Phân loại và phương pháp giải bài tập dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Giới thiệu Phân loại và phương pháp giải bài tập dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và quý thây cô Phân loại và phương pháp giải bài tập dãy số, cấp số cộng và cấp số nhânChương Tổ hợp và Xác Xuất.

Tài liệu môn Toán 11  và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất nhé.

Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm về môn Toán.

Text Phân loại và phương pháp giải bài tập dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân
CHƯƠNG 3. DÃY SỐ- CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n Î  * là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp thì có thể làm như sau: · Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. · Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ³ 1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp. Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi n = 1 nên theo kết quả ở bước 2, nó cũng đúng với n = 1 + 1 = 2. Vì nó đúng với n = 2 nên lại theo kết quả ở bước 2, nó đúng với n = 2 + 1 = 3,… Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n Î *. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ³ p ( p là một số tự nhiên) thì: · Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p; · Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k ³ p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Chứng minh đẳng thức Ví dụ 1 . Chứng minh rằng: 1.2  2.5  3.8  …  n  3n  1  n 2  n  1 ,vôùi n  N* (1) Lời giải  Bước 1: Với n=1, vế trái bằng 1.2=2, vế phải bằng 2. hệ thức (1) đúng  Bước 2: Đăt vế trái bằng Sn. Giả sử hệ thức (1) đúng vơi n  k  1 , tức là : Sk  1.2  2.5  …  k(3k  1)  k 2 (k  1)( giaû thieát quy naïp) Ta phaûi chöùng minh raèng (1) cuõng ñuùng vôùi n=k+1, töùc laø : 2 Sk 1   k  1  k  2  Thaä vaäy, töø giaû thieát quy naïp ta coù: Sk 1  Sk   k  1 3  k  1  1   k 2  k  1   k  1 3k  2   (k  1)(k 2  3k  2)   k  1 2  k  2 Vaäy heä thöùc (1) ñuùng vôùi moïi n  N* Dạng 2. Chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi n  3 ta có: 3n  n 2  4n  5 (1) Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 214 Vôùi n=3, veá traùi baèng 27, coøn veá phaûi baèng 26. Baát ñaúng thöùc (4) ñuùng. Giaûi söû baát ñaúng thöùc (4) ñuùng vôùi n=k  3. töùc laø: 3k  k 2  4k  5. (1′) Ta phaûi chöùng minh noù cuõng ñuùng vôùi n=k+1, töùc laø: 2 3k+1   k  1  4  k  1  5 Thaät vaäy, nhaân hai veá cuûa baát ñaúng thöùc (1′) vôùi 3 ta coù: 2 3k 1  3k 2  12k  15   k  1  4  k  1  5  2k 2  6k  5 2 Vì 2k 2  6k  5  0 neân 3k 1   k  1  4  k  1  5 Ñaêng thöùc (1) ñaõ ñöôïc chöùng minh Dạng 3. Chứng minh một tính chất Ví dụ. Chứng minh rằng: n 7  n chia heát cho 7 vôùi moïi n  N* Giải Ñaët A n  n 7  n. Khi n=1 thì A1  0 chia heát cho 7   Giaû söû ñaõ coù: A k  k 7  k  7 Thaät vaây, aùp duïng coâng thöùc nhò thöùc Niu-ton ta coù: 7 A k+1   k  1   k  1  k 7  7k 6  21k 5  35k 4  35k 3  21k 2  7k  1  k  1   k 7  k  7 k 6  3k 5  5k 4  5k 3  3k 2  k  Theo giaû thieát quy naïp thì A k  k 7  k chia heát cho 7, do ñoùA k+1  7 Vaäy n 7  n chia heát cho 7 vôùi moïi n  N* Dạng 4. Một số bài toán khác Ví dụ. Chứng minh rằng: 2  2  …  2  2cos  2 n+1 Giải Ñaët veá traùi cuûa heä thöùc (1) baèng Cn .   2; heä thöùc (1) ñuùng 4  Giaû söû heä thöùc (1) ñuùng vôùi n=k  1, töùc laø C k  2cos k+1 2  ta phaûi chöùng minh: C k+1  2cos 2 k+2 Thaät vaäy, töø giaû thieát quy naïp ta coù: Khi n=1, veá traùi baèng 2, veá phaûi baèng 2cos C k+1  2  Ck  2  2 cos  4 cos2  k 2  2 cos  2 k 1  k 2 2 2 Vaäy heä thöùc (1) ñaõ ñöôïc chöùng minh  ( vì cos  2 k 2 ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 215 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A (n ) đúng với mọi số tự nhiên n ³ p ( p là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng: A. n = 1. B. n = p. C. n > p. D. n ³ p. Lời giải. Chọn B Câu 2: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A (n ) đúng với mọi số tự nhiên n ³ p ( p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A (n ) đúng với n = k . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. k > p. B. k ³ p. C. k = p. D. k < p. Lời giải. Chọn B Câu 3: Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A (n ) đúng với mọi số tự nhiên n ³ p ( p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước: · Bước 1, kiểm tra mệnh đề A (n ) đúng với n = p. · Bước 2, giả thiết mệnh đề A (n ) đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k ³ p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. Trong hai bước trên: A. Chỉ có bước 1 đúng. B. Chỉ có bước 2 đúng. C. Cả hai bước đều đúng. bước đều sai. D. Cả hai Lời giải. Chọn C Câu 4: Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8n + 1 chia hết cho 7, "n Î  * '' (*) như sau: · Giả sử (*) đúng với n = k , tức là 8 k + 1 chia hết cho 7. · Ta có: 8 k +1 + 1 = 8 (8 k + 1) - 7 , kết hợp với giả thiết 8 k + 1 chia hết cho 7 nên suy ra được 8 k +1 + 1 chia hết cho 7. Vậy đẳng thức (*) đúng với mọi n Î  * . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Học sinh trên chứng minh đúng. B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp. C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp. D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp. Lời giải. Chọn D Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 216 Thiếu bước 1 là kiểm tra với n = 1 , khi đó ta có 81 + 1 = 9 không chi hết cho 7. Câu 5: Cho S n = A. S 3 = 1 1 1 1 + + + ... + với n Î  * . Mệnh đề nào sau đây đúng? n. (n + 1) 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 1 . 12 1 6 2 3 B. S 2 = . 1 4 C. S 2 = . D. S 3 = . Lời giải. Chọn C Lưu ý rằng Sn là tổng n số hạng đầu tiên nên. Do đó với n = 2 , ta có S 2 = Câu 6: Cho S n = A. S n = 1 1 2 + = . 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 1 1 1 1 + + + ... + với n Î  * . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 n. (n + 1) n -1 . n B. S n = n . n +1 C. S n = n +1 . n +2 D. S n = n +2 . n +3 Lời giải. Chọn B 1 2 2 3 3 4 Cách trắc nghiệm: Ta tính được S1 = , S 2 = , S 3 = . Từ đó ta thấy quy luật là từ nhỏ hơn mẫu đúng 1 đơn vị. 1 2 2 3 3 4  dự đoán S n = Cách tự luận. Ta có S1 = , S 2 = , S 3 = ¾¾ · Với n = 1 , ta được S1 = n . n +1 1 1 : đúng. = 1.2 1 + 1 · Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k ³ 1) , tức là · Ta có 1 1 1 k . + + ... + = 1.2 2.3 k (k + 1) k + 1 1 1 1 k + + ... + = 1.2 2.3 k (k + 1) k + 1  1 1 1 1 1 k + + ... + + = + 1.2 2.3 k (k + 1) (k + 1)(k + 2 ) k + 1 (k + 1)(k + 2 )  1 1 1 1 k 2 + 2k + 1 + + ... + + = k (k + 1) (k + 1)(k + 2 ) (k + 1)(k + 2 ) 1.2 2.3  1 1 1 1 k +1 . + + ... + + = 1.2 2.3 k (k + 1) (k + 1)(k + 2 ) k + 2 S uy ra mệnh đề đúng với n = k + 1 . Câu 7: Cho S n = A. S n = 1 1 1 + + ... + với n Î  * . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1⋅ 3 3 ⋅ 5 (2n -1)⋅ (2n + 1) n -1 . 2n -1 B. S n = n . 2n + 1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. S n = n . 3n - 2 D. S n = n +2 . 2n + 5 Trang 217 Lời giải. Chọn B Cho Câu 8: ì 1 ï ï n = 1 ¾¾  S1 = ï ï 3 ï ï ï 6 ï S2 = . ín = 2 ¾¾ ï 15 ï ï ï 3 ï n = 3 ¾¾  S3 = ï ï 7 ï î æ è Cho Pn = ççç1 A. P = Kiểm tra các đáp án chỉ cho B thỏa. 1 öæ ÷çç1 - 1 ö÷÷... æçç1 - 1 ö÷÷ với n ³ 2 và n Î . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2÷ ÷ç 32 ø÷ èç n 2 ø÷ 2 øè n +1 . n +2 B. P = n -1 . 2n C. P = n +1 . n D. P = n +1 . 2n Lời giải. Chọn D Vì n ³ 2 nên ta cho ìï æ 1ö 3 ïïn = 2 ¾¾  P2 = çç1 - 2 ÷÷÷ = ç ïï è 2 ø 4 . í ïï æ 1öæ 1ö 2  P3 = çç1 - 2 ÷÷÷. çç1 - 2 ÷÷÷ = ïïn = 3 ¾¾ çè 2 ø èç 3 ø 3 ïî Kiểm tra các đáp án chỉ cho D thỏa. Câu 9: Với mọi n Î * , hệ thức nào sau đây là sai? A. 1 + 2 + ... + n = n (n + 1) 2 B. 1 + 3 + 5 + ... + (2n -1) = n 2 . C. 12 + 2 2 + ... + n 2 = n (n + 1)(2 n + 1) 6 D. 2 2 + 4 2 + 6 2 +  + (2n )2 = 2 n (n + 1)(2 n + 1) 6 . Lời giải. Chọn D Bẳng cách thử với n = 1 , n = 2 , n = 3 là ta kết luận được. Câu 10: Xét hai mệnh đề sau: I) Với mọi n Î  * , số n 3 + 3n 2 + 5n chia hết cho 3. II) Với mọi n Î  * , ta có 1 1 1 13 . + + ... + > n +1 n + 2 2 n 24 Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Không có. D. Cả I và II. Lời giải. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 218 Chọn A  Ta chứng minh I) đúng. Với n = 1 , ta có u1 = 13 + 3.12 + 5.1 = 9  3 : đúng. Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k ³ 1) , tức là uk = k 3 + 3k 2 + 5k  3 . Ta có uk +1 = (k 3 + 3k 2 + 5k ) + 3k 2 + 9 k + 9 = uk + 3 (k 2 + 3k + 3) 3. Kết thúc chứng minh.  Mệnh đề II) sai vì với n = 1, ta có VT = Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1 1 12 13 : Vô lý. = = > 1 + 1 2 24 24 Trang 219 BÀI 2. DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – ĐỊNH NGHĨA 1. Định nghĩa dãy số Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương  * được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: u : *   n  u (n ). Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển u1 , u2 , u3 , …, un , …, trong đó un = u (n ) hoặc viết tắt là (un ), và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số. 2. Định nghĩa dãy số hữu hạn Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3,…, m } với m Î  * được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là u1 , u2 , u3 , …, un , trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối. II –CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ 1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát 2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả 3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là: a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu). b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó. III – DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN 1. Dãy số tăng, dãy số giảm Định nghĩa 1 Dãy số (un ) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un +1 > un với mọi n Î  * . Dãy số (un ) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un +1 < un với mọi n Î  * . Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số (un ) với un = (-3)n tức là dãy -3, 9, -27, 81,... không tăng cũng không giảm. 2. Dãy số bị chặn Định nghĩa 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 220 Dãy số (un ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho * un £ M , "n Î  . Dãy số (un ) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un ³ m, "n Î * . Dãy số (un ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho m £ un £ M , "n Î * . B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Tìm số hạng của dãy số 1. Phương pháp 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho dãy số  un  , tìm un  u1  5 ;  un 1  un  3 a)  un  :   u1  3  un 1  4un b)  un  :  Hướng dẫn giải a) Ta có: u1  5 u 2  5  1.3 u 3  5  2.3 u 4  5  3.3 ... u n  5   n  1 .3 * b) Ta có u1  3 u 2  3.4 u 3  3.42 u 4  3.43 ... u n  3.4n 1 * Ví dụ 2. Cho dãy số  un  , tìm un  u1  1 ;  un 1  2un  3 a)  un  :   u1  3 b)  un  :  2  un 1  1  un Hướng dẫn giải a) Ta có: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 221 u1  1  22  3 u 2  5  23  3 u 3  13  24  3 u 4  29  25  3 ... u n  2n 1  3 * b) Ta có u1  3  32  0 u 2  10  32  1 u 3  11  32  2 u 4  12  32  3 ... u n  33  n  1 * 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho dãy số (un ) , biết un = -n . Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số n +1 nào dưới đây? 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 A. - ;- ;- ;- ;- . B. - ;- ;- ;- ;- . C. 1 2 3 4 5 ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 D. 2 3 4 5 6 ; ; ; ; . 3 4 5 6 7 Lời giải. Chọn A 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 Ta có u1 = - ; u2 = - ; u3 = - ; u4 = - ; u5 = - . Nhận xét: (i) Dùng MTCT chức năng CALC để kiểm tra (tính) nhanh. (ii) Ta thấy dãy (un ) là dãy số âm nên loại các phương án C, D . Đáp án đúng là A hoặc B. Ta chỉ cần kiểm tra một số hạng nào đó mà cả hai đáp án khác nhau là được. Chẳng hạng kiểm tra u1 thì thấy u1 = Câu 2: Cho dãy số (un ) , biết un = 1 2 n . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số 3n -1 nào dưới đây? A. 1 1 1 ; ; . 2 4 8 B. 1 1 3 ; ; . 2 4 26 C. 1 1 1 ; ; . 2 4 16 D. 1 2 3 ; ; . 2 3 4 Lời giải. Chọn B Dùng MTCT chức năng CALC: ta có Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 222 1 2 2 1 3 3 u1 = ; u2 = 2 = = ; u3 = 3 = . 2 3 -1 8 4 3 -1 26 Câu 3: ïìu = -1 Cho dãy số (un ) , biết ïí 1 với n ³ 0 . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là lần lượt ïïîun +1 = un + 3 là những số nào dưới đây? A. -1;2;5. B. 1;4;7. C. 4;7;10. D. -1;3;7. Lời giải. Chọn A Ta có u1 = -1; u2 = u1 + 3 = 2; u3 = u2 + 3 = 5. Nhận xét: (i) Dùng chức năng “lặp” của MTCT để tính: Nhập vào màn hình: X = X + 3. Bấm CALC và cho X = -1 (ứng với u1 = -1) Để tính un cần bấm “=” ra kết quả liên tiếp n -1 lần. Ví dụ để tính u2 ta bấm “=” ra kết quả lần đầu tiên, bấm “=” ra kết quả thứ hai chính là u3 ,... (ii) Vì u1 = -1 nên loại các đáp án B, C. Còn lại các đáp án A, C; để biết đáp án nào ta chỉ cần kiểm tra u2 (vì u2 ở hai đáp án là khác nhau): u2 = u1 + 3 = 2 Câu 4: Cho dãy số (un ), biết un = 1 4 A. u5 = . 2n 2 -1 . n2 + 3 B. u5 = Tìm số hạng u5 . 17 . 12 7 4 C. u5 = . D. u5 = 71 . 39 Lời giải. Chọn C Thế trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: u5 = Câu 5: 2.52 -1 49 7 = = . 28 4 52 + 3 Cho dãy số (un ), biết un = (-1)n .2n. Mệnh đề nào sau đây sai? A. u1 = -2. B. u2 = 4. C. u3 = -6. D. u4 = -8. Lời giải. Chọn D Thay trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: 2 3 4 u1 = -2.1 = -2; u2 = (-1) .2.2 = 4, u3 = (-1) 2.3 = -6; u4 = (-1) 2.4 = 8 . Nhận xét: Dễ thấy un > 0 khi n chẵn và ngược lại nên đáp án D sai. Câu 6: Cho dãy số (un ), biết un = (-1)n . 2n . n Tìm số hạng u3 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 223 8 3 A. u3 = . B. u3 = 2. C. u3 = -2. 8 3 D. u3 = – . Lời giải. Chọn D 3 Thay trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: u3 = (-1) . Câu 7: 23 8 =- . 3 3 ïìu1 = 2 ï Cho dãy số (un ) xác định bởi ïí . Tìm số hạng u4 . ïïun +1 = 1 (un + 1) ïî 3 5 9 A. u4 = . 2 3 B. u4 = 1. C. u4 = . D. u4 = 14 . 27 D. u5 = 63 . 16 Lời giải. Chọn A Ta có 1 1 1 2 1 1æ2 ö 5 u2 = (u1 + 1) = (2 + 1) = 1; u3 = (u2 + 1) = ; u4 = (u3 + 1) = çç + 1÷÷÷ = . 3 3 3 3 3 3 çè 3 ø 9 Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh. Câu 8: ïìu1 = 3 ï Cho dãy (un ) xác định bởi ïí ïïun +1 = un + 2 ïî 2 5 2 A. u2 = . B. u3 = 15 . 4 . Mệnh đề nào sau đây sai? C. u4 = 31 . 8 Lời giải. Chọn A ìï ïïu2 = u1 + 2 = 3 + 2 = 7 ; u3 = u2 + 2 = 7 + 2 = 15 ï 2 2 2 2 4 4 Ta có ïí ïï u3 u4 15 31 31 63 ïïu4 = + 2 = + 2 = ; u5 = + 2 = + 2 = . 2 8 8 2 16 16 ïî Nhận xét: Dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh. Câu 9: Cho dãy số (un ), biết un = A. 8. n +1 8 . Số là số hạng thứ mấy của dãy số? 2n + 1 15 B. 6. C. 5. D. 7. Lời giải. Chọn D Ta cần tìm n sao cho un = n +1 8 =  15n + 15 = 16n + 8  n = 7. 2n + 1 15 Nhận xét: Có thể dùng chức năng CALC để kiểm tra nhanh. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 224 Câu 10: Cho dãy số (un ), biết un = A. 8. 2n + 5 7 là số hạng thứ mấy của dãy số? . Số 5n – 4 12 B. 6. C. 9. D. 10. Lời giải. Chọn A Dùng chức năng “lặp” để kiểm tra đáp án. Hoặc giải cụ thể như sau: un = 2n + 5 7 =  24n + 60 = 35n – 28  11n = 88  n = 8. 5n – 4 12 Câu 11: Cho dãy số (un ), biết un = 2 n. Tìm số hạng un +1 . A. un +1 = 2 n.2. C. un +1 = 2 (n + 1). B. un +1 = 2 n + 1. D. un +1 = 2 n + 2. Lời giải. Chọn A Thay n bằng n + 1 trong công thức un ta được: un+1 = 2n+1 = 2.2n . Câu 12: Cho dãy số (un ) , biết un = 3n. Tìm số hạng u2 n-1 . A. u2 n-1 = 32.3n -1. B. u2 n-1 = 3n.3n-1. C. u2 n-1 = 32 n -1. D. u2 n-1 = 32(n-1). Lời giải. Chọn B n« 2 n-1 Ta có un = 3n ¾¾¾¾  u2 n-1 = 32 n-1 = 3n.3n-1. Câu 13: Cho dãy số (un ), với un = 5n +1. Tìm số hạng un-1 . A. un-1 = 5n-1. B. un-1 = 5n. C. un-1 = 5.5n +1. D. un-1 = 5.5n-1. Lời giải. Chọn B n« n-1 un = 5n+1 ¾¾¾  un-1 = 5( n-1)+1 = 5n. 2 n +3 æ n -1 ö÷ ÷ è n + 1÷ø Câu 14: Cho dãy số (un ), với un = ççç æ n -1 ö÷ ( ÷ è n + 1÷ø 2 n +1)+3 A. un +1 = ççç . 2 n +3 æ n ö÷ ÷ è n + 2 ø÷ C. un +1 = ççç . . Tìm số hạng un +1 . æ n -1 ö÷ ( ÷ è n + 1÷ø 2 n -1)+3 B. un +1 = ççç . 2 n +5 æ n ö÷ ÷ è n + 2 ø÷ D. un +1 = ççç . Lời giải. Chọn D 2 n +3 æ n -1ö÷ un = çç ÷ èç n + 1÷ø æ (n + 1) -1÷ö ( n« n +1 ¾¾¾  un+1 = ççç ÷÷ çè(n + 1) + 1ø÷ 2 n +1)+3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 n +5 æ n ö÷ = çç çè n + 2 ÷÷ø . Trang 225 1 2 3 4 2 3 4 5 Câu 15: Dãy số có các số hạng cho bởi: 0; ; ; ; ;. có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây? A. un = n +1 . n B. un = n . n +1 C. un = n -1 . n D. un = n2 – n . n +1 Lời giải. Chọn C Vì u1 = 0 nên loại các đáp án A và B. Ta kiểm tra u2 = 1 ở các đáp án C, D: 2 Xét đáp án C: un = n -1 1 ¾¾  u2 = n 2 Xét đáp án D: un = n2 – n 2 1 ¾¾  u2 = = / ¾¾  n +1 3 2 Nhận xét: u1 = 0 = 1 -1 1 2 -1 2 3 -1 n -1 ; u2 = = ; u3 = = ,… nên đoán un = . 1 2 2 3 3 n loại Câu 16: Dãy số có các số hạnh cho bởi: -1;1;-1;1;-1;. có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây? A. un = 1. C. un = (-1)n . B. un = -1. D. un = (-1)n +1 . Lời giải. Chọn C Vì dãy số đa cho không phải là dãy hằng nên loại các đáp án A và B. Ta kiểm tra u1 = -1 ở các đáp án C, D: Xét đáp án C: un = (-1)n ¾¾  u1 = -1 2 Xét đáp án D: un = (-1)n+1 ¾¾  u1 = (-1) = 1 = / -1 ¾¾  loại D. Câu 17: Cho dãy số có các số hạng đầu là: -2;0;2;4;6;. Số hạng tổng quát của dãy số này là công thức nào dưới đây? A. un = -2n. C. un = -2 (n + 1). B. un = n – 2. D. un = 2n – 4. Lời giải. Chọn D Kiểm tra u1 = -2 ta loại các đáp án B, C. Ta kiểm tra u2 = 0 ở các đáp án A, D: Xét đáp án A: un = 2n  u2 = 4 = / 0 ¾¾  loại A. Xét đáp án D: un = 2n – 4 = 2.2 – 4 = 0 Nhận xét: Dãy 2; 4;6;… có công thức là 2n (n Î * ) nên dãy -2;0;2;4;6;. có được bằng cách “tịnh tiến” 2n sang trái 4 đớn vị, tức là 2n – 4. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 226 ìu = 2 ï Câu 18: Cho dãy số (un ), được xác định ïí 1 ï ï îun +1 = 2un . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. un = n n-1 . B. un = 2 n. C. un = 2 n +1. D. un = 2. Lời giải. Chọn B Từ công thức ìu1 = 2 ï ï ïìïu1 = 2 ï ¾¾ ï í íu2 = 2u1 = 2.2 = 4 . ïîïun +1 = 2un ï ï ï ï îu3 = 2u2 = 2.4 = 8 Xét đáp án A với n = 1 ¾¾  u1 = 11-1 = 10 = 1 ¾¾  A loại. Xét đáp án B, ta thấy đều thỏa mãn. Xét đáp án C với n = 1 ¾¾  u1 = 21+1 = 2 2 = 4 ¾¾  C loại. Dễ thấy đáp án D không thỏa mãn. ìï 1 ïu = Câu 19: Cho dãy số (un ), được xác định ïí 1 2 ïï ïîun +1 = un – 2 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? 1 2 A. un = + 2 (n -1). 1 2 1 2 B. un = – 2 (n -1). C. un = – 2n. 1 2 D. un = + 2n. Lời giải. Chọn B Từ công thức ì 1 ï ï u1 = ï ï 2 ï ì 1 ï ï ï ï 1 3 ïu1 = ï . ¾¾  íu2 = u1 – 2 = – 2 = 2 í ï ï 2 2 ïu = u – 2 ï ï n ï î n +1 ï 3 7 ï u3 = u2 – 2 = – – 2 = ï ï 2 2 ï î 1 2 5 2 Xét đáp án A với n = 2 ¾¾  u2 = + 2 (2 -1) = ¾¾  A loại. Xét đáp án B, ta thấy đều thỏa mãn. 1 2 1 2 1 2 5 2 7 2 Xét đáp án C với n = 2 ¾¾  u2 = – 2.2 = – 4 = – ¾¾  C loại.  u1 = + 2.1 = ¾¾  D loại. Xét đáp án D với n = 1 ¾¾ ì ïu = 2 Câu 20: Cho dãy số (un ), được xác định ïí 1 ï ï îun +1 – un = 2n -1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? 2 A. un = 2 + (n -1) . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 B. un = 2 + n 2 . Trang 227 C. un = 2 + (n + 1)2 . D. un = 2 – (n -1)2 . Lời giải. Chọn A Kiểm tra u1 = 2 ta loại các đáp án B và C. Ta có u2 = u1 + 2.1-1 = 3.  u2 = 3 Xét đáp án A: un = 2 + (n -1)2 ¾¾ Hoặc kiểm tra: un+1 – un = n 2 – (n -1)2 = 2n -1. Xét đáp án D: un = 2 – (n -1)2 ¾¾  u2 = 1 ¾¾  loại D. Hoặc kiểm tra: 2 un+1 – un = (n -1) – n 2 = -2n + 1 = / 2 n – 1. ìu = 1 ï Câu 21: Cho dãy số (un ), được xác định ïí 1 2 ï ï îun +1 = un + n Số hạng tổng quát un của dãy số là số . hạng nào dưới đây? A. un = 1 + un = 1 + B. n (n -1)(2n + 2) . 6 C. un = 1 + un = 1 + n (n + 1)(2 n + 1) . 6 n (n -1)(2n -1) . 6 D. n (n + 1)(2n – 2) . 6 Lời giải. Chọn C Kiểm tra u1 = 1 ta loại đáp án A. Ta có u2 = u1 + 12 = 2. Xét đáp án B: un = 1 + n(n -1)(2n + 2) 2.1.6 ¾¾  u2 = 1 + =3= / 2 ¾¾  B loại. 6 6 Xét đáp án C: un = un = 1 + Xét đáp án D: un = 1 + n(n -1)(2n -1) 2.1.3 ¾¾  u2 = 1 + =2 6 6 n( n + 1)(2n – 2) 2.3.2 . ¾¾  u2 = 1 + =3= / 2 ¾¾  D loại. 6 6 Câu 22: Cho dãy số (un ), được xác định ìu1 = -2 ï ï ï 1. í ï un +1 = -2 ï u ï n ï î Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. un = -n + 1 . n B. un = n +1 . n C. un = – n +1 . n D. un = – n . n +1 Lời giải. Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 228 Kiểm tra u1 = -2 ta loại các đáp án A, B. Ta có u2 = -2 Xét đáp án C: un = – 1 3 =- . u1 2 n +1 3 ¾¾  u2 = n 2 Xét đáp án D : un = – n 2 ¾¾  u2 = – ¾¾  D loại. n +1 3 ìïu1 = 1 Câu 23: Cho dãy số (un ), được xác định ïí ïïun +1 = un + (-1)2 n î . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. un = 1 + n. B. un = 1 – n. C. un = 1 + (-1)2 n . D. un = n. Lời giải. Chọn D Kiểm tra u1 = 1 ta loại đáp án A, B và C Câu 24: Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát là un = 2 (3n ) với n Î  * . Công thức truy hồi của dãy số đó là: ìu = 6 ï A. ïí 1 ïìu = 6 B. ïí 1 ìu = 3 ï C. ïí 1 ïìu = 3 D. ïí 1 . ï ï îun = 6un -1 , n > 1 . ïïîun = 3un-1 , n > 1 . ï ï îun = 3un-1 , n > 1 . ïïîun = 6un -1 , n > 1 Lời giải. Chọn B Vì u1 = 2.31 = 6 nên ta loại các đáp án C và D. Ta có u2 = 2.32 = 18. ì ïu = 6 Xét đáp án A: ïí 1 ¾¾  u2 = 6u1 = 6.6 = 36 ¾¾ A ìu = 6 ï Xét đáp án B: ïí 1 ¾¾  u2 = 3u1 = 3.6 = 18 ï ï îun = 6un-1 , n > 1 ï ï îun = 3un-1 , n > 1 ïìa1 = 3 ï Câu 25: Cho dãy số (an ), được xác định ïí . 1 ïïïan +1 = an , n ³ 1 2 î A. a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = C. an +1 + an = 93 . 16 9 . 2n loại. Mệnh đề nào sau đây sai? B. a10 = 3 . 512 D. an = 3 . 2n Lời giải. Chọn D Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 229 Ta có a1 = 3; a2 = u u1 u u u u 3  un = n1-1 = n-1 ; a3 = 2 = 12 ; a4 = 3 = 13 ,… ¾¾ 2 2 2 2 2 2 2 nên suy ra đáp án D sai. Xét đáp án A: 5 æ1ö 1- çç ÷÷÷ èç 2 ø æ 1 1 1 1ö 93 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 3çç1 + + 2 + 3 + 4 ÷÷÷ = 3. = ¾¾ A çè 2 2 1 16 2 2 ø 12 Xét đáp án B: a10 = Xét đáp án 3 3 = ¾¾  29 512 đúng. B đúng. C. an+1 + an = 3 3 3 + 3.2 9 + n-1 = = n ¾¾  C đúng. n n 2 2 2 2 Dạng 2. Tính tăng giảm và bị chặn của dãy số 1. Phương pháp Xét tính tăng giảm  (un) là dãy số tăng  un+1 > un,  n  N*.  