Phương pháp quy nạp toán học – Nguyễn Hữu Điển

Giới thiệu Phương pháp quy nạp toán học – Nguyễn Hữu Điển

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và quý thây cô Phương pháp quy nạp toán học – Nguyễn Hữu ĐiểnChương Tổ hợp và Xác Xuất.

Tài liệu môn Toán 11  và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất nhé.

Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm về môn Toán.

Text Phương pháp quy nạp toán học – Nguyễn Hữu Điển
, , ˜ ˜ NGUYÊN HUU ÐIÊN , , PHUONG PHÁP QUY NAP . TOÁN HOC . , (Tái ban lâ`n thú, hai) , ´ BAN GIÁO DUC NHÀ XUÂT . , , c Ebook 1.0 cua cuô´n sách nguyên gô´c tù, ban in, các ban . tham , , , khao, cho ý kiê´n sai sót và lòi khuyên tái ban. Moi liên hê. . , , , Tác gia: Nguyễn Hũu Ðiên Ðiên . thoai: . 0989061951 Email: [email protected] Web: http://nhdien.wordpress.com , Chiu . trách nhiêm . xuâ´t ban: Giám d̄ô´c Ngô Trâ`n ái , ,, Tông biên tâp . Vũ Duong Thuy . Biên tâp . nôi . dung: Ngô Long Hâu . , Biên tâp t ái b an: . ,, Truong Công Thành Trı̀nh bày bı̀a: Ta. Trong Trı́ . , Chê´ ban: , , Nguễn Hũu Ðiên 51 05/796-00 GD − 00 Mã sô´: 8H663M0 , ` LÒI NÓI ÐÂU ,, , Môt trong toán hoc . phuong pháp ,râ´t manh . . dùng nghiên cúu , và chúng minh các gia thuyê´t là nguyên lý quy nap . ,toán hoc. . Có ,, ,, ´ vô sô các vı́ du. trong các môn hoc phô thông dùng . o ,chuong trı̀nh , , , , , nguyên lý này d̄ê diễn giai và mô ta. Nhung d̄ê hiêu thâ´u d̄áo vê` ,, , kỹ thuât trong hoc . áp dung . . tâp, . sáng tao . râ´t ı́t sách d̄uo. c bàn tói. ,, Tài liêu . sô´ sách nói riêng vê` vâ´n d̄ê` . nuóc ngoài cũng d̄ã có, môt , ,, này, theo tôi cũng chua d̄â`y d̄u và râ´t nhiê`u nguòi khó tiê´p xúc , ,, , d̄uo. c vói tài liêu dan . này. Tôi manh . . thu thâp . và khao sát nguyên ` lý quy nap và minh hoa các . toán hoc . theo moi . ,khı́a canh . . băng ,, bài tâp ., trong chuong trı̀nh phô thông. Ðây là lo,ai . sách cung câ´p , ,, và thao luân . nhũng phuong pháp hoc . tâp . và giai bài tâp . cho các ,, , ` ban yêu thı́ch to án h oc, c ác thâ y cô gi áo, sinh viên c ác truòng su . , ,, ., pham ., và các ban . o lóp hoc . sinh gioi làm t,ài liêu . tiê´p tuc . phát ,, ` triên. Chuong d̄âu xem xét các khı́a canh cua nguyên lý quy nap . . , , , ´ toán hoc. . Do khuôn khô cua cuô, n sách chúng tôi d̄ã không chúng , ,, ,, minh can .̆ kẽ su. tuong d̄uong cua ,nguyên lý quy nap . toán hoc . và , , , , , , , tiên d̄ê` thú tu. ; su. tuong d̄uong cua các dang nguyên lý quy nap . , ,. ,, toán hoc..v.v. Chuong hai khao sát các khı́a canh kỹ thuât cua . . . , , ,, ,, nguyên lý này. Tù chuong ba mỗi chuong dùng khao sát các bài , , ,, tâp phuong pháp quy nap . vê` môt . loai . chu d̄ê` chı áp dung . . toán , , , ´ , ´ hoc . nhu: Sô hoc, . Dãy sô, Hı̀nh hoc, . Ða thúc, Tô ho. p, Liên phân sô´ … , ´ còn nhiê`u bài Tài liêu . chúng tôi tham khao có han . và ,chăc , , ,, , tâp . hay chua nói tói,, hoac .̆ , có sai,sót trong thê hiên . ý,tuong mong , , , ban . chı: . d̄oc . cho,ý kiê´n sua d̄ôi và bô sung. Moi . liên hê. gui vê` d̄ia , Nhà xuâ´t ban Giáo duc, . 81 Trâ`n Hung Ðao, . Hà Nôi. . Hà Nôi, th áng 5 n ăm 2000 . , Tác gia 3 , , CHUONG 1 NGUYÊN LÝ QUY NAP . TOÁN HOC . 1.1. Suy diễn và quy nap . …………………………….. 4 1.2. Nguyên lý quy nap . toán hoc . …………………….. 6 , 1.3. Giai d̄oan . quy nap . và gia thiê´t quy nap . ………….. 8 , ,, 1.4. Hai buóc cua nguyên lý quy nap . toán hoc . . . . . . . . . . 14 ,, 1.5. Khi nào dùng phuong pháp quy nap . . . . . . . . . . . . . . . . 19 . 1.6. Bài tâp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.1. Suy diễn và quy nap . , , Ðê minh hoa . hai khái niêm . râ´t hay gap .̆ trong thu. c tê´ là suy diễn và quy nap, . ta lâ´y câu ca dao Viêt . Nam ai cũng biê´t: ¨Sô´ cô có me. có cha Me. cô d̄àn bà cha cô d̄àn ông Sô´ cô có vo., có chô`ng , Sinh con d̄â`u lòng chăng gái thı̀ trai.¨ , , Ðây là câu d̄oán cua ông thâ`y bói, ta d̄ã biê´t thâ`y bói chı , d̄oán mò thôi, nhung ông thâ`y bói trong câu ca dao này râ´t khôn , là dùng môt luôn luôn d̄úng ¨ai cũng có me, . . khăng d̄inh . có cha¨. , , ,, ´ Tù d̄ó dù áp dung cho nguòi d̄ên bói cu. thê nào cũng d̄úng luôn, , . , ,, , nghı̃a là khăng d̄inh riêng cũng d̄úng. Buóc suy luân tù khăng . . , , d̄inh cho nhũng khăng d̄inh . chung áp dung . riêng biêt . . goi . là phép ,, , suy diễn. Phép suy diễn o vı́ du. trên là luôn d̄úng vói hai câu d̄â`u, 1.1. Suy diễn và quy nap . 5 , ,, , nhung có thê sai o hai câu sau. Trong toán hoc râ´t hay dùng phép , , . suy diễn, chăng han, góc trong cua môt . nê´u hai . tam giác d̄ã cho , , , 0 0 ` là 30 và 70 , thı̀ d̄iêu khăng d̄inh sau d̄úng: ¨ Góc thú ba cua . , ,, tam giác d̄ã cho là 800 ¨. Mênh d̄ê` chung o d̄ây là: ¨Tông các góc . , 0 trong cua môt . tam giác là 180 ¨. ,, , Bây giò ta d̄oc . lai . chuyên . cuòi dân gian Viêt . nam: , , , ¨Bô´n ông thâ`y bói ru nhau d̄i xem voi. Tói chỗ voi d̄úng, bô´n , , , thâ`y bói chen vào, sò tân . tay, xem con voi nó thê´ nào. Vê` tói cho. , bô´n thâ`y hop . nhau bı̀nh phâm. ,, , Thâ`y sò d̄uo. c cái vòi voi nói: , , , , , ,, , ´ té ra chı giô´ng con d̄ıa cu. c lón. Tôi sò vào – Tuong voi la. lăm, ,, nó uô´n cong nguòi lai. . , Thâ`y ôm phai cái chân, vôi . cãi: , , , – Voi chı hêt . nhu cái côt . nhà thôi. Tôi ôm vào vùa tay cái côt . cái. , ´ phai cái tai voi, chê: Thâ`y năm , , , – Các bác chı nói mò. Con voi thât . ra tu. a nhu cái quat . to ,, tuóng. , , ,, Thâ`y túm phai cái d̄uôi voi, cuòi khây: , – Ba bác nói sai ca. Tôi d̄ã túm nó trong tay, thı̀ d̄úng là môt . , , cái chôi xê d̄ai. . Không ai chiu . ai, bô´n thâ`y to tiê´ng cãi nhau ô`n ào môt . góc , cho. … ¨ , , , Mỗi ông thâ`y bói d̄ê`u dùng khăng d̄inh riêng cua mı̀nh d̄ê . , , , ,, , d̄oán, phát biêu khăng d̄inh chung. Buóc suy luân tù khăng d̄inh . . . , , ,, , riêng tiê´n tói phát biêu khăng d̄inh chung d̄u o c g oi l à phép quy . . . ,, Chuong 1. Nguyên lý quy nap . toán hoc . 6 , ,, , nap. chung o d̄ây là ¨con vât d̄ó là con voi¨. Nhu vây . . . . Khăng d̄inh , , ´ ` ` 4 ông thây bói d̄êu phát biêu khăng d̄inh chung sai. Chăc có môt . . ,, ´ ` ´ ông nào d̄ó sáng măt thı̀ sẽ d̄úng. Ta thây răng phuong pháp quy , , , ,, nap . sai. Phuong pháp quy nap . có thê d̄ua d̄ê´n kê´t qua nhân . d̄inh . ,, , ´ ´ rât hay d̄uo. c dùng trong nghiên cúu khoa hoc, . nhât là toán hoc. . , , , ,, ´ Nhu vây hiêu phuong pháp quy nap thê nào d̄ây . chúng ta phai , . , ,, ´ ` và áp dung thê nào d̄ê nhân d̄ê khăng d̄inh d̄úng. . . . d̄uo. c mênh . 1.2. Nguyên lý quy nap . toán hoc . , , ,, ´ gon Ðê ngăn toán hoc . . ta ký hiêu . môt . khăng d̄inh . là P( x ), o ,, ,, , d̄ây x là môt mênh d̄ê` ¨ . biê´n sô´. Nguòi ta thuòng d̄ua vê` dang . . , Vói moi . x (trong môt . tâp . S nào d̄ó), P( x )¨. Trong cuô´n sách này , , , ta lâ´y x = n là nhũng sô´ tu. nhiên1 , S là tâp . các sô´ tu. nhiên (bao , ,, , gô`m toàn bô. các sô´ nguyên duong). Ta su dung môt . . tı́nh châ´t râ´t , , , , , , , quan trong cua tâp . . sô´ tu. nhiên, thuòng nguòi ta công nhân . nhu ,, , , môt . tiên d̄ê` (d̄uo. c goi . là tiên d̄ê` thú tu. ). , , , , Tiên d̄ê`: Trong mỗi tâp . ho. p khác rỗng cua nhũng sô´ tu. nhiên có , ,, môt . phâ`n tu nho nhâ´t. , , , , Cho mỗi sô´ tu. nhiên n úng vói môt khăng d̄inh P(n). Vı́ du, . . , ,. ,, , , , ´ ´ vói 1 ta cho tuong úng vói khăng d̄inh P(1): ¨sô 1 là môt . . sô le¨, ,, , , ` ˜ ´ ´ ´ sô 2 cho tuong túng vói P(2): ¨ sô 2 là môt . sô ,chăn¨; … Băng ,, , riêng phuong pháp nhu vây . . chúng ta tao . ra dãy khăng d̄inh P(1), P(2), . . . , P(n), . . . . Nguyên lý quy nap . toán hoc . cho ta môt . , , ,, , phuong pháp kiêm tra khăng d̄inh P(n) d̄úng hoac . .̆ sai vói moi . n. , ,, Nguyên lý quy nap lı́ sau: . . toán hoc . d̄uo. c thê hiên . qua d̄inh 1 Trong 0. , , , sách này khi nói d̄ê´n sô´ tu. nhiên, ta hiêu d̄ó là sô´ tu. nhiên khác sô´ 1.2. Nguyên lý quy nap . toán hoc . 7 ,, Ðinh lý 1.1. Cho n0 là môt d̄ề . sô´ nguyên duong và P(n) là mênh . . , , ´ ´ có nghı̃a vói moi . sô tu. nhiên n ≥ n0 . Nêu A) P(n0 ) là d̄úng và B) Nê´u P(k ) d̄úng, thı̀ P(k + 1) cũng d̄úng vó,i mỗi sô´ tu. , nhiên k ≥ n0 , , khi d̄ó mênh d̄ề P(n) d̄úng vó,i moi . . sô´ tu. nhiên n ≥ n0 . , , , , ` phan chú,ng. Gia su,, ngu,o.,c Chúng minh. Ta sẽ chúng minh băng , , lai, d̄ê` khăng d̄inh P(n) trong Ðinh lı́ 1.1 không d̄úng vói . . . mênh . , , môt . sô´ tu. nhiên n ≥ n0 nào d̄ó. Nghı̃a là tô`n tai . môt . sô´ tu. ,nhiên , m ≥ n0 , mà P(m) không d̄úng. Ta lâ´y sô´ tu. nhiên m nho nhâ´t , ,, , mà P(m) không d̄úng (d̄iê`u này thu. c hiên d̄uo. c do tiên d̄ê` thú . , , , , tu. ). Theo d̄iê`u kiên ta có bâ´t d̄ăng thúc m > n0 , tù d̄ó suy ra . A), , , , , , m − 1 ≥ n0 . Tù bâ´t d̄ăng thúc vùa lâp . và cách chon . sô´ tu. nhiên , ,, m suy ra P(m − 1) là d̄úng, nhung nó không kéo theo d̄uo. c P(m) , , d̄úng cho sô´ tiê´p theo m = (m − 1) + 1. Ðiê`u này trái vói gia thiê´t B). , , ,, , , Xuâ´t phát tù mênh d̄ê` khăng d̄inh vói các truòng ho. p riêng, . . , , , , , nây sinh gia thiê´t mênh chăng han . nhu các sô´ 1, 2, hoac .̆ 3 có thê ., , , , , , ´ ´ d̄ê` d̄úng vói moi sô t u nhiên. Sau d̄ó d̄ê ch ú ng minh gi a thiê t cua . . , , ,, ta vùa xây du. ng nguòi ta lý luân . theo nguyên lý quy nap . toán ,, , , , , hoc. . Phuong pháp chúng minh nhu vây . goi . là phuong pháp quy ,, ,, nap d̄inh . ,lı́ trên phuong pháp này gô`m hai buóc, . toán hoc. . Theo , , , thú nhâ´t ta kiêm tra khăng d̄inh môt . . tı́nh châ´t vói n = n0 , goi . , , , ` là Bu,ó,c co, so,; sau d̄ó chúng minh răng nê´u vói mỗi k ≥ n0 , P(k ) , thoa mãn tı́nh châ´t d̄ã biê´t, thı̀ suy ra P(k + 1) cũng có tı́nh châ´t , ,, â´y, goi . là Buóc quy nap. . là P(n) có tı́nh châ´t d̄ã cho vói . Kê´t luân , moi . n ≥ n0 . Cách chúng minh theo quy nap . toán hoc . là tránh J ,, Chuong 1. Nguyên lý quy nap . toán hoc . 8 , , , , ,, d̄ê`. cho ta phai kiêm tra vô han cua mênh . . buóc các khăng d̄inh . , 1.3. Giai d̄oan quy n ap v à gi a thiê´t quy nap . . . ,, ,, Phuong pháp quy nap trong . toán hoc . râ´t hay d̄uo. c áp dung . , nghiên cúu và tı̀m tòi trong toán hoc, . các ngành khoa h, oc . khác. , , ,, ` Ðê hiêu cách áp dung phuong pháp quy nap . . cho d̄ây d̄u, ta xem , ´ xét môt . sô vı́ du. sau d̄ây nhu môt . phép ¨suy luân . có lý¨ mà G. ` Polya d̄ã d̄ê câp. . , , , Vı́ du. 1.1. Cho tru,ó,c môt . sô´ tu. nhiên n. Hãy tı̀m tông các sô´ tu. nhiên 1, 2, . . . , n. , , , , Lòi giai. Ta ký hiêu . Sn là tông phai tı̀m, nghı̃a là Sn = 1 + 2 + · · · + n. (1.1) , , , ´ gon Ta hy vong là tı̀m ra công thúc ngăn . . d̄ê, tı́nh tông trên, công , , ,, , thúc d̄ó giúp ta tı́nh nhanh, gon . hon là phai thu. c hiên . lâ`n luo. t , các phép công trong tông. Ta cũng biê´t d̄ây là câ´p sô´ công, nê´u . . , , ban ., d̄oc . d̄ã biê´t vê` câ´p sô´ này, thı̀ ta có thê có ngay công thúc tı́nh , ,, tông. Nhung o d̄ây ta muô´n minh hoa nguyên . quá trı̀nh áp dung . , , lý quy nap ta bo . toán hoc . nên nhũng d̄iê`u d̄ã biê´t vê` câ´p sô´ công . , , qua, coi nhu chua biê´t. , , , , , , Ta tı́nh tông Sn tù d̄ăng thúc (1.1) vói môt vài sô´ tu. nhiên . , , ´ d̄â`u tù, 1. Nhũ,ng kê´t qua tı́nh toán các liên tiê´p, chăng han . băt , ,, , truòng ho. p riêng ta xê´p vào bang n Sn 1 1 2 3 3 6 4 10 5 15 6 21 , , ,, Muc cua ta là tı̀m d̄uo. c quy luât chung (khăng d̄inh chung), . d̄ı́ch . , . ,, , ,, , , vói bang trên, mỗi sô´ tu. nhiên o hàng trên trong bang cho tuong , 1.3. Giai d̄oan . quy nap . và gia thiê´t quy nap . 9 , ,, , ,, , úng vói các sô´ o hàng duói. Tı̀m ra quy luât . bài toán phu. . cua môt , , ´ ` ´ ´ thuôc vào rât nhiêu yêu tô: su. khéo léo trong quan sát; su. nhay . , , , , . , , cam du. d̄oán và kiêm tra cua ta; tù các kinh nghiêm . d̄ã trai qua , ,, , , trong tı́nh toán các bài toán tuong tu. , tù kha năng liên hê. bài ,, , , , toán tuong tu. vói d̄iê`u kiên . mói, v.v… , , Trên bang trên ta dễ thâ´y quy luât: . Tı́ch cua hai sô´ liên tiê´p ,, ,, ,, , ,, ` o hàng trên băng 2 lâ`n sô´ d̄â`u tiên tuong úng o hàng duói. Thât . , vây, 1.2=2.1, 2.3=2.3, 3.4=2.6, 4.5=2.10, 5.6=2.15. Nhu v ây giai . . , , d̄oan quy n ap c ua ch úng ta d̄ ã th ành công: Tı̀m ra quy lu ât . vói . . ,, , các truòng ho. p riêng n = 1, 2, 3, 4, 5, 6. , ,, , Tiê´p tuc quy luât trên cho bang . môt . cách tu. nhiên là mo rông . . , , , , , , sô´ vói các sô´ tu. nhiên bâ´t kỳ. Ta d̄ua ra gia thiê´t thı́ch ho. p vói , ,, quy luât . vùa tı̀m d̄uo. c. Ðat .̆ n ( n + 1) . (1.2) 1+2+···+n = 2 , , , ,, Môt vây . gia thiê´t ,ta d̄ã làm nhu . d̄uo. c goi . là gia thiê´t quy nap. . , , , , Nhung câu hoi d̄at . n = .̆ ra là d̄ăng thúc (1.2) có d̄úng vói moi , , ´ ´ 1, 2, . . . hay không? Rõ ràng nêu (1.2) d̄úng vói moi sô tu. nhiên , . , ` ` thı̀ băng cách thay n băng n + 1 chúng ta sẽ có d̄ăng thúc (n + 1)(n + 2) 1 + 2 + · · · + n + ( n + 1) = . (1.3) 2 , , Trái lai, . gia thiê´t (1.2) là d̄úng vói moi . n = 1, 2, . . ., nê´u 1) nó , , d̄úng vói n = 1 và 2) nó d̄úng vói mỗi sô´ k suy ra cũng d̄úng , , , vói ca k + 1. Ðiê`u này không có cách nào khác là phai áp dung , , . nguyên lý quy nap . toán hoc. ., Nghı̃a là chúng ta phai kiêm tra , ` nhũng d̄iêu kiên lı́ 1.1. . . A) và B) cua d̄inh , ,, , , , , , Buóc co so: vói n = 1, công thúc (1.2) d̄úng (nó còn d̄úng cho ca n = 2, 3, 4, 5, 6). ,, Chuong 1. Nguyên lý quy nap . toán hoc . 10 , , , Bây giò chúng ta chúng minh công thúc (1.2) d̄úng Bu,ó,c quy nap: . , , , , cho ca d̄iê`u kiên úc (1.2) . B). Vói muc . d̄ı́ch d̄ó ta gia thiê´t công th , , , , d̄úng vói môt . sô´ n = k ≥ 1 nào d̄ó ,và sẽ chúng minh d̄ăng thúc , (1.2) d̄úng vói n = k + 1. Ta biê´n d̄ôi 1 + 2 + · · · + k + ( k + 1) = (k + 1)(k + 2) k ( k + 1) + ( k + 1) = . 2 2 , , Kê´t qua là (1.2) d̄úng vói n = k + 1. Theo nguyên lý quy nap . toán , , hoc . công thúc (1.2) d̄úng vói moi . n = 1, 2, . . . , ,, , Tóm lai, . qua vı́ du. d̄on gian trên ta thâ´y các buóc quá trı̀nh , tı̀m tòi và chúng minh nguyên lý quy nap . toán hoc. . , Vı́ du. 1.2. Tı́nh tông J Sn = 1 1 1 + +···+ a( a + 1) ( a + 1)( a + 2) ( a + (n − 1))( a + n) vó,i a 6= 0, −1, −2, . . . ; n = 1, 2, . . . , , , , ,, , Lòi giai. Viêc truóc tiên ta phai tı̀m ra công thúc gia thiê´t quy . , nap . cho tông trên. Ta tı́nh S1 = 1 , a ( a + 1) 1 1 1 2 = + = , ( a + 1)( a + 2) a( a + 1) ( a + 1)( a + 2) a ( a + 2) 3 1 = , S3 = S2 + ( a + 2)( a + 3) a ( a + 3) 1 4 S4 = S3 + = . ( a + 3)( a + 4) a ( a + 4) , , , ` Chúng ta có thê d̄ua ra gia thiê´t răng n Sn = . (1.4) a( a + n) S2 = S1 + , 1.3. Giai d̄oan 11 . quy nap . và gia thiê´t quy nap . , ,, , , Bu,ó,c co, so,: Nhu d̄ã kiêm tra o trên. , , , Bu,ó,c quy nap: . Gia thiê´t (1.4) d̄úng vói sô´ tu. nhiên n = k nào d̄ó. Khi d̄ó 1 k 1 S k +1 = S k + = + ( a + k)( a + k + 1) a( a + k ) ( a + k )( a + k + 1) 2 1 k + ( a + 1) k + a . . = a+k a ( a + k + 1) , Nhung k2 + ( a + 1)k + a = ( a + k )(k + 1), suy ra 1 ( a + k )(k + 1) k+1 . = . a + k a ( a + k + 1) a ( a + k + 1) , , , , , , , ,, Tù kê´t qua vùa tı́nh và buóc co so suy ra gia thiê´t quy nap . (1.4) , , ´ là d̄úng vói moi . sô tu. nhiên n ≥ 1. , Vı́ du. 1.3. Tı́nh tông S k +1 = J 2 2 4 2n + + + · · · + n 1 − a2 1 + a2 1 + a4 1 + a2 , vói n = 1, 2, . . . ; | a| 6= 1. Sn = , , , , ,, Lòi giai. Ta phân tı́ch: Sô´ luo. ng sô´ hang cua tông là n + 1; . , trù sô´ hang d̄â`u tiên, còn lai khác d̄ê`u có dang . . các sô´ hang . . k 2 (k = 1, 2, . . . , n). Ta tı́nh k 1 + a2 2 2 4 S1 = + = , 1 − a2 1 + a2 1 − a4 4 4 4 8 S2 = S1 + = + = , 4 4 4 1 − a8 1+a 1−a 1+a 8 8 16 8 = + = . S3 = S2 + 8 8 8 1+a 1−a 1+a 1 − a16 , , , , Do 4 = 22 , 8 = 23 và 16 = 24 tù các biêu thúc cua S1 , S2 và S3 có , , , thê d̄ua ra gia thiê´t: ,, Chuong 1. Nguyên lý quy nap . toán hoc . 12 2n +1 (n = 1, 2, . . .). (1.5) n +1 , 1 − a2 , ,, , , , , Bu,ó,c co, so,: Vói n = 1, công thúc (1.5) d̄úng nhu d̄ã kiêm tra o trên. , ,, , , Bu,ó,c quy nap: . Gia su (1.5) d̄úng vói sô´ tu. nhiên n = k nào d̄ó. Khi d̄ó 2 2k 2k +1 2 4 S k +1 = + · · · + + + + k k +1 1 − a2 1 + a2 1 + a4 1 + a2 1 + a2 2k +1 2k +1 2k +2 + = . = k +1 k +1 k +2 1 − a2 1 + a2 1 − a2 , , , , , Ðăng thúc (1.5) cũng d̄úng vói n = k + 1. Nhu vây, . tù nguyên lý , , , quy nap . toán hoc . d̄ăng thúc (1.5) d̄úng vói moi . n ≥ 1. , , , Vı́ du. 1.4. Tı́nh tông cua n sô´ le tu. , nhiên d̄â`u tiên. , , , , Lòi giai. Ta ký hiêu . tông phai tı̀m là Sn : Sn = J Sn = 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1). , , ,, , , Ðê xây du. ng gia thiê´t quy nap toán hoc ta tı́nh tông o môt . . . sô´ giá , ,, tri. d̄uo. c liêt . kê trong bang sau: n Sn 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 , , , Bây giò phu. thuôc vào su. quan sát cua ta và kinh nghiêm . . trên , , , , ´ ` kêt qua riêng d̄ê du. d̄oán mênh d̄ê tông quát chung. Dễ thâ´y . ,, ,, các sô´ o hàng Sn d̄ê`u là sô´ chı́nh phuong: S1 = 12 , S2 = 22 , S3 = , , , , 32 , S4 = 42 , S5 = 52 , S6 = 62 . Nhu vây . ta có thê d̄ua ra gia thiê´t chung là Sn = n2 . (1.6) , 1.3. Giai d̄oan . quy nap . và gia thiê´t quy nap . 13 , , , Ta sẽ chúng minh (1.6) d̄úng vói moi . sô´ tu. nhiên n. , , , , , , Sn = 1; biêu thúc Bu,ó,c co, so,: Vói n = 1, tông chı có môt . sô´ hang . , , n2 = 1 vói n = 1, nhu vây . (1.6) d̄úng. , , , , 2 Bu,ó,c quy nap: . Gia su (1.6) d̄úng vói n = k, (Sk = k ). ta sẽ , , chúng minh (1.6) d̄úng vói n = k + 1: Sk+1 = (k + 1)2 . Thât . vây, . 2 2 Sk+1 = Sk + (2k + 1) = k + (2k + 1) = (k + 1) . , , Ta xét thêm môt . vı́ du. nũa theo cách làm cua G. Polya. , , Vı́ du. 1.5. Tı́nh tông bı̀nh phu,o,ng cua n sô´ tu. , nhiên d̄â`u tiên. , , , , Lòi giai. Ta tiê´n hành tı̀m công thúc cho gia thiê´t quy nap. . Ðat .̆ J Tn = 12 + 22 + · · · + n2 . , , Ta hãy tı̀m môt . sô´ giá tri. cua tông khi cho n = 1, 2, . . . , 6. n Tn 1 1 2 5 3 14 4 30 5 55 6 91 , , Nhı̀n vào bang trên ta khó có thê tı̀m ra quy luât chung cho Tn . , , . , , , , Vói thông tin ı́t oi nhu vây . không cho kê´t qu,a gı̀, nhung vói kinh , , , nghiêm . ta có thê liên hê. vói các vı́ du. d̄ã giai và so sánh nhũng dãy sô´ trong vı́ du. 1.1 và chı̀a khoá tı̀m ra quy luât . chung trong , bang sau: n Tn Sn Tn Sn 1 1 1 1 1 2 5 3 5 3 3 14 6 14 6 4 30 10 30 10 5 55 15 55 15 6 91 21 91 21 , , 1 3 5 14 7 Dòng cuô´i cùng trong bang ta có thê viê´t lai: . 1 = 3, 3, 6 = 3, , , , 30 9 55 11 91 13 , = , = , = . Bây giò ta có thê d̄ua ra gia thiê´t 10 3 15 3 21 3 14 ,, Chuong 1. Nguyên lý quy nap . toán hoc . , Tn 2n + 1 , = . Tù kê´t qua vı́ du. 1.1 ta có Sn 3 2n + 1 n(n + 1) Tn = . hoac .̆ là 3 2 n(n + 1)(2n + 1) 12 + 22 + · · · + n2 = . (1.7) 6 , , ` Ta chúng minh băng quy nap . toán hoc . cho công thúc (1.7) , , d̄úng vói moi . sô´ tu. nhiên n. , , ` , , , cách xây du. ng trên, d̄ăng thúc (1.7) d̄úng vói Bu,ó,c co, so,: Băng n = 1. , ,, , , Bu,ó,c quy nap: . Gia su (1.7) d̄úng vói sô´ tu. nhiên n = k nào d̄ó. Ta , , ` sẽ chúng minh răng nó cũng d̄úng vói n = k + 1, nghı̃a là (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 12 + 22 + · · · + k 2 + ( k + 1 ) 2 = . 6 Thât . vây, . k (k + 1)(2k + 1) Tk+1 = Tk + (k + 1)2 = + ( k + 1)2 6 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) k(2k + 1) + 6(k + 1) = . = ( k + 1) 6 6 , , Nhu vây . bài toán d̄ã giai xong. ` răng J , ,, 1.4. Hai buóc cua nguyên lý quy nap . toán hoc . , Nhu ta d̄ã biê´t nguyên lý quy nap . toán hoc . gô`m hai phâ`n, , , , , viêc nguyên lý. . kiêm, tra ca hai câ`n d̄uo. c tôn trong . ,khi áp dung . ´ ` Nêu ta bo d̄i môt . trong hai d̄iêu kiên . kiêm tra d̄ó, thı̀ ,ta sẽ nhân . ,, , ´ d̄uo. c nhũng kêt luân . sai. Thông qua các vı́ du. sau d̄ê minh hoa . , , ` và hiêu d̄iêu này hon. , , Vı́ du. 1.6. Chú,ng minh ră` ng moi . sô´ tu. nhiên d̄ều bă` ng sô´ tu. nhiên liền sau. ,, , 1.4. Hai buóc cua nguyên lý quy nap 15 . toán hoc . , , , ,, Lòi giai. Ta chúng minh theo phuong pháp quy nap . toán hoc. . , , , ´ , ` ´ ` Gia thiêt răng mênh d̄ê khăng d̄inh d̄úng vói sô tu. nhiên n = k . . nào d̄ó, nghı̃a là k, = (k + 1). (1.8) , , Chúng ta sẽ chúng minh d̄ăng thúc sau d̄úng ( k + 1) = ( k + 2). (1.9) , , , , Thât hai vê´ d̄ăng thúc vói . vây, . Theo gia thiê´t quy nap . (1.8) công . ,, 1, ta nhân . d̄uo. c k + 1 = (k + 1) + 1 = k + 2. , , , , Nhu vây, d̄úng vói n = k thı̀ nó d̄úng vói n = k + 1, . . khăng d̄inh , do d̄ó mênh d̄ê` bài toán d̄úng vói moi . . n. , , , , ` Hê. qua cua bài toán này là tâ´t ca các sô´ tu. nhiên d̄ê`u băng ,, , nhau. Ðiê`u này thât . vô lý, vây . cách chúng minh sai o d̄âu? Dễ , dàng thâ´y ngay trong chúng minh áp dung nguyên lý quy nap . . , , , ,, , toán hoc nhu ng b o qua kiê m tra tru ò ng h o p n = 1. . . Ðiê`u kiên lı́ 1.1 có môt . . A) và B) trong Ðinh . ý nghı̃a d̄ac .̆ biêt: . ,, , , , ` Ðiêu kiên . A) tao . ra co so d̄ê thu. c hiên . quy nap. . , , , , ´ cho viêc Ðiê`u kiên tu. d̄ông vô . B) d̄ua ra nguyên tăc . mo rông . . , , , , , ,, ` ´ d̄i tù truòng ho. p riêng han . A); nguyên tăc . trên co so d̄iêu kiên ,, , , này sang truòng ho. p riêng khác; tù k d̄ê´n k + 1. ,, , , O vı́ du. .1.6 ta không kiêm tra d̄iê`u kiên lı́ 1.1, . . A) cua Ðinh ,, , , , nên không tao . không có . ra co so d̄ê ,thu. c hiên . quy nap, . vı̀, vây , ` nghı̃a gı̀ khi thu. c hiên kiê m tra d̄iê u ki ên B) c ua Ðinh lı́ 1.1, . . . , ,, , , thu. c châ´t là không có gı̀ d̄ê mo rông ca. Ta xét thêm vı́ du: . . , , , , , Vı́ du. 1.7. Chúng minh ră` ng vói moi . sô´ tu. nhiên n bâ´t d̄ăng thúc sau d̄úng 2n > 2n + 1. (1.10) J ,, Chuong 1. Nguyên lý quy nap . toán hoc . 16 , , , , , , , Lòi giai. Gia thiê´t bâ´t d̄ăng thúc (1.10) d̄úng vói n = k, vói k là , môt . sô´ tu. nhiên nào d̄ó, nghı̃a là ta có 2k > 2k + 1. (1.11) , , , , Ta sẽ chúng minh bâ´t d̄ăng thúc (1.10) d̄úng vói n = k + 1 2k+1 > 2(k + 1) + 1. (1.12) , , , , k Thât nho hon 2 vói moi khác . vây, . 2 là môt . sô´ không . sô´ tu. ,nhiên , , , k ´ ´ không. Ta công . vê trái cua (1.11) vói 2 và công . vê phai cua (1.11) ,, , vói 2. Ta nhân . d̄uo. c 2k + 2k > 2k + 1 + 2. Nghı̃a là 2 , Bài toán d̄ã giai xong. k +1 > 2(k + 1) + 1. J ´ sai lâ`m nhu, vı́ du. tru,ó,c không Tâ´t nhiên vı́ du. này cũng măc , , , , , kiêm tra Bu,ó,c co, so,. Thu. c châ´t cua cách chúng minh trên là bâ´t , , , , d̄ăng thúc (1.10) d̄úng vói n = k + 1, nê´u nó d̄úng vói n = k. Ðiê`u , , , , này không suy ra bâ´t d̄ăng thúc d̄úng vói ı́t nhâ´t môt . giá tri. cua , , , , , n, chú chua nói tói vói moi . sô´ tu. nhiên n. , , ,, , , , Nhung ta có thê thu vói n = 1 hoac n = 2 bâ´t d̄ăng thúc (1.10) .̆ , , , , , sai. Vói n ≥ 3 bâ´t d̄ăng thúc (1.10) d̄úng. Giá tri. sô´ tu. nhiên nho , , , A) vói n0 = 3 và nhâ´t n = 3 bâ´t d̄ăng thúc (1.10) d̄úng (d̄iê`u kiên . ,, , , , , lap .̆ lai . cách chúng minh o trên tù gia thiê´t (1.10) d̄úng vói n = k , suy ra nó d̄úng vói n = k + 1 (d̄iê`u kiên Vı̀ vây . B). . theo nguyên lý , , , ´ ´ quy nap . toán hoc . ta có kêt luân: . Bât ,d̄ăng thúc (1.10) d̄úng vói , , , , , moi . sô´ tu. nhiên n ≥ 3 (chú không phai vói moi . sô´ tu. nhiên nhu d̄ê` bài ra). , ,, Trong viêc phuong pháp quy nap toán hoc mà chı . áp dung . . . , , , , ,, , chúng minh d̄iê`u kiên lı́ 1.1 thı̀ mói chı d̄ua ra d̄uo. c . . A) cua Ðinh ,, , 1.4. Hai buóc cua nguyên lý quy nap 17 . toán hoc . , , , ,, , , ,, ´ nào d̄ê mo,, rông co so d̄ê quy nap co so . chú không có nguyên tăc . , , d̄ó (nhu d̄inh lı́ lón Fermat). Ta xét môt . . sô´ vı́ du: . , Vı́ du. 1.8. Chú,ng minh ră` ng nhũ,ng giá tri. cua hàm sô´ f (n) = n2 − n + 41 vó,i n = 0, 1, . . . là nhũ,ng sô´ nguyên tô´. , , Lòi giai. Ta tı́nh f (0) = 1, f (1) = 41, f (2) = 43, f (3) = 47, f (4) = 53, f (5) = 61, f (6) = 71, f (7) = 83, f (8) = 97, f (9) = 113. , , , , Ta có thê tı́nh toán tiê´p tuc . giá tri. cua f (n) cho tói n = 40, tâ´t ca , , giá tri. này d̄ê`u là sô´ nguyên tô´. Nhung vói n = 41 ta có f (41) = , , 412 − 41 + 41 = 412 . Kê´t qua f (41) không phai là sô´ nguyên tô´, , nên kê´t luân . cua bài toán là không d̄úng. , , ,, , , Nhu vây d̄ê` có thê d̄úng vói 40 truòng ho. p . ta thâ´y môt . mênh . , ,, , , riêng, nhung không d̄úng vói moi . truòng ho. p nói chung. J Vı́ du. 1.9. Ða thú,c x n − 1, vó,i n là sô´ tu. , nhiên du,o,ng. Ða thú,c ,, này liên quan d̄ê´n bài toán hı̀nh hoc . chia d̄uòng tròn ra n phâ`n bă` ng nhau, nên d̄a thú,c này d̄u,o.,c râ´t nhiều lı̃nh vu. ,c toán hoc . , ´ nghiên cúu và d̄ề câp . d̄ên. Ðac .̆ biêt . các nhà toán hoc . quan tâm , , , ´ ´ tói vân d̄ề phân tı́ch d̄a thúc này ra các thùa sô là các d̄a thú,c , vó,i hê. sô´ nguyên ±1, liêu . n? . d̄iều d̄ó còn d̄úng vói moi , , , ,, , ` Lòi giai. Băng cách khai triên các truòng ho. p riêng, các nhà , , ,, ` toán hoc tâ´t ca các hê. sô´ trong các thùa sô´ d̄uo. c . , nhân . thâ´y răng , khai triên có giá tri. tuyêt . d̄ô´i không quá 1. Chăng han, . x − 1 = x − 1, x2 − 1 = ( x − 1)( x + 1), x3 − 1 = ( x − 1)( x2 + x + 1), x4 − 1 = ( x − 1)( x + 1)( x2 + 1), 18 ,, Chuong 1. Nguyên lý quy nap . toán hoc . x5 − 1 = ( x − 1)( x4 + x3 + x2 + x + 1), x6 − 1 = ( x − 1)( x + 1)( x2 + x + 1)( x2 − x + 1). , , , , , ´ Nhũng cô´ găng chúng minh d̄iê`u nghi ngò d̄úng vói moi . n cua , các nhà toán hoc . không thành công., Môt . thòi gian sau, nhà toán , , ` hoc (năm 1941) chı ra răng vói d̄a thúc x n − 1, . Nga V. Ivanov , , ,, , , , , , d̄iê`u nghi ngò chı d̄úng vói các truòng ho. p nho hon 105. Nhung , , , 105 vói n = 105, môt . thùa sô´ cua x − 1 là x48 + x47 + x46 − x43 − x42 − 2×41 − x40 − x39 + x36 + + x35 + x34 + x33 + x32 + x31 − x28 − x26 − x24 − x22 − x20 + x17 + x16 + x15 + x14 + x13 + x12 − x9 − x8 − 2×7 − x6 + x5 + x2 + x + 1. , , , Thùa sô´ này không có tı́nh châ´t cua các d̄a thúc mà các nhà toán hoc . muô´n. J Vı́ du. 1.10. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi d̄ề sau d̄ây . sô´ n mênh . , , , , ´ ´ d̄úng: ¨Nêu a và b là nhũng sô tu. nhiên duong, mà max( a, b) = n, thı̀ a = b¨. , , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Vói mỗi n ký hiêu d̄ê` cua bài . An là mênh . toán d̄ã cho. Rõ ràng A1 là d̄úng, vı̀ nê´u max( a, b) = 1, thı̀ hai sô´ , , ` a và b phai trùng nhau và băng 1 (do a và b là sô´ tu. nhiên). , ,, , , Bu,ó,c quy nap: . Gia su Ak là d̄úng. Nê´u a và b là nhũng sô´ tu. nhiên sao cho max( a, b) = k + 1. Ta xét hai sô´ a1 = a − 1 và b1 = b − 1, , , khi d̄ó max( a1 , b1 ) = k, tù d̄ó suy ra a1 = b1 , vı̀ gia thiê´t Ak là d̄úng, do d̄ó a = b, nghı̃a là Ak+1 cũng d̄úng. Theo nguyên lý quy , , nap . toán hoc . An d̄úng vói moi . sô´ tu. nhiên n. , , ,, Hê. qua: Cho a và b là hai sô´ tu. nhiên bâ´t kỳ. Ta tı́nh d̄uo. c , max( a, b) = k, mà k là môt . sô´ tu. nhiên. Theo vı́ du. trên An d̄úng ,, 1.5. Khi nào dùng phuong pháp quy nap . 19 , , , vói moi n, thı̀ nó cũng d̄úng vói Ak . Tù d̄ó suy ra a = b. Nghı̃a là . , , ` tâ´t ca các sô´ tu. nhiên d̄ê`u băng nhau. Thât . vô lý! ,, , Trong vı́ du. trên cách chúng minh sai o d̄âu? Ta xem lai . toàn , , , bô. cách chúng minh và nguyên lý quy nap . toán hoc. . Buóc quy , ´ tó,i d̄iê`u k ≥ 1, khi bu,ó,c quy nap . trong,chúng minh không nhăc , , , nap . chuyên tiê,´p tù ,Ak sang Ak+1 . Thu. c tê´ trong tı́nh toán chúng minh không d̄am bao k ≥ 1. J ,, 1.5. Khi nào dùng phuong pháp quy nap . ,, Phuong pháp quy nap toán hoc dung trong nghiên . râ´t có tác ,. , . , , , , ´ cúu, du. d̄oán kêt qua và chúng minh kiêm nghiêm . kê´t qua. , ,, Nhung nhiê`u khi chı́nh phuong pháp quy nap . toán hoc . làm viêc . , , , ´ ´ ` chúng minh dài dòng, biên d̄ôi phúc tap ., gây rât nhiêu khó khăn , ,, ` ` trong chúng minh. Nhiêu bài toán giai băng phuong pháp quy , , ,, ` nap môt . có thê giai băng . phuong pháp khác. Chı́nh G. Polya có, , ` nói: ¨Nhiê`u bài toán chúng minh băng quy nap . toán hoc . có thê , ` ` chúng minh băng cách khác, cách khác d̄ó năm trong chı́nh cách , , chúng minh quy nap . toán hoc . khi ta phân tı́ch kỹ nôi . dung chúng minh¨. , ,, Trong toán hoc nguòi ta hay dùng ký hiêu tông. ∑ là môt . . . , ,, , Thuòng tông có dang Aα + Aα+1 + · · · + A β (α và β là nhũng sô´ . β , , ,, , ´ nguyên)và d̄uo. c viêt ∑ Ak (d̄oc . là tông cua Ak , k chay . tù α d̄ê´n k=α , β). Nhu vây . β A α + A α +1 + · · · + A β = ∑ Ak k=α , , , k goi là chı sô´ cua tông, còn α và β là giá tri. d̄â`u và giá tri. cuô´i . , , , , , , cua chı sô´ k. Mỗi sô´ hang bên trái cua d̄ăng thúc là d̄úng vói môt . . ,, Chuong 1. Nguyên lý quy nap . toán hoc . 20 giá tri. k (k = α, α + 1, . . . , β). Vı́ du. n ∑ k 2 = 12 + 22 + · · · + n 2 , ( n ≥ 1 ) , k =1 n +1 ∑ 102k = 10−2 + 100 + 102 + · · · + 102(n+1) , (n ≥ −2). k =−1 , , , Phép lâ´y tông có nhũng tı́nh châ´t sau: Nê´u cho a và b là nhũng , , sô´, ta có các d̄ăng thúc β β k=α k=α ∑ aAk = a ∑ Ak , β ∑ (aAk + bBk ) = a β β ∑ Ak + b ∑ Bk . k=α k=α k=α , , , ´ Ký hiêu tô ng không ph u thu ôc v ào ch ı sô , nhu ng phu. thuôc . . . . vào giá tri. ban d̄â`u và giá tri. cuô´i cùng β ∑ k=α β−α β Ak = ∑ Ai = i =α ∑ A α +i i =0 ,, ,, , ,, Tro lai vı́ du. o phâ`n truóc, trong quá trı̀nh tı́nh toán . nhũng , quy nap . tı́nh tông 12 + 22 + · · · + n 2 = n ∑ k2 k =1 , , , , ` Băng cách áp dung tı́nh châ´t cua ký hiêu . . tông và công thúc tông n n ( n + 1) , các sô´ tu. nhiên ∑ k = , (n ≥ 1). Thât . vây, . dễ thâ´y 2 k =1 n n k =0 k =0 ∑ ( k + 1)3 − ∑ k 3 = ( n + 1)3 . ,, 1.5. Khi nào dùng phuong pháp quy nap . 21 , , , , , , Vê´ trái cua d̄ăng thúc trên có thê biên d̄ôi n n n n k =0 k =0 k =0 n ∑ (k + 1)3 − ∑ k3 = ∑ [(k + 1)3 − k3 ] = ∑ (3k2 + 3k + 1) n = 3 ∑ k2 + 3 ∑ k + k =1 k =1 , , , , Nhu vây . tù các d̄ăng thúc trên rút ra n ( n + 1)3 = 3 ∑ k 2 + 3 k =1 k =0 n ∑ 1. k =0 n ( n + 1) + ( n + 1), 2 , Chuyên vê´ và tı́nh toán ta có n 1 ∑ k2 = 3 [(n + 1)3 − 3 k =1 n ( n + 1) 1 − (n + 1)] = n(n + 1)(2n + 1). 2 6 , Tı́nh tông sau d̄ây (bài . 1.2) n 1 ∑ (a + k − 1)(a + k) , n = 1, 2, ..; a 6= 0, −1, −2, . . . k =1 , ,, , Ta su dung d̄ăng thúc sau . 1 1 1 = − . ( a + k − 1)( a + k) a+k−1 a+k 1 , Ðat .̆ bk = a + k , nhu vây . n n 1 ∑ (a + k − 1)(a + k) = ∑ (bk−1 − bk ) = b0 − bn k =1 k =1 = 1 1 n − = . a a+n a( a + n) ,, Cuô´i cùng ta nhân . d̄uo. c n n . a( a + n) k =1 , ,, ,, Vâ´n d̄ê` cua phâ`n này ta còn d̄ê` câp . tiê´p o Chuong 3. 1 ∑ (a + k − 1)(a + k) = ,, Chuong 1. Nguyên lý quy nap . toán hoc . 22 1.6. Bài tâp . , , , , ` . 1.11. Tı́nh tông băng cách xây du. ng gia thiê´t và chúng minh , ` băng quy nap . toán hoc . các tông sau: a) Sn = 12 − 22 + · · · + (−1)n−1 n2 ; b) Sn = 13 + 23 + · · · + n3 ; c) Sn = 1.1! + 2.2! + · · · + n.n!. , ` . 1.12. Chú,ng minh ı́t nhâ´t băng hai cách các công thúc sau: 1 a) 12 + 32 + · · · + (2n − 1)2 = n(2n − 1)(2n + 1), n = 1, 2, . . . 3 1 b) 1.2.3 + 2.3.4 + · · · + n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 4 3), n = 1, 2, . . . 1 1 n 1 + +···+ = , n = 1, 2, . . . c) 1.2 2.3 n ( n + 1) n+1 1 1 . 1.13. Cho n > 1 là sô´ tu., nhiên. Ta d̄at .̆ x0 = n ; xk = n − k ( x0 + , x1 + · · · + xk−1 ), k = 1, 2, . . . , n − 1. Hãy tı́nh tông x0 + x1 + · · · + x n −1 . , , CHUONG 2 , , KỸ THUÂT . DÙNG PHUONG PHÁP QUY NAP . TOÁN HOC . 2.1. Môt nguyên lý quy nap . sô´ dang . . toán hoc . ……….. 2.2. Mênh d̄ê` trong nguyên lý quy nap . . toán hoc . …….. ,, ,, , 2.3. Buóc quy nap d̄u o c xây d u ng trên P ( k ) . . ……….. . . . ,, ,, , 2.4. Buóc quy nap d̄u o c xây d u ng trên P ( k + 1 ) ……… . . . ` 2.5. Quy nap . toán hoc . và ph, ép truy hôi . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Quy nap to án h oc . . và tông quát hoá . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Bài tâp. . . . . . . . . . ………………………………… . 23 31 36 40 43 51 55 2.1. Môt nguyên lý quy nap . sô´ dang . . toán hoc . , ,, ,, ´ d̄â`u Ðiê`u kiên băt . , lı́ 1.1 cho ta co so mo rông . A) trong Ðinh . , , tù giá tri. n0 . Ðiê`u kiên lı́ 1.1 cho ta mênh d̄ê` khăng . . B) cua Ðinh . , , d̄inh P(n) d̄úng vói n0 + 1, n0 + 2, . . .. Thu. c tê´ nhiê`u khi trong . , , , bu,ó,c quy nap ., phai d̄òi hoi hai giá tri. n = k − 1 và n = k cua ,, , mênh d̄ê`, d̄ê suy ra mênh d̄ê` d̄úng vói n = k + 1. Trong truòng . . , , , , , , , , ho. p này bu,ó,c co, so, phai kiêm tra không nhũng chı vói n0 , mà ca , , , ,, , , vói n0 + 1. Tông quát hon ta có thê phát biêu lai lı́ o phâ`n . . d̄inh ,, , truóc nhu sau: Ðinh lý 2.1. Cho p là sô´ nguyên du,o,ng và dãy các mênh d̄ề . . P (1), P (2), . . . , P ( n ), . . . 24 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . nê´u A) P(1), P(2), . . . , P( p) là nhũ,ng mênh d̄ề d̄úng và . B) Vó,i mỗi sô´ tu. , nhiên k ≥ p các mênh d̄ề P(k − p + 1), P(k − p + . 2), . . . , P(k ) d̄úng, suy ra mênh d̄ề P(k+1) cũng d̄úng, . ,, thı̀ mênh d̄ề P(n) d̄úng vó,i moi . . sô´ nguyên duong n. , , Chúng minh d̄inh lı́ này hoàn toàn lap lı́ 1.1. . . .̆ lai . nhu d̄inh ,, Sau d̄ây ta xét môt dang d̄inh lı́ 2.1. . . sô´ vı́ du. su dung . . , Vı́ du. 2.1. Cho v0 = 2, v1 = 3 và vó,i mỗi sô´ tu. , nhiên k có d̄ăng thú,c sau: vk+1 = 3vk − 2vk−1 . Chú,ng minh ră` ng vn = 2n + 1. , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so, : Vói n = 0 và n = 1 kê´t luân . bài toán d̄úng, ` do d̄iêu kiên . bài d̄ã cho. , ,, , , ` vk−1 = 2k−1 + 1; vk = 2k + 1, khi Buóc quy nap: . Gia su răng d̄ó vk+1 = 3(2k + 1) − 2(2k−1 + 1) = 2k+1 + 1. Theo nguyên lý quy nap d̄inh lı́ 2.1, suy ra vn = . . toán hoc . dang . , , n 2 + 1 d̄úng vói moi . sô´ tu. nhiên n. J , ,, 2 Vı́ du. 2.2. Cho x1 và x2 là nghiêm . cua phuong trı̀nh x − 27x + , , , 14 = 0; n là môt . sô´ tu. nhiên bâ´t kỳ. Chúng minh ră` ng tông Sn = x1n + x2n không chia hê´t cho 715. , , , Lòi giai. Theo công thúc Viet x1 + x2 = 27; x1 x2 = 14. , Bu,ó,c co, so,: Các sô´ S1 = 27; S2 = ( x1 + x2 )2 − 2×1 x2 = 701 và S3 = ( x1 + x2 )[( x1 + x2 )2 − 3×1 x2 ] = 27 · 687 d̄ê`u không chia hê´t , , cho 715. Suy ra mênh d̄ê` cua bài toán d̄úng vói n = 1, 2, 3. . , ,, , Bu,ó,c quy nap: d̄ê` d̄úng vói n = k − 2, n = k − . . Gia su mênh 2.1. Môt nguyên lý quy nap . sô´ dang . . toán hoc . 25 1, n = k, ta tı́nh x1k+1 + x2k+1 = ( x1 + x2 )( x1k + x2k ) − x1 x2 ( x1k−1 + x2k−1 ) = ( x1 + x2 )[( x1 + x2 )( x1k−1 + x2k−1 )− − x1 x2 ( x1k−2 − x2k−2 )] − x1 x2 ( x1k−1 + x2k−1 ) = 715( x1k−1 + x2k−1 ) − 378( x1k−2 + x2k−2 ). Do d̄ó x1k+1 + x2k+1 không chia hê´t cho 715, vı̀ 378 không chia hê´t , cho 715, nói cách khác mênh d̄ê` d̄úng vói n = k + 1. . J Vı́ du. 2.3. Chú,ng minh vó,i moi sô´ thu. ,c x > 0 và moi sô´ tu. , nhiên . . , n bâ´t d̄ăng thú,c sau d̄úng 1 1 1 (2.1) x n + x n−2 + x n−4 + · · · + n−4 + n−2 + n ≥ n + 1. x x x , , , , , Lòi giai. 1a) Vói n = 1 bâ´t d̄ăng thúc (2.1) có dang . 1 x + ≥ 2. (2.2) x , , , , , , Bâ´t d̄ăng thúc (2.2) suy ra tù bâ´t d̄ăng thúc hiên nhiên: ( x − 1)2 ≥ 0. , , , 1b) Vói n = 2 bâ´t d̄ăng thúc (2.1) có dang . 1 (2.3) x2 + 1 + 2 ≥ 3. x , , , , 2 Bâ´t d̄ăng thúc (2.2) d̄úng vói moi . x > 0, vây . nó cũng d̄úng vói x , 1 ≥ 2. x2 , , , ,, , Công . d̄uo. c (2.3). . hai vê´ cua bâ´t d̄ăng thúc sau cùng vói 1, ta nhân , , ,, , , 2) Gia su bâ´t d̄ăng thúc (2.1) d̄úng vói n = k, mà k là môt . sô´ , tu. nhiên nào d̄ó x2 + x k + x k −2 + x k −4 + · · · + 1 x k −4 + 1 x k −2 + 1 ≥ k + 1, xk (2.4) 26 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . , , , , ta sẽ chúng minh khi d̄ó bâ´t d̄ăng thúc (2.1) d̄úng vói n = k + 2, hay là 1 1 1 (2.5) x k+2 + x k + x k−2 + · · · + k−2 + k + k+2 ≥ k + 3. x x x ,, k+2 ,, Thât . vây, . trong (2.2) thê´ x boi x , ta nhân . d̄uo. c 1 ≥ 2. (2.6) x k +2 , , ,, , , Công vê´ tuong úng cua các bâ´t d̄ăng thúc (2.4) và (2.6), ta sẽ có . (2.5). , , Tóm lai: Bu,ó,c co, so,: Trong 1a) và 1b) ta d̄ã chúng minh bâ´t . , , d̄ăng thúc d̄úng cho n = 1 và n = 2. , , , Bu,ó,c quy nap: Trong 2) ta d̄ã chúng minh tù gia thiê´t d̄úng . , , , , cua (2.1) vói n = k suy ra nó d̄úng vói n = k + 2. Kê´t qua là , , , , + Tù 1a) và 2) cho ta khăng d̄inh là bâ´t d̄ăng thúc (2.1) d̄úng . , , vói moi . sô´ le n. , , , , + Tù 1b) và 2) cho ta khăng d̄inh là bâ´t d̄ăng thúc (2.1) d̄úng . , ˜ n. vói moi . sô´ chăn , , , , , Nhu vây, . bâ´t d̄ăng thúc (2.1) d̄úng vói moi . sô´ tu. nhiên n. , , , Vı́ du. 2.4. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . sô´ tu. nhiên n d̄ăng thúc sau d̄úng:     12 n 17 n−1 a) .2 − .2 = 2n −1 ; 7 7     17 n 12 n−2 b) .2 − .2 = 2n +1 , 7 7 , , o, d̄ây [ a] là sô´ nguyên ló,n nhâ´t nho ho,n a. x k +2 + J , , , , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Vói n = 1, 2, 3 nhũng d̄ăng thúc trên d̄úng , , ` băng cách kiêm tra tru. c tiê´p. 2.1. Môt nguyên lý quy nap . sô´ dang . . toán hoc . 27 , , , , ` hai d̄ăng thúc d̄úng vói ba sô´ Bu,ó,c quy nap: . Gia thiê´t răng , , , , tu. nhiên liên tiê´p k, k + 1, k + 2. Ta sẽ chúng minh các d̄ăng thúc , trên d̄úng vói n = k + 3. , 12 12 12 k+3 2a) Tù = (1 + 7)2k = 12.2k + .2k ; .2 7 7 7 17 17 17 k+2 .2 = (1 + 7)2k−1 = 17.2k−1 + .2k−1 , 7 7 7 suy ra         12 k+3 17 k+2 12 k 17 k−1 k k −1 .2 − .2 = 12.2 − 17.2 + 2 − 2 . 7 7 7 7 , , Nhung vı̀ a) d̄úng vói n = k     12 k+3 17 k+2 .2 − .2 = 12.2k − 17.2k−1 + 2k−1 = 2k+2 . 7 7 , , , Vây . d̄ăng thúc a) d̄úng vói n = k + 3. , 17 k+3 17 2b) Tù .2 = 17.2k + .2k , 7 7 12 k+1 12 k −2 .2 = 12.2 + .2k−2 , 7 7 suy ra         17 k+3 12 k+1 17 k 12 k−2 k k −2 .2 − .2 = 17.2 − 12.2 + 2 − .2 . 7 7 7 7 , , Nhung vı̀ b) vói n = k, ta có     17 k+3 12 k+1 .2 − .2 = 17.2k − 12.2k−2 + 2k+1 = 2k+4 . 7 7 , , , Vây . d̄ăng thúc b) d̄úng vói n = k + 3. , , Theo nguyên lý quy nap . toán hoc . a), b) d̄úng vói moi . sô´ tu. nhiên n. Vı́ du. 2.5. Chú,ng minh ră` ng α n +1 − β n +1 un = , (2.7) α−β J 28 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . α2 − β2 α3 − β3 u1 = , u2 = (α 6= β) α−β α−β , và vó,i mỗi sô´ tu. , nhiên k > 2 có d̄ăng thú,c sau: nê´u uk = (α + β)uk−1 − αβuk−2 . , , , Lòi giai. 1) Vói n = 1 và n = 2, (2.7) d̄úng do d̄iê`u kiên . d̄ã cho. , ,, , , , 2) Gia su d̄ăng thúc d̄úng vói n = k − 1 và n = k − 2 u k −2 = αk − βk α k −1 − β k −1 , u k −1 = α−β α−β khi d̄ó J αk − βk α k −1 − β k −1 α k +1 − β k +1 − αβ = . α−β α−β α−β , Môt nguyên lý quy nap hon nguyên lý quy nap . dang . . manh . . ta d̄ã , , biê´t cũng râ´t d̄uo. c hay dùng. uk = (α + β) Ðinh lı́ 2.2 Cho môt d̄ề . dãy mênh . . P (1), P (2), . . . , P ( n ), . . . Nê´u , A) P(1) là khăng d̄inh d̄úng, và . , B) vó,i mỗi sô´ tu. , nhiên k ≥ 1, nhũ,ng khăng d̄inh . , P(1), P(2), . . . , P(k ) d̄úng suy ra khăng d̄inh P ( k + 1 ) c ũng d̄ úng, . , , , ´ ´ thı̀ P(n) d̄úng vói tât ca sô tu. nhiên n ≥ 1. , ,, , , ,, Dang này khác vói các dang truóc là gia thiê´t manh hon o . . . , , , bu,ó,c quy nap. P (1), P (2), . . . , P ( k ) . . Ta gia thiê´t tâ´t ca khăng d̄inh , d̄úng suy ra P(k + 1) cũng d̄úng. Dễ dàng chúng minh hai cách , ,, ,, , phát biêu d̄inh lı́ 1.1. và d̄inh lı́ 2.2 tuong d̄uong nhau. Nhung . . , , , trong thu. c tê´ áp dung vào bài toán cu. thê dùng d̄inh . lı́ 2.2 dễ giai . , hon. 2.1. Môt nguyên lý quy nap . sô´ dang . . toán hoc . 29 1 1 Vı́ du. 2.6. Chú,ng minh ră` ng nê´u x + là sô´ nguyên thı̀ x n + n x ,, x , cũng là sô´ nguyên vó,i moi . sô´ tu. nhiên duong n. , , , , d̄ê` hiên nhiên d̄úng. Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Khi n = 1 mênh . , ,, , 1 , , k Bu,ó,c quy nap: . sô´ tu. nhiên tù 1 d̄ê´n k, x + x k là . Gia su vói moi 1 , , ` nhũng sô´ nguyên. Ta câ`n chúng minh răng x k+1 + k+1 cũng là x sô´ nguyên. 1 1 1 k +1 + 1 Thât = ( x + )( x k + k ) − ( x k−1 + k−1 ). . vây, . x k + 1 x x x x , , , , 1 k 1 1 k −1 , ´ ` Theo gia thiêt ca 3 biêu thúc x + , x + k , x + k−1 d̄êu biêu x x x 1 k +1 + cũng là môt diễn các sô´ nguyên. Vây . sô´ nguyên. . x x k +1 , , , , Vı́ du. 2.7. Chú,ng minh ră` ng moi . sô´ tu. nhiên lón hon 1 có thê , , tı́ch cua nhũ,ng sô´ nguyên tô´. biêu diễn du,ó,i dang . J , , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Hiên nhiên mênh d̄ê` d̄úng vói moi . . sô´ , , , nguyên tô´, truòng ho. p d̄ac .̆ biêt . n = 2. , ,, , , , , Buóc quy nap: d̄ê` d̄úng vói moi sô´ tu. nhiên k, . . Gia su mênh ,. ,, mà 2 ≤ k < n. Nghı̃a là moi . sô´ 2 ≤ k < n d̄ê`u biêu diễn duói dang . , ,, , tı́ch các thùa sô´ nguyên tô´. Ta xét hai truòng ho. p 1) Nê´u n là sô´ nguyên tô´ thı̀ mênh d̄ê` d̄úng. . , , 2) Nê´u n là ho. p sô´ thı̀ theo d̄inh nghı̃a ho. p sô´ tô`n tai hai sô´ . , . nguyên n1 < n và n2 < n sao cho n = n1 n2 . Theo gia thiê´t quy , ,, nap . n1 và n2 d̄ê`u biê,u diễn d̄uo. c thành tı́ch các sô´ nguyên tô´. Do ,, d̄ó suy ra n cũng biêu diễn d̄uo. c thành tı́ch các sô´ nguyên tô´. , , , , Chú ý: Ta cũng có thê chúng minh su. biêu diễn trong bài này , cho moi . sô´ tu. nhiên là duy nhâ´t. J 30 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . Vı́ du. 2.8. Chú,ng minh ră` ng mỗi cap .̆ sô´ nguyên n ≥ 1 và b > 1 , , , tô`n tai . . biêu diễn duói dang n = c s b s + c s −1 b s −1 + · · · + c 1 b + c 0 , (2.8) ,, , o d̄ây s ≥ 0 là môt . sô´ nguyên, và 0 ≤ ci ≤ b − 1 vói moi . i = 0, 1, . . . , s − 1 và 0 < cs ≤ b − 1. , , ,, , Lòi giai. Ta lâ´y sô´ bâ´t kỳ b > 1 và áp dung phuong pháp chúng . minh quy nap . toán hoc. . ,, , , , , Buóc co so: Vói n = 1, ta lâ´y s = 0, c0 = 1 ≤ b − 1. Ta nhân . , ,, , d̄uo. c dang d̄ăng thúc (2.8) dang 1 = c0 . . . , ,, , , , , , ễn (2.8) d̄úng vói moi Buóc quy nap: . sô´ tu. nhiên . Gia su biêu di , , , , , , , k nho hon n. Theo d̄inh lı́ co ban cua sô´ hoc . . vói n và b có thê tı̀m ,, d̄uo. c sô´ nguyên không âm n1 và r, sao cho n = bn1 + r, 0 ≤ r ≤ b − 1. Dễ thâ´y n1 < n. thât . vây, . nê´u ta có n1 ≥ n, thı̀ vı̀ b > 1, r ≥ 0 ta có n = bn1 + r > n, vô lý. ,, , Ta xét hai truòng ho. p , ,, , , , 1) Nê´u n1 = 0, thı̀ n = r, thı̀ (2.8) tuong úng vói biêu diễn vói s = 0, c0 = r. , , 2) Nê´u n1 ≥ 1, thı̀ 1 ≤ n1 < n, theo gia thiê´t quy nap . biêu , , , diễn (2.8) d̄úng vói moi . sô´ tu. nhiên k ≤ n. Nghı̃a là vói n1 ta có n 1 = r t b t + r t −1 b t −1 + · · · + r 0 , vói môt . sô´ nào d̄â´y t và 0 ≤ ri ≤ b − 1 (i = 0, 1, .., t), rt > 0. Khi d̄ó n ,= bn1 + r = rt bt+1 + rt−1 bt + · · · + r0 b + r, ,, , , nghı̃a là, biêu diễn (2.8) tuong úng vói s = t + 1, cs = rt , . . . , c1 = r0 , c0 = r. J 2.2. Mênh d̄ê` trong nguyên lý quy nap . . toán hoc . 31 , , , , Chú ý: Ta cũng có thê chúng minh su. biêu diễn trong bài này , , , cho moi lı́ vê` su. biêu diễn . . sô´ tu. nhiên là duy nhâ´t. Ðây là d̄inh , , môt . sô´ tu. nhiên n theo co sô´ b. , , Còn môt khác nũa cua nguyên lý quy nap . sô´ dang . . toán hoc . chúng ta sẽ xét sau. 2.2. Mênh d̄ê` trong nguyên lý quy nap . . toán hoc . ,, ` d̄a sô´ viêc nguyên Trong các vı́ du. truóc ta thâ´y răng . áp dung , ,. , ´ , , lý quy nap . toán hoc . , là su. biên d̄ôi công thúc hoac .