Phương pháp quy nạp toán học – Nguyễn Hữu Điển

Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Giới thiệu Phương pháp quy nạp toán học – Nguyễn Hữu Điển

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và quý thây cô Phương pháp quy nạp toán học – Nguyễn Hữu ĐiểnChương Tổ hợp và Xác Xuất.

Tài liệu môn Toán 11 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất nhé.

Tải xuống

Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm về môn Toán.

Text Phương pháp quy nạp toán học – Nguyễn Hữu Điển

, , ˜ ˜ NGUYÊN HUU ÐIÊN , , PHUONG PHÁP QUY NAP . TOÁN HOC . , (Tái ban lâ`n thú, hai) , ´ BAN GIÁO DUC NHÀ XUÂT . , , c Ebook 1.0 cua cuô´n sách nguyên gô´c tù, ban in, các ban . tham , , , khao, cho ý kiê´n sai sót và lòi khuyên tái ban. Moi liên hê. . , , , Tác gia: Nguyễn Hũu Ðiên Ðiên . thoai: . 0989061951 Email: [email protected] Web: http://nhdien.wordpress.com , Chiu . trách nhiêm . xuâ´t ban: Giám d̄ô´c Ngô Trâ`n ái , ,, Tông biên tâp . Vũ Duong Thuy . Biên tâp . nôi . dung: Ngô Long Hâu . , Biên tâp t ái b an: . ,, Truong Công Thành Trı̀nh bày bı̀a: Ta. Trong Trı́ . , Chê´ ban: , , Nguễn Hũu Ðiên 51 05/796-00 GD − 00 Mã sô´: 8H663M0 , ` LÒI NÓI ÐÂU ,, , Môt trong toán hoc . phuong pháp ,râ´t manh . . dùng nghiên cúu , và chúng minh các gia thuyê´t là nguyên lý quy nap . ,toán hoc. . Có ,, ,, ´ vô sô các vı́ du. trong các môn hoc phô thông dùng . o ,chuong trı̀nh , , , , , nguyên lý này d̄ê diễn giai và mô ta. Nhung d̄ê hiêu thâ´u d̄áo vê` ,, , kỹ thuât trong hoc . áp dung . . tâp, . sáng tao . râ´t ı́t sách d̄uo. c bàn tói. ,, Tài liêu . sô´ sách nói riêng vê` vâ´n d̄ê` . nuóc ngoài cũng d̄ã có, môt , ,, này, theo tôi cũng chua d̄â`y d̄u và râ´t nhiê`u nguòi khó tiê´p xúc , ,, , d̄uo. c vói tài liêu dan . này. Tôi manh . . thu thâp . và khao sát nguyên ` lý quy nap và minh hoa các . toán hoc . theo moi . ,khı́a canh . . băng ,, bài tâp ., trong chuong trı̀nh phô thông. Ðây là lo,ai . sách cung câ´p , ,, và thao luân . nhũng phuong pháp hoc . tâp . và giai bài tâp . cho các ,, , ` ban yêu thı́ch to án h oc, c ác thâ y cô gi áo, sinh viên c ác truòng su . , ,, ., pham ., và các ban . o lóp hoc . sinh gioi làm t,ài liêu . tiê´p tuc . phát ,, ` triên. Chuong d̄âu xem xét các khı́a canh cua nguyên lý quy nap . . , , , ´ toán hoc. . Do khuôn khô cua cuô, n sách chúng tôi d̄ã không chúng , ,, ,, minh can .̆ kẽ su. tuong d̄uong cua ,nguyên lý quy nap . toán hoc . và , , , , , , , tiên d̄ê` thú tu. ; su. tuong d̄uong cua các dang nguyên lý quy nap . , ,. ,, toán hoc..v.v. Chuong hai khao sát các khı́a canh kỹ thuât cua . . . , , ,, ,, nguyên lý này. Tù chuong ba mỗi chuong dùng khao sát các bài , , ,, tâp phuong pháp quy nap . vê` môt . loai . chu d̄ê` chı áp dung . . toán , , , ´ , ´ hoc . nhu: Sô hoc, . Dãy sô, Hı̀nh hoc, . Ða thúc, Tô ho. p, Liên phân sô´ … , ´ còn nhiê`u bài Tài liêu . chúng tôi tham khao có han . và ,chăc , , ,, , tâp . hay chua nói tói,, hoac .̆ , có sai,sót trong thê hiên . ý,tuong mong , , , ban . chı: . d̄oc . cho,ý kiê´n sua d̄ôi và bô sung. Moi . liên hê. gui vê` d̄ia , Nhà xuâ´t ban Giáo duc, . 81 Trâ`n Hung Ðao, . Hà Nôi. . Hà Nôi, th áng 5 n ăm 2000 . , Tác gia 3 , , CHUONG 1 NGUYÊN LÝ QUY NAP . TOÁN HOC . 1.1. Suy diễn và quy nap . …………………………….. 4 1.2. Nguyên lý quy nap . toán hoc . …………………….. 6 , 1.3. Giai d̄oan . quy nap . và gia thiê´t quy nap . ………….. 8 , ,, 1.4. Hai buóc cua nguyên lý quy nap . toán hoc . . . . . . . . . . 14 ,, 1.5. Khi nào dùng phuong pháp quy nap . . . . . . . . . . . . . . . . 19 . 1.6. Bài tâp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.1. Suy diễn và quy nap . , , Ðê minh hoa . hai khái niêm . râ´t hay gap .̆ trong thu. c tê´ là suy diễn và quy nap, . ta lâ´y câu ca dao Viêt . Nam ai cũng biê´t: ¨Sô´ cô có me. có cha Me. cô d̄àn bà cha cô d̄àn ông Sô´ cô có vo., có chô`ng , Sinh con d̄â`u lòng chăng gái thı̀ trai.¨ , , Ðây là câu d̄oán cua ông thâ`y bói, ta d̄ã biê´t thâ`y bói chı , d̄oán mò thôi, nhung ông thâ`y bói trong câu ca dao này râ´t khôn , là dùng môt luôn luôn d̄úng ¨ai cũng có me, . . khăng d̄inh . có cha¨. , , ,, ´ Tù d̄ó dù áp dung cho nguòi d̄ên bói cu. thê nào cũng d̄úng luôn, , . , ,, , nghı̃a là khăng d̄inh riêng cũng d̄úng. Buóc suy luân tù khăng . . , , d̄inh cho nhũng khăng d̄inh . chung áp dung . riêng biêt . . goi . là phép ,, , suy diễn. Phép suy diễn o vı́ du. trên là luôn d̄úng vói hai câu d̄â`u, 1.1. Suy diễn và quy nap . 5 , ,, , nhung có thê sai o hai câu sau. Trong toán hoc râ´t hay dùng phép , , . suy diễn, chăng han, góc trong cua môt . nê´u hai . tam giác d̄ã cho , , , 0 0 ` là 30 và 70 , thı̀ d̄iêu khăng d̄inh sau d̄úng: ¨ Góc thú ba cua . , ,, tam giác d̄ã cho là 800 ¨. Mênh d̄ê` chung o d̄ây là: ¨Tông các góc . , 0 trong cua môt . tam giác là 180 ¨. ,, , Bây giò ta d̄oc . lai . chuyên . cuòi dân gian Viêt . nam: , , , ¨Bô´n ông thâ`y bói ru nhau d̄i xem voi. Tói chỗ voi d̄úng, bô´n , , , thâ`y bói chen vào, sò tân . tay, xem con voi nó thê´ nào. Vê` tói cho. , bô´n thâ`y hop . nhau bı̀nh phâm. ,, , Thâ`y sò d̄uo. c cái vòi voi nói: , , , , , ,, , ´ té ra chı giô´ng con d̄ıa cu. c lón. Tôi sò vào – Tuong voi la. lăm, ,, nó uô´n cong nguòi lai. . , Thâ`y ôm phai cái chân, vôi . cãi: , , , – Voi chı hêt . nhu cái côt . nhà thôi. Tôi ôm vào vùa tay cái côt . cái. , ´ phai cái tai voi, chê: Thâ`y năm , , , – Các bác chı nói mò. Con voi thât . ra tu. a nhu cái quat . to ,, tuóng. , , ,, Thâ`y túm phai cái d̄uôi voi, cuòi khây: , – Ba bác nói sai ca. Tôi d̄ã túm nó trong tay, thı̀ d̄úng là môt . , , cái chôi xê d̄ai. . Không ai chiu . ai, bô´n thâ`y to tiê´ng cãi nhau ô`n ào môt . góc , cho. … ¨ , , , Mỗi ông thâ`y bói d̄ê`u dùng khăng d̄inh riêng cua mı̀nh d̄ê . , , , ,, , d̄oán, phát biêu khăng d̄inh chung. Buóc suy luân tù khăng d̄inh . . . , , ,, , riêng tiê´n tói phát biêu khăng d̄inh chung d̄u o c g oi l à phép quy . . . ,, Chuong 1. Nguyên lý quy nap . toán hoc . 6 , ,, , nap. chung o d̄ây là ¨con vât d̄ó là con voi¨. Nhu vây . . . . Khăng d̄inh , , ´ ` ` 4 ông thây bói d̄êu phát biêu khăng d̄inh chung sai. Chăc có môt . . ,, ´ ` ´ ông nào d̄ó sáng măt thı̀ sẽ d̄úng. Ta thây răng phuong pháp quy , , , ,, nap . sai. Phuong pháp quy nap . có thê d̄ua d̄ê´n kê´t qua nhân . d̄inh . ,, , ´ ´ rât hay d̄uo. c dùng trong nghiên cúu khoa hoc, . nhât là toán hoc. . , , , ,, ´ Nhu vây hiêu phuong pháp quy nap thê nào d̄ây . chúng ta phai , . , ,, ´ ` và áp dung thê nào d̄ê nhân d̄ê khăng d̄inh d̄úng. . . . d̄uo. c mênh . 1.2. Nguyên lý quy nap . toán hoc . , , ,, ´ gon Ðê ngăn toán hoc . . ta ký hiêu . môt . khăng d̄inh . là P( x ), o ,, ,, , d̄ây x là môt mênh d̄ê` ¨ . biê´n sô´. Nguòi ta thuòng d̄ua vê` dang . . , Vói moi . x (trong môt . tâp . S nào d̄ó), P( x )¨. Trong cuô´n sách này , , , ta lâ´y x = n là nhũng sô´ tu. nhiên1 , S là tâp . các sô´ tu. nhiên (bao , ,, , gô`m toàn bô. các sô´ nguyên duong). Ta su dung môt . . tı́nh châ´t râ´t , , , , , , , quan trong cua tâp . . sô´ tu. nhiên, thuòng nguòi ta công nhân . nhu ,, , , môt . tiên d̄ê` (d̄uo. c goi . là tiên d̄ê` thú tu. ). , , , , Tiên d̄ê`: Trong mỗi tâp . ho. p khác rỗng cua nhũng sô´ tu. nhiên có , ,, môt . phâ`n tu nho nhâ´t. , , , , Cho mỗi sô´ tu. nhiên n úng vói môt khăng d̄inh P(n). Vı́ du, . . , ,. ,, , , , ´ ´ vói 1 ta cho tuong úng vói khăng d̄inh P(1): ¨sô 1 là môt . . sô le¨, ,, , , ` ˜ ´ ´ ´ sô 2 cho tuong túng vói P(2): ¨ sô 2 là môt . sô ,chăn¨; … Băng ,, , riêng phuong pháp nhu vây . . chúng ta tao . ra dãy khăng d̄inh P(1), P(2), . . . , P(n), . . . . Nguyên lý quy nap . toán hoc . cho ta môt . , , ,, , phuong pháp kiêm tra khăng d̄inh P(n) d̄úng hoac . .̆ sai vói moi . n. , ,, Nguyên lý quy nap lı́ sau: . . toán hoc . d̄uo. c thê hiên . qua d̄inh 1 Trong 0. , , , sách này khi nói d̄ê´n sô´ tu. nhiên, ta hiêu d̄ó là sô´ tu. nhiên khác sô´ 1.2. Nguyên lý quy nap . toán hoc . 7 ,, Ðinh lý 1.1. Cho n0 là môt d̄ề . sô´ nguyên duong và P(n) là mênh . . , , ´ ´ có nghı̃a vói moi . sô tu. nhiên n ≥ n0 . Nêu A) P(n0 ) là d̄úng và B) Nê´u P(k ) d̄úng, thı̀ P(k + 1) cũng d̄úng vó,i mỗi sô´ tu. , nhiên k ≥ n0 , , khi d̄ó mênh d̄ề P(n) d̄úng vó,i moi . . sô´ tu. nhiên n ≥ n0 . , , , , ` phan chú,ng. Gia su,, ngu,o.,c Chúng minh. Ta sẽ chúng minh băng , , lai, d̄ê` khăng d̄inh P(n) trong Ðinh lı́ 1.1 không d̄úng vói . . . mênh . , , môt . sô´ tu. nhiên n ≥ n0 nào d̄ó. Nghı̃a là tô`n tai . môt . sô´ tu. ,nhiên , m ≥ n0 , mà P(m) không d̄úng. Ta lâ´y sô´ tu. nhiên m nho nhâ´t , ,, , mà P(m) không d̄úng (d̄iê`u này thu. c hiên d̄uo. c do tiên d̄ê` thú . , , , , tu. ). Theo d̄iê`u kiên ta có bâ´t d̄ăng thúc m > n0 , tù d̄ó suy ra . A), , , , , , m − 1 ≥ n0 . Tù bâ´t d̄ăng thúc vùa lâp . và cách chon . sô´ tu. nhiên , ,, m suy ra P(m − 1) là d̄úng, nhung nó không kéo theo d̄uo. c P(m) , , d̄úng cho sô´ tiê´p theo m = (m − 1) + 1. Ðiê`u này trái vói gia thiê´t B). , , ,, , , Xuâ´t phát tù mênh d̄ê` khăng d̄inh vói các truòng ho. p riêng, . . , , , , , nây sinh gia thiê´t mênh chăng han . nhu các sô´ 1, 2, hoac .̆ 3 có thê ., , , , , , ´ ´ d̄ê` d̄úng vói moi sô t u nhiên. Sau d̄ó d̄ê ch ú ng minh gi a thiê t cua . . , , ,, ta vùa xây du. ng nguòi ta lý luân . theo nguyên lý quy nap . toán ,, , , , , hoc. . Phuong pháp chúng minh nhu vây . goi . là phuong pháp quy ,, ,, nap d̄inh . ,lı́ trên phuong pháp này gô`m hai buóc, . toán hoc. . Theo , , , thú nhâ´t ta kiêm tra khăng d̄inh môt . . tı́nh châ´t vói n = n0 , goi . , , , ` là Bu,ó,c co, so,; sau d̄ó chúng minh răng nê´u vói mỗi k ≥ n0 , P(k ) , thoa mãn tı́nh châ´t d̄ã biê´t, thı̀ suy ra P(k + 1) cũng có tı́nh châ´t , ,, â´y, goi . là Buóc quy nap. . là P(n) có tı́nh châ´t d̄ã cho vói . Kê´t luân , moi . n ≥ n0 . Cách chúng minh theo quy nap . toán hoc . là tránh J ,, Chuong 1. Nguyên lý quy nap . toán hoc . 8 , , , , ,, d̄ê`. cho ta phai kiêm tra vô han cua mênh . . buóc các khăng d̄inh . , 1.3. Giai d̄oan quy n ap v à gi a thiê´t quy nap . . . ,, ,, Phuong pháp quy nap trong . toán hoc . râ´t hay d̄uo. c áp dung . , nghiên cúu và tı̀m tòi trong toán hoc, . các ngành khoa h, oc . khác. , , ,, ` Ðê hiêu cách áp dung phuong pháp quy nap . . cho d̄ây d̄u, ta xem , ´ xét môt . sô vı́ du. sau d̄ây nhu môt . phép ¨suy luân . có lý¨ mà G. ` Polya d̄ã d̄ê câp. . , , , Vı́ du. 1.1. Cho tru,ó,c môt . sô´ tu. nhiên n. Hãy tı̀m tông các sô´ tu. nhiên 1, 2, . . . , n. , , , , Lòi giai. Ta ký hiêu . Sn là tông phai tı̀m, nghı̃a là Sn = 1 + 2 + · · · + n. (1.1) , , , ´ gon Ta hy vong là tı̀m ra công thúc ngăn . . d̄ê, tı́nh tông trên, công , , ,, , thúc d̄ó giúp ta tı́nh nhanh, gon . hon là phai thu. c hiên . lâ`n luo. t , các phép công trong tông. Ta cũng biê´t d̄ây là câ´p sô´ công, nê´u . . , , ban ., d̄oc . d̄ã biê´t vê` câ´p sô´ này, thı̀ ta có thê có ngay công thúc tı́nh , ,, tông. Nhung o d̄ây ta muô´n minh hoa nguyên . quá trı̀nh áp dung . , , lý quy nap ta bo . toán hoc . nên nhũng d̄iê`u d̄ã biê´t vê` câ´p sô´ công . , , qua, coi nhu chua biê´t. , , , , , , Ta tı́nh tông Sn tù d̄ăng thúc (1.1) vói môt vài sô´ tu. nhiên . , , ´ d̄â`u tù, 1. Nhũ,ng kê´t qua tı́nh toán các liên tiê´p, chăng han . băt , ,, , truòng ho. p riêng ta xê´p vào bang n Sn 1 1 2 3 3 6 4 10 5 15 6 21 , , ,, Muc cua ta là tı̀m d̄uo. c quy luât chung (khăng d̄inh chung), . d̄ı́ch . , . ,, , ,, , , vói bang trên, mỗi sô´ tu. nhiên o hàng trên trong bang cho tuong , 1.3. Giai d̄oan . quy nap . và gia thiê´t quy nap . 9 , ,, , ,, , úng vói các sô´ o hàng duói. Tı̀m ra quy luât . bài toán phu. . cua môt , , ´ ` ´ ´ thuôc vào rât nhiêu yêu tô: su. khéo léo trong quan sát; su. nhay . , , , , . , , cam du. d̄oán và kiêm tra cua ta; tù các kinh nghiêm . d̄ã trai qua , ,, , , trong tı́nh toán các bài toán tuong tu. , tù kha năng liên hê. bài ,, , , , toán tuong tu. vói d̄iê`u kiên . mói, v.v… , , Trên bang trên ta dễ thâ´y quy luât: . Tı́ch cua hai sô´ liên tiê´p ,, ,, ,, , ,, ` o hàng trên băng 2 lâ`n sô´ d̄â`u tiên tuong úng o hàng duói. Thât . , vây, 1.2=2.1, 2.3=2.3, 3.4=2.6, 4.5=2.10, 5.6=2.15. Nhu v ây giai . . , , d̄oan quy n ap c ua ch úng ta d̄ ã th ành công: Tı̀m ra quy lu ât . vói . . ,, , các truòng ho. p riêng n = 1, 2, 3, 4, 5, 6. , ,, , Tiê´p tuc quy luât trên cho bang . môt . cách tu. nhiên là mo rông . . , , , , , , sô´ vói các sô´ tu. nhiên bâ´t kỳ. Ta d̄ua ra gia thiê´t thı́ch ho. p vói , ,, quy luât . vùa tı̀m d̄uo. c. Ðat .̆ n ( n + 1) . (1.2) 1+2+···+n = 2 , , , ,, Môt vây . gia thiê´t ,ta d̄ã làm nhu . d̄uo. c goi . là gia thiê´t quy nap. . , , , , Nhung câu hoi d̄at . n = .̆ ra là d̄ăng thúc (1.2) có d̄úng vói moi , , ´ ´ 1, 2, . . . hay không? Rõ ràng nêu (1.2) d̄úng vói moi sô tu. nhiên , . , ` ` thı̀ băng cách thay n băng n + 1 chúng ta sẽ có d̄ăng thúc (n + 1)(n + 2) 1 + 2 + · · · + n + ( n + 1) = . (1.3) 2 , , Trái lai, . gia thiê´t (1.2) là d̄úng vói moi . n = 1, 2, . . ., nê´u 1) nó , , d̄úng vói n = 1 và 2) nó d̄úng vói mỗi sô´ k suy ra cũng d̄úng , , , vói ca k + 1. Ðiê`u này không có cách nào khác là phai áp dung , , . nguyên lý quy nap . toán hoc. ., Nghı̃a là chúng ta phai kiêm tra , ` nhũng d̄iêu kiên lı́ 1.1. . . A) và B) cua d̄inh , ,, , , , , , Buóc co so: vói n = 1, công thúc (1.2) d̄úng (nó còn d̄úng cho ca n = 2, 3, 4, 5, 6). ,, Chuong 1. Nguyên lý quy nap . toán hoc . 10 , , , Bây giò chúng ta chúng minh công thúc (1.2) d̄úng Bu,ó,c quy nap: . , , , , cho ca d̄iê`u kiên úc (1.2) . B). Vói muc . d̄ı́ch d̄ó ta gia thiê´t công th , , , , d̄úng vói môt . sô´ n = k ≥ 1 nào d̄ó ,và sẽ chúng minh d̄ăng thúc , (1.2) d̄úng vói n = k + 1. Ta biê´n d̄ôi 1 + 2 + · · · + k + ( k + 1) = (k + 1)(k + 2) k ( k + 1) + ( k + 1) = . 2 2 , , Kê´t qua là (1.2) d̄úng vói n = k + 1. Theo nguyên lý quy nap . toán , , hoc . công thúc (1.2) d̄úng vói moi . n = 1, 2, . . . , ,, , Tóm lai, . qua vı́ du. d̄on gian trên ta thâ´y các buóc quá trı̀nh , tı̀m tòi và chúng minh nguyên lý quy nap . toán hoc. . , Vı́ du. 1.2. Tı́nh tông J Sn = 1 1 1 + +···+ a( a + 1) ( a + 1)( a + 2) ( a + (n − 1))( a + n) vó,i a 6= 0, −1, −2, . . . ; n = 1, 2, . . . , , , , ,, , Lòi giai. Viêc truóc tiên ta phai tı̀m ra công thúc gia thiê´t quy . , nap . cho tông trên. Ta tı́nh S1 = 1 , a ( a + 1) 1 1 1 2 = + = , ( a + 1)( a + 2) a( a + 1) ( a + 1)( a + 2) a ( a + 2) 3 1 = , S3 = S2 + ( a + 2)( a + 3) a ( a + 3) 1 4 S4 = S3 + = . ( a + 3)( a + 4) a ( a + 4) , , , ` Chúng ta có thê d̄ua ra gia thiê´t răng n Sn = . (1.4) a( a + n) S2 = S1 + , 1.3. Giai d̄oan 11 . quy nap . và gia thiê´t quy nap . , ,, , , Bu,ó,c co, so,: Nhu d̄ã kiêm tra o trên. , , , Bu,ó,c quy nap: . Gia thiê´t (1.4) d̄úng vói sô´ tu. nhiên n = k nào d̄ó. Khi d̄ó 1 k 1 S k +1 = S k + = + ( a + k)( a + k + 1) a( a + k ) ( a + k )( a + k + 1) 2 1 k + ( a + 1) k + a . . = a+k a ( a + k + 1) , Nhung k2 + ( a + 1)k + a = ( a + k )(k + 1), suy ra 1 ( a + k )(k + 1) k+1 . = . a + k a ( a + k + 1) a ( a + k + 1) , , , , , , , ,, Tù kê´t qua vùa tı́nh và buóc co so suy ra gia thiê´t quy nap . (1.4) , , ´ là d̄úng vói moi . sô tu. nhiên n ≥ 1. , Vı́ du. 1.3. Tı́nh tông S k +1 = J 2 2 4 2n + + + · · · + n 1 − a2 1 + a2 1 + a4 1 + a2 , vói n = 1, 2, . . . ; | a| 6= 1. Sn = , , , , ,, Lòi giai. Ta phân tı́ch: Sô´ luo. ng sô´ hang cua tông là n + 1; . , trù sô´ hang d̄â`u tiên, còn lai khác d̄ê`u có dang . . các sô´ hang . . k 2 (k = 1, 2, . . . , n). Ta tı́nh k 1 + a2 2 2 4 S1 = + = , 1 − a2 1 + a2 1 − a4 4 4 4 8 S2 = S1 + = + = , 4 4 4 1 − a8 1+a 1−a 1+a 8 8 16 8 = + = . S3 = S2 + 8 8 8 1+a 1−a 1+a 1 − a16 , , , , Do 4 = 22 , 8 = 23 và 16 = 24 tù các biêu thúc cua S1 , S2 và S3 có , , , thê d̄ua ra gia thiê´t: ,, Chuong 1. Nguyên lý quy nap . toán hoc . 12 2n +1 (n = 1, 2, . . .). (1.5) n +1 , 1 − a2 , ,, , , , , Bu,ó,c co, so,: Vói n = 1, công thúc (1.5) d̄úng nhu d̄ã kiêm tra o trên. , ,, , , Bu,ó,c quy nap: . Gia su (1.5) d̄úng vói sô´ tu. nhiên n = k nào d̄ó. Khi d̄ó 2 2k 2k +1 2 4 S k +1 = + · · · + + + + k k +1 1 − a2 1 + a2 1 + a4 1 + a2 1 + a2 2k +1 2k +1 2k +2 + = . = k +1 k +1 k +2 1 − a2 1 + a2 1 − a2 , , , , , Ðăng thúc (1.5) cũng d̄úng vói n = k + 1. Nhu vây, . tù nguyên lý , , , quy nap . toán hoc . d̄ăng thúc (1.5) d̄úng vói moi . n ≥ 1. , , , Vı́ du. 1.4. Tı́nh tông cua n sô´ le tu. , nhiên d̄â`u tiên. , , , , Lòi giai. Ta ký hiêu . tông phai tı̀m là Sn : Sn = J Sn = 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1). , , ,, , , Ðê xây du. ng gia thiê´t quy nap toán hoc ta tı́nh tông o môt . . . sô´ giá , ,, tri. d̄uo. c liêt . kê trong bang sau: n Sn 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 , , , Bây giò phu. thuôc vào su. quan sát cua ta và kinh nghiêm . . trên , , , , ´ ` kêt qua riêng d̄ê du. d̄oán mênh d̄ê tông quát chung. Dễ thâ´y . ,, ,, các sô´ o hàng Sn d̄ê`u là sô´ chı́nh phuong: S1 = 12 , S2 = 22 , S3 = , , , , 32 , S4 = 42 , S5 = 52 , S6 = 62 . Nhu vây . ta có thê d̄ua ra gia thiê´t chung là Sn = n2 . (1.6) , 1.3. Giai d̄oan . quy nap . và gia thiê´t quy nap . 13 , , , Ta sẽ chúng minh (1.6) d̄úng vói moi . sô´ tu. nhiên n. , , , , , , Sn = 1; biêu thúc Bu,ó,c co, so,: Vói n = 1, tông chı có môt . sô´ hang . , , n2 = 1 vói n = 1, nhu vây . (1.6) d̄úng. , , , , 2 Bu,ó,c quy nap: . Gia su (1.6) d̄úng vói n = k, (Sk = k ). ta sẽ , , chúng minh (1.6) d̄úng vói n = k + 1: Sk+1 = (k + 1)2 . Thât . vây, . 2 2 Sk+1 = Sk + (2k + 1) = k + (2k + 1) = (k + 1) . , , Ta xét thêm môt . vı́ du. nũa theo cách làm cua G. Polya. , , Vı́ du. 1.5. Tı́nh tông bı̀nh phu,o,ng cua n sô´ tu. , nhiên d̄â`u tiên. , , , , Lòi giai. Ta tiê´n hành tı̀m công thúc cho gia thiê´t quy nap. . Ðat .̆ J Tn = 12 + 22 + · · · + n2 . , , Ta hãy tı̀m môt . sô´ giá tri. cua tông khi cho n = 1, 2, . . . , 6. n Tn 1 1 2 5 3 14 4 30 5 55 6 91 , , Nhı̀n vào bang trên ta khó có thê tı̀m ra quy luât chung cho Tn . , , . , , , , Vói thông tin ı́t oi nhu vây . không cho kê´t qu,a gı̀, nhung vói kinh , , , nghiêm . ta có thê liên hê. vói các vı́ du. d̄ã giai và so sánh nhũng dãy sô´ trong vı́ du. 1.1 và chı̀a khoá tı̀m ra quy luât . chung trong , bang sau: n Tn Sn Tn Sn 1 1 1 1 1 2 5 3 5 3 3 14 6 14 6 4 30 10 30 10 5 55 15 55 15 6 91 21 91 21 , , 1 3 5 14 7 Dòng cuô´i cùng trong bang ta có thê viê´t lai: . 1 = 3, 3, 6 = 3, , , , 30 9 55 11 91 13 , = , = , = . Bây giò ta có thê d̄ua ra gia thiê´t 10 3 15 3 21 3 14 ,, Chuong 1. Nguyên lý quy nap . toán hoc . , Tn 2n + 1 , = . Tù kê´t qua vı́ du. 1.1 ta có Sn 3 2n + 1 n(n + 1) Tn = . hoac .̆ là 3 2 n(n + 1)(2n + 1) 12 + 22 + · · · + n2 = . (1.7) 6 , , ` Ta chúng minh băng quy nap . toán hoc . cho công thúc (1.7) , , d̄úng vói moi . sô´ tu. nhiên n. , , ` , , , cách xây du. ng trên, d̄ăng thúc (1.7) d̄úng vói Bu,ó,c co, so,: Băng n = 1. , ,, , , Bu,ó,c quy nap: . Gia su (1.7) d̄úng vói sô´ tu. nhiên n = k nào d̄ó. Ta , , ` sẽ chúng minh răng nó cũng d̄úng vói n = k + 1, nghı̃a là (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 12 + 22 + · · · + k 2 + ( k + 1 ) 2 = . 6 Thât . vây, . k (k + 1)(2k + 1) Tk+1 = Tk + (k + 1)2 = + ( k + 1)2 6 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) k(2k + 1) + 6(k + 1) = . = ( k + 1) 6 6 , , Nhu vây . bài toán d̄ã giai xong. ` răng J , ,, 1.4. Hai buóc cua nguyên lý quy nap . toán hoc . , Nhu ta d̄ã biê´t nguyên lý quy nap . toán hoc . gô`m hai phâ`n, , , , , viêc nguyên lý. . kiêm, tra ca hai câ`n d̄uo. c tôn trong . ,khi áp dung . ´ ` Nêu ta bo d̄i môt . trong hai d̄iêu kiên . kiêm tra d̄ó, thı̀ ,ta sẽ nhân . ,, , ´ d̄uo. c nhũng kêt luân . sai. Thông qua các vı́ du. sau d̄ê minh hoa . , , ` và hiêu d̄iêu này hon. , , Vı́ du. 1.6. Chú,ng minh ră` ng moi . sô´ tu. nhiên d̄ều bă` ng sô´ tu. nhiên liền sau. ,, , 1.4. Hai buóc cua nguyên lý quy nap 15 . toán hoc . , , , ,, Lòi giai. Ta chúng minh theo phuong pháp quy nap . toán hoc. . , , , ´ , ` ´ ` Gia thiêt răng mênh d̄ê khăng d̄inh d̄úng vói sô tu. nhiên n = k . . nào d̄ó, nghı̃a là k, = (k + 1). (1.8) , , Chúng ta sẽ chúng minh d̄ăng thúc sau d̄úng ( k + 1) = ( k + 2). (1.9) , , , , Thât hai vê´ d̄ăng thúc vói . vây, . Theo gia thiê´t quy nap . (1.8) công . ,, 1, ta nhân . d̄uo. c k + 1 = (k + 1) + 1 = k + 2. , , , , Nhu vây, d̄úng vói n = k thı̀ nó d̄úng vói n = k + 1, . . khăng d̄inh , do d̄ó mênh d̄ê` bài toán d̄úng vói moi . . n. , , , , ` Hê. qua cua bài toán này là tâ´t ca các sô´ tu. nhiên d̄ê`u băng ,, , nhau. Ðiê`u này thât . vô lý, vây . cách chúng minh sai o d̄âu? Dễ , dàng thâ´y ngay trong chúng minh áp dung nguyên lý quy nap . . , , , ,, , toán hoc nhu ng b o qua kiê m tra tru ò ng h o p n = 1. . . Ðiê`u kiên lı́ 1.1 có môt . . A) và B) trong Ðinh . ý nghı̃a d̄ac .̆ biêt: . ,, , , , ` Ðiêu kiên . A) tao . ra co so d̄ê thu. c hiên . quy nap. . , , , , ´ cho viêc Ðiê`u kiên tu. d̄ông vô . B) d̄ua ra nguyên tăc . mo rông . . , , , , , ,, ` ´ d̄i tù truòng ho. p riêng han . A); nguyên tăc . trên co so d̄iêu kiên ,, , , này sang truòng ho. p riêng khác; tù k d̄ê´n k + 1. ,, , , O vı́ du. .1.6 ta không kiêm tra d̄iê`u kiên lı́ 1.1, . . A) cua Ðinh ,, , , , nên không tao . không có . ra co so d̄ê ,thu. c hiên . quy nap, . vı̀, vây , ` nghı̃a gı̀ khi thu. c hiên kiê m tra d̄iê u ki ên B) c ua Ðinh lı́ 1.1, . . . , ,, , , thu. c châ´t là không có gı̀ d̄ê mo rông ca. Ta xét thêm vı́ du: . . , , , , , Vı́ du. 1.7. Chúng minh ră` ng vói moi . sô´ tu. nhiên n bâ´t d̄ăng thúc sau d̄úng 2n > 2n + 1. (1.10) J ,, Chuong 1. Nguyên lý quy nap . toán hoc . 16 , , , , , , , Lòi giai. Gia thiê´t bâ´t d̄ăng thúc (1.10) d̄úng vói n = k, vói k là , môt . sô´ tu. nhiên nào d̄ó, nghı̃a là ta có 2k > 2k + 1. (1.11) , , , , Ta sẽ chúng minh bâ´t d̄ăng thúc (1.10) d̄úng vói n = k + 1 2k+1 > 2(k + 1) + 1. (1.12) , , , , k Thât nho hon 2 vói moi khác . vây, . 2 là môt . sô´ không . sô´ tu. ,nhiên , , , k ´ ´ không. Ta công . vê trái cua (1.11) vói 2 và công . vê phai cua (1.11) ,, , vói 2. Ta nhân . d̄uo. c 2k + 2k > 2k + 1 + 2. Nghı̃a là 2 , Bài toán d̄ã giai xong. k +1 > 2(k + 1) + 1. J ´ sai lâ`m nhu, vı́ du. tru,ó,c không Tâ´t nhiên vı́ du. này cũng măc , , , , , kiêm tra Bu,ó,c co, so,. Thu. c châ´t cua cách chúng minh trên là bâ´t , , , , d̄ăng thúc (1.10) d̄úng vói n = k + 1, nê´u nó d̄úng vói n = k. Ðiê`u , , , , này không suy ra bâ´t d̄ăng thúc d̄úng vói ı́t nhâ´t môt . giá tri. cua , , , , , n, chú chua nói tói vói moi . sô´ tu. nhiên n. , , ,, , , , Nhung ta có thê thu vói n = 1 hoac n = 2 bâ´t d̄ăng thúc (1.10) .̆ , , , , , sai. Vói n ≥ 3 bâ´t d̄ăng thúc (1.10) d̄úng. Giá tri. sô´ tu. nhiên nho , , , A) vói n0 = 3 và nhâ´t n = 3 bâ´t d̄ăng thúc (1.10) d̄úng (d̄iê`u kiên . ,, , , , , lap .̆ lai . cách chúng minh o trên tù gia thiê´t (1.10) d̄úng vói n = k , suy ra nó d̄úng vói n = k + 1 (d̄iê`u kiên Vı̀ vây . B). . theo nguyên lý , , , ´ ´ quy nap . toán hoc . ta có kêt luân: . Bât ,d̄ăng thúc (1.10) d̄úng vói , , , , , moi . sô´ tu. nhiên n ≥ 3 (chú không phai vói moi . sô´ tu. nhiên nhu d̄ê` bài ra). , ,, Trong viêc phuong pháp quy nap toán hoc mà chı . áp dung . . . , , , , ,, , chúng minh d̄iê`u kiên lı́ 1.1 thı̀ mói chı d̄ua ra d̄uo. c . . A) cua Ðinh ,, , 1.4. Hai buóc cua nguyên lý quy nap 17 . toán hoc . , , , ,, , , ,, ´ nào d̄ê mo,, rông co so d̄ê quy nap co so . chú không có nguyên tăc . , , d̄ó (nhu d̄inh lı́ lón Fermat). Ta xét môt . . sô´ vı́ du: . , Vı́ du. 1.8. Chú,ng minh ră` ng nhũ,ng giá tri. cua hàm sô´ f (n) = n2 − n + 41 vó,i n = 0, 1, . . . là nhũ,ng sô´ nguyên tô´. , , Lòi giai. Ta tı́nh f (0) = 1, f (1) = 41, f (2) = 43, f (3) = 47, f (4) = 53, f (5) = 61, f (6) = 71, f (7) = 83, f (8) = 97, f (9) = 113. , , , , Ta có thê tı́nh toán tiê´p tuc . giá tri. cua f (n) cho tói n = 40, tâ´t ca , , giá tri. này d̄ê`u là sô´ nguyên tô´. Nhung vói n = 41 ta có f (41) = , , 412 − 41 + 41 = 412 . Kê´t qua f (41) không phai là sô´ nguyên tô´, , nên kê´t luân . cua bài toán là không d̄úng. , , ,, , , Nhu vây d̄ê` có thê d̄úng vói 40 truòng ho. p . ta thâ´y môt . mênh . , ,, , , riêng, nhung không d̄úng vói moi . truòng ho. p nói chung. J Vı́ du. 1.9. Ða thú,c x n − 1, vó,i n là sô´ tu. , nhiên du,o,ng. Ða thú,c ,, này liên quan d̄ê´n bài toán hı̀nh hoc . chia d̄uòng tròn ra n phâ`n bă` ng nhau, nên d̄a thú,c này d̄u,o.,c râ´t nhiều lı̃nh vu. ,c toán hoc . , ´ nghiên cúu và d̄ề câp . d̄ên. Ðac .̆ biêt . các nhà toán hoc . quan tâm , , , ´ ´ tói vân d̄ề phân tı́ch d̄a thúc này ra các thùa sô là các d̄a thú,c , vó,i hê. sô´ nguyên ±1, liêu . n? . d̄iều d̄ó còn d̄úng vói moi , , , ,, , ` Lòi giai. Băng cách khai triên các truòng ho. p riêng, các nhà , , ,, ` toán hoc tâ´t ca các hê. sô´ trong các thùa sô´ d̄uo. c . , nhân . thâ´y răng , khai triên có giá tri. tuyêt . d̄ô´i không quá 1. Chăng han, . x − 1 = x − 1, x2 − 1 = ( x − 1)( x + 1), x3 − 1 = ( x − 1)( x2 + x + 1), x4 − 1 = ( x − 1)( x + 1)( x2 + 1), 18 ,, Chuong 1. Nguyên lý quy nap . toán hoc . x5 − 1 = ( x − 1)( x4 + x3 + x2 + x + 1), x6 − 1 = ( x − 1)( x + 1)( x2 + x + 1)( x2 − x + 1). , , , , , ´ Nhũng cô´ găng chúng minh d̄iê`u nghi ngò d̄úng vói moi . n cua , các nhà toán hoc . không thành công., Môt . thòi gian sau, nhà toán , , ` hoc (năm 1941) chı ra răng vói d̄a thúc x n − 1, . Nga V. Ivanov , , ,, , , , , , d̄iê`u nghi ngò chı d̄úng vói các truòng ho. p nho hon 105. Nhung , , , 105 vói n = 105, môt . thùa sô´ cua x − 1 là x48 + x47 + x46 − x43 − x42 − 2×41 − x40 − x39 + x36 + + x35 + x34 + x33 + x32 + x31 − x28 − x26 − x24 − x22 − x20 + x17 + x16 + x15 + x14 + x13 + x12 − x9 − x8 − 2×7 − x6 + x5 + x2 + x + 1. , , , Thùa sô´ này không có tı́nh châ´t cua các d̄a thúc mà các nhà toán hoc . muô´n. J Vı́ du. 1.10. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi d̄ề sau d̄ây . sô´ n mênh . , , , , ´ ´ d̄úng: ¨Nêu a và b là nhũng sô tu. nhiên duong, mà max( a, b) = n, thı̀ a = b¨. , , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Vói mỗi n ký hiêu d̄ê` cua bài . An là mênh . toán d̄ã cho. Rõ ràng A1 là d̄úng, vı̀ nê´u max( a, b) = 1, thı̀ hai sô´ , , ` a và b phai trùng nhau và băng 1 (do a và b là sô´ tu. nhiên). , ,, , , Bu,ó,c quy nap: . Gia su Ak là d̄úng. Nê´u a và b là nhũng sô´ tu. nhiên sao cho max( a, b) = k + 1. Ta xét hai sô´ a1 = a − 1 và b1 = b − 1, , , khi d̄ó max( a1 , b1 ) = k, tù d̄ó suy ra a1 = b1 , vı̀ gia thiê´t Ak là d̄úng, do d̄ó a = b, nghı̃a là Ak+1 cũng d̄úng. Theo nguyên lý quy , , nap . toán hoc . An d̄úng vói moi . sô´ tu. nhiên n. , , ,, Hê. qua: Cho a và b là hai sô´ tu. nhiên bâ´t kỳ. Ta tı́nh d̄uo. c , max( a, b) = k, mà k là môt . sô´ tu. nhiên. Theo vı́ du. trên An d̄úng ,, 1.5. Khi nào dùng phuong pháp quy nap . 19 , , , vói moi n, thı̀ nó cũng d̄úng vói Ak . Tù d̄ó suy ra a = b. Nghı̃a là . , , ` tâ´t ca các sô´ tu. nhiên d̄ê`u băng nhau. Thât . vô lý! ,, , Trong vı́ du. trên cách chúng minh sai o d̄âu? Ta xem lai . toàn , , , bô. cách chúng minh và nguyên lý quy nap . toán hoc. . Buóc quy , ´ tó,i d̄iê`u k ≥ 1, khi bu,ó,c quy nap . trong,chúng minh không nhăc , , , nap . chuyên tiê,´p tù ,Ak sang Ak+1 . Thu. c tê´ trong tı́nh toán chúng minh không d̄am bao k ≥ 1. J ,, 1.5. Khi nào dùng phuong pháp quy nap . ,, Phuong pháp quy nap toán hoc dung trong nghiên . râ´t có tác ,. , . , , , , ´ cúu, du. d̄oán kêt qua và chúng minh kiêm nghiêm . kê´t qua. , ,, Nhung nhiê`u khi chı́nh phuong pháp quy nap . toán hoc . làm viêc . , , , ´ ´ ` chúng minh dài dòng, biên d̄ôi phúc tap ., gây rât nhiêu khó khăn , ,, ` ` trong chúng minh. Nhiêu bài toán giai băng phuong pháp quy , , ,, ` nap môt . có thê giai băng . phuong pháp khác. Chı́nh G. Polya có, , ` nói: ¨Nhiê`u bài toán chúng minh băng quy nap . toán hoc . có thê , ` ` chúng minh băng cách khác, cách khác d̄ó năm trong chı́nh cách , , chúng minh quy nap . toán hoc . khi ta phân tı́ch kỹ nôi . dung chúng minh¨. , ,, Trong toán hoc nguòi ta hay dùng ký hiêu tông. ∑ là môt . . . , ,, , Thuòng tông có dang Aα + Aα+1 + · · · + A β (α và β là nhũng sô´ . β , , ,, , ´ nguyên)và d̄uo. c viêt ∑ Ak (d̄oc . là tông cua Ak , k chay . tù α d̄ê´n k=α , β). Nhu vây . β A α + A α +1 + · · · + A β = ∑ Ak k=α , , , k goi là chı sô´ cua tông, còn α và β là giá tri. d̄â`u và giá tri. cuô´i . , , , , , , cua chı sô´ k. Mỗi sô´ hang bên trái cua d̄ăng thúc là d̄úng vói môt . . ,, Chuong 1. Nguyên lý quy nap . toán hoc . 20 giá tri. k (k = α, α + 1, . . . , β). Vı́ du. n ∑ k 2 = 12 + 22 + · · · + n 2 , ( n ≥ 1 ) , k =1 n +1 ∑ 102k = 10−2 + 100 + 102 + · · · + 102(n+1) , (n ≥ −2). k =−1 , , , Phép lâ´y tông có nhũng tı́nh châ´t sau: Nê´u cho a và b là nhũng , , sô´, ta có các d̄ăng thúc β β k=α k=α ∑ aAk = a ∑ Ak , β ∑ (aAk + bBk ) = a β β ∑ Ak + b ∑ Bk . k=α k=α k=α , , , ´ Ký hiêu tô ng không ph u thu ôc v ào ch ı sô , nhu ng phu. thuôc . . . . vào giá tri. ban d̄â`u và giá tri. cuô´i cùng β ∑ k=α β−α β Ak = ∑ Ai = i =α ∑ A α +i i =0 ,, ,, , ,, Tro lai vı́ du. o phâ`n truóc, trong quá trı̀nh tı́nh toán . nhũng , quy nap . tı́nh tông 12 + 22 + · · · + n 2 = n ∑ k2 k =1 , , , , ` Băng cách áp dung tı́nh châ´t cua ký hiêu . . tông và công thúc tông n n ( n + 1) , các sô´ tu. nhiên ∑ k = , (n ≥ 1). Thât . vây, . dễ thâ´y 2 k =1 n n k =0 k =0 ∑ ( k + 1)3 − ∑ k 3 = ( n + 1)3 . ,, 1.5. Khi nào dùng phuong pháp quy nap . 21 , , , , , , Vê´ trái cua d̄ăng thúc trên có thê biên d̄ôi n n n n k =0 k =0 k =0 n ∑ (k + 1)3 − ∑ k3 = ∑ [(k + 1)3 − k3 ] = ∑ (3k2 + 3k + 1) n = 3 ∑ k2 + 3 ∑ k + k =1 k =1 , , , , Nhu vây . tù các d̄ăng thúc trên rút ra n ( n + 1)3 = 3 ∑ k 2 + 3 k =1 k =0 n ∑ 1. k =0 n ( n + 1) + ( n + 1), 2 , Chuyên vê´ và tı́nh toán ta có n 1 ∑ k2 = 3 [(n + 1)3 − 3 k =1 n ( n + 1) 1 − (n + 1)] = n(n + 1)(2n + 1). 2 6 , Tı́nh tông sau d̄ây (bài . 1.2) n 1 ∑ (a + k − 1)(a + k) , n = 1, 2, ..; a 6= 0, −1, −2, . . . k =1 , ,, , Ta su dung d̄ăng thúc sau . 1 1 1 = − . ( a + k − 1)( a + k) a+k−1 a+k 1 , Ðat .̆ bk = a + k , nhu vây . n n 1 ∑ (a + k − 1)(a + k) = ∑ (bk−1 − bk ) = b0 − bn k =1 k =1 = 1 1 n − = . a a+n a( a + n) ,, Cuô´i cùng ta nhân . d̄uo. c n n . a( a + n) k =1 , ,, ,, Vâ´n d̄ê` cua phâ`n này ta còn d̄ê` câp . tiê´p o Chuong 3. 1 ∑ (a + k − 1)(a + k) = ,, Chuong 1. Nguyên lý quy nap . toán hoc . 22 1.6. Bài tâp . , , , , ` . 1.11. Tı́nh tông băng cách xây du. ng gia thiê´t và chúng minh , ` băng quy nap . toán hoc . các tông sau: a) Sn = 12 − 22 + · · · + (−1)n−1 n2 ; b) Sn = 13 + 23 + · · · + n3 ; c) Sn = 1.1! + 2.2! + · · · + n.n!. , ` . 1.12. Chú,ng minh ı́t nhâ´t băng hai cách các công thúc sau: 1 a) 12 + 32 + · · · + (2n − 1)2 = n(2n − 1)(2n + 1), n = 1, 2, . . . 3 1 b) 1.2.3 + 2.3.4 + · · · + n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 4 3), n = 1, 2, . . . 1 1 n 1 + +···+ = , n = 1, 2, . . . c) 1.2 2.3 n ( n + 1) n+1 1 1 . 1.13. Cho n > 1 là sô´ tu., nhiên. Ta d̄at .̆ x0 = n ; xk = n − k ( x0 + , x1 + · · · + xk−1 ), k = 1, 2, . . . , n − 1. Hãy tı́nh tông x0 + x1 + · · · + x n −1 . , , CHUONG 2 , , KỸ THUÂT . DÙNG PHUONG PHÁP QUY NAP . TOÁN HOC . 2.1. Môt nguyên lý quy nap . sô´ dang . . toán hoc . ……….. 2.2. Mênh d̄ê` trong nguyên lý quy nap . . toán hoc . …….. ,, ,, , 2.3. Buóc quy nap d̄u o c xây d u ng trên P ( k ) . . ……….. . . . ,, ,, , 2.4. Buóc quy nap d̄u o c xây d u ng trên P ( k + 1 ) ……… . . . ` 2.5. Quy nap . toán hoc . và ph, ép truy hôi . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Quy nap to án h oc . . và tông quát hoá . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Bài tâp. . . . . . . . . . ………………………………… . 23 31 36 40 43 51 55 2.1. Môt nguyên lý quy nap . sô´ dang . . toán hoc . , ,, ,, ´ d̄â`u Ðiê`u kiên băt . , lı́ 1.1 cho ta co so mo rông . A) trong Ðinh . , , tù giá tri. n0 . Ðiê`u kiên lı́ 1.1 cho ta mênh d̄ê` khăng . . B) cua Ðinh . , , d̄inh P(n) d̄úng vói n0 + 1, n0 + 2, . . .. Thu. c tê´ nhiê`u khi trong . , , , bu,ó,c quy nap ., phai d̄òi hoi hai giá tri. n = k − 1 và n = k cua ,, , mênh d̄ê`, d̄ê suy ra mênh d̄ê` d̄úng vói n = k + 1. Trong truòng . . , , , , , , , , ho. p này bu,ó,c co, so, phai kiêm tra không nhũng chı vói n0 , mà ca , , , ,, , , vói n0 + 1. Tông quát hon ta có thê phát biêu lai lı́ o phâ`n . . d̄inh ,, , truóc nhu sau: Ðinh lý 2.1. Cho p là sô´ nguyên du,o,ng và dãy các mênh d̄ề . . P (1), P (2), . . . , P ( n ), . . . 24 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . nê´u A) P(1), P(2), . . . , P( p) là nhũ,ng mênh d̄ề d̄úng và . B) Vó,i mỗi sô´ tu. , nhiên k ≥ p các mênh d̄ề P(k − p + 1), P(k − p + . 2), . . . , P(k ) d̄úng, suy ra mênh d̄ề P(k+1) cũng d̄úng, . ,, thı̀ mênh d̄ề P(n) d̄úng vó,i moi . . sô´ nguyên duong n. , , Chúng minh d̄inh lı́ này hoàn toàn lap lı́ 1.1. . . .̆ lai . nhu d̄inh ,, Sau d̄ây ta xét môt dang d̄inh lı́ 2.1. . . sô´ vı́ du. su dung . . , Vı́ du. 2.1. Cho v0 = 2, v1 = 3 và vó,i mỗi sô´ tu. , nhiên k có d̄ăng thú,c sau: vk+1 = 3vk − 2vk−1 . Chú,ng minh ră` ng vn = 2n + 1. , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so, : Vói n = 0 và n = 1 kê´t luân . bài toán d̄úng, ` do d̄iêu kiên . bài d̄ã cho. , ,, , , ` vk−1 = 2k−1 + 1; vk = 2k + 1, khi Buóc quy nap: . Gia su răng d̄ó vk+1 = 3(2k + 1) − 2(2k−1 + 1) = 2k+1 + 1. Theo nguyên lý quy nap d̄inh lı́ 2.1, suy ra vn = . . toán hoc . dang . , , n 2 + 1 d̄úng vói moi . sô´ tu. nhiên n. J , ,, 2 Vı́ du. 2.2. Cho x1 và x2 là nghiêm . cua phuong trı̀nh x − 27x + , , , 14 = 0; n là môt . sô´ tu. nhiên bâ´t kỳ. Chúng minh ră` ng tông Sn = x1n + x2n không chia hê´t cho 715. , , , Lòi giai. Theo công thúc Viet x1 + x2 = 27; x1 x2 = 14. , Bu,ó,c co, so,: Các sô´ S1 = 27; S2 = ( x1 + x2 )2 − 2×1 x2 = 701 và S3 = ( x1 + x2 )[( x1 + x2 )2 − 3×1 x2 ] = 27 · 687 d̄ê`u không chia hê´t , , cho 715. Suy ra mênh d̄ê` cua bài toán d̄úng vói n = 1, 2, 3. . , ,, , Bu,ó,c quy nap: d̄ê` d̄úng vói n = k − 2, n = k − . . Gia su mênh 2.1. Môt nguyên lý quy nap . sô´ dang . . toán hoc . 25 1, n = k, ta tı́nh x1k+1 + x2k+1 = ( x1 + x2 )( x1k + x2k ) − x1 x2 ( x1k−1 + x2k−1 ) = ( x1 + x2 )[( x1 + x2 )( x1k−1 + x2k−1 )− − x1 x2 ( x1k−2 − x2k−2 )] − x1 x2 ( x1k−1 + x2k−1 ) = 715( x1k−1 + x2k−1 ) − 378( x1k−2 + x2k−2 ). Do d̄ó x1k+1 + x2k+1 không chia hê´t cho 715, vı̀ 378 không chia hê´t , cho 715, nói cách khác mênh d̄ê` d̄úng vói n = k + 1. . J Vı́ du. 2.3. Chú,ng minh vó,i moi sô´ thu. ,c x > 0 và moi sô´ tu. , nhiên . . , n bâ´t d̄ăng thú,c sau d̄úng 1 1 1 (2.1) x n + x n−2 + x n−4 + · · · + n−4 + n−2 + n ≥ n + 1. x x x , , , , , Lòi giai. 1a) Vói n = 1 bâ´t d̄ăng thúc (2.1) có dang . 1 x + ≥ 2. (2.2) x , , , , , , Bâ´t d̄ăng thúc (2.2) suy ra tù bâ´t d̄ăng thúc hiên nhiên: ( x − 1)2 ≥ 0. , , , 1b) Vói n = 2 bâ´t d̄ăng thúc (2.1) có dang . 1 (2.3) x2 + 1 + 2 ≥ 3. x , , , , 2 Bâ´t d̄ăng thúc (2.2) d̄úng vói moi . x > 0, vây . nó cũng d̄úng vói x , 1 ≥ 2. x2 , , , ,, , Công . d̄uo. c (2.3). . hai vê´ cua bâ´t d̄ăng thúc sau cùng vói 1, ta nhân , , ,, , , 2) Gia su bâ´t d̄ăng thúc (2.1) d̄úng vói n = k, mà k là môt . sô´ , tu. nhiên nào d̄ó x2 + x k + x k −2 + x k −4 + · · · + 1 x k −4 + 1 x k −2 + 1 ≥ k + 1, xk (2.4) 26 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . , , , , ta sẽ chúng minh khi d̄ó bâ´t d̄ăng thúc (2.1) d̄úng vói n = k + 2, hay là 1 1 1 (2.5) x k+2 + x k + x k−2 + · · · + k−2 + k + k+2 ≥ k + 3. x x x ,, k+2 ,, Thât . vây, . trong (2.2) thê´ x boi x , ta nhân . d̄uo. c 1 ≥ 2. (2.6) x k +2 , , ,, , , Công vê´ tuong úng cua các bâ´t d̄ăng thúc (2.4) và (2.6), ta sẽ có . (2.5). , , Tóm lai: Bu,ó,c co, so,: Trong 1a) và 1b) ta d̄ã chúng minh bâ´t . , , d̄ăng thúc d̄úng cho n = 1 và n = 2. , , , Bu,ó,c quy nap: Trong 2) ta d̄ã chúng minh tù gia thiê´t d̄úng . , , , , cua (2.1) vói n = k suy ra nó d̄úng vói n = k + 2. Kê´t qua là , , , , + Tù 1a) và 2) cho ta khăng d̄inh là bâ´t d̄ăng thúc (2.1) d̄úng . , , vói moi . sô´ le n. , , , , + Tù 1b) và 2) cho ta khăng d̄inh là bâ´t d̄ăng thúc (2.1) d̄úng . , ˜ n. vói moi . sô´ chăn , , , , , Nhu vây, . bâ´t d̄ăng thúc (2.1) d̄úng vói moi . sô´ tu. nhiên n. , , , Vı́ du. 2.4. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . sô´ tu. nhiên n d̄ăng thúc sau d̄úng: 12 n 17 n−1 a) .2 − .2 = 2n −1 ; 7 7 17 n 12 n−2 b) .2 − .2 = 2n +1 , 7 7 , , o, d̄ây [ a] là sô´ nguyên ló,n nhâ´t nho ho,n a. x k +2 + J , , , , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Vói n = 1, 2, 3 nhũng d̄ăng thúc trên d̄úng , , ` băng cách kiêm tra tru. c tiê´p. 2.1. Môt nguyên lý quy nap . sô´ dang . . toán hoc . 27 , , , , ` hai d̄ăng thúc d̄úng vói ba sô´ Bu,ó,c quy nap: . Gia thiê´t răng , , , , tu. nhiên liên tiê´p k, k + 1, k + 2. Ta sẽ chúng minh các d̄ăng thúc , trên d̄úng vói n = k + 3. , 12 12 12 k+3 2a) Tù = (1 + 7)2k = 12.2k + .2k ; .2 7 7 7 17 17 17 k+2 .2 = (1 + 7)2k−1 = 17.2k−1 + .2k−1 , 7 7 7 suy ra 12 k+3 17 k+2 12 k 17 k−1 k k −1 .2 − .2 = 12.2 − 17.2 + 2 − 2 . 7 7 7 7 , , Nhung vı̀ a) d̄úng vói n = k 12 k+3 17 k+2 .2 − .2 = 12.2k − 17.2k−1 + 2k−1 = 2k+2 . 7 7 , , , Vây . d̄ăng thúc a) d̄úng vói n = k + 3. , 17 k+3 17 2b) Tù .2 = 17.2k + .2k , 7 7 12 k+1 12 k −2 .2 = 12.2 + .2k−2 , 7 7 suy ra 17 k+3 12 k+1 17 k 12 k−2 k k −2 .2 − .2 = 17.2 − 12.2 + 2 − .2 . 7 7 7 7 , , Nhung vı̀ b) vói n = k, ta có 17 k+3 12 k+1 .2 − .2 = 17.2k − 12.2k−2 + 2k+1 = 2k+4 . 7 7 , , , Vây . d̄ăng thúc b) d̄úng vói n = k + 3. , , Theo nguyên lý quy nap . toán hoc . a), b) d̄úng vói moi . sô´ tu. nhiên n. Vı́ du. 2.5. Chú,ng minh ră` ng α n +1 − β n +1 un = , (2.7) α−β J 28 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . α2 − β2 α3 − β3 u1 = , u2 = (α 6= β) α−β α−β , và vó,i mỗi sô´ tu. , nhiên k > 2 có d̄ăng thú,c sau: nê´u uk = (α + β)uk−1 − αβuk−2 . , , , Lòi giai. 1) Vói n = 1 và n = 2, (2.7) d̄úng do d̄iê`u kiên . d̄ã cho. , ,, , , , 2) Gia su d̄ăng thúc d̄úng vói n = k − 1 và n = k − 2 u k −2 = αk − βk α k −1 − β k −1 , u k −1 = α−β α−β khi d̄ó J αk − βk α k −1 − β k −1 α k +1 − β k +1 − αβ = . α−β α−β α−β , Môt nguyên lý quy nap hon nguyên lý quy nap . dang . . manh . . ta d̄ã , , biê´t cũng râ´t d̄uo. c hay dùng. uk = (α + β) Ðinh lı́ 2.2 Cho môt d̄ề . dãy mênh . . P (1), P (2), . . . , P ( n ), . . . Nê´u , A) P(1) là khăng d̄inh d̄úng, và . , B) vó,i mỗi sô´ tu. , nhiên k ≥ 1, nhũ,ng khăng d̄inh . , P(1), P(2), . . . , P(k ) d̄úng suy ra khăng d̄inh P ( k + 1 ) c ũng d̄ úng, . , , , ´ ´ thı̀ P(n) d̄úng vói tât ca sô tu. nhiên n ≥ 1. , ,, , , ,, Dang này khác vói các dang truóc là gia thiê´t manh hon o . . . , , , bu,ó,c quy nap. P (1), P (2), . . . , P ( k ) . . Ta gia thiê´t tâ´t ca khăng d̄inh , d̄úng suy ra P(k + 1) cũng d̄úng. Dễ dàng chúng minh hai cách , ,, ,, , phát biêu d̄inh lı́ 1.1. và d̄inh lı́ 2.2 tuong d̄uong nhau. Nhung . . , , , trong thu. c tê´ áp dung vào bài toán cu. thê dùng d̄inh . lı́ 2.2 dễ giai . , hon. 2.1. Môt nguyên lý quy nap . sô´ dang . . toán hoc . 29 1 1 Vı́ du. 2.6. Chú,ng minh ră` ng nê´u x + là sô´ nguyên thı̀ x n + n x ,, x , cũng là sô´ nguyên vó,i moi . sô´ tu. nhiên duong n. , , , , d̄ê` hiên nhiên d̄úng. Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Khi n = 1 mênh . , ,, , 1 , , k Bu,ó,c quy nap: . sô´ tu. nhiên tù 1 d̄ê´n k, x + x k là . Gia su vói moi 1 , , ` nhũng sô´ nguyên. Ta câ`n chúng minh răng x k+1 + k+1 cũng là x sô´ nguyên. 1 1 1 k +1 + 1 Thât = ( x + )( x k + k ) − ( x k−1 + k−1 ). . vây, . x k + 1 x x x x , , , , 1 k 1 1 k −1 , ´ ` Theo gia thiêt ca 3 biêu thúc x + , x + k , x + k−1 d̄êu biêu x x x 1 k +1 + cũng là môt diễn các sô´ nguyên. Vây . sô´ nguyên. . x x k +1 , , , , Vı́ du. 2.7. Chú,ng minh ră` ng moi . sô´ tu. nhiên lón hon 1 có thê , , tı́ch cua nhũ,ng sô´ nguyên tô´. biêu diễn du,ó,i dang . J , , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Hiên nhiên mênh d̄ê` d̄úng vói moi . . sô´ , , , nguyên tô´, truòng ho. p d̄ac .̆ biêt . n = 2. , ,, , , , , Buóc quy nap: d̄ê` d̄úng vói moi sô´ tu. nhiên k, . . Gia su mênh ,. ,, mà 2 ≤ k < n. Nghı̃a là moi . sô´ 2 ≤ k < n d̄ê`u biêu diễn duói dang . , ,, , tı́ch các thùa sô´ nguyên tô´. Ta xét hai truòng ho. p 1) Nê´u n là sô´ nguyên tô´ thı̀ mênh d̄ê` d̄úng. . , , 2) Nê´u n là ho. p sô´ thı̀ theo d̄inh nghı̃a ho. p sô´ tô`n tai hai sô´ . , . nguyên n1 < n và n2 < n sao cho n = n1 n2 . Theo gia thiê´t quy , ,, nap . n1 và n2 d̄ê`u biê,u diễn d̄uo. c thành tı́ch các sô´ nguyên tô´. Do ,, d̄ó suy ra n cũng biêu diễn d̄uo. c thành tı́ch các sô´ nguyên tô´. , , , , Chú ý: Ta cũng có thê chúng minh su. biêu diễn trong bài này , cho moi . sô´ tu. nhiên là duy nhâ´t. J 30 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . Vı́ du. 2.8. Chú,ng minh ră` ng mỗi cap .̆ sô´ nguyên n ≥ 1 và b > 1 , , , tô`n tai . . biêu diễn duói dang n = c s b s + c s −1 b s −1 + · · · + c 1 b + c 0 , (2.8) ,, , o d̄ây s ≥ 0 là môt . sô´ nguyên, và 0 ≤ ci ≤ b − 1 vói moi . i = 0, 1, . . . , s − 1 và 0 < cs ≤ b − 1. , , ,, , Lòi giai. Ta lâ´y sô´ bâ´t kỳ b > 1 và áp dung phuong pháp chúng . minh quy nap . toán hoc. . ,, , , , , Buóc co so: Vói n = 1, ta lâ´y s = 0, c0 = 1 ≤ b − 1. Ta nhân . , ,, , d̄uo. c dang d̄ăng thúc (2.8) dang 1 = c0 . . . , ,, , , , , , ễn (2.8) d̄úng vói moi Buóc quy nap: . sô´ tu. nhiên . Gia su biêu di , , , , , , , k nho hon n. Theo d̄inh lı́ co ban cua sô´ hoc . . vói n và b có thê tı̀m ,, d̄uo. c sô´ nguyên không âm n1 và r, sao cho n = bn1 + r, 0 ≤ r ≤ b − 1. Dễ thâ´y n1 < n. thât . vây, . nê´u ta có n1 ≥ n, thı̀ vı̀ b > 1, r ≥ 0 ta có n = bn1 + r > n, vô lý. ,, , Ta xét hai truòng ho. p , ,, , , , 1) Nê´u n1 = 0, thı̀ n = r, thı̀ (2.8) tuong úng vói biêu diễn vói s = 0, c0 = r. , , 2) Nê´u n1 ≥ 1, thı̀ 1 ≤ n1 < n, theo gia thiê´t quy nap . biêu , , , diễn (2.8) d̄úng vói moi . sô´ tu. nhiên k ≤ n. Nghı̃a là vói n1 ta có n 1 = r t b t + r t −1 b t −1 + · · · + r 0 , vói môt . sô´ nào d̄â´y t và 0 ≤ ri ≤ b − 1 (i = 0, 1, .., t), rt > 0. Khi d̄ó n ,= bn1 + r = rt bt+1 + rt−1 bt + · · · + r0 b + r, ,, , , nghı̃a là, biêu diễn (2.8) tuong úng vói s = t + 1, cs = rt , . . . , c1 = r0 , c0 = r. J 2.2. Mênh d̄ê` trong nguyên lý quy nap . . toán hoc . 31 , , , , Chú ý: Ta cũng có thê chúng minh su. biêu diễn trong bài này , , , cho moi lı́ vê` su. biêu diễn . . sô´ tu. nhiên là duy nhâ´t. Ðây là d̄inh , , môt . sô´ tu. nhiên n theo co sô´ b. , , Còn môt khác nũa cua nguyên lý quy nap . sô´ dang . . toán hoc . chúng ta sẽ xét sau. 2.2. Mênh d̄ê` trong nguyên lý quy nap . . toán hoc . ,, ` d̄a sô´ viêc nguyên Trong các vı́ du. truóc ta thâ´y răng . áp dung , ,. , ´ , , lý quy nap . toán hoc . , là su. biên d̄ôi công thúc hoac .