un+1 – un > 0 ,  n  N*   (un) là dãy số giảm un1 un  1 ,n  N* ( un > 0).  un+1 < un với n  N*.  un+1 – un< 0 ,  n  N*  un1 un  1 , n  N* (un > 0). Dãy số bị chặn  (un) là dãy số bị chăn trên M  R: un  M, n  N*.  (un) là dãy số bị chặn dưới  m  R: un  m, n  N*.  (un) là dãy số bị chặn  m, M  R: m  un  M, n  N*. 1. Phương pháp 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Xét tính tăng giảm của dãy số  un  biết a)un  2n  1 ; 3n  2 b) un  2n n Hướng dẫn giải 7 2n  1 2 3   a)u n  ; u  u n  0, n  * . Vậy dãy giảm 3n  2 3 3  n  1  2 n 1 Lưu ý: Ta không cần phải chia như vậy, làm cũng rất nhanh. b) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 230 un  2n n  un 1  un   2 n  n .   2 n  n 1   1  0, n  *  n n  1      Vậy dãy giảm Ví dụ 2. Xét tính tăng giảm của dãy số  un  biết a)un  5n 3n 1 b) un  ; 2n 2 n . Hướng dẫn giải 2n  5    n  3 n  2   0, n  2k  1 2n  5 n 1 a) Xét u n 1  u n   1 .   n  3 n  2   2n  5  0, n  2k    n  3 n  2  Vậy dãy đã cho không tăng không giảm 1    n  4  n  5   0, n  2k  1 1 n 1 b) Xét u n 1  u n   1 .  1  n  4  n  5   0, n  2k   n 4  n  5   Vậy dãy đã cho không tăng không giảm Ví dụ 3. Xét tính bị chặn của dãy số  un  a)un  n2  2n 2 n  n 1 ; b) un  n n2  2n  n Hướng dẫn giải a)un  n 2  2n 2 n  n 1 1 n 1 2 n  n 1 Ta có: 0 n 1 2 n  n 1  1, n  * . Suy ra: 1  u n  2, n  * . Vậy dãy số đã cho bị chặn b) un  n 2 n  2n  n  1 1 2 1 n 1  0  un  , n  * 2 Ví dụ 4. Xét tính bị chặn của dãy số  un   a)un   1 cos ; 2n n b) un    4sin n  4 cos 3n2  1 2 5n  n Hướng dẫn giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 231 n a)un   1 cos n     un   1 cos  cos 1 2n 2n 2n  1  un  1 Vậy dãy đã cho bị chặn. b) un    u 4sin n  4 cos 3n2  1 2 5n  n n    4sin n  4 cos 3n2  1 2 5n  n 5 5n2 1 Suy ra: 1  u n  1, n  * . Vậy dãy đã cho bị chặn. 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng? 1 2 A. 1; 1; 1; 1; 1; 1; B. 1; – ; C. 1; 3; 5; 7; 9; D. 1; 1 1 1 ; – ; ; 4 8 16 1 1 1 1 ; ; ; ; 2 4 8 16 Lời giải. Chọn C Xét đáp án A: 1; 1; 1; 1; 1; 1; đây là dãy hằng nên không tăng không giảm. 1 2 Xét đáp án B: 1; – ; 1 1 1 ; – ; ; ¾¾  u1 > u2 < u3 ¾¾  loại B 4 8 16 Xét đáp án C: 1; 3; 5; 7; 9; ¾¾  un < un+1 , n Î * Xét đáp án D: 1; Câu 2: 1 1 1 1 ; ; ; ; ¾¾  u1 > u2 > u3 ¼> un >¼ ¾¾  loại 2 4 8 16 D. Trong các dãy số (un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng? A. un = 1 . 2n 1 n B. un = . C. un = n +5 . 3n + 1 D. un = 2n -1 . n +1 Lời giải. Chọn D Vì 2n ; n là các dãy dương và tăng nên 1 1 ; là các dãy giảm, do đó loại A,B. 2n n ìï ïïu1 = 3 n+5 ï 2 Xét đáp án C: un = ¾¾  íï ¾¾  u1 > u2 ¾¾  loại C ïï 7 3n + 1 ïïu2 = 6 ïî Xét đáp án D: un = Câu 3: æ 1 2 n -1 3 1 ö÷ = 2 un+1 – un = 3çç ÷> 0 èç n + 1 n + 2 ø÷ n +1 n +1 Trong các dãy số (un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 232 A. un = 2 . 3n 3 n B. un = . D. un = (-2 )n . C. un = 2 n. Lời giải. Chọn C Xét đáp án C: un = 2n ¾¾  un+1 – un = 2 n+1 – 2n = 2n > 0 ¾¾  1 1 ; là các dãy giảm, do đó loại các đáp án A và 2n n Vì 2n ; n là các dãy dương và tăng nên B. ïìu2 = 4 ¾¾  u2 > u3 ¾¾  ïïîu3 = -8 Xét đáp án D: un = (-2)n ¾¾  ïí Câu 4: loại D. Trong các dãy số (un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm? A. un = 1 . 2n B. un = 3n -1 . n +1 C. un = n 2 . D. un = n + 2. Lời giải. Chọn A Vì 2n là dãy dương và tăng nên Xét B: 1 2n là dãy giảm ¾¾  ìïu1 = 1 ï 3n -1 ¾¾  íï  u1 < u2 ¾¾  loại un = 5 ¾¾ ï n +1 ïïu2 = 3 î un+1 - un = B. Hoặc 3n + 2 3n -1 4 = >0 n+2 n + 1 (n + 1)(n + 2) nên (un ) là dãy tăng. 2 Xét C: un = n 2 ¾¾  un+1 – un = (n + 1) – n 2 = 2n + 1 > 0 ¾¾  loại C. Xét D: un = n + 2 ¾¾  un+1 – un = n + 3 – n + 2 = Câu 5: 1 n+3 + n+2 > 0 ¾¾  loại D. Trong các dãy số (un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm? n2 +1 . n A. un = sin n. B. un = C. un = n – n -1. D. un = (-1)n . (2 n + 1). Lời giải. Chọn C æ 1ö 1 A. un = sin n  un +1 – un = 2 cos çççn + ÷÷÷ sin có thể dương hoặc âm phụ thuộc n nên đáp án A è 2ø 2 sai. Hoặc dễ thấy sin n có dấu thay đổi trên  * nên dãy sin n không tăng, không giảm. B. un = n2 +1 1 1 1 n 2 + n -1 = n +  un +1 – un = 1 + – = >0 n n n +1 n n (n + 1) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 nên dãy đã cho tăng nên B sai. Trang 233 1 C. un = n – n -1 = n + n +1 , dãy n + n -1 > 0 là dãy tăng nên suy ra un giảm. D. un = (-1)n (2 n + 1) là dãy thay dấu nên không tăng không giảm. Cách trắc nghiệm. A. un = sin n có dấu thay đổi trên * nên dãy này không tăng không giảm. B. un = n2 +1 , n ìn = 1  u1 = 2 ï n2 +1 không giảm. ¾¾  u1 < u2 ¾¾  un = 5 ï n n = 2  u2 = ï ï 2 î ï ta có ïí ìïn = 1  u1 = 1 C. un = n - n -1 , ta có íï ïïn = 2  u2 = 2 -1 î ¾¾  u1 > u2 nên dự đoán dãy này giảm. D. un = (-1)n (2 n + 1) là dãy thay dấu nên không tăng không giảm. Cách CASIO.  Các dãy sin n; (-1)n (2 n + 1) có dấu thay đổi trên  * nên các dãy này không tăng không giảm nên loại các đáp án A, D.  Còn lại các đáp án B, C ta chỉ cần kiểm tra một đáp án bằng chức năng TABLE. Chẳng hạn kiểm tra đáp án B, ta vào chức năng TABLE nhập F ( X ) = X 2 +1 với thiết lập X Start = 1, End = 10, Step = 1. Nếu thấy cột F ( X ) các giá trị tăng thì loại B và chọn C, nếu ngược lại nếu thấy cột F ( X ) các giá trị giảm dần thị chọn B và loại Câu 6: C. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 n B. Dãy số un = (-1)n (2n + 1) là dãy giảm. A. Dãy số un = – 2 là dãy tăng. C. Dãu số un = n -1 n +1 là dãy giảm. D. Dãy số un = 2n + cos 1 n là dãy tăng. Lời giải. Chọn D 1 n Xét đáp án A: un = – 2 ¾¾  un +1 – un = 1 1 – < 0 ¾¾  loại n +1 n A. Xét đáp án B: un = (-1)n (2n + 1) là dãy có dấu thay đổi nên không giảm nên loại B. Xét đáp án C: un = æ 1 n -1 2 1 ö÷ = 1¾¾  un +1 - un = 2 çç  loại ÷ > 0 ¾¾ èç n + 1 n + 2 ø÷ n +1 n +1 1 n æ è Xét đáp án D: un = 2n + cos ¾¾  un +1 – un = çç2 – cos ç Câu 7: 1 ö÷ 1 >0 ÷ + cos n + 1÷ø n+2 C. nên Mệnh đề nào sau đây sai? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 234 A. Dãy số un = 1- n n là dãy giảm. B. Dãy số un = 2n 2 – 5 là dãy tăng. æ 1ö C. Dãy số un = ççç1 + ÷÷÷ là dãy giảm. n è D. Dãy số un = n + sin 2 n là dãy tăng. nø Lời giải. Chọn C Xét A: un = 1- n = n 1 n – n ¾¾  un +1 – un = 1 n +1 – 1 n + n – n +1 < 0 nên dãy (un ) là dãy giảm nên C đúng. Xét đáp án B: un = 2n 2 - 5 là dãy tăng vì n 2 là dãy tăng nên B đúng. Hoặc un +1 - un = 2 (2n + 1) > 0 nên (un ) là dãy tăng. æ 1ö æ n + 1ö÷ u n + 2 æç n + 2 ÷ö Xét đáp án C: un = ççç1 + ÷÷÷ = ççç  n +1 = .ç  (un ) là dãy tăng nên ÷÷ > 0 ¾¾ ÷ > 1 ¾¾ è nø è n ø un n + 1 çè n ÷ø n n n Xét đáp án D: un = n + sin 2 n ¾¾  un +1 – un = (1- sin 2 (n + 1)) + sin 2 n > 0 nên D đúng. Câu 8: Cho dãy số (un ) , biết un = 1 3 A. . 3n -1 . 3n + 1 Dãy số (un ) bị chặn trên bởi số nào dưới đây? B. 1. 1 2 C. . D. 0. Lời giải. Chọn B Ta có un = 3n -1 2 5 1 1 = 1< 1. Mặt khác: u2 = > > > 0 nên suy ra dãy (un ) bị chặn 3n + 1 3n + 1 7 2 2 trên bởi số 1. Câu 9: Trong các dãy số (un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn trên? A. un = n 2 . B. un = 2 n. 1 n C. un = . D. un = n + 1. Lời giải. Chọn C Các dãy số n 2 ; 2n ; n +1 là các dãy tăng đến vô hạn khi n tăng lên vô hạn nên chúng không bị chặn trên (có thể dùng chức năng TABLE của MTCT để kiểm tra). 1 n Nhận xét: un = £ 1 với mọi n Î * nên dãy (un ) bị chặn trên bởi 1. Câu 10: Cho dãy số (un ) , biết un = cos n + sin n. Dãy số (un ) bị chặn trên bởi số nào dưới đây? A. 0. chặn trên. B. 1. C. 2. D. Không bị Lời giải. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 235 Chọn C MTCT Ta có un ¾¾¾  u1 = sin1 + cos1 > 1 > 0 nên loại các đáp án A và B (dùng TABLE của MTCT để kiểm tra, chỉ cần 1 số hạn nào đó của dãy số lớn hơn a thì dãy số đó không thể bị chặn trên bởi a. ) æ pö Ta có un = cos n + sin n = 2 sin çççn + ÷÷÷ £ 2 è 4ø Câu 11: Cho dãy số (un ) , biết un = sin n – cos n. Dãy số (un ) bị chặn dưới bởi số nào dưới đây? A. 0. chặn dưới. B. -1. C. – 2. D. Không bị Lời giải. Chọn C MTCT un ¾¾¾  u5 = sin 5 – cos 5 < -1 < 0 ¾¾  loại A và B (dùng TABLE của MTCT để kiểm tra, chỉ cần có một số hạng nào đó của dãy số nhỏ hơn a thì dãy số đó không thể bị chặn dưới với số a. ) æ pö Ta có un = 2 sin çççn - ÷÷÷ ³ - 2 è 4ø Câu 12: Cho dãy số (un ) , biết un = 3 cos n - sin n. Dãy số (un ) bị chặn dưới và chặn trên lần lượt bởi các số m và M nào dưới đây? 1 2 A. m = -2; M = 2. B. m = - ; M = 3 +1. C. m = - 3 + 1; M = 3 -1. D. m = - ; M = . 1 2 1 2 Lời giải. Chọn A ( ) un ¾¾¾¾¾  u1 > 3 -1 > MTCT TABLE 1 ¾¾  loại C và D. 2 1 MTCT (TABLE ) un ¾¾¾¾¾  u4 < - ¾¾  loại B. 2 Vậy æ 3 ö÷ æ 1 pö sin n - cos n÷÷ = 2sin ççn - ÷÷÷ ¾¾ -2 £ un £ 2. çè ÷ø çè 2 2 6ø Nhận xét: un = 2 ççç Câu 13: Cho dãy số (un ), biết un = (-1) .52 n +5. Mệnh đề nào sau đây đúng? n A. Dãy số (un ) bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy số (un ) bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số (un ) bị chặn. D. Dãy số (un ) không bị chặn. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 236 Lời giải. Chọn D Nếu n chẵn thì un = 52 n+1 > 0 tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi n tăng lên vô hạn nên dãy (un ) không bị chặn trên. Nếu n lẻ thì un = -52 n+1 < 0 giảm xuống vô hạn (âm vô cùng) khi n tăng lên vô hạn nên dãy (un ) không bị chặn dưới. Vậy dãy số đã cho không bị chặn. Câu 14: Cho dãy số (un ), với un = 1 1 1 + + ... + , "n = 1; 2; 3 . Mệnh đề nào sau đây n (n + 3) 1.4 2.5 đúng? A. Dãy số (un ) bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy số (un ) bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số (un ) bị chặn. D. Dãy số (un ) không bị chặn. Lời giải. Chọn C Ta có un > 0 ¾¾  (un ) bị chặn dưới bởi 0. Mặt khác 1 1 1 1 < = ( k Î * ) k (k + 3) k (k + 1) k k + 1 nên suy ra: un < 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ++ = 1- + - + - +  + = 1<1 n (n + 1) n n +1 n +1 1.2 2.3 3.4 2 2 3 2 4 nên dãy (un ) bị chặn trên, do đó dãy (un ) bị chặn. Câu 15: Cho dãy số (un ), với un = 1 1 1 + + ... + 2 , "n = 2; 3; 4;. Mệnh đề nào sau đây đúng? n 2 2 32 A. Dãy số (un ) bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy số (un ) bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số (un ) bị chặn. D. Dãy số (un ) không bị chặn. Lời giải. Chọn C Ta có un > 0 ¾¾  (un ) bị chặn dưới bởi 0. Mặt khác 1 1 1 1 < = - ( k Î * , k ³ 2) k 2 (k -1) k k -1 k nên suy ra: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 237 un < 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ++ = 1- + - + - +  + = 1<1 n (n + 1) n n +1 n +1 1.2 2.3 3.4 2 2 3 2 4 nên dãy (un ) bị chặn trên, do đó dãy (un ) bị chặn. Câu 16: Trong các dãy số (un ) sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn? 1 n A. un = n 2 + 1. B. un = n + . C. un = 2 n + 1. D. un = n . n +1 Lời giải. Chọn D Các dãy số n 2 ; n; 2n dương và tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi n tăng lên vô hạn, nên 1 n 2 + 1; n + ; 2n + 1 cũng tăng lên vô hạn (dương vô cùng), suy ra các dãy này n các dãy không bị chặn trên, do đó chúng không bị chặn. Nhận xét: 0 < un = n 1 = 1< 1. n +1 n +1 Câu 17: Trong các dãy số (un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn? A. un = 1 . 