Phương pháp đưa về một biến chứng minh Bất đẳng thức

Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . A. lý DO CHäN §Ò TµI Trang bÞ nh÷ng tri thøc c¬ b¶n ,cÇn thiÕt ,tiªn tiÕn nhÊt ®Æc biÖt lµ nh÷ng tri thøc ph­¬ng ph¸p vµ ph¸t triÓn trÝ tuÖ cho hä c sinh lµ c¸c môc tiªu ®­îc ®Æt lªn hµng ®Çu trong c¸c môc tiªu d¹y häc m«n to¸n. BÊt ®¼ng thøc lµ mét vÊn ®Ò ®­îc gi¸o viªn vµ häc sinh th©m nhËp víi mét l­îng thêi gian kh¸ nhiÒu v× ®©y lµ vÊn ®Ò cã thÓ ph¸t triÓn kh¶ n¨ng t­ duy to¸n häc cho häc sinh. ThÕ nh­ng qua viÖc t×m hiÓu vÊn ®Ò nµy trong qu¸ tr×nh d¹y häc t«i thÊy mÆc dï ®· cã rÊt nhiÒu ph­¬ng ph¸p gi¶ i cho nh÷ng bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc ®iÓn h×nh cô thÓ cã nhiÒu d¹ng. Cã nh÷ng bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc khã khi båi d­ìng häc sinh kh¸ giái viÖc sö dông nh÷ng ph­¬ng ph¸p ®· cã gÆp nhiÒu khã kh¨n, v× thÕ víi h­íng suy nghÜ kh¾c phôc nh÷ng h¹n chÕ vÒ ph­¬ng ph¸p gi¶i ®· cã tr­íc t«i ®· t×m kiÕm thªm ®­îc mét ph­¬ng ph¸p tiÖn lîi ®Ó gi¶i quyÕt nh÷ng bµi to¸n khã vµ còng ®Ó kh¬i dËy trÝ t×m tßi cña häc sinh vµ gi¸o viªn trong qu¸ tr×nh tù häc, kh¬i dËy lßng say mª t×m kiÕm nh÷ng c¸i míi. V× nh÷ng lý do ®ã.D­íi ®©y t«i xin ®­îc trao ®æi víi quý ®ång nghiÖp mét ph­¬ng ph¸p gi¶i cho nh÷ng bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc ( Th­êng lµ nh÷ng bµi bÊt ®¼ng thøc khã, x¶y ra trong c¸c kú thi häc si nh giái, thi §¹i häc). Vµ trong mét sè bµi t«i khai th¸c s©u thªm b»ng nh÷ng ho¹t ®éng trÝ tuÖ nh­ tæng qu¸t, ph©n tÝch, so s¸nh, ®Æc biÖt hãa. .. Néi dung ®Ò tµi gåm ba phÇn : PhÇn I: mét biÕn lµ Èn phô t=h(x,y,z,…) PhÇn II: Mét biÕn lµ x(y hoÆc z) PhÇn III: Khai th¸c ph­¬ng ph¸p trong l­îng gi¸c b.néi dung ®Ò tµi */ Bµi to¸n : XÐt bµi to¸n : víi ®iÒu kiÖn R (nÕu cã) . Chøng minh r»ng p=f(x,y,z,…)  A (hoÆc  A) ph­¬ng ph¸p gi¶i:  Chøng minh p  g (t ) víi t  D  Chøng minh g (t )  A víi t  D VÊn ®Ò ®Æt ra lµ ®¸nh gi¸ biÓu thøc p ®Ó ®­a vÒ biÓu thøc mét biÕn g(t) vµ chøng minh g (t )  A – ViÖc chøng minh g (t )  A ë ®©y t«i chØ sö dông c¸ch biÕn ®æi ( dù ®o¸n dÊu b»ng x¶y ra),ngoµi ra ®èi víi hoc sinh líp 12 cã thÓ lµm mét c¸ch nhanh chãng h¬n b»ng c¸ch sö dông ®¹o hµm lËp b¶ng biÕn thiªn ®Ó gi¶i. – Cßn ®¸nh gi¸ p nãi chung lµ phong phó tïy thuéc tõng bµi to¸n ®Ó lùa chän c¸ch ®¸nh gi¸ thÝch hîp (dïng c¸ch biÕn ®æi , sö dôn g bÊt ®¼ng thøc cæ ®iÓn bunhiacopki,c«si,….) . Kỳ _ Xác . -1- Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . */ kiÕn thøc bæ sung 1.BÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n : a.BÊt ®¼ng thøc c«si: cho x1 , x2 ,…, xn (n  2) sè kh«ng ©m khi ®ã: x1  x2  …  xn  n n x1 x2 …xn ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x1  x2  …  xn b. BÊt ®¼ng thøc bunhiacopxki: ( x1  x2  …  xn )( y1  y2  …  yn )  ( x1 y1  x2 y2  …  xn yn ) 2 x x x ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi 1  2  …  n y1 y2 yn 2 2 2 2 2 2 c. BÊt ®¼ng thøc svac-x¬(hÖ qu¶ cña bÊt ®¼ng thøc bunhiacopxki ) : 2 víi y1 , y2 ,…, yn (n  2) lµ sè d­¬ng: x1  x2  …  xn  ( x1  x2  …  xn ) y1 y2 yn y1  y2  …  yn x x x ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi : 1  2  …  n y1 y2 yn 2 2 2 2.TÝnh chÊt: a. NÕu p cã gi¸ tri kh«ng ®æi khi ta ho¸n vÞ vß ng quanh c¸c biÕn x,y,z.. ch¼ng h¹n p=f(x,y,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y) . khi ®ã kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö x=max(x,y,z,…) hoÆc x=min(x,y,z,…) b. NÕu p cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi khi ta ho¸n vÞ mét c¸ch bÊt k× c¸c biÕn x,y,z… ch¼ng h¹n p=f(x,y,z)=f(x,z,y)=f(y,x,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y)=f(z,y,x) . khi ®ã kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ s¾p xÕp c¸c biÕn theo mét thø tù x  y  z  …. I. mét biÕn lµ Èn phô t=h(x,y,z,…). Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô më ®Çu  Bµi to¸n 1 :Víi x,y lµ sè d­¬ng chøng minh r»ng: x 3  y 3  xy 2  yx 2 (1) Gi¶i: V× x lµ sè d­¬ng nªn: 3 2 y y y y (1)  1        . ®Æt =t th× t>0 x x x x 3 2 2 (1) trë thµnh t -t -t+1  0  (t-1) (t+1)  0 (®óng víi mäi t>0) ®pcm Tæng qu¸ t ta cã bµi to¸n sau: Cho x,y lµ sè d­¬ng. Cmr: x n  y n  xy n  1  x n  1 y (n  2, n  N ) Chøng minh hoµn hoµn t­¬ng tù!  