̆ biêu thúc toán hoc. d̄ê´n viêc . Trong muc . nho này chúng tôi nhâ´n manh . . áp dung . , , ` nguyên lý quy nap trên c ác m ênh d̄ê không ph ai l à công th úc . . , , ,, , ,, , hoac u thúc toán hoc. Trong truòng ho. p nhu vây .̆ biê . các buóc , . , , ,, , P(k ) cua mênh d̄ê` khăng d̄inh . d̄uo. c xác d̄inh . mê`m deo hon thông . qua các vı́ du. sau: , , ,, , Vı́ du. 2.9. Chú,ng minh ră` ng tông lâp . phuong cua ba sô´ tu. nhiên liên tiê´p chia hê´t cho 9. , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Tông 13 + 23 + 33 chia hê´t cho 9. Nghı̃a là , , mênh d̄ê` cua bài toán là d̄úng, khi sô´ d̄â`u tiên cua 3 sô´ liên tiê´p . là 1. , , ,, , Bu,ó,c quy nap: d̄ê` khăng d̄inh . cua bài toán d̄úng . . Gia su mênh , , vói k, nghı̃a là k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 chia hê´t cho 9. Ta sẽ chúng , , , ` ´ d̄â`u tù, (k + 1) khăng minh răng vói ba sô´ tu. nhiên liên tiê´p băt , d̄inh cua bài toán cũng d̄úng, nói cách khác (k + 1)3 + (k + 2)3 + . (k + 3)3 sẽ chia hê´t cho 9. Thât . vây, . 3 3 3 ( k + 1) + ( k + 2) + ( k + 3) = ( k 3 + ( k + 1)3 + ( k + 2)3 ) + 9( k 2 + 3k + 3). 32 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . , , , , ´ d̄â`u tù, k + 1 biêu diễn nhu, tông cua hai Tông ba sô´ liên tiê´p băt , sô´ hang d̄ê`u chia hê´t cho 9, thı̀ tông này cũng chia hê´t cho 9. . Vı́ du. 2.10. Chú,ng minh ră` ng moi . sô´ nguyên d̄ô`ng (tiền Viêt . , , , , , 1 Nam ) lón hon 6 có thê d̄ôi ra tiền le không du, bă` ng nhũ,ng d̄ô`ng tiền gô`m nhũ,ng tò, 2 d̄ô`ng và 5 d̄ô`ng. , , , , , d̄ê` khăng d̄inh Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Vói sô´ tiê`n 7 d̄ô`ng, mênh . . d̄úng: 7=5+2. , , ,, , , d̄úng vói sô´ k ≥ 7 d̄ô`ng. Ðê Bu,ó,c quy nap: . . Gi,a su khăng d̄inh , , chúng minh d̄iê`u khăng d̄inh . cũng d̄úng vói sô´ k + 1 d̄ô`ng. Ta xét , hai kha năng: , , ,, , ` 1) k d̄uo. c d̄ôi chı băng môt . loai . tiê`n tò 2 d̄ô`ng. , ,, , ` 2) k d̄uo. c d̄ôi băng các loai . tiê`n, ı́t nhâ´t có môt . tò loai . 5 d̄ô`ng. , , ,, , ` Ta phai chúng minh k + 1 d̄ô`ng cũng d̄ôi d̄uo. c băng các loai . , , , ` ´ ` tiên d̄ã cho. Vói sô (k + 1) d̄ông thı̀ ta d̄ôi nhu sau: , ,, , , , , – Nê´u k d̄ô`ng o truòng ho. p 1), thı̀ ı́t nhâ´t phai có 4 tò 2 d̄ô`ng, , , , , , vı̀ k > 6. Ðê d̄ôi k + 1 d̄ô`ng, ta lâ´y 2 tò loai . 2 d̄ô`ng d̄ôi thành 1 tò loai . 5 d̄ô`ng. , , ,, , – Nê´u k d̄ô`ng trong truòng ho. p 2), thı̀ d̄ê d̄ôi k + 1 d̄ô`ng, ta lâ´y , , , môt . tò loai . 5 d̄ô`ng d̄ôi lâ´y 3 tò loai . 2 d̄ô`ng. , , Theo nguyên lý quy nap d̄úng vói moi . . toán hoc . khăng d̄inh . , ´ ` sô n d̄ông vói n > 6. , Vı́ du. 2.11. Chú,ng minh ră` ng n d̄u,ò,ng thăng khác nhau trên , , , môt . mat .̆ phăng d̄i qua môt . d̄iêm chia mat .̆ phăng ra 2n phâ`n. , , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Vói n = 1 mênh d̄ê` khăng d̄inh là d̄úng, vı̀ . . , , ,, môt . d̄uòng thăng chia mat .̆ phăng ra hai phâ`n. J J 11 , ,, , d̄ô`ng o d̄ây ta hiêu là 1000 d̄ô`ng trên thu. c tê´. 2.2. Mênh d̄ê` trong nguyên lý quy nap . . toán hoc . 33 , ,, , Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói sô´ n nào d̄ó, nghı̃a là Bu,ó,c quy nap: . . , , , ,, n d̄uòng thăng khác nhau d̄i qua môt d̄iêm chia mat phăng ra 2n . .̆ , , , , phâ`n. Ðê chúng minh mênh d̄ê` khăng d̄inh cũng d̄úng vói n + 1 . . , , , ,, , ,, ` d̄uòng thăng, ta chú ý răng nê´u du. ng d̄uòng thăng d̄i qua d̄iêm , ,, ,, , d̄ã cho và không trùng vói d̄uòng thăng nào trong sô´ các d̄uòng , , , thăng còn lai, 2 phâ`n nũa cua mat . thı̀ chúng ta, sẽ nhân . thêm .̆ , , , , ´ ` phăng. Nhu vây vói 2, . sô phân cua mat .̆ phăng d̄ã có là 2n công . hoac .̆ là 2(n + 1). Vı́ du. 2.12. Trong thành phô´ có n nhà. Tı̀m sô´ ló,n nhâ´t nhũ,ng , hàng rào khép kı́n không că´ t nhau có thê xây du. ,ng d̄u,o.,c trong thành phô´, nê´u mỗi hàng rào vây quanh ı́t nhâ´t môt . nhà và không có hai hàng rào nào vây quanh môt . cum . nhà. , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Khi n = 1 sô´ hàng rào câ`n tı́nh là X1 = 1. , Khi n = 2 ta có thê quây mỗi nhà môt . hàng rào sau d̄ó lai . , , , ´ du. ng môt . hàng rào quây ca hai nhà. Nhu vây . sô hàng rào X2 = 3. , Khi n = 3 ta có thê quây mỗi nhà môt . hàng rào, sau d̄ó quây ` hai nhà bâ´t kỳ băng môt . hàng rào và sau cùng là môt . hàng rào , quây ca ba nhà. Ta có X3 = 5. , , , Do d̄ó gia thiê´t quy nap: . Xn = 2n − 1. Ðê chúng minh công , , thúc là d̄úng, ta có nhân . xét sau: Ðô´i vói môt . thành phô´ n nhà , , , theo các d̄iê`u kiên luôn xây du. ng d̄uo. c d̄úng n hàng rào . d̄â`u bài, , , , ¨riêng¨ cua mỗi nhà và chı có môt . hàng rào ¨chung¨ cho ca thành phô´. , ,, , , Bu,ó,c quy nap: . . Gia su công thúc Xn = 2n − 1 d̄úng vói moi , , ` n ≤ k và ta cân chúng minh nó cũng d̄úng vói n = k + 1. , , , Ta xét hê. thô´ng hàng rào vói sô´ hàng rào lón nhâ´t có thê , , ,, du. ng d̄uo. c trong môt . thành phô´ có k + 1 nhà và thoa mãn các J 34 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . , d̄iê`u kiên . , xét trong hê. thô,´ng d̄ó luôn có . , cua d̄â`u bài. Theo nhân ,, , 1 (và chı 1) hàng rào lón quây ca thành phô´. Gia su hàng rào , ,, ` d̄ó bi. bo d̄i thı̀ lúc d̄ó thành phô´ d̄uo. c quây thành 2 khu băng 2 , , , ´ hàng rào. Khu thú nhât chăng han . là m nhà, khu thú hai có l nhà: m ≥ 1; l ≥ 1; m + l = k + 1. , , , Hê. thô´ng hàng rào quây khu thú nhâ´t cũng là lón nhâ´t túc là , , có tâ´t ca 2m − 1 hàng rào, và quây khu thú hai có 2l − 1 hàng rào , , , (theo gia thiê´t quy nap). Không thê có hàng rào nào có thê quây . , , , , d̄ô`ng thòi nhũng ngôi nhà tù 2 khu d̄ang xét d̄ó. Do d̄ó chı còn , lai . môt . hàng rào duy nhâ´t. Ðó là hàng rào chung quây ca thành , phô´. Nhu vây . ta có Xk+1 = (2m − 1) + (2l − 1) + 1 = 2(m + l ) − 1 = 2(k + 1) − 1. J Vı́ du. 2.13. Tù, 2n sô´ 1, 2, 3, . . . , 2n ta lâ´y ra môt . cách bâ´t kỳ n + 1 , sô´. Chúng minh ră` ng trong sô´ các sô´ lâ´y ra d̄ó có ı́t nhâ´t môt . sô´ chia hê´t cho môt . sô´ khác. , , , , ,, Lòi giai. (Phuong pháp giai sau d̄ây là cua M. Fritman).2 Khi , n = 1 mênh d̄ê` d̄úng là hiên nhiên. . , ,, , , Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói n − 1 nghı̃a là tù 2(n − 1) sô´ . , ,, ,, 1, 2, . . . , 2(n − 1) (o d̄ây n ≥ 2) có thê chon . ra d̄uo. c n sô´ sao cho trong d̄ó có ı́t nhâ´t môt . sô´ chia hê´t cho môt . sô´ khác. , ,, , , , Ta chúng minh mênh d̄ê` d̄úng vói n. Gia su tù 2n sô´ 1, 2, . . . , 2n . , ,, ta có thê chon d̄uo. c n + 1 sô´ sao cho trong d̄ó không có sô´ nào là . , , bôi ác. Ta ký hiêu tâp tâ´t ca n + 1 sô´ d̄ó là Xn+1 . Ðô´i . sô´ cua sô´ kh . . , ,, , , vói tâp . Xn+1 xay ra 4 truòng ho. p. 2 Bài , , ,, ` này cũng có thê giai băng phuong pháp Ðirichlet trong [1] 2.2. Mênh d̄ê` trong nguyên lý quy nap . . toán hoc . 35 , , 1. Xn+1 không chúa ca 2n − 1 và 2n, , , 2. Xn+1 chúa 2n − 1 và không chúa 2n, , , 3. Xn+1 không chúa 2n − 1 và chúa 2n, , , 4. Xn+1 chúa ca 2n − 1 và 2n. , ,, , , Truòng ho. p 1: Ta bo d̄i tù Xn+1 môt . sô´ bâ´t kỳ, còn lai . n sô´ mà , , mỗi sô´ d̄ê`u không lón hon 2n − 2 và trong sô´ d̄ó không có sô´ nào , là bôi . cua môt . sô´ khác. , , ,, , ´ mà moi Truòng ho. p 2: Ta bo tù Xn+1 sô´ 2n − 1, còn lai . là n sô . , , , sô´ d̄ê`u không lón hon 2n − 2 và không có sô´ nào là bôi c ua m ôt sô . . ´ khác. , , ,, , Truòng ho. p 3: Ta bo tù Xn+1 sô´ 2n, còn lai à moi . là n sô´ m . sô´ , , , d̄ê`u không lón hon 2n − 2 và không có sô´ nào là bôi . cua môt . sô´ khác. , ,, ,, , Truòng ho. p 4: Truóc hê´t ta thâ´y trong Xn+1 không chúa sô´ , , ,, , n do d̄ó trong truòng ho. p này ta bo tù Xn+1 hai sô´ 2n − 1 và 2n ,, , thêm vào sô´ n ta cũng nhân . d̄uo. c n sô´ mà moi . sô´ d̄ê`u không lón , , ` hon 2n − 2. Ta sẽ chúng minh răng trong n sô´ d̄ó không có sô´ nào , , , , chia hê´t cho sô´ khác. Ðê chúng minh d̄iê`u này ta chı câ`n chúng minh: , 1) Trong sô´ d̄ó trù sô´ n không có sô´ nào chia hê´t cho n và 2) Sô´ n không chia hê´t cho sô´ nào khác, ngoài n. , , , , Ðiê`u thú nhâ´t là hiên nhiên vı̀ tâ´t ca các sô´ d̄ó d̄ê`u không lón , hon 2n − 2. , , Ðiê`u thú hai cũng là hiên nhiên vı̀ trong Xn+1 sô´ 2n không chia hê´t cho môt . sô´ nào khác. Vây d̄ê` không d̄úng cho 2n sô´ thı̀ cũng d̄úng cho . nê´u mênh . 36 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . , , 2(n − 1) sô´. Ðiê`u này mâu thuẫn vói gia thiê´t quy nap. . Vây . mênh . , , , ` ´ ´ ´ d̄ê d̄ã cho d̄úng vói 2n sô 1, 2, . . . , 2n vói n là sô tu. nhiên bât kỳ. J , ,, ,, 2.3. Buóc quy nap . d̄uo. c xây du. ng trên P(k) , ,, ` Trong chúng minh băng phuong pháp quy nap . toán hoc, . khó , , , , khăn nhâ´t là buóc quy nap d̄ê` P(k) sang mênh . chuyên tù mênh . . ,, , d̄ê` P(k + 1). Trong phâ`n này cũng nhu các vı́ du. o muc sau ta . , , , , , xem xét kỹ các kha năng biê´n d̄ôi quy nap . ,tru. c tiê´p tù khăng , , d̄inh d̄úng cua P(k ) sang khăng d̄inh d̄úng cua P(k + 1). . . Vı́ du. 2.14. Chú,ng minh ră` ng 2n −1 ( a n + b n ) > ( a + b ) n , (2.9) , o, d̄ây a + b > 0, a 6= b, n > 1. , , , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Vói n = 2 d̄ăng thúc (2.9) có dang . (2.10) 2( a2 + b2 ) > ( a + b )2 . , , Vı̀ a 6= b ta có bâ´t d̄ăng thúc d̄úng ( a − b)2 > 0, công hai vê´ bâ´t . , , , 2 d̄ăng thúc này vói ( a + b) , ta có (2.10). , ,, , Bu,ó,c quy nap: . Gia su (2.9) d̄úng vói sô´ n = k nào d̄ó, 2k −1 ( a k + b k ) > ( a + b ) k . (2.11) , , Ðê chúng minh (2.9) cũng d̄úng cho n = k + 1, ta nhân hai vê´ , , , (2.11) vói a + b vı̀ a + b > 0 ta nhân . bâ´t d̄ăng thúc d̄úng 2k−1 ( ak + bk )( a + b) > ( a + b)k+1 . (2.12) , , , , , , Nhu vây . d̄ê chúng minh (2.9) d̄úng vói n = k + 1 bây giò ta chı , câ`n chúng minh 2k ( ak+1 + bk+1 ) > 2k−1 ( ak + bk )( a + b). (2.13) ,, ,, , 2.3. Buóc quy nap . d̄uo. c xây du. ng trên P(k ) 37 , , , ,, , ,, , Sau khi biê´n d̄ôi và d̄on gian hai vê´ ta d̄uo. c bâ´t d̄ăng thúc tuong ,, , d̄uong ak+1 + bk+1 > ak b + bk a, tù d̄ó suy ra ( ak − bk )( a − b) > 0. (2.14) ,, , Xét hai truòng ho. p: 1) Nê´u a > b, và d̄iê`u kiên . d̄ã cho là a > −b, suy ra a > |b|. ,, k k ´ Vı̀ vây . a > b . Do d̄ó bât phuong trı̀nh (2.14) d̄úng. ,, , k k 2) Nê´u a < b, lý luân . tuong tu. phâ`n trên ta có a < b , trong ,, , , truòng ho. p này (2.14) cũng d̄úng. Tóm lai, . (2.14) d̄úng vói moi . , a 6= b, do d̄ó (2.9) d̄úng vói n = k + 1. J Vı́ du. 2.15. Cho dãy sô´ 0 < a1 < a2 < · · · < an , và ei = ±1, i = n 2 1, 2, . . . Chú,ng minh ră` ng ∑ ei ai nhân . ı́t nhâ´t Cn+1 giá tri. khác i =1 , , , , nhau khi ei thay d̄ôi dâ´u trong tô ho.,p 2n kha năng xây ra. , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Khi n = 1, tô`n tai d̄úng 2 giá tri. khác nhau , , , cua tông ( a và − a) và C22 = 1, nhu vây d̄ê` d̄úng. . mênh . k , ,, , ` Bu,ó,c quy nap: Gi a s u m ênh d̄ê d̄ úng v ó i n = k; nghı̃a l à ∑ ei a i . . i =1 , ,, ,, 2 nhân Gia su thêm môt phâ`n tu . ı́t nhâ´t Ck+1 giá tri. khác, nhau. . , , ` ak+1 , mà ak+1 > ak . Ta câ`n phai chı ra răng tông sẽ có Ck2+2 giá , , , ˜ C2 giá tri. cua tông khác tri. . Theo gia thiê´t quy nap . d̄ã có săn k +1 ,, , nhau sinh boi a1 , a2 , . . . , ak ; ta câ`n tı̀m nhũng giá tri. khác nhau , , , ,, cua tông, có sô´ luo. ng là Ck2+2 − Ck2+1 = k + 1. Tı̀m các tông d̄ó k k , , ` băng cách sau d̄ây: Ðat S = a (nhu v ây thı̀ S ≥ ∑ i ∑ ei ai vói moi .̆ . . i =1 i =1 , , , ` su. lu. a chon các tông sau S + ak+1 , S + ( ak+1 − . ei ), và chú ý răng ak ), S + ( ak+1 − ak−1 ), . . . , S + ( ak+1 − a1 ) có giá tri. khác nhau và 38 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . , , , , , , lón hon thu. c su. S. Nhu vây tô`n tai k + 1 giá tri. khác nhau nũa . . , , cua tông d̄ã cho. J Vı́ du. 2.16. Nê´u a > 0 và b > 0, thı̀ (n − 1) an + bn ≥ nan−1 b, vó,i , , , n là sô´ nguyên du,o,ng; d̄ăng thú,c xây ra khi và chı khi a = b. , , ,, , , , Lòi giai. Mênh d̄ê` d̄úng vói n = 1. Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói . . n = k, (k − 1) ak + bk ≥ kak−1 b , , ,, , Ðê xây du. ng mênh d̄ê` vói n = k + 1, ta tiê´n hành các buóc . , , , 1) Nhân hai vê´ bâ´t d̄ăng thúc vói a (k − 1) ak+1 + bk a ≥ kak b. , , 2) Công thêm ak+1 vào bâ´t d̄ăng thúc trên . kak+1 + bk a ≥ kak b + ak+1 . , , 3) Chuyên bk a sang vê´ phai ta có kak+1 ≥ kak b + ak+1 − bk a. , , , 4) Công thêm bk+1 vào hai vê´ cua bâ´t d̄ăng thúc này . kak+1 + bk+1 ≥ kak b + ak+1 − bk a + bk+1 . , , , ,, , Theo gia thiê´t quy nap thı̀ bâ´t d̄ăng thúc trên tro thành d̄ăng . , , , , , thúc khi và chı khi a = b. Ðê chúng minh P(k + 1) d̄úng, ta chı , , , , , ra vê´ phai cua bâ´t d̄ăng thúc sau cùng thoa mãn kak b + ak+1 − bk a + bk+1 ≥ (k + 1) ak b , , , ,, , , và bâ´t d̄ăng thúc tro thành d̄ăng thúc khi và chı khi a = b. Thât . ,, ,, , 2.3. Buóc quy nap . d̄uo. c xây du. ng trên P(k ) 39 , , ,, vây, . ta biê´n d̄ôi tù duói lên kak b + ak+1 − bk a + bk+1 ≥ (k + 1) ak b, − ak b + ak+1 − bk a + bk+1 ≥ 0, ak ( a − b) + bk (b − a) ≥ 0, ( ak − bk )( a − b) ≥ 0. , , Bâ´t d̄ăng thúc này d̄úng (do a − b và ak − bk có cùng dâ´u), suy , , ,, , , , nguo. c lai bâ´t d̄ăng thúc ta câ`n chúng minh là d̄úng và d̄ăng thúc . , , xây ra khi và chı khi a = b. J Vı́ du. 2.17. Chú,ng minh ră` ng Sn = 1 − 2 + 3 − 4 + · · · + (−1) n −1 .n = (−1) n −1 n+1 2 , , o, d̄ây [ x ] là sô´ nguyên ló,n nhâ´t nho ho,n x, n là sô´ nguyên du,o,ng. , , , , ,, , Lòi giai. Ðê chúng minh d̄uo. c bài toán, ta chúng minh công , thúc sau hni n + 1 + =n 2 2 , vói moi . n. Thât . vây, . , ˜ ta có a) vói n = 2m là sô´ chăn, hni 1 n+1 + = [m] + m + = m + m = n. 2 2 2 , , b) vói n = 2m + 1 là sô´ le hni n + 1 1 + = m+ + [m + 1] = m + m + 1 = n. 2 2 2 ,, 1+1 , , , , 0 Buóc co so: S1 = 1 = (−1) , mênh d̄ê` d̄úng vói n = 1 . 2 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . 40 , ,, , , , Bu,ó,c quy nap: . Gia su d̄ăng thúc d̄úng vói n = k, nghı̃a là k −1 k −1 k + 1 Sk = 1 − 2 + 3 − 4 + · · · + (−1) .k = (−1) . 2 Khi d̄ó k+1 + (−1)k (k + 1) Sk+1 = Sk + (−1) (k + 1) = (−1) 2 k+1 k+2 = (−1)k k + 1 − = (−1)k . . 2 2 , , , , , , ,, , Ðăng thúc sau cùng suy ra tù d̄ăng thúc o phâ`n trên. Ðăng thúc , , cua d̄ê` ra d̄úng vói n = k + 1. k k −1 J ,, ,, , 2.4. Buóc quy nap . d̄uo. c xây du. ng trên P(k + 1) , ,, Buóc quy nap ăng . trong nguyên lý quy nap . toán hoc . câ`n kh , , , , d̄inh P(k + 1) suy tù P(k ). Nhung nhiê`u khi viêc . . biê´n d̄ôi tru. c , tiê´p tù P(k ) sang P(k + 1) gap ac không .̆ râ´t, nhiê`u khó khăn ho , .̆ , ,, ,, có huóng chı́nh xác. Khi d̄ó ta phai làm nguo. c lai . d̄ê biêu diễn , P(k + 1) ra mênh d̄ê` cua P(k ) và tiê´n hành quy nap. . . Phâ`n này , , , , , , và phâ`n truóc liên quan mât . thiê´t và tuong d̄uong nhau. Vı́ du. 2.18. Chú,ng minh ră` ng sô´ zn = 32n+1 + 40n − 67 chia hê´t , cho 64 vó,i moi . sô´ tu. nhiên n. , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: z1 = 33 + 40 − 67 = 0 chia hê´t cho 64. mênh . , d̄ê` d̄úng vói n = 1 , ,, Bu,ó,c quy nap: . Gia su zn chia hê´t cho 64. Khi d̄ó zn+1 = 32n+3 + 40n − 27 = 9(32n+1 + 40n − 67) − 320n + 576 = 9.zn − 64(5n − 9) , cũng chia hê´t cho 64. Bài toán d̄úng vói moi . n. J ,, ,, , 2.4. Buóc quy nap 41 . d̄uo. c xây du. ng trên P(k + 1) r q p √ Vı́ du. 2.19. Ký hiêu R = 2 + 2 + 2 + · · · + 2 căn bâc n . . hai π 1 π 1√ n lâ`n. Chú,ng minh ră` ng cos n = Rn−1 , sin n = 2 − R n −2 2 2 2 2 , vói moi . n ≥ 3. √ , ,, π π 2 , , , , , Lòi giai. Buóc co so: cos = sin = , mênh d̄ê` d̄úng vói . 4 4 2 n = 3 vı̀ v u p √ u 1 + cos π t π 2+ 2 R2 π 4 = = , cos 3 = cos = 2 8 2 2 2 v u p √ u 1 − cos π √ t π π 2− 2 2 − R1 4 sin 3 = sin = = = . 2 8 2 2 2 , ,, , , d̄ê` d̄úng vói sô´ tu. nhiên k ≥ 3. Khi Bu,ó,c quy nap: . . Gia su mênh d̄ó v u u 1 + cos π √ t k π 2 + R k −1 R 2 = = k, cos k+1 = 2 2 2 2 v u u 1 − cos π √ t k π 2 − R k −1 2 sin k+1 = = . 2 2 2 , , Nhu vây, d̄ê` d̄úng vói n = k + 1. Theo nguyên lý quy nap . mênh . . , , toán hoc . các công thúc d̄úng vói moi . n ≥ 3. J n5 n4 n3 n Vı́ du. 2.20. Chú,ng minh ră` ng + + − là sô´ nguyên 5 2 3 30 , vói n = 0, 1, 2, … , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Mênh d̄ê` d̄úng vói n = 0. . 42 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . , ,, , , , d̄ê` d̄úng vói n = k. Ta câ`n phai chúng Bu,ó,c quy nap: . . Gia su mênh minh ( k + 1)5 ( k + 1)4 ( k + 1)3 k + 1 + + − 5 3 30 , 2 , , là sô´ nguyên. Ta khai triên biêu thúc trên k5 + 5k4 + 10k3 + 10k2 + 5k + k4 + 4k3 + 6k2 + 4k + 1 + + 5 2 k3 + 3k2 + 3k + 1 k + 1 + − . 3 30 , Nhóm lai . d̄ê xuâ´t hiên . P(k) k k5 k4 k3 + + − ) + ((k4 + 2k3 + 2k2 + k) + (2k3 + 3k2 + 2k) + (k2 + k) + 1) 5 2 3 30 , , , Nhu vây thiê´t là sô´ nguyên và các nhóm . nhóm thú nhâ´t theo gia , , sau cũng là sô´ nguyên, suy ra tông cua chúng là sô´ nguyên và d̄ó , cũng là mênh d̄ê` bài toán vói n = k + 1. . ( J Vı́ du. 2.21. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . sô´ nguyên n ≥ 2 và | x | < 1 , , thı̀ bâ´t d̄ăng thúc sau luôn d̄úng: (1 − x ) n + (1 + x ) n < 2n . , , , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Khi n = 2 bâ´t d̄ăng thúc d̄úng hiên nhiên. , , ,, , , , Bu,ó,c quy nap: su bâ´t d̄ăng thúc d̄úng vói n = k. Ta phai . Gia , , , , , chúng minh bâ´t d̄ăng thúc cũng d̄úng vói n = k + 1; do gia thiê´t , d̄â`u bài và gia thiê´t quy nap . ta có (1 − x )k+1 + (1 + x )k+1 < [(1 − x )k + (1 + x )k ][(1 − x ) + (1 + x )] < 2k .2 = 2k+1 . , , , ,, , , Nhu vây . bâ´t d̄ăng thúc d̄uo. c chúng minh vói n = k + 1. , Vı́ du. 2.22. Vó,i moi . x trong 0 ≤ x ≤ π, chúng minh ră` ng ,, | sin nx | ≤ n sin x, o d̄ây n là sô´ nguyên không âm. J 2.5. Quy nap . toán hoc . và phép truy hô`i 43 , , , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Vói n = 1 bâ´t d̄ăng thúc d̄úng là tâ´t nhiên. , , ,, , , Bu,ó,c quy nap: . Gia su bâ´t d̄ăng, thúc d̄úng vói n = k: | sin kx | ≤ , , , k sin x. Ta câ`n chúng minh bâ´t d̄ăng thúc cũng d̄úng vói n = k + 1. Ta xét | sin(k + 1) x | = | sin(kx + x )| = | sin(kx ) cos x + cos(kx ) sin x | = | sin(kx ) cos x | + | cos(kx ) sin x | = | sin(kx )|| cos x | + | cos(kx )|| sin x | ≤ |k sin x | + | sin x | ≤ (k + 1) sin x. , ,, , , ,, Nhũng bâ´t d̄ăng thúc trên d̄uo. c suy ra boi 0 ≤ x ≤ π nên sin x ≥ , , , , 0 và | cos kx | ≤ 1. Nhu vây . ta d̄ã chúng minh bâ´t d̄ăng thúc d̄úng , cho n = k + 1. Suy ra nó d̄úng vói moi . n ≥ 1. J 2.5. Quy nap . toán hoc . và phép truy hô`i , Nhiê`u bài toán ta d̄ã xét có liên quan d̄ê´n dãy sô´ nhu câ´p sô´ , , ,, ` công, câ´p sô´ nhân, ... mỗi sô´ hang cua chúng d̄uo. c biêu diễn băng . . , , , , , cách lâ´y nhũng giá tri. cua sô´ hang truóc nó, ngoài nhũng sô´ hang . . , , ,, , , , khoi d̄â`u cua dãy. Nhũng công thúc sô´ hang chung c ua d ãy nhu . ,, , , ,, vây nghı̃a môt . . d̄uo. c d̄ua ra và coi nhu là d̄inh . dãy. Phuong pháp , , cho môt . ,dãy nhu vây . râ´t ,giô´ng vói nguyên lý quy nap . toán hoc. . , , Ta có thê dùng quy nap d̄ê d̄ inh nghı̃a m ôt kh ái ni êm m ó i. Nh ũ ng . . . . , nhà toán hoc g oi nó l à lo ai d̄ inh nghı̃a quy n ap, ng các nhà . . . . . nhu , , khoa hoc nghı̃a hô`i quy. Ðê hiêu vâ´n d̄ê` . máy tı́nh goi . nó là d̄inh . , , này ta xét môt nghı̃a giai thùa cua môt . . vı́ du. . Ðinh . sô´ nguyên, , ký hiêu . là P(n) = n!, nhu sau: nê´u n = 0 ta gán P(n) = 1 và nê´u , vói mỗi n > 0 gán giá tri. P(n) = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1 nghı̃a là tı́ch 44 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . ,, n sô´ nguyên duong d̄â`u tiên. Ta tı́nh môt . sô´ giá tri. d̄â`u 0! = 1, 1! = 1 = 1 · 0!, 2! = 2 · 1 = 2 · 1! = 2, 3! = 3 · 2 · 1 = 3 · 2! = 6. , , , Nhu vây . vói moi . sô´ tu. nhiên n, hoac .̆ là n = 0 có P(n)=1; hoac .̆ là , ` n > 0 có P(n) = n · (n − 1)!. Ðiêu này go. i ý ta d̄inh nghı̃a theo . , , quy nap . cua P(n) nhu sau: , Bu,ó,c co, so,: Nê´u n = 0, thı̀ n! = 1 và , Bu,ó,c quy nap: thı̀ ta có thê xác d̄inh . . . Nê´u n! d̄ã xác d̄inh, ` (n + 1)! băng (n + 1) · n!. ,, ,, Buóc quy nap nghı̃a trên trong tin hoc . . trong d̄inh . nguòi ta , , ,, ,, nghı̃a kiêu nhu trên là thuòng goi . . d̄inh . là Buóc hô`i quy và goi ,, ` d̄inh nghı̃a theo hô`i quy. Ta thâ´y răng d̄inh nghı̃a hô`i quy o trên . . , , , , ,, hoàn toàn nhu nguyên lý quy nap . toán hoc. . Buóc co so cho ta giá , ,, tri. tai . sô´ tu. nhiên ban d̄â`u 0. Bu,óc hô`i quy cho ta biê´t nê´u ta d̄ã ,, ,, biê´t d̄inh . nghı̃a tai . , nghı̃a d̄uo. c tai . n thı̀ ta có thê d̄inh . n + 1 (buóc , , tiê´p theo). Nhu vây nghı̃a d̄â`y d̄u cho moi . . d̄inh . sô´ tu. nhiên n. , , ,, Ðinh nghı̃a xuâ´t phát tù 0 và tùng buóc liên tiê´p d̄inh nghı̃a . . , , , , , ´ P(n) cho nhũng sô tu. nhiên càng ngày càng lón. Nhung d̄ê tı́nh , ,, , , toán P(n) ta d̄i nguo. c lai, d̄ê` lón nhâ´t d̄ê´n mênh d̄ê` nho . tù mênh . . nhâ´t. Vı́ du. ta tı́nh 3! = 3 · 2! = 3 · 2 · 1! = 3 · 2 · 1 · 0! = 3 · 2 · 1 · 1 = 6 , Theo d̄inh nghı̃a muô´n tı́nh giá tri. P(n) ta kiêm tra xem nê´u . , , , ,, , ,, , n = 0 thı̀ áp dung buóc co so cua d̄inh . , nghı̃a; nguo. c lai . . ta trù n , , , ,, , d̄i 1 d̄ê d̄ua bài toán vê` sô´ nguyên nho hon, nhu vây . buóc hô`i quy 2.5. Quy nap . toán hoc . và phép truy hô`i 45 , , , , , ,, giam bâc . cua bài toán d̄ê´n khi vê` buóc co so và tı́nh toán xong hoàn toàn. , ,, Râ´t nhiê`u ngôn ngũ lâp . trı̀nh,cũng cho ta tı́nh toán d̄uo. c công , , thúc theo d̄inh nghı̃a hô`i quy, chăng han sau trong . . nhu câu lênh . , ngôn ngũ lâp . trı̀nh Pascal: if n = 0 then Pn := 1 else Pn := n · (n − 1)!; ,, , ` Dòng lênh trên nói vói chuong trı̀nh biên dich . răng: . , 1. Kiêm tra xem n = 0 có d̄úng không ? , , 2. Nê´u tra lòi là Ðúng, thı̀ gán P(n) = 1; , , 3. Nê´u tra lòi là Sai, thı̀ gán P(n) := n · (n − 1)!; , , , , Ðê tı́nh tiê´p tuc lâ`n nũa d̄ê tı́nh (n − . máy phai goi . dòng lênh . , , , , 1)! và cú tiê´p tuc không thê . nhu vây . tói khi n = 0. Môt . câu lênh . hiên . hê´t viêc . tı́nh toán hô`i quy. ,, Trong toán hoc . và tin h, oc . nguòi ta tao . ra các thuât . toán thê hiên . chu trı̀nh tı́nh toán. Có nhiê`u cách mô , , , ,, ta thuât . toán nhu liêt . kê tùng buó,c , , ` thu. c hiên so d̄ô` khô´i (biêu . hoac .̆ băng , d̄ô`). Nhu chúng ta d̄ã thâ´y thuât , . toán cũng là môt công c u mô t a viêc . . . , thu. c hiên nguyên l ý quy n ap to án . . , ´ ` hoc, nhâ t l à c ác biê u d̄ô thu ât . . toán hô`i quy. Ta lâ´y vı́ du. tı̀m thuât . toán Hı̀nh 2.1: , , , tı́nh giai thùa cua sô´ tu. nhiên cho ,, truóc ? , 1. Cho giá tri. sô´ tu. nhiên n; , 2. Ðat .̆ kê´t qua Pn := 1 và biê´n d̄ê´m m := n; ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . 46 , ,, ,, 3. Kiêm tra m = 0? nê´u d̄úng d̄i d̄ê´n buóc 5; nê´u sai d̄ê´n buóc 4; ,, 4. Tı́nh Pn := Pn ∗ m và m := m − 1; d̄i d̄ê´n buóc 3; 5. Kê´t thúc. , , So d̄ô` khô´i thê hiên . qua hı̀nh 1. , , , , Nhu vây thúc hô`i quy hoac d̄ê` . viêc . chuyên tù công .̆ các mênh . , , hô`i quy sang thuât . toán và biêu d̄ô`, thê hiên . quá trı̀nh tı́nh toán , , , ,, tù nhâp và lâ´y kê´t qua ra, cũng nhu các buóc tı́nh . dũ, liêu . vào , , ,, toán d̄òi hoi ta phai hiêu thâ´u d̄áo phuong pháp quy nap . toán hoc. . Trong cuô´n ,sách n,ày ta sẽ d̄ê` câp . d̄ê´n môt . sô´ bài tâp . vê` thuât . toán và biêu d̄ô` d̄ê minh hoa. . , ´ Ta d̄ua vào d̄inh nghı̃a hê. sô Newton3 . Cnk = n! , k!(n − k )! (n = 0, 1, . . . ; k = 0, 1, . . . , n). (2.15) , ,, , , Dùng d̄inh nghı̃a giai thùa và gian uóc thùa sô´ chung, ta nhân . . ,, d̄uo. c Cnk = n ( n − 1) . . . ( n − k + 1) , k! (n = 0, 1, . . . ; k = 0, 1, . . . , n) (2.16) ´ ` Chúng ta thiê´t lâp tam gi ác Pascal theo nguyên t ăc: C ôt d̄â u tiên . , . ,, , , và ¨canh huyê`n¨ chı gô`m toàn sô´ môt; . . sô´ d̄úng o hàng thú n và , , ,, , côt . k, là tông cua hai sô´ o hàng n − 1, tai . côt . thú k − 1 và k. 1 1 1 1 1 … 3 Ký 1 2 3 4 … ,, ,, k k hiêu . tuong d̄uong Cn ≡ Cn . 1 3 6 … 1 4 … 1 … 2.5. Quy nap . toán hoc . và phép truy hô`i 47 , Vı́ du. 2.23. Chú,ng minh ră` ng nhũ,ng sô´ trong bang trên là , , nhũ,ng hê. sô´ Newton: mỗi sô´ d̄ú,ng o, hàng thú, n và côt . thú k là Cnk . , , , , ` Lòi giai. Chúng minh băng quy nap, d̄ê` d̄úng. . vói n = 0 mênh . , ,, , , ,, , 0 1 k Gia su hàng thú n d̄uo. c tao . boi các sô´ Cn , Cn , . . . , Cn và ký , , , , hiêu . β n+1,0 , β n+1,1 , . . . , β n+1,n+1 là nhũng sô´ o hàng thú n + 1. Ta , ` ´ sẽ chúng minh răng β n+1,k = Cnk +1 . Thât nguyên tăc . vây, . áp dung . , , tao . bang sô´ và gia thiê´t quy nap, . ta có n! n! β n+1,k = Cnk−1 + Cnk = + (k − 1)!(n − k + 1)! k!(n − k)! n! 1 1 ( n + 1) ! = ( + )= . ( k − 1) ! ( n − k ) ! n − k + 1 k k!(n − k + 1)! , , , Thu. c tê´ ta d̄ã chúng minh công thúc Cnk−1 + Cnk = Cnk +1 . (2.17) , ,, , , Vı́ du. 2.24. Hãy viê´t thuât . toán và vẽ so d̄ô` khô´i tuong úng d̄ê tı́nh hê. sô´ Newton Cnk khi cho n, k(1 ≤ k ≤ n). , , , , , Lòi giai. Hı̀nh 2 thê hiên . biêu d̄ô` cua thuât . toán. 1. Nhâp . thông sô´ n và k; , 2.Tı́nh t := k! theo thuât . toán và so d̄ô` d̄ã biê´t; , 3. Chuân bi. tı́nh n(n − 1) . . . (n − k + 1), biê´n i nhân . giá tri. d̄â`u là n; , ,, , , 4. Ðua vào biê´n m chúa giá tri. cua mẫu sô´, khoi d̄â`u là 1; ´ d̄â`u tı́nh mẫu sô´ k bu,ó,c vó,i giá tri. n(n − 1) . . . (i + 1), i < n 5. Băt , nhân vói i và nhân giá tri. m = n(n − 1) . . . i. , ,. , 6. Giá tri. cua chı sô´ giam d̄i 1. , , , , 7. Kiêm tra chı sô´ có nho hon sô´ hang sau cùng n − k + 1 không . 48 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . ,, ,, ? nê´u không d̄úng quay vê` buóc 5; nê´u d̄úng d̄i tiê´p buóc 8. , , ,, 8. Gán biê´n b chúa giá tri. thuong cua m = n(n − 1) . . . (n − k + 1) và t = 1, 2, . . . , k. , 9. Kê´t thúc: kê´t qua c = Cnk . , Trong thu. c tê´ nhiê`u bài toán cho dãy sô´ J a1 , a2 , . . . , a n , . . . , ` xác d̄inh băng công thúc hô`i quy . , an = f ( an−1 , an−2 , . . . , an−k ) vói 1 ≤ k ≤ n − 1 và f là môt . hàm d̄ã ,, , ´ biêt. Cũng nhu d̄inh . nghı̃a o trên khi cho môt ban d̄â`u và hàm . sô´ sô´ hang . , f thı̀ các sô´ hang cua dãy d̄ê`u tı́nh . ,, , d̄uo. c. Dẫy sô´ nhu vây . d̄ê`u goi . là dãy ` hôi quy. Hı̀nh 2.2: Vı́ du. 2.25. Cho dãy sô´ a1 , a2 , . . . , an , . . . d̄u,o.,c d̄inh nghı̃a theo . , công thúc sau: (n + 2)(n + 1) an+2 − n2 an = 0, (n = 1, 2, . . .) (2.18) và a1 = 0, a2 = 1. Hãy tı̀m an ? , , , Lòi giai. Ta viê´t lai . công thúc (2.18 ) n2 an . (2.19) (n + 1)(n + 2) , , , ` ` Dễ thâ´y răng nhũng sô´ hang mang chı sô´ le băng 0. Thât . . vây, . , d̄at .̆ n = 2k − 1, khi d̄ó vói k = 1, 2, . . . ta có a n +2 = a2k+1 = (2k − 1)2 a . 2k (2k + 1) 2k−1 (2.20) 2.5. Quy nap . toán hoc . và phép truy hô`i 49 , Vı̀ a1 = 0, tù (2.20) theo quy nap . suy ra a3 = 0, a5 = 0, . . .. Khi ta , ˜ có công thú,c ´ d̄at chăn .̆ n = 2k, thı̀ nhũng sô hang . 2k2 a . (k + 1)(2k + 1) 2k , ,, , Vói k = 1, 2, 3 tù (2.21) ta tı́nh d̄uo. c 2 1 1 a4 = .a2 = .1 = , 2.3 1.3 3 2 2.2 2.4 1 a6 = .a4 = . , 3.5 3.5 3 2.32 2.4.6 1 a8 = .a6 = . . 4.7 3.5.7 4 , , , , Ta so sánh mỗi sô´ hang vói chı sô´ và d̄ua ra gia thiê´t . a2k+2 = a2k = 2.4.6 . . . (2k − 2) 1 . 1.3.5 . . . (2k − 1) k (2.21) (2.22) , ,, ,, , ,, , Tù (2.22) vói k = 2, 3, 4 nhân . d̄uo. c a2 , a4 và a8 o trên. Gia su , , , (2.22) d̄úng vói sô´ k nào d̄ó, ta sẽ chúng minh nó cũng d̄úng vói k + 1: 2.4.6 . . . 2k 1 a2k+2 = . (2.23) , 1.3.5 . . . (2k + 1) k + 1 Thât . vây, . do (2.21) và gia thiê´t quy nap . ta có 2k2 2.4 . . . (2k − 2) 1 . . (k + 1)(2k + 1) 1.3 . . . (2k − 1) k 2.4 . . . (2k − 2)2k 1 . . = 1.3 . . . (2k − 1)(2k + 1) k + 1 , , ,, , Nhu vây, . công thúc (2.22) d̄uo. c chúng minh. Tóm lai, .  n = 2k − 1 (k = 1, 2, . . .) 0 an = 2.4 . . . (2k − 2) 1  . n = 2k. 1.3 . . . (2k − 1) k a 2( k +1) = 50 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . , Vı́ du. 2.26. Chia mat phăng thành bao nhiêu phâ`n tù, n d̄u,ò,ng .̆ , , ,, thăng, d̄ôi môt . că´ t nhau và không có ba d̄uòng thăng nào d̄ô`ng quy? , , , , ,, `n mat Lòi giai. Ta d̄at phăng do n d̄uòng thăng .̆ F (n) là sô´ phâ .̆ , , ,, bâ´t kỳ theo gia thiê´t bài ra. n tao . ra. Ta, xét n + 1 d̄uòng thăng , , ,, ,, d̄uòng thăng d̄â`u chia mat thăng .̆ ,phăng ra F (n) phâ`n; còn d̄uòng , , ,, , ´ tai thú n + 1, g bi. căt n d̄iêm khác nhau vói n d̄uòng thăng d̄â`u, . , , ,, ,, ,, nhu vây d̄uòng thăng g d̄uo. c chia ra n + 1 phâ`n. Suy ra d̄uòng . , ,, thăng g d̄i qua n + 1 phâ`n d̄ã cho, mỗi phâ`n d̄uo. c chia làm d̄ôi, , do d̄ó g tao . thêm ra n + 1 phâ`n mói, nghı̃a là F (n + 1) = F (n) + n + 1. , , ` Thay n trong d̄ăng thúc trên băng n − 1, n − 2, . . . , 2, 1 ta có F (n) = F (n − 1) + n, F (n − 1) = F (n − 2) + n − 1, ...... F (3) = F (2) + 3, F (2) = F (1) + 2. , , ,, Do F (1) = 2 và công các d̄ăng thúc trên ta nhân . d̄uo. c . F ( n ) = 1 + (1 + 2 + · · · + n ) = 1 + Hoac .̆ là F (n) = n2 + n + 2 . 2 n ( n + 1) . 2 J , Vı́ du. 2.27. (Bài toán tháp Hà nôi). . Cho ba chiê´c coc. . Coc . thú nhâ´t xâu n cái d̄ı̃a có d̄u,ò,ng kı́nh khác nhau sao cho các d̄ı̃a có , , , d̄u,ò,ng kı́nh ló,n ho,n o, du,ó,i. Chúng ta muô´n chuyên tâ´t ca các d̄ı̃a, , 2.6. Quy nap . toán hoc . và tông quát hoá 51 , , , , mỗi lâ`n môt . chiê´c, sang coc . thú hai mà các d̄ı̃a vẫn xê´p thú tu. tù , , ,, ló,n lên d̄ê´n nho. Trong thò,i gian chuyên qua các coc . không d̄uo. c , , , d̄at .̆ d̄ı̃a lón lên d̄ı̃a nho (d̄ều này câ`n thiê´t có coc . thú ba). Sô´ lâ`n , , ı́t nhâ´t d̄ê chuyên toàn bô. d̄ı̃a trong coc . môt . sang coc . hai là bao nhiêu? , , , , , Lòi giai. Ký hiêu n d̄ı̃a tù . Mn là sô´ lâ`n nho nhâ´t chuyên xong , ,, , coc coc hai. Rõ ràng M1 = 1, nhu vây ta gia su n > 1. . , môt . sang . . , , , ,, ,, Ðê chuyên d̄uo. c d̄ı̃a duói cùng sang côt n n−1 . hai, ta phai chuyê , ,, , ´ ` d̄ı̃a o trên sang côt Nhu vây . ba. . ta có sô lân chuyên ı́t nhâ´t l,à , , Mn−1 . Môt . lâ`n chuyên d̄ı̃a, to nhâ´t sang côt . thú hai, và lai . phai , , , , ` ´ ` thu. c hiên . Mn−1 lân chuyên sô n − 1 d̄ı̃a tù côt . thú ba vê côt . thú , hai. Nhu vây, . Mn = 2Mn−1 + 1, M1 = 1. , ,, n ` Dễ dàng băng quy nap . ta chúng, minh d̄uo. c Mn = 2 − 1. Thât . , , , , , , ´ vây, v ó i n = 1 công th ú c d̄ úng. Gi a s u công th ú c d̄ úng v ó i sô n = k, . k k k + 1 Mk = 2 − 1. Ta xét Mk+1 = 2Mk + 1 = 2(2 − 1) + 1 = 2 − 1, , , do d̄ó công thúc d̄úng vói n = k + 1. , 2.6. Quy nap to án h oc v à tô ng quát hoá . . J , , , ,, Râ´t nhiê`u bài toán dễ giai hon o dang tông quát. Nhâ´t . , ,, , , ` là chúng minh băng phuong pháp quy nap khi du. d̄oán gia . , , , , thiê´t quy nap. ta phai chúng minh dãy mênh . Chăng han . nhu . , , , ,, d̄ê` P(1), P(2), . . . không có d̄u thông tin d̄ê thu. c hiên bu ó c quy ,. ,, , , ` nap. Trong tru ò ng h o p d̄ó ta xét d ãy m ênh d̄ê tô ng quát hon . . . , Q(1), Q(2), . . . mà vói mỗi n mênh d̄ê` Q(n) kéo theo P(n), và sau . ,, d̄ó ta lai phuong pháp quy nap . áp dung . . cho Q(1), Q(2), Q(3), . . . , Trong muc . này ta xét môt . sô´ vı́ du. nhu vây: . 52 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . , Vı́ du. 2.28. Tı́nh tông n 1 2 + + ··· + n. 2 22 2 , , , , Lòi giai. Ta nhân . xét tông trên có thê viê´t lai . là Sn = (2.24) Sn ( x ) = 1x + 2×2 + · · · + nx n . (2.25) , , , 1 ,, , Tông ta câ`n tı́nh chı là truòng ho. p riêng cua (2.25) Sn ( ). Ta có 2 , , ,, , ,, , thê dùng kỹ thuât tı́nh tông o cuô´i Chuong 1 d̄ê có công thúc tı́nh . , , , , tông (2.25)(ban Ta d̄ua ra công . d̄oc . thu. c hiên . nhu môt . bài tâp). . , ,, , ` thúc o d̄ây và chúng minh băng quy nap . toán hoc: . n + 1 n + 2 x − ( n + 1) x + nx , (2.26) S( x ) = 2 (1 − x ) , vói x 6= 1. , , x − 2×2 + x3 , , Vói n = 1 d̄ăng thúc (2.26) có dang x = hiên nhiên . 2 (1 − x ) d̄úng. , ,, , , Gia su (2.26) d̄úng vói sô´ tu. nhiên n. Khi d̄ó Sn+1 = x + 2×2 + 3×3 + · · · + nx n + (n + 1) x n+1 x − (n + 1) x n+1 + nx n+2 + ( n + 1 ) x n +1 = (1 − x )2 x − (n + 1) x n+1 + nx n+2 + (n + 1) x n+1 − 2(n + 1) x n+2 + (n + 1) x n+3 (1 − x )2 x − ( n + 2 ) x n +2 + ( n + 1 ) x n +3 = . (1 − x )2 , , Nhu vây . (2.26) d̄úng vói n + 1. 1 Áp dung (2.26) tai . . giá tri. x = 2 ta có 1 1 1 − ( n + 1 ) n +1 + n n +2 1 n+2 2 2 2 Sn ( ) = = 2− n . 1 2 2 2 2 = J , 2.6. Quy nap . toán hoc . và tông quát hoá 53 Vı́ du. 2.29. Chú,ng minh ră` ng nê´u A1 + · · · + An = π, 0 < Ai ≤ π, i = 1, 2, . . . , n, thı̀ sin A1 + sin A2 + · · · + sin An ≤ n sin π . n , , , ,, ` Lòi giai. Chúng minh băng quy nap . toán hoc . d̄ê´n buóc quy nap . ` ´ k, mênh d̄ê P ( k ) d̄ úng có d ang nê u A + · · · + A = π, 0 < A ≤ 1 i k . . π, i = 1, 2, . . . , k, thı̀ sin A1 + · · · + sin Ak ≤ k sin π . k , , ,, Ðê chúng minh mênh d̄ê` P(k + 1) d̄úng ta cho truóc A1 + · · · + . , , Ak + Ak+1 = π, 0 < Ai ≤ π, i = 1, . . . , k + 1 phai chúng minh sin A1 + · · · + sin Ak + sin Ak+1 ≤ (k + 1) sin π . k+1 , Nê´u ta dùng gia thiê´t quy nap . thı̀ π k , , , ,, ,, không thê suy ra d̄uo. c buóc tiê´p theo. Do viêc . tông cua các Ai , , ` băng π dẫn d̄ê´n han . chê´ râ´t nhiê`u khi chúng minh. Bây giò ta , xét mênh d̄ê` rông hon Q(n) : . . sin A1 + · · · + sin Ak−1 + sin( Ak + Ak+1 ) ≤ k sin Nê´u 0 < Ai ≤ π, i = 1, . . . , n, khi d̄ó sin A1 + · · · + sin An ≤ n sin A1 + · · · + A n . n , ,, ` Ta thâ´y răng Q(n) suy ra P(n). rõ ràng Q(1) d̄úng. Gia su Q(k ) 54 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . , ,, d̄úng, và gia su có 0 < Ai ≤ π, i = 1, . . . , k + 1, khi d̄ó sin A1 + · · · + sin Ak + sin Ak+1 A + · · · + Ak ≤ k sin( 1 ) + sin Ak+1 k k A1 + · · · + A k 1 = (k + 1)[ sin( )+ sin Ak+1 ] k+1 k k+1 k A + · · · + Ak 1 ≤ (k + 1)[sin( ( 1 )+ A )] k+1 k k + 1 k +1 A + · · · + A k + A k +1 ). ≤ (k + 1) sin( 1 k+1 , , , , , Trong biê´n d̄ôi hai bâ´t d̄ăng thúc sau cùng câ`n phai chúng minh , , , ,, cho hai góc có d̄ánh giá nhu trên có thê chúng minh d̄uo. c (ban . , , , , , ´ d̄oc d̄ê` . hãy kiêm tra lai). . Nhu vây . tù su. d̄úng d̄ăn cua mênh . Q(k + 1) suy ra P(k + 1) cũng d̄úng. , Vı́ du. 2.30. Cho ui là sô´ hang thú, i cua dãy Fibonacci. Chú,ng . minh ră` ng u2n+1 + u2n = u2n+1 . J , , , ,, , , , Lòi giai. Khăng d̄inh d̄úng vói n = 1. Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói . . n = k. Khi d̄ó u2k+2 + u2k+1 = (uk+1 + uk )2 + u2k+1 = u2k+1 + 2uk+1 uk + u2k + u2k+1 = (u2k+1 + u2k ) + (2uk+1 uk + u2k+1 ) = u2k+1 + (2uk+1 uk + u2k+1 ). , ,, ,, , Theo công thúc dãy Fibonacci thı̀ buóc quy nap . d̄uo. c chúng minh , ` hoàn toàn nê´u ta chı ra răng 2uk+1 uk + u2k+1 = u2k+2 . Do có công , thúc d̄ó nên u2k+1 + (2uk+1 uk + u2k+1 ) = u2k+1 + u2k+2 = u2k+3 . , , , Bây giò chı còn chúng minh 2uk+1 uk + u2k+1 = u2k+2 . Ta cũng tiê´n 2.7. Bài tâp . 55 , , ,, , , hành theo quy nap, . vói n = 1 công thúc d̄úng hiên nhiên, gia su , d̄úng vói n = k ta có 2uk+2 uk+1 + u2k+2 = 2(uk+1 + uk )uk+1 + u2k+2 = 2u2k+1 + 2uk uk+1 + u2k+2 = (2uk+1 uk + u2k+1 ) + (u2k+1 + u2k+2 ) = u2k+2 + (u2k+1 + u2k+2 ). , , ,, , Chúng ta lai . vuóng phai bài toán ban d̄â`u, nê´u d̄ăng thúc sau 2 2 d̄úng u2k+1 + u2k+2 = u2k+3 . Nê´u có vây . thı̀ u2k+2 + (uk+1 + uk+2 ) = ,, u2k+2 + u2k+3 = u2k+4 và buóc quy nap . phâ`n này hoàn toàn xong. , , , Kê´t qua là nê´u d̄úng mênh d̄ê` thú nhâ´t thı̀ d̄úng mênh d̄ê` thú . . ,, , hai và nguo. c lai. d̄ê` . Thu. c ra bài toán xét hai dãy mênh . P(n) : u2n+1 + u2n+1 = u2n+1 , Q(n) : 2un+2 un+1 + u2n+2 = u2n+2 . , ` P(1) và Q(1) d̄ê`u d̄úng. Theo lý luân . cua phâ`n trên thâ´y răng , P(k ) và Q(k ) d̄úng suy ra P(k + 1) d̄úng, và vói P(k + 1) và Q(k ) , , lai . suy ra Q(k + 1) d̄úng. Nhu vây . tù P(k ) và Q(k ) suy ra P(k + 1) và Q(k + 1) d̄ê`u d̄úng. J 2.7. Bài tâp . . 2.31. Cho x1 < x2 < . . . < xn là nhũ,ng sô´ nguyên du,o,ng. , , , Chúng minh bâ´t d̄ăng thúc ( x15 + x25 + · · · + xn5 ) + ( x17 + x27 + · · · + xn7 ) ≥ 2( x13 + x23 + · · · + xn3 )2 . (2.27) , , , , , , ` Chúng minh răng d̄ăng thúc chı xây ra khi và chı khi xk = k (k = 1, 2, . . . , n). 56 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . , . 2.32. Chú,ng minh bâ´t d̄ăng thú,c ( a1 + a2 + · · · + ak )2 ≤ k( a21 + a22 + · · · + a2k ), (2.28) ,, , , , o d̄ây k ≥ 1 là sô´ tu. nhiên và a1 , a2 , . . . , ak là nhũng sô´ thu. c bâ´t kỳ. ` . 2.33. Cho f ( x ) = ( x2 − 1)1/2 , x > 1. Chú,ng minh răng f (n) ( x ) > , , , ˜ 0 vói n le và f (n) ( x ) < 0 vói n chăn. ,, ` . 2.34. Chú,ng minh răng phuong trı̀nh x2 + y2 = zn có nghiêm . , nguyên ( x, y, z) vói moi n = 1, 2, 3, . . . . , , CHUONG 3 , , TÌM CÔNG THÚC TÔNG QUÁT 3.1. Câ´p sô´ công và câ´p sô´ nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . , 3.2. Tı́nh tông và sô´ hang tông quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,, 3.3. Phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n tı́nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , , , , 3.4. Tông cua nhũng lũy thùa cùng bâc . các sô´ tu. nhiên 3.5. Bài tâp. . ................................................ 57 66 71 84 87 ,, ,, , ,, Phuong pháp quy nap toán hoc gô`m hai buóc nhu hai chuong . . , , , ,, , , , ,, ,, truóc ta d̄ã khao sát. Buóc co so chuyên sang buóc gia thiê´t quy , , nap nó d̄òi hoi nhiê`u kinh nghiêm giai toán, . là râ´t quan trong, . . , , phán d̄oán d̄úng, d̄ua ra khăng d̄inh chung chı́nh xác và có lý. . ,, , , ´ Chuong này ta dùng lai viêc thiêt lâp môt sô´ cách tı̀m công thúc . . . . , , là dãy sô´. Sau khi tı̀m ra tông quát cho các mênh d̄ê` khăng d̄inh . . , , , ` tông ta có thê chúng minh băng quy nap . toán hoc. . 3.1. Câ´p sô´ công và câ´p sô´ nhân . , ,, ´ công và Trong các chuong trı̀nh phô thông ta d̄ã hoc . câ´p sô , . , ,, , ´ lai câ´p sô´ nhân, o d̄ây ta nhăc . hai công thúc tı́nh tông nhung ,, , ` d̄uo. c chúng minh băng quy nap. . , Vı́ du. 3.1. Chú,ng minh d̄ăng thú,c sau: 1 + q + q2 + · · · + q n = 1 − q n +1 , 1−q (3.1) ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát 58 , vó,i moi . q 6= 1 và vói moi . n = 0, 1, 2, . . . (câ´p sô´ nhân). , , , Lòi giai. Gia thiê´t quy nap . có ngay trong d̄â`u bài. , , n Ðat .̆ Sn = 1 + q + · · · + q . Vói n = 0, S0 = 1 công thúc (3.1) d̄úng. , , ,, , , , Gia su vói sô´ tu. nhiên n = k nào d̄ó ta có d̄ăng thúc Sk = 1 − q k +1 . 1−q , , , , , Ta sẽ chúng minh d̄ăng thúc d̄úng vói sô´ tu. nhiên tiê´p theo, nghı̃a là 1 − q k +2 . S k +1 = 1−q Thât . vây, . S k +1 = S k + q k +1 = J 1 − q k +1 1 − q k +2 + q k +1 = . 1−q 1−q , , Vı́ du. 3.2. Cho b và d là hai sô´. Tı̀m sô´ hang tông quát an cua . dãy, d̄u,o.,c xác d̄inh theo công thú,c sau (câ´p sô´ công): . . a1 = b, an = an−1 + d (n = 2, 3, . . .). , , , Lòi giai. Ta câ`n tı̀m sô´ hang an theo nhũng sô´ d̄ã cho b và d, cũng . , , nhu chı sô´ n d̄ã cho. Ta tı́nh môt . a1 = b, a2 = a1 + d = . sô´ giá tri: b + d, a3 = a2 + d = (b + d) + d = b + 2d, a4 = a3 + d = b + 3d. Dễ , , dàng d̄ua ra gia thiê´t quy nap . an = b + (n − 1).d. (3.2) , , , Ta sẽ chúng minh (3.2) d̄úng vói moi . sô´ tu. nhiên n. Thât . vây, . ,, , , , , , Buóc co so: Vói n = 1, (3.2) d̄úng vói cách tı́nh phâ`n trên. 3.1. Câ´p sô´ công và câ´p sô´ nhân . 59 , ,, , , Bu,ó,c quy nap: . Gia su ,(3.2) d̄úng vói sô´ tu. nhiên n nào d̄ó. Khi , d̄ó, tù (3.2) cho ta kê´t qua an+1 = an + d = [b + (n − 1)d] + d = b + nd. , , , Nhu vây . (3.2) d̄úng vói moi . sô´ tu. nhiên n. , Bây giò ta xét câ´p sô´ công . và câ´p sô´ nhân m, à công sai và công , , ` sô´, chúng biê´n d̄ôi nhu, sô´ hang bôi tông . cua, chúng không là hăng . quát cua câ´p sô´ công hoac . .̆ câ´p sô´ nhân. J Vı́ du. 3.3. Cho môt . dãy sô´ n sô´ hang . a1 = a1 , a2 = a1 + d1 , a3 = a2 + d2 , . . . , an = an−1 + dn−1 , (3.3) ,, o d̄ây dãy sô´ d1 , d2 , . . . , dn−1 là môt vó,i công sai d 6= 0 . câ´p sô´ công . (câ´p sô´ công-c ông) . Chú,ng minh ră` ng . . 1 ak = a1 + (k − 1)d1 + (k − 1)(k − 2)d, (3.4) 2 n(n − 1)(2d1 − 3d) n(n + 1)(2n + 1)d Sn = n ( a1 + d − d1 ) + + . 4 12 (3.5) , , , , , ,, ` Lòi giai. Công thúc trên có thê chúng minh băng phuong pháp , , , ,, ´ gon quy nap ng d̄ê ngăn . nhu . ta chı dùng phuong pháp tı́nh toán , , , và biê´n d̄ôi. Dãy sô´ (3.3) goi ông vói sô´ hang thú . là câ´p sô´ công-c . . . , k, ak , công sai thú k, dk và công sai d. Dễ dàng có ak = a1 + d1 + , , d2 + · · · + dk−1 . Vói dãy sô´ là các sô´ gia cua (3.3) ta có dk = d1 + (k − 1)d, d1 + d2 + · · · + d k = Vây . d1 + d k 2d1 + (k − 1)d k= k. 2 2 1 ak = a1 + (k − 1)d1 + (k − 1)(k − 2)d. 2 ,, , , 60 Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát , , , ,, , câ´p sô´ công-c ông tı́nh d̄uo. c nhu sau: Tông cua nhũng sô´ hang . . . n Sn = ∑ n ak = k =1 3 d ∑ [(a1 + d − d1 ) + (d1 − 2 d)k + 2 k2 ] k =1 n 3 d n = n ( a1 + d − d1 ) + ( d1 − d ) ∑ k + ∑ k 2 , 2 k =1 2 k =1 , , Tù d̄ây suy ra công thúc (3.5). J Vı́ du. 3.4. Cho môt . dãy sô´ n sô´ hang . a 1 = a 1 , a 2 = a 1 + d 1 , a 3 = a 2 + d 2 , . . . , a n = a n −1 + d n −1 , ,, , o d̄ây dãy sô´ d1 , d2 , . . . , dn−1 là môt . câ´p sô´ nhân vói công bôi . q 6= 1 , ` ´ ´ (câp sô công-nhân). Chúng minh răng . a k = a1 + Sn = n ( a1 + d 1 ( q k −1 − 1 ) q−1 (3.6) d1 d ( q n − 1) . )+ 1 1−q ( q − 1)2 (3.7) , , , , , , Lòi giai. Tù gia thiê´t cua bài toán và công thúc cho câ´p sô´ công . , ´ ´ và câp sô nhân ta có công thúc d k = d 1 q k −1 , d1 + d2 + · · · + d k = d1 ( q k − 1) . q−1 ,, Ta dễ dàng tı́nh d̄uo. c a k = a 1 + d 1 + d 2 + · · · + d k −1 = a 1 + d 1 ( q k −1 − 1 ) . q−1 , , , Tù d̄ăng thúc sau cùng suy ra n Sn = ∑ n ak = k =1 = n ( a1 + d1 d1 ∑ [(a1 + 1 − q ) + q − 1 qk−1 ] k =1 d ( q n − 1) d1 )+ 1 . 1−q ( q − 1)2 J 3.1. Câ´p sô´ công và câ´p sô´ nhân . 61 Vı́ du. 3.5. Cho dãy hũ,u han . n sô´ a 1 = a 1 , a 2 = a 1 q 1 , a 3 = a 2 q 2 , . . . , a n = a n −1 q n −1 , (3.8) , o, d̄ây dãy sô´ q1 , q2 , . . . , qn−1 là câ´p sô´ công vó,i công sai d 6= 0. Dãy . sô´ (3.8) goi vó,i sô´ hang thú, k, ak , công bôi . là câ´p sô´ nhân-công . . . , , , ´ thú k, qk và công sai d. Hãy lâp tông quát . công thúc tı́nh sô hang . , , , , ´ ´ ´ ` cua câp sô nhân-công và tông nhũng sô hang d̄âu cua nó. . . , , Lòi giai. Vı̀ qk = q1 + (k − 1)d, thı̀ ta có k −1 k −1 a k = a 1 q 1 q 2 . . . q k −1 = a 1 ∏ q l = a 1 ∏ [ q 1 + ( l − 1 ) d ] = a1 [q1k−1 + S1k−2 dq1k−2 hoac .