PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðẠI SỐ

Giới thiệu PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðẠI SỐ

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðẠI SỐ.

Tài liệu môn Toán và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðẠI SỐ

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán học sinh giỏi tại đây

Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðẠI SỐ I. PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0. * Các bước giải và biện luận: i) a = 0 = b : Mọi x là nghiệm a = 0 ≠ b : Vô nghiệm ii) a ≠ 0 : Phương trình gọi là phương trình bậc nhất, có nghiệm duy nhất: x = − b a * Nhận xét: Phương trình ax + b = 0 có hơn một nghiệm khi và chỉ khi mọi x là nghiệm, khi và chỉ khi a = b = 0. * Các phương trình chuyển về phương trình ax + b = 0 : 1. Phương trình có ẩn ở mẫu: PP Giải: ðặt ðK mẫu thức khác không. Quy ñồng, bỏ mẫu. Giải phương trình. ðối chiếu kết quả với ñiều kiện. Kết luận nghiệm. VD1. Giải và biện luận phương trình: x − 2m 2 x + 1 = 2x −1 4x − m 1 m 2 4 x − 2m 2 x + 1 = ⇔ 4 x 2 − 9mx + 2m 2 = 4 x 2 − 1 ⇔ 9mx = 2m2 + 1 (1) 2x −1 4x − m HD. ðK: x ≠ , x ≠ i) m = 0: (1) vô nghiệm 2m 2 + 1 . 9m 2m 2 + 1 là nghiệm của phương trình ñã cho x= 9m  2m 2 + 1 1 1 1    9m ≠ 2 4m 2 − 9m + 2 ≠ 0 4m 2 + 2 ≠ 9m  m ≠ 2, m ≠ m ≠ ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ 4 ⇔ 4 2 m ≠ 4 8m + 4 ≠ 9m m ≠ ±2  m ≠ ±2  2m + 1 ≠ m  9m 4 1  2m 2 + 1 m ≠ 0, m ≠ x KL: •  : = 4 9m m ≠ ±2 1 • m = 0 ∨ m = ∨ m = ±2 : Vô nghiệm. 4 ii) m ≠ 0 : (1) ⇔ x = VD2. Giải và biện luận phương trình: a b a+b + = ax − 1 bx − 1 (a + b) x − 1 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 1 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình ax-1 ≠ 0 ax ≠ 1   ⇔ bx ≠ 1 HD. ðK: bx-1 ≠ 0 (a+b)x-1 ≠ 0 (a+b)x ≠ 1   (1) (2) (3) Phương trình tương ñương: ⇔ a+b 2abx − (a + b) = 2 abx − (a + b) x + 1 (a + b) x − 1 ⇔ 2ab(a + b) x 2 − (a + b) 2 x − 2abx + (a + b) = ab(a + b) x 2 − (a + b) 2 x + (a + b) ⇔ ab(a + b) x 2 − 2abx = 0 ⇔ x [ ab(a + b) x − 2ab] = 0 x = 0 ⇔  ab(a + b) x − 2ab = 0 (4) (5) i) (4) cho x = 0 là nghiệm với mọi a, b. ii) Giải (5): + a = 0: ∀ x là nghiệm của (5). b = 0: ∀ x là nghiệm của phương trình ñã cho. b ≠ 0 : ∀x ≠ 1 của phương trình ñã cho. b + b = 0: ∀ x là nghiệm của (5). a = 0: ∀ x là nghiệm của phương trình ñã cho. 1 của phương trình ñã cho. a + a = – b: (5) ⇔ 0x + 2b2 = 0. b = 0: ∀ x là nghiệm của phương trình ñã cho. b ≠ 0 : (5) vô nghiệm. Phương trình ñã cho có nghiệm x = 0. 2 + a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 ∧ a ≠ −b : (5) ⇔ x = . a+b 2 x= là nghiệm của phương trình ñã cho khi chỉ khi: a+b 1  2 a + b ≠ a  1  2 ≠ ⇔a≠b.  a + b b 1  2 a + b ≠ a + b  KL. • a = b = 0: ∀ x 1 • a = 0 ≠ b: ∀x ≠ b 1 • b = 0 ≠ a: ∀x ≠ a a ≠ 0 : ∀x ≠ Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 2 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình • a ≠ 0, a ≠ 0, a ≠ b, a ≠ – b: x = 2 a+b • a ≠ 0, a ≠ 0, a = b, a = – b: x = 0 * Bài tập luyện tập. (m − 1) x (m − 1) x + 1 − =0 x+3 x−m ax + b x − b = Bài 2. Giải và biện luận theo a, b phương trình : x−a x+a a b Bài 3. Giải và biện luận theo a, b phương trình : = x−b x −a ax − 1 b a( x 2 + 1) Bài 4. Giải và biện luận theo a, b phương trình : + = 2 x −1 x +1 x −1 Bài 1. Giải và biện luận theo m phương trình : Bài 5. Giải và biện luận theo a, b phương trình : x−a x − a −1 x−b x − b −1 − = − x − a −1 x − a − 2 x − b −1 x − b − 2 a−x b−x a+ x b+ x Bài 6. Giải và biện luận theo a, b phương trình : + = + . a+ x b+ x a−x b−x 2. Phương trình có giá trị tuyệt ñối. Dạng 1. f ( x) = g ( x)  f ( x) = g ( x) PP Giải: Phương trình tương ñương   f ( x) = − g ( x) Dạng 2. f ( x) = g ( x) PP Giải:   f ( x ) = g ( x)  g ( x) ≥ 0 Cách 1: Phương trình tương ñương    f ( x) = − g ( x)    g ( x) ≥ 0   f ( x ) = g ( x)  f ( x) ≥ 0 Cách 2: Phương trình tương ñương   − f ( x) = g ( x)    f ( x) ≤ 0 Vấn ñề là ở chỗ, ở cách 1, ta phải giải bất phương trình g ( x) ≥ 0 ; ở cách 2, ta phải giải bất phương trình f ( x) ≥ 0 . Tuỳ thuộc vào bậc của f(x) hay g(x) ñể lựa chọn thích hợp. Dạng 3. Nhiều giá trị tuyệt ñối. Ta phá giá trị tuyệt ñối theo ñịnh nghĩa, và giải phương trình trên từng tập con. Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 3 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình VD. Giải phương trình 2 x − 1 + 3 − x − 2 2 x + 3 = 10 1 2 HD. 2 x − 1 = 0 ⇔ x = ; 3 − x = 0 ⇔ x = 3; 2 x + 3 = 0 ⇔ x = − − 3 2 1 – 2x 3-x – 4x – 6 x + 10 2x −1 3− x 2 2x + 3 VT 3 2 1 2 1 – 2x 3-x 4x + 6 – 7x – 2 2x – 1 3-x 4x + 6 – 3x – 4 3 2x – 1 x-3 4x + 6 – x – 10 3 2 i) x ≤ − : x + 10 = 1 ⇔ x = – 9 : Thoả 3 1 3 2 2 7 1 5 3i) ≤ x ≤ 3 : – 3x – 4 = 1 ⇔ x = − : Không thoả 2 3 4i) x > 3 : – x – 10 = 1 ⇔ x = – 11: Không thoả ii) − < x < : - 7x - 2 = 1 ⇔ x = − : Thoả 3. Phương trình có căn thức. Dạng 1. f ( x) = g ( x) Biến ñổi tương ñương  f ( x) = g ( x) f ( x) = g ( x) ⇔  ("hay" ở ñây  f ( x) ≥ 0 (hay g(x) ≥ 0) có nghĩa là sự thay thế, lựa chọn một trong hai, lựa chọn bất phương trình ñơn giản hơn) Dạng 2. f ( x) = g ( x) Biến ñổi tương ñương  f ( x) = g 2 ( x) f ( x) = g ( x) ⇔   g ( x) ≥ 0 Dạng 3. Nhiều căn thức không thuộc các dạng trên. • Bình phương hai vế nhiều lần theo nguyên tắc: A ≥ 0, B ≥ 0 : A ≥ B ⇔ A2 ≥ B 2 A ≤ 0, B ≤ 0 : A ≥ B ⇔ A2 ≤ B 2  Ngoài phương pháp biến ñổi tương ñương nói trên, các phương trình chuyển về bậc nhất có thể giải bằng cách biến ñổi về tích,ñặt ẩn phụ hay sử dụng các phương pháp khác (Xem Phương trình không mẫu mực) (XBang) VD. Giải phương trình: x + x + 1 = 1 HD. Cách 1(Biến ñổi tương ñương): x+ x +1 = 1 ⇔ Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 4 x +1 = 1− x Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình  x + 1 = (1 − x) 2  x + 1 = 1 − 2 x + x 2  x 1 + 2 x − x x = 0 ⇔ ⇔ ⇔ 1 − x ≥ 0 1 − x ≥ 0  x ≤ 1 x = 0 x = 0    ⇔  1 + 2 x − x x = 0 ⇔   x = −1, x = 1 ± 5 ⇔ x = 0  2   x ≤ 1    0 ≤ x ≤ 1 ( ) Cách 2(Biến ñổi tương ñương): x+ 1 x +1 = 1 ⇔ x + x + = x +1− 4 2 1 1   x +1 + ⇔  x +  =  4 2   1 x +1 −  4 2 Cách 3(Biến ñổi về dạng tích): x+ x + 1 = 1 ⇔ x − ( x + 1) + x + x +1 = 0 ⇔ ( x+ x +1 )( x− ) x+ y )( y − x −1 = 0 x +1 +1 = 0 Cách 4(ðặt ẩn phụ): ðặt y=  y = x + 1 ⇒ y−x= x + y ⇔ x +1 ⇒   x = 1 − y ( ) II. PHƯƠNG TRÌNH ax2 + bx + c = 0. 1. Các bước giải và biện luận. i) a = 0: Phương trình trở thành: bx + c = 0 b = 0 = c : Mọi x là nghiệm b = 0 ≠ c : Vô nghiệm b ≠ 0 : Phương trình trở thành phương trình bậc nhất, có nghiệm duy nhất: x = − c b ii) a ≠ 0: Phương trình ñã cho gọi là phương trình bậc hai. 2 1  ∆ = b − 4ac, ∆ ' =  b  − ac 2  • ∆ < 0 ( ∆ ' < 0): Phương trình vô nghiệm. • ∆ = 0 ( ∆ ' = 0): Phương trình có hai nghiệm bằng nhau 2 x=− b 2a • ∆ > 0 ( ∆ ‘ > 0): Phương trình có hai nghiệm phân biệt:  1  − b ± ∆’ −b ± ∆  2  x1,2 = = 2a a * Nhận xét: Phương trình ax2 + bx + c = 0 có hơn hai nghiệm khi và chỉ khi mọi x là nghiệm, khi và chỉ khi a = b = c = 0. 2. Dấu các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0). Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 5 Phương trình và Hệ phương trình ðại số Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình c b ,S= − a a • P < 0: Phương trình có hai nghiệm x1 < 0 < x2 ðặt P = 0 < x1 ≤ x2 ∆ ≥ 0 ⇔ • x1 ≤ x2 < 0 P > 0  ∆ ≥ 0  • 0 < x1 ≤ x2 ⇔  P > 0 , S > 0  ∆ ≥ 0  • x1 ≤ x2 < 0 ⇔  P > 0 S < 0  *** Chú ý: i) P = 0 ⇔ x1 = 0, x2 = S P < 0  x1 < 0 < x2 ; ⇔ S > 0  x1 < x2 ii)  P < 0  x1 < 0 < x2 ⇔  S < 0  x1 > x2 S = 0 ⇔ x1 = − x2 ∆ ≥ 0 3i)  4i) Các dấu hiệu cần, nhiều khi rất cần cho việc xét dấu các nghiệm: i S < 0 : Nếu phương trình có nghiệm thì có ít nhất một nghiệm âm. i S > 0 : Nếu phương trình có nghiệm thì có ít nhất một nghiệm dương VD. Tìm tất cả các giá trị m sao cho phương trình sau có không ít hơn 2 nghiệm âm phân biệt: x 4 + mx3 + x 2 + mx + 1 = 0 . HD. Thấy ngay x = 0 không thoả phương trình. Chia hai vế của phương trình cho x 2 ≠ 0 : 1 1 1 1  x 2 + mx + 1 + m + 2 = 0 ⇔ x 2 + 2 + m  x +  + 1 = 0 x x x x  1 ðặt x + = X ⇒ x 2 − Xx + 1 = 0 x 1 ⇒ x 2 + 2 = X 2 − 2, X ≥ 2 x (1) trở thành X 2 + mX − 1 = 0 (1) (2) (3) (3) có hai nghiệm trái dấu với mọi m. Với X ≥ 2 thì (2) có hai nghiệm cùng dấu, nên ñể có nghiệm âm thì X < 0 Suy ra X < -2. Tóm lại phương trình (3) phải có hai nghiệm X 1 < −2 < 0 < X 2 Nếu ñược dùng ñịnh lý ñảo về dấu của tam thức bậc hai thì cần và ñủ là: Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 6 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình  f (−2) < 0 3 ⇔ 3 − 2m < 0 ⇔ m >  2 2  f ( X ) = X + mX − 1 Nhưng chương trình hiện hành không có ñịnh lý ñảo về dấu của tam thức bậc hai, nên: Cách 1: ðặt X + 2 = Y ⇒ Y < 0: X 2 + mX − 1 = 0 ⇔ (Y − 2)2 + m(Y − 2) − 1 = 0 ⇔ Y 2 + (m − 4)Y + 3 − 2m = 0 Phương trình này có hai nghiệm trái dấu chỉ khi 3 - 2m < 0 ⇔ m > 3 . 2 1− X 2 Cách 2: X + mX − 1 = 0 ⇔ m = X 2 2 1− X −2 X − 1 + X 2 − X 2 − 1 ðặt f ( X ) = ⇒ f ‘( X ) = = < 0, ∀X ≠ 0 . X X2 X2 x -∞ -2 2 +∞ 2 f '(X) - - +∞ f(X) - 3 2 3 2 -∞ Thấy ngay phương trình có nghiệm X < - 2 khi chỉ khi m > 3 . 2 3. So sánh nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) với một số thực khác không. 3.1. Nếu dùng ñịnh lý ñảo về dấu của tam thức bậc hai. ðặt f(x) = ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) af(α )<0 ⇔ x1 < 0 < x2 α < x1 ≤ x2 af(α )>0 ⇔  x1 ≤ x2 < α ∆ ≥ 0   af(α )>0  ∆ ≥ 0 ⇔ α < x1 ≤ x2 ; S  >α 2  af(α )>0  ∆ ≥ 0 ⇔ x1 ≤ x2 < α S  <α 2 ***Một số ñiều kiện cần và ñủ về nghiệm của f(x) = ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) 3.1.1. f(x) có nghiệm thuộc [α ; β ] : Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 1 nghiệm thuộc [α ; β ] là một trong 4 ñiều kiện: Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 7 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình • f (α ) f ( β ) < 0  f (α ) = 0 •  S − α ∉ [α ; β ]  f ( β ) = 0 •  S − β ∉ [α ; β ] Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 2 nghiệm thuộc [α ; β ] ∆ = 0  • b − 2a ∈ [α ; β ] ∆ > 0  af (α ) ≥ 0  •  af ( β ) ≥ 0 :  S α < < β  2 • f (α ) f ( β ) ≤ 0   ∆ ≥ 0  af (α ) ≥ 0 •   af ( β ) ≥ 0   S  α ≤ ≤ β 2   Nếu không cần phải tách bạch như thế thì cần và ñủ ñể f(x) có nghiệm thuộc [α ; β ] : 3.1.2. f(x) có nghiệm thuộc (α ; β ) : Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 1 nghiệm thuộc (α ; β ) là một trong bốn ñiều kiện: • f (α ) f ( β ) < 0  f (α ) = 0 •  S − α ∈ (α ; β )  f ( β ) = 0 •  S − β ∈ (α ; β ) Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 2 nghiệm thuộc (α ; β ) là : ∆ = 0  • b − 2a ∈ (α ; β ) ∆ > 0  af (α ) > 0  •  af ( β ) > 0  α < S < β  2 3.1.3. f(x) có nghiệm thuộc (α ; +∞ ) : Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 1 nghiệm thuộc (α ; +∞ ) là một trong ba ñiều kiện: • af (α ) < 0 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số  f (α ) = 0 • S − α > α 8 ∆ = 0  • b − 2a > α Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 2 nghiệm thuộc (α ; +∞ ) :  ∆ > 0  •  af (α ) > 0  S α < < β  2 3.1.4. f(x) có nghiệm thuộc [α ; +∞) : Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 1 nghiệm thuộc [α ; +∞) là một trong ba ñiều kiện: • af (α ) < 0  f (α ) = 0 • S − α < α Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 2 nghiệm thuộc [α ; +∞) : ∆ = 0  • b − 2a ≥ α  ∆ > 0  •  af (α ) ≥ 0  S α < < β  2 3.1.5. f(x) có nghiệm thuộc ( −∞;α ) : Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 1 nghiệm thuộc ( −∞;α ) là một trong ba ñiều kiện: • af (α ) < 0  f (α ) = 0 • S − α < α Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 2 nghiệm thuộc ( −∞;α ) : ∆ = 0  • b − 2a < α  ∆ > 0  •  af (α ) > 0 S  <α 2 3.1.6. f(x) có nghiệm thuộc (−∞;α ] : Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 1 nghiệm thuộc (−∞;α ] là một trong ba ñiều kiện: • af (α ) < 0  f (α ) = 0 • S − α > α Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 2 nghiệm thuộc (−∞;α ] : Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 9 ∆ = 0  • b − 2a ≤ α  ∆ > 0  •  af (α ) ≥ 0 S  <α 2 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 3.2. Nếu không dùng ñịnh lý ñảo về dấu của tam thức bậc hai. • Phương pháp tốt nhất là khảo sát sự biến thiên của hàm số (xem VD ở phần trên) • Nếu chỉ so sánh nghiệm với một số thực α khác không thì có thể ñặt y=x-α. π VD. Tìm a ñể phương trình sau có hơn 1 nghiệm thuộc  0;  :  (1 − a) tan 2 x − 2 2 + 1 + 3a = 0 cos x 2 2  1  + 1 + 3a = 0 ⇔ (1 − a)  − 1 − + 1 + 3a = 0 2 cos x  cos x  cos x 1 2 ⇔ (1 − a) − + 4a = 0 (1) 2 cos x cos x 1 ðặt = X ⇒ X ∈ (1; +∞) cos x (2) (1) ⇔ (1 − a) X 2 − 2 X + 4a = 0 HD. (1 − a) tan 2 x − π Phương trình ñã cho có hơn một nghiệm thuộc  0;  ⇔ phương trình (2) có  2 hai nghiệm X ∈ (1; +∞) . Cách 1. ðặt X - 1 = Y > 0 : (2) trở thành (1 − a)(Y + 1) 2 − 2(Y + 1) + 4a = 0 ⇔ (1 − a)Y 2 − 2aY + 3a − 1 = 0 (3) a ≠ 1 1 − a ≠ 0 1  2  a≠ 4a − 4 a + 1 > 0 ∆ ‘ > 0     2 (3) có hai nghiệm dương ⇔  ⇔ 3a − 1 > 0 ⇔ P > 0  1 < a < 1 2 a   3 >0  S > 0 1 − a Cách 2. Không phải khi nào cũng có thể nhận ra X = 2 là một nghiệm của (2). Nhưng nếu nhận ra ñược thì: 2 2a −2= . 1− a 1− a 1 < a <1  3a − 1 >0   3 ⇔  1− a ⇔  2a ≠ 1 a ≠ 1  2 Với a ≠ 1 thì nghiệm kia là  2a 1 − a > 1 Ta phải có   2a ≠ 2 1 − a • Có thể dùng phương pháp phần bù: Tìm các giá trị tham số ñể phương trình có nghiệm thì ta tìm các giá trị làm cho phương trình vô nghiệm. VD. Tìm tất cả các giá trị m ñể phương trình sau có nghiệm: x 4 + 4 x3 + 2mx 2 + 4 x + 1 = 0 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 10 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình HD. Phương trình ñã cho tương ñương với :  X 2 + 4 X + 2m − 2 = 0  2  x − Xx + 1 = 0 X ≥2  (1) (2) (3) Phương trình ñã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm thoả (3) Ta tìm tất cả các giá trị m ñể phương trình (1) không có nghiệm thoả (3). ðiều này chỉ khi phương trình (1) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm thuộc (- 2 ; 2) i) Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ 4 − 2m + 2 < 0 ⇔ m > 3 ii) Phương trình (1) có hai nghiệm thuộc (- 2 ; 2). Trường hợp này không b = – 2 không thuộc khoảng (- 2 ; 2). Suy luận này khá hay: Nếu 2a b hai nghiệm thuộc khoảng (- 2 ; 2) thì − = – 2 thuộc khoảng (- 2 ; 2).Vô lý. 2a Bỏ những m > 3 ta còn tất cả các giá trị cần tìm là m ≤ 3 . xảy ra vì − ** Bạn nên luôn luôn hướng tới việc dùng ñạo hàm ñể khảo sát phương trình nếu có thể thì bạn sẽ tránh ñược nhiều rắc rối.  