Bµi to¸n 2 : Víi x,y kh¸c kh«ng chøng minh r»ng:  Kỳ _ Xác . -2- Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . x4 y4  y4 x4  x2 y2  x y     2    y2 x2  y x   ( 2) Gi¶i: x y §Æt t=  y x y x y th× t      2 (¸p dông b®t c«si) x y x y x khi ®ã (2) trë thµnh: (t 2  2) 2  2  (t 2  2)  t  2  0  (t+2)(t 3 -2t 2 -t+3)  0(2′) +) Víi t  2: ta cã t 3 -2t 2 -t+3=(t-2)(t 2 -1)+1>0 nªn bÊt ®¼ng thøc (2′) ®óng +) Víi t  -2: ta cã t 3 -2t 2 -t+3=(t+2)[(t-2) 2 +3] – 11 > 0 vµ t+2  0 nªn bÊt ®¼ng thøc (2′) ®óng vËy bÊt ®¼ng thøc (2) ®óng dÊu b»ng x¶y ra khi t= -2 hay x=-y  ®pcm  Bµi to¸n 3:(§Ò chän ®éi tuyÓn dù thi HSG to¸n QG 2006-2007) x,y,z lµ sè thùc tháa m·n x 2  y 2  z 2  2 .T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc P  x 3  y 3  z 3  3xyz -NhËn xÐt : Dù ®o¸n dÊu gi¸ trÞ LN,NN ®¹t ®­îc kh i x=y=z hoÆc t¹i c¸c ®iÓm biªn.Thö vµo ta cã ph¸n ®o¸n  2 2  P  2 2 Gi¶i: Tõ ®¼ng thøc x 2  y 2  z 2  2( xy  yz  zx)  ( x  y  z ) 2 x 3  y 3  z 3  3 xyz  ( x  y  z )( x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx ) vµ ®iÒu kiÖn ta cã: ( x  y  z)2  2 p  ( x  y  z )( x  y  z  xy  yz  zx )  ( x  y  z )(2  ) 2 2 ®Æt t  x  y  z 2  2 0t  6 t2  2 t3 1 )    3t   (t  2 ) 2 (t  2 2 )  2 2  2 2 2 2 2 dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi t  2 vËy Pmin=  2 2 khi x=  2 ,y=z=0 hoÆc ho¸n vÞ Pmax= 2 2 khi x= 2 ,y=z=0 hoÆc ho¸n vÞ p  t (2  Sau ®©y ta xÐt mét sè vÝ dô mµ ph¶i ®¸nh gi¸ biÓu thøc P míi thÊy ®­îc Èn phô  Bµi to¸n 4: Cho  x, y , z  0 1 1 1 15   x  y  z  3 Cmr: x  y  z     x y z 2  2 Gi¶i: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si ta cã: 1 1 1 1 9    x  y  z  33 x yz x y z xyz x yz 3 t  x yz 0t  2 x yz §Æt Kỳ _ Xác . -3- Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . 1 x 1 1 9 9 27 9 27 15  t  t    2 t.   y z t 4t 4t 4t 4. 3 2 2 1 dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi x=y=z= 2 VËy: x  y  z    ®pcm Tæng qu¸t ta cã bµi to¸n: Cho x1 , x2 ,…, xn ( n  2) lµ sè d­¬ng ; x1  x2  …  xn  k ( k  R * ) b  0; ak 2  bn 2 . Cmr : 1 1 1 bn 2  ak 2 a( x1  x2  …  xn )  b(   …  )  x1 x2 xn k (*) S¬ l­îc lêi gi¶i: 1 1 1 bn 2 a( x1  x2  …  xn )  b(   …  )  a( x1  x2  …  xn )  x1 x2 xn x1  x2  …  xn bn 2 1 t bn 2 1 bn 2 bn 2  ak 2  bn 2 (  2 )  t (a  2 )  bn 2 .2.  k (a  2 )  t t k k k k k  at  NhËn xÐt1 : – Tõ bµi to¸n (*) ta §Æc biÖt hãa 1.Víi a=1; b=4 ; n=3 ; k= 3 ta cã bµi to¸n : 2  x, y , z  0 1 1 1 51 3 Cmr: x  y  z  4(   )  Cho  x yz  x y z 2  2 kÕt hîp bÊt ®¼ng thøc bunhiacopxki ta cã bµi to¸n 2′ :(olimpic-to¸n s¬ cÊp -§¹i Häc Vinh)  x, y , z  0 3 C mr: Cho   x yz  x2  2 1 1 1 17  y 2  2  z 2  2  3. 2 y z x 2 ThËt vËy : ¸p dông bÊt ®¼ng thøc bunhacopxki ta cã (x2  1 2 4 1 1 4 )(1  4 2 )  x   x 2  2  (x  ) 2 y y y y 17 t­¬ng tù sau ®ã céng l¹i kÕt hîp bµi to¸n trªn ta suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh Víi a=1;b=9;n=3;k=1 kÕt hîp bÊt ®¼ng thøc bunhiacopxki ta cã bµi to¸n  x, y , z  0 x  y  z  1 Cho  CMR : x2  1 1 1  y 2  2  z 2  2  82 2 x y z (®Ò thi ®¹i häc ,cao ®¼ng n¨m 2003 -2004) 2.víi a= -1; b=1 ; n=2 ; k= 2 ta cã bµi to¸n :  x, y  0 x  y  2 Cho  Cmr: 1 1   ( x  y)  2 x y b»ng c¸ch thay ®æi gi¶ thiÕt , ®Æt Èn phô ta cã Kỳ _ Xác bµi to¸n 2”: . -4- Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc .  x, y  0 Cmr: x  y  1 x y   2 1 x 1 y cho  ThËt vËy: b»ng c¸ch ®Æt: a= 1  x ; b= 1  y vµ kÕt hîp bÊt ®¼ng thøc bunhacopxki vµ bµi to¸n trªn ta suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh Tæng qu¸t: (t¹p chÝ crux ) x1 , x2 ,…, xn (n  2) lµ sè d­¬ng vµ x1  x2  …  xn  m ,m>0: x1 Cmr:: m  x1  x2 m  x2 xn  …  m  xn  mn n 1 Chøng minh hoµn toµn t­¬ng tù ! – NÕu ®æi chiÒu cña bÊt ®¼ng thøc ë ®iÒu kiÖn (bµi to¸n (*))th× bµi to¸n thay ®æi nh­ thÕ nµo? Tr¶ lêi c©u hái nµy ta cã bµi to¸n míi : Cho x1 , x2 ,…, xn (n  2) lµ sè d­¬ng; x1  x2  …  xn  k ( k  R * ) b  0; ak 2  bn 2 . Cmr : 1 1 1 bn 2  ak 2 a( x1  x2  …  xn )  b(   …  )  (**) x1 x2 xn k tõ bµi to¸n (**) ta cã thÓ khai th¸c ta ®­îc nh÷ng bµi to¸n míi kh¸ thó vÞ … *)Nh­ vËy khi lµm mét bµi to¸n ta cã thÓ dïng ho¹t ®éng trÝ tuÖ ®Ó khai th¸c s©u bµi to¸n_ë trªn cã mét chu k× ho¹t ®éng kh¸ hay ®ã lµ :bµi to¸n cô thÓ  tæng qu¸t  ®Æc biÖt  (ph©n tÝch , so s¸nh…)  bµi to¸n míi  tæng qu¸t. (chó ý tæng qu¸t cã nhiÒu h­íng :theo