̆ biêu thúc toán hoc. d̄ê´n viêc . Trong muc . nho này chúng tôi nhâ´n manh . . áp dung . , , ` nguyên lý quy nap trên c ác m ênh d̄ê không ph ai l à công th úc . . , , ,, , ,, , hoac u thúc toán hoc. Trong truòng ho. p nhu vây .̆ biê . các buóc , . , , ,, , P(k ) cua mênh d̄ê` khăng d̄inh . d̄uo. c xác d̄inh . mê`m deo hon thông . qua các vı́ du. sau: , , ,, , Vı́ du. 2.9. Chú,ng minh ră` ng tông lâp . phuong cua ba sô´ tu. nhiên liên tiê´p chia hê´t cho 9. , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Tông 13 + 23 + 33 chia hê´t cho 9. Nghı̃a là , , mênh d̄ê` cua bài toán là d̄úng, khi sô´ d̄â`u tiên cua 3 sô´ liên tiê´p . là 1. , , ,, , Bu,ó,c quy nap: d̄ê` khăng d̄inh . cua bài toán d̄úng . . Gia su mênh , , vói k, nghı̃a là k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 chia hê´t cho 9. Ta sẽ chúng , , , ` ´ d̄â`u tù, (k + 1) khăng minh răng vói ba sô´ tu. nhiên liên tiê´p băt , d̄inh cua bài toán cũng d̄úng, nói cách khác (k + 1)3 + (k + 2)3 + . (k + 3)3 sẽ chia hê´t cho 9. Thât . vây, . 3 3 3 ( k + 1) + ( k + 2) + ( k + 3) = ( k 3 + ( k + 1)3 + ( k + 2)3 ) + 9( k 2 + 3k + 3). 32 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . , , , , ´ d̄â`u tù, k + 1 biêu diễn nhu, tông cua hai Tông ba sô´ liên tiê´p băt , sô´ hang d̄ê`u chia hê´t cho 9, thı̀ tông này cũng chia hê´t cho 9. . Vı́ du. 2.10. Chú,ng minh ră` ng moi . sô´ nguyên d̄ô`ng (tiền Viêt . , , , , , 1 Nam ) lón hon 6 có thê d̄ôi ra tiền le không du, bă` ng nhũ,ng d̄ô`ng tiền gô`m nhũ,ng tò, 2 d̄ô`ng và 5 d̄ô`ng. , , , , , d̄ê` khăng d̄inh Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Vói sô´ tiê`n 7 d̄ô`ng, mênh . . d̄úng: 7=5+2. , , ,, , , d̄úng vói sô´ k ≥ 7 d̄ô`ng. Ðê Bu,ó,c quy nap: . . Gi,a su khăng d̄inh , , chúng minh d̄iê`u khăng d̄inh . cũng d̄úng vói sô´ k + 1 d̄ô`ng. Ta xét , hai kha năng: , , ,, , ` 1) k d̄uo. c d̄ôi chı băng môt . loai . tiê`n tò 2 d̄ô`ng. , ,, , ` 2) k d̄uo. c d̄ôi băng các loai . tiê`n, ı́t nhâ´t có môt . tò loai . 5 d̄ô`ng. , , ,, , ` Ta phai chúng minh k + 1 d̄ô`ng cũng d̄ôi d̄uo. c băng các loai . , , , ` ´ ` tiên d̄ã cho. Vói sô (k + 1) d̄ông thı̀ ta d̄ôi nhu sau: , ,, , , , , – Nê´u k d̄ô`ng o truòng ho. p 1), thı̀ ı́t nhâ´t phai có 4 tò 2 d̄ô`ng, , , , , , vı̀ k > 6. Ðê d̄ôi k + 1 d̄ô`ng, ta lâ´y 2 tò loai . 2 d̄ô`ng d̄ôi thành 1 tò loai . 5 d̄ô`ng. , , ,, , – Nê´u k d̄ô`ng trong truòng ho. p 2), thı̀ d̄ê d̄ôi k + 1 d̄ô`ng, ta lâ´y , , , môt . tò loai . 5 d̄ô`ng d̄ôi lâ´y 3 tò loai . 2 d̄ô`ng. , , Theo nguyên lý quy nap d̄úng vói moi . . toán hoc . khăng d̄inh . , ´ ` sô n d̄ông vói n > 6. , Vı́ du. 2.11. Chú,ng minh ră` ng n d̄u,ò,ng thăng khác nhau trên , , , môt . mat .̆ phăng d̄i qua môt . d̄iêm chia mat .̆ phăng ra 2n phâ`n. , , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Vói n = 1 mênh d̄ê` khăng d̄inh là d̄úng, vı̀ . . , , ,, môt . d̄uòng thăng chia mat .̆ phăng ra hai phâ`n. J J 11 , ,, , d̄ô`ng o d̄ây ta hiêu là 1000 d̄ô`ng trên thu. c tê´. 2.2. Mênh d̄ê` trong nguyên lý quy nap . . toán hoc . 33 , ,, , Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói sô´ n nào d̄ó, nghı̃a là Bu,ó,c quy nap: . . , , , ,, n d̄uòng thăng khác nhau d̄i qua môt d̄iêm chia mat phăng ra 2n . .̆ , , , , phâ`n. Ðê chúng minh mênh d̄ê` khăng d̄inh cũng d̄úng vói n + 1 . . , , , ,, , ,, ` d̄uòng thăng, ta chú ý răng nê´u du. ng d̄uòng thăng d̄i qua d̄iêm , ,, ,, , d̄ã cho và không trùng vói d̄uòng thăng nào trong sô´ các d̄uòng , , , thăng còn lai, 2 phâ`n nũa cua mat . thı̀ chúng ta, sẽ nhân . thêm .̆ , , , , ´ ` phăng. Nhu vây vói 2, . sô phân cua mat .̆ phăng d̄ã có là 2n công . hoac .̆ là 2(n + 1). Vı́ du. 2.12. Trong thành phô´ có n nhà. Tı̀m sô´ ló,n nhâ´t nhũ,ng , hàng rào khép kı́n không că´ t nhau có thê xây du. ,ng d̄u,o.,c trong thành phô´, nê´u mỗi hàng rào vây quanh ı́t nhâ´t môt . nhà và không có hai hàng rào nào vây quanh môt . cum . nhà. , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Khi n = 1 sô´ hàng rào câ`n tı́nh là X1 = 1. , Khi n = 2 ta có thê quây mỗi nhà môt . hàng rào sau d̄ó lai . , , , ´ du. ng môt . hàng rào quây ca hai nhà. Nhu vây . sô hàng rào X2 = 3. , Khi n = 3 ta có thê quây mỗi nhà môt . hàng rào, sau d̄ó quây ` hai nhà bâ´t kỳ băng môt . hàng rào và sau cùng là môt . hàng rào , quây ca ba nhà. Ta có X3 = 5. , , , Do d̄ó gia thiê´t quy nap: . Xn = 2n − 1. Ðê chúng minh công , , thúc là d̄úng, ta có nhân . xét sau: Ðô´i vói môt . thành phô´ n nhà , , , theo các d̄iê`u kiên luôn xây du. ng d̄uo. c d̄úng n hàng rào . d̄â`u bài, , , , ¨riêng¨ cua mỗi nhà và chı có môt . hàng rào ¨chung¨ cho ca thành phô´. , ,, , , Bu,ó,c quy nap: . . Gia su công thúc Xn = 2n − 1 d̄úng vói moi , , ` n ≤ k và ta cân chúng minh nó cũng d̄úng vói n = k + 1. , , , Ta xét hê. thô´ng hàng rào vói sô´ hàng rào lón nhâ´t có thê , , ,, du. ng d̄uo. c trong môt . thành phô´ có k + 1 nhà và thoa mãn các J 34 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . , d̄iê`u kiên . , xét trong hê. thô,´ng d̄ó luôn có . , cua d̄â`u bài. Theo nhân ,, , 1 (và chı 1) hàng rào lón quây ca thành phô´. Gia su hàng rào , ,, ` d̄ó bi. bo d̄i thı̀ lúc d̄ó thành phô´ d̄uo. c quây thành 2 khu băng 2 , , , ´ hàng rào. Khu thú nhât chăng han . là m nhà, khu thú hai có l nhà: m ≥ 1; l ≥ 1; m + l = k + 1. , , , Hê. thô´ng hàng rào quây khu thú nhâ´t cũng là lón nhâ´t túc là , , có tâ´t ca 2m − 1 hàng rào, và quây khu thú hai có 2l − 1 hàng rào , , , (theo gia thiê´t quy nap). Không thê có hàng rào nào có thê quây . , , , , d̄ô`ng thòi nhũng ngôi nhà tù 2 khu d̄ang xét d̄ó. Do d̄ó chı còn , lai . môt . hàng rào duy nhâ´t. Ðó là hàng rào chung quây ca thành , phô´. Nhu vây . ta có Xk+1 = (2m − 1) + (2l − 1) + 1 = 2(m + l ) − 1 = 2(k + 1) − 1. J Vı́ du. 2.13. Tù, 2n sô´ 1, 2, 3, . . . , 2n ta lâ´y ra môt . cách bâ´t kỳ n + 1 , sô´. Chúng minh ră` ng trong sô´ các sô´ lâ´y ra d̄ó có ı́t nhâ´t môt . sô´ chia hê´t cho môt . sô´ khác. , , , , ,, Lòi giai. (Phuong pháp giai sau d̄ây là cua M. Fritman).2 Khi , n = 1 mênh d̄ê` d̄úng là hiên nhiên. . , ,, , , Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói n − 1 nghı̃a là tù 2(n − 1) sô´ . , ,, ,, 1, 2, . . . , 2(n − 1) (o d̄ây n ≥ 2) có thê chon . ra d̄uo. c n sô´ sao cho trong d̄ó có ı́t nhâ´t môt . sô´ chia hê´t cho môt . sô´ khác. , ,, , , , Ta chúng minh mênh d̄ê` d̄úng vói n. Gia su tù 2n sô´ 1, 2, . . . , 2n . , ,, ta có thê chon d̄uo. c n + 1 sô´ sao cho trong d̄ó không có sô´ nào là . , , bôi ác. Ta ký hiêu tâp tâ´t ca n + 1 sô´ d̄ó là Xn+1 . Ðô´i . sô´ cua sô´ kh . . , ,, , , vói tâp . Xn+1 xay ra 4 truòng ho. p. 2 Bài , , ,, ` này cũng có thê giai băng phuong pháp Ðirichlet trong [1] 2.2. Mênh d̄ê` trong nguyên lý quy nap . . toán hoc . 35 , , 1. Xn+1 không chúa ca 2n − 1 và 2n, , , 2. Xn+1 chúa 2n − 1 và không chúa 2n, , , 3. Xn+1 không chúa 2n − 1 và chúa 2n, , , 4. Xn+1 chúa ca 2n − 1 và 2n. , ,, , , Truòng ho. p 1: Ta bo d̄i tù Xn+1 môt . sô´ bâ´t kỳ, còn lai . n sô´ mà , , mỗi sô´ d̄ê`u không lón hon 2n − 2 và trong sô´ d̄ó không có sô´ nào , là bôi . cua môt . sô´ khác. , , ,, , ´ mà moi Truòng ho. p 2: Ta bo tù Xn+1 sô´ 2n − 1, còn lai . là n sô . , , , sô´ d̄ê`u không lón hon 2n − 2 và không có sô´ nào là bôi c ua m ôt sô . . ´ khác. , , ,, , Truòng ho. p 3: Ta bo tù Xn+1 sô´ 2n, còn lai à moi . là n sô´ m . sô´ , , , d̄ê`u không lón hon 2n − 2 và không có sô´ nào là bôi . cua môt . sô´ khác. , ,, ,, , Truòng ho. p 4: Truóc hê´t ta thâ´y trong Xn+1 không chúa sô´ , , ,, , n do d̄ó trong truòng ho. p này ta bo tù Xn+1 hai sô´ 2n − 1 và 2n ,, , thêm vào sô´ n ta cũng nhân . d̄uo. c n sô´ mà moi . sô´ d̄ê`u không lón , , ` hon 2n − 2. Ta sẽ chúng minh răng trong n sô´ d̄ó không có sô´ nào , , , , chia hê´t cho sô´ khác. Ðê chúng minh d̄iê`u này ta chı câ`n chúng minh: , 1) Trong sô´ d̄ó trù sô´ n không có sô´ nào chia hê´t cho n và 2) Sô´ n không chia hê´t cho sô´ nào khác, ngoài n. , , , , Ðiê`u thú nhâ´t là hiên nhiên vı̀ tâ´t ca các sô´ d̄ó d̄ê`u không lón , hon 2n − 2. , , Ðiê`u thú hai cũng là hiên nhiên vı̀ trong Xn+1 sô´ 2n không chia hê´t cho môt . sô´ nào khác. Vây d̄ê` không d̄úng cho 2n sô´ thı̀ cũng d̄úng cho . nê´u mênh . 36 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . , , 2(n − 1) sô´. Ðiê`u này mâu thuẫn vói gia thiê´t quy nap. . Vây . mênh . , , , ` ´ ´ ´ d̄ê d̄ã cho d̄úng vói 2n sô 1, 2, . . . , 2n vói n là sô tu. nhiên bât kỳ. J , ,, ,, 2.3. Buóc quy nap . d̄uo. c xây du. ng trên P(k) , ,, ` Trong chúng minh băng phuong pháp quy nap . toán hoc, . khó , , , , khăn nhâ´t là buóc quy nap d̄ê` P(k) sang mênh . chuyên tù mênh . . ,, , d̄ê` P(k + 1). Trong phâ`n này cũng nhu các vı́ du. o muc sau ta . , , , , , xem xét kỹ các kha năng biê´n d̄ôi quy nap . ,tru. c tiê´p tù khăng , , d̄inh d̄úng cua P(k ) sang khăng d̄inh d̄úng cua P(k + 1). . . Vı́ du. 2.14. Chú,ng minh ră` ng 2n −1 ( a n + b n ) > ( a + b ) n , (2.9) , o, d̄ây a + b > 0, a 6= b, n > 1. , , , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Vói n = 2 d̄ăng thúc (2.9) có dang . (2.10) 2( a2 + b2 ) > ( a + b )2 . , , Vı̀ a 6= b ta có bâ´t d̄ăng thúc d̄úng ( a − b)2 > 0, công hai vê´ bâ´t . , , , 2 d̄ăng thúc này vói ( a + b) , ta có (2.10). , ,, , Bu,ó,c quy nap: . Gia su (2.9) d̄úng vói sô´ n = k nào d̄ó, 2k −1 ( a k + b k ) > ( a + b ) k . (2.11) , , Ðê chúng minh (2.9) cũng d̄úng cho n = k + 1, ta nhân hai vê´ , , , (2.11) vói a + b vı̀ a + b > 0 ta nhân . bâ´t d̄ăng thúc d̄úng 2k−1 ( ak + bk )( a + b) > ( a + b)k+1 . (2.12) , , , , , , Nhu vây . d̄ê chúng minh (2.9) d̄úng vói n = k + 1 bây giò ta chı , câ`n chúng minh 2k ( ak+1 + bk+1 ) > 2k−1 ( ak + bk )( a + b). (2.13) ,, ,, , 2.3. Buóc quy nap . d̄uo. c xây du. ng trên P(k ) 37 , , , ,, , ,, , Sau khi biê´n d̄ôi và d̄on gian hai vê´ ta d̄uo. c bâ´t d̄ăng thúc tuong ,, , d̄uong ak+1 + bk+1 > ak b + bk a, tù d̄ó suy ra ( ak − bk )( a − b) > 0. (2.14) ,, , Xét hai truòng ho. p: 1) Nê´u a > b, và d̄iê`u kiên . d̄ã cho là a > −b, suy ra a > |b|. ,, k k ´ Vı̀ vây . a > b . Do d̄ó bât phuong trı̀nh (2.14) d̄úng. ,, , k k 2) Nê´u a < b, lý luân . tuong tu. phâ`n trên ta có a < b , trong ,, , , truòng ho. p này (2.14) cũng d̄úng. Tóm lai, . (2.14) d̄úng vói moi . , a 6= b, do d̄ó (2.9) d̄úng vói n = k + 1. J Vı́ du. 2.15. Cho dãy sô´ 0 < a1 < a2 < · · · < an , và ei = ±1, i = n 2 1, 2, . . . Chú,ng minh ră` ng ∑ ei ai nhân . ı́t nhâ´t Cn+1 giá tri. khác i =1 , , , , nhau khi ei thay d̄ôi dâ´u trong tô ho.,p 2n kha năng xây ra. , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Khi n = 1, tô`n tai d̄úng 2 giá tri. khác nhau , , , cua tông ( a và − a) và C22 = 1, nhu vây d̄ê` d̄úng. . mênh . k , ,, , ` Bu,ó,c quy nap: Gi a s u m ênh d̄ê d̄ úng v ó i n = k; nghı̃a l à ∑ ei a i . . i =1 , ,, ,, 2 nhân Gia su thêm môt phâ`n tu . ı́t nhâ´t Ck+1 giá tri. khác, nhau. . , , ` ak+1 , mà ak+1 > ak . Ta câ`n phai chı ra răng tông sẽ có Ck2+2 giá , , , ˜ C2 giá tri. cua tông khác tri. . Theo gia thiê´t quy nap . d̄ã có săn k +1 ,, , nhau sinh boi a1 , a2 , . . . , ak ; ta câ`n tı̀m nhũng giá tri. khác nhau , , , ,, cua tông, có sô´ luo. ng là Ck2+2 − Ck2+1 = k + 1. Tı̀m các tông d̄ó k k , , ` băng cách sau d̄ây: Ðat S = a (nhu v ây thı̀ S ≥ ∑ i ∑ ei ai vói moi .̆ . . i =1 i =1 , , , ` su. lu. a chon các tông sau S + ak+1 , S + ( ak+1 − . ei ), và chú ý răng ak ), S + ( ak+1 − ak−1 ), . . . , S + ( ak+1 − a1 ) có giá tri. khác nhau và 38 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . , , , , , , lón hon thu. c su. S. Nhu vây tô`n tai k + 1 giá tri. khác nhau nũa . . , , cua tông d̄ã cho. J Vı́ du. 2.16. Nê´u a > 0 và b > 0, thı̀ (n − 1) an + bn ≥ nan−1 b, vó,i , , , n là sô´ nguyên du,o,ng; d̄ăng thú,c xây ra khi và chı khi a = b. , , ,, , , , Lòi giai. Mênh d̄ê` d̄úng vói n = 1. Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói . . n = k, (k − 1) ak + bk ≥ kak−1 b , , ,, , Ðê xây du. ng mênh d̄ê` vói n = k + 1, ta tiê´n hành các buóc . , , , 1) Nhân hai vê´ bâ´t d̄ăng thúc vói a (k − 1) ak+1 + bk a ≥ kak b. , , 2) Công thêm ak+1 vào bâ´t d̄ăng thúc trên . kak+1 + bk a ≥ kak b + ak+1 . , , 3) Chuyên bk a sang vê´ phai ta có kak+1 ≥ kak b + ak+1 − bk a. , , , 4) Công thêm bk+1 vào hai vê´ cua bâ´t d̄ăng thúc này . kak+1 + bk+1 ≥ kak b + ak+1 − bk a + bk+1 . , , , ,, , Theo gia thiê´t quy nap thı̀ bâ´t d̄ăng thúc trên tro thành d̄ăng . , , , , , thúc khi và chı khi a = b. Ðê chúng minh P(k + 1) d̄úng, ta chı , , , , , ra vê´ phai cua bâ´t d̄ăng thúc sau cùng thoa mãn kak b + ak+1 − bk a + bk+1 ≥ (k + 1) ak b , , , ,, , , và bâ´t d̄ăng thúc tro thành d̄ăng thúc khi và chı khi a = b. Thât . ,, ,, , 2.3. Buóc quy nap . d̄uo. c xây du. ng trên P(k ) 39 , , ,, vây, . ta biê´n d̄ôi tù duói lên kak b + ak+1 − bk a + bk+1 ≥ (k + 1) ak b, − ak b + ak+1 − bk a + bk+1 ≥ 0, ak ( a − b) + bk (b − a) ≥ 0, ( ak − bk )( a − b) ≥ 0. , , Bâ´t d̄ăng thúc này d̄úng (do a − b và ak − bk có cùng dâ´u), suy , , ,, , , , nguo. c lai bâ´t d̄ăng thúc ta câ`n chúng minh là d̄úng và d̄ăng thúc . , , xây ra khi và chı khi a = b. J Vı́ du. 2.17. Chú,ng minh ră` ng Sn = 1 − 2 + 3 − 4 + · · · + (−1) n −1 .n = (−1) n −1  n+1 2  , , o, d̄ây [ x ] là sô´ nguyên ló,n nhâ´t nho ho,n x, n là sô´ nguyên du,o,ng. , , , , ,, , Lòi giai. Ðê chúng minh d̄uo. c bài toán, ta chúng minh công , thúc sau hni n + 1 + =n 2 2 , vói moi . n. Thât . vây, . , ˜ ta có a) vói n = 2m là sô´ chăn,     hni 1 n+1 + = [m] + m + = m + m = n. 2 2 2 , , b) vói n = 2m + 1 là sô´ le  hni n + 1  1 + = m+ + [m + 1] = m + m + 1 = n. 2 2 2   ,, 1+1 , , , , 0 Buóc co so: S1 = 1 = (−1) , mênh d̄ê` d̄úng vói n = 1 . 2 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . 40 , ,, , , , Bu,ó,c quy nap: . Gia su d̄ăng thúc d̄úng vói n = k, nghı̃a là   k −1 k −1 k + 1 Sk = 1 − 2 + 3 − 4 + · · · + (−1) .k = (−1) . 2 Khi d̄ó  k+1 + (−1)k (k + 1) Sk+1 = Sk + (−1) (k + 1) = (−1) 2      k+1 k+2 = (−1)k k + 1 − = (−1)k . . 2 2 , , , , , , ,, , Ðăng thúc sau cùng suy ra tù d̄ăng thúc o phâ`n trên. Ðăng thúc , , cua d̄ê` ra d̄úng vói n = k + 1. k k −1  J ,, ,, , 2.4. Buóc quy nap . d̄uo. c xây du. ng trên P(k + 1) , ,, Buóc quy nap ăng . trong nguyên lý quy nap . toán hoc . câ`n kh , , , , d̄inh P(k + 1) suy tù P(k ). Nhung nhiê`u khi viêc . . biê´n d̄ôi tru. c , tiê´p tù P(k ) sang P(k + 1) gap ac không .̆ râ´t, nhiê`u khó khăn ho , .̆ , ,, ,, có huóng chı́nh xác. Khi d̄ó ta phai làm nguo. c lai . d̄ê biêu diễn , P(k + 1) ra mênh d̄ê` cua P(k ) và tiê´n hành quy nap. . . Phâ`n này , , , , , , và phâ`n truóc liên quan mât . thiê´t và tuong d̄uong nhau. Vı́ du. 2.18. Chú,ng minh ră` ng sô´ zn = 32n+1 + 40n − 67 chia hê´t , cho 64 vó,i moi . sô´ tu. nhiên n. , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: z1 = 33 + 40 − 67 = 0 chia hê´t cho 64. mênh . , d̄ê` d̄úng vói n = 1 , ,, Bu,ó,c quy nap: . Gia su zn chia hê´t cho 64. Khi d̄ó zn+1 = 32n+3 + 40n − 27 = 9(32n+1 + 40n − 67) − 320n + 576 = 9.zn − 64(5n − 9) , cũng chia hê´t cho 64. Bài toán d̄úng vói moi . n. J ,, ,, , 2.4. Buóc quy nap 41 . d̄uo. c xây du. ng trên P(k + 1) r q p √ Vı́ du. 2.19. Ký hiêu R = 2 + 2 + 2 + · · · + 2 căn bâc n . . hai π 1 π 1√ n lâ`n. Chú,ng minh ră` ng cos n = Rn−1 , sin n = 2 − R n −2 2 2 2 2 , vói moi . n ≥ 3. √ , ,, π π 2 , , , , , Lòi giai. Buóc co so: cos = sin = , mênh d̄ê` d̄úng vói . 4 4 2 n = 3 vı̀ v u p √ u 1 + cos π t π 2+ 2 R2 π 4 = = , cos 3 = cos = 2 8 2 2 2 v u p √ u 1 − cos π √ t π π 2− 2 2 − R1 4 sin 3 = sin = = = . 2 8 2 2 2 , ,, , , d̄ê` d̄úng vói sô´ tu. nhiên k ≥ 3. Khi Bu,ó,c quy nap: . . Gia su mênh d̄ó v u u 1 + cos π √ t k π 2 + R k −1 R 2 = = k, cos k+1 = 2 2 2 2 v u u 1 − cos π √ t k π 2 − R k −1 2 sin k+1 = = . 2 2 2 , , Nhu vây, d̄ê` d̄úng vói n = k + 1. Theo nguyên lý quy nap . mênh . . , , toán hoc . các công thúc d̄úng vói moi . n ≥ 3. J n5 n4 n3 n Vı́ du. 2.20. Chú,ng minh ră` ng + + − là sô´ nguyên 5 2 3 30 , vói n = 0, 1, 2, … , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Mênh d̄ê` d̄úng vói n = 0. . 42 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . , ,, , , , d̄ê` d̄úng vói n = k. Ta câ`n phai chúng Bu,ó,c quy nap: . . Gia su mênh minh ( k + 1)5 ( k + 1)4 ( k + 1)3 k + 1 + + − 5 3 30 , 2 , , là sô´ nguyên. Ta khai triên biêu thúc trên k5 + 5k4 + 10k3 + 10k2 + 5k + k4 + 4k3 + 6k2 + 4k + 1 + + 5 2 k3 + 3k2 + 3k + 1 k + 1 + − . 3 30 , Nhóm lai . d̄ê xuâ´t hiên . P(k) k k5 k4 k3 + + − ) + ((k4 + 2k3 + 2k2 + k) + (2k3 + 3k2 + 2k) + (k2 + k) + 1) 5 2 3 30 , , , Nhu vây thiê´t là sô´ nguyên và các nhóm . nhóm thú nhâ´t theo gia , , sau cũng là sô´ nguyên, suy ra tông cua chúng là sô´ nguyên và d̄ó , cũng là mênh d̄ê` bài toán vói n = k + 1. . ( J Vı́ du. 2.21. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . sô´ nguyên n ≥ 2 và | x | < 1 , , thı̀ bâ´t d̄ăng thúc sau luôn d̄úng: (1 − x ) n + (1 + x ) n < 2n . , , , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Khi n = 2 bâ´t d̄ăng thúc d̄úng hiên nhiên. , , ,, , , , Bu,ó,c quy nap: su bâ´t d̄ăng thúc d̄úng vói n = k. Ta phai . Gia , , , , , chúng minh bâ´t d̄ăng thúc cũng d̄úng vói n = k + 1; do gia thiê´t , d̄â`u bài và gia thiê´t quy nap . ta có (1 − x )k+1 + (1 + x )k+1 < [(1 − x )k + (1 + x )k ][(1 − x ) + (1 + x )] < 2k .2 = 2k+1 . , , , ,, , , Nhu vây . bâ´t d̄ăng thúc d̄uo. c chúng minh vói n = k + 1. , Vı́ du. 2.22. Vó,i moi . x trong 0 ≤ x ≤ π, chúng minh ră` ng ,, | sin nx | ≤ n sin x, o d̄ây n là sô´ nguyên không âm. J 2.5. Quy nap . toán hoc . và phép truy hô`i 43 , , , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Vói n = 1 bâ´t d̄ăng thúc d̄úng là tâ´t nhiên. , , ,, , , Bu,ó,c quy nap: . Gia su bâ´t d̄ăng, thúc d̄úng vói n = k: | sin kx | ≤ , , , k sin x. Ta câ`n chúng minh bâ´t d̄ăng thúc cũng d̄úng vói n = k + 1. Ta xét | sin(k + 1) x | = | sin(kx + x )| = | sin(kx ) cos x + cos(kx ) sin x | = | sin(kx ) cos x | + | cos(kx ) sin x | = | sin(kx )|| cos x | + | cos(kx )|| sin x | ≤ |k sin x | + | sin x | ≤ (k + 1) sin x. , ,, , , ,, Nhũng bâ´t d̄ăng thúc trên d̄uo. c suy ra boi 0 ≤ x ≤ π nên sin x ≥ , , , , 0 và | cos kx | ≤ 1. Nhu vây . ta d̄ã chúng minh bâ´t d̄ăng thúc d̄úng , cho n = k + 1. Suy ra nó d̄úng vói moi . n ≥ 1. J 2.5. Quy nap . toán hoc . và phép truy hô`i , Nhiê`u bài toán ta d̄ã xét có liên quan d̄ê´n dãy sô´ nhu câ´p sô´ , , ,, ` công, câ´p sô´ nhân, ... mỗi sô´ hang cua chúng d̄uo. c biêu diễn băng . . , , , , , cách lâ´y nhũng giá tri. cua sô´ hang truóc nó, ngoài nhũng sô´ hang . . , , ,, , , , khoi d̄â`u cua dãy. Nhũng công thúc sô´ hang chung c ua d ãy nhu . ,, , , ,, vây nghı̃a môt . . d̄uo. c d̄ua ra và coi nhu là d̄inh . dãy. Phuong pháp , , cho môt . ,dãy nhu vây . râ´t ,giô´ng vói nguyên lý quy nap . toán hoc. . , , Ta có thê dùng quy nap d̄ê d̄ inh nghı̃a m ôt kh ái ni êm m ó i. Nh ũ ng . . . . , nhà toán hoc g oi nó l à lo ai d̄ inh nghı̃a quy n ap, ng các nhà . . . . . nhu , , khoa hoc nghı̃a hô`i quy. Ðê hiêu vâ´n d̄ê` . máy tı́nh goi . nó là d̄inh . , , này ta xét môt nghı̃a giai thùa cua môt . . vı́ du. . Ðinh . sô´ nguyên, , ký hiêu . là P(n) = n!, nhu sau: nê´u n = 0 ta gán P(n) = 1 và nê´u , vói mỗi n > 0 gán giá tri. P(n) = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1 nghı̃a là tı́ch 44 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . ,, n sô´ nguyên duong d̄â`u tiên. Ta tı́nh môt . sô´ giá tri. d̄â`u 0! = 1, 1! = 1 = 1 · 0!, 2! = 2 · 1 = 2 · 1! = 2, 3! = 3 · 2 · 1 = 3 · 2! = 6. , , , Nhu vây . vói moi . sô´ tu. nhiên n, hoac .̆ là n = 0 có P(n)=1; hoac .̆ là , ` n > 0 có P(n) = n · (n − 1)!. Ðiêu này go. i ý ta d̄inh nghı̃a theo . , , quy nap . cua P(n) nhu sau: , Bu,ó,c co, so,: Nê´u n = 0, thı̀ n! = 1 và , Bu,ó,c quy nap: thı̀ ta có thê xác d̄inh . . . Nê´u n! d̄ã xác d̄inh, ` (n + 1)! băng (n + 1) · n!. ,, ,, Buóc quy nap nghı̃a trên trong tin hoc . . trong d̄inh . nguòi ta , , ,, ,, nghı̃a kiêu nhu trên là thuòng goi . . d̄inh . là Buóc hô`i quy và goi ,, ` d̄inh nghı̃a theo hô`i quy. Ta thâ´y răng d̄inh nghı̃a hô`i quy o trên . . , , , , ,, hoàn toàn nhu nguyên lý quy nap . toán hoc. . Buóc co so cho ta giá , ,, tri. tai . sô´ tu. nhiên ban d̄â`u 0. Bu,óc hô`i quy cho ta biê´t nê´u ta d̄ã ,, ,, biê´t d̄inh . nghı̃a tai . , nghı̃a d̄uo. c tai . n thı̀ ta có thê d̄inh . n + 1 (buóc , , tiê´p theo). Nhu vây nghı̃a d̄â`y d̄u cho moi . . d̄inh . sô´ tu. nhiên n. , , ,, Ðinh nghı̃a xuâ´t phát tù 0 và tùng buóc liên tiê´p d̄inh nghı̃a . . , , , , , ´ P(n) cho nhũng sô tu. nhiên càng ngày càng lón. Nhung d̄ê tı́nh , ,, , , toán P(n) ta d̄i nguo. c lai, d̄ê` lón nhâ´t d̄ê´n mênh d̄ê` nho . tù mênh . . nhâ´t. Vı́ du. ta tı́nh 3! = 3 · 2! = 3 · 2 · 1! = 3 · 2 · 1 · 0! = 3 · 2 · 1 · 1 = 6 , Theo d̄inh nghı̃a muô´n tı́nh giá tri. P(n) ta kiêm tra xem nê´u . , , , ,, , ,, , n = 0 thı̀ áp dung buóc co so cua d̄inh . , nghı̃a; nguo. c lai . . ta trù n , , , ,, , d̄i 1 d̄ê d̄ua bài toán vê` sô´ nguyên nho hon, nhu vây . buóc hô`i quy 2.5. Quy nap . toán hoc . và phép truy hô`i 45 , , , , , ,, giam bâc . cua bài toán d̄ê´n khi vê` buóc co so và tı́nh toán xong hoàn toàn. , ,, Râ´t nhiê`u ngôn ngũ lâp . trı̀nh,cũng cho ta tı́nh toán d̄uo. c công , , thúc theo d̄inh nghı̃a hô`i quy, chăng han sau trong . . nhu câu lênh . , ngôn ngũ lâp . trı̀nh Pascal: if n = 0 then Pn := 1 else Pn := n · (n − 1)!; ,, , ` Dòng lênh trên nói vói chuong trı̀nh biên dich . răng: . , 1. Kiêm tra xem n = 0 có d̄úng không ? , , 2. Nê´u tra lòi là Ðúng, thı̀ gán P(n) = 1; , , 3. Nê´u tra lòi là Sai, thı̀ gán P(n) := n · (n − 1)!; , , , , Ðê tı́nh tiê´p tuc lâ`n nũa d̄ê tı́nh (n − . máy phai goi . dòng lênh . , , , , 1)! và cú tiê´p tuc không thê . nhu vây . tói khi n = 0. Môt . câu lênh . hiên . hê´t viêc . tı́nh toán hô`i quy. ,, Trong toán hoc . và tin h, oc . nguòi ta tao . ra các thuât . toán thê hiên . chu trı̀nh tı́nh toán. Có nhiê`u cách mô , , , ,, ta thuât . toán nhu liêt . kê tùng buó,c , , ` thu. c hiên so d̄ô` khô´i (biêu . hoac .̆ băng , d̄ô`). Nhu chúng ta d̄ã thâ´y thuât , . toán cũng là môt công c u mô t a viêc . . . , thu. c hiên nguyên l ý quy n ap to án . . , ´ ` hoc, nhâ t l à c ác biê u d̄ô thu ât . . toán hô`i quy. Ta lâ´y vı́ du. tı̀m thuât . toán Hı̀nh 2.1: , , , tı́nh giai thùa cua sô´ tu. nhiên cho ,, truóc ? , 1. Cho giá tri. sô´ tu. nhiên n; , 2. Ðat .̆ kê´t qua Pn := 1 và biê´n d̄ê´m m := n; ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . 46 , ,, ,, 3. Kiêm tra m = 0? nê´u d̄úng d̄i d̄ê´n buóc 5; nê´u sai d̄ê´n buóc 4; ,, 4. Tı́nh Pn := Pn ∗ m và m := m − 1; d̄i d̄ê´n buóc 3; 5. Kê´t thúc. , , So d̄ô` khô´i thê hiên . qua hı̀nh 1. , , , , Nhu vây thúc hô`i quy hoac d̄ê` . viêc . chuyên tù công .̆ các mênh . , , hô`i quy sang thuât . toán và biêu d̄ô`, thê hiên . quá trı̀nh tı́nh toán , , , ,, tù nhâp và lâ´y kê´t qua ra, cũng nhu các buóc tı́nh . dũ, liêu . vào , , ,, toán d̄òi hoi ta phai hiêu thâ´u d̄áo phuong pháp quy nap . toán hoc. . Trong cuô´n ,sách n,ày ta sẽ d̄ê` câp . d̄ê´n môt . sô´ bài tâp . vê` thuât . toán và biêu d̄ô` d̄ê minh hoa. . , ´ Ta d̄ua vào d̄inh nghı̃a hê. sô Newton3 . Cnk = n! , k!(n − k )! (n = 0, 1, . . . ; k = 0, 1, . . . , n). (2.15) , ,, , , Dùng d̄inh nghı̃a giai thùa và gian uóc thùa sô´ chung, ta nhân . . ,, d̄uo. c Cnk = n ( n − 1) . . . ( n − k + 1) , k! (n = 0, 1, . . . ; k = 0, 1, . . . , n) (2.16) ´ ` Chúng ta thiê´t lâp tam gi ác Pascal theo nguyên t ăc: C ôt d̄â u tiên . , . ,, , , và ¨canh huyê`n¨ chı gô`m toàn sô´ môt; . . sô´ d̄úng o hàng thú n và , , ,, , côt . k, là tông cua hai sô´ o hàng n − 1, tai . côt . thú k − 1 và k. 1 1 1 1 1 … 3 Ký 1 2 3 4 … ,, ,, k k hiêu . tuong d̄uong Cn ≡ Cn . 1 3 6 … 1 4 … 1 … 2.5. Quy nap . toán hoc . và phép truy hô`i 47 , Vı́ du. 2.23. Chú,ng minh ră` ng nhũ,ng sô´ trong bang trên là , , nhũ,ng hê. sô´ Newton: mỗi sô´ d̄ú,ng o, hàng thú, n và côt . thú k là Cnk . , , , , ` Lòi giai. Chúng minh băng quy nap, d̄ê` d̄úng. . vói n = 0 mênh . , ,, , , ,, , 0 1 k Gia su hàng thú n d̄uo. c tao . boi các sô´ Cn , Cn , . . . , Cn và ký , , , , hiêu . β n+1,0 , β n+1,1 , . . . , β n+1,n+1 là nhũng sô´ o hàng thú n + 1. Ta , ` ´ sẽ chúng minh răng β n+1,k = Cnk +1 . Thât nguyên tăc . vây, . áp dung . , , tao . bang sô´ và gia thiê´t quy nap, . ta có n! n! β n+1,k = Cnk−1 + Cnk = + (k − 1)!(n − k + 1)! k!(n − k)! n! 1 1 ( n + 1) ! = ( + )= . ( k − 1) ! ( n − k ) ! n − k + 1 k k!(n − k + 1)! , , , Thu. c tê´ ta d̄ã chúng minh công thúc Cnk−1 + Cnk = Cnk +1 . (2.17) , ,, , , Vı́ du. 2.24. Hãy viê´t thuât . toán và vẽ so d̄ô` khô´i tuong úng d̄ê tı́nh hê. sô´ Newton Cnk khi cho n, k(1 ≤ k ≤ n). , , , , , Lòi giai. Hı̀nh 2 thê hiên . biêu d̄ô` cua thuât . toán. 1. Nhâp . thông sô´ n và k; , 2.Tı́nh t := k! theo thuât . toán và so d̄ô` d̄ã biê´t; , 3. Chuân bi. tı́nh n(n − 1) . . . (n − k + 1), biê´n i nhân . giá tri. d̄â`u là n; , ,, , , 4. Ðua vào biê´n m chúa giá tri. cua mẫu sô´, khoi d̄â`u là 1; ´ d̄â`u tı́nh mẫu sô´ k bu,ó,c vó,i giá tri. n(n − 1) . . . (i + 1), i < n 5. Băt , nhân vói i và nhân giá tri. m = n(n − 1) . . . i. , ,. , 6. Giá tri. cua chı sô´ giam d̄i 1. , , , , 7. Kiêm tra chı sô´ có nho hon sô´ hang sau cùng n − k + 1 không . 48 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . ,, ,, ? nê´u không d̄úng quay vê` buóc 5; nê´u d̄úng d̄i tiê´p buóc 8. , , ,, 8. Gán biê´n b chúa giá tri. thuong cua m = n(n − 1) . . . (n − k + 1) và t = 1, 2, . . . , k. , 9. Kê´t thúc: kê´t qua c = Cnk . , Trong thu. c tê´ nhiê`u bài toán cho dãy sô´ J a1 , a2 , . . . , a n , . . . , ` xác d̄inh băng công thúc hô`i quy . , an = f ( an−1 , an−2 , . . . , an−k ) vói 1 ≤ k ≤ n − 1 và f là môt . hàm d̄ã ,, , ´ biêt. Cũng nhu d̄inh . nghı̃a o trên khi cho môt ban d̄â`u và hàm . sô´ sô´ hang . , f thı̀ các sô´ hang cua dãy d̄ê`u tı́nh . ,, , d̄uo. c. Dẫy sô´ nhu vây . d̄ê`u goi . là dãy ` hôi quy. Hı̀nh 2.2: Vı́ du. 2.25. Cho dãy sô´ a1 , a2 , . . . , an , . . . d̄u,o.,c d̄inh nghı̃a theo . , công thúc sau: (n + 2)(n + 1) an+2 − n2 an = 0, (n = 1, 2, . . .) (2.18) và a1 = 0, a2 = 1. Hãy tı̀m an ? , , , Lòi giai. Ta viê´t lai . công thúc (2.18 ) n2 an . (2.19) (n + 1)(n + 2) , , , ` ` Dễ thâ´y răng nhũng sô´ hang mang chı sô´ le băng 0. Thât . . vây, . , d̄at .̆ n = 2k − 1, khi d̄ó vói k = 1, 2, . . . ta có a n +2 = a2k+1 = (2k − 1)2 a . 2k (2k + 1) 2k−1 (2.20) 2.5. Quy nap . toán hoc . và phép truy hô`i 49 , Vı̀ a1 = 0, tù (2.20) theo quy nap . suy ra a3 = 0, a5 = 0, . . .. Khi ta , ˜ có công thú,c ´ d̄at chăn .̆ n = 2k, thı̀ nhũng sô hang . 2k2 a . (k + 1)(2k + 1) 2k , ,, , Vói k = 1, 2, 3 tù (2.21) ta tı́nh d̄uo. c 2 1 1 a4 = .a2 = .1 = , 2.3 1.3 3 2 2.2 2.4 1 a6 = .a4 = . , 3.5 3.5 3 2.32 2.4.6 1 a8 = .a6 = . . 4.7 3.5.7 4 , , , , Ta so sánh mỗi sô´ hang vói chı sô´ và d̄ua ra gia thiê´t . a2k+2 = a2k = 2.4.6 . . . (2k − 2) 1 . 1.3.5 . . . (2k − 1) k (2.21) (2.22) , ,, ,, , ,, , Tù (2.22) vói k = 2, 3, 4 nhân . d̄uo. c a2 , a4 và a8 o trên. Gia su , , , (2.22) d̄úng vói sô´ k nào d̄ó, ta sẽ chúng minh nó cũng d̄úng vói k + 1: 2.4.6 . . . 2k 1 a2k+2 = . (2.23) , 1.3.5 . . . (2k + 1) k + 1 Thât . vây, . do (2.21) và gia thiê´t quy nap . ta có 2k2 2.4 . . . (2k − 2) 1 . . (k + 1)(2k + 1) 1.3 . . . (2k − 1) k 2.4 . . . (2k − 2)2k 1 . . = 1.3 . . . (2k − 1)(2k + 1) k + 1 , , ,, , Nhu vây, . công thúc (2.22) d̄uo. c chúng minh. Tóm lai, .  n = 2k − 1 (k = 1, 2, . . .) 0 an = 2.4 . . . (2k − 2) 1  . n = 2k. 1.3 . . . (2k − 1) k a 2( k +1) = 50 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . , Vı́ du. 2.26. Chia mat phăng thành bao nhiêu phâ`n tù, n d̄u,ò,ng .̆ , , ,, thăng, d̄ôi môt . că´ t nhau và không có ba d̄uòng thăng nào d̄ô`ng quy? , , , , ,, `n mat Lòi giai. Ta d̄at phăng do n d̄uòng thăng .̆ F (n) là sô´ phâ .̆ , , ,, bâ´t kỳ theo gia thiê´t bài ra. n tao . ra. Ta, xét n + 1 d̄uòng thăng , , ,, ,, d̄uòng thăng d̄â`u chia mat thăng .̆ ,phăng ra F (n) phâ`n; còn d̄uòng , , ,, , ´ tai thú n + 1, g bi. căt n d̄iêm khác nhau vói n d̄uòng thăng d̄â`u, . , , ,, ,, ,, nhu vây d̄uòng thăng g d̄uo. c chia ra n + 1 phâ`n. Suy ra d̄uòng . , ,, thăng g d̄i qua n + 1 phâ`n d̄ã cho, mỗi phâ`n d̄uo. c chia làm d̄ôi, , do d̄ó g tao . thêm ra n + 1 phâ`n mói, nghı̃a là F (n + 1) = F (n) + n + 1. , , ` Thay n trong d̄ăng thúc trên băng n − 1, n − 2, . . . , 2, 1 ta có F (n) = F (n − 1) + n, F (n − 1) = F (n − 2) + n − 1, ...... F (3) = F (2) + 3, F (2) = F (1) + 2. , , ,, Do F (1) = 2 và công các d̄ăng thúc trên ta nhân . d̄uo. c . F ( n ) = 1 + (1 + 2 + · · · + n ) = 1 + Hoac .̆ là F (n) = n2 + n + 2 . 2 n ( n + 1) . 2 J , Vı́ du. 2.27. (Bài toán tháp Hà nôi). . Cho ba chiê´c coc. . Coc . thú nhâ´t xâu n cái d̄ı̃a có d̄u,ò,ng kı́nh khác nhau sao cho các d̄ı̃a có , , , d̄u,ò,ng kı́nh ló,n ho,n o, du,ó,i. Chúng ta muô´n chuyên tâ´t ca các d̄ı̃a, , 2.6. Quy nap . toán hoc . và tông quát hoá 51 , , , , mỗi lâ`n môt . chiê´c, sang coc . thú hai mà các d̄ı̃a vẫn xê´p thú tu. tù , , ,, ló,n lên d̄ê´n nho. Trong thò,i gian chuyên qua các coc . không d̄uo. c , , , d̄at .̆ d̄ı̃a lón lên d̄ı̃a nho (d̄ều này câ`n thiê´t có coc . thú ba). Sô´ lâ`n , , ı́t nhâ´t d̄ê chuyên toàn bô. d̄ı̃a trong coc . môt . sang coc . hai là bao nhiêu? , , , , , Lòi giai. Ký hiêu n d̄ı̃a tù . Mn là sô´ lâ`n nho nhâ´t chuyên xong , ,, , coc coc hai. Rõ ràng M1 = 1, nhu vây ta gia su n > 1. . , môt . sang . . , , , ,, ,, Ðê chuyên d̄uo. c d̄ı̃a duói cùng sang côt n n−1 . hai, ta phai chuyê , ,, , ´ ` d̄ı̃a o trên sang côt Nhu vây . ba. . ta có sô lân chuyên ı́t nhâ´t l,à , , Mn−1 . Môt . lâ`n chuyên d̄ı̃a, to nhâ´t sang côt . thú hai, và lai . phai , , , , ` ´ ` thu. c hiên . Mn−1 lân chuyên sô n − 1 d̄ı̃a tù côt . thú ba vê côt . thú , hai. Nhu vây, . Mn = 2Mn−1 + 1, M1 = 1. , ,, n ` Dễ dàng băng quy nap . ta chúng, minh d̄uo. c Mn = 2 − 1. Thât . , , , , , , ´ vây, v ó i n = 1 công th ú c d̄ úng. Gi a s u công th ú c d̄ úng v ó i sô n = k, . k k k + 1 Mk = 2 − 1. Ta xét Mk+1 = 2Mk + 1 = 2(2 − 1) + 1 = 2 − 1, , , do d̄ó công thúc d̄úng vói n = k + 1. , 2.6. Quy nap to án h oc v à tô ng quát hoá . . J , , , ,, Râ´t nhiê`u bài toán dễ giai hon o dang tông quát. Nhâ´t . , ,, , , ` là chúng minh băng phuong pháp quy nap khi du. d̄oán gia . , , , , thiê´t quy nap. ta phai chúng minh dãy mênh . Chăng han . nhu . , , , ,, d̄ê` P(1), P(2), . . . không có d̄u thông tin d̄ê thu. c hiên bu ó c quy ,. ,, , , ` nap. Trong tru ò ng h o p d̄ó ta xét d ãy m ênh d̄ê tô ng quát hon . . . , Q(1), Q(2), . . . mà vói mỗi n mênh d̄ê` Q(n) kéo theo P(n), và sau . ,, d̄ó ta lai phuong pháp quy nap . áp dung . . cho Q(1), Q(2), Q(3), . . . , Trong muc . này ta xét môt . sô´ vı́ du. nhu vây: . 52 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . , Vı́ du. 2.28. Tı́nh tông n 1 2 + + ··· + n. 2 22 2 , , , , Lòi giai. Ta nhân . xét tông trên có thê viê´t lai . là Sn = (2.24) Sn ( x ) = 1x + 2×2 + · · · + nx n . (2.25) , , , 1 ,, , Tông ta câ`n tı́nh chı là truòng ho. p riêng cua (2.25) Sn ( ). Ta có 2 , , ,, , ,, , thê dùng kỹ thuât tı́nh tông o cuô´i Chuong 1 d̄ê có công thúc tı́nh . , , , , tông (2.25)(ban Ta d̄ua ra công . d̄oc . thu. c hiên . nhu môt . bài tâp). . , ,, , ` thúc o d̄ây và chúng minh băng quy nap . toán hoc: . n + 1 n + 2 x − ( n + 1) x + nx , (2.26) S( x ) = 2 (1 − x ) , vói x 6= 1. , , x − 2×2 + x3 , , Vói n = 1 d̄ăng thúc (2.26) có dang x = hiên nhiên . 2 (1 − x ) d̄úng. , ,, , , Gia su (2.26) d̄úng vói sô´ tu. nhiên n. Khi d̄ó Sn+1 = x + 2×2 + 3×3 + · · · + nx n + (n + 1) x n+1 x − (n + 1) x n+1 + nx n+2 + ( n + 1 ) x n +1 = (1 − x )2 x − (n + 1) x n+1 + nx n+2 + (n + 1) x n+1 − 2(n + 1) x n+2 + (n + 1) x n+3 (1 − x )2 x − ( n + 2 ) x n +2 + ( n + 1 ) x n +3 = . (1 − x )2 , , Nhu vây . (2.26) d̄úng vói n + 1. 1 Áp dung (2.26) tai . . giá tri. x = 2 ta có 1 1 1 − ( n + 1 ) n +1 + n n +2 1 n+2 2 2 2 Sn ( ) = = 2− n . 1 2 2 2 2 = J , 2.6. Quy nap . toán hoc . và tông quát hoá 53 Vı́ du. 2.29. Chú,ng minh ră` ng nê´u A1 + · · · + An = π, 0 < Ai ≤ π, i = 1, 2, . . . , n, thı̀ sin A1 + sin A2 + · · · + sin An ≤ n sin π . n , , , ,, ` Lòi giai. Chúng minh băng quy nap . toán hoc . d̄ê´n buóc quy nap . ` ´ k, mênh d̄ê P ( k ) d̄ úng có d ang nê u A + · · · + A = π, 0 < A ≤ 1 i k . . π, i = 1, 2, . . . , k, thı̀ sin A1 + · · · + sin Ak ≤ k sin π . k , , ,, Ðê chúng minh mênh d̄ê` P(k + 1) d̄úng ta cho truóc A1 + · · · + . , , Ak + Ak+1 = π, 0 < Ai ≤ π, i = 1, . . . , k + 1 phai chúng minh sin A1 + · · · + sin Ak + sin Ak+1 ≤ (k + 1) sin π . k+1 , Nê´u ta dùng gia thiê´t quy nap . thı̀ π k , , , ,, ,, không thê suy ra d̄uo. c buóc tiê´p theo. Do viêc . tông cua các Ai , , ` băng π dẫn d̄ê´n han . chê´ râ´t nhiê`u khi chúng minh. Bây giò ta , xét mênh d̄ê` rông hon Q(n) : . . sin A1 + · · · + sin Ak−1 + sin( Ak + Ak+1 ) ≤ k sin Nê´u 0 < Ai ≤ π, i = 1, . . . , n, khi d̄ó sin A1 + · · · + sin An ≤ n sin A1 + · · · + A n . n , ,, ` Ta thâ´y răng Q(n) suy ra P(n). rõ ràng Q(1) d̄úng. Gia su Q(k ) 54 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . , ,, d̄úng, và gia su có 0 < Ai ≤ π, i = 1, . . . , k + 1, khi d̄ó sin A1 + · · · + sin Ak + sin Ak+1 A + · · · + Ak ≤ k sin( 1 ) + sin Ak+1 k k A1 + · · · + A k 1 = (k + 1)[ sin( )+ sin Ak+1 ] k+1 k k+1 k A + · · · + Ak 1 ≤ (k + 1)[sin( ( 1 )+ A )] k+1 k k + 1 k +1 A + · · · + A k + A k +1 ). ≤ (k + 1) sin( 1 k+1 , , , , , Trong biê´n d̄ôi hai bâ´t d̄ăng thúc sau cùng câ`n phai chúng minh , , , ,, cho hai góc có d̄ánh giá nhu trên có thê chúng minh d̄uo. c (ban . , , , , , ´ d̄oc d̄ê` . hãy kiêm tra lai). . Nhu vây . tù su. d̄úng d̄ăn cua mênh . Q(k + 1) suy ra P(k + 1) cũng d̄úng. , Vı́ du. 2.30. Cho ui là sô´ hang thú, i cua dãy Fibonacci. Chú,ng . minh ră` ng u2n+1 + u2n = u2n+1 . J , , , ,, , , , Lòi giai. Khăng d̄inh d̄úng vói n = 1. Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói . . n = k. Khi d̄ó u2k+2 + u2k+1 = (uk+1 + uk )2 + u2k+1 = u2k+1 + 2uk+1 uk + u2k + u2k+1 = (u2k+1 + u2k ) + (2uk+1 uk + u2k+1 ) = u2k+1 + (2uk+1 uk + u2k+1 ). , ,, ,, , Theo công thúc dãy Fibonacci thı̀ buóc quy nap . d̄uo. c chúng minh , ` hoàn toàn nê´u ta chı ra răng 2uk+1 uk + u2k+1 = u2k+2 . Do có công , thúc d̄ó nên u2k+1 + (2uk+1 uk + u2k+1 ) = u2k+1 + u2k+2 = u2k+3 . , , , Bây giò chı còn chúng minh 2uk+1 uk + u2k+1 = u2k+2 . Ta cũng tiê´n 2.7. Bài tâp . 55 , , ,, , , hành theo quy nap, . vói n = 1 công thúc d̄úng hiên nhiên, gia su , d̄úng vói n = k ta có 2uk+2 uk+1 + u2k+2 = 2(uk+1 + uk )uk+1 + u2k+2 = 2u2k+1 + 2uk uk+1 + u2k+2 = (2uk+1 uk + u2k+1 ) + (u2k+1 + u2k+2 ) = u2k+2 + (u2k+1 + u2k+2 ). , , ,, , Chúng ta lai . vuóng phai bài toán ban d̄â`u, nê´u d̄ăng thúc sau 2 2 d̄úng u2k+1 + u2k+2 = u2k+3 . Nê´u có vây . thı̀ u2k+2 + (uk+1 + uk+2 ) = ,, u2k+2 + u2k+3 = u2k+4 và buóc quy nap . phâ`n này hoàn toàn xong. , , , Kê´t qua là nê´u d̄úng mênh d̄ê` thú nhâ´t thı̀ d̄úng mênh d̄ê` thú . . ,, , hai và nguo. c lai. d̄ê` . Thu. c ra bài toán xét hai dãy mênh . P(n) : u2n+1 + u2n+1 = u2n+1 , Q(n) : 2un+2 un+1 + u2n+2 = u2n+2 . , ` P(1) và Q(1) d̄ê`u d̄úng. Theo lý luân . cua phâ`n trên thâ´y răng , P(k ) và Q(k ) d̄úng suy ra P(k + 1) d̄úng, và vói P(k + 1) và Q(k ) , , lai . suy ra Q(k + 1) d̄úng. Nhu vây . tù P(k ) và Q(k ) suy ra P(k + 1) và Q(k + 1) d̄ê`u d̄úng. J 2.7. Bài tâp . . 2.31. Cho x1 < x2 < . . . < xn là nhũ,ng sô´ nguyên du,o,ng. , , , Chúng minh bâ´t d̄ăng thúc ( x15 + x25 + · · · + xn5 ) + ( x17 + x27 + · · · + xn7 ) ≥ 2( x13 + x23 + · · · + xn3 )2 . (2.27) , , , , , , ` Chúng minh răng d̄ăng thúc chı xây ra khi và chı khi xk = k (k = 1, 2, . . . , n). 56 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . , . 2.32. Chú,ng minh bâ´t d̄ăng thú,c ( a1 + a2 + · · · + ak )2 ≤ k( a21 + a22 + · · · + a2k ), (2.28) ,, , , , o d̄ây k ≥ 1 là sô´ tu. nhiên và a1 , a2 , . . . , ak là nhũng sô´ thu. c bâ´t kỳ. ` . 2.33. Cho f ( x ) = ( x2 − 1)1/2 , x > 1. Chú,ng minh răng f (n) ( x ) > , , , ˜ 0 vói n le và f (n) ( x ) < 0 vói n chăn. ,, ` . 2.34. Chú,ng minh răng phuong trı̀nh x2 + y2 = zn có nghiêm . , nguyên ( x, y, z) vói moi n = 1, 2, 3, . . . . , , CHUONG 3 , , TÌM CÔNG THÚC TÔNG QUÁT 3.1. Câ´p sô´ công và câ´p sô´ nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . , 3.2. Tı́nh tông và sô´ hang tông quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,, 3.3. Phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n tı́nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , , , , 3.4. Tông cua nhũng lũy thùa cùng bâc . các sô´ tu. nhiên 3.5. Bài tâp. . ................................................ 57 66 71 84 87 ,, ,, , ,, Phuong pháp quy nap toán hoc gô`m hai buóc nhu hai chuong . . , , , ,, , , , ,, ,, truóc ta d̄ã khao sát. Buóc co so chuyên sang buóc gia thiê´t quy , , nap nó d̄òi hoi nhiê`u kinh nghiêm giai toán, . là râ´t quan trong, . . , , phán d̄oán d̄úng, d̄ua ra khăng d̄inh chung chı́nh xác và có lý. . ,, , , ´ Chuong này ta dùng lai viêc thiêt lâp môt sô´ cách tı̀m công thúc . . . . , , là dãy sô´. Sau khi tı̀m ra tông quát cho các mênh d̄ê` khăng d̄inh . . , , , ` tông ta có thê chúng minh băng quy nap . toán hoc. . 3.1. Câ´p sô´ công và câ´p sô´ nhân . , ,, ´ công và Trong các chuong trı̀nh phô thông ta d̄ã hoc . câ´p sô , . , ,, , ´ lai câ´p sô´ nhân, o d̄ây ta nhăc . hai công thúc tı́nh tông nhung ,, , ` d̄uo. c chúng minh băng quy nap. . , Vı́ du. 3.1. Chú,ng minh d̄ăng thú,c sau: 1 + q + q2 + · · · + q n = 1 − q n +1 , 1−q (3.1) ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát 58 , vó,i moi . q 6= 1 và vói moi . n = 0, 1, 2, . . . (câ´p sô´ nhân). , , , Lòi giai. Gia thiê´t quy nap . có ngay trong d̄â`u bài. , , n Ðat .̆ Sn = 1 + q + · · · + q . Vói n = 0, S0 = 1 công thúc (3.1) d̄úng. , , ,, , , , Gia su vói sô´ tu. nhiên n = k nào d̄ó ta có d̄ăng thúc Sk = 1 − q k +1 . 1−q , , , , , Ta sẽ chúng minh d̄ăng thúc d̄úng vói sô´ tu. nhiên tiê´p theo, nghı̃a là 1 − q k +2 . S k +1 = 1−q Thât . vây, . S k +1 = S k + q k +1 = J 1 − q k +1 1 − q k +2 + q k +1 = . 1−q 1−q , , Vı́ du. 3.2. Cho b và d là hai sô´. Tı̀m sô´ hang tông quát an cua . dãy, d̄u,o.,c xác d̄inh theo công thú,c sau (câ´p sô´ công): . . a1 = b, an = an−1 + d (n = 2, 3, . . .). , , , Lòi giai. Ta câ`n tı̀m sô´ hang an theo nhũng sô´ d̄ã cho b và d, cũng . , , nhu chı sô´ n d̄ã cho. Ta tı́nh môt . a1 = b, a2 = a1 + d = . sô´ giá tri: b + d, a3 = a2 + d = (b + d) + d = b + 2d, a4 = a3 + d = b + 3d. Dễ , , dàng d̄ua ra gia thiê´t quy nap . an = b + (n − 1).d. (3.2) , , , Ta sẽ chúng minh (3.2) d̄úng vói moi . sô´ tu. nhiên n. Thât . vây, . ,, , , , , , Buóc co so: Vói n = 1, (3.2) d̄úng vói cách tı́nh phâ`n trên. 3.1. Câ´p sô´ công và câ´p sô´ nhân . 59 , ,, , , Bu,ó,c quy nap: . Gia su ,(3.2) d̄úng vói sô´ tu. nhiên n nào d̄ó. Khi , d̄ó, tù (3.2) cho ta kê´t qua an+1 = an + d = [b + (n − 1)d] + d = b + nd. , , , Nhu vây . (3.2) d̄úng vói moi . sô´ tu. nhiên n. , Bây giò ta xét câ´p sô´ công . và câ´p sô´ nhân m, à công sai và công , , ` sô´, chúng biê´n d̄ôi nhu, sô´ hang bôi tông . cua, chúng không là hăng . quát cua câ´p sô´ công hoac . .̆ câ´p sô´ nhân. J Vı́ du. 3.3. Cho môt . dãy sô´ n sô´ hang . a1 = a1 , a2 = a1 + d1 , a3 = a2 + d2 , . . . , an = an−1 + dn−1 , (3.3) ,, o d̄ây dãy sô´ d1 , d2 , . . . , dn−1 là môt vó,i công sai d 6= 0 . câ´p sô´ công . (câ´p sô´ công-c ông) . Chú,ng minh ră` ng . . 1 ak = a1 + (k − 1)d1 + (k − 1)(k − 2)d, (3.4) 2 n(n − 1)(2d1 − 3d) n(n + 1)(2n + 1)d Sn = n ( a1 + d − d1 ) + + . 4 12 (3.5) , , , , , ,, ` Lòi giai. Công thúc trên có thê chúng minh băng phuong pháp , , , ,, ´ gon quy nap ng d̄ê ngăn . nhu . ta chı dùng phuong pháp tı́nh toán , , , và biê´n d̄ôi. Dãy sô´ (3.3) goi ông vói sô´ hang thú . là câ´p sô´ công-c . . . , k, ak , công sai thú k, dk và công sai d. Dễ dàng có ak = a1 + d1 + , , d2 + · · · + dk−1 . Vói dãy sô´ là các sô´ gia cua (3.3) ta có dk = d1 + (k − 1)d, d1 + d2 + · · · + d k = Vây . d1 + d k 2d1 + (k − 1)d k= k. 2 2 1 ak = a1 + (k − 1)d1 + (k − 1)(k − 2)d. 2 ,, , , 60 Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát , , , ,, , câ´p sô´ công-c ông tı́nh d̄uo. c nhu sau: Tông cua nhũng sô´ hang . . . n Sn = ∑ n ak = k =1 3 d ∑ [(a1 + d − d1 ) + (d1 − 2 d)k + 2 k2 ] k =1 n 3 d n = n ( a1 + d − d1 ) + ( d1 − d ) ∑ k + ∑ k 2 , 2 k =1 2 k =1 , , Tù d̄ây suy ra công thúc (3.5). J Vı́ du. 3.4. Cho môt . dãy sô´ n sô´ hang . a 1 = a 1 , a 2 = a 1 + d 1 , a 3 = a 2 + d 2 , . . . , a n = a n −1 + d n −1 , ,, , o d̄ây dãy sô´ d1 , d2 , . . . , dn−1 là môt . câ´p sô´ nhân vói công bôi . q 6= 1 , ` ´ ´ (câp sô công-nhân). Chúng minh răng . a k = a1 + Sn = n ( a1 + d 1 ( q k −1 − 1 ) q−1 (3.6) d1 d ( q n − 1) . )+ 1 1−q ( q − 1)2 (3.7) , , , , , , Lòi giai. Tù gia thiê´t cua bài toán và công thúc cho câ´p sô´ công . , ´ ´ và câp sô nhân ta có công thúc d k = d 1 q k −1 , d1 + d2 + · · · + d k = d1 ( q k − 1) . q−1 ,, Ta dễ dàng tı́nh d̄uo. c a k = a 1 + d 1 + d 2 + · · · + d k −1 = a 1 + d 1 ( q k −1 − 1 ) . q−1 , , , Tù d̄ăng thúc sau cùng suy ra n Sn = ∑ n ak = k =1 = n ( a1 + d1 d1 ∑ [(a1 + 1 − q ) + q − 1 qk−1 ] k =1 d ( q n − 1) d1 )+ 1 . 1−q ( q − 1)2 J 3.1. Câ´p sô´ công và câ´p sô´ nhân . 61 Vı́ du. 3.5. Cho dãy hũ,u han . n sô´ a 1 = a 1 , a 2 = a 1 q 1 , a 3 = a 2 q 2 , . . . , a n = a n −1 q n −1 , (3.8) , o, d̄ây dãy sô´ q1 , q2 , . . . , qn−1 là câ´p sô´ công vó,i công sai d 6= 0. Dãy . sô´ (3.8) goi vó,i sô´ hang thú, k, ak , công bôi . là câ´p sô´ nhân-công . . . , , , ´ thú k, qk và công sai d. Hãy lâp tông quát . công thúc tı́nh sô hang . , , , , ´ ´ ´ ` cua câp sô nhân-công và tông nhũng sô hang d̄âu cua nó. . . , , Lòi giai. Vı̀ qk = q1 + (k − 1)d, thı̀ ta có k −1 k −1 a k = a 1 q 1 q 2 . . . q k −1 = a 1 ∏ q l = a 1 ∏ [ q 1 + ( l − 1 ) d ] = a1 [q1k−1 + S1k−2 dq1k−2 hoac .