Các phương trình chuyển về bậc hai, tương tự như ñã nói về các phương trình chuyển về bậc nhất. VD. Giải phương trình x 2 + x + 7 = 7 HD. Cách 1(Biến ñổi tương ñương) 2 1 1 1  1  x + x+7 = 7 ⇔ x + x+ = x+7− x+7 + ⇔x+  = x+7 −  4 4 2  2  2 2 2 Cách 2(Biến ñổi về dạng tích) x 2 + x + 7 = 7 ⇔ x 2 − ( x + 7) + ( x + x + 7 ) = 0 ⇔ ( x + x + 7)( x − x + 7 + 1) = 0 Cách 3(ðặt ẩn phụ, ñưa về hệ phương trình)  y2 = x + 7 ðặt y = x + 7 ⇒  2  x = 7 − y ⇒ y 2 − x 2 = x + y ⇔ ( x + y )( y − x − 1) = 0 * Bài tập luyện tập. Bài 1. Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 , x2 . ðặt S = x1n + x2n . Chứng minh: aSn + bS n−1 + cSn −−2 = 0, (n ≥ 3) Bài 2. Cho phương trình x 2 + 2mx + 4 = 0 . a) Tìm m ñể phương trình có hai nghiệm không âm x1 , x2 . Khi ñó tính theo m: M = x1 + x2 , N = x1 − x2 b) Tìm m ñể phương trình có hai nghiệm x1 , x2 sao cho: x14 + x24 ≤ 32 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 11 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Bài 3. Tìm nghiệm (x; y) sao cho y lớn nh ất: x 2 − yx 2 − y + 8 x + 7 = 0 Bài 4. Biết rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 có ñúng một nghiệm dương ( gọi là x1 ). Chứng minh rằng phương trình cx 2 + bx + a = 0 có ñúng một nghiệm dương ( gọi là x2 ), ñồng thời : x1 + x2 ≥ 2. Bài 5. Gọi x0 là nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 . Chứng minh: b c  x0 < 1 + max  ;  , a ≠ 0. a a 2 + 1 + 3a = 0 Bài 6. Cho phương trình (1 − a) tan 2 x − cos x 1 a) Giải phương trình khi a = . 2 b) Tìm tất cả các giá trị a ñể phương trình có hơn một nghiệm thuộc π khoảng  0;  2   Bài 7. Tìm tất cả các giá trị m ñể phương trình sau có nghiệm: ( x 2 − 1)( x + 5)( x + 3) − m = 0 Bài 8. Tìm tất cả các giá trị m ñể phương trình sau có nghiệm: x − 1 ( x − 2) + m = 0 Bài 9. Tìm tất cả các giá trị p ñể phương trình sau có nghiệm: 4 x2 2 px + + 1 − p2 = 0 2 4 2 1+ 2x + x 1+ x Bài 10. Giải và biện luận theo m phương trình: x2 + x + m = − x2 + x + 2 Bài 11. Tìm tất cả các giá trị m ñể phương trình sau có nghiệm duy nhất: lg mx =2 lg( x + 1) Bài 12. Tìm tất cả các giá trị m ñể phương trình sau có nghiệm: ( x + 2) 4 + x 4 = m Giải phương trình khi m = 82. Bài 13. Tìm tất cả các giá trị m ñể phương trình sau có nghiệm: 2 x 4 − 3 x 3 + mx 2 − 3 x + 2 = 0 III. PHƯƠNG TRÌNH ax + by + c = 0. a = b = c = 0: Mọi (x; y) là nghiệm. a = b = 0 ≠ c: Vô nghiệm. a = 0, b ≠ 0: x tuỳ ý; y = − c b Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 12 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình c , y tuỳ ý. a ax c by c a ≠ 0, b ≠ 0: x tuỳ ý, y = − − (hay x = − − , y tuỳ ý) b b a a a ≠ 0, b = 0: x = - IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.  ax + by = c Dạng   a'x + b'y = c' Phương pháp giải: 1. Phương pháp thế. 2. Phương pháp cộng ñại số. 3. Dùng máy tính bỏ túi. 4. Phương pháp ñịnh thức Crame. (m − 1) x + y = m mx + (m − 1) y = m VD. Giải và biện luận theo m hệ phương trình:  HD. D= m −1 1 m = m 2 − 2m; Dx = 1 m-1 m 1 m −1 = m 2 − 2m; Dy = m-1 1 m = m 2 − 2m m i) D ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 ∧ m ≠ 2 : x = y = 1 ii) m = 0: D = Dx = Dy = 0 ⇒ Hệ tương ñương với một phương trình: x - y = 0 x = t ⇔  y = t; t ∈ R iii) m = 2: D = Dx = Dy = 0 ⇒ Hệ tương ñương với một phương trình: x + y +2 = 0 x = t ⇔  y = −2 − t ; t ∈ R * Bài tập luyện tập. Bài 1. Cho hệ phương trình: mx + 4 y = m2 + 4   x + (m + 3) y = 2m + 3 a) Với giá trị nào của m rthì hệ có nghiệm duy nhất và nghiệm ñó thoả x≥ y. b) Với m tìm ñược ở a), tìm min(x + y). Bài 2. Cho hệ phương trình: ax + y = 1 − a  2  x + ay = 1 − a Với giá trị nào của a rthì hệ có nghiệm (x ; y) thoả 2x + y > 0. Bài 3. Tìm b sao cho với mọi a hệ sau có nghiệm: Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 13 Phương trình và Hệ phương trình ðại số Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình  x + 2ay = b  2 ax + (1 − a) y = b Bài 4. Cho hệ phương trình: (2a − 1) x − y = 1   x + (1 + a) y = −1 Giải hệ khi a =0, a = – 1 . 2 Bài 5. Giải và biện luận theo a, b hệ phương trình:  ( a + b) x + ( a − b) y = a  (2a − b) x + (2a + b) y = b Bài 6. Giải và biện luận theo a hệ phương trình: 6ax + (2 − a) y = 3  (a − 1) x − ay = 2 Gọi (x; y) là nghiệm. Tìm hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc a. Bài 7. Cho hệ phương trình: ax + y = b  2  x + ay = c + c a) Với b = 0, giải và biện luận hệ theo a và c. b) Tìm b sao cho với mọi a, luôn tìm ñược c ñể hệ có nghiệm. Bài 8. Biết rằng hệ phương trình sau có nghiệm: ax + by = c  bx + cy = a cx + ay = b  Chứng minh a 3 + b3 + c3 = 3abc . V. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO. 1. Hệ có một phương trình bậc nhất. Phương pháp: PP thế (Rút x hoặc y từ phương trình bậc nhất thay vào phương trình bậc hai) VD. Cho hệ phương tr×nh  x 3 − y 3 = m( x − y )  x + y = 1 1) Giải hệ khi m = 3. 2) Tìm m ñể hệ có 3 nghiệm (x1; y1), (x2; y2), (x3; y3)sao cho x1; x2; x3 lập thành một cấp số cộng. HD. Hệ ñã cho tương ñương: ( x − y ( x 2 + y 2 + xy ) = m( x − y ) ( x − y ( x 2 + y 2 + xy − m) = 0 ⇔  x + y = 1 x + y = 1 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 14 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình  x − y = 0 1  x= y=−   2 x + y = 1 ⇔ ⇔  2 2   y = −1 − x  x + y + xy − m = 0    x 2 + (−1 − x)2 + x(−1 − x) − m = 0   x + y = 1  1  (1) x = y = − 2 ⇔ 2)   y = −1 − x   2 (3)  x + x + 1 − m = 0 * Bài tập luyện tập. Bài 1. Giải hệ phương trình: x − 2 y +1 = 0  2 2  x − y + xy − 1 = 0 Bài 2. Cho hệ phương trình: x + y = m +1  2 2 2  x y + xy = 2m − m − 3 a) Giải hệ khi m = 3. b) Chứng minh hệ có nghiệm với mọi m. (ðHQuy Nhơn – A99) Bài 3. Giải và biện luận theo a hệ phương trình: x y  + =a y x x + y = 8  (HVQHQT – D97) Bài 4. Giải và biện luận theo m hệ phương trình:  x − y = m  2 y + xy = 0 (ðH ðà Nẵng- B98) Bài 5. Cho hệ phương trình: x + y = m  2 ( x + 1) y + xy = m( y + 2) a) Tìm m ñể hệ có hơn hai nghiệm. b) Giải hệ khi m = 4 (ðHQG Thfố HCM- A97) Bài 6. Cho biết hệ phương trình sau có nghiệm với mọi b: a( x 2 + y 2 ) + x + y = b  y − x = b Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 15 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Chứng minh a = 0. (ðH Luật HN – A97) 2. Hệ phương trình ñưa ñược về dạng tích. Phương pháp: Dạng 1.   F ( x, y ) = 0   F ( x, y ).G ( x, y ) = 0  H ( x, y ) = 0  ⇔   G ( x, y ) = 0  H ( x, y ) = 0    H ( x, y ) = 0 Dạng 2.   F ( x, y ) = 0    H ( x, y ) = 0   F ( x, y ) = 0    K ( x, y ) = 0  F ( x, y ).G ( x, y ) = 0 ⇔   H ( x, y ).K ( x, y ) = 0 = 0  G ( x, y ) = 0   H ( x, y ) = 0   G ( x, y ) = 0   K ( x, y ) = 0  VD 1. Giải hệ phương trình:  x 2 − 5 xy + 6 y 2 = 0  2 2 2 x + y = 1  x − 2 y = 0  2 2 ( x − 2 y )( x − 3 y ) = 0  2 x + y = 1 Hệ ñã cho tương ñương  2 2 ⇔ x − 3y = 0 2 x + y = 1    2 x 2 + y 2 = 1 VD 2. Giải hệ phương trình: log 4 ( x 2 + y 2 ) − log 4 2 x + 1 = log 4 ( x + 3 y ) log 4 4( x 2 + y 2 ) = log 4 2 x( x + 3 y )   ⇔ x x  2 2 log 4 ( xy + 1) − log 4 (4 y + 2 y − 2 x + 4) = log 4 y − 1 log 4 4( xy + 1) = log 4 y (4 y + 2 y − 2 x + 4)   4( x 2 + y 2 ) = 2 x( x + 3 y ) 2 2 ( x − y )( x − 2 y ) = 0   x − 3 xy + 2 y = 0 ⇔ ⇔ ⇔ x 2 2 ( x − y )( y − 2) = 0 4( xy + 1) = y (4 y + 2 y − 2 x + 4) 2 y = xy − x + 2 x  Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 16 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình  x − y = 0   x − y = 0 x = y  x − y = 0   x = y x = y = 2  y − 2 = 0  ⇔ ⇔  x = y = 0 ⇔  x = 4   x − 2 y = 0   y = 2 x = 4     x − y = 0    y = 2  x − 2 y = 0  y − 2 = 0  3. Hệ phương trình ñối xứng loại 1.  