Phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số – Nguyễn Tất Thu

Giới thiệu Phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số – Nguyễn Tất Thu

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và quý thây cô Phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số – Nguyễn Tất ThuChương Tổ hợp và Xác Xuất.

Tài liệu môn Toán 11  và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất nhé.

Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm về môn Toán.

Text Phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số – Nguyễn Tất Thu
M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ SӢ GIÁO DӨC & ĈÀO TҤO ĈӖNG NAI Trѭӡng THPT BC Lê Hӗng Phong Giáo viên thӵc hiӋn NGUYӈN TҨT THU Năm hӑc: 2008 – 2009 -1- M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ MӨC LӨC MӨC LӨC…………………………………………………………………………………………………………………… 1 LӠI MӢ ĈҪU……………………………………………………………………………………………………………… 3 I. SӰ DӨNG CSC – CSN Ĉӆ XÂY DӴNG CÁCH TÌM CTTQ CӪA MӜT SӔ DҤNG DÃY SӔ CÓ CÔNG THӬC TRUY HӖI ĈҺC BIӊT. …………………………………………………… 4 II. SӰ DӨNG PHÉP THӂ LѬӦNG GIÁC Ĉӆ XÁC ĈӎNH CTTQ CӪA DÃY SӔ……….. 24 III. ӬNG DӨNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CӪA DÃY SӔ VÀO GIҦI MӜT SӔ BÀI TOÁN Vӄ DÃY SӔ – TӘ HӦP………………………………………………………………………………….. 30 BÀI TҰP ÁP DӨNG ………………………………………………………………………………………………….. 41 KӂT LUҰN – KIӂN NGHӎ………………………………………………………………………………………… 45 TÀI LIӊU THAM KHҦO ………………………………………………………………………………………….. 46 -2- M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ LӠI MӢ ĈҪU Trong chѭѫng trình toán hӑc THPT các bài toán liên quan ÿӃn dãy sӕ là mӝt phҫn quan trӑng cӫa ÿҥi sӕ và giҧi tích lӟp 11 , hӑc sinh thѭӡng gһp nhiӅu khó khăn khi giҧi các bài toán liên qua ÿӃn dãy sӕ và ÿһc biӋt là bài toán xác ÿӏnh công thӭc sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy sӕ . Hѫn nӳa ӣ mӝt sӕ lӟp bài toán khi ÿã xác ÿӏnh ÿѭӧc công thӭc tәng quát cӫa dãy sӕ thì nӝi dung cӫa bài toán gҫn nhѭ ÿѭӧc giҧi quyӃt. Do ÿó xác ÿӏnh công thӭc tәng quát cӫa dãy sӕ chiӃm mӝt vӏ trí nhҩt ÿӏnh trong các bài toán dãy sӕ. Chuyên ÿӅ “M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ ” nhҵm chia sҿ vӟi các bҥn ÿӗng nghiӋp mӝt sӕ kinh nghiӋm giҧi bài toán xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ mà bҧn thân ÿúc rút ÿѭӧc trong quá trình hӑc tұp và giҧng dҥy. Nӝi dung cӫa chuyên ÿӅ ÿѭӧc chia làm ba mөc : I: S͵ dͭng CSC – CSN ÿ͋ xây d͹ng ph˱˯ng pháp tìm CTTQ cͯa m͡t s͙ d̩ng dãy s͙ có d̩ng công thͱc truy h͛i ÿ̿c bi͏t. II: S͵ dͭng ph˱˯ng pháp th͇ l˱ͫng giác ÿ͋ xác ÿ͓nh CTTQ cͯa dãy s͙ III: Ͱng dͭng cͯa bài toán xác ÿ͓nh CTTQ cͯa dãy s͙ vào gi̫i m͡t s͙ bài toán v͉ dãy s͙ – t͝ hͫp . Mӝt sӕ kӃt quҧ trong chuyên ÿӅ này ÿã có ӣ mӝt sӕ sách tham khҧo vӅ dãy sӕ, tuy nhiên trong chuyên ÿӅ các kӃt quҧ ÿó ÿѭӧc xây dӵng mӝt cách tӵ nhiên hѫn và ÿѭӧc sҳp xӃp tӯ ÿѫn giҧn ÿӃn phӭc tҥp giúp các em hӑc sinh nҳm bҳt kiӃn thӭc dӉ dàng hѫn và phát triӇn tѭ duy cho các em hӑc sinh. Trong quá trình viӃt chuyên ÿӅ, chúng tôi nhұn ÿѭӧc sӵ ÿӝng viên, giúp ÿӥ nhiӋt thành cӫa BGH và quý thҫy cô tә Toán Trѭӡng THPT BC Lê Hӗng Phong. Chúng tôi xin ÿѭӧc bày tӓ lòng biӃt ѫn sâu sҳc. Vì năng lӵc và thӡi gian có nhiӅu hҥn chӃ nên ӣ chuyên ÿӅ sӁ có nhӳng thiӃu sót. Rҩt mong quý Thҫy – Cô và các bҥn ÿӗng nghiӋp thông cҧm và góp ý ÿӇ chuyên ÿӅ ÿѭӧc tӕt hѫn. -3- M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ MӜT SӔ PHѬѪNG PHÁP XÁC ĈӎNH CÔNG THӬC TӘNG QUÁT CӪA DÃY SӔ I. SӰ DӨNG CSC – CSN Ĉӆ XÂY DӴNG CÁCH TÌM CTTQ CӪA MӜT SӔ DҤNG DÃY SӔ CÓ CÔNG THӬC TRUY HӖI ĈҺC BIӊT. Trong mөc này chúng tôi xây dӵng phѭѫng pháp xác ÿӏnh CTTQ cӫa mӝt sӕ dҥng dãy sӕ có công thӭc truy hӗi dҥng ÿһc biӋt. Phѭѫng pháp này ÿѭӧc xây dӵng dӵa trên các kӃt quҧ ÿã biӃt vӅ CSN – CSC , kӃt hӧp vӟi phѭѫng pháp chӑn thích hӧp. Trѭӟc hӃt chúng ta nhҳc lҥi mӝt sӕ kӃt quҧ ÿã biӃt vӅ CSN – CSC . 1. Sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ cӝng và cҩp sӕ nhân 1.1: Sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ cӝng Ĉ͓nh nghƭa: Dãy sӕ UN có tính chҩt UN = UN − + D ∀N ≥  , D là sӕ thӵc không ÿәi gӑi là cҩp sӕ cӝng . D : gӑi là công sai cӫa CSC; U : gӑi sӕ hҥng ÿҫu, UN gӑi là sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ Ĉ͓nh lí 1: Cho CSC UN . Ta có : UN = U + N −  D (1). Ĉ͓nh lí 2: Gӑi 3N là tәng n sӕ hҥng ÿҫu cӫa CSC UN có công sai d. Ta có: N ;U + N −  D = (2).  1. 2: Sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ nhân Ĉ͓nh nghƭa: Dãy sӕ UN có tính chҩt UN + = QUN ÅÅÅ∀N ∈ ` gӑi là cҩp sӕ nhân công bӝi Q . 3N = N − Ĉ͓nh lí 3: Cho CSN UN có công bӝi Q . Ta có: UN = UQ (3). Ĉ͓nh lí 4: Gӑi 3N là tәng n sӕ hҥng ÿҫu cӫa CSN UN có công bӝi Q . Ta có:  QN 3N = U  Q (4). -4- M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ 2. Áp dөng CSC – CSN ÿӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa mӝt sӕ dҥng dãy sӕ ÿһc biӋt Ví dͭ 1.1: Xác ÿӏnh sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy sӕ UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi: U =  ÅUN = UN − − ÅÅÅÅÅÅÅ∀N ≥  . Giҧi: Ta thҩy dãy UN là mӝt CSC có công sai D = − . Áp dөng kӃt quҧ (1) ta có: UN =  − N −  = −N +  . Ví dͭ 1.2: Xác ÿӏnh sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy sӕ UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi: U =  ÅUN = UN − ÅÅÅÅÅÅÅ∀N ≥  . Giҧi: Ta thҩy dãy UN là mӝt CSN có công bӝi Q =  . Ta có: UN = N − . Ví dͭ 1.3: Xác ÿӏnh sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi: U = − ÅÅUN = UN − − ÅÅÅÅÅÅÅ∀N ≥  . Giҧi: Trong bài toán này chúng ta gһp khó khăn vì dãy UN không phҧi là CSC hay CSN! Ta thҩy dãy UN không phҧi là CSN vì xuҩt hiӋn hҵng sӕ − ӣ VT. Ta tìm cách làm mҩt − ÿi và chuyӇn dãy sӕ vӅ CSN.   Ta có: − = − + nên ta viӃt công thӭc truy hӗi cӫa dãy nhѭ sau:      (1). UN − = UN − − = UN − −      Ĉһt VN = UN − Ÿ V = − và VN = VN − ÅÅ∀N ≥  . Dãy VN là CSN công bӝi Q =        Ÿ VN = VQ N − = − N − . Vұy UN = VN + = − N + ∀N =     .       Nh̵n xét: Mүu chӕt ӣ cách làm trên là ta phân tích − = − + ÿӇ chuyӇn công thӭc   truy hӗi cӫa dãy vӅ (1), tӯ ÿó ta ÿһt dãy phө ÿӇ chuyӇn vӅ dãy VN là mӝt CSN. Tuy nhiên viӋc làm trên có vҿ không tӵ nhiên lҳm! Làm thӃ nào ta biӃt phân tích   − = − + ? Ta có thӇ làm nhѭ sau:   -5- M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ Ta phân tích − = K − K Ÿ K =  .  ­°U = X  . Vӟi cách làm này ta xác ÿӏnh ÿѭӧc CTTQ cӫa dãy UN  ®  = + ∀ ≥ U AU B N ÅÅÅ  °̄ N N − Thұt vұy: * NӃu A =  thì dãy UN là CSC có công sai D = B nên UN = U + N −  B . AB B . Khi ÿó công thӭc truy hӗi cӫa dãy ÿѭӧc viӃt nhѭ − A − A − B B B B sau: UN + = AUN − + , tӯ ÿây ta có ÿѭӧc: UN + = U + A N − A − A − A − A − A N − −  Hay UN = UA N − + B . A − Vұy ta có kӃt quҧ sau: * NӃu A ≠  , ta viӃt B = Dҥng 1: Dãy sӕ UN  U = X  ÅUN = AUN − + B Å∀N ≥  (A B ≠  là các hҵng sӕ) có CTTQ là: ­U + N −  B ÅÅÅÅÅKHIÅÅÅÅA =  °  UN = ® ÅÅÅ . A N − −  N − +B ÅÅKHIÅA ≠  °UA ¯ A − Ví dͭ 1.4: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN ÿѭӧc xác ÿӏnh : U =  ÅUN = UN − + N −  . Giҧi: ĈӇ tìm CTTQ cӫa dãy sӕ ta tìm cách làm mҩt N −  ÿӇ chuyӇn vӅ dãy sӕ là mӝt CSN. Muӕn làm vұy ta viӃt : N −  = −N −  +  ª¬N −  + º¼ (2). Khi ÿó công thӭc truy hӗi cӫa dãy ÿѭӧc viӃt nhѭ sau: UN + N +  =  ª¬UN + N −  +  º¼ . Ĉһt VN = UN + N +  , ta có: V =  và VN = VN − Å∀N ≥  Ÿ VN = VN − = N − Vұy CTTQ cӫa dãy UN  UN = VN − N −  = N − N − ÅÅ∀N =     . Chú ý : 1) ĈӇ phân tích ÿѭӧc ÿҷng thӭc (2), ta làm nhѭ sau: -6- M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ ­°A − B =  ­°A = − ⇔® N −  = AN + B −  ª¬AN −  + B º¼ . Cho N =  N =  ta có: ® . − B =  B = −  °¯ ¯° ­°U 2) Trong trѭӡng hӧp tәng quát dãy UN  ®  , trong ÿó F N U AU F N N  ÅÅ  = + ∀ ≥ °̄ N N − ( ) là mӝt ÿa thӭc bұc K theo N , ta xác ÿӏnh CTTQ nhѭ sau: Phân tích F N = GN − AGN −  (3) vӟi GN cNJng là mӝt ÿa thӭc theo N . Khi ÿó ta có: UN − GN = A ª¬UN − − GN −  º¼ =  = A N − ª¬U − G º¼ Vұy ta có: UN = ª¬U − G  º¼ A N − + G N . Vҩn ÿӅ còn lҥi là ta xác ÿӏnh GN nhѭ thӃ nào ? Ta thҩy : *NӃu A =  thì GN − AGN −  là mӝt ÿa thӭc có bұc nhӓ hѫn bұc cӫa GN mӝt bұc và không phө thuӝc vào hӋ sӕ tӵ do cӫa GN , mà F N là ÿa thӭc bұc K nên ÿӇ có (3) ta chӑn GN là ÿa thӭc bұc K +  , có hӋ sӕ tӵ do bҵng không và khi ÿó ÿӇ xác ÿӏnh GN thì trong ÿҷng thӭc (3) ta cho K +  giá trӏ cӫa N bҩt kì ta ÿѭӧc hӋ K +  phѭѫng trình, giҧi hӋ này ta tìm ÿѭӧc các hӋ sӕ cӫa GN . * NӃu A ≠  thì GN − AGN −  là mӝt ÿa thӭc cùng bұc vӟi GN nên ta chӑn GN là ÿa thӭc bұc K và trong ÿҷng thӭc (3) ta cho K +  giá trӏ cӫa N thì ta sӁ xác ÿӏnh ÿѭӧc GN . Vұy ta có kӃt quҧ sau: ­°U = X  , trong Dҥng 2: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi: ®  °̄UN = AUN − + F N ÿó F N là mӝt ÿa thӭc bұc K theo N ; A là hҵng sӕ. Ta làm nhѭ sau: Ta phân tích: F N = GN − AGN −  vӟi GN là mӝt ÿa thӭc theo N . Khi ÿó, ta ÿһt VN = UN − GN ta có ÿѭӧc: UN = ª¬U − G º¼ A N − + GN . Lѭu ý nӃu A =  , ta chӑn GN là ÿa thӭc bұc K +  có hӋ sӕ tӵ do bҵng không, còn nӃu A ≠  ta chӑn GN là ÿa thӭc bұc K . ­°U =  Ví dͭ 1.5: Cho dãy sӕ UN  ®  . Tìm CTTQ cӫa dãy UN . = + + U U  N  °̄ N N − Giҧi: Ta phân tích N +  = GN − GN −  = A ªN  − N −   º + B ª¬N − N −  º¼ ¬ ¼ -7- M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ ( trong ÿó GN = AN  + BN ). ­° −A + B =  Cho N =  N =  ta có hӋ: ® ⇔ A B  + = ¯° ­°A =  Ÿ GN = N  + N . ® B  = ¯° Ÿ UN = N  + N −  . ­°U =  .Tìm CTTQ cӫa dãy UN . Ví dͭ 1.6: Cho dãy sӕ UN  ® N U  U  ÅÅÅ N    = + = °̄ N N − Giҧi: Ta vүn bҳt chѭӟc cách làm trong các ví dө trên, ta phân tích: N = AN − AN − . Cho N =  , ta có: A = − Ÿ N = −N + N − Nên ta có: UN + N = UN − + N − =  = N −U +  Vұy UN = N − − N + . Chú ý : Trong trѭӡng hӧp tәng quát dãy UN  UN = AUN − + Bα N , ta phân tích ( α N = K α N − AK α N − vӟi A ≠ α . ) ( Khi ÿó: UN − KBα N = A UN − − KBα N − =  = A N − U − BK ) Suy ra UN = A N −U − BK + BK α N . Trѭӡng hӧp α = A , ta phân tích α N = Nα N − α N −  α N − ( ) Ÿ UN − BNα N = α UN − − BN −  α N − =  = α N −U − Bα Ÿ UN = BN −  α N + Uα N − . Vұy ta có kӃt quҧ sau. ­°U Dҥng 3: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN  ® , ta làm nhѭ N = + ∀ ≥ α   Å  U A U B N °̄ N N − sau: •Å NӃu A = α Ÿ UN = BN −  α N + Uα N − . •Å NӃu A ≠ α , ta phân tích α N = K α N − AK α N − . Khi ÿó: UN = A N −U − BK + BK α N Ta tìm ÿѭӧc: K = α α −A . -8- M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ ­°U = − Ví dͭ 1.7: Tìm CTTQ cӫa dãy UN  ® . N N = + − + = U  U   ÅÅ N   Å °̄ N N − ­  °°K = −  ®  °L = °̄  Hѫn nӳa  = − +  nên công thӭc truy hӗi cӫa dãy ÿѭӧc viӃt lҥi nhѭ sau: ­°N = K N − K N − Giҧi: Ta có: ® N cho N =  , ta ÿѭӧc: N N − = −  L   L  °̄ ( ) UN + N + N +  =  UN − + N − + N − +  =  = N −U +  +  +  Vұy UN = N − − N + − N + −  . ­°U =  . Ví dͭ 1.8: Tìm CTTQ cӫa dãy UN  ® N U  U  N  ÅÅ N  = + − ∀ ≥ °̄ N N − ­°N = N − N − Giҧi: Ta phân tích: ® nên ta viӃt công thӭc truy hӗi cӫa dãy ª º = − − + − +      N N N °¯ ¬ ¼ nhѭ sau: UN − N − N −  =  ªUN − − N − − N −  − º =  = N −U −  ¬ ¼ Vұy UN = −N − + N + + N +  . ­°U = P , trong Dҥng 4: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN  ® N α     ÅÅ  U A U B F N N = + + ∀ ≥ °̄ N N − ÿó F N là ÿa thӭc theo N bұc K , ta phân tích α N và F N nhѭ cách phân tích ӣ dҥng 2 và dҥng 3. Ví dͭ 1.9: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN  U = − U =  ÅUN = UN − − UN −  Å∀N ≥  Giҧi: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ trên, ta thay thӃ dãy UN bҵng mӝt dãy sӕ khác là mӝt CSN. Ta viӃt lҥi công thӭc truy hӗi cӫa dãy nhѭ sau: -9- M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ ­°X + X  =  UN − XUN − = X  UN − − XUN −  , do ÿó ta phҧi chӑn X  X   ®  hay X X  là = X X  °̄   nghiӋm phѭѫng trình : X  − X +  =  ⇔ X =  X =  . Ta chӑn X  =  X  =  . Khi ÿó: UN − UN − = UN − − UN −  =  = N −U − U  = N − Ÿ UN = UN − + N − . Sӱ dөng kӃt quҧ dҥng 3, ta tìm ÿѭӧc: UN = N − N . Chú ý : Tѭѫng tӵ vӟi cách làm trên ta xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi: ­°U   ÅU , trong ÿó A B là các sӕ thӵc cho trѭӟc và A  − B ≥  ® °̄UN − AUN − + BUN −  ÅÅ∀N ≥  nhѭ sau: Gӑi X X  là hai nghiӋm cӫa phѭѫng trình : X  − AX + B = ÅÅÅ ( phѭѫng trình này ÿѭӧc gӑi là phѭѫng trình ÿһc trѭng cӫa dãy). Khi ÿó: UN − XUN − = X  UN − − XUN −  =  = X N −U − XU . Sӱ dөng kӃt quҧ cӫa dҥng 3, ta có các trѭӡng hӧp sau: X U − U N U − X U N X + X  . Hay UN = K XN + L X N , trong ÿó •Å NӃu X ≠ X  thì UN =   X  − X Y −X ­°K + L = U K L là nghiӋm cӫa hӋ: ® . X  K + X  L = U °̄    ªU A º AU •Å NӃu X = X  = α thì UN = α N − «  + U −  N » , hay UN = KN + L α N − , trong  «¬  »¼ ­°L = α U ÿó K L là nghiӋm cӫa hӋ: ® . + = K L U °̄  Vұy ta có kӃt quҧ sau: ­°U  ÅU , trong Dҥng 5: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN : ®   U A  U B  U ÅÅ N  − + = ∀ ≥ N − N − °̄ N ÿó A B C là các sӕ thӵc khác không; A  − B ≥  ta làm nhѭ sau: Gӑi X  X  là nghiӋm cӫa phѭѫng trình ÿһc trѭng: X  − AX + B =  . – 10 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ ­°K + L = U •Å NӃu X  ≠ X  thì UN = K XN + L X N , trong ÿó K L là nghiӋm cӫa hӋ : ® . + = X  K X  L U °̄    ­°L = α U  •Å NӃu X  = X  = α thì UN = KN + L α N − , trong ÿó K L là nghiӋm cӫa hӋ: ® . + = K L U °̄  ­°U =  U =  Ví dͭ 1.10: Cho dãy sӕ UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi : ®  . = + ∀ ≥ U U U N  ÅÅ  °̄ N +  N N − ( ) Hãy xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN . Giҧi: Phѭѫng trình X  − X −  =  có hai nghiӋm X =  +  ÅX  =  −  . ­°K + L =  Ÿ UN = K XN + L X N . Vì U  =  U =  nên ta có hӋ: ® °̄ +  K +  −  L =  ⇔K =L =  .  