Phân dạng và các phương pháp giải toán chuyên đề giới hạn – Trần Đình Cư

Giới thiệu Phân dạng và các phương pháp giải toán chuyên đề giới hạn – Trần Đình Cư

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và quý thây cô Phân dạng và các phương pháp giải toán chuyên đề giới hạn – Trần Đình CưChương Giới hạn.

Tài liệu môn Toán 11  và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất nhé.

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 11 tại đây.

Text Phân dạng và các phương pháp giải toán chuyên đề giới hạn – Trần Đình Cư
LUYỆN THI VÀ GIA SƯ CHẤT LƯỢNG CAO MÔN TOÁN SĐT: 01234332133. ĐC: Phòng 5, dãy 22 Tập thể xã tắc.TP HUẾ Biên soạn: Ths. Trần Đình Cư Bài giảng Giải tích11 Chương IV TÀI LIỆU THÂN TẶNG CÁC EM HỌC SINH LỚP TOÁN 11-THẦY CƯ HUẾ, NGÀY 4/1/2017 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. MỤC LỤC CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN ………………………………………………………………………………………………………..2 BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ……………………………………………………………………………………………2 Dạng 1. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số …………………………………………………………………3 Dạng 2. Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số …………………………………………………………………..4 Dạng 4. Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm giới hạn dãy. ……………………..5 Dạng 5. Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số ………………………………………………………………………………………………6 Dạng 6. Tìm giới hạn vô cùng của một dãy bằng định nghĩa …………………………………………………………..9 Dạng 7. Tìm giới hạn của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vô cực ……………………10 MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} …………………………………………………………………..12 BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ ……………………………………………………………………………………………………20 Dạng 1. Dùng định nghĩa để tìm giới hạn ………………………………………………………………………………..23 Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức……………………………………………………………………….26 Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn một bên …………………………………………………………………….27 Dạng 4. Sử dụng định lý và công thức tìm giới hạn một bên ………………………………………………………..27 Dạng 5. Tính giới hạn vô cực ………………………………………………………………………………………………..29 Dạng 6. Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định Dạng 7. Dạng vô định 0 ………………………………………………………………29 0  ……………………………………………………………………………………………………31  Dạng 8. Dạng vô định   ;0. ………………………………………………………………………………………….32 MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} …………………………………………………………………..35 BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC …………………………………………………………………………………………………….38 Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0 ………………………………………………………………….38 Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm ……………………………………………………………………..41 Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng K ……………………………………………………………..43 Dạng 4. Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) ……………………………………………………………………………45 Dạng 5. Chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm …………………………………………………………………45 MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT {Tham khảo} …………………………………………………………………………..51 ÔN TẬP CHƯƠNG 4 …………………………………………………………………………………………………………….53 1 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0 Dãy (un ) có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô cực, nếu mỗi số dương bé tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, |un| đều có thể nhỏ hơn một số dương đó. Kí hiệu: lim  un   0 hay lim un  0 hoaëc un  0 lim un  0    0, n0  , n  n0  un   (Kí hiệu “lim un  0” còn được viết “lim un  0” , đọc dãy số (un ) có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô n cực) Nhận xét: Từ định nghĩa ta suy ra rằng   có giới hạn 0 a) Dãy số (un ) có giới hạn là 0 khi và chỉ khi dãy số un b) Dãy số không đổi (un ) , với un  0 có giới hạn 0. 2. Các định lí * Định lí 1: Cho hai dãy số  un  và  vn  . Nếu un  vn với mọi n và lim vn  0 thì lim un  0 * Định lí 2: Nếu q  1 thì lim qn  0 3. Định nghĩa dãy có giới hạn hữu hạn * Định nghĩa 1: Ta nói dãy (vn ) có giới hạn là số L ( hay v n dần tới L) nếu lim v n  L   0 . n Kí hiệu: lim vn  L hay vn  L Ngoài ra ta cũng có thêm định nghĩa như sau (Ngôn ngữ  ): lim vn  L    0, n0  , n  n 0  vn  L   4. Một số định lí * Định lí 1: Giả sử lim un  L. Khi đó  lim un  L và lim 3 un  3 L  Nếu un  0 với mọi n thì L  0 và lim un  L * Định lí 2: Giả sử lim un  L vaø lim vn  M  0, c laø moät haèng soá. Ta coù: lim  un  vn   a  b; lim  cun   cL; lim un .vn  lim un .lim vn ; lim un vn  lim un a  ; lim vn b 5. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn  Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội q thoã mãn q  1  Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S  u1  u2  ….  un  …  u1 1 q 6. Dãy có giới hạn  Định nghĩa: Ta nói dãy số (un ) có giới hạn  , nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. 2 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Kí hiệu: lim un   hay un   lim un    M  0, n0  , n  n0  un  M 7. Dãy có giới hạn  Định nghĩa: Ta nói dãy số (un ) có giới hạn  , nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: lim un   hoặc un   lim un    M  0, n0  , n  n0  un  M Chú ý: Các dãy số có giới hạn  và  được gọi chung là dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực 8. Một vài quy tắc tính giới hạn vô cực a)Neáu lim un  a vaø lim vn   thì lim un vn 0 b)Neáu lim un  a  0 vaø lim vn  0 vaø vn  0 vôùi moïi n thì lim Töông töï ta laäp luaän caùc tröôøng hôïp coøn laïi c) Neáu lim un   vaø lim vn  a  0 thì lim un vn   Töông töï ta laäp luaän caùc tröôøng hôïp coøn laïi un vn   B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số Phương pháp: lim un  0 khi và chỉ khi |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Ví dụ 1. Biết dãy số (un) thoã mãn un  n 1 n2 với mọi n. Chứng minh rằng lim un  0 Giải Đặt vn  n 1 n2 . Ta coù lim vn  lim n 1  0. Do ñoù, v n coù theå nhoû hôn moät soá döông tuøy yù keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi (1) n2 Maët khaùc, theo giaû thieát ta coù u n  v n  v n (2) Töø (1) vaø (2) suy ra u n coù theå nhoû hôn moät soá döông tuøy yù keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi, nghóa laø lim u n  0 Ví dụ 2. Biết rằng dãy số (un) có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số (vn) với vn=|un| cũng có giới hạn là 0. Chiều ngược lại có đúng không? Hướng dẫn Vì (un ) coù giôùi haïn laø 0 neân un coù theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Maët khaùc, vn  un  un . Do ñoù, vn cuõng coù theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Vaäy (un ) coù theå nhoe hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Vaäy (vn ) cuõng coù giôùi haïn laø 0. (Chöùng minh töông töï, ta coù chieàu ngöôïc laïi cuõng ñuùng). n Ví dụ 3. Vì sao dãy (un ) với un   1 không thể có giới hạn là 0 khi n   ? 3 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. sin n 0 n Hướng dẫn Ví dụ 4. Sử dụng đỉnh nghĩa chứng minh rằng lim Ta có sin n 1 1     n  ,n 0  . Khi ñoù: n n  >0,n 0  : n  n 0  un  0  . Vaäy :lim un  0 un  0  Dạng 2. Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số Phương pháp: Ta dụng định lí 1 và 2 và một số giới hạn thường gặp   1 A  0  hay lim  0  n n   1 1  lim  0 ; lim  0 vôùi k nguyeân döông nk n  lim q n  0 neáu q  1  lim Ví dụ 1. a) Cho hai dãy số (un ) vaø (vn ) . Chứng minh rằng nếu lim vn  0 vaø un  vn với mọi n thì lim un  0 b) Áp dụng kết quả câu a) để tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau: 1 n! d)un  (0,99)n cosn a) un  (1) 2n  1 e) un  5n  cos n  b) un  c) un  2  n(1)n 1  2n2 Ví dụ 2. Tình giới hạn sau: a) lim 3n 1  2n 1 3n  2n ; b)lim 5n  1 5n  1 ; c)lim 4.3n  7n 1 2.5n  7n n ;  2   3n d)lim n 1  2   3n1 Hướng dẫn và đáp số: Sử dụng công thức lim q n  0, q  1 a) 3 b)1 c)7 d) 1 3 Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn hữu hạn Phương pháp: lim vn  a  lim  vn  a   0 n n Ví dụ 1. Sử dụng định nghĩa chứng minh lim 3n  2 3 n 1 Hướng dẫn 1 1 1 1     n  ; choïn n 0  ,n 0  . Khi ñoù: n 1 n   >0,n 0  : n  n 0  un  3  . Vaäy :lim un  3 un  3   (1)n  Ví dụ 2. Sử dụng định nghĩa chứng minh lim  1   1  n   Ví dụ 3. Cho dãy (un) xác định bởi: un  a) Tìm số n sao cho un  3  3n  2 n 1 1 1000 4 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. b) Chứng minh rằng với mọi n > 999 thì các số hạng của dãy (un) đều nằm trong khoảng (2,999;3,001). Hướng dẫn 1 1   n  999 n  1 1000 1 1 1 b) Khi n  999  un  3   3  un  3   2,999  un  3,001 1000 1000 1000 a) un  3  BTTT: Cho dãy (un) xác định bởi: un  2n  1 n2 1 100 b) Chứng minh rằng với mọi n > 2007 thì các số hạng của dãy (un) đều nằm trong khoảng (1,998;2,001). a) Tìm số n sao cho un  2  Dạng 4. Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm giới hạn dãy. Phương pháp A A  0  lim vn   ; lim    lim vn  0 n n vn vn  Ta thường sử dụng: lim  Nếu biểu thức có dạng phân thức tử số và mẫu số chứa luỹ thừa của n thì chia tử và mẫu cho nk với k là mũ cao nhất bậc ở mẫu.  Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản. AB löôïng lieân hieäp laø: A  B A B löôïng lieân hieäp laø: A  B A  B löôïng lieân hieäp laø: A  B 3 3 A B löôïng lieân hieäp laø:  A 2  B3 A  B2    3 2 3  3 2 A B löôïng lieân hieäp laø:  A  B A  B    Ví dụ 1. Tính lim 3n3  5n2  1 2n3  6n2  4n  5 . Giải 5 1  3 n n3 lim  lim  2n3  6n2  4n  5 n 2  6  4  5 2 n n 2 n3 3 3n3  5n2  1 Ví dụ 2. Tính lim 2n2  1  5n 1  3n2 . Giải lim 2n2  1  5n 1  3n2 1 1 5 2  2 n n 0 n  lim  0 1 3 3 n2 Ví dụ 3. Tính lim  n2  7  n2  5    5 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Giải n2  7  n2  5 2 lim  n2  7  n2  5   lim  lim 0   n2  7  n2  5 n2  7  n2  5 Ví dụ 4. Tính lim  n2  3n  n2    Giải 3n 3 3 lim  n2  3n  n2   lim  lim  2   3 n2  3n  n2 1  1 n BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Tính các giới hạn sau: a)lim 4n2  n  1 3  2n b)lim 2 Toång quaùt: Tính giôùi haïn: lim n2  n  1  2  c)lim  n 2   n 1 2n  5  m m 1 a0 n  a1n  …  am 1n  am n  3 b0 n p  b1n p1  …  b p1n  b p  Xeùt p  m Höôùng Daãn:  Xeùt n  p .Chia caû töû vaø maãu cho n p ,p laø baäc cao nhaát ôû maãu  Xeùt n  p  Tính giôùi haïn sau: 3 2 2  3n   n  1  2n 4  n2  1 d) lim e) lim 2 1  4n5 2n  1 3  n n  2     Đáp số: a) 2  b)0 c)   d)  1 e) 27 4 Bài 2. Tính các giới hạn: 2n4  n2  7 a)lim 2n2  n  3 3n2  1  n2  1 b)lim ; n ; 2 b) 3 1 2 Bài 4. Tính các giới hạn sau: Đáp số: a) a)lim  n 1  n  c) lim n 1  2n2 ; d)lim 3 2n3  n n2 d) 3 2 c)0 b)lim  n 2  3n  n  2    4n2  1  2n  1 e)lim n2  2n  n d)lim  n2  n  n    3 g) lim  n  n3  n  2    3n2  14  n 3 c) l im  n3  2n 2  n    f)lim n  n 2  1  n 2  2    Hướng dẫn và đáp số: Nhân lượng liên hiệp a)0 b) 7 2 c)  2 3 d) 1 2 e)1 f) 3 2 g)3 Dạng 5. Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số Phương pháp: Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là |q|<1.  Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (un) 6 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. S  u1  u2  ...  un  ...  u1 1 q  Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10 X  N,a1a2a3 ...an ...  N  a1  a2 10 102  a3 103 an  ...  10n  ... I. Các ví dụ mẫu Ví dụ 1. Viết số thập phân m=0,030303...( chu kỳ 03) dưới dạng số hữu tỉ. Giải 3 3 3 3 3 1 100 m 3   ...   3  100  3   3  n 1 100 10000 99 33 33 100 1 100 Ví dụ 2. Tính tổng S  2  2  1  1 2  1  ... 2 Giải Xét dãy: 2,- 2 ,1,  2 Vậy S  1 1  1 2 ,... là cấp số nhân q  2 2 2 1  2   2 2  1 2 ;q  1 2 1  42 2 2 II. Bài tập rèn luyên Bài 1. Hãy viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số.   34,1212... (chu kỳ 12). Hướng dẫn và đáp số  1    1134 12 12 12   34,1212...  34    ...   34  12  100   100 1002 33 100n 1 1     100  Bài 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: a)S  1  1 1 1   ...   ... n 4 16 4 1 1 4 Hướng dẫn :a) q  ; S  4 3 b) S  b) q  2 1  1 2 1 2  2  1 2  ... 2 2 ;S  4  3 2 2 Bài 3. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng S=3 và công bội q  2 4 2 Đáp số: Cấp số nhân lùi vô hạn đó là: 1; ; ;...   3 9 3 2 . 3 n 1 Bài 4. Tìm cấp số nhân lùi vô hạn, biết tổng S=6. Tìm hai số hạng đầu u1  u2  4 1 2 7 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.  u1  u1  6 1  q  6 S  1  Hướng dẫn:  1  q  1q 1 u 1  q   4 2 u  u q  4 2  1  1 1 2 n Bài 5. Giải phương trình sau: 2x  1  x2  x3  x4  x5  ...   1 x n  ...  13 với x  1 6 n Hướng dẫn: Dãy số x2 , x3 ,x4 , x5 ,...,  1 x n ... là một cấp số nhân với công bội q  x . 1 7 ĐS: x  ; x   2 9 Bài 6. 2 3 a) Tính tổng S  1  0,9   0,9    0,9   ....   0,9  n 1  ...  b) Cho 0    . Tính tổng S  1  tan   tan2   tan3   ... 4 c) Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số hữu tỉ a = 0,272727...... b = 0,999999999........... d) Cho dãy bn   sin   sin2   sin3   ...  sinn  với     k . Tìm giới hạn dãy bn. 2 Hướng dẫn: a) S  1  10 1  0,9 b) S  1 1  tan  a0 2 7 2 7     ... 2 3 10 10 10 104 1 1 2 2 2 7 7 3    ...   ...    ....  2 10  7 10  3 2n  1 2 4 1 1 10 10 11 10 10 10 1 1 2 2 10 10 9 1 b . 1 1 10 1 10 c) Cấp số nhân lùi vô hạn d) lim bn  sin  1  sin  n soá haïng Bài 9. Tính lim a  aa  ...  aaa...a n  10n Hướng dẫn: Ta có 8 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. n soá haïng    10  1 100  1 10n  1   a  aa  ...  aaa..a  a 1  11  ...  111..1   a    ...      9  9 9       n 10 10  1  9n a 81 n soá haïng   n soá haïng Vaäy lim n  a  aa  ...  aaa..a 10n  10a  10 n  1  9n  10a    81 81  10n  Dạng 6. Tìm giới hạn vô cùng của một dãy bằng định nghĩa Phương pháp  lim un   khi và chỉ khi un có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.  lim un    lim(un )   Ví dụ 1. Dùng định nghĩa giới hạn của dãy số. Chứng minh: n2  2   n 1 Hướng dẫn: a)lim 3 b)lim 1  n3   a)Laáy soá döông M lôùn tuøy yù. n2  2 n2  1 un    n  1  M  n  M  1; n 1 n 1 Choïn n 0  M  1,n 0  . Khi ñoù: n  n 0  n  M  1  u n  n2  2  M.Vaäy lim u n   n 1 b)Ta coù: 1-n3  (1  n)(n 2  n  1)  1  n; n  Laáy soá döông M lôùn tuøy yù. 3 3 un  1  n3  1  n3  M  n  M3  1;choïn n 0  M3  1,n 0  . 3 Khi ñoù: n  n 0  n  M3  1  un  1  n3  M. Vaäy :lim u n   Ví dụ 2. Cho dãy (un) thoả mãn un  n với mọi n. Chứng minh rằng lim un   Giải lim n   vì vaäy n lôùn hôn moät soá döông baát kì keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. maët khaùc un  n neân un lôùn hôn moät soá döông baát kì keå töø moät soá haïng naøo ñoù. Vaäy lim un   n  Ví dụ 3. Biết dãy số (un) thoã mãn un  n2 với mọi n. Chứng minh rằng lim un   Giải Vì lim n2   neân n2 coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø soá haïng naøo ñoù trôû ñi Maët khaùc, theo giaû thieát un  n2 vôùi moïi n, neân un cuõng coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy y,ù keå töø soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Vaäy lim un  . Ví dụ 4. Cho biết lim u n   và vn  un với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn vn. Hướng dẫn lim un    lim(un )    vn   un  lim(vn )   Vaäy limvn   9 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Ví dụ 5. Cho dãy số (un) hội tụ, dãy (vn) không hội tụ. Có kết luận gì về sự hội tụ của dãy  un  vn  . Hướng dẫn: Kết luận dãy  un  vn  không hội tụ Thật vậy: Xeùt daõy  un  vn  , giaû söû noù hoäi tuï nghóa laø lim  un  vn   a vaø limun  b. Khi ñoù limun  limvn  a Vaäy limvn  a  limun Vì limun  b  limvn  a  b Vaäy (vn ) laø hoäi tuï, ñieàu naøy khoâng ñuùng. Vaäy daõy  un  vn  khoâng hoäi tuï. Ví dụ 6. a) Cho hai dãy (un) và (vn). Biết lim u n   vaø v n  u nvôùi moïi n. Coù keát luaän gì veà giôùi haïn cuûa daõy (vn ) khi n  +? b) Tìm limvn vôùi vn  n! Hướng dẫn a) Vì lim un   nên lim(-un )  . Do đó, (un) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1) Mặt khác, vì vn  un vôùi moïi n neân (-vn )  (un )vôùi moïi n. (2) Từ (1) và (2) suy ra (-vn) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó, lim(vn )   hay lim vn   . b) Xét dãy số (un)=-n. Ta có: n!  n hay vn  un vôùi moïi n. Maët khaùc limun  lim(n)  . Từ kết quả câu a) suy ra lim vn  lim(n!)   