 9i ⇔ −x − 3y − 3(x − y)i = 1 − 9i ( ( x=2 − x − 3y = 1 ⇔ ⇔ y = −1. − 3(x − y) = −9 Vậy phần ảo của số phức z là y = −1.  Chọn đáp án C Ä √ ä Câu 115. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (H) là tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 1 + 3i z+ 2 thỏa mãn |z − 1| ≤ 2. Tính diện tích của hình (H). A. 8π. B. 18π. C. 16π. D. 4π. Lời giải. Ä Ä √ ä √ √ √ ä Ta có w = 1 + 3i (z − 1) + 3 + 3i ⇔ w − 3 − 3i = 1 + 3i (z − 1) , √ √ Lấy mô-đun 2 vế, ta được |w − 3 − 3i| = |1 + 3i| · |z − 1| ≤ 2 · 2 = 4. Do đó, (H) là hình tròn bán kính 4 nên diện tích hình (H) bằng 16π.  Chọn đáp án C Câu 116. Cho z = x + yi với x, y ∈ R là số phức thỏa điều kiện |z + 2 − 3i| ≤ |z + i − 2| ≤ 5. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y 2 + 8x + 6y. Tính M + m. A. √ 156 − 20 10. 5 √ B. 60 − 20 10. C. √ 156 + 20 10. 5 √ D. 60 + 20 10. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 36 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 y B (C1 ) −4 −2 S1 I 2 O x 2 −1 I1 −3 (C) (C) −6 A |z + 2 − 3i| ≤ |z + i − 2| ⇔ 2x + y + 2 ≤ 0. |z + i − 2| ≤ 5 ⇔ (x − 2)2 + (y + 1)2 ≤ 25 là hình tròn (C1 ) tâm I1 (2; −1) và bán kính R1 = 5. M (z) thỏa điều kiện đề bài ⇔ M ∈ (S1 ) : là phần gạch chéo kể cả biên với A(2; −6), B(−2; 2). P = x2 + y 2 + 8x + 6y ⇔ x2 + y 2 + 8x + 6y − P = 0. Xét điều ( kiện để (1) là phương trình đường tròn với tâm I(−4; −3) và bán kính R = √ √ M (z) ∈ (S1 ) √ ⇔ II1 − R1 ≤ R ≤ IA ⇔ 2 10 − 5 ≤ 25 + P ≤ 45 M ∈ (C) √ ⇒ 40 − 20 10 ≤ P ≤ 20 √ Suy ra M + m = 60 − 20 10. √ (1) 25 + P .  Chọn đáp án B 15 − 5i = 20. √1 − i C. |z| = 5. Câu 117. Tính mô-đun của số phức z thỏa mãn (2 + i)z + A. |z| = 5. Lời giải. Ta có (2 + i)z + B. |z| = 7. D. |z| = 1. 15 − 5i = 20 ⇔ z = 3 − 4i ⇒ |z| = 5. 1−i  Chọn đáp án A Câu 118. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2; −3) biểu diễn số phức zA , điểm B biểu diễn số phức zB = (1 + i)zA . Tính diện tích S của tam giác OAB. 11 13 17 15 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 2 2 2 2 Lời giải. Ta có zA = 2 − 3i ⇒ zB = 5 − i(⇒ B(5; −1). # » OA = (2; −3; 0) 1 # » # » 13 Trong không gian Oxyz, ta có # » ⇒ S4OAB = [OA, OB] = . 2 2 OB = (5; −1; 0)  Chọn đáp án B Câu 119. Cho phương trình x2 − 2x + c = 0, (c ∈ R, c > 1) có hai nghiệm phức z1 và z2 . Biết rằng √ z1 là số phức có phần ảo dương và |z1 | = 5 2. Tính |z1 − z2 |. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 37 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. 14. Chương 3-Giải tích 12 √ C. 2 46. B. 12. D. 6. Lời giải. 2 √ √ Ta có ∆0 = 1 − c = c − 1i ⇒ z1 = 1 + c − 1i. ( √ z1 = 1 + 7i Vì |z1 | = 5 2 ⇒ c = 50. Do vậy ta có ⇒ |z1 − z2 | = 14. z2 = 1 − 7i  Chọn đáp án A Câu 120. Cho hai số phức z1 , z2 thuộc tập hợp S = z1 + z2 = 4 − 2i. Tính A = |z1 |2 + |z2 |2 . A. A = 6. B. A = 14.  z ∈ C : iz − 2 − 3i = 2 C. A = 8. và thỏa mãn D. A = 12. Lời giải. Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 . Gọi E là trung điểm M N . y Ta có O N x E iz − 2 − 3i = 2 ⇔ i · (z − 3 + 2i) = 2 I ⇔ z − 3 + 2i = 2. M (1) Từ (1) ta thấy M, N thuộc đường tròn tâm I(3; −2) bán kính R = 2. √ √ #» Ta có E(2; −1) ⇒ EI = (1; −1) ⇒ EI = 2 ⇒ M N = 2 2. Trong 4OM N , ta có OM 2 + ON 2 M N 2 OE = − 2 4 2 2 ⇒ OM + ON = 14. 2  Chọn đáp án B Câu 121. Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn hệ thức z − 3 − 4i = 2 và z1 − z2 = 1. Tìm giá trị 2 2 nhỏ nhất của biểu thức P = z1 − z2 . A. −10. √ C. −6 − 2 5. B. −5. √ D. −4 − 3 5. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 38 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Gọi M, N lần lượt ( là điểm biểu diễn của số phức z1 và z2 . M, N ∈ C (I; 2) với I(3; 4) Từ giả thiết ta có M N = 1. Ta thấy y M N J I 2 2 P = |z1 | − |z2 | # » # » = OM 2 − ON 2 Ä # » # » ä Ä # » # »ä = OM − ON · OM + ON # » Ä # » # »ä = N M · OM + ON # » # » = 2 · N M · OJ, (với J là trung điểm M N ) # » Ä # » # »ä = 2 · N M · OI + IJ # » #» = 2 · N M · OI, (vì M N ⊥ IJ) # » #» = 2 · M N · OI · cos(N M , OI) (C ) O x ≥ 2 · M N · OI · (−1) ≥ −10.  z1 z2 Câu 122. Biết z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2 − 4z + 5 = 0. Giá trị biểu thức + z2 z1 là 16 −4 3 6 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải. Chọn đáp án A Theo định lý Vi-ét ta có z1 + z2 = 4, z1 · z2 = 5. Vậy z 2 + z22 (z1 + z2 )2 − 2z1 z2 6 z1 z2 + = 1 = = . z2 z1 z1 z2 z1 z2 5  Chọn đáp án D Câu 123. Cho số phức w = (2 + i)2 − 3(2 − i). Giá trị của |w| là √ √ √ A. 54. B. 58. C. 2 10. Lời giải. Ta có w = −3 + 7i nên |w| = √ D. √ 43. 58.  Chọn đáp án B Câu 124. Cho z và w là hai số phức liên hợp thỏa mãn √ z là số thực và |z − w| = 2 3. Mệnh đề w2 nào sau đây là đúng? A. |z| < 1. B. 3 < |z| < 4. C. |z| > 4. D. 1 < |z| < 3. Lời giải. Từ giả thiết ta có z = w, z = w và |z| = |w|. Từ |z − w| = 2 ⇔ (z − w)(z − w) = 4 ⇔ |z|2 + |w|2 − zw − zw = 4 ⇔ 2|z|2 − z 2 − z 2 = 4 z z z z z w Do 2 là số thực nên 2 = 2 = 2 . Từ đó suy ra 2 = 2 , hay w w w w z w (∗). z 3 = w3 ⇔ (z − w)(z 2 − zw + w2 ) = 0. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 39 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Vậy z 2 + w2 = zw = |z|2 . Thay vào (∗) ta có |z|2 = 4 ⇔ |z| = 2.  Chọn đáp án D Câu 125. Cho số phức z thỏa mãn z 2 − 2z + 3 = 0. Tính |w| biết w = z 2018 − z 2017 + z 2016 + 3z 2015 + 3z 2 − z + 9. √ A. 3. Lời giải. √ B. 2018 3. √ C. 9 3. √ D. 5 3. Ta có w = z 2016 (z 2 − 2z + 3) + z 2015 (z 2 − 2z + 3) + 3(z 2 − 2z + 3) + 5z = 5z. Vậy |w| = 5|z|. √ √ √ Từ phương trình ta tìm được z = 1 ± i 2, từ đó dễ dàng tìm được |z| = 3. Vậy |w| = 5 3. Chọn đáp án D  Câu 126. Cho số phức z thỏa mãn |z − 1 + 2i| = 5. Phép tịnh tiến vec-tơ #» v (1; 2) biến tập hợp biểu diễn số phức z thành tập hợp biểu diễn số phức z 0 . Tìm P = max |z − z 0 |. √ √ A. P = 15. B. P = 20 − 5. C. P = 10 + 5. D. P = 12. Lời giải. Xét hai đường tròn (I; 5) và (I 0 ; 5) với I(1; −2), I 0 (2; 0). Khi đó max |z − z 0 | = AB với AB là các giao điểm của đường thẳng II 0 với (I; 5) và (I 0 ; 5) (A không nằm trong (I 0 ; 5) và B không nằm trong (I; 5)). Khi đó AB = 2R + II 0 = 10 + √ 5. I0 I  Chọn đáp án C Câu 127. Cho các số phức z1 = 1 + 3i, z2 = −2 + 2i, z3 = −1 − i được biểu diễn lần lượt bởi các # » # » # » điểm A, B, C trên mặt phẳng phức. Gọi M là điểm thỏa mãn AM = AB − AC. Khi đó điểm M biểu diễn số phức A. z = 6i. B. z = −6i. C. z = 2. D. z = −2. Lời giải. Tọa độ A(1; 3), B(−2; 2), C(−1; −1). Gọi tọa độ điểm M (x; y). # » # » # » AM = (x − 1; y − 3), AB =((−3; −1), AC = (−2; −4). ( x − 1 = −3 − (−2) x=0 # » # » # » Ta có AM = AB − AC ⇒ ⇔ ⇒ z = 6i. y − 3 = (−1) − (−4) y=6  Chọn đáp án A Câu 128. Cho số phức z = 2 − 3i. Tìm phần ảo của số phức w = (1 + i)z − (2 − i)z. A. −5. B. −9. C. −5i. D. −9i. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 40 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 w = (1 + i)z − (2 − i)z = (1 + i)(2 − 3i) − (2 − i)(2 + 3i) = −2 − 5i. Phần ảo của số phức w là −5.  Chọn đáp án A Câu 129. Cho hai số phức z1 = 2 + i và z2 = 1 − i. Tìm số phức z = z1 + 2z2 . A. 1 + i. C. 4 − i. B. 1. D. 2i. Lời giải. z = z1 + 2z2 = 2 + i + 2(1 − i) = 4 − i.  Chọn đáp án C Câu 130. Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn |z1 − 1 + 2i| = 1, |z2 − 3 − i| = 2. Tìm giá trị lớn nhất của |z1 − z2 | . √ A. 13 + 6. B. √ 13 + 3. C. √ 13 + 4. D. √ 13 + 2. Lời giải. Giả sử z1 = a1 + b1 i và z2 = a2 + b2 i (với a1 , b1 , a2 , b2 ∈ R). |z1 − 1 + 2i| = 1 ⇔ (a1 − 1)2 + (b1 + 2)2 = 1. y Tập hợp điểm M1 biểu diễn z1 là đường tròn tâm F I1 (1; −2) và bán kính R1 = 1. |z2 − 3 − i| = 2 ⇔ (a2 − 3)2 + (b2 − 1)2 = 4. Tập hợp điểm M2 biểu diễn z2 là đường tròn tâm I2 1 I2 (3; 1) và bán kính R2 = 2. √ Mà |z1 − z2 | = M1 M2 ≤ CF = R1 + I1 I2 + R2 = 1 + 13 + √ 2 = 3 + 13. 1 3 O −2 x I1 C  Chọn đáp án B Câu 131. Cho z1 = 2+3i; z2 = 4+5i. Tìm số phức liên hợp của số phức w biết w = 2 (z1 + z2 ). A. w = 12 − 16i. C. w = −14 + 44i. B. w = 12 + 16i. D. w = −14 − 44i. Lời giải. Ta có w = 2 (2 + 3i + 4 + 5i) = 12 + 16i. Vậy w = 12 − 16i.  Chọn đáp án A Câu 132. Gọi z1 và z2 (z2 có phần ảo âm) là hai nghiệm phức của phương trình 4z 2 − 3z + 3 = z. Giá trị của biểu thức 2018 |2z1 | − 2017 |2z2 | bằng √ √ A. 3 2. B. 2 3. C. 3. D. √ 3. Lời giải. √  1 2 √ z= + i = z1  3 2 2 √ Ta có 4z 2 − 3z + 3 = z ⇔ 4z 2 − 4z + 3 = 0 ⇔  ⇒ |z1 | = |z2 | = .  2 1 2 z= − i = z2 2√ 2 √ 3 3 √ Vậy 2018 |2z1 | − 2017 |2z2 | = 2018 · 2 · − 2017 · 2 · = 3. 2 2 Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 41  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 133. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn z + 3 + 2i = (|z| + 1) (1 + i) và |z| > 1. Tính P = a − b. A. P = −1. B. P = −5. C. P = 3. D. P = 7. Lời giải. z + 3 + 2i = (|z| + 1) (1 + i) ⇔ a + bi + 3 + 2i = √ √ ⇔ a + bi + 3 + 2i = a2 + b2 + a2 + b2 · i + 1 + i ( √ a + 3 = a2 + b 2 + 1 ⇔ ⇒ a − b = −1. √ b + 2 = a2 + b 2 + 1 Ä√ ä a2 + b2 + 1 (1 + i)  Chọn đáp án A √ √ √ Câu 134. Xét các số phức z thỏa mãn z + 5 + z − 5 = 2 14. Gọi m, M lần lượt là giá trị √ nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của z + 5 . Tính P = m + M. √ √ √ √ √ √ A. P = 14 + 5. B. P = 2 5. C. P = 2 14 + 2 5. D. P = 2 14. Lời giải. Ä √ ä Ä√ ä Gọi N (x; y) là điểm biểu diễn của số phức z, F1 − 5; 0 , F2 5; 0 . Khi đó z+ √ √ √ √ 5 + z − 5 = 2 14 ⇔ M F1 + M F2 = 2 14. √ √ M thuộc đường elip có hai tiêu điểm F1 , F2 và độ dài trục lớn 2a = 2 14 ⇒ a = 14. √ √ √ c Ta có z + 5 = M F1 = a + · xM với − 14 ≤ x ≤ 14. √ a √ √ √ √ √ √ 5 Ä √ ä √ 5 √ Từ đó suy ra m = 14 + √ · − 14 = 14 − 5 và M = 14 + √ · 14 = 14 + 5. 14 √ √14 √ √ √ Vậy P = m + M = 14 − 5 + 14 + 5 = 2 14.  Chọn đáp án D Câu 135. Cho số phức z thoả mãn|z − 3 + 4i| = 2, w = 2z + 1 − i. Khi đó |w| có giá trị lớn nhất là √ √ √ √ A. 16 + 74. B. 2 + 130. C. 4 + 74. D. 4 + 130. Lời giải. Ta có w = 2z + 1 − i ⇔ w = 2 (z − 3 + 4i + 3 − 4i) + 1 − i ⇔ w − 7 + 9i = 2 ( (z − 3 + 4i). Tâm I(7; −9) Ta suy ra |w − 7 + 9i| = 2 |z − 3 + 4i| ⇔ |w − 7 + 9i| = 4 ⇒ w ∈ đường tròn . R=4 √ √ Vậy |w|max = OI + R = 72 + 92 + 4 = 4 + 130.  Chọn đáp án D Câu 136. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2z 2 + z12 + z22 bằng A. 3. B. 3 . 18 9 C. − . 4 √ 3z + 3 = 0. Giá trị của biểu thức 9 D. − . 8 Lời giải. √ √ 3 21 Ta có 2z + 3z + 3 = 0 ⇔ z = − ± i. 4 4 Ç √ å Ç √ √ √ å2 2 3 21 3 21 9 Suy ra z12 + z22 = − − i + − + i =− . 4 4 4 4 4 Chọn đáp án C 2 √ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 42  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 137. Trong mặt phẳng phức, gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R, ab 6= 0), M 0 là điểm biểu diễn cho số phức z. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. M 0 đối xứng với M qua Oy. B. M 0 đối xứng với M qua Ox. C. M 0 đối xứng với M qua đường thẳng y = x. D. M 0 đối xứng với M qua O. Lời giải. Điểm M 0 có tọa độ M 0 (a; −b) đối xứng với M qua Ox.  Chọn đáp án B Câu 138. Gọi n là số các số phức z đồng thời thỏa mãn |iz + 1 + 2i| = 3 và biểu thức T = 2|z + 5 + 2i| + 3|z − 3i| đạt giá trị lớn nhất. Gọi M là giá trị lớn nhất của T . Giá trị của tích M n là √ A. 10 21. √ B. 6 13. √ C. 5 21. √ D. 2 13. Lời giải. Đặt z = x + yi, (x, y ∈ R). Khi đó N (x; y) là điểm biểu diễn số phức z. Từ giả thiết, |iz + 1 + 2i| = 3 ⇔ |z + 2 − i| = 3 ⇔ (x + 2)2 + (y − 1)2 = 9. Ta có T = 2|z + 5 + 2i| + 3|z − 3i| = 2N A + 3N B với A(−5; −2) và B(0; 3). Nhận xét rằng A, B, I thẳng hàng và 2IA = 3IB (I(−2; 1) là tâm đường tròn biểu diễn các số phức z). Từ đó ta có 2N A2 + 3N B 2 = 5N I 2 + 2IA2 + 3IB 2 = 105. √ √ √ √ √ Mà T 2 = ( 2 · 2N A + 3 · 3N B)2 ≤ 5(2N A2 + 3N B 2 ) = 525 hay T ≤ 5 21. Đẳng thức xảy ra khi N là giao của đường trung trực đoạn AB với đường tròn tâm I, bán kính R = 3. √ Vậy n = 2 và M n = 10 21.  Chọn đáp án A Câu 139. Tìm tọa độ điểm biểu diễn hình học của số phức z = 8 − 9i. A. (8; 9). B. (8; −9). C. (−9; 8). D. (8; −9i). Lời giải. Tọa độ điểm biểu diễn số phức z = 8 − 9i là (8; −9).  Chọn đáp án B Câu 140. Cho số phức z = a + bi, với a, b ∈ R. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? A. z + z = 2bi. C. z · z = a2 − b2 . B. z − z = 2a. D. |z 2 | = |z|2 . Lời giải. Ta có z = a − bi, do đó z + z = 2a. z − z = 2bi. z · z = a2 + b 2 . |z 2 | = |z · z| = |z| · |z| = |z|2 . Vậy chỉ có mệnh đề |z 2 | = |z|2 là mệnh đề đúng.  Chọn đáp án D Câu 141. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 − z + 2 = 0. Tìm phần ảo của số phức w = [(i − z1 )(i − z2 )]2018 . A. 21009 . B. −21009 . C. 22018 . D. −22018 . Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 43 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Áp dụng định lý Vi-et ta có Chương 3-Giải tích 12 ( z1 + z2 = 1 z1 · z2 = 2. Mặt khác, ta có  2018  1009 w = i2 − i(z1 + z2 ) + z1 z2 = (1−i)2018 = (1 − i)2 = (−2i)1009 = −21009 ·i·(i2 )504 = −21009 ·i. Vậy phần ảo của w là −21009 .  Chọn đáp án B Câu 142. Cho số phức z thỏa mãn |z − 2 + i| + |z + 1 − i| = thức |z + 2 − i|. A. m = 1. √ 2 13 B. m = . 13 √ 13. Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu √ C. m = 13 . 13 D. m = 1 . 13 Lời giải. Đặt z = x + yi (x, y ∈ R) ⇒ M (x; y) biểu biễn số phức z. √ Xét A(2; −1), B(−1; 1), ta có AB = 13. √ √ Do |z − 2 + i| + |z + 1 − i| = 13 ⇒ M A + M B = 13, suy ra M nằm trên đoạn thẳng AB. Lấy điểm C(−2; 1), ta có |z + 2 − i| = M C. # » # » Vì BC · BA < 0 ⇒ 4ABC tù tại B. Do đó |z + 2 − i| đạt giá trị nhỏ nhất khi M trùng với B hay z = −i + i. Vậy m = BC = 1. y 2 C B M 1 1 −2 2 −1 O x −1 A  Chọn đáp án A Câu 143. Trong mặt phẳng tọa độ (hình vẽ bên), số phức z = 3 − 4i được biểu diễn bởi điểm nào trong các điểm A, B, C, D? A. Điểm A. B. Điểm B. C. Điểm C. y B 4 A 3 D. Điểm D. −4 3 O x −3 C −4 D Lời giải. Điểm biểu diễn số phức z = 3 − 4i là điểm D(3; −4).  Chọn đáp án D Câu 144. Cho số phức z thỏa mãn 2z + 3(1 − i)z = 1 − 9i. Tìm phần ảo của số phức z. A. 1. B. 3. C. 2. D. −3. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 44 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Gọi z = x + yi, x, y ∈ R. Theo bài ra 2z + 3(1 − i)z = 1 − 9i ⇔5x − 3y − (3x + y)i = 1 − 9i ( 5x − y = 1 ⇔ 3x + y = 9 ( x=2 ⇔ y = 3. Vậy phần ảo của số phức z bằng −3.  Chọn đáp án D Câu 145. Cho số phức z = a + bi (a, b là các số thực) thỏa mãn z · |z| + 2z + i = 0. Tính giá trị của √ biểu thức T = a + b3 + 5 2. A. T = 4. B. T = 5. C. T = 7. D. T = 6. Lời giải. √ Ta có (a(+ bi) · a2 + b2 + 2(a + bi) +(i = 0. √ a · a2 + b2 + 2a = 0 a=0 Suy ra ⇔ √ b · a2 + b2 + 2b + 1 = 0 b · |b| + 2b + 1 = 0 (∗) 2 Với b ≥ 0 thì (∗) ⇔ b + 2b + 1 = 0 ⇔ b = −1 (loại) √ √ Với b < 0 thì (∗) ⇔ −b2 + 2b + 1 = 0 ⇔ b = 1 ± 2. Nhận giá trị b = 1 − 2. √ Vậy T = a + b2 = 3 − 2 2.  Chọn đáp án C Câu 146. Xét các số phức z = a+bi (a, b ∈ R) thỏa mãn |z − 3 + 3i| = đạt giá trị lớn nhất. Tính P = a + b. A. P = −2. B. P = −8. C. P = 8. √ 2 và |z −1+3i|+|z −3+5i| D. P = 2. Lời giải. Gọi A(3; −3), B(1; −3), C(3; −5) và M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi. √ √ Theo giả thiết ta có |z − 3 + 3i| = 2 ⇔ M A = 2 và M B + M C đạt giá trị nhỏ nhất. √ Yêu cầu của bài toán tương đương với tìm điểm M thuộc đường tròn tâm A bán kính R = 2 để M A + M B nhỏ nhất. √ Ta có M B + M C ≥ BC = 2 2, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn BC. Phương trình đường thẳng BC : x + y + 2 = 0, phương trình đường tròn tâm A bán kính √ 2 là (x − 3)2 + (y + 3)2 = 2. ( ( ( x+y+2=0 y = −x − 2 x=2 Tọa độ M thỏa mãn hệ ⇔ ⇔ . (x − 3)2 + (y + 3)2 = 2 (x − 3)2 + (−x + 1)2 = 2 y = −4 Vậy M (2; −4) ⇒ P = −2.  Chọn đáp án A Câu 147. Tính mô-đun số phức nghịch đảo của số phức z = (1 − 2i)2 . √ 1 1 A. √ . B. 5. C. . 25 5 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 45 D. 1 . 5 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. 1 1 (1 + 2i)2 −3 + 4i . Ta có = = = 2 2 2 z (1 − 2i) (1 − 2i) · (1 + 2i) 25 1 −3 + 4i 1 Nên = = . z 25 5 Chọn đáp án D  Câu 148. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z| = |z + z̄| = 1? A. 0. B. 1. C. 4. D. 3. Lời giải. Đặt z = a + bi với a, b ∈ R, ta có z̄ = a − bi. Từ đó: |z| = |z + z̄| = 1 ⇔ ( 2 a + b2 = 1 |2a| = 1  √  3  b = ± 2 ⇔  1  a = ± . 2 Do đó có 4 số phức thỏa mãn.  Chọn đáp án C Câu 149. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2|z − 1| = |z + z̄ + 2| trên mặt phẳng tọa độ là một A. đường thẳng. Lời giải. B. đường tròn. C. parabol. D. hypebol. Đặt z = x + yi với x, y ∈ R, ta có z̄ = x − yi. Từ đó: 2|z − 1| = |z + z̄ + 2| ⇔ 2|(x − 1) + yi| = |2x + 2| » ⇔ (x − 1)2 + y 2 = |x + 1| ⇔ y 2 = 4x. Nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2|z − 1| = |z + z̄ + 2| trên mặt phẳng tọa độ là một parabol.  Chọn đáp án C Câu 150. Tìm giá trị lớn nhất của P = |z 2 − z| + |z 2 + z + 1| với z là số phức thỏa mãn |z| = 1. √ 13 A. 3. B. 3. C. . D. 5. 4 Lời giải. Đặt z = a + bi với a2 + b2 = 1 thì P = |(a + bi)2 − (a + bi)| + |(a + bi)2 + (a + bi) + 1| = |(a2 − a − b2 ) + (2ab − b)i| + |(a2 + a + 1 − b2 ) + (2ab + b)i| » » 2 2 2 2 = (a − a − b ) + (2ab − b)) + (a2 + a + 1 − b2 )2 + (2ab + b))2 √ = 2 − 2a + |2a + 1|. √ 2 − 2a + |2a + 1| với −1 ≤ a ≤ 1  √ 1   2 − 2a + 2a + 1 nếu ≤a≤1 2 Ta có f (a) = √ .   2 − 2a − 2a − 1 nếu − 1 ≤ a < 1 2  1 1   + 2 nếu 0 hoặc ∆0 < 0. Nếu ∆0 > 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt. Khi đó: (∗) ⇔ z1 = −z2 ⇔ z1 + z2 = 0. Điều này không thể xảy ra do theo Định lý Vi-ét, z1 + z2 = − b = 6 6= 0. Vậy nếu ∆0 > 0 ta không a tìm được m thỏa mãn yêu cầu đề bài. Nếu ∆0 < 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 là hai số phức liên hợp. Khi đó hiển nhiêu ta sẽ có |z1 | = |z2 |. Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa (*) ⇔ ∆0 < 0 ⇔ 9 − m < 0 ⇔ m > 9. Suy ra trong khoảng (0; 20) có 10 giá trị m0 ∈ N.  Chọn đáp án A Câu 199. Cho số phức thỏa mãn |z − 2i| ≤ |z − 4i| và |z − 3 − 3i| = 1. Giá trị lớn nhất của |z − 2| là √ √ √ √ A. 10 + 1. B. 13 + 1. C. 10. D. 13. Lời giải. y 4 I 3 2 O 2 3 4 x Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Oxy. Điểm A(0; 2) biểu diễn số phức 2i, điểm B(0; 4) biểu diễn số phức 4i, điểm I(3; 3) biểu diễn số phức 3 + 3i. Bất đẳng thức |z − 2i| ≤ |z − 4i| tương đương với M A ≤ M B, tức là M “gần” A hơn “gần” B. Vậy tập hợp số phức z thỏa mãn |z − 2i| ≤ |z − 4i| được biểu diễn trong mặt phẳng Oxy là nửa mặt phẳng bờ là đường trung trực của AB (đường y = 3) chứa điểm A. Còn |z − 3 − 3i| = 1 dẫn đến M I = 1, nghĩa là M thuộc đường tròn (C) tâm I(3; 3), bán kính R = 1. Tóm lại, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn yêu cầu đề bài là nửa dưới của đường tròn (C). Ta gọi tập hợp điểm này là T . Đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của |z − 2|, nghĩa là tìm khoảng cách lớn nhất từ điểm D(2; 0) đến những điểm thuộc T . Dễ dàng nhận ra khoảng cách lớn nhất này chính là khoảng cách từ D đến √ điểm có tọa độ (4; 3) thuộc T , và bằng 13.  Chọn đáp án D 1+i là số thực và |z − 2| = m với m ∈ R. Gọi m0 là một giá z trị của m đểÅcó đúng ã một số phức thỏa Å mãn ã bài toán. Khi đóÅ ã Å ã 1 1 3 3 A. m0 ∈ 0; . B. m0 ∈ ;1 . C. m0 ∈ 1; . D. m0 ∈ ;2 . 2 2 2 2 Lời giải. Câu 200. Cho số phức z thỏa mãn Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 58 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 y (∆) m O A(2; 0) x Đặt số phức z = x + yi (x, y ∈ R). Ta có: 1+i (1 + i)z (1 + i)(x − yi) x + y + (x − y)i x+y x−y = = = = 2 + 2 i. 2 2 2 2 2 z z.z x +y x +y x +y x + y2 x−y 1+i là số thực khi và chỉ khi 2 = 0 hay x = y 6= 0. Vậy z x + y2 Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn một số phức z như trên trong mặt phẳng Oxy. Khi đó tập hợp điểm M là đường thẳng (∆) : x − y = 0 (bỏ đi điểm O). Còn tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z − 2| = m là đường tròn (Cm ) tâm A(2; 0), bán kính m. Khi đó, yêu cầu bài toán tương đương với tìm m sao cho đường thẳng (∆) và (Cm ) có đúng một điểm chung, hay (∆) tiếp xúc với (Cm ). √ |2 − 0| = 2. (∆) tiếp xúc với (Cm ) ⇔ d(A, (∆)) = m ⇔ m = √ 12 + 12 √ Vậy m0 = 2. Chọn đáp án C  Câu 201. Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi m ∈ S có đúng một số phức thỏa mãn z |z − m| = 6 và là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S. z−4 A. 0. B. 8. C. 10. D. 16. Lời giải. y A(4; 0) O I(2; 0) x Đặt số phức z = x + yi (x, y ∈ R). z z(z − 4) |z|2 − 4z x2 + y 2 − 4x − 4yi x2 + y 2 − 4x 4y Ta có: = = = = − i. z−4 (z − 4)(z − 4) |z − 4|2 (x − 4)2 + y 2 (x − 4)2 + y 2 (x − 4)2 + y 2 z Vậy là số thuần ảo (*) (z 2− 4 2 ( x + y − 4x = 0 (x − 2)2 + y 2 = 4 ⇔ ⇔ . y 6= 0 y 6= 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 59 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn (*) trong mặt phẳng Oxy, thì tập hợp điểm M là đường tròn (C) : (x − 2)2 + y 2 = 4 tâm I(2; 0) bán kính R = 2, bỏ đi hai điểm A(4; 0) và O(0; 0). Ta gọi tập hợp điểm này là T . Còn tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z − m| = 6 trong mặt phẳng Oxy là đường tròn (Cm ) tâm J(m; 0) bán kính R = 6. Vậy số thực m thỏa mãn yêu cầu đề bài là số thực m sao cho đường tròn (Cm ) tiếp xúc với tập hợp điểm T . Tuy nhiên, ta thấy rằng nếu (Cm ) tiếp xúc với (C) thì hai tiếp điểm sẽ nằm trên đường nối tâm IJ, nghĩa là trục Ox. Mặt khác, tập hợp T lại là đường tròn (C) bỏ đi 2 giao điểm với trục Ox. Như vậy thì (Cm ) không thể tiếp xúc với T , dẫn đến tập hợp S không có phần tử.  Chọn đáp án A Câu 202. Tính tổng S = C02017 + C42017 + C82017 + · · · + C2016 2017 . A. S = 22016 + 21008 . B. S = 22015 + 21007 . C. S = 22016 + 21008 . D. S = 22016 + 21008 . Lời giải. 2S = 2C02017 + 2C42017 + 2C82017 + · · · + 2C2016 2017 2016 2014 6 4 2 0 2014 6 4 2 0 = (C2017 +C2017 +C2017 +C2017 +· · ·+C2017 +C2016 2017 )+(C2017 −C2017 +C2017 −C2017 +· · ·−C2017 +C2017 ) = A + B. 2016 Tính A = C02017 + C22017 + C42017 + C62017 + · · · + C2014 2017 + C2017 Xét hai khai triển 2017 (1 + 1)2017 = C02017 + C12017 + C22017 + C32017 + · · · + C2016 2017 + C2017 (1) 2017 (1 − 1)2017 = C02017 − C12017 + C22017 − C32017 + · · · + C2016 2017 − C2017 (2) (1) + (2) ⇔ 22017 = 2A ⇔ A = 22016 . 2017 2016 (1 + i)2017 = C02017 + C12017 i + C22017 i2 + C32017 i3 + · · · + C2016 + C2017 2017 i 2017 i 5 3 1 2016 6 4 2 0 = (C2017 − C2017 + C2017 − C2017 + · · · + C2017 ) + (C2017 − C2017 + C2017 − C72017 + · · · + C2017 2017 )i (3) Lại có (1 + i)2017 = ((1 + i)2 )1008 (1 + i) = (2i)1008 (1 + i) = 21008 (i2 )504 (1 + i) = 21008 + 21008 i. (4) Từ A+B (3) và (4) đồng nhất phần thực ta được B = 21008 . Suy ra S = = 22015 + 21007 . 2 Chọn đáp án B  Câu 203. Điểm M trong hình bên là biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z. A. Phần thực là 2 và phần ảo là −3i. y 2 x O B. Phần thực là −3 và phần ảo là 2. C. Phần thực là −3 và phần ảo là 2i. D. Phần thực là 2 và phần ảo là −3. −3 M Lời giải. Điểm M (a; b) trong hệ trục Oxy là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi. Do đó, điểm M (2; −3) biểu diễn cho số phức z = 2 − 3i có phần thực là 2 và phần ảo là −3.  Chọn đáp án D Câu 204. Tìm số thực x, y thỏa mãn (1 − 2i)x + (1 + 2y)i = 1 + i. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 60 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 B. x = −1, y = 1. A. x = 1, y = 1. C. x = −1, y = −1. D. x = 1, y = −1. Lời giải. Ta có (1 − 2i)x + (1 + 2y)i = 1 + i ⇔ x + (1 + 2y − 2x)i = 1 + i ( x=1 ⇔ 1 + 2y − 2x = 1 ( x=1 ⇔ . y=1  Chọn đáp án A Câu 205. Số phức liên hợp của z = 2016 + 2017i là số phức nào? A. −2016 − 2017i. B. −2016 + 2017i. C. 2017 − 2016i. D. 2016 − 2017i. Lời giải. Số phức liên hợp của z là z̄ = 2016 − 2017i.  Chọn đáp án D Câu 206. Cho số phức z thỏa mãn |z − 2| = |z − 2i|. Tìm số phức z biết z + nhỏ nhất. … A. z = 331 . 8 B. z = 1 + i. C. z = 7 7 + i. 4 4 3 − 5i đạt giá trị 2 3 D. z = − + 5i. 2 Lời giải. Đặt z = x + yi với x, y ∈ R. Khi đó |z − 2| = z − 2i ⇔ |x − 2 + yi| = |x + (y − 2)i| ⇔ (x − 2)2 + y 2 = x2 + (y − 2)2 ⇔ x = y. Tập hợp M (x; y) biểu diễn số phức z là đường thẳng y = x. 3 3 Ta có z + − 5i = x + + (y − 5)i 2 2 Å ã 3 2 x+ + (y − 5)2 = 2 ã Å 3 2 + (x − 5)2 x+ = 2 … ã Å 7 2 169 169 ≥ . = 2· x− + 4 8 8 3 7 Suy ra z + − 5i đạt giá trị nhỏ nhất khi x = y = . 2 4  Chọn đáp án C Câu 207. Cho số phức z = 2 − 3i. Số phức liên hợp của z là A. z = −2 − 3i. B. z = −2 + 3i. C. z = 2 + 3i. D. z = 2 − 3i. Lời giải. Số phức liên hợp của số phức 2 − 3i là 2 + 3i.  Chọn đáp án C i Câu 208. Cho số phức z = 1 − . Tìm số phức w = iz + 3z. 3 8 10 8 A. w = . B. w = . C. w = + i. 3 3 3 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 61 D. w = 10 + i. 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Å ã Å ã i i 8 i +3 1− = . Có z = 1 + ⇒ w = i 1 + 3 3 3 3 Chọn đáp án A  Câu 209. Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)2 z + z = 4i − 20. Mô-đun của số phức z là A. |z| = 3. B. |z| = 4. C. |z| = 5. D. |z| = 6. Lời giải. Gọi z = x + yi (với x, y ∈ R). Ta có 2 (1 + (2i) z + z = 4i − 20(⇔ (−3 + 4i)(x + yi) + (x − yi) = 4i − 20 ⇔ (−2x − 4y) + (4x − 4y)i = 4i − 20 2x + 4y = 20 x=4 ⇔ ⇔ ⇒ |z| = 5. 4x − 4y = 4 y=3  Chọn đáp án C Câu 210. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 1| = T = |z + i| + |z − 2 − i|. √ A. max T = 8 2. √ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức √ C. max T = 4 2. B. max T = 8. D. max T = 4. Lời giải. Trong mặt phẳng phức, gọi I(1; 0), A(0; −1), B(2; 1) và M là điểm biểu diễn số phức z. Theo giả thiết thì tập các số phức z là đường tròn tâm I √ bán kính 2. Dễ thấy AB là một đường kính của đường tròn (I). Ta có » √ T = M A + M B ≤ 2 (M A2 + M B 2 ) = 2AB 2 = 4. y Dấu bằng xảy ra khi M A = M B hay tam giác M AB vuông cân tại M . A M B I x Vậy max T = 4.  Chọn đáp án D Câu 211. Cho số phức z = (1 + 3i)(4 − i), phần thực của z bằng bao nhiêu? A. 4. B. 1. C. 11. D. 7. Lời giải. Ta có z = (1 + 3i)(4 − i) = 7 + 11i. Vậy phần thực của z bằng 7.  Chọn đáp án D Câu 212. Trong các số phức (1 + i)4 , (1 + i)6 , (1 + i)9 , (1 + i)10 số phức nào là số thực? A. (1 + i)9 . B. (1 + i)6 . C. (1 + i)10 . D. (1 + i)4 . Lời giải. Ta có (1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 2i. Do đó (1 + i)4 = (1 + i)2 = (2i)2 = −4 là một số thực.  Chọn đáp án D Câu 213. Cho số phức z thỏa mãn |z| = √ A. 5. B. 5. Lời giải. Ta có |w| = |(1 + 2i) · z| = |1 + 2i| · |z| = √ √ 5 và số phức w = (1 + 2i) · z. Tìm |w|. √ C. 2 5. D. 4. 5· √ 5 = 5.  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 62 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 √ Câu 214. Cho số phức z thỏa mãn |z − 2 + 3i| + |z + 2 + i| = 4 5. Tính giá trị lớn nhất của P = |z − 4 + 4i|. √ A. max P = 4 5. √ B. max P = 7 5. √ C. max P = 5 5. √ D. max P = 6 5. Lời giải. Ta có bất đẳng thức mô-đun số phức sau: ||z1 | − |z2 || ≤ |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |. Đặt w = z − 4 + 4i ⇒ P = |w|. √ √ Ta có |z − 2 + 3i| + |z + 2 + i| = 4 5 ⇔ |w + 2 − i| + |w + 6 − 3i| = 4 5. ( √ ||w + 2 − i| ≥ |w| − |2 − i| = |w| − 5 Mà √ , |w + 6 − 3i| ≥ |w| − |6 − 3i| = |w| − 3 5 Ä √ √ ä Ä √ ä √ suy ra 4 5 ≥ |w| − 5 + |w| − 3 5 ⇔ |w| ≤ 4 5. √ Vậy max P = 4 5 khi w = k(2 − i) = −4(2 − i) hay z = −4.  Chọn đáp án A Câu 215. Rút gọn tổng sau S = C02018 − 3C22018 + 32 C42018 − 33 C62018 + · · · − 31009 C2018 2018 A. S = 22017 . B. S = 22018 . C. S = −22017 . D. S = −22018 . Lời giải. 2018 Ta có (1 + x)2018 = C02018 + C12018 x + C22018 x2 + · · · + C2018 2018 x 2018 Mặt khác (1 − x)2018 = C02018 − C12018 x + C22018 x2 − · · · + C2018 2018 x (1). (2). Cộng (1) và (2) ta được: √ 2018 (1 + x)2018 + (1 − x)2018 = 2 C02018 + C22018 x2 + · · · + C2018 2018 x  (3). Thay x = i 3 vào (3) ta được: √ √ (1 + i 3)2018 + (1 − i 3)2018 = 2S (4). Cách 1: √ √ √ √ Mà (1 + i 3)3 = (1 − i 3)3 = −8 ⇒ (1 + i 3)2016 = (1 − i 3)2016 = (−8)672 . √ √ Suy ra, (1 + i 3)2018 + (1 − i 3)2018 Ä √ √ ä = (−8)672 (1 + i 3)2 + (1 − i 3)2 = (−8)672 × (−4) = −22018 (5). 2017 Từ (4) và (5) suy ra: S = −2 . Cách  2: Å ã    √ 2018 2018 · π 2018 · π √ π π  2018 (1 + i 3) = 2 cos + i sin  =2 cos + i sin  (1 + i 3) 3 3 3 3  ⇒ Å ã Ta có √ π π √ 2018 · π 2018 · π   2018 2018  (1 − i 3) = 2 cos − i sin (1 − i 3) =2 cos − i sin 3 3 3 3 Ç √ å  √ 1 3  2018  = 22018 − + i  (1 + i 3) 2 2 Ç ⇒ (5). √ å  √ 2018 1 3  2018  =2 − − i (1 − i 3) 2 2 22018 Từ (4) và (5) suy ra: S = − = −22017 . 2  Chọn đáp án C Câu 216. Cho số phức z = −3 + 4i. Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Tung độ của điểm M là A. 6. C. −4. B. 4. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 63 D. −6. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. z = −3 − 4i nên tung độ điểm M là −4.  Chọn đáp án C Câu 217. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 1 − πi. A. Phần thực là 1 và phần ảo là −π. C. Phần thực là 1 và phần ảo là −πi. B. Phần thực là 1 và phần ảo là π. D. Phần thực là −1 và phần ảo là −π. Lời giải. Theo định nghĩa số phức có dạng z = a + bi với a, b ∈ R thì có phần thực và phần ảo tương ứng là a và b. Vậy số phức z = 1 − πi có phần thực là 1 và phần ảo là −π.  Chọn đáp án A Câu 218. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z−i = 1. z+i A. Hai đường thẳng y = ±1, trừ điểm (0; −1). B. Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng x = ±1, y = ±1. C. Đường tròn (x + 1)2 + (y − 1)2 = 1. D. Trục Ox. Lời giải. Đặt z = a + bi, (a, b ∈ R) ⇒ z + i 6= 0 ⇔ a + (b + 1) i 6= 0 ⇔ a2 + (b + 1)2 6= 0. z−i |z − i| nên Ta có = z+i |z + i| z−i |z − i| = 1 ⇔ |z − i| = |z + i| =1⇔ z+i |z + i| ⇔ |a + (b − 1)i| = |a + (b + 1)i| » » ⇔ a2 + (b − 1)2 = a2 + (b + 1)2 ⇔ b = 0 (thỏa mãn điều kiện a2 + (b + 1)2 6= 0). Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường thẳng y = 0, chính là trục Ox.  Chọn đáp án D Câu 219. Cho hai số phức z1 = 2 + 3i, z2 = −3 − 5i. Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức w = z1 + z2 . A. 3. C. −1 − 2i. B. 0. D. −3. Lời giải. Ta có w = −1 − 2i, nên tổng phần thực và phần ảo của w là −3.  Chọn đáp án D Câu 220. Cho số phức z thỏa mãn z + 4z = 7+ i(z − 7). Khi đó, mô-đun của z bằng bao nhiêu? √ √ A. |z| = 5. B. |z| = 3. C. |z| = 5. D. |z| = 3. Lời giải. Đặt z = x + yi ⇒ z = x − yi. Ta có: z + 4z = 7 + i(z − 7) ⇔ (x + yi) + 4(x − yi) = 7 + i(x + yi − 7) Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 64 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ⇔ 5x − 3yi = 7 − y + (x − 7)i ⇔ Chương 3-Giải tích 12  5x + y = 7 ⇔ x + 3y = 7  5x = 7 − y −3y = x − 7 √ √ ⇒ z = 1 + 2i ⇒ |z| = 12 + 22 = 5. ⇔  x = 1 y = 2 Chọn đáp án C  Câu 221. Cho số phức z thỏa mãn (1 + 3i)z − 5 = 7i. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? 13 4 13 4 13 4 13 4 A. z = − + i. B. z = − i. C. z = − − i. D. z = + i. 5 5 5 5 5 5 5 5 Lời giải. 13 4 5 + 7i 13 4 = − i⇒z= + i. Ta có z = 1 + 3i 5 5 5 5 Chọn đáp án D  Câu 222. Cho số phức z và w thỏa mãn z + w = 3 + 4i và |z − w| = 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = |z| + |w|. √ √ A. max T = 176. B. max T = 14. C. max T = 4. D. max T = 106. Lời giải. Đặt z = a + bi (a, b ∈ R); w = c + di (c, d ∈ R). Ta có |z +w| = |3+4i| = 5 ⇔ |(a+bi)+(c+di)| = 5 ⇔ |(a+c)+(b+d)i| = 5 ⇔ (a+c)2 +(b+d)2 = 25 |z − w| = 9 ⇔ |(a + bi) − (c + di)| = 9 ⇔ |(a − c) + (b − d)i| = 9 ⇔ (a − c)2 + (b − d)2 = 81. Ta  có hệ phương trình (a + c)2 + (b + d)2 = 25 (a − c)2 + (b − d)2 = 81  a2 + 2ac + c2 + b2 + 2bd + d2 = 25 ⇔ a2 − 2ac + c2 + b2 − 2bd + d2 = 81 ⇒ a2 + b2 + c2 + d2 = 53 Theo bất đẳng thức B.C.S ta có p √ √ √ ||z| + |w|| = 1 · a2 + b2 + 1 · c2 + d2 ≤ (12 + 12 )(a2 + b2 + c2 + d2 ) = 106. √ 21 47 51 7 Với z = − + i, w = − i luôn thỏa mãn giả thiết và |z| + |w| = 106. 10 10 √ 10 10 Vậy max (|z| + |w|) = 106.  Chọn đáp án D Câu 223. Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1 = −1 + i, z2 = 1 + 2i, z3 = 2 − i, z4 = −3i. Gọi S diện tích tứ giác ABCD. Tính S. 17 19 23 21 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 2 2 2 2 Lời giải. Ta có z1 = −1 + i ⇒ A(−1; 1); z2 = 1 + 2i ⇒ B(1; 2); z3 = 2 − i ⇒ C(2; −1); z4 = −3i ⇒ D(0; −3). √ √ √ √ √ AB = 5, AC = 13, BC = 10, √ AD√= 17, √ CD = 2 2. AB + AC + BC 5 + 13 + 10 Do đó: p1 = = . 2 p2 p1 (p1 − AB)(p1 − BC)(p1 − AC) 7 Diện tích tam giác ABC là S4ABC = = . 2 2 √ √ √ 17 + 2 2 + 13 AD + CD + AC p2 = = . 2 2 p Diện tích tam giác ACD là S4ACD = p2 (p2 − AC)(p2 − AD)(p2 − CD) = 5. 7 17 Vậy diện tích tứ giác ABCD là SABCD = S4ABC + S4ACD = + 5 = . 2 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 65 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án A Câu 224. Cho số phức z thỏa mãn |z| = √ A. 2 5. B. 5. √ 5 và số phức w = (1 + i)z. Tìm |w|. √ √ √ C. 10. D. 2 + 5. Lời giải. √ √ Ta có |w| = |(1 + i)z| = |1 + i| · |z| = 2 · |z| = 10.  Chọn đáp án C Câu 225. Trong các số phức (1 + i)2 , (1 + i)3 , (1 + i)5 , (1 + i)8 số phức nào là số thực? A. (1 + i)2 . B. (1 + i)8 . C. (1 + i)5 . D. (1 + i)3 . Lời giải. Ta có (1 + i)2 = 2i, (1 + i)3 = −2 + 2i, (1 + i)5 = −4 − 4i, (1 + i)8 = 16. Chọn đáp án B Câu 226. Cho số phức z = (1 + 2i)(5 − i), z có phần thực là A. 5. B. 3. C. 9.  D. 7. Lời giải. Ta có z = 7 + 9i. Vậy phần thực là 7.  √ Câu 227. Cho số phức z thỏa mãn |z − 2 + 3i| + |z + 2 + i| = 4 5. Tính giá trị lớn nhất của Chọn đáp án D P = |z − 4 + 4i|. √ A. max P = 7 5. Lời giải. √ B. max P = 5 5. √ C. max P = 4 5. √ D. max P = 6 5. Đặt w = z − 4 + 4i. Ta có √ |z − 2 + 3i| + |z + 2 + i| = 4 5 √ ⇔ |w + 2 − i| + |w + 6 − 3i| = 4 5 √ ⇒ |w| − |2 − i| + |w| − 3|2 − i| ≤ 4 5 √ √ ⇔ 2|w| ≤ 8 5 ⇔ |w| ≤ 4 5.  Chọn đáp án C Câu 228. Rút gọn tổng sau S = C22018 + C52018 + C82018 + · · · + C2018 2018 . 22018 − 1 22019 + 1 22019 − 1 22018 + 1 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 3 3 3 3 Lời giải. Trước hết ta có nhận xét, nếu α là một nghiệm phức của phương trình x3 − 1 = 0 (1), tức là α 6= 1, thì 1 + α + α2 = 0 hay nói cách khác nếu α là một nghiệm phức của (1) thì α2 cũng là nghiệm của (1). Ngoài ra   1 khi k = 3t,   αk = α khi k = 3t + 1,    2 α khi k = 3t + 2. 2018 Bây giờ ta xét đa thức P (x) = (1 + x) Ta có P (x) = 672 X k=0 3k C3k + 2018 x 672 X = 2018 X Ck2018 xk . k=0 672 X 3k+1 C3k+1 + 2018 x k=0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 3k+2 C3k+2 . 2018 x k=0 66 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Để ý rằng 2018 P (1) = C02018 + C12018 + · · · + C2018 ; 2018 = 2 2018 P (α) = C02018 + C12018 · α + · · · + C2018 2018 · α = (1 + α)2018 = (−α2 )2018 = α4 · (α6 )672 = α; 4036 P (α2 ) = C02018 + C12018 · α2 + · · · + C2018 2018 · α = (1 + α2 )2018 = (−α)2018 = α2 · (α3 )672 = α2 ; Từ nhận xét trên ta thấy S= P (1) + α · P (α) + α2 · P (α2 ) 22018 − 1 = . 3 3  Chọn đáp án A Câu 229. Kí hiệu a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z = i(1 − i). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a = 1, b = −1. B. a = 1, b = 1. C. a = 1, b = i. D. a = 1, b = −i. Lời giải. Ta có z = 1 + i suy ra a = 1, b = 1.  Chọn đáp án B Câu 230. Cho số phức z = 5 − 4i. Môđun của số phức z bằng √ A. 3. B. 9. C. 41. D. 1. Lời giải. p √ Ta có |z| = 52 + (−4)2 = 41.  Chọn đáp án C Câu 231. Cho các số phức z, w khác 0 và thỏa mãn: |z − w| = 2|z| = |w|. Tìm phần thực của số z phức u = . w 1 1 1 A. − . B. . C. 1. D. . 8 4 8 Lời giải. 1 z z − 1 = 1 và (∗) Từ giả thiết suy ra = . w w 2 (x − 1)2 + y 2 = 1 z Đặt = x + yi, ta có (∗) tương đương với x 2 + y 2 = 1 . w 4 1 Trừ phương trình dưới cho phương trình trên ta được x = . 8 Chọn đáp án D  Câu 232. Cho các số phức z thỏa mãn |z − 1| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số Ä √ ä phức w = 1 + 3i z + 2 là một đường tròn. Tính bán kính R của đường tròn đó. A. R = 4. B. R = 16. C. R = 8. D. R = 2. Lời giải. √ √ w−2 w−2 w − 3 − 3i √ = z ⇔ √ −1 = z−1 ⇒ √ Ta có w − 2 = (1 + 3i)z ⇔ = |z − 1| 1 + 3i 1 + 3i 1 + 3i √ √ ⇔ |w − 3 − 3i| = |z − 1| · |1 + 3i| = 4. Từ đó suy ra bán kính R = 4.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 67 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 √ Câu 233. Số phức z nào sau đây thỏa mãn |z| = 5 và z là số thuần ảo? √ √ √ √ A. z = 5. B. z = 2 + 3i. C. z = 5i. D. z = − 5i. Lời giải. Vì z là số thuần ảo nên ta đặt z = bi ⇒ |z| = |b| = √ ” √ √ 5 z = 5i 5⇒ √ ⇒ √ . b=− 5 z = − 5i ” b= Chọn đáp án D  1 Câu 234. Cho số phức z = mi với m 6= 0 là tham số thực. Tìm phần ảo của số phức · z 1 1 1 1 B. . C. − i. D. . A. − . m m m m Lời giải. 1 1 i 1 1 Ta có = = − ⇒ phần ảo của là − · z mi m z m Chọn đáp án A  Câu 235. Cho hai số phức z = (a − 2b) − (a − b)i và w = 1 − 2i, biết z = wi. Tính S = a + b. A. S = −7. B. S = −4. C. S = −3. D. S = 7. Lời giải. Ta có z = ωi ⇔ (a − 2b) − (a − b)i = (1 − 2i)i ⇔ (a − 2b) − (a − b)i = 2 + i ( a − 2b = 2 ⇔ −a+b=1 ( a = −4 ⇔ ⇒ S = a + b = −7. b = −3  Chọn đáp án A Câu 236. Cho số phức (1 − i)z = 4 + 2i. Tìm mô-đun của số phức w = z + 3. √ √ A. 5. B. 10. C. 25. D. 7. Lời giải. Đặt z = a + bi với a, b ∈ R. Khi đó (1 − i)z = 4 + 2i ⇔ (1 − i)(a + bi) = 4 + 2i ⇔ a + b + (b − a)i = 4 + 2i ( a+b=4 ⇔ −a+b=2 ( a=1 ⇔ ⇒ z = 1 + 3i ⇒ ω = 4 + 3i b=3 ⇒ |ω| = 5.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 68 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 237. Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A, B như hình vẽ bên. Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức 1 A. −1 + 2i. B. − + 2i. C. 2 − i. 2 y 3 1 D. 2 − i. 2 A 1 −2 O B 1 x Lời giải. Å Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là ã −1 1 ; 2 . Khi đó z = − + 2i. 2 2  Chọn đáp án B Câu 238. Gọi z1 , z2 là các nghiệm của phương trình z 2 − 8z + 25 = 0. Giá trị |z1 − z2 | bằng A. 8. B. 5. C. 6. D. 3. Lời giải. ” Ta có: z 2 − 8z + 25 = 0 ⇔ z = 4 + 3i z = 4 − 3i ” . Do đó phương trình có hai nghiệm là z1 = 4 + 3i z2 = 4 − 3i . ⇒ |z1 − z2 | = |(4 + 3i) − (4 − 3i)| = |6i| = 6.  Chọn đáp án C Câu 239. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 = |z|2 + z? A. 1. B. 4. C. 2. D. 3. Lời giải. Đặt z = a + bi (a, b ∈ R). Ta có z 2 = |z|2 + z ⇔ (a + bi)2 = a2 + b2 + a − bi ⇔ 2abi − b2 = b2 + a − bi ( 2ab = −b ⇔ − b2 = b2 + a  b = 0 hoặc a = − 1 2 ⇔  2 2b + a = 0. b = 0 ⇒ a = 0 ⇒ z = 0. 1 1 1 1 a = − ⇒ b = ± ⇒ z = − ± i. 2 2 2 2 Vậy có 3 số phức thỏa mãn.  Chọn đáp án D Câu 240. Giả sử z1 ,z2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn iz + Giá trị lớn nhất của |z1 | + |z2 | bằng √ A. 4. B. 2 3. √ C. 3 2. √ 2 − i = 1 và |z1 − z2 | = 2. D. 3. Lời giải. Ä √ ä √ 2 − i = 1 ⇔ z − 1 + i 2 = 1. Ä √ ä √ Gọi z0 = 1 + i 2 có điểm biểu diễn là I 1; 2 . Ta có iz + Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 69 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 ,z2 . Vì |z1 − z2 | = 2 nên I là trung điểm của AB. Ta có |z1 | + |z2 | = OA + OB 6 » √ √ 2 (OA2 + OB 2 ) = 4OI 2 + AB 2 = 16 = 4. Dấu bằng xảy ra khi OA = OB.  Chọn đáp án A Câu 241. Điểm M (3; −4) là điểm biểu diễn của số phức z, số phức liên hợp của z là A. z̄ = 3 − 4i. B. z̄ = −3 + 4i. C. z̄ = 3 + 4i. D. z̄ = −3 − 4i. Lời giải. Ta có z = 3 − 4i suy ra z̄ = 3 + 4i.  Chọn đáp án C n 2n Câu 242. Số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức: C02n −C22n +C42n −C62n +C82n −C10 2n +· · ·+(−1) C2n = 21008 là A. 2018. B. 2016. C. 1009. D. 1008. Lời giải. Xét khai triển 2n−1 2n−1 2n (1 + x)2n = C02n + C12n x + C22n x2 + C32n x3 + C42n x4 + C52n x5 + · · · C2n x + C2n 2n x . Cho x = i ta có 2n−1 2n (1 + i)2n = C02n + C12n i + C22n i2 + C32n i3 + C42n i4 + C52n i5 + C62n i6 + · · · + C2n−1 + C2n 2n i 2n i 2n−1 = C02n + C12n i − C22n − C32n i + C42n + C52n i − C62n + · · · − C2n i + (−1)n C2n 2n 1 3 5 2n−1 = C02n − C22n + C42n − C62n + · · · + (−1)n C2n 2n + i C2n − C2n + C2n − · · · − C2n  n 2n = C02n − C22n + C42n − C62n + C82n − C10 2n + · · · + (−1) C2n . n Khi đó (1 + i)2n = 21008 ⇔ [(1 + i)2 ] = 21008 ⇔ (2i)n = 21008 ⇔ 2n in = 21008 ⇔ n = 1008.  Chọn đáp án D 1 Câu 243. Cho số phức z thỏa mãn |z − 2| = 2. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (1 + i)z 2 trên mặt phẳng tọa độ (Oxy) là một đường cong có độ dài bằng √ √ A. 4. B. 2 2. C. 2 2π. D. 4π. Lời giải. 1 2w 2w 2w − 2(1 + i) (1 + i)z ⇒ z = . Ta có |z − 2| = 2 ⇔ −2 = 2 ⇔ =2⇔ 2 1+i 1+i 1+i √ |2w − 2(1 + i)| |2| · |w − (1 + i)| =2⇔ = 2 ⇔ |w − 1 − i| = 2. |1 + i| |1 + i| √ Tập hợp biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = 2. Chu vi đường tròn √ P = 2πR = 2 2π. Ta có w = Cách 2: Ta có 1 w = (1 + i)(z − 2) + (1 + i) 2 1 ⇔ w − 1 − i = (1 + i)(z − 2) 2 √ 1 ⇒ |w − 1 − i| = · |1 + i| · |z − 2| = 2. 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 70 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Tập hợp biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = √ P = 2πR = 2 2π. √ 2. Chu vi đường tròn  Chọn đáp án C Câu 244. Cho số phức z thỏa mãn z + (1 + i)z̄ = 5 + 2i. Mô-đun của z bằng √ √ √ A. 3. B. 6. C. 27. D. 5. Lời giải. Đặt z = a + bi. Ta có z + (1 + i)z̄ = 5 + 2i ⇔ (a + bi) + (1 + i)(a − bi) = 5 + 2i ⇔ 2a + b + ai = 5 + 2i ( ( √ 2a + b = 5 a=2 ⇔ ⇔ ⇒ z = 2 + i ⇒ |z| = 5 a=2 b=1  Chọn đáp án D Câu 245. Cho số phức z = a + bi (a, b là các số thực) thỏa mãn |z| = |z̄ − 3 + 4i| và có mô-đun nhỏ nhất. Giá trị của P = ab là 3 A. . B. 4. 4 Lời giải. C. 2. D. 3. Đặt z = a + bi, ta có |z| = |z̄ − 3 + 4i| ⇔ |a + bi| = |a − bi − 3 + 4i| ⇔ |a + bi| = |(a − 3) − (b − 4)i| » √ ⇔ a2 + b2 = (a − 3)2 + (b − 4)2 ⇔ a2 + b2 = (a − 3)2 + (b − 4)2 ⇔ −6a + 9 − 8b + 16 = 0 ⇔ 6a + 8b − 25 = 0. Tập hợp điểm của số phức z là đường thẳng 6x + 8y − 25 = 0. Vậy mô-đun nhỏ nhất của số phức z là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O lên đường thẳng. Xét đường thẳng qua O và vuông góc với đường thẳng 6x+8y−25 = 0 có phương trình ( là 8x−6y = 0. 6x + 8y − 25 = 0 Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng 6x+8y−25 = 0. Ta có tọa độ H thỏa hệ ⇔ 8x − 6y = 0  x = 3 2.  y=2 Å ã 3 3 3 Suy ra H ; 2 là điểm biểu diễn của số phức z = + 2i. Vậy a = , b = 2 khi đó P = 3. 2 2 2  Chọn đáp án D Câu 246. Cho số phức z = 6 + 7i. Số phức liên hợp của z trong mặt phẳng (Oxy) có điểm biểu diễn hình học là A. (6; 7). Lời giải. B. (6; −7). C. (−6; 7). D. (−6; −7). Ta có z = 6 + 7i ⇒ z = 6 − 7i ⇒ Điểm biểu diễn hình học của z là M (6; −7).  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 71 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 247. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2 − 6z + 13 = 0. Tính |z0 + 1 − i|. √ A. 13. B. 13. C. 5. D. 25. Lời giải. Ta có: z0 = 3 − 2i. Khi đó |z0 + 1 − i| = |3 − 2i + 1 − i| = |4 − 3i| = √ 16 + 9 = 5.  Chọn đáp án C Câu 248. Nếu z = i là một nghiệm phức của phương trình z 2 + az + b = 0 với (a, b ∈ R) thì a + b bằng A. −1. C. −2. B. 2. D. 1. Lời giải. z = i là một nghiệm phức của phương trình z 2 + az + b = 0 nên ta có: ( a=0 i2 + a.i + b = 0 ⇔ ai + b = 1 ⇔ ⇒a+b=1 b=1  Chọn đáp án D Câu 249. Cho số phức z thỏa mãn |z − 3 − 4i| = 2 √ 5. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và 2 giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z + 2| − |z − i| . Tính S = M 2 + m2 . A. 1256. B. 1258. C. 1233. D. 1236. Lời giải. Cách 1: Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R). √ √ Ta có |z − 3 − 4i| = 5 ⇔ |x − 3 + (y − 4)i| = 5 ⇔ (x − 3)2 + (y − 4)2 = 5 (∗). Ta có P = |z + 2|2 − |z − i|2 = (x + 2)2 + y 2 − [x2 + (y − 1)2 ] = 4x + 2y + 3 ⇒ y = Thế vào (∗) và rút gọn ta có: 20×2 − 8(P − 8)x + P 2 − 22P + 137 = 0 P − 4x − 3 2 Phương trình bậc hai này có nghiệm⇔ ∆0 = −4P 2 + 184P − 1716 ≥ 0 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33. Từ đó ta có M = 33; m = 13 ⇒ M 2 + m2 = 1258. Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R). √ √ Ta có |z − 3 − 4i| = 5 ⇔ |x − 3 + (y − 4)i| = 5 ⇔ (x − 3)2 + (y − 4)2 = 5. Ta có P = |z + 2|2 − |z − i|2 = (x + 2)2 + y 2 − [x2 + (y − 1)2 ] = 4x + 2y + 3 = 4(x − 3) + 2(y − 4) + 23. Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: p |4(x − 3) + 2(y − 4)| ≤ (16 + 4)[(x − 3)2 + (y − 4)2 ] = 10 ⇔ −10 ≤ 4(x − 3) + 2(y − 4) ≤ 10 ⇔ 13 ≤ 4(x − 3) + 2(y − 4) + 23 ≤ 33 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33. Từ đó ta có M = 33; m = 13 ⇒ M 2 + m2 = 1258.  Chọn đáp án B Câu 250. Số phức liên hợp của số phức z = 1 − 2i là A. 1 + 2i. B. −1 − 2i. C. 2 − i. D. −1 + 2i. Lời giải. Ta có z = 1 + 2i.  Chọn đáp án A Câu 251. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2z 2 + 6z + 5 = 0 trong đó z2 có phần ảo âm. Phần thực vào phần ảo của số phức z1 + 3z2 lần lượt là Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 72 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. −6; 1. Chương 3-Giải tích 12 B. −1; −6. C. −6; −1. D. 6; 1. Lời giải.  3 1 z1 = − + i  2 2 Ta có 2z 2 + 6z + 5 = 0 ⇔  3 1 z2 = − − i. 2 2 Suy ra z1 + 3z2 = −6 − i , do đó phần thực và phần ảo của số phức z1 + 3z2 lần lượt là −6; −1.  Chọn đáp án C Câu 252. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R, a > 0) thỏa mãn |z − 1 + 2i| = 5 và z · z = 10. Tính P = a − b. B. P = −4. A. P = 4. C. P = −2. D. P = 2. Lời giải. Gọi z = a + bi(a, b ∈ R). ( |z − 1 − 2i| = 5 ⇔ ( (a − 1)2 + (b + 2)2 = 25 ( ⇔ − 2a + 4b = 10 a2 + b2 = 10 a2 + b2 = 10 ( ( a = −3 ( loại ) a=1 ⇔ ⇔ hoặc ⇒ P = 1 − 3 = −2. 5b2 − 20b + 15 = 0 b=1 b=3 z · z = 10 ( a = 2b − 5  Chọn đáp án C Câu 253. Cho số phức z thỏa mãn |z − 1 − i| = 1, số phức w thỏa mãn |w − 2 − 3i| = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z − w|. √ A. 13 − 3. B. √ 17 − 3. C. √ 17 + 3. D. √ 13 + 3. Lời giải. Đặt z = x + yi, Đặt w = a + bi. Khi đó |z − 1 − i| = 1 ⇔ |x − 1 + (y − 1)i| = 1 ⇔ (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1. Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C1 ) có tâm I1 (1; 1), r = 1. |w − 2 − 3i| = 2 ⇔ |a − 2 − (b + 3)i| = 2 ⇔ (a − 2)2 + (b + 3)2 = 4. Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn (C2 ) có tâm I2 (2; −3), bán kính R = 2. p |z − w| = (x − a)2 + (y − b)2 đây là biểu thức xác định khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn cho số phức z và w. √ Ta có I1 I2 = 17 > R + r nên (C1 ) nằm ngoài (C2 ). Khi đó khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn là: d = I1 I2 − R − r = √ 17 − 3.  Chọn đáp án B Câu 254. Cho hai số phức z1 = 2 + 3i, z2 = −4 − 5i. Tính z = z1 + z2 . A. z = −2 − 2i. B. z = −2 + 2i. C. z = 2 + 2i. D. z = 2 − 2i. Lời giải. z = z1 + z2 = 2 + 3i − 4 − 5i = −2 − 2i.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 73 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 255. Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2 − z + 1 = 0 là z = a + bi, a, b ∈ R. √ Tính a + 3b. A. −2. B. 1. D. −1. C. 2. Lời giải. √  1 3 Å ã z = 2 + 2 i 1 2 3 √ . Ta có phương trình tương đương z − =− ⇔  2 4 3 1 i z= − 2 2 √ √ 1 3 Do phần ảo của z dương nên a = và b = . Do đó a + 3b = 2. 2 2 Chọn đáp án C  Câu 256. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 + 1 − i| = 2 và z2 = iz1 . Tìm giá trị lớn nhất m của biểu thức P = |z1 − z2 |. √ A. m = 2 2 + 2. B. m = √ 2 + 1. √ C. m = 2 2. D. m = 2. Lời giải. √ Ta có |z1 − z2 | = |z1 − iz1 | = |1 − i| · |z1 | = 2|z1 |. Do đó P lớn nhất khi và chỉ khi |z1 | lớn nhất. Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z1 . Ta có |z1 + 1 − i| = 2 ⇔ (x + 1)2 + (y − 1)2 = 4. ⇒ M thuộc đường tròn tâm I(−1; 1), bán kính R = 2. z1 lớn nhất khi OM lớn nhất ⇒ M ∈ OI ∩ (I, R). √ √ √ √ Đường thẳng OI là y = −x. Do đó OI ∩ (I, R) = {A( 2 − 1; 1 − 2); B(− 2 − 1; 2 + 1)}. √ √ Mà OA = 2 − 2, OB = 2 + 2. √ √ √ √ Nên max OM = OB = 2 + 2 khi M ≡ B ⇔ z1 = − 2 − 1 + ( 2 + 1)i. Vậy max P = m = 2 + 2 2. Chọn đáp án A  √ Câu 257. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 | = 2, |z2 | = 3. Gọi M , N là các điểm biểu diễn cho ÷ z1 và iz2 . Biết M ON = 30◦ . Tính S = |z12 + 4z22 |. √ √ √ √ A. 5 2. B. 3 3. C. 4 7. D. 5. Lời giải. y 2 M 1 I O P 1 N 2 3 x Ta có S = |z12 + 4z22 | = |z12 − (2iz2 )2 | = |z1 − 2iz2 | · |z1 + 2iz2 |. Gọi P là điểm biểu diễn của số phức 2iz2 . Khi đó ta có # » #» # » # » # » # » |z1 − 2iz2 | · |z1 + 2iz2 | = OM − OP · OM + OP = P M · 2OI = 2P M · OI. √ ÷ Vì M ON = 30◦ nên áp dụng định lí côsin cho 4OM N với OM = 2, ON = 3 ta có √ ÷ M N 2 = OM 2 + ON 2 − 2OM · ON cos M ON = 4 + 3 − 4 3 · cos 30◦ = 1 ⇒ M N = 1. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 74 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Khi đó theo Pitago ta có 4OM N vuông tại N . Khi đó 4OM P có M N là đường cao đồng thời là trung tuyến, tức là 4OM P cân tại M ⇒ P M = OM = 2. Áp dụng định lý đường trung tuyến cho 4OM N ta có OI 2 = √ Vậy S = 2 · P M · OI = 4 7. OM 2 + OP 2 M P 2 − = 7. 2 4  Chọn đáp án C Câu 258. Xét các số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn |z − 3 + 3i| = √ 2. Tính P = a + b khi |z − 1 + 3i| + |z − 3 + 5i| đạt giá trị lớn nhất. A. P = −2. Lời giải. Ta có |z − 3 + 3i| = B. P = −8. C. P = 8. D. P = 2. √ 2 ⇔ (a − 3)2 + (b + 3)2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của |z − 1 + 3i| + |z − 3 + 5i| = p p (a − 1)2 + (b + 3)2 + (a − 3)2 + (b + 5)2 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có h» i2 »   (a − 1)2 + (b + 3)2 + (a − 3)2 + (b + 5)2 ≤ 2 (a − 1)2 + (b + 3)2 + (a − 3)2 + (b + 5)2 ≤ 4(a2 − 4a + b2 + 8b + 22). Ta đổi biến a − 3 = u, b + 3 = v. Từ đó điều kiện là u2 + v 2 = 2 và ta cần tìm giá trị lớn nhất của » 2 2 u + v + 2(u + v) + 4 ≤ 2 + 2 2(u2 + v 2 ) + 4 = 10. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u = v = 1 ⇔ ( a=4 b = −2 . Vậy P = a + b = 2.  Chọn đáp án D Câu 259. Tìm điểm M biểu diễn số phức z = i − 2. A. M = (−2; 1). B. M = (1; −2). C. M = (2; 1). D. M = (2; −1). Lời giải. Ta có z = i − 2 = −2 + 1 · i nên z được biểu diễn bởi điểm M (−2, 1) trên mặt phẳng phức.  Chọn đáp án A Câu 260. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn z + 1 + 2i − (1 + i)|z| = 0 và |z| > 1. Tính giá trị của biểu thức P = a + b. A. P = 3. B. P = −5. C. P = −1. D. P = 7. Lời giải. √ √ z = a + bi ⇒ |z| = a2 + b2 và |z| = a2 + b2 > 1 . Khi đó z + 1 + 2i − (1 + i)|z| = 0 √ ⇒ a + bi + 1 + 2i − (1 + i) a2 + b2 = 0 √ √ ⇔( a − a2 + b2 + 1 + i · (b − (√ a2 + b2 + 2) = 0 + 0i √ a2 + b 2 = a + 1 a − a2 + b 2 + 1 = 0 ⇒ ⇒ √ ⇒ a + 1 = b + 2 ⇒ b = a − 1. √ b − a2 + b 2 + 2 = 0 a2 + b 2 = b + 2 √ Thay b = a − 1 vào phương trình a − a2 + b2 + 1 = 0 ta được p a − a2 + (a − 1)2 + 1 = 0 √ 2 ⇔ ( 2a − 2a + 1 = a + 1 a+1≥0 2a2 − 2a + 1 = a2 + 2a + 1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 75 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  a ≥ −1  ”  ” a=0 ⇔ ⇔ ⇔ . a = 0  a2 − 4a = 0 a = 4   a=4 √ Với a = 0 ⇒ b = 0 − 1 = −1. Khi đó a2 + b2 = 1 không thỏa yêu cầu bài toán. √ Với a = 4 ⇒ b = 4 − 1 = 3. Khi đó a2 + b2 = 5 > 1 thỏa yêu cầu bài toán. Suy ra P = a + b = 4 + 3 = 7. ( a ≥ −1  Chọn đáp án D Câu 261. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 4z + 7 = 0. Khi đó |z1 |2 + |z2 |2 bằng A. 7. B. 10. C. 14. D. 21. Lời giải. √ √ Ta cóz 2 + 4z + 7 = 0 ⇔ z = −2 + i 3 ∨ z = −2 − i 3 nên |z1 |2 + |z2 |2 = 14.  Chọn đáp án C Câu 262. Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1 = 1 + 2i, z2 = 5 − i. Tính độ dài đoạn thẳng AB. √ A. 37. B. 5. C. 25. D. √ √ 5 + 26. Lời giải. Ta có z1 = 1 + 2i ⇒ A (1; 2) và z2 = 5 − i ⇒ B (5; −1). √ Suy ra AB = 42 + 32 = 5.  Chọn đáp án B Câu 263. Xét các số phức z = a + bi thỏa mãn |z − 3 − 2i| = 2. Tính a + b khi |z + 1 − 2i| + 2 |z − 2 − 5i| đạt giá trị nhỏ nhất. √ √ A. 4 + 3. B. 2 + 3. C. 4 − √ 3. D. 3. Lời giải. Đặt z − 3 − 2i = a + bi − 3 − 2i = t = x + yi ⇒ |t| = 2 và x2 + y 2 = 4. p Ta có |z + 1 − 2i| + 2 |z − 2 − 5i| = |t + 4| + 2 |t + 1 − 3i| = x2 + 8x + 16 + y 2 + 2 |t + 1 − 3i| … √ 4 + 16 + 8x + 2 |t + 1 − 3i| = 2 5 + 2x + 2 |t + 1 − 3i| =2 4 » » = 2 (x + 1)2 + y 2 + 2 (x + 1)2 + (3 − y)2 ≥ 2 (|y| + |3 − y|) ≥ 6.   ( ( ( x = −1   x = −1 a − 3 = −1 a=2 Dấu bằng xảy ra ⇔ y (3 − y) ≥ 0 ⇔ √ ⇔ √ ⇔ √ .  y = 3 b − 2 = 3 b = 2 + 3  2  x + y2 = 4 Chọn đáp án A  Câu 264. Cho số phức z = a + bi khác 0, (a, b ∈ R). Tìm phần ảo của số phức z −1 . −b b a −bi A. 2 . B. 2 . C. 2 . D. 2 . 2 2 2 a +b a +b a +b a + b2 Lời giải. 1 a − bi a b Ta có z −1 = = 2 = − i. a + bi a + b2 a2 + b 2 a2 + b 2 −b Phần ảo của số phức z −1 là 2 . a + b2 Chọn đáp án A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 76 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 265. Tìm số phức liên hợp của số phức z = −i. B. −1. A. i. D. −i. C. 1. Lời giải. Số phức liên hợp của số phức là số phức có dạng z̄ = a − bi.  Chọn đáp án A Câu 266. Cho số phức z có biểu diễn hình học là điểm M như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z = −3 + 2i. B. z = 3 + 2i. C. z = −3 − 2i. y 3 x O D. z = 3 − 2i. −2 M Lời giải. Ta thấy điểm M (3; −2) do đó z = 3 − 2i.  Chọn đáp án D Câu 267. Cho số phức z = 1 + i. Số phức nghịch đảo của z là 1−i 1−i A. √ . B. 1 − i. C. . 2 2 Lời giải. 1 1 1−i 1−i Số phức nghịch đảo của z là = = = . z 1+i (1 − i)(1 + i) 2 Chọn đáp án C D. −1 + i . 2  Câu 268. Cho i là đơn vị ảo. Gọi S là tập hợp tất cả các số n nguyên dương có hai chữ số thỏa mãn in là số nguyên dương. Số phần tử của S là A. 22. B. 23. C. 45. D. 46. Lời giải. in là số nguyên dương khi và chỉ khi n = 4k, với k nguyên dương. Khi đó, tập hợp S = {n = 4k|3 ≤ k ≤ 24}. Vậy số phần tử của tập S là 24 − 3 + 1 = 22.  Chọn đáp án A Câu 269. Cho số phức z = −3 + 4i. Mô-đun của số phức z là A. 4. B. 7. C. 3. D. 5. Lời giải. Ta có |z| = p (−3)2 + 42 = 5.  Chọn đáp án D Câu 270. Cho số phức z = a + bi. Phương trình nào dưới đây nhận z và z làm nghiệm? A. z 2 − 2az + a2 b2 = 0. B. z 2 − 2az + a2 + b2 = 0. C. z 2 − 2az − a2 − b2 = 0. Lời giải. D. z 2 + 2az + a2 + b2 = 0. Ta có z = a + bi và z = a − bi là nghiệm của phương trình (z − a − bi)(z − a + bi) = 0 ⇔ (z − a)2 + b2 = 0 ⇔ z 2 − 2az + a2 + b2 = 0. Vậy z và z là nghiệm của phương trình z 2 − 2az + a2 + b2 = 0.  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 77 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 271. Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn log 1 3 |z − 2| + 2 > 1. Khi đó 4|z − 2| − 1 (x; y) thỏa mãn hệ thức nào dưới đây? A. (x + 2)2 + y 2 > 49. B. (x + 2)2 + y 2 < 49. C. (x − 2)2 + y 2 < 49. D. (x − 2)2 + y 2 > 49. Lời giải. 1 Điều kiện 4|z − 2| − 1 > 0 ⇔ (x − 2)2 + y 2 > . 16 Ta có 1 |z − 2| + 2 |z − 2| + 2 1 >1⇔ < ⇔ 3|z − 2| + 6 < 4|z − 2| − 1 ⇔ |z − 2| > 7 3 4|z − 2| − 1 4|z − 2| − 1 3 ⇔ (x − 2)2 + y 2 > 49.  Chọn đáp án D Câu 272. Cho hai số thực b, c với c > 0. Kí hiệu A, B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm của phương trình z 2 + 2bz + c = 0. Tìm điều kiện của b và c sao cho tam giác OAB là tam giác vuông (với O là gốc tọa độ). A. b = c. B. b2 = c. C. 2b2 = c. D. b2 = 2c. Lời giải. Theo bài ra ta giả sử A, B là điểm biểu diễn lần lượt của y z1 = x + yi, z2 = x − yi, suy ra A và B đối xứng nhau qua trục hoành. A Áp dụng định lý Vi-ét ta có x z1 + z2 = 2x = −2b và z1 z2 = x2 + y 2 = c. O M Để tam giác OAB vuông khi và chỉ khi OM = M A = M B ⇔ |x| = |y| ⇔ x2 = y 2 = b2 . Từ đó suy ra 2b2 = c. B  Chọn đáp án C Câu 273. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện 2|z 1 + i| = |z 1 − z1 − 2i| và |z2 − i − 10| = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức |z1 − z2 |. √ √ A. 10 + 1. B. 3 5 − 1. Lời giải. C. p√ 101 + 1. D. p√ 101 − 1. Gọi z1 = x + yi khi đó ta có 2|z 1 + i| = |z 1 − z1 − 2i| tương đương với 4(x2 + (1 − y)2 ) = (2y + 2)2 4×2 + 4 − 8y + 4y 2 = 4y 2 + 8y + 4 x2 (P ). 4 Gọi z2 = a + bi khi đó ta có (a − 10)2 + (b − 1)2 = 1, từ đó suy ra z2 nằm trên đường tròn x2 = 4y ⇔ y = (x − 10)2 + (y − 1)2 = 1 (C). Nhận thấy đường tròn (C) có tâm I(10; 1) và bán kính R = 1. Ta có |z1 − z2 | + 1 ≥ |z1 − z0 | ⇔ |z1 − z2 | ≥ |z1 − z0 | − 1 (I là điểm biểu diễn của z0 ). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 78 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 ã2 x4 x2 x2 −1 = + − 20x + 101, Xét hàm số f (x) = |z1 − z0 | = (x − 10) + 4 ã 16 2 Å x3 x2 có f 0 (x) = + x − 20 = 0 ⇔ (x − 4) + x + 5 = 0 ⇔ x = 4. 4 4 Từ đó suy ra hàm số f (x) đạt cực tiểu tại x = 4, suy ra f (x) ≥ f (4) = 45, ∀x ∈ R. √ √ Vậy ta có |z1 − z2 | ≥ |z1 − z0 | − 1 ≥ 45 − 1 = 3 5 − 1. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z1 = 4 + 4i 2 2 Å và z2 là giao điểm giữa IM và đường tròn (C) (M là điểm biểu diễn của z1 ).  Chọn đáp án B Câu 274. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M (−2; 1). Hỏi điểm M là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây? A. z = 2 − i. B. z = −2 + i. C. z = −1 + 2i. D. z = 1 − 2i. Lời giải. M (−2; 1) ⇒ z = −2 + i.  Chọn đáp án B Câu 275. Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2 − 2z + 10 = 0. Giả sử A, B lần lượt là các điểm biểu diễn z1 , z2 trên mặt phẳng phức. Tính độ dài đoạn thẳng AB. √ √ C. AB = 2 10. D. AB = 2. A. AB = 6. B. AB = 10. Lời giải. Ta có z1 = 1 + 3i và z2 = 1 − 3i ⇒ A(1; 3) và B(1; −3) ⇒ AB = 6.  Chọn đáp án A Câu 276. Cho hai số phức z1 = 2 + i, z2 = 1 − 3i. Tính T = |(1 + i)z1 + 2z2 |. √ A. T = 18. B. T = 3 2. C. T = 0. D. T = 3. Lời giải. (1 + i)z1 + 2z2 = (1 + i)(2 + i) + 2(1 − 3i) = 3 − 3i ⇒ |(1 + i)z1 + 2z2 | = √ √ 9 + 9 = 3 2.  √ √ √ √ 1 1 3 3 Câu 277. Cho hai số phức z1 = + i, z2 = − + i. Gọi z là số phức thỏa mãn |3z− 3i| = 3. 2 2 2 2 Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức T = |z| + |z − z1 | + |z − z2 |. Tính Chọn đáp án B mô-đun√của số phức w = M + mi. √ √ 2 21 4 3 A. . B. 13. . D. 4. C. 3 3 Lời giải. Ç √ å2 3 1 Ta có x2 + y − = (C). Gọi K, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của z, z1 , z2 . Khi đó 3 3 T = OK + KA + KB. Ta có A, B, O thuộc đường tròn (C) và tam giác ABO đều. Suy ra m = 2OA = 2. Đẳng thức xảy ra khi K trùng với O, A, B Gọi K thuộc cung KA · KB = OA √ AB, ta có … √ · BK + AB · OK ⇔ KA = KB + OK suy ra 4 3 16 · 3 2 21 T 2 = KA =≤ . Vậy |w| = +4= . 3 9 3  Chọn đáp án A Câu 278. Cho số phức z = (1 − 2i)2 , số phức liên hợp của z là A. z̄ = 3 − 4i. B. z̄ = −3 + 4i. C. z̄ = −3 − 4i. D. z̄ = 1 + 2i. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 79 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có z = (1 − 2i)2 = −3 − 4i ⇒ z̄ = −3 + 4i.  Chọn đáp án B Câu 279. Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình 2z 2 − 2z + 5 = 0. Mô-đun của số phức w = 4 − z12 + z22 bằng A. 3. B. 5. C. √ 5. D. 25. Lời giải. 1 3 Phương trình 2z 2 − 2z + 5 = 0 có hai nghiệm phức z1,2 = ± i. Ta xét 2 trường hợp 2 Å ã2 Å ã 1 3 1 3 1 3 2 1 3 2 TH1. z1 = − i, z2 = + i ⇒ w = 4 − − i + + i = 4 + 3i ⇒ |w| = 5. 2 2 2 2 2 2 2 2 ã Å ã2 Å 1 3 1 3 1 3 2 1 3 + i + − i = 4 − 3i ⇒ |w| = 5. TH2. z1 = + i, z2 = − i ⇒ w = 4 − 2 2 2 2 2 2 2 2 Chọn đáp án B Câu 280. Cho z là số phức thỏa mãn điều kiện  z+3 + 2 = 1 và w là số thuần ảo. Giá trị nhỏ 1 − 2i nhất của biểu thức |z − w| bằng √ √ A. 5 − 5. B. 5. √ C. 2 2. D. 1 + √ 3. Lời giải. Đặt z = x + yi (x, y ∈ R) z+3 Ta có + 2 = 1 ⇔ |z + 5 − 4i| = |1 − 2i| ⇔ (x + 5)2 + (y − 4)2 = 5. 1 − 2i √ Do đó tập hợp điểm M (x; y) biểu diễn z là đường tròn (C) tâm I(−5; 4) và bán kính R = 5. Đặt w = x + yi (x, y ∈ R) Ta có w là số thuần sảo ⇔ x = 0. Do đó tập hợp điểm N (x; y) biểu diễn w là trục Oy : x = 0. √ Ta có |z − w| = M N ; M Nmin = d(I, Oy) − R = 5 − 5.  Chọn đáp án A Câu 281. Cho z1 , z2 là các số phức thỏa mãn |z1 | = |z2 | = 1 và |z1 − 2z2 | = biểu thức P = |2z1 + z2 |. A. P = 2. B. P = √ 3. C. P = 3. √ 6. Tính giá trị của D. P = 1. Lời giải.     a2 + b21 = 1 a21 + b21 = 1    1  . ⇔ a22 + b22 = 1 Đặt z1 = a1 +b1 i, z2 = a2 +b2 i. Theo đề ta có a22 + b22 = 1       4(a1 a2 + b1 b2 ) = −1 (a1 − 2a2 )2 + (b1 − 2b2 )2 = 6 p p 2 2 2 2 P = |2z1 + z2 | = (2a1 + a2 )2 + (2b1 + b2 )2 = 4(a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) + 4(a1 a2 + b1 b2 ) = 2  Chọn đáp án A Câu 282. Cho số phức z = −1 + 2i. Số phức z được biểu diễn bởi điểm nào dưới đây trên mặt phẳng tọa độ? A. P (1; 2). C. N (1; −2). B. M (−1; 2). D. Q(−1; −2). Lời giải. z = −1 − 2i ⇒ z được biểu diễn bởi điểm (−1; −2).  Chọn đáp án D Câu 283. Cho số phức z thỏa mãn |z| − 2z = −7 + 3i + z. Tính |z|. 25 A. 3. B. 5. C. . 4 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 80 D. 13 . 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Gọi z = a + bi ⇒ z = a − bi. Theo giả thiết ta có √ √ a2 + b2 − 2(a − bi) = −7 + 3i + a + bi ⇔ a2 + b2 − 3a + 7 + (b − 3)i = 0   5 2 2    a = (loại) (√ (√ a + 9 = (3a − 7)     4 a2 + b2 − 3a + 7 = 0 a2 + 9 = 3a − 7 ⇔ ⇔ a=4 ⇔ ⇔ 3a − 7 ≥ 0   b−3=0 b=3      b=3 b=3 Vậy |z| = 5.  Chọn đáp án B Câu 284. Cho hai số phức z, w thỏa mãn ( |z − 3 − 2i| ≤ 1 |w + 1 + 2i| ≤ |w − 2 − i| của biểu thức P√= |z − w|. √ 3 2−2 2 2+1 . B. Pmin = . A. Pmin = 2 2 Lời giải. C. Pmin . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin √ 5 2−2 = . 2 D. Pmin = √ 2 + 1. Gọi z = x + yi và w = a + bi với a, b, x, y ∈ R. ( ( |z − 3 − 2i| ≤ 1 |x + yi − 3 − 2i| ≤ 1 ⇔ |w + 1 + 2i| ≤ |w − 2 − i| |a + bi + 1 + 2i| ≤ |a + bi − 2 − i| » (  (x − 3)2 + (y − 2)2 ≤ 1 (x − 3)2 + (y − 2)2 ≤ 1 » ⇔ » ⇔  (a + 1)2 + (b + 2)2 ≤ (a − 2)2 + (b − 1)2 a+b≤0 Vậy điểm biểu diễn hai số phức z và w trên mặt phẳng tọa độ Oxy tương ứng là điểm thuộc hình tròn (x − 3)2 + (y − 2)2 = 1 và nửa mặt phẳng được giới hạn bởi phương trình x + y = 0. Bài toán p yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của P = |z − w| = (x − a)2 + (y − b)2 , nghĩa là tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm biểu diễn của z và w. √ |3 + 2| 5 2−2 . Khoảng cách đó là d(I;d) − R = √ −1= 2 12 + 12 Chọn đáp án C  Câu 285. Phần ảo của số phức z = 5 + 2i bằng A. 5. B. 5i. C. 2. D. 2i. Lời giải. Số phức z = a + bi có phần ảo là b nên số phức z = 5 + 2i có phần ảo là 2.  Chọn đáp án C √ Câu 286. Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình 2z 2 + 3z + 3 = 0. Khi đó, giá trị của z12 + z22 là 9 . 4 Lời giải. A.  z √ 2z 2 + 3z + 3 = 0 ⇔   z 9 B. − . 4 √ 3 =− + √4 3 =− − 4 C. 9. D. 4. √ 21 i (= z1 ) 9 √4 . Khi đó z12 + z22 = − . 4 21 i (= z2 ) 4 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 81 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ç √ å2 3 9 3 −2· =− . Cách khác: z12 + z22 = (z1 + z2 )2 − 2z1 z2 = − 2 2 4 Chọn đáp án B  Câu 287. Cho hai số phức z1 , z2 có điểm biểu diễn lần lượt là M1 , M2 cùng thuộc đường tròn có 2 2 phương trình: thức P = |z1 + z2 |. √ x + y = 1 và |z1 − z2 | = 1. Tính giá trị biểu √ √ √ 3 2 A. P = . B. P = 2. C. P = . D. P = 3. 2 2 Lời giải. Ta có M1 , M2 thuộc đường tròn tâm O(0; 0) và bán kính R = 1. |z1 − z2 | = 1 ⇔ M1 M2 = 1 ⇔ 4OM1 M√ 2 là tam giác đều cạnh bằng 1. 3 . Gọi H là trung điểm M1 M2 ⇒ OH = 2 √ 3 √ # » # » # » Khi đó P = |z1 + z2 | = OM1 + OM2 = 2OH = 2OH = 2 · = 3. 2 Chọn đáp án D Câu 288. Cho số phức z thỏa mãn z−1 1 = √ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z + 3i 2 |z + i| + 2 |z − 4 + 7i|. A. 8.  √ C. 2 5. B. 20. √ D. 4 5. Lời giải. z−1 1 =√ z + 3i 2 √ ⇔ 2 |z − 1| = |z + 3i| ⇔ 2(x − 1)2 + 2y 2 = x2 + (y + 3)2 ⇔ x2 + y 2 − 4x − 6y − 7 = 0 ⇔ (x − 2)2 + (y − 3)2 = 20. Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C) có phương trình (x − 2)2 + (y − 3)2 = 20 √ với bán kính R = 2 5. P = |z + i| + 2 |z − 4 + 7i| = |z + i| + 2 |z − 4 − 7i| = M A + 2M B với A(0; −1), B(4; 7) lần lượt biểu diễn số phức z1 = −i, z2 = 4 + 7i. √ Ta có A(0; −1), B(4; 7) ∈ (C) và AB = 4 5 = 2R nên AB là đường kính đường tròn (C). ⇒ M A2 + M B 2 = AB 2 = 80. p Mặt khác: P = M A + 2M B ≤ 5(M A2 + M B 2 ) = 20. Dấu bằng xảy ra khi M B = 2M A. Vậy giá trị lớn nhất của P là 20.  Chọn đáp án B √ Câu 289. Cho số phức z = 1 + i 3. Số phức liên hợp của z là √ √ √ A. z = 1 − i 3. B. z = − 3 − i. C. z = −1 + i 3. D. z = √ 3 + i. Lời giải. z = a + ib ⇒ z = a − bi.  Chọn đáp án A Câu 290. Cho số phức z thỏa mãn: (3 + 2i) z + (2 − i)2 = 4 + i. Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z bằng Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 82 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. 1. Chương 3-Giải tích 12 B. 0. C. 4. D. 6. Lời giải. (3 + 2i) z + (2 − i)2 = 4 + i ⇔ (3 + 2i) z + (3 − 4i) = 4 + i 1 + 5i ⇔ (3 + 2i) z = 1 + 5i ⇔ z = 3 + 2i (1 + 5i)(3 − 2i) 13 + 13i ⇔z= ⇔ z = 1 + i. ⇔z= 2 2 3 +2 13 Hiều phần thực và phần ảo là: 1 − 1 = 0.  Chọn đáp án B Câu 291. Cho số phức z 6= 0 thỏa mãn √ A. 9. B. 26. 26iz iz − (3i + 1)z = |z|2 . Số phức w = có môđun bằng 1+i 9 √ C. 6. D. 5. Lời giải. Gọi số phức z có dạng : z = a + bi(a, b ∈ R). Do z 6= 0 nên a2 + b2 > 0. Ta có: iz − (3i + 1)z = |z|2 1+i ⇔iz − (3i + 1)z = (1 + i) |z|2 ⇔i(a + bi) − (3i + 1)(a − bi) = (1 + i)(a2 + b2 ) ⇔ia − b − 3ai − 3b − a + bi = a2 + b2 + i(a2 + b2 ) ⇔(−a − 4b) + (b − 2a)i = a2 + b2 + i(a2 + b2 ) ( ( − a − 4b = a2 + b2 − a − 4b = b − 2a ⇔ ⇔ − a − 4b = a2 + b2 b − 2a = a2 + b2   a = 5b  (    a = 5b b=0 ⇔ ⇔   − 9b = 26b2    b=−9 26  a = b = 0 (loại)  ⇔ 9 45 a = − ,b = − 26 26 Å ã √ 26 45 9 Vậy : w = i − − i = 1 − 5i ⇒ |w| = 26 9 26 26 Chọn đáp án B  Câu 292. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn điều kiện |z 2 + 4| = 2 |z|. Đặt P = 8(b2 − a2 ) − 12. Khẳng định nào dưới đây đúng? Ä ä2 A. P = (|z| − 2)2 . B. P = |z|2 − 4 . Lời giải. C. P = (|z| − 4)2 . Ä ä2 D. P = |z|2 − 2 . Ta có z 2 + 4 = 2 |z| √ ⇔ a2 − b2 + 4 − 2abi = 2 a2 + b2 2  ⇔ a2 − b2 + 4 + 4a2 b2 = 4 a2 + b2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 83 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ⇔ a2 − b 2 Chương 3-Giải tích 12 2   + 4a2 b2 + 8 a2 − b2 + 16 = 4 a2 + b2 2   ⇔ a2 + b2 + 8 a2 − b2 + 16 − 4 a2 + b2 = 0 2   ⇔ a2 + b2 − 4 a2 + b2 + 4 = 8 b2 − a2 − 12 2  ⇔ a2 + b2 − 2 = 8 b2 − a2 − 12 Ä ä2  ⇔ |z|2 − 2 = 8 b2 − a2 − 12. Ä ä2 Vậy P = |z|2 − 2 .  