Phương pháp đưa về một biến chứng minh Bất đẳng thức

Giới thiệu Phương pháp đưa về một biến chứng minh Bất đẳng thức

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Phương pháp đưa về một biến chứng minh Bất đẳng thức.

Tài liệu môn Toán và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu Phương pháp đưa về một biến chứng minh Bất đẳng thức

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán học sinh giỏi tại đây

Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . A. lý DO CHäN §Ò TµI Trang bÞ nh÷ng tri thøc c¬ b¶n ,cÇn thiÕt ,tiªn tiÕn nhÊt ®Æc biÖt lµ nh÷ng tri thøc ph­¬ng ph¸p vµ ph¸t triÓn trÝ tuÖ cho hä c sinh lµ c¸c môc tiªu ®­îc ®Æt lªn hµng ®Çu trong c¸c môc tiªu d¹y häc m«n to¸n. BÊt ®¼ng thøc lµ mét vÊn ®Ò ®­îc gi¸o viªn vµ häc sinh th©m nhËp víi mét l­îng thêi gian kh¸ nhiÒu v× ®©y lµ vÊn ®Ò cã thÓ ph¸t triÓn kh¶ n¨ng t­ duy to¸n häc cho häc sinh. ThÕ nh­ng qua viÖc t×m hiÓu vÊn ®Ò nµy trong qu¸ tr×nh d¹y häc t«i thÊy mÆc dï ®· cã rÊt nhiÒu ph­¬ng ph¸p gi¶ i cho nh÷ng bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc ®iÓn h×nh cô thÓ cã nhiÒu d¹ng. Cã nh÷ng bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc khã khi båi d­ìng häc sinh kh¸ giái viÖc sö dông nh÷ng ph­¬ng ph¸p ®· cã gÆp nhiÒu khã kh¨n, v× thÕ víi h­íng suy nghÜ kh¾c phôc nh÷ng h¹n chÕ vÒ ph­¬ng ph¸p gi¶i ®· cã tr­íc t«i ®· t×m kiÕm thªm ®­îc mét ph­¬ng ph¸p tiÖn lîi ®Ó gi¶i quyÕt nh÷ng bµi to¸n khã vµ còng ®Ó kh¬i dËy trÝ t×m tßi cña häc sinh vµ gi¸o viªn trong qu¸ tr×nh tù häc, kh¬i dËy lßng say mª t×m kiÕm nh÷ng c¸i míi. V× nh÷ng lý do ®ã.D­íi ®©y t«i xin ®­îc trao ®æi víi quý ®ång nghiÖp mét ph­¬ng ph¸p gi¶i cho nh÷ng bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc ( Th­êng lµ nh÷ng bµi bÊt ®¼ng thøc khã, x¶y ra trong c¸c kú thi häc si nh giái, thi §¹i häc). Vµ trong mét sè bµi t«i khai th¸c s©u thªm b»ng nh÷ng ho¹t ®éng trÝ tuÖ nh­ tæng qu¸t, ph©n tÝch, so s¸nh, ®Æc biÖt hãa. .. Néi dung ®Ò tµi gåm ba phÇn : PhÇn I: mét biÕn lµ Èn phô t=h(x,y,z,…) PhÇn II: Mét biÕn lµ x(y hoÆc z) PhÇn III: Khai th¸c ph­¬ng ph¸p trong l­îng gi¸c b.néi dung ®Ò tµi */ Bµi to¸n : XÐt bµi to¸n : víi ®iÒu kiÖn R (nÕu cã) . Chøng minh r»ng p=f(x,y,z,…)  A (hoÆc  A) ph­¬ng ph¸p gi¶i:  Chøng minh p  g (t ) víi t  D  Chøng minh g (t )  A víi t  D VÊn ®Ò ®Æt ra lµ ®¸nh gi¸ biÓu thøc p ®Ó ®­a vÒ biÓu thøc mét biÕn g(t) vµ chøng minh g (t )  A – ViÖc chøng minh g (t )  A ë ®©y t«i chØ sö dông c¸ch biÕn ®æi ( dù ®o¸n dÊu b»ng x¶y ra),ngoµi ra ®èi víi hoc sinh líp 12 cã thÓ lµm mét c¸ch nhanh chãng h¬n b»ng c¸ch sö dông ®¹o hµm lËp b¶ng biÕn thiªn ®Ó gi¶i. – Cßn ®¸nh gi¸ p nãi chung lµ phong phó tïy thuéc tõng bµi to¸n ®Ó lùa chän c¸ch ®¸nh gi¸ thÝch hîp (dïng c¸ch biÕn ®æi , sö dôn g bÊt ®¼ng thøc cæ ®iÓn bunhiacopki,c«si,….) . Kỳ _ Xác . -1- Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . */ kiÕn thøc bæ sung 1.BÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n : a.BÊt ®¼ng thøc c«si: cho x1 , x2 ,…, xn (n  2) sè kh«ng ©m khi ®ã: x1  x2  …  xn  n n x1 x2 …xn ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x1  x2  …  xn b. BÊt ®¼ng thøc bunhiacopxki: ( x1  x2  …  xn )( y1  y2  …  yn )  ( x1 y1  x2 y2  …  xn yn ) 2 x x x ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi 1  2  …  n y1 y2 yn 2 2 2 2 2 2 c. BÊt ®¼ng thøc svac-x¬(hÖ qu¶ cña bÊt ®¼ng thøc bunhiacopxki ) : 2 víi y1 , y2 ,…, yn (n  2) lµ sè d­¬ng: x1  x2  …  xn  ( x1  x2  …  xn ) y1 y2 yn y1  y2  …  yn x x x ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi : 1  2  …  n y1 y2 yn 2 2 2 2.TÝnh chÊt: a. NÕu p cã gi¸ tri kh«ng ®æi khi ta ho¸n vÞ vß ng quanh c¸c biÕn x,y,z.. ch¼ng h¹n p=f(x,y,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y) . khi ®ã kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö x=max(x,y,z,…) hoÆc x=min(x,y,z,…) b. NÕu p cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi khi ta ho¸n vÞ mét c¸ch bÊt k× c¸c biÕn x,y,z… ch¼ng h¹n p=f(x,y,z)=f(x,z,y)=f(y,x,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y)=f(z,y,x) . khi ®ã kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ s¾p xÕp c¸c biÕn theo mét thø tù x  y  z  …. I. mét biÕn lµ Èn phô t=h(x,y,z,…). Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô më ®Çu  Bµi to¸n 1 :Víi x,y lµ sè d­¬ng chøng minh r»ng: x 3  y 3  xy 2  yx 2 (1) Gi¶i: V× x lµ sè d­¬ng nªn: 3 2 y y y y (1)  1        . ®Æt =t th× t>0 x x x x 3 2 2 (1) trë thµnh t -t -t+1  0  (t-1) (t+1)  0 (®óng víi mäi t>0) ®pcm Tæng qu¸ t ta cã bµi to¸n sau: Cho x,y lµ sè d­¬ng. Cmr: x n  y n  xy n  1  x n  1 y (n  2, n  N ) Chøng minh hoµn hoµn t­¬ng tù!  Bµi to¸n 2 : Víi x,y kh¸c kh«ng chøng minh r»ng:  Kỳ _ Xác . -2- Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . x4 y4  y4 x4  x2 y2  x y     2    y2 x2  y x   ( 2) Gi¶i: x y §Æt t=  y x y x y th× t      2 (¸p dông b®t c«si) x y x y x khi ®ã (2) trë thµnh: (t 2  2) 2  2  (t 2  2)  t  2  0  (t+2)(t 3 -2t 2 -t+3)  0(2′) +) Víi t  2: ta cã t 3 -2t 2 -t+3=(t-2)(t 2 -1)+1>0 nªn bÊt ®¼ng thøc (2′) ®óng +) Víi t  -2: ta cã t 3 -2t 2 -t+3=(t+2)[(t-2) 2 +3] – 11 > 0 vµ t+2  0 nªn bÊt ®¼ng thøc (2′) ®óng vËy bÊt ®¼ng thøc (2) ®óng dÊu b»ng x¶y ra khi t= -2 hay x=-y  ®pcm  Bµi to¸n 3:(§Ò chän ®éi tuyÓn dù thi HSG to¸n QG 2006-2007) x,y,z lµ sè thùc tháa m·n x 2  y 2  z 2  2 .T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc P  x 3  y 3  z 3  3xyz -NhËn xÐt : Dù ®o¸n dÊu gi¸ trÞ LN,NN ®¹t ®­îc kh i x=y=z hoÆc t¹i c¸c ®iÓm biªn.Thö vµo ta cã ph¸n ®o¸n  2 2  P  2 2 Gi¶i: Tõ ®¼ng thøc x 2  y 2  z 2  2( xy  yz  zx)  ( x  y  z ) 2 x 3  y 3  z 3  3 xyz  ( x  y  z )( x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx ) vµ ®iÒu kiÖn ta cã: ( x  y  z)2  2 p  ( x  y  z )( x  y  z  xy  yz  zx )  ( x  y  z )(2  ) 2 2 ®Æt t  x  y  z 2  2 0t  6 t2  2 t3 1 )    3t   (t  2 ) 2 (t  2 2 )  2 2  2 2 2 2 2 dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi t  2 vËy Pmin=  2 2 khi x=  2 ,y=z=0 hoÆc ho¸n vÞ Pmax= 2 2 khi x= 2 ,y=z=0 hoÆc ho¸n vÞ p  t (2  Sau ®©y ta xÐt mét sè vÝ dô mµ ph¶i ®¸nh gi¸ biÓu thøc P míi thÊy ®­îc Èn phô  Bµi to¸n 4: Cho  x, y , z  0 1 1 1 15   x  y  z  3 Cmr: x  y  z     x y z 2  2 Gi¶i: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si ta cã: 1 1 1 1 9    x  y  z  33 x yz x y z xyz x yz 3 t  x yz 0t  2 x yz §Æt Kỳ _ Xác . -3- Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . 1 x 1 1 9 9 27 9 27 15  t  t    2 t.   y z t 4t 4t 4t 4. 3 2 2 1 dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi x=y=z= 2 VËy: x  y  z    ®pcm Tæng qu¸t ta cã bµi to¸n: Cho x1 , x2 ,…, xn ( n  2) lµ sè d­¬ng ; x1  x2  …  xn  k ( k  R * ) b  0; ak 2  bn 2 . Cmr : 1 1 1 bn 2  ak 2 a( x1  x2  …  xn )  b(   …  )  x1 x2 xn k (*) S¬ l­îc lêi gi¶i: 1 1 1 bn 2 a( x1  x2  …  xn )  b(   …  )  a( x1  x2  …  xn )  x1 x2 xn x1  x2  …  xn bn 2 1 t bn 2 1 bn 2 bn 2  ak 2  bn 2 (  2 )  t (a  2 )  bn 2 .2.  k (a  2 )  t t k k k k k  at  NhËn xÐt1 : – Tõ bµi to¸n (*) ta §Æc biÖt hãa 1.Víi a=1; b=4 ; n=3 ; k= 3 ta cã bµi to¸n : 2  x, y , z  0 1 1 1 51 3 Cmr: x  y  z  4(   )  Cho  x yz  x y z 2  2 kÕt hîp bÊt ®¼ng thøc bunhiacopxki ta cã bµi to¸n 2′ :(olimpic-to¸n s¬ cÊp -§¹i Häc Vinh)  x, y , z  0 3 C mr: Cho   x yz  x2  2 1 1 1 17  y 2  2  z 2  2  3. 2 y z x 2 ThËt vËy : ¸p dông bÊt ®¼ng thøc bunhacopxki ta cã (x2  1 2 4 1 1 4 )(1  4 2 )  x   x 2  2  (x  ) 2 y y y y 17 t­¬ng tù sau ®ã céng l¹i kÕt hîp bµi to¸n trªn ta suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh Víi a=1;b=9;n=3;k=1 kÕt hîp bÊt ®¼ng thøc bunhiacopxki ta cã bµi to¸n  x, y , z  0 x  y  z  1 Cho  CMR : x2  1 1 1  y 2  2  z 2  2  82 2 x y z (®Ò thi ®¹i häc ,cao ®¼ng n¨m 2003 -2004) 2.víi a= -1; b=1 ; n=2 ; k= 2 ta cã bµi to¸n :  x, y  0 x  y  2 Cho  Cmr: 1 1   ( x  y)  2 x y b»ng c¸ch thay ®æi gi¶ thiÕt , ®Æt Èn phô ta cã Kỳ _ Xác bµi to¸n 2”: . -4- Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc .  x, y  0 Cmr: x  y  1 x y   2 1 x 1 y cho  ThËt vËy: b»ng c¸ch ®Æt: a= 1  x ; b= 1  y vµ kÕt hîp bÊt ®¼ng thøc bunhacopxki vµ bµi to¸n trªn ta suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh Tæng qu¸t: (t¹p chÝ crux ) x1 , x2 ,…, xn (n  2) lµ sè d­¬ng vµ x1  x2  …  xn  m ,m>0: x1 Cmr:: m  x1  x2 m  x2 xn  …  m  xn  mn n 1 Chøng minh hoµn toµn t­¬ng tù ! – NÕu ®æi chiÒu cña bÊt ®¼ng thøc ë ®iÒu kiÖn (bµi to¸n (*))th× bµi to¸n thay ®æi nh­ thÕ nµo? Tr¶ lêi c©u hái nµy ta cã bµi to¸n míi : Cho x1 , x2 ,…, xn (n  2) lµ sè d­¬ng; x1  x2  …  xn  k ( k  R * ) b  0; ak 2  bn 2 . Cmr : 1 1 1 bn 2  ak 2 a( x1  x2  …  xn )  b(   …  )  (**) x1 x2 xn k tõ bµi to¸n (**) ta cã thÓ khai th¸c ta ®­îc