Dạng 7. Tìm giới hạn của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vô cực Phương pháp Ví dụ 1. Tìm các giới hạn của các dãy số  un  với 3 a)un  n8  50n  11; b)un  109n2  n3 ; c)un  105n2  3n  27 ; d)u n  8n3  n 2  2 Đáp số: a)  ; b)  ; c)  ; d)   Ví dụ 2. Tìm các giới hạn của các dãy số  un  với a)un   2n  11  3n  3n  n3 2n 4  n2  7 2n2  15n  11 ; b)un  ; c)un  ; d)un  3 3 2n  19 3n  5 3n2  n  3 n  7n2  5 Đáp số: a)  ; b)  ; c)  ; d)   Ví dụ 3: Tính các giới hạn a)lim 1 n2  2  n2  4 ; b) lim  2n2  3  n2  1    10 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Ví dụ 4: Tính các giới hạn   a)lim 3.2n  5n1  10 ; Đáp số: a)  ; b) lim b)  ; 3n  11 ; 1  7.2n c)  ; c)lim 2n 1  3.5n  3 3.2n  7.4n 11 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} Dạng 1. Tính giới hạn của dãy số có quy luật Ví dụ 1 :Tính các giới hạn sau: n 1  2  3  ...  n a) lim n n 1  2  3  ...  n n 1  2  3  ...  n n2 Hướng dẫn n  n 1 n a) lim b) lim 2 2 n  n 1  lim n 1 n  n n   2  2 n  n 1  lim n n n n2  n 2   n 1 2  1 2 1 2 Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau b) a) lim 1  a  a2  ...  an 2 1  b  b  ...  b n vôùi a  1, b  1 ; 1 1 b a) S  lim 1  a  n  1 1 a 1 b b)lim n 1  3  ...  2n  1 2n2  n  1 Hướng dẫn b) S  lim n n 1  3  ...  2n  1 2n2  n  1  lim n n 1  2n  1 n 2 2 2n  n  1  1 2  1  1 1 1     ...  Ví dụ 3. Tính giới hạn sau: lim   n  1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n  1) n  2     Hướng dẫn  1 1 1 1     k  k  1 k  2  2  k  k  1  k  1 k  2    1 1 1 1 1 1 Vaäy:   ...      1.2.3 2.3.4 n.  n  1 n  2  2  2  n  1 n  2    1   1 1 1 1 1 1 1   lim   Vaäy lim     ...   n   1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n  1)  n  2   n 2  2  n  1 n  2   4  Söû duïng:   2  2   2  Ví dụ 4. Tính giới hạn lim  1   1   ...  1   2.3  3.4    n  1 n  2   Ta thaáy: 1   k  1 k  2  2  k  k  1 k  k  1 Hướng dẫn     2  2   2 2     Vaäy: 1  1  ... 1  ... 1     2.3  3.4   k.  k  1   n.  n  1  1.4 2.5  k  1 k  2   n  1 n  2  1  n  3   . ... ...    2.3 3.4 3 n 1  k  k  1 n  n  1  1  2  2   2  Vaäy lim  1  1 ...  1    n   2.3  3.4    n  1 n  2   3   12 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Bài tập áp dụng: Tính các giới hạn sau  1  1 1 1 a) lim     ...   n   1.3 3.5 5.7 (2n  1)(2n  1)  2.12  3.22  ...   n  1 n 2 b) lim n  n4   1 1 1 c) lim    ...    n  2 1  2 3 2 2 3 (n  1) n  n n  1   1 3 5 2n  1  d* ) lim     ...   3 n   2 22 2 2n  Hướng dẫn và đáp số 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1     ...   1     ...    1.3 3.5 5.7 (2n  1)(2n  1) 2  3 3 5 2n  1 2n  1  1 1  1  1  neân lim Sn  2  2n  1  2 a)Sn  b)Ta coù: Sn  2.12  3.22  ...   n  1 n 2  1  112   2  1 22  ...   n  1 n 2 2  n  n  1  n  n  1 2n  1 Sn  1  2  ...  n  1  2  ....  n     6  2   n2 n  1 2 n n  1 2n  1  S        1 lim n  lim  4 4 4  4n  4 n 6n   3 c)Ta coù: 3  n  1 3 1 2 2 2   n  1 n  n n  1  2  n  1 n  n2  n  1 1  1 n  n n 1 n n 1 1 1 1 Sn    ...  2 1 2 3 2 2 3  n  1 n  n n  1 1 1 1 1 1 1 1    ...    1  lim Sn  1 2 2 3 n n 1 n 1 1 3 5 2n  1    ...  2 3 2 2 2 2n  2n  1 2n  3  2n  1 1 1  3 1   5 3  Sn  Sn           ...     2 2 3 3 2 2 2 2  2 2  2n  2 n 1  2n 1 1  1 1 1 1 2n  1 1 2 2n 1 2n  1 1 1 2n  1     ...       1  1 2 2 22 2n 1 2n 1 2 2n 1 2 2 n 2 2 n 1 1 2 1 1 1 2n  1 1 2n 1 Suy ra: Sn   1    Sn  3    n  2 n  1 n  3 2 2 2 2 2 2n 2n n n 2 2 n Maët khaùc:   . Maø lim  0  lim 0 n n n  n  1 n 2 n 2 1  1 n  1 Vaäy lim Sn  3 d)Ta coù: Sn  n  13 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Dạng 2. Dùng nguyên lí kẹp Phương pháp Cho ba dãy số (un), (vn) và (wn). Nếu un  vn  wn vôùi moïi n Và lim un  lim wn  L(L  ) thì lim vn  L  1 2 n    ....  Ví dụ mẫu. Tính lim  . 2 2 2 n  n  1 n  2 n n Giải Ta thấy: 1 2  2  ....  2 n 2  1  2  ...  n 2 1 2 2  n 1 n  2 n n n n n  n  1 1 2 n 1 n Vaø   ....     ...   n2  1 n2  2 n2  n n2  1 n2  1 n2  1 2 n2  1 n  n  1 1 1 2 n Vaäy    ....   2 2 2 2 n 1 n  2 n  n 2 n2  1 Maø lim n  n  1 n  2  n  1 2  1 2      1 2 n  1 Vaäy lim    ....   n   n 2  1 n 2  2 n2  n  2 BÀI TẬP RÈN LUYÊN Bài 1. Tính giới hạn của các giới hạn sau: n 1 1  3sin n  4cosn a) lim    b) lim n   2 3n  n  n+1 n  1  3n2 sin 2n  cos2n d) lim e) lim n  n  cosn+5n 2 3n+1  1  1 1  f) lim    ...   n   2 n2  2 n2  n   n 1 n  sin n n  3n+4 c) lim Hướng dẫn và đáp số 14 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. n n 1 1  1 1 1 1    0        , n  * .Ñs : 0 2 3n 2  2 3n   2  5 5 b)  un  .Ñs :0 n 1 n 1 n  1 n  sin n n  1 1 c)  1  sin n  1    .ÑS : 3n  4 3n  4 3n  4 3 d)Töông töï caâu b  1   1  1 cos n 1 cos n e)-   . Ta coù:lim     lim    0  lim 0 2 2 2 2 2 n n n n2  n  n  (1)n 3 n 2 2 (1)  3n 3 Neân :lim  lim n  2 cos n 5 cos n  5n 5 n2 1 1 1 1 1 1 f)   ...   un    ...  n2  n n2  n n2  n n2  1 n2  1 n2  1 n n n n   un  .Ta coù: lim  lim 1 n2  n n2  1 n2  n n2  1 a)0  Dạng 3. Chứng minh một dãy số có giới hạn Phương pháp 1. Áp dụng định lý Vâyơstraxơ:  Nếu dãy số (un) tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn.  Nếu dãy số (un) giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn. 2. Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên ( dãy số tăng và bị chặn dưới) bởi số M ta thực hiện: Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (chiều giảm) và số M. 3. Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau: * Phương pháp 1:  Đặt lim un  a  Từ lim un1  lim f(un ) ta được một phương trình theo ẩn a.  Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (un) là một trong các nghiệm của phương rình. Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn cảu dãy cần tìm. còn nếu phương trình có nhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm.  Chú ý: Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất. * Phương pháp 2:  Tìm công thức tổng quát un của dãy số bằng cách dự đoán./  Chứng minh công thức tổng quát un bằng phương pháp quy nạp toán học.  Tính giới hạn của dãy thông qua công thức tổng quát đó. I. Các ví dụ mẫu  u  2 Ví dụ 1. Chứng minh dãy (un) bởi công thức truy hồi  1 .   un 1  2  un vôùi n  1 Chứng minh dãy có giới hạn, tìm giới hạn đó. Giải 15 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Ta có: u1  2 vaø un1  2  un ,un  0 vôùi n  N  Ta chứng minh : un  2 vôùi n  N (1) Vôùi n=1, ta coù u1  2  2 thì (1) ñuùng Giaû söû baát baát ñaúng thöùc ñuùng vôùi n=k thì u k  2. Vaäy un  2, n  N  Chứng minh dãy (un) tăng: Xeùt un 1  un  2  un  un  u2n  un  2  0  1  un  2 Maø 0  un  2 neân un 1  un . Vaäy (un ) laø daõy taêng (2) Töø (1) vaø (2) suy ra (un ) coù giôùi haïn.  Đặt lim un  athì 0  a  2 n Ta có: un 1  2  un  lim un 1  lim n  n  2 2  un  a  2  a  a  a  2  0  a  1hoaëc a=2 Vì un  0 neân lim un  a  0.Vaäy lim un =2 n  n  Löu yù: Trong lôøi giaûi treân, ta ñaõ aùp duïng tính chaát sau: " Neáu lim un  a thì lim un 1  a" n  n   u1  2  1 . Ví dụ 2. Cho dãy (un) bởi công thức truy hồi  u 2  n 1 un  Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Giải Ta có : 1 3 2 1 4 3 1 5 n 1   ; u3   ; u4  .Töø ñoù ta döï ñoaùn: un  (1) 2 2 2 3 3 4 n Chöùng minh döï ñoaùn treân baèng quy naïp:  Vôùi n=1, ta coù: u1  2 (ñuùng) k 1  Giaû söû ñaúng thöùc (1) ñuùng vôùi n=k (k  1), nghóa laø u k  . k ... n  Vaäy un  , n  * . n 1 n 1 Töø ñoù ta coù lim un  lim 1 n u1  2; u2  2   1  u1  2 BTTT. Cho dãy (un) bởi công thức truy hồi  . 1 neáu n  1  un 1  2  un  Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn: lim un  lim n 1 n 1 Ví dụ 3. Chứng minh dãy (un) được cho bởi công thức un  sin n;n  * . Chứng minh dãy không có giới hạn. Hướng dẫn 16 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Giaû söû lim un  lim sin n  a.Khi ñoù lim sin  n  2   a  lim sin  n  2   sin n   0 n  n  n  n  2 lim cos  n  1 sin1  0  lim cos  n  1  0  lim cosn  0 n  n  n maët khaùc: cos  n  1  cosncos1  sin nsin1,Suy ra lim sin n  0  n   Suy ra : lim cos2 n  sin2 n  0, voâ lyù n  Vaäy daõy soá (un ) vôùi un  sin n khoâng coù giôùi haïn. II. Bài tập rèn luyện Bài 1. Chứng minh dãy (un) với un  2  2  ...  