2n B. un = 3n. C. un = n + 1. D. un = n 2 . Lời giải. Chọn A Các dãy số n 2 ; n; 3n dương và tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi n tăng lên vô hạn nên các dãy n 2 ; n + 1; 3n cũng tăng lên vô hạn (dương vô cùng), suy ra các dãy này không bị chặn trên, do đó chúng không bị chặn. Nhận xét: 0 < un = 1 1 £ . 2n 2 ìïu1 = 6 Câu 18: Cho dãy số (un ), xác định bởi ïí ïïun +1 = 6 + un , "n Î  * î 5 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 6 £ un < . B. 6 £ un < 3. C. 6 £ un < 2. D. 6 £ un £ 2 3. Lời giải. Chọn D 5 2 Ta có u2 = 12 > 3 > > 2 nên loại các đáp án A, B, C. Nhận xét: Ta có ìïu1 = 6 ïïìu1 = 6 ïìu1 = 6 ¾¾  ïí ¾¾  un ³ 0 ¾¾  ïí ¾¾  un ³ 6. í ïïun+1 = 6 + un ïïîun+1 ³ 0 ïîïun+1 = 6 + un ³ 6 î Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 238 Ta chứng minh quy nạp un £ 2 3. u1 £ 2 3; uk £ 2 3 ¾¾  uk +1 = 6 + uk +1 £ 6 + 2 3 < 6 + 6 = 2 3. Câu 19: Cho dãy số (un ), với un = sin p . Khẳng định nào sau đây là đúng? n +1 A. Số hạng thứ n + 1 của dãy là un +1 = sin p . n +1 B. Dãy số (un ) là dãy số bị chặn. C. Dãy số (un ) là một dãy số tăng. D. Dãy số (un ) không tăng không giảm. Lời giải. Chọn B un = sin p p p ¾¾  un+1 = sin = sin ¾¾ A n +1 n+2 (n + 1) + 1 un = sin p ¾¾  -1 £ un £ 1 ¾¾  B đúng. n +1 un+1 - un = sin sai. æ p p p p pö £ ÷÷÷ ¾¾ - sin < 0 çç0 < <  C, D sai. ç è n+2 n +1 n + 2 n +1 2 ø Câu 20: Cho dãy số (un ), với un = (-1)n . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số (un ) là dãy số tăng. B. Dãy số (un ) là dãy số giảm. C. Dãy số (un ) là dãy số bị chặn. D. Dãy số (un ) là dãy số không bị chặn. Lời giải. Chọn C  A, B sai. un = (-1) là dãy thay dấu nên không tăng, không giảm ¾¾ n -1 £ un £ 1 ¾¾  C đúng. Tập giá trị của dãy un = (-1)n là {-1;1} ¾¾ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 239 BÀI 3. CẤP SỐ CỘNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – ĐỊNH NGHĨA Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đỗi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Nếu (un ) là cấp số cộng với công sai d , ta có công thức truy hồi un +1 = un + d với n Î  * . Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đỗi (tất cả các số hạng đều bằng nhau). II – SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Định lí 1 Nếu cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức: un = u1 + (n -1) d với n ³ 2. III – TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG Định lí 2 Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là uk = uk -1 + uk +1 2 với k ³ 2. IV – TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG Định lí 3 Cho cấp số cộng (un ). Đặt S n = u1 + u2 + u3 + ... + un . Khi đó S n = n (u1 + un ) . 2 Chú ý: Vì un = u1 + (n -1) d nên công thức trên có thể viết lại là S n = nu1 + n (n -1) 2 d. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Xác định cấp số cộng, công sai và số hạng của cấp số cộng 1. Phương pháp  Xác định một cấp số cộng là xác định số hạng đầu u1 và công sai d  Từ những giải thiết ta thường lập hệ phương trình theo ẩn số u1 và d rồi giải hệ đó. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 240 A. 1;-3;-7;-11;-15; B. 1; -3;-6;-9;-12; C. 1; -2;-4;-6;-8; D. 1; -3;-5;-7;-9; Lời giải Chọn A Ta lần lượt kiểm tra: u2 - u1 = u3 - u2 = u4 - u3 = ? Xét đáp án A: 1; -3; -7; -11; -15; ¾¾  u2 - u1 = u3 - u2 = u4 - u3 =  Xét đáp án B: 1; -3; -6; -9; -12; ¾¾  u2 - u1 = -4 = / -3 = u3 - u2 ¾¾  loại Xét đáp án C: 1; -2; -4; -6; -8; ¾¾  u2 - u1 = -3 = / -2 = u3 - u2 ¾¾  loại Xét đáp án D: 1; -3; -5; -7; -9; ¾¾  u2 - u1 = -4 = / -2 = u3 - u2 ¾¾  loại Ví dụ 2: Cho dãy số 1 1 3 ;0; - ; -1; - ;..... là cấp số cộng với: 2 2 2 A. Số hạng đầu tiên là 1 1 , công sai là . 2 2 B. Số hạng đầu tiên là 1 1 , công sai là - . 2 2 C. Số hạng đầu tiên là 0 , công sai là 1 . 2 1 2 D. Số hạng đầu tiên là 0 , công sai là - . Lời giải: Chọn B Nếu dãy số (un ) là một cấp số cộng thị công sai d của nó là hiệu của một cặp số hạng liên tiếp bất kì (số hạng sau trừ cho số hạng trước) của dãy số đó. ìï ïïu1 = 1 1 1 3 ï 2 Ta có ;0;- ;-1;- ;..... là cấp số cộng ¾¾  ïí ïï 1 2 2 2 ïïu2 - u1 = - = d 2 ïî Ví dụ 4: Cho cấp số cộng (un ) có u1 = -5 và d = 3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng? A. Thứ 15. B. Thứ 20. C. Thứ 35. D. Thứ 36. Lời giải. Chọn D Ví dụ 5: Cho cấp số cộng (un ) có u3 = 15 và d = -2 . Tìm un . A. un = -2n + 21. 3 2 B. un = - n + 12. C. un = -3n -17. 3 2 D. un = n 2 - 4. Lời giải. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 241 Chọn A ïì15 = u3 = u1 + 2d ïìu = 19 Ta có ïí  ïí 1  un = u1 + (n -1) d = -2n + 21. ïîïd = -2 ïîïd = -2 Ví dụ 6: Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao nhiêu? A. d = 4. B. d = 5. C. d = 6. D. d = 7. Lời giải. Chọn B ïìïu1 = 5 ¾¾ d = 5 í ïïî40 = u8 = u1 + 7d Dạng 2. Tính tổng các số hạng trong một cấp số cộng 1. Phương pháp Tính tổng n số hạng đầu tiên nhờ công thức: S n  n  u1  u n  2  n  2u1   n  1 d  2 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Số hạng tổng quát của một cấp số cộng là un = 3n + 4 với n Î  * . Gọi S n là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. S n = 3n - 1 . 2 B. S n = 7 (3n -1) 2 . C. S n = 3n 2 + 5n . 2 D. S n = 3n 2 + 11n . 2 Lời giải. Chọn D ìïu1 = a + b . ïïîd = a  ïí Câp số cộng un = an + b ¾¾ 3(n 2 - n) 3n 2 + 11n ìïu1 = 7 n (n -1) un = 3n + 4  ï  S n = nu1 + d = 7n + = . í ï 2 2 2 ï îd = 3 Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (un ) có u1 = 4 và d = -5. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. A. S100 = 24350. B. S100 = -24350. C. S100 = -24600. D. S100 = 24600. Lời giải. Chọn B S n = nu1 + n (n -1) 2 d ¾¾  S100 = 100u1 + 100.99 d = -24350 2 Ví dụ 3: Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tổng số 50 số nguyên dương đầu tiên đó bằng: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 242 A. 7650. B. 7500. C. 3900. D. 3825. Lời giải. Chọn D Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng 3n (n Î * ) nên chúng lập thành cấp số cộng ïìu1 = 3 50 un = 3n ¾¾  íï ¾¾  S50 = (u1 + u50 ) = 3825 ïïîu50 = 150 2 n 2 Chú ý: Sn = (u1 + un ) = nu1 + n (n -1) 2 d. Ví dụ 4: Tính tổng S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 + ... + (2n -1) - 2n với n ³ 1 và n Î . A. S = 0. B. S = -1. C. S = n. D. S = -n. Lời giải. Chọn D Với mọi n Î * thì (2n -1) - 2n = -1 . Ta có S = (1- 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + + ((2n -1) - 2n) . Do đó ta xem S là tổng của n số hạng, mà mỗi số hạng đều bằng -1 nên S = -n. Nhận xét: Ta có 1;3;5;; 2n -1 và 2; 4;6;; 2n là các cấp số cộng có n số hạng nên S = (1 + 3 + 5 +  + 2n -1) - (2 + 4 + 6 +  + 2n) n n = (1 + 2n -1) - (2 + 2n) = n 2 - (n 2 + n) = -n. 2 2 Ví dụ 5: Cho cấp số cộng (un ) thỏa mãn u2 + u8 + u9 + u15 = 100. Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. A. S16 = 100. B. S16 = 200. C. S16 = 300. D. S16 = 400. Lời giải. Chọn D Ta có u2 + u8 + u9 + u15 = 100  4u1 + 30d = 100  2u1 + 15d = 50. Khi đó S16 = 16 (u1 + u16 ) = 8(2u1 +15d ) = 8.50 = 400 2 Dạng 3. Chứng minh một hệ thức trong cấp số cộng: 1. Phương pháp Sử dụng các tính chất của cấp số cộng 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Nếu a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành cấp số cộng? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 243 A. 2b2 ; a2 ; c2 . B. -2b;-2a;-2c. C. 2b; a; c. D. 2b; - a; - c. Lời giải. Chọn B Ta có c + a = 2b  -2 (c + a ) = -2 (2b)  (-2c) + (-2a ) = 2 (-2b). Ví dụ 2: Nếu 1 1 1 ; ; theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành b+c c+a a +b cấp số cộng? A. b2 ; a2 ; c2 . B. c2 ; a2 ; b2 . C. a2 ; b2 ; c2 . D. a2 ; c2 ; b2 . Lời giải. Chọn C Theo giả thiết ta có c + a (b + c)(b + a) 2 1 1 = +  = c+a b+c a+b 2 2b + a + c  (a + c) + 2b (c + a) = 2 (b2 + ab + bc + ac) 2  a 2 + c2 + 2ac + 2bc + 2bc = 2 (b2 + ab + bc + ac)  a 2 + c2 = 2b2 . Ví dụ 3: Cho a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a2 + c2 + 2ac = 4b2 . B. a2 + c2 = 2ab - 2bc. C. a 2 - c2 = ab - bc. D. a2 - c2 = 2ab - 2bc. Lời giải. Chọn A Ta có: a + c = 2b  (a + c)2 = 4b 2  a 2 + c 2 + 2ac = 4b 2 Dạng 4. Giải phương trình ( tìm x trong cấp số cộng) 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho các số -4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x . A. x = 7. B. x = 10. C. x = 11. D. x = 12. Lời giải. Chọn C Vì các số -4; 1; 6; x theo thứ tự u1 , u2 , u3 , u4 lập thành cấp số cộng nên u4 - u3 = u3 - u2 ¾¾  x - 6 = 6 -1  x = 11 Ví dụ 2: Nếu các số 5 + m ; 7 + 2m ; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu? A. m = 2. B. m = 3. C. m = 4. D. m = 5. Lời giải. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 244 Chọn C Ba số 5 + m ; 7 + 2m ; 17 + m theo thứ tự u1 , u2 , u3 lập thành cấp số cộng nên u1 + u3 = 2u2  (5 + m) + (17 + m) = 2 (7 + 2m)  m = 4 Nhận xét: Ta có thể dùng tính chất u3 - u2 = u2 = u1 . Ví dụ 3: Với giá trị nào của x và y thì các số -7; x ; 11; y theo thứ tự đó lập thành một cấp số công? A. x = 1; y = 21. B. x = 2; y = 20. C. x = 3; y -19. D. x = 4; y = 18. Lời giải. Chọn B Bốn số -7; x ; 11; y theo thứ tự u1 , u2 , u3 , u4 lập thành cấp số cộng nên ìï ìï y -11 = 11- x ìïï x + y = 22 ìï x = 2 ïu4 - u3 = u3 - u2  ïí í  ïí í ï ïîï y -11 = x + 7 ïîï x - y = -18 ïîï y = 20 îïu4 - u3 = u2 - u1 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng? 2 3 1 3 1 2 3 3 4 3 A. - ;- ;0; ; ;1; .... C. B. 15 2;12 2;9 2;6 2;.... 4 7 9 11 ;1; ; ; ;.... 5 5 5 5 D. 1 2 3 4 3 5 ; ; 3; ; ;... 3 3 3 3 Lời giải. Chọn C Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: um+1 - um = / uk +1 - uk thì ta kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng. 2 3 1 3 1 2 3 3 4 3 1 3 Xét đáp án A: - ; - ;0; ; ;1; .... ¾¾  = u2 - u1 = u3 - u2 = u4 - u3 =  ¾¾  loại A Xét đáp án B: 15 2;12 2;9 2;6 2;.... ¾¾ -3 3 = u2 - u1 = u3 - u2 = u4 - u3 =  ¾¾  loại Xét đáp án C: Xét đáp án D: Câu 2: B 4 7 9 11 1 2 ;1; ; ; ;.... ¾¾  = u2 - u1 = / u3 - u2 = ¾¾  Chọn C 5 5 5 5 5 5 1 2 3 4 3 5 3  = u2 - u1 = u3 - u2 = u4 - u3 ¾¾  loại D ; ; 3; ; ;... ¾¾ 3 3 3 3 3 1 2 1 2 Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1 = - , công sai d = . Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là: 1 2 1 2 A. - ;0;1; ;1. 1 2 1 2 1 2 B. - ;0; ;0; . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. 1 3 5 ;1; ;2; . 2 2 2 1 2 1 2 3 2 D. - ;0; ;1; . Trang 245 Lời giải: Chọn D Ta dùng công un+1 = un + d = un + Ta có thức tổng quát 1 1 n un = u1 + (n -1) d = - + (n -1) = -1 + , 2 2 2 hoặc 1 để tính các số hạng của một cấp số cộng. 2 ìï ïïu1 = - 1 ïï 2 ïï u = u 1 +d = 0 ïï 2 ï 1 1 1 ï  ïíu3 - u2 + d = u1 = - ; d = ¾¾ ïï 2 2 2 ïï = + = 1 u u d 3 ïï 4 ïï ïïu5 = u4 + d = 3 ïïî 2 Nhận xét: Dùng chức năng “lặp” của MTCT để tính: Nhập: X = X + 1 2 (nhập X = X + d ). 