Phân loại và phương pháp giải bài tập giới hạn

CHƯƠNG 4. GIỚI HẠN BÀI 1. GIỚI HẠN DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Định nghĩa Định nghĩa 1 Ta nói dãy số (un ) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: nlim un = 0 hay un  0 khi n  +¥. +¥ Định nghĩa 2 Ta nói dãy số (vn ) có giới hạn là a (hay vn dần tới a ) khi n  +¥, nếu nlim (vn – a) = 0. +¥ Kí hiệu: nlim vn = a hay vn  a khi n  +¥. +¥ 2. Một vài giới hạn đặc biệt 1 n a) nlim = 0; lim n +¥ +¥ 1 =0 nk với k nguyên dương; qn = 0 nếu q < 1; b) nlim +¥ c) Nếu un = c ( c là hằng số) thì nlim un = lim c = c. +¥ n +¥ Chú ý: Từ nay về sau thay cho nlim un = a ta viết tắt là lim un = a . +¥ II – ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định lí 1 a) Nếu lim un = a và lim vn = b thì · lim (un + vn ) = a + b · lim (un - vn ) = a - b æu ö a · lim (un .vn ) = a.b · lim ççç n ÷÷÷ = (nếu b ¹ 0 ). çè vn ø÷ b ì ïlim un = a ïìlim un = a . thì ïí b) Nếu ïí ïïîun ³ 0, "n ï ï îa ³ 0 III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân vô hạn (un ) có công bội q , với q < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 279 S = u1 + u2 + u3 +¼ + un +¼ = u1 1- q ( q < 1). IV – GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Định nghĩa · Ta nói dãy số (un ) có giới hạn là +¥ khi n  +¥ , nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim un = +¥ hay un  +¥ khi n  +¥. · Dãy số (un ) có giới hạn là -¥ khi n  +¥ , nếu lim (-un ) = +¥ . Kí hiệu: lim un = -¥ hay un  -¥ khi n  +¥. Nhận xét: un = +¥  lim (-un ) = -¥. 2. Một vài giới hạn đặc biệt Ta thừa nhận các kết quả sau a) lim n k = +¥ với k nguyên dương; b) lim qn = +¥ nếu q > 1 . 3. Định lí 2 a) Nếu lim un = a và lim vn = ¥ thì lim un =0. vn b) Nếu lim un = a > 0 , lim vn = 0 và vn > 0, “n > 0 thì lim un = +¥. vn c) Nếu lim un = +¥ và lim vn = a > 0 thì lim un .vn = +¥. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Sử dụng nguyên lý kẹp 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng (-1) n Ví dụ 1 : Cho hai dãy số (un ) và (vn ) có un = A. 3. 2 n +1 B. 0. và vn = 1 . n +2 2 C. 2. Khi đó lim (un + vn ) có giá trị bằng: D. 1. Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 280 Ta có ì 1 1 ï ï 0 £ un £ 2 £ 0 ï ï n + 1 n  lim (un + vn ) = 0. ¾¾  lim un = lim vn = 0 ¾¾ íï ï 1 1 ï 0 £ vn £ 2 £ 0 ï ï n +2 n ï î æ sin 5n ö – 2÷÷÷ bằng: Ví dụ 2: Kết quả của giới hạn lim ççç è 3n ø A. -2. B. 3. C. 0. 5 3 D. . Lời giải Chọn A Ta có 0 £ æ sin 5n ö sin 5n 1 1 sin 5n £ , mà lim = 0 nên lim – 2÷÷÷ = -2. = 0, do đó lim çç çè 3n ø 3n n n 3n Nhận xét : Có thể dùng MTCT để tính (có thể chính xác hoặc gần đúng) giới hạn như sau (các bài sau có thể làm tương tự) : Nhập sin (5 X ) 3X – 2. Bấm CALC và nhập 9999999999 (một số dòng MTCT khi bấm nhiều số « 9 » thì nó báo lỗi, khi đó ta cần bấm ít số « 9 » hơn. Bấm « = » ta được kết quả (có thể gần đúng), sau đó chọn đáp án có giá trị gần đúng với kết quả hiện trên MTCT. Ví dụ 3 : Kết quả của giới hạn lim A. 1. 3 sin n + 4 cos n n +1 bằng: B. 0. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn B Ta có 0 £ 3sin n + 4 cos n 7 7 3sin n + 4cos n £ £  0 ¾¾  lim = 0. n +1 n +1 n n +1 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: æ Giá trị của giới hạn lim ççç4 + ççè A. 1. n (-1) ö÷÷ ÷ n + 1 ÷÷ø bằng: B. 3. C. 4. D. 2. Lời giải Chọn C (-1) n Ta có 0 £ Câu 2: n +1 £ n n æ (-1) (-1) ö÷÷ 1 1 ç  lim çç4 + £  0 ¾¾  lim = 0 ¾¾ ÷ = 4. ççè n +1 n n +1 n + 1 ÷÷ø Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để lim n – 2 n k cos Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2n 1 n = 1. 2 Trang 281 B. 1. A. 0. C. 4. D. Vô số. Lời giải Chọn A Ta có n – 2 n k cos 2n 1 1 n k cos n = 1n 2 n Điều kiện bài toán trở thành lim . n k cos n 1 n = 0. 1 n Ta có lim cos = cos 0 = 1 nên bài toán trở thành tìm k sao cho k -1 nk k = lim n 2 = 0  -1 < 0  k < 2 ¾¾¾¾  k Î * , k =3 l 2 n lim không tồn tại k (do k nguyên dương và chẵn). Câu 3: æ n cos 2n ö÷ ÷÷ bằng: ø B. 1 . 4 Kết quả của giới hạn lim ççç5 - 2 è n +1 A. 4. C. 5. D. -4. Lời giải Chọn C Ta có 0£ Câu 4: æ 1 n cos 2n n n cos 2n n cos 2n ö÷ £ 2 £  0 ¾¾  lim 2 = 0 ¾¾  lim çç5 - 2 ÷ = 5. çè n2 +1 n +1 n n +1 n + 1 ø÷ æ np ö Kết quả của giới hạn lim çççn 2 sin - 2n 3 ÷÷÷ là: è ø 5 B. -2. A. -¥. C. 0. D. +¥. Lời giải Chọn A æ np ö æ 1 sin np ö - 2÷÷÷. Ta có lim çççn2 sin - 2n3 ÷÷÷ = lim n3 ççç . è ø èn 5 ø 5 Vì ì ìïlim n3 = +¥ ï lim n3 = +¥ ï ïï æ 1 sin np ö ï ï ¾¾  ïí æ 1 sin np ¾¾  lim n3 çç . - 2÷÷÷ = -¥. ö í 1 sin n p 1 ç ÷ ç ï ï è ø n 5 £ £  = < 0 . 0 lim . 2 2 0 ÷ ïï ïï ççè ÷ø n 5 n n 5 îï îï Dạng 2. Giới hạn hữu tỉ 1. Phương pháp Chú ý : Cho P (n), Q (n) lần lượt là các đa thức bậc m, k theo biến n : Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 282 P ( x ) = am n m + am-1n m-1 +  + a1n + a0 (am = / 0) Q (n) = bk n k + bk -1n k -1 +  + b1n + b0 (bk = / 0) Khi đó lim P (n) Q (n) = lim am n m bk n k , viết tắt P (n) Q (n)  am n m bk n k Nếu « bậc tử » < « bậc mẫu ( m < k ) thì lim Nếu « bậc tử » = « bậc mẫu ( m = k ) thì lim Nếu « bậc tử » > « bậc mẫu ( m > k ) thì lim , ta có các trường hợp sau : P (n) Q (n) P (n) Q (n) = 0. = am . bk P ( n) ïì+¥ khi am bk > 0 = ïí . Q (n) ïïî-¥ khi am bk < 0 Để ý rằng nếu P (n), Q (n) có chứa « căn » thì ta vẫn tính được bậc của nó. Cụ thể m nk tì có bậc là k . n Ví dụ n có bậc là 1 3 4 , n 2 có bậc là 4 ,... 3 Trong các bài sau ta có thể dùng dấu hiệu trên để chỉ ra kết quả một cách nhanh chóng ! 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Tính lim 3n3  5n2  1 2n3  6n2  4n  5 . Giải 5 1  3 n n3  lim  lim 3 2 6 4 5 2 2n  6n  4n  5  2  n n 2 n3 3 3n3  5n2  1 Ví dụ 2: Tính lim n + 2n 2 n + 3n -1 3 Lời giải 1 2 + 2 n + 2n 2 n n = 0 = 0. = lim Ta có lim 3 3 1 n + 3n -1 1 1+ 2 - 3 n n Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0. 2n + b trong đó b là tham số thực. Để dãy số (un ) có giới hạn hữu Ví dụ 3 : Cho dãy số (un ) với un = 5n + 3 hạn, giá trị của b bằng bào nhiêu Lời giải b 2+ 2n + b n = 2 ( "b Î  ) = lim Ta có lim un = lim 3 5 5n + 3 5+ n Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 283 Giải nhanh : 2n + b 2n 2  = 5n + 3 5n 5 Ví dụ 4: Cho dãy số (un ) với un = với mọi b Î . 4n2 + n + 2 . Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2 , giá trị của a an 2 + 5 bằng bao nhiêu Lời giải 4n 2 + n + 2 2 = lim un = lim = lim an 2 + 5 Giải nhanh : 2  1 2 4+ + 2 n n = 4 (a = / 0)  a = 2. 5 a a+ 2 n 4n 2 + n + 2 4n 2 4  2 =  a = 2. an 2 + 5 an a Ví dụ 5 : Tính giới hạn L = lim (n 2 + 2n )(2n 3 + 1)(4 n + 5) . (n 4 - 3n -1)(3n 2 - 7) Lời giải æ ç 2 öæ ÷ç 1 öæ ÷ç 5 ÷ö 1+ 2 + 3 ÷÷ç4 + ÷÷ ççè n ÷÷øèçç (n 2 + 2n)(2n3 +1)(4n + 5) n ø 1.2.4 8 n øèç lim L = lim = = = . 4 2 æ öæ ö 3 1 7 1.3 3 3 1 3 7 n n n ( )( ) çç1- - ÷÷çç3 - ÷÷ 3 4 2 èç Giải nhanh: n ÷øèç n n ø÷ (n2 + 2n)(2n3 +1)(4n + 5) n2 .2n3 .4n 8  4 2 = . 3 n .3n (n 4 - 3n -1)(3n 2 - 7) 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Giá trị của giới hạn lim 3 4 A. - . -3 4 n - 2n + 1 2 là: B. -¥. C. 0. D. -1. Lời giải Chọn C -3 -3 0 n2 = lim = = 0. Ta có lim 2 2 1 4 4n - 2n + 1 4- + 2 n n Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0. Câu 2: Giá trị của giới hạn lim A. +¥. 3n 3 - 2n + 1 là: 4 n 4 + 2n + 1 B. 0. C. 2 . 7 D. 3 . 4 Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 284 Ta có 3 2 1 - 2+ 4 3n3 - 2n + 1 0 n n n lim 4 = lim = = 0. 2 1 4n + 2n + 1 4 4+ 3 + 4 n n Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0. Câu 3: Cho hai dãy số (un ) và (vn ) có un = A. 1. 1 n +1 và vn = B. 2. 2 . n+2 Khi đó lim C. 0. vn có giá trị bằng: un D. 3. Lời giải Chọn A 1 1+ vn n +1 n = 1 = 1. Ta có lim = lim = lim 2 1 un n+2 1+ n Giải nhanh : Câu 4: n +1 n  = 1. n+2 n Cho dãy số (un ) với un = an + 4 5n + 3 bằng 2 , giá trị của a là: A. a = 10. B. trong đó a là tham số thực. Để dãy số (un ) có giới hạn C. a = 8. a = 6. D. a = 4. L = 2. D. L = 1. Lời giải Chọn A Ta có 4 a+ an + 4 a n lim un = lim = lim = . 3 5 5n + 3 5+ n lim un = 2  a = 2  a = 10 5 Giải nhanh : 2  Câu 5: an + 4 an a  =  a = 10. 5n + 3 5n 5 Tính giới hạn L = lim 3 2 A. L = . Khi đó n2 + n + 5 . 2n 2 + 1 1 2 B. L = . C. Lời giải Chọn B 1 5 1+ + 2 n2 + n + 5 n n =1 = lim Ta có L = lim 2 1 2 2n + 1 2+ 2 n Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 285 Giải nhanh: Câu 6: n2 + n + 5 n2 1 = .  2 2 2n + 1 2n 2 Tính giới hạn L = lim 3 2 A. L = - . n 2 - 3n 3 . 2n 3 + 5n - 2 1 B. L = . 5 1 2 C. L = . D. L = 0. Lời giải Chọn A 1 -3 n 2 - 3n3 -3 n L = lim 3 = lim = 5 2 2n + 5n - 2 2 2+ 2 - 3 n n Giải nhanh: Câu 7: 3 n 2 - 3n3 -3n3  =- . 3 2n + 5n - 2 2n 3 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số a để L = lim A. a £ 0; a ³ 1. 5n 2 - 3an 4 > 0. (1 – a) n 4 + 2n + 1 B. 0 < a < 1. C. a < 0; a > 1. D. 0 £ a < 1. Lời giải Chọn C 5 - 3a éa < 0 5n 2 - 3an 4 -3a n2 lim . L = lim = = >0  ê 4 ê 2 1 (1 – a) n + 2n + 1 ëa > 1 (1 – a) + 3 + 4 (1 – a) n n Câu 8: Tính giới hạn L = lim (2n – n 3 )(3n 2 + 1) . (2 n -1)(n 4 – 7 ) 3 2 B. A. L = – . C. L = 1. D. L = +¥. L = 3. Lời giải Chọn A Ta có 3 æ2 ç ö÷ 2 æ ç 1 ö÷ æ2 ç öæ ÷ç 1 ö÷ ÷ç n øè n ø÷ n ç 2 -1÷÷.n ç3 + 2 ÷÷ ÷÷çç3 + 2 ÷÷ çèç 2 -1øè (2n – n3 )(3n 2 + 1) èç n ø èç 3 n ø n n ø -1.3 lim lim L = lim = = = =- . 4 æ ö æ ö æ öæ ö 1 7 2.1 2 (2n -1)(n – 7) çç2 – 1 ÷÷çç1- 7 ÷÷ n çç2 – ÷÷.n 4 çç1- 4 ÷÷ 4 çè Giải nhanh: Câu 9: 1 3 çè n ø÷ çè (2n – n3 )(3n 2 + 1) -n3 .3n 2 3 =- .  2 2n.n 4 (2n -1)(n 4 – 7) Kết quả của giới hạn lim A. – . n ÷ø n 3 – 2n là: 1 – 3n 2 B. +¥. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. -¥. D. 2 . 3 Trang 286 Lời giải Chọn C n 3 – 2n lim = lim 1- 3n 2 æ 2ö 2 n3 çç1- 2 ÷÷÷ 1- 2 çè n ø n . = lim n. æ1 ö 1 3 n 2 çç 2 – 3÷÷÷ çè n n2 ø Ta có ìlim n = +¥ ï ï 2 ï ïï 1- 2 2 n 3 – 2n n ï 1- 2  im = lim n. = -¥ í n = – 1 < 0 ¾¾ ïïlim 1 1- 3n 2 3 1 ï 3 ï -3 n2 ï ï n2 î Giải nhanh : 1 n 3 - 2n n3  = - n ¾¾ -¥. 2 2 1- 3n 3 -3n Câu 10: Kết quả của giới hạn lim A. 3 . 4 2n + 3n 3 là: 4 n 2 + 2n + 1 B. +¥. C. 0 5 7 D. . Lời giải Chọn B æ2 ö 2 n3 çç 2 + 3÷÷÷ +3 2 ç èn ø 2n + 3n n lim 2 . Ta có = lim = lim n. æ 2 1 2 1ö 4n + 2n + 1 4+ + 2 n 2 çç4 + + 2 ÷÷÷ çè n n n n ø 3 ïìïlim n = +¥ 2 ïï +3 2 2 ïï 2n + 3n3 3 + n 2 ¾¾  im = lim n . = +¥. 3 í ïïlim n 2 1 = >0 4n 2 + 2n + 1 4 + + 2 1 4 ïïï 4+ + 2 n n2 ïî n n Giải nhanh : 2n + 3n3 3n3 3  = .n ¾¾ +¥. 4n 2 + 2 n + 1 4n 2 4 Câu 11: Kết quả của giới hạn lim A. 0. 3n – n 4 là: 4n – 5 B. +¥. C. -¥. D. 3 . 4 Lời giải Chọn C 3n – n 4 lim = lim 4n – 5 æ3 ö 3 n 4 çç 3 -1÷÷÷ -1 3 çè n ø 3 n . Ta = lim n . æ 5 5ö 4n çç4 – ÷÷÷ çè n nø có Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 287 ìïlim n3 = +¥ ïï 3 ïï -1 3 3 3n – n 4 ï 3 n 1 3 ¾¾  = n = -¥. lim l lim . í 1 ïïlim n 5 4n – 5 =- <0 4 5 ïï 4 n 4ïï n î 3n - n 4 -n4 1  = - .n3 ¾¾ -¥. 4n - 5 4n 4 Giải nhanh : Câu 12: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0? A. lim 3 + 2n 3 . 2 n 2 -1 B. lim 2n 2 - 3 . -2n 3 - 4 C. lim 2n - 3n 3 . -2n 2 -1 D. lim 2n 2 - 3n 4 . -2n 4 + n 2 Lời giải Chọn B . Theo dấu hiệu ở đã nêu ở phần Chú ý trên thì ta chọn giới hạn nào rơi vào trường hợp « bậc tử » < « bậc mẫu » ! lim 3 + 2n 3 = +¥ : « bậc tử » > « bậc mẫu » và am bk = 2.2 = 4 > 0. 2n2 -1 lim 2n 2 – 3 = 0 : « bậc tử » < « bậc mẫu ». -2n3 - 4 lim 2n - 3n3 = +¥ : « bậc tử » > « bậc mẫu » và an bk = (-3).(-2) > 0. -2n 2 -1 lim a 2n2 – 3n4 -3 3 -3 3 = . = = : « bậc tử » = « bậc mẫu » và m = 4 2 bk -2 2 -2n + n -2 2 Câu 13: Dãy số nào sau đây có giới hạn là -¥ ? A. 1 + 2n . 5n + 5n 2 B. un = n 3 + 2 n -1 . -n + 2n 3 C. un = 2n2 – 3n4 . n 2 + 2n3 D. un = n 2 – 2n . 5n + 1 Lời giải Chọn C Ta chọn đáp án dạng « bậc tử » = « bậc mẫu » và am bk < 0. un = 2n 2 - 3n 4 : « bậc tử » > « bậc mẫu » và am bk = -3.2 = -6 < 0 ¾¾  lim un = -¥. n 2 + 2n 3 ïì+¥ khi an > 0 . ïïî-¥ khi an < 0 Chú ý : (i) lim (am nm + an-1nm-1 +  + a1n + a0 ) = ïí (ii) Giả sử q > max { qi : i = 1; 2¼; m} thì ì ï a0 khi q < 1 ï ï ï lim (a.q + am q +  + a q + a0 ) = í+¥ khi a > 0, q > 1. ï ï ï-¥ khi a < 0, q > 1 ï î n n m n 1 1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 288 Ta dùng « dấu hiệu nhanh » này để đưa ra kết quả nhanh chóng cho các bài sau. Câu 14: Tính giới hạn L = lim (3n 2 + 5n – 3). A. L = 3. B. L = -¥. C. L = 5. D. L = +¥. Lời giải Chọn D ìïlim n 2 = +¥ ïï æ ö÷ 5 3 . L = lim (3n + 5n – 3) = lim n ççç2 + – 2 ÷÷ = +¥ vì ïí æ 5 3 ÷ö . ïïlim çç2 + – 2 ÷ = 2 > 0 è n n ø ÷ ç n n ø ïîï è 2 2 +¥. Giải nhanh : 3n2 + 5n – 3  3n2 ¾¾ Câu 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (-10;10) để L = lim (5n – 3 (a – 2 ) n ) = -¥ . 2 A. 19. 3 B. 3. C. 5. D. 10. Lời giải Chọn B æ5 ö – 3 (a2 – 2 )÷÷÷ = -¥ è n2 ø Ta có lim (5n – 3 (a2 – 2) n 3 ) = lim n 3 ççç æ5 ö  lim çç 2 – 3 (a2 – 2)÷÷÷ = a2 – 2 < 0  - 2 < a < 2 ¾¾¾¾¾ a = -1; 0; 1. aÎ, aÎ(-10;10 ) çè n ø Câu 16: Tính giới hạn lim (3n 4 + 4 n 2 - n + 1). B. L = -¥. A. L = 7. C. L = 3. D. L = +¥. Lời giải Chọn D Ta có ìïlim n 4 = +¥ ïï æ ö÷ 4 1 1 lim (3n + 4n - n +1) = lim n çç3 + 2 - 3 + 4 ÷÷ = +¥ vì ïí æ . ö çè ïïlim çç3 + 42 - 13 + 14 ÷÷ = 3 > 0 n n n ø ÷ ç n n n ø ïîï è 4 2 4 +¥. Giải nhanh : 3n4 + 4n2 – n +1  3n4 ¾¾ Câu 17: Cho dãy số (un ) với un = 2 + ( 2 ) + … + ( 2 ) . Mệnh đề nào sau đây đúng ? 2 A. lim un = -¥. B. lim un = n 2 1- 2 . C. lim un = +¥. D. Không tồn tại lim un . Lời giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 289 Vì 2, ( 2 ) , ¼ , ( 2 ) lập thành cấp số nhân có u1 = 2 = q nên 2 n un = 2. 1- Câu 18: Giá trị của giới hạn ( 2) n é = 2- 2 ê ëê 1- 2 ( n 1 3 n + 1 + + … + 2 2 lim 2 n2 +1 1 8 A. . ù -1ú ¾¾  lim un = +¥ ûú ) ( 2) ì ïa = 2 – 2 > 0 . vì ïí ï ï îq = 2 > 1 bằng: B. 1. 1 . 2 C. D. 1 . 4 Lời giải Chọn D Ta có 1 3 n 1 1 n (n + 1) + 1 + + … + = (1 + 2 +  + n) = . . 2 2 2 2 2 2 1 3 n + 1 + + … + 2 2 2 = lim n + n = 1 lim 2 2 n +1 4n 2 + 4 4 Do đó (“bậc tử” = “bậc mẫu”). æ1 2 n -1ö Câu 19: Giá trị của giới hạn lim ççç 2 + 2 + … + 2 ÷÷÷ bằng: èn n n ø 1 3 A. 0. B. . C. 1 . 2 D. 1. Lời giải Chọn C Ta có 1 2 1 (n -1)(1 + n -1) n 2 – n n -1 1  … 1 2 + n 1 . . Do đó + + + = + + = = ( ) n2 n2 n2 n2 n2 2 2n 2 æ1 2 n -1ö n2 – n 1 lim çç 2 + 2 + … + 2 ÷÷÷ = lim = . çè n 2 n n ø 2n 2 æ1 + 3 + 5 +  + (2n + 1)ö÷ ÷÷ bằng: ÷ø 3n 2 + 4 Câu 20: Giá trị của giới hạn lim ççç çè A. 0. 1 3 C. B. . 2 . 3 D. 1. Lời giải Chọn B Ta có 1 + 3 + 5 + (2n -1) = n (1 + 2n -1) 2 = n2 nên æ1 + 3 + 5 +  + (2n +1)ö÷ 1 n2 ÷÷ = lim 2 lim ççç = ¾¾  2 ÷ø çè 3n + 4 3n + 4 3 æ 1 1 1 ö ÷÷ Câu 21: Giá trị của giới hạn lim ççç + + … + ÷ là: n (n + 1)÷ø èç1.2 2.3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 290 A. 1 . 2 B. 1. C. 0. D. -¥. Lời giải Chọn B Ta có æ1 æ 1 1 1 æ 1 1 ö÷÷ 1 1 ö÷ 1 ö÷ lim ççç + + … + ÷÷ = lim ççç1÷ = 1. ÷÷ = lim ççç1- + – +  + è ø è çè1.2 2.3 n (n + 1)ø 2 2 3 n n +1 n + 1ø÷ æ 1 1 ö 1 ÷÷ Câu 22: Giá trị của giới hạn lim ççç + + … + ÷ bằng: çè1.3 3.5 (2n -1)(2n + 1)÷ø A. 1 . 2 B. 1 . 