Chọn đáp án D Câu 293. Phần ảo của số phức z = 2 − 3i là A. −3. B. −3i. C. 2. D. 3. Lời giải. Phần ảo là −3.  Chọn đáp án A Câu 294. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn (z + 1 + i)(z − i) + 3i = 9 và |z| > 2. Tính P = a + b. A. −3. B. −1. C. 1. D. 2. Lời giải. Ta có (z + 1 + i)(z − i) + 3i = 9 ⇔ zz + i(z − z) + z − i + 1 + 3i = 9 ⇔ a2 + b2 + 2b + a − bi + 1 + 2i = 9. Do đó b = 2 và a2 + a = 0 ⇔ a = 0 hoặc a = −1. Do |z| > 2 nên ta chọn a = −1. Vậy P = 1.  Chọn đáp án C 2 Câu 295. Cho số phức u = 3 + ” ” 4i. Nếu z = u thì ta có” z =4+i z = 1 + 2i z =2+i A. . B. . C. . z = −4 − i z =2−i z = −2 − i Lời giải. D. ” z =1+i z =1−i . ( a=2 ( 2   b=1 a − b2 = 3  2 2 2 ⇔ ( Với z = a + bi, a, b ∈ R ta có z = u ⇔ a − b + 2abi = 3 + 4i ⇔ .  a = −2 2ab = 4  b = −1  Chọn đáp án C Câu 296. Cho hai số phức z, w thỏa mãn |z − 1| = |z + 3 − 2i| và w = z + m + i với m ∈ R là tham √ số. Giá trị của m để ta luôn có |w| ≥ 2 5 là ” ” m≥7 m≥7 A. . B. . C. −3 ≤ m < 7. D. 3 ≤ m ≤ 7. m≤3 m ≤ −3 Lời giải. Ta có z = w − m − i nên |w − m − 1 − i| = |w − m + 3 − 3i| Gọi w = a + bi, a, b ∈ R. Ta có |(a − m − 1) + (b − 1)i| = |(a − m + 3) + (b − 3)i| ⇔ (a − m − 1)2 + (b − 1)2 = (a − m + 3)2 + (b − 3)2 Suy ra b = 2a − 2m + 4. Ta lại có |w|2 = a2 + b2 = a2 + (2a − 2m + 4)2 = 5a2 + 8(2 − m)a + 4m2 − 16m + 16. √ Để |w| ≥ 2 5 ⇔ 5a2 + 8(2 − m)a + 4m2 − 16m − 4 ≥ 0 với mọi a. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 84 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 " Tương đương với ∆0 ≤ 0 ⇔ 16(2 − m)2 − 5(4m2 − 16m − 4) ≤ 0 ⇔ m≥7 m ≤ −3 .  Chọn đáp án B Câu 297. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và y M 4 phần ảo của số phức z. A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3. B. Phần thực là 3 và phần ảo là 4i. C. Phần thực là 3 và phần ảo là 4. D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i. O 3 x Lời giải. Điểm M (3; 4) là điểm biểu diễn của số phức z = 3 + 4i. Chọn đáp án C  Câu 298. Cho số phức z thỏa mãn z(1 + i) = 3 − 5i. Tính môđun của z. √ A. |z| = 4. B. |z| = 17. C. |z| = 17. Lời giải. Ta có z(1 + i) = 3 − 5i ⇔ z = D. |z| = 16. √ 3 − 5i (3 − 5i)(1 − i) = = −1 − 4i. Suy ra |z| = 17. 1+i (1 + i)(1 − i)  Chọn đáp án B Câu 299. Cho hai số phức z1 = 2 + 3i và z2 = −4 − 5i. Tìm số phức z = z1 + z2 . A. z = 2 + 2i. B. z = −2 − 2i. C. z = 2 − 2i. D. z = −2 + 2i. Lời giải. Ta có z1 + z2 = (2 + 3i) + (−4 − 5i) = −2 − 2i. Chọn đáp án B  Câu 300. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1 = 1 + i, z2 = 8 + i, z3 = 1 − 3i. Khẳng định nào sau đây là một mệnh đề đúng? A. Tam giác M N P cân, không vuông. B. Tam giác M N P đều. C. Tam giác M N P vuông, không cân. Lời giải. D. Tam giác M N P vuông cân. Ta có M (1; 1), N (8; 1), P (1; −3). √ # » # » # » nên M N = (7; 0); M P = (0; −4); N P = (−7; −4) và M N = 7; M P = 4; N P = 65. # » # » Ngoài ra M N · M P = 0 nên tam giác M N P vuông tại M nhưng không cân. Chọn đáp án C  Câu 301. Kí hiệu z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 4z 2 − 16z + 17 = 0. Trên mặt 3 phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w = (1 + 2i)z1 − i? 2 A. M (−2; 1). B. M (3; −2). C. M (3; 2). D. M (2; 1). Lời giải. Å ã 1 1 3 Ta có z1 = 2 − i ⇒ w = (1 + 2i) 2 − i − i = 3 + 2i ⇒ M (3; 2). 2 2 2 Chọn đáp án C  Câu 302. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 + 1 − i| = 2 và z2 = iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức |z1 − z2 |. √ A. m = 2 − 1. √ B. m = 2 2. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. m = 2. 85 √ D. m = 2 2 − 2. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. √ Ta có |z1 | + |1 − i| ≥ |z 2. 1 + 1 − i| = 2 ⇒ |z1 | ≥ 2 − ( √ z1 = k(1 − i), (k ∈ R, k ≥ 0) Dấu “=” xảy ra ⇔ ⇔ z1 = ( 2 − 1)(1 − i). |z1 + 1 − i| = 2 √ √ Lại có |z1 − z2 | = |z1 − iz1 | = |z1 (1 − i)| = |z1 | · |1 − i| = |z1 | · 2 ≥ 2 2 − 2.  Chọn đáp án D Câu 303. Điểm biểu diễn của số phức z là M (1; 2). Tọa độ của điểm biểu diễn cho số phức w = z−2z là A. (2; −3). B. (2; 1). C. (−1; 6). D. (2; 3). Lời giải. Từ giả thiết suy ra z = 1 + 2i. Từ đó w = z − 2z = (1 + 2i) − 2(1 − 2i) = −1 + 6i. Vậy tọa độ của điểm biểu diễn số phức w là (−1; 6).  Chọn đáp án C Câu 304. Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình z 2 − 4z + 5 = 0. Giá trị của biểu thức P = (z1 − 2z2 ) z 2 − 4z1 bằng A. −10. C. −5. B. 10. D. −15. Lời giải. Ta có P = z1 · z 2 − 2z2 · z 2 − 4z1 = (z1 )2 − 2|z2 |2 − 4z1 = (z1 )2 − 2|z1 |2 − 4z1 . Giải phương trình đã cho, thu được hai nghiệm là 2 ± i. • Nếu z1 = 2 − i thì P = (2 − i)2 − 2(22 + 12 ) − 4(2 − i) = 4 − 4i + i2 − 10 − 8 + 4i = −15. • Nếu z1 = 2 + i thì P = (2 + i)2 − 2(22 + 12 ) − 4(2 + i) = 4 + 4i + i2 − 10 − 8 − 4i = −15. Vậy P = −15.  Chọn đáp án D Câu 305. Số phức z = (1 + i) + (1 + i)2 + · · · + (1 + i)2018 có phần ảo bằng A. 21009 − 1. B. 21009 + 1. C. 1 − 21009 . D. −21009 − 1. Lời giải. Ta có 2 2018 z = (1 + i) + (1 + i) + · · · + (1 + i) (1 + i)2018 − 1 (1 + i)2019 − 1 − i = (1 + i) = . (1 + i) − 1 i (1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 2i ⇒ (1 + i)4 = (2i)2 = −22 ⇒ (1 + i)2019 = (1 + i)4·504+3 = (1 + i)4·504 × (1 + i)2 × (1 + i) = 21009 · i · (1 + i). 1 ⇒ z = 21009 (1 + i) − − 1 = 21009 (1 + i) + i − 1 = (21009 − 1) + (21009 + 1)i. i Vậy phần ảo của z bằng 21009 + 1.  Chọn đáp án B Câu 306. Khai triển của biểu thức (x2 + x + 1)2018 được viết thành a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a4036 x4036 . Tổng S = a0 − a2 + a4 − a6 + · · · − a4034 + a4036 bằng A. −21009 . C. 21009 . B. 0. D. −1. Lời giải. Ta có i2 = −1, i4 = 1 ⇒ i4m+2 = −1, i4m = 1 với mọi m nguyên dương. Theo giả thiết thì (x2 + x + 1)2018 = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a4036 x4036 . Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 86 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Cho x = i, thu được  2 2018 (i) + i + 1 = a0 + a1 i + a2 i2 + a3 i3 + a4 i4 + · · · + a4034 i4034 + a4035 i4035 + a4036 i4036 ⇔ i2018 = a0 + a1 i − a2 + a3 i3 + a4 + · · · − a4034 + a4035 i4035 + a4036  ⇔ − 1 = (a0 − a2 + a4 + · · · − a4034 + a4036 ) + a1 i + a3 i3 + · · · + a4035 i4035 . (1) Chú ý rằng với mọi n = 2m + 1 lẻ thì in = i2m+1 = i2m i = (−1)m i là số thuần ảo, nên (1) ⇔ −1 = a0 − a2 + a4 − · · · − a4034 + a4036 .  Chọn đáp án D Câu 307. Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn điều kiện |z1 | = 4, |z2 | = 3, |z3 | = 2 và |4z1 · z2 + 16z2 · z3 + 9z1 · z3 | = 48. Giá trị của biểu thức P = |z1 + z2 + z3 | bằng A. 1. Lời giải. B. 8. C. 2. D. 6. Đặt z1 = 4w1 , z2 = 3w2 , z3 = 2w3 với |w1 | = |w2 | = |w3 | = 1. Thu được |4 · 4w1 · 3w2 + 16 · 3w2 · 2w3 + 9 · 4w1 · 2w3 | = 48 ⇔ |2w1 w2 + 4w2 w3 + 3w1 w3 | = 2. (1) Nhân vào hai vế của (1) với |w1 w2 w3 |, với chú ý rằng z + w = z + w, z · w = z · w, z · z = |z|2 , |wi | = 1, wi · wi = |wi |2 = 1 (i = 1, 2, 3), |z| = |z|, ta được |2w3 + 4w1 + 3w2 | = 2 ⇔ |2w3 + 4w1 + 3w2 | = 2 ⇔ |2w3 + 4w1 + 3w2 | = 2 ⇔ |z1 + z2 + z3 | = 2. Vậy P = 2. Chọn đáp án C  Câu 308. Tính mô-đun của số phức z = 2 − 3i. √ A. |z| = 13. B. |z| = 13. Lời giải. p √ Ta có |z| = 22 + (−3)2 = 13. C. |z| = −3. D. |z| = 2.  Chọn đáp án B Câu 309. Trên tập số phức, biết phương trình z 2 +az +b = 0 (a, b ∈ R) có một nghiệm là z = −2+i. Tính giá trị của T = a − b. B. T = −1. A. T = 4. C. T = 9. D. T = 1. Lời giải. z = −2 + i là một nghiệm của phương trình khi và chỉ khi (−2 + i)2 + a(−2 + i) + b = 0 ⇔ 4 − 4i − 1 − 2a + ai + b = 0 ( ( 3 − 2a + b = 0 a=4 ⇔ ⇔ −4+a=0 b = 5. Suy ra T = a − b = −1.  Chọn đáp án B Câu 310. Cho hai số phức: z1 = 1 − 2i, z2 = 2 + 3i. Tìm số phức w = z1 − 2z2 . A. w = −3 + 8i. B. w = −5 + i. C. w = −3 − 8i. D. w = −3 + i. Lời giải. Ta có w = z1 − 2z2 = (1 − 2i) − 2(2 + 3i) = −3 − 8i.  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 87 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 311. Cho số phức |z − 1 + 2i| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = 3 − 2i + (2 − i)z là một đường tròn. Tính bán kính R của đường tròn đó. √ √ A. R = 20. B. R = 7. C. R = 2 5. D. R = 7. Lời giải. Ta gọi w = x + yi khi đó z = w − 3 + 2i 2x − y − 8 x + 2y + 1 = + i từ đó 2−i 5 5 |z − 1 + 2i| = 2 ⇒ |2x − y − 13 + (x + 2y + 11)i| = 10 ⇒ (2x − y − 13)2 + (x + 2y + 11)2 = 100 ⇔ x2 + y 2 − 6x + 14y + 38 = 0. Đây là phương trình đường tròn có R = √ √ 32 + 72 − 38 = 2 5.  Chọn đáp án C Câu 312. Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2z + 5 = 0 trên mặt phẳng phức. Tính độ dài đoạn thẳng AB. A. 6. B. 2. C. 4. D. 12. Lời giải. " Ta có z 2 + 2z + 5 = 0 ⇔ (z + 1)2 = 4i2 ⇔ z = −1 + 2i z = −1 − 2i . # » Đặt A(−1; 2), B(−1; −2), suy ra AB = (0; −4) ⇒ AB = 4.  Chọn đáp án C Câu 313. Cho số phức z = −2 + i. Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn của số phức w = iz trên mặt phẳng tọa độ? A. P (−2; 1). B. N (2; 1). D. M (−1; −2). C. Q(1; 2). Lời giải. Có w = zi = i(−2 + i) = −1 − 2i nên điểm biểu diễn của w là điểm M (−1; −2).  Chọn đáp án D Câu 314. Giả sử z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình (2 + i)|z|z − (1 − 2i)z = |1 + 3i| và |z1 − z2 | = 1. Tính M = |2z1 + 3z2 |. √ A. M = 19. B. M = 25. C. M = 19. D. M = 19. Lời giải. Ta có (2 + i)|z|z − (1 − 2i)z = |1 + 3i| ⇔ z [(2 + i)|z| − 1 + 2i] = |1 + 3i| » Ä ä √ ⇔ |z| (2|z| − 1)2 + (|z| + 2)2 = 10 ⇔ |z|2 5|z|2 + 5 = 10 ⇔ |z|4 + |z|2 − 2 = 0 ⇔ |z| = 1. Suy ra |z1 | = |z2 | = 1. Mặt khác |2z1 + 3z2 |2 = (2z1 + 3z2 ) (2z1 + 3z2 ) = 13 + 6 (z1 .z2 + z1 .z2 ) và |z1 − z2 |2 = (z1 − z2 ) (z1 − z2 ) = 2 − (z1 .z2 + z1 .z2 ). √ Do đó M 2 + 6|z1 − z2 |2 = 25 ⇒ M = 19.  Chọn đáp án D Câu 315. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện |z +1| = z+z + 3 , gọi số phức z = a+bi 2 (a, b ∈ R) là số phức có mô-đun nhỏ nhất. Tính S = 2a + b. A. 0. B. −4. C. 2. D. −2. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 88 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 p p z+z Ta có |z + 1| = + 3 ⇔ (a + 1)2 + b2 = (a + 3)2 ⇔ b2 = 4a + 8. 2 √ √ 2 Lại có |z| = a + b2 = a2 + 4a + 8 nhỏ nhất khi a = −2 ⇒ b = 0. Vậy S = 2a + b = −4.  Chọn đáp án B Câu 316. Trong mặt phẳng Oxy, số phức z = 2i − 1 được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ là A. (1; −2). C. (2; −1). B. (2; 1). D. (−1; 2). Lời giải. Số phức z = −1 + 2i có điểm biểu diễn M (−1; 2).  Chọn đáp án D Câu 317. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 − 7z + 51i2008 = 0. Tính giá trị biểu thức P = 2z1 − z1 z2 + 2z2 . A. P = −37. C. P = −65. B. P = 58. D. P = −44. Lời giải. Ta có z 2 − 7z + 51i2008 =(0 ⇔ z 2 − 7z + 51 = 0. z1 + z2 = 7 Theo định lý Vi-ét ta có z1 · z2 = 51. Từ đó suy ra P = 2z1 − z1 z2 + 2z2 = 2(z1 + z2 ) − z1 z2 = 14 − 51 = −37.  Chọn đáp án A Câu 318. Cho số phức z = a + bi với a, b ∈ R thỏa mãn |z|(2 + i) = z − 1 + i(2z + 3). Tính S = 3a + 5b. A. S = −11. B. S = −5. C. S = −1. D. S = 1. Lời giải. ta có √ a2 + b2 (2 + i) = a + bi − 1 + (2a + 2bi + 3)i √ √ ⇔ 2 a2 + b2 + a2 + b2 i = a − 2b − 1 + (2a + b + 3)i. |z|(2 + i) = z − 1 + i(2z + 3) ⇔ ( √ a − 2b − 1 = 2 a2 + b2 Từ đó suy ra √ 2a + b + 3 = a2 + b2 . Giải hệ ta được a = 3 và b = −4, từ đó suy ra S = 3a + 5b = −11.  Chọn đáp án A √ Câu 319. Cho số phức z thỏa mãn |z + 2 − i| + |z − 4 − 7i| = 6 2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z − 1 + i|. Khi đó P = M 2 + m2 bằng 171 171 167 A. . B. . C. . 2 4 4 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 89 D. 167 . 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Giả sử z = x + yi với x, y ∈ R. Gọi P, A, B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức  z, −2 + i, 4 + 7i. Khi đó  P A = |z + 2 − i|   P (x; y), A(−2; 1), B(4; 7) và P B = |z − 4 − 7i|  √   AB = 6 2. √ Từ đó suy ra |z + 2 − i|+|z − 4 − 7i| = 6 2 ⇔ P A+P B = y 7 6 5 AB hay tập hợp các điểm P biểu diễn cho số phức z là đoạn thẳng AB. Gọi K là điểm biểu diễn số phức 1 − i ⇒ K(1; −1), khi đó √ √ KA = 13, KB = 73 và |z − 1 + i| = P K. √ Ta có M = max{KA, KB} = 73. Dễ thấy tam giác KAB là tam giác có ba góc nhọn, do 4 3 H A đó hình chiếu vuông góc H của điểm K trên đường thẳng AB nằm trong đoạn AB, do đó m = KH = d(K, AB). B 2 1 O −2 −1 1 −1 2 3 4 x K x+2 y−1 = hay x − y + 3 = 0. 4+2 7−1 |1 − (−1) + 3| 5 5 √ Do đó d(K, AB) = = √ ⇒m= √ . 2 2 2 171 25 2 2 = . Vậy M + m = 73 + 2 2 Chọn đáp án A Đường thẳng AB có phương trình  Câu 320. Tìm số phức liên hợp của số phức z = 3 + 2i. A. z = 3 − 2i. B. z = −3 − 2i. C. z = 2 − 3i. D. z = −2 − 3i. Lời giải. Ta có số phức liên hợp của số phức z = 3 + 2i là z = 3 − 2i.  Chọn đáp án A Câu 321. Cho số phức z thỏa mãn |z + 3 − 4i| = 5. Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn đó. √ √ A. I(3; −4), R = 5. B. I(−3; 4), R = 5. C. I(3; −4), R = 5. D. I(−3; 4), R = 5. Lời giải. Gọi z = x + iy, (x, y ∈ R) thì |z + 3 − 4i| = 5 ⇔ (x + 3)2 + (y − 4)2 = 25. Vậy tâm I(−3; 4) và bán kính R = 5.  Chọn đáp án D Câu 322. Tổng phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn iz + (1 − i)z = −2i bằng A. 2. B. −2. C. 6. D. −6. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 90 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Gọi z = x + iy, (x, y ∈ R). iz + (1 − i)z = −2i ⇔ i(x + iy) + (1 − i)(x − iy) = −2i ⇔ (x − 2y) + (2 − y)i = 0 ( ( x − 2y = 0 x=4 ⇔ ⇔ 2−y =0 y=2 Vậy x + y = 6. Cách 2: Cách trắc nghiệm Nhập máy tính iz + (1 − i)z CALC z(= 1 ta được 1 + 0i;(CALC z = i ta được −2 − i. 1x − 2y = 0 x=4 Giải hệ ⇔ . 0x − 1y = −2 y=2 Vậy x + y = 6.  Chọn đáp án C Câu 323. Cho số phức z thỏa mãn |z| ≤ 2. Giá trị nhỏ nhất của P = 2|z + 1| + 2|z − 1| + |z − z − 4i| bằng √ √ 7 14 A. 4 + 2 3. D. 2 + √ . B. 2 + 3. C. 4 + √ . 15 15 Lời giải. Giả sử z = x + yi với x, y ∈ R. Ta có |z| ≤ 2 ⇔ x2 + y 2 ≤ 4. Suy ra x, y ∈ [−2; 2]. Khi đó »  » » » P = 2 (x + 1)2 + y 2 +2 (x − 1)2 + y 2 +2|y −2| = 2 (x + 1)2 + y 2 + (1 − x)2 + y 2 +2|y −2|. Bằng phép biến đổi tương đương với chú ý |x| ≥ x, ta có: Với mọi số thực a, b, c, d, » √ √ a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2 ; dấu “=” xảy ra khi ad = bc ≥ 0. Áp dụng bất đẳng thức này với a = x + 1, c = 1 − x, b = d = y và tính chất của giá trị tuyệt đối ta có » p P ≥ 2 (x + 1 + 1 − x)2 + (y + y)2 + 2(2 − y) = 4 1 + y 2 − 2y + 4. p 1 Xét hàm số f (y) = 4 1 + y 2 − 2y + 4 liên tục trên [−2; 2]. Ta có f 0 (y) = 0 ⇔ y = ± √ ∈ [−2; 2]. 3 Å ã Å ã √ √ √ 1 1 10 Ta có f (2) = 4 5, f (−2) = 4 5 + 8, f √ = 4 + 2 3, f − √ = 4 + √ . Suy ra min f (y) = [−2;2] 3 3 3 Å ã √ 1 4+2 3=f √ . 3   (x + 1)y = y(1 − x) ≥ 0     √ Khi đó P ≥ f (y) ≥ 4 + 2 3, ∀y ∈ [−2; 2]. Dấu bằng xảy ra ⇔ 2 − y ≥ 0 ⇔   1   y = √ 3   x = 0 √ . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 4 + 2 3. 1  y = √ 3 Chọn đáp án A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 91 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 324. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2z + 5 = 0, trong đó z1 có phần ảo dương. Tìm số phức liên hợp của số phức z1 + 2z2 . A. −3 + 2i. B. 3 − 2i. C. 2 + i. D. 2 − i. Lời giải. " Xét phương trình z 2 + 2z + 5 = 0 ⇔ (z + 1)2 = −4 ⇔ z1 = −1 + 2i z2 = −1 − 2i Khi đó w = z1 + 2z2 = −3 − 2i ⇒ số phức liên hợp là w = −3 + 2i.  Chọn đáp án A Câu 325. Cho số phức z = 3 + 5i. Tìm môđun của số phức w = iz + z. √ √ A. |w| = 2. B. |w| = 2 + 2. C. |w| = 3 2. √ D. |w| = 2 2. Lời giải. √ Ta có w = iz + z = i (3 + 5i) + 3 − 5i = −2 − 2i ⇒ |w| = 2 2.  Chọn đáp án D Câu 326. Trong các số phức z thỏa mãn |z − 2 + i| = |z + 1 − 4i|. Tìm phần thực của số phức có mô-đun nhỏ nhất. A. −1. B. −2. C. 4. D. 3. Lời giải. Giả»sử z = x + yi với x; y ∈»R, khi đó ta có |z − 2 + i| = |z + 1 − 4i| ⇔ (x − 2)2 + (y + 1)2 = (x + 1)2 + (y + 4)2 ⇔ x = −2 − y. » » p p √ Ta có |z| = x2 + y 2 = (2 + y)2 + y 2 = 2y 2 + 4y + 4 = 2 (y + 1)2 + 2 ≥ 2. Dấu bằng xảy ra khi y = −1 ⇒ x = −1.  Chọn đáp án A Câu 327. Tìm phần ảo của số phức z biết z thỏa mãn |z − 2i| = |z + 2 + 4i| và ảo. 5 . 12 Lời giải. A. B. 5 . 2 C. − 3 . 17 z−i là số thuần z+i 3 D. − . 2 Giả sử z = a + bi ⇒ z = a − bi với a, b ∈ R. Ta có |z − 2i| = |z + 2 + 4i| ⇔ a2 + (b − 2)2 = (a + 2)2 + (4 − b)2 ⇔ b − a = 4 ⇔ b = a + 4. z−i a + (b − 1) i [a + (b − 1) i]2 a2 − (b − 1)2 + 2a (b − 1)2 Đồng thời = = = z+i a + (1 − b) i a2 + (b − 1)2 a2 + (b − 1)2 i z−i Khi đó số phức là số thuần ảo khi a2 − (b − 1)2 = 0, thay b = a + 4 vào ta được z+i 3 5 2 2 a − (a + 3) = 0 ⇔ a = − ⇒ b = . 2 2 Chọn đáp án B  Câu 328. Số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) là nghiệm của phương trình (1 + 2i)z − 8 − i = 0. Tính S = a + b. A. S = −1. C. S = −5. B. S = 1. D. S = 5. Lời giải. 8+i (8 + i)(1 − 2i) 10 − 15i Vì (1 + 2i)z − 8 − i = 0 ⇔ z = = = = 2 − 3i nên 1 + 2i 1+4 5 ( a=2 b = −3. . Vậy S = a + b = −1.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 92 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 √ (1 − 3i)3 Câu 329. Cho số phức z thoả mãn z = . Tìm môđun của w = z − iz. 1−i √ √ A. 8 2. B. 8. C. 4 2. D. 4. Lời giải. √ (1 − 3i)3 = −4 − 4i. Ta có z = 1−i Suy ra z = −4 + 4i; do đó w = z − iz = −8 + 8i. p √ Vậy |w| = |z − iz| = (−8)2 + 82 = 8 2.  Chọn đáp án A Câu 330. Cho số phức z = 3 − 2i. Tìm phần thực và phần ảo của z. A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2. B. Phần thực bằng −3 và phần ảo bằng −2. C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng −2. D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng −2i. Lời giải. Ta có z = 3 − 2i ⇒ z = 3 + 2i. Từ đó suy ra phần thực của z bằng 3, phần ảo của z bằng 2.  Chọn đáp án A Câu 331. Cho các số phức z thỏa mãn |z − i| = 5. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức w = iz + 1 − i là đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. A. r = 20. B. r = 5. C. r = 22. D. r = 4. Lời giải. Ta có w = iz + 1 − i ⇔ w + i = i(z − i). Suy ra |w + i| = |i||z − i| = 5. Vậy tập hợp những điểm biểu diễn cho số phức w là đường tròn tâm I(0; −1), bán kính r = 5.  Chọn đáp án B Câu 332. Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M, M 0 . Số phức z(4 + 3i) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N, N 0 . Biết rằng M, M 0 , N, N 0 là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z + 4i − 5|. 2 1 5 A. √ . B. √ . C. √ . 5 2 34 Lời giải. 4 D. √ . 13 Đặt z = a + bi. Khi đó, các điểm M, M 0 , N, N 0 lần lượt có tọa độ M (a, b), M 0 (a, −b), N (4a − 3b, 3a + 4b), N 0 (4a − 3b, −3a − 4b). Vì M, M 0 , N, N 0 lần lượt là 4 đỉnh của một hình chữ nhật nên có 2 trường hợp xảy ra. Trường hợp 1: Tứ giác M M 0 N 0 N là hình chữ nhật. Trường hợp 2: Tứ giác M M 0 N N 0 là hình chữ nhật. Ta có P = |z + 4i − 5| = |z − (5 − 4i)|. Đặt K(5; −4). Khi đó P = |M K|. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật. Vì M đối xứng với M 0 qua trục Ox, N đối xứng với N 0 qua trục Ox nên I thuộc trục Ox hay điểm I có tung độ bằng 0. Trường hợp 1: Tứ giác M M 0 N 0 N là hình chữ nhật. Tung độ của điểm I bằng 0 nên −3a − 3b = 0 ⇔ a + b = 0. Do đó điểm M thuộc đường thẳng d1 : x + y = 0. Đoạn M K ngắn nhất có độ dài bằng khoảng cách từ điểm K đến đường thẳng d1 và bằng 1 |5 · 1 − 4 · 1| √ =√ 12 + 12 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 93 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 . Trường hợp 2: Tứ giác M M 0 N N 0 là hình chữ nhật. Tương tự trường hợp 1, ta được điểm M thuộc đường thẳng d2 : 3x + 5y = 0. Đoạn thẳng M K ngắn |3 · 5 + 5 · (−4)| 5 √ nhất có độ dài là =√ . 2 2 3 +5 34 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của |z + 4i − 5| = √ . 2  Chọn đáp án B Câu 333. Cho hai số phức z1 = 1 + 2i; z2 = 2 − 3i. Xác định phần thực và phần ảo của số phức 2z1 + z2 . A. Phần thực là 4, phần ảo là −6. B. Phần thực là 4, phần ảo là −1. C. Phần thực là −1, phần ảo là 4. D. Phần thực là 4, phần ảo là 5. Lời giải. ta có: 2z1 + z2 = 4 − i. Suy ra phần thực là 4, phần ảo là −1.  Chọn đáp án B Câu 334. Tìm các số thực b, c để phương trình z 2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm một nghiệm. A. b = 2, c = −2. B. b = 2, c = 2. C. b = −2, c = 2. D. b = −2, c = −2. Lời giải. Ta có phương trình z 2 + bz + c =(0 nhận z = 1 ( + i làm một nghiệm. b = −2 2+b=0 ⇔ ⇒ (1 + i)2 + b(1 + i) + c = 0 ⇔ b+c=0 c = 2.  Chọn đáp án C √ Câu 335. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |2z − i| = |iz + 2|, biết |z1 − z2 | = 2. Tính giá trị của biểu thức A = |z1 − 2z2 |. √ √ √ √ 5 3 A. A = 5. . C. A = 3. . B. A = D. A = 2 2 Lời giải. Gọi z1 = x1 + y1 i, z2 = x2 + y2 i với x1 , y1 , x2 , y2 ∈ R. Theo giả thiết ta có       |2x + (2y1 − 1)i| = |2 − y1 + x1 i| x2 + y12 = 1    1  1 |2x2 + (2y2 − 1)i| = |2 − y2 + x2 i| ⇔ x22 + y22 = 1       (x − x )2 + (y − y )2 = 2 x x + y y = 0 1 2 1 1 2 2 1 2 Do đó, A2 = |z1 − 2z2 |2 = (x1 − 2x2 )2 + (y1 − 2y2 )2 = (x21 + y12 ) + 4(x22 + y22 ) − 4(x1 x2 + y1 y2 ) = 5. √ Khi đó A = 5.  Chọn đáp án A Câu 336. Cho số phức z = 5 − 4i. Tính mô-đun của số phức z. A. 3. B. 1. C. 9. Lời giải. Ta có z = 5 + 4i, suy ra |z| = √ 52 + 42 = √ D. √ 41. 41.  Chọn đáp án D Câu 337. Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) thỏa mãn z − (2 + 3i)z = −1 − 3i. Tính giá trị của biểu thức S = ab + 1. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 94 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 B. S = −1. A. S = 1. C. S = −2. D. S = 0. Lời giải. Ta có z − (2 + 3i)z = −1 − 3i ⇔ (a + bi) − (2 + 3i)(a − bi) = −1 − 3i ⇔ a + bi − 2a + 2bi − 3ai − 3b = −1 − 3i ( ( a + 3b = 1 a=1 ⇔ (−a − 3b) + (3b − 3a) = −1 − 3i ⇔ ⇔ a−b=1 b = 0. Từ đó suy ra S = ab + 1 = 1.  Chọn đáp án A √ Câu 338. Cho số phức z thỏa mãn |z − 2 + 3i| + |z + 2 + i| = 2 5. Tính giá trị lớn nhất của P = |z − 4 + 4i|. √ 169 . B. Pmax = 50. C. Pmax = 34. D. Pmax = 3 5. A. Pmax = 5 Lời giải. Giả sử z = x + yi, M (x; y), A(2; −3), B(−2; −1), I(4; −4). Khi đó ta có √ |z − 2 + 3i| + |z + 2 + i| = 2 5 » » √ (1) ⇔ (x − 2)2 + (y + 3)2 + (x + 2)2 + (y + 1)2 = 2 5 √ ⇔ AM + BM = 2 5. √ Mặt khác, AM + BM ≥ AB = 2 5, kết hợp với (1) suy ra dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M nằm trong đoạn AB. #» #» Kiểm tra ta thấy IA = (−2; 1) và IB = (−6; 3) cùng phương, suy ra A, B, I thẳng hàng. (2) Từ đó suy ra P = IM đạt giá trị lớn nhất khi M trùng A hoặc B. √ √ √ Ta có IA = 5 và IB = 3 5, suy ra Pmax = 3 5.  Chọn đáp án D Câu 339. Hai số phức z1 = 2 + 3i, z2 = 1 + i. Giá trị của biểu thức |z1 + 3z2 | là √ √ A. 55. B. 5. C. 6. D. 61. Lời giải. Ta có z1 + 3z2 = 2 + 3i + 3(1 + i) = 5 + 6i. √ √ Do đó |z1 + 3z2 | = |5 + 6i| = 52 + 62 = 61.  Chọn đáp án D Câu 340. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2 +2z +10 = 0. Tính iz0 . A. iz0 = 3 − i. B. iz0 = −3i + 1. C. iz0 = −3 − i. D. iz0 = 3i − 1. Lời giải. " Ta có z 2 + 2z + 10 = 0 ⇔ z = −1 + 3i z = −1 − 3i. Suy ra z0 = −1 + 3i. Do đó iz0 = i(−1 + 3i) = −3 − i. Chọn đáp án C  Câu 341. Cho số phức z thỏa mãn |z − 1| = |z − 2 + 3i|. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 95 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 A. Đường tròn tâm I(1; 2), bán kính R = 1. B. Đường thẳng có phương trình 2x − 6y + 12 = 0. C. Đường thẳng có phương trình x − 3y − 6 = 0. D. Đường thẳng có phương trình x − 5y − 6 = 0. Lời giải. Đặt z = x + yi (x, y ∈ R). Ta có |z−1| = |z−2+3i| ⇔ |x−1+yi| = |x−2+(y+3)i| ⇔ (x−1)2 +y 2 = (x−2)2 +(y+3)2 ⇔ x−3y−6 = 0. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình x − 3y − 6 = 0. Chọn đáp án C  1 Câu 342. Biết rằng hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 − 3 − 4i| = 1 và |z2 − 3 − 4i| = . Số phức z có 2 phần thực là a và phần ảo là b thỏa mãn 3a−2b = 12. Giá trị nhỏ nhất của P = |z − z1 |+|z − 2z2 |+2 bằng √ √ √ √ 9945 9945 A. Pmin = . B. Pmin = 5 − 2 3. . D. Pmin = 5 + 2 3. C. Pmin = 11 13 Lời giải. Đặt z3 = 2z2 thì |z3 − 6 − 8i| = 1 và P = |z − z1 | + |z − z3 | + 2. Gọi M , A, B lần lượt là các điểm biểu diễn cho z, z1 và z3 . Khi đó: Điểm A nằm trên đường tròn (C1 ) có tâm I1 (3; 4), bán kính R1 = 1; Điểm B nằm trên đường tròn (C3 ) có tâm I3 (6; 8), bán kính R3 = 1 Và điểm M nằm trên đường thẳng d : 3x − 2y − 12 = 0. Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của P = M A + M B + 2. (C1 ) (C3 ) I1 I3 A B d H M A0 I10 (C10 ) Ta kiểm tra thấy (C1 ) và (C3 ) nằm cùng phía và không cắt đường thẳng d : 3x − 2y − 12 = 0. Gọi đường tròn (C10 ) có tâm I10 và bán kính R10 = 1 đối xứng với (C1 ) qua d. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 96 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Điểm A0 đối xứng với A qua d thì A0 thuộc (C10 ). Å ã Å ã 105 8 72 30 0 ; suy ra I1 ; . Ta có 2x + 3y − 18 = 0. Gọi H = ∩d⇒H 13 13 13 13 Ta có P = M A + M B + 2 = M A0 + M B + 2 = (M A0 + R10 ) + (M B + R3 )√≥ I10 M + I3 M ≥ I10 I3 . 9945 Từ đó Pmin khi các điểm I10 , I3 , A0 , B và M thẳng hàng và Pmin = I10 I3 = . 13 Chọn đáp án C  I1 I10 : I1 I10 Câu 343. Số phức liên hợp của số phức z = i(1 − 2i) có điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ là điểm nào dưới đây? A. E(2; −1). B. B(−1; 2). C. A(1; 2). D. F (−2; 1). Lời giải. Ta có z = i(1 − 2i) = i − 2i2 = 2 + i ⇒ z̄ = 2 − i. Do đó z̄ có điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ là điểm E(2; −1).  Chọn đáp án A Câu 344. Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình z 4 + z 2 − 6 = 0. Tính S = |z1 | + |z2 | + |z3 | + |z4 |. √ A. S = 2 3. B. S = 2 Ä√ 2− √ ä 3 . √ C. S = 2 2. D. S = 2 Ä√ 2+ √ ä 3 . Lời giải. √ z = ±i 3 ⇔ Ta có z 4 + z 2 − 6 = 0 ⇔ . √ z2 = 2 z=± 2 Ä√ √ ä √ √ √ √ Do đó S = |z1 | + |z2 | + |z3 | + |z4 | = −i 3 + i 3 + − 2 + 2 = 2 2+ 3 . " z 2 = −3 "  Chọn đáp án D Câu 345. Biết số phức z có phần ảo khác 0 và thỏa mãn |z − (2 + i)| = √ 10 và z · z̄ = 25. Điểm nào sau đây biểu diễn số phức z trên? A. P (4; −3). B. N (3; −4). C. M (3; 4). D. Q (4; 3). Lời giải. Đặt z = x + yi, với x, y ∈ R và y 6= 0. Ta có ( √ |z − (2 + i)| = 10 z · z̄ = 25 » √  (x − 2)2 + (y − 1)2 = 10 ⇔ (x + yi)(x − yi) = 25 ( 2 x + y 2 − 4x − 2y − 5 = 0 ⇔ x2 + y 2 = 25 ( 2x + y − 10 = 0 (1) ⇔ x2 + y 2 = 25 (2). Từ (1) ta có y = 10 − 2x, thay vào (2) ta được " x2 + (10 − 2x)2 = 25 ⇔ 5x2 − 40x + 75 = 0 ⇔ x=5⇒y=0 x = 3 ⇒ y = 4. Như vậy z = 3 + 4i, nên điểm biểu diễn số phức z là điểm M (3; 4).  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 97 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 346. Cho A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z0 , z1 khác 0 và thỏa mãn đẳng thức z02 + z12 = z0 z1 . Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì (O là gốc tọa độ)? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất. A. Đều. B. Cân tại O. C. Vuông tại O. D. Vuông cân tại O. Lời giải. Ta có z02 + z12 ã z0 2 z0 − +1=0 ⇔ z1 z1 √  z0 1−i 3  z1 = 2 √ ⇔  z 1+i 3 0 = z1 2 √  1−i 3 z1 z0 = 2√ ⇔   1+i 3 z0 = z1 . 2 Å = z0 z1 √ 1−i 3 Xét trường hợp z0 = z1 . 2 √ √ 1−i 3 1−i 3 z1 = OA = |z0 | = · |z1 | = |z1 | = OB. 2 2 √ √ 1+i 3 1−i 3 # » # » z1 = z1 = |z1 | = OB. AB = OB − OA = |z1 − z0 | = z1 − 2 2 Như vậy: OA = OB = AB√⇒ 4OAB là tam giác đều. 1+i 3 Xét trường hợp z0 = z1 . 2 √ √ 1+i 3 1+i 3 OA = |z0 | = z1 = · |z1 | = |z1 | = OB. 2 2 √ √ 1−i 3 1+i 3 # » # » z1 = z1 = |z1 | = OB. AB = OB − OA = |z1 − z0 | = z1 − 2 2 Như vậy: OA = OB = AB ⇒ 4OAB là tam giác đều. Tóm lại, ba điểm O, A, B tạo thành tam giác đều (O là gốc tọa độ).  Chọn đáp án A Câu 347. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P = M khác 0 và thỏa mãn |z| ≥ 2. Tính tỉ số . m M M A. = 5. B. = 3. m m Lời giải. C. M 3 = . m 4 z+i , với z là số phức z D. M 1 = . m 3 Với z là số phức khác 0 và thỏa mãn |z| ≥ 2, ta có z+i |z + i| |z| + |i| 1 1 3 P = = ≤ =1+ ≤1+ = . z |z| |z| |z| 2 2 3 3 Rõ ràng khi z = 2i thì P = . Do đó M = . 2 2 z+i |z + i| ||z| − |i|| 1 1 1 P = = ≥ =1− ≥1− = . z |z| |z| |z| 2 2 1 1 Rõ ràng khi z = −2i thì P = . Do đó m = . 2 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 98 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 3 M = 2 = 3. Như vậy: 1 m 2 Chọn đáp án B  Câu 348. Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z. Số phức z là y 1 A. 2 − i. C. 1 − 2i. B. 1 + 2i. M D. 2 + i. O 2x Lời giải. Từ hình vẽ suy ra M (2; 1) nên z = 2 + i. Vậy z = 2 − i.  Chọn đáp án A Câu 349. Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là 1 + 2i? A. z 2 − 2z + 3 = 0. B. z 2 + 2z + 5 = 0. C. z 2 − 2z + 5 = 0. D. z 2 + 2z + 3 = 0. Lời giải. " z 2 − 2z + 5 = 0 ⇔ z = 1 + 2i z = 1 − 2i.  Chọn đáp án C Câu 350. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn (1 + i)z + (2 − i)z = 13 + 2i? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải. Đặt z = a + bi (a, b ∈ R), ta có: (1 + i)z + (2 − i)z = 13 + 2i ⇔ (1 + i)(a + bi) + (2 − i)(a − bi) = 13 + 2i ( ( 3a − 2b = 13 a=3 ⇔ 3a − 2b − bi = 13 + 2i ⇔ ⇔ −b=2 b = −2. Vậy z = 3 − 2i nên có 1 số phức z thỏa mãn.  Chọn đáp án D Câu 351. Trong các số phức z có phần ảo dương thỏa mãn |z 2 + 1| = 2 |z|, gọi z1 và z2 lần lượt là các số phức có mô-đun nhỏ nhất và lớn nhất. Khi đó mô-đun của số phức w = z1 + z2 là √ √ √ A. |w| = 2 2. B. |w| = 2. C. |w| = 2. D. |w| = 1 + 2. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 99 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. z 2 + 1 = 2 |z| ⇔ z 2 + 1 ä Ä ⇔ 4 |z|2 = z 2 + 1 z 2 + 1   ⇔ z 2 + 1 z 2 + 1 = 4z · z 2 = 4 |z|2 ⇔ (z · z)2 + z 2 + z 2 + 1 − 4z · z = 0 ⇔ (z + z)2 + (z · z)2 − 6 (z · z) + 1 = 0 ⇔ (z + z)2 + |z|4 − 6 |z|2 + 1 = 0 ⇔ |z|4 − 6 |z|2 + 1 = − (z + z)2 ≤ 0 √ √ ⇒ 3 − 2 2 ≤ |z|2 ≤ 3 + 2 2 √ √ 2 − 1 ≤ |z| ≤ 2 + 1. ⇒ ( Do đó |z1 | = |z2 | = √ √ 2−1 . Dấu “=” xảy ra khi 2+1    z1   √      |z | = 2 − 1    1  z1 √ |z2 | = 2 + 1 ⇔        z2   z+z =0     z2 ä Ä√ 2−1 i Ä √ ä = 1 − 2 i (loại) √ ⇒ |w| = |z1 + z2 | = 2 2. Ä√ ä = 2+1 i Ä √ ä = − 1 + 2 i (loại) =  Chọn đáp án A Câu 352. Cho số phức z = 3 + 2i. Khi đó số phức w = z + (i + 1)z có mô-đun là √ √ √ √ A. |w| = 37. B. |w| = 72. C. |w| = 73. D. |w| = 27. Lời giải. Ta có z = 3 + 2i ⇒ z = 3 − 2i. Khi đó w = 3 + 2i + (i + 1)(3 − 2i) = 8 + 3i. √ √ Do đó |w| = 82 + 32 = 73.  Chọn đáp án C Câu 353. Trong các số phức z thỏa mãn |z + 1 − 5i| = |z + 3 − i|, giả sử số phức có mô-đun nhỏ a nhất có dạng z = a + bi. Khi đó S = bằng bao nhiêu? b 2 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 4 2 Lời giải. Giả sử z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi. Khi đó |z + 1 − 5i| = |z + 3 − i| ⇔(a + 1)2 + (b − 5)2 = (a + 3)2 + (b + 1)2 ⇔a + 3b − 4 = 0 ⇔ a = 4 − 3b. Do đó |z| = = √ » √ a2 + b2 = (4 − 3b)2 + b2 = 10b2 − 24b + 16 Å√ ã 12 2 16 4 10b − √ + ≥√ . 10 10 10 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 100 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Đẳng thức xảy ra khi b = a = b Chọn đáp án Vậy S = 1 . 3 B Chương 3-Giải tích 12 6 2 4 ⇒ a = . Suy ra min |z| = √ . 5 5 10  f (1) · f (3) · f (5) · · · f (2n − 1) Câu 354. Đặt f (n) = (n2 + n + 1)2 + 1. Xét dãy (un ): un = . Tính f (2) · f (4) · f (6) · · · f (2n) √ lim n un . √ √ 1 1 √ √ √ √ A. lim n un = √ . B. lim n un = √ . C. lim n un = 3. D. lim n un = 2. 3 2 Lời giải. Ta có f (n) = (n2 + 1)2 + 2n(n2 + 1) + (n2 + 1) = (n2 + 1)[(n + 1)2 + 1]. Do đó 2(22 + 1)(32 + 1)(42 + 1)(52 + 1)(62 + 1) · · · [(2n − 1)2 + 1][(2n)2 + 1] (22 + 1)(32 + 1)(42 + 1)(52 + 1)(62 + 1)(72 + 1) · · · [(2n)2 + 1][(2n + 1)2 + 1] 2 . = (2n + 1)2 + 1 √ √ 2 n 2 1 √ = lim Å Vậy lim n un = lim p =√ . ã2 2 2 (2n + 1) + 1 1 1 2+ + 2 n n Chọn đáp án B un =  5 3 − i = z + + 2i . Biết biểu thức Q = |z − 2 − 4i| + 2 2 |z − 4 − 6i| đạt giá trị nhỏ nhất tại z = a + bi, (a, b ∈ R). Tính P = a − 4b. 691 911 . C. P = −1. D. P = . A. P = −2. B. P = − 460 272 Lời giải. Câu 355. Cho số phức z thỏa mãn z + Đặt z = x + yi, (x, y ∈ R). Giả thiết có được y B Å ã 5 2 x+ + (y − 1)2 = 2 Å ã 3 2 x+ + (y + 2)2 2 A ⇔2x + 1 = 6y. Biểu thức Q = M p p (x − 2)2 + (y − 4)2 + (x − 4)2 + (y − 6)2 . x O 0 A Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn của z, lúc đó M thuộc đường thẳng d : 2x − 6y + 1 = 0. Gọi A(2; 4), B(4; 6). Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của M A + M B. Kiểm tra được A, B nằm cùng Å ã 39 17 phía với d nên gọi A0 là điểm đối xứng với A qua d. Ta tìm được A0 ;− . 10 10 Độ dài M A + M B nhỏ nhất khi và chỉ Å khi M ≡ dã∩ A0 B. Đường thẳng A0 B có phương trình là 151 1813 681 1813 681 −77x + y + = 0. Từ đó tìm được M ; hay a = và b = . 5 460 460 460 460 911 Kết luận, a − 4b = − . 460 Chọn đáp án B  Câu 356. Giả sử M là một điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Quỹ tích các điểm M thỏa mãn điều kiện |z − 1 + i| = 2 là A. đường tròn tâm I(1; 1) và bán kính R = 2. B. đường tròn tâm I(−1; 1) và bán kính R = 2. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 101 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 C. đường tròn tâm I(−1; −1) và bán kính R = 2. D. đường tròn tâm I(1; −1) và bán kính R = 2. Lời giải. Gọi z = a + bi, (a, b ∈ R). Từ giả thiết ta có (a − 1)2 + (b + 1)2 = 4. Vậy quỹ tích các điểm M là đường tròn tâm I(1; −1) và bán kính R = 2.  Chọn đáp án D Câu 357. Cho số phức z thỏa mãn z(1 − 2i) + iz = 15 + i. Tìm mô-đun của số phức z. √ √ D. |z| = 2 3. A. |z| = 5. B. |z| = 4. C. |z| = 2 5. Lời giải. Giả sử z = x + yi, x, y ∈ R. Khi đó ta có z(1 − 2i) + iz = 15 + i ⇔ (x + 3y) + (y − x)i = 15 + i ⇔ ( x=3 y = 4. Vậy |z| = 5.  Chọn đáp án A Câu 358. Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2 − 2z + 5 = 0. Tìm tọa độ điểm 7 − 4i biểu diễn số phức trong mặt phẳng phức. z1 A. P (3; 2). B. N (1; −2). C. Q(3; −2). D. M (1; 2). Lời giải. Ta có z 2 − 2z + 5 = 0 ⇔ z = 1 ± 2i. Do đó z1 = 1 − 2i. Suy ra 7 − 4i = 3 + 2i. Vậy điểm cần tìm là P (3; 2). z1  Chọn đáp án A Câu 359. Điểm A trong hình vẽ biểu diễn cho số phức z. Mệnh đề nào sau đây y là đúng? A 2 A. Phần thực là 3, phần ảo là 2. B. Phần thực là 3, phần ảo là 2i. C. Phần thực là −3, phần ảo là 2i. D. Phần thực là −3, phần ảo là 2. 3 O x Lời giải. Điểm A biểu diễn số phức z = 3 + 2i, có phần thực là 3, phần ảo là 2.  √ Câu 360. Cho số phức z thỏa mãn |(1 + i)z + 2| + |(1 + i)z − 2| = 4 2. Gọi m = max |z|, n = min |z| và số phức w = m + ni. Tính |w|2018 . Chọn đáp án A A. 41009 . B. 51009 . C. 61009 . D. 21009 . Lời giải. Chia cả hai vế đẳng thức trong giả thiết cho |1 + i|, ta được 4 = |z − 1 + i| + |z + 1 − i| Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 102 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 ≥ |z − 1 + i + z + 1 − i| = 2|z|, hay |z| ≤ 2, đẳng thức xảy ra khi z = √ 2(1 − i). Do đó m = 2. Giả sử z = x + yi, với x, y ∈ R. Suy ra 16 = [|z + 1 − i| + |z − 1 + i|]2 h» i2 » = (x − 1)2 + (y + 1)2 + (x + 1)2 + (y − 1)2   ≤ 2 (x − 1)2 + (y + 1)2 + (x + 1)2 + (y − 1)2  = 2 2x2 + 2y 2 + 4 , suy ra x2 + y 2 ≥ 2, hay |z| ≥ √ Vậy w = 2 2i, suy ra |w| = 61009 . √ 2, dấu bằng xảy ra khi z = 1 + i. Do đó n = √ 2.  Chọn đáp án C Câu 361. Mô-đun của số phức z = A. |z| = 5. Lời giải. Ta có z = √ 7 − 3i là B. |z| = 10. C. |z| = 16. D. |z| = 4. »√ √ 7 − 3i ⇒ |z| = ( 7)2 + (−3)2 = 4.  Chọn đáp án D Câu 362. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2z + 5 = 0, trong đó z1 có phần ảo dương. Số phức liên hợp của số phức z1 + 2z2 là A. −3 + 2i. B. 3 − 2i. C. 2 + i. D. 2 − i. Lời giải. " Ta có z 2 + 2z + 5 = 0 ⇔ z = −1 − 2i z = −1 + 2i ⇒ ( z1 = −1 + 2i z2 = −1 − 2i ⇒ z1 + 2z2 = −3 + 2i.  Chọn đáp án A √ Câu 363. Cho số phức z thoả mãn z − |z| = 2. Biết rằng phần thực của z bằng a. Tính |z| theo a. √ √ √ 1 a − a2 + 1 a + a2 + 1 a + a2 + 4 . B. |z| = . C. |z| = . D. |z| = . A. |z| = a−1 2 2 2 Lời giải. Ta thấy z − |z| = √ 2 2 ⇔ z − |z| =2 Ä ä ⇔ (z − |z|) · z − |z| = 2 ⇔ (z − |z|) · (z − |z|) = 2 ⇔ |z|2 − a · |z| − 1 = 0 √ a + a2 + 4 ⇒ |z| = . 2  Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 103 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 364. Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn |z1 | = 12 và |z2 − 3 − 4i| = 5. Giá trị nhỏ nhất của |z1 − z2 | là A. 0. B. 2. C. 7. D. 17. Lời giải. Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 , z2 . Ta thấy |z1 | = 12. y M B ⇒ M ∈ (C1 ) có tâm O và bán kính R1 = 12. N A Ta thấy |z2 − 3 − 4i| = 5. ⇒ N ∈ (C2 ) có tâm I(3; 4) và bán kính R2 = 5. #» Ta thấy OI = (3; 4) ⇒ OI = 5 ⇒ O ∈ (C2 ). I Ta có |z1 − z2 | = M N ≥ OM − ON . x O Vì OM = 12 nên min(M N ) = 12 − max(ON ) = 12 − 10 = 2. Khi đó, ( M ≡B N ≡A với A, B là giao điểm của tia OI với (C1 ), (C2 ).  Chọn đáp án B Câu 365. Điểm M trong hình là điểm biểu diễn số phức nào? A. z = (1 + 2i)(1 − i). B. 2z − 6 = (1 − i)2 . 1+i C. z = . D. z = (1 + i)(2 − 3i). 1−i y 3 x O −1 M Lời giải. Điểm M là điểm biểu diễn số phức z = 3 − i, do đó: 1 z = (1 + 2i)(1 − i) = 3 + i loại. 2z − 6 = (1 − i)2 = −2i ⇒ z = 3 − i thỏa mãn. 1+i (1 + i)2 = = i loại. 3 z= 1−i 2 4 z = (1 + i)(2 − 3i) = 5 − i loại. 2  Chọn đáp án B Câu 366. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = |z+2|+2|z−2| √ √ √ √ A. max T = 5 2. B. max T = 2 10. C. max T = 3 5. D. max T = 2 5. Lời giải. Giả sử z = a + bi (a, b ∈ R). Khi đó, do |z| = 1 nên a2 + b2 = 1. p p Ta có: T = (a + 2)2 + b2 + 2 (a − 2)2 + b2 . Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: h» i2 »     (a + 2)2 + b2 + 2 (a − 2)2 + b2 ≤ (12 +22 ) (a + 2)2 + b2 + (a − 2)2 + b2 = 5 2(a2 + b2 ) + 8 = 50. Vậy max T = √ √ 50 = 5 2.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 104 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 367. Tổng phần thực và phần ảo của số phức z = (1 + i)2 − (3 + 3i) là √ A. 10. B. −4. C. 4. D. −3 − i. Lời giải. Ta có z = 2i − 3 − 3i = −3 − i nên tổng phần thực và phần ảo bằng −4.  Chọn đáp án B Câu 368. Cho số phức z = 3 − 5i. Gọi w = x + yi, (x, y ∈ R) là một căn bậc hai của z. Giá trị của biểu thức T = x4 + y 4 là 43 A. T = . 2 Lời giải. B. T = 34. Ta có w2 = z ⇔ x2 − y 2 + 2xyi = 3 − 5i ⇔ C. T = 706. D. T = 17 . 2 ( 2 x − y2 = 3 2xy = −5. Å ã2 43 5 4 4 2 2 2 2 2 2 = . Mà ta có T = x + y = (x − y ) + 2 · x y = 3 + 2 · − 2 2 Chọn đáp án A  Câu 369. Cho số phức z thỏa mãn (z − 2 + i)(z − 2 − i) = 25. Biết tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w = 2z − 2 + 3i là đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính c. Giá trị của a + b + c bằng A. 18. B. 10. C. 20. D. 17. Lời giải. Ta có (z − 2 + i)(z − 2 − i) = z − 2 − i · (z − 2 − i) = |z − 2 − i|2 = 25 ⇒ |z − 2 − i| = 5. Ta có w − 2 − 5i = 2(z − 2 − i) ⇒ |w − 2 − 5i| = 2|z − 2 − i| = 10. Tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn tâm I(2; 5) và bán kính R = 10. Vậy a + b + c = 17.  Chọn đáp án D Câu 370. Gọi z1 , z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn |z − 1 + 2i| = 5 và |z1 − z2 | = 8. Tìm mô-đun của số phức w = z1 + z2 − 2 + 4i. A. |w| = 13. B. |w| = 10. C. |w| = 16. D. |w| = 6. Lời giải. Gọi I(1; −2) là điểm biểu diễn số phức 1 − 2i và A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 , z2 . Vì |z − 1 + 2i| = 5 nên A, B thuộc (I; 5) và |z1 − z2 | = 8 nên AB = 8. #» #» Ta có |w| = |IA + IB| = 2IH với H là trung điểm AB. √ √ Mà IH = IA2 − AH 2 = 52 − 42 = 3. Vậy |w| = 6.  Chọn đáp án D z+i = 2 − i. Tìm số phức w = 1 + z + z 2 . z−1 9 9 B. w = 5 − 2i. C. w = + 2i. D. w = − 2i. 2 2 Câu 371. Cho số phức z thỏa mãn A. w = 5 + 2i. Lời giải. Điều kiện z 6= 1. z+i Ta có = 2 − i ⇔ z + i = (2 − i)(z − 1). z−1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em (1) 105 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Gọi z = a + bi với a, b ∈ R. Khi đó (1) ⇔ a − bi + i = (2 − i)(a + bi − 1) ⇔ a − bi + i = 2a + 2bi − 2 − ai − bi2 + i ⇔ 2 − a − b + (a − 3b)i = 0  3 (  a = 2−a−b=0 2 ⇒ z = 3 + 1 i. ⇔ ⇔  2 2 a − 3b = 0 b = 1 2 Å ã Å ã2 3 1 3 1 9 Suy ra w = 1 + z + z 2 = 1 + + i + + i = + 2i. 2 2 2 2 2 Chọn đáp án C 4 Câu 372. Trong tập hợp số phức, phương trình = 1 − i có nghiệm là z+1 A. z = 2 − i. B. z = 5 − 3i. C. z = 1 + 2i. D. z = 3 + 2i. Lời giải. Điều kiện z 6= −1. 4 4 4 =1−i⇔z+1= ⇔z= − 1 = 1 + 2i. Phương trình z+1 1−i 1−i Chọn đáp án C   Câu 373. Cho số phức z = 3 − 5i. Khi đó phần ảo của số phức z là A. −5. C. −3. B. 5. D. 3. Lời giải. Ta có z = 3 + 5i ⇒ phần ảo của số phức z là 5.  Chọn đáp án B 176 − 82i Câu 374. Cho số phức z thỏa mãn (3 − 7i)|z| = + 7 + 3i. Tìm giá trị nhỏ nhất của z |(1 + i)z + 2 − i| . √ √ √ √ √ √ √ A. 5 2 − 5. B. 6 2 − 5. C. 3 2 − 5. D. 5. Lời giải. Điều kiện z 6= 0. Ta có 176 − 82i + 7 + 3i z 19 + 17i 7 + 3i 19 + 17i ⇔ |z| = + ⇔ |z| = −i (3 − 7i) · z 3 − 7i z 19 + 17i ⇔ |z| + i = ⇔ (|z| + i)z = 19 + 17i z ⇒ |(|z| + i)z| = |19 + 17i| (Lấy mô-đun hai vế) » √ √ ⇔ ||z| + i| · |z| = 5 26 ⇔ |z|2 + 1.|z| = 5 26. (3 − 7i)|z| = (2) Đặt t = |z| > 0, khi đó (2) ⇒ √ “2 √ t = 25 t2 + 1 · t = 5 26 ⇔ (t2 + 1) · t2 = 650 ⇔ t4 + t2 − 650 = 0 ⇔ t2 = −26 (loại). Với t2 = 25 ⇒ t = 5 ⇒ |z| = 5. 2−i Đặt P = |(1 + i)z + 2 − i| = (1 + i) z + 1+i Å Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em ã = 106 √ Å ã √ −2 + i 1 3 2 z− = 2 z− − + i . 1+i 2 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 ã Å 1 3 lần lượt là điểm biểu diễn số phức z Gọi M (x; y), A − ; 2 2 1 3 và w = − + i. 2 √2 Khi đó P = 2M A và M thuộc đường tròn (C) có tâm O(0; 0), bán kính R =√5. 5 Ta có OA = √ < R = 5 ⇒ A nằm trong đường tròn (C). 2 Gọi E, F là giao điểm của OA với đường tròn (C) với AF < AE. Ta có AF ≤ M A ≤ AE. M E O A F Vậy P nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất √ √ MA √ 5 5 2− 5 √ ⇔ M A = M O − OA = 5 − √ = 2 2 √ √ ⇒ P = 5 2 − 5.  Chọn đáp án A Câu 375. Cho đồ thị hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ, diện tích hình phẳng phần tô đậm được tính theo công thức Z1 A. S = f (x) dx. −2 Z0 B. S = y Z1 f (x) dx + −2 Z−2 C. S = 1 0 Z1 f (x) dx + 0 Z0 Z1 f (x) dx − −2 −2 f (x) dx. 0 D. S = 2 f (x) dx. −1 O 1 2 x −1 f (x) dx. 0 Lời giải. Z0 Z1 |f (x)| dx + Ta có S = −2 |f (x)| dx. 0 Từ đồ thị hàm số suy ra f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [−2; 0] và f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [0; 1]. Z0 Z1 Suy ra S = f (x) dx − f (x) dx. −2 0  Chọn đáp án D Câu 376. Cho hai số phức z1 = 1 + i và z2 = 2 − 3i. Môđun của số phức z1 + z2 bằng √ √ A. 5. B. 1. C. 5. D. 13. Lời giải. p √ Ta có z1 + z2 = (1 + i) + (2 − 3i) = 3 − 2i ⇒ |z1 + z2 | = 32 + (−2)2 = 13.  Chọn đáp án D Câu 377. Cho số phức z = 3 − 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z. B. Phần thực bằng −3 và phần ảo bằng −2i. D. Phần thực bằng −3 và phần ảo bằng −2. A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2. C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 107 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có z = 3 − 2i ⇒ z = 3 + 2i nên số phức z có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2.  Chọn đáp án A Câu 378. Gọi A và B là hai điểm trong mặt phẳng biểu diễn hai nghiệm phức phân biệt của phương trình z 2 + 6z + 12 = 0. Tính độ dài của đoạn thẳng AB. √ √ A. AB = 2 3. B. AB = 3. C. AB = 3. Lời giải. " Ta có z 2 + 6z + 12 = 0 ⇔ √ Ta tính được AB = 2 3. D. AB = 12. √ Ä Ä √ ä √ ä 3i √ . Do đó, A −3; − 3 và B −3; 3 . z2 = −3 + 3i z1 = −3 −  Chọn đáp án A Câu 379. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện |z − 2 − 4i| = |z − 2i|. Số phức z có môđun nhỏ nhất là A. z = −2 + 2i. C. z = 2 − 2i. B. z = 2 + 2i. D. z = −2 − 2i. Lời giải. Gọi z = x + yi (x, y ∈ R). Khi đó |z − 2 − 4i| = |z − 2i| ⇔ |x − 2 + (y − 4)i| = |x + (y − 2)i| ⇔ (x − 2)2 + (y − 4)2 = x2 + (y − 2)2 ⇔ x + y − 4 = 0 ⇔ x = 4 − y. p p p p √ Ta có |z| = x2 + y 2 = (y − 4)2 + y 2 = 2y 2 − 8y + 16 = 2(y − 2)2 + 8 ≥ 2 2. |z| nhỏ nhất khi và chỉ khi y = 2 ⇒ x = 2. Do đó z = 2 + 2i.  Chọn đáp án B Câu 380. Cho phương trình z 2 − 6z + 10 = 0. Một nghiệm phức của phương trình đã cho là B. z = 5 − 4i. A. z = 2 + 3i. D. z = 3 − i. C. z = 1 + i. Lời giải. " z 2 − 6z + 10 = 0 ⇔ z =3+i z = 3 − i.  Chọn đáp án D Câu 381. Điểm M trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn của số phức A. z = −3 + 2i. B. z = 3 + 2i. C. z = −3 − 2i. D. z = 3 − 2i. y −3 x O M −2 Lời giải. Điểm M trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức z = −3 − 2i.  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 108 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 382. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn phương trình P = a + b. A. P = 1 − √ 2. B. P = 1. C. P = 1 + √ (|z| − 1)(1 + iz) = i. Tính 1 z− z 2. D. P = 0. Lời giải. (|z| − 1)(1 + iz) (|z| − 1)(1 + iz)z = i (|z| = 6 1) =i⇔ 1 zz − 1 z− z (|z| − 1)(1 + iz)z (1 + iz)z ⇔ =i⇔ =i 2 |z| − 1 |z| + 1 √ ⇔ z + i|z|2 = i(|z| + 1) ⇔ a − bi + (a2 + b2 )i = i( a2 + b2 + 1) ( √ a=0 ⇔ a + (−b + a2 + b2 )i = i( a2 + b2 + 1) ⇔ b2 − b = |b| + 1   a=0     (   a=0   b < 0    " √  b = ±1 (loại) ⇔ ⇔ b = 1 + 2 (nhận)      ( √      b > 0 b = 1 − 2 (loại).     b2 − 2b − 1 = 0 Vậy P = a + b = 1 + √ 2.  √ Câu 383. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 1 − i| + |z + 1 + 3i| = 6 5. Giá trị lớn nhất của Chọn đáp án C |z − 2 − 3i| là √ A. 5 5. √ B. 2 5. √ C. 6 5. √ D. 4 5. Lời giải. √ √ Ta có |z − 1 − i| + |z + 1 + 3i| = 6 5 ⇔ M A + M B = 6 5 với M (x; y) biểu diễn số phức z = x + yi, A(1; 1) biểu diễn số phức 1 + i, M B(−1; −3) biểu diễn số phức −1 − 3i. √ Khi đó điểm M nằm trên elip tâm I có độ dài trục lớn 6 5 và A, B C A I B M0 là hai tiêu điểm. |z − 2 − 3i| = M C với C(2; 3) biểu diễn số phức 2 + 3i. √ # » AB = (−2; −4) ⇒ AB = 2 5. √ # » AC = (1; 2) ⇒ AC = 5. # » # » # » # » Vì AB = −2AC nên AB, AC ngược hướng và AB = 2AC. Gọi M 0 là điểm √ nằm trên elip sao cho A, B, M 0 thẳng hàng và M 0 khác phía A so với B. √ 6 5 − AB Ta có BM 0 = = 2 5. 2 Ta thấy M C ≤ M 0 C với mọi điểm M nằm trên elip. Do đó M C lớn nhất khi và chỉ khi M ≡ M 0 . √ √ √ √ Khi đó M C = M 0 C = CA + AB + BM 0 = 5 + 2 5 + 2 5 = 5 5.  Chọn đáp án A Câu 384. Biết z là một nghiệm của phương trình z + Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 109 1 1 = 1. Tính giá trị biểu thức P = z 3 + 3 . z z https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. P = −2. Chương 3-Giải tích 12 B. P = 0. C. P = 4. 7 D. P = . 4 Lời giải. ã Å ã Å 1 1 1 1 3 Ta có z + 3 = z + − 3z · z+ = 1 − 3 = −2. z z z z Chọn đáp án A 3  z = 3 là đường nào? z−i B. Một đường parabol. Câu 385. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn A. Một đường thẳng. C. Một đường tròn. Lời giải. D. Một đường elip. Cách 1: Giả sử z = a + bi trong đó (a, b ∈ R, z 6= i). Từ giả thiết ta có: Å ã 9 9 |z| = 3|z − i| ⇔ a + b = 9a + 9(b − 1) ⇔ 8a + 8b − 18b + 9 = 0 ⇔ a + b − = . 8 64 2 2 2 2 2 2 2 Do đó tập hợp biểu diễn điểm z là một đường tròn. Cách 2: Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của z, i trong mặt phẳng phức. Khi đó AO = |z| và AB = |z − i|. AO Từ đề bài ta có = 3. AB Như vậy, tập hợp điểm A là đường tròn Apollonius của đoạn thẳng OB với tỉ số 3.  Chọn đáp án C ã Å ã4 z1 4 z2 Câu 386. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 −z2 | = |z1 | = |z2 | > 0. Tính A = + . z2 z1 A. 1. B. 1 − i. C. −1. D. 1 + i. Å Lời giải. Cách 1: Do |z1 | = |z2 | > 0 nên z2 , z1 6= 0. Từ đẳng thức |z1 − z2 | = |z1 | = |z2 |, ta có z1 z1 −1 = = 1. z2 z2 z1 1 . Bài toán trở thành: Cho số phức w thỏa mãn |w − 1| = |w| = 1. Tính A = w4 + 4 . z2 w Trong mặt phẳng phức, ta gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức w, 1. Đặt w = Khi đó |w| = OA, 1 = OB, |w√− 1| = AB. Suy √ ra 4OAB là tam giác đều. 1 1 3 3 Do đó, w chỉ có thể là + i hoặc − i . 2 2 2 2 Khi đó, ta luôn có ww = 1, w + w = 1 và (w − w)2 = −3. Ta có Å ã 2 1 2 2 A = w − 2 + 2 = w2 − w2 + 2 = (w − w)2 (w + w)2 + 2 = 12 · (−3) + 2 = −1. w Cách 2: Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 , z2 trong mặt phẳng phức. Khi đó |z1 | = OA, |z2 | = OB và |z1 − z2 | = AB. Suy ra 4OAB là tam giác đều. Không mất tổng quát ta có thể giả sử z1 = r (cos ϕ + i sin ϕ) và z2 = r (cos ψ + i sin ψ) trong đó π r > 0 và ϕ − ψ = . 3 Ta có z1 π π = cos (ϕ − ψ) + i sin (ϕ − ψ) = cos + i sin . z2 3 3  π  π z2 = cos (ψ − ϕ) + i sin (ψ − ϕ) = cos − + i sin − . z1 3 3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 110 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 ã Å ã4 Å ã Å Å ã Å ãã z2 4π 4π 4π 4π z1 4 + = cos + i sin + cos − + i sin − = −1. Vậy A = z2 z1 3 3 3 3 Chọn đáp án C  1 Câu 387. Cho số phức z = 1 − i. Tính số phức w = iz + 3z. 3 8 8 10 A. w = . B. w = + i. C. w = + i. 3 3 3 Lời giải. Å ã Å ã Å ã 1 1 1 8 Ta có w = i 1 + i + 3 1 − i = 3 − + i (1 − 1) = . 3 3 3 3 Chọn đáp án A  Å Câu 388. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2z 2 + bằng 3 A. i. 2 Lời giải. √ √ 3 3 B. − + i. 2 2 C. − 3 . 2 D. w = √ 10 . 3 3z + 3 = 0. Khi đó z1 z2 + z2 z1 3 D. − . 2  √  3  z1 + z2 = − 2 Theo định lí vi-ét ta có  3  z1 z2 = . 2 Ta có Ç √ å2 3 3 − −2· 2 2 2 2 2 z1 z2 z + z2 (z1 + z2 ) − 2z1 z2 3 + = 1 = = =− . 3 z2 z1 z1 z2 z1 z2 2 2  Chọn đáp án D Câu 389. Mô đun của số phức z = (1 + 2i) (2 − i) là √ A. |z| = 5. B. |z| = 5. C. |z| = 10. Lời giải. Ta có z = (1 + 2i) (2 − i) = 4 + 3i ⇒ |z| = √ D. |z| = 6. 42 + 32 = 5.  Chọn đáp án A Câu 390. Phần thực của số phức z = 1 − 2i là A. −2. B. −1. C. 1. D. 3. Lời giải. Số phức z = 1 − 2i có phần thực là 1.  Chọn đáp án C Câu 391. Cho số phức z thỏa mãn |z + z| ≤ 2 và |z − z| ≤ 2. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của T = |z − 2i|. Tổng M + m bằng √ √ √ A. 1 + 10. B. 2 + 10. C. 4. D. 1. Lời giải. Đặt z = x + yi với x, y ∈ R. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 111 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ( |z + z| ≤ 2 ( |x| ≤ 1 Chương 3-Giải tích 12 ( x ∈ [−1; 1] ⇔ ⇒ . |z − z| ≤ 2 |y| ≤ 1 y ∈ [−1; 1] Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là điểm E(x; y) Khi đó nằm trong hình vuông ABCD với A(1; 1), B(−1; 1), C(−1; −1) y H B A và D(1; −1) như hình vẽ. E Khi đó T = |z − 2i| = EH với H(0; 2). Dễ thấy EH đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi E(0; 1) khi đó O m = min EH = 1. C ” Tương tự EH đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi Khi đó M = max EH = √ Vậy M + m = 1 + 10. √ 12 + 32 = √ 10. E(−1; −1) E(1; −1) x D .  Chọn đáp án A Câu 392. Cho số phức z thỏa mãn |z + 1| + |z − 3 − 4i| = 10. Giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = |z − 1 + 2i| bằng √ A. Pmin = 17. B. Pmin = √ 34. C. Pmin √ = 2 10. D. Pmin √ 34 = . 2 Lời giải. Đặt z = x + yi, điểm biểu diễn của z là M (x; y). Khi đó |z + 1| + |z − 3 − 4i| = 10 ⇔ M A + M B = 10 với A(−1; 0) và B(3; 4). Suy ra M thuộc elip có độ dài trục lớn là 10 ⇒ 2a = 10 ⇒ a = 5 và hai tiêu điểm là A, B. √ √ √ # » Mà AB = (4; 4) ⇒ AB = 4 2 ⇒ 2c = 4 2 ⇒ c = 2 2. Ta có P = |z − 1 + 2i| » = (x − 1)2 + (y − 2)2 = M H Với H(1; 2). Dễ thấy A, B, H thẳng hàng nên H thuộc đoạn AB. Do đó Pmin ⇔ M H ngắn nhất khi và chỉ khi M thuộc trục nhỏ của elip. √ √ Khi đó độ dài M H bằng một nửa trục nhỏ hay M H = b = a2 − c2 = 17.  Chọn đáp án A Câu 393. Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phân biệt của phương trình z 4 + 3z 2 + 4 = 0 trên tập số phức. Tính giá trị của biểu thức T = |z1 |2 + |z2 |2 + |z3 |2 + |z4 |2 . A. T = 8. B. T = 6. C. T = 4. D. T = 2. Lời giải. z 4 + 3z 2 + 4 = 0. 2 Đặt X = z 2 . Khi đó phương ( trình trở thành X + 3X + 4 = 0 S = X1 + X2 = −3 Theo định lý Vi-ét ta có P = X1 · X2 = 4 Ta có: X1 = X2 . Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 112 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 P = X1 · X2 = X1 · X1 = |X1 |2 = |z 2 |2 = 4 ⇒ |z 2 | = 2. Do đó T = 4 · |z 2 | = 4 · 2 = 8.  Chọn đáp án A Câu 394. Cho số phức z = (1 + i)2 (1 + 2i). Số phức z có phần ảo là A. 2. C. −2. B. 4. D. 2i. Lời giải. Ta có z = (1 + i)2 (1 + 2i) = 2i(1 + 2i) = −4 + 2i. Do đó phần ảo của số phức z là 2.  Chọn đáp án A Câu 395. Cho các số phức z, w thỏa mãn |z − 5 + 3i| = 3, |iw + 4 + 2i| = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = |3iz + 2w|. √ √ B. 578 + 13. A. 554 + 5. C. √ 578 + 5. D. √ 554 + 13. Lời giải. A Ta có |z − 5 + 3i| = 3 ⇔ 9 I 4 O B 3iz − 15i − 9 = 3 ⇔ |3iz − 9 − 15i| = 9. 3i −i (−2w − 4 + 8i) = 2 ⇔ | − 2w − 4 + 8i| = 4. 2 Gọi A và B là điểm biểu diễn của 3iz và −2w, khi đó A và B lần lượt thuộc các đường tròn tâm √ O(9; 15) bán kính bằng 9 và đường tròn I(4; −8) bán kính bằng 4. Ta tính được OI = 554. Khi đó T = |3iz + 2w| = |3iz − (−2w)| = AB. √ √ Do IO = 554 > 4+9 nên hai đường tròn ngoài nhau, suy ra ABmax = AO+OI +IB = 554+13. |iw + 4 + 2i| = 2 ⇔  Chọn đáp án D Câu 396. Cho số phức z thỏa mãn |z − 1| = 5. Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w xác định bởi w = (2 + 3i) · z + 3 + 4i là một đường tròn bán kính R. Tính R. √ √ √ √ A. R = 5 17. B. R = 5 10. C. R = 5 5. D. R = 5 13. Lời giải. Theo giả thiết |z − 1| = 5 ⇒ |z − 1| = 5. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 113 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lại có ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ ⇔ w = (2 + 3i) · z + 3 + 4i w − 3 − 4i z= 2 + 3i w − 5 − 7i z−1= 2 + 3i w − 5 − 7i =5 |z − 1| = 2 + 3i |w − 5 − 7i| √ =5 13 √ |w − 5 − 7i| = 5 13. √ Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn I(5; 7), R = 5 13.  Chọn đáp án D Câu 397. Điểm A trong hình vẽ bên là biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và y phần ảo của số phức z. A. Phần thực là 3 và phần ảo là −2. B. Phần thực là −3 và phần ảo là 2. 2 A C. Phần thực là 3 và phần ảo là −2i. D. Phần thực là −3 và phần ảo là 2i. 3 O x Lời giải. Ta có z = 3 + 2i. Do đó z = 3 − 2i. Suy ra, z có phần thực là 3 và phần ảo là −2.  Chọn đáp án A Câu 398. Một mô-đun của số phức z = (1 − 2i)2 là √ A. 3. B. 5. C. 4. Lời giải. Ta có z = (1 − 2i)2 = −3 − 4i. Do đó, |z| = √ D. 5. 32 + 42 = 5.  Chọn đáp án D Câu 399. Cho {x, y ∈ R, i2 = −1} thỏa mãn (1−2i)x+(1+2y)i = 1+i. Khi đó P = x+y bằng A. P = −1. B. P = 2. D. P = −2. C. P = 0. Lời giải. Ta có (1 − 2i)x + (1 + y)i = 1 + i ⇔ (x − 1) + (2y − 2x)i = 0 ⇔ ( x=1 . y=1 Suy ra, P = x + y = 1 + 1 = 2.  Chọn đáp án B Câu 400. Xét số phức z thỏa mãn |iz − 2i − 2| − |z + 1 − 3i| = thức P = |(1 + i)z + 2i|. 9 A. Pmin = √ . 17 Lời giải. √ B. Pmin = 3 2. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em √ 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu √ C. Pmin = 4 2. 114 D. Pmin = √ 26. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Giả sử số phức z có dạng z = a + bi, z có biểu diễn hình học là điểm M (a; b). Khi đó » » √ √ |iz − 2i − 2| − |z + 1 − 3i| = 34 ⇔ (b + 2)2 + (a − 2)2 − (a + 1)2 + (b − 3)2 = 34. (1) √ Gọi điểm A(2; −2), B(−1; 3) khi đó ta có AB = 34. Kết hợp với (1) ta suy ra M A − M B = AB. ⇒ Điểm M trùng với điểm B hoặc B là trung điểm của M A. Ta xét hai trường hợp sau: TH1: M trùng B ⇒ M (−1; 3). Suy ra » √ √ P = (a − b)2 + (a + b + 2)2 = 32 = 4 2. TH2: B là trung điểm của M A ⇒ M (−4; 8). Suy ra » √ √ P = (a − b)2 + (a + b + 2)2 = 180 = 6 5. √ Suy ra, min P = 4 2.  Chọn đáp án C Câu 401. Cho số phức z thỏa mãn (1 − i) z + 2iz̄ = 5 + 3i. Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức w = z + 2z. A. 3. B. 4. C. 6. D. 5. Lời giải. Cách 1: Đặt z = x + yi ⇒ z̄ = x − yi. Thay vào biểu thức trên ta được (x + 3y) + (x + y)i = 5 + 3i, suy ra z = 2 + i. Vậy w = 6 − i. Từ đó suy ra Re(w) + Im(w) = 6 + (−1) = 5. Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi Casio Đặt z = X + Y i ⇒ z̄ = X − Y i. Nhập vào máy tính: (1 − i)(X + Y i) + 2i(X − Y i) − (5 + 3i) . Gán X = 1000, Y = 100. Ta được kết quả là 1259 + 1097i. Phân tích số liệu: 1295 = X + 3Y − 3.  − 5 và 1097 = X + Y  X + 3Y = 5 X + 3Y − 5 = 0 ⇔ Do đó ta giải hệ phương trình: X + Y − 3 = 0 X + Y = 3  X = 2 ⇔ Y = 1. Do đó ta có z = 2 + i. Từ đó suy ra w = 6 − i. Vậy Im(w) + Re(w) = 5.  Chọn đáp án D 2 − 9i Câu 402. Tìm phần ảo của số phức z = . 1 + 6i 52 52 21 A. − . B. . C. − . 37 37 37 Lời giải. (2 − 9i)(1 − 6i) 52 21 2 − 9i z= = = − − i. 1 + 6i (1 + 6i)(1 − 6i) 37 37 D. 21 . 37  Chọn đáp án C Câu 403. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức A = |z1 |2 + |z2 |2 . √ A. A = 2 10. B. A = 20. C. A = 10. D. A = √ 10. Lời giải. Phương trình có hai nghiệm là z1 = −1 − 3i, z2 = −1 + 3i. Suy ra A = |z1 |2 + |z2 |2 = 20. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 115 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án B Câu 404. Gọi a là phần thực của số phức z thỏa mãn (z − 1) (z + 2i) là số thực và |z| là nhỏ nhất. Tìm a. 8 A. a = . 5 Lời giải. 2 B. a = . 5 3 C. a = . 5 4 D. a = . 5 Gọi z = a + bi, (a, b ∈ R). Theo giả thiết, ta có: (z − 1) (z + 2i) = [(a − 1) + bi] [a − (b − 2)i] = a(a − 1) + b(b − 2) + [ab − (a − 1)(b − 2)] i. (z − 1) (z + 2i) là số thực ⇔ ab − (a − 1)(b − 2) = 0 ⇔ 2a + b − 2 = 0 ⇔ b = 2 − 2a. ã Å » √ 4 2 4 2 2 2 + ≥ Khi đó z = a + (2 − 2a) i. Suy ra |z| = a + (2 − 2a) = 5a − 8a + 4 = 5 a − 5 5 √ √ 2 5 2 5 4 . Từ đây, ta được min |z| = khi a = . 5 5 5 Chọn đáp án D  3−i 2+i Câu 405. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z = + . 1+i i A. Phần thực là 2, phần ảo là −4. B. Phần thực là 2, phần ảo là 4i. D. Phần thực là 2, phần ảo là −4i. C. Phần thực là 2, phần ảo là 4. Lời giải. (3 − i)(1 − i) (2 + i)(−i) + = 2 − 4i. Vậy số phức z có phần thực là 2, phần ảo là −4. 2 1 Chọn đáp án A  Ta có z = Câu 406. Cho các mệnh đề: (I) Số phức z = 2i là số thuần ảo. (II) Nếu số phức z có phần thực là a, số phức z 0 có phần thực là a0 thì số phức z · z 0 có phần thực là a · a0 . (III) Tích của hai số phức z = a + bi (a, b ∈ R) và z 0 = a0 + b0 i (a, b ∈ R) là số phức có phần ảo là ab0 + a0 b. Số mệnh đề đúng trong ba mệnh đề trên là A. 0. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải. Ta có z · z 0 = (a + bi)(a0 + b0 i) = (aa0 − bb0 ) + (ab0 + a0 b)i. Do đó, chỉ có hai mệnh đề đúng là (I) và (III). Chọn đáp án C  Câu 407. Gọi S là tập hợp tất cả các số phức thỏa mãn ( |z − 2 + 5i| = 2 |z − 5 − i| = 3 . Hỏi tập S có bao nhiêu phần tử? A. 0. B. 2. C. Vô số. D. 1. Lời giải. Giả sử z = a + bi (a, b ∈ R). Hệ phương trình đã cho tương đương với  16 (  2 2 a = (a − 2) + (5 − b) = 4 5 . ⇔ 2 2 17  (a − 5) + (b − 1) = 9 b = 5 16 17 Như vậy tập S chỉ có một phần tử là z = + i. 5 5 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 116 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án D Câu 408. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của phần thực số phức 1 w = z 3 + 3 , trong đó z là số phức có |z| = 1. Tính P = M 2 + m2 . z A. P = 8. B. P = 5. C. P = 29. D. P = 10. Lời giải. ã ã Å Å 1 1 1 3 1 3 = 8a3 − 6a. Đặt z = a + bi ⇒ z + = 2a w = z + 3 ⇔ w = z + −3 z+ z z z z Do a2 + b2 = 1 ⇒ −1 ≤ a ≤ 1. Xét hàm số f (a) = 8a3 − 6a với a ∈ [−1; 1] có max f (a) = 2 và min f (a) = −2. Vậy P = M 2 + m2 = 8  Chọn đáp án A Câu 409. Cho số phức z = 11 + i. Điểm biểu diễn số phức liên hợp của z là điểm nào dưới đây? A. Q(−11; 0). B. M (11; 1). C. P (11; 0). D. N (11; −1). Lời giải. Số phức liên hợp của z là z = 11 − i nên có điểm biểu diễn là N (11; −1).  Chọn đáp án D Câu 410. Cho số phức z thoả mãn (2 + 3i)z = z − 1. Môđun của z bằng 1 1 . C. 1. A. √ . B. 10 10 Lời giải. 1 (2 + 3i)z = z − 1 ⇔ (1 + 3i)z = −1 ⇔ |1 + 3i| · |z| = 1 ⇒ |z| = √ . 10 Chọn đáp án A D. √ 10.  z − 2i Câu 411. Cho số phức z thỏa mãn = 1. Giá trị nhỏ nhất của |z + 3 − 2i| bằng z+3−i √ √ √ √ 2 10 10 . B. 2 10. . A. C. 10. D. 5 5 Lời giải. Gọi z = x + yi với x, y ∈ R. z − 2i = 1 ⇔ |z − 2i| = |z + 3 − i| ⇔ |x + (y − 2)i| = |(x + 3) + (y − 1)i| ⇔ 3x + y + 3 = 0. z+3−i Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d : 3x + y + 3 = 0. Ta có |z + 3 − 2i| = |z − (−3 + 2i)|, với M0 (−3; 2). √ | − 9 + 2 + 3| 4 2 10 √ =√ = . |z + 3 − 2i| đạt giá trị nhỏ nhất bằng d(M0 , d) = 5 9+1 10 Chọn đáp án A  Ä√ ä √ √ 2018 √ √ 3 + 5i . Biết phần ảo của z có dạng z = a + b 3 + c 5 + d 15, Câu 412. Cho số phức z = trong các số a, b, c, d có đúng bao nhiêu số bằng 0? A. 2. B. 1. C. 4. D. 3. Lời giải. Ä√ 1009 √ √ ä2018 Ä √ ä1009 P k z= 3 + 5i = −2 + 2 15i = 21009 C1009 (−1)1009−k 15k ik . k=0 Phần ảo của z ứng với giá trị k là số lẻ nên a = b = c = 0.  Chọn đáp án D Câu 413. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 117 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Trong mặt phẳng Oxy, điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z. Số phức z̄ là A. −2 + i. B. 1 − 2i. C. −2 − i. D. 1 + 2i. M y 1 −2 O x Lời giải. Ta có M (−2; 1) nên điểm M là điểm biểu diễn số phức z = −2 + i. Do đó z̄ = −2 − i.  Chọn đáp án C Câu 414. Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2 − 4z + 5 = 0. Giá trị của (z1 − 1)2018 + (z2 − 1)2018 bằng A. −21010 i. B. 21009 i. D. 22018 . C. 0. Lời giải. Phương trình z 2 − 4z + 5 = 0 có hai nghiệm là z1 = 2 − i và z2 = 2 + i. Ta có (z1 − 1)2018 + (z2 − 1)2018 = (1 − i)2018 + (1 + i)2018  1009  1009 = (1 − i)2 + (1 + i)2 = (−2i)1009 + (2i)1009 = − (2i)1009 + (2i)1009 = 0.  Chọn đáp án C Câu 415. Cho các số phức z, w thỏa mãn |z| = |w| là √ A. 3 5. √ √ B. 4 5. 5, w = (4 − 3i)z + 1 − 2i. Giá trị nhỏ nhất của √ C. 5 5. √ D. 6 5. Lời giải. w − 1 + 2i Theo giả thiết ta có w = (4 − 3i)z + 1 − 2i ⇒ z = . 4 − 3i √ √ √ w − 1 + 2i Nên |z| = 5 ⇔ = 5 ⇔ |w − 1 + 2i| = 5 5. 4 − 3i √ Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn I(1; −2) và bán kính R = 5 5. p √ Ta có OI = 12 + (−2)2 = 5 < R. √ √ √ Do đó min |w| = R − OI = 5 5 − 5 = 4 5.  Chọn đáp án B Câu 416. Cho số phức z0 có |z0 | = 2018. Diện tích của đa giác có các đỉnh là các điểm biểu diễn √ 1 1 1 của z0 và các nghiệm của phương trình = + được viết dạng n 3, n ∈ N. Chữ số hàng z + z0 z z0 đơn vị của n là A. 9. B. 8. C. 3. D. 2. Lời giải. Điều kiện ( z 6= 0 z + z0 6= 0. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 118 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có 1 1 1 = + ⇔ zz0 = (z + z0 )z + (z + z0 )z0 z + z0 z z0 ⇔ z 2 + z0 z + z02 = 0 Ç √ å  1 3 z = − 2 − 2 i z0  Ç ⇔  √ å  1 3 z= − + i z0 . 2 2 Ç Ç √ å √ å 1 1 1 1 1 3 3 = + có hai nghiệm là z1 = − − i z0 và z2 = − + i z0 . Như vậy, phương trình z + z0 z z0 2 2 2 2 Gọi M0 , M1 , M2 lần lượt å biểu diễn các Ç là các √ điểm √ số phức z0 , z1 , z2 . √ 3 3 3 3 M0 M1 = |z1 − z0 | = − − i z0 = − − i · |z0 | = 2018 3. 2 2 2 2 Ç √ å √ √ 3 3 3 3 i z0 = − + i · |z0 | = 2018 3. M0 M2 = |z2 − z0 | = − + 2 2 2 2 Ä√ ä √ M1 M2 = |z2 − z1 | = 3i z0 = 2018 3. √ Như vậy, tam giác M0 M1 M2 là tam giác đều cạnh bằng 2018 3. Diện tích của tam giác M0 M1 M2 là Ä √ ä2 √ 3 2018 3 √ S= = 3054243 3. 4 Do đó n = 3054243, chữ số hàng đơn vị của n là 3.  Chọn đáp án C Câu 417. Cho số phức z được biểu diễn bởi điểm M (2; −3). Tìm tọa độ điểm M 0 biểu diễn cho số phức iz. A. M 0 (−3; 2). B. M 0 (−3; −2). C. M 0 (3; −2). D. M 0 (3; 2). Lời giải. Ta có z = 2 − 3i ⇔ iz = 3 + 2i. Vậy điểm biểu diễn cho số phức iz là điểm M 0 (3; 2).  Chọn đáp án D Câu 418. Kí hiệu a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z = −4 − 3i. Tìm a, b. A. a = −4, b = 3. Lời giải. B. a = −4, b = −3i. C. a = −4, b = −3. D. a = 4, b = 3. Số phức z = −4 − 3i có phần thực là a = −4, phần ảo là b = −3.  Chọn đáp án C Câu 419. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 − 2z − i = 0. Tính giá trị của biểu thức P = |z1 + z2 − 2i|. √ √ A. 5. B. 9. C. 2 2. D. 4. Lời giải. √ Theo định lý Vi-ét ta có z1 + z2 = 2 nên P = |2 − 2i| = 2 2. Chọn đáp án C  √ Câu 420. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 2 − i| = 2 2. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức H = |z + 3 − 2i| + |z − 3 + 4i|. Tính M + m. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 119 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ √ √ A. 2 26 + 6 2. Chương 3-Giải tích 12 √ B. 16 2. √ C. 11 2. √ √ D. 2 26 + 8 2. Lời giải. √ Ta có H = |z + 3 − 2i| + | − z + 3 − 4i| ≥ |z + 3 − 2i − z + 3 − 4i| = |6 − 6i| = 6 2. √ Đặt w = z − 2 − i ⇒ |w| = 2 2. Đặt w = a + bi ta có a2 + b2 = 8 ⇒ (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2 ) = 16 ⇒ a + b ≤ 4. p p Ta có H = |w + 5 − i| + |w − 1 + 5i| = (a + 5)2 + (b − 1)2 + (a − 1)2 + (b + 5)2 . ⇒ H 2 ≤ (1 + 1)[(a + 5)2 + (b − 1)2 + (a − 1)2 + (b + 5)2 ] ⇒ H ≤ 2(2a2 + 2b2 + 8(a + b) + 52) ≤ 2(2 · 8 + 8 · 4 + 52) = 200. √ √ Do đó H ≤ 10 2. Vậy M + m = 16 2.  Chọn đáp án B Câu 421. Cho số phức z = a + bi, với a, b ∈ R, thỏa mãn (1 + i)z + 2z̄ = 3 + 2i. Tính S = a + b. 1 1 A. S = . B. S = −1. C. S = 1. D. S = − . 2 2 Lời giải. Ta có (1 + i)z + 2z̄ = 3 + 2i ⇔ (1 + i)(a + bi) + 2(a − bi) = 3 + 2i ⇔ (3a − b) + (a − b)i = 3 + 2i ( 3a − b = 3 ⇔ a−b=2  1  a = 2 ⇔  b = − 3 . 2 Do đó S = a + b = −1.  Chọn đáp án B Câu 422. Trong mặt phẳng Oxy, cho số phức z thỏa mãn |z − 1| = |(1 + i)z|. Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là A. đường tròn có tâm I(1; 0), bán kính r = √ √ 2. B. đường tròn có tâm I(0; 1), bán kính r = 2. √ C. đường tròn có tâm I(−1; 0), bán kính r = 2. √ D. đường tròn có tâm I(0; −1), bán kính r = 2. Lời giải. Đặt z = x + yi, trong đó x, y là các số thực. |z − 1| = |(1 + i)z| ⇔ |(x − 1) + yi| = |1 + i||x + yi| ⇔ (x − 1)2 + y 2 = 2(x2 + y 2 ) ⇔ x2 + y 2 + 2x − 1 = 0. Do đó, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa yêu cầu bài toán là đường tròn tâm I(−1; 0), bán kính √ r = 2.  