1 2 Bấm CALC: nhập - (nhập u1 ). Để tính 5 số hạng đầu ta bấm dấu “=” liên tiếp để ra kết quả 4 lần nữa! Câu 3: Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng. A. 7; 12; 17, B. 6; 10; 14. C. 8; 13; 18. D. 6; 12; 18. Lời giải. Chọn A Giữa 2 và 22 có thêm ba số hạng nữa lập thành cấp số cộng, xem như ta có một cấp số cộng có 5 số hạng với u1 = 2; u5 = 22; ta cần tìm u2 , u3 , u4 . Ta có Câu 4: ìu2 = u1 + d = 7 ï ïï u5 - u1 22 - 2 u5 = u1 + 4d  d = = = 5 ¾¾ ï íu3 = u1 + 2d = 12 ï 4 4 ï ï ï îu4 = u1 + 3d = 17 Cho hai số -3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai d = 2. Tìm n. A. n = 12. B. n = 13. C. n = 14. D. n = 15. Lời giải. Chọn A Theo giả thiết thì ta được một cấp số cộng có n + 2 số hạng với u1 = -3, un+2 = 23. Khi đó un+2 = u1 + (n + 1) d  n + 1 = Câu 5: un + 2 - u1 23 - (-3) = = 13  n = 12 ¾¾ A d 2 Biết các số Cn1 ; Cn2 ; Cn3 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n > 3. Tìm n. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 246 A. n = 5. B. n = 7. C. n = 9. D. n = 11. Lời giải. Chọn B Ba số Cn1 ; Cn2 ; Cn3 theo thứ tự u1 , u2 , u3 lập thành cấp số cộng nên u1 + u3 = 2u2  Cn1 + Cn3 = 2Cn2 (n ³ 3)  n +  1+ (n – 2)(n -1) n 6 = 2. (n -1) n 2 én = 2 n 2 – 3n + 2 = n -1  n 2 – 9n + 14  ê  n = 7 (n ³ 3). ê 6 ën = 7 Nhận xét: Nếu uk -1 , uk , uk +1 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng thì ta có uk -1 + uk +1 = 2uk . Câu 6: Cho cấp số cộng (un ) có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17;  . Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng. A. un = 5n + 1. B. un = 5n -1. C. un = 4 n + 1. D. un = 4 n -1. Lời giải. Chọn C Các số 5; 9; 13; 17;  theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng (un ) nên ì u1 = 5 ï CTTQ ï ¾¾¾  un = u1 + (n -1) d = 5 + 4 (n -1) = 4n + 1 í ï ï îd = u2 – u1 = 4 Câu 7: 1 2 Cho cấp số cộng (un ) có u1 = -3 và d = . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 2 B. un = -3 + n -1. 1 2 1 2 D. un = -3 + (n -1). A. un = -3 + (n + 1). 1 4 C. un = -3 + (n -1). Lời giải. Chọn C ì u1 = -3 ï ï 1 CTTQ ï Ta có í  un = u1 + (n -1) d = -3 + (n -1) 1 ¾¾¾ ï 2 d= ï ï 2 î Câu 8: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? A. un = 7 – 3n. B. un = 7 – 3n. C. un = 7 . 3n D. un = 7.3n. Lời giải. Chọn A Dãy (un ) là cấp số cộng  un = an + b ( a, b là hằng số). Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 247 Câu 9: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? A. un = (-1)n (2n + 1). ìïu = 1 C. ïí 1 p n B. un = sin . ïïîun = un-1 -1 . ìïu = 1 D. ïí 1 ïïîun = 2un-1 . Lời giải. Chọn C Dãy (un ) là một cấp số cộng  un = un-1 + d ( d là hằng số). Câu 10: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng? A. un = -4 n + 9. B. un = -2n + 19. C. un = -2n – 21. D. un = -2n + 15. Lời giải. Chọn D Dãy số un = -2n + 15 không có dạng an + b nên có không phải là cấp số cộng. Câu 11: Cho cấp số cộng (un ) có u1 = -5 và d = 3. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. u15 = 34. B. u15 = 45. C. u13 = 31. D. u10 = 35. Lời giải. Chọn C ìïu15 = 37 ïï ïìïu1 = -5 ¾¾  un = 3n – 8 ¾¾  ïíu13 = 31 í ïîïd = 3 ïï ïîïu10 = 22 Câu 12: Cho cấp số cộng (un ) có u1 = 1 4 1 4 và d = – . Gọi S 5 là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng? 5 4 A. S 5 = – . 4 5 5 4 B. S 5 = . C. S 5 = . 4 5 D. S 5 = – . Lời giải. Chọn A ì 1 ï ï ïïu1 = æ 1ö 5.4 1 5 4 ïí ¾¾  S5 = 5u1 + d = 5. + 10.çç- ÷÷÷ = ç ïï è 4ø 1 2 4 4 ïïd = 5 ïî Câu 13: Cho cấp số cộng (un ) có d = -2 và S 8 = 72. Tìm số hạng đầu tiên u1 . A. u1 = 16. B. u1 = -16. C. u1 = 1 . 16 D. u1 = – 1 . 16 Lời giải. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 248 Chọn A ïìïd = -2 ï ¾¾  72 = 8u1 + 28.(-2)  u1 = 16 í ïï72 = S8 = 8u1 + 8.7 d 2 îï Câu 14: Một cấp số cộng có số hạng đầu là 1, công sai là 4, tổng của n số hạng đầu là 561. Khi đó số hạng thứ n của cấp số cộng đó là un có giá trị là bao nhiêu? A. un = 57. B. un = 61. C. un = 65. D. un = 69. Lời giải. Chọn C ïìïu1 = 1, d = 4 n2 – n ï ¾¾  561 = n + .4  2n 2 – n – 561 = 0  n = 17. í n n 1 ( ) ïï561 = S = nu + 2 d 1 n 2 ïîï un = u17 = u1 + 16d = 1 + 16.4 = 65 ¾¾ C Câu 15: Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười hai bằng 23. Khi đó công sai d của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu? A. d = 2. B. d = 3. C. d = 4. D. d = 5. Lời giải. Chọn A ìïu1 + 11d = 23 ïïìu1 = 1 ï ïìïu12 = 23 ï ¾¾  í12  ïí í ïîïS12 = 144 ïï (u1 + u12 ) = 144 ïïd = 23 – u1 = 2 ïî 2 11 îï Câu 16: Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là S n = 3n 2 -19 n với n Î  * . Tìm số hạng 4 đầu tiên u1 và công sai d của cấp số cộng đã cho. 1 2 A. u1 = 2; d = – . 3 2 B. u1 = -4; d = . 3 2 C. u1 = – ; d = -2. 5 2 1 2 D. u1 = ; d = . Lời giải. Chọn B Ta có æ 3n 2 -19n 3 2 19 n2 – n d dö = n – n = Sn = nu1 + d = n 2 + ççu1 – ÷÷÷ n çè 4 4 4 2 2 2ø ì ï ì ïï d = 3 u1 = -4 ï ï ï 2 4 ï ï í í 3 . ï d 19 ï d= ï ï u1 – = ï ï 2 î ï 2 4 ï î Câu 17: Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là S n = n 2 + 4 n với n Î  * . Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng đã cho. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 249 n -1 A. un = 2n + 3. B. un = 3n + 2. C. un = 5.3n-1. æ8ö D. un = 5. ççç ÷÷÷ . è5ø Lời giải. Chọn A Ta có ìï d ïï = 1 d 2 çæ d ÷ö ï n + 4n = Sn = n + çu1 – ÷÷ n  ïí 2 ïï èç d 2 2ø ïïu1 – = 4 2 ïî 2 ïìu = 5  ïí 1 ¾¾  un = 2n + 3 ïïîd = 2 Câu 18: Cho cấp số cộng (un ) có u2 = 2001 và u5 = 1995 . Khi đó u1001 bằng: A. u1001 = 4005. B. u1001 = 4003. C. u1001 = 3. D. u1001 = 1. Lời giải. Chọn C ïìï2001 = u2 = u1 + d ïìu = 2003  ïí 1 ¾¾  u1001 = u1 + 1000d = 3 í ïî ïîïd = -2 ï1995 = u5 = u1 + 4d Câu 19: Cho cấp số cộng (un ) , biết: un = -1, un +1 = 8 . Tính công sai d cảu cấp số cộng đó. A. d = -9. B. d = 7. C. d = -7. D. d = 9. Lời giải. Chọn D d = un +1 – un = 8 – (-1) = 9 Cho cấp số cộng (un ). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau: Câu 20: A. u10 + u20 = u5 + u10 . 2 B. u90 + u210 = 2u150 . C. u10 .u30 = u20 . D. u10 .u30 = u20 . 2 Lời giải. Chọn B ìï u10 + u30 u1 + 9d + u1 + 29d = = u1 + 19d ¾¾  loại 2 2 ï ïu + u = u + 4d + u + 9d = 2u + 13d 10 1 1 2 ï î 5 ï Xét đáp án A: íï ìïu + u = 2u2 + 298d = 2 (u1 + 149d ) Xét đáp án B: ïí 90 210 ïï2u150 = 2 (u1 + 159d ) î Nhận xét: Có thể lấy một cấp số cộng cụ thể để kiểm tra, ví dụ un = n (n Î * ). Câu 21: Cho cấp số cộng (un ) thỏa mãn u2 + u23 = 60. Tính tổng S 24 của 24 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 250 A. S 24 = 60. B. S 24 = 120. C. S 24 = 720. D. S 24 = 1440. Lời giải. Chọn C u2 + u23 = 60  (u1 + d ) + (u1 + 22d ) = 60  2u1 + 23d = 60. Khi đó S 24 = 24 (u1 + u24 ) = 12 (u1 + (u1 + 23d )) = 12 (2u1 + 23d ) = 12.60 = 720. 2 Câu 22: Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Tìm công sai d của câp số cộng đã cho. A. d = 2. B. d = -3. C. d = 4. D. d = 5. Lời giải. Chọn B ìï2u1 + 5d = 17 ì ïïìu1 + u6 = 17 ïu1 = 16  ïí ï í í ï ï u u 14 2 u 6 d 14 + = + = 4 ïïd = -3 î îï 2 îï 1 ì ïu – u = 8 . Tìm công sai d của câp số cộng đã cho. Câu 23: Cho cấp số cộng (un ) thỏa mãn ïí 7 3 ï ï îu2 u7 = 75 1 2 A. d = . 1 3 B. d = . C. d = 2. D. d = 3. Lời giải. Chọn C ìï u7 – u3 = 8 ïïì(u1 + 6d ) – (u1 + 2d ) = 8 ìïïd = 2 ï í í í ïï(u1 + 2)(u1 + 12) = 75 ïïî(u1 + d )(u1 + 6d ) = 75 îïïu2 u7 = 75 î ìïu + u = 26 Câu 24: Cho cấp số cộng (un ) thỏa mãn ïí 1 2 7 2 ïïu2 + u6 = 466 î ì ïu = 13 A. ïí 1 . ï ï îd = -3 ìïu = 10 B. ïí 1 . ïïîd = -3 . Mệnh đề nào sau đây đúng? ì ïu = 1 C. ïí 1 . ï ï îd = 4 ì ïu = 13 D. ïí 1 . ï ï îd = -4 Lời giải. Chọn C ì ìïu1 = 13 – 3d (1) ïìu1 + u7 = 26 ïï2u1 + 6d = 26 ïí .   í 2 2 2 2 ïïu2 2 + u6 2 = 466 ïï(u1 + d ) + (u1 + 5d ) = 466 ïï(u1 + d ) + (u1 + 5d ) = 466 (2 ) î î î Ta có ïí Thay (1) và (2) ta được: (13 – 2d )2 + (13 + 2d )2 = 466  8d 2 + 338 = 466 é d = 4  u1 = 1 ê ê d = -4  u1 = 25 ë Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 251 ïìu – u + u = 15 Câu 25: Cho cấp số cộng (un ) thỏa mãn ïí 1 3 5 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng ïïîu1 + u6 = 27 định sau? ìïu = 21 . A. ïí 1 ìïu = 21 . B. ïí 1 ïïîd = 3 ìïu = 18 . C. ïí 1 ïïîd = -3 ïïîd = 3 ìïu = 21 . D. ïí 1 ïïîd = 4 Lời giải. Chọn B ì ïìu – u + u = 15 ïïu1 – (u1 + 2d ) + (u1 + 4d ) = 15 ïìu + 2d = 15 ïìu = 21  ïí 1  ïí 1 . Ta có ïí 1 3 5 í ïîï2u1 + 5d = 27 ïîïd = -3 ïïîu1 + u6 = 27 ïïu1 + (u1 + 5d ) = 27 î ïìu + u + u = 36 Câu 26: Cho cấp số cộng (un ) thỏa ïí 2 4 6 . Tìm công sai d của cấp số cộng (un ) biết ïïîu2 u3 = 54 d < 10. A. d = 3. B. d = 4. C. d = 5. D. d = 6. Lời giải. Chọn A ïìu + u + u = 36 ïìï(u1 + d ) + (u1 + 3d ) + (u1 + 5d ) = 36 Ta có ïí 2 4 6 í ïïîu2 u3 = 54 ïï(u1 + d )(u1 + 2d ) = 54 î ìïu + 3d = 12 (1)  ïí 1 . ïï(u1 + d )(u1 + 2d ) = 54 (2 ) î Từ (1) suy ra u1 = 12 - 3d . Thay vào (2) , ta được (12 - 2d )(12 - d ) = 54  d 2 -18d + 45 = 0  d = 3 hoặc d = 15 . ìïu1 + u2 + u3 = 27 Câu 27: Cho cấp số cộng (un ) thỏa ïí ï 2 2 2 îïu1 + u2 + u3 = 275 A. u2 = 3. . Tính u2 . B. u2 = 6. C. u2 = 9. D. u2 = 12. Lời giải. Chọn C ì ïu1 + (u1 + d ) + (u1 + 2d ) = 27 ïìu + u + u = 27  ïí 2 Ta có ïí 12 22 32 2 2 ï ï îïu1 + u2 + u3 = 275 ïîïu1 + (u1 + d ) + (u1 + 2d ) = 275 ìïu1 + d = 9 (1)  ïí 2 . 2 2 ïïu1 + (u1 + d ) + (u1 + 2d ) = 275 (2 ) ïî Từ (1) suy ra d = 9 - u1 . Thay vào (2 ) , ta được 2 2 u12 + (u1 + 9 - u1 ) + éëu1 + 2 (9 - u1 )ùû = 275  u12 -18u1 + 65 = 0  u1 = 13 hoặc u1 = 5 . ì ì ïu = 13 ïu = 5 Vậy ïí 1 hoặc íï 1 ¾¾  u2 = u1 + d = 9 ï ï îd = -4 ï ï îd = 4 Câu 28: Tính tổng T = 15 + 20 + 25 + ... + 7515. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 252 A. T = 5651265. B. T = 5651256. C. T = 5651625. D. T = 5651526. Lời giải. Chọn A Ta thấy các số hạng của tổng T tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 15 và công sai d = 5. Giả sử tổng trên có n số hạng thì un = 7515  u1 + (n -1) d = 7515  15 + (n -1) 5 = 7515  n = 1501 . Vậy T = S1501 = (2u1 + 1500d ).1501 2 = (2.15 + 1500.5).1501 2 = 5651265 Câu 29: Tính tổng T = 10002 - 9992 + 9982 - 997 2 + ... + 22 -12. A. T = 500500. B. T = 500005. C. T = 505000. D. T = 500050. Lời giải. Chọn A Ta có T = 1. (1000 + 999 ) + 1. (998 + 997 ) + ... + 1. (2 + 1) = 1999 + 1995 + ... + 3. Ta thấy các số hạng của tổng T tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1999 và công sai d = -4. Giả sử tổng trên có n số hạng thì un = 3  u1 + (n -1) d = 3  1999 + (n -1)(-4) = 3  n = 500. Vậy T = S500 = (u1 + u500 ).500 2 = (1999 + 3).500 2 = 500500 Câu 30: Cho cấp số cộng u1 ; u2 ; u3 ; ; un có công sai d , các số hạng của cấp số cộng đã cho đều khác 0. Với giá trị nào của d thì dãy số A. d = -1. B. d = 0. 1 1 1 1 ; ; ; ; u1 u2 u3 un C. d = 1. là một cấp số cộng? D. d = 2. Lời giải. Chọn B Ta có ìï 1 ïï - 1 = - d ï u2 u1 u1u2 ïìïu2 - u1 = d  ïí . í ïîïu3 - u2 = d ïï 1 1 d ïï - = u2 u3 ïî u3 u2 Theo yêu cầu bài toán thì ta phải có 1 1 1 1 - = u2 u1 u3 u2 éd = 0 ê éd = 0 ê  1 d =0 1 ê ê = êu1 = u3 = u1 + 2d ë ê u1 u3 ë Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 253 Câu 31: Ba góc của một tam giác vuông tạo thành cấp số cộng. Hai góc nhọn của tam giác có số đo (độ) là: A. 20 và 70. B. 45 và 45. C. 20 và 45. D. 30 và 60. Lời giải. Chọn D Ba góc A, B, C của một tam giác vuông theo thứ tự đó ( A < B < C ) lập thánh cấp số cộng nên C = 90, C + A = 2 B . Ta có ìï A + B + C = 180 ìï3B = 180 ìï B = 60 ïï ïï ïï ïí A + C = 2 B ï  í A + C = 2 B  ïí A = 30 ïï ïï ïï ïïîC = 90 ïïîC = 90 ïïîC = 90 Câu 32: Ba góc A, B, C ( A < B < C ) của tam giác tạo thành cấp số cộng, biết góc lớn nhất gấp đôi góc bé nhất. Hiệu số đo độ của góc lớn nhất với góc nhỏ nhất bằng: A. 40. B. 45. C. 60. D. 80. Lời giải. Chọn A Ba góc A, B, C của một tam giác theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng thỏa yêu cầu, thì C = 2 A, C + A = 2 B . Ta có ì A = 40 0 ìï A + B + C = 180 0 ìï3B = 180 0 ïìïB = 60 0 ï ï ïï ïï ï ï ïí A + C = 2 B  ïí A + C = 2 B  ïí A + C = 120 0 ¾¾  ïíB = 60 0 ¾¾  C - A = 40 0 . ïï ïï ï ï ï ï ïîïC = 2 A ïïîC = 2 A ïïC = 2 A ïïC = 80 0 î î Câu 33: Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài các cạnh của tam giác đó là: A. 1 3 ; 1; . 