4 C. 1. D. 2. Lời giải Chọn A Với mọi k Î * thì 1æ 1 1 ö÷ = çç ÷ , do đó ç è (2k -1)(2k + 1) 2 2k -1 2k + 1ø÷ 1 æ1 1 1 1é 1 1 1 1 1 ù ÷ö ú lim ççç + + … + ÷÷÷ = lim êê1- + – + 2 ë 3 3 5 2n -1 2n +1úû (2n -1)(2n +1)ø èç1.3 3.5 1é 1 ù 1 ú= . = lim ê12 ëê 2n + 1ûú 2 é 1 1 1 ù ú bằng: Câu 23: Giá trị của giới hạn lim êê + + …… + n (n + 3)ûúú ëê1.4 2.5 A. 11 . 18 B. 2. C. 1. D. 3 . 2 Lời giải Chọn A Ta có 1 1 1 1é 1 1 1 1 1 1 1 ù ú + + …… + = ê1- + – + – +  + n (n + 3) 3 êë 4 2 5 3 6 n n + 3 úû 1.4 2.5 1 éæ 1 1 1ö æ1 1 1 1 ÷öù = êçç1 + + +  + ÷÷÷ – çç + + +  + ÷ú ç ç ê nø è4 5 6 n + 3 ÷øúû 3 ëè 2 3 1æ 1 1 1 1 1 ö÷ = çç1 + + ÷ ç 3 è 2 3 n + 1 n + 2 n + 3 ÷ø 1 æ11 1 1 1 ö÷ = çç ÷ ç 3 è 6 n + 1 n + 2 n + 3 ÷ø æ 1 1 1 ö 1 æ11 1 1 1 ö 11 ÷÷ ÷÷ = . Do đó lim ççç + + …… + ÷ = lim ççç n (n + 3)ø÷ 3 è 6 n + 1 n + 2 n + 3 ÷ø 8 èç1.4 2.5 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 291 2 2 … + n 2 bằng: Câu 24: Giá trị của giới hạn lim 1 + 2 + 2 n (n + 1) A. 4. B. 1. C. 1 . 2 1 3 D. . Lời giải Chọn D Đặt P (n) = 2n3 – 3n 2 + n n (n -1)(2n +1) = thì ta có 6 6 12 + 2 2 + 32 +  + n 2 = ( P (2) – P (1)) + ( P (3) – P (2)) +  + ( P (n + 1) – P (n)) = P (n + 1) – P (1) = n (n + 1)(2n + 3) 6 2 2 n (n + 1)(2n + 3) 2 1 … + n 2 Do đó lim 1 + 2 + = lim = = . 2 2 n (n + 1) 6n (n + 1) Câu 25: Cho dãy số có giới hạn (un ) 6 ì 1 ï ï u1 = ï ï 2 . Tính lim un . xác định bởi ïí 1 ï ï un+1 = , n ³1 ï ï 2 – un ï î 1 2 B. lim un = 0. A. lim un = -1. 3 C. lim un = . D. lim un = 1. Lời giải Chọn D Giả sử lim un = a thì ta có a = lim un+1 = lim ìa = /2 /2 ï ïìa = 1 1 = ï ï  a = 1. í í 2 ï ï 2 – un 2 – a ï îa – 2 a + 1 = 0 îa (2 – a) = 1 ï Câu 26: Cho dãy số có giới hạn (un ) xác định bởi B. lim un = 0. A. lim un = 1. ìïu1 = 2 ïï . Tính lim un . í ïïun +1 = un + 1 , n ³ 1 ïî 2 C. lim un = 2. D. lim un = +¥. Lời giải Chọn A Giả sử lim un = a thì ta có a = lim un +1 = lim un + 1 a + 1 =  a = 1 ¾¾  2 2 Câu 27: Kết quả của giới hạn lim A. 2 . 3 9n 2 – n + 1 bằng: 4n – 2 3 B. . 4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. 0. D. 3. Trang 292 Lời giải Chọn B . 9n 2 – n + 1 lim = lim 4n – 2 Giải nhanh: 1 1 9- + 2 3 n n = 2 4 4n 9n 2 – n + 1 9n 2 3  = . 4n – 2 4n 4 Câu 28: Kết quả của giới hạn lim 2 3 -n 2 + 2 n + 1 3n 4 + 2 B. A. – . bằng: 1 . 2 C. – 3 . 3 1 2 D. – . Lời giải Chọn C lim -n 2 + 2n + 1 3n 4 + 2 Giải nhanh : 2 1 -1 + + 2 n n =- 1 = lim 2 3 3+ 4 n -n 2 + 2n + 1 4 3n + 2 Câu 29: Kết quả của giới hạn lim A. 5 . 2  -n 2 3n 4 2n + 3 2n + 5 5 B. . 7 =- 1 3 . là: C. +¥. D. 1. Lời giải Chọn D 3 n = 2 = 1. = lim lim 5 2n + 5 2 2+ n 2n + 3 Giải nhanh: 2+ 2n + 3 2n + 5  Câu 30: Kết quả của giới hạn lim A. 1. 2n 2n = 1. n +1 – 4 n +1 + n bằng: B. 0. C. -1. D. 1 . 2 Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 293 1 1 4 + 2n = 0=0 lim = lim n n 1 n +1 + n 1 1 + +1 n n2 n +1 – 4 Giải nhanh: Câu 31: Biết rằng lim A. n +1 – 4 n +1 + n n 1 = ¾¾  0. n n  n + n2 +1 2 n -n -2 = a sin B. S = 1. p + b. 4 Tính S = a3 + b3 . C. S = 8. S = 0. D. S = – 1. Lời giải Chọn B Ta có lim n + n2 +1 n2 – n – 2 1 n 2 = 1 + 1 = 2 2 sin p 1 4 1 2 1- n n 1+ 1+ = lim ì ïa = 2 2 ¾¾  íï ¾¾ S = 8 ïïb = 0 î Câu 32: Kết quả của giới hạn lim A. +¥. 10 4 n + n2 +1 là: B. 10. C. 0. D. -¥. Lời giải Chọn C 10 0 n2 = lim = = 0. lim 4 2 1 1 1 n + n +1 1+ 2 + 4 n n 10 Giải nhanh: 10 4 2 n + n +1  10 n 4 Câu 33: Kết quả của giới hạn lim (n + 1) = 10 ¾¾  0. n2 2n + 2 là: n 4 + n 2 -1 B. 1. A. +¥. C. 0. D. -¥. Lời giải Chọn C 3 lim (n + 1) 2 (n + 1) 2n + 2 = lim 4 = 0 (“bậc tử” < “bậc mẫu”). 4 2 n + n -1 n + n 2 -1 Giải nhanh: (n + 1) 2n + 2 2n 2  n. 4 = ¾¾  0. 2 n + n -1 n n 4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 294 Câu 34: Biết rằng lim P= 3 an 3 + 5n 2 - 7 3n 2 - n + 2 = b 3 +c với a, b, c là các tham số. Tính giá trị của biểu thức a+c . b3 1 3 A. P = 3. B. P = . C. P = 2. 1 2 D. P = . Lời giải Chọn B Ta có lim 3 5 7 a+ - 3 3 3 n n = b= a 3 = lim 3 1 2 3 3n 2 - n + 2 3- + 2 n n 3 an 3 + 5n 2 - 7 ìï 3 ï a=b 1 = b 3 + c  íï 3P= . ïï 3 îïc = 0 Câu 35: Kết quả của giới hạn lim 5 200 - 3n 5 + 2n 2 là: B. 1. A. +¥. C. 0. D. -¥. Lời giải Chọn D Ta có æ 200 2 ö÷ lim 200 - 3n + 2n = lim n ççç 5 5 - 3 + 3 ÷÷ = -¥ vì çè n n ÷ø 5 5 2 ì lim n = +¥ ï ï ï ï . 2 ÷ö í çæ 5 200 ï - 3 + 3 ÷÷ = - 5 3 < 0 lim çç ï 5 ÷ ç ï n n ø ï î è Giải nhanh: 5 200 - 3n5 + 2n2  5 -3n5 = - 5 3.n ¾¾ -¥. Dạng 3. Dãy số chứa căn thức 1. Phương pháp  Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản. AB A B A B 3 A B 3 A B löôïng lieân hieäp laø: A  B löôïng lieân hieäp laø: A  B löôïng lieân hieäp laø: A  B 3 löôïng lieân hieäp laø:  A 2  B3 A  B2    3 2  3 2 löôïng lieân hieäp laø:  A  B A  B    2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Tính lim  n 2  7  n2  5    Giải n2  7  n2  5 2 lim  n 2  7  n 2  5   lim  lim 0   n2  7  n2  5 n2  7  n2  5 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 295 Ví dụ 2. Tính lim  n2  3n  n2    Giải 3n 3 3 lim  n 2  3n  n 2   lim  lim  2   3 n 2  3n  n 2 1  1 n Ví dụ 3. Tính lim ( n2 - n +1 - n ) Lời giải  nhân lượng liên hợp : . n 2 - n + 1 - n  n 2 - n = 0 ¾¾ lim 1 1 n n - n + 1 - n = lim = lim =2 2 1 1 n - n +1 + n 1- + 2 + 1 n n ( -n + 1 Giải nhanh : n 2 - n + 1 - n = Ví dụ 4. Tính lim ( 3 n2 - n3 + n -1 + -n + 1 ) 2 2 n - n +1 + n  -n 1 =- . 2 n +n 2 ) Lời giải 3 n 2 - n3 + n  3 -n3 + n = 0 ¾¾  nhân lượng liên hợp : lim ( 3 ) n2 n 2 - n3 + n = lim 3 (n 2 - n ) 3 2 1 = lim - n 3 n 2 - n3 + n 2 2 3 n2 Giải nhanh : 3 n 2 - n3 + n = 3 (n 2 - n ) 3 2 æ 1 ö÷ çç -1÷ - 3 1 -1 + 1 çè n ÷ø n  - n 3 n 2 - n3 + n 2 1 = . 3 n2 3 1 = . 3 n - n -n + n 3 6 3 2 Ví dụ 5. Tính lim éê n ( n + 1 - n )ùú ë û Lời giải n ( ) n +1 - n  n ( ) n - n = 0 ¾¾  nhân lượng liên hợp : lim n ( ) n + 1 - n = lim Giải nhanh : n ( n + 1 - n ) = n n +1 + n n n +1 + n  = lim 1 1+ 1 +1 n = 1 2 1 = . n+ n 2 n 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Giá trị của giới hạn lim ( n + 5 - n + 1) bằng: A. 0. B. 1. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. 3. D. 5. Trang 296 Lời giải Chọn A n + 5 - n +1  n - n = 0 ¾¾  nhân lượng liên hợp : lim Câu 2: ( ) n + 5 - n + 1 = lim 4 n + 5 + n +1 =0 Giá trị của giới hạn lim ( n 2 -1 - 3n 2 + 2 ) là: A. -2. B. 0. C. -¥. D. +¥. Lời giải Chọn C lim ( æ 1 2 ö÷ n2 -1 - 3n2 + 2 = lim n ççç 1- 2 - 3 + 2 ÷÷ = -¥ vì çè n n ÷ø ) æ 1 2 ö÷ lim n = +¥, lim ççç 1- 2 - 3 + 2 ÷÷ = 1- 3 < 0. çè n n ÷ø Giải nhanh : n 2 -1 - 3n 2 + 2  n 2 - 3n 2 = (1- 3 ) n ¾¾ -¥. Câu 3: Giá trị của giới hạn lim ( n 2 + 2n - n 2 - 2n ) là: A. 1. B. 2. C. 4. D. +¥. Lời giải Chọn B n 2 + 2n - n 2 - 2n  n 2 - n 2 = 0 ¾¾  nhân lượng liên hợp : lim ( ) n 2 + 2n - n 2 - 2n = lim 4n 2 n + 2n + n - 2n Giải nhanh : n 2 + 2n - n 2 - 2n = Câu 4: 2 4 = lim 1+ 4n n 2 + 2n + n 2 - 2n  = 2. 2 2 + 1n n 4n n2 + n2 = 2. Có bao nhiêu giá trị của a để lim ( n 2 + a2 n - n 2 + (a + 2) n + 1) = 0. A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải Chọn B n 2 + a 2 n - n 2 + (a + 2 ) n + 1  n 2 - n 2 = 0 ¾¾  nhân Ta có lim ( n 2 + a2 n - n 2 + (a + 2) n + 1) = lim Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 lượng liên hợp: (a 2 - a - 2 ) n - 1 n2 + n + n2 +1 Trang 297 1 é a = -1 a2 - a - 2 n . = lim = =0ê êa = 2 2 1 1 ë 1+ + 1+ 2 n n a2 - a - 2 - Câu 5: Giá trị của giới hạn lim ( 2n 2 - n + 1 - 2n 2 - 3n + 2 ) là: A. 0. B. 2 . 2 C. -¥. D. +¥. Lời giải Chọn B 2n 2 - n + 1 - 2n 2 - 3n + 2  2n 2 - 2n 2 = 0 ¾¾  nhân lượng liên hợp : lim ( ) 2n -1 2n 2 - n + 1 - 2n 2 - 3n + 2 = lim 2 2n - n + 1 + 2n 2 - 3n + 2 1 21 n = lim = . 1 1 3 2 2 2- + 2 + 2- + 2 n n n n Giải nhanh : 2n 2 - n + 1 - 2n 2 - 3n + 2 = Câu 6: 2 n -1 2 2 2n - n + 1 + 2n - 3n + 2  2n 2 2n + 2 n 2 = 1 2 . Giá trị của giới hạn lim ( n 2 + 2n -1 - 2n 2 + n ) là: A. -1. B. 1 - 2. C. -¥. D. +¥. Lời giải Chọn C Giải nhanh : n 2 + 2n -1 - 2n 2 + n  n 2 - 2n 2 = (1- 2 ) n ¾¾ -¥. æ Cụ thể : lim ( n2 + 2n -1 - 2n2 + n ) = lim n.ççç 1 + çè 2 n 1 1 ö÷ - 2 + ÷÷ = -¥ vì 2 n n ÷ø æ 2 1 1 ö÷ lim n = +¥, lim ççç 1 + - 2 - 2 + ÷÷ = 1- 2 < 0 çè n n n ÷ø Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa lim ( n 2 - 8n - n + a2 ) = 0 . A. 0. B. 2. C. 1. D. Vô số. Lời giải Chọn B Nếu n 2 - 8n - n + a2  n 2 - n = 0 ¾¾  nhân lượng liên hợp : Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 298 Ta có lim ( n 2 - 8n - n + a2 ) = lim (2 a 2 - 8 ) n 2a2 - 8 = lim n2 + n + n 1+ 1 +1 n = a2 - 4 = 0  a = 2. Câu 8: Giá trị của giới hạn lim ( n 2 - 2n + 3 - n ) là: A. - 1. B. 0. C. 1. D. +¥. Lời giải Chọn A n 2 - 2n + 3 - n  n 2 - n = 0 ¾¾  nhân lượng liên hợp : lim ( 3 n n 2 - 2n + 3 - n = lim = lim = -1 2 3 n 2 - 2n + 3 + n 1- + 2 + 1 n n ) -2n + 3 Giải nhanh : n 2 - 2n + 3 - n = Câu 9: -2 + -2 n + 3 n 2 - 2n + 3 + n -2n  n2 + n = -1. Cho dãy số (un ) với un = n 2 + an + 5 - n 2 + 1 , trong đó a là tham số thực. Tìm a để lim un = -1. B. 2. A. 3. C. -2. D. -3. Lời giải Chọn C n 2 + an + 5 - n 2 + 1  n 2 - n 2 = 0 ¾¾  nhân lượng liên hợp : -1 = lim un = lim ( a+ = lim ) n 2 + an + 5 - n 2 + 1 = lim 4 n a 5 1 1+ + 2 + 1+ 2 n n n = an + 4 2 n + an + 5 + n 2 + 1 a  a = -2. 2 Giải nhanh : -1  n 2 + an + 5 - n 2 + 1 = an + 4 2 2 n + an + 5 + n + 1  an 2 n + n 2 = a  a = -2. 2 Câu 10: Giá trị của giới hạn lim ( 3 n 3 + 1 - 3 n 3 + 2 ) bằng: A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. Lời giải Chọn C 3 n3 + 1 - 3 n3 + 2  3 n3 - 3 n3 = 0 ¾¾  nhân lượng liên hợp : Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 299 lim ( 3 ) -1 n3 +1 - 3 n3 + 2 = lim 3 (n3 +1) 2 = 0. + 3 n3 +1. 3 n3 + 2 + 3 (n3 + 2) Câu 11: Giá trị của giới hạn lim ( 3 n 3 - 2n 2 - n ) bằng: 1 3 2 3 A. . B. - . C. 0. D. 1. Lời giải Chọn B 3 n3 - 2n 2 - n  3 n3 - n = 0 ¾¾  nhân lượng liên hợp : lim ( 3 ) -2 n 2 n3 - 2n 2 - n = lim 3 (n 3 - 2n ) 2 2 3 2 + n. n - 2n + n 3 (n 3 - 2n ) 2 2 3 3  3 2 2 -2 n 2 Giải nhanh : 3 n3 - 2n 2 - n = -2 = lim 3 2 + n. n - 2n + n 2 æ 2ö 2 ççèç1- ÷ø÷÷ + 3 1- + 1 n n -2 n 2 3 n + n. 3 n 3 + n 2 6 2 =- . 3 2 =- . 3 Câu 12: Giá trị của giới hạn lim éê n ( n + 1 - n -1)ùú là: ë A. -1. û B. +¥. C. 0. D. 1. Lời giải Chọn D n ( ) n + 1 - n -1  n lim n ( ( ) n - n = 0 ¾¾  nhân lượng 2 n ) n + 1 - n -1 = lim Giải nhanh : n ( n + 1 - n -1) = liên hợp : n + 1 + n -1 2 n n + 1 + n -1  2 = lim 1+ 2 n n+ n 1 1 + 1n n =1 = 1. Câu 13: Giá trị của giới hạn lim éên ( n 2 + 1 - n 2 - 3 )ùú bằng: ë û A. -1. B. 2. C. 4. D. +¥. Lời giải Chọn B n ( ) ( n2 +1 - n 2 - 3  n lim n ( ) n2 - n2 = 0 ¾¾  nhân lượng liên hợp : ) n 2 + 1 - n 2 - 3 = lim 4n 2 2 n +1 + n - 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 = lim 4 1 3 1 + 2 + 1- 2 n n =2 Trang 300 Giải nhanh : n ( n 2 + 1 - n 2 - 3 ) = 4n 2 2 n +1 + n - 3  4n 2 n + n2 = 2. Câu 14: Giá trị của giới hạn lim éên ( n 2 + n + 1 - n 2 + n - 6 )ùú là: ë û B. 3. A. 7 -1. C. 7 . 2 D. +¥. Lời giải Chọn C n ( ) ( n2 + n +1 - n2 + n - 6  n lim n ( ) n2 - n2 = 0 ¾¾  nhân lượng liên hợp : ) 7n n 2 + n + 1 - n 2 + n - 6 = lim = lim Giải nhanh : n ( n 2 + n + 1 - n 2 + n - 6 ) = Câu 15: Giá trị của giới hạn lim A. 1. 1 2 n + 2 - n2 + 4 2 n + n +1 + n2 + n - 6 7 7 = . 2 1 1 1 6 1+ + 2 + 1+ - 2 n n n n 7n 2 2 n + n +1 + n + n - 6  7n 7 = . 2 n + n 2 2 là: B. 0. C. -¥. D. +¥. Lời giải Chọn C n2 + 2 - n 2 + 4  n 2 - n 2 = 0 ¾¾  nhân lượng liên hợp : lim 1 n2 + 2 - n 2 + 4 = lim- 1 2 ( é 1æ 2 4 ö÷ù n 2 + 2 + n 2 + 4 = lim n. êê- ççç 1 + 2 + 1 + 2 ÷÷úú = -¥ n n ÷øúû êë 2 çè ) é 1æ 2 4 öù vì lim n = +¥, lim êê- ççç 1 + 2 + 1 + 2 ÷÷÷÷úú = -1 < 0 êë 2 çè n n ÷øúû Giải nhanh : 1 2 2 n +2- n +4 =- 1 2 ( Câu 16: Giá trị của giới hạn lim A. 1. ) n2 + 2 + n2 + 4  - 9n 2 - n - n + 2 3n - 2 B. 0. 1 2 ( ) n 2 + n 2 = -n ¾¾ -¥. là: C. 3. D. +¥. Lời giải Chọn A 9n 2 - n - n + 2  9n 2 = 3n = / 0 ¾¾  giải nhanh : Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 301 9n 2 - n - n + 2 9n 2 =1  3n - 2 3n 9n 2 - n - n + 2 lim = lim 3n - 2 Cụ thể : 1 Câu 17: Giá trị của giới hạn lim 3 A. 2. n3 +1 - n 1 1 2 9- + 9 n n n2 = = 1. 2 3 3n là: B. 0. C. -¥. D. +¥. Lời giải Chọn B 3 n3 + 1 - n  3 n3 - n = 0 ¾¾  nhân lượng liên hợp : lim ( 3 ) 1 n3 + 1 - n = lim 3 (n +1) + n 3 n3 +1 + n2 3 2 =0 Dạng 4. Dãy số chứa hàm lũy thừa 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tính lim 3n - 2.5n +1 2 n +1 + 5n Lời giải 3n - 2.5n+1 -2.5n +1 = -10  2n+1 + 5n 5n Giải nhanh : æ 3 ö÷ çç ÷ -10 çè 5 ÷ø = lim = -10. n æ 2 ö÷ ç 2.ç ÷÷ + 1 çè 5 ø n Cụ thể : lim Ví dụ 2: Tính lim 3n - 2.5n+1 2n +1 + 5n 3n - 4.2 n +1 - 3 3.2 n + 4 n Lời giải æ 3ö 3 - 4.2 - 3 3 Giải nhanh :  n = çç ÷÷÷ ¾¾  0. n n çè 4 ø 3.2 + 4 4 n n +1 n n æ 3 ö÷ æ1ö æ1ö çççè ÷÷ø - 8.çççè ÷÷÷ø - 3.çççè ÷÷÷ø n n +1 3 - 4.2 - 3 0 4 2 4 Cụ thể : lim = lim = = 0. n 1 3.2n + 4n æ 1 ö÷ 3.çç ÷÷ + 1 çè 2 ø n Ví dụ 3:  1 Tính lim n n n 25n 1 35n  2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 302 Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận  1 Ta có: lim n 25n 1 35n  2 n n 22  lim  1 .    0. 93 Cách 2: Mẹo giải nhanh  1 n 25n 1 2   1 .   3 n 35n  2 Ví dụ 4: Tính lim 5n  0. 3n  4.2n 1  3 3.2n  4n . Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận n n 3 2 3    4.2    4 n n 1 3  4.2  3  4  n (chia tử và mẫu cho n 4 ). 4 Ta có:  n n n 3.2  4 2 3.    1 4 Suy ra lim 3n  4.2n 1  3 n 3.2  4 n  0  0. 1 Cách 2: Mẹo giải nhanh 3n  4.2n 1  3 3.2 n  4 n n 3n 3     0.  n 4 4 Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thuộc (0;20) sao cho lim 3 + an 2 - 1 1 3 + n2 2n là một số nguyên. Lời giải Ta có ì ï ï ï ï ï lim ï ï ï í ï ï ï ï ï ïlim ï ï î 1 a- 2 an 2 -1 n = lim =a 3 3 + n2 an 2 -1 1 1 + lim 3  + = 3 + a. 2 n 3 + n2 2n n æ1ö 1 = lim çç ÷÷÷ = 0 n ç è2ø 2 ì ïa Î (0;20 ), a Î  ¾¾  a Î {1;6;13}. Ta có ïí ïï a + 3 Î  î 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Kết quả của giới hạn lim A. - 25 . 2 2 - 5n + 2 bằng: 3n + 2.5n 5 B. . 2 C. 1. 5 2 D. - . Lời giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 303 æ1ö 2 çç ÷÷÷ - 25 çè 5 ø n Cụ thể : lim 2 - 5n + 2 25 = lim =- . n 2 3n + 2.5n æ 3 ö÷ çç ÷ + 2 çè 5 ÷ø 2 - 5n + 2 -5n+2 25 = n n 2 3 + 2.5 2.5n Giải nhanh : Câu 2: Kết quả của giới hạn lim A. -1. 3n - 1 bằng: 2 n - 2.3n + 1 1 B. - . 2 C. 1 . 2 D. 3 . 2 Lời giải Chọn B 3n -1 3n 1 = n 2 2 - 2.3 +1 -2.3n Giải nhanh : n æ1ö 1- çç ÷÷÷ çè 3 ø n Cụ thể : lim Câu 3: 3n -1 1 = lim =- . n n 2 2 - 2.3n + 1 æ 2 ö÷ æ 1 ö÷ çç ÷ - 2 + çç ÷ çè 3 ÷ø çè 3 ø÷ n n æ ö÷ 2 çç 5 - 2 n +1 + 1 ÷÷ a 5 2 3 + n ÷= + 2 + c với a, b, c Î . Tính giá trị của biểu thức Biết rằng lim ççç n +1 b n -1 ÷÷÷ çç 5.2 n + 5 3 ÷ è ø ( ) ( ) 2 2 2 S = a +b +c . A. S = 26. B. S = 30. C. S = 21. D. S = 31. Lời giải Chọn B n n æ ö æ 2 ö÷ æ 1 ö÷ çç 3 ÷÷÷ n çç ÷ + çç ÷ æ ö 1 2. n +1 + 2 çç ÷ 5 - 2 +1 çè 5 ÷ø çè 5 ÷ø çç 2 n 2 + 3 ÷÷÷ n 2 ÷÷ ÷÷ = lim ççç ++ 2 + lim çç ÷ 1 n n n + 1 ÷÷÷ n -1 ÷÷ çç æ 2 ö÷ æ 1 ö÷ ççç 5.2 n + 5 3 1 ÷ ÷ è ø çç 5. çç ÷÷ + 5 - . çç ÷÷ n 2 ÷ø÷ çè 5 ø èç çè 5 ø ( ) ( ) = 1 5 +2 = 5 + 2. 