h»ng sè ,theo sè biÕn hoÆc sè mò)  Bµi to¸n 5:(THTT/ T4/352/2007 ) Víi x,y,z lµ sè d­¬ng vµ xyz  1 x Cmr: x y  y  xz yz z  z  xy  3 2 (5) Gi¶i: §Æt a= x , b= y , c= z Bµi to¸n trë thµnh : a,b,clµ sè d­¬ng vµ abc  1 cmr a2 a 2  bc  b2 b 2  ac  c2 c 2  ab  3 2 (4′) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc svac-x¬ ta cã: VT 2 (5′)     2   = 2 2 2 a  bc  b  ac  c  ab   (a  b  c) 2 (a  b  c) 4 a 2  bc  b 2  ac  c 2  ab 2 (a  b  c) 4 (a  b  c) 4 (a  b  c) 4   3(a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca ) 3[(a  b  c) 2  3(ab  bc  ca )] 3[(a  b  c) 2  3] {v× ab+bc+ca  33 (abc ) 2  3} ®Æt t=(a+b+c) 2 th× t  9 { v× a+b+c  33 abc  3} Kỳ _ Xác . -5- Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . 3t  15 t  3 3 3.9  15 t 3 3 t2 9    2 . ta cã = = 12 12 t 3 12 12 t  3 2 3(t  3) 3 9  VT 2 (5′)   VT(4′)  2 2 dÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=1  ®pcm Tæng qu¸t ta cã bµi to¸n sau:víi x1 , x2 ,…, xn (n  2) d­¬ng vµ x1 x2 …xn  1 Cmr:  x1 x1  x2 x3 ..xn Bµi to¸n 6: Cho x2  xn … x2  x3 x4 …xn x1 xn  x1 x2 …xn 1  n 2  x, y , z  0 x y z 9    Cmr: P   2 2 2 1 x 1 y 1 z 10 x  y  z  1 NhËn xÐt: Ta nghÜ ®Õn ¸p dông b®t svac-x¬ nh­ng ë ®©y chiÒu cña bÊt ®¼ng thøc l¹i ng­îc.Mét ý nghÜ n¶y sinh lµ biÕn ®æi P ®Ó lµ m ®æi chiÒu bÊt ®¼ng thøc ? Gi¶i : Ta cã : x2 y2 z2 x3 y3 z3 P  x(1  )  y (1  )  z (1  ) 1 (   ) 1  x2 1  y2 1  z2 1  x2 1  y2 1  z 2   2 x4 y4 z4 x2  y2  z 2   )  1  x  x3 y  y 3 z  z 3 x  y  z  x3  y 3  z 3 1 §Æt t  x 2  y 2  z 2 tõ ®k  t  3 1 ( ¸p dông bÊt ®¼ng thøc bunhiacopxki vµ c«si ta cã: x 3  y 3  z 3  ( x  y  z )( x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx )  3 xyz  1 x2  y2  z 2 3 3 1 t  x 2  y 2  z 2  [1  ( x 2  y 2  z 2 )]  3 ( )  t  t 2 3 2 2 3 VËy 1 (  t )(57t  9) 2t 2t  3t  10t  3 9 9 9 9 P 1 1  2    3 2   t 3t  10t  3 10 10 3t  10t  3 10 10 t 3t  1  t 2  1  3t  2t 3 3 1 dÊu b»ng x¶y khi vµ chØ khi x=y=z= 3  ®pcm 2 2 2 Khi gÆp bµi to¸n cã ®iÒu kiÖn phøc t¹p khã sñ dông th× ph¶i xö lÝ ®iÒu kiÖn . Ta xÐt bµi to¸n sau:  Bµi to¸n 7:(T¹p chÝ to¸n häc tuæi th¬ ) Cho x, y, z  (0;1)    xyz  (1  x)(1  y )(1  z )(1) Cmr: x 2 +y 2 +z 2  3 4 Gi¶i: Kỳ _ Xác . -6- Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . (1)  1-(x+y+z)+xy+yz+zx=2xyz  x 2 +y 2 +z 2 =2-2(x+y+z)+(x+y+z) 2 -4xyz x y z ¸p dông b®t C«si ta cã :    xyz nªn 3   3 x y z x +y +z  2-2(x+y+z)+(x+y+z) -4   3   §Æt t=x+y+z th× 0  t  3 .Khi ®ã: 4 1 15 3 3 x 2 +y 2 +z 2   t 3  t 2  2t  2  (2t  3)2 (  t )   27 27 4 4 4 3 1 dÊu b»ng x¶y ra khi t= hay x=y=z= 2 2  ®pcm 3 2 2 2 2 NhËn xÐt 2 : Tõ ý t­ëng ph­¬ng ph¸p gi¶i ë trªn ta cã thÓ s¸ng t¹o c¸c bÊt ®¼ng thøc : ch¼ng h¹n -Tõ bÊt ®¼ng thøc c« si 1.C ho x,y lµ sè d­¬ng.Cmr: ( x 2  y 2 )3  8  8 x 2 y 2  8 xy 2.(THTT-248 – 1998):Cho x,y,z lµ sè d­¬ng kh«ng lín h¬n 1. Cmr: a. b. 1 x yz 1 x yz   1 3 1 3  (1  x)(1  y )(1  z ) 3  (1  x)(1  y )(1  z ) Tõ ®ã ta cã bµi to¸n tæng qu¸t : (chó ý: c©u b chÆt h¬n c©u a) Cho x1 , x2 ,…, xn (n  2) lµ sè d­¬ng kh«ng lín h¬n  : Cmr: a n 1 an   ( a  x1 )(a  x2 )…( a  xn ) x1  x2  …  xn n Hd: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si ta cã:  na  ( x1  x2  …  xn )  ( a  x1 )(a  x2 )…( a  xn )    n   n a n 1 a n  na  t  na  t n n 1a n  t (na  t )n 1     bÊt ®¼ng thøc trë thµnh:    0(*) t n  n  n  tn n 1  n ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si ta cã:  (n  1)na  n n n 1 n 1 n (n  1)t (na  t )(na  t )…( na  t )     (n  1) a  t (na  t )  n a n   kÕt hîp ®iÒu kiÖn bµi to¸n nªn bÊt ®¼ng thøc (*) ®óng n ngoµi ra tõ c¸ch chøng minh ta cã bÊt ®¼ng thøc chÆt h¬n sau: Cho x1 , x2 ,…, xn (n  2) lµ sè d­¬ng kh«ng lín h¬n a .Cmr:  n 1    n  n 1 a n 1  n 1   x1  x 2  …  x n  n  Kỳ _ Xác n 1 an  ( a  x1 )( a  x 2 )…( a  x n ) n . -7- Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . chøng minh hoµn toµn t­¬ng tù ! x, y , z  0 Cmr: x  y  z  27 xyz  30 2 2 x  y  z  3 x, y , z  0  4.Cho  Cmr: x  y  z  6  xyz  x  y  z  2  3.Cho  2 – Tõ bÊt ®¼ng thøc bunhiac«sxki, svac -x¬ vµ ®¼ng thøc x 2  y 2  z 2  2( xy  yz  zx )  ( x  y  z ) 2 1. Cho x,y,z n»m trong ®o¹n [1;2] .Cmr : 0  xy  yz  zx  ( x  y  z )  6  x, y , z  0 1 10 2. Cho  Cmr: x2  y2  z 2   xy  yz  zx 3  xyz  1 xyz  1 y x z 3    4 3. Cho  Cmr: x yz y2 z2 x2  x, y , z  0 4. Cho  x , y , z  0  x  y  z  1  2 Cmr: 1 xx 2  1 yy x  y  z  1  x, y , z  0 2  1 zz 2  108 5 Cmr: 5.