nh÷ng bµi to¸n míi kh¸ thó vÞ … *)Nh­ vËy khi lµm mét bµi to¸n ta cã thÓ dïng ho¹t ®éng trÝ tuÖ ®Ó khai th¸c s©u bµi to¸n_ë trªn cã mét chu k× ho¹t ®éng kh¸ hay ®ã lµ :bµi to¸n cô thÓ  tæng qu¸t  ®Æc biÖt  (ph©n tÝch , so s¸nh…)  bµi to¸n míi  tæng qu¸t. (chó ý tæng qu¸t cã nhiÒu h­íng :theo h»ng sè ,theo sè biÕn hoÆc sè mò)  Bµi to¸n 5:(THTT/ T4/352/2007 ) Víi x,y,z lµ sè d­¬ng vµ xyz  1 x Cmr: x y  y  xz yz z  z  xy  3 2 (5) Gi¶i: §Æt a= x , b= y , c= z Bµi to¸n trë thµnh : a,b,clµ sè d­¬ng vµ abc  1 cmr a2 a 2  bc  b2 b 2  ac  c2 c 2  ab  3 2 (4′) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc svac-x¬ ta cã: VT 2 (5′)     2   = 2 2 2 a  bc  b  ac  c  ab   (a  b  c) 2 (a  b  c) 4 a 2  bc  b 2  ac  c 2  ab 2 (a  b  c) 4 (a  b  c) 4 (a  b  c) 4   3(a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca ) 3[(a  b  c) 2  3(ab  bc  ca )] 3[(a  b  c) 2  3] {v× ab+bc+ca  33 (abc ) 2  3} ®Æt t=(a+b+c) 2 th× t  9 { v× a+b+c  33 abc  3} Kỳ _ Xác . -5- Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . 3t  15 t  3 3 3.9  15 t 3 3 t2 9    2 . ta cã = = 12 12 t 3 12 12 t  3 2 3(t  3) 3 9  VT 2 (5′)   VT(4′)  2 2 dÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=1  ®pcm Tæng qu¸t ta cã bµi to¸n sau:víi x1 , x2 ,…, xn (n  2) d­¬ng vµ x1 x2 …xn  1 Cmr:  x1 x1  x2 x3 ..xn Bµi to¸n 6: Cho x2  xn … x2  x3 x4 …xn x1 xn  x1 x2 …xn 1  n 2  x, y , z  0 x y z 9    Cmr: P   2 2 2 1 x 1 y 1 z 10 x  y  z  1 NhËn xÐt: Ta nghÜ ®Õn ¸p dông b®t svac-x¬ nh­ng ë ®©y chiÒu cña bÊt ®¼ng thøc l¹i ng­îc.Mét ý nghÜ n¶y sinh lµ biÕn ®æi P ®Ó lµ m ®æi chiÒu bÊt ®¼ng thøc ? Gi¶i : Ta cã : x2 y2 z2 x3 y3 z3 P  x(1  )  y (1  )  z (1  ) 1 (   ) 1  x2 1  y2 1  z2 1  x2 1  y2 1  z 2   2 x4 y4 z4 x2  y2  z 2   )  1  x  x3 y  y 3 z  z 3 x  y  z  x3  y 3  z 3 1 §Æt t  x 2  y 2  z 2 tõ ®k  t  3 1 ( ¸p dông bÊt ®¼ng thøc bunhiacopxki vµ c«si ta cã: x 3  y 3  z 3  ( x  y  z )( x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx )  3 xyz  1 x2  y2  z 2 3 3 1 t  x 2  y 2  z 2  [1  ( x 2  y 2  z 2 )]  3 ( )  t  t 2 3 2 2 3 VËy 1 (  t )(57t  9) 2t 2t  3t  10t  3 9 9 9 9 P 1 1  2    3 2   t 3t  10t  3 10 10 3t  10t  3 10 10 t 3t  1  t 2  1  3t  2t 3 3 1 dÊu b»ng x¶y khi vµ chØ khi x=y=z= 3  ®pcm 2 2 2 Khi gÆp bµi to¸n cã ®iÒu kiÖn phøc t¹p khã sñ dông th× ph¶i xö lÝ ®iÒu kiÖn . Ta xÐt bµi to¸n sau:  Bµi to¸n 7:(T¹p chÝ to¸n häc tuæi th¬ ) Cho x, y, z  (0;1)    xyz  (1  x)(1  y )(1  z )(1) Cmr: x 2 +y 2 +z 2  3 4 Gi¶i: Kỳ _ Xác . -6- Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . (1)  1-(x+y+z)+xy+yz+zx=2xyz  x 2 +y 2 +z 2 =2-2(x+y+z)+(x+y+z) 2 -4xyz x y z ¸p dông b®t C«si ta cã :    xyz nªn 3   3 x y z x +y +z  2-2(x+y+z)+(x+y+z) -4   3   §Æt t=x+y+z th× 0  t  3 .Khi ®ã: 4 1 15 3 3 x 2 +y 2 +z 2   t 3  t 2  2t  2  (2t  3)2 (  t )   27 27 4 4 4 3 1 dÊu b»ng x¶y ra khi t= hay x=y=z= 2 2  ®pcm 3 2 2 2 2 NhËn xÐt 2 : Tõ ý t­ëng ph­¬ng ph¸p gi¶i ë trªn ta cã thÓ s¸ng t¹o c¸c bÊt ®¼ng thøc : ch¼ng h¹n -Tõ bÊt ®¼ng thøc c« si 1.C ho x,y lµ sè d­¬ng.Cmr: ( x 2  y 2 )3  8  8 x 2 y 2  8 xy 2.(THTT-248 – 1998):Cho x,y,z lµ sè d­¬ng kh«ng lín h¬n 1. Cmr: a. b. 1 x yz 1 x yz   1 3 1 3  (1  x)(1  y )(1  z ) 3  (1  x)(1  y )(1  z ) Tõ ®ã ta cã bµi to¸n tæng qu¸t : (chó ý: c©u b chÆt h¬n c©u a) Cho x1 , x2 ,…, xn (n  2) lµ sè d­¬ng kh«ng lín h¬n  : Cmr: a n 1 an   ( a  x1 )(a  x2 )…( a  xn ) x1  x2  …  xn n Hd: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si ta cã:  na  ( x1  x2  …  xn )  ( a  x1 )(a  x2 )…( a  xn )    n   n a n 1 a n  na  t  na  t n n 1a n  t (na  t )n 1     bÊt ®¼ng thøc trë thµnh:    0(*) t n  n  n  tn n 1  n ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si ta cã:  (n  1)na  n n n 1 n 1 n (n  1)t (na  t )(na  t )…( na  t )     (n  1) a  t (na  t )  n a n   kÕt hîp ®iÒu kiÖn bµi to¸n nªn bÊt ®¼ng thøc (*) ®óng n ngoµi ra tõ c¸ch chøng minh ta cã bÊt ®¼ng thøc chÆt h¬n sau: Cho x1 , x2 ,…, xn (n  2) lµ sè d­¬ng kh«ng lín h¬n a .Cmr:  n 1    n  n 1 a n 1  n 1   x1  x 2  …  x n  n  Kỳ _ Xác n 1 an  ( a  x1 )( a  x 2 )…( a  x n ) n . -7- Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . chøng minh hoµn toµn t­¬ng tù ! x, y , z  0 Cmr: x  y  z  27 xyz  30 2 2 x  y  z  3 x, y , z  0  4.Cho  Cmr: x  y  z  6  xyz  x  y  z  2  3.Cho  2 – Tõ bÊt ®¼ng thøc bunhiac«sxki, svac -x¬ vµ ®¼ng thøc x 2  y 2  z 2  2( xy  yz  zx )  ( x  y  z ) 2 1. Cho x,y,z n»m trong ®o¹n [1;2] .Cmr : 0  xy  yz  zx  ( x  y  z )  6  x, y , z  0 1 10 2. Cho  Cmr: x2  y2  z 2   xy  yz  zx 3  xyz  1 xyz  1 y x z 3    4 3. Cho  Cmr: x yz y2 z2 x2  x, y , z  0 4. Cho  x , y , z  0  x  y  z  1  2 Cmr: 1 xx 2  1 yy x  y  z  1  x, y , z  0 2  1 zz 2  108 5 Cmr: 5.