̆ là ak =   a k −2 1 ∑ Slk−2 dl q1k−l−1 , l =0   a1 l =1 k −2 2 k −3 + S2 d q 1 l =1 −2 k −3 2 −2 k −2 q1 + Skk− q1 ] + · · · + Skk− 3d 2d , vói k=2, 3, . . . , n ; , vói k=1 , ,, , , o d̄ây S0n = 1 vói n = 0, 1, 2, . . ., còn Sin vói 0 < i ≤ n và i nguyên, , , , , , , là tông cua tâ´t ca các tı́ch dang p1 p2 ..pi , Nhũng thùa sô´ cua mỗi . , tı́ch là i sô´, hoàn toàn khác nhau và nhân . giá tri. nguyên tù 1 d̄ê´n , , , không chúa sô´ n n. Nê´u trong tông Sin ta nhóm nhũng sô´ hang . , , , , nhu môt và các sô´ hang có chúa n nhu môt . sô´ hang, . . . thùa sô´, và ,, , , ,, sau d̄ó o nhóm thú hai ta d̄ua n ra ngoài ngoac, .̆ ta sẽ nhân . d̄uo. c Sin = Sin−1 + nSin−−11 . (3.9) , ,, Ta dùng (3.9) viê´t các giá tri. Sin vào bang tam giác mo rông d̄ê´n . , vô cùng nhu sau ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát 62 t 0 1 2 3 4 5 6 7 .. . 0 1 1 1 1 1 1 1 1 .. . 1 2 3 4 5 6 7 1 3 6 10 15 21 28 .. . 2 11 35 85 175 322 .. . 6 50 225 735 1960 .. . 24 274 1624 6769 .. . 120 1764 13132 .. . 720 13068 .. . 5040 .. . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... , ,, Bang trên có nhiê`u tı́nh châ´t râ´t hay, vı́ du. d̄uòng chéo là , , , , an = n!, n = 0, 1, 2, . . ., nhung ta không nghiên cúu o d̄ây. , , , , , Bây giò ta tı̀m công thúc tông Sn cua câ´p sô´ nhân-công. Tù . , , (3.9) ta có d̄ăng thúc a1 = a1 , a2 = a1 S00 q1 , a3 = a1 (S01 .q21 + S11 .d.q1 ) ............................... −2 k −2 ak = a1 (S0k−2 q1k−1 + S1k−2 dq1k−2 + · · · + Skk− q1 ) 2d , , , ´ xê´p theo sô´ mũ Công theo vê´ cua các d̄ăng thúc trên và săp . , , , tăng dâ`n cua q1 ta nhân . d̄uo. c −2 k −2 Sk = a1 [1 + q11 (1 + S11 d1 + S22 d2 + · · · + Skk− ) 1d −2 k −3 + q21 (1 + S12 d1 + S23 d2 + · · · + Skk− )+··· 3d + q1k−2 (1 + S1k−2 d) + q1k−1 ], hoac .̆ là n −1 n − i −1 Sn = a1 [1 + ∑( ∑ i =1 k =0 Ski+k−1 dk )q1i ]. J 3.1. Câ´p sô´ công và câ´p sô´ nhân . 63 Vı́ du. 3.6. Cho dãy hũ,u han . n sô´ a 1 = a 1 , a 2 = a 1 q 1 , a 3 = a 2 q 2 , . . . , a n = a n −1 q n −1 , (3.10) , o, d̄ây dãy sô´ q1 , q2 , .., qn−1 là câ´p sô´ nhân vó,i công bôi . q 6= 1. Dãy , , , , ´ ´ ´ sô hũu han . trên goi . là câp sô nhân-nhân vói thùa sô´ thú k là ak , , k-công bôi . là qk và công bôi . q. Hãy lâp . công thúc tı́nh sô´ hang . , , , ´ ` ´ ´ tông quát và tông n sô hang d̄âu tiên cua dãy câp sô nhân-nhân. . , , Lòi giai. Ta d̄ã biê´t qk = q1 qk−1 , khi d̄ó ak = a1 q1 q2 . . . qk−1 = a1 q1k−1 q1+2+3+···+(k−2) hay là ak = Sn = a1 q1k−1 q (k − 2)(k − 1) 2 , n n k =1 k =1 ∑ a k = a1 q ∑ q1k−1 q k ( k − 3) 2 . , ,, , Nhũng dãy sô´ o các bài tâp goi là các dãy cap d̄ôi. Ðê . trên . .̆ ,, , , , , ,, , mo rông hon nũa du. a trên co so cua câ´p sô´ công và câ´p sô´ nhân . . ,, , nguòi ta lai . ghép thêm các câ´p sô´ cap .̆ d̄ôi môt . lâ`n nũa, ta lâ´y vı́ , , du. sau: Ta xét dãy hũu han . tù n sô´ b1 , b2 = b1 + a1 , b3 = b2 + a2 , . . . , bn = bn−1 + an−1 ,, , ông vói công sai d và o d̄ây dãy sô´ a1 , a2 , . . . , an−1 là câ´p sô´ công-c . . , công sai thú k là dk . Khi d̄ó vı̀ bk = b1 + a1 + a2 + · · · + ak−1 và vı̀ , ,, , (3.4) ta tı̀m d̄uo. c sô´ hang thú k cua câ´p sô´ cap . .̆ ba bk = b1 + (k − 1)( a1 + d − d1 ) + (k − 1)k(2d1 − 3d) (k − 1)k(2k − 1)d + . 4 12 (3.11) ,, , , 64 Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát , , , ,, cua dãy ta tı̀m d̄uo. c Tông nhũng sô´ hang . Sn = n n k =1 k =1 ∑ bk = ∑ [(b1 + d1 − a1 − d) ,, Ta nhân . d̄uo. c 3 11 d d + k ( a1 − d1 + d ) + k 2 ( 1 − d ) + k 2 ]. 2 6 2 6 n(n + 1)(6a1 − 9d1 + 11d) (3.12) 12 n(n + 1)(2n + 1)(d1 − 2d) n2 (n + 1)2 d + . + 12 24 , , Ðê minh hoa công thúc trên ta xét bài tâp: . áp dung . . , , Vı́ du. 3.7. Tı̀m sô´ hang tông quát cua dãy câ´p sô´ cap . .̆ ba sau d̄ây Sn = n(b1 + d1 − a1 − d) + J 2, 5, 9, 17, 32, 57, 95, . . . (3.13) , và tı́nh tông n sô´ hang d̄â`u tiên. . , , ,, , , Lòi giai. Dãy tao . ra boi nhũng hiêu . liên tiê´p cua dãy d̄ã cho là 3, 4, 8, 15, 25, 38, . . . , ,, , Tiê´p tuc . tao . ra dãy gô`m nhũng hiêu . cua các phâ`n tu là 1, 4, 7, 10, 13, . . . (3.14) d̄ây là câ´p sô´ công d̄â`u tiên là d1 = 1 và công sai d = 3. . có sô´ hang . , , Vı̀ b1 = 2, a1 = 3, theo công thúc (3.11) sô´ hang tông quát cho dãy . (3.13) là 1 bn = (n3 − 5n2 + 14n − 6). 2 , , , Vê` tông cua n sô´ hang d̄â`u theo công thúc (3.12) ta có . 1 Sn = n(3n3 − 14n2 + 57n + 2). 24 J 3.1. Câ´p sô´ công và câ´p sô´ nhân . 65 , Vı́ du. 3.8. Tı̀m công thú,c tı́nh tông Sn = 3.2 + 5.5 + 7.8 + · · · + (2n + 1)(3n − 1). , ,, , Lòi giai. Nê´u chúng ta lai lap lai cách thu mâ´y giá tri. ban d̄â`u . .̆ . , , và mâ`y mò tı̀m kê´t qua thı̀ khá vâ´t va. Ta hãy nhı̀n kỹ vào d̄ê` , ` bài và d̄at tông quát an = (2n + 1)(3n − 1). Ta thâ´y răng .̆ sô´ hang . , , , , thùa sô´ thú nhâ´t là câ´p sô´ công và thùa sô´ thú hai cũng là câ´p sô´ . , , , , công. Câu hoi d̄at ra là du. a vào công thúc d̄ã có cua câ´p sô´ công . .̆ . , , ,, ,, , , có tı́nh d̄uo. c tông Sn o trên không? Bài toán có thê phai d̄ua vê` , ,, , , truòng ho. p tông quát hon: , , Tı́nh tông Sn = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn vói a1 , a2 , . . . , an là câ´p sô´ công có công sai d a và b1 , b2 , . . . , bn là câ´p sô´ công có công sai . . db . Ta có n Sn = ∑ n a k bk = k =1 ∑ [a1 + (k − 1)da ].bk = k =1 n = ( a 1 − d a ) ∑ bk + d a k =1 n ∑ [(a1 − da ) + kda ].bk k =1 n ∑ k.bk k =1 n 2b + (n − 1)db n + d a ∑ k.[(b1 − db ) + kdb ] = ( a1 − d a ) 1 2 k =1 = ( a1 − d a ) n n 2b1 + (n − 1)db n + d a ( b ∑ k + d a db ∑ k2 2 k =1 k =1 1 = ( a1 − d a )(b1 − db )n + [d a (b1 − db ) + db ( a1 − d a )]n(n + 1)+ 2 1 + d a db n(n + 1)(2n + 1). 6 Hoac l à .̆ 1 1 Sn = d a db n3 + (d a b1 + db a1 − d a db )n2 3 2 1 + (6a1 b1 − 3db a1 − 3d a b1 + d a db )n. (3.15) 6 ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát 66 , , Áp dung công thúc (3.15) vào vı́ du. trên vói a1 = 3, d a = 2, b1 = . , 2, db = 3. Ta có kê´t qua 1 n(4n2 + 7n + 1). 2 , , , ,, , , Công thúc tông quát trên d̄ã tı́nh d̄uo. c qua tru. c tiê´p biê´n d̄ôi. Vói , , , ` công thúc này ta cũng có thê chúng minh băng quy nap . toán hoc . , , ` ` (dành cho ban d̄ oc). Nhu ng nhiê u khi ch ú ng minh b ăng quy n ap . . , , ,. , , ´ ´ toán hoc d ẫn d̄ê n biê n d̄ô i biê u th ú c vô c ùng ph ú c t ap l àm n an . . , ,, , , lòng chúng ta. Mỗi phuong pháp chı manh v ó i m ôt l . . óp bài toán nào d̄ó thôi. Sn = , , 3.2. Tı́nh tông và sô´ hang tô ng quát . , ,, ,, ,, Chuong truóc ta d̄ã quan sát các phuong án khác nhau cua , ,, phuong pháp quy nap, nhiê`u khi d̄i tı̀m môt sô´ hang tông quát . . . , , ,, ,, hoac nguòi ta áp dung phuong pháp quy .̆ môt . tông cua môt . dãy . , ,, nap . toán hoc . môt . cách hiên, nhiên do các buóc hô`i quy liên tiê´p ,, , , mà ta tı̀m d̄uo. c công thúc tông quát. Nhũng vı́ du. sau d̄ây minh ,, hoa . phuong pháp quy nap . này. Vı́ du. 3.9. Dẫy sô´ a0 , a1 , a2 , . . . d̄u,o.,c xây du. ,ng theo cách sau: Hai sô´ d̄â`u a0 và a1 là nhũ,ng sô´ d̄ã cho, mỗi sô´ sau d̄ó là trung bı̀nh , , công cua hai sô´ tru,ó,c d̄ó. Hãy biêu diễn an theo a0 , a1 và n. . , , Lòi giai. Ta có a0 + a1 a1 + a2 a2 + a3 a3 + a4 a2 = , a3 = , a4 = , a5 = ,... 2 2 2 2 , tù d̄ó suy ra a0 − a1 a1 − a2 a2 − a3 a2 − a1 = , a3 − a2 = , a4 − a3 = ,... 2 2 2 , , 3.2. Tı́nh tông và sô´ hang tông quát . Suy ra 67 a1 − a0 2 a2 − a1 a − a0 a3 − a2 = − = 1 2 2 2 a3 − a2 a1 − a0 a4 − a3 = − =− 2 23 ................ a2 − a1 = − ,, ,, ` Dễ thâ´y răng (phuong pháp quy nap . toán hoc . d̄uo. c áp dung . ,, o d̄ây) a1 − a0 an − an−1 = (−1)n−1 n−1 . 2 , , , Công theo vê´ cua các d̄ăng thúc trên, ta có . a1 − a0 a − a0 a − a0 a − a0 a n − a1 = − + 1 2 − 1 3 + · · · + (−1)n−1 1 n−1 2 2 2 2 a1 − a0 1 1 1 =− (1 − + 2 + · · · + (−1)n−2 n−2 ) 2 2 2 2 a1 − a0 n −1 1 {(−1) − 1}. = 3 2n −1 , Tù d̄ó suy ra 2a1 + a0 a − a0 an = + (−1)n−1 1 n−1 . 3 3.2 , , Vı́ du. 3.10. Dãy sô´ a1 , a2 , a3 , . . . d̄uo. c xác d̄inh theo công thú,c . J a1 = 2 và an = 3an−1 + 1. Hãy tı́nh a1 + a2 + · · · + an . , , , , Lòi giai. Ta xét d̄ăng thúc ak = 3ak−1 + 1. Cho k giá tri. n n ,, 2, 3, 4, . . . , n và công . lai . ta nhân . d̄uo. c ∑ ak = 3 ∑ ak−1 + n − 1. Ta k =2 k =2 d̄at .̆ a1 + a2 + · · · + an = S. Khi d̄ó ta có S − a1 = 3(S − an ) + n − 1. Suy ra 1 S = {3an − a1 − n + 1}. 2 68 ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát , , Ta chı còn biêu diễn an qua a1 . Ta có an = 3an−1 + 1, an−1 = 3an−2 + 1. , Tù d̄ó suy ra an − an−1 = 3( an−1 − an−2 ). Vı̀ thê´ a n − a n − 1 = 3 ( a n − 1 − a n − 2 ) = 32 ( a n − 2 − a n − 3 ) = = 33 ( an−3 − an−4 ) = · · · = 3n−2 ( a2 − a1 ). , n−2 (quy nap toán Nhung a2 = 3a1 + 1 = 7, vı̀ vây . an − an−1 = 5.3 . ,, , ` hoc d̄ ã d ùng o d̄ây). V ó i c ác gi á tr i n b ăng 2, 3, 4, . . . , n ta có . . a2 − a1 = 5.1, a3 − a2 = 5.3, a4 − a3 = 5.32 , ............ an − an−1 = 5.3n−2 . , , , ,, Công theo các vê´ cua d̄ăng thúc, ta tı́nh d̄uo. c . a n − a 1 = 5 ( 1 + 3 + 32 + · · · + 3 n − 2 ) = 5 n −1 (3 − 1). 2 , , , , Tù biêu thúc cua S ta có 1 S = {3( an − a1 ) + 2a1 − n + 1} = 2 1 15 n−1 1 = { (3 − 1) + 4 − n + 1} = {5(3n − 1) − 2n}. 2 2 4 Vı́ du. 3.11. Dãy sô´ a1 , a2 , . . . xác d̄inh theo công thú,c . , an = kan−1 + l (n = 2, 3, . . .). Hãy biêu diễn an theo a1 , k, l và n. J , , Lòi giai. Ta có an = kan−1 + l, an−1 = kan−2 + l. Suy ra a n − a n −1 = k ( a n −1 − a n −2 ) = k 2 ( a n −2 − a n −3) = . . . = k n −2 ( a 2 − a 1 ), , , 3.2. Tı́nh tông và sô´ hang tông quát . , tù d̄ó suy ra 69 a2 − a1 = ( a2 − a1 ), a3 − a2 = k ( a2 − a1 ), a4 − a3 = k 2 ( a2 − a1 ), ......... a n − a n −1 = k n −2 ( a 2 − a 1 ). , , Công lai . . các d̄ăng thúc trên ta có k n −1 − 1 l. k−1 , , Vı́ du. 3.12. Cho dãy a1 , a2 , . . . thoa mãn d̄ăng thú,c sau: , an+1 − 2an + an−1 = 1. Hãy biêu diễn an theo a1 , a2 và n. a n = k n −1 a 1 + J , , , , ,, Lòi giai. Ta viê´t lai sau: . d̄ăng thúc duói dang . an+1 − an − ( an − an−1 ) = 1. Ta d̄at .̆ an −, an−1 = xn , (n = 2, 3, . . .). Khi d̄ó ta có xn+1 − xn = 1. , ` 2, 3, . . . , n − 1 và công Thay vào d̄ăng thúc sau cùng giá tri. n băng . ,, lai, . ta nhân . d̄uo. c xn − x2 = n − 2. Ta lai lai . thay n = 3, 4, . . . , n vào an − an−1 = xn và công . . ta ,, nhân . d̄uo. c a n − a2 = x3 + x4 + · · · + x n . Hay là a n = a2 + x3 + x4 + · · · + x n . , Nhung n n ∑ x k = ∑ ( x2 + k − 2) k =3 k =3 = ( n − 2) x2 + ( n − 2) + ( n − 3) + · · · + 1 (n − 1)(n − 2) . = ( n − 2) x2 + 2 ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát 70 , Tù d̄ó suy ra (n − 1)(n − 2) 2 (n − 1)(n − 2) = a2 + (n − 2)( a2 − a1 ) + 2 (n − 1)(n − 2) = + ( n − 1) a2 − ( n − 2) a1 . 2 a n = a2 + ( n − 2) x2 + J Vı́ du. 3.13. Cho hai dãy sô´ a1 , a2 , a3 , . . . b1 , b2 , b3 , . . . , , d̄uo. c xác d̄inh theo công thú,c sau: . a n + bn 2an bn a n +1 = ; bn + 1 = 2 a n + bn , o, d̄ây a0 và b0 là nhũ,ng sô´ d̄ã cho a0 > b0 > 0. Tı́nh an và bn theo a0 , b0 và n. , , ` Lòi giai. Dễ thâ´y răng an+1 bn+1 = an bn , và suy ra an bn = a0 b0 , , vói moi . sô´ nguyên n. Nhung p √ √ √ a n − bn a n − a n − 1 bn − 1 a n − a n bn p √ = √ = √ a n + bn a n + a n bn a n + a n − 1 bn − 1 a n − 1 + bn − 1 p !2 p √ − a n − 1 bn − 1 a − b n − 1 n − 1 2 p = a + = √ . p n − 1 bn − 1 a n − 1 + bn − 1 + a n − 1 bn − 1 2 √ √ a n − bn √ = un . Khi d̄ó ta có Ta d̄at .̆ √ a n + bn un−1 = u2n−2 , un−2 = u2n−3 , …… ,, 3.3. Phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n tı́nh 71 u2 = u21 , u1 = u20 . , , , , ,, , Nâng bâc . lũy thùa cua các d̄ăng thúc lâ`n luo. t vói n −1 ,, , 1, 2, 22 , . . . , 2n−2 . Ta tı́nh d̄uo. c un−1 = u20 . Nhung p √ √ a n − 1 − bn − 1 an−1 − a0 b0 p √ u n −1 = √ = , an−1 + a0 b0 a n − 1 + bn − 1 √ √ √ a0 − b0 a0 − a0 b0 √ = √ . u0 = √ a0 + b0 a0 + a0 b0 , Nhu vây . ta có √ √   2n −1 an−1 − a0 b0 a0 − a0 b0 √ √ = . an−1 + a0 b0 a0 + a0 b0 J ,, 3.3. Phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n tı́nh ,, Muc sô´ hang . truóc ta thâ´y các bài toán d̄ê`u cho dãy sô´ và các . , ,, , , ` d̄uo. c liên hê. vói nhau băng công thúc truy hô`i. Cách giai d̄ê`u tı̀m , , , ,, trong công thúc truy hô`i mô´i liên hê. d̄ê tı́nh d̄uo. c sô´ hang tông . , , quát và tông n sô´ hang d̄â`u tiên. Không phai lúc nào ta cũng . ,, , `n tru,ó,c. có các phuong trı̀nh truy hô`i d̄ep d̄ẽ nhu các bài tâp . phâ , ,. , Muc này ta chı ra môt cách tông quát tı́nh sô´ hang tông quát và . ,. ,. , ,, tông nhũng dãy thoa mãn phuong trı̀nh truy hô`i. , Cho k sô´ hang d̄â`u cua dãy sô´ . x1 , x2 , x3 , . . . , x n , . . . (3.16) , , là x1 = u1 , x2 = u2 , . . . , xk = uk . Mỗi sô´ hang thú k + 1 cua dãy . (3.16) tô`n tai . mô´i liên hê. x k + n + a 1 x n + k − 1 + a 2 x n + k − 2 + · · · + a k x n = bn , (3.17) ,, , o d̄ây a1 , a2 , . . . , ak là nhũng sô´ d̄ã cho, còn b1 , b2 , . . . , bn , . . . là dãy ,, ,, d̄ã cho. Khi d̄ó (3.17) cho phép ta tı́nh d̄uo. c moi . phâ`n tu liên tiê´p ,, , , 72 Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát , , , ´ biêu diễn sô´ hang tông quát cua dãy (3.16) và sau d̄ó ta cô´ găng . , cua chúng. Xét vı́ du. , , Vı́ du. 3.14. Tı̀m công thú,c tông quát cua dãy xác d̄inh nhu, sau: . x1 = 5, x2 = 19, xn − 5xn−1 + 6xn−2 = 0. , , , ,, Lòi giai. Tù mô´i liên hê. hô`i quy xn = 5xn−1 − 6xn−1 , ta tı̀m d̄uo. c x1 = 5 = 32 − 22 , x2 = 19 = 33 − 23 , x3 = 5×2 − 6×1 = 65 = 34 − 24 , x4 = 5×3 − 6×2 = 211 = 35 − 25 , x5 = 5×4 − 6×3 = 665 = 35 − 25 , x6 = 5×5 − 6×4 = 2059 = 36 − 26 . , , , ` Ta gia thiê´t răng sô´ hang tông quát cua dãy có dang . . (3.18) x n = 3n +1 − 2n +1 . , ,, , ,, ` Gia thiê´t d̄uo. c chúng minh băng phuong pháp quy nap. . , , 1) Ta d̄ã kiêm tra (3.18) d̄úng vói n = 1 và n = 2. , , 2) Ta gia thiê´t (3.18) d̄úng vói n = k và n = k + 1, nghı̃a là ,, xk = 3k+1 − 2k+1 và xk+1 = 3k+2 − 2k+2 . Khi d̄ó ta tı̀m d̄uo. c xk+2 = 5xk+1 − 6xk = 5(3k+2 − 2k+2 ) − 6(3k+1 − 2k+1 ) = (15 − 6)3k+1 − (10 − 6)2k+1 = 3k+3 − 2k+3 . , , Nhu vây . (3.18) d̄úng vói n = k + 2. Theo nguyên lý quy nap . toán , hoc . suy ra (3.18) d̄úng vói moi . n. ,, ,, Phuong trı̀nh (3.17) goi . phuong trı̀nh hô`i quy tuyê´n tı́nh bâc . , ,ng hê sô´, còn b goi là sô´ k. Nhũng sô´ a1 , a2 , a3 , . . . , ak goi l à nh ũ n . . . , do. Khi vó,i moi n, b = 0 phu,o,ng trı̀nh goi là thuâ`n hang t u n . . , . . , ´ nhâ´t. Bài toán d̄at ra l à tı̀m c ách biê u di ễn sô h ang tông quát .̆ . , ,, xn qua các d̄ai . luo. ng ban d̄â`u d̄ã cho. Trong muc . này ta chı xét ,, phuong trı̀nh truy hô`i bâc . hai. J ,, 3.3. Phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n tı́nh 73 , Vı́ du. 3.15. Tı̀m sô´ hang tông quát xn cho phu,o,ng trı̀nh truy hô`i . thuâ`n nhâ´t bâc . hai: a0 xn+2 + a1 xn+1 + a2 xn = 0. (3.19) , , , ,, Lòi giai. Ta goi . t1 và t2 là nghiêm . cua phuong trı̀nh bâc . hai a0 t2 + a1 t + a2 = 0 ( a0 6= 0, a2 6= 0). , Khi d̄ó theo công thúc Viet a0 (t1 + t2 ) = − a1 , a0 t1 t2 = a2 . , ,, ,, Phuong trı̀nh (3.19) có thê viê´t duói dang . xn+2 − (t1 + t2 ) xn+1 + t1 t2 xn = 0. (3.20) , , Sô´ hang tông quát cua dãy d̄ã cho phu. thuôc . . vào hai giá tri. t1 và ` t2 khác nhau hoac .̆ băng nhau: , , , 1) Truòng ho. p t1 6= t2 : ,, ` Thay n băng n − 2 vào (3.20) ta nhân . d̄uo. c xn − (t1 + t2 ) xn−1 + t1 t2 xn−2 = 0. (3.21) Ta viê´t lai . x n − t 2 x n −1 = t 1 ( x n −1 − t 2 x n −2 ). (3.22) ` Thay n băng các giá tri. n − 1, n − 2, . . . , 4, 3 vào (3.22) ta nhân . ,, d̄uo. c x n −1 − t 2 x n −2 = t 1 ( x n −2 − t 2 x n −3 ) x n −2 − t 2 x n −3 = t 1 ( x n −3 − t 2 x n −4 ) …… (3.23) x4 − t2 x3 = t1 ( x3 − t2 x2 ) x3 − t2,x2 = t1 ( x2 − t2 x1 ). , ,, , ,, , Nhân các vê´ tuong úng cua (3.22) và (3.23), gian uóc thùa sô´ ,, chung, ta nhân . d̄uo. c xn − t2 xn−1 = t1n−2 ( x2 − t2 x1 ). (3.24) 74 ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát ,, , ,, Tuong tu. viê´t (3.21) duói dang . x n − t 1 x n −1 = t 2 ( x n −1 − t 2 x n −2 ) ` và sau d̄ó thay n băng các giá tri. n − 1, n − 2, . . . , 4, 3, cũng tı́nh ,, d̄uo. c xn − t1 xn−1 = t2n−2 ( x2 − t1 x1 ). (3.25) , Tù (3.24) và (3.25) ta có t1 xn − t2 xn = t1n−1 ( x2 − t2 x1 ) − t2n−1 ( x2 − t1 x1 ). , Hoac .̆ là nghiêm . cua (3.19) có dang . xn = C1 t1n + C2 t2n , (3.26) ,, t x − x x − t x 2 2 2 1 1 1 o d̄ây , C2 = . (3.27) C1 = t1 ( t1 − t2 ) t2 ( t1 − t2 ) , ,, , , ` Nguo. c lai, sô´ bâ´t kỳ, kiêm tra tru. c tiê´p . C1 và C,2 là nhũng hăng , , ,, , dãy vói sô´ hang tông quát (3.26) là nghiêm cua phuong trı̀nh ân . . , ,, (3.19). Giá tri. duy nhâ´t cua dãy { xn } d̄uo. c xác d̄inh, nê´u cho hai . , , giá tri. ban d̄â`u cua dãy. Khi d̄ó C1 và C2 xác d̄inh theo công thúc . (3.27). , ,, ,, Tro lai . vı́ du. trên thı̀ t1 = 3, t2 = 2 là nghiêm . cua phuong , 2 ` trı̀nh bâc . hai t − 5t + 6 = 0. Khi, d̄ó nê´u C1 và C2 là nhũng hăng , sô´ bâ´t kỳ, thı̀ dãy vói sô´ hang tông quát . xn = C1 .3n + C2 .2n , ,, , là nghiêm . cua phuong trı̀nh truy hô`i xn − 5xn−1 + 6xn−2 = 0. Vói ,, , x1 = 5, x2 = 19, ta xác d̄inh d̄uo. c C1 = 3, C2 = −2 và nhu vây . . sô´ , , hang tông quát cua dãy là xn = 3n+1 − 2n+1 . . ,, , , , Trong truòng ho. p nghiêm t1 , t2 là nhũng sô´ phúc., nghı̃a . , là t1 = ρ(cos α + i sin α), t2 = ρ(cos α − i sin α), theo công thúc Moivre ta có t1n = ρn (cos nα + i sin nα), t2n = ρn (cos nα − i sin nα) ,, 3.3. Phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n tı́nh 75 , ,, và nghiêm . tông quát (3.26) tro thành xn = P1 ρn cos nα + P2 ρn sin nα, (3.28) , ,, ` ` o d̄ây P1 và P2 là hăng sô´ bâ´t kỳ. Ðê xác d̄inh P1 và P2 trong . hăng (3.28) khi cho hai giá tri. d̄â`u x1 và x2 , ta có ( t1 + t2 ) x1 − x2 , t1 t2 (t1 + t2 ) x2 − (t21 + t22 ) x1 , P2 = i (C1 − C2 ) = i t1 t2 ( t1 − t2 ) P1 = C1 + C2 = hoac .̆ là P1 = 2 cotgα cos 2α 1 x2 − cos α.x1 − 2 .x2 , P2 = .x1 . 2 ρ ρ ρ ρ sin α (3.29) ,, , ,, , 2) Tru,ò,ng ho.,p t1 = t2 : Nhu trong truòng ho. p truóc chúng ta , , suy ra tù (3.24) và (3.25) vói t1 = t2 xn − t1 xn−1 = t1n−2 ( x2 − t1 x1 ). (3.30) , ,, ,, , Ðê xác d̄inh d̄uo. c xn câ`n tı̀m môt . . phuong trı̀nh nũa ,cho xn và , ,, ,, xn−1 . Tù phuong trı̀nh xn − 2t1 xn−1 + t21 xn−2 = 0 có thê viê´t duói dang . (n − 2) xn − 2(n − 2)t1 xn−1 + (n − 2)t21 .xn−2 = 0 hoac .̆ là (n − 2) xn − (n − 1)t1 xn−1 = t1 [(n − 3) xn−1 − (n − 2)t1 xn−2 ]. (3.31) , , , ` Sau khi thê´ n tuong úng băng n − 1, n − 2, . . . , 4, 3 vào (3.31) ta ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát 76 ,, nhân . d̄uo. c (n − 3) xn−1 − (n − 2)t1 xn−2 = t1 [(n − 4) xn−2 − (n − 3)t1 xn−3 ], (n − 4) xn−2 − (n − 3)t1 xn−3 = t1 [(n − 5) xn−3 − (n − 4)t1 xn−4 ], …… 2×4 − 3t1 x3 = t1 ( x3 − 2t1 x2 ), x3 − 2t1 x2 = −t21 x1 . (3.32) , ,, ,, , ,, ` ´ ´ Lân luo. t thê các vê tuong úng cua (3.32) vào (3.31) ta nhân . d̄uo. c (n − 2) xn − (n − 1)t1 xn−1 = −t1n−1 .x1 . , ,, Tù (3.30) và (3.33) ta tı̀m d̄uo. c (3.33) (n − 1) xn − (n − 2) xn = (n − 1)t1n−2 ( x2 − t1 x1 ) + t1n−1 x1 , hoac .̆ là ,, o d̄ây xn = (C1 + C2 .n)t1n , (3.34) x2 − t1 x1 2t1 x1 − x2 , C2 = . C1 = 2 t1 t21 , , , , Ban . d̄oc . có thê kiêm tra dễ dàng (3.34) là kê´t qua cua (3.26) khi ta cho t2 = t1 . J , , Vı́ du. 3.16. Tı̀m sô´ hang tông quát cua dãy xác d̄inh theo công . . , thúc sau: x1 = 10, x2 = −12, xn + 4xn−2 = 0. , , , ,, ,, Lòi giai. Tù phuong trı̀nh t2 + 4 = 0 ta tı́nh d̄uo. c t1 = 2i = 2(cos π2 + i sin π2 ), t2 = −2i = 2(cos π2 − i sin π2 ) hay là ρ = 2, α = , ,, π . cua phuong trı̀nh truy hô`i là 2 . Khi d̄ó nghiêm nπ nπ n xn = ( P1 cos + P2 sin )2 . 2 2 ,, 3.3. Phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n tı́nh 77 , , , Tù (3.39) suy ra P1 = 3, P2 = 5, do d̄ó sô´ hang tông quát phai tı̀m . là nπ nπ n xn = (3 cos + 5 sin )2 . 2 2 hoac l à .̆  , 3.2n vói n = 4k    , n 5.2 vói n = 4k + 1 xn = , −3.2n vói n = 4k + 2    −5.2n vó,i n = 4k + 3 , , Vı́ du. 3.17. Bây giò, ta quan tâm câu hoi tı̀m nghiêm . riêng cua , phu,o,ng trı̀nh truy hô`i không thuâ`n nhâ´t bâc . hai vói hê. sô´ hă` ng sô´ a 0 x n + 2 + a 1 x n + 1 + a 2 x n = bn ( a0 6= 0, a2 6= 0). (3.35) , , , ,, 2 Lòi giai. Ta cũng xét nghiêm . t1 , t2 cua phuong trı̀nh a0 t + a1 t + a2 = 0. , 1) Tru,ò,ng ho.,p t1 6= t2 : Khi d̄ó theo phâ`n trên t1n và t2n là nhũng , ,, nghiêm . riêng cua phuong trı̀nh thuâ`n nhâ´t (3.17) và có nghiêm . , theo công thúc (3.26). , ,, ,, Nghiêm cua phuong trı̀nh (3.35) ta sẽ tı̀m theo phuong . riêng , , , ` pháp biê´n d̄ôi hăng sô´ nhu sau: Ta phai tı̀m nghiêm . riêng ξ n có dang . ξ n = αn t1n + β n t2n , (3.36) , , nó chı khác (3.26) là hê. sô´ αn và β n có thê phu. thuôc . vào n. Ta có ξ n+1 = αn+1 t1n+1 + β n+1 t2n+1 = αn t1n+1 + β n t2n+1 + (αn+1 − αn )t1n+1 + ( β n+1 − β n )t2n+1 . , , Bây giò ta d̄at .̆ d̄iê`u kiên . cho các dãy {αn } và { β n } thoa mãn ∆αt1n+1 + ∆βt2n+1 = 0, (3.37) ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát 78 ,, o d̄ây ∆α = αn+1 − αn , ∆β = β n+1 − β n . Khi d̄ó ξ n+1 = αn t1n+1 + β n t2n+1 ξ n+2 = αn+1 t1n+2 + β n+1 t2n+2 = αn t1n+2 + β n t2n+2 + ∆αt1n+2 + ∆βt2n+2 . , , ,, Ta thê´ biêu thúc ξ n , ξ n+1 , ξ n+2 vào (3.35), ta nhân . d̄uo. c ( a0 t1n+2 + a1 t1n+1 + a2 t1n ).αn + ( a0 t2n+2 + a1 t2n+1 + a2 t2n ).β n + + a0 (∆αt1n+2 + ∆βt2n+2 ) = bn . Do ( a0 t1n+2 + a1 t1n+1 + a2 t1n ).αn = 0 và ( a0 t2n+2 + a1 t2n+1 + a2 t2n ).β n = 0 suy ra bn ∆αt1n+2 + ∆βt2n+2 = . (3.38) a0 , ,, Tù (3.38) và (3.17) ta tı̀m d̄uo. c ∆α = αn+1 − αn = bn 1 . a0 t1n+1 (t1 − t2 ) (3.39) bn 1 . n +1 . a0 t1 ( t2 − t1 ) ,, ,, , ` Sau khi thê´ lâ`n luo. t n băng các giá tri. tuong úng n − 1, n − ,, 2, . . . , 2, 1, 0 vào (3.39) ta nhân . d̄uo. c ∆β = β n+1 − β n = bn − 1 1 . n , a0 t1 ( t1 − t2 ) bn − 2 1 = . n −1 , a0 t1 ( t1 − t2 ) α n − α n −1 = α n −1 − α n −2 …… b2 1 . 3 , a0 t1 ( t1 − t2 ) b1 1 , α2 − α1 = . 2 a0 t1 ( t1 − t2 ) α3 − α2 = ,, 3.3. Phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n tı́nh 79 b0 1 . . a0 t1 ( t1 − t2 ) , , , Ta công theo vê´ cua các d̄ăng thúc trên và chú ý α0 6= 0 ta tı̀m . ,, d̄uo. c α1 − α0 = 1 (b0 t1n−1 + b1 t1n−2 + · · · + bn−2 t1 + bn−1 ). a0 t1n (t1 − t2 ) ,, , ,, Tuong tu. ta cũng tı̀m d̄uo. c αn = 1 (b0 t2n−1 + b1 t2n−2 + · · · + bn−2 t2 + bn−1 ). − t1 ) , , , Nhu vây . tù công thúc (3.36) ta có βn = a0 t2n (t2 ξn = f ( t1 ) − f ( t2 ) , a0 ( t1 − t2 ) (3.40) ,, o d̄ây f (t) = b0 tn−1 + b1 tn−2 + · · · + bn−2 t + bn−1 . ,, , 2) Tru,ò,ng ho.,p t1 = t2 : Tuong tu. cách làm trên ta cũng tı̀m ,, ,, d̄uo. c ξ n dang ξ n = (αn + nβ n )t1n , và ta cũng nhân . . d̄uo. c ξn = f 0 ( t1 ) . a0 , ,, Trên d̄ây ta d̄ã khao sát phuong trı̀nh truy hô`i bâc . hai. , ,, ,, , , Phuong trı̀nh bâc . cao hon ta cũng có thê làm tuong tu. . Ta cũng ,, thành lâp . phuong trı̀nh t k + a 1 t k −1 + a 2 t k −2 + · · · + a k −1 t + a k = 0 (3.41) , ,, , ,, goi .̆ trung cua (3.17). Phuong trı̀nh sau d̄ây . là phuong trı̀nh d̄ac ,, goi . là phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n tı́nh thuâ`n nhâ´t xn+k + a1 xn+k+1 + · · · + ak xk = 0. , Ta không chúng minh d̄inh lı́ sau . (3.42) ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát 80 , Ðinh lı́ 3.1: Nê´u t1 nghiêm . bôi . s lâ`n cua (3.41), thı̀ s dãy sô´ . , vó,i sô´ hang tông quát . t1n , nt1n , n2 t1n , . . . , ns−1 t1n , ,, là nghiêm . riêng cua phuong trı̀nh thuâ`n nhâ´t (3.42) , , , ,, , Nhu vây ong trı̀nh d̄ac . tâ´t ca các nghiêm . cua phu .̆ trung theo , d̄inh lı́ trên cho ta k nghiêm . . riêng cua (3.42). (1) (2) (k) xn , xn , . . . , xn . , ,, Ðinh lı́ 3.2: Nghiêm . chung cua phuong trı̀nh thuâ`n nhâ´t . (3.42) d̄u,o.,c cho bă` ng công thú,c (k) (2) (1) xn = C1 xn + C2 xn + · · · + Ck xn ,, o d̄ây C1 , C2 , . . . , Ck là nhũ,ng hàng sô´ bâ´t kỳ. , ,, Ðinh lı́ 3.3: Nghiêm . chung cua phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n . tı́nh (3.17) d̄u,o.,c cho bă` ng công thú,c (1) (2) (k) xn = C1 xn + C2 xn + · · · + Ck xn + ξ n , o, d̄ây C1 , C2 , . . . , Ck là nhũ,ng hàng sô´ bâ´t kỳ và ξ n là môt . nghiêm . , riêng cua (3.17). ,, ` ` Hăng sô´ C1 , C2 , . . . , Ck d̄uo. c xác d̄inh băng giá tri. k sô´ hang . . , ban d̄â`u cua dãy. , ,, ,, ,, ` Nghiêm cua phuong trı̀nh (3.17) d̄uo. c tı̀m băng phuong . riêng , ` sô´ có dang pháp biê´n d̄ôi hăng . (1) (2) (k) ξ n = α1n xn + α2n xn + · · · + αkn xn . ,, ,, , Truòng ho. p riêng d̄inh lı́ sau râ´t hay d̄uo. c áp dung . . , ,, n Ðinh lı́ 3.4: Nê´u bn = q .Ps (n), o d̄ây Ps (n) là d̄a thú,c cua n . , ,, bâc . s, còn q là m-lâ`n nghiêm . lap .̆ cua (3.42), phuong trı̀nh (3.17) ,, 3.3. Phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n tı́nh 81 , có nghiêm ξ = qn Qm+s (n), o, d̄ây Qm+s (n) là d̄a thú,c . riêng dang . , cua n, bâc . m + s. Sau d̄ây là môt các Ðinh lı́ trên . . sô´ vı́ du. áp dung . , Vı́ du. 3.18. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . sô´ tu. nhiên n, sô´ zn = 4n+1 + 6n + 5 chia hê´t cho 9. , , , Lòi giai. Nhũng sô´ z1 = 27, z2 = 81 và z3 = 279 chia hê´t cho 9. , ,, , , Còn zn có thê nhân . d̄uo. c theo công thúc tông quát xn = C1 .4n + C2 .n.1n + C3 .1n , vói C1 = 4, C2 = 6, C3 = 5. , , ,, , Dãy vói sô´ hang tông quát xn là nghiêm cua phuong . . chung , , trı̀nh thuâ`n nhâ´t tuyê´n tı́nh vói hê. sô´ không d̄ôi, mà nghiêm . , ,, cua phuong trı̀nh thuâ`n nhâ´t có nghiêm t = 4 v à nghi êm l ap 1 . . .̆ ,, , 2 t2 = t3 = 1. Suy ra phuong trı̀nh d̄ac tru ng l à ( t − 4 )( t − 1 ) = 0 .̆ ,, 3 2 hoac .̆ là t − 6t + 9t − 4 = 0, và phuong trı̀nh truy hô`i là xn+3 − 6xn+2 + 9xn+1 − 4xn = 0. , ,, Vı̀ zn là nghiêm . riêng cua phuong trı̀nh truy hô`i, ta có zn+3 = 6zn+2 − 9zn+1 + 4zn . , , , , , Tù d̄ây, nê´u gia su nhũng sô´ zn , zn+1 và zn+2 chia hê´t cho 9, thı̀ , zn+3 cũng chia hê´t cho 9. Nhu vây theo nguyên lý quy nap . toán ,. , ,, hoc . bài toán d̄ã d̄uo. c giai d̄â`y d̄u. , , Vı́ du. 3.19. Tı̀m công thú,c tông quát cho tông J xn = 15 + 25 + 35 + · · · + n5 . , , Lòi giai. Ta có x1 = 1, xn+1 − xn = (n + 1)5 . 82 ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát ,, , Ta d̄ã có phuong trı̀nh truy hô`i không thuâ`n nhâ´t bâc môt vói hê. . . , ,, , sô´ không d̄ôi. Phuong trı̀nh d̄ac .̆ trung t − ,1 = 0 có nghiêm . t1 = 1. ,, Theo các d̄inh lı́ 3.1 -3.3 nghiêm . . chung c, ua phuong trı̀nh này là ,, ,, xn = C1 + ξ n , o d̄ây ξ n là nghiêm . riêng cua phuong trı̀nh ta d̄ang xét. , , ,, Nhung vı̀ bn = 1n .(n + 5)5 và sô´ 1 là nghiêm . cua phuong trı̀nh , , d̄ac trung, theo d̄inh lı́ 3.4 (m = 1, s = 5) ξ n là d̄a thúc bâc . . sáu ,.̆ cua n. Khi d̄ó xn = B0 + B1 n + B2 n2 + B3 n3 + B4 n4 + B5 n5 + B6 n6 . ,, ,, ,, Thay vào phuong trı̀nh ta thiê´t lâp . o phâ`n d̄â`u, ta nhân . d̄uo. c B1 (n + 1) + B2 (n + 1)2 + B3 (n + 1)3 + B4 (n + 1)4 + B5 (n + 1)5 + B6 (n + 1)6 − B1 n − B2 n2 − B3 n3 − B4 n4 − B5 n5 − B6 n6 =, (n + ,1)5 . , ,, , Ðô`ng nhâ´t hê. sô´ truóc d̄ô`ng bâc . cua n cua hai vê´ d̄ăng thúc, ta có 6B6 = 1, 5B5 + 15B6 = 5, 4B4 + 10B5 + 20B6 = 10, 3B3 + 6B4 + 10B5 + 16B6 = 10, 2B2 + 3B3 + 4B4 + 5B5 + 6B6 = 5, B1 + B2 + B3 + B4 + B5 + B6 = 1. , Tù d̄ó suy ra 1 5 1 1 , B3 = 0, B2 = − , B1 = 0. B6 = , B5 = , B4 = 6 2 12 12 1 5 1 1 Khi d̄ó xn = B0 − n2 + n4 + n5 + n6 . 12 , , 12 2 6 , , Tù d̄ây vói n = 1 ta nhân . d̄uo. c 1 = B0 + 1, nghı̃a là B0 = 0 suy ra 1 15 + 25 + · · · + n 5 = (2n6 + 6n5 + 5n4 − n2 ). 12 , Vı́ du. 3.20. Giai phu,o,ng trı̀nh J xn+1 − nxn = n!n5 vó,i d̄iều kiên . ban d̄â`u là x1 = 1. (3.43) ,, 3.3. Phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n tı́nh 83 , , ,, ,, , Lòi giai. Ta xét phuong trı̀nh thuâ`n nhâ´t tuong úng yn+1 − nyn = 0. (3.44) ,, ,, Sau khi thay n boi lâ`n luo. t giá tri. n − 1, n − 2, . . . , 2, 1 vào (3.44) ta có y n = ( n − 1 ) y n −1 y n −1 = ( n − 2 ) y n −2 …… y3 = 2y2 y2 = y1 = C. , , ,, Nhân theo vê´ các d̄ăng thúc trên ta tı̀m d̄uo. c yn = C (n − 1)!. , , ,, Nghiêm . riêng ξ n cua (3.43) ta tı̀m theo phuong pháp biê´n d̄ôi ,, ` hăng sô´ dang ξ n = (n − 1)!un . Khi ta thê´ vào (3.43), nhân . . d̄uo. c ,, 5 n!un+1 − n!un = n!n5 , hoac .̆ là un+1 − un = n ,. Ta nhân . d̄uo. c ,, ,, phuong trı̀nh truy hô`i có nghiêm . chung (kê´t qua bài tâp . truóc) un = B0 + , vói B0 = 0 ta có 1 2 n (n − 1)2 (2n2 − 2n − 1). 12 1 2 n (n − 1)2 (2n2 − 2n − 1)(n − 1)!. 12 , Suy ra nghiêm . chung cua bài toán là ξn = 1 2 n (n − 1)2 (2n2 − 2n − 1)](n − 1)!. 12 ,, , Vói n = 1 cho giá tri. ban d̄â`u ta nhân . d̄uo. c C = 1 và suy ra dãy , phai tı̀m là: xn = yn + ξ n = [C + xn = [ 1 2 n (n − 1)2 (2n2 − 2n − 1) + 1](n − 1)!. 12 J ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát 84 , , , , 3.4. Tông cua nhũng lũy thùa cùng bâc . các sô´ , tu. nhiên , , , Ta d̄ã gap .̆ môt . sô´ bài vê` tı́nh tông cua lũy thù cùng bâc . các sô´ , , , , tu. nhiên, nhu vói lũy thùa bâc . hai,, bâc . ,ba. Phâ`n này ta áp dung . , , ,, ´ công thúc Newton d̄ê tı́nh d̄uo. c tông cua môt sô m ũ n ào d̄ó các . , , , , sô´ tu. nhiên tù 1 d̄ê´n n. Ðê tı́nh tông Sk = 1k + 2k + 3k + · · · + n k , , , , vói k là môt d̄ăng thúc sau . sô´ tu. nhiên, ta áp dung . (3.45) ( x + 1)k+1 = x k+1 + Ck1+1 x k + Ck2+1 x k−1 + · · · + Ckk+1 x + 1. ,, ,, Thay x lâ`n luo. t các giá tri. 1, 2, 3, . . . , n ta nhân . d̄uo. c 2k+1 = 1k+1 + Ck1+1 1k + Ck2+1 1k−1 + · · · + Ckk+1 1 + 1, 3k+1 = 2k+1 + Ck1+1 2k + Ck2+1 2k−1 + · · · + Ckk+1 2 + 1, 4k+1 = 3k+1 + Ck1+1 3k + Ck2+1 3k−1 + · · · + Ckk+1 3 + 1, ………………………………………. nk+1 = (n − 1)k+1 + Ck1+1 (n − 1)k + · · · + Ckk+1 (n − 1) + 1, k +1 ( n + 1 ) k +1 = +, Ck1+1 nk + Ck2+1 nk−1 + · · · + Ckk+1 n + 1. , n , ,, Công theo vê´ cua các d̄ăng thúc và ta nhân . . d̄uo. c (n + 1)k+1 = Ck1+1 Sk + Ck2+1 Sk−1 + · · · + Ckk+1 S1 + n + 1 hay là 1 [(n + 1)k+1 − Ck2+1 Sk−1 − · · · − Ckk+1 S1 − n − 1]. (3.46) k+1 , , , ,, , Tù biêu thúc (3.46) cho phép ta tı́nh lâ`n luo. t tông (3.45). Vı́ du. , ,, , vói k = 1, 2, . . . tù (3.46) ta tı́nh d̄uo. c Sk = S1 = 1 n ( n + 1) 1 1 [(n + 1)2 − n − 1] = = n2 + n, 2 2 2 2 , , , , , 3.4. Tông cua nhũng lũy thùa cùng bâc . các sô´ tu. nhiên 85 n(n + 1)(2n + 1) 1 [(n + 1)3 − 3S1 − n − 1] = 3 6 1 3 1 2 1 = n + n + n, 3 2 6 1 n ( n + 1) 2 S3 = [(n + 1)4 − 6S2 − 4S1 − n − 1] = [ ] 4 2 1 1 1 = n4 + n3 + n2 , 4 2 4 1 S4 = [(n + 1)5 − 10S3 − 10S2 − 5S1 − n − 1] 5 n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n + 1) 1 1 1 1 = = n5 + n4 + n3 − n, 30 5 2 3 30 1 6 S5 = [(n + 1) − 15S4 − 20S3 − 15S2 − 6S1 − n − 1] 6 1 1 1 5 1 = n2 (n + 1)2 (2n2 + 2n − 1) = n6 + n5 + n4 − n2 , 12 6 2 12 12 1 n(n + 1)(2n + 1)(3n4 + 6n3 − 3n + 1) S6 = 42 1 1 1 1 1 = n7 + n6 + n5 − n3 + n, 7 2 2 6 12 1 2 n (n + 1)2 (3n4 + 6n3 − n2 − 4n + 2) S7 = 24 1 1 7 7 1 = n8 + n7 + n6 − n4 + n2 . 8 2 12 24 12 , , , Ta sẽ chúng minh ră` ng tông Sk là môt . d̄a thúc bâc . k + 1 có sô´ 1 hang tu. , do bă` ng không, hê. sô´ tru,ó,c nk+1 bă` ng , hê. sô´ tru,ó,c . k+1 1 k , , , , k k − 1 ` ` ´ ´ n băng , hê. sô truóc n băng , hê. sô truóc nk−2 bă` ng 0. 2 12 , , , , ´ ` Thât v ây, Gi a thiê t d̄iê u kh ăng d̄inh . , trên d̄úng vói nhũng . . , , tông S1 , S2 , . . . , Sk−1 . Ta câ`n kê´t luân cũng d̄úng vói . . khăng d̄inh , , , , ` tông Sk . Khăng d̄inh Sk là môt . . d̄a thúc theo n và hê. sô´ tu. do băng , , , , , , 0, suy ra tù d̄ăng thúc (3.46). Các hê. sô´ ak , ak−1 , ak−2 tuong úng S2 = ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát 86 ,, , ,, truóc nk , nk−1 , nk−2 trong Sk cũng tù (3.17) ta tı̀m d̄uo. c 1 1 1 [Ck1+1 − Ck2+1 ] = , k+1 k 2 1 1 k 1 a k −1 = [Ck2+1 − Ck2+1 . − Ck3+1 ]= , k+1 2 k−1 12 1 k − 1 1 1 a k −2 = [Ck3+1 − Ck2+1 − Ck3+1 . − Ck4+1 ] = 0. k+1 12 2 k−2 , ,, , , Nhu vây . trong truòng ho. p chung ta có công thúc ak = n 1 1 1 1 ∑ ik = k + 1 .nk+1 + 2 nk + 2 Ck1 B2 nk−1 + 4 Ck3 B4 nk−3 + i =1 (3.47) 1 1 5 + Ck B6 nk−5 + Ck7 B8 nk−7 + · · · 6 8 , 2 ´ sô´ hang cuô i c ùng l à n hoac . .̆ n . Trong (3.47) nhũng sô´ , B2 , B4 , B6 , B8 , . . . goi . ,là nhũng sô´ Bernoulli. Môt . sô´ sô´ Bernoulli ,, d̄uo. c liêt . kê trong bang 5 , 66 691 7 3617 43867 B12 = − , B14 = − , B16 = , B18 = − , 2730 6 510 798 174611 854513 236364091 B20 = − , B22 = , B24 = − , 330 123 2730 8553103 23749461029 8615841276005 B26 = , B28 = − , B30 = , 6 870 14322 2577867858367 7709321041217 , B34 = . B32 = − 510 6 , , , ,, , , Nhũng sô´ này d̄u cho ta tı́nh d̄uo. c công thúc tông lũy thùa ,, , , , , bâc . môt, . hai, ba, . . . , ba muoi tu cua n chũ sô´ tu. nhiên d̄â`u tiên. ,, , , Bây giò không khó khăn gı̀ tı́nh d̄uo. c công thúc dang . , n k o, d̄ây P ( t ) là d̄a thú,c theo t. Vı́ du chú,ng minh nhũ,ng [ P ( t )] ∑ t =1 . , , d̄ăng thúc sau d̄ây B2 = 1 , 6 B4 = − 1 , 30 B6 = 1 , 42 B8 = − 1 , 30 B10 = 3.5. Bài tâp . 87 1 n(2n − 1)(2n + 1); 3 1 2) 12 + 52 + 92 + · · · + (4n + 1)2 = (n + 1)(16n2 + 20n + 3). 3 Thât . vây, . 1) 12 + 32 + 52 + · · · + (2n − 1)2 = n 1) ∑ (2t − 1)2 = t =1 n n n t =1 t =1 t =1 ∑ (4t2 − 4t + 1) = 4 ∑ t2 − 4 ∑ t + n n ( n + 1) n(n + 1)(2n + 1) −4 +n = 4. 6 2 1 = n(2n − 1)(2n + 1). 3 n 2) ∑ (4t + 1)2 = t =1 n n n t =1 t =1 t =1 ∑ (16t2 + 8t + 1) = 16 ∑ t2 + 8 ∑ t + n n ( n + 1) n(n + 1)(2n + 1) + 8. +n+1 = 16. 6 2 (n + 1)(16n2 + 20n + 3) = . 3 , , ,, , , Ban . d̄oc . có thê giai nhiê`u bài toán tuong tu. nhu vây. . 3.5. Bài tâp . ` . 3.21. Chú,ng minh răng Sn = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn = q n −1 − 1 a1 b1 − qan bn − dqb1 . 1−q (1 − q )2 , vói a1 , a2 , . . . , an là câ´p sô´ công có công sai d và b1 , b2 , . . . , bn là câ´p . sô´ nhân có bôi . sô´ q 6= 1. , , . 3.22. Tı̀m sô´ hang tông quát cua câ´p sô´ công . . 2, 5, 10, 17, 26, 37, . . . , , và tı́nh tông n sô´ hang d̄â`u tiên cua nó. . ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát , . 3.23. Hãy tı̀m công thú,c tông 88 Sn = 3.2 + 5.5 + 7.8 + · · · + (2n + 1)(3n − 1). , ,, . 3.24. Hãy tı̀m nghiêm . chung cua các phuong trı̀nh sau: a) xn+1 + xn+1 + xn = 0; b) xn+1 + 2xn+1 + xn = 0; c) xn+2 − xn = 0; d) xn+3 − 3xn+2 + 3xn+1 − xn = 0. , , . 3.25. Tı̀m công thú,c tông quát cho dãy xác d̄inh . theo công thúc sau: a) x1 = 10, x2 = 16, xn+2 − 4xn+1 + 3xn = 0; b) x1 = 1, x2 = −3, x3 = −29, xn+3 − 9xn+2 + 26xn+1 − 24xn = 0; c) x1 = 1, x2 = −7, xn+2 − 6xn+1 + 9xn = −4. , , CHUONG 4 ´ HOC SÔ . 4.1. Phép chia hê´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2. Thuât . toán Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 , 4.3. Sô´ phúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 , 4.4. Nhũng vı́ du. khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.5. Bài tâp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.1. Phép chia hê´t , Trong sô´ hoc . phép chia cho ta râ´,t nhiê`u tı́nh châ´t vê` nhũng ,, sô´ nguyên. Nhiê`u bài toán phát biêu duói dang các phép chia . , , , ´ lai nhũng sô´ nguyên và kê ca các thuât . toán tı́nh toán. Ta nhăc . , ` ´ ´ ´ môt sô kh ái ni êm. Nê u a v à b l à nh ũ ng sô nguyên, ta nói r ăng . . .. b chia hê´t cho a, ký hiêu . là b . a, ,khi tô`n tai . môt . sô´ nguyên c sao , , cho b = ca. Sô´ c goi . là thuong c,ua phép chia, a nhiê`u khi goi . là , , , , , , uóc sô´ cua b, sô´ b goi . là bôi . c . sô´ cua a. Truòng ho. p không tô`n tai ` theo d̄inh nghı̃a trên ta nói răng b không chia hê´t cho a, ký hiêu . . , .. , , b 6 . a. Tù d̄inh nghı̃a d̄on gian trên ta suy ra hàng loat . . các tı́nh , , , .. ,, , châ´t cua phép chia, o d̄ây ta chı lâ´y môt . vı́ du. d̄on gian: Nê´u b . a . . , và c .. a, thı̀ (ub + vc) .. a vói moi . sô´ nguyên bâ´t kỳ u và v. Hai khái , , niêm . sau d̄ây râ´t hay d̄uo. c dùng. , ,, , Môt . sô´ d goi . là uóc sô´ chung lón nhâ´t cua hai sô´ nguyên a và ,, Chuong 4. Sô´ hoc . 90 b, ký hiêu . d=(a, b), khi 1) a và b d̄ê`u chia hê´t cho d; , ,, 2) d chia hê´t cho moi . uóc sô´ chung khác cua a và b. , , Môt . sô´ m goi . là bôi . sô´ chung nho nhâ´t cua hai sô´ nguyên a và b, ký hiêu . m=[a, b],, khi 1) m chia hê´t cho ca a và b; , 2) Moi . bôi . sô´ chung khác cua a và b d̄ê`u chia hê´t cho m. , , Công thúc liên quan giũa hai khái niêm . trên là ab [ a, b] = . ( a, b) 3n+3 − Vı́ du. 4.1. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . sô´ nguyên n ≥ 0, sô´ 3 26n − 27 chia hê´t cho 169. , , 3n+3 − 26n − 27. Khi d̄ó A = 33 − 27 = 0 Lòi giai. Ta d̄at 0 .̆ An = 3 suy ra A0 chia hê´t cho 169. , ,, , , , Gia su An chia hê´t cho 169 vói n nào d̄ó. Ta biê´n d̄ôi An+1 nhu sau An+1 = 33(n+1)+3 − 26(n + 1) − 27 = An + 26.33n+3 − 26 = An + 26[(33 )n+1 − 1] = An + 26(33 − 1)(33n + · · · + 1) = An + 4.169.(33n + · · · + 1). , Tù d̄ó suy ra An+1 chia hê´t cho 169. J Vı́ du. 4.2. Chú,ng minh ră` ng vó,i sô´ n nguyên du,o,ng 1) C = 7n + 3n − 1 chia hê´t cho 9; 2) E = a4n+1 − a chia hê´t cho 30, vó,i a là sô´ nguyên. , , ,, , Lòi giai. 1) Nê´u n = 1, thı̀ C1 = 7 + 3 − 1 chia hê´t cho 9. Gia su , n = k ≥ 1 và Ck = 7k + 3k − 1 chia hê´t cho 9. Khi d̄ó vói n = k + 1 4.1. Phép chia hê´t 91 sô´ Ck+1 = 7k+1 + 3(k + 1) − 1 = 7.7k + 3k + 2 = 7.7k + 21k − 7 − 18k + 9 = 7(7k + 3k − 1) − 9(2k − 1) = 7Ck − 9(2k − 1) ,, cũng chia hê´t cho 9. Theo phuong pháp quy nap . toán hoc . C chia ,, , ´ hêt cho 9 vói moi . n nguyên duong. 2) Nê´u n = 1, thı̀ E1 = a5 − a = a( a2 − 1)( a2 + 1) = a( a − 1)( a + 1)[( a2 − 4) + 5] = ( a − 2)( a − 1) a( a + 1)( a + 2) + 5( a − 1) a( a + 1). , , , , Thùa sô´ thú nhâ´t chia hê´t cho 5! = 120 = 4.30, còn thùa sô´ thú hai chia hê´t cho 5.3! = 30. Suy ra E1 chia hê´t cho 30. , ,, , Gia su n = k ≥ 1 và E = a4k+1 − a chia hê´t cho 30. Khi d̄ó vói k n = k + 1 sô´ Ek+1 = a4k+5 − a = a4k+5 − a + a4k+1 − a4k+1 = ( a4k+1 − a) + ( a4k+5 − a4k+1 ) = Ek + a4k .E1 cũng chia hê´t cho 30. J Vı́ du. 4.3. Chú,ng minh ră` ng nê´u vó,i nhũ,ng sô´ tu. , nhiên du,o,ng , k k k a, b, c thoa mãn a2 + b2 = c2 , thı̀ moi Ek = a2 + b2 + c2 . sô´ có dang . k k k và Fk = ( ab)2 + (bc)2 + (ca)2 vó,i k ≥ 2 chia hê´t cho sô´ 1 D = ( a4 + b4 + c4 ). 2 , , , , Lòi giai. Ta chúng minh d̄ô`ng thòi sô´ Ek và Fk chia hê´t cho D. , ,, ˜ Thât Truóc tiên ta khăng d̄inh a4 + b4 + c4 là sô´ chăn. . . vây, . nê´u , , , ˜ và suy c = 2k, thı̀ a và b là hoac ăn .̆ d̄ô`ng thòi le hoac .̆ d̄ô`ng thòi ch , 4 4 4 2 2 ˜ Nê´u c = 2k + 1, thı̀ a + b là le và suy ra ra a + b + c là chăn. ,, Chuong 4. Sô´ hoc . 92 , , a4 + b4 = ( a2 + b2 )2 − 2a2 b2 cũng là le. Do c4 = (2k + 1)4 là le nên , , ˜ vı̀ là tông hai sô´ le. ( a4 + b4 ) + c4 chăn, Ta xét sô´ F2 = ( ab)4 + (bc)4 + (ca)4 = a4 b4 + c4 ( a4 + b4 ) = 2Dc4 + a4 b4 − c8 = 2Dc4 + ( a2 b2 − c4 )( a2 b2 + c4 ). c4 − ( a4 + b4 ) Vı̀ 2a2 b2 = c4 − ( a4 + b4 ), nên a2 b2 − c4 = − c4 = 2 − D, Tù, d̄ó suy ra F2 chia hê´t cho D. Cũng nhu, vây . E2 chia hê´t , , , cho D. Mênh d̄ê` cua bài toán suy ra tù quy nap . . toán hoc . vói các , k , d̄ăng thúc Ek+1 + 2Fk = Ek2 và Fk+1 + 2( a.b.c)2 Ek = Fk2 . J Vı́ du. 4.4. Chú,ng minh ră` ng vó,i sô´ tu. , nhiên du,o,ng bâ´t kỳ n, sô´ n 24 + 5 chia hê´t cho 21. , , Tông quát: Vó,i sô´ tu. , nhiên bâ´t kỳ a > 1, n ≥ 1, biêu thú,c n Bn = a4 + a3 − a − 1 chia hê´t cho ( a − 1)( a + 1)( a2 + a + 1). , , Lòi giai. Nê´u n = 1, thı̀ B1 = a4 + a3 − a − 1 = ( a − 1)( a + 1)( a2 + a + 1). , ,, Gia su n = k ≥ 1 và Bk chia hê´t cho ( a − 1)( a + 1)( a2 + a + 1). ,, , Khi d̄ó vói n = k + 1 ta nhân . d̄uo. c Bk+1 = a4 k +1 k + a3 − a − 1 = ( a4 − a + a )4 + a3 − a − 1 k = [ a( a3 − 1) + a]4 + a3 − a − 1 = K ( a − 1)( a2 + a + 1)+ k + a4 + a3 − a − 1 = K ( a − 1)( a2 + a + 1) + Bk . Mat .̆ khác k k Bk+1 = ( a4 + a − a)4 + a3 − a − 1 = [ a( a3 + 1) − a]4 + a3 − a − 1 k = K ( a + 1) + a4 + a3 − a − 1 = K ( a + 1) + Bk . 4.1. Phép chia hê´t 93 , , , , (Ký hiêu . K ( a + 1) là biêu thúc luỹ thùa cua a + 1.) Vı̀ các sô´ a − 1, a + 1 và a2 + a + 1 nguyên tô´ cùng nhau, suy ra Bk+1 chia , n , hê´t cho tı́ch cua chúng. Vói a = 2, ta có Bn = 24 + 5. J n Vı́ du. 4.5. 1) Chú,ng minh ră` ng 32 − 1 chia hê´t cho 2n+2 và không chia hê´t cho 2n+3 vó,i n nguyên du,o,ng. n 2) Chú,ng minh ră` ng 23 + 1 chia hê´t cho 3n+1 và không chia hê´t cho 3n+2 vó,i n nguyên du,o,ng. , , Lòi giai. 1) Ta có A n + 1 = 32 n +1 n n n − 1 = (32 )2 − 1 = (32 − 1)(32 + 1). , ,, n , Vói n = 1 mênh d̄ê` d̄úng. Gia su An = 32 − 1 chia hê´t cho 2n+2 . . n Vı̀ 32 + 1 chia hê´t cho 2, nên An+1 sẽ chia hê´t cho 2.2n+2 = 2n+3 . , ,, 2n n +3 Mat .̆ khác, ta gia su An = 3 − 1 không chia hê´t cho 2 . n n n , Nhung 32 + 1 không chia hê´t cho 4, vı̀ (32 + 1) − 2 = 32 − 1 n chia hê´t cho 4 (thâm . chı́ chia hê´t cho 4.2 do phâ`n trên. Vı̀ vây . n (32 + 1) chia cho 4 du, 2) tù, d̄ây suy ra An+1 không chia hê´t cho 2n +4 . ,, , ,, , , 2) Chúng minh tuong tu. nhu phâ`n trên. Ta su dung . 23 n +1 n n n n + 1 = (23 )3 + 1 = (23 + 1)(22,3 − 23 + 1) n n n = (23 + 1)[(23 + 1)2 − 3.23 ]. Sô´ trong ngoac .̆ vuông chia hê´t cho 3, không chia hê´t cho 9. J Vı́ du. 4.6. 1) Chú,ng minh ră` ng nê´u p là sô´ nguyên tô´, thı̀ sô´ ,, a p − a chia hê´t cho p vó,i moi . a (a là sô´ nguyên duong). 2) Chú,ng minh ră` ng nê´u p là sô´ nguyên tô´ và a không chia hê´t cho p, thı̀ sô´ a p−1 − 1 chia hê´t cho p (d̄inh lý Fermat). . ,, Chuong 4. Sô´ hoc . 94 , , , ,, , Lòi giai. 1) Vói a = 1 mênh d̄ê` là hiên nhiên, vı̀ trong truòng . , ho. p này a p − a = 1 − 1 = 0. , ,, , p Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói môt . . sô´ a nào d̄â´y, nghı̃a là a − a , chia hê´t cho p. Ta sẽ chúng minh mênh d̄ê` cũng d̄úng cho a + 1. . , ,, Thât phân tı́ch nhi. thúc Newton, ta nhân . vây, . áp dung . . d̄uo. c ( a + 1) p − ( a + 1) = a p + p f ( a ) + 1 − a − 1 = ( a p − a ) + p f ( a ). ,, , , O d̄ây f ( a) là d̄a thúc bâc công thúc hê. . p − 1 theo a. Do áp dung . , , sô´ Newton và nhóm các thùa sô´ có p d̄ua ra ngoài lâp . ra f ( a). , Mênh d̄ê` d̄úng vói a + 1, theo nguyên lý quy nap . . toán hoc . nó , d̄úng vói moi . a ≥ 1. , ,, 2) Tù phâ`n truóc suy ra a p − a chia hê´t cho sô´ nguyên tô´ p. , , , Khi d̄ó tù d̄ăng thúc a p − a = a ( a p −1 − 1 ). p−1 − 1 chia hê´t Do d̄iê`u kiên . d̄â`u bài a không chia hê´t p, nên a cho p. , , , Chú ý: Nê´u ta d̄at .̆ a = 2, 3, . . . , p − 1, thı̀ nhu hê. qua cua kê´t p−1 − 1, 3 p−1 − 1, . . . , ( p − 1) p−1 − 1 chia hê´t cho luân . trên các sô´ 2 p − 1 p − 1 p−1 chia cho p du, 1. p hoac .̆ là 2 , 3 , . . . , ( p − 1) , ,, , Trong truòng ho. p này tông 2 p−1 + 3 p−1 + · · · + ( p − 1) p−1 chia , hê´t cho p, vói p là sô´ nguyên tô´. J 4.2. Thuât . toán Euclide , ,, Cho a > 0 và b > 0 là nhũng sô´ nguyên. Tı̀m uóc sô´ chung , , ,, , lón nhâ´t cua hai sô´ d̄ã cho d̄uo. c tı̀m theo thuât . toán cua Euclide , nhu sau: , ,, Ðê cho tiên . d̄at .