f ( x, y ) = 0 trong ñó vai trò của x, y trong từng  g ( x, y ) = 0 Là hệ phương trình dạng  phương trình và do ñó trong hệ phương trình như nhau:  f ( x, y ) = f ( y , x )   g ( x, y ) = g ( y, x ) Thấy ngay (x; y) là nghiệm khi và chỉ khi (y; x) là nghiệm. Cách giải: • Dạng 1. Thông thường người ta ñặt ẩn phụ: S = x + y, P = xy Ví dụ: Giải hệ :  x 2 y + xy 2 = 6   xy + x + y = 5 ðặt S = x + y; P = xy và hệ ñã cho trở thành: S = 2  x + y = 2    SP = 6 P = 3  xy = 3  ⇒ nghiệm (1,2); (2,1) ⇔ ⇔  S = 3  x + y = 3 S + P = 5     P = 2   xy = 2 • Dạng 2. Biến ñổi hệ về ϕ ( x) + ϕ ( y ), ϕ ( x).ϕ ( y ) . ðặt S = ϕ ( x) + ϕ ( y ), P = ϕ ( x).ϕ ( y )  xy + x + y = 5 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  3 3 ( x + 1) + ( y + 1) = 35 ( x + 1)( y + 1) = 6 Hệ tương ñương  3 [ ( x + 1) + ( y + 1)] − 3[ ( x + 1) + ( y + 1)] ( x + 1)( y + 1) = 35 (XB) ðặt S = (x + 1) + (y + 1); P =(x +1)(y + 1) hệ phương trình trở thành: Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 17 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình S = 5 x = 3 x = 2  P = 6 =>  =>  ∨  2 P = 6 y = 2 y = 3  S ( S − 3 P ) = 35  x + y + x2 + y 2 = 8 Ví dụ 2:   xy ( x + 1)( y + 1) = 12 S 2 + S − 2P = 8 S = x + y , ta thu ñược hệ sau:  là một hệ phức tạp. Nếu ñặt :   P = xy  P( P + S + 1) = 12  x( x + 1) + y ( y + ) = 8  x( x + 1). y ( y + 1) = 12 Chỉ cần biến ñổi hệ thành  ðặt: S = x(x + 1), P = y(y + 1) Hệ ñã cho tương ñương với : S + P = 8 S = 6 S = 2 =>  ∨   SP = 12 P = 2 P = 6 Như vậy (x, y) là nghiệm của các phương trình sau: i) x 2 + x = 2 => x1 = 1 ∨ x2 = −2 ii) x 2 + x = 6 => x3 = 2 ∨ x4 = −3 Suy ra nghiệm của hệ ñã cho là: (1,-2); (-2,1); (2,-3); (-3,2) • Dạng 3. Hệ ñã cho không ñối xứng ñối với x, y nhưng ñối xứng ñối với ϕ ( x, y ), ψ ( x, y ) nào ñó. Biến ñổi hệ về ϕ ( x, y ) +ψ ( x, y ), ϕ ( x, y ).ψ ( x, y ) . Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  x( xy + 1) + y ( xy − 1) = 14  2 2  xy ( x − y ) = 24 (XB) Thấy ngay hệ không ñối xứng ñối với x,y. Có thể cảm giác ϕ ( x, y ) = x( xy + 1), ψ ( x, y ) = y ( xy − 1) , tiếc rằng không có ñược ϕ ( x, y ).ψ ( x, y ) . 2 2 ( x y + xy ) + ( x − y ) = 14 Ta biến ñổi hệ tương ñương  2 2  x y + xy )( x − y ) = 24 Thấy ngay hệ ñối xứng ñối với ϕ ( x, y ), ψ ( x, y ) 2 trong ñó 2 ϕ ( x, y ) = x y + xy = xy ( x + y ), ψ ( x, y ) = x − y .   x 2 y + xy 2 = 12  y = x − 2  y = x − 2     xy ( x + y ) = 12  x( x − 2)(2 x − 2) = 12  x − y = 2  Hệ tương ñương:  2 ⇔ ⇔ 2   y = x − 12   y = x − 12   x y + xy = 2     xy ( x + y ) = 2   x( x − 12)(2 x − 12) = 2   x − y = 12 Ví dụ 2: Giải và biện luận theo a hệ phương trình Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 18 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình  1  x − 2y + x + 2y = 5    x + 2y = a  x − 2 y Thấy ngay hệ ñối xứng ñối với ϕ ( x, y ), ψ ( x, y ) trong ñó 1 , ψ ( x, y ) = x + 2 y . Tuy nhiên tính ñối xứng ở ñây chỉ có tính x − 2y 1 tương ñối vì bạn thấy ñấy ϕ ( x, y ) = ≠ 0, còn ψ ( x, y ) = x + 2 y thì không có x − 2y ϕ ( x; y ) + ψ ( x; y ) = 5 ñiều kiện gì. Ta có hệ:  ϕ ( x; y ).ψ ( x; y ) = a ϕ ( x, y ) = Suy ra ϕ ( x, y ), ψ ( x, y ) là nghiệm của phương trình X 2 − 5 X + a = 0 (*) Vì phuơng trình có thể có nghiệm bằng 0, khi ñó chỉ có ψ ( x, y ) nhận nghiệm ñó thôi. Như thế nên phải xét hai trường hợp: x + 2 y = 0 x + 2 y = 0 ϕ ( x; y ) + ψ ( x; y ) = 5 ψ ( x; y ) = 0   ⇔ ⇔ 1 ⇔ i) a = 0:  1 ϕ ( x; y ).ψ ( x; y ) = 0 ϕ ( x; y ) = 5  x − 2 y = 5  x − 2 y = 5  ii) a = ≠ 0: Phương trình (*) có nghiệm chỉ khi ∆ = 25 − 4a ≥ 0 ⇔ a ≤ nghiệm của (*) là 5 ± 25 − 4a . 2 Hệ tương ñương với:  1 5+ =    x − 2 y  5−   x + 2 y =     1 = 5 −  x − 2 y  5+    x + 2 y =   x − 2 y = 5+    25 − 4a 5−   x + 2 y =  2 ⇔   25 − 4a  x − 2 y =  2 5−  25 − 4a  x + 2 y = 5 +   2 25 − 4a 2 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 2 5 − 25 − 4a = 2a 25 − 4a 25 − 4a 2 2 5 + 25 − 4a = 2a 25 − 4a 25 − 4a 2 19 25 . Hai 4 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình  5−  x − 2 y =    5−  x + 2 y =  ⇔  5+  x − 2 y =    x + 2 y = 5 +    5−  x =   5− 25 − 4a  y =   2 ⇔ 25 − 4a  x = 5 +   2a  25 − 4a  5+  y = 2  25 − 4a 2a 25 − 4a  1  1 +  4  a 25 − 4a  1  1 −  8  a 25 − 4a  1  1 +  4  a 25 − 4a  1  1 −  8  a * Bài tập luyện tập.  x + y + 2 xy = 1 Bài 1. Giải hệ phương trình  3 3  x + y = 11 2( x + y ) − xy = 1 Bài 2. Giải hệ phương trình  2 2  x y + xy = 1  x − y + x2 + y 2 = 5 Bài 3. Giải hệ phương trình   xy (− x + y + xy − 1) = 6 (XB) (XB) (XB)  x 2 + y 2 = 5 Bài 4. Giải hệ phương trình  4 2 2 4 (ðH Ngoại Thương A98)  x − x y + y = 13 1  ( x + y )(1 + xy ) = 5 (ðH Ngoại Thương A99) Bài 5. Giải hệ phương trình  1 2 2 ( x + y )(1 + ) = 49  x2 y2 1 1  x + y + x + y = 4 Bài 6. Giải hệ phương trình   x2 + y 2 + 1 + 1 = 4  x2 y2  x y 7 + = +1  x xy Bài 7. Giải hệ phương trình  y   x xy + y xy = 78  x + y + xy = m Bài 8. Cho hệ phương trình  2 2 x + y = m a) Giải hệ khi m = 5 b) Tìm tất cả các giá trị m ñể hệ có nghiệm.  x + y + x2 + y 2 = 8 Bài 9. Cho hệ phương trình   xy ( x + 1)( y + 1) = m Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 20 (ðH An Ninh A99) (ðH Hàng Hải A99) Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình a) Giải hệ khi m = 12 b) Tìm tất cả các giá trị m ñể hệ có nghiệm.  x + y + xy = a Bài 10. Cho hệ phương trình  2 2  x y + xy = 3a − 8 a) Giải hệ khi a = 7 2 b) Tìm tất cả các giá trị a ñể hệ có nghiệm.  x + y + xy = m + 1 Bài 11. Cho hệ phương trình  2 2  x y + xy = m a) Giải hệ khi m = 2 b) Tìm tất cả các giá trị m ñể hệ có ít nhất một nghiệm (x;y) sao cho x > 0, y > 0. 1  x y a + a = , a > 0. Bài 12. Cho hệ phương trình  2  x + y = b2 − b + 1.  a) Giải hệ khi b = 1. b) Tìm a ñể hệ có nghiệm với mọi b ∈ [0; 1] 4. Hệ phương trình ñối xứng loại 2:  f ( x, y ) = 0 trong ñó nếu thay ñổi vai trò của x, y  g ( x, y ) = 0 Là hệ phương trình dạng  cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại. Vai trò của x, y trong từng phương trình không như nhau nhưng trong hệ phương trình thì như nhau:  f ( x, y ) = g ( y , x )   g ( x, y ) = f ( y , x ) Thấy ngay (x; y) là nghiệm khi và chỉ khi (y; x) là nghiệm. Cách giải: Trừ từng vế của hai phương trình ta ñược phương trình tích VD1. Giải hệ phương trình  x 2 = 3x − y  2  y = 3 y − x (1) (2) (ðHMTCN – A98) Trừ từng vế (1) và (2) cho nhau, ta có: x2 – y2 = 3(x – y) + x – y x − y = 0 ⇔ (x – y)(x + y – 4) = 0 ⇔  x + y − 4 = 0 2 i) x – y = 0 ⇔ y = x thay vào (1): x – 2x = 0 ⇔ x = 0, x = 2. Ta có hai nghiệm (0; 0), (2; 2) ii) x + y – 4 = 0 ⇔ y = 4 – x thay vào (1): x2 = 3x – 4 + x ⇔ x = 2 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 21 Phương trình và Hệ phương trình ðại số Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Ta có nghiệm (2; 2). Tóm lại, hệ phương trình ñã cho có hai nghiệm (0; 0), (2; 2). VD2. Xác ñịnh a < 0 ñể hệ sau có nghiệm duy nhất  x 2 y + a = y 2  2 2  xy + a = x (1) (2) (ðHDược - A97) Trừ từng vế (1) và (2) cho nhau ta có: x − y = 0  xy + x + y = 0 xy(x - y) = y2 - x2 ⇔ (x - y)(xy + x + y) = 0 ⇔  Do a < 0 nên từ hệ ñã cho suy ra x > 0, y > 0 như thế xy + x + y = 0 