̆ là ak =   a k −2 1 ∑ Slk−2 dl q1k−l−1 , l =0   a1 l =1 k −2 2 k −3 + S2 d q 1 l =1 −2 k −3 2 −2 k −2 q1 + Skk− q1 ] + · · · + Skk− 3d 2d , vói k=2, 3, . . . , n ; , vói k=1 , ,, , , o d̄ây S0n = 1 vói n = 0, 1, 2, . . ., còn Sin vói 0 < i ≤ n và i nguyên, , , , , , , là tông cua tâ´t ca các tı́ch dang p1 p2 ..pi , Nhũng thùa sô´ cua mỗi . , tı́ch là i sô´, hoàn toàn khác nhau và nhân . giá tri. nguyên tù 1 d̄ê´n , , , không chúa sô´ n n. Nê´u trong tông Sin ta nhóm nhũng sô´ hang . , , , , nhu môt và các sô´ hang có chúa n nhu môt . sô´ hang, . . . thùa sô´, và ,, , , ,, sau d̄ó o nhóm thú hai ta d̄ua n ra ngoài ngoac, .̆ ta sẽ nhân . d̄uo. c Sin = Sin−1 + nSin−−11 . (3.9) , ,, Ta dùng (3.9) viê´t các giá tri. Sin vào bang tam giác mo rông d̄ê´n . , vô cùng nhu sau ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát 62 t 0 1 2 3 4 5 6 7 .. . 0 1 1 1 1 1 1 1 1 .. . 1 2 3 4 5 6 7 1 3 6 10 15 21 28 .. . 2 11 35 85 175 322 .. . 6 50 225 735 1960 .. . 24 274 1624 6769 .. . 120 1764 13132 .. . 720 13068 .. . 5040 .. . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... , ,, Bang trên có nhiê`u tı́nh châ´t râ´t hay, vı́ du. d̄uòng chéo là , , , , an = n!, n = 0, 1, 2, . . ., nhung ta không nghiên cúu o d̄ây. , , , , , Bây giò ta tı̀m công thúc tông Sn cua câ´p sô´ nhân-công. Tù . , , (3.9) ta có d̄ăng thúc a1 = a1 , a2 = a1 S00 q1 , a3 = a1 (S01 .q21 + S11 .d.q1 ) ............................... −2 k −2 ak = a1 (S0k−2 q1k−1 + S1k−2 dq1k−2 + · · · + Skk− q1 ) 2d , , , ´ xê´p theo sô´ mũ Công theo vê´ cua các d̄ăng thúc trên và săp . , , , tăng dâ`n cua q1 ta nhân . d̄uo. c −2 k −2 Sk = a1 [1 + q11 (1 + S11 d1 + S22 d2 + · · · + Skk− ) 1d −2 k −3 + q21 (1 + S12 d1 + S23 d2 + · · · + Skk− )+··· 3d + q1k−2 (1 + S1k−2 d) + q1k−1 ], hoac .̆ là n −1 n − i −1 Sn = a1 [1 + ∑( ∑ i =1 k =0 Ski+k−1 dk )q1i ]. J 3.1. Câ´p sô´ công và câ´p sô´ nhân . 63 Vı́ du. 3.6. Cho dãy hũ,u han . n sô´ a 1 = a 1 , a 2 = a 1 q 1 , a 3 = a 2 q 2 , . . . , a n = a n −1 q n −1 , (3.10) , o, d̄ây dãy sô´ q1 , q2 , .., qn−1 là câ´p sô´ nhân vó,i công bôi . q 6= 1. Dãy , , , , ´ ´ ´ sô hũu han . trên goi . là câp sô nhân-nhân vói thùa sô´ thú k là ak , , k-công bôi . là qk và công bôi . q. Hãy lâp . công thúc tı́nh sô´ hang . , , , ´ ` ´ ´ tông quát và tông n sô hang d̄âu tiên cua dãy câp sô nhân-nhân. . , , Lòi giai. Ta d̄ã biê´t qk = q1 qk−1 , khi d̄ó ak = a1 q1 q2 . . . qk−1 = a1 q1k−1 q1+2+3+···+(k−2) hay là ak = Sn = a1 q1k−1 q (k − 2)(k − 1) 2 , n n k =1 k =1 ∑ a k = a1 q ∑ q1k−1 q k ( k − 3) 2 . , ,, , Nhũng dãy sô´ o các bài tâp goi là các dãy cap d̄ôi. Ðê . trên . .̆ ,, , , , , ,, , mo rông hon nũa du. a trên co so cua câ´p sô´ công và câ´p sô´ nhân . . ,, , nguòi ta lai . ghép thêm các câ´p sô´ cap .̆ d̄ôi môt . lâ`n nũa, ta lâ´y vı́ , , du. sau: Ta xét dãy hũu han . tù n sô´ b1 , b2 = b1 + a1 , b3 = b2 + a2 , . . . , bn = bn−1 + an−1 ,, , ông vói công sai d và o d̄ây dãy sô´ a1 , a2 , . . . , an−1 là câ´p sô´ công-c . . , công sai thú k là dk . Khi d̄ó vı̀ bk = b1 + a1 + a2 + · · · + ak−1 và vı̀ , ,, , (3.4) ta tı̀m d̄uo. c sô´ hang thú k cua câ´p sô´ cap . .̆ ba bk = b1 + (k − 1)( a1 + d − d1 ) + (k − 1)k(2d1 − 3d) (k − 1)k(2k − 1)d + . 4 12 (3.11) ,, , , 64 Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát , , , ,, cua dãy ta tı̀m d̄uo. c Tông nhũng sô´ hang . Sn = n n k =1 k =1 ∑ bk = ∑ [(b1 + d1 − a1 − d) ,, Ta nhân . d̄uo. c 3 11 d d + k ( a1 − d1 + d ) + k 2 ( 1 − d ) + k 2 ]. 2 6 2 6 n(n + 1)(6a1 − 9d1 + 11d) (3.12) 12 n(n + 1)(2n + 1)(d1 − 2d) n2 (n + 1)2 d + . + 12 24 , , Ðê minh hoa công thúc trên ta xét bài tâp: . áp dung . . , , Vı́ du. 3.7. Tı̀m sô´ hang tông quát cua dãy câ´p sô´ cap . .̆ ba sau d̄ây Sn = n(b1 + d1 − a1 − d) + J 2, 5, 9, 17, 32, 57, 95, . . . (3.13) , và tı́nh tông n sô´ hang d̄â`u tiên. . , , ,, , , Lòi giai. Dãy tao . ra boi nhũng hiêu . liên tiê´p cua dãy d̄ã cho là 3, 4, 8, 15, 25, 38, . . . , ,, , Tiê´p tuc . tao . ra dãy gô`m nhũng hiêu . cua các phâ`n tu là 1, 4, 7, 10, 13, . . . (3.14) d̄ây là câ´p sô´ công d̄â`u tiên là d1 = 1 và công sai d = 3. . có sô´ hang . , , Vı̀ b1 = 2, a1 = 3, theo công thúc (3.11) sô´ hang tông quát cho dãy . (3.13) là 1 bn = (n3 − 5n2 + 14n − 6). 2 , , , Vê` tông cua n sô´ hang d̄â`u theo công thúc (3.12) ta có . 1 Sn = n(3n3 − 14n2 + 57n + 2). 24 J 3.1. Câ´p sô´ công và câ´p sô´ nhân . 65 , Vı́ du. 3.8. Tı̀m công thú,c tı́nh tông Sn = 3.2 + 5.5 + 7.8 + · · · + (2n + 1)(3n − 1). , ,, , Lòi giai. Nê´u chúng ta lai lap lai cách thu mâ´y giá tri. ban d̄â`u . .̆ . , , và mâ`y mò tı̀m kê´t qua thı̀ khá vâ´t va. Ta hãy nhı̀n kỹ vào d̄ê` , ` bài và d̄at tông quát an = (2n + 1)(3n − 1). Ta thâ´y răng .̆ sô´ hang . , , , , thùa sô´ thú nhâ´t là câ´p sô´ công và thùa sô´ thú hai cũng là câ´p sô´ . , , , , công. Câu hoi d̄at ra là du. a vào công thúc d̄ã có cua câ´p sô´ công . .̆ . , , ,, ,, , , có tı́nh d̄uo. c tông Sn o trên không? Bài toán có thê phai d̄ua vê` , ,, , , truòng ho. p tông quát hon: , , Tı́nh tông Sn = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn vói a1 , a2 , . . . , an là câ´p sô´ công có công sai d a và b1 , b2 , . . . , bn là câ´p sô´ công có công sai . . db . Ta có n Sn = ∑ n a k bk = k =1 ∑ [a1 + (k − 1)da ].bk = k =1 n = ( a 1 − d a ) ∑ bk + d a k =1 n ∑ [(a1 − da ) + kda ].bk k =1 n ∑ k.bk k =1 n 2b + (n − 1)db n + d a ∑ k.[(b1 − db ) + kdb ] = ( a1 − d a ) 1 2 k =1 = ( a1 − d a ) n n 2b1 + (n − 1)db n + d a ( b ∑ k + d a db ∑ k2 2 k =1 k =1 1 = ( a1 − d a )(b1 − db )n + [d a (b1 − db ) + db ( a1 − d a )]n(n + 1)+ 2 1 + d a db n(n + 1)(2n + 1). 6 Hoac l à .̆ 1 1 Sn = d a db n3 + (d a b1 + db a1 − d a db )n2 3 2 1 + (6a1 b1 − 3db a1 − 3d a b1 + d a db )n. (3.15) 6 ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát 66 , , Áp dung công thúc (3.15) vào vı́ du. trên vói a1 = 3, d a = 2, b1 = . , 2, db = 3. Ta có kê´t qua 1 n(4n2 + 7n + 1). 2 , , , ,, , , Công thúc tông quát trên d̄ã tı́nh d̄uo. c qua tru. c tiê´p biê´n d̄ôi. Vói , , , ` công thúc này ta cũng có thê chúng minh băng quy nap . toán hoc . , , ` ` (dành cho ban d̄ oc). Nhu ng nhiê u khi ch ú ng minh b ăng quy n ap . . , , ,. , , ´ ´ toán hoc d ẫn d̄ê n biê n d̄ô i biê u th ú c vô c ùng ph ú c t ap l àm n an . . , ,, , , lòng chúng ta. Mỗi phuong pháp chı manh v ó i m ôt l . . óp bài toán nào d̄ó thôi. Sn = , , 3.2. Tı́nh tông và sô´ hang tô ng quát . , ,, ,, ,, Chuong truóc ta d̄ã quan sát các phuong án khác nhau cua , ,, phuong pháp quy nap, nhiê`u khi d̄i tı̀m môt sô´ hang tông quát . . . , , ,, ,, hoac nguòi ta áp dung phuong pháp quy .̆ môt . tông cua môt . dãy . , ,, nap . toán hoc . môt . cách hiên, nhiên do các buóc hô`i quy liên tiê´p ,, , , mà ta tı̀m d̄uo. c công thúc tông quát. Nhũng vı́ du. sau d̄ây minh ,, hoa . phuong pháp quy nap . này. Vı́ du. 3.9. Dẫy sô´ a0 , a1 , a2 , . . . d̄u,o.,c xây du. ,ng theo cách sau: Hai sô´ d̄â`u a0 và a1 là nhũ,ng sô´ d̄ã cho, mỗi sô´ sau d̄ó là trung bı̀nh , , công cua hai sô´ tru,ó,c d̄ó. Hãy biêu diễn an theo a0 , a1 và n. . , , Lòi giai. Ta có a0 + a1 a1 + a2 a2 + a3 a3 + a4 a2 = , a3 = , a4 = , a5 = ,... 2 2 2 2 , tù d̄ó suy ra a0 − a1 a1 − a2 a2 − a3 a2 − a1 = , a3 − a2 = , a4 − a3 = ,... 2 2 2 , , 3.2. Tı́nh tông và sô´ hang tông quát . Suy ra 67 a1 − a0 2 a2 − a1 a − a0 a3 − a2 = − = 1 2 2 2 a3 − a2 a1 − a0 a4 − a3 = − =− 2 23 ................ a2 − a1 = − ,, ,, ` Dễ thâ´y răng (phuong pháp quy nap . toán hoc . d̄uo. c áp dung . ,, o d̄ây) a1 − a0 an − an−1 = (−1)n−1 n−1 . 2 , , , Công theo vê´ cua các d̄ăng thúc trên, ta có . a1 − a0 a − a0 a − a0 a − a0 a n − a1 = − + 1 2 − 1 3 + · · · + (−1)n−1 1 n−1 2 2 2 2 a1 − a0 1 1 1 =− (1 − + 2 + · · · + (−1)n−2 n−2 ) 2 2 2 2 a1 − a0 n −1 1 {(−1) − 1}. = 3 2n −1 , Tù d̄ó suy ra 2a1 + a0 a − a0 an = + (−1)n−1 1 n−1 . 3 3.2 , , Vı́ du. 3.10. Dãy sô´ a1 , a2 , a3 , . . . d̄uo. c xác d̄inh theo công thú,c . J a1 = 2 và an = 3an−1 + 1. Hãy tı́nh a1 + a2 + · · · + an . , , , , Lòi giai. Ta xét d̄ăng thúc ak = 3ak−1 + 1. Cho k giá tri. n n ,, 2, 3, 4, . . . , n và công . lai . ta nhân . d̄uo. c ∑ ak = 3 ∑ ak−1 + n − 1. Ta k =2 k =2 d̄at .̆ a1 + a2 + · · · + an = S. Khi d̄ó ta có S − a1 = 3(S − an ) + n − 1. Suy ra 1 S = {3an − a1 − n + 1}. 2 68 ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát , , Ta chı còn biêu diễn an qua a1 . Ta có an = 3an−1 + 1, an−1 = 3an−2 + 1. , Tù d̄ó suy ra an − an−1 = 3( an−1 − an−2 ). Vı̀ thê´ a n − a n − 1 = 3 ( a n − 1 − a n − 2 ) = 32 ( a n − 2 − a n − 3 ) = = 33 ( an−3 − an−4 ) = · · · = 3n−2 ( a2 − a1 ). , n−2 (quy nap toán Nhung a2 = 3a1 + 1 = 7, vı̀ vây . an − an−1 = 5.3 . ,, , ` hoc d̄ ã d ùng o d̄ây). V ó i c ác gi á tr i n b ăng 2, 3, 4, . . . , n ta có . . a2 − a1 = 5.1, a3 − a2 = 5.3, a4 − a3 = 5.32 , ............ an − an−1 = 5.3n−2 . , , , ,, Công theo các vê´ cua d̄ăng thúc, ta tı́nh d̄uo. c . a n − a 1 = 5 ( 1 + 3 + 32 + · · · + 3 n − 2 ) = 5 n −1 (3 − 1). 2 , , , , Tù biêu thúc cua S ta có 1 S = {3( an − a1 ) + 2a1 − n + 1} = 2 1 15 n−1 1 = { (3 − 1) + 4 − n + 1} = {5(3n − 1) − 2n}. 2 2 4 Vı́ du. 3.11. Dãy sô´ a1 , a2 , . . . xác d̄inh theo công thú,c . , an = kan−1 + l (n = 2, 3, . . .). Hãy biêu diễn an theo a1 , k, l và n. J , , Lòi giai. Ta có an = kan−1 + l, an−1 = kan−2 + l. Suy ra a n − a n −1 = k ( a n −1 − a n −2 ) = k 2 ( a n −2 − a n −3) = . . . = k n −2 ( a 2 − a 1 ), , , 3.2. Tı́nh tông và sô´ hang tông quát . , tù d̄ó suy ra 69 a2 − a1 = ( a2 − a1 ), a3 − a2 = k ( a2 − a1 ), a4 − a3 = k 2 ( a2 − a1 ), ......... a n − a n −1 = k n −2 ( a 2 − a 1 ). , , Công lai . . các d̄ăng thúc trên ta có k n −1 − 1 l. k−1 , , Vı́ du. 3.12. Cho dãy a1 , a2 , . . . thoa mãn d̄ăng thú,c sau: , an+1 − 2an + an−1 = 1. Hãy biêu diễn an theo a1 , a2 và n. a n = k n −1 a 1 + J , , , , ,, Lòi giai. Ta viê´t lai sau: . d̄ăng thúc duói dang . an+1 − an − ( an − an−1 ) = 1. Ta d̄at .̆ an −, an−1 = xn , (n = 2, 3, . . .). Khi d̄ó ta có xn+1 − xn = 1. , ` 2, 3, . . . , n − 1 và công Thay vào d̄ăng thúc sau cùng giá tri. n băng . ,, lai, . ta nhân . d̄uo. c xn − x2 = n − 2. Ta lai lai . thay n = 3, 4, . . . , n vào an − an−1 = xn và công . . ta ,, nhân . d̄uo. c a n − a2 = x3 + x4 + · · · + x n . Hay là a n = a2 + x3 + x4 + · · · + x n . , Nhung n n ∑ x k = ∑ ( x2 + k − 2) k =3 k =3 = ( n − 2) x2 + ( n − 2) + ( n − 3) + · · · + 1 (n − 1)(n − 2) . = ( n − 2) x2 + 2 ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát 70 , Tù d̄ó suy ra (n − 1)(n − 2) 2 (n − 1)(n − 2) = a2 + (n − 2)( a2 − a1 ) + 2 (n − 1)(n − 2) = + ( n − 1) a2 − ( n − 2) a1 . 2 a n = a2 + ( n − 2) x2 + J Vı́ du. 3.13. Cho hai dãy sô´ a1 , a2 , a3 , . . . b1 , b2 , b3 , . . . , , d̄uo. c xác d̄inh theo công thú,c sau: . a n + bn 2an bn a n +1 = ; bn + 1 = 2 a n + bn , o, d̄ây a0 và b0 là nhũ,ng sô´ d̄ã cho a0 > b0 > 0. Tı́nh an và bn theo a0 , b0 và n. , , ` Lòi giai. Dễ thâ´y răng an+1 bn+1 = an bn , và suy ra an bn = a0 b0 , , vói moi . sô´ nguyên n. Nhung p √ √ √ a n − bn a n − a n − 1 bn − 1 a n − a n bn p √ = √ = √ a n + bn a n + a n bn a n + a n − 1 bn − 1 a n − 1 + bn − 1 p !2 p √ − a n − 1 bn − 1 a − b n − 1 n − 1 2 p = a + = √ . p n − 1 bn − 1 a n − 1 + bn − 1 + a n − 1 bn − 1 2 √ √ a n − bn √ = un . Khi d̄ó ta có Ta d̄at .̆ √ a n + bn un−1 = u2n−2 , un−2 = u2n−3 , …… ,, 3.3. Phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n tı́nh 71 u2 = u21 , u1 = u20 . , , , , ,, , Nâng bâc . lũy thùa cua các d̄ăng thúc lâ`n luo. t vói n −1 ,, , 1, 2, 22 , . . . , 2n−2 . Ta tı́nh d̄uo. c un−1 = u20 . Nhung p √ √ a n − 1 − bn − 1 an−1 − a0 b0 p √ u n −1 = √ = , an−1 + a0 b0 a n − 1 + bn − 1 √ √ √ a0 − b0 a0 − a0 b0 √ = √ . u0 = √ a0 + b0 a0 + a0 b0 , Nhu vây . ta có √ √ 2n −1 an−1 − a0 b0 a0 − a0 b0 √ √ = . an−1 + a0 b0 a0 + a0 b0 J ,, 3.3. Phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n tı́nh ,, Muc sô´ hang . truóc ta thâ´y các bài toán d̄ê`u cho dãy sô´ và các . , ,, , , ` d̄uo. c liên hê. vói nhau băng công thúc truy hô`i. Cách giai d̄ê`u tı̀m , , , ,, trong công thúc truy hô`i mô´i liên hê. d̄ê tı́nh d̄uo. c sô´ hang tông . , , quát và tông n sô´ hang d̄â`u tiên. Không phai lúc nào ta cũng . ,, , `n tru,ó,c. có các phuong trı̀nh truy hô`i d̄ep d̄ẽ nhu các bài tâp . phâ , ,. , Muc này ta chı ra môt cách tông quát tı́nh sô´ hang tông quát và . ,. ,. , ,, tông nhũng dãy thoa mãn phuong trı̀nh truy hô`i. , Cho k sô´ hang d̄â`u cua dãy sô´ . x1 , x2 , x3 , . . . , x n , . . . (3.16) , , là x1 = u1 , x2 = u2 , . . . , xk = uk . Mỗi sô´ hang thú k + 1 cua dãy . (3.16) tô`n tai . mô´i liên hê. x k + n + a 1 x n + k − 1 + a 2 x n + k − 2 + · · · + a k x n = bn , (3.17) ,, , o d̄ây a1 , a2 , . . . , ak là nhũng sô´ d̄ã cho, còn b1 , b2 , . . . , bn , . . . là dãy ,, ,, d̄ã cho. Khi d̄ó (3.17) cho phép ta tı́nh d̄uo. c moi . phâ`n tu liên tiê´p ,, , , 72 Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát , , , ´ biêu diễn sô´ hang tông quát cua dãy (3.16) và sau d̄ó ta cô´ găng . , cua chúng. Xét vı́ du. , , Vı́ du. 3.14. Tı̀m công thú,c tông quát cua dãy xác d̄inh nhu, sau: . x1 = 5, x2 = 19, xn − 5xn−1 + 6xn−2 = 0. , , , ,, Lòi giai. Tù mô´i liên hê. hô`i quy xn = 5xn−1 − 6xn−1 , ta tı̀m d̄uo. c x1 = 5 = 32 − 22 , x2 = 19 = 33 − 23 , x3 = 5×2 − 6×1 = 65 = 34 − 24 , x4 = 5×3 − 6×2 = 211 = 35 − 25 , x5 = 5×4 − 6×3 = 665 = 35 − 25 , x6 = 5×5 − 6×4 = 2059 = 36 − 26 . , , , ` Ta gia thiê´t răng sô´ hang tông quát cua dãy có dang . . (3.18) x n = 3n +1 − 2n +1 . , ,, , ,, ` Gia thiê´t d̄uo. c chúng minh băng phuong pháp quy nap. . , , 1) Ta d̄ã kiêm tra (3.18) d̄úng vói n = 1 và n = 2. , , 2) Ta gia thiê´t (3.18) d̄úng vói n = k và n = k + 1, nghı̃a là ,, xk = 3k+1 − 2k+1 và xk+1 = 3k+2 − 2k+2 . Khi d̄ó ta tı̀m d̄uo. c xk+2 = 5xk+1 − 6xk = 5(3k+2 − 2k+2 ) − 6(3k+1 − 2k+1 ) = (15 − 6)3k+1 − (10 − 6)2k+1 = 3k+3 − 2k+3 . , , Nhu vây . (3.18) d̄úng vói n = k + 2. Theo nguyên lý quy nap . toán , hoc . suy ra (3.18) d̄úng vói moi . n. ,, ,, Phuong trı̀nh (3.17) goi . phuong trı̀nh hô`i quy tuyê´n tı́nh bâc . , ,ng hê sô´, còn b goi là sô´ k. Nhũng sô´ a1 , a2 , a3 , . . . , ak goi l à nh ũ n . . . , do. Khi vó,i moi n, b = 0 phu,o,ng trı̀nh goi là thuâ`n hang t u n . . , . . , ´ nhâ´t. Bài toán d̄at ra l à tı̀m c ách biê u di ễn sô h ang tông quát .̆ . , ,, xn qua các d̄ai . luo. ng ban d̄â`u d̄ã cho. Trong muc . này ta chı xét ,, phuong trı̀nh truy hô`i bâc . hai. J ,, 3.3. Phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n tı́nh 73 , Vı́ du. 3.15. Tı̀m sô´ hang tông quát xn cho phu,o,ng trı̀nh truy hô`i . thuâ`n nhâ´t bâc . hai: a0 xn+2 + a1 xn+1 + a2 xn = 0. (3.19) , , , ,, Lòi giai. Ta goi . t1 và t2 là nghiêm . cua phuong trı̀nh bâc . hai a0 t2 + a1 t + a2 = 0 ( a0 6= 0, a2 6= 0). , Khi d̄ó theo công thúc Viet a0 (t1 + t2 ) = − a1 , a0 t1 t2 = a2 . , ,, ,, Phuong trı̀nh (3.19) có thê viê´t duói dang . xn+2 − (t1 + t2 ) xn+1 + t1 t2 xn = 0. (3.20) , , Sô´ hang tông quát cua dãy d̄ã cho phu. thuôc . . vào hai giá tri. t1 và ` t2 khác nhau hoac .̆ băng nhau: , , , 1) Truòng ho. p t1 6= t2 : ,, ` Thay n băng n − 2 vào (3.20) ta nhân . d̄uo. c xn − (t1 + t2 ) xn−1 + t1 t2 xn−2 = 0. (3.21) Ta viê´t lai . x n − t 2 x n −1 = t 1 ( x n −1 − t 2 x n −2 ). (3.22) ` Thay n băng các giá tri. n − 1, n − 2, . . . , 4, 3 vào (3.22) ta nhân . ,, d̄uo. c x n −1 − t 2 x n −2 = t 1 ( x n −2 − t 2 x n −3 ) x n −2 − t 2 x n −3 = t 1 ( x n −3 − t 2 x n −4 ) …… (3.23) x4 − t2 x3 = t1 ( x3 − t2 x2 ) x3 − t2,x2 = t1 ( x2 − t2 x1 ). , ,, , ,, , Nhân các vê´ tuong úng cua (3.22) và (3.23), gian uóc thùa sô´ ,, chung, ta nhân . d̄uo. c xn − t2 xn−1 = t1n−2 ( x2 − t2 x1 ). (3.24) 74 ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát ,, , ,, Tuong tu. viê´t (3.21) duói dang . x n − t 1 x n −1 = t 2 ( x n −1 − t 2 x n −2 ) ` và sau d̄ó thay n băng các giá tri. n − 1, n − 2, . . . , 4, 3, cũng tı́nh ,, d̄uo. c xn − t1 xn−1 = t2n−2 ( x2 − t1 x1 ). (3.25) , Tù (3.24) và (3.25) ta có t1 xn − t2 xn = t1n−1 ( x2 − t2 x1 ) − t2n−1 ( x2 − t1 x1 ). , Hoac .̆ là nghiêm . cua (3.19) có dang . xn = C1 t1n + C2 t2n , (3.26) ,, t x − x x − t x 2 2 2 1 1 1 o d̄ây , C2 = . (3.27) C1 = t1 ( t1 − t2 ) t2 ( t1 − t2 ) , ,, , , ` Nguo. c lai, sô´ bâ´t kỳ, kiêm tra tru. c tiê´p . C1 và C,2 là nhũng hăng , , ,, , dãy vói sô´ hang tông quát (3.26) là nghiêm cua phuong trı̀nh ân . . , ,, (3.19). Giá tri. duy nhâ´t cua dãy { xn } d̄uo. c xác d̄inh, nê´u cho hai . , , giá tri. ban d̄â`u cua dãy. Khi d̄ó C1 và C2 xác d̄inh theo công thúc . (3.27). , ,, ,, Tro lai . vı́ du. trên thı̀ t1 = 3, t2 = 2 là nghiêm . cua phuong , 2 ` trı̀nh bâc . hai t − 5t + 6 = 0. Khi, d̄ó nê´u C1 và C2 là nhũng hăng , sô´ bâ´t kỳ, thı̀ dãy vói sô´ hang tông quát . xn = C1 .3n + C2 .2n , ,, , là nghiêm . cua phuong trı̀nh truy hô`i xn − 5xn−1 + 6xn−2 = 0. Vói ,, , x1 = 5, x2 = 19, ta xác d̄inh d̄uo. c C1 = 3, C2 = −2 và nhu vây . . sô´ , , hang tông quát cua dãy là xn = 3n+1 − 2n+1 . . ,, , , , Trong truòng ho. p nghiêm t1 , t2 là nhũng sô´ phúc., nghı̃a . , là t1 = ρ(cos α + i sin α), t2 = ρ(cos α − i sin α), theo công thúc Moivre ta có t1n = ρn (cos nα + i sin nα), t2n = ρn (cos nα − i sin nα) ,, 3.3. Phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n tı́nh 75 , ,, và nghiêm . tông quát (3.26) tro thành xn = P1 ρn cos nα + P2 ρn sin nα, (3.28) , ,, ` ` o d̄ây P1 và P2 là hăng sô´ bâ´t kỳ. Ðê xác d̄inh P1 và P2 trong . hăng (3.28) khi cho hai giá tri. d̄â`u x1 và x2 , ta có ( t1 + t2 ) x1 − x2 , t1 t2 (t1 + t2 ) x2 − (t21 + t22 ) x1 , P2 = i (C1 − C2 ) = i t1 t2 ( t1 − t2 ) P1 = C1 + C2 = hoac .̆ là P1 = 2 cotgα cos 2α 1 x2 − cos α.x1 − 2 .x2 , P2 = .x1 . 2 ρ ρ ρ ρ sin α (3.29) ,, , ,, , 2) Tru,ò,ng ho.,p t1 = t2 : Nhu trong truòng ho. p truóc chúng ta , , suy ra tù (3.24) và (3.25) vói t1 = t2 xn − t1 xn−1 = t1n−2 ( x2 − t1 x1 ). (3.30) , ,, ,, , Ðê xác d̄inh d̄uo. c xn câ`n tı̀m môt . . phuong trı̀nh nũa ,cho xn và , ,, ,, xn−1 . Tù phuong trı̀nh xn − 2t1 xn−1 + t21 xn−2 = 0 có thê viê´t duói dang . (n − 2) xn − 2(n − 2)t1 xn−1 + (n − 2)t21 .xn−2 = 0 hoac .̆ là (n − 2) xn − (n − 1)t1 xn−1 = t1 [(n − 3) xn−1 − (n − 2)t1 xn−2 ]. (3.31) , , , ` Sau khi thê´ n tuong úng băng n − 1, n − 2, . . . , 4, 3 vào (3.31) ta ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát 76 ,, nhân . d̄uo. c (n − 3) xn−1 − (n − 2)t1 xn−2 = t1 [(n − 4) xn−2 − (n − 3)t1 xn−3 ], (n − 4) xn−2 − (n − 3)t1 xn−3 = t1 [(n − 5) xn−3 − (n − 4)t1 xn−4 ], …… 2×4 − 3t1 x3 = t1 ( x3 − 2t1 x2 ), x3 − 2t1 x2 = −t21 x1 . (3.32) , ,, ,, , ,, ` ´ ´ Lân luo. t thê các vê tuong úng cua (3.32) vào (3.31) ta nhân . d̄uo. c (n − 2) xn − (n − 1)t1 xn−1 = −t1n−1 .x1 . , ,, Tù (3.30) và (3.33) ta tı̀m d̄uo. c (3.33) (n − 1) xn − (n − 2) xn = (n − 1)t1n−2 ( x2 − t1 x1 ) + t1n−1 x1 , hoac .̆ là ,, o d̄ây xn = (C1 + C2 .n)t1n , (3.34) x2 − t1 x1 2t1 x1 − x2 , C2 = . C1 = 2 t1 t21 , , , , Ban . d̄oc . có thê kiêm tra dễ dàng (3.34) là kê´t qua cua (3.26) khi ta cho t2 = t1 . J , , Vı́ du. 3.16. Tı̀m sô´ hang tông quát cua dãy xác d̄inh theo công . . , thúc sau: x1 = 10, x2 = −12, xn + 4xn−2 = 0. , , , ,, ,, Lòi giai. Tù phuong trı̀nh t2 + 4 = 0 ta tı́nh d̄uo. c t1 = 2i = 2(cos π2 + i sin π2 ), t2 = −2i = 2(cos π2 − i sin π2 ) hay là ρ = 2, α = , ,, π . cua phuong trı̀nh truy hô`i là 2 . Khi d̄ó nghiêm nπ nπ n xn = ( P1 cos + P2 sin )2 . 2 2 ,, 3.3. Phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n tı́nh 77 , , , Tù (3.39) suy ra P1 = 3, P2 = 5, do d̄ó sô´ hang tông quát phai tı̀m . là nπ nπ n xn = (3 cos + 5 sin )2 . 2 2 hoac l à .̆  , 3.2n vói n = 4k    , n 5.2 vói n = 4k + 1 xn = , −3.2n vói n = 4k + 2    −5.2n vó,i n = 4k + 3 , , Vı́ du. 3.17. Bây giò, ta quan tâm câu hoi tı̀m nghiêm . riêng cua , phu,o,ng trı̀nh truy hô`i không thuâ`n nhâ´t bâc . hai vói hê. sô´ hă` ng sô´ a 0 x n + 2 + a 1 x n + 1 + a 2 x n = bn ( a0 6= 0, a2 6= 0). (3.35) , , , ,, 2 Lòi giai. Ta cũng xét nghiêm . t1 , t2 cua phuong trı̀nh a0 t + a1 t + a2 = 0. , 1) Tru,ò,ng ho.,p t1 6= t2 : Khi d̄ó theo phâ`n trên t1n và t2n là nhũng , ,, nghiêm . riêng cua phuong trı̀nh thuâ`n nhâ´t (3.17) và có nghiêm . , theo công thúc (3.26). , ,, ,, Nghiêm cua phuong trı̀nh (3.35) ta sẽ tı̀m theo phuong . riêng , , , ` pháp biê´n d̄ôi hăng sô´ nhu sau: Ta phai tı̀m nghiêm . riêng ξ n có dang . ξ n = αn t1n + β n t2n , (3.36) , , nó chı khác (3.26) là hê. sô´ αn và β n có thê phu. thuôc . vào n. Ta có ξ n+1 = αn+1 t1n+1 + β n+1 t2n+1 = αn t1n+1 + β n t2n+1 + (αn+1 − αn )t1n+1 + ( β n+1 − β n )t2n+1 . , , Bây giò ta d̄at .̆ d̄iê`u kiên . cho các dãy {αn } và { β n } thoa mãn ∆αt1n+1 + ∆βt2n+1 = 0, (3.37) ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát 78 ,, o d̄ây ∆α = αn+1 − αn , ∆β = β n+1 − β n . Khi d̄ó ξ n+1 = αn t1n+1 + β n t2n+1 ξ n+2 = αn+1 t1n+2 + β n+1 t2n+2 = αn t1n+2 + β n t2n+2 + ∆αt1n+2 + ∆βt2n+2 . , , ,, Ta thê´ biêu thúc ξ n , ξ n+1 , ξ n+2 vào (3.35), ta nhân . d̄uo. c ( a0 t1n+2 + a1 t1n+1 + a2 t1n ).αn + ( a0 t2n+2 + a1 t2n+1 + a2 t2n ).β n + + a0 (∆αt1n+2 + ∆βt2n+2 ) = bn . Do ( a0 t1n+2 + a1 t1n+1 + a2 t1n ).αn = 0 và ( a0 t2n+2 + a1 t2n+1 + a2 t2n ).β n = 0 suy ra bn ∆αt1n+2 + ∆βt2n+2 = . (3.38) a0 , ,, Tù (3.38) và (3.17) ta tı̀m d̄uo. c ∆α = αn+1 − αn = bn 1 . a0 t1n+1 (t1 − t2 ) (3.39) bn 1 . n +1 . a0 t1 ( t2 − t1 ) ,, ,, , ` Sau khi thê´ lâ`n luo. t n băng các giá tri. tuong úng n − 1, n − ,, 2, . . . , 2, 1, 0 vào (3.39) ta nhân . d̄uo. c ∆β = β n+1 − β n = bn − 1 1 . n , a0 t1 ( t1 − t2 ) bn − 2 1 = . n −1 , a0 t1 ( t1 − t2 ) α n − α n −1 = α n −1 − α n −2 …… b2 1 . 3 , a0 t1 ( t1 − t2 ) b1 1 , α2 − α1 = . 2 a0 t1 ( t1 − t2 ) α3 − α2 = ,, 3.3. Phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n tı́nh 79 b0 1 . . a0 t1 ( t1 − t2 ) , , , Ta công theo vê´ cua các d̄ăng thúc trên và chú ý α0 6= 0 ta tı̀m . ,, d̄uo. c α1 − α0 = 1 (b0 t1n−1 + b1 t1n−2 + · · · + bn−2 t1 + bn−1 ). a0 t1n (t1 − t2 ) ,, , ,, Tuong tu. ta cũng tı̀m d̄uo. c αn = 1 (b0 t2n−1 + b1 t2n−2 + · · · + bn−2 t2 + bn−1 ). − t1 ) , , , Nhu vây . tù công thúc (3.36) ta có βn = a0 t2n (t2 ξn = f ( t1 ) − f ( t2 ) , a0 ( t1 − t2 ) (3.40) ,, o d̄ây f (t) = b0 tn−1 + b1 tn−2 + · · · + bn−2 t + bn−1 . ,, , 2) Tru,ò,ng ho.,p t1 = t2 : Tuong tu. cách làm trên ta cũng tı̀m ,, ,, d̄uo. c ξ n dang ξ n = (αn + nβ n )t1n , và ta cũng nhân . . d̄uo. c ξn = f 0 ( t1 ) . a0 , ,, Trên d̄ây ta d̄ã khao sát phuong trı̀nh truy hô`i bâc . hai. , ,, ,, , , Phuong trı̀nh bâc . cao hon ta cũng có thê làm tuong tu. . Ta cũng ,, thành lâp . phuong trı̀nh t k + a 1 t k −1 + a 2 t k −2 + · · · + a k −1 t + a k = 0 (3.41) , ,, , ,, goi .̆ trung cua (3.17). Phuong trı̀nh sau d̄ây . là phuong trı̀nh d̄ac ,, goi . là phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n tı́nh thuâ`n nhâ´t xn+k + a1 xn+k+1 + · · · + ak xk = 0. , Ta không chúng minh d̄inh lı́ sau . (3.42) ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát 80 , Ðinh lı́ 3.1: Nê´u t1 nghiêm . bôi . s lâ`n cua (3.41), thı̀ s dãy sô´ . , vó,i sô´ hang tông quát . t1n , nt1n , n2 t1n , . . . , ns−1 t1n , ,, là nghiêm . riêng cua phuong trı̀nh thuâ`n nhâ´t (3.42) , , , ,, , Nhu vây ong trı̀nh d̄ac . tâ´t ca các nghiêm . cua phu .̆ trung theo , d̄inh lı́ trên cho ta k nghiêm . . riêng cua (3.42). (1) (2) (k) xn , xn , . . . , xn . , ,, Ðinh lı́ 3.2: Nghiêm . chung cua phuong trı̀nh thuâ`n nhâ´t . (3.42) d̄u,o.,c cho bă` ng công thú,c (k) (2) (1) xn = C1 xn + C2 xn + · · · + Ck xn ,, o d̄ây C1 , C2 , . . . , Ck là nhũ,ng hàng sô´ bâ´t kỳ. , ,, Ðinh lı́ 3.3: Nghiêm . chung cua phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n . tı́nh (3.17) d̄u,o.,c cho bă` ng công thú,c (1) (2) (k) xn = C1 xn + C2 xn + · · · + Ck xn + ξ n , o, d̄ây C1 , C2 , . . . , Ck là nhũ,ng hàng sô´ bâ´t kỳ và ξ n là môt . nghiêm . , riêng cua (3.17). ,, ` ` Hăng sô´ C1 , C2 , . . . , Ck d̄uo. c xác d̄inh băng giá tri. k sô´ hang . . , ban d̄â`u cua dãy. , ,, ,, ,, ` Nghiêm cua phuong trı̀nh (3.17) d̄uo. c tı̀m băng phuong . riêng , ` sô´ có dang pháp biê´n d̄ôi hăng . (1) (2) (k) ξ n = α1n xn + α2n xn + · · · + αkn xn . ,, ,, , Truòng ho. p riêng d̄inh lı́ sau râ´t hay d̄uo. c áp dung . . , ,, n Ðinh lı́ 3.4: Nê´u bn = q .Ps (n), o d̄ây Ps (n) là d̄a thú,c cua n . , ,, bâc . s, còn q là m-lâ`n nghiêm . lap .̆ cua (3.42), phuong trı̀nh (3.17) ,, 3.3. Phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n tı́nh 81 , có nghiêm ξ = qn Qm+s (n), o, d̄ây Qm+s (n) là d̄a thú,c . riêng dang . , cua n, bâc . m + s. Sau d̄ây là môt các Ðinh lı́ trên . . sô´ vı́ du. áp dung . , Vı́ du. 3.18. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . sô´ tu. nhiên n, sô´ zn = 4n+1 + 6n + 5 chia hê´t cho 9. , , , Lòi giai. Nhũng sô´ z1 = 27, z2 = 81 và z3 = 279 chia hê´t cho 9. , ,, , , Còn zn có thê nhân . d̄uo. c theo công thúc tông quát xn = C1 .4n + C2 .n.1n + C3 .1n , vói C1 = 4, C2 = 6, C3 = 5. , , ,, , Dãy vói sô´ hang tông quát xn là nghiêm cua phuong . . chung , , trı̀nh thuâ`n nhâ´t tuyê´n tı́nh vói hê. sô´ không d̄ôi, mà nghiêm . , ,, cua phuong trı̀nh thuâ`n nhâ´t có nghiêm t = 4 v à nghi êm l ap 1 . . .̆ ,, , 2 t2 = t3 = 1. Suy ra phuong trı̀nh d̄ac tru ng l à ( t − 4 )( t − 1 ) = 0 .̆ ,, 3 2 hoac .̆ là t − 6t + 9t − 4 = 0, và phuong trı̀nh truy hô`i là xn+3 − 6xn+2 + 9xn+1 − 4xn = 0. , ,, Vı̀ zn là nghiêm . riêng cua phuong trı̀nh truy hô`i, ta có zn+3 = 6zn+2 − 9zn+1 + 4zn . , , , , , Tù d̄ây, nê´u gia su nhũng sô´ zn , zn+1 và zn+2 chia hê´t cho 9, thı̀ , zn+3 cũng chia hê´t cho 9. Nhu vây theo nguyên lý quy nap . toán ,. , ,, hoc . bài toán d̄ã d̄uo. c giai d̄â`y d̄u. , , Vı́ du. 3.19. Tı̀m công thú,c tông quát cho tông J xn = 15 + 25 + 35 + · · · + n5 . , , Lòi giai. Ta có x1 = 1, xn+1 − xn = (n + 1)5 . 82 ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát ,, , Ta d̄ã có phuong trı̀nh truy hô`i không thuâ`n nhâ´t bâc môt vói hê. . . , ,, , sô´ không d̄ôi. Phuong trı̀nh d̄ac .̆ trung t − ,1 = 0 có nghiêm . t1 = 1. ,, Theo các d̄inh lı́ 3.1 -3.3 nghiêm . . chung c, ua phuong trı̀nh này là ,, ,, xn = C1 + ξ n , o d̄ây ξ n là nghiêm . riêng cua phuong trı̀nh ta d̄ang xét. , , ,, Nhung vı̀ bn = 1n .(n + 5)5 và sô´ 1 là nghiêm . cua phuong trı̀nh , , d̄ac trung, theo d̄inh lı́ 3.4 (m = 1, s = 5) ξ n là d̄a thúc bâc . . sáu ,.̆ cua n. Khi d̄ó xn = B0 + B1 n + B2 n2 + B3 n3 + B4 n4 + B5 n5 + B6 n6 . ,, ,, ,, Thay vào phuong trı̀nh ta thiê´t lâp . o phâ`n d̄â`u, ta nhân . d̄uo. c B1 (n + 1) + B2 (n + 1)2 + B3 (n + 1)3 + B4 (n + 1)4 + B5 (n + 1)5 + B6 (n + 1)6 − B1 n − B2 n2 − B3 n3 − B4 n4 − B5 n5 − B6 n6 =, (n + ,1)5 . , ,, , Ðô`ng nhâ´t hê. sô´ truóc d̄ô`ng bâc . cua n cua hai vê´ d̄ăng thúc, ta có 6B6 = 1, 5B5 + 15B6 = 5, 4B4 + 10B5 + 20B6 = 10, 3B3 + 6B4 + 10B5 + 16B6 = 10, 2B2 + 3B3 + 4B4 + 5B5 + 6B6 = 5, B1 + B2 + B3 + B4 + B5 + B6 = 1. , Tù d̄ó suy ra 1 5 1 1 , B3 = 0, B2 = − , B1 = 0. B6 = , B5 = , B4 = 6 2 12 12 1 5 1 1 Khi d̄ó xn = B0 − n2 + n4 + n5 + n6 . 12 , , 12 2 6 , , Tù d̄ây vói n = 1 ta nhân . d̄uo. c 1 = B0 + 1, nghı̃a là B0 = 0 suy ra 1 15 + 25 + · · · + n 5 = (2n6 + 6n5 + 5n4 − n2 ). 12 , Vı́ du. 3.20. Giai phu,o,ng trı̀nh J xn+1 − nxn = n!n5 vó,i d̄iều kiên . ban d̄â`u là x1 = 1. (3.43) ,, 3.3. Phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n tı́nh 83 , , ,, ,, , Lòi giai. Ta xét phuong trı̀nh thuâ`n nhâ´t tuong úng yn+1 − nyn = 0. (3.44) ,, ,, Sau khi thay n boi lâ`n luo. t giá tri. n − 1, n − 2, . . . , 2, 1 vào (3.44) ta có y n = ( n − 1 ) y n −1 y n −1 = ( n − 2 ) y n −2 …… y3 = 2y2 y2 = y1 = C. , , ,, Nhân theo vê´ các d̄ăng thúc trên ta tı̀m d̄uo. c yn = C (n − 1)!. , , ,, Nghiêm . riêng ξ n cua (3.43) ta tı̀m theo phuong pháp biê´n d̄ôi ,, ` hăng sô´ dang ξ n = (n − 1)!un . Khi ta thê´ vào (3.43), nhân . . d̄uo. c ,, 5 n!un+1 − n!un = n!n5 , hoac .̆ là un+1 − un = n ,. Ta nhân . d̄uo. c ,, ,, phuong trı̀nh truy hô`i có nghiêm . chung (kê´t qua bài tâp . truóc) un = B0 + , vói B0 = 0 ta có 1 2 n (n − 1)2 (2n2 − 2n − 1). 12 1 2 n (n − 1)2 (2n2 − 2n − 1)(n − 1)!. 12 , Suy ra nghiêm . chung cua bài toán là ξn = 1 2 n (n − 1)2 (2n2 − 2n − 1)](n − 1)!. 12 ,, , Vói n = 1 cho giá tri. ban d̄â`u ta nhân . d̄uo. c C = 1 và suy ra dãy , phai tı̀m là: xn = yn + ξ n = [C + xn = [ 1 2 n (n − 1)2 (2n2 − 2n − 1) + 1](n − 1)!. 12 J ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát 84 , , , , 3.4. Tông cua nhũng lũy thùa cùng bâc . các sô´ , tu. nhiên , , , Ta d̄ã gap .̆ môt . sô´ bài vê` tı́nh tông cua lũy thù cùng bâc . các sô´ , , , , tu. nhiên, nhu vói lũy thùa bâc . hai,, bâc . ,ba. Phâ`n này ta áp dung . , , ,, ´ công thúc Newton d̄ê tı́nh d̄uo. c tông cua môt sô m ũ n ào d̄ó các . , , , , sô´ tu. nhiên tù 1 d̄ê´n n. Ðê tı́nh tông Sk = 1k + 2k + 3k + · · · + n k , , , , vói k là môt d̄ăng thúc sau . sô´ tu. nhiên, ta áp dung . (3.45) ( x + 1)k+1 = x k+1 + Ck1+1 x k + Ck2+1 x k−1 + · · · + Ckk+1 x + 1. ,, ,, Thay x lâ`n luo. t các giá tri. 1, 2, 3, . . . , n ta nhân . d̄uo. c 2k+1 = 1k+1 + Ck1+1 1k + Ck2+1 1k−1 + · · · + Ckk+1 1 + 1, 3k+1 = 2k+1 + Ck1+1 2k + Ck2+1 2k−1 + · · · + Ckk+1 2 + 1, 4k+1 = 3k+1 + Ck1+1 3k + Ck2+1 3k−1 + · · · + Ckk+1 3 + 1, ………………………………………. nk+1 = (n − 1)k+1 + Ck1+1 (n − 1)k + · · · + Ckk+1 (n − 1) + 1, k +1 ( n + 1 ) k +1 = +, Ck1+1 nk + Ck2+1 nk−1 + · · · + Ckk+1 n + 1. , n , ,, Công theo vê´ cua các d̄ăng thúc và ta nhân . . d̄uo. c (n + 1)k+1 = Ck1+1 Sk + Ck2+1 Sk−1 + · · · + Ckk+1 S1 + n + 1 hay là 1 [(n + 1)k+1 − Ck2+1 Sk−1 − · · · − Ckk+1 S1 − n − 1]. (3.46) k+1 , , , ,, , Tù biêu thúc (3.46) cho phép ta tı́nh lâ`n luo. t tông (3.45). Vı́ du. , ,, , vói k = 1, 2, . . . tù (3.46) ta tı́nh d̄uo. c Sk = S1 = 1 n ( n + 1) 1 1 [(n + 1)2 − n − 1] = = n2 + n, 2 2 2 2 , , , , , 3.4. Tông cua nhũng lũy thùa cùng bâc . các sô´ tu. nhiên 85 n(n + 1)(2n + 1) 1 [(n + 1)3 − 3S1 − n − 1] = 3 6 1 3 1 2 1 = n + n + n, 3 2 6 1 n ( n + 1) 2 S3 = [(n + 1)4 − 6S2 − 4S1 − n − 1] = [ ] 4 2 1 1 1 = n4 + n3 + n2 , 4 2 4 1 S4 = [(n + 1)5 − 10S3 − 10S2 − 5S1 − n − 1] 5 n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n + 1) 1 1 1 1 = = n5 + n4 + n3 − n, 30 5 2 3 30 1 6 S5 = [(n + 1) − 15S4 − 20S3 − 15S2 − 6S1 − n − 1] 6 1 1 1 5 1 = n2 (n + 1)2 (2n2 + 2n − 1) = n6 + n5 + n4 − n2 , 12 6 2 12 12 1 n(n + 1)(2n + 1)(3n4 + 6n3 − 3n + 1) S6 = 42 1 1 1 1 1 = n7 + n6 + n5 − n3 + n, 7 2 2 6 12 1 2 n (n + 1)2 (3n4 + 6n3 − n2 − 4n + 2) S7 = 24 1 1 7 7 1 = n8 + n7 + n6 − n4 + n2 . 8 2 12 24 12 , , , Ta sẽ chúng minh ră` ng tông Sk là môt . d̄a thúc bâc . k + 1 có sô´ 1 hang tu. , do bă` ng không, hê. sô´ tru,ó,c nk+1 bă` ng , hê. sô´ tru,ó,c . k+1 1 k , , , , k k − 1 ` ` ´ ´ n băng , hê. sô truóc n băng , hê. sô truóc nk−2 bă` ng 0. 2 12 , , , , ´ ` Thât v ây, Gi a thiê t d̄iê u kh ăng d̄inh . , trên d̄úng vói nhũng . . , , tông S1 , S2 , . . . , Sk−1 . Ta câ`n kê´t luân cũng d̄úng vói . . khăng d̄inh , , , , ` tông Sk . Khăng d̄inh Sk là môt . . d̄a thúc theo n và hê. sô´ tu. do băng , , , , , , 0, suy ra tù d̄ăng thúc (3.46). Các hê. sô´ ak , ak−1 , ak−2 tuong úng S2 = ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát 86 ,, , ,, truóc nk , nk−1 , nk−2 trong Sk cũng tù (3.17) ta tı̀m d̄uo. c 1 1 1 [Ck1+1 − Ck2+1 ] = , k+1 k 2 1 1 k 1 a k −1 = [Ck2+1 − Ck2+1 . − Ck3+1 ]= , k+1 2 k−1 12 1 k − 1 1 1 a k −2 = [Ck3+1 − Ck2+1 − Ck3+1 . − Ck4+1 ] = 0. k+1 12 2 k−2 , ,, , , Nhu vây . trong truòng ho. p chung ta có công thúc ak = n 1 1 1 1 ∑ ik = k + 1 .nk+1 + 2 nk + 2 Ck1 B2 nk−1 + 4 Ck3 B4 nk−3 + i =1 (3.47) 1 1 5 + Ck B6 nk−5 + Ck7 B8 nk−7 + · · · 6 8 , 2 ´ sô´ hang cuô i c ùng l à n hoac . .̆ n . Trong (3.47) nhũng sô´ , B2 , B4 , B6 , B8 , . . . goi . ,là nhũng sô´ Bernoulli. Môt . sô´ sô´ Bernoulli ,, d̄uo. c liêt . kê trong bang 5 , 66 691 7 3617 43867 B12 = − , B14 = − , B16 = , B18 = − , 2730 6 510 798 174611 854513 236364091 B20 = − , B22 = , B24 = − , 330 123 2730 8553103 23749461029 8615841276005 B26 = , B28 = − , B30 = , 6 870 14322 2577867858367 7709321041217 , B34 = . B32 = − 510 6 , , , ,, , , Nhũng sô´ này d̄u cho ta tı́nh d̄uo. c công thúc tông lũy thùa ,, , , , , bâc . môt, . hai, ba, . . . , ba muoi tu cua n chũ sô´ tu. nhiên d̄â`u tiên. ,, , , Bây giò không khó khăn gı̀ tı́nh d̄uo. c công thúc dang . , n k o, d̄ây P ( t ) là d̄a thú,c theo t. Vı́ du chú,ng minh nhũ,ng [ P ( t )] ∑ t =1 . , , d̄ăng thúc sau d̄ây B2 = 1 , 6 B4 = − 1 , 30 B6 = 1 , 42 B8 = − 1 , 30 B10 = 3.5. Bài tâp . 87 1 n(2n − 1)(2n + 1); 3 1 2) 12 + 52 + 92 + · · · + (4n + 1)2 = (n + 1)(16n2 + 20n + 3). 3 Thât . vây, . 1) 12 + 32 + 52 + · · · + (2n − 1)2 = n 1) ∑ (2t − 1)2 = t =1 n n n t =1 t =1 t =1 ∑ (4t2 − 4t + 1) = 4 ∑ t2 − 4 ∑ t + n n ( n + 1) n(n + 1)(2n + 1) −4 +n = 4. 6 2 1 = n(2n − 1)(2n + 1). 3 n 2) ∑ (4t + 1)2 = t =1 n n n t =1 t =1 t =1 ∑ (16t2 + 8t + 1) = 16 ∑ t2 + 8 ∑ t + n n ( n + 1) n(n + 1)(2n + 1) + 8. +n+1 = 16. 6 2 (n + 1)(16n2 + 20n + 3) = . 3 , , ,, , , Ban . d̄oc . có thê giai nhiê`u bài toán tuong tu. nhu vây. . 3.5. Bài tâp . ` . 3.21. Chú,ng minh răng Sn = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn = q n −1 − 1 a1 b1 − qan bn − dqb1 . 1−q (1 − q )2 , vói a1 , a2 , . . . , an là câ´p sô´ công có công sai d và b1 , b2 , . . . , bn là câ´p . sô´ nhân có bôi . sô´ q 6= 1. , , . 3.22. Tı̀m sô´ hang tông quát cua câ´p sô´ công . . 2, 5, 10, 17, 26, 37, . . . , , và tı́nh tông n sô´ hang d̄â`u tiên cua nó. . ,, , , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát , . 3.23. Hãy tı̀m công thú,c tông 88 Sn = 3.2 + 5.5 + 7.8 + · · · + (2n + 1)(3n − 1). , ,, . 3.24. Hãy tı̀m nghiêm . chung cua các phuong trı̀nh sau: a) xn+1 + xn+1 + xn = 0; b) xn+1 + 2xn+1 + xn = 0; c) xn+2 − xn = 0; d) xn+3 − 3xn+2 + 3xn+1 − xn = 0. , , . 3.25. Tı̀m công thú,c tông quát cho dãy xác d̄inh . theo công thúc sau: a) x1 = 10, x2 = 16, xn+2 − 4xn+1 + 3xn = 0; b) x1 = 1, x2 = −3, x3 = −29, xn+3 − 9xn+2 + 26xn+1 − 24xn = 0; c) x1 = 1, x2 = −7, xn+2 − 6xn+1 + 9xn = −4. , , CHUONG 4 ´ HOC SÔ . 4.1. Phép chia hê´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2. Thuât . toán Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 , 4.3. Sô´ phúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 , 4.4. Nhũng vı́ du. khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.5. Bài tâp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.1. Phép chia hê´t , Trong sô´ hoc . phép chia cho ta râ´,t nhiê`u tı́nh châ´t vê` nhũng ,, sô´ nguyên. Nhiê`u bài toán phát biêu duói dang các phép chia . , , , ´ lai nhũng sô´ nguyên và kê ca các thuât . toán tı́nh toán. Ta nhăc . , ` ´ ´ ´ môt sô kh ái ni êm. Nê u a v à b l à nh ũ ng sô nguyên, ta nói r ăng . . .. b chia hê´t cho a, ký hiêu . là b . a, ,khi tô`n tai . môt . sô´ nguyên c sao , , cho b = ca. Sô´ c goi . là thuong c,ua phép chia, a nhiê`u khi goi . là , , , , , , uóc sô´ cua b, sô´ b goi . là bôi . c . sô´ cua a. Truòng ho. p không tô`n tai ` theo d̄inh nghı̃a trên ta nói răng b không chia hê´t cho a, ký hiêu . . , .. , , b 6 . a. Tù d̄inh nghı̃a d̄on gian trên ta suy ra hàng loat . . các tı́nh , , , .. ,, , châ´t cua phép chia, o d̄ây ta chı lâ´y môt . vı́ du. d̄on gian: Nê´u b . a . . , và c .. a, thı̀ (ub + vc) .. a vói moi . sô´ nguyên bâ´t kỳ u và v. Hai khái , , niêm . sau d̄ây râ´t hay d̄uo. c dùng. , ,, , Môt . sô´ d goi . là uóc sô´ chung lón nhâ´t cua hai sô´ nguyên a và ,, Chuong 4. Sô´ hoc . 90 b, ký hiêu . d=(a, b), khi 1) a và b d̄ê`u chia hê´t cho d; , ,, 2) d chia hê´t cho moi . uóc sô´ chung khác cua a và b. , , Môt . sô´ m goi . là bôi . sô´ chung nho nhâ´t cua hai sô´ nguyên a và b, ký hiêu . m=[a, b],, khi 1) m chia hê´t cho ca a và b; , 2) Moi . bôi . sô´ chung khác cua a và b d̄ê`u chia hê´t cho m. , , Công thúc liên quan giũa hai khái niêm . trên là ab [ a, b] = . ( a, b) 3n+3 − Vı́ du. 4.1. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . sô´ nguyên n ≥ 0, sô´ 3 26n − 27 chia hê´t cho 169. , , 3n+3 − 26n − 27. Khi d̄ó A = 33 − 27 = 0 Lòi giai. Ta d̄at 0 .̆ An = 3 suy ra A0 chia hê´t cho 169. , ,, , , , Gia su An chia hê´t cho 169 vói n nào d̄ó. Ta biê´n d̄ôi An+1 nhu sau An+1 = 33(n+1)+3 − 26(n + 1) − 27 = An + 26.33n+3 − 26 = An + 26[(33 )n+1 − 1] = An + 26(33 − 1)(33n + · · · + 1) = An + 4.169.(33n + · · · + 1). , Tù d̄ó suy ra An+1 chia hê´t cho 169. J Vı́ du. 4.2. Chú,ng minh ră` ng vó,i sô´ n nguyên du,o,ng 1) C = 7n + 3n − 1 chia hê´t cho 9; 2) E = a4n+1 − a chia hê´t cho 30, vó,i a là sô´ nguyên. , , ,, , Lòi giai. 1) Nê´u n = 1, thı̀ C1 = 7 + 3 − 1 chia hê´t cho 9. Gia su , n = k ≥ 1 và Ck = 7k + 3k − 1 chia hê´t cho 9. Khi d̄ó vói n = k + 1 4.1. Phép chia hê´t 91 sô´ Ck+1 = 7k+1 + 3(k + 1) − 1 = 7.7k + 3k + 2 = 7.7k + 21k − 7 − 18k + 9 = 7(7k + 3k − 1) − 9(2k − 1) = 7Ck − 9(2k − 1) ,, cũng chia hê´t cho 9. Theo phuong pháp quy nap . toán hoc . C chia ,, , ´ hêt cho 9 vói moi . n nguyên duong. 2) Nê´u n = 1, thı̀ E1 = a5 − a = a( a2 − 1)( a2 + 1) = a( a − 1)( a + 1)[( a2 − 4) + 5] = ( a − 2)( a − 1) a( a + 1)( a + 2) + 5( a − 1) a( a + 1). , , , , Thùa sô´ thú nhâ´t chia hê´t cho 5! = 120 = 4.30, còn thùa sô´ thú hai chia hê´t cho 5.3! = 30. Suy ra E1 chia hê´t cho 30. , ,, , Gia su n = k ≥ 1 và E = a4k+1 − a chia hê´t cho 30. Khi d̄ó vói k n = k + 1 sô´ Ek+1 = a4k+5 − a = a4k+5 − a + a4k+1 − a4k+1 = ( a4k+1 − a) + ( a4k+5 − a4k+1 ) = Ek + a4k .E1 cũng chia hê´t cho 30. J Vı́ du. 4.3. Chú,ng minh ră` ng nê´u vó,i nhũ,ng sô´ tu. , nhiên du,o,ng , k k k a, b, c thoa mãn a2 + b2 = c2 , thı̀ moi Ek = a2 + b2 + c2 . sô´ có dang . k k k và Fk = ( ab)2 + (bc)2 + (ca)2 vó,i k ≥ 2 chia hê´t cho sô´ 1 D = ( a4 + b4 + c4 ). 2 , , , , Lòi giai. Ta chúng minh d̄ô`ng thòi sô´ Ek và Fk chia hê´t cho D. , ,, ˜ Thât Truóc tiên ta khăng d̄inh a4 + b4 + c4 là sô´ chăn. . . vây, . nê´u , , , ˜ và suy c = 2k, thı̀ a và b là hoac ăn .̆ d̄ô`ng thòi le hoac .̆ d̄ô`ng thòi ch , 4 4 4 2 2 ˜ Nê´u c = 2k + 1, thı̀ a + b là le và suy ra ra a + b + c là chăn. ,, Chuong 4. Sô´ hoc . 92 , , a4 + b4 = ( a2 + b2 )2 − 2a2 b2 cũng là le. Do c4 = (2k + 1)4 là le nên , , ˜ vı̀ là tông hai sô´ le. ( a4 + b4 ) + c4 chăn, Ta xét sô´ F2 = ( ab)4 + (bc)4 + (ca)4 = a4 b4 + c4 ( a4 + b4 ) = 2Dc4 + a4 b4 − c8 = 2Dc4 + ( a2 b2 − c4 )( a2 b2 + c4 ). c4 − ( a4 + b4 ) Vı̀ 2a2 b2 = c4 − ( a4 + b4 ), nên a2 b2 − c4 = − c4 = 2 − D, Tù, d̄ó suy ra F2 chia hê´t cho D. Cũng nhu, vây . E2 chia hê´t , , , cho D. Mênh d̄ê` cua bài toán suy ra tù quy nap . . toán hoc . vói các , k , d̄ăng thúc Ek+1 + 2Fk = Ek2 và Fk+1 + 2( a.b.c)2 Ek = Fk2 . J Vı́ du. 4.4. Chú,ng minh ră` ng vó,i sô´ tu. , nhiên du,o,ng bâ´t kỳ n, sô´ n 24 + 5 chia hê´t cho 21. , , Tông quát: Vó,i sô´ tu. , nhiên bâ´t kỳ a > 1, n ≥ 1, biêu thú,c n Bn = a4 + a3 − a − 1 chia hê´t cho ( a − 1)( a + 1)( a2 + a + 1). , , Lòi giai. Nê´u n = 1, thı̀ B1 = a4 + a3 − a − 1 = ( a − 1)( a + 1)( a2 + a + 1). , ,, Gia su n = k ≥ 1 và Bk chia hê´t cho ( a − 1)( a + 1)( a2 + a + 1). ,, , Khi d̄ó vói n = k + 1 ta nhân . d̄uo. c Bk+1 = a4 k +1 k + a3 − a − 1 = ( a4 − a + a )4 + a3 − a − 1 k = [ a( a3 − 1) + a]4 + a3 − a − 1 = K ( a − 1)( a2 + a + 1)+ k + a4 + a3 − a − 1 = K ( a − 1)( a2 + a + 1) + Bk . Mat .̆ khác k k Bk+1 = ( a4 + a − a)4 + a3 − a − 1 = [ a( a3 + 1) − a]4 + a3 − a − 1 k = K ( a + 1) + a4 + a3 − a − 1 = K ( a + 1) + Bk . 4.1. Phép chia hê´t 93 , , , , (Ký hiêu . K ( a + 1) là biêu thúc luỹ thùa cua a + 1.) Vı̀ các sô´ a − 1, a + 1 và a2 + a + 1 nguyên tô´ cùng nhau, suy ra Bk+1 chia , n , hê´t cho tı́ch cua chúng. Vói a = 2, ta có Bn = 24 + 5. J n Vı́ du. 4.5. 1) Chú,ng minh ră` ng 32 − 1 chia hê´t cho 2n+2 và không chia hê´t cho 2n+3 vó,i n nguyên du,o,ng. n 2) Chú,ng minh ră` ng 23 + 1 chia hê´t cho 3n+1 và không chia hê´t cho 3n+2 vó,i n nguyên du,o,ng. , , Lòi giai. 1) Ta có A n + 1 = 32 n +1 n n n − 1 = (32 )2 − 1 = (32 − 1)(32 + 1). , ,, n , Vói n = 1 mênh d̄ê` d̄úng. Gia su An = 32 − 1 chia hê´t cho 2n+2 . . n Vı̀ 32 + 1 chia hê´t cho 2, nên An+1 sẽ chia hê´t cho 2.2n+2 = 2n+3 . , ,, 2n n +3 Mat .̆ khác, ta gia su An = 3 − 1 không chia hê´t cho 2 . n n n , Nhung 32 + 1 không chia hê´t cho 4, vı̀ (32 + 1) − 2 = 32 − 1 n chia hê´t cho 4 (thâm . chı́ chia hê´t cho 4.2 do phâ`n trên. Vı̀ vây . n (32 + 1) chia cho 4 du, 2) tù, d̄ây suy ra An+1 không chia hê´t cho 2n +4 . ,, , ,, , , 2) Chúng minh tuong tu. nhu phâ`n trên. Ta su dung . 23 n +1 n n n n + 1 = (23 )3 + 1 = (23 + 1)(22,3 − 23 + 1) n n n = (23 + 1)[(23 + 1)2 − 3.23 ]. Sô´ trong ngoac .̆ vuông chia hê´t cho 3, không chia hê´t cho 9. J Vı́ du. 4.6. 1) Chú,ng minh ră` ng nê´u p là sô´ nguyên tô´, thı̀ sô´ ,, a p − a chia hê´t cho p vó,i moi . a (a là sô´ nguyên duong). 2) Chú,ng minh ră` ng nê´u p là sô´ nguyên tô´ và a không chia hê´t cho p, thı̀ sô´ a p−1 − 1 chia hê´t cho p (d̄inh lý Fermat). . ,, Chuong 4. Sô´ hoc . 94 , , , ,, , Lòi giai. 1) Vói a = 1 mênh d̄ê` là hiên nhiên, vı̀ trong truòng . , ho. p này a p − a = 1 − 1 = 0. , ,, , p Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói môt . . sô´ a nào d̄â´y, nghı̃a là a − a , chia hê´t cho p. Ta sẽ chúng minh mênh d̄ê` cũng d̄úng cho a + 1. . , ,, Thât phân tı́ch nhi. thúc Newton, ta nhân . vây, . áp dung . . d̄uo. c ( a + 1) p − ( a + 1) = a p + p f ( a ) + 1 − a − 1 = ( a p − a ) + p f ( a ). ,, , , O d̄ây f ( a) là d̄a thúc bâc công thúc hê. . p − 1 theo a. Do áp dung . , , sô´ Newton và nhóm các thùa sô´ có p d̄ua ra ngoài lâp . ra f ( a). , Mênh d̄ê` d̄úng vói a + 1, theo nguyên lý quy nap . . toán hoc . nó , d̄úng vói moi . a ≥ 1. , ,, 2) Tù phâ`n truóc suy ra a p − a chia hê´t cho sô´ nguyên tô´ p. , , , Khi d̄ó tù d̄ăng thúc a p − a = a ( a p −1 − 1 ). p−1 − 1 chia hê´t Do d̄iê`u kiên . d̄â`u bài a không chia hê´t p, nên a cho p. , , , Chú ý: Nê´u ta d̄at .̆ a = 2, 3, . . . , p − 1, thı̀ nhu hê. qua cua kê´t p−1 − 1, 3 p−1 − 1, . . . , ( p − 1) p−1 − 1 chia hê´t cho luân . trên các sô´ 2 p − 1 p − 1 p−1 chia cho p du, 1. p hoac .̆ là 2 , 3 , . . . , ( p − 1) , ,, , Trong truòng ho. p này tông 2 p−1 + 3 p−1 + · · · + ( p − 1) p−1 chia , hê´t cho p, vói p là sô´ nguyên tô´. J 4.2. Thuât . toán Euclide , ,, Cho a > 0 và b > 0 là nhũng sô´ nguyên. Tı̀m uóc sô´ chung , , ,, , lón nhâ´t cua hai sô´ d̄ã cho d̄uo. c tı̀m theo thuât . toán cua Euclide , nhu sau: , ,, Ðê cho tiên . d̄at .