̆ r0 = a và r1 = b. Chia sô´ a cho sô´ b d̄uo. c 4.2. Thuât . toán Euclide 95 , ,, , thuong q1 và sô´ du là r2 . Ta có thê viê´t a = bq1 + r2 , (0 ≤ r2 < r1 ). Nê´u b > a ta có q1 = 0 và r2 = a. Nê´u r2 = 0, thı̀ a chia hê´t cho ,, ,, , , b; trong truòng ho. p này uóc sô´ chung lón nhâ´t là b. Nê´u r2 6= 0, ,, ta tiê´n hành buóc tiê´p theo: Lâ´y b chia cho r2 , lâ`n này ký hiêu . ,, , ´ thuong và sô du là q2 và r3 , ta có (0 ≤ r3 < r2 ). , ,, ,, , Nê´u r3 = 0, thı̀ thuât . toán dùng. Truòng ho. p nguo. c lai . ta lai . ,, ,, , ´ ´ lây r2 chia cho r3 d̄uo. c thuong q3 và sô du r4 , hay là r2 = r3 q3 + , , , r4 (0 ≤ r3 < r2 ). Cú tiê´p tuc các sô´ du d̄ê`u thuôc . nhu vây, . vı̀ , , . , ´ [0, b) và b > r1 > r2 > . . . ≥ 0 dãy sô giam ngat .̆ chúng to sau ,, ,, , , , ´ , ` ´ ´ môt . sô buóc (sô buóc không ,lón hon b) sẽ dẫn tói sô du băng 0 và , ,, thuât . toán sẽ dùng. Kê´t qua ta nhân . d̄uo. c dãy r0 = r1 q1 + r2 b = r2 q2 + r3 r1 = r2 q2 + r3 r2 = r3 q3 + r3 (4.1) … r n −2 = r n −1 q n −1 + r n rn−1 = rn qn (0 ≤ ri < ri−1 , i = 1, 2, . . . , n). , , Trong công thúc trên rn là sô´ du cuô´i cùng khác 0. , Vı́ du. 4.7. Ta chú,ng minh ră` ng rn là u,ó,c sô´ chung ló,n nhâ´t cua a và b. , , , , ,, ` Lòi giai. 1) Ta chı ra răng rn là uóc sô´ chung cua a và b. , Do rn−1 chia hê´t cho rn và công thúc hô`i quy r i −1 = r i q i + r i +1 (i = 1, 2, . . . , n; rn+1 = 0). (4.2) ,, Chuong 4. Sô´ hoc . 96 , , , , , ,, Ðê d̄at ., muc . d̄ı́ch cua ta ,thı̀ phai chı ra rn là, uóc sô´ chung cua , tâ´t ca rn−1 , rn−2 , . . . , r0 . d̄ăng thúc cuô´i cùng cua (4.1) cho ta thâ´y , ,, , rn−2 chia hê´t cho rn (vı̀ rn−1 d̄ã chia hê´t cho rn ). Gia su vói môt . , ´ ´ ´ sô nào d̄ó i (1 ≤ i ≤ n − 1) nhũng sô rn−1 , rn−2 , . . . , ri chia hêt cho , , ` rn . Khi d̄ó tù (4.2) suy ra ri−1 chia hê´t cho rn . Nhu vây quy . b,ăng , ´ ´ nap . chúng, ta kêt luân . r1 = b cũng chia, hêt cho rn , còn d̄ăng thúc ,, d̄â`u tiên cua (4.1) cho ta rn là uóc sô´ cua a. , , ,, , 2) Ta chúng minh rn là uóc sô´ chung lón nhâ´t cua a và b. , ,, Thât . vây, . Ký hiêu . d là uóc sô´,chung bâ´t kỳ cua a ,và b (nghı̃a ,, , , là r0 , r1 có uóc sô´ chung d). Tù d̄ăng thúc d̄â`u tiên cua (4.1) suy , ,, ra r2 chia hê´t cho d. Vı̀ thê´ d cũng là uóc sô´ chung cua r1 và r2 . , ,, , ,, , Gia su d là uóc sô´ chung cua ri−1 , ri vói sô´ i (1 ≤ i ≤ n − 1) nào d̄ó; , , ,, khi d̄ó tù (4.1) suy ra d là uóc sô´ chung cua ri+1 . Theo nguyên lý , ,, ` ` quy nap cách này ta thâ´y răng . toán hoc, . d, là uóc sô´ cua rn . Băng , ,, ,, moi . uóc sô´ chung cua a và b cũng là uóc sô´ chung cua rn , suy ra ,, , rn là uóc sô´ chung lón nhâ´t. , ,, ,, Dang quy nap . . toán hoc . d̄i tù buóc i + 1 và i d̄ê´n buóc i − 1 , ,, nhu trên goi . là phép quy nap . nguo. c. , , , ,, ,, , ` Nguòi ta có thê biêu diễn uóc sô´ chung lón nhâ´t băng các tô , , ho. p tuyê´n tı́nh cua hai sô´ a và b thông qua bài tâp . sau. J Vı́ du. 4.8. Cho a và b là hai sô´ nguyên du,o,ng. Khi d̄ó ( a, b) = sn a + tn b , vó,i n = 0, 1, 2 . . ., sn và tn là nhũ,ng sô´ hang thú, n cua dãy {sn }, . , {tn } xác d̄inh bo,i . s0 = 1, t0 = 0, s1 = 0, t1 = 1 4.2. Thuât . toán Euclide 97 và s i = s i −2 − q i −1 s i −1 , t i = t i −2 − q i −2 t i −1 , , vó,i i = 2, 3, . . . , n, o, d̄ây qi là thu,o,ng sô´ thú, i trong thuât . toán , , , Euclide khi tı̀m uóc sô´ chung lón nhâ´t. , , , ` Lòi giai. Ta sẽ chúng minh răng ri = si a + ti b, (4.3) , , , , vói i = 0, 1, 2 . . . , n. Vı̀ ( a, b) = rn nên tù (4.3) có thê suy ra lòi , giai. , ,, , Dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . d̄ê chúng minh (4.3). , Vói i = 0, ta có a = r0 = 1.a + 0.b = s0 a + t0 b. Do d̄ó (4.3) d̄úng , , vói i = 0. Mat .̆ khác b = r1 ,= 0.a + 1.b = s1 a + t1 b, nhu vây . , , (4.3) cũng d̄úng vói i = 1. Gia thiê´t ri = si a + ti b d̄úng vói moi . , ,, i = 1, 2, . . . , k − 1. Khi d̄ó, tù buóc k trong thuât to án Euclide ta . có r k = r k −2 − r k −1 q k −1 , ´ theo gia thiêt quy nap . suy ra r k = ( s k −2 a + t k −2 b ) − ( s k −1 a + t k −1 b ) q k −1 = ( s k −2 − s k −1 q k −1 ) a + ( t k −2 − t k −1 q k −1 ) b = sk a + tk b. J Vı́ du. 4.9. Cho a là sô´ tu. , nhiên, a > 1. Hãy tı̀m ( am − 1, an − 1), , o, d̄ây m và n là nhũ,ng sô´ tu. , nhiên. , , , ` Lòi giai. Ðat ( am − 1, an − 1) = .̆ (n, m) = d. Ta, chúng minh răng , , ( ad − 1). Không mâ´t tı́nh tông quát ta có thê gia thiê´t n ≥ m. Ta ,, Chuong 4. Sô´ hoc . 98 , , , , , chúng minh quy nap theo m. Vói m = 0, d̄ăng thúc hiên nhiên. . , ,, Gia su m > 0. Ta d̄at .̆ n = mq + r, 0 ≤ r < m. Ta có an − 1 = amq ar − 1 = amq ar − ar + ar − 1 = ar ( amq − 1) + ( ar − 1) = A( am − 1) + ( ar − 1), , ,, , , , o d̄ây A là sô´ nguyên. Tù nhũng d̄ăng thúc này suy ra ( an − 1, am − 1) = ( am − 1, ar − 1) , và theo gia thiê´t quy nap . toán hoc . ta có ( am − 1, ar − 1) = a(m,r) − 1 = ad − 1. J , Vı́ du. 4.10. Chú,ng minh ră` ng bôi . sô´ chung nho nhâ´t (BSCN) , , , cua dãy 1, 2, . . . , 2n bă` ng bôi . sô´ chung nho nhâ´t cua n + 1, n + 2, . . . , 2n: BSCN (1, 2, . . . , n) = BSCN (n + 1, n + 2, . . . , 2n). , , Lòi giai. Ta d̄at .̆ [1, 2, . .,. , 2n] = s và [n + 1, n + 2, . . . , 2n] = t. vı̀ ´ s là môt bôi 1, n + 2, . . . , 2n, còn t là bôi . sô chung cua các sô´ n + . ,. , , ,, ´ ´ ´ sô nho nhât nên s chia hêt cho t. Ðê chúng minh nguo. c lai . t chia , , ` hê´t s ta phai chúng minh răng mỗi sô´ chia hê´t cho n + 1, n + , 2, . . . , 2n cũng chia hê´t cho 1, 2, . . . , n. Ta sẽ chúng minh d̄iê`u d̄ó , ,, , ` phuong pháp quy nap theo n. Vói n = 1 khăng d̄inh là băng . . , , ,, , , hiên nhiên. Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói n, ta chúng minh nó cũng . , d̄úng vói n + 1. Cho m là sô´ chia hê´t cho (n + 1) + 1, (n + 1) + , 2, . . . , 2(n + 1). Tù m chia hê´t cho 2(n + 1) nên m chia hê´t cho , n + 1 và suy ra m chia hê´t cho n + 1, n + 2, . . . , 2n (ta chı thêm , , vào d̄â`u dãy các sô´ mà theo gia thiê´t m d̄ã chia hê´t). Theo gia ,, thiê´t quy nap . m chia hê´t cho 1, 2, . . . , n, còn truóc d̄ó ta d̄ã có m chia hê´t cho n + 1. J , 4.3. Sô´ phúc 99 , , , Vı́ du. 4.11. Chú,ng minh ră` ng tông tâ´t ca u,ó,c sô´ cua sô´ tu. , nhiên √ , n > 2 nho ho,n n n. , , , , ,, , , ` Lòi giai. Ta ký hiêu tông cua tâ´t ca uóc sô´ cua sô´ n băng D ( n ). . , √ ,, , , ` Ta phai chúng minh răng D (n) < n n vói n ≥ 3. Ta chon . truòng , ho. p n = 2α (α là sô´ nguyên, α ≥ 2). Khi d̄ó D (n) = 1 + 2 + 22 + · · · + 2α √ α = 2α+1 − 1 < 2α+ 2 = n n. √ , , ` Gia thiê´t răng n 6= 2α và D (k ) < k k vói moi . 3 ≤ k, < n và chúng, √ , , ta sẽ chúng minh D (n) < n n. Do nhũng d̄iê`u kê trên, ta có thê , ,, ` xét n = mp, o d̄ây p là sô´ nguyên tô´ le. Chú ý răng p ≥ 3, 1 + p < 1 √ √ , , p p (thât . vây, . vói p ≥ 4, 1 + p < 2 < p; vói p = 3, 1 + 3 < √ √ ,, , 3 3). Vı̀ thê´, nê´u m = 1, thı̀ D ( p) = 1 + p < p p; tuong tu. , nê´u p √ m = 2, thı̀ D (n) = 1 + 2 + p + 2p = 3 + 3p < 2p 2p = n n, nê´u , √ , m ≥ 3, thı̀ theo gia thiê´t quy nap D (m) < m m. Nhu vây . mỗi . , , , ,, ´ ,, ´ , uóc sô cua n có dang d hoac . .̆ dp, o d̄ây d là uóc sô cua m, nên D (n) = D (m) + pD (m) = D (m)(1 + p) √ √ √ < m m.p p = n n. J , 4.3. Sô´ phúc , , , , , ´ lai Ta nhăc . khái niêm . co ban cua sô´ phúc. Môt . sô´ phúc z có ,, , , , dang . , d̄ai . sô´ z = x + iy, o d̄ây x và y là nhũng sô´ thu. c, còn i là d̄on , vi. ao có tı́nh châ´t i2 = −1; sô´ x goi là phâ`n thu. c, còn sô´ y goi . . là , , , ` ´ phân ao cua sô phúc z. , ` Hai sô´ phúc z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 là băng nhau khi và , chı khi x1 = x2 , y1 = y2 . Nê´u x = y = 0, thı̀ z = 0 + i0 = 0. Moi . , , , , , , ` ´ ` sô´ thu. c có thê coi nhu là môt sô ph ú c khi phâ n ao c ua nó b ăng 0. . 100 ,, Chuong 4. Sô´ hoc . , , , , , , Nhu vây . tâp . sô´ thu. c chı là tâp . con cua tâp . sô´ phúc. Nhũng phép ,, , toán d̄uo. c d̄inh nghı̃a trên tâp . . sô´ phúc gô`m: ( x1 + iy1 ) + ( x2 + iy2 ) = ( x1 + x2 ) + i (y1 + y2 ), ( x1 + iy1 ) − ( x2 + iy2 ) = ( x1 − x2 ) + i (y1 − y2 ), ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + x2 y1 ). , Sô´ z̄ = x − iy goi là sô´ liên ho.,p cua z = x + iy. Rõ ràng nê´u z1 . , , , , là liên ho. p cua z2 , thı̀ z2 cũng liên ho. p cua z1 . , , , Sô´ phúc có liên hê. chat .̆ chẽ vói hê. toa . d̄ô. vuông góc nhu hı̀nh vẽ. , , , , Mỗi sô´ phúc z = x + iy biêu diễn nhu môt . d̄iêm ( x, y) trong hê. toa . d̄ô. vuông góc. , , Ðô. dài tù d̄iêm gô´c toa ô d̄ê´n . d̄ ,. , , d̄iêm sô´ phúc goi . là modun cua z và ,, d̄uo. c ký hiêu |z|. Tù, hı̀nh vẽ ta thâ´y p . , |z| = x2 + y2 ≥ 0. Góc giũa truc . ,, Ox và Oz d̄o theo chiê`u nguo. c kim , d̄ô`ng hô` goi . là argumen cua z; và ký hiêu . là argz. Rõ ràng ( x = |z| cos α, y = |z| sin α, ,, , , o d̄ây α = argz. Nhu vây . sô´ phúc z = Hı̀nh 4.1: , ,, x + iy biêu diễn qua dang luo. ng giác . z = ρ(cos α + i sin α), ρ = |z|, α = argz. ,, ,, , , o dang luo. ng giác sô´ phúc, có nhiê`u thuân . . lo. i trong các phép , , tı́nh. Chăng han . ta lâ´y phép nhân hai sô´ phúc: z1 = ρ1 (cos α1 + , 4.3. Sô´ phúc 101 i sin α1 ), z2 = ρ2 (cos α2 + i sin α2 ). Khi d̄ó z1 z2 = = ρ1 ρ2 [(cos α1 cos α2 − sin α1 sin α2 ) + i (cos α1 sin α2 + cos α2 sin α1 )] = ρ1 ρ2 [cos(α1 + α2 ) + i sin(α1 + α2 )]. , , , ,, Công thúc nhân và chia sô´ phúc o dang này khá d̄ep. Kê´t qua . . , tông quát: Vı́ du. 4.12. Cho nhũ,ng sô´ phú,c z1 = ρ1 (cos α1 + i sin α1 ), z2 = ρ2 (cos α2 + i sin α2 ), ........................ zn = ρn (cos αn + i sin αn ). Khi d̄ó z1 z2 . . . zn = ρ1 ρ2 . . . ρn (cos(α1 + α2 + · · · + αn )+ i sin(α1 + α2 + · · · + αn )) (4.4) vó,i n = 2, 3, . . . , , , , ,, , ` phuong pháp quy Lòi giai. Chúng minh d̄ăng thúc trên băng , , nap . toán hoc . theo n., Vói n, = 2, công thúc (4.4) d̄úng theo phép , , , , nhân hai sô´ phúc. Gia su d̄ăng thúc d̄úng cho môt . sô´ n nào d̄ó. Ta , , , , sẽ chúng minh d̄ăng thúc (4.4) d̄úng cho n + 1. Thât . vây, . vói n + 1, , , , sô´ phúc zµ = ρµ (cos αµ + i sin αµ ), µ = 1, 2, . . . , n + 1. Su dung gia . thiê´t quy nap . z1 z2 . . . zn zn+1 = ρ1 ρ2 . . . ρn [cos(α1 + α2 + · · · + αn ) + i sin(α1 + α2 + · · · + αn )].ρn+1 (cos αn+1 + i sin αn+1 ) ,, Chuong 4. Sô´ hoc . 102 = ρ1 ρ2 . . . ρn ρn+1 [cos(α1 + α2 + · · · + αn ) cos αn+1 − sin(α1 + α2 + · · · + αn ) sin αn+1 + i [cos(α1 + α2 + · · · + αn ) sin αn+1 + sin(α1 + α2 + · · · + αn ) cos αn+1 ] = ρ1 ρ2 . . . ρn ρn+1 [cos(α1 + α2 + · · · + αn+1 ) + i sin(α1 + α2 + · · · + αn+1 )]. J ,, , Truòng ho. p riêng α1 = α2 = . . . = αn = α và ρ1 = ρ2 = . . . = ,, , , , ρn = ρ công thúc vùa chúng minh tro thành zn = ρn (cos nα + i sin nα). , ` trên d̄u,ò,ng tròn d̄o,n vi. thı̀ z = cos α + i sin α và Nê´u d̄iêm z năm (cos α + i sin α)n = (cos nα + i sin nα). , , , Công thúc sau cùng goi Công thúc Moivre . là công thúc Moivre. , , , , có nhiê`u úng dung trong thu. c tê´ cũng nhu giai bài toán liên quan . , , d̄ê´n sô´ phúc. Nhiê`u bài toán râ´t hay nhung không liên quan d̄ê´n ,, ,, 1 phuong pháp quy nap . toán hoc . tôi không xét d̄ê´n o d̄ây . , , Vı́ du. 4.13. Chú,ng minh ră` ng nê´u kê´t qua thu. ,c hiên . môt . sô´ hũu han phép trù,, phép nhân, phép chia) trên . phép tı́nh (phép công, . , , dãy sô´ x1 , x2 , . . . , xn là môt . sô´ u, thı̀ kê´t qua thu. c hiên . cũng các ,, , phép tı́nh d̄ó trên dãy liên ho. p x̄1 , x̄2 , . . . , x̄n sẽ nhân . d̄uo. c sô´ ū , liên ho.,p cua u. , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Ðâ`u tiên ta sẽ chúng minh mênh d̄ê` d̄úng . , , , vói tùng phép tı́nh trên hai sô´ phúc. Cho x1 = a + ib, x2 = c + id. 1 Ban . , , , , d̄oc cua sô´ phúc trong [2]. . có thê tı̀m thâ´y môt . sô´ úng dung . , 4.3. Sô´ phúc 103 khi d̄ó x1 + x2 = ( a + c) + (b + d)i = u, x̄1 + x̄2 = ( a − ib) + (c − id) = ( a + c) − (b + d)i = ū. , ` phu,o,ng pháp tu,o,ng tu., ta kiêm tra phép trù,, nhân, chia hai Băng , , sô´ phúc, khăng d̄inh d̄ê`u d̄úng. . , , ,, , , , , Bây giò gia su cho biêu thúc hũu han . các sô´ phúc x1 , x2 , . . . , xn . , , , , , Thu. c hiên . tı́nh toán biêu thúc nhu vây . là thu. c hi, ên . môt . dãy các , , , , phép tı́nh trên hai sô´ phúc, viêc th u c hi ên có thê d̄ ánh sô´ thú tu. . . . , , ,, , d̄uo. c. Chăng han . biêu thúc x1 x2 + x3 x4 u= . x1 + x2 − x3 , , ,, , ,, Ðê thu. c hiên . các buóc sau: . u nguòi ta thu. c hiên 1) x1 x2 = u1 , 4) u3 − x3 = u4 , 2) x3 x4 = u2 , 5) u1 + u2 = u5 , 3) x1 + x2 = u3 , 6)u5 : u4 = u. , ,, , , , , , Gia su mênh . , d̄ê` d̄úng vói tâ´t ca các biêu thúc mà trong su. tı́nh ,, ,, , ,, , toán d̄òi hoi không quá k buóc thu. c hiên, . các buóc thu. c hiên . o , , , d̄ây là: công, trù, nhân hoac . .̆, chia hai sô´ ,phúc. Ta sẽ chúng minh , ,, , , mênh d̄ê` d̄úng vói các biêu thúc d̄òi hoi k + 1 buóc thu. c hiên. . . ,, , ´ ´ Thât v ây, bu ó c th u c hi ên cuô i c ùng k + 1 trên hai sô u v à u , m à i j . . . . , , , , nhũng sô´ này là kê´t qua cua viêc . thu. c hiên . không quá k phép , , , ` các sô´ liên ho. p cua tı́nh. Kê´t qua khi ta thay x1 , x2 , . . . , xn băng , ` ´ ui và u j cũng thay băng chúng thı̀ theo gia thiê´t quy nap . các sô , , , , các sô´ liên ho. p cua chúng trong kê´t qua thu. c hiên . phép tı́nh. Khi , ,, , , ` d̄ó u cũng thay băng sô´ liên ho. p cua nó ū trong buóc thu. c hiên . , thú k + 1. J 104 ,, Chuong 4. Sô´ hoc . , ,, 2 Vı́ du. 4.14. Cho z là nghiêm . cua phuong trı̀nh bâc . hai x + x + , , 1 = 0. Chúng minh ră` ng vói n = 0, 1, . . . ta có ( 0, nê´u n không chia hê´t cho 3, 1 + zn + z2n = 3, nê´u n chia hê´t cho 3. √ , , 1 3 , ,, Lòi giai. Nghiêm . cua phuong trı̀nh là b1 = − 2 + i 2 , b2 = √ , 1 3 ,, − −i . Ta ký hiêu z là nghiêm bâ´t kỳ cua phuong trı̀nh, . . 2 2 √ 3 ,, 1 µ, o d̄ây µ = 1 khi z = b1 và µ = −1 khi nghı̃a là z = − + i 2 2 ,, 1 z = b2 . Ðat .̆ α = arg z(π ≤ α ≤ π ); boi vı̀ |z| = 1 nên cos α = − 2 √ , 2π 3 , và sin α = µ, tù d̄ây ta có α = µ. Suy ra z có biêu diễn 2 3 ,, luo. ng giác sau 2π 2π z = cos µ + i sin µ. 3 3 , Áp dung công thúc Moivre . δn = 1 + zn + z2n 2nπ 4nπ 4nπ 2nπ µ + i sin µ) + (cos µ + i sin µ ). = 1 + (cos 3 3 3 3 , ,, , , Áp dung công thúc biê´n d̄ôi luo. ng giác cho tông cos và sin ta . ,, nhân . d̄uo. c nπ nπ µ + 2i sin nπµ cos µ δn = 1 + 2 cos nπµ cos 3 3 nπ = 1 + (−1)n 2 cos . 3 Ta chú ý cos nπµ = cos nπ = (−1)n , sin nπµ = 0. Cho n chia hê´t , cho 3. Khi d̄ó n = 3k (k là sô´ tu. nhiên) và 3kπ δn = δ3k = 1 + (−1)3k .2 cos 3 = 1 + (−1)k .2(−1)k = 1 + 2 = 3. , 4.4. Nhũng vı́ du. khác 105 ,, Nguo. c lai n = 3k + s ( s = 1 và s = 2) và . n có dang . (3k + s)π 3 sπ k+s k = 1 + (−1) .2(−1) . cos 3 1 = 1 + (−1)k+s .2.(−1)k .(−1)s+1 . = 0. 2 , ,, Vây . bài toán có thê viê´t lai . duói dang . ( 0, s 6= 0, (k = 0, 1, . . . ; s = 1, 2) δ3k+s = 1 + z3k+s + z6k+2s = 3, s = 0, (4.5) δn = δ3k+s = 1 + (−1)3k+s .2 cos Vı̀ 1 + z + z2 = 0, nên 0 = (1 − z)(1 + z + z2 ) = 1 − z3 suy , ra z3 = 1. Vói k = 0 ta có δs = 1 + zs + z2s (s = 0, 1, 2); δ0 = 1 + 1 + 1 = 3, δ1 = 1 + z + z2 = 0, δ2 = 1 + z2 + z4 = 1 + z2 (1 + z2 , ,, , , o d̄ây d̄ã áp dung 1 + z2 = −z. Và nhu vây . . vói k = 0, (4.5) d̄úng. , ,, , , , Gia su bây giò (4.5) d̄úng vói k ≥ 0 nào d̄ó, ta sẽ chúng minh ` nó cũng d̄úng cho k + 1. Thât răng . vây, . δ3(k+1)+s = 1 + z3k+s+3 + z6k+2s+6 = 1 + z3k+s z3 + z6k+2s z6 = 1 + z3k+s + z6k+2s = δ3k+s , ,, ,, z3 = 1, z6 = (z3 )2 = 1. o d̄ây ta d̄ã su dung . J , 4.4. Nhũng vı́ du. khác Vı́ du. 4.15. Cho n và k là nhũ,ng sô´ tu. , nhiên, k ≥ 2. Chú,ng minh , ră` ng tô`n tai . n sô´ tu. nhiên liên tiê´p, mỗi sô´ trong chúng phân tı́ch ra tı́ch ı́t nhâ´t k thù,a sô´ nguyên tô´. , , , , , Lòi giai. Vói k = 2 khăng d̄inh . cua bài toán có nghı̃a là tô`n tai . n , , , , liên tiê´p nhũng ho. p sô´. Dãy nhu vây . vı́ du. nhu (n + 1)! + 2, (n + 106 ,, Chuong 4. Sô´ hoc . , , 1)! + 3, . . . , (n + 1)! + (n + 1). Gia thiê´t vói sô´ k nào d̄ó ta d̄ã tı̀m ,, , d̄uo. c n sô´ tu. nhiên liên tiê´p N, N + 1, . . . , N + n − 1 , mỗi sô´ này phân tı́ch ra tı́ch ı́t nhâ´t k thùa sô´ nguyên tô´. Khi d̄ó , mỗi sô´ trong nhũng sô´ sau ( N + n − 1)! + N, ( N + n − 1)! + N + 1, . . . , ( N + n − 1)! + N + n − 1 ,, , phân tı́ch d̄uo. c ra ı́t nhâ´t k + 1 thùa sô´ nguyên tô´. Thât . vây, . mỗi sô´ trong các sô´ ( N + n − 1)! + N + i (i = 0, 1, . . . , n − 1) chia hê´t , , ,, cho N + i, mà theo gia thiê´t quy nap . nhũng sô´ này phân tı́ch d̄uo. c ( N + n − 1) ! + N + i , ra tı́ch ı́t nhâ´t k thù sô´ nguyên tô´, còn sô´ N+i , hiên nhiên là khác 1. J Vı́ du. 4.16. Cho m và n là nhũ,ng sô´ tu. , nhiên. Chú,ng minh ră` ng √ √ √ ,, 3 n m ı́t nhâ´t môt . trong các sô´ m, n không vuo. t quá 3. , , , , , , Lòi giai. Ta sẽ chúng minh vói moi . sô´ tu. nhiên n có bâ´t d̄ăng , , , thúc sau 3n ≥ n3 . Chúng minh theo quy nap . to,án hoc. . ,Vói n = ,, 1, 2, 3, 4 ta có 31 ≥ 13 , 32 ≥ 23 , 33 ≥ 33 , 34 ≥ 43 . Gia su khăng d̄inh . , , ´ d̄úng vói n = k, (k ≥ 4). Khi d̄ó theo gia thiêt quy nap . 3k+1 = 3.3k ≥ 3.k3 = k3 + 3k2 + 3k + (k − 3)k2 + (k2 − 3)k > (k + 1)3 . , , , Vı̀ k > 3, (k − 3)k2 ≥ 1, (k2 − 3)k > 1. Nhu vây . vói moi . sô´ tu. nhiên √ √ 3 n n, ta có 3n ≥ n3 hoac .̆ là 3 ≥ n. , Cho m và n sô´ tu. nhiên và n ≥ m. Khi d̄ó √ √ √ 3 n m ≤ n n ≤ 3. J , Vı́ du. 4.17. Bô. ba Pythagore là môt . bô. ba sô´ tu. nhiên ( x, y, z), sao cho x < y < z và x2 + y2 = z2 . Chú,ng minh ră` ng vó,i sô´ , 4.4. Nhũng vı́ du. khác 107 tu. , nhiên bâ´t kỳ n, sô´ 2n+1 có mat .̆ trong n bô. ba Pythagore khác nhau. , , , ` Lòi giai. Chúng minh băng quy nap . toán hoc . theo n, , , 1) Vói n = 1 kê´t luân . hiên nhiên: Sô´ 4 gap .̆ 1 lâ`n trong các bô. . , ,, , ` ´ ´ 2) Gia su mênh d̄ê d̄úng vói bât kỳ k ≤ n. Khi d̄ó nêu bô. . , , ba Pythagore ( x, y, z) có chúa sô´ 2n+2 , và nhũng sô´ x, y, z không , , nguyên tô´ cùng nhau, thı̀ nhũng sô´ này có thùa sô´ chung 2 và , x y z ( , , ) là bô. ba Pythagore trong d̄ó chú,a sô´ 2n+1 . Theo gia thiê´t 2 2 2 , ,, , , ,, quy nap vây có sô´ luo. ng n. Gia su ( x, y, z) bô. ba . nhũng bô. ba nhu . , Pythagore , mà các sô´ cua chúng x, y, z nguyên tô´ cùng nhau, và ` môt 2n +2 . . trong chúng băng 2 2 2 ˜ thı̀ x và y Theo d̄iê`u kiên . x + y = z . Vı̀ thê´ nê´u z là sô´ chăn ˜ (do chúng nguyên tô´ cùng nhau). Và suy ra x2 và y2 không chăn , , khi chia cho 4 cho du 1. Khi d̄ó x2 + y2 khi chia cho 4 cho sô´ du 2, , nhung trong khi d̄ó z2 chia hê´t cho 4. Dẫn d̄ê´n vô lý. Suy ra z là , ,, , sô´ le và truòng ho. p riêng z 6= 2n+2 . , Nhung x2 = (z − y)(z + y), và nê´u x = 2n+2 , thı̀ , x2 = 22n+4 = (z − y)(z + y), tù d̄ó z − y = 2k , z + y = 1 k 22n+4−k (0 ≤ k ≤ 2n + 4). Suy ra z = (2 + 22n+4−k ). 2 , , Nhu vây . z là le, thı̀ hoac .̆ là k = 1, hoac .̆ là k = 2n + 3. ,, , , 2n Trong truòng ho. p thú nhâ´t z = 1 + 2 +2 , y = 22n+2 − 1, , n+2 < 22n+2 − 1 < 22n+2 + 1 vó,i n ≥ 1, x = 2n+2 và nhu vây . 0<2 ,, thı̀ (2n+2 , 22n+2 − 1, 22n+2 + 1) bô. ba Pythagore . Trong truòng , , ,, , ho. p thú hai z = 1 + 22n+2 , y = 1 − 22n+2 . Nhu vây . trong truòng , ho. p cuô´i cùng y < 0, thı̀ tô`n tai . môt . bô. ba ( x, y, z) sao cho x, y, z n + 2 nguyên tô´ cùng nhau và x = 2 . ,, Chuong 4. Sô´ hoc . 108 ,, , , Cuô´i cùng cho y = 2n+2 , khi d̄ó lý luân . tuong tu. nhu phâ`n ,, n+2 + 1 và hoac là x = 22n+2 − 1, hoac là trên ta nhân . d̄uo. c z = 2 .̆ .̆ , , ,, , , 2n + 2 ´ x = 1−2 . Nhung vói n ≥ 1 trong truòng ho. p thú nhât x > y, ,, , , còn truòng ho. p thú hai − x < 0. , Nhu vây, x, y, z . tô`n tai . môt . bô. ba sô´ Pythagore ( x, y, z) sao cho , n + 2 nguyên tô´ cùng nhau và có môt . sô´ là 2 . Vı̀ thê´ tâ´t ca cap .̆ bô. , n +2 ` ba trong nó chúa 2 , băng n + 1. J k k Vı́ du. 4.18. Chú,ng minh ră` ng nê´u a ≡ b (mod m), thı̀ am ≡ bm , (mod mk+1 ), o, d̄ây k = 0, 1, 2, . . . , , , , ` Lòi giai. Ta chúng minh băng quy nap theo k. Vói k = 0 thı̀ , , ,, , . mk mênh d̄ê` d̄úng hiên nhiên. Gia su vói môt . . k nào d̄ó, ta có a ≡ k k bm (mod mk+1 ). Ta d̄at .̆ l = m . Ta có k +1 k +1 − bm = ( al − bl )( al (m−l ) + al (m−2) bl + · · · + bl (m−1) ). , , , k +1 Vı̀ theo gia thiê´t quy nap, . thùa sô´ thú nhâ´t chia hê´t cho m , , , , , , vây . chı còn chúng minh thùa sô´ thú hai chia hê´t cho m. Nhung , a ≡ b (mod m), tù d̄ó al ≡ bl (mod m) và al (m−1) + al (m−2) bl + · · · + bl (m−1) ≡ al (m−1) + al (m−1) + · · · + al (m−1) ≡ mal (m−1) ≡ 0 (mod m). am J 4.5. Bài tâp . ,, , n +1 + ` . 4.19. Chú,ng minh răng vói moi . sô´ nguyên duong n, 11 122n−1 chia hê´t cho 133. ,, , ` . 4.20. Chú,ng minh răng vói sô´ n nguyên duong 1) A = n7 + 6n chia hê´t cho 7; 2) B = 26n+1 + 32n+2 chia hê´t cho 11; 3) D = 22n+1 − 9n2 + 3n − 2 chia hê´t cho 54. 4.5. Bài tâp . 109 ,, , ` . 4.21. Chú,ng minh răng vói n nguyên duong, sô´ 23n+3 − 7n + 41 , , ,, , chia hê´t cho 49. Tông quát: Vói a, n là nhũng sô´ nguyên duong, , , biêu thúc An = ( a + 1)n − an − 1 chia hê´t cho a2 . ` ˜ chũ, sô´, chũ, sô´ d̄â`u . 4.22. Chú,ng minh răng môt . sô´ có sô´ chăn , ´ tiên và chũ sô cuô´i cùng là 1, các sô´ còn lai . là 0, thı̀ nó chia hê´t cho 11. ,, n , ` . 4.23. Chú,ng minh răng môt . sô´ tao . boi 3 chũ sô´ 1, chia hê´t cho 3n . , , , ` . 4.24. Chú,ng minh răng vói sô´ tu. nhiên n ≥ 2, nhũng sô´ có n , , dang N = 22 + 1 có chũ sô´ cuô´i cùng là chũ sô´ 7 (Sô´ Fermat). . . 4.25. Cho dãy sô´ a1 , a2 , a3 , . . . sao cho a1 = a2 = 1 và an+2 = , , ` an + an+1 . Chúng minh răng a5n chia hê´t cho 5 vói n = 1, 2, . . .. , , CHUONG 5 ´ DÃY SÔ , 5.1. Dãy sô´ tu. nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 5.2. Dãy trôi . hon .,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , , 5.3. Nhũng bâ´t d̄ăng thúc nôi tiê´ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 5.4. Dãy d̄on d̄iêu . ....................................... 5.5. Sô´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Dãy sô´ Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Bài tâp . ............................................... 110 117 121 128 131 134 139 ,, ,, ´t nhiê`u Phuong pháp quy nap . toán hoc . d̄uo. c áp dung . , cho râ , , , , bài toán vê` dãy sô´. Kê´t ho. p vói các tı́nh châ´t cua bâ´t d̄ăng thúc , , , ,, ` ´ và d̄ăng thúc thı̀ chúng minh băng phuong pháp này râ´t ngăn , gon . và dễ hiêu. , 5.1. Dãy sô´ tu. nhiên , Vı́ du. 5.1. Cho dãy vô han . sô´ tu. nhiên a1 = 1, a2 , a3 , . . . , an , . . . và , , thoa mãn bâ´t d̄ăng thú,c sau a n ≤ 1 + a 1 + a 2 + · · · + a n −1 , , , , vó,i moi . sô´ tu. nhiên n ≥ 2. Chúng minh ră` ng vói moi . sô´ tu. nhiên , , , , ,, du,o,ng có thê biêu diễn nhu, tông cua môt . vài sô´ d̄uo. c chon . trong dãy. , , , , , ` Lòi giai. Ta sẽ chúng minh răng moi . sô´ tu. nhiên N thoa mãn , 5.1. Dãy sô´ tu. nhiên 111 , , , , bâ´t d̄ăng thúc 0 < N < 1 + a1 + a2 + · · · + an , có thê biêu diễn , , , nhu môt . tông cua môt . vài sô´ trong dãy a1 , a2 , . . . , an . , , Vói n = 1 mênh d̄ê` d̄úng vı̀ a1 = 1, khi d̄ó 0 < N < 1 + 1 chı . là N = 1 = a1 . , ,, , , Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói sô´ tu. nhiên n = k ≥ 1, nghı̃a là moi . . , , , , sô´ tu. nhiên N thoa mãn bâ´t d̄ăng thúc 0 < N < 1 + a1 + a2 + , , , , · · · + ak , có thê biêu diễn nhu, môt . tông cua môt . vài sô´ trong dãy , , ` a1 , a2 , . . . , ak . Ta sẽ chúng minh răng nó cũng d̄úng vói n = k + 1. , , ,, , Ta chı xét truòng ho. p sau d̄ây là d̄u 1 + a 1 + · · · + a k ≤ N < 1 + a 1 + · · · + a k + a k +1 , , vı̀ nê´u 0 < N < 1 + a1 + · · · + ak , thı̀ mênh d̄ê` d̄úng suy ra tù giai . thiê´t quy nap. . ,, Do d̄iê`u kiên . d̄â`u bài, ta nhân . d̄uo. c 0 ≤ 1 + a 1 + · · · + a k − a k +1 ≤ N − a k +1 < 1 + a 1 + · · · + a k . , Nê´u N − ak+1 = 0, thı̀ mênh d̄ê` d̄úng vói n = k + 1; nê´u N − . , , , ak+1 > 0, thı̀ theo gia thiê´t quy nap N − ak+1 có thê biêu diễn . , , , , nhu tông cua môt vài sô´ trong a1 , a2 , . . . , ak và khi d̄ó N biêu d̄iễn . , , nhu tông trên và thêm vào ak+1 . J Vı́ du. 5.2. Cho p1 < p2 < . . . < pn < . . . là dãy sô´ nguyên tô´. Chú,ng minh ră` ng giũ,a hai sô´ p1 + p2 + · · · + pn và p1 + p2 + · · · + ,, pn+1 luôn luôn có môt . sô´ chı́nh phuong. , , ,, , Lòi giai. Gia su 2 = p1 < p2 < p3 . . . dãy sô´ nguyên tô´. , , , ` 1) Ta chúng minh răng vói n ≥ 7, pn > 2n + 1: Ta chúng minh ,, , ` băng phuong pháp quy nap. . Vói n = 7, ta có p7 = 17 > 15, mênh . , ,, , ` d̄ê` d̄úng. Gia su mênh d̄ê d̄ úng cho n = k, p > 2k + 1. Ta ch ú ng k . ,, Chuong 5. Dãy sô´ 112 , minh mênh d̄ê` cũng d̄úng vói n = k + 1, thât . . vây, . do pn là sô´ , , le vói moi . n > 1, nên pk+1 − pk ≥ 2, nghı̃a là pk+1 ≥ pk + 2 > , , 2k + 1 + 2 = 2(k + 1) + 1. Nhu vây . ta d̄ã chúng minh d̄úng cho moi . n ≥ 7, pn > 2n + 1. , , , 2 2) Ta chúng minh vói moi . n, yn ≥ n : Ký hiêu . yn là tông y n = p1 + p2 + · · · + p n . Ta có y1 = 2 > 12 , y2 = 5 > 22 , y3 = 10 > 33 , y4 = 17 > 42 , y5 = 28 > 52 , y6 = 41 > 66 và y7 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 = , , 58 > 49 = 72 . Ta sẽ chúng minh quy nap . theo n, vói n ≥ 7 ta có y n > n2 . , ,, , , 2 Thât . vây, . Gia su vói n = k, ta có yk > k . Vói n = k + 1 ta tı́nh ,, yk+1 = yk + pk+1 > k2 + (2k + 1) = (k + 1)2 , ta d̄ã su dung kê´t . , , , qua phâ`n trên và gia thiê´t quy nap. . Nghı̃a là ta d̄ã chúng minh , 2 vói moi . n, yn ≥ n . , ,, , , , Lâ´y m2 là sô´ chı́nh phuong lón nhâ´t không lón hon yn (có thê ,, , , , lâ´y d̄uo. c theo chúng minh trên và tiên d̄ê` thú tu. ). Khi d̄ó theo , , , chúng minh trên m ≥ n hoac .̆ là m = n + k, k ≥ 0. Nhu vây, . vói moi . n ≥ 1 tô`n tai . sô´ k ≥ 0 sao cho ( n + k )2 ≤ y n ≤ ( n + k + 1)2 . , ,, , ,, Ta sẽ chúng minh pn+1 > 2(n + k ) + 1. Gia su nguo. c lai, . ta có , , pn+1 ≤ 2(n + k ) + 1. Nhung vói n ≥ 2, pn+1 ≥ pn + 2. Suy ra pn ≤ 2(n + k ) + 1 − 2 = 2(n + k ) − 1, pn−1 ≤ 2(n + k ) + 1 − 4 = 2(n + k ) − 3, …………………………. pn− j ≤ 2(n + k ) + 1 − 2( j + 1) = 2(n + k ) − (2j + 1), …………………………. , 5.1. Dãy sô´ tu. nhiên 113 3 = p2 ≤ 2(n + k ) + 1 − 2(n − 1) = 2(n + k ) − (2n − 3), 2 = p1 ≤ 2(n + k ) + 1 − 2n = 2(n + k ) − (2n − 1). , , , Công tùng vê´ các bâ´t d̄ăng thúc trên, ta có . yn = p1 + p2 + · · · + pn ≤ 2n(n + k ) − (1 + 3 + · · · + (2n − 1)) = 2n(n + k) − n2 = n2 + 2nk + 1 − 1 = (n + k)2 − 1. , , Nghı̃a là y ≤ (n + k )2 − 1. Nhung theo gia thiê´t y ≥ (n + k )2 và n n yn là sô´ nguyên. Dẫn d̄ê´n vô lý. Suy ra pn+1 > 2(n + k ) + 1. Khi d̄ó y n +1 = y n + p n > ( n + k )2 + 2 ( n + k ) + 1 = ( n + k + 1 )2 > y n , nghı̃a là Suy ra (n + k + 1)2 y n < ( n + k + 1 )2 < y n +1 . ` giũ,a yn và yn+1 . năm J Vı́ du. 5.3. Cho dãy sô´ chia thành tù,ng nhóm nhu, sau: , (1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), (11, 12, 13, 14, 15), . . . Tı́nh tông S1 + , , , S3 + S5 + · · · + S2n−1 , o, d̄ây Sk là tông nhũ,ng sô´ cua nhóm thú, k. , , , , ` Lòi giai. Sô´ d̄â`u tiên cua nhóm thú k băng (1 + 2 + · · · + (k − 1)) + 1 = , , ,, , Còn tông cua k sô´ o nhóm thú k là k ( k − 1) + 1. 2 k ( k − 1) ( k + 1) k +1+ ) k3 + k 2 2 Sk = = . 2 2 , ` ` Băng quy nap . toán hoc . theo n, ta chúng minh răng k( S1 + S3 + · · · + S2n−1 = n4 . , 1) Vói n = 1, ta có S1 = 1 = 14 . (5.1) ,, Chuong 5. Dãy sô´ 114 , ,, , , 2) Gia su (5.1) d̄úng vói n nào d̄â´y, ta chúng minh cho n + 1. S1 + S2 + · · · + S2(n+1)−1 = (S1 + S2 + · · · + S(2n−1) ) + S2n+1 (2n + 1)3 + (2n + 1) 2 = n4 + (2n + 1)(2n2 + 2n + 1) = n4 + = n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1 = (n + 1)4 . , , ,, , Ðăng thúc (5.1) d̄úng vói moi . n nguyên duong. Vı́ du. 5.4. Cho dãy sô´ F1 , F2 , F3 , . . . , Fn , . . . d̄u,o.,c xác d̄inh . theo công , , thúc sau: F1 = −1, F2 = −1, Fn = − Fn−1 − 2Fn−2 vói n ≥ 3. Chú,ng minh ră` ng vó,i n ≥ 2 sô´ 2n+1 − 7F2 là sô´ chı́nh phu,o,ng. J n −1 , , , ` Lòi giai. Chúng minh băng quy nap d̄ê` . toán hoc . theo n, mênh . , sau: Vói n ≥ 2, 2n+1 − 7Fn2−1 = (2Fn + Fn−1 )2 . , ,, 3 2 Thât d̄ê` d̄úng . vây, . n = 2 ta có 2 − 7 = (−2 + 1) . Gia su mênh . ,, , vói moi . k ≤ n, o d̄ây n ≥ 2. Khi d̄ó (2Fn+1 + Fn )2 = (−2Fn − 4Fn−1 + Fn )2 = (− Fn − 4Fn−1 )2 = Fn2 + 8Fn Fn−1 + 16Fn2−1 = 2(4Fn2 + 4Fn Fn−1 + Fn2−1 ) + 14Fn2−1 − 7Fn2 = 2(2Fn + Fn−1 )2 + 14Fn2−1 − 7Fn2 = 2(2n+1 − 7Fn2−1 ) + 14Fn2−1 − 7Fn2 = 2n+2 − 7Fn2 . , , Nhu vây d̄ê` d̄úng vói k = n + 1. . mênh . , Vı́ du. 5.5. Cho n ≥ 1 là môt nghı̃a dãy sô´ . sô´ tu. nhiên. Ðinh . x1 , x2 , . . . và y1 , y2 , . . . theo cách sau: n xi + yi ] , y i +1 = [ ] (i = 1, 2, . . .), x1 = n, y1 = 1, xi+1 = [ 2 x i +1 J , 5.1. Dãy sô´ tu. nhiên 115 [ x ] sô´ nguyên ló,n nhâ´t không ló,n ho,n x. √ Chú,ng minh ră` ng min{ x1 , x2 , . . . , xn } = [ n]. , √ , , , Lòi giai. Ta sẽ chúng minh vói mỗi i (i = 1, 2, . . .), xi ≥ [ n]. , , , ,, , , , , Bâ´t d̄ăng thúc d̄úng vói i = 1. Gia su bâ´t d̄ăng thúc d̄úng vói √ i = k. Khi d̄ó xk = [ n] + t, t ≥ 0, √ √ √ n [ n ]2 [ n ]2 − t2 yk = [ √ ]≥[ √ ]≥[ √ ] = [ n] − t [ n] + t [ n] + t [ n] + t suy ra √ √ √ xk + yk [ n] + t + [ n] − t x k +1 = [ ]≥[ ] = [ n ]. 2 2 , , , Khi d̄ó theo nguyên lý quy nap . toán hoc . bâ´t d̄ăng thúc câ`n chúng , minh d̄úng vói moi . i = 1, 2, . . .. , ,, , √ ,, Gia su vói môt sô´ s nào d̄ó có xs = [ n] + t, o d̄ây t ≥ 1 . , , ,, (d̄iê`u này có thê d̄uo. c, chăng han lâ´y s = 1). Ngoài ra nê´u lâ´y , . √ √ 2 ,, n = [ n] + p, o d̄ây sô´ p thoa mãn 0 ≤ p ≤ 2[ n] (ta cũng lâ´y , ,, , , ,, d̄uo. c do p là sô´ tu. nhiên và p thoa mãn nhu vây . vı̀ nê´u nguo. c lai . √ , thı̀ dẫn tói d̄iê`u vô lý n ≥ ([ n + 1]2 ). Khi d̄ó √ √ √ √ n [ n ]2 + p [ n ]2 + 2[ n ] √ ]=[ √ ]≥[ ] = [ n] ys = [ √ [ n] + t [ n] + t [ n] + 1 vı̀ √ √ √ [ n ]2 + 2[ n ] √ ] < [ n + 1]. [ n] < [ [ n] + 1 √ √ , ,, Tù ys ≤ [ n] < [ n] + t = xs ta nhân . d̄uo. c ys ≤ xs − 1 suy ra √ x s +1 = [ xs + ys 2xs − 1 ≤[ ] = xs − 1 < xs . 2 2 116 ,, Chuong 5. Dãy sô´ √ , Ðiê`u này nghı̃a là khi xs > [ n] vói s = 1, 2, . . . dãy x1 , x2 , . . . sẽ , , , , , , , , , giam thu. c su. và vói s d̄u lón (nhung nho hon n, vı̀ x1 = n) thı̀ sẽ , √ , có d̄ăng thúc xs = [ n]. J , nghı̃a theo d̄ăng Vı́ du. 5.6. Cho dãy sô´ a1 , a2 , . . . , an d̄u,o.,c d̄inh . thú,c sau: ak = k − 1 vó,i k = 1, 2, 3, 4 và a2n−1 = a2n−2 + 2n−2 , a2n = , a2n−5 + 2n vó,i moi n ≥ 3. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . sô´ tu. nhiên n , . khác không d̄ăng thú,c sau d̄úng:     12 n−1 17 n−1 a) 1 + a2n−1 = .2 ; b) 1 + a2n = .2 . 7 7 , , , , , , , ` Lòi giai. Vói n = 1 và n = 2 d̄ăng thúc d̄úng vói băng cách kiêm , , ,, , , , , tra tru. c tiê´p. Gia su hai d̄ăng thúc trên d̄úng vói hai sô´ tu. nhiên , , , liên tiê´p n − 1 và n. Ta sẽ chúng minh hai d̄ăng thúc d̄úng cho giá tri. tiê´p theo n + 1. , , , Tù d̄inh nghı̃a cua dãy 1 + a2n+1 = 1 + a2n + 2n−1. Chú ý tói . , 17 n−1 , d̄ăng thúc b) cho giá tri. n, ta có 1 + a2n+1 = .2 + 2n−1 . Vı̀ 7   , 12 n , d̄ăng thúc a) trong bài .2.4 nên có 1 + a2n+1 = .2 suy ra 7 , , , , d̄ăng thúc a) cua bài toán vói giá tri. n + 1. , , , n +1 Tù d̄inh . nghı̃a cua dãy 1 + a2n+2 = 1 + a2n−3+ 2 . Ch  ú ý tói , 12 n−2 , d̄ăng thúc a) cho giá tri. n − 1, ta có 1 + a2n+2 = .2 + 2n +1 . 7  , 17 n , Vı̀ d̄ăng thúc b) trong bài .2.4 nên có 1 + a2n+2 = .2 suy ra 7 , , , , d̄ăng thúc b) cua bài toán vói giá tri. n + 1. J , 5.2. Dãy trôi . hon 117 , 5.2. Dãy trôi . hon Cho hai dãy a1 , a2 , a3 , . . . (5.2) (5.3) , , , Ta goi . dãy (5.2) trôi . hon dãy (5.3) nê´u chúng thoa mãn bâ´t d̄ăng , thúc: bn ≤ an , (n = 1, 2,, . . .) (5.4) ,, , ´ Trong toán hoc . thuòng dùng loai . bât d̄ăng thúc này, d̄ac .̆ biêt . các , ` bài toán vê d̄ánh giá môt . quá trı̀nh, tı̀m giói han, . … , Vı́ du. 5.7. Chú,ng minh bâ´t d̄ăng thú,c 4n (2n)! , (n = 2, 3, . . .). (5.5) < n+1 (n!)2 b1 , b2 , b3 , . . . , , , , , Lòi giai. Chúng minh quy nap . theo n. Bâ´t d̄ăng thúc (5.5) d̄úng , , vói n = 2 suy ra tù 42 (2.2)! 16 − = − 6 < 0. 2 2+1 (2!) 3 , ,, , , ` Gia su (5.5) d̄úng vói môt nó . sô´ n nào d̄ó. Ta sẽ chúng minh răng cũng d̄úng cho n + 1, 4n +1 (2n + 2)! < . n+2 ((n + 1)!)2 , ,, Thât . vây, . ta viê´t vê´ trái cua (5.6) duói dang . 4n +1 4n 4 ( n + 1 ) = · n+2 n+1 n+2 , , Tù gia thiê´t quy nap . ta có 4n 4 ( n + 1 ) (2n + 2)! 2( n + 1)2 4n +1 = < . , n+2 n+1 n+2 ((n + 1)!)2 (2n + 1)(n + 2) (5.6) ,, Chuong 5. Dãy sô´ 118 mat .̆ khác 0< 2( n + 1)2 2n2 + 4n + 2 = 2 = (2n + 1)(n + 2) 2n + 5n + 2 (2n2 + 5n + 2) − n n = = 1− 2 <1 2n2 + 5n + 2 2n + 5n + 2 , vói n = 1, 2, . . . và suy ra 2( n + 1)2 (2n + 2)! (2n + 2)! 4n +1 . . < < n+2 ((n + 1)!)2 (2n + 1)(n + 2) ((n + 1)!)2 J , Vı́ du. 5.8. Chú,ng minh bâ´t d̄ăng thú,c √ 1 1 1 + √ + · · · + √ > n, n 2 (n = 2, 3, . . .). (5.7) √ , , , 1 , , , Lòi giai. Vói n = 2 ta có bâ´t d̄ăng thúc 1 + √ > 2, bâ´t d̄ăng , , ,, 2 , , , thúc này d̄úng qua kiêm tra tru. c tiê´p. Gia su (5.7) d̄úng vói môt . , , , giá tri. n nào d̄ó và ta sẽ chúng minh bâ´t d̄ăng thúc cũng d̄úng , vói n + 1, hoac .̆ là √ 1 1 1+ √ +···+ √ > n + 1, (n = 2, 3, . . .). (5.8) n+1 2 , 1 , , √ Thât hai vê´ bâ´t d̄ăng thúc (5.7) vói sô´ hang , ta . vây, . công . . n+1 có √ 1 1 1 1 1+ √ +···+ √ + √ > n+ √ . (5.9) n n+1 n+1 2 , Nhung √ √ √ √ 1 n2 + n + 1 n2 + 1 = √ > √ = n + 1. n+ √ n+1 n+1 n+1 , Tù d̄ây và (5.9) suy ra (5.8). J , 5.2. Dãy trôi . hon 119 Vı́ du. 5.9. Chú,ng minh ră` ng a2 b2 a n bn ( a1 + · · · + an )(b1 + · · · + bn ) a1 b1 + +···+ ≤ , a1 + b1 a2 + b2 a n + bn ( a1 + · · · + an ) + (b1 + · · · + bn ) (5.10) ,, , , , o d̄ây a1 , a2 , . . . , an , b1 , b2 , . . . , bn là nhũng sô´ duong. , , , , , , Lòi giai. Vói n = 1 bâ´t d̄ăng thúc d̄úng. Vói n = 2 ta có dang . a1 b1 a2 b2 ( a1 + a2 )(b1 + b2 ) + ≤ a1 + b1 a2 + b2 ( a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) (5.11) hoac .̆ là ( a1 + a2 )(b1 + b2 )( a1 + b1 )( a2 + b2 ) − a1 b1 ( a2 + b2 )( a1 + a2 + b1 + b2 )− − a2 b2 ( a1 + b1 )( a1 + a2 + b1 + b2 ) ≥ 0 , , , 2 hoac .̆ là ( a1 b2 − a2 b1 ) ≥ 0 bâ´t d̄ăng thúc này hiên nhiên d̄úng. , ,, , , , Gia su (5.10) d̄úng vói sô´ tu. nhiên n ≥ 2 nào d̄ó. Ta sẽ chúng ,, , minh nó d̄úng vói n + 1. Su dung (5.10) và (5.11) ta có . a1 b1 a2 b2 a n bn a .b + +···+ + n +1 n +1 ≤ a1 + b1 a2 + b2 a n + bn a n + 1 + bn + 1 ( a1 + · · · + an )(b1 + · · · + bn ) a .b ≤ + n +1 n +1 ( a1 + · · · + an ) + (b1 + · · · + bn ) an+1 + bn+1 ( a1 + · · · + an + an+1 )(b1 + · · · + bn + bn+1 ) . ≤ ( a1 + · · · + an + an+1 ) + (b1 + · · · + bn + bn+1 ) J Vı́ du. 5.10. Cho 0 < x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn . Chú,ng minh ră` ng x1 x2 x xn x2 x3 xn x + + · · · + n −1 + ≥ + +···+ + 1. x2 x3 xn x1 x1 x2 x n −1 xn , , , , , , Lòi giai. Vói n = 2 bâ´t d̄ăng thúc d̄úng. Vói n = 3 ta có x1 x2 x3 x2 x3 x ( x3 − x2 )( x3 − x1 )( x2 − x + + − − − 1 = ≥0 x2 x3 x1 x1 x2 x3 x1 x2 x3 ,, Chuong 5. Dãy sô´ 120 , , , ,, , , , bâ´t d̄ăng thúc d̄úng. Gia su bâ´t d̄ăng thúc d̄úng vói n = k − 1, x2 x x2 x3 x x1 + + · · · + k −1 ≥ + +···+ 1 . x2 x3 x1 x1 x2 x k −1 , ,, , , Do chúng minh vói truòng ho. p n = 3 nên ta có x1 x x x x x + k −1 + k ≥ k −1 + k + 1 . x k −1 xk x1 x1 x k −1 xk , , , , , , Công . , hai bâ´t d̄ăng thúc sau cùng ta nhân . d̄uo. c bâ´t d̄ăng thúc , phai chúng minh cho n = k. J Vı́ du. 5.11. Chú,ng minh ră` ng nê´u tı́ch n sô´ thu. ,c du,o,ng , , , bă` ng 1, thı̀ tông cua chúng không nho ho,n n. Nói cách khác, cho x1 , x2 , . . . , xn là nhũ,ng sô´ du,o,ng, chú,ng minh ră` ng nê´u x1 x2 . . . xn = 1 suy ra x1 + x2 + · · · + xn ≥ n vó,i moi . n = 1, 2, . . . , , , , , , Lòi giai. Vói n = 2, ta câ`n phai chúng minh tù x1 x2 = 1 suy ra , , , , 2 x1 + x2 > 2. Thât . vây, . tù bâ´t d̄ăng thúc hiên nhiên ( x1 − 1) ≥ 0, 1 ,, suy ra x12 + 1 ≥ 2×1 , chia hai vê´ cho x1 ta nhân . d̄uo. c x1 + x ≥ 2, 1 , , , nghı̃a là x1 + x2 ≥ 2, d̄ăng thúc xây ra khi x1 = 1, do d̄ó x1 = x2 = 1. , ,, , , Gia su mênh d̄ê` d̄ã chúng minh d̄úng cho n ≥ 2. Ta sẽ chúng . , , minh d̄úng cho n + 1, nghı̃a là sẽ chúng minh tù x 1 x 2 . . . x n x n +1 = 1 (5.12) , , suy ra bâ´t d̄ăng thúc x1 + x2 + · · · + xn + xn+1 ≥ n + 1. (5.13) , , , , ,, , Ðăng thúc (5.12) chı xây ra hai truòng ho. p sau: , , ` I. Tâ´t ca các thùa sô´ băng nhau x1 = x2 = . . . = xn+1 = 1. , ` II. Không phai các sô´ d̄ê`u băng nhau. , , , , 5.3. Nhũng bâ´t d̄ăng thúc nôi tiê´ng 121 ,, , Trong truòng ho. p I. Ta có x1 + x2 + · · · + xn+1 = n + 1. ,, , , , , , Truòng ho. p II. Trong các thùa sô´ có thùa sô´ lón hon 1 thı̀ cũng , , , , có thùa sô´ nho hon 1. Nê´u không có d̄ô`ng thòi hai sô´ có tı́nh châ´t , , trên thı̀ tı́ch cua chúng sẽ khác 1. Chăng han . x1 < 1, xn+1 > 1., ,, Khi d̄ó ta có y1 x2 x3 . . . xn = 1, o d̄ây ta d̄at .̆ y1 = x1 xn+1 . Do gia , thiê´t quy nap . d̄úng vói n, nên ta có y1 + x2 + · · · + xn ≥ n. Khi d̄ó x 1 + · · · + x n +1 = ( y 1 + x 2 + · · · + x n ) + x n +1 − y 1 + x 1 ≥ n + x n +1 − y 1 + x 1 = ( n + 1 ) + x n +1 − y 1 + x 1 − 1 = ( n + 1 ) + x n +1 − x 1 x n +1 + x 1 − 1 = (n + 1) + ( xn+1 − 1)(1 − x1 ). , Do ta có xn+1 > 1 và x1 < 1 suy ra d̄iê`u câ`n chúng minh. J , , , , 5.3. Nhũng bâ´t d̄ăng thúc nôi tiê´ng , , , Bài tâp . vê` bâ´t d̄ăng thúc vô cùng phong phú và chung loai . ` ` ´ ´ ` khác nhau, d̄ã có nhiêu sách d̄ê câp n vân d̄ê này. Trong muc . d̄ê , , , . , , , , ´ ´ này chúng tôi chı liêt . kê nhũng bât d̄ăng thúc co ban, tât ca d̄ê`u ,, , ,, ` d̄uo. c chúng minh băng phuong pháp quy nap. . , Vı́ du. 5.12. (Bâ´t d̄ăng thú,c Cauchy). Cho dãy sô´ du,o,ng bâ´t kỳ x1 , x2 , . . . , xn chú,ng minh ră` ng √ x1 + x2 + · · · + x n ≥ n x1 x2 . . . x n . (5.14) n , , Ðăng thú,c xây ra khi và chi khi x1 = x2 = . . . = xn . , , Lòi giai. Cách chú,ng minh thú, nhâ´t: Ta d̄at .̆ a = , √ x1 + x2 + · · · + x n , và d̄at g = n x1 x2 . . . xn . Khi d̄ó d̄ăng thúc .̆ n, , , n (5.14) chı là hê. qua cua bài .5.11. Thât . vây, . g = x1 x2 . . . x n 122 ,, Chuong 5. Dãy sô´ , x1 x2 xn x . ... = 1. Do kê´t qua bài toán tru,ó,c ta só 1 + g g g g , , , x2 xn , , +···+ ≥ n. Tù d̄ó suy ra (5.14). Ðăng thúc chı xây ra khi g g x2 xn x1 = = . . . = , nghı̃a là x1 = x2 = ... = xn . g g g ,, , , Cách chúng minh thú, hai: Phuong pháp chúng minh theo , ,, , quy nap dang khác vói bı̀nh thuòng do chı́nh Cauchy d̄ua ra. Có . . , , , , thê nói d̄ây là cách chúng minh quy nap . cho tùng d̄oan . chúa các , sô´ tu. nhiên. , , , , Vói n = 1 = 20 bâ´t d̄ăng thúc (5.14) d̄úng. Vói n = 2 = 21 , , √ , √ , , (5.14) suy ra tù ( x1 − x2 )2 ≥ 0 và dâ´u d̄ăng thúc xay ra khi , , ,, , và chı khi x1 = x2 . Gia su (5.14) d̄úng vói sô´ n. Khi d̄ó suy ra x1 + x2 x3 + x4 x + x2n + + · · · + 2n−1 x1 + x2 + · · · + x2n 2 2 2 = 2n n r x + x2 x3 + x4 x2n−1 + x2n ≥ n 1 . ... 2 2 2 q√ √ √ ≥ n x1 x2 x3 x4 . . . x2n−1 x2n √ = 2n x1 x2 . . . x2n . , , , , , Bâ´t d̄ăng thúc (5.14) d̄úng vói 2n. Suy ra nó d̄úng vói tâ´t ca các , , sô´ có dang 2n−1 vói moi . . sô´ tu. nhiên n. , , , Vói m là sô´ tu. nhiên. Nê´u m có dang 2n vói n là môt ào . . sô´ n , , , ` d̄ó, thı̀ (5.14) d̄úng. Vı̀ vây . chı còn kiêm tra m năm trong khoang , n −1 n n giũa 2 và 2 . nghı̃a là 2n−1 < m < 2n . Ta d̄at .̆ m + q = 2 . Khi d̄ó x1 + x2 + · · · + x m + q √ ≥ m+ p x1 x2 . . . x m + q . m+q x1 + x2 + · · · + x m , Bây giò ta d̄at , .̆ xm+1 = xm+2 = . . . = xm+q = m , , , , 5.3. Nhũng bâ´t d̄ăng thúc nôi tiê´ng 123 khi d̄ó x1 + x2 + · · · + x m x1 + x2 + · · · + x m + q + q x1 + x2 + · · · + x m m = m m+q r x1 + x2 + · · · + x m q m+q ≥ x1 x2 . . . x m ( ) m hoac .̆ là     x1 + x2 + · · · + x m q x1 + x2 + · · · + x m m + q ≥ x1 x2 . . . x m , m m   x1 + x2 + · · · + x m m ≥ x1 x2 . . . x m . m , , , , Tù d̄ây suy ra (4.13) d̄úng. Nhu vây . nó d̄úng vói moi . sô´ tu. nhiên n. , , , , , , Bây giò ta chúng minh (5.14) xây ra d̄ăng thúc chı khi x1 = , ,, x2 = . . . = xn , thât vây, gia su ı́t nhâ´t có hai sô´ trong x1 , x2 , . . . , xn , . . , ` chăng han nhau. Khi d̄ó . x1 và x2 không băng x1 + x2 x + x2 + 1 + x3 + · · · + x n x1 + x2 + · · · + x n 2 2 = n n s  2 x1 + x2 n ≥ x3 x4 . . . x n . 2 , , Nhung tù x1 6= x2 suy ra √ x1 + x2 > x1 x2 2 , , , Tù hai bâ´t d̄ăng thúc trên ta suy ra √ x + x2 + · · · + x n ( 1 ) > n x1 x2 . . . x n . n , , , , Nhu vây d̄ê` d̄uo. c chúng minh. . mênh . J ,, Chuong 5. Dãy sô´ 124 , x1 + x2 + · · · + x n goi là trung bı̀nh công cua các sô´ . . n√ , x1 , x2 , . . . , xn . Còn sô´ n x1 x2 . . . xn goi . là trung bı̀nh nhân cua các sô´ d̄ã cho. , Vı́ du. 5.13. (Bâ´t d̄ăng thú,c Bernoulli). Chú,ng minh ră` ng vó,i , , , , moi . x > −1, x 6= 0 và vói moi . sô´ tu. nhiên n ≥ 2 bâ´t d̄ăng thúc sau d̄úng (5.15) (1 + x )n > 1 + nx. Chú ý: sô´ , , , , , Lòi giai. Vói n = 2 bâ´t d̄ăng thúc (5.15) có dang 1 + 2x + x2 > . , , ,, , 1 + 2x và d̄úng là hiên nhiên. Gia su (5.15) d̄úng vói môt . sô´ n ≥ 2. , , , Ta sẽ chúng minh nó d̄úng cho n + 1, nghı̃a là phai chúng minh (1 + x )n+1 > 1 + (n + 1) x. Thât . vây, . ta có (1 + x )n+1 > (1 + nx )(1 + x ) = 1 + (n + 1) x + nx2 , , do nx2 > 0 suy ra d̄iê`u câ`n chúng minh. , , , Chú ý: Bâ´t d̄ăng thúc Bernoulli còn d̄úng cho moi . sô´ thu. c: J (1 + x )α > 1 + αx, x ≥ −1, α > 1, ,, , , , o d̄ây α là môt . sô´ thu. c lón hon 1. , Vı́ du. 5.14. (Bâ´t d̄ăng thú,c Cauchy-Bunyakovski). Chú,ng minh ră` ng ( x12 + x22 + · · · + xn2 )(y21 + y22 + · · · + y2n ) ≥ ( x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn )2 (5.16) , , , vói x1 , x2 , . . . , y1 , y2 , . . . là nhũng sô´ thu. c và n = 1, 2, 3, . . . , , , , , Lòi giai. Vói n = 1, (5.16) d̄úng hiên nhiên. Vói n = 2, ta có ( x1 y1 + x2 y2 )2 = ( x12 + x22 )(y21 + y22 ) − ( x1 y2 − x2 y1 )2 , , , , 5.3. Nhũng bâ´t d̄ăng thúc nôi tiê´ng 125 , , ,, , , , tù d̄ây suy ra bâ´t d̄ăng thúc (5.16) d̄úng vói n = 2. Gia su bâ´t , , , , , , dăng thúc d̄úng vói n = k, ta phai chúng minh nó cũng d̄úng vói , , , , n = k + 1. Thât . vây, . do bâ´t d̄ăng thúc d̄úng vói n = 2 và gia thiê´t quy nap . ta có ( x12 + x22 + · · · + xk2+1 )(y21 + y22 + · · · + y2k+1 ) q q ≥ ( x12 + x22 + · · · + xk2 y21 + y22 + · · · + y2k + xk+1 yk+1 )2 ≥ ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + · · · + x k y k + x k +1 y k +1 )2 . J , Vı́ du. 5.15. (Bâ´t d̄ăng thú,c Chebychev). Cho dãy sô´ x1 , x2 , …, xn , và y1 , y2 , …, yn là 2n sô´, sao cho thoa mãn x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ x n (5.17) y1 ≤ y2 ≤ . . . ≤ y n . , Chú,ng minh ră` ng tı́ch cua trung bı̀nh công các sô´ x1 , x2 , . . . , xn . , , ´ vói trung bı̀nh công cua các sô y1 , y2 , . . . , yn không vu,o.,t quá trung . , bı̀nh công cua các sô´ x1 y1 , x2 y2 , . . . , xn yn , hoac . .̆ là x1 + x2 + · · · + x n y1 + y2 + · · · + y n x y + x2 y2 + · · · + x n y n . ≤ 1 1 . n n n (5.18) , , Lòi giai. Ta d̄at .