vô nghiệm. Với x – y = 0 ⇔ y = x thay vào (1): x2 – x3 = a ðặt f(x) = x2 – x3 , x > 0. x 0 3/2 + ∞ f ‘(x) = 2x – 3×2 f ‘(x) 0 + 0 3 f ‘(x) = 0 ⇔ x = 0, x = 2 f(x) Thấy ngay với mọi a < 0 phương trình (*) có nghiệm duy nhất nên hệ có nghiệm duy nhất. * Bài tập luyện tập. 0 y   x + 3 y = 4 x Bài 1. Giải hệ phương trình   y + 3x = 4 x y  l og (3x + 2 y ) = 2 Bài 2. Giải hệ phương trình  x l og y (3 y + 2 x) = 2 1 3  2 x + y = x Bài 3. Giải hệ phương trình  2 y + 1 = 3  x y  x 2 − ( x + y ) = 2m Bài 4. Cho hệ phương trình  2  y − ( x + y ) = 2m -∞ (ðHQG HN -A97) (ðH Công ñoàn - A97) (ðHQG HN - B99) a) Giải hệ khi m = 0 b) Tìm m ñể hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm ñó. (ðH Công ñoàn - A99)  x = 3x + 8 y Bài 5. Giải hệ phương trình  3 3  y = 3 y + 8 x Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 22 (ðHQG HN - D99) Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình  2 a2 2 x = y +  y Bài 6. Cho hệ phương trình  2 2 y 2 = x + a  x Chứng minh rằng hệ có nghiệm với mọi a. 5. Hệ phương trình ñẳng cấp.  f ( x, y ) = a   g ( x, y ) = a  f ( x, y ) = F ( x, y ) Mở rộng:   g ( x, y ) = G ( x, y ) (1) trong ñó : (2)  f (tx, ty ) = t k f ( x, y )  k  g (tx, ty ) = t g ( x, y ) (3) (4) k trong ñó f(tx, ty) = t f(x, y), g(tx, ty) = tkg(x, y) : cùng ñẳng cấp bậc k. F(tx, ty) = tmF(x, y), G(tx, ty) = tmG(x, y) : cùng ñẳng cấp bậc m. PPGiải: Xét x = 0 có phải là nghiệm. Xét x ≠ 0: ðặt y = tx VD1: Giải hệ phương trình:  x3 − y 3 = 7   xy ( x − y ) = 2 (HVQHQT - D97) HD.  x3 − y 3 = 7 Hệ ñã cho tương ñương với :  2 2  x y − xy = 2 Từ phương trình thứ hai thấy ngay x ≠ 0, y ≠ 0. ðặt y = tx.  x3 − y 3 = 7  x3 − t 3 x 3 = 7  x 3 (1 − t 3 ) = 7 trở thành hệ  2 ⇔  3 2 3  3 2 2 (*) tx − t x = 2  x (t − t ) = 2  x y − xy = 2 Từ (*) ta thấy t ≠ 0, t ≠ 1 . Chia từng vế của hai phương trình, ta có: 1− t3 7 1+ t + t2 7 1 = ⇔ = ⇔ 2t 2 − 5t + 2 = 0 ⇔ t = 2, t = 2 t −t 2 t 2 2 3 i) t = 2 thay vào (*) ta có x = -1 ⇔ x = - 1, y = 2x = -2 1 1 ii) t = thay vào (*) ta có x3 = 8 ⇔ x = 2, y = x = 1 2 2 VD2: Giải hệ phương trình: 2 2 3x − 2 xy + 2 y = 7  2 2  x + 6 xy − 3 y = −8 HD. Từ phương trình thứ hai thấy ngay y ≠ 0 . ðặt x = ty. Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 23 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 3x 2 − 2 xy + 2 y 2 = 7 3t 2 y 2 − 2ty 2 + 2 y 2 = 7  y 2 (3t 2 − 2t + 2) = 7 Hệ  2 ⇔ ⇔ 2 2  2 2 2 2 2  x + 6 xy − 3 y = −8 t y + 6ty − 3 y = −8  y (t + 6t − 3) = −8 2 Từ (1) thấy ngay 3t − 2t + 7 > 0, ∀t . Chia từng vế của (2) cho (1): (1) (2) t 2 + 6t − 3 8 5 = − ⇔ 31t 2 + 26t − 5 = 0 ⇔ t = −1, t = 2 3t − 2t + 2 7 31 ***Chú ý: Có thể giải hệ ñã cho theo cách sau: Hệ ñã cho tương ñương với : 2 2 24 x − 16 xy + 16 y = 56  2 2 7 x + 42 xy − 21y = −56 2 2 24 x − 16 xy + 16 y = 56 ⇔  2 2 31x + 26 xy − 5 y = 0 (1) (2) Ta giải (2) 31x 2 + 26 xy − 5 y 2 = 0 ⇔ ( 31x − 5 y )( x + y ) = 0 31x − 5 y = 0 ⇔  x + y = 0 31x  y=  ⇔ 5   y = −x thay vào (1) * Bài tập luyện tập. 2 2  x y + xy = 30 Bài 1. Giải hệ phương trình  3 3  x + y = 35 2 2  x − 4 xy + y = k Bài 2. Cho hệ phương trình  2  y − 3xy = 4 (ðHQG Mỏ – ðC -A98) 1) Giải hệ khi k = 1, k = 4. 2) Chứng minh rằng hệ có nghiệm với mọi k ≠ 4. 3x 2 + 2 xy + y 2 = 11 Bài 3. Cho hệ phương trình  2 2  x + 2 xy + 3 y = 17 + m 1) Giải hệ khi m = 0. 2) Tìm m ñể hệ có nghiệm. (ðHQG Tp Hồ Chí Minh) 1  3 3 2  x − ay = (a + 1) Bài 4. Cho hệ phương trình  2  x3 + ax 2 y + xy 2 = 1  Tìm tất cả các giá trị của a sao cho hệ có nghiệm và mọi nghiệm (x; y) của hệ ñều thoả x + y = 0. HD. Từ dấu hiệu cần x + y = 0 ⇔ y = – x thay vào hệ ta có: 1  a + 1 = 0 3 2  a = −1 a +1 1 (a + 1) x = (a + 1) 2 ⇒ = (a + 1) ⇔  1 ⇔ 2 2 1   2−a 2 = (a + 1) 3 a − a = 0  2− a 2 2 − a) x = 1 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 24 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình ⇔ a = 0 ∨ a = ±1 Xét từng trường hợp, xem giá trị a nào thoả ñiều kiện bài toán. 6. Các hệ khác.  x 3 − y 3 = m( x − y )  x + y = −1 VD1. Cho hệ phương trình  1) Giải hệ khi m = 3. 2) Tìm m ñể hệ có 3 nghiệm (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) sao cho x1, x2, x3 lập thành một cấp số cộng trong ñó x1 , x3 lớn hơn 1.  x − y = 0   x − y = m( x − y ) ( x − y )( x + xy + y − m) = 0  x + y = −1 ⇔ ⇔  2 HD.   x + xy + y 2 − m = 0  x + y = −1  x + y = −1    x + y = −1 1 1   x = y = − 2 x = y = − 2 ⇔ ⇔  y = − x − 1  y = − x −1   x 2 + x(− x − 1) + (− x − 1)2 − m = 0  2    x + x + 1 − m = 0 (*) 3 phương trình (*) có hai nghiệm và trung bình cộng hai nghiệm Khi m > 4 1 bằng – . Do ñó ba nghiệm ñã lập thành cấp số cộng. Gọi hai nghiệm này là 2 1 x1, x2 thì cấp số cộng ñó là: x1, – , x2 . Ta phải có x1 > 1, x2 > 1 2 1 mà – 1 Thấy ngay chỉ cần x2 > 1 ⇒ x1 > 1 (do x1, x2 ñối xứng nhau qua 2 1 −1 + 4 m − 3 gần – hơn 1). Ta phải có: x2 > 1 ⇔ > 1 ⇔ 1 − 2 4m − 3 + 4m − 3 > 4 2 2 3 3 2 2 m > 2 m > 2 1 − 2 4 m − 3 + 4 m − 3 > 4 ⇔ 4m − 3 < 2 m − 4 ⇔  ⇔ 2 2 4m − 3 < 4m − 24m + 9 m − 7m + 3 > 0  x − y = a(1 + xy )  xy + x + y + 2 = 0 VD2. Cho hệ phương trình  1) Giải hệ khi a = 1 . 2 2) Tìm a ñể hệ có nghiệm. VD3. Giải các hệ phương trình: x + y = 1 1)  3 3 2 2 x + y = x + y Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 25 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình x + y = 1 2)  5 5 2 3 3 2  x + y = x + y 2 y ( x 2 − y 2 ) = 3x VD4. Giải hệ phương trình  2 2  x( x + y ) = 10 y  x2 + 4 y 2 = 5 VD5. Giải hệ phương trình  4 xy + x + 2 y = 7 HD. Cộng từng vế ta ñược (x + 2y)2 + (x + 2y) – 12 = 0 Suy ra x + 2y = – 4, x + 2y = 3. Từ phương trình thứ hai: i) x + 2y = 3 suy ra xy = 1 11 4 x2 + y2 + x + y = 4 VD6. Giaûi heä phöông trình  x ( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2 ii) x + 2y = – 4 suy ra xy = (I) HD. x2 + y2 + x + y = 4 (I) ⇔  2 2 x + y + x + y + xy = 2 ⇒ xy = −2 Ta coù S = x + y; P = xy ⇒ S2 = x2 + y2 + 2xy ⇒ x 2 + y2 = S2 − 2P S2 − 2P + S = 4 P = −2 ⇔ 2 S = 0 hay S = −1 S − P + S = 2 Vaäy ( I ) ⇔  S = x + y = 0 TH1 :  vaäy x, y laø nghieäm cuûa phöông trình X2 + 0X − 2 = 0 P = xy = −2 x = 2 x = − 2 Vaäy heä coù 2 nghieäm  hay  x = − 2 y = 2  S = x + y = −1 TH 2 :  vaäy x,y laø nghieäm cuûa phöông trình X2 + X − 2 = 0 P = xy = − 2  x = 1 x = −2 V ⇒ X = 1hay X = −2 . Vaäy heä coù 2 nghieäm  y = −2 y = 1 x = 2 x = − 2 x = 1 x = −2 Toùm laïi heä Pt (I) coù 4 nghieäm  V  V V y = − 2 Cách 2. Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 26 y = 2 y = −2 y = 1 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình x2 + y2 + x + y = 4 x2 + y2 + x + y = 4 (x + y)2 + x + y = 0 ⇔ ⇔ 2 2 xy = −2 xy = −2 x + y + x + y + xy = 2 (I) ⇔  x + y = 0 hay x + y = − 1 x + y = 0 hay x + y = − 1 ⇔ ⇔ xy = −2 xy = −2 x = − y x = 2 x = − 2  x + y = − 1 x = 1 x = −2 hay ⇔ V V V ⇔      2 2 y = −2 y = 1 x = 2 y = 2 y = − 2 x + x − 2 = 0  2x + y + 1 − x + y = 1 3x + 2y = 4 VD7. Giaûi heä phöông trình:  (I) HD.  2x + y + 1 − x + y = 1 ( I) ⇔  ( 2x + y + 1) + ( x + y ) = 5 Ñaët u = 2x + y + 1 ≥ 0,v = x + y ≥ 0  u − v = 1  u1 = 2 ⇒ v1 = 1 ⇒  2 2  u + v = 5  u2 = −1 ⇒ v2 = −2 ( loaï i ) (I) thaønh   2x + y + 1 = 2 Vaäy ( I ) ⇔   x + y = 1 2x + y + 1 = 4 x = 2 ⇔ ⇔ x + y = 1 y = −1 x + x 2 − 2x + 2 = 3y−1 + 1 VD8. Giaûi heä phöông trình:  2 x −1 y + y − 2y + 2 = 3 +1 ðặt u = x − 1, v = y − 1  u + u 2 + 1 = 3v (I) thành (II)  v + v2 + 1 = 3u Xét hàm f(x) = x + x2 + 1 f ´(x) = 1 + x x2 + 1 = x2 + 1 + x x2 + 1 x +x > x2 + 1 ≥0 Vậy f ñồng biến trên R. Nếu u > v ⇒ f(u) > f(v) ⇒ 3v > 3u ⇒ v > u ( vô lý ) Tương tự nếu v > u cũng dẫn ñến vô lý 2 u u 2   Do ñó hệ (II) ⇔  u + u + 1 = 3 ⇔ 1 = 3 ( u + 1 − u) (1)  u = v Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số  u = v 27 (I) Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình ðặt: g(u) = 3u ( u2 + 1 − u)  u  ⇒ g ‘(u) = 3u ln 3( u2 + 1 − u) + 3u  − 1  2   u +1  g’ (u ) = 3u ( u + 1 − u) ln 3 −   > 0, ∀u ∈ R  2 u +1 1 2  Vậy g(u) ñồng biến trên R. Ta có g(0) = 1. Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1) Nên (II) ⇔ u = 0 = v Vậy (I) ⇔ x = y = 1. ***Chú ý: ðể chứng tỏ u = v có thể biến ñổi: ( ( ) ) −1 = 3v u − u2 + 1  u + u2 + 1 = 3v   ⇔ ⇒ 3u v − v2 + 1 = 3v u − u2 + 1  v + v2 + 1 = 3u −1 = 3u v − v2 + 1  ⇒ u − u2 + 1 3u = v − v2 + 1 3v Xét hàm số f(t) = t − t2 + 1 3t ( ) ( ) (*) ñồng biến, nên (*) suy ra u = v.  x 2 + y 2 = 2(1 + a ) VD9. Cho hệ phương trình  2 ( x + y ) = 4 1) Giải hệ khi a = 1. 2) Tìm tất cả các giá trị của a ñể hệ có ñúng hai nghiệm.  x 2 + y 2 = 2(1 + a)  x 2 + y 2 = 2(1 + a) HD. Cách 1.  ⇔  2 ( x + y ) = 4 ( x + y − 2)( x + y + 2) = 0  x2 − 2 x + 1 − a = 0   x 2 + y 2 = 2(1 + a)   x 2 + (2 − x)2 = 2(1 + a)     y = 2 − x  x + y − 2 = 0  y = 2 − x ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 2 2 2   x + 2 x + 1 − a = 0   x + y = 2(1 + a)   x + (2 + x) = 2(1 + a)   y = −2 − x   x + y + 2 = 0   y = −2 − x  x2 − 2 x = 0  y = 2− x 1) a = 1: Hệ ñã cho trở thành ⇔   2   x + 2 x = 0   y = −2 − x Suy ra 4 nghiệm (0; 2), (2; 0), (0; – 2), (- 2; 0). 2) Hệ có ñúng hai nghiệm. Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 28  x = 0 ∨ x = 2  y = 2− x  ⇔   x = 0 ∨ x = −2    y = −2 − x (1) (2) (3) (4) Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Nhận xét rằng (1) và (3) có cùng biệt số ∆ ‘ = a. Suy ra a ≥ 0 • a > 0: Mỗi phương trình (1) và (3) có 2 nghiệm phân biệt, trong khi từ (2) và (4) ta có 2 – x ≠ – 2 – x với ∀ x nên hệ có ít nhất 4 nghiệm. Suy ra a > 0 không thoả. • a = 0: Hệ (1)&(2) có nghiệm (1; 1), hệ (3)&(4) có nhiệm (- 1; – 1). Vậy a = 0 thoả. Cách 2 (PP Hình học). Thấy ngay a ≥ 0 . Trong hệ toạ ñộ ðê-các Oxy: Xem Pt x 2 + y 2 = 2(1 + a ) , a ≥ 0 là Pt ñường tròn (O, R), R = 2(1 + a) Xem (x + y)2 = 4 ⇔ (x + y – 2)(x + y + 2) = 0 là phương trình hai ñường thẳng: ∆1 : x + y – 2 = 0, ∆ 2 : x + y + 2 = 0 Hai ñường thẳng này ñối xứng nhau qua O. Pt có ñúng hai nghiệm ⇔ ∆1 tiếp xúc với (O, R)( do ñó ∆ 2 cũng tiếp xúc với (O, R)) ⇔ d(O, ∆1 ) = R ⇔ 0+0−2 2 = 2(1 + a ) ⇔ a = 0.  x + ay − a = 0 VD10. Cho hệ phương trình  2 2 x + y − x = 0 1) Tìm tất cả các giá trị của a ñể hệ có hai nghiệm phân biệt. 2) Gọi hai nghiệm là (x1 ; y1 ), (x 2 ; y 2 ) là hai nghiệm. Chứng minh rằng: (x1 – x 2 ) 2 + (y1 – y 2 )2 ≤ 1 HD. 1) Trong hệ toạ ñộ ðê-các Oxy: Xem phương trình x + ay – a = 0 là phương trình ñường thẳng d. 1 2 Xem phương trình x2 + y2 – x = 0 là phương trình ñường tròn I( ; 0), R= 1 . 2 Hệ có hai nghiệm phân biệt khi chỉ khi ñường thẳng cắt ñường tròn tại hai ñiểm phân biệt 1 −a 2 1 4 ⇔ 1 + a 2 > 1 − 2 a ⇔ 1 + a 2 > 4a 2 − 4 a + 1 ⇔ 0 < a < 2 3 1+ a 1 2) Gọi A, B là các giao ñiểm của ñường tròn I( ; 0) và ñường thẳng d. 2 Khi ñó A(x1 ; y1 ), B(x 2 ; y 2 ) . ⇔ d(I, d) < R ⇔ 2 < AB là một dây cung của ñường tròn nên AB ≤ 2R =1. ðể ý rằng AB = (x1 - x 2 ) 2 + (y1 - y 2 ) 2 . Ta có ñpcm. Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 29 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình VD11. Giải hệ phương trình:  1981  1 + x1 + 1 + x2 + ... + 1 + x1980 = 1980 1980    1 − x + 1 − x + ... + 1 − x = 1980 1979 1 2 1980  1980 HD.  ðặt ai = ( 1 + xi ; 1 − xi ) i = 1, 1980  ⇒ ai = 2 (i = 1, 2, ...., 1980), 1980  ∑a i (1) = 1980 2 i =1 1980 Mặt khác  a ∑ i= i =1 ⇒ 1980  a ∑ i= i =1 ( ( ) 1 + x1 + ... + 1 + x1980 ; 1 − x1 + ... + 1 − x1980 1 + x1 + ... + 1 + x1980 ) + (( 2 1 − x1 + ... + 1 − x1980 ))= 2 = 1980.1981 + 1980.1979 = 1980 2 (2)  Từ (1)&(2) suy ra các véc tơ ai (i = 1,1980) cùng phương, cùng hướng, cùng ñộ dài. Như thế x1 = x2 = ... x1980 ⇒ 1 + x1 = 1 + x2 = ... = 1 + x1980 = ⇒ x1 = x2 = ... x1980 = 1981 1980 1 . 1980 VD12. Giải hệ phương trình:  y + xy 2 = 6 x 2  2 2 2 1 + x y = 5 x (ðHSPHN - A2000) HD. Thấy rằng x = 0 không thoả phương trình thứ hai. Chia hai vế của cả hai phương trình cho x2, ta có: y1  y y2  =6  x  x + y  = 6  2 +  x x ⇔   1  + y2 = 5  1 + y2 = 5  x 2  x 2 1 x ðặt u = + y, v = uv = 6 y ⇒ 2 x u − 2v = 5 * Bài tập luyện tập. 82  2 2 x + y = 9 Bài 1. Giải hệ phương trình   x + 1 + 10 − x + y = 10 + y + 1  y 3 3 y Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 30 (Bộ ñề thi TS) Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Bài 2. Giải hệ phương trình x2 + a2 = y2 + b2 =(x - b)2 + (y - b)2. (Bộ ñề thi TS)  a3 7 + − =0 x y  x2  Bài 3. Cho hệ phương trình  3 x + 7 y − a = 0  y2 (ðHHuế - A97) Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất khi a > 0. Còn ñúng không khi a < 0 ? (2x+y)2 − 5(4 x 2 − y 2 ) + 6(2 x − y )2 = 0 Bài 4. Giải hệ phương trình  1 2 x + y + 2 x − y = 0  (ðHXD - A97)  x + y + xy = 11 Bài 5. Giải hệ phương trình  Bài 6. Giải hệ phương trình Bài 7. Giải hệ phương trình Bài 8. Giải hệ phương trình Bài 9. Giải hệ phương trình (ðHQGHN - D2000) 2 2  x + y + 3( x + y ) = 28  x 2 + y 2 − 3x + 4 y = 1 (ðHSP2HN - A99)  2 2 3x − 2 y − 9 x − 8 y = 3  x 2 + y 2 + xy = 7 (ðHSPHN - B2000)  4 4 2 2  x + y + x y = 21 2 2  x + 3 y + 2 xy = 9 (ðHSP TPhố HCM - A2000)  2 2 2 x + y + 2 xy = 2  xy + x + y = 11 (ðHGTVT - A2000)  2 2  x y + xy = 30 2 x 2 = y 2 + z 2 trong ñó logyx , logzy, logxz theo Bài 10. Giải hệ phương trình   xyz = 64 thứ tự ñó lập thành một cấp số cộng. Bài 11. Tìm a ñể hệ sau có nghiệm (ðHNgoại Ngữ - D2000)  x 2 − 2 xy − 3 y 2 = 8 (ðH AN - A2000)  2 2 4 3 2 2 x + 4 xy + 5 y = a − 4a + 4a − 12 + 105  x + xy + y = m + 2 Bài 12. Cho hệ  2 2  x y + xy = m + 1 1) Giải hệ khi m = - 3. 2) Xác ñịnh m ñể hệ có nghiệm. (ðH CS - A2000)  x   x    +   = 12 Bài 13. Giải hệ phương trình:  y   y   2 ( xy ) + xy = 6 2 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 3 31 (ðH Công ðoàn - A2000) Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Bài 14. Tìm tất cả các giá trị m ñể hệ sau có hai nghiệm phân biệt:  x3 = y 2 + 7 x 2 − mx  3 2 2  y = x + 7 y − my (ðH Vinh - A2000) VI. Phương trình và hệ phương trình không mẫu mực. (Xem phương trình không mẫu mực) VII. Phương trình lượng giác (Xem phương trình lượng giác). VIII. Phương trình vô tỷ. 1. ðưa phương trình về dạng tích. VD. Giải phương trình: x 2 + 2 x + x + 6 = 4 HD. Ta có phương trình ñã cho tương ñương với ( x + 1) 2 + ( x + 1) + 5 = 5 t 2 − (t + 5) + (t + t + 5) = 0 (t + t + 5)(t − t + 5 + 1) = 0 ⇔ ⇔ ⇔ t = x + 1 t = x + 1 2. Giải phương trình trên từng tập con của tập xác ñịnh. VD. Giải phương trình: x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 = 2 x 2 − 5 x + 4 HD. TXð: (−∞;1) ∪ (4; +∞) Phương trình ñã cho tương ñương: ( x − 1)( x − 2) + ( x − 1)( x − 3) = 2 ( x − 1)( x − 4) Thấy ngay x = 1: Thoả phương trình. i) Nếu x ≥ 4 : Phương trình ñã cho tương ñương: ( x − 1) ( x − 2 + x − 3 − 2 x − 4 ) = 0  x −1 = 0 ⇔  x − 2 + x − 3 = 2 x − 4 (1) (2) (1) cho x= 1 (loại). (2) vô nghiệm vì x − 2 > x − 4, x − 3 > x − 4 ⇒ x − 2 + x − 3 > 2 x − 4 ii) nếu x < 1: Phương trình ñã cho tương ñương: (1 − x)(2 − x) + (1 − x)(3 − x) = 2 (1 − x)(4 − x) ⇔ 2− x + 3− x = 2 4− x (3) 2 − x < 4 − x, 3 − x < 4 − x ⇒ 2 − x + 3 − x < 2 4 − x (3) vô nghiệm vì 3. Biến ñổi tương ñương các phương trình. (xem các phương trình chuyển về phương trình bậc nhất) 4. Các phương trình vô tỷ không mẫu mực. (Xem phương trình không mẫu mực) 2009 2 2 VD1. Giải phương trình 2 2009 (1 + x) + 3 1 - x + NhËn thÊy x = ± 1 kh«ng lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh. Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 32 2009 (1 - x) 2 = 0 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Do ®ã ph−¬ng tr×nh ®6 cho t−¬ng ®−¬ng víi: 1 + x 2009 1 - x + + 3 = 0 (1) 1-x 1+x 1+x 1-x 1 2009 2009 = = t . Suy ra: §Æt: 1-x 1+x t 22009 Ph−¬ng tr×nh (1) trë thµnh:  1 2 2t + + 3 = 0 ⇔ 2t + 3t + 1 = 0 ⇔  t = - 1 t t = -1  + Víi t = - 1: 2009 2 1+x 1+x = −1 ⇒ = −1 : Ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm 1-x 1-x 2009 1 + x 1 1 + x 1 1 + 2 1 =− ⇒ = − 2009 ⇒ x = + Víi t = - : 2009 1-x 2 1-x 2 1 - 22009 2 VD2. Giải phương trình sau: x 4 + x 2 + 2009 = 2009 1 1 HD. Cách 1. x 4 + x 2 + 2009 = 2009 ⇔ x 4 + x 2 + = x 2 + 2009 − x 2 + 2009 + 4 4 2 1  1  ⇔  x 2 +  =  x 2 + 2009 −  2  2  2 Cách 2: ðặt (1) y = x 2 + 2009 ⇒ y 2 = x 2 + 2009 từ pt ñã cho suy ra : x 4 + y = 2009 Từ (1) và (2) suy ra: x 4 + y = y 2 − x 2 (1) (2) ⇔ x 4 + x 2 + y − y 2 = 0 ⇔ ( x 2 + y )( x 2 − y + 1) = 0 Cách 3: pt ñã cho tương ñương: x 4 − ( x 2 + 2009) + x 2 + x 2 + 2009 = 0 ⇔ ( x 2 + x 2 + 2009)( x 2 − x 2 + 2009 + 1) = 0 VD3. Giải phương trình: 1 + 1 − x 2 = x(1 + 2 1 − x 2 ) HD. ðK: x ≤ 1 . ðặt x = sin t , t ∈  − ;   2 2 π π Phương trình ñã cho trở thành : Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 33 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 1 + cost = sin t (1 + 2cost) ⇔ 2cos ⇔t= t 3t t t 3t  = sin t + sin 2t = 2sin cos ⇔ cos  2 sin − 1 = 0 2 2 2 2 2  (Do t ∈  − ;  ) 6  2 2 π π π Suy ra x = 1 2 VD4. Giải phương trình: 1− 2x 1 + 2x + 1 + 2x 1 − 2x 1 − 2x + 1 + 2x = 1 2 HD. ðK: x < . ðặt 2x = cost, t ∈ (0; π ) Phương trình ñã cho trở thành: 2  sin + cos  = tan + cot 2 2 2 2 t t t  t  2 4 t t  ⇔ 2(1 + sin t ) = ⇔ sin 3 t + sin 2 t − 2 = 0 2  sin + cos  = 2 sin t 2 2  sin t  ⇔ sin t = 1 ⇒ cost = 0 ⇒ x = 0 ⇔ VD6. Tìm m ñể phương trình: 4 x 4 − 13x + m + x − 1 = 0 có ñúng 1 nghiệm ( B2007-TK1) HD. 4 x 4 − 13x + m + x − 1 = 0 (1) (1) ⇔ 4 x 4 − 13x + m = 1 − x  x ≤ 1 x ≤ 1 ⇔ 4 4 ⇔  3 2 4 x − 6 x − 9 x − 1 = − m  x − 13 x + m = (1 − x ) ycbt ⇔ ñường thẳng y = – m cắt phần ñồ thị f(x) = 4x3 – 6x2 – 9x – 1 với x ≤ 1 tại 1 ñiểm f(x) = 4x3 – 6x2 – 9x – 1 TXð: x ≤ 1 f'(x) = 12x2 – 12x – 9 = 3(4x2 – 4x – 3) 1 2 f'(x) = 0 ⇔ 4x2 – 4x – 3 = 0 ⇔ x = − ∨ x = x –∞ f' + f –1 /2 0 3 1 – – /2 0 Cð –∞ +∞ + +∞ –12 CT Từ bảng biến thiên ta có: ycbt ⇔ − m = 3 2 3 3 ∨ − m < −12 ⇔ m = − ∨ m > 12 2 2 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 34 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình * Bài tập luyện tập. Bài 1. Giải và biện luận theo m phương trình: x 2 − 2m + 2 x 2 − 1 = x 1 2 Bài 2. Giải và biện luận theo a phương trình: x + x + + x + 1 =0 4 Bài 3. Giải và biện luận theo m phương trình: x 2 − 2mx + 1 + 2 = m Bài 4. Giải và biện luận theo a phương trình: a + x = a − a − x Bài 5. Giải phương trình: 2(1 – x) x 2 + 2 x − 1 = x 2 − 2 x − 1 (ðHDược HN – A97) 2 2 Bài 6. Giải phương trình: (4x – 1) x + 1 = x + 2 x + 1 Bài 7. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm : x – m = 2 x 2 + mx + 3 (ðHGTVT- A98) 2 2 Bài 8. Giải phương trình: x − 3x + 3 + x − 3x + 6 = 3 (ðHThương Mại – A98) 2 2 Bài 9. Giải phương trình: 3 − x + x + 2 + x − x = 1 (ðHNgoại Thương – A99) Bài 10. Giải phương trình: x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2 (ðHQuy Nhơn – A99) Bài 11. Giải và biện luận theo a phương trình: 2 a + x − a − x = a − x + x(a + x) Bài 12. Giải phương trình: x 2 + +5 = 5 Bài 13. Giải phương trình: x + 2ax − a 2 + x − 2ax − a 2 = 2a x2 Bài 14. Giải phương trình: − 3x − 2 = 1 − x 3x − 2 Bài 15. Giải phương trình: 3 x − 1 + 3 x − 2 = 3 2 x − 3 2 Bài 16. Giải phương trình: 1 + x − x 2 = x + 1 − x 3 Bài 17. Giải phương trình: Bài 18. Giải phương trình: (ðHQGHN – A2000) x( x − 1) + x( x + 2) = 2 x 2 (ðHSP2HN – A2000) a ( x − 1) 1 1 + = (ðHBKHN – A2000) x +1 x −1 x Một số phương trình vô tỷ qua các kỳ thi ðH từ 2005 – 2008 Bài 19. A2008. T×m c¸c gi¸ trÞ tham sè m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã ®óng hai nghiÖm thùc ph©n biÖt: 4 2x + 2x + 4 6 – x + 6 – x = m ( m ∈ R ) Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 35 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Bài 20. A2007. T×m m ®Ó ph−¬ng ttr×nh sau cã nghiÖm thùc 3 x – 1 + m x + 1 = 2 4 x2 – 1 Bài 21. B2007. Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ d−¬ng cña tham sè m, ph−¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm thùc ph©n biÖt: x2 + 2x – 8 = m(x – 2) Bài 22. B2007-TK2. Tìm m ñể phương trình: 4 x 2 + 1 − x = m có nghiệm. Bài 23. D2007-TK1. Tìm m ñể phương trình: x − 3 − 2 x − 4 + x − 6 x − 4 + 5 = m có ñúng 2 nghiệm 2x − y − m = 0 có nghiệm Bài 24. D2007-TK2. Tìm m ñể hệ phương trình :  x + xy = 1 duy nhất Bài 25. B2006. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm thùc ph©n biÖt: x 2 + mx + 2 = 2x + 1 Bài 26. D2006. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2x – 1 + x 2 – 3x + 1 = 0 (x ∈ R ) Bài 27. B2006-TK1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3x – 2 + x – 1 = 4x – 9 +2 3x 2 – 5x + 2, x ∈ R Bài 28. D2006-TK2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x + 2 7 – x = 2 x – 1 + – x 2 + 8x – 7, x ∈ R Bài 29. D2005. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2 x + 2 + 2 x + 1 – x + 1 = 4 (x, y ∈ R ) IX. Hệ phương trình vô tỷ. Phương pháp giải 1. Biến ñổi về tích. 2. Giải hệ trên từng tập con của tập xác ñịnh. 3. Biến ñổi tương ñương. 4. Sử dụng các phương pháp giải phương trình không mẫu mực. • ðặt ẩn phụ. • ðối lập. • PP hàm số dự ñoán và chứng minh không còn nghiệm. • Khảo sát hàm số. • Dùng dấu hiệu cần và ñủ. • Dùng min max. • PP Hình học Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 36 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình  x+y-1 =1 VD1. Giải hệ phương trình   x – y + 2 = 2y – 2 HD. Hệ phương trình ñã cho tương ñương: 1  x = 2 – y x = 2 – y x + y = 2 x=    2   2 2 2  x – y + 2 = 4y – 8y + 4 ⇔ 2 – 2y + 2 = 4y – 8y + 4 ⇔ 4y – 6y = 0 ⇔  y ≥ 1 y ≥ 1 y = 3 y ≥ 1     2  x 2 + x + y + 1 + VD2. Giải hệ phương trình   x 2 + x + y + 1 + y 2 + x + y + 1 + x + y = 18 y2 + x + y + 1 – x – y = 2 HD. Hệ phương trình ñã cho tương ñương:  x 2 + x + y + 1 +   x + y = 8  x 2 + 9 + y 2 + 9 = 10 ⇔  x + y = 8 (x + y) 2 – 2xy + 2 (xy)2 + 9(x + y ) 2 − 18 xy + 81 = 82  x 2 + y 2 + 18 + 2 (x 2 + 9)(y 2 + 9) = 100 ⇔ ⇔  x + y = 8  x + y = 8 y 2 + x + y + 1 = 10 64 – 2xy + 2 (xy) 2 + 9.64 − 18 xy + 81 = 82  (xy) 2 + 9.64 − 18 xy + 81 = 9 + xy ⇔ ⇔  x + y = 8  x + y = 8 2 2 (xy) + 9.64 − 18 xy + 81 = 81 + 18xy + (xy) 36xy = 9.64  xy = 16 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = y = 4. x + y = 8 x + y = 8 x + y = 8 2x + y – 1 = m VD3. Cho hệ phương trình  2y + x-1=m a) Giải hệ khi m = 5. b) Giải và biện luận theo m. HD. 2 u = x – 1 ≥ 0  x = u + 1 §Æt  ⇔ , hÖ ph−¬ng tr×nh ®6 cho trë thµnh: 2  v = y – 1 ≥ 0  y = v + 1 2 2 (1) 2(u +1) + v = m 2u + v = m – 2 ⇔   2 2 (2)  2(v +1) + u = m  2v + u = m – 2 (3) u − v = 0 Suy ra: 2(u 2 − v 2 ) − (u − v) = 0 ⇔  (4)  2(u + v) − 1 = 0 (3′) u = v • Tõ (3) ta cã hÖ  2 (3″) 2u + u – m + 2 = 0 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 37 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình  1  1 v = 2 – u v = – u ⇔ 2 • Tõ (4) ta cã hÖ  1 2 2u + – u – m + 2 = 0 4u2 – 2u – 2m + 5 = 0   2 (4′) (4″) a) m = 5: u = v ⇔ u = v = 1 ( do u, v ≥ 0 ) ⇔ x = y = HÖ (3’)&(3”) cho ta  2 2u + u – 3 = 0 2 HÖ (4’)&(4”) cho ta:  1+ 21  1 u = v = u   4 ⇔  2 4u2 – 2u – 5 = 0 v = 1− 21   4  1+ 21 2 x =   +1   4  ( do u, v ≥ 0 ) ⇔  2  1− 21   +1 y =    4  b) Gi¶i vµ biÖn luËn theo m: • HÖ (3’)&(3”) cho nghiÖm khi vµ chØ khi (3”) cã nghiÖm kh«ng ©m. 1 Nh−ng S = – < 0 nªn nÕu (3”) cã nghiÖm th× cã Ýt nhÊt mét nghiÖm ©m. 2 VËy (3”) cã nghiÖm kh«ng ©m ⇔ y1 < 0 ≤ y2 ⇔ P ≤ 0 ⇔ 2 − m ≤ 0 ⇔ m ≥ 2 2  −1 + 8m − 15  −1 + 8m − 15 Khi ®ã u = v = ⇔ x = y =   + 1 . 4 4   • ThÊy r»ng hÖ (4’)&(4”) nÕu cã hai nghiÖm th× u1 + u2 = = 1 , mÆt kh¸c u + v 2 1 nªn khi ®ã u, v cïng lµ nghiÖm cña (4”). VËy hÖ (4’)&(4”) cho nghiÖm 2 khi vµ chØ khi (4”) cã hai nghiÖm kh«ng ©m:  ∆' = 8m - 19 ≥ 0  19 5 Ta ph¶i cã: P = 5 - 2m ≥ 0 ⇔ ≤m≤ . 8 2  1 S = > 0  2 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 38 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Suy ra : 2 2      + − − − 1 8 m 19 1 8 m 19  1 + 8m − 19 1 − 8m − 19 x =   + 1, y =   + 1 , v=  u = 4 4      4 4  ⇔ 2 2  1 − 8m − 19 1 − 8m − 19      1 8 19 1 8 19 m m − − + − , v= u=  + 1, y =   + 1  x =   4 4 4 4      KL: i) m < 2: V« nghiÖm 2  −1 + 8m − 15  19 ii) 2 ≤ m < : x = y =   + 1 8 4   2  −1 + 8m − 15  19 5 iii) ≤ m ≤ : x = y =   + 1 8 2 4   2 2  1 + 8m − 19   1 − 8m − 19  x =   + 1, y =   + 1 4 4     2 2  1 − 8m − 19   1 + 8m − 19  x =   + 1, y =   + 1 4 4      x y + y x = 30 VD4. Giải hệ phương trình   x x + y y = 35 HD. Cách 1.  x =u≥0 ðặt  , hệ ñã cho trở thành :  y = v ≥ 0 2 2 uv(u + v) = 30 uv(u + v) = 30 uv = 6 u v + uv = 30 ⇔ ⇔ ⇔  3 3 3 3  u + v = 35 u+v=5  (u + v) - 3uv(u + v) = 35  (u + v) - 90 = 35 u = 3, v = 2 ⇔ u = 2, v = 3  x = 9, y = 4 ⇔   x = 4, y = 9 Cách 2. Thấy rằng x = 0 không thoả. ðặt thành: y = t x , t ≥ 0 . Hệ ñã cho trở 2 2 t + t2 6 t 6  xt x + t x x = 30  x x (t + t ) = 30 ⇔ ⇒ = ⇔ 2 =   3 3 3 7 t − t +1 7  x x + t x x = 35  x x (1 + t ) = 35 1 + t Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 39 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình  1 − VD5. Giải hệ phương trình:   1 +   HD. ðK: x ≥ 0, y ≥ 0, y + 3x > 0 . 12   x =2 y + 3x  (VMO – 2006 – 2007) 12   y =6 y + 3x  12  1 − y + 3x = Hệ phương trình ñã cho tương ñương  1 + 12 =  y + 3x 9 1 12 Nhân từng vế: − = ⇔ y 2 + 6 xy − 27 y 2 = 0 ⇔ y x y + 3x 3  1 2  x+ y =1 x  ⇔ 6  3 − 1 = 12  y y x y + 3x y = 3x, y = −9 x  x 2 + 2x + 22 – y = y 2 + 2y + 1 VD6. Giải hệ phương trình:   y 2 + 2y + 22 – x = x 2 + 2x + 1 ( Thi HSG 12- QBình – 26/11/2008) HD. HÖ ph−¬ng tr×nh ®6 cho:    x 2 + 2x + 22 y2 + 2y + 22 – y = y2 + 2y + 1 = x 2 + 2x + 1 x t−¬ng ®−¬ng víi:    (x + 1 ) 2 + 2 1 – y = (y + 1 ) 2 (y + 1 ) 2 + 2 1 – x = (x + 1 ) 2  u 2 + 21 ta cã:  u = x + 1 ≥ 1 v = y + 1 ≥ 1 §Æt:   v – 1 = v2 v 2 + 21 – u – 1 = u2 u-1 – v – 1 = v2 – u2 (1 ) (2 ) Trõ tõng vÕ (1)&(2): u 2 + 21 − u 2 + 21 + XÐt hµm sè f(t) = v 2 + 21 + u – 1 + u2 = t 2 + 21 + t f ‘( t ) = t 2 + 21 v 2 + 21 + v – 1 + v2 (3 ) t – 1 + t 2 , t ≥ 1. + 2 1 t – 1 + 2t > 0 , ∀ t > 1. f(t) liªn tôc ph¶i t¹i t = 1. Suy ra f(t) ®ång biÕn trªn [1; + ∞ ) (3) ⇔ f(u) = f(v); ∀ u, v ∈ [1; + ∞ ) ⇔ u = v. Thay vµo (1): u 2 + 21 – u – 1 = u2 ⇔ u2 − ThÊy r»ng u = 2 tho¶ (4) XÐt hµm sè: g (u ) = u 2 − u 2 + 2 1 + Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 40 u 2 + 21 + u – 1, u ≥ 1 u -1 = 0 (4) Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình u g ‘(u ) = 2 u − + u 2 + 21 1 > 0, ∀ u > 1 2 u -1 trªn [1; + ∞ ) g(u) liªn tôc ph¶i t¹i u = 1 nªn ®ång biÕn Suy ra u = 2 lµ nghiÖm duy nhÊt cña (4). VËy u = v = 2 lµ nghiÖm cña hÖ (1)&(2) hay x = y = 1 lµ nghiÖm cña hÖ ®6 cho. y  x e = 2007 − 2 y −1 VD7. Chứng minh rằng hệ phương trình  có ñúng 2 x y e = 2007 −  x2 − 1 nghiệm thỏa mãn ñiều kiện x > 0, y > 0. HD. ðặt: f(t) = et, g ( t ) = t t −1 2 −1 ;g/ (t) = (t − 1) 2 < 0, ∀ t > 1 3 2 Ta có f tăng trên và g giảm trên từng khoảng xác ñịnh. Hệ phương trình (1) ⇔  f (x ) + g (y ) = 2007 ⇒ f(x) + g(y) = f(y) + g(x) (∗)  f (y ) + g (x ) = 2007 Nếu x > y ⇒ f(x) > f(y) ⇒ g(y) < g(x) ( do(∗) ⇒ y > x ( do g giảm ) ⇒ vô lý. Tương tự khi y > x cũng dẫn ñến vô lý. x  x Do ñó, (1) ⇔ (2) e + x 2 − 1 − 2007 = 0 Xét: h(x ) = ex + x = y x x2 − 1 − 2007 (|x| > 1 ) Nếu x < –1 thì h(x) < e–1 – 2007 < 0 ⇒ hệ vô nghiệm Khi x > 1 ⇒ h’ (x ) = e x − h ” ( x ) = e x + 1 (x 2 3 ) ( ) = ex − x2 − 1 −1 2 5 − 3 x 2 − 1 ) 2 .2 x = e x + ( 2 3x (x 2 5 − 3 2 > 0 − 1 )2 h ( x ) = +∞ và lim h(x ) = +∞ , xlim →+∞ x →1+ Vậy h(x) liên tục và có ñồ thị là ñường cong lõm trên (1, +∞) Do ñó ñể chứng minh (2) có 2 nghiệm dương ta chỉ cần chứng minh tồn tại x0 > 1 mà h(x0) < 0 Chọn x0 = 2 ⇒ h ( 2 ) = e2 + 2 − 2007 < 0 3 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 41 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Suy ra: h(x) = 0 có ñúng 2 nghiệm x1 > 1, x2 > 1 *Bài tập luyện tập:  x+y + x-y =m Bài 1. Giải và biện luận theo m hệ phương trình  2 2 2 2 2  x + y + x – y = m  x + y =a Bài 2. Giải và biện luận theo a hệ phương trình   x + y – xy = a 2( x + y )= 3 3 x 2 y + 3 xy 2 Bài 3. Giải hệ phương trình   3 x 2 y + 3 xy 2 = 6   x+1+ y+2 =a Bài 4. Tìm a ñể hệ phương trình sau có nghiệm   x + y = 3a ( )  x+1+ y =m Bài 5. Tìm m ñể hệ phương trình sau có nghiệm   y + 1 + x = 1  x – y = 3m Bài 6. Giải và biện luận theo m hệ phương trình:  2y + xy = 0 (ðN – A98)  x y 7 + = +1  x xy Bài 7. Giải hệ phương trình:  y   x xy + y xy = 78 (HH – A99)  x y + y x = 30 Bài 8. Giải hệ phương trình:   x x + y y = 35  x+y – x-y =m Bài 9. Giải và biện luận theo m hệ phương trình:  2 2 2 2 2  x + y + x − y = m  x + y =a Bài 10. Giải và biện luận theo a hệ phương trình:   x + y – xy = a  x + y =a Bài 11. Giải và biện luận theo m phương trình:   x + y – xy = a 2 2  xy + x + y = x – 2y Bài 12. D2008. Gi¶i hÖ pt   x 2y – y x – 1 = 2x – 2y Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 42 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 1 1  x + x + y + y = 5 Bài 13. D2007. Gi¶i hÖ pt   x 3 + 1 + y3 + 1 = 15m – 10  x3 y3 (Khèi D) 2x − y − m = 0 Bài 14. D2007-TK2.. Tìm m ñể hệ phương trình :  có nghiệm x + xy = 1 duy nhất.  x + y – xy = 3 Bài 15. A2006. Gi¶i hệ ph−¬ng tr×nh  (x, y ∈ R )  x + 1 + y + 1 = 4  2x + y +1 − x + y = 1 Bài 16. A2005-TK2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :  3x + 2 y = 4  2x + y +1 − x + y = 1 Bài 17. B2005-TK1. Giaûi heä phöông trình :  3x + 2 y = 4 Trần Xuân Bang – GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 43
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top