5 Giải nhanh : ( 5) n 5.2 n + - 2 n +1 + 1 ( ) ( 5) ( 5) n 2n 2 + 3  + 2 n +1 n -1 5 -3 n +1 ì a =1 ï ï 2n 2 1 5 ï + 2 = +2 = + 2 ¾¾ ï íb = 5. ï n 5 5 ï ïc = 2 ï î Vậy S = 12 + 52 + 22 = 30. Câu 4: Kết quả của giới hạn lim p n + 3n + 2 2 n là: 3p n - 3n + 2 2 n +2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 304 1 3 B. . A. 1. C. +¥. D. 1 . 4 Lời giải Chọn D p n + 3n + 22 n p n + 3n + 4n 4n 1 = =  n n 2 n+2 n n n n 3p - 3 + 2 3p - 3 + 4.4 4.4 4 Giải nhanh: æp ö æ 3ö çèçç ÷÷ø÷ + ççèç ÷÷ø÷ + 1 1 4 4 = lim = . n n 4 æpö æ3ö 3.çç ÷÷÷ - 3.çç ÷÷÷ + 4 çè 4 ø çè 4 ø n Cụ thể : lim Câu 5: 2n p +3 +2 3p n - 3n + 22 n + 2 n n n Kết quả của giới hạn lim éê3n - 5 ùú là: ë û n A. 3. B. - 5. C. -¥. D. +¥. Lời giải Chọn D n Giải nhanh : Vì 3 > 5 nên 3n – 5  3n ¾¾ +¥. Cụ thể : Câu 6: æ æ ön ö÷ nù 5÷ é n nç lim ê3 – 5 ú = lim 3 çç1 – ççç ÷÷ ÷÷÷ = +¥ ç çè 3 ø÷ ÷÷ ë û çè ø ì ï lim 3n = +¥ ï ï n æ 5 ö÷ . vì ïí ç ï ÷ lim1- çç ÷ = 1 > 0 ï ï ÷ ç è 3 ø ï ï î Kết quả của giới hạn lim (34.2 n +1 – 5.3n ) là: A. 2 . 3 B. -1. C. -¥. 1 3 D. . Lời giải Chọn C Giải nhanh : 34.2n+1 – 5.3n  -5.3n = -¥ (-5 < 0). ì ï lim 3n = +¥ ï n æ ö÷ ï æ ö 2 . Cụ thể : lim (34.2n+1 - 5.3n ) = lim 3n ççç162.ççç ÷÷÷ - 5÷÷÷ = -¥ vì ïí çæ çæ 2 ÷ön ÷÷ö ï çè è 3ø lim çç162.ç ÷÷ - 5÷ = -5 < 0 ø÷ ï ÷ ç ï ç è 3ø ø÷ ï ï î è Câu 7: Kết quả của giới hạn lim A. 0. 3n - 4.2 n +1 - 3 là: 3.2n + 4 n B. 1. C. -¥. D. +¥. Lời giải Chọn A 3n - 4.2n +1 - 3 3n æç 3 ö÷  n = ç ÷÷ ¾¾  0. çè 4 ø 3.2n + 4n 4 n Giải nhanh : Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 305 æ 3 ö÷ 3n - 4.2n+1 - 3 8.3n+1 3n - 4.2n+1 - 3 çç ÷  0 ¾¾ £ =  = 0. 24. lim çè 4 ø÷ 3.2n + 4n 4n 3.2n + 4n n Cụ thể : 0 £ Câu 8: Kết quả của giới hạn lim A. +¥. 2 n +1 + 3n + 10 là: 3n 2 - n + 2 2 B. . 3 C. 3 . 2 D. -¥. Lời giải Chọn A n . Ta có 2n = å Cnk  2n ³ Cn3 = n (n -1)(n - 2) 6 k =0 ì n ï ï 0 ï ï n3 2n   ïí n . ï 6 2 ï  +¥ ï 2 ï ï în æ1ö n + 10.çç ÷÷÷ n çè 2 ø 2 = +¥ vì 1 2 3- + 2 n n n 2n+1 + 3n + 10 2n lim lim . = n2 3n 2 - n + 2 Câu 9: 2 + 3. Tìm tất cả giá trị nguyên của a thuộc (0;2018) để lim 4 B. 2008. A. 2007. Khi đó: ì ï 2n ï lim 2 = +¥ ï ï n ï ï n ï æ 1 ÷ö ï n . çç ÷ í 2 3. 10. + + n ï çè 2 ÷ø 2 2 ï ï lim = >0 ï 1 2 ï 3 ï 3- + 2 ï ï n n î 4 n + 2 n +1 1 £ . 3n + 4 n +a 1024 C. 2017. D. 2016. Lời giải Chọn B æ1ö 1 + 2. çç ÷÷÷ çè 2 ø 1 = lim 4 = = n a 4 æ 3 ö÷ a çç ÷ + 4 çè 4 ÷ø n lim 4 4 n + 2 n +1 3n + 4 n + a Giải nhanh: 4 1 (2 ) a 2 = 1 . 2a 4 n + 2 n +1 4n 1 1  4 n +a = a £  2 a ³ 1024 = 210  a ³ 10. n n +2 3 +4 4 2 1024  có 2008 giá trị a. Mà a Î (0;2018) và a Î  nên a Î {10;2017} ¾¾ æ n 2 + 2 n (-1)n ö÷ + n ÷÷÷ ççè 3n – 1 3 ÷ø Câu 10: Kết quả của giới hạn lim ççç A. 2 . 3 B. -1. bằng: 1 3 C. . 1 3 D. – . Lời giải Chọn C n æ n 2 + 2n (-1)n ö÷ (-1) n 2 + 2n + n ÷÷÷ = lim + lim n . ççè 3n -1 3 ÷ø 3n -1 3 . Ta có lim ççç Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Ta có Trang 306 ì ï 2 ï 1+ ï ï 1 n 2 + 2n n ï = ï ïïlim 3n -1 = lim æ n 2 + 2n (-1)n ö÷ 1 1 3 çç 3ï lim  + n ÷÷÷ = . í ç n ç ï 3 1 n 3 ÷ø 3 ç ïï è n n n ï 1 1 æ ö ( ) ( ) 1 ï £ çç ÷÷÷  0  lim n = 0 0£ ï ï çè 3 ø 3 3n ï ï î Câu 11: Kết quả của giới hạn A. 3 . 2 n æ ö çç 3n + (-1) cos 3n ÷÷ lim ç ÷÷ çèç ÷ø n -1 bằng: B. 3. C. 5. D. -1. Lời giải Chọn B n æ 3n + (-1)n cos 3n ÷ö æ ö ÷÷ = lim çç 3n + (-1) cos 3n ÷÷÷. ç ÷÷ ÷÷ çèç ççè n -1 n -1 n ø ø . lim ççç Ta có : ì ï 3n 3 ï = = 3 ïlim æ 3n + (-1)n cos 3n ö÷ 1 n -1 ïïï çç ÷÷ = 3.  lim í n n ç ÷÷ ï 1 cos 3 n 1 cos 3 n ( ) ( ) n -1 çç 1 ï è ø ï 0 li m £ £   = 0 0 ï ï n -1 n -1 n -1 ï ï î Câu 12: Kết quả của giới hạn lim 2.3n – n + 2 là: B. 2. A. 0. C. 3. D. +¥. Lời giải Chọn D n æ ö Ta có lim 2.3n – n + 2 = lim 3n . 2 – nn + 2.ççç 1 ÷÷÷ . Vì è 3ø 3 ü ï ï ï ï ï ï n ï lim 3 = +¥ ï ì ïlim 3n = +¥ ï ï ï ï ï n n n n 2 n 0£ n £ 2 = , =  0  lim n = 0ýï ¾¾  íï ïï ïïlim 2 – n + 2.æç 1 ö÷ = 2 > 0 n (n -1) n -1 Cn 3 3 çç ÷÷ n ï ï è 3ø 3 ï ïï î 2 ï ï ï n ï æ1ö ï lim çç ÷÷÷ = 0 ï ï çè 3 ø ï þ do đó lim 2.3n – n + 2 = +¥. Dạng 5. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1. Phương pháp Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là q  1. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 307  Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (un) S  u1  u2  …  un  …  u1 1 q  Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10 X  N,a1a2 a3 …an …  N  a1  a2  10 102 a3 103  …  an 10n  … 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng  1 1 1 1 Ví dụ 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1,  , ,  ,…,    2 4 8  2 n 1 ,… Hướng dẫn giải 1 Theo đề cho ta có: u1  1, q   . 2 S u1 1 q  1 2  . 1 3 1 2 Ví dụ 2: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a  0,212121… (chu kỳ là 21). Tìm a dưới dạng phân số. Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận Ta có: a  0,212121…  0,21  0,0021  0,000021  …  1  1 1  21    …  2 4 6 10 10  10  Tổng S  S u1 1 10 2  1 10 4  1 10 6  … là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có u1  1 10 2 ,q 1 102 . 1 2 1 7 1  10  . Do đó A  21.  . 1 99 33 1 q 99 1 102 Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính Nhập vào màn hình 0,  21 và ấn phím  ta được kết quả 2 3 Ví dụ 3: Tổng Sn  1  0,9   0,9    0,9   …   0,9  n 1 7 . 33  … có kết quả bằng bao nhiêu? Hướng dẫn giải 2 3 S  1  0,9   0,9    0,9   …   0,9  n 1  … Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạng có u1  1, q  0,9. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 308 S u1 1 q  1  10. 1  0,9 Ví dụ 4: Cho S  1  q  q2  q3  …, q  1 T  1  Q  Q 2  Q3  …, Q  1 E  1  qQ  q 2 Q 2  q3Q3  … Biểu thị biểu thức E theo S, T Hướng dẫn giải 2 3 S  1  q  q  q  …, q  1 là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, có u1  1, q  q.  Khi đó: S  u1 1 q  1 S 1 q . 1 q S (1) 1 T 1 Q . 1 Q T (2)  Tương tự: T   E  1  q.Q  q2 .Q2  q3 .Q3  … là tổng của cấp số nhân lùi vô hạng công bội qQ (vì qQ  1 , và u1  1 ). E u1 (3) 1  qQ Thay (1), (2) vào (3): E  u1 ST E . T 1 S 1 S  T 1 1 . T S 1 Ví dụ 5: Tìm số hạng U1 của cấp số nhân lùi vô hạn, biết S  4; q  . 2 Hướng dẫn giải Ta có: S  u1 1 q  q  1  4  u1  u1  2. 1 1 2 Ví dụ 6: Tìm công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết S  6; U1  3. Hướng dẫn giải Ta có: S  u1 1 q  q  1  6  13q  q  21 . 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 2 , tổng của ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng 9 4 . Số hạng đầu u1 của cấp số nhân đó là: A. u1 = 3. B. u1 = 4. 9 2 C. u1 = . D. u1 = 5. Lời giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 309 Gọi q là công bội của cấp số nhân, ta có : ì ïìï u1 1 ï ï =2 ìu1 = 2 (1- q ) q =ï ïï ï ï ï 2 ï ï1- q . í ï í í æ 1 ö÷ ïï ïï2 (1- q 3 ) = 9 ïï 1- q 3 9 ç 4 ïïu1 = 2 ççè1 + 2 ø÷÷ = 3 îï ïïS3 = u1 . 1- q = 4 ï ï î ïîï Câu 2: 1 3 1 9 Tính tổng S = 9 + 3 + 1 + + +  + A. S = 27 . 2 1 + . 3n -3 B. S = 14. C. S = 16. D. S = 15. Lời giải Chọn A Ta có æ ö÷ æ ö çç ç ÷÷ ÷÷ ç ÷ çç 1 1 1 1 1 1 1 ççç 1 ÷÷ 27 ÷÷ ÷÷ = . S = 9 + 3 + 1 + + +  + n-3 +  = 9 ç1 + + 2 + 4 +  + n-1 + ÷ = 9 ç ÷÷ 3 9 3 3 3 3 3 ççç  ççç1- 1 ÷÷÷ 2 ÷ çè 3 ÷ø 1 ÷ø÷ CSN lvh: u1 =1, q = çèç 3 Câu 3: æ 1 1 1 1 B. S = 2. ö Tính tổng S = 2 ççç1 + + + +  + n + ÷÷÷ . è 2 4 8 ø 2 A. S = 2 + 1. C. S = 2 2. 1 2 D. S = . Lời giải Chọn C Ta có æ ö÷ æ çç ÷÷ ÷÷ö çç çç 1 1 1 ÷÷ ÷÷ 1 1 ç ÷ = 2 2. S = 2 çç1 + + + +  + n + ÷÷ = 2 çç çç  ÷ çç 1 ÷÷÷ 2 4 8 2 ÷÷ 1 çç ÷ ÷÷ ççè 2 ÷ø 1 CSN lvh: u1 =1, q = çè ø 2 Câu 4: 2 3 4 9 2n + . 3n B. S = 4. Tính tổng S = 1 + + +  + A. S = 3. C. S = 5. D. S = 6. Lời giải Chọn A Ta có 2 æ 2ö 2 4 2n 2 æ 2ö S = 1 + + +  + n +  = 1 + + çç ÷÷÷ +  + çç ÷÷÷ +  = ç çè 3 ø 3 9 3 è 3ø 3   CSN lvh: u1 =1, q = n 2 3 1 1- 2 3 = 3. n +1 Câu 5: Tổng của cấp số nhân vô hạn (-1) 1 1 1 , – , ,…, ,… bằng: 2 6 18 2.3n -1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 310 A. 3 . 4 8 3 B. . C. 2 . 3 3 8 D. . Lời giải Chon D . Ta có : n +1 (-1) 1 1 1 S = – + ++ 2 6 18 2.3n-1 Câu 6: æ1 æ ö÷ æ ö÷ çç ç n +1 ÷ ç ( 1) ÷÷÷÷ 1 ççç 1 ÷÷÷ 3 1 çç 1 1 ÷= . +  = ç1- + 2 +  + n-1 ÷ = ç ÷÷ 2 çç 1 ÷÷÷ 8 2 çç  3 3 3 ÷ 1 + ç ÷ ÷ ççè 1 3 ÷ø CSN lvh: u1 =1, q =çèç ø÷ 3 1ö æ 1 1ö æ1 1ö Tính tổng S = ççç – ÷÷÷ + ççç – ÷÷÷ + … + ççç n – n ÷÷÷ + … . è2 3ø è 4 9 ø è2 3 ø B. A. 1. 2 . 3 C. 3 . 4 D. 1 . 2 Lời giải Chọn D Ta có æ 1 1ö æ 1 1 ö æ1 1ö S = çç – ÷÷÷ + çç – ÷÷÷ + … + çç n – n ÷÷÷ + … çè 2 3 ø èç 4 9 ø èç 2 3 ø ö÷ æ ö÷ æ çç 1 1 ÷÷ ÷÷ çç çç 1 1 ÷ ÷÷ çç 1 1 1 1 1 1 ÷ 2 – 3 = 1- = . = çç + +  + n + ÷÷ – çç + +  + n + ÷÷ = 2 2 2 4 3 9 2 ÷÷÷ çç  3  ÷÷÷ 1- 1 1- 1 ççç  ÷÷ ÷÷ çç 1 1 çç 2 3 = = CSN lvh u q : = = CSN lvh u q : ç 1 1 è ø è ø 2 3 Câu 7: Giá trị của giới hạn lim A. 0. 1 + a + a2 + … + an ( a < 1, b < 1) bằng: 1 + b + b2 + ... + bn 1- b 1- a B. C. . . 1- a 1- b D. Không tồn tại. Lời giải Chọn B Ta có 1 + a + a2 + ... + an là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là a , nên 1 + a + a2 + ... + an = Tương tự: 1 + b + b2 + ... + bn = 1. (1 - a n +1 ) 1(1 - bn +1 ) 1- b 1- a = = 1 - a n +1 . 1- a 1 - bn +1 . 1- b 1 - an +1 1 + a + a + ... + a 1 - b 1 - an +1 1 - b = lim 1 -na+1 = lim . = Do đó lim n 2 1 - a 1 - bn +1 1 - a 1 + b + b + ... + b 1- b 1- b 2 Câu 8: n ( a < 1, b < 1). Rút gọn S = 1 + cos2 x + cos4 x + cos6 x + + cos2 n x +  với cos x ¹ 1. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 311 B. S = cos2 x. A. S = sin 2 x . C. S = 1 . sin 2 x D. S = 1 . cos 2 x Lời giải Chọn C Ta có 6 + cos 2 x + cos 4 x + cos x +  + cos 2 n x +  = S = 1  2 CSN lvh: u1 =1, q = cos x Câu 9: 1 1 . = 1- cos 2 x sin 2 x Rút gọn S = 1 - sin 2 x + sin 4 x - sin 6 x +  + (-1)n . sin 2 n x +  với sin x ¹  1. B. S = cos2 x. A. S = sin 2 x . C. S = 1 . 1 + sin 2 x D. S = tan 2 x. Lời giải Chọn C Ta có 1 n S = 1- sin 2 x + sin 4 x - sin 6 x +  + (-1) . sin 2 n x +  = .  1 + sin 2 x 2 CSN lvh: u1 =1, q =- sin x p 4 Câu 10: Thu gọn S = 1 - tan a + tan 2 a - tan 3 a +¼ với 0 < a < . A. S = 1 . 1 - tan a cos a . æ pö 2 sin çça + ÷÷÷ çè 4ø B. S = C. S = tan a . 1 + tan a D. S = tan 2 a. Lời giải Chọn B æ pö Ta có tan a Î (0;1) với mọi a Î ççç0; ÷÷÷ , do đó è 4ø 2 S = 1 - tan a + tan a - tan 3 a +¼ = CSN lvh: u1 =1, q =- tan a 1 cos a = = 1 + tan a sin a + cos a cos a . æ pö 2 sin çça + ÷÷÷ çè 4ø Câu 11: Cho m, n là các số thực thuộc (-1;1) và các biểu thức: M = 1 + m + m2 + m3 + N = 1 + n + n2 + n3 + A = 1 + mn + m2 n 2 + m3 n3 + Khẳng định nào dưới đây đúng? MN . M + N -1 1 1 1 + + A= . M N MN A. A = B. A = MN . M + N +1 C. A = 1 1 1 + . M N MN D. Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 312 Chọn A Ta có A= ì ì ï ï ïM = 1 ïm = 1 - 1 ï ï ï 1- m ïï M ï í , í ï ï 1 1 ï ï = n 1 = N ï ï ï ï N 1- n ï îï î 1 = 1 - mn khi đó 1 MN . = æ öæ ö 1 1 M + N -1 1- çç1- ÷÷÷çç1- ÷÷÷ èç M øèç N ø Câu 12: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111 được biểu diễn bởi phân số tối giản a . b Tính tổng T = a + b. A. 17. B. 68. C. 133. D. 137. Lời giải Chọn B Ta có 0, 5111 = 0, 5 + 10-2 + 10-3 +  + 10-n +  Dãy số 10-2 ;10-3 ;...;10-n ;... là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng u1 = 10-2 , công bội bằng q = 10-1 nên S = Vậy 0, 5111... = 0, 5 + S = u1 10-2 1 = = . 1 - q 1 -10-1 90 ïìa = 23 46 23 = ¾¾  ïí ¾¾ T = a + b = 68. ïïîb = 45 90 45 Câu 13: Số thập phân vô hạn tuần hoàn A = 0,353535... được biểu diễn bởi phân số tối giản a . Tính b T = ab. A. 3456. B. 3465. C. 3645. D. 3546. Lời giải Chọn B Ta có 35 2 ìa = 35 35 35 35 ï 10 A = 0,353535... = 0,35 + 0, 0035 + ... = 2 + 4 + ... = = ï  T = 3465. . í 1 10 10 99 ï ï îb = 99 1- 2 10 Câu 14: Số thập phân vô hạn tuần hoàn B = 5, 231231... được biểu diễn bởi phân số tối giản a . Tính b T = a - b. A. 1409. B. 1490. C. 1049. D. 1940. Lời giải Chọn A Ta có Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 313 B = 5, 231231... = 5 + 0, 231 + 0, 000231 + ... 231 3 ìïa = 1742 231 231 231 1742 10 = 5 + 3 + 6 + ... = 5 + = 5+ = ¾¾  ïí  T = 1409 ïïîb = 333 1 10 10 999 333 1- 3 10 Câu 15: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,17232323¼ được biểu diễn bởi phân số tối giản định nào dưới đây đúng? A. a - b > 215. B. a – b > 214. C. a – b > 213. a . Khẳng b D. a – b > 212. Lời giải Chọn D Ta có æ 1 1 1 ö 0,17232323¼ = 0,17 + 23çç 4 + 6 + 8 ÷÷÷ çè10 10 10 ø 1 17 17 23 1706 853 10000 = + 23. = + = = 1 100 100 100.99 9900 4950 1100 ïìïa = 853 ¾¾ í  212 < T = 4097 < 213. ïïîb = 4950 . Dạng 6: Giới hạn dãy số có quy luật công thức, dãy cho bởi hệ thức truy hồi 1. Phương pháp  Dãy tăng và bị chặn trên hoặc giảm và bị chặn dưới thì tồn tại giới hạn.  Phương pháp quy nạp thường được sử dụng. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho un  1 1 1   ...  . Tính lim un 1.2 2.3 n  n  1 Hướng dẫn giải Ta luôn có:  un  1 1 1   áp dụng vào un : k k 1 k  k  1 1 1 1 1    ...  1.2 2.3 3.4 n  n  1 1 1   1 1  1 1  1 1  1              ...     1 n 1 1 2   2 3  3 4   n n 1  1  Do đó: lim un  lim  1    1.  n 1 Ví dụ 2: Cho un  1 1 1 1    ...  . Tính lim un 3.5 5.7 7.9  2n  1 2n  1 Hướng dẫn giải Ta luôn có: 1 1 1 1     .  2k  1 2k  1 2  2k  1 2k  1  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 314 un  1 1 1 1    ...  3.5 5.7 7.9  2n  1 2n  1 11 1 11 1 1 1 1 1 1 1               ...     23 5 2 5 7 2 7 9 2  2n  1 2n  1  11 1     . 2  3 2n  1  11 1  1 Do đó lim un  lim    . 2  3 2n  1  6 Ví dụ 3: lim 1  2  3  ...  n 2n 2 bằng bao nhiêu? Hướng dẫn giải Vì 1  2  3  ...  n  n  n  1 2 nên: lim 1  2  3  ...  n 2n 2  lim n  n  1 4n 2 1  . 4  1  1   1  Ví dụ 4: Tính giới hạn: lim  1   1   ...  1    . 2 2 2  2  3   n   Hướng dẫn giải  1  1   1  22  1 32  1 n2  1 Ta có:  1   1   ...  1    . ... 22 32 n2  22  32   n2    2  1 . 2  1 . 3  1 . 3  1 ... n  1 n  1  n  1 . 2n 22.32...n2  1  1   1  1 Vậy lim  1   1   ...  1     . 2 2 2  2  3   n   2 U1  2  . Ví dụ 5: Tìm giới hạn của dãy:  Un  1 ; n  * U n 1  2  Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận Ta chứng minh dãy  U n  là bị chặn: 1  Un  2. Dãy  U n  là dãy giảm. Thật vậy ta xét U k 1  U k  Un  1 2  U k  2U k  U k  1  U k  1 (đúng). Vậy dãy  U n  có giới hạn. Đặt lim U n  a .  U 1 a 1  a  1. Ta có: lim  U n 1   lim  n  hay a  2 2   Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Khai báo: 1  X {biến đếm}; 2  A {giá trị u1 } Ghi vào màn hình: X  X  1: A  A 1 2 Ấn CALC và lặp lại phím  , quan sát ta thấy dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1. Vậy lim Un  1. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 315 U  2  Ví dụ 6: Tìm giới hạn của dãy:  1 . * U n 1  2  U n ; n   Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận 2  U n  2 (bằng phương pháp quy nạp). Ta sẽ chứng minh dãy bị chặn:  U1  3 (đúng).  