(THTT- 346/2006) Cho  xy  yz  zx  8( x 2  y 2  z 2 )( x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 )  xy  yz  zx  x  y  z 6. Cho  x, y, z  [1;2]  y2 x2 z2 3 Cmr:    4 4  ( y  z ) 2 4  ( z  x) 2 4  ( x  y ) 2 – Hay tõ bÊt ®¼ng thøc schur : x(x  y)(x  z)  y( y  z)(y  x)  z(z  x)(z  y)  0  4(xy  yz  zx)  9xyz x yz  (x  y  z) 2 1: Cho xyz lµ sè kh«ng ©m . Cmr: 2 xyz  x 2  y 2  z 2  1  2( xy  yz  zx) s¬ l­îc lêi gi¶i: BÊt ®¼ng thøc cña bµi to¸n t­¬ng ®­¬ng víi (x  y  z) 2  2xyz  1  4(xy  yz  zx) hay 4(xy  yz  zx)  (x  y  z) 2  2xyz  1 kÕt hîp bÊt ®¼ng thøc trªn vµ bÊt ®¼ng thøc c«si ta cÇn chøng minh: (9  2t )t 2 9  1 víi t  x  y  z , t  27 2 { cßn t  9 hiÓn nhiªn ®óng} 2 B»ng c¸ch thªm bít c¸c biÓu thøc vµo ta cã nhiÒu bµi to¸n kh¸c nhau Ch¼ng h¹n: a[ 4( xy  yz  zx )  ( x  y  z ) 2 ]  bxyz  ct  9axyz  bxyz  ct ; t  x  y  z t  a , b, c  0 th×: 2 a  b  c ta cã: Chän a,b sao cho:  Kỳ _ Xác . -8- Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . a ( x 2  y 2  z 2 )  bxyz  c( x  y  z )  3a  b  3c  2a ( xy  yz  zx ) víi a=3 b=5 c=1 ta cã bµi to¸n: 2.Cho x,y,z lµ sè kh«ng ©m . chøng minh r»ng : 3( x 2  y 2  z 2 )  5 xyz  ( x  y  z )  1  6( xy  yz  zx ) B»ng c¸ch t­¬ng tù ta cã bµi to¸n: 3.Cho x,y,z lµ sè d­¬ng chøng minh r»ng xyz  2( x 2  y 2  z 2 )  8  5( x  y  z ) (THTT-sè 356) 4.Cho x,y,z lµ sè d­¬ng chøng minh r»ng x 2  y 2  z 2  2 xyz  3  (1  x)(1  y )(1  z ) 5.Cho  xy  yz  zx  3   x, y , z  [0; 4 ] Cmr:  3 xyz  4( x  y  z )  13 Tõ ®¼ng thøc ,bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n,®¬n gi¶n ta cã thÓ t¹o v« sè bµi to¸n! ®Ó kÕt thóc phÇn I t«i xin ®­a ra thªm mét sè bµi to¸n lµm theo ph­¬ng ph¸p nµy: *————–Mét sè bµi to¸n———-* I1.Chøng minh r»ng:  1 4 27 x y 1 27 víi mäi x,y thuéc R   4 4 4 2 2 1 x  y 2 2 HD: t  x  y x y z 3 I2.Cho   x, y, z  (0;2) 27 Cmr: 1   1  1  2 )( y 2  2 )( z 2  2 ) 4  x 2 4  y 2 4  z 2 HD: t = ( x  y  z ) 2 :  x, y , z  0 I3.Cho  Cmr : x( y  z ) 4  y ( z  x) 4  z ( x  y ) 4  1 12 x  y  z  1 HD: Gi¶ sö x  y  z  0 ®Æt t  x ( y  z ) ta chøng minh ®­îc (x 2 x( y  z ) 4  y ( z  x) 4  z ( x  y ) 4  t (1  3t )  x 2  y 2  z 2  xyz  4 x, y , z  0  Cmr: I4 . Cho   xy  yz  zx  x  y  z x, y, z  (0;1]  I5. Cho  x2 ( y  z  x) 2  y2 ( z  x  y) 2  x y z3 Cmr: z2 ( x  y  z) 2  3 I6. Cho x1 , x 2 ,…, x n (n  2, n  N ) lµ sè d­¬ng vµ x1  x2  …  xn  k (n  k  0) . Chøng minh r»ng: Kỳ _ Xác 1 1 1 n3   …   2 2 2 k (n  k ) x1  x1 x2  x2 xn  xn . -9- Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . I7 . Víi x1 , x2 ,…, xn (n  2) d­¬ng vµ x1 x 2 …x n  1 . Cmr: x1  x2  …  xn   NhËn 1 n2  1  x1  x2  …  xn n xÐt 3: – NÕu chøng minh g(t)  0 b»ng c¸ch biÕn ®æi nh­ trªn th× tr­íc tiªn ph¶i dù ®o¸n ®­îc dÊu b»ng x¶y ra t¹i ®©u ®Ó ®¸nh gi¸ hay t¸ch nhãm hîp lý . -Khi ®Æt Èn phô th× ph¶i t×m ®iÒu kiÖn s¸t cña Èn phô ®Æc biÖt lµ chøng minh g(t)  0 b»ng ph­¬ng ph¸p ®¹o hµm. II. Mét biÕn lµ x(y hoÆc z): ë vÝ dô trªn th× chóng ta ph¶i lµm xuÊt hiÖn Èn phô.sau ®©y ta xÐt mét líp bµi to¸n mµ Èn phô chÝnh lµ x hoÆc y hoÆc z 1.§­a vÒ mét biÕn nhê ®iÒu kiÖn :  Bµi to¸n 8: Cho x  y  z  1   x, y , z  0 Cmr: xy  yz  zx  xyz  8 27 Gi¶i: Tõ ®k bµi to¸n ta thÊy 0  z  1  1  z  0 ¸p dông b®t c«si ta cã: x y xy+yz+zx-xyz=z(x+y)+xy(1-z)  z(x+y)+   (1-z)  2  2  z3  z2  z  1 1 z   xy+yz+zx-xyz=z(1-z)+  =  (1-z)= 4  2  1 1 5 8 8  (z  ) 2 (z  )   víi mäi z, 0  z  1 4 3 3 27 27 1 dÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=  ®pcm 3 x  y z3   Bµi to¸n sè 9: Cho  Cmr: 5  xyz  2( xy  yz  zx)  x, y , z  0 2 (9) Gi¶i: Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö z=min(x,y,z) Tõ ®iÒu kiÖn dÔ thÊy 0  z  1 x y 2 ) ( z  2)  2 z ( x  y )  0 2 ( z  1) 2 ( z  2) 3 z 2 z 3  3z  2 5( ) ( z  2 )  2 z (3  z )  0  0 0 2 4 4 ®óng víi z  [0;1] . DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=1  ®pcm  NhËn xÐt4: (9)  5  xy ( z  2)  2 z ( x  y )  0  5  ( – NÕu lÊy ®iÒu kiÖn 0  z  3 th× bÊt ®¼ng thøc ®¸nh gi¸ biÓu