̆ A n = x1 + x2 + · · · + x n , Bn = y1 + y2 + · · · + yn , Cn = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn , (5.19) Dn = nCn − An Bn . , , , Khi d̄ó bâ´t d̄ăng thúc (5.18) có thê viê´t lai . , Dn ≥ 0 vói n = 1, 2, . . . (5.20) ,, Chuong 5. Dãy sô´ 126 , ,, , ` Ta chúng minh băng phuong pháp quy nap. . Vói n = 1. Khi d̄ó D1 = 1C1 − A1 B1 = x1 y1 − x1 y1 = 0. , , , , Nhu vây . (5.20) d̄úng vói n = 1. Ta kiêm tra vói n = 2, D2 = 2C2 − A2 B2 = 2( x1 y1 + x2 y2 ) − ( x1 + x2 )(y1 + y2 ) = x1 y1 + x2 y2 − x1 y2 − x2 y1 = ( x2 − x1 )(y2 − y1 ) ≥ 0, vı̀ x2 − x1 ≥ 0 và y2 − y1 ≥ 0 theo (5.17). , , , , Nhu vây . nây ra câu hoi là biêu diễn Dn ,theo các sô´ , x1 , x2 , . . . , xn và y1 , y2 , . . . , yn nhu thê´ nào? Ta phai làm thêm ,, , , , truòng ho. p riêng nũa vói n = 3. Ta có D3 = 3C3 − A3 B3 = 3( x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ) − ( x1 + x2 + x3 )(y1 + y2 + y3 ) = (2×1 y1 − x1 y2 − x1 y3 ) + (2×2 y2 − x2 y1 − x2 y3 ) + (2×3 y3 − x3 y1 − x3 y2 ) = x1 (y1 − y2 ) + x1 (y1 − y3 ) + x2 (y2 − y1 ) + x2 (y2 − y3 )+ + x3 ( y3 − y1 ) + x3 ( y3 − y2 ). , ,, Tù d̄ây ta nhân . d̄uo. c D3 = ( x2 − x1 )(y2 − y1 ) + ( x3 − x1 )(y3 − y1 ) + ( x3 − x2 )(y3 − y2 ). , , ,, , ` So sánh hai truòng ho. p n = 2, 3 ta có thê gia thiê´t răng Dn = Dn−1 + ( xn − xn−1 )(yn − yn−1 ) + · · · + ( xn − x1 )(yn − y1 ). (5.21) , , , ` quy nap Ta chúng minh công thúc này băng . toán hoc. . Vói n = 2, 3 , ,, , , công thúc (5.21) d̄úng. Gia su nó d̄úng vói môt . sô´ n nào d̄ó. Ta , , , , 5.3. Nhũng bâ´t d̄ăng thúc nôi tiê´ng 127 tı́nh Dn+1 Dn+1 = (n + 1)Cn+1 − An+1 Bn+1 = (n + 1)(Cn + xn+1 yn+1 ) − ( An + xn+1) )( Bn + yn+1 ) = (nCn − An Bn ) + (Cn − Bn xn+1 ) + (nxn+1 yn+1 − An yn+1 ). , Nhung nCn − An Bn = Dn mat .̆ khác Cn − Bn xn+1 = = x 1 y 1 + · · · + x n y n − y 1 x n +1 − y 2 x n +1 − · · · − y n x n +1 = − y 1 ( x n +1 − x 1 ) − y 2 ( x n +1 − x 2 ) − · · · − y n ( x n +1 − x n ) và nxn+1 yn+1 − An yn+1 = nxn+1 yn+1 − x1 yn+1 − · · · − xn yn+1 = ( x n +1 − x 1 ) y n +1 + ( x n +1 − x 2 ) y n +1 + · · · + ( x n +1 − x n ) y n +1 . , ,, Và nhu vây . ta nhân . d̄uo. c Dn+1 = Dn + [−y1 ( xn+1 − x1 ) − y2 ( xn+1 − x2 ) − · · · − yn ( xn+1 − xn )] + [yn+1 ( xn+1 − x1 ) − yn+1 ( xn+1 − x2 ) − · · · − yn+1 ( xn+1 − xn )] = Dn + ( xn+1 − xn )(yn+1 − yn ) + · · · + ( xn+1 − x1 )(yn+1 − y1 ). , , , ` ` Nhu vây, quy nap d̄ăng thúc (5.21) d̄úng . băng . ta kê´t luân . răng , vói moi . n = 2, 3, . . . , , ` Chú ý răng d̄iê`u kiên . (5.17) suy ra bâ´t d̄ăng thúc ( xn+1 − xn )(yn+1 − yn ) + · · · + ( xn+1 − x1 )(yn+1 − y1 ) ≥ 0 , , ,, , vói moi . sô´ tu. nhiên n > 1. Tù d̄ây và (5.21) ta nhân . d̄uo. c bâ´t , , d̄ăng thúc Dn ≥ Dn−1 , (n = 2, 3, . . .). , ,, , , Bây giò (5.20) suy ra tù (5.22) và truòng ho. p n = 1. (5.22) J 128 ,, Chuong 5. Dãy sô´ , 5.4. Dãy d̄on d̄iêu . Cho dãy sô´ a1 , a2 , . . .,, an , . . . (5.23) ` ` ´ Ta goi d ãy (5.23) b i ch an bên ph ai, khi tô n t ai h ăng sô a sao cho . . . .̆ ,, , an ≤ a, (n = 1, 2, . . .). Tuong tu. ta cũng d̄inh nghı̃a bi. chan .̆ trái , . , (khi d̄ó an ≥ a). Nê´u môt lẫn phai goi . dãy bi. chan .̆ ca trái . là dãy , ` bi. chan. sô´ . dãy bi. chan .̆ khi và chı khi tô`n tai . hăng .̆ Suy ra môt K > 0 sao cho | an | ≤ K, (n = 1, 2, . . .). Dãy (5.23) goi . là dãy tăng, khi a1 ≤ a2 ≤ . . . (5.24) , và là dãy giam khi a1 ≥ a2 ≥ . . . (5.25) , Môt . dãy mà nó có tı́nh châ´t (5.24) hoac .̆ (5.25) goi . là dãy d̄on d̄iêu. . , ` ´ ´ Ta biêt răng môt . dãy goi . là hôi . tu. khi n, tiên tói ,vô cùng thı̀ dãy , , ´ d̄ó tiên tói môt . . giá tri. hũu han. . Ta có thê phát biêu môt . môt . d̄inh , , lý co ban: , Ðinh . dãy d̄ã cho là tăng (giam) và bi. chan .̆ bên . , lı́ 5.1: Nê´u môt phai (bi. chan bên tr ái), thı̀ nó h ôi t u. .̆ . . , , Theo d̄inh lý trên nê´u các d̄iê`u kiên lý thoa mãn . . . cua d̄inh , , thı̀ tô`n tai an . Theo d̄inh lý trên thı̀ nhũng sô´ hang cua dãy . . nlim . , →∞ , an = ∞ vói dãy tăng không thoa mãn tı́nh châ´t bi. chan, .̆ thı̀ nlim →∞ , , và lim an = −∞ vói dãy giam. n→∞ , , , , Nhũng bài toán chúng minh tô`n tai giói han cua môt . . . , dãy, , , , , ´ d̄ã biê´t d̄ê tı́nh. tı́nh giói han quy tăc . cua, dãy có thê dùng nhũng , , , , , Nhiê`u khi ta phai áp dung d̄inh nhung phai chúng . lý co ban trên . , , , , minh dãy ta xét là d̄on d̄iêu . và bi. chan. .̆ Ðê giai nhũng bài toán ,, , ,, , vê` dãy d̄on d̄iêu tru. c tiê´p phuong pháp quy nap . thuòng áp dung . . toán hoc. . , 5.4. Dãy d̄on d̄iêu . 129 theo công thú,c Vı́ du. 5.16. Dãy sô´ a1 , a2 , . . . d̄u,o.,c xác d̄inh . an+1 = an (2 − αan ), (5.26) ,, ,, 1 o d̄ây α là môt . sô´ duong, còn a1 là môt . sô´ bâ´t kỳ trong (0, α ). Hãy tı́nh lim an . n→∞ , , , Lòi giai. 1) Dãy d̄ã cho là bi. chan: .̆ Tù (5.26) ta viê´t lai . 1 [1 − (αan − 1)2 ]. (5.27) α ,, , Boi vı̀ α > 0 và 0 < a1 < α1 , thı̀ (αa1 − 1)2 < 1 và tù (5.27) suy ,, , , ` phuong pháp nhu vây ra (vói n = 1) 0 < a2 < α1 . Cũng băng . , 1 ` ` chúng minh răng nê´u an trong d̄oan ( 0, ) , thı̀ a c ũng n ăm n + 1 . α , ,, trong d̄oan n ày. Theo nguyên l ý quy n ap to án hoc tâ´t ca phâ`n tu . . . , 1 ` trong d̄oan cua dãy sô´ d̄ê`u năm . (0, α ). Suy ra dãy d̄ã cho là bi. chan. .̆ , 2) Tı́nh d̄on d̄iêu: . Ta lai . có a n +1 = an+1 − an = an (2 − αan ) − an = an (1 − αan ) > 0, , , , vı̀ 0 < an < α1 . Nhu vây dãy d̄on d̄iêu tăng và ta có thê áp dung . . . , , , d̄inh lý co ban, dãy d̄ã cho hôi . . tu. nghı̃a là có giói han. . , , 3) Tı̀m giói han: . Do nhũng lý luân . phâ`n trên ta goi . lim an = l n→∞ áp dung vào (5.26) lim an+1 = ( lim an ).(2 − α lim an ). . n→∞ n→∞ n→∞ , ,, ,, Ta nhân d̄u o c l = l ( 2 − αl ) . Nghi êm c ua phu ong trı̀nh này là . . . , , 1 , l = 0 hoac .̆ là l = α . Nhung dãy sô´ là tăng nên ta chı có thê lâ´y 1 l= . α Vı́ du. 5.17. Dãy sô´ a1 , a2 , . . . d̄u,o.,c xác d̄inh theo công thú,c . J a n +1 = 1 α ( a n + ), 2 an (5.28) ,, Chuong 5. Dãy sô´ 130 , ,, ,, o, d̄ây α là môt . sô´ duong, còn a1 là môt . sô´ duong bâ´t kỳ. Hãy tı́nh lim an . n→∞ , , , ,, , , Lòi giai. 1) Dãy d̄ã cho bi. chan .̆ duói: Tù bâ´t, d̄ăng thúc α > , , 0, a1 > 0 và (5.28) vói n = 1 suy ra a2 > 0. Gia thiê´t vói môt . n , , nào d̄ó an > 0; khi d̄ó tù α > 0 và (5.28) suy ra an+1 > 0. Nhu , , , vây . theo nguyên lý quy nap . toán hoc . bâ´t d̄ăng thúc an > 0 vói n = 1, 2, . . . , , , , , 2) Dãy d̄ã cho là d̄on d̄iêu . giam: Tù (5.28) và bâ´t d̄ăng thúc trung bı̀nh công và trung bı̀nh nhân ta có . an + a n +1 = α an 2 r ≥ an . √ α = α. an , , , , √ , ` Ðiê`u này chúng to răng tâ´t ca các sô´ hang không nho hon α. . Mat .̆ khác ta có a n +1 − a n = 1 α α − a2n ( an + ) − an = , 2 an 2an , an > 0(n = 1, 2, . . .) và α − a2n < 0 ( ı́t nhâ´t vói n = 2, 3, . . .) suy ra , an+1 < an . Nghı̃a là dãy giam. , ,, , , 3) Tı́nh giói han: . Cũng nhu bài truóc cho giói han . trong (5.28) ,, ,, ta nhân . d̄uo. c phuong trı̀nh l= 1 α ( l + ), 2 l √ √ ,, , ,, , , tù d̄ó tı̀m d̄uo. c giói han . l = α ( còn truòng ho. p l = − α không ,, d̄uo. c). J 5.5. Sô´ e 131 5.5. Sô´ e ` Môt sô´ toán hoc trong sau sô´ π là sô´ e. Sô´ e . hăng . râ´t quan . , ,, , , d̄uo. c d̄inh nghı̃a nhu là giói han . . cua dãy 1 an = (1 + )n , n = 1, 2, . . . (5.29) n hoac .̆ là 1 e = lim (1 + )n . (5.30) n→∞ n Vı́ du. 5.18. Dãy (5.29) là dãy tăng. , , , , Lòi giai. Ðiê`u khăng d̄inh không phai ngẫu nhiên: Khi n tăng . , , , , sô´ mũ trong (5.29) cũng tăng, nhung phâ`n co sô´ giam (nó tiê´n tói , , , , 1 và có giá tri. lón hon 1). Ðê thuân . tiên . tı́nh toán ta d̄ua vào sô´ 1 2 k−1 )(1 − ) . . . (1 − ), (5.31) n n n , vói n = 2, 3, . . . ; k = 2, 3, . . . , n. , α α , , <1 Vói (0 < α < n) ta có bâ´t d̄ăng thúc 0 < 1 − < 1 − n n + 1 , tù d̄ó suy ra pn,k = (1 − 0 < pn,k < pn+1,k < 1, (n = 2, 3, . . . ; k = 2, 3, . . . , n). (5.32) , , Khai triên theo nhi. thúc Newton ta có 1 1 1 1 an = (1 + )n = 1 + Cn1 + · · · + Cnk k + · · · + n n n n n n n ( n − 1) . . . ( n − k + 1) 1 = 2+ ∑ . , (n = 2, 3, ...). k! nk k =2 Hoac .̆ khi ta dùng (5.31), (1 + ,, viê´t (5.29) duói dang . n an = 2 + ∑ k =2 pn,k k! n , p 1 n ) = 2 + ∑ n,k . Khi d̄ó ta có thê n k! k =2 (n = 1, 2, . . . ; k = 2, 3, . . . , n). (5.33) ,, Chuong 5. Dãy sô´ 132 Ta có hiêu . an+1 − an theo (5.33) n +1 a n +1 − a n = ( 2 + ∑ k =2 n = ∑ k =2 n pn+1,k p ) − (2 + ∑ n,k ) k! k! k =2 pn+1,k − pn,k p + n+1,n+1 k! ( n + 1) ! và theo (5.32) ta có a n +1 − a n > J pn+1,n+1 > 0. ( n + 1) ! ,, , Bây giò, ta d̄inh nghı̃a dãy e1 , e2 , . . . theo phuong pháp sau: . n e1 = 2, en = 2 + 1 ∑ k! , (n = 2, 3, . . .). (5.34) k =2 , ` dãy này là tăng. Tù, (5.32) và (5.33) suy ra bâ´t d̄ăng Dễ thâ´y răng , thúc an < en . (5.35) , ´ Bài tâp tiê p sau ch ı ra d ãy e , e , . . . l à b i ch an v à suy ra nó hôi 1 2 . . .̆ . , ` tu. T ù d̄ây v à (5.35) suy ra a , a , . . . c ũng b i ch an. B ăng c ách n ày 1 2 . , . .̆ , ,, , , ta chúng minh d̄uo. c su. tô`n tai gi ó i h an c ua dãy (5.30). . . , Vı́ du. 5.19. Chú,ng minh ră` ng nhũ,ng sô´ hang cua dãy (5.34) . , thoa mãn 1 en < 3 − n−1 , (n = 3, 4, . . .). (5.36) 2 , , ,, 1 , , Lòi giai. Vói n = 3 ta có e3 < 2, 67 < 3 − 3−1 = 2, 75. Gia su 2 , , , ,, , , (5.36) thoa mãn vói sô´ n nào d̄â´y. Ta su dung bâ´t d̄ăng thúc hiên . , ,, , nhiên (n + 1)! > 2n vói n > 1 và gia thiê´t quy nap . ta nhân . d̄uo. c 1 1 1 e n +1 = e n + < (3 − n −1 ) + ( n + 1) ! ( n + 1) ! 2 1 1 1 < 3 − n −1 + n = 3 − n . 2 2 2 J 5.5. Sô´ e 133 , Vı́ du. 5.20. Gió,i han . cua dãy (5.34) là sô´ e. , , , ,, ` Lòi giai. Ta d̄ã chúng minh d̄uo. c răng dãy a1 , a2 , . . . và e1 , e2 , . . . , ∗ là hôi . tu. . Ðat .̆ e = lim en . Tù (5.30) và (5.35) suy ra n→∞ e ≤ e∗ . (5.37) , , Ta sẽ chúng minh cùng vói (5.37) cũng có e∗ ≤ e, , , , Thât . vây, . ta chon . sô´ tu. nhiên s trong khoang (1, n). Nê´u bên phai , , , pn,s+1 pn,n ,, cua (5.33) ta bo d̄i ,..., , ta sẽ nhân d̄uo. c môt sô´ nho . . ( s + 1) ! n! , hon an , nghı̃a là s pn,k 2+ ∑ < an , (n = 3, 4, . . . ; s = 2, 3, . . . , n − 1). (5.38) k! k =2 , , , Ta xét d̄ăng thúc (5.31). Khi n tiê´n tói vô cùng, còn k cô´ d̄inh, mỗi . , , , thùa sô´ tiê´n tói 1. Vı̀ thê´ lim pn,k = 1. Nê´u ta cho n tiê´n tói vô n→∞ , , cùng trong (5.38) ta sẽ nhân . d̄uo. c s 1 ≤ e (s = 2, 3, . . .). es = 2 + ∑ k! k =2 , , , , Nhu vây . , dãy tăng e1 , e2 , . . . . ,bi. chan .̆ tù phı́a phai sô´ e, tù d̄ó suy , , suy ra tù (5.36) và (5.37). ra bâ´t d̄ăng thúc (5.38). Khăng d̄inh . J , , Nhu vây . sô´ e có thê tı́nh toán d̄ê´n d̄ô. chı́nh xác nào d̄â´y theo , công thúc trên 1 1 1 en = 2 + + + · · · + , (n = 2, 3, . . .). 2! 3! n! , , , , ` Tù bâ´t d̄ăng thúc an < en < e ta thâ´y răng vói mỗi n cô´ d̄inh sô´ . , , , en gâ`n d̄úng e. Sô´ en goi . là xâ´p xı thú n cua e, còn hiêu . δn = e − en (5.39) ,, Chuong 5. Dãy sô´ 134 , goi . là sai sô´ cua e. , Vı́ du. 5.21. Chú,ng minh nhũ,ng bâ´t d̄ăng thú,c sau ei − e n ≤ 2 1 .(1 − i − n ), ( n + 1) ! 2 n = 2, 3, . . . . ; i = n, n + 1, . . . (5.40) , , , , , ` Lòi giai. Ta sẽ chúng minh (5.40) băng quy nap . d̄ô´i voi i. Vói , ,, , i = n thı̀ 0 ≤ 0 (5.40) d̄úng. Gia su (5.40) d̄úng vói sô´ i nào d̄ó, ta , , , câ`n phai chúng minh nó cũng d̄úng vói n = i + 1. Thât . vây, .   1 1 − e n = ( ei − e n ) + e i +1 − e n = e i + ( i + 1) ! ( i + 1) !   2 1 1 ≤ 1 − i −n + ( n + 1) ! ( i + 1) ! 2   1 2 1 1 = 1 − i −n + . . ( n + 1) ! 2 (n + 2)(n + 3) . . . (i + 1) 2 , , , , Tı́ch (n + 2)(n + 3) . . . (i + 1) có i − n thùa sô´, mỗi thùa sô´ lón hon , , 2. Khi d̄ó 2(n + 2)(n + 3) . . . (i + 1) > 2i−n+1 , o d̄ây ei+1 − en < 2 1 1 2 1 (1 − i − n + i − n +1 ) = (1 − (i+1)−n ). Nhu, vây, . ( n + 1) ! ( n + 1) ! 2 2 2 , (5.40) d̄úng vói moi . i = n, n + 1, . . . J 5.6. Dãy sô´ Fibonacci ,, , ` Môt nghı̃a băng công thúc . . dãy sô´ u1 , u2 , . . . d̄uo. c d̄inh u n +2 = u n +1 + u n , (n = 1, 2, . . .) (5.41) và u1 = 1, u2 = 1. (5.42) , ´ ´ Nhũng sô´ u1 , u2 , u3 , . . . goi l à sô Fibonacci. D ãy sô n ày có râ´t . , , , , nhiê`u úng dung trong bài toán thu. c tê´. Theo d̄ăng thúc (5.41) . 5.6. Dãy sô´ Fibonacci 135 , , , , , ,, moi . sô´ kê tù sô´ thú ba d̄ê`u là tông cua hai sô´ truóc d̄ó. , Nhũng sô´ d̄â`u tiên là 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, , 144, 233, 377. Nhũng bài tâp . sau liên quan d̄ê´n các tı́nh , , ` châ´t cua dãy sô´ này có chúng minh băng quy nap . toán hoc, . , , ´ ´ ´ ` còn các tı́nh chât khác cua dãy sô này thı̀ rât nhiêu và chúng ` minh băng các cách khác nhau. , , Vı́ du. 5.22. Tông cua n sô´ d̄â`u tiên bă` ng sô´ thú, n + 2 trù, d̄i 1, hoac .̆ là u 1 + u 2 + · · · + u n = u n +2 − 1 ( n > 1 ). (5.43) , , , , , Lòi giai. Vói n = 2 d̄ăng thúc d̄úng vı̀ theo (5.41) và (5.42) ta có u1 + u2 = 1 + 1 = 3 − 1 = u4 − 1. , ,, , , , , Gia su (5.43) d̄úng vói sô´ tu. nhiên n nào d̄ó. Tù gia thiê´t quy nap . , , , , và công thúc (5.41) vói tông cua n + 1 sô´ Fibonacci ta có : u 1 + u 2 + · · · + u n +1 = ( u 1 + u 2 + · · · + u n ) + u n +1 = ( u n +2 − 1 ) + u n +1 = un+1 + un+2 − 1 = un+3 − 1. , , , Theo nguyên lý quy nap . toán hoc . d̄ăng thúc d̄úng vói moi . n ≥ 2. , Vı́ du. 5.23. Chú,ng minh ră` ng d̄ăng thú,c J u n + m = u n −1 u m + u n u m +1 (5.44) d̄úng vó,i sô´ tu. , nhiên bâ´t kỳ n > 1 và vó,i moi . m = 1, 2, . . . , , , ,, ` Lòi giai. Ta chúng minh băng phuong pháp quy nap . toán theo , m. Vói m = 1 ta có u n −1 u 1 + u n u 2 = u n −1 + u n = u n +1 , ,, Chuong 5. Dãy sô´ 136 , và vói m = 2: un−1 u2 + un u3 = un−1 + 2un = ( u n −1 + u n ) + u n = u n +1 + u n = u n +2 , , , , ,, , , , d̄ăng thúc (5.44) d̄ê`u d̄úng. Gia su vói sô´ m nào d̄ó các d̄ăng thúc sau d̄úng u n + m = u n −1 u m + u n u m +1 (5.45) u n + m +1 = u n −1 u m +1 + u n u m +2 , , , Ta sẽ chúng minh d̄ăng thúc sau d̄úng u n + m +2 = u n −1 u m +2 + u n u m +3 . (5.46) , , , , Thât tùng vê´ cua hai d̄ăng thúc trong (5.45) ta nhân . vây, . công . . ,, d̄uo. c u n + m +1 + u n + m = u n −1 ( u m +1 + u m ) + u n ( u m +2 + u m +1 ) , , , d̄ây chı́nh là d̄ăng thúc (5.46) khi ta biê´n d̄ôi và áp dung (5.41). . J , , Vı́ du. 5.24. Chú,ng minh ră` ng moi . sô´ Fibonacci có thê biêu diễn du,ó,i dang . √ !n √ !n 1+ 5 1− 5 − 2 2 √ , (n = 1, 2, . . .) (5.47) un = 5 , , , ,, , Lòi giai. Vói n = 1 và n = 2 ta nhân . d̄uo. c u1 = 1 và u2 = 1. Gia ,, , , su vói môt . sô´ n nào d̄ó, có un và un+1 theo công thúc (5.47) là sô´ , , ` hang thú n và n + 1 cua dãy Fibonacci. Ta sẽ chúng minh răng . 5.6. Dãy sô´ Fibonacci 137 , , , , sô´ hang thú n + 2 cua dãy cũng biêu diễn theo công thúc (5.47). . , Ðê cho gon . ta ký hiêu . √ √ 1+ 5 1− 5 α= , β= . 2 2 αn − βn α n +1 − β n +1 √ Khi d̄ó un = √ , u n +1 = . Do cách d̄at .̆ ta có 5 5 , ,, α + β = 1 và αβ = −1. Suy ra α và β là nghiêm . cua phuong trı̀nh , x2 − x − 1 = 0. Khi d̄ó α2 = α + 1, β2 = β + 1. Nhu vây . ta có αn − βn α n +1 − β n +1 √ + √ 5 5 α n α2 − β n β2 α n +2 − β n +2 α n ( α + 1) − β n ( β + 1) √ √ √ = = . = 5 5 5 , , ` Theo quy nap (5.47) d̄úng vói moi . toán hoc . biêu diễn un băng . n. u n +2 = u n +1 + u n = J Vı́ du. 5.25. Chú,ng minh ră` ng α n = u n α + u n −1 , , ,, ,, , vói moi . sô´ tu. nhiên n ≥ 2. α nhu o bài tâp . truóc. , , , ,, , , , , , Lòi giai. Vói n = 2, 3 d̄ăng thúc d̄úng. Gia su d̄ăng thúc d̄úng , vói n = k và n = k + 1, nghı̃a là α k = u k α + u k −1 , αk+1 = uk+, 1 α + uk . , , ,, Ta công hai d̄ăng thúc lai . kê´t qua nhân . d̄uo. c . α k + α k +1 = ( u k + u k +1 ) α + ( u k −1 + u k ), hoac .̆ là α k +2 = u k +2 α + u k +1 . ,, Chuong 5. Dãy sô´ 138 , , Theo nguyên lý quy nap . toán hoc . d̄ăng thúc trong bài cho là d̄ã d̄úng. ,, , Hoàn toàn tuong tu. ta cũng có J β n = u n β + u n −1 . Vı́ du. 5.26. Chú,ng minh ră` ng u2n − un−1 un+1 = (−1)n+1 vó,i n > 1. , , , , , Lòi giai. Vói n = 2, ta có u22 = u1 u3 − 1 d̄ăng thúc d̄úng. , , ,, , ` Gia su răng u2k − uk−1 uk+1 = (−1)k , ta câ`n chúng minh d̄ăng , thúc trên cũng d̄úng cho n = k + 1, nghı̃a là u2k+1 − uk uk+2 = (−1)k+2 . Thât . vây, . u2k+1 − uk uk+2 = u2k+1 − uk (uk+1 + uk ) = uk+1 (uk+1 − uk ) − u2k = uk+1 uk−1 − u2k J = −(u2k − uk+1 uk−1 ) = −(−1)k+1 = (−1)k+2 . Vı́ du. 5.27. Chú,ng minh ră` ng nê´u n chia hê´t cho m, thı̀ un chia hê´t cho um . , , , Lòi giai. Vı̀ n chia hê´t cho m, nên ta có thê viê´t n = mk. Ta sẽ , chúng minh quy nap . theo k. , , Vói k = 1, khi d̄ó n = m nhu vây . un chia hê´t cho um là , , ,, , hiên nhiên. Gia su umk chia hê´t cho um , ta xét um(k+1) . Nhung , u =u và theo công thúc (5.44) ta có m ( k +1) mk +m um(k+1) = umk−1 um + umk um+1 . , , Sô´ hang thú nhâ´t có chúa um nên nó chia hê´t cho um , còn sô´ hang . ., , , , ´ thú hai theo gia thiê´t quy nap u chia hê t cho u . Nhu v ây tô ng m mk . . , cua hai sô´ hang chia hê´t cho um , suy ra um(k+1) chia hê´t cho um . . J 5.7. Bài tâp . 139 5.7. Bài tâp . , . 5.28. Hãy tı̀m u,ó,c sô´ chung ló,n nhâ´t cua các sô´ 2 1 3 2 22 + 22 + 1; 22 + 22 + 1; . . . ; 22 n +1 n + 22 + 1; . . . , ` . 5.29. Chú,ng minh răng nê´u pn là sô´ nguyên tô´ thú n, thı̀ pn < n 22 . ` . 5.30. Chú,ng minh răng nê´u 0 ≤ α1 ≤ β 1 ≤ α2 ≤ . . . ≤ αn ≤ π β n ≤ , thı̀ 2 n n i =1 i =1 ∑ (sin βi − sin αi ) ≤ sin( ∑ ( βi − αi )). , . 5.31. Chú,ng minh bâ´t d̄ăng thú,c n 1 13 ∑ n + i > 24 , n = 2, 3, . . . i =1 , . 5.32. Tı̀m gió,i han . cua dãy r q q √ √ √ a1 = c, a2 = c + c, a3 = c + c + c, . . . ,, ,, ` o d̄ây c là hăng sô´ duong. , , CHUONG 6 HÌNH HOC . 6.1. Vı́ du. quy nap . toán hoc . cho hı̀nh hoc . ………….. 6.2. Bài tâp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………. . 140 154 ,, Phuong pháp quy nap râ´t nhiê`u trong các . toán h,oc . áp dung . , ´ bài tâp . hı̀nh hoc. . Ban . d̄oc . có thê tı̀m thây trong [7] nhũng ,khı́a ,, canh câ`n thiê´t cho phuong pháp này trong hı̀nh hoc. . . Ta chı liêt . , ,, ´ ´ kê duói d̄ây môt . sô bài rât d̄iên hı̀nh. 6.1. Vı́ du. quy nap . toán hoc . cho hı̀nh hoc . , Vı́ du. 6.1. Trong mat .̆ phăng cho n hı̀nh lô`i ( n > 3 ), mỗi cap .̆ ba , , , trong chúng có d̄iêm chung. Chúng minh ră` ng tô`n tai . d̄iêm, mà , nó nă` m trên tâ´t ca các hı̀nh. , , , , ` Lòi giai. 1. Vói n = 4, ta ký hiêu C1 , C2 , C3 , C4 . . nhũng hı̀nh băng Cho C1 ∩ C2 ∩ C3 = A4 , C1 ∩ C2 ∩ C4 = A3 , C1 ∩ C3 ∩ C4 = A2 , C2 ∩ C3 ∩ C4 = A1 . ` trong tam giác A1 A2 A3 , thı̀ bo,,i vı̀ A1 A2 A3 a. Nê´u A4 năm , , ⊂ C4 , ta có A4 ∈ C4 và suy ra A4 ∈ C, o, d̄ây C ký hiêu . là giao cua các hı̀nh C1 , C2 , C3 , C4 . , , , ´ cua các d̄u,ò,ng b. Nê´u A1 A2 A3 A4 là tú giác lô`i và A là d̄iêm căt , ` chéo cua chúng, thı̀ dễ thâ´y răng A ∈ C. 6.1. Vı́ du. quy nap . toán hoc . cho hı̀nh hoc . 141 , , ,, , , 2. Gia su d̄ã chúng minh cho khăng d̄inh d̄úng vói n − 1. . Ta xét n hı̀nh C1 , C2 , . . . , Cn . Lâ´y C = Cn−1 ∩ Cn . Ta xét dãy , C1 , C2 , . . . , Cn−1 , C. Ta sẽ chúng minh moi . cap .̆ ba các hı̀nh này , ´ ´ ` ´ d̄êu căt nhau. Thât u giũa ba hı̀nh căt nhau không là C, . vây, . nê , ` trong sô´ ba ` ´ thı̀ d̄iêu kêt luân . trên hiên nhiên d̄úng. Nê´u C năm , , hı̀nh và vı́ du. nhu C1 , C2 , C, thı̀ vı̀ thê´ nhũng hı̀nh C1 , C2 , Cn−1 , Cn , , , có d̄iêm chung X (theo chúng minh tai d̄iêm 1.). Suy ra X ∈ . , , , ` Cn−1 ∩ Cn = C. Tù d̄ây khăng d̄inh cua bài toán suy ra băng quy . nap. . , Vı́ du. 6.2. Cho n hı̀nh vuông bâ´t kỳ. Chú,ng minh ră` ng ta có thê , , , că´ t chúng ra thành môt . sô´ phâ`n d̄ê tù các phâ`n d̄ó ta có thê ghép , lai . thành môt . hı̀nh vuông mói. , , , , Lòi giai. Khi n = 1, d̄iê`u khăng d̄inh là hiên nhiên. . J M A1 B1 B A Q A2 O Q B2 D2 N N D1 C1 P A2 D2 C2 B2 D P C C2 Hı̀nh 6.1: , , ` Ta chúng minh răng khi n = 2, d̄iê`u khăng d̄inh d̄ó cũng . , d̄úng. Goi cua hai hı̀nh vuông A1 B1 C1 D1 và . d̄ô. dài các canh . , ,, ,, , A2 B2 C2 D2 tuong úng là x1 và x2 . Gia su x1 ≥ x2 . Trên các canh . , , cua hı̀nh A1 B1 C1 D1 vói canh x ta d̄ at c ác d̄o an A M = B N = 1 1 1 . .̆ . x1 + x2 , , ´ hı̀nh vuông d̄ó theo các d̄uòng C1 P = D1 Q = và căt 2 142 ,, Chuong 6. Hı̀nh hoc . , ´ nhau tai MP và NQ, rõ ràng MP và NQ căt . O cua hı̀nh vuông ,, , và tao . vói nhau môt . góc vuông. Các d̄uòng d̄ó chia hı̀nh vuông , ` thành 4 phâ`n băng nhau nhũng hı̀nh d̄ó ghép vào hı̀nh vuông , ,, A2 B2 C2 D2 nhu hı̀nh bên. Hı̀nh nhân . d̄uo. c sẽ là hı̀nh vuông vı̀ các giá tri. góc M, N, P, Q bù nhau, các góc A, B, C, D là vuông và AB = BC = CD = DA. , ,, ,, , , Gia su mênh d̄ê` d̄ã d̄uo. c chúng minh d̄ô´i vói n hı̀nh vuông và . , ,, gia su ta có n + 1 hı̀nh vuông V1 , V2 , . . . , Vn , Vn+1 . Ta lâ´y ra bâ´t , ,, , , kỳ hai hı̀nh vuông, chăng han . Vn và Vn+1 nhu d̄ã chúng minh o , ´ môt trên sau khi d̄ã căt . hı̀nh vuông và ghép vào hı̀nh vuông thú ,, , hai ta d̄uo. c môt mói V 0 . Do vây n hı̀nh vuông . hı̀nh vuông . ta có , , 0 ´ ra d̄u,o.,c các V1 , V2 , . . . , Vn−1 , V theo gia thiê´t quy nap . có thê căt , , phâ`n và tù các phâ`n d̄ó có thê ghép lai . thành môt . hı̀nh vuông , mói. J , , , Vı́ du. 6.3. Trong mat phăng cho n ≥ 3 d̄iêm, tâ´t ca không nă` m .̆ , , , trên d̄u,ò,ng thăng. Chú,ng minh ră` ng tâ´t ca các d̄u,ò,ng thăng nô´i , , , ,, hai d̄iêm trong các d̄iêm d̄ã cho tao . ra sô´ d̄uòng thăng khác nhau , không nho ho,n n. , , , , , , Lòi giai. Vói n = 3 d̄iêm, mênh . , d̄ê` hiên nhiên d̄úng: Ba d̄iêm ,, , , ` trên môt không năm d̄uòng thăng nô´i tùng d̄ôi vói nhau tao . . ra , ,, ba d̄uòng thăng khác nhau. , ,, , , , Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói n ≥ 3 d̄iêm. Ta chúng minh nó . , , , , ` cũng d̄úng vói n + 1 d̄iêm. Ta có thê chúng minh răng tô`n , , , , , , tai chı chúa hai d̄iêm. Ta ký hiêu . ı́t nhâ,´t môt . d̄uòng thăng . , ,, , d̄uòng thăng d̄i qua hai d̄iêm An và An+1 là An An+1 . Nê´u nhũng , , ,, ,, ` trên môt d̄iêm A1 , A2 , . . . , An năm d̄uòng thăng, thı̀ sô´ luo. ng các . , , ,, ,, , d̄uòng thăng sẽ d̄úng là n + 1: Gô`m n d̄uòng thăng nô´i An+1 vói 6.1. Vı́ du. quy nap . toán hoc . cho hı̀nh hoc . 143 , , ,, các d̄iêm A1 , A2 , . . . , An và d̄uòng thăng chúng nô´i chung. Nê´u , , ,, ` trên môt A1 , A2 , . . . , An không năm d̄uòng thăng, thı̀ theo gia . , ,, , thiê´t quy nap . , có n d̄uòng thăng kh,ác nhau. Bây giò ta thêm ,, ,, , các d̄uòng thăng nô´i An+1 vói các d̄iêm A1 , A2 , . . . , An . Vı̀ d̄uòng , , , thăng An An+1 không chúa môt d̄iêm nào trong A1 , A2 , . . . , An−1 , . , , ,, ,, , thı̀ d̄uòng thăng này khác hoàn toàn vói n d̄uòng thăng tao . ra , ,, , ,, ´ boi A1 , A2 , . . . , An . Nhu vây . sô d̄uòng thăng tao . ra cũng không , , nho hon n + 1. , , , ,, Vı́ du. 6.4. Trong mat .̆ phăng ,cho n ≥ 3 d̄iêm. Ðuòng kı́nh cua , , môt . hê. thô´ng d̄iêm là d̄oan . thăng nô´i hai d̄iêm trong hê. thô´ng và , , ,, , d̄ô. dài d cua d̄oan . này là lón nhâ´t. Chúng minh ră` ng sô´ d̄uòng kı́nh không vu,o.,t quá n. J , , , , , Lòi giai. Nê´u xuâ´t phát tù môt . d̄iêm A cua hê. d̄,ã cho, ta có ba ,, d̄uòng kı́nh AB, AC và AD. Khi d̄ó dễ thâ´y ba d̄iêm B, C và D sẽ , , , ` trên d̄u,ò,ng tròn k1 ( A, d). Tâ´t ca nhũ,ng d̄iêm còn lai năm . cua hê. ,, ` hoac thô´ng sẽ năm trên k1 hoac bên trong nó. boi vı̀ mỗi d̄oan .̆ .̆ . , , , , , thăng BC, BD và CD không lón hon d, thı̀ nhũng d̄iêm B, C và D , ` trên cung cua k1 , tu,o,ng ú,ng góc không ló,n ho,n 600 . Goi sẽ năm . _ _ , ,, , 0 d̄iêm C bên trong cung BD, vói nó BD ≤ 60 .Ta vẽ d̄uòng tròn , , , ,, , , k2 (C, d); Nhũng d̄iêm cuô´i cua tâ´t ca d̄uòng kı́nh cua hê. d̄ã cho _ , , , ` trên cung MN cua k2 (M, N là giao xuâ´t phát tù C, phai năm , , , ` trong hı̀nh tròn k1 . Nhu,ng mỗi d̄iêm d̄iêm cua k1 và k2 ) và năm _ , , , , cua cung MN, ngoài A, d̄úng cách xa nhũng d̄iêm B hoac .̆ D môt . , , ,, , , ´ khoang cách lón hon d, tù d̄ó suy ra CA là d̄uòng kı́nh duy nhât, , xuâ´t phát tù C. , , , ` Nhu vây ta kê´t luân răng vói môt hê. d̄ã cho n d̄iêm, tô`n tai . . . . , , , ´ hai kha năng: hoac l à trong h ê có m ôt d̄iê m, t ù nó xuâ t ph át .̆ . . 144 ,, Chuong 6. Hı̀nh hoc . , ,, , không quá môt . d̄uòng kı́nh, hoac .̆ là tù mỗi d̄iêm d̄ê`u xuát phát ,, d̄úng hai d̄uòng kı́nh. , , , ` Khăng d̄inh quy nap . , cua bài to, án chúng minh b,ăng . theo n. ,, , , Vói n = 3 khăng d̄inh hiên nhiên d̄úng. Gia su nó d̄úng vói n = . , , , , k ≥ 3. Ta sẽ chúng minh nó còn d̄úng ca vói hê. có n = k + 1 d̄iêm. , , Thât . vây, . nê´u trong hê. có k + 1 d̄iêm: A1 , A2 , . . . , Ak+1 có d̄iêm, , ,, , ´t vı́ du. A1 , tù nó không xuâ´t phát d̄uòng kı́nh hoac .̆ tù nó xuâ , , ,, , , , , , phát chı môt . d̄uòng kı́nh, thı̀ sô´ luo. ng nh, ũng d̄uòng kı́nh cua ,, ,, , hê. này nhiê`u hon sô´ luo. ng d̄uòng kı́nh cua hê. A2 , A3 , . . . , Ak+1 , ,, ,, nhiê`u nhâ´t là 1, nghı̃a là sô´ luo. ng d̄uòng kı́nh cua hê. ta d̄ang xét , , , , , không lón hon k + 1. Nê´u môt d̄iêm nhu vây . . không tô`n tai, . thı̀ tù , ,, , mỗi d̄iêm Ai xuâ´t phát d̄úng hai d̄uòng kı́nh và tù d̄ó suy ra sô´ , 2( k + 1) ,, ,, ` luo. ng d̄uòng kı́nh băng = k + 1, Nhu, vây kê´t luân cua . . 2 , bài toán d̄úng vói moi . n. , Vı́ du. 6.5. Chú,ng minh ră` ng n d̄u,ò,ng thăng trong môt . mat .̆ , , , , ng miền kh ác nhau, có thê tô m àu phăng chia mat ph ăng ra nh ũ .̆ tră´ ng hoac d̄en cho mỗi miềm sao cho nhũ,ng miền canh nhau .̆ . khác màu nhau. , , , ,, , ,, phăng P ra hai nua mat Lòi giai. 1) Ðuòng thăng AB chia mat .̆ .̆ , , , ´ phăng P1 và P2 . Tô P1 màu trăng, P2 màu d̄en và nhu vây tho a . , , , , , mãn d̄òi hoi bài toán. Vói n = 1 mênh d̄ê` d̄uo. c chúng minh. . , , ,, ,, , 2) Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói n = k và mat phăng P d̄uo. c tô . .̆ , , ,, , màu nhu yêu câ`u bài toán. Ðuòng thăng thú k + 1, CD chia mat .̆ , , ,, , ´ ` phăng P ra hai nua Q1 và Q2 . Tât ca các phân trong Q1 ta giũ ,, ´ nguyên màu d̄ã tô, còn trong nua Q2 mỗi phâ`n ta thay trăng ´ thành d̄en và d̄en thành trăng. , ,, , Gia su O1 và O2 là hai phâ`n bâ´t kỳ canh nhau, sau khi ke . J 6.1. Vı́ du. quy nap . toán hoc . cho hı̀nh hoc . 145 , , , ,, d̄uòng CD. Chı có môt . trong hai kha năng sau xây ra: , ` trên phâ`n khác nhau cua CD, a) O1 và O2 năm , ` trên cùng môt b) O1 và O2 năm . phı́a cua CD. , , ,, ,, , Truòng ho. p a) O1 và O2 sau khi ke k d̄uòng thăng d̄â`u tiên, , , , ,, nhung CD chua ke thı̀ chúng là môt miê`n và d̄uo. c tô cùng môt . . , , , ` màu. Nhung sau khi ke CD thı̀ môt . miên Q1 giũ nguyên màu , , ,, , ` còn phân kia O2 d̄uo. c d̄ôi màu theo cách du. ng. Nghı̃a là O1 và O2 khác màu nhau. , ,, ,, , , Truòng ho. p b) Sau khi vẽ k d̄uòng thăng, mà CD còn chua , , ,, ke , khi d̄ó O1 và O2 là hai miê`n canh nhau do k d̄uòng thăng . , , tao gia thiê´t quy nap chúng khác màu nhau. Sau khi ke . ra, theo . , ,, ` cùng phı́a vó,i Q1 , thı̀ màu d̄uòng thăng CD, nê´u O1 và O2 năm , , ` cùng cua chúng không d̄ôi, vẫn khác màu nhau. Nê´u chúng năm , , , ,, , phı́a vói Q2 , thı̀ màu cua mỗi miê`n d̄ê`u d̄ôi. Nhu vây . moi . truòng , ho. p O1 và O2 d̄ê`u có hai màu khác nhau. J , , Vı́ du. 6.6. Chú,ng minh ră` ng nê´u n mat phăng d̄i qua môt d̄iêm .̆ . , , ,, sao cho không có ba mat .̆ phăng nào có chung môt . d̄uòng thăng, thı̀ chúng chia không gian ra An = n(n − 1) + 2 phâ`n. , , , Lòi giai. 1) Môt . mat .̆ phăng chia không gian làm hai phâ`n và , A1 = 2. Vói n = 1 mênh d̄ê` d̄úng. . , , ,, , 2) Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói n = k, hoac . .̆ là k mat .̆ phăng chia , không gian ra k (k − 1) + 2 phâ`n. Ta sẽ chúng minh k + 1 chia không gian ra k(k + 1) + 2 phâ`n. , , , ,, , Thât . vây, . Gi, a su P là mat .̆ , phăng thú k + 1. M, ỗi mat .̆ phăng ,, ´ mat trong k mat d̄ó sao .̆ phăng P môt . d̄uòng thăng nào .̆ ,phăng căt , , , , , cho mat .̆ phăng P bi. chia ra nhũng phâ`n tù k d̄uòng thăng khác 146 ,, Chuong 6. Hı̀nh hoc . , , ,, ,, nhau d̄i qua cùng môt . d̄iêm. Theo bài truóc mat .̆ , phăng P, d̄uo. c , chia ra 2k phâ`n, mỗi phâ`n là góc trong mat phăng vói d̄ınh là .̆ , d̄iêm d̄ã cho. , k mat .̆ phăng d̄â`u tiên chia không gian thành môt . sô,´ góc d̄a ,, diên. . Môt . sô´ góc này bi. chia ra làm hai phâ`n boi mat .̆ phăng P. , , , , , Vói mat .̆ chung cua hai phâ`n có phâ`n ,cua mat .̆ phăng giói han . ,, ´ nhũ,ng mat boi hai tia mà theo nó P căt c ua góc d̄a di ên m ôt trong .̆ . . , , ,, 2k góc mat ph ăng, m à nó chia ra b o i m at ph ăng P. .̆ .̆ ` ´ Ðiêu này có nghı̃a là sô góc d̄a diên, . mà bi. chia làm hai phâ`n , , ,, , boi P, không thê lón hon 2k. ´ k Mat .̆ ,khác, mỗi phâ`n trong 2k phâ,`n, mà nó bi. chia do P căt mat .̆ phăng d̄â`u tiên, là mat .̆ chung c,ua hai góc d̄a diên . và nghı̃a ,, là chia góc d̄a diên . tao . boi k mat .̆ phăng ra làm hai phâ`n. ,, , Ðiê`u này có nghı̃a sô´ luo. ng nhũng góc d̄a diên, . mà nó bi. chia , , , ,, ra làm hai phâ`n boi P, không thê nho hon 2k. , , ,, `n cua không gian tao Vı̀ mat b oi .̆, phăng P chia d̄úng 2k phâ . , k mat .̆ phăng. Vı̀ thê´ nê´u k m,at .̆ phăng chia không gian ra k (k − 1) + 2 phâ`n, thı̀ k + 1 mat .̆ phăng sẽ chia nó ra [k(k − 1) + 2] + 2k = k(k + 1) + 2 phâ`n. J , , , Vı́ du. 6.7. 8n − 4 d̄iêm nă` m o, dang chũ, thâp . . (hı̀nh vẽ vói n = 4). , , , , Có bao nhiêu kha năng d̄ê chon . bô´n d̄iêm trong chúng d̄ê tao . , thành d̄ınh hı̀nh vuông ? , , , ,, Lòi giai. Ta chúng minh sô´ luo. ng hı̀nh vuông câ`n tı̀m là 10n − 9. , , 1) Vói n = 1, hiên nhiên d̄úng vı̀ ta có 1 = 10.1 − 9 hı̀nh vuông. 6.1. Vı́ du. quy nap . toán hoc . cho hı̀nh hoc . 147 , ,, ´ vó,i n = 2, ta có thê chon 2) Không khó khăn lăm . d̄uo. c 11 = 10.2 − 9 hı̀nh vuông. , ,, , 3) Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói . n = k, mà k ≥ 2. Ta xét hı̀nh gô`m 8(k + 1) − , , 4 d̄iêm (trong hı̀nh vói k = 3) (hı̀nh 5) , Theo gia thiê´t quy nap . , ,, ta có thê chon . d̄uo. c 10k − 9 hı̀nh vuông, không có môt . hı̀nh vuông nào trong chúng có Hı̀nh 6.2: , , , môt . d̄ınh trùng vói các d̄iêm , , , A, B, C, D, E, F, G, H. Bây giò ta xét nhũng hı̀nh vuông có d̄iêm , ,, , trùng vói A. Không khó khăn ta chı tı̀m d̄uo. c 3 hı̀nh vuông , , ABB1 A1 , ACED, AC1 F1 H. Nhu vây, chı có 10 hı̀nh vuông khác . , , , , nhau khi ta thay d̄ôi d̄ınh A vói các d̄iêm B, C, . . . , H: 4 hı̀nh vuông dang AC1 F1 H, 4 hı̀nh vuông dang ABB1 A1 và hai hı̀nh . , ,. ´ vuông ACEF, BDFH. Tông công tât ca là 10k − 9 + 10 = 10(k + . 1) − 9 hı̀nh vuông. J Vı́ du. 6.8. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . . sô´ nguyên n ≥ 0 tô`n tai , , , , , , môt . d̄uòng tròn trên mat .̆ phăng chúa trong nó n d̄iêm vói toa . d̄ô. nguyên. , , , , Lòi giai. Chúng minh quy nap 0, thı̀ thu. c . theo n. Nê´u n = , ,, , châ´t d̄uòng tròn K0 không chúa trong nó môt . d̄iêm nào có toa . , , , , d̄ô. nguyên, d̄ê có d̄iê`u d̄ó ta lâ´y d̄uòng tròn bâ´t kỳ vói tâm , ,, O( x0 , y0 ), o d̄ây ta chon . môt . trong x0 , y0 không phai là sô´ nguyên , , và bán kı́nh r thı́ch ho. p. Nê´u, vı́ du. nhu x0 không nguyên, thı̀ 148 ,, Chuong 6. Hı̀nh hoc . , , có thê chon . r là, sô´ nho nhâ´t trong { x0 } và 1 − { x0 }. Thât . vây, . ,, , , ´ ´ nêu M ( x, y) d̄iêm bât kỳ trong d̄uòng tròn vùa du. ng K0 , thı̀ x ≤ x0 + |OM| < x0 + r ≤ x0 + 1 − { x0 } = [ x0 ] + 1 và x ≥ x0 − |OM| > x0 − r ≥ x0 − { x0 } = [ x0 ] hay là [ x0 ] < x < [ x0 ] + 1 và vı̀ thê´ x không là sô´ nguyên. , ,, Gia su chúng ta d̄ã xây , ,, ,, , du. ng d̄uo. c d̄uòng tròn Kn vói , , tâm On , chúa trong nó n d̄iêm , vói toa . d̄ô. nguyên. Ta sẽ tăng ,, bán kı́nh d̄uòng tròn d̄ó lên và , ,, giũ nguyên tâm, tăng d̄uòng , , tròn d̄ê´n múc không chúa , d̄iêm có toa . d̄ô. nguyên bên ,, trong ngoài Kn . Ta nhân . d̄uo. c , Hı̀nh 6.3: vòng tròn L1 d̄ô`ng tâm vói Kn , , , ,, chúa n d̄iêm có toa . d̄ô. nguyên trong d̄uòng tròn Kn và ı́t nhâ´t , ,, môt . d̄iêm có toa . d̄ô. nguyên A trên d̄uòng tròn. , ,, , ´ (On A) vó,i d̄u,ò,ng tròn Kn , ho,n nũ,a Gia su P và Q là d̄iêm căt ` giũ,a P và A. Ta du.,ng d̄u,ò,ng tròn L2 vó,i d̄u,ò,ng kı́nh [ PA]. On năm , , , , Khi d̄ó L2 chúa d̄úng n + 1 d̄iêm vói toa d̄ô. nguyên: n d̄iêm bên . , , trong và môt biên. Ta có thê tăng không nhiê`u bán . d̄iêm trên , ,, ,, ,, , kı́nh d̄uòng tròn L2 d̄ê d̄uo. c d̄uòng tròn Kn+1 d̄ô`ng tâm vói L2 , , , , mà nó chúa n + 1 d̄iêm có toa . d̄ô. nguyên và không chúa toa . d̄ô. có ´ sô nguyên nào khác. J , , Vı́ du. 6.9. Ho.,p cua môt . sô´ hı̀nh tròn có diên . tı́ch 1. Chúng minh , ,, , ră` ng tù, trong chúng có thê chon . d̄uo. c môt . sô´ hı̀nh tròn, tùng d̄ôi , , 1 môt . không că´ t nhau, mà diên . tı́ch chung không nho hon 9 . 6.1. Vı́ du. quy nap . toán hoc . cho hı̀nh hoc . 149 , , ,, , Lòi giai. Bài toán d̄uo. c suy ra tù mênh d̄ê` sau: . , , , ,, Bô d̄ê`: Trong mat .̆ .̆ phăng cho n d̄uòng tròn, chúng phu mat , , , , , phăng vói diên . hoac .̆ môt . . tı́ch S. Khi d̄ó có thê chon . d̄uo. c môt , , ´ ´ sô hı̀nh tròn d̄ôi môt . không căt nhau, tông diên . tı́ch cua chúng , , S không nho hon . 9 ,, , ,, , Chúng minh. Ta su dung phuong pháp quy nap theo n. Vói . . , , , , ` n = 1 khăng d̄inh d̄úng hiên nhiên. Ta gia thiê´t răng bô d̄ê` d̄úng . , , , vói moi k < n. Ta xét tâp ho. p R gô`m n hı̀nh tròn, mà nó phu mat . . .̆ , ,, , phăng vói diên . tı́ch S và ta ký hiêu . K là d̄uòng tròn có bán kı́nh S ,, , lón nhâ´t r. Goi . S(K ) là diên . tı́ch d̄uòng tròn này. Nê´u S(K ) ≥ 9 , , , , , thı̀ hı̀nh tròn K thao mãn kê´t luân . cua bô d̄ê`. Vı̀ vây . vói S(K ) < S , , , . Mỗi môt . hı̀nh tròn tù R có bán kı́nh không lón hon r, và suy 9 , , , ` trong d̄u,ò,ng ra, nê´u nó có d̄iêm chung vói K, thı̀ nó phai năm , ,, , tròn d̄ô`ng tâm vói K có bán kı́nh 3r. Vı̀ diên tı́ch cua d̄uòng tròn . , , , , , lón này là 9S(K ), tâp ho. p R1 cua tâ´t ca hı̀nh tròn mà có d̄iêm . , , , , , `n cua mat chung vói K, phu môt phăng vói diên . phâ .̆ . tı́ch không , ,, , , , lón hon 9S(K ), suy ra nho hon S, vı̀ 9S(K ) < S. Khi d̄ó có d̄uòng , , , ,, , tròn trong R không có d̄iêm chung vói K. Tâ´t ca nhũng d̄uòng , , tròn nhu vây ành môt tâp khác rỗng R2 = R R1 và phu . tao . th . . , , , , môt . phâ`n mat .̆ phăng vói diên . tı́ch S2 ≥, S − 9S(K ); Vói ,nhũng ,, , , ,, , d̄uòng tròn nhu vây . tù R2 sô´, luo. ng nho hon n. Theo gia thiê´t , ,, , quy nap . tù tâp . ho. p R2 có thê chon ., d̄uo. c môt . ho, ac .̆ môt . sô´ hı̀nh tròn d̄ôi môt . không giao nhau, tông diên . tı́ch cua chúng không , , S2 , , 1 S nho hon , suy ra không nho hon (S − 9S(K )) = − S ( K ). 9 9 9 , , ,, , ´ , Hı̀nh tròn K không có nhũng d̄iêm chung vói bât cú môt . d̄uòng , ,, , tròn nào trong nhũng d̄uòng tròn ta d̄ang xét. Thêm vào tâp . ho. p 150 ,, Chuong 6. Hı̀nh hoc . , ,, ,, ,, nhũng d̄uòng tròn d̄ang xét d̄uòng tròn K, ta sẽ nhân oc tâp . d̄u , . . , ,, , ho. p nhũng d̄uòng tròn d̄ôi môt . không giao nhau, mà tông diên . , , , S tı́ch cua chúng không nho hon . 9 , , ´ Vı́ du. 6.10. Dãy nhũng sô tu. nhiên a1 , a2 , . . . , an , . . . xác d̄inh . theo , , d̄ăng thúc J a1 = 2, an+1 = (n + 1) an + 1, n = 1, 2, . . . , , Trong môt . mat .̆ phăng cho an + 1 ,d̄iêm khác nhau, không, có ba , , ,, d̄iêm nào nă` m trên môt . thăng nô´i . d̄uòng thăng. Tâ´t ca các d̄oan , , , , , nhũng d̄iêm này d̄uo. c tô bă` ng môt . trong n màu d̄ã cho. Chúng , , , minh ră` ng vó,i moi . n = 1, 2, . . . tô`n tai . tam giác vói nhũng d̄ınh , , trong các d̄iêm d̄ã cho, mà nhũ,ng canh cua nó d̄ều d̄u,o.,c tô cùng . môt . màu. , , , , , Lòi giai. Chúng minh quy nap theo n. Vói n = 1 khăng d̄inh . . , , , ` ´ d̄úng hiên nhiên. Ta gia thiêt răng nó cũng d̄úng vói n = k. Cho , , ak+1 + 1 d̄iêm thoa mãn d̄iê`u kiên bài toán và O là môt trong ,. , , , . , , ´ ´ nhũng d̄iêm d̄ó. Tât ca d̄oan . thăng nôi O vói mỗi d̄iêm còn lai . , , , ,, tù ak+1 d̄iêm, là ak+1 = (k + 1) ak + 1. Nhũng d̄oan . này d̄uo. c tô , , ` nhiê`u nhâ´t băng k + 1 màu khác nhau. Suy ra tù nhũng d̄oan . , , , thăng xuâ´t phát tù O, có ı́t nhâ´t ak + 1 d̄oan th ăng tô c ùng m ôt ., ,. , màu (nguyên lý Dirichlet), lâ´y d̄ó là màu d̄o. Ta xét nhũng d̄iêm , , , ` A1 , A2 , . . . , A ak +1 , mà chúng nô´i vói O băng d̄oan . thăng ,màu d̄o. , ` Nê´u giũa chúng có hai Ai và A j cũng nô´i băng d̄oan . thăng màu , , d̄o, thı̀ tam giác OAi A j là cùng môt màu. Nê´u moi cap hai d̄iêm . . .̆ , , , ,, ` cua A1 , A2 , . . . , A ak +1 d̄uo. c nô´i băng d̄oan thăng không phai màu . , , , , , ,, ` d̄o, ta có ak + 1 d̄iêm, nhũng d̄oan thăng giũa chúng d̄uo. c tô băng . , k màu. Theo gia thiê´t quy nap . ba d̄oan . nào d̄ó trong chúng là , , d̄ınh cua môt . tam giác cùng màu. J 6.1. Vı́ du. quy nap . toán hoc . cho hı̀nh hoc . 151 , , Vı́ du. 6.11. Trong môt . mat .̆ phăng, cho 2000 d̄iêm, không có ba , sô´ trong chúng d̄u,o.,c d̄iêm nào nă` m trên môt d̄u,ò,ng thăng. Môt . . , , ,, nô´i thành d̄oan . thăng theo nguyên tă´ c sau: Nê´u d̄iêm A d̄uo. c nô´i , , , vó,i d̄iêm B và d̄iêm B d̄u,o.,c nô´i vó,i d̄iêm C, thı̀ A không d̄u,o.,c , nô´i vó,i d̄iêm C. Chú,ng minh ră` ng vó,i cách nô´i trên ta thu d̄u,o.,c , không quá 1 000 000 d̄oan . thăng. , , , ` ` Lòi giai. Băng quy nap . theo n ,ta sẽ , chúng minh răng , nê´u trong mat m thoa mãn d̄iê`u kiên .̆ phăng cho , 2n d̄iê . , , ,, 2 (n = d̄â`u bài, thı̀ nhũng d̄oan th ăng k e d̄u o c không qu á n . , . , , , 2, 3, . . .). Vói n = 2 khăng d̄inh là hiên nhiên. Gia thiê´t . , , , , ` răng khăng d̄inh d̄úng vói 2n d̄iêm, và ta xét 2n + 2 d̄iêm. . , , , , , ,, ` Lâ´y hai d̄iêm A và B tù nhũng d̄iêm nô´i d̄uo. c băng d̄oan thăng. . , , , , , Còn lai ke . 2n d̄iêm,, theo gia thiê´t quy nap . nhũng d̄oan . thăng , , ,, , , , , d̄uo. c giũa 2n d̄iêm này không lón hon n2 . Nhũng d̄oan thăng ke . , , , , tù A và B tói 2n d̄iêm còn lai, m . không quá 2n (vı̀ nê´u môt . d̄iê , ,, ,, ,, , , ´ ´ d̄uo. c nôi vói A, nó sẽ không d̄uo. c nôi vói B và nguo. c lai). ı còn . Ch , , , , ´ ´ thêm môt . d̄oan . nôi A và B. Nhu vây . tât ca các d̄oan . thăng ke ,, d̄uo. c không quá n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 . , , Vı́ du. 6.12. a) Ðiêm O nă` m trong phâ`n trong cua d̄a giác lô`i , , A1 A2 . . . An . Ta xét tâ´t ca các góc Ai OA j , o, d̄ây i và j là nhũ,ng sô´ tu. , nhiên khác nhau giũ,a các sô´ 1, 2, . . . , n. Chú,ng minh ră` ng , giũ,a nhũ,ng góc này có ı́t nhâ´t n − 1 góc phai là góc nhon . (nghı̃a là hoac .̆ là góc vuông, góc tù hoac .̆ là góc bet). . , , b) Cùng bài toán cho d̄a diên . vói n d̄ınh. , , , , , ` Lòi giai. Ta chúng minh băng quy nap . , theo n. Vói n = 3 khăng ,, , , ` d̄inh d̄uo. c chúng minh dễ dàng. Ta gia thiê´t răng nó d̄úng vói . ,, , n = k, o d̄ây k là môt . sô´ tu. nhiên nào d̄ó và ta xét d̄a giác lô`i có J 152 ,, Chuong 6. Hı̀nh hoc . , , ,, sô´ canh k + 1, A1 A2 . . . Ak+1 . Ta ke d̄uòng thăng l d̄i qua O vuông . , góc vói OAk+1 (hı̀nh 7). , , Ít nhâ´t môt trong nhũng d̄ınh . , ` trong nu,,a cua (k + 1)-d̄a giác năm , , mat .̆ phăng kh,ác phı́a vói Ak+1 ng, ăn ,, ,, boi d̄uòng thăng l. Cho d̄ó là d̄ınh A2 . Khi d̄ó góc A2 OAk+1 là tù. , Theo gia thiê´t quy nap . k-d̄a giác lô`i A1 A2 . . . Ak có ı́t nhâ´t k − 1 góc không nhon Ai OA j và chúng . dang . , ` Hı̀nh 6.4: khác vói góc A2 OAk+1 . Băng cách d̄ó , ,, ` , , , chúng minh d̄uo. c răng sô´ luo. ng nhũng góc Ai OA j không nhon . trong (k + 1)−d̄a giác A2 . . . Ak+1 ı́t nhâ´t là k. J Vı́ du. 6.13. a) Chú,ng minh ră` ng trong moi . n− giác (n ≥ 4) có ı́t , , nhâ´t môt . ven . bên trong d̄a giác. . d̄uòng chéo nă` m tron , b) Sô´ nho nhâ´t các d̄u,ò,ng chéo nhu, vây . trong n− giác là bao nhiêu? , , , , Lòi giai. a) Nê´u d̄a giác là lô`i thı̀ bài toán là hiên nhiên. Bây giò , ,, , , ,, , , gia su góc trong cua d̄a giác tai d̄ınh A lón hon 1800 . Boi góc nhı̀n . , , , , ,, tron cua d̄a giác tù d̄ınh A luôn duói môt góc nho . ven . môt . canh . . , , ,, , hon 1800 , cho nên tù d̄ınh A sẽ nhı̀n d̄uo. c tron . ven . ı́t nhâ´t, hai , , canh. Do d̄ó tô`n tai . . tia xuâ´t phát tù d̄iêm A ,mà trên d̄ó xây ra , ,, , viêc d̄uo. c nhı̀n tù d̄iêm A (hı̀nh 9). Mỗi . d̄ôi (các phâ`n) các canh . ,, ` tron tia d̄ó cho môt . d̄uòng chéo năm . ven . bên trong d̄a giác. , , b) Tù hı̀nh 8 ta thâ´y cách du. ng môt . n− giác ,có d̄úng n − 3 ,, , ` tron d̄uòng chéo năm . ven . trong nó. Còn lai . ta phai chúng minh ,, ` ` bên răng trong moi . n− giác có ı́t nhâ´t n − 3 d̄uòng chéo năm 6.1. Vı́ du. quy nap . toán hoc . cho hı̀nh hoc . Hı̀nh 6.5: 153 Hı̀nh 6.6: , ,, , trong. Vói n = 3 mênh d̄ê` d̄ó dúng. Gia su mênh d̄ê` d̄ó d̄úng . . , , , , cho tâ´t ca các k − giác, vói k < n, ta phai chúng minh nó cho , , ,, ,, n−giác. Theo kê´t qua bài trên, n− giác có thê d̄uo. c chia boi môt . ,, ` tron d̄uòng chéo năm v en bên trong th ành hai d̄a gi ác ( k + 1 )− . . , giác và (n − k + 1)− giác, vói k + 1 < n và n − k + 1 < n. Trong ,, các d̄a giác d̄ó có ı́t nhâ´t (k + 1) − 3 và (n − k + 1) − 3 d̄uòng ` bên trong tu,o,ng ú,ng. Do d̄ó trong n−giác có ı́t nhâ´t chéo năm ,, ` bên trong. 1 + (k − 2) + (n − k − 2) = n − 3 d̄uòng chéo năm J , Vı́ du. 6.14. Chú,ng minh ră` ng moi . n−giác có thê că´ t ra thành các tam giác bă` ng các d̄u,ò,ng chéo không că´ t nhau. , , , , ` Lòi giai. Ta chúng minh mênh d̄ê` này băng quy nap . , theo n. Vói , ,,. , n = 3 mênh d̄ê` d̄úng. Gia su mênh d̄ê` d̄úng cho tâ´t ca k −giác, vói . . , k < n, ta câ`n chúng minh nó cho moi . n− giác. Môt . n− giác bâ´t , ,, ,, ,, kỳ có thê d̄uo. c chia boi môt . d̄uòng chéo ra th, ành hai d̄a giác (bài ,, , , truóc), trong d̄os mỗi d̄a giác có sô´ canh nho hon n, túc là chúng . , ,, , có thê d̄uo. c chia ra thành các tam giác theo gia thiê´t quy nap. . J , , Vı́ du. 6.15. Chú,ng minh ră` ng tông các góc trong cua môt . n−giác 0 bâ´t kỳ bă` ng (n − 2)180 . 154 ,, Chuong 6. Hı̀nh hoc . , , , , ` quy nap. d̄ê` băng Vói n = 3 mênh Lòi giai. Ta chúng minh mênh . . . , , ,, ,, , ` ` d̄ê d̄úng là hiên nhiên. Gia su mênh . , d̄ê d̄ã d̄uo. c chúng minh cho , , , ´ tât ca các k −giác, vói k < n, ta phai chúng minh nó cho moi . n− , ,, ,, ,, ´ giác. Môt ôt d̄uòng chéo ra . n− giác bât kỳ có thê d̄uo. c chia boi m ,. ,, ´ ´ làm 2 d̄a giác (Xem bài truóc). Nêu sô canh cua môt . . d̄a giác d̄ó , , , ` ` ´ băng k + 1, thı̀ sô canh cua d̄a giác kia băng n − k + 1, hon nũa . , , , , , ca hai sô´ d̄ó d̄ê`u nho hon n. Do d̄ó tông các góc cua các d̄a giác ,, , ` d̄ó tuong úng băng (k − 1)1800 và (n − k − 1)1800 . Cũng rõ ràng , , , , ` ` răng tông các góc cua n−giác băng tông các góc cua các d̄a giác , ` d̄ó, túc là băng (k − 1 + n − k − 1)1800 = (n − 2)1800 . J , Vı́ du. 6.16. Chú,ng minh ră` ng moi . n−giác lô`i vói n ≥ 5 d̄ều có , thê că´ t ra thành ngũ giác lô`i. , , , , ` ` Lòi giai. Ta chúng minh băng quy nap moi . răng . n− giác lô`i vói , ´ ra thành các ngũ giác lô`i. Vó,i n = 5 d̄iê`u d̄ó n ≥ 5 d̄ê`u có thê căt , , , là hiên nhiên, còn vói n = 6 và 7 có thê xem hı̀nh 10 và 11. , , , ,, ` n ≥ 8 và moi Bây giò gia su răng . m− giác lô`i vói 5 ≤, m < n , ´ ra thành các ngũ giác. Tù, n− giác có thê căt ´ ra d̄ê`u có thê căt , ,, môt . ngũ giác tao . boi 5 d̄ınh liên tiê´p. Khi d̄ó còn lai . ,(n − 3)− giác. ,, ´ ra thành Boi vı̀ 5 ≤ n − 3 < n, nên (n − 3)− giác lai . có thê căt , các ngũ giác theo gia thiê´t quy nap . toán hoc. . J 6.2. Bài tâp . , , , ` . 