(THTT- 346/2006) Cho  xy  yz  zx  8( x 2  y 2  z 2 )( x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 )  xy  yz  zx  x  y  z 6. Cho  x, y, z  [1;2]  y2 x2 z2 3 Cmr:    4 4  ( y  z ) 2 4  ( z  x) 2 4  ( x  y ) 2 – Hay tõ bÊt ®¼ng thøc schur : x(x  y)(x  z)  y( y  z)(y  x)  z(z  x)(z  y)  0  4(xy  yz  zx)  9xyz x yz  (x  y  z) 2 1: Cho xyz lµ sè kh«ng ©m . Cmr: 2 xyz  x 2  y 2  z 2  1  2( xy  yz  zx) s¬ l­îc lêi gi¶i: BÊt ®¼ng thøc cña bµi to¸n t­¬ng ®­¬ng víi (x  y  z) 2  2xyz  1  4(xy  yz  zx) hay 4(xy  yz  zx)  (x  y  z) 2  2xyz  1 kÕt hîp bÊt ®¼ng thøc trªn vµ bÊt ®¼ng thøc c«si ta cÇn chøng minh: (9  2t )t 2 9  1 víi t  x  y  z , t  27 2 { cßn t  9 hiÓn nhiªn ®óng} 2 B»ng c¸ch thªm bít c¸c biÓu thøc vµo ta cã nhiÒu bµi to¸n kh¸c nhau Ch¼ng h¹n: a[ 4( xy  yz  zx )  ( x  y  z ) 2 ]  bxyz  ct  9axyz  bxyz  ct ; t  x  y  z t  a , b, c  0 th×: 2 a  b  c ta cã: Chän a,b sao cho:  Kỳ _ Xác . -8- Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . a ( x 2  y 2  z 2 )  bxyz  c( x  y  z )  3a  b  3c  2a ( xy  yz  zx ) víi a=3 b=5 c=1 ta cã bµi to¸n: 2.Cho x,y,z lµ sè kh«ng ©m . chøng minh r»ng : 3( x 2  y 2  z 2 )  5 xyz  ( x  y  z )  1  6( xy  yz  zx ) B»ng c¸ch t­¬ng tù ta cã bµi to¸n: 3.Cho x,y,z lµ sè d­¬ng chøng minh r»ng xyz  2( x 2  y 2  z 2 )  8  5( x  y  z ) (THTT-sè 356) 4.Cho x,y,z lµ sè d­¬ng chøng minh r»ng x 2  y 2  z 2  2 xyz  3  (1  x)(1  y )(1  z ) 5.Cho  xy  yz  zx  3   x, y , z  [0; 4 ] Cmr:  3 xyz  4( x  y  z )  13 Tõ ®¼ng thøc ,bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n,®¬n gi¶n ta cã thÓ t¹o v« sè bµi to¸n! ®Ó kÕt thóc phÇn I t«i xin ®­a ra thªm mét sè bµi to¸n lµm theo ph­¬ng ph¸p nµy: *————–Mét sè bµi to¸n———-* I1.Chøng minh r»ng:  1 4 27 x y 1 27 víi mäi x,y thuéc R   4 4 4 2 2 1 x  y 2 2 HD: t  x  y x y z 3 I2.Cho   x, y, z  (0;2) 27 Cmr: 1   1  1  2 )( y 2  2 )( z 2  2 ) 4  x 2 4  y 2 4  z 2 HD: t = ( x  y  z ) 2 :  x, y , z  0 I3.Cho  Cmr : x( y  z ) 4  y ( z  x) 4  z ( x  y ) 4  1 12 x  y  z  1 HD: Gi¶ sö x  y  z  0 ®Æt t  x ( y  z ) ta chøng minh ®­îc (x 2 x( y  z ) 4  y ( z  x) 4  z ( x  y ) 4  t (1  3t )  x 2  y 2  z 2  xyz  4 x, y , z  0  Cmr: I4 . Cho   xy  yz  zx  x  y  z x, y, z  (0;1]  I5. Cho  x2 ( y  z  x) 2  y2 ( z  x  y) 2  x y z3 Cmr: z2 ( x  y  z) 2  3 I6. Cho x1 , x 2 ,…, x n (n  2, n  N ) lµ sè d­¬ng vµ x1  x2  …  xn  k (n  k  0) . Chøng minh r»ng: Kỳ _ Xác 1 1 1 n3   …   2 2 2 k (n  k ) x1  x1 x2  x2 xn  xn . -9- Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . I7 . Víi x1 , x2 ,…, xn (n  2) d­¬ng vµ x1 x 2 …x n  1 . Cmr: x1  x2  …  xn   NhËn 1 n2  1  x1  x2  …  xn n xÐt 3: – NÕu chøng minh g(t)  0 b»ng c¸ch biÕn ®æi nh­ trªn th× tr­íc tiªn ph¶i dù ®o¸n ®­îc dÊu b»ng x¶y ra t¹i ®©u ®Ó ®¸nh gi¸ hay t¸ch nhãm hîp lý . -Khi ®Æt Èn phô th× ph¶i t×m ®iÒu kiÖn s¸t cña Èn phô ®Æc biÖt lµ chøng minh g(t)  0 b»ng ph­¬ng ph¸p ®¹o hµm. II. Mét biÕn lµ x(y hoÆc z): ë vÝ dô trªn th× chóng ta ph¶i lµm xuÊt hiÖn Èn phô.sau ®©y ta xÐt mét líp bµi to¸n mµ Èn phô chÝnh lµ x hoÆc y hoÆc z 1.§­a vÒ mét biÕn nhê ®iÒu kiÖn :  Bµi to¸n 8: Cho x  y  z  1   x, y , z  0 Cmr: xy  yz  zx  xyz  8 27 Gi¶i: Tõ ®k bµi to¸n ta thÊy 0  z  1  1  z  0 ¸p dông b®t c«si ta cã: x y xy+yz+zx-xyz=z(x+y)+xy(1-z)  z(x+y)+   (1-z)  2  2  z3  z2  z  1 1 z   xy+yz+zx-xyz=z(1-z)+  =  (1-z)= 4  2  1 1 5 8 8  (z  ) 2 (z  )   víi mäi z, 0  z  1 4 3 3 27 27 1 dÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=  ®pcm 3 x  y z3   Bµi to¸n sè 9: Cho  Cmr: 5  xyz  2( xy  yz  zx)  x, y , z  0 2 (9) Gi¶i: Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö z=min(x,y,z) Tõ ®iÒu kiÖn dÔ thÊy 0  z  1 x y 2 ) ( z  2)  2 z ( x  y )  0 2 ( z  1) 2 ( z  2) 3 z 2 z 3  3z  2 5( ) ( z  2 )  2 z (3  z )  0  0 0 2 4 4 ®óng víi z  [0;1] . DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=1  ®pcm  NhËn xÐt4: (9)  5  xy ( z  2)  2 z ( x  y )  0  5  ( – NÕu lÊy ®iÒu kiÖn 0  z  3 th× bÊt ®¼ng thøc ®¸nh gi¸ biÓu thøc trªn lµ kh«ng ®óng. ë ®©y chóng ta sö dông tÝnh chÊt 1 ®Ó lµm h¹n chÕ ®iÒu kiÖn cña biÕn ®Ó cã thÓ ®¸nh gi¸ ®­îc biÓu thøc . Kỳ _ Xác . – 10 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . – Ta