Vұy UN = ª  +  ¬ N +  −  N º . ¼ ­°U =  U =  Ví dͭ 1.11: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy: UN  ®  . °̄UN − UN − + UN −  = Å∀N =    Giҧi: Phѭѫng trình ÿһc trѭng X  − X +  =  có nghiӋm kép X =  nên UN = KN + L N − ­°L =  ⇔ K =  L =  . Vì U  =  U =  nên ta có hӋ: ® °̄K + L =  Vұy UN = N +  N − . Ví dͭ 1.12: Cho dãy UN ­°U = − U =  ® . Xác ÿӏnh  °̄UN − UN − + UN −  = N + N +  ÅÅÅ∀N ≥  CTTQ cӫa dãy UN . Giҧi: Vӟi cách làm tѭѫng tӵ nhѭ Ví dͭ 1.4, ta phân tích: N  + N +  = – 11 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ = KN  + LN + T −  ªK N −   + L N −  + T º +  ªK N −   + L N −  + T º (5) ¬ ¼ ¬ ¼ ­K − L + T =  ­K =  ° ° Ӣ (5) cho N =  N =  N =  ta có hӋ: ®K − L + T =  ⇔ ®L =  . ° −K − L + T =  °T =  ¯ ¯ Ĉһt VN = UN − N  − N −  Ÿ V = − V = − và VN − VN − + VN −  =  ­°α + β = − ­°α =  ⇔® Ÿ VN = α N + β N . Ta có hӋ: ® °¯α + β = − °¯ β = − Ÿ VN = N − N Ÿ UN = N − N + N  + N +  . ­°U  U Chú ý : ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ: UN  ®   , °̄UN +  + AUN + BUN − = F N ÅÅ∀N ≥  ( trong ÿó F N là ÿa thӭc bұc K theo N và A  − B ≥  ) ta làm nhѭ sau: •Å Ta phân tích F N = GN + AGN −  + BGN −  (6) rӗi ta ÿһt VN = UN − GN ­°V = U − G  V = U − G Ta có ÿѭӧc dãy sӕ VN  ®  . Ĉây là dãy sӕ mà ta ÿã xét V AV BV Å N  + + = ∀ ≥ N − N − °̄ N trong dҥng 5. Do ÿó ta sӁ xác ÿӏnh ÿѭӧc CTTQ cӫa VN Ÿ UN . •Å Vҩn ÿӅ còn lҥi là ta xác ÿӏnh GN nhѭ thӃ nào ÿӇ có (6) ? Vì F N là ÿa thӭc bұc K nên ta phҧi chӑn GN sao cho GN + AGN −  + BGN −  là mӝt ÿa thӭc bұc K theo N . Khi ÿó ta chӍ cҫn thay K +  giá trӏ bҩt kì cӫa N vào (6) ta sӁ xác ÿӏnh ÿѭӧc GN . Giҧ sӱ GN = AM N M + AM −N M − +  + AN + A  AM ≠  ) là ÿa thӭc bұc M . Khi ÿó hӋ sӕ cӫa X M và X M − trong VP là: AM  + A + B và ª¬ −A + B MAM +  + A + B AM − º¼ . Do ÿó : I NӃu PT: X  + AX + B =  (1) có nghiӋm hai nghiӋm phân biӋt khác  thì  + A + B ≠  nên VP(6) là mӝt ÿa thӭc bұc M . II NӃu PT (1) có hai nghiӋm phân biӋt trong ÿó có mӝt nghiӋm X =  Ÿ  + A + B =  và −A + B MAM +  + A + B AM − = −A + B MAM ≠  nên VP(6) là mӝt ÿa thӭc bұc M − . III NӃu PT (1) có nghiӋm kép X =  Ÿ A = −B =  nên VP(6) là mӝt ÿa thӭc bұc M − . Vұy ÿӇ chӑn GN ta cҫn chú ý nhѭ sau: – 12 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ ™ NӃu (1) có hai nghiӋm phân biӋt, thì GN là mӝt ÿa thӭc cùng bұc vӟi F N ™ NӃu (1) có hai nghiӋm phân biӋt, trong ÿó mӝt nghiӋm bҵng  thì ta chӑn GN = NHN trong ÿó HN là ÿa thӭc cùng bұc vӟi F N . ™ NӃu (1) có nghiӋm kép X =  thì ta chӑn G N = N  H N trong ÿó HN là ÿa thӭc cùng bұc vӟi F N . ­°U  U , Dҥng 6: ĈӇ tìm CTTQ cӫa dãy UN  ®   U A  U B  U F  N ÅÅ N  + + = ∀ ≥ °̄ N N − N − ( trong ÿó F N là ÿa thӭc theo N bұc K và B  − AC ≥  ) ta làm nhѭ sau: Xét GN là mӝt ÿa thӭc bұc K : GN = AK N K +  + AK + A  . •Å NӃu phѭѫng trình : X  + AX + B = Å có hai nghiӋm phân biӋt, ta phân tích F N = GN + AGN −  + BGN −  rӗi ÿһt VN = UN − GN . •Å NӃu (1) có hai nghiӋm phân biӋt trong ÿó mӝt nghiӋm X =  , ta phân tích F N = NGN + AN −  GN −  + BN −  GN −  rӗi ÿһt VN = UN − NGN . •Å NӃu (1) có nghiӋm kép X =  , ta phân tích F N = N  GN + AN −   GN −  + BN −   GN −  rӗi ÿһt VN = UN − N  GN . ­°U =  U =  Ví dͭ 1.13: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN  ®  . °̄UN − UN − + UN −  = N + Å∀N ≥  Giҧi: Vì phѭѫng trình X  − X +  =  có hai nghiӋm X =  X =  nên ta phân tích N +  = NKN + L − N −  ª¬K N −  + L º¼ + N −  ª¬K N −  + L º¼ , cho N =  N =  ta °­K − L =  có hӋ: ® ⇔ K = −L = − . °̄K − L =  Ĉһt VN = UN + NN +  Ÿ V =  V =  và VN − VN − + VN − =  ­°α + β =  Ÿ VN = α N + β N vӟi α β  ® ⇔ α =  β = − α β   + = °̄ Ÿ VN = N −  Ÿ UN = N + − N  − N − ÅÅ∀N =     . – 13 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ ­°U = − U =  Ví dͭ 1.14: Tìm CTTQ cӫa dãy sӕ UN  ® . N U  U  U  ÅÅ N  − + = ∀ ≥ °̄ N N − N − Giҧi: Ta phân tích N = AN − AN − + AN −  . Cho N =  ta có:  = A − A + A ⇔ A = − Ĉһt VN = UN + N Ÿ V =  V =  và VN − VN − + VN −  =  Vì phѭѫng trình X  − X +  =  có hai nghiӋm X =  X =  nên VN = α N + β N ­°α + β =  Vӟi α β  ® ⇔ α =  β =  Ÿ VN = N +  . °̄α + β =  Vұy UN = N + − N +  + ÅÅ∀N =    . Chú ý : Vӟi ý tѭӣng cách giҧi trên, ta tìm CTTQ cӫa dãy sӕ UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi: ­°U   U (vӟi A  − B ≥  ) nhѭ sau: ® N °̄UN + AUN − + BUN −  = Cα ÅÅ∀N ≥  Ta phân tích α N = Kα N + AK α N − + BK α N −  (7). Cho N =  thì (7) trӣ thành: K α  + Aα + B = α  Tӯ ÿây, ta tìm ÿѭӧc K = α  α + Aα + B khi α không là nghiӋm cӫa phѭѫng trình : X  + AX + B =  (8). ­°V = U − KC V = U − KCα Khi ÿó, ta ÿһt VN = UN − KCα N , ta có dãy VN  ®  °̄VN + AVN − + BVN −  = ÅÅ∀N ≥  Ÿ VN = PX N + QX N ÅÅX X  là hai nghiӋm cӫa (8)). Ÿ UN = PX N + QX N + KCα N . Vұy nӃu X = α là mӝt nghiӋm cӫa (8), tӭc là: α  + Aα + B =  thì ta sӁ xӱ lí thӃ nào ? Nhìn lҥi cách giҧi ӣ dҥng 3, ta phân tích : α N = KNα N + AK N −  α N − + BK N −  α N −  (9). Cho N =  ta có: α K α + A = α  ⇔ K α + A = α ⇔ K = A α ÅÅα ≠ − . α + A  Ÿ  có nghiӋm K ⇔ α là nghiӋm ÿѫn cӫa phѭѫng trình (8). Khi ÿó: Ÿ UN = PXN + QX N + KCNα N . – 14 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ A là nghiӋm kép cӫa (8). Vӟi tѭ tѭӣng nhѭ trên,  ta sӁ phân tích: α N = KN  α N + AK N −   α N − + BK N −   α N −  (10). Cuӕi cùng ta xét trѭӡng hӧp X = α = − Cho N =  ta có:  ⇔ α  = K α  + AK α Ÿ K = α  = . α + A   Khi ÿó: Ÿ UN = PX N + QX N + CN  α N .  Vұy ta có kӃt quҧ sau: Dҥng 7: Cho dãy sӕ UN ­°U   U xác ÿӏnh bӣi: ® . N °̄UN + AUN − + BUN −  = Cα Å∀N ≥  ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN ta làm nhѭ sau: Xét phѭѫng trình : X  + AX + B = Å •Å NӃu phѭѫng trình (11) có hai nghiӋm phân biӋt khác α thì UN = PXN + QX N α N + KCα vӟi K = •Å NӃu phѭѫng trình (11) có nghiӋm ÿѫn X = α thì α  + Aα + B UN = PX N + QX N + KCNα N vӟi K = . α . α + A  •Å NӃu X = α là nghiӋm kép cӫa (11) thì : UN = P + QN + CN  α N .  ­°U = − U =  Ví dͭ 1.15: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN  ® . N U  U  U  Å N  − + = ∀ ≥ °̄ N N − N − Giҧi: Phѭѫng trình X  − X +  =  có hai nghiӋm X =  X  =  , do ÿó UN = PN + QN + KNN . – 15 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ ­ α  = = − °K = α + −    A ° ⇔ K = − P = − Q =  . Vӟi ® P + Q = − °P + Q + K =  ° ¯ Vұy UN = −N + N − NN = N − N +N +  ∀N =    . ­°U =  U =  Ví dͭ 1.16: Tìm CTTQ cӫa dãy UN  ® N . U  U  U  − + = °̄ N N − N − Giҧi: Phѭѫng trình X  − X +  =  có nghiӋm kép X =  nên UN = P + QN +   N N   ­° P =  ⇔ P =  Q = − . Dӵa vào U  U ta có hӋ: ® P + Q =  °̄ Vұy UN = N  − N +  N − Å∀N =    . Vӟi cách xây dӵng tѭѫng tӵ ta cNJng có ÿѭӧc các kӃt quҧ sau: ­°U U U .ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ Dҥng 8: Cho dãy (un ) : ®    U AU BU CU Å N  + + + = ∀ ≥ N − N − N − °̄ N cӫa dãy ta xét phѭѫng trình: X  + AX  + BX + C =  (12) . •Å NӃu (12) có ba nghiӋm phân biӋt X X  X  Ÿ UN = α XN + β X N + γ X N . Dӵa vào U U U ta tìm ÿѭӧc α β γ . •Å NӃu (12) có mӝt nghiӋm ÿѫn, 1 nghiӋm kép: X = X  ≠ X  Ÿ UN = α + β N XN + γ X N Dӵa vào U  U U ta tìm ÿѭӧc α β γ . •Å NӃu (12) có nghiӋm bӝi 3 X = X  = X  Ÿ UN = α + β N + γ N  XN . Dӵa vào U  U U ta tìm ÿѭӧc α β γ . ­°U =  U =  U =  Ví dͭ 1.17: Tìm CTTQ cӫa dãy UN  ®  °̄UN = UN − − UN −  + UN −  ÅÅ∀N ≥  – 16 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ Giҧi : Xét phѭѫng trình ÿһc trѭng : X  − X  + X −  =  Phѭѫng trình có 3 nghiӋm thӵc: X = X  =  ÅX  =  Vұy AN = α + β N + γ N Cho N =  ÅN =  ÅN =  và giҧi hӋ phѭѫng trình tҥo thành, ta ÿѭӧc α=− Vұy an = −    Åβ = Åγ =    1 3 1 + ( n − 1) + .5n −1 . 16 4 16 ­°U =  ÅÅUN = UN − + VN − Å∀N ≥  . Ví dͭ 1.18: Tìm CTTQ cӫa dãy sӕ UN VN  ®  V  ÅÅÅ V U  V = = + °̄  N N − N − Giҧi: Ta có: UN = UN − + UN −  + VN −  = UN − + UN −  + UN − − UN −  Ÿ UN = UN − − UN −  và U =   + N + − + N + Ÿ VN = UN + − UN = .   Tѭѫng tӵ ta có kӃt quҧ sau: Tӯ ÿây, ta có: UN = ­°X = PX N − + QYN − ÅÅÅX Dҥng 9: Cho dãy X N YN  ® N . ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa hai dãy = + Y RY SX ÅÅÅ Y °̄ N N − N −  XN YN ta làm nhѭ sau: Ta biӃn ÿәi ÿѭӧc: X N − P + S X N − + PS − QR X N −  =  tӯ ÿây ta xác ÿӏnh ÿѭӧc X N , thay vào hӋ ÿã cho ta có ÿѭӧc YN . Chú ý : Ta có thӇ tìm CTTQ cӫa dãy sӕ trên theo cách sau: ­ Q − λR YN − °°X N − λYN = P − λS X N − − λ S P − Ta ÿѭa vào các tham sӕ phө λ , λ ‘ Ÿ ® Q + λ R °X + λ  Y = P + λ  S X + Y N N N − P + λ  S N − ¯° – 17 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ ­ Q − λR °°λ = λS − P Ÿ °­X N − λYN = P − λS X N − − λYN − Ta chӑn λ , λ ‘ sao cho ® ® °¯X N + λ  YN = P + λ  S X N − + λ  YN − °λ  = Q + λ  R °¯ λ S + P ­°X − λY = P − λS N −X − λY N N   giҧi hӋ này ta tìm ÿѭӧc ( xn ) , ( yn ) . ® N − X + λ  Y °̄X N + λ  YN = P + λ  S Ví dͭ 1.19: Tìm CTTQ cӫa dãy UN Giҧi: Ta có ­U =  ° ® UN − . U ÅÅ N  = ∀ ≥ ° N U + ¯ N − U +     . Ĉһt X N = , ta có: = N − = + UN −  UN UN UN − ­X =  N − −   ° Ÿ X = Ÿ U = . ®  N N N −  X  X = + −  ° N N − ¯  Ví dͭ 1.20: Tìm CTTQ cӫa dãy sӕ UN ­U =  ° −UN − −  ® . ÅÅ∀N ≥  °UN = U +  ¯ N − Giҧi: Bài toán này không còn ÿѫn giҧi nhѭ bài toán trên vì ӣ trên tӱ sӕ còn hӋ sӕ tӵ do, do ÿó ta tìm cách làm mҩt hӋ sӕ tӵ do ӣ trên tӱ sӕ. Muӕn vұy ta ÿѭa vào dãy phө bҵng cách ÿһt UN = XN + T . Thay vào công thӭc truy hӗi, ta có: XN + T = −X N − − T −  X N − + T +  Ÿ XN = − − T XN − − T  − T −  X N − + T +  Ta chӑn T  T  + T +  =  Ÿ T = − Ÿ X =  Ÿ XN =    N − −   Ÿ =+ Ÿ = Ÿ XN = +  XN X N − XN N − −  X N − XN − Ÿ UN = X N −  = −N − +  N −  −  . – 18 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ Dҥng 10: Cho dãy ( UN ): U = α  ÅUN = PUN − + Q RUN − + S ÅÅ∀N ≥  . ĈӇ tìm CTTQ cӫa dãy (xn) ta làm nhѭ sau: Ĉһt UN = X N + T , thay vào công thӭc truy hӗi cӫa dãy ta có: XN = PX N − + PT + Q RUN − + RT + S −T = P − RT X N − − RT  + P − S T + Q RX N − + RT + S (13). Ta chӑn T  RT  + S − P T − Q =  . Khi ÿó ta chuyӇn (13) vӅ dҥng: Tӯ ÿây ta tìm ÿѭӧc   =A +B XN X N −  , suy ra UN . XN ­°U =  Ví dͭ 1.21: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa hai dãy sӕ UN VN  ®  và °̄V =  ­°U = U  + V  N N − N − ÅÅ∀N ≥  . ® °̄VN = UN −VN − Giҧi:   ­ °­UN = UN − + VN − °U + VN = UN − + VN − Ÿ® N Ta có: ® °¯ VN =  UN −VN − °¯UN − VN = UN − − VN − N − ­ N −  =  +   °UN + VN = U + V Ÿ® N − N − °UN − VN = U − V  =  −   ¯ ­ ª N − N −  º = + + −     U °° N »¼  «¬ Ÿ® . N − N − º  ª   °VN = −  −  « +  »¼ °̄  ¬   – 19 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙  ­°U = U  + V  UN UN − + VN −   N N − N − Ÿ = Nhұn xét: Tӯ ®  V U V = UN −VN − V °̄ N N − N − N UN Do vұy nӃu ta ÿһt X N = VN ta ÿѭӧc dãy sӕ XN Ví dͭ 1.22: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ XN § UN − · ¨¨ ¸¸ +  V = © N − ¹ §U ·  ¨ N − ¸ ¨V ¸ © N − ¹ ­X =  ° ® X N − +  . Ta có bài toán sau: °X N = X N − ¯ ­X =  ° . ® X N − +  = ∀ ≥ X ÅÅ N  ° N X N − ¯ Giҧi: ­°U =  ­°U = U  + V  N − N − ÅÅ∀N ≥  . ® và ® N = V  °̄  °̄VN = UN −VN − Xét hai dãy UN VN Ta chӭng minh X N = •Å N =  Ÿ X  = •Å Giҧ sӱ X N − = U V UN VN (14). =  Ÿ N =  (14) ÿúng. UN − VN − Ÿ XN = X N − +  X N − = UN − + VN − UN −VN − = UN VN Ÿ  ÿѭӧc chӭng minh Theo kӃt quҧ bài toán trên, ta có: X N =   +   +  N −  N −  +  −  −  −  N −  N −  . Dҥng 11:  Å Tӯ hai ví dө trên ta có ÿѭӧc cách tìm CTTQ cӫa hai dãy sӕ UN VN ÿѭӧc xác ÿӏnh ­°U = U  + AV  ÅÅU = α N − N −  bӣi: ® N (trong ÿó A là sӕ thӵc dѭѫng) nhѭ sau: = = β V  V U ÅÅÅÅÅÅÅ V °̄ N N − N −  – 20 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙   ­ °­UN = UN − + AVN − °UN + AUN − = UN − + AUN − Ÿ® Ta có: ® °¯ A VN =  A VN −UN − Å °¯UN − AUN − = UN − − AUN − N − º ­ ª N −  + α − β A  » °°UN = «α + β A ¬ ¼ . Ÿ®  ª N −  N −  º °VN = + − − α β α β   A A « »¼ °̄  A ¬  Å Áp dөng kӃt quҧ trên ta tìm ÿѭӧc CTTQ cӫa dãy XN Xét hai dãy UN VN Khi ÿó: X N = UN VN   ­X = α ° ® X N − + A . °X N = X N − ¯ ­°U = U  + AV  ÅÅU = α  N − N − ® N °̄VN = VN −UN − ÅÅÅÅÅÅÅV =  = A α + A α + A Ví dͭ 1.23: Cho dãy UN N −  N −  + α − A + α − A N −  N −  . ­U =  ° . Tìm UN ? ®  = + − ∀ ≥ U  U  U  Å N  °̄ N N − N − Giҧi: Ta có: U =  U =  U =  . Giҧ sӱ: UN = XUN − + YUN −  ­°X + Y =  Ÿ® ⇔  X  Y  + = ¯° ­°X =  . Ta chӭng minh: UN = UN − − UN −  ∀N ≥  ® Y  = − ¯° Tӯ công thӭc truy hӗi cӫa dãy ta có: UN − UN −  = UN − −  ⇔ UN − UN UN − + UN − +  =   thay N bӣi N −  , ta ÿѭӧc: UN −  − UN − UN − + UN − −  =   . Tӯ   Ÿ UN −  UN là hai nghiӋm cӫa phѭѫng trình : T  − UN −T + UN − −  =  Áp dөng ÿӏnh lí Viet, ta có: UN + UN −  = UN − . Vұy UN =  −   ( −  ) N − +  +   ( +  ) N − . – 21 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ D̩ng 12: ­U =  °  Å Dãy UN  ® là dãy nguyên ⇔ A =  .  = + − ∀ ≥ U  U AU  ÅÅ N  °̄ N N − N − Thұt vұy: U =  + A −  =  + T ( T = A −  ∈ ` ) Ÿ U =  + T  +  T +   −  Ÿ U ∈ ] ⇔ F T = T  +  T +   −  = M  ÅÅM ∈ ] . Mà T  + T +   < F T < T  + T +  {  kӃt hӧp vӟi F T là sӕ chҹn ta suy ra } M = T  + T + X vӟi X ∈     . Thӱ trӵc tiӃp ta thҩy T =  Ÿ A =  .  Å Vӟi dãy sӕ UN ­U = α ° ® , vӟi A  − B =  ta xác ÿӏnh  °̄UN = AUN − + BUN − + C ÅÅ∀N ≥  CTTQ nhѭ sau: Tӯ dãy truy hӗi Ÿ UN − AUN −  = BUN − + C ⇔ UN − AUN UN − + UN − − C =  Thay N bӣi N −  , ta có: UN −  − AUN −UN −  + UN − − C =  Ÿ UN + UN −  = AUN − . ­U = α °° UN −  Å Vӟi dãy UN  ® ,trong ÿó α >  A >  ; A  − B =  ta ÅÅ∀N ≥  UN = ° A + CUN − + B °̄ xác ÿӏnh CTTQ nhѭ sau: Ta viӃt lҥi công thӭc truy hӗi dѭӟi dҥng:  A B  = + C+ . Ĉһt X N = UN UN UN − UN − Ta có UN = AUN − + BX N − + C ÿây là dãy mà ta ÿã xét ӣ trên. Ví dͭ 1.24: Cho dãy UN ­U = U =  ° . Tìm UN ? ® UN − +  = ∀ ≥ U ÅÅ N  ° N UN −  ¯ Giҧi: Ta có: U  =  U =  U =  . Ta giҧ sӱ UN = XUN − + YUN − + Z .Tӯ U =  U =  – 22 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ ­X + Y + Z =  ° U =  ta có hӋ phѭѫng trình: ®X + Y + Z =  ⇔ °X + Y + Z =  ¯ ­°U = U =  Ta chӭng minh UN  ®  . °̄UN = UN − − UN −  ÅÅ∀N ≥  ­X =  ° ®Y = − Ÿ UN = UN − − UN −  °Z =  ¯ •Å Vӟi N =  Ÿ U = U − U =  Ÿ N =  ÿúng •Å Giҧ sӱ UK = UK − − UK −  . Ta có: UK + = = UK +  UK − ( UK − − UK − ) =  UK − + = UK − − UK −UK −  + UK −UK −  UK − UK − − UK −UK −  + UK −  +  UK − = UK − − UK − + UK −  = UK − − UK −  − UK −  − UK −  = UK − UK − Theo nguyên lí quy nҥp ta có ÿpcm Ÿ UN =  +   ( −  ) N − +  −   ( +  ) N − – 23 – . M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ II. SӰ DӨNG PHÉP THӂ LѬӦNG GIÁC Ĉӆ XÁC ĈӎNH CTTQ CӪA DÃY SӔ NhiӅu dãy sӕ có công thӭc truy hӗi phӭc tҥp trӣ thành ÿѫn giҧn nhӡ phép thӃ lѭӧng giác. Khi trong bài toán xuҩt hiӋn nhӳng yӃu tӕ gӧi cho ta nhӟ ÿӃn nhӳng công thӭc lѭӧng giác thì ta có thӇ thӱ vӟi phѭѫng pháp thӃ lѭӧng giác. Ta xét các ví dө sau Ví dͭ 2.1: Cho dãy UN ­  °U = ® . Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN .   °UN = UN − − ÅÅ∀N ≥  ¯ Giҧi: Tӯ công thӭc truy hӗi cӫa dãy, ta liên tѭӣng ÿӃn công thӭc nhân ÿôi cӫa hàm sӕ côsin  π π π Ta có: U = = COS Ÿ U =  COS −  = COS     π π π Ÿ U =  COS −  = COS Ÿ U = COS ….    N − π . Thұt vұy Ta chӭng minh UN = COS   − π π = COS (ÿúng) •Å Vӟi N =  Ÿ U = COS   N − N −  π π N − π    Ÿ UN = UN − −  =  COS −  = COS •Å Giҧ sӱ UN − = COS    N −  π Vұy UN = COS ∀N ≥  .  ­°U Dҥng 13: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ UN  ® ta làm nhѭ  = − ∀ ≥  ÅÅ  U U N °̄ N N − sau: •Å NӃu U ≤  , ta ÿһt U = COS α . Khi ÿó ta có: UN = COS N −α .   ( trong ÿó A ≠  và cùng dҩu vӟi U ). A +  A       −  = A  + Ÿ U = A  + Khi ÿó U = A  +  + ….    A A A •Å NӃu U >  ta ÿһt U = – 24 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙  N −  A + N − ÅÅ∀N ≥  . Trong ÿó A là nghiӋm (cùng dҩu  A vӟi U ) cӫa phѭѫng trình : A  − UA +  =  . Vì phѭѫng trình này có hai nghiӋm có tích bҵng  nên ta có thӇ viӃt CTTQ cӫa dãy nhѭ sau ª N −  N −  º  «§ · § ·   ». UN = ¨ U − U −  ¸ + ¨ U + U −  ¸ « »  © ¹ © ¹ ¬ ¼ Ta chӭng minh ÿѭӧc UN = Ví dͭ 2.2: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ UN ­  °U = . ®   °U = U − UN − ÅÅ∀N ≥  N − ¯ N Giҧi:  π π π  π π Ta có: U = = COS Ÿ U =  COS −  COS = COS  Ÿ U = COS …..       N − π Bҵng quy nҥp ta chӭng minh ÿѭӧc: UN = COS .  Dҥng 14: ­°U = P  Å ĈӇ tìm CTTQ cӫa dãy UN  ® , ta làm nhѭ sau  = − ∀ ≥   Å  U U U N °̄ N N − N − •Å NӃu P ≤  Ÿ ∃α ∈ ª¬  π º¼  COS α = P . Khi ÿó bҵng quy nҥp ta chӭng minh ÿѭӧc : UN = COS N −α . •Å NӃu P >  , ta ÿһt U = § · A + ¨ ¸ (A cùng dҩu vӟi U ) © A¹  § N −  · + N − ¸ . ¨A ¸  ¨© ¹ A ª N −  N −  º  «§ · § ·   ». + ¨ U + U −  ¸ Hay UN = ¨ U − U −  ¸ « »  © ¹ © ¹ ¬ ¼  Å Tӯ trѭӡng hӧp thӭ hai cӫa bài toán trên, ta có cách tìm CTTQ cӫa dãy sӕ Bҵng quy nҥp ta chӭng minh ÿѭӧc UN = – 25 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ ­°U = P   UN  ® bҵng cách ÿһt U = A − . Khi ÿó bҵng quy nҥp  A  °̄UN = UN − + UN − Å∀N ≥  ta chӭng minh ÿѭӧc : ª N −  N −  º  § N −  ·  «§ ·  ». UN = ¨ A − N − ¸ = + §¨ U − U +  ·¸ ¨ U + U +  ¸ ¨ ¸ « »  ©  © ¹ © ¹ ¹ A ¬ ¼ Chú ý : Trong mӝt sӕ trѭӡng hӧp ta xác ÿӏnh ÿѭӧc CTTQ cӫa dãy UN cho bӣi: ­°U . ®   U U AU BU C N Å  = + + + ∀ ≥ °̄ N N − N − N − Bҵng cách ÿѭa vào dãy phө ÿӇ chuyӇn dãy ÿã cho vӅ mӝt trong hai dҥng ӣ trên. Ví dͭ 2.3: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN  U =   và UN = UN − −  UN − + UN − −  ÅÅ∀N ≥  . Giҧi: Ĉһt UN = X VN + Y . Thay vào công thӭc truy hӗi cӫa dãy, biӃn ÿәi và rút gӑn ta ÿѭӧc X VN + Y = X VN − + X Y − X  VN − + XY  −  XY + X VN − + +Y  −  Y  + Y −  . ­X Y − X  =   ° Ta chӑn Y  ® . ⇔Y =    Y   Y  Y  Y − + − =  °̄ Khi ÿó: X VN = X VN − + X VN − ⇔ VN = X VN − + VN − . Ta chӑn X =   Ÿ VN = VN − + VN − và V =  . ª N −  N −  º + + −     »¼ .  «¬  ª  N −  N −  º     ÅÅÅ∀N =    . Vұy UN = + + − «¬ »¼ +    Ÿ VN = – 26 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ Ví dͭ 2.4: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN Giҧi: Ĉһt − ­  °U = ® .  °UN =  − UN − ÅÅ∀N ≥  ¯ §π ·  = COS α Åα ∈ ¨  π ¸ , khi ÿó :  © ¹ U = − COS α Ÿ U =  −  COS α = − COS α . Bҵng quy nҥp ta chӭng minh ÿѭӧc UN = − COS N −α . Ví dͭ 2.5: Tìm CTTQ cӫa dãy sӕ UN ­  °U =  ° . ®  − − U    ° N − ÅÅ∀N ≥  °̄UN =  Giҧi: Tӯ công thӭc truy hӗi cӫa dãy, gӧi ta nhӟ ÿӃn công thӭc lѭӧng giác SIN α + COS α =  ⇔  − SIN α = COS α . Ta có: U = π  = SIN Ÿ U =    −   − SIN π   Bҵng quy nҥp ta chӭng minh ÿѭӧc: UN = SIN π N −   =  − COS  π  = SIN π  . Ví dͭ 2.6: Cho A B là hai sӕ thӵc dѭѫng không ÿәi thӓa mãn A < B và hai dãy AN BN ­ A +B B = BA °°A =  ÿѭӧc xác ÿӏnh: ® . Tìm AN và BN . + A B °A = N − N − B = A B ÅÅ∀N ≥  N N N − °̄ N  Giҧi: § π· A A Ta có:  < <  nên ta ÿһt = COS α vӟi α ∈ ¨  ¸ B B © ¹ Khi ÿó: A = α α B COS α + B B + COS α α = = B COS và B = BB COS = B COS      - 27 - M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ A + B B COS α + B COS α  = B COS α COS α và B = B COS α COS α .        Bҵng quy nҥp ta chӭng minh ÿѭӧc: A = AN = B COS α  = COS α   COS α N và BN = B COS α  COS α  COS α N . ­U =  °°  . Tính U (Trích ÿ͉ thi Ví dͭ 2.7: Cho dãy UN  ® UN − +  −  = ∀ ≥ U Å N  ° N  +  −  UN − °̄ Olympic 30 – 4 – 2003 Kh͙i 11). Giҧi: Ta có TAN π  =  −  Ÿ UN =  − TAN π + TAN π  π  UN − π  = TANπ + π π π     − TAN TAN   ªπ πº Bҵng quy nҥp ta chӭng minh ÿѭӧc UN = TAN « + N −  » . ¼ ¬ Mà U =  = TAN π TAN UN − + TAN Ÿ U =  § π π · §π π · = Vұy U = TAN ¨ + TAN ¸ ¨ + ¸ = −  +  .  ¹ © © ¹ ­U = A ° Chú ý : ĈӇ tìm CTTQ cӫa dãy UN  ® . UN − + B Å  = ∀ ≥ U N ° N  − BU ¯ N − Ta ÿһt A = TAN α B = TAN β , khi ÿó ta chӭng minh ÿѭӧc: UN = TAN ª¬α + N −  β º¼ Ví dͭ 2.8: Tìm CTTQ cӫa dãy sӕ UN ­U =  °°  UN − ® . UN = ÅÅ∀N ≥  °  +  + UN − °̄ - 28 - M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ Giҧi: Ta có:    = + + UN UN − U  khi ÿó ta ÿѭӧc dãy XN ÿѭӧc xác UN . Ĉһt X N = N −  ÿӏnh nhѭ sau: X = Vì X =   = COT  π  ÅV¨ÅX N = X N − +  + XN − . Ÿ X  = COT π  +  + COT Bҵng quy nҥp ta chӭng minh ÿѭӧc: X N = COT π  = π N −  + COS π  = COT π π  SIN  Ÿ UN = TAN π N − Å∀N =    - 29 - M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ III. ӬNG DӨNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CӪA DÃY SӔ VÀO GIҦI MӜT SӔ BÀI TOÁN Vӄ DÃY SӔ - TӘ HӦP Trong mөc này chúng tôi ÿѭa ra mӝt sӕ ví dө các bài toán vӅ dãy sӕ và tә hӧp mà quá trình giҧi các bài toán ÿó chúng ta vұn dөng mӝt sӕ kӃt quҧ ӣ trên. Ví dͭ 3.1: Cho dãy sӕ (an ) : a0 = 0, a1 = 1, an +1 = 2an − an −1 + 1 ∀n ≥ 1 . Chӭng minh rҵng ! = ANAN +  +  là sӕ chính phѭѫng. Giҧi: Tӯ công thӭc truy hӗi cӫa dãy ta thay n + 1 bӣi n ta ÿѭӧc: ­°AN + = AN − AN − +  Ÿ AN +  − AN + AN − − AN −  =  . ® A  A A  = − + °̄ N N − N − Xét phѭѫng trình ÿһc trѭng λ  − λ  + λ −  =  ⇔ λ =  Ÿ AN = α + β N + γ N  , do A  =  A =  A =  Ÿ α =  β = γ =  .   N + N  Ÿ ! = NN +  N +  N +  = N  + N +   Ÿ ÿpcm.  Ví dͭ 3.2: Cho dãy sӕ XN  X =  X  =  X N + = X N + XN − − ÅÅ∀N ≥  . Ÿ AN = Chӭng minh rҵng x1996 #1997 (HSG Qu͙c Gia – 1997 ) Giҧi: Vì − = MOD do ÿó ta chӍ cҫn chӭng minh dãy X N + = X N + X N − +  # . Ĉһt YN + = AX N + + B = AX N + X N − +  + B = AXN + B + AX N − + B + A − B = YN + YN − + A − B . Ta chӑn a, b sao cho: A − B =  , ta chӑn A =  Ÿ B =  . Ÿ YN + = X N + +  Ÿ Y =  Y =  YN + = YN + YN − − N + N  +  Ÿ Y = .   ≡ − +  = MOD  Ÿ Y ∈ ] Tӯ ÿây ta có ÿѭӧc: YN = Vì  +  Theo ÿӏnh lí Fecma  ≡ MOD Ÿ Y ≡ MOD Ÿ X +  ≡ MOD Ÿ X ≡ MOD . - 30 - M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ Nh̵n xét: Tӯ bài toán trên ta có kӃt quҧ tәng quát hѫn là: X P − # P vӟi P là sӕ nguyên tӕ lҿ. ­°U =  U =  .Tìm sӕ nguyên dѭѫng Ví dͭ 3.3: Cho dãy sӕ UN  ®  °̄UN +  = UN + UN − + Å∀N ≥  H bé nhҩt sao cho: UN + H − UN #ÅÅÅ∀N ∈ ` (HSG Qu͙c Gia B̫ng A – 1998 ). Giҧi: ­°A =  A =  Ĉһt AN = UN +  , ta có dãy AN  ®  °̄AN + = AN + AN − Å∀N ≥  Ÿ AN = Vì AN + H Mà AN + H   N  N   − N +  Ÿ UN =  + − N − .      − AN = UN + H − UN Ÿ UN + H − UN # ⇔ AN + H − AN #  =  − N  ª N H H º − AN = − −  +  −  ¬ ¼   •Å NӃu H chҹn Ÿ AN + H ­H − #  °°  H − AN =  −  #  ⇔ ®H − #  (17)  ° H °̄ − #  N Gӑi K là sӕ nguyên dѭѫng nhӓ nhҩt thӓa mãn K − #  . Vì  − #  Ÿ  # K Ÿ K ∈        thӱ trӵc tiӃp ta thҩy chӍ có K =  thӓa mãn { } Ÿ H − #  Ÿ H # ÅÅÅ Chӭng minh tѭѫng tӵ, ta cNJng có: H − #  Ÿ H #ϕ = ÅÅÅ Tӯ (18) và (19) ta suy ra  ⇔ H # ª¬  º¼ =  Ÿ H ≥  . •Å NӃu H lҿ: Vì UN + H ≡ UN MOD Å ­°U ≡ U  ≡ MOD Nên ta có: ® H Ÿ UH − ≡ UH + − UH −  ≡ MOD U U MOD ≡ ≡  °̄ H +  Ÿ UH − # MOD  H   H −  và UH − = −  −      ≡ MOD mâu thuүn vӟi UH ≡ MOD . Vì H lҿ Ÿ H −  chҹn Ÿ UH = Ÿ UH ≡ UH − - 31 - M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ Vӟi H =  ta dӉ dàng chӭng minh ÿѭӧc UN + H ≡ UN MOD ÅÅ∀N ≥  . Vұy H =  là giá trӏ cҫn tìm. Ví dͭ 3.4: Cho dãy XN  X  =  X N + = XN +  XN +   Å Tính X    Å Tìm phҫn nguyên cӫa ! =  ¦ XI (Olympic 30 – 4 – 2000 kh͙i 11 ). I = Giҧi: Ta có: X N +  −  = XN −  XN +  Ÿ  XN + −  =+   . Ĉһt AN = Ÿ A  =  và XN −  XN −  N + −   . AN +  = AN +  Ÿ AN = Ÿ XN =  +  N +  −   +  a) Ta có: X  =  −       b) Ta có: ! =  +  ¦ Ÿ  < ! <  + ¦ <  I +  I = I − I =  Vұy ;!= =  . Ví dͭ 3.5: Cho dãy XN  X =  ÅX N + =  + COS α XN + COS α  −  COS α X N +  − COS α . N  ÅÅ∀N ≥  . Tìm α ÿӇ dãy sӕ YN có giӟi hҥn hӳu hҥn và tìm giӟi  + I = I hҥn ÿó. ( HSG Qu͙c Gia B̫ng A – 2004 ). Giҧi: Ĉһt YN = Ta có ¦ X  X N +  +  Ÿ YN = Vì LIM N =  SIN α     SIN α + Ÿ = +  − N N −   X N +  X N +     ¦ X +  = I = I  N N ¦  I I =  N + SIN α ¦  − I =  I − =      − =SIN α + ;N −  − N N     =  nên dãy YN có giӟi hҥn hӳu hҥn ⇔ SIN α =  ⇔ α = Kπ - 32 - M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ Khi ÿó LIM YN =  .  Ví dͭ 3.6: Cho hai dãy X N YN ­°X = − ®  và °̄Y =  ­°X = −X N − XN YN + YN N + ∀N ≥  . ®   °̄YN + = X N + X N YN − YN Tìm tҩt cҧ các sӕ nguyên tӕ P sao cho X P + Y P không chia hӃt cho P . (TH&TT – 327 ) Giҧi: Ta có: X N + YN = XN − + YN −  =  = X + Y N −  =  (20) Giҧ sӱ có mӝt sӕ tӵ nhiên K ÿӇ YK = XK Ÿ YK + =  . Khi ÿó, ta có: ­°X = −X K + K + vô lí. Vұy YN + = X N − YN X N + YN ≠ ÅÅ∀N . ® = X  °̄ K +  Suy ra : XN + YN +  Ĉһt AN +  = XN + YN +  Ÿ AN +  +  = Ÿ AN = =− X N − YN X N + YN X N − YN X N + YN Ÿ A = − AN + = AN +  AN −   − − N −  + − N − Ÿ =  AN +  XN YN = −X N + YN X N − YN . −AN +  AN −   + − N −   =− Ÿ = + AN +  AN +   (21)  − − N −  + − N −  − − N −  YN = Ÿ X N + YN = . Tӯ (20) và (21) Ÿ XN =    * NӃu P =  Ÿ X  + Y =  #  Ÿ P =  không thӓa yêu cҫu bài toán. * NӃu P =  Ÿ X  + Y  = − không chia hӃt cho  Ÿ P =  thӓa yêu cҫu bài toán. * NӃu P =  ta thҩy cNJng thӓa yêu cҫu bài toán. * NӃu P >  Ÿ − P − ≡ MOD P Ÿ X P + Y P ≡ MOD P Vұy P =  P =  là hai giá trӏ cҫn tìm. – 33 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ Ví dͭ 3.7: Cho dãy UN ­  °°U =  ® . Tính tәng cӫa  sӕ UN − °UN = ÅÅ∀N ≥  N −  UN − +  °̄ hҥng ÿҫu tiên cӫa dãy UN (HSG Qu͙c Gia – 2001 ). Giҧi: Ta có:   = + N −  (22). UN UN − Ta phân tích N −  = K ªN  − N −   º + L ª¬N − N −  º¼ . Cho N =  N =  , ta có hӋ ¬ ¼ ­° −K + L = − ⇔ K =  L =  . ® °̄K + L =  Suy ra  ⇔     − N  = − N −   =  = − = − UN UN − U   N  −  N −  N +  Ÿ = = UN   Ÿ UN = Ÿ  ¦ I =    = − N −  N +  N −  N +  UI =  §   ·  ¦ ¨ I −  − I +  ¸ =  −  I = © ¹ =  .  ­X = X +  + X N − ­X =  N N − ° ° ° Ví dͭ 3.8: Cho hai dãy sӕ XN  YN xác ÿӏnh : ®  và ® YN − °̄Y =  °YN =  +  + YN − °̄ ∀N ≥  . Chӭng minh rҵng  < XN YN < ÅÅ∀N ≥  . (Belarus 1999). Giҧi: Ta có: X =  = COT π  Ÿ X  = COT π   +  + COT π  COS = π  SIN + π = COT π   - 34 - M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ Bҵng quy nҥp ta chӭng minh ÿѭӧc: X N = COT Theo kӃt quҧ cӫa ví dө 2.8, ta có: YN = TAN Ĉһt αN = π N  π N −   . π N − Ÿ X N = COT αN  ÅYN = TAN αN Ÿ X N YN = TAN αN COT αN T    = .  