thøc trªn lµ kh«ng ®óng. ë ®©y chóng ta sö dông tÝnh chÊt 1 ®Ó lµm h¹n chÕ ®iÒu kiÖn cña biÕn ®Ó cã thÓ ®¸nh gi¸ ®­îc biÓu thøc . Kỳ _ Xác . – 10 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . – Ta cã bµi to¸n Tæng qu¸t cña bµi 9 sau: x  y  z  3  x, y, z  0  bµi to¸n 9′ cho  a  0; b  0 Cmr: a ( xy  yz  zx )  bxyz  (3a  b )  0  a 4   3  b HD: Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö z=min(x,y,z) tõ ®iÒu kiÖn dÔ thÊy 0  z  1  a  bz  0; z  3a  4  0 ta cã: b a ( xy  yz  zx )  bxyz  (3a  b)  xy ( a  bz )  az ( x  y )  (3a  b)   az (3  z )  (3a  b)  Chó ý: NÕu (3  z ) 2 ( a  bz )  4 1 3a b( z  1) 2 ( z   4)  0 4 b a  3 th× viÖc chøng minh bµi to¸n tæng qu¸t kh«ng cÇn sö dông b tÝnh chÊt 1 Thay ®æi h×nh thøc bµi to¸n: – Sö dông ®¼ng thøc x 2  y 2  z 2  2( xy  yz  zx )  ( x  y  z ) 2 ta cã thÓ ®­a bµi to¸n trªn vÒ bµi to¸n t­¬ng ®­¬ng nh­ng h×nh thøc kh¸c : ch¼ng h¹n bµi 9 cã thÓ ph¸t biÓu d­íi d¹ng t­¬ng ®­¬ng : x  y  z  3 (THTT-2006) Cmr:  x, y , z  0 Cho  x 2  y 2  z 2  xyz  4 hay sö dông ®¼ng thøc x  y 3  z 3  3 xyz  ( x  y  z )[( x  y  z ) 2  3( xy  yz  zx )] 3 bµi to¸n 9 cã thÓ ®­îc ph¸t biÓu d­íi d¹ng : x  y  z  3  x, y , z  0 Cho  Cmr: 2( x 3  y 3  z 3 )  3 xyz  9 – §Æt Èn phô : a=mx;b=my;c=mz hoÆc a= 1 1 1 ;b= ;c= ..v..v.. x z y ch¼ng h¹n: bµi to¸n 9 cã thÓ ph¸t biÓu d­íi d¹ng t­¬ng ®­¬ng x  y  z  1  Cho  Cmr: 5  27 xyz  18( xy  yz  zx )  x, y , z  0  xyz  xy  yz  zx  Cho  Cmr: 5 x 2 y 2 z 2  27 xyz  18( x 2  y 2  z 2 ) x, y , z  0  -Sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu vµ bÊt ®¼ng thøc ®· cã: ch¼ng h¹n bµi 9: Tõ bÊt ®¼ng thøc c«si: x 3  y 3  z 3  3 xyz x  y  z  3 Cmr: x 3  y 3  z 3  15  6( xy  yz  zx ) x , y , z  0  ta cã bµi to¸n  *)Tõ c¸ch chøng minh bµi to¸n tæng qu¸t trªn ta cã bµi to¸n T­¬ng tù Kỳ _ Xác . – 11 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . x  y  z  3  x, y , z  0  bµi to¸n9” Cho  a  0; b  0 chøng minh r»ng:  a 2   3  b a ( xy  yz  zx )  bxyz  (3a  b )  0 Chó ý : §Ó chøng minh : sö dông tÝnh chÊt 1 víi z=max(x,y,z) §Æc biÖt hãa ta cã bµi to¸n: x  y  z  3 Cmr:  x, y , z  0 Víi a=1; b=-2 : Cho  xy  yz  zx  2 xyz  1 Sau ®©y ta xÐt tiÕp mét sè bµi to¸n sö dông tÝnh chÊt nµy ®Ó lµm h¹n chÕ ph¹m vi cña biÕn:  Bµi to¸n 10: Cho  x, y , z  [0;2]  x  y  z  3 Cmr: x 3  y 3  z 3  9 Gi¶i: Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t , gi¶ sö z=max(x,y,z) Tõ ®iÒu kiÖn  1  z  2 . Ta cã: x 3  y 3  z 3  x 3 +y 3 +3xy(x+y) +z 3 =(x+y) 3 +z 3 =(3-z) 3 +z 3 = =9z 3 -27z+27=9(z-1)(z-2)+9  9 víi mäi z,1  z  2 dÊu b»ng x¶y ra khi (x,y,z)=(0,1,2) vµ ho¸n vÞ cña nã  ®pcm  Bµi to¸n 11 : (§Ò thi to¸n quèc gia _b¶ng B_1996;USAMO_2001) x, y , z  0  xy  yz  zx  xyz  4  Cho  Gi¶i: Cmr: x+y+z  xy+yz+zx(11) Gi¶ sö z=min(x,y,z) , tõ ®iÒu kiÖn ta cã : 4  xy  yz  zx  xyz  z  3 z  ( z  1)( z  2) 2  0  0  z  1 (11′) 4  xyz  xy xy+yz+zx+xyz=4  (x+y)z=4-xyz-xy  x+y= (11”) z MÆt kh¸c : 0=xy(1+z)+z(x+y) -4  xy(1+z)+2 xy .z-4 2 2 )( xy  2)  0  xy   ( xy  (11”’) z 1 z 1 (11)  ( x  y )(1  z )  z  xy  0 3 2 Tõ (11′),(11”),(11”’) ta cã : Kỳ _ Xác . – 12 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . (x  y)(1 z)  z  xy 4 xyz xy 44z  xy(z 2  z)  xy z 2 (1 z)  z  xy z z 2 2  2  2  2  2 44z   (z  z)   z z(1 z)2  z 1  z 1   0 z (z 1)2 dÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=1  ®pcm  Bµi to¸n 12: Cho x  y  z  3   x, y , z  0 Cmr: 2( x 2  y 2  z 2 )  x 2 y 2 z 2  7 Gi¶i: Ta cã [( x  1)( y  1)][( y  1)( z  1)][( z  1)( x  1)]  [( x  1)( y  1)( z  1)] 2  0 Do ®ã trong ba sè ( x  1)( y  1); ( y  1)( z  1); ( z  1)( x  1) cã Ýt nhÊt mét sè kh«ng ©m . Gi¶ sö ( x  1)( y  1)  0  xy  x  y  1 Ta cã: 2( x 2  y 2  z 2 )  x 2 y 2 z 2  ( x  y ) 2  2 z 2  ( x  y  1) 2 z 2  (3  z ) 2  2 z 2  (2  z ) 2 z 2  z 4  4 z 3  7 z 2  6 z  9  ( z  1) 2 ( z 2  2 z  2)  7  7 x yz 3   dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi  ( x  1)( y  1)  0  x  y  z  1 ( z  1) 2 ( z 2  2 z  2)  0   ®pcm B»ng c¸ch sö dông tÝnh chÊt trªn ta c ã thÓ t¹o ra c¸c bµi to¸n míi  xyz  1  2 1 ch¼ng h¹n: cho  x , y , z  [ ;4]  Cmr: xy  yz  zx  17 4 *…………..Mét sè bµi to¸n………………* x  y  z  1 Cmr:  x, y , z  0 II11. Cho  a. y  z  16 xyz b. xy  yz  zx  9 xyz c. 9 xyz  1  4( xy  yz  zx ) x, y , z  0  xy  yz  zx  3  II12. Cho  II13. Cho x, y  [0; HD: Gi¶ sö Kỳ _ Xác 2 ]. 