cã bµi to¸n Tæng qu¸t cña bµi 9 sau: x  y  z  3  x, y, z  0  bµi to¸n 9′ cho  a  0; b  0 Cmr: a ( xy  yz  zx )  bxyz  (3a  b )  0  a 4   3  b HD: Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö z=min(x,y,z) tõ ®iÒu kiÖn dÔ thÊy 0  z  1  a  bz  0; z  3a  4  0 ta cã: b a ( xy  yz  zx )  bxyz  (3a  b)  xy ( a  bz )  az ( x  y )  (3a  b)   az (3  z )  (3a  b)  Chó ý: NÕu (3  z ) 2 ( a  bz )  4 1 3a b( z  1) 2 ( z   4)  0 4 b a  3 th× viÖc chøng minh bµi to¸n tæng qu¸t kh«ng cÇn sö dông b tÝnh chÊt 1 Thay ®æi h×nh thøc bµi to¸n: – Sö dông ®¼ng thøc x 2  y 2  z 2  2( xy  yz  zx )  ( x  y  z ) 2 ta cã thÓ ®­a bµi to¸n trªn vÒ bµi to¸n t­¬ng ®­¬ng nh­ng h×nh thøc kh¸c : ch¼ng h¹n bµi 9 cã thÓ ph¸t biÓu d­íi d¹ng t­¬ng ®­¬ng : x  y  z  3 (THTT-2006) Cmr:  x, y , z  0 Cho  x 2  y 2  z 2  xyz  4 hay sö dông ®¼ng thøc x  y 3  z 3  3 xyz  ( x  y  z )[( x  y  z ) 2  3( xy  yz  zx )] 3 bµi to¸n 9 cã thÓ ®­îc ph¸t biÓu d­íi d¹ng : x  y  z  3  x, y , z  0 Cho  Cmr: 2( x 3  y 3  z 3 )  3 xyz  9 – §Æt Èn phô : a=mx;b=my;c=mz hoÆc a= 1 1 1 ;b= ;c= ..v..v.. x z y ch¼ng h¹n: bµi to¸n 9 cã thÓ ph¸t biÓu d­íi d¹ng t­¬ng ®­¬ng x  y  z  1  Cho  Cmr: 5  27 xyz  18( xy  yz  zx )  x, y , z  0  xyz  xy  yz  zx  Cho  Cmr: 5 x 2 y 2 z 2  27 xyz  18( x 2  y 2  z 2 ) x, y , z  0  -Sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu vµ bÊt ®¼ng thøc ®· cã: ch¼ng h¹n bµi 9: Tõ bÊt ®¼ng thøc c«si: x 3  y 3  z 3  3 xyz x  y  z  3 Cmr: x 3  y 3  z 3  15  6( xy  yz  zx ) x , y , z  0  ta cã bµi to¸n  *)Tõ c¸ch chøng minh bµi to¸n tæng qu¸t trªn ta cã bµi to¸n T­¬ng tù Kỳ _ Xác . – 11 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . x  y  z  3  x, y , z  0  bµi to¸n9” Cho  a  0; b  0 chøng minh r»ng:  a 2   3  b a ( xy  yz  zx )  bxyz  (3a  b )  0 Chó ý : §Ó chøng minh : sö dông tÝnh chÊt 1 víi z=max(x,y,z) §Æc biÖt hãa ta cã bµi to¸n: x  y  z  3 Cmr:  x, y , z  0 Víi a=1; b=-2 : Cho  xy  yz  zx  2 xyz  1 Sau ®©y ta xÐt tiÕp mét sè bµi to¸n sö dông tÝnh chÊt nµy ®Ó lµm h¹n chÕ ph¹m vi cña biÕn:  Bµi to¸n 10: Cho  x, y , z  [0;2]  x  y  z  3 Cmr: x 3  y 3  z 3  9 Gi¶i: Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t , gi¶ sö z=max(x,y,z) Tõ ®iÒu kiÖn  1  z  2 . Ta cã: x 3  y 3  z 3  x 3 +y 3 +3xy(x+y) +z 3 =(x+y) 3 +z 3 =(3-z) 3 +z 3 = =9z 3 -27z+27=9(z-1)(z-2)+9  9 víi mäi z,1  z  2 dÊu b»ng x¶y ra khi (x,y,z)=(0,1,2) vµ ho¸n vÞ cña nã  ®pcm  Bµi to¸n 11 : (§Ò thi to¸n quèc gia _b¶ng B_1996;USAMO_2001) x, y , z  0  xy  yz  zx  xyz  4  Cho  Gi¶i: Cmr: x+y+z  xy+yz+zx(11) Gi¶ sö z=min(x,y,z) , tõ ®iÒu kiÖn ta cã : 4  xy  yz  zx  xyz  z  3 z  ( z  1)( z  2) 2  0  0  z  1 (11′) 4  xyz  xy xy+yz+zx+xyz=4  (x+y)z=4-xyz-xy  x+y= (11”) z MÆt kh¸c : 0=xy(1+z)+z(x+y) -4  xy(1+z)+2 xy .z-4 2 2 )( xy  2)  0  xy   ( xy  (11”’) z 1 z 1 (11)  ( x  y )(1  z )  z  xy  0 3 2 Tõ (11′),(11”),(11”’) ta cã : Kỳ _ Xác . – 12 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . (x  y)(1 z)  z  xy 4 xyz xy 44z  xy(z 2  z)  xy z 2 (1 z)  z  xy z z 2 2  2  2  2  2 44z   (z  z)   z z(1 z)2  z 1  z 1   0 z (z 1)2 dÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=1  ®pcm  Bµi to¸n 12: Cho x  y  z  3   x, y , z  0 Cmr: 2( x 2  y 2  z 2 )  x 2 y 2 z 2  7 Gi¶i: Ta cã [( x  1)( y  1)][( y  1)( z  1)][( z  1)( x  1)]  [( x  1)( y  1)( z  1)] 2  0 Do ®ã trong ba sè ( x  1)( y  1); ( y  1)( z  1); ( z  1)( x  1) cã Ýt nhÊt mét sè kh«ng ©m . Gi¶ sö ( x  1)( y  1)  0  xy  x  y  1 Ta cã: 2( x 2  y 2  z 2 )  x 2 y 2 z 2  ( x  y ) 2  2 z 2  ( x  y  1) 2 z 2  (3  z ) 2  2 z 2  (2  z ) 2 z 2  z 4  4 z 3  7 z 2  6 z  9  ( z  1) 2 ( z 2  2 z  2)  7  7 x yz 3   dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi  ( x  1)( y  1)  0  x  y  z  1 ( z  1) 2 ( z 2  2 z  2)  0   ®pcm B»ng c¸ch sö dông tÝnh chÊt trªn ta c ã thÓ t¹o ra c¸c bµi to¸n míi  xyz  1  2 1 ch¼ng h¹n: cho  x , y , z  [ ;4]  Cmr: xy  yz  zx  17 4 *…………..Mét sè bµi to¸n………………* x  y  z  1 Cmr:  x, y , z  0 II11. Cho  a. y  z  16 xyz b. xy  yz  zx  9 xyz c. 9 xyz  1  4( xy  yz  zx ) x, y , z  0  xy  yz  zx  3  II12. Cho  II13. Cho x, y  [0; HD: Gi¶ sö Kỳ _ Xác 2 ]. 