Giả sử U k  2, k  1. Ta có: U k 1  2  U k  2  2  2  k  1 . Vậy U k  2 n  * . Tương tự: U n  2 n  * . Ta chứng minh dãy  U n  là dãy tăng (bằng phương pháp quy nạp). + U1  2; U2  2  2  U1  U2 . + Giả sử Uk 1  Uk k  2 . Ta xét U k  U k 1; k  *  U k  2  U m  U 2k  2  U k  U 2k  U k  2  0 2  U k  2, k  * )  1  U k  2 (luôn đúng vì Vậy dãy  U n  tăng; bị chặn trên nên có giới hạn, gọi a  lim Un  lim Un 1 . Ta có: lim U n  2  LimU n  a  2  a  a2  2  a a  2 (nhaän)  a2  a  2  0   a  1 (loaïi) Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Khai báo: 1  X {biến đếm}; 2  A {giá trị u1 } Ghi vào màn hình: X  X  1: A  2  A Ấn CALC và lặp lại phím  , quan sát ta thấy dãy tăng và bị chặn dưới bởi 2. Vậy lim Un  2. U1  3  Ví dụ 7: Tìm giới hạn của dãy:  1 3  *. U n 1  2  U n  U  ; n    n   A. 2. B. 1 3 . 2 C. 3. D. 3 . 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Ta có: Un  0, n  * . 1 3  * Theo bất đẳng thức Cô‐si, ta có: U n 1   U n    3, n   .  2 U n  Vậy  U n  là dãy bị chặn dưới. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 316 U 2n  1 3  1  Vì U n  3  U 2n  3  U n 1   U n     U n  2 Un  2  Un     1  U  Un   Un , n  * . 2 n Dãy đã cho là giảm. Vậy dãy có giới hạn. Đặt lim Un 1  lim Un  a. 1  3  Ta có: lim U n  lim   U n    U n    2  1 3  a   a    a2  3  a  3. 2 a 3. Bài tập trắc nghệm Câu 1: Tính giới hạn: lim A. 0. B. 1  3  5  ...   2n  1 3n 2  4 1 . 3 C. . 2 . 3 D. 1. Lời giải ĐÁP ÁN B 2 Ta có: 1  3  5  ...   2n  1   n  1 . Vậy: lim 1  3  5  ...   2n  1 3n 2  4  n  1  lim 2 3n 2  4 2 1  n  2n  1 n n2 1  lim  lim  . 4 3 3n2  4 3 2 n 2 1  1 1 1  Câu 2: Tính giới hạn: lim    ...  . n  n  1   1.2 2.3 A. 0. C. B. 1. 3 . 2 D. Không có giới hạn. Lời giải ĐÁP ÁN B  1  1 1 1 1 1  1 1  Ta có: lim    ...    lim  1     ...    1 1.2 2.3 2 2 3 n n n n  1       1   lim  1    1.  n 1  1  1 1 Câu 3: Tính giới hạn: lim    ...  . n  2n  1 2n  1   1.3 3.5 A. 1. B. 0. C. 1 . 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 D. 2. Trang 317 Lời giải ĐÁP ÁN C.  1  1 1 Ta có: lim    ...   n  2n  1 2n  1   1.3 3.5  1 1 1  1 1 1  1 1  1  lim  1     ...     lim  1   . 2 2n  1 2n  1  2  3 3 5  2n  1  2  1  1 1 Câu 4: Tính giới hạn: lim    ...  . n  n  2    1.3 2.4 A. 3 . 4 B. 1. C. 0. D. 2 . 3 D. 3 . 2 Lời giải ĐÁP ÁN A Ta có: 1 1 1   ...  1.3 2.4 n  n  2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    1       ...      2 3 2 4 3 5 n 1 n 1 n n  2  1 1 1 1   1     2  2 n 1 n  2   1  3 1 1 Vậy lim    ...   . n  n  2   4  1.3 2.4  1  1 1 Câu 5: Tính giới hạn: lim    ...  . n  n  3  1.4 2.5 A. 11 . 18 B. 2. C. 1. Lời giải ĐÁP ÁN A Ta có: 1 1 1   ...  1.4 2.5 n  n  3 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1            ...          31 4 2 5 3 6 4 7 n  3 n n  2 n 1 n 1 n  2 n n  3  vậy: 1 1 1 1 1 1   1       3 2 3 n 1 n  2 n  3   1  11 1 1 lim    ...   . n  n  3  18 1.4 2.5 Câu 6: Cho dãy  un  với u n  A. lim un  0. 1  2  3  ...  n n2  1 . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? 1 B. lim un  . 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 318 C. lim un  1. D. lim un không tồn tại. Lời giải ĐÁP ÁN B Dãy số 1, 2, 3, …, n là cấp số cộng có số hạng đầu là u1  1 số hạng cuối cùng un  n , công sai  d  1. Khi đó Sn  1  2  3  ...  n  Viết lại: un   n  u1  n  2 n  n  1   n  n  1 2 .  2 n2  1  1 n2  1    n   lim 1 . lim un  lim  lim 2 2  2  2 n 1 n2  2   2 n   n  n  1    1 U1  2  . Câu 7: Tìm giới hạn của dãy:  2  U  1  U n ; n  *  n 1 2 2 A. 2. C. B. 1. 2. D. Không có giới hạn. Lời giải ĐÁP ÁN B 1 5 57 Ta có: U1  ; U2  ; U3  ;... 2 8 64 Ta chứng minh: U n  1 n  * (bằng phương pháp quy nạp). Vậy dãy bị chặn trên. Ta chứng minh  U n  là dãy tăng. Thật vậy: Ta có: U n1  Un  2 1 Un   Un 2 2 2  U 2n  2U n  1  0   U n  1  0 luôn đúng n  * , vì Un  1 . Vậy dãy có giới hạn. Đặt a  lim Un  lim Un 1 .  1 U2 Ta có: lim U n 1  lim   n 2 2   1 a2 a   2a  1  a2  2 2   a2  2a  1  0  a  1 . U1  5  . Câu 8: Tìm giới hạn của dãy:  2  U2n ; n  * U n 1  2U n  A. 1. B. 2. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 319 3. C. D. Không có giới hạn. Lời giải ĐÁP ÁN B Ta có: U n 1  1 1  U  2 (theo bất đẳng thức Cô‐si với U n  0 ). Vậy  U n  là dãy bị chặn dưới. Un 2 n Dấu “=” không xảy ra, nên Un  2, n  * . Lại có:  1 U2n U n 1 Un   2  U 2n 2U 2n  1 U 2n 1 . Vì U n  2  U2n  2 2  1 1 1 1 1      1  U n 1  U n , n  * . 2 U2 2 2 2 n Vậy dãy giảm, khi đó Un có giới hạn. Đặt lim Un 1  lim Un  a  a  0  . Ta có: lim U n 1  lim 2  U 2n 2U n a 2  a2  2a2  2  a2 2a  a2  2  a  2 (vì a  0 ). U  2  Câu 9: Tìm giới hạn của dãy:  1 *  U n 1  2.U n ; n   B. 1  2. A. 2. C. 1 7 . 2 D. Không có giới hạn. Lời giải ĐÁP ÁN A Ta có: U1  2; U2  2 2 ;…  Ta sẽ chứng minh Un  2 ; n  * (bằng phương pháp quy nạp). n  1, U1  2  2 . Giả sử U k  2, k  1 . Ta có: U k 1  2U k  2.2  4  2. Vậy Un  2, n  . Lại có: U n  0, n  * .  Lại có: U n 1 Un  2U n Un  2 2   1  dãy tăng. Un 2 Vậy dãy đã cho có giới hạn. Đặt lim U n 1  lim U n  a  a  0  Ta có: lim U n 1  lim 2U n  a  2a  a2  2a  a  2. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 320 BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa Cho khoảng K chứa điểm x 0 và hàm số y  f  x  xác định trên K hoặc trên K {x 0 } . Ta nói hàm số y  f  x  có giới hạn là số L khi x dần đến x0 nếu với dãy số  xn  bất kì, x n  K {x 0} vaø x n  x 0 ,ta coù f(x n )  L. Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L khi x  x 0 x x0 lim f(x)  L  (x n ),x n  K {x 0},x n  x 0  f(x n )  L xx0 2. Định lí về giới hạn hữu hạn: Ta thừa nhận định lý sau: a)Giaûi söû lim f(x)  L vaø lim g(x)  M.Khi ñoù: xx 0 x x 0 * lim  f(x)  g(x)  L  M; x x 0 * lim  f(x).g(x)  L.M; x x 0  f(x)  L * lim  M x x 0  g(x)   neáu M  0  . b)Neáu f(x)  0 vaø lim f(x)  L thì :L  0 vaø lim xx0 xx 0 f(x)  L.  Daáu cuûa f(x) ñöôïc xaùc ñònh treân khoaûng ñang tìm giôùi haïn, vôùi x  x0  3. Giới hạn một bên * Định nghĩa:  Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  x 0 ; b  . Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y  f  x  khi x  x 0 nếu với dãy số  x n  bất kì, x 0  x n  b vaø x n  x 0 ta coù: f(x n )  L. Kí hiệu: lim f(x)  L  x x 0 lim f(x)  L    x n  ,x 0  x n  b,x n  x 0  f(x n )  L  xx 0  Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a;x 0  . Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y  f  x  khi x  x 0 nếu với dãy số  x n  bất kì, a  x n  x 0 vaø x n  x 0 ta coù: f(x n )  L. Kí hiệu: lim f(x)  L.  xx0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 321 lim f(x)  L    x n  ,a  x n  x 0 ,x n  x 0  f(x n )  L. x x  0 * Định lí lim f(x)  L  lim f(x)  lim f(x)  L. xx0  x x 0  x x 0 II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC * Định nghĩa  Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng (a; ). Ta nói hàm số y  f  x  có giới hạn là số L khi khi x   nếu với mọi dãy số  x n  bất kì, x n  a vaø x n   ta coù: f(x n )  L. . Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L khi x  . x  lim f(x)  L    x n  ,x n  a,x n    f(x n )  L. x   Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng (;a). Ta nói hàm số y  f  x  có giới hạn là số L khi khi x   nếu với mọi dãy số  x n  bất kì, x n  a vaø x n   ta coù: f(x n )  L. Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L khi x  . x  lim f(x)  L    x n  ,x n  a,x n    f(x n )  L. x  III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ 1. Giới hạn vô cực Các định nghĩa về giới hạn  ( hoặc  ) của hàm số được phát biểu tương tự các định nghĩa 1,2 hay 3 ở trên. Chẳng hạn, giới hạn  của hàm số y  f  x  khi x dần đến dương vô vực được định nghĩa như sau: * Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a;   . Ta nói hàm số y  f  x  có giới hạn là  khi x   nếu với mọi dãy số (x n ) bất kì, x n  a vaø x n  , ta coù: f(x n )  . Kí hiệu: lim f(x)   hay f(x)   khi x   x  lim f(x)    (x n ),x n  a,x n    f(x n )  . x  Nhận xét: lim f(x)    lim f(x)  . x  x  2. Các giới hạn đặc biệt Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 322 1. lim c  c x  2. lim x  c  0 vôùi c laø haèng soá x  x lim x    3. lim x k   x  0  4. lim x k   x   neáu k nguyeân döông neáu k nguyeân aâm neáu k chaün neáu k leû 3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực: a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x) Nếu lim f(x)  L  0 vaø lim g(x)    hoaëc    thì lim f(x)g(x) được tính theo quy tắc trong xx0 x x 0 xx0 bảng sau: lim f(x) lim g(x) x x 0 L0 L0 b) Quy tắc tìm giới hạn của tích lim f(x) x x 0       - + f(x) g(x) lim g(x) x x 0 x x 0 L  lim f(x).g(x) x x 0 Dấu của g(x) lim xx0 Tuỳ ý 0 +  -  +  -  L0 f(x) g(x) 0 L<0 Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x  x 0 ,x  x 0 ,x  ,x   Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 323 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Dãy số có giới hạn hữu hạn 1. Phương pháp Nếu hàm số f  x  xác định trên K  x 0 thì lim f  x   f  x 0  . xx0 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng   Ví dụ 1: Tính lim x2  x  7 . x1 Hướng dẫn giải   lim x2  x  7  1  1  7  9. x 1 3x 4  2x 5 Ví dụ 2: Tính lim x 1 5x 4  3x 6  1 Hướng dẫn giải lim 3x 4  2x 5 x 1 5x 4  6  3x  1 32 1  . 5  3 1 9 Ví dụ 3: Tính lim 4x3  2x  3 là: x1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A lim 4x3  2x  3  4  2  3  5. x 1 3 Ví dụ 4: Tính lim x 1 3 x 1 x2  3  2 Hướng dẫn giải lim x 1 3 3 x 1 2 x 32  1  1 3 4 2 Ví dụ 5: Tính lim x 2  0. x 4  4x2  3 7x2  9x  1 Hướng dẫn giải lim x 2 x 4  4x2  3 2 7x  9x  1  16  16  3 1  . 28  18  1 3 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Giá trị của giới hạn lim (3x 2 + 7 x + 11) là: x 2 A. 37. B. 38. C. 39. D. 40. Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 324 Chọn A lim (3x 2 + 7 x +11) = 3.22 + 7.2 + 11 = 37 x 2 Câu 2: Giá trị của giới hạn lim x 2 - 4 là: x 3 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn B ( 3) 2 lim x 2 - 4 = x 3 Câu 3: -4 =1 x 2 sin Giá trị của giới hạn lim x 0 1 2 A. sin . 1 2 là: B. +¥. C. -¥. D. 0. Lời giải Chọn D 1 2 1 2 Ta có lim x 2 sin = 0.sin = 0 x0 Câu 4: Giá trị của giới hạn xlim -1 x 2 -3 là: x3 +2 B. -2. A. 1. C. 2. 3 2 D. - . Lời giải Chọn B 2 x 2 - 3 (-1) - 3 lim 3 = = -2 3 x -1 x + 2 (-1) + 2 Câu 5: Giá trị của giới hạn lim x 1 x - x3 (2 x -1)( x 4 - 3) A. 1. là: B. -2. C. 0. 3 2 D. - . Lời giải Chọn C lim x 1 Câu 6: x - x3 (2 x -1)( x - 3) 4 = 1-13 (2.1-1)(14 - 3) Giá trị của giới hạn xlim -1 3 2 A. - . =0 x -1 x 4 + x -3 B. là: 2 . 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. 3 . 2 2 3 D. - . Trang 325 Lời giải Chọn D Ta có xlim -1 Câu 7: -1-1 2 x -1 = =3 x 4 + x - 3 1 -1 - 3 3x 2 +1 - x x -1 Giá trị của giới hạn xlim -1 3 2 A. - . B. là: 1 . 2 1 2 C. - . D. 3 . 2 Lời giải Chọn A 3x 2 + 1 - x 3 +1 +1 3 = =x -1 -1 - 1 2 Ta có xlim -1 Câu 8: 9x 2 - x Giá trị của giới hạn lim x 3 là: (2 x -1)( x 4 - 3) 1 5 B. 5. A. . C. 1 5 . D. 5. Lời giải Chọn C 9 x2 - x lim (2 x -1)( x - 3) 4 x3 Câu 9: = 9.32 - 3 (2.3 -1)(3 - 3) 4 3 Giá trị của giới hạn lim x 2 1 4 = 1 5 x 2 - x +1 là: x 2 + 2x 1 2 A. . 1 3 B. . C. . 1 5 D. . Lời giải Chọn B lim 3 x 2 x2 - x +1 22 - 2 + 1 1 = = 2 x + 2x 22 + 2.2 2 Câu 10: Giá trị của giới hạn lim x 2 3 2 3 3x 2 - 4 - 3x - 2 x +1 2 3 B. - . A. - . là: C. 0. D. +¥. Lời giải Chọn C Ta có: lim x 2 3 3 3x 2 - 4 - 3x - 2 12 - 4 - 6 - 2 0 = = =0 3 3 x +1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 326 Dạng 2. giới hạn một bên 1. Phương pháp Ta cần nắm các tính chất sau lim f(x)  L    x n  ,x 0  x n  b, lim x n  x 0  lim f(x n )  L n  x x  0 n  lim f(x)  L    x n  ,a  x n  x 0 , lim x n  x 0  lim f(x n )  L n  xx 0 n  lim f(x)  lim f(x)  L  lim f(x)  L xx 0 xx0  xx0 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tính lim x 3 x3 2x  6 Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận lim x 3 x3 2x  6  lim x 3 x3 1  . 2  x  3 2 Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Nhập vào màn hình x3 2x  6 Ví dụ 2: Tính lim x 1 và ấn CALC 3  10 5  ta được kết quả 1  x3 3x2  x Hướng dẫn giải lim x 1 1  x3 2 3x  x  0  0. 4 Ví dụ 3: Tính lim x 2 x3  2x  3 x 2  2x Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Tử số có giới hạn là 1 , mẫu số có giới hạn 0 và khi x  2 thì x2  2x  0. Do đó lim x 2 x3  2x  3 x2  2x  . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 327 2x  x Ví dụ 4: Tính lim 5x  x x  0 Hướng dẫn giải lim x 0 2x  x 5x  x  x 5 x  0 lim Ví dụ 5: Tính   lim  2 x  1 5   1  1. x  1 1 x 2 x 1  lim x  1 x 1 x 0 x 2  4x  3  x3  x 2 Hướng dẫn giải lim x  1 x2  4x  3  x3  x 2  x  1 x  3  lim   x  1 x  1 x2  x  1  lim x  1  x  3 x2  0  0. 1  x2  1 vôùi x  1  . Khi đó lim f  x  bằng bao nhiêu? Ví dụ 6: Cho hàm số f  x    1  x x 1   2x  2 vôùi x  1 Hướng dẫn giải x2  1   vì tử số có giới hạn là 2, mẫu số có giới hạn 0 và 1  x  0 với x  1. x 1 1  x lim f  x   lim x 1 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: x - 15 x -2 Kết quả của giới hạn lim x  2+ A. -¥. là: B. +¥. C. - 15 . 2 D. 1. Lời giải Chọn A ì ï lim+ ( x -15) = -13 < 0 ï . Vì ïíx 2 ïï lim ( x - 2) = 0 & x - 2 > 0, “x > 2 ï î x 2+ Câu 2: Kết quả của giới hạn lim x  2+ x +2 x -2 ¾¾  lim+ x -15 = -¥. x-2 là: A. -¥. C. – x2 15 . 2 B. +¥. D. Không xác định. Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 328 ìï lim x + 2 = 2 > 0 ïï x  2+ ¾¾  lim+ í x 2 ïï lim x – 2 = 0 & x – 2 > 0, “x > 2 ïïî x  2+ Câu 3: 3x + 6 Kết quả của giới hạn lim + x (-2 ) x +2 x+2 x-2 = +¥. là: A. -¥. B. 3. C. +¥. D. Không xác định. Lời giải Chọn B Ta có x + 2 = x + 2 với mọi x > -2, do đó : lim + 3x + 6 x (-2) Câu 4: x+2 = lim + x+2 x (-2) Kết quả của giới hạn lim 2-x 2 x – 5x + 2 A. -¥. B. +¥. 2 x  2- 3 x+2 = lim + 3 ( x + 2) x+2 x (-2) = lim + 3 = 3 x (-2) là: 1 3 1 3 C. – . D. . Lời giải Chọn C Ta có lim x  2- Câu 5: 2-x 2-x 1 1 = lim= lim=- . 2 2 x  x  2 x – 5x + 2 1- 2 x 3 (2 – x )(1 – 2 x ) 2 Kết quả của giới hạn lim x 2 + 13 x + 30 + x -3 A. -2. ( x + 3)( x 2 + 5) là: B. 2. C. 0. D. 2 15 . Lời giải Chọn C Ta có x + 3 > 0 với mọi x > -3, nên: lim+ x -3 Câu 6: x 2 + 13 x + 30 ( x + 3)( x + 5) Cho hàm số A. +¥. 2 = lim+ x -3 ( x + 3)( x + 10) ( x + 3)( x + 5) 2 ìï 2 x ïï víi x < 1 . f ( x ) = ïí 1 - x ïï 2 ïîï 3 x + 1 víi x ³ 1 = lim+ x + 3.( x + 10) 2 x +5 x -3 = -3 + 3 (-3 + 7) 2 (-3) + 5 =0. Khi đó lim f ( x ) là: x 1+ B. 2. C. 4. D. -¥. Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 329 lim f ( x) = lim+ 3x 2 + 1 = 3.12 +1 = 2 x 1+ Câu 7: x 1 ì ï x2 +1 ï ï ï Cho hàm số f ( x ) = í 1- x ï ï ï ï î 2x - 2 A. +¥. víi x < 1 . Khi đó lim- f ( x ) là: víi x ³ 1 B. -1. x 1 C. 0. D. 1. Lời giải Chọn A ìï lim ( x 2 + 1) = 2 ï x 2 +1 lim f ( x) = lim= +¥ vì ïí x1 . x 1x 1 1- x ïï lim (1- x ) = 0 & 1- x > 0 ( “x < 1) ïî x1- Câu 8: ì ï x 2 - 3 víi x ³ 2 . Khi đó lim f ( x ) là: x 2 ï ï î x -1 víi x < 2 Cho hàm số f ( x ) = ïí A. -1. B. 0. C. 1. D. Không tồn tại. Lời giải Chọn C Ta có Câu 9: ìï lim f ( x ) = lim ( x 2 - 3) = 1 ïï x  2+ x  2+  lim+ f ( x ) = lim- f ( x ) = 1  lim f ( x ) = 1. í x 2 x 2 x 2 ïï lim f ( x ) = lim ( x -1) = 1 ïî x  2x  2- ì ï x - 2 + 3 víi x ³ 2 . Tìm a để tồn tại lim f ( x ). x 2 ï víi x < 2 ï îax -1 Cho hàm số f ( x ) = ïí A. a = 1. B. a = 2. C. a = 3. D. a = 4. Lời giải Chọn B Ta có ìï lim f ( x ) = lim (ax -1) = 2a -1 ïï x  2x  2. í ïï lim f ( x ) = lim x - 2 + 3 = 3 ïî x  2+ x  2+ ( ) Khi đó lim f ( x ) tồn tại  lim f ( x) = lim f ( x)  2a -1 = 3  a = 2. x 2 x  2- Câu 10: Cho hàm số x  2+ ìï x 2 - 2 x + 3 víi x > 3 ïï f ( x ) = ïí1 víi x = 3 . ïï 2 ïïî3 – 2 x víi x < 3 Khẳng định nào dưới đây sai? A. lim f ( x) = 6. B. Không tồn tại lim f ( x ). x3 C. lim f ( x) = 6. D. lim f ( x) = -15. x  3+ x  3- x  3- Lời giải Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 330 ì ï lim f ( x) = lim ( x 2 - 2 x + 3) = 6 + + ï Ta có íïx3 x3 ï lim f ( x) = lim- (3 - 2 x 2 ) = -15 ï ï x3 î x 3- ¾¾  ¾¾  lim+ f ( x) ¹ lim- f ( x ) x3 x3 không tồn tại giới hạn khi x  3. Vậy chỉ có khẳng định C sai. Dạng 3. Giới hạn tại vô cực 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 11: Giá trị của giới hạn xlim ( x - x 3 + 1) là: -¥ B. -¥. A. 1. C. 0. D. +¥. Lời giải Chọn D ì ï lim x3 = -¥ ï x -¥ ï æ ö 1 1 lim ( x - x3 + 1) = lim x3 çç 2 -1 + 3 ÷÷÷ = +¥ vì ïí . æ1 1ö çè x x -¥ x -¥ ï x ø lim çç 2 -1 + 3 ÷÷÷ = -1 < 0 ï ï x -¥ ç èx x ø ï î +¥ khi x  -¥. Giải nhanh: x - x3 +1  (-1) x3 ¾¾ Câu 12: Giá trị của giới hạn xlim ( x 3 + 2 x 2 + 3 x ) là: -¥ B. +¥. A. 0. C. 1. D. -¥ . Lời giải Chọn B Ta có lim x -¥ (x 3 æ 2 3ö + 2 x 2 + 3 x ) = lim (-x 3 + 2 x 2 - 3 x ) = lim x 3 çç-1 + - 2 ÷÷÷ = +¥. çè x -¥ x -¥ x x ø Giải nhanh: x 3 + 2 x 2 + 3 x  x 3  +¥ khi x  -¥. ( x 2 + 1 + x ) là: Câu 13: Giá trị của giới hạn xlim +¥ A. 0. B. +¥. C. 2 -1. D. -¥ . Lời giải Chọn B Giải nhanh: x  +¥ : x 2 + 1 + x  x 2 + x = 2 x  +¥ . Đặt x làm nhân tử chung: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 331 lim x +¥ ( ì lim x = +¥ ï ï æ ö÷ ïx +¥ 1 ç x + 1 + x) = lim x çç 1 + 2 + 1÷÷ = +¥ vì ï . í 1 ÷ø x +¥ ç ï x è + + = > lim 1 1 2 0 ï 2 + ï x ï îx  2 2 ( 3 3x 3 -1 + x 2 + 2 ) là: Câu 14: Giá trị của giới hạn xlim +¥ B. +¥. A. 3 3 + 1. C. 3 3 -1. D. -¥ . Lời giải Chọn B Giải nhanh: x  +¥ : 3 3x 3 -1 + x 2 + 2  3 3×3 + x 2 = ( 3 3 + 1) x  +¥. Đặt x làm nhân tử chung: ( 3 3 x 3 -1 + x +¥ lim æ 1 2 ö÷ x 2 + 2 ) = lim x ççç 3 3 – 3 + 1 + 2 ÷÷ = +¥ vì x +¥ ç x x ø÷ è x = +¥ ïìï xlim ïï +¥ æ . í 1 2ö ï lim ççç 3 3 – 3 + 1 + 2 ÷÷÷ = 3 3 + 1 > 0 ï ïï x +¥ çè x x ÷ø ïî x ( 4 x 2 + 7 x + 2 x ) là: Câu 15: Giá trị của giới hạn xlim +¥ B. -¥. A. 4. C. 6. D. +¥ . Lời giải Chọn D Đặt x 2 làm nhân tử chung: lim x x +¥ ( æ ö÷ 7 4 x 2 + 7 x + 2 x = lim x 2 ççç 4 + + 2÷÷ = +¥ ÷ x +¥ çè x ø ) vì ì ï lim x 2 = +¥ ï x +¥ ï ï ï . æ ö í ïï lim çç 4 + 7 + 2÷÷ = 4 > 0 ÷ ç ï x +¥ çè ÷ø x ï ï î Giải nhanh: x  +¥ : x ( 4 x 2 + 7 x + 2 x)  x ( 4 x 2 + 2 x) = 4 x 2  +¥. Dạng 4. Dạng vô định 0 0 1. Phương pháp  Nhận dạng vô định 0 u(x) khi lim u(x)  lim u(x)  0. : lim xx0 x x 0 0 xx0 v(x)  Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước (x  x 0 )A(x) u(x) A(x) A(x)  lim  lim vaø tính lim . x xo v(x) x xo (x  x )B(x) x xo B(x) x xo B(x) 0 lim Nếu phương trình f  x   0 có nghiệm là x 0 thì f  x    x  x 0  .g  x  Đặc biệt: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 332 f(x)  ax 2  bx  c,maø f(x)  0 coù hai nghieäm phaân bieät x1 ,x2  Nếu tam thức bậc hai  Phương trình bậc 3: ax3  bx 2  cx  d  0 (a  0)  thì f(x) ñöôïc phaân tích thaønhf(x)  a  x – x1  x – x 2   a  b  c  d  0 thì pt coù moät nghieäm laø x1  1, ñeå phaân tích  a  b  c  d  0 thì pt coù moät nghieäm laø x1  1, ñeå phaân tích thaønh nhaân töû ta duøng pheùp chia ña thöùc hoaëc duøng sô ñoà Hooc-ner thaønh nhaân töû ta duøng pheùp chia ña thöùc hoaëc duøng sô ñoà Hooc-ner Nếu u  x  và v  x  có chứa dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hiệp, sau đó phân tích chúng thành tích để giản ước. AB löôïng lieân hieäp laø: A  B. A B löôïng lieân hieäp laø: A  B. A B löôïng lieân hieäp laø: 3 A B 3 A B A  B. 3 löôïng lieân hieäp laø:  A 2  B3 A  B2  .   3 löôïng lieân hieäp laø:  A 2  B3 A  B2  .   2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng x2  3x  2 x 1 x 1 Ví dụ 1: Tính lim Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận  x  1 x  2   lim x  2  1. x2  3x  2  lim   x 1 x 1 x x 1 x 1 lim Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Nhập vào màn hình X2  3X  2 ấn CALC 1  10 10  ta được kết quả X 1 Ví dụ 2: Tính L  lim x 1 2x 2  3x  1 1  x2 . Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận lim x 1 2×2  3x  1 1  x2  2x  1 x  1  lim   2x  1  1 . x 1 1  x 1  x  x 1 1  x  2  lim Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 333 Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Nhập vào màn hình Ví dụ 3: Tính lim 2X2  3X  1 1  X2 ấn CALC 1  10 10  ta được kết quả x 2  3x  2 x 1 x3  1 Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận lim x 1 x2  3x  2 3 x 1  x  1 x  2   lim x  2  1 . x 1 x  1 x 2  x  1    x1 x2  x  1 3  lim Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Nhập vào màn hình x 2  3x  2 3 x 1 ấn CALC 1  10 10  ta được kết quả t 4  a4 t a t  a Ví dụ 4: Tính lim Hướng dẫn giải t 4  a4  lim t 3  t 2 a  ta2  a3  4a3 . t a t  a t a  lim Ví dụ 5: Tính lim  y4  1 y 1 y 3 1 Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận  y  1  y3  y2  y  1 y3  y 2  y  1 4 lim  lim  lim  . y 1 y3  1 y 1  y  1  y2  y  1 y1 y2  y  1 3 y4  1 Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Nhập vào màn hình Y4  1 3 Y 1 ấn CALC 1  10 10  ta được kết quả Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 334 4  x2 Ví dụ 6: Tính lim x7 3 x 2 Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận 4  x2 lim x 7 3 x 2   x  7  3  lim   x  2  x  2  x  7  3 x79  x  7  3 x  7  3  lim  x  2   x  7  3   24.    lim   x2  4 x 2 x 2 x 2 Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 4  X2 Nhập vào màn hình X 7 3 ấn CALC 1  105  ta được kết quả  24. Lưu ý: Để ra kết quả chính xác 24 ta có thể tính theo quy tắc Lô-pi-tan như sau: Nhập  d 4  X2 dx d dx   x 2 X 7 3 Ví dụ 7: Tính lim x 0  rồi ấn phím  ta được kết quả chính xác 24. x 2 1 x 1 x Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận lim x0 1 x 1 1 x 1 1 1  lim  lim  . x0 x x 1  x  1 x0 1  x  1 2   Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 335 1 x 1 1 ấn CALC 0  10 5  ta được kết quả  . x 2 Nhập vào màn hình Lưu ý: Để ra kết quả chính xác Nhập d dx   1 ta có thể tính theo quy tắc Lô-pi-tan như sau: 2 1 X 1 d  X dx x0 Ví dụ 8: Tính lim x0 1 2 rồi ấn phím  ta được kết quả chính xác 0,5  . x2  6x  8 x 2 x 4 Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận lim x2  6x  8 x 4 x 2  lim  x  2  x  4   x4 x 4 x 2   lim  x  2 x4   x  2  2  4  8. Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Nhập vào màn hình x2  6x  8 x 2 ấn CALC 4  10 5  ta được kết quả  8. Lưu ý: Để ra kết quả chính xác 8 ta có thể tính theo quy tắc Lô-pi-tan như sau: Nhập  d X2  6X  8 dx d dx  X 2   x4 rồi ấn phím  ta được kết quả chính xác 8. x4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 336 Ví dụ 9: Tính lim x 2 3 x2  4  2 4  2×2  8 b Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận E  lim x 2 3 x2  4  2 4  2x 2  8 Nhân tử và mẫu hai lượng liên hợp: 2  3 2  3 2   2  x  4   2 x  4  4   4  2x  8        E  lim x 2 2  3 x 2  4  2   3 x2  4   2 3 x2  4  4   4  2×2  8               2  4  2×2  8  4  2x 2  8   3 x2  4   2 3 x2  4  4               x   4  8  4  2×2  8     lim 2 x 2   3 3 16  2×2  8  x 2  4   2 x2  4  4     2    x  4  4  2x  8   lim    2 x  4   x  4   2 x  4  4         2 x 2  lim 2 3 2 2 2 3 4  2×2  8 x 2 2  3  3 2  x2  4   2 x2  4  4     2  8 1  . 3 24 Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính 3 Nhập vào màn hình x2  4  2 4  2x 2  8 1 3 ấn CALC 4  10 5  ta được kết quả   . Lời bình: Nếu ta dùng quy tắc Lô-pi-tan Nhập d 3 2   x  4  2 dx   x 2 d   2  4  2x  8  dx   x 2 1 3 rồi ấn phím  ta được kết quả 0,  3   . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 337 Ví dụ 10: Tính lim 4 x 2  12  2 x2  4 x 2 Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận E  lim 4 x 2  12  2 x2  4 x 2  4 x 2  12  2  4 x 2  12  2        lim  x 2 4 2   2 x  4  x  12  2      lim x2   x2  12  4 0 (vẫn còn dạng vô định ) 4 0 x2  4  x2  12  2      x2  12  4  x2  12  4         lim x 2 4  2 x2  4  x2  12  2   x  12  4       x2  12  16 x 2 4  2 x2  4  x2  12  2   x  12  4     1 1  lim  . x 2  4 2  x2  12  4  32   x 12 2        lim   Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Ta dùng quy tắc Lô-pi-tan Nhập d 4 2   x  12  2  dx   x 2  d 2 x 4 dx  Ví dụ 11: Tính lim x 1 rồi ấn phím  ta được kết quả 0,03125  1 . 32 x 2 6 x 1 2 x 1 Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 338 Cách 1: Giải bằng tự luận E  lim 6 x 1 x 1 2 x 1  x  1   lim  x  1  6 x 1  lim x1  lim x 1  lim x 1 2  x  1  2 x 2  6 x  1  6 2 x  6 x  1  6 x 1 6 x2  6 x  1    x 1 (Vẫn dạng vô định  0 ) 0 x 1  x  1 x  1  6 x2  6 x  1  1  x  1  6 x2  6 x  1   x 1  x 1  1 . 12 Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Ta dùng quy tắc Lô-pi-tan Nhập  X  1 d  x  1 dx d dx 6 x 1 2 rồi ấn phím  ta được kết quả 0,08  3  1 . 12 x 1 Để chuyển 0,08  3  1 ta bấm như sau 0.08Qs3= 12 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Giá trị của giới hạn lim x 2 x3 -8 là: x2 -4 A. 0. B. +¥. C. 3. D. Không xác định. Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 339 Chọn C x3 -8 ( x – 2)( x 2 + 2 x + 4) x 2 + 2 x + 4 12 lim lim = = = =3 x 2 ( x – 2)( x + 2) 4 x +2 x 2 – 4 x 2 Ta có lim x 2 Câu 2: Giá trị của giới hạn xlim -1 3 5 x 5 +1 là: x 3 +1 3 5 A. – . 5 3 B. . 5 3 C. – . D. . Lời giải Chọn D ( x + 1)( x 4 – x 3 + x 2 – x + 1) x 5 +1 x 4 – x 3 + x 2 – x +1 5 = lim = lim = . x -1 3 x 3 + 1 x -1 x 2 – x +1 ( x + 1)( x 2 – x + 1) lim x -1 Câu 3: Biết rằng lim x - 2×3 + 6 3 = a 3 + b. 3 3- x2 A. 10. Tính a2 + b2 . B. 25. C. 5. D. 13. Lời giải Chọn A ( )( ) ( ) 2 x + 3 x 2 – 3x + 3 2 x 2 – 3x + 3 2x 3 + 3 3 = lim = lim Ta có lim x - 3 x - 3 x - 3 3- x2 3-x 3-x 3+x ( )( ) 2 é ù 2 ê – 3 – 3. – 3 + 3ú ìïa = 3 18 ê úû ë = = = 3 3 ¾¾  ïí  a 2 + b2 = 10 . ï b = 1 2 3 3- – 3 ïî ( ) ( ( Câu 4: ) ) Giá trị của giới hạn xlim -3 1 3 A. . -x 2 – x + 6 là: x 2 + 3x B. 2 . 3 5 3 C. . 3 5 D. . Lời giải Chọn C lim x -3 Câu 5: ( x + 3)( x – 2) -x 2 – x + 6 x -2 -3 – 2 5 = lim = lim = = . x -3 x -3 x 2 + 3x x ( x + 3) x -3 3 Giá trị của giới hạn lim x  3- 1 3 A. . 3- x 27 – x 3 là: B. 0. 5 3 C. . 3 5 D. . Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 340 Ta có 3 – x > 0 với mọi x < 3, do đó: 3- x lim x  3- 27 - x 9 + 3x + x x 3 Câu 6: (3 - x )(9 + 3 x + x 2 ) x 3 3- x = lim- 3- x = lim- 3 2 3-3 = 9 + 3.3 + 32 Giá trị của giới hạn lim x 0 A. - = 0. ( x 2 + p 21 ) 7 1 - 2 x - p21 là: x 2 p 21 . 7 B. - 2p 21 . 9 C. - 2 p 21 . 5 D. 1 - 2p 21 . 7 Lời giải Chọn A Ta có lim ( x 2 + p 21 ) 7 1 - 2 x - p 21 x x 0 Câu 7: = lim ( x 2 + p 21 )( 7 1 - 2 x -1) x x 0 x2 + x - x x2 Giá trị của giới hạn lim x  0+ x 0 2 p 21 . 7 là: B. -¥. A. 0. + lim x = - C. 1. D. +¥. Lời giải Chọn D ( x 2 + x )- x x2 + x - x 1 = = lim+ = +¥ lim 2 2 2 x  0+ x 0 x2 x +x + x x x +x + x Ta có lim ( x  0+ ) vì 1 > 0 ; lim ( x 2 + x + x ) = 0 và x 2 + x + x > 0 với mọi x > 0. x  0+ Câu 8: Giá trị của giới hạn lim x 1 3 3 A. -1. x -1 4x + 4 -2 là: B. 0. C. 1. D. +¥. Lời giải Chọn C Ta có lim x 1 3 3 4x + 4 -2 ( (4 x + 4 ) + 2 = lim 2 3 x 1 ( x -1) x -1 4 ( 3 3 = lim x 1 4x + 4 + 4 ) x 2 + 3 x +1 ( (4 x + 4 ) + 2 3 2 3 4x + 4 + 4 ) (4 x + 4 – 8)( x + x + 1) 3 2 3 ) = 12 = 1. 12 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 341 Câu 9: Giá trị của giới hạn lim x 0 A. 5 . 6 2 1+ x – 3 8 – x là: x B. 13 . 12 C. 11 . 12 D. – 13 . 12 Lời giải Chọn B Ta có lim x 0 æ 2 1 + x – 2 2 – 3 8 – x ö÷ 2 1+ x – 3 8- x ÷÷ = lim ççç + ÷ø x 0 ç x x x è æ ö÷ ç 2 1 1 13 ÷÷ = lim ççç + ÷ = 1+ = . 2 ÷ x 0 ç 3 12 12 ÷ 3 + + x 1 1 çè 4 + 2 8 – x + (8 – x ) ÷ø Câu 10: Biết rằng b > 0, a + b = 5 và lim x 0 3 ax + 1 – 1 – bx = 2 . Khẳng định nào dưới đây sai? x B. b > 1. A. 1 < a < 3. C. a2 + b2 > 10. D. a – b < 0. Lời giải Chọn A Ta có lim x 0 æ = lim çç x 0 ç ç ççè x æ = lim çç x 0 ç çç çè ( 3 æ 3 ax + 1 -1 1 - 1 - bx ö÷ ax + 1 - 1 - bx ÷ = lim ççç + ÷ø x 0 è x x x ö÷ ÷÷ 2 3 ( x + 1) + 3 x + 1 + 1 x 1 + 1 - x ÷÷÷ ø ö÷ a b a b + ÷÷ = + = 2. 2 3 ( x + 1) + 3 x + 1 + 1 1 + 1 - x ÷÷÷ 3 2 ø ax ( ) ) + ( bx ( ) ) ïìa + b = 5 ìïa + b = 5  ïí  a = 3, b = 2 b ïï + = 2 ïîï2 a + 3b = 12 î3 2 ï Vậy ta được: ïí a ï Dạng 5. Dạng vô định ¥ ¥ 1. Phương pháp  Nhận biết dạng vô định   u(x) khi lim u(x)  , lim v(x)  . xx0 x x 0 v(x) u(x) lim khi lim u(x)  , lim v(x)  . x  v(x) x x0 xx0 lim xx0  Chia tử và mẫu cho x n với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu ( Hoặc phân tích thành tích chứa nhân tử x n rồi giản ước) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 342  Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x (thường là bậc cao nhất ở mẫu).  Cách tính giới hạn dạng này hoàn toàn tương tự giới hạn dãy số. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tính lim 2x 4  x3  2x 2  3 x  2x 4 x  Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận lim 4 3 2 2x  x  2x  3 x  2x 4 x  2  lim x  1 2 3   2 x x x 4  1. 1 2 x3 Cách 2: Mẹo giải nhanh 2x 4  x3  2x 2  3 x  2x 4  2x 4  1. 2x 4 Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính Nhập vào màn hình 2x 4  x3  2x 2  3 x  2x 4 ấn CALC 1015  ta được kết quả 1. Lời bình: “Bậc tử bằng bậc mẫu” nên kết quả Ví dụ 2: Tính lim 2  1. 2 3x 4  2x 5 x  5x 4  3x  2 Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận lim 3x 4  2x5 x  5x 4  3x  2  lim x  3  2x 3 2 5  3 x x4  3 2  lim  5     5  0; lim  3  2x   . 3 x   x  x x4  Do đó: lim 3x 4  2x 5 x  5x 4  3x  2  . Cách 2: Mẹo giải nhanh Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 343 3x 4  2x 5 4 5x  3x  2  2x 5 5x 4 2   x  . 5 Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính Nhập vào màn hình 3x 4  2x 5 ấn CALC 1015  ta được kết quả  . 5x 4  3x  2 Lời bình: Bậc tử lớn hơn bậc mẫu nên kết quả là . Ví dụ 3: Tính lim 3x 4  2x 5 x  5x 4  3x 6  2 Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận lim 4 3x  2x x  5x 4 3 5 6  3x  2  lim 5 x  x 2 x 2  2 x 3 2  0  0. 3 x6 Cách 2: Mẹo giải nhanh 3x 4  2x 5 4 6 5x  3x  2  2x 5 3x 6 2 1   .  0. 3 x Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính Nhập vào màn hình 3x 4  2x 5 5x 4  3x 6  2 ấn CALC 1015  ta được kết quả  0. Lời bình: “Bậc tử bé hơn bậc mẫu” nên kết quả là 0. Ví dụ 4: Tính lim x 3x 4  4x5  2 9x5  5x 4  4 Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận lim x  3x 4  4x5  2 9x5  5x 4  4  lim x  3 2 4 x x5  2 . 5 4 3 9  5 x x Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 344 Cách 2: Mẹo giải nhanh 3x 4  4x5  2 5 4 9x  5x  4  4x5 9x 4 2  . 9 3  5 Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính Nhập vào màn hình 3x 4  4x 5  2 ấn CALC 1015  ta được kết quả  0. 9x5  5x 4  4 Ví dụ 5: Tính L  lim x 2  2x  3x x  4x 2  1  x  2 . Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận lim x  2 2  3x  1  3 2 x x  lim  lim  .  