2 Cmr: 3( x  y  z )  xyz  10 Cmr: x y 2 2   2 2 3 1 y 1 x x y 2x 2    x  y  0 ta ®i chøng minh: 2 2 2 1 y 1 x 1 x2 . – 13 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . x  y  z  1 Cmr:  x, y , z  0 II14. Cho  a. b. x2  1 y 1 2 xn  1 yn 1   y2 1 z 1 2 yn 1 zn 1   z2 1 x 1 2 zn 1 xn  1  7 (bµi T5 – THTT – 10/2004) 2  7 2 HD:Gi¶ sö x=max(x,y,z) x 2 1 y 2 1  y 2 1 z 2 1  z 2 1  1 y 2 1  z 2 1 1 x 2 1 x 2 1 1 1  3  ( y  z) 2   x 2  2x  4  x 2 1 x 2 1  3 y 2  z 2  1 x 2 1 C©u b t­¬ng tù!  x, y, z  [0;2] x  y  z  3 II15. Cho  Cmr : x n  y n  z n  2n  1 (Tæng qu¸t bµi 8: chøng minh t­¬ng tù!) 2. §­a dÇn vÒ mét biÕn : Tõ biÓu thøc p cã n biÕn ta ®¸nh gi¸ ®­a vÒ (n -1) biÕn …. vµ cuèi cïng ®­a vÒ 1 biÕn. sau ®©y ta xÐt mét sè vÝ dô ®Æc tr­ng thÓ hiÖn ph­¬ng ph¸p nµy:  Bµi to¸n 13: Cho x,y,z n»m trong ®o¹n [1;2] Chøng minh r»ng : x 3  y 3  z 3  5 xyz Gi¶i: §Æt f ( x, y , z )  x 3  y 3  z 3  5 xyz Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö : 2  x  y  z  1 f ( x, y, z )  f ( x, y,1)  z 3  5 xyz  (1  5 xy )  ( z  1)(1  z  z 2  5 xy )  0 V× : z  1  0;1  z  z 2  5 xy  1  z  z 2  5 z 2  1  z  4 z 2  4( z  1) 2  3 z  1  0 MÆt kh¸c : f ( x, y,1)  f ( x,1,1)  y 3  5 xy  (1  5 x)  ( y  1)(1  y  y 2  5 x)  0 V× y  1  0;1  y  y 2  5 x  1  y  y 2  5 y  y 2  4 y  1  ( y  1)( y  2)  y  1  0 VËy f ( x, y, z )  f ( x,1,1)  x 3  5 x  2  ( x  2)[( x  1) 2  2)  0 x,1  x  2 dÊu b»ng bÊt ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi (x,y,z)=(2,1,1) vµ ho¸n vÞ cña (2,1,1)  ®pcm  Bµi to¸n14:(§©y lµ bµi to¸n sè 9) Cho x  y  z  3   x, y , z  0 Chøng minh r»ng: 5  xyz  2( xy  yz  zx ) Gi¶i §Æt p ( x , y , z )  2 ( xy  yz  zx )  xyz Ta cÇn chøng minh f ( x, y, z )  5 . Do vai trß cña x,y,z trong f nh­ nhau nªn theo tÝnh chÊt 2 ta gi¶ sö 0  x  y  z kÕt hîp ®iÒu kiÖn ta dÔ dµng suy ra 0  x  1 XÐt Kỳ _ Xác . – 14 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . yz yz y  z ( y  z) 2 yz ( y  z) 2 , )  2( xy  yz  zx )  xyz  2( x  x ) x 2 2 2 4 2 4 3 1 yz yz 3 x 3 x  x  3x  2  ( x  2)( y  z ) 2  0  f ( x, y, z )  f ( x, , )  f ( x, , ) 4 2 2 2 2 4 3 2  x  3x  2 ( x  1) ( x  2)  f ( x, y , z )  55  5 5 x;0  x  1 4 4 ( x  2)( y  z ) 2  0  x  y  z 1 dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi  x  1   ®pcm  Bµi to¸n15: (BÊt ®¼ng thøc c«si): Cho x,y,z lµ sè d­¬ng Chøng minh r»ng: x 3  y 3  z 3  3xyz f ( x, y , z )  f ( x, Gi¶i: Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö z  y  x  0 §Æt f ( x, y, z )  x 3  y 3  z 3  3xyz Tacã: f (x, y, z)  f (x, y, xy)  z3  ( xy)3  3xy( xy  z)  (z  xy)(z 2  z xy  2xy)  0 v× z  xy MÆt kh¸c: §Æt g ( x, y )  f ( x, y , xy )  x 3  y 3  2 ( xy ) 3 g ( x, y )  g ( x, x )  y 3  x 3  2( ( xy ) 3  x 6 )   y3  x3  2 0 VËy f ( x, y , z )  f ( x, y , xy )  g ( x, y )  g ( x, x )  0  z  xy  x  y  z  ®pcm  x y dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi   Bµi sè 16:(BÊt ®¼ng thøc nesbit) Cho x,y,z lµ sè d­¬ng . x y z 3    yz zx x y 2 Chøng minh r»ng : Gi¶i: §Æt f ( x, y, z )  x y z   yz zx x y Ta cã : f ( x, y, z )  f ( x, y, xy )    x( xy  z ) ( y  z )( y  xy ) y ( z  x)( xy  x) 1  x   ( z  x)( xy  x)  y xy  x  xy x y  z  xy x  ( xy  z )   ( y  z )( y  xy ) x y   x y 1      y  ( y  x)( y  xy ) ( y  x)( xy  x) x  y  x    y  y( x  y) Kỳ _ Xác x y z x     y  z z  x x  y y  xy y ( xy  z ) 1 x . Gi¶ sö z=min(x,y,z)  ( x  y )2 1  1  . 0 x ( x  y )  ( x  y )( x  y ) xy y . – 15 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . y y xy x y 1 x     x   Ta cã : f (x, y, xy)  y xy y xy x x  y y y y 1  1 x x x x 2 y 1 t2 t 3 3 2 2t  t  2   (t  0)     t  1   víi t  2 2 2 x t 1 t 1 t t 2t (t  1) 2 2 dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi : x=y=z=1  ®pcm  NhËn xÐt : – Khi ®­a biÓu thøc 3 biÕn vÒ 2 biÕn hay 1 biÕn th­êng xÐt hiÖu biÓu thøc cña bÊt ®¼ng thøc vµ biÓu thøc ®ã víi x(hoÆc y hoÆc z) thay bëi trung b×nh nh©n hoÆc trung b×nh céng . – Th­êng ta ph¶i sö dông tÝnh chÊt 2 míi cã ®¸nh gi¸ ®­îc * …………Mét sè bµi to¸n…………*  xyz  1 Cmr : ( x  y )( y  z )( z  x )  4( x  y  z  1)  x, y , z  0  xy  yz  zx  6 xyz  9 II22. Cho  Cmr: x  y  z  3 xyz  6 x, y , z  0   x, y , z  0 II23. Cho  2 2 2 Cmr: x  y  z  3 II21. Cho  a. xy  yz  zx  9 xyz b. 9 xyz  1  4 ( xy  yz  zx ) II24. Cho x , y  [ 0 ; 2 ] 2 chøng minh r»ng: x y 2 2   3 1 y2 1 x2 1 x y z 7 II25. Cho x, y, z  [ ;3] chøng minh r»ng:    (THTT-sè 357) 3 x y yz zx 5 II26. Cho x,y,z lµ sè d­¬ng chøng minh r»ng: xyz  2( x 2  y 2  z 2 )  8  5( x  y  z ) (THTT-sè 356) x, y , z  0  xy  yz  zx  3  x, y , z  0 II28. Cho  2 2 2 x  y  z  3  x, y , z  0 II29. Cho  2 2 2 x  y  z  3  II27. Cho  Cmr: 3( x  y  z )  xyz  10 Cmr: x  y  z  x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 Cmr: 7( xy  yz  zx )  12  9 xyz II20 Chøng minh r»ng : Kỳ _ Xác . – 16 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . 2 zx  2  (OLIMPIC 30-4)    1    z x y 2   1 HD: Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö :  z  y  x  1 2 1 §Æt : z=ax ; y=bx   a  b  1 sau ®ã ®¸nh gi¸ tiÕp ta ®­a vÒ 1biÕn lµ b . 2 x y yz III. khai th¸c ph­¬ng ph¸p trong l­îng gi¸c: ë trªn lµ nh÷ng bÊt ®¼ng thøc trong ®¹i sè . vËy trong l­îng gi¸c liÖu cã thÓ ®¸nh gi¸ ®­¬c kh«ng? sau ®©y ta xÐt mét sè vÝ dô trong l­ îng gi¸c  Bµi to¸n17:Chøng minh r»ng trong mäi tam gi¸c ABC ta ®Òu cã: sinA+sinB+ 3 sinC  4 6 (17) 3 Gi¶i: (17)  sin A  sin B  3 sin C  2 sin §Æt cos Ta cã: A B A B C cos  3 sin C  2 cos  3 sin C 2 2 2 C  t 1 t  0 2 C C C 2 cos  3 sin C  2 cos (1  3 sin )  2t (1  3(1  t 2 ) ) 2 2 2 ¸p dông b®t c«si : 3 1 3 1 2t (1  3(1  t 2 ) )  2t (1  .2 (1  t 2 ) )  2t[1  (  1  t 2 )]  3t 3  6t  2 3 2 3  (t  6 2 4 4 ) (3t  2 6 )  6 6 3 3 3 (17′) ®óng víi mäi t>0 (17′ ) ; v× vËy: sinA+sinB+ 3 sinC  4 6 3 A B   cos 2  1 A  B     dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi    C  2 cos C  6  cos   2 3  ®pcm  Bµi to¸n18: Cho tam gi¸c ABC chøng minh r»ng: (1-cosA)(1-cosB)(1-cosC)  cosAcosBcosC (18) Gi¶i: +) NÕu tam gi¸c cã gãc vu«ng ho Æc gãc tï th× b®t lu«n ®óng +) NÕu tam gi¸c lµ nhän ,ta cã: (18)  1  cos A 1  (cos B  cos C )  cos B cos sC . 1 cos A cos B cos C Kỳ _ Xác . – 17 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . BC BC   1  2 cos cos   1  cos A  2 2   1  1 (18′ ) cos A  1   [cos( B  C )  cos( B  C )  2  A A A   1  2 sin 2  4 sin  2 sin 2   1  cos A  2  1  2 2  VT (18′ )  cos A  1 cos A   (1  cos A)  2  A A A A A 2  4 sin  2 sin 2 1  4 sin  4 sin 2 (1  2 sin ) 2 2 2 1 2 2 0 2  0 (18”) Ta cã: cos A cos A cos A V× tam gi¸c nhän nªn (18”) lu«n ®óng.Do ®ã(18) ®óng BC  cos 2  1  A BC dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi  A  1  sin  0 2   ®pcm  Trong tam gi¸c ABC ta cã ®iÒu kiÖn lµ A+B+C=180 nªn gîi ý cho chóng ta sö dông tÝnh chÊt 1 ®Ó lµm h¹n chÕ ph¹m vi biÕn tõ ®ã cã thÓ ®¸nh gi¸ ®­îc biÓu thøc , Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô:  Bµi to¸n 19: Chøng minh r»ng trong mäi tam gi¸c ABC ta ®Òu cã 3(cosA+cosB+cosC)  2(sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA) (19) Gi¶i: Khi ho¸n vÞ (A,B,C) th× b®t (1 9) kh«ng thay ®æi do ®ã kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t Gi¶ sö A=min(A,B,C. V× A+B+C=180   3A nªn 0  A  60  3 A  cos  1 2 2 T  3(cos A  cos B  cos C )  2(sin A sin B  sin B sin C  sin C sin A)  BC BC BC BC  3(cos A  2 cos cos )  cos( B  C )  cos( B  C )  2 sin A.2 sin cos 2 2 2 2 BC A A  2 cos A  cos [6 sin  4 sin A cos ]  cos( B  C ) 2 2 2 A 3 A A A A A Ta cã: v× sin  0,  cos  1  6 sin  4 sin A cos  2 sin (3  4 cos 2 )  0 2 2 2 2 2 2 2 BC MÆt kh¸c cos  1, cos( B  C )  1 nªn 2 A A A A A A T  2 cos A  6 sin  4 sin A cos  1  2(1  2 sin 2 )  6 sin  8 sin (1  sin 2 )  1  2 2 2 2 2 2 3 2 2  8t  4t  2t  1  (2t  1) (2t  1)  0t  0 Kỳ _ Xác . – 18 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . A .V× vËy (cosA+cosB+cosC)  2(sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA) 2 BC   cos 2  1 dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi cos( B  C )  1  A  B  C  A  sin 2  1   ®pcm  Bµi to¸n20: Chøng minh r»ng trong mäi tam gi¸c ABC ta ®Òu cã trong ®ã t  sin 1+cosAcosBcosC  3 sinAsinBsinC (20) Gi¶i: Khi ho¸n vÞ (A,B,C) th× b®t (20) kh«ng thay ®æi do ®ã kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t . ta gi¶ sö A=max(A,B,C) Khi ®ã A  60 (20 ‘) . XÐt T  1  cos A cos B cos C  3 sin A sin B sin C 1 3 cos A [cos( B  C )  cos( B  C )]  sin A [cos( B  C )  cos( B  C )] 2 2 1 1 3  1  [cos 2 A  3 sin A cos A ]  cos( B  C )[ cos A  sin A ] 2 2 2 1 3 Tõ (20’) ta cã : cos A  sin A  cos( A  60 )  0 vµ cos( B  C )  1 nªn 2 2 1 1 T  1  [ cos 2 A  3 sin A cos A]  (cos A  3 sin A)  (cos A  1)[1  cos( A  60  )]  0 2 2 V× vËy 1+cosAcosBcosC  3 sinAsinBsinC  cos( B  C )  1 dÊu b»ng x¶y ra khi   A BC  cos( A  60 )  1 T 1  ®pcm *…………….. Mét sè bµi to¸n……………..