2 Cmr: 3( x  y  z )  xyz  10 Cmr: x y 2 2   2 2 3 1 y 1 x x y 2x 2    x  y  0 ta ®i chøng minh: 2 2 2 1 y 1 x 1 x2 . – 13 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . x  y  z  1 Cmr:  x, y , z  0 II14. Cho  a. b. x2  1 y 1 2 xn  1 yn 1   y2 1 z 1 2 yn 1 zn 1   z2 1 x 1 2 zn 1 xn  1  7 (bµi T5 – THTT – 10/2004) 2  7 2 HD:Gi¶ sö x=max(x,y,z) x 2 1 y 2 1  y 2 1 z 2 1  z 2 1  1 y 2 1  z 2 1 1 x 2 1 x 2 1 1 1  3  ( y  z) 2   x 2  2x  4  x 2 1 x 2 1  3 y 2  z 2  1 x 2 1 C©u b t­¬ng tù!  x, y, z  [0;2] x  y  z  3 II15. Cho  Cmr : x n  y n  z n  2n  1 (Tæng qu¸t bµi 8: chøng minh t­¬ng tù!) 2. §­a dÇn vÒ mét biÕn : Tõ biÓu thøc p cã n biÕn ta ®¸nh gi¸ ®­a vÒ (n -1) biÕn …. vµ cuèi cïng ®­a vÒ 1 biÕn. sau ®©y ta xÐt mét sè vÝ dô ®Æc tr­ng thÓ hiÖn ph­¬ng ph¸p nµy:  Bµi to¸n 13: Cho x,y,z n»m trong ®o¹n [1;2] Chøng minh r»ng : x 3  y 3  z 3  5 xyz Gi¶i: §Æt f ( x, y , z )  x 3  y 3  z 3  5 xyz Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö : 2  x  y  z  1 f ( x, y, z )  f ( x, y,1)  z 3  5 xyz  (1  5 xy )  ( z  1)(1  z  z 2  5 xy )  0 V× : z  1  0;1  z  z 2  5 xy  1  z  z 2  5 z 2  1  z  4 z 2  4( z  1) 2  3 z  1  0 MÆt kh¸c : f ( x, y,1)  f ( x,1,1)  y 3  5 xy  (1  5 x)  ( y  1)(1  y  y 2  5 x)  0 V× y  1  0;1  y  y 2  5 x  1  y  y 2  5 y  y 2  4 y  1  ( y  1)( y  2)  y  1  0 VËy f ( x, y, z )  f ( x,1,1)  x 3  5 x  2  ( x  2)[( x  1) 2  2)  0 x,1  x  2 dÊu b»ng bÊt ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi (x,y,z)=(2,1,1) vµ ho¸n vÞ cña (2,1,1)  ®pcm  Bµi to¸n14:(§©y lµ bµi to¸n sè 9) Cho x  y  z  3   x, y , z  0 Chøng minh r»ng: 5  xyz  2( xy  yz  zx ) Gi¶i §Æt p ( x , y , z )  2 ( xy  yz  zx )  xyz Ta cÇn chøng minh f ( x, y, z )  5 . Do vai trß cña x,y,z trong f nh­ nhau nªn theo tÝnh chÊt 2 ta gi¶ sö 0  x  y  z kÕt hîp ®iÒu kiÖn ta dÔ dµng suy ra 0  x  1 XÐt Kỳ _ Xác . – 14 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . yz yz y  z ( y  z) 2 yz ( y  z) 2 , )  2( xy  yz  zx )  xyz  2( x  x ) x 2 2 2 4 2 4 3 1 yz yz 3 x 3 x  x  3x  2  ( x  2)( y  z ) 2  0  f ( x, y, z )  f ( x, , )  f ( x, , ) 4 2 2 2 2 4 3 2  x  3x  2 ( x  1) ( x  2)  f ( x, y , z )  55  5 5 x;0  x  1 4 4 ( x  2)( y  z ) 2  0  x  y  z 1 dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi  x  1   ®pcm  Bµi to¸n15: (BÊt ®¼ng thøc c«si): Cho x,y,z lµ sè d­¬ng Chøng minh r»ng: x 3  y 3  z 3  3xyz f ( x, y , z )  f ( x, Gi¶i: Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö z  y  x  0 §Æt f ( x, y, z )  x 3  y 3  z 3  3xyz Tacã: f (x, y, z)  f (x, y, xy)  z3  ( xy)3  3xy( xy  z)  (z  xy)(z 2  z xy  2xy)  0 v× z  xy MÆt kh¸c: §Æt g ( x, y )  f ( x, y , xy )  x 3  y 3  2 ( xy ) 3 g ( x, y )  g ( x, x )  y 3  x 3  2( ( xy ) 3  x 6 )   y3  x3  2 0 VËy f ( x, y , z )  f ( x, y , xy )  g ( x, y )  g ( x, x )  0  z  xy  x  y  z  ®pcm  x y dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi   Bµi sè 16:(BÊt ®¼ng thøc nesbit) Cho x,y,z lµ sè d­¬ng . x y z 3    yz zx x y 2 Chøng minh r»ng : Gi¶i: §Æt f ( x, y, z )  x y z   yz zx x y Ta cã : f ( x, y, z )  f ( x, y, xy )    x( xy  z ) ( y  z )( y  xy ) y ( z  x)( xy  x) 1  x   ( z  x)( xy  x)  y xy  x  xy x y  z  xy x  ( xy  z )   ( y  z )( y  xy ) x y   x y 1      y  ( y  x)( y  xy ) ( y  x)( xy  x) x  y  x    y  y( x  y) Kỳ _ Xác x y z x     y  z z  x x  y y  xy y ( xy  z ) 1 x . Gi¶ sö z=min(x,y,z)  ( x  y )2 1  1  . 0 x ( x  y )  ( x  y )( x  y ) xy y . – 15 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . y y xy x y 1 x     x   Ta cã : f (x, y, xy)  y xy y xy x x  y y y y 1  1 x x x x 2 y 1 t2 t 3 3 2 2t  t  2   (t  0)     t  1   víi t  2 2 2 x t 1 t 1 t t 2t (t  1) 2 2 dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi : x=y=z=1  ®pcm  NhËn xÐt : – Khi ®­a biÓu thøc 3 biÕn vÒ 2 biÕn hay 1 biÕn th­êng xÐt hiÖu biÓu thøc cña bÊt ®¼ng thøc vµ biÓu thøc ®ã víi x(hoÆc y hoÆc z) thay bëi trung b×nh nh©n hoÆc trung b×nh céng . – Th­êng ta ph¶i sö dông tÝnh chÊt 2 míi cã ®¸nh gi¸ ®­îc * …………Mét sè bµi to¸n…………*  xyz  1 Cmr : ( x  y )( y  z )( z  x )  4( x  y  z  1)  x, y , z  0  xy  yz  zx  6 xyz  9 II22. Cho  Cmr: x  y  z  3 xyz  6 x, y , z  0   x, y , z  0 II23. Cho  2 2 2 Cmr: x  y  z  3 II21. Cho  a. xy  yz  zx  9 xyz b. 9 xyz  1  4 ( xy  yz  zx ) II24. Cho x , y  [ 0 ; 2 ] 2 chøng minh r»ng: x y 2 2   3 1 y2 1 x2 1 x y z 7 II25. Cho x, y, z  [ ;3] chøng minh r»ng:    (THTT-sè 357) 3 x y yz zx 5 II26. Cho x,y,z lµ sè d­¬ng chøng minh r»ng: xyz  2( x 2  y 2  z 2 )  8  5( x  y  z ) (THTT-sè 356) x, y , z  0  xy  yz  zx  3  x, y , z  0 II28. Cho  2 2 2 x  y  z  3  x, y , z  0 II29. Cho  2 2 2 x  y  z  3  II27. Cho  Cmr: 3( x  y  z )  xyz  10 Cmr: x  y  z  x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 Cmr: 7( xy  yz  zx )  12  9 xyz II20 Chøng minh r»ng : Kỳ _ Xác . – 16 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . 2 zx  2  (OLIMPIC 30-4)    1    z x y 2   1 HD: Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö :  z  y  x  1 2 1 §Æt : z=ax ; y=bx   a  b  1 sau ®ã ®¸nh gi¸ tiÕp ta ®­a vÒ 1biÕn lµ b . 2 x y yz III. khai th¸c ph­¬ng ph¸p trong l­îng gi¸c: ë trªn lµ nh÷ng bÊt ®¼ng thøc trong ®¹i sè . vËy trong l­îng gi¸c liÖu cã thÓ ®¸nh gi¸ ®­¬c kh«ng? sau ®©y ta xÐt mét sè vÝ dô trong l­ îng gi¸c  Bµi to¸n17:Chøng minh r»ng trong mäi tam gi¸c ABC ta ®Òu cã: sinA+sinB+ 3 sinC  4 6 (17) 3 Gi¶i: (17)  sin A  sin B  3 sin C  2 sin §Æt cos Ta cã: A B A B C cos  3 sin C  2 cos  3 sin C 2 2 2 C  t 1 t  0 2 C C C 2 cos  3 sin C  2 cos (1  3 sin )  2t (1  3(1  t 2 ) ) 2 2 2 ¸p dông b®t c«si : 3 1 3 1 2t (1  3(1  t 2 ) )  2t (1  .2 (1  t 2 ) )  2t[1  (  1  t 2 )]  3t 3  6t  2 3 2 3  (t  6 2 4 4 ) (3t  2 6 )  6 6 3 3 3 (17′) ®óng víi mäi t>0 (17′ ) ; v× vËy: sinA+sinB+ 3 sinC  4 6 3 A B   cos 2  1 A  B     dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi    C  2 cos C  6  cos   2 3  ®pcm  Bµi to¸n18: Cho tam gi¸c ABC chøng minh r»ng: (1-cosA)(1-cosB)(1-cosC)  cosAcosBcosC (18) Gi¶i: +) NÕu tam gi¸c cã gãc vu«ng ho Æc gãc tï th× b®t lu«n ®óng +) NÕu tam gi¸c lµ nhän ,ta cã: (18)  1  cos A 1  (cos B  cos C )  cos B cos sC . 1 cos A cos B cos C Kỳ _ Xác . – 17 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . BC BC   1  2 cos cos   1  cos A  2 2   1  1 (18′ ) cos A  1   [cos( B  C )  cos( B  C )  2  A A A   1  2 sin 2  4 sin  2 sin 2   1  cos A  2  1  2 2  VT (18′ )  cos A  1 cos A   (1  cos A)  2  A A A A A 2  4 sin  2 sin 2 1  4 sin  4 sin 2 (1  2 sin ) 2 2 2 1 2 2 0 2  0 (18”) Ta cã: cos A cos A cos A V× tam gi¸c nhän nªn (18”) lu«n ®óng.Do ®ã(18) ®óng BC  cos 2  1  A BC dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi  A  1  sin  0 2   ®pcm  Trong tam gi¸c ABC ta cã ®iÒu kiÖn lµ A+B+C=180 nªn gîi ý cho chóng ta sö dông tÝnh chÊt 1 ®Ó lµm h¹n chÕ ph¹m vi biÕn tõ ®ã cã thÓ ®¸nh gi¸ ®­îc biÓu thøc , Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô:  Bµi to¸n 19: Chøng minh r»ng trong mäi tam gi¸c ABC ta ®Òu cã 3(cosA+cosB+cosC)  2(sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA) (19) Gi¶i: Khi ho¸n vÞ (A,B,C) th× b®t (1 9) kh«ng thay ®æi do ®ã kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t Gi¶ sö A=min(A,B,C. V× A+B+C=180   3A nªn 0  A  60  3 A  cos  1 2 2 T  3(cos A  cos B  cos C )  2(sin A sin B  sin B sin C  sin C sin A)  BC BC BC BC  3(cos A  2 cos cos )  cos( B  C )  cos( B  C )  2 sin A.2 sin cos 2 2 2 2 BC A A  2 cos A  cos [6 sin  4 sin A cos ]  cos( B  C ) 2 2 2 A 3 A A A A A Ta cã: v× sin  0,  cos  1  6 sin  4 sin A cos  2 sin (3  4 cos 2 )  0 2 2 2 2 2 2 2 BC MÆt kh¸c cos  1, cos( B  C )  1 nªn 2 A A A A A A T  2 cos A  6 sin  4 sin A cos  1  2(1  2 sin 2 )  6 sin  8 sin (1  sin 2 )  1  2 2 2 2 2 2 3 2 2  8t  4t  2t  1  (2t  1) (2t  1)  0t  0 Kỳ _ Xác . – 18 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . A .V× vËy (cosA+cosB+cosC)  2(sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA) 2 BC   cos 2  1 dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi cos( B  C )  1  A  B  C  A  sin 2  1   ®pcm  Bµi to¸n20: Chøng minh r»ng trong mäi tam gi¸c ABC ta ®Òu cã trong ®ã t  sin 1+cosAcosBcosC  3 sinAsinBsinC (20) Gi¶i: Khi ho¸n vÞ (A,B,C) th× b®t (20) kh«ng thay ®æi do ®ã kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t . ta gi¶ sö A=max(A,B,C) Khi ®ã A  60 (20 ‘) . XÐt T  1  cos A cos B cos C  3 sin A sin B sin C 1 3 cos A [cos( B  C )  cos( B  C )]  sin A [cos( B  C )  cos( B  C )] 2 2 1 1 3  1  [cos 2 A  3 sin A cos A ]  cos( B  C )[ cos A  sin A ] 2 2 2 1 3 Tõ (20’) ta cã : cos A  sin A  cos( A  60 )  0 vµ cos( B  C )  1 nªn 2 2 1 1 T  1  [ cos 2 A  3 sin A cos A]  (cos A  3 sin A)  (cos A  1)[1  cos( A  60  )]  0 2 2 V× vËy 1+cosAcosBcosC  3 sinAsinBsinC  cos( B  C )  1 dÊu b»ng x¶y ra khi   A BC  cos( A  60 )  1 T 1  ®pcm *…………….. Mét sè bµi to¸n……………..