̆ r0 = a và r1 = b. Chia sô´ a cho sô´ b d̄uo. c 4.2. Thuât . toán Euclide 95 , ,, , thuong q1 và sô´ du là r2 . Ta có thê viê´t a = bq1 + r2 , (0 ≤ r2 < r1 ). Nê´u b > a ta có q1 = 0 và r2 = a. Nê´u r2 = 0, thı̀ a chia hê´t cho ,, ,, , , b; trong truòng ho. p này uóc sô´ chung lón nhâ´t là b. Nê´u r2 6= 0, ,, ta tiê´n hành buóc tiê´p theo: Lâ´y b chia cho r2 , lâ`n này ký hiêu . ,, , ´ thuong và sô du là q2 và r3 , ta có (0 ≤ r3 < r2 ). , ,, ,, , Nê´u r3 = 0, thı̀ thuât . toán dùng. Truòng ho. p nguo. c lai . ta lai . ,, ,, , ´ ´ lây r2 chia cho r3 d̄uo. c thuong q3 và sô du r4 , hay là r2 = r3 q3 + , , , r4 (0 ≤ r3 < r2 ). Cú tiê´p tuc các sô´ du d̄ê`u thuôc . nhu vây, . vı̀ , , . , ´ [0, b) và b > r1 > r2 > . . . ≥ 0 dãy sô giam ngat .̆ chúng to sau ,, ,, , , , ´ , ` ´ ´ môt . sô buóc (sô buóc không ,lón hon b) sẽ dẫn tói sô du băng 0 và , ,, thuât . toán sẽ dùng. Kê´t qua ta nhân . d̄uo. c dãy r0 = r1 q1 + r2 b = r2 q2 + r3 r1 = r2 q2 + r3 r2 = r3 q3 + r3 (4.1) … r n −2 = r n −1 q n −1 + r n rn−1 = rn qn (0 ≤ ri < ri−1 , i = 1, 2, . . . , n). , , Trong công thúc trên rn là sô´ du cuô´i cùng khác 0. , Vı́ du. 4.7. Ta chú,ng minh ră` ng rn là u,ó,c sô´ chung ló,n nhâ´t cua a và b. , , , , ,, ` Lòi giai. 1) Ta chı ra răng rn là uóc sô´ chung cua a và b. , Do rn−1 chia hê´t cho rn và công thúc hô`i quy r i −1 = r i q i + r i +1 (i = 1, 2, . . . , n; rn+1 = 0). (4.2) ,, Chuong 4. Sô´ hoc . 96 , , , , , ,, Ðê d̄at ., muc . d̄ı́ch cua ta ,thı̀ phai chı ra rn là, uóc sô´ chung cua , tâ´t ca rn−1 , rn−2 , . . . , r0 . d̄ăng thúc cuô´i cùng cua (4.1) cho ta thâ´y , ,, , rn−2 chia hê´t cho rn (vı̀ rn−1 d̄ã chia hê´t cho rn ). Gia su vói môt . , ´ ´ ´ sô nào d̄ó i (1 ≤ i ≤ n − 1) nhũng sô rn−1 , rn−2 , . . . , ri chia hêt cho , , ` rn . Khi d̄ó tù (4.2) suy ra ri−1 chia hê´t cho rn . Nhu vây quy . b,ăng , ´ ´ nap . chúng, ta kêt luân . r1 = b cũng chia, hêt cho rn , còn d̄ăng thúc ,, d̄â`u tiên cua (4.1) cho ta rn là uóc sô´ cua a. , , ,, , 2) Ta chúng minh rn là uóc sô´ chung lón nhâ´t cua a và b. , ,, Thât . vây, . Ký hiêu . d là uóc sô´,chung bâ´t kỳ cua a ,và b (nghı̃a ,, , , là r0 , r1 có uóc sô´ chung d). Tù d̄ăng thúc d̄â`u tiên cua (4.1) suy , ,, ra r2 chia hê´t cho d. Vı̀ thê´ d cũng là uóc sô´ chung cua r1 và r2 . , ,, , ,, , Gia su d là uóc sô´ chung cua ri−1 , ri vói sô´ i (1 ≤ i ≤ n − 1) nào d̄ó; , , ,, khi d̄ó tù (4.1) suy ra d là uóc sô´ chung cua ri+1 . Theo nguyên lý , ,, ` ` quy nap cách này ta thâ´y răng . toán hoc, . d, là uóc sô´ cua rn . Băng , ,, ,, moi . uóc sô´ chung cua a và b cũng là uóc sô´ chung cua rn , suy ra ,, , rn là uóc sô´ chung lón nhâ´t. , ,, ,, Dang quy nap . . toán hoc . d̄i tù buóc i + 1 và i d̄ê´n buóc i − 1 , ,, nhu trên goi . là phép quy nap . nguo. c. , , , ,, ,, , ` Nguòi ta có thê biêu diễn uóc sô´ chung lón nhâ´t băng các tô , , ho. p tuyê´n tı́nh cua hai sô´ a và b thông qua bài tâp . sau. J Vı́ du. 4.8. Cho a và b là hai sô´ nguyên du,o,ng. Khi d̄ó ( a, b) = sn a + tn b , vó,i n = 0, 1, 2 . . ., sn và tn là nhũ,ng sô´ hang thú, n cua dãy {sn }, . , {tn } xác d̄inh bo,i . s0 = 1, t0 = 0, s1 = 0, t1 = 1 4.2. Thuât . toán Euclide 97 và s i = s i −2 − q i −1 s i −1 , t i = t i −2 − q i −2 t i −1 , , vó,i i = 2, 3, . . . , n, o, d̄ây qi là thu,o,ng sô´ thú, i trong thuât . toán , , , Euclide khi tı̀m uóc sô´ chung lón nhâ´t. , , , ` Lòi giai. Ta sẽ chúng minh răng ri = si a + ti b, (4.3) , , , , vói i = 0, 1, 2 . . . , n. Vı̀ ( a, b) = rn nên tù (4.3) có thê suy ra lòi , giai. , ,, , Dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . d̄ê chúng minh (4.3). , Vói i = 0, ta có a = r0 = 1.a + 0.b = s0 a + t0 b. Do d̄ó (4.3) d̄úng , , vói i = 0. Mat .̆ khác b = r1 ,= 0.a + 1.b = s1 a + t1 b, nhu vây . , , (4.3) cũng d̄úng vói i = 1. Gia thiê´t ri = si a + ti b d̄úng vói moi . , ,, i = 1, 2, . . . , k − 1. Khi d̄ó, tù buóc k trong thuât to án Euclide ta . có r k = r k −2 − r k −1 q k −1 , ´ theo gia thiêt quy nap . suy ra r k = ( s k −2 a + t k −2 b ) − ( s k −1 a + t k −1 b ) q k −1 = ( s k −2 − s k −1 q k −1 ) a + ( t k −2 − t k −1 q k −1 ) b = sk a + tk b. J Vı́ du. 4.9. Cho a là sô´ tu. , nhiên, a > 1. Hãy tı̀m ( am − 1, an − 1), , o, d̄ây m và n là nhũ,ng sô´ tu. , nhiên. , , , ` Lòi giai. Ðat ( am − 1, an − 1) = .̆ (n, m) = d. Ta, chúng minh răng , , ( ad − 1). Không mâ´t tı́nh tông quát ta có thê gia thiê´t n ≥ m. Ta ,, Chuong 4. Sô´ hoc . 98 , , , , , chúng minh quy nap theo m. Vói m = 0, d̄ăng thúc hiên nhiên. . , ,, Gia su m > 0. Ta d̄at .̆ n = mq + r, 0 ≤ r < m. Ta có an − 1 = amq ar − 1 = amq ar − ar + ar − 1 = ar ( amq − 1) + ( ar − 1) = A( am − 1) + ( ar − 1), , ,, , , , o d̄ây A là sô´ nguyên. Tù nhũng d̄ăng thúc này suy ra ( an − 1, am − 1) = ( am − 1, ar − 1) , và theo gia thiê´t quy nap . toán hoc . ta có ( am − 1, ar − 1) = a(m,r) − 1 = ad − 1. J , Vı́ du. 4.10. Chú,ng minh ră` ng bôi . sô´ chung nho nhâ´t (BSCN) , , , cua dãy 1, 2, . . . , 2n bă` ng bôi . sô´ chung nho nhâ´t cua n + 1, n + 2, . . . , 2n: BSCN (1, 2, . . . , n) = BSCN (n + 1, n + 2, . . . , 2n). , , Lòi giai. Ta d̄at .̆ [1, 2, . .,. , 2n] = s và [n + 1, n + 2, . . . , 2n] = t. vı̀ ´ s là môt bôi 1, n + 2, . . . , 2n, còn t là bôi . sô chung cua các sô´ n + . ,. , , ,, ´ ´ ´ sô nho nhât nên s chia hêt cho t. Ðê chúng minh nguo. c lai . t chia , , ` hê´t s ta phai chúng minh răng mỗi sô´ chia hê´t cho n + 1, n + , 2, . . . , 2n cũng chia hê´t cho 1, 2, . . . , n. Ta sẽ chúng minh d̄iê`u d̄ó , ,, , ` phuong pháp quy nap theo n. Vói n = 1 khăng d̄inh là băng . . , , ,, , , hiên nhiên. Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói n, ta chúng minh nó cũng . , d̄úng vói n + 1. Cho m là sô´ chia hê´t cho (n + 1) + 1, (n + 1) + , 2, . . . , 2(n + 1). Tù m chia hê´t cho 2(n + 1) nên m chia hê´t cho , n + 1 và suy ra m chia hê´t cho n + 1, n + 2, . . . , 2n (ta chı thêm , , vào d̄â`u dãy các sô´ mà theo gia thiê´t m d̄ã chia hê´t). Theo gia ,, thiê´t quy nap . m chia hê´t cho 1, 2, . . . , n, còn truóc d̄ó ta d̄ã có m chia hê´t cho n + 1. J , 4.3. Sô´ phúc 99 , , , Vı́ du. 4.11. Chú,ng minh ră` ng tông tâ´t ca u,ó,c sô´ cua sô´ tu. , nhiên √ , n > 2 nho ho,n n n. , , , , ,, , , ` Lòi giai. Ta ký hiêu tông cua tâ´t ca uóc sô´ cua sô´ n băng D ( n ). . , √ ,, , , ` Ta phai chúng minh răng D (n) < n n vói n ≥ 3. Ta chon . truòng , ho. p n = 2α (α là sô´ nguyên, α ≥ 2). Khi d̄ó D (n) = 1 + 2 + 22 + · · · + 2α √ α = 2α+1 − 1 < 2α+ 2 = n n. √ , , ` Gia thiê´t răng n 6= 2α và D (k ) < k k vói moi . 3 ≤ k, < n và chúng, √ , , ta sẽ chúng minh D (n) < n n. Do nhũng d̄iê`u kê trên, ta có thê , ,, ` xét n = mp, o d̄ây p là sô´ nguyên tô´ le. Chú ý răng p ≥ 3, 1 + p < 1 √ √ , , p p (thât . vây, . vói p ≥ 4, 1 + p < 2 < p; vói p = 3, 1 + 3 < √ √ ,, , 3 3). Vı̀ thê´, nê´u m = 1, thı̀ D ( p) = 1 + p < p p; tuong tu. , nê´u p √ m = 2, thı̀ D (n) = 1 + 2 + p + 2p = 3 + 3p < 2p 2p = n n, nê´u , √ , m ≥ 3, thı̀ theo gia thiê´t quy nap D (m) < m m. Nhu vây . mỗi . , , , ,, ´ ,, ´ , uóc sô cua n có dang d hoac . .̆ dp, o d̄ây d là uóc sô cua m, nên D (n) = D (m) + pD (m) = D (m)(1 + p) √ √ √ < m m.p p = n n. J , 4.3. Sô´ phúc , , , , , ´ lai Ta nhăc . khái niêm . co ban cua sô´ phúc. Môt . sô´ phúc z có ,, , , , dang . , d̄ai . sô´ z = x + iy, o d̄ây x và y là nhũng sô´ thu. c, còn i là d̄on , vi. ao có tı́nh châ´t i2 = −1; sô´ x goi là phâ`n thu. c, còn sô´ y goi . . là , , , ` ´ phân ao cua sô phúc z. , ` Hai sô´ phúc z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 là băng nhau khi và , chı khi x1 = x2 , y1 = y2 . Nê´u x = y = 0, thı̀ z = 0 + i0 = 0. Moi . , , , , , , ` ´ ` sô´ thu. c có thê coi nhu là môt sô ph ú c khi phâ n ao c ua nó b ăng 0. . 100 ,, Chuong 4. Sô´ hoc . , , , , , , Nhu vây . tâp . sô´ thu. c chı là tâp . con cua tâp . sô´ phúc. Nhũng phép ,, , toán d̄uo. c d̄inh nghı̃a trên tâp . . sô´ phúc gô`m: ( x1 + iy1 ) + ( x2 + iy2 ) = ( x1 + x2 ) + i (y1 + y2 ), ( x1 + iy1 ) − ( x2 + iy2 ) = ( x1 − x2 ) + i (y1 − y2 ), ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + x2 y1 ). , Sô´ z̄ = x − iy goi là sô´ liên ho.,p cua z = x + iy. Rõ ràng nê´u z1 . , , , , là liên ho. p cua z2 , thı̀ z2 cũng liên ho. p cua z1 . , , , Sô´ phúc có liên hê. chat .̆ chẽ vói hê. toa . d̄ô. vuông góc nhu hı̀nh vẽ. , , , , Mỗi sô´ phúc z = x + iy biêu diễn nhu môt . d̄iêm ( x, y) trong hê. toa . d̄ô. vuông góc. , , Ðô. dài tù d̄iêm gô´c toa ô d̄ê´n . d̄ ,. , , d̄iêm sô´ phúc goi . là modun cua z và ,, d̄uo. c ký hiêu |z|. Tù, hı̀nh vẽ ta thâ´y p . , |z| = x2 + y2 ≥ 0. Góc giũa truc . ,, Ox và Oz d̄o theo chiê`u nguo. c kim , d̄ô`ng hô` goi . là argumen cua z; và ký hiêu . là argz. Rõ ràng ( x = |z| cos α, y = |z| sin α, ,, , , o d̄ây α = argz. Nhu vây . sô´ phúc z = Hı̀nh 4.1: , ,, x + iy biêu diễn qua dang luo. ng giác . z = ρ(cos α + i sin α), ρ = |z|, α = argz. ,, ,, , , o dang luo. ng giác sô´ phúc, có nhiê`u thuân . . lo. i trong các phép , , tı́nh. Chăng han . ta lâ´y phép nhân hai sô´ phúc: z1 = ρ1 (cos α1 + , 4.3. Sô´ phúc 101 i sin α1 ), z2 = ρ2 (cos α2 + i sin α2 ). Khi d̄ó z1 z2 = = ρ1 ρ2 [(cos α1 cos α2 − sin α1 sin α2 ) + i (cos α1 sin α2 + cos α2 sin α1 )] = ρ1 ρ2 [cos(α1 + α2 ) + i sin(α1 + α2 )]. , , , ,, Công thúc nhân và chia sô´ phúc o dang này khá d̄ep. Kê´t qua . . , tông quát: Vı́ du. 4.12. Cho nhũ,ng sô´ phú,c z1 = ρ1 (cos α1 + i sin α1 ), z2 = ρ2 (cos α2 + i sin α2 ), ........................ zn = ρn (cos αn + i sin αn ). Khi d̄ó z1 z2 . . . zn = ρ1 ρ2 . . . ρn (cos(α1 + α2 + · · · + αn )+ i sin(α1 + α2 + · · · + αn )) (4.4) vó,i n = 2, 3, . . . , , , , ,, , ` phuong pháp quy Lòi giai. Chúng minh d̄ăng thúc trên băng , , nap . toán hoc . theo n., Vói n, = 2, công thúc (4.4) d̄úng theo phép , , , , nhân hai sô´ phúc. Gia su d̄ăng thúc d̄úng cho môt . sô´ n nào d̄ó. Ta , , , , sẽ chúng minh d̄ăng thúc (4.4) d̄úng cho n + 1. Thât . vây, . vói n + 1, , , , sô´ phúc zµ = ρµ (cos αµ + i sin αµ ), µ = 1, 2, . . . , n + 1. Su dung gia . thiê´t quy nap . z1 z2 . . . zn zn+1 = ρ1 ρ2 . . . ρn [cos(α1 + α2 + · · · + αn ) + i sin(α1 + α2 + · · · + αn )].ρn+1 (cos αn+1 + i sin αn+1 ) ,, Chuong 4. Sô´ hoc . 102 = ρ1 ρ2 . . . ρn ρn+1 [cos(α1 + α2 + · · · + αn ) cos αn+1 − sin(α1 + α2 + · · · + αn ) sin αn+1 + i [cos(α1 + α2 + · · · + αn ) sin αn+1 + sin(α1 + α2 + · · · + αn ) cos αn+1 ] = ρ1 ρ2 . . . ρn ρn+1 [cos(α1 + α2 + · · · + αn+1 ) + i sin(α1 + α2 + · · · + αn+1 )]. J ,, , Truòng ho. p riêng α1 = α2 = . . . = αn = α và ρ1 = ρ2 = . . . = ,, , , , ρn = ρ công thúc vùa chúng minh tro thành zn = ρn (cos nα + i sin nα). , ` trên d̄u,ò,ng tròn d̄o,n vi. thı̀ z = cos α + i sin α và Nê´u d̄iêm z năm (cos α + i sin α)n = (cos nα + i sin nα). , , , Công thúc sau cùng goi Công thúc Moivre . là công thúc Moivre. , , , , có nhiê`u úng dung trong thu. c tê´ cũng nhu giai bài toán liên quan . , , d̄ê´n sô´ phúc. Nhiê`u bài toán râ´t hay nhung không liên quan d̄ê´n ,, ,, 1 phuong pháp quy nap . toán hoc . tôi không xét d̄ê´n o d̄ây . , , Vı́ du. 4.13. Chú,ng minh ră` ng nê´u kê´t qua thu. ,c hiên . môt . sô´ hũu han phép trù,, phép nhân, phép chia) trên . phép tı́nh (phép công, . , , dãy sô´ x1 , x2 , . . . , xn là môt . sô´ u, thı̀ kê´t qua thu. c hiên . cũng các ,, , phép tı́nh d̄ó trên dãy liên ho. p x̄1 , x̄2 , . . . , x̄n sẽ nhân . d̄uo. c sô´ ū , liên ho.,p cua u. , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Ðâ`u tiên ta sẽ chúng minh mênh d̄ê` d̄úng . , , , vói tùng phép tı́nh trên hai sô´ phúc. Cho x1 = a + ib, x2 = c + id. 1 Ban . , , , , d̄oc cua sô´ phúc trong [2]. . có thê tı̀m thâ´y môt . sô´ úng dung . , 4.3. Sô´ phúc 103 khi d̄ó x1 + x2 = ( a + c) + (b + d)i = u, x̄1 + x̄2 = ( a − ib) + (c − id) = ( a + c) − (b + d)i = ū. , ` phu,o,ng pháp tu,o,ng tu., ta kiêm tra phép trù,, nhân, chia hai Băng , , sô´ phúc, khăng d̄inh d̄ê`u d̄úng. . , , ,, , , , , Bây giò gia su cho biêu thúc hũu han . các sô´ phúc x1 , x2 , . . . , xn . , , , , , Thu. c hiên . tı́nh toán biêu thúc nhu vây . là thu. c hi, ên . môt . dãy các , , , , phép tı́nh trên hai sô´ phúc, viêc th u c hi ên có thê d̄ ánh sô´ thú tu. . . . , , ,, , d̄uo. c. Chăng han . biêu thúc x1 x2 + x3 x4 u= . x1 + x2 − x3 , , ,, , ,, Ðê thu. c hiên . các buóc sau: . u nguòi ta thu. c hiên 1) x1 x2 = u1 , 4) u3 − x3 = u4 , 2) x3 x4 = u2 , 5) u1 + u2 = u5 , 3) x1 + x2 = u3 , 6)u5 : u4 = u. , ,, , , , , , Gia su mênh . , d̄ê` d̄úng vói tâ´t ca các biêu thúc mà trong su. tı́nh ,, ,, , ,, , toán d̄òi hoi không quá k buóc thu. c hiên, . các buóc thu. c hiên . o , , , d̄ây là: công, trù, nhân hoac . .̆, chia hai sô´ ,phúc. Ta sẽ chúng minh , ,, , , mênh d̄ê` d̄úng vói các biêu thúc d̄òi hoi k + 1 buóc thu. c hiên. . . ,, , ´ ´ Thât v ây, bu ó c th u c hi ên cuô i c ùng k + 1 trên hai sô u v à u , m à i j . . . . , , , , nhũng sô´ này là kê´t qua cua viêc . thu. c hiên . không quá k phép , , , ` các sô´ liên ho. p cua tı́nh. Kê´t qua khi ta thay x1 , x2 , . . . , xn băng , ` ´ ui và u j cũng thay băng chúng thı̀ theo gia thiê´t quy nap . các sô , , , , các sô´ liên ho. p cua chúng trong kê´t qua thu. c hiên . phép tı́nh. Khi , ,, , , ` d̄ó u cũng thay băng sô´ liên ho. p cua nó ū trong buóc thu. c hiên . , thú k + 1. J 104 ,, Chuong 4. Sô´ hoc . , ,, 2 Vı́ du. 4.14. Cho z là nghiêm . cua phuong trı̀nh bâc . hai x + x + , , 1 = 0. Chúng minh ră` ng vói n = 0, 1, . . . ta có ( 0, nê´u n không chia hê´t cho 3, 1 + zn + z2n = 3, nê´u n chia hê´t cho 3. √ , , 1 3 , ,, Lòi giai. Nghiêm . cua phuong trı̀nh là b1 = − 2 + i 2 , b2 = √ , 1 3 ,, − −i . Ta ký hiêu z là nghiêm bâ´t kỳ cua phuong trı̀nh, . . 2 2 √ 3 ,, 1 µ, o d̄ây µ = 1 khi z = b1 và µ = −1 khi nghı̃a là z = − + i 2 2 ,, 1 z = b2 . Ðat .̆ α = arg z(π ≤ α ≤ π ); boi vı̀ |z| = 1 nên cos α = − 2 √ , 2π 3 , và sin α = µ, tù d̄ây ta có α = µ. Suy ra z có biêu diễn 2 3 ,, luo. ng giác sau 2π 2π z = cos µ + i sin µ. 3 3 , Áp dung công thúc Moivre . δn = 1 + zn + z2n 2nπ 4nπ 4nπ 2nπ µ + i sin µ) + (cos µ + i sin µ ). = 1 + (cos 3 3 3 3 , ,, , , Áp dung công thúc biê´n d̄ôi luo. ng giác cho tông cos và sin ta . ,, nhân . d̄uo. c nπ nπ µ + 2i sin nπµ cos µ δn = 1 + 2 cos nπµ cos 3 3 nπ = 1 + (−1)n 2 cos . 3 Ta chú ý cos nπµ = cos nπ = (−1)n , sin nπµ = 0. Cho n chia hê´t , cho 3. Khi d̄ó n = 3k (k là sô´ tu. nhiên) và 3kπ δn = δ3k = 1 + (−1)3k .2 cos 3 = 1 + (−1)k .2(−1)k = 1 + 2 = 3. , 4.4. Nhũng vı́ du. khác 105 ,, Nguo. c lai n = 3k + s ( s = 1 và s = 2) và . n có dang . (3k + s)π 3 sπ k+s k = 1 + (−1) .2(−1) . cos 3 1 = 1 + (−1)k+s .2.(−1)k .(−1)s+1 . = 0. 2 , ,, Vây . bài toán có thê viê´t lai . duói dang . ( 0, s 6= 0, (k = 0, 1, . . . ; s = 1, 2) δ3k+s = 1 + z3k+s + z6k+2s = 3, s = 0, (4.5) δn = δ3k+s = 1 + (−1)3k+s .2 cos Vı̀ 1 + z + z2 = 0, nên 0 = (1 − z)(1 + z + z2 ) = 1 − z3 suy , ra z3 = 1. Vói k = 0 ta có δs = 1 + zs + z2s (s = 0, 1, 2); δ0 = 1 + 1 + 1 = 3, δ1 = 1 + z + z2 = 0, δ2 = 1 + z2 + z4 = 1 + z2 (1 + z2 , ,, , , o d̄ây d̄ã áp dung 1 + z2 = −z. Và nhu vây . . vói k = 0, (4.5) d̄úng. , ,, , , , Gia su bây giò (4.5) d̄úng vói k ≥ 0 nào d̄ó, ta sẽ chúng minh ` nó cũng d̄úng cho k + 1. Thât răng . vây, . δ3(k+1)+s = 1 + z3k+s+3 + z6k+2s+6 = 1 + z3k+s z3 + z6k+2s z6 = 1 + z3k+s + z6k+2s = δ3k+s , ,, ,, z3 = 1, z6 = (z3 )2 = 1. o d̄ây ta d̄ã su dung . J , 4.4. Nhũng vı́ du. khác Vı́ du. 4.15. Cho n và k là nhũ,ng sô´ tu. , nhiên, k ≥ 2. Chú,ng minh , ră` ng tô`n tai . n sô´ tu. nhiên liên tiê´p, mỗi sô´ trong chúng phân tı́ch ra tı́ch ı́t nhâ´t k thù,a sô´ nguyên tô´. , , , , , Lòi giai. Vói k = 2 khăng d̄inh . cua bài toán có nghı̃a là tô`n tai . n , , , , liên tiê´p nhũng ho. p sô´. Dãy nhu vây . vı́ du. nhu (n + 1)! + 2, (n + 106 ,, Chuong 4. Sô´ hoc . , , 1)! + 3, . . . , (n + 1)! + (n + 1). Gia thiê´t vói sô´ k nào d̄ó ta d̄ã tı̀m ,, , d̄uo. c n sô´ tu. nhiên liên tiê´p N, N + 1, . . . , N + n − 1 , mỗi sô´ này phân tı́ch ra tı́ch ı́t nhâ´t k thùa sô´ nguyên tô´. Khi d̄ó , mỗi sô´ trong nhũng sô´ sau ( N + n − 1)! + N, ( N + n − 1)! + N + 1, . . . , ( N + n − 1)! + N + n − 1 ,, , phân tı́ch d̄uo. c ra ı́t nhâ´t k + 1 thùa sô´ nguyên tô´. Thât . vây, . mỗi sô´ trong các sô´ ( N + n − 1)! + N + i (i = 0, 1, . . . , n − 1) chia hê´t , , ,, cho N + i, mà theo gia thiê´t quy nap . nhũng sô´ này phân tı́ch d̄uo. c ( N + n − 1) ! + N + i , ra tı́ch ı́t nhâ´t k thù sô´ nguyên tô´, còn sô´ N+i , hiên nhiên là khác 1. J Vı́ du. 4.16. Cho m và n là nhũ,ng sô´ tu. , nhiên. Chú,ng minh ră` ng √ √ √ ,, 3 n m ı́t nhâ´t môt . trong các sô´ m, n không vuo. t quá 3. , , , , , , Lòi giai. Ta sẽ chúng minh vói moi . sô´ tu. nhiên n có bâ´t d̄ăng , , , thúc sau 3n ≥ n3 . Chúng minh theo quy nap . to,án hoc. . ,Vói n = ,, 1, 2, 3, 4 ta có 31 ≥ 13 , 32 ≥ 23 , 33 ≥ 33 , 34 ≥ 43 . Gia su khăng d̄inh . , , ´ d̄úng vói n = k, (k ≥ 4). Khi d̄ó theo gia thiêt quy nap . 3k+1 = 3.3k ≥ 3.k3 = k3 + 3k2 + 3k + (k − 3)k2 + (k2 − 3)k > (k + 1)3 . , , , Vı̀ k > 3, (k − 3)k2 ≥ 1, (k2 − 3)k > 1. Nhu vây . vói moi . sô´ tu. nhiên √ √ 3 n n, ta có 3n ≥ n3 hoac .̆ là 3 ≥ n. , Cho m và n sô´ tu. nhiên và n ≥ m. Khi d̄ó √ √ √ 3 n m ≤ n n ≤ 3. J , Vı́ du. 4.17. Bô. ba Pythagore là môt . bô. ba sô´ tu. nhiên ( x, y, z), sao cho x < y < z và x2 + y2 = z2 . Chú,ng minh ră` ng vó,i sô´ , 4.4. Nhũng vı́ du. khác 107 tu. , nhiên bâ´t kỳ n, sô´ 2n+1 có mat .̆ trong n bô. ba Pythagore khác nhau. , , , ` Lòi giai. Chúng minh băng quy nap . toán hoc . theo n, , , 1) Vói n = 1 kê´t luân . hiên nhiên: Sô´ 4 gap .̆ 1 lâ`n trong các bô. . , ,, , ` ´ ´ 2) Gia su mênh d̄ê d̄úng vói bât kỳ k ≤ n. Khi d̄ó nêu bô. . , , ba Pythagore ( x, y, z) có chúa sô´ 2n+2 , và nhũng sô´ x, y, z không , , nguyên tô´ cùng nhau, thı̀ nhũng sô´ này có thùa sô´ chung 2 và , x y z ( , , ) là bô. ba Pythagore trong d̄ó chú,a sô´ 2n+1 . Theo gia thiê´t 2 2 2 , ,, , , ,, quy nap vây có sô´ luo. ng n. Gia su ( x, y, z) bô. ba . nhũng bô. ba nhu . , Pythagore , mà các sô´ cua chúng x, y, z nguyên tô´ cùng nhau, và ` môt 2n +2 . . trong chúng băng 2 2 2 ˜ thı̀ x và y Theo d̄iê`u kiên . x + y = z . Vı̀ thê´ nê´u z là sô´ chăn ˜ (do chúng nguyên tô´ cùng nhau). Và suy ra x2 và y2 không chăn , , khi chia cho 4 cho du 1. Khi d̄ó x2 + y2 khi chia cho 4 cho sô´ du 2, , nhung trong khi d̄ó z2 chia hê´t cho 4. Dẫn d̄ê´n vô lý. Suy ra z là , ,, , sô´ le và truòng ho. p riêng z 6= 2n+2 . , Nhung x2 = (z − y)(z + y), và nê´u x = 2n+2 , thı̀ , x2 = 22n+4 = (z − y)(z + y), tù d̄ó z − y = 2k , z + y = 1 k 22n+4−k (0 ≤ k ≤ 2n + 4). Suy ra z = (2 + 22n+4−k ). 2 , , Nhu vây . z là le, thı̀ hoac .̆ là k = 1, hoac .̆ là k = 2n + 3. ,, , , 2n Trong truòng ho. p thú nhâ´t z = 1 + 2 +2 , y = 22n+2 − 1, , n+2 < 22n+2 − 1 < 22n+2 + 1 vó,i n ≥ 1, x = 2n+2 và nhu vây . 0<2 ,, thı̀ (2n+2 , 22n+2 − 1, 22n+2 + 1) bô. ba Pythagore . Trong truòng , , ,, , ho. p thú hai z = 1 + 22n+2 , y = 1 − 22n+2 . Nhu vây . trong truòng , ho. p cuô´i cùng y < 0, thı̀ tô`n tai . môt . bô. ba ( x, y, z) sao cho x, y, z n + 2 nguyên tô´ cùng nhau và x = 2 . ,, Chuong 4. Sô´ hoc . 108 ,, , , Cuô´i cùng cho y = 2n+2 , khi d̄ó lý luân . tuong tu. nhu phâ`n ,, n+2 + 1 và hoac là x = 22n+2 − 1, hoac là trên ta nhân . d̄uo. c z = 2 .̆ .̆ , , ,, , , 2n + 2 ´ x = 1−2 . Nhung vói n ≥ 1 trong truòng ho. p thú nhât x > y, ,, , , còn truòng ho. p thú hai − x < 0. , Nhu vây, x, y, z . tô`n tai . môt . bô. ba sô´ Pythagore ( x, y, z) sao cho , n + 2 nguyên tô´ cùng nhau và có môt . sô´ là 2 . Vı̀ thê´ tâ´t ca cap .̆ bô. , n +2 ` ba trong nó chúa 2 , băng n + 1. J k k Vı́ du. 4.18. Chú,ng minh ră` ng nê´u a ≡ b (mod m), thı̀ am ≡ bm , (mod mk+1 ), o, d̄ây k = 0, 1, 2, . . . , , , , ` Lòi giai. Ta chúng minh băng quy nap theo k. Vói k = 0 thı̀ , , ,, , . mk mênh d̄ê` d̄úng hiên nhiên. Gia su vói môt . . k nào d̄ó, ta có a ≡ k k bm (mod mk+1 ). Ta d̄at .̆ l = m . Ta có k +1 k +1 − bm = ( al − bl )( al (m−l ) + al (m−2) bl + · · · + bl (m−1) ). , , , k +1 Vı̀ theo gia thiê´t quy nap, . thùa sô´ thú nhâ´t chia hê´t cho m , , , , , , vây . chı còn chúng minh thùa sô´ thú hai chia hê´t cho m. Nhung , a ≡ b (mod m), tù d̄ó al ≡ bl (mod m) và al (m−1) + al (m−2) bl + · · · + bl (m−1) ≡ al (m−1) + al (m−1) + · · · + al (m−1) ≡ mal (m−1) ≡ 0 (mod m). am J 4.5. Bài tâp . ,, , n +1 + ` . 4.19. Chú,ng minh răng vói moi . sô´ nguyên duong n, 11 122n−1 chia hê´t cho 133. ,, , ` . 4.20. Chú,ng minh răng vói sô´ n nguyên duong 1) A = n7 + 6n chia hê´t cho 7; 2) B = 26n+1 + 32n+2 chia hê´t cho 11; 3) D = 22n+1 − 9n2 + 3n − 2 chia hê´t cho 54. 4.5. Bài tâp . 109 ,, , ` . 4.21. Chú,ng minh răng vói n nguyên duong, sô´ 23n+3 − 7n + 41 , , ,, , chia hê´t cho 49. Tông quát: Vói a, n là nhũng sô´ nguyên duong, , , biêu thúc An = ( a + 1)n − an − 1 chia hê´t cho a2 . ` ˜ chũ, sô´, chũ, sô´ d̄â`u . 4.22. Chú,ng minh răng môt . sô´ có sô´ chăn , ´ tiên và chũ sô cuô´i cùng là 1, các sô´ còn lai . là 0, thı̀ nó chia hê´t cho 11. ,, n , ` . 4.23. Chú,ng minh răng môt . sô´ tao . boi 3 chũ sô´ 1, chia hê´t cho 3n . , , , ` . 4.24. Chú,ng minh răng vói sô´ tu. nhiên n ≥ 2, nhũng sô´ có n , , dang N = 22 + 1 có chũ sô´ cuô´i cùng là chũ sô´ 7 (Sô´ Fermat). . . 4.25. Cho dãy sô´ a1 , a2 , a3 , . . . sao cho a1 = a2 = 1 và an+2 = , , ` an + an+1 . Chúng minh răng a5n chia hê´t cho 5 vói n = 1, 2, . . .. , , CHUONG 5 ´ DÃY SÔ , 5.1. Dãy sô´ tu. nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 5.2. Dãy trôi . hon .,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , , 5.3. Nhũng bâ´t d̄ăng thúc nôi tiê´ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 5.4. Dãy d̄on d̄iêu . ....................................... 5.5. Sô´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Dãy sô´ Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Bài tâp . ............................................... 110 117 121 128 131 134 139 ,, ,, ´t nhiê`u Phuong pháp quy nap . toán hoc . d̄uo. c áp dung . , cho râ , , , , bài toán vê` dãy sô´. Kê´t ho. p vói các tı́nh châ´t cua bâ´t d̄ăng thúc , , , ,, ` ´ và d̄ăng thúc thı̀ chúng minh băng phuong pháp này râ´t ngăn , gon . và dễ hiêu. , 5.1. Dãy sô´ tu. nhiên , Vı́ du. 5.1. Cho dãy vô han . sô´ tu. nhiên a1 = 1, a2 , a3 , . . . , an , . . . và , , thoa mãn bâ´t d̄ăng thú,c sau a n ≤ 1 + a 1 + a 2 + · · · + a n −1 , , , , vó,i moi . sô´ tu. nhiên n ≥ 2. Chúng minh ră` ng vói moi . sô´ tu. nhiên , , , , ,, du,o,ng có thê biêu diễn nhu, tông cua môt . vài sô´ d̄uo. c chon . trong dãy. , , , , , ` Lòi giai. Ta sẽ chúng minh răng moi . sô´ tu. nhiên N thoa mãn , 5.1. Dãy sô´ tu. nhiên 111 , , , , bâ´t d̄ăng thúc 0 < N < 1 + a1 + a2 + · · · + an , có thê biêu diễn , , , nhu môt . tông cua môt . vài sô´ trong dãy a1 , a2 , . . . , an . , , Vói n = 1 mênh d̄ê` d̄úng vı̀ a1 = 1, khi d̄ó 0 < N < 1 + 1 chı . là N = 1 = a1 . , ,, , , Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói sô´ tu. nhiên n = k ≥ 1, nghı̃a là moi . . , , , , sô´ tu. nhiên N thoa mãn bâ´t d̄ăng thúc 0 < N < 1 + a1 + a2 + , , , , · · · + ak , có thê biêu diễn nhu, môt . tông cua môt . vài sô´ trong dãy , , ` a1 , a2 , . . . , ak . Ta sẽ chúng minh răng nó cũng d̄úng vói n = k + 1. , , ,, , Ta chı xét truòng ho. p sau d̄ây là d̄u 1 + a 1 + · · · + a k ≤ N < 1 + a 1 + · · · + a k + a k +1 , , vı̀ nê´u 0 < N < 1 + a1 + · · · + ak , thı̀ mênh d̄ê` d̄úng suy ra tù giai . thiê´t quy nap. . ,, Do d̄iê`u kiên . d̄â`u bài, ta nhân . d̄uo. c 0 ≤ 1 + a 1 + · · · + a k − a k +1 ≤ N − a k +1 < 1 + a 1 + · · · + a k . , Nê´u N − ak+1 = 0, thı̀ mênh d̄ê` d̄úng vói n = k + 1; nê´u N − . , , , ak+1 > 0, thı̀ theo gia thiê´t quy nap N − ak+1 có thê biêu diễn . , , , , nhu tông cua môt vài sô´ trong a1 , a2 , . . . , ak và khi d̄ó N biêu d̄iễn . , , nhu tông trên và thêm vào ak+1 . J Vı́ du. 5.2. Cho p1 < p2 < . . . < pn < . . . là dãy sô´ nguyên tô´. Chú,ng minh ră` ng giũ,a hai sô´ p1 + p2 + · · · + pn và p1 + p2 + · · · + ,, pn+1 luôn luôn có môt . sô´ chı́nh phuong. , , ,, , Lòi giai. Gia su 2 = p1 < p2 < p3 . . . dãy sô´ nguyên tô´. , , , ` 1) Ta chúng minh răng vói n ≥ 7, pn > 2n + 1: Ta chúng minh ,, , ` băng phuong pháp quy nap. . Vói n = 7, ta có p7 = 17 > 15, mênh . , ,, , ` d̄ê` d̄úng. Gia su mênh d̄ê d̄ úng cho n = k, p > 2k + 1. Ta ch ú ng k . ,, Chuong 5. Dãy sô´ 112 , minh mênh d̄ê` cũng d̄úng vói n = k + 1, thât . . vây, . do pn là sô´ , , le vói moi . n > 1, nên pk+1 − pk ≥ 2, nghı̃a là pk+1 ≥ pk + 2 > , , 2k + 1 + 2 = 2(k + 1) + 1. Nhu vây . ta d̄ã chúng minh d̄úng cho moi . n ≥ 7, pn > 2n + 1. , , , 2 2) Ta chúng minh vói moi . n, yn ≥ n : Ký hiêu . yn là tông y n = p1 + p2 + · · · + p n . Ta có y1 = 2 > 12 , y2 = 5 > 22 , y3 = 10 > 33 , y4 = 17 > 42 , y5 = 28 > 52 , y6 = 41 > 66 và y7 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 = , , 58 > 49 = 72 . Ta sẽ chúng minh quy nap . theo n, vói n ≥ 7 ta có y n > n2 . , ,, , , 2 Thât . vây, . Gia su vói n = k, ta có yk > k . Vói n = k + 1 ta tı́nh ,, yk+1 = yk + pk+1 > k2 + (2k + 1) = (k + 1)2 , ta d̄ã su dung kê´t . , , , qua phâ`n trên và gia thiê´t quy nap. . Nghı̃a là ta d̄ã chúng minh , 2 vói moi . n, yn ≥ n . , ,, , , , Lâ´y m2 là sô´ chı́nh phuong lón nhâ´t không lón hon yn (có thê ,, , , , lâ´y d̄uo. c theo chúng minh trên và tiên d̄ê` thú tu. ). Khi d̄ó theo , , , chúng minh trên m ≥ n hoac .̆ là m = n + k, k ≥ 0. Nhu vây, . vói moi . n ≥ 1 tô`n tai . sô´ k ≥ 0 sao cho ( n + k )2 ≤ y n ≤ ( n + k + 1)2 . , ,, , ,, Ta sẽ chúng minh pn+1 > 2(n + k ) + 1. Gia su nguo. c lai, . ta có , , pn+1 ≤ 2(n + k ) + 1. Nhung vói n ≥ 2, pn+1 ≥ pn + 2. Suy ra pn ≤ 2(n + k ) + 1 − 2 = 2(n + k ) − 1, pn−1 ≤ 2(n + k ) + 1 − 4 = 2(n + k ) − 3, …………………………. pn− j ≤ 2(n + k ) + 1 − 2( j + 1) = 2(n + k ) − (2j + 1), …………………………. , 5.1. Dãy sô´ tu. nhiên 113 3 = p2 ≤ 2(n + k ) + 1 − 2(n − 1) = 2(n + k ) − (2n − 3), 2 = p1 ≤ 2(n + k ) + 1 − 2n = 2(n + k ) − (2n − 1). , , , Công tùng vê´ các bâ´t d̄ăng thúc trên, ta có . yn = p1 + p2 + · · · + pn ≤ 2n(n + k ) − (1 + 3 + · · · + (2n − 1)) = 2n(n + k) − n2 = n2 + 2nk + 1 − 1 = (n + k)2 − 1. , , Nghı̃a là y ≤ (n + k )2 − 1. Nhung theo gia thiê´t y ≥ (n + k )2 và n n yn là sô´ nguyên. Dẫn d̄ê´n vô lý. Suy ra pn+1 > 2(n + k ) + 1. Khi d̄ó y n +1 = y n + p n > ( n + k )2 + 2 ( n + k ) + 1 = ( n + k + 1 )2 > y n , nghı̃a là Suy ra (n + k + 1)2 y n < ( n + k + 1 )2 < y n +1 . ` giũ,a yn và yn+1 . năm J Vı́ du. 5.3. Cho dãy sô´ chia thành tù,ng nhóm nhu, sau: , (1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), (11, 12, 13, 14, 15), . . . Tı́nh tông S1 + , , , S3 + S5 + · · · + S2n−1 , o, d̄ây Sk là tông nhũ,ng sô´ cua nhóm thú, k. , , , , ` Lòi giai. Sô´ d̄â`u tiên cua nhóm thú k băng (1 + 2 + · · · + (k − 1)) + 1 = , , ,, , Còn tông cua k sô´ o nhóm thú k là k ( k − 1) + 1. 2 k ( k − 1) ( k + 1) k +1+ ) k3 + k 2 2 Sk = = . 2 2 , ` ` Băng quy nap . toán hoc . theo n, ta chúng minh răng k( S1 + S3 + · · · + S2n−1 = n4 . , 1) Vói n = 1, ta có S1 = 1 = 14 . (5.1) ,, Chuong 5. Dãy sô´ 114 , ,, , , 2) Gia su (5.1) d̄úng vói n nào d̄â´y, ta chúng minh cho n + 1. S1 + S2 + · · · + S2(n+1)−1 = (S1 + S2 + · · · + S(2n−1) ) + S2n+1 (2n + 1)3 + (2n + 1) 2 = n4 + (2n + 1)(2n2 + 2n + 1) = n4 + = n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1 = (n + 1)4 . , , ,, , Ðăng thúc (5.1) d̄úng vói moi . n nguyên duong. Vı́ du. 5.4. Cho dãy sô´ F1 , F2 , F3 , . . . , Fn , . . . d̄u,o.,c xác d̄inh . theo công , , thúc sau: F1 = −1, F2 = −1, Fn = − Fn−1 − 2Fn−2 vói n ≥ 3. Chú,ng minh ră` ng vó,i n ≥ 2 sô´ 2n+1 − 7F2 là sô´ chı́nh phu,o,ng. J n −1 , , , ` Lòi giai. Chúng minh băng quy nap d̄ê` . toán hoc . theo n, mênh . , sau: Vói n ≥ 2, 2n+1 − 7Fn2−1 = (2Fn + Fn−1 )2 . , ,, 3 2 Thât d̄ê` d̄úng . vây, . n = 2 ta có 2 − 7 = (−2 + 1) . Gia su mênh . ,, , vói moi . k ≤ n, o d̄ây n ≥ 2. Khi d̄ó (2Fn+1 + Fn )2 = (−2Fn − 4Fn−1 + Fn )2 = (− Fn − 4Fn−1 )2 = Fn2 + 8Fn Fn−1 + 16Fn2−1 = 2(4Fn2 + 4Fn Fn−1 + Fn2−1 ) + 14Fn2−1 − 7Fn2 = 2(2Fn + Fn−1 )2 + 14Fn2−1 − 7Fn2 = 2(2n+1 − 7Fn2−1 ) + 14Fn2−1 − 7Fn2 = 2n+2 − 7Fn2 . , , Nhu vây d̄ê` d̄úng vói k = n + 1. . mênh . , Vı́ du. 5.5. Cho n ≥ 1 là môt nghı̃a dãy sô´ . sô´ tu. nhiên. Ðinh . x1 , x2 , . . . và y1 , y2 , . . . theo cách sau: n xi + yi ] , y i +1 = [ ] (i = 1, 2, . . .), x1 = n, y1 = 1, xi+1 = [ 2 x i +1 J , 5.1. Dãy sô´ tu. nhiên 115 [ x ] sô´ nguyên ló,n nhâ´t không ló,n ho,n x. √ Chú,ng minh ră` ng min{ x1 , x2 , . . . , xn } = [ n]. , √ , , , Lòi giai. Ta sẽ chúng minh vói mỗi i (i = 1, 2, . . .), xi ≥ [ n]. , , , ,, , , , , Bâ´t d̄ăng thúc d̄úng vói i = 1. Gia su bâ´t d̄ăng thúc d̄úng vói √ i = k. Khi d̄ó xk = [ n] + t, t ≥ 0, √ √ √ n [ n ]2 [ n ]2 − t2 yk = [ √ ]≥[ √ ]≥[ √ ] = [ n] − t [ n] + t [ n] + t [ n] + t suy ra √ √ √ xk + yk [ n] + t + [ n] − t x k +1 = [ ]≥[ ] = [ n ]. 2 2 , , , Khi d̄ó theo nguyên lý quy nap . toán hoc . bâ´t d̄ăng thúc câ`n chúng , minh d̄úng vói moi . i = 1, 2, . . .. , ,, , √ ,, Gia su vói môt sô´ s nào d̄ó có xs = [ n] + t, o d̄ây t ≥ 1 . , , ,, (d̄iê`u này có thê d̄uo. c, chăng han lâ´y s = 1). Ngoài ra nê´u lâ´y , . √ √ 2 ,, n = [ n] + p, o d̄ây sô´ p thoa mãn 0 ≤ p ≤ 2[ n] (ta cũng lâ´y , ,, , , ,, d̄uo. c do p là sô´ tu. nhiên và p thoa mãn nhu vây . vı̀ nê´u nguo. c lai . √ , thı̀ dẫn tói d̄iê`u vô lý n ≥ ([ n + 1]2 ). Khi d̄ó √ √ √ √ n [ n ]2 + p [ n ]2 + 2[ n ] √ ]=[ √ ]≥[ ] = [ n] ys = [ √ [ n] + t [ n] + t [ n] + 1 vı̀ √ √ √ [ n ]2 + 2[ n ] √ ] < [ n + 1]. [ n] < [ [ n] + 1 √ √ , ,, Tù ys ≤ [ n] < [ n] + t = xs ta nhân . d̄uo. c ys ≤ xs − 1 suy ra √ x s +1 = [ xs + ys 2xs − 1 ≤[ ] = xs − 1 < xs . 2 2 116 ,, Chuong 5. Dãy sô´ √ , Ðiê`u này nghı̃a là khi xs > [ n] vói s = 1, 2, . . . dãy x1 , x2 , . . . sẽ , , , , , , , , , giam thu. c su. và vói s d̄u lón (nhung nho hon n, vı̀ x1 = n) thı̀ sẽ , √ , có d̄ăng thúc xs = [ n]. J , nghı̃a theo d̄ăng Vı́ du. 5.6. Cho dãy sô´ a1 , a2 , . . . , an d̄u,o.,c d̄inh . thú,c sau: ak = k − 1 vó,i k = 1, 2, 3, 4 và a2n−1 = a2n−2 + 2n−2 , a2n = , a2n−5 + 2n vó,i moi n ≥ 3. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . sô´ tu. nhiên n , . khác không d̄ăng thú,c sau d̄úng: 12 n−1 17 n−1 a) 1 + a2n−1 = .2 ; b) 1 + a2n = .2 . 7 7 , , , , , , , ` Lòi giai. Vói n = 1 và n = 2 d̄ăng thúc d̄úng vói băng cách kiêm , , ,, , , , , tra tru. c tiê´p. Gia su hai d̄ăng thúc trên d̄úng vói hai sô´ tu. nhiên , , , liên tiê´p n − 1 và n. Ta sẽ chúng minh hai d̄ăng thúc d̄úng cho giá tri. tiê´p theo n + 1. , , , Tù d̄inh nghı̃a cua dãy 1 + a2n+1 = 1 + a2n + 2n−1. Chú ý tói . , 17 n−1 , d̄ăng thúc b) cho giá tri. n, ta có 1 + a2n+1 = .2 + 2n−1 . Vı̀ 7 , 12 n , d̄ăng thúc a) trong bài .2.4 nên có 1 + a2n+1 = .2 suy ra 7 , , , , d̄ăng thúc a) cua bài toán vói giá tri. n + 1. , , , n +1 Tù d̄inh . nghı̃a cua dãy 1 + a2n+2 = 1 + a2n−3+ 2 . Ch ú ý tói , 12 n−2 , d̄ăng thúc a) cho giá tri. n − 1, ta có 1 + a2n+2 = .2 + 2n +1 . 7 , 17 n , Vı̀ d̄ăng thúc b) trong bài .2.4 nên có 1 + a2n+2 = .2 suy ra 7 , , , , d̄ăng thúc b) cua bài toán vói giá tri. n + 1. J , 5.2. Dãy trôi . hon 117 , 5.2. Dãy trôi . hon Cho hai dãy a1 , a2 , a3 , . . . (5.2) (5.3) , , , Ta goi . dãy (5.2) trôi . hon dãy (5.3) nê´u chúng thoa mãn bâ´t d̄ăng , thúc: bn ≤ an , (n = 1, 2,, . . .) (5.4) ,, , ´ Trong toán hoc . thuòng dùng loai . bât d̄ăng thúc này, d̄ac .̆ biêt . các , ` bài toán vê d̄ánh giá môt . quá trı̀nh, tı̀m giói han, . … , Vı́ du. 5.7. Chú,ng minh bâ´t d̄ăng thú,c 4n (2n)! , (n = 2, 3, . . .). (5.5) < n+1 (n!)2 b1 , b2 , b3 , . . . , , , , , Lòi giai. Chúng minh quy nap . theo n. Bâ´t d̄ăng thúc (5.5) d̄úng , , vói n = 2 suy ra tù 42 (2.2)! 16 − = − 6 < 0. 2 2+1 (2!) 3 , ,, , , ` Gia su (5.5) d̄úng vói môt nó . sô´ n nào d̄ó. Ta sẽ chúng minh răng cũng d̄úng cho n + 1, 4n +1 (2n + 2)! < . n+2 ((n + 1)!)2 , ,, Thât . vây, . ta viê´t vê´ trái cua (5.6) duói dang . 4n +1 4n 4 ( n + 1 ) = · n+2 n+1 n+2 , , Tù gia thiê´t quy nap . ta có 4n 4 ( n + 1 ) (2n + 2)! 2( n + 1)2 4n +1 = < . , n+2 n+1 n+2 ((n + 1)!)2 (2n + 1)(n + 2) (5.6) ,, Chuong 5. Dãy sô´ 118 mat .̆ khác 0< 2( n + 1)2 2n2 + 4n + 2 = 2 = (2n + 1)(n + 2) 2n + 5n + 2 (2n2 + 5n + 2) − n n = = 1− 2 <1 2n2 + 5n + 2 2n + 5n + 2 , vói n = 1, 2, . . . và suy ra 2( n + 1)2 (2n + 2)! (2n + 2)! 4n +1 . . < < n+2 ((n + 1)!)2 (2n + 1)(n + 2) ((n + 1)!)2 J , Vı́ du. 5.8. Chú,ng minh bâ´t d̄ăng thú,c √ 1 1 1 + √ + · · · + √ > n, n 2 (n = 2, 3, . . .). (5.7) √ , , , 1 , , , Lòi giai. Vói n = 2 ta có bâ´t d̄ăng thúc 1 + √ > 2, bâ´t d̄ăng , , ,, 2 , , , thúc này d̄úng qua kiêm tra tru. c tiê´p. Gia su (5.7) d̄úng vói môt . , , , giá tri. n nào d̄ó và ta sẽ chúng minh bâ´t d̄ăng thúc cũng d̄úng , vói n + 1, hoac .̆ là √ 1 1 1+ √ +···+ √ > n + 1, (n = 2, 3, . . .). (5.8) n+1 2 , 1 , , √ Thât hai vê´ bâ´t d̄ăng thúc (5.7) vói sô´ hang , ta . vây, . công . . n+1 có √ 1 1 1 1 1+ √ +···+ √ + √ > n+ √ . (5.9) n n+1 n+1 2 , Nhung √ √ √ √ 1 n2 + n + 1 n2 + 1 = √ > √ = n + 1. n+ √ n+1 n+1 n+1 , Tù d̄ây và (5.9) suy ra (5.8). J , 5.2. Dãy trôi . hon 119 Vı́ du. 5.9. Chú,ng minh ră` ng a2 b2 a n bn ( a1 + · · · + an )(b1 + · · · + bn ) a1 b1 + +···+ ≤ , a1 + b1 a2 + b2 a n + bn ( a1 + · · · + an ) + (b1 + · · · + bn ) (5.10) ,, , , , o d̄ây a1 , a2 , . . . , an , b1 , b2 , . . . , bn là nhũng sô´ duong. , , , , , , Lòi giai. Vói n = 1 bâ´t d̄ăng thúc d̄úng. Vói n = 2 ta có dang . a1 b1 a2 b2 ( a1 + a2 )(b1 + b2 ) + ≤ a1 + b1 a2 + b2 ( a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) (5.11) hoac .̆ là ( a1 + a2 )(b1 + b2 )( a1 + b1 )( a2 + b2 ) − a1 b1 ( a2 + b2 )( a1 + a2 + b1 + b2 )− − a2 b2 ( a1 + b1 )( a1 + a2 + b1 + b2 ) ≥ 0 , , , 2 hoac .̆ là ( a1 b2 − a2 b1 ) ≥ 0 bâ´t d̄ăng thúc này hiên nhiên d̄úng. , ,, , , , Gia su (5.10) d̄úng vói sô´ tu. nhiên n ≥ 2 nào d̄ó. Ta sẽ chúng ,, , minh nó d̄úng vói n + 1. Su dung (5.10) và (5.11) ta có . a1 b1 a2 b2 a n bn a .b + +···+ + n +1 n +1 ≤ a1 + b1 a2 + b2 a n + bn a n + 1 + bn + 1 ( a1 + · · · + an )(b1 + · · · + bn ) a .b ≤ + n +1 n +1 ( a1 + · · · + an ) + (b1 + · · · + bn ) an+1 + bn+1 ( a1 + · · · + an + an+1 )(b1 + · · · + bn + bn+1 ) . ≤ ( a1 + · · · + an + an+1 ) + (b1 + · · · + bn + bn+1 ) J Vı́ du. 5.10. Cho 0 < x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn . Chú,ng minh ră` ng x1 x2 x xn x2 x3 xn x + + · · · + n −1 + ≥ + +···+ + 1. x2 x3 xn x1 x1 x2 x n −1 xn , , , , , , Lòi giai. Vói n = 2 bâ´t d̄ăng thúc d̄úng. Vói n = 3 ta có x1 x2 x3 x2 x3 x ( x3 − x2 )( x3 − x1 )( x2 − x + + − − − 1 = ≥0 x2 x3 x1 x1 x2 x3 x1 x2 x3 ,, Chuong 5. Dãy sô´ 120 , , , ,, , , , bâ´t d̄ăng thúc d̄úng. Gia su bâ´t d̄ăng thúc d̄úng vói n = k − 1, x2 x x2 x3 x x1 + + · · · + k −1 ≥ + +···+ 1 . x2 x3 x1 x1 x2 x k −1 , ,, , , Do chúng minh vói truòng ho. p n = 3 nên ta có x1 x x x x x + k −1 + k ≥ k −1 + k + 1 . x k −1 xk x1 x1 x k −1 xk , , , , , , Công . , hai bâ´t d̄ăng thúc sau cùng ta nhân . d̄uo. c bâ´t d̄ăng thúc , phai chúng minh cho n = k. J Vı́ du. 5.11. Chú,ng minh ră` ng nê´u tı́ch n sô´ thu. ,c du,o,ng , , , bă` ng 1, thı̀ tông cua chúng không nho ho,n n. Nói cách khác, cho x1 , x2 , . . . , xn là nhũ,ng sô´ du,o,ng, chú,ng minh ră` ng nê´u x1 x2 . . . xn = 1 suy ra x1 + x2 + · · · + xn ≥ n vó,i moi . n = 1, 2, . . . , , , , , , Lòi giai. Vói n = 2, ta câ`n phai chúng minh tù x1 x2 = 1 suy ra , , , , 2 x1 + x2 > 2. Thât . vây, . tù bâ´t d̄ăng thúc hiên nhiên ( x1 − 1) ≥ 0, 1 ,, suy ra x12 + 1 ≥ 2×1 , chia hai vê´ cho x1 ta nhân . d̄uo. c x1 + x ≥ 2, 1 , , , nghı̃a là x1 + x2 ≥ 2, d̄ăng thúc xây ra khi x1 = 1, do d̄ó x1 = x2 = 1. , ,, , , Gia su mênh d̄ê` d̄ã chúng minh d̄úng cho n ≥ 2. Ta sẽ chúng . , , minh d̄úng cho n + 1, nghı̃a là sẽ chúng minh tù x 1 x 2 . . . x n x n +1 = 1 (5.12) , , suy ra bâ´t d̄ăng thúc x1 + x2 + · · · + xn + xn+1 ≥ n + 1. (5.13) , , , , ,, , Ðăng thúc (5.12) chı xây ra hai truòng ho. p sau: , , ` I. Tâ´t ca các thùa sô´ băng nhau x1 = x2 = . . . = xn+1 = 1. , ` II. Không phai các sô´ d̄ê`u băng nhau. , , , , 5.3. Nhũng bâ´t d̄ăng thúc nôi tiê´ng 121 ,, , Trong truòng ho. p I. Ta có x1 + x2 + · · · + xn+1 = n + 1. ,, , , , , , Truòng ho. p II. Trong các thùa sô´ có thùa sô´ lón hon 1 thı̀ cũng , , , , có thùa sô´ nho hon 1. Nê´u không có d̄ô`ng thòi hai sô´ có tı́nh châ´t , , trên thı̀ tı́ch cua chúng sẽ khác 1. Chăng han . x1 < 1, xn+1 > 1., ,, Khi d̄ó ta có y1 x2 x3 . . . xn = 1, o d̄ây ta d̄at .̆ y1 = x1 xn+1 . Do gia , thiê´t quy nap . d̄úng vói n, nên ta có y1 + x2 + · · · + xn ≥ n. Khi d̄ó x 1 + · · · + x n +1 = ( y 1 + x 2 + · · · + x n ) + x n +1 − y 1 + x 1 ≥ n + x n +1 − y 1 + x 1 = ( n + 1 ) + x n +1 − y 1 + x 1 − 1 = ( n + 1 ) + x n +1 − x 1 x n +1 + x 1 − 1 = (n + 1) + ( xn+1 − 1)(1 − x1 ). , Do ta có xn+1 > 1 và x1 < 1 suy ra d̄iê`u câ`n chúng minh. J , , , , 5.3. Nhũng bâ´t d̄ăng thúc nôi tiê´ng , , , Bài tâp . vê` bâ´t d̄ăng thúc vô cùng phong phú và chung loai . ` ` ´ ´ ` khác nhau, d̄ã có nhiêu sách d̄ê câp n vân d̄ê này. Trong muc . d̄ê , , , . , , , , ´ ´ này chúng tôi chı liêt . kê nhũng bât d̄ăng thúc co ban, tât ca d̄ê`u ,, , ,, ` d̄uo. c chúng minh băng phuong pháp quy nap. . , Vı́ du. 5.12. (Bâ´t d̄ăng thú,c Cauchy). Cho dãy sô´ du,o,ng bâ´t kỳ x1 , x2 , . . . , xn chú,ng minh ră` ng √ x1 + x2 + · · · + x n ≥ n x1 x2 . . . x n . (5.14) n , , Ðăng thú,c xây ra khi và chi khi x1 = x2 = . . . = xn . , , Lòi giai. Cách chú,ng minh thú, nhâ´t: Ta d̄at .̆ a = , √ x1 + x2 + · · · + x n , và d̄at g = n x1 x2 . . . xn . Khi d̄ó d̄ăng thúc .̆ n, , , n (5.14) chı là hê. qua cua bài .5.11. Thât . vây, . g = x1 x2 . . . x n 122 ,, Chuong 5. Dãy sô´ , x1 x2 xn x . ... = 1. Do kê´t qua bài toán tru,ó,c ta só 1 + g g g g , , , x2 xn , , +···+ ≥ n. Tù d̄ó suy ra (5.14). Ðăng thúc chı xây ra khi g g x2 xn x1 = = . . . = , nghı̃a là x1 = x2 = ... = xn . g g g ,, , , Cách chúng minh thú, hai: Phuong pháp chúng minh theo , ,, , quy nap dang khác vói bı̀nh thuòng do chı́nh Cauchy d̄ua ra. Có . . , , , , thê nói d̄ây là cách chúng minh quy nap . cho tùng d̄oan . chúa các , sô´ tu. nhiên. , , , , Vói n = 1 = 20 bâ´t d̄ăng thúc (5.14) d̄úng. Vói n = 2 = 21 , , √ , √ , , (5.14) suy ra tù ( x1 − x2 )2 ≥ 0 và dâ´u d̄ăng thúc xay ra khi , , ,, , và chı khi x1 = x2 . Gia su (5.14) d̄úng vói sô´ n. Khi d̄ó suy ra x1 + x2 x3 + x4 x + x2n + + · · · + 2n−1 x1 + x2 + · · · + x2n 2 2 2 = 2n n r x + x2 x3 + x4 x2n−1 + x2n ≥ n 1 . ... 2 2 2 q√ √ √ ≥ n x1 x2 x3 x4 . . . x2n−1 x2n √ = 2n x1 x2 . . . x2n . , , , , , Bâ´t d̄ăng thúc (5.14) d̄úng vói 2n. Suy ra nó d̄úng vói tâ´t ca các , , sô´ có dang 2n−1 vói moi . . sô´ tu. nhiên n. , , , Vói m là sô´ tu. nhiên. Nê´u m có dang 2n vói n là môt ào . . sô´ n , , , ` d̄ó, thı̀ (5.14) d̄úng. Vı̀ vây . chı còn kiêm tra m năm trong khoang , n −1 n n giũa 2 và 2 . nghı̃a là 2n−1 < m < 2n . Ta d̄at .̆ m + q = 2 . Khi d̄ó x1 + x2 + · · · + x m + q √ ≥ m+ p x1 x2 . . . x m + q . m+q x1 + x2 + · · · + x m , Bây giò ta d̄at , .̆ xm+1 = xm+2 = . . . = xm+q = m , , , , 5.3. Nhũng bâ´t d̄ăng thúc nôi tiê´ng 123 khi d̄ó x1 + x2 + · · · + x m x1 + x2 + · · · + x m + q + q x1 + x2 + · · · + x m m = m m+q r x1 + x2 + · · · + x m q m+q ≥ x1 x2 . . . x m ( ) m hoac .̆ là x1 + x2 + · · · + x m q x1 + x2 + · · · + x m m + q ≥ x1 x2 . . . x m , m m x1 + x2 + · · · + x m m ≥ x1 x2 . . . x m . m , , , , Tù d̄ây suy ra (4.13) d̄úng. Nhu vây . nó d̄úng vói moi . sô´ tu. nhiên n. , , , , , , Bây giò ta chúng minh (5.14) xây ra d̄ăng thúc chı khi x1 = , ,, x2 = . . . = xn , thât vây, gia su ı́t nhâ´t có hai sô´ trong x1 , x2 , . . . , xn , . . , ` chăng han nhau. Khi d̄ó . x1 và x2 không băng x1 + x2 x + x2 + 1 + x3 + · · · + x n x1 + x2 + · · · + x n 2 2 = n n s 2 x1 + x2 n ≥ x3 x4 . . . x n . 2 , , Nhung tù x1 6= x2 suy ra √ x1 + x2 > x1 x2 2 , , , Tù hai bâ´t d̄ăng thúc trên ta suy ra √ x + x2 + · · · + x n ( 1 ) > n x1 x2 . . . x n . n , , , , Nhu vây d̄ê` d̄uo. c chúng minh. . mênh . J ,, Chuong 5. Dãy sô´ 124 , x1 + x2 + · · · + x n goi là trung bı̀nh công cua các sô´ . . n√ , x1 , x2 , . . . , xn . Còn sô´ n x1 x2 . . . xn goi . là trung bı̀nh nhân cua các sô´ d̄ã cho. , Vı́ du. 5.13. (Bâ´t d̄ăng thú,c Bernoulli). Chú,ng minh ră` ng vó,i , , , , moi . x > −1, x 6= 0 và vói moi . sô´ tu. nhiên n ≥ 2 bâ´t d̄ăng thúc sau d̄úng (5.15) (1 + x )n > 1 + nx. Chú ý: sô´ , , , , , Lòi giai. Vói n = 2 bâ´t d̄ăng thúc (5.15) có dang 1 + 2x + x2 > . , , ,, , 1 + 2x và d̄úng là hiên nhiên. Gia su (5.15) d̄úng vói môt . sô´ n ≥ 2. , , , Ta sẽ chúng minh nó d̄úng cho n + 1, nghı̃a là phai chúng minh (1 + x )n+1 > 1 + (n + 1) x. Thât . vây, . ta có (1 + x )n+1 > (1 + nx )(1 + x ) = 1 + (n + 1) x + nx2 , , do nx2 > 0 suy ra d̄iê`u câ`n chúng minh. , , , Chú ý: Bâ´t d̄ăng thúc Bernoulli còn d̄úng cho moi . sô´ thu. c: J (1 + x )α > 1 + αx, x ≥ −1, α > 1, ,, , , , o d̄ây α là môt . sô´ thu. c lón hon 1. , Vı́ du. 5.14. (Bâ´t d̄ăng thú,c Cauchy-Bunyakovski). Chú,ng minh ră` ng ( x12 + x22 + · · · + xn2 )(y21 + y22 + · · · + y2n ) ≥ ( x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn )2 (5.16) , , , vói x1 , x2 , . . . , y1 , y2 , . . . là nhũng sô´ thu. c và n = 1, 2, 3, . . . , , , , , Lòi giai. Vói n = 1, (5.16) d̄úng hiên nhiên. Vói n = 2, ta có ( x1 y1 + x2 y2 )2 = ( x12 + x22 )(y21 + y22 ) − ( x1 y2 − x2 y1 )2 , , , , 5.3. Nhũng bâ´t d̄ăng thúc nôi tiê´ng 125 , , ,, , , , tù d̄ây suy ra bâ´t d̄ăng thúc (5.16) d̄úng vói n = 2. Gia su bâ´t , , , , , , dăng thúc d̄úng vói n = k, ta phai chúng minh nó cũng d̄úng vói , , , , n = k + 1. Thât . vây, . do bâ´t d̄ăng thúc d̄úng vói n = 2 và gia thiê´t quy nap . ta có ( x12 + x22 + · · · + xk2+1 )(y21 + y22 + · · · + y2k+1 ) q q ≥ ( x12 + x22 + · · · + xk2 y21 + y22 + · · · + y2k + xk+1 yk+1 )2 ≥ ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + · · · + x k y k + x k +1 y k +1 )2 . J , Vı́ du. 5.15. (Bâ´t d̄ăng thú,c Chebychev). Cho dãy sô´ x1 , x2 , …, xn , và y1 , y2 , …, yn là 2n sô´, sao cho thoa mãn x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ x n (5.17) y1 ≤ y2 ≤ . . . ≤ y n . , Chú,ng minh ră` ng tı́ch cua trung bı̀nh công các sô´ x1 , x2 , . . . , xn . , , ´ vói trung bı̀nh công cua các sô y1 , y2 , . . . , yn không vu,o.,t quá trung . , bı̀nh công cua các sô´ x1 y1 , x2 y2 , . . . , xn yn , hoac . .̆ là x1 + x2 + · · · + x n y1 + y2 + · · · + y n x y + x2 y2 + · · · + x n y n . ≤ 1 1 . n n n (5.18) , , Lòi giai. Ta d̄at .