6.17. Trong mat phăng cho n ≥ 3 d̄iêm. Chúng minh răng mỗi .̆ , , , , , , ´ ´ d̄iêm có thê nôi vói môt . sô d̄iêm còn lai . sao cho nhũng d̄oan . thăng ,, , ´ nhân nhau và tao . d̄uo. c không tu. căt . thành môt . d̄a giác lô`i gép ,, , boi nhũng tam giác. , , , . 6.18. Ðô. dài cua mỗi d̄oan . thăng trong n ≥ 3 d̄oan . thăng d̄ã 6.2. Bài tâp . Hı̀nh 6.7: 155 Hı̀nh 6.8: , , ` cho lón hon 1. Biê´t răng không có k ( k = 3, 4, . . . , n ) sô´ d̄oan . có , , , ` thê tao ra các canh môt tông d̄ô. dài . . d̄a giác. Chúng minh răng , . , , n −1 cua các d̄oan . lón hon 2 . , , ,, ,, . 6.19. Trên mat ra các manh .̆ phăng bi. chia boi n, d̄uòng tròn , , ` ` khác nhau. Chúng minh răng mat hai màu .̆ phăng có thê tô ,băng , ´ sao cho mỗi manh tô môt . màu duy nhât và hai manh liê`n nhau có màu khác nhau. ,, ,, ,, . 6.20. O d̄â`u d̄u,ò,ng kı́nh môt òng tròn ta viê´t sô´ 1. Mỗi nua . d̄u , , ,, ,, ,, , , d̄uòng tròn lai . chia d̄ôi và o d̄iêm giũa ta viê´t tông nhũng sô´ o ,, , hai d̄â`u cung. Sau d̄ó mỗi phâ`n tu cung ta lai chia làm d̄ôi và o . , , ,, , d̄iêm giũa viê´t sô´ tông o hai d̄â`u cung. Cách làm này lap .̆ lai . n , ` ´ ´ lân. Hãy tı́nh tông các sô d̄ã viêt ra. , , CHUONG 7 , ÐA THÚC , , 7.1. Phân tı́ch d̄a thúc ra thùa sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Nguyên lý so sánh các hê. sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , 7.3. Ðao . hàm cua d̄a thúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 7.4. Ða thúc Chebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Bàii tâp . ............................................... 156 160 169 172 174 , , 7.1. Phân tı́ch d̄a thúc ra thùa sô´ , Ða thúc bâc . n goi . là hàm sô´ có dang . P ( x ) = a 0 x n + a 1 x n −1 + · · · + a n , ( a 0 6 = 0 ) (7.1) ,, , , ` o d̄ây a0 , a1 , . . . , an là nhũng hăng sô´ (hê. sô´ d̄a thúc), còn n ≥ 0 , , , , , là môt sô´ nguyên (bâc . cua d̄a thúc). Ða thúc là môt . lóp hàm d̄on , . , , , gian, nhung có râ´t nhiê`u úng dung trong toán hoc. . . Vói n = 0 d̄a , , , , ` thúc (7.1) là hăng sô´ a0 , vói n = 1, P( x ) tro thành hàm tuyê´n , , tı́nh P( x ) = a0 x + a1 , còn vói n = 2, P là tam thúc bâc . hai P( x ) = , , 2 a0 x + a1 x + a2 . Ðê d̄a thúc có bâc d̄iê`u kiên . là n thı̀ luôn có . a0 6= 0. , ,, ,, , , ´ Trong truòng ho. p nguo. c lai . thı̀ bâc . cao nhât cua d̄a thúc P là n. , , Nê´u P( x ) và Q( x ) là nhũng d̄a thúc, thı̀ P( x ) + Q( x ), P( x ) − , , , Q( x ) và P( x ).Q( x ) cũng là d̄a thúc, nhung phép chia hai d̄a thúc , cho nhau không luôn luôn là môt . d̄a thúc. , , , Sô´ α goi . là nghiêm . cua d̄a thúc P( x ), nê´u P(α) = 0. Nhu , , 7.1. Phân tı́ch d̄a thúc ra thùa sô´ 157 , 2 2 vây, . Nê´u tam thúc, bâc . hai P( x ) = ax + bx + c, mà b − 4ac ≥ 0 , , thı̀ hai nghiêm . cua tam th,úc này x1 , x2 d̄ua ta d̄ê´n phân tı́ch , P( x ) = a( x − x1 )( x − x2 ). Tông quát hon ta có , Vı́ du. 7.1. Nê´u P( x ) là môt . d̄a thúc bâc . n ≥ 1 và α là môt . sô´ , , , , thu. c, thı̀ α là nghiêm . cua P( x ) khi v, à chı khi tô`n tai . môt . d̄a thúc , , Q( x ) bâc . n − 1, mà nó thoa mãn d̄ăng thúc sau P( x ) = ( x − α) Q( x ) (7.2) vó,i moi . x. , , , , Lòi giai. Ðiê`u kiên . d̄u là tâ´t nhiên d̄úng. Ta chúng minh d̄iê`u , kiên . câ`n, nê´u P( x ) là d̄a thúc bâc . n n ∑ a n −i x i (7.3) ∑ an−i αi = 0. (7.4) P( x ) = i =0 và P(α) = 0, nghı̃a là n P(α) = i =0 , ,, , Ta su dung d̄ăng thúc an − bn = ( a − b)( an−1 + an−2 b + · · · + . , ,, bn−1 ), tù (7.3) và (7.4) ta nhân . d̄uo. c n P( x ) = P( x ) − P(α) = ∑ a n −i ( x i − αi ) = i =0 n = ( x − α ) ∑ a n − i ( x i −1 + x i −2 α + · · · + α n −1 ) = ( x − α ) Q ( x ), i =1 ,, o d̄ây Q( x ) = n , ∑ an−i (xi−1 + xi−2 α + · · · + αn−1 ) hiên nhiên là d̄a i =1 , thúc bâc . n − 1 (vı̀ a0 6= 0). J , , Vı́ du. 7.2. Không có môt . d̄a thúc bâc . n có nhiều hon n nghiêm . sô´ khác nhau. 158 ,, , Chuong 7. Ða thúc , , , , ,, ` phuong pháp quy nap Lòi giai. Chúng minh băng ., theo n. Gia ,, , su P là môt . d̄a thúc bâc . n và α1 , α2 , . . . là nghiêm . cua nó ( αi 6= α j , , vói i 6= j). Vói n = 1, P( x ) = a0 x + a1 ( a0 6= 0) có môt . nghiêm . , ,, a1 , , duy nhâ´t α1 = − . Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói sô´ n. Ta sẽ chúng . a0 , ,, , , minh nó cũng d̄úng vói n + 1. Vói muc . d̄ı́ch này ta gia su tô`n , tai có n + 2 nghiêm . môt . d̄a thúc Q bâc . n + 1, m, à nó . khác nhau , ,, α1 , α2 , . . . , αn+2 . Khi d̄ó Q có thê biêu diễn duói dang (do .7.1) . Q ( x ) = ( x − α n +2 ) Q 1 ( x ) ,, , , o d̄ây Q1 là d̄a thúc bâc êm . n. Vı̀ thùa sô´ x − αn+2 không có nghi , . là môt . trong các sô´ α1 , α2 , . . . , αn+1 , thı̀ chúng là nghiêm . cua Q1 . , , Nhung d̄iê`u này có nghı̃a là môt . , d̄a thúc bâc . n có n + 1 nghiêm . , hoàn toàn khác nhau, trái vói gia thiê´t quy nap. . J Vı́ du. 7.3. Chú,ng minh ră` ng mỗi d̄a thú,c P ( x ) = a 0 x n + a 1 x n −1 + · · · + a n , ( a 0 6 = 0 ) , , có thê biêu diễn du,ó,i dang . P( x ) = a0 ( x − α1 )( x − α2 ) . . . ( x − αn ), , , , o, d̄ây α1 , α2 , . . . , αn là nghiêm . cua d̄a thúc. , , , ` Lòi giai. Ta chúng minh băng quy nap . theo n. Nê´u n = 1, thı̀ , a1 P( x ) = a0 x + a1 có môt . nghiêm . duy nhâ´t α1 = − a và hiên nhiên 0 a1 P ( x ) = a0 ( x + ) = a0 ( x − α1 ). a0 , , ,, , , Gia su mênh d̄ê` khăng d̄inh . d̄úng vói d̄a thúc bâc . . n − 1 và cho , ` deg P( x ) = n. Ta biê´t răng P( x ) tô`n tai êm . nghi . nhu các bài tâp . , , trên d̄ã chúng minh, lâ´y α1 là nghiêm c ua P ( x ) . Khi d̄ó P ( x ) = . , , ( x − α1 ) Q( x ), dễ thâ´y deg Q( x ) = n − 1 và hê. sô´ truóc bâc . cao , , 7.1. Phân tı́ch d̄a thúc ra thùa sô´ 159 , , , , , , nhâ´t cua d̄a thúc này trùng vói a0 cua P( x ). Tù d̄ó suy ra nhũng , , , , nghiêm . cua P( x ) là α1 và nhũng nghiêm . cua Q( x ). Theo gia thiê´t quy nap . Q( x ) = a0 ( x − α, 2 )( x − α3 ) . ,. . ( x − αn ), , ,, o d̄ây α2 , α3 , . . . , αn là tâ´t ca nghiêm cua Q( x ). Khi d̄ó tâ´t ca . , nghiêm . cua P( x ) là α1 , α2 , . . . , αn và P( x ) = ( x − α1 ) Q( x ) = a0 ( x − α1 )( x − α2 ) . . . ( x − αn ). J , , , , Ký hiêu ôt . F là m . tâp . sô´: tâp . ho. p sô´ phúc, ,tâp . ho. p sô´ thu. c và , , , , , , ` tâp sô´ P( x ) vói . ho. p sô´ hũu ty. Nhũng d̄a thúc không phai hăng , hê. sô´ trong tâp hop F goi tı́ch d̄u,o.,c trên F, nê´u nó . là không phân , ., . , , ,, , , không thê biêu diễn d̄uo. c nhu tı́ch cua hai d̄a thúc (không phai , , , ` , , d̄a thúc hăng sô´) có hê. sô´ thuôc F, có bâc thu. c su. nho hon bâc . . . , cua P( x ). , , , , Vı́ du. 7.4. Chú,ng minh ră` ng moi . d̄a thúc thu. c su. vói hê. , , , , , , sô´ thuôc . F có thê biêu diễn nhu tı́ch cua nhũng thùa sô´ , không phân tı́ch d̄u,o.,c trên F. Su. , biêu diễn này là duy , , nhâ´t theo nghı̃a dãy cua các thù,a sô´ có thê khác nhau , tu,o,ng ú,ng vó,i hă` ng sô´ khác không cua F, nói các khác, nê´u P( x ) = P1 ( x ).P2 ( x ) . . . , Pr ( x ) = Q1 ( x ).Q2 ( x ) . . . Qs ( x ) , , là hai biêu diễn cua P( x ) nhu, tı́ch các thù,a sô´ không phân tı́ch , d̄u,o.,c trên F, thı̀ r = s và Pi ( x ) = αi Qki ( x ), o, d̄ây 0 6= αi ∈ F và k1 , k2 , . . . , kr là nhũ,ng sô´ nào d̄ó xê´p thú, tu. , theo 1, 2, . . . , r. , , , , ` , Lòi giai. Cho P( x ) không phai là d̄a thúc hăng trong tâp . ho. p F và n = deg P( x ). Nê´u n = 1, thı̀ P( x ) = a0 x + a1 là không phân , ,, , , tı́ch d̄uo. c và nó biêu diễn nhu tı́ch duy nhâ´t thùa sô´ không phân ,, tı́ch d̄uo. c. 160 ,, , Chuong 7. Ða thúc , , , ` Cho n là sô´ tu. nhiên bâ´t kỳ và gia thiê´t răng moi d̄a thúc bâc . . , , , , , , ´ nho hon n có thê biêu diễn nhu tı́ch các thùa sô không phân tı́ch ,, d̄uo. c trên F. , ,, Nê´u d̄a thúc d̄ã cho P( x ) là không phân tı́ch d̄uo. c trên F, thı̀ , , , , , có thê công nhân . nó biêu diễn nhu tı́ch cua môt . d̄a thúc không ,, phân tı́ch d̄uo. c. , ,, Nê´u d̄a thúc phân tı́ch d̄uo. c, thı̀ nó có dang . P( x ) = Q( x ).H ( x ), ,, , , , o d̄ây Q( x ) và H ( x ) là nhũng d̄a thúc vói hê. sô´ trong F và , , deg Q( x ) < n và deg H ( x ) < n. Nhung khi d̄ó theo gia thiê´t quy , , , , , nap . Q( x ) và H ( x ) biêu diễn nhu tı́ch cua các thùa sô´ d̄a thúc , trên F. Suy ra cũng d̄úng cho P( x ). Nghı̃a là moi . d̄a thúc trên F , , , , ,, có thê biêu diễn nhu tı́ch các thùa sô´ không phân tı́ch d̄uo. c có hê. , sô´ trong F. Chúng minh duy nhâ´t dành cho ban . d̄oc. . J 7.2. Nguyên lý so sánh các hê. sô´ Cho hai hàm sô´ P1 ( x ) và P2 ( x ) xác d̄inh trên môt . . tâp . con D , , ` ´ cua sô thu. c. Chúng ta nói răng P1 ( x ) và P2 ( x ) trùng nhau trong , , , , D, nê´u d̄ăng thúc P1 ( x ) = P2 ( x ) d̄úng vói moi Tâp ho. p các . x ∈ D. . , , , , d̄a thúc là môt cua mỗi d̄a thúc . . ló,p hàm d̄ac .̆ biêt. . Miê`n xác d̄inh , , , , là tâp . ho. p con cua sô´ thu. c. Nhu vây . hai d̄a thúc P( x ) và Q( x ) , , , trùng nhau, nê´u P( x ) = Q( x ) d̄úng vói moi x sô´ thu. c. Lóp các d̄a . , , , thúc có môt . tı́nh châ´,t râ´t d̄ac .̆ biêt . ,là d̄ê cho hai d̄a thúc P( x ) và , Q( x ) trùng nhau chı câ`n thiê´t kiêm tra P( x ) = Q( x ) d̄úng vói , , môt . sô´ hũu han . giá tri. cua x. Vı́ du. 7.5. Cho P ( x ) = a 0 x n + a 1 x n −1 + · · · + a n 7.2. Nguyên lý so sánh các hê. sô´ 161 và Q( x ) = b0 x m + b1 x m−1 + · · · + bm là hai d̄a thú,c và n ≥ m. Chú,ng minh ră` ng nê´u tô`n tai . n+1 , , , nhũng sô´ tùng d̄ôi môt . khác nhau α1 , α2 , . . . , αn+1 (αi 6= α j vói i 6= j) sao cho P(αi ) = Q(αi ), i = 1, 2, . . . , n + 1, thı̀ n = m và a0 = b0 , a1 = b1 , . . . , an = bn . , , , Lòi giai. Do không có d̄òi hoi gı̀ vê` b0 6= 0 và lai . có n ≥ m, ta có , , ` thê gia thiê´t (băng cách d̄ánh sô´ lai . các hê. sô´) Q( x ) = b0 x n + b1 x n−1 + · · · + bn , Bu,ó,c co, so,: nê´u n = 1, thı̀ P( x ) = a0 x + a1 , Q( x ) = b0 x + b1 và , , , thoa mãn các d̄ăng thúc sau a0 α1 + a1 = b0 α1 + b1 a0 α2 + a1 = b0 α2 + b1 , ,, Trù theo vê´ ta nhân . d̄uo. c a0 (α1 − α2 ) = b0 (α1 − α2 ) , , ,, , Nhung theo d̄iê`u kiên . α1 6= α2 ta có thê gian uóc cho α1 − α2 6= 0. ,, , Ta nhân . d̄uo. c a0 = b0 , tù d̄ó cũng suy ra a1 = b1 . , ,, , Bu,ó,c quy nap: d̄ê` d̄úng vói n − 1. Ta có . . Gia su mênh n P( x )− P(αn+1 ) = = = n ∑ ai xn−i − ∑ ai αnn+−1i i =0 i =0 n 1 a0 ( x − αn+1 ) + a1 ( x n−1 − αnn− +1 ) + · · · + a n −1 ( x − α n +1 ) ( x − αn+1 )( a0 x n−1 + a10 x n−2 + · · · + a0n−1 ) = ( x − αn+1 ) P1 ( x ) n ,, o d̄ây P1 ( x ) = a0 x n−1 + a10 x n−2 + · · · + a0n−1 ,, ,, , Tuong tu. Q( x ) − Q(αn+1 ) = ( x − αn+1 ) Q1 ( x ), o d̄ây Q1 ( x ) = , b0 x n−1 + b10 x n−2 + · · · + bn0 −1 . Khi d̄ó vói i = 1, 2, . . . , n ta nhân . ,, , Chuong 7. Ða thúc 162 ,, d̄uo. c P1 (αi ) = Q ( α i ) − Q ( α n +1 ) P ( α i ) − P ( α n +1 ) = = Q1 ( α i ) α i − α n +1 α i − α n +1 , 0 0 0 0 và theo gia thiê´t quy nap . a0 = b0 , a1 = b1 , . . . , an−1 = bn−1 . Ta d̄at .̆ P2 ( x ) = a1 x n−1 + a2 x n−2 + · · · + an Q2 ( x ) = b1 x n−1 + b2 x n−2 + · · · + bn , , vói i = 1, 2, . . . , n, n + 1 sẽ thoa mãn P2 (αi ) = P(αi ) − a0 αin = Q(αi ) − b0 αin = Q2 (αi ) , Lai gia thiê´t quy nap . áp dung . . ta có a1 = b1 , a2 = b2 , . . . , an = bn . J , , , Vı́ du. 7.6. Tı̀m tâ´t ca các d̄a thú,c P( x ) thoa mãn d̄ăng thú,c P ( x ) = P ( x + 1). , , , ` Lòi giai. Dễ thâ´y, nê´u P( x ) là d̄a thúc hăng , , , ,, , sô´, thı̀ nó thoa mãn d̄ăng thúc trên. Ta gia su deg P( x ) ≥ 1 và cho P( x ) = a0 x n + a1 x n−1 + · · · + an , , , , a0 6= 0 và P( x ) thoa mãn d̄ăng thúc P( x ) = P( x + 1). Khi d̄ó a 0 ( x + 1 ) n + a 1 ( x + 1 ) n −1 + · · · + a n = a 0 x n + a 1 x n −1 + · · · + a n , ,, ,, , tù d̄ây so sánh hê. sô´ truóc x n−1 , ta nhân . , d̄uo. c na0 + a1 = a1 , túc , , , ` , là a0 = 0 nó vô lý vói gia thiê´t. Suy ra chı có nhũng d̄a thúc hăng , sô´ là thoa mãn d̄iê`u kiên . d̄â`u bài ra. J , Vı́ du. 7.7. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . sô´ tu. nhiên k tô`n tai . duy , k nhâ´t môt . d̄a thúc Pk ( x ) bâc . k + 1 sao cho Pk (0) = 0 và x = Pk ( x + 1) − Pk ( x ). 7.2. Nguyên lý so sánh các hê. sô´ 163 , , , , Lòi giai. Viêc . tô`n tai . d̄a thúc Pk ( x ) ta sẽ chúng minh quy nap . , theo k. Vói k = 0 và k = 1 ta có x0 = 1 = ( x + 1) − x; 1 1 1 1 x = ( ( x + 1)2 − ( x + 1)) − ( x2 − x ) 2 2 2 2 1 2 1 Nghı̃a là P0 ( x ) = x, P1 ( x ) = x − x. 2 2 , , , , ´ ` Gia thiêt vói mỗi l ≤ k tôn tai . d̄a thúc Pl ( x ), vói nó Pl (0) = 0 và x l = Pl ( x + 1) − Pl ( x ). Ta có x k+1 = x.x k = xPk ( x + 1) − xPk ( x ), , tù d̄ó có x k+1 + Pk ( x + 1) = ( x + 1) Pk ( x + 1) − xPk ( x ). Cho thêm Pk ( x + 1) = ak+1 x k+1 + ak x k + · · · + a1 x + a0 . Khi d̄ó k k (1+ ak+1 ) x k+1 = ( x + 1) Pk ( x + 1) − xPk ( x ) − ∑ al Pl ( x + 1) − ∑ al Pl ( x ) i =0 k l =1 k = (( x + 1) Pk ( x + 1) − ∑ al Pl ( x + 1)) − ( xPk ( x ) − ∑ al Pl ( x )). l =0 l =0 , , , Vói bâc . cua d̄a thúc H ( x ) = xPk ( x ) − k , ∑ al Pl (x) cao nhâ´t chı là l =0 , , ,, ` ´ cua k + 1 và dễ thâ´y răng hê. sô´ truóc x k+1 trong dang chuân tăc . , ,, ,, ` H ( x ) d̄úng là ak+1 . Nê´u gia su răng 1 + ak+1 = 0, ta nhân . d̄uo. c ` H ( x + 1) = H ( x ) và khi d̄ó ta có H ( x ) là hăng sô´ (bài trên), nó , trái vói ak+1 6= 0. Suy ra 1 + ak+1 6= 0 và nê´u ta d̄at .̆ Pk+1 ( x ) = k 1 ( xPk ( x ) − ∑ al Pl ( x )), 1 + a k +1 l =0 ,, , Chuong 7. Ða thúc 164 ,, Ta nhân . d̄uo. c x k+1 = Pk+1 ( x + 1) − Pk+1 ( x ). , Chúng minh duy nhâ´t dành cho ban . d̄oc. . J , , Vı́ du. 7.8. Hãy tı̀m tâ´t ca d̄a thú,c P( x ) thoa mãn d̄iều kiên . P( x2 − 2) = ( P( x ))2 − 2. , , , ,, , , Lòi giai. Ta chú ý nhu bài truóc vói moi . sô´ tu. nhiên n tô`n tai . , , ` ´ nhiêu nhât môt . d̄a thúc Pn ( x ) bâc . n thoa mãn Pn ( x2 − 2) = ( Pn ( x ))2 − 2. (7.5) , ,, ,, , Vói viêc . so sánh hê. sô´ truóc sô´ mũ cùng bâc . cua x trong phuong ,, trı̀nh trên ta tı̀m d̄uo. c P1 ( x ) = x, P2 ( x ) = x2 − 2, P3 ( x ) = x3 − 3x, P4 ( x ) = x4 − 4x2 + 2, P5 ( x ) = x5 − 5x3 + 5x. ,, Ngoài ra không khó khăn gı̀ thiê´t lâp . d̄uo. c quan hê. P3 ( x ) = xP2 ( x ) − P1 ( x ); P4 ( x ) = xP3 ( x ) − P2 ( x ); P5 ( x ) = xP4 ( x ) − P3 ( x ). , , , Ðiê`u này go. i ý cho ta d̄ua ra môt . gia thiê´t sau d̄ây: , Moi . d̄a thúc trong dãy P1 ( x ), P2 ( x ), P3 ( x ), . . . , Pn ( x ), . . . , d̄u,o.,c xác d̄inh theo các d̄ăng thú,c sau . P1 ( x ) = x, P2 ( x ) = x2 − 2, . . . , Pn+1 ( x ) = xPn ( x ) − Pn−1 ( x ) , thoa mãn d̄iều kiên . (7.5). 7.2. Nguyên lý so sánh các hê. sô´ 165 , , ,, Vı̀ d̄a thúc Pn ( x ) bâc . n,,theo bài tâp . truó,c, nê´u gia thiê´t trên , là d̄úng thı̀ chúng là tâ´t ca các d̄a thúc thoa mãn d̄iê`u kiên . bài toán. , , , ` Bây giò ta chúng minh gia thiê´t băng quy nap toán hoc . theo , , ,, , . , , n. Vói n = 1 và n = 2 gia thiê´t d̄úng. Gia su vói n nào d̄ó d̄a thúc , , Pn ( x ) và Pn+1 ( x ) thoa mãn d̄iê`u kiên . (7.5). Khi d̄ó d̄ô´i vói Pn+2 ( x ) ta có Pn+2 ( x2 − 2) − ( Pn+2 ( x ))2 + 2 = = ( x2 − 2) Pn+1 ( x2 − 2) − Pn ( x2 − 2) − ( xPn+1 ( x ) − Pn ( x ))2 + 2 = ( x2 − 2)(( Pn+1 ( x ))2 − 2) − (( Pn ( x ))2 − 2) − x2 ( Pn+1 ( x ))2 + + 2xPn+1 ( x ).Pn ( x ) − ( Pn ( x ))2 + 2 = −2( Pn+1 ( x ))2 − 2( P( x ))2 + 2xPn+1 ( x ).Pn ( x ) − 2x2 + 8 = −2Hn ( x ), ,, o d̄ây ta d̄at .̆ Hn ( x ) = ( Pn+1 ( x ))2 + ( Pn ( x ))2 − xPn+1 ( x ).Pn ( x ) + x2 − 4. Mat .̆ khác Hn ( x ) = ( xPn ( x ) − Pn−1 ( x ))2 + ( Pn ( x ))2 − x ( xPn ( x ) − Pn−1 ( x )).Pn ( x ) + x2 − 4 = ( Pn ( x ))2 + ( Pn−1 ( x ))2 − xPn ( x ).Pn−1 ( x ) + x2 − 4 = Hn−1 ( x ) = Hn−2 ( x ) = . . . = H1 ( x ) = ( P2 ( x ))2 + P1 ( x ))2 − xP2 ( x ).P1 ( x ) + x2 − 4 = ( x2 − 2)2 + x2 − x ( x2 − 2) x + x2 − 4. Suy ra Pn+2 ( x2 − 2) = ( Pn+2 ( x ))2 − 2. J , Vı́ du. 7.9. Cho P( x ) là d̄a thú,c vó,i hê. sô´ thu. ,c nhân . giá tri. sô´ hũu ,, , Chuong 7. Ða thúc 166 , , , , , , , ty vó,i moi . sô´ x vô ty. Chúng . sô´ x hũu ty và giá tri. sô´ vô ty vói moi , minh ră` ng P( x ) là d̄a thú,c tuyê´n tı́nh vó,i hê. sô´ hũ,u ty. , , , , , ` Lòi giai. 1) Ta sẽ chúng minh răng các hê. sô´ cua P( x ) là hũu , , , , ` ty. Chúng minh băng quy nap . theo bâc . n cua, P( x ). Thât . vây, . vói , , ` ` n = 0, P( x ) là hăng sô´ và nó là môt vı́ du. nhu . sô´ hũu ,ty (vı̀ băng , , , , , P(0)). Gia thiê´t khăng d̄inh d̄úng vói tâ´t ca các d̄a thúc bâc . . nho , , , hon sô´ tu. nhiên n (tâ´t nhiên thoa mãn d̄iê`u kiên . d̄â`u bài) và cho n n − 1 P ( x ) = a0 x + a1 x + · · · + an−1 x + an . Dễ thâ´y an = P(0) là sô´ , , hũu ty và nê´u ta d̄at .̆ P( x ) − an Q ( x ) = a 0 x n −1 + a 1 x n −2 + · · · + a n −1 = , x , , , , , , thı̀ Q( x ) sẽ nhân Theo gia thiê´t . giá tri. hũu ty vói biê´n hũu ty x. , , , quy nap . khi d̄ó nhũng sô´ a0 , a1 , . . . , an−1 là hũu ty. , , , , , Nhu vây . hê. sô´ cua P( x ) là hũu ty. Vói d̄iê`u d̄ó P( x ) ,không là ,, , ,, , , ` hăng sô´, vı̀ trong truòng ho. p nguo. c lai . P( x ) sẽ là hũu ty vói moi . x. Cho P( x ) = a0 x n + a1 x n−1 + · · · + an , n > 0. Không mâ´t tı́nh , , , ` tông quát có thê cho răng ai là nguyên. Ngoài ra d̄a thúc Q( x ) = a0n−1 .( P( x ) − an ) = ( a0 x )n + a1 ( a0 x )n−1 + · · · + an−1 a0n−2 ( a0 x ). , Nghı̃a là d̄a thúc H (y) = yn + a1 yn−1 + · · · + an−1 a0n−2 y , thoa mãn d̄iê`u kiên . d̄â`u bài. , , , ,, , ` Ta sẽ chúng minh răng vói moi . sô´ nguyên d̄u lón m phuong trı̀nh H (y) = m có nghiêm. Thât . . vây, . lâ´y m > H (0) và ϕ(y) = ,, H (y) − m. Khi d̄ó ϕ(0) < 0 và lim ϕ(y) = +∞, vı̀ thê´ phuong y→∞ ,, trı̀nh H (y) = m có nghiêm . duong ym . Lâ´y m = p là sô´ nguyên tô´ 7.2. Nguyên lý so sánh các hê. sô´ 167 , , , , , d̄u lón. Ta có H (y p ) = p. Tù d̄iê`u kiên suy ra y p là sô´ hũu ty và . , vı̀ hê. sô´ bâc y p là nguyên và ngoài ra . cao nhâ´t cua H (y) là 1, thı̀ , ,, ,, , ,, ´ ´ y p d̄uo. c chia hêt boi sô hang tu. do cua ϕ(y), hoac là y p là uóc sô´ . .̆ , , , , cua p. Nghı̃a là y p = 1 hoac là y p = p. Nhung d̄ăng thúc y p = 1 .̆ , , , , chı có kha năng nhiê`u nhâ´t vói môt p. Nghı̃a là y p = p cho tâ´t ca . , , ,, sô´ nguyên tô´ d̄u lón p. Nói cách khác, ta d̄ã nhân d̄uo. c H ( p) = p . , , , , , vói tâ´t ca sô´ nguyên tô´ d̄u lón. Tù nguyên lý so sánh các hê. sô´ suy ra khi d̄ó H (y) = y và nghı̃a là P( x ) = a0 x + a1 . J Vı́ du. 7.10. Cho P( x ) là d̄a thú,c vó,i hê. sô´ nguyên, vó,i nó P(0) = P(1) = 1. và a0 là sô´ nguyên bâ´t kỳ. Ta d̄inh nghı̃a an+1 = P( an ) . , , , , ` vói n ≥ 0. Hãy chúng minh răng vói m 6= n có d̄ăng thú,c sau ( am , an ) = 1. , , , Lòi giai. Ta chia d̄a thúc P( x ) cho x ( x − 1). Lâ´y P( x ) = x ( x − 1) Q( x ) + ax + b, , , , , Tù quá trı̀nh chia d̄a thúc suy ra Q( x ) là d̄a thúc vói hê. sô´ , , nguyên. Trong d̄ăng thúc trên ta cho x = 0 và x = 1 và chú ,, ,, , ` ý răng P(0) = P(1) = 1, d̄ô´i vói a và b ta nhân . d̄uo. c hê. phuong , , trı̀nh b = 1, a + b = 1, tù d̄ây suy ra b = 1 và a = 0, và nhu vây . ,, , , ta có P( x ) = x ( x − 1) Q( x ) + 1, o d̄ây Q( x ) là d̄a thúc vói hê. sô´ nguyên. , , , ` Ta sẽ chúng minh băng quy nap . theo n, d̄ăng thúc an ≡ 1 (mod a0 a1 . . . an−1 ), , , tù d̄ây suy ra kê´t luân . cua bài toán. Thât . vây, . cho m < n và ( am , an ) = d, Khi d̄ó a0 a1 . . . an−1 chia hê´t cho d và suy ra an − 1 , , chia hê´t cho d. Nhung an chia hê´t cho d, tù d̄ây an − 1 − an chia hê´t cho d hay là 1 chia hê´t cho d hoac .̆ là d = 1. ,, , Chuong 7. Ða thúc 168 , , , ` an ≡ 1 (mod a0 a1 a2 . . . an−1 ) vói moi Chı còn chúng minh răng . , n. Vói n = 1 ta có a1 = a0 ( a0 − 1) Q( a0 ) + 1 và suy ra a1 ≡ 1 , (mod a0 ). Gia thiê´t d̄úng vó,i n nào d̄ó an ≡ 1 (mod a0 a1 . . . an−1 ) ,, , hoac .̆ là an = 1 + ka0 a1 . . . an−1 , o d̄ây k là nguyên. Vói an+1 ta tı̀m ,, d̄uo. c an+1 = an ( an − 1) Q( an ) + 1 = ka0 a1 . . . an−1 an Q( an ) + 1, , tù d̄ây ta có an+1 ≡ 1 (mod a0 a1 . . . an−1 an ). J Vı́ du. 7.11. Cho dãy các d̄a thú,c P0 ( x ), P1 ( x ), . . . , Pn ( x ), . . . trong d̄ó P0 ( x ) = 2, P1 ( x ) = x và vó,i moi . n ≥ 1 thı̀ Pn+1 ( x ) + Pn−1 ( x ) = xPn ( x ). , Chú,ng minh ră` ng tô`n tai . ba sô´ a, b và c sao cho vói moi . n ≥ 1 ta d̄ều có ( x2 − 4)[ Pn2 ( x ) − 4] = [ aPn+1 ( x ) + bPn ( x ) + cPn−1 ( x )]2 . (7.6) , , ,, , , , Lòi giai. Gia su tô`n tai . a, b, c d̄ê (7.6) d̄úng vói moi . n. Khi d̄ó , (7.6) d̄úng vói n = 1. Thay n = 1 vào (7.6) suy ra ( x2 − 4)( x2 − 4) = [ a( x2 − 2) + bx + 2c]2 . , , Ta nhân . ,thâ´y nê´u chon . a = 1, b = 0 và c = −1 thı̀ d̄ăng thúc trên ,, d̄uo. c thoa mãn. , , Bây giò ta chúng minh: nê´u chon a = 1, b = 0, c = −1 thı̀ (7.6) , . , , , d̄úng vói moi . n ≥ 2, túc là ta phai chúng minh Vı̀ Pn+1 ( x2 − 4)( Pn2 ( x ) − 4) = ( Pn+1 ( x ) − Pn−1 ( x ))2 . (7.6´) ( x ) = xP ( x ) − P ( x ) nên (7.6´) tu,o,ng d̄u,o,ng vó,i n n −1 x2 Pn2 ( x ) − 4Pn2 ( x ) − 4x2 + 16 = ( xPn ( x ) − 2Pn−1 ( x ))2 = x2 Pn2 ( x ) − 4xPn ( x ) Pn−1 ( x ) + 4Pn2−1 ( x ). , , 7.3. Ðao . hàm cua d̄a thúc 169 ,, ,, , Tuong d̄uong vói Pn2 ( x ) + x2 − 4 = Pn−1 ( x )( xPn ( x ) − Pn−1 ( x )) = Pn−1 ( x ) Pn+1 ( x ). (7.7) , , , , ` Ta sẽ chúng minh (7.7) băng phuong pháp quy nap. . , Vói n = 1 thı̀ ,, 2 P2 ( x ) = x − 2, nên dễ dàng thâ´y (7.7) d̄úng. Gia su (7.7) d̄úng , , vói n = k, túc là Pk2 ( x ) + x2 − 4 = Pk−1 ( x ) Pk+1 ( x ). , , , Ta phai chúng minh (7.7) d̄úng vói n = k + 1. Ta có (7.8) xPk+1 ( x ) Pk ( x ) = xPk ( x ) Pk+1 ( x ) ⇔ ⇔( Pk+2 ( x ) + Pk ( x )) Pk ( x ) = ( Pk+1 ( x ) + Pk−1 ( x )) Pk+1 ( x ) ⇔ Pk2 ( x ) + Pk ( x ) Pk+2 ( x ) = Pk2+1 ( x ) + Pk−1 ( x ) Pk+1 ( x ) ⇔ Pk2+1 ( x ) = Pk2 ( x ) − Pk−1 ( x ) Pk+1 ( x )) + Pk ( x ) Pk+2 ( x ). , Tù (7.8) suy ra Pk2+1 ( x ) = −( x2 + 4) − Pk ( x ) Pk+2 ( x ). , d̄ó là d̄iê`u câ`n chúng minh. , , 7.3. Ðao . hàm cua d̄a thúc J , Cho d̄a thúc P ( x ) = a 0 x n + a 1 x n −1 + · · · + a n , ( a 0 6 = 0 ). , Ða thúc P0 ( x ) = na0 x n−1 + (n − 1) a1 x n−2 + · · · + 2an−2 x + an−1 , ( a0 6= 0) , , , goi . là d̄ao . hàm cua d̄ao . . hàm bâc . nhâ´t cua d̄a thúc P( x ). ,Ðao 0 ( x ) goi là d̄ao hàm bâc hai cua P ( x ) và ký hiêu ´ hàm bâc nhâ t P . . . ,. , . là P00 ( x ). Ta có thê d̄inh nghı̃a theo quy n ap: d̄ ao h àm b âc k c ua . . . . ,, , Chuong 7. Ða thúc 170 , , , d̄a thúc P( x ) là d̄ao . hàm cua d̄ao . hàm bâc . k − 1 cua hàm P( x ) và (k) (k) (k−1) ( x ))0 . ký hiêu . là P ( x ). Hoac .̆ là, P ( x ) = ( P , , , Tù d̄inh nghı̃a d̄ao . . hàm cua d̄a thúc ta dễ thâ´y các tı́nh châ´t sau d̄úng: , , 0 1. Nê´u bâc . cua P( x ) là n, thı̀ bâc . cua P ( x ) là n − 1 và P(n+1) ( x ) = 0. , , 2. Các phép tı́nh d̄ô´i vói d̄ao . hàm: nê´u P( x ) và Q( x ) là nhũng , d̄a thúc bâ´t kỳ, còn α là môt . sô´ bâ´t kỳ, thı̀ a) ( P( x ) ± Q( x ))0 = P0 ( x ) ± Q0 ( x ); (αP( x ))0 = αP0 ( x ); b) ( P( x ).Q( x ))0 = P0 ( x ) Q( x ) + P( x ) Q0 ( x ). Vı́ du. 7.12. Chú,ng minh ră` ng (( P( x ))n )0 = n( P( x ))n−1 .P0 ( x ). , , Lòi giai. 1) Nê´u n = 1 thı̀ P0 ( x ) = P0 ( x ).( P( x ))0 . , ,, 2) Gia su (( P( x ))n−1 )0 = (n − 1)( P( x ))n−2 .P0 ( x ). Khi d̄ó theo tı́nh châ´t b) ta có (( P( x ))n )0 = ( P( x ))n−1 .P0 ( x ) + (n − 1)( P( x ))n−2 .P0 ( x ).P( x ) = n( P( x ))n−1 .P0 ( x ). J Vı́ du. 7.13. Chú,ng minh ră` ng nê´u P( x ) là d̄a thú,c bâ´t kỳ bâc . n, còn a là môt . sô´ bâ´t kỳ, thı̀ P00 ( a) P(n) ( a ) P0 ( a) ( x − a) + ( x − a )2 + · · · + ( x − a)n . 1! 2! n! (Công thú,c Taylor). P( x ) = P( a) + , , , , , ` quy nap Lòi giai. Chúng minh băng . theo n bâc . cua d̄a thúc P( x ). , , 7.3. Ðao 171 . hàm cua d̄a thúc , ,, 1) Nê´u n = 1, gia su P( x ) = A0 + A1 ( x − a). Khi d̄ó P0 ( x ) = , 0 A1 ( x − a)0 = A1 và nhu vây . P( a) = A0 và P, ( a) = A1 , suy công ,, , , , thúc Taylor d̄úng cho d̄a thúc bâc . nhâ´t. Gia su công thúc d̄úng , , cho d̄a thúc bâc . n − 1. Nê´u P( x ) là d̄a thúc bâc . n và nê´u P ( x ) = A 0 + A 1 ( x − a ) + · · · + A n −1 ( x − a ) n −1 + A n ( x − a ) n . , Khi d̄ó Q( x ) = A0 + A1 ( x − a) + · · · + An−1 ( x − a)n−1 là d̄a thúc , bâc . n − 1 và theo gia thiê´t quy nap . A0 = Q ( a ), A1 = Q0 ( a) Q ( n −1) ( a ) , . . . , A n −1 = . 1! ( n − 1) ! Ngoài ra ta còn có P (i ) ( x ) = Q (i ) ( x ) + n ( n − 1) . . . ( n − i + 1) A n ( x − a ) n −i , , tù d̄ó suy ra vói i < n: P(i) ( a) = Q(i) ( a) và P(n) ( a) = n!An . Cuô´i ,, cùng chúng ta nhân o. c: . d̄u P0 ( a) P ( n −1) ( a ) P(n) ( a ) , . . . , A n −1 = An = . A0 = P ( a ), A1 = 1! ( n − 1) ! n! , , Suy ra công thúc Taylor d̄úng vói moi . giá tri. n. J Vı́ du. 7.14. Chú,ng minh ră` ng nê´u P( x ) và Q( x ) là nhũ,ng d̄a , thú,c bâ´t kỳ và k là môt . sô´ tu. nhiên, thı̀ ( P( x ).Q( x ))(k) = Ck0 P(k) ( x ).Q( x ) + Ck1 P(k−1) ( x ) Q0 ( x )+ · · · + Ckk P( x ) Q(k) ( x ). (Công thú,c Leibniz). , , , ,, ` Lòi giai. Chúng minh băng phuong pháp quy nap . theo k. , 1) Vói k = 1 ta có ( P.Q)0 = P0 .Q + PQ0 = C10 P0 Q + C11 P.Q0 . , , Công thúc d̄úng vói k = 1. ,, , Chuong 7. Ða thúc 172 , ,, , , , , 2) Gia su công thúc d̄úng vói sô´ tu. nhiên k. Khi d̄ó vói k + 1 ,, ta nhân . d̄uo. c ( P.Q)(k+1) = (( P.Q)(k) )0 = (Ck0 P(k) .Q + · · · + Cks P(k−s) .Q(s) + · · · )0 = Ck0 ( P(k+1) .Q + Pk Q0 ) + Ck1 ( P(k) .Q0 + P(k−1) .Q00 ) + · · · + Cks ( Pk−s+1 Q(s) + P(k−s) Q(s+1) ) + · · · + Ckk ( P0 Q(k) + PQ(k+1) = Ck0 P(k+1) .g + (Ck0 + Ck1 ) P(k) .Q0 + . . . + (Cks−1 + Cks ) P(k+1−s .Q(s) + · · · + Ckk P.Q(k+1) = Ck0+1 P(k+1) .g + Ck1+1 P(k) .Q0 + · · · +1 ( k +1) + Cks+1 P(k+1−s) .Q(s) + · · · + Ckk+ . 1 PQ , , , , Nhu vây . công thúc d̄úng vói moi . sô´ tu. nhiên k. J , 7.4. Ða thúc Chebychev , , , Trong phâ`n này ta xét môt d̄ac . dang . .̆ biêt . cua d̄a thúc giũ vai , trò râ´t quan trong trong nhiê`u bài toán vê` lý thuyê´t cũng nhu . kỹ thuât. . , , Vı́ du. 7.15. Hàm sô´ cos nθ, (n ∈ N ) vó,i thê biêu diễn nhu, d̄a thú,c , bâc . n cua cos θ. Nghı̃a là, n cos nθ = ∑ an−i cosi θ, a0 6= 0. (7.9) i =0 , , , , Lòi giai. 1) n = 0 và n = 2 mênh d̄ê` hiên nhiên d̄úng. Vói n = 2 . ,, , ,, , và n = 3 ta nhân . d̄uo. c d̄a thúc tuong úng bâc . hai, bâc . ba theo , ,, công thúc luo. ng giác. cos 2θ = 2 cos2 θ − 1, cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ. , 7.4. Ða thúc Chebychev 173 , ,, , d̄ê` d̄úng vói n − 1 và n, nghı̃a là 2) Gia su mênh . n −1 ∑ bn−1−i cosi θ, b0 6= 0. cos(n − 1)θ = (7.10) i =0 n cos nθ = ∑ cn−i cosi θ, c0 6= 0. i =0 , , ,, , Ta sẽ chúng minh trong truòng ho. p d̄ó cos(n + 1)θ cũng có thê , , , , biêu diễn nhu d̄a thúc cua cos θ có bâc . n + 1. n +1 cos(n + 1)θ = ∑ dn+1−i cosi θ, d0 6= 0. (7.11) i =0 , Ta áp dung công thúc . cos nθ = 2 cos θ cos(n − 1)θ − cos(n − 2)θ, , , d̄úng vói moi . n và θ. Tù (7.11) và (7.10) suy ra cos(n + 1)θ = 2 cos θ cos nθ − cos(n − 1)θ n = 2 cos θ ∑ cn−i cosi θ − i =0 n +1 n −1 ∑ bn−1−i cosi θ i =0 n θ + d1 cos θ + · · · , , Ta nhân . , thâ´y ngay d̄ây là d̄a thúc bâc . n + 1 cua cosθ, Vı̀ d0 2c0 6= 0 theo gia thiê´t quy nap. . , , , , Trong d̄a thúc (7.9) cua cosθ, ta có thê d̄ua vê` dang môt . . d̄a , , , ´ ` thúc chuân tăc băng cách d̄at .̆ x = cosθ và ta ký hiêu . d̄a thúc này = d0 cos là Tn ( x ). Theo cách này Tn ( x ) = n ∑ a n −i x i . (7.12) i =0 , , , , , Ða thúc (7.12) goi . là d̄a thúc thú n-cua Chebychev. Nhu vây . do ,, , Chuong 7. Ða thúc 174 , , , , công thúc (7.9) thı̀ d̄a thúc thú n cua Chebychev Tn ta có: T0 ( x ) = 1, T1 ( x ), Tn ( x ) = 2xTn−1 ( x ) − Tn−2 ( x ), (n = 2, 3, . . .). , , , ,, ,, , , Tù d̄ăng thúc trên ta tı̀m d̄uo. c lâ`n luo. t các d̄a thúc cua Cheby, chev vói n = 2, 3, . . .. T0 ( x ) = 1, T1 ( x ) = x, T2 ( x ) = 2x2 − 1, T3 ( x ) = 4x3 − 3x, T4 ( x ) = 8x4 − 8x2 + 1, T5 ( x ) = 16x5 − 20x3 + 5x, ...... , Vı́ du. 7.16. Cho Tn là d̄a thú,c thú, n cua Chebychev. Chú,ng minh , mênh d̄ề sau: Hê. sô´ o, d̄ô´i sô´ có sô´ mũ cao nhâ´t là 2n−1 (n > 0). . , , , , , ,, ,, , Lòi giai. Tù các d̄ăng thúc o bài truóc mênh d̄ê` d̄úng vói n = . , ,, , , 1, 2, 3, 4, 5. Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói sô´ n nào d̄ó. Ta chúng minh . , , ` d̄úng cho n + 1 băng cách suy ra tù công thúc Tn+1 ( x ) = 2xT( x ) − Tn−1 ( x ) , , và nguyên lý so sánh các hê. sô´ cua d̄a thúc. 7.5. Bàii tâp . J , , . 7.17. Cho n là sô´ tu., nhiên và P( x ) là d̄a thú,c bâc nho hon n. . , , , ` Chúng minh răng tô`n tai . môt . hàm hũu ty R( x ) sao cho P( x ) = x ( x + 1) . . . ( x + n)( R( x + 1) − R( x )). 7.5. Bàii tâp . 175 , , . 7.18. Ký hiêu . P0 ( x ), P1 ( x ), P2 ( x ), . . . , Pn ( x ) là nhũng d̄a thúc x ( x − 1) ,… P0 ( x ) = 1, P1 ( x ) = x, P2 ( x ) = 1.2 x ( x − 1)( x − 2) . . . ( x − n + 1) . Pn ( x ) = 1.2.3 . . . n , , , , ,, ` Chúng minh răng moi . d̄a thúc P( x ) bâc . n có thê biêu diễn duói dang . P( x ) = b0 P0 ( x ) + b1 P1 ( x ) + · · · + bn Pn ( x ), ,, , o d̄ây b0 , b1 , . . . , bn là nhũng sô´ nào d̄ó. . 7.19. Cho dãy sô´ Fibonacci u1 = 1, u2 = 1, ui+2 = ui+1 + ui , d̄at .̆ n , i ` F (x) = u x . Chúng minh răng n ∑ i i =1 u n x n +2 + u n +1 x n +1 − x , ( x 2 + x − 1 6 = 0) x2 + x − 1 , , sin(n + 1)θ , ` . 7.20. Chú,ng minh răng hàm có thê biêu diễn nhu sin θ , , , , , d̄a thúc Un bâc . n cua cos θ (goi . là d̄a thúc loai . hai bâc . thú n cua Chebychev). , , ` . 7.21. Chú,ng minh răng nhũng d̄a thúc loai . hai Chebychev , , , , thoa mãn nhũng d̄ăng thúc sau: Fn ( x ) = U0 ( x ) = 1, U1 ( x ) = 2x, Un+1 ( x ) = 2xUn ( x ) − Un−1 ( x ). , . 7.22. Cho d̄a thú,c P( x ) = a0 + a1 x + · · · + an x n bâc . n vói hê. , , , ` sô´ thu. c và a ≥ 3 là môt ı́t nhâ´t môt . sô´ thu. c. Chúng minh răng . 2 n + 1 trong các sô´ |1 − P(0)|, | a − P(1)|, | a − P(2)|, . . . , | a − P(n + 1)| , , không nho hon 1. , , ` . 7.23. Chú,ng minh răng vói d̄a thúc Pn ( x ) = x n + x n−2 + x n−4 + , · · · Bâ´t d̄ăng thú,c sau d̄úng vó,i moi . x > 0 và n = 1, 2, . . . 1 1 Pn ( x ) + Pn ( ) ≥ n + 1 + (1 + (−1)n ). x 2 , , CHUONG 8 , , , , TÔ HO P V À Ð ĂNG TH Ú C . , , , 8.1. Môt . sô´ công thúc tô ho. p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , 8.2. Môt . sô´ d̄ăng thúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Bài tâp . ……………………………………….. 176 186 193 , ,, , , Trong chuong này ta chúng minh môt sô´ d̄ăng thúc và d̄inh . . , , , ,, ´ ` lý liên quan d̄ê´n d̄ăng thúc, cô´ găng chúng minh băng phuong , ´ gon pháp quy nap nguyên lý quy . toán hoc. . Ðê ngăn . khi áp dung . , , , , , nap . toán hoc . ta trı̀nh bày lâ`n luo. t các buóc môt . cách tu. nhiên, , ,, ,, , không nhâ´n manh nhu các chuong truóc nũa. . , , , ´ 8.1. Môt sô công th ú c tô ho. p . , , , Trong muc . này ta quan tâm tói tâp . ho. p gô`m hũu han . ,, , , , ` ` các phâ`n tu, vı́ du. nhu tâp gô m n phâ n t u k ý hi êu X = . . , { a1 , a2 , . . . , an }. Khi xem xét các tâp . này chúng ta quan tâm tói , , ,, ´ xê´p cua các phâ`n tu,. Khi d̄ó ta nói tâp vi. trı́ săp . X là tâp . d̄uo. c , ´ Nhũ,ng bài toán tô ho.,p quan tâm tó,i sô´ lu,o.,ng cách săp ´ xê´p săp. , , , , , nhũng phâ`n tu trong môt ., tâp . ho. p hũu, han. . Chúng ta quan tâm , , , , , , tói nhũng dang co ban cua bài toán tô ho. p nhu sau: . , ,, , ´ xê´p theo Môt . dãy n phâ`n tu khác nhau cua tâp . ho. p, X săp , , , , môt d̄uo. c goi . . thú tu. nhâ´t d̄inh . là môt . hoán vi. cua X. , , ,, ,, Goi . Pn là sô´ hoán vi. cua n phâ`n tu. Ta có thê xét môt . sô´ truòng , , , 8.1. Môt . sô´ công thúc tô ho. p , , ho. p cu. thê sau 177 , Các hoán vi. cua X Sô´ hoán vi. ∅ 1 = 0! ( a) 1 = 1! ( a1 , a2 ); ( a2 , a1 ) 2 = 2! ( a1 , a2 , a3 ); ( a1 , a3 , a2 ); 6 = 3! ( a2 , a1 , a3 ); ( a2 , a3 , a1 ); ( a3 , a1 , a2 ); ( a3 , a2 , a1 ); … … … … ,, , , , Vói phuong pháp quy nap . toán hoc . ta du. d̄oán và chúng minh , , , Vı́ du. 8.1. Sô´ lu,o.,ng hoán vi. cua n phâ`n tu, có thê tı́nh bă` ng công thú,c Pn = n!. (8.1) , , , , ,, ` Lòi giai. Ta chúng minh công thúc (8.1) băng phuong pháp quy nap . toán hoc: . , , , 1) Theo bang trên công thúc (8.1) d̄úng vói n = 1. , ,, , , 2) Gia su (8.1) d̄úng vói n = k ≥ 1. Hoán vi. cua k + 1 phâ`n , ,, ,, , , tu có thê lâp vi. trı́ thú nhâ´t cho mỗi phâ`n tu . . nhu sau: cô´ d̄inh ´ k phâ`n tu,, còn lai (nghı̃a là có k + 1 cách) rô`i săp . vào các vi. trı́ , tiê´p theo (theo gia thiê´t có Pk cách). Do d̄ó n 0 1 2 3 Tâp . X ∅ { a} { a1 , a2 } { a1 , a2 , a3 } Pk+1 = (k + 1) Pk = (k + 1)k! = (k + 1)! , , , Nhu vây . công thúc (8.1) d̄úng vói n = k + 1. , ,, , ´ Môt . dãy m phâ`n tu khác nhau (m ≤ n) cua ,tâp . ho. p X săp , , , , , xê´p theo môt d̄uo. c goi . . thú tu. xác d̄inh . là môt . chınh ho. p châp . , ,, ` m cua n phân tu trong X. , , ,, ,, , m Ký hiêu . An là sô´ luo. ng các chınh ho. p châp . m cua n phâ`n tu. Ta xét môt . sô´ vı́ du. sau J 178 m 1 2 3 … , , , ,, , Chuong 8. Tô ho. p và d̄ăng thúc , , , , , Các chınh ho. p cua X = { a1 , a2 , a3 , a4 } Sô´ chınh ho. p ( a1 ); ( a2 ); ( a3 ); ( a4 ); 4=4 ( a1 , a2 ); ( a2 , a1 ); ( a1 , a3 ); ( a3 , a1 ); 12 = 4.3 ( a1 , a4 ); ( a4 , a1 ); ( a2 , a3 ); ( a3 , a2 ); ( a2 , a4 ); ( a4 , a2 ); ( a3 , a4 ); ( a4 , a3 ); ( a1 , a2 , a3 ); ( a1 , a2 , a4 ); ( a2 , a1 , a4 ) 24 = 4.3.2 ( a1 , a3 , a4 ); ( a2 , a3 , a4 ); ( a3 , a1 , a4 ) … … , , Ta chúng minh công thúc sau: , , ,, , , Vı́ du. 8.2. Sô´ lu,o.,ng chınh ho.,p châp . m cua n phâ`n tu d̄uo. c tı́nh theo công thú,c sau: Am n = n ( n − 1) . . . ( n − m + 1). (8.2) , , , ` Lòi giai. Chúng minh băng quy nap . toán hoc . , , , 1 1) Vói m = 1 ta có An = n, suy ra công thúc (8.2) d̄úng vói m = 1. , ,, , 2) Gia su (8.2) d̄úng vói m = k ≥ 1, nghı̃a là Akn = n(n − 1) . . . (n − k + 1) , , ,, , , , , Các chınh ho. p châp . k + 1 nhân . d̄uo. c tù nhũng chınh ho. p châp . ,, ` ´ ` k băng cách thêm vào cuôi dãy môt . trong n −, k phân tu còn lai. . , , , , Nhu vây . môt . chınh ho. p châp . k sẽ cho n − k chınh ho. p châp . k + 1. Do d̄ó Akn+1 = (n − k ) Akn = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)(n − k ) , Suy ra (8.2) d̄úng vói m = k + 1. , , ,, Chú ý: Có thê viê´t công thúc (8.2) duói dang khác . Am n = n! . (n − m)! J (8.3) , , , 8.1. Môt . sô´ công thúc tô ho. p 179 , ,, ,, Mỗi tâp cua tâp X (m ≤ n) d̄uo. c goi . con m phâ`n tu khác nhau . . , , , ,, , ` là tô ho. p châp . m cua n phân tu cua X. , ,, m m Goi . Cn (hoac .̆ nhu các phâ`n truóc d̄ã ký hiêu . là Cn ). Ta xét môt . sô´ vı́ du. sau , , , , , m Các tô ho. p cua X = { a1 , a2 , a3 , a4 } Sô´ tô ho. p 1 ( a1 ); ( a2 ); ( a3 ); ( a4 ); 4 2 ( a1 , a2 ); ( a1 , a3 ); ( a1 , a4 ); 6 ( a2 , a3 ); ( a2 , a4 ); ( a3 , a4 ); 3 ( a1 , a2 , a3 ); ( a1 , a2 , a4 ); 4 ( a1 , a3 , a4 ); ( a2 , a3 , a4 ); 4 ( a1 , a2 , a3 , a4 ); 1 … … … , , ,, , Chúng ta nhân là các chınh ho. p châp m cua n phâ`n tu . ra ngay . , , ,, ,, , ` nhân cách hoán vi. m phâ`n tu . d̄uo. c tù các tô ho. p châp . m băng này. Vı̀ vây . ta có liên hê. sau m Am n = Cn .Pm . , Tù d̄ó suy ra Am n! . Cnm = n = P m! ( n − m)! m , , ,, , Ðê chúng minh theo phuong pháp quy nap . ta chúng minh , , ,, Vı́ du. 8.3. Sô´ lu,o.,ng tô ho.,p châp . m cua n d̄uo. c tı́nh theo công thú,c sau n ( n − 1) . . . ( n − m + 1) Cnm = . (8.4) 1.2 . . . m , , , , ` Lòi giai. 1) Ta chú ý răng Cn1 = n, nghı̃a là vói m = 1 công thúc d̄úng. , ,, 2) Gia su ta có n ( n − 1) . . . ( n − k + 1) Cnk = . 1.2 . . . k 180 , , , ,, , Chuong 8. Tô ho. p và d̄ăng thúc , ` Ta sẽ chúng minh răng n(n − 1) . . . (n − k + 1)(n − k ) . Cnk+1 = 1.2 . . . k (k + 1) , , , , ,, ,, Ðê nhân n phâ`n tu: d̄â`u tiên . tâ´t ca tô h, o. p k +,1 phâ`n tu trong , ,, ,, , nguòi ta viê´t tâ´t ca các tô ho. p châp k cua n phâ`n tu và thêm . , , ,, ,, , vào mỗi tô ho. p này môt ôt trong n − k . phâ`n tu thú k + 1 b,oi m , ., ,, , , , phâ`n tu còn lai. . Nhu vây . ta nhân . d̄uo. c tâ´t ca tô ho. p châp . k+1 , ,, , , , cua n phâ`n tu, nhung sẽ nhân . d̄uo. c bôi . k + 1 lâ`n. Thât . vây, . , , , ,, tô ho. p a1 , a2 , . . . , ak , ak+1 sẽ cùng nhân d̄u o c theo c ách; khi tô . . , , ,, , , ` ho. p a2 , a3 , . . . , ak , ak+1 thêm vào phân tu a1 ; cũng nhu khi tô ho. p , , ,, a1 , a3 , . . . , ak , ak+1 thêm vào phâ`n tu a2 ; . . . ; cuô´i cùng khi tô ho. p a1 , a2 , a3 , . . . , ak thêm vào ak+1 . Nghı̃a là n(n − 1) . . . (n − k + 1)(n − k ) m−k Cnk = Cnk = . k+1 1.2 . . . k (k + 1) , Vı́ du. 8.4. Chú,ng minh ră` ng hê. sô´ Newton Cnk là nhũ,ng sô´ le khi , và chı khi n = 2s − 1. , , ,, , , , , Lòi giai. Vói n ≤ 8 mênh d̄ê` khiêm tra tru. c tiê´p d̄úng. Gia su . , , ,, , , n là sô´ tu. nhiên bâ´t kỳ và gia su mênh d̄ê` khăng d̄inh d̄úng vói . . , , , , moi . sô´ tu. nhiên nho hon n. Dễ thâ´y hê. sô´ d̄a thúc là J n n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) n(n − 1)(n − 2) . . . 3.2 , , ,…, , 1 1.2 1.2.3 1.2.3 . . . (n − 1) , , , , tâ´t ca là sô´ le khi và chı khi hê. sô´ d̄a thúc ngoài cùng (mà nó , , ,, , , ` băng n) là sô´ le và nhũng sô´ nhân . d̄uo. c tù các hê. sô´ d̄a thúc, còn , , , , , , , ` lai cách bo d̄i các thùa sô´ le o mẫu sô´ và tu sô´, cũng là le. Ta . băng ,, , , , d̄at .̆ n = 2m +, 1. Trong truòng ho. p nhu vây . hê. sô´ d̄a thúc không ` có sô´ cuô´i biêu diễn băng các sô´ trong dãy m m(m − 1) m(m − 1)(m − 2) m(m − 1)(m − 2) . . . 3.2 , , ,…, . 1 1.2 1.2.3 1.2.3 . . . (m − 1) , , , 8.1. Môt 181 . sô´ công thúc tô ho. p , , , , Tù d̄ây theo gia thiê´t quy nap toán hoc nhũng hê. sô´ d̄a thúc cuô´i . . , , , , cùng, còn suy ra tâ´t ca hê. sô´ d̄a thúc sẽ là le khi và chı khi m có dang 2k − 1 nghı̃a là khi d̄ó n2(2k − 1) + 1 = 2k+1 − 1. . J , Vı́ du. 8.5. Chú,ng minh ră` ng tù, các chũ, sô´ 1 và 2 ta có thê lâp . , , , n + 1 n ´ ´ ´ ´ 2 sô mà mỗi sô d̄ều có 2 chũ sô và cú hai sô môt . thı̀ các chũ , sô´ o, hàng tu,o,ng ú,ng (vi. trı́ tu,o,ng ú,ng) khác nhau không ı́t ho,n 2n −1 . , , , ,, , ` Lòi giai. Ta chúng minh băng quy nap theo n. Vói n = 1 ta d̄uo. c . , bô´n sô´ 11; 21; 12; và 22 thoa mãn mênh d̄ê`. . ,, , , 0 ` Goi chũ sô´ 2 và . a là sô´ có d̄uo. c khi thay trong a chũ sô´ 1 băng , ,, ` thay 2 băng 1 và ab là sô´ tao a. Gia su d̄ã . thành khi viê´t b canh . , ,, , n +1 ´ , , xây du. ng d̄uo. c tâp sô, mỗi sô´ có 2n chũ sô´, ngoài . ho. p An tù 2 , , n −1 ra cú hai sô´ môt vi. trı́ hàng sô´. . khác nhau không ı́t hon 2 , , 0 Xét tâp . ho. p An+1 gô`m các sô´ aa và, aa trong d̄ó a ∈ An . Tâ´t ca , , , nhũng sô´ này có 2n+1 chũ sô´ và tâ´t ca có 2n+2 sô´. Ngoài ra bâ´t cú , hai sô´ nào d̄ê`u khác nhau không ı́t hon 2n hàng sô´. Thât . vây, . các , , 0 0 sô´ aa và aa , cũng nhu các sô´ aa và bb vói moi . a, b d̄ê`u khác nhau n d̄úng 2 hàng sô´ (trong các hàng sô´ này a và b khác nhau, a0 và , ,, b0 trùng nhau, và nguo. c lai). . Các sô´ aa và bb theo gia thiê´t quy , n ` nap sô´. . khác nhau không ı́t hon 2 hăng J Vı́ du. 8.6. Vó,i các sô´ nguyên m, n (0 ≤ m ≤ n) xây du. ,ng các sô´ d(n, m) theo công thú,c sau: 1) d(n, 0) = d(n, m) = 1, vó,i moi . n ≥ 0; 2) m.d(n, m) = m.d(n − 1, m) + (2n − m).d(n − 1, m − 1), vó,i moi . 0 < m < n. , Chú,ng minh ră` ng tâ´t ca các sô´ d(n, m) d̄ều nguyên. , , , ,, , Chuong 8. Tô ho. p và d̄ăng thúc 182 , , , ` ` quy nap d(n, m) = (Cnm )2 . Lòi giai. Ta sẽ chúng minh băng . răng , Thât . vây, . vói n = 1 thı̀ 2 2 d(1, 0) = 1 = C10 ; d(1, 1) = 1 = C10 . , ,, , , Gia su bài toán d̄úng vói n = k: d(k, m) = (Ckm )2 , vói moi . 0≤m≤ , k. Khi d̄ó vói n = k + 1, ta có 1) Nê´u 0 < m < k + 1 thı̀ m.d(k + 1,m) = m.d(k, m) + [2(k + 1) − m]d(k, m − 1)  2 = m. (Ckm )2 + (2k + 2 − m) Ckm−1  2 k! = [m(k + 1 − m)2 + (2k + 2 − m)m m!(k + 1 − m)! 2 = m. Ckm+1 . 0 2 2) Nê´u m = 0 hoac .̆ k + 1, thı̀ d(k + 1, 0) = 1 = (Ck+1 ) và k +1 2 d(k + 1, k + 1) = 1 = (Ck+1 ) . Vây . theo nguyên lý quy nap . toán hoc, . ta có d(n, m) = (Cnm )2 , ∀0 ≤ m ≤ n. J Vı́ du. 8.7. Cho sô´ lu,o.,ng 3n d̄ô`ng xu ( n ≥ 1 ), môt . d̄ô`ng xu trong , , d̄ó là gia và nhe. hon sô´ còn lai. . Cho môt . chiê´c cân d̄ı̃a không có , , , qua cân. Chúng minh ră` ng bă` ng n lâ`n cân có thê phát hiên . ra , , ` ` ` d̄ông tiền gia. Có thê băng n lân cân luôn luôn phát hiên . ra d̄ô`ng , , , n , , tiền gia hay không, nê´u sô´ luo. ng d̄ô`ng xu không nho hon 3 + 1? , , ,, , Lòi giai. Xét truòng ho. p n = 1. Ta d̄at .̆ hai d̄ô`ng, xu lên mỗi bên ` môt thı̀ d̄ô`ng xu gia là d̄ô`ng xu còn . d̄ı̃a cân. Nê´u cân thăng băng, , ,, ` ` la. o ngoài cân, còn trên cân không cân băng, d̄ô`ng tiê`n gia năm ,, , o bên nào nhe. hon. , , , 8.1. Môt 183 . sô´ công thúc tô ho. p , , ,, , , , Ta gia su khăng d̄inh cua bài toán d̄úng vói n − 1. Bây giò ta . có 3n . Ta chia chúng ra làm ba nhóm theo 3n−1 d̄ô`ng xu và d̄at , .̆ ,, , ` ´ ` hai nhóm lên tùng d̄ı̃a cân. Nêu cân cân băng, thı̀ d̄ông xu gia o ,, , ,, , nhóm thú 3, còn nguo. c lai thı̀ o nhóm trên d̄ı̃a cân nhe. hon. Và . , , , ,, , ca hai truòng ho. p khăng d̄inh cua bài toán suy ra theo quy nap. . . , , , , , n ` Ta sẽ chúng minh răng nê´u sô´ luo. ng d̄ô`ng xu lón hon 3 , thı̀ , , ` không phai lúc nào cũng phát hiên n lâ`n cân . ra d̄ô`ng xu gia băng ,, , và thâm . sô´ d̄ô`ng xu thât . trı́ trong truòng ho. p d̄ã biê´t môt . rô`i. , , , ,, , Truòng ho. p n = 1, khăng d̄inh trên d̄úng hiên nhiên. Gia . , , ,, , , su khăng d̄inh d̄úng vói tâ´t ca sô´ tu. nhiên k (k ≤ n − 1) và xét . , ,, , , truòng ho. p k = n. Ta ký hiêu F tâp ho. p tâ´t ca các d̄ô`ng xu d̄ã . . , ,, , ` cho, còn J tâp sô´ luo. ng . ho. p tâ´t ca các d̄ô`ng xu thât. . Chú ý răng ,, , , d̄ô`ng xu trong F lón hon 3n , còn sô´ luo. ng trong J là bâ´t kỳ, có , , ` ` thê là 0. Dễ thâ´y răng trên hai d̄ı̃a cân phai d̄at .̆ sô´ d̄ô`ng xu băng , ` nhau. Băng cách nhu vây . trên môt . d̄ı̃a cân hoac .̆ ngoài hai d̄ı̃a , , n − 1 cân có môt d̄ô`ng xu tù F. Ta ký hiêu . nhóm nhiê`u hon 3 . nhóm ` d̄ó băng N. Nê´u N ngoài hai d̄ı̃a cân, thı̀ theo d̄iê`u kiên hai d̄ı̃a cân cân , ,, , ` băng, d̄ô`ng xu gia o nhóm N và theo gia thiê´t quy nap . nó không , , ,, ` ` ` ` thê tách d̄ông tiên gia d̄uo. c băng n − 1 lân cân. Nê´u nhóm N là môt trong hai d̄ı̃a cân và d̄ó là d̄ı̃a cân nhe. , , . , ` trong nó, khi d̄ó theo gia thiê´t quy nap hon, thı̀ d̄ô`ng xu gia năm . , ,, cũng không tách d̄uo. c d̄ô`ng xu gia. , Vı́ du. 8.8. Cho bang hı̀nh vuông các sô´ a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. .. .. . . ... . J an1 an2 ... ann . , , , ,, , Chuong 8. Tô ho. p và d̄ăng thúc 184 Chú,ng minh ră` ng nê´u M là môt . hă` ng sô´ sao cho n ∑ |x1 a j1 + x2 a j2 + · · · + xn a jn | ≤ M j =1 , vó,i moi . cách chon . nhũng sô´ xi = ±1, thı̀ | a11 | + | a22 | + · · · + | ann | ≤ M. , , , , ` Lòi giai. Ta chúng minh mênh d̄ê` băng quy nap . theo n. Vói , . ,, , n = 1 mênh d̄ê` d̄úng. Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói n − 1. Cho . . , x1 , x2 , . . . , xn−1 là môt . cách chon . bâ´t kỳ cua ±1. Khi d̄ó ta dùng , , bâ´t d̄ăng thúc sau 2|α| = |2α| = |(α + β) + (α − β)| ≤ |α + β| + |α − β|, ,, ta nhân . d̄uo. c n −1 2 ∑ |x1 a j1 + · · · + xn−1 a j,n−1 | + 2|ann | j =1 n −1 ≤ ∑ |x1 a j1 + · · · + xn−1 a j,n−1 + ann |+ j =1 n −1 + ∑ |x1 a j1 + · · · + xn−1 a j,n−1 − ann |+ j =1 + | ann + x1 a j1 + · · · + xn−1 a j,n−1 |+ + | ann − x1 a j1 − · · · − xn−1 a j,n−1 | n −1 = ∑ |x1 a j1 + · · · + xn−1 a j,n−1 + ann |+ j =1 n −1 + ∑ |x1 a j1 + · · · + xn−1 a j,n−1 − ann | ≤ 2M. j =1 , , , 8.1. Môt . sô´ công thúc tô ho. p , Túc là 185 n −1 ∑ |x1 a j1 + · · · + xn−1 a j,n−1 | ≤ M − |ann |, j =1 , , tù d̄ây theo gia thiê´t quy nap . suy ra | a11 | + | a22 | + · · · + | an−1,n−1 | ≤ M − | ann |, nghı̃a là | a11 | + | a22 | + · · · + | ann | ≤ M. J Vı́ du. 8.9. Cho các sô´ tu. , nhiên a1 , a2 , . . . , an (n > 1), sao cho ak ≤ , k, (k = 1, 2, . . . , n) và tông a1 + a2 + · · · + an là chă˜ n. Chú,ng minh , ră` ng môt . trong các tông d̄ai . sô´ a1 ± a2 ± a3 . . . ± an bă` ng 0. , , , ` Lòi giai. Ta chúng minh băng quy nap . theo n. Khi n = 2, ta dễ , , thâ´y a1 = a2 = 1. Do d̄ó a1 − a2 = 0. Ðô´i vói n + 1 sô´ tu. nhiên , , a1 , a2 , . . . , an+1 (n ≥ 2) thoa mãn các d̄iê`u kiên . cua bài toán, ta ,, , xét hai truòng ho. p sau: 0 1. an 6= an+1 . Ðat .̆ an = | an − an+1 |, khi d̄ó do 1 ≤ an ≤ n ,và 1 ≤ an+1 ≤ n + 1 nên 1 ≤ a0n ≤ (n + 1) − 1 = n. Mat .̆ khác, tông ˜ ˜ a1 + a2 + · · · + an + an+1 chăn, riêng an + an+1 có cùng tı́nh chăn , , 0 , le vói a = | an − an+1 |, do d̄ó tông a1 + a2 + · · · + an−1 + a0n cũng , , , thoa mãn các d̄iê`u kiên cua bài toán. Theo gia thiê´t quy nap . . ta , 0 có môt . trong các tông a1 ± a2 ± . . . ± an−1 ± an ,= a1 ± a2 ± . . . ± , , ` an−1 ± | an − an+1 | băng 0. Tù d̄ó suy ra d̄iê`u phai chúng minh. ˜ và 2. an = an+1 . Lúc này do a1 + a2 + · · · + an + an+1 chăn ˜ nên a1 + a2 + . . . + an−1 cũng chăn. ˜ Vây an + an+1 = 2an chăn . , ´u n − 1 sô´ a1 , a2 , . . . , an−1 cũng thoa mãn các d̄iê`u kiên b ài to án nê ., , , chı câ`n n − 1 > 1 hay n ≥ 3. Nhung d̄iê`u này là hiên nhiên vı̀ nê´u , ,, , n = 2, (rõ ràng chı câ`n chú ý truòng ho. p này mà thôi vı̀ n ≥ 2), , , , ˜ thı̀ tù gia thiê´t a1 ≤ 1, a2 ≤ 2 và a3 ≤ 3 và tông a1 + a2 + a3 chăn, , ,, , , ta suy ra a1 = 1 và a2 6= a3 túc là roi vào truòng ho. p 1. d̄ã xét. Do , , , ,, , Chuong 8. Tô ho. p và d̄ăng thúc , ,, , , ` gia thiê´t quy nap d̄ê suy ra răng ı́t nhâ´t môt d̄ó có thê su dung . . . , , ` trong các biêu thúc a1 ± a2 ± . . . ± an−1 băng 0 và do d̄ó môt . trong , ` các tông a1 ± a2 ± . . . ± an−1 + an − an+1 cũng băng 0. 186 J , , ´ d̄ ăng thúc 8.2. Môt sô . , , , , ` Phâ`n này ta chúng minh môt d̄ăng thúc d̄áng nhó. . sô´ hăng Vı́ du. 8.10. Chú,ng minh nhi. thú,c Newton ( a + b)n = n ∑ Cni ai bn−i , (8.5) i =0 , o, d̄ây n là sô´ nguyên du,o,ng. , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Dễ thâ´y (8.5) d̄úng vói n = 1. , ,, , , , , Bu,ó,c quy nap: . Gia su d̄ăng thúc (8.5) d̄úng vói n, ta sẽ chúng minh nó cũng d̄úng cho n + 1. Thât . vây, . ( a + b ) n +1 = ( a + b ) n ( a + b ) = = [ an + Cn1 an−1 b + · · · + Cnk an−k bk + · · · + bn ]( a + b) = an+1 + Cn1 an b + · · · + Cnk an+1−k bk + · · · + abn + + an b + Cn1 an−1 b2 + · · · + Cnk an−k bk+1 + · · · + bn+1 . Suy ra h i h i ( a + b)n+1 = an+1 + 1 + Cn1 an b + Cn1 + Cn2 an−1 b2 + · · · h i · · · + Cnk−1 + Cnk an+1−k bk + · · · + bn+1 . , , , Nhũng hê. sô´ trong công thúc trên rút gon . theo công thúc (2.8) và ta có n +1 ( a + b)n+1 = ∑ Cni +1 an+1−i bi . , , , i =0 Vây . d̄ăng thúc (8.5) d̄úng vói n + 1. J , , 8.2. Môt . sô´ d̄ăng thúc 187 Vı́ du. 8.11. Vó,i a1 , a2 , . . . , an là nhũ,ng sô´ thu. ,c, chú,ng minh ră` ng ( a1 + a2 + · · · + an )2 = a21 + a22 + · · · + a2n + 2( a1 a2 + a1 a3 + · · · + an−1 an ) (8.6) , , vói moi . sô´ tu. nhiên n ≥ 2. , , , , , , , ` Lòi giai. Vói n = 2 công thúc (8.6) là hăng d̄ăng thú d̄áng nhó. , ,, , , Gia su công thúc (8.6) d̄úng vói n = k − 1, nghı̃a là ( a1 + a2 + · · · + ak−1 )2 = a21 + a22 + · · · + a2k−1 + 2S , , , , ,, , o d̄ây S là tông tâ´t ca các kha năng tùng d̄ôi cua dãy , a1 , a2 , . . . , ak−1 . Ta sẽ chúng minh ( a1 + a2 + · · · + ak )2 = a21 + a22 + · · · + a2k + 2S1 ,, o d̄ây S1 = S + ( a1 + a2 + · · · + ak−1 ) ak . Thât . vây, . ( a1 + a2 + · · · + ak )2 = [( a1 + a2 + · · · + ak−1 ) + ak ]2 = ( a1 + a2 + · · · + ak−1 )2 + 2( a1 + · · · + ak−1 ) ak + a2k = ( a21 + a22 + · · · + a2k−1 ) + 2S + 2( a1 + · · · + ak−1 ) ak + a2k J = ( a21 + a22 + · · · + a2k−1 ) + 2S1 . Vı́ du. 8.12. Cho sô´ nguyên du,o,ng n và sô´ thu. ,c x, chú,ng minh ră` ng 1 2 n−1 [x] + [x + ] + [x + ] + · · · + [x + ] = [nx ]. n n n , , , Lòi giai. Bài ra không rõ cho ta phai quy nap sô´ . theo thông , , , , , ,, , nào. ý tuong d̄ê chúng minh là chı lâ´y giá tri. x trong khoang nho k k+1 [ , ) vó,i k = 0, ±1, ±2, . . . n n , ,, , ` trong khoang con [0, 1 ). Khi d̄ó [ x + Ðâ`u tiên gia su x năm n n −1 i i , , ] = 0 vói i = 0, 1, 2, . . . , n − 1, nhu vây . ∑ [ x + n ] = 0. Cũng có n i =0 , , , ,, , Chuong 8. Tô ho. p và d̄ăng thúc , , , [nx ] = 0, nhu, vây . ta d̄ã chúng minh kê´t qua d̄úng cho khoang con d̄â`u tiên. , , ,, , k − 1 k ,, , Bây giò ta gia su khăng d̄inh d̄úng cho khoang [ , ), o . n n, ,, , d̄ây k là sô´ nguyên duong, và cho x sô´ thu. c bâ´t kỳ trong khoang này. Khi d̄ó 188 2 n−1 1 ] = [nx ]. [x] + [x + ] + [x + ] + · · · + [x + n n n 1 ,, ,, ` Công thêm vào x (ta làm d̄uo. c vı̀ băng cách này ta nhân d̄uo. c . . n ,, k k+1 ´ ´ )), mỗi sô´ hang o bên trái ngoài sô´ hang sô bât kỳ trong [ , . . n ,n , cuô´i cùng, d̄ê`u chuyên sang sô´ hang bên phai nó, và sô´ hang cuô´i . . n−1 , cùng là [ x + ] tú,c là [ x + 1] thu.,c châ´t công 1 vào [ x ]. Nhu . n , 1 , ` vây x + vào vê´ trái, d̄ăng thúc trên tăng lên 1. . thay x băng n , ,, 1 , ` Ðô`ng thòi khi d̄ó khi x o [nx ] thay băng x + , giá tri. cua nó n , , , cũng tăng lên 1. Do mỗi bên cua d̄ăng thúc d̄ê`u tăng lên 1 khi , , 1 ` thay x băng x + , kê´t qua vẫn còn d̄úng cho tâ´t ca các sô´ trong n , k k+1 ). khoang [ , n n , , , Theo gia thiê´t quy nap kê´t qua còn d̄úng cho tâ´t ca giá tri. . , , ,, ,, , duong cua x. Hoàn toàn tuong tu. cũng d̄úng cho tâ´t ca các giá tri. , âm cua x. J , Vı́ du. 8.13. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . sô´ tu. nhiên n ≥ 1 (n + 1)(n + 2) . . . (n + n) = 2n .1.3.5 . . . (2n − 1). , ,, , ,, Lòi giai. Ký hiêu . tı́ch o vê´ trái là Tn . Dùng phuong pháp quy nap . , , 1. toán hoc theo n. V ó i n = 1 công th ú c d̄ úng vı̀ T = ( 1 + 1 ) = 2 1 . , , 8.2. Môt . sô´ d̄ăng thúc , ,, , , Gia su công thúc d̄úng vói n = k. Ta có 189 Tk = (k + 1)(k + 2) . . . (k + k ) = 2k .1.3.5 . . . (2k − 1). , Ta câ`n chúng minh [(k + 1) + 1][(k + 1) + 2] . . . [(k + 1) + k][(k + 1) + (k + 1)] = 2k+1 .1.3.5 . . . (2k + Hoac .̆ là (k + 2)(k + 3) . . . (k + 1 + k)(2k + 2) = 2k+1 .1.3.5 . . . (2k + 1). Thât . vây, . Tk+1 = (k + 2)(k + 3) . . . (k + 1 + k )(2k + 2) (k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + k) .(k + 1 + k )(2k + 2) ( k + 1) (2k + 1).2(k + 1) = Tk . k+1 , Vı́ du. 8.14. Chú,ng minh d̄ăng thú,c vó,i moi . sô´ nguyên n ≥ 0 = sin 2n+1 α . 2n+1 sin α , , sin 2α , , , Lòi giai. 1) Vói n = 0 d̄ăng thúc d̄úng, vı̀ cos α = . 2 sin α , ,, , , , , 2) Gia su d̄ăng thúc d̄úng vói n = k, túc là sin 2k+1 α cos α cos 2α cos 4α . . . cos 2k α = k+1 . 2 sin α , Khi d̄ó nó cũng d̄úng vói n = k + 1. Thât . vây, . sin 2k+1 α cos 2k+1 α cos α cos 2α cos 4α . . . cos 2k α cos 2k+1 α = 2k+1 sin α sin 2k+2 α = k +2 . 2 sin α , Vı́ du. 8.15. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . sô´ tu. nhiên n ≥ 1 n+1 sin x nx 2 sin x + sin 2x + · · · + sin nx = sin . x 2 sin 2 J cos α cos 2α cos 4α . . . cos 2n α = J , , , ,, , Chuong 8. Tô ho. p và d̄ăng thúc 190 , , , , Lòi giai. 1) Vói n = 1 khăng d̄inh trên là d̄úng. . 2) Cho k+1 x kx 2 sin . x 2 sin 2 sin sin x + sin 2x + · · · + sin kx = Khi d̄ó sin x + sin 2x + · · · + sin kx + sin(k + 1) x = k+1 sin x kx 2 = sin + sin(k + 1) x = x 2 sin 2 k+1 x sin kx k+1 k+1 2 sin + 2 sin x cos x = x 2 2 2 sin 2 k+2 sin x k+1 2 = sin x, x 2 sin 2 vı̀ 2 cos k+1 x k+2 kx x sin = sin x − sin . 2 2 2 2 J , Vı́ du. 8.16. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . sô´ tu. nhiên n ≥ 1 sin x + 2 sin 2x + 3 sin 3x + · · · + n sin nx = (n + 1) sin nx − n sin(n + 1) x . x 4 sin2 2 , , , , Lòi giai. 1) Vói n = 1 khăng d̄inh d̄úng, vı̀ . 2 sin x (1 − cos x ) 2 sin x − sin 2x = = sin x. x x 4 sin2 4 sin2 2 2 , , 8.2. Môt . sô´ d̄ăng thúc , , ,, , , 2) gia su khăng d̄inh d̄úng vói n = k túc là . sin x + 2 sin 2x + 3 sin 3x + · · · + k sin kx = 191 (k + 1) sin kx − k sin(k + 1) x . x 4 sin2 2 Khi d̄ó sin x + 2 sin 2x + 3 sin 3x + · · · + k sin kx + (k + 1) sin(k + 1) x = = = = = = (k + 1) sin kx − k sin(k + 1) x + (k + 1) sin(k + 1) x x 4 sin2 2 (k + 1) sin kx − k sin(k + 1) x + 2(k + 1) sin(k + 1) x (1 − cos x ) x 4 sin2 2 (k + 2) sin(k + 1) x + (k + 1) sin kx 2(k + 1) cos x sin(k + 1) x − x x 4 sin2 4 sin2 2 2 (k + 2) sin(k + 1) x + (k + 1) sin kx (k + 1)[sin(k + 2) x + sin kx ] − x x 4 sin2 4 sin2 2 2 (k + 2) sin(k + 1) x − (k + 1) sin(k + 2) x . x 4 sin2 2 J Vı́ du. 8.17. Chú,ng minh ră` ng 1 x 1 x 1 x 1 x tg + 2 tg 2 + · · · + n tg n = n cotg n − cotg x 2 2 2 2 2 2 2 2 , vói x 6= mπ. , , , , Lòi giai. 1) Vói n = 1 khăng d̄inh d̄úng, vı̀ . x 2 x tg2 x 1 x 1 − tg 2 1 2 = 1 tg x . cotg − cotg x = cotg − = x x 2 2 2 2 2 2 2 tg 2 tg 2 2 , , , ,, , Chuong 8. Tô ho. p và d̄ăng thúc 192 , , ,, , , 2) Gia su khăng d̄inh d̄úng vói n = k, túc là . 1 x 1 x 1 x 1 x tg + 2 tg 2 + · · · + k tg k = k cotg k − cotg x. 2 2 2 2 2 2 2 2 Khi d̄ó x 1 x 1 x 1 x 1 tg + · · · + k tg k + k+1 tg k+1 = tg + 2 2 22 22 2 2 2 2 1 x 1 x = k cotg k − cotg x + k+1 tg k+1 2 2 2 2 x 2 1 cotg 2k+1 − 1 1 = k +1 + x x − cotg x 2 k + 1 cotg k+1 2 cotg k+1 2 2 1 x = k+1 cotg k+1 − cotg x. 2 2 Vı́ du. 8.18. Cho a và A > 0 là nhũ,ng sô´ bâ´t kỳ và d̄at .̆ a1 = J 1 A 1 A 1 A ( a + ), a 2 = ( a 1 + ), . . . , a n = ( a n −1 + ). 2 a 2 a1 2 a n −1 Chú,ng minh ră` ng √ A √ = an + A an − √ ! 2n −1 A √ , a1 + A a1 − vó,i moi . sô´ nguyên n ≥ 1. , , , , , , , ,, , Lòi giai. 1) Buóc co so: Dễ thâ´y d̄ăng thúc d̄úng vói n = 1. , , , ,, , 2) Buóc quy nap: . Gia thiê´t d̄ăng thúc d̄úng vói n. Ta câ`n , , chúng minh nó cũng d̄úng vói n + 1. Thât . vây . √ A 1 √ √ √ ( an + ) − A a n +1 − A a2n − 2 Aan + A an − A 2 2 an √ = √ = a2 + 2√ Aa + A = ( a + √ A ) . 1 A a n +1 + A n n n ( an + ) + A 2 an 8.3. Bài tâp . 193 , , Nhung theo gia thiê´t quy nap . √ ! 2n −1 √ a1 − A an − A √ = √ . an + A a1 + A Vı̀ vây . √ A √ = a n +1 + A a n +1 − √ !2 A √ = an + A an − √ !2.2n−1 A √ = a1 + A a1 − √ ! 2n A √ a1 + A a1 − J 8.3. Bài tâp . ` . 8.19. Chú,ng minh răng cos x + 2 cos 2x + · · · + n cos nx = (n + 1) cos nx − n cos(n + 1) x − 1 . x 4 sin2 2 ` . 8.20. Chú,ng minh răng n (1 + i )n = 2 2 (cos nπ nπ + i sin ). 4 4 , . 8.21. Cho hai dãy sô´ a1 , a2 , . . . và b1 , b2 , . . . Chú,ng minh d̄ăng , thúc n n −1 µ =1 µ =1 ∑ aµ bµ = an Bn − ∑ (aµ+1 − aµ ) Bµ , (n = 2, 3, . . .), ,, o d̄ây Bk = k ∑ bj , k = 1, 2, . . . , n. j =1 , . 8.22. Hãy tı̀m tông k k ( k − 1) k (k − 1) . . . 2.1 1− + − · · · + (−1)k , m + 1 (m + 1)(m + 2) (m + 1)(m + 2) . . . (m + k) ,, , , k là sô´ tu. nhiên bâ´t kỳ. o d̄ây m là sô´ tu. nhiên cô´ d̄inh, . , , CHUONG 9 ´ LIÊN PHÂN SÔ 9.1. Khái niêm . liên phân sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , 9.2. Phân tı́ch sô´ hũu ty thành liên phân sô´ . . . . . . . . . . . . . , 9.3. Phân sô´ xâ´p xı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 9.4. Liên phân sô´ vô han . …………………………… 203 9.5. Vı́ du. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 9.6. Bài tâp . ……………………………………….. 210 194 196 9.1. Khái niêm . liên phân sô´ , , Môt . biêu thúc có dang . 1 q0 + q1 + (9.1) 1 q2 + .. .+ 1 qn ,, trong d̄ó q1 , q2 , . . . , qn là sô´ duong, còn q0 là sô´ không âm, goi . là , , , liên phân sô´ . Nhũng sô´ q0 , q1 , . . . , qn goi . là phâ`n thuong không , ,, d̄â`y d̄u (phâ`n tu), còn liên phân sô´ 9.1. Khái niêm . liên phân sô´ 195 1 q0 + q1 + (9.2) 1 q2 + .. .+ 1 qn , , ,, goi . là thuong d̄â`y d̄u cua phân sô´ (9.1). , ,, Ðê thuân . tiên . liên phân sô´ (9.1) d̄uo. c viê´t theo cách sau: (9.3) , ,, , ` Dễ thâ´y răng vói n ≥ 1 liên phân sô´ (9.3) biêu diễn môt sô´ duong . , nào d̄ó ω, goi . là giá tri. cua nó. Ta ký hiêu . ( q0 , q1 , . . . , q n ). ω = ( q0 , q1 , . . . , q n ). ,, , Cho môt . liên phân sô´ ( nghı̃a là cho các phâ`n tu cua nó, , q0 , q1 , . . . , qn ) vói giá tri. ω. Ta ký hiêu . ωk (0 ≤ k ≤ n) phâ`n d̄â`y d̄u , cua (9.2). Khi d̄ó 1 ωk = qk + q k +1 + 1 q k +2 + .. .+ 1 qn , , , , ` Ta thâ´y răng ωk có thê giũ vai trò nhu phâ`n không d̄â`y d̄u cuô´i , ,, , cùng (thú k). Boi vây . ta có thê chú ý d̄ê´n cách viê´t sau: ( q 0 , q 1 , . . . , q k −1 , q k , . . . , q n ) = ( q 0 , q 1 , . . . , q k −1 , ω k ); (9.4) ωk = (qk , qk+1 , . . . , qn ), k = 0, 1, . . . , n. , , , , Dễ thâ´y vói k = 0 phâ`n d̄â`y d̄u cua (9.2) trùng vói liên phân sô´ , , d̄ã cho, vói k = n là phâ`n không d̄â`y d̄u cuô´i cùng qn , nghı̃a là ω0 = ω, ωn = qn . ,, Chuong 9. Liên phân sô´ 196 , , ,, Vı́ du: . a) Sô´ ω = (1, 2, 2) biêu diễn nhu phân sô´ bı̀nh thuòng. Thât . vây . 1 2 7 = 1+ = . 5 1 5 5 2+ 2 2 , , ,, 88 , , , b) Sô´ có thê biêu diễn nhu liên phân sô´ vói nhũng phâ`n tu 67 nguyên. Thât . vây . ω = 1+ 1 = 1+ 88 21 = 1+ , 67 67 67 4 = 3+ , 21 21 21 1 = 5+ , 4 4 ( q0 = 1), ( q1 = 3), (q3 = 5, q4 = 4). , Vây . ta có thê viê´t 88 = (1, 3, 5, 4). 67 , , 9.2. Phân tı́ch sô´ hũu ty thành liên phân sô´ ,, , ,, Theo d̄inh nghı̃a phâ`n truóc nê´u sô´ phâ`n tu cua liên phân sô´ . , , , là hũu han . thı̀ ta có thê chuyên liên phân sô´ thành môt . ,phân , , , , , , , sô´ bı̀nh thuòng. Nguo. c lai, . môt . phân sô´ bı̀nh thuòng có thê biêu ,, diễn duói dang liên phân sô´. . , , , ,, Vı́ du. 9.1. Chú,ng minh ră` ng moi . sô´ hũu ty duong d̄ều có thê phân tı́ch thành liên phân sô´. , a ,, , , Lòi giai. Cho ω = , o d̄ây a và b là sô´ tu. nhiên nguyên tô´ cùng b ,, ,, nhau. Theo thuât . toán Euclide chuong truóc ta có , , 9.2. Phân tı́ch sô´ hũu ty thành liên phân sô´ 197 a = bq0 + r1 b = r1 q1 + r2 …… (9.5) r n −2 = r n −1 q n −1 + r n , r n −1 = r n q n , , ,, , , o d̄ây b > r1 > r2 > . . . > rn−1 > rn = 1. Tù d̄ây và nhũng d̄ăng , , ,, ` thúc (9.5) suy ra qn ≥ 2. Ta sẽ chúng minh răng ω phân tı́ch d̄uo. c thành liên phân sô´ ω = ( q0 , q1 , . . . , q n ). r i −1 Muô´n vây . ta d̄at .̆ r0 = b, ωi = r , (i = 1, 2, . . . , n). i , , , Ðăng thúc d̄â`u tiên cua (9.5) cho ta (9.6) 1 a r = q0 + 1 = q0 + = ( q 0 , ω1 ) . b r0 ω1 ,, , , , , , ,, Tuong tu. tù d̄ăng thúc thú hai ta tı̀m d̄uo. c ω = (q0 , q1 , ω2 ). Ta , ` chúng minh răng ω= ω = (q0 , q1 , . . . , qi−1 , ωi ), i = 1, 2, . . . , n. (9.7) , ,, , , , Thât . vây, . gia su d̄ăng thúc (9.7) d̄úng vói sô´ i n, ào d̄ó (1 ≤ i ≤ , n − 1). Ta sẽ chúng minh khi d̄ó nó cũng d̄úng ca cho i + 1. Thât . , , , , r i −1 , vây, . ta chia d̄ăng thúc ri−1 = ri qi + ri+1 vói ri , ta nhân . d̄uo. c r = i , r i +1 1 qi + , theo d̄inh nghı̃a cua ωi là ωi = qi + = ( q i , ω i +1 ). . ri ω i +1 , Suy ra ω = (q0 , q1 , . . . , qi−1 , ωi ) = (q0 , q1 , . . . , qi−1 , qi , ωi+1 ), nhu , , , vây . (9.7) d̄ã chúng minh. Tù (9.7) suy ra (9.6) vói i = n. Vı́ du. 9.2. Chú,ng minh ră` ng su. , phân tı́ch thành liên phân sô´ , , cua mỗi sô´ hũ,u ty là duy nhâ´t. ,, Chuong 9. Liên phân sô´ 198 , , ,, , , , , , Lòi giai. Gia su cùng vói su. khai triên (9.6) ω còn có biêu diễn khác ω = (q00 , q10 , . . . , q0m ), q,0m > 1. (9.8) 0 ` Ta cho răng m ≥ n. Cho ωi là phâ`n d̄â`y d̄u ωi0 = (qi0 , qi0+1 , . . . , q0m ), (i = 1, 2, . . . , m). , Hiên nhiên ta có ω = q0 + 1 1 = q00 + 0 , ω1 ω1 , , ` ` tù d̄ây suy ra răng chúng băng nhau phâ`n nguyên cũng nhu , , ,, , phâ`n phân sô´ o hai vê´ cua d̄ăng thúc. Nghı̃a là q0 = q00 , ω1 = ω10 . , , , Ðăng thúc sau cũng có thê viê´t: 1 1 = q10 + 0 , q1 + ω2 ω2 , ,, tù d̄ó suy ra q1 = q10 , ω2 = ω20 . Theo cách này (phuong pháp quy , , 0 nap . toán hoc) . ta sẽ dẫn d̄ê´n d̄ăng thúc qn−1 = qn−1 và ωn = ωn0 , (9.9) , ,, 1 ` o d̄ây ωn = qn . Ta gia thiê´t răng m > n. Khi d̄ó ωn0 = q0n + 0 , ω n +1 ,, 0 o d̄ây ωn+1 > 1 và (9.9) suy ra qn = q0n + 1 . ωn0 +1 , , , , , , , Nhung d̄ăng thúc d̄ó không thê xây ra, vı̀ vê´ phai không phai là 0 0 môt . sô´ nguyên. Ðiê`u vô lý d̄ó suy ra m = n, ωn = qn = qn . J , 9.3. Phân sô´ xâ´p xı Cho liên phân sô´ (q0 , q1 , q2 , . . . , qn ). Ta xét dãy liên phân sô´ α0 = ( q0 ), α1 = ( q0 , q1 ), . . . , α n = ( q0 , q1 , . . . , q n ). (9.10) , 9.3. Phân sô´ xâ´p xı 199 , , , , ` Ta biê´t răng sô´ αi là sô´ hũu ty. Vı̀ thê´ chúng có thê biêu diễn , , , , ,, , nhu nhũng phân sô´ tô´i gian (D ( a, b) là uóc sô´ chung lón nhâ´t cua a và b) α i = ( q0 , q1 , . . . , q i ) = Pi , ( D ( Pi , Qi ) = 1; i = 0, 1, 2, …, n). (9.11) Qi , , Pi goi là i-phân sô´ xâ´p xı cua liên phân sô´ (q0 , q1 , . . . , qn ). . Qi , , Phân sô´ xâ´p xı giũ vai trò quan trong trong lý thuyê´t liên phân , , , sô´. Nhũng vı́ du. sau d̄ây chı ra môt . sô´ tı́nh châ´t cua chúng: Phân sô´ Vı́ du. 9.3. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . liên phân sô´ ta d̄ều có Pi+1 = Pi qi+1 + Pi−1 , (9.12) Q i +1 = Q i q i +1 + Q i −1 , (9.13) Pi+1 Qi − Pi Qi+1 = (−1)i , (9.14) vó,i (i = 1, 2, . . . , n − 1). , , , , Lòi giai. Ta chúng minh quy nap . theo i. Vói i = 1, ta tı́nh Pi và P0 q0 , ,, , Qi vói i = 1, 2. Tù (9.11) ta tı̀m d̄uo. c q0 = = và vı̀ phân sô´ Q0 1 , P0 tô´i gian (theo d̄inh nghı̃a), nên . Q0 P0 = q0 , Q0 = 1. (9.15) 1 q0 q1 + 1 , Vói i = 1 ta có (q0 , q1 ) = q0 + = . Sô´ q0 q1 + 1 và q1 q1 q1 , nguyên tô´ cùng nhau. Ta d̄ễ chúng minh D ( a + c, b) = D ( a, b) (9.16) , vói d̄iê`u kiên (9.16) cho c = q0 q1 , b = . c chia hê´t cho b. Áp dung . ,, , q1 , a = 1, ta sẽ nhân . d̄uo. c D (q0 q1 + 1, q1 ) = D (q1 , 1) = 1. bây giò ,, Chuong 9. Liên phân sô´ 200 q0 q1 + 1 P , tù (9.11) ta có = 1 và q1 Q1 P1 = q0 q1 + 1, Q1 = q1 . (9.17) P2 q0 ( q1 q2 + 1) + q2 , . = Vói i = 2 ta có (q0 , q1 , q2 ) = q1 q2 + 1 Q2 , , , , , , Ðăng thúc sau cùng là d̄ăng thúc giũa các phân sô´ tô´i gian. , P2 Thât nghı̃a, còn bên vê´ trái ta sẽ áp . . vây . Q tô´i gian theo d̄inh 2 dung hai lâ`n (9.16) . D (q0 (q1 q2 + 1) + q2 , q1 q2 + 1) = D (q1 q2 + 1, q2 ) = D (q2 , 1) = 1. Suy ra P2 = q0 (q1 q2 + 1) + q2 , Q2 = q1 q2 + 1. (9.18) , ,, , , , ´ Su dung (9.17) v à (9.18) v ó i s u kiê m tra tr u c tiê p suy ra (9.12), . . . , (9.13) và (9.14) vói i = 1. , , ,, , Gia su khăng d̄inh d̄úng vói sô´ i nào d̄ó ( (1 ≤ i ≤ n − 2). . , , , ` Ta sẽ chúng minh răng chúng cũng d̄úng vói i + 1 nghı̃a là thoa , , , mãn nhũng d̄ăng thúc sau Pi+2 = Pi+1 qi+2 + Pi , (9.12a) Q i +2 = Q i +1 q i +2 + Q i , (9.13a) Pi+2 Qi+1 − Pi+1 Qi+2 = (−1)i+1 , (9.14a) , Tù d̄inh nghı̃a (9.11) và theo (9.4) ta có . Pi+2 = (q0 , . . . , qi , qi+1 , qi+2 ) = (q0 , . . . , qi , qi∗+1 ), Q i +2 1 ,, . qi∗+1 = qi+1 + o d̄ây qi+, 2 , , , Ta so sánh (9.19) vói (9.11), d̄ua d̄ê´n d̄ăng thúc P Pi+2 = ( i +1 ) ∗ , Q i +2 Q i +1 (9.19) (9.20) (9.21) , 9.3. Phân sô´ xâ´p xı 201 , , , ,, ,, ` o d̄ây dâ´u * chı ra răng thuong không d̄â`y d̄u cuô´i cùng qi+1 cua , ,, , ` phân sô´ trong ngoac qi∗+1 tù (9.20). Theo gia .̆ câ`n d̄uo. c thê´ băng , thiê´t quy nap, . nghı̃a là tù (9.12) và (9.13), suy ra Pi+1 P q + Pi−1 = i i +1 . Q i +1 Q i q i +1 + Q i −1 (9.22) , ` Tù (9.11) thâ´y răng Pi−1 , Qi−1 , Pi và Qi không phu. thuôc . vào qi+1 . ,, ,, Khi d̄ó áp dung trên (9.22) toán tu *, ta nhân . . d̄uo. c  Pi+1 Q i +1 ∗  = = Pi qi+1 + Pi−1 Q i q i +1 + Q i −1 Pi (qi+1 + ∗ = 1 q i +2 Q i ( q i +1 + ) + Pi−1 1 q i +2 + Q i −1 ) qi+2 ( Pi qi+1 + Pi−1 ) + Pi . q i +2 ( Q i q i +1 + Q i −1 ) + Q i , , , Tù kê´t qua này cùng vói (9.12), (9.13) và (3.21) cho ta P q + Pi Pi+2 = i +1 i +2 . Q i +2 Q i +1 q i +2 + Q i (9.23) , , Pi+2 , là phân sô´ tô´i gian theo d̄inh nghı̃a, Ðê chúng minh . Q i +2 , , , (9.12a) và (9.13a) chı còn khăng d̄inh vê´ phai (9.23) cũng là phân . , , ,, ,, sô´ tô´i gian. Gia su nguo. c lai, Qi . khi d̄ó Pi+1 qi+2 + Pi và Qi+1 q, i+2 + , ,, ´ ,, ´ ´ có uóc sô chung d > 1. Dễ thây d cũng là uóc sô chung cua ca sô´ Vı̀ Pi+1 ( Qi+1 qi+2 + Qi ) − Qi+1 ( Pi+1 qi+2 + Pi ) = Pi+1 Qi − Qi+1 Pi . , , i Nhung theo gia thiê´t quy nap . , hiêu . sau cùng là (−1) và không , ,, , ,, , , chia hê´t cho d, trái vói d̄iê`u gia su nguo. c lai. Nhu vây phân sô´ o . . , , , vê´ phai cua (9.23) cũng là tô´i gian, suy ra (9.12a) và (9.13a) d̄ã , chúng minh. 202 ,, Chuong 9. Liên phân sô´ , , ,, , Ta dùng các kê´t qua nhân . d̄uo. c d̄ê chúng minh (9.14a). Ta có Pi+2 Qi+1 − Pi+1 Qi+2 = ( Pi+1 qi+2 + Pi ) Qi+1 − Pi+1 ( Qi+1 qi+2 + Qi ) = −( Pi+1 Qi − Pi Qi+1 ) = −(−1)i = (−1)i+1 , ,, , , o d̄ây ta d̄ã dùng (9.14) nhu gia thiê´t quy nap. . J , Vı́ du. 9.4. Chú,ng minh nhũ,ng d̄ăng thú,c sau Pi−1 P 1 a) , ( i ≥ 1); − i = (−1)i . Q i −1 Qi Q i Q i −1 b) Qi Pi−2 − Pi Qi−2 = (−1)i−1 .qi , ( i ≥ 2); Pi−2 P qi c) − i = (−1)i−1 . , ( i ≥ 2); Q i −2 Qi Q i Q i −2 Qi d) = ( q i , q i −1 , . . . , q 1 ), ( i ≥ 1). Qi − 1 , P P Q − Pi Qi−1 , , , , Pi−1 − i = i −1 i , Lòi giai. a) Suy ra tù d̄ăng thúc Q i −1 Qi Q i Q i −1 , ,, , ,, vói tu sô´ o vê´ phai dùng (9.14). b) Theo (9.12) ta có Pi−2 = Pi − qi Pi−1 , Q i −2 = Q i − qi Qi−1 .Khi d̄ó Qi Pi−2 − Pi Qi−2 = Qi ( Pi − qi Pi−1 ) − Pi ( Qi − ,, qi Qi−1 ) = qi ( Pi Qi−1 − Qi Pi−1 ) = (−1)i−1 qi , o d̄ây ta d̄ã dùng (3.5). c) Áp dung phâ`n b). . , Q1 , , d) Vói i = 1 d̄ăng thúc d̄ã cho có dang = (q1 ), d̄iê`u này . Q , ,, 0, , d̄úng vói d̄úng vı̀ Q0 = 1, Q1 = q1 , (q1 ) = q1 . Gia su khăng d̄inh . , , ` i (1 ≤ i ≤ n − 1). Ta sẽ chı ra răng khi d̄ó nó cũng d̄úng vói i + 1 hay là Q i +1 = ( q i +1 , q i , . . . , q 1 ). Qi 9.4. Liên phân sô´ vô han . 203 , ,, Thât . vây, . tù (9.13) ta nhân . d̄uo. c Q 1 Qi Q i +1 = q i +1 + i −1 = q i +1 + ). = ( q i +1 , Qi Qi Qi Q i −1 Q i −1 J 9.4. Liên phân sô´ vô han . , , Cho dãy sô´ nhũng sô´ thu. c a0 , a1 , . . . ký hiêu . a0 + 1 1 a1 + a2 + (9.24) .. . ,, ´ ´ goi sô vô han, còn sô a0 , a1 , . . . goi là phâ`n thuong . là liên phân . . , , , ,, không d̄â`y d̄u cua (9.24). Ðê thuân . tiên . chúng ta viê´t (9.24) duói dang . ( a0 , a1 , . . . ). (9.25) , , , ´ ´ ` Nhu ta d̄ã biêt, moi . liên phân sô hũu han . d̄êu biêu diễn môt . sô´ , , , , , , (giá tri. phân sô´), giá tri. này nhân d̄uo. c qua hũu han buóc thu. c . . , , , ,, , hiên . tı́nh toán hũu tı trên phâ`n thuong không d̄â`y d̄u. Nhung liên phân sô´ vô han . không có d̄iê`u d̄ó. ,, , , , Tuong tu. nhu phân sô´ hũu han . α i = ( a0 , a1 , . . . , a i ) , , goi . là phân sô´ xâ´p xı thú i, còn mỗi liên phân sô´ vô han . (9.26) ( a k , a k +1 , . . . ) (k = 0, 1, . . .) , , , goi . theo công thúc (9.11) . là phâ`n du cua (9.24). Sô´ (9.26) xác d̄inh Pi αi = . Theo cách này moi . phân sô´ vô han . (9.24) tô`n tai . dãy Qi , phân sô´ xâ´p xı P0 P1 Pn , ,…, ,… (9.27) Q0 Q1 Qn ,, Chuong 9. Liên phân sô´ 204 , , sô´ thu. c. Nê´u dãy (9.27) hôi Mỗi môt sô´ xâ´p xı là môt . . tu. và . phân , , ´ ´ giói han goi là hôi . cua ,nó là môt . sô ω thı̀ phân sô (9.24) . tu, . còn , . ´ ´ ω là giá tri. cua liên phân sô vô han. . Ta có thê viêt ω = ( a0 , a1 , . . . ) ,, ,, , Trong truòng ho. p nguo. c lai, . liên phân sô´ (9.24) goi . là phân kỳ. 9.5. Vı́ du. Vı́ du. 9.5. Cho liên phân sô´ a1 b0 + b1 + a2 b2 + .. .+ an bn Ta d̄at .̆ P0 = b0 , Q0 = 1, P1 = b0 b1 + a1 , Q1 = b1 , . . . và công thú,c chung Pk+1 = bk+1 Pk + ak+1 Pk−1 , Q k + 1 = bk + 1 Q k + a k + 1 Q k − 1 . Chú,ng minh ră` ng Pn = b0 + Qn a1 b1 + a2 b2 + .. .+ an bn , , , , , ` Lòi giai. Dễ thâ´y răng vói k = 0, 1 công thúc d̄úng. Gia thiê´t , , ` nó d̄úng vói k = n − 1, ta sẽ chúng minh răng nó cũng d̄úng cho 9.5. Vı́ du. 205 , , k = n. Nhu vây . gia thiê´t có a1 b0 + b1 + = a2 b2 + .. .+ Pn−1 Q n −1 a n −1 bn − 1 , , , Nhung tù công thúc cho Pk và Qk ta có Pn−1 b Pn−2 + an−1 Pn−3 = n −1 Q n −1 bn − 1 Q n − 2 + a n − 1 Q n − 3 ,, o d̄ây Pn−2 , Pn−3 , Qn−2 , Qn−3 không phu. thuôc . vào an−1 và bn−1 . , ,, ´ Mat .̆ khác, dùng gia thiêt quy nap . ta nhân . d̄uo. c an ) Pn−2 + an−1 Pn−3 bn = an ( bn − 1 + ) Q n − 2 + a n − 1 Q n − 3 bn ( bn − 1 + a1 b0 + b1 + a2 b2 + .. .+ a n −1 bn − 1 + an bn an Pn−2 bn Pn−1 + an Pn−2 Pn bn = = = . an b Q + a Q Q n n −1 n n −2 n Q n −1 + Q n −2 bn Pn−1 + Vı́ du. 9.6. Chú,ng minh ră` ng (sô´ mẫu sô´ trong liên phân sô´ bă` ng n). r r n +1 − r = r +1 r −1 r r+1− r+1− r .. .− r+1 ,, Chuong 9. Liên phân sô´ 206 , Pn , Lòi giai. Ta ký hiêu . liên phân sô´ theo Q . Ta có n P1 = r; Q1 = r + 1; P2 = r (r + 1); Q2 = r2 + r + 1; , ,, ` Ta chúng minh băng phuong pháp quy nap . rn − 1 r n +1 − 1 ; Qn = . r−1 r−1 , , , , Vói n = 1 công thúc này d̄úng. Giai thiê´t nó d̄úng vói n = m, ta , , sẽ chúng minh nó d̄úng vói n = m + 1. Ta có (theo vı́ du. trên) Pn = r Pm+1 = bm+1 Pm + am+1 Pm−1 . ,, , , Trong truòng ho. p cua chúng ta thı̀ r m −1 − 1 r m −1 − 1 r m −1 − 1 − r2 =r . r−1 r−1 r−1 r m +2 − 1 ,, , Tuong tu. ta cũng có Qm+1 = . r−1 Vı́ du. 9.7. Chú,ng minh ră` ng Pm+1 = (r + 1)r 1 1 1 + +···+ = u1 u2 un 1 . u21 u1 − u1 + u2 − J u22 u2 + u3 − .. .− u2n−1 u n −1 + u n , 1 1 1 , ,, Lòi giai. Ta d̄at = . Khi d̄ó ta tı̀m d̄uo. c xr = .̆ u + u ur + xr r r +1 u2r 1 1 1 , , − . Vı̀ thê´ + = . Hon nũa, 2 u r + u r +1 u1 u2 u1 u1 − u1 + u2 1 1 1 1 1 1 + + = + = , u1 u2 u3 u1 u2 + x2 u1 + x20 9.5. Vı́ du. 207 u21 , . Nhu vây . u1 + u2 + x2 1 1 1 1 + = = + u1 u2 u3 u21 u1 − u1 − u1 + u2 + x2 ,, o d̄ây x20 = − 1 u21 . u22 u1 + u2 − u2 + u3 , ,, , ` ,, , Tuong tu. băng phuong pháp quy nap . ta có thê chúng minh công , thúc chung. , Vı́ du. 9.8. Hãy chú,ng minh d̄ăng thú,c sau a1 a1 c1 = , a2 a2 c1 c2 b1 + b1 c1 + b2 + b2 c2 + . . an . . a n c n c n −1 .+ .+ bn bn c n ,, , o d̄ây c1 , c2 , c2 , . . . , cn là nhũng sô´ bâ´t kỳ khác 0. J , , Pn , ` ` Lòi giai. Ta ký hiêu phân sô´ , bên phai băng . bên trái băng Qn , P0 Pn P0 , phân sô´ n0 . Ta phai chúng minh = n0 vó,i moi . sô´ nguyên Qn Qn Qn ,, duong n. Ta có P1 a P2 a1 b2 = 1; = ;··· Q1 b1 Q2 b1 b2 + a2 P10 c a P0 c1 c2 a1 b2 = 1 1 ; 20 = ;··· 0 Q1 c1 b1 Q2 c1 c2 (b1 b2 + a2 ) , P1 = a1 ; Q1 = b1 ; P2 = a1 b2 ; Q2 = b1 b2 + a2 và khi Ta có thê d̄at , .̆ , d̄ó ta có các d̄ăng thúc sau (do bài 9.6) Pn+1 = bn+1 Pn + an+1 Pn−1 , Q n + 1 = bn + 1 Q n + a n + 1 Q n − 1 . Ta lai . d̄at .̆ P10 = c1 a1 ; P20 = c1 c2 a1 b2 ; Q10 = c1 b1 ; Q20 = c1 c2 (b1 b2 + a2 ). ,, Chuong 9. Liên phân sô´ 208 , , , , ` Ta sẽ chúng minh răng vói moi . n các d̄ăng thúc sau d̄úng Pn0 = c1 c2 . . . cn Pn ; Q0n = c1 c2 . . . cn Qn . , , , , ` Thât quy nap, . vây, . ta chúng ,minh băng . gia thiê´t các d̄ăng thúc , , , ` d̄úng vói moi n, ta sẽ chúng minh nó cũng . sô´ nho hon hay băng , d̄úng vói n + 1. Ta có Pn0 +1 = cn+1 bn+1 Pn0 + cn cn+1 an+1 Pn0 −1 , Q0n+1 = cn+1 bn+1 Q0n + cn cn+1 an+1 Q0n−1 . , Tù d̄ó suy ra Pn0 +1 = cn+1 bn+1 c1 c2 . . . cn Pn + cn cn+1 an+1 c1 c2 . . . cn−1 Pn−1 = c1 c2 . . . cn+1 (bn+1 Pn + an+1 Pn−1 ) = c1 c2 . . . cn+1 Pn+1 . ,, , , ,, Tuong tu. ta cũng chúng minh d̄uo. c Q0n+1 = c1 c2 . . . cn+1 Qn+1 . , Vı́ du. 9.9. Chú,ng minh các d̄ăng thú,c sau 1 sin(n + 1) x 1) = 2 cos x − sin nx 1 2 cos x − 2 cos x + 1 .. .+ 2 cos x ´ liên phân sô bâc . n. 2) 1 + b2 1 + b2 b3 + ··· + b2 b3 . . . bn J = b2 1− b2 + 1 − b3 b3 + 1 − .. .+ bn bn + 1 , , Pn , ` Lòi giai. 1) Ta d̄at . Dễ thâ´y .̆ liên phân sô´ bên phai băng Qn 9.5. Vı́ du. 209 , P1 sin 2x sin x , = 2 cos x. Vı̀ thê´ ta có thê d̄at P1 = ; Q1 = . Vói .̆ Q1 sin x sin x n=2, thı̀ 1 P2 4 cos2 x − 1 = 2 cos x − = . 2 cos x 2 cos x , Q2 Suy ra có thê d̄at .̆ P2 = sin 3x ; sin x Q2 = sin 2x . sin x sin(n + 1) x sin nx , , ` Ta sẽ chúng minh răng Pn = ; Qn = vói moi . sin x sin x , , , , x. Thât . vây, . gia thiê´t công thúc d̄úng vói n, ta sẽ chúng minh nó , d̄úng vói n + 1. Ta có (theo bài .9.5 ) Pn+1 = 2 cos x sin(n + 1) x sin nx 1 − = sin(n + 2) x. sin x sin x sin x sin(n + 1) x ,, , , Hoàn toàn tuong tu. ta chúng minh cho Qn+1 = , vı̀ sin x , thê´ ta có công thúc Pn sin(n + 1) x = Qn sin nx ,, , vói moi . sô´ nguyên duong n. , , , , Pn , 2) Ta ký hiêu . Q cho vê´ phai cua d̄ăng thúc. Ta câ`n phai n , chúng minh Pn = 1 + b2 + b2 b3 + · · · + b2 b3 . . . bn Qn ,, , vói moi . n nguyên duong. Thât . vây, . P1 1 P2 b2 + 1 = ; = Q1 1 Q2 1 ` vı̀ thê´ P1 = 1, Q1 = 1, P2 = b2 + 1, Q2 = 1. Khi d̄ó băng quy nap . ,, Chuong 9. Liên phân sô´ 210 , , ,, ta có thê chúng minh d̄uo. c Pn = 1 + b2 + b2 b3 + · · · + b2 b3 . . . bn Qn = 1. , , , Suy ra d̄ăng thúc câ`n chúng minh là d̄úng. J Vı́ du. 9.10. Chú,ng minh ră` ng nê´u môt . liên phân sô´ có n phâ`n ,, un+1 ,, tu bă` ng 1, thı̀ giá tri. phân sô´ này bă` ng , o d̄ây u1 = u2 = un , 1, u = 2, . . . là nhũng sô´ Fibonacci. 3 , , ,, , , Lòi giai. Ta su dung quy nap . . theo n. Vói n = 1 và n = 2 khăng d̄inh d̄úng: . 1 u2 1 2 u3 = , ω2 = (1, 1) = 1 + = = . 1 u1 1 1 u2 , , , Gia thiê´t khăng d̄inh d̄úng vói n nào d̄ó, nghı̃a là ωn = . u n +1 , ,, , , (1, 1, . . . , 1) = . Ta sẽ chúng minh trong truòng ho. p nhu vây . | {z } un ω1 = ( 1 ) = 1 = n nó cũng d̄úng cho n + 1. Thât . vây, . ωn+1 = (1, 1, . . . , 1) = (1, ωn ) | {z } n +1 = 1+ 9.6. Bài tâp . u n + u n +1 u n +2 1 = = . ωn u n +1 u n +1 J ,, . 9.11. Cho liên phân sô´ vô han . (q0 , q1 , . . .), o d̄ây q, 0 ≥ q1 > 0, . . . , , , , là nhũng sô´ tu. nhiên. Hãy chúng minh nhũng khăng d̄inh sau: . P0 P2 a) Dãy , , . . . , là dãy tăng. Q0 Q2 9.6. Bài tâp . b) Dãy 211 , P1 P3 , . . . , là dãy giam. , Q1 Q3 , . 9.12. Cho (q0 , q1 , . . .) là liên phân sô´ o, bài trên. Chú,ng minh mênh d̄ê` sau . a) (q0 , q1 , . . .) hôi . tu. . , b) Sô´ ω = (q0 , q1 , . . .) là sô´ vô tı. √ 1 + 5 , ` . 9.13. Chúng minh răng (1, 1, . . .) = . 2 ` . 9.14. Cho ω = (q0 , q1 , . . . , qn ). Chú,ng minh răng nê´u ta lâ´y , Pi Pi , , , phân sô´ xâ´p xı thú i |(i = d̄ô´i vói ω, thı̀ vói sai sô´ δi = |ω − Qi , Qi 0, 1, . . . , n − 1) thoa mãn d̄ánh giá sau 1 1 < δi < . Q i ( Q i + Q i +1 ) Q i Q i +1 , , CHUONG 10 ´ ` MÔT . . SÔ ÐÊ THI VÔ ÐICH , , ,, Râ´t nhiê`u nuóc hàng năm d̄ê`u tô chúc thi vô d̄ich . quô´c gia vê` , ,, , môn toán cho các hoc sinh truòng phô thông. Nhũng kỳ thi d̄ó ,. , ,, ` có râ´t nhiê`u bài giai băng phuong pháp quy nap. Sau d̄ây chı là . , ,, môt sô´ bài là tên nuóc và năm ra . sô´ nho các d̄ê` d̄ã có, bên canh . d̄ê` thi. Vı́ du. 10.1. (Hungari 1932). Chú,ng minh ră` ng nê´u a, b và n là nhũ,ng sô´ tu. , nhiên và b chia hê´t cho an , thı̀ sô´ ( a + 1)b − 1 chia hê´t cho an+1 . , , , ,, , ` Lòi giai. Ta chúng minh băng phuong pháp quy nap . theo n. Vói , n = 0 mênh d̄ê` khăng d̄inh d̄úng, vı̀ ( a + 1)b − 1 chia hê´t cho a. . , , ,, . , , Gia su khăng d̄inh . d̄úng vói sô´ k nào d̄ó, nghı̃a là ta gia thiê´t nê´u . . , b .. ak , thı̀ (( a + 1)b − 1) .. ak+1 . Cho b0 là sô´ tu. nhiên chia hê´t cho .. k b0 ak+1 . Ta d̄at .̆ b = a . Khi d̄ó b . a và vı̀ 0 ( a + 1)b = ( a + 1) ab − 1 = [( a + 1)b ] a − 1 = = [( a + 1)b − 1][( a + 1)(a−1)b + ( a + 1)(a−2)b + · · · + ( a + 1)b + 1], , 0 nên ( a + 1)b − 1 chia hê´t cho ak+2 . Thât vây, theo gia thiê´t quy . . , , , , nap biêu thúc sau cùng chia hê´t cho ak+1 , . thùa sô´ thú nhâ´t trong , , , ,, còn thùa sô´ thú hai biêu diễn duói dang . [( a + 1)(a−1)b − 1] + [( a + 1)(a−2)b − 1] + · · · + [( a + 1)b − 1] + a 212 213 . 0 , tù d̄ó d̄ễ thâ´y nó chia hê´t cho a. Suy ra (( a + 1)b − 1) .. ak+2 . J , , Vı́ du. 10.2. (Hungari 1979). Nhũ,ng d̄ınh cua môt . d̄a giác lô`i có , , ,, nhau sô´ canh là sô´ le d̄uo. c tô màu sao cho moi . cap .̆ hai d̄iêm canh . . , , , ` ` có màu khác nhau. Chúng minh răng băng môt . sô´ d̄uòng chéo , , ´ ´ không căt nhau cua d̄a giác này có thê căt thành nhũ,ng hı̀nh , , tam giác, mà nhũ,ng d̄ınh cua mỗi tam giác d̄u,o.,c tô vó,i nhũ,ng màu khác nhau. , , , ,, , ´ ` Lòi giai. Chúng minh băng phuong pháp quy nap . d̄ô´i vói sô , , , , , canh n cua d̄a giác. Vói n = 3 khăng d̄inh cua bài toán là hiên ., . nhiên. cho n > 3. Dễ thâ´y tô`n tai . ba d̄ınh kê` nhau V1 , V2 và V3 , ,, ,, , cua d̄a giác d̄uo. c tô tuong úng ba màu khác nhau A, B và C. Nê´u V4 không tô màu A; hoac .̆ là ´ nêu V4 tô màu A, còn V5 không tô màu B; hoac .̆ là nê´u V4 có màu A, , V5 có màu B, còn V6 không phai , màu C, còn lai gia . ta áp dung . thiê´t quy nap . . Nê´u V4 có màu A, V5 có màu B và V6 có màu C, hı̀nh luc giác V1 V2 V3 V4 V5 V6 ta có , . , thê chia ra nhu hı̀nh vẽ (hı̀nh 12), , phâ`n còn lai cua d̄a giác ta áp . , dung gia thiê´t quy nap. . . J Vı́ du. 10.3. (Moscow 1945). Môt . sô´ trong các sô´ a1 , a2 , . . . , an bă` ng , +1, sô´ còn lai . bă` ng -1. Chúng minh ră` ng r q √ a1 a2 a1 a2 . . . a n π 2 sin( a1 + +···+ ) = a 2 + a 2 + · · · + a 2. n 2 1 2 4 2n −1 ,, Chuong 10. Môt . . sô´ d̄ê` thi vô d̄ich 214 , , , ,, , ` phuong pháp quy nap Lòi giai. Chúng minh băng . toán hoc. . Vói √ , , π , n = 1 ta câ`n kiêm tra công thúc 2 sin a1 = a1 2, hiên nhiên 4 , ,, , , d̄úng. Gia su công thúc sau d̄úng vói sô´ k nào d̄ó r q √ a1 a2 a1 a2 . . . a k π 2 sin( a1 + ) 2 + a +···+ = a 2 2 + · · · + ak 2. 1 k − 1 2 4 2 Khi d̄ó r q √ 2 + a1 2 + a2 2 + · · · + a k 2 = a1 a2 a a2 a3 a a2 . . . a π + 1 + · · · + 1 k −1 k ) 2 4 4 2 a1 a2 a1 a2 a3 a1 a2 . . . a k π π + +···+ = 2 − 2 cos( + ( a1 + + ) ) 2 2 4 4 2k −1 a1 a1 a2 a1 a2 a3 a1 a2 . . . a k π = 2(1 − cos2(1 + + + + +···+ ) ) 2 4 8 4 2k a1 a1 a2 a1 a2 a3 a1 a2 . . . a k π 2 = 4 sin (1 + + + +···+ ) . 2 4 8 4 2k a1 a1 a2 a1 a2 . . . a k , ´ , Vı̀ 0 < 1 + + +···+ < 2, tù bât d̄ăng thú,c trên k 2 4 2 suy ra r q √ a1 a1 a2 a a2 . . . a π 2 + a1 2 + · · · + ak 2 = 2 sin(1 + + +···+ 1 k k) . 2 4 4 2 , , ,, , Boi vı̀ hàm sin là hàm le, vói a0 = ±1, ta nhân vào hai vê´ cua , , , d̄ăng thúc trên và biê´n d̄ôi r q √ a0 2 + a1 2 + · · · + a k 2 = a a a2 a a2 a3 a a2 . . . a π = a0 2 sin(1 + 1 + 1 + 1 +···+ 1 k k) = 2 4 8 4 2 a0 a1 a0 a1 a2 a0 a1 a2 a3 a0 a1 a2 . . . a k π = 2 sin( a0 + + + +···+ ) . 2 4 8 4 2k , , , , , , ` d̄iê`u d̄ó chı ra răng công thúc d̄uo. c chúng minh d̄úng vói n = , , k + 1. Theo nguyên lý quy nap . công thúc d̄úng vói moi . n. = 2 + 2 sin( a1 + J 215 Vı́ du. 10.4. (Moscow 1984). Cho X = ( x1 , x2 , . . . , xn ) là dãy n, , , n ≥ 4, nhũ,ng sô´ không âm, tông cua chúng bă` ng 1. a) Chú,ng minh ră` ng x1 x2 + x2 x3 + · · · + x n x1 ≤ 1 . 4 , , , b) Chú,ng minh ră` ng tô`n tai . môt . tô ho. p Y = (y1 , y2 , . . . , yn ) cua X, sao cho 1 y1 y2 + y2 y3 + · · · + y n y1 ≤ . n , , ,, , , Lòi giai. a) Áp dung phuong pháp quy nap . . d̄ô´i vói n, ta chúng minh ( x1 + x2 + · · · + x n )2 ≥ 4( x1 x2 + x2 x3 + · · · + x n x1 ), (10.1) , ,, , ,, , o d̄ây xi ≥ 0 và n ≥ 4. Tù d̄ó vói ∑ xi = 1 ta nhân . d̄uo. c kê´t qua. n i =1 , , , ,, ,, , Nê´u n = 4, bâ´t d̄ăng thúc (10.1) tuong d̄uong vói bâ´t d̄ăng , thúc ( x1 − x2 + x3 − x4 )2 ≥ 0 , , , , Ta chú ý d̄ăng thúc xay ra khi và chı khi x1 + x3 = x2 + x4 . , , , , bâ´t kỳ Bây giò bâ´t d̄ăng thúc (10.1) d̄úng vói môt . . sô´ cô´ d̄inh , nào d̄ó n = k ≥ 4. Ta câ`n chúng minh ( x 1 + x 2 + · · · + x k + x k +1 )2 ≥ 4 ( x 1 x 2 + x 2 x 3 + · · · + x k x k +1 + x k +1 x 1 ). (10.2) , , , , , Vı̀ tông hai vê´ cua bâ´t d̄ăng thúc (10.2) là vòng tròn theo chı , , , , , sô´, ta có thê gia thiê´t xk+1 ≤ xi vói i = 1, 2, . . . , k. Khi d̄ó tù gia thiê´t quy nap . suy ra ( x1 + x2 + · · · + xk−1 + ( xk + xk+1 ))2 ≥ ≥ 4( x1 x2 + x2 x3 + · · · + xk−1 ( xk + xk+1 ) + ( xk + xk+1 ) x1 ). (10.3) ,, Chuong 10. Môt . . sô´ d̄ê` thi vô d̄ich 216 ,, Boi vı̀ ( x 1 x 2 + x 2 x 3 + · · · + x k −1 ( x k + x k +1 ) + ( x k + x k +1 ) x 1 ) = ( x1 x2 + x2 x3 + · · · + xk xk+1 + xk+1 x1 ) + xk−1 xk+1 + xk ( x1 − xk+1 )) , và x1 − xk+1 ≥ 0, thı̀ tù (10.3) suy ra (10.2). , , , , b) Vói tô ho. p bâ´t kỳ Y = (y1 , y2 , . . . , yn ) cua X ta d̄at .̆ SY = y1 y2 + y2 y3 + · · · + yn y1 . , , , , Ta ký hiêu tâ´t ca n! hoán vi. cua X). Vói . ∑ SY = S (tông tı́nh theo , , , , ,, , , su. cô´ d̄inh i và j, i 6= j sô´ luo. ng cua nhũng tô ho. p cua X, trong d̄ó . , , ,, xi d̄úng truóc x j (xê´p theo vòng lap!), là n(n − 2)!. Tù d̄ây .̆ n S = n ( n − 2) ! ∑ i,j=1,i 6= j n xi x j = n(n − 2)!(1 − ∑ xk2 ≤ i =1 n 1 1 ≤ n(n − 2)!(1 − ( ∑ xk )2 ) = n(n − 2)!(1 − ) = (n − 1)!. n k =1 n , ,, Suy ra sô´ nho nhâ´t trong SY không vuo. t quá J S ( n − 1) ! 1 ≤ = . n! n! n Vı́ du. 10.5. (Ba lan 1952-1953). Chú,ng minh ră` ng nê´u n là môt . , √ √ ´ √ sô tu. nhiên, thı̀ ( 2 − 1) n = m − m − 1 , , vó,i môt . sô´ tu. nhiên thı́ch ho. p nào d̄ó m. , , , , ` Lòi giai. Ta sẽ chúng minh băng quy nap . . toán hoc . khăng d̄inh , , , , ´ ` ´ sau, vói moi sô t u nhiên n tô n t ai nh ũ ng sô t u nhiên a v à b sao n n . . . . cho ( √ √ ( 1 − 2 ) n = a n − bn 2 (10.4) a2n − 2bn2 = (−1)n . 217 ,, , , Thât d̄ê` d̄úng vói n = 1, vı̀ trong truòng ho. p này . vây, . mênh . , , , , , ` a1 = b1 = 1 d̄ua các vê´ cua d̄ăng thúc trên băng nhau. Ta gia , , , ` thiê´t răng vói n cô´ d̄inh bâ´t kỳ ta có nhũng sô´ thı́ch ho. p an và bn , . , , , , vói chúng (10.4) d̄úng. Khi d̄ó nhũng d̄ăng thúc √ √ √ (1 − 2 ) n +1 = ( 1 − 2 ) n (1 − 2 ) √ √ = ( an − bn 2)(1 − 2) √ = ( an + 2bn ) − ( an + bn ) 2, , , , ,, , suy ra su. tô`n tai . cua nhũng sô´ tuong úng an+1 = an + 2bn và bn+1 = an + bn , tai . vı̀ a2n+1 − 2bn2 +1 = ( an + 2bn )2 − 2( an + bn )2 = −( a2n − 2bn2 ) = (−1)n+1 . , , , Nhu vây d̄úng vói moi . . d̄iê`u khăng d̄inh . n. , , 2 ˜ và m = 2bn2 vó,i n là sô´ Ta chı còn d̄at .̆ m =, a vói n là sô´ chăn, , , ,, , le, d̄ê nhân . d̄uo. c lòi giai bài toán. J Vı́ du. 10.6. (Liên xô 1976). Cho x0 và x1 là nhũ,ng sô´ tu. , nhiên , nho ho,n 1000, và d̄at .̆ x2 = | x0 − x1 |, x3 = | x1 − x2 |, x4 = | x2 − x3 |, . . . , Chú,ng minh ră` ng ı́t nhâ´t môt . trong nhũng sô´ x2 , x3 , . . . , x1500 bă` ng 0. , , , , , ` Lòi giai. Chúng minh băng quy nap hon . theo n kê´t qua manh . , d̄ê` ra: Nê´u trong dãy sô´ nhu, d̄ề ra sô´ x0 và x1 nho ho,n 2n, thı̀ ı́t , nhâ´t môt . trong nhũng sô´ x1 , x2 , . . . , x3n bă` ng 0. , ,, , ,, , , Gia su mênh d̄ê` d̄ã d̄uo. c chúng minh vói moi sô´ nguyên nho . . , , , , , hon n. Nê´u trong dãy thu. c su. có bâ´t d̄ăng thúc x3 < 2n − 2, x4 < 218 ,, Chuong 10. Môt . . sô´ d̄ê` thi vô d̄ich , , , , 2n − 2, thı̀ tù gia thiê´t quy nap d̄ê` câ`n chúng . suy ra kê´t qua mênh . minh. ,, , Boi vı̀ theo d̄iê`u kiên . có x0 ≤ 2n − 1, x1 ≤ 2n − 1, thı̀ vói x2 ≥ 1 ta có x3 ≤ 2n − 2, x4 ≤ 2n − 3. , , Nê´u x3 6= 2n − 2, thı̀ lai . d̄ua vê` gia thiê´t quy nap. . Nê´u x3 = , 2n − 2, thı̀ x2 = 1, x1 = 2n − 1, x0 = 2n − 2. Ta sẽ chúng minh , ,, , khăng d̄inh trong truòng ho. p này. Ta có . x3 = 2n − 2, x4 = 2n − 3, x5 = 1, x6 = 2n − 4, x7 = 2n − 5, J x8 = 1, . . . , x3k = 2n − 2k, . . . , x3n = 0. Vı́ du. 10.7. (Canada 1979). Cho a, b, c, d và e là nhũ,ng sô´ nguyên , , thoa mãn d̄iều kiên . 1 ≤ a < b < c < d < e. Chúng minh ră` ng 1 1 1 1 15 + + + ≤ , [ a, b] [b, c] [c, d] [d, e] 16 , , ,, o d̄ây [m, n] ký hiêu . là bôi . sô´ chung nho nhâ´t cua m và n. , , , , , , Lòi giai. Ta chúng minh theo quy nap . bâ´t d̄ăng thúc tông quát , hon. 1 1 1 1 + +···+ ≤ 1− n (10.5) [ a0 , a1 ] [ a1 , a2 ] [ a n −1 , a n ] 2 ,, , , , o d̄ây 0 < a0 < a1 < . . . < an là nhũng sô´ tu. nhiên. Vói n = 1 thı̀ , , ,, , ` (10.5) d̄úng hiên nhiên. Ta gia su răng (10.5) d̄úng vói n nào d̄ó, , , và ta xét nhũng sô´ tu. nhiên bâ´t kỳ 0 < a0 < a1 < . . . < an < an+1 . , Nê´u an+1 ≥ 2n+1 , thı̀ [ an , an+1 ] ≥ 2n+1 và tù (10.5) suy ra 1 1 1 1 + +···+ + ≤ [ a0 , a1 ] [ a1 , a2 ] [ a n −1 , a n ] [ a n , a n +1 ] 1 1 1 ≤ (1 − n ) + n +1 = 1 − n +1 . 2 2 , , , 2 , ` Bây giò cho an+1 < 2n+1 . Ta chú ý răng vói nhũng sô´ tu. nhiên bâ´t kỳ p và q, p < q, ta1có ( p, q) q−p 1 1 = ≤ = − [ p, q] pq pq p q 219 , , (Ta d̄ã áp dung d̄ăng thúc [ p, q]( p, q) = pq và q − p chia hê´t cho . ( p, q)). Suy 1ra 1 1 1 + +···+ + ≤ [ a0 , a1 ] [ a1 , a2 ] [ a n −1 , a n ] [ a n , a n +1 ] 1 1 1 1 1 1 )= ( − )+( − )+···+( − a0 a1 a a2 a a n +1 11 1 1n = − < 1 − n +1 , a 0 , a n +1 , , 2 , , , , Bâ´t d̄ăng thúc (10.5) tro thành d̄ăng thúc vói ai = 2i , i = 0, 1, . . . , n. , Vı́ du. 10.8. (Canada 1982). Cho a, b và c là nhũ,ng nghiêm . cua phu,o,ng trı̀nh J x3 − x2 − x − 1 = 0. Chú,ng minh ră` ng sô´ b1982 − c1982 c1982 − a1982 a1982 − b1982 + + b−c c−a a−b ´ là môt sô nguyên. . , , Lòi giai. Ta d̄at .̆ cn − an an − bn , bn − cn , sn = , tn = vói n = 1, 2, . . . rn = b−c c−a a−b , ` Ta sẽ chúng minh răng rn+3 = rn+2 + rn+1 + rn , n ≥ 1. , , , , Vı̀ nhũng nghiêm . b và c thoa mãn d̄ăng thúc b3 = b2 + b + 1, c3 = c2 + c + 1, nên b n +3 − c n +3 b n ( b2 + b + 1) − c n ( c2 + c + 1) = b−c b−c n + 2 n + 2 n + 1 n + 1 b −c b −c bn − cn = + + b−c b−c b−c = r n +2 + r n +1 + r n . r n +3 = ,, Chuong 10. Môt . . sô´ d̄ê` thi vô d̄ich 220 ,, , ,, Theo cùng phuong pháp nhu vây . ta nhân . d̄uo. c sn+3 = sn+2 + sn+1 + sn , tn+3 = tn+2 + tn+1 + tn , n ≥ 1. , ,, , ` Ta sẽ chúng minh băng phuong pháp quy nap . toán hoc . d̄ô´i vói n, , sao cho rn + sn + tn là sô´ nguyên vói moi . n ≥ 1. Vı̀ r1 + s1 + t1 = 3, r2 + s2 + t2 = 2( a + b + c) = 2, r3 + s3 + t3 = 2( a + b + c)2 − 3(bc + ca + ab) = 5. , , , ,, , ` Khăng d̄inh d̄úng vói n = 1, 2, 3. Ta gia su răng khăng d̄inh . . , cũng d̄úng vói n = 1, 2, . . . , k + 2, k ≥ 1. Khi d̄ó r k +3 + s k +3 + t k +3 = ( r k +2 + s k +2 + t k +2 ) + ( r k +1 + s k +1 + t k +1 ) + ( r k + s k + t k ). , , , Theo gia thiê´t quy nap nó là tông cua ba sô´ nguyên và suy ra . , ,, tông o d̄ê` bài là sô´ nguyên. J Vı́ du. 10.9. (CHLB Ðú,c 1981). Dãy a1 , a2 , a3 , . . . d̄u,o.,c cho nhu, sau: a1 là sô´ tu. , nhiên, an+1 = [1, 5an ] + 1 vó,i moi . n = 1, 2, . . .. Có , , , , thê chon d̄â`u tiên cua dãy . a1 nhu thê´ nào d̄ê cho 100 000 sô´ hang . , trên là nhũ,ng sô´ chă˜ n, còn sô´ hang thú, 100 001 là môt . . sô´ le ? , , , ,, , Lòi giai. Có thê chon . d̄uo. c môt . sô´ nhu d̄â`u bài d̄at .