Chọn đáp án C Câu 423. Cho số phức z thỏa mãn |z − 3 + 4i| = 2. Mô-đun lớn nhất của z bằng A. 7. B. 8. C. 5. D. 3. Lời giải. Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa |z − 3 + 4i| = 2 là đường tròn có tâm I(3; −4) và bán kính bằng R = 2. Suy ra max |z| = IO + R = 7. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 120 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án A Câu 424. Cho số phức z thỏa mãn |z − 2 − 3i| + |z − 5 + 2i| = √ 34. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức |z + 1 + 2i|. Khi đó tổng M + m bằng √ √ 30 30 30 A. √ + 34. B. √ + 5. D. √ + 6. C. 34 + 6. 34 34 34 Lời giải. Đặt z = x + yi với x, y ∈ R. y Gọi I(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z. Ta có A(2; 3), B(5; −2), C(−1; −2) lần lượt là điểm biểu diễn của √ số phức z1 = 2 + 3i, z2 = 5 − 2i, z3 = −1 − 2i. Khi đó AB = 34 và |z + 1 + 2i| = CI. Theo đề bài thì AI + BI = AB. √ A I x O 34 = AB nên I thuộc đoạn thẳng B C Phương trình của đường thẳng AB là 5x + 3y − 19 = 0. |5 · (−1) + 3 · (−2) − 19| 30 √ =√ . 52 + 32 34 CI đạt giá trị lớn nhất nhất khi I trùng với điểm đầu mút của đoạn thẳng AB. √ Mặt khác CA = 34 và CB = 6. CI đạt giá trị nhỏ nhất khi CI ⊥ AB hay CI = d(C, AB) = Vậy giá trị lớn nhất của CI là 6. 30 Do đó M = 6, m = √ . 34 30 Vì vậy M + m = √ + 6. 34 Chọn đáp án D  Câu 425. Cho tam giác ABC như hình vẽ. Biết trọng tâm G của tam giác ABC y là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần ảo của số phức z. A. 1. B. −1. C. −i. 3 D. i. B −2 A O C 2 x Lời giải. Theo giả thiết, ta có A(0; 3), B(−2; 0), C(2; 0). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là G (0; 1) nên z = i ⇒ z = −i.  Chọn đáp án B Câu 426. Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) thỏa mãn z − 2z = −2 + 9i. Khi đó giá trị a + 3b bằng A. −1. B. −7. C. 11. D. 5. Lời giải. Ta có z − 2z = −2 + 9i ⇔ −a + 3bi = −2 + 9i ⇒ a = 2; b = 3 ⇒ a + 3b = 11.  Chọn đáp án C Câu 427. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn z + 1 + 2i − (1 + i)|z| = 0 và |z| > 1. Tính giá trị của biểu thức P = a + b. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 121 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. P = −1. Chương 3-Giải tích 12 C. P = −5. B. P = 3. D. P = 7. Lời giải. Ä ä √ √ Ta có z + 1 + 2i − (1 + i)|z| = 0 ⇔ a + 1 − a2 + b2 + b + 2 − a2 + b2 i = 0 ( √ a + 1 − a2 + b 2 = 0 ⇔ √ b + 2 − a2 + b2 = 0. Suy ra a + 1 = b + 2 ⇔ a = b + 1, thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được: b+2− √ 2b2 + 2b + 1 = 0 ⇔  b ≥ −2  ”  ” b = −1 ⇒ a = 0 ⇔ ⇔ b = −1  2b2 + 2b + 1 = b2 + 4b + 4 b = 3 ⇒ a = 4.   b=3 ( b+2≥0 Với a = 0, b = −1 ta có |z| = 1 (không thỏa mãn). Với a = 4, b = 3 ta có |z| = 5 (thỏa mãn). Vậy P = a + b = 3 + 4 = 7.  Chọn đáp án D Câu 428. Cho các số phức z1 và z2 thỏa mãn các điều kiện |z1 −i| = |z1 −1+i| và |z2 −1| = |z2 +2i|. Tìm giá trị nhỏ√nhất của biểu thức P =√|z1 − z2 | + |z1 − 3| + |z2 − 3|? √ 4 2 4 3 . B. Pmin = . C. Pmin = 4 3. A. Pmin = 2 3 Lời giải. √ D. Pmin = 4 2. Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 = a + bi, z2 = c + di (a, b, c, d ∈ R). Ta có |z1 − i| = |z1 − 1 + i| ⇔ a2 + (b − 1)2 = (a − 1)2 + (b + 1)2 ⇔ 2a − 4b − 1 = 0. ⇒ M di động trên đường thẳng d1 : 2x − 4y − 1 = 0. |z2 − 1| = |z2 + 2i| ⇔ (c − 1)2 + d2 = c2 + (d + 2)2 ⇔ 2c + 4d + 3 = 0. ⇒ N di động trên đường thẳng d2 : 2x + 4y + 3 = 0. p p p Ta có P = |z1 − z2 | + |z1 − 3| + |z2 − 3| = (a − c)2 + (b − d)2 + (a − 3)2 + b2 + (c − 3)2 + d2 = M N + M A + N A với A(3; 0). d2 A2 N H2 A M H1 d1 A1 Gọi A1 đối xứng với A qua đường thẳng d1 ; A2 đối xứng với A qua đường thẳng d2 , ta có M N + M A + N A = M N + M A1 + N A2 ≥ A1 A2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bốn điểm M , N , A1 , A2 thẳng hàng. Gọi ∆1 là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với d1 , ta có phương trình đường thẳng ∆1 là Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 122 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 2x + y − 6 = 0. Gọi H1 = ∆1 ∩ d1 ⇒ tọa độ điểm H1 là nghiệm của hệ phương trình  x = 5 2 ⇔  2x + y − 6 = 0 y=1 ( 2x − 4y − 1 = 0 Å ã 5 ⇒ H1 ; 1 ⇒ A1 (2; 2). 2 Gọi ∆2 là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với d2 , ta có phương trình đường thẳng ∆2 là 2x − y − 6 = 0. Gọi H2 = ∆2 ∩ d2 ⇒ tọa độ điểm H2 là nghiệm của hệ phương trình Å ã 6 18 ⇒ H2 ⇒ A2 ;− . 5 5 Å ã2 Å ã2 √ 6 18 − 2 + − − 2 = 4 2. Vậy Pmin = A1 A2 = 5 5 Chọn đáp án D 21 9 ;− 10 5 ã Å  21  x = 10 ⇔  2x − y − 6 = 0 y = − 9 5 ( 2x + 4y + 3 = 0  Câu 429. Cho số phức z = a + bi, với a, b là các số thực bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. z − z không phải là số thực. 2 2 B. Phần ảo của z là bi. 2 D. Số z và z có mô-đun khác nhau. C. Mô-đun của z bằng a + b . Lời giải. Ta có: |z 2 | = (|z|)2 = Chọn đáp án C ä2 Ä√ a2 + b 2 = a2 + b 2 .  Câu 430. Cho các số phức z1 = 3 + 2i, z2 = 3 − 2i. Phương trình bậc hai có hai nghiệm z1 và z2 là A. z 2 + 6z − 13 = 0. B. z 2 + 6z + 13 = 0. C. z 2 − 6z + 13 = 0. D. z 2 − 6z − 13 = 0. Lời giải. Ta có: z1 + z2 = 6, z1 · z2 = 13 Suy ra phương trình bậc hai có hai nghiệm z1 và z2 là z 2 − 6z + 13 = 0.  Chọn đáp án C Câu 431. Cho số phức z. Gọi A, B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn các số phức z và (1 + i)z. Tính |z| biết diện tích tam giác OAB bằng 8. √ √ A. |z| = 4. B. |z| = 2 2. C. |z| = 4 2. D. |z| = 2. Lời giải. Đặt z = a + bi với z 6= 0. (1 + i)z = (1 + i)(a + bi) = a − b + (a + b)i. √ # » Suy ra A(a; b), B(a − b; a + b), AB = (−b; a), AB = a2 + b2 Đường thẳng AB : a(x − a) + b(y − b) = 0 ⇔ ax + by − a2 − b2 = 0. |−a2 − b2 | √ 2 Chiều cao hạ từ O của tam giác OAB là h = d(O, AB) = √ = a + b2 . a2 + b2 Diện tích tam giác OAB bằng 8 nên ä2 √ 1 Ä√ 2 · a + b2 = 8 ⇔ a2 + b2 = 4 ⇔ |z| = 4. 2  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 123 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 √ 3 5 Câu 432. Cho các số phức w, z thỏa mãn |w + i| = và 5w = (2 + i)(z − 4). Giá trị lớn nhất 5 của biểu thức P = |z − 1 − 2i| + |z − 5 − 2i| bằng √ √ √ √ A. 4 13. B. 4 + 2 13. C. 2 53. D. 6 7. Lời giải. Từ giả thiết ta có: √ √ √ 3 5 5i = ⇔ |z − 3 + 2i| = 3. |5w + 5i| = 3 5 ⇔ |(2 + i)(z − 4) + 5i| = 3 5 ⇔ z − 4 + 2+i |2 + i| Gọi M (a; b) là điểm biểu diễn số phức z, suy ra M thuộc đường tròn (T ) tâm I(3; −2) bán kính R = 3. Gọi A(1; 2), B(5; 2) và E(3; 2) là trung điểm của AB. Ta có P = M A + M B. Khi đó P 2 = (M A + M B)2 6 2(M A2 + M B 2 ) = 4M E 2 + AB 2 . y Nhận thấy E nằm ngoài đường tròn (T ), gọi D là giao điểm của 2 A E B tia đối của tia IE và đường tròn (T ) suy ra M E 6 ED, với mọi M thuộc (T ). # » #» Mặt khác ta có: AB = (4; 0), IE = (0; 4) ⇒ AB ⊥ IE ⇒ DE = O 1 3 5 x R + IE = 3 + 4 = 7. ⇒ P 2 6 4M E 2 + AB 2 6 4DE 2 + AB 2 = 4 · 49 + 16 = 212. √ ⇒ P 6 2 53, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M ≡ D. √ Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là Pmax = 2 53. −2 I D  Chọn đáp án C Câu 433. Cho số phức z = 3 + i. Tính |z|. √ A. |z| = 2 2. B. |z| = 2. Lời giải. Ta có |z| = |z| = √ 32 + 12 = √ C. |z| = 4. D. |z| = √ 10. 10.  Chọn đáp án D Câu 434. Điểm M trong hình vẽ dưới đây biểu thị cho số phức A. 3 − 2i. B. −2 + 3i. C. 2 − 3i. y D. 3 + 2i. M −2 3 O x Lời giải. Dựa vào hình vẽ, số phức có phần thực là −2 và phần ảo là 3. Suy ra số phức cần tìm là −2 + 3i.  Chọn đáp án B Câu 435. Cho z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2z 2 + 1 = 0, trong đó số phức z1 có phần ảo âm. Tính z1 + 3z2 . Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 124 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. z1 + 3z2 = √ 2i. Chương 3-Giải tích 12 √ B. z1 + 3z2 = − 2. √ C. z1 + 3z2 = − 2i. D. z1 + 3z2 = √ 2. Lời giải.  1 z1 = − √ i 2  1 i 2 Phương trình tương đương với z 2 = − = ⇔  .  1 2 2 √ z2 = i 2 1 1 Từ giả thiết ta có z1 = − √ i, z2 = √ i. 2 2 √ Suy ra z1 + 3z2 = 2i.  Chọn đáp án A 3 Câu 436. Có bao nhiêu số thức thỏa mãn z + |z|2 i − 1 − i = 0? 4 A. 1. B. 3. C. 2. Lời giải. D. 0. Đặt z = a + bi (a, b ∈ R). Thay vào biểu thức của bài toán ta có:   Å ã  a = 1 a = 1 3 2 2 (a − 1) + a + b + b − i=0⇒ ⇒ b 2 + b + 1 = 0 b = − 1 . 4 4 2 Vậy chỉ có đúng một số phức thỏa mãn bài toán.  Chọn đáp án A Câu 437. Cho số phức z = 1 + i. Biết rằng tồn tại các số phức z1 = a + 5i, z2 = b (trong đó √ √ a, b ∈ R, b > 1) thỏa mãn 3|z − z1 | = 3|z − z2 | = |z1 − z2 |. Tính b − a. √ √ √ √ A. b − a = 5 3. B. b − a = 2 3. C. b − a = 4 3. D. b − a = 3 3. Lời giải. Đặt M (1; 1), N (a; 5), P (b; 0)(b > 1) lần lượt là các điểm biểu thị cho các số phức z, z1 , z2 . # » # » Ta có M N = (a − 1; 4), M P = (b − 1; −1) nên  # » # » 2 2 | M N | = | M P |   (a − 1) + 16 = (b − 1) + 1  # » # » (a − 1)(b − 1) − 4 MN · MP ⇒  1 ◦  cos 120 = # » # » − = 2 (a − 1)2 + 16 |M N | · |M P | ⇒ ( (a − 1)2 − (b − 1)2 = −15 (∗) (a − 1)2 + 2(a − 1)(b − 1) = −8 ( 2 x + y 2 = −15 Đặt x = a − 1, y = b − 1(y > 0) thì ⇒ 7×2 + 30xy + 8y 2 = 0 (nhân chéo vế với vế 2 x + 2xy = −8 của hai phương trình).  2 x=− y −2 7 . Thay vào (∗) thì thấy chỉ có x = Tìm được  y thỏa mãn. 7 x = −4y √ 7 −2 49 Lúc này y 2 = . Do y > 0 ⇒ y = √ x = √ . Vậy b − a = y − x = 3 3. 3 3 3 Chọn đáp án D  Câu 438. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2z 2 − 6z + 5 = 0. Số phức iz0 bằng 1 3 1 3 1 3 1 3 A. − + i. B. + i. C. − − i. D. − i. 2 2 2 2 2 2 2 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 125 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. 3±i . Ta có 2z 2 − 6z + 5 = 0 ⇔ z = 2 3 1 1 3 Do đó z0 = − i ⇒ iz0 = + i. 2 2 2 2 Chọn đáp án B  Câu 439. Cho các số phức z1 = 2 + 3i, z2 = 4 + 5i. Số phức liên hợp của số phức w = 2(z1 + z2 ) là A. w = 8 + 10i. B. w = 12 − 16i. C. w = 12 + 8i. D. w = 28i. Lời giải. Ta có w = 2(6 + 8i) = 12 + 16i ⇒ w = 12 − 16i.  Chọn đáp án B Câu 440. Cho số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện |z − 3 − 4i| = √ 5 và biểu thức M = |z + 2|2 − |z − i|2 đạt giá trị lớn nhất. Môđun của số phức z − 2 − i bằng √ B. 9. C. 25. A. 5. D. 5. Lời giải. Đặt z = x + yi, (∀x, y ∈ R) ⇒ |z − 3 − 4i| = √ 5 ⇔ (x − 3)2 + (y − 4)2 = 5 (1). Ta có: M = |z + 2|2 − |z − i|2 = (x + 2)2 + y 2 − x2 − (y − 1)2 = 4x + 2y + 3 = 4(x − 3) + 2(y − 4) + 23 √ » 20 (x − 3)2 + (y − 4)2 + 23 = 33. 6 ” x = y = 5 ⇒ z = 5 + 5i x − 3 4 Dấu 00 =00 xảy ra khi chỉ khi = kết hợp với (1) suy ra y−4 2 x = 1, y = 3 ⇒ z = 1 + 3i. Thử lại ta có Mmax = 33 ⇔ z = 5 + 5i ⇒ |z − 2 − i| = 5.  Chọn đáp án D Câu 441. Cho số phức z có số phức liên hợp z = 3 − 2i. Tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng A. 1. B. −5. D. −1. C. 5. Lời giải. Ta có z = 3 + 2i. Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức z là 3 + 2 = 5.  Chọn đáp án C Câu 442. Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)z = (1 + 2i) − (−2 + i). Mô-đun của z bằng √ √ A. 2. B. 1. C. 2. D. 10. Lời giải. 3+i = 1 − i. Ta có (1 + 2i)z = (1 + 2i) − (−2 + i) ⇔ (1 + 2i)z = 3 + i ⇔ z = 1 + 2i √ Vậy |z| = 2.  Chọn đáp án C  n Câu 443. Biết 2n C0n + iC1n − C2n − iC3n + · · · + ik Ckn + · · · + in Cn = 32768i, với Ckn là các số tổ hợp chập k của n và i2 = −1. Đặt Tk+1 = ik Ckn , giá trị của T8 bằng A. −330i. B. −8i. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. −36i. 126 D. −120i. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải.  Ta có 2n C0n + iC1n − C2n − iC3n + · · · + ik Ckn + · · · + in Cnn = 32768i  ⇔ 2n C0n + iC1n + i2 C2n + i3 C3n + · · · + ik Ckn + · · · + in Cnn = 32768i ⇔ 2n (1 + i)n = 215 i ⇔ (1 + i)n = 215−n i: là số thuần ảo (∗) n 2m+1 m m Nếu n = 2m + 1, m ∈ N thì (1 + i) = (1 + i) = 2 i (1 + i): không thuần ảo, sai so với (*). Như vậy n = 2m, m ∈ N. Khi đó (*) ⇔ (1 + i)2m = 215−2m i ⇔ 2m im = 215−2m i ⇔ m = 5. Vậy n = 10, từ đó ta có T8 = i7 C78 = −8i. Chọn đáp án B  √ Câu 444. Cho số phức z thoả mãn |z − 3 − 4i| = 5 và biểu thức P = |z + 2|2 − |z − i|2 đạt giá trị lớn nhất. Mô-đun của số phức z bằng √ √ C. 13. D. 10. A. 10. B. 5 2. Lời giải. Đặt z = x + yi với x, y ∈ R và gọi M (x; y) là điểm biểu diễn của z trên Oxy, ta có √ |z − 3 − 4i| = 5 ⇔ (x − 3)2 + (y − 4)2 = 5. Và P = |z + 2|2 − |z − i|2 = (x + 2)2 + y 2 − x2 − (y − 1)2 = 4x + 2y + 3. p √ ⇒ P = 4x + 2y + 3 = [4(x − 3) + 2(y − 4)] + 23 ≤ 42 + 22 · (x − 3)2 + (y − 4)2 + 23 = 33.   x=5   x − 3 = y − 4 = t 4 2 ⇔ y=5 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi    4(x − 3) + 2(y − 4) = 10  t = 0,5. √ Vậy P đạt giá trị lớn nhất khi z = 5 + 5i ⇒ |z| = 5 2. Chọn đáp án B  Câu 445. Gọi z1 , z2 , z3 là ba nghiệm phức của phương trình z 3 + 8 = 0. Giá trị của |z1 | + |z2 | + |z3 | bằng √ √ A. 2 + 2 3. B. 3. C. 2 + 3. D. 6. Lời giải.  z = −2  √ z = −2 Ta có z 3 + 8 = 0 ⇔ (z + 2) (z 2 − 2z + 4) = 0 ⇔ ⇔ z = 1 − 3i .  √ z 2 − 2z + 4 = 0 z = 1 + 3i Do đó |z1 | + |z2 | + |z3 | = 6. Chọn đáp án D ”  Câu 446. Cho số phức z thỏa mãn (1 + z)(1 + i) − 5 + i = 0. Số phức w = 1 + z bằng A. −1 + 3i. B. 1 − 3i. C. −2 + 3i. D. 2 − 3i. Lời giải. Ta có (1 + z)(1 + i) − 5 + i = 0 ⇔ 1 + z = 5−i ⇔ 1 + z = 2 − 3i ⇔ z = 1 − 3i. 1+i  Chọn đáp án D 100 Câu 447. Giá trị của biểu thức C0100 − C2100 + C4100 − C6100 + · · · − C98 100 + C100 bằng A. −2100 . B. −250 . C. 2100 . D. 250 . Lời giải. Ta có (1 + i)100 = C0100 + iC1100 + i2 C2100 + · · · + i100 C100 100 1 3 5 99 = (C0100 − C2100 + C4100 − · · · + C100 100 ) + (C100 − C100 + C100 − C100 )i Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 127 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 50 Mặt khác (1 + i)100 = [(1 + i)2 ] = (2i)50 = −250 . 100 50 Vậy C0100 − C2100 + C4100 − C6100 + · · · − C98 100 + C100 = −2 .  Chọn đáp án B Câu 448. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của√biểu thức P = |z + 1| +√ |z 2 − z + 1| . Giá trị của √ M · m bằng √ 3 13 3 13 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 4 8 3 8 Lời giải. Đặt t = |z + 1| ≤ |z| + 1 = 2 nên t ∈ [0; 2]. Vì |z| = 1 nên z · z̄ = 1, suy ra P = |z + 1| + |z 2 − z + z · z̄| = |z + 1| + |z + z̄ − 1|. Ta lại có t2 = |z + 1|2 = (z + 1)(z̄ + 1) = 2 + (z + z̄) nên z + z̄ = t2 − 2. Vậy P = f (t) = t + |t2 − 3|, với t ∈ [0; 2]. Ta viết lại hàm số f (t) như sau: (2 √ t +t−3 khi 3 ≤ t ≤ 2 f (t) = √ . − t2 + t + 3 khi 0 ≤ t < 3 Ta có 0 f (t) = ( 2t + 1 √ 3≤t<2 0 1 √ , f (t) = 0 ⇔ t = . 2 − 2t + 1 khi 0 < t < 3 khi Å ã √ √ 13 1 Khi đó, f (0) = 3; f = ; f ( 3) = 3; f (2) = 3. 2 4 √ √ 13 13 3 Vậy M = ; m = 3 nên M · m = . 4 4 Chọn đáp án A  1 Câu 449. Phần ảo của số phức là 1+i 1 1 1 A. . B. − . C. − i. 2 2 2 Lời giải. 1 1 1 1 1 Ta có = − i nên phần ảo của số phức là − . 1+i 2 2 1+i 2 Chọn đáp án B D. −1.  Câu 450. Cho số phức z thoả z − |z| = −2 − 4i. Mô-đun của z là A. 3. B. 25. C. 5. D. 4. Lời giải. Đặt z = a + bi (a, b ∈ R). Theo đề bài ta có √ a + bi − a2 + b2 = −2 − 4i ⇔ Vậy mô-đun của z là ( √ a − a2 + b2 = −2 b = −4 ⇔ ( a=3 b = −4. p 32 + (−4)2 = 5.  Chọn đáp án C Câu 451. Có bao nhiêu số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: |z − 10 + 2i| = |z + 2 − 14i| và |z − 1 − 10i| = 5? Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 128 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. Vô số. Chương 3-Giải tích 12 B. Một. C. Không. D. Hai. Lời giải. Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn của số phức z. Từ điều kiện ban đầu ta có hệ phương trình » » (  (x − 10)2 + (y + 2)2 = (x + 2)2 + (y − 14)2 3x − 4y + 12 = 0 » ⇔  (x − 1)2 + (y − 10)2 = 5 (x − 1)2 + (y − 10)2 = 25. Để ý đường thẳng 3x − 4y + 12 = 0 tiếp xúc với đường tròn (x − 1)2 + (y − 10)2 = 25, nên hệ trên chỉ có một cặp nghiệm (x; y), suy ra chỉ có một số phức thỏa yêu cầu đề bài.  Chọn đáp án B Câu 452. Cho số phức z thoả điều kiện |z + 2| = |z + 2i|. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z − 1 − 2i| + |z − 3 − 4i| + |z − 5 − 6i| √ ä √ được viết dưới dạng a + b 17 / 2 với a, b là các hữu tỉ. Giá trị của a + b là Ä A. 3. Lời giải. B. 2. C. 7. D. 4. y C 6 5 B 4 M 3 2 A M0 1 O −1 A0 1 2 x 3 4 5 6 −1 Cách 1 Đặt E(−2; 0), F (0; −2), A(1, 2), B(3, 4), C(5, 6), M (x, y) biểu diễn cho số phức z. Từ giả thiết, ta có M thuộc đường trung trực ∆ : y = x của đoạn EF và P = AM +BM +CM . Ta chứng minh điểm M chính là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng ∆. – Với M 0 tuỳ ý thuộc ∆, M 0 khác M . Gọi A0 là điểm đối xứng của A qua ∆. Nhận thấy rằng ba điểm A0 , M , C thẳng hàng. – Ta có AM 0 + BM 0 + CM 0 = A0 M 0 + BM 0 + CM 0 . Mà A0 M 0 + CM 0 > A0 C = A0 M + CM = AM + CM. Lại có BM 0 > BM . Do đó AM 0 + BM 0 + CM 0 > AM + BM + CM. Cách 2. Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R). Từ giả thiết |z + 2| = |z + 2i|, dẫn đến y = x. Khi đó z = x + xi. p p p P = (x − 1)2 + (x − 2)2 + (x − 3)2 + (x − 4)2 + (x − 5)2 + (x − 6)2 . Sử dụng bất đẳng thức » √ √ 2 2 2 2 a + b + c + d > (a + c)2 + (b + d)2 . Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 129 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 a b = . Ta có c d » » » » (x − 1)2 + (x − 2)2 + (x − 5)2 + (x − 6)2 = (x − 1)2 + (x − 2)2 + (5 − x)2 + (6 − x)2 » > (x − 1 + 6 − x)2 + (x − 2 + 5 − x)2 √ > 34. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x−2 7 x−1 = ⇔x= . 6−x 5−x 2 Mặt khác ã » √ Å √ 7 2 1 1 2 2 2 (x − 3) + (x − 4) = 2x − 14x + 25 = 2 x− + >√ . 2 4 2 7 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = . 2 √ 1 + 2 17 √ Từ hai trường hợp trên, ta thấy, giá trị nhỏ nhất của P là . Khi đó a + b = 3. 2 Chọn đáp án A  Câu 453. Số phức z = 15 − 3i có phần ảo bằng A. 15. C. −3. B. 3. D. 3i. Lời giải. Phần ảo là −3.  Chọn đáp án C Câu 454. Cho hai số phức z = 3 − 5i và w = −1 + 2i. Điểm biểu diễn số phức z 0 = z − w · z trong mặt phẳng Oxy có tọa độ là A. (−4; −6). C. (4; −6). B. (4; 6). D. (−6; −4). Lời giải. Ta có z0 = z − w · z = 3 + 5i − (−1 + 2i) · (3 − 5i) = 3 + 5i − (7 + 11i) = −4 − 6i.  Chọn đáp án A Câu 455. Xét các số phức z1 = 3 − 4i, z2 = 2 + mi, (m ∈ R). Giá trị nhỏ nhất của mô-đun số phức z2 bằng z1 2 1 3 A. . B. . C. . D. 2. 5 5 5 Lời giải. √ z2 |z2 | 4 + m2 2 Ta có = = > , ∀m ∈ R. Dấu dẳng thức xảy ra khi m = 0. z1 |z1 | 5 5 z2 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức bằng . z1 5 Chọn đáp án A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 130 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 456. Trong mặt phẳng phức, cho số phức z thỏa mãn |z − 1 + i| ≤ đây đúng? A. |z + 1| ≤ √ B. |z + i| ≤ 2. √ C. |2z + 1 − i| ≤ 2. 2. √ 2. Khẳng định nào sau √ D. |2z − 1 + i| ≤ 3 2. Lời giải. √ Ta có tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa |z − 1 + i| ≤ 2 là hình tròn (1) tâm I(1; −2) bán kính √ r = 2. Å ã √ 1 1 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa |2z − 1 + i| ≤ 3 2 là hình tròn (2) có tâm I1 ;− , r1 = 2 2 √ 3 2 . 2 Nhận thấy hình tròn (1) nằm trong hình tròn (2).  Chọn đáp án D Å 1+i Câu 457. Tính số phức z = 1−i A. 2. B. −2. ã2018 1−i + 1+i Å ã2018 có kết quả là C. 2i. D. 1 + i. Lời giải. z = i2018 + (−i)2018 = −2.  Chọn đáp án B z2 . z1 √ = 2. Câu 458. Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1 , z2 6= 0 và z22 − 2z1 z2 + 2z12 = 0. Tính A. √ z2 = 3. z1 B. √ z2 = 2 2. z1 C. z2 1 = √ . z1 2 2 D. z2 z1 Lời giải. z22 − 2z1 z2 + 2z12 Å =0⇔ z2 z1 ã2 Å z2 −2 z1 ã +2=0⇔ √ z2 z2 =1±i⇒ = 2. z1 z1  Chọn đáp án D Câu 459. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 1 + 2i| = √ 5. Khi đó số phức w = z + 1 + i có môđun lớn nhất |w|max bằng √ B. |w|max = 2 5. A. |w|max = 20. Lời giải. Ta có |z − 1 + 2i| = √ 5 ⇔ |w − 2 + i| = √ ra khi w = 4 − 2i. Vậy |w|max = 2 5. √ C. |w|max = √ 5. 5 > |w| − |2 − i| = |w| − √ √ D. |w|max = 5 2. √ 5 ⇒ |w| 6 2 5, dấu ” = ” xảy  Chọn đáp án B Câu 460. Cho hai số phức z1 , z2 đồng thời thỏa mãn hai điều kiện |z − 1| = √ 34 và |z + 1 + mi| = |z + m + 2i| trong đó m ∈ R, sao cho |z1 − z2 | lớn nhất. Khi đó giá trị của |z1 + z2 | bằng √ √ A. 2. B. 130. C. 2. D. 10. Lời giải. √ Đặt z = x + yi, x, y ∈ R. |z − 1| = 34 suy ra biểu diễn của z thuộc đường tron tâm I(1; 0), bán √ kính 34, |z + 1 + mi| = |z + m + 2i| ⇔ (2m −Å2)x + (4ã− 2m)y + 3 = 0 (d) nên biểu diễn của z 3 3 thuộc đường thẳng d, dễ thấy d luôn đi điểm K − ; − cố định. 2 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 131 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 y N x I K M Biểu diễn của z1 , z2 là giao điểm của đường tròn tâm I và đường thẳng d, dễ thấy |z1 − z2 | lớn nhất khi d đi qua I, khi đó z1 = −4 − 3i, z2 = 6 + 3i và |z1 + z2 | = 2.  Chọn đáp án C Câu 461. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tọa độ điểm M biểu diễn cho số phức z = 3 + 5i. A. M (3; −5). B. M (−3; −5). C. M (3; 5). D. M (5; 3). Lời giải. Số phức z = a + bi có điểm biểu diễn là M (a; b). Vậy suy ra điểm M có tọa độ là (3; 5).  Chọn đáp án C Câu 462. Phương trình z 2 + z + 3 = 0 có hai nghiệm z1 , z2 trên tập hợp số phức. Tính giá trị của biểu thức P = z12 + z22 . A. P = −5. B. P = − 21 . 2 C. P = 6. D. P = 7. Lời giải. √  11 1 z =− +i  2 √2 Có z 2 + z + 3 = 0 ⇔   1 11 z =− −i . 2 2 å Ç Ç √ √ å2 2 1 11 1 11 Vậy P = − + i + − −i = −5. 2 2 2 2  Chọn đáp án A √ Câu 463. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa |z1 | = |z2 | = 17. Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của √ z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Biết M N = 3 2, gọi H là đỉnh thứ tư của hình bình hành OM HN và K là trung điểm của ON . Tính độ dài ` của đoạn thẳng KH. √ √ √ 17 3 13 A. ` = . B. ` = 5 2. C. ` = . 2 2 √ 5 2 D. ` = . 2 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 132 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Gọi E là giao điểm của OH và M N . OE 2 = = HK 2 = = H N OM 2 + ON 2 M N 2 − 2 4 9 25 17 − = ⇒ OH 2 = 4OE 2 = 50 2 2 OM 2 + OH 2 ON 2 HN 2 + HO2 ON 2 − = − 2 4 2 4 √ 117 3 13 17 + 50 17 − = ⇒ ` = HK = . 2 4 4 2 K E O M  Chọn đáp án C Câu 464. Trên tập hợp số phức, cho phương trình z 2 + bz + c = 0 với b, c ∈ R. Biết rằng hai nghiệm của phương trình có dạng w + 3 và 3w − 8i + 13 với w là một số phức. Tính S = b2 − c3 . A. S = −496. Lời giải. C. S = −26. B. S = 0. D. S = 8. Gọi z1 = w + 3 = m + ni và z2 = 3w − 8i + 13 = m − ni, với m, n ∈ R là hai nghiệm phức của phương trình.  m − 13 (   =m−3 m = −2 m − 13 8 − n 3 Vậy ta có w = m − 3 + ni = + i⇔ ⇔  3 3 n = 2. 8 − n = n 3 ( ( z1 + z2 = −b = 2m b=4 Mặt khác ta có ⇔ , vậy ta suy ra S = b2 − c3 = −496. 2 2 z1 z2 = c = m + n c=8  Chọn đáp án A Câu 465. Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo dương của phương trình z 2 + 2z + 10 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w = i2017 z0 ? A. M (3; −1). B. M (3; 1). C. M (−3; 1). D. M (−3; −1). Lời giải. ” Ta có z 2 + 2z + 10 = 0 ⇔ z = −1 − 3i . Suy ra z0 = −1 + 3i. z = −1 + 3i w = i2017 z0 = i(−1 + 3i) = −3 − i. Suy ra điểm M (−3; −1) biểu diễn số phức w. Chọn đáp án C  Câu 466. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R). Biết tập hợp các điểm A biểu diễn hình học số phức z là đường tròn (C) có tâm I(4; 3) và bán kính R = 3. Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của F = 4a + 3b − 1. Tính giá trị M + m. A. M + m = 63. Lời giải. B. M + m = 48. C. M + m = 50. D. M + m = 41. Ta có phương trình đường tròn (C) : (x − 4)2 + (y − 3)2 = 9. Do điểm A nằm trên đường tròn (C) nên ta có (a − 4)2 + (b − 3)2 = 9. F + 1 − 3b Ta có F = 4a + 3b − 1 ⇒ a = 4 2 2 (a − 4) + (b − 3) = 9 ⇒ Å ã2 F + 1 − 3b − 4 + b2 − 6b + 9 = 9 ⇔ 25b2 − 2(3F + 3)b + F 2 + 225 = 0 4 ∆0 = (3F + 3)2 − 25F 2 − 5625 ≥ 0 ⇔ −16F 2 + 18F − 5625 ≥ 0 ⇔ 9 ≤ F ≤ 39 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 133 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Khi đó M = 39, m = 9. Vậy M + m = 48  Chọn đáp án B Câu 467. Số phức nào sau đây là số thuần ảo? √ B. z = −2 + 3i. A. z = 3 + 2i. D. z = −2. C. z = 2i. Lời giải. Số phức thuần ảo là số phức có phần thực bằng 0 ⇒ z = 2i là số thuần ảo. Chọn đáp án C  Câu 468. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2z 2 − 6z + 5 = 0. Tìm iz0 ? 1 3 1 3 1 3 1 3 B. i · z0 = + i. C. i · z0 = − − i. D. i · z0 = − i. A. i · z0 = − + i. 2 2 2 2 2 2 2 2 Lời giải.  3 1 z= + i  2 2 ⇒ z = 3 − 1 i ⇒ i · z = 1 + 3 i. Xét phương trình 2z 2 − 6z + 5 = 0 ⇔  0 0 3 1 2 2 2 2 z= − i 2 2 Chọn đáp án B  Câu 469. Cho số phức z = a + bi với a, b ∈ R thỏa mãn z + 1 + 3i − |z| i = 0. Tính S = a + 3b. 7 7 C. S = − . D. S = 5. A. S = −5. B. S = . 3 3 Lời giải. √ Ta có z = a + bi ⇒ |z| = a2 + b2 . Khi đó z + 1 + 3i − |z| i = 0 ⇔ a + bi + 1 + 3i − ( a+1=0 ⇔ √ b + 3 − a2 + b 2 = 0 ( a = −1 ⇔ √ b2 + 1 = b + 3  a = −1 ⇔ . b = − 4 3 √ a2 + b 2 i = 0 ⇒ S = a + 3b = −1 − 4 = −5.  Chọn đáp án A Câu 470. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn y của số phức z. Tìm z. A. z = −4 + 3i. 3 B. z = −3 + 4i. C. z = 3 − 4i. D. z = 3 + 4i. O x −4 M Lời giải. Điểm M có tọa độ là M (3; −4) ⇒ điểm M biểu diễn số phức z = 3 − 4i.  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 134 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 471. Cho số phức z thỏa mãn |(z + 2) i + 1| + |(z − 2) i − 1| = 10. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z|. Tính tổng S = M + m. A. S = 9. √ C. S = 2 21. B. S = 8. √ D. S = −2 21. Lời giải. Đặt z = a + bi với x; y ∈ R, khi đó z = a − bi Xét |(z + 2) i + 1| + |(z − 2) i − 1| = 10 ⇔ |z + 2 − i| + |z − 2 + i| = 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M (z), N (z), A (−2; 1), B (2; (−1), C (2; 1), khi đó M C = N B. AC = 4 X2 Y 2 Khi đó ta được M A + M C = 10, quỹ tích điểm M là Elip với + = 1. ⇒ (E) : 25 21 2a = 10 (phương trình Elip với hệ trục tọa độ IXY với I (0; 1) là trung điểm của đoạn AC) ( X=x x2 (y − 1)2 Áp dụng công thức đổi trục tọa độ + = 1. ta được (E) : 25 21 Y =y−1 ( a = 5 sin t Đặt với t ∈ [0; 2π], ta được |z|2 = OM 2 = a2 + b2 √ b = 1 + 21 cos t Ä ä2 √ √ ⇒ |z|2 = 25 sin2 t + 1 + 21 cos t = −4 cos2 t + 2 21 cos t + 26 = f (t). √ Xét hàm số f (t) = −4 cos2 t + 2 21 cos t + 26, đặt cos t = a ∈ [−1; 1], √ √ √ 2 21 Ta được hàm f (a) = −4a2 + 2 21a + 26, f 0 (a) = −8a + 2 21 > 0 ⇔ a < 8 ( √ max f (a) = 1 + 21 khi a = cos t = 1 ⇒ f (a) đồng biến trên [−1; 1] ⇒ . √ min f (a) = −1 + 21 khi a = cos t = −1 √ Vậy M + m = 2 21.  Chọn đáp án C Câu 472. Cho hai số phức z1 = 3 − i và z2 = 4 − i. Tính mô-đun của số phức z12 + z 2 . A. 12. B. 10. C. 13. D. 15. Lời giải. 2 2 2 Ta có số phức » w = z1 + z 2 = (3 − i) + (4 + i) = 9 − 6i + i + 4 + i = 12 − 5i. Nên |w| = 122 + (−5)2 = 13. Chọn đáp án C  Câu 473. Cho số phức z thỏa mãn |2z − 3 − 4i| = 10. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z|. Khi đó M − m bằng A. 5. B. 15. C. 10. D. 20. Lời giải. Giả sử số phức z = x + iy với x, y ∈ R và điểm M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó |2z − 3 − 4i| = 10 ⇔ |2 (x + yi) − 3 − 4i| = 10 ⇔ |(2x − 3) + (2y − 4) i| = 10 suy ra Å ã 3 2 (2x − 3) + (2y − 4) = 100 ⇔ x − + (y − 2)2 = 25. 2 Å ã 3 Do đó tập hợp điểm M thuộc đường tròn (C) có tâm I ; 2 và bán kính R = 5. 2 Å ã2 3 5 Mà |z| = OM , ở đó O là gốc tọa độ. Do OI = + 22 = suy ra O nằm trong đường tròn 2 2 2 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 135 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 5 15 5 5 (C). Do đó max |z| = OI + IM = + 5 = và min |z| = IM − OI = 5 − = . 2 2 2 2 15 5 Vậy M − m = − = 5. 2 2 Chọn đáp án A  Câu 474. Cho số phức z thay đổi thỏa mãn |z − i| + |z + i| = 6. Gọi S là đường cong tạo bởi tất cả các điểm biểu diễn số phức (z − i) (i + 1) khi z thay đổi. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong S. √ C. 9 2π. √ B. 12 2π. A. 12π. D. 9π. Lời giải. Giả sử điểm M (x; y) là điểm biểu diễn số phức w = (z − i) (i + 1). Khi đó (z − i) (i + 1) = x + yi nên   x + yi    z − i = z − i = 1+i ⇔   z + i = x + yi + 2i  z + i = 1+i 1−i = Ta suy ra |z − i| = |x + yi| · 2  (x + yi) (1 − i) (x + yi) (1 − i)  z − i = 2 2 ⇔ . (x − 2) + (y + 2) i  z + i = [(x − 2) + (y + 2) i] (1 − i) 1+i 2 1 p 2 √ x + y2. 2 1−i 1 » Tương tự |z + i| = |(x − 2) + (y + 2) i| · (x − 2)2 + (y + 2)2 . =√ 2 2 Do giả thiết |z − i| + |z + i| = 6 suy ra » p √ 1 p 2 1 » 2 2 2 2 2 √ x +y + √ (x − 2) + (y + 2) = 6 ⇔ x + y + (x − 2)2 + (y + 2)2 = 6 2. 2 2 √ Giả sử F2 (0; 0) và F1 (2; −2), khi đó M F1 + M F2 = 6 2. Do đó tập hợp điểm M chuyển động trên √ elip nhận F1 , F2 là tiêu điểm và có độ dài trục lớn là 6 2. √ √ √ F1 F2 √ Ta có a = 3 2 và c = = 2 nên b = a2 − c2 = 4. Khi đó S = πab = 12 2π. 2 Chọn đáp án B  Câu 475. Gọi z1 , z2 là các nghiệm của phương trình z 2 − 2z + 5 = 0. Tính P = z14 + z24 . A. −14. Lời giải. B. −14i. " • Ta có z 2 − 2z + 5 = 0 ⇔ z14 • Do đó P = + Chọn đáp án A z24 C. 14. D. 14i. z = 1 + 2i z = 1 − 2i. = (1 + 2i)4 + (1 − 2i)4 = −14.  Câu 476. Điểm M trong hình vẽ bên biểu diễn số phức có phần thực là √ A. 1. B. 2. C. 5. D. 3. y M 1 O 2 x Lời giải. Điểm M biểu diễn số phức z = 2 + i. Do đó, phần thực của z là 2. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 136 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án B z z = 1? + z z C. 10. Câu 477. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z| = 1 và A. 6. B. 4. D. 8. Lời giải. • Giả sử z = x + yi với x, y ∈ R. Ta có |z| = 1 ⇔ x2 + y 2 = 1. z z |z 2 + z 2 | 1 + = 1 ⇔ |z 2 + z 2 | = 1 ⇔ |2(x2 − y 2 )| = 1 ⇔ x2 − y 2 = ± . • =1⇔ z z |z| · |z| 2 √  3 1 x = 2 , y = 2  √  3 1  x = ,y = −  2√ 2   x = − 3 , y = 1  2  √2    1 3 1 3  x 2 + y 2 = 1 x = − ,y = − x2 = , y 2 =  4 2 ⇔ 2 √ 2 • Ta có ⇔  1 1 3 2 2  x − y = ± x = 1 , y = 3 x2 = , y 2 = 2  4 4 2 2√   1 3  x = , y = −  2 √2   x = − 1 , y = 3  2 2√   1 3 x = − ,y = − . 2 2 • Vậy có 8 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án D Câu 478. Có bao nhiêu số thực m sao cho phương trình bậc hai 2z 2 + 2(m − 1)z + 2m + 1 = 0 có √ 2 nghiệm phức phân biệt z1 , z2 đều không phải là số thực và thỏa mãn |z1 | + |z2 | = 10. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Do z1 , z2 không phải số thực nên z1 , z2 là các số phức liên hợp. Suy ra z1 z2 = |z1 |2 = |z2 |2 . |z1 | + |z2 | = √ 10 ⇔ |z1 |2 + |z2 |2 + 2|z1 ||z2 | = 10 ⇔ 2z1 z2 + 2|z1 z2 | = 10 2m + 1 2m + 1 ⇔ 2 +2 = 10 2 2 ⇔ |2m + 1| = 9 − 2m ⇔ m = 2. 1 3 1 3 Với m = 2, phương trình có 2 nghiệm z1 = − + i và z2 = − − i thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 2 2 2 Chọn đáp án A  Câu 479. Tìm tọa độ điểm M là điểm biểu diễn của số phức z = 3 − 4i. A. M (3; 4). B. M (−3; −4). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. M (3; −4). 137 D. M (−3; 4). https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Ta có số phức z = 3 − 4i có điểm biểu diễn là M (3; −4).  Chọn đáp án C Câu 480. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn |z| = 5 và z(2 + i)(1 − 2i) là một số thực. Tính P = |a| + |b|. A. P = 8. B. P = 4. C. P = 5. D. P = 7. Lời giải. Ta có z(2 + i)(1 − 2i) = (a + bi)(4 − 3i) = 4a + 3b + (−3a + 4b)i. 3 Do z(2 + i)(1 − 2i) là một số thực nên từ (1) suy ra −3a + 4b = 0 ⇔ b = a. 4 Mặt khác |z| = 5 ⇔ a2 + b2 = 25. (3) (1) (2) Thế (2) vào (3) ta được phương trình Å ã2 3 2 a + a = 25 ⇔ a2 = 16 ⇔ a = ±4. 4 Với a = 4 ⇒ b = 3 và a = −4 ⇒ b = −3. Vậy P = |a| + |b| = 3 + 4 = 7.  Chọn đáp án D Câu 481. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 6z + 11 = 0. Tính giá trị của biểu thức H = |3z1 | − |z2 |. A. H = 22. Lời giải. √ C. H = 2 11. B. H = 11. D. H = √ 11. Ta có √ 2i z − 6z + 11 = 0 ⇔ √ z2 = 3 − 2i. √ √ Mà |z1 | = |z2 | nên H = |3z1 | − |z2 | = 3|z1 | − |z1 | = 2|z1 | = 2 3 + 2i = 2 11. " 2 z1 = 3 +  Chọn đáp án C Câu 482. Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) thỏa mãn 4 (z − z̄) − 15i = i (z + z̄ − 1)2 . Tính 1 P = −a + 4b khi z − + 3i đạt giá trị nhỏ nhất. 2 A. P = 7. B. P = 6. C. P = 5. D. P = 4. Lời giải. Ta có 4 (z − z̄) − 15i = i (z + z̄ − 1)2 ⇔ 4(2bi) − 15i = i(2a − 1)2 ⇔ 8b − 15 = (2a − 1)2 Å ã 1 2 15 ⇔ a− = 2b − . 2 4 Từ (1) suy ra 2b − (1) 15 15 ≥0⇔b≥ . 4 8 Ta có 1 z − + 3i 2 2 Å ã 1 2 21 = a− + (b + 3)2 = b2 + 8b + . 2 4 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 138 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 ï ã 15 21 trên ; +∞ ta có bảng biến thiên Xét hàm số f (b) = b + 8b + 4 8 2 15 8 b +∞ f 0 (b) + +∞ f (b) Å f Từ bảng biến thiên trên suy ra z − 15 8 ã 1 15 1 + 3i đạt giá trị nhỏ nhất khi b = , khi đó a = . 2 8 2 1 15 Vậy P = −a + 4b = − + 4 · = 7. 2 8 Chọn đáp án A  Câu 483. Cho số phức z = cos 2α + (sin α − cos α)i với α ∈ R. Giá trị lớn nhất của |z| là √ 4 3 A. . B. . C. 2. D. 2. 3 2 Lời giải. Ta có |z| = = = = » cos2 2α + (sin α − cos α)2 p 1 − sin2 2α + 1 − 2 sin α cos α p 2 − sin2 2α − sin 2α Å ã 1 2 3 9 − sin 2α + ≤ . 4 2 2 1 3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi sin 2α = − . Vậy giá trị lớn nhất của |z| là . 2 2 Chọn đáp án B  Câu 484. Cho số phức z có biểu diễn hình học là điểm M ở hình vẽ bên. y Khẳng định nào sau đây là đúng? A. z = 3 + 2i. C. z = 3 − 2i. 1 B. z = −2 − 3i. D. z = −2 + 3i. −1 1 2 3 x O −1 −2 M Lời giải. Điểm M (3; −2) biểu diễn số phức z = 3 − 2i.  Chọn đáp án C 1 = a + bi, a, b ∈ R. Khi đó (1 − i)9 1 −1 1 1 A. a = ; b = . B. a = 0; b = . C. a = ; b = 0. 32 32 32 32 Lời giải. Câu 485. Giả sử Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 139 D. a = b = 1 . 32 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có (1 − i)2 = 1 − 2i + i2 = −2i ⇒ (1 − i)4 = 4 ⇒ (1 − i)8 = 16. Khi đó 1+i 1 1 = . = 9 (1 − i) 16(1 − i) 32 1 . 32 Chọn đáp án D Vậy a = b =  Câu 486. Số phức z có phần ảo lớn nhất thoả mãn |z − 1 − i| = 1 là A. z = 2 + 2i. B. z = 1 + 2i. C. z = 2i. D. z = −1 + 3i. Lời giải. Giả sử z = x + yi, x, y ∈ R, theo bài ra ta có |(x − 1) + (y − 1)i| = 1 ⇔ (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1. Mà (x − 1)2 ≥ 0 nên (y − 1)2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ y − 1 ≤ 1 ⇔ 0 ≤ y ≤ 2. Vậy phần ảo của z có giá trị lớn nhất bằng 2. Dấu bằng xảy ra khi x = 1; y = 2, hay z = 1 + 2i.  Chọn đáp án B Câu 487. Gọi (C) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z = x + yi, x, y ∈ R thoả mãn |z − 1| = 1 và N là điểm biểu diễn số phức z0 = 1 − i. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho M N có độ dài lớn nhất Ç √ å 1 3 A. M (1; 1). B. M ; . C. M (1; 0). D. M (0; 0). 2 2 Lời giải. Ta có |z − 1| = 1 ⇔ (x − 1)2 + y 2 = 1 nên tập hợp điểm (C) biểu diễn y số phức z là đường tròn tâm I(1; 0), bán kính R = 1. M Điểm N có toạ độ là N (1; −1) cũng thuộc (C) nên M N có độ dài lớn nhất khi M N là đường kính của đường tròn (C) hay I là trung điểm của M N nên toạ độ M là M (1; 1). x O I N  Chọn đáp án A Câu 488. Cho số phức z có điểm biểu diễn trong mặt phẳng toạ độ là điểm M (2; −1). Mô-đun của số phức z bằng A. 3. B. √ 3. C. Lời giải. Từ giả thiết suy ra z = 2 − i, |z| = p 22 + (−1)2 = √ 5. D. 5. √ 5.  Chọn đáp án C Câu 489. Kí hiệu z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình 2z 2 − 3z + 7 = 0. Tính giá trị của S = z1 + z2 − z1 z2 . A. S = 2. B. S = −2. C. S = 5. D. S = −5. Lời giải. Theo định lý Vi-ét ta có S = 3 7 − = −2. 2 2  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 140 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 490. Có bao nhiêu số phức z thoả mãn |z − 2i| = √ 5 có điểm biểu diễn trong mặt phẳng toạ độ thuộc đường thẳng ∆ : 3x − y + 1 = 0? A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số. Lời giải. √ Tập hợp biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 2) và bán kính R = 5. Khoảng cách từ I đến 1 ∆ là d = √ < R nên đường thẳng ∆ cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt. Từ đó suy ra có 2 số 10 phức thoả mãn yêu cầu bài toán. Chọn đáp án A  Câu 491. Xét số phức z thoả mãn |z + 1 − i| + |z − 3 + i| = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z + 1 + 4i|. √ √ A. 3. B. 2 + 2. C. 5. D. 5 − 2. Lời giải. Ta nhận thấy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn |z + 1 − i| + |z − 3 + i| = 6 chính là đường elíp (E) có độ dài trục I lớn bằng 2a = 6, trục nhỏ bằng 2b = 4 với A(−1; 1) và B(3; −1) là hai đỉnh trên trục lớn. M Xét điểm I(−1; 4) nằm ngoài elíp (E) và I nằm trên đường trung trực của đoạn AB. Ta có P = |z + 1 + 4i| = M I với mọi điểm M ∈ (E). Từ đó suy ra A O B giá trị nhỏ nhất của P bằng d(I, AB) − b = 5 − 2 = 3.  Chọn đáp án A Câu 492. Cho số phức z, biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức z; iz và z + iz tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18. Tính mô-đun của số phức z. √ √ B. 3 2. C. 6. A. 2 3. D. 9. Lời giải. Giả sử z = a + bi, với a, b là số thực. Gọi M, N, P lần lượt là điểm biểu diễn số phức z, iz và z + iz. Khi đó M (a; b); N (−b; a); P (a − b; a + b). p √ Suy ra M N = 2 (a2 + b2 ); N P = P M = a2 + b2 . Suy ra tam giác M N P vuông cân tại P . √ 1 Ta có S∆M N P = 18 ⇔ · N P · P M = 18 ⇔ a2 + b2 = 36 ⇔ |z| = a2 + b2 = 6. 2 Chọn đáp án C  Câu 493. Cho số phức z = a+bi (với a, b là số nguyên) thỏa mãn (1−3i)z là số thực và |z − 2 + 5i| = 1. Khi đó a + b bằng A. 9. Lời giải. B. 8. C. 7. D. 6. Ta có (1 − 3i)z = (a + 3b) + (b − 3a)i, z − 2 + 5i = (a − 2) + (5 − b)i. Theo bài ra ta có hệ phương trình ( b − 3a = 0 (a − 2)2 + (5 − b)2 = 1 ⇔ ( b = 3a 5a2 − 17a + 14 = 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 141 ⇔   b = 3a  (   a=2 7 a = (loại) ⇒   5 b = 6.    a=2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Vậy a + b = 8.  Chọn đáp án B Câu 494. Cho các số phức z thỏa mãn |z − 1| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số Ä √ ä phức w = 1 + 3i z + 2 là một đường tròn. Tính bán kính R của đường tròn đó. A. R = 4. B. R = 16. C. R = 8. D. R = 2. Lời giải. Ta có ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ √ w − 2 = (1 + 3i)z w−2 √ =z 1 + 3i w−2 √ −1=z−1 1 + 3i √ w − 3 − 3i √ = |z − 1| 1 + 3i √ √ |w − 3 − 3i| = |z − 1| · |1 + 3i| = 4. Từ đó suy ra bán kính R = 4.  Chọn đáp án A Câu 495. Trong mặt phẳng phức, xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M, M 0 ; số phức z(4 + 3i) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N, N 0 . Biết rằng M, M 0 , N, N 0 là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z + 4i − 5|. 1 2 5 4 A. √ . B. √ . C. √ . D. √ . 2 5 34 13 Lời giải. Đặt z = a + bi. Khi đó z(4 + 3i) = 4a − 3b + (3a + 4b)i và M (a; b); M 0 (a; −b), N (4a − 3b; 3a + 4b), N 0 (4a − 3b; −3a − 4b). # » M N = (3a − 3b; 3a + 3b). b Theo tính chất đối xứng thì M N N 0 M 0 là hình thang cân. Do # » đó để M N N 0 M 0 là hình chữ nhật thì M N cùng phương với trục Ox hay 3a + 3b = 0 ⇔ b = −a. 3a + 4b y Ta có N O » −3a − 4b (a − 5)2 + (b + 4)2 |z + 4i − 5| = » √ = (a − 5)2 + (−a + 4)2 = 2a2 − 18a + 41 Å ã 9 2 1 −b = 2 a− + 2 2 1 ≥ √ . 2 9 9 9 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = hay z = − i. 2 2 2 1 9 9 Vậy giá trị nhỏ nhất của |z + 4i − 5| bằng √ khi và chỉ khi z = − i. 2 2 2 4a − 3b a x N0 M0  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em M 142 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 496. Cho số phức z và w thỏa mãn z + w = 3 + 4i và |z − w| = 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = |z| + |w|. √ A. max T = 176. B. max T = 14. C. max T = 4. D. max T = √ 106. Lời giải. Đặt z = a + bi (a, b ∈ R); w = c + di (c, d ∈ R). Ta có |z + w| = |3 + 4i| = 5 ⇔ |(a + bi) + (c + di)| = 5 ⇔ |(a + c) + (b + d)i| = 5 ⇔ (a + c)2 + (b + d)2 = 25. và |z − w| = 9 ⇔ |(a + bi) − (c + di)| = 9 ⇔ |(a − c) + (b − d)i| = 9 ⇔ (a − c)2 + (b − d)2 = 81. Ta có hệ phương trình ( ⇔ (a + c)2 + (b + d)2 = 25 (a − c)2 + (b − d)2 = 81 ( 2 a + 2ac + c2 + b2 + 2bd + d2 = 25 a2 − 2ac + c2 + b2 − 2bd + d2 = 81 ⇒ a2 + b2 + c2 + d2 = 53. Theo bất đẳng thức B.C.S ta có » √ √ √ ||z| + |w|| = 1 · a2 + b2 + 1 · c2 + d2 ≤ (12 + 12 ) (a2 + b2 + c2 + d2 ) = 106. √ 51 7 21 47 + i, w = − i luôn thỏa mãn giả thiết và |z| + |w| = 106. 10 10 √ 10 10 Vậy max (|z| + |w|) = 106. Với z = −  Chọn đáp án D Câu 497. Tìm phần ảo của số phức z̄, biết z = A. 3. Lời giải. B. −3. (1 + i)3i . 1−i C. 0. D. −1. (1 + i)3i 3(−1 + i) = = −3 ⇒ z̄ = −3 + 0i. Vậy phần ảo của z̄ bằng 0. 1−i 1−i Chọn đáp án C Ta có z =  Câu 498. Cho số phức z thỏa mãn |z − 1 − 2i| = 5 và M (x; y) là điểm biểu diễn của số phức z. Điểm M thuộc đường tròn có phương trình nào sau đây? A. (x + 1)2 + (y + 2)2 = 25. B. (x − 1)2 + (y − 2)2 = 25. C. (x + 1)2 + (y + 2)2 = 5. D. (x − 1)2 + (y − 2)2 = 5. Lời giải. Vì M (x; y) là điểm biểu diễn của số phức z nên z = x + yi. Ta có Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 143 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 |z − 1 − 2i| = 5 ⇔ |x − 1 + (y − 2)i| = 5 ⇔ (x − 1)2 + (y − 2)2 = 25.  Chọn đáp án B Câu 499. Cho số phức z có điểm biểu diễn là M (x; y) và thỏa mãn |z − 2 + 3i| = |z − 2 − 3i|. Biết √ |z − 1 − 2i| + |z − 7 + 4i| = 6 2, khi đó x thuộc khoảng A. (0; 2). B. (1; 3). C. (4; 8). D. (2; 4). Lời giải. Ta có |z − 2 + 3i| = |z − 2 − 3i| ⇔ |x − 2 + (y + 3)i| = |x − 2 + (y − 3)i| ⇔ (x − 2)2 + (y + 3)2 = (x − 2)2 + (y − 3)2 ⇔ y = 0. √ Mặt khác, gọi A(1; 2), B(7; −4) ⇒ AB = 6 2. Ta có √ |z − 1 − 2i| + |z − 7 + 4i| = M A + M B 6 AB = 6 2. Dấu “=” xảy ra khi M nằm trên đoạn AB. Khi đó, # » # » AM = k AB, với k ∈ [0; 1] ⇒  x = 3 ⇔ k = 1 . 0 − 2 = −6k 3 ( x − 1 = 6k  Chọn đáp án D 1 1 và z + . Biết z có z z 35 1 2 phần thực dương và diện tích hình bình hành bằng . Tìm giá trị nhỏ nhất của z + . 37 z 60 22 50 53 . B. . C. . D. . A. 20 37 9 27 Lời giải. 1 1 Gọi O, A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức 0, z, , z + . y z z A Khi đó, diện tích hình bình hành OACB là Câu 500. Trong mặt phẳng phức, xét hình bình hành tạo bởi các điểm 0, z, S = OA · OB sin α = |z| · Suy ra, cos α = ± 35 1 35 ⇔ sin α = . sin α = z 37 37 p 12 1 − sin2 α = ± . 37 C x O B Áp dụng định lý cô-sin trong tam giác OAC, ta có 1 z+ z 2 = OC 2 = OA2 + OB 2 − 2OA · OB cos α = |z|2 + 1 z 2 − 2 |z| 1 cos α > 2 − 2 cos α. z 12 12 1 2 50 Nếu cos α = thì z + >2−2· = . 37 z 37 37 12 1 2 12 98 Nếu cos α = − thì z + >2+2· = . 37 z 37 37 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 144 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 1 2 50 12 nhỏ nhất bằng Suy ra, z + khi |z| = 1 và cos α = . z 37 37 Chọn đáp án D  Câu 501. Tìm số phức z thỏa mãn |z − 3| = |z − 1| và (z + 2)(z − i) là số thực. A. z = 2. B. z = −2 + 2i. C. z = 2 − 2i. D. Không có z. Lời giải. Giả sử z = a + bi, khi đó ta có ( |z − 3| = |z − 1| Im[(z + 2)(z − i)] = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ( |z − 3|2 = |z − 1|2 Im[(z + 2)(z − i)] = 0 ( |(a + bi) − 3|2 = |a + bi − 1|2 Im[(a + bi + 2)(a + bi − i)] = 0 ( |(a + bi) − 3|2 = |a − 1 + bi|2 Im[(a + 2 + bi)(a − (b + 1)i)] = 0 ( (a − 3)2 + b2 = (a − 1)2 + b2 Im[((a + 2)a + b(b + 1)) − i((a + 2)(b + 1) − ab)] = 0 ( 2 ( a − 6a + 9 = a2 − 2a + 1 a=2 ⇔ ⇔ a + 2b + 2 = 0 b = −2. Vậy z = a + bi = 2 − 2i. Chọn đáp án C  Câu 502. Cho số phức z thỏa mãn z (1 + i) + 12i = 3. Tìm phần ảo của số z. 9 15 15 15 A. − . B. − . C. i. D. . 2 2 2 2 Lời giải. 3 − 12i 9 15 9 15 15 z= = − − i ⇒ z = − + i. Phần ảo của z là . 1+i 2 2 2 2 2 Chọn đáp án D  Câu 503. Trong tập các số phức, cho phương trình z 2 − 4z + (m − 2)2 = 0, m ∈ R (1). Gọi m0 là một giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn |z1 | = |z2 |. Hỏi trong đoạn [0; 2018] có bao nhiêu giá trị nguyên của m0 ? A. 2019. B. 2015. C. 2014. D. 2018. Lời giải. ∆0 = 4 − (m − 2)2 = 4m − m2 . Nếu ∆0 > 0 ⇔ 0 < m(< 4 thì phương trình (1) luôn có 2 nghiệm thực phân biệt z1 , z2 . z1 = z2 Khi đó |z1 | = |z2 | ⇔ (Điều này không xảy ra). z1 = −z2 ⇔ z1 + z2 = 0. ( m>4 Nếu ∆0 < 0 ⇔ thì phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phức phân biệt z1 , z2 . m<0 √ √ z1 = 2 + m2 − 4m.i và z2 = 2 − m2 − 4m.i √ ⇒ |z( 4 + m2 − 4m = |m − 2|. 1 | = |z2 | = m>4 Vậy thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn điều kiên bài toán. m<0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 145 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Kết hợp điều kiện suy ra 4 < m ≤ 2018, suy ra có 2014 số m0 nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án C Câu 504. Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi m ∈ S có đúng một số phức thỏa mãn z |z − m| = 4 và là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S. z−6 A. 0 . B. 12 . C. 6 . D. 14. Lời giải. Giả sử z = a + bi (a, b ∈ R) , z 6= 6. M (a; b) là điểm biểu diễn z. Khi đó ta có z a + bi (a + bi)(a − 6 − bi) a(a − 6) + b2 + i(b(a − 6) − ab) = = = . z−6 (a + bi) − 6 (a − 6 + bi)(a − 6 − bi) (a − 6)2 + b2 ( a (a − 6) + b2 = 0 (1) z là số thuần ảo thì ta phải có Để . z−6 (a − 6)2 + b2 6= 0 Suy ra điểm M thuộc đường tròn tâm I (3; 0), bán kính R = 3. Từ |z − m| = 4 ⇔ |(a + bi) − m| = 4 ⇔ (a − m)2 + b2 = 16 (2) suy ra điểm M thuộc đường tròn tâm I 0 (m; 0), bán kính R0 = 4. 0 0 Để có đúng 1 điểm M thỏa mãn thì 2 đường  tròn (I; R) và (I ; R ) phải có 1 điểm chung duy nhất  m = 10    ( 0 (  m = −4 II = R + R0 |m − 3| = 7 ⇔ . ⇔ ⇔  |m − 3| = 1 m=4 II 0 = |R − R0 |      m=2 Khi m = 10, m = 2 thì hai đường tròn tiếp xúc tại điểm(6; 0), do vậy các trường hợp này bị loại. Vậy tổng các phần tử của S là 4 − 4 = 0.  Chọn đáp án A Câu 505. Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z = −1 + 2i? A. N . B. P . C. M . y Q D. Q. 2 P N 1 −2 −1 O −1 x 2 M Lời giải. Vì z = −1 + 2i nên điểm biểu diễn của số phức z có tọa độ (−1; 2).  Chọn đáp án D Câu 506. Số phức liên hợp của số phức z = 1 − 2i là A. 1 + 2i. B. −1 − 2i. C. 2 − i. D. −1 + 2i. Lời giải. Số phức liên hợp của z = 1 − 2i là 1 + 2i. Chọn đáp án A  Câu 507. Tìm số phức liên hợp của số phức z = 4 − 3i. A. z = −4 − 3i. B. z = −4 + 3i. C. z = 4 + 3i. D. z = 3 + 4i. Lời giải. z = 4 − 3i ⇒ z = 4 + 3i.  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 146 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 508. Điểm nào trong các điểm dưới đây biểu diễn số phức z = −1 + i? A. Q(0; −1). C. N (1; −1). B. M (−1; 1). D. P (−1; 0). Lời giải. Điểm biểu diễn số phức z = −1 + i là M (−1; 1).  Chọn đáp án B Câu 509. Số phức z = −2i có phần thực và phần ảo lần lượt là A. −2 và 0. B. −2i và 0. C. 0 và −2. D. 0 và 2. Lời giải. Số phức z = −2i có phần thực bằng 0 và phần ảo bằng −2.  Chọn đáp án C Câu 510. Điểm biểu diễn số phức z = 1 − 2i trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là A. (1; −2). B. (−1; −2). C. (2; −1). D. (2; 1). Lời giải. Điểm biểu diễn số phức z = 1 − 2i trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là (1; −2).  Chọn đáp án A Câu 511. Cho số phức z = −4 + 5i. Điểm biểu diễn của z có tọa độ B. (−4; −5). A. (−4; 5). C. (4; −5). D. (4; 5). Lời giải. Điểm biểu diễn của số phức z = a + bi là M (a; b).  Chọn đáp án A Câu 512. Số phức liên hợp của số phức z = 3 + 2i là A. z = −3 + 2i. B. z = 2 − 3i. C. z = −3 − 2i. D. z = 3 − 2i. Lời giải. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = a − bi, ∀a, b ∈ R.  Chọn đáp án D Câu 513. Mô-đun số phức z = 4 − 3i bằng A. 7. B. 5. C. 1. D. 25. Lời giải. Ta có |z| = |4 − 3i| = p 42 + (−3)2 = 5.  Chọn đáp án B Câu 514. Tính mô-đun của số phức z = 3 + 4i. A. 3. Lời giải. |z| = |3 + 4i| = B. 5. C. 7. D. √ 7. √ 9 + 16 = 5.  Chọn đáp án B Câu 515. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 147 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức nào trong các số y M phức cho sau đây? A. 3 − 2i. B. −2 + 3i. C. 2 − 3i. D. 3 + 2i. −2 3 O x Lời giải. Điểm M (−2; 3) là điểm biểu diễn của số phức z = −2 + 3i.  Chọn đáp án B Câu 516. Phần thực và phần ảo của số phức z = 1 + 2i lần lượt là A. 2 và 1. B. 1 và 2i. C. 1 và 2. D. 1 và i. Lời giải. Số phức z = 1 + 2i có phần thực và phần ảo lần lượt là 1 và 2.  Chọn đáp án C Câu 517. Số phức liên hợp z của số phức z = 2 − 3i là A. z = 2 + 3i. B. z = 3 − 2i. D. z = −2 + 3i. C. z = 3 + 2i. Lời giải. Số phức liên hợp của số phức z = 2 − 3i là z = 2 + 3i.  Chọn đáp án A Câu 518. Số phức được biểu diễn bởi điểm M (2; −1) là A. 2 + i. C. 2 − i. B. 1 + 2i. D. −1 + 2i. Lời giải. Số phức có điểm biểu diễn bởi M (2; −1) trên mặt phẳng tọa độ là 2 − i.  Chọn đáp án C Câu 519. Số phức liên hợp của z = a + bi là A. z = −a + bi. B. z = b − ai. C. z = −a − bi. D. z = a − bi. Lời giải. Số phức liên hợp của z = a + bi là z = a − bi.  Chọn đáp án D Câu 520. Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn |z1 | = |z2 | = 1; |z1 + z2 | = A. 0. B. 2. C. 1. √ 3. Tính |z1 − z2 |. D. 3. Lời giải. Giả sử M, N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z1 , z2 . √ # » # » Theo bài ra ta có OM = ON = 1 và |OM + ON | = 3. # » # » # » # » # » # » Do đó 3 = |OM + ON |2 = OM 2 q + ON 2 + 2OM · ON ⇒ 2OM · ON = 3 − 1 − 1 = 1. Ä # » # » ä2 p # » # » # » # » Ta có |z1 − z2 | = |OM − ON | = OM − ON = OM 2 + ON 2 − 2OM · ON = 1.  Chọn đáp án C Câu 521. Phần ảo của số phức z = 3 − 4i bằng A. −4. B. −4i. C. 4. D. 4i. Lời giải. Phần ảo của số phức z = 3 − 4i bằng −4. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 148 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án A Câu 522. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Mô-đun của số phức z là một số âm. B. Mô-đun của số phức z là một số thực. √ C. Mô-đun của số phức z = a + bi là |z| = a2 + b2 . D. Mô-đun của số phức z là một số thực không âm. Lời giải. Ta có z = a + bi ( (với a, b ∈ R) ⇔ |z| = |z| ∈ R ⊂ C Do a, b ∈ R ⇒ |z| ≥ 0. √ a2 + b 2 .  Chọn đáp án A Câu 523. Cho số phức z = 5 − 4i. Số phức đối của z có tọa độ điểm biểu diễn là B. (5; −4). A. (−5; 4). C. (−5; −4). D. (5; 4). Lời giải. Ta có z = 5 − 4i ⇔ −z = −5 + 4i. Vậy tọa độ điểm biểu diễn của −z là (−5; 4).  Chọn đáp án A Câu 524. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức A. z = −2 + i. B. z = 1 − 2i. C. z = 2 + i. y D. z = 1 + 2i. M 1 −2 x O Lời giải. Ta có M (−2; 1) ⇒ z = −2 + i.  Chọn đáp án A Câu 525. Phần ảo của số phức z = 3 − 4i bằng A. −4. B. −4i. C. 4. D. 4i. Lời giải. Phần ảo của số phức z = 3 − 4i bằng −4. Nó là hệ số của i trong dạng đại số của số phức.  Chọn đáp án A Câu 526. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực y và phần ảo của số phức z. O 3 x A. Phần thực là −4 và phần ảo là 3. B. Phần thực là 3 và phần ảo là −4i. C. Phần thực là 3 và phần ảo là −4. D. Phần thực là −4 và phần ảo là 3i. −4 M Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 149 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có M (3; −4) nên điểm M là điểm biểu diễn số phức z = 3 − 4i. Vậy, số phức z có phần thực là 3 và phần ảo là −4.  Chọn đáp án C Câu 527. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực y và phần ảo của số phức z. 3 A. Phần thực là −4 và phần ảo là 3. x O B. Phần thực là 3 và phần ảo là −4i. C. Phần thực là 3 và phần ảo là −4. D. Phần thực là −4 và phần ảo là 3i. −4 M Lời giải. Điểm M trong hình vẽ biểu diễn cho số phức z = 3 − 4i. Vậy số phức z có phần thực là 3 và phần ảo là −4.  Chọn đáp án C Câu 528. Số phức liên hợp z của số phức z = 2 − 3i là A. z = 3 − 2i. Lời giải. B. z = 2 + 3i. C. z = 3 + 2i. D. z = −2 + 3i. Ta có z = 2 + 3i.  Chọn đáp án B Câu 529. Phần ảo của số phức z = 2 − 3i là A. −3i. B. 2. C. −3. D. 3. Lời giải. Phần ảo của số phức z = 2 − 3i là −3.  Chọn đáp án C Câu 530. Tìm số phức liên hợp của số phức z = (3 + i)(m − 2i), m ∈ R. B. z = (3m + 2) + (m − 6)i. A. z = −(3m + 2) + (m − 6)i. C. z = −(3m + 2) − (m − 6)i. D. z = (3m + 2) − (m − 6)i. Lời giải. Ta có z = (3+i)(m−2i) = (3m+2)+(m−6)i, do đó số phức liên hợp của z là z = (3m+2)−(m−6)i. Chọn đáp án D  Câu 531. Cho số phức z = −4 + 5i. Biểu diễn hình học của z là điểm có tọa độ A. (−4; 5). B. (−4; −5). C. (4; −5). D. (4; 5). Lời giải. Tọa độ biểu diễn số phức z = −4 + 5i là điểm M (−4; 5).  Chọn đáp án A Câu 532. Cho số phức z = 2 + 3i. Phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là A. 2 và 3. Lời giải. B. −2 và −3. C. 2 và −3i. D. 2 và −3. Ta có z = 2 + 3i ⇒ z = 2 − 3i. Vậy phần thực của z là 2 và phần ảo của z là −3.  Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 150 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 533. Điểm M trong hình vẽ là biểu diễn hình học của số phức nào dưới đây? A. z = 1 + 2i. B. z = 2 + i. C. z = −1 + 2i. y D. z = −1 − 2i. 2 x O −1 M Lời giải. Theo hình vẽ thì M (2; −1) nên điểm M biểu diễn cho số phức z = 2 − i.  Chọn đáp án A Câu 534. Số phức liên hợp của số phức z = 4 + 3i là A. z = −3 + 4i. B. z = 4 − 3i. C. z = 3 + 4i. D. z = 3 − 4i. Lời giải. Với z = a + bi, (a, b ∈ R) thì số phức liên hợp là z = a − bi.  Chọn đáp án B Câu 535. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực, y phần ảo của số phức z A. Phần thực là −2, phần ảo là i. C. Phần thực là 1, phần ảo là −2i. 1 x O B. Phần thực là 1, phần ảo là −2. D. Phần thực là −2, phần ảo là 1. −2 M Lời giải. Vì M (1; −2) nên z = 1 − 2i. Vậy phần thực của z là 1, phần ảo của z là −2.  Chọn đáp án B Câu 536. Cho số phức z thỏa mãn z = 3 + 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z. B. Phần thực bằng −3, phần ảo bằng 2. A. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2. C. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng −2. Lời giải. D. Phần thực bằng −3, phần ảo bằng −2. Ta có z = 3 − 2i, suy ra phần thực của z bằng 3, phần ảo của z bằng −2.  Chọn đáp án C Câu 537. Điểm M trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức z. Mệnh đề nào sau y 3 đây đúng? A. Số phức z có phần thực là 3 và phần ảo là −4. B. Số phức z có phần thực là 3 và phần ảo là −4i. x O C. Số phức z có phần thực là −4 và phần ảo là 3. D. Số phức z có phần thực là −4 và phần ảo là 3i. −4 M Lời giải. Số phức z có phần thực là 3 và phần ảo là −4.  Chọn đáp án A Câu 538. Điểm M biểu diễn số phức z = 3 + 2i trong mặt phẳng tọa độ phức là Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 151 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. M (2; 3). Chương 3-Giải tích 12 B. M (−3; −2). D. M (3; −2). C. M (3; 2). Lời giải. Số phức z = 3 + 2i có điểm biểu diễn là M (3; 2).  Chọn đáp án C Câu 539. Cho số phức z = −12 + 5i. Mô-đun của số phức z bằng A. 13. B. 119. D. −7. C. 17. Lời giải. |z| = » (−12)2 + 52 = 13.  Chọn đáp án A Câu 540. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần y thực và phần ảo của số phức z. O 3 x A. Phần thực là 3 và phần ảo là −4. B. Phần thực là −4 và phần ảo là 3i. C. Phần thực là −4 và phần ảo là 3. D. Phần thực là 3 và phần ảo là −4i. −4 M Lời giải. Theo hình vẽ ta thấy z = 3 − 4i nên phần thực là 3 và phần ảo là −4.  Chọn đáp án A Câu 541. Cho số phức z = 6 + 7i. Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là điểm nào sau đây? A. M (6; −7). C. P (−6; −7). B. N (−6; 7). D. Q(6; 7). Lời giải. Số phức liên hợp của z là z = 6 − 7i nên được biểu diễn bởi M (6; −7).  Chọn đáp án A Câu 542. Biết M (1; −2) là điểm biểu diễn số phức z, số phức z bằng A. 2 + i. C. 2 − i. B. 1 + 2i. D. 1 − 2i. Lời giải. Vì M (1; −2) là điểm biểu diễn của số phức z nên z = 1 − 2i. Từ đó suy ra z = 1 + 2i.  Chọn đáp án B Câu 543. Cho số phức z có điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm M (3; −5). Xác định số phức liên hợp z của z. A. z = −5 + 3i. B. z = 5 + 3i. C. z = 3 + 5i. D. z = 3 − 5i. Lời giải. Vì số phức z có điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm M (3; −5) nên z = 3 − 5i. Do đó số phức liên hợp của số phức z là z = 3 + 5i.  Chọn đáp án C Câu 544. Có bao nhiêu số phức z có phần thực bằng 2 và |z + 1 − 2i| = 3? Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 152 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. 3. Chương 3-Giải tích 12 B. 0. C. 2. D. 1. Lời giải. Gọi số phức z có phần thực bằng 2 là z = 2 + bi với b ∈ R. Do |z + 1 − 2i| = 3 ⇔ 9 + (b − 2)2 = 9 ⇔ (b − 2)2 = 0 ⇔ b = 2. Vậy z = 2 + 2i. Chọn đáp án D  Câu 545. Cho số phức z = 2 − 3i. Số phức liên hợp của số phức z là A. z̄ = 3 − 2i. C. z̄ = −2 − 3i. B. z̄ = 3 + 2i. D. z̄ = 2 + 3i. Lời giải. Số phức liên hợp của số phức z = 2 − 3i là z̄ = 2 + 3i.  Chọn đáp án D Câu 546. Tìm hai số thực x, y thỏa mãn (3x + 2yi) + (3 − i) = 4x − 3i, với i là đơn vị ảo. 2 A. x = 3, y = −1. B. x = , y = −1. C. x = 3, y = −3. D. x = −3, y = −1. 3 Lời giải. ( ( 3x + 3 = 4x x=3 Ta có (3x + 2yi) + (3 − i) = 4x − 3i ⇔ ⇔ 2y − 1 = −3 y = −1.  Chọn đáp án A Câu 547. Trong mặt phẳng phức, điểm biểu diễn số phức z = 3 − 2i là A. M (3; −2). Lời giải. B. N (2; −3). C. P (−2; 3). D. Q (−3; 2). Số phức z = 3 − 2i có phần thực và phần ảo lần lượt là 3 và −2 nên z có điểm biểu diễn là M (3; −2).  Chọn đáp án A Câu 548. Điểm biểu thị số phức z = 3 − 2i là A. M (3; −2). Lời giải. B. N (−2; 3). C. P (2; 3). D. Q(3; 2). Điểm biểu thị số phức z = 3 − 2i là điểm M (3; −2).  Chọn đáp án A Câu 549. Tìm số phức liên hợp của số phức z = 1 − 2i. A. z = 1 + 2i. B. z = 2 − i. C. z = −1 + 2i. D. z = −1 − 2i. Lời giải. Số phức liên hợp của số phức z = 1 − 2i là z = 1 + 2i.  Chọn đáp án A Câu 550. Tìm các số thực x, y thỏa mãn (3x − 2) + (2y + 1)i = (x + 1) − (y − 5)i, với i là đơn vị ảo. 3 A. x = , y = −2. 2 Lời giải. Ta có 3 4 B. x = − , y = − . 2 3 4 C. x = 1, y = . 3 (3x − 2) + (2y + 1)i = (x + 1) − (y − 5)i ⇔ 3 4 Vậy x = , y = . 2 3 Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 3 4 D. x = , y = . 2 3  3  x = 2 ⇔ 4  2y + 1 = −(y − 5) y = . 3 ( 3x − 2 = x + 1  153 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 551. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau. √ A. Số phức z = a + bi có mô-đun là a2 + b2 . B. Số phức z = a + bi có số đối z 0 = a − bi. ( a=0 C. Số phức z = a + bi = 0 khi và chỉ khi . b=0 D. Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M (a; b) trong mặt phẳng phức Oxy. Lời giải. Số phức z = a + bi có số đối z 0 = −a − bi.  Chọn đáp án B Câu 552. Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn của số phức z = 3 − 4i? A. M (3; 4). C. M (3; −4). B. M (−3; 4). D. M (−3; −4). Lời giải. Điểm biểu diễn của số phức z = 3 − 4i là điểm có tọa độ (3; −4).  Chọn đáp án C Câu 553. Tìm các số thực x, y thỏa mãn 3x + y + 5xi = 2y − 1 + (x − y)i với i là đơn vị ảo. 4 2 4 1 4 1 4 1 B. x = − ; y = . C. x = − ; y = . D. x = − ; y = − . A. x = ; y = . 7 7 7 7 7 7 7 7 Lời giải. Ta có đẳng thức đã cho tương đương với ( 3x + y = 2y − 1 5x = x − y ⇔ ( 3x − y = −1 4x + y = 0  1  x = − 7 ⇔ 4  y = . 7  Chọn đáp án C Câu 554. Gọi M và M 0 lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z và z. Xác định mệnh đề đúng. A. M và M 0 đối xứng với nhau qua trục hoành. B. M và M 0 đối xứng với nhau qua trục tung. C. M và M 0 đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. D. Ba điểm O, M, M 0 thẳng hàng. Lời giải. y Viết z = a + bi ⇒ z = a − bi, với a, b ∈ R. Suy ra các điểm biểu diễn cho các số phức z và z lần lượt là M (a; b) và M 0 (a; −b). Vậy M và M 0 đối xứng với nhau qua trục hoành. M b x O −b a M0  Chọn đáp án A Câu 555. Trong hình vẽ bên, điểm P biển diễn số phức z1 , điểm Q biểu diễn số phức z2 . Tìm số phức z = z1 + z2 ? Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 154 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. 1 + 3i. B. −3 + i. Chương 3-Giải tích 12 C. −1 + 2i. D. 2 + i. y P 2 Q 1 −1 O x 2 Lời giải. Nhìn vào hình vẽ trên ta thấy z1 = −1 + 2i, z2 = 2 + i. Khi đó z1 + z2 = 1 + 3i.  Chọn đáp án A Câu 556. Số phức liên hợp của số phức z = 2 + i là A. z = 2 − i. C. z = −2 + i. B. z = 2 + i. D. z = −2 − i. Lời giải. Số phức z = x + yi (với x, y ∈ R) thì số phức liên hợp của z là z = x − yi. Do đó số phức liên hợp của 2 + i là 2 − i.  Chọn đáp án A Câu 557. Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn cho hai số phức z1 = 1 + i và z2 = 1 − 3i. Gọi M là trung điểm của AB. Khi đó M biểu diễn cho số phức nào sau đây? A. −i. B. 2 − 2i. D. 1 − i. C. 1 + i. Lời giải. Ta có A(1; 1), B(1; −3) ⇒ tọa độ của M là M (1; −1) ⇒ M biểu diễn cho z = 1 − i.  Chọn đáp án D Câu 558. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. |z| là một số không âm. B. |z| là một số thực. C. |z| là một số phức. D. |z| là một số thực dương. Lời giải. Với z = 0 + 0 có |z| = 0.  Chọn đáp án D Câu 559. Cho số phức z có biểu diễn hình học là điểm M ở hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. z = −3 − 2i. B. z = 3 + 2i. C. z = 3 − 2i. y 3 x O D. z = −3 + 2i. −2 M Lời giải. Từ hình vẽ ta có z = 3 − 2i nên suy ra z = 3 + 2i.  Chọn đáp án B Câu 560. Cho số phức z = −3 + 4i. Mô-đun của z là A. |z| = 7. B. |z| = 4. C. |z| = 5. D. |z| = 3. Lời giải. Ta có mô-đun của z là |z| = p (−3)2 + 42 = 5.  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 155 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 561. Cho số phức z = −1 + 2i. Số phức z được biểu diễn bởi điểm nào dưới đây trên mặt phẳng tọa độ? A. Q(−1; −2). C. N (1; −2). B. P (1; 2). D. M (−1; 2). Lời giải. Ta có z = −1 − 2i, nên điểm biểu diễn cho số phức z là Q(−1; −2).  Chọn đáp án A Câu 562. Số phức nào sau đây có điểm biểu diễn là M (1; −2)? A. 1 + 2i. B. 1 − 2i. C. −2 + i. D. −1 − 2i. Lời giải. Số phức z = 1 − 2i có điểm biểu diễn là M (1; −2).  Chọn đáp án B Câu 563. Phần thực và phần ảo của số phức z = 1 + 2i lần lượt là A. 1 và 2. B. 1 và i. C. 1 và 2i. D. 2 và 1. Lời giải. Phần thực và phần ảo của số phức z = 1 + 2i lần lượt là 1 và 2.  Chọn đáp án A Câu 564. Cho số phức z = 10 − 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z. A. Phần thực bằng 10 và phần ảo bằng 2. B. Phần thực bằng 10 và phần ảo bằng 2i. C. Phần thực bằng −10 và phần ảo bằng −2i. D. Phần thực bằng −10 và phần ảo bằng −2. Lời giải. z = 10 + 2i nên z̄ có phần thực bằng 10 và phần ảo bằng 2. Chọn đáp án A  Câu 565. Trong mặt phẳng Oxy, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 = −3i, z2 = 2 − 2i, z3 = −5 − i. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó điểm G biểu diễn số phức A. z = 2 − i. B. z = 1 − 2i. C. z = −1 − 2i. D. z = −1 − i. Lời giải. Ta có: A(0; −3); B(2; −2); C(−5; −1). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ⇒ G(−1; −2). Điểm G biểu diển số phức z = −1 − 2i.  Chọn đáp án C Câu 566. Tọa độ điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức z = 2 + 5i là A. (2; −5). C. (−2; −5). B. (2; 5). D. (−2; 5). Lời giải. Ta có z = 2 − 5i ⇒ M (2; −5) là điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức z.  Chọn đáp án A Câu 567. Giả sử a, b, là hai số thực thỏa mãn 2a + (b − 3)i = 4 − 5i với i là đơn vị ảo. Gía trị của a, b, bằng A. a = 1, b = 8. C. a = 2, b = −2. B. a = 8, b = 8. D. a = −2, b = 2. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 156 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ta có ( 2a = 4 b − 3 = −5 ⇔ ( a=2 b = −2 Chương 3-Giải tích 12 .  Chọn đáp án C Câu 568. Số phức z = 5 − 8i có phần ảo là B. −8. A. 5. D. −8i. C. 8. Lời giải. Số phức z = 5 − 8i có phần ảo là −8.  Chọn đáp án B Câu 569. Tìm phần ảo của số phức z = 3 − 4i. A. −4. B. 4. D. −3. C. 3. Lời giải. Phần ảo của số phức z = 3 − 4i là −4.  Chọn đáp án A Câu 570. Số phức z thỏa mãn z = 5 − 8i có phần ảo là A. −8. B. 8. D. −8i. C. 5. Lời giải. Số phức z = 5 − 8i có phần thực là 5 và phần ảo là −8.  Chọn đáp án A Câu 571. Trong các số phức z1 = −2i, z2 = 2 − i, z3 = 5i, z4 = 4 có bao nhiêu số thuần ảo? A. 4. B. 1. C. 3. D. 2. Lời giải. Số thuần ảo là số có dạng z = bi (b ∈ R). Vậy trong các số phức đã cho có hai số thuần ảo là z1 = −2i, z3 = 5i.  Chọn đáp án D Câu 572. Số phức z có điểm biểu diễn A như hình vẽ. Phần ảo của số phức A. 5 i. 4 B. 1 i. 4 C. 5 . 4 D. 1 . 4 z bằng z−i y M 3 x O 2 Lời giải. z 2 + 3i 5 1 Vì điểm A = (2; 3) nên z = 2 + 3i. Do đó = = + i. z−i 2 + 2i 4 4 1 z Vậy phần ảo của số phức bằng . z−i 4 Chọn đáp án D √ Câu 573. Mô-đun của số phức w = 2 − 5i là √ √ A. |w| = 29. B. |w| = 1. C. |w| = 7. Lời giải. Ta có |w| =  D. |w| = 3. » √ √ 22 + (− 5)2 = 9 = 3.  Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 157 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 574. Số phức liên hợp của số phức z = 2 − 3i là A. z = 3 + 2i. B. z = 3 − 2i. D. z = −2 + 3i. C. z = 2 + 3i. Lời giải. Số phức liên hợp của số phức z = 2 − 3i là z = 2 + 3i.  Chọn đáp án C Câu 575. Trong mặt phẳng Oxy, điểm nào sau đây biểu diễn số phức z = 2 + i? A. M (2; 0). C. N (2; −1). B. N (2; 1). D. N (1; 2). Lời giải. Trong mặt phẳng Oxy, điểm biểu diễn số phức z = 2 + i là N (2; 1).  Chọn đáp án B Câu 576. Điểm M trong hình vẽ bên biểu thị cho số phức nào dưới đây? A. 3 + 2i. B. 2 − 3i. C. −2 + 3i. D. 3 − 2i. y M −2 3 x O Lời giải. Điểm M (−2; 3) biểu diễn cho số phức z = −2 + 3i.  Chọn đáp án C Câu 577. Biết rằng có duy nhất một cặp số thực (x; y) thỏa mãn (x + y) + (x − y)i = 5 + 3i. Tính giá trị của S = x + 2y. A. S = 4. B. S = 6. C. S = 5. D. S = 3. Lời giải. Ta có (x + y) + (x − y)i = 5 + 3i ⇔ ( x+y =5 x−y =3 ⇔ ( x=4 y = 1. Do đó S = x + 2y = 4 + 2 · 1 = 6.  Chọn đáp án B Câu 578. Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = 2 − 3i là A. (2; 3). B. (2; −3). C. (−3; 2). D. (3; 2). Lời giải. Ta có điểm A(2; −3) là điểm biểu diễn của số phức z = 2 − 3i.  Chọn đáp án B Câu 579. Điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức z = 2 − 3i là A. M (2; −3). B. M (2; 3). C. M (−2; 3). D. M (−2; −3). Lời giải. Số phức liên hợp của z = 2 − 3i là z = 2 + 3i. Vậy điểm biểu diễn số phức z là M (2; 3).  