* Chøng minh r»ng trong mäi tam gi¸c ABC ta ®Òu cã: III31.NÕu tam gi¸c ABC nhän: 1 tan A  tan B  tan C   3 3  1 A B C 3 3 cot cot 2 2 2 A B C 1 1 1 15 III32. sin  sin  sin     A B C 2 2 2 2 sin sin sin 2 2 2 cot III33. 1  c o s A cos B  cos B cos C  cos C cos A  13 (c o s A  c o s B  c o s C )  2  cos A cos B cos C Kỳ _ Xác . – 19 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . III34. cos 3 A  cos 3 B  cos 3 C   III35. sin 2 A 2 III36. sin A  sin 3 sin 2 B  1 2 2 sin B C 3 sin  2 2 16 3 3 2 C 1 3 2 4 2 III37 . cot A  cot B  2 cot C  2 III38. NÕu tam gi¸c ABC kh«ng ph¶i lµ tam gi¸c tï th× a. ( 1  sin 2 )( 1  sin 2 B )( 1  sin 2 C )  4 b. sin cos A  sin A  cos B  sin C  1  B  cos C 2 2 NhËn xÐt 5: Ta cã thÓ chuyÓn bÊt ®¼ng thøc cã ®iÒu kiÖn trong ®¹i sè sang l­îng gi¸c b»ng c¸ch: *) Tõ ®¼ng thøc l­îng gi¸c c¬ b¶n : +) Tõ ®¼ng thøc : tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan C (1) A B B C C A tan  tan tan  tan tan  1 (2) 2 2 2 2 2 2 x , y, z  0  kÕt hîp bµi to¸n : II12. Cho  Cmr: 3( x  y  z )  xyz  10  xy  yz  zx  3 tan chøng minh bµi nµy t­¬ng tù bµi to¸n 11(hoÆc sö dông ®­a dÇn vÒ mét biÕn) tõ (1) b»ng c¸ch ®Æt : x  3 ; tan A y 3 3 ta ®­îc bµi to¸n t­¬ng ; z tan B tan C ®­¬ng bµi to¸n II12 : cho tam gi¸c ABC nhän . Cmr: tan A tan B  tan B tan C  tan C tan A  1  10 tan A tan B tan C 3 3 A B C A B C t­¬ng tù ta cã : 9(tan  tan  tan )  tan tan tan  30 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 +) Tõ ®¼ng thøc: cos A  cos B  cos C  2 cos A cos B cos C  1 vµ x, y , z  0  Bµi to¸n 11: Cho  Cmr:x+y+z  xy+yz+zx  xy  yz  zx  xyz  4 §Æt x=2cosA ; y=2cosB ; z=2cosC ta cã bµi to¸n: Chøng minh r»ng víi tam gi¸c nhän ABC th×: cosA+cosB+cosC  2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA) ®©y lµ bµi to¸n kh¸ ®Ñp *) Tõ bÊt ®¼ng thøc l­îng gi¸c c¬ b¶n : Ta xÐt bµi to¸n 9: DÔ thÊy tõ c¸ch chøng minh cã thÓ thay ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n nh­ sau Kỳ _ Xác . – 20 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . Cho x2  y2  z2  3 x  y  z  3   x, y, z  0  x, y, z  0   a  0; b  0 hay  a  0; b  0  a  a 4 4     3  b 3  b Cmr: a ( xy  yz  zx )  bxyz  (3a  b )  0 §Æc biÖt hãa ta cã bµi to¸n : x  y  z  3  x, y , z  0 1. a=-2;b=1 .  Cmr: 5  xyz  2( xy  yz  zx) x2  y 2  z 2  3 2.a=-4;b=3 .  Cmr:  x, y , z  0 9  3 xyz  4( xy  yz  zx ) KÕt hîp bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n trong l­îng gi¸c ch¼ng h¹n 1. cos A  cos B  cos C  3 ta cã bµi to¸n: 2 Cho tam gi¸c nhän ABC . Chøng minh r»ng: 5  8 cos A cos sB cos sC  8(cos A cos B  cos B cos c  cos C cos sA) 9 2. sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  ta cã bµi to¸n: 4 Chøng minh r»ng víi mäi tam gi¸c ABC th×: 9 3  8 sin A sin B sin C  16(sin A sin B  sin B sin C  sin C sin A) t­¬ng tù ®èi víi tang,cotang vµ bµi to¸n kh¸c chó ý: Gi¶i bµi to¸n ®¹i sè th«ng qua gi¶i bµi l­îng gi¸c ng­êi ta gäi l µ ph­¬ng ph¸p l­îng gi¸c hãa. Lµm ng­îc l¹i gäi lµ ph­¬ng ph¸p ®¹i sè hãa. C. KÕt luËn Trªn ®©y lµ mét trÝch dÉn vÒ sù vËn dông ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong vÊn ®Ò chøng minh bÊt ®¼ng thøc. §Ò tµi nµy ®· ®­îc b¶n th©n t«i vµ c¸c ®ång nghiÖp cïng ®¬n vÞ thÝ ®iÓm trªn c¸c em cã häc lùc tõ kh¸ trë lªn. KÕt qu¶ thu ®­îc rÊt kh¶ quan, c¸c em häc tËp mét c¸ch say mª høng thó. Mét sè em ®· ®¹t ®­îc nh÷ng thµnh tÝch tèt qua nh÷ng ®ît thi häc sinh giái võa qua. V× t¸c dông tÝch cùc trong viÖc båi d­ìng häc sinh kh¸ giái nªn kÝnh mong Héi ®ång khoa häc vµ quý thÇy ( c«) gãp ý bæ sung ®Ó ®Ò tµi ngµy mét hoµn thiÖn h¬n, cã øng dông réng h¬n trong qu¸ tr×nh d¹y häc ë tr­êng THPT. Kỳ _ Xác . – 21 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . Xin ch©n thµnh c¶m ¬n! ngµy 10 th¸ng 5 n¨m 2007 Ng­êi thùc hiÖn Kú_X¸c Tµi liÖu tham kh¶o 1.T¹p chÝ to¸n häc vµ tuæi trÎ 2.S¸ng t¹o bÊt ®¼ng thøc _ pham kim hïng 3.C¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc _TrÇn tuÊn Anh 4.C¸c bµi to¸n chän läc vÒ hÖ thøc l­îng trong tam gi¸c tø gi¸c phan huy kh¶i_nguyÔn ®¹o ph­¬ng 5.Olimpic 30_4 Kỳ _ Xác . – 22 –
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top