̆ ra là a1 = , , 100001 ` 2 − 2. Băng quy nap . theo n ta sẽ chúng minh vói moi . n = , , 1, 2, . . . , 100001 d̄ăng thúc sau d̄úng an = 3n−1 .2100001−n . (10.6) , 1−1 100001−n − 2 = 2100001 − 2 = a . Nê´u Thât 1 . ,vây, . vói n = 1 ta có 3 .2 , ta gia thiê´t (10.6) d̄úng vói n nào d̄ó n ≤ 100000, thı̀ an+1 = [1, 5an ] + 1 = [1, 5(3n−1 .2100001−n − 2)] + 1 = [3n .2100000−n − 3] + 1 = 3n 2100000−n − 2. 221 , ˜ Khi d̄ó vói n = 1, 2, . . . , 100000 sô´ 2100001−n là sô´ chăn, , , còn 2100001−100001 = 1 là môt . sô´ le. D, ễ thâ´y nhũng sô´ ˜ còn a100001 là sô´ le. a1 , a2 , . . . , a100000 là sô´ chăn, J Vı́ du. 10.10. (A´o-Balan 1980). Chú,ng minh ră` ng 1 ∑ i1 i2 . . . i k = n, , , , , o, d̄ây tông thu. ,c hiên . theo tâ´t ca tâp . ho. p con khác rỗng , {i1 , i2 , . . . , ik } cua {1, 2, . . . , n} , , ,, , Lòi giai. Ta áp dung phuong pháp quy nap . . theo n. Vói n = 1 ta , , , 1 , có = 1, d̄iê`u hiên nhiên d̄úng. Ta gia thiê´t d̄ăng thúc theo d̄iê`u 1 , kiên bài toán d̄úng vói sô´ n ≥ 1 nào d̄ó. Mỗi tâp . . con khác rỗng , , , cua tâp sau d̄ây: . ho. p {1, 2, . . . , n, n + 1} là môt . trong nhũng dang . , , , a) Tâp . ho. p con cua tâp . ho. p {1, 2, . . . , n}; , , , b) Tâp . ho. p con cua tâp . ho. p {1, 2, . . . , n} và sô´ n + 1; ,, , c) Tâp . ho. p môt . phâ`n tu {n + 1}. , ,, , , , Khi d̄ó vói tông theo d̄iê`u kiên . cua bài toán trong truòng ho. p ,, n + 1 ta nhân . d̄uo. c n+1 1 1 .n + = n + 1. n+1 n+1 , , ,, Nhu vây . chúng minh theo quy nap . d̄ã xong và bài toán d̄ã d̄uo. c , giai. J Vı́ du. 10.11. (Balan 1981). Cho các dãy sô´ x1 , x2 , . . . ; y1 , y2 , . . . , , 3 3 thoa mãn các d̄iều kiên . xn+1 = xn − 3xn ; yn+1 = yn − 3yn vói moi . n ≥ 1 và x12 = y1 + 2. Chú,ng minh ră` ng xn2 = yn + 2 vó,i moi . n ≥ 1. ,, Chuong 10. Môt . . sô´ d̄ê` thi vô d̄ich 222 , , , , ` quy nap theo n. Vói n = 1, công Lòi giai. Ta chúng minh băng . , , ,, , , , thúc d̄úng theo gia thiê´t. Gia su nó d̄úng vói n = k, túc là xk2 = , yk + 2 (k ≥ 2). Ta phai chú,ng minh bài toán d̄úng vó,i n = , k + 1, túc là xk2+1 = yk+1 + 1. Thât . vây, . xk2+1 = ( xk3 − 3xk )2 = xk6 − 6xk4 + 9xk2 = ( y k + 2)3 − 6( y k + 2)2 + 9( y k + 2) = y3k − 3yk + 2 = yk+1 + 2 , túc là xk2+1 = yk+1 + 2. J , , , Vı́ du. 10.12. (Balan 1982). Cho q là môt . sô´ tu. nhiên chă˜ n thu. c su. n ló,n ho,n 0. Chú,ng minh ră` ng vó,i mỗi sô´ tu. , nhiên n, sô´ q(q+1) + 1 chia hê´t cho (q + 1)n+1 và không chia hê´t cho (q + 1)n+2 . , , , , ` Lòi giai. Ta chúng minh băng quy nap . theo theo n. Vói n = 0, 0 q(q+1) + 1 = q + 1 không chia hê´t cho (q + 1)0+2 . Bài toán d̄úng , vói n = 0. , ,, n , , Gia su bài toán d̄úng vói n(n > 0), túc là q(q+1) + 1 chia hê´t cho (q + 1)n+1 và không chia hê´t cho (q + 1)n+2 . Nói cách khác , n , q(q+1) + 1 = (q + 1)n+1 s chia hê´t cho q + 1. Ta phai chúng minh , , bài toán d̄úng vói ca n + 1. Thât . vây . q ( q +1) n +1 n + 1 = ((q(q+1) + 1) − 1)q+1 + 1 = ((q + 1)n+1 s − 1)q+1 + 1 q +1 = ∑ Cq+1 (q + 1)(n+1) j .s j .(−1)q+1− j + 1 j j =0 q +1 = ∑ Cq+1 (q + 1)(n+1) j .s j .(−1)q+1− j = (q + 1)(q + 1)n+1 s− j j =1 − Cq2+1 (q + 1)2(n+1) s2 + · · · + (q + 1)(q+1)(n+1) sq+1 = = (q + 1)n+2 (s − Cq2+1 (q + 1)n s2 + · · · + (q + 1)qn+q−1 sq+1 ). 223 n +1 , , Thùa sô´ thú hai chia hê´t cho (q + 1). Do d̄ó q(q+1) + 1 chia hê´t cho (q + 1)n+2 và không chia hê´t cho (q + 1)n+3 . J Vı́ du. 10.13. (Anh 1978). Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . n ≥ 1, n ∈ N , , , thı̀ 2 cos nθ là môt . d̄a thúc bâc . n cua 2 cos θ vói hê. sô´ nguyên. , , , , ` Lòi giai. Ta sẽ chúng minh băng quy nap . theo n. vói n = 1, , mênh d̄ê` d̄úng. Vói n = 2, 2 cos 2θ = 2(2 cos2 θ − 1) = (2 cos θ )2 − . , ,, , , 2, túc là mênh d̄ê` d̄úng vói moi . , d̄ê` d̄úng. Gia su mênh . . n, n ≤ , , ` k (k ≥ 2). Ta phai chúng minh mênh d̄ê d̄ úng v ó i n = k + 1. Ta có . 2 cos(k + 1)θ + 2 cos(k − 1)θ = 4 cos kθ. cos θ = (2 cos kθ )(2 cos θ ). , Suy ra 2 cos(k + 1)θ = 2 cos θ (2 cos kθ ) − 2 cos(k − 1)θ. Vê´ phai rõ , , , , ràng là môt . d̄a thúc bâc . k + 1 cua 2 cos θ vói hê. sô´ nguyên. Tù d̄ó , , suy ra mênh d̄ê` d̄úng vói n = k + 1 và do d̄ó nó d̄úng vói moi . . n. J Vı́ du. 10.14. (Ðề thi Olympic Toán quô´c tê´ lâ`n thú, 18, 1976). 5 Dãy u0 , u1 , u2 , . . . d̄u,o.,c xác d̄inh theo cách sau u0 = 2; u1 = ; . 2 un+1 = un (u2n−1 − 2) − u1 , Chú,ng minh ră` ng vó,i n ≥ 1 [un ] = 2 nguyên ló,n nhâ´t không ló,n ho,n x. 2n ( n ≥ 1). − (−1)n , 3 , o, d̄ây [ x ] là sô´ , 2k − (−1)k , , ` Lòi giai. Ta d̄at α = , k ≥ 0. Ta sẽ chúng minh răng .̆ k 3 , αn+1 = 2αn + (−1)n vói moi . sô´ nguyên n ≥ 0. Thât . vây . 2n+1 − 2(−1)n + 3(−1)n 2n − (−1)n + (−1)n = 3 3 n + 1 n n + 1 n + 1 2 + (−1) 2 − (−1) = = = α n +1 . 3 3 2αn + (−1)n = 2 ,, Chuong 10. Môt . . sô´ d̄ê` thi vô d̄ich 224 , , , , Vı̀ α0 = 0 và α1 = 1 tù các d̄ăng thúc này suy ra tâ´t ca αk là , , ` nguyên. Ta sẽ chúng minh răng un = 2αn + 2−αn , n ≥ 0. Vói k = , , ,, , 0, 1 d̄iê`u này dễ kiêm tra. Gia su nó d̄úng vói k = n − 1 và k = n, ,, , ,, và su dung mô´i liên quan giũa αn và αn−1 , ta sẽ nhân . . d̄uo. c un+1 = un (u2n−1 − 2) − 5 2 = (2αn + 2−αn ).[(2αn−1 + 2αn−1 )2 − 2] − = (2αn + 2−αn ).(22αn−1 + 22αn−1 )2 ) − = (2αn + 2−αn ).(2αn −(−) n = 22αn +(−1) + 2(−1) = 2 α n +1 + 2 − α n +1 , k n −1 n −1 + 2(−1) + 2−(−1) 5 2 n −1 − α n −1 5 2 n )2 ) − 5 2 n + 2−2αn −(−1) − 5 2 , 5 , ,, vói mỗi k ≥ 1. Bài toán d̄ã d̄uo. c giai vı̀ 2 1 − α α n + 2 ] = 2 n , do αn < 1 vó,i n ≥ 1. 2 k vı̀ 2(−1) + 2−(−1) = [ u n ] = [ 2α n J Vı́ du. 10.15. (Ðề thi Olympic Toán quô´c tê´ lâ`n thú, 22, 1981). , Biê´t ră` ng hàm sô´ f ( x, y) thoa mãn nhũ,ng d̄iều kiên: . a) f (0, y) = y + 1; b) f ( x + 1, 0) = f ( x, 1); , c) f ( x + 1, y + 1) = f ( x, f ( x + 1, y)) vó,i tâ´t ca nhũ,ng sô´ nguyên không âm x và y. Hãy tı̀m f (4, 1981). , , Lòi giai. Ta có f (1, 0) = f (0, 1) = 2, f (1, 1) = f (0, f (1, 0)) = , ` ` f (0, 2) = 3. Ta sẽ chúng minh băng quy nap f (1, y) = y + 2. . răng , , ,, , , , Vói y = 1, khăng d̄inh d̄úng. gia su vói sô´ tu. nhiên k nào d̄ó ta có . 225 f (1, k ) = k + 2. Khi d̄ó f (1, k + 1) = f (0, f (1, k )) = f (0, k + 2) = k + 3. , ,, , Tù b) ta nhân . d̄uo. c f (2, 0) = f (1, 1) = 3, còn tù c) f (2, 1) = f (1, f (2, 0)) = f (1, 3) = 5. , , , ` Bây giò ta chúng minh răng f (2, k ) = 2k + 3. Thât . vây, . cho vói k nào d̄ó ta có f (2, k ) = 2k + 3. Khi d̄ó f (2, k + 1) = f (1, f (2, k )) = f (1, 2k + 3) = 2k + 5. ,, Ta nhân . d̄uo. c f (3, 0) = f (2, 1) = 5. Ngoài ra f (3, y + 1) = , , f (2, f (3, y)) = 2 f (3, y) + 3, hoac .̆ là vói, moi . sô´ tu. nhiên y ta có , ,, f (3, y + 1) = 2 f (3, y) + 3. Ta áp dung d̄ăng thúc k lâ`n, nhân . . d̄uo. c f (3, y + 1) = 2k+1 . f (3, y − k ) + 3(2k + 2k−1 + · · · + 2 + 1), , ,, , y+1 + 3.(2y+1 − 1). tù d̄ây vói k = y ta nhân . d̄uo. c f (3, y + 1) = 52 , , , , , Suy ra f (3, y) = 2y+3 − 3 vói moi . sô´ tu. nhiên y. Tù d̄ăng thúc ,, cuô´i cùng ta nhân . d̄uo. c f (4, y) = f (3, f (4, y − 1)) = 2 f (4,y−1)+3 − 3 = 22 f (4,y−2)+3 −3+3 y −1 − 3 = 22 f (4,y−2)+3 −3 y +2 z}|{13+3 z}|{ ..2 ..2 . 2 2. = 22 −3 = 22 −3 , ,, , o d̄ây ta áp dung d̄ăng thúc f (4, 0) = f (3, 1) = 24 − 3 = 13. Thay . , , ,, giá tri. vào d̄ăng thúc trên ta có d̄uo. c f (4, 1981). J , , CHUONG 11 , , BÀI TÂP . TU. GIAI ` . 11.1. Chú,ng minh răng a) 1.2.3 . . . p + 2.3 . . . p.( p + 1) + · · · + n(n + 1) . . . (n + p − 1) = = n ( n + 1) . . . ( n + p ) . p+1 n(n + 1)(n + 2)(3n + 1) . 12 1 1 1 1 1 1 1 c) 1 − + − + · · · + − = + +···+ 2 3 4 2n − 1 2n n+1 n+2 b) 2.12 + 3.22 + · · · + (n + 1).n2 = 1 . 2n d) 12 − 22 + 32 − 42 + · · · + (−1)n−1 .n2 = (−1)n−1 n ( n + 1) . 2 , . 11.2. Chú,ng minh các d̄ăng thú,c sau a+1 a+3 a+7 a + 2n − 1 ( a − 1)(2n − 1) + + +···+ = + n. 2 4 8 2n 2n , , ` . 11.3. Chú,ng minh răng vói moi . sô´ tu. nhiên n a) 62n − 1 chia hê´t cho 35; b) n6 − 3n5 + 6n4 − 7n3 + 5n2 − 2n chia hê´t cho 24; c) 2n+2 .3n + 5n − 4 chia hê´t cho 25; d) 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hê´t cho 23. ` . 11.4. Chú,ng minh răng 226 227 √ 1 1 1 , n < 1 + √ + √ + · · · + √ < 2 n vói n ≥ 2. n 3 2 1 n ( n −1) > n! vó,i n ≥ 3. b) 2 2 , . 11.5. Chú,ng minh bâ´t d̄ăng thú,c log1 + log2 + · · · + logn log(n + 1) > . n , . 11.6. Chú,ng minh d̄ăng thú,c a) √ (1 + x )(1 + x2 )(1 + x4 ) . . . (1 + x2 n −1 )= 2 = 1 + x + x + x3 + · · · + x2 , . 11.7. Chú,ng minh d̄ăng thú,c sau 1 a + 1 ( a + 1)(b + 1) 1+ + + +··· a ab abc ( a + 1)(b + 1) . . . (s + 1)(l + 1) ···+ = abc . . . skl ( a + 1)(b + 1) . . . (k + 1)(l + 1) = . abc . . . kl ` . 11.8. Chú,ng minh răng n −1 . (1 − an )(1 − an−1 ) . . . (1 − an−k+1 ) = n. 1 − ak k =1 , . 11.9. Hãy tı́nh tông a a( a − 1) a( a − 1)( a − 2) a( a − 1) . . . ( a − n + 1) Sn = + + + . b b(b − 1) b(b − 1)(b − 2) b(b − 1) . . . (b − n + 1) ` ( b không băng môt . trong các sô´ 0, 1, 2, . . . , n − 1) n ∑ . 11.10. Cho Sn = a1 + ( a1 + 1) a2 +( a1 + 1)( a2 + 1) a3 + · · · · · · + ( a1 + 1)( a2 + 1) . . . ( an−1 + 1) an . ,, , , Chuong 11. Bài tâp . tu. giai 228 , ` Chúng minh răng Sn = ( a1 + 1)( a2 + 1) . . . ( an + 1) − 1. ` . 11.11. Cho {un } là dãy Fibonacci, chú,ng minh răng [ un = n−1 ] 2 ∑ Cnk −k−1 . k =0 , , ,, ,, . 11.12. Hãy tı̀m tâ´t ca nghiêm . nguyên duong cua phuong trı̀nh ,, x1 + x2 + · · · + xn = m (m là sô´ nguyên duong). , ,, ` . 11.13. Chú,ng minh răng sô´ nghiêm . chung nguyên duong cua , ,, nhũng phuong trı̀nh x + 2y = n; 2x + 3y = n − 1; . . . ; nx + (n + ` 1)y = 1; (n + 1) x + (n + 2)y = 0; băng n + 1. ` . 11.14. Chú,ng minh răng sô´ nghiêm . chung nguyên không âm , , ,, cua nhũng phuong trı̀nh sau x + 4y = 3n − 1; 4x + 9y = 5n − 4; ` 9x + 16y = 7n − 9, . . . , n2 x + (n + 1)2 y = n(n + 1); băng n. , ` . 11.15. Chú,ng minh răng vói giá tri. tuỳ ý α ≤ 1 và các sô´ tuỳ ý , x1 , . . . , xn thoa mãn các d̄iê`u kiên . 1 ≥ x1 ≥ x2 ≥ . . . ≥ xn > 0, ta , , ´ có bât d̄ăng thúc (1 + x1 + x2 + · · · + xn )α ≤ 1 + 1α−1 x1α−1 + 2α−1 x2α + · · · + nα−1 xnα . , ` . 11.16. Chú,ng minh răng vói các giá tri. tuỳ ý m, n ∈ N và các , sô´ tuỳ ý x1 , x2 , . . . , xn , y1 . . . , yn ∈ [0, 1] thoa mãn các d̄iê`u kiên . , , , xi + yi = 1 vói i = 1, 2, . . . , n, ta có bâ´t d̄ăng thúc (1 − x1 · x2 · . . . · xn )m + (1 − y1m ) · . . . · (1 − ym n ) ≥ 1. , . 11.17. Vó,i mỗi giá tri. n ∈ N hãy tı̀m giá tri. ló,n nhâ´t k ∈ Z + d̄ê √ sô´ [(3 + 11)2n−1 ] chia hê´t cho 2k . 229 , , . 11.18. Ngu,ò,i ta tô màu các d̄ınh cua môt . d̄a giác lô`i có sô´ canh . , , , , ` ´ le, sao cho bât kỳ 2 d̄ınh lân cân 2 màu khác nhau. . d̄uo. c tô băng , , , ` Chúng minh răng vói moi . cách tô màu thoa mãn d̄iê`u kiên . trên , ,, ,, d̄a giác có thê chia thành các tam giác boi các d̄uòng chéo không ´ nhau, mà hai d̄â`u mỗi d̄u,ò,ng chéo, có hai màu khác nhau. căt , , . 11.19. Dãy sô´ du,o,ng a, a2 , …, an thoa mãn bâ´t d̄ăng thú,c a2n ≤ , , , ` an − an+1 vói n ∈ N. Chúng minh răng vói bâ´t kỳ giá tri. n ∈ N 1 có d̄ánh giá an < . n , , . 11.20. Cho dãy sô´ { an } thoa mãn bâ´t d̄ăng thú,c { ak+m − ak − , , , ` am } ≤ 1, vói k, m ∈ N. Chúng minh răng vói bâ´t kỳ p, q ∈ N có , , bâ´t d̄ăng thúc ap aq 1 1 < + . − p q p q , , ` . 11.21. Chúng minh răng mỗi sô´ hang cua dãy sô´ . √ !n √ !n 3− 5 3+ 5 + − 2, (n ∈ N ) 2 2 , , ,, , 2 là sô´ tu. nhiên và biêu diễn duói dang 5m2 hoac . .̆ m (m ∈ N ) vói n , ,, , ˜ hoac tuong úng chăn .̆ le. ` . 11.22. Chú,ng minh răng tô`n tai . d̄úng môt . dãy sô´ nguyên , 3 ` a1 , a2 , . . . thoa mãn d̄iêu kiên . a1 = 1, a2 > 1, an+1 + 1 = an an+2 , vói n ∈ N. , ` vói các sô´ tuỳ ý m, n ∈ N, sô´ . 11.23. Chú,ng minh răng m Sm,n = 1 + ∑ (−1)k k =1 ( n + k + 1) ! n!(n + k ) , , chia hê´t cho m!, nhung vói môt . sô´ giá tri. m, n ∈ N sô´ Sm,n không chia hê´t cho m!(n + 1). ,, , , Chuong 11. Bài tâp . tu. giai 230 , ,, . 11.24. Trên mat kı́nh .̆ phăng có n d̄uòng tròn khác nhau có bán , ,, ´ , ` ` ` ´ d̄êu băng 1 d̄uo. c săp xêp khác nhau. Chúng minh răng chı có môt . , ,, ´ ´ trong sô d̄ó chúa môt . cung, không căt môt . d̄uòng tròn trong sô´ , , 2P , ,, nhũng d̄uòng tròn còn lai . và có d̄ô. dài không nho hon n . , . 11.25. Có thê chia môt . d̄a giác d̄ê`u 2n− giác bâ´t kỳ thành các hı̀nh thoi hay không? , ` . 11.26. Chú,ng minh răng vói moi a > 2 tô`n tai . a ∈ N, . vô sô´ các , , , sô´ n ∈ N d̄ê sô´ an − 1 chia hê´t cho n. Khăng d̄inh d̄úng vói a = 2 . không? ,, , ` . 11.27. Chú,ng minh răng vói sô´ n ∈ N tuỳ ý phuong trı̀nh , x12 + x22 + · · · + xn2 = y2 có nghiêm . sô´ tu. nhiên. . 11.28. Dãy a1 , a2 , . . . , an , . . . nhũ,ng sô´ tu., nhiên d̄u,o.,c tao . thành , theo cách sau: Chon . môt . sô,´ có ba chũ sô´ bâ´t kỳ a,1 , còn a2 là , , ,, , tông cua các bı̀nh phuong cua các chũ sô´ a1 , a3 là tông các bı̀nh , ,, , , , phuong các chũ sô´ cua a2 và tiê´p tuc . quá trı̀nh nhu vây. . Chúng ` ´ gap minh răng trong dãy a1 , a2 , a3 , . . . băt .̆ hoac .̆ là sô´ 1, hoac .̆ sô´ 4. , ` . 11.29. Chú,ng minh răng không tô`n tai . dãy vô han . các sô´ tu. , nhiên n1 , n2 , . . . thoa mãn hai d̄iê`u kiên . sau d̄ây: , a) n < n vói k = 1, 2, . . . k k +1 , b) nkl = nk + nl vói moi . k = 1, 2, . . . và l = 1, 2, . . . , , , ` . 11.30. Chú,ng minh răng vói moi . giá tri. sô´ tu. nhiên bâ´t d̄ăng , thúc sau d̄úng 2n > n 2 . , , CHUONG 12 , , , Lòi giai và go. i ý bài tâp . , ,, , , 12.1. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.2. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.3. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.4. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.5. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.6. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.7. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.8. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.9. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . Muc l uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………………………… . . 231 233 236 236 237 240 240 244 247 250 , ,, , , 12.1. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 1 , , , , . 1.11. a) Lòi giai: Ta thiê´t lâp . bang cho môt . sô´ giá tri. cua n. n= Sn = 1 1 2 -3 3 6 4 -10 5 15 , ,, , , , Ta so sánh vói bang sô´ o bài d̄â`u tiên dễ d̄ua d̄ê´n giai thiê´t Sn = (−1)n−1 . 231 n ( n + 1) . 2 , ,, , , 232 Chuong 12. Lòi giai và go. i ý bài tâp . , , ,, , , , Gia su d̄úng vói n nào d̄ó, ta sẽ chúng minh d̄ăng thúc d̄ó cũng d̄úng cho n + 1. Ta có n ( n + 1) + (−1)n (n + 1)2 Sn+1 = Sn + (−1)n (n + 1)2 = (−1)n−1 2 (n + 1)(n + 2) = (−1)n . 2 , , n ( n + 1) 2 ] . b) Tra lòi: Sn = [ 2 , , , c) Lòi giai: Ta lâp . bang môt . sô´ giá tri. ban d̄â`u n= 1 2 3 4 Sn = 1 5 23 119 , , Tai . vı̀ 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, ta có thê làm giai ,, , thiê´t Sn = (n + 1)! − 1. Vói Sn+1 ta nhân . d̄uo. c Sn+1 = (1.1! + 2.2! + · · · + n.n!) + (n + 1).(n + 1)! = ( n + 1) ! − 1 + ( n + 1).( n + 1) ! = (n + 1)!(1 + n + 1) − 1 = (n + 2)! − 1. , , , , . 1.12. a) Lòi giai: Ta áp dung tı́nh châ´t cua tông . n n n n n(4n2 − 1) . 3 µ =1 µ =1 µ =1 µ =1 , , ,, , , , o d̄ây ta áp dung công thúc tı́nh tông luỹ thùa cua các sô´ tu. . nhiên. , ,, , b) Go. i ý: Tuong tu. phâ`n a). 1 1 1 , , c) Go. i ý: Ta áp dung công thúc = − , ta tı̀m . x ( x + 1) x x+1 ,, d̄uo. c ∑ (2µ − 1)2 = 4 ∑ µ2 − 4 ∑ µ + ∑ 1 = n n n 1 1 1 1 n = ∑ −∑ = 1− = . µ ( µ + 1) µ µ =1 µ + 1 n+1 n+1 µ =1 µ =1 ∑ , ,, , , 12.2. Lòi giai và go. i ý bài tâp 233 . chuong 2 , , ` quy nap . 1.13. Lòi giai: Chú,ng minh băng . toán hoc . theo k , , d̄ăng thúc sau 1 , vói 0 ≤ k ≤ n − 1. n−k , , , ,, , , Vói k = 0, khăng d̄inh d̄úng hiên nhiên. Gia su nó d̄úng vói moi . . n ≤ k. Khi d̄ó x0 + x1 + · · · + x k = 1 + x k +1 n−k 1 1 ( x0 + x1 + · · · + x k ) + = n−k−1 n−k 1 1 1 + = . = (n + k − 1)(n − k) n − k n−k−1 ,, , , , Suy ra mênh d̄ê` cũng d̄úng vói k + 1. Truòng ho. p riêng, vói k = . ,, n − 1 ta nhân . d̄uo. c x0 + x1 + · · · + xn−1 = 1. x 0 + x 1 + · · · + x k + x k +1 = , ,, , , 12.2. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 2 , , , , , . 2.31. Lòi giai: Ta ký hiêu . bâ´t d̄ăng thúc d̄ê` ra là (2.27). Chúng , , 5 7 6 minh quy nap . theo n. Vói n = 1, tù (2.27) ta có x1 + x1 ≥ 2×1 , nó ,, ,, , ,, , , tuong d̄uong vói (1 − x1 )2 ≥ 0, nhu vây . trong truòng ho. p này bâ´t , , d̄ăng thúc d̄úng. , , ,, , , , Gia su bâ´t d̄ăng thúc d̄úng vói sô´ n ≥ 1 nào d̄ó. Ta sẽ chúng , , minh nó cũng d̄úng vói n + 1. Cho x1 < x2 < . . . < xn < xn+1 vói , , ,, nhũng sô´ nguyên duong. Theo gia thiê´t quy nap . ta có (2.27) và , , , trong nó có d̄ăng thúc khi và chı khi xk = k, k = 1, 2, . . . , n. Ngoài , , , ra bâ´t d̄ăng thúc sau d̄úng (chúng minh sau) xn5 +1 + xn7 +1 ≥ 2[2( x13 + x23 + · · · + xn3 ) xn3 +1 + ( xn3 +1 )2 ] (12.1) , , , và d̄ăng xay ra chı khi xk = k, k = 1, 2, . . . , n + 1 . Công theo vê´ . , ,, , , 234 Chuong 12. Lòi giai và go. i ý bài tâp . , ,, cua (2.27) và (12.1) ta nhân . d̄uo. c x15 + x25 + · · · + xn5 + xn5 +1 + x17 + x27 + · · · + xn7 + xn7 +1 ≥ ≥ 2( x13 + x23 + · · · + xn3 + xn3 +1 )2 , , , , , , , và d̄ăng thúc chı xây ra khi và chı khi có d̄ăng thúc trong (2.27) , , và (12.1), nghı̃a là xk = k, k = 1, 2, . . . , n, n + 1. Nhu vây . khăng , d̄inh d̄úng vói n + 1. . , , , , ,, Ta chı còn chúng minh (12.1). Bâ´t d̄ăng thúc (12.1) tuong ,, , d̄uong vói xn5 +1 ( xn+1 − 1)2 ≥ x13 + x23 + · · · + xn3 . (12.2) 4 , , , ,, , , , Bâ´t d̄ăng thúc (12.2) d̄uo. c suy ra tù nhũng bâ´t d̄ăng thúc và , , d̄ăng thúc sau x13 + x23 + · · · + xn3 ≤ 13 + 23 + · · · + xn3 , 13 + 23 + · · · + xn3 = xn2 ( xn xn ≤ xn+1 − 1, + 1)2 4 (12.3) , (12.4) ( xn+1 − 1)2 xn2 +1 xn2 ( xn + 1)2 ≤ . 4 4 , , , , , Ðăng thúc trong (12.2) khi và chı khi có d̄ăng thúc trong (12.3) và (12.4), hay là xk = k, k = 1, 2, . . . , n + 1. J , , , , . 2.32. Lòi giai: Vó,i k = 1 bâ´t d̄ăng thú,c d̄ã cho hiên nhiên d̄úng , , ,, ,, , , và tro thành d̄ăng thúc. Gia su (2.28) d̄úng vói sô´ nguyên k ≥ 1. Ta d̄at .̆ N = ( a 1 + a 2 + · · · + a k + a k +1 )2 = ( a1 + a2 + .. + ak )2 + a2k+1 + 2ak+1 ( a1 + a2 + · · · + ak ). , ,, , , 12.2. Lòi giai và go. i ý bài tâp 235 . chuong 2 , , ,, , , ,, ` Ta thê´ thùa sô´ thú nhâ´t o bên phai phuong trı̀nh trên băng biêu , , ,, , thúc lón hon nó trong (2.28), ta nhân . d̄uo. c N ≤ k ( a21 + a22 + · · · + a2k ) + a2k+1 + 2ak+1 ( a1 + a2 + · · · + ak ) = (k + 1)( a21 + a22 + · · · + a2k + a2k+1 ) − a21 − a22 − · · · − a2k − ka2k+1 + + 2a1 ak+1 + 2a2 ak+1 + · · · + 2ak ak+1 = = (k + 1)( a21 + a22 + · · · + a2k+1 ) − ( a1 − ak+1 )2 − ( a2 − ak+1 )2 − · · · · · · − ( a k − a k +1 )2 . , , , , Tù d̄ây suy ra bâ´t d̄ăng thúc (2.28) vói k + 1, hay là N ≤ (k + 1)( a21 + a22 + · · · + a2k+1 ). J , , ` môt . 2.33. Go. i ý: Ta biêu diễn f (k+1) ( x ) theo f (k) ( x ) băng . sô´ giá tri. 1 x , f 00 ( x ) = − 2 f 0 (x) = 2 ( x − 1)1/2 ( x − 1)3/2 3x 12x2 + 1 (iv) f 000 ( x ) = 2 , f ( x ) = − ( x − 1)5/2 ( x2 − 1)7/2 60x3 + 31x 522x4 + 266x2 + 31 (vi ) f (v) ( x ) = 2 , f ( x ) = − . ( x − 1)9/2 ( x2 − 1)11/2 , , 2 1/2 Bây giò ta phát biêu lai . bài toán: nê´u f ( x ) = ( x − 1) , x > 1, khi d̄ó gn ( x ) f (n) ( x ) = 2 ( x − 1)(2n−1)/2 ,, , o d̄ây gn ( x ) là d̄a thúc bâc . n − 2, và ( , ´ , ˜ ˜ hàm chăn vói tât ca các hê. sô´ không âm, nê´u n chăn gn ( x ) là , , , , ,, hàm le vói tâ´t ca các hê. sô´ không duong, nê´u n le. , , ` Mênh d̄ê` này có thê chúng minh băng quy nap. . . , , ˜ và le. . 2.34. Go. i ý: Chia hai tru,ò,ng ho.,p n chăn , ,, , , Chuong 12. Lòi giai và go. i ý bài tâp . 236 , ,, , , 12.3. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 3 , . 3.21. Lò,i giai: Ta có n −1 n Sn = n −1 ∑ ak bk = a1 b1 + ∑ ak+1 bk+1 = a1 b1 + ∑ (ak + d)qbk k =1 = a1 b1 + q k =1 k =1 n −1 n k =1 k =1 ∑ ak bk + dq ∑ bk = a1 b1 + q(Sn − an bn ) + dqb1 q n −1 − 1 . q−1 , , Tù d̄ó suy ra công thúc bài toán. , , 1 . 3.22. Tra lòi: bn = n2 + 1, Sn = n(2n2 + 3n + 7). 6 , , 1 . 3.23. Tra lòi: Sn = n(4n2 + 7n + 1). 2 , , . 3.24. Tra lòi: 2πn 2πn + C2 sin ; 3 3 b) xn = (C1 + C2 .n)(−1)n ; a) xn = C1 cos c) xn = C1 + C2 (−1)n ; d) xn = C1 + C2 n + C3 n2 . , . 3.25. Tra lò,i: a) xn = 7 + 3n ; b) xn = 2n + 3n − 4n ; c) xn = 2(3 − 2n).3n−1 − 1. , ,, , , 12.4. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 4 , , . 4.19. Lòi giai: Khi n = 1, thı̀ 112 + 12 = 133, mênh d̄ê` d̄úng . , ,, k+1 , , 2k − 1 vói n = 1. Gia su 11 + 12 chia hê´t cho 133. Ta sẽ chúng , ,, , , 12.5. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 5 237 minh 11k+2 + 122k+1 cũng chi hê´t cho 133. Thât . vây, . 11k+2 + 122k+1 = 11.11k+1 + 122 .122k−1 = 11.(11k+1 + 122k−1 ) + 133.122k−1 . , ,, , Tông thu d̄uo. c chia hê´t cho 133. Vây d̄ê` d̄úng vói moi . mênh . . n ≥ 1. J , . 4.20. Go. i ý: Tiê´n hành nhu, bài 4.2 phâ`n 1). , . 4.21. Go. i ý: Tiê´n hành nhu, bài 4.2 phâ`n 2). , . 4.22. Go. i ý: Bài toán d̄u,a vê` chú,ng minh công thú,c 102n−1 + 1 , chia hê´t cho 11 vói moi . n ≥ 1. , ,, , , 12.5. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 5 , , 2n+1 + 22n + 1. . 5.28. Lòi giai: Ta ký hiêu . an = 2 1+1 1 , 1) Vói n = 1, a = 22 + 22 + 1 = 21. 1 2+1 2 , 2) Vói n = 2, a2 = 22 + 22 + 1 = 28 + 24 + 1 = 256 + 16 + 1 = , 273 = 21.13 , nhu vây, . a2 chia hê´t 21. , , , 3) Ta sẽ chúng minh an chia hê´t cho 21 vói moi . sô´ tu. nhiên n. , , Vói n = 1 và n = 2 ta d̄ã kiêm tra. , ,, k +1 k k +2 k +1 Gia su ak = 22 + 22 + 1 = 21m. Ta xét ak+1 = 22 + 22 + k +1 k k , 1. Nhung 22 = ak − 22 − 1 = 21m − 22 − 1, nhu, vây . a k +1 = k +2 k k.4 k k k.3 2 2 2 2 2 2 + (21m − 2 − 1) + 1 = 2 − 2 + 21m = 2 (22 − 1) + 21m, k k −1 k k −1 ak+1 = 22 [(26 )2 − 1] + 21m = 22 [(64)2 − 1] + 21m. k −1 , Nhung (64)2 − 1 chia hê´t cho 64 − 1 = 63 = 21.3 và suy ra , , ak+1 chia hê´t cho 21. Nhu vây . an chia hê´t cho 21 vói moi . n và vı̀ , ,, , , Chuong 12. Lòi giai và go. i ý bài tâp . , , ,, , a1 = 21 là sô´ nho nhâ´t trong tâ´t ca các sô´, thı̀ uóc sô´ chung lón , , nhâ´t cua tâ´t ca an , n = 1, 2, . . . là 21. 238 J , , , , ´ lai . 5.29. Lòi giai: Nhăc . cách chúng minh cua Euclide vê` tô`n , tai . vô han . sô´ nguyên tô´. Nê´u p1 p2 . . . pn + 1 là nhũng sô´ nguyên tô´ bâ´t kỳ, sô´ P = p1 p2 . . . pn + 1 khác 1 và suy ra nó chia hê´t cho môt . , ,, uóc sô´ nguyên tô´ nào d̄ó, tâ´t nhiên nó phai khác p1 , p2 , . . . , pn . , ,, , Nhu vây . theo cách này ta tı̀m d̄uo. c môt . sô´ nguyên tô´ mói. Nê´u ,, , p1 , p2 , . . . , pn là n sô´ nguyên tô´ d̄â`u tiên. Trong truòng ho. p d̄ó ,, , uóc sô´ trên sẽ là sô´ nguyên tô´ thú n + 1 : pn+1 . Do d̄ó pn+1 ≤ , n , , , p1 p2 . . . pn + 1. Bây giò bâ´t d̄ăng thúc pn < 22 chúng minh theo , ,, , phuong pháp quy nap toán hoc. Vói n = 1 ta có p1 = 2 bâ´t d̄ăng . . , , , ,, , , , thúc là hiên nhiên. Gia su bâ´t d̄ăng thúc d̄úng vói moi . giá tri. , , , nho hon n. Ta sẽ chúng minh nó d̄úng cho n + 1. Thât . vây, . n 2 pn+1 ≤ p1 p2 . . . pn + 1 < 22 .22 . . . 22 + 1 = 22 n +1−2 + 1 < 22 n +1 , , . 5.30. Lòi giai: 1) Vó,i n = 1 ta có β 1 − α1 β 1 + α1 cos 2 2 β 1 − α1 β 1 − α1 cos = sin( β 1 − α1 ) ≤ 2 sin 2 2 β 1 − α1 β + α1 π (vı̀ 0 ≤ ≤ 1 ≤ ) 2 2 2 , , ,, , , ´ 2) Gia su bât d̄ăng thúc d̄ã cho d̄úng vói n − 1. Khi d̄ó sin β 1 − sin α1 = 2 sin n −1 n ∑ (sin βi − sin αi ) = ∑ (sin βi − sin αi ) + sin βn − sin αn i =1 i =1 n −1 = ∑ (sin βi − sin αi ) + 2 sin i =1 β n − αn β n + αn cos 2 2 . J , ,, , , 12.5. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 5 n −1 n −1 i =1 n −1 i =1 ≤ sin( ∑ β i − ∑ αi ) + 2 sin 239 n −1 β n − αn β n − αn cos( ∑ ( β i − αi ) + ) 2 2 i =1 n n −1 i =1 i =1 = sin( ∑ ( β i − αi )) + sin( ∑ ( β i − αi )) + sin(− i =1 n ∑ ( βi − αi )) = sin( ∑ ( β i − αi ). i =1 ,, Vı̀ công các bâ´t phuong trı̀nh α1 ≥ 0, α2 ≥ β 1 , α3 ≥ β 2 , . . . , αn ≥ . ,, , β n−1 ta nhân . d̄uo. c α1 + α1 + · · · + αn ≥ β 1 + β 2 + · · · + β n−1 tù d̄ó suy ra n −1 β n + αn π β n − αn 0 ≤ ∑ ( β i − αi ) + ≤ ≤ . 2 2 2 i =1 J , , . 5.31. Lòi giai: Ta d̄at .̆ Sn = n 1 , ∑ n + i . Vói n = 2 ta có S2 = i =1 , 1 14 13 13 , 1 ` + = > . Ta gia thiê´t răng Sn > , vói sô´ n nào 2+1 2+2 24 24 24 , , , d̄â´y. Ta sẽ chúng minh khi d̄ó cũng có bâ´t d̄ăng thúc cho Sn+1 > , , 13 , , . Ta sẽ chúng minh bâ´t d̄ăng thúc sau là d̄u Sn+1 − Sn > 0. 24 Thât . vây, . n +1 S n +1 − S n = ∑ i =1 = n 1 1 −∑ n + i + 1 i =1 n + i 1 1 1 1 + − = > 0. 2n + 1 2n + 2 n + 1 2(n + 1)(2n + 1) , , , . 5.32. Lòi giai: Dãy d̄ã cho thoa mãn phu,o,ng trı̀nh truy hô`i , ,, √ , an = c + an−1 . Gia su giói han an tô`n tai. . l = nlim . Khi d̄ó →∞ q √ √ lim an = lim c + an−1 = c + lim an−1 hoac là l = c + l, .̆ n→∞ n→∞ n→∞ √ 1 , ,, , tù d̄ây vói chú ý l > 0, ta tı̀m d̄uo. c l = (1 + 4c + 1). Ta câ`n 2 , ,, , , 240 Chuong 12. Lòi giai và go. i ý bài tâp . , , , ` phai chúng minh giói han tô`n tai. dãy a1 , a2 , . . . . Ta chú ý răng , ,. , tăng, suy ra chı còn kiêm tra nó là bi. chan. Chı́nh xác hon ta sẽ .̆ , , , chúng minh bâ´t d̄ăng thúc √ an < 1 + c, (n = 1, 2, 3, . . .). , , , ,, √ √ , Thât . vây, . vó,i n = 1 (1) thoa mãn a1 c < 1 + c. Gia su bâ´t d̄ăng , , thúc (1) thoa mãn vói n nào d̄ó. Khi d̄ó q √ √ √ an+1 = c + an < c + (1 + c) < 1 + c. J , ,, , , 12.6. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 6 , ` . 6.17. Go. i ý: Dễ dàng chú,ng minh băng quy nap . theo n. , , , . 6.18. Go. i ý: Tù, môt sô´ doan thăng có thê tao thành d̄a giác . . , , . , , , , khi và chı khi d̄oan . lón nhâ´t trong chúng phai nho hon tông các d̄oan . còn lai. . , , ´ ra d̄ã d̄u,o.,c tô . 6.19. Go. i ý: Nhũ,ng manh do n d̄u,ò,ng tròn căt , ,, , , son theo gia thiê´t quy nap. . , Ta vẽ ,thêm môt . d̄uòng tròn thú n + 1 , ` trong du,ò,ng tròn thú, , khi d̄ó ta d̄ôi màu tâ´t ca các manh năm , , , n + 1. Nhu vây . ta có mat .̆ phăng phai tı̀m. , , . 6.20. Go. i ý: Tông các sô´ là 2.3n . , ,, , , 12.7. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 7 , , , ` . 7.17. Lòi giai: Ta chú,ng minh băng quy nap . theo n. Vói n = 1 mênh d̄ê` d̄úng, vı̀ . a a a a a = − = (− ) − (− ). x ( x + 1) x x+1 x+1 x , ,, , , 12.7. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 7 , , ,, Cho n > 1. Ta biêu diễn d̄a thúc P( x ) duói dang . 241 P( x ) = c + ( x + n) P1 ( x ), , , , , ,, ` o d̄ây c là hăng sô´, còn bâc . cua P1 ( x ) nho hon n − 1. Theo gia thiê´t quy nap . P1 ( x ) = x ( x + 1) . . . ( x + n − 1)( R1 ( x + 1) − R1 ( x )). ,, , , o d̄ây R1 ( x ) là môt . hàm hũu ty nào d̄ó và khi d̄ó P( x ) = x ( x + 1) . . . ( x + n)( R( x + 1) − R( x )). ,, o d̄ây c 1 R ( x ) = R1 ( x ) − . . n x ( x + 1) . . .,( x + n − 1) , Chú ý: Nê´u bâc trên là không . . cua, P( x ) là n, d̄iê`u khăng d̄inh d̄úng, ta hãy xem phan vı́ du. sau P ( x ) = x ( x + 1) . . . ( x + n − 1). J , , ` . 7.18. Lòi giai: Chú,ng minh băng quy nap Nê´u n = 0, . theo n. , , ` P( x ) = a môt . hăng ,sô´ và khi d̄ó P( x,) = a.P0 ( x ). Gia thiê´t khăng , , , n d̄inh . d̄úng vói tâ´t ca d̄a thúc bâc . nho hon n và P( x ) = an x + · · · . , , , Ta d̄at .̆ bn = n!an . Ða thúc P( x, ) − bn Pn ( x ) sẽ có bâc . không lón hon n − 1 và có nghı̃a là theo gia thiê´t quy nap . có sô´ b0 , b1 , . . . , bn−1 sao cho P( x ) − bn Pn ( x ) = bn−1 Pn−1 + · · · + b0 P0 ( x ). , , , Suy ra khăng d̄inh d̄úng cho ca d̄a thúc P( x ). . J , , , . 7.19. Lòi giai: 1) Vó,i n = 1 d̄ăng thú,c có dang u1 x = . 3 2 3 2 , x +x −x u1 x + u2 x − x , hoac .̆ là x = x2 + x − 1 , d̄ăng thúc này d̄úng. x2 + x − 1 , ,, , , Chuong 12. Lòi giai và go. i ý bài tâp . 242 , , , , ` 2) Chúng minh răng d̄ăng thúc d̄úng vói sô´ n nào d̄ó. Ta sẽ , , , , chúng minh d̄ăng thúc cũng d̄úng cho n + 1. Thât . vây, . ta biê´n d̄ôi n +1 Fn+1 ( x ) = ∑ uin = Fn (x) + un+1 xn+1 i =1 u n x n +2 + u n +1 x n +1 − x + u n +1 x n +1 . x2 + x − 1 , , , ,, Biê´n d̄ôi du. a vào công thúc un+2 = un + un+1 ta nhân . d̄uo. c = Fn+1 ( x ) = u n +1 x n +3 + u n +2 x n +2 − x , ( x 2 + x − 1 6 = 0) x2 + x − 1 , . 7.20. Go. i ý: Tiê´n hành nhu, 7.16 , . 7.21. Go. i ý: Tiê´n hành nhu, 7.16 , , ` . 7.22. Lòi giai: Chú,ng minh băng quy nap . theo n. 1) n = 0, Khi d̄ó P( x ) = a0 . Nê´u |1 − a0 | < 1 và | a − a0 | < 1. , Khi d̄ó | a − 1| = | a − a0 + a0 − 1| ≤ | a − a0 | + | a0 − 1| < 2, nhung a ≥ 3 dẫn d̄ê´n vô lý!. , ,, , , 2) Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói k ≤ n − 1. Ta xét d̄a thúc . P ( x + 1) − P ( x ) . a−1 , , ` Dễ dàng thâ´y răng Q( x ) là d̄a thúc bâc . n − 1. Theo gia thiê´t quy nap . tô`n tai . sô´ i (0 ≤ i ≤ n − 1) sao cho Q( x ) = P ( i + 1) − P ( i ) | a−1 | ai+1 − P(i + 1) − ai + P(i )| | ai+1 − P(i + 1)| | ai − P(i )| = ≤ + . a−1 a−1 a−1 1 ≤ | ai − Q(i )| = | ai − , ,, , , 12.7. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 7 243 , , 1 , ,, Có ı́t nhâ´t môt không nho hon . Gia su d̄ó là . trong các sô´ hang . 2 , a−1 , , i + ´ biêu thúc thú nhât, thı̀ vı̀ ≥ 1 do a ≥ 3, | a 1 − P(i + 1)| ≥ 2 a−1 ≥ 1. 2 , , , 1 ,, , , , Tuong tu. , nê´u biêu thúc thú hai không nho hon , thı̀ | ai − 2 P(i )| ≥ 1. J , 1 1 , . 7.23. Lòi giai: 1) Vó,i n = 1. Khi d̄ó P1 ( x ) + P1 ( ) = x + và x x , , ,, bâ´t d̄ăng thúc nhân . d̄uo. c có dang . 1 ≥ 2, ( x > 0). (12.5) x , , ,, ,, ,, , Vı̀ x > 0, nên bâ´t d̄ăng thúc vuă` nhân . d̄uo. c tuong d̄uong vói ( x − 1)2 ≥ 0 và suy ra mênh d̄ê` d̄úng. . 1 1 , Vói n = 2 ta có P2 ( x ) + P2 ( ) = ( x2 + 1) + ( 2 + 1) = x2 + x x , 1 1 1 , ` 2 + 2 . Câ`n phai chúng minh răng P2 ( x ) + P2 ( ) ≥ 2 + 1 + (1 + x x 2 , ,, 1 , 2 2 (−1) ) = 4 hoac .̆ là x + x2 ≥ 2; d̄iê`u này suy ra tù (12.5). Gia su , , , mênh d̄ê` d̄úng vói n. Ta có bâ´t d̄ăng thúc sau d̄úng . x+ 1 1 Pn ( x ) + Pn ( ) ≥ n + 1 + (1 + (−1)n ). x 2 , , ,, , Ta sẽ chúng minh truóc tiên bâ´t d̄ăng thúc d̄úng cho n + 2 1 1 Pn+2 ( x ) + Pn+2 ( ) ≥ n + 3 + (1 + (−1)n+2 ). x 2 , , , Chú ý Pn thoa mãn d̄ăng thúc Pn+2 ( x ) = x n+2 + Pn ( x ). Suy ra 1 1 1 Pn+2 ( x ) + Pn+2 ( ) = [ Pn ( x ) + Pn ( )] + [ x n+2 + n+2 ] x x x 244 , ,, , , Chuong 12. Lòi giai và go. i ý bài tâp . , , 1 , , Theo (*) bâ´t d̄ăng thúc sau d̄úng x n+2 + n+2 ≥ 2. Tù các d̄ăng x , , , , thúc và bâ´t d̄ăng thúc sau cùng và gia thiê´t quy nap . ta có: 1 1 Pn+2 ( x ) + Pn+2 ( ) ≥ n + 1 + (1 + (−1)n ) + 2. x 2 1 = (n + 2) + 1 + (1 + (−1)n+2 ). 2 n n + 2 ` Ta chú ý răng (−1) = (−1) . Theo nguyên lý quy nap . mênh . , , , , ` ´ d̄ê d̄úng vói moi . sô le n (vı̀ nó d̄úng vói n = 1), và d̄úng vói moi . , , , , ˜ ´ n chăn (vı̀ nó d̄úng vói n = 2). Nhu vây . bât dăng thúc d̄úng vói moi . n ≥ 1. J , ,, , , 12.8. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 8 , , , . 8.19. Lòi giai: 1) vó,i n = 1 khăng d̄inh d̄úng, vı̀ . 2 cos x − 2 cos2 x cos x (1 − cos x ) 2 cos x − cos 2x − 1 = = = cos x. x x x 4 sin2 4 sin2 2 sin2 2 2 2 2) Cho (k + 1) cos kx − k cos(k + 1) x − 1 . cos x + 2 cos 2x + · · · + k cos kx = x 4 sin2 2 Khi d̄ó cos x + 2 cos 2x + · · · + k cos kx + (k + 1) cos(k + 1) x = (k + 1) cos kx − k cos(k + 1) x − 1 + (k + 1) cos(k + 1) x x 4 sin2 2 (k + 1) cos kx − k cos(k + 1) x − 1 2(1 − cos x )(k + 1) cos(k + 1) x = + x x 4 sin2 4 sin2 2 2 (k + 2) cos(k + 1) x + (k + 1) cos kx 2(k + 1) cos x cos(k + 1) x + 1 = − x x 4 sin2 4 sin2 2 2 = , ,, , , 12.8. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 8 245 (k + 2) cos(k + 1) x + (k + 1) cos kx − x 4 sin2 2 (k + 1)[cos(k + 2) x + cos kx ] + 1 − x 4 sin2 2 (k + 2) cos(k + 1) x − (k + 1) cos(k + 2) x − 1 = . x 4 sin2 2 = J , , , . 8.20. Lòi giai: 1) Vó,i n = 1 khăng d̄inh d̄úng, vı̀ . 1 π π 1 + i = 2 2 (cos + i sin ). 4 4 , ,, , , 2) Gia su d̄úng vói n = k, túc là k (1 + i )k = 2 2 (cos kπ kπ + i sin ). 4 4 Khi d̄ó kπ kπ 1 π π + i sin ).2 2 (cos + i sin ). 4 4 4 4 k +1 ( k + 1) π ( k + 1) π .2 2 (cos + i sin ). 4 4 k (1 + i )k+1 = 2 2 (cos J , , , . 8.21. Lòi giai: Vó,i n = 2 d̄ăng thú,c d̄úng: a1 b1 + a2 b2 = , a2 (b1 + b2 ) − ( a2 − a1 )b1 = a2 B2 − ( a2 − a1 ) B1 . Ta sẽ chúng minh , , , nê´u khăng d̄inh d̄úng vói n nào d̄ó, thı̀ nó cũng d̄úng vói n + 1. . Ta có n +1 n µ =1 µ =1 ∑ a µ bµ = ∑ a µ bµ + a n + 1 bn + 1 n −1 = [ an Bn − ∑ (aµ+1 − aµ ) Bµ ] + an+1 bn+1 . µ =1 (12.6) , ,, , , Chuong 12. Lòi giai và go. i ý bài tâp . 246 ,, , Nhung bn+1 = Bn+1 − Bn o d̄ây an Bn + an+1 bn+1 = an Bn + , , ,, an+1 ( Bn+1 − Bn ). Tù kê´t qua cuô´i cùng và (12.6) ta nhân . d̄uo. c n −1 n +1 ∑ aµ bµ = an+1 bn+1 − ( an+1 − an ) Bn − µ =1 ∑ (aµ+1 − aµ ) Bµ µ =1 n = a n + 1 bn + 1 − ∑ (aµ+1 − aµ ) Bµ . µ =1 , , , ` . 8.22. Lòi giai: Ta chú,ng minh băng quy nap . theo k. Vói k = 1 , ` tông này băng m 1 = . (12.7) 1− m+1 m+1 ,, , Vói k = 2 ta tı́nh d̄uo. c 2 2.1 m 1− + = . (12.8) m + 1 (m + 1)(m + 2) m+2 , , , , , , ` Tù d̄ăng thúc (12.7) và (12.8) d̄ua d̄ê´n giai thiê´t tông (12.6) băng m , ` . Ta sẽ chúng minh răng m+k ( k + 1) k (k + 1)k . . . 2.1 k+1 + − · · · + (−1)k+1 1− n + 1 (m + 1)(m + 2) (m + 1)(m + 2) . . . (m + k + 1) m = . (12.9) m+k+1 , Ta d̄ua vào d̄inh nghı̃a sau .  nê´u hoac 0, .̆ i < 0, hoac .̆ i > k; Qi ( k ) = k ( k − 1 ) . . . ( k − i + 1) (−1)i . , nê´u 0 ≤ i ≤ k ( m + 1) . . . ( m + i ) , Khi d̄ó (12.9) có thê viê´t k +1 k +1 i ∑ Qi (k + 1) = ∑ [Qi (k) − m + i Qi−1 (k)] = i =0 i =0 = k +1 k +1 i =0 i =0 i ∑ Q i ( k ) − ∑ m + i Q i −1 ( k ) = , ,, , , 12.9. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 9 = k k i =0 i =0 i+1 ∑ Qi ( k ) − ∑ m + i + 1 Qi ( k ) k = 247 m ∑ m + i + 1 Qi ( k ) i =0 k = m m ∑ m + i + 1.m + k + 1. i =0 m+k+1 Qi ( k ) m = k m m+k+1 Qi ( k ) ∑ m + k + 1 i =0 m + i + 1 = k m m+k+1+i−i Qi ( k ) ∑ m + k + 1 i =0 m+i+1 = k k m k−i [ ∑ Qi ( k ) + ∑ Qi (k )] m + k + 1 i =0 m+i+1 i =0 = k k m m [ ∑ Qi (k) − ∑ Qi+1 (k)] = . m + k + 1 i =0 m+k+1 i =0 J , ,, , , 12.9. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 9 , , ,, ,, . 9.11. Go.,i ý: a) áp dung d̄ăng thúc o bài 9.4 ta nhân . d̄uo. c . P2i P q2i − 2i−2 = −(−1)2i−1 . , Q2i Q2i−2 Q2i Q2i−2 P2i P , tù d̄ó có > 2i−2 (i = 1, 2, . . .). Q2i Q2i−2 ,, , , b) tuong tu. nhu phâ`n a). , ,, P P3 , . 9.12. Lòi giai: a) Dãy 1 , , . . . hôi tu, boi vı̀ theo bài tâp . . . Q1 Q3 , , , , trên thı̀ dãy giam, mat cua nó d̄ê`u duong. Ta d̄at .̆ khác sô´ hang . .̆ 248 , ,, , , Chuong 12. Lòi giai và go. i ý bài tâp . , , P0 P2 P2i+1 ` dãy , , . . . cũng hôi tu; d̄ê ω 0 = lim . Ta sẽ chı ra răng . . Q0 Q2 i →∞ Q2i +1 , , , ,, chúng minh d̄uo. c d̄iê`u d̄ó câ`n chı ra nó bi. chan .̆ phai, vı̀ ta d̄ã biê´t , , nhu bài tâp . trên nó d̄ã là dãy tăng. Thât . vây, . tù (9.13) ta có P2i+1 Q2i − P2i Q2i+1 = (−1)2i = 1, , tù d̄ây P2i+1 P P Q − P2i Q2i+1 1 − 2i = 2i+1 2i = > 0. (12.10) Q2i+1 Q2i Q2i Q2i+1 Q2i Q2i+1 , , , , ,, P2i 00 Ta d̄at .̆ α = limi→∞ Q . Boi vı̀ dãy phân sô´ xâ´p xı vói chı sô´ le 2i , P2m , , ˜ thı̀ ω 00 ≤ ω 0 . Mat trôi . hon phân sô´ vói chı sô´ chăn, .̆ khác Q < 2m , P2n+1 00 0 ω , (m = 0, 1, . . .) và ω < , (n = 0, 1, . . .). Suy ra bâ´t d̄ăng Q2n+1 , thúc P P2m < ω 00 ≤ ω 0 < 2n+1 Q2m Q2n+1 , , , , ` thoa mãn tâ´t ca sô´ tu. nhiên m, n. Ta sẽ chúng minh răng ω0 = , , , , P2i+1 P ω 00 . Ðê d̄at − 2i có thê tro, . muc . d̄ı́ch này ta phai kê´t luân . Q Q2i 2i +1 , , , , ´ thành rât nho khi i d̄u lón. Theo bài trên dãy Q0 , Q1 , . . . d̄on d̄iêu . , ,, tăng suy ra Qn ≥ n, (n = 0, 1, . . .). Khi d̄ó tù (12.10) ta nhân . d̄uo. c P2i+1 P 1 1 0< − 2i = ≤ , Q2i+1 Q2i Q2i Q2i+1 2i (2i + 1) , tù d̄ây P P P2i+1 P lim ( − 2i ) = lim 2i+1 − lim 2i = ω 0 − ω 00 = 0. Q2i i →∞ Q2i +1 i →∞ Q2i +1 i →∞ Q2i , , Pn 0 00 Ta ký hiêu . . ω giá tri. chung cua ω và ω có thê viê´t ω = nlim →∞ Qn , , Theo d̄inh nghı̃a giói han . . này là giá tri. cua liên phân sô´. Ta d̄a ,, , , chúng minh xong moi . liên phân sô´ vói các phâ`n tu nguyên là hôi . tu. . J , ,, , , 12.9. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 9 249 , . 9.13. Go. i ý: Theo bài trên liên phân sô´ d̄ã cho là hôi . tu, . ta có , ´ thê viêt 1 ω = (1, 1, . . .) = (1, ω ) = 1 + , ω , ,, 2 ` Ta thâ´y răng ω là nghi . cua phuong trı̀nh ω − ω − 1 = 0. Vı̀ √ êm 1+ 5 . ω > 0, thı̀ ω = 2 , , , . 9.14. Lòi giai: Tù, nhũ,ng tı́nh châ´t cua liên phân sô´ ta nhân . ,, d̄uo. c ω− Pi P ω + Pi−1 P Qi Pi−1 − Qi−1 Pi = i i +1 − i = Qi Q i ω i +1 + Q i −1 Qi Q i ( Q i ω i +1 + Q i −1 ) và theo (9.13) ta có δi = |ω − Pi 1 |= . Qi Q i ( Q i ω i +1 + Q i −1 ) (12.11) Vı̀ ω i +1 > q i +1 , (12.12) , thı̀ Qi ( Qi ωi+1 + Qi−1 ) > Qi ( Qi qi+1 + Qi−1 ) = Qi Qi+1 tù d̄ây 1 δi < . mat .̆ khác Qi ( Qi ωi+1 + Qi−1 ) = Qi ( Qi (ωi+1 − qi+1 ) + Q i Q i +1 , , ,, Qi qi+1 + Qi−1 ) và dùng bâ´t d̄ăng thúc (12.12 ) ta nhân . d̄uo. c Qi ( Qi ωi+1 + Qi−1 ) < Qi ( Qi + ( Qi qi+1 + Qi−1 )) = Qi ( Qi + Qi+1 ). , ,, Tù d̄ây và (12.11) ta tı̀m d̄uo. c δi > 1 . Q i ( Q i + Q i +1 ) J , TÀI LIÊU . THAM KHAO [1] Phu,o,ng pháp Ðirichlê và ú,ng dung, . , , Nguyễn Hũu Ðiên, NXB KHKT, 1999. , [2] Phu,o,ng pháp sô´ phú,c và hı̀nh hoc phăng, . , , Nguyễn Hũu Ðiên, NXB ÐHQG, 2000. [3] Metod matematiqeskonj u indukcii, I. S. Sominskinj u, Moskva, 1961. [4] Matematiqeska indukci, L. Petruxev, Sofi, 1983. [5] Problem-Solving through problems, Loren C. Larson, Springer-Verlag, 1983. ,, [6] Các d̄ề thi vô d̄ich . toán các nuóc, , X.V. Cônhiagin, G.A. Tônôian, I.F. Sarugin,… NXB GD, 1996. [7] Phép quy nap . trong hı̀nh hoc, . L.I. Golovina, I.M. Yaglom NXB GD, 1997. 250 NÔI . DUNG , Lòi nói d̄â`u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,, Chuong 1. Nguyên lý quy nap . toán hoc . …………….. 4 1.1. Suy diễn và quy nap . ……………………………. 4 3 1.2. Nguyên lý quy nap . toán hoc . …………………….. 6 , 1.3. Giai d̄oan . quy nap . và gia thiê´t quy nap . …………… 8 ,, , 1.4. Hai buóc cua nguyên lý quy nap . toán hoc . . . . . . . . . . . . 14 ,, 1.5. Khi nào dùng phuong pháp quy nap . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6. Bài tâp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . 23 2.1. Môt nguyên lý quy nap . sô´ dang . . toán hoc . ………… 23 2.2. Mênh d̄ê` trong nguyên lý quy nap . . toán hoc . ………. ,, ,, , 2.3. Buóc quy nap . d̄uo. c xây du. ng trên P(k) . . . . . . . . . . . . . . ,, ,, , 2.4. Buóc quy nap . d̄uo. c xây du. ng trên P(k + 1) . . . . . . . . . . 2.5. Quy nap . toán hoc . và phép truy hô`i . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 2.6. Quy nap . toán hoc . và tông quát hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.7. Bài tâp . ……………………………………….. , ,, , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Câ´p sô´ công và câ´p sô´ nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , 3.2. Tı́nh tông và sô´ hang tông quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,, 3.3. Phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n tı́nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 36 40 43 51 55 57 57 66 71 252 NÔI . DUNG , , , , , 3.4. Tông cua nhũng lũy thùa cùng bâc . các sô´ tu. nhiên . 3.5. Bài tâp . ……………………………………….. ,, Chuong 4. Sô´ hoc . …………………………………. 4.1. Phép chia hê´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 87 89 89 4.2. Thuât . toán Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 , 4.3. Sô´ phúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 , 4.4. Nhũng vı́ du. khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.5. Bài tâp. . ……………………………………… ,, Chuong 5. Dãy sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 5.1. Dãy sô´ tu. nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 5.2. Dãy trôi . hon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , , , 5.3. Nhũng bâ´t d̄ăng thúc nôi tiê´ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 5.4. Dãy d̄on d̄iêu . ………………………………… 5.5. Sô´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 110 110 117 121 128 131 5.6. Dãy sô´ Fibonacci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.7. Bài tâp. . ……………………………………… ,, Chuong 6. Hı̀nh hoc . ……………………………… 139 140 6.1. Vı́ du. quy nap . toán hoc . cho hı̀nh hoc . …………… 140 6.2. Bài tâp. . ……………………………………… ,, , Chuong 7. Ða thúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , 7.1. Phân tı́ch d̄a thúc ra thùa sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.2. Nguyên lý so sánh các hê. sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , 7.3. Ðao . hàm cua d̄a thúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 7.4. Ða thúc Chebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 156 160 169 172 NÔI . DUNG 253 7.5. Bàii tâp . ……………………………………… , , , ,, , Chuong 8. Tô ho. p và d̄ăng thúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , , 8.1. Môt . sô´ công thúc tô ho. p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , 8.2. Môt . sô´ d̄ăng thúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 8.3. Bài tâp. . ……………………………………… ,, Chuong 9. Liên phân sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 176 186 193 194 9.1. Khái niêm . liên phân sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , 9.2. Phân tı́ch sô´ hũu ty thành liên phân sô´ . . . . . . . . . . . . , 9.3. Phân sô´ xâ´p xı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 9.4. Liên phân sô´ vô han . ………………………….. 203 9.5. Vı́ du. . ……………………………………….. 204 9.6. Bài tâp . ……………………………………… ,, Chuong 10. Môt ………………… . . sô´ d̄ê` thi vô d̄ich , ,, , Chuong 11. Bài tâp . tu. giai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , Chuong 12. Lòi giai và go. i ý bài tâp . ……………… , ,, , , 12.1. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.2. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.3. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.4. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.5. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.6. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.7. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.8. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.9. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 194 196 212 226 231 231 233 236 236 237 240 240 244 247 254 , Thu. c hành tı́nh toán Muc . luc . ………………………………………… 250 , , PHUONG PHÁP QUY NAP . TOÁN HOC . Mã sô´: 8H663M0 , , In 3.000 ban (21TK), khô 14, 3 × 20, 3 cm Tai . Công ty In Ba ´ ´ Ðı̀nh, Thanh Hóa Sô in: 127; Sô XB 05/796-00. , , In xong và nôp . luu chiêu tháng 8 năm 2000.
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top