̆ A n = x1 + x2 + · · · + x n , Bn = y1 + y2 + · · · + yn , Cn = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn , (5.19) Dn = nCn − An Bn . , , , Khi d̄ó bâ´t d̄ăng thúc (5.18) có thê viê´t lai . , Dn ≥ 0 vói n = 1, 2, . . . (5.20) ,, Chuong 5. Dãy sô´ 126 , ,, , ` Ta chúng minh băng phuong pháp quy nap. . Vói n = 1. Khi d̄ó D1 = 1C1 − A1 B1 = x1 y1 − x1 y1 = 0. , , , , Nhu vây . (5.20) d̄úng vói n = 1. Ta kiêm tra vói n = 2, D2 = 2C2 − A2 B2 = 2( x1 y1 + x2 y2 ) − ( x1 + x2 )(y1 + y2 ) = x1 y1 + x2 y2 − x1 y2 − x2 y1 = ( x2 − x1 )(y2 − y1 ) ≥ 0, vı̀ x2 − x1 ≥ 0 và y2 − y1 ≥ 0 theo (5.17). , , , , Nhu vây . nây ra câu hoi là biêu diễn Dn ,theo các sô´ , x1 , x2 , . . . , xn và y1 , y2 , . . . , yn nhu thê´ nào? Ta phai làm thêm ,, , , , truòng ho. p riêng nũa vói n = 3. Ta có D3 = 3C3 − A3 B3 = 3( x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ) − ( x1 + x2 + x3 )(y1 + y2 + y3 ) = (2×1 y1 − x1 y2 − x1 y3 ) + (2×2 y2 − x2 y1 − x2 y3 ) + (2×3 y3 − x3 y1 − x3 y2 ) = x1 (y1 − y2 ) + x1 (y1 − y3 ) + x2 (y2 − y1 ) + x2 (y2 − y3 )+ + x3 ( y3 − y1 ) + x3 ( y3 − y2 ). , ,, Tù d̄ây ta nhân . d̄uo. c D3 = ( x2 − x1 )(y2 − y1 ) + ( x3 − x1 )(y3 − y1 ) + ( x3 − x2 )(y3 − y2 ). , , ,, , ` So sánh hai truòng ho. p n = 2, 3 ta có thê gia thiê´t răng Dn = Dn−1 + ( xn − xn−1 )(yn − yn−1 ) + · · · + ( xn − x1 )(yn − y1 ). (5.21) , , , ` quy nap Ta chúng minh công thúc này băng . toán hoc. . Vói n = 2, 3 , ,, , , công thúc (5.21) d̄úng. Gia su nó d̄úng vói môt . sô´ n nào d̄ó. Ta , , , , 5.3. Nhũng bâ´t d̄ăng thúc nôi tiê´ng 127 tı́nh Dn+1 Dn+1 = (n + 1)Cn+1 − An+1 Bn+1 = (n + 1)(Cn + xn+1 yn+1 ) − ( An + xn+1) )( Bn + yn+1 ) = (nCn − An Bn ) + (Cn − Bn xn+1 ) + (nxn+1 yn+1 − An yn+1 ). , Nhung nCn − An Bn = Dn mat .̆ khác Cn − Bn xn+1 = = x 1 y 1 + · · · + x n y n − y 1 x n +1 − y 2 x n +1 − · · · − y n x n +1 = − y 1 ( x n +1 − x 1 ) − y 2 ( x n +1 − x 2 ) − · · · − y n ( x n +1 − x n ) và nxn+1 yn+1 − An yn+1 = nxn+1 yn+1 − x1 yn+1 − · · · − xn yn+1 = ( x n +1 − x 1 ) y n +1 + ( x n +1 − x 2 ) y n +1 + · · · + ( x n +1 − x n ) y n +1 . , ,, Và nhu vây . ta nhân . d̄uo. c Dn+1 = Dn + [−y1 ( xn+1 − x1 ) − y2 ( xn+1 − x2 ) − · · · − yn ( xn+1 − xn )] + [yn+1 ( xn+1 − x1 ) − yn+1 ( xn+1 − x2 ) − · · · − yn+1 ( xn+1 − xn )] = Dn + ( xn+1 − xn )(yn+1 − yn ) + · · · + ( xn+1 − x1 )(yn+1 − y1 ). , , , ` ` Nhu vây, quy nap d̄ăng thúc (5.21) d̄úng . băng . ta kê´t luân . răng , vói moi . n = 2, 3, . . . , , ` Chú ý răng d̄iê`u kiên . (5.17) suy ra bâ´t d̄ăng thúc ( xn+1 − xn )(yn+1 − yn ) + · · · + ( xn+1 − x1 )(yn+1 − y1 ) ≥ 0 , , ,, , vói moi . sô´ tu. nhiên n > 1. Tù d̄ây và (5.21) ta nhân . d̄uo. c bâ´t , , d̄ăng thúc Dn ≥ Dn−1 , (n = 2, 3, . . .). , ,, , , Bây giò (5.20) suy ra tù (5.22) và truòng ho. p n = 1. (5.22) J 128 ,, Chuong 5. Dãy sô´ , 5.4. Dãy d̄on d̄iêu . Cho dãy sô´ a1 , a2 , . . .,, an , . . . (5.23) ` ` ´ Ta goi d ãy (5.23) b i ch an bên ph ai, khi tô n t ai h ăng sô a sao cho . . . .̆ ,, , an ≤ a, (n = 1, 2, . . .). Tuong tu. ta cũng d̄inh nghı̃a bi. chan .̆ trái , . , (khi d̄ó an ≥ a). Nê´u môt lẫn phai goi . dãy bi. chan .̆ ca trái . là dãy , ` bi. chan. sô´ . dãy bi. chan .̆ khi và chı khi tô`n tai . hăng .̆ Suy ra môt K > 0 sao cho | an | ≤ K, (n = 1, 2, . . .). Dãy (5.23) goi . là dãy tăng, khi a1 ≤ a2 ≤ . . . (5.24) , và là dãy giam khi a1 ≥ a2 ≥ . . . (5.25) , Môt . dãy mà nó có tı́nh châ´t (5.24) hoac .̆ (5.25) goi . là dãy d̄on d̄iêu. . , ` ´ ´ Ta biêt răng môt . dãy goi . là hôi . tu. khi n, tiên tói ,vô cùng thı̀ dãy , , ´ d̄ó tiên tói môt . . giá tri. hũu han. . Ta có thê phát biêu môt . môt . d̄inh , , lý co ban: , Ðinh . dãy d̄ã cho là tăng (giam) và bi. chan .̆ bên . , lı́ 5.1: Nê´u môt phai (bi. chan bên tr ái), thı̀ nó h ôi t u. .̆ . . , , Theo d̄inh lý trên nê´u các d̄iê`u kiên lý thoa mãn . . . cua d̄inh , , thı̀ tô`n tai an . Theo d̄inh lý trên thı̀ nhũng sô´ hang cua dãy . . nlim . , →∞ , an = ∞ vói dãy tăng không thoa mãn tı́nh châ´t bi. chan, .̆ thı̀ nlim →∞ , , và lim an = −∞ vói dãy giam. n→∞ , , , , Nhũng bài toán chúng minh tô`n tai giói han cua môt . . . , dãy, , , , , ´ d̄ã biê´t d̄ê tı́nh. tı́nh giói han quy tăc . cua, dãy có thê dùng nhũng , , , , , Nhiê`u khi ta phai áp dung d̄inh nhung phai chúng . lý co ban trên . , , , , minh dãy ta xét là d̄on d̄iêu . và bi. chan. .̆ Ðê giai nhũng bài toán ,, , ,, , vê` dãy d̄on d̄iêu tru. c tiê´p phuong pháp quy nap . thuòng áp dung . . toán hoc. . , 5.4. Dãy d̄on d̄iêu . 129 theo công thú,c Vı́ du. 5.16. Dãy sô´ a1 , a2 , . . . d̄u,o.,c xác d̄inh . an+1 = an (2 − αan ), (5.26) ,, ,, 1 o d̄ây α là môt . sô´ duong, còn a1 là môt . sô´ bâ´t kỳ trong (0, α ). Hãy tı́nh lim an . n→∞ , , , Lòi giai. 1) Dãy d̄ã cho là bi. chan: .̆ Tù (5.26) ta viê´t lai . 1 [1 − (αan − 1)2 ]. (5.27) α ,, , Boi vı̀ α > 0 và 0 < a1 < α1 , thı̀ (αa1 − 1)2 < 1 và tù (5.27) suy ,, , , ` phuong pháp nhu vây ra (vói n = 1) 0 < a2 < α1 . Cũng băng . , 1 ` ` chúng minh răng nê´u an trong d̄oan ( 0, ) , thı̀ a c ũng n ăm n + 1 . α , ,, trong d̄oan n ày. Theo nguyên l ý quy n ap to án hoc tâ´t ca phâ`n tu . . . , 1 ` trong d̄oan cua dãy sô´ d̄ê`u năm . (0, α ). Suy ra dãy d̄ã cho là bi. chan. .̆ , 2) Tı́nh d̄on d̄iêu: . Ta lai . có a n +1 = an+1 − an = an (2 − αan ) − an = an (1 − αan ) > 0, , , , vı̀ 0 < an < α1 . Nhu vây dãy d̄on d̄iêu tăng và ta có thê áp dung . . . , , , d̄inh lý co ban, dãy d̄ã cho hôi . . tu. nghı̃a là có giói han. . , , 3) Tı̀m giói han: . Do nhũng lý luân . phâ`n trên ta goi . lim an = l n→∞ áp dung vào (5.26) lim an+1 = ( lim an ).(2 − α lim an ). . n→∞ n→∞ n→∞ , ,, ,, Ta nhân d̄u o c l = l ( 2 − αl ) . Nghi êm c ua phu ong trı̀nh này là . . . , , 1 , l = 0 hoac .̆ là l = α . Nhung dãy sô´ là tăng nên ta chı có thê lâ´y 1 l= . α Vı́ du. 5.17. Dãy sô´ a1 , a2 , . . . d̄u,o.,c xác d̄inh theo công thú,c . J a n +1 = 1 α ( a n + ), 2 an (5.28) ,, Chuong 5. Dãy sô´ 130 , ,, ,, o, d̄ây α là môt . sô´ duong, còn a1 là môt . sô´ duong bâ´t kỳ. Hãy tı́nh lim an . n→∞ , , , ,, , , Lòi giai. 1) Dãy d̄ã cho bi. chan .̆ duói: Tù bâ´t, d̄ăng thúc α > , , 0, a1 > 0 và (5.28) vói n = 1 suy ra a2 > 0. Gia thiê´t vói môt . n , , nào d̄ó an > 0; khi d̄ó tù α > 0 và (5.28) suy ra an+1 > 0. Nhu , , , vây . theo nguyên lý quy nap . toán hoc . bâ´t d̄ăng thúc an > 0 vói n = 1, 2, . . . , , , , , 2) Dãy d̄ã cho là d̄on d̄iêu . giam: Tù (5.28) và bâ´t d̄ăng thúc trung bı̀nh công và trung bı̀nh nhân ta có . an + a n +1 = α an 2 r ≥ an . √ α = α. an , , , , √ , ` Ðiê`u này chúng to răng tâ´t ca các sô´ hang không nho hon α. . Mat .̆ khác ta có a n +1 − a n = 1 α α − a2n ( an + ) − an = , 2 an 2an , an > 0(n = 1, 2, . . .) và α − a2n < 0 ( ı́t nhâ´t vói n = 2, 3, . . .) suy ra , an+1 < an . Nghı̃a là dãy giam. , ,, , , 3) Tı́nh giói han: . Cũng nhu bài truóc cho giói han . trong (5.28) ,, ,, ta nhân . d̄uo. c phuong trı̀nh l= 1 α ( l + ), 2 l √ √ ,, , ,, , , tù d̄ó tı̀m d̄uo. c giói han . l = α ( còn truòng ho. p l = − α không ,, d̄uo. c). J 5.5. Sô´ e 131 5.5. Sô´ e ` Môt sô´ toán hoc trong sau sô´ π là sô´ e. Sô´ e . hăng . râ´t quan . , ,, , , d̄uo. c d̄inh nghı̃a nhu là giói han . . cua dãy 1 an = (1 + )n , n = 1, 2, . . . (5.29) n hoac .̆ là 1 e = lim (1 + )n . (5.30) n→∞ n Vı́ du. 5.18. Dãy (5.29) là dãy tăng. , , , , Lòi giai. Ðiê`u khăng d̄inh không phai ngẫu nhiên: Khi n tăng . , , , , sô´ mũ trong (5.29) cũng tăng, nhung phâ`n co sô´ giam (nó tiê´n tói , , , , 1 và có giá tri. lón hon 1). Ðê thuân . tiên . tı́nh toán ta d̄ua vào sô´ 1 2 k−1 )(1 − ) . . . (1 − ), (5.31) n n n , vói n = 2, 3, . . . ; k = 2, 3, . . . , n. , α α , , <1 Vói (0 < α < n) ta có bâ´t d̄ăng thúc 0 < 1 − < 1 − n n + 1 , tù d̄ó suy ra pn,k = (1 − 0 < pn,k < pn+1,k < 1, (n = 2, 3, . . . ; k = 2, 3, . . . , n). (5.32) , , Khai triên theo nhi. thúc Newton ta có 1 1 1 1 an = (1 + )n = 1 + Cn1 + · · · + Cnk k + · · · + n n n n n n n ( n − 1) . . . ( n − k + 1) 1 = 2+ ∑ . , (n = 2, 3, ...). k! nk k =2 Hoac .̆ khi ta dùng (5.31), (1 + ,, viê´t (5.29) duói dang . n an = 2 + ∑ k =2 pn,k k! n , p 1 n ) = 2 + ∑ n,k . Khi d̄ó ta có thê n k! k =2 (n = 1, 2, . . . ; k = 2, 3, . . . , n). (5.33) ,, Chuong 5. Dãy sô´ 132 Ta có hiêu . an+1 − an theo (5.33) n +1 a n +1 − a n = ( 2 + ∑ k =2 n = ∑ k =2 n pn+1,k p ) − (2 + ∑ n,k ) k! k! k =2 pn+1,k − pn,k p + n+1,n+1 k! ( n + 1) ! và theo (5.32) ta có a n +1 − a n > J pn+1,n+1 > 0. ( n + 1) ! ,, , Bây giò, ta d̄inh nghı̃a dãy e1 , e2 , . . . theo phuong pháp sau: . n e1 = 2, en = 2 + 1 ∑ k! , (n = 2, 3, . . .). (5.34) k =2 , ` dãy này là tăng. Tù, (5.32) và (5.33) suy ra bâ´t d̄ăng Dễ thâ´y răng , thúc an < en . (5.35) , ´ Bài tâp tiê p sau ch ı ra d ãy e , e , . . . l à b i ch an v à suy ra nó hôi 1 2 . . .̆ . , ` tu. T ù d̄ây v à (5.35) suy ra a , a , . . . c ũng b i ch an. B ăng c ách n ày 1 2 . , . .̆ , ,, , , ta chúng minh d̄uo. c su. tô`n tai gi ó i h an c ua dãy (5.30). . . , Vı́ du. 5.19. Chú,ng minh ră` ng nhũ,ng sô´ hang cua dãy (5.34) . , thoa mãn 1 en < 3 − n−1 , (n = 3, 4, . . .). (5.36) 2 , , ,, 1 , , Lòi giai. Vói n = 3 ta có e3 < 2, 67 < 3 − 3−1 = 2, 75. Gia su 2 , , , ,, , , (5.36) thoa mãn vói sô´ n nào d̄â´y. Ta su dung bâ´t d̄ăng thúc hiên . , ,, , nhiên (n + 1)! > 2n vói n > 1 và gia thiê´t quy nap . ta nhân . d̄uo. c 1 1 1 e n +1 = e n + < (3 − n −1 ) + ( n + 1) ! ( n + 1) ! 2 1 1 1 < 3 − n −1 + n = 3 − n . 2 2 2 J 5.5. Sô´ e 133 , Vı́ du. 5.20. Gió,i han . cua dãy (5.34) là sô´ e. , , , ,, ` Lòi giai. Ta d̄ã chúng minh d̄uo. c răng dãy a1 , a2 , . . . và e1 , e2 , . . . , ∗ là hôi . tu. . Ðat .̆ e = lim en . Tù (5.30) và (5.35) suy ra n→∞ e ≤ e∗ . (5.37) , , Ta sẽ chúng minh cùng vói (5.37) cũng có e∗ ≤ e, , , , Thât . vây, . ta chon . sô´ tu. nhiên s trong khoang (1, n). Nê´u bên phai , , , pn,s+1 pn,n ,, cua (5.33) ta bo d̄i ,..., , ta sẽ nhân d̄uo. c môt sô´ nho . . ( s + 1) ! n! , hon an , nghı̃a là s pn,k 2+ ∑ < an , (n = 3, 4, . . . ; s = 2, 3, . . . , n − 1). (5.38) k! k =2 , , , Ta xét d̄ăng thúc (5.31). Khi n tiê´n tói vô cùng, còn k cô´ d̄inh, mỗi . , , , thùa sô´ tiê´n tói 1. Vı̀ thê´ lim pn,k = 1. Nê´u ta cho n tiê´n tói vô n→∞ , , cùng trong (5.38) ta sẽ nhân . d̄uo. c s 1 ≤ e (s = 2, 3, . . .). es = 2 + ∑ k! k =2 , , , , Nhu vây . , dãy tăng e1 , e2 , . . . . ,bi. chan .̆ tù phı́a phai sô´ e, tù d̄ó suy , , suy ra tù (5.36) và (5.37). ra bâ´t d̄ăng thúc (5.38). Khăng d̄inh . J , , Nhu vây . sô´ e có thê tı́nh toán d̄ê´n d̄ô. chı́nh xác nào d̄â´y theo , công thúc trên 1 1 1 en = 2 + + + · · · + , (n = 2, 3, . . .). 2! 3! n! , , , , ` Tù bâ´t d̄ăng thúc an < en < e ta thâ´y răng vói mỗi n cô´ d̄inh sô´ . , , , en gâ`n d̄úng e. Sô´ en goi . là xâ´p xı thú n cua e, còn hiêu . δn = e − en (5.39) ,, Chuong 5. Dãy sô´ 134 , goi . là sai sô´ cua e. , Vı́ du. 5.21. Chú,ng minh nhũ,ng bâ´t d̄ăng thú,c sau ei − e n ≤ 2 1 .(1 − i − n ), ( n + 1) ! 2 n = 2, 3, . . . . ; i = n, n + 1, . . . (5.40) , , , , , ` Lòi giai. Ta sẽ chúng minh (5.40) băng quy nap . d̄ô´i voi i. Vói , ,, , i = n thı̀ 0 ≤ 0 (5.40) d̄úng. Gia su (5.40) d̄úng vói sô´ i nào d̄ó, ta , , , câ`n phai chúng minh nó cũng d̄úng vói n = i + 1. Thât . vây, . 1 1 − e n = ( ei − e n ) + e i +1 − e n = e i + ( i + 1) ! ( i + 1) ! 2 1 1 ≤ 1 − i −n + ( n + 1) ! ( i + 1) ! 2 1 2 1 1 = 1 − i −n + . . ( n + 1) ! 2 (n + 2)(n + 3) . . . (i + 1) 2 , , , , Tı́ch (n + 2)(n + 3) . . . (i + 1) có i − n thùa sô´, mỗi thùa sô´ lón hon , , 2. Khi d̄ó 2(n + 2)(n + 3) . . . (i + 1) > 2i−n+1 , o d̄ây ei+1 − en < 2 1 1 2 1 (1 − i − n + i − n +1 ) = (1 − (i+1)−n ). Nhu, vây, . ( n + 1) ! ( n + 1) ! 2 2 2 , (5.40) d̄úng vói moi . i = n, n + 1, . . . J 5.6. Dãy sô´ Fibonacci ,, , ` Môt nghı̃a băng công thúc . . dãy sô´ u1 , u2 , . . . d̄uo. c d̄inh u n +2 = u n +1 + u n , (n = 1, 2, . . .) (5.41) và u1 = 1, u2 = 1. (5.42) , ´ ´ Nhũng sô´ u1 , u2 , u3 , . . . goi l à sô Fibonacci. D ãy sô n ày có râ´t . , , , , nhiê`u úng dung trong bài toán thu. c tê´. Theo d̄ăng thúc (5.41) . 5.6. Dãy sô´ Fibonacci 135 , , , , , ,, moi . sô´ kê tù sô´ thú ba d̄ê`u là tông cua hai sô´ truóc d̄ó. , Nhũng sô´ d̄â`u tiên là 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, , 144, 233, 377. Nhũng bài tâp . sau liên quan d̄ê´n các tı́nh , , ` châ´t cua dãy sô´ này có chúng minh băng quy nap . toán hoc, . , , ´ ´ ´ ` còn các tı́nh chât khác cua dãy sô này thı̀ rât nhiêu và chúng ` minh băng các cách khác nhau. , , Vı́ du. 5.22. Tông cua n sô´ d̄â`u tiên bă` ng sô´ thú, n + 2 trù, d̄i 1, hoac .̆ là u 1 + u 2 + · · · + u n = u n +2 − 1 ( n > 1 ). (5.43) , , , , , Lòi giai. Vói n = 2 d̄ăng thúc d̄úng vı̀ theo (5.41) và (5.42) ta có u1 + u2 = 1 + 1 = 3 − 1 = u4 − 1. , ,, , , , , Gia su (5.43) d̄úng vói sô´ tu. nhiên n nào d̄ó. Tù gia thiê´t quy nap . , , , , và công thúc (5.41) vói tông cua n + 1 sô´ Fibonacci ta có : u 1 + u 2 + · · · + u n +1 = ( u 1 + u 2 + · · · + u n ) + u n +1 = ( u n +2 − 1 ) + u n +1 = un+1 + un+2 − 1 = un+3 − 1. , , , Theo nguyên lý quy nap . toán hoc . d̄ăng thúc d̄úng vói moi . n ≥ 2. , Vı́ du. 5.23. Chú,ng minh ră` ng d̄ăng thú,c J u n + m = u n −1 u m + u n u m +1 (5.44) d̄úng vó,i sô´ tu. , nhiên bâ´t kỳ n > 1 và vó,i moi . m = 1, 2, . . . , , , ,, ` Lòi giai. Ta chúng minh băng phuong pháp quy nap . toán theo , m. Vói m = 1 ta có u n −1 u 1 + u n u 2 = u n −1 + u n = u n +1 , ,, Chuong 5. Dãy sô´ 136 , và vói m = 2: un−1 u2 + un u3 = un−1 + 2un = ( u n −1 + u n ) + u n = u n +1 + u n = u n +2 , , , , ,, , , , d̄ăng thúc (5.44) d̄ê`u d̄úng. Gia su vói sô´ m nào d̄ó các d̄ăng thúc sau d̄úng u n + m = u n −1 u m + u n u m +1 (5.45) u n + m +1 = u n −1 u m +1 + u n u m +2 , , , Ta sẽ chúng minh d̄ăng thúc sau d̄úng u n + m +2 = u n −1 u m +2 + u n u m +3 . (5.46) , , , , Thât tùng vê´ cua hai d̄ăng thúc trong (5.45) ta nhân . vây, . công . . ,, d̄uo. c u n + m +1 + u n + m = u n −1 ( u m +1 + u m ) + u n ( u m +2 + u m +1 ) , , , d̄ây chı́nh là d̄ăng thúc (5.46) khi ta biê´n d̄ôi và áp dung (5.41). . J , , Vı́ du. 5.24. Chú,ng minh ră` ng moi . sô´ Fibonacci có thê biêu diễn du,ó,i dang . √ !n √ !n 1+ 5 1− 5 − 2 2 √ , (n = 1, 2, . . .) (5.47) un = 5 , , , ,, , Lòi giai. Vói n = 1 và n = 2 ta nhân . d̄uo. c u1 = 1 và u2 = 1. Gia ,, , , su vói môt . sô´ n nào d̄ó, có un và un+1 theo công thúc (5.47) là sô´ , , ` hang thú n và n + 1 cua dãy Fibonacci. Ta sẽ chúng minh răng . 5.6. Dãy sô´ Fibonacci 137 , , , , sô´ hang thú n + 2 cua dãy cũng biêu diễn theo công thúc (5.47). . , Ðê cho gon . ta ký hiêu . √ √ 1+ 5 1− 5 α= , β= . 2 2 αn − βn α n +1 − β n +1 √ Khi d̄ó un = √ , u n +1 = . Do cách d̄at .̆ ta có 5 5 , ,, α + β = 1 và αβ = −1. Suy ra α và β là nghiêm . cua phuong trı̀nh , x2 − x − 1 = 0. Khi d̄ó α2 = α + 1, β2 = β + 1. Nhu vây . ta có αn − βn α n +1 − β n +1 √ + √ 5 5 α n α2 − β n β2 α n +2 − β n +2 α n ( α + 1) − β n ( β + 1) √ √ √ = = . = 5 5 5 , , ` Theo quy nap (5.47) d̄úng vói moi . toán hoc . biêu diễn un băng . n. u n +2 = u n +1 + u n = J Vı́ du. 5.25. Chú,ng minh ră` ng α n = u n α + u n −1 , , ,, ,, , vói moi . sô´ tu. nhiên n ≥ 2. α nhu o bài tâp . truóc. , , , ,, , , , , , Lòi giai. Vói n = 2, 3 d̄ăng thúc d̄úng. Gia su d̄ăng thúc d̄úng , vói n = k và n = k + 1, nghı̃a là α k = u k α + u k −1 , αk+1 = uk+, 1 α + uk . , , ,, Ta công hai d̄ăng thúc lai . kê´t qua nhân . d̄uo. c . α k + α k +1 = ( u k + u k +1 ) α + ( u k −1 + u k ), hoac .̆ là α k +2 = u k +2 α + u k +1 . ,, Chuong 5. Dãy sô´ 138 , , Theo nguyên lý quy nap . toán hoc . d̄ăng thúc trong bài cho là d̄ã d̄úng. ,, , Hoàn toàn tuong tu. ta cũng có J β n = u n β + u n −1 . Vı́ du. 5.26. Chú,ng minh ră` ng u2n − un−1 un+1 = (−1)n+1 vó,i n > 1. , , , , , Lòi giai. Vói n = 2, ta có u22 = u1 u3 − 1 d̄ăng thúc d̄úng. , , ,, , ` Gia su răng u2k − uk−1 uk+1 = (−1)k , ta câ`n chúng minh d̄ăng , thúc trên cũng d̄úng cho n = k + 1, nghı̃a là u2k+1 − uk uk+2 = (−1)k+2 . Thât . vây, . u2k+1 − uk uk+2 = u2k+1 − uk (uk+1 + uk ) = uk+1 (uk+1 − uk ) − u2k = uk+1 uk−1 − u2k J = −(u2k − uk+1 uk−1 ) = −(−1)k+1 = (−1)k+2 . Vı́ du. 5.27. Chú,ng minh ră` ng nê´u n chia hê´t cho m, thı̀ un chia hê´t cho um . , , , Lòi giai. Vı̀ n chia hê´t cho m, nên ta có thê viê´t n = mk. Ta sẽ , chúng minh quy nap . theo k. , , Vói k = 1, khi d̄ó n = m nhu vây . un chia hê´t cho um là , , ,, , hiên nhiên. Gia su umk chia hê´t cho um , ta xét um(k+1) . Nhung , u =u và theo công thúc (5.44) ta có m ( k +1) mk +m um(k+1) = umk−1 um + umk um+1 . , , Sô´ hang thú nhâ´t có chúa um nên nó chia hê´t cho um , còn sô´ hang . ., , , , ´ thú hai theo gia thiê´t quy nap u chia hê t cho u . Nhu v ây tô ng m mk . . , cua hai sô´ hang chia hê´t cho um , suy ra um(k+1) chia hê´t cho um . . J 5.7. Bài tâp . 139 5.7. Bài tâp . , . 5.28. Hãy tı̀m u,ó,c sô´ chung ló,n nhâ´t cua các sô´ 2 1 3 2 22 + 22 + 1; 22 + 22 + 1; . . . ; 22 n +1 n + 22 + 1; . . . , ` . 5.29. Chú,ng minh răng nê´u pn là sô´ nguyên tô´ thú n, thı̀ pn < n 22 . ` . 5.30. Chú,ng minh răng nê´u 0 ≤ α1 ≤ β 1 ≤ α2 ≤ . . . ≤ αn ≤ π β n ≤ , thı̀ 2 n n i =1 i =1 ∑ (sin βi − sin αi ) ≤ sin( ∑ ( βi − αi )). , . 5.31. Chú,ng minh bâ´t d̄ăng thú,c n 1 13 ∑ n + i > 24 , n = 2, 3, . . . i =1 , . 5.32. Tı̀m gió,i han . cua dãy r q q √ √ √ a1 = c, a2 = c + c, a3 = c + c + c, . . . ,, ,, ` o d̄ây c là hăng sô´ duong. , , CHUONG 6 HÌNH HOC . 6.1. Vı́ du. quy nap . toán hoc . cho hı̀nh hoc . ………….. 6.2. Bài tâp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………. . 140 154 ,, Phuong pháp quy nap râ´t nhiê`u trong các . toán h,oc . áp dung . , ´ bài tâp . hı̀nh hoc. . Ban . d̄oc . có thê tı̀m thây trong [7] nhũng ,khı́a ,, canh câ`n thiê´t cho phuong pháp này trong hı̀nh hoc. . . Ta chı liêt . , ,, ´ ´ kê duói d̄ây môt . sô bài rât d̄iên hı̀nh. 6.1. Vı́ du. quy nap . toán hoc . cho hı̀nh hoc . , Vı́ du. 6.1. Trong mat .̆ phăng cho n hı̀nh lô`i ( n > 3 ), mỗi cap .̆ ba , , , trong chúng có d̄iêm chung. Chúng minh ră` ng tô`n tai . d̄iêm, mà , nó nă` m trên tâ´t ca các hı̀nh. , , , , ` Lòi giai. 1. Vói n = 4, ta ký hiêu C1 , C2 , C3 , C4 . . nhũng hı̀nh băng Cho C1 ∩ C2 ∩ C3 = A4 , C1 ∩ C2 ∩ C4 = A3 , C1 ∩ C3 ∩ C4 = A2 , C2 ∩ C3 ∩ C4 = A1 . ` trong tam giác A1 A2 A3 , thı̀ bo,,i vı̀ A1 A2 A3 a. Nê´u A4 năm , , ⊂ C4 , ta có A4 ∈ C4 và suy ra A4 ∈ C, o, d̄ây C ký hiêu . là giao cua các hı̀nh C1 , C2 , C3 , C4 . , , , ´ cua các d̄u,ò,ng b. Nê´u A1 A2 A3 A4 là tú giác lô`i và A là d̄iêm căt , ` chéo cua chúng, thı̀ dễ thâ´y răng A ∈ C. 6.1. Vı́ du. quy nap . toán hoc . cho hı̀nh hoc . 141 , , ,, , , 2. Gia su d̄ã chúng minh cho khăng d̄inh d̄úng vói n − 1. . Ta xét n hı̀nh C1 , C2 , . . . , Cn . Lâ´y C = Cn−1 ∩ Cn . Ta xét dãy , C1 , C2 , . . . , Cn−1 , C. Ta sẽ chúng minh moi . cap .̆ ba các hı̀nh này , ´ ´ ` ´ d̄êu căt nhau. Thât u giũa ba hı̀nh căt nhau không là C, . vây, . nê , ` trong sô´ ba ` ´ thı̀ d̄iêu kêt luân . trên hiên nhiên d̄úng. Nê´u C năm , , hı̀nh và vı́ du. nhu C1 , C2 , C, thı̀ vı̀ thê´ nhũng hı̀nh C1 , C2 , Cn−1 , Cn , , , có d̄iêm chung X (theo chúng minh tai d̄iêm 1.). Suy ra X ∈ . , , , ` Cn−1 ∩ Cn = C. Tù d̄ây khăng d̄inh cua bài toán suy ra băng quy . nap. . , Vı́ du. 6.2. Cho n hı̀nh vuông bâ´t kỳ. Chú,ng minh ră` ng ta có thê , , , că´ t chúng ra thành môt . sô´ phâ`n d̄ê tù các phâ`n d̄ó ta có thê ghép , lai . thành môt . hı̀nh vuông mói. , , , , Lòi giai. Khi n = 1, d̄iê`u khăng d̄inh là hiên nhiên. . J M A1 B1 B A Q A2 O Q B2 D2 N N D1 C1 P A2 D2 C2 B2 D P C C2 Hı̀nh 6.1: , , ` Ta chúng minh răng khi n = 2, d̄iê`u khăng d̄inh d̄ó cũng . , d̄úng. Goi cua hai hı̀nh vuông A1 B1 C1 D1 và . d̄ô. dài các canh . , ,, ,, , A2 B2 C2 D2 tuong úng là x1 và x2 . Gia su x1 ≥ x2 . Trên các canh . , , cua hı̀nh A1 B1 C1 D1 vói canh x ta d̄ at c ác d̄o an A M = B N = 1 1 1 . .̆ . x1 + x2 , , ´ hı̀nh vuông d̄ó theo các d̄uòng C1 P = D1 Q = và căt 2 142 ,, Chuong 6. Hı̀nh hoc . , ´ nhau tai MP và NQ, rõ ràng MP và NQ căt . O cua hı̀nh vuông ,, , và tao . vói nhau môt . góc vuông. Các d̄uòng d̄ó chia hı̀nh vuông , ` thành 4 phâ`n băng nhau nhũng hı̀nh d̄ó ghép vào hı̀nh vuông , ,, A2 B2 C2 D2 nhu hı̀nh bên. Hı̀nh nhân . d̄uo. c sẽ là hı̀nh vuông vı̀ các giá tri. góc M, N, P, Q bù nhau, các góc A, B, C, D là vuông và AB = BC = CD = DA. , ,, ,, , , Gia su mênh d̄ê` d̄ã d̄uo. c chúng minh d̄ô´i vói n hı̀nh vuông và . , ,, gia su ta có n + 1 hı̀nh vuông V1 , V2 , . . . , Vn , Vn+1 . Ta lâ´y ra bâ´t , ,, , , kỳ hai hı̀nh vuông, chăng han . Vn và Vn+1 nhu d̄ã chúng minh o , ´ môt trên sau khi d̄ã căt . hı̀nh vuông và ghép vào hı̀nh vuông thú ,, , hai ta d̄uo. c môt mói V 0 . Do vây n hı̀nh vuông . hı̀nh vuông . ta có , , 0 ´ ra d̄u,o.,c các V1 , V2 , . . . , Vn−1 , V theo gia thiê´t quy nap . có thê căt , , phâ`n và tù các phâ`n d̄ó có thê ghép lai . thành môt . hı̀nh vuông , mói. J , , , Vı́ du. 6.3. Trong mat phăng cho n ≥ 3 d̄iêm, tâ´t ca không nă` m .̆ , , , trên d̄u,ò,ng thăng. Chú,ng minh ră` ng tâ´t ca các d̄u,ò,ng thăng nô´i , , , ,, hai d̄iêm trong các d̄iêm d̄ã cho tao . ra sô´ d̄uòng thăng khác nhau , không nho ho,n n. , , , , , , Lòi giai. Vói n = 3 d̄iêm, mênh . , d̄ê` hiên nhiên d̄úng: Ba d̄iêm ,, , , ` trên môt không năm d̄uòng thăng nô´i tùng d̄ôi vói nhau tao . . ra , ,, ba d̄uòng thăng khác nhau. , ,, , , , Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói n ≥ 3 d̄iêm. Ta chúng minh nó . , , , , ` cũng d̄úng vói n + 1 d̄iêm. Ta có thê chúng minh răng tô`n , , , , , , tai chı chúa hai d̄iêm. Ta ký hiêu . ı́t nhâ,´t môt . d̄uòng thăng . , ,, , d̄uòng thăng d̄i qua hai d̄iêm An và An+1 là An An+1 . Nê´u nhũng , , ,, ,, ` trên môt d̄iêm A1 , A2 , . . . , An năm d̄uòng thăng, thı̀ sô´ luo. ng các . , , ,, ,, , d̄uòng thăng sẽ d̄úng là n + 1: Gô`m n d̄uòng thăng nô´i An+1 vói 6.1. Vı́ du. quy nap . toán hoc . cho hı̀nh hoc . 143 , , ,, các d̄iêm A1 , A2 , . . . , An và d̄uòng thăng chúng nô´i chung. Nê´u , , ,, ` trên môt A1 , A2 , . . . , An không năm d̄uòng thăng, thı̀ theo gia . , ,, , thiê´t quy nap . , có n d̄uòng thăng kh,ác nhau. Bây giò ta thêm ,, ,, , các d̄uòng thăng nô´i An+1 vói các d̄iêm A1 , A2 , . . . , An . Vı̀ d̄uòng , , , thăng An An+1 không chúa môt d̄iêm nào trong A1 , A2 , . . . , An−1 , . , , ,, ,, , thı̀ d̄uòng thăng này khác hoàn toàn vói n d̄uòng thăng tao . ra , ,, , ,, ´ boi A1 , A2 , . . . , An . Nhu vây . sô d̄uòng thăng tao . ra cũng không , , nho hon n + 1. , , , ,, Vı́ du. 6.4. Trong mat .̆ phăng ,cho n ≥ 3 d̄iêm. Ðuòng kı́nh cua , , môt . hê. thô´ng d̄iêm là d̄oan . thăng nô´i hai d̄iêm trong hê. thô´ng và , , ,, , d̄ô. dài d cua d̄oan . này là lón nhâ´t. Chúng minh ră` ng sô´ d̄uòng kı́nh không vu,o.,t quá n. J , , , , , Lòi giai. Nê´u xuâ´t phát tù môt . d̄iêm A cua hê. d̄,ã cho, ta có ba ,, d̄uòng kı́nh AB, AC và AD. Khi d̄ó dễ thâ´y ba d̄iêm B, C và D sẽ , , , ` trên d̄u,ò,ng tròn k1 ( A, d). Tâ´t ca nhũ,ng d̄iêm còn lai năm . cua hê. ,, ` hoac thô´ng sẽ năm trên k1 hoac bên trong nó. boi vı̀ mỗi d̄oan .̆ .̆ . , , , , , thăng BC, BD và CD không lón hon d, thı̀ nhũng d̄iêm B, C và D , ` trên cung cua k1 , tu,o,ng ú,ng góc không ló,n ho,n 600 . Goi sẽ năm . _ _ , ,, , 0 d̄iêm C bên trong cung BD, vói nó BD ≤ 60 .Ta vẽ d̄uòng tròn , , , ,, , , k2 (C, d); Nhũng d̄iêm cuô´i cua tâ´t ca d̄uòng kı́nh cua hê. d̄ã cho _ , , , ` trên cung MN cua k2 (M, N là giao xuâ´t phát tù C, phai năm , , , ` trong hı̀nh tròn k1 . Nhu,ng mỗi d̄iêm d̄iêm cua k1 và k2 ) và năm _ , , , , cua cung MN, ngoài A, d̄úng cách xa nhũng d̄iêm B hoac .̆ D môt . , , ,, , , ´ khoang cách lón hon d, tù d̄ó suy ra CA là d̄uòng kı́nh duy nhât, , xuâ´t phát tù C. , , , ` Nhu vây ta kê´t luân răng vói môt hê. d̄ã cho n d̄iêm, tô`n tai . . . . , , , ´ hai kha năng: hoac l à trong h ê có m ôt d̄iê m, t ù nó xuâ t ph át .̆ . . 144 ,, Chuong 6. Hı̀nh hoc . , ,, , không quá môt . d̄uòng kı́nh, hoac .̆ là tù mỗi d̄iêm d̄ê`u xuát phát ,, d̄úng hai d̄uòng kı́nh. , , , ` Khăng d̄inh quy nap . , cua bài to, án chúng minh b,ăng . theo n. ,, , , Vói n = 3 khăng d̄inh hiên nhiên d̄úng. Gia su nó d̄úng vói n = . , , , , k ≥ 3. Ta sẽ chúng minh nó còn d̄úng ca vói hê. có n = k + 1 d̄iêm. , , Thât . vây, . nê´u trong hê. có k + 1 d̄iêm: A1 , A2 , . . . , Ak+1 có d̄iêm, , ,, , ´t vı́ du. A1 , tù nó không xuâ´t phát d̄uòng kı́nh hoac .̆ tù nó xuâ , , ,, , , , , , phát chı môt . d̄uòng kı́nh, thı̀ sô´ luo. ng nh, ũng d̄uòng kı́nh cua ,, ,, , hê. này nhiê`u hon sô´ luo. ng d̄uòng kı́nh cua hê. A2 , A3 , . . . , Ak+1 , ,, ,, nhiê`u nhâ´t là 1, nghı̃a là sô´ luo. ng d̄uòng kı́nh cua hê. ta d̄ang xét , , , , , không lón hon k + 1. Nê´u môt d̄iêm nhu vây . . không tô`n tai, . thı̀ tù , ,, , mỗi d̄iêm Ai xuâ´t phát d̄úng hai d̄uòng kı́nh và tù d̄ó suy ra sô´ , 2( k + 1) ,, ,, ` luo. ng d̄uòng kı́nh băng = k + 1, Nhu, vây kê´t luân cua . . 2 , bài toán d̄úng vói moi . n. , Vı́ du. 6.5. Chú,ng minh ră` ng n d̄u,ò,ng thăng trong môt . mat .̆ , , , , ng miền kh ác nhau, có thê tô m àu phăng chia mat ph ăng ra nh ũ .̆ tră´ ng hoac d̄en cho mỗi miềm sao cho nhũ,ng miền canh nhau .̆ . khác màu nhau. , , , ,, , ,, phăng P ra hai nua mat Lòi giai. 1) Ðuòng thăng AB chia mat .̆ .̆ , , , ´ phăng P1 và P2 . Tô P1 màu trăng, P2 màu d̄en và nhu vây tho a . , , , , , mãn d̄òi hoi bài toán. Vói n = 1 mênh d̄ê` d̄uo. c chúng minh. . , , ,, ,, , 2) Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói n = k và mat phăng P d̄uo. c tô . .̆ , , ,, , màu nhu yêu câ`u bài toán. Ðuòng thăng thú k + 1, CD chia mat .̆ , , ,, , ´ ` phăng P ra hai nua Q1 và Q2 . Tât ca các phân trong Q1 ta giũ ,, ´ nguyên màu d̄ã tô, còn trong nua Q2 mỗi phâ`n ta thay trăng ´ thành d̄en và d̄en thành trăng. , ,, , Gia su O1 và O2 là hai phâ`n bâ´t kỳ canh nhau, sau khi ke . J 6.1. Vı́ du. quy nap . toán hoc . cho hı̀nh hoc . 145 , , , ,, d̄uòng CD. Chı có môt . trong hai kha năng sau xây ra: , ` trên phâ`n khác nhau cua CD, a) O1 và O2 năm , ` trên cùng môt b) O1 và O2 năm . phı́a cua CD. , , ,, ,, , Truòng ho. p a) O1 và O2 sau khi ke k d̄uòng thăng d̄â`u tiên, , , , ,, nhung CD chua ke thı̀ chúng là môt miê`n và d̄uo. c tô cùng môt . . , , , ` màu. Nhung sau khi ke CD thı̀ môt . miên Q1 giũ nguyên màu , , ,, , ` còn phân kia O2 d̄uo. c d̄ôi màu theo cách du. ng. Nghı̃a là O1 và O2 khác màu nhau. , ,, ,, , , Truòng ho. p b) Sau khi vẽ k d̄uòng thăng, mà CD còn chua , , ,, ke , khi d̄ó O1 và O2 là hai miê`n canh nhau do k d̄uòng thăng . , , tao gia thiê´t quy nap chúng khác màu nhau. Sau khi ke . ra, theo . , ,, ` cùng phı́a vó,i Q1 , thı̀ màu d̄uòng thăng CD, nê´u O1 và O2 năm , , ` cùng cua chúng không d̄ôi, vẫn khác màu nhau. Nê´u chúng năm , , , ,, , phı́a vói Q2 , thı̀ màu cua mỗi miê`n d̄ê`u d̄ôi. Nhu vây . moi . truòng , ho. p O1 và O2 d̄ê`u có hai màu khác nhau. J , , Vı́ du. 6.6. Chú,ng minh ră` ng nê´u n mat phăng d̄i qua môt d̄iêm .̆ . , , ,, sao cho không có ba mat .̆ phăng nào có chung môt . d̄uòng thăng, thı̀ chúng chia không gian ra An = n(n − 1) + 2 phâ`n. , , , Lòi giai. 1) Môt . mat .̆ phăng chia không gian làm hai phâ`n và , A1 = 2. Vói n = 1 mênh d̄ê` d̄úng. . , , ,, , 2) Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói n = k, hoac . .̆ là k mat .̆ phăng chia , không gian ra k (k − 1) + 2 phâ`n. Ta sẽ chúng minh k + 1 chia không gian ra k(k + 1) + 2 phâ`n. , , , ,, , Thât . vây, . Gi, a su P là mat .̆ , phăng thú k + 1. M, ỗi mat .̆ phăng ,, ´ mat trong k mat d̄ó sao .̆ phăng P môt . d̄uòng thăng nào .̆ ,phăng căt , , , , , cho mat .̆ phăng P bi. chia ra nhũng phâ`n tù k d̄uòng thăng khác 146 ,, Chuong 6. Hı̀nh hoc . , , ,, ,, nhau d̄i qua cùng môt . d̄iêm. Theo bài truóc mat .̆ , phăng P, d̄uo. c , chia ra 2k phâ`n, mỗi phâ`n là góc trong mat phăng vói d̄ınh là .̆ , d̄iêm d̄ã cho. , k mat .̆ phăng d̄â`u tiên chia không gian thành môt . sô,´ góc d̄a ,, diên. . Môt . sô´ góc này bi. chia ra làm hai phâ`n boi mat .̆ phăng P. , , , , , Vói mat .̆ chung cua hai phâ`n có phâ`n ,cua mat .̆ phăng giói han . ,, ´ nhũ,ng mat boi hai tia mà theo nó P căt c ua góc d̄a di ên m ôt trong .̆ . . , , ,, 2k góc mat ph ăng, m à nó chia ra b o i m at ph ăng P. .̆ .̆ ` ´ Ðiêu này có nghı̃a là sô góc d̄a diên, . mà bi. chia làm hai phâ`n , , ,, , boi P, không thê lón hon 2k. ´ k Mat .̆ ,khác, mỗi phâ`n trong 2k phâ,`n, mà nó bi. chia do P căt mat .̆ phăng d̄â`u tiên, là mat .̆ chung c,ua hai góc d̄a diên . và nghı̃a ,, là chia góc d̄a diên . tao . boi k mat .̆ phăng ra làm hai phâ`n. ,, , Ðiê`u này có nghı̃a sô´ luo. ng nhũng góc d̄a diên, . mà nó bi. chia , , , ,, ra làm hai phâ`n boi P, không thê nho hon 2k. , , ,, `n cua không gian tao Vı̀ mat b oi .̆, phăng P chia d̄úng 2k phâ . , k mat .̆ phăng. Vı̀ thê´ nê´u k m,at .̆ phăng chia không gian ra k (k − 1) + 2 phâ`n, thı̀ k + 1 mat .̆ phăng sẽ chia nó ra [k(k − 1) + 2] + 2k = k(k + 1) + 2 phâ`n. J , , , Vı́ du. 6.7. 8n − 4 d̄iêm nă` m o, dang chũ, thâp . . (hı̀nh vẽ vói n = 4). , , , , Có bao nhiêu kha năng d̄ê chon . bô´n d̄iêm trong chúng d̄ê tao . , thành d̄ınh hı̀nh vuông ? , , , ,, Lòi giai. Ta chúng minh sô´ luo. ng hı̀nh vuông câ`n tı̀m là 10n − 9. , , 1) Vói n = 1, hiên nhiên d̄úng vı̀ ta có 1 = 10.1 − 9 hı̀nh vuông. 6.1. Vı́ du. quy nap . toán hoc . cho hı̀nh hoc . 147 , ,, ´ vó,i n = 2, ta có thê chon 2) Không khó khăn lăm . d̄uo. c 11 = 10.2 − 9 hı̀nh vuông. , ,, , 3) Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói . n = k, mà k ≥ 2. Ta xét hı̀nh gô`m 8(k + 1) − , , 4 d̄iêm (trong hı̀nh vói k = 3) (hı̀nh 5) , Theo gia thiê´t quy nap . , ,, ta có thê chon . d̄uo. c 10k − 9 hı̀nh vuông, không có môt . hı̀nh vuông nào trong chúng có Hı̀nh 6.2: , , , môt . d̄ınh trùng vói các d̄iêm , , , A, B, C, D, E, F, G, H. Bây giò ta xét nhũng hı̀nh vuông có d̄iêm , ,, , trùng vói A. Không khó khăn ta chı tı̀m d̄uo. c 3 hı̀nh vuông , , ABB1 A1 , ACED, AC1 F1 H. Nhu vây, chı có 10 hı̀nh vuông khác . , , , , nhau khi ta thay d̄ôi d̄ınh A vói các d̄iêm B, C, . . . , H: 4 hı̀nh vuông dang AC1 F1 H, 4 hı̀nh vuông dang ABB1 A1 và hai hı̀nh . , ,. ´ vuông ACEF, BDFH. Tông công tât ca là 10k − 9 + 10 = 10(k + . 1) − 9 hı̀nh vuông. J Vı́ du. 6.8. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . . sô´ nguyên n ≥ 0 tô`n tai , , , , , , môt . d̄uòng tròn trên mat .̆ phăng chúa trong nó n d̄iêm vói toa . d̄ô. nguyên. , , , , Lòi giai. Chúng minh quy nap 0, thı̀ thu. c . theo n. Nê´u n = , ,, , châ´t d̄uòng tròn K0 không chúa trong nó môt . d̄iêm nào có toa . , , , , d̄ô. nguyên, d̄ê có d̄iê`u d̄ó ta lâ´y d̄uòng tròn bâ´t kỳ vói tâm , ,, O( x0 , y0 ), o d̄ây ta chon . môt . trong x0 , y0 không phai là sô´ nguyên , , và bán kı́nh r thı́ch ho. p. Nê´u, vı́ du. nhu x0 không nguyên, thı̀ 148 ,, Chuong 6. Hı̀nh hoc . , , có thê chon . r là, sô´ nho nhâ´t trong { x0 } và 1 − { x0 }. Thât . vây, . ,, , , ´ ´ nêu M ( x, y) d̄iêm bât kỳ trong d̄uòng tròn vùa du. ng K0 , thı̀ x ≤ x0 + |OM| < x0 + r ≤ x0 + 1 − { x0 } = [ x0 ] + 1 và x ≥ x0 − |OM| > x0 − r ≥ x0 − { x0 } = [ x0 ] hay là [ x0 ] < x < [ x0 ] + 1 và vı̀ thê´ x không là sô´ nguyên. , ,, Gia su chúng ta d̄ã xây , ,, ,, , du. ng d̄uo. c d̄uòng tròn Kn vói , , tâm On , chúa trong nó n d̄iêm , vói toa . d̄ô. nguyên. Ta sẽ tăng ,, bán kı́nh d̄uòng tròn d̄ó lên và , ,, giũ nguyên tâm, tăng d̄uòng , , tròn d̄ê´n múc không chúa , d̄iêm có toa . d̄ô. nguyên bên ,, trong ngoài Kn . Ta nhân . d̄uo. c , Hı̀nh 6.3: vòng tròn L1 d̄ô`ng tâm vói Kn , , , ,, chúa n d̄iêm có toa . d̄ô. nguyên trong d̄uòng tròn Kn và ı́t nhâ´t , ,, môt . d̄iêm có toa . d̄ô. nguyên A trên d̄uòng tròn. , ,, , ´ (On A) vó,i d̄u,ò,ng tròn Kn , ho,n nũ,a Gia su P và Q là d̄iêm căt ` giũ,a P và A. Ta du.,ng d̄u,ò,ng tròn L2 vó,i d̄u,ò,ng kı́nh [ PA]. On năm , , , , Khi d̄ó L2 chúa d̄úng n + 1 d̄iêm vói toa d̄ô. nguyên: n d̄iêm bên . , , trong và môt biên. Ta có thê tăng không nhiê`u bán . d̄iêm trên , ,, ,, ,, , kı́nh d̄uòng tròn L2 d̄ê d̄uo. c d̄uòng tròn Kn+1 d̄ô`ng tâm vói L2 , , , , mà nó chúa n + 1 d̄iêm có toa . d̄ô. nguyên và không chúa toa . d̄ô. có ´ sô nguyên nào khác. J , , Vı́ du. 6.9. Ho.,p cua môt . sô´ hı̀nh tròn có diên . tı́ch 1. Chúng minh , ,, , ră` ng tù, trong chúng có thê chon . d̄uo. c môt . sô´ hı̀nh tròn, tùng d̄ôi , , 1 môt . không că´ t nhau, mà diên . tı́ch chung không nho hon 9 . 6.1. Vı́ du. quy nap . toán hoc . cho hı̀nh hoc . 149 , , ,, , Lòi giai. Bài toán d̄uo. c suy ra tù mênh d̄ê` sau: . , , , ,, Bô d̄ê`: Trong mat .̆ .̆ phăng cho n d̄uòng tròn, chúng phu mat , , , , , phăng vói diên . hoac .̆ môt . . tı́ch S. Khi d̄ó có thê chon . d̄uo. c môt , , ´ ´ sô hı̀nh tròn d̄ôi môt . không căt nhau, tông diên . tı́ch cua chúng , , S không nho hon . 9 ,, , ,, , Chúng minh. Ta su dung phuong pháp quy nap theo n. Vói . . , , , , ` n = 1 khăng d̄inh d̄úng hiên nhiên. Ta gia thiê´t răng bô d̄ê` d̄úng . , , , vói moi k < n. Ta xét tâp ho. p R gô`m n hı̀nh tròn, mà nó phu mat . . .̆ , ,, , phăng vói diên . tı́ch S và ta ký hiêu . K là d̄uòng tròn có bán kı́nh S ,, , lón nhâ´t r. Goi . S(K ) là diên . tı́ch d̄uòng tròn này. Nê´u S(K ) ≥ 9 , , , , , thı̀ hı̀nh tròn K thao mãn kê´t luân . cua bô d̄ê`. Vı̀ vây . vói S(K ) < S , , , . Mỗi môt . hı̀nh tròn tù R có bán kı́nh không lón hon r, và suy 9 , , , ` trong d̄u,ò,ng ra, nê´u nó có d̄iêm chung vói K, thı̀ nó phai năm , ,, , tròn d̄ô`ng tâm vói K có bán kı́nh 3r. Vı̀ diên tı́ch cua d̄uòng tròn . , , , , , lón này là 9S(K ), tâp ho. p R1 cua tâ´t ca hı̀nh tròn mà có d̄iêm . , , , , , `n cua mat chung vói K, phu môt phăng vói diên . phâ .̆ . tı́ch không , ,, , , , lón hon 9S(K ), suy ra nho hon S, vı̀ 9S(K ) < S. Khi d̄ó có d̄uòng , , , ,, , tròn trong R không có d̄iêm chung vói K. Tâ´t ca nhũng d̄uòng , , tròn nhu vây ành môt tâp khác rỗng R2 = R R1 và phu . tao . th . . , , , , môt . phâ`n mat .̆ phăng vói diên . tı́ch S2 ≥, S − 9S(K ); Vói ,nhũng ,, , , ,, , d̄uòng tròn nhu vây . tù R2 sô´, luo. ng nho hon n. Theo gia thiê´t , ,, , quy nap . tù tâp . ho. p R2 có thê chon ., d̄uo. c môt . ho, ac .̆ môt . sô´ hı̀nh tròn d̄ôi môt . không giao nhau, tông diên . tı́ch cua chúng không , , S2 , , 1 S nho hon , suy ra không nho hon (S − 9S(K )) = − S ( K ). 9 9 9 , , ,, , ´ , Hı̀nh tròn K không có nhũng d̄iêm chung vói bât cú môt . d̄uòng , ,, , tròn nào trong nhũng d̄uòng tròn ta d̄ang xét. Thêm vào tâp . ho. p 150 ,, Chuong 6. Hı̀nh hoc . , ,, ,, ,, nhũng d̄uòng tròn d̄ang xét d̄uòng tròn K, ta sẽ nhân oc tâp . d̄u , . . , ,, , ho. p nhũng d̄uòng tròn d̄ôi môt . không giao nhau, mà tông diên . , , , S tı́ch cua chúng không nho hon . 9 , , ´ Vı́ du. 6.10. Dãy nhũng sô tu. nhiên a1 , a2 , . . . , an , . . . xác d̄inh . theo , , d̄ăng thúc J a1 = 2, an+1 = (n + 1) an + 1, n = 1, 2, . . . , , Trong môt . mat .̆ phăng cho an + 1 ,d̄iêm khác nhau, không, có ba , , ,, d̄iêm nào nă` m trên môt . thăng nô´i . d̄uòng thăng. Tâ´t ca các d̄oan , , , , , nhũng d̄iêm này d̄uo. c tô bă` ng môt . trong n màu d̄ã cho. Chúng , , , minh ră` ng vó,i moi . n = 1, 2, . . . tô`n tai . tam giác vói nhũng d̄ınh , , trong các d̄iêm d̄ã cho, mà nhũ,ng canh cua nó d̄ều d̄u,o.,c tô cùng . môt . màu. , , , , , Lòi giai. Chúng minh quy nap theo n. Vói n = 1 khăng d̄inh . . , , , ` ´ d̄úng hiên nhiên. Ta gia thiêt răng nó cũng d̄úng vói n = k. Cho , , ak+1 + 1 d̄iêm thoa mãn d̄iê`u kiên bài toán và O là môt trong ,. , , , . , , ´ ´ nhũng d̄iêm d̄ó. Tât ca d̄oan . thăng nôi O vói mỗi d̄iêm còn lai . , , , ,, tù ak+1 d̄iêm, là ak+1 = (k + 1) ak + 1. Nhũng d̄oan . này d̄uo. c tô , , ` nhiê`u nhâ´t băng k + 1 màu khác nhau. Suy ra tù nhũng d̄oan . , , , thăng xuâ´t phát tù O, có ı́t nhâ´t ak + 1 d̄oan th ăng tô c ùng m ôt ., ,. , màu (nguyên lý Dirichlet), lâ´y d̄ó là màu d̄o. Ta xét nhũng d̄iêm , , , ` A1 , A2 , . . . , A ak +1 , mà chúng nô´i vói O băng d̄oan . thăng ,màu d̄o. , ` Nê´u giũa chúng có hai Ai và A j cũng nô´i băng d̄oan . thăng màu , , d̄o, thı̀ tam giác OAi A j là cùng môt màu. Nê´u moi cap hai d̄iêm . . .̆ , , , ,, ` cua A1 , A2 , . . . , A ak +1 d̄uo. c nô´i băng d̄oan thăng không phai màu . , , , , , ,, ` d̄o, ta có ak + 1 d̄iêm, nhũng d̄oan thăng giũa chúng d̄uo. c tô băng . , k màu. Theo gia thiê´t quy nap . ba d̄oan . nào d̄ó trong chúng là , , d̄ınh cua môt . tam giác cùng màu. J 6.1. Vı́ du. quy nap . toán hoc . cho hı̀nh hoc . 151 , , Vı́ du. 6.11. Trong môt . mat .̆ phăng, cho 2000 d̄iêm, không có ba , sô´ trong chúng d̄u,o.,c d̄iêm nào nă` m trên môt d̄u,ò,ng thăng. Môt . . , , ,, nô´i thành d̄oan . thăng theo nguyên tă´ c sau: Nê´u d̄iêm A d̄uo. c nô´i , , , vó,i d̄iêm B và d̄iêm B d̄u,o.,c nô´i vó,i d̄iêm C, thı̀ A không d̄u,o.,c , nô´i vó,i d̄iêm C. Chú,ng minh ră` ng vó,i cách nô´i trên ta thu d̄u,o.,c , không quá 1 000 000 d̄oan . thăng. , , , ` ` Lòi giai. Băng quy nap . theo n ,ta sẽ , chúng minh răng , nê´u trong mat m thoa mãn d̄iê`u kiên .̆ phăng cho , 2n d̄iê . , , ,, 2 (n = d̄â`u bài, thı̀ nhũng d̄oan th ăng k e d̄u o c không qu á n . , . , , , 2, 3, . . .). Vói n = 2 khăng d̄inh là hiên nhiên. Gia thiê´t . , , , , ` răng khăng d̄inh d̄úng vói 2n d̄iêm, và ta xét 2n + 2 d̄iêm. . , , , , , ,, ` Lâ´y hai d̄iêm A và B tù nhũng d̄iêm nô´i d̄uo. c băng d̄oan thăng. . , , , , , Còn lai ke . 2n d̄iêm,, theo gia thiê´t quy nap . nhũng d̄oan . thăng , , ,, , , , , d̄uo. c giũa 2n d̄iêm này không lón hon n2 . Nhũng d̄oan thăng ke . , , , , tù A và B tói 2n d̄iêm còn lai, m . không quá 2n (vı̀ nê´u môt . d̄iê , ,, ,, ,, , , ´ ´ d̄uo. c nôi vói A, nó sẽ không d̄uo. c nôi vói B và nguo. c lai). ı còn . Ch , , , , ´ ´ thêm môt . d̄oan . nôi A và B. Nhu vây . tât ca các d̄oan . thăng ke ,, d̄uo. c không quá n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 . , , Vı́ du. 6.12. a) Ðiêm O nă` m trong phâ`n trong cua d̄a giác lô`i , , A1 A2 . . . An . Ta xét tâ´t ca các góc Ai OA j , o, d̄ây i và j là nhũ,ng sô´ tu. , nhiên khác nhau giũ,a các sô´ 1, 2, . . . , n. Chú,ng minh ră` ng , giũ,a nhũ,ng góc này có ı́t nhâ´t n − 1 góc phai là góc nhon . (nghı̃a là hoac .̆ là góc vuông, góc tù hoac .̆ là góc bet). . , , b) Cùng bài toán cho d̄a diên . vói n d̄ınh. , , , , , ` Lòi giai. Ta chúng minh băng quy nap . , theo n. Vói n = 3 khăng ,, , , ` d̄inh d̄uo. c chúng minh dễ dàng. Ta gia thiê´t răng nó d̄úng vói . ,, , n = k, o d̄ây k là môt . sô´ tu. nhiên nào d̄ó và ta xét d̄a giác lô`i có J 152 ,, Chuong 6. Hı̀nh hoc . , , ,, sô´ canh k + 1, A1 A2 . . . Ak+1 . Ta ke d̄uòng thăng l d̄i qua O vuông . , góc vói OAk+1 (hı̀nh 7). , , Ít nhâ´t môt trong nhũng d̄ınh . , ` trong nu,,a cua (k + 1)-d̄a giác năm , , mat .̆ phăng kh,ác phı́a vói Ak+1 ng, ăn ,, ,, boi d̄uòng thăng l. Cho d̄ó là d̄ınh A2 . Khi d̄ó góc A2 OAk+1 là tù. , Theo gia thiê´t quy nap . k-d̄a giác lô`i A1 A2 . . . Ak có ı́t nhâ´t k − 1 góc không nhon Ai OA j và chúng . dang . , ` Hı̀nh 6.4: khác vói góc A2 OAk+1 . Băng cách d̄ó , ,, ` , , , chúng minh d̄uo. c răng sô´ luo. ng nhũng góc Ai OA j không nhon . trong (k + 1)−d̄a giác A2 . . . Ak+1 ı́t nhâ´t là k. J Vı́ du. 6.13. a) Chú,ng minh ră` ng trong moi . n− giác (n ≥ 4) có ı́t , , nhâ´t môt . ven . bên trong d̄a giác. . d̄uòng chéo nă` m tron , b) Sô´ nho nhâ´t các d̄u,ò,ng chéo nhu, vây . trong n− giác là bao nhiêu? , , , , Lòi giai. a) Nê´u d̄a giác là lô`i thı̀ bài toán là hiên nhiên. Bây giò , ,, , , ,, , , gia su góc trong cua d̄a giác tai d̄ınh A lón hon 1800 . Boi góc nhı̀n . , , , , ,, tron cua d̄a giác tù d̄ınh A luôn duói môt góc nho . ven . môt . canh . . , , ,, , hon 1800 , cho nên tù d̄ınh A sẽ nhı̀n d̄uo. c tron . ven . ı́t nhâ´t, hai , , canh. Do d̄ó tô`n tai . . tia xuâ´t phát tù d̄iêm A ,mà trên d̄ó xây ra , ,, , viêc d̄uo. c nhı̀n tù d̄iêm A (hı̀nh 9). Mỗi . d̄ôi (các phâ`n) các canh . ,, ` tron tia d̄ó cho môt . d̄uòng chéo năm . ven . bên trong d̄a giác. , , b) Tù hı̀nh 8 ta thâ´y cách du. ng môt . n− giác ,có d̄úng n − 3 ,, , ` tron d̄uòng chéo năm . ven . trong nó. Còn lai . ta phai chúng minh ,, ` ` bên răng trong moi . n− giác có ı́t nhâ´t n − 3 d̄uòng chéo năm 6.1. Vı́ du. quy nap . toán hoc . cho hı̀nh hoc . Hı̀nh 6.5: 153 Hı̀nh 6.6: , ,, , trong. Vói n = 3 mênh d̄ê` d̄ó dúng. Gia su mênh d̄ê` d̄ó d̄úng . . , , , , cho tâ´t ca các k − giác, vói k < n, ta phai chúng minh nó cho , , ,, ,, n−giác. Theo kê´t qua bài trên, n− giác có thê d̄uo. c chia boi môt . ,, ` tron d̄uòng chéo năm v en bên trong th ành hai d̄a gi ác ( k + 1 )− . . , giác và (n − k + 1)− giác, vói k + 1 < n và n − k + 1 < n. Trong ,, các d̄a giác d̄ó có ı́t nhâ´t (k + 1) − 3 và (n − k + 1) − 3 d̄uòng ` bên trong tu,o,ng ú,ng. Do d̄ó trong n−giác có ı́t nhâ´t chéo năm ,, ` bên trong. 1 + (k − 2) + (n − k − 2) = n − 3 d̄uòng chéo năm J , Vı́ du. 6.14. Chú,ng minh ră` ng moi . n−giác có thê că´ t ra thành các tam giác bă` ng các d̄u,ò,ng chéo không că´ t nhau. , , , , ` Lòi giai. Ta chúng minh mênh d̄ê` này băng quy nap . , theo n. Vói , ,,. , n = 3 mênh d̄ê` d̄úng. Gia su mênh d̄ê` d̄úng cho tâ´t ca k −giác, vói . . , k < n, ta câ`n chúng minh nó cho moi . n− giác. Môt . n− giác bâ´t , ,, ,, ,, kỳ có thê d̄uo. c chia boi môt . d̄uòng chéo ra th, ành hai d̄a giác (bài ,, , , truóc), trong d̄os mỗi d̄a giác có sô´ canh nho hon n, túc là chúng . , ,, , có thê d̄uo. c chia ra thành các tam giác theo gia thiê´t quy nap. . J , , Vı́ du. 6.15. Chú,ng minh ră` ng tông các góc trong cua môt . n−giác 0 bâ´t kỳ bă` ng (n − 2)180 . 154 ,, Chuong 6. Hı̀nh hoc . , , , , ` quy nap. d̄ê` băng Vói n = 3 mênh Lòi giai. Ta chúng minh mênh . . . , , ,, ,, , ` ` d̄ê d̄úng là hiên nhiên. Gia su mênh . , d̄ê d̄ã d̄uo. c chúng minh cho , , , ´ tât ca các k −giác, vói k < n, ta phai chúng minh nó cho moi . n− , ,, ,, ,, ´ giác. Môt ôt d̄uòng chéo ra . n− giác bât kỳ có thê d̄uo. c chia boi m ,. ,, ´ ´ làm 2 d̄a giác (Xem bài truóc). Nêu sô canh cua môt . . d̄a giác d̄ó , , , ` ` ´ băng k + 1, thı̀ sô canh cua d̄a giác kia băng n − k + 1, hon nũa . , , , , , ca hai sô´ d̄ó d̄ê`u nho hon n. Do d̄ó tông các góc cua các d̄a giác ,, , ` d̄ó tuong úng băng (k − 1)1800 và (n − k − 1)1800 . Cũng rõ ràng , , , , ` ` răng tông các góc cua n−giác băng tông các góc cua các d̄a giác , ` d̄ó, túc là băng (k − 1 + n − k − 1)1800 = (n − 2)1800 . J , Vı́ du. 6.16. Chú,ng minh ră` ng moi . n−giác lô`i vói n ≥ 5 d̄ều có , thê că´ t ra thành ngũ giác lô`i. , , , , ` ` Lòi giai. Ta chúng minh băng quy nap moi . răng . n− giác lô`i vói , ´ ra thành các ngũ giác lô`i. Vó,i n = 5 d̄iê`u d̄ó n ≥ 5 d̄ê`u có thê căt , , , là hiên nhiên, còn vói n = 6 và 7 có thê xem hı̀nh 10 và 11. , , , ,, ` n ≥ 8 và moi Bây giò gia su răng . m− giác lô`i vói 5 ≤, m < n , ´ ra thành các ngũ giác. Tù, n− giác có thê căt ´ ra d̄ê`u có thê căt , ,, môt . ngũ giác tao . boi 5 d̄ınh liên tiê´p. Khi d̄ó còn lai . ,(n − 3)− giác. ,, ´ ra thành Boi vı̀ 5 ≤ n − 3 < n, nên (n − 3)− giác lai . có thê căt , các ngũ giác theo gia thiê´t quy nap . toán hoc. . J 6.2. Bài tâp . , , , ` . 