x  x 2 1 1 2 3 4x  1  x  2 x2  4 1 x 4 2 2 x x x x 1 x2  2x  3x Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Nhập vào màn hình Ví dụ 6: Tính lim x  x 2  2x  3x ấn CALC  1015  ta được kết quả 4x 2  1  x  2 2 . 3 4x2  1  x  5 2x  7 Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận lim x  2 4x  1  x  5  lim x  2x  7 4 1 x 2  7 2 x 1 5  x x2  20  1. 20 Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Nhập vào màn hình 4x2  1  x  5 ấn CALC 1025  ta được kết quả 2x  7 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 345 x Ví dụ 7: Tính lim  x  5 3 x 1 x  Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận 2 lim  x  5 x  x x3  1 x  x  5  lim 2  lim x3  1 x  x   5 1    x   1. 1 1 x3 Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính x Nhập vào màn hình  x  5 3 x 1  x  1 1  2x  lim 3 2 Ví dụ 8: Tính ấn CALC 1025  ta được kết quả 94 2x100  3 x Hướng dẫn giải  x  1 1  2x  E  lim 2 3 3 94 2x100  3 x  3  2  1    1  x  1  2    x   2   x    x    lim  x   3  x100  2  100  x   1  1  x  1   x94   2  2 x   x   lim x  3  100  x 2   x100   6 3   1  1  1  2    2  x x     lim  x  3 2 x100 94 94 94 3  1 . 2   2 94  293. 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Kết quả của giới hạn xlim -¥ 2 x 2 + 5x - 3 là: x 2 + 6x + 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 346 A. -2. B. +¥. C. 3. D. 2 . Lời giải Chọn D 5 3 2+ - 2 2 x 2 + 5x - 3 x x =2. Ta có xlim = lim -¥ x 2 + 6 x + 3 x +¥ 6 3 1+ + 2 x x Giải nhanh : khi x  -¥ thì : Câu 2: Kết quả của giới hạn xlim -¥ A. -2. 2 x 2 + 5x - 3 2 x 2  2 = 2. x 2 + 6x + 3 x 2 x 3 + 5x 2 - 3 là: x 2 + 6x + 3 B. +¥. C. -¥. D. 2 . Lời giải Chọn C 5 3 2+ - 3 2 x 3 + 5x 2 - 3 x x = -¥. Ta có: xlim = lim x . -¥ x 2 + 6 x + 3 x -¥ 6 3 1+ + 2 x x Giải nhanh : khi x  -¥ thì : Câu 3: Kết quả của giới hạn xlim -¥ A. -2. 2 x 3 + 5x 2 - 3 2 x 3  2 = 2 x  -¥. x 2 + 6x + 3 x 2 x 3 - 7 x 2 + 11 là: 3x 6 + 2 x 5 - 5 B. +¥. C. 0. D. -¥. Lời giải Chọn C 2 7 11 - 4+ 6 3 2 x 3 - 7 x 2 + 11 x x x = 0 = 0. Ta có: xlim = lim -¥ 3 x 6 + 2 x 5 - 5 x -¥ 2 5 3 3+ - 6 x x Giải nhanh : khi x  -¥ thì : Câu 4: Kết quả của giới hạn xlim -¥ A. -2. 2 x 3 - 7 x 2 + 11 2 x 3 2 1  6 = . 3  0. 3x 6 + 2 x 5 - 5 3x 3 x 2x -3 x 2 +1 - x là: B. +¥. C. 3. D. -1 . Lời giải Chọn D  x 2 + 1 - x  x 2 - x = -x - x = -2 x = /0 . Khi x  -¥ thì x 2 = -x ¾¾ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 347 ¾¾  chia Câu 5: Biết rằng cả tử và mẫu cho x , ta được xlim -¥ (2 - a ) x - 3 x 2 +1 - x 3 x = lim = -1 . x 2 + 1 - x x -¥ - 1 + 1 -1 x2 2x -3 2- có giới hạn là +¥ khi x  +¥ (với a là tham số). Tính giá trị nhỏ 2 nhất của P = a - 2a + 4. B. Pmin = 3. A. Pmin = 1. C. Pmin = 4. D. Pmin = 5. Lời giải Chọn B Khi x  +¥ thì x 2 = x ¾¾  x 2 +1 - x  x 2 - x = x - x = 0 ¾¾  Nhân lượng liên hợp: Ta có xlim +¥ (2 - a ) x - 3 x 2 +1 - x = lim ((2 - a) x - 3) x +¥ ö÷ æ 3 öæ 1 x 2 + 1 + x = lim x 2 çç2 - a - ÷÷÷ççç 1 + 2 + 1÷÷. x +¥ èç x øçè x ø÷ ( ) ìï lim x 2 = +¥ ïïx +¥ (2 - a ) x - 3 Vì ïïí  lim = +¥ æ ö÷ 1 x +¥ ç ï x 2 +1 - x ïï lim çç 1 + 2 + 1÷÷÷ = 4 > 0 x +¥ ç x ïïî è ø æ 3ö  lim çç2 – a – ÷÷÷ = 2 – a > 0  a < 2 . x +¥ ç è xø Giải nhanh : ta có x  +¥ ¾¾  = ((2 - a) x - 3) ( ) 2x -3 x 2 +1 - x x 2 + 1 + x  (2 - a ) x . ( ) x 2 + x = 2 (2 - a) x  +¥  a < 2 . Khi đó P = a 2 - 2 a + 4 = (a - 1)2 + 3 ³ 3, P = 3  a = 1 < 2  Pm in = 3. Câu 6: Kết quả của giới hạn xlim -¥ A. -2. 4 x 2 - x +1 x +1 là: B. -1. C. -2. D. +¥. Lời giải Chọn C Giải nhanh: khi x  -¥ ¾¾  Cụ thể: xlim -¥ Câu 7: 4 x 2 - x +1 = lim x -¥ x +1 Kết quả của giới hạn xlim +¥ -2 x 4 x 2 - x +1 4x2 = = -2.  x +1 x x 1 1 - 4- + 2 x x = - 4 = -2. 1 1 1+ x 4 x 2 - 2 x +1 + 2 - x 9 x 2 - 3x + 2 x Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 là: Trang 348 1 5 B. +¥. A. - . C. -¥. D. 1 . 5 Lời giải Chọn D Giải nhanh : khi 4 x 2 - 2 x +1 + 2 - x x  +¥ ¾¾  9 x - 3x + 2 x 4 x 2 - 2 x +1 + 2 - x Cụ thể : xlim +¥ Câu 8: 2 Biết rằng L = xlim -¥ = lim 4 x 2 - 2 x +1 + 2 - x ax 2 - 3 x + bx 4x2 - x 2 9x + 2x = 2x - x 1 = . 3x + 2 x 5 2 1 2 4 - + 2 + -1 1 x x x = . 5 3 9- +2 x x +¥ 9 x 2 - 3x + 2 x  >0 là hữu hạn (với a, b là tham số). Khẳng định nào dưới đây đúng. B. L = – A. a ³ 0. 3 a+b C. L = 3 D. b > 0. b- a Lời giải Chọn B Ta phải có ax 2 – 3 x > 0 trên (-¥; a)  a ³ 0.  4 x 2 – 2 x + 1 + 2 – x  4 x 2 – x = -3 x = / 0. Ta có x  -¥ ¾¾ 4 x 2 – 2x +1 + 2 – x Như vậy xem như “tử” là một đa thức bậc 1. Khi đó xlim -¥ ax 2 – 3 x + bx >0 khi và chỉ khi ax 2 – 3 x + bx là đa thức bậc 1. Ta có ax 2 – 3 x + bx  ax 2 + bx = (- a + b) x ¾¾ - a + b = / 0. Khi đó Câu 9: 4 x 2 – 2 x +1 + 2 – x 2 ax – 3 x + bx Kết quả của giới hạn xlim -¥ A. 2 . 2  3 (- -3 x ) a +b x x 3 + 2 x 2 +1 2x 2 +1 = 3 b- a = L > 0  b – a > 0  b > a. là: B. 0. C. – 2 . 2 D. 1. Lời giải Chọn C Giải nhanh: x  -¥ ¾¾  3 x 3 + 2 x 2 +1 2 2 x +1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 3  x3 2x 2 = x – 2x =- 1 2 . Trang 349 Cụ thể: xlim -¥ 3 x 3 + 2 x 2 +1 2 x 2 +1 2 1 + 3 x x =- 1 . = lim x -¥ 1 2 – 2+ 2 x 3 1+ Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của a để xlim ( 2 x 2 +1 + ax ) là +¥. -¥ B. a < 2. A. a > 2. C. a > 2. D. a < 2. Lời giải Chọn B  2 x 2 + 1 + ax  2 x 2 + x Giải nhanh: x  -¥ ¾¾ ( ) = - 2 x + ax = a - 2 x  +¥  a - 2 < 0  a < 2. æ Cụ thể: vì xlim x = -¥ nên lim ( 2 x 2 + 1 + ax ) = lim x ççç- 2 + -¥ x -¥ x -¥ çè 1 ÷ö + a÷÷ = +¥ 2 ÷ø x æ ö÷ 1  lim ççç- 2 + 2 + a÷÷ = a - 2 < 0  a < 2. x -¥ ç ÷ø x è Dạng 6. Dạng vô định ¥ -¥ , 0.¥ 1. Phương pháp  Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp  Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức.  Thông thường, các phép biến đổi này có thể cho ta khử ngay dạng vô định   ;0. hoặc chuyển về dạng vô định  0 ;  0 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tính lim x  x 1  x  3  Hướng dẫn giải 4 lim x    x  1  x  3  lim x  x 1 x  3 x 1  x  3  lim x x   1 3  1  1   x x    0. Ví dụ 2: Tính lim x  x2  5  x  x    Hướng dẫn giải x2  5  x2 5 5 lim x  x 2  5  x   lim x  lim  . x   x  2 2  x 5 x 5x 1 1 x2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 350 Ví dụ 3: Tính lim  x  x2  5x  x    Hướng dẫn giải E  lim  x  x 2  5x  x    Nhân và chia liên hợp x  x2  5x  x  x 2  5x  x  x 2  5x     2 2    lim x  x  5x E  lim  x  x  5 x  x 2  5x x  x 1 x  lim x   lim x  5x 5 x  x 1 x 5 1 1 5 x  (Vì  lim x  lim x ) x  x  5 5  . 2 1 1 0  1 1  1   x  0 x  x  1 Ví dụ 4: Tính lim Hướng dẫn giải  1 1  1 (Dạng vô định 0. )   x0 x  x  1 E  lim 1 x 1 1  lim  1. x 0 x  x  1 x  0 x  1  lim Ví dụ 6: Tính lim x  1 2 x  5  0. x Hướng dẫn giải lim x  1 2 5 x  5  lim 1   1. x  x x Ví dụ 7: Tính lim x  x2  2  x  x    Hướng dẫn giải x2  2  x2 2 2 lim x  x 2  2  x   lim x  lim   1. x   x x   2 2  2 x 2 x 1 1 2 x Ví dụ 8: Tính lim x 0 x  1  x2  x  1 x Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 351 Hướng dẫn giải lim x 0 x  1  x2  x  1 x  1  x2  x  1  lim x0 x x  1  x2  x  1 x 0  lim  0 x0 2 x 1  x  x 1 2 Ví dụ 9: Tính lim x   x5 x7  Hướng dẫn giải lim x    x5x 7 x  5  x  7  lim x5 x7 12 x  x  lim x  1   x   5 7  1 x x Ví dụ 8: Tính lim  x 2  5x  x   x   lim 12 x5 x7 0  0. 2 2 . 5 Hướng dẫn giải x2  x  x2 5x lim  x2  5x  x   lim  lim   x   x x  x2  5x  x x2  5x  x 5 5  lim  . x  2 5 1 1 x Ví dụ 8: Tính lim 1 x  x x2  5  1 . Hướng dẫn giải lim x  x2  5  lim x  x x . 1 x 5 2 x  lim x  x 1  5 x2  lim  1  5  1. x  x x2 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Giá trị của giới hạn xlim (2 x 3 - x 2 ) là: -¥ A. 1. B. +¥. C. -1. D. -¥ . Lời giải Chọn D  2 x 3 - x 2  2 x 3  -¥. Giải nhanh : x  -¥ ¾¾ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 352 ìï lim x 3 = -¥ ïïx -¥ æ ö (2 x 3 - x 2 ) = lim x 3 çç2 - 1 ÷÷ = -¥ vì ïí . Cụ thể: xlim çè -¥ x -¥ ïï lim æç2 - 1 ö÷÷ = 2 > 0 x ÷ø ç ÷ ïïx -¥ çè xø î Câu 2: æ 1 1 ö ÷÷ là: – 2 Giá trị của giới hạn lim ççç x 2 è x – 2 x – 4 ø÷ – B. +¥. A. -¥. C. 0. D. 1. Lời giải Chọn A æ 1 æ x + 2 -1ö÷ æ x + 1 ö÷ 1 ÷ö – 2 Ta có lim ççç ÷ = lim çç ÷ = lim çç ÷ = -¥ x 2 è x – 2 x – 4 ø÷ x 2 èç x 2 – 4 ø÷ x 2 èç x 2 – 4 ø÷ – – – Vì lim ( x + 1) = 3 > 0; lim ( x 2 – 4 ) = 0 và x 2 – 4 < 0 với mọi x Î (-2;2). x  2- Câu 3: x  2- æ a b ö÷ L = lim lim çç ÷ x 1 ç x 1 è x 3 ø÷ hữu hạn. Tính giới hạn x 1 1 Biết rằng a + b = 4 và æ b a ö÷ çç çè1 - x 3 1 - x ÷ø÷ . A. 1. D. -2. B. 2. C. 1 . Lời giải Chọn C æ a ö b çç Ta có lim ÷÷ = lim x 1 ç è1 - x 1 - x 3 ÷ø x 1 æ a a + ax + ax 2 - b a + ax + ax 2 - b = lim . 3 x 1 1 - x 1 + x + x 2 1- x ( )( ) ö b ÷÷ hữu hạn  1 + a.1 + a.12 - b = 0  2a - b = -1. çç Khi đó lim x 1 ç è1 - x 1 - x 3 ÷ø ïìa + b = 4 Vậy ta có ïí ïìa = 1  ïí  L = - lim x 1 îïï2 a - b = -1 îïïb = 3 = - lim x 1 Câu 4: x2 + x -2 (1 - x )(1 + x + x 2 ) = - lim x 1 -( x + 2 ) 1+ x + x 2 æ ö çç a - b ÷÷ çè1 - x 1 - x 3 ÷ø =1. ( 1 + 2 x 2 - x ) là: Giá trị của giới hạn xlim +¥ B. +¥. A. 0. C. 2 -1. D. -¥ . Lời giải Chọn B æ ö÷ 1 + 2 -1÷÷ = +¥ 2 ÷ø çè x ( 1 + 2 x 2 - x ) = xlim x çç Ta có xlim +¥ +¥ ç æ 1 ö ÷ Vì xlim x = +¥; lim ççç 2 + 2 -1÷÷ = 2 -1 > 0. ÷ø +¥ x +¥ ç x è Giải nhanh : x  +¥ ¾¾  1 + 2 x 2 – x  2 x 2 – x = 2 x – x = ( 2 – 1) x  +¥. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 353 Câu 5: Giá trị của giới hạn xlim ( x 2 + 1 – x ) là: +¥ A. 0. B. +¥. C. 1 . 2 D. -¥ . Lời giải Chọn A  x 2 + 1 – x  x 2 – x = x – x = 0 ¾¾  Nhân lượng liên hợp. . x  +¥ ¾¾ 1 Giải nhanh: x  +¥ ¾¾  x 2 +1 – x = Cụ thể: xlim ( x + 1 – x ) = xlim +¥ +¥ Biết rằng lim x -¥ ( x +1 + x 1 2 Câu 6: 2 x 2 +1 + x ) 5 x 2 + 2 x + x 5 = a 5 + b. A. S = 1.  1 2 x +x = 1  0. 2x 1 0 x = = 0. 2 1 1 + 2 +1 x = lim x +¥ Tính S = 5a + b. B. S = -1. C. S = 5. D. S = -5. Lời giải Chọn A x  -¥ ¾¾  5x 2 + 2 x + x 5  5x 2 + x 5 = – 5x + x 5 = 0 ¾¾  Nhân lượng liên hợp:  5x 2 + 2 x + x 5 Giải nhanh: x  -¥ ¾¾ 2x = 2 5x + 2 x + x 5  2x 2 5x – x 5 = 2x -2 5 x =- Cụ thể: Ta có xlim ( 5x 2 + 2 x + x 5 ) = xlim -¥ -¥ 2 = lim x -¥ Câu 7: – 5+ 2 + 5 x = 2 -2 5 =- 1 5 =- 1 5 . 2x 2 5x + 2 x + x 5 ìï ïa = – 1 1  íï 5 ¾¾ 5  S = -1. ïï 5 b 0 = îï Giá trị của giới hạn xlim ( x 2 + 3x – x 2 + 4 x ) là: +¥ A. 7 . 2 1 2 B. – . C. +¥. D. -¥. Lời giải Chọn B  x 2 + 3x – x 2 + 4 x  x 2 – x 2 = 0 . Khi x  +¥ ¾¾ ¾¾  Nhân lượng liên hợp: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 354  x 2 + 3x – x 2 + 4 x Giải nhanh: x  +¥ ¾¾ -x = 2 2 x + 3x + x + 4 x  -x 2 x + x = 2 -x 1 =- . 2x 2 Cụ thể: xlim ( x 2 + 3x – x 2 + 4 x ) = +¥ -x lim x +¥ Câu 8: x 2 + 3x + x 2 + 4 x -1 = lim 3 4 1+ + 1+ x x x +¥ 1 =- . 2 ( 3 3 x 3 -1 + x 2 + 2 ) là: Giá trị của giới hạn xlim -¥ A. 3 3 + 1. B. +¥. D. -¥ . C. 3 3 -1. Lời giải Chọn D lim x -¥ ( 3 3 x 3 -1 + æ 1 2 ö÷ x 2 + 2 ) = lim x ççç 3 3 – 3 – 1 + 2 ÷÷ = -¥ x -¥ ç x x ÷ø è æ 2 ö 1 ÷ Vì xlim x = -¥, lim ççç 3 3 – 3 – 1 + 2 ÷÷ = 3 3 -1 > 0. -¥ x -¥ ç x x ÷ø è Giải nhanh: x  -¥ ¾¾  3 3 x 3 -1 + x 2 + 2  3 3 x 3 + x 2 = Câu 9: ( 3 ) 3 – 1 x  -¥. Giá trị của giới hạn xlim ( x 2 + x – 3 x 3 – x 2 ) là: +¥ A. 5 . 6 B. +¥. C. -1. D. -¥ . Lời giải Chọn A Khi x  +¥ ¾¾  x 2 + x – 3 x 3 – x 2  x 2 — 3 x 3 = x – x = 0 ¾¾  Nhân lim x +¥ ( lượng liên hợp: ) x 2 + x – 3 x 3 – x 2 = lim x +¥ ( x2 + x – x + x – 3 x3 – x2 ) æ ö÷ çç 2 ÷÷ 1 1 5 x x ÷÷ = + = . = lim ççç + x +¥ çç x 2 + 1 + x x 2 + x 3 x 3 – 1 + 3 x 3 – 1 2 ÷÷÷ 2 3 6 ( )ø è Giải nhanh: = x x 2 +1 + x x2 + x – 3 x3 – x2 = + ( ) ( x2 + x – x + x – 3 x3 – x2 x2 x 2 + x 3 x 3 -1 + 3 ( x 3 -1) 2  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 x x2 + x + ) x2 x2 + x 3 x3 + 6 x6 Trang 355 = 1 1 5 + = ( x  +¥). 2 3 6 ( 3 2 x -1 – 3 2 x + 1) là: Câu 10: Giá trị của giới hạn xlim +¥ B. +¥. A. 0. C. -1. D. -¥ . Lời giải Chọn A x  +¥ ¾¾  3 2 x -1 – 3 2 x + 1  3 2 x – 3 2 x = 0 ¾¾  nhân lượng liên hợp: lim x +¥ ( 3 2 x -1 – 3 2 x + 1) = -2 lim x +¥ 3 2 2 (2 x -1) + 3 (2 x -1)(2 x + 1) + 3 (2 x + 1) = 0. Giải nhanh: 3 2 x -1 – 3 2 x + 1 = -2 3 2  2 (2 x -1) + 4 x -1 – 3 (2 x + 1) 3 2 é æ -2 3 3 2 2 3 4x + 4x + 4x 2 = -2 3 3 4×2  0. 1 öù ê x çç1 – ÷÷ú là: Câu 11: Kết quả của giới hạn lim ÷ x 0 ê ç ë è x øúû A. +¥. B. -1. C. 0. D. +¥ . Lời giải Chọn B é æ 1 öù ê x çç1 – ÷÷ú = lim ( x – 1) = 0 – 1 = -1. Ta có lim ç x 0 ê è x ø÷úû x  0 ë x là: x2 -4 Câu 12: Kết quả của giới hạn lim ( x – 2) x  2+ A. 1. B. +¥. C. 0. D. -¥ . Lời giải Chọn C Ta có lim ( x – 2 ) x  2+ x = lim x 2 – 4 x  2+ Câu 13: Kết quả của giới hạn xlim x +¥ A. 2 . 3 B. x – 2. x x +2 2x +1 3x + x 2 + 2 3 6 . 3 = 0. 2 =0. 2 là: C. +¥. D. -¥ . Lời giải Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 356 1 2+ x 2 (2 x + 1) 2 x +1 6 x = lim = lim = lim x . x +¥ 3 3 x 3 + x 2 + 2 x +¥ 3 x 3 + x 2 + 2 x +¥ 3 + 1 + 2 3 x x Giải nhanh: x  +¥ ¾¾ x 2 x +1 2x 6 1 6 1 6  x. = . x. = .x. = . 3x 3 + x 2 + 2 3x 2 3 3 x 3 x2 æ è x 2 ççsin p x Câu 14: Kết quả của giới hạn lim ç x 0 A. 0 . 1 ö÷ ÷ là: x 2 ÷ø B. -1 . C. p. D. +¥. Lời giải Chọn B æ è x 2 ççsin p x Ta có lim ç x 0 1 ö÷ 2 ÷ = lim ( x sin p x -1) = -1. x 2 ÷ø x 0 Câu 15: Kết quả của giới hạn lim ( x 3 + 1) + x (-1) x x -1 2 B. +¥. A. 3. là: C. 0. D. -¥ . Lời giải Chọn C . Với x Î (-1;0) thì x + 1 > 0 và Do đó lim ( x 3 + 1) x  -1 ( + ) x x = lim ( x + 1)( x 2 – x + 1) x 1 x 2 – 1 x (-1)+ ( )( x + 1) = lim + x + 1 ( x 2 – x + 1) x (-1) x >0. x -1 x =0 x -1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 357 BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Định nghĩa 1 Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng K và x 0 Î K . Hàm số y = f ( x ) được gọi là liên tục tại x 0 nếu xlim f ( x ) = f ( x 0 ). x 0 II – HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG Định nghĩa 2 Hàm số y = f ( x ) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. Hàm số y = f ( x ) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và lim f ( x ) = f (a), x  a+ lim f ( x ) = f (b). x b- Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một ” đường liền ” trên khoảng đó. y y x a O b x a O b Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) Hàm số không liên tục trên khoảng (a; b) III – MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN Định lí 1 a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực  . b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. Định lí 2 Giả sử y = f ( x ) và y = g ( x ) là hai hàm số liên tục tại điểm x 0 . Khi đó: a) Các hàm số y = f ( x ) + g( x ) , y = f ( x ) – g( x ) và y = f ( x ). g ( x ) liên tục tại x 0 ; b) Hàm số f (x ) liên tục tại x 0 nếu g ( x 0 ) ¹ 0 . g(x ) Định lí 3 Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a). f (b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c Î (a; b) sao cho f (c) = 0 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 358 Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau: Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a). f (b) < 0, thì phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a; b) . B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Hàm số f ( x ) = 3 - x + 1 x +4 liên tục trên: A. [-4;3]. B. [-4;3). C. (-4;3]. D. [-¥;-4 ] È [3; +¥). Lời giải Chọn C ì3 - x ³ 0 ì x > -4 TXD ï ï Điều kiện: ïí  ïí ¾¾¾  D = (-4; 3] ¾¾  hàm số liên tục trên (-4;3). Xét tại ï ïx + 4 > 0 î x = 3, ï ï x £ -3 î ta có æ 1 ö÷ 1 ÷÷ = lim f ( x) = lim- çç 3 – x + = f (3) ¾¾  ÷ x 3 ç è 7 x+4ø x  3- Hàm số liên tục trái tại x = 3. Vậy hàm số liên tục trên (-4;3]. Câu 2: Hàm số f ( x ) = A. [-1;1]. x 3 + x cos x + sin x liên tục trên: 2 sin x + 3 B. [1;5]. æ 3 ö C. ççç- ; +¥÷÷÷. è 2 ø D. . Lời giải Chọn D TXD ¾  D =  ¾¾  Hàm số liên tục trên . Vì 2sin x + 3 = / 0 với mọi x Î  ¾¾ Câu 3: Cho hàm số f ( x) xác định và liên tục trên  với f ( x ) = x 2 – 3x + 2 với mọi x = / 1. Tính x -1 f (1). A. 2. B. 1. C. 0. D. -1. Lời giải Chọn D Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 359 Vì f ( x) liên tục trên  nên suy ra f (1) = lim f ( x) = lim x 1 Câu 4: x 1 x 2 – 3x + 2 = lim ( x – 2) = -1. x 1 x -1 Cho hàm số f ( x) xác định và liên tục trên [-3;3] với f ( x ) = x +3 – 3- x với x ¹ 0 . x Tính f (0) . A. 2 3 . 