2 2 1 3 B. ; 1; 5 . 3 C. 3 5 ; 1; . 4 4 D. 1 7 ; 1; . 4 4 Lời giải. Chọn C Ba cạnh a, b, c (a < b < c) của một tam giác theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng thỏa ìïa 2 + b 2 = c 2 ìïa 2 + b 2 = c 2 ìïa 2 + b 2 = c 2 ïï ïï ïï ï ï  ïíb = 1 . yêu cầu thì ía + b + c = 3  í3b = 3 ïï ïï ïï ïîïa + c = 2b ïîïa + c = 2b ïïîa = 2b - c - 2 - c Ta có ìï ïïa = 3 ï 4 5 ïï 2 2 b=1 2 1 4 5 0 1 .  + =  + =  =  = a 2 + b 2 = c 2 ¾¾¾ c c c c b ( ) í a = 2-c 4 ïï ïï 5 ïïc = 4 ïî Câu 34: Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 25 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi rạp hát có tất cả bao nhiêu ghế? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 254 A. 1635. B. 1792. C. 2055. D. 3125. Lời giải. Chọn C Số ghế của mỗi dãy (bắt đầu từ dãy đầu tiên) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có 30 số hạng có công sai d = 3 và u1 = 25. Tổng số ghế là S30 = u1 + u2 +  + u30 = 30u1 + 30.29 d = 2055 2 Câu 35: Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây,.Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây? A. 73. B. 75. C. 77. D. 79. Lời giải. Chọn C Số cây mỗi hàng (bắt đầu từ hàng thứ nhất) lập thành một cấp số cộng (un ) có u1 = 1, d = 1. Giả sử có n hàng cây thì u1 + u2 +  + un = 3003 = Sn . Ta có 3003 = Sn = nu1 + n (n -1) 2 d  n 2 + n - 6006 = 0  n = 77 Câu 36: Một chiếc đồng hồ đánh chuông, kể từ thời điểm 0 (giờ) thì sau mỗi giờ thì số tiếng chuông được đánh đúng bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông? A. 78. B. 156. C. 300. D. 48. Lời giải. Chọn C Kể từ lúc 1 (giờ) đến 24 (giời) số tiếng chuông được đánh lập thành cấp số cộng có 24 số hạng với u1 = 1, công sai d = 1. Vậy số tiếng chuông được đánh trong 1 ngày là: S = S 24 = 24 (u1 + u24 ) = 12 (1 + 24) = 300 2 Câu 37: Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là 5,… và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n . Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông? A. 98. B. 100. C. 102. D. 104. Lời giải. Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 255 Số hạt dẻ trên mỗi ô (bắt đầu từ ô thứ nhất) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng (un ) có u1 = 7, d = 5. Gọi n là số ô trên bàn cờ thì u1 + u2 +  + un = 25450 = Sn . Ta có 25450 = S n = nu1 + n (n -1) 2 d = 7n + n2 - n .5 2  5n 2 + 9n - 50900 = 0  n = 100 Câu 38: Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước đến để khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ 2 giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có nước. Vậy hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó? A. 5.2500.000 đồng. đồng. B. 10.125.000 đồng. C. 4.000.000 đồng. D. 4.245.000 Lời giải. Chọn B Giá tiền khoang mỗi mét (bắt đầu từ mét đầu tiên) lập thành cấp số cộng (un ) có u1 = 80 000, d = 5000. Do cần khoang 50 mét nên tổng số tiền cần trả là u1 + u2 +  + u50 = S50 = 50u1 + 50.49 d = 50.80 000 + 1225.5000 = 10125000 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 256 BÀI 4. CẤP SỐ NHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – ĐỊNH NGHĨA Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu (un ) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: un +1 = un q với n Î  * . Đặc biệt: · Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1 , 0, 0, ..., 0, ... · Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1 , u1 , u1 , ..., u1 , ... · Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, ..., 0, ... II - SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Định lí 1 Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức un = u1.qn-1 với n ³ 2. III – TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN Định lí 2 Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là uk2 = uk -1.uk +1 với k ³ 2. IV – TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN Định lí 3 Cho cấp số nhân (un ) với công bội q ¹ 1. Đặt S n = u1 + u2 + ... + un . Khi đó Sn = u1 (1 - q n ) 1- q . Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u1 , u1 , u1 , ..., u1 , ... khi đó S n = nu1 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 257 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Xác định cấp số nhân, số hạng , công bội của cấp số nhân 1. Phương pháp  Xác định một cấp số nhân là xác định số hạng đầu u1 và công bội q  Từ những giải thiết ta thường lập hệ phương trình theo ẩn số u1 và q rồi giải hệ đó. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A. 128; - 64; 32; -16; 8; ... B. 2; 2; 4; 4 2; .... C. 5; 6; 7; 8; ... D. 15; 5; 1; 1 ; ... 5 Lời giải. Chọn A Dãy (un ) là cấp số nhân  un = qun-1 (n Î * )  u2 u3 u4 = = =  = q (un = / 0) , q gọi là công u1 u2 u3 bội. u2 u 1 u =- = 3 = 4 2 u2 u3 u1 Xét đáp án A: 128; - 64; 32; -16; 8; ... ¾¾  Xét đáp án B: 2; 2; 4; 4 2; .... ¾¾  u u2 1 = = / 2 = 3 ¾¾  loại B. u1 u2 2 Tương tự, ta cũng loại các đáp án C, D. Ví dụ 2: Với giá trị x nào dưới đấy thì các số -4; x ; - 9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân? A. x = 36. B. x = - 13 . 2 C. x = 6. D. x = -36. Lời giải. Chọn C Nhận xét: ba số a; b ; c theo thứ tự đó lấp thành cấp số nhân  ac = b 2 . Ví dụ 3: Tìm b > 0 để các số 1 2 A. b = -1. ; b; theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. 2 B. b = 1. C. b = 2. D. b = -2. Lời giải. Chọn B Cấp số nhân 1 2 ; b;  2 ¾¾ 1 2 . 2= ( b) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2  b =1 Trang 258 Ví dụ 4: Cho cấp số nhân 1 1 1 1 ; ; ; ; . 2 4 8 4096 Hỏi số 1 4096 là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân đã cho? A. 11. B. 12. C. 10. D. 13. Lời giải. Chọn B Cấp số nhân: un = ì 1 ï ï u1 = n-1 ï ï 2 1 1 1 1 1 æ1ö 1 ; ; ; ; ¾¾ ï  un = .çç ÷÷÷ = n . í ç u 1 ï è ø 2 4 8 4096 2 2 2 ï q= 2 = ï ï u1 2 ï î 1 1 1  n = 12  n = 12 4096 2 2 ìu + u + u = 14 ï . Tính u2 . Ví dụ 5: Cho cấp số nhân (un ) thỏa ïí 1 2 3 ï ï îu1 .u2 .u3 = 64 A. u2 = 4. B. u2 = 6. C. u2 = 8. D. u2 = 10. Lời giải. Chọn A Từ u1 .u2 .u3 = 64  u1 .u1q.u1q2 = 64  (u1q)3 = 64  u1q = 4 hay u2 = 4 . ìïu + 4 + u3 = 14 ìïïu1 + u3 = 10 ìïïu1 = 8 ïìu = 2 Thay vào hệ ban đầu ta được ïí 1 hoặc ïí 1 . í í ïîïu1 .4.u3 = 64 Vậy ìïu1 = 8 ïï í ïïq = 1 ïî 2 ïîïu1 .u3 = 16 ïîïu3 = 2 ïïîu3 = 8 ïìu = 2 hoặc ïí 1 ¾¾  u2 = u1q = 4. ïïîq = 2 ïìu – u + u = 65 Ví dụ 6: Cho cấp số nhân (un ) thỏa ïí 1 3 5 . Tính u3 . ïïîu1 + u7 = 325 A. u3 = 10. B. u3 = 15. C. u3 = 20. D. u3 = 25. Lời giải. Chọn C 2 4 ï ìu1 – u1 q 2 + u1q 4 = 65 ì ìïu – u + u = 65 ï ïu1 (1 – q + q ) = 65 (1) ï Ta có ïí 1 3 5 . ï  í í 6 ï u1 (1 + q 6 ) = 325 2) ( ïïu1 + u7 = 325 ïïu1 + u1 q = 325 ï î î ï î Lấy (2 ) chia (1) , ta được 1 + q6 325 =  1 + q 2 = 5  q = 2 . 65 1 – q2 + q4 ìu = 5 ìu = 5 ï ï Vậy ïí 1 ¾¾  u3 = u1q 2 = 5.4 = 20. hoặc ïí 1 ï ï îq = 2 ï ï îq = -2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 259 Dạng 2. Tính tổng của cấp số nhân 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un ) có u2 = -2 và u5 = 54. Tính tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho. A. S1000 = 1 – 31000 . 4 B. S1000 = 31000 -1 . 2 C. S1000 = 31000 -1 . 6 D. S1000 = 1 – 31000 . 6 Lời giải. Chọn D ìï ïïu1 = 2  3 . í ïï54 = u5 = u1q = u1q.q 3 = -2q 3 ïï î = q 3 îï ïì-2 = u2 = u1q Ta có ïí 4 Khi đó 100 S100 = u1 . 1- q100 2 1- (-3) 1- 3100 = . = 1- q 3 1- (-3) 6 Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1 1 ; ; 1; ; 2048. Tính tổng S của tất cả các số 4 2 hạng của cấp số nhân đã cho. A. S = 2047,75. B. S = 2049,75. C. S = 4095,75. D. S = 4096,75. Lời giải. Chọn A Cấp số nhân đã cho có ì 1 ï ï 1 ïu1 = ¾¾  2048 = 211 = u1q n-1 = .2n-1 = 2n-2  n = 13. 4 í ï 2 ï ï îq = 2 Vậy cấp số nhân đã cho có tất cả 13 số hạng. Vậy S13 = u1 . 1- q13 1 1- 213 = . = 2047, 75 1- q 4 1- 2 n -1 Ví dụ 3: Tính tổng S = -2 + 4 – 8 + 16 – 32 + 64 – … + (-2 ) A. S = 2n. C. S = -2 (1 – 2 n ) 1- 2 + (-2 ) với n ³ 1, n Î . n B. S = 2 n. 1 – (-2 ) n D. S = -2. . 3 . Lời giải. Chọn D n-1 Các số hạng -2; 4; – 8; 16; – 32; 64;…;(-2) ; (-2) trong tổng S gồm có n số hạng theo n thứ tự đó lập thành cấp số nhân có u1 = -2, q = -2. Vậy Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 260 1- (-2) 1- (-2) 1- q n = -2. = -2. 1- q 1- (-2) 3 n S = Sn = u1 . n Ví dụ 4: Gọi S = 9 + 99 + 999 + … + 999…9 ( n số 9 ) thì S nhận giá trị nào sau đây? A. S = æ10 n -1ö÷ ÷. çè 9 ÷ø÷ 10 n -1 . 9 B. S = 10 ççç æ10 n -1ö÷ ÷ – n. çè 9 ÷ø÷ æ10 n -1ö÷ ÷ + n. çè 9 ÷ø÷ C. S = 10 ççç D. S = 10 ççç Lời giải. Chọn C 2 n Ta có S = 9 + 99 + 999 + … + 99…9  = (10 -1) + (10 -1) + … + (10 -1) n so 9 = 10 + 10 2 + … + 10 n – n = 10. 1 -10 n – n. 1 -10 Ví dụ 5 : Cho cấp số nhân (un ) có tổng của hai số hạng đầu tiên bằng 4 , tổng của ba số hạng đầu tiên bằng 13 . Tính tổng của năm số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho, biết công bội của cấp số nhân là một số dương. A. S 5 = 181 . 16 B. S 5 = 141. C. S 5 = 121. D. S 5 = 35 . 16 Lời giải. Chọn C ìï4 = S 2 = u1 + u2 = u1 (1 + q ) ï  4 (1 + q + q 2 ) = 13(1 + q )  q = 3 (q > 0)  u1 = 1. í ïï13 = S3 = u1 (1 + q + q 2 ) ïî Khi đó S5 = u1 . 1- q 5 1- 35 = 1. = 121 1- q 1- 3 Dạng 3. Các bài toán thực tế 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12 288 m 2 ). Tính diện tích mặt trên cùng. A. 6 m 2 . B. 8 m2 . C. 10 m 2 . D. 12 m 2 . Lời giải. Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 261 Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có công bội q = u1 = 1 và 2 12 288 = 6 144. Khi đó diện tích mặt trên cùng là 2 u11 = u1q10 = 6144 =6 210 Ví dụ 2: Một du khách vào chuồng đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu? A. Hòa vốn. B. Thua 20000 đồng. C. Thắng 20000 đồng. D. Thua 40000 đồng. Lời giải. Chọn C Số tiền du khác đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một cấp số nhân có u1 = 20 000 và công bội q = 2. Du khách thua trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là: S 9 = u1 + u2 + … + u9 = u1 (1 – p9 ) 1- p = 10220000 Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ 10 là u10 = u1 . p9 = 10240000 Ta có u10 – S9 = 20 000 > 0 nên du khách thắng 20 000. C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân? A. 2; 4; 8; 16;  B. 1; -1; 1; -1;  C. 12 ; 2 2 ; 32 ; 4 2 ;  D. a; a3 ; a5 ; a7 ;  (a ¹ 0). Lời giải. Chọn C Xét đáp án C: 12 ; 22 ; 32 ; 42 ;  ¾¾  u2 9 u =4= / = 3 4 u2 u1 Các đáp án A, B, D đều là các cấp số nhân. Nhận xét: Dãy (un ) với un = / 0 là cấp số nhân  un = a.q n , tức là các số hạng của nó đều được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của cùng một cơ số q (công bội), các số hạng liên tiếp (kể từ số hạng thứ hai) thì số mũ của chúng cách đều nhau. Ví dụ 2; 4; 8; 16;  ¾¾  là cấp số nhân và un = 2n. 1; -1; 1; -1;  ¾¾  là cấp số nhân và un = (-1) . n Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 262 a; a 3 ; a 5 ; a 7 ;  (a ¹ 0) ¾¾  là Câu 2: 1 a cấp số nhân và un = a 2 n-1 = .