6.17. Trong mat phăng cho n ≥ 3 d̄iêm. Chúng minh răng mỗi .̆ , , , , , , ´ ´ d̄iêm có thê nôi vói môt . sô d̄iêm còn lai . sao cho nhũng d̄oan . thăng ,, , ´ nhân nhau và tao . d̄uo. c không tu. căt . thành môt . d̄a giác lô`i gép ,, , boi nhũng tam giác. , , , . 6.18. Ðô. dài cua mỗi d̄oan . thăng trong n ≥ 3 d̄oan . thăng d̄ã 6.2. Bài tâp . Hı̀nh 6.7: 155 Hı̀nh 6.8: , , ` cho lón hon 1. Biê´t răng không có k ( k = 3, 4, . . . , n ) sô´ d̄oan . có , , , ` thê tao ra các canh môt tông d̄ô. dài . . d̄a giác. Chúng minh răng , . , , n −1 cua các d̄oan . lón hon 2 . , , ,, ,, . 6.19. Trên mat ra các manh .̆ phăng bi. chia boi n, d̄uòng tròn , , ` ` khác nhau. Chúng minh răng mat hai màu .̆ phăng có thê tô ,băng , ´ sao cho mỗi manh tô môt . màu duy nhât và hai manh liê`n nhau có màu khác nhau. ,, ,, ,, . 6.20. O d̄â`u d̄u,ò,ng kı́nh môt òng tròn ta viê´t sô´ 1. Mỗi nua . d̄u , , ,, ,, ,, , , d̄uòng tròn lai . chia d̄ôi và o d̄iêm giũa ta viê´t tông nhũng sô´ o ,, , hai d̄â`u cung. Sau d̄ó mỗi phâ`n tu cung ta lai chia làm d̄ôi và o . , , ,, , d̄iêm giũa viê´t sô´ tông o hai d̄â`u cung. Cách làm này lap .̆ lai . n , ` ´ ´ lân. Hãy tı́nh tông các sô d̄ã viêt ra. , , CHUONG 7 , ÐA THÚC , , 7.1. Phân tı́ch d̄a thúc ra thùa sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Nguyên lý so sánh các hê. sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , 7.3. Ðao . hàm cua d̄a thúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 7.4. Ða thúc Chebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Bàii tâp . ............................................... 156 160 169 172 174 , , 7.1. Phân tı́ch d̄a thúc ra thùa sô´ , Ða thúc bâc . n goi . là hàm sô´ có dang . P ( x ) = a 0 x n + a 1 x n −1 + · · · + a n , ( a 0 6 = 0 ) (7.1) ,, , , ` o d̄ây a0 , a1 , . . . , an là nhũng hăng sô´ (hê. sô´ d̄a thúc), còn n ≥ 0 , , , , , là môt sô´ nguyên (bâc . cua d̄a thúc). Ða thúc là môt . lóp hàm d̄on , . , , , gian, nhung có râ´t nhiê`u úng dung trong toán hoc. . . Vói n = 0 d̄a , , , , ` thúc (7.1) là hăng sô´ a0 , vói n = 1, P( x ) tro thành hàm tuyê´n , , tı́nh P( x ) = a0 x + a1 , còn vói n = 2, P là tam thúc bâc . hai P( x ) = , , 2 a0 x + a1 x + a2 . Ðê d̄a thúc có bâc d̄iê`u kiên . là n thı̀ luôn có . a0 6= 0. , ,, ,, , , ´ Trong truòng ho. p nguo. c lai . thı̀ bâc . cao nhât cua d̄a thúc P là n. , , Nê´u P( x ) và Q( x ) là nhũng d̄a thúc, thı̀ P( x ) + Q( x ), P( x ) − , , , Q( x ) và P( x ).Q( x ) cũng là d̄a thúc, nhung phép chia hai d̄a thúc , cho nhau không luôn luôn là môt . d̄a thúc. , , , Sô´ α goi . là nghiêm . cua d̄a thúc P( x ), nê´u P(α) = 0. Nhu , , 7.1. Phân tı́ch d̄a thúc ra thùa sô´ 157 , 2 2 vây, . Nê´u tam thúc, bâc . hai P( x ) = ax + bx + c, mà b − 4ac ≥ 0 , , thı̀ hai nghiêm . cua tam th,úc này x1 , x2 d̄ua ta d̄ê´n phân tı́ch , P( x ) = a( x − x1 )( x − x2 ). Tông quát hon ta có , Vı́ du. 7.1. Nê´u P( x ) là môt . d̄a thúc bâc . n ≥ 1 và α là môt . sô´ , , , , thu. c, thı̀ α là nghiêm . cua P( x ) khi v, à chı khi tô`n tai . môt . d̄a thúc , , Q( x ) bâc . n − 1, mà nó thoa mãn d̄ăng thúc sau P( x ) = ( x − α) Q( x ) (7.2) vó,i moi . x. , , , , Lòi giai. Ðiê`u kiên . d̄u là tâ´t nhiên d̄úng. Ta chúng minh d̄iê`u , kiên . câ`n, nê´u P( x ) là d̄a thúc bâc . n n ∑ a n −i x i (7.3) ∑ an−i αi = 0. (7.4) P( x ) = i =0 và P(α) = 0, nghı̃a là n P(α) = i =0 , ,, , Ta su dung d̄ăng thúc an − bn = ( a − b)( an−1 + an−2 b + · · · + . , ,, bn−1 ), tù (7.3) và (7.4) ta nhân . d̄uo. c n P( x ) = P( x ) − P(α) = ∑ a n −i ( x i − αi ) = i =0 n = ( x − α ) ∑ a n − i ( x i −1 + x i −2 α + · · · + α n −1 ) = ( x − α ) Q ( x ), i =1 ,, o d̄ây Q( x ) = n , ∑ an−i (xi−1 + xi−2 α + · · · + αn−1 ) hiên nhiên là d̄a i =1 , thúc bâc . n − 1 (vı̀ a0 6= 0). J , , Vı́ du. 7.2. Không có môt . d̄a thúc bâc . n có nhiều hon n nghiêm . sô´ khác nhau. 158 ,, , Chuong 7. Ða thúc , , , , ,, ` phuong pháp quy nap Lòi giai. Chúng minh băng ., theo n. Gia ,, , su P là môt . d̄a thúc bâc . n và α1 , α2 , . . . là nghiêm . cua nó ( αi 6= α j , , vói i 6= j). Vói n = 1, P( x ) = a0 x + a1 ( a0 6= 0) có môt . nghiêm . , ,, a1 , , duy nhâ´t α1 = − . Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói sô´ n. Ta sẽ chúng . a0 , ,, , , minh nó cũng d̄úng vói n + 1. Vói muc . d̄ı́ch này ta gia su tô`n , tai có n + 2 nghiêm . môt . d̄a thúc Q bâc . n + 1, m, à nó . khác nhau , ,, α1 , α2 , . . . , αn+2 . Khi d̄ó Q có thê biêu diễn duói dang (do .7.1) . Q ( x ) = ( x − α n +2 ) Q 1 ( x ) ,, , , o d̄ây Q1 là d̄a thúc bâc êm . n. Vı̀ thùa sô´ x − αn+2 không có nghi , . là môt . trong các sô´ α1 , α2 , . . . , αn+1 , thı̀ chúng là nghiêm . cua Q1 . , , Nhung d̄iê`u này có nghı̃a là môt . , d̄a thúc bâc . n có n + 1 nghiêm . , hoàn toàn khác nhau, trái vói gia thiê´t quy nap. . J Vı́ du. 7.3. Chú,ng minh ră` ng mỗi d̄a thú,c P ( x ) = a 0 x n + a 1 x n −1 + · · · + a n , ( a 0 6 = 0 ) , , có thê biêu diễn du,ó,i dang . P( x ) = a0 ( x − α1 )( x − α2 ) . . . ( x − αn ), , , , o, d̄ây α1 , α2 , . . . , αn là nghiêm . cua d̄a thúc. , , , ` Lòi giai. Ta chúng minh băng quy nap . theo n. Nê´u n = 1, thı̀ , a1 P( x ) = a0 x + a1 có môt . nghiêm . duy nhâ´t α1 = − a và hiên nhiên 0 a1 P ( x ) = a0 ( x + ) = a0 ( x − α1 ). a0 , , ,, , , Gia su mênh d̄ê` khăng d̄inh . d̄úng vói d̄a thúc bâc . . n − 1 và cho , ` deg P( x ) = n. Ta biê´t răng P( x ) tô`n tai êm . nghi . nhu các bài tâp . , , trên d̄ã chúng minh, lâ´y α1 là nghiêm c ua P ( x ) . Khi d̄ó P ( x ) = . , , ( x − α1 ) Q( x ), dễ thâ´y deg Q( x ) = n − 1 và hê. sô´ truóc bâc . cao , , 7.1. Phân tı́ch d̄a thúc ra thùa sô´ 159 , , , , , , nhâ´t cua d̄a thúc này trùng vói a0 cua P( x ). Tù d̄ó suy ra nhũng , , , , nghiêm . cua P( x ) là α1 và nhũng nghiêm . cua Q( x ). Theo gia thiê´t quy nap . Q( x ) = a0 ( x − α, 2 )( x − α3 ) . ,. . ( x − αn ), , ,, o d̄ây α2 , α3 , . . . , αn là tâ´t ca nghiêm cua Q( x ). Khi d̄ó tâ´t ca . , nghiêm . cua P( x ) là α1 , α2 , . . . , αn và P( x ) = ( x − α1 ) Q( x ) = a0 ( x − α1 )( x − α2 ) . . . ( x − αn ). J , , , , Ký hiêu ôt . F là m . tâp . sô´: tâp . ho. p sô´ phúc, ,tâp . ho. p sô´ thu. c và , , , , , , ` tâp sô´ P( x ) vói . ho. p sô´ hũu ty. Nhũng d̄a thúc không phai hăng , hê. sô´ trong tâp hop F goi tı́ch d̄u,o.,c trên F, nê´u nó . là không phân , ., . , , ,, , , không thê biêu diễn d̄uo. c nhu tı́ch cua hai d̄a thúc (không phai , , , ` , , d̄a thúc hăng sô´) có hê. sô´ thuôc F, có bâc thu. c su. nho hon bâc . . . , cua P( x ). , , , , Vı́ du. 7.4. Chú,ng minh ră` ng moi . d̄a thúc thu. c su. vói hê. , , , , , , sô´ thuôc . F có thê biêu diễn nhu tı́ch cua nhũng thùa sô´ , không phân tı́ch d̄u,o.,c trên F. Su. , biêu diễn này là duy , , nhâ´t theo nghı̃a dãy cua các thù,a sô´ có thê khác nhau , tu,o,ng ú,ng vó,i hă` ng sô´ khác không cua F, nói các khác, nê´u P( x ) = P1 ( x ).P2 ( x ) . . . , Pr ( x ) = Q1 ( x ).Q2 ( x ) . . . Qs ( x ) , , là hai biêu diễn cua P( x ) nhu, tı́ch các thù,a sô´ không phân tı́ch , d̄u,o.,c trên F, thı̀ r = s và Pi ( x ) = αi Qki ( x ), o, d̄ây 0 6= αi ∈ F và k1 , k2 , . . . , kr là nhũ,ng sô´ nào d̄ó xê´p thú, tu. , theo 1, 2, . . . , r. , , , , ` , Lòi giai. Cho P( x ) không phai là d̄a thúc hăng trong tâp . ho. p F và n = deg P( x ). Nê´u n = 1, thı̀ P( x ) = a0 x + a1 là không phân , ,, , , tı́ch d̄uo. c và nó biêu diễn nhu tı́ch duy nhâ´t thùa sô´ không phân ,, tı́ch d̄uo. c. 160 ,, , Chuong 7. Ða thúc , , , ` Cho n là sô´ tu. nhiên bâ´t kỳ và gia thiê´t răng moi d̄a thúc bâc . . , , , , , , ´ nho hon n có thê biêu diễn nhu tı́ch các thùa sô không phân tı́ch ,, d̄uo. c trên F. , ,, Nê´u d̄a thúc d̄ã cho P( x ) là không phân tı́ch d̄uo. c trên F, thı̀ , , , , , có thê công nhân . nó biêu diễn nhu tı́ch cua môt . d̄a thúc không ,, phân tı́ch d̄uo. c. , ,, Nê´u d̄a thúc phân tı́ch d̄uo. c, thı̀ nó có dang . P( x ) = Q( x ).H ( x ), ,, , , , o d̄ây Q( x ) và H ( x ) là nhũng d̄a thúc vói hê. sô´ trong F và , , deg Q( x ) < n và deg H ( x ) < n. Nhung khi d̄ó theo gia thiê´t quy , , , , , nap . Q( x ) và H ( x ) biêu diễn nhu tı́ch cua các thùa sô´ d̄a thúc , trên F. Suy ra cũng d̄úng cho P( x ). Nghı̃a là moi . d̄a thúc trên F , , , , ,, có thê biêu diễn nhu tı́ch các thùa sô´ không phân tı́ch d̄uo. c có hê. , sô´ trong F. Chúng minh duy nhâ´t dành cho ban . d̄oc. . J 7.2. Nguyên lý so sánh các hê. sô´ Cho hai hàm sô´ P1 ( x ) và P2 ( x ) xác d̄inh trên môt . . tâp . con D , , ` ´ cua sô thu. c. Chúng ta nói răng P1 ( x ) và P2 ( x ) trùng nhau trong , , , , D, nê´u d̄ăng thúc P1 ( x ) = P2 ( x ) d̄úng vói moi Tâp ho. p các . x ∈ D. . , , , , d̄a thúc là môt cua mỗi d̄a thúc . . ló,p hàm d̄ac .̆ biêt. . Miê`n xác d̄inh , , , , là tâp . ho. p con cua sô´ thu. c. Nhu vây . hai d̄a thúc P( x ) và Q( x ) , , , trùng nhau, nê´u P( x ) = Q( x ) d̄úng vói moi x sô´ thu. c. Lóp các d̄a . , , , thúc có môt . tı́nh châ´,t râ´t d̄ac .̆ biêt . ,là d̄ê cho hai d̄a thúc P( x ) và , Q( x ) trùng nhau chı câ`n thiê´t kiêm tra P( x ) = Q( x ) d̄úng vói , , môt . sô´ hũu han . giá tri. cua x. Vı́ du. 7.5. Cho P ( x ) = a 0 x n + a 1 x n −1 + · · · + a n 7.2. Nguyên lý so sánh các hê. sô´ 161 và Q( x ) = b0 x m + b1 x m−1 + · · · + bm là hai d̄a thú,c và n ≥ m. Chú,ng minh ră` ng nê´u tô`n tai . n+1 , , , nhũng sô´ tùng d̄ôi môt . khác nhau α1 , α2 , . . . , αn+1 (αi 6= α j vói i 6= j) sao cho P(αi ) = Q(αi ), i = 1, 2, . . . , n + 1, thı̀ n = m và a0 = b0 , a1 = b1 , . . . , an = bn . , , , Lòi giai. Do không có d̄òi hoi gı̀ vê` b0 6= 0 và lai . có n ≥ m, ta có , , ` thê gia thiê´t (băng cách d̄ánh sô´ lai . các hê. sô´) Q( x ) = b0 x n + b1 x n−1 + · · · + bn , Bu,ó,c co, so,: nê´u n = 1, thı̀ P( x ) = a0 x + a1 , Q( x ) = b0 x + b1 và , , , thoa mãn các d̄ăng thúc sau a0 α1 + a1 = b0 α1 + b1 a0 α2 + a1 = b0 α2 + b1 , ,, Trù theo vê´ ta nhân . d̄uo. c a0 (α1 − α2 ) = b0 (α1 − α2 ) , , ,, , Nhung theo d̄iê`u kiên . α1 6= α2 ta có thê gian uóc cho α1 − α2 6= 0. ,, , Ta nhân . d̄uo. c a0 = b0 , tù d̄ó cũng suy ra a1 = b1 . , ,, , Bu,ó,c quy nap: d̄ê` d̄úng vói n − 1. Ta có . . Gia su mênh n P( x )− P(αn+1 ) = = = n ∑ ai xn−i − ∑ ai αnn+−1i i =0 i =0 n 1 a0 ( x − αn+1 ) + a1 ( x n−1 − αnn− +1 ) + · · · + a n −1 ( x − α n +1 ) ( x − αn+1 )( a0 x n−1 + a10 x n−2 + · · · + a0n−1 ) = ( x − αn+1 ) P1 ( x ) n ,, o d̄ây P1 ( x ) = a0 x n−1 + a10 x n−2 + · · · + a0n−1 ,, ,, , Tuong tu. Q( x ) − Q(αn+1 ) = ( x − αn+1 ) Q1 ( x ), o d̄ây Q1 ( x ) = , b0 x n−1 + b10 x n−2 + · · · + bn0 −1 . Khi d̄ó vói i = 1, 2, . . . , n ta nhân . ,, , Chuong 7. Ða thúc 162 ,, d̄uo. c P1 (αi ) = Q ( α i ) − Q ( α n +1 ) P ( α i ) − P ( α n +1 ) = = Q1 ( α i ) α i − α n +1 α i − α n +1 , 0 0 0 0 và theo gia thiê´t quy nap . a0 = b0 , a1 = b1 , . . . , an−1 = bn−1 . Ta d̄at .̆ P2 ( x ) = a1 x n−1 + a2 x n−2 + · · · + an Q2 ( x ) = b1 x n−1 + b2 x n−2 + · · · + bn , , vói i = 1, 2, . . . , n, n + 1 sẽ thoa mãn P2 (αi ) = P(αi ) − a0 αin = Q(αi ) − b0 αin = Q2 (αi ) , Lai gia thiê´t quy nap . áp dung . . ta có a1 = b1 , a2 = b2 , . . . , an = bn . J , , , Vı́ du. 7.6. Tı̀m tâ´t ca các d̄a thú,c P( x ) thoa mãn d̄ăng thú,c P ( x ) = P ( x + 1). , , , ` Lòi giai. Dễ thâ´y, nê´u P( x ) là d̄a thúc hăng , , , ,, , sô´, thı̀ nó thoa mãn d̄ăng thúc trên. Ta gia su deg P( x ) ≥ 1 và cho P( x ) = a0 x n + a1 x n−1 + · · · + an , , , , a0 6= 0 và P( x ) thoa mãn d̄ăng thúc P( x ) = P( x + 1). Khi d̄ó a 0 ( x + 1 ) n + a 1 ( x + 1 ) n −1 + · · · + a n = a 0 x n + a 1 x n −1 + · · · + a n , ,, ,, , tù d̄ây so sánh hê. sô´ truóc x n−1 , ta nhân . , d̄uo. c na0 + a1 = a1 , túc , , , ` , là a0 = 0 nó vô lý vói gia thiê´t. Suy ra chı có nhũng d̄a thúc hăng , sô´ là thoa mãn d̄iê`u kiên . d̄â`u bài ra. J , Vı́ du. 7.7. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . sô´ tu. nhiên k tô`n tai . duy , k nhâ´t môt . d̄a thúc Pk ( x ) bâc . k + 1 sao cho Pk (0) = 0 và x = Pk ( x + 1) − Pk ( x ). 7.2. Nguyên lý so sánh các hê. sô´ 163 , , , , Lòi giai. Viêc . tô`n tai . d̄a thúc Pk ( x ) ta sẽ chúng minh quy nap . , theo k. Vói k = 0 và k = 1 ta có x0 = 1 = ( x + 1) − x; 1 1 1 1 x = ( ( x + 1)2 − ( x + 1)) − ( x2 − x ) 2 2 2 2 1 2 1 Nghı̃a là P0 ( x ) = x, P1 ( x ) = x − x. 2 2 , , , , ´ ` Gia thiêt vói mỗi l ≤ k tôn tai . d̄a thúc Pl ( x ), vói nó Pl (0) = 0 và x l = Pl ( x + 1) − Pl ( x ). Ta có x k+1 = x.x k = xPk ( x + 1) − xPk ( x ), , tù d̄ó có x k+1 + Pk ( x + 1) = ( x + 1) Pk ( x + 1) − xPk ( x ). Cho thêm Pk ( x + 1) = ak+1 x k+1 + ak x k + · · · + a1 x + a0 . Khi d̄ó k k (1+ ak+1 ) x k+1 = ( x + 1) Pk ( x + 1) − xPk ( x ) − ∑ al Pl ( x + 1) − ∑ al Pl ( x ) i =0 k l =1 k = (( x + 1) Pk ( x + 1) − ∑ al Pl ( x + 1)) − ( xPk ( x ) − ∑ al Pl ( x )). l =0 l =0 , , , Vói bâc . cua d̄a thúc H ( x ) = xPk ( x ) − k , ∑ al Pl (x) cao nhâ´t chı là l =0 , , ,, ` ´ cua k + 1 và dễ thâ´y răng hê. sô´ truóc x k+1 trong dang chuân tăc . , ,, ,, ` H ( x ) d̄úng là ak+1 . Nê´u gia su răng 1 + ak+1 = 0, ta nhân . d̄uo. c ` H ( x + 1) = H ( x ) và khi d̄ó ta có H ( x ) là hăng sô´ (bài trên), nó , trái vói ak+1 6= 0. Suy ra 1 + ak+1 6= 0 và nê´u ta d̄at .̆ Pk+1 ( x ) = k 1 ( xPk ( x ) − ∑ al Pl ( x )), 1 + a k +1 l =0 ,, , Chuong 7. Ða thúc 164 ,, Ta nhân . d̄uo. c x k+1 = Pk+1 ( x + 1) − Pk+1 ( x ). , Chúng minh duy nhâ´t dành cho ban . d̄oc. . J , , Vı́ du. 7.8. Hãy tı̀m tâ´t ca d̄a thú,c P( x ) thoa mãn d̄iều kiên . P( x2 − 2) = ( P( x ))2 − 2. , , , ,, , , Lòi giai. Ta chú ý nhu bài truóc vói moi . sô´ tu. nhiên n tô`n tai . , , ` ´ nhiêu nhât môt . d̄a thúc Pn ( x ) bâc . n thoa mãn Pn ( x2 − 2) = ( Pn ( x ))2 − 2. (7.5) , ,, ,, , Vói viêc . so sánh hê. sô´ truóc sô´ mũ cùng bâc . cua x trong phuong ,, trı̀nh trên ta tı̀m d̄uo. c P1 ( x ) = x, P2 ( x ) = x2 − 2, P3 ( x ) = x3 − 3x, P4 ( x ) = x4 − 4x2 + 2, P5 ( x ) = x5 − 5x3 + 5x. ,, Ngoài ra không khó khăn gı̀ thiê´t lâp . d̄uo. c quan hê. P3 ( x ) = xP2 ( x ) − P1 ( x ); P4 ( x ) = xP3 ( x ) − P2 ( x ); P5 ( x ) = xP4 ( x ) − P3 ( x ). , , , Ðiê`u này go. i ý cho ta d̄ua ra môt . gia thiê´t sau d̄ây: , Moi . d̄a thúc trong dãy P1 ( x ), P2 ( x ), P3 ( x ), . . . , Pn ( x ), . . . , d̄u,o.,c xác d̄inh theo các d̄ăng thú,c sau . P1 ( x ) = x, P2 ( x ) = x2 − 2, . . . , Pn+1 ( x ) = xPn ( x ) − Pn−1 ( x ) , thoa mãn d̄iều kiên . (7.5). 7.2. Nguyên lý so sánh các hê. sô´ 165 , , ,, Vı̀ d̄a thúc Pn ( x ) bâc . n,,theo bài tâp . truó,c, nê´u gia thiê´t trên , là d̄úng thı̀ chúng là tâ´t ca các d̄a thúc thoa mãn d̄iê`u kiên . bài toán. , , , ` Bây giò ta chúng minh gia thiê´t băng quy nap toán hoc . theo , , ,, , . , , n. Vói n = 1 và n = 2 gia thiê´t d̄úng. Gia su vói n nào d̄ó d̄a thúc , , Pn ( x ) và Pn+1 ( x ) thoa mãn d̄iê`u kiên . (7.5). Khi d̄ó d̄ô´i vói Pn+2 ( x ) ta có Pn+2 ( x2 − 2) − ( Pn+2 ( x ))2 + 2 = = ( x2 − 2) Pn+1 ( x2 − 2) − Pn ( x2 − 2) − ( xPn+1 ( x ) − Pn ( x ))2 + 2 = ( x2 − 2)(( Pn+1 ( x ))2 − 2) − (( Pn ( x ))2 − 2) − x2 ( Pn+1 ( x ))2 + + 2xPn+1 ( x ).Pn ( x ) − ( Pn ( x ))2 + 2 = −2( Pn+1 ( x ))2 − 2( P( x ))2 + 2xPn+1 ( x ).Pn ( x ) − 2x2 + 8 = −2Hn ( x ), ,, o d̄ây ta d̄at .̆ Hn ( x ) = ( Pn+1 ( x ))2 + ( Pn ( x ))2 − xPn+1 ( x ).Pn ( x ) + x2 − 4. Mat .̆ khác Hn ( x ) = ( xPn ( x ) − Pn−1 ( x ))2 + ( Pn ( x ))2 − x ( xPn ( x ) − Pn−1 ( x )).Pn ( x ) + x2 − 4 = ( Pn ( x ))2 + ( Pn−1 ( x ))2 − xPn ( x ).Pn−1 ( x ) + x2 − 4 = Hn−1 ( x ) = Hn−2 ( x ) = . . . = H1 ( x ) = ( P2 ( x ))2 + P1 ( x ))2 − xP2 ( x ).P1 ( x ) + x2 − 4 = ( x2 − 2)2 + x2 − x ( x2 − 2) x + x2 − 4. Suy ra Pn+2 ( x2 − 2) = ( Pn+2 ( x ))2 − 2. J , Vı́ du. 7.9. Cho P( x ) là d̄a thú,c vó,i hê. sô´ thu. ,c nhân . giá tri. sô´ hũu ,, , Chuong 7. Ða thúc 166 , , , , , , , ty vó,i moi . sô´ x vô ty. Chúng . sô´ x hũu ty và giá tri. sô´ vô ty vói moi , minh ră` ng P( x ) là d̄a thú,c tuyê´n tı́nh vó,i hê. sô´ hũ,u ty. , , , , , ` Lòi giai. 1) Ta sẽ chúng minh răng các hê. sô´ cua P( x ) là hũu , , , , ` ty. Chúng minh băng quy nap . theo bâc . n cua, P( x ). Thât . vây, . vói , , ` ` n = 0, P( x ) là hăng sô´ và nó là môt vı́ du. nhu . sô´ hũu ,ty (vı̀ băng , , , , , P(0)). Gia thiê´t khăng d̄inh d̄úng vói tâ´t ca các d̄a thúc bâc . . nho , , , hon sô´ tu. nhiên n (tâ´t nhiên thoa mãn d̄iê`u kiên . d̄â`u bài) và cho n n − 1 P ( x ) = a0 x + a1 x + · · · + an−1 x + an . Dễ thâ´y an = P(0) là sô´ , , hũu ty và nê´u ta d̄at .̆ P( x ) − an Q ( x ) = a 0 x n −1 + a 1 x n −2 + · · · + a n −1 = , x , , , , , , thı̀ Q( x ) sẽ nhân Theo gia thiê´t . giá tri. hũu ty vói biê´n hũu ty x. , , , quy nap . khi d̄ó nhũng sô´ a0 , a1 , . . . , an−1 là hũu ty. , , , , , Nhu vây . hê. sô´ cua P( x ) là hũu ty. Vói d̄iê`u d̄ó P( x ) ,không là ,, , ,, , , ` hăng sô´, vı̀ trong truòng ho. p nguo. c lai . P( x ) sẽ là hũu ty vói moi . x. Cho P( x ) = a0 x n + a1 x n−1 + · · · + an , n > 0. Không mâ´t tı́nh , , , ` tông quát có thê cho răng ai là nguyên. Ngoài ra d̄a thúc Q( x ) = a0n−1 .( P( x ) − an ) = ( a0 x )n + a1 ( a0 x )n−1 + · · · + an−1 a0n−2 ( a0 x ). , Nghı̃a là d̄a thúc H (y) = yn + a1 yn−1 + · · · + an−1 a0n−2 y , thoa mãn d̄iê`u kiên . d̄â`u bài. , , , ,, , ` Ta sẽ chúng minh răng vói moi . sô´ nguyên d̄u lón m phuong trı̀nh H (y) = m có nghiêm. Thât . . vây, . lâ´y m > H (0) và ϕ(y) = ,, H (y) − m. Khi d̄ó ϕ(0) < 0 và lim ϕ(y) = +∞, vı̀ thê´ phuong y→∞ ,, trı̀nh H (y) = m có nghiêm . duong ym . Lâ´y m = p là sô´ nguyên tô´ 7.2. Nguyên lý so sánh các hê. sô´ 167 , , , , , d̄u lón. Ta có H (y p ) = p. Tù d̄iê`u kiên suy ra y p là sô´ hũu ty và . , vı̀ hê. sô´ bâc y p là nguyên và ngoài ra . cao nhâ´t cua H (y) là 1, thı̀ , ,, ,, , ,, ´ ´ y p d̄uo. c chia hêt boi sô hang tu. do cua ϕ(y), hoac là y p là uóc sô´ . .̆ , , , , cua p. Nghı̃a là y p = 1 hoac là y p = p. Nhung d̄ăng thúc y p = 1 .̆ , , , , chı có kha năng nhiê`u nhâ´t vói môt p. Nghı̃a là y p = p cho tâ´t ca . , , ,, sô´ nguyên tô´ d̄u lón p. Nói cách khác, ta d̄ã nhân d̄uo. c H ( p) = p . , , , , , vói tâ´t ca sô´ nguyên tô´ d̄u lón. Tù nguyên lý so sánh các hê. sô´ suy ra khi d̄ó H (y) = y và nghı̃a là P( x ) = a0 x + a1 . J Vı́ du. 7.10. Cho P( x ) là d̄a thú,c vó,i hê. sô´ nguyên, vó,i nó P(0) = P(1) = 1. và a0 là sô´ nguyên bâ´t kỳ. Ta d̄inh nghı̃a an+1 = P( an ) . , , , , ` vói n ≥ 0. Hãy chúng minh răng vói m 6= n có d̄ăng thú,c sau ( am , an ) = 1. , , , Lòi giai. Ta chia d̄a thúc P( x ) cho x ( x − 1). Lâ´y P( x ) = x ( x − 1) Q( x ) + ax + b, , , , , Tù quá trı̀nh chia d̄a thúc suy ra Q( x ) là d̄a thúc vói hê. sô´ , , nguyên. Trong d̄ăng thúc trên ta cho x = 0 và x = 1 và chú ,, ,, , ` ý răng P(0) = P(1) = 1, d̄ô´i vói a và b ta nhân . d̄uo. c hê. phuong , , trı̀nh b = 1, a + b = 1, tù d̄ây suy ra b = 1 và a = 0, và nhu vây . ,, , , ta có P( x ) = x ( x − 1) Q( x ) + 1, o d̄ây Q( x ) là d̄a thúc vói hê. sô´ nguyên. , , , ` Ta sẽ chúng minh băng quy nap . theo n, d̄ăng thúc an ≡ 1 (mod a0 a1 . . . an−1 ), , , tù d̄ây suy ra kê´t luân . cua bài toán. Thât . vây, . cho m < n và ( am , an ) = d, Khi d̄ó a0 a1 . . . an−1 chia hê´t cho d và suy ra an − 1 , , chia hê´t cho d. Nhung an chia hê´t cho d, tù d̄ây an − 1 − an chia hê´t cho d hay là 1 chia hê´t cho d hoac .̆ là d = 1. ,, , Chuong 7. Ða thúc 168 , , , ` an ≡ 1 (mod a0 a1 a2 . . . an−1 ) vói moi Chı còn chúng minh răng . , n. Vói n = 1 ta có a1 = a0 ( a0 − 1) Q( a0 ) + 1 và suy ra a1 ≡ 1 , (mod a0 ). Gia thiê´t d̄úng vó,i n nào d̄ó an ≡ 1 (mod a0 a1 . . . an−1 ) ,, , hoac .̆ là an = 1 + ka0 a1 . . . an−1 , o d̄ây k là nguyên. Vói an+1 ta tı̀m ,, d̄uo. c an+1 = an ( an − 1) Q( an ) + 1 = ka0 a1 . . . an−1 an Q( an ) + 1, , tù d̄ây ta có an+1 ≡ 1 (mod a0 a1 . . . an−1 an ). J Vı́ du. 7.11. Cho dãy các d̄a thú,c P0 ( x ), P1 ( x ), . . . , Pn ( x ), . . . trong d̄ó P0 ( x ) = 2, P1 ( x ) = x và vó,i moi . n ≥ 1 thı̀ Pn+1 ( x ) + Pn−1 ( x ) = xPn ( x ). , Chú,ng minh ră` ng tô`n tai . ba sô´ a, b và c sao cho vói moi . n ≥ 1 ta d̄ều có ( x2 − 4)[ Pn2 ( x ) − 4] = [ aPn+1 ( x ) + bPn ( x ) + cPn−1 ( x )]2 . (7.6) , , ,, , , , Lòi giai. Gia su tô`n tai . a, b, c d̄ê (7.6) d̄úng vói moi . n. Khi d̄ó , (7.6) d̄úng vói n = 1. Thay n = 1 vào (7.6) suy ra ( x2 − 4)( x2 − 4) = [ a( x2 − 2) + bx + 2c]2 . , , Ta nhân . ,thâ´y nê´u chon . a = 1, b = 0 và c = −1 thı̀ d̄ăng thúc trên ,, d̄uo. c thoa mãn. , , Bây giò ta chúng minh: nê´u chon a = 1, b = 0, c = −1 thı̀ (7.6) , . , , , d̄úng vói moi . n ≥ 2, túc là ta phai chúng minh Vı̀ Pn+1 ( x2 − 4)( Pn2 ( x ) − 4) = ( Pn+1 ( x ) − Pn−1 ( x ))2 . (7.6´) ( x ) = xP ( x ) − P ( x ) nên (7.6´) tu,o,ng d̄u,o,ng vó,i n n −1 x2 Pn2 ( x ) − 4Pn2 ( x ) − 4x2 + 16 = ( xPn ( x ) − 2Pn−1 ( x ))2 = x2 Pn2 ( x ) − 4xPn ( x ) Pn−1 ( x ) + 4Pn2−1 ( x ). , , 7.3. Ðao . hàm cua d̄a thúc 169 ,, ,, , Tuong d̄uong vói Pn2 ( x ) + x2 − 4 = Pn−1 ( x )( xPn ( x ) − Pn−1 ( x )) = Pn−1 ( x ) Pn+1 ( x ). (7.7) , , , , ` Ta sẽ chúng minh (7.7) băng phuong pháp quy nap. . , Vói n = 1 thı̀ ,, 2 P2 ( x ) = x − 2, nên dễ dàng thâ´y (7.7) d̄úng. Gia su (7.7) d̄úng , , vói n = k, túc là Pk2 ( x ) + x2 − 4 = Pk−1 ( x ) Pk+1 ( x ). , , , Ta phai chúng minh (7.7) d̄úng vói n = k + 1. Ta có (7.8) xPk+1 ( x ) Pk ( x ) = xPk ( x ) Pk+1 ( x ) ⇔ ⇔( Pk+2 ( x ) + Pk ( x )) Pk ( x ) = ( Pk+1 ( x ) + Pk−1 ( x )) Pk+1 ( x ) ⇔ Pk2 ( x ) + Pk ( x ) Pk+2 ( x ) = Pk2+1 ( x ) + Pk−1 ( x ) Pk+1 ( x ) ⇔ Pk2+1 ( x ) = Pk2 ( x ) − Pk−1 ( x ) Pk+1 ( x )) + Pk ( x ) Pk+2 ( x ). , Tù (7.8) suy ra Pk2+1 ( x ) = −( x2 + 4) − Pk ( x ) Pk+2 ( x ). , d̄ó là d̄iê`u câ`n chúng minh. , , 7.3. Ðao . hàm cua d̄a thúc J , Cho d̄a thúc P ( x ) = a 0 x n + a 1 x n −1 + · · · + a n , ( a 0 6 = 0 ). , Ða thúc P0 ( x ) = na0 x n−1 + (n − 1) a1 x n−2 + · · · + 2an−2 x + an−1 , ( a0 6= 0) , , , goi . là d̄ao . hàm cua d̄ao . . hàm bâc . nhâ´t cua d̄a thúc P( x ). ,Ðao 0 ( x ) goi là d̄ao hàm bâc hai cua P ( x ) và ký hiêu ´ hàm bâc nhâ t P . . . ,. , . là P00 ( x ). Ta có thê d̄inh nghı̃a theo quy n ap: d̄ ao h àm b âc k c ua . . . . ,, , Chuong 7. Ða thúc 170 , , , d̄a thúc P( x ) là d̄ao . hàm cua d̄ao . hàm bâc . k − 1 cua hàm P( x ) và (k) (k) (k−1) ( x ))0 . ký hiêu . là P ( x ). Hoac .̆ là, P ( x ) = ( P , , , Tù d̄inh nghı̃a d̄ao . . hàm cua d̄a thúc ta dễ thâ´y các tı́nh châ´t sau d̄úng: , , 0 1. Nê´u bâc . cua P( x ) là n, thı̀ bâc . cua P ( x ) là n − 1 và P(n+1) ( x ) = 0. , , 2. Các phép tı́nh d̄ô´i vói d̄ao . hàm: nê´u P( x ) và Q( x ) là nhũng , d̄a thúc bâ´t kỳ, còn α là môt . sô´ bâ´t kỳ, thı̀ a) ( P( x ) ± Q( x ))0 = P0 ( x ) ± Q0 ( x ); (αP( x ))0 = αP0 ( x ); b) ( P( x ).Q( x ))0 = P0 ( x ) Q( x ) + P( x ) Q0 ( x ). Vı́ du. 7.12. Chú,ng minh ră` ng (( P( x ))n )0 = n( P( x ))n−1 .P0 ( x ). , , Lòi giai. 1) Nê´u n = 1 thı̀ P0 ( x ) = P0 ( x ).( P( x ))0 . , ,, 2) Gia su (( P( x ))n−1 )0 = (n − 1)( P( x ))n−2 .P0 ( x ). Khi d̄ó theo tı́nh châ´t b) ta có (( P( x ))n )0 = ( P( x ))n−1 .P0 ( x ) + (n − 1)( P( x ))n−2 .P0 ( x ).P( x ) = n( P( x ))n−1 .P0 ( x ). J Vı́ du. 7.13. Chú,ng minh ră` ng nê´u P( x ) là d̄a thú,c bâ´t kỳ bâc . n, còn a là môt . sô´ bâ´t kỳ, thı̀ P00 ( a) P(n) ( a ) P0 ( a) ( x − a) + ( x − a )2 + · · · + ( x − a)n . 1! 2! n! (Công thú,c Taylor). P( x ) = P( a) + , , , , , ` quy nap Lòi giai. Chúng minh băng . theo n bâc . cua d̄a thúc P( x ). , , 7.3. Ðao 171 . hàm cua d̄a thúc , ,, 1) Nê´u n = 1, gia su P( x ) = A0 + A1 ( x − a). Khi d̄ó P0 ( x ) = , 0 A1 ( x − a)0 = A1 và nhu vây . P( a) = A0 và P, ( a) = A1 , suy công ,, , , , thúc Taylor d̄úng cho d̄a thúc bâc . nhâ´t. Gia su công thúc d̄úng , , cho d̄a thúc bâc . n − 1. Nê´u P( x ) là d̄a thúc bâc . n và nê´u P ( x ) = A 0 + A 1 ( x − a ) + · · · + A n −1 ( x − a ) n −1 + A n ( x − a ) n . , Khi d̄ó Q( x ) = A0 + A1 ( x − a) + · · · + An−1 ( x − a)n−1 là d̄a thúc , bâc . n − 1 và theo gia thiê´t quy nap . A0 = Q ( a ), A1 = Q0 ( a) Q ( n −1) ( a ) , . . . , A n −1 = . 1! ( n − 1) ! Ngoài ra ta còn có P (i ) ( x ) = Q (i ) ( x ) + n ( n − 1) . . . ( n − i + 1) A n ( x − a ) n −i , , tù d̄ó suy ra vói i < n: P(i) ( a) = Q(i) ( a) và P(n) ( a) = n!An . Cuô´i ,, cùng chúng ta nhân o. c: . d̄u P0 ( a) P ( n −1) ( a ) P(n) ( a ) , . . . , A n −1 = An = . A0 = P ( a ), A1 = 1! ( n − 1) ! n! , , Suy ra công thúc Taylor d̄úng vói moi . giá tri. n. J Vı́ du. 7.14. Chú,ng minh ră` ng nê´u P( x ) và Q( x ) là nhũ,ng d̄a , thú,c bâ´t kỳ và k là môt . sô´ tu. nhiên, thı̀ ( P( x ).Q( x ))(k) = Ck0 P(k) ( x ).Q( x ) + Ck1 P(k−1) ( x ) Q0 ( x )+ · · · + Ckk P( x ) Q(k) ( x ). (Công thú,c Leibniz). , , , ,, ` Lòi giai. Chúng minh băng phuong pháp quy nap . theo k. , 1) Vói k = 1 ta có ( P.Q)0 = P0 .Q + PQ0 = C10 P0 Q + C11 P.Q0 . , , Công thúc d̄úng vói k = 1. ,, , Chuong 7. Ða thúc 172 , ,, , , , , 2) Gia su công thúc d̄úng vói sô´ tu. nhiên k. Khi d̄ó vói k + 1 ,, ta nhân . d̄uo. c ( P.Q)(k+1) = (( P.Q)(k) )0 = (Ck0 P(k) .Q + · · · + Cks P(k−s) .Q(s) + · · · )0 = Ck0 ( P(k+1) .Q + Pk Q0 ) + Ck1 ( P(k) .Q0 + P(k−1) .Q00 ) + · · · + Cks ( Pk−s+1 Q(s) + P(k−s) Q(s+1) ) + · · · + Ckk ( P0 Q(k) + PQ(k+1) = Ck0 P(k+1) .g + (Ck0 + Ck1 ) P(k) .Q0 + . . . + (Cks−1 + Cks ) P(k+1−s .Q(s) + · · · + Ckk P.Q(k+1) = Ck0+1 P(k+1) .g + Ck1+1 P(k) .Q0 + · · · +1 ( k +1) + Cks+1 P(k+1−s) .Q(s) + · · · + Ckk+ . 1 PQ , , , , Nhu vây . công thúc d̄úng vói moi . sô´ tu. nhiên k. J , 7.4. Ða thúc Chebychev , , , Trong phâ`n này ta xét môt d̄ac . dang . .̆ biêt . cua d̄a thúc giũ vai , trò râ´t quan trong trong nhiê`u bài toán vê` lý thuyê´t cũng nhu . kỹ thuât. . , , Vı́ du. 7.15. Hàm sô´ cos nθ, (n ∈ N ) vó,i thê biêu diễn nhu, d̄a thú,c , bâc . n cua cos θ. Nghı̃a là, n cos nθ = ∑ an−i cosi θ, a0 6= 0. (7.9) i =0 , , , , Lòi giai. 1) n = 0 và n = 2 mênh d̄ê` hiên nhiên d̄úng. Vói n = 2 . ,, , ,, , và n = 3 ta nhân . d̄uo. c d̄a thúc tuong úng bâc . hai, bâc . ba theo , ,, công thúc luo. ng giác. cos 2θ = 2 cos2 θ − 1, cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ. , 7.4. Ða thúc Chebychev 173 , ,, , d̄ê` d̄úng vói n − 1 và n, nghı̃a là 2) Gia su mênh . n −1 ∑ bn−1−i cosi θ, b0 6= 0. cos(n − 1)θ = (7.10) i =0 n cos nθ = ∑ cn−i cosi θ, c0 6= 0. i =0 , , ,, , Ta sẽ chúng minh trong truòng ho. p d̄ó cos(n + 1)θ cũng có thê , , , , biêu diễn nhu d̄a thúc cua cos θ có bâc . n + 1. n +1 cos(n + 1)θ = ∑ dn+1−i cosi θ, d0 6= 0. (7.11) i =0 , Ta áp dung công thúc . cos nθ = 2 cos θ cos(n − 1)θ − cos(n − 2)θ, , , d̄úng vói moi . n và θ. Tù (7.11) và (7.10) suy ra cos(n + 1)θ = 2 cos θ cos nθ − cos(n − 1)θ n = 2 cos θ ∑ cn−i cosi θ − i =0 n +1 n −1 ∑ bn−1−i cosi θ i =0 n θ + d1 cos θ + · · · , , Ta nhân . , thâ´y ngay d̄ây là d̄a thúc bâc . n + 1 cua cosθ, Vı̀ d0 2c0 6= 0 theo gia thiê´t quy nap. . , , , , Trong d̄a thúc (7.9) cua cosθ, ta có thê d̄ua vê` dang môt . . d̄a , , , ´ ` thúc chuân tăc băng cách d̄at .̆ x = cosθ và ta ký hiêu . d̄a thúc này = d0 cos là Tn ( x ). Theo cách này Tn ( x ) = n ∑ a n −i x i . (7.12) i =0 , , , , , Ða thúc (7.12) goi . là d̄a thúc thú n-cua Chebychev. Nhu vây . do ,, , Chuong 7. Ða thúc 174 , , , , công thúc (7.9) thı̀ d̄a thúc thú n cua Chebychev Tn ta có: T0 ( x ) = 1, T1 ( x ), Tn ( x ) = 2xTn−1 ( x ) − Tn−2 ( x ), (n = 2, 3, . . .). , , , ,, ,, , , Tù d̄ăng thúc trên ta tı̀m d̄uo. c lâ`n luo. t các d̄a thúc cua Cheby, chev vói n = 2, 3, . . .. T0 ( x ) = 1, T1 ( x ) = x, T2 ( x ) = 2x2 − 1, T3 ( x ) = 4x3 − 3x, T4 ( x ) = 8x4 − 8x2 + 1, T5 ( x ) = 16x5 − 20x3 + 5x, ...... , Vı́ du. 7.16. Cho Tn là d̄a thú,c thú, n cua Chebychev. Chú,ng minh , mênh d̄ề sau: Hê. sô´ o, d̄ô´i sô´ có sô´ mũ cao nhâ´t là 2n−1 (n > 0). . , , , , , ,, ,, , Lòi giai. Tù các d̄ăng thúc o bài truóc mênh d̄ê` d̄úng vói n = . , ,, , , 1, 2, 3, 4, 5. Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói sô´ n nào d̄ó. Ta chúng minh . , , ` d̄úng cho n + 1 băng cách suy ra tù công thúc Tn+1 ( x ) = 2xT( x ) − Tn−1 ( x ) , , và nguyên lý so sánh các hê. sô´ cua d̄a thúc. 7.5. Bàii tâp . J , , . 7.17. Cho n là sô´ tu., nhiên và P( x ) là d̄a thú,c bâc nho hon n. . , , , ` Chúng minh răng tô`n tai . môt . hàm hũu ty R( x ) sao cho P( x ) = x ( x + 1) . . . ( x + n)( R( x + 1) − R( x )). 7.5. Bàii tâp . 175 , , . 7.18. Ký hiêu . P0 ( x ), P1 ( x ), P2 ( x ), . . . , Pn ( x ) là nhũng d̄a thúc x ( x − 1) ,… P0 ( x ) = 1, P1 ( x ) = x, P2 ( x ) = 1.2 x ( x − 1)( x − 2) . . . ( x − n + 1) . Pn ( x ) = 1.2.3 . . . n , , , , ,, ` Chúng minh răng moi . d̄a thúc P( x ) bâc . n có thê biêu diễn duói dang . P( x ) = b0 P0 ( x ) + b1 P1 ( x ) + · · · + bn Pn ( x ), ,, , o d̄ây b0 , b1 , . . . , bn là nhũng sô´ nào d̄ó. . 7.19. Cho dãy sô´ Fibonacci u1 = 1, u2 = 1, ui+2 = ui+1 + ui , d̄at .̆ n , i ` F (x) = u x . Chúng minh răng n ∑ i i =1 u n x n +2 + u n +1 x n +1 − x , ( x 2 + x − 1 6 = 0) x2 + x − 1 , , sin(n + 1)θ , ` . 7.20. Chú,ng minh răng hàm có thê biêu diễn nhu sin θ , , , , , d̄a thúc Un bâc . n cua cos θ (goi . là d̄a thúc loai . hai bâc . thú n cua Chebychev). , , ` . 7.21. Chú,ng minh răng nhũng d̄a thúc loai . hai Chebychev , , , , thoa mãn nhũng d̄ăng thúc sau: Fn ( x ) = U0 ( x ) = 1, U1 ( x ) = 2x, Un+1 ( x ) = 2xUn ( x ) − Un−1 ( x ). , . 7.22. Cho d̄a thú,c P( x ) = a0 + a1 x + · · · + an x n bâc . n vói hê. , , , ` sô´ thu. c và a ≥ 3 là môt ı́t nhâ´t môt . sô´ thu. c. Chúng minh răng . 2 n + 1 trong các sô´ |1 − P(0)|, | a − P(1)|, | a − P(2)|, . . . , | a − P(n + 1)| , , không nho hon 1. , , ` . 7.23. Chú,ng minh răng vói d̄a thúc Pn ( x ) = x n + x n−2 + x n−4 + , · · · Bâ´t d̄ăng thú,c sau d̄úng vó,i moi . x > 0 và n = 1, 2, . . . 1 1 Pn ( x ) + Pn ( ) ≥ n + 1 + (1 + (−1)n ). x 2 , , CHUONG 8 , , , , TÔ HO P V À Ð ĂNG TH Ú C . , , , 8.1. Môt . sô´ công thúc tô ho. p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , 8.2. Môt . sô´ d̄ăng thúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Bài tâp . ……………………………………….. 176 186 193 , ,, , , Trong chuong này ta chúng minh môt sô´ d̄ăng thúc và d̄inh . . , , , ,, ´ ` lý liên quan d̄ê´n d̄ăng thúc, cô´ găng chúng minh băng phuong , ´ gon pháp quy nap nguyên lý quy . toán hoc. . Ðê ngăn . khi áp dung . , , , , , nap . toán hoc . ta trı̀nh bày lâ`n luo. t các buóc môt . cách tu. nhiên, , ,, ,, , không nhâ´n manh nhu các chuong truóc nũa. . , , , ´ 8.1. Môt sô công th ú c tô ho. p . , , , Trong muc . này ta quan tâm tói tâp . ho. p gô`m hũu han . ,, , , , ` ` các phâ`n tu, vı́ du. nhu tâp gô m n phâ n t u k ý hi êu X = . . , { a1 , a2 , . . . , an }. Khi xem xét các tâp . này chúng ta quan tâm tói , , ,, ´ xê´p cua các phâ`n tu,. Khi d̄ó ta nói tâp vi. trı́ săp . X là tâp . d̄uo. c , ´ Nhũ,ng bài toán tô ho.,p quan tâm tó,i sô´ lu,o.,ng cách săp ´ xê´p săp. , , , , , nhũng phâ`n tu trong môt ., tâp . ho. p hũu, han. . Chúng ta quan tâm , , , , , , tói nhũng dang co ban cua bài toán tô ho. p nhu sau: . , ,, , ´ xê´p theo Môt . dãy n phâ`n tu khác nhau cua tâp . ho. p, X săp , , , , môt d̄uo. c goi . . thú tu. nhâ´t d̄inh . là môt . hoán vi. cua X. , , ,, ,, Goi . Pn là sô´ hoán vi. cua n phâ`n tu. Ta có thê xét môt . sô´ truòng , , , 8.1. Môt . sô´ công thúc tô ho. p , , ho. p cu. thê sau 177 , Các hoán vi. cua X Sô´ hoán vi. ∅ 1 = 0! ( a) 1 = 1! ( a1 , a2 ); ( a2 , a1 ) 2 = 2! ( a1 , a2 , a3 ); ( a1 , a3 , a2 ); 6 = 3! ( a2 , a1 , a3 ); ( a2 , a3 , a1 ); ( a3 , a1 , a2 ); ( a3 , a2 , a1 ); … … … … ,, , , , Vói phuong pháp quy nap . toán hoc . ta du. d̄oán và chúng minh , , , Vı́ du. 8.1. Sô´ lu,o.,ng hoán vi. cua n phâ`n tu, có thê tı́nh bă` ng công thú,c Pn = n!. (8.1) , , , , ,, ` Lòi giai. Ta chúng minh công thúc (8.1) băng phuong pháp quy nap . toán hoc: . , , , 1) Theo bang trên công thúc (8.1) d̄úng vói n = 1. , ,, , , 2) Gia su (8.1) d̄úng vói n = k ≥ 1. Hoán vi. cua k + 1 phâ`n , ,, ,, , , tu có thê lâp vi. trı́ thú nhâ´t cho mỗi phâ`n tu . . nhu sau: cô´ d̄inh ´ k phâ`n tu,, còn lai (nghı̃a là có k + 1 cách) rô`i săp . vào các vi. trı́ , tiê´p theo (theo gia thiê´t có Pk cách). Do d̄ó n 0 1 2 3 Tâp . X ∅ { a} { a1 , a2 } { a1 , a2 , a3 } Pk+1 = (k + 1) Pk = (k + 1)k! = (k + 1)! , , , Nhu vây . công thúc (8.1) d̄úng vói n = k + 1. , ,, , ´ Môt . dãy m phâ`n tu khác nhau (m ≤ n) cua ,tâp . ho. p X săp , , , , , xê´p theo môt d̄uo. c goi . . thú tu. xác d̄inh . là môt . chınh ho. p châp . , ,, ` m cua n phân tu trong X. , , ,, ,, , m Ký hiêu . An là sô´ luo. ng các chınh ho. p châp . m cua n phâ`n tu. Ta xét môt . sô´ vı́ du. sau J 178 m 1 2 3 … , , , ,, , Chuong 8. Tô ho. p và d̄ăng thúc , , , , , Các chınh ho. p cua X = { a1 , a2 , a3 , a4 } Sô´ chınh ho. p ( a1 ); ( a2 ); ( a3 ); ( a4 ); 4=4 ( a1 , a2 ); ( a2 , a1 ); ( a1 , a3 ); ( a3 , a1 ); 12 = 4.3 ( a1 , a4 ); ( a4 , a1 ); ( a2 , a3 ); ( a3 , a2 ); ( a2 , a4 ); ( a4 , a2 ); ( a3 , a4 ); ( a4 , a3 ); ( a1 , a2 , a3 ); ( a1 , a2 , a4 ); ( a2 , a1 , a4 ) 24 = 4.3.2 ( a1 , a3 , a4 ); ( a2 , a3 , a4 ); ( a3 , a1 , a4 ) … … , , Ta chúng minh công thúc sau: , , ,, , , Vı́ du. 8.2. Sô´ lu,o.,ng chınh ho.,p châp . m cua n phâ`n tu d̄uo. c tı́nh theo công thú,c sau: Am n = n ( n − 1) . . . ( n − m + 1). (8.2) , , , ` Lòi giai. Chúng minh băng quy nap . toán hoc . , , , 1 1) Vói m = 1 ta có An = n, suy ra công thúc (8.2) d̄úng vói m = 1. , ,, , 2) Gia su (8.2) d̄úng vói m = k ≥ 1, nghı̃a là Akn = n(n − 1) . . . (n − k + 1) , , ,, , , , , Các chınh ho. p châp . k + 1 nhân . d̄uo. c tù nhũng chınh ho. p châp . ,, ` ´ ` k băng cách thêm vào cuôi dãy môt . trong n −, k phân tu còn lai. . , , , , Nhu vây . môt . chınh ho. p châp . k sẽ cho n − k chınh ho. p châp . k + 1. Do d̄ó Akn+1 = (n − k ) Akn = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)(n − k ) , Suy ra (8.2) d̄úng vói m = k + 1. , , ,, Chú ý: Có thê viê´t công thúc (8.2) duói dang khác . Am n = n! . (n − m)! J (8.3) , , , 8.1. Môt . sô´ công thúc tô ho. p 179 , ,, ,, Mỗi tâp cua tâp X (m ≤ n) d̄uo. c goi . con m phâ`n tu khác nhau . . , , , ,, , ` là tô ho. p châp . m cua n phân tu cua X. , ,, m m Goi . Cn (hoac .̆ nhu các phâ`n truóc d̄ã ký hiêu . là Cn ). Ta xét môt . sô´ vı́ du. sau , , , , , m Các tô ho. p cua X = { a1 , a2 , a3 , a4 } Sô´ tô ho. p 1 ( a1 ); ( a2 ); ( a3 ); ( a4 ); 4 2 ( a1 , a2 ); ( a1 , a3 ); ( a1 , a4 ); 6 ( a2 , a3 ); ( a2 , a4 ); ( a3 , a4 ); 3 ( a1 , a2 , a3 ); ( a1 , a2 , a4 ); 4 ( a1 , a3 , a4 ); ( a2 , a3 , a4 ); 4 ( a1 , a2 , a3 , a4 ); 1 … … … , , ,, , Chúng ta nhân là các chınh ho. p châp m cua n phâ`n tu . ra ngay . , , ,, ,, , ` nhân cách hoán vi. m phâ`n tu . d̄uo. c tù các tô ho. p châp . m băng này. Vı̀ vây . ta có liên hê. sau m Am n = Cn .Pm . , Tù d̄ó suy ra Am n! . Cnm = n = P m! ( n − m)! m , , ,, , Ðê chúng minh theo phuong pháp quy nap . ta chúng minh , , ,, Vı́ du. 8.3. Sô´ lu,o.,ng tô ho.,p châp . m cua n d̄uo. c tı́nh theo công thú,c sau n ( n − 1) . . . ( n − m + 1) Cnm = . (8.4) 1.2 . . . m , , , , ` Lòi giai. 1) Ta chú ý răng Cn1 = n, nghı̃a là vói m = 1 công thúc d̄úng. , ,, 2) Gia su ta có n ( n − 1) . . . ( n − k + 1) Cnk = . 1.2 . . . k 180 , , , ,, , Chuong 8. Tô ho. p và d̄ăng thúc , ` Ta sẽ chúng minh răng n(n − 1) . . . (n − k + 1)(n − k ) . Cnk+1 = 1.2 . . . k (k + 1) , , , , ,, ,, Ðê nhân n phâ`n tu: d̄â`u tiên . tâ´t ca tô h, o. p k +,1 phâ`n tu trong , ,, ,, , nguòi ta viê´t tâ´t ca các tô ho. p châp k cua n phâ`n tu và thêm . , , ,, ,, , vào mỗi tô ho. p này môt ôt trong n − k . phâ`n tu thú k + 1 b,oi m , ., ,, , , , phâ`n tu còn lai. . Nhu vây . ta nhân . d̄uo. c tâ´t ca tô ho. p châp . k+1 , ,, , , , cua n phâ`n tu, nhung sẽ nhân . d̄uo. c bôi . k + 1 lâ`n. Thât . vây, . , , , ,, tô ho. p a1 , a2 , . . . , ak , ak+1 sẽ cùng nhân d̄u o c theo c ách; khi tô . . , , ,, , , ` ho. p a2 , a3 , . . . , ak , ak+1 thêm vào phân tu a1 ; cũng nhu khi tô ho. p , , ,, a1 , a3 , . . . , ak , ak+1 thêm vào phâ`n tu a2 ; . . . ; cuô´i cùng khi tô ho. p a1 , a2 , a3 , . . . , ak thêm vào ak+1 . Nghı̃a là n(n − 1) . . . (n − k + 1)(n − k ) m−k Cnk = Cnk = . k+1 1.2 . . . k (k + 1) , Vı́ du. 8.4. Chú,ng minh ră` ng hê. sô´ Newton Cnk là nhũ,ng sô´ le khi , và chı khi n = 2s − 1. , , ,, , , , , Lòi giai. Vói n ≤ 8 mênh d̄ê` khiêm tra tru. c tiê´p d̄úng. Gia su . , , ,, , , n là sô´ tu. nhiên bâ´t kỳ và gia su mênh d̄ê` khăng d̄inh d̄úng vói . . , , , , moi . sô´ tu. nhiên nho hon n. Dễ thâ´y hê. sô´ d̄a thúc là J n n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) n(n − 1)(n − 2) . . . 3.2 , , ,…, , 1 1.2 1.2.3 1.2.3 . . . (n − 1) , , , , tâ´t ca là sô´ le khi và chı khi hê. sô´ d̄a thúc ngoài cùng (mà nó , , ,, , , ` băng n) là sô´ le và nhũng sô´ nhân . d̄uo. c tù các hê. sô´ d̄a thúc, còn , , , , , , , ` lai cách bo d̄i các thùa sô´ le o mẫu sô´ và tu sô´, cũng là le. Ta . băng ,, , , , d̄at .̆ n = 2m +, 1. Trong truòng ho. p nhu vây . hê. sô´ d̄a thúc không ` có sô´ cuô´i biêu diễn băng các sô´ trong dãy m m(m − 1) m(m − 1)(m − 2) m(m − 1)(m − 2) . . . 3.2 , , ,…, . 1 1.2 1.2.3 1.2.3 . . . (m − 1) , , , 8.1. Môt 181 . sô´ công thúc tô ho. p , , , , Tù d̄ây theo gia thiê´t quy nap toán hoc nhũng hê. sô´ d̄a thúc cuô´i . . , , , , cùng, còn suy ra tâ´t ca hê. sô´ d̄a thúc sẽ là le khi và chı khi m có dang 2k − 1 nghı̃a là khi d̄ó n2(2k − 1) + 1 = 2k+1 − 1. . J , Vı́ du. 8.5. Chú,ng minh ră` ng tù, các chũ, sô´ 1 và 2 ta có thê lâp . , , , n + 1 n ´ ´ ´ ´ 2 sô mà mỗi sô d̄ều có 2 chũ sô và cú hai sô môt . thı̀ các chũ , sô´ o, hàng tu,o,ng ú,ng (vi. trı́ tu,o,ng ú,ng) khác nhau không ı́t ho,n 2n −1 . , , , ,, , ` Lòi giai. Ta chúng minh băng quy nap theo n. Vói n = 1 ta d̄uo. c . , bô´n sô´ 11; 21; 12; và 22 thoa mãn mênh d̄ê`. . ,, , , 0 ` Goi chũ sô´ 2 và . a là sô´ có d̄uo. c khi thay trong a chũ sô´ 1 băng , ,, ` thay 2 băng 1 và ab là sô´ tao a. Gia su d̄ã . thành khi viê´t b canh . , ,, , n +1 ´ , , xây du. ng d̄uo. c tâp sô, mỗi sô´ có 2n chũ sô´, ngoài . ho. p An tù 2 , , n −1 ra cú hai sô´ môt vi. trı́ hàng sô´. . khác nhau không ı́t hon 2 , , 0 Xét tâp . ho. p An+1 gô`m các sô´ aa và, aa trong d̄ó a ∈ An . Tâ´t ca , , , nhũng sô´ này có 2n+1 chũ sô´ và tâ´t ca có 2n+2 sô´. Ngoài ra bâ´t cú , hai sô´ nào d̄ê`u khác nhau không ı́t hon 2n hàng sô´. Thât . vây, . các , , 0 0 sô´ aa và aa , cũng nhu các sô´ aa và bb vói moi . a, b d̄ê`u khác nhau n d̄úng 2 hàng sô´ (trong các hàng sô´ này a và b khác nhau, a0 và , ,, b0 trùng nhau, và nguo. c lai). . Các sô´ aa và bb theo gia thiê´t quy , n ` nap sô´. . khác nhau không ı́t hon 2 hăng J Vı́ du. 8.6. Vó,i các sô´ nguyên m, n (0 ≤ m ≤ n) xây du. ,ng các sô´ d(n, m) theo công thú,c sau: 1) d(n, 0) = d(n, m) = 1, vó,i moi . n ≥ 0; 2) m.d(n, m) = m.d(n − 1, m) + (2n − m).d(n − 1, m − 1), vó,i moi . 0 < m < n. , Chú,ng minh ră` ng tâ´t ca các sô´ d(n, m) d̄ều nguyên. , , , ,, , Chuong 8. Tô ho. p và d̄ăng thúc 182 , , , ` ` quy nap d(n, m) = (Cnm )2 . Lòi giai. Ta sẽ chúng minh băng . răng , Thât . vây, . vói n = 1 thı̀ 2 2 d(1, 0) = 1 = C10 ; d(1, 1) = 1 = C10 . , ,, , , Gia su bài toán d̄úng vói n = k: d(k, m) = (Ckm )2 , vói moi . 0≤m≤ , k. Khi d̄ó vói n = k + 1, ta có 1) Nê´u 0 < m < k + 1 thı̀ m.d(k + 1,m) = m.d(k, m) + [2(k + 1) − m]d(k, m − 1) 2 = m. (Ckm )2 + (2k + 2 − m) Ckm−1 2 k! = [m(k + 1 − m)2 + (2k + 2 − m)m m!(k + 1 − m)! 2 = m. Ckm+1 . 0 2 2) Nê´u m = 0 hoac .̆ k + 1, thı̀ d(k + 1, 0) = 1 = (Ck+1 ) và k +1 2 d(k + 1, k + 1) = 1 = (Ck+1 ) . Vây . theo nguyên lý quy nap . toán hoc, . ta có d(n, m) = (Cnm )2 , ∀0 ≤ m ≤ n. J Vı́ du. 8.7. Cho sô´ lu,o.,ng 3n d̄ô`ng xu ( n ≥ 1 ), môt . d̄ô`ng xu trong , , d̄ó là gia và nhe. hon sô´ còn lai. . Cho môt . chiê´c cân d̄ı̃a không có , , , qua cân. Chúng minh ră` ng bă` ng n lâ`n cân có thê phát hiên . ra , , ` ` ` d̄ông tiền gia. Có thê băng n lân cân luôn luôn phát hiên . ra d̄ô`ng , , , n , , tiền gia hay không, nê´u sô´ luo. ng d̄ô`ng xu không nho hon 3 + 1? , , ,, , Lòi giai. Xét truòng ho. p n = 1. Ta d̄at .̆ hai d̄ô`ng, xu lên mỗi bên ` môt thı̀ d̄ô`ng xu gia là d̄ô`ng xu còn . d̄ı̃a cân. Nê´u cân thăng băng, , ,, ` ` la. o ngoài cân, còn trên cân không cân băng, d̄ô`ng tiê`n gia năm ,, , o bên nào nhe. hon. , , , 8.1. Môt 183 . sô´ công thúc tô ho. p , , ,, , , , Ta gia su khăng d̄inh cua bài toán d̄úng vói n − 1. Bây giò ta . có 3n . Ta chia chúng ra làm ba nhóm theo 3n−1 d̄ô`ng xu và d̄at , .̆ ,, , ` ´ ` hai nhóm lên tùng d̄ı̃a cân. Nêu cân cân băng, thı̀ d̄ông xu gia o ,, , ,, , nhóm thú 3, còn nguo. c lai thı̀ o nhóm trên d̄ı̃a cân nhe. hon. Và . , , , ,, , ca hai truòng ho. p khăng d̄inh cua bài toán suy ra theo quy nap. . . , , , , , n ` Ta sẽ chúng minh răng nê´u sô´ luo. ng d̄ô`ng xu lón hon 3 , thı̀ , , ` không phai lúc nào cũng phát hiên n lâ`n cân . ra d̄ô`ng xu gia băng ,, , và thâm . sô´ d̄ô`ng xu thât . trı́ trong truòng ho. p d̄ã biê´t môt . rô`i. , , , ,, , Truòng ho. p n = 1, khăng d̄inh trên d̄úng hiên nhiên. Gia . , , ,, , , su khăng d̄inh d̄úng vói tâ´t ca sô´ tu. nhiên k (k ≤ n − 1) và xét . , ,, , , truòng ho. p k = n. Ta ký hiêu F tâp ho. p tâ´t ca các d̄ô`ng xu d̄ã . . , ,, , ` cho, còn J tâp sô´ luo. ng . ho. p tâ´t ca các d̄ô`ng xu thât. . Chú ý răng ,, , , d̄ô`ng xu trong F lón hon 3n , còn sô´ luo. ng trong J là bâ´t kỳ, có , , ` ` thê là 0. Dễ thâ´y răng trên hai d̄ı̃a cân phai d̄at .̆ sô´ d̄ô`ng xu băng , ` nhau. Băng cách nhu vây . trên môt . d̄ı̃a cân hoac .̆ ngoài hai d̄ı̃a , , n − 1 cân có môt d̄ô`ng xu tù F. Ta ký hiêu . nhóm nhiê`u hon 3 . nhóm ` d̄ó băng N. Nê´u N ngoài hai d̄ı̃a cân, thı̀ theo d̄iê`u kiên hai d̄ı̃a cân cân , ,, , ` băng, d̄ô`ng xu gia o nhóm N và theo gia thiê´t quy nap . nó không , , ,, ` ` ` ` thê tách d̄ông tiên gia d̄uo. c băng n − 1 lân cân. Nê´u nhóm N là môt trong hai d̄ı̃a cân và d̄ó là d̄ı̃a cân nhe. , , . , ` trong nó, khi d̄ó theo gia thiê´t quy nap hon, thı̀ d̄ô`ng xu gia năm . , ,, cũng không tách d̄uo. c d̄ô`ng xu gia. , Vı́ du. 8.8. Cho bang hı̀nh vuông các sô´ a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. .. .. . . ... . J an1 an2 ... ann . , , , ,, , Chuong 8. Tô ho. p và d̄ăng thúc 184 Chú,ng minh ră` ng nê´u M là môt . hă` ng sô´ sao cho n ∑ |x1 a j1 + x2 a j2 + · · · + xn a jn | ≤ M j =1 , vó,i moi . cách chon . nhũng sô´ xi = ±1, thı̀ | a11 | + | a22 | + · · · + | ann | ≤ M. , , , , ` Lòi giai. Ta chúng minh mênh d̄ê` băng quy nap . theo n. Vói , . ,, , n = 1 mênh d̄ê` d̄úng. Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói n − 1. Cho . . , x1 , x2 , . . . , xn−1 là môt . cách chon . bâ´t kỳ cua ±1. Khi d̄ó ta dùng , , bâ´t d̄ăng thúc sau 2|α| = |2α| = |(α + β) + (α − β)| ≤ |α + β| + |α − β|, ,, ta nhân . d̄uo. c n −1 2 ∑ |x1 a j1 + · · · + xn−1 a j,n−1 | + 2|ann | j =1 n −1 ≤ ∑ |x1 a j1 + · · · + xn−1 a j,n−1 + ann |+ j =1 n −1 + ∑ |x1 a j1 + · · · + xn−1 a j,n−1 − ann |+ j =1 + | ann + x1 a j1 + · · · + xn−1 a j,n−1 |+ + | ann − x1 a j1 − · · · − xn−1 a j,n−1 | n −1 = ∑ |x1 a j1 + · · · + xn−1 a j,n−1 + ann |+ j =1 n −1 + ∑ |x1 a j1 + · · · + xn−1 a j,n−1 − ann | ≤ 2M. j =1 , , , 8.1. Môt . sô´ công thúc tô ho. p , Túc là 185 n −1 ∑ |x1 a j1 + · · · + xn−1 a j,n−1 | ≤ M − |ann |, j =1 , , tù d̄ây theo gia thiê´t quy nap . suy ra | a11 | + | a22 | + · · · + | an−1,n−1 | ≤ M − | ann |, nghı̃a là | a11 | + | a22 | + · · · + | ann | ≤ M. J Vı́ du. 8.9. Cho các sô´ tu. , nhiên a1 , a2 , . . . , an (n > 1), sao cho ak ≤ , k, (k = 1, 2, . . . , n) và tông a1 + a2 + · · · + an là chă˜ n. Chú,ng minh , ră` ng môt . trong các tông d̄ai . sô´ a1 ± a2 ± a3 . . . ± an bă` ng 0. , , , ` Lòi giai. Ta chúng minh băng quy nap . theo n. Khi n = 2, ta dễ , , thâ´y a1 = a2 = 1. Do d̄ó a1 − a2 = 0. Ðô´i vói n + 1 sô´ tu. nhiên , , a1 , a2 , . . . , an+1 (n ≥ 2) thoa mãn các d̄iê`u kiên . cua bài toán, ta ,, , xét hai truòng ho. p sau: 0 1. an 6= an+1 . Ðat .̆ an = | an − an+1 |, khi d̄ó do 1 ≤ an ≤ n ,và 1 ≤ an+1 ≤ n + 1 nên 1 ≤ a0n ≤ (n + 1) − 1 = n. Mat .̆ khác, tông ˜ ˜ a1 + a2 + · · · + an + an+1 chăn, riêng an + an+1 có cùng tı́nh chăn , , 0 , le vói a = | an − an+1 |, do d̄ó tông a1 + a2 + · · · + an−1 + a0n cũng , , , thoa mãn các d̄iê`u kiên cua bài toán. Theo gia thiê´t quy nap . . ta , 0 có môt . trong các tông a1 ± a2 ± . . . ± an−1 ± an ,= a1 ± a2 ± . . . ± , , ` an−1 ± | an − an+1 | băng 0. Tù d̄ó suy ra d̄iê`u phai chúng minh. ˜ và 2. an = an+1 . Lúc này do a1 + a2 + · · · + an + an+1 chăn ˜ nên a1 + a2 + . . . + an−1 cũng chăn. ˜ Vây an + an+1 = 2an chăn . , ´u n − 1 sô´ a1 , a2 , . . . , an−1 cũng thoa mãn các d̄iê`u kiên b ài to án nê ., , , chı câ`n n − 1 > 1 hay n ≥ 3. Nhung d̄iê`u này là hiên nhiên vı̀ nê´u , ,, , n = 2, (rõ ràng chı câ`n chú ý truòng ho. p này mà thôi vı̀ n ≥ 2), , , , ˜ thı̀ tù gia thiê´t a1 ≤ 1, a2 ≤ 2 và a3 ≤ 3 và tông a1 + a2 + a3 chăn, , ,, , , ta suy ra a1 = 1 và a2 6= a3 túc là roi vào truòng ho. p 1. d̄ã xét. Do , , , ,, , Chuong 8. Tô ho. p và d̄ăng thúc , ,, , , ` gia thiê´t quy nap d̄ê suy ra răng ı́t nhâ´t môt d̄ó có thê su dung . . . , , ` trong các biêu thúc a1 ± a2 ± . . . ± an−1 băng 0 và do d̄ó môt . trong , ` các tông a1 ± a2 ± . . . ± an−1 + an − an+1 cũng băng 0. 186 J , , ´ d̄ ăng thúc 8.2. Môt sô . , , , , ` Phâ`n này ta chúng minh môt d̄ăng thúc d̄áng nhó. . sô´ hăng Vı́ du. 8.10. Chú,ng minh nhi. thú,c Newton ( a + b)n = n ∑ Cni ai bn−i , (8.5) i =0 , o, d̄ây n là sô´ nguyên du,o,ng. , , , , Lòi giai. Bu,ó,c co, so,: Dễ thâ´y (8.5) d̄úng vói n = 1. , ,, , , , , Bu,ó,c quy nap: . Gia su d̄ăng thúc (8.5) d̄úng vói n, ta sẽ chúng minh nó cũng d̄úng cho n + 1. Thât . vây, . ( a + b ) n +1 = ( a + b ) n ( a + b ) = = [ an + Cn1 an−1 b + · · · + Cnk an−k bk + · · · + bn ]( a + b) = an+1 + Cn1 an b + · · · + Cnk an+1−k bk + · · · + abn + + an b + Cn1 an−1 b2 + · · · + Cnk an−k bk+1 + · · · + bn+1 . Suy ra h i h i ( a + b)n+1 = an+1 + 1 + Cn1 an b + Cn1 + Cn2 an−1 b2 + · · · h i · · · + Cnk−1 + Cnk an+1−k bk + · · · + bn+1 . , , , Nhũng hê. sô´ trong công thúc trên rút gon . theo công thúc (2.8) và ta có n +1 ( a + b)n+1 = ∑ Cni +1 an+1−i bi . , , , i =0 Vây . d̄ăng thúc (8.5) d̄úng vói n + 1. J , , 8.2. Môt . sô´ d̄ăng thúc 187 Vı́ du. 8.11. Vó,i a1 , a2 , . . . , an là nhũ,ng sô´ thu. ,c, chú,ng minh ră` ng ( a1 + a2 + · · · + an )2 = a21 + a22 + · · · + a2n + 2( a1 a2 + a1 a3 + · · · + an−1 an ) (8.6) , , vói moi . sô´ tu. nhiên n ≥ 2. , , , , , , , ` Lòi giai. Vói n = 2 công thúc (8.6) là hăng d̄ăng thú d̄áng nhó. , ,, , , Gia su công thúc (8.6) d̄úng vói n = k − 1, nghı̃a là ( a1 + a2 + · · · + ak−1 )2 = a21 + a22 + · · · + a2k−1 + 2S , , , , ,, , o d̄ây S là tông tâ´t ca các kha năng tùng d̄ôi cua dãy , a1 , a2 , . . . , ak−1 . Ta sẽ chúng minh ( a1 + a2 + · · · + ak )2 = a21 + a22 + · · · + a2k + 2S1 ,, o d̄ây S1 = S + ( a1 + a2 + · · · + ak−1 ) ak . Thât . vây, . ( a1 + a2 + · · · + ak )2 = [( a1 + a2 + · · · + ak−1 ) + ak ]2 = ( a1 + a2 + · · · + ak−1 )2 + 2( a1 + · · · + ak−1 ) ak + a2k = ( a21 + a22 + · · · + a2k−1 ) + 2S + 2( a1 + · · · + ak−1 ) ak + a2k J = ( a21 + a22 + · · · + a2k−1 ) + 2S1 . Vı́ du. 8.12. Cho sô´ nguyên du,o,ng n và sô´ thu. ,c x, chú,ng minh ră` ng 1 2 n−1 [x] + [x + ] + [x + ] + · · · + [x + ] = [nx ]. n n n , , , Lòi giai. Bài ra không rõ cho ta phai quy nap sô´ . theo thông , , , , , ,, , nào. ý tuong d̄ê chúng minh là chı lâ´y giá tri. x trong khoang nho k k+1 [ , ) vó,i k = 0, ±1, ±2, . . . n n , ,, , ` trong khoang con [0, 1 ). Khi d̄ó [ x + Ðâ`u tiên gia su x năm n n −1 i i , , ] = 0 vói i = 0, 1, 2, . . . , n − 1, nhu vây . ∑ [ x + n ] = 0. Cũng có n i =0 , , , ,, , Chuong 8. Tô ho. p và d̄ăng thúc , , , [nx ] = 0, nhu, vây . ta d̄ã chúng minh kê´t qua d̄úng cho khoang con d̄â`u tiên. , , ,, , k − 1 k ,, , Bây giò ta gia su khăng d̄inh d̄úng cho khoang [ , ), o . n n, ,, , d̄ây k là sô´ nguyên duong, và cho x sô´ thu. c bâ´t kỳ trong khoang này. Khi d̄ó 188 2 n−1 1 ] = [nx ]. [x] + [x + ] + [x + ] + · · · + [x + n n n 1 ,, ,, ` Công thêm vào x (ta làm d̄uo. c vı̀ băng cách này ta nhân d̄uo. c . . n ,, k k+1 ´ ´ )), mỗi sô´ hang o bên trái ngoài sô´ hang sô bât kỳ trong [ , . . n ,n , cuô´i cùng, d̄ê`u chuyên sang sô´ hang bên phai nó, và sô´ hang cuô´i . . n−1 , cùng là [ x + ] tú,c là [ x + 1] thu.,c châ´t công 1 vào [ x ]. Nhu . n , 1 , ` vây x + vào vê´ trái, d̄ăng thúc trên tăng lên 1. . thay x băng n , ,, 1 , ` Ðô`ng thòi khi d̄ó khi x o [nx ] thay băng x + , giá tri. cua nó n , , , cũng tăng lên 1. Do mỗi bên cua d̄ăng thúc d̄ê`u tăng lên 1 khi , , 1 ` thay x băng x + , kê´t qua vẫn còn d̄úng cho tâ´t ca các sô´ trong n , k k+1 ). khoang [ , n n , , , Theo gia thiê´t quy nap kê´t qua còn d̄úng cho tâ´t ca giá tri. . , , ,, ,, , duong cua x. Hoàn toàn tuong tu. cũng d̄úng cho tâ´t ca các giá tri. , âm cua x. J , Vı́ du. 8.13. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . sô´ tu. nhiên n ≥ 1 (n + 1)(n + 2) . . . (n + n) = 2n .1.3.5 . . . (2n − 1). , ,, , ,, Lòi giai. Ký hiêu . tı́ch o vê´ trái là Tn . Dùng phuong pháp quy nap . , , 1. toán hoc theo n. V ó i n = 1 công th ú c d̄ úng vı̀ T = ( 1 + 1 ) = 2 1 . , , 8.2. Môt . sô´ d̄ăng thúc , ,, , , Gia su công thúc d̄úng vói n = k. Ta có 189 Tk = (k + 1)(k + 2) . . . (k + k ) = 2k .1.3.5 . . . (2k − 1). , Ta câ`n chúng minh [(k + 1) + 1][(k + 1) + 2] . . . [(k + 1) + k][(k + 1) + (k + 1)] = 2k+1 .1.3.5 . . . (2k + Hoac .̆ là (k + 2)(k + 3) . . . (k + 1 + k)(2k + 2) = 2k+1 .1.3.5 . . . (2k + 1). Thât . vây, . Tk+1 = (k + 2)(k + 3) . . . (k + 1 + k )(2k + 2) (k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + k) .(k + 1 + k )(2k + 2) ( k + 1) (2k + 1).2(k + 1) = Tk . k+1 , Vı́ du. 8.14. Chú,ng minh d̄ăng thú,c vó,i moi . sô´ nguyên n ≥ 0 = sin 2n+1 α . 2n+1 sin α , , sin 2α , , , Lòi giai. 1) Vói n = 0 d̄ăng thúc d̄úng, vı̀ cos α = . 2 sin α , ,, , , , , 2) Gia su d̄ăng thúc d̄úng vói n = k, túc là sin 2k+1 α cos α cos 2α cos 4α . . . cos 2k α = k+1 . 2 sin α , Khi d̄ó nó cũng d̄úng vói n = k + 1. Thât . vây, . sin 2k+1 α cos 2k+1 α cos α cos 2α cos 4α . . . cos 2k α cos 2k+1 α = 2k+1 sin α sin 2k+2 α = k +2 . 2 sin α , Vı́ du. 8.15. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . sô´ tu. nhiên n ≥ 1 n+1 sin x nx 2 sin x + sin 2x + · · · + sin nx = sin . x 2 sin 2 J cos α cos 2α cos 4α . . . cos 2n α = J , , , ,, , Chuong 8. Tô ho. p và d̄ăng thúc 190 , , , , Lòi giai. 1) Vói n = 1 khăng d̄inh trên là d̄úng. . 2) Cho k+1 x kx 2 sin . x 2 sin 2 sin sin x + sin 2x + · · · + sin kx = Khi d̄ó sin x + sin 2x + · · · + sin kx + sin(k + 1) x = k+1 sin x kx 2 = sin + sin(k + 1) x = x 2 sin 2 k+1 x sin kx k+1 k+1 2 sin + 2 sin x cos x = x 2 2 2 sin 2 k+2 sin x k+1 2 = sin x, x 2 sin 2 vı̀ 2 cos k+1 x k+2 kx x sin = sin x − sin . 2 2 2 2 J , Vı́ du. 8.16. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . sô´ tu. nhiên n ≥ 1 sin x + 2 sin 2x + 3 sin 3x + · · · + n sin nx = (n + 1) sin nx − n sin(n + 1) x . x 4 sin2 2 , , , , Lòi giai. 1) Vói n = 1 khăng d̄inh d̄úng, vı̀ . 2 sin x (1 − cos x ) 2 sin x − sin 2x = = sin x. x x 4 sin2 4 sin2 2 2 , , 8.2. Môt . sô´ d̄ăng thúc , , ,, , , 2) gia su khăng d̄inh d̄úng vói n = k túc là . sin x + 2 sin 2x + 3 sin 3x + · · · + k sin kx = 191 (k + 1) sin kx − k sin(k + 1) x . x 4 sin2 2 Khi d̄ó sin x + 2 sin 2x + 3 sin 3x + · · · + k sin kx + (k + 1) sin(k + 1) x = = = = = = (k + 1) sin kx − k sin(k + 1) x + (k + 1) sin(k + 1) x x 4 sin2 2 (k + 1) sin kx − k sin(k + 1) x + 2(k + 1) sin(k + 1) x (1 − cos x ) x 4 sin2 2 (k + 2) sin(k + 1) x + (k + 1) sin kx 2(k + 1) cos x sin(k + 1) x − x x 4 sin2 4 sin2 2 2 (k + 2) sin(k + 1) x + (k + 1) sin kx (k + 1)[sin(k + 2) x + sin kx ] − x x 4 sin2 4 sin2 2 2 (k + 2) sin(k + 1) x − (k + 1) sin(k + 2) x . x 4 sin2 2 J Vı́ du. 8.17. Chú,ng minh ră` ng 1 x 1 x 1 x 1 x tg + 2 tg 2 + · · · + n tg n = n cotg n − cotg x 2 2 2 2 2 2 2 2 , vói x 6= mπ. , , , , Lòi giai. 1) Vói n = 1 khăng d̄inh d̄úng, vı̀ . x 2 x tg2 x 1 x 1 − tg 2 1 2 = 1 tg x . cotg − cotg x = cotg − = x x 2 2 2 2 2 2 2 tg 2 tg 2 2 , , , ,, , Chuong 8. Tô ho. p và d̄ăng thúc 192 , , ,, , , 2) Gia su khăng d̄inh d̄úng vói n = k, túc là . 1 x 1 x 1 x 1 x tg + 2 tg 2 + · · · + k tg k = k cotg k − cotg x. 2 2 2 2 2 2 2 2 Khi d̄ó x 1 x 1 x 1 x 1 tg + · · · + k tg k + k+1 tg k+1 = tg + 2 2 22 22 2 2 2 2 1 x 1 x = k cotg k − cotg x + k+1 tg k+1 2 2 2 2 x 2 1 cotg 2k+1 − 1 1 = k +1 + x x − cotg x 2 k + 1 cotg k+1 2 cotg k+1 2 2 1 x = k+1 cotg k+1 − cotg x. 2 2 Vı́ du. 8.18. Cho a và A > 0 là nhũ,ng sô´ bâ´t kỳ và d̄at .̆ a1 = J 1 A 1 A 1 A ( a + ), a 2 = ( a 1 + ), . . . , a n = ( a n −1 + ). 2 a 2 a1 2 a n −1 Chú,ng minh ră` ng √ A √ = an + A an − √ ! 2n −1 A √ , a1 + A a1 − vó,i moi . sô´ nguyên n ≥ 1. , , , , , , , ,, , Lòi giai. 1) Buóc co so: Dễ thâ´y d̄ăng thúc d̄úng vói n = 1. , , , ,, , 2) Buóc quy nap: . Gia thiê´t d̄ăng thúc d̄úng vói n. Ta câ`n , , chúng minh nó cũng d̄úng vói n + 1. Thât . vây . √ A 1 √ √ √ ( an + ) − A a n +1 − A a2n − 2 Aan + A an − A 2 2 an √ = √ = a2 + 2√ Aa + A = ( a + √ A ) . 1 A a n +1 + A n n n ( an + ) + A 2 an 8.3. Bài tâp . 193 , , Nhung theo gia thiê´t quy nap . √ ! 2n −1 √ a1 − A an − A √ = √ . an + A a1 + A Vı̀ vây . √ A √ = a n +1 + A a n +1 − √ !2 A √ = an + A an − √ !2.2n−1 A √ = a1 + A a1 − √ ! 2n A √ a1 + A a1 − J 8.3. Bài tâp . ` . 8.19. Chú,ng minh răng cos x + 2 cos 2x + · · · + n cos nx = (n + 1) cos nx − n cos(n + 1) x − 1 . x 4 sin2 2 ` . 8.20. Chú,ng minh răng n (1 + i )n = 2 2 (cos nπ nπ + i sin ). 4 4 , . 8.21. Cho hai dãy sô´ a1 , a2 , . . . và b1 , b2 , . . . Chú,ng minh d̄ăng , thúc n n −1 µ =1 µ =1 ∑ aµ bµ = an Bn − ∑ (aµ+1 − aµ ) Bµ , (n = 2, 3, . . .), ,, o d̄ây Bk = k ∑ bj , k = 1, 2, . . . , n. j =1 , . 8.22. Hãy tı̀m tông k k ( k − 1) k (k − 1) . . . 2.1 1− + − · · · + (−1)k , m + 1 (m + 1)(m + 2) (m + 1)(m + 2) . . . (m + k) ,, , , k là sô´ tu. nhiên bâ´t kỳ. o d̄ây m là sô´ tu. nhiên cô´ d̄inh, . , , CHUONG 9 ´ LIÊN PHÂN SÔ 9.1. Khái niêm . liên phân sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , 9.2. Phân tı́ch sô´ hũu ty thành liên phân sô´ . . . . . . . . . . . . . , 9.3. Phân sô´ xâ´p xı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 9.4. Liên phân sô´ vô han . …………………………… 203 9.5. Vı́ du. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 9.6. Bài tâp . ……………………………………….. 210 194 196 9.1. Khái niêm . liên phân sô´ , , Môt . biêu thúc có dang . 1 q0 + q1 + (9.1) 1 q2 + .. .+ 1 qn ,, trong d̄ó q1 , q2 , . . . , qn là sô´ duong, còn q0 là sô´ không âm, goi . là , , , liên phân sô´ . Nhũng sô´ q0 , q1 , . . . , qn goi . là phâ`n thuong không , ,, d̄â`y d̄u (phâ`n tu), còn liên phân sô´ 9.1. Khái niêm . liên phân sô´ 195 1 q0 + q1 + (9.2) 1 q2 + .. .+ 1 qn , , ,, goi . là thuong d̄â`y d̄u cua phân sô´ (9.1). , ,, Ðê thuân . tiên . liên phân sô´ (9.1) d̄uo. c viê´t theo cách sau: (9.3) , ,, , ` Dễ thâ´y răng vói n ≥ 1 liên phân sô´ (9.3) biêu diễn môt sô´ duong . , nào d̄ó ω, goi . là giá tri. cua nó. Ta ký hiêu . ( q0 , q1 , . . . , q n ). ω = ( q0 , q1 , . . . , q n ). ,, , Cho môt . liên phân sô´ ( nghı̃a là cho các phâ`n tu cua nó, , q0 , q1 , . . . , qn ) vói giá tri. ω. Ta ký hiêu . ωk (0 ≤ k ≤ n) phâ`n d̄â`y d̄u , cua (9.2). Khi d̄ó 1 ωk = qk + q k +1 + 1 q k +2 + .. .+ 1 qn , , , , ` Ta thâ´y răng ωk có thê giũ vai trò nhu phâ`n không d̄â`y d̄u cuô´i , ,, , cùng (thú k). Boi vây . ta có thê chú ý d̄ê´n cách viê´t sau: ( q 0 , q 1 , . . . , q k −1 , q k , . . . , q n ) = ( q 0 , q 1 , . . . , q k −1 , ω k ); (9.4) ωk = (qk , qk+1 , . . . , qn ), k = 0, 1, . . . , n. , , , , Dễ thâ´y vói k = 0 phâ`n d̄â`y d̄u cua (9.2) trùng vói liên phân sô´ , , d̄ã cho, vói k = n là phâ`n không d̄â`y d̄u cuô´i cùng qn , nghı̃a là ω0 = ω, ωn = qn . ,, Chuong 9. Liên phân sô´ 196 , , ,, Vı́ du: . a) Sô´ ω = (1, 2, 2) biêu diễn nhu phân sô´ bı̀nh thuòng. Thât . vây . 1 2 7 = 1+ = . 5 1 5 5 2+ 2 2 , , ,, 88 , , , b) Sô´ có thê biêu diễn nhu liên phân sô´ vói nhũng phâ`n tu 67 nguyên. Thât . vây . ω = 1+ 1 = 1+ 88 21 = 1+ , 67 67 67 4 = 3+ , 21 21 21 1 = 5+ , 4 4 ( q0 = 1), ( q1 = 3), (q3 = 5, q4 = 4). , Vây . ta có thê viê´t 88 = (1, 3, 5, 4). 67 , , 9.2. Phân tı́ch sô´ hũu ty thành liên phân sô´ ,, , ,, Theo d̄inh nghı̃a phâ`n truóc nê´u sô´ phâ`n tu cua liên phân sô´ . , , , là hũu han . thı̀ ta có thê chuyên liên phân sô´ thành môt . ,phân , , , , , , , sô´ bı̀nh thuòng. Nguo. c lai, . môt . phân sô´ bı̀nh thuòng có thê biêu ,, diễn duói dang liên phân sô´. . , , , ,, Vı́ du. 9.1. Chú,ng minh ră` ng moi . sô´ hũu ty duong d̄ều có thê phân tı́ch thành liên phân sô´. , a ,, , , Lòi giai. Cho ω = , o d̄ây a và b là sô´ tu. nhiên nguyên tô´ cùng b ,, ,, nhau. Theo thuât . toán Euclide chuong truóc ta có , , 9.2. Phân tı́ch sô´ hũu ty thành liên phân sô´ 197 a = bq0 + r1 b = r1 q1 + r2 …… (9.5) r n −2 = r n −1 q n −1 + r n , r n −1 = r n q n , , ,, , , o d̄ây b > r1 > r2 > . . . > rn−1 > rn = 1. Tù d̄ây và nhũng d̄ăng , , ,, ` thúc (9.5) suy ra qn ≥ 2. Ta sẽ chúng minh răng ω phân tı́ch d̄uo. c thành liên phân sô´ ω = ( q0 , q1 , . . . , q n ). r i −1 Muô´n vây . ta d̄at .̆ r0 = b, ωi = r , (i = 1, 2, . . . , n). i , , , Ðăng thúc d̄â`u tiên cua (9.5) cho ta (9.6) 1 a r = q0 + 1 = q0 + = ( q 0 , ω1 ) . b r0 ω1 ,, , , , , , ,, Tuong tu. tù d̄ăng thúc thú hai ta tı̀m d̄uo. c ω = (q0 , q1 , ω2 ). Ta , ` chúng minh răng ω= ω = (q0 , q1 , . . . , qi−1 , ωi ), i = 1, 2, . . . , n. (9.7) , ,, , , , Thât . vây, . gia su d̄ăng thúc (9.7) d̄úng vói sô´ i n, ào d̄ó (1 ≤ i ≤ , n − 1). Ta sẽ chúng minh khi d̄ó nó cũng d̄úng ca cho i + 1. Thât . , , , , r i −1 , vây, . ta chia d̄ăng thúc ri−1 = ri qi + ri+1 vói ri , ta nhân . d̄uo. c r = i , r i +1 1 qi + , theo d̄inh nghı̃a cua ωi là ωi = qi + = ( q i , ω i +1 ). . ri ω i +1 , Suy ra ω = (q0 , q1 , . . . , qi−1 , ωi ) = (q0 , q1 , . . . , qi−1 , qi , ωi+1 ), nhu , , , vây . (9.7) d̄ã chúng minh. Tù (9.7) suy ra (9.6) vói i = n. Vı́ du. 9.2. Chú,ng minh ră` ng su. , phân tı́ch thành liên phân sô´ , , cua mỗi sô´ hũ,u ty là duy nhâ´t. ,, Chuong 9. Liên phân sô´ 198 , , ,, , , , , , Lòi giai. Gia su cùng vói su. khai triên (9.6) ω còn có biêu diễn khác ω = (q00 , q10 , . . . , q0m ), q,0m > 1. (9.8) 0 ` Ta cho răng m ≥ n. Cho ωi là phâ`n d̄â`y d̄u ωi0 = (qi0 , qi0+1 , . . . , q0m ), (i = 1, 2, . . . , m). , Hiên nhiên ta có ω = q0 + 1 1 = q00 + 0 , ω1 ω1 , , ` ` tù d̄ây suy ra răng chúng băng nhau phâ`n nguyên cũng nhu , , ,, , phâ`n phân sô´ o hai vê´ cua d̄ăng thúc. Nghı̃a là q0 = q00 , ω1 = ω10 . , , , Ðăng thúc sau cũng có thê viê´t: 1 1 = q10 + 0 , q1 + ω2 ω2 , ,, tù d̄ó suy ra q1 = q10 , ω2 = ω20 . Theo cách này (phuong pháp quy , , 0 nap . toán hoc) . ta sẽ dẫn d̄ê´n d̄ăng thúc qn−1 = qn−1 và ωn = ωn0 , (9.9) , ,, 1 ` o d̄ây ωn = qn . Ta gia thiê´t răng m > n. Khi d̄ó ωn0 = q0n + 0 , ω n +1 ,, 0 o d̄ây ωn+1 > 1 và (9.9) suy ra qn = q0n + 1 . ωn0 +1 , , , , , , , Nhung d̄ăng thúc d̄ó không thê xây ra, vı̀ vê´ phai không phai là 0 0 môt . sô´ nguyên. Ðiê`u vô lý d̄ó suy ra m = n, ωn = qn = qn . J , 9.3. Phân sô´ xâ´p xı Cho liên phân sô´ (q0 , q1 , q2 , . . . , qn ). Ta xét dãy liên phân sô´ α0 = ( q0 ), α1 = ( q0 , q1 ), . . . , α n = ( q0 , q1 , . . . , q n ). (9.10) , 9.3. Phân sô´ xâ´p xı 199 , , , , ` Ta biê´t răng sô´ αi là sô´ hũu ty. Vı̀ thê´ chúng có thê biêu diễn , , , , ,, , nhu nhũng phân sô´ tô´i gian (D ( a, b) là uóc sô´ chung lón nhâ´t cua a và b) α i = ( q0 , q1 , . . . , q i ) = Pi , ( D ( Pi , Qi ) = 1; i = 0, 1, 2, …, n). (9.11) Qi , , Pi goi là i-phân sô´ xâ´p xı cua liên phân sô´ (q0 , q1 , . . . , qn ). . Qi , , Phân sô´ xâ´p xı giũ vai trò quan trong trong lý thuyê´t liên phân , , , sô´. Nhũng vı́ du. sau d̄ây chı ra môt . sô´ tı́nh châ´t cua chúng: Phân sô´ Vı́ du. 9.3. Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . liên phân sô´ ta d̄ều có Pi+1 = Pi qi+1 + Pi−1 , (9.12) Q i +1 = Q i q i +1 + Q i −1 , (9.13) Pi+1 Qi − Pi Qi+1 = (−1)i , (9.14) vó,i (i = 1, 2, . . . , n − 1). , , , , Lòi giai. Ta chúng minh quy nap . theo i. Vói i = 1, ta tı́nh Pi và P0 q0 , ,, , Qi vói i = 1, 2. Tù (9.11) ta tı̀m d̄uo. c q0 = = và vı̀ phân sô´ Q0 1 , P0 tô´i gian (theo d̄inh nghı̃a), nên . Q0 P0 = q0 , Q0 = 1. (9.15) 1 q0 q1 + 1 , Vói i = 1 ta có (q0 , q1 ) = q0 + = . Sô´ q0 q1 + 1 và q1 q1 q1 , nguyên tô´ cùng nhau. Ta d̄ễ chúng minh D ( a + c, b) = D ( a, b) (9.16) , vói d̄iê`u kiên (9.16) cho c = q0 q1 , b = . c chia hê´t cho b. Áp dung . ,, , q1 , a = 1, ta sẽ nhân . d̄uo. c D (q0 q1 + 1, q1 ) = D (q1 , 1) = 1. bây giò ,, Chuong 9. Liên phân sô´ 200 q0 q1 + 1 P , tù (9.11) ta có = 1 và q1 Q1 P1 = q0 q1 + 1, Q1 = q1 . (9.17) P2 q0 ( q1 q2 + 1) + q2 , . = Vói i = 2 ta có (q0 , q1 , q2 ) = q1 q2 + 1 Q2 , , , , , , Ðăng thúc sau cùng là d̄ăng thúc giũa các phân sô´ tô´i gian. , P2 Thât nghı̃a, còn bên vê´ trái ta sẽ áp . . vây . Q tô´i gian theo d̄inh 2 dung hai lâ`n (9.16) . D (q0 (q1 q2 + 1) + q2 , q1 q2 + 1) = D (q1 q2 + 1, q2 ) = D (q2 , 1) = 1. Suy ra P2 = q0 (q1 q2 + 1) + q2 , Q2 = q1 q2 + 1. (9.18) , ,, , , , ´ Su dung (9.17) v à (9.18) v ó i s u kiê m tra tr u c tiê p suy ra (9.12), . . . , (9.13) và (9.14) vói i = 1. , , ,, , Gia su khăng d̄inh d̄úng vói sô´ i nào d̄ó ( (1 ≤ i ≤ n − 2). . , , , ` Ta sẽ chúng minh răng chúng cũng d̄úng vói i + 1 nghı̃a là thoa , , , mãn nhũng d̄ăng thúc sau Pi+2 = Pi+1 qi+2 + Pi , (9.12a) Q i +2 = Q i +1 q i +2 + Q i , (9.13a) Pi+2 Qi+1 − Pi+1 Qi+2 = (−1)i+1 , (9.14a) , Tù d̄inh nghı̃a (9.11) và theo (9.4) ta có . Pi+2 = (q0 , . . . , qi , qi+1 , qi+2 ) = (q0 , . . . , qi , qi∗+1 ), Q i +2 1 ,, . qi∗+1 = qi+1 + o d̄ây qi+, 2 , , , Ta so sánh (9.19) vói (9.11), d̄ua d̄ê´n d̄ăng thúc P Pi+2 = ( i +1 ) ∗ , Q i +2 Q i +1 (9.19) (9.20) (9.21) , 9.3. Phân sô´ xâ´p xı 201 , , , ,, ,, ` o d̄ây dâ´u * chı ra răng thuong không d̄â`y d̄u cuô´i cùng qi+1 cua , ,, , ` phân sô´ trong ngoac qi∗+1 tù (9.20). Theo gia .̆ câ`n d̄uo. c thê´ băng , thiê´t quy nap, . nghı̃a là tù (9.12) và (9.13), suy ra Pi+1 P q + Pi−1 = i i +1 . Q i +1 Q i q i +1 + Q i −1 (9.22) , ` Tù (9.11) thâ´y răng Pi−1 , Qi−1 , Pi và Qi không phu. thuôc . vào qi+1 . ,, ,, Khi d̄ó áp dung trên (9.22) toán tu *, ta nhân . . d̄uo. c Pi+1 Q i +1 ∗ = = Pi qi+1 + Pi−1 Q i q i +1 + Q i −1 Pi (qi+1 + ∗ = 1 q i +2 Q i ( q i +1 + ) + Pi−1 1 q i +2 + Q i −1 ) qi+2 ( Pi qi+1 + Pi−1 ) + Pi . q i +2 ( Q i q i +1 + Q i −1 ) + Q i , , , Tù kê´t qua này cùng vói (9.12), (9.13) và (3.21) cho ta P q + Pi Pi+2 = i +1 i +2 . Q i +2 Q i +1 q i +2 + Q i (9.23) , , Pi+2 , là phân sô´ tô´i gian theo d̄inh nghı̃a, Ðê chúng minh . Q i +2 , , , (9.12a) và (9.13a) chı còn khăng d̄inh vê´ phai (9.23) cũng là phân . , , ,, ,, sô´ tô´i gian. Gia su nguo. c lai, Qi . khi d̄ó Pi+1 qi+2 + Pi và Qi+1 q, i+2 + , ,, ´ ,, ´ ´ có uóc sô chung d > 1. Dễ thây d cũng là uóc sô chung cua ca sô´ Vı̀ Pi+1 ( Qi+1 qi+2 + Qi ) − Qi+1 ( Pi+1 qi+2 + Pi ) = Pi+1 Qi − Qi+1 Pi . , , i Nhung theo gia thiê´t quy nap . , hiêu . sau cùng là (−1) và không , ,, , ,, , , chia hê´t cho d, trái vói d̄iê`u gia su nguo. c lai. Nhu vây phân sô´ o . . , , , vê´ phai cua (9.23) cũng là tô´i gian, suy ra (9.12a) và (9.13a) d̄ã , chúng minh. 202 ,, Chuong 9. Liên phân sô´ , , ,, , Ta dùng các kê´t qua nhân . d̄uo. c d̄ê chúng minh (9.14a). Ta có Pi+2 Qi+1 − Pi+1 Qi+2 = ( Pi+1 qi+2 + Pi ) Qi+1 − Pi+1 ( Qi+1 qi+2 + Qi ) = −( Pi+1 Qi − Pi Qi+1 ) = −(−1)i = (−1)i+1 , ,, , , o d̄ây ta d̄ã dùng (9.14) nhu gia thiê´t quy nap. . J , Vı́ du. 9.4. Chú,ng minh nhũ,ng d̄ăng thú,c sau Pi−1 P 1 a) , ( i ≥ 1); − i = (−1)i . Q i −1 Qi Q i Q i −1 b) Qi Pi−2 − Pi Qi−2 = (−1)i−1 .qi , ( i ≥ 2); Pi−2 P qi c) − i = (−1)i−1 . , ( i ≥ 2); Q i −2 Qi Q i Q i −2 Qi d) = ( q i , q i −1 , . . . , q 1 ), ( i ≥ 1). Qi − 1 , P P Q − Pi Qi−1 , , , , Pi−1 − i = i −1 i , Lòi giai. a) Suy ra tù d̄ăng thúc Q i −1 Qi Q i Q i −1 , ,, , ,, vói tu sô´ o vê´ phai dùng (9.14). b) Theo (9.12) ta có Pi−2 = Pi − qi Pi−1 , Q i −2 = Q i − qi Qi−1 .Khi d̄ó Qi Pi−2 − Pi Qi−2 = Qi ( Pi − qi Pi−1 ) − Pi ( Qi − ,, qi Qi−1 ) = qi ( Pi Qi−1 − Qi Pi−1 ) = (−1)i−1 qi , o d̄ây ta d̄ã dùng (3.5). c) Áp dung phâ`n b). . , Q1 , , d) Vói i = 1 d̄ăng thúc d̄ã cho có dang = (q1 ), d̄iê`u này . Q , ,, 0, , d̄úng vói d̄úng vı̀ Q0 = 1, Q1 = q1 , (q1 ) = q1 . Gia su khăng d̄inh . , , ` i (1 ≤ i ≤ n − 1). Ta sẽ chı ra răng khi d̄ó nó cũng d̄úng vói i + 1 hay là Q i +1 = ( q i +1 , q i , . . . , q 1 ). Qi 9.4. Liên phân sô´ vô han . 203 , ,, Thât . vây, . tù (9.13) ta nhân . d̄uo. c Q 1 Qi Q i +1 = q i +1 + i −1 = q i +1 + ). = ( q i +1 , Qi Qi Qi Q i −1 Q i −1 J 9.4. Liên phân sô´ vô han . , , Cho dãy sô´ nhũng sô´ thu. c a0 , a1 , . . . ký hiêu . a0 + 1 1 a1 + a2 + (9.24) .. . ,, ´ ´ goi sô vô han, còn sô a0 , a1 , . . . goi là phâ`n thuong . là liên phân . . , , , ,, không d̄â`y d̄u cua (9.24). Ðê thuân . tiên . chúng ta viê´t (9.24) duói dang . ( a0 , a1 , . . . ). (9.25) , , , ´ ´ ` Nhu ta d̄ã biêt, moi . liên phân sô hũu han . d̄êu biêu diễn môt . sô´ , , , , , , (giá tri. phân sô´), giá tri. này nhân d̄uo. c qua hũu han buóc thu. c . . , , , ,, , hiên . tı́nh toán hũu tı trên phâ`n thuong không d̄â`y d̄u. Nhung liên phân sô´ vô han . không có d̄iê`u d̄ó. ,, , , , Tuong tu. nhu phân sô´ hũu han . α i = ( a0 , a1 , . . . , a i ) , , goi . là phân sô´ xâ´p xı thú i, còn mỗi liên phân sô´ vô han . (9.26) ( a k , a k +1 , . . . ) (k = 0, 1, . . .) , , , goi . theo công thúc (9.11) . là phâ`n du cua (9.24). Sô´ (9.26) xác d̄inh Pi αi = . Theo cách này moi . phân sô´ vô han . (9.24) tô`n tai . dãy Qi , phân sô´ xâ´p xı P0 P1 Pn , ,…, ,… (9.27) Q0 Q1 Qn ,, Chuong 9. Liên phân sô´ 204 , , sô´ thu. c. Nê´u dãy (9.27) hôi Mỗi môt sô´ xâ´p xı là môt . . tu. và . phân , , ´ ´ giói han goi là hôi . cua ,nó là môt . sô ω thı̀ phân sô (9.24) . tu, . còn , . ´ ´ ω là giá tri. cua liên phân sô vô han. . Ta có thê viêt ω = ( a0 , a1 , . . . ) ,, ,, , Trong truòng ho. p nguo. c lai, . liên phân sô´ (9.24) goi . là phân kỳ. 9.5. Vı́ du. Vı́ du. 9.5. Cho liên phân sô´ a1 b0 + b1 + a2 b2 + .. .+ an bn Ta d̄at .̆ P0 = b0 , Q0 = 1, P1 = b0 b1 + a1 , Q1 = b1 , . . . và công thú,c chung Pk+1 = bk+1 Pk + ak+1 Pk−1 , Q k + 1 = bk + 1 Q k + a k + 1 Q k − 1 . Chú,ng minh ră` ng Pn = b0 + Qn a1 b1 + a2 b2 + .. .+ an bn , , , , , ` Lòi giai. Dễ thâ´y răng vói k = 0, 1 công thúc d̄úng. Gia thiê´t , , ` nó d̄úng vói k = n − 1, ta sẽ chúng minh răng nó cũng d̄úng cho 9.5. Vı́ du. 205 , , k = n. Nhu vây . gia thiê´t có a1 b0 + b1 + = a2 b2 + .. .+ Pn−1 Q n −1 a n −1 bn − 1 , , , Nhung tù công thúc cho Pk và Qk ta có Pn−1 b Pn−2 + an−1 Pn−3 = n −1 Q n −1 bn − 1 Q n − 2 + a n − 1 Q n − 3 ,, o d̄ây Pn−2 , Pn−3 , Qn−2 , Qn−3 không phu. thuôc . vào an−1 và bn−1 . , ,, ´ Mat .̆ khác, dùng gia thiêt quy nap . ta nhân . d̄uo. c an ) Pn−2 + an−1 Pn−3 bn = an ( bn − 1 + ) Q n − 2 + a n − 1 Q n − 3 bn ( bn − 1 + a1 b0 + b1 + a2 b2 + .. .+ a n −1 bn − 1 + an bn an Pn−2 bn Pn−1 + an Pn−2 Pn bn = = = . an b Q + a Q Q n n −1 n n −2 n Q n −1 + Q n −2 bn Pn−1 + Vı́ du. 9.6. Chú,ng minh ră` ng (sô´ mẫu sô´ trong liên phân sô´ bă` ng n). r r n +1 − r = r +1 r −1 r r+1− r+1− r .. .− r+1 ,, Chuong 9. Liên phân sô´ 206 , Pn , Lòi giai. Ta ký hiêu . liên phân sô´ theo Q . Ta có n P1 = r; Q1 = r + 1; P2 = r (r + 1); Q2 = r2 + r + 1; , ,, ` Ta chúng minh băng phuong pháp quy nap . rn − 1 r n +1 − 1 ; Qn = . r−1 r−1 , , , , Vói n = 1 công thúc này d̄úng. Giai thiê´t nó d̄úng vói n = m, ta , , sẽ chúng minh nó d̄úng vói n = m + 1. Ta có (theo vı́ du. trên) Pn = r Pm+1 = bm+1 Pm + am+1 Pm−1 . ,, , , Trong truòng ho. p cua chúng ta thı̀ r m −1 − 1 r m −1 − 1 r m −1 − 1 − r2 =r . r−1 r−1 r−1 r m +2 − 1 ,, , Tuong tu. ta cũng có Qm+1 = . r−1 Vı́ du. 9.7. Chú,ng minh ră` ng Pm+1 = (r + 1)r 1 1 1 + +···+ = u1 u2 un 1 . u21 u1 − u1 + u2 − J u22 u2 + u3 − .. .− u2n−1 u n −1 + u n , 1 1 1 , ,, Lòi giai. Ta d̄at = . Khi d̄ó ta tı̀m d̄uo. c xr = .̆ u + u ur + xr r r +1 u2r 1 1 1 , , − . Vı̀ thê´ + = . Hon nũa, 2 u r + u r +1 u1 u2 u1 u1 − u1 + u2 1 1 1 1 1 1 + + = + = , u1 u2 u3 u1 u2 + x2 u1 + x20 9.5. Vı́ du. 207 u21 , . Nhu vây . u1 + u2 + x2 1 1 1 1 + = = + u1 u2 u3 u21 u1 − u1 − u1 + u2 + x2 ,, o d̄ây x20 = − 1 u21 . u22 u1 + u2 − u2 + u3 , ,, , ` ,, , Tuong tu. băng phuong pháp quy nap . ta có thê chúng minh công , thúc chung. , Vı́ du. 9.8. Hãy chú,ng minh d̄ăng thú,c sau a1 a1 c1 = , a2 a2 c1 c2 b1 + b1 c1 + b2 + b2 c2 + . . an . . a n c n c n −1 .+ .+ bn bn c n ,, , o d̄ây c1 , c2 , c2 , . . . , cn là nhũng sô´ bâ´t kỳ khác 0. J , , Pn , ` ` Lòi giai. Ta ký hiêu phân sô´ , bên phai băng . bên trái băng Qn , P0 Pn P0 , phân sô´ n0 . Ta phai chúng minh = n0 vó,i moi . sô´ nguyên Qn Qn Qn ,, duong n. Ta có P1 a P2 a1 b2 = 1; = ;··· Q1 b1 Q2 b1 b2 + a2 P10 c a P0 c1 c2 a1 b2 = 1 1 ; 20 = ;··· 0 Q1 c1 b1 Q2 c1 c2 (b1 b2 + a2 ) , P1 = a1 ; Q1 = b1 ; P2 = a1 b2 ; Q2 = b1 b2 + a2 và khi Ta có thê d̄at , .̆ , d̄ó ta có các d̄ăng thúc sau (do bài 9.6) Pn+1 = bn+1 Pn + an+1 Pn−1 , Q n + 1 = bn + 1 Q n + a n + 1 Q n − 1 . Ta lai . d̄at .̆ P10 = c1 a1 ; P20 = c1 c2 a1 b2 ; Q10 = c1 b1 ; Q20 = c1 c2 (b1 b2 + a2 ). ,, Chuong 9. Liên phân sô´ 208 , , , , ` Ta sẽ chúng minh răng vói moi . n các d̄ăng thúc sau d̄úng Pn0 = c1 c2 . . . cn Pn ; Q0n = c1 c2 . . . cn Qn . , , , , ` Thât quy nap, . vây, . ta chúng ,minh băng . gia thiê´t các d̄ăng thúc , , , ` d̄úng vói moi n, ta sẽ chúng minh nó cũng . sô´ nho hon hay băng , d̄úng vói n + 1. Ta có Pn0 +1 = cn+1 bn+1 Pn0 + cn cn+1 an+1 Pn0 −1 , Q0n+1 = cn+1 bn+1 Q0n + cn cn+1 an+1 Q0n−1 . , Tù d̄ó suy ra Pn0 +1 = cn+1 bn+1 c1 c2 . . . cn Pn + cn cn+1 an+1 c1 c2 . . . cn−1 Pn−1 = c1 c2 . . . cn+1 (bn+1 Pn + an+1 Pn−1 ) = c1 c2 . . . cn+1 Pn+1 . ,, , , ,, Tuong tu. ta cũng chúng minh d̄uo. c Q0n+1 = c1 c2 . . . cn+1 Qn+1 . , Vı́ du. 9.9. Chú,ng minh các d̄ăng thú,c sau 1 sin(n + 1) x 1) = 2 cos x − sin nx 1 2 cos x − 2 cos x + 1 .. .+ 2 cos x ´ liên phân sô bâc . n. 2) 1 + b2 1 + b2 b3 + ··· + b2 b3 . . . bn J = b2 1− b2 + 1 − b3 b3 + 1 − .. .+ bn bn + 1 , , Pn , ` Lòi giai. 1) Ta d̄at . Dễ thâ´y .̆ liên phân sô´ bên phai băng Qn 9.5. Vı́ du. 209 , P1 sin 2x sin x , = 2 cos x. Vı̀ thê´ ta có thê d̄at P1 = ; Q1 = . Vói .̆ Q1 sin x sin x n=2, thı̀ 1 P2 4 cos2 x − 1 = 2 cos x − = . 2 cos x 2 cos x , Q2 Suy ra có thê d̄at .̆ P2 = sin 3x ; sin x Q2 = sin 2x . sin x sin(n + 1) x sin nx , , ` Ta sẽ chúng minh răng Pn = ; Qn = vói moi . sin x sin x , , , , x. Thât . vây, . gia thiê´t công thúc d̄úng vói n, ta sẽ chúng minh nó , d̄úng vói n + 1. Ta có (theo bài .9.5 ) Pn+1 = 2 cos x sin(n + 1) x sin nx 1 − = sin(n + 2) x. sin x sin x sin x sin(n + 1) x ,, , , Hoàn toàn tuong tu. ta chúng minh cho Qn+1 = , vı̀ sin x , thê´ ta có công thúc Pn sin(n + 1) x = Qn sin nx ,, , vói moi . sô´ nguyên duong n. , , , , Pn , 2) Ta ký hiêu . Q cho vê´ phai cua d̄ăng thúc. Ta câ`n phai n , chúng minh Pn = 1 + b2 + b2 b3 + · · · + b2 b3 . . . bn Qn ,, , vói moi . n nguyên duong. Thât . vây, . P1 1 P2 b2 + 1 = ; = Q1 1 Q2 1 ` vı̀ thê´ P1 = 1, Q1 = 1, P2 = b2 + 1, Q2 = 1. Khi d̄ó băng quy nap . ,, Chuong 9. Liên phân sô´ 210 , , ,, ta có thê chúng minh d̄uo. c Pn = 1 + b2 + b2 b3 + · · · + b2 b3 . . . bn Qn = 1. , , , Suy ra d̄ăng thúc câ`n chúng minh là d̄úng. J Vı́ du. 9.10. Chú,ng minh ră` ng nê´u môt . liên phân sô´ có n phâ`n ,, un+1 ,, tu bă` ng 1, thı̀ giá tri. phân sô´ này bă` ng , o d̄ây u1 = u2 = un , 1, u = 2, . . . là nhũng sô´ Fibonacci. 3 , , ,, , , Lòi giai. Ta su dung quy nap . . theo n. Vói n = 1 và n = 2 khăng d̄inh d̄úng: . 1 u2 1 2 u3 = , ω2 = (1, 1) = 1 + = = . 1 u1 1 1 u2 , , , Gia thiê´t khăng d̄inh d̄úng vói n nào d̄ó, nghı̃a là ωn = . u n +1 , ,, , , (1, 1, . . . , 1) = . Ta sẽ chúng minh trong truòng ho. p nhu vây . | {z } un ω1 = ( 1 ) = 1 = n nó cũng d̄úng cho n + 1. Thât . vây, . ωn+1 = (1, 1, . . . , 1) = (1, ωn ) | {z } n +1 = 1+ 9.6. Bài tâp . u n + u n +1 u n +2 1 = = . ωn u n +1 u n +1 J ,, . 9.11. Cho liên phân sô´ vô han . (q0 , q1 , . . .), o d̄ây q, 0 ≥ q1 > 0, . . . , , , , là nhũng sô´ tu. nhiên. Hãy chúng minh nhũng khăng d̄inh sau: . P0 P2 a) Dãy , , . . . , là dãy tăng. Q0 Q2 9.6. Bài tâp . b) Dãy 211 , P1 P3 , . . . , là dãy giam. , Q1 Q3 , . 9.12. Cho (q0 , q1 , . . .) là liên phân sô´ o, bài trên. Chú,ng minh mênh d̄ê` sau . a) (q0 , q1 , . . .) hôi . tu. . , b) Sô´ ω = (q0 , q1 , . . .) là sô´ vô tı. √ 1 + 5 , ` . 9.13. Chúng minh răng (1, 1, . . .) = . 2 ` . 9.14. Cho ω = (q0 , q1 , . . . , qn ). Chú,ng minh răng nê´u ta lâ´y , Pi Pi , , , phân sô´ xâ´p xı thú i |(i = d̄ô´i vói ω, thı̀ vói sai sô´ δi = |ω − Qi , Qi 0, 1, . . . , n − 1) thoa mãn d̄ánh giá sau 1 1 < δi < . Q i ( Q i + Q i +1 ) Q i Q i +1 , , CHUONG 10 ´ ` MÔT . . SÔ ÐÊ THI VÔ ÐICH , , ,, Râ´t nhiê`u nuóc hàng năm d̄ê`u tô chúc thi vô d̄ich . quô´c gia vê` , ,, , môn toán cho các hoc sinh truòng phô thông. Nhũng kỳ thi d̄ó ,. , ,, ` có râ´t nhiê`u bài giai băng phuong pháp quy nap. Sau d̄ây chı là . , ,, môt sô´ bài là tên nuóc và năm ra . sô´ nho các d̄ê` d̄ã có, bên canh . d̄ê` thi. Vı́ du. 10.1. (Hungari 1932). Chú,ng minh ră` ng nê´u a, b và n là nhũ,ng sô´ tu. , nhiên và b chia hê´t cho an , thı̀ sô´ ( a + 1)b − 1 chia hê´t cho an+1 . , , , ,, , ` Lòi giai. Ta chúng minh băng phuong pháp quy nap . theo n. Vói , n = 0 mênh d̄ê` khăng d̄inh d̄úng, vı̀ ( a + 1)b − 1 chia hê´t cho a. . , , ,, . , , Gia su khăng d̄inh . d̄úng vói sô´ k nào d̄ó, nghı̃a là ta gia thiê´t nê´u . . , b .. ak , thı̀ (( a + 1)b − 1) .. ak+1 . Cho b0 là sô´ tu. nhiên chia hê´t cho .. k b0 ak+1 . Ta d̄at .̆ b = a . Khi d̄ó b . a và vı̀ 0 ( a + 1)b = ( a + 1) ab − 1 = [( a + 1)b ] a − 1 = = [( a + 1)b − 1][( a + 1)(a−1)b + ( a + 1)(a−2)b + · · · + ( a + 1)b + 1], , 0 nên ( a + 1)b − 1 chia hê´t cho ak+2 . Thât vây, theo gia thiê´t quy . . , , , , nap biêu thúc sau cùng chia hê´t cho ak+1 , . thùa sô´ thú nhâ´t trong , , , ,, còn thùa sô´ thú hai biêu diễn duói dang . [( a + 1)(a−1)b − 1] + [( a + 1)(a−2)b − 1] + · · · + [( a + 1)b − 1] + a 212 213 . 0 , tù d̄ó d̄ễ thâ´y nó chia hê´t cho a. Suy ra (( a + 1)b − 1) .. ak+2 . J , , Vı́ du. 10.2. (Hungari 1979). Nhũ,ng d̄ınh cua môt . d̄a giác lô`i có , , ,, nhau sô´ canh là sô´ le d̄uo. c tô màu sao cho moi . cap .̆ hai d̄iêm canh . . , , , ` ` có màu khác nhau. Chúng minh răng băng môt . sô´ d̄uòng chéo , , ´ ´ không căt nhau cua d̄a giác này có thê căt thành nhũ,ng hı̀nh , , tam giác, mà nhũ,ng d̄ınh cua mỗi tam giác d̄u,o.,c tô vó,i nhũ,ng màu khác nhau. , , , ,, , ´ ` Lòi giai. Chúng minh băng phuong pháp quy nap . d̄ô´i vói sô , , , , , canh n cua d̄a giác. Vói n = 3 khăng d̄inh cua bài toán là hiên ., . nhiên. cho n > 3. Dễ thâ´y tô`n tai . ba d̄ınh kê` nhau V1 , V2 và V3 , ,, ,, , cua d̄a giác d̄uo. c tô tuong úng ba màu khác nhau A, B và C. Nê´u V4 không tô màu A; hoac .̆ là ´ nêu V4 tô màu A, còn V5 không tô màu B; hoac .̆ là nê´u V4 có màu A, , V5 có màu B, còn V6 không phai , màu C, còn lai gia . ta áp dung . thiê´t quy nap . . Nê´u V4 có màu A, V5 có màu B và V6 có màu C, hı̀nh luc giác V1 V2 V3 V4 V5 V6 ta có , . , thê chia ra nhu hı̀nh vẽ (hı̀nh 12), , phâ`n còn lai cua d̄a giác ta áp . , dung gia thiê´t quy nap. . . J Vı́ du. 10.3. (Moscow 1945). Môt . sô´ trong các sô´ a1 , a2 , . . . , an bă` ng , +1, sô´ còn lai . bă` ng -1. Chúng minh ră` ng r q √ a1 a2 a1 a2 . . . a n π 2 sin( a1 + +···+ ) = a 2 + a 2 + · · · + a 2. n 2 1 2 4 2n −1 ,, Chuong 10. Môt . . sô´ d̄ê` thi vô d̄ich 214 , , , ,, , ` phuong pháp quy nap Lòi giai. Chúng minh băng . toán hoc. . Vói √ , , π , n = 1 ta câ`n kiêm tra công thúc 2 sin a1 = a1 2, hiên nhiên 4 , ,, , , d̄úng. Gia su công thúc sau d̄úng vói sô´ k nào d̄ó r q √ a1 a2 a1 a2 . . . a k π 2 sin( a1 + ) 2 + a +···+ = a 2 2 + · · · + ak 2. 1 k − 1 2 4 2 Khi d̄ó r q √ 2 + a1 2 + a2 2 + · · · + a k 2 = a1 a2 a a2 a3 a a2 . . . a π + 1 + · · · + 1 k −1 k ) 2 4 4 2 a1 a2 a1 a2 a3 a1 a2 . . . a k π π + +···+ = 2 − 2 cos( + ( a1 + + ) ) 2 2 4 4 2k −1 a1 a1 a2 a1 a2 a3 a1 a2 . . . a k π = 2(1 − cos2(1 + + + + +···+ ) ) 2 4 8 4 2k a1 a1 a2 a1 a2 a3 a1 a2 . . . a k π 2 = 4 sin (1 + + + +···+ ) . 2 4 8 4 2k a1 a1 a2 a1 a2 . . . a k , ´ , Vı̀ 0 < 1 + + +···+ < 2, tù bât d̄ăng thú,c trên k 2 4 2 suy ra r q √ a1 a1 a2 a a2 . . . a π 2 + a1 2 + · · · + ak 2 = 2 sin(1 + + +···+ 1 k k) . 2 4 4 2 , , ,, , Boi vı̀ hàm sin là hàm le, vói a0 = ±1, ta nhân vào hai vê´ cua , , , d̄ăng thúc trên và biê´n d̄ôi r q √ a0 2 + a1 2 + · · · + a k 2 = a a a2 a a2 a3 a a2 . . . a π = a0 2 sin(1 + 1 + 1 + 1 +···+ 1 k k) = 2 4 8 4 2 a0 a1 a0 a1 a2 a0 a1 a2 a3 a0 a1 a2 . . . a k π = 2 sin( a0 + + + +···+ ) . 2 4 8 4 2k , , , , , , ` d̄iê`u d̄ó chı ra răng công thúc d̄uo. c chúng minh d̄úng vói n = , , k + 1. Theo nguyên lý quy nap . công thúc d̄úng vói moi . n. = 2 + 2 sin( a1 + J 215 Vı́ du. 10.4. (Moscow 1984). Cho X = ( x1 , x2 , . . . , xn ) là dãy n, , , n ≥ 4, nhũ,ng sô´ không âm, tông cua chúng bă` ng 1. a) Chú,ng minh ră` ng x1 x2 + x2 x3 + · · · + x n x1 ≤ 1 . 4 , , , b) Chú,ng minh ră` ng tô`n tai . môt . tô ho. p Y = (y1 , y2 , . . . , yn ) cua X, sao cho 1 y1 y2 + y2 y3 + · · · + y n y1 ≤ . n , , ,, , , Lòi giai. a) Áp dung phuong pháp quy nap . . d̄ô´i vói n, ta chúng minh ( x1 + x2 + · · · + x n )2 ≥ 4( x1 x2 + x2 x3 + · · · + x n x1 ), (10.1) , ,, , ,, , o d̄ây xi ≥ 0 và n ≥ 4. Tù d̄ó vói ∑ xi = 1 ta nhân . d̄uo. c kê´t qua. n i =1 , , , ,, ,, , Nê´u n = 4, bâ´t d̄ăng thúc (10.1) tuong d̄uong vói bâ´t d̄ăng , thúc ( x1 − x2 + x3 − x4 )2 ≥ 0 , , , , Ta chú ý d̄ăng thúc xay ra khi và chı khi x1 + x3 = x2 + x4 . , , , , bâ´t kỳ Bây giò bâ´t d̄ăng thúc (10.1) d̄úng vói môt . . sô´ cô´ d̄inh , nào d̄ó n = k ≥ 4. Ta câ`n chúng minh ( x 1 + x 2 + · · · + x k + x k +1 )2 ≥ 4 ( x 1 x 2 + x 2 x 3 + · · · + x k x k +1 + x k +1 x 1 ). (10.2) , , , , , Vı̀ tông hai vê´ cua bâ´t d̄ăng thúc (10.2) là vòng tròn theo chı , , , , , sô´, ta có thê gia thiê´t xk+1 ≤ xi vói i = 1, 2, . . . , k. Khi d̄ó tù gia thiê´t quy nap . suy ra ( x1 + x2 + · · · + xk−1 + ( xk + xk+1 ))2 ≥ ≥ 4( x1 x2 + x2 x3 + · · · + xk−1 ( xk + xk+1 ) + ( xk + xk+1 ) x1 ). (10.3) ,, Chuong 10. Môt . . sô´ d̄ê` thi vô d̄ich 216 ,, Boi vı̀ ( x 1 x 2 + x 2 x 3 + · · · + x k −1 ( x k + x k +1 ) + ( x k + x k +1 ) x 1 ) = ( x1 x2 + x2 x3 + · · · + xk xk+1 + xk+1 x1 ) + xk−1 xk+1 + xk ( x1 − xk+1 )) , và x1 − xk+1 ≥ 0, thı̀ tù (10.3) suy ra (10.2). , , , , b) Vói tô ho. p bâ´t kỳ Y = (y1 , y2 , . . . , yn ) cua X ta d̄at .̆ SY = y1 y2 + y2 y3 + · · · + yn y1 . , , , , Ta ký hiêu tâ´t ca n! hoán vi. cua X). Vói . ∑ SY = S (tông tı́nh theo , , , , ,, , , su. cô´ d̄inh i và j, i 6= j sô´ luo. ng cua nhũng tô ho. p cua X, trong d̄ó . , , ,, xi d̄úng truóc x j (xê´p theo vòng lap!), là n(n − 2)!. Tù d̄ây .̆ n S = n ( n − 2) ! ∑ i,j=1,i 6= j n xi x j = n(n − 2)!(1 − ∑ xk2 ≤ i =1 n 1 1 ≤ n(n − 2)!(1 − ( ∑ xk )2 ) = n(n − 2)!(1 − ) = (n − 1)!. n k =1 n , ,, Suy ra sô´ nho nhâ´t trong SY không vuo. t quá J S ( n − 1) ! 1 ≤ = . n! n! n Vı́ du. 10.5. (Ba lan 1952-1953). Chú,ng minh ră` ng nê´u n là môt . , √ √ ´ √ sô tu. nhiên, thı̀ ( 2 − 1) n = m − m − 1 , , vó,i môt . sô´ tu. nhiên thı́ch ho. p nào d̄ó m. , , , , ` Lòi giai. Ta sẽ chúng minh băng quy nap . . toán hoc . khăng d̄inh , , , , ´ ` ´ sau, vói moi sô t u nhiên n tô n t ai nh ũ ng sô t u nhiên a v à b sao n n . . . . cho ( √ √ ( 1 − 2 ) n = a n − bn 2 (10.4) a2n − 2bn2 = (−1)n . 217 ,, , , Thât d̄ê` d̄úng vói n = 1, vı̀ trong truòng ho. p này . vây, . mênh . , , , , , ` a1 = b1 = 1 d̄ua các vê´ cua d̄ăng thúc trên băng nhau. Ta gia , , , ` thiê´t răng vói n cô´ d̄inh bâ´t kỳ ta có nhũng sô´ thı́ch ho. p an và bn , . , , , , vói chúng (10.4) d̄úng. Khi d̄ó nhũng d̄ăng thúc √ √ √ (1 − 2 ) n +1 = ( 1 − 2 ) n (1 − 2 ) √ √ = ( an − bn 2)(1 − 2) √ = ( an + 2bn ) − ( an + bn ) 2, , , , ,, , suy ra su. tô`n tai . cua nhũng sô´ tuong úng an+1 = an + 2bn và bn+1 = an + bn , tai . vı̀ a2n+1 − 2bn2 +1 = ( an + 2bn )2 − 2( an + bn )2 = −( a2n − 2bn2 ) = (−1)n+1 . , , , Nhu vây d̄úng vói moi . . d̄iê`u khăng d̄inh . n. , , 2 ˜ và m = 2bn2 vó,i n là sô´ Ta chı còn d̄at .̆ m =, a vói n là sô´ chăn, , , ,, , le, d̄ê nhân . d̄uo. c lòi giai bài toán. J Vı́ du. 10.6. (Liên xô 1976). Cho x0 và x1 là nhũ,ng sô´ tu. , nhiên , nho ho,n 1000, và d̄at .̆ x2 = | x0 − x1 |, x3 = | x1 − x2 |, x4 = | x2 − x3 |, . . . , Chú,ng minh ră` ng ı́t nhâ´t môt . trong nhũng sô´ x2 , x3 , . . . , x1500 bă` ng 0. , , , , , ` Lòi giai. Chúng minh băng quy nap hon . theo n kê´t qua manh . , d̄ê` ra: Nê´u trong dãy sô´ nhu, d̄ề ra sô´ x0 và x1 nho ho,n 2n, thı̀ ı́t , nhâ´t môt . trong nhũng sô´ x1 , x2 , . . . , x3n bă` ng 0. , ,, , ,, , , Gia su mênh d̄ê` d̄ã d̄uo. c chúng minh vói moi sô´ nguyên nho . . , , , , , hon n. Nê´u trong dãy thu. c su. có bâ´t d̄ăng thúc x3 < 2n − 2, x4 < 218 ,, Chuong 10. Môt . . sô´ d̄ê` thi vô d̄ich , , , , 2n − 2, thı̀ tù gia thiê´t quy nap d̄ê` câ`n chúng . suy ra kê´t qua mênh . minh. ,, , Boi vı̀ theo d̄iê`u kiên . có x0 ≤ 2n − 1, x1 ≤ 2n − 1, thı̀ vói x2 ≥ 1 ta có x3 ≤ 2n − 2, x4 ≤ 2n − 3. , , Nê´u x3 6= 2n − 2, thı̀ lai . d̄ua vê` gia thiê´t quy nap. . Nê´u x3 = , 2n − 2, thı̀ x2 = 1, x1 = 2n − 1, x0 = 2n − 2. Ta sẽ chúng minh , ,, , khăng d̄inh trong truòng ho. p này. Ta có . x3 = 2n − 2, x4 = 2n − 3, x5 = 1, x6 = 2n − 4, x7 = 2n − 5, J x8 = 1, . . . , x3k = 2n − 2k, . . . , x3n = 0. Vı́ du. 10.7. (Canada 1979). Cho a, b, c, d và e là nhũ,ng sô´ nguyên , , thoa mãn d̄iều kiên . 1 ≤ a < b < c < d < e. Chúng minh ră` ng 1 1 1 1 15 + + + ≤ , [ a, b] [b, c] [c, d] [d, e] 16 , , ,, o d̄ây [m, n] ký hiêu . là bôi . sô´ chung nho nhâ´t cua m và n. , , , , , , Lòi giai. Ta chúng minh theo quy nap . bâ´t d̄ăng thúc tông quát , hon. 1 1 1 1 + +···+ ≤ 1− n (10.5) [ a0 , a1 ] [ a1 , a2 ] [ a n −1 , a n ] 2 ,, , , , o d̄ây 0 < a0 < a1 < . . . < an là nhũng sô´ tu. nhiên. Vói n = 1 thı̀ , , ,, , ` (10.5) d̄úng hiên nhiên. Ta gia su răng (10.5) d̄úng vói n nào d̄ó, , , và ta xét nhũng sô´ tu. nhiên bâ´t kỳ 0 < a0 < a1 < . . . < an < an+1 . , Nê´u an+1 ≥ 2n+1 , thı̀ [ an , an+1 ] ≥ 2n+1 và tù (10.5) suy ra 1 1 1 1 + +···+ + ≤ [ a0 , a1 ] [ a1 , a2 ] [ a n −1 , a n ] [ a n , a n +1 ] 1 1 1 ≤ (1 − n ) + n +1 = 1 − n +1 . 2 2 , , , 2 , ` Bây giò cho an+1 < 2n+1 . Ta chú ý răng vói nhũng sô´ tu. nhiên bâ´t kỳ p và q, p < q, ta1có ( p, q) q−p 1 1 = ≤ = − [ p, q] pq pq p q 219 , , (Ta d̄ã áp dung d̄ăng thúc [ p, q]( p, q) = pq và q − p chia hê´t cho . ( p, q)). Suy 1ra 1 1 1 + +···+ + ≤ [ a0 , a1 ] [ a1 , a2 ] [ a n −1 , a n ] [ a n , a n +1 ] 1 1 1 1 1 1 )= ( − )+( − )+···+( − a0 a1 a a2 a a n +1 11 1 1n = − < 1 − n +1 , a 0 , a n +1 , , 2 , , , , Bâ´t d̄ăng thúc (10.5) tro thành d̄ăng thúc vói ai = 2i , i = 0, 1, . . . , n. , Vı́ du. 10.8. (Canada 1982). Cho a, b và c là nhũ,ng nghiêm . cua phu,o,ng trı̀nh J x3 − x2 − x − 1 = 0. Chú,ng minh ră` ng sô´ b1982 − c1982 c1982 − a1982 a1982 − b1982 + + b−c c−a a−b ´ là môt sô nguyên. . , , Lòi giai. Ta d̄at .̆ cn − an an − bn , bn − cn , sn = , tn = vói n = 1, 2, . . . rn = b−c c−a a−b , ` Ta sẽ chúng minh răng rn+3 = rn+2 + rn+1 + rn , n ≥ 1. , , , , Vı̀ nhũng nghiêm . b và c thoa mãn d̄ăng thúc b3 = b2 + b + 1, c3 = c2 + c + 1, nên b n +3 − c n +3 b n ( b2 + b + 1) − c n ( c2 + c + 1) = b−c b−c n + 2 n + 2 n + 1 n + 1 b −c b −c bn − cn = + + b−c b−c b−c = r n +2 + r n +1 + r n . r n +3 = ,, Chuong 10. Môt . . sô´ d̄ê` thi vô d̄ich 220 ,, , ,, Theo cùng phuong pháp nhu vây . ta nhân . d̄uo. c sn+3 = sn+2 + sn+1 + sn , tn+3 = tn+2 + tn+1 + tn , n ≥ 1. , ,, , ` Ta sẽ chúng minh băng phuong pháp quy nap . toán hoc . d̄ô´i vói n, , sao cho rn + sn + tn là sô´ nguyên vói moi . n ≥ 1. Vı̀ r1 + s1 + t1 = 3, r2 + s2 + t2 = 2( a + b + c) = 2, r3 + s3 + t3 = 2( a + b + c)2 − 3(bc + ca + ab) = 5. , , , ,, , ` Khăng d̄inh d̄úng vói n = 1, 2, 3. Ta gia su răng khăng d̄inh . . , cũng d̄úng vói n = 1, 2, . . . , k + 2, k ≥ 1. Khi d̄ó r k +3 + s k +3 + t k +3 = ( r k +2 + s k +2 + t k +2 ) + ( r k +1 + s k +1 + t k +1 ) + ( r k + s k + t k ). , , , Theo gia thiê´t quy nap nó là tông cua ba sô´ nguyên và suy ra . , ,, tông o d̄ê` bài là sô´ nguyên. J Vı́ du. 10.9. (CHLB Ðú,c 1981). Dãy a1 , a2 , a3 , . . . d̄u,o.,c cho nhu, sau: a1 là sô´ tu. , nhiên, an+1 = [1, 5an ] + 1 vó,i moi . n = 1, 2, . . .. Có , , , , thê chon d̄â`u tiên cua dãy . a1 nhu thê´ nào d̄ê cho 100 000 sô´ hang . , trên là nhũ,ng sô´ chă˜ n, còn sô´ hang thú, 100 001 là môt . . sô´ le ? , , , ,, , Lòi giai. Có thê chon . d̄uo. c môt . sô´ nhu d̄â`u bài d̄at .