T  −T −T π π   Vì N ≥  Ÿ  < αN < Ÿ  < T < TAN = Ÿ ≤  − T <      Ĉһt T = TAN αN Ÿ TAN αN COT αN = Ÿ<  −T  <  Ÿ  < X N YN ≤ ÅÅ∀N ≥  Ÿ ÿpcm. ­ X <  ° Ví dͭ 3.9: Cho dãy sӕ XN  ® . −X N +  − X N °X = Å∀N ≥  ¯ N +   Å Cҫn có thêm ÿiӅu kiӋn gì ÿӕi vӟi X ÿӇ dãy gӗm toàn sӕ dѭѫng ?  Å Dãy sӕ này có tuҫn hoàn không ? Tҥi sao ? (HSG Qu͙c Gia 1990). Giҧi: § π π· Vì X  <  nên tӗn tҥi α ∈ ¨ −  ¸  SIN α = X . Khi ÿó: ©  ¹   π X  = − SIN α + COS α = SIN − α     π  π X  = − SIN − α + COS − α .     •Å NӃu − •Å NӃu − π  π ≤α < π  <α < − Ÿ X  = SIN α π Ÿ X  = SINα − π .    Bҵng quy nҥp ta chӭng minh ÿѭӧc: ­SIN α ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅKHIÅÅÅN = K +  π π ° I Å NӃu − ≤ α < thì: X N = ® π   °SIN − α ÅÅÅÅÅÅKHIÅÅÅÅN = K ¯  - 35 - M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ ­ π SIN ÅÅÅÅKHIÅÅÅN = K +  α − ° π π °  II Å NӃu − < α < − thì: X N = ® Å∀K ≥  . π   °SIN − α ÅÅÅÅÅÅKHIÅÅÅÅN = K °̄  ­ π ­SIN α >  <α < ° π ° °   Å Dãy gӗm toàn sӕ dѭѫng ⇔ ® § π ⇔® ⇔ <α < . ·  °SIN ¨  − α ¸ >  °− π ≤ α < π ¹ ¯ © °̄    là ÿiӅu kiӋn cҫn phҧi tìm.   Å Dӵa vào kӃt quҧ trên ta có: Vұy  < X < §π · π  •Å NӃu SIN α = SIN ¨ − α ¸ ⇔ α = ⇔ X = . Khi ÿó tӯ (1) ta có ÿѭӧc   © ¹ X  = X  =  = X N =  Ÿ X N là dãy tuҫn hoàn. ­  °°− ≤ X  <  thì dãy sӕ có dҥng X X  X X   •Å NӃu ®   °X ≠ °̄    •Å NӃu − < X < − thì dãy sӕ có dҥng X X  X  X  X    Ví dͭ 3.10: Tính tәng 3N =  +  +  +  + N −  , vӟi N là sӕ tӵ nhiên N ≥  . Giҧi: Ta có: 3 =  và 3N = 3N − + N −  . Mà: N −  = N  − N −   Ÿ 3N − N  = 3N − − N −   =  = 3 −  =  Vұy 3N = N  . Ví dͭ 3.11: Tính tәng 3N =  +  +  +  + N  vӟi N là sӕ tӵ nhiên N ≥  . Giҧi: Ta có 3 =  và 3N = 3N − + N  (23). Ta phân tích: N  = K ªN  − N −   º + L ªN  − N −   º + T ª¬N − N −  º¼ ¬ ¼ ¬ ¼ - 36 - M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ ­K − L + T =  ° Cho N =  N =  N =  , ta có hӋ: ®K + L + T =  ⇔ K = °K + L + T =  ¯ ª ª   º Ÿ  ⇔ 3N − « N  + N  + N » = 3N − − « N −     ¼ ¬ ¬    L = T =    º   + N −   + N −  »   ¼ ª     º N  + N  + N NN +  N +  Ÿ 3 N − « N + N + N » = 3 −  =  Ÿ 3 N = = .   ¼   ¬ Ví dͭ 3.12: Tính tәng 3N =  +  +  + NN +  N +  Giҧi: Ta có: 3 =  và 3N − 3N − = NN +  N +  ∀N ≥  . ∀N ≥  . ª  N +   − N  º + ªN +   − N  º − ¼ ¬ ¼ ¬   − ªN +   − N  º − ª¬N +  − N º¼ . ¼  ¬     Ĉһt F N = N +   + N +   − N +   − N +      Ÿ 3N − F N = 3N − − F N −  =  = 3 − F  =  Do NN +  N +  = Ÿ 3N = F N = NN +  N +  N +  .  Ví dͭ 3.13: Trong mp cho N ÿѭӡng thҷng, trong ÿó không có ba ÿѭӡng nào ÿӗng quy và ÿôi mӝt không cҳt nhau. Hӓi N ÿѭӡng thҷng trên chia mһt phҷng thành bao nhiêu miӅn ? Giҧi: Gӑi AN là sӕ miӅn do N ÿѭӡng thҷng trên tҥo thành. Ta có: A =  . Ta xét ÿѭӡng thҷng thӭ N +  (ta gӑi là D ), khi ÿó D cҳt N ÿѭӡng thҷng ÿã cho tҥi N ÿiӇm và bӏ N ÿѭӡng thҷng chia thành N +  phҫn, ÿӗng thӡi mӛi phҫn thuӝc mӝt miӅn cӫa AN . Mһt khác vӟi mӛi ÿoҥn nҵm trong miӅn cӫa AN sӁ chia miӅn ÿó thành 2 miӅn, nên sӕ miӅn có thêm là N +  . Do vұy, ta có:AN +  = AN + N +  Tӯ ÿây ta có: AN =  + NN +  .  - 37 - M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ Chú ý : Vӟi giҧ thiӃt ӣ trong ví dө trên nӃu thay yêu cҫu tính sӕ miên bҵng tính sӕ ÿa giác tҥo N −  N −  thành thì ta tìm ÿѭӧc: AN = .  Ví dͭ 3.14: Trong không gian cho N mһt phҷng, trong ÿó ba mһt phҷng nào cNJng cҳt nhau và không có bӕn mһt phҷng nào cùng ÿi qua qua mӝt ÿiӇm. Hӓi N mһt phҷng trên chia không gian thành bao nhiêu miӅn ? Giҧi: Gӑi BN là sӕ miӅn do N mһt phҷng trên tҥo thành Xét mһt phҷng thӭ N +  (ta gӑi là 0 ). Khi ÿó 0 chia N mһt phҷng ban ÿҫu theo N NN +  miӅn, mӛi miӅn này nҵm  N + N +  . trong mӝt miӅn cӫa BN và chia miӅn ÿó làm hai phҫn.Vұy BN + = BN +  N +  N  − N +  Tӯ ÿó, ta có: BN = .  giao tuyӃn và N giao tuyӃn này sӁ chia 0 thành  + Ví dͭ 3.15: Trong mӝt cuӝc thi ÿҩu thӇ thao có M huy chѭѫng, ÿѭӧc phát trong N ngày  thi ÿҩu. Ngày thӭ nhҩt, ngѭӡi ta phҩt mӝt huy chѭѫng và sӕ huy chѭѫng còn lҥi.   Ngày thӭ hai, ngѭӡi ta phát hai huy chѭѫng và sӕ huy chѭѫng còn lҥi. Nhӳng ngày  còn lҥi ÿѭӧc tiӃp tөc và tѭѫng tӵ nhѭ vұy. Ngày sau cùng còn lҥi N huy chѭѫng ÿӇ phát . Hӓi có tҩt cҧ bao nhiêu huy chѭѫng và ÿã phát trong bao nhiêu ngày? (IMO 1967). Giҧi: Gӑi AK là sӕ huy chѭѫng còn lҥi trѭӟc ngày thӭ K Ÿ A = M , khi ÿó ta có: K − AK + §·  K = AK − Ÿ AK = ¨ ¸   ©¹ N − §· Ÿ AN = N = ¨ ¸ ©¹ ( ) M −  − K +  N − §· M −  − N +  Ÿ M −  = N −  ¨ ¸ ©¹ Vì   =  và N − > N −  nên ta có N −  =  ⇔ N =  Ÿ M =  . Vұy có  huy chѭѫng ÿѭӧc phát và phát trong  ngày. – 38 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ Ví dͭ 3.16: Có bao nhiêu xâu nhӏ phân ÿӝ dài N trong ÿó không có hai bit 1 ÿӭng cҥnh nhau? Giҧi: Gӑi CN là sӕ xâu nhӏ phân ÿӝ dài n thӓa mãn ÿiӅu kiӋn ÿҫu bài. Ta có C =  ; C =  . Xét xâu nhӏ phân ÿӝ dài n thӓa mãn ÿiӅu kiӋn ÿҫu bài có dҥng ANAN −AN −  AA . Có hai trѭӡng hӧp •Å AN =  . Khi ÿó AN − =  và AN −  AA có thӇ chӑn là mӝt xâu bҩt kǤ ÿӝ dài N −  thӓa ÿiӅu kiӋn. Có CN −  xâu nhѭ vұy, suy ra trѭӡng hӧp này có CN −  xâu. •Å AN =  . Khi ÿó AN −AA có thӇ chӑn là mӝt xâu bҩt kǤ ÿӝ dài N −  thӓa ÿiӅu kiӋn. Có CN − xâu nhѭ vұy, suy ra trѭӡng hӧp này có CN − xâu. Vұy tәng cӝng xây dӵng ÿѭӧc CN − + CN −  Å xâu, hay CN = CN − + CN −  . N − N −  −  § −  ·  −  § +  · Ÿ CN = + ¨ ¸ ¨ ¸ . ¨ ¸ ¨ ¸    ©  © ¹ ¹ Ví dͭ 3.17: Cho sӕ nguyên dѭѫng N . Tìm tҩt cҧ các tұp con ! cӫa tұp 8 =     N sao cho không tӗn tҥi hai phҫn tӱ X Y ∈ ! thӓa mãn: X + Y = N +  { } (Thͭy SͿ 2006). Giҧi: ĈӇ giҧi bài toán này ta sӁ ÿi ÿӃm sӕ tұp con ! cӫa 8 thӓa mãn luôn tôn tҥi hai phҫn tӱ X Y ∈ ! sao cho X + Y = N +  (ta gӑi tұp ! có tính chҩt 4 ). { } Gӑi AN là sӕ tұp con ! cӫa tұp    N có tính chҩt 4 { } Khi ÿó các tұp con ! ⊂    N N +  N +  xҧy ra hai trѭӡng hӧp. TH1: Trong tұp ! chӭa hai phҫn tӱ  và N +  , trong trѭӡng hӧp này sӕ tұp ! có tính chҩt 4 chình bҵng sӕ tұp con cӫa tұp gӗm N phҫn tӱ     N N +  và sӕ tұp { } con cӫa tұp này bҵng N . TH2: Trong tұp ! không chӭa ÿҫy ÿӫ hai phҫn tӱ  và N +  . Khi ÿó ! phҧi chӭa mӝt tұp !  là tұp con cӫa tұp     N N +  sao cho có hai phҫn tӱ X  Y  ∈ !   { } X  + Y  = N +  . Ta thҩy sӕ tұp con !  nhѭ trên chính bҵng sӕ tұp con cӫa tұp { } [   N ] có tính chҩt 4 (Vì ta trӯ các phҫn tӱ cӫa     N N +  ÿi mӝt ÿѫn vӏ ta ÿѭӧc tұp [   N] và X  Y  ∈ !   X  + Y  = N +  ) – 39 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ Hѫn nӳa vӟi mӛi tұp !  ta có ÿѭӧc ba tұp ! (bҵng cách ta chӑn ! là !  hoһc [] ∪ !  hoһc [N + ] ∪ !  ) Do vұy: AN + = AN + N Ÿ AN = N − N Vұy sӕ tұp con thӓa mãn yêu cҫu bài toán là: N − AN = N . – 40 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ Bài tұp áp dөng Bài 1: Tìm CTTQ cӫa các dãy sӕ sau 1) U =  U =  UN +  − UN + UN − = N +  N ≥  2) U =  U =  UN + − UN + UN − = N N ≥ 3) U =  U =  UN +  − UN − UN − = N + N N≥ 4) U =  U =  U =  UN = UN − − UN −  + UN −  N ≥  ­  °U =  ° 5) ® . UN − +  −  °U = ÅÅ∀N ≥  ° N −  − U N − ¯ { } Bài 2: Cho dãy sӕ BN ­°B = B + BN −  N − xác ÿӏnh bӣi : ® N °̄B =  B =  N ∈. (N ≥  ) N §· Chӭng minh rҵng BN ≤ ¨ ¸ ©¹ { } Bài 3: Cho dãy sӕ UN ∀N ∈ . ­U ∈ : + ∀ ∈ . ° N thoҧ mãn nhѭ sau : ®U  =  U =  °U = U − UN −  ÅÅ∀N ∈ . ÅN ≥  N − ¯ N Chӭng minh : ∀K ∈ . K ≥  .  ÅUK + UK − − UK UK − = −  ÅUK − UK − #  và UK − #  ­°X =  X =  Bài 4: Cho dãy sӕ X N xác ÿӏnh nhѭ sau: ®  . − + = ∀ ≥ X  X X ÅÅ N  °̄ N N − N − Xác ÿӏnh sӕ tӵ nhiên N sao cho : X N +  + X N =  . – 41 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ ­°X =  X =  Bài 5: Cho dãy X N ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi ®  . = − ∀ ≥ X X X N  ÅÅ  °̄ N +  N N − Tìm LIM X N { X } N (TH&TT T7/253).  §  ¨  −  − A  N   · ¸  và AN +  = ¨ ¸ Å∀N ≥  .   ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ Chӭng minh rҵng: A + A +  + A <   (TH&TT T10/335). Bài 6: Xét dãy AN  A = Bài 7: Cho dãy AN  A  = AN + = AN + AN −  Å∀N ≥  . Hãy xác ÿӏnh CTTQ  A +  có thӇ biӇu diӉn thành tәng bình phѭѫng cӫa  N ba sӕ nguyên liên tiӃp vӟi ∀N ≥  (TH&TT T6/262). Bài 8: Cho dãy sӕ PN ÿѭӧc xác ÿӏnh nhѭ sau: P =  cӫa AN và chӭng minh rҵng sӕ { } PN = P + P +  + N −  PN −  ∀N ≥  . Xác ÿӏnh PN (TH&TT T7/244). ­°U =  . Chӭng minh rҵng Bài 9: Xét dãy UN  ®   U  U  N  N  N ÅÅ N  = + − + − ∀ ≥ °̄ N N − P − vӟi mӛi sӕ nguyên tӕ P thì  ¦ UI chia hӃt cho P (TH&TT T6/286). I = ­°X  = A . Bài 10: Dãy sӕ thӵc XN  ®  X X N  ÅÅ  = − ∀ ≥ °̄ N + N Tìm tҩt cҧ các giá trӏ cӫa A ÿӇ X N < ÅÅ∀N ≥  (TH&TT T10/313). Bài 11: Dãy sӕ XN  X  =  X = X N +XN  và X N +  = X N + + X N + X N +XN  ∀N ≥  . Hãy tìm CTTQ cӫa X N (TH&TT T8/298). Bài 12: Cho dãy sӕ AN ÿѭӧc xác ÿӏnh nhѭ sau: AN ­  °°A =  . ® AN −  °AN = Å∀N ≥  NAN − +  °̄ Tính tәng A + A +  + A . - 42 - M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ Bài 13: Cho dãy sӕ AN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi : A =  ÅA =  Å AN = NN +  N +  . Ĉһt 3N = A + A +  + AN . Chӭng minh rҵng 3N +  là sӕ chính phѭѫng . (HSG Qu͙c Gia – 1991 B̫ng B ) Bài 14: Cho hai dãy sӕ AN BN ÿѭӧc xác ÿӏnh nhѭ sau: A  = B =  và AN +  = ANBN AN + BN ÅBN +  = AN + BN ÅÅÅ∀N ≥  . Chӭng minh rҵng các dãy AN và BN có cùng mӝt giӟi hҥn chung khi N → +∞ . Tìm giӟi hҥn chung ÿó. ( HSG Qu͙c Gia – 1993 B̫ng A ngày thͱ 2) Bai 15: Cho các sӕ nguyên A B . Xét dãy sӕ nguyên AN ÿѭӧc xác ÿӏnh nhѭ sau A  = A A = B A = B − A +  ÅAN +  = AN +  − AN + + AN Å∀N ≥  A Å Tìm CTTQ cӫa dãy AN . B Å Tìm các sӕ nguyên A B ÿӇ AN là sӕ chính phѭѫng vӟi ∀N ≥  . (HSG Qu͙c Gia – 1998 B̫ng B). N  °­A =  Bài 16: Cho dãy sӕ AN  ®  . Tính ¦ I = AI °̄ − AN  + AN − = ÅÅ∀N ≥  (Trung Qu͙c – 2004 ). ­A  =  ° Bài 17: Cho dãy sӕ AN  ® . Chӭng minh AN − + AN − −  °AN = ÅÅ∀N ≥  ¯   ÅAN là sӕ nguyên dѭѫng vӟi ∀N ≥  .  ÅAN +AN −  là sӕ chính phѭѫng ∀N ≥  . ( Trung Qu͙c – 2005 ). ­°U =  U =  UN −  Bài 18: Cho dãy sӕ UN  ® . Chӭng minh rҵng là sӕ = − ∀ ≥ U  U U Å N   °̄ N N − N − chính phѭѫng ( Ch͕n ÿ͡i tuy͋n Ngh͏ an – 2007 ). ­   °B = B = Bài 19: Cho dãy sӕ BN  ® . Tính  ¦ BI ( Moldova 2007). I = °B + B = BN −    ÅÅ∀N ≥  N − ¯N - 43 - M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ Bài 20: Có N tҩm thҿ ÿѭӧc ÿánh sӕ tӯ  ÿӃn N . Có bao nhiêu cách chӑn ra mӝt sӕ thҿ (ít nhҩt 1 tҩm) sao cho tҩt cҧ các sӕ viӃt trên các tҩm thҿ này ÿӅu lӟn hѫn hoһc bҵng sӕ tҩm thҿ ÿѭӧc chӑn. ­U =  ÅUN > Å∀N ≥  °° Bài 21: Cho dãy UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi: ® . Chӭng minh  + UN − −  ÅÅ∀N ≥  °UN = UN − °̄ rҵng U + U +  + UN ≥  + πª  « −  ¬  N − º » (HSG Qu̫ng Bình 2008 – 2009 ). ¼ Bài 22: Cho dãy ÿa thӭc : 0 X = X  − X +  và 0N X = 0 0 0 X N lҫn. Tìm sӕ nghiӋm cҧu 0 X và 0N X ? (D͹ tuy͋n Olympic). Bài 23: Xác ÿӏnh hӋ sӕ X  trong khai triӇn chính quy cӫa ÿa thӭc 1K X = X −   −   −   −   −   (có K dҩu ngoһc). Bài 24: Cho dãy X N  X  =  X =  X N +  = X N − X N − ÅÅ∀N ≥  và dãy sӕ (YN )  Y =  Y =  YN + = YN − YN − ÅÅ∀N ≥  . Chӭng minh rҵng: YN = XN + ÅÅ∀N ≥  (Canada – 1998 ). Bài 25: Có bao nhiêu tam giác có ÿӝ dài các cҥnh là các sӕ tӵ nhiên không vѭӧt quá N (Macedonian – 1997 ). Bài 26: Cho dãy sӕ UN ÿѭӧc xác ÿӏnh nhѭ sau: U = U =  và UN + = UN − UN − vӟi ∀N ≥  . Chӭng minh rҵng vӟi ∀N ≥  thì AN −  là mӝt sӕ chính phѭѫng (Ch͕n ÿ͡i tuy͋n Romania 2002). – 44 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ KӂT LUҰN – KIӂN NGHӎ Trҧi qua thӵc tiӉn giҧng dҥy, nӝi dung liên quan ÿӃn chuyên ÿӅ vӟi sӵ góp ý cӫa ÿӗng nghiӋp vұn dөng chuyên ÿӅ vào giҧng dҥy ÿã thu ÿѭӧc mӝt sӕ kӃt quҧ sau 1) Hӑc sinh trung bình trӣ lên có thӇ vұn dөng mӝt sӕ kӃt quҧ cѫ bҧn trong chuyên ÿӅ vào giҧi bài toán xác ÿӏnh CTTQ cӫa mӝt sӕ dҥng dãy sӕ có dҥng truy hӗi ÿһc biӋt. 2) Hӑc sinh giӓi có thӇ vұn dөng các kӃt quҧ trong chuyên ÿӅ ÿӇ tham khҧo phөc vө trong nhӳng kì thi hӑc sinh giӓi cҩp TӍnh và cҩp Quӕc Gia. 3) Tҥo ÿѭӧc sӵ hӭng thú cho hӑc sinh khi hӑc vӅ bài toán dãy sӕ. 4) Là tài liӋu tham khҧo cho hӑc sinh và giáo viên. 5) Qua ÿӅ tài giáo viên có thӇ xây dӵng các bài toán vӅ dãy sӕ. Bên cҥnh nhӳng kӃt quҧ thu ÿѭӧc, chuyên ÿӅ còn mӝt sӕ hҥn chӃ sau: 1) Trong chuyên ÿӅ chѭa xây dӵng ÿѭӧc phѭѫng pháp xác ÿӏnh CTTQ cӫa mӝt sӕ dãy sӕ mà các hӋ sӕ trong công thӭc truy hӗi biӃn thiên. 2) Chѭa ÿѭa vào mӝt sӕ phѭѫng pháp xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ dӵa vào mӝt sӕ kiӃn thӭc liên quan ÿӃn Toán cao cҩp nhѭ phѭѫng pháp hàm sinh… Hy vӑng các ÿӗng nghiӋp sӁ phát triӇn, mӣ rӝng và khҳc phөc mӝt sӕ hҥn chӃ nói trên. – 45 – M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ TÀI LIӊU THAM KHҦO [1] Ĉҥi Sӕ và Giҧi Tích lӟp 11 Nâng Cao [2] Các bài thi Olympic Toán THPT ViӋt Nam, Tӫ sách TH&TT – NXB GD 2007 [3] Mӝt sӕ bài toán chӑn lӑc vӅ dãy sӕ , NguyӉn Văn Mұu, NXBGD – 2003 [4] Các phѭѫng pháp ÿӃm nâng cao, Trҫn Nam DNJng [5] Tҥp chí Toán Hӑc Và Tuәi Trҿ [6] Các diӉn ÿàn Toán hӑc nhѭ: maths.vn ; diendantoanhoc.net ; mathscop.org … [7] TuyӇn tұp các chuyên ÿӅ thi Olympic 30 – 4 Khӕi 11 [8] Phép quy nҥp trong hình hӑc, Yaglom – L.I.Golovina – IM (Khәng Xuân HiӇn dӏch xuҩt bҧn năm 1987) – 46 –
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top