(a 2 ) . n Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? B. 3; 32 ; 33 ; 34 ;  A. 1; 2; 4; 8;  C. 4; 2; 1 1 ; ;  2 4 D. 1 1 1 1 ; ; ; ;  p p2 p4 p6 Lời giải. Chọn D 1 2 Các đáp án A, B, C đều là các cấp số nhân công bội lần lượt là 2;3; . Xét đáp án D: Câu 3: u u 1 1 1 1 1 1 ; ; ; ;  ¾¾  2= = / = 3 p p2 p4 p6 u1 p p 2 u2 Dãy số 1; 2; 4; 8; 16; 32;  là một cấp số nhân với: A. Công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 1. B. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 1. C. Công bội là 4 và số hạng đầu tiên là 2. D. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 2. Lời giải. Chọn B ìu1 = 1 ï ï u ï q= 2 =2 ï u1 ï ï î ï Cấp số nhân: 1; 2; 4; 8; 16; 32;¼ ¾¾ í Câu 4: Cho cấp số nhân (un ) với u1 = -2 và q = -5. Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân. A. -2; 10; 50; – 250. B. -2; 10; – 50; 250. C. -2; -10; – 50; – 250. D. -2; 10; 50; 250. Lời giải. Chọn B ì u1 = -2 ï ï ï ï ìï u2 = u1q = 10 u = 2 ï 1 ¾¾ ï í í ï ï u3 = u2 q = -50 ïq = -5 ï î ï ï ïu4 = u3 q = 250 ï î Câu 5: Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là: A. 720. B. 81. C. 64. D. 56. Lời giải. Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 263 Ta có cấp số nhân (un ) có: ìuk = 16 ï u 9 ïí  q = k +1 = ¾¾  uk +2 = uk +1q = 81 ï = u 36 u 4 + k 1 k ï î Câu 6: Tìm x để các số 2; 8; x ; 128 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. x = 14. B. x = 32. C. x = 64. D. x = 68. Lời giải. Chọn B Cấp số nhân 2; 8; x ; 128 theo thứ tự đó sẽ là u1 ; u2 ; u3 ; u4 , ta có ìï u2 u3 ìï 8 x ïï = ìï x = 32 ïï = ïï ï u1 u2 ïìï x = 32 ïï 2 8 ïí í í 2  ïíé x = 32  x = 32 ê ïu ï128 x u îïï x = 1024 ïïïê x = -32 = ïïï 3 = 4 ïïï ë ï î 8 ïî x ïî u2 u3 Câu 7: Tìm tất cả giá trị của x để ba số 2 x -1; x ; 2 x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. x =  1 3 . 1 3 B. x =  . C. x =  3. D. x = 3. Lời giải. Chọn A Cấp số nhân 2 x -1; x; 2 x + 1 ¾¾  (2 x -1)(2 x + 1) = x 2  3 x 2 = 1  x =  Câu 8: 1 3 . Tìm x để ba số 1 + x ; 9 + x ; 33 + x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. A. x = 1. B. x = 3. C. x = 7. D. x = 3; x = 7. Lời giải. Chọn B 2 Cấp số nhân 1 + x; 9 + x; 33 + x ¾¾  (1 + x )(33 + x) = (9 + x )  x = 3. Câu 9: Với giá trị x, y nào dưới đây thì các số hạng lần lượt là -2; x; -18; y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân? ïì x = 6 A. ïí ïïî y = -54 . ïì x = -10 B. ïí . ïïî y = -26 ì x = -6 ï C. ïí . ï ï î y = -54 ì x = -6 ï D. ïí . ï ï î y = 54 Lời giải. Chọn C -18 ïìï x = ïïì x = 6 ïï -2 x ï Cấp số nhân: -2; x; -18; y ¾¾ í  ïí . Vậy ïï-18 ïï y = 324 = 54 y = ïï ïî x -18 îï x ( x; y ) = (6;54) hoặc ( x; y ) = (-6; -54) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 264 Câu 10: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là x ; 12; y ; 192. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x = 1; y = 144. B. x = 2; y = 72. C. x = 3; y = 48. D. x = 4; y = 36. Lời giải. Chọn C ìï12 y ìï ïïï = ïï x = 144 ìï x = 3 x 12 ï y Câp số nhân: x; 12; y; 192 ¾¾ . í  ïí  ïí ïï y 192 ïï 2 ïïî y = 48 = ïï ïîï y = 2304 y îï12 Câu 11: Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số 5; x ; y ; 320 theo thứ tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng? ìï x = 25 . A. ïí ìï x = 20 . B. ïí ïïî y = 125 ïïî y = 80 ìï x = 15 . C. ïí ïïî y = 45 ìï x = 30 . D. ïí ïïî y = 90 Lời giải. Chọn B Cấp số nhân: ì u1 = 5 ï ï ï ï x ï q= ï ï 5 ï ï ï ïì x = 20 .  ïí 5; x; y; 320 ¾¾ x 2  íï 2 ï = = = y u u q ïî y = 80 3 1 ïï 5 ï ï ï x3 ï ï 320 = u4 = u1q 3 = ï ï 25 î Câu 12: Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x – 6; x và y. Tìm y , biết rằng công bội của cấp số nhân là 6. A. y = 216. B. y = 324 . 5 C. y = 1296 . 5 D. y = 12. Lời giải. Chọn C Cấp số nhân x – 6; x và y có công bội q = 6 nên ta có ìï ìïu1 = x – 6, q = 6 ïï x = 36 ïï 5 ï x = u = u q = 6 ( x – 6)  ïï í í 2 1 ïï ïï 36 1296 ïï y = u3 = u2 q 2 = 36 x ïï y = 36. = î 5 5 ïî Câu 13: Hai số hạng đầu của của một cấp số nhân là 2 x + 1 và 4 x 2 -1. Số hạng thứ ba của cấp số nhân là: A. 2 x -1. B. 2 x + 1. C. 8 x 3 – 4 x 2 – 2 x + 1. D. 8 x 3 + 4 x 2 – 2 x -1. Lời giải. Chọn C Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 265 Công bội của cấp số nhân là: q = (4 x 2 4 x 2 -1 = 2 x -1. 2 x +1 Vậy số hạng thứ ba của cấp số nhân là: -1)(2 x -1) = 8 x 3 – 4 x 2 – 2 x + 1 Câu 14: Dãy số nào sau đây là cấp số nhân? ìïu = 1 A. ïí 1 ì ïu = -1 B. ïí 1 . ïïîun +1 = un + 1, n ³ 1 C. ï ï îun +1 = -3un , n ³ 1 ìïïu1 = -2 . í ïïîun +1 = 2un + 3, n ³ 1 D. . ìï ïïu1 = p ïï 2 . í æ p ö÷ ïï ç sin , 1 u = n ³ ÷ ïï n çç è n -1÷ø ïî Lời giải. Chọn B  (un ) là cấp số nhân  un+1 = qun ¾¾ 3 2 Câu 15: Cho dãy số (un ) với un = .5n. Khẳng định nào sau đây đúng? A. (un ) không phải là cấp số nhân. 3 2 B. (un ) là cấp số nhân có công bội q = 5 và số hạng đầu u1 = . C. (un ) là cấp số nhân có công bội q = 5 và số hạng đầu u1 = D. (un ) là cấp số nhân có công bội q = 5 2 15 . 2 và số hạng đầu u1 = 3. Lời giải. Chọn C 3 un = .5n 2 là cấp số nhân công bội q = 5 và u1 = 15 2 Câu 16: Trong các dãy số (un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A. un = 1 . 3 n -2 B. un = 1 -1. 3n 1 3 C. un = n + . 1 3 D. un = n 2 – . Lời giải. Chọn A Dãy un = 1 3n-2 æ1ö = 9.çç ÷÷÷ çè 3 ø n ïìu1 = 3 ïïq = 1 3 îï ï là cấp số nhân có ïí Câu 17: Trong các dãy số (un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là một cấp số nhân? A. un = 7 – 3n. B. un = 7 – 3n. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. un = 7 . 3n D. un = 7.3n. Trang 266 Lời giải. Chọn D ìïu = 21 ¾¾  Dãy un = 7.3n là cấp số nhân có ïí 1 ïïîq = 3 Câu 18: Cho dãy số (un ) là một cấp số nhân với un ¹ 0, n Î  * . Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A. u1 ; u3 ; u5 ; … C. B. 3u1 ; 3u2 ; 3u3 ; … 1 1 1 ; ; ; … u1 u2 u3 D. u1 + 2; u2 + 2; u3 + 2; … Lời giải. Chọn D Giả sử (un ) là cấp số nhân công bội q, thì Dãy u1 ; u3 ; u5 ; … là cấp số nhân công bội q 2 . Dãy 3u1 ; 3u2 ; 3u3 ; … là cấp số nhân công bội 2q. Dãy 1 1 1 ; ; ; … là cấp số nhân u1 u2 u3 công bội 1 . q Dãy u1 + 2; u2 + 2; u3 + 2; … không phải là cấp số nhân. Nhận xét: Có thể lấy một cấp số nhân cụ thể để kiểm tra, ví dụ un = 2n. Câu 19: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3; 9; 27; 81; … . Tìm số hạng tổng quát un của cấp số nhân đã cho. A. un = 3n-1. B. un = 3n. C. un = 3n +1. D. un = 3 + 3n. Lời giải. Chọn B Câp số nhân ìïu1 = 3 ï  ïí  un = u1q n-1 = 3.3n-1 = 3n . 3; 9; 27; 81; … ¾¾ ïïq = 9 = 3 ïî 3 Câu 20: Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho. A. q = 3. B. q = -3. C. q = 2. D. q = -2. Lời giải. Chọn A ìu = 2 ï Theo giải thiết ta có: ïí 1 ï ï îu6 = 486 ¾¾  486 = u6 = u1q 5 = 2q 5  q 5 = 243  q = 3. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 267 2 3 Câu 21: Cho cấp số nhân (un ) có u1 = -3 và q = . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. u5 = – 27 . 16 B. u5 = – 16 . 27 C. u5 = 16 . 27 D. u5 = 27 . 16 Lời giải. Chọn B ìu1 = -3 ï 4 ï æ 2ö 16 16 ï ¾¾  u5 = u1q 4 = -3.çç ÷÷÷ = -3. = – . í 2 çè 3 ø ï 81 27 = q ï ï 3 î Câu 22: Cho cấp số nhân (un ) có u1 = 2 và u2 = -8 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. S 6 = 130. B. u5 = 256. C. S 5 = 256. D. q = -4. Lời giải. Chọn D ìï ïï ïïu = 2 ïï 1 ïïq = -4 ïï 5 ïï 1- (-4) 1- q 5 ïïíìu1 = 2  ïíS5 = u1 . = 2. = 410 ïîïu2 = -8 = u1q = 2q ïï 1- q 1+ 4 ïï 6 ïï 1- (-4) ïïS6 = 2. = -1638 ïï 1+ 4 ïï 4 ïïîu5 = u1q 4 = 2.(-4) = 512. Câu 23: Cho cấp số nhân (un ) có u1 = 3 và q = -2 . Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho? A. Số hạng thứ 5. B. Số hạng thứ 6. C. Số hạng thứ 7. D. Không là số hạng của cấp số đã cho. Lời giải. Chọn C n-1 192 = un = u1q n-1 = 3.(-2) n-1  (-1) 6 .2n-1 = 64 = (-1) .26  n = 7. Câu 24: Cho cấp số nhân (un ) có u1 = -1 và q = – 1 1 . Số 103 là số hạng thứ mấy của cấp số 10 10 nhân đã cho? A. Số hạng thứ 103. B. Số hạng thứ 104. C. Số hạng thứ 105. D. Không là số hạng của cấp số đã cho. Lời giải. Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 268 n-1 æ 1ö 1 = un = u1q n-1 = -1.çç- ÷÷÷ 103 çè 10 ø 10 (-1) n = 10 n-1 ì ïn chan ï  n = 104. í ï ï în -1 = 103 Câu 25: Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng? A. 18. B. 17. C. 16. D. 9. Lời giải. Chọn B 32805 = un = u1q n-1 = 5.3n-1  3n-1 = 6561 = 38  n = 9. Vậy u9 là số hạng chính giữa của cấp số nhân, nên cấp số nhân đã cho có 17 số hạng. Câu 26: Cho cấp số nhân (un ) có un = 81 và un +1 = 9. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 9 A. q = . B. q = 9. 1 9 C. q = -9. D. q = – . Lời giải. Chọn A Công bội q = un+1 9 1 = = un 81 9 1 2 Câu 27: Một dãy số được xác định bởi u1 = -4 và un = – un-1 , n ³ 2. Số hạng tổng quát un của dãy số đó là: A. un = 2 n-1. B. un = (-2)n-1 . C. un = -4 (2-n +1 ). æ 1ö D. un = -4 ççç- ÷÷÷ . n -1 è 2ø Lời giải. Chọn D ì u1 = -4 ï ïìïu1 = -4 n-1 ï æ 1 ÷ö n-1 ï ï ç u u q 4. . ¾¾   = = ÷ í í 1 n ççè 2 ÷ø ïïun +1 = – 1 un ïïq = – 1 ï ïî 2 2 î Câu 28: Cho cấp số nhân (un ) có u1 = -3 và q = -2. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho. A. S10 = -511. B. S10 = -1025. C. S10 = 1025. D. S10 = 1023. Lời giải. Chọn D 10 ì 1- (-2) u1 = -3 ï 1- q10 ï ¾¾  S10 = u1 . = -3. = 1023. í ï 1- q 1- (-2) ï î q = -2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 269 Câu 29: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1; 4; 16; 64;  Gọi S n là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. S n = 4 n-1. B. S n = n (1 + 4 n -1 ) 2 C. S n = . 4 n -1 . 3 D. S n = 4 (4 n -1) 3 . Lời giải. Chọn C ìu = 1 ï 1- q n 1 – 4 n 4 n -1 Cấp số nhân đã cho có íï 1 ¾¾ .  Sn = u1 . = 1. = ïïq = 4 î 1- q 1- 4 3 Câu 30: Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Tìm số hạng cuối u6 của cấp số nhân đã cho. A. u6 = 32. B. u6 = 104. C. u6 = 48. D. u6 = 96. Lời giải. Chọn D Theo giả thiết: ìïq = 2 ïï ì ïq = 2 ïí  u6 = u1q 5 = 3.25 = 96. í 1- q 6 1 – 26  ï ïïS6 = 189 = u1 ï 3 u = = u1 . ï 1 î ïïî 1- q 1- 2 Câu 31: Cho cấp số nhân (un ) có u1 = -6 và q = -2. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho bằng 2046. Tìm n. A. n = 9. B. n = 10. C. n = 11. D. n = 12. Lời giải. Chọn B 1- (-2) 1- q n n n = -6. = 2 (-2) -1  (-2) = 1024  n = 10. 1- q 1- (-2) n Ta có 2046 = Sn = u1 . ( ) Câu 32: Cho cấp số nhân (un ) có tổng n số hạng đầu tiên là S n = 5n -1. Tìm số hạng thứ 4 của cấp số nhân đã cho. A. u4 = 100. B. u4 = 124. C. u4 = 500. D. u4 = 624. Lời giải. Chọn C Ta có 5n-1 -1 = Sn = u1 . ïìu = q -1 ìïïu1 = 4 u 1- q n . = 1 (q n -1)  ïí 1 í 1- q q -1 îïïq = 5 îïïq = 5 Khi đó u4 = u1q 3 = 4.53 = 50 Câu 33: Cho cấp số nhân (un ) có tổng n số hạng đầu tiên là S n = 3n – 1 . 3n -1 Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân đã cho. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 270 A. u5 = 2 . 34 B. u5 = 1 . 35 C. u5 = 35. D. u5 = 5 . 