̆ ra là a1 = , , 100001 ` 2 − 2. Băng quy nap . theo n ta sẽ chúng minh vói moi . n = , , 1, 2, . . . , 100001 d̄ăng thúc sau d̄úng an = 3n−1 .2100001−n . (10.6) , 1−1 100001−n − 2 = 2100001 − 2 = a . Nê´u Thât 1 . ,vây, . vói n = 1 ta có 3 .2 , ta gia thiê´t (10.6) d̄úng vói n nào d̄ó n ≤ 100000, thı̀ an+1 = [1, 5an ] + 1 = [1, 5(3n−1 .2100001−n − 2)] + 1 = [3n .2100000−n − 3] + 1 = 3n 2100000−n − 2. 221 , ˜ Khi d̄ó vói n = 1, 2, . . . , 100000 sô´ 2100001−n là sô´ chăn, , , còn 2100001−100001 = 1 là môt . sô´ le. D, ễ thâ´y nhũng sô´ ˜ còn a100001 là sô´ le. a1 , a2 , . . . , a100000 là sô´ chăn, J Vı́ du. 10.10. (A´o-Balan 1980). Chú,ng minh ră` ng 1 ∑ i1 i2 . . . i k = n, , , , , o, d̄ây tông thu. ,c hiên . theo tâ´t ca tâp . ho. p con khác rỗng , {i1 , i2 , . . . , ik } cua {1, 2, . . . , n} , , ,, , Lòi giai. Ta áp dung phuong pháp quy nap . . theo n. Vói n = 1 ta , , , 1 , có = 1, d̄iê`u hiên nhiên d̄úng. Ta gia thiê´t d̄ăng thúc theo d̄iê`u 1 , kiên bài toán d̄úng vói sô´ n ≥ 1 nào d̄ó. Mỗi tâp . . con khác rỗng , , , cua tâp sau d̄ây: . ho. p {1, 2, . . . , n, n + 1} là môt . trong nhũng dang . , , , a) Tâp . ho. p con cua tâp . ho. p {1, 2, . . . , n}; , , , b) Tâp . ho. p con cua tâp . ho. p {1, 2, . . . , n} và sô´ n + 1; ,, , c) Tâp . ho. p môt . phâ`n tu {n + 1}. , ,, , , , Khi d̄ó vói tông theo d̄iê`u kiên . cua bài toán trong truòng ho. p ,, n + 1 ta nhân . d̄uo. c n+1 1 1 .n + = n + 1. n+1 n+1 , , ,, Nhu vây . chúng minh theo quy nap . d̄ã xong và bài toán d̄ã d̄uo. c , giai. J Vı́ du. 10.11. (Balan 1981). Cho các dãy sô´ x1 , x2 , . . . ; y1 , y2 , . . . , , 3 3 thoa mãn các d̄iều kiên . xn+1 = xn − 3xn ; yn+1 = yn − 3yn vói moi . n ≥ 1 và x12 = y1 + 2. Chú,ng minh ră` ng xn2 = yn + 2 vó,i moi . n ≥ 1. ,, Chuong 10. Môt . . sô´ d̄ê` thi vô d̄ich 222 , , , , ` quy nap theo n. Vói n = 1, công Lòi giai. Ta chúng minh băng . , , ,, , , , thúc d̄úng theo gia thiê´t. Gia su nó d̄úng vói n = k, túc là xk2 = , yk + 2 (k ≥ 2). Ta phai chú,ng minh bài toán d̄úng vó,i n = , k + 1, túc là xk2+1 = yk+1 + 1. Thât . vây, . xk2+1 = ( xk3 − 3xk )2 = xk6 − 6xk4 + 9xk2 = ( y k + 2)3 − 6( y k + 2)2 + 9( y k + 2) = y3k − 3yk + 2 = yk+1 + 2 , túc là xk2+1 = yk+1 + 2. J , , , Vı́ du. 10.12. (Balan 1982). Cho q là môt . sô´ tu. nhiên chă˜ n thu. c su. n ló,n ho,n 0. Chú,ng minh ră` ng vó,i mỗi sô´ tu. , nhiên n, sô´ q(q+1) + 1 chia hê´t cho (q + 1)n+1 và không chia hê´t cho (q + 1)n+2 . , , , , ` Lòi giai. Ta chúng minh băng quy nap . theo theo n. Vói n = 0, 0 q(q+1) + 1 = q + 1 không chia hê´t cho (q + 1)0+2 . Bài toán d̄úng , vói n = 0. , ,, n , , Gia su bài toán d̄úng vói n(n > 0), túc là q(q+1) + 1 chia hê´t cho (q + 1)n+1 và không chia hê´t cho (q + 1)n+2 . Nói cách khác , n , q(q+1) + 1 = (q + 1)n+1 s chia hê´t cho q + 1. Ta phai chúng minh , , bài toán d̄úng vói ca n + 1. Thât . vây . q ( q +1) n +1 n + 1 = ((q(q+1) + 1) − 1)q+1 + 1 = ((q + 1)n+1 s − 1)q+1 + 1 q +1 = ∑ Cq+1 (q + 1)(n+1) j .s j .(−1)q+1− j + 1 j j =0 q +1 = ∑ Cq+1 (q + 1)(n+1) j .s j .(−1)q+1− j = (q + 1)(q + 1)n+1 s− j j =1 − Cq2+1 (q + 1)2(n+1) s2 + · · · + (q + 1)(q+1)(n+1) sq+1 = = (q + 1)n+2 (s − Cq2+1 (q + 1)n s2 + · · · + (q + 1)qn+q−1 sq+1 ). 223 n +1 , , Thùa sô´ thú hai chia hê´t cho (q + 1). Do d̄ó q(q+1) + 1 chia hê´t cho (q + 1)n+2 và không chia hê´t cho (q + 1)n+3 . J Vı́ du. 10.13. (Anh 1978). Chú,ng minh ră` ng vó,i moi . n ≥ 1, n ∈ N , , , thı̀ 2 cos nθ là môt . d̄a thúc bâc . n cua 2 cos θ vói hê. sô´ nguyên. , , , , ` Lòi giai. Ta sẽ chúng minh băng quy nap . theo n. vói n = 1, , mênh d̄ê` d̄úng. Vói n = 2, 2 cos 2θ = 2(2 cos2 θ − 1) = (2 cos θ )2 − . , ,, , , 2, túc là mênh d̄ê` d̄úng vói moi . , d̄ê` d̄úng. Gia su mênh . . n, n ≤ , , ` k (k ≥ 2). Ta phai chúng minh mênh d̄ê d̄ úng v ó i n = k + 1. Ta có . 2 cos(k + 1)θ + 2 cos(k − 1)θ = 4 cos kθ. cos θ = (2 cos kθ )(2 cos θ ). , Suy ra 2 cos(k + 1)θ = 2 cos θ (2 cos kθ ) − 2 cos(k − 1)θ. Vê´ phai rõ , , , , ràng là môt . d̄a thúc bâc . k + 1 cua 2 cos θ vói hê. sô´ nguyên. Tù d̄ó , , suy ra mênh d̄ê` d̄úng vói n = k + 1 và do d̄ó nó d̄úng vói moi . . n. J Vı́ du. 10.14. (Ðề thi Olympic Toán quô´c tê´ lâ`n thú, 18, 1976). 5 Dãy u0 , u1 , u2 , . . . d̄u,o.,c xác d̄inh theo cách sau u0 = 2; u1 = ; . 2 un+1 = un (u2n−1 − 2) − u1 , Chú,ng minh ră` ng vó,i n ≥ 1 [un ] = 2 nguyên ló,n nhâ´t không ló,n ho,n x. 2n ( n ≥ 1). − (−1)n , 3 , o, d̄ây [ x ] là sô´ , 2k − (−1)k , , ` Lòi giai. Ta d̄at α = , k ≥ 0. Ta sẽ chúng minh răng .̆ k 3 , αn+1 = 2αn + (−1)n vói moi . sô´ nguyên n ≥ 0. Thât . vây . 2n+1 − 2(−1)n + 3(−1)n 2n − (−1)n + (−1)n = 3 3 n + 1 n n + 1 n + 1 2 + (−1) 2 − (−1) = = = α n +1 . 3 3 2αn + (−1)n = 2 ,, Chuong 10. Môt . . sô´ d̄ê` thi vô d̄ich 224 , , , , Vı̀ α0 = 0 và α1 = 1 tù các d̄ăng thúc này suy ra tâ´t ca αk là , , ` nguyên. Ta sẽ chúng minh răng un = 2αn + 2−αn , n ≥ 0. Vói k = , , ,, , 0, 1 d̄iê`u này dễ kiêm tra. Gia su nó d̄úng vói k = n − 1 và k = n, ,, , ,, và su dung mô´i liên quan giũa αn và αn−1 , ta sẽ nhân . . d̄uo. c un+1 = un (u2n−1 − 2) − 5 2 = (2αn + 2−αn ).[(2αn−1 + 2αn−1 )2 − 2] − = (2αn + 2−αn ).(22αn−1 + 22αn−1 )2 ) − = (2αn + 2−αn ).(2αn −(−) n = 22αn +(−1) + 2(−1) = 2 α n +1 + 2 − α n +1 , k n −1 n −1 + 2(−1) + 2−(−1) 5 2 n −1 − α n −1 5 2 n )2 ) − 5 2 n + 2−2αn −(−1) − 5 2 , 5 , ,, vói mỗi k ≥ 1. Bài toán d̄ã d̄uo. c giai vı̀ 2 1 − α α n + 2 ] = 2 n , do αn < 1 vó,i n ≥ 1. 2 k vı̀ 2(−1) + 2−(−1) = [ u n ] = [ 2α n J Vı́ du. 10.15. (Ðề thi Olympic Toán quô´c tê´ lâ`n thú, 22, 1981). , Biê´t ră` ng hàm sô´ f ( x, y) thoa mãn nhũ,ng d̄iều kiên: . a) f (0, y) = y + 1; b) f ( x + 1, 0) = f ( x, 1); , c) f ( x + 1, y + 1) = f ( x, f ( x + 1, y)) vó,i tâ´t ca nhũ,ng sô´ nguyên không âm x và y. Hãy tı̀m f (4, 1981). , , Lòi giai. Ta có f (1, 0) = f (0, 1) = 2, f (1, 1) = f (0, f (1, 0)) = , ` ` f (0, 2) = 3. Ta sẽ chúng minh băng quy nap f (1, y) = y + 2. . răng , , ,, , , , Vói y = 1, khăng d̄inh d̄úng. gia su vói sô´ tu. nhiên k nào d̄ó ta có . 225 f (1, k ) = k + 2. Khi d̄ó f (1, k + 1) = f (0, f (1, k )) = f (0, k + 2) = k + 3. , ,, , Tù b) ta nhân . d̄uo. c f (2, 0) = f (1, 1) = 3, còn tù c) f (2, 1) = f (1, f (2, 0)) = f (1, 3) = 5. , , , ` Bây giò ta chúng minh răng f (2, k ) = 2k + 3. Thât . vây, . cho vói k nào d̄ó ta có f (2, k ) = 2k + 3. Khi d̄ó f (2, k + 1) = f (1, f (2, k )) = f (1, 2k + 3) = 2k + 5. ,, Ta nhân . d̄uo. c f (3, 0) = f (2, 1) = 5. Ngoài ra f (3, y + 1) = , , f (2, f (3, y)) = 2 f (3, y) + 3, hoac .̆ là vói, moi . sô´ tu. nhiên y ta có , ,, f (3, y + 1) = 2 f (3, y) + 3. Ta áp dung d̄ăng thúc k lâ`n, nhân . . d̄uo. c f (3, y + 1) = 2k+1 . f (3, y − k ) + 3(2k + 2k−1 + · · · + 2 + 1), , ,, , y+1 + 3.(2y+1 − 1). tù d̄ây vói k = y ta nhân . d̄uo. c f (3, y + 1) = 52 , , , , , Suy ra f (3, y) = 2y+3 − 3 vói moi . sô´ tu. nhiên y. Tù d̄ăng thúc ,, cuô´i cùng ta nhân . d̄uo. c f (4, y) = f (3, f (4, y − 1)) = 2 f (4,y−1)+3 − 3 = 22 f (4,y−2)+3 −3+3 y −1 − 3 = 22 f (4,y−2)+3 −3 y +2 z}|{13+3 z}|{ ..2 ..2 . 2 2. = 22 −3 = 22 −3 , ,, , o d̄ây ta áp dung d̄ăng thúc f (4, 0) = f (3, 1) = 24 − 3 = 13. Thay . , , ,, giá tri. vào d̄ăng thúc trên ta có d̄uo. c f (4, 1981). J , , CHUONG 11 , , BÀI TÂP . TU. GIAI ` . 11.1. Chú,ng minh răng a) 1.2.3 . . . p + 2.3 . . . p.( p + 1) + · · · + n(n + 1) . . . (n + p − 1) = = n ( n + 1) . . . ( n + p ) . p+1 n(n + 1)(n + 2)(3n + 1) . 12 1 1 1 1 1 1 1 c) 1 − + − + · · · + − = + +···+ 2 3 4 2n − 1 2n n+1 n+2 b) 2.12 + 3.22 + · · · + (n + 1).n2 = 1 . 2n d) 12 − 22 + 32 − 42 + · · · + (−1)n−1 .n2 = (−1)n−1 n ( n + 1) . 2 , . 11.2. Chú,ng minh các d̄ăng thú,c sau a+1 a+3 a+7 a + 2n − 1 ( a − 1)(2n − 1) + + +···+ = + n. 2 4 8 2n 2n , , ` . 11.3. Chú,ng minh răng vói moi . sô´ tu. nhiên n a) 62n − 1 chia hê´t cho 35; b) n6 − 3n5 + 6n4 − 7n3 + 5n2 − 2n chia hê´t cho 24; c) 2n+2 .3n + 5n − 4 chia hê´t cho 25; d) 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hê´t cho 23. ` . 11.4. Chú,ng minh răng 226 227 √ 1 1 1 , n < 1 + √ + √ + · · · + √ < 2 n vói n ≥ 2. n 3 2 1 n ( n −1) > n! vó,i n ≥ 3. b) 2 2 , . 11.5. Chú,ng minh bâ´t d̄ăng thú,c log1 + log2 + · · · + logn log(n + 1) > . n , . 11.6. Chú,ng minh d̄ăng thú,c a) √ (1 + x )(1 + x2 )(1 + x4 ) . . . (1 + x2 n −1 )= 2 = 1 + x + x + x3 + · · · + x2 , . 11.7. Chú,ng minh d̄ăng thú,c sau 1 a + 1 ( a + 1)(b + 1) 1+ + + +··· a ab abc ( a + 1)(b + 1) . . . (s + 1)(l + 1) ···+ = abc . . . skl ( a + 1)(b + 1) . . . (k + 1)(l + 1) = . abc . . . kl ` . 11.8. Chú,ng minh răng n −1 . (1 − an )(1 − an−1 ) . . . (1 − an−k+1 ) = n. 1 − ak k =1 , . 11.9. Hãy tı́nh tông a a( a − 1) a( a − 1)( a − 2) a( a − 1) . . . ( a − n + 1) Sn = + + + . b b(b − 1) b(b − 1)(b − 2) b(b − 1) . . . (b − n + 1) ` ( b không băng môt . trong các sô´ 0, 1, 2, . . . , n − 1) n ∑ . 11.10. Cho Sn = a1 + ( a1 + 1) a2 +( a1 + 1)( a2 + 1) a3 + · · · · · · + ( a1 + 1)( a2 + 1) . . . ( an−1 + 1) an . ,, , , Chuong 11. Bài tâp . tu. giai 228 , ` Chúng minh răng Sn = ( a1 + 1)( a2 + 1) . . . ( an + 1) − 1. ` . 11.11. Cho {un } là dãy Fibonacci, chú,ng minh răng [ un = n−1 ] 2 ∑ Cnk −k−1 . k =0 , , ,, ,, . 11.12. Hãy tı̀m tâ´t ca nghiêm . nguyên duong cua phuong trı̀nh ,, x1 + x2 + · · · + xn = m (m là sô´ nguyên duong). , ,, ` . 11.13. Chú,ng minh răng sô´ nghiêm . chung nguyên duong cua , ,, nhũng phuong trı̀nh x + 2y = n; 2x + 3y = n − 1; . . . ; nx + (n + ` 1)y = 1; (n + 1) x + (n + 2)y = 0; băng n + 1. ` . 11.14. Chú,ng minh răng sô´ nghiêm . chung nguyên không âm , , ,, cua nhũng phuong trı̀nh sau x + 4y = 3n − 1; 4x + 9y = 5n − 4; ` 9x + 16y = 7n − 9, . . . , n2 x + (n + 1)2 y = n(n + 1); băng n. , ` . 11.15. Chú,ng minh răng vói giá tri. tuỳ ý α ≤ 1 và các sô´ tuỳ ý , x1 , . . . , xn thoa mãn các d̄iê`u kiên . 1 ≥ x1 ≥ x2 ≥ . . . ≥ xn > 0, ta , , ´ có bât d̄ăng thúc (1 + x1 + x2 + · · · + xn )α ≤ 1 + 1α−1 x1α−1 + 2α−1 x2α + · · · + nα−1 xnα . , ` . 11.16. Chú,ng minh răng vói các giá tri. tuỳ ý m, n ∈ N và các , sô´ tuỳ ý x1 , x2 , . . . , xn , y1 . . . , yn ∈ [0, 1] thoa mãn các d̄iê`u kiên . , , , xi + yi = 1 vói i = 1, 2, . . . , n, ta có bâ´t d̄ăng thúc (1 − x1 · x2 · . . . · xn )m + (1 − y1m ) · . . . · (1 − ym n ) ≥ 1. , . 11.17. Vó,i mỗi giá tri. n ∈ N hãy tı̀m giá tri. ló,n nhâ´t k ∈ Z + d̄ê √ sô´ [(3 + 11)2n−1 ] chia hê´t cho 2k . 229 , , . 11.18. Ngu,ò,i ta tô màu các d̄ınh cua môt . d̄a giác lô`i có sô´ canh . , , , , ` ´ le, sao cho bât kỳ 2 d̄ınh lân cân 2 màu khác nhau. . d̄uo. c tô băng , , , ` Chúng minh răng vói moi . cách tô màu thoa mãn d̄iê`u kiên . trên , ,, ,, d̄a giác có thê chia thành các tam giác boi các d̄uòng chéo không ´ nhau, mà hai d̄â`u mỗi d̄u,ò,ng chéo, có hai màu khác nhau. căt , , . 11.19. Dãy sô´ du,o,ng a, a2 , …, an thoa mãn bâ´t d̄ăng thú,c a2n ≤ , , , ` an − an+1 vói n ∈ N. Chúng minh răng vói bâ´t kỳ giá tri. n ∈ N 1 có d̄ánh giá an < . n , , . 11.20. Cho dãy sô´ { an } thoa mãn bâ´t d̄ăng thú,c { ak+m − ak − , , , ` am } ≤ 1, vói k, m ∈ N. Chúng minh răng vói bâ´t kỳ p, q ∈ N có , , bâ´t d̄ăng thúc ap aq 1 1 < + . − p q p q , , ` . 11.21. Chúng minh răng mỗi sô´ hang cua dãy sô´ . √ !n √ !n 3− 5 3+ 5 + − 2, (n ∈ N ) 2 2 , , ,, , 2 là sô´ tu. nhiên và biêu diễn duói dang 5m2 hoac . .̆ m (m ∈ N ) vói n , ,, , ˜ hoac tuong úng chăn .̆ le. ` . 11.22. Chú,ng minh răng tô`n tai . d̄úng môt . dãy sô´ nguyên , 3 ` a1 , a2 , . . . thoa mãn d̄iêu kiên . a1 = 1, a2 > 1, an+1 + 1 = an an+2 , vói n ∈ N. , ` vói các sô´ tuỳ ý m, n ∈ N, sô´ . 11.23. Chú,ng minh răng m Sm,n = 1 + ∑ (−1)k k =1 ( n + k + 1) ! n!(n + k ) , , chia hê´t cho m!, nhung vói môt . sô´ giá tri. m, n ∈ N sô´ Sm,n không chia hê´t cho m!(n + 1). ,, , , Chuong 11. Bài tâp . tu. giai 230 , ,, . 11.24. Trên mat kı́nh .̆ phăng có n d̄uòng tròn khác nhau có bán , ,, ´ , ` ` ` ´ d̄êu băng 1 d̄uo. c săp xêp khác nhau. Chúng minh răng chı có môt . , ,, ´ ´ trong sô d̄ó chúa môt . cung, không căt môt . d̄uòng tròn trong sô´ , , 2P , ,, nhũng d̄uòng tròn còn lai . và có d̄ô. dài không nho hon n . , . 11.25. Có thê chia môt . d̄a giác d̄ê`u 2n− giác bâ´t kỳ thành các hı̀nh thoi hay không? , ` . 11.26. Chú,ng minh răng vói moi a > 2 tô`n tai . a ∈ N, . vô sô´ các , , , sô´ n ∈ N d̄ê sô´ an − 1 chia hê´t cho n. Khăng d̄inh d̄úng vói a = 2 . không? ,, , ` . 11.27. Chú,ng minh răng vói sô´ n ∈ N tuỳ ý phuong trı̀nh , x12 + x22 + · · · + xn2 = y2 có nghiêm . sô´ tu. nhiên. . 11.28. Dãy a1 , a2 , . . . , an , . . . nhũ,ng sô´ tu., nhiên d̄u,o.,c tao . thành , theo cách sau: Chon . môt . sô,´ có ba chũ sô´ bâ´t kỳ a,1 , còn a2 là , , ,, , tông cua các bı̀nh phuong cua các chũ sô´ a1 , a3 là tông các bı̀nh , ,, , , , phuong các chũ sô´ cua a2 và tiê´p tuc . quá trı̀nh nhu vây. . Chúng ` ´ gap minh răng trong dãy a1 , a2 , a3 , . . . băt .̆ hoac .̆ là sô´ 1, hoac .̆ sô´ 4. , ` . 11.29. Chú,ng minh răng không tô`n tai . dãy vô han . các sô´ tu. , nhiên n1 , n2 , . . . thoa mãn hai d̄iê`u kiên . sau d̄ây: , a) n < n vói k = 1, 2, . . . k k +1 , b) nkl = nk + nl vói moi . k = 1, 2, . . . và l = 1, 2, . . . , , , ` . 11.30. Chú,ng minh răng vói moi . giá tri. sô´ tu. nhiên bâ´t d̄ăng , thúc sau d̄úng 2n > n 2 . , , CHUONG 12 , , , Lòi giai và go. i ý bài tâp . , ,, , , 12.1. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.2. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.3. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.4. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.5. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.6. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.7. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.8. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.9. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . Muc l uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………………………… . . 231 233 236 236 237 240 240 244 247 250 , ,, , , 12.1. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 1 , , , , . 1.11. a) Lòi giai: Ta thiê´t lâp . bang cho môt . sô´ giá tri. cua n. n= Sn = 1 1 2 -3 3 6 4 -10 5 15 , ,, , , , Ta so sánh vói bang sô´ o bài d̄â`u tiên dễ d̄ua d̄ê´n giai thiê´t Sn = (−1)n−1 . 231 n ( n + 1) . 2 , ,, , , 232 Chuong 12. Lòi giai và go. i ý bài tâp . , , ,, , , , Gia su d̄úng vói n nào d̄ó, ta sẽ chúng minh d̄ăng thúc d̄ó cũng d̄úng cho n + 1. Ta có n ( n + 1) + (−1)n (n + 1)2 Sn+1 = Sn + (−1)n (n + 1)2 = (−1)n−1 2 (n + 1)(n + 2) = (−1)n . 2 , , n ( n + 1) 2 ] . b) Tra lòi: Sn = [ 2 , , , c) Lòi giai: Ta lâp . bang môt . sô´ giá tri. ban d̄â`u n= 1 2 3 4 Sn = 1 5 23 119 , , Tai . vı̀ 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, ta có thê làm giai ,, , thiê´t Sn = (n + 1)! − 1. Vói Sn+1 ta nhân . d̄uo. c Sn+1 = (1.1! + 2.2! + · · · + n.n!) + (n + 1).(n + 1)! = ( n + 1) ! − 1 + ( n + 1).( n + 1) ! = (n + 1)!(1 + n + 1) − 1 = (n + 2)! − 1. , , , , . 1.12. a) Lòi giai: Ta áp dung tı́nh châ´t cua tông . n n n n n(4n2 − 1) . 3 µ =1 µ =1 µ =1 µ =1 , , ,, , , , o d̄ây ta áp dung công thúc tı́nh tông luỹ thùa cua các sô´ tu. . nhiên. , ,, , b) Go. i ý: Tuong tu. phâ`n a). 1 1 1 , , c) Go. i ý: Ta áp dung công thúc = − , ta tı̀m . x ( x + 1) x x+1 ,, d̄uo. c ∑ (2µ − 1)2 = 4 ∑ µ2 − 4 ∑ µ + ∑ 1 = n n n 1 1 1 1 n = ∑ −∑ = 1− = . µ ( µ + 1) µ µ =1 µ + 1 n+1 n+1 µ =1 µ =1 ∑ , ,, , , 12.2. Lòi giai và go. i ý bài tâp 233 . chuong 2 , , ` quy nap . 1.13. Lòi giai: Chú,ng minh băng . toán hoc . theo k , , d̄ăng thúc sau 1 , vói 0 ≤ k ≤ n − 1. n−k , , , ,, , , Vói k = 0, khăng d̄inh d̄úng hiên nhiên. Gia su nó d̄úng vói moi . . n ≤ k. Khi d̄ó x0 + x1 + · · · + x k = 1 + x k +1 n−k 1 1 ( x0 + x1 + · · · + x k ) + = n−k−1 n−k 1 1 1 + = . = (n + k − 1)(n − k) n − k n−k−1 ,, , , , Suy ra mênh d̄ê` cũng d̄úng vói k + 1. Truòng ho. p riêng, vói k = . ,, n − 1 ta nhân . d̄uo. c x0 + x1 + · · · + xn−1 = 1. x 0 + x 1 + · · · + x k + x k +1 = , ,, , , 12.2. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 2 , , , , , . 2.31. Lòi giai: Ta ký hiêu . bâ´t d̄ăng thúc d̄ê` ra là (2.27). Chúng , , 5 7 6 minh quy nap . theo n. Vói n = 1, tù (2.27) ta có x1 + x1 ≥ 2×1 , nó ,, ,, , ,, , , tuong d̄uong vói (1 − x1 )2 ≥ 0, nhu vây . trong truòng ho. p này bâ´t , , d̄ăng thúc d̄úng. , , ,, , , , Gia su bâ´t d̄ăng thúc d̄úng vói sô´ n ≥ 1 nào d̄ó. Ta sẽ chúng , , minh nó cũng d̄úng vói n + 1. Cho x1 < x2 < . . . < xn < xn+1 vói , , ,, nhũng sô´ nguyên duong. Theo gia thiê´t quy nap . ta có (2.27) và , , , trong nó có d̄ăng thúc khi và chı khi xk = k, k = 1, 2, . . . , n. Ngoài , , , ra bâ´t d̄ăng thúc sau d̄úng (chúng minh sau) xn5 +1 + xn7 +1 ≥ 2[2( x13 + x23 + · · · + xn3 ) xn3 +1 + ( xn3 +1 )2 ] (12.1) , , , và d̄ăng xay ra chı khi xk = k, k = 1, 2, . . . , n + 1 . Công theo vê´ . , ,, , , 234 Chuong 12. Lòi giai và go. i ý bài tâp . , ,, cua (2.27) và (12.1) ta nhân . d̄uo. c x15 + x25 + · · · + xn5 + xn5 +1 + x17 + x27 + · · · + xn7 + xn7 +1 ≥ ≥ 2( x13 + x23 + · · · + xn3 + xn3 +1 )2 , , , , , , , và d̄ăng thúc chı xây ra khi và chı khi có d̄ăng thúc trong (2.27) , , và (12.1), nghı̃a là xk = k, k = 1, 2, . . . , n, n + 1. Nhu vây . khăng , d̄inh d̄úng vói n + 1. . , , , , ,, Ta chı còn chúng minh (12.1). Bâ´t d̄ăng thúc (12.1) tuong ,, , d̄uong vói xn5 +1 ( xn+1 − 1)2 ≥ x13 + x23 + · · · + xn3 . (12.2) 4 , , , ,, , , , Bâ´t d̄ăng thúc (12.2) d̄uo. c suy ra tù nhũng bâ´t d̄ăng thúc và , , d̄ăng thúc sau x13 + x23 + · · · + xn3 ≤ 13 + 23 + · · · + xn3 , 13 + 23 + · · · + xn3 = xn2 ( xn xn ≤ xn+1 − 1, + 1)2 4 (12.3) , (12.4) ( xn+1 − 1)2 xn2 +1 xn2 ( xn + 1)2 ≤ . 4 4 , , , , , Ðăng thúc trong (12.2) khi và chı khi có d̄ăng thúc trong (12.3) và (12.4), hay là xk = k, k = 1, 2, . . . , n + 1. J , , , , . 2.32. Lòi giai: Vó,i k = 1 bâ´t d̄ăng thú,c d̄ã cho hiên nhiên d̄úng , , ,, ,, , , và tro thành d̄ăng thúc. Gia su (2.28) d̄úng vói sô´ nguyên k ≥ 1. Ta d̄at .̆ N = ( a 1 + a 2 + · · · + a k + a k +1 )2 = ( a1 + a2 + .. + ak )2 + a2k+1 + 2ak+1 ( a1 + a2 + · · · + ak ). , ,, , , 12.2. Lòi giai và go. i ý bài tâp 235 . chuong 2 , , ,, , , ,, ` Ta thê´ thùa sô´ thú nhâ´t o bên phai phuong trı̀nh trên băng biêu , , ,, , thúc lón hon nó trong (2.28), ta nhân . d̄uo. c N ≤ k ( a21 + a22 + · · · + a2k ) + a2k+1 + 2ak+1 ( a1 + a2 + · · · + ak ) = (k + 1)( a21 + a22 + · · · + a2k + a2k+1 ) − a21 − a22 − · · · − a2k − ka2k+1 + + 2a1 ak+1 + 2a2 ak+1 + · · · + 2ak ak+1 = = (k + 1)( a21 + a22 + · · · + a2k+1 ) − ( a1 − ak+1 )2 − ( a2 − ak+1 )2 − · · · · · · − ( a k − a k +1 )2 . , , , , Tù d̄ây suy ra bâ´t d̄ăng thúc (2.28) vói k + 1, hay là N ≤ (k + 1)( a21 + a22 + · · · + a2k+1 ). J , , ` môt . 2.33. Go. i ý: Ta biêu diễn f (k+1) ( x ) theo f (k) ( x ) băng . sô´ giá tri. 1 x , f 00 ( x ) = − 2 f 0 (x) = 2 ( x − 1)1/2 ( x − 1)3/2 3x 12x2 + 1 (iv) f 000 ( x ) = 2 , f ( x ) = − ( x − 1)5/2 ( x2 − 1)7/2 60x3 + 31x 522x4 + 266x2 + 31 (vi ) f (v) ( x ) = 2 , f ( x ) = − . ( x − 1)9/2 ( x2 − 1)11/2 , , 2 1/2 Bây giò ta phát biêu lai . bài toán: nê´u f ( x ) = ( x − 1) , x > 1, khi d̄ó gn ( x ) f (n) ( x ) = 2 ( x − 1)(2n−1)/2 ,, , o d̄ây gn ( x ) là d̄a thúc bâc . n − 2, và ( , ´ , ˜ ˜ hàm chăn vói tât ca các hê. sô´ không âm, nê´u n chăn gn ( x ) là , , , , ,, hàm le vói tâ´t ca các hê. sô´ không duong, nê´u n le. , , ` Mênh d̄ê` này có thê chúng minh băng quy nap. . . , , ˜ và le. . 2.34. Go. i ý: Chia hai tru,ò,ng ho.,p n chăn , ,, , , Chuong 12. Lòi giai và go. i ý bài tâp . 236 , ,, , , 12.3. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 3 , . 3.21. Lò,i giai: Ta có n −1 n Sn = n −1 ∑ ak bk = a1 b1 + ∑ ak+1 bk+1 = a1 b1 + ∑ (ak + d)qbk k =1 = a1 b1 + q k =1 k =1 n −1 n k =1 k =1 ∑ ak bk + dq ∑ bk = a1 b1 + q(Sn − an bn ) + dqb1 q n −1 − 1 . q−1 , , Tù d̄ó suy ra công thúc bài toán. , , 1 . 3.22. Tra lòi: bn = n2 + 1, Sn = n(2n2 + 3n + 7). 6 , , 1 . 3.23. Tra lòi: Sn = n(4n2 + 7n + 1). 2 , , . 3.24. Tra lòi: 2πn 2πn + C2 sin ; 3 3 b) xn = (C1 + C2 .n)(−1)n ; a) xn = C1 cos c) xn = C1 + C2 (−1)n ; d) xn = C1 + C2 n + C3 n2 . , . 3.25. Tra lò,i: a) xn = 7 + 3n ; b) xn = 2n + 3n − 4n ; c) xn = 2(3 − 2n).3n−1 − 1. , ,, , , 12.4. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 4 , , . 4.19. Lòi giai: Khi n = 1, thı̀ 112 + 12 = 133, mênh d̄ê` d̄úng . , ,, k+1 , , 2k − 1 vói n = 1. Gia su 11 + 12 chia hê´t cho 133. Ta sẽ chúng , ,, , , 12.5. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 5 237 minh 11k+2 + 122k+1 cũng chi hê´t cho 133. Thât . vây, . 11k+2 + 122k+1 = 11.11k+1 + 122 .122k−1 = 11.(11k+1 + 122k−1 ) + 133.122k−1 . , ,, , Tông thu d̄uo. c chia hê´t cho 133. Vây d̄ê` d̄úng vói moi . mênh . . n ≥ 1. J , . 4.20. Go. i ý: Tiê´n hành nhu, bài 4.2 phâ`n 1). , . 4.21. Go. i ý: Tiê´n hành nhu, bài 4.2 phâ`n 2). , . 4.22. Go. i ý: Bài toán d̄u,a vê` chú,ng minh công thú,c 102n−1 + 1 , chia hê´t cho 11 vói moi . n ≥ 1. , ,, , , 12.5. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 5 , , 2n+1 + 22n + 1. . 5.28. Lòi giai: Ta ký hiêu . an = 2 1+1 1 , 1) Vói n = 1, a = 22 + 22 + 1 = 21. 1 2+1 2 , 2) Vói n = 2, a2 = 22 + 22 + 1 = 28 + 24 + 1 = 256 + 16 + 1 = , 273 = 21.13 , nhu vây, . a2 chia hê´t 21. , , , 3) Ta sẽ chúng minh an chia hê´t cho 21 vói moi . sô´ tu. nhiên n. , , Vói n = 1 và n = 2 ta d̄ã kiêm tra. , ,, k +1 k k +2 k +1 Gia su ak = 22 + 22 + 1 = 21m. Ta xét ak+1 = 22 + 22 + k +1 k k , 1. Nhung 22 = ak − 22 − 1 = 21m − 22 − 1, nhu, vây . a k +1 = k +2 k k.4 k k k.3 2 2 2 2 2 2 + (21m − 2 − 1) + 1 = 2 − 2 + 21m = 2 (22 − 1) + 21m, k k −1 k k −1 ak+1 = 22 [(26 )2 − 1] + 21m = 22 [(64)2 − 1] + 21m. k −1 , Nhung (64)2 − 1 chia hê´t cho 64 − 1 = 63 = 21.3 và suy ra , , ak+1 chia hê´t cho 21. Nhu vây . an chia hê´t cho 21 vói moi . n và vı̀ , ,, , , Chuong 12. Lòi giai và go. i ý bài tâp . , , ,, , a1 = 21 là sô´ nho nhâ´t trong tâ´t ca các sô´, thı̀ uóc sô´ chung lón , , nhâ´t cua tâ´t ca an , n = 1, 2, . . . là 21. 238 J , , , , ´ lai . 5.29. Lòi giai: Nhăc . cách chúng minh cua Euclide vê` tô`n , tai . vô han . sô´ nguyên tô´. Nê´u p1 p2 . . . pn + 1 là nhũng sô´ nguyên tô´ bâ´t kỳ, sô´ P = p1 p2 . . . pn + 1 khác 1 và suy ra nó chia hê´t cho môt . , ,, uóc sô´ nguyên tô´ nào d̄ó, tâ´t nhiên nó phai khác p1 , p2 , . . . , pn . , ,, , Nhu vây . theo cách này ta tı̀m d̄uo. c môt . sô´ nguyên tô´ mói. Nê´u ,, , p1 , p2 , . . . , pn là n sô´ nguyên tô´ d̄â`u tiên. Trong truòng ho. p d̄ó ,, , uóc sô´ trên sẽ là sô´ nguyên tô´ thú n + 1 : pn+1 . Do d̄ó pn+1 ≤ , n , , , p1 p2 . . . pn + 1. Bây giò bâ´t d̄ăng thúc pn < 22 chúng minh theo , ,, , phuong pháp quy nap toán hoc. Vói n = 1 ta có p1 = 2 bâ´t d̄ăng . . , , , ,, , , , thúc là hiên nhiên. Gia su bâ´t d̄ăng thúc d̄úng vói moi . giá tri. , , , nho hon n. Ta sẽ chúng minh nó d̄úng cho n + 1. Thât . vây, . n 2 pn+1 ≤ p1 p2 . . . pn + 1 < 22 .22 . . . 22 + 1 = 22 n +1−2 + 1 < 22 n +1 , , . 5.30. Lòi giai: 1) Vó,i n = 1 ta có β 1 − α1 β 1 + α1 cos 2 2 β 1 − α1 β 1 − α1 cos = sin( β 1 − α1 ) ≤ 2 sin 2 2 β 1 − α1 β + α1 π (vı̀ 0 ≤ ≤ 1 ≤ ) 2 2 2 , , ,, , , ´ 2) Gia su bât d̄ăng thúc d̄ã cho d̄úng vói n − 1. Khi d̄ó sin β 1 − sin α1 = 2 sin n −1 n ∑ (sin βi − sin αi ) = ∑ (sin βi − sin αi ) + sin βn − sin αn i =1 i =1 n −1 = ∑ (sin βi − sin αi ) + 2 sin i =1 β n − αn β n + αn cos 2 2 . J , ,, , , 12.5. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 5 n −1 n −1 i =1 n −1 i =1 ≤ sin( ∑ β i − ∑ αi ) + 2 sin 239 n −1 β n − αn β n − αn cos( ∑ ( β i − αi ) + ) 2 2 i =1 n n −1 i =1 i =1 = sin( ∑ ( β i − αi )) + sin( ∑ ( β i − αi )) + sin(− i =1 n ∑ ( βi − αi )) = sin( ∑ ( β i − αi ). i =1 ,, Vı̀ công các bâ´t phuong trı̀nh α1 ≥ 0, α2 ≥ β 1 , α3 ≥ β 2 , . . . , αn ≥ . ,, , β n−1 ta nhân . d̄uo. c α1 + α1 + · · · + αn ≥ β 1 + β 2 + · · · + β n−1 tù d̄ó suy ra n −1 β n + αn π β n − αn 0 ≤ ∑ ( β i − αi ) + ≤ ≤ . 2 2 2 i =1 J , , . 5.31. Lòi giai: Ta d̄at .̆ Sn = n 1 , ∑ n + i . Vói n = 2 ta có S2 = i =1 , 1 14 13 13 , 1 ` + = > . Ta gia thiê´t răng Sn > , vói sô´ n nào 2+1 2+2 24 24 24 , , , d̄â´y. Ta sẽ chúng minh khi d̄ó cũng có bâ´t d̄ăng thúc cho Sn+1 > , , 13 , , . Ta sẽ chúng minh bâ´t d̄ăng thúc sau là d̄u Sn+1 − Sn > 0. 24 Thât . vây, . n +1 S n +1 − S n = ∑ i =1 = n 1 1 −∑ n + i + 1 i =1 n + i 1 1 1 1 + − = > 0. 2n + 1 2n + 2 n + 1 2(n + 1)(2n + 1) , , , . 5.32. Lòi giai: Dãy d̄ã cho thoa mãn phu,o,ng trı̀nh truy hô`i , ,, √ , an = c + an−1 . Gia su giói han an tô`n tai. . l = nlim . Khi d̄ó →∞ q √ √ lim an = lim c + an−1 = c + lim an−1 hoac là l = c + l, .̆ n→∞ n→∞ n→∞ √ 1 , ,, , tù d̄ây vói chú ý l > 0, ta tı̀m d̄uo. c l = (1 + 4c + 1). Ta câ`n 2 , ,, , , 240 Chuong 12. Lòi giai và go. i ý bài tâp . , , , ` phai chúng minh giói han tô`n tai. dãy a1 , a2 , . . . . Ta chú ý răng , ,. , tăng, suy ra chı còn kiêm tra nó là bi. chan. Chı́nh xác hon ta sẽ .̆ , , , chúng minh bâ´t d̄ăng thúc √ an < 1 + c, (n = 1, 2, 3, . . .). , , , ,, √ √ , Thât . vây, . vó,i n = 1 (1) thoa mãn a1 c < 1 + c. Gia su bâ´t d̄ăng , , thúc (1) thoa mãn vói n nào d̄ó. Khi d̄ó q √ √ √ an+1 = c + an < c + (1 + c) < 1 + c. J , ,, , , 12.6. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 6 , ` . 6.17. Go. i ý: Dễ dàng chú,ng minh băng quy nap . theo n. , , , . 6.18. Go. i ý: Tù, môt sô´ doan thăng có thê tao thành d̄a giác . . , , . , , , , khi và chı khi d̄oan . lón nhâ´t trong chúng phai nho hon tông các d̄oan . còn lai. . , , ´ ra d̄ã d̄u,o.,c tô . 6.19. Go. i ý: Nhũ,ng manh do n d̄u,ò,ng tròn căt , ,, , , son theo gia thiê´t quy nap. . , Ta vẽ ,thêm môt . d̄uòng tròn thú n + 1 , ` trong du,ò,ng tròn thú, , khi d̄ó ta d̄ôi màu tâ´t ca các manh năm , , , n + 1. Nhu vây . ta có mat .̆ phăng phai tı̀m. , , . 6.20. Go. i ý: Tông các sô´ là 2.3n . , ,, , , 12.7. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 7 , , , ` . 7.17. Lòi giai: Ta chú,ng minh băng quy nap . theo n. Vói n = 1 mênh d̄ê` d̄úng, vı̀ . a a a a a = − = (− ) − (− ). x ( x + 1) x x+1 x+1 x , ,, , , 12.7. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 7 , , ,, Cho n > 1. Ta biêu diễn d̄a thúc P( x ) duói dang . 241 P( x ) = c + ( x + n) P1 ( x ), , , , , ,, ` o d̄ây c là hăng sô´, còn bâc . cua P1 ( x ) nho hon n − 1. Theo gia thiê´t quy nap . P1 ( x ) = x ( x + 1) . . . ( x + n − 1)( R1 ( x + 1) − R1 ( x )). ,, , , o d̄ây R1 ( x ) là môt . hàm hũu ty nào d̄ó và khi d̄ó P( x ) = x ( x + 1) . . . ( x + n)( R( x + 1) − R( x )). ,, o d̄ây c 1 R ( x ) = R1 ( x ) − . . n x ( x + 1) . . .,( x + n − 1) , Chú ý: Nê´u bâc trên là không . . cua, P( x ) là n, d̄iê`u khăng d̄inh d̄úng, ta hãy xem phan vı́ du. sau P ( x ) = x ( x + 1) . . . ( x + n − 1). J , , ` . 7.18. Lòi giai: Chú,ng minh băng quy nap Nê´u n = 0, . theo n. , , ` P( x ) = a môt . hăng ,sô´ và khi d̄ó P( x,) = a.P0 ( x ). Gia thiê´t khăng , , , n d̄inh . d̄úng vói tâ´t ca d̄a thúc bâc . nho hon n và P( x ) = an x + · · · . , , , Ta d̄at .̆ bn = n!an . Ða thúc P( x, ) − bn Pn ( x ) sẽ có bâc . không lón hon n − 1 và có nghı̃a là theo gia thiê´t quy nap . có sô´ b0 , b1 , . . . , bn−1 sao cho P( x ) − bn Pn ( x ) = bn−1 Pn−1 + · · · + b0 P0 ( x ). , , , Suy ra khăng d̄inh d̄úng cho ca d̄a thúc P( x ). . J , , , . 7.19. Lòi giai: 1) Vó,i n = 1 d̄ăng thú,c có dang u1 x = . 3 2 3 2 , x +x −x u1 x + u2 x − x , hoac .̆ là x = x2 + x − 1 , d̄ăng thúc này d̄úng. x2 + x − 1 , ,, , , Chuong 12. Lòi giai và go. i ý bài tâp . 242 , , , , ` 2) Chúng minh răng d̄ăng thúc d̄úng vói sô´ n nào d̄ó. Ta sẽ , , , , chúng minh d̄ăng thúc cũng d̄úng cho n + 1. Thât . vây, . ta biê´n d̄ôi n +1 Fn+1 ( x ) = ∑ uin = Fn (x) + un+1 xn+1 i =1 u n x n +2 + u n +1 x n +1 − x + u n +1 x n +1 . x2 + x − 1 , , , ,, Biê´n d̄ôi du. a vào công thúc un+2 = un + un+1 ta nhân . d̄uo. c = Fn+1 ( x ) = u n +1 x n +3 + u n +2 x n +2 − x , ( x 2 + x − 1 6 = 0) x2 + x − 1 , . 7.20. Go. i ý: Tiê´n hành nhu, 7.16 , . 7.21. Go. i ý: Tiê´n hành nhu, 7.16 , , ` . 7.22. Lòi giai: Chú,ng minh băng quy nap . theo n. 1) n = 0, Khi d̄ó P( x ) = a0 . Nê´u |1 − a0 | < 1 và | a − a0 | < 1. , Khi d̄ó | a − 1| = | a − a0 + a0 − 1| ≤ | a − a0 | + | a0 − 1| < 2, nhung a ≥ 3 dẫn d̄ê´n vô lý!. , ,, , , 2) Gia su mênh d̄ê` d̄úng vói k ≤ n − 1. Ta xét d̄a thúc . P ( x + 1) − P ( x ) . a−1 , , ` Dễ dàng thâ´y răng Q( x ) là d̄a thúc bâc . n − 1. Theo gia thiê´t quy nap . tô`n tai . sô´ i (0 ≤ i ≤ n − 1) sao cho Q( x ) = P ( i + 1) − P ( i ) | a−1 | ai+1 − P(i + 1) − ai + P(i )| | ai+1 − P(i + 1)| | ai − P(i )| = ≤ + . a−1 a−1 a−1 1 ≤ | ai − Q(i )| = | ai − , ,, , , 12.7. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 7 243 , , 1 , ,, Có ı́t nhâ´t môt không nho hon . Gia su d̄ó là . trong các sô´ hang . 2 , a−1 , , i + ´ biêu thúc thú nhât, thı̀ vı̀ ≥ 1 do a ≥ 3, | a 1 − P(i + 1)| ≥ 2 a−1 ≥ 1. 2 , , , 1 ,, , , , Tuong tu. , nê´u biêu thúc thú hai không nho hon , thı̀ | ai − 2 P(i )| ≥ 1. J , 1 1 , . 7.23. Lòi giai: 1) Vó,i n = 1. Khi d̄ó P1 ( x ) + P1 ( ) = x + và x x , , ,, bâ´t d̄ăng thúc nhân . d̄uo. c có dang . 1 ≥ 2, ( x > 0). (12.5) x , , ,, ,, ,, , Vı̀ x > 0, nên bâ´t d̄ăng thúc vuă` nhân . d̄uo. c tuong d̄uong vói ( x − 1)2 ≥ 0 và suy ra mênh d̄ê` d̄úng. . 1 1 , Vói n = 2 ta có P2 ( x ) + P2 ( ) = ( x2 + 1) + ( 2 + 1) = x2 + x x , 1 1 1 , ` 2 + 2 . Câ`n phai chúng minh răng P2 ( x ) + P2 ( ) ≥ 2 + 1 + (1 + x x 2 , ,, 1 , 2 2 (−1) ) = 4 hoac .̆ là x + x2 ≥ 2; d̄iê`u này suy ra tù (12.5). Gia su , , , mênh d̄ê` d̄úng vói n. Ta có bâ´t d̄ăng thúc sau d̄úng . x+ 1 1 Pn ( x ) + Pn ( ) ≥ n + 1 + (1 + (−1)n ). x 2 , , ,, , Ta sẽ chúng minh truóc tiên bâ´t d̄ăng thúc d̄úng cho n + 2 1 1 Pn+2 ( x ) + Pn+2 ( ) ≥ n + 3 + (1 + (−1)n+2 ). x 2 , , , Chú ý Pn thoa mãn d̄ăng thúc Pn+2 ( x ) = x n+2 + Pn ( x ). Suy ra 1 1 1 Pn+2 ( x ) + Pn+2 ( ) = [ Pn ( x ) + Pn ( )] + [ x n+2 + n+2 ] x x x 244 , ,, , , Chuong 12. Lòi giai và go. i ý bài tâp . , , 1 , , Theo (*) bâ´t d̄ăng thúc sau d̄úng x n+2 + n+2 ≥ 2. Tù các d̄ăng x , , , , thúc và bâ´t d̄ăng thúc sau cùng và gia thiê´t quy nap . ta có: 1 1 Pn+2 ( x ) + Pn+2 ( ) ≥ n + 1 + (1 + (−1)n ) + 2. x 2 1 = (n + 2) + 1 + (1 + (−1)n+2 ). 2 n n + 2 ` Ta chú ý răng (−1) = (−1) . Theo nguyên lý quy nap . mênh . , , , , ` ´ d̄ê d̄úng vói moi . sô le n (vı̀ nó d̄úng vói n = 1), và d̄úng vói moi . , , , , ˜ ´ n chăn (vı̀ nó d̄úng vói n = 2). Nhu vây . bât dăng thúc d̄úng vói moi . n ≥ 1. J , ,, , , 12.8. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 8 , , , . 8.19. Lòi giai: 1) vó,i n = 1 khăng d̄inh d̄úng, vı̀ . 2 cos x − 2 cos2 x cos x (1 − cos x ) 2 cos x − cos 2x − 1 = = = cos x. x x x 4 sin2 4 sin2 2 sin2 2 2 2 2) Cho (k + 1) cos kx − k cos(k + 1) x − 1 . cos x + 2 cos 2x + · · · + k cos kx = x 4 sin2 2 Khi d̄ó cos x + 2 cos 2x + · · · + k cos kx + (k + 1) cos(k + 1) x = (k + 1) cos kx − k cos(k + 1) x − 1 + (k + 1) cos(k + 1) x x 4 sin2 2 (k + 1) cos kx − k cos(k + 1) x − 1 2(1 − cos x )(k + 1) cos(k + 1) x = + x x 4 sin2 4 sin2 2 2 (k + 2) cos(k + 1) x + (k + 1) cos kx 2(k + 1) cos x cos(k + 1) x + 1 = − x x 4 sin2 4 sin2 2 2 = , ,, , , 12.8. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 8 245 (k + 2) cos(k + 1) x + (k + 1) cos kx − x 4 sin2 2 (k + 1)[cos(k + 2) x + cos kx ] + 1 − x 4 sin2 2 (k + 2) cos(k + 1) x − (k + 1) cos(k + 2) x − 1 = . x 4 sin2 2 = J , , , . 8.20. Lòi giai: 1) Vó,i n = 1 khăng d̄inh d̄úng, vı̀ . 1 π π 1 + i = 2 2 (cos + i sin ). 4 4 , ,, , , 2) Gia su d̄úng vói n = k, túc là k (1 + i )k = 2 2 (cos kπ kπ + i sin ). 4 4 Khi d̄ó kπ kπ 1 π π + i sin ).2 2 (cos + i sin ). 4 4 4 4 k +1 ( k + 1) π ( k + 1) π .2 2 (cos + i sin ). 4 4 k (1 + i )k+1 = 2 2 (cos J , , , . 8.21. Lòi giai: Vó,i n = 2 d̄ăng thú,c d̄úng: a1 b1 + a2 b2 = , a2 (b1 + b2 ) − ( a2 − a1 )b1 = a2 B2 − ( a2 − a1 ) B1 . Ta sẽ chúng minh , , , nê´u khăng d̄inh d̄úng vói n nào d̄ó, thı̀ nó cũng d̄úng vói n + 1. . Ta có n +1 n µ =1 µ =1 ∑ a µ bµ = ∑ a µ bµ + a n + 1 bn + 1 n −1 = [ an Bn − ∑ (aµ+1 − aµ ) Bµ ] + an+1 bn+1 . µ =1 (12.6) , ,, , , Chuong 12. Lòi giai và go. i ý bài tâp . 246 ,, , Nhung bn+1 = Bn+1 − Bn o d̄ây an Bn + an+1 bn+1 = an Bn + , , ,, an+1 ( Bn+1 − Bn ). Tù kê´t qua cuô´i cùng và (12.6) ta nhân . d̄uo. c n −1 n +1 ∑ aµ bµ = an+1 bn+1 − ( an+1 − an ) Bn − µ =1 ∑ (aµ+1 − aµ ) Bµ µ =1 n = a n + 1 bn + 1 − ∑ (aµ+1 − aµ ) Bµ . µ =1 , , , ` . 8.22. Lòi giai: Ta chú,ng minh băng quy nap . theo k. Vói k = 1 , ` tông này băng m 1 = . (12.7) 1− m+1 m+1 ,, , Vói k = 2 ta tı́nh d̄uo. c 2 2.1 m 1− + = . (12.8) m + 1 (m + 1)(m + 2) m+2 , , , , , , ` Tù d̄ăng thúc (12.7) và (12.8) d̄ua d̄ê´n giai thiê´t tông (12.6) băng m , ` . Ta sẽ chúng minh răng m+k ( k + 1) k (k + 1)k . . . 2.1 k+1 + − · · · + (−1)k+1 1− n + 1 (m + 1)(m + 2) (m + 1)(m + 2) . . . (m + k + 1) m = . (12.9) m+k+1 , Ta d̄ua vào d̄inh nghı̃a sau .  nê´u hoac 0, .̆ i < 0, hoac .̆ i > k; Qi ( k ) = k ( k − 1 ) . . . ( k − i + 1) (−1)i . , nê´u 0 ≤ i ≤ k ( m + 1) . . . ( m + i ) , Khi d̄ó (12.9) có thê viê´t k +1 k +1 i ∑ Qi (k + 1) = ∑ [Qi (k) − m + i Qi−1 (k)] = i =0 i =0 = k +1 k +1 i =0 i =0 i ∑ Q i ( k ) − ∑ m + i Q i −1 ( k ) = , ,, , , 12.9. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 9 = k k i =0 i =0 i+1 ∑ Qi ( k ) − ∑ m + i + 1 Qi ( k ) k = 247 m ∑ m + i + 1 Qi ( k ) i =0 k = m m ∑ m + i + 1.m + k + 1. i =0 m+k+1 Qi ( k ) m = k m m+k+1 Qi ( k ) ∑ m + k + 1 i =0 m + i + 1 = k m m+k+1+i−i Qi ( k ) ∑ m + k + 1 i =0 m+i+1 = k k m k−i [ ∑ Qi ( k ) + ∑ Qi (k )] m + k + 1 i =0 m+i+1 i =0 = k k m m [ ∑ Qi (k) − ∑ Qi+1 (k)] = . m + k + 1 i =0 m+k+1 i =0 J , ,, , , 12.9. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 9 , , ,, ,, . 9.11. Go.,i ý: a) áp dung d̄ăng thúc o bài 9.4 ta nhân . d̄uo. c . P2i P q2i − 2i−2 = −(−1)2i−1 . , Q2i Q2i−2 Q2i Q2i−2 P2i P , tù d̄ó có > 2i−2 (i = 1, 2, . . .). Q2i Q2i−2 ,, , , b) tuong tu. nhu phâ`n a). , ,, P P3 , . 9.12. Lòi giai: a) Dãy 1 , , . . . hôi tu, boi vı̀ theo bài tâp . . . Q1 Q3 , , , , trên thı̀ dãy giam, mat cua nó d̄ê`u duong. Ta d̄at .̆ khác sô´ hang . .̆ 248 , ,, , , Chuong 12. Lòi giai và go. i ý bài tâp . , , P0 P2 P2i+1 ` dãy , , . . . cũng hôi tu; d̄ê ω 0 = lim . Ta sẽ chı ra răng . . Q0 Q2 i →∞ Q2i +1 , , , ,, chúng minh d̄uo. c d̄iê`u d̄ó câ`n chı ra nó bi. chan .̆ phai, vı̀ ta d̄ã biê´t , , nhu bài tâp . trên nó d̄ã là dãy tăng. Thât . vây, . tù (9.13) ta có P2i+1 Q2i − P2i Q2i+1 = (−1)2i = 1, , tù d̄ây P2i+1 P P Q − P2i Q2i+1 1 − 2i = 2i+1 2i = > 0. (12.10) Q2i+1 Q2i Q2i Q2i+1 Q2i Q2i+1 , , , , ,, P2i 00 Ta d̄at .̆ α = limi→∞ Q . Boi vı̀ dãy phân sô´ xâ´p xı vói chı sô´ le 2i , P2m , , ˜ thı̀ ω 00 ≤ ω 0 . Mat trôi . hon phân sô´ vói chı sô´ chăn, .̆ khác Q < 2m , P2n+1 00 0 ω , (m = 0, 1, . . .) và ω < , (n = 0, 1, . . .). Suy ra bâ´t d̄ăng Q2n+1 , thúc P P2m < ω 00 ≤ ω 0 < 2n+1 Q2m Q2n+1 , , , , ` thoa mãn tâ´t ca sô´ tu. nhiên m, n. Ta sẽ chúng minh răng ω0 = , , , , P2i+1 P ω 00 . Ðê d̄at − 2i có thê tro, . muc . d̄ı́ch này ta phai kê´t luân . Q Q2i 2i +1 , , , , ´ thành rât nho khi i d̄u lón. Theo bài trên dãy Q0 , Q1 , . . . d̄on d̄iêu . , ,, tăng suy ra Qn ≥ n, (n = 0, 1, . . .). Khi d̄ó tù (12.10) ta nhân . d̄uo. c P2i+1 P 1 1 0< − 2i = ≤ , Q2i+1 Q2i Q2i Q2i+1 2i (2i + 1) , tù d̄ây P P P2i+1 P lim ( − 2i ) = lim 2i+1 − lim 2i = ω 0 − ω 00 = 0. Q2i i →∞ Q2i +1 i →∞ Q2i +1 i →∞ Q2i , , Pn 0 00 Ta ký hiêu . . ω giá tri. chung cua ω và ω có thê viê´t ω = nlim →∞ Qn , , Theo d̄inh nghı̃a giói han . . này là giá tri. cua liên phân sô´. Ta d̄a ,, , , chúng minh xong moi . liên phân sô´ vói các phâ`n tu nguyên là hôi . tu. . J , ,, , , 12.9. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 9 249 , . 9.13. Go. i ý: Theo bài trên liên phân sô´ d̄ã cho là hôi . tu, . ta có , ´ thê viêt 1 ω = (1, 1, . . .) = (1, ω ) = 1 + , ω , ,, 2 ` Ta thâ´y răng ω là nghi . cua phuong trı̀nh ω − ω − 1 = 0. Vı̀ √ êm 1+ 5 . ω > 0, thı̀ ω = 2 , , , . 9.14. Lòi giai: Tù, nhũ,ng tı́nh châ´t cua liên phân sô´ ta nhân . ,, d̄uo. c ω− Pi P ω + Pi−1 P Qi Pi−1 − Qi−1 Pi = i i +1 − i = Qi Q i ω i +1 + Q i −1 Qi Q i ( Q i ω i +1 + Q i −1 ) và theo (9.13) ta có δi = |ω − Pi 1 |= . Qi Q i ( Q i ω i +1 + Q i −1 ) (12.11) Vı̀ ω i +1 > q i +1 , (12.12) , thı̀ Qi ( Qi ωi+1 + Qi−1 ) > Qi ( Qi qi+1 + Qi−1 ) = Qi Qi+1 tù d̄ây 1 δi < . mat .̆ khác Qi ( Qi ωi+1 + Qi−1 ) = Qi ( Qi (ωi+1 − qi+1 ) + Q i Q i +1 , , ,, Qi qi+1 + Qi−1 ) và dùng bâ´t d̄ăng thúc (12.12 ) ta nhân . d̄uo. c Qi ( Qi ωi+1 + Qi−1 ) < Qi ( Qi + ( Qi qi+1 + Qi−1 )) = Qi ( Qi + Qi+1 ). , ,, Tù d̄ây và (12.11) ta tı̀m d̄uo. c δi > 1 . Q i ( Q i + Q i +1 ) J , TÀI LIÊU . THAM KHAO [1] Phu,o,ng pháp Ðirichlê và ú,ng dung, . , , Nguyễn Hũu Ðiên, NXB KHKT, 1999. , [2] Phu,o,ng pháp sô´ phú,c và hı̀nh hoc phăng, . , , Nguyễn Hũu Ðiên, NXB ÐHQG, 2000. [3] Metod matematiqeskoǌ u indukcii, I. S. Sominskiǌ u, Moskva, 1961. [4] Matematiqeska indukci, L. Petruxev, Sofi, 1983. [5] Problem-Solving through problems, Loren C. Larson, Springer-Verlag, 1983. ,, [6] Các d̄ề thi vô d̄ich . toán các nuóc, , X.V. Cônhiagin, G.A. Tônôian, I.F. Sarugin,… NXB GD, 1996. [7] Phép quy nap . trong hı̀nh hoc, . L.I. Golovina, I.M. Yaglom NXB GD, 1997. 250 NÔI . DUNG , Lòi nói d̄â`u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,, Chuong 1. Nguyên lý quy nap . toán hoc . …………….. 4 1.1. Suy diễn và quy nap . ……………………………. 4 3 1.2. Nguyên lý quy nap . toán hoc . …………………….. 6 , 1.3. Giai d̄oan . quy nap . và gia thiê´t quy nap . …………… 8 ,, , 1.4. Hai buóc cua nguyên lý quy nap . toán hoc . . . . . . . . . . . . 14 ,, 1.5. Khi nào dùng phuong pháp quy nap . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6. Bài tâp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ,, ,, Chuong 2. Kỹ thuât . dùng phuong pháp quy nap . toán hoc . 23 2.1. Môt nguyên lý quy nap . sô´ dang . . toán hoc . ………… 23 2.2. Mênh d̄ê` trong nguyên lý quy nap . . toán hoc . ………. ,, ,, , 2.3. Buóc quy nap . d̄uo. c xây du. ng trên P(k) . . . . . . . . . . . . . . ,, ,, , 2.4. Buóc quy nap . d̄uo. c xây du. ng trên P(k + 1) . . . . . . . . . . 2.5. Quy nap . toán hoc . và phép truy hô`i . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 2.6. Quy nap . toán hoc . và tông quát hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.7. Bài tâp . ……………………………………….. , ,, , Chuong 3. Tı̀m công thúc tông quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Câ´p sô´ công và câ´p sô´ nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , 3.2. Tı́nh tông và sô´ hang tông quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,, 3.3. Phuong trı̀nh truy hô`i tuyê´n tı́nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 36 40 43 51 55 57 57 66 71 252 NÔI . DUNG , , , , , 3.4. Tông cua nhũng lũy thùa cùng bâc . các sô´ tu. nhiên . 3.5. Bài tâp . ……………………………………….. ,, Chuong 4. Sô´ hoc . …………………………………. 4.1. Phép chia hê´t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 87 89 89 4.2. Thuât . toán Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 , 4.3. Sô´ phúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 , 4.4. Nhũng vı́ du. khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.5. Bài tâp. . ……………………………………… ,, Chuong 5. Dãy sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 5.1. Dãy sô´ tu. nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 5.2. Dãy trôi . hon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , , , 5.3. Nhũng bâ´t d̄ăng thúc nôi tiê´ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 5.4. Dãy d̄on d̄iêu . ………………………………… 5.5. Sô´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 110 110 117 121 128 131 5.6. Dãy sô´ Fibonacci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.7. Bài tâp. . ……………………………………… ,, Chuong 6. Hı̀nh hoc . ……………………………… 139 140 6.1. Vı́ du. quy nap . toán hoc . cho hı̀nh hoc . …………… 140 6.2. Bài tâp. . ……………………………………… ,, , Chuong 7. Ða thúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , 7.1. Phân tı́ch d̄a thúc ra thùa sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.2. Nguyên lý so sánh các hê. sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , 7.3. Ðao . hàm cua d̄a thúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 7.4. Ða thúc Chebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 156 160 169 172 NÔI . DUNG 253 7.5. Bàii tâp . ……………………………………… , , , ,, , Chuong 8. Tô ho. p và d̄ăng thúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , , 8.1. Môt . sô´ công thúc tô ho. p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , 8.2. Môt . sô´ d̄ăng thúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 8.3. Bài tâp. . ……………………………………… ,, Chuong 9. Liên phân sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 176 186 193 194 9.1. Khái niêm . liên phân sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , 9.2. Phân tı́ch sô´ hũu ty thành liên phân sô´ . . . . . . . . . . . . , 9.3. Phân sô´ xâ´p xı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 9.4. Liên phân sô´ vô han . ………………………….. 203 9.5. Vı́ du. . ……………………………………….. 204 9.6. Bài tâp . ……………………………………… ,, Chuong 10. Môt ………………… . . sô´ d̄ê` thi vô d̄ich , ,, , Chuong 11. Bài tâp . tu. giai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , Chuong 12. Lòi giai và go. i ý bài tâp . ……………… , ,, , , 12.1. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.2. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.3. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.4. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.5. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.6. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.7. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.8. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . , ,, , , 12.9. Lòi giai và go. i ý bài tâp . chuong 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 194 196 212 226 231 231 233 236 236 237 240 240 244 247 254 , Thu. c hành tı́nh toán Muc . luc . ………………………………………… 250 , , PHUONG PHÁP QUY NAP . TOÁN HOC . Mã sô´: 8H663M0 , , In 3.000 ban (21TK), khô 14, 3 × 20, 3 cm Tai . Công ty In Ba ´ ´ Ðı̀nh, Thanh Hóa Sô in: 127; Sô XB 05/796-00. , , In xong và nôp . luu chiêu tháng 8 năm 2000.