Chọn đáp án B Câu 580. Mô-đun của số phức z = 4 − 3i bằng A. 7. B. 25. C. 5. D. 1. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 158 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ta có |z| = Chương 3-Giải tích 12 p 42 + (−3)2 = 5.  Chọn đáp án C Câu 581. Phần ảo của số phức z = −1 + i là A. 1. B. −1. D. −i. C. i. Lời giải. Số phức z = −1 + i viết lại là z = −1 + 1 · i nên có phần ảo là 1.  Chọn đáp án A Câu 582. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 1 ≤ |z| ≤ 2 là một hình phẳng có diện tích bằng A. π. Lời giải. B. 2π. C. 4π. D. 3π. Đặt z = x + yi với x, y là các số thực. Theo giả thiết, ta có p 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 2 ⇔ 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4. Gọi (C1 ), (C2 ) lần lượt là đường tròn có phương trình x2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = 4. Khi đó, (C1 ), (C2 ) có tâm O(0; 0), bán kính lần lượt là R1 = 1 và R2 = 2. Hình phẳng cần tìm chính là vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn (C1 ) và (C2 ). Gọi S là diện tích vành khăn, suy ra S = πR22 − πR12 = 4π − π = 3π.  Chọn đáp án D Câu 583. Cho số phức z = 3 − 5i. Phần ảo của z là A. 5. C. −5. B. 3. D. −5i. Lời giải. Do z = 2 − 5i nên có phần ảo bằng −5.  Chọn đáp án C Câu 584. Trên mặt phẳng tọa độ, số phức z = 3 − 4i được biểu diễn bởi điểm nào trong các điểm A, B, C, D? A. Điểm D. B. Điểm B. y 4 B C. Điểm A. A 3 D. Điểm C. −4 3 O C x −3 −4 D Lời giải. Ta có z = 3 − 4i nên điểm biểu diễn số phức z là D(3; −4).  Chọn đáp án A Câu 585. Số phức z = 2 − 3i có điểm biểu diễn là A. N (−3; 2). C. M (2; −3). B. P (3; 2). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 159 D. Q(2; 3). https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Số phức z = 2 − 3i có điểm biểu diễn là M (2; −3).  Chọn đáp án C Câu 586. Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z = 1 + 3i? A. Q. B. P . C. M . y 3 D. N . M P 1 N −3 O 1 3 x −3 Q Lời giải. Điểm M (1; 3) là điểm biểu diễn của số phức z = 1 + 3i.  Chọn đáp án C Câu 587. Cho số phức z = m+3+(m2 −1)i, với m là tham số thực thay đổi. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thuộc đường cong (C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. 4 1 2 8 B. . C. . D. . A. . 3 3 3 3 Lời giải. Điểm M (m + 3; m2 − 1) là điểm biểu diễn số phức z = m + 3 + (m2 − 1)i. Đặt x = m + 3; y = m2 − 1, ta có y = (x − 3)2 − 1 = x2 − 6x + 8. Suy ra điểm M thuộc đường (C) : y = x2 − 6x + 8. Hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là nghiệm của phương trình " x2 − 6x + 8 = 0 ⇔ x=2 x = 4. Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành là Z4 S= 4 |x2 − 6x + 8| dx = . 3 2  Chọn đáp án B Câu 588. Cho số phức z = 2 − 3i. Điểm biểu diễn số phức liên hợp của z là A. (2; −3). C. (−2; −3). B. (2; 3). D. (−2; 3). Lời giải. Ta có z = 2 − 3i ⇒ z = 2 + 3i ⇒ M (2; 3) là điểm biểu diễn số phức liên hợp của z.  Chọn đáp án B Câu 589. Mô-đun của số phức z = 5 − 2i bằng √ A. 29. B. 3. Lời giải. Ta có |z| = |5 − 2i| = C. 7. D. 29. p √ 52 + (−2)2 = 29.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 160 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 590. Số phức z = 5 − 7i có số phức liên hợp là A. z = 5 + 7i. B. z = −5 + 7i. C. z = 7 − 5i. D. z = −5 − 7i. Lời giải. Số phức z = a + bi có số phức liên hợp là z = a − bi.  Chọn đáp án A Câu 591. Nếu điểm M (x; y) là điểm biểu diễn hình học của số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy thoả mãn OM = 4 thì 1 A. |z| = . B. |z| = 4. C. |z| = 16. D. |z| = 2. 4 Lời giải. p Theo bài ra OM = 4 ⇒ x2 + y 2 = 4 ⇒ |z| = 4.  Chọn đáp án B Câu 592. Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M như hình bên? A. 1 − 2i. B. i + 2. C. i − 2. y D. 1 + 2i. 1 x O −2 M Lời giải. Vì M (1; −2) nên M là điểm biểu diễn của số phức z = 1 − 2i.  Chọn đáp án A Câu 593. Tìm các số thực a, b thỏa mãn (a − 2b) + (a + b + 4)i = (2a + b) + 2bi với i là đơn vị ảo. A. a = −3, b = 1. B. a = 3, b = −1. C. a = −3, b = −1. D. a = 3, b = 1. Lời giải. Ta có (a − 2b) + (a + b + 4) i = (2a + b) + 2bi ⇔ ( a − 2b = 2a + b a + b + 4 = 2b ⇔ ( a + 3b = 0 a − b = −4 ⇔ ( a = −3 b = 1.  Chọn đáp án A Câu 594. Gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức 1 + 2i, 1 + √ 3 + i,1 + √ 3 − i, 1 − 2i trên mặt phẳng tọa độ. Biết tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn, tâm của đường tròn đó biểu diễn số phức có phần thực là √ A. 3. B. 2. C. √ 2. D. 1. Lời giải. Ä Ä ä √ ä √ Ta có A (1; 2), B 1 + 3; 1 , C 1 + 3; −1 , D (1; −2). ä # » Ä √ ä # » Ä √ # » # » Khi đó BA = − 3; 1 , BD = − 3; −3 suy ra BA · BD = 0 ⇒ 4ABD vuông tại B. ä # » Ä √ ä # » Ä √ # » # » CA = − 3; 3 , CD = − 3; −1 suy ra CA · CD = 0 ⇒ 4ACD vuông tại C. Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD là trung điểm đoạn AD có tọa độ I (1; 0).  Chọn đáp án D Câu 595. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M, N theo thứ tự là các điểm biểu diễn cho số phức z và z (với z 6= 0). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. M và N đối xứng nhau qua trục Ox. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 161 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 B. M và N đối xứng nhau qua trục Oy. C. M và N đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. D. M và N đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ . Lời giải. Gọi M (a; b) là điểm biểu diễn của số phức z. y Ta được N (a; −b) là điểm biểu diễn của số phức z. b Ta thấy M và N đối xứng nhau qua trục Ox. M x O a −b N  Chọn đáp án A Câu 596. Phần ảo của số phức z = 5 + 2i bằng A. 5. B. 2i. C. 2. D. 5i. Lời giải. Số phức z = 2i + 5 có phần thực bằng 5, phần ảo bằng 2.  Chọn đáp án C Câu 597. Điểm nào trong hình vẽ dưới đây biểu diễn số phức liên hợp của số phức z = 2 − 3i? A. M . B. P . y N 3 P 2 C. N . −2 D. Q. 0 2 3 −3 Q x M Lời giải. Ta có z = 2 + 3i ⇒ điểm biểu diễn của z là (2; 3).  Chọn đáp án C Câu 598. Cho số phức z = a + bi với a, b ∈ R. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Số phức z có phần thực là a, phần ảo là bi. C. Số phức liên hợp của z là z = a − bi. B. Số phức z có mô-đun là D. z = 0 ⇔ a = b = 0. √ a2 + b 2 . Lời giải. Số phức z = a + bi thì phần thực là a, phần ảo là b.  Chọn đáp án A Câu 599. Điểm M (−1; 3) là điểm biểu diễn của số phức A. z = −1 + 3i. C. z = 1 − 3i. B. z = 2. D. z = 2i. Lời giải. Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M (a; b). Do đó điểm M (−1; 3) biểu diễn cho số phức z = −1 + 3i.  Chọn đáp án A Câu 600. Phần ảo của số phức liên hợp của z = 4i − 7 là A. −4. B. −7. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 7. 162 D. 4. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Ta có z = −7 − 4i. Vậy phần ảo của z là −4.  Chọn đáp án A Câu 601. Mô-đun của số phức z = −4 + 3i là A. −1. Lời giải. Ta có |z| = B. 1. √ C. 5. D. 25. 42 + 32 = 5.  Chọn đáp án C Câu 602. Cho số phức z thoả mãn |z + 2 − i| = 3. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ Oxy biểu diễn số phức ω = 1 + z là A. đường tròn tâm I(−2; 1) bán kính R = 3. C. đường tròn tâm I(−1; −1) bán kính R = 9. B. đường tròn tâm I(2; −1) bán kính R = 3. D. đường tròn tâm I(−1; −1) bán kính R = 3. Lời giải. Gọi ω = x + yi (x, y ∈ R). + Ta có ω = 1 + z ⇔ x + yi = 1 + z ⇔ z = x − 1 + yi ⇒ z = x − 1 − yi. p + |z + 2 − i| = 3 ⇔ |x − 1 − yi + 2 − i| = 3 ⇔ (x + 1)2 + (y + 1)2 = 3 ⇔ (x + 1)2 + (y + 1)2 = 9. Vậy tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ Oxy biểu diễn số phức ω = 1 + z là đường tròn tâm I(−1; −1) bán kính R = 3.  Chọn đáp án D Câu 603. Tìm số phức liên hợp của số phức z = 1 + 3i. A. z = −1 + 3i. B. z = 1 − 3i. C. z = 3 − i. D. z = −1 − 3i. Lời giải. Ta có z = 1 − 3i.  Chọn đáp án B Câu 604. Mô-đun của số phức z = bi, b ∈ R là A. b. B. b2 . C. |b|. D. √ b. Lời giải. Ta có |z| = |bi| = |b| · |i| = |b|.  Chọn đáp án C Câu 605. Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z = 3 + 4i? A. Điểm D. B. Điểm C. C. Điểm A. B D. Điểm B. −4 y 4 A 3 C x 3 O −3 −4 D Lời giải. Số phức z = 3 + 4i có điểm biểu diễn là A(3; 4).  Chọn đáp án C Câu 606. Điểm M biểu diễn số phức z = 2 − i trên mặt phẳng tọa độ Oxy là A. M = (1; −2). B. M = (2; −1). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. M = (−2; 1). 163 D. M = (2; 1). https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Số phức z = 2 − i có điểm biểu diễn là M = (2; −1).  Chọn đáp án B Câu 607. Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z = −2 + i A. N . B. P . C. M . y D. Q. Q 2 P N 1 −2 −1 x 2 −1 M Lời giải. Số phức z = −2 + i có phần thực −2, phần ảo 1 nên có điểm biểu diễn tọa độ (−2; 1) chính là P .  Chọn đáp án B Câu 608. Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z. Số phức z là A. 2 − i. B. 2 + i. y 2 D. 1 − 2i. C. 1 + 2i. x O −1 M Lời giải. Từ hình vẽ suy ra tọa độ điểm M là M (2; −1) nên z = 2 − i. Vậy z = 2 + i.  Chọn đáp án B Câu 609. Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z = 2+i? A. D. B. B. C. C. y 2 D. A. B 1 A D O −2 −1 1 −1 x 2 C Lời giải. Điểm biểu diễn số phức z = a + bi là I(a; b). Vậy đáp án đúng là D(2; 1).  Chọn đáp án A Câu 610. Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn của số phức z = −3 + 4i? A. M (3; 4). C. M (3; −4). B. M (−3; 4). D. M (−3; −4). Lời giải. Điểm biểu diễn của số phức z = −3 + 4i là điểm có tọa độ (−3; 4).  Chọn đáp án B Câu 611. Số phức −3 + 7i có phần ảo bằng A. 3. B. −7. C. −3. D. 7. Lời giải. Số phức −3 + 7i có phần ảo bằng 7. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 164 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án D Câu 612. Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là B. 4 − 3i. A. 3 + 4i. C. 3 − 4i. D. 4 + 3i. Lời giải. Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là z = 3 + 4i.  Chọn đáp án A Câu 613. Số phức 5 + 6i có phần thực bằng A. −5. C. −6. B. 5. D. 6. Lời giải. Số phức 5 + 6i có phần thực bằng 5.  Chọn đáp án B Câu 614. Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là A. −1 − 3i. B. 1 − 3i. C. −1 + 3i. D. 1 + 3i. Lời giải. Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là 1 + 3i. Chọn đáp án D  Câu 615. Tìm các số thực x, y thỏa mãn (2x + 5y) + (4x + 3y)i = 5 + 2i. 5 8 8 5 A. x = và y = − . B. x = và y = − . 14 7 7 14 5 8 5 8 C. x = − và y = . D. x = − và y = − . 14 7 14 7 Lời giải.  5 (  x = − 2x + 5y = 5 14 Ta có (2x + 5y) + (4x + 3y)i = 5 + 2i ⇔ ⇔ 8  4x + 3y = 2 y = . 7 Chọn đáp án C  Câu 616. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây? A. z = −2 + 3i. B. z = 3 + 2i. C. z = 2 − 3i. D. z = 3 − 2i. y 2 1 −1 O 1 2 3 4 x −1 −2 M Lời giải. Vì điểm M (3; −2) nên nó là điểm biểu diễn của số phức z = 3 − 2i.  Chọn đáp án D √ Câu 617. Tìm phần thực a và phần ảo b của số phức z = 5 − 2i. √ √ √ A. a = −2, b = 5. B. a = 5, b = 2. C. a = 5, b = −2. Lời giải. Số phức z = √ 5 − 2i có phần thực a = √ √ 5, b = −2i. 5 và phần ảo b = −2.  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em D. a = 165 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 618. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn √ |z| = 7. 7 A. Đường tròn tâm O(0; 0), bán kính R = . B. Đường tròn tâm O(0; 0), bán kính R = 7. 2 √ C. Đường tròn tâm O(0; 0), bán kính R = 49. D. Đường tròn tâm O(0; 0), bán kính R = 7. Lời giải. Gọi M (x; y) là tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z = x + yi x, y ∈ R. √ Theo giả thiết |z| = 7 ⇔ x2 + y 2 = 7. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm O(0; 0), bán kính R = Chọn đáp án D √ 7.  Câu 619. Số phức liên hợp của số phức z = 2 − 3i là A. z = −2 − 3i. B. z = −2 + 3i. C. z = 3 − 2i. D. z = 2 + 3i. Lời giải. Ta có z = 2 + 3i.  Chọn đáp án D Câu 620. Điểm M trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn của số phức z. Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức z. A. −1. B. 3i. C. 3. y 3 D. 2 + i. 2 M 1 x −1 O −1 1 2 3 4 Lời giải. Dựa vào hình vẽ ta có tọa độ của M là (2; 1). Do đó, số phức z = 2 + i. Vậy tổng phần thực và phần ảo là 2 + 1 = 3.  Chọn đáp án C Câu 621. Điểm M trong hình vẽ dưới đây biểu thị cho số phức z. Chọn khẳng định đúng. y 3 M −2 A. z = −2 + 3i. O B. z = 3 − 2i. x C. z = −2 − 3i. D. z = 3 + 2i. Lời giải. z = −2 + 3i ⇒ z = −2 − 3i.  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 166 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 622. Điểm M trong hình vẽ bên biểu diễn cho số phức A. z = 3 − 4i. y 3 B. z = −4 − 3i. D. z = −4 + 3i. C. z = 3 + 4i. x O M -4 Lời giải. Điểm M (3; −4) biểu diễn cho số phức z = 3 − 4i.  Chọn đáp án A Câu 623. Cho số phức z = 6 + 7i. Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là A. (6; 7). B. (6; −7). D. (−6; −7). C. (−6; 7). Lời giải. Số phức liên hợp của z = 6 + 7i là z = 6 − 7i. Điểm biểu diễn của z có tọa độ là (6; −7).  Chọn đáp án B Câu 624. Cho 4 điểm A, B, C, D trên hình vẽ biểu diễn 4 số phức khác nhau. Chọn mệnh đề sai. y 1 A A. B là điểm biểu diễn số phức z = 1 − 2i. −1 B. D là điểm biểu diễn số phức z = −1 − 2i. −2 C. C là điểm biểu diễn số phức z = −1 − 2i. D. A là điểm biểu diễn số phức z = −2 + i. D 1 x O −1 C B −2 Lời giải. D là điểm biểu diễn số phức z = −2 − i.  Chọn đáp án B Câu 625. Cho số phức z = −1 − 4i. Tìm phần thực của số phức z. A. −4. B. −1. C. 1. D. 4. Lời giải. Ta có z = −1 + 4i ⇒ Phần thực của số phức z là −1.  Chọn đáp án B Câu 626. y Trong mặt phẳng tọa độ, đường tròn tô đậm như hình vẽ bên là tập hợp điểm biểu diễn số phức z. Hỏi số phức z thỏa mãn đẳng thức nào sau đây ? 2 O A. |z − 2 − 2i| = 2. B. |z − 2| = 2. C. |z − 1 − 2i| = 2. 2 x D. |z − 2i| = 2. Lời giải. z thuộc đường tròn tâm I(2; 2) bán kính 2. Do đó |z − 2 − 2i| = 2.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 167 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 627. Cho số phức z thỏa |z − 1| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = √ (1 + i 3)z + 2 là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r = 9. B. r = 16. C. r = 25. D. r = 4. Lời giải. √ √ w − 3 − i 3 = (1 + i 3)(z − 1). √ √ Suy ra |w − 3 − i 3| = |(1 + i 3)(z − 1)| = 4. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn bán kính 4.  Chọn đáp án D Câu 628. Cho số phức z = 1 + 2i. Mô-đun của z là √ A. 3. B. 5. C. 5. D. 4. Lời giải. √ √ |z| = 12 + 22 = 5.  Chọn đáp án B Câu 629. Cho các số phức z, z 0 có biểu diễn hình học lần lượt là các điểm M , M 0 trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Nếu OM = 2OM 0 thì A. |z| = 2|z 0 |. B. z 0 = 2z. C. z = 2z 0 . D. |z 0 | = 2|z|. Lời giải. Ta có |z| = OM , |z 0 | = OM 0 . Do đó, nếu OM = 2OM 0 thì |z| = 2|z 0 |.  Chọn đáp án A Câu 630. Cho số phức z = −2 − 5i. Nếu z và z 0 là hai số phức liên hợp của nhau thì p A. z 0 = (−2)2 + 52 . B. z 0 = 2 − 5i. C. z 0 = 2 + 5i. D. z 0 = −2 + 5i. Lời giải. z 0 là số phức liên hợp của z = −2 − 5i thì z 0 = −2 + 5i.  Chọn đáp án D Câu 631. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M có tọa độ như hình bên. Xác y định số phức z có điểm biểu diễn là điểm M . A. z = 3 + 2i. 3 B. z = −2 + 3i. C. z = 2 + 3i. D. z = 3 − 2i. x O −2 M Lời giải. Số phức z có điểm biểu diễn là điểm M (3; −2) ⇒ z = 3 − 2i.  Chọn đáp án D Câu 632. Cho số phức z = 4 − 3i. Tìm mô-đun của số phức z. √ A. |z| = 5. B. |z| = 25. C. |z| = 7. D. |z| = 1. Lời giải. Ta có |z| = p 42 + (−3)2 = 5.  Chọn đáp án A Câu 633. Cho số phức z = 1 − 2i. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Phần thực của số phức z là 1. B. Phần ảo của số phức z là −2i. C. Phần ảo của số phức z là 2. D. Số phức z là số thuần ảo. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 168 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Số phức z = 1 − 2i có phần thực là 1, phần ảo là −2 và không phải là số thuần ảo.  Chọn đáp án A Câu 634. Điểm M trong hình vẽ bên là biểu diễn số phức A. z = 2 + 3i. B. z = 3 − 2i. C. z = 2 − 3i. D. z = 3 + 2i. y 3 M x 2 O Lời giải. Số phức z = a + bi có điểm biểu diễn là M (a; b).  Chọn đáp án A Câu 635. Điểm nào trong các điểm sau đây là điểm biểu diễn hình học của số phức z = −5 + 4i trong mặt phẳng tọa độ Oxy. A. C(5; −4). B. B(4; −5). C. A(−5; 4). D. D(4; 5). Lời giải. Điểm biểu diễn hình học của số phúc z = a + bi với a, b ∈ R là M (a; b). Vậy điểm biểu diễn hình học của số phức z = −5 + 4i là A(−5; 4).  Chọn đáp án C Câu 636. Tìm mô-đun của số phức z = 4 − 3i. A. |z| = 4. B. |z| = 1. C. |z| = 5. D. |z| = √ 7. Lời giải. Ta có |z| = p 42 + (−3)2 = 5.  Chọn đáp án C Câu 637. Cho số phức z = 1 + 2i. Điểm biểu diễn của số phức liên hợp của z là điểm nào sau đây? A. M (1; 2). B. N (1; −2). C. P (−1; −2). D. Q(2; −1). Lời giải. Ta có z = 1 − 2i. Do đó điểm biểu diễn của số phức z là N (1; −2).  Chọn đáp án B Câu 638. y 3 Điểm M trong hình vẽ bên là biểu diễn số phức M 2 1 0 −2 −1 −1 A. z = 3 + 2i. B. z = 3 − 2i. C. z = 2 − 3i. 1 2 3 x D. z = 2 + 3i. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 169 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Trục thực (trục Ox) chỉ số 2, trục ảo (trục Oy) chỉ số 3. Vậy đáp án là z = 2 + 3i.  Chọn đáp án D Câu 639. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R). Khẳng định nào sau đây sai? √ B. z 2 là số thực. C. |z| = a2 + b2 . D. z · z là số thực. A. z = a − bi. Lời giải. Xét z = 1 + 2i ∈ C, ta có z 2 = z · z = (1 + 2i)(1 + 2i) = −3 + 4i ∈ / R. Vậy khẳng định “z 2 là số thực” sai.  Chọn đáp án B Câu 640. Cho số phức z, biết rằng các điểm biểu diễn hình học của số phức z, iz và z + iz tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18. Tính mô-đun của số phức z. √ √ A. |z| = 2 3. B. |z| = 3 2. C. |z| = 6. D. |z| = 9. Lời giải. Đặt z = x + yi, (x, y ∈ R), ta có iz = i(x + yi) = −y + xi và z + iz = x + yi − y + xi = x − y + (x + y)i. Gọi A(x; y), B(−y; x), C(x − y; x + y) là các điểm biểu diễn của z, iz, z + iz. p p p Ta có AB = (−x − y)2 + (x − y)2 , AC = (−y)2 + x2 , BC = x2 + y 2 ⇒ AB 2 = AC 2 + BC 2 ⇒ 4ABC vuông tại C. p 1 1 Khi đó S4ABC = AC · BC = (x2 + y 2 ) = 18 ⇒ x2 + y 2 = 6 = |z|. 2 2 Chọn đáp án C Câu 641. Tính mô-đun của số phức z = 3 + 4i. √ A. 7. B. 3. Lời giải. Ta có z = 3 + 4i ⇒ |z| = √ C. 7.  D. 5. 32 + 42 = 5.  Chọn đáp án D Câu 642. Điểm M trong hình vẽ bên biểu diễn số phức z. Số phức z̄ bằng A. 2 + 3i. B. 2 − 3i. C. 3 + 2i. y 3 D. 3 − 2i. O M 2 x Lời giải. Ta có M (2; 3) là điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 3i. Suy ra z̄ = 2 − 3i.  Chọn đáp án B Câu 643. Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa đồng thời các điều kiện |z − i| = 5 và z 2 là số thuần ảo? A. 2. B. 3. C. 0. D. 4. Lời giải. Đặt z = x + iy (với x, y ∈ R). Ta có |z − i| = 5 ⇔ x2 + (y − 1)2 = 25. "(∗) x=y z 2 là số thuần ảo, suy ra x2 − y 2 = 0 ⇔ x = −y. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 170 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 " Với x = y thay vào (∗) ta được x2 + (x − 1)2 = 25 ⇔ 2x2 − 2x − 24 = 0 ⇔ Với x = −y thay vào (∗) ta được x2 + (x + 1)2 = 25 ⇔ 2x2 + 2x − 24 = 0 ⇔ x=4 x = −3. " x = −4 x = 3. Vậy có 4 số phức cần tìm là 4 + 4i, −3 − 3i, −4 + 4i, 3 − 3i.  Chọn đáp án D Câu 644. Phần ảo của số phức z = −3 + 2i là A. −2. B. 3. D. −3. C. 2. Lời giải. Phần ảo của số phức z = −3 + 2i là 2.  Chọn đáp án C Câu 645. y Trong hình vẽ bên điểm M biểu diễn số phức z. Số phức z bằng A. 2 + i. B. 1 + 2i. C. 1 − 2i. D. 2 − i. M 1 O 2 x Lời giải. Điểm M có tọa độ (2; 1) nên là điểm biểu diễn số phức z = 2 + i.  Chọn đáp án A Câu 646. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn số phức −1 − 2i, 4 − 4i, −3i. Số phức biểu diễn trọng tâm tam giác ABC là A. −1 − 3i. B. 1 − 3i. C. −3 + 9i. D. 3 − 9i. Lời giải. Ta có A(−1; −2), B(4; −4), C(0; −3) nên trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là G(1; −3). Do đó số phức biểu diễn điểm G là 1 − 3i.  Chọn đáp án B Câu 647. Số phức liên hợp của số phức z = 2 − 3i là A. z = −2 − 3i. B. z = −2 + 3i. C. z = 3 − 2i. D. z = 2 + 3i. Lời giải. Số phức liên hợp của số phức z = 2 − 3i là z = 2 + 3i.  Chọn đáp án D Câu 648. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z − (3 − 4i)| = 2 là A. Đường tròn tâm I(3; 4), bán kính R = 2. B. Đường tròn tâm I(−3; −4), bán kính R = 2. C. Đường tròn tâm I(3; −4), bán kính R = 2. D. Đường tròn tâm I(−3; 4), bán kính R = 2. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 171 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Đặt z = a + bi(a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi. Theo giả thiết |z − (3 − 4i)| = 2 ⇔ |a − bi − (3 − 4i)| = 2 ⇔ (a − 3)2 + (b − 4)2 = 4. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(3; 4), bán kính R = 2. Chọn đáp án A  Câu 649. Cho số phức z có điểm biểu diễn là M trong hình vẽ bên. Gọi M 0 là điểm biểu diễn cho số phức z. Tọa độ của điểm M 0 là A. M 0 (−3; −2). B. M 0 (3; 2). C. M 0 (−3; 2). D. M 0 (3; −2). y 3 x O −2 M Lời giải. Số phức z biểu diễn điểm M là z = 3 − 2i. ⇒ z = 3 + 2i ⇒ M 0 (3; 2).  Chọn đáp án B Câu 650. Số phức liên hợp của z = 1 − 2i là A. z̄ = 1 + 2i. B. z̄ = −1 − 2i. C. z̄ = 2 − i. D. z̄ = −1 + 2i. Lời giải. Số phức z̄ = 1 + 2i là số phức liên hợp của z = 1 − 2i. Chọn đáp án A Câu 651. Cho số phức z = 3 + i. Tính |z|. √ A. |z| = 4. B. |z| = 10.  √ C. |z| = 2 2. D. |z| = 2. Lời giải. Do z = 3 + i nên z = 3 − i. p √ Vậy |z| = 32 + (−1)2 = 10.  Chọn đáp án B Câu 652. Số phức z thỏa mãn z = 1 − 2i được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bởi điểm nào sau? A. Q(−1; −2). Lời giải. B. M (1; 2). C. P (−1; 2). D. N (1; −2). Ta có z = 1 − 2i ⇒ z = 1 + 2i. Khi đó số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bởi điểm M (1; 2).  Chọn đáp án B Câu 653. Môđun của số phức z = 4 − 3i bằng: A. 25. B. 5. C. 4. D. −3. Lời giải. p Có |z| = 42 + (−3)3 = 5.  Chọn đáp án B Câu 654. Cho số phức z thỏa mãn |2z − 1| = |z + 1 + i| và điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa √ độ thuộc đường tròn có tâm I(1; 1), bán kính R = 5. Khi đó tích môđun của tất cả các số phức z thỏa mãn các yêu cầu trên là? Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 172 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. √ 5. Chương 3-Giải tích 12 √ C. 3 5. B. 3. D. 1. Lời giải. Gọi z = a + bi (a, b ∈ R). Theo giả thiết ta có |2(a + bi) − 1| = |a − bi + 1 + i| ⇔ |(2a − 1) + 2bi| = |(a + 1) − (b − 1)i| ⇔ (2a − 1)2 + (2b)2 = (a + 1)2 + (b − 1)2 ⇔ 3a2 + 3b2 − 6a + 2b − 1 = 0. (1) Vì điểm biểu diễn cuẩ z trên mặt phẳng tọa đọ thuộc đường tròn tâm I(1; 1), R = √ 5 nên ta có (a − 1)2 + (b − 1)2 = 5 ⇔ a2 + b2 − 2a − 2b = 3 ⇔ a2 − 2a = 3 − b2 + 2b. (2) 2 Thế (2) vào (1) ta được 3(3 − b"2 + 2b) + 3b " + 2b − 1 = 0 ⇔ b = −1. √ a=0 z1 = −1 Khi đó, thay vào (2) ta suy ra ⇒ ⇒ |z1 | · |z2 | = 5. a=2 z2 = 2 − i  Chọn đáp án A Câu 655. Cho số phức z = 1 − 2i, điểm M biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy có tọa độ là A. M (2; 1). C. M (1; −2). B. M (1; 2). D. M (−1; 2). Lời giải. Ta có z = 1 − 2i ⇒ z = 1 + 2i ⇒ M (1; 2).  Chọn đáp án B Câu 656. Cho các số phức z thỏa mãn |z| = m2 − 2m + 2, với m là tham số thực. Biết rằng điểm biểu diễn của số phức w = (6 + 8i) z + i thuộc đường tròn (Cm ). Tìm bán kính nhỏ nhất của đường tròn (Cm ). 1 A. . 10 Lời giải. B. 1. C. 10. D. √ 10. w−i w−i = |z| ⇔ |w − i| = |z| · |6 + 8i| = 10 (m2 − 2m + 2). =z⇔ 6 + 8i 6 + 8i 2 Giả sử w = x+yi với x; y ∈ R, khi đó |w − i| = 10 (m2 − 2m + 2) ⇒ (x)2 +(y − 1)2 = 100 (m2 − 2m + 2) . Ta có w = (6 + 8i) z + i ⇔ ⇒ tập hợp biểu diễn w là đường tròn có bán kính R = 10 (m2 − 2m + 2). Ta có m2 − 2m + 2 = (m − 1)2 + 1 ≥ 1 ⇒ R ≥ 10 ⇒ Rmin = 10.  Chọn đáp án C Câu 657. Cho số phức z = −3 + 4i. Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Tung độ của điểm M là A. 6. B. −4. C. 4. D. −6. Lời giải. z = −3 + 4i ⇒ z = −3 − 4i. Điểm biểu diễn số phức z là điểm M (−3; −4) nên tung độ điểm M bằng −4.  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 173 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 658. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = −πi + 1. A. Phần thực là 1 và phần ảo là −π. B. Phần thực là −π và phần ảo là 1. C. Phần thực là 1 và phần ảo là −πi. Lời giải. D. Phần thực là −πi và phần ảo là 1. Số phức z có phần thực là 1 và phần ảo là −π.  Chọn đáp án A Câu 659. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1 = 1 + i, z2 = 8 + i, z3 = 1 − 3i trong mặt phẳng phức Oxy. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. 4M N P vuông. B. 4M N P đều. C. 4M N P cân. D. 4M N P vuông cân. Lời giải. Ta có M (1; 1), N (8; 1), P (1; −3). Dễ dàng tính được M N = 7, N P = √ 65, M P = 4 và M N 2 + M P 2 = N P 2 . Vậy tam giác M N P vuông tại M .  Chọn đáp án A Câu 660. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Số phức z = 2018i là số thuần ảo. B. Số 0 không phải là số thuần ảo. C. Số phức z = 5 − 3i có phần thực bằng 5, phần ảo bằng −3. D. Điểm M (−1; 2) là điểm biểu diễn của số phức z = −1 + 2i. Lời giải. Số 0 vừa là số thực, vừa là số thuần ảo.  Chọn đáp án B Câu 661. Tìm số phức liên hợp của số phức z = 3 + 2i. A. z = 3 − 2i. B. z = −2 − 3i. C. z = 2 − 3i. D. z = −3 − 2i. Lời giải. Số phức liên hợp của z là z = 3 − 2i.  Chọn đáp án A Câu 662. Cho số phức z có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là A(3; −4). Tính |z|. √ A. 25. B. 5. C. 10. D. 5. Lời giải. Theo đề bài suy ra z = 3 − 4i. Từ đó |z| = p 32 + (−4)2 = 5.  Chọn đáp án D Câu 663. Trong mặt phẳng phức Oxy, điểm A(−2; 1) là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây? A. z = 2 − i. B. z = −2 + i. C. z = 2 + i. D. z = −2 − i. Lời giải. Điểm A(−2; 1) là điểm biểu diễn của số phức z = −2 + i.  Chọn đáp án B Câu 664. Cho số phức z = 3 − 2i. Tìm phần thực và phần ảo của z. A. Phần thực là 2, phần ảo là −2i. B. Phần thực là 3, phần ảo là −2. C. Phần thực là 3, phần ảo là 2i. D. Phần thực là 3, phần ảo là 2. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 174 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Ta có z = 3 + 2i, vậy z có phần thực là 3, phần ảo là 2.  Chọn đáp án D Câu 665. Tìm phần ảo của số phức z = 3 + 2i. A. 2. B. 3. C. i. D. 2i. Lời giải. Phần ảo của số phức z = 3 + 2i là 2.  Chọn đáp án A Câu 666. Cho số phức z = −2 + 3i. Tìm phần ảo của số phức z. A. −3. C. −3i. B. 3. D. 3i. Lời giải. Ta có z = −2 + 3i = −2 − 3i. Phần ảo cần tìm là −3.  Chọn đáp án A Câu 667. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Với mọi số phức z, |z| là một số thực không âm. B. Với mọi số phức z, |z| là một số phức. C. Với mọi số phức z, |z| là một số thực dương. D. Với mọi số phức z, |z| là một số thực. Lời giải. Với mọi số phức z thì |z| là một số thực không âm nên |z| là số thực hay |z| là số phức.  Chọn đáp án C Câu 668. Điểm M trong hình vẽ bên là biểu diễn số phức z. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2z = −4 + i. C. 2z = 4 − 2i. y M 1 B. 2z = −4 + 2i. D. 2z = 2 − 4i. O −2 x Lời giải. Theo hình vẽ, ta có z = −2 + i ⇒ 2z = −4 + 2i.  Chọn đáp án B Câu 669. Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C là ba điểm lần lượt biểu diễn ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn |z1 | = |z2 | = |z3 | = 1 và |z1 − z2 | = 2. Khi đó tam giác ABC A. dều. B. vuông. C. cân. D. có một góc tù. Lời giải. Theo giả thiết, tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; 1) có AB = 2. Suy ra tam giác ABC vuông tại C.  Chọn đáp án B Câu 670. Cho số phức z thỏa mãn √ z(2 − i) + 13i = 1. Tính mô-đun của số phức z √ √ 5 34 34 A. |z| = 34. B. |z| = . C. |z| = . D. |z| = 34. 3 3 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 175 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Cách 1 Ta có z(2 − i) + 13i = 1 ⇒ |z(2 − i)| = |1 − 13i| ⇔ |z| · √ 5= √ 170 ⇔ |z| = √ 34. Cách 2 Ta có z(2 − i) + 13i = 1 ⇔ z(2 − i) = 1 − 13i ⇔ z(2 − i)(2 + i) = (1 − 13i)(2 + i) ⇔ 5z = 15 − 25i ⇔ z = 3 − 5i √ √ ⇒ |z| = 32 + 52 = 34.  Chọn đáp án A Câu 671. Cho số phức z có điểm biểu diễn là điểm A trong hình vẽ. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z. y A 2 x O A. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng −2. C. Phần thực bằng 2, phần ảo bằng −3i. 3 B. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2. D. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2i. Lời giải. z = 3 + 2i ⇒ z = 3 − 2i.  Chọn đáp án A Câu 672. Cho số phức z = 2 + 4i. Tính hiệu phần thực và phần ảo của z. √ A. 2. B. 2 5. C. −2. D. 6. Lời giải. z = 2 + 4i ⇒ ( Phần thực bằng 2 . Phần ảo bằng 4 ⇒ Hiệu phần thực và phần ảo là 2 − 4 = −2.  Chọn đáp án C Câu 673. Cho số phức z = 2 + 3i. Số phức liên hợp của z là A. z = 2 − 3i. B. z = −2 − 3i. C. z = −2 + 3i. D. z = 3 + 2i. Lời giải. Số phức liên hợp của z = 2 + 3i là z = 2 − 3i.  Chọn đáp án A Câu 674. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là điểm biểu diễn số phức z = 2 + 2i; M 0 là điểm 3i biểu diễn số phức z 0 = z. Tính diện tích tam giác OM M 0 . 2 15 A. S4OM M 0 = 4. B. S4OM M 0 = 6. C. S4OM M 0 = 3. D. S4OM M 0 = . 2 Lời giải. 3i Ta có M (2; 2). Mặt khác z 0 = z = −3 + 3i ⇒ M 0 (−3; 3). 2 # » # » # » # » Tam giác OM M 0 có OM = (2; 2), OM 0 = (−3; 3) ⇒ OM · OM 0 = 2 · (−3) + 2 · 3 = 0 ⇔ OM ⊥ OM 0 . 1 1 Diện tích tam giác OM M 0 là S4OM M 0 = OM · OM 0 = · |z| · |z 0 | = 6. 2 2 Chọn đáp án B  Câu 675. Cho số phức z = 3 − 4i. Mô-đun của z bằng A. 25. C. −1. B. 7. D. 5. Lời giải. z = 3 − 4i ⇒ |z| = p 33 + (−4)2 = 5. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 176 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án D Câu 676. Cho số phức z = −3 + 7i. Phần ảo của số phức z là? A. 7i. B. 4. D. −3. C. 7. Lời giải. Phần ảo của số phức z = −3 + 7i là 7.  Chọn đáp án C Câu 677. Trong mặt phẳng toạ độ, điểm M (−3; 2) là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây? B. z = −3 + 2i. A. z = 3 + 2i. C. z = −3 − 2i. D. z = 3 − 2i. Lời giải. M (−3; 2) được biểu diễn bởi số phức z = −3 + 2i.  Chọn đáp án B Câu 678. Cho số phức z = 3 + 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z. A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng −2. C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2. B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng −2i. D. Phần thực bằng −3 và phần ảo bằng −2. Lời giải. z = 3 + 2i ⇒ z = 3 − 2i. Vậy phần thực của z bằng 3 và phần ảo bằng −2. Chọn đáp án A  Câu 679. Trong các điểm ở hình bên, điểm nào là điểm biểu diễn cho số phức z = P 3 − 2i? A. P . B. M . C. Q. y 3 M 2 D. N . −2 O 1 −2 Q x 3 N −3 Lời giải. Điểm N là điểm biểu diễn cho số phức z = 3 − 2i.  Chọn đáp án D Câu 680. Điểm M trong hình là điểm biểu diễn số phức nào? A. z = (1 + 2i)(1 − i). 1+i C. z = . 1−i y B. 2z − 6 = (1 − i)2 . D. z = (1 + i)(2 − 3i). 3 x O −1 M Lời giải. Điểm M là điểm biểu diễn số phức z = 3 − i, do đó: z = (1 + 2i)(1 − i) = 3 + i loại. 2 2z − 6 = (1 − i)2 = −2i ⇒ z = 3 − i thỏa mãn. 1+i (1 + i)2 = = i loại. 3 z= 1−i 2 1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 177 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 4 Chương 3-Giải tích 12 z = (1 + i)(2 − 3i) = 5 − i loại.  Chọn đáp án B Câu 681. Điểm M trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn của số phức A. z = −3 + 2i. B. z = 3 + 2i. C. z = −3 − 2i. D. z = 3 − 2i. y −3 x O −2 M Lời giải. Điểm M trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức z = −3 − 2i.  Chọn đáp án C Câu 682. Phần thực của số phức z = 1 − 2i là A. −2. B. −1. C. 1. D. 3. Lời giải. Số phức z = 1 − 2i có phần thực là 1.  Chọn đáp án C Câu 683. Cho số phức z = 11 + i. Điểm biểu diễn số phức liên hợp của z là điểm nào dưới đây? A. Q(−11; 0). B. M (11; 1). C. P (11; 0). D. N (11; −1). Lời giải. Số phức liên hợp của z là z = 11 − i nên có điểm biểu diễn là N (11; −1).  Chọn đáp án D Câu 684. Cho số phức z thoả mãn (2 + 3i)z = z − 1. Môđun của z bằng 1 1 A. √ . B. . C. 1. 10 10 Lời giải. 1 (2 + 3i)z = z − 1 ⇔ (1 + 3i)z = −1 ⇔ |1 + 3i| · |z| = 1 ⇒ |z| = √ . 10 Chọn đáp án A D. √ 10.  Câu 685. Trong mặt phẳng Oxy, điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z. Số phức z̄ là A. −2 + i. B. 1 − 2i. C. −2 − i. D. 1 + 2i. M y 1 −2 O x Lời giải. Ta có M (−2; 1) nên điểm M là điểm biểu diễn số phức z = −2 + i. Do đó z̄ = −2 − i.  Chọn đáp án C Câu 686. Kí hiệu a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z = −4 − 3i. Tìm a, b. A. a = −4, b = 3. B. a = −4, b = −3i. C. a = −4, b = −3. D. a = 4, b = 3. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 178 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Số phức z = −4 − 3i có phần thực là a = −4, phần ảo là b = −3.  Chọn đáp án C Câu 687. Cho tam giác ABC như hình vẽ. Biết trọng tâm G của tam giác ABC y là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần ảo của số phức z. A. 1. B. −1. C. −i. 3 D. i. B A C O −2 2 x Lời giải. Theo giả thiết, ta có A(0; 3), B(−2; 0), C(2; 0). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là G (0; 1) nên z = i ⇒ z = −i.  Chọn đáp án B Câu 688. Cho số phức z có số phức liên hợp z = 3 − 2i. Tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng A. 1. Lời giải. B. −5. D. −1. C. 5. Ta có z = 3 + 2i. Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức z là 3 + 2 = 5.  Chọn đáp án C Câu 689. Số phức z = 15 − 3i có phần ảo bằng A. 15. C. −3. B. 3. D. 3i. Lời giải. Phần ảo là −3. Chọn đáp án C  Câu 690. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tọa độ điểm M biểu diễn cho số phức z = 3 + 5i. A. M (3; −5). B. M (−3; −5). C. M (3; 5). D. M (5; 3). Lời giải. Số phức z = a + bi có điểm biểu diễn là M (a; b). Vậy suy ra điểm M có tọa độ là (3; 5).  Chọn đáp án C √ Câu 691. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa |z1 | = |z2 | = 17. Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của √ z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Biết M N = 3 2, gọi H là đỉnh thứ tư của hình bình hành OM HN và K là trung √ điểm của ON . Tính độ dài ` của đoạn thẳng KH. √ √ 17 3 13 A. ` = . B. ` = 5 2. C. ` = . 2 2 Lời giải. √ 5 2 D. ` = . 2 Gọi E là giao điểm của OH và M N . H N OM 2 + ON 2 M N 2 − 2 4 9 25 = 17 − = ⇒ OH 2 = 4OE 2 = 50 2 2 HN 2 + HO2 ON 2 OM 2 + OH 2 ON 2 = − = − 2 4 2 4 √ 17 + 50 17 117 3 13 = − = ⇒ ` = HK = . 2 4 4 2 OE 2 = HK 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 179 K E O M https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án C Câu 692. Điểm M trong hình vẽ bên biểu diễn số phức có phần thực là √ A. 1. B. 2. C. 5. D. 3. y M 1 x 2 O Lời giải. Điểm M biểu diễn số phức z = 2 + i. Do đó, phần thực của z là 2.  Chọn đáp án B Câu 693. Tìm tọa độ điểm M là điểm biểu diễn của số phức z = 3 − 4i. A. M (3; 4). B. M (−3; −4). C. M (3; −4). D. M (−3; 4). Lời giải. Ta có số phức z = 3 − 4i có điểm biểu diễn là M (3; −4). Chọn đáp án C  Câu 694. Cho số phức z có biểu diễn hình học là điểm M ở hình vẽ bên. y Khẳng định nào sau đây là đúng? A. z = 3 + 2i. C. z = 3 − 2i. 1 B. z = −2 − 3i. D. z = −2 + 3i. −1 1 2 3 x O −1 −2 M Lời giải. Điểm M (3; −2) biểu diễn số phức z = 3 − 2i.  Chọn đáp án C Câu 695. Gọi M và N lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 , z2 khác 0. Khi đó khẳng định nào sau đây sai? A. |z1 + z2 | = M N . C. |z1 − z2 | = M N . y N B. |z2 | = ON . M D. |z1 | = OM . x O Lời giải. Gọi z1 = a1 + b1 i ⇒ M (a1 , b1 ), z2 = a2 + b2 i ⇒ M (a2 , b2 ). p Ta có |z1 + z2 | = (a1 + a2 )2 + (b1 + b2 )2 . p Mà M N = (a1 − a2 )2 + (b1 − b2 )2 . Suy ra |z1 + z2 | = 6 MN.  Chọn đáp án A Câu 696. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 180 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 y Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn cho số phức nào trong 4 số phức được 4 liệt kê dưới đây? A. z = 4 − 2i. B. z = 2 + 4i. M D. z = 2 − 4i. C. z = 4 + 2i. O 2 x Lời giải. Ta có tọa độ M (2; 4), suy ra số phức biểu diễn bởi M là z = 2 + 4i.  Chọn đáp án B Câu 697. Cho số phức z = 1 + 3i. Gọi M là điểm biểu diễn của số phức liên hợp z. Tọa độ điểm M là A. M (−1; −3). C. M (1; −3). B. M (1; 3). D. M (−1; 3). Lời giải. Số phức liên hợp z = 1 − 3i nên M (1; −3).  Chọn đáp án C Câu 698. Cho số phức z = 1 + 2i. Điểm biểu diễn của số phức z là A. M (−1; 2). B. M (−1; −2). C. M (1; −2). D. M (2; 1). Lời giải. z = 1 − 2i. Suy ra điểm biểu diễn của số phức z là M (1; −2).  Chọn đáp án C Câu 699. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 3 + 2i. A. Phần thực bằng −3 và phần ảo bằng −2i. B. Phần thực bằng −3 và phần ảo bằng −2. C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i. Lời giải. D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2. Theo định nghĩa thì số phức z = 3 + 2i có phần thực và phần ảo tương ứng là 3 và 2.  Chọn đáp án D Câu 700. Cho số phức z = cos ϕ + i sin ϕ, (ϕ ∈ R). Tìm mô-đun của z. A. | cos ϕ| + | sin ϕ|. C. | cos ϕ + sin ϕ|. B. 1. D. | cos 2ϕ|. Lời giải. Ta có z = cos ϕ + i sin ϕ = 1 (cos ϕ + i sin ϕ) nên r = 1. Vậy |z| = 1.  Chọn đáp án B 15 − 5i = 20. √1 − i C. |z| = 5. Câu 701. Tính mô-đun của số phức z thỏa mãn (2 + i)z + A. |z| = 5. Lời giải. Ta có (2 + i)z + B. |z| = 7. D. |z| = 1. 15 − 5i = 20 ⇔ z = 3 − 4i ⇒ |z| = 5. 1−i  Chọn đáp án A Câu 702. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2; −3) biểu diễn số phức zA , điểm B biểu diễn số phức zB = (1 + i)zA . Tính diện tích S của tam giác OAB. 11 13 17 A. S = . B. S = . C. S = . 2 2 2 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 181 D. S = 15 . 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có zA = 2 − 3i ⇒ zB = 5 − i(⇒ B(5; −1). # » OA = (2; −3; 0) 13 1 # » # » Trong không gian Oxyz, ta có # » ⇒ S4OAB = [OA, OB] = . 2 2 OB = (5; −1; 0)  Chọn đáp án B Câu 703. Cho hai số phức z1 , z2 thuộc tập hợp S = 2  z ∈ C : iz − 2 − 3i = 2 và thỏa mãn 2 z1 + z2 = 4 − 2i. Tính A = |z1 | + |z2 | . A. A = 6. B. A = 14. C. A = 8. D. A = 12. Lời giải. Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 . y Gọi E là trung điểm M N . Ta có O N x E iz − 2 − 3i = 2 ⇔ i · (z − 3 + 2i) = 2 I ⇔ z − 3 + 2i = 2. M (1) Từ (1) ta thấy M, N thuộc đường tròn tâm I(3; −2) bán kính R = 2. √ √ #» Ta có E(2; −1) ⇒ EI = (1; −1) ⇒ EI = 2 ⇒ M N = 2 2. Trong 4OM N , ta có OM 2 + ON 2 M N 2 − 2 4 2 2 ⇒ OM + ON = 14. OE 2 =  Chọn đáp án B Câu 704. Cho các số phức z1 = 1 + 3i, z2 = −2 + 2i, z3 = −1 − i được biểu diễn lần lượt bởi các # » # » # » điểm A, B, C trên mặt phẳng phức. Gọi M là điểm thỏa mãn AM = AB − AC. Khi đó điểm M biểu diễn số phức A. z = 6i. B. z = −6i. C. z = 2. D. z = −2. Lời giải. Tọa độ A(1; 3), B(−2; 2), C(−1; −1). Gọi tọa độ điểm M (x; y). # » # » # » AM = (x − 1; y − 3), AB =((−3; −1), AC = (−2; −4). ( x − 1 = −3 − (−2) x=0 # » # » # » Ta có AM = AB − AC ⇒ ⇔ ⇒ z = 6i. y − 3 = (−1) − (−4) y=6  Chọn đáp án A Câu 705. Tìm tọa độ điểm biểu diễn hình học của số phức z = 8 − 9i. A. (8; 9). B. (8; −9). C. (−9; 8). D. (8; −9i). Lời giải. Tọa độ điểm biểu diễn số phức z = 8 − 9i là (8; −9).  Chọn đáp án B Câu 706. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 182 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Điểm M trong hình vẽ bên biểu diễn số phức z. y 3 Số phức z bằng A. 2 + 3i. B. 3 + 2i. C. 2 − 3i. D. 3 − 2i. 0 M 2 x Lời giải. Từ hình vẽ, ta thấy điểm M biểu diễn của số phức 2 + 3i, do đó từ giả thiết suy ra z = 2 + 3i. Vậy, z = 2 − 3i.  Chọn đáp án C Câu 707. Tìm phần thực của số phức z = 1 − 2i. A. −2. B. −1. C. 1. D. 3. Lời giải. Phần thực của số phức z = 1 − 2i là 1.  Chọn đáp án C Câu 708. Cho số phức z thỏa mãn |z − 2i| = |zi + 3i|. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình A. 6x + 4y − 5 = 0. B. 6x − 4y = 0. C. 6x − 4y + 5 = 0. D. 6x + 4y + 5 = 0. Lời giải. Đặt z = x + yi, x, y ∈ R, ta có |z − 2i| = |zi + 3i| ⇔ x2 + (y − 2)2 = y 2 + (x + 3)2 ⇔ 6x + 4y + 5 = 0.  Chọn đáp án D Câu 709. Số phức z = 2 − 3i có số phức liên hợp là A. 3 − 2i. C. −2 + 3i. B. 2 + 3i. D. 3 + 2i. Lời giải. z = 2 − 3i = 2 + 3i.  Chọn đáp án B Câu 710. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Số phức z = 2 − 3i có phần thực là 2 và phần ảo là −3i. B. Số phức z = 2 − 3i có phần thực là 2 và phần ảo là −3. C. Số phức z = 2 − 3i có phần thực là 2 và phần ảo là 3i. D. Số phức z = 2 − 3i có phần thực là 2 và phần ảo là 3. Lời giải. Một số phức z = a + bi thì a là phần thực, b là phần ảo và i là đơn vị ảo. Chọn đáp án B  Câu 711. Số phức liên hợp của số phức z = 6 − 4i là A. z̄ = −6 + 4i. B. z̄ = 4 + 6i. C. z̄ = 6 + 4i. D. z̄ = −6 − 4i. Lời giải. Số phức liên hợp của số phức 6 − 4i là 6 + 4i.  Chọn đáp án C Câu 712. Mô-đun của số phức z = 3 − 2i bằng A. 1. B. 13. C. √ 13. D. 5. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 183 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Số phức z = 3 − 2i có mô-đun là |z| = Chương 3-Giải tích 12 p √ 32 + (−2)2 = 13.  Chọn đáp án C Câu 713. Tìm phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z = 1 + i. A. Phần thực là 1, phần ảo là −1. B. Phần thực là 1, phần ảo là −i. C. Phần thực là 1, phần ảo là 1. D. Phần thực là 1, phần ảo là i. Lời giải. z̄ = 1 − i, phần thực bằng 1, phần ảo bằng −1.  Chọn đáp án A Câu 714. Cho số phức z thay đổi, thỏa mãn |z − i| = |z − 1 + 2i|. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức ω = z + 2i trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Phương trình đường thẳng đó là A. x − 4y + 3 = 0. C. x − 3y + 4 = 0. B. x + 3y + 4 = 0. D. −x + 3y + 4 = 0. Lời giải. Đặt ω = x + yi, với x, y ∈ R. Khi đó, z = ω − 2i = x + (y − 2)i. Suy ra |z − i| = |z − 1 + 2i| ⇔ |x + (y − 3)i| = |x − 1 + yi|, hay tương đương với x2 + (y − 3)2 = (x − 1)2 + y 2 ⇔ x − 3y + 4 = 0.  Chọn đáp án C Câu 715. Mô-đun của số phức w = a + 2i với a ∈ R bằng bao nhiêu? √ √ √ A. |w| = a + 2. B. |w| = a2 − 4. C. |w| = a2 + 4. Lời giải. Số phức w = a + 2i có mô-đun là |w| = D. |w| = a2 + 4. √ a2 + 4.  Chọn đáp án C Câu 716. Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức z = x+yi là nửa hình tròn tâm O(0; 0) y 2 bán kính R = 2 (phần tô đậm, kể cả đường giới hạn) như hình bên. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? √ A. x ≥ 0 và |z| = 2. B. y ≥ 0 và |z| = 2. C. x ≥ 0 và |z| ≤ 2. D. y ≥ 0 và |z| ≤ 2. x 1 O 2 Lời giải. Dựa vào hình vẽ trên ta thấy số phức z có phần thực không âm và |z| ≤ 2.  Chọn đáp án C Câu 717. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành OABC y có tọa độ điểm A(3; 1), C(−1; 2) (như hình vẽ bên). Số phức nào sau đây có điểm biểu diễn là điểm B? A. w1 = −2 + 3i. B. w2 = 2 + 3i. C. w3 = 4 − i. B C(−1; 2) D. w4 = −4 + i. A(3; 1) x O Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 184 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Do OABC là hình bình hành nên # » # » # » OB = OA + OC. (1) # » # » Mà OA = (3; 1) và OC = (−1; 2) nên từ (1) suy ra # » OB = (2; 3). (2) Từ (2) suy ra điểm B(2; 3) hay điểm B là điểm biểu diễn của số phức w2 = 2 + 3i.  Chọn đáp án B Câu 718. Cho tập X = {1; 3; 5; 7; 9}. Có bao nhiêu số phức z = x + yi có phần thực, phần ảo đều thuộc X và có tổng x + y ≤ 10? A. 20. B. 10. C. 15. D. 24. Lời giải. Xét số phức z = x + yi (x, y ∈ X). Vì số phức z = x + yi thỏa mãn x + y ≤ 10 nên ta xét các trường hợp sau 1 (x; y) ∈ {(1; 3), (1; 5), (1; 7), (1; 9), (3; 5), (3; 7)}, có 2 × 6 = 12 số phức thỏa mãn. 2 (x; y) ∈ {(1; 1), (3; 3), (5; 5)}, có 3 số phức thỏa mãn. Vậy có 12 + 3 = 15 số phức thỏa mãn đề bài.  Chọn đáp án C Câu 719. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 1 − 3i. A. 1 và −3i. B. 1 và −3. C. −3 và 1. D. 1 và 3. Lời giải. Phần thực là 1 và phần ảo là −3.  Chọn đáp án B Câu 720. Cho số phức z = 5 − 4i. Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn M là A. M (−5; −4). B. M (5; −4). C. M (5; 4). D. M (−5; 4). Lời giải. Số phức liên hợp của z là z = 5 + 4i suy ra M (5; 4).  Chọn đáp án C Câu 721. Cho số phức z = 2 − i. Mệnh đề nào dưới đây đúng? B. Phần thực bằng −1. A. Phần thực bằng 2. C. Phần thực bằng 1. Lời giải. D. Phần ảo bằng 2. Số phức z = 2 − i có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng −1.  Chọn đáp án A Câu 722. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ điểm M biểu diễn số phức z = 4 − i là A. M (4; 1). C. M (4; −1). B. M (−4; 1). D. M (−4; −1). Lời giải. Điểm biểu diễn số phức z = 4 − i là M (4; −1).  Chọn đáp án C Câu 723. Cho số phức z = 2 − 3i. Số phức liên hợp z của số phức z là A. z = −3 + 2i. C. z = −2 + 3i. B. z = 2 + 3i. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 185 D. z = −2 − 3i. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. z = 2 − 3i ⇒ z = 2 + 3i.  Chọn đáp án B Câu 724. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều |z + 2 − i| = 2 là A. đường tròn (x + 2)2 + (y − 1)2 = 4. B. đường tròn tâm I(2; −1) và bán kính R = 2. C. đường thẳng x − y − 2 = 0. D. đường thẳng x + y − 2 = 0. Lời giải. Giả sử z = x + yi (x, y ∈ R). Khi đó |z + 2 − i| = 2 ⇔ (x + 2)2 + (y − 1)2 = 4. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều |z + 2 − i| = 2 là đường tròn (x + 2)2 + (y − 1)2 = 4.  Chọn đáp án A Câu 725. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z có phần thực bằng 3 là đường thẳng có phương trình A. x = −3. C. x = −1. B. x = 1. D. x = 3. Lời giải. Gọi z = x + yi với x, y ∈ R. Do z có phần thực bằng 3 nên x = 3.  Chọn đáp án D Câu 726. Điểm biểu diễn của số phức z = 2 − 3i trên mặt phẳng Oxy là điểm nào sau đây? A. (−2; 3). B. (−3; 2). C. (2; 3). D. (2; −3). Lời giải. Điểm biểu diễn của số phức z = 2 − 3i trong mặt phẳng Oxy là (2; −3).  Chọn đáp án D Câu 727. Cho số phức z có điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm M (−1; 5). Tính mô-đun của z. √ A. |z| = 26. B. |z| = 4. C. |z| = 2. D. |z| = √ 24. Lời giải. Điểm M (−1; 5) biểu diễn của số phức z = −1 + 5i. √ Vậy mô-đun của z là |z| = 26.  Chọn đáp án A Câu 728. Tổng phần thực và phần ảo của số phức z = 3 − i là A. 2. B. −1. C. −2. D. 3. Lời giải. Ta có phần thực của z bằng 3 và phần ảo của z bằng −1. Do đó tổng phần thực và phần ảo là 2.  Chọn đáp án A Câu 729. Cho số phức z = a + (a − 5) i với a ∈ R. Tìm a để điểm biểu diễn của số phức nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư 1 5 B. a = . C. a = 0. A. a = − . 2 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 186 3 D. a = . 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. 5 Để thỏa mãn bài toán suy ra a − 5 = −a ⇔ 2a − 5 = 0 ⇔ a = . 2 Chọn đáp án B  Câu 730. Cho cho hai số phức z = 3 + 2i và w = 3 − 2i. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. |z| > |w|. B. |z| = |w|. C. Nếu A và B theo thứ tự là hai điểm biểu diễn của z và w trên hệ tọa độ Oxy thì AB = |z − w|. D. Số phức z là số phức liên hợp của số phức w. Lời giải. p √ √ √ Do |z| = 32 + 22 = 13 và |w| = 32 + (−2)2 = 13 nên |z| = |w|.  Chọn đáp án A Câu 731. Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm M biểu diễn số phức z = −2 + 3i. Gọi N là điểm thuộc đường thẳng y = 3 sao cho tam giác OM N cân tại O. Điểm N là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây? A. z = 3 − 2i. B. z = −2 − 3i. C. z = 2 + 3i. D. z = −2 + i. Lời giải. Do giả thiết suy ra tọa độ M (−2; 3) nên M thuộc đường thẳng y = 3. Vì tam giác OM N cân tại O suy ra N đối xứng với M qua Oy nên tọa độ điểm N (2; 3). Khi đó điểm N là biểu diễn của số phức z = 2 + i.  Chọn đáp án C Câu 732. Giả sử z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 − 2z + 5 = 0. Gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 , z2 trên hệ tọa độ Oxy. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng M N là A. (1; 0). B. (1; 1). C. (0; 0). D. (0; 1). Lời giải. ” Ta có z 2 − 2z + 5 = 0 ⇔ z = 1 + 2i . Không mất tính tổng quát giả sử z1 = 1 + 2i và z2 = 1 − 2i do z = 1 − 2i đó tọa độ điểm M (1; 2) và N (1; −2). Gọi I là trung điểm của M N ta suy ra tọa độ I (1; 0).  Chọn đáp án A Câu 733. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z. A. Phần thực là −4 và phần ảo là 3. y B. Phần thực là 3 và phần ảo là −4i. O C. Phần thực là 3 và phần ảo là −4. D. Phần thực là −4 và phần ảo là 3i. 4 3 x M Lời giải. Dựa vào hình vẽ ta được số phức z = 3 − 4i. Vậy số phức z có phần thực là 3 và phần ảo là −4.  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 187 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 734. Cho số phức z = 4 − 3i. Điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng phức là A. M (4; 3). C. M (4; −3). B. M (−4; 3). D. M (−3; 4). Lời giải. Điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng phức là M (4; −3).  Chọn đáp án C Câu 735. Tìm hai số thực x, y thỏa mãn 2 + (5 − y)i = (x − 1) + 5i. ( ( ( x=3 x=6 x = −6 A. . B. . C. . y=0 y=3 y=3 Lời giải. ( ( 2=x−1 x=3 2 + (5 − y)i = (x − 1) + 5i ⇔ ⇔ 5−y =5 y = 0. D. ( x = −3 . y=0  Chọn đáp án A Câu 736. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A là điểm biểu diễn số phức z = 1 + 2i, B là điểm thuộc đường thẳng y = 2 sao cho tam giác OAB cân tại O. Điểm B là điểm biểu diễn của số phức nào trong các số phức dưới đây? A. −3 + 2i. B. −1 + 2i. C. 3 + 2i. D. 1 − 2i. Lời giải. z = 1 + 2i ⇒ A(1; 2); điểm B thuộc đường thẳng y = 2 ⇒ B(a; 2). Tam giác OAB cân tại O ⇔ OA = OB ⇔ 5 = a2 + 4 ⇔ a = ±1. Vậy điểm B biểu diễn cho số phức z = ±1 + 2i.  Chọn đáp án B Câu 737. Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z = −3 + 2i. Giá trị của a + 2b bằng B. −1. A. 1. C. −4. D. −7. Lời giải. Ta có a = −3, b = 2 nên a + 2b = 1.  Chọn đáp án A Câu 738. Số phức z thỏa mãn z = −3 − 2i là A. z = 3 + 2i. B. z = −3 − 2i. C. z = −3 + 2i. D. z = 3 − 2i. Lời giải. Dễ thấy ngay z = z = −3 − 2i = −3 + 2i.  Chọn đáp án C Câu 739. Mô-đun của số phức z = 3 + 4i bằng A. 1. Lời giải. Ta có |z| = B. 7. √ C. 5. D. √ 7. 32 + 42 = 5.  Chọn đáp án C Câu 740. Cho số phức z thoả mãn z − 4 = (1 + i)|z| − (4 + 3z)i. Môđun của số phức z bằng A. 2. B. 1. C. 16. D. 4. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 188 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Đặt z = a + bi. Khi đó ta có √ a + bi − 4 = (1 + i) a2 + b2 − (4 + 3a + 3bi)i √ √ ⇔ a − 4 + bi = a2 + b2 + i a2 + b2 − (4 + 3a)i + 3b √ √ ⇔ a − 3b − a2 + b2 − 4 + (b − a2 + b2 + 3a + 4)i = 0 ( √ a − 3b − a2 + b2 − 4 = 0 ⇔ √ 3a + b − a2 + b2 + 4 = 0 ( √ a − 3b − a2 + b2 − 4 = 0 ⇔ 2a + 4b + 8 = 0  »  − 2b − 4 − 3b − (−2b − 4)2 + b2 − 4 = 0 ⇔ a = −2b − 4 »  (−2b − 4)2 + b2 = 5b + 8 ⇔ a = −2b − 4 ( 2 5b + 16b + 16 = 25b2 + 80b + 64 ⇔ a = −2b − 4 ( 2 20b + 64b + 48 = 0 ⇔ a = −2b − 4  6  b = −  5  8    a=− ⇔  5 (  b = −2  . a=0 √ Với cả hai trường hợp ta đều có |z| = a2 + b2 = 2.  Chọn đáp án A Câu 741. Điểm biểu diễn của các số phức z = 7 + bi với b ∈ R nằm trên đường thẳng có phương trình là A. y = x + 7. Lời giải. B. y = 7. C. x = 7. D. y = x. Các điểm biểu diễn của các số phức z = 7 + bi, b ∈ R có tọa độ Mb = (7; b), b ∈ R. Tập hợp các điểm Mb là đường thẳng x = 7.  Chọn đáp án C Câu 742. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm A(4; 0), B(1; 4) và C(1; −1). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biết rằng G là điểm biểu diễn số phức z. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 3 3 A. z = 3 − i. B. z = 3 + i. C. z = 2 − i. D. z = 2 + i. 2 2 Lời giải. Å ã 4 + 1 + 1 0 + 4 + (−1) G là trọng tâm của tam giác ABC suy ra G ; = (2; 1). 3 3 Vậy G là điểm biểu diễn của số phức z = 2 + i.  Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 189 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 743. Cho các số phức z1 = 3i, z2 = −1 − 3i và z3 = m − 2i. Tập giá trị của tham số m để số phức z3 có mô-đun nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho là î √ √ ó Ä √ √ ä A. − 5; 5 . B. − 5; 5 . Ä ä √ √ √ ä Ä√ C. {− 5; 5}. D. −∞; − 5 ∪ 5; +∞ . Lời giải. ( ( 2 √ √ |z3 | < |z1 | m +4<9 Ta có ⇔ ⇔ m2 < 5 ⇔ − 5 < m < 5. |z3 | < |z2 | m2 + 4 < 10 Chọn đáp án B  Câu 744. Cho số phức z = 3−5i. Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của z. Tính S = a+b. A. S = −8. B. S = 8. C. S = 2. D. S = −2. Lời giải. Ta có a = 3, b = −5 ⇒ S = a + b = −2.  Chọn đáp án D Câu 745. Cho số phức z = 7 − 5i. Tìm phần thực a của z. A. a = −7. C. a = −5. B. a = 5. D. a = 7. Lời giải. Số phức z = a + bi với a, b ∈ R có phần thực là a nên số phức z = 7 − 5i có phần thực là 7.  Chọn đáp án D Câu 746. Tìm tất cả các số thực x, y sao cho x2 − 2 + yi = −2 + 5i. A. x = 0, y = 5. B. x = −2, y = 5. C. x = 2, y = 5. D. x = 2, y = −5. Lời giải. Ta có x2 − 2 + yi = −2 + 5i ⇔ ( 2 x − 2 = −2 ⇔ ( x=0 y=5 y = 5.  Chọn đáp án A Câu 747. Trên mặt phẳng phức, cho điểm A biểu diễn số phức −2 + 3i, điểm B biểu diễn số phức 4 − 5i. Gọi M là trung điểm của AB. Khi đó, điểm M biểu diễn số phức nào trong các số phức sau A. 3 − 4i. B. 3 + 4i. C. 1 + i. D. 1 − i. Lời giải. Ta có A(−2; 3), B(4; −5). M là trung điểm của AB ⇒ M (1; −1). Vậy M biểu diễn số phức 1 − i.  Chọn đáp án D Câu 748. Tìm số phức liên hợp của số phức z = (1 − i)(3 + 2i). A. z = −5 + i. B. z = 5 − i. C. z = 5 + i. D. z = −5 − i. Lời giải. Ta có z = (1 − i)(3 + 2i) = 5 − i, suy ra z = 5 + i.  Chọn đáp án C Câu 749. Tính mô-đun của số phức z = 4 − 3i. √ A. |z| = 7. B. |z| = 7. C. |z| = 5. D. |z| = 25. Lời giải. Ta có |z| = p 42 + (−3)2 = 5. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 190 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án C Câu 750. Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng tọa độ, N là điểm đối xứng của M qua Oy (M, N không thuộc các trục tọa độ). Số phức ω có điểm biểu diễn lên mặt phẳng tọa độ là N . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ω = −z. B. ω = −z̄. C. ω = z̄. D. |ω| > |z|. Lời giải. Giả sử M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi, với x, y ∈ R, N là điểm đối xứng của M qua Oy. Khi đó N (−x; y) là điểm biểu diễn số phức ω = −x + yi = −(x − yi) = −z̄.  Chọn đáp án B Câu 751. Cho số phức z có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là M , biết z 2 có điểm biểu diễn là N như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. |z| < 1. B. 1 < |z| < 3. C. 3 < |z| < 5. N y D. |z| > 5. M O x Lời giải. Gọi z = a + bi với a, b ∈ R+ và a < b. Khi đó z 2 = a2 − b2 + 2abi. Từ hình vẽ ta thấy   a2 − b 2 <0   2ab > 2b    2 a − b2 > −a ( a>1 ⇔ √ b< 2 √ ⇔ 10 √  9 + b2 = b + 1 b + 1 − a2 + b 2 = 0   9 + b2 = (b + 1)2     ( a = −3 a = −3     a = −3 ⇔ b > −1 ⇔ b>1 ⇔   b = 4.     9 = 2b + 1 b=4 Vậy S = a + b = −3 + 4 = 1. z + 3 + i − |z|i = 0 ⇔ a + bi + 3 + i − √  Chọn đáp án D Câu 861. Cho số phức z = −1 + 2i, w = 2 − i. Điểm nào trong hình bên biểu diễn số phức z + w? A. P . B. N . C. Q. y N 1 P D. M . x −1 M O −1 1 Q Lời giải. Vì z + w = −1 + 2i + 2 − i = 1 + i nên điểm biểu diễn là điểm P (1; 1). Chọn đáp án A  Câu 862. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z − 1|2 + |z − z| i + (z + z) i2019 = 1? A. 4. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải. Gọi z = a + bi ⇒ z = a − bi với a, b ∈ R. Ta có 2 2 |z − 1|2 = |a + bi − 1|2 = (a − 1) » +b . |z − z| i = |a + bi − a + bi| i = 504 i2019 = i4·504+3 = (i4 ) (2b)2 i = 2|b|i. · i3 = i · i2 = −i. (z + z) i2019 = −i (a + bi + a − bi) = −2ai. Khi đó ta suy ra (a − 1)2 + b2 + 2|b|i − 2ai = 1. ( a=0   b=0 ”  |b| = 0  ( ( ( (  2   a=1 (a − 1) + b2 = 1 a2 − 2a + b2 = 0 2|b|2 − 2|b| = 0  ⇔ ⇔ ⇔ |b| = 1 ⇔   b=1  2|b| − 2a = 0 a = |b| a = |b|    ( a = |b|  a=1  b = −1. Vậy có 3 số phức z thỏa mãn.  Chọn đáp án D Câu 863. Cho số phức z = 2 − 3i. Mô-đun của số phức w = 2z + (1 + i)z bằng Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 212 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. 4. Chương 3-Giải tích 12 B. 2. C. √ 10. √ D. 2 2. Lời giải. Ta có w = 2(2 − 3i) + (1 + i)(2 + 3i) = 4 − 6i + 2 + 3i + 2i + 3i2 = 3 − i. p √ Vậy |w| = 32 + (−1)2 = 10.  Chọn đáp án C Câu 864. Cho số phức z = 2 − 3i. Mô-đun của số phức w = z + z 2 bằng √ √ √ B. 206. C. 134. A. 3 10. √ D. 3 2. Lời giải. Ta có w = 2 + 3i + (2 − 3i)2 = 2 + 3i + 4 − 12i + 9i2 = −3 − 9i. p √ Vậy |w| = 32 + (−9)2 = 3 10.  Chọn đáp án A Câu 865. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x(3 + 2i) + y(1 − 4i) = 1 + 24i. Giá trị của x + y bằng A. −3. B. 4. C. 2. D. 3. Lời giải. Ta có x(3 + 2i) + y(1 − 4i) = 1 + 24i ⇔ 3x + y + (2x − 4y)i = 1 + 24i ( 3x + y = 1 ⇔ 2x − 4y = 24 ( x=2 ⇔ y = −5. Vậy x + y = −3.  Chọn đáp án A Câu 866. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn |z − 1 + i| = 2 là đường tròn có tâm và bán kính lần lượt là A. I(−1; 1), R = 4. C. I(1; −1), R = 2. B. I(−1; 1), R = 2. D. I(1; −1), R = 4. Lời giải. Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R) là số phức thỏa mãn bài toán. Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z. p (x − 1)2 + (y + 1)2 = 2 ⇔ (x − 1)2 + (y + 1)2 = 4. Ta có |z − 1 + i| = 2 ⇔ |(x − 1) + (y + 1)i| = 2 ⇔ Vậy M thuộc đường tròn tâm I(1; −1), bán kính R = 2.  Chọn đáp án C Câu 867. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn |z + 2| = |z − i| là một đường thẳng có phương trình A. 4x + 2y + 3 = 0. B. 2x + 4y + 13 = 0. C. 4x − 2y + 3 = 0. D. 2x − 4y + 13 = 0. Lời giải. Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R) là số phức thỏa mãn bài toán. Khi đó M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 213 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có |z + 2| = |z − i| ⇔ |x + 2 + yi| = |x + (y − 1)i| » » (x + 2)2 + y 2 = x2 + (y − 1)2 ⇔ ⇔ x2 + 4x + 4 + y 2 = x2 + y 2 − 2y + 1 ⇔ 4x + 2y + 3 = 0. (∗) Đẳng thức (∗) chứng tỏ M thuộc đường thẳng có phương trình 4x + 2y + 3 = 0. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn bài toán là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0.  Chọn đáp án A Câu 868. Cho số phức z = 1 + 2i. Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức w = 2z + z. A. 3. B. 5. C. 1. D. 2. Lời giải. Ta có w = 2(1 + 2i) + (1 − 2i) = 3 + 2i. Suy ra tổng của phần thực và phần ảo của w là 3 + 2 = 5.  Chọn đáp án B Câu 869. Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn |z − i| = |(1 + i)z|. √ A. Đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 2. √ B. Đường tròn tâm I(1; 0), bán kính R = 2. √ C. Đường tròn tâm I(−1; 0), bán kính R = 2. √ D. Đường tròn tâm I(0; −1), bán kính R = 2. Lời giải. Gọi z = a + bi ⇒ (1 + i)z = (a − b) + (a + b)i. Vậy |z − i| = |(1 + i)z| ⇔ |a + (b − 1)i| = |(a − b) + (a + b)i| ⇔ a2 + (b − 1)2 = (a − b)2 + (a + b)2 ⇔ a2 + b2 + 2b − 1 = 0. Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm I(0; −1), bán kính R = Chọn đáp án D √ 2.  Câu 870. Tìm mô đun của số phức z biết (2z − 1)(1 + i) + (z + 1)(1 − i) = 2 − 2i. √ 1 2 2 1 A. . B. . C. . D. . 9 3 9 3 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 214 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Đặt z = a + bi với a, b ∈ R. Khi đó z = a − bi và (2z − 1)(1 + i) + (z + 1)(1 − i) = 2 − 2i ⇔ (2z − 1)(1 + i) + (z + 1)(1 − i) − 2(1 − i) = 0 ⇔ (2z − 1)(1 + i) + (z − 1)(1 − i) = 0 ⇔ (2z − 1)(1 + i)2 + (z − 1)(1 − i)(1 + i) = 0 ⇔ (2a + 2bi − 1) · 2i + 2(a − bi − 1) = 0 ⇔ a − 2b − 1 + (2a − b − 1)i = 0  1 (  a = a − 2b − 1 = 0 3 ⇔ ⇔  2a − b − 1 = 0 b = − 1 3 √ √ 2 ⇒ |z| = a2 + b2 = . 3  √ √ Câu 871. Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z + i 5 + z − i 5 = 6, biết z có √ mô đun bằng 5? Chọn đáp án B A. 3. B. 4. C. 2. D. 0. Lời giải. Đặt z = x + yi với x, y ∈ R. √ √ Có |z| = 5 ⇒ z thuộc đường tròn (C) tâm O(0; 0) bán kính R = 5. √ √ √ √ Gọi M (x; y), E(0; 5), F (0; − 5) lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z, i 5 và −i 5. √ √ √ Ta có c = EF = 2 5 và z + i 5 + z − i 5 = 6 ⇔ M E + M F = 6. Suy ra M thuộc elip (E) có hai tiêu điểm là E, F ∈ Oy độ dài trục lớn a = 3 nằm trên Oy và trục √ bé b = a2 − c2 = 2 nằm trên Ox. Suy ra b < R do đó elip (E) có phần nằm trong đường tròn (C) do đó (E) và (C) có bốn điểm chung. Mặt khác z là giao điểm của (C) và (E) nên có 4 số phức z thỏa mãn điều kiện.  Chọn đáp án B Câu 872. Cho số phức z = 1 − i. Biểu diễn số phức z 2 là điểm A. M (−2; 0). B. N (1; 2). C. P (2; 0). D. Q(0; −2). Lời giải. Ta có z 2 = (1 − i)2 = 1 − 2i + i2 = −2i. Do đó, điểm biểu diễn số phức z 2 là điểm Q(0; −2).  Chọn đáp án D Câu 873. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn các điều kiện |z1 | = |z2 | = 2 và |z1 + 2z2 | = 4. Giá trị của |2z1 − z2 | bằng √ A. 2 6. B. √ √ C. 3 6. 6. D. 8. Lời giải. Giả sử z1 = a + bi, (a,  b ∈ R); z2 = c + di,  (c, d ∈ R).   |z | = 2 a2 + b 2 = 4    1  Theo giả thiết ta có |z2 | = 2 ⇔ c2 + d 2 = 4       |z1 + 2z2 | = 4 (a + 2c)2 + (b + 2d)2 = 16 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 215 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12   a2 + b 2 = 4 (1)   ⇔ c2 + d2 = 4 (2)     2 a + b2 + 4 c2 + d2 + 4 (ac + bd) = 16 (3). Thay (1), (2) vào (3) ta được ac + bd = −1. p p Ta có |2z1 − z2 | = (2a − c)2 + (2b − d)2 = 4(a2 + b2 ) + (c2 + d2 ) − 4(ac + bd). √ Thay (1), (2), (4) vào (5) ta có |2z1 − z2 | = 2 6. Chọn đáp án A (4) (5)  Câu 874. Cho số phức z = a + bi với a, b ∈ R thỏa mãn z + 1 + 3i − |z|i = 0. Tính S = 2a + 3b. A. S = −5. B. S = 5. C. S = −6. D. S = 6. Lời giải. Từ giả thiết ta có    ( a = −1   a = −1 Ä ä √ a+1=0 (a + 1) + b + 3 − a2 + b2 i = 0 ⇔ ⇔ b ≥ −3 ⇔ √  b = − 4 . b + 3 − a2 + b 2 = 0   2 2 3 (b + 3) = b + 1 Vậy S = 2a + 3b = −2 − 4 = −6. Chọn đáp án C  Câu 875. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z + 2 − i| = 4 là đường tròn có tâm I, bán kính R. Xác định tọa độ điểm I và bán kính R. A. I(2; −1), R = 2. B. I(−2; −1), R = 4. C. I(−2; −1), R = 2. D. I(2; −1), R = 4. Lời giải. Ta có |z + 2 − i| = z + 2 − i = z + 2 + i = |z − (−2 − i)| = 4. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(−2; −1), bán kính R = 4.  Chọn đáp án B Câu 876. Cho số phức z 6= 1 thỏa mãn z 3 = 1. Tính (1 − z + z 2018 )(1 + z − z 2018 ). A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. Lời giải. Từ z 3 = 1 suy ra z 2018 = (z 3 )672 · z 2 = z 2 . Vì z 2 + z + 1 = 0 nên (1 − z + z 2018 )(1 + z − z 2018 ) = (1 − z + z 2 )(1 + z − z 2 ) = 1 − (z − z 2 )2 = [1 − (z − z 2 )][1 + (z − z 2 )] = 4 − (1 + z + z 2 ) = 4.  Chọn đáp án C Câu 877. Cho hai số phức z, w thay đổi thoả mãn |z| = 3, |z − w| = 1. Biết tập hợp điểm của số phức w là hình phẳng H. Tính diện tích S của hình H. A. S = 20π. Lời giải. B. S = 16π. C. S = 4π. D. S = 12π. Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z, w. Suy ra M nằm trên đường tròn tâm O, bán kính bằng 3. Vì |z − w| = 1 nên M N = 1, do đó N nằm trên đường tròn tâm O bán kính bằng 4 hoặc bằng 2. Suy ra S = 42 · π − 22 · π = 12π.  Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 216 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 878. Cho các số phức z thỏa mãn |z| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = 3 − 2i + (4 − 3i)z là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r = 20. B. r = 5. √ D. r = 2 5. C. r = 10. Lời giải. Ta có w = 3 − 2i + (4 − 3i)z ⇔ w − (3 − 2i) = (4 − 3i)z ⇔ |w − (3 − 2i)| = |(4 − 3i)z| ⇔ |w − (3 − 2i)| = 10. Vậy r = 10.  Chọn đáp án C Câu 879. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn |z + 2 − i| + |z − 4 − i| = 10. A. 15π. B. 20π. C. 12π. D. Đáp án khác. Lời giải. Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z, F1 (−2; 1), F2 (4; 1), ta y có: F1 F2 = 6. Điều kiện đã cho tương đương M F1 + M F2 = 10. Do đó tập hợp các điểm M là elip có 2c = F1 F2 = 6 ⇒ c = 3, 2a = 10 ⇒ a = 5. Suy ra b = 4. Vậy diện tích elip là S = πab = 20π. F1 −2 F2 1 O 4  Chọn đáp án B Câu 880. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z| = A. 4. x B. 3. √ 2 và z 2 là số thuần ảo? C. 2. D. 1. Lời giải. √ Đặt z = a + bi với a, b ∈ R. Ta có |z| = a2 + b2 và z 2 = a2 − b2 + 2abi. Theo giả thiết ta có ( ( a2 + b 2 = 2 a2 + b 2 = 2 ⇔ a2 − b 2 = 0 a = ±b. Hệ này có 4 nghiệm phân biệt (1; −1), (1; 1), (−1; 1), (−1; −1).  Chọn đáp án A Câu 881. Tính môđun của số phức z thoả mãn 3z · z̄ + 2017 (z − z̄) = 48 − 2016i √ √ A. |z| = 4. B. |z| = 2016. C. |z| = 2017. D. |z| = 2. Lời giải. Giả sử z = a + bi, từ giả thiết ta có 3|z|2 = 48 − 2016i − 2b · 2017i = 48 (vì |z|2 ∈ R), suy ra |z| = 4.  Chọn đáp án A Câu 882. Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) thỏa mãn z + 2 + i − |z|(1 + i) = 0 và |z| > 1. Tính P = a + b. A. P = 3. B. P = −1. C. P = −5. D. P = 7. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 217 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có z + 2 + i − |z|(1 + i) = 0 ⇔» z = (|z| − 2) + (|z| − 1) i. Lấy mô-đun hai vế, ta được |z| = (|z| − 2)2 + (|z| − 1)2 ” |z| = 1 loại do |z| > 1 ⇒ |z|2 = 2|z|2 − 6|z|2 + 5 ⇒ . |z| = 5 thỏa |z| > 1 Với |z| = 5 ⇒ z = (|z| − 2) + (|z| − 1) i = 3 + 4i. Suy ra a = 3, b = 4. Vậy a + b = 7.  Chọn đáp án D Câu 883. Cho số phức z thỏa mãn (2 − 3i)z + (4 + i)z = −(1 + 3i)2 . Xác định phần thực và phần ảo của z. A. Phần thực là −2; phần ảo là 3. B. Phần thực là −3; phần ảo là 5i. C. Phần thực là −2; phần ảo là 5i. D. Phần thực là −2; phần ảo là 5. Lời giải. Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi, ta có 2 (2−3i)z ⇔ (2−3i)(a+bi)+(4+i)(a−bi) = 8−6i ⇔ 3a+2b−(a+b)i = 4−3i. (+(4+i)z = −(1+3i) ( 3a + 2b = 4 a = −2 Do đó ⇔ a+b=3 b = 5. Vậy z = −2 + 5i.  Chọn đáp án D Câu 884. Cho số phức z thỏa mãn z − 4 = (i + 1)|z| − (3z + 4)i. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. |z| ∈ (6; 9). B. |z| ∈ (4; 6). C. |z| ∈ (1; 4). D. |z| ∈ (0; 1). Lời giải. Ta có z − 4 = (i + 1)|z| − (3z + 4)i ⇔ (1 + 3i)z = (4 + |z|) + (|z| − 4) i. Lấy mô-đun hai vế, ta được |1 + 3i| · |z| = » (4 + |z|)2 + (|z| − 4)2 ⇔ 10|z|2 = 2|z|2 + 32 ⇔ |z|2 = 4 ⇔ |z| = 2.  Chọn đáp án C Câu 885. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z −(2−3i)| ≤ 2. A. Một đường thẳng. B. Một hình tròn. C. Một đường tròn. D. Một đường Elip. Lời giải. Đặt z = x + yi (x, y ∈ R). Khi đó, |z − (2 − 3i)| ≤ 2 ⇔ |x + yi − (2 − 3i)| ≤ 2 ⇔ |(x − 2) + (y + 3)i| ≤ 2 ⇔ (x − 2)2 + (y + 3)2 ≤ 4. Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm bên trong hình tròn tâm I(2; −3), bán kính R = 2.  Chọn đáp án B Câu 886. Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ Z) thỏa mãn (2 + 3i)|z| = (4 + 3i)z − 15(1 − i). Tính a − b. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 218 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. −1. Chương 3-Giải tích 12 B. 3. C. 5. D. 7. Lời giải. Ta thấy ⇔ ⇔ (2 + 3i)|z| = (4 + 3i)z − 15(1 − i) √ √ 2 a2 + b2 + 3 a2 + b2 i = (4a − 3b − 15) + (3a + 4b + 15)i ( √ 2 a2 + b2 = 4a − 3b − 15 (I) √ 3 a2 + b2 = 3a + 4b + 15. Từ hệ (I) ta được 6a − 17b − 75 (1) ( = 0. a=4 Vì a, b ∈ Z nên từ (1) ta được ⇒ a − b = 7. b = −3 Cách khác: Ta có (2 + 3i)|z| = (4 + 3i)z − 15(1 − i) ⇔ ⇔ ⇒ 25z = (17|z| + 15) + (6|z| − 15 · 7) i ( 25a = 17|z| + 15 25b = 6|z| − 15 · 7 25(a − b) = 11|z| + 15 · 8. (2) Mặt khác, ta có (2 + 3i)|z| = (4 + 3i)z − 15(1 − i) ⇔ (4 + 3i)z = (2 + 3i)|z| + 15(1 − i) ⇔ 25|z|2 = (2|z| + 15)2 + (3|z| − 15)2 ⇒ |z| = 5. (3) Từ (2) và 3 ta được a − b = 7. Chọn đáp án D  Câu 887. Tìm số phức z thỏa mãn z + 2 − 3i = 2z. A. z = 2 + i. B. z = 2 − i. C. z = 3 − 2i. D. z = 3 + i. Lời giải. Đặt z = a + bi với a, b ∈ R. Khi đó (a + bi) + 2 − 3i = 2(a − bi) ⇔ ( a + 2 = 2a b − 3 = −2b ⇔ ( a=2 ⇒ z = 2 + i. b=1  Chọn đáp án A Câu 888. Tìm số phức z = a + bi (với a, b là các số thực và a2 + b2 6= 0) thỏa mãn điều kiện z(2 + i − z) = |z|2 . Tính S = a2 + 2b2 − ab A. S = 3. Lời giải. B. S = −1. C. S = 2. z(2 + i − z) = |z|2 ⇔ (a − bi)(2 + i) = 2(a2 + b2 ) ⇔ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 219 D. S = 1. ( 2a + b = 2(a2 + b2 ) a − 2b = 0. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Thay a = 2b vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được   1 b = 1 b= ⇒a=1 2 2 2 2 (Do a2 + b2 6= 0). 5b = 2 · 5b ⇔ 5b = 10b ⇔  ⇔  b=0⇒a=0 a=1 Vậy S = a2 + 2b2 − ab = 1. Chọn đáp án D  Câu 889. Tìm môđun của số phức z thỏa mãn điều kiện z(4 − 3i) = 2 + |z|. 1 C. |z| = 4. D. |z| = 3. A. |z| = 2. B. |z| = . 2 Lời giải. Đặt z = x + yi với x, y ∈ R. Ta có p (x + yi)(4 − 3i) = 2 + x2 + y 2 ⇔ p ( 4x + 3y = 2 + x2 + y 2 − 3x + 4y = 0. 4 Thay x = y, ta có 3 4y 16y 2 + 3y = 2 + + y 2 ⇔ 25y − 5|y| = 6. 3 9 3 2 1 y ≥ 0, suy ra y = ⇒ x = , ta có |z| = . 10 5 2 1 4 y < 0, suy ra y = ⇒ x = , trường hợp này loại. 5 15 Cách khác: Lấy mô-đun hai vế của đẳng thức, suy ra 4· 1 |z(4 − 3i)| = |2 + |z|| ⇔ 5|z| = 2 + |z| ⇔ |z| = . 2  Chọn đáp án B Câu 890. Tập hợp các điểm biểu diến số phức z thỏa mãn |z − i| = |(1 + i)z| là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. (1; 1). B. (0; −1). C. (0; 1). D. (−1; 0). Lời giải. Giả sử z = x + yi, với x, y ∈ R. Ta có |x + yi − i| = |(1 + i)(x + yi)| ⇔ |x + (y − 1)i| = |x − y + (x + y)i| ⇔ x2 + (y − 1)2 = (x − y)2 + (x + y)2 ⇔ x2 + y 2 + 2y − 1 = 0 ⇔ x2 + (y + 1)2 = 2. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; −1), bán kính R = √ 2.  Chọn đáp án B Câu 891. Cho hai số phức z, w thỏa mãn các điều kiện |z + w| = √ |z − 2w| = 5 2. Giá trị của biểu thức P = z · w + zw bằng A. 1. B. 2. C. 4. √ 17, |z + 2w| = √ 58 và D. 3. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 220 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có |z + w|2 = (z + w)(z + w) = z · z + w · w + z · w + wz = 17. (1) 2 Lại có |z + 2w| = (z + 2w) (z + 2w) = z · z + 4w · w + 2z · w + 2wz = 58. (2) 2 Thêm nữa |z − 2w| = (z − 2w) (z − 2w) = z · z + 4w · w − 2z · w − 2wz = 50. (3) Từ (1), (2) và (3) ta được hệ phương trình     z + w · w + z · w + wz = 17 z·z =2 z ·     z · z + 4w · w + 2 (z · w + wz) = 58 ⇔ w · w = 13       z · z + 4w · w − 2 (z · w + wz) = 50 z · w + wz = 2. Vậy z · w + wz = 2.  Chọn đáp án B Câu 892. Cho số phức z thỏa mãn (3 + 2i)z + (2 − i)2 = 4 + i. Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Lời giải. Ta có (3 + 2i)z + (2 − i)2 = 4 + i ⇔ (3 + 2i)z = 4 + i − (2 − i)2 ⇔ (3 + 2i)z = 1 + 5i 1 + 5i ⇔ z= 3 + 2i ⇔ z = 1 + i. Suy ra phần thực là 1 và phần ảo là 1. Vậy hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là 0.  Chọn đáp án D i − 2z là Câu 893. Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)z − (2 − i)z = 3. Mô-đun của số phức w = 1−i √ √ √ √ 122 3 10 45 122 A. . B. . C. . D. . 5 2 4 2 Lời giải. Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi. Ta có (1 + i)z − (2 − i)z = 3 ⇔ (1 + i)(a + bi) − (2 − i)(a − bi) = 3 ⇔ −a + (2a + 3b)i = 3 ( −a=3 ⇔ 2a + 3b = 0 ( a = −3 ⇔ b=2 ⇒ z = −3 + 2i. √ i − 2z i − 2(−3 + 2i) 6 − 3i 9 3 3 10 Do đó w = = = = + i ⇒ |w| = . 1−i 1−i 1−i 2 2 2 Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 221  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 894. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 3 + 4i| ≤ 2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 2z + 1 − i là hình tròn có diện tích A. S = 25π. B. S = 9π. C. S = 12π. D. S = 16π. Lời giải. Từ giả thiết ta suy ra |2z − 6 + 8i| ≤ 4 ⇔ |(2z + 1 − i) − (7 − 9i)| ≤ 4 ⇔ |w − (7 − 9i)| ≤ 4 nên tập hợp các điểm biểu diễn cho w trong mặt phẳng Oxy là hình tròn có bán kính bằng 4, do đó diện tích hình tròn này bằng 16π.  Chọn đáp án D Câu 895. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện |z + i + 1| = |z − 2i| và |z| = 1. A. 0. B. 2. C. 1. D. 4. Lời giải. Gọi z = x + yi với x, y ∈ R. Theo giả thiết |z| = 1 ⇔ x2 + y 2 = 1 (1). Mặt khác |z + i + 1| = |z − 2i| ⇔ |x + yi + i + 1| = |x − yi − 2i| ⇔ |(x + 1) + (y + 1)i| = |x − (y + 2)i| » » (x + 1)2 + (y + 1)2 = x2 + (y + 2)2 ⇔ ⇔ (x + 1)2 + (y + 1)2 = x2 + (y + 2)2 ⇔ x − y − 1 = 0 ⇔ y = x − 1. " Thay y = x − 1 vào (1), ta được x2 + (x − 1)2 = 1 ⇔ 2x2 − 2x = 0 ⇔ x=0 x = 1. Với x = 0 ⇒ y = −1 ⇒ z = −i. Với x = 1 ⇒ y = 0 ⇒ z = 1. Vậy có 2 số phức z thỏa mãn bài. Chọn đáp án B  Câu 896. Cho z1 , z2 thỏa mãn |2z − i| = |2 + iz| và |z1 − z2 | = 1. Giá trị của biểu thức P = |z1 + z2 | bằng √ √ 3 A. . B. 3. 2 Lời giải. Đặt z = x + yi, (x, y ∈ R. Ta có C. √ √ 2. D. 2 . 2 |2z − i| = |2 + iz| ⇔ (2x)2 + (2y − 1)2 = (2 − y)2 + x2 ⇔ 3x2 + 3y 2 = 3 ⇔ x2 + y 2 = 1. Vậy tập hợp điểm biểu diễn của z là đường tròn (C) tâm O(0; 0), bán kính R = 1. Gọi A là điểm biểu diễn của z1 và B là điểm biểu diễn của z2 . Khi đó ta có A, B thuộc (C); O AB = |z1 − z2 | = 1; điểm biểu diễn của số phức |z1 + z2 | = 2 · z1 + z2 là trung điểm I của AB, suy ra 2 I B A √ √ z1 + z2 = 2OI = 2 OA2 − AI 2 = 3. 2  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 222 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 897. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + 2i)2 z + z = 4i − 20. Tìm |z|. A. |z| = 25. B. |z| = 7. C. |z| = 4. D. |z| = 5. Lời giải. Viết z = a + bi, với a, b ∈ R. Khi đó, ta có (1 + 2i)2 z + z = 4i − 20 ⇔ (−3 + 4i)(a + bi) + (a − bi) = 4i − 20 ⇔ (−2a − 4b + 20) + (4a − 4b − 4)i = 0 ( − 2a − 4b + 20 = 0 ⇔ 4a − 4b − 4 = 0 ( ( a + 2b = 10 a=4 ⇔ ⇔ a−b=1 b = 3. Vậy |z| = √ √ a2 + b2 = 42 + 32 = 5.  Chọn đáp án D Câu 898. Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m sao cho tồn tại 2 số phức phân biệt z1 , z2 thoả mãn đồng thời các phương trình |z − 1| = |z − i| và |z + 2m| = m + 1. Tổng tất cả các phần tử của S là A. 1. B. 4. C. 2. D. 3. Lời giải. Giả sử z = x + yi, x, y ∈ R. Ta có |z + 2m| = m + 1 ≥ 0. TH 1. m + 1 = 0 ⇔ m = −1 suy ra z = 2 (loại) vì không thỏa mãn phương trình |z − 1| = |z − i| . TH 2. m + 1 > 0 ⇔ m > −1 (1). Theo đề bài ta có ( ⇔ ⇔ ⇔ |z − 1| = |z − i| |z + 2m| = m + 1 ( (x − 1)2 + y 2 = x2 + (y − 1)2 (x + 2m)2 + y 2 = (m + 1)2 ( y=x (x + 2m)2 + y 2 = (m + 1)2 ( y=x 2×2 + 4mx + 3m2 − 2m − 1 = 0. (∗) Để tồn tại hai số phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt √ √   ⇔ ∆0 = 4m2 − 2 3m2 − 2m − 1 = 2 −m2 + 2m + 1 > 0 ⇔ 1 − 2 < m < 1 + 2. (2) Kết hợp điều kiện (1) và (2), m ∈ Z thì m ∈ S = {0; 1; 2}. Vậy tổng các phần tử của S là: 0 + 1 + 2 = 3.  Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 223 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 2 Câu 899. Cho số phức z thỏa mãn z + 3z = 1 − 2i . Phần ảo của z là 3 C. 2. A. −2. B. . 4 Lời giải. Giả sử z = x + yi, (x, y ∈ R) ⇒ z = x − yi. 2 Ta có 1 − 2i = −3 + 4i ⇒ z + 3z = −3 + 4i ⇔ 3 D. − . 4  x = − 3 4 ⇔  − 2y = 4 y = −2. ( 4x = −3 Do vậy, phần ảo của z là y = −2.  Chọn đáp án A Câu 900. Cho cặp số (x; y) thỏa mãn (2x − y)i + y(1 − 2i) = 3 + 7i. Khi đó biểu thức P = x2 − xy nhận giá trị nào sau đây? A. 30. B. 40. C. 10. D. 20. Lời giải. Ta có (2x − y)i + y(1 − 2i) = 3 + 7i ⇔ y + (2x − 3y)i = 3 + 7i ⇔ ( y=3 2x − 3y = 7 ⇔ ( y=3 x = 8. 2 Vậy P = x − xy = 64 − 24 = 40.  Chọn đáp án B Câu 901. Phần gạch trong hình vẽ bên là hình biểu diễn của tập hợp các số phức thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau đây A. 6 ≤ |z| ≤ 8. B. 2 ≤ |z + 4 + 4i| ≤ 4. C. 2 ≤ |z − 4 − 4i| ≤ 4. D. 4 ≤ |z − 4 − 4i| ≤ 16. y 8 O 6 x Lời giải. Nhận xét Nếu z0 = a + bi và z = x + yi thì tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa R1 ≤ |z − z0 | ≤ R2 , (R1 < R2 ) là hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn tâm I(a; b) và bán kính R1 , R2 . Theo hình vẽ, phần gạch trong hình vẽ là các điểm thuộc hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn tâm I(4; 4) bán kính R1 = 2 và R2 = 4. Vậy đáp án thỏa mãn là 2 ≤ |z − (4 + 4i)| ≤ 4 .  Chọn đáp án C Câu 902. Cho số phức z thỏa mãn |z| = m2 + 2m + 5 với m là số thực. Biết tập hợp điểm biểu diễn của số phức w = (3 + 4i)z − 2i là đường tròn. Tìm bán kính R nhỏ nhất của đường tròn đó. A. R = 5. B. R = 10. C. R = 15. D. R = 20. Lời giải. w + 2i |w + 2i| ⇒ |z| = . 3 + 4i 5 Lại có |z| = m2 + 2m + 5 ⇒ |w + 2i| = 5(m2 + 2m + 5) = 5(m + 1)2 + 20 ≥ 20. Vì tập hợp điểm biểu diễn cho w là đường tròn nên tập hợp điểm biểu diễn cho w + 2i cũng là một Có w = (3 + 4i)z − 2i ⇒ z = đường tròn có cùng bán kính. Vậy bán kính nhỏ nhất của là R = 20.  Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 224 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 903. Cho hai số phức z và w. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. (z · w) = z · w. B. z · z = z 2 . C. (z + w) = z + w. D. (z 2 ) = (z)2 . Lời giải. Ta có z · z = |z|2 6= z 2 . Nên khẳng định z · z = z 2 sai.  Chọn đáp án B Câu 904. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + z = |z| là A. hai đường thẳng. B. một parabol. C. một đường thẳng. D. một ê-líp. Lời giải. Đặt z = x + yi (x, y ∈ R). Ta có "√ p 3x + y = 0 z + z = |z| ⇒ x + yi + x − yi = x2 + y 2 ⇔ 4x2 = x2 + y 2 ⇔ 3x2 = y 2 ⇔ √ 3x − y = 0.  Chọn đáp án A 1 Câu 905. Cho số phức z = 1 − i. Tính số phức w = iz + 3z. 3 8 10 8 B. w = + i. C. w = + i. A. w = . 3 3 3 Lời giải. Å ã Å ã 1 8 1 Ta có w = i 1 + i + 3 1 − i = . 3 3 3 Chọn đáp án A D. w = 10 . 3  Câu 906. Cho số phức z = (1 + i)2 (1 + 2i). Số phức z có phần ảo là A. 2i. B. 4. D. −4. C. 2. Lời giải. Ta có z = (1 + i)2 (1 + 2i) = −4 + 2i. Suy ra phần ảo của z là 2.  Chọn đáp án C Câu 907. Cho số phức z thỏa mãn |z| − 2z = −7 + 3i + z. Tính |z|. 13 A. 5. B. 3. C. . 4 Lời giải. D. 25 . 4 Gọi z = a + bi, ∀a, b ∈ R. Khi đó √ |z| − 2z = −7 + 3i + z ⇔ a2 + b2 − 2(a − bi) = −7 + 3i + (a + bi) (√ (√ a2 + b2 − 3a + 7 = 0 a2 + 9 = 3a − 7 ⇔ ⇔ b−3=0 b=3  7   a≥   3    (   a=4 a=4 ⇔ ⇔  5  b = 3.  a=    4    b=3 Vậy |z| = √ a2 + b2 = 5.  Chọn đáp án A Câu 908. Cho số phức z = a + bi (a, b là các số thực) thỏa mãn (1 + i)z + 2z = 3 + 2i. Tính P = a + b. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 225 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 1 B. P = − . 2 A. P = 1. 1 C. P = . 2 D. P = −1. Lời giải. (1 + i)z + 2z = 3 + 2i ⇔ (1 + i)(a + bi) + 2(a − bi) = 3 + 2i ⇔ Suy ra P = a + b = −1.  1  a = 2 ⇔  a−b=2 b = − 3 . 2 ( 3a − b = 3  Chọn đáp án D Câu 909. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn 2|z − i| = |z − z + 2i| là A. Đường B. Đường C. Đường D. Đường y2 parabol có phương trình x = . 4 x2 parabol có phương trình y = . 4 tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 1. √ √ tròn tâm I( 3; 0), bán kính R = 3. Lời giải. Giả sử z = x + yi, (x, y ∈ R). Theo bài ra ta có 2|x + yi − i| = |x + yi − (x − yi) + 2i| ⇔ 2|x + (y − 1)i| = 2|(y + 1)i| ⇔ x2 + (y − 1)2 = (y + 1)2 ⇔ x2 = 4y. Vậy tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn là đường parabol có x2 phương trình y = . 4 Chọn đáp án B  Câu 910. Cho số phức z thỏa mãn (1−i)z+(3−i)z = 2−6i. Tìm mô-đun của số phức w = 2z+2. √ √ √ √ A. 6 2. B. 7. C. 34. D. 2 3. Lời giải. Giả sử z = x + yi, (x, y ∈ R). Khi đó ta có (1 − i)(x + yi) + (3 − i)(x − yi) = 2 − 6i ⇔ (x + y) + (y − x)i + (3x − y) − (x + 3y)i = 2 − 6i ⇔ 4x − (2x + 2y)i = 2 − 6i  1 (  x = 4x = 2 2 ⇔ ⇔ 5  2x + 2y = 6 y = . 2 Å ã √ 1 5 Từ đó suy ra w = 2 + i + 2 = 3 + 5i nên |w| = 34. 2 2 Chọn đáp án C Câu 911. Cho các số phức z1 và |z1 |2 + |z2 |2 = |z1 − z2 |2 . 2 A. − . B. 3 Lời giải.  = 2 + i, z2 = x + yi. Tính tổng S = x + y biết |z2 + i| = |z2 − 1 + 2i| 4 . 3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 4 C. − . 3 226 D. 2 . 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có |z2 + i| = |z2 − 1 + 2i| ⇔ |x + (y + 1)i| = |(x − 1) + (y + 2)i| ⇔ x2 + (y + 1)2 = (x − 1)2 + (y + 2)2 ⇔ x − y − 2 = 0. (1) Lại có |z1 |2 + |z2 |2 = |z1 − z2 |2 ⇔ |2 + i|2 + |x + yi|2 = |(2 − x) + (1 − y)i|2 ⇔ 5 + x2 + y 2 = (2 − x)2 + (1 − y)2 ⇔ 2x + y = 0. (2)  2  x = 3 ⇒ S = x + y = −2. Từ (1) và (2), suy ra  3 y = − 4 3 Chọn đáp án A  Câu 912. Cho a, b ∈ R và thỏa mãn (a + bi)i − 2a = 1 + 3i, với i là đơn vị ảo. Giá trị a − b bằng A. −4. B. 4. D. −10. C. 10. Lời giải. ( Ta có (a + bi)i − 2a = 1 + 3i ⇔ −2a − b + ai = 1 + 3i ⇔ − 2a − b = 1 a=3 ⇔ ( a=3 b = −7. Do đó a − b = 10.  Chọn đáp án C Câu 913. Tổng phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn iz + (1 − i)z = −2i bằng A. −6. B. −2. C. 2. D. 6. Lời giải. Đặt z = a + bi, (a; b ∈ R). Khi đó ta có iz + (1 − i)z = −2i ⇔ i(a + bi) + (1 − i)(a − bi) = −2i ⇔ ia − b + a − bi − ai − b = −2i ⇔ a − 2b + (2 − b)i = 0 ( ( 2−b=0 b=2 ⇔ ⇔ a − 2b = 0 a = 4. Tổng phần thực và phần ảo của z là 2 + 4 = 6.  Chọn đáp án D Câu 914. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn 2|z − i| = |z − z + 2i| là A. Một parabol. B. Một đường tròn. C. Một đường thẳng. D. Một điểm. Lời giải. Giả sử z = x + yi, (x; y ∈ R). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 227 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có 2|z − i| = |z − z + 2i| ⇔ 2|x + yi − i| = |x + yi − x + yi + 2i| » ⇔ 2 x2 + (y − 1)2 = 2|y + 1| 1 ⇔ y = x2 . 4 Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn đề bài là một đường parabol.  Chọn đáp án A Câu 915. Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn |z| − 2z = −7 + 3i + z. Mô-đun của số phức w = 1 − z + z 2 . √ √ B. |w| = 425. A. |w| = 37. C. |w| = √ 457. D. |w| = √ 445. Lời giải. Đặt z = a + bi (a; b ∈ R). Ta có: √ |z| − 2z = −7 + 3i + z ⇔ a2 + b2 − 2(a − bit) = −7 + 3i + a + bi √ ⇔ a2 + b2 − 2a + 2bi = a − 7 + (b + 3)i ( 2b = b + 3 ⇒ b = 3 (1) ⇔ √ a2 + b2 − 2a = a − 7. (2)  7   a≥  (   3 √ 3a − 7 ≥ 0 2 Thay (1) vào (2) ta được a + 9 = 3a − 7 ⇔ ⇔ a = 4 ⇒ a = 4.  a2 + 9 = (3a − 7)2      a= 5 4 √ Vậy z = 4 + 3i ⇒ w = 1 − z + z 2 = 4 + 21i ⇒ |w| = 457.  Chọn đáp án C Câu 916. Cho hai số phức z1 = 3 − 7i và z2 = 2 + 3i. Tìm số phức z = z1 + z2 . A. z = 1 − 10i. B. z = 5 − 4i. C. z = 3 − 10i. D. z = 3 + 3i. Lời giải. Ta có z = z1 + z2 = 3 − 7i + 2 + 3i = 5 − 4i.  Chọn đáp án B Câu 917. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 3 + 4i| ≤ 2. Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 2z + 1 − i là hình tròn có diện tích A. 9π. B. 12π. C. 16π. D. 25π. Lời giải. w 1−i − . 2 2 w 1−i 1 Suy ra |z − 3 + 4i| ≤ 2 ⇔ − − 3 + 4i ≤ 2 ⇔ |w − (1 + 23i)| ≤ 2 ⇔ |w − (1 + 23i)| ≤ 4. 2 2 2 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho w là hình tròn tâm A(1; 23), bán kính R = 4, có diện tích S = π × R2 = 16π. Ta có w = 2z + 1 − i ⇔ z =  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 228 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 918. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện |z + 1 + 2i| = 1 là A. Đường tròn tâm I(1; 2), bán kính R = 1. B. Đường tròn tâm I(−1; −2), bán kính R = 1. C. Đường tròn tâm I(−1; 2), bán kính R = 1. D. Đường tròn tâm I(1; −2), bán kính R = 1. Lời giải. Gọi z = x + yi, x, y ∈ R được biểu diễn bởi điểm M (x; y). Ta có |z + 1 + 2i| = 1 ⇔ |x − yi + 1 + 2i| = 1 ⇔ (x + 1)2 + (y − 2)2 = 1. Vậy nên M thuộc đường tròn tâm I(−1; 2), bán kính R = 1.  Chọn đáp án C Câu 919. Nếu hai số thực x, y thỏa mãn x(3 + 2i) + y(1 − 4i) = 1 + 24i thì x − y bằng A. 3. B. −3. C. −7. D. 7. Lời giải. Ta có x(3 + 2i) + y(1 − 4i) = 1 + 24i ⇔ 3x + y + (2x − 4y)i = 1 + 24i ( 3x + y = 1 ⇔ 2x − 4y = 24 ( x=2 ⇔ y = −5 ⇒ x − y = 7.  Chọn đáp án D Câu 920. Gọi z1 , z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn |z − 3 + 5i| = 5 và |z1 − z2 | = 6. Tìm mô-đun của số phức w = z1 + z2 − 6 + 10i. A. |w| = 10. B. |w| = 32. C. |w| = 16. D. |w| = 8. Lời giải. ( w1 = z1 − 3 + 5i Đặt ⇒ w1 + w2 = z1 + z2 − 6 + 10i = w. w2 = z2 − 3 + 5i ( |w1 | = |w2 | = 5 Mà |w1 − w2 | = |z1 − z2 | = 6. Mặt khác |w1 + w2 |2 + |w1 − w2 |2 = 2 (|w1 |2 + |w2 |2 ) ⇒ |w1 + w2 |2 = 64. Vậy |w| = |w1 + w2 | = 8.  Chọn đáp án D Câu 921. Tìm số phức liên hợp của số phức z = i(3i + 1). A. z = 3 + i. B. z = −3 + i. C. z = 3 − i. D. z = −3 − i. Lời giải. Ta có z = i(3i + 1) = 3i2 + i = −3 + i ⇒ z = −3 − i.  Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 229 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 922. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 2 − 2018z = 2019 |z|2 ? B. 2. A. Vô số. C. 1. D. 0. Lời giải. Đặt z = a + bi, (a, b ∈ R). 2 Ta có z 2 − 2018z = 2019 |z| ⇔ " Từ (2) ta được ( 2  a − b2 − 2018a = 2019 a2 + b2 (1) 2ab − 2018b = 0 (2). b=0 a = 1009. " Thay b = 0 vào (1) ta được −2018a = 2018a2 ⇔ a=0 a = −1. Do đó trường hợp này ta có 2 số phức thỏa yêu cầu là z = 0; z = −1. Thay a = 1009 vào (1) ta được −2018 · 1009 · 1010 = 2020b2 vô nghiệm do b ∈ R. Vậy có 2 số phức z thỏa mãn.  Chọn đáp án B Câu 923. Cho số phức z thỏa z + 2z̄ = 2 + 3i, thì |z| bằng √ 85 29 29 . B. . C. . A. 3 3 3 Lời giải. Gọi z = a + bi, a, b ∈ R, suy ra z̄ = a − bi. Ta có z + 2z̄ = 2 + 3i ⇔ a + bi + 2(a − bi) = 2 + 3i ⇔ √ D. 85 . 3  a = 2 3 . ⇔  −b=3 b = −3 ( 3a = 2 √ 85 . 3 Chọn đáp án D ⇒ |z| =  Câu 924. Nếu số phức z = 1 − i thì z 10 bằng B. −32. A. 32i. C. −32i. D. 32. Lời giải. 5 Ta có z 10 = (z 2 ) = (−2i)5 = −32i.  Chọn đáp án C Câu 925. Giá trị của √ A. 17.  1 − i (2 + i) − i bằng √ B. 5. C. 3. D. √ 13. Lời giải. Ta có  1 − i (2 + i) − i = (1 + i)(2 + i) − i = 1 + 2i. Vậy √  1 − i (2 + i) − i = |1 + 2i| = 5.  Chọn đáp án B Câu 926. Cho số phức z thỏa mãn 3z + (1 + i)z = 1 − 5i. Tìm mô-đun của z. √ √ √ A. |z| = 5. B. |z| = 5. C. |z| = 13. D. |z| = 10. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 230 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Giả sử z = a + bi, a, b ∈ R. Ta có 3(a − bi) + (1 + i)(a + bi) = 1 − 5i ⇔ 4a − b + (a − 2b)i = 1 − 5i ( ( 4a − b = 1 a=1 ⇔ ⇔ a − 2b = −5 b = 3. Vậy |z| = √ 10.  Chọn đáp án D Câu 927. Xét các số phức z thỏa mãn (2 − z)(z + i) là số thuần ảo. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ là √ Å ã 1 5 A. Đường tròn có tâm I 1; , bán kính R = . 2 2 √ ã Å 5 1 . B. Đường tròn có tâm I −1; − , bán kính R = 2 2 √ C. Đường tròn có tâm I (2; 1), bán kính R = 5. √ ã Å 5 1 , bán kính R = nhưng bỏ hai điểm A(2; 0) và B(0; 1). D. Đường tròn có tâm I 1; 2 2 Lời giải. Giả sử z = x + yi, với x, y ∈ R. Khi đó (2 − z)(z + i) = (2 − x − yi) (x − yi + i) = −x2 − y 2 + 2x + y − 2yi − xi + 2i. Để (2 − z)(z + i) là số thuần ảo thì ã 1 2 5 −x − y + 2x + y = 0 ⇔ x + y − 2x − y = 0 ⇔ (x − 1) + y − = . 2 4 √ ã Å 1 5 , bán kính R = . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn có tâm I 1; 2 2 Chọn đáp án A 2 2 2 2 2 Å  Câu 928. Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |iz − 2i + 1| = 2 là đường tròn có tọa độ tâm là B. (2; −1). A. (2; 1). Lời giải. C. (−2; 1). D. (−2; −1). Gọi z = a + bi với a, b ∈ R. Khi đó |iz − 2i + 1| = 2 ⇔ |ai − b − 2i + 1| = 2 ⇔ (b − 1)2 + (a − 2)2 = 4. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |iz − 2i + 1| = 2 là đường tròn có tọa độ tâm I(2; 1). Chọn đáp án A  Câu 929. Xét các số phức z thỏa mãn (z − 4i)(z + 2) là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm của đường tròn đó. A. (−1; −2). B. (−1; 2). C. (1; 2). D. (1; −2). Lời giải. Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R). Ta có (z − 4i)(z + 2) = [x + (y − 4)i][(x + 2) − yi] = x(x + 2) − xyi + (x + 2)(y − 4)i + y(y − 4) = (x2 + y 2 + 2x − 4y) + (−4x + 2y − 8)i. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 231 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Do đó (z − 4i)(z + 2) là số thuần ảo ⇔ x2 + y 2 + 2x − 4y = 0. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn có tâm (−1; 2).  √ Câu 930. Cho số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện |z − 3 − 4i| = 5 và |z + 2|2 − |z − i|2 = 33. Môđun của số phức z − 2 − i bằng √ A. 5. B. 9. C. 25. D. 5. Chọn đáp án B Lời giải. Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R). Khi đó ( √ |z − 3 − 4i| = 5 |z + 2|2 − |z − i|2 = 33 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ( (x − 3)2 + (y − 4)2 = 5 (x + 2)2 + y 2 − [x2 + (y − 1)2 ] = 33 ( (x − 3)2 + (y − 4)2 = 5 y = 15 − 2x ( (x − 3)2 + (11 − 2x)2 = 5 y = 15 − 2x ( x=5 y = 5. Do đó z = 5 + 5i ⇒ |z − 2 − i| = |3 + 4i| = 5.  Chọn đáp án D Câu 931. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z sao cho z 2 là số thuần ảo. A. Trục Ox. B. Hai đường thẳng y = x, y = −x, bỏ đi điểm O(0; 0). C. Hai đường thẳng y = x, y = −x. D. Trục Oy. Lời giải. Đặt z = x + yi, (x, y ∈ R). Khi đó z 2 = x2 − y 2 + 2xyi. Ta có z 2 là số thuần ảo ⇔ x2 − y 2 = 0 ⇔ y = ±x. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z sao cho z 2 là số thuần ảo là hai đường thẳng y = x và y = −x.  Chọn đáp án C Câu 932. Cho số phức z thỏa mãn |z| = √ 5. Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (1+2i)z+i là một đường tròn. Tìm bán kính r của đường tròn đó. √ A. r = 5. B. r = 10. C. r = 5. √ D. r = 2 5. Lời giải. Ta có w = (1 + 2i)z + i ⇔ w − i = (1 + 2i)z ⇒ |w − i| = |(1 + 2i)z| √ √ ⇔ |w − i| = |(1 + 2i)| · |z| ⇔ |w − i| = 1 + 22 · 5 ⇔ |w − i| = 5. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn bán kính r = 5. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 232 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án C Câu 933. Cho số phức z = a + bi với a, b ∈ R thỏa (1 + i)z + 2z = 3 + 2i. Tính P = a + b. 1 1 D. P = . A. P = 1. B. P = −1. C. P = − . 2 2 Lời giải. (1 + i)z + 2z = 3 + 2i ⇔ (1 + i)(a + bi) + 2(a − bi) = 3 + 2i ⇔ 3a − b + (a − b)i = 3 + 2i  1 ( (  a = 3a − b = 3 3a − b = 3 2 ⇔ ⇔ ⇔  a−b=2 a−b=2 b = − 3 . 2 1 3 − = −1. 2 2 Chọn đáp án B Vậy a + b =  Câu 934. Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện |z − 3 − 4i| = 2 √ 5 và biểu thức M = 2 |z + 2| − |z − i| đạt giá trị lớn nhất. Tính mô-đun của số phức z + i. √ √ √ A. |z + i| = 61. B. |z + i| = 5 2. C. |z + i| = 3 5. √ D. |z + i| = 2 41. Lời giải. Gọi z = x + yi với (x; y ∈ R). √ Ta có |z − 3 − 4i| = 5 ⇔ (x − 3)2 + (y − 4)2 = 5. Theo giả thiết M = |z + 2|2 − |z − i|2 = ((x + 2)2 + y 2 ) − (x2 + (y − 1)2 ) = 4x + 2y + 3. Từ đó suy ra M − 23 = 4(x − 3) + 2(y − 4) » √ (16 + 4) [(x − 3)2 + (y − 4)2 ] = 20 · 5 = 10. ≤ Vậy M ≤ 33 và M = 33 xảy ra khi ( 4x + 2y + 3 = 33 (x − 3)2 + (y − 4)2 = 5 Vậy z = 5 + 5i ⇒ |z + i| = |5 + 6i| = ⇔ ( y = 15 − 2x (x − 3)2 + (11 − 2x)2 = 5 ⇔ ( y=5 x = 5. √ 61.  Chọn đáp án A Câu 935. Cho số phức z = 3 − 2i. Tìm phần ảo của số phức w = (1 + 2i)z. A. 4. C. −4. B. 7. D. 4i. Lời giải. Ta có w = (1 + 2i)(3 − 2i) = 7 + 4i. Suy ra phần ảo của w bằng 4.  Chọn đáp án A Câu 936. Cho số phức z thỏa mãn z(1 + 2i) − z(2 − 3i) = −4 + 12i. Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức z. A. M (3; 1). B. M (3; −1). C. M (−1; 3). D. M (1; 3). Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 233 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Đặt z = x + yi với x, y ∈ R. Ta có (x + yi)(1 + 2i) − (x − yi)(2 − 3i) = −4 + 12i ⇔ (x − 2y − 2x + 3y) + (2x + y + 3x + 2y)i = −4 + 12i ( ( − x + y = −4 x=3 ⇔ ⇔ 5x + 3y = 12 y = −1. Suy ra z = 3 − i, điểm biểu diễn số phức z là M (3; −1).  Chọn đáp án B Câu 937. Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn phương trình |z − 2 − 3i| = 5 và |z1 − z2 | = 6. Biết tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w = z1 + z2 là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. √ A. 8. B. 4. C. 2 2. D. 2. Lời giải. Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 . Từ các giả thiết z1 , z2 thỏa mãn phương trình |z − 2 − 3i| = 5 và |z1 − z2 | = 6 suy ra B W A, B thuộc đường tròn tâm I(2; 3) (là điểm biểu diễn của số phức z0 = 2 + 3i) bán kính R = 5 đồng thời thỏa mãn AB = 6. Ta có I (w − z0 ) − z0 = (z1 − z0 ) + (z2 − z0 ) A nên w − z0 có điểm biểu diễn W chính là đỉnh thứ tư của hình thoi IAW B. Do đó |w − 2z0 |2 = IW 2 = 4IA2 − AB 2 = 4 · 52 − 62 = 64 ⇒ |w − 2z0 | = 8. Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w là đường tròn tâm J(4; 6), bán kính r = 8. Chọn đáp án A Câu 938. Tìm số z thỏa mãn phương trình z + 2z = 2 − 4i. −2 2 −2 A. z = − 4i. B. z = − 4i. C. z = + 4i. 3 3 3 Lời giải. D. z =  2 + 4i. 3 Đặt z = a + bi, (a, b ∈ R). Khi đó, phương trình có dạng  a = 2 3 a + bi + 2(a − bi) = 2 − 4i ⇔ 3a − bi = 2 − 4i ⇔  b = 4. 2 + 4i. 3 Chọn đáp án D Vậy z =  Câu 939. Tìm các số thực x, y thỏa mãn x + (y + 2i)i = 2 + i với i là đơn vị ảo. A. x = 4; y = 1. C. x = −1; y = 2. B. x = 3; y = 2. D. x = 0; y = 1. Lời giải. Ta có x + (y + 2i)i = 2 + i ⇔ x − 2 + yi = 2 + i ⇔ ( x=4 y = 1.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 234 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 940. Xét các số phức z thỏa mãn (z + 2i + 1)(z + 3i) là số thuần ảo, biết rằng tập hợp các điểm biểu trònã đó là Å diễn ã số phức z là một Å đườngãtròn. Tâm của đường Å 1 1 1 1 1 1 A. ; . B. ;− . C. − ; − . 2 2 2 2 2 2 Lời giải. Đặt z = x + yi (x, y ∈ R). Å ã 1 1 D. − ; . 2 2 Ta có (z + 2i + 1)(z + 3i) = (x + yi + 2i + 1)(x − yi + 3i) = x2 + y 2 + x − y − 6 + (5x − y + 3)i. Vì (z + 2i + 1)(z + 3i) là số thuần ảo nên x2 + y 2 + x − y − 6 = 0.Å ã 1 1 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn tâm − ; 2 2 Chọn đáp án D  Câu 941. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M , N , P lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức 2 + 3i, 1 − 2i, −3 + i. Tọa độ điểm Q sao cho tứ giác M N P Q là hình bình hành là A. Q(0; 2). B. Q(6; 0). C. Q(−2; 6). D. Q(−4; −4). Lời giải. Ta có M (2; 3), N (1; −2), P (−3; 1). # » # » Gọi Q(x; y) ⇒ M N = (−1; −5), QP = (−3 − x; 1(− y). ( − 3 − x = −1 x = −2 # » # » Do M N P Q là hình bình hành ⇒ M N = QP ⇔ ⇔ ⇒ Q(−2; 6). 1 − y = −5 y=6  Chọn đáp án C Câu 942. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 3 + 4i| ≤ 2. Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 2z + 1 − i là hình tròn có diện tích bằng A. S = 25π. B. S = 4π. C. S = 16π. Lời giải. Do w = 2z + 1 − i ⇒ z = D. S = 9π. w−1+i , thay vào |z − 3 + 4i| ≤ 2 ta được 2 w−1+i − 3 + 4i ≤ 2 ⇔ |w − (7 − 9i)| ≤ 4. 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w là hình tròn tâm I(7; −9) bán kính R = 4. Diện tích hình tròn là S = 16π. Chọn đáp án C  Câu 943. Cho hai điểm A và B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z1 , z2 khác 0 và thỏa mãn đẳng thức z12 + z22 = z1 z2 . Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ). Chọn phương án đúng nhất A. Vuông cân tại O. B. Cân tại O. D. Vuông tại O. C. Đều. Lời giải. z12 + z22 = z1 z2 ⇒ (z1 − z2 )2 = −z1 z2 ⇒ |z1 − z2 |2 = |z1 ||z2 |. (1) z12 + z22 = z1 z2 ⇒ z1 (z1 − z2 ) = −z22 ⇒ |z1 ||z1 − z2 | = |z2 |2 ⇒ |z1 − z2 |2 = |z2 |4 . (2) |z1 |2 Từ (1) và (2) ⇒ |z1 |3 = |z2 |3 ⇒ |z1 | = |z2 |. (3) Từ (1) và (3), suy ra |z1 | = |z2 | = |z1 − z2 |, hay OA = OB = AB ⇒ 4OAB đều.  Chọn đáp án C Câu 944. Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn điều kiện z 4 = |z|. Số phần tử của z là A. 7. B. 6. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 5. 235 D. 4. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. " Ta có: z 4 = |z| ⇒ |z|4 = |z| ⇔ |z| (|z|3 − 1) = 0 ⇔ |z| = 0 |z| = 1 . |z| = 0 ⇔ z = 0.  z  z  |z| = 1 ⇔ z 4 = 1 ⇔ (z 2 − 1) (z 2 + 1) = 0⇔  z  z = −1 =1 =i = −i. Vậy có 5 số phức z thỏa mãn bài toán.  Chọn đáp án C Câu 945. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện |z · z + z| = 2 và |z| = 2? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Lời giải. Từ |z| = 2 và |z.z + z| = 2, suy ra |4 + z| = 2. Tập hợp số phức z thỏa mãn điều kiện |z| = 2 là đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R1 = 2. Tập hợp số phức z thỏa mãn điều kiện |4 + z| = 2 là đường tròn tâm I(−4; 0) bán kính R2 = 2. Do OI = 4 = R1 + R2 nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài. Suy ra có 1 số phức z thỏa mãn.  Chọn đáp án C Câu 946. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z thỏa mãn |7z − z| ≤ 10. Diện tích của hình (H) bằng 25π 7π 5π . B. . C. . A. 2 12 2 Lời giải. D. 5π. Gọi z = x + yi, x, y ∈ R. Ta thấy |7z − z| ≤ 10 ⇔ |6x + 8yi| ≤ 10 ⇔ 36x2 + 64y 2 ≤ 100 y2 x2 ⇔ Å ã2 + Å ã2 ≤ 1. 5 5 3 4 (1) Từ (1) ta được (H) là hình elip. 5 5 25π Ta có S(H) = π · · = . 3 4 12 Chọn đáp án B  Câu 947. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z 2 + 3| = 2 |z + z| và |z − 4 + 3i| = 3? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Đặt z = x + yi, x, y ∈ R. Gọi M là điểm biểu diễn của z. Ta có |z − 4 + 3i| = 3 nên M thuộc đường tròn (C1 ) có tâm I1 (4; −3) và bán kính R1 = 3. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 236 (1) https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta thấy ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ z 2 + 3 = 2 |z + z| 2 x2 − y 2 + 3 + (2xy)2 = 16x2 2  x2 − y 2 + 9 + 6 x2 − y 2 + 4x2 y 2 = 16x2 2  x2 + y 2 + 9 − 6 x2 + y 2 = 4x2 2 x2 + y 2 − 3 = 4x2 " 2 x + y 2 − 3 = −2x Đặt x I3 O I 2 M2 M1 I1 x2 + y 2 − 3 = 2x " ⇔ y (x − 1)2 + y 2 = 4 (2) (x + 1)2 + y 2 = 4. (3) Hình 1 ( (C2 ) : (x − 1)2 + y 2 = 4 (C3 ) : (x + 1)2 + y 2 = 4. Từ (1), (2) và (3), ta thấy M là điểm chung của ( (C1 ) ( (C1 ) hay (C2 ) (C3 ). Từ hình 1, ta thấy có hai điểm M thỏa mãn, tức có hai số phức thỏa mãn đề bài.  Chọn đáp án B 1 Câu 948. Cho số phức z = 1 − i. Tìm số phức w = iz + 3z. 3 10 10 8 A. w = + i. B. w = . C. w = . 3 3 3 Lời giải. ã Å Å 1 1 1 Ta có z = 1 − i ⇒ z = 1 + i. Khi đó w = iz + 3z = i 1 + i + 3 1 − 3 3 3 Chọn đáp án C Câu 949. Cho hai số phức z1 = 2 + 3i, z2 = 1 + i. Tính |z1 + 3z2 |. √ √ B. |z1 + 3z2 | = 11. C. |z1 + 3z2 | = 61. A. |z1 + 3z2 | = 11. Lời giải. Ta có z1 + 3z2 = (2 + 3i) + 3(1 + i) = 5 + 6i ⇒ |z1 + 3z2 | = √ 52 + 62 = √ D. w = 8 + i. 3 ã 1 8 i = . 3 3  D. |z1 + 3z2 | = 61. 61.  Chọn đáp án C Câu 950. Cho số phức z thỏa mãn |z−i| = |z−1+2i|. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (2−i)z+1 trên mặt phẳng là một đường thẳng. Phương trình đường thẳng đó là A. x + 7y + 9 = 0. B. x + 7y − 9 = 0. C. x − 7y − 9 = 0. D. x − 7y + 9 = 0. Lời giải. Giả sử z = x + yi, (x, y ∈ R). Ta có |z − i| = |z − 1 + 2i| ⇔ x2 + (y − 1)2 = (x − 1)2 + (y + 2)2 ⇔ x − 3y − 2 = 0. (1) 1 ( 0  x = (2x0 − y 0 − 2) x = 2x + y + 1 5 Gọi M (x0 ; y 0 ) là điểm biểu diễn của w, ta có w = (2−i)z+1 ⇔ ⇔ 0 1  y = −x + 2y  y = (x0 + 2y 0 − 1) . 5 (2) 1 3 Từ (2) và (1) ⇒ (2x0 − y 0 − 2) − (x0 + 2y 0 − 1) − 2 = 0 ⇔ x0 + 7y 0 + 9 = 0. 5 5 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 237 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Vậy tập các điểm biểu diễn của w là đường thẳng có phương trình x + 7y + 9 = 0.  Chọn đáp án A Câu 951. Cho số phức z = a + bi(a, b ∈ R) thỏa mãn (z + 1 + i)(z − i) + 3i = 9 và |z| > 2. Tính P = a + b. A. 2. C. −3 . B. 1 . D. −1. Lời giải. Phương trình tương đương |z|2 − iz + (1 + i)z + 2i − 8 = 0 Thay z = a + bi vào (1) và biến đổi ta được (1). ( a=0 ( 2   b=2 a + b2 + a + 2b − 8 = 0  2 2 a + b + a + 2b − 8 + (2 − b)i = 0 ⇔ ⇔ (  a = −1 b=2  b = 2. Vì |z| > 2 nên ta chọn ( a = −1 . Vậy P = a + b = 1. b=2  Chọn đáp án B Câu 952. Cho các số phức z thỏa mãn |z − 2i2020 | = |z − 1 + 2i|. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = 2z − 1 + 4i trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Khoảng cách từ I(2; −3) đến đường thẳng √ đó bằng 10 3 . A. 3 Lời giải. √ 18 5 B. . 5 Đặt w = x + yi, x, y ∈ R. Khi đó, x + yi = 2z − 1 + 4i ⇔ z = √ 10 5 C. . 5 √ 18 13 D. . 13 x+1 y−4 x+1 y−4 + i và z = − i. 2 2 2 2 Ta có z − 2i2020 = |z − 1 + 2i| ⇔ |z − 2| = |z − 1 + 2i| ã Å ã2 Å Å ã2 Å ã2 x+1 y−4 2 x+1 y−4 ⇔ −2 + = −1 + +2 2 2 2 2 ⇔ (x − 3)2 + (y − 4)2 = (x − 1)2 + y 2 ⇔ x + 2y − 6 = 0. Như thế, tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường thẳng ∆ : x + 2y − 6 = 0. √ |2 − 2 · 3 − 6| 10 5 √ Vậy khoảng cách từ I(2; −3) đến ∆ là = . 5 1+4 Chọn đáp án C  Câu 953. Cho số phức z khác 0 là số thuần ảo. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. z là số thực. B. z = z. C. z + z = 0. D. Phần ảo của z bằng 0. Lời giải. Ta có z = bi, với b 6= 0, suy ra z = −bi. Do đó z + z = 0.  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 238 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 954. Cho z1 , z2 là hai số phức tùy ý. Khẳng định nào dưới đây sai? A. z · z = |z|2 . B. |z1 + z2 | = |z1 | + |z2 |. C. z1 + z2 = z1 + z2 . D. |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |. Lời giải. Khẳng định |z1 + z2 | = |z1 | + |z2 | sai vì |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.  Chọn đáp án B Câu 955. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện |z1 − z2 | = |z1 | = |z2 | = 2. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z = z1 + z2 là √ √ A. Đường tròn có bán kính R = 3 3. B. Đường tròn có bán kính R = 2 3. C. Đường elip. D. Đường thẳng. Lời giải. ä Ä √ Ta có |z|2 = |z1 + z2 |2 = 2 |z1 |2 + |z2 |2 − |z1 − z2 |2 = 2(4 + 4) − 4 = 12, suy ra |z| = 2 3. √ Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có bán kính R = 2 3.  Chọn đáp án B Câu 956. Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z + 2 − 3i| = 2 là đường tròn có phương trình nào sau đây? A. x2 + y 2 − 4x − 6y + 9 = 0. B. x2 + y 2 − 4x + 6y + 11 = 0. C. x2 + y 2 − 4x − 6y + 11 = 0. D. x2 + y 2 + 4x − 6y + 9 = 0. Lời giải. Gọi z = x + yi với x, y ∈ R. Khi đó |z + (2 − 3i)| = 2 ⇔ |x + yi + 2 − 3i| = 2 ⇔ |x + 2 + (y − 3)i| = 2 » ⇔ (x + 2)2 + (y − 3)2 = 2 ⇔ (x + 2)2 + (y − 3)2 = 4 ⇔ x2 + y 2 − 4x − 6y + 9 = 0.  Chọn đáp án A Câu 957. Nếu 2 số thực x, y thỏa mãn x (3 + 2i) + y (1 − 4i) = 1 − 32i thì x + y bằng A. 2. B. 4. D. −3. C. 5. Lời giải. Ta có x(3 + 2i) + y(1 − 4i) = 1 − 32i ⇔ (3x + y) + (2x − 4y)i = 1 − 32i ( 3x + y = 1 ⇔ 2x − 4y = −32 ( x = −2 ⇔ y = 7. Vậy x + y = −2 + 7 = 5. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 239 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án C Câu 958. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R, a > 0) thỏa mãn z · z̄ − 12 |z| + (z − z̄) = 13 + 10i. Tính S = a + b. A. S = 7. C. S = −17. B. S = 17. D. S = 5. Lời giải. Ta có z · z = |z|2 = a2 + b2 và z − z = (a + bi) − (a − bi) = 2bi. Khi đó z · z̄ − 12 |z| + (z − z̄) = 13 + 10i √ ⇔ a2 + b2 − 12 a2 + b2 + 2bi = 13 + 10i ( 2 √ a + b2 − 12 a2 + b2 = 13 ⇔ 2b = 10 ( 2 √ a − 12 a2 + 25 + 12 = 0 (1) ⇔ b = 5. √ a2 + 25 với t ≥ 25 và t2 = a2 + 25. Phương trình (1) trở thành ” t = −1 (loại) t2 − 12t − 13 ⇔ t = 13. √ Với t = 13 ⇒ a2 + 25 = 13 ⇔ a2 = 144 ⇔ a = 12 vì a > 0. Đặt t = Vậy S = a + b = 12 + 5 = 17. Chọn đáp án B  Câu 959. Cho số phức z = 1 − 2i. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = iz trên mặt phẳng tọa độ? A. P (−2; 1). C. M (1; −2). B. Q(1; 2). D. N (2; 1). Lời giải. Ta có w = iz = i(1 − 2i) = i − 2i2 = 2 + i. Do đó, điểm N (2; 1) là điểm biểu diễn số phức w = iz trên mặt phẳng tọa độ.  Chọn đáp án D Câu 960. Cho số phức z = 2 + i. Tính mô-đun của số phức w = z 2 − 1. √ √ √ A. 2 5. B. 5. C. 5 5. D. 20. Lời giải. Ta có w = z 2 − 1 = (2 + i)2 − 1 = 4 + 4i + i2 − 1 = 2 + 4i. √ √ Do đó |w| = 22 + 42 = 2 5.  Chọn đáp án A Câu 961. Số phức z thỏa mãn z + 2z̄ = 3 − 2i là A. 1 − 2i. Lời giải. C. 2 − i. B. 1 + 2i. D. 2 + i. Giả sử z = a + bi với a, b ∈ R. Ta có z + 2z̄ = 3 − 2i ⇔ (a + bi) + 2 · (a − bi) = 3 − 2i ⇔ 3a − bi = 3 − 2i ( a=1 ⇔ b = 2. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 240 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Vậy z = 1 + 2i.  Chọn đáp án B Câu 962. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 3 ≤ |z − 3i + 1| ≤ 5. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z tạo thành một hình phẳng. Tính diện tích hình phẳng đó. A. S = 16π. B. S = 4π. C. S = 25π. D. S = 8π. Lời giải. Gọi các điểm biểu diễn các số phức z và −1 + 3i lần lượt là M y và I(−1; 3). Ta có 3 ≤ |z − 3i + 1| ≤ 5 ⇒ 3 ≤ IM ≤ 5. Gọi (C1 ) là đường tròn tâm I, bán kính R1 = 3; (C2 ) là đường tròn tâm I, bán kính R2 = 5. Khi đó tập hợp các điểm M nằm ngoài đường tròn (C1 ) và nằm trong đường tròn (C2 ) (phần gạch chéo trên hình vẽ). Diện tích hình phẳng này là I 3 −1 O x S = π · 52 − π · 32 = 16π.  Chọn đáp án A Câu 963. Cho số phức z = 3 + 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức −2 · z. A. Phần thực bằng −6 và phần ảo bằng −4i. B. Phần thực bằng −6 và phần ảo bằng −4. C. Phần thực bằng −6 và phần ảo bằng 4i. D. Phần thực bằng −6 và phần ảo bằng 4. Lời giải. Ta có z = 3 + 2i ⇒ z = 3 − 2i, do đó −2 · z = −6 + 4i. Vậy số phức −2 · z có phần thực bằng −6 và phần ảo bằng 4.  Chọn đáp án D Câu 964. Cho số phức z1 = 1 + i và z2 = 2 − 3i. Tìm số phức liên hợp của số phức w = z1 + z2 . A. w = 3 − 2i. B. w = 1 − 4i. C. w = −1 + 4i. D. w = 3 + 2i. Lời giải. Ta có w = z1 + z2 = 3 − 2i. Khi đó w = 3 + 2i.  Chọn đáp án D Câu 965. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z − (3 − 4i)| = 2 là A. Đường tròn có tâm I(3; −4), bán kính R = 2. B. Đường tròn có tâm I(−3; 4), bán kính R = 2. C. Đường tròn có tâm I(3; −4), bán kính R = 4. D. Đường tròn có tâm I(−3; 4), bán kính R = 4. Lời giải. Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R). Ta có |z − (3 − 4i)| = 2 ⇔ |(x − 3) + (y + 4)i| = 2 ⇔ (x − 3)2 + (y + 4)2 = 4. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đề bài là đường tròn có tâm I(3; −4), bán kính R = 2.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 241 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 966. Gọi a và b là các số thực thỏa mãn a + 2bi + b − 3 = −ai − i với i là đơn vị ảo. Tính a + b. A. 3. C. −3. B. 11. D. −11. Lời giải. Ta thấy a + 2bi + b − 3 = −ai − i ⇔ (a + b − 3) + (a + 2b + 1)i = 0 ⇔ ( a+b=3 a + 2b = −1 ⇔ ( a=7 b = −4. Vậy a + b = 3.  Chọn đáp án A Câu 967. Cho số phức z thỏa mãn 2z + (3 − 2i)z̄ = 5 + 5i. Mô-đun của z bằng √ √ √ A. 5. B. 8. C. 5. D. 10. Lời giải. Đặt z = x + yi với x, y ∈ R. Ta có 2(x + yi) + (3 − 2i)(x − yi) = 5 + 5i ⇔ 5x − (2x + y)i = 5 + 5i ( ( x=1 5x = 5 ⇔ ⇔ 2x + y = 5 y = 3. Từ đó ta có z = 1 + 3i ⇒ |z| = √ 10.  Chọn đáp án D Câu 968. Tìm các số thực a và b thỏa mãn 3a + (b − i)(−1 + 2i) = 3 + 5i với i là đơn vị ảo. 1 A. a = 1, b = 2. B. a = , b = 1. C. a = −1, b = 1. D. a = −2, b = 2. 2 Lời giải. Ta có 3a + (b − i)(−1 +(2i) = 3 + 5i ⇔ 3a − ( b + 2 + (2b + 1)i = 3 + 5i. 3a − b + 2 = 3 a=1 Đồng nhất hệ số ta có ⇔ 2b + 1 = 5 b = 2.  Chọn đáp án A Câu 969. Tìm hai số thực x và y thỏa mãn (2x − 3yi) + (1 − 3i) = x + 6i, với i là đơn vị ảo. A. x = −1; y = −3. B. x = −1; y = −1. C. x = 1; y = −1. D. x = 1; y = −3. Lời giải. Ta có (2x − 3yi) + (1 − 3i) = x + 6i ⇔ x + 1 − (3y + 9)i = 0 ⇔ ( x+1=0 3y + 9 = 0 ⇔ ( x = −1 y = −3.  Chọn đáp án A Câu 970. Xét các số phức z thỏa mãn (z + i)(z + 2) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn √ có bán kính bằng √ 5 5 3 A. 1. B. . C. . D. . 4 2 2 Lời giải. Gọi z = x + yi (x, y ∈ R). Ta có (z + i)(z + 2) = (x − yi + i)(x + yi + 2) = (x2 + 2x + y 2 − y) + (x − 2y + 2)i Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 242 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 ã Å 1 2 5 = . Vì (z + i)(z + 2) là số thuần ảo nên ta có: x + 2x + y − y = 0 ⇔ (x + 1) + y − 2 √ 4 5 Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng . 2 Chọn đáp án C 2 2 2  Câu 971. Tìm hai số thực x và y thỏa mãn (3x + 2yi) + (2 + i) = 2x − 3i với i là đơn vị ảo. A. x = −2; y = −2. B. x = −2; y = −1. C. x = 2; y = −2. D. x = 2; y = −1. Lời giải. Ta có (3x + 2yi) + (2 + i) = 2x − 3i ⇔ (3x + 2) + (2y + 1)i = 2x − 3i ( ( 3x + 2 = 2x x = −2 ⇔ ⇔ 2y + 1 = −3 y = −2.  Chọn đáp án A Câu 972. Xét các số phức z thỏa mãn (z + 3i)(z − 3) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng √ √ 9 3 2 A. . B. 3 2. C. 3. D. . 2 2 Lời giải. Giả sử z = x + yi ⇒ z = x − yi trong đó x, y ∈ R. Ta có (z + 3i)(z − 3) = x2 + y 2 − 3x − 3y + (3x + 3y − 9)i. ã Å ã 3 2 3 2 9 Số phức (z + 3i)(z − 3) là số thuần ảo khi chỉ khi x + y − 3x − 3y = 0 ⇔ x − + y− = . 2 2 2 Vậy tập hợp√tất cả các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn có bán 3 2 . kính bằng 2  Chọn đáp án D 2 Å 2 Câu 973. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z|(z − 3 − i) + 2i = (4 − i)z? A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Lời giải. Ta có |z|(z − 3 − i) + 2i = (4 − i)z ⇔ z(4 − |z| − i) = −3|z| + (2 − |z|)i. Đặt t = |z|, điều kiện t ≥ 0, t ∈ R. Lấy mô-đun hai vế ta được » » t|4 − t − i| = | − 3t + (2 − t)i| ⇔ t (4 − t)2 + 1 = 9t2 + (2 − t)2 ⇔ t4 − 8t3 + 6t2 + 4t − 3 = 0 ⇔ (t − 1)(t3 − 7t2 − t + 3) = 0  t=1  t ≈ 7,081  ⇔  t ≈ 0,61146  t ≈ −0,6928. Do đó, có 3 giá trị t thỏa mãn. −3t + (2 − t)i nên có duy nhất một số phức z thỏa mãn. 4−t−i Vậy có 3 số phức thõa mãn yêu cầu bài toán. Mặt khác, với mỗi t ≥ 0, ta có z =  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 243 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 974. Tìm hai số thực x và y thỏa mãn (3x + yi) + (4 − 2i) = 5x + 2i với i là đơn vị ảo. A. x = −2; y = 4. C. x = −2; y = 0. B. x = 2; y = 4. D. x = 2; y = 0. Lời giải. Ta có (3x + yi) + (4 − 2i) = 5x + 2i ⇔ 2x − 4 + (4 − y)i = 0 ⇔ ( 2x − 4 = 0 4−y =0 ⇔ ( x=2 y = 4.  Chọn đáp án B Câu 975. Xét các số phức z thỏa mãn (z + 2i)(z − 2) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng √ √ C. 4. D. 2. A. 2. B. 2 2. Lời giải. Giả sử z = x + yi với x, y ∈ R. Đặt Z = (z + 2i)(z − 2) = [x + (2 − y)i][(x − 2) + yi] = [x(x − 2) − y(2 − y)] + [xy + (x − 2)(2 − y)]i. Vì Z là số thuần ảo nên có phần thực bằng không do đó x(x − 2) − y(2 − y) = 0 ⇔ (x − 1)2 + (y − 1)2 = 2. Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng √ 2.  Chọn đáp án D Câu 976. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z|(z − 6 − i) + 2i = (7 − i)z? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Lời giải. Ta có |z| (z − 6 − i) + 2i = (7 − i)z ⇔ (|z| − 7 + i) z = 6|z| + (|z| − 2) i. î ó ⇒ (|z| − 7 + i) z = 6|z| + (|z| − 2) i ⇔ (|z| − 7)2 + 1 |z|2 = 36|z|2 + (|z| − 2)2 (*) (**) Đặt t = |z| thì t ∈ R, t > 0 và (**) trở thành t4 − 14t3 + 13t2 + 4t − 4 = 0.  t=1  t ≈ 12,96  3 2 ⇔ (t − 1)(t − 13t + 4) = 0 ⇔  (chỉ nhận 3 giá trị t > 0). t ≈ 0,56  t ≈ −0,5 Thay vào (*) ta được 3 số phức z. Lưu ý: Để chứng minh phương trình cuối cùng theo t có 3 nghiệm t > 0 ta cần dùng đến phương pháp hàm số: chứng minh f (t) = t3 − 13t2 + 4 = 0 có 2 nghiệm không âm đều khác 1. Bảng biến thiên của f (t) trên nửa khoảng [0; ∞) như sau: 26 t 0 1 3 f 0 (t) − 0 +∞ + +∞ 4 f (t) −8 − 8680 27  Chọn đáp án B Câu 977. Tìm hai số x và y thỏa mãn (2x − 3yi) + (3 − i) = 5x − 4i với i là đơn vị ảo. A. x = −1; y = −1. B. x = −1; y = 1. C. x = 1; y = −1. D. x = 1; y = 1. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 244 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có (2x − 3yi) + (3 − i) = 5x − 4i ⇔ 3x − 3 + (3y − 3)i = 0 ⇔ ( 3x − 3 = 0 3y − 3 = 0 ⇔ ( x=1 y = 1.  Chọn đáp án D Câu 978. Xét các số phức z thỏa mãn (z − 2i) (z + 2) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng √ √ A. 2 2. B. 2. C. 2. D. 4. Lời giải. Đặt z = a + bi với a, b ∈ R. Ta có (z − 2i) (z + 2) = a2 + 2a + b2 + 2b − 2(a + b + 2)i. Vì (z − 2i) (z + 2) là số thuần ảo nên a2 + 2a + b2 + 2b = 0 ⇔ (a + 1)2 + (b + 1)2 = 2. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp các số điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn bán kính bằng √ 2.  Chọn đáp án B Câu 979. Cho hai số phức z1 = 3 − 4i và z2 = −2 + i. Tìm số phức liên hợp của z1 + z2 . A. 1 + 3i. B. 1 − 3i. C. −1 + 3i. D. −1 − 3i. Lời giải. Ta có z1 + z2 = (3 − 4i) + (−2 + i) = 1 − 3i ⇒ z1 + z2 = 1 + 3i.  Chọn đáp án A Câu 980. Cho hai số phức z1 = 1 − 2i và z2 = 3 + 4i. Tìm điểm M biểu diễn số phức z1 · z2 trên mặt phẳng tọa độ. A. M (−2; 11). C. M (11; −2). B. M (11; 2). D. M (−2; −11). Lời giải. Ta có z1 · z2 = (1 − 2i)(3 + 4i) = 3 + 4i − 6i + 8 = 11 − 2i. Vậy điểm M (11; −2).  Chọn đáp án C Câu 981. Tính mô-đun của số phức z thỏa mãn (1 + i)z |z| − 1 = (i − 2) |z|. A. |z| = 1. B. |z| = 4. C. |z| = 2. D. |z| = 3. Lời giải. Ta thấy (1 + i)z |z| − 1 = (i − 2) |z| ⇔ (1 + i)z|z| = (i − 2)|z| + 1. Lấy mô-đun hai vế ta được |i + 1||z|2 = ||z|i + 1 − 2|z|| » √ 2|z|2 = (1 − 2|z|)2 + |z|2 ⇔ ⇔ 2|z|4 = (1 − 2|z|)2 + |z|2 ⇔ 2|z|4 − 5|z|2 + 4|z| − 1 = 0 ” |z| = 1 ⇔ 2|z|3 + 2|z|2 − 3|z| + 1 = 0. Ta chứng minh phương trình 2|z|3 + 2|z|2 − 3|z| + 1 = 0 vô nghiệm. Đặt t = |z| điều kiện t ≥ 0. Xét hàm số f (t) = 2t3 + 2t2 − 3t + 1. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 245 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 √  −2 + 22 t = 6√ . Ta có f 0 (t) = 6t2 + 4t − 3; f 0 (t) = 0 ⇔ 6t2 + 4t − 3 = 0 ⇔   −2 − 22 (loại) t= 6 Ta có bảng biến thiên sau √ −2 + 22 x +∞ 0 6 f 0 (t) − + 0 +∞ 1 √ 116 − 22 22 54 f (t) √ 116 − 22 22 Từ bảng biến thiên ta thấy f (t) ≥ > 0, ∀t ≥ 0. Suy ra f (t) = 0 vô nghiệm. 54 Vậy |z| = 1. Chọn đáp án A Câu 982. Mô-đun của số phức z = (1 + 2i)(2 − i) là √ C. |z| = 10. A. |z| = 5. B. |z| = 5. Lời giải. Ta có |z| = √ 12 + 22 ·  D. |z| = 6. p 22 + (−1)2 = 5.  Chọn đáp án A Câu 983. Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình z 4 + 3z 2 + 4 = 0 trên tập số phức. Tính giá trị của biểu thức T = |z1 |2 + |z2 |2 + |z3 |2 + |z4 |2 . A. T = 8. B. T = 6. C. T = 4. D. T = 2. Lời giải. 2 2 Nhận xét: Cho số phức z = a + bi, khi  đó ta luôn có |z| √= |z |. 3 7i z 2 = C1 = − −  2 √2 , (C , C ∈ C). Giải phương trình z 4 + 3z 2 + 4 = 0 ⇔  1 2  3 7i 2 z = C2 = − + 2 2 Suy ra, phương trình đã cho có 4 nghiệm thỏa mãn z12 = z22 = C1 , z32 = z42 = C2 . Suy ra T = |z1 |2 + |z2 |2 + |z3 |2 + |z4 |2 = z12 + z22 + z32 + z42 = |C1 | + |C1 | + |C2 | + |C2 | … 9 7 =4 + = 8. 4 4  Chọn đáp án A Câu 984. Điểm nào sau đây biểu diễn số phức z = i(7 − 4i) trong mặt phẳng tọa độ? A. P (−4; 7). C. Q(−4; −7). B. M (4; 7). D. N (4; −7). Lời giải. Ta có z = 7i − 4i2 = 4 + 7i. Do đó z được biểu diễn bởi M (4; 7).  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 246 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 985. Cho số phức z thỏa mãn |z − 3 + 4i| = 5. Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức w = 2z + 4 − i là đường tròn có tâm I(a; b), bán kính R. Tổng a + b + R bằng A. 11. B. 9. C. 7. D. 4. Lời giải. Gọi z 0 = z − 3 + 4i ⇒ |z 0 | = 5 và z = z 0 + 3 − 4i Ta có w = 2(z 0 + 3 − 4i) + 4 − i = 2z 0 + 10 − 9i. Do đó |w − (10 − 9i)| = 2|z 0 | = 10. Suy ra tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức w = 2z + 4 − i là đường tròn có tâm I(10; −9), bán kính 10. Vậy a + b + R = 10 − 9 + 10 = 11.  Chọn đáp án A Câu 986. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 2i| = |z + 1|. Tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ là đường thẳng có phương trình ax + 4y + c = 0, trong đó a, c là các số nguyên. Tính P = a + c. A. 5. C. −1. B. 1. D. 3. Lời giải. Đặt z = x + yi (x, y ∈ R). Khi đó ta có |z − 2i| = |z + 1| ⇔|x + (y − 2)i| = |(x + 1) − yi| » » ⇔ x2 + (y − 2)2 = (x + 1)2 + (−y)2 ⇔x2 + (y − 2)2 = (x + 1)2 + y 2 ⇔2x + 4y − 3 = 0. Vậy a = 2, c = −3. Do đó a + c = −1.  Chọn đáp án C Câu 987. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |3z − i| = |3 + iz|. Biết rằng |z1 − z2 | = biểu thức P = |z1 + z2 |. √ A. P = 2 2. 1 B. P = . 2 3 C. P = . 2 √ 3. Tính giá trị D. P = 1. Lời giải. Gọi A, B là hai điểm biểu diễn số phức z1 , z2 trong mặt phẳng tọa y 1 độ Oxy. √ Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R). Ta có |3z − i| = |3 + iz| ⇔ x2 + y 2 = 1. B Suy ra A, B nằm trên đường tròn tâm O bán kính 1. √ √ Từ |z1 − z2 | = 3 ta có khoảng cách AB = 3. 3 I A O 1 x Không mất tính tổng quát, ta vẽ hai điểm A, B đối xứng nhau √ qua trục tung thỏa AB = 3. √ √ 3 1 3 1 Gọi I là trung điểm AB suy ra A = ( ; ) và B( ; ). 2 2 2 2 Vậy |z1 + z2 | = 1. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 247 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 √ 1 Cách khác. |z1 − z2 | = 3 ⇔ (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 = 3 ⇔ x1 x2 + y1 y2 = − . 2 p p Khi đó |z1 + z2 | = (x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2 = (x21 + y12 ) + (x22 + y22 ) + 2(x1 x2 + y1 y2 ) = 1.  Chọn đáp án D Câu 988. Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn |z − 2| = |z| và (z + 1)(z − i) là số thực. Giá trị của biểu thức S = a + 2b bằng bao nhiêu? A. S = −3. C. S = −1. B. S = 0. D. S = 1. Lời giải. p √ |z − 2| = |z| ⇔ (a − 2)2 + b2 = a2 + b2 ⇔ (a − 2)2 = a2 ⇔ a = 1. (z + 1)(z − i) = (a + 1 + bi)(a − bi − i) = a(a + 1) + b(b + 1) − (a + b + 1)i. Vì (z + 1)(z − i) là số thực nên a + b + 1 = 0 ⇒ b = −2. Vậy S = a + 2b = −3. Chọn đáp án A  Câu 989. Cho số phức z thỏa mãn |z − 1| = |z − i|. Tìm mô-đun nhỏ nhất của số phức w = 2z + 2 − i. 3 A. . 2 Lời giải. √ B. 3 2. √ 3 2 . D. 2 3 C. √ . 2 2 Giả sử z = a + bi với a, b ∈ R. Ta có |z − 1| = |z − i| ⇔ |a − 1 + bi| = |a + (b − 1)i| ⇔ (a − 1)2 + b2 = a2 + (b − 1)2 ⇔ a − b = 0. Khi đó w = 2(a + ai) + 2 − i = 2a + 2 + (a − 1)i. p √ Suy ra |w| = (2a + 2)2 + (2a − 1)2 = 8a2 + 4a + 5 = √ 3 2 . Vậy mô-đun nhỏ nhất của số phức w là 2 Chọn đáp án D Å 1 8 x+ 4 ã2 √ 3 2 9 . + ≥ 2 2  Câu 990. Xét các số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) thỏa mãn |z − 1 + 2i| = biết |z + 1 + i| + |z − 1 + 4i| đạt giá trị lớn nhất. √ A. −36. B. 58. C. 58. √ 5. Tìm P = 16a + 8b D. 40. Lời giải. √ Ta có |z − 1 + 2i| = 5 ⇔ (a − 1)2 + (b + 2)2 = 5 ⇔ a2 + b2 = 2a − 4b. p p M = |z + 1 + i| + |z − 1 + 4i| = (a + 1)2 + (b + 1)2 + (a − 1)2 + (b + 4)2 . Ta có   M 2 ≤ 2 (a + 1)2 + (b + 1)2 + (a − 1)2 + (b + 4)2    ≤ 2 2 a2 + b2 + 10b + 19 ≤ 2 [2 (2a − 4b) + 10b + 19] ≤ 2 [4a + 2b + 19] ≤ 2 [4(a − 1) + 2(b + 2) + 19] . p Mặt khác 4(a − 1) + 2(b + 2) + 19 ≤ (42 + 22 ) [(a − 1)2 + (b + 2)2 ] + 19 = 29 nênM 2 ≤ 58. 45 (  a = √ 4a + b = 10 16 . Do đó M đạt giá trị lớn nhất bằng 58 khi √ ⇔ √ √  58 = 4a − 2b + 2 + 4b + 17 b = − 5 8 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 248 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Suy ra P = 16a + 8b = 40.  Chọn đáp án D Câu 991. Số nào trong các số phức sau là số thực? B. (3 + 2i) + (3 − 2i). √ √ D. ( 3 − 2i) − ( 3 + 2i). A. (1 + 2i) + (−1 + 2i). √ C. (5 + 2i) − ( 5 − 2i). Lời giải. Số phức có phần ảo bằng 0 là số thực. Do đó (3 + 2i) + (3 − 2i) = 6 là số thực.  Chọn đáp án B Câu 992. Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của các số phức z1 , z2 . Khi đó độ dài của véc-tơ # » AB bằng A. |z1 | − |z2 | . B. |z1 | + |z2 | . C. |z2 − z1 | . D. |z2 + z1 |. Lời giải. Giả sử z1 = x1 + y1 i và z2 = x2 + y2 i trong đó x1 , y1 , x2 , y2 là các số thực. Theo giả thiết thì A(x1 ; y1 ), B(x2 ; y2 ). p # » Ta có |AB| = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 . Lại có |z2 − z1 | = |(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )i| = # » Vậy |AB| = |z2 − z1 |. p (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .  Chọn đáp án C Câu 993. Cho số phức z = x + yi (x, y ∈ R) thỏa mãn: z + 1 − 2i − |z|(1 − i) = 0. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, M là điểm biểu diễn của số phức z. Khi đó M thuộc đường thẳng nào sau đây? A. x − y + 2 = 0. B. x + y − 1 = 0. C. x + y − 2 = 0. D. x + y + 1 = 0. Lời giải. Từ giả thiết ta có x + yi + 1 − 2i − p p p x2 + y 2 (1 − i) = 0 ⇔ (x + 1 − x2 + y 2 ) + (y + x2 + y 2 − 2)i = 0 p ( x + 1 − x2 + y 2 = 0 ⇔ p y + x2 + y 2 − 2 = 0 ⇔ y = 1 − x hay x + y − 1 = 0. Điều đó chứng tỏ M thuộc đường thẳng x + y − 1 = 0.  Chọn đáp án B Câu 994. Cho hai số phức z, z 0 thỏa mãn |z + 5| = 5 và |z 0 + 1 − 3i| = |z 0 − 3 − 6i|. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z − z 0 |. 5 A. . 2 Lời giải. B. 5 . 4 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 249 √ 10. √ D. 3 10. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Gọi M (x; y) và N (x0 ; y 0 ) lần lượt là điểm biểu diễn cho số ∆ y 0 phức z và z . Do |z + 5| = 5 nên M thuộc đường tròn tâm I(−5; 0) bán kính R = 5. Lại có M N x 0 0 I |z + 1 − 3i| = |z − 3 − 6i| O ⇔ |x0 + y 0 i + 1 − 3i| = |x0 + y 0 i − 3 − 6i| ⇔ |(x0 + 1) + (y 0 − 3)i| = |(x0 − 3) + (y 0 − 6)i| ⇔ (x0 + 1)2 + (y 0 − 3)2 = (x0 − 3)2 + (y 0 − 6)2 ⇔ 2×0 + 1 − 6y 0 + 9 = 6×0 + 9 − 12y 0 + 36 ⇔ 8×0 + 6y 0 − 35 = 0 (∆). Suy ra N thuộc đường thẳng (∆). Khi đó |z − z 0 | = M N , vậy |z − z 0 | nhỏ nhất khi M N nhỏ 5 | − 40 − 35| −5= . nhất. Dựa vào hình vẽ ta thấy giá trị nhỏ nhất bằng d(I, ∆) − R = 10 2 Chọn đáp án A  √ Câu 995. Cho số phức z thỏa mãn z|(1 + 3i)|z| − 3 + i| = 4 10 và |z| > 1. Tính |z|. √ √ √ √ −1 + 65 1 + 65 −1 + 65 1 + 65 A. |z| = . B. |z| = . C. |z| = . D. |z| = . 4 2 2 4 Lời giải. Từ phương trình và giả thiết suy ra z có dạng z = x, (x > 0, |x| > 1, x ∈ R). Từ phương trình ta có √ √ x|(1 + 3i)x − 3 + i| = 4 10 ⇔ x|(x − 3) + (3x + 1)i| = 4 10 » √ ⇔ x (x − 3)2 + (3x + 1)2 = 4 10 ⇔ x2 (x2 − 6x + 9 + 9×2 + 6x + 1) = 160 √ √ −1 + 65 −1 + 65 4 2 2 ⇔ x + x − 16 = 0 ⇔ x = ⇒x= . 2 2  Chọn đáp án C Câu 996. Tìm các số thực x, y thỏa mãn 2x + 1 + (1 − 2y)i = 2 − x + (3y − 2)i. 1 3 3 1 1 1 A. x = ; y = . B. x = 1; y = . C. x = 1; y = . D. x = ; y = . 3 5 5 5 3 5 Lời giải. Áp dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau ta có hệ phương trình  1  x = 3 ⇔ 3  1 − 2y = 3y − 2 y = . 5 ( 2x + 1 = 2 − x  Chọn đáp án A Câu 997. Trong các số phức (1 + i)3 , (1 + i)4 , (1 + i)5 , (1 + i)6 số phức nào là số phức thuần ảo? A. (1 + i)5 . B. (1 + i)6 . C. (1 + i)3 . D. (1 + i)4 . Lời giải. (1 + i)3 = 2i − 2, (1 + i)4 = −4, (1 + i)5 = −4(1 + i), (1 + i)6 = −8i. Vậy số thuần ảo là (1 + i)6 .  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 250 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 998. Số phức z thỏa mãn z − (2 + 3i)z = 1 − 9i là A. −3 − i. B. 2 − i. D. −2 − i. C. 2 + i. Lời giải. Đặt z = a + bi (a, b ∈ R), ta có z − (2 + 3i)z = 1 − 9i ⇔ a + bi − (2 + 3i)(a − bi) = 1 − 9i ( − a − 3b = 1 ⇔ 3b − 3a = −9 ( a=2 ⇔ b = −1.  Chọn đáp án B Ä√ ä2 Câu 999. Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z = 2 + 3i . Tính T = a+2b. √ √ √ √ B. T = −7 + 6 2. C. T = 12 − 7 2. D. T = −7 − 12 2. A. T = −7 + 12 2. Lời giải. Ta có z = Ä√ ä2 √ √ 2 + 3i = −7 + 6 2i ⇒ T = a + 2b = −7 + 12 2.  Chọn đáp án A Câu 1000. Cho số phức z = 2+5i. Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức w = iz +z. Tính tích ab. A. −9. B. −6. C. 9. D. 6. Lời giải. Ta có w = iz + z = i(2 + 5i) + 2 − 5i = −3 − 3i. Suy ra ab = 9.  Chọn đáp án C Câu 1001. Gọi C là tập hợp các số phức. Xét các khẳng định sau 1 z 2 ≥ 0 ∀z ∈ C. 2 z 2 = |z 2 | ∀z ∈ C. 3 |z| = |z| ∀z ∈ C. Số khẳng định đúng là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Ta có i2 = −1 < 0 và |i2 | = 1 nên mệnh đề a) và b) sai. Chỉ có khẳng định c) đúng.  Chọn đáp án B Câu 1002. Cho số phức z thỏa mãn (1 + z)2 là số thực. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là A. Hai đường thẳng. B. Đường thẳng. C. Parabol. D. Đường tròn. Lời giải. 2 2 2 Đặt z = x + yi, (x, y ∈ R). Khi đó (1 + z) " = (x + 1) − y + 2(x + 1)yi. x = −1 (1 + z)2 là số thực khi 2(x + 1)y = 0 ⇔ . y=0 Vậy tập hợp các điểm M là hai đường thẳng d1 : x + 1 = 0, d2 : y = 0.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 251 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1003. Cho số phức z. Gọi A, B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z và (1 + i)z. Tính mô-đun của z, biết diện tích 4OAB bằng 32. √ A. |z| = 4 2. B. |z| = 4. C. |z| = 8. D. |z| = 2. Lời giải. Giả sử z = a + bi (a, b ∈ R) ta có (1 + i)z = (1 + i)(a + bi) = a − b + (a + b)i. Ta có OA = √ a2 + b2 ; OB = p 2(a2 + b2 ). √ √ Ä # » # »ä Ä # » # »ä a2 + b 2 2 2 p cos OA, OB = √ ⇔ sin OA, OB = . = 2 2 a2 + b2 . 2(a2 + b2 ) Theo giả thiết ta có 1 ’ = 32 OA · OB · sin AOB 2 √ » 2 1√ 2 2 2 2 a + b · 2(a + b ) · = 32 ⇔ 2 2 ⇔ a2 + b2 = 64 ⇒ |z| = 8. S4OAB = 32 ⇔  Chọn đáp án C Câu 1004. Tính môđun của số phức z biết z = (2i − 1)(3 + i). √ √ √ A. |z| = 2 5. B. |z| = 5 2. C. |z| = 10. D. |z| = √ 26. Lời giải. √ Ta có z = (2i − 1)(3 + i) = −5 + 5i ⇒ z = 5 + 5i ⇒ |z| = 5 2.  Chọn đáp án B Câu 1005. Cho ba số phức z1 , z2 , z3 không phải là thực, thỏa mãn điều kiện z1 + z2 = 4 và |z1 − 2| = |z2 − 2| = |z3 − 2| = 1. Tính giá trị biểu thức T = |z3 − z1 |2 + |z3 − z2 |2 . A. T = 12. B. T = 1. C. T = 4. D. T = 8. Lời giải. Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 , z3 trên mặt phẳng tọa độ. Từ giả thiết |z1 − 2| = |z2 − 2| = |z3 − 2| = 1 suy ra A, B, C thuộc đường tròn tâm I(2; 0) bán kinh R = 1. Từ giả thiết z1 + z2 = 4 suy ra I là trung điểm của AB nên AB = 2R = 2. T = |z3 − z1 |2 + |z3 − z2 |2 = AC 2 + BC 2 = AB 2 = 4R2 = 4.  Chọn đáp án C Câu 1006. Cho số phức z = a+bi, a, b ∈ R, a > 0 thỏa ||z − 1| + z − 2| = a = b. Tính |z(1 + z)|. √ √ √ √ A. 3 2. B. 10. C. 5. D. 2. Lời giải. Vì a = b nên z = a + ai. Äp ä2 √ Ta có ||z − 1| + z − 2| = a ⇔ (a − 1)2 + a2 + a − 2 + a2 = a2 ⇔ 2a2 − 2a + 1 = 2 − a ( ( 2−a≥0 a≤2 ⇔ ⇔ ⇔ a = 1 (vì a > 0). 2a2 − 2a + 1 = 4 − 4a + a2 a2 + 2a − 3 = 0 √ Khi đó |z(1 + z)| = |(1 + i)(1 + 1 − i)| = 10.  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 252 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1007. Trong mặt phẳng phức, điểm M (1; −2) biểu diễn số phức z. Mô-đun của số phức w = iz − z 2 bằng A. 26. B. √ 6. C. √ 26. D. 6. Lời giải. Ta có z = 1 − 2i nên w = iz − z 2 = i(1 + 2i) − (1 − 2i)2 = 1 + 5i. √ √ Vậy |w| = 12 + 52 = 26.  Chọn đáp án C Câu 1008. Gọi S là tập hợp các số phức z sao cho z − 2iz̄ + 1 − 3i là số thực và z 2 là số thuần ảo. Tổng các phần tử của tập hợp S là A. −4 − 2i. B. 4 − 2i. C. −2 + 4i. D. 1 + i. Lời giải. Đặt z = a + bi với a, b ∈ R. Ta có z − 2iz̄ + 1 − 3i = (a − 2b + 1) + (−2a + b − 3)i. Vì z − 2iz̄ + 1 − 3i là số thực nên −2a + b − 3 = 0. z 2 = a2 − b2 + 2abi. Vì z 2 là số thuần ( ảo nên a2 − b2 = 0. ( ( ( − 2a + b − 3 = 0 b = 2a + 3 b=1 b = −3 Ta có hệ phương trình ⇔ ⇔ ∨ a2 − b 2 = 0 3a2 + 12a + 9 = 0 a = −1 a = −3. Vậy S = {−1 + i; −3 − 3i}, tổng các phần tử của S là −4 − 2i.  Chọn đáp án A Câu 1009. Cho số phức z thỏa mãn |z − 1| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức Ä √ ä ω = 1 + i 3 z + 2 là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. √ A. r = 2 3. B. r = 4. C. r = 3. D. r = 2. Lời giải. Ta có |z − 1| = 2. Khi đó Ä Ä √ ä √ √ ä ω = 1 + i 3 z + 2 ⇔ ω = 1 + i 3 (z − 1) + 3 + i 3 î Ä √ äó Ä √ ä ⇔ ω − 3 + i 3 = 1 + i 3 (z − 1) Ä √ ä √ ⇒ ω − 3 + i 3 = 1 + i 3 · |z − 1| Ä √ ä ⇒ ω − 3 + i 3 = 2 · 2 = 4. Giả sử ω = x + yi, x, y ∈ R. Ta có Ä √ ä ω− 3+i 3 =4⇔ … Ä Ä √ ä2 √ ä2 (x − 3)2 + y − 3 = 4 ⇔ (x − 3)2 + y − 3 = 16. Suy ra r = 4.  Chọn đáp án B Câu 1010. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn z + 2 + i = |z|. Tính S = 4a + b. A. S = −3. C. S = −1. B. S = 4. D. S = −4. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 253 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có z + 2 + i = |z| ⇒ z = (|z| − 2) − i ⇒ |z| = |(|z| − 2) − i| » ⇒ |z| = (|z| − 2)2 + 1 5 ⇒ |z|2 = (|z| − 2)2 + 1 ⇔ |z| = . 4 3 −3 Khi đó thì z = − − i ⇒ a = , b = −1 ⇒ S = −4. 4 4 Chọn đáp án D  Câu 1011. Cho số phức z thoả mãn điều kiện |z 2 − 2z + 5| = |z − 1 − 2i|. Giá trị lớn nhất của |z − 2 + 2i| bằng √ A. 17 + 1. Lời giải. B. 5. C. 2. D. √ 13 + 2. Ta có z 2 − 2z + 5 = |z − 1 − 2i| ⇔ (z − 1)2 − 4i2 = |z − 1 − 2i| ⇔ |z − 1 − 2i| · |z − 1 + 2i| = |z − 1 − 2i|. (∗) Mà với z = a + bi, a, b ∈ R, ta có » » |z − 1 + 2i| = (a − 1)2 + (b + 2)2 = (a − 1)2 + (−b − 2)2 = |z − 1 − 2i|. Do đó ” (∗) ⇔ |z − 1 − 2i| = 0 |z − 1 + 2i| = 1. • Trường hợp |z − 1 + 2i| = 0 ⇔ z = 1 − 2i ⇒ |z − 2 + 2i| = | − 1| = 1. • Trường hợp |z − 1 − 2i| = 1, ta có |z − 2 + 2i + 1 − 4i| = 1 ⇒ |z − 2 + 2i| − |1 − 4i| ≤ 1 ⇔ |z − 2 + 2i| ≤ 1 + |1 − 4i| = 1 + Đẳng thức xảy ra ⇔ √ 17. ( |z − 1 − 2i| = 1 √ . Điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ này là |z − 2 + 2i| = 1 + 17 giao điểm của đường tròn tâm I1 (1; 2), bán kính R1 = 1 và đường tròn tâm I2 (2; −2), bán kính √ √ R2 = 1 + 17. Ta có I1 I2 = 17 = R2 − R1 . Do đó M là điểm tiếp xúc trong của hai đường tròn này. Vậy giá trị lớn nhất của |z − 2 + 2i| bằng 1 + Chọn đáp án A √ 17.  Câu 1012. Cho số phức z = 3 − 2i. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức iz? A. M (−2; 3). C. M (3; −2). B. M (2; 3). D. M (−2; 3i). Lời giải. Ta có z = 3 − 2i ⇒ iz = 2 + 3i. Điểm biểu diễn số phức iz là M (2; 3).  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 254 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1013. Cho S = 1 + i + i2 + . . . + i2018 ( với i là đơn vị ảo ). Khi đó S 2018 bằng A. −1 . B. 1. C. 2018 . D. i. Lời giải. S = 1 + i + i2 + . . . + i2018 = 1 − i2019 1 − (i2 )1009 i 1+i = = = i ⇒ S 2018 = −1. 1−i 1−i 1−i  Chọn đáp án A Câu 1014. Cho hai số phức z1 = 2 + 3i và z2 = −3 − 5i. Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức w = z1 + z2 . B. −3. A. 3. D. −1 − 2i. C. 0. Lời giải. Ta có w = −1 − 2i ⇒ tổng phần thực và phần ảo của số phức w là −3.  Chọn đáp án B Câu 1015. Cho số phức z thỏa mãn z +4z = 7+i(z −7). Khi đó, mô-đun của z bằng bao nhiêu? √ √ B. |z| = 3. C. |z| = 5. D. |z| = 5. A. |z| = 3. Lời giải. Giả sử x = x + yi (x, y ∈ R). Ta có z + 4z = 7 + i(z − 7) ⇔ x + yi + 4(x − yi) = 7 + i(x + yi − 7) ( ( 5x + y − 7 = 0 x=1 ⇔ (5x + y − 7) + i(−x − 3y + 7) = 0 ⇔ ⇔ − x − 3y + 7 = 0 y = 2. Mô-đun của số phức z là |z| = √ 12 + 22 = √ 5.  Chọn đáp án C Câu 1016. Cho ba số phức z1 , z2 , z3 không phải là số thuần thực, thỏa mãn điều kiện z1 + z2 = 4 và |z1 − 2| = |z2 − 2| = |z3 − 2| = 1. Tính giá trị biểu thức T = |z3 − z1 |2 + |z3 − z2 |2 . A. T = 12. B. T = 1. C. T = 4. D. T = 8. Lời giải. Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 , z3 trên mặt phẳng tọa độ. Từ giả thiết |z1 − 2| = |z2 − 2| = |z3 − 2| = 1 suy ra A, B, C thuộc đường tròn tâm I(2; 0) bán kính R = 1. Từ giả thiết z1 + z2 = 4 suy ra I là trung điểm của AB nên AB = 2R = 2. T = |z2 − z1 |2 + |z3 − z2 |2 = AC 2 + BC 2 = AB 2 = 4R2 = 4.  Chọn đáp án C Câu 1017. Số nào sau đây là số thuần ảo? A. (1 + i)4 . B. (1 + i)3 . C. (1 + i)5 . D. (1 + i)6 . Lời giải. Ta có (1 + i)4 = (1 + 2i + i2 )2 = 4i2 = −4. (1 + i)3 = (1 + i)2 · (1 + i) = 2i · (1 + i) = −2 + 2i. (1 + i)5 = (1 + i)4 · (1 + i) = −4 · (1 + i) = −4 − 4i. (1 + i)6 = (1 + i)5 · (1 + i) = −4 · (1 + i)(1 + i) = −8i là số thuần ảo.  Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 255 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 √ Câu 1018. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 | = |z2 | = 2, |z1 + z2 | = 2 3. Tính |z1 − z2 |. √ A. |z1 − z2 | = 3. B. |z1 − z2 | = 2. C. |z1 − z2 | = 3. D. |z1 − z2 | = 0. Lời giải. Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn sác số phức z1 , z2 . Khi đó OA = |z1 | = 2, OB = |z2 | = 2. Dựng hình thoi OACB, khi đó C là điểm biểu diễn số phức √ z1 + z2 . Do đó OC = |z1 + z2 | = 2 3. OC √ Gọi I là tâm hình thoi OACB, ta có OI = = 3. 2 √ Từ đó IA = OA2 − OI 2 = 1. Suy ra AB = 2IA = 2. Bởi vậy |z1 − z2 | = AB = 2. B C I O A  Chọn đáp án B Câu 1019. Trong mặt phẳng phức, gọi M là điểm biểu diễn số phức (z − z)2 với z = a+bi (a, b ∈ R, b 6= 0). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M thuộc tia đối của tia Oy. B. M thuộc tia Oy. C. M thuộc tia đối của tia Ox. D. M thuộc tia Ox. Lời giải. Ta có (z − z)2 = (a + bi − a + bi)2 = 4b2 i2 = −4b2 . Do giả thiết suy ra M thuộc tia đối của tia Ox.  Chọn đáp án C z Câu 1020. Cho số phức z = 2 + 3i. Tính . z −5 + 12i 5 − 6i A. . B. . 13 11 Lời giải. C. 5 − 12i . 13 D. −5 − 12i . 13 Ta có z z·z z2 (2 + 3i)2 −5 + 12i = = 2 = 2 = . 2 z z·z |z| 2 +3 13  Chọn đáp án A Câu 1021. Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn ba điều kiện |z1 − 4 − 3i| = 5; |z2 − 4 − 3i| = 5 và |z1 − z2 | = 5. Gọi S là tập hợp chứa tất cả các số kiểu |z1 + 3z2 |. Có bao nhiêu số nguyên trong tập S? A. 40. B. 38. C. 39. D. 37. Lời giải. Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z1 ; z2 và K(4; 3). Từ giả thiết ta có AK = BK = 5 và AB = 5. # » # » #» # » 1# » Gọi E là điểm thỏa mãn EA + 3EB = 0 ⇒ EB = AB. # » # » # » # » # »4 # » Ta có |z1 + 3z2 | = |OA + 3OB| = |OE + EA + 3OE + 3EB| = 4OE. ∆KAB đều cạnh bằng 5 có M là trung điểm AB và E là trung điểm MB. K A M E B Ta có KE = √ sÇ √ å √ Å ã2 2 5 3 5 5 13 KM 2 − M E 2 = + = . 2 4 4 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 256 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 √ 5 13 Suy ra E di động trên đường tròn tâm K(4; 3) bán kính r = . Ta có 4 √ √ OK − r ≤ OE ≤ OK + r ⇔ 4(OK − r) ≤ 4OE ≤ 4(OK + r) ⇔ 20 − 5 13 ≤ 4OE ≤ 20 + 5 13. √ √ Trong đoạn [20 − 5 13; ≤ 20 + 5 13] có 37 số nguyên.  Chọn đáp án D Câu 1022. Cho (2 − 2i)2018 = a + bi; a, b ∈ R. Tính giá trị của biểu thức P = a + b. A. −81009 . B. 81009 . C. −41009 . D. 41009 . Lời giải. Ta có  1009 (2 − 2i)2018 = 22018 · (1 − i)2 = 22018 · (−2i)1009 = −81009 i. Vậy a = 0, b = −81009 và P = a + b = −81009 . Chọn đáp án A  Câu 1023. Cho hai số phức z1 = 2 − 2i, z2 = −3 + 3i. Khi đó số phức z1 − z2 là A. −5 + 5i. B. −5i. C. 5 − 5i. D. −1 + i. Lời giải. Ta có z1 − z2 = (2 − 2i) − (−3 + 3i) = 5 − 5i.  Chọn đáp án C Câu 1024. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 |z + 2i|Å2 + 2 |1ã− z|2 + 3 |z − 2 + là một đường tròn. Tìm tâm I của đường tròn Å i| = 2018 ã Å ã đó. 4 5 4 7 4 5 B. − ; . C. (1; 1). D. A. ;− . ;− . 3 6 3 6 3 6 Lời giải. Giả sử z = x + yi, x, y ∈ R. Khi đó ta có |x + (y + 2)i|2 + 2 |1 − x + yi|2 + 3 |x − 2 + (y + 1)|2 = 2018 ⇔ x2 + (y + 2)2 + 2(1 − x)2 + 2y 2 + 3(x − 2)2 + 3(y + 1)2 = 2018 ⇔ 6×2 + 6y 2 − 16x + 10y − 1997 = 0 Å ã ã Å 4 2 5 2 12071 ⇔ x− . + y+ = 3 6 36 Å Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn Å ã 4 5 I ;− . 3 6 Chọn đáp án A 4 x− 3 ã2 Å ã 5 2 12071 + y+ = có tâm là 6 36  Câu 1025. Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) thỏa mãn z + 1 + 2i − (1 + 1)|z| = 0 và |z| > 1. Tính giá trị của biểu thức P = a + b. B. P = −1. A. P = 3. Lời giải. D. P = −5. C. P = 7. Với z = a + bi ta có: √ z + 1 + 2i − (1 + 1)|z| = 0 ⇔ a + bi + 1 + 2i = (1 + i) a2 + b2 ⇔ ⇔ ( 2 a + 2a + 1 = a2 + b2 b2 + 2b + 1 = a2 + b2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em (a ≥ −1, b ≥ −2) ⇔ 257 ( √ a + 1 = a2 + b 2 √ b + 2 = a2 + b 2 ( 2a = b2 − 1 (1) 16b + 16 = (b2 − 1)2 (2) https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 ” Ta có (2) ⇔ b4 − 2b2 − 16b − 15 = 0 ⇔ (b + 1)(b − 3)(b2 + 2b + 5) = 0 ⇔ b = −1 b = 3. Với b = −1 ⇒ a = 0 ⇒ z = −i (không thỏa mãn |z| > 1). Với b = 3 ⇒ a = 4 ⇒ z = 3 + 4i (thỏa mãn). Vậy P = a + b = 7.  Chọn đáp án C Câu 1026. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho số phức z thỏa mãn |z − 1| = |z − i|. Quỹ tích các điểm biểu diễn số phức w = (3 − 4i) z + i là đường thẳng có phương trình A. 7x − y − 1 = 0. B. x − 7y + 1 = 0. C. 7x − y + 1 = 0. D. 7x + y + 1 = 0. Lời giải. Đặt z = x + yi ⇒ z = x − yi. Ta có » |z − 1| = (x − 1)2 + y 2 . » |z − i| = x2 + (y + 1)2 . » » Theo giả thiết thì (x − 1)2 + y 2 = x2 + (y − 1)2 ⇔ y = −x. Xét số phức w = (3 − 4i) (x + yi) = (3x + 4y) + (3y − 4x + 1) i. Gọi(M 0 (x0 ; y 0 ) là điểm biểu diễn số phức w. x0 = x ⇒ ⇔ y 0 = 7×0 + 1 ⇔ 7x − y + 1 = 0 0 y = −7x + 1  Chọn đáp án C 2017 Câu 1027. Tính giá trị của biểu thức P = C12018 − C32018 + · · · + (−1)k C2k+1 2018 + · · · + C2018 . 2018 2018 2 −1 2 +1 A. P = 21009 . B. P = 0. C. P = . D. P = . 2 2 Lời giải. Ta có 2018 (a + b) = 2018 X Ck2018 a2018−k bk . k=0 Với i2 = −1, ta có 2018 (1 + i)2018 = C02018 + C12018 i + C22018 i2 + . . . + C2018 2018 i (1) 2018 (1 − i)2018 = C02018 − C12018 i + C22018 i2 + . . . + C2018 2018 i (2) Lấy (1) trừ (2) theo vế ta được  2 (1 + i)2018 − (1 − i)2018 = 2i C12018 + C32018 i2 + C52018 i4 + . . . + C2017 2018 i 016 . Mà (i2 )2k = 1, (i2 )2k+1 = −1, với mọi k ∈ N. Suy ra, P = (1 + i)2018 − (1 − i)2018 (2i)1009 − (−2i)1009 = = 2 · (2i)1008 = 21009 . 2i 2i  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 258 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1028. Tìm số phức thỏa mãn i(z − 2 + 3i) = 1 + 2i. A. z = −4 + 4i. B. z = −4 − 4i. C. z = 4 − 4i. D. z = 4 + 4i. Lời giải. Ta có i(z − 2 + 3i) = 1 + 2i ⇔ −z + 2 − 3i = i − 2 ⇔ z = 4 − 4i. Khi đó z = 4 + 4i.  Chọn đáp án D Câu 1029. Cho số phức z1 = 3+2i, z2 = 6+5i. Tìm số phức liên hợp của số phức z = 6z1 +5z2 . A. z = 51 + 40i. B. z = 48 − 37i. C. z = 51 − 40i. D. z = 48 + 37i. Lời giải. Ta có z = 6z1 + 5z2 = 6(3 + 2i) + 5(6 + 5i) = 48 + 37i. Vậy z = 48 − 37i.  Chọn đáp án B Câu 1030. Tính tổng S = C12018 − 3C32018 + 32 C52018 − · · · + 31008 C2017 2018 . A. 22017 . B. 22018 . C. 22017 − 1. D. 22018 − 1. Lời giải. Ta có ⇔ Ä √ ä2018 1+i 3 Ç √ å2018 1 3 2018 +i 2 2 2 Ç √ å 3 1 2018 − +i 2 2 2 √ 3 22018 √ 2 3S ⇔ S ⇔ ⇔ ⇒ Ä √ ä2 Ä √ ä2018 √ = C02018 + i 3C12018 + i 3 C22018 + · · · + i 3 C2018 2018 √   1 3 1008 2017 = C02018 − 3C22018 + · · · − 31009 C2018 C2018 2018 + i 3 C2018 − 3C2018 + · · · + 3 √   1 3 1008 2017 C2018 = C02018 − 3C22018 + · · · − 31009 C2018 2018 + i 3 C2018 − 3C2018 + · · · + 3 = = √ √ 3 C12018 − 3C32018 + 32 C52018 − · · · + 31008 C2017 2018  3 · 22017 = 22017 .  Chọn đáp án A Câu 1031. Cho các số phức z thỏa mãn |z − i| = |z − 1 + 2i|. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = z + 2i trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Phương trình đường thẳng đó là A. x − 3y + 4 = 0. C. x − 4y + 3 = 0. B. x + 3y + 4 = 0. D. −x + 3y + 4 = 0. Lời giải. Ta có z = w − 2i. Thay vào giả thiết ⇒ |w − 3i| = |w − 1|. Gọi w = x + yi với x, y ∈ R. Khi đó |x + yi − 3i| = |x + yi − 1| ⇔ |x + (y − 3)i| = |x − 1 + yi| » » 2 2 ⇔ x + (y − 3) = (x − 1)2 + y 2 ⇔ x − 3y + 4 = 0.  Chọn đáp án A Câu 1032. Tính giá trị của tổng phần thực và phần ảo của số phức z biết z = (2 + i)2 . A. 7. B. 6. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 8. 259 D. −1. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Ta có z = (2 + i)2 = 4 + 4i + i2 = 3 + 4i. Vậy tổng phần thực và phần ảo của z bằng 7.  Chọn đáp án A Câu 1033. Cho số phức z thỏa mãn z + 2z = 3 − 2i. Tìm phần ảo của z. A. −2. B. −1. C. 1. D. 2. Lời giải. Gọi z = a + bi, (a, b ∈ R). Từ giả thiết, suy ra (a + bi) + 2(a − bi) = 3 − 2i ⇔ 3a − bi = 3 − 2i ⇔ ( 3a = 3 − b = −2 ⇔ ( a=1 b = 2. Vậy phần ảo của z bằng 2.  Chọn đáp án D Câu 1034. Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 + z2 | = 3, |z1 | = 1, |z2 | = 2. Tính z1 · z2 + z1 · z2 . A. 2. B. 8. C. 0. D. 4. Lời giải. Có |z1 + z2 | = 3 ⇔ (z1 + z2 ) (z1 + z2 ) = 9 ⇔ (z1 + z2 ) (z1 + z2 ) = 9 ⇔ |z1 |2 + z1 · z2 + z1 · z2 + |z2 |2 = 9. Mà |z1 | = 1, |z2 | = 2 nên z1 · z2 + z1 · z2 = 9 − 12 − 22 = 4.  Chọn đáp án D √ Câu 1035. Tổng 2 số phức 1 + i và 3 + i bằng √ B. 2i. A. 1 + 3 + 2i. Lời giải. Ta có 1 + i + √ 3+i=1+ √ C. 1 + √ 3 + i. D. 1 + √ 3. 3 + 2i.  Chọn đáp án A Câu 1036. Cho số phức z = a + bi (a, b là các số thực) thỏa mãn z · |z| + 2z + i = 0. Tính giá trị của biểu thức T = a + b2 . √ √ A. T = 4 3 − 2. B. T = 3 + 2 2. √ C. T = 3 − 2 2. √ D. T = 4 + 2 3. Lời giải. Ta có z · |z| + 2z + i = 0 ⇔ z · (|z| + 2) = −i. Lấy mô-đun hai vế, ta được |z| (|z| + 2) = 1 ⇔ |z|2 + 2|z| − 1 = 0 ⇔ |z| = −1 + Å ã2 √ −i −1 2 √ ⇒a+b =0+ √ Do đó z = = 3 − 2 2. 1+ 2 1+ 2 Chọn đáp án C √ 2.  Câu 1037. Cho hai số phức z = 5 + 2i và z 0 = 1 − i. Tính mô-đun của số phức w = z − z 0 . √ √ √ A. 5. B. 3 5. C. 17. D. 37. Lời giải. Ta có |w| = |z − z 0 | = |5 + 2i − (1 − i)| = |4 + 3i| = √ 42 + 32 = 5.  Chọn đáp án A Câu 1038. Gọi z = a+bi, với a, b ∈ R, là số phức thỏa mãn (1+i)z+3z̄ = 9+4i. Tính T = a+b. A. T = −1. B. T = 1. C. T = 7. D. T = −3. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 260 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có (1 + i)z + 3z̄ = 9 + 4i ⇔ (1 + i)(a + bi) + 3(a − bi) = 9 + 4i ⇔ a + bi + ai − b + 3a − 3bi = 9 + 4i ⇔ (4a − b) + (a − 2b)i = 9 + 4i ( 4a − b = 9 ⇔ a − 2b = 4 ( a=2 ⇔ b = −1. Vậy T = 2 − 1 = 1.  Chọn đáp án B Câu 1039. Cho i là đơn vị ảo. Giá trị của biểu thức z = (1 + i)2 là B. −i. A. 2i. C. −2i. D. i. Lời giải. Ta có z = (1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 2i.  Chọn đáp án A Câu 1040. Tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 = (z)2 là A. trục hoành. B. gồm cả trục hoành và trục tung. C. đường thẳng y = x. Lời giải. D. trục tung. Giả sử z = x + yi, với x, y ∈ R. ” Khi đó z 2 = (z)2 ⇔ x2 − y 2 + 2xyi = x2 − y 2 − 2xyi ⇔ 4xyi = 0 ⇔ x=0 y = 0. Vậy tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z là trục hoành và trục tung.  Chọn đáp án B Câu 1041. Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 | = 1; |z2 | = 2 và z1 · z2 là số thuần ảo, tính |z1 − z2 |. √ √ √ A. 2. B. 3. C. 2. D. 5. Lời giải. Vì z1 z2 là số thuần ảo nên z1 z2 + z1 z2 = 0. Ta có |z1 − z2 |2 = (z1 − z2 )(z1 − z2 ) = |z1 |2 + |z2 |2 − (z1 z2 + z2 z1 ) = 5 − (z1 z2 + z1 z2 ) = 5. √ Vậy |z1 − z2 | = 5.  Chọn đáp án D 1019 2018 Câu 1042. Cho S = |−C02018 + 3C22018 − 32 C42018 + · · · − 31008 C2016 C2018 |. Hỏi S có bao nhiêu 2018 + 3 chữ số. A. 607. B. 608. C. 609. D. 610. Lời giải. Đặt f (x) = (1 + x)2018 , ta có 2018 f (x) = C02018 + C12018 x + C22018 x2 + · · · + C2018 . 2018 x Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 261 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Suy ra Ä√ ä √ 3i = C02018 + 3iC12018 + 3i2 C22018 + · · · + 31009 i2018 C2018 2018 √ 1 2 1009 2018 0 = C2018 + 3iC2018 − 3C2018 + · · · − 3 C2018 , Ä √ ä √ f − 3i = C02018 − 3iC12018 + 3i2 C22018 + · · · + 31009 i2018 C2018 2018 √ = C02018 − 3iC12018 − 3C22018 + · · · − 31009 C2018 2018 . Ä√ ä Ä √ ä f 3i + f − 3i Suy ra S = . Mặt khác, ta có 2  Ä√ ä Ä √ ä2018 π 2018 π f 3i = 1 + 3i = 22018 cos + i sin 3 3 Ç √ å Å ã 2018π 1 3 2018π = 22018 cos + i sin = 22018 − + i , 3 3 2 2  π i2018 h  π Ä √ ä Ä √ ä2018 f − 3i = 1 − 3i + i sin − = 22018 cos − 3 3 Ç √ å ã Å ãò ï Å 2018π 1 3 2018π + i sin − = 22018 − − i , = 22018 cos − 3 3 2 2 f Suy ra S = 22018 . Ta có  log S = log 22018 ≈ 607,4785. Vậy S có 608 chữ số.  Chọn đáp án B Câu 1043. Đường tròn ở hình bên là tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn y đẳng thức nào dưới đây? A. |z − 3| = 3. B. |z| = 3. C. |z − 3 − 3i| = 3. D. |z − 3i| = 3. I 3 x 3 O Lời giải. Gọi z = x + yi (x, y ∈ R). Dựa vào hình vẽ ta thấy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thuộc đường tròn tâm I(3; 3), có bán kính R = 3. Suy ra (x − 3)2 + (y − 3)2 = 32 ⇔ |z − 3 − 3i| = 3.  Chọn đáp án C Câu 1044. Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số phức z = (1 + i)(2 − i)? A. M . B. P . C. N . y N M D. Q. −3 P Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 3 262 1 −1 O 1 −1 Q 3 x https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Ta có z = (1 + i)(2 − i) = 3 + i có điểm biểu diễn là Q(3; 1).  Chọn đáp án D Câu 1045. Cho số phức z = −4 + 3i. Tính mô-đun của số phức w = iz + z. √ √ √ A. |w| = 7 2. B. |w| = 50. C. |w| = 2 7. D. |w| = 25. Lời giải. √ Ta có w = iz + z = i(−4 + 3i) − 4 − 3i = −7 − 7i ⇒ |w| = 7 2.  Chọn đáp án A Câu 1046. Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn |z − 2| = |z| và (z + 1)(z − i) là số thực. Giá trị của biếu thức S = a + 2b bằng bao nhiêu? A. S = −3. B. S = 1. C. S = 0. D. S = −1. Lời giải. Ta có |z − 2| = |z| ⇔ |(a − 2) + bi| = |a + bi| ⇔ (a − 2)2 + b2 = a2 + b2 ⇔ (a − 2)2 = a2 ⇔ a = 1. Mặt khác (z + 1)(z − i) = (2 + bi)(1 − (b + 1)i) = 2 − 2(b − 1)i + bi + b(b − 1) = 2 + (−b − 2)i + b(b − 1) là số thực khi và chỉ khi −b − 2 = 0 ⇔ b = −2. Vậy S = a + 2b = 1 + 2 · (−2) = −3.  Chọn đáp án A Câu 1047. Cho biết có hai số phức z thỏa mãn z 2 = 119 − 120i, ký hiện là z1 và z2 . Tính |z1 − z2 |2 . A. 169. B. 114244. C. 338. D. 676. Lời giải. Gọi z = a + bi. ( a = −12 ( 2   b=5 a − b2 = 119  Theo giả thiết ta có ⇔ ( .  a = 12 2ab = −120  b = −5 Do đó z1 = −12 + 5i; z2 = 12 − 5i. Suy ra |z1 − z2 |2 = |−24 + 10i|2 = 676.  Chọn đáp án D Câu 1048. Cho w là số phức thay đổi thỏa mãn |w| = 2. Trong mặt phẳng phức, các điểm biểu diễn số phức z = 3w + 1 − 2i chạy trên đường nào? A. Đường tròn tâm I(1; −2), bán kính R = 6. C. Đường tròn tâm I(1; −2), bán kính R = 2. B. Đường tròn tâm I(−1; 2), bán kính R = 2. D. Đường tròn tâm I(−1; 2), bán kính R = 6. Lời giải. Ta có: z = 3w + 1 − 2i ⇔ z − 1 + 2i = 3w. ⇒ |z − 1 + 2i| = |3w| = 6. ⇒ Điểm biễu diễn số phức z chạy trên đường tròn tâm I(1; −2), bán kính R = 6.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 263 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12   |z1 | = |z2 | = |z3 | = 1     2 Câu 1049. Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn: z1 = z2 · z3 √ √ . Tính giá trị của biểu thức    6 + 2   |z1 − z2 | = 2 M = |z2 − z3 | − |z3 − z1 |. √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 6+ 2−2 − 6− 2+2 B. − 6 − 2 + 3. C. . D. . A. − 6 − 2 − 3. 2 2 Lời giải. Đặt z1 = a1 + b1 i; z2 = a2 + b2 i. Theo giả thiết ta có: |z1 | = |z2 | =√1 ⇔ √ a21 + b21 = a22 + b22 = 1. 6+ 2 |z1 − z2 | = 2 Ç√ √ å2 √ 6 + 2 =2+ 3 ⇔ (a1 − a2 )2 + (b1 − b2 )2 = 2 √ ⇔ 2 − 2(a1 a2 + b1 b2 ) = 2 + 3 √ ⇔ 2(a1 a2 + b1 b2 ) = − 3. √ √ p p p √ 6 − 2 Suy ra |z1 + z2 | = (a1 + a2 )2 + (b1 + b2 )2 = 2 + 2(a1 a2 + b1 b2 ) = 2 − 3 = . 2 Ta có: z12 z2 − 1 − z1 z2 z2 |z2 − z1 | · |z2 + z1 | |z1 ||z1 − z2 | − = |z2 | |z | å2 √ √ Ç√ √ √ √ − 6− 2+2 6+ 2 6− 2 −1 = . = 2 2 2 M = |z2 − z3 | − |z3 − z1 | = z2 −  Chọn đáp án D Câu 1050. Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau đúng? A. (1 + i)2018 = 21009 i. B. (1 + i)2018 = −21009 i. C. (1 + i)2018 = 21009 . D. (1 + i)2018 = −21009 . Lời giải. Ta thấy (1 + i)2018 = [(1 + i)2 ] Chọn đáp án A 1009 = (2i)1009 = 21009 i.  Câu 1051. Cho số phức w = (2 + i)2 − 3 (2 − i). Giá trị của |w| là √ √ √ A. 54. B. 2 10. C. 43. Lời giải. Ta có w = −3 + 7i nên |w| = D. √ 58. » √ (−3)2 + 72 = 58.  Chọn đáp án D Câu 1052. Cho số phức z thỏa mãn |z − 1 + 2i| = 5. Phép tịnh tiến véc-tơ #» v = (1; 2) biến tập hợp biểu diễn số phức z thành tập hợp biểu diễn số phức z 0 . Tìm P = max |z − z 0 |. √ √ A. P = 15. B. P = 12. C. P = 20 − 5. D. P = 10 + 5. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 264 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Xét hai đường tròn (I; 5) ; (I 0 ; 5) với I (1; −2) , I 0 (2; 0). B 0 Khi đó max |z − z | = AB với A, B là các giao điểm của đường thẳng II 0 với các đường tròn (I; 5) ; (I 0 ; 5) (A không nằm trong (I 0 ; 5) và B không nằm trong (I; 5)). √ Khi đó AB = 2R + II 0 = 10 + 5 I0 I A  Chọn đáp án D Câu 1053. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R, a < 0) thỏa mãn 1 + z = |z − i|2 + (iz − 1)2 . Tính |z|. √ 2 A. . 2 Lời giải. B. √ √ 5. C. 17 . 2 D. 1 . 2 Ta có 1 + z = |z − i|2 + (iz − 1)2 ⇔ 1 + a − bi = a2 + (b + 1)2 − a2 + (b + 1)2 − 2a(b + 1)i ( ( 1 + a = 2(b + 1)2 a = 2(b + 1)2 − 1 ⇔ ⇔ − b = −2a(b + 1) 1 − (b + 1) = −2a(b + 1). Thế a = 2(b + 1)2 − 1 vào phương trình dưới ta được   √ b + 1 = −1 b = −2 ⇒ a = 1 (loại) 2  ⇒ |z| = . 4(b + 1)3 − 3(b + 1) + 1 = 0 ⇔  1 1 1 ⇔ 2 b=− ⇒a=− b+1= 2 2 2  Chọn đáp án A Câu 1054. Cho số phức z = 2 − 3i. Số phức w = i · z + z là A. w = −1 + i. B. w = 5 − i. C. w = −1 + 5i. D. w = −1 − i. Lời giải. w = i · (2 + 3i) + 2 − 3i = −1 − i.  Chọn đáp án D z Câu 1055. Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z − = 9 − 9i. Tính |z|. 1−i √ √ √ A. 5. B. 2 5. C. 13. D. √ 17. Lời giải. Giả sử z = x + yi (x, y ∈ R). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 265 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Phương trình đã cho có dạng (2 + i)(1 − i)(x + yi) − (x − yi) = (9 − 9i)(1 − i) ⇔ (3 − i)(x + yi) − (x − yi) = −18i ⇔ (2x + y) + (4y − x)i = −18i ( 2x + y = 0 ⇔ − x + 4y = −18 ( x=2 ⇔ y = −4. Suy ra |z| = √ √ 4 + 16 = 2 5.  Chọn đáp án B √ Câu 1056. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z + 2 − i| = 2 2 và (z − 1)2 là số thuần ảo? A. 2. B. 0. C. 4. D. 3. Lời giải. Gọi z = a + bi (a, b ∈ R). " (z − 1)2 là số thuần ảo ⇔ (a − 1)2 − b2 = 0 ⇔ b=a−1 b = 1 − a. Ta có √ |z + 2 − i| = 2 2 ⇔ (a + 2)2 + (b − 1)2 = 8 (1). Trường hợp 1: b = a − 1. (1) ⇔ 2a2 + 8 = 8 ⇔ a = 0 ⇒ b = −1. Trường hợp 2: b = 1 − a. √ 3 − 1 ⇒ b = 2 − 3 (1) ⇔ 2a2 + 4a − 4 = 0 ⇔ √ √ a = − 3 − 1 ⇒ b = 3 + 2. " a= √ Vậy có 3 số phức z thỏa mãn.  Chọn đáp án D Câu 1057. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn phương trình P = a + b. A. P = 1 − √ 2. B. P = 1. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. P = 1 + 266 √ 2. (|z| − 1)(1 + iz) = i. Tính 1 z− z D. P = 0. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. (|z| − 1)(1 + iz)z (|z| − 1)(1 + iz) =i⇔ = i (|z| = 6 1) 1 zz − 1 z− z (|z| − 1)(1 + iz)z (1 + iz)z ⇔ =i⇔ =i 2 |z| − 1 |z| + 1 √ ⇔ z + i|z|2 = i(|z| + 1) ⇔ a − bi + (a2 + b2 )i = i( a2 + b2 + 1) ( √ a=0 ⇔ a + (−b + a2 + b2 )i = i( a2 + b2 + 1) ⇔ b2 − b = |b| + 1   a=0     (   a=0   b<0    " √  b = ±1 (loại) ⇔ ⇔ b = 1 + 2 (nhận)    (  √    b>0   b = 1 − 2 (loại).      b2 − 2b − 1 = 0 Vậy P = a + b = 1 + √ 2.  Chọn đáp án C 1 Câu 1058. Cho số phức z = 1 − i. Tính số phức w = iz + 3z. 3 8 8 10 A. w = . B. w = + i. C. w = + i. 3 3 3 Lời giải. Å ã Å ã Å ã 1 1 1 8 Ta có w = i 1 + i + 3 1 − i = 3 − + i (1 − 1) = . 3 3 3 3 Chọn đáp án A D. w = 10 . 3  1 1 = 1. Tính giá trị biểu thức P = z 3 + 3 . z z 7 C. P = 4. D. P = . 4 Câu 1059. Biết z là một nghiệm của phương trình z+ A. P = −2. B. P = 0. Lời giải. Å ã Å ã 1 1 3 1 1 Ta có z + 3 = z + z+ = 1 − 3 = −2. − 3z · z z z z Chọn đáp án A 3  Câu 1060. Mô đun của số phức z = (1 + 2i) (2 − i) là √ C. |z| = 10. A. |z| = 5. B. |z| = 5. Lời giải. Ta có z = (1 + 2i) (2 − i) = 4 + 3i ⇒ |z| = √ D. |z| = 6. 42 + 32 = 5.  Chọn đáp án A Câu 1061. Cho số phức z thỏa mãn |z + z| ≤ 2 và |z − z| ≤ 2. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của T = |z − 2i|. Tổng M + m bằng √ √ √ A. 1 + 10. B. 2 + 10. C. 4. D. 1. Lời giải. Đặt z = x + yi với x, y ∈ R. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 267 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ( |z + z| ≤ 2 ( |x| ≤ 1 Chương 3-Giải tích 12 ( x ∈ [−1; 1] ⇔ ⇒ . |z − z| ≤ 2 |y| ≤ 1 y ∈ [−1; 1] Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là điểm E(x; y) Khi đó nằm trong hình vuông ABCD với A(1; 1), B(−1; 1), C(−1; −1) y H B A và D(1; −1) như hình vẽ. E Khi đó T = |z − 2i| = EH với H(0; 2). Dễ thấy EH đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi E(0; 1) khi đó O m = min EH = 1. C ” Tương tự EH đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi Khi đó M = max EH = √ Vậy M + m = 1 + 10. √ 12 + 32 = √ 10. E(−1; −1) E(1; −1) x D .  Chọn đáp án A Câu 1062. Cho số phức z thỏa mãn (1 − i) z + 2iz̄ = 5 + 3i. Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức w = z + 2z. A. 3. B. 4. C. 6. D. 5. Lời giải. Cách 1: Đặt z = x + yi ⇒ z̄ = x − yi. Thay vào biểu thức trên ta được (x + 3y) + (x + y)i = 5 + 3i, suy ra z = 2 + i. Vậy w = 6 − i. Từ đó suy ra Re(w) + Im(w) = 6 + (−1) = 5. Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi Casio Đặt z = X + Y i ⇒ z̄ = X − Y i. Nhập vào máy tính: (1 − i)(X + Y i) + 2i(X − Y i) − (5 + 3i) . Gán X = 1000, Y = 100. Ta được kết quả là 1259 + 1097i. Phân tích số liệu: 1295 = X + 3Y − 3.  − 5 và 1097 = X + Y  X + 3Y − 5 = 0 X + 3Y = 5 Do đó ta giải hệ phương trình: ⇔ X + Y − 3 = 0 X + Y = 3  X = 2 ⇔ Y = 1. Do đó ta có z = 2 + i. Từ đó suy ra w = 6 − i. Vậy Im(w) + Re(w) = 5.  Chọn đáp án D Câu 1063. Cho các mệnh đề: (I) Số phức z = 2i là số thuần ảo. (II) Nếu số phức z có phần thực là a, số phức z 0 có phần thực là a0 thì số phức z · z 0 có phần thực là a · a0 . (III) Tích của hai số phức z = a + bi (a, b ∈ R) và z 0 = a0 + b0 i (a, b ∈ R) là số phức có phần ảo là ab0 + a0 b. Số mệnh đề đúng trong ba mệnh đề trên là A. 0. B. 3. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 2. 268 D. 1. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Ta có z · z 0 = (a + bi)(a0 + b0 i) = (aa0 − bb0 ) + (ab0 + a0 b)i. Do đó, chỉ có hai mệnh đề đúng là (I) và (III).  Chọn đáp án C Câu 1064. Gọi S là tập hợp tất cả các số phức thỏa mãn ( |z − 2 + 5i| = 2 |z − 5 − i| = 3 . Hỏi tập S có bao nhiêu phần tử? A. 0. B. 2. C. Vô số. D. 1. Lời giải. Giả sử z = a + bi (a, b ∈ R). Hệ phương trình đã cho tương đương với  16 (  2 2 a = (a − 2) + (5 − b) = 4 5 . ⇔ 2 2 17  (a − 5) + (b − 1) = 9 b = 5 Như vậy tập S chỉ có một phần tử là z = Chọn đáp án D Câu 1065. Cho số phức z = Ä√ 16 17 + i. 5 5  √ ä2018 √ √ √ 3 + 5i . Biết phần ảo của z có dạng z = a+b 3+c 5+d 15, trong các số a, b, c, d có đúng bao nhiêu số bằng 0? A. 2. B. 1. C. 4. D. 3. Lời giải. Ä√ 1009 √ √ ä2018 Ä √ ä1009 P k z= C1009 (−1)1009−k 15k ik . 3 + 5i = −2 + 2 15i = 21009 k=0 Phần ảo của z ứng với giá trị k là số lẻ nên a = b = c = 0.  Chọn đáp án D Câu 1066. Cho số phức z được biểu diễn bởi điểm M (2; −3). Tìm tọa độ điểm M 0 biểu diễn cho số phức iz. A. M 0 (−3; 2). B. M 0 (−3; −2). C. M 0 (3; −2). D. M 0 (3; 2). Lời giải. Ta có z = 2 − 3i ⇔ iz = 3 + 2i. Vậy điểm biểu diễn cho số phức iz là điểm M 0 (3; 2).  Chọn đáp án D Câu 1067. Trong mặt phẳng Oxy, cho số phức z thỏa mãn |z − 1| = |(1 + i)z|. Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là A. đường tròn có tâm I(1; 0), bán kính r = B. đường tròn có tâm I(0; 1), bán kính r = √ √ 2. 2. √ C. đường tròn có tâm I(−1; 0), bán kính r = 2. √ D. đường tròn có tâm I(0; −1), bán kính r = 2. Lời giải. Đặt z = x + yi, trong đó x, y là các số thực. |z − 1| = |(1 + i)z| ⇔ |(x − 1) + yi| = |1 + i||x + yi| ⇔ (x − 1)2 + y 2 = 2(x2 + y 2 ) ⇔ x2 + y 2 + 2x − 1 = 0. Do đó, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa yêu cầu bài toán là đường tròn tâm I(−1; 0), bán kính √ r = 2. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 269 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án C Câu 1068. Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) thỏa mãn z − 2z = −2 + 9i. Khi đó giá trị a + 3b bằng A. −1. B. −7. C. 11. D. 5. Lời giải. Ta có z − 2z = −2 + 9i ⇔ −a + 3bi = −2 + 9i ⇒ a = 2; b = 3 ⇒ a + 3b = 11.  Chọn đáp án C Câu 1069. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn z + 1 + 2i − (1 + i)|z| = 0 và |z| > 1. Tính giá trị của biểu thức P = a + b. A. P = −1. C. P = −5. B. P = 3. D. P = 7. Lời giải. Ä ä √ √ Ta có z + 1 + 2i − (1 + i)|z| = 0 ⇔ a + 1 − a2 + b2 + b + 2 − a2 + b2 i = 0 ( √ a + 1 − a2 + b 2 = 0 ⇔ √ b + 2 − a2 + b2 = 0. Suy ra a + 1 = b + 2 ⇔ a = b + 1, thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được: b+2− √ 2b2 + 2b + 1 = 0 ⇔  b ≥ −2  ”  ” b = −1 ⇒ a = 0 ⇔ ⇔ b = −1  b = 3 ⇒ a = 4. 2b2 + 2b + 1 = b2 + 4b + 4   b=3 ( b+2≥0 Với a = 0, b = −1 ta có |z| = 1 (không thỏa mãn). Với a = 4, b = 3 ta có |z| = 5 (thỏa mãn). Vậy P = a + b = 3 + 4 = 7.  Chọn đáp án D Câu 1070. Cho số phức z = a + bi, với a, b là các số thực bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. z − z không phải là số thực. 2 2 B. Phần ảo của z là bi. 2 C. Mô-đun của z bằng a + b . D. Số z và z có mô-đun khác nhau. Lời giải. Ä√ ä2 Ta có: |z 2 | = (|z|)2 = a2 + b 2 = a2 + b 2 .  Chọn đáp án C Câu 1071. Cho số phức z. Gọi A, B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn các số phức z và (1 + i)z. Tính |z| biết diện tích tam giác OAB bằng 8. √ √ A. |z| = 4. B. |z| = 2 2. C. |z| = 4 2. D. |z| = 2. Lời giải. Đặt z = a + bi với z 6= 0. (1 + i)z = (1 + i)(a + bi) = a − b + (a + b)i. √ # » Suy ra A(a; b), B(a − b; a + b), AB = (−b; a), AB = a2 + b2 Đường thẳng AB : a(x − a) + b(y − b) = 0 ⇔ ax + by − a2 − b2 = 0. |−a2 − b2 | √ 2 Chiều cao hạ từ O của tam giác OAB là h = d(O, AB) = √ = a + b2 . a2 + b2 Diện tích tam giác OAB bằng 8 nên ä2 √ 1 Ä√ 2 a + b2 = 8 ⇔ a2 + b2 = 4 ⇔ |z| = 4. · 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 270 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án A Câu 1072. Cho các số phức z1 = 2 + 3i, z2 = 4 + 5i. Số phức liên hợp của số phức w = 2(z1 + z2 ) là A. w = 8 + 10i. B. w = 12 − 16i. C. w = 12 + 8i. D. w = 28i. Lời giải. Ta có w = 2(6 + 8i) = 12 + 16i ⇒ w = 12 − 16i.  Chọn đáp án B  Câu 1073. Biết 2n C0n + iC1n − C2n − iC3n + · · · + ik Ckn + · · · + in Cnn = 32768i, với Ckn là các số tổ hợp chập k của n và i2 = −1. Đặt Tk+1 = ik Ckn , giá trị của T8 bằng A. −330i. B. −8i. C. −36i. D. −120i. Lời giải.  Ta có 2n C0n + iC1n − C2n − iC3n + · · · + ik Ckn + · · · + in Cnn = 32768i  ⇔ 2n C0n + iC1n + i2 C2n + i3 C3n + · · · + ik Ckn + · · · + in Cnn = 32768i ⇔ 2n (1 + i)n = 215 i ⇔ (1 + i)n = 215−n i: là số thuần ảo (∗) n 2m+1 m m Nếu n = 2m + 1, m ∈ N thì (1 + i) = (1 + i) = 2 i (1 + i): không thuần ảo, sai so với (*). Như vậy n = 2m, m ∈ N. Khi đó (*) ⇔ (1 + i)2m = 215−2m i ⇔ 2m im = 215−2m i ⇔ m = 5. Vậy n = 10, từ đó ta có T8 = i7 C78 = −8i.  Chọn đáp án B Câu 1074. Cho số phức z thỏa mãn (1 + z)(1 + i) − 5 + i = 0. Số phức w = 1 + z bằng A. −1 + 3i. B. 1 − 3i. C. −2 + 3i. D. 2 − 3i. Lời giải. Ta có (1 + z)(1 + i) − 5 + i = 0 ⇔ 1 + z = 5−i ⇔ 1 + z = 2 − 3i ⇔ z = 1 − 3i. 1+i  Chọn đáp án D 100 Câu 1075. Giá trị của biểu thức C0100 − C2100 + C4100 − C6100 + · · · − C98 100 + C100 bằng A. −2100 . B. −250 . C. 2100 . D. 250 . Lời giải. Ta có (1 + i)100 = C0100 + iC1100 + i2 C2100 + · · · + i100 C100 100 1 3 5 99 = (C0100 − C2100 + C4100 − · · · + C100 100 ) + (C100 − C100 + C100 − C100 )i Mặt khác (1 + i)100 = [(1 + i)2 ] 50 = (2i)50 = −250 . 100 50 Vậy C0100 − C2100 + C4100 − C6100 + · · · − C98 100 + C100 = −2 .  Chọn đáp án B Câu 1076. Cho hai số phức z = 3 − 5i và w = −1 + 2i. Điểm biểu diễn số phức z 0 = z − w · z trong mặt phẳng Oxy có tọa độ là A. (−4; −6). C. (4; −6). B. (4; 6). D. (−6; −4). Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 271 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có z0 = z − w · z = 3 + 5i − (−1 + 2i) · (3 − 5i) = 3 + 5i − (7 + 11i) = −4 − 6i.  Chọn đáp án A Câu 1077. Cho hai số phức z1 = 3 − i và z2 = 4 − i. Tính mô-đun của số phức z12 + z 2 . A. 12. B. 10. C. 13. D. 15. Lời giải. 2 2 2 Ta có số phức » w = z1 + z 2 = (3 − i) + (4 + i) = 9 − 6i + i + 4 + i = 12 − 5i. Nên |w| = 122 + (−5)2 = 13.  Chọn đáp án C Câu 1078. Cho số phức z thay đổi thỏa mãn |z − i| + |z + i| = 6. Gọi S là đường cong tạo bởi tất cả các điểm biểu diễn số phức (z − i) (i + 1) khi z thay đổi. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong S. √ B. 12 2π. A. 12π. √ C. 9 2π. D. 9π. Lời giải. Giả sử điểm M (x; y) là điểm biểu diễn số phức w = (z − i) (i + 1). Khi đó (z − i) (i + 1) = x + yi nên   x + yi    z − i = z − i = 1+i ⇔   z + i = x + yi + 2i  z + i = 1+i 1−i Ta suy ra |z − i| = |x + yi| · = 2  (x + yi) (1 − i) (x + yi) (1 − i)  z − i = 2 2 ⇔ . (x − 2) + (y + 2) i  [(x − 2) + (y + 2) i] (1 − i) z + i = 1+i 2 1 p 2 √ x + y2. 2 1−i 1 » Tương tự |z + i| = |(x − 2) + (y + 2) i| · =√ (x − 2)2 + (y + 2)2 . 2 2 Do giả thiết |z − i| + |z + i| = 6 suy ra » p √ 1 p 2 1 » √ x + y2 + √ (x − 2)2 + (y + 2)2 = 6 ⇔ x2 + y 2 + (x − 2)2 + (y + 2)2 = 6 2. 2 2 √ Giả sử F2 (0; 0) và F1 (2; −2), khi đó M F1 + M F2 = 6 2. Do đó tập hợp điểm M chuyển động trên √ elip nhận F1 , F2 là tiêu điểm và có độ dài trục lớn là 6 2. √ √ √ F1 F2 √ = 2 nên b = a2 − c2 = 4. Khi đó S = πab = 12 2π. Ta có a = 3 2 và c = 2  Chọn đáp án B Câu 1079. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn |z| = 5 và z(2 + i)(1 − 2i) là một số thực. Tính P = |a| + |b|. A. P = 8. B. P = 4. C. P = 5. D. P = 7. Lời giải. Ta có z(2 + i)(1 − 2i) = (a + bi)(4 − 3i) = 4a + 3b + (−3a + 4b)i. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 272 (1) https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 3 Do z(2 + i)(1 − 2i) là một số thực nên từ (1) suy ra −3a + 4b = 0 ⇔ b = a. 4 Mặt khác |z| = 5 ⇔ a2 + b2 = 25. (3) (2) Thế (2) vào (3) ta được phương trình Å ã2 3 2 a + a = 25 ⇔ a2 = 16 ⇔ a = ±4. 4 Với a = 4 ⇒ b = 3 và a = −4 ⇒ b = −3. Vậy P = |a| + |b| = 3 + 4 = 7.  Chọn đáp án D Câu 1080. Số phức z có phần ảo lớn nhất thoả mãn |z − 1 − i| = 1 là A. z = 2 + 2i. B. z = 1 + 2i. C. z = 2i. D. z = −1 + 3i. Lời giải. Giả sử z = x + yi, x, y ∈ R, theo bài ra ta có |(x − 1) + (y − 1)i| = 1 ⇔ (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1. Mà (x − 1)2 ≥ 0 nên (y − 1)2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ y − 1 ≤ 1 ⇔ 0 ≤ y ≤ 2. Vậy phần ảo của z có giá trị lớn nhất bằng 2. Dấu bằng xảy ra khi x = 1; y = 2, hay z = 1 + 2i.  Chọn đáp án B Câu 1081. Gọi (C) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z = x + yi, x, y ∈ R thoả mãn |z − 1| = 1 và N là điểm biểu diễn số phức z0 = 1 − i. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho M N có độ dài lớn nhất Ç A. M (1; 1). B. M √ å 1 3 . ; 2 2 C. M (1; 0). D. M (0; 0). Lời giải. Ta có |z − 1| = 1 ⇔ (x − 1)2 + y 2 = 1 nên tập hợp điểm (C) biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1; 0), bán kính R = 1. y M Điểm N có toạ độ là N (1; −1) cũng thuộc (C) nên M N có độ dài lớn nhất khi M N là đường kính của đường tròn (C) hay I là trung điểm x O I của M N nên toạ độ M là M (1; 1). N  Chọn đáp án A Câu 1082. Cho số phức z thỏa mãn |z − 1 − 2i| = 5 và M (x; y) là điểm biểu diễn của số phức z. Điểm M thuộc đường tròn có phương trình nào sau đây? A. (x + 1)2 + (y + 2)2 = 25. B. (x − 1)2 + (y − 2)2 = 25. C. (x + 1)2 + (y + 2)2 = 5. D. (x − 1)2 + (y − 2)2 = 5. Lời giải. Vì M (x; y) là điểm biểu diễn của số phức z nên z = x + yi. Ta có |z − 1 − 2i| = 5 ⇔ |x − 1 + (y − 2)i| = 5 ⇔ (x − 1)2 + (y − 2)2 = 25.  Chọn đáp án B Câu 1083. Cho số phức z có điểm biểu diễn là M (x; y) và thỏa mãn |z − 2 + 3i| = |z − 2 − 3i|. √ Biết |z − 1 − 2i| + |z − 7 + 4i| = 6 2, khi đó x thuộc khoảng Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 273 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. (0; 2). Chương 3-Giải tích 12 B. (1; 3). C. (4; 8). D. (2; 4). Lời giải. Ta có |z − 2 + 3i| = |z − 2 − 3i| ⇔ |x − 2 + (y + 3)i| = |x − 2 + (y − 3)i| ⇔ (x − 2)2 + (y + 3)2 = (x − 2)2 + (y − 3)2 ⇔ y = 0. √ Mặt khác, gọi A(1; 2), B(7; −4) ⇒ AB = 6 2. Ta có √ |z − 1 − 2i| + |z − 7 + 4i| = M A + M B 6 AB = 6 2. Dấu “=” xảy ra khi M nằm trên đoạn AB. Khi đó,  ( x = 3 x − 1 = 6k # » # » AM = k AB, với k ∈ [0; 1] ⇒ ⇔ k = 1 . 0 − 2 = −6k 3 Chọn đáp án D  Câu 1084. Cho số phức z thỏa mãn z (1 + i) + 12i = 3. Tìm phần ảo của số z. 9 15 15 15 A. − . B. − . C. i. D. . 2 2 2 2 Lời giải. 9 15 3 − 12i 9 15 15 = − − i ⇒ z = − + i. Phần ảo của z là . z= 1+i 2 2 2 2 2 Chọn đáp án D  Câu 1085. Tìm số phức z thỏa mãn |z − 3| = |z − 1| và (z + 2)(z − i) là số thực. A. z = 2. Lời giải. B. z = −2 + 2i. Giả sử z = a + bi, khi đó ta có ( |z − 3| = |z − 1| Im[(z + 2)(z − i)] = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ C. z = 2 − 2i. D. Không có z. ( |z − 3|2 = |z − 1|2 Im[(z + 2)(z − i)] = 0 ( |(a + bi) − 3|2 = |a + bi − 1|2 Im[(a + bi + 2)(a + bi − i)] = 0 ( |(a + bi) − 3|2 = |a − 1 + bi|2 Im[(a + 2 + bi)(a − (b + 1)i)] = 0 ( (a − 3)2 + b2 = (a − 1)2 + b2 Im[((a + 2)a + b(b + 1)) − i((a + 2)(b + 1) − ab)] = 0 ( 2 ( a − 6a + 9 = a2 − 2a + 1 a=2 ⇔ ⇔ a + 2b + 2 = 0 b = −2. Vậy z = a + bi = 2 − 2i.  Chọn đáp án C Câu 1086. Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi m ∈ S có đúng một số phức thỏa mãn z |z − m| = 4 và là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S. z−6 A. 0 . B. 12 . C. 6 . D. 14. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 274 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Giả sử z = a + bi (a, b ∈ R) , z 6= 6. M (a; b) là điểm biểu diễn z. Khi đó ta có z a + bi (a + bi)(a − 6 − bi) a(a − 6) + b2 + i(b(a − 6) − ab) = = = . z−6 (a + bi) − 6 (a − 6 + bi)(a − 6 − bi) (a − 6)2 + b2 z là số thuần ảo thì ta phải có Để z−6 ( a (a − 6) + b2 = 0 (1) (a − 6)2 + b2 6= 0 Suy ra điểm M thuộc đường tròn tâm I (3; 0), bán kính R = 3. . Từ |z − m| = 4 ⇔ |(a + bi) − m| = 4 ⇔ (a − m)2 + b2 = 16 (2) suy ra điểm M thuộc đường tròn tâm I 0 (m; 0), bán kính R0 = 4. 0 0 Để có đúng 1 điểm M thỏa mãn thì 2 đường  tròn (I; R) và (I ; R ) phải có 1 điểm chung duy nhất  m = 10    ( 0 (  m = −4 II = R + R0 |m − 3| = 7 ⇔ ⇔ ⇔ .  II 0 = |R − R0 | |m − 3| = 1 m=4      m=2 Khi m = 10, m = 2 thì hai đường tròn tiếp xúc tại điểm(6; 0), do vậy các trường hợp này bị loại. Vậy tổng các phần tử của S là 4 − 4 = 0.  Chọn đáp án A Câu 1087. Cho hai số phức z1 = 1 + 2i và z2 = 2 − 3i. Phần ảo của số phức w = 3z1 − 2z2 là A. 12. B. 1. C. 11. D. 12i. Lời giải. w = 3z1 − 2z2 = −1 + 12i. Vậy w có phần ảo là 12.  Chọn đáp án A Câu 1088. Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2x + 1 + (1 − 2y)i = 2(2 − i) + yi − x. Khi đó giá trị của x2 − 3xy − y bằng A. −3. C. −2. B. 1. D. −1. Lời giải. 2x + 1 + (1 − 2y)i = 2(2 − i) + yi − x ⇔ 2x + 1 + (1 − 2y)i = 4 − x + (y − 2)i ( 2x + 1 = 4 − x ⇔ 1 − 2y = y − 2 ( x=1 ⇔ y = 1. Suy ra x2 − 3xy − y = −3.  Chọn đáp án A Câu 1089. Cho M là tập hợp các số phức z thỏa |2z − i| = |2 + iz|. Gọi z1 , z2 là hai số phức thuộc tập hợp M sao cho |z1 − z2 | = 1. Tính giá trị của biểu thức P √ = |z1 + z2 |. √ √ 3 A. P = 2. B. P = 3. C. P = . 2 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 275 D. P = 2. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Gọi z = x + yi, với x, y ∈ R. Ta có |2z − i| = |2 + iz| ⇔ |2x + (2y − 1)i| = |2 − y + xi| ⇔ x2 + y 2 = 1. Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn (C) có tâm O và bán kính R = 1. Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 , z2 . Ta có A, B thuộc (C) và √ # » # » # » |z1 − z2 | = 1 ⇔ AB = 1. Suy ra 4OAB đều nên P = |z1 + z2 | = OA + OB = 2 OH = 3.  Chọn đáp án B Câu 1090. Cho các số phức z thỏa mãn |zi − (2 + i)| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Tâm I của đường tròn đó là A. I(1; −2) . C. I(−1; −2) . B. I(−1; 2) . D. I(1; 2). Lời giải. Ta có |i(z − 1 + 2i)| = 2 ⇒ |z − 1 + 2i| = 2 ⇒ p (x − 1)2 + (y + 2)2 = 2. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1; −2).  Chọn đáp án A Câu 1091. Cho số phức z thỏa mãn (1 − i) · z + (1 + 2i) · (1 − 2z) = 10 + 7i. Tính mô đun của z. √ √ C. 5 . D. 5 . A. 3 . B. 3 . Lời giải. Đặt z = a + bi. Ta có (1 − i) · z + (1 + 2i) · (1 − 2z) = 10 + 7i ⇔ (1 − i)(a − bi) + (1 − 2i)(1 − 2(a + bi)) = 10 + 7i ⇔ a − b − ai − bi + (1 − 2i)(1 − 2a − 2bi) = 10 + 7i ⇔ a − b − ai − bi + 1 − 2a − 2(1 − 2a)i − 2bi − 4b = 10 + 7i ⇔ −3a − 5b + 1 + 3ai − 3bi − 2i = 10 + 7i ( − 3a − 5b + 1 = 10 ⇔ 3a − 3b − 2 = 7 ( a=1 ⇔ b = −2. ⇒ |z| = |1 − 2i| = √ 5.  Chọn đáp án D Câu 1092. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn (1 + i)z + z̄ là số thuần ảo và |z − 2i| = 1. A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số. Lời giải. Giả sử z = a + bi trong đó a, b ∈ R, ta có z̄ = a − bi. Số phức (1+i)z+z̄ = (1+i)(a+bi)+(a−bi) = 2a−b+ai là số thuần ảo khi chỉ khi 2a−b = 0 ⇔ b = 2a. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 276 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Mặt khác |z − 2i| = 1 ⇔ |a + bi − 2i| = 1 ⇔ a2 + (2a − 2)2 = 1 ⇔ 5a2 − 8a + 3 = 0  a = 1 ⇒ b = 2 ⇒ z = 1 + 2i  ⇔ 6 3 6 3 a = ⇒ b = ⇒ z = + i. 5 5 5 5 Vậy có 2 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn đáp án A  Câu 1093. Cho số phức w thỏa mãn |w + 2| ≤ 1. Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z = 2w + 1 − i là một hình tròn. Tính diện tích S của hình tròn đó. A. S = 2π. B. S = 4π. C. 9π. D. π. Lời giải. Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi (x, y ∈ R). Ta có z = 2w + 1 − i ⇔ x − yi = 2w + 1 − i ⇔ w = Lại có |w + 2| ≤ 1 nên Å x−1 +2 2 ã2 y−1 + 2 Å ã2 x−1 y−1 − i. 2 2 ≤ 1 ⇔ (x + 3)2 + (y − 1)2 = 4. Nên tập hợp điểm biểu diễn z là hình tròn bán kính R = 2 có diện tích S = 4π.  Chọn đáp án B Câu 1094. Cho khai triển (2018×2 + x + 2018) 2018 a1 − a3 + a5 − · · · + a4035 . A. S = 0. B. S = −1. = a0 + a1 x + · · · + a4036 x4036 . Tính tổng S = C. S = 22018 . D. S = 1. Lời giải. Cho x = i (i2 = −1) trong khai triển (2018×2 + x + 2018) 2018 = a0 + a1 x + · · · + a4036 x4036 ta được i2018 = a0 + a1 i + a2 i2 + · · · + a4036 i4036 ⇔ −1 = (a0 − a2 + a4 − · · · + a4036 ) + (a1 − a3 + a5 − · · · + a4035 ) i Vậy S = a1 − a3 + · · · + a4035 = 0.  Chọn đáp án A Câu 1095. Số phức z = (1 − i)2018 có phần thực bằng A. 1. B. 21009 . C. −21009 . D. 0. Lời giải. 1009 z = (1 − i)2018 = [(1 − i)2 ] = (−2i)1009 = (−2)1009 i = −21009 i. Suy ra phần thực của số phức z bằng 0.  Chọn đáp án D Câu 1096. Cho z1 , z2 là các số phức thỏa mãn |z1 | = |z2 | = 1 và |z1 − 2z2 | = biểu thức P = |2z1 + z2 |. A. P = 2. B. P = √ 3. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. P = 3. 277 √ 6. Tính giá trị của D. P = 1. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Đặt z1 = a1 + b1 i; z2 = a2 + b2 i. Suy ra a21 + b21 = a22 + b22 = 1. √ 1 Và |z1 − 2z2 | = 6 ⇔ a1 a2 + b1 b2 = − . 4 Suy ra P = |2z1 + z2 | = 2.  Chọn đáp án A Câu 1097. Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn cho số z thỏa mãn |(1+2i)z −10| = |(2 + i)z + 5| là A. hai đường thẳng cắt nhau. B. hai đường thẳng song song. C. một đường thẳng. D. một đường tròn. Lời giải. Đặt z = x + yi với x, y ∈ R. Ta có |(1 + 2i)z − 10| = |(2 + i)z + 5| ⇔ |(1 + 2i)(x + yi) − 10| = |(2 + i)(x − yi) + 5| ⇔ |x − 2y − 10 + (2x + y)i| = |(2x + y) + (x − 2y + 5)i| ⇔ (x − 2y − 10)2 + (2x + y)2 = (2x + y)2 + (x − 2y + 5)2 ⇔ 2x − 4y − 5 = 0. Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn cho số z là đường thẳng 2x − 4y − 5 = 0. Chọn đáp án C Câu 1098. Tìm phần ảo của số phức z biết z − (2 + 3i)z = 1 − 9i. A. 1. B. −2. C. −1.  D. 2. Lời giải. Gọi z = x + yi (x, y ∈ R). Ta có z − (2 + 3i)z = 1 − 9i ⇔ x + yi − (2 + 3i)(x − yi) = 1 − 9i ⇔ x + yi − [2x + 3y + (3x − 2y)i] = 1 − 9i ⇔ −x − 3y − 3(x − y)i = 1 − 9i ( ( − x − 3y = 1 x=2 ⇔ ⇔ − 3(x − y) = −9 y = −1. Vậy phần ảo của số phức z là y = −1.  Chọn đáp án C Câu 1099. Cho số phức w = (2 + i)2 − 3(2 − i). Giá trị của |w| là √ √ √ A. 54. B. 58. C. 2 10. D. √ 43. Lời giải. √ Ta có w = −3 + 7i nên |w| = 58.  Chọn đáp án B Câu 1100. Cho số phức z = 2 − 3i. Tìm phần ảo của số phức w = (1 + i)z − (2 − i)z. A. −5. B. −9. C. −5i. D. −9i. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 278 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 w = (1 + i)z − (2 − i)z = (1 + i)(2 − 3i) − (2 − i)(2 + 3i) = −2 − 5i. Phần ảo của số phức w là −5.  Chọn đáp án A Câu 1101. Cho hai số phức z1 = 2 + i và z2 = 1 − i. Tìm số phức z = z1 + 2z2 . A. 1 + i. C. 4 − i. B. 1. D. 2i. Lời giải. z = z1 + 2z2 = 2 + i + 2(1 − i) = 4 − i.  Chọn đáp án C Câu 1102. Cho z1 = 2+3i; z2 = 4+5i. Tìm số phức liên hợp của số phức w biết w = 2 (z1 + z2 ). A. w = 12 − 16i. C. w = −14 + 44i. B. w = 12 + 16i. D. w = −14 − 44i. Lời giải. Ta có w = 2 (2 + 3i + 4 + 5i) = 12 + 16i. Vậy w = 12 − 16i.  Chọn đáp án A Câu 1103. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn z + 3 + 2i = (|z| + 1) (1 + i) và |z| > 1. Tính P = a − b. A. P = −1. B. P = −5. C. P = 3. D. P = 7. Lời giải. z + 3 + 2i = (|z| + 1) (1 + i) ⇔ a + bi + 3 + 2i = √ √ ⇔ a + bi + 3 + 2i = a2 + b2 + a2 + b2 · i + 1 + i ( √ a + 3 = a2 + b 2 + 1 ⇒ a − b = −1. ⇔ √ b + 2 = a2 + b 2 + 1 Ä√ ä a2 + b2 + 1 (1 + i)  Chọn đáp án A Câu 1104. Cho số phức z = a + bi, với a, b ∈ R. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? A. z + z = 2bi. C. z · z = a2 − b2 . B. z − z = 2a. D. |z 2 | = |z|2 . Lời giải. Ta có z = a − bi, do đó z + z = 2a. z − z = 2bi. z · z = a2 + b 2 . |z 2 | = |z · z| = |z| · |z| = |z|2 . Vậy chỉ có mệnh đề |z 2 | = |z|2 là mệnh đề đúng.  Chọn đáp án D Câu 1105. Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 3 + 2i| = 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = z + 1 − i là A. Đường tròn tâm I(−4; 3), bán kính R = 5. C. Đường tròn tâm I(4; −3), bán kính R = 5. B. Đường tròn tâm I(3; −2), bán kính R = 5. D. Đường tròn tâm I(−2; 1), bán kính R = 5. Lời giải. Ta có w − 4 + 3i = z − 3 + 2i Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 279 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 ⇒ |w − 4 + 3i| = |z − 3 + 2i| = 5. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I(4; −3), bán kính R = 5.  Chọn đáp án C Câu 1106. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn |z −(2m−1)−i| = 10 và |z − 1 + i| = |z − 2 + 3i|. A. 41. B. 40. C. 165. D. 164. Lời giải. Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) có điểm biểu diễn là M . Ta có |z − 1 + i| = |z − 2 + 3i| ⇔ |(a − 1) + (b + 1)i| = |(a − 2) + (3 − b)i| » » ⇔ (a − 1)2 + (b + 1)2 = (a − 2)2 + (3 − b)2 I ⇔ 2a + 8b − 11 = 0. H d Suy ra điểm M thuộc đường thẳng d : 2x + 8y − 11 = 0. Mặt khác, từ |z − (2m − 1) − i| = 10, suy ra điểm M thuộc đường tròn (C) tâm I(2m − 1; 1), bán kính bằng 10. Vậy M là giao điểm của d và (C). Để tồn tại đúng hai số phức z, điều kiện là d phải cắt (C) tại đúng 2 điểm phân biệt. Điều này xảy ra khi √ √ |2(2m − 1) + 8 · 1 − 11| 5 − 10 68 5 + 10 68 √ d(I, d) < 10 ⇔ < 10 ⇔ 2OB. Do đó, Tmin = 2OB khi O, M, B thẳng hàng theo thứ tự đó, hay M ≡ P (như hình vẽ). Phương trình đường thẳng OB : x − 4y = 0. Ta có P ∈ OB ⇒ P (4t; t) (với t > 0). √ 1 + 2 13 P ∈ (C) : x2 + (y − 1)2 = 4 ⇒ (4t)2 + (t − 1)2 = 4 ⇔ 17t2 − 2t − 3 = 0 ⇔ t = . 17 Ç √ √ å √ 4 + 8 13 1 + 2 13 3 + 6 13 ⇒M ; . Vậy a − b = . 17 17 17  Chọn đáp án C Câu 1115. Cho số phức z = a + bi(a, b ∈ R) và thỏa mãn điều kiện (1 + 2i)z − (2 − 3i)z̄ = 2 + 30i. Tính tổng S = a + b. A. S = −2. B. S = 2. C. S = 8. D. S = −8. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 282 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có (1 + 2i)(a + bi) − (2 − 3i)(a − bi) = 2 + 30i ⇔ a − 2b + 2ai + bi − 2a + 3b + 3ai + 2bi = 2 + 30i ( a − 2b − 2a + 3b = 2 ⇔ 2a + b + 3a + 2b = 30 ( −a+b=2 ⇔ 5a + 3b = 30 ( a=3 ⇔ b = 5. Suy ra S = 8. Chọn đáp án C  √ 17 Câu 1116. Cho số phức z ∈ C thỏa mãn (2+i)|z| = +1−3i. Mệnh đề nào dưới đây đúng? z 3 1 3 1 1 C. < |z| < . D. 0 < |z| < . A. 2 < |z| < 3. B. < |z| < . 2 2 2 4 2 Lời giải. Ta có √ 17 + 1 − 3i z √ 17 (2|z| − 1) + (|z| + 3)i = z√ » 17 (2|z| − 1)2 + (|z| + 3)2 = |z| 17 (2|z| − 1)2 + (|z| + 3)2 = 2 |z| 4 3 2 5|z| + 2|z| + 10|z| − 17 = 0 (2 + i)|z| = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ |z| = 1.  Chọn đáp án B Câu 1117. Tìm phần ảo của số phức z = (a + bi)(1 − 2i) với a, b ∈ R. A. 2a + b. B. 2a − b. C. a + 2b. D. b − 2a. Lời giải. z = (a + bi)(1 − 2i) = (a + 2b) + (b − 2a)i. Chọn đáp án D  Câu 1118. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z biết số phức (z−i)(2+i) là một số thuần ảo. A. Đường thẳng 2x − y + 1 = 0. B. Đường thẳng x + 2y − 2 = 0. C. Đường thẳng 2x + y − 1 = 0. D. Đường thẳng 2x − y − 1 = 0. Lời giải. Gọi z = x + yi, x, y ∈ R. (z − i)(2 + i) = (x + yi − i)(2 + i) = (2x − y + 1) + (x + 2y − 2)i. Để (z − i)(2 + i) là một số thuần ảo thì 2x − y + 1 = 0 hay tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z là đường thẳng 2x − y + 1 = 0. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 283 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án A √ Câu 1119. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: |z − z − 2i| = |z + z − 6| và |z − 6 − 2i| = 2 2. A. 1. B. 4. C. 2. D. 3. Lời giải. Gọi z = x + yi với x, y ∈ R. ( ( |x + yi − (x − yi) − 2i| = |x + yi + (x − yi) − 6| √ |x + yi − 6 − 2i| = 2 2 ( |(2y − 2)i| = |2x − 6| ⇔ ⇔ |z − z − 2i| = |z + z − 6| √ |z − 6 − 2i| = 2 2 √ |(x − 6) + (y − 2)i| = 2 2 » »  (2y − 2)2 = (2x − 6)2 ⇔ (x − 6)2 + (y − 2)2 = 8 " y =x−2    ⇔ y = −x + 4    (x − 6)2 + (y − 2)2 = 8 ( y =x−2   (x − 6)2 + (y − 2)2 = 8  ⇔ (  y = −x + 4  (x − 6)2 + (y − 2)2 = 8  √ √ x = 5 + 3; y = 3 + 3  √ √ ⇔  3; y = 3 − 3 x = 5 −  x = 4; y = 0. Chọn đáp án D Ä√  ä2 2 + 3i . Tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng bao Câu 1120. Cho số phức z = nhiêu? √ √ A. 2 + 3. B. 6 2 + 11. √ C. 6 2 − 7. D. 11. Lời giải. Ta có ä2 √ 2 + 3i = −7 + 6 2i. √ Vậy số z có phần thực bằng −7 và phần ảo bằng 6 2. √ Tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng 6 2 − 7. z= Ä√  Chọn đáp án C Câu 1121. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, số phức z = (2 − 3i) − (3 + i) được biểu diễn bởi điểm nào sau đây? A. M (−1; −4). B. N (1; −4). C. P (1; 4). D. Q(−1; 4). Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 284 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có z = (2 − 3i) − (3 + i) = −1 − 4i. Vậy điểm biểu diễn số phức z là điểm M (−1; −4).  Chọn đáp án A Câu 1122. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x(3 + 2i) + y(1 − 4i) = 1 + 24i. Tính giá trị x + y. A. x + y = 4. B. x + y = 3. C. x + y = 2. D. x + y = −3. Lời giải. Ta có x(3 + 2i) + y(1 − 4i) = 1 + 24i ⇔ 3x + 2xi + y − 4yi = 1 + 24i ( 3x + y = 1 ⇔ 2x − 4y = 24 ( x=2 ⇔ y = −5. Vậy x + y = 2 + (−5) = −3.  Chọn đáp án D Câu 1123. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x+yi (x, y ∈ R) thỏa mãn |z + 1 − 2i| = |z|. Biết rằng tập hợp các điểm M là một đường thẳng, tìm phương trình đường thẳng đó. A. 2x + 4y + 5 = 0. B. 2x − 4y + 5 = 0. C. 2x − 4y + 3 = 0. D. 2x − y + 1 = 0. Lời giải. Ta có |z + 1 − 2i| = |z| ⇔ |x + yi + 1 − 2i| = |x + yi| ⇔ (x + 1)2 + (y − 2)2 = x2 + y 2 ⇔ x2 + 2x + 1 + y 2 − 4y + 4 = x2 + y 2 ⇔ 2x − 4y + 5 = 0. Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng có phương trình 2x − 4y + 5 = 0.  Chọn đáp án B Câu 1124. Cho số phức z = x + yi (x, y ∈ R) thỏa mãn z + 2i (z̄) = 3(1 + i). Tính giá trị của biểu thức P = 4x + 5y. A. P = 12. B. P = 8. C. P = 9. D. P = 21. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 285 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có z + 2i (z̄) = 3(1 + i) ⇔ x + yi + 2i(x − yi) = 3(1 + i) ⇔ x + yi + 2xi + 2y = 3 + 3i ( x + 2y = 3 ⇔ 2x + y = 3 ( x=1 ⇔ y = 1. Vậy P = 4x + 5y = 4 · 1 + 5 · 1 = 9.  Chọn đáp án C Câu 1125. √ Tìm mô-đun của số phức√z thỏa mãn điều kiện z√− 2z = 3 + 4i. √ 93 95 91 97 . B. |z| = . C. |z| = . D. |z| = . A. |z| = 3 3 3 3 Lời giải. Đặt z = a + bi(a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi, thay vào phương trình ta có a + bi − 2a + 2bi = 3 + 4i ⇔ −a + 3bi = 3 + 4i  a = −3 ⇔ b = 4 . 3 √ … 16 97 Mô đun của z là |z| = 9 + = . 9 3 Chọn đáp án D  Câu 1126. Cho số phức z = a + bi(a, b ∈ R) thỏa mãn z + 2 + i − |z|(1 + i) = 0 và |z| > 1. Tính P = a + b. A. P = −1. B. P = −5. C. P = 3. D. P = 7. Lời giải. Thay z = a + bi vào phương trình ta có ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ z + 2 + i − |z|(1 + i) = 0 √ a + bi + 2 + i − a2 + b2 (1 + i) = 0 Ä ä Ä ä √ √ a + 2 − a2 + b 2 + i b + 1 − a2 + b 2 = 0 ( ( √ a + 2 = a2 + b 2 a=b−1 ⇔ √ √ b + 1 = a2 + b 2 b + 1 = 2b2 − 2b + 1 ” b = 0 ⇒ a = −1 (loại) b2 − 4b = 0 ⇔ . b = 4 ⇒ a = 3 (thỏa mãn) Vậy P = 3 + 4 = 7.  Chọn đáp án D Câu 1127. Thu gọn số phức z = i + (2 − 4i) − (3 − 2i), ta được: Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 286 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. z = −1 − i. Chương 3-Giải tích 12 B. z = 1 − i. C. z = −1 − 2i. D. z = 1 + i. Lời giải. Ta có z = i + (2 − 4i) − (3 − 2i) = i + 2 − 4i − 3 + 2i = −1 − i.  Chọn đáp án A Câu 1128. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 + (z)2 = 0 là A. Trục hoành và trục tung. B. Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ ba. C. Trục hoành. D. Các đường phân giác của góc tạo bởi hai trục tọa độ. Lời giải. Giả sử z = x + yi (x, y ∈ R). Khi đó z 2 + (z)2 = 0 ⇔ (x + yi)2 + (x − yi)2 = 0 ⇔ x2 − y 2 + 2xyi + x2 − y 2 − 2xyi = 0 ⇔ x2 = y 2 ⇔ y = ±x. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là các đường phân giác của góc tạo bởi hai trục tọa độ.  Chọn đáp án D Câu 1129. Tìm số các số phức thỏa mãn điều kiện z 2 + 2z = 0. A. 0. B. 4. C. 1. D. 2. Lời giải. Giả sử z = x + yi (x, y ∈ R). Khi đó z 2 + 2z = 0 ⇔ x2 − y 2 + 2xyi + 2(x − yi) = 0 ⇔ ( 2 x − y 2 + 2x = 0 2xy − 2y = 0 (  2 y=0 2 x − y + 2x = 0  ( 2   ”  x2 + 2x = 0 x − y 2 + 2x = 0  ⇔ ⇔ ⇔ ( y=0  x=1  2y(x − 1) = 0    x=1 y2 = 3 ( ( ( ( x=1 x=0 x = −2 x=1 ⇔ ; ; √ √ ; y = − 3. y=0 y=0 y= 3 Vậy có 4 số phức thỏa mãn bài toán.  Chọn đáp án B Câu 1130. Cho số phức z = 2 + bi. Tính z · z̄. √ A. z · z̄ = 4 + b2 . B. z · z̄ = 4 − b2 . C. z · z̄ = −b. D. z · z̄ = 4 + b2 . Lời giải. Ta có z · z̄ = (2 + bi)(2 − bi) = 4 − b2 i2 = 4 + b2 .  Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 287 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1131. Cho số phức z có điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm M (1; −2). Tính mô-đun của số phức w = iz̄ − z 2 . √ √ A. 6. B. 26. C. 26. D. 6. Lời giải. Ta có z = 1 − 2i ⇒ w = i(1 + 2i) − (1 − 2i)2 = i − 2 − (−3 − 4i) = 1 + 5i. √ Vậy |w| = 26.  Chọn đáp án B Câu 1132. Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm phức của phương trình z 4 + z 2 − 6 = 0. Tính T = z12 + z22 + z32 + z42 . A. T = 2. Lời giải. B. T = 14. C. T = 4. D. T = −2. √  z=− 2 ” 2 √  z = 2 z = 2  Ta có z 4 + z 2 − 6 = 0 ⇔ ⇔ √ 2 z = − 3i z = −3  √ z = 3i. √ √ √ √ Do đó, phương trình đã cho có 4 nghệm phức là z1 = − 2, z2 = 2, z3 = − 3i, z4 = 3i. Vậy z12 + z22 + z32 + z42 = −2.  Chọn đáp án D Câu 1133. Các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z · z̄ + 3 (z − z̄) = 5 + 12i thuộc đường nào trong các đường cho bởi phương trình sau đây? A. y = 2×2 . Lời giải. B. (x − 1)2 + y 2 = 5. C. y = 2x. D. y = −2x. Giả sử z = x + yi với x, y ∈ R. Ta được z · z̄ + 3 (z − z̄) = 5 + 12i ⇔ x2 + y 2 + 6yi = 5 + 12i ( 2 x + y2 = 5 ⇔ 6y = 12 ( 2 x =1 ⇔ y = 2. Do đó, có hai điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là A(1; 2) và B(−1; 2). Dễ thấy A, B chỉ thuộc đường y = 2×2 .  Chọn đáp án A Câu 1134. Nếu mô-đun của số phức z là r (r > 0) thì mô-đun của số phức (1 − i)3 · z bằng √ √ A. 2r. B. 3r. C. 2r. D. 2 2r. Lời giải. √ √ Do (1 − i)3 · z = (1 − i)3 |z| = |2 − 2i| |z| = 2 2 |z| = 2 2r.  Chọn đáp án D Câu 1135. Tìm số phức liên hợp của số phức z = i (3i − 1) là A. z = 3 − i. B. z = −3 + i. C. z = 3 + i. D. z = −3 − i. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 288 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có z = i (3i − 1) ⇔ z = −3 − i suy ra z = −3 + i.  Chọn đáp án B Câu 1136. Số nào trong các số sau là số thuần ảo? Ä√ ä Ä√ ä Ä√ ä Ä√ ä A. 3 + 2i 3 − 2i . B. 3 + 2i + 3 − 2i . 1 − 4i C. . D. (3 + 3i)2 . 1 + 4i Lời giải. Do (3 + 3i)2 = 9 + 18i + 9i2 = 18i nên (3 + 3i)2 là số thuần ảo.  Chọn đáp án D Câu 1137. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 1 + 2i| ≤ 2. Trong hệ tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 3z − 2 + i là hình tròn có diện tích bằng A. 25π. Lời giải. B. 16π. C. 36π. D. 9π. Giả sử số phức w = x + yi với x, y ∈ R. Gọi M là điểm biểu diễn số phức w suy ra điểm M (x; y). Do giả thiết ta có Å ã x+2 y−1 w = 3z − 2 + i ⇔ x + yi = 3z − 2 + i ⇔ 3z = x + 2 + (y − 1) i ⇔ z = + i 3 3 Å ã Å ã x−1 x+2 y−1 y+5 + i − 1 + 2i = + i suy ra Khi đó z − 1 + 2i = 3 3 3 3 Å ã ã Å x−1 2 y+5 2 |z − 1 + 2i| ≤ 2 ⇔ + ≤ 2 ⇔ (x − 1)2 + (y + 5)2 ≤ 36 3 3 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w nằm trong đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y + 5)2 = 36. Gọi R là bán kính đường tròn (C) suy ra R = 6 nên diện tích hình tròn bằng 36π. Chọn đáp án C  Câu 1138. Cho số phức z = 1+(1 + i)+(1 + i)2 +· · ·+(1 + i)2018 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. z = −21009 . B. z = −21009 + (21009 + 1) i. C. z = 21009 + (21009 + 1) i. D. z = 21009 + 21009 i. Lời giải. Ta có 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + · · · + (1 + i)2018 = 1 − (1 + i)2019 1 − (1 + i)2019 = = i − i · (1 + i)2019 1 − (1 + i) −i Vì (1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 2i suy ra (1 + i)8 = 24 . î ó252 252 Mà (1 + i)2019 = (1 + i)8 · (1 + i)3 suy ra i · (1 + i)2019 = (24 ) · 2i2 · (1 + i) = −21009 (1 + i). Do đó z = i + 21009 (1 + i) = 21009 + (1 + 21009 ) i.  Chọn đáp án C Câu 1139. Cho số phức z = 3 − 2i. Tìm điểm biểu diễn của số phức w = z + i · z. A. M (5; −5). B. M (1; −5). C. M (1; 1). D. M (5; 1). Lời giải. Ta có: z = 3 + 2i. Khi đó w = z + i · z = 3 − 2i + i(3 + 2i) = 1 + i. Vậy điểm biểu diễn số phức w là M (1; 1). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 289 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án C Câu 1140. Tìm số phức liên hợp của số phức z = i(3i + 1). A. z = 3 − i. B. z = −3 − i. C. z = −3 + i. D. z = 3 + i. Lời giải. Ta có: z = i(3i + 1) = −3 + i ⇒ z = −3 − i.  Chọn đáp án B Câu 1141. Cho số phức z = (2 − 3i)(3 − 4i). Điểm biểu diễn số phức z là A. M (6; 17). C. M (−17; −6). B. M (17; 6). D. M (−6; −17). Lời giải. Ta có z = (2 − 3i)(3 − 4i) = −6 − 17i. Do đó, điểm biểu diễn cho số phức z là M (−6; −17).  Chọn đáp án D Câu 1142. Rút gọn biểu thức P = i2000 + i2021 . B. P = 1 − i. A. P = 1 + i. C. P = −1 + i. D. P = −1 − i. Lời giải. P = i2000 + i2021 = 1 + i.  Chọn đáp án A Câu 1143. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn điều kiện (1 + i)z + 2z = 4 − 3i. Tính P = a + b. A. P = 3. B. P = 10. C. P = 7. D. P = 5. Lời giải. Giả sử z = a + bi với a, b ∈ R và i2 = −1. Khi đó (1 + i)z + 2z = 4 − 3i ⇔(1 + i)(a + bi) + 2(a − bi) = 4 − 3i ⇔(3a − b) + i(a − b) = 4 − 3i ( 3a − b = 4 ⇔ a − b = −3  7  a = 2 ⇔   b = 13 . 2 Suy ra P = a + b = 10.  Chọn đáp án B Câu 1144. Cho x, y là các số thực thỏa mãn (2x − 1) + (y + 1)i = 1 + 2i. Giá trị của biểu thức x2 + 2xy + y 2 bằng A. 2. B. 0. C. 1. D. 4. Lời giải. Từ (2x − 1) + (y + 1)i = 1 + 2i ta có ( 2x − 1 = 1 ⇔ y+1=2 2 ( x=1 y = 1. 2 Vậy x + 2xy + y = 4.  Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 290 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1145. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M, N, P lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức 2 + 3i, 1 − 2i và −3 + i. Tìm tọa độ của điểm Q sao cho tứ giác M N P Q là hình bình hành. A. Q(0; 2. B. Q(6; 0). C. Q(−2; 6). D. Q(−4; −4. Lời giải. Ta có M (2; 3), N (1; −2), P (−3; 1). ã −1 ;2 . Gọi H là trung điểm của M P , suy ra H 2 Vì M N P Q là hình bình hành nên H cũng là trung điểm của N Q, do đó Q(−2; 6). Å  Chọn đáp án C Câu 1146. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z − i| = |2 − 3i − z| là A. Đường thẳng x − 2y − 3 = 0. 2 B. Đường thẳng x + 2y + 1 = 0. 2 D. Đường tròn x2 + y 2 = 4. C. Đường tròn x + y = 2. Lời giải. Đặt z = x + yi (x, y ∈ R). Khi đó, ta có |z − i| = |2 − 3i − z| ⇔ |x + yi − i| = |2 − 3i − x − yi| ⇔ |x + (y − 1)i| = |(2 − x) + (−3 − y)i| » » ⇔ x2 + (y − 1)2 = (2 − x)2 + (−3 − y)2 ⇔ x2 + (y − 1)2 = (2 − x)2 + (−3 − y)2 ⇔ x − 2y − 3 = 0.  Chọn đáp án A Câu 1147. Cho số phức z = a + bi thỏa mãn z(1 + 2i)2 + z = −20 + 4i. Giá trị của a2 − b2 bằng A. 16. B. 1. C. 5. D. 7. Lời giải. Ta có z(1 + 2i)2 + z = −20 + 4i ⇔ (a + bi)(−3 + 4i) + (a − bi) = −20 + 4i ⇔ (−3a − 4b) + (4a − 3b)i + (a − bi) = −20 + 4i ⇔ (−2a − 4b) + (4a − 4b)i = −20 + 4i ( − 2a − 4b = −20 ⇔ 4a − 4b = 4 ( a=4 ⇔ b = 3. Vậy a2 − b2 = 16 − 9 = 7.  Chọn đáp án D Câu 1148. Với các số phức z thỏa mãn |z − 2 + i| = 4, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Tìm bán kính R của đường tròn đó. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 291 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. R = 8. Chương 3-Giải tích 12 B. R = 16. C. R = 2. D. R = 4. Lời giải. Viết z dưới dạng z = a + bi, (a, b ∈ R). Khi đó, ta có: |z − 2 + i| = 4 ⇔ |(a − 2) + (b + 1)i| = 4 ⇔ (a − 2)2 + (b + 1)2 = 16. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z đã cho là đường tròn tâm I(2; −1), bán kính R = 4.  Chọn đáp án D Câu 1149. Cho số phức z1 = 1 + 2i, z2 = 3 − i. Tìm số phức liên hợp của số phức w = z1 + z2 . A. w = 4 − i. C. w = −4 + i. B. w = 4 + i. D. w = −4 − i. Lời giải. Ta có w = z1 + z2 = (1 + 3) + (2 − 1)i = 4 + i ⇒ w = 4 − i.  Chọn đáp án A Câu 1150. Cho z là một số thuần ảo khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. z là số thực. B. Phần ảo của z bằng 0. C. z = z. D. z + z = 0. Lời giải. Vì z là số thuần ảo khác 0 nên z = bi, b ∈ R, b 6= 0 và z = −bi. Suy ra z + z = 0.  Chọn đáp án D Câu 1151. Cho ba số phức z1 , z2 , z3 phân biệt thỏa mãn |z1 | = |z2 | = |z3 | = 3 và z 1 + z 2 = z 3 . Biết ’ z1 , z2 , z3 lần lượt được biểu diễn bởi các điểm A, B, C trên mặt phẳng phức. Tính góc ACB. A. 150◦ . B. 90◦ . C. 120◦ . D. 45◦ . Lời giải. Viết z1 = a1 + b1 i, z2 = a2 + b2 i, z3 = a3 + b3 i, a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 ∈ R. Khi đó, ta có hệ:   a21 + b21 = 9 (1)       a2 + b22 = 9 (2)   2 a23 + b23 = 9 (3)     a1 + a2 = a3 (4)      − b1 − b2 = −b3 (5). Thế (4) và (5) vào (3), ta có (a1 + a2 )2 + (b1 + b2 )2 = 9 (6). Thế (1) và (2) vào (6), ta có 2a1 a2 + 2b1 b2 = −9. # » # » CA = (a1 − a3 ; b1 − b3 ), CB = (a2 − a3 ; b2 − b3 ). Suy ra # » # » (a1 − a3 )(a2 − a3 ) + (b1 − b3 )(b2 − b3 ) CA · CB ’ p cos ACB = # » # » = p (a1 − a3 )2 + (b1 − b3 )2 (a2 − a3 )2 + (b2 − b3 )2 CA · CB −a2 (−a1 ) + (−b2 )(−b1 ) a1 a2 + b 1 b 2 p p =p 2 =p (−a2 )2 + (−b2 )2 (−a1 )2 + (−b1 )2 a2 + b22 a21 + b21 9 − 2 = −1 =√ √ 2 9 9 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 292 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 ’ = 120◦ . Vậy ACB  Chọn đáp án C Câu 1152. Số phức z + z là A. Số thực. B. Số ảo. C. 0. D. 2. Lời giải. Đặt z = a + bi với a, b ∈ R ⇒ z = a − bi. Vậy z + z = 2a là số thực.  Chọn đáp án A Câu 1153. Cho hai số phức z1 = 2 + 4i, z2 = −1 + 3i. Tính môđun của số phức w = z1 z2 − 2z1 . √ √ √ A. |w| = 2 2. B. |w| = 2 10. C. |w| = 4 2. D. |w| = 2. Lời giải. Ta có w = (2+4i)(−1−3i)−2(2−4i) = (10−10i)−(4−8i) = 6−2i. Do đó |w| = p √ 62 + (−2)2 = 2 10.  Chọn đáp án B Câu 1154. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiên |z + 2| = |i − z| là đường thẳng có phương trình nào sau đây? A. 4x − 2y + 3 = 0. B. 4x + 2y − 3 = 0. C. 4x − 2y − 3 = 0. D. 4x + 2y + 3 = 0. Lời giải. Giả sử z = a + bi, với a, b ∈ R. Từ giả thiết ta được (a + 2)2 + b2 = a2 + (b − 1)2 ⇔ 4a + 2b + 3 = 0. Vậy các điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường thẳng có phương trình 4x + 2y + 3 = 0. Chọn đáp án D  Câu 1155. Tính mô-đun của số phức nghịch đảo của số phức z = (1 − 2i)2 . √ 1 1 1 B. . C. 5. A. √ . D. . 25 5 5 Lời giải. 1 −3 + 4i Gọi ω là số phức nghịch đảo của số phức z = (1 − 2i)2 ⇒ ω = = . z 25 1 Vậy |ω| = . 5 Chọn đáp án D  Câu 1156. Cho số phức z thỏa (1 + i)z = 3 − i. Tìm phần ảo của z. A. −2i. B. 2i. C. 2. D. −2. Lời giải. 3−i = 1 − 2i, do đó phần ảo của z bằng −2. 1+i Chọn đáp án D Ta có z =  Câu 1157. Tìm số thực m sao cho m2 − 1 + (m + 1)i là số ảo. A. m = 0. C. m = ±1. B. m = 1. D. m = −1. Lời giải. m2 − 1 + (m + 1)i là số ảo khi m2 − 1 = 0 hay m = ±1.  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 293 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1158. Tính S = 1 + i + i2 + · · · + i2017 + i2018 . A. S = −i. C. S = 1 − i. B. S = 1 + i. D. S = i. Lời giải. Ta có (i)4n = 1, (i)4n+1 = i, (i)4n+2 = −1, (i)4n+3 = −i. Do đó 1+i 1 − i2019 = = i. S = 1 + i + i2 + · · · + i2017 + i2018 = 1−i 1−i Chọn đáp án D  Câu 1159. Tìm phần thực a và phần ảo b của số phức z = (−2 + 3i)(−9 − 10i). A. a = 48 và b = 7. B. a = −48 và b = 7. C. a = −48 và b = −7. D. a = 48 và b = −7. Lời giải. Ta có z = (−2 + 3i)(−9 − 10i) = 48 − 7i nên a = 48 và b = −7. Chọn đáp án D  Câu 1160. Tìm mô-đun của số phức z = (−6 + 8i)2 . √ √ A. |z| = 4 527. B. |z| = 2 7. C. |z| = 100. D. |z| = 10. Lời giải. Ta có z = (−6 + 8i)2 = −28 − 96i ⇒ |z| = p (−28)2 + (−96)2 = 100.  Chọn đáp án C Câu 1161. Cho số phức z = a + bi với a, b ∈ R thỏa z + 2i + 1 = |z|(1 + i) và |z| > 1. Tính P = a − b. A. P = −3. C. P = −1. B. P = 3. D. P = 1. Lời giải. Từ giả thiết z + 2i + 1 = |z|(1 + i) suy ra  a + 1 = √ a2 + b 2 √ √ (a+1)+(b+2)i = a2 + b2 +i· a2 + b2 ⇔ b + 2 = √ a2 + b 2 ” Từ (1) ⇔ b2 − 2b − 3 = 0 ⇔    a ≥ −1   ⇔ a=b+1    (b + 2)2 = (b + 1)2 + b2 (1). b = −1 b=3 Khi b = −1 ⇒ a = 0 ⇒ |z| = 1. Trường hợp này loại vì |z| > 1. Khi b = 3 ⇒ a = 4 ⇒ |z| = 5 > 1. Trường hợp này nhận, vậy P = a − b = 1.  Chọn đáp án D Câu 1162. Tìm các số phức z thỏa 2iz + 3z = 5. A. z = −3 − 2i. B. z = 3 − 2i. C. z = −3 + 2i. D. z = 3 + 2i. Lời giải. Gọi số phức z = a + bi với a, b ∈ R. Từ giả thiết, ta có  3a − 2b = 5 2i(a + bi) + 3(a − bi) = 5 ⇔ (3a − 2b) + (2a − 3b)i = 5 ⇔ 2a − 3b = 0 ⇔ z = 3 + 2i. b = 2  Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em ⇔  a = 3 294 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1163. Cho số phức z = 2 + 5i. Tìm số phức w = iz + z. A. w = −3 − 3i. C. w = −7 − 7i. B. w = 3 + 7i. D. w = 7 − 3i. Lời giải. Ta có w = i · (2 + 5i) + (2 − 5i) = −3 − 3i.  Chọn đáp án A Câu 1164. Điểm A trong hình vẽ biểu diễn cho số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z. A. Phần thực là 3, phần ảo là −2i. y 2 A B. Phần thực là 3, phần ảo là 2. C. Phần thực là 3, phần ảo là −2. D. Phần thực là 3, phần ảo là 2i. 3 O x Lời giải. Ta có tọa độ điểm A(3; 2), suy ra số phức z = 3 + 2i. Vậy phần thực của z là 3 và phần ảo của z là 2.  Chọn đáp án B Câu 1165. Phần thực của số phức z = (a + i)(1 − i) là A. −a + 1. B. a − 1. D. a2 + 1. C. a + 1. Lời giải. z = (a + i)(1 − i) = a + 1 + (1 − a)i. Phần thực của z là a + 1.  Chọn đáp án C Câu 1166. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 1 − 2i| + |z − 3| = nhất của P = |z − 2 − i|. A. P = 2. B. P = √ 2. C. P = √ 3. √ 7 + 3i . Tìm giá trị nhỏ D. P = 3. Lời giải. Gọi z = a + bi(a, b ∈ R). 4= √ 7 + 3i = |z − 1 − 2i| + |z − 3| » » = (a − 1)2 + (b − 2)2 + (a − 3)2 + b2  1 »  1 » = 2 (a − 1)2 + (b − 2)2 + 2 (a − 3)2 + b2 2Å 2 ã 1 4 + (a − 1)2 + (b − 2)2 4 + (a − 3)2 + b2 ≤ + 2 2 2  1 2  1 (a − 2)2 + (b − 1)2 + 6 = P +6 = 2 2 √ ⇒ P ≥ 2. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 295 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 ( a=1  » (  2 = (a − 1)2 + (b − 2)2  b=0 4 = (a − 1)2 + (b − 2)2  » ⇔ ⇔ ( . 2 2 2 2  a=3 2 = (a − 3)2 + b2 (a − 1) + (b − 2) = (a − 3) + b  b=2 Ta cũng có thể tìm giá trị lớn nhất của P . Ta có (a2 + b2 )(c2 + d2 ) − (ac + bd)2 = (ad − bc)2 ≥ 0 ⇒ p (a2 + b2 )(c2 + d2 ) ≥ ac + bd. Ta đi chứng minh bất đẳng thức √ » √ c2 + d2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2 » ⇔a2 + b2 + c2 + d2 + 2 (a2 + b2 )(c2 + d2 ) ≥ (a + c)2 + (b + d)2 » ⇔ (a2 + b2 )(c2 + d2 ) ≥ ac + bd(luôn đúng, xem chứng minh trên). a2 + b 2 + Gọi z = a + bi(a, b ∈ R). Ta có 4= √ 7 + 3i = |z − 1 − 2i| + |z − 3| = |z − 1 − 2i| + |z − 3| » » (a − 1)2 + (b − 2)2 + (a − 3)2 + b2 ≥ » ≥ (a − 1 + a − 3)2 + (b − 2 + b)2 » = 2 (a − 2)2 + (b − 1)2 = 2 |z − 2 − i| = 2P. Từ đây suy ra P ≤ 2.  Chọn đáp án B Câu 1167. Số phức z = (1 + 2i)(2 − 3i) bằng A. 8 − i. B. 8. C. 8 + i. D. −4 + i. Lời giải. Có z = (1 + 2i)(2 − 3i) = 2 + 4i − 3i − 6i2 = 8 + i.  Chọn đáp án C Câu 1168. Cho hai số phức z1 = m + 3i, z2 = 2 − (m + 1)i, với m ∈ R. Tìm các giá trị của m để w = z1 · z2 là số thực. A. m = 1 hoặc m = −2. B. m = 2 hoặc m = −1. C. m = 2 hoặc m = −3. D. m = −2 hoặc m = −3. Lời giải. 2 Ta có w = z1 · z2 = (m + 3i) (2 − (m + 1)i) ” = 5m + 3 + (6 − m − m ) i. m = −3 Để w là số thực thì 6 − m − m2 = 0 ⇔ m = 2.  Chọn đáp án C Câu 1169. Cho các số phức z thỏa mãn |z| = 12. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = (8 − 6i)z + 2i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r = 120. B. r = 122. C. r = 12. √ D. r = 24 7. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 296 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Có w = (8 − 6i)z + 2i ⇔ w − 2i = (8 − 6i)z ⇒ |w − 2i| = |8 − 6i| · |z| = 10 · 12 = 120. Từ đó ta suy ra tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn tâm I(0; 2), bán kính R = 120.  Chọn đáp án A Câu 1170. Cho z1 = 1 + 2i, z2 = 2 − 3i. Khi đó w = z1 − 2z2 bằng A. w = 5 + 8i. B. w = −3 + 8i. C. w = 3 − i. D. w = −3 − 4i. Lời giải. w = z1 − 2z2 = (1 + 2i) − 2(2 − 3i) = −3 + 8i.  Chọn đáp án B Câu 1171. Cho số phức z = a + bi. Khi đó phần ảo của số phức z 2 bằng A. b. B. a. D. a2 − b2 . C. 2ab. Lời giải. Ta có z 2 = (a + bi)2 = a2 − b2 + 2abi. Do đó phần ảo của z 2 là 2ab.  Chọn đáp án C Câu 1172. Cho hai số phức z = m + 3i và z 0 = 2 − (m + 1)i. Tích các giá trị của m để zz 0 là số thực là B. −6. A. 6. C. 10. D. 12. Lời giải. Ta có zz 0 = (m + 3i) (2 − (m + 1)i) = 5m + 3 + i(−m2 −”m + 6). m=2 Do đó zz 0 là số thực khi và chỉ khi −m2 − m + 6 = 0 ⇔ m = −3.  Chọn đáp án B Câu 1173. Với x, y là hai số thực thỏa mãn x(3 + 5i) + y(1 − 2i)3 = 9 + 14i. Giá trị của 2x − 3y bằng 172 353 94 205 . B. . C. . D. . A. 109 61 61 109 Lời giải. x(3 + 5i) + y(1 − 2i)3 = 9 + 14i ⇔ x(3 + 5i) + y(−11 + 2i) = 9 + 14i ⇔ (3x − 11y) + i(5x + 2y) = 9 + 14i ( 3x − 11y = 9 ⇔ 5x + 2y = 14  172  x = 61 ⇔  y = − 3 . 61 Vậy 2x − 3y = 2 · 172 −3 353 −3· = . 61 61 61  Chọn đáp án C Câu 1174. Tìm số phức liên hợp của số phức z = (3 + 2i)(3 − 2i). A. z = 13. B. z = i. C. z = 0. D. z = −13. Lời giải. Ta có z = (3 + 2i)(3 − 2i) = 13 ⇒ z = 13.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 297 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1175. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z − 3i| = 5 và z − 4 là số thuần ảo khác 0? A. 2. B. 0. C. Vô số. D. 1. Lời giải. Gọi z = x + yi (với x, y ∈ R). Ta có z − 4 = (x − 4) + yi là số thuần ảo khác 0 nên 2 2 ( y 6= 0 x = 4. 2 Khi đó |z − 3i| = 5 ⇔ x + (y − 3) = 25 ⇔ (y − 3) = 9 ⇔ y = 6 (vì y 6= 0).  Chọn đáp án D Câu 1176. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z + 1 − 2i| = 3. B. Đường tròn tâm I(1; −2), bán kính r = 3. D. Đường tròn tâm I(−1; 2), bán kính r = 9. A. Đường tròn tâm I(−1; 2), bán kính r = 3. C. Đường tròn tâm I(1; 2), bán kính r = 9. Lời giải. Đặt z = x + yi, (x; y ∈ R), ta có M (x; y) biểu diễn số phức z. p Do |z + 1 − 2i| = 3 ⇒ |(x + 1) + (y − 2)i| = 3 ⇔ (x + 1)2 + (y − 2)2 = 3 ⇔ (x + 1)2 + (y − 2)2 = 9. Suy ra tập hợp điểm M (x; y) biểu diễn z là đường tròn tâm I(−1; 2), bán kính r = 3.  Chọn đáp án A Câu 1177. Gọi x, y là hai số thực thỏa x(3 − 5i) − y(2 − i)2 = 4 − 2i. Tính M = 2x − y. A. M = 1. C. M = −2. B. M = 2. D. M = 0. Lời giải. Ta có x(3−5i)−y(2−i)2 = 4−2i ⇔ x(3−5i)−y(4−4i+i2 ) = 4−2i ⇔ (3x−3y)−(5x−4y)i = 4−2i. Khi đó ta có hệ  10 (  x = − 3x − 3y = 4 3 . ⇔ 14  5x − 4y = 2 y = − 3 ã Å 14 10 + Suy ra M = 2x − y = 2 · − = −2. 3 3 Chọn đáp án C  Câu 1178. Cho số phức z thỏa mãn |z + 1 − i| = |z − 1 + 2i|. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó. A. 4x + 6y − 3 = 0. B. 4x − 6y + 3 = 0. C. 4x − 6y − 3 = 0. D. 4x + 6y + 3 = 0. Lời giải. Gọi z = x + yi, với x, y ∈ R. Khi đó |z + 1 − i| = |z − 1 + 2i| ⇔ |x + yi + 1 − i| = |x + yi − 1 + 2i| ⇔ (x + 1)2 + (y − 1)2 = (x − 1)2 + (y + 2)2 ⇔ 4x − 6y − 3 = 0.  Chọn đáp án C Câu 1179. Cho số phức z = 2 − 3i. Tìm mô-đun của số phức w = 2z + (1 + i)z. √ √ √ A. |w| = 10. B. |w| = 4. C. |w| = 15. D. |w| = 2 2. Lời giải. w = 2z + (1 + i)z ⇔ w = 2(2 − 3i) + (1 + i)(2 + 3i) = 4 − 6i + 2 + 2i + 3i − 3 = 3 − i. √ Khi đó |w| = 10. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 298 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án A Câu 1180. Tìm số phức liên hợp của số phức z = 1 − 3i + (1 − i)2 . A. z = −1 − 5i. B. z = 1 − 5i. C. z = 1 + 5i. D. z = 5 − i. Lời giải. Ta có z = 1 − 3i + 1 − 2i + i2 = 1 − 5i. Suy ra z = 1 + 5i.  Chọn đáp án C Câu 1181. Tìm số phức w = z1 − 2z2 , biết rằng z1 = 1 + 2i và z2 = 2 − 3i. A. w = 3 − i. B. w = 5 + 8i. C. w = −3 + 8i. D. w = −3 − 4i. Lời giải. Ta có: w = z1 − 2z2 = 1 + 2i − 2(2 − 3i) = −3 + 8i.  Chọn đáp án C Câu 1182. Cho hai số thực x, y thỏa phương trình 2x + 3 + (1 − 2y)i = 2(2 − i) − 3yi + x. Tính giá trị biểu thức P = x2 − 3xy − y. A. P = −12. B. P = 13. C. P = 11. D. P = −3. Lời giải. Ta có 2x + 3 + (1 − 2y)i = 2(2 − i) − 3yi + x ⇔ 2x + 3 + (1 − 2y)i = 4 + x + (−3y − 2)i ( ( x=1 2x + 3 = 4 + x ⇔ ⇔ 1 − 2y = −3y − 2 y = −3. Suy ra P = x2 − 3xy − y = 12 − 3 · (−3) − (−3) = 13.  Chọn đáp án B Câu 1183. Cho số phức z thỏa mãn z = √ 5. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (2 + i)z − 3i là một đường tròn có bán kính bằng r. Tìm bán kính r. √ √ A. r = 5. B. r = 5. C. r = 10. Lời giải. D. r = 25. Biến đổi w = (2 + i)z − 3i ⇔ w + 3i = (2 + i)z. Lấy mô-đun 2 vế, ta được |w + 3i| = |(2 + i)z| = |2 + i| · |z| = 5. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I(0; −3) và bán kính r = 5. Chọn đáp án B  Câu 1184. Cho hai số phức z1 = 2 + i, z2 = 4 − 3i. Khi đó z1 · z2 có phần ảo bằng A. 11. C. −11. B. 2. D. −2. Lời giải. z1 · z2 = (2 + i)(4 − 3i) = 11 − 2i. Vậy số phức z1 · z2 có phần ảo bằng −2.  Chọn đáp án D 1 + 3i Câu 1185. Cho số phức thỏa mãn z = .Tìm mô-đun của w = iz + z. √ 1−i √ √ √ B. |w| = 4 2. C. |w| = 2. D. |w| = 3 2. A. |w| = 2 2. Lời giải. √ 1 + 3i ⇒ z = −1 + 2i ⇒ z = −1 − 2i ⇒ w = −3 − 3i ⇒ |w| = 3 2. 1−i Chọn đáp án D Ta có z = Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 299  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1186. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn 3z − 2z − 6 + 10i = 0. Tính a − b. A. 8. B. −8. C. −4. D. 4. Lời giải. Ta có 3z − 2z − 6 + 10i = 0 ⇔ 3(a + bi) − 2(a − bi) − 6 + 10i = 0 ⇔ a − 6 + (5b + 10)i = 0 ( a=6 ⇔ . b = −2 Suy ra a − b = 8. Chọn đáp án A  √ Câu 1187. Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa |z + 3 − i| = 2 2 và z 2 thuần ảo? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Đặt z = x + yi (x, y ∈ R). z 2 = x2 − y 2 + 2xyi thuần ảo ⇒ x2 − y 2 = 0 ⇔ x = y hay x = −y. √ √ Với y = x ⇒ |z + 3 − i| = 2 2 ⇔ |x + xi + 3 − i| = 2 2 ⇔ (x + 3)2 + (x − 1)2 = 8 ⇔ x = −1. Với y = −x ” √ √ √ x = −2 − 3 2 2 ⇒ |z + 3 − i| = 2 2 ⇔ |x − xi + 3 − i| = 2 2 ⇔ (x + 3) + (x + 1) = 8 ⇔ √ . x = −2 + 3 Vậy có ba số phức z thỏa yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án C Câu 1188. Điểm biểu diễn của số phức z là M (1; 2). Tọa độ của điểm biểu diễn cho số phức w = z − 2z là A. (2; −3). B. (2; 1). C. (−1; 6). D. (2; 3). Lời giải. Từ giả thiết suy ra z = 1 + 2i. Từ đó w = z − 2z = (1 + 2i) − 2(1 − 2i) = −1 + 6i. Vậy tọa độ của điểm biểu diễn số phức w là (−1; 6).  Chọn đáp án C Câu 1189. Khai triển của biểu thức (x2 +x+1)2018 được viết thành a0 +a1 x+a2 x2 +· · ·+a4036 x4036 . Tổng S = a0 − a2 + a4 − a6 + · · · − a4034 + a4036 bằng A. −21009 . B. 0. C. 21009 . D. −1. Lời giải. Ta có i2 = −1, i4 = 1 ⇒ i4m+2 = −1, i4m = 1 với mọi m nguyên dương. Theo giả thiết thì (x2 + x + 1)2018 = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a4036 x4036 . Cho x = i, thu được  2 2018 (i) + i + 1 = a0 + a1 i + a2 i2 + a3 i3 + a4 i4 + · · · + a4034 i4034 + a4035 i4035 + a4036 i4036 ⇔ i2018 = a0 + a1 i − a2 + a3 i3 + a4 + · · · − a4034 + a4035 i4035 + a4036  ⇔ − 1 = (a0 − a2 + a4 + · · · − a4034 + a4036 ) + a1 i + a3 i3 + · · · + a4035 i4035 . (1) Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 300 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Chú ý rằng với mọi n = 2m + 1 lẻ thì in = i2m+1 = i2m i = (−1)m i là số thuần ảo, nên (1) ⇔ −1 = a0 − a2 + a4 − · · · − a4034 + a4036 .  Chọn đáp án D Câu 1190. Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn điều kiện |z1 | = 4, |z2 | = 3, |z3 | = 2 và |4z1 · z2 + 16z2 · z3 + 9z1 · z3 | = 48. Giá trị của biểu thức P = |z1 + z2 + z3 | bằng A. 1. B. 8. C. 2. D. 6. Lời giải. Đặt z1 = 4w1 , z2 = 3w2 , z3 = 2w3 với |w1 | = |w2 | = |w3 | = 1. Thu được |4 · 4w1 · 3w2 + 16 · 3w2 · 2w3 + 9 · 4w1 · 2w3 | = 48 ⇔ |2w1 w2 + 4w2 w3 + 3w1 w3 | = 2. (1) Nhân vào hai vế của (1) với |w1 w2 w3 |, với chú ý rằng z + w = z + w, z · w = z · w, z · z = |z|2 , |wi | = 1, wi · wi = |wi |2 = 1 (i = 1, 2, 3), |z| = |z|, ta được |2w3 + 4w1 + 3w2 | = 2 ⇔ |2w3 + 4w1 + 3w2 | = 2 ⇔ |2w3 + 4w1 + 3w2 | = 2 ⇔ |z1 + z2 + z3 | = 2. Vậy P = 2.  Chọn đáp án C Câu 1191. Cho số phức z = −2 + i. Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn của số phức w = iz trên mặt phẳng tọa độ? A. P (−2; 1). B. N (2; 1). C. Q(1; 2). D. M (−1; −2). Lời giải. Có w = zi = i(−2 + i) = −1 − 2i nên điểm biểu diễn của w là điểm M (−1; −2).  Chọn đáp án D Câu 1192. Giả sử z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình (2 + i)|z|z − (1 − 2i)z = |1 + 3i| và |z1 − z2 | = 1. Tính M = |2z1 + 3z2 |. A. M = 19. B. M = 25. C. M = 19. D. M = √ 19. Lời giải. Ta có (2 + i)|z|z − (1 − 2i)z = |1 + 3i| ⇔ z [(2 + i)|z| − 1 + 2i] = |1 + 3i| » Ä ä √ ⇔ |z| (2|z| − 1)2 + (|z| + 2)2 = 10 ⇔ |z|2 5|z|2 + 5 = 10 ⇔ |z|4 + |z|2 − 2 = 0 ⇔ |z| = 1. Suy ra |z1 | = |z2 | = 1. Mặt khác |2z1 + 3z2 |2 = (2z1 + 3z2 ) (2z1 + 3z2 ) = 13 + 6 (z1 .z2 + z1 .z2 ) và |z1 − z2 |2 = (z1 − z2 ) (z1 − z2 ) = 2 − (z1 .z2 + z1 .z2 ). √ Do đó M 2 + 6|z1 − z2 |2 = 25 ⇒ M = 19.  Chọn đáp án D Câu 1193. Cho số phức z thỏa mãn |z + 3 − 4i| = 5. Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn đó. A. I(3; −4), R = √ 5. B. I(−3; 4), R = √ 5. C. I(3; −4), R = 5. D. I(−3; 4), R = 5. Lời giải. Gọi z = x + iy, (x, y ∈ R) thì |z + 3 − 4i| = 5 ⇔ (x + 3)2 + (y − 4)2 = 25. Vậy tâm I(−3; 4) và bán kính R = 5. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 301 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án D Câu 1194. Tổng phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn iz + (1 − i)z = −2i bằng B. −2. A. 2. Lời giải. D. −6. C. 6. Gọi z = x + iy, (x, y ∈ R). iz + (1 − i)z = −2i ⇔ i(x + iy) + (1 − i)(x − iy) = −2i ⇔ (x − 2y) + (2 − y)i = 0 ( ( x − 2y = 0 x=4 ⇔ ⇔ 2−y =0 y=2 Vậy x + y = 6. Cách 2: Cách trắc nghiệm Nhập máy tính iz + (1 − i)z CALC z(= 1 ta được 1 + 0i;(CALC z = i ta được −2 − i. 1x − 2y = 0 x=4 Giải hệ ⇔ . 0x − 1y = −2 y=2 Vậy x + y = 6. Chọn đáp án C  Câu 1195. Cho số phức z = 3 + 5i. Tìm môđun của số phức w = iz + z. √ √ A. |w| = 2. B. |w| = 2 + 2. C. |w| = 3 2. √ D. |w| = 2 2. Lời giải. √ Ta có w = iz + z = i (3 + 5i) + 3 − 5i = −2 − 2i ⇒ |w| = 2 2.  Chọn đáp án D Câu 1196. Cho số phức z = x + yi (x, y ∈ R) thỏa mãn z + 2 − i − z (1 − i) = 0. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M là điểm biểu diễn của số phức z. Hỏi M thuộc đường thẳng nào sau đây? A. x − y + 5 = 0. B. x − y + 2 = 0. C. x + y − 2 = 0. D. x + y + 1 = 0. Lời giải. p Ta có z + 2 − i − z (1 − i) = 0 ⇔ x + yi + 2 − i − (1 − i) x2 + y 2 = 0 Ä ä p p ⇔ x + 2 − x2 + y 2 + y − 1 + x2 + y 2 i = 0 p ( p p x + 2 − x2 + y 2 = 0 ⇔ ⇒ x + 2 − x2 + y 2 + y − 1 + x2 + y 2 = 0 ⇔ x + y + 1 = 0. p y − 1 + x2 + y 2 = 0 Do đó M thuộc đường thẳng x + y + 1 = 0. Chọn đáp án D Câu 1197. Cho số phức z thoả mãn z = √ A. 8 2. B. 8. √  (1 − 3i)3 . Tìm môđun của w = z − iz. 1−i √ C. 4 2. D. 4. Lời giải. √ (1 − 3i)3 Ta có z = = −4 − 4i. 1−i Suy ra z = −4 + 4i; do đó w = z − iz = −8 + 8i. p √ Vậy |w| = |z − iz| = (−8)2 + 82 = 8 2.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 302 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1198. Cho các số phức z thỏa mãn |z − i| = 5. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức w = iz + 1 − i là đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. A. r = 20. B. r = 5. C. r = 22. D. r = 4. Lời giải. Ta có w = iz + 1 − i ⇔ w + i = i(z − i). Suy ra |w + i| = |i||z − i| = 5. Vậy tập hợp những điểm biểu diễn cho số phức w là đường tròn tâm I(0; −1), bán kính r = 5.  Chọn đáp án B Câu 1199. Cho hai số phức z1 = 1 + 2i; z2 = 2 − 3i. Xác định phần thực và phần ảo của số phức 2z1 + z2 . A. Phần thực là 4, phần ảo là −6. C. Phần thực là −1, phần ảo là 4. B. Phần thực là 4, phần ảo là −1. D. Phần thực là 4, phần ảo là 5. Lời giải. ta có: 2z1 + z2 = 4 − i. Suy ra phần thực là 4, phần ảo là −1. Chọn đáp án B  Câu 1200. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |2z − i| = |iz + 2|, biết |z1 − z2 | = biểu thức A = |z1 − 2z2 |. √ A. A = 5. √ √ C. A = 3. 5 B. A = . 2 √ 2. Tính giá trị của √ 3 D. A = . 2 Lời giải. Gọi z1 = x1 + y1 i, z2 = x2 + y2 i với x1 , y1 , x2 , y2 ∈ R. Theo giả thiết ta có       |2x + (2y1 − 1)i| = |2 − y1 + x1 i| x2 + y12 = 1    1  1 |2×2 + (2y2 − 1)i| = |2 − y2 + x2 i| ⇔ x22 + y22 = 1         2 2 x1 x2 + y1 y2 = 0 (x1 − x2 ) + (y1 − y2 ) = 2 Do đó, A2 = |z1 − 2z2 |2 = (x1 − 2×2 )2 + (y1 − 2y2 )2 = (x21 + y12 ) + 4(x22 + y22 ) − 4(x1 x2 + y1 y2 ) = 5. √ Khi đó A = 5.  Chọn đáp án A Câu 1201. Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) thỏa mãn z − (2 + 3i)z = −1 − 3i. Tính giá trị của biểu thức S = ab + 1. A. S = 1. B. S = −1. C. S = −2. D. S = 0. Lời giải. Ta có z − (2 + 3i)z = −1 − 3i ⇔ (a + bi) − (2 + 3i)(a − bi) = −1 − 3i ⇔ a + bi − 2a + 2bi − 3ai − 3b = −1 − 3i ( ( a + 3b = 1 a=1 ⇔ (−a − 3b) + (3b − 3a) = −1 − 3i ⇔ ⇔ a−b=1 b = 0. Từ đó suy ra S = ab + 1 = 1.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 303 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1202. Hai số phức z1 = 2 + 3i, z2 = 1 + i. Giá trị của biểu thức |z1 + 3z2 | là √ √ A. 55. B. 5. C. 6. D. 61. Lời giải. Ta có z1 + 3z2 = 2 + 3i + 3(1 + i) = 5 + 6i. √ √ Do đó |z1 + 3z2 | = |5 + 6i| = 52 + 62 = 61.  Chọn đáp án D Câu 1203. Cho số phức z thỏa mãn |z − 1| = |z − 2 + 3i|. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là A. Đường tròn tâm I(1; 2), bán kính R = 1. B. Đường thẳng có phương trình 2x − 6y + 12 = 0. C. Đường thẳng có phương trình x − 3y − 6 = 0. D. Đường thẳng có phương trình x − 5y − 6 = 0. Lời giải. Đặt z = x + yi (x, y ∈ R). Ta có |z−1| = |z−2+3i| ⇔ |x−1+yi| = |x−2+(y+3)i| ⇔ (x−1)2 +y 2 = (x−2)2 +(y+3)2 ⇔ x−3y−6 = 0. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình x − 3y − 6 = 0.  Chọn đáp án C Câu 1204. Số phức liên hợp của số phức z = i(1 − 2i) có điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ là điểm nào dưới đây? A. E(2; −1). B. B(−1; 2). C. A(1; 2). D. F (−2; 1). Lời giải. Ta có z = i(1 − 2i) = i − 2i2 = 2 + i ⇒ z̄ = 2 − i. Do đó z̄ có điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ là điểm E(2; −1).  √ Câu 1205. Biết số phức z có phần ảo khác 0 và thỏa mãn |z − (2 + i)| = 10 và z · z̄ = 25. Điểm Chọn đáp án A nào sau đây biểu diễn số phức z trên? A. P (4; −3). B. N (3; −4). C. M (3; 4). D. Q (4; 3). Lời giải. Đặt z = x + yi, với x, y ∈ R và y 6= 0. Ta có ( |z − (2 + i)| = z · z̄ = 25 √ » √  (x − 2)2 + (y − 1)2 = 10 10 ⇔ (x + yi)(x − yi) = 25 ( 2 x + y 2 − 4x − 2y − 5 = 0 ⇔ x2 + y 2 = 25 ( 2x + y − 10 = 0 (1) ⇔ x2 + y 2 = 25 (2). Từ (1) ta có y = 10 − 2x, thay vào (2) ta được ” x2 + (10 − 2x)2 = 25 ⇔ 5×2 − 40x + 75 = 0 ⇔ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 304 x=5⇒y=0 x = 3 ⇒ y = 4. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Như vậy z = 3 + 4i, nên điểm biểu diễn số phức z là điểm M (3; 4).  Chọn đáp án C Câu 1206. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn (1 + i)z + (2 − i)z = 13 + 2i? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải. Đặt z = a + bi (a, b ∈ R), ta có: (1 + i)z + (2 − i)z = 13 + 2i ⇔ (1 + i)(a + bi) + (2 − i)(a − bi) = 13 + 2i ( ( 3a − 2b = 13 a=3 ⇔ 3a − 2b − bi = 13 + 2i ⇔ ⇔ −b=2 b = −2. Vậy z = 3 − 2i nên có 1 số phức z thỏa mãn.  Chọn đáp án D Câu 1207. Tổng phần thực và phần ảo của số phức z = (1 + i)2 − (3 + 3i) là √ B. −4. C. 4. D. −3 − i. A. 10. Lời giải. Ta có z = 2i − 3 − 3i = −3 − i nên tổng phần thực và phần ảo bằng −4.  Chọn đáp án B Câu 1208. Cho số phức z = 3 − 5i. Gọi w = x + yi, (x, y ∈ R) là một căn bậc hai của z. Giá trị của biểu thức T = x4 + y 4 là 43 A. T = . B. T = 34. 2 Lời giải. Ta có w2 = z ⇔ x2 − y 2 + 2xyi = 3 − 5i ⇔ C. T = 706. D. T = 17 . 2 ( 2 x − y2 = 3 2xy = −5. Å ã2 43 5 4 4 2 2 2 2 2 2 Mà ta có T = x + y = (x − y ) + 2 · x y = 3 + 2 · − = . 2 2 Chọn đáp án A  Câu 1209. Gọi z1 , z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn |z − 1 + 2i| = 5 và |z1 − z2 | = 8. Tìm mô-đun của số phức w = z1 + z2 − 2 + 4i. A. |w| = 13. B. |w| = 10. C. |w| = 16. D. |w| = 6. Lời giải. Gọi I(1; −2) là điểm biểu diễn số phức 1 − 2i và A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 , z2 . Vì |z − 1 + 2i| = 5 nên A, B thuộc (I; 5) và |z1 − z2 | = 8 nên AB = 8. #» #» Ta có |w| = |IA + IB| = 2IH với H là trung điểm AB. √ √ Mà IH = IA2 − AH 2 = 52 − 42 = 3. Vậy |w| = 6.  Chọn đáp án D Câu 1210. Cho số phức z thỏa mãn (z − 2 + i)(z − 2 − i) = 25. Biết tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w = 2z − 2 + 3i là đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính c. Giá trị của a + b + c bằng A. 18. B. 10. C. 20. D. 17. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 305 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có (z − 2 + i)(z − 2 − i) = z − 2 − i · (z − 2 − i) = |z − 2 − i|2 = 25 ⇒ |z − 2 − i| = 5. Ta có w − 2 − 5i = 2(z − 2 − i) ⇒ |w − 2 − 5i| = 2|z − 2 − i| = 10. Tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn tâm I(2; 5) và bán kính R = 10. Vậy a + b + c = 17.  Chọn đáp án D Câu 1211. Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) thỏa mãn z + 7 + i − |z|(2 + i) = 0 và |z| < 3. Tính P = a + b. 5 D. P = . 2 Lời giải. ( √ √ √ a + 7 = 2 a2 + b2 (1) z + 7 + i − |z|(2 + i) = 0 ⇔ a + 7 + (b + 1)i − 2 a2 + b2 − a2 + b2 i = 0 ⇔ √ . a2 + b2 = b + 1 (2) Suy ra a + 7 = 2(b + 1) ⇒ a = 2b − 5 thế vào (2) tađược  b ≥ −1  (    p b ≥ −1 b=4 . (2b − 5)2 + b2 = b + 1 ⇔ ⇔ 2   4b − 22b + 24 = 0    b= 3 2 Với b = 4 ⇒ a = 3 ⇒ |z| = 5 > 3 (không thỏa mãn). 3 5 Với b = ⇒ a = −2 ⇒ |z| = < 3. 2 2 3 1 Vậy z = −2 + i ⇒ P = a + b = − . 2 2 Chọn đáp án B  A. P = 5. 1 B. P = − . 2 C. P = 7. Câu 1212. Cho số phức z = 2 − 3i. Tính mô-đun của số phức w = (1 + i)z. √ √ A. |w| = 26. B. |w| = 37. C. |w| = 5. D. |w| = 4. Lời giải. Ta có |w| = |(1 + i)z| = |1 + i| · |2 − 3i| = √ √ √ 2 · 13 = 26.  Chọn đáp án A Câu 1213. Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1 + z2 = 8 + 6i và |z1 − z2 | = 2. Tìm giá trị lớn nhất của P = |z1 + z2 |. √ A. P = 4 6. √ B. P = 2 26. √ C. P = 5 + 3 5. √ D. P = 34 + 3 2. Lời giải. Đặt z1 = a + bi, z2 = c + di với a, b, c, d ∈ R. Ta có z1 + z2 = 8 + 6i ⇔ (a + c) + (b + d)i = 8 + 6i ⇔ ( a+c=8 b + d = 6. |z1 − z2 | = |(a − c) + (b − d)i| = 2 ⇔ (a − c) + (b − d) = 4. Do đó, (a − c)2 + (b − d)2 + (a + c)2 + (b + d)2 = 4 + 82 + 62 = 104 ⇔ a2 + b2 + c2 + d2 = 52. 2 2 Suy ra |z1 |2 + |z2 |2 = 52. Ta có  (|z1 | + |z2 |)2 ≤ 2 |z1 |2 + |z2 |2 = 104 √ √ ⇔ |z1 | + |z2 | ≤ 104 = 2 26. Dấu “=” xảy ra khi |z1 | = |z2 |.  Chọn đáp án B Câu 1214. Tính P = 1 + √ 2018 3i + 1− Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em √ 2018 3i . 306 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. P = 2. Lời giải. Ta có: 1 + Chương 3-Giải tích 12 B. P = 21010 . C. P = 22019 . D. P = 4. √ √ 3i = 1 − 3i = 2, nên P = 22018 + 22018 = 22019 .  Chọn đáp án C Câu 1215. Gọi (H) là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả 1 ≤ |z − 1| ≤ 2 trong mặt phẳng phức. Tính diện tích hình (H). A. 2π. B. 3π. C. 4π. D. 5π. Lời giải. Giả sử z = x + yi, x, y ∈ R, khi đó: 1 ≤ |z − 1| ≤ 2 ⇔ 1 ≤ (x − 1)2 + y 2 ≤ 4, suy ra điểm biểu diễn số phức z nằm trong hình vành khuyên giới hạn bởi 2 hình tròn đồng tâm I(1; 0) có bán kính lần lượt là R1 = 1 và R2 = 2. Từ đó suy ra diện tích hình (H) là: S = πR22 − πR12 = 3π.  Chọn đáp án B Câu 1216. Cho số phức z = a + bi (a, b là các số thực) thỏa mãn z · |z| + 2z + i = 0. Tính giá trị của biểu thức T = a + b2 √ √ √ √ B. T = 3 + 2 2. C. T = 3 − 2 2. D. T = 4 + 2 3. A. T = 4 3 − 2. Lời giải. √ Ta có (a(+ bi) · a2 + b2 + 2(a + bi) +(i = 0 √ a=0 a · a2 + b2 + 2a = 0 ⇔ Suy ra √ b · a2 + b2 + 2b + 1 = 0 b · |b| + 2b + 1 = 0(∗) Với b ≥ 0 thì (∗) ⇔ b2 + 2b + 1 = 0 ⇔ b = −1 (loại) √ √ Với b < 0 thì (∗) ⇔ −b2 + 2b + 1 = 0 ⇔ b = 1 ± 2. Nhận giá trị b = 1 − 2. √ Vậy T = a + b2 = 3 − 2 2.  Chọn đáp án C Câu 1217. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z − 3 + 4i| = 5 là A. Một đường tròn. B. Một đường thẳng. C. Một đường parabol. D. Một đường elip. Lời giải. Gọi z = x + yi với x, y ∈ R. Theo giải thiết |z − 3 + 4i| = 5 ⇔ |(x − 3) + (y + 4)i| = 5 ⇔ (x − 3)2 + (y + 4)2 = 25. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(3; −4) bán kính R = 5.  Chọn đáp án A √ Câu 1218. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z − 1 − 3i| = 3 2 và (z + 2i)2 là số thuần ảo? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Gọi z = a + bi, a, b ∈ R. √ Ta có |z − 1 − 3i| = 3 2 ⇔ (a − 1)2 + (b − 3)2 = 18. (1) " Mặt khác (z + 2i)2 = (a + (b + 2)i)2 = a2 − (b + 2)2 + 2a(b + 2)i là số thuần ảo nên a=b+2 . a = −b − 2 " √ √ 5 ⇒ a = 3 + 5 b = 1 + + Nếu a = b+2 thế vào phương trình (1) ta có (b+1)2 +(b−3)2 = 18 ⇔ √ √ . b=1− 5⇒a=3− 5 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 307 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 + Nếu a = −b − 2 thế vào phương trình (1) ta có (b + 3)2 + (b − 3)2 = 18 ⇔ b = 0 ⇒ a = −2. Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án C Câu 1219. Tìm mô-đun của số phức z biết z − 4 = (1 + i) |z| − (4 + 3z) i. 1 D. |z| = 2. A. |z| = 4. B. |z| = 1. C. |z| = . 2 Lời giải. Ta có z − 4 = (1 + i) |z| − (4 + 3z) i ⇔ (1 + 3i) z = (1 + i) |z| + 4 (1 − i) 1+i 1−i (1 + i) (1 − 3i) (1 − i) (1 − 3i) · |z| + 4 · ⇔z= · |z| + 4 · 1 + 3i 1 + 3i (1 + 3i) (1 − 3i) (1 + 3i) (1 − 3i) ã Å ã Å ã Å ã Å 1 2 2 4 |z| 8 2 1 − i · |z| − 4 · + i =⇔ z = |z| − − + i. ⇔z= 5 5 5 5 5 5 5 5 ⇔z= Khi đó 2 |z| = Å 4 2 |z| − 5 5 ã2 |z| 8 + + 5 5 Å ã2 ⇔ 25 |z|2 = (2 |z| − 4)2 + (|z| + 8)2 " 2 2 2 2 ⇔ 25 |z| = 4 |z| − 16 |z| + 16 + |z| + 16 |z| + 64 ⇔ 20 |z| = 80 ⇔ |z| = 2 |z| = −2. Suy ra |z| = 2. Chọn đáp án D  Câu 1220. Biết phương trình z 2 + 2z + m = 0 (m ∈ R) có một nghiệm phức z1 = −1 + 3i và z2 là nghiệm phức còn lại. Số phức z1 + 2z2 là A. −3 + 3i. B. −3 + 9i. C. −3 − 3i. D. −3 + 9i. Lời giải. −b = −2 ⇔ z2 = −2 − z1 = −2 + 1 − 3i = −1 − 3i. a Vậy z1 + 2z2 = −3 − 3i. Chọn đáp án C  Câu 1221. Nghiệm trình 2z 2 + 3z + 4 = 0 trên tập √ số phức là √ của phương√ √ −3 + 23i 3 − 23i 3 + 23i −3 − 23i A. z1 = ; z2 = . B. z1 = ; z2 = . 4√ 4√ 4√ √4 −3 + 23i −3 − 23i 3 + 23i 3 − 23i C. z1 = ; z2 = . D. z1 = ; z2 = . 4 4 4 4 Lời giải. √ √ −3 + 23i −3 − 23i Phương trình đã cho có hai nghiệm là z1 = ; z2 = . 4 4 Chọn đáp án C  Ta có z1 + z2 = Câu 1222. Phương trình z 2 + |z| = 0 có mấy nghiệm trong tập số phức? A. Có 2 nghiệm. B. Có 3 nghiệm. C. Có 1 nghiệm. D. Có 4 nghiệm. Lời giải. Giả sử số phức z cần √ tìm có dạng a + bi, khi đó phương trình đã cho trở thành 2 2 a + 2abi − b + a2 + b2 = 0 ( 2 √ ä Ä √ a − b 2 + a2 + b 2 = 0 2 2 ⇔ a − b + a2 + b2 + 2abi = 0 ⇒ 2ab = 0 Giải hệ trên ta thu được tập nghiệm là (a; b) = {(0; 0), (0; 1), (0; −1)}. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 308 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án B Câu 1223. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z̄, biết z = −i(4i + 3). A. Phần thực bằng 4, phần ảo bằng 3. B. Phần thực bằng 4, phần ảo bằng −3. C. Phần thực bằng 4, phần ảo bằng 3i. D. Phần thực bằng 4, phần ảo bằng −3i. Lời giải. z = 4 − 3i nên z̄ = 4 + 3i. Vậy z̄ có phần thực bằng 4, phần ảo bằng 3. Chọn đáp án A  Câu 1224. Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)z − 5 = 3i. Tìm số phức liên hợp của số phức z. 11 7 11 7 11 7 11 7 A. z̄ = − i. B. z̄ = + i. C. z̄ = − − i. D. z̄ = − + i. 5 5 5 5 5 5 5 5 Lời giải. 5 + 3i 11 7 11 7 Từ giả thiết, ta suy ra z = = − i. Suy ra z̄ = + i. 1 + 2i 5 5 5 5 Chọn đáp án B  Câu 1225. Trong mặt phẳng phức, biết số phức z có điểm biểu diễn nằm trong góc phần tư (I). 1 nằm trong góc phần tư nào? Hỏi điểm biểu diễn của số phức w = iz A. (I). B. (II). C. (III). D. (IV ). Lời giải. Điểm biểu diễn của iz chính là ảnh của điểm biểu diễn của z qua phép quay tâm O, góc quay 90◦ . 1 Trong khi điểm biểu diễn của và điểm biểu diễn của z khác phía đối với trục hoành và cùng phía z đối với trục tung. Vậy điểm biểu diễn của w thuộc góc phần tư (III).  Chọn đáp án C Câu 1226. Cho số phức z thỏa mãn các điều kiện |z − 2| = |z̄| và (z − 3)(z̄ + 1 − 4i) ∈ R. Tìm phần ảo của số phức z. A. −2. B. −1. C. 2. D. 1. Lời giải. Đặt z = x + yi với x, y ∈ R. Từ |z − 2| = |z̄| ta suy ra (x − 2)2 + y 2 = x2 + y 2 , hay x = 1. Khi đó, (z − 3)(z̄ + 1 − 4i) = (−2 + yi)(2 − (y + 4)i) = y 2 + 4y − 4 + 4(y + 2)i ∈ R ⇔ y = −2. Vậy, phần ảo của z bằng −2.  Chọn đáp án A Câu 1227. Cho số phức z thỏa mãn |z − 3| = 1. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức √ w = (1 − 3i)z + 1 − 2i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. √ A. r = 2. B. r = 1. C. r = 4. D. r = 2. Lời giải. √ √ w − 1 + 2i √ − 3 = z − 3, hay w − 1 + 2i − 3(1 − 3i) = (z − 3)(1 − 3i). Lấy 1 − 3i √ √ mô-đun hai vế, ta suy ra w − 4 + (2 + 3 3)i = (z − 3)(1 − 3i) = 2. Vậy, r = 2. Từ giả thiết, ta suy ra  Chọn đáp án A Câu 1228. Nếu môđun của số phức z bằng r (r > 0) thì môđun của số phức (1 − i)2 z bằng √ A. 2r. B. 4r. C. r. D. r 2. Lời giải. Ta có |(1 − i)2 z| = |(1 − i)2 | · |z| = 2|z| = 2r. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 309 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án A Câu 1229. Cho hai số phức z1 = 1 + 3i, z2 = 3 − 4i. Môđun của số phức w = z1 + z2 bằng √ √ B. 15. C. 17. D. 15. A. 17. Lời giải. p √ Ta có w = 4 − i. Suy ra |w| = 42 + (−1)2 = 17.  Chọn đáp án A Câu 1230. Môđun của số phức z = (2 − 3i)(1 + i)4 là √ √ A. |z| = −8 + 12i. B. |z| = 13. C. |z| = 4 13. D. |z| = √ 31. Lời giải. Ta có (1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 2i ⇒ (1 + i)4 = (2i)2 = 4i2 = −4 nên z = (2 − 3i)(1 + i)4 = (2 − 3i)(−4) = −8 + 12i. p √ Từ đó |z| = (−8)2 + 122 = 4 13.  Chọn đáp án C Câu 1231. Cho số phức z thỏa mãn z + 2z = 12 − 2i. Phần thực a và phần ảo b của z là A. a = 4, b = 2i. Lời giải. C. a = 4, b = −2. B. a = 4, b = 2. D. a = 4, b = −2i. Ta có z = a + bi. Từ giả thiết suy ra a + bi + 2(a − bi) = 12 − 2i ⇔ 3a − bi = 12 − 2i ( ( 3a = 12 a=4 ⇔ ⇔ − b = −2 b = 2. Vậy a = 4, b = 2.  Chọn đáp án B Câu 1232. Cho A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 4 − 3i, (1 + 2i)i và 1 . Số i phức có điểm biểu diễn D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành là A. −6 − 4i. B. −6 + 3i. C. 6 − 5i. D. 4 − 2i. Lời giải. 1 i = 2 = −i. i i Tọa độ của các điểm A, B, C là A(4; −3), B(−2; 1), C(0; −1). Ta có (1 + 2i)i = −2 + i, Tứ giác ABCD là hình bình hành khi # » # » AD = BC ⇔ ( xD − 4 = 0 + 2 yD + 3 = −1 − 1 ⇔ ( xD = 6 yD = −5. Vậy D là điểm biểu diễn của số phức z = 6 − 5i.  Chọn đáp án C Câu 1233. Rút gọn biểu thức M = (1 − i)2018 ta được A. M = 21009 . B. M = −21009 . C. M = 21009 i. D. M = −21009 i. Lời giải. Ta có (1 − i)2 = 1 − 2i + i2 = −2i ⇒ (1 − i)4 = (−2i)2 = 22 . Từ đó  504 M = (1 − i)2018 = (1 − i)4·504+2 = (1 − i)4 · (1 − i)2 = (22 )504 · (−2i) = −21009 i. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 310 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án D Câu 1234. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2|z − i| = |z − z + 2i| là A. Một đường thẳng. B. Một đường tròn. C. Một parabol. D. Một điểm. Lời giải. Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R). Ta có 2|z − i| = |z − z + 2i| ⇔ 2|x + (y − 1)i| = |(2y + 2)i| ⇔ x2 + (y − 1)2 = (y + 1)2 ⇔ x2 + y 2 − 2y + 1 = y 2 + 2y + 1 1 ⇔ y = x2 4 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một parabol. Chọn đáp án C  Câu 1235. Cho hai số phức z = (a − 2b) − (a − b)i và w = 1 − 2i, biết z = wi. Tính S = a + b. A. S = −7. B. S = −4. C. S = −3. D. S = 7. Lời giải. Ta có z = ωi ⇔ (a − 2b) − (a − b)i = (1 − 2i)i ⇔ (a − 2b) − (a − b)i = 2 + i ( a − 2b = 2 ⇔ −a+b=1 ( a = −4 ⇔ ⇒ S = a + b = −7. b = −3  Chọn đáp án A Câu 1236. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 = |z|2 + z? A. 1. Lời giải. B. 4. C. 2. D. 3. Đặt z = a + bi (a, b ∈ R). Ta có z 2 = |z|2 + z ⇔ (a + bi)2 = a2 + b2 + a − bi ⇔ 2abi − b2 = b2 + a − bi ( 2ab = −b ⇔ − b2 = b2 + a  b = 0 hoặc a = − 1 2 ⇔  2 2b + a = 0. b = 0 ⇒ a = 0 ⇒ z = 0. 1 1 1 1 a = − ⇒ b = ± ⇒ z = − ± i. 2 2 2 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 311 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Vậy có 3 số phức thỏa mãn.  Chọn đáp án D Câu 1237. Cho số phức z thỏa mãn z + (1 + i)z̄ = 5 + 2i. Mô-đun của z bằng √ √ √ A. 3. B. 6. C. 27. D. 5. Lời giải. Đặt z = a + bi. Ta có z + (1 + i)z̄ = 5 + 2i ⇔ (a + bi) + (1 + i)(a − bi) = 5 + 2i ⇔ 2a + b + ai = 5 + 2i ( ( √ 2a + b = 5 a=2 ⇔ ⇔ ⇒ z = 2 + i ⇒ |z| = 5 a=2 b=1  Chọn đáp án D n 2n Câu 1238. Số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức: C02n −C22n +C42n −C62n +C82n −C10 2n +· · ·+(−1) C2n = 21008 là A. 2018. B. 2016. C. 1009. D. 1008. Lời giải. Xét khai triển 2n−1 2n−1 2n (1 + x)2n = C02n + C12n x + C22n x2 + C32n x3 + C42n x4 + C52n x5 + · · · C2n x + C2n 2n x . Cho x = i ta có 2n−1 2n (1 + i)2n = C02n + C12n i + C22n i2 + C32n i3 + C42n i4 + C52n i5 + C62n i6 + · · · + C2n−1 + C2n 2n i 2n i 2n−1 = C02n + C12n i − C22n − C32n i + C42n + C52n i − C62n + · · · − C2n i + (−1)n C2n 2n 1 3 5 2n−1 = C02n − C22n + C42n − C62n + · · · + (−1)n C2n 2n + i C2n − C2n + C2n − · · · − C2n  n 2n = C02n − C22n + C42n − C62n + C82n − C10 2n + · · · + (−1) C2n . n Khi đó (1 + i)2n = 21008 ⇔ [(1 + i)2 ] = 21008 ⇔ (2i)n = 21008 ⇔ 2n in = 21008 ⇔ n = 1008.  Chọn đáp án D Câu 1239. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R, a > 0) thỏa mãn |z − 1 + 2i| = 5 và z · z = 10. Tính P = a − b. B. P = −4. A. P = 4. Lời giải. Gọi z = a + bi(a, b ∈ R). ( |z − 1 − 2i| = 5 ⇔ C. P = −2. ( (a − 1)2 + (b + 2)2 = 25 D. P = 2. ( ⇔ − 2a + 4b = 10 a2 + b2 = 10 a2 + b2 = 10 ( ( a = −3 ( loại ) a=1 ⇔ ⇔ hoặc ⇒ P = 1 − 3 = −2. 5b2 − 20b + 15 = 0 b=1 b=3 z · z = 10 ( a = 2b − 5  Chọn đáp án C Câu 1240. Cho hai số phức z1 = 2 + 3i, z2 = −4 − 5i. Tính z = z1 + z2 . A. z = −2 − 2i. B. z = −2 + 2i. C. z = 2 + 2i. D. z = 2 − 2i. Lời giải. z = z1 + z2 = 2 + 3i − 4 − 5i = −2 − 2i.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 312 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1241. Cho số phức z = −3 + 4i. Mô-đun của số phức z là A. 4. B. 7. C. 3. D. 5. Lời giải. p Ta có |z| = (−3)2 + 42 = 5. Chọn đáp án D  Câu 1242. Cho i là đơn vị ảo. Gọi S là tập hợp tất cả các số n nguyên dương có hai chữ số thỏa mãn in là số nguyên dương. Số phần tử của S là A. 22. B. 23. C. 45. D. 46. Lời giải. in là số nguyên dương khi và chỉ khi n = 4k, với k nguyên dương. Khi đó, tập hợp S = {n = 4k|3 ≤ k ≤ 24}. Vậy số phần tử của tập S là 24 − 3 + 1 = 22.  Chọn đáp án A Câu 1243. Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn log 1 3 |z − 2| + 2 > 1. Khi đó 4|z − 2| − 1 (x; y) thỏa mãn hệ thức nào dưới đây? A. (x + 2)2 + y 2 > 49. B. (x + 2)2 + y 2 < 49. C. (x − 2)2 + y 2 < 49. D. (x − 2)2 + y 2 > 49. Lời giải. Điều kiện 4|z − 2| − 1 > 0 ⇔ (x − 2)2 + y 2 > 1 . 16 Ta có 1 |z − 2| + 2 |z − 2| + 2 1 >1⇔ < ⇔ 3|z − 2| + 6 < 4|z − 2| − 1 ⇔ |z − 2| > 7 3 4|z − 2| − 1 4|z − 2| − 1 3 ⇔ (x − 2)2 + y 2 > 49.  Chọn đáp án D Câu 1244. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn (z + 1 + i)(z − i) + 3i = 9 và |z| > 2. Tính P = a + b. A. −3. B. −1. C. 1. D. 2. Lời giải. Ta có (z + 1 + i)(z − i) + 3i = 9 ⇔ zz + i(z − z) + z − i + 1 + 3i = 9 ⇔ a2 + b2 + 2b + a − bi + 1 + 2i = 9. Do đó b = 2 và a2 + a = 0 ⇔ a = 0 hoặc a = −1. Do |z| > 2 nên ta chọn a = −1. Vậy P = 1.  Chọn đáp án C Câu 1245. Cho số phức u = 3″+ 4i. Nếu z 2 = u thì ta “có ” z =4+i z = 1 + 2i z =2+i A. . B. . C. . z = −4 − i z =2−i z = −2 − i Lời giải. D. ” z =1+i z =1−i . ( a=2 ( 2   b=1 a − b2 = 3  2 2 2 Với z = a + bi, a, b ∈ R ta có z = u ⇔ a − b + 2abi = 3 + 4i ⇔ ⇔ ( .  a = −2 2ab = 4  b = −1  Chọn đáp án C Câu 1246. Cho hai số phức z1 = 2 + 3i và z2 = −4 − 5i. Tìm số phức z = z1 + z2 . A. z = 2 + 2i. B. z = −2 − 2i. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. z = 2 − 2i. 313 D. z = −2 + 2i. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Ta có z1 + z2 = (2 + 3i) + (−4 − 5i) = −2 − 2i.  Chọn đáp án B Câu 1247. Cho số phức z1 = 3 + 2i, z2 = 6 + 5i. Tìm số phức liên hợp của z = 6z1 + 5z2 . A. z̄ = 51 + 40i. B. z̄ = 51 − 40i. C. z̄ = 48 + 37i. D. z̄ = 48 − 37i. Lời giải. Ta có z = 6z1 + 5z2 = 48 + 37i nên z̄ = 48 − 37i.  Chọn đáp án D Câu 1248. Tính môđun của số phức z thoả mãn 3z · z̄ + 2017 (z − z̄) = 48 − 2016i √ √ A. |z| = 4. B. |z| = 2016. C. |z| = 2017. D. |z| = 2. Lời giải. Giả sử z = a + bi, từ giả thiết ta có 3|z|2 = 48 − 2016i − 2b · 2017i = 48 (vì |z|2 ∈ R), suy ra |z| = 4.  Chọn đáp án A Câu 1249. Cho số phức z = a + bi (với a, b là số nguyên) thỏa mãn (1 − 3i)z là số thực và |z − 2 + 5i| = 1. Khi đó a + b bằng A. 9. Lời giải. B. 8. C. 7. D. 6. Ta có (1 − 3i)z = (a + 3b) + (b − 3a)i, z − 2 + 5i = (a − 2) + (5 − b)i. Theo bài ra ta có hệ phương trình ( b − 3a = 0 ⇔ (a − 2)2 + (5 − b)2 = 1   b = 3a  (   a=2 7 ⇔ a = (loại) ⇒   5 b=6    a=2 ( b = 3a 5a2 − 17a + 14 = 0 Vậy a + b = 8.  Chọn đáp án B Câu 1250. Cho số phức z thỏa mãn (3 + 2i)z + (2 − i)2 = 4 + i. Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. Lời giải. Ta có (3 + 2i)z + (2 − i)2 = 4 + i ⇔ (3 + 2i)z + (3 − 4i) = 4 + i ⇔ (3 + 2i)z = 1 + 5i ⇔ z = 1 + i. Vậy hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là 0.  Chọn đáp án D Câu 1251. Cho số phức z thỏa mãn |z − 3 − 4i| = √ 5. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z + 2|2 − |z − i|2 . Tính mô-đun của số phức w = M + mi. √ √ √ √ A. |w| = 2315. B. |w| = 1258. C. |w| = 3 137. D. |w| = 2 309. Lời giải. Đặt z = x + yi với x, y ∈ R. Ta có P = (x + 2)2 + y 2 − [x2 + (y − 1)2 ] = 4x + 2y + 3. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 314 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 √ Mặt khác |z − 3 − 4i| = 5 ⇔ (x − 3)2 + (y − 4)2 = 5. √ √ Đặt x = 3 + 5 sin t và y = 4 + 5 cos t thỏa (x − 3)2 + (y − 4)2 = 5. √ √ Suy ra P = 4 5 sin t + 2 5 cos t + 23. √ √ Xét hàm số f (t) = q 4 5 sin t + 2 5 cos t. Ä √ ä2 Ä √ ä2 Chia cả hai vế cho 4 5 + 2 5 = 10 ta có √ √ √ √ 5 f (t) 2 5 f (t) = 4 5 sin t + 2 5 cos t ⇔ = sin t + cos t. 10 5 5  √ 2 5    cos u = √5 ta có Đặt    sin u = 5 5 f (t) f (t) = cos u sin t + sin u cos t ⇔ = sin(t + u) 10 10 Suy ra f (t) ≤ 1 ⇒ −10 ≤ f (t) ≤ 10 ⇒ 13 ≤ P ≤ 33. 10 Vậy M = max P = 33 và m = min P = 13. √ √ Khi đó w = 33 + 13i. Do đó |w| = 332 + 132 = 1258. −1 ≤  Chọn đáp án B (2 − 3i)(4 − i) trên mặt phẳng Oxy. 3 + 2i C. (1; −4). D. (−1; 4). Câu 1252. Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức z = A. (−1; −4). B. (1; 4). Lời giải. (2 − 3i)(4 − i) 5 − 14i (5 − 14i)(3 − 2i) −13 − 52i Ta có z = = = = = −1 − 4i. 3 + 2i 3 + 2i 13 13 Do đó điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng Oxy có tọa độ (−1; −4). Chọn đáp án A  Câu 1253. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn z + 1 + 3i − |z|i = 0. Tính S = a + 3b. 7 7 A. S = . B. S = −5. C. S = 5. D. S = − . 3 3 Lời giải. √ Ta có z + 1 + 3i − |z|i = 0 ⇔ a + bi +(1 + 3i − i a2 + b2 = 0 √ a+1=0 ⇔ a + 1 + (b + 3 − a2 + b2 )i = 0 ⇔ √ b + 3 = a2 + b 2   a = −1   ( a = −1 ⇔ ⇒ S = −5. ⇔ b ≥ −3  b = − 4   3 (b + 3)2 = 1 + b2 Chọn đáp án B  Câu 1254. Cho số phức z = (1 + 3i)(4 − i), phần thực của z bằng bao nhiêu? A. 4. B. 1. C. 11. D. 7. Lời giải. Ta có z = (1 + 3i)(4 − i) = 7 + 11i. Vậy phần thực của z bằng 7.  Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 315 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1255. Trong các số phức (1 + i)4 , (1 + i)6 , (1 + i)9 , (1 + i)10 số phức nào là số thực? A. (1 + i)9 . B. (1 + i)6 . C. (1 + i)10 . D. (1 + i)4 . Lời giải. Ta có (1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 2i. Do đó (1 + i)4 = (1 + i)2 = (2i)2 = −4 là một số thực.  Chọn đáp án D √ Câu 1256. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 5 và số phức w = (1 + 2i) · z. Tìm |w|. √ √ A. 5. B. 5. C. 2 5. D. 4. Lời giải. √ √ Ta có |w| = |(1 + 2i) · z| = |1 + 2i| · |z| = 5 · 5 = 5.  Chọn đáp án B Câu 1257. Rút gọn tổng sau S = C02018 − 3C22018 + 32 C42018 − 33 C62018 + · · · − 31009 C2018 2018 2017 2018 2017 A. S = 2 . B. S = 2 . C. S = −2 . D. S = −22018 . Lời giải. 2018 Ta có (1 + x)2018 = C02018 + C12018 x + C22018 x2 + · · · + C2018 2018 x 2018 C02018 C12018 x (1). 2018 C2018 2018 x C22018 x2 (2). − ··· + + − Mặt khác (1 − x) = Cộng (1) và (2) ta được:  2018 (1 + x)2018 + (1 − x)2018 = 2 C02018 + C22018 x2 + · · · + C2018 2018 x √ Thay x = i 3 vào (3) ta được: √ √ (1 + i 3)2018 + (1 − i 3)2018 = 2S (4). Cách 1: √ √ √ √ Mà (1 + i 3)3 = (1 − i 3)3 = −8 ⇒ (1 + i 3)2016 = (1 − i 3)2016 = (−8)672 . √ √ Suy ra, (1 + i 3)2018 + (1 − i 3)2018 Ä √ ä √ = (−8)672 (1 + i 3)2 + (1 − i 3)2 = (−8)672 × (−4) = −22018 Từ (4) và (5) suy ra: S = −22017 . (3). (5). Cách  2: Å ã   √ 2018 2018 · π 2018 · π √ π π  2018   =2 cos + i sin (1 + i 3) = 2 cos + i sin (1 + i 3) 3 3 3 3 Å ã   Ta có √ π π ⇒ √ 2018 2018 · π 2018 ·π  2018 (1 − i 3) = 2 cos − i sin  (1 − i 3) cos =2 − i sin 3 3 3 3 Ç å √  √ 2018 1 3   = 22018 − + i  (1 + i 3) 2 2 Ç ⇒ (5). √ å  √ 2018 1 3  2018  =2 − − i (1 − i 3) 2 2 22018 Từ (4) và (5) suy ra: S = − = −22017 . 2 Chọn đáp án C  Câu 1258. Cho hai số phức z1 = 2 + 3i, z2 = −3 − 5i. Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức w = z1 + z2 . A. 3. C. −1 − 2i. B. 0. D. −3. Lời giải. Ta có w = −1 − 2i, nên tổng phần thực và phần ảo của w là −3.  Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 316 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1259. Cho số phức z thỏa mãn z +4z = 7+i(z −7). Khi đó, mô-đun của z bằng bao nhiêu? √ √ A. |z| = 5. B. |z| = 3. C. |z| = 5. D. |z| = 3. Lời giải. Đặt z = x + yi ⇒ z = x − yi. Ta có: z + 4z = 7 + i(z − 7) ⇔ (x  + yi) + 4(x − yi) = 7+ i(x + yi − 7)  x = 1 5x + y = 7 5x = 7 − y ⇔ ⇔ ⇔ 5x − 3yi = 7 − y + (x − 7)i ⇔ y = 2 x + 3y = 7 −3y = x − 7 √ √ ⇒ z = 1 + 2i ⇒ |z| = 12 + 22 = 5.  Chọn đáp án C Câu 1260. Kí hiệu a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z = i(1 − i). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a = 1, b = −1. B. a = 1, b = 1. C. a = 1, b = i. D. a = 1, b = −i. Lời giải. Ta có z = 1 + i suy ra a = 1, b = 1.  Chọn đáp án B Câu 1261. Cho các số phức z, w khác 0 và thỏa mãn: |z − w| = 2|z| = |w|. Tìm phần thực của số z phức u = . w 1 1 1 B. . C. 1. D. . A. − . 8 4 8 Lời giải. 1 z z Từ giả thiết suy ra − 1 = 1 và (∗) = . w w 2 (x − 1)2 + y 2 = 1 z Đặt = x + yi, ta có (∗) tương đương với x 2 + y 2 = 1 . w 4 1 Trừ phương trình dưới cho phương trình trên ta được x = . 8 Chọn đáp án D  Câu 1262. Cho các số phức z thỏa mãn |z − 1| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số Ä √ ä phức w = 1 + 3i z + 2 là một đường tròn. Tính bán kính R của đường tròn đó. A. R = 4. B. R = 16. C. R = 8. D. R = 2. Lời giải. √ √ w−2 w−2 w − 3 − 3i √ = z ⇔ √ −1 = z−1 ⇒ √ Ta có w − 2 = (1 + 3i)z ⇔ = |z − 1| 1 + 3i 1 + 3i 1 + 3i √ √ ⇔ |w − 3 − 3i| = |z − 1| · |1 + 3i| = 4. Từ đó suy ra bán kính R = 4.  Chọn đáp án A Câu 1263. Trong tập số phức, khẳng định nào sau đây là đúng? A. z1 + z2 = z1 + z2 . B. z + z là số thuần ảo. C. |z1 + z2 | = |z1 | + |z2 |. D. z 2 − (z)2 = 4ab với z = a + bi. Lời giải. Gọi z1 = a1 + b1 i và z2 = a2 + b2 i, với a1 , a2 , b1 , b2 ∈ R. Khi đó z1 + z2 = a1 + a2 + (b1 + b2 ) i. Do đó z1 + z2 = a1 + a2 − (b1 + b2 ) i = a1 − b1 i + a2 − b2 i = z1 + z2 .  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 317 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1264. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 2. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức w = 3 − 2i + (2 − i)z là một đường tròn bán kính r. Tính r. A. r = 7. √ C. r = 2 5. B. r = 20. D. r = √ 7. Lời giải. w − 3 + 2i . 2−i √ |w − 3 + 2i| |w − 3 + 2i| √ ⇒2= Suy ra ⇒ |z| = ⇒ |w − 3 + 2i| = 2 5. |2 − i| 5 √ Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I(3; −2), bán kính r = 2 5. Ta có w = 3 − 2i + (2 − i)z ⇔ z =  Chọn đáp án C Câu 1265. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z + 2 − i| = 4 là đường tròn tâm I có bán kính R lần lượt là A. I(−2; −1); R = 4. B. I(−2; −1); R = 2. C. I(2; −1); R = 4. D. I(2; −1); R = 2. Lời giải. Gọi z = a + bi, với a, b ∈ R. Suy ra z = a − bi. Ta có |z + 2 − i| = 4 ⇔ (a + 2)2 + (−b − 1)2 = 16 ⇔ (a + 2)2 + (b + 1)2 = 16. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm I(−2; −1), bán kính R = 4.  Chọn đáp án A Câu 1266. Cho số phức z, biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức z; iz và z + iz tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18. Tính mô-đun của số phức z. √ √ A. 2 3. B. 3 2. C. 6. D. 9. Lời giải. Giả sử z = a + bi, với a, b là số thực. Gọi M, N, P lần lượt là điểm biểu diễn số phức z, iz và z + iz. p √ Khi đó M (a; b); N (−b; a); P (a − b; a + b). Suy ra M N = 2(a2 + b2 ); N P = P M = a2 + b2 . Suy ra tam giác M N P vuông cân tại P . √ 1 Ta có S∆M N P = 18 ⇔ · N P · P M = 18 ⇔ a2 + b2 = 36 ⇔ |z| = a2 + b2 = 6. 2 Chọn đáp án C  Câu 1267. Cho số phức z = a+bi (trong đó a, b là các số thực) thỏa mãn 3z −(4+5i)z = −17+11i. Tính ab. A. ab = 6. B. ab = −3. C. ab = 3. D. ab = −6. Lời giải. Ta có 3z − (4 + 5i)z = −17 + 11i ⇔ 3(a +(bi) − (4 + 5i)(a − bi) ( = −17 + 11i − a − 5b = −17 a=2 ⇔ −a − 5b + (−5a + 7b)i = −17 + 11i ⇔ ⇔ ⇒ ab = 6. − 5a + 7b = 11 b=3  Chọn đáp án A Câu 1268. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z| = |z + z̄| = 1? A. 0. B. 1. C. 4. D. 3. Lời giải. Đặt z = a + bi với a, b ∈ R, ta có z̄ = a − bi. Từ đó: |z| = |z + z̄| = 1 ⇔ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em ( 2 a + b2 = 1 |2a| = 1 318  √  3  b = ± 2 ⇔  1  a = ± . 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Do đó có 4 số phức thỏa mãn.  Chọn đáp án C Câu 1269. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2|z − 1| = |z + z̄ + 2| trên mặt phẳng tọa độ là một A. đường thẳng. B. đường tròn. C. parabol. D. hypebol. Lời giải. Đặt z = x + yi với x, y ∈ R, ta có z̄ = x − yi. Từ đó: 2|z − 1| = |z + z̄ + 2| ⇔ 2|(x − 1) + yi| = |2x + 2| » ⇔ (x − 1)2 + y 2 = |x + 1| ⇔ y 2 = 4x. Nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2|z − 1| = |z + z̄ + 2| trên mặt phẳng tọa độ là một parabol.  Chọn đáp án C Câu 1270. Phần thực và phần ảo của số phức z = (1 + 2i) i lần lượt là A. 1 và 2. B. −2 và 1. C. 1 và −2. D. 2 và 1. Lời giải. Ta có z = (1 + 2i) i = −2 + i. Do đó phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là −2 và 1.  Chọn đáp án B Câu 1271. Cho số phức thỏa |z| = 3. Biết rằng tập hợp số phức w = z̄ + i là một đường tròn. Tìm tâm của đường tròn đó. A. I(0; 1). B. I(0; −1). C. I(−1; 0). D. I(1; 0). Lời giải. Đặt w = x + yi, (x, y ∈ R). Ta có w = z̄ + i ⇔ x + yi = z̄ + i ⇔ z̄ = x + (y − 1)i ⇔ z = x + (1 − y)i. Theo đề |z| = 3 ⇔ x2 + (1 − y)2 = 9 ⇔ x2 + (y − 1)2 = 9. Vây tập hợp số phức w = z̄ + i là đường tròn tâm I(0; 1).  Chọn đáp án A Câu 1272. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i)(z − i) + 2z = 2i. Mô-đun của số phức z̄ − 2z + 1 w= là 2 √ z √ √ √ A. 10. B. 8. C. − 10. D. − 8. Lời giải. Ta có (1 + i)(z − i) + 2z = 2i ⇔ (3 + i)z = −1 + 3i ⇔ z = i. z̄ − 2z + 1 −i − 2i + 1 Suy ra w = = = −1 + 3i. z2 i2 √ Vậy |w| = 10.  Chọn đáp án A Câu 1273. Cho số phức z thỏa mãn 3z + (1 + i)z = 1 − 5i. Tìm mô-đun của z. √ √ √ A. |z| = 5. B. |z| = 5. C. |z| = 13. D. |z| = 10. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 319 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Gọi z = a + bi (a, b ∈ R). Thay vào phương trình ta được: 3(a − bi) + (1 + i)(a + bi) = 1 − 5i ⇔ (4a − b) + (a − 2b) = 1 − 5i ( ( √ 4a − b = 1 a=1 ⇔ ⇔ ⇒ z = 1 + 3i ⇒ |z| = 10. a − 2b = −5 b=3  Chọn đáp án D Câu 1274. Cho z = 3 − 2i. Tìm phần ảo của số phức w = (1 + 2i)z. A. −4. B. 7. C. 4. D. 4i. Lời giải. Ta có w = (1 + 2i)z = (1 + 2i)(3 − 2i) = 7 + 4i. Từ đây ta suy ra phần ảo của số phức w bằng 4.  Chọn đáp án C Câu 1275. Cho số phức z thỏa mãn z(1 + 2i) − z(2 − 3i) = −4 + 12i. Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức z. A. M (3; 1). B. M (3; −1). C. M (−1; 3). D. M (1; 3). Lời giải. Đặt z = a + bi; a, b ∈ R suy ra z = a − bi Từ giả thiết ta có (a + bi)(2 − 3i) = −4 + 12i ⇔ (−a + b) + (5a + 3b)i = −4 + 12i (bi)(1 + 2i) − (a − ( − a + b = −4 a=3 ⇔ ⇔ . 5a + 3b = 12 b = −1 Vậy tọa độ điểm M biểu diễn số phức z là M (3; −1).  Chọn đáp án B Câu 1276. Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn phương trình |z − 2 − 3i| = 5 và |z1 − z2 | = 6. Biết tập hợp các điểm M biểu diễn số phức ω = z1 + z2 là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó √ A. R = 8. B. R = 4. C. R = 2 2. D. R = 2. Lời giải. Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 , z2 y ⇒ A, B ∈ (C) có tâm I(2; 3) và R = 5. #» # » # » # » #» Ta có IA = IB = 5; AB = OB − OA = |z1 − z2 | = 6 … AB 2 Gọi H là trung điểm AB ta có IH = IA2 − = 4. 4 Vậy H thuộc đường tròn I bán kính R1 = 4. # » # » # » # » # » # » Ta có ω = z1 + z2 ⇒ OM = OA + OB = 2OH ⇒ OM = 2OH. Vậy M là ảnh của H qua phép vị tự tâm O tỷ số k = 2. M B H I A O Vậy tập hợp M là đường tròn bán kính R = kR1 = 8. x Chọn đáp án A  Câu 1277. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn (1 + i)z + 2z = 3 + 2i. Tính P = a + b. 1 1 A. P = 1. B. P = −1. C. P = − . D. P = . 2 2 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 320 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có (1 + i)z + 2z = 3 + 2i ⇔ (1 + i)(a + bi) + 2(a − bi) = 3 + 2i ⇔ a + bi + ai − b + 2a − 2bi = 3 + 2i ⇔ 3a − b + (a − b)i = 3 + 2i ( 3a − b = 3 ⇔ a−b=2  1  a = 2 ⇔  b = − 3 . 2 Vậy P = a + b = −1.  Chọn đáp án B Câu 1278. Tìm số phức liên hợp của số phức z, biết: 4z + (2 + 3i)(1 − 2i) = 4 + 3i 5 5 5 B. z = 1 − i. C. z = −1 + i. D. z = −1 − i. A. z = −1 − i. 4 4 4 Lời giải. 4z + (2 + 3i)(1 − 2i) = 4 + 3i ⇔ 4z + 8 − i = 4 + 3i ⇔ 4z = −4 + 4i ⇔ z = −1 + i. Vậy z = −1 − i.  Chọn đáp án D Câu 1279. Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thỏa |z + 4 − 3i| 6 2 là A. Hình tròn tâm I(−4; 3), bán kính R = 4. B. Hình tròn tâm I(4; −3), bán kính R = 4. C. Hình tròn tâm I(4; −3), bán kính R = 2. Lời giải. D. Hình tròn tâm I(−4; 3), bán kính R = 2. Đặt z = x+yi, (x, y ∈ R). Ta có: |z+4−3i| 6 2 ⇔ p (x + 4)2 + (y − 3)2 6 2 ⇔ (x+4)2 +(y−3)2 6 4. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là điểm cách điểm I(−4; 3) một khoảng bé hơn hoặc bằng 2 hay tập hợp điểm biểu diễn là hình tròn tâm I(−4; 3), bán kính R = 2. Chọn đáp án D  Câu 1280. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |iz−2i+1| = 2 là đường tròn có tọa độ tâm là A. (2; 1). B. (2; −1). C. (−2; −1). D. (−2; 1). Lời giải. Gọi số phức z = x + yi; (x, y ∈ R). Ta có: |iz − 2i + 1| = 2 ⇔ |(1 − y) + (x − 2)i| = 2 ⇔ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 4. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có tọa độ tâm là (2; 1).  Chọn đáp án A Câu 1281. Xét các số phức z thỏa mãn (z − 2i) (z + 3) là một số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một phương trình đường tròn có bán kính bằng √ √ √ √ 11 13 B. 11. C. . D. . A. 13. 2 2 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 321 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Gọi z = x + yi (x, y ∈ R). Ta có (z − 2i) (z + 3) = x2 + y 2 + 3x + 2y − (2x + 3y + 6)i. Theo giả thiết ta có tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z√là một đường tròn có phương 13 . trình là x2 + y 2 + 3x + 2y = 0. Vậy bán kính của đường tròn là R = 2 Chọn đáp án D  Câu 1282. Xét các số phức z thỏa mãn (z + 2i + 1) (z + 3i) là số thuần ảo, biết rằng tập hợp các điểm biểu trònã đó là: ã số phức z là một Å đườngãtròn. Tâm của đường Å Å diễn 1 1 1 1 1 1 ; . B. ;− . C. − ; − . A. 2 2 2 2 2 2 Lời giải. Å ã 1 1 D. − ; . 2 2 Gọi số phức z có dạng z = x + yi. Theo giả thiết ta có: (z + 2i + 1) (z + 3i) = (x + yi + 2i + 1)(x − yi + 3i) = (x2 + x − 6 + y 2 − y) + (5x + 3 − y)i Mà (z + 2i + 1) (z + 3i) là một số thuần ảo nên phần thực bằng 0. Suy ra x2 + x − 6 + y 2 − y = 0 ã Å ã Å 1 13 1 2 2 + y −y+ = ⇔ x +x+ 4 4 2 ã2 Å ã2 Å 1 13 1 + y− = . ⇔ x+ 2 2 2 Å ã 1 1 Vậy điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có tâm là − ; . 2 2 Chọn đáp án D  Câu 1283. Cho số phức z thỏa mãn |z + 2 − i| = 3. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức w = 1 + z là B. Đường tròn tâm I(2; −1) bán kính R = 3. A. Đường tròn tâm I(−2; 1) bán kính R = 3. C. Đường tròn tâm I(−1; −1) bán kính R = 9. D. Đường tròn tâm I(−1; −1) bán kính R = 3. Lời giải. Từ w = 1 + z ⇒ w = 1 + z ⇒ z = w − 1. Thế vào |z + 2 − i| = 3 ta được |w + 1 − i| = 3 ⇔ w + 1 − i = 3 ⇔ |w + 1 + i| = 3. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I(−1; −1), bán kính R = 3.  Chọn đáp án D Câu 1284. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 2 + 2|z| = 0 ? A. 1. B. 4. C. 2. D. 3. Lời giải. Giả sử z = x + yi, x, y ∈ R. p Theo giả thiết z 2 + 2|z| = 0 ⇔ (x + yi)2 + x2 + y 2 = 0 ⇔ p ( 2 x − y 2 + x2 + y 2 = 0 ⇔ 2xy = 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 322 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 ( x=0 (1)   |y| − y 2 = 0  (  y=0  (2) x2 + |x| = 0. ( x=0   y=0   x=0  (    x=0  ”   Giải hệ (1) ta được  |y| = 0 ⇔   y = −1     ( |y| = 1  x=0  y = 1. Giải hệ (2) ta được ( x=0 y = 0. Vậy có 3 số phức thỏa mãn bài toán là z = 0, z = i, z = −i. Chọn đáp án D  Câu 1285. Tìm các số thực a và b thỏa mãn a + (b − i)i = 1 + 3i với i là đơn vị ảo. A. a = −2, b = 3. B. a = 1, b = 3. C. a = 2, b = 4. D. a = 0, b = 3. Lời giải. Ta có: a + (b − i)i = 1 + 3i ⇔ a + 1 + bi = 1 + 3i ⇔ ( a+1=1 b=3 ⇔ ( a=0 b = 3.  Chọn đáp án D Câu 1286. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z = x + yi (x; y ∈ R) thỏa mãn |z − i| = 4 là đường cong có phương trình A. (x − 1)2 + y 2 = 4. B. x2 + (y − 1)2 = 4. C. (x − 1)2 + y 2 = 16. D. x2 + (y − 1)2 = 16. Lời giải. p Ta có |z − i| = 4|x + yi − i| = 4 ⇔ x2 + (y − 1)2 = 4 ⇔ x2 + (y − 1)2 = 16.  Chọn đáp án D Câu 1287. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z|2 = 2 |z + z| + 4 và |z − 1 − i| = |z − 3 + 3i|? A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. Lời giải. Gọi z = x + yi (x; y ∈ R). ” 2 2 2 |z| = 2 |z + z| + 4 ⇔ x + y = 4 |x| + 4 ⇔ x2 + y 2 − 4x − 4 = 0, x ≥ 0 (1) x2 + y 2 + 4x − 4 = 0, x < 0 (2). Theo đề ta có |z − 1 − i| = |z − 3 + 3i| ⇔ (x − 1)2 + (y − 1)2 = (x − 3)2 + (y + 3)2 ⇔ 4x = 8y + 16 ⇔ x = 2y + 4 (3). + Thay (3) vào (1) ta được  2 24 y = ⇒ x = (nhận) 5 5 (2y + 4)2 + y 2 − 4(2y + 4) − 4 = 0 ⇔ 5y 2 + 8y − 4 = 0 ⇔  y = −2 ⇒ x = 0 (nhận). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 323 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 + Thay (3) vào (2) ta được  y = −2 ⇒ x = 0 (loại) 2 2 2  (2y + 4) + y + 4(2y + 4) − 4 = 0 ⇔ 5y + 24y + 28 = 0 ⇔ 8 14 y = − ⇒ x = − (nhận). 5 5 Vậy có 3 số phức thỏa điều kiện.  Chọn đáp án B Câu 1288. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn a + (b − 1)i = là mô-đun của z? A. 5. Lời giải. B. 1. C. 1 + 3i ⇔ a + (b − 1)i = −1 + i ⇔ Ta có a + (b − 1)i = 1 − 2i √ Vậy mô-đun của z là 5. √ 10. 1 + 3i . Giá trị nào dưới đây 1 − 2i D. √ 5. ( a = −1 b = 2.  Chọn đáp án D 2 − 3i . Câu 1289. Tính môđun của số phức z biết z + 1 = 1+i √ √ √ 34 26 A. |z| = . B. |z| = 34. C. |z| = . 2 2 Lời giải. √ 3 5 34 2 − 3i 3 5 ⇔ z = − − i ⇒ z = − + i ⇒ |z| = . z+1= 1+i 2 2 2 2 2 Chọn đáp án A Câu 1290. Cho số phức 13 4 A. z = − + i. 5 5 Lời giải. 5 + 7i 13 Ta có z = = − 1 + 3i 5 Chọn đáp án D √ 34 D. |z| = . 4  z thỏa mãn (1 + 3i)z − 5 = 7i. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 13 4 13 4 13 4 B. z = + − i. C. z = − − i. D. z = + i. 5 5 5 5 5 5 4 13 4 i⇒z= + i. 5 5 5  Câu 1291. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |2z − i| = 4 là một đường tròn có bán kính bằng √ √ A. 2 2. B. 4 2. C. 4. D. 2. Lời giải. Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi với x, y ∈ R. Å ã 1 2 Khi đó |2z − i| = 4 ⇔ |2x + 2yi − i| = 4 ⇔ 4x + (2y − 1) = 16 ⇔ x + y − = 4. 2 Vậy tập hợp điểm cần tìm là một đường tròn có bán kính R = 2. 2 2 2  Chọn đáp án D Câu 1292. Cho số phức z thỏa mãn z(2 − i) + 13i = 1. Tính√mô-đun của số phức z. √ √ 34 5 34 A. |z| = 34. B. |z| = 34. C. |z| = . D. |z| = . 3 3 Lời giải. 1 − 13i Ta có z(2 − i) + 13i = 1 ⇔ z = . 2−i p 1 + (−13)2 √ |1 − 13i| Suy ra |z| = = p = 34. |2 − i| 2+ (−1)2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 324 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  √ 5+i 3 Câu 1293. Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z − − 1 = 0. Tổng giá trị tất cả các z phần tử của S bằng √ √ √ A. 1. B. 1 − 2 3i. C. −3 − 2 3i. D. 1 − 3i. Chọn đáp án B Lời giải. Gọi z = a + bi, (a, b ∈ R) và a2 + b2 6= 0. Ta có √ √ 5−i 3 5+i 3 z− − 1 = 0 ⇔ a − bi − −1=0 z a + bi √ ⇔ a2 + b2 − 5 − i 3 − a − bi = 0 √ ä  Ä ⇔ a2 + b 2 − a − 5 − b + 3 i = 0 ( a = −1 √ ( 2 (   b=− 3 a + b2 − a − 5 = 0 a2 − a − 2 = 0  ⇔ ⇔ ⇔ ( √ √  a=2 b+ 3=0 b=− 3  √ b = − 3. √ ¶ √ √ © z = −1 − i 3 Suy ra ⇒ S = −1 − i 3; 2 − i 3 . √ z =2−i 3 √ Khi đó tổng giá trị các phần tử của S là 1 − 2 3i. "  Chọn đáp án B z có phần thực là 0 z a + a0 2bb0 C. 2 . D. . a + b2 a02 + b02 Câu 1294. Cho hai số phức z = a + bi và z 0 = a0 + b0 i. Số phức aa0 + bb0 aa0 + bb0 . B. . a02 + b02 a2 + b2 Lời giải. a + bi (a + bi)(a0 − b0 i) aa0 + bb0 a0 b − ab0 z = = + 02 i. Ta có 0 = 0 z a + b0 i a02 + b02 a02 + b02 a + b02 z aa0 + bb0 Do đó phần thực của 0 bằng 02 . z a + b02 Chọn đáp án A A. Câu 1295. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z + 2 + 3i| = 5 và A. 0. C. 2. B. Vô số.  z là số thuần ảo? z−2 D. 1. Lời giải. Đặt z = x + iy, (x, y ∈ R). Điều kiện z 6= 2 Ta có |z + 2 + 3i| = 5 ⇔ (x + 2)2 + (y + 3)2 = 25 ⇔ x2 + y 2 + 4x + 6y = 12. z x + yi x2 − 2x + y 2 −2yi = = + . 2 2 z−2 x − 2 + yi (x − 2) + y (x − 2)2 + y 2 x2 − 2x + y 2 Vì z là số thuần ảo nên = 0 ⇔ x2 − 2x + y 2 = 0. (x − 2)2 + y 2 (1) (2) " Từ (1) và (2) suy ra x + y = 2 ⇒ y = 2 − x. Thay vào (1) ta được x2 − 6x + 4 = 0 ⇔ x=1 x = 2. Với x = 1 ⇒ y = 1 ⇒ z = 1 + i. Với x = 2 ⇒ y = 0 ⇒ z = 2 (loại). Vậy có một số phức z thỏa mãn đề. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 325 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án D Câu 1296. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z + 2 + 3i| = 5 và A. 0. C. 2. B. vô số. z là số thuần ảo. z−2 D. 1. Lời giải. Xét số phức z = x + yi, (x, y ∈ R). Điều kiện z 6= 2. Ta có |z + 2 + 3i| = 5 ⇔ (x + 2)2 + (y + 3)2 = 25 ⇔ x2 + y 2 + 4x + 6y = 12. x + yi (x + yi)(x − 2 − yi) z x2 − 2x + y 2 − 2yi = = Ta có = . z−2 x − 2 + yi (x − 2)2 + y 2 (x − 2)2 + y 2 z là số thuần ảo nên x2 − 2x + y 2 = 0 Vì z−2 (1) (2) " Từ (1) và (2) có x + y = 2 ⇒ y = 2 − x. Thay vào (1) được 2x2 − 6x + 4 = 0 ⇔ x=1 x=2 Với x = 1 ta có y = 1, từ đó có z = 1 + i. Với x = 2 ta có y = 0, từ đó có z = 2 (loại).  Chọn đáp án D Câu 1297. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2 − i)z = (4 + i)z + 3 − 2i. Giá trị của |4z + i| là √ √ √ √ A. 26. B. 30. C. 17. D. 15. Lời giải. 1 5 Ta có (2 − i)z = (4 + i)z + 3 − 2i ⇔ z(−2 − 2i) = 3 − 2i ⇔ z = − + i. 4 4 ã Å √ 1 5 Do đó |4z + i| = 4 − − i + i = |−1 − 4i| = 17. 4 4 Chọn đáp án C  √ 5+i 3 Câu 1298. Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z − − 1 = 0. Tính tổng tất cả các z phần tử của S √ √ √ A. 1 − 2 3i. B. −3 − 2 3i. C. 1. D. 1 − i 3. Lời giải. Gọi z = a√+ bi (a, b ∈ R). √ 5+i 3 z− − 1 = 0 ⇔ a2 + b2 − a − bi = 5 + i 3 z " a = −1  ( ( 2   a + b2 − a = 5 a2 − a − 2 = 0 ⇔ ⇔ ⇔ a=2 √ √  b=− 3 b=− 3  √  b=− 3 √ √ Vậy z1 = −1 − i 3 và z2 = 2 − i 3. √ Suy ra z1 + z2 = 1 − 2 3i. Chọn đáp án A  Câu 1299. Cho số phức z thỏa mãn (1 + 3i)z − 5 = 7i. Mệnh đề nào sau đây đúng? 13 4 13 4 13 4 13 4 A. z = − + i. B. z = − − i. C. z = − + i. D. z = + i. 5 5 5 5 5 5 5 5 Lời giải. 5 + 7i 13 4 13 4 Ta có (1 + 3i)z − 5 = 7i ⇔ z = = − i⇒z= + i. 1 + 3i 5 5 5 5 Chọn đáp án D  Câu 1300. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R). Dưới đây có bao nhiêu mệnh đề đúng? Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 326 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 I. Mô-đun của z là một số thực dương. II. z 2 = |z|2 . III. |z| = |iz| = |z|. IV. Điểm M (−a; b) biểu diễn số phức z. A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Lời giải. Mệnh đề I sai, cụ thể mô-đun của số 0 bằng 0 chứ không phải là số thực dương. Mệnh đề II sai vì |z|2 là số thực, z 2 có thể không là số thực, chẳng hạn (1 + i)2 6= |1 + i|2 . Mệnh đề III đúng vì |iz| = |i| · |z| = |z| = |z|. Mệnh đề IV sai và điểm biểu diễn của z là (a; −b).  Chọn đáp án C Ä √ ä2 Câu 1301. Cho số phức z thoả mãn 1 − 3i z = 3 − 4i. Mô-đun của z bằng 5 2 4 5 B. . C. . D. . A. . 4 2 5 5 Lời giải. Ta có Ä √ √ √ ä2 3 − 4i −3 + 4 3 4 + 3 3 1 − 3i z = 3 − 4i ⇔ z = Ä + i. √ ä2 = 8 8 1 − 3i Vậy mô-đun của z là Ã Ç |z| = √ å2 √ å2 Ç 4+3 3 5 −3 + 4 3 + = . 8 8 4  Chọn đáp án A Câu 1302. Cho số phức z thỏa mãn phương trình (3 + 2i)z + (2 − i)2 = 4 + i. Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức z. A. M (−1; 1). B. M (−1; −1). C. M (1; 1). D. M (1; −1). Lời giải. 4 + i − (2 − i)2 ⇔ z = 1 + i. (3 + 2i) Vậy điểm biểu diễn cho số phức z là M (1; 1). Ta có: (3 + 2i)z + (2 − i)2 = 4 + i ⇔ z =  Chọn đáp án C Câu 1303. Cho số phức z = 1 + 2i + 3i2 + 4i3 + · · · + 2018i2017 có phần thực là a và phần ảo là b. Tính b − a. A. 1. B. −1. C. 1010. D. −2017. Lời giải. Với x 6= 1 ta có 1 + x + x2 + · · · + x2018 = x2019 − 1 , suy ra x−1 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + · · · + 2018x2017 = Do đó z = 1 + 2i + 3i2 + 4i3 + · · · + 2018i2017 = 2018x2019 − 2019x2018 + 1 . (x − 1)2 2018i2019 − 2019i2018 + 1 = 1009 + 1010i. (x − 1)2 Vậy b − a = 1.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 327 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1304. Cho số phức z khác 0. Khẳng định nào sau đây sai? z B. z − z là số ảo. A. là số thuần ảo. C. z · z là số thực. z Lời giải. D. z + z là số thực. Đặt z = a + bi (a, b ∈ R). z2 z2 a2 − b2 + 2abi a2 − b 2 2ab z = 2 = = + i, (a2 + b2 6= 0). Ta có: = 2 2 2 2 2 2 z z·z |z| a +b a +b a +b ( 2 2 a −b =0 z ⇒ là số thuần ảo. z a2 + b2 6= 0 ( 2 a − b2 6= 0 z ⇒ không là số thuần ảo. z a2 + b2 6= 0 z Do đó nhận định là số thuần ảo là sai. z Ta có: z · z = |z|2 = a2 + b2 là một số thực nên nên nhận định z · z là số thực là đúng. Ta có: z + z = 2a là số thực nên nhận định z + z là số thực là đúng. Ta có: z − z = 2bi là số ảo nên nhận định z − z là số ảo là đúng.  Chọn đáp án A Câu 1305. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2z 2 − 3z + 4 = 0. Tính w = iz1 z2 . 3 A. w = − + 2i. 4 Lời giải. B. w = 3 + 2i. 4 3 C. w = 2 + i. 2 D. w = 1 1 + + z1 z2 3 + 2i. 2  z1 + z2 = 3 2 . Suy ra Theo định lí Viète, ta có Khi đó  z1 z2 = 2 w= 1 1 z1 + z2 3 + + iz1 z2 = + iz1 z2 = + 2i. z1 z2 z1 z2 4  Chọn đáp án B 2z + z + 1 − i trong đó z z2 + i # » # » là số phức thỏa mãn (1−i)(z −i) = 2−i+z. Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho (Ox, ON ) = 2ϕ, #» # » trong đó ϕ = (Ox, OM ) là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm Câu 1306. Trong mặt phẳng Oxy, gọi M là điểm biểu diễn số phức w = trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ (IV). B. Góc phần tư thứ (I). C. Góc phần tư thứ (II). D. Góc phần tư thứ (III). Lời giải. Å ã 7 19 7 19 19 Ta có (1 − i)(z − i) = 2 − i + z ⇒ z = 3i ⇒ w = − − i ⇒ M − ; − ⇒ tan ϕ = . 82 82 82 82 7 2 tan ϕ 133 1 − tan2 ϕ 156 Suy ra sin 2ϕ = = và cos 2ϕ = =− . 1 + tan2 ϕ 205 1 + tan2 ϕ 205 Vậy N thuộc góc phần tư thứ (II).  Chọn đáp án C Câu 1307. Cho số phức z thỏa mãn (2 + 3i)z = z − 1. Mô-đun của z bằng √ √ 1 10 A. . B. 10. C. 1. D. . 10 10 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 328 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có (2 + 3i)z = z − 1 ⇔ (1 + 3i)z = −1 ⇔ z = −1 1 3 = − + i. 1 + 3i 10 10 Suy ra Å |z| = |z| = 1 − 10 ã2 Å 3 + 10 √ ã2 = 10 . 10  Chọn đáp án D Câu 1308. Cho số phức z thỏa mãn |z + i| = 1. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (3 + 4i)z + 2 + i là một đường tròn tâm I. Điểm I có tọa độ là A. (6; −2). Lời giải. B. (6; 2). Ta có w = (3 + 4i)z + 2 + i ⇔ z = C. (2; 1). D. (−2; −1). w−2−i w−2−i w − 6 + 2i ⇔z+i= +i= . 3 + 4i 3 + 4i 3 + 4i Lấy mô-đun hai vế ta được |z + i| = w − 6 + 2i |w − 6 + 2i| ⇔1= ⇔ |w − 6 + 2i| = 5. 3 + 4i |3 + 4i| Vậy tập hợp các điểm biểu diễn w là đường tròn tâm I(6; −2), bán kính r = 5.  Chọn đáp án A Câu 1309. Viết số phức z = a, b. (2 − 3i)(4 − i) dưới dạng z = a + bi với a, b là các số thực. Tìm 3 + 2i A. a = −1; b = −4. B. a = 1; b = −4. C. a = −1; b = 4. D. a = 1; b = 4. Lời giải. (2 − 3i) (4 − i) 5 − 14i (5 − 14i) (3 − 2i) −13 − 52i Ta có z = = = = = −1 − 4i. 3 + 2i 3 + 2i 13 13 Do đó điểm biểu diễn cho số phức z có tọa độ (−1; −4). Chọn đáp án A  Câu 1310. Tìm phần thực của số phức z thỏa mãn (5 − i)z = 7 − 17i. A. −2. C. −3. B. 3. D. 2. Lời giải. (7 − 17i)(5 + i) 7 − 17i = = 2 − 3i. 5−i 26 Phần thực của z là 2. Ta có z =  Chọn đáp án D Câu 1311. Cho số phức z thỏa điều kiện |z| = 10 và w = (6 + 8i) · z + (1 − 2i)2 . Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w là đường tròn có tâm là A. I(−3; −4). C. I(1; −2). B. I(3; 4). D. I(6; 8). Lời giải. Chú ý: Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa |z − (a + bi)| = R là đường tròn tâm I(a; b) bán kính R. Đẳng thức đã cho tương đương với w + 3 + 4i = (6 + 8i) · z ⇒ |w − (−3 − 4i)| = |6 + 8i| · |z| = 10 · 10 = 100. Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w là đường tròn có tâm là I(−3; −4).  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 329 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1312. Cho số phức z thay đổi thỏa mãn |z − 1| = 2. Biết rằng tập hợp các số phức w = √ (1 + 3i)z + 2 là đường tròn có bán kính bằng R. Tính R. A. R = 8. Lời giải. Ta có z = B. R = 2. C. R = 16. D. R = 4. w−2 √ . 1 + 3i Suy ra √ w−2 √ − 1 = 2 ⇔ w − 3 − 3i = 4. 1 + 3i √ Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức w là đường tròn tâm I(3; 3), bán kính R = 4. |z − 1| = 2 ⇔  Chọn đáp án D Câu 1313. Trong mặt phẳng phức, cho số phức z có điểm biểu diễn là M . Biết 1 rằng số phức w = được biểu diễn bởi một trong bốn điểm N , P , Q, z R như hình vẽ bên. Hỏi điểm biểu diễn của w là điểm nào? A. N . B. P . C. Q. y M b P D. R. x 1 O Q N R Lời giải. Viết z = 1 + bi, với b ∈ R, b > 0. 1 1 1 − bi 1 b Suy ra w = = = 2 = − i. z 1 + bi 1 + b2 1 + b2 1 + ã Å b2 −b 1 ; . Suy ra điểm biểu diễn cho w là điểm có tọa độ 2 1 + b2 1 + b Å ã2 Å ã 1 −b 2 Do + = 1 và b > 0 nên điểm biểu diễn cho w thuộc góc phần tư thứ IV của 1 + b2 1 + b2 mặt phẳng tọa độ và nằm trên đường tròn tâm O, bán kính bằng 1. Vậy điểm biểu diễn cho w là N . Chọn đáp án A  Câu 1314. Cho số thực a > 2 và gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 2z + a = 0. Mệnh đề nào sau đây sai? A. z1 + z2 là số thực. B. z1 − z2 là số ảo. C. z1 z2 + là số ảo. z2 z1 D. z1 z2 + là số thực. z2 z1 Lời giải. Xét phương trình z 2 − 2z + a = 0 có ∆0 = 1 − a < 0, ∀a > 2. √ √ Do đó phương trình có hai nghiệm phức là: z1 = 1 + a − 1i, z2 = 1 − a − 1i. Khi đó ta có √ √ z1 + z2 = 1 + a − 1i + 1 − a − 1i = 2 là số thực. √ √ √ z1 − z2 = 1 + √a − 1i − 1 + √ a − 1i = 2 a − 1i là số ảo ∀a > 2. z1 z2 1 + a − 1i 1 − a − 1i 4 − 2a √ √ + = + = là một số thực, ∀a > 2. z2 z1 a 1 − a − 1i 1 + a − 1i z1 z2 Vậy mệnh đề “ + là số ảo” là sai. z2 z1 Chọn đáp án C √ Câu 1315. Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 | = |z2 | = 3 và |z1 − z2 | = 2. Tính |z1 + z2 |. √ √ A. 2. B. 3. C. 2. D. 2 2.  Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 330 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có |z1 − z2 |2 = (z1 − z2 ) (z1 − z2 ) = |z1 |2 + |z2 |2 − (z1 z2 + z2 z1 ) = 4 ⇒ z1 z2 + z2 z1 = 2. |z1 + z2 |2 = (z1 + z2 ) (z1 + z2 ) = |z1 |2 + |z2 |2 + (z1 z2 + z2 z1 ) = 8. √ Vậy |z1 + z2 | = 2 2.  Chọn đáp án D Câu 1316. Cho 3 số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn   z1 + z2 + z3 = 0 √ 2 2.  |z1 | = |z2 | = |z3 | = 3 Tính A √ = |z1 + z2 |2 + |z2 + z3 |2 + |z3 + z1 |2 . √ 2 2 8 A. . B. 2 2. C. . 3 3 Lời giải.   z + z2 = −z3   1 8 Ta có z1 + z3 = −z2 ⇒ A = | − z1 |2 + | − z2 |2 + | − z3 |2 = .  3   z2 = z3 = −z1 D. 3 . 8 Chọn đáp án C  1 Câu 1317. Số phức liên hợp của số phức z biết z = (1 + i)(3 − 2i) + là 3+i 53 9 13 9 13 9 53 9 A. − i. B. − i. C. + i. D. + i. 10 10 10 10 10 10 10 10 Lời giải. 3−i 53 9 9 53 Ta có z = 5 + i + = + i nên z = − i. 10 10 10 10 10 Chọn đáp án A  Câu 1318. Cho √ số phức z thỏa mãn z(2 − i) + 13i = 1. Tính√mô-đun của số phức z. √ 5 34 34 A. |z| = . B. |z| = 34. C. |z| = . D. |z| = 34. 3 3 Lời giải. p √ 1 − 13i Ta có z(2 − i) + 13i = 1 ⇒ z = = 3 − 5i. Do đó |z| = 32 + (−5)2 = 34. 2−i Chọn đáp án D  Câu 1319. Cho số phức z thỏa mãn |z + 1| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức Ä √ ä w = 1 + i 8 z + i là một đường tròn. Bán kính r của đường tròn đó là A. 3. B. 6. C. 9. D. 36. Lời giải. Ä√ ä w+1+ 8−1 i √ ä w−i √ ⇔z+1= √ . Ta có w = 1 + i 8 z + i ⇔ z = 1 + i 8 1 + i 8 Ä√ ä Ä√ ä w+1+ 8−1 i √ Vì |z + 1| = 2 nên = |z + 1| ⇔ w + 1 + 8 − 1 i = 6. (∗) 1+i 8 Ä Đặt w = x + yi, (x, y ∈ R). Thay vào (∗) ta được Ä√ ä Ä ä Ä ä2 √ √ x + yi + 1 + 8 − 1 i = 6 ⇔ (x + 1) + y + 8 − 1 i = 6 ⇔ (x + 1)2 + y + 8 − 1 = 36. Vậy r = 6.  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 331 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1320. Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn điều kiện |z − 5 − 3i| = 5 đồng thời |z1 − z2 | = 8. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = z1 + z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình 2 ã Å 5 2 B. x − + y− 2 ã Å Å 5 2 + y− D. x − 2 Å 2 A. (x − 10) + (y − 6) = 16. C. (x − 10)2 + (y − 6)2 = 36. ã 3 2 = 9. 2ã 3 2 9 = . 2 4 Lời giải. Đặt z = x + yi, (x, y ∈ R). Thay vào |z − 5 − 3i| = 5 ta được |x + yi − 5 − 3i| = 5 ⇔ |(x − 5) + (y − 3)i| = 5 ⇔ (x − 5)2 + (y − 3)2 = 25. I Giả sử z1 = x1 + y1 i có điểm biểu diễn là A và z2 = x2 + y2 i có điểm biểu diễn là B suy ra A và B thuộc đường tròn (C) tâm I(5; 3) bán kính R = 5. A M B C Mà |z1 − z2 | = 8 ⇔ |(x1 + y1 i) − (x2 + y2 i)| = 8 » ⇔ |(x1 − x2 ) + (y1 − y2 )i| = 8 ⇔ (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 = 8 ⇔ AB = 8. Gọi M là trung điểm của AB và C là điểm đối xứng của I qua M . #» #» #» #» #» #» Vì IACB là hình bình hành nên IA + IB = IC ⇔ IA + IB = IC = IC. (# » IA = (x1 − 5; y1 − 3) #» #» ⇒ IA + IB = (x1 + x2 − 10; y1 + y2 − 6). #» IB = (x2 − 5; y2 − 3) p #» #» Do đó IA + IB = (x1 + x2 − 10)2 + (y1 + y2 − 6)2 , √ √ IC = 2IM = 2 IA2 − AM 2 = 2 52 − 42 = 6. p Suy ra (x1 + x2 − 10)2 + (y1 + y2 − 6)2 = 6 ⇔ (x1 + x2 − 10)2 + (y1 + y2 − 6)2 = 36. Vậy điểm biểu diễn số phức w = z1 + z2 thuộc đường tròn (x − 10)2 + (y − 6)2 = 36. Chọn đáp án C  Câu 1321. Cho số phức z thỏa mãn (z + 3 − i)(z + 3i + 1) là một số thực. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường thẳng. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó bằng √ √ √ A. 4 2. B. 0. C. 2 2. D. 3 2. Lời giải. Đặt z = x + iy ⇒ z = x − iy. Số phức (z + 3 − i)(z + 3i + 1) = [x + 3 + (y − 1)i] [x + 1 + (3 − y)i] có phần ảo là (x + 3)(3 − y) + (y − 1)(x + 1). Theo đề (z + 3 − i)(z + 3i + 1) là số thực nên phần ảo bằng 0 (x + 3)(3 − y) + (y − 1)(x + 1) = 0 ⇔ x − y − 4 = 0. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là đường thẳng (∆) : x − y − 4 = 0. √ |4| Vậy d[O; ∆] = √ = 2 2. 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 332 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án C Câu 1322. Cho số phức z thỏa mãn z + (2 + i)z = 3 + 5i. Tính môđun cùa số phức z. √ √ A. |z| = 13. B. |z| = 5. C. |z| = 13. D. |z| = 5. Lời giải. Đặt z = a + bi, ∀a, b ∈ R. Khi đó z +(2+i)z = 3+5i ⇔ a+bi+(2+i)(a−bi) = 3+5i ⇔ Vậy |z| = √ ( a + 2a + b = 3 b + a − 2b = 5 ⇔ ( a−b=5 ⇔ 3a + b = 3 ( a=2 b = −3. 13.  Chọn đáp án C Câu 1323. Tìm phần ảo của số phức z, biết (1 − i)z = 3 + i. A. −1. C. −2. B. 1. D. 2. Lời giải. (3 + i)(1 + i) 2 + 4i 3+i = = = 1 + 2i. 1−i 2 2 Vậy phần ảo của số phức là 2. Ta có (1 − i)z = 3 + i ⇔ z =  Chọn đáp án D Câu 1324. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 2 + 3i| ≤ 3. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 2z + 1 − i là hình có diện tích. A. S = 25π. B. S = 16π. C. S = 9π. D. S = 36π. Lời giải. Giả sử w = x + yi (x, y ∈ R). x − 1 + (y + 1)i w = 2z + 1 − i ⇒ z = . 2 Ta có x − 1 + (y + 1)i − 2 + 3i ≤ 3 2 x − 5 + (y + 7)i ⇔ ≤3 2 ⇔ (x − 5)2 + (y + 7)2 ≤ 36. |z − 2 + 3i| ≤ 3 ⇔ Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn có bán kính R = 6. Diện tích hình tròn S = 36π.  Chọn đáp án D Câu 1325. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z − 3i| = 5 và A. 0. B. 2. C. 1. z là số thuần ảo. z−4 D. Vô số. Lời giải. Điều kiện z 6= 4. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 333 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Vì Chương 3-Giải tích 12 z z 4ai là số thuần ảo nên = ai với a ∈ R, suy ra z = . Khi đó z−4 z−4 −1 + ai 4ai − 3i = 5 −1 + ai 3a + (3 + 4a)i ⇔ =5 −1 + ai 9a2 + (3 + 4a)2 ⇔ = 25 1 + a2 2 ⇔ a= . 3 |z − 3i| = 5 ⇔ Vậy có duy nhất số phức z thỏa mãn bài ra.  Chọn đáp án C Câu 1326. Tìm phần ảo của số phức z, biết (2 − i)z = 1 + 3i. 7 7 A. 3. B. i. C. . 5 5 Lời giải. 1 + 3i 1 7 7 Ta có (2 − i)z = 1 + 3i ⇔ z = = − + i. Vậy z có phần ảo là . 2−i 5 5 5 Chọn đáp án C 1 D. − . 5  Câu 1327. Trong mặt phẳng Oxy, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1 , z2 , z1 + z2 . Xét các mệnh đề sau ” z1 = z2 1 |z1 | = |z2 | ⇔ 2 |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |; ; z1 = −z2 3 # » # » Nếu OA · OB = 0 thì z1 · z2 + z2 · z1 = 0; 4 OC 2 + AB 2 = 2 (OA2 + OB 2 ). Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Lời giải. Gọi z1 = x1 + y1 i, z2 = x2 + y2 i (x1 , y1 , x2 , y2 ∈ R), ta có |z1 | = |z2 | = r ⇔ x21 + y12 = x22 + y22 = r2 ⇒ A, B nằm trên đường tròn tâm O, bán kính r, do đó mệnh đề 1) sai. # » # » # » OA + OB = (x1 + x2 ; y1 + y2 ) = OC, suy ra OACB là hình bình hành, khi đó |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | = OC ≤ OA + AC = OA + OB = |z1 | + |z2 |, do đó mệnh đề 2) đúng. # »# » OA·OB = 0 ⇔ x1 x2 +y1 y2 = 0, khi đó z1 ·z2 +z2 ·z1 = (x1 + y1 i) (x2 − y2 i)+(x1 − y1 i) (x2 + y2 i) = 2 (x1 x2 + y1 y2 ) = 0, suy ra mệnh đề 3) đúng. OC 2 + AB 2 = |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = (x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2 + (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 = Ä ä 2 (x21 + x22 + y12 + y22 ) = 2 |z1 |2 + |z2 |2 = 2 (OA2 + OB 2 ), do đó mệnh đề 4) đúng. Vậy có 3 mệnh đề đúng trong các mệnh đề đã cho.  Chọn đáp án B Câu 1328. Có bao nhiêu số phức z = a + bi (a, b ∈ Z) thỏa mãn |z + i| + |z − 3i| = |z + 4i| + |z − 6i| và |z| ≤ 10. A. 12. B. 2. C. 10. D. 5. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 334 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có z = a + bi, (a; b ∈ R) ⇒ điểm biểu diễn của z là y 10 E M (a; b). Các điểm M cần tìm thuộc hình tròn tâm O(0; 0), bán kính R = 10. Xét các điểm A(0; 6), B(0; −4), C(0; 3), D(0; −1), E(0; 10), F (0; −10). AC 3 AD 7 Ta có = , = . AB 10 AB 10 3 # » 7 # » # » # » Do đó ta có M C = MA + M B, M D = 10 10 7 # » 3 # » M A + M B. 10 10 Ta có  3 # » 7 # »   M C = 10 M A + 10 M B ⇒  7 # » 3 # »  M D = MA + MB 10 10  3 7  M C ≤ M A + M B 10 10 7  M D ≤ M A + 3 M B. 10 10 Suy ra ta có M C + M D ≤ M A + M B. 6 A 3 C M −1 D x −4 B −10 F # » # » Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M A, M B cùng hướng ⇔ M thuộc đoạn AE hoặc đoạn BF . Do a ∈ Z ⇒ a ∈ {−10; −9; −8; −7; −6; −5; −4; ; 6; 7; 8; 9; 10}. Vậy có tât cả 12 điểm M cần tìm, với M (a; 0) và a ∈ {−10; −9; −8; −7; −6; −5; −4; 6; 7; 8; 9; 10}. • Lưu ý: Theo cách giải trên, điểm mấu chốt giải được bài toán là A, B, C, D thẳng hàng và tỉ lệ AD AC = k, = 1 − k. Như thế có thể tạo ra một lớp bài toán dạng M A + M B = M C + M D. AB AB Chọn đáp án A  √ Câu 1329. Cho số phức z có mô-đun bằng 2 2. Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức w = (1 − i)(z + 1) − i là đường tròn có tâm I(a; b), bán kính R. Tổng a + b + R bằng A. 5. B. 7. C. 1. D. 3. Lời giải. w+i w − 1 + 2i −1= . 1−i 1−i √ √ √ w − 1 + 2i |w − 1 + 2i| √ Mà |z| = 2 2 ⇒ =2 2⇔ = 2 2. 1−i 2 Ta có Ta có z = |w − 1 + 2i| = 4 ⇔ |x + yi − 1 + 2i| = 4 (w = x + yi, x, y ∈ R) » ⇔ (x − 1)2 + (y + 2)2 = 4 ⇔ (x − 1)2 + (y + 2)2 = 16. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I(1; −2) và bán kính R = 4. Suy ra a + b + R = 3.  Chọn đáp án D Câu 1330. Cho số phức z thỏa mãn phương trình (3 + 2i)z + (2 − i)2 = 4 + i. Tọa độ điểm M biểu diễn số phức z là A. M (−1; 1). B. M (−1; −1). C. M (1; 1). D. M (1; −1). Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 335 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có (3 + 2i)z + (2 − i)2 = 4 + i ⇔ (3 + 2i)z = 4 + i − (2 − i)2 ⇔ z = 1 + 5i (1 + 5i)(3 − 2i) = = 1 + i. 3 + 2i 13 Vậy điểm biểu diễn số phức z là M (1; 1).  √ z1 Câu 1331. Cho z1 , z2 là hai số phức liên hợp của nhau đồng thời thỏa mãn 2 ∈ R và |z1 −z2 | = 2 3. z2 Tính mô đun của số phức z1 . √ √ 5 A. |z1 | = 3. B. |z1 | = . C. |z1 | = 2. D. |z1 | = 5 . 2 Lời giải. Chọn đáp án C Giả sử z1 = a + bi, với (a, b ∈ R) ⇒ z2 = a − bi. √ √ Ta có |z1 − z2 | = 2 3 ⇒ |b| = 3. a + bi (a + bi)(a2 − b2 + 2abi) z1 = Ta có 2 = 2 ∈ R. z2 a − b2 − 2abi (a2 − b2 )2 + 4a2 b2 Suy ra 2a2 b + b(a2 − b2 ) = 0 ⇔ 3a2 = b2 ⇒ a2 = 1. √ √ Vậy |z1 | = a2 + b2 = 1 + 3 = 2.  Chọn đáp án C Câu 1332. Số phức z thỏa mãn |z − 1| = 5, 5 1 1 + = và z có phần ảo dương. Tìm tổng phần z z 17 thực và phần ảo của z. A. 2. B. 4. C. 6. D. 8. Lời giải. Gọi z = x + yi với x, y ∈ R và y > 0. Từ |z − 1| = 5 ⇔ (x − 1)2 + y 2 = 25 ⇔ x2 + y 2 − 2x = 24. (1) Từ  1 1 z 5 z 5 5 34 + = ⇔ 2+ 2 = ⇔ 2x = x2 + y 2 ⇔ x2 + y 2 − x = 0. z z 17 |z| |z| 17 17 5 (2) Lấy (1) trừ (2) theo vế, ta được x = 5, y = 3. Vậy x + y = 8.  Chọn đáp án D Câu 1333. Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) thỏa mãn |z|(2 + i) = z − 1 + i(2z + 3). Tính S = a + b. B. S = −5. A. S = 1. C. S = −1. D. S = 7. Lời giải. Ta có |z|(2 + i) = z − 1 + i(2z + 3) ⇔ (2|z| + 1) + (|z| − 3) i = (1 + 2i)z (1) ⇒ |(2|z| + 1) + (|z| − 3) i|2 = |(1 + 2i)z|2 ⇔ (2|z| + 1)2 + (|z| − 3)2 = 5|z|2 ⇔ |z| = 5. Thay |z| = 5 vào (1), ta được z = 3 − 4i. Vậy S = a + b = −1.  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 336 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Å Câu 1334. Cho số phức z thỏa mãn z = A. −1. Chương 3-Giải tích 12 1+i 1−i ã2019 . Tính z 4 . C. −i. B. i. D. 1. Lời giải. 1+i (1 + i)2 2i Ta có = = = i ⇒ z = i2019 = (i4 )504 · i3 = −i ⇒ z 4 = (−i)4 = 1. 1−i 2 2  Chọn đáp án D 1 Câu 1335. Nghịch đảo của số phức z = 1 + 3i bằng z 1 3 3 1 3 1 A. √ + √ i. + i. B. √ − √ i. C. 10 10 10 10 10 10 Lời giải. 1 z 1 − 3i 1 3 Ta có = = = − i. z z·z 1+9 10 10 Chọn đáp án D D. 1 3 − i. 10 10  Câu 1336. Cho số phức z thỏa mãn (3 + 2i)z + (2 − i)2 = 4 + i. Môđun của số phức w = (z + 1)z bằng A. 2. B. √ 10. C. √ 5. D. 4. Lời giải. 4 + i − (2 − i)2 Ta có (3 + 2i)z + (2 − i)2 = 4 + i ⇔ z = = 1 + i. √ √3 + 2i √ Suy ra |w| = |(z + 1)z| = |z + 1| · |z| = 5 · 2 = 10.  Chọn đáp án B 1 Câu 1337. Cho số phức z thỏa mãn z + 2z = 3 + i. Giá trị của biểu thức z + bằng z 3 1 1 1 3 1 1 1 A. + i. B. + i. C. − i. D. − i. 2 2 2 2 2 2 2 2 Lời giải. Giả sử z = x + yi, (x, y ∈ (R) ⇒ z = x − yi. 3x = 3 Ta có z + 2z = 3 + i ⇔ ⇔ z = 1 + i. y=1 1 z 1 1 Do đó = 2 = − i. z |z| 2 2 1 3 1 Vậy ta có z + = + i. z 2 2 Chọn đáp án A  Câu 1338. Tính mô-đun của số phức z, biết (1 − 2i)z + 2 − i = −12i. √ 1 A. 5. B. 7. C. . 2 Lời giải. −2 − 11i Ta có (1 − 2i)z + 2 − i = −12i ⇔ z = = 4 − 3i. 1 − 2i p Vậy |z| = 42 + (−3)2 = 5. √ D. 2 2.  Chọn đáp án A 3i Câu 1339. Cho số phức z = − i. Mô-đun của số phức z là 3√+ i √ √ 370 10 A. . B. . C. 10. 10 10 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 337 D. −3 1 + i. 10 10 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 3i 1 3 1 3 1 −i⇔z = = − i⇒z= + i. 3+i 10 10 10 10 √3 + i … 9 1 10 Vậy |z| = + = . 100 100 10 Chọn đáp án B Ta có z = Câu 1340. Tìm phần thực của số phức z, biết z + A. 20. B. 10. |z|2 = 10. z C. 5.  D. 15. Lời giải. Gọi z = a + bi 6= 0 (a, b ∈ R), ta có z+ |z|2 = 10 ⇔ z 2 + |z|2 = 10z z ⇔ a2 − b2 + 2abi + a2 + b2 = 10a + 10bi ( 2 2a − 10a = 0 ⇔ 2ab = 10b ( a=5 ⇔ b = 0. Vậy z có phần thực bằng 5.  Chọn đáp án C Câu 1341. Cho số phức z thỏa mãn z(2 − i) + 13i = 1. Tính√mô-đun của số phức z. √ √ 5 34 34 C. |z| = A. |z| = 34. B. |z| = 34. . D. |z| = . 3 3 Lời giải. 1 − 13i Ta có z(2 − i) + 13i = 1 ⇔ z = = 3 − 5i. 2−i √ Khi đó |z| = 34.  Chọn đáp án B Câu 1342. Tìm phần ảo của số phức z biết z(2 − i) + 13i = 1. A. −5i. C. −5. B. 5i. D. 5. Lời giải. Ta có z(2 − i) + 13i = 1 ⇔ z = 1 − 13i = 3 − 5i. 2−i Vậy phần ảo của z bằng −5.  Chọn đáp án C √ z Câu 1343. Cho số phức z thỏa là số thực, |z − z̄| = 3 2. Tính |z|. z2 √ √ √ A. |z| = 3 2. B. |z| = 6. C. |z| = 2 3. D. |z| = √ 3. Lời giải. Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R). √ √ 3 Ta có |z − z̄| = 3 2 ⇔ |2yi| = 3 2 ⇔ |y| = √ . 2 z x + yi (x + yi)(x2 − y 2 + 2xyi) x3 − 3xy 2 − (y 3 − 3×2 y)i Khi đó, = 2 = = . x − y 2 − 2xyi (x2 − y 2 )2 + 4×2 y 2 (x2 + y 2 )2 z2 z Vì là số thực nên z2 y2 3 y 3 − 3×2 y = 0 ⇒ y 2 − 3×2 = 0 ⇔ x2 = = . 3 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 338 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ p Vậy |z| = x2 + y 2 = … Chương 3-Giải tích 12 9 3 √ + = 6. 2 2  Chọn đáp án B Câu 1344. Tìm điểm biểu diễn của số phức z là số phức liên hợp của z, biết (4+3i)z−(3+4i)(2+i) = 9 − 9i. A. (2; −1). C. (−2; −1). B. (2; 1). D. (−2; 1). Lời giải. Ta có (4 + 3i)z − (3 + 4i)(2 + i) = 9 − 9i ⇒ z = 9 − 9i + (3 + 4i)(2 + i) = 2 − i ⇒ z = 2 + i. 4 + 3i Vậy điểm biểu diễn của z là (2; 1).  Chọn đáp án B Câu 1345. Có bao nhiêu số phức z thoả mãn |z| (z − 4 − i) + 2i = (5 − i)z? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Lời giải. Ta có |z| (z − 4 − i) + 2i = (5 − i)z ⇔ z (|z| − 5 + i) = 4 |z| + (|z| − 2) i. Lấy»môđun 2 vế ta được » |z| (|z| − 5)2 + 1 = (4 |z|)2 + (|z| − 2)2 . Đặt t = |z| , t > 0 ta được p p t (t − 5)2 + 1 = (4t)2 + (t − 2)2 ⇔ (t − 1)(t3 − 9t2 + 4) = 0. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt t > 0 vậy có 3 số phức z thoả mãn.  Chọn đáp án B Câu 1346. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z| (z − 5 − i) + 2i = (6 − i) z? A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. Lời giải. Ta có |z|(z − 5 − i) + 2i = (6 − i)z ⇔ (|z| − 6 + i)z = 5|z| + (|z| − 2)i (1). p p Lấy mô-đun hai vế của (1) ta có (|z| − 6)2 + 1 · |z| = 25|z|2 + (|z| − 2)2 . Bình phương hai vế và rút gọn ta được |z|4 − 12|z|3 + 11|z|2 + 4|z| − 4 = 0 ⇔ (|z| − 1)(|z|3 − 11|z|2 + 4) = 0  |z| = 1 ”  |z| ≈ 10,967 |z| = 1  ⇔ ⇔ 3 2 |z| ≈ 0,62 |z| − 11|z| + 4 = 0  |z| ≈ −0,587. (5 + i)|z| + 2i . |z| − 6 + i Do |z| ≥ 0 nên ta có ba số phức thỏa mãn đề bài. Mà |z| (z − 5 − i) + 2i = (6 − i) z ⇔ z =  Chọn đáp án B Câu 1347. Tìm số phức z, biết (2 − 5i)z − 3 + 2i = 5 + 7i. 9 50 9 50 9 50 9 50 A. z = − + i. B. z = − − i. C. z = − i. D. z = + i. 29 29 29 29 29 29 29 29 Lời giải. 5i + 8 9 (5i + 8)(2 + 5i) 9 50 50 Ta có (2 − 5i)z − 3 + 2i = 5 + 7i ⇒ z = = = − + i ⇒ z = − − i. 2 − 5i (2 − 5i)(2 + 5i) 29 29 29 29 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 339 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án B 3 + 4i trên mặt phẳng tọa độ. Câu 1348. Tìm tọa độ của điểm biểu diễn số phức z = 1−i ã Å ã Å ã Å Å ã 1 7 1 7 1 7 1 7 A. Q ;− . B. N ; . C. P − ; . D. M − ; − . 2 2 2 2 2 2 2 2 Lời giải. Å ã 3 + 4i (3 + 4i)(1 + i) 1 7 1 7 Ta có z = = = − + i nên tọa độ của điểm biểu diễn số phức z là − ; . 1−i (1 − i)(1 + i) 2 2 2 2  Chọn đáp án C 1 Câu 1349. Cho số phức z = 7 − i. Tìm số phức w = . z 1 1 7 1 7 7 − i. B. w = − + i. C. w = + i. A. w = 50 50 50 50 50 50 Lời giải. 1 7+i 7 1 1 = = + i. Ta có w = = z 7−i (7 − i)(7 + i) 50 50 Chọn đáp án D D. w = 7 1 + i. 50 50  Câu 1350. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + 4i là một số thực dương. z − 4i A. Trục Oy bỏ đi đoạn IJ (với I là điểm biểu diễn 4i, J là điểm biểu diễn −4i). B. Trục Oy bỏ đi đoạn IJ (với I là điểm biểu diễn 2i, J là điểm biểu diễn −2i). C. Đoạn IJ (với I là điểm biểu diễn 4i, J là điểm biểu diễn −4i). D. Trục Ox bỏ đi đoạn nối IJ (với I là điểm biểu diễn 4, J là điểm biểu diễn −4). Lời giải. Đặt z = x + yi với x, y ∈ R và M (x; y) là điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta có z + 4i x + yi + 4i x + (y + 4)i = = z − 4i x + iy − 4i x + (y − 4)i [x + (y + 4)i] [x − (y − 4)i] = [x + (y − 4)i] [x − (y − 4)i] x2 − x(y − 4)i + x(y + 4)i + (y + 4)(y − 4) = x2 + (y − 4)2 x2 + y 2 − 16 8x = 2 + 2 i. 2 x + (y − 4) x + (y − 4)2 y 5 4 I 3 2 1 O −1 1 2 3 4x −1 −2 −3 −4 J −5 z + 4i là một số thực dương khi và chỉ khi z − 4i  x=0  ( (  ” x=0 x=0 ⇔ ⇔ y < −4 .  x2 + y 2 − 16 > 0 y 2 − 16 > 0   y>4 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là trục Oy bỏ đi đoạn IJ (với I là điểm biểu diễn 4i, J là điểm biểu diễn −4i). Để  Chọn đáp án A Å Câu 1351. Cho số phức z = 2 + 6i 3−i ãm (m nguyên dương). Có bao nhiêu giá trị m ∈ [1; 50] để z là số thuần ảo? Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 340 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. 25. Chương 3-Giải tích 12 B. 24. C. 26. D. 50. Lời giải. 2 + 6i (2 + 6i)(3 + i) = = 2i, (2i)m là số thuần ảo khi m là số lẻ. 3−i 10 Số số nguyên dương lẻ ∈ [1; 50] là 25.  Chọn đáp án A Câu 1352. Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 | = 3, |z2 | = 4 và chúng được biểu diễn trong mặt # » # » phẳng phức lần lượt là các điểm M, N . Biết góc giữa hai véc-tơ OM và ON bằng 60◦ . Tìm môđun z1 + z2 . của số phức z = z1 − z2 √ √ √ √ 5 481 A. |z| = 3. B. |z| = . C. |z| = . D. |z| = 4 3. 2 13 Lời giải. y N 60◦ M x O Đặt z1 = 3(cos ϕ + i sin ϕ), z2 = 4(cos(ϕ ± 60◦ ) + i sin(ϕ ± 60◦ )), ta có √ å 1 3 z2 4 √ ±i ◦ ◦ 1+ (cos 60 ± i sin 60 ) 1 + 2 2 5 ± 2i 3 z1 + z2 z1 3 Ç √ √ å= = = z= z2 = 4 z1 − z2 1 ∓ 2i 3 1 3 4 ◦ ◦ 1− 1 − (cos 60 ± i sin 60 ) 1− ±i z1 3 3 2 2 4 1+ 3 Ç √ Suy ra |z| = 481 . 13  Chọn đáp án C √ 2 2 Câu 1353. Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 + z2 + z3 = 0 và |z1 | = |z2 | = |z3 | = . Mệnh 3 đề nào dưới đây đúng? A. |z1 + z2 + z3 | < |z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 |. C. |z1 + z2 + z3 | > |z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 |. B. |z1 + z2 + z3 | = 6 |z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 |. D. |z1 + z2 + z3 | = |z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 |. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 341 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có 1 1 1 |z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 | = |z1 z2 z3 | + + z1 z2 z3 Ç √ å3 2 2 z1 z2 z3 = 2 + 2 + 3 |z1 | |z2 | |z3 |2 Ç √ å3 2 2 z1 z2 z3 = Ç √ å2 + Ç √ å2 + Ç √ å2 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 √ √ 2 2 2 2 = |z1 + z2 + z3 | = |z1 + z2 + z3 | 3 3 √ 2 2 = |z1 + z2 + z3 | = 0 = |z1 + z2 + z3 | . 3  Chọn đáp án D Câu 1354. Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện √ |(1 + i)z − 4 + 2i| = 4 2 là một đường tròn. Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn đó. A. I(1; −3), R = 4. √ B. I(4; −2), R = 4 2. C. I(1; −3), R = 2. D. I(−1; 3), R = 4. Lời giải. Gọi điểm M (x; y) biểu diễn số phức z. √ √ 4 2 |(1 + i)z − 4 + 2i| |(1 + i)z − 4 + 2i| = 4 2 ⇔ = |1 + i| |1 + i| 2 2 2 ⇔ |z − 1 + 3i| = 4 ⇔ (x − 1) + (y + 3) = 4 . Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1; −3), bán kính R = 4. Chọn đáp án A Câu 1355. Cho số phức z thỏa mãn trên mặt phẳng phức là A. Một Parabol.  2z − z + 3i = 3. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z z+i B. Một đường thẳng. C. Một đường tròn. D. Một Elip. Lời giải. Giả sử z = a + bi ∈ C với a, b ∈ R. Ta có ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2z − z + 3i =3 z+i |2z − z + 3i| =3 |z + i| |2(a − bi) − (a + bi) + 3i| =3 |a + bi + i| |2(a − bi) − (a + bi) + 3i| = 3 |a + bi + i| » » a2 + (3 − 3b)2 = 3 a2 + (b + 1)2 ⇔ 8a2 − 36b = 0 2 ⇔ b = a2 9 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 342 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức là một Parabol.  Chọn đáp án A 2 − 6i , khi đó số phức liên hợp của z là (1 + i)2 B. z̄ = 3 − i. C. z̄ = −3 − i. Câu 1356. Cho số phức z = A. z̄ = −3 + i. D. z̄ = 3 + i. Lời giải. 2 − 6i = −i − 3 ⇒ z̄ = −3 + i. 2i Chọn đáp án A  m+1 , (m ∈ R). Tìm các giá trị nguyên của m để |z − i| < 1 Câu 1357. Cho số phức z = 1 + m(2i − 1) là Ta có z = A. 0. B. 1. C. 4. D. Vô số. Lời giải. m+1 3m + 1 + (m − 1)i −i= . 1 + m(2i − 1) 1 + 2mi − m Theo giả thiết có Ta có z − i = |z − i| < 1 ⇔ ⇔ 3m + 1 + (m − 1)i <1 1 + 2mi − m » (3m + 1)2 + (m − 1)2 < » (1 − m)2 + (2m)2 ⇔ 5m2 + 6m + 1 < 0 1 ⇔ −1 < m < − . 5 Mà m ∈ Z nên không có giá trị nào thỏa mãn.  Chọn đáp án A Câu 1358. Cho số phức z = 1 − i và z là số phức liên hợp của z. Mệnh đề nào sau đây sai? z3 A. |z| < 2. C. z 2 là số thuần ảo. D. z 4 là số thuần ảo. B. 3 = i. z Lời giải. 2 Ta có z 4 = (1 + i)4 = ((1 + i)2 ) = (2i)2 = −4 không phải số thuần ảo. Do đó mệnh đề z 4 là số thuần ảo sai.  Chọn đáp án D √ z−1 + i = 5. Biết rằng tập hợp biểu diễn số phức w = 2−i (1 − i)z + 2i có dạng (x + 2)2 + y 2 = m. Tìm m. Câu 1359. Cho số phức z thỏa mãn A. m = 96. B. m = 92. Lời giải. Ta có w = (1 − i)z + 2i ⇒ z = C. m = 50. D. m = 100. w − 2i . Do đó, ta có 1−i √ √ z−1 z + 2i +i = 5 ⇔ = 5 2−i 2−i ⇔ |z + 2i| = 5 w − 2i ⇔ + 2i = 5 1−i √ ⇔ |w + 2| = 5 2. Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn (x + 2)2 + y 2 = 50. Vậy m = 50. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 343 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án C 2+i = (2 − i)z̄. Tính mô-đun của số phức i √ √ 26 6 C. . D. . 25 5 Câu 1360. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức (i + 3)z + w = z −√i. 2 5 A. . 5 Lời giải. √ 26 B. . 5 Đặt z = x + yi với x, y ∈ R. Ta có 2+i = (2 − i)z̄ ⇔ (i + 3)(x + yi) − 2i + 1 = (2 − i)(x − yi) i  ( x = −1 x+1=0 ⇔ (x + 1) + (2x + 5y − 2)i = 0 ⇔ ⇔ y = 4 . 2x + 5y − 2 = 0 5 (i + 3)z + 4 1 Do đó z = −1 + i ⇒ w = z − i = −1 − i. 5 5 Å ã2 √ 26 1 Bởi vậy |w| = (−1)2 + − = . 5 5 Chọn đáp án B  |z|2 2(z + i) a + 2iz + = 0. Tính P = . z 1−i b 1 C. P = 5 . D. P = − . 5 Câu 1361. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn A. P = 3 . 5 B. P = 1 . 5 Lời giải. Vì z · z̄ = |z|2 nên 2(z + i) |z|2 + 2iz + =0 z 1−i 2(z + i) ⇔ z̄ + 2iz + =0 1−i 2(a + bi + i)(1 + i) ⇔ a − bi + 2i(a + bi) + =0 2 ⇔ (2a − 3b − 1) + (3a + 1)i = 0 ( 2a − 3b − 1 = 0 ⇔ 3a + 1 = 0  1  a = − 3 ⇔ 5  b = − . 9 a = b Chọn đáp án Vậy P = 3 . 5 A  Câu 1362. Cho số phức z thỏa mãn √ z (2 − i) + 13i = 1. Tính mô-đun của số phức z.√ √ 5 34 34 . C. |z| = 34. D. |z| = . A. |z| = 34. B. |z| = 3 3 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 344 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có 1 − 13i (1 − 13i) · (2 + i) ⇔z= 2−i (2 − i) · (2 + i) 1 ⇔ z = (2 − 26i + i + 13) ⇔ z = 3 − 5i. 5 z (2 − i) + 13i = 1 ⇔ z = » √ Suy ra |z| = 32 + (−5)2 ⇔ |z| = 34.  Chọn đáp án C Câu 1363. Cho số phức z thỏa mãn |z 2 + 2z + 2| = |z + 1 − i|. Tìm giá trị lớn nhất của |z|. √ √ √ A. 2 + 1. B. 2. C. 2 + 2. D. 2 − 1. Lời giải. Ta có z 2 + 2z + 2 = (z + 1)2 + 1 = (z + 1)2 − i2 = (z + 1 + i)(z + 1 − i). Do đó z 2 + 2z + 2 =1 z+1−i (z + 1 + i)(z + 1 − i) ⇔ =1 z+1−i |z 2 + 2z + 2| = |z + 1 − i| ⇔ ⇔|z + 1 + i| = 1. Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(−1; −1), bán kính r = 1. p √ Vậy giá trị lớn nhất của |z| là OI + r= (−1)2 + (−1)2 + 1 = 2 + 1.  Chọn đáp án A Câu 1364. Tìm số phức z thỏa mãn z + 4 − 2i = A. z = −3 + 9i. B. z = 1 − 3i. 10 + 20i . 3−i C. z = 46 − 52i. D. z = 5 + 5i. Lời giải. Ta có z + 4 − 2i = 10 + 20i ⇔ z + 4 − 2i = 1 + 7i ⇔ z = −3 + 9i. 3−i  Chọn đáp án A Câu 1365. Cho số phức z thỏa mãn |(1 − i)z − 4 + 2i| = 2. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của đường tròn đó. A. I(3; −1), R = √ 2. B. I(3; −1), R = 2. C. I(3; 1), R = √ 2. D. I(3; 1), R = 2. Lời giải. Chia hay vế của đẳng thức |(1 − i)z − 4 + 2i| = 2 cho |1 − i| ta được |z − (3 + i) = √ hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(3; 1), bán kính R = 2.  Chọn đáp án C Câu 1366. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình az 2 +z+ 2, khi đó a nhận giá trị bằng 1 A. . B. 2. 2 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em √ 2|. Suy ra tập C. 3. 345  1 = 0 a ∈ R∗+ . Biết |z1 |+|z2 | = a D. 1. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Theo giả thiết 1 az 2 + z + = 0 ⇔ a2 z 2 + az + 1 = 0 a Å ã2 1 3 ⇔ az + + =0 2 4 √   √ ä 1 i 3 1 Ä z= −1 + i 3 . az + 2 = 2  2a √ ⇔ ⇔  √ ä (1) 1 Ä 1 i 3 z=− 1+i 3 . az + = − 2a 2 2 Vì |z1 | + |z2 | = 2 nên từ (1) suy ra 1 (2 + 2) = 2 ⇔ a = 1. 2a  Chọn đáp án D Câu 1367. Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z = 3 − 4i. Tìm phần thực của z. 2 11 2 11 A. . B. − . C. . D. . 25 5 5 5 Lời giải. Ta có (2 + i)z = 3 − 4i ⇔ z = Suy ra phần thực của z bằng 3 − 4i 2 11 = − i. 2+i 5 5 2 . 5  Chọn đáp án C Câu 1368. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z + 2 + i − |z|(1 + i) = 0? A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. Lời giải. Gọi z = a + bi với a, b ∈ R. Khi đó, từ giả thiết ta suy ra z + 2 + i − |z|(1 + i) = 0 √ ⇔ a + bi + 2 + i − a2 + b2 (1 + i) ( √ a + 2 − a2 + b 2 = 0 ⇔ √ b + 1 − a2 + b 2 = 0 ( √ a + 2 − a2 + b 2 = 0 ⇔ b=a+1  » a + 2 = a2 + (a + 1)2 ⇔ b = a + 1   a ≥ −2   ⇔ (a + 2)2 = a2 + (a + 1)2    b=a+1   a ≥ −2   ⇔ a2 − 2a − 3 = 0    b=a+1 ( a = −1, b = 0 ⇔ a = 3, b = 4. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 346 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Vậy có 2 số phức z thỏa bài toán. Chọn đáp án B  √ 17 + 1 − 3i. Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho z số phức w = (3 − 4i)z − 1 + 2i là đường tròn tâm I, bán kính R. Khi đó √ √ A. I(−1; −2), R = 5. B. I(1; 2), R = 5. Câu 1369. Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)|z| = D. I(1; −2), R = 5. C. I(−1; 2), R = 5. Lời giải. Ta có √ (2 + i)|z| = 17 + 1 − 3i ⇔ (2|z| − 1) + (|z| + 3)i = z ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ √ 17 z √ 17 |(2|z| − 1) + (|z| + 3)i| = z √ » 17 (2|z| − 1)2 + (|z| + 3)2 = |z| 17 5|z|2 + 2|z| + 10 = 2 |z| 4 3 5|z| + 2|z| + 10|z|2 − 17 = 0 (∗). Đặt x = |z|, x > 0. Xét hàm số f (x) = 5×4 + 2×3 + 10×2 − 17 với x > 0. Có f 0 (x) = 20×3 + 6×2 + 20x > 0, ∀x > 0 nên f (x) đồng biến trên (0; +∞), mà f (1) = 0 nên phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1 trên khoảng (0; +∞). Do vậy phương trình (∗) có nghiệm duy nhất |z| = 1. w = (3 − 4i)z − 1 + 2i ⇔ w + 1 − 2i = (3 − 4i)z ⇒ |w + 1 − 2i| = |(3 − 4i)z| = 5 Do đó, tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I(−1; 2), bán kính R = 5.  Chọn đáp án C Câu 1370. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z−i = z+i 1. A. Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường x = ±1, y = ±1. B. Trục Ox. C. Đường tròn (x + 1)2 + (y − 1)2 = 1. D. Hai đường thẳng y = ±1, trừ điểm (0; −1). Lời giải. Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R) là số phức thỏa mãn bài toán. Khi đó, điểm M (x; y) biểu diễn cho số phức z trong mặt phẳng Oxy. Điều kiện z 6= −i suy ra M (x; y) 6= (0; −1). Khi đó, z−i =1 z+i |z − i| ⇔ =1 |z + i| ⇔ |z − i| = |z + i| Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 347 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 ⇔ |x + yi − i| = |x + yi + i| » » ⇔ x2 + (y − 1)2 = x2 + (y + 1)2 ⇔ y = 0. Vì điểm (0; −1) ∈ / Ox nên tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là trục Ox. Chọn đáp án B  Câu 1371. Tìm số phức z thỏa mãn (1 − i)(z + 1 − 2i) − 3 + 2i = 0. 3 5 5 3 B. z = 4 − 3i. C. z = 4 + 3i. D. z = + i. A. z = + i. 2 2 2 2 Lời giải. 3 − 2i 3 5 Ta có (1 − i)(z + 1 − 2i) − 3 + 2i = 0 ⇔ z + 1 − 2i = ⇔ z = + i. 1−i 2 2 Chọn đáp án D  Câu 1372. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − (2 + 3i)z = 1 − 9i. Số phức 5 có điểm biểu diễn là điểm nào trong các điểm A, B, C, D ở w = iz hình bên? y C 1 −1 −2 B. Điểm A. C. Điểm D. 1 2 O B A. Điểm C. D −2 x A D. Điểm B. Lời giải. Giả sử z = a + bi với a, b ∈ R. Theo đề bài ta có ( a + bi − (2 + 3i)(a − bi) = 1 − 9i ⇔ −a − 3b + (3b − 3a)i = 1 − 9i ⇔ − a − 3b = 1 3b − 3a = −9. 5 = 1 − 2i. i(2 − i) Vậy điểm biểu diễn số phức w là điểm A(1; −2). Giải hệ ta được a = 2, b = −1. Suy ra w =  Chọn đáp án B Câu 1373. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn (1 + 3i)z − 3 + 2i = 2 + 7i. Giá trị của a + b là 11 . 5 Lời giải. A. B. 1. C. 19 . 5 D. 3. Ta có phương trình ban đầu tương đương với (1 + 3i)z = 5 + 5i ⇔ z = 5 + 5i ⇔ z = 2 − i. 1 + 3i Suy ra a = 2, b = −1 nên a + b = 2 − 1 = 1.  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 348 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1374. Cho số phức z = a+bi (a, b ∈ R) có phần thực dương và thỏa mãn z+2+i−|z|(1+i) = 0. Tính P = a + b. B. P = −1. A. P = 7. C. P = −5. D. P = 3. Lời giải. Đặt z = a + bi (a, b ∈ R, a > 0). Theo đề ta có √ a + bi + 2 + i − a2 + b2 (1 + i) = 0 ⇔ ( √ a + 2 − a2 + b 2 = 0 √ b + 1 − a2 + b 2 = 0 ( ( a+2=b+1 a=b−1>0 ⇔ ⇔ √ b + 1 = a2 + b 2 (b + 1)2 = (b − 1)2 + b2   a=b−1   ⇔ b>1 ⇔ b = 4, a = 3.    2 b − 4b = 0 Vậy P = 7.  Chọn đáp án A Câu 1375. Cho số phức 13 4 A. z = − + i. 5 5 Lời giải. 13 5 + 7i = − Ta có z = 1 + 3i 5 Chọn đáp án C z thỏa mãn (1 + 3i)z − 5 = 7i. Mệnh đề nào sau đây đúng? 13 4 13 4 13 4 B. z = − i. C. z = + i. D. z = − − i. 5 5 5 5 5 5 4 13 4 i⇒z= + i 5 5 5  Câu 1376. Cho số phức z thỏa mãn (3 − 4i)z − √ A. |z| = 2 2. 1 B. |z| = . 2 4 = 8. Tính |z|. |z| √ C. |z| = 2. D. |z| = 2. Lời giải. Ta biến đổi giả thiết về (3 − 4i)z = 8 + 4 . |z| Lấy mô-đun hai vế ta được 4 |z| 4 ⇔ |3 − 4i| · |z| = 8 + |z|  |z| = 2 4 ⇔ 5|z| = 8 + ⇔ 2 |z| |z| = − 5 |(3 − 4i)z| = 8 + (Thỏa mãn) (Loại).  Chọn đáp án D Câu 1377. Gọi z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn điều kiện |z − 5 − 3i| = 5 và |z1 − z2 | = 8. Quỹ tích các điểm biểu diễn số phức w = z1 + z2 là đường phương trình Å trònãcó Å ã2 nào sau đây? 2 5 3 9 A. (x − 10)2 + (y − 6)2 = 36. B. x − + y− = . 2 2 4 Å ã2 Å ã2 5 3 16 C. x − + y+ = . D. (x + 10)2 + (y − 6)2 = 16. 2 2 9 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 349 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Gọi A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 , I là điểm A biểu diễn số phức 5 + 3i. Từ giả thiết ta có IA = IB = 5 và AB = 8. Vậy AB là một dây cung có độ dài bằng 8 của đường tròn tâm I, bán kính R = 5. Ta có I M w = z1 + z2 ⇔ w − 10 − 6i = (z1 − 5 − 3i) + (z2 − 5 − 3i). Lấy mô-đun hai vế ta được #» #» |w − 10 − 6i| = |(z1 − 5 − 3i) + (z2 − 5 − 3i)| = |AI + BI|. B #» #» # » Ta gọi M là trung điểm của AB, khi đó AI + BI = 2M I. Vậy √ √ |w − 10 − 6i| = 2M I = 2 IA2 − AM 2 = 2 52 − 42 = 6. Từ đó suy ra quỹ tích điểm biểu diễn w là đường tròn tâm (10; 6) và bán kính bằng 6.  Chọn đáp án A 2 2(z + i) a |z| + 2iz + = 0. Tính tỉ số . Câu 1378. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn z 1−i b 3 3 A. 5. B. . C. − . D. −5. 5 5 Lời giải. Ta có |z|2 2(z + i) z·z 2(z + i)(1 + i) + 2iz + =0⇔ + 2iz + z 1−i z 2 ⇔ z + 2iz + z + iz + i − 1 = 0 ⇔ (z + z) + 3iz + i − 1 = 0 ⇔ (2a − 3b − 1) + (3a + 1)i = 0 ( 2a − 3b = 1 ⇔ 3a + 1 = 0  1  a = − 3 ⇔ 5  b = − . 9 1 − a 3 Vậy tỉ số = 3 = . 5 b 5 − 9 Chọn đáp án B  Câu 1379. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z − 3i| = 5 và A. Vô số. B. 2. C. 1. z là số thuần ảo? z−4 D. 0. Lời giải. Điều kiện xác định z 6= 4. Đặt z = a + bi với a, b ∈ R. Theo giả thiết ta có |z − 3i| = 5 ⇒ |a + (b − 3)| = 5 ⇔ a2 + (b − 3)2 = 25. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 350 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 z a + bi (a + bi)(a − 4 − bi) a2 − 4a + b2 −4b = = = + i. 2 2 2 2 z−4 (a − 4) + bi (a − 4) + b (a − 4) + b (a − 4)2 + b2 Theo giả thiết, suy ra a2 − 4a + b2 = 0. Lại có: Ta có hệ  a2 + (b − 3)2 a2 − 4a + b2  a = 4 + 3 b = 25 2 ⇔  2 = 0. 13b + 24b = 0. 16 24 16 24 Giải hệ ta được a = 4, b = 0 và a = , b = − . Vì z 6= 4 là số thuần ảo nên a = ; b = − . 13 13 13 13 16 24 − i. Vậy z = 13 13 Chọn đáp án C  Câu 1380. Số phức nào dưới đây thỏa mãn phương trình (1 − 2i)z = 3z − 2i? 1 1 1 1 1 1 1 1 A. z = + i. B. z = − + i. C. z = − − i. D. z = − − i. 2 2 4 4 4 4 2 2 Lời giải. Ta có (1 − 2i)z = 3z − 2i ⇔ (1 − 2i)z − 3z = −2i ⇔ (−2 − 2i)z = −2i −2i 1 1 ⇔ z= = + i. −2 − 2i 2 2  Chọn đáp án A Câu 1381. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 + z2 | = 1, |z1 − z2 | = 2 và z1 = 4. Mệnh đề nào z2 sau đây đúng? A. 2 < |z1 | < 3. B. 3 < |z1 | < 4. C. 4 < |z1 | < 6. D. 1 < |z1 | < 2. Lời giải. Ä ä 5 Ta có 2 |z1 |2 + |z2 |2 = |z1 − z2 |2 + |z1 + z2 |2 = 5 ⇒ |z1 |2 + |z2 |2 = . 2 z1 2 2 Mà = 4 ⇔ |z1 | = 4 |z2 | ⇔ |z1 | = 16 |z2 | . z2   40 …   |z1 |2 + |z2 |2 = 5  |z1 |2 = 10 17 2 ⇔ ⇒ |z1 | = 2 . Vậy ta có 5   17  |z1 |2 = 16 |z2 |2 |z2 |2 = 34 Chọn đáp án D  Câu 1382. Cho số phức z có môđun bằng 1 và có phần thực bằng a. 1 Tính biểu thức z 3 + 3 theo a. z A. 8a3 − 3a. B. 8a3 − 6a. C. a3 + 6a. D. a3 + 3a. Lời giải. √ Giả sử z = a + bi, ta có |z| = 1 ⇔ a2 + b2 = 1 ⇔ a2 + b2 = 1 ⇔ b2 = 1 − a2 . Ta có z3 + 1 z3 3 = z + = z3 + z3 z3 z3 · z3 = (a + bi)3 + (a − bi)3 = 8a3 − 6a.  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 351 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 z2 − 1 z B. Lấy mọi giá trị thực. D. Là số thuần ảo. Câu 1383. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z| = 1 và z ∈ / R thì A. Lấy mọi giá trị phức. C. Bằng 0. Lời giải. Giả sử z = a + bi ⇒ z = a − bi ⇒ z − z = 2bi. Ta có z · z = |z|2 = 1. z2 − 1 z2z − z z−z Ta lại có = = = z − z = 2bi là số thuần ảo. z z·z 1  Chọn đáp án D √ z Câu 1384. Cho z và w là hai số phức liên hợp thỏa mãn 2 là số thực và |z − w| = 2 3. Mệnh đề w nào sau đây là đúng? A. 3 < |z| < 4. B. |z| < 1. C. 1 < |z| < 3. D. |z| > 4. Lời giải. Từ giả thiết ta có z = w, w = z, |z| = |w|. √ Từ |z − w| = 2 3 ⇔ (z − w) (z − w) = 12 ⇔ |z|2 +|w|2 −zw −zw = 12 ⇔ 2 |z|2 −z 2 −w2 = 12 (∗). z z z z w z Do 2 là số thực nên 2 = 2 = 2 . Từ đó suy ra 2 = 2 hay w w w w z w z 3 = w3 ⇔ (z − w) (z 2 + zw + w2 ) = 0. Vậy z 2 + w2 = −zw = − |z|2 . Thay vào (∗) ta được |z|2 = 4 ⇔ |z| = 2.  Chọn đáp án C Câu 1385. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z + 2 + 3i| = 5 và A. 2. C. 1. B. vô số. z là số thuần ảo? z−2 D. 0. Lời giải. Gọi z = a + bi, (a, b ∈ R). Điều kiện z 6= 2. Ta có |z + 2 + 3i| = 5 ⇔ (a + 2)2 + (b + 3)2 = 25 (1) 2 2 2 2 z a + bi (a + bi)(a − 2 − bi) a − 2a + b + 2bi a − 2a + b 2bi Và = = = = + 2 2 2 2 2 2 z−2 a − 2 + bi (a − 2) + b (a − 2) + b (a − 2) + b (a − 2)2 + b2 2 2 là số thuần ảo nên có a( − 2a + b = 0 (2) ( 2 2 2 2 a + b + 4a + 6b − 12 = 0 (a + 2) + (b + 3) = 25 ⇔ Từ (1) và (2) ta có hệ a2 − 2a + b2 = 0 a2 + b2 − 2a = 0 ( ” a=1 a=1  ( 2 (     b=1 a + b2 − 2a = 0 a2 + (2 − a)2 − 2a = 0  ⇔ ⇔ ⇔ a = 2 ⇔ (  a=2  6a + 6b − 12 = 0 b=2−a    b=2−a b = 0. ( a=1 Với ta được z = 1 + i thỏa mãn. b=1 ( a=2 Với ta được z = 2 không thỏa mãn điều kiện, loại. b=0 Vậy có 1 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án C Câu 1386. Tích phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn √ A. 1. B. 0. C. − 3. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 352 2|z|2 z−i + iz + = −1 + 2i là z 1 −√ i D. 3. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Ta có phương trình i z = − 1 + 2i 2z + iz + 1 − i 1 − i Å ã Å ã Å ã 1 3 5 5 3 5 3 ⇔z 2 + i + =− + i⇔z + i = + i i ⇔ z = i. 1−i 2 2 2 2 2 2 Vậy z = i, suy ra tích phần thực và phần ảo bằng 0 · 1 = 0.  Chọn đáp án B A. Một đường thẳng. z = 3 là đường nào? z−i B. Một đường parabol. C. Một đường tròn. D. Một đường elip. Câu 1387. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn Lời giải. Cách 1: Giả sử z = a + bi trong đó (a, b ∈ R, z 6= i). Từ giả thiết ta có: Å ã 9 9 |z| = 3|z − i| ⇔ a + b = 9a + 9(b − 1) ⇔ 8a + 8b − 18b + 9 = 0 ⇔ a + b − = . 8 64 2 2 2 2 2 2 2 Do đó tập hợp biểu diễn điểm z là một đường tròn. Cách 2: Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của z, i trong mặt phẳng phức. Khi đó AO = |z| và AB = |z − i|. AO = 3. Từ đề bài ta có AB Như vậy, tập hợp điểm A là đường tròn Apollonius của đoạn thẳng OB với tỉ số 3.  Chọn đáp án C ã Å ã4 z2 z1 4 + . Câu 1388. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 −z2 | = |z1 | = |z2 | > 0. Tính A = z2 z1 A. 1. B. 1 − i. C. −1. D. 1 + i. Å Lời giải. Cách 1: Do |z1 | = |z2 | > 0 nên z2 , z1 6= 0. Từ đẳng thức |z1 − z2 | = |z1 | = |z2 |, ta có z1 z1 −1 = = 1. z2 z2 1 z1 . Bài toán trở thành: Cho số phức w thỏa mãn |w − 1| = |w| = 1. Tính A = w4 + 4 . z2 w Trong mặt phẳng phức, ta gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức w, 1. Đặt w = Khi đó |w| = OA, 1 = OB, |w√− 1| = AB. Suy √ ra 4OAB là tam giác đều. 1 3 1 3 Do đó, w chỉ có thể là + i hoặc − i . 2 2 2 2 Khi đó, ta luôn có ww = 1, w + w = 1 và (w − w)2 = −3. Ta có Å ã 2 1 2 2 A = w − 2 + 2 = w2 − w2 + 2 = (w − w)2 (w + w)2 + 2 = 12 · (−3) + 2 = −1. w Cách 2: Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 , z2 trong mặt phẳng phức. Khi đó |z1 | = OA, |z2 | = OB và |z1 − z2 | = AB. Suy ra 4OAB là tam giác đều. Không mất tổng quát ta có thể giả sử z1 = r (cos ϕ + i sin ϕ) và z2 = r (cos ψ + i sin ψ) trong đó Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 353 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ r > 0 và ϕ − ψ = Chương 3-Giải tích 12 π . 3 Ta có z1 π π = cos (ϕ − ψ) + i sin (ϕ − ψ) = cos + i sin . z2 3 3  π  π z2 = cos (ψ − ϕ) + i sin (ψ − ϕ) = cos − + i sin − . z1 3 3 Å ã4 Å ã4 Å ã Å Å ã Å ãã z1 z2 4π 4π 4π 4π Vậy A = + = cos + i sin + cos − + i sin − = −1. z2 z1 3 3 3 3 Chọn đáp án C Câu 1389. Tìm phần ảo của số phức z = 52 . 37 Lời giải. A. − B. 52 . 37 z= 2 − 9i . 1 + 6i C. − 21 . 37 D.  21 . 37 2 − 9i (2 − 9i)(1 − 6i) 52 21 = = − − i. 1 + 6i (1 + 6i)(1 − 6i) 37 37  Chọn đáp án C 3−i 2+i + . 1+i i B. Phần thực là 2, phần ảo là 4i. D. Phần thực là 2, phần ảo là −4i. Câu 1390. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z = A. Phần thực là 2, phần ảo là −4. C. Phần thực là 2, phần ảo là 4. Lời giải. (3 − i)(1 − i) (2 + i)(−i) + = 2 − 4i. Vậy số phức z có phần thực là 2, phần ảo là −4. 2 1 Chọn đáp án A  Ta có z = Câu 1391. Cho số phức z = a+bi, với a, b ∈ R, thỏa mãn (1+i)z +2z̄ = 3+2i. Tính S = a+b. 1 1 A. S = . B. S = −1. C. S = 1. D. S = − . 2 2 Lời giải. Ta có (1 + i)z + 2z̄ = 3 + 2i ⇔ (1 + i)(a + bi) + 2(a − bi) = 3 + 2i ⇔ (3a − b) + (a − b)i = 3 + 2i ( 3a − b = 3 ⇔ a−b=2  1  a = 2 ⇔  b = − 3 . 2 Do đó S = a + b = −1.  Chọn đáp án B Câu 1392. Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)z = (1 + 2i) − (−2 + i). Mô-đun của z bằng √ √ A. 2. B. 1. C. 2. D. 10. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 354 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 3+i Ta có (1 + 2i)z = (1 + 2i) − (−2 + i) ⇔ (1 + 2i)z = 3 + i ⇔ z = = 1 − i. 1 + 2i √ Vậy |z| = 2.  Chọn đáp án C Câu 1393. Trong mặt phẳng phức, cho số phức z thỏa mãn |z − 1 + i| ≤ √ 2. Khẳng định nào sau đây đúng? A. |z + 1| ≤ √ B. |z + i| ≤ 2. √ C. |2z + 1 − i| ≤ 2. 2. √ D. |2z − 1 + i| ≤ 3 2. Lời giải. √ Ta có tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa |z − 1 + i| ≤ 2 là hình tròn (1) tâm I(1; −2) bán kính √ r = 2. Å ã √ 1 1 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa |2z − 1 + i| ≤ 3 2 là hình tròn (2) có tâm I1 ;− , r1 = 2 2 √ 3 2 . 2 Nhận thấy hình tròn (1) nằm trong hình tròn (2).  Chọn đáp án D Å Câu 1394. Tính số phức z = 1+i 1−i ã2018 1−i + 1+i Å B. −2. A. 2. ã2018 có kết quả là C. 2i. D. 1 + i. Lời giải. z = i2018 + (−i)2018 = −2.  Chọn đáp án B Câu 1395. Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1 , z2 6= 0 và z22 − 2z1 z2 + 2z12 = 0. Tính A. √ z2 = 3. z1 B. √ z2 = 2 2. z1 C. z2 1 = √ . z1 2 2 D. z2 . z1 √ z2 = 2. z1 Lời giải. z22 − 2z1 z2 + 2z12 Å =0⇔ z2 z1 ã2 Å z2 −2 z1 ã +2=0⇔ √ z2 z2 =1±i⇒ = 2. z1 z1  Chọn đáp án D Câu 1396. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z| = 1 và A. 6. B. 4. C. 10. z z + = 1? z z D. 8. Lời giải. • Giả sử z = x + yi với x, y ∈ R. Ta có |z| = 1 ⇔ x2 + y 2 = 1. |z 2 + z 2 | 1 z z • + =1⇔ = 1 ⇔ |z 2 + z 2 | = 1 ⇔ |2(x2 − y 2 )| = 1 ⇔ x2 − y 2 = ± . z z |z| · |z| 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 355 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 √  3 1 x = 2 , y = 2  √  3 1  x = ,y = −  2√ 2   x = − 3 , y = 1  2  √2    1 1 3 3  x 2 + y 2 = 1 x = − ,y = − x2 = , y 2 =  4 2 ⇔ 2 √ 2 ⇔ • Ta có  3 1  x 2 − y 2 = ± 1 x = 1 , y = 3 x2 = , y 2 = 2  4 4 2 2√   3 1  x = , y = −  2 √2   1 x = − , y = 3  2 2√   1 3 x = − ,y = − . 2 2 • Vậy có 8 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án D 1 = a + bi, a, b ∈ R. Khi đó (1 − i)9 −1 1 1 1 . B. a = 0; b = . C. a = ; b = 0. A. a = ; b = 32 32 32 32 Lời giải. Câu 1397. Giả sử D. a = b = 1 . 32 Ta có (1 − i)2 = 1 − 2i + i2 = −2i ⇒ (1 − i)4 = 4 ⇒ (1 − i)8 = 16. Khi đó 1 1 1+i = = . 9 (1 − i) 16(1 − i) 32 1 . 32 Chọn đáp án D Vậy a = b =  Câu 1398. Cho các số phức z thỏa mãn |z − 1| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số Ä √ ä phức w = 1 + 3i z + 2 là một đường tròn. Tính bán kính R của đường tròn đó. A. R = 4. B. R = 16. C. R = 8. D. R = 2. Lời giải. Ta có ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ √ w − 2 = (1 + 3i)z w−2 √ =z 1 + 3i w−2 √ −1=z−1 1 + 3i √ w − 3 − 3i √ = |z − 1| 1 + 3i √ √ |w − 3 − 3i| = |z − 1| · |1 + 3i| = 4. Từ đó suy ra bán kính R = 4.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 356 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1399. Cho số phức z, biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức z; iz và z + iz tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18. Tính mô-đun của số phức z. √ √ A. 2 3. B. 3 2. C. 6. D. 9. Lời giải. Giả sử z = a + bi, với a, b là số thực. Gọi M, N, P lần lượt là điểm biểu diễn số phức z, iz và z + iz. Khi đó M (a; b); N (−b; a); P (a − b; a + b). p √ Suy ra M N = 2 (a2 + b2 ); N P = P M = a2 + b2 . Suy ra tam giác M N P vuông cân tại P . √ 1 Ta có S∆M N P = 18 ⇔ · N P · P M = 18 ⇔ a2 + b2 = 36 ⇔ |z| = a2 + b2 = 6. 2 Chọn đáp án C  Câu 1400. Cho số phức z = a + bi (với a, b là số nguyên) thỏa mãn (1 − 3i)z là số thực và |z − 2 + 5i| = 1. Khi đó a + b bằng A. 9. B. 8. C. 7. D. 6. Lời giải. Ta có (1 − 3i)z = (a + 3b) + (b − 3a)i, z − 2 + 5i = (a − 2) + (5 − b)i. Theo bài ra ta có hệ phương trình   b = 3a ( ( (   a=2 b − 3a = 0 b = 3a 7 ⇒ ⇔ ⇔ (loại) a =   5 b = 6. (a − 2)2 + (5 − b)2 = 1 5a2 − 17a + 14 = 0    a=2 Vậy a + b = 8.  Chọn đáp án B Câu 1401. Tìm phần ảo của số phức z̄, biết z = B. −3. A. 3. (1 + i)3i . 1−i C. 0. D. −1. Lời giải. (1 + i)3i 3(−1 + i) = = −3 ⇒ z̄ = −3 + 0i. Vậy phần ảo của z̄ bằng 0. 1−i 1−i Chọn đáp án C Ta có z =  1 1 và z + . Biết z có z z 1 2 35 phần thực dương và diện tích hình bình hành bằng . Tìm giá trị nhỏ nhất của z + . 37 z 53 60 22 50 A. . B. . C. . D. . 20 37 9 27 Lời giải. 1 1 Gọi O, A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức 0, z, , z + . y z z A Khi đó, diện tích hình bình hành OACB là Câu 1402. Trong mặt phẳng phức, xét hình bình hành tạo bởi các điểm 0, z, S = OA · OB sin α = |z| · Suy ra, cos α = ± 1 35 35 sin α = ⇔ sin α = . z 37 37 p 12 1 − sin2 α = ± . 37 C x O B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 357 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Áp dụng định lý cô-sin trong tam giác OAC, ta có 1 z+ z 2 = OC 2 = OA2 + OB 2 − 2OA · OB cos α = |z|2 + 1 z 2 − 2 |z| 1 cos α > 2 − 2 cos α. z 1 2 12 12 50 >2−2· thì z + = . 37 z 37 37 2 1 12 98 12 >2+2· thì z + = . Nếu cos α = − 37 z 37 37 2 1 50 12 nhỏ nhất bằng Suy ra, z + khi |z| = 1 và cos α = . z 37 37 Chọn đáp án D Nếu cos α =  Câu 1403. Trong tập các số phức, cho phương trình z 2 − 4z + (m − 2)2 = 0, m ∈ R (1). Gọi m0 là một giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn |z1 | = |z2 |. Hỏi trong đoạn [0; 2018] có bao nhiêu giá trị nguyên của m0 ? A. 2019. B. 2015. C. 2014. D. 2018. Lời giải. ∆0 = 4 − (m − 2)2 = 4m − m2 . Nếu ∆0 > 0 ⇔ 0 < m(< 4 thì phương trình (1) luôn có 2 nghiệm thực phân biệt z1 , z2 . z1 = z2 (Điều này không xảy ra). Khi đó |z1 | = |z2 | ⇔ z1 = −z2 ⇔ z1 + z2 = 0. ( m>4 Nếu ∆0 < 0 ⇔ thì phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phức phân biệt z1 , z2 . m<0 √ √ z1 = 2 + m2 − 4m.i và z2 = 2 − m2 − 4m.i √ ⇒ |z( 4 + m2 − 4m = |m − 2|. 1 | = |z2 | = m>4 Vậy thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn điều kiên bài toán. m<0 Kết hợp điều kiện suy ra 4 < m ≤ 2018, suy ra có 2014 số m0 nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án C Câu 1404. Tính tổng S = 1 + i3 + i6 + · · · + i2016 . A. S = 1. B. S = −1. C. S = i. D. S = −i. Lời giải. Ta có 1, i3 , i6 , . . . , i2016 là một cấp số nhân có 673 số hạng với u1 = 1 và q = i3 nên S= 1 − (i3 )673 1 − i3 · (−i)672 1 − i3 = = = 1. 1 − i3 1+i 1+i  Chọn đáp án A 1 − (1 − i)33 Câu 1405. Phần ảo của số phức z = + (1 − 2i) là 1−i 5 5 3 3 A. . B. i. C. − i. D. − . 2 2 2 2 Lời giải. 3 5 3 5 3 5 1 − (1 − i)32 + 1 + 2i = + i − (1 − i)32 = + i − (−2i)16 = + i − (−4)8 . z= 1−i 2 2 2 2 2 2 5 Vậy phần ảo của số phức z là . 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 358 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án A Câu 1406. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho số phức z thỏa mãn |z − 1 + 2i| = 3. Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w = z(1 + i) là đường tròn nào dưới đây? √ B. Tâm I(−3; 1), R = 3. A. Tâm I(3; −1), R = 3 2. √ C. Tâm I(−3; 1), R = 3 2. D. Tâm I(3; −1), R = 3. Lời giải. w . Thay z vào điều kiện |z − 1 + 2i| = 3, ta được Ta có w = z(1 + i) ⇔ z = 1+i w − 1 + 2i = 3 ⇔ 1+i 1 · |w − 3 + i| = 3 1+i √ ⇔ |w − 3 + i| = 3 2. Giả sử số phức w = x + yi, x, y ∈ R. Ta được √ (x − 3)2 + (y + 1)2 = (3 2)2 . √ Vậy tập hợp của số phức w là đường tròn tâm I(3; −1), bán kính R = 3 2.  Chọn đáp án A Câu 1407. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn (1 − i)z + (2 − i)2 = 5 − 4i là A. M (1; 1). C. M (1; −1). B. M (1; 2). D. M (−1; 1). Lời giải. 5 − 4i − (2 − i)2 = 1 + i ⇒ M = (1; 1). 1−i Chọn đáp án A Ta có z =  Câu 1408. Cho i + 2i2 + 3i3 + · · · + 2018i2018 = a + bi với a, b ∈ R và i là đơn vị ảo. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a = −1010. B. a = −1009. C. a = 1010. D. a = 1009. Lời giải. Xét hàm số f (x) = 1 + x + x2 + x3 + · · · + x2018 . f 0 (x) = 1 + 2x + 3x2 + · · · + 2018x2017 . ⇒ xf 0 (x) = x + 2x2 + 3x3 + · · · + 2018x2018 (1) 2019 x − 1 Mặt khác: f (x) = 1 + x + x2 + x3 + · · · + x2018 = . x−1 Å 2019 ã0 x −1 2019x2018 (x − 1) − (x2019 − 1) f 0 (x) = = . x−1 (x − 1)2 2019x2018 (x − 1) − (x2019 − 1) ⇒ xf 0 (x) = x (2) (x − 1)2 2019x2018 (x − 1) − (x2019 − 1) Từ (1) và (2) ⇒ x + 2x2 + 3x3 + · · · + 2018x2018 = x (x − 1)2 Thay x = i vào (3) ta được i + 2i2 + 3i3 + · · · + 2018i2018 = i. (3) 2019i2018 (i − 1) − (i2019 − 1) = −1010 + 1009i. (i − 1)2 Vậy a = −1010.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 359 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ä √ ä Câu 1409. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (H) là tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 1 + 3i z+ 2 thỏa mãn |z − 1| ≤ 2. Tính diện tích của hình (H). A. 8π. B. 18π. C. 16π. D. 4π. Lời giải. Ä Ä √ √ √ ä √ ä Ta có w = 1 + 3i (z − 1) + 3 + 3i ⇔ w − 3 − 3i = 1 + 3i (z − 1) , √ √ Lấy mô-đun 2 vế, ta được |w − 3 − 3i| = |1 + 3i| · |z − 1| ≤ 2 · 2 = 4. Do đó, (H) là hình tròn bán kính 4 nên diện tích hình (H) bằng 16π.  Chọn đáp án C Câu 1410. Cho z và w là hai số phức liên hợp thỏa mãn √ z là số thực và |z − w| = 2 3. Mệnh đề 2 w nào sau đây là đúng? A. |z| < 1. B. 3 < |z| < 4. C. |z| > 4. D. 1 < |z| < 3. Lời giải. Từ giả thiết ta có z = w, z = w và |z| = |w|. Từ |z − w| = 2 ⇔ (z − w)(z − w) = 4 ⇔ |z|2 + |w|2 − zw − zw = 4 ⇔ 2|z|2 − z 2 − z 2 = 4 z z z z z w Do 2 là số thực nên 2 = 2 = 2 . Từ đó suy ra 2 = 2 , hay w w w w z w (∗). z 3 = w3 ⇔ (z − w)(z 2 − zw + w2 ) = 0. Vậy z 2 + w2 = zw = |z|2 . Thay vào (∗) ta có |z|2 = 4 ⇔ |z| = 2.  Chọn đáp án D Câu 1411. Tìm phần ảo của số phức z = 2017 − 2018i. A. −2018. B. 2017. C. 2018. D. −2018i. Lời giải. Phần ảo của z = 2017 − 2018i là −2008.  Chọn đáp án A Ä Câu 1412. Cho số phức z thỏa mãn z = √ A. 8 2. B. 8. 1+ √ ä3 3i 1+i . Tính mô-đun của số phức z − iz. D. −8. C. 16. Lời giải. √ Ta có z = −4 + 4i, suy ra z = −4 − 4i. Vậy |z − iz| = | − 8 + 8i| = 8 2.  Chọn đáp án A Câu 1413. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thoả mãn (1 − 3i)z + (2 + 3i)z = 12 − i. Tính P = a2 − b 3 . A. −3. B. −1. C. 1. D. 3. Lời giải. Ta có 12 − i = (1 − 3i)z + (2 + 3i)z = (1 − 3i)(a + bi) + (2 + 3i)(a − bi) = (3a + 6b) − bi. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 360 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Do đó ( 3a + 6b = 12 b=1 ⇒ ( a=2 b = 1. Vậy P = a2 − b3 = 3.  Chọn đáp án D Câu 1414. Cho hai số phức z1 = 1 + 2i, z2 = 3 − i. Tìm số phức z = A. z = 1 7 + i. 10 10 B. z = 1 7 + i. 5 5 C. z = z2 . z1 1 7 − i. 5 5 D. z = − 1 7 + i. 10 10 Lời giải. Ta có z = z2 · z1 (3 − i)(1 − 2i) 1 − 7i 1 7 z2 = = = = − i. z1 z1 · z1 (1 + 2i)(1 − 2i) 5 5 5  Chọn đáp án C Câu 1415. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (H) là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn các z 16 số phức z thỏa mãn và có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn [0; 1]. Tính diện tích S của 16 z (H). A. S = 256. C. S = 16(4 − π). B. S = 64π. D. S = 32(6 − π). Lời giải. Giả sử số phức z = a + bi với a, b ∈ R. z có phần thực và phần ảo thuộc [0; 1] nên 0 ≤ a; b ≤ 16. Vì 16 16 16a 16b Vì có phần thực và phần ảo thuộc [0; 1] nên 0 ≤ 2 ; 2 ≤ 1. 2 z a + b a + b2 ( ( 16a ≤ a2 + b2 (a − 4)2 + b2 ≥ 0 Từ đây ta rút ra hệ thức: hay . 16b ≤ a2 + b2 a2 + (b − 4)2 ≥ 0 16 H 8 Suy ra, miền (H), miền biểu diễn số phức z là miền mà sau khi lấy hình vuông bỏ đi hai nửa hình tròn như hình vẽ bên. 1 Ta có SH = 16 · 16 − 8 · 8 − · 64π = 192 − 32π = 32(6 − π). 2  Chọn đáp án D x2 2 chia hình tròn thành hai phần. Gọi S1 là diện tích phần nhỏ, S2 là diện tích phần lớn. Tính tỉ số S1 ? S2 S1 3π + 2 S1 3π + 2 S1 3π − 2 S1 3π + 1 A. = . B. = . C. = . D. = . S2 9π − 2 S2 9π + 2 S2 9π + 2 S2 9π − 1 Câu 1416. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình tròn (C) : x2 + y 2 = 8 và parabol (P ) : y = Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 361 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  2 (  y = x y=2 2 Xét hệ phương trình ⇔ .  x = ±2 x 2 + y 2 = 8 y Phương trình nửa đường tròn phía trên Ox là y = Z2 Å√ ã x2 2 Khi đó S1 = dx. 8−x − 2 y= √ x2 2 8 − x2 . −2 −2 O 2 x Trong đó π Z2 √ Z4 » √ 8 − x2 dx = 8(1 − sin2 t) · 2 2 cos t dt −2 π 4 π Z4 − π Z4 = 8 − cos2 t dt = 4 π 4 − (1 + cos 2t) dt = 2π + 4. π 4 √ 4 8 Khi đó S1 = 2π + 4 − = 2π + . Hình tròn có bán kính R = 8 nên có diện tích là 8π. 3 Å 3 ã 4 S1 3π + 2 4 = 6π − . Vậy = . Do đó S2 = 8π − 2π + 3 3 S2 9π − 2 Chọn đáp án A  Câu 1417. Tìm tọa độ điểm M là điểm biểu diễn số phức z biết z thỏa mãn phương trình (1 + i)z̄ = 3 − 5i. A. M (−1; 4). B. M (−1; −4). C. M (1; 4). D. M (1; −4). Lời giải. 3 − 5i = −1 − 4i ⇒ z = −1 + 4i ⇒ M (−1; 4). 1+i Chọn đáp án A  √ 3+i Câu 1418. Phần thực và phần ảo của số phức z = lần lượt bằng bao nhiêu? 1− √ √ √i √ √ √ √ √ 3−1 3+1 3−1 3+1 A. 3 − 1 và 3 + 1. B. và . C. và 3 + 1. D. 3 − 1 và . 2 2 2 2 Lời giải. Ta có z̄ = Ta có √ √ 1+ 3 + i. 2 √ √ 3−1 3+1 Dó đó phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt bằng và . 2 2 Chọn đáp án B 3+i −1 + z= = 1−i 2 √ 3  Câu 1419. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều z kiện = 3 là z−1 9 9 A. Đường tròn x2 + y 2 − x − = 0. 4 8 9 9 2 2 B. Đường tròn x + y − x + = 0. 4 8 9 9 2 2 C. Đường tròn x + y + x + = 0. Å 4ã 8 9 1 D. Đường tròn tâm I 0; và bán kính R = . 8 8 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 362 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Giả sử z = x + yi (x, y ∈ R). Ta có z =3 z−1 ⇔ |z| = 3|z − 1| ⇔ x2 + y 2 = 9(x − 1)2 + 9y 2 ⇔ 8x2 + 8y 2 − 18x + 9 = 0 9 9 ⇔ x2 + y 2 − x + = 0. 4 8  Chọn đáp án B Câu 1420. Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z + w = z + 1 − 2i. A. 7. B. √ 7. 2(1 + 2i) = 7 + 8i. Tính mô-đun của số phức 1+i C. 25. D. 4. Lời giải. Ta có (2 + i)z + 2(1 + 2i) = 7 + 8i ⇔ (2 + i)z + 3 + i = 7 + 8i 1+i ⇔ (2 + i)z = 4 + 7i 4 + 7i ⇔z= = 3 + 2i. 2+i Suy ra w = z + 1 − 2i = 3 + 2i + 1 − 2i = 4 ⇒ |w| = 4.  Chọn đáp án D Câu 1421. Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)z = 8 + i. Số phức liên hợp z̄ của z là A. z̄ = −2 − 3i. B. z̄ = −2 + 3i. C. z̄ = 2 + 3i. D. z̄ = 2 − 3i. Lời giải. Ta có (1 + 2i)z = 8 + i ⇔ z = 8+i = 2 − 3i ⇒ z̄ = 2 + 3i. 1 + 2i  Chọn đáp án C 3 Câu 1422. Tìm phần ảo của số phức z = . i A. −1. B. 1. C. −3. D. 3. Lời giải. 3 −3i ⇔z= = −3i. Phần ảo của z bằng −3. i −i2 Chọn đáp án C 2 Câu 1423. Số phức liên hợp của số phức z = là số phức nào trong các số phức dưới đây? 1+i −2 −2 A. . B. 1 − i. C. . D. 1 + i. 1−i 1+i Lời giải. 2 2(1 − i) Ta có z = = = 1 − i. Suy ra z̄ = 1 + i. 1+i (1 + i)(1 − i) Chọn đáp án D Ta có z = Câu 1424. Tổng phần thực và phần ảo của số phức z = Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 363   1 + 5i bằng 2i https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. 3. Chương 3-Giải tích 12 B. −2. D. −3. C. 2. Lời giải. Đặt z = a + bi, với a, b ∈ R. 1 + 5i 5 1 Ta có z = = − i. 2i 2 2 1 5 Suy ra a = , b = − . 2 2 Vậy a + b = 2.  Chọn đáp án C z Câu 1425. Cho số phức z = 2 + 3i, khi đó bằng z −5 − 12i −5 + 12i 5 − 12i . B. . C. . A. 13 13 13 Lời giải. z 2 + 3i (2 + 3i)2 4 + 12i + 9i2 −5 + 12i Ta có = = = = 2 z 2 − 3i (2 + 3i) (2 − 3i) 4 − 9i 13 Chọn đáp án C Câu 1426. √ Tính mô-đun của số phức√thoả mãn: z (2 − i) + 13i = 1. 5 34 34 . B. |z| = . C. |z| = 34. A. |z| = 3 2 Lời giải. 1 − 13i = 3 − 5i. Ta có: z (2 − i) + 13i = 1 ⇔ z = p √ 2−i Khi đó |z| = 32 + (−5)2 = 34. D. 5 − 6i . 11  D. |z| = √ 34.  Chọn đáp án D 3 + 4i i2019 B. z = −4 + 3i. Câu 1427. Tìm số phức z biết z = A. z = 4 − 3i. C. z = 3 − 4i. D. z = 3 + 4i. Lời giải. 1009 Ta có: i2019 = i · i2018 = i · (i2 ) = i · (−1)1009 = −i. 3 + 4i 3 + 4i KHi đó: z = 2019 = = −4 + 3i. i −i Chọn đáp án B  2 − 3i Câu 1428. Số phức z = có mô-đun bằng 1+i √ √ √ 26 A. |z| = . B. |z| = 3 26. C. |z| = 2 26. 3 Lời giải. Å ã2 Å ã2 √ 2 − 3i 1 5 1 5 26 Ta có z = = − − i. Khi đó, |z| = − + − = . 1+i 2 2 2 2 2 Chọn đáp án D √ 26 D. |z| = . 2  z + 2i Câu 1429. Cho số phức z = 1 + i. Tính mô-đun của số phức w = . z−1 √ √ A. |w| = 2. B. |w| = 3. C. |w| = 1. D. |w| = 2. Lời giải. √ 1 − i + 2i w= = 1 + i ⇒ |w| = 2. 1+i−i Chọn đáp án A  Câu 1430. Tìm phần thực và ảo của số phức z = A. Phần thực bằng 2; phần ảo bằng −4i. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 364 3−i 2+i + . 1+i i B. Phần thực bằng 2; phần ảo bằng −4. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 D. Phần thực bằng −2; phần ảo bằng 4. C. Phần thực bằng 2; phần ảo bằng 4i. Lời giải. 2 + 6i (3 − i)i + (2 + i)(1 + i) = = 2 − 4i. z= (1 + i)i −1 + i Chọn đáp án B  Câu 1431. Tìm số phức z thỏa mãn (3 + i)z + (1 + 2i)z = 3 − 4i. A. z = 2 + 5i. Lời giải. C. z = −1 + 5i. B. z = 2 + 3i. D. z = −2 + 3i. Gọi z = x + yi,(x, y ∈ R) (3 + i)z + (1 + 2i)z = 3 − 4i ⇔ (3 + i)(x − yi) + (1 + 2i)(x + yi) = 3 − 4i ⇔ 4x − y + (3x − 2y)i = 3 − 4i ( 4x − y = 3 ⇔ 3x − 2y = −4 ( x=2 ⇔ y=5 ⇒ z = 2 + 5i.  Chọn đáp án A Câu 1432. Cho số phức z thỏa mãn |z − 2i| = |z + 2|. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z + 2i| + |z − 5 + 9i|. √ A. 70. Lời giải. √ B. 4 5. C. √ √ D. 3 10. 74. Gọi z = x + yi,(x, y ∈ R) y |z − 2i| = |z + 2| ⇔ |(x + yi) − 2i| = |x + yi + 2| O ⇔ x2 + (y − 2)2 = (x + 2)2 + y 2 −1 ⇔ x + y = 0. 1 A0 2 x 3 4 −2 A P = |z + 2i| + |z − 5 + 9i| = |z − (−2i)| + |z − (5 − 9i)|. −3 M Xét A(0; −2), B(5; −9). Bài toán trở thành cho điểm M (x; y) thuộc đường thẳng x + y = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng M A + M B. Gọi A0 là điểm đối xứng của A qua đường thẳng x + y = 0 ⇒ √ # » A0 (2; 0) ⇒ A0 B = (3; −9) ⇒ A0 B = 3 10. M A + M B = M A0 + M B ≥ A0 B. √ Vây giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 10. −9 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 365 B https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án D Câu 1433. Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z = 9 − 8i. Mô-đun của số phức w = z + 1 + i bằng A. 3. B. 5. C. 6. D. 4. Lời giải. Ta có (2 + i)z = 9 − 8i ⇔ z = 9 − 8i = 2 − 5i. 2+i Do đó w = z + 1 + i = 3 − 4i. p Vậy |w| = 32 + (−4)2 = 5.  Chọn đáp án B Câu 1434. Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z + 3i| = A. 0. B. 1. √ 13 và C. 2. z là số thuần ảo? z+2 D. Vô số. Lời giải. Gọi z = a + bi với a, b ∈ R. √ |z + 3i| = 13 ⇔ a2 + (b + 3)2 = 13 (1). z a + bi (a + bi)(a + 2 − bi) a2 + 2a + b2 + 2bi w= = = = z+2 a + 2 + bi (a + 2)2 + b2 (a + 2)2 + b2 2 2 w là số thuần ảo ⇔ a + 2a + b = 0 (2). (z 6= −2). Lấy (1) − (2) ta được 6a − 2b = 4 ⇔ a = 3b − 2.  b=0 2  Thay a = 3b − 2 vào (1) ta được 10b − 6b = 0 ⇔ 3 b= . 5 b = 0 ⇒ a = −2 ⇒ z = −2 (loại). 3 1 1 3 b = ⇒ a = − ⇒ z = − + i (nhận). 5 5 5 5 Vậy có 1 số phức thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án B  Câu 1435. Tính môđun của số phức√z thỏa mãn (1 + i)z + 3 = −2i. √ √ 5 26 B. |z| = . C. |z| = 26. A. |z| = . D. |z| = 13. 2 2 Lời giải. √ √ | − 3 − 2i| 13 26 Ta có (1 + i)z = −3 − 2i, suy ra |(1 + i)z| = | − 3 − 2i|, hay |z| = = √ = . |1 + i| 2 2 Chọn đáp án B  Câu 1436. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn z−1 z − 3i = 1 và = 1. Tính z−i z+i P = a + b. B. P = −1. A. P = 7. C. P = 1. D. P = 2. Lời giải. Từ giả thiết ta có ( |z − 1| = |z − i| |z − 3i| = |z + i| ⇔ ( (a − 1)2 + b2 = a2 + (b − 1)2 a2 + (b − 3)2 = a2 + (b + 1)2 ⇔ ( a=b ⇔ a = b = 1. b=1 Vậy P = 1 + 1 = 2.  Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 366 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1437. Cho số phức z thỏa 2z + 3z = 10 + i. Tính |z|. A. |z| = 1. B. |z| = 3. C. |z| = √ 3. D. |z| = √ 5. Lời giải. Gọi z = a + bi với a, b ∈ R. Khi đó từ giả thiết ta suy ra ⇔ 2(a + bi) + 3(a − bi) = 10 + i ( 2a + 3a = 10 2b − 3b = 1 ( a=2 ⇔ . b = −1 Do đó |z| = √ 5.  Chọn đáp án D Câu 1438. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z = x+yi với x, y ∈ R thỏa mãn (12 − 5i)z + 17 + 7i = z−2−i 13 có phương trình nào sau đây? A. (d) : 6x + 4y − 3 = 0. C. (C) : x2 + y 2 − 2x + 2y + 1 = 0. B. (d) : x + 2y − 1 = 0. D. (C) : x2 + y 2 − 4x + 2y + 4 = 0. Lời giải. (12 − 5i)z + 17 + 7i = 13 z−2−i ⇔ |12 − 5i||z + 1 + i| = 13|z − 2 − i| ⇔ |z + 1 + i| = |z − 2 − i| ⇔ 6x + 4y − 3 = 0.  Chọn đáp án A Câu 1439. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R, a > 0) thỏa zz − 12|z| + (z − z) = 13 − 10i. Tính S = a + b. A. S = −17. B. S = 5. C. S = 7. D. S = 17. Lời giải. Từ zz − 12|z| + (z − z) = 13 − 10i lấy liên hợp hai vế ta được zz − 12|z| + (z − z) = 13 + 10i (∗). Khi đó 2|z|2 − 24|z| − 26 = 0 ⇒ |z| = 13. Từ (*) ta có z − z = −10i ⇒ b = −5 ⇒ a = 12 ⇒ S = 7. Chọn đáp án C  Câu 1440. Tìm số phức liên hợp của số phức z thỏa (−7 + 6i)z = 1 − 2i. 19 8 19 8 19 8 19 8 A. z = − + i. B. z = − − i. C. z = − i. D. z = + i. 85 85 85 85 85 85 85 85 Lời giải. 1 − 2i −19 + 8i −19 8 −19 8 Ta có (−7 + 6i)z = 1 − 2i ⇔ z = = = + i. Vậy z = − i. −7 + 6i 85 85 85 85 85 Chọn đáp án B  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 367 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 1 Câu 1441. Cho z = 1 + 3i. Tính . z 1 3 1 3 A. + i. B. i− . 10 10 10 10 Lời giải. C. 1 3 − i. 10 10 D. − 1 3 − i. 10 10 1 − 3i 1 − 3i 1 3 z 1 = = = = − i. z z·z (1 + 3i)(1 − 3i) 10 10 10  Chọn đáp án C Câu 1442. Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) thỏa mãn (1 + i)z + 2z = 3 + 2i. Tính S = a + b. 1 1 A. S = − . B. S = 1. C. S = . D. S = −1. 2 2 Lời giải. Ta có (1 + i)z + 2z = 3 + 2i ⇔ (1 + i)(a + bi) + 2(a − bi) = 3 + 2i ⇔ (a − b) + (a + b)i + 2a − 2bi = 3 + 2i ⇔ 3a − b + (a − b)i = 3 + 2i ( 3a − b = 3 ⇔ a−b=2  1  a = 2 ⇔  b = − 3 2 Vậy T = a + b = −1.  Chọn đáp án D Câu 1443. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 5 và |z + 3| = |z + 3 − 10i|. Tìm số phức w = z−4+3i. A. w = −1 + 7i. B. w = −3 + 8i. C. w = 1 + 3i. D. w = −4 + 8i. Lời giải. Giả sử z = a + bi(a, b ∈ R). Từ |z| = 5 ⇔ |a + bi| = 5 ⇔ a2 + b2 = 25 |z + 3| = |z + 3 − 10i| ⇔ |a + bi + 3| = |a + bi + 3 − 10i| ⇔ (a + 3)2 + b2 = (a + 3)2 + (b − 10)2 ⇔ b = 5. ( 2 a + b2 = 25 ( a=0 ⇔ b=5 b = 5. Vậy w = 5i − 4 + 3i = 5i − 4 + 3i = −4 + 8i. Từ  Chọn đáp án D Câu 1444. Cho số phức z1 = a−2i, z2 = 1+bi. Tìm phần ảo của số phức z, biết z1 z+z2 z = 1+i. a+b−1 a−b+3 b−a−3 1−a−b A. . 2 2 . B. 2 2 . C. 2 2 . D. (a + 1) + (b − 2) (a + 1) + (b − 2) (a + 1) + (b − 2) (a + 1)2 + (b − 2)2 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 368 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có z = = = = ⇒z = Vậy phần ảo của số phức z là 1+i 1+i = z1 + z2 a + 1 + (b − 2)i (1 + i) [a + 1 − (b − 2)i] (a + 1)2 + (b − 2)2 a + 1 + b − 2 + (a + 1 − b + 2)i (a + 1)2 + (b − 2)2 a + b − 1 + (a − b + 3)i (a + 1)2 + (b − 2)2 a + b − 1 − (a − b + 3)i . (a + 1)2 + (b − 2)2 b−a−3 . (a + 1)2 + (b − 2)2  Chọn đáp án C 2+i Câu 1445. Số phức z = bằng 4 + 3i 2 11 2 11 2 11 − i. B. + i. C. + i. A. 25 25 5 5 25 25 Lời giải. 2+i (2 + i)(4 − 3i) 11 − 2i 11 2 Có z = = = = − i. 2 2 4 + 3i 4 +3 25 25 25 Chọn đáp án A D. 11 2 − i. 5 5  Câu 1446. Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn z + 2z = (2 − i)3 (1 − i). A. −9. B. 9. D. −13. C. 13. Lời giải. Đặt z = x + yi, với x, y ∈ R. z + 2z = (2 − i)3 (1 − i) ⇔ x + yi + 2(x − yi) = (2 − 11i)(1 − i) ( ( 3x = −9 x = −3 ⇔ 3x − yi = −9 − 13i ⇔ ⇔ − y = −13 y = 13. Vậy phần ảo của số phức z là 13.  Chọn đáp án C z Câu 1447. Số phức z thỏa + (2 − 3i) = 5 − 2i. Mô-đun của z bằng 4 − 3i √ √ √ A. |z| = 10 2. B. |z| = 10. C. |z| = 250. D. |z| = 5 10. Lời giải. Ta có z z + (2 − 3i) = 5 − 2i ⇔ =3+i 4 − 3i 4 − 3i ⇔ z = (3 + i)(4 − 3i) ⇔ z = 15 − 5i ⇔ z = 15 + 5i. √ √ Vậy mô-đun của số phức z là |z| = 152 + 52 = 5 10.  Chọn đáp án D Câu 1448. Cho hai số phức z = a + bi và z 0 = a0 + b0 i (z 0 6= 0, a, a0 , b, b0 ∈ R). Số phức z có phần z0 thực là Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 369 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 aa0 + bb0 aa0 + bb0 2bb0 . C. . . B. a2 + b 2 a0 2 + b 0 2 a0 2 + b 0 2 Lời giải. aa0 + bb0 a0 b − ab0 z (a + bi)(a0 − b0 i) a + bi = 02 + 02 i. = = 0 z0 a + b0 i a0 2 + b 0 2 a + b0 2 a + b0 2 Chọn đáp án C A. D. a + a0 . a2 + b 2  2(z + i) a |z|2 +2iz + = 0. Khi đó bằng Câu 1449. Cho số phức z = a+bi, (a, b ∈ R) thỏa mãn z 1−i b 3 3 A. 5. B. − . C. . D. −5. 5 5 Lời giải. Thay |z|2 = zz vào biểu thức ở đề bài ta có 2(z + i) 2(z + i)(1 + i) zz + 2iz + = 0 ⇔ z + 2iz + =0 z 1−i (1 − i)(1 + i) ⇔ z + 2iz + (1 + i)z + i − 1 = 0 ⇔ z + z + 3iz + i − 1 = 0 ⇔ 2a + 3i(a + bi) + i − 1 = 0 ⇔ 2a − 3b − 1 + i(3a + 1) = 0 ( 2a − 3b − 1 = 0 ⇔ 3a + 1 = 0  1  a = − 3 ⇔ 5  b = − . 9 −1 a 3 = 35 = . b 5 −9 Chọn đáp án C Vậy  Câu 1450. Tìm giá trị lớn nhất của |z| biết rằng z thỏa mãn điều kiện √ A. 2. B. 3. C. 2. −2 − 3i z + 1 = 1. 3 − 2i D. 1. Lời giải. Ta có −2 − 3i 1 z + 1 = 1 ⇔ | − iz + 1| = 1 ⇔ | − i| · z − =1 3 − 2i i ⇔ |z + i| = 1. 1 −1 1 x 0 Gọi z = x + yi (với x, y ∈ R) ⇒ M (x; y) nằm trên đường tròn tâm I(0; −1), bán kính bằng 1 ⇒ giá trị lớn nhất của |z| là 2. y −1 I −2  Chọn đáp án A Câu 1451. Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z = 2 + 11i. Tính giá trị của biểu thức A = |z| + |z|. √ √ A. 5. B. 10. C. 10. D. 5. Lời giải. 2 + 11i = 3 + 4i ⇒ z = 3 − 4i. 2+i Giá trị biểu thức A = |z| + |z| = 5 + 5 = 10. (2 + i)z = 2 + 11i ⇔ z = Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 370 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án C Câu 1452. Tìm số phức z thỏa mãn (3 − 2i)z − 2 = z + 18i. A. z = −4 + 5i. C. z = 4 − 5i. B. z = 4 + 5i. D. z = −4 − 5i. Lời giải. Ta có (3 − 2i)z − 2 = z + 18i ⇔ z = 2 + 18i = −4 + 5i. 2 − 2i  Chọn đáp án A Câu 1453. Cho số phức z thỏa mãn |z| + z + 5i = 25. Khi đó mô-đun z bằng A. 12. B. 10. C. 11. D. 13. Lời giải. Gọi z = x + yi (x; y ∈ R). p |z| + z + 5i = 25 ⇔ x2 + y 2 + x + yi + 5i = 25   ( (√ (p x2 + 25 = (25 − x)2   2 2 2 x + y + x = 25 x + 25 = 25 − x x = 12 ⇔ ⇔ ⇔ x ≤ 25 . ⇔  y+5=0 y = −5 y = −5   y = −5 p 2 2 Vậy z = 12 − 5i ⇒ |z| = 12 + (−5) = 13.  Chọn đáp án D Câu 1454. Xét số phức z thỏa mãn |z + 1 − 3i| = 5. Khi đó, tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có A. tâm I (1; −3), bán kính R = 25. B. tâm I (−1; 3), bán kính R = 25. D. tâm I (1; −3), bán kính R = 5. C. tâm I (−1; 3), bán kính R = 5. Lời giải. Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi (x; y ∈ R). |z + 1 − 3i| = 5 ⇔ |(x + 1) + (y − 3)i| = 5 ⇔ (x + 1)2 + (y − 3)2 = 52 . Vậy tập hơp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I (−1; 3), bán kính R = 5. Chọn đáp án C  13 Câu 1455. Cho số phức z = 2 − 3i. Tìm mô-đun của số phức w = z̄ + . z √ √ √ A. 10. B. 2 5. C. 4. D. 2 13. Lời giải. Ta có: w = 2 + 3i + √ √ 13 = 4 + 6i. Vậy |z| = 42 + 62 = 2 13. 2 − 3i  Chọn đáp án D Câu 1456. Tìm số phức liên hợp của số phức z = A. z = 13 . 12 − 5i B. z = 12 5 − i. 13 13 13 . 12 + 5i C. z = 13 13 + i. 12 5 D. z = 13 13 − i. 12 5 Lời giải. 13 12 5 12 5 = − i⇒z= + i. 12 + 5i 13 13 13 13 Chọn đáp án A Ta có z =  Câu 1457. Số phức z = (1 + i) + (1 + i)2 + · · · + (1 + i)2018 có phần ảo bằng A. 21009 − 1. B. 21009 + 1. C. 1 − 21009 . D. −21009 − 1. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 371 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có z = (1 + i) + (1 + i)2 + · · · + (1 + i)2018 = (1 + i) (1 + i)2018 − 1 (1 + i)2019 − 1 − i = . (1 + i) − 1 i (1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 2i ⇒ (1 + i)4 = (2i)2 = −22 ⇒ (1 + i)2019 = (1 + i)4·504+3 = (1 + i)4·504 × (1 + i)2 × (1 + i) = 21009 · i · (1 + i). 1 ⇒ z = 21009 (1 + i) − − 1 = 21009 (1 + i) + i − 1 = (21009 − 1) + (21009 + 1)i. i Vậy phần ảo của z bằng 21009 + 1. Chọn đáp án B  Câu 1458. Cho số phức z = a + bi với a, b ∈ R thỏa mãn |z|(2 + i) = z − 1 + i(2z + 3). Tính S = 3a + 5b. A. S = −11. B. S = −5. C. S = −1. D. S = 1. Lời giải. ta có √ a2 + b2 (2 + i) = a + bi − 1 + (2a + 2bi + 3)i √ √ ⇔ 2 a2 + b2 + a2 + b2 i = a − 2b − 1 + (2a + b + 3)i. |z|(2 + i) = z − 1 + i(2z + 3) ⇔ ( √ a − 2b − 1 = 2 a2 + b2 Từ đó suy ra √ 2a + b + 3 = a2 + b2 . Giải hệ ta được a = 3 và b = −4, từ đó suy ra S = 3a + 5b = −11. Chọn đáp án A  Câu 1459. Tìm phần ảo của số phức z biết z thỏa mãn |z − 2i| = |z + 2 + 4i| và ảo. 5 . 12 Lời giải. A. B. 5 . 2 C. − 3 . 17 z−i là số thuần z+i 3 D. − . 2 Giả sử z = a + bi ⇒ z = a − bi với a, b ∈ R. Ta có |z − 2i| = |z + 2 + 4i| ⇔ a2 + (b − 2)2 = (a + 2)2 + (4 − b)2 ⇔ b − a = 4 ⇔ b = a + 4. a + (b − 1) i [a + (b − 1) i]2 a2 − (b − 1)2 + 2a (b − 1)2 z−i Đồng thời = = = z+i a + (1 − b) i a2 + (b − 1)2 a2 + (b − 1)2 i z−i Khi đó số phức là số thuần ảo khi a2 − (b − 1)2 = 0, thay b = a + 4 vào ta được z+i 3 5 2 2 a − (a + 3) = 0 ⇔ a = − ⇒ b = . 2 2 Chọn đáp án B  Câu 1460. Số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) là nghiệm của phương trình (1 + 2i)z − 8 − i = 0. Tính S = a + b. A. S = −1. C. S = −5. B. S = 1. D. S = 5. Lời giải. 8+i (8 + i)(1 − 2i) 10 − 15i Vì (1 + 2i)z − 8 − i = 0 ⇔ z = = = = 2 − 3i nên 1 + 2i 1+4 5 ( a=2 b = −3. . Vậy S = a + b = −1. Chọn đáp án A Câu 1461. Cho số phức z thoả mãn z − |z| = √  2. Biết rằng phần thực của z bằng a. Tính |z| theo a. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 372 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 1 A. |z| = . a−1 Lời giải. B. |z| = a− Chương 3-Giải tích 12 √ a2 + 1 . 2 C.