35 Lời giải. Chọn A Ta có ìu1 = 3(1- q ) ìïu1 = 2 ï æ æ 1 ön ÷ö ï ï u1 3n -1 ï ç n ÷ ç ÷ ç = 3ç1- ç ÷÷ ÷ = S n =  íï 1- q )  í ( 1. 1 n-1 ÷ ç ï ï ç è ø ÷ q 3 1 3 q= q= è ø ï ï ï ï 3 3 î ï î u5 = u1q 4 = Khi đó 2 34 Câu 34: Một cấp số nhân có số hạng thứ bảy bằng 1 1 , công bội bằng . Hỏi số hạng đầu tiên của 2 4 cấp số nhân bằng bào nhiêu? A. 4096. B. 2048. C. 1024. D. 1 512 . Lời giải. Chọn B Ta có ì 1 ï ï q= ï 46 ï 4 ï  u1 = = 2048 í ï u 1 2 ï = u7 = u1q 6 = 16 ï ï 4 ï2 î Câu 35: Cho cấp số nhân (un ) có u2 = -6 và u6 = -486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho, biết rằng u3 > 0. 1 3 A. q = -3. 1 3 B. q = – . C. q = . D. q = 3. Lời giải. Chọn D ì-6 = u2 = u1q ï ï  q 4 = 81 = 34  q = 3. í 5 4 4 ï = = = = u u q u q q q 486 . 6. ï 6 1 1 î Câu 36: Cho cấp số nhân u1 ; u2 ; u3 ;  với u1 = 1. Tìm công bội q để 4u2 + 5u3 đạt giá trị nhỏ nhất? 2 5 A. q = – . 2 5 B. q = 0. C. q = . D. q = 1. Lời giải. Chọn A 2 æ 2ö 4 4 Ta có 4u2 + 5u3 = 4u1q + 5u1q 2 = 5q 2 + 4q = 5çççq + ÷÷÷ – ³ – . Vậy è min (4u2 + 5u3 ) = – 4 5 khi q = – 5ø 5 5 2 5 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 271 Câu 37: Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64, thì số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể tính theo công thức nào dưới đây? A. un = 2 n-1. B. un = 2 n C. un = 2 n +1. D. un = 2n. Lời giải. Chọn B ì ï4 = u2 = u1q Ta có ïí ïï64 = u6 = u1q 5 = u1q.q 4 = 4q 4 î ìu = 2 ï  ïí 1  un = u1q n-1 = 2.2 n-1 = 2 n. ïî ïq = 2 Câu 38: Cho cấp số nhân (un ) có công bội q. Mệnh đề nào sau đây đúng? uk -1 + uk +1 . 2 A. uk = u1 .q k -1 . B. uk = C. uk = uk +1 .uk +2 . D. uk = u1 + (k – 1) q. Lời giải. Chọn A Câu 39: Cho cấp số nhân (un ) có u1 ¹ 0 và q ¹ 0. Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. u7 = u4 .q3 . B. u7 = u4 .q 4 . C. u7 = u4 .q5 . D. u7 = u4 .q6 . Lời giải. Chọn A 3 ì ï ïu4 = u1q ¾¾  u7 = (u1q 3 ).q 3 = u4 q 3 í 6 ï u = u q ï 7 1 î Câu 40: Cho cấp số nhân (un ) có u1 ¹ 0 và q ¹ 0. Với 1 < k < m, đẳng thức nào dưới đây là đúng? A. um = uk .q k . B. um = uk .q m . C. um = uk .q m -k . D. um = uk . q m + k . Lời giải. Chọn C uk = u1q k -1 ¾¾  um = u1q m-1 = (u1q k -1 ).q m-k = uk q m-k Câu 41: Cho một cấp số nhân có n số hạng (n > k > 55). Đẳng thức nào sau đây sai? A. u1 .un = u2 .un-1 . B. u1 .un = u5 .un-4 . C. u1 .un = u55 .un-55 . D. u1 .un = uk .un-k +1 . Lời giải. Chọn C u1un = u1 .u1q n-1 = (u1q k -1 ).(u1q m-1 ) = uk .um với k + m = n +1. ïìu = 192 . Câu 42: Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân (un ), biết ïí 6 ïïîu7 = 384 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 272 ìu = 5 ï A. ïí 1 . ï ï îq = 2 ìu = 6 ï B. ïí 1 . ïìu = 6 C. ïí 1 . ï ï îq = 2 ïïîq = 3 ïìu = 5 D. ïí 1 . ïïîq = 3 Lời giải. Chọn B ïìïq = 2 ì ï192 = u6 = u1q 5 ï ï  . 192 í í 6 5 ï ïu1 = 5 = 6 = = = = 384 u u q u q q 192 q ( ) ï ï 7 1 1 ï î q ïïî ïìu – u = 36 . Chọn khẳng định đúng? Câu 43: Cho cấp số nhân (un ) thỏa mãn ïí 4 2 ïïîu5 – u3 = 72 ì ïu = 4 A. ïí 1 . ï ï îq = 2 ì ïu = 6 B. ïí 1 . ìïu = 9 C. ïí 1 . ï ï îq = 2 ïïîq = 2 ìïu = 9 D. ïí 1 . ïïîq = 3 Lời giải. Chọn B ì ìï36 = u – u = u q (q 2 -1) ïïïq = 2 4 2 1 ïï 36 .  ïí í 2 2 2 ï é ù 72 = u5 – u3 = u1q (q -1) = êu1q (q -1)ú q = 36q ïïu1 = q q 2 -1 = 6 ï ïïî ( ) ë û îï ïìu = 8u17 Câu 44: Cho cấp số nhân (un ) thỏa mãn ïí 20 ïïîu1 + u5 = 272 A. q = 2. B. q = -4. . Chọn khẳng định đúng? C. q = 4. D. q = -2. Lời giải. Chọn A ì 3 ìïu1q19 = 8u1q16 ïïïq = 8 ïìq = 2 ïíïìu20 = 8u17 ï í  ïí . 272  ïí 4 ïï ï ï ïîïu1 = 16 îu1 + u5 = 272 ïïîu1 (1 + q ) = 272 ïïu1 = 1 + q 4 ïî Câu 45: Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên là các số dương, tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 1 . Tìm 16 số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đã cho. A. ìï ïïu1 = 1 2. í ïï îïq = 2 B. ìïu1 = 2 ïï . í ïïq = 1 ïî 2 C. ìïu1 = -2 ïï . í ïïq = – 1 ïî 2 D. ìï ïïu1 = – 1 2. í ïï îïq = -2 Lời giải Chọn B ìu1 > 0, ìu1 , ï ï ïï ïï 1 ïìï ïïq > 0 ïïu2 > 0 ïïq = ï ï 2 ï  ïí . íu1 .u3 = 1  ï íu12 q 2 = 1 1 ï ï ï ï ï ï = = u 2 ï ï ï 1 1 1 ï ï q ïu3 .u5 = ï = u12 q 6 = (u12 q 2 ) q 4 = q 4 îïï ï ï 16 ï ï16 î î Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 273 Câu 46: Cho cấp số nhân (un ) có công bội q và thỏa æ1 ïì 1 1 1 1ö ïïïu1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 49 ççç + + + + ÷÷÷ í èç u1 u2 u3 u4 u5 ø÷ . ïï ïïîu1 + u3 = 35 Tính P = u1 + 4q 2 . A. P = 24. B. P = 29. C. P = 34. D. P = 39. Lời giải. Chọn B Nhận xét: Nếu u1 , u2 , u3 , u4 , u5 là một cấp số nhân với công bội q thì cũng tạo thành cấp số nhân với công bội 1 1 1 1 1 , , , , u1 u2 u3 u4 u5 1 . q ìï æ ö 1 ïï -1÷÷÷ ççç 5 ïï q5 -1 1 q ÷÷ = 49 ççç . ïu . ÷ (1) Do đó từ giả thiết ta có ïí 1 q -1 . çç u1 1 -1 ÷÷÷ ïï ÷÷ ççè q ø ïï ïïu + u q2 = 35 (2 ) 1 ïî 1 Phương trình (1)  u1 . q5 -1 49 æç q5 -1 ö÷÷ 2 4 2 = çç 4 ÷  u1 q = 49  u1q = 7 . q -1 u1 èç q (q -1)÷ø Với u1q2 = -7 . Thay vào (2) , ta được u1 – 7 = 35  u1 = 42 . Suy ra q2 = – 7 : vô lý. 42 ìïu1 = 28 ìïu1 = 28 ïï ï Với u1q = 7 . Thay vào (2) , ta được u1 + 7 = 35  u1 = 28 . Vậy í 1 hoặc ïí . Khi ïïq = ïïq = – 1 ïî ïî 2 2 2 đó u1 + 4q 2 = 29. ïìu + u + u = 26 Câu 47: Cho cấp số nhân (un ) có công bội q và thỏa ïí 12 22 32 . Tìm q biết rằng q > 1. ïïu1 + u2 + u3 = 364 î 5 4 A. q = . B. q = 4. 4 3 C. q = . D. q = 3. Lời giải. Chọn D ìïu 2 1 + q + q2 2 = 26 2 1 ìïu (1 + q + q 2 ) = 26 ìïu1 + u2 + u3 = 26 () ïï 1 ( ) ïï 1   . í 2 í 2 2 2 ïïu1 + u2 + u3 = 364 ïïu (1 + q2 + q 4 ) = 364 ïïu 2 1 + q2 + q 4 = 364 (2 ) î ( ) 1 ïî ïî 1 Ta có ïí Lấy (1) chia (2) , ta (1 + q + q2 ) 2 được 2 1+ q + q 4 = æ 26 2 1ö æ 1ö  3q 4 – 7 q3 – 4 q 2 – 7q + 3 = 0  3 ççq2 + 2 ÷÷÷ – 7 ççq + ÷÷÷ – 4 = 0 . 364 q ø÷ èç q ø÷ èç Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 274 é t = -1 (loaïi) ê . 10 êt = – 3 ë 1 q Đặt t = q + , t ³ 2 . Phương trình trở thành 3t 2 – 7t -10 = 0  êê Với t = – Câu 48: 10 1 10 1 , suy ra q + = –  3q2 -10q + 3 = 0  q = 3 hoặc q = . Vì q > 1 nên q = 3. 3 3 q 3 Các số x + 6 y, 5 x + 2 y, 8 x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số x -1, y + 2, x – 3 y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính x 2 + y 2 . A. x 2 + y 2 = 40. B. x 2 + y 2 = 25. C. x 2 + y 2 = 100. D. x 2 + y 2 = 10. Lời giải. Chọn A ì ï( x + 6 y ) + (8 x + y ) = 2 (5 x + 2 y ) Theo giả thiết ta có ïí 2 ï ï ï î( x -1)( x – 3 y ) = ( y + 2 ) ì ìï x = 3 y ïx = 3 y ïìï x = -6 ï  ïí . 2 í 2 í ï ï ïî(3 y -1)(3 y – 3 y ) = ( y + 2 ) ïî0 = ( y + 2 ) îïï y = -2 Suy ra x 2 + y 2 = 40. Câu 49: Ba số x ; y ; z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời các số x ; 2 y ; 3 z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm giá trị của q . 1 3 1 9 A. q = . 1 3 B. q = . C. q = – . D. q = -3. Lời giải. Chọn A ìï y = xq; z = xq 2 éx = 0 ï .  x + 3xq 2 = 4 xq  x (3q 2 – 4q + 1) = 0  ê 2 í ê3q – 4q + 1 = 0 ï ë îï x + 3z = 2 (2 y ) Nếu x = 0  y = z = 0  công sai của cấp số cộng: x; 2 y; 3z bằng 0 (vô lí). éq = 1 ê 1 / 1). 1  q = (q = êq = 3 êë 3 Nếu 3q 2 – 4q + 1 = 0  ê Câu 50: Cho dãy số tăng a, b, c (c Î ) theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời a, b + 8, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng và a, b + 8, c + 64 theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị biểu thức P = a – b + 2c. A. P = 184 . 9 B. P = 64. C. P = 92 . 9 D. P = 32. Lời giải. Chọn B Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 275 ì ìac = b 2 2 ï (1) ïïïac = b ï ï ïï ï ï Ta có ía + c = 2 (b + 8)  ía – 2b = 16 – c ( 2) . ïï ï ï 2 ïïa (c + 64) = (b + 8)2 ï ï ï îï îac + 64a = (b + 8) (3) Thay (1) vào (3) ta được: b 2 + 64a = b 2 + 16b + 64  4a – b = 4 (4). ìï ïïa = c – 8 ì = a 2 b 16 c ï ï 7 ï  ïí Kết hợp (2) với (4) ta được: í (5) ï ï 4 a b = 4 4 c – 60 ï î ï b = ïï 7 ïî Thay (5) vào (1) ta được: é c = 36 ê 2 7 (c – 8) c = (4c – 60)  9c 2 – 424c + 3600 = 0  ê 100  c = 36 (c Î ). êc = êë 9 Với c = 36  a = 4, b = 12  P = 4 -12 + 72 = 64. Câu 51: Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q . Tìm q. A. q = 2. 3 2 B. q = -2. C. q = – . 3 2 D. q = . Lời giải. Chọn B Giả sử ba số hạng a; b; c lập thành cấp số cộng thỏa yêu cầu, khi đó b; a; c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân công bội q. Ta có éb = 0 ïìïa + c = 2b .  bq + bq 2 = 2b  ê 2 í 2 êq + q – 2 = 0 ïïîa = bq; c = bq ë Nếu b = 0  a = b = c = 0 nên a; b; c là cấp số cộng công sai d = 0 (vô lí). Nếu q 2 + q – 2 = 0  q = 1 hoặc q = -2. Nếu q = 1  a = b = c (vô lí), do đó q = -2. Câu 52: Cho bố số a, b, c, d biết rằng a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân công bội q >1 ; còn b, c, d theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Tìm q biết rằng a + d = 14 và b + c = 12. A. q = 18 + 73 . 24 B. q = 19 + 73 . 24 C. q = 20 + 73 . 24 D. q = 21 + 73 . 24 Lời giải. Chọn B Giả sử a, b, c lập thành cấp số cộng công bội q. Khi đó theo giả thiết ta có: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 276 ìïb = aq, c = aq 2 ìï 2 ïï (1) ïïaq + d = 2aq ï ï ïb + d = 2c ï  ía + d = 14 ( 2) í ïïa + d = 14 ïï ïï ïïa (q + q 2 ) = 12 (3) ïïîb + c = 12 ïî Nếu q = 0  b = c = 0 = d (vô lí) Nếu q = -1  b = -a; c = a  b + c = 0 (vô lí). Vậy q = / 0, q = / -1, từ (2) và (3) ta có: d = 14 – a và a = 12 thay vào (1) ta được: q + q2 12q 14q 2 + 14q -12 24q 3 + =  12q 3 – 7 q 2 -13q + 6 = 0 2 2 q+q q+q q + q2  (q + 1)(12q 2 -19q + 6) = 0  q = Vì q > 1 nên q = 19  73 24 19 + 73 . 24 Câu 53: Gọi S = 1 + 11 + 111 + … + 111…1 ( n số 1) thì S nhận giá trị nào sau đây? A. S = æ10 n -1ö÷ ÷. çè 81 ÷÷ø 10 n -1 . 81 B. S = 10 ççç 1 é æ10 n -1ö÷ ùú ÷- n . D. S = êê10 çç 9 ê çè 9 ÷÷ø úú æ10 n -1ö÷ ÷ – n. çè 81 ÷÷ø C. S = 10 ççç ë û Lời giải. Chọn D é ù ö÷ 1 1æ 1 -10 – nú . Ta có S = ççç9 + 99 + 999 + … + 99…9  ÷÷ = . êê10. ú 9è 9 ë 1 -10 n so 9 ø û Câu 54: Biết rằng S = 1 + 2.3 + 3.32 + … + 11.310 = a + A. P = 1. n 21.3b b . Tính P = a + . 4 4 B. P = 2. C. P = 3. D. P = 4. Lời giải. Chọn C Từ giả thiết suy ra 3S = 3 + 2.32 + 3.33 + … + 11.311 . Do đó -2S = S – 3S = 1 + 3 + 32 + … + 310 -10.311 = 1 4 Vì S = + 1- 311 1 21.311 1 21 -11.311 = –  S = + .311. 1- 3 2 2 4 4 21.311 21.3b 1 1 11 = a+  a = , b = 11 ¾¾  P = + = 3. 4 4 4 4 4 Câu 55: Một cấp số nhân có ba số hạng là a, b, c (theo thứ tự đó) trong đó các số hạng đều khác 0 và công bội q ¹ 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 1 1 = . a2 bc B. 1 1 = . b2 ac Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. 1 1 = . c2 ba D. 1 1 2 + = . a b c Trang 277 Lời giải. Chọn B Ta có ac = b 2  1 1 = b 2 ac Câu 56: Bốn góc của một tứ giác tạo thành cấp số nhân và góc lớn nhất gấp 27 lần góc nhỏ nhất. Tổng của góc lớn nhất và góc bé nhất bằng: A. 56 0. B. 102 0. C. 252 0. D. 168 0. Lời giải. Chọn C Giả sử 4 góc A, B, C, D (với A < B < C < D ) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thỏa yêu cầu với công bội q. Ta có ìïq = 3 ìïï A + B + C + D = 360 ïìï A(1 + q + q 2 + q 3 ) = 360 ïïï í  íA = 9  A + D = 252. í ïïî D = 27 A ïï Aq 3 = 27 A ïï 3 ïî ïïî D = Aq = 243 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 278
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top