3 B. 3 . 3 C. 1. D. 0. Lời giải Chọn B Vì f ( x) liên tục trên [-3;3] nên suy ra f (0) = lim f ( x ) = lim x 0 Câu 5: x 0 x + 3 – 3- x 2 1 = lim = . x  0 x x + 3 + 3- x 3 Cho hàm số f ( x) xác định và liên tục trên (-4; +¥) với f ( x ) = x x + 4 -2 với x ¹ 0 . Tính f (0) . B. 2. A. 0. C. 4. D. 1. Lời giải Chọn C Vì f ( x) liên tục trên (-4; +¥) nên suy ra f (0) = lim f ( x ) = lim x0 x0 x x+4 -2 = lim x0 ( ) x + 4 + 2 = 4. Dạng 2. Hàm số liên tục tại một điểm 1. Phương pháp Ta cần phải nắm vững định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng K và x 0  K. Hàm số y  f  x  gọi là liên tục tại x 0 nếu lim f(x)  f(x 0 )  lim f(x)  lim f(x)  f(x 0 ). x x0 x xo xxo 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng x2  2x với x  0. Phải bổ sung thêm giá trị f  0  bằng bao nhiêu thì x hàm số liên tục tại x  0? Ví dụ 1: Cho f  x   Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 360 lim f  x   lim x0 x0  lim  x 0 x2  2x  lim x0 x 2 x2  2x   x22x  1 2 x2  2x  . Như vậy để hàm số liên tục tại x  0 thì phải bổ sung thêm giá trị f  0   1 2 . a  x2 vôùi x  1 vaø a   Ví dụ 2: Cho hàm số f  x    . Giá trị của a để f  x  liên tục tại x  1 là bao vôùi x  1 3 nhiêu? Hướng dẫn giải TXĐ: D  . Ta có:   lim f  x   lim a  x 2  a  1. x 1 x 1 Để hàm số liên tục tại x  1  lim f  x   f 1  a  1  3  a  4. x 1  x2  1  vôùi x  3 vaø x  2 Ví dụ 3: Cho hàm số f  x    x3  x  6 . Tìm b để f  x  liên tục tại x  3.  vôùi x  3 vaø b   b  3 TXĐ: D  . Ta có: lim f  x   lim x 3 x 3 x2  1 3 x x6  3 ; f  3  b  3. 3 Để hàm số liên tục tại x  3  lim f  x   f  3   b  3  x 3 3 2 3 b . 3 3 a  2 khi x  2  . Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x  2. Ví dụ 4: Cho hàm số f  x     sin khi x  2  x Hướng dẫn giải TXĐ: D  . Ta có     f  2   sin  1  2   lim f  x   lim  a  2   a  2  x 2 x 2     lim f  x   lim sin  1  2  x 2 x 2 Hàm số liên tục tại x  2 khi a  1  2  a  3. Ví dụ 5: Tìm số a để hàm số sau liên tục tại điểm x 0 .  3 3x  2  2  neáu x  2 ; x 0  2. f x   x  2 ax  2  neá u x 2  Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 361 TXĐ: D  . Ta có: 3 lim f  x   lim x 2  x 2  3x  2  2  lim x2 x 2  3 x  2   x  2    3 3x  2  2   2 3 3x  2  4   1  . 4 lim f  x   ax  2  2a  2. x 2  Lại có: f  2   2a  2 . Hàm số liên tục tại x0  2 nếu 2a  2  1 7 a . 4 8 Ví dụ 6: Xét tính liên tục của hàm số sau tại x 0 .  x3 2 neáu x  1   x 1 1 f x   neáu x  1 ; x 0  0, x 0  1. 4  x2  1 neáu x  1  2  x  6x  7 Hướng dẫn giải x3 2 x 1 1  lim  .  x 1 4 x 1  x  1 x3 2 Ta có: lim f  x   lim x 1  x 1 lim f  x   lim x 1 x1 x2  1 2 x  6x  7 x 1 x2  1 Dễ thấy lim f  x   lim x 0 x 0 x 2 x 1 x 1 1 1  ; f 1  . x7 4 4 1 , nên hàm số liên tục tại x 0  1. 4 Vậy lim f  x   lim f  x   f 1  x 1  lim   6x  7  1  f  0  nên hàm số liên tục tại x  0. 7 Ví dụ 7: Xét tính liên tục của hàm số sau tại x 0 . f  x   x  2 ; x 0  2, x 0  1. Hướng dẫn giải  x  2 Ta có: f  x   x  2      x  2   neáu x  2 neáu x  2 Ta có: lim f  x   lim  x  2   3; f 1  3. x 1 x 1 Vậy lim f  x   f 1 , nên hàm số liên tục tại tại x 0  1. x 1  Lại có: lim f  x   lim x 2 x2  x  2   0; lim f  x   0; f  2   0. x2 Vậy lim f  x   lim f  x   lim  f  2   0 nên hàm số liên tục tại x0  2. x 2 x 2 x 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 362  x2 vôùi  5  x  4   x5  . Tìm giá trị của m để f  x  liên tục tại x  4 . Ví dụ 8: Cho hàm số f  x   mx  2 vôùi x  4   x vôùi x  4  3 Hướng dẫn giải Ta có: lim f  x   lim x 4 x2 x 4 2 x 2  ; lim  . 3 x  5 3 x 4 3 Và f  4   4m  2 Để hàm số liên tục tại x  4 thì lim f  x   lim f  x   f  4  x 4  4m  2  x  4 2 1 m . 3 3  x2  8  3  neáu x  1  2 . Tìm giá trị của a để f  x  liên tục tại x  1 . Ví dụ 9: Cho hàm số f  x    x  4x  3 1 2  6 cos x  a  x neáu x  1 Hướng dẫn giải TXĐ: D  . 1 1 cos   a2  1    a2  1. 6 6  f 1   1  1 lim f  x   lim  cos x  a2  x     a2  1. 6  x 1 x 1  6   x 2  8  3  x 2  8  3       lim f  x   lim  lim  2      2 2 x 1 x 1 x  4x  3 x 1 x  4x  3  x  8  3    x2  8  3    x  1 x  1 x2  8  9  lim x 1 x 2  4x  3  x 2  8  3  x 1 x  1 x  3  x 2  8  3            x 1 1  lim  .  6 x 1  x  3   x 2  8  3       lim   Để hàm số liên tục tại x  1  lim f  x   lim f  x   f 1 x 1 x 1 1 1    a2  1    a  1. 6 6 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: ìï x 2 – x – 2 ï Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f ( x ) = ïí x – 2 ïï ïïîm A. m = 0. B. m = 1. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. m = 2. khi x ¹ 2 liên tục tại x = 2. khi x = 2 D. m = 3. Trang 363 Lời giải Chọn D . Tập xác định: D =  , chứa x = 2 . Theo giả thiết thì ta phải có m = f (2) = lim f ( x) = lim x2 Câu 2: x 2 x2 – x – 2 = lim ( x + 1) = 3. x 2 x-2 ìï x 3 – x 2 + 2 x – 2 ï Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f ( x ) = ïí x -1 ïï ïïî3 x + m khi x ¹ 1 liên tục tại khi x = 1 x = 1. A. m = 0. B. m = 2. C. m = 4. D. m = 6. Lời giải Chọn A . Hàm số xác định với mọi x Î  . Theo giả thiết ta phải có 3 + m = f (1) = lim f ( x) = lim x 1 Câu 3: x 1 ( x -1)( x 2 + 2) x3 – x 2 + 2 x – 2 = lim = lim ( x 2 + 2) = 3  m = 0. x 1 x 1 x -1 x -1 ìï x -1 ï Tìm giá trị thực của tham số k để hàm số y = f ( x) = ïí x -1 khi x ¹ 1 liên tục tại x = 1. ïï khi x = 1 ïïîk + 1 1 2 A. k = . 1 2 B. k = 2. C. k = – . D. k = 0. Lời giải Chọn C Hàm số f ( x) có TXĐ: D = [0; +¥). Điều kiện bài toán tương đương với Ta có: k + 1 = y (1) = lim y = lim x 1 x 1 Câu 4: x -1 1 1 1 = lim =  k =- . x 1 x -1 2 x +1 2 ì ï ï 3- x Biết rằng hàm số f ( x ) = ïí x + 1 – 2 ï ï ï ï îm khi x ¹ 3 liên tục tại x = 3 (với m là tham số). Khẳng khi x = 3 định nào dưới đây đúng? A. m Î (-3;0). C. m Î [0;5). B. m £ -3. D. m Î [5; +¥). Lời giải Chọn B Hàm số f ( x) có tập xác định là (-1; +¥). Theo giả thiết ta phải có m = f (3) = lim f ( x ) = lim x3 x 3 3- x x +1 – 2 = lim (3 – x)( x + 1 + 2) x3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 x -3 = – lim x 3 ( ) x + 1 + 2 = -4. Trang 364 Câu 5: ìï 2 ï x sin 1 x ïï m ïî Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f ( x ) = ïí A. m Î (-2; -1). khi x ¹ 0 liên tục tại x = 0. khi x = 0 C. m Î [-1;7). B. m £ -2. D. m Î [7; +¥). Lời giải Chọn C Với mọi x = / 0 ta có 0 £ f ( x) = x 2 sin 1 £ x 2  0 khi x  0 ¾¾  lim f ( x ) = 0. x0 x Theo giải thiết ta phải có: m = f (0) = lim f ( x ) = 0. x 0 Câu 6: Biết rằng lim x0 sin x = 1. x ìï tan x ï khi x ¹ 0 ïï0 î khi x = 0 Hàm số f ( x ) = ïí x ï æ pö A. ççç0; ÷÷÷. è 2ø æ pö B. ççç-¥; ÷÷÷. è 4ø liên tục trên khoảng nào sau đây? æ p pö C. ççç- ; ÷÷÷. D. (-¥; +¥). è 4 4ø Lời giải Chọn A Tập xác định: ìp ü æp ö æ p p ö æ p 3p ö 3p ï ï D =   í + k p | k Î ý =  çç + k p; + k p÷÷÷ =  È çç- ; ÷÷÷ È çç + ÷÷÷ È  ç ï ï è ø èç 2 2 ø èç 2 2 2ø ï2 ï k Î 2 î þ Ta có lim f ( x ) = lim x0 x 0 tan x sin x 1 1 . = lim = 1. =1= / 0 = f (0) ¾¾  f ( x) x 0 x x cos x cos 0 không liên tục tại x = 0. Câu 7: Biết rằng sin x lim = 1. x0 x Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số ìï sin p x ï f ( x ) = ïí x – 1 ïï ïîm khi x ¹ 1 khi x = 1 liên tục tại x = 1. A. m = -p. B. m = p. C. m = -1. D. m = 1. Lời giải Chọn A Tập xác định D = . Điều kiện bài toán tương đương với sin p x x -1 é – sin p ( x -1) sin (p x – p + p ) sin p ( x -1)ùú = lim = lim = lim êê(-p ). (*). x 1 x 1 x 1 p ( x -1) úûú x -1 x -1 ëê m = f (1) = lim f ( x ) = lim x 1 x 1 Đặt t = p ( x -1) thì t  0 khi x  1. Do đó (*) trở thành: m = lim (-p ). t0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 sin t = -p. t Trang 365 Câu 8: Biết rằng lim x0 ìï1 + cos x ïï 2 f ( x ) = ïí ( x – p ) ïï ïïîm sin x = 1. x khi x ¹ p Tìm giá trị thực của tham số để m hàm số liên tục tại x = p. khi x = p p 2 p 2 1 2 B. m = – . A. m = . 1 2 C. m = . D. m = – . Lời giải Chọn C . Hàm số xác định với mọi x Î  . Điều kiện củz bài toán trở thành: 2 é æ x p öù æ x pö x ê sin çç – ÷÷ ú 2sin 2 çç – ÷÷÷ 2 cos ç ê çè 2 2 ÷ø ú è2 2ø 1 1 + cos x 2 = lim ê ú (*) = = m = f (p ) = lim f ( x) = lim lim lim 2 2 2 xp x p 2 x p ê æç x p ö÷ ú ( x – p ) x p ( x – p ) x p ( x – p ) ê ç – ÷÷ ú êë èç 2 2 ø úû 2 x p 1 2 æ sin t ö 1 1 2 çç Đặt t = –  0 khi x  1. Khi đó (*) trở thành: m = lim ÷÷ = .1 = . 2 t  0 çè t ÷ø 2 2 2 2 Câu 9: ì 3 ï ï ï ï x4 + x Hàm số f ( x ) = ïí 2 ï x +x ï ï ï 1 ï ï î khi x = -1 khi x ¹ -1, x ¹ 0 liên tục tại: khi x = 0 A. mọi điểm trừ x = 0, x = 1. B. mọi điểm x Î . C. mọi điểm trừ x = -1. D. mọi điểm trừ x = 0. Lời giải Chọn B Hàm số y = f ( x ) có TXĐ: D =  . Dễ thấy hàm số y = f ( x ) liên tục trên mỗi khoảng (-¥;-1), (-1;0) và (0;+¥) . (i) Xét tại x = -1 , ta có x ( x + 1)( x 2 – x + 1) x4 + x = = lim ( x 2 – x + 1) = 3 = f (-1). lim x -1 x 2 + x x -1 x -1 x ( x + 1) lim f ( x) = lim x -1 ¾¾  hàm số y = f ( x ) liên tục tại x = -1 . (ii) Xét tại x = 0 , ta có lim f ( x) = lim x0 ¾¾  x0 x ( x + 1)( x 2 – x + 1) x4 + x = lim = lim ( x 2 – x + 1) = 1 = f (0). 2 x0 x ( x + 1) x + x x0 hàm số y = f ( x ) liên tục tại x = 0 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 366 ì 0, 5 khi x = -1 ï ï ï ïï x ( x + 1) khi x ¹ -1, x ¹ 1 là: Câu 10: Số điểm gián đoạn của hàm số f ( x ) = í 2 ï x -1 ï ï ï 1 khi x = 1 ï ï î A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn B . Hàm số y = f ( x ) có TXĐ D =  . Hàm số f ( x ) = x ( x + 1) x 2 -1 liên tục trên mỗi khoảng (-¥;-1) , (-1;1) và (1;+¥) . f ( x) = lim (i) Xét tại x = -1 , ta có xlim -1 x -1 x ( x + 1) 2 x -1 = lim x -1 x 1 = = f (-1) ¾¾  Hàm số liên tục x -1 2 tại x = -1 . ì x ( x + 1) ï x ï lim+ f ( x) = lim+ 2 = lim+ = +¥ ï ï 1 1 1 x  x  x  x -1 x -1 ¾¾  Hàm số y = f ( x ) gián (ii) Xét tại x = 1 , ta có ïí ï x ( x + 1) x ï ï = lim= -¥ ï lim f ( x) = xlim 2 1- x -1 x 1 x -1 îï x1- đoạn tại x = 1 . Dạng 3. Hàm số liên tục trên một khoảng 1. Phương pháp Hàm số y  f  x  được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. Hàm số y  f  x  được gọi là liên tục trên đoạn  a,b   a, b  nếu nó liên tục trên và lim f(x)  f(a), lim f(x)  f (b). x a x  b 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho hàm số f  x   A.  3;2  . x2  1 x 2  5x  6 B.  3;   . . Khi đó f  x  liên tục trên các khoảng nào sau đây? C.  ;3  . D.  2;3  . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D f x  x2  1 không liên tục tại x  2; x  3, suy ra f  x  liên tục trên khoảng  2;3  . x2  5x  6 Ví dụ 2: Hàm số nào dưới đây liên tục trên  ? A. y  C. y  3x  1 1  x2 B. y  3  tan x. . 4x 2  1  x2 . D. y  3  2x . 1  sin x Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 367 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Ta có định lí: Mọi hàm sơ cấp đều liên tục trên từng khoảng xác định. Do đó: Phương án A sai vì tập xác định là  1;1. Phương án B sai vì tan x chỉ xác định khi x    k, k  . 2 Phương án D sai vì 1  sin x  0 , nghĩa là hàm số chỉ xác định khi x     k2, k  . 2 Phương án C đúng vì hàm số có tập xác định là D   nên nó liên tục trên . Ví dụ 3: Hàm số nào dưới đây liên tục trên  0;   ? A. y  x  1. B. y  sin x  2 2 x 1 . C. y  3  2x x 1 . D. y  x 2  x. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C  Tập xác định của hàm số y  x  1 là 1;   suy ra y không liên tục trên  0;   .  Tập xác định của hàm số y   Tập xác định của hàm số y  sin x  2 x2  1 3  2x x 1 là  1;1 suy ra y không liên tục trên  0;   . là  1;   . Suy ra y liên tục trên  1;   . Mặt khác  1;     0;   nên y cũng liên tục trên  0;   .  Tập xác định của hàm số y  x 2  x là  ; 0   1;   . Suy ra y không liên tục trên  0;   . Ví dụ 4: Hàm số y  tan x.cot x liên tục trên khoảng nào dưới đây?   A.  0;  .  2 B.  ;   . C.  0;   .    D.   ;  .  2 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A x  k1  ; k1 ,k 2  . Hàm số y  tan x.cot x xác định khi   x   k 2  2    Do đó trong bốn khoảng của đề bài thì chỉ có  0;  thỏa điều kiện xác định của hàm số  2   y  tan x.cot x. Nghĩa là nó liên tục trên  0;  .  2  tan x vôùi x  0  . Hàm số f  x  liên tục trên các khoảng nào sau đây? Ví dụ 5: Cho hàm số f  x    x 0 vôùi x  0    A.  0;  .  2   B.  ;  . 4     C.   ;  . .  4 4 D.  ;   . Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 368 ĐÁP ÁN A lim x 0 tan x   1  f  0   0. Hàm số f  x  gián đoạn tại x0  0 và x 0   k, suy ra f  x  liên tục trên x 2   khoảng  0;  .  2 a2 x 2 vôùi x  2, a   Ví dụ 6: Cho hàm số f  x    . Giá trị của a để f  x  liên tục trên  là: 2  2  a  x vôùi x  2 B. 1 và 1 . A. 1 và 2. C. 1 và 2. D. 1 và 2. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D lim x   2  f  x   2a2  lim x   2  f  x   2  2  a  f  2 a  1  a2  2  a  a2  a  2  0   . a  2 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: ì ïm 2 x 2 khi x £ 2 liên tục Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số f ( x ) = ïí ï ï î(1 – m ) x khi x > 2 trên  ? A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. Lời giải Chọn A . TXĐ: D =  . Hàm số liên tục trên mỗi khoảng (-¥;2) ; (2;+¥) . Khi đó f ( x ) liên tục trên   f ( x ) liên tục tại x = 2  lim f ( x ) = f (2 )  lim+ f ( x ) = lim- f ( x ) = f (2). x 2 x 2 (*) x 2 ì ï 2 ï ï f (2 ) = 4 m é m = -1 ï ê ï  (*)  4 m 2 = 2 (1 – m )  ê Ta có ïí lim+ f ( x ) = lim+ éë(1 – m ) x ùû = 2 (1 – m ) ¾¾ 1 . x 2 êm = ïïïx  2 2 ëê ïï lim f ( x ) = lim m 2 x 2 = 4 m 2 x  2ïîx  2- Câu 2: ì ï x khi x Î [ 0;4 ] tục trên [0;6 ]. Khẳng định nào sau đây đúng? ï 1 m khi x Î (4;6 ] + ï î Biết rằng hàm số f ( x ) = ïí A. m < 2. B. 2 £ m < 3. C. 3 < m < 5. D. m ³ 5. Lời giải Chọn A Dễ thấy f ( x ) liên tục trên mỗi khoảng (0;4 ) và (4;6) . Khi đó hàm số liên tục trên đoạn [0;6 ] khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 4, x = 0, x = 6 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 369 ìï lim ïï + ïïx  0 Tức là ta cần có ïí limïïx  6 ïï ïïîxlim  4- f ( x ) = f (0 ) f ( x ) = f (6 ) . (*) f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (4 ) x 4 ìï lim f ( x ) = lim x = 0 ï + x  0+ ; · ïíx 0 ïï f 0 = 0 = 0 ( ) îï ì ï f ( x ) = lim- (1 + m ) = 1 + m ïxlim x 6 ; ·ï í 6 ï = + f 6 1 m ( ) ï ï î ì ï lim f ( x ) = lim x-= 2 ï x  4ï x 4 ï ï · í lim+ f ( x ) = lim+ (1 + m ) = 1 + m ; x 4 x 4 ï ï ï ï f (4 ) = 1 + m ï ï î Khi đó (*) trở thành 1 + m = 2  m = 1 < 2. Câu 3: ìï x 2 - 3 x + 2 ïï khi x ¹ 1 f ( x ) = ïí x -1 ïï ïïîa khi x = 1 Có bao nhiêu giá trị của tham số a để hàm số liên tục trên . A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải Chọn C Hàm số f ( x ) liên tục trên (-¥;1) và (1; +¥). Khi đó hàm số đã cho liên tục trên  khi và chỉ khi nó liê tục tại x = 1, tức là ta cần có lim f ( x ) = f (1)  lim+ f ( x ) = lim- f ( x ) = f (1). (*) x 1 x 1 x 1 ì x - 2 khi x > 1 ï ìï lim f ( x ) = lim (2 – x ) = 1 ï ïx 1ï x 1ï  ïí khi x = 1 ¾¾ ¾¾  (*) không tỏa mãn với Ta có f ( x ) = ía ï ï f ( x ) = lim+ ( x – 2 ) = -1 ï ïïxlim ï 1+ x 1 2 x khi x < 1 î ï î mọi a Î . Vậy không tồn tại giá trị a thỏa yêu cầu. Câu 4: ì ï x 2 -1 ï khi x ¹ 1 ï liên tục trên đoạn [0;1] (với a là tham số). Khẳng định Biết rằng f ( x ) = ïí x -1 ï ï ï a khi x = 1 ï î nào dưới đây về giá trị a là đúng? A. a là một số nguyên. B. a là một số vô tỉ. C. a > 5. D. a < 0. Lời giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 370 Hàm số xác định và liên tục trên [0;1) . Khi đó f ( x ) liên tục trên [0;1] khi và chỉ khi lim f ( x ) = f (1). (*) x 1- ì ï f (1) = a ï ï Ta có ïí x 2 -1 ï = lim- éê( x + 1) lim- f ( x ) = limï ï x 1 x 1 x 1 ë x 1 ï î ( Câu 5: ì ï ï ¾¾  (*)  a = 4. x + 1 ùú = 4 û ) x -1 Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = ïí 2 - x -1 ï ï ï ï î-2 x khi x < 1 . Khẳng định nào dưới đây đúng? khi x ³ 1 A. f ( x ) không liên tục trên . B. f ( x ) không liên tục trên (0;2). C. f ( x ) gián đoạn tại x = 1. D. f ( x ) liên tục trên . Lời giải Chọn D ì ï ï ï ï f (1) = -2 ï ï ï Ta có íï lim+ f ( x ) = lim+ (-2 x ) = -2 x 1 x 1 ï ï ï ïï x -1 lim f ( x ) = lim= lim éêï ï x 1x 1 2 - x -1 x 1- ë ï î ¾¾  f ( x ) liên tục tại x = 1. ( ) 2 - x + 1 ùú = -2 û Vậy hàm số f ( x ) liên tục trên . Câu 6: ìï x 2 - 5 x + 6 ï Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số f ( x ) = ïïí 4 x - 3 - x ïï 2 ïîï1 - a x A. - 2 3 . B. 2 3 khi x > 3 khi x £ 3 4 3 C. – . . liên tục tại x = 3 . D. 4 . 3 Lời giải Chọn A Điều kiện bài toán trở thành: lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (3). (*) x  3+ x  3- ìï f (3) = 1 – 3a 2 ïï ïï ( x – 2) 4 x – 3 + x ï x 2 – 5x + 6 = lim+ = -3 Ta có ïí lim+ f ( x ) = lim+ x 3 1- x 4 x – 3 – x x 3 ïïïx 3 ïï f ( x ) = lim- (1 – a 2 x ) = 1 – 3a3 . ïïxlim x 3 î 3- ( ¾¾  (*)  a =  Câu 7: 2 3 ¾¾  amin = – 2 3 ) . 3 ì ï 3x + 2 – 2 ï ï ï ï Tìm giá trị lớn nhất của a để hàm số f ( x ) = í x – 2 ï 1 ï ï a2 x + ï 4 ï î Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 khi x > 2 liên tục tại x = 2. khi x £ 2 Trang 371 B. amax = 0. A. amax = 3. C. amax = 1. D. amax = 2. Lời giải Chọn C Ta cần có lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (2). (*) x  2+ Ta có Câu 8: x  2- ì 7 ï ï f (2 ) = 2 a 2 ï ï 4 ï ï 3 ï 3x + 2 – 2 1 ï  amax = 1. = ¾¾  (*)  a = 1 ¾¾ í lim+ f ( x ) = lim+ x 2 x 2 ï 4 x -2 ï ï ï ï lim f ( x ) = lim çæa2 x + 1 ÷ö = 2 a2 – 7 ï ÷ ç ï x  2- ç è 4 ÷ø 4 ï ïx 2 î ìï1 – cos x khi x £ 0 ïï x + 1 î khi x > 0 Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = ïí . Khẳng định nào sau đây đúng? A. f ( x ) liên tục tại x = 0. B. f ( x ) liên tục trên (-¥;1). C. f ( x ) không liên tục trên . D. f ( x ) gián đoạn tại x = 1. Lời giải Chọn C Hàm số xác định với mọi x Î  . Ta có f ( x ) liên tục trên (-¥;0) và (0; +¥). Mặt khác Câu 9: ì ï ï f (0 ) = 1 ï ï ï ï  f (x ) í lim- f ( x ) = lim- (1 – cos x ) = 1 – cos 0 = 0 ¾¾ x 0 x 0 ï ï ï ï lim f ( x ) = lim+ x + 1 = 0 + 1 = 1 ï ï x 0 î x  0+ Tìm các khoảng liên tục của hàm số ìï ïcos p x f ( x ) = ïí 2 ïï ïïî x -1 gián đoạn tại x = 0. khi x £ 1 . khi x > 1 Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Hàm số liên tục tại x = -1 . B. Hàm số liên tục trên các khoảng (-¥, -1); (1; +¥). C. Hàm số liên tục tại x = 1 . D. Hàm số liên tục trên khoảng (-1,1) . Lời giải Chọn A Ta có f ( x ) liên tục trên (-¥;-1), (-1;1), (1; +¥). Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 372 ì æ pö ï ï ï f (-1) = cos ççç- ÷÷÷ = 0 è 2ø ï ¾¾  f ( x ) gián đoạn tại x = -1. · Ta có í ï ï lim lim 1 2 f x x = = ( ) ( ) ï x (-1) ï ï îx (-1) · Ta có ì ï p ï ï f (1) = cos = 0 ï 2 ï ï ï  f (x ) í lim+ f ( x ) = lim+ ( x -1) = 0 ¾¾ x 1 x 1 ï ï ï ï px ï lim- f ( x ) = lim- cos =0 ï ï x  1 x  1 2 ï î liên tục tại x = 1. Câu 10: Hàm số f ( x ) có đồ thị như hình bên không liên tục tại điểm có hoành độ là bao nhiêu? y 3 A. x = 0. x 1 B. x = 1. O 1 2 C. x = 2. D. x = 3. Lời giải Chọn B Dễ thấy tại điểm có hoành độ x = 1 đồ thị của hàm số bị ” đứt ” nên hàm số không liên tục tại đó. / 3 = lim f ( x ) nên f ( x ) gián đoạn tại x = 1. Cụ thể: lim f ( x ) = 0 = x 1+ Câu 11: Cho hàm số x 1- 2 ì ï ïx ï ï x ï ï f (x ) = ï í0 ï ï ï x ï ï ï ï î khi x < 1, x ¹ 0 khi x = 0 . Hàm số f ( x ) liên tục tại: khi x ³ 1 A. mọi điểm thuộc  . B. mọi điểm trừ x = 0 . C. mọi điểm trừ x = 1 . D. mọi điểm trừ x = 0 và x = 1 . Lời giải Chọn A Hàm số y = f ( x ) có TXĐ: D =  . Dễ thấy hàm số y = f ( x ) liên tục trên mỗi khoảng (-¥;0), (0;1) và (1;+¥) . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 373 Ta có ì ï ï ï f (0 ) = 0 ï ï ï ï x2 = lim- x = 0 ¾¾  f (x ) íï lim- f ( x ) = limx 0 x 0 x 0 ï x ï ï ï x2 ï ï = = lim+ x = 0 lim lim f x ( ) ï x  0+ x  0+ x x 0 ï î liên tục tại x = 0. ìï f (1) = 1 ïï ïï x2  f ( x ) liên tục tại x = 1. Ta có íï lim- f ( x ) = lim- = lim- x = 1 ¾¾ x 1 x x 1 ïïx 1 ïï ïï lim+ f ( x ) = lim+ x = 1 x 1 ïîx 1 Vậy hàm số y = f ( x ) liên tục trên  . Câu 12: Cho hàm số ì ï x 2 -1 ï khi x < 3, x ¹ 1 ï ï x -1 ï ï . khi x = 1 f (x ) = ï í4 ï ï ï x + 1 khi x ³ 3 ï ï ï ï î A. mọi điểm thuộc  . Hàm số f ( x ) liên tục tại: B. mọi điểm trừ x = 1 . C. mọi điểm trừ x = 3 . D. mọi điểm trừ x = 1 và x = 3 . Lời giải Chọn D Hàm số y = f ( x ) có TXĐ: D =  . Dễ thấy hàm số y = f ( x ) liên tục trên mỗi khoảng (-¥;1), (1;3) và (3;+¥) . ì ï f (1) = 4 ï Ta có ïïí ¾¾  f ( x ) gián đoạn tại x = 1. x 2 -1 ï = lim ( x + 1) = 2 lim f ( x ) = lim ï ï x 1 x - 1 x 1 ï î x 1 ì ï f (3) = 2 ï ï ï ¾¾  f ( x ) gián đoạn tại x = 3. Ta có í x 2 -1 ï = lim- ( x + 1) = 4 lim- f ( x ) = limï ï 3 3 3 x  x  x  x -1 ï î Câu 13: Số điểm gián đoạn của hàm số A. 1. ì2 x khi x < 0 ï ï ï 2 ï h ( x ) = í x + 1 khi 0 £ x £ 2 ï ï ï ï î3 x - 1 khi x > 2 B. 2. C. 3. là: D. 0. Lời giải Chọn A Hàm số y = h ( x ) có TXĐ: D =  . Dễ thấy hàm số y = h ( x ) liên tục trên mỗi khoảng (-¥;0), (0;2) và (2;+¥) . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 374 ì ïh (0 ) = 1 Ta có íïï ¾¾  f ( x ) không liên tục tại x = 0 . ï ï lim h ( x ) = lim 2 x = 0 ï î x  0- x  0- ì ï ïh (2 ) = 5 ï ï ï  f ( x ) liên tục tại x = 2 . Ta có íï lim- h ( x ) = lim- ( x 2 + 1) = 5 ¾¾ x 2 x 2 ï ï ï ï lim h ( x ) = lim+ (3 x -1) = 5 ï x 2 ï î x  2+ ì ï x 2 + x khi x < 1 ï ï f (x ) = ï khi x = 1 í2 ï ï 2 ï ï îm x + 1 khi x > 1 liên tục tại x = 1 . C. S = 1. D. S = 2. Câu 14: Tính tổng S gồm tất cả các giá trị m để hàm số A. S = -1. B. S = 0. Lời giải Chọn B Hàm số xác định với mọi x Î  . Điều kiện bài toán trở thành lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (1). (*) x 1+ Ta có x 1- ì ï ï f (1) = 2 ï ï ï 2 2 ï  (*)  m 2 + 1 = 2 í lim+ f ( x ) = lim+ (m x + 1) = m + 1 ¾¾ x 1 x 1 ï ï ï ï lim f ( x ) = lim- ( x 2 + x ) = 2 ï ï x 1 î x 1-  m = 1 ¾¾  S = 0. Câu 15: Cho hàm số ì -x cos x khi x < 0 ï ï ï 2 ï ï x f (x ) = í khi 0 £ x < 1. ï 1+ x ï ï 3 ï khi x ³ 1 ï ï îx A. mọi điểm thuộc x Î . C. mọi điểm trừ x = 1. Hàm số f ( x ) liên tục tại: B. mọi điểm trừ x = 0. D. mọi điểm trừ x = 0; x = 1. Lời giải Chọn C Hàm số y = f ( x ) có TXĐ: D =  . Dễ thấy f ( x ) liên tục trên mỗi khoảng (-¥;0), (0;1) và (1;+¥) . ì ï ï ï ï f (0 ) = 0 ï ï ï ï  f ( x ) liên tục tại x = 0 . Ta có í lim- f ( x ) = lim- (-x cos x ) = 0 ¾¾ x 0 x 0 ï ï ï ï x2 ï =0 lim+ f ( x ) = lim+ ï ï x 0 1 + x ï îx 0 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 375 Ta có ì ï ï f (1) = 1 ï ï ï ï x2 1 = ¾¾  f (x ) íï lim- f ( x ) = limx 1 x 1 1 + x ï 2 ï ï ï lim f ( x ) = lim x 3+= 1 ï ï x 1 ï î x 1+ không liên tục tại x = 1 . Dạng 4. Số nghiệm của phương trình trên một khoảng 1. Phương pháp  Chứng minh phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm - Tìm hai số a và b sao cho f  a  .f  b   0 - Hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b  - Phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm x 0   a; b   Chứng minh phương trình f  x   0 có ít nhất k nghiệm - Tìm k cặp số ai ,bi sao cho các khoảng  ai ; b i  rời nhau và f(ai )f(bi )  0, i  1,...,k - Phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm x i   ai ; b i  .  Khi phương trình f  x   0 có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho : - f  a  , f  b  không còn chứa tham số hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi. - Hoặc f  a  , f  b  còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m  x  1 x  2   2x  1  0. Hướng dẫn giải Đặt f  x   m  x  1 x  2   2x  1. Tập xác định: D   nên hàm số liên tục trên . Ta có: f 1  3; f  2   3  f 1 .f  2   0. Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi m. x2  4 x   0;2   Ví dụ 2: Cho hàm số f  x    . Phương trình f  x   7 có bao nhiêu nghiệm? 2  x  4   6 x  2;4  Hướng dẫn giải  Xét phương trình: x2  4  7 trên  0;2   x  3 (nhaän) Ta có: x2  4  7  x2  3    x   3 (loaïi)  2 Xét phương trình:  x  4   6  7 trên  2; 4   x  3 (nhaän) 2 Ta có:  x  4   6  7  x 2  8x  15  0    x  5 (loaïi) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 376 Vậy phương trình f  x   7 có đúng hai nghiệm. 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho hàm số f ( x ) = -4 x 3 + 4 x -1. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Hàm số đã cho liên tục trên . B. Phương trình f ( x ) = 0 không có nghiệm trên khoảng (-¥;1). C. Phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm trên khoảng (-2;0). æ 1ö D. Phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng ççç-3; ÷÷÷. è 2ø Lời giải Chọn B (i) Hàm f ( x) là hàm đa thức nên liên tục trên  ¾¾  A đúng. ì ï f (-1) = -1 < 0 ¾¾  f ( x ) = 0 có nghiệm x1 trên (-2;1) , mà (ii) Ta có ïí ï ï î f (-2) = 23 > 0  B sai và C đúng (-2; -1) Ì (-2;0) Ì (-¥;1) ¾¾ (iii) Ta có ìï f (0) = -1 < 0 ïï ïí æ ö ¾¾  f ( x) = 0 1 1 ï f çç ÷÷÷ = > 0 ï ïïî èç 2 ø 2 æ 1ö có nghiệm x2 thuộc ççç0; ÷÷÷. Kết hợp với (1) suy ra è 2ø f ( x) = 0 có các nghiệm x1 , x2 thỏa: -3 < x1 < -1 < 0 < x2 < Câu 2: 1 ¾¾  D đúng. 2 Cho phương trình 2 x 4 - 5x 2 + x + 1 = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Phương trình không có nghiệm trong khoảng (-1;1). B. Phương trình không có nghiệm trong khoảng (-2;0). C. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng (-2;1). D. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0;2). Lời giải Chọn D Hàm số f ( x ) = 2 x 4 - 5x 2 + x + 1 là hàm đa thức có tập xác định là  nên liên tục trên  . Ta có ìï f (0) = 1  f (-1). f (0) < 0 ¾¾  f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm x1 thuộc (-1;0) . (i) ïí ïï f (-1) = -3 î ì ï f ( 0) = 1  f (0). f (1) < 0 ¾¾  f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm x2 thuộc (0;1). (ii) ïí ï ï î f (1) = -1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 377 ì ï f (1) = -1  f (1). f (2) < 0 ¾¾  f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm x3 thuộc (1;2 ). (iii) ïí ï ï î f (2) = 15 Vậy phương trình f ( x) = 0 đã cho có các nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa -1 < x1 < 0 < x2 < 1 < x3 < 2 Câu 3: Cho hàm số f ( x ) = x 3 - 3 x - 1 . Số nghiệm của phương trình f ( x ) = 0 trên  là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn D Hàm số f ( x ) = x 3 - 3x -1 là hàm đa thức có tập xác định là  nên liên tục trên  . Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng (-2;-1), (-1;0), (0;2). Ta có ì ï f (-2 ) = -3  f (-2 ) f (-1) < 0 ¾¾  (1) · ï í ï ï î f (-1) = 1 ì ï f (-1) = 1  f (-1) f (0 ) < 0 ¾¾  (1) · ï í ï ï î f (0 ) = -1 ìï f (2 ) = 1 ï  f (2 ) f (0 ) < 0 ¾¾  (1) · í ïï f (0 ) = -1 î có ít nhất một nghiệm thuộc (-2;-1). có ít nhất một nghiệm thuộc (-1;0). có ít nhất một nghiệm thuộc (0;2). Như vậy phương trình (1) có ít nhất ba thuộc khoảng (-2;2) . Tuy nhiên phương trình f ( x) = 0 là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm. Vậy phương trình f ( x ) = 0 có đúng nghiệm trên . Cách CASIO. (i) Chọn MODE 7 (chức năng TABLE) và nhập: F ( X ) = X 3 - 3 X -1. (ii) Ấn “=” và tiếp tục nhập: Start « -5 (có thể chọn số nhỏ hơn). End « 5 (có thể chọn số lớn hơn). Step « 1 (có thể nhỏ hơn, ví dụ 1 ). 2 (iii) Ấn “=” ta được bảng sau: Bên cột X ta cần chọn hai giá trị a và b (a < b) sao cho tương ứng bên cột F ( X ) nhận các giá trị trái dấu, khi đó phương trình có nghiệm (a; b) . Có bao nhiêu cặp số a, b như thế sao cho khác khoảng (a; b) rời nhau thì phương trình f ( x) = 0 có bấy nhiêu nghiệm. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 378 Câu 4: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [-1;4 ] sao cho f (-1) = 2 , f (4 ) = 7 . Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình f ( x ) = 5 trên đoạn [-1;4] : A. Vô nghiệm. nghiệm. B. Có ít nhất một nghiệm. D. Có đúng hai nghiệm. C. Có đúng một Lời giải Chọn B Ta có f ( x ) = 5  f ( x ) - 5 = 0 . Đặt g ( x ) = f ( x ) - 5. Khi đó ì ï ï g (-1) = f (-1) - 5 = 2 - 5 = -3  g (-1) g (4 ) < 0. í ï ï î g (4 ) = f (4 ) - 5 = 7 - 5 = 2 Vậy phương trình g( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;4 ) hay phương trình f ( x ) = 5 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;4 ) . Câu 5: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (-10;10 ) để phương trình x 3 - 3 x 2 + (2m - 2) x + m - 3 = 0 có ba nghiệm phân biệt x1 , x 2 , x 3 thỏa mãn x1 < -1 < x 2 < x 3 ? A. 19. B. 18. C. 4. D. 3. Lời giải Chọn C Xét hàm số f ( x ) = x 3 - 3x 2 + (2m - 2) x + m - 3 liên tục trên  . ● Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt x1 , x 2 , x 3 sao cho x1 < -1 < x 2 < x 3 . Khi đó f ( x ) = ( x - x1 )( x - x 2 )( x - x 3 ) . Ta có f (-1) = (-1 - x1 )(-1 - x 2 )(-1 - x 3 ) > 0 (do x1 < -1 < x 2 < x 3 ). Mà f (-1) = -m - 5 nên suy ra -m - 5 > 0  m < -5. ● Thử lại: Với m < -5 , ta có ▪ xlim f ( x ) = -¥ nên tồn tại a < -1 sao cho f (a) < 0 . (1) -¥ ▪ Do m < -5 nên f (-1) = -m - 5 > 0 . ▪ f (0 ) = m – 3 < 0 . (2 ) (3) f ( x ) = +¥ nên tồn tại b > 0 sao cho f (b) > 0 . ▪ xlim +¥ (4 ) Từ (1) và (2) , suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-¥;-1) ; Từ (2) và (3) , suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-1;0) ; Từ (3) và (4) , suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng (0; +¥). m Î Vậy khi m < -5 thỏa mãn ¾¾ ¾ ¾ m Î {-9; -8; -7; -6}. m Î(-10;10 ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 379