* Chøng minh r»ng trong mäi tam gi¸c ABC ta ®Òu cã: III31.NÕu tam gi¸c ABC nhän: 1 tan A  tan B  tan C   3 3  1 A B C 3 3 cot cot 2 2 2 A B C 1 1 1 15 III32. sin  sin  sin     A B C 2 2 2 2 sin sin sin 2 2 2 cot III33. 1  c o s A cos B  cos B cos C  cos C cos A  13 (c o s A  c o s B  c o s C )  2  cos A cos B cos C Kỳ _ Xác . – 19 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . III34. cos 3 A  cos 3 B  cos 3 C   III35. sin 2 A 2 III36. sin A  sin 3 sin 2 B  1 2 2 sin B C 3 sin  2 2 16 3 3 2 C 1 3 2 4 2 III37 . cot A  cot B  2 cot C  2 III38. NÕu tam gi¸c ABC kh«ng ph¶i lµ tam gi¸c tï th× a. ( 1  sin 2 )( 1  sin 2 B )( 1  sin 2 C )  4 b. sin cos A  sin A  cos B  sin C  1  B  cos C 2 2 NhËn xÐt 5: Ta cã thÓ chuyÓn bÊt ®¼ng thøc cã ®iÒu kiÖn trong ®¹i sè sang l­îng gi¸c b»ng c¸ch: *) Tõ ®¼ng thøc l­îng gi¸c c¬ b¶n : +) Tõ ®¼ng thøc : tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan C (1) A B B C C A tan  tan tan  tan tan  1 (2) 2 2 2 2 2 2 x , y, z  0  kÕt hîp bµi to¸n : II12. Cho  Cmr: 3( x  y  z )  xyz  10  xy  yz  zx  3 tan chøng minh bµi nµy t­¬ng tù bµi to¸n 11(hoÆc sö dông ®­a dÇn vÒ mét biÕn) tõ (1) b»ng c¸ch ®Æt : x  3 ; tan A y 3 3 ta ®­îc bµi to¸n t­¬ng ; z tan B tan C ®­¬ng bµi to¸n II12 : cho tam gi¸c ABC nhän . Cmr: tan A tan B  tan B tan C  tan C tan A  1  10 tan A tan B tan C 3 3 A B C A B C t­¬ng tù ta cã : 9(tan  tan  tan )  tan tan tan  30 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 +) Tõ ®¼ng thøc: cos A  cos B  cos C  2 cos A cos B cos C  1 vµ x, y , z  0  Bµi to¸n 11: Cho  Cmr:x+y+z  xy+yz+zx  xy  yz  zx  xyz  4 §Æt x=2cosA ; y=2cosB ; z=2cosC ta cã bµi to¸n: Chøng minh r»ng víi tam gi¸c nhän ABC th×: cosA+cosB+cosC  2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA) ®©y lµ bµi to¸n kh¸ ®Ñp *) Tõ bÊt ®¼ng thøc l­îng gi¸c c¬ b¶n : Ta xÐt bµi to¸n 9: DÔ thÊy tõ c¸ch chøng minh cã thÓ thay ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n nh­ sau Kỳ _ Xác . – 20 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . Cho x2  y2  z2  3 x  y  z  3   x, y, z  0  x, y, z  0   a  0; b  0 hay  a  0; b  0  a  a 4 4     3  b 3  b Cmr: a ( xy  yz  zx )  bxyz  (3a  b )  0 §Æc biÖt hãa ta cã bµi to¸n : x  y  z  3  x, y , z  0 1. a=-2;b=1 .  Cmr: 5  xyz  2( xy  yz  zx) x2  y 2  z 2  3 2.a=-4;b=3 .  Cmr:  x, y , z  0 9  3 xyz  4( xy  yz  zx ) KÕt hîp bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n trong l­îng gi¸c ch¼ng h¹n 1. cos A  cos B  cos C  3 ta cã bµi to¸n: 2 Cho tam gi¸c nhän ABC . Chøng minh r»ng: 5  8 cos A cos sB cos sC  8(cos A cos B  cos B cos c  cos C cos sA) 9 2. sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  ta cã bµi to¸n: 4 Chøng minh r»ng víi mäi tam gi¸c ABC th×: 9 3  8 sin A sin B sin C  16(sin A sin B  sin B sin C  sin C sin A) t­¬ng tù ®èi víi tang,cotang vµ bµi to¸n kh¸c chó ý: Gi¶i bµi to¸n ®¹i sè th«ng qua gi¶i bµi l­îng gi¸c ng­êi ta gäi l µ ph­¬ng ph¸p l­îng gi¸c hãa. Lµm ng­îc l¹i gäi lµ ph­¬ng ph¸p ®¹i sè hãa. C. KÕt luËn Trªn ®©y lµ mét trÝch dÉn vÒ sù vËn dông ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong vÊn ®Ò chøng minh bÊt ®¼ng thøc. §Ò tµi nµy ®· ®­îc b¶n th©n t«i vµ c¸c ®ång nghiÖp cïng ®¬n vÞ thÝ ®iÓm trªn c¸c em cã häc lùc tõ kh¸ trë lªn. KÕt qu¶ thu ®­îc rÊt kh¶ quan, c¸c em häc tËp mét c¸ch say mª høng thó. Mét sè em ®· ®¹t ®­îc nh÷ng thµnh tÝch tèt qua nh÷ng ®ît thi häc sinh giái võa qua. V× t¸c dông tÝch cùc trong viÖc båi d­ìng häc sinh kh¸ giái nªn kÝnh mong Héi ®ång khoa häc vµ quý thÇy ( c«) gãp ý bæ sung ®Ó ®Ò tµi ngµy mét hoµn thiÖn h¬n, cã øng dông réng h¬n trong qu¸ tr×nh d¹y häc ë tr­êng THPT. Kỳ _ Xác . – 21 – Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ mét biÕn trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc . Xin ch©n thµnh c¶m ¬n! ngµy 10 th¸ng 5 n¨m 2007 Ng­êi thùc hiÖn Kú_X¸c Tµi liÖu tham kh¶o 1.T¹p chÝ to¸n häc vµ tuæi trÎ 2.S¸ng t¹o bÊt ®¼ng thøc _ pham kim hïng 3.C¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc _TrÇn tuÊn Anh 4.C¸c bµi to¸n chän läc vÒ hÖ thøc l­îng trong tam gi¸c tø gi¸c phan huy kh¶i_nguyÔn ®¹o ph­¬ng 5.Olimpic 30_4 Kỳ _ Xác . – 22 –