2  2 là dãy hội tụ. n daáu caên Hướng dẫn  Bước 1: Chứng minh dãy (un) tăng  Bước 2: Chứng minh (un) bị chặn trên  u1  0  un 1  3 Bài 2. Cho dãy truy hồi  . Tìm giới hạn của dãy. (n  2)  un  4 Hướng dẫn và đáp số u1  0 1 1 3  1   4 4 2 1 15 u2  1   16 4 . . . n 1 1 un  1    4 u2  1 baèng phöông phaùp quy naïp chöùng minh un  1    4   1 n 1  Vaäy lim 1      1 n   4      n 1  u1  2  un 1  1 Bài 3. Cho dãy truy hồi  . Chứng minh dãy (un) có giới hạn, tìm giới hạn đó. (n  2)  un  2 Hướng dẫn và đáp số Cách 1 Döï ñoaùn un  lim un  lim n  2n 1  1 n 2n  1 2n 1  1 2n  1 1 Cách 2  Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới. 17 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. lim un  a, tìm a n   Giả sử lim un  lim un 1  a  n  n  lim un  1 a 1  a 1 2 n  Bài 4.  u1  2  un  1 a) Cho dãy truy hồi  . Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.  un 1  2 (n  1) 0  un  1  b) Cho dãy (un) xác định bởi:  1 un 1 1  un    4  giới hạn đó. (n  1) . Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm Hướng dẫn và đáp số b) * Chöùng minh (u n ) laø daõy taêng vaø bò chaën treân Ta coù: 0  un  1,n  N AÙp duïng baát ñaúng thöùc cauchy 1 un 1  1  un   2 un 1 1  un   2  1  u n 1  u n ,n  N* 4 Vaäy (un ) laø daõy taêng vaø bò chaën treân thì (un ) thì daõy coù giôùi haïn * Ñaët lim u n  a,a  0 n  2  1 1 1 1 1 Ta coù: un 1 1  un    lim  un 1 1  un     a 1  a     a    0  a  4 n 4 4 2 2  1 Vaäy lim u n  n  2 1 2 Bài 5. Cho dãy (un) xác định bởi un 1   u n   2 un   vaø u1  0  a) Chứng minh rằng un  2 vôùi moïi n  2 b) Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn và đáp số 1 2  * a) Ta coù: u1  0,u n 1   u n    u n  0, n  N 2  un  AÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ si: 1 2  2 un 1   un   2 , n  1,n     un .  2 un  un Suy ra un  2, n  2,n  N b)Ta coù: un  2,n  2,n  N neân  u n  laø daõy bò chaën döôùi 2 1 2  1  un     0, n  2,n  N neân u n 1  u n , n  N* Xeùt un 1  un   un  1   un    2 un  un 2    * Ñaët lim u n  a,a  2.Ta coù: n  a  2 1 2  1 2  1 2 2 un 1   un   lim un 1  lim  u n     a   a    a  2      n  n  2 un  2 un  2 a a   2 Vaäy lim un  2 n  18 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Bài 6. Chứng minh dãy (un) được cho bởi công thức un  cos n;n  * . Chứng minh dãy không có giới hạn. Hướng dẫn Giaû söû lim un  lim cosn  a  lim cos  n  2   a  lim cos  n  2   cosn   0 n  n  n  n  2 lim sin  n  1 sin1  0  lim sin  n  1  0  lim sin n  0 n  n  n maët khaùc: sin  n  1  sin ncos1  cosnsin1,Suy ra lim cosn  0   Suy ra : lim cos2 n  sin2 n  0, voâ lyù n  n  Vaäy daõy soá (un ) vôùi un  cosn khoâng coù giôùi haïn. Bài 7. Chứng minh các dãy sau hội tụ: a)  n  1  b)  n  1  1 22 1 22   1 32 1 33  ...   ...  1 n2 1 nn ; nN ; nN Hướng dẫn a) Ta thấy Daõy  n  1  1 1  ...  1 laø daõy taêng, ta chæ caàn chöùng minh daõy bò chaën. 22 32 n2 1 1 1 1 1 1 1 1   ...   1   ...  2 2 2 2 2 1.2 2.3 (n  1)n n 2 3 n Vaäy daõy hoäi tuï.  b) Daõy  n  1  1 1 2 1  3  ...  1 laø daõy taêng, ta chæ caàn chöùng minh daõy bò chaën. 3 nn 1 1 1 1 1 n  1    ...   1   ...  2 2 3 n 2 2 2 3 n 2 3 n2 Vaäy daõy bò chaën treân neân hoäi tuï. 2 19 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Giới hạn hàm số tại một điểm a) Giới hạn hữu hạn Định nghĩa: Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K {x0} . Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi x dần đến x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn  K {x0} vaø xn  x0 ,tacoù f(x n )  L . Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L khi x  x 0 xx0 lim f(x)  L  (x n ),x n  K {x 0},lim x n  x 0  lim f(x n )  L xx0 b) Giới hạn vô cực Các định nghĩa về giới hạn  ( hoặc  ) của hàm số được phát biểu tương tự các định ở trên Chẳng hạn, giới hạn  của hàm số y=f(x) khi x dần đến dương vô vực được định nghĩa như sau: Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng  a;  . Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là  khi x   nếu với mọi dãy số (x n ) bất kì, xn  a vaø xn  , ta coù: f(xn )  . Kí hiệu: lim f(x)   hay f(x)   khi x   x lim f(x)    (x n ),x n  a,lim x n    lim f(x n )   x Nhận xét: lim f(x)    lim f(x)   x x * Các giới hạn đặc biệt: 1. lim c  c x  2. lim x  lim c x  x x      0 vôùi c laø haèng soá neáu k nguyeân döông neáu k nguyeân aâm neáu k chaün neáu k leû 3. lim x k   0 x  k  4. lim x   x  2. Giới hạn hàm số tại vô cực Định nghĩa  Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a; ) . Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi khi x   nếu với mọi dãy số (xn) bất kì, xn  a vaø xn   ta coù: f(xn )  L . Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L khi x   x lim f(x)  L    x n  ,x n  a, lim x n    lim f(x n )  L x  n n Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (;a) . Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi khi x   nếu với mọi dãy số (xn) bất kì, xn  a vaø xn   ta coù: f(xn )  L . Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L khi x   x lim f(x)  L    x n  ,x n  a, lim x n    lim f(x n )  L x n n 3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn 20 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Định lý 1: Giaûi söû lim f(x)  L vaø lim g(x)  M.Khi ñoù: x x 0 x x 0 * lim  f(x)  g(x)   L  M x x 0 * lim  f(x).g(x)   L.M x x 0  f(x)  L * lim   x x 0  g(x)  M  neáu M  0  Định lý 2: Giaûi söû lim f(x)  L vaø lim g(x)  M.Khi ñoù: xx0 xx0 a) lim f(x)  L x x 0 b) lim 3 x x 0 f(x)  3 L c)Neáu f(x)  0 vaø lim f(x)  L thì :L  0 vaø lim x x 0 x x 0 f(x)  L  Daáu cuûa f(x) ñöôïc xaùc ñònh treân khoaûng ñang tìm giôùi haïn, vôùi x  x0  4. Giới hạn một bên Định nghĩa1: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x0;b). Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y=f(x) khi x  x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0  xn  b vaø xn  x0 ta coù: f(xn )  L . Kí hiệu: lim f(x)  L x x  0 lim f(x)  L    x n  ,x 0  x n  b,lim x n  x 0  lim f(x n )  L x x  0 Định nghĩa 2: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;x0). Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y=f(x) khi x  x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a  xn  x0 vaø xn  x0 ta coù: f(xn )  L . Kí hiệu: lim f(x)  L x x  0 lim f(x)  L    x n  ,a  x n  x 0 ,lim x n  x 0  lim f(x n )  L x x  0 Nhận xét: lim f(x)  L  lim f(x)  lim f(x)  L xx0 x x  0  xx0 5. Giới hạn vô cực Các định nghĩa lim f(x)  ; xx 0 lim f(x)  ; lim f(x)  ; lim f(x)  ; được phát biểu tương tự xx 0 xx  0 xx  0 định nghĩa 1 và định nghĩa 2. Định lý: Nếu lim f(x)   thì lim x x 0 x x 0 1 0 f(x) 6. Các quy tắc tính giới hạn vô cực a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x) Nếu lim f(x)  L  0 vaø lim g(x)    hoaëc   thì lim f(x)g(x) được tính theo quy tắc trong bảng x x 0 x x 0 x x0 sau: lim f(x) lim g(x) lim f(x).g(x) x x 0 x x 0 x x 0 L>0   21 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. L<0 b) Quy tắc tìm giới hạn của tích lim f(x)    - + f(x) g(x) lim g(x) x x 0 x x 0 L  L>0 0 L<0  Dấu của g(x) lim x x0 Tuỳ ý 0 +  -  +  Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp f(x) g(x)  x  x0 ,x  x0 ,x  ,x   22 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Dùng định nghĩa để tìm giới hạn Phương pháp 1. lim f(x)  L  (x n ),x n  K x 0 , lim x n  x 0  lim f(x n )  L xx0 n n 2. Để chứng minh hàm số f(x) không có giới hạn khi x  x0 ta thực hiện: Chọn hai dãy số khác nhau (xn) và (yn) thoã mãn: xn, yn thuộc tập xác định của hàm số và khác x0   lim xn  x0 , lim yn  x0 n n Chöùng minh lim f  xn   lim f  y n  hoaëc moät trong hai giới hạn đó không tồn tại n Ví dụ 1. Cho hàm số y  n 2 x x2 . Dùng định nghĩa chứng minh rằng lim f(x)  3 . x1 x 1 Giải Hàm số y=f(x) xác định trên R 1. Giả sử (xn) là dãy số bất kì x n  1 và xn  1 lim f(x n )  lim x2n  x n  2 xn  1  lim BTTT: Cho hàm số: f(x)   xn  2  xn  1  lim xn  1 xn  2   3 2x 2  x  3 . Dùng định nghĩa chứng minh: lim f(x)  5 x1 x 1  neáu x  0 . Dùng định nghĩa chứng minh hàm số y=f(x) không có Ví dụ 2. Cho hàm số y  f(x)  x 2  x neáu x  0 giới hạn khi x  0 Giải 1  1  Xeùt daõy  x n      0   0 n  n  1 lim f(x n )  lim  0 (1) n  n  n  1 Xeùt daõy  x n     khi n  ;x n  0  n  1 lim f(x n )  lim  2    2 (2) n  n   n Vaäy vôùi (1) vaø (2) haøm soá khoâng coù giôùi haïn khi x  0  BTTT: Cho hàm số: f(x)  x 1 x neáu x  0 . Dùng định nghĩa chứng minh hàm số không có giới hạn neáu x  0 khi x  0 Ví dụ 3. Cho hàm số f(x)  cos 1 x2 . Dùng định nghĩa chứng minh rằng hàm số f(x) không có giới hạn khi x dần đến 0. Hướng dẫn 23 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Haøm soá : f(x)  cos *Laáy daõy soá (x n )  *Laáy daõy soá (y n )  1 x2 xaùc ñònh treân K=R{0} 1 2n 1  K vaø limx n  0;lim f(x n )  lim cos 2n   2 1 x2n  lim cos(2n)  1  K vaø limy n  0;lim f(y n )  lim cos 1   lim cos(2n  )  0 2 y2n Vậy hàm số không có giới hạn. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau x2  9  6; x3 x  3 a) lim 1 b) lim x1 x2  1 x3  4; x5 3  x  ; c) lim d) lim x3  1 x x2 1   Hướng dẫn a) (x n ),x n  3,lim x n  3  lim x2n  9  6 xn  3 1 b)(x n ),x n  1;   ,lim x n  1  lim   x2n  1 x 3 53 c) (x n ),x n  3,lim x n  5  lim n   4 3  xn 3  5 1 xn  3 x 1 x 2n d)(x n ),lim x n    lim n  lim   1 x2n  1 1 x2n Bài 2.  2 neáu x  0 . 1. Cho hàm số f(x)  x2 x  1 neá ux0  a. Vẽ đồ thị hàm số f(x). Từ đó dự đoán về giới hạn của f(x) khi x  0 . b. Dùng định nghĩa chứng minh dự đoán trên. Hướng dẫn a) Dự đoán: Hàm số không có giới hạn khi x  0 1 1 b) Lấy hai dãy số có số hạng tổng quát là an  ; vaø bn   n n 2. Cho hàm số f(x)  sin 1 x2 . Chứng minh hàm số không có giới hạn khi x  0 . Bài 3. a) Chứng minh rằng hàm số y=sinx không có giới hạn khi x   b) Giải thích bằng đồ thị kết luận câu a) Hưóng dẫn: Xeùt hai daõy  an  vôùi an  2n vaø  bn  vôùi bn    2n 2 Bài 4. Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) cùng xác định trên khoảng  ;a  . Dùng định nghĩa chứng minh rằng, nếu lim f(x)  L vaø lim g(x)  M thì lim f(x)g(x) L.M x x  x  24 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Hướng dẫn Giaû söû (x n )laø daõy baát kì thoõa maõn xn  a vaø xn  . Vì lim f(x)  L neân lim f(x n )  L x Vì lim g(x)  M neân lim g(x n )  M. Do ñoù: lim f(x n ).g(x n )  L.M. x n Töø ñònh nghóa suy ra: lim f(x).g(x)  L.M n n  x Bài 5. Cho hàm số y=f(x) xác định trên  a;  . Chứng minh rằng nếu lim f(x)   thì luôn tồn tại ít x nhất một số c thuộc  a;  sao cho f(c)<0. Hướng dẫn Vì lim f(x)   neân vôùi daõy soá  x n  baát lyø, x n  a vaø x n   ta luoân coù lim f(x n )   . x  n  Doñoù lim  f(x n )   n Töø ñònh nghóa suy ra  f(x n ) coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Bài 6. Cho Neáu soá döông naøy laø 2 thì -f(x n )  2 keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Noùi caùch khaùc, luoân toàn taïi ít nhaát moät soá x k   a;   sao cho -f(x k )  2 hay f(x k )  2  0 Ñaët c  x k , ta coùf (c)  0 khoảng K, x0  K và hàm số f(x) xác định trên K x 0  . Bài 6. Chứng minh rằng nếu lim f(x)   thì luôn tồn tại ít nhât một số c thuộc K x0  sao cho f(c)>0. x x 0 Hướng dẫn Vì lim f(x)   neân vôùi daõy soá  x n  baát lyø, x n  K x 0  vaø x n  x 0 ta luoân coù lim f(x n )   . x x 0 n  Töø ñònh nghóa suy raf(x n ) coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Neáu soá döông naøy laø 1 thì f(x n )  1 keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Noùi caùch khaùc, luoân toøn taïi ít nhaát moät soá x k  K x 0  sao cho f(x k )  1. Ñaët c  x k , ta coùf (c)  0 25 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức Phương pháp: Đề tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định ta thực hiện: 1. Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì lim f(x)  f  x 0  x x 0 2. Áp dụng các định lý tính giới hạn và các quy tắc về giới hạn  Ví dụ 1. Tính các giới hạn của các hàm số sau: x2  4 x2 2x  2 x 1 ; x3 x  3 a)lim  2  x2  1  ; x1   b) lim e) lim Giải x2  4 0  0 x2 2x  2 4 x 1 3 1 1   ; x3 x  3 3  3 3 a)lim  2  x2  1  2  1  1  3  1; x1   b) lim c) lim Ví dụ 2. Tìm các giới hạn của hàm số sau x2  5 1  sin6 x  5cos6 x a) lim  x2  5  1 ; b) lim x3  5×2  10x  1 ; c) lim ; d) lim 4 4  x2  x 0 x1 x  5  x 1  sin x  cos x   2 Hướng dẫn và đáp số a) 2 b)  1 d) f(x)  c) 1  sin6 x  5cos6 x 4 4 1  sin x  cos x 3 2 xaùc ñònh taïi x   1  1  5.0 neân lim f(x)  1  2 1  1  0 x 2 Ví dụ 3: Tìm các giới hạn của hàm số sau a) lim x 4 3x  x  4 2 x2  1 ; x1 x  1 ; b) lim x2  5 c) lim x5  x  5 2 ; d) lim x 4 1 x  x  4 2 Đáp số 2 a)Ta coù: lim  3  x   1  0 vaø lim  x  4   0 neân lim x 4 x 4 x2  1  ; x 1 x  1 b) lim c)  ; x 4 3x  x  4 2   d)   Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau  x 3  b) lim  ; x 9  9x  x 2     3 a) lim x  2   ; x 0  x Đáp số: a)  3; b)  1 ; 54 1 x; c) lim x 0 1 1 x 1 c)  1; x d) lim x 2 d)0; 2 x6 x3  2×2 e)  2 ; e) lim x 3 x2  x  6 x2  3x 5 3 Ví dụ 5. Tìm các giới hạn sau a) lim x 2×3  7×2  11 6 5 3x  2x  5 Đáp số: a)0; ; b) b) lim x x 6 ; 3 2x  1 3 2 3x  x  2 ; c) lim x 2x  3 2×2  3 c)  2 26 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn một bên Phương pháp lim f(x)  L    x n  ,x 0  x n  b, lim x n  x 0  lim f(x n )  L n xx 0 n lim f(x)  L    x n  ,a  x n  x 0 , lim x n  x 0  lim f(x n )  L n xx 0 n Ví dụ 1. Sử dụng định nghĩa tìm các giới hạn sau 1 ; x2 x  2 a) lim b) lim x1 1 x2  3x  4 Ví dụ 2. Sử dụng định nghĩa tìm các giới hạn sau a) lim x2 2x  4; b) lim x7  7  x  3x  Dạng 4. Sử dụng định lý và công thức tìm giới hạn một bên Phương pháp lim f(x)  lim f(x)  L  lim f(x)  L xx 0 xx0  xx0 I. Các ví dụ mẫu x2  2x  3 neáu x  3  Ví dụ 1. Cho hàm số f(x)  1 neáu x=3 3-2×2 neáu x  3 Tính lim f(x) ; lim f(x) ; lim f(x) x3 x3 x3  * lim f(x)  lim  x  Hướng dẫn * lim f(x)  lim 3  2x 2  3  2.32  15 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 2   2x  3  33  2.3  3  6 * lim f(x)  lim f(x) neân haøm soá khoâng coù giôùi haïn khi x  3 Ví dụ 2. Cho hàm số f(x)  1  2x  6 . Tính lim f(x); lim f(x); lim f(x) x3 x3 x3 Hướng dẫn   neáu x  3 neân f(x)  2x  5 neáu x  3 Ta coù: 2x  6  2x  6 2x  6 neáu x  3 2x  7 neáu x  3 * lim f(x)  lim  2x  5   2.3  5  1 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 * lim f(x)  lim  2x  5   2.3  7  1 * lim f(x)  lim f(x)  1  lim f(x)  1 x 3 Ví dụ 3. Cho hàm số:  1 3   f(x)   x  1 x3  1 neáu x  1 mx  2 neáu x  1 Tìm giá trị của m để hàm số f(x) có giới hạn khi x  1. Tính giôùi haïn ñoù Giải 27 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.  1 3  x2  x  2 * lim f(x)  lim    lim  3 x3  1 x 1 x 1  x  1 x  1  x 1  x  1 x  2   lim x  2  1  lim 2 2 x 1  x  1 x  x  1 x 1 x  x  1   * lim f(x)  lim  mx  2   m  2 x 1 x 1 Haøm soá f(x) coù giôùi haïn thì lim f(x)  lim f(x)  1  m  2  m  1 x 1 * khi ñoù lim f(x)  1 x 1 x 1 Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau a) lim x 0  2x  x x2 x ; b) lim x 3 9  x2 6  2x ; c) lim x 4  x2  5x  4 16  x2 II. Bài tập rèn luyện Bài tập 1.  x2  x  2  a) Cho hàm số f(x)   x  1 2  x  x  1 b) Cho hàm số f(x)  neáu x  1 . Tính lim f(x); lim f(x); lim f(x) x1 x1 x1 neáu x  1 5x . Tính lim f(x); lim f(x); lim f(x) x5 x5 x5 x5 Đáp số: a) 3 lim f(x)  1 ; lim f(x)  1 b) x5 x5  x3  1  Bài tập 2. Cho hàm số f(x)   x  1  mx  2 neáu x  1. Với giá trị nào của m thì hàm số f(x) có giới hạn neáu x  1 x 1 Bài tập 3. Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn tại x=1  1 2  f(x)   x  1  x2  1  mx  5 vôùi x  1 vôùi x  1 Bài tập 4. Tìm giá trị của a để hàm số sau có giới hạn tại x=0  f(x)  sin x vôùi x  0 3x  a vôùi x  0 Đáp số: a = 0 Bài tập 5. Tính các giới hạn sau x2  1 ; x1 x  1 a) lim b) lim x 2  3x  6  x2 ; c) lim x 0  3 x x 2x  x 28 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Dạng 5. Tính giới hạn vô cực Bài 1. Tìm giới hạn hàm số sau: a) lim x 4×2  x  1 Đáp số: a) lim x b) lim x2 4×2  x  1  lim x 2×3  15  x  2 4×2  x  1 4×2  x  1 2   b)   Bài 2. Tìm giới hạn hàm số sau: a)y  f(x)  4×2  2x  5 x  15 c)y  f(x)  x2 Đáp số: a)   b)   khi x  ; khi x  2 ; c)   b)y  f(x)  3x 2  6x  1 x  15 d)y  f(x)  x2 d)   Dạng 6. Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định khi x   khi x  2  0 0 Phương pháp: 1. Nhận dạng vô định u(x) 0 khi lim u(x)  lim u(x) 0 : lim x  x0 x x0 0 xx0 v(x) 2. Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước (x  x 0 )A(x) u(x) A(x) A(x)  lim  lim vaø tính lim xxo v(x) xxo (x  x )B(x) xxo B(x) x xo B(x) 0 lim Nếu phương trình f(x)=0 có nghiệm là x0 thì f(x)=(x-x0).g(x) Đặc biệt:  Nếu tam thức bậc hai f(x)  ax2  bx  c,maø f(x)  0 coù hai nghieäm phaân bieät x1 ,x2 thì f(x) ñöôïc phaân tích thaønhf(x)  a  x – x1  x – x2   Phương trình bậc 3: ax3  bx2  cx  d  0 (a  0)  a  b  c  d  0 thì pt coù moät nghieäm laø x1  1, ñeå phaân tích thaønh nhaân töû ta duøng pheùp chia ña thöùc hoaëc duøng sô ñoà Hooc-ner  a  b  c  d  0 thì pt coù moät nghieäm laø x1  1, ñeå phaân tích thaønh nhaân töû ta duøng pheùp chia ña thöùc hoaëc duøng sô ñoà Hooc-ner 3. Nếu u(x) và v(x) có chứa dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hiệp, sau đó phân tích chúng thành tích để giản ước. AB löôïng lieân hieäp laø: A  B A B löôïng lieân hieäp laø: A  B A  B löôïng lieân hieäp laø: A  B 3 3 A B löôïng lieân hieäp laø:  A 2  B3 A  B2    3 2 3  3 2 A B löôïng lieân hieäp laø:  A  B A  B    I. Các ví dụ mẫu x2  x x1 x  1 Ví dụ 1. Tính giới hạn sau: lim Giải 29 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. x  x  1 x2  x  lim  lim x  1 x1 x  1 x1 x  1 x1 lim Ví dụ 2. Tính giới hạn sau: 4  x2 lim 4  x2 lim x 7 3 x2 Giải  2  x  2  x   x  7  3 x 2  x  2  lim x 7 3   lim   2  x  x  7  3   4.6  24   x 2  x 2   II. Bài tập rèn luyện Bài 1. Tìm các giới hạn của hàm số sau: a) lim 3 x2  2x  3 b) x 1 2x 2 3 d) lim  x 1 x  5×2  3x  1 1 x3  x 2  x  1 x 1 x 1 c) lim x x  2x  4 x 0 e)lim x 4  8×2  9 x 1 1  x  lim 3 x2  2x x 1 4 b) 3 c)2 3 Bài 2. Tìm các giới hạn của hàm số sau: a) Đáp số: a) lim x 2 d) lim 4  x2 b) lim x  7 3 x x2 x 5 x 5 e) lim a)  24 Đáp số: x5 1 5 e)  5 x4  x4 2 x 2 x5 1 x  3 1 x f) lim x 0 x c) lim x 5 x2  4 x 2 3 4x  1  3 d)  3x  2  2 b) 2 5 c) 1 3 d) 9 8 e)  16 f) 1 6 Bài 3. Tính giới hạn của hàm số sau: x3  3 ; x 0 x x  9  x  16  7 d) lim ; x 0 x a) lim g) lim x 0 Đáp số: 3 5  x  x2  7 2 x 1 a) 1 2 3 b) lim x 1 x 1 3 3 ; x2  x 2 1 x  3 8  x f) lim x 0 x x 1 x  7  5  x2 e) lim ; x 1 x 1 ; h) lim x 1 b) 3 1  x  x2  1  x  x2 c) lim x 0 x 1  2 3 c)  1 x 1 d) 7 24 e) 7 12 f)  11 12 g)  5 12 h) 3 2 2 Bài 4. Tính các giới hạn sau (x  h)3  x3 ; h0 h 2(x  h)3  2×3 d) lim ; h 0 h a) lim b) lim x3  a3 x  nx  n  1 x a e)lim x1 x2  (a  1)x  a n ; x 4  a4 ; x a x  a c) lim (x  1)2 Bài 5. Tính các giới hạn sau 30 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. a) lim x 1 d) lim x3  x 2  x  1 x2  3x  2 ; b) lim 2×2  x  6 x  2 x3  5×2  3x  9 ; e)lim x4  8×2  9 Bài 6. Tính các giới hạn sau x3  2 1  a)lim   ; x1  x2  1 x  1  x3  8 ; c) lim x 4  x2  72 x2  2x  3 x3 x1992  x  2 x1 x1990 x2  x2  x4 d)lim    x1  x2  5x  4 3(x 2  3x  2)     1 3  c) lim   ; x1 1  x 1  x3  Bài 7.Tính các giới hạn sau x  1  x2  x  1 x a) lim x 0 b) lim x 7 x3 2 c) lim 2 x2 x2 x2 49  x2 d) lim  3x  2 x2 4x  1  3 x2  4 Bài 8. Tính các giới hạn sau a. lim x 1  x  4  3 x b. lim d. lim x 1  3 x 1 x e. lim x 0 x0 x 0 x1 Dạng 7. Dạng vô định x  9  x  16  7 x x  3  3 3x  5 2 x 1 c. lim 3 x0 f. lim x 1  x  4  3 x x 1 3 8x  11  x  7 x2  3x  2   Phương Pháp: 1. Nhận biết dạng vô định   u(x) khi lim u(x)  , lim v(x)   x x 0 v(x) x x 0 x x 0 u(x) lim khi lim u(x)  , lim v(x)   x  v(x) x x 0 x x 0 lim 2. Chia tử và mẫu cho x n với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu ( Hoặc phân tích thành tích chứa nhân tử x n rồi giản ước) 3. Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x (thường là bậc cao nhất ở mẫu). I. Các ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tính giới hạn lim 3×3  5x x 6×3  x2 Giải: lim 3×3  5x x  6×3  x2 3  lim x  5 x2  1 1 2 6 x Ví dụ 2. Tính giới hạn sau lim  4×2  x  2x  x   Giải: 31 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.  4×2  x  2x  4×2  x  2x     x    lim   2 lim  4x  x  2x   lim  x   x  x    4×2  x  2x   4×2  x  2x          1 1  lim  x  4 1  4 2 x II. Bài tập rèn luyện Bài 1. Tìm các giới hạn của các hàm số sau 3x  1 5x  3 ; b) lim  2x  1  x  1 2 2×3  3x  4 a) lim x   x3  x 2  1 2 x  1  4x  1 2x  3 d) lim x  3 x  2 e) lim x  x 4  7x 2  x  5 x  3 x  13 c) lim  1  3    f) lim  x  1 x 1  2x  3   2   x  3x  2  2 x  x  2  3x 4×2  1  x  1 Đáp số a)  2 b) 0 c)   d) Bài 2. Tính các giới hạn sau a) lim 1  2x  3×3 d) lim x  1 2  x  1 1  2x  ; b) lim 5 2 ; x3  9 9x  x  1  4x 2  2x  1 ; x 1 x  2  khi x   : lim x  x  2  3x = 4 x  4×2  1  x  1 e)  ; 2 x  x  2  3x 2  khi x   : lim = x  4×2  1  x  1 3  x7  x  3 x 4  7x 2  x  5 e) lim ; x  3 x  13 x  f)  1 5 x 2  2x  3  4x  1 c) lim x  f) lim 4×2  1  2  x x 2  2x  3 x  3 x3  x  1 Đáp số: a)3; b)  32; c)5 khi x  ;  1 khi x  ; d)1 khi x  ;  1 khi x   1 1 e) khi x  ;  khi x  ; f)1 khi x  ;  1 khi x   3 3 Bài 3. Tính các giới hạn sau: x x 1 a) lim x   x 2  x 1 4×2  1 d) lim ; x  3x  1 ; b) lim 3x(2×2  1) x   (5x  1)(x 2 e) lim x   2x) 2 x  3x  2x ; 3x  1 ; c) lim x f) lim x (x  1)2 (7x  2)2 (2x  1)4 x2  x  2  3x  1 4×2  1  1  x Bài 4. Tính các giới hạn sau: 4×2  2x  1  2  x a) lim x   d) lim x 9×2  3x  2x 3 ; b) lim x  x2  2x  3  4x  1 4×2  1  2  x ; c) lim x x x3 x2  1 3 3 (x3  2×2 )2  x x3  2×2  x2 x3  2×2  x (x x  x  1)( x  1) ; e) lim ; f) lim x x  2x  2 (x  2)(x  1) 3×2  2x Dạng 8. Dạng vô định   ;0. Phương pháp: 32 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. 1. Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp 2. Nếu biều thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức. 3. Thông thường, các phép biến đổi này có thể cho ta khử ngay dạng vô định   ;0. hoặc  0 ;  0 Ví dụ 1. Tìm các giớí hạn của hàm số sau: chuyển về dạng vô định  1 1 a) lim   1 x 0 x  x  1   c) lim  2x  3  4×2  4x  3  x     2 2 e) lim  x  2x  1  x  7x  3  x   b) lim  4x 2  x  2x  x     x  d) lim x3  1    x2  1  x 1   3 3  2 f) lim  x  1  x  1  x     Đáp số: 1 c) khi x   :ÑS : 4 ; khi x   :ÑS :   4 5 5 e)khi x   :ÑS : ; khi x   :ÑS :  f) 0 2 2 Ví dụ 2. Tìm các giớí hạn của hàm số sau a)  1 b) a) lim  x2  x  x2  1  x   3 3  2 2 c) lim  x  x  x  x  x   d)0 b) lim  x 2  8x  3  x2  4x  3  x     d) lim  x  x  x  x  x   Đáp số 1 1 khi x  ; khi x  ; b)2 khi x  ;  2 khi x   2 2 3 3 c) lim  x3  x2  x2  x   lim  x3  x 2  x  x  x 2  x  x    x       1 1 5 x2 x     lim   x   2 2  3 2 6 3 3 2  x x3  x 2  x 2 x  x  x  3 x x   a)    1 1   x x 1 x d) lim  x  x  x  x   lim  lim  x   2  x x  x  x  x x 1 1 1  1 x x x II. Bài tập rèn luyện Bài 1. Tính các giới hạn sau a) lim (2×3  3x); x b) lim x x2  3x  4; c) lim ( x2  x  x) x   Bài 2. Tính các giới hạn sau a) lim ( x2  2x  4  x); b) lim ( x  2  x  2); x x c) lim ( x 2  4x  3  x 2  3x  2) x   Bài 3. Tính các giới hạn sau a) lim x( x2  5  x); x b) lim (3x  2  9×2  12x  3); x   c) lim ( x 2  3x  2  x  2) x 33 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Bài 4. Tính các giới hạn sau a) lim ( x2  3x  1  x  3); x 3 b) lim ( x3  x2  x  x); x  3 c) lim ( x3  2x  1  x 2  3x) x 34 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} 0 ) 0 Phương pháp: Vận dụng các công thức lượng giác để biến đổi hàm số lượng giác thành dạng có thể sử Dạng 1. Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác ( dạng vô định dụng định lí: sin x sin u(x) u(x)  1 hoaëc lim u(x)  0  lim  1; lim 1 x0 x x0 u(x)0 u(x) u(x)0 sin u(x) lim Ví dụ 1. Tính các giới hạn của hàm số sau a) lim x 0 tan x  sin x x3 1  sin2x  cos2x x0 1  sin2x  cos2x b) lim 1  cos2 2x xsin x x 0 c) lim Hướng dẫn  1  x sin x   1 2sin xsin2 cos x  tan x  sin x  2 a) lim  lim  lim x 0 x 0 x 0 x3 x3 x3 cos x x sin2 sin x 1 1 2  2 lim . lim . lim  2 x 0 cos x x 0 x x 0 2 x   2 2s inx  sin x  cos x  1  sin 2x  cos2x 2sin 2 x  sin 2x b) lim  lim  lim 1 2 x 0 1  sin 2x  cos2x x 0 2sin x  sin 2x x 0 2s inx  sin x  cos x  1  cos2 2x sin2 2x 4sin x cos2 x c) lim  lim  lim 4 xsin x x x 0 x 0 xs inx x 0 Ví dụ 2. Tính các giới hạn của hàm số sau: sin3x x0 1  2cosx a) lim b) lim x0 1  cos5x cos7x 2 sin 11x cos12x  cos10x x0 cos8x  cos6x c) lim Hướng dẫn và Đáp số sin3x  ,ñaët x   t 1  cos x 3 sin    3t    sin3t Luùc ñoù: f(x)  f   t     3  1  2  cos  cos t  sin  sin t  1  cos t  3 sin t   3 3   sin3t sin3t   t t t t t 2 t 1  sin  2 3 sin cos 2sin  sin  3 cos  2 2 2 2 2 2 6t sin3t . sin3x sin3t 2 3t lim  lim  lim  3 t t t  t 0 t t t x 0 1  cos x t 0 2sin  sin  3 cos  2sin  sin  3 cos  2 2 2 2 2 2 a) Xeùt haøm soá f(x)  35 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. 5x  cos5x 1  cos 7x  1  cos5x cos 7x 1  cos5x  cos5x  cos5x cos 7x 2 b) lim  lim  lim x 0 x 0 x 0 sin2 11x sin2 11x sin2 11x 25 2 5x 49 2 7x sin sin 4 2  cos5x 4 2 2 2  5x   7x  5x 7x     2sin2  2 cos5xsin 2  2  2 2  2 lim  2   lim 2 2 x 0 x 0 sin 11x sin 11x 112 2 11x  25 49  4  37  2. 4 2 121 11 cos12x  cos10x sin11x 11 c) lim  lim  x 0 cos8x  cos6x x 0 sin 7x 7 2sin2 II. Bài tập rèn luyện Bài 1. Tính các giới hạn sau  2  a) lim   cot x  ; x 0  sin 2x  x 1  98  1  cos3x cos5x cos7x   d) lim    ; x 0 83  sin2 7x   3 2x  1  x2  1 sin x g)lim x1 b)  sin 5x x  0 3x b) lim a) lim e) lim x0 x 3 x 0 d)1 x2  1  1 4 ; f) lim sin  sin x  x x 0 cosx  3 cosx sin2 x e)  4 1  cos2x x0 tgx  sin x cos4 x  sin 4 x  1 x 0 7 1 c) 4 2 Bài 2. Tính các giới hạn sau Đáp số: a)0 e) lim h) lim    c) lim  tan 2x tan   x    4  x  x  3  2x ; tan  x  1 b)lim f)1 c) lim x2 x0  1 3   f) lim  x x  0  sin x sin3x  g)1 cosx  cos7x x2 sin2x  sin x x 0 3sin x g) lim h)  1 12 d) lim x0 cosx  cos3x sin2 x 1  sin x  cos2x x 0 sin x h) lim Dạng 2. Giới hạn kẹp Phương pháp: h(x)  f(x)  g(x), x  K x0 ,x0  K và lim h(x)  lim g(x)  L  lim f(x)  L xx0 xx0 xx0 I. Các ví dụ mẫu Ví dụ 1.Tính giới hạn lim x x2  sin 2x  3 cos2x 3×2  6 Giải 36 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Ta nhaän thaáy: -2  sin 2x  3 cos2x  2 x2  2 x2  sin 2x  3 cos2x x 2  2 Vaäy   3×2  6 3x 2  6 3×2  6 2 1 2 2 x 2 x 2 x2  1 Maø lim  lim  lim x  3x 2  6 x  3x 2  6 x  6 3 3 x2 x2  sin 2x  3 cos2x 1 Vaäy lim  x  3 3×2  6 Bài 2. Tìm lim x2 sin x 0 1 x Giải Ta nhaän thaáy :  x 2  x 2 sin   lim x2  lim x2  0 x 0 1  x2 x x 0 2 Vaäy lim x sin x 0 1 0 x II. Bài tập rèn luyện Bài tập1. Tìm giới hạn của các hàm số sau: a) lim 2x  sin2 x  5cos2x 2 x 3 x 1 b) lim x2 cos ; x0 x ; c) lim x x 1  x cos x  x 1  x  Hướng dẫn và Đáp số: a) Ta coù: sin2 x  5cos2x  11sin 2 x  5 2x  5 2x  sin2 x  5cos2x 2x  6   x2  3 x2  3 x2  3 ….Ñs :0 b) Töông tuï baøi maãu 2. ÑS:0 c)Ta coù:  1  cos x  1  x  1, x      x 1  x x 1  x x 1  x  cos x  1  x  , x  x x x ….ÑS : 0 Bài tập 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau:  a) lim x x2  5cosx 3 x 1 a) *TH1:x  1, *TH2 :x  1, ; x2  5 x3  1 x2  5 b) lim xsin x x 2x  x2  5cos x x3  1 2 x  5cos x  x2  5 x3  1 x2  5 2 ; c) lim {0} sin2x  2cos2x x 1 x2  x  1 Hướng dẫn và Đáp số  lim x     lim x3  1 x3  1 x3  1 x x xs inx x xs inx b)    lim 0 2×2  1 2x 2  1 2x 2  1 x 2x 2  1 c) ÑS : 0 x 2  5cos x x3  1 2 x  5cos x x3  1 0 0 37 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Hám số liên tục tại một điểm Định nghĩa: Cho hàm số y  f(x) xaùc ñinh treân khoaûng K vaø x 0  K . Hàm số y  f(x) lieân tuïc taïi x0 khi vaø chæ khi lim f(x)  f(x 0 ) . Hàm số không liên tục tại x 0 được gọi là gián đoạn xx0 tại x 0 2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn Định nghĩa:  y  f(x) lieân tuïc treân moät khoaûng neáu noù lieân tuïc taïi moïi ñieåm cuûa khoảng đó  y  f(x) liên tục trên đoạng [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và lim f(x)  f(a) , lim f(x)  f(b) xa x b  Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “ đường liền” trên khoảng đó. 3. Các định lí: Định lí 1: a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng Định lí 2: Giả sử y  f(x) vaø y  g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm điểm x 0 . Khi đó: a) Các hàm số f(x)  g(x), f(x)  g(x) vaø f(x).g(x) cuõng lieân tuïc taïi ñieåm x0 b) Hàm số f(x) lieân tuïc taïi ñieåm x 0 , neáu g  x 0   0 g(x) Định lí 3: Nếu hàm số y  f(x) liên tục trên đoạn a; b và f(a).f(b)  0 thì tồn tại ít nhất một điểm c   a;b  sao cho f(c)=0 Mệnh đề tương đương: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0. Khi đó phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a;b) B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0 Phương pháp f (x) Cho hàm số: f(x)   1 f2 (x) khi x  x 0 khi x  x 0 Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm x0, chúng ta thực hiện theo các bước sau:  Bước 1: Tính lim f(x)  lim f1 (x)  L xx0 xx0  Bước 2: Tính f  x0   f2  x0   Bước 3: Đánh giá hoặc giải phương rình L  f2  x0  , từ đó đưa ra kết luận 38 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. I. Các ví dụ mẫu Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x 0  1  x2  1  f(x)   x 1  x  a khi x  1 khi x  1 Giải Haøm soá xaùc ñònh vôùi moïi x  Ta coù: x2  1 lim f(x)  lim  lim  x  1  2 x 1 x 1 x  1 x 1 f(1)  a  1 Vaäy: *Neáu: 2  a  1  a  1  f(1)  2  lim f(x), thì haøm soá lieân tuïc x 1 *Neáu: 2  a  1  a  1  f(1)  1  lim f(x), thì haøm soá giaùn ñoaïn taïi ñieåm x 0  1 x 1 Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x  1  x2  5x  4  f(x)   x 1  3 khi x  1 khi x  1 Giải Hàm đã cho xác định trên Ta có .  x  1 x  4   lim x  4  3 x2  5x  4  lim   x1 x1 x1 x 1 x 1 lim f(x)  lim x1 f  1  3. Vaäy haøm soá lieân tuïc taïi x  -1.  x2  x  2  neáu x  2 lieân tuïc taïi x=2 Ví dụ 3. Tìm m để hàm số f(x)   x  2  neáu x  2 m+1 Giải Hàm đã cho xác định trên . Ta có lim x2  x  2 x  1  lim x2 x2  x  1  3 và f  2  m  1. Để hàm số liên tục tại x  2 thì lim f  x   f  2   m  1  3  m  2. x2 Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0  0 x 1 3 x 1  , f x   x  2x  1, khi x  0 khi x  0 Giải II. Bài tập rèn luyện BT 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x 0  1 39 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.  x3  x2  2x  2  khi x  1 f(x)   x 1  khi x  1 4 Hướng dẫn giải . Hàm đã cho xác định trên Ta có    x  1 x2  2 x3  x2  2x  2 lim  lim  lim x2  2  3. x1 x1 x1 x 1 x 1   f 1  4 . Vì lim f  x   f 1 nên hàm số gián đoạn tại x 0  1 x1  x 1  neáu x  1 . Tìm m ñeå haøm soá lieân tuïc taïi x=1. BT 2. Cho hàm số: f(x)   2 x 1 m 2 x neáu x  1  Hướng dẫn giải . Hàm đã cho xác định trên Ta có lim x1 x 1 x2  1 1  lim x 1 x1  1 và f 1  m 2 . 2 Để hàm số liên tục tại x  1 thì lim f  x   f 1  m 2  x1 1 1 m . 2 2 BT 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:  x2  2  a)f(x)   x  2 2 2   1 x neáu x  2  ; b)g(x)   x  2 2   2 neáu x=2  neáu x  2 neáu x  2 Hướng dẫn giải a) Hàm đã cho xác định trên Khi x  2 thì f  x   x2  2 x 2 .    là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên ; 2 và  2; . Ta xét tính liên tục của hàm số taih điểm x  2 . Ta có lim x 2 x2  2 x 2 x 2 Vì lim f  x   f x 2    lim x  2  2 2 và f  2  2  2  nên hàm số liên tục tại x  Vậy hàm số liên tục trên 1 x  x  2 2. . b) Hàm đã cho xác định trên Khi x  2 thì g  x   2. 2 . là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên  ;2  và  2;  . Ta xét tính liên tục của hàm số taih điểm x  2 . 40 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Ta có 1 x   và g  2   2 . 2  x  2 Vì lim g  x   g  2  nên hàm số không liên tục tại x  2 . x2 lim x 2 Vậy hàm số không liên tục trên . Bài 4. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=0 và x=3 a  x2  x  6 f(x)    x  x  3  b Khi x  0 khi x2  3x  0 khi x  3 Bài 6. Xét tính liên tục của hàm số sau:  x2  neáu x  0 a)f(x)  1  x  x  neáu x  0 0  1  b)f(x)  xcos x2 0 neáu x  0 neáu x  0 Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm Phương pháp f (x) Cho hàm số: f(x)   1 f2 (x) khi x  x0 khi x  x0 Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm x0, chúng ta thực hiện các bước sau: - Bước 1: Tính f(x0)=f2(x0) - Bước 2: (Liên tục trái) tính: lim f(x)  lim f1 (x)  L1 x x  0  x x 0 Đánh giá hoặc giải phương trình L1  f2 (x0 ), từ đó đưa ra kết luận liên tục trái. - Bước 3: (Liên tục phải) tính: lim f(x)  lim f2 (x)  L2 x x  0  x x 0 Đánh giá hoặc giải phương trình L1  f2 (x0 ), từ đó đưa ra kết luận liên tục phải. - Bước 4: Đánh giá hoặc giải phương trình L1=L2 , từ đó đưa ra kết luận I. Các ví dụ mẫu Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0=0: x  a f(x)   2 x  1 khi x  0 khi x  0 Giải 41 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Haøm soá xaùc ñònh taïi moïi x  . Ta coù: lim f(x)  lim x 2  1  1 vaø lim f(x)  lim  x  a   a. x 0 Vaäy : x 0 f(0)  1   x 0 x 0  Neáu a  1 thì lim f(x)  lim f(x)  f(0)  1  Haøm soá lieân tuïc taïi x 0  1 x  0 x 0 x 0 x 0  Neáu a  1 thì lim f(x)  lim f(x)  Haøm soá giaùn ñoaïn taïi x 0  1  x2  3x  2  Ví dụ 2. Cho hàm số: f(x)   x  1 a  khi x  1 khi x  1 a) Tìm a để f(x) liên tục tại trái điểm x=1 b) Tìm a để f(x) liên tục tại phải điểm x=1 c) Tìm a để f(x) liên tục trên R. Giải Ta có:  x  2 f(x)  a  2 - x khi x  1 khi x  1 khi x  1 a) Để f(x) liên tục trái tại điểm x=1  lim f(x) toàn taïi vaø lim f(x) =f(1) x1 x 1 Ta coù: lim f(x)  lim  2  x   1 vaø f(1)  a x1 x 1 Vaäy ñieàu kieän laø a=1 b) Để f(x) liên tục phải tại điểm x=1  lim f(x) toàn taïi vaø lim f(x) =f(1) x1 x 1 Ta coù: lim f(x)  lim  x  2   1 vaø f(1)  a x1 x 1 Vaäy ñieàu kieän laø a=-1 c) hàm số liên tục trên R trước hết phải có: lim f(x)  lim f(x)  1  1 (maâu thuaãn) x1 x1 Vaäy khoâng toàn taïi a ñeå haøm soá lieân tuïc treân R II. Bài tập rèn luyện x  2a Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại x0  0 : f(x)   2 x  x  1 khi x  0 khi x  0 Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau: a) f(x)  x  5 taïi x  4  x 1  b) g(x)   2  x  1  2x neáu x  1 taïi x  1 neáu x  1 Bài 3. Xét tính liên tục của hàm số sau tại x=1 và x=-1  x cos f(x)   2  x  1 khi x  1 khi x  1 42 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.  5x  sin3x  Bài 4. Xét tính liên tục của hàm số f(x)   x 2  x  2x  2   2 Bài 5. Cho hàm số f(x)  ax 3 neáu x  0 tại điểm x=0 neáu x  0 neáu x  2 . Tìm a để hàm số liên tục tại điểm x=2. neáu x>2  3 3x  2  2  Bài 6. Tìm a để hàm số f(x)   x  3 ax  1  4 neáu x  2 lieân tuïc treân neáu x  2 2×2  Bài 7. Xét tính liên tục của hàm số sau: f(x)  5 3x  1  neáu x  2 neáu x  2 neáu x  2 Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng K Phương pháp Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục trên khoảng K, chúng ta thực hiện theo các bước sau:  Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng đơn  Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm giao  Bước 3: Kết luận. I. Các ví dụ mẫu Ví dụ 1. Chứng minh các hàm số sau liên tục trên R:  1 xcos khi x  0 f(x)   x2  Khi x  0 0 Giải Haøm soá f(x) lieân tuïc vôùi moïi x  0. Xeùt tính lieân cuûa f(x) taïi x=0 Ta coù: 1 1 x.cos  x cos x 2 x x2  1 1    x  x.cos  x  lim  x.cos   0 2 x  0 x x2   Maët khaùc f(0)=0 Do ñoù, lim f(x)  f(0)  Haøm soá lieân tuïc taïi x  0. x 0 Vaäy haøm soá lieân tuïc treân toaøn boä truïc soá. Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số:  2 f(x)  x  x ax  1 neáu x  1 neáu x  1 Hướng dẫn Hàm số xác định với mọi x 1. Khi x <1. Hàm số liên tục 2. Khi x>1. Hàm số liên tục 3. Khi x =1  a=1: Hàm liên tục tại x=1 43 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.  a  1 : Hàm số gián đoạn tại x=1 Kết luận:   a=1: Hàm số liên tục trên toàn bộ trục số a  1 , hàm số liên tục trên  ;1 vaø 1;   vaø giaùn ñoaïn taïi x=1 II. Bài tập rèn luyện  1 x  neáu x  1 Bài 1. Cho hàm số y  f(x)   2  x  1 . Xét sự liên tục của hàm số.  2x neá u x  1  Hướng dẫn và đáp số – Với x<1: hàm số liên tục - Với x>1 Hàm số liên tục – Xét x=1: Hàm số liên tục. Vậy hàm số liên tục trên R Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác đinh của chúng:  1 x , neáu x  2  b) g(x)   x  2 2   3 neáu x  2   x2  2  , neáu x  2 a) f(x)   x  2 2 2 neáu x  2  Đáp số a) y=f(x) liên tục trên R b) y=g(x) liên tục trên  ;2  vaø  2;   nhöng giaùn ñoaïn taïi x=2  x 1  Bài 3. Tìm giá trị của tham số m để hàm số f(x)   x2  1 neáu x  1 liên tục trên  0;  . m 2 neáu x  1  Đáp số: m   1 2 Bài 4. x2  x  4  a) Cho hàm số f(x)   x  2  x 7 3  neáu x  2 neáu – 7  x  2 . Chứng minh rằng hàm số liên tục trên khoảng  7;   .  1 b) Cho hàm số f(x)  ax  b  3 neáu x  3 neáu 3  x  5 . Tìm a và b để hàm số liên tục, vẽ đồ thị của hàm số. neáu x  5 Hướng dẫn a) x>2: hàm số liên tục trên khoảng  2;  -70;f(b)<0);f(c)>0 Vậy f(a).f(b)<0 và f(b).f(c)<0 Mặt khác f(x) là hàm đa thức nên nó liên tục trên [a;b] và [b;c] Suy ra, phương trình f(x)=0 có nghiệm x1   a;b  vaø x2   b;c . Vậy phương trình luôn có hai nghiệm. b) Xét hàm số f(x)  ax2  bx  c(a  0) lieân tuïc treân R 1 1 Tính f(0)  c;f    (a  3b  9c) 3 9 1 f(0)  18f    0 3 1 1 Suy ra f(0),f   traùi daáu hoaëc f(0)  f    0 3 3  1 Vaäy phöông trình ax2  bx  c  0(a  0) coù nghieäm trong  0;   3 c) Xét hàm số f(x)  ax2  bx  c lieân tuïc treân R + Khi c=0, ta có ax2+bx=0  a b c    0 suy ra b=0, phương trình có vô số nghiệm nên m  2 m 1 m phương trình có nghiệm trong khoảng (0;1) Néu a=0 thì từ giả thiết 47 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Nếu a  0 , ta có ax2  bx  c  0  x  ax  b   0  x  0 b m 1    0;1 x    a m2   m 1  c Khi c  0, ta coù f(0)=c vaø f    m  2  m  m  2   m 1  Suy ra phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng  0;    0;1  m2 Bài 2. a) Chứng minh phương trình 2x3  6x  1  0 coù 3 nghieäm treân khoaûng (-2;2) b) Chứng minh phương trình 2x5  x  2  0 coù 3 coù nghieäm duy nhaát x0  3 2 c) Chứng minh phương trình x4  x  3  0 coù 3 coù nghieäm x0  1;2  vaø x 0  7 12 Hướng dẫn và đáp số: a) Tính f(-2);f(0);f(1);f(2) b) Xét hàm f(x)  x5  x  2 lieân tuïc treân R vaø f(1)  -2; f(2)  28  f(1).f(2)  0 ta chứng minh đc hàm f(x) x  x  2  0 coù nghieäm duy nhaát x0  1;2  . đồng biến trên (1;2) nên phương trình 5 3 9 Ta có: x50  x0  2  2 2x0  x10 0  8x0  x0  8  x 0  2 c) Tương tự câu b) Bài 3. a) Cho phương trình ax2  bx  c  0 thoõa maõn 2a+3b+6c=0. Chứng minh phương trình có nghiệm trong khoảng (0;1) b) Cho phương trình atan2 x  btan x  c  0 thoõa maõn 2a+3b+6c=0. Chứng minh phương trình có ít    nhất nhất một nghiệm trong khoảng  k;  k  ,k  Z 4   Hướng dẫn và đáp số: b) atan2 x  btan x  c  0 (1) vaø 2a+3b+6c=0    Đặt t  tan x vôùi x   k;  k   t   0;1 , ta coù : at 2  bt  c  0 (2) 4    Trường hợp 1: Nếu c=0 thì at2+bt=0 + khi a=0 thì b=0.... + Khi a  0 thì  t  0 b 2  , töø phöông trình at 2  bt  0   2 a 3 t   3 .......  2 1 c Trường hợp 2: Nếu c  0, ta coù f(0)=c vaø f     12c 9c   .... 3 3 9 48 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.  2 Phương trình (2) có nghiệm  0;    0;1 nên phương trình (1) có nghiệm trong khoảng  3     k;  k  ,k  4   Bài 4. Chứng minh phương trình : 2x  6 3 1  x  3 có ba nghiệm phân biệt thuộc  7;9  . Bài 5. Chứng minh rằng với mọi m phương trình x3  mx2  1  0 luôn có một nghiệm dương. 3 Bài 6. Cho phương trình: x  mx2   m  1 x  2  0 a) Giải phương trình với m=1 b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt Hướng dẫn và đáp số: Đặt t=|x|, t  0 , ta được: t 3  mt 2   m  1 t  2  0 a) x  1 b) Xét hàm f(t)  t 3  mt 2   m  1 t  2 lieân tuïc treân R Ta coù: f(0)=-2<0, lim f(t)    c  0 sao cho f(c)>0 t  Suy ra: f(0).f(c)  0,(2) coù moät nghieäm t1   0,c   x   t1 Vaäy, vôùi moïi m phöông trình luoân coù ít nhaát hai nghieäm phaân bieät. Bài 7. Chứng minh rằng với mọi m phương trình:  x 1  3  mx  m  1 . luôn có một nghiệm lớn hơn 1. Giải Ñaët t  x  1,ñieàu kieän t  0 Khi ñoù phöông trình coù daïng: f(t)  t 3  mt 2  t  0 Xeùt haøm soá y=f(t) lieân tuïc treân  0;   Tacoù: f(0)  1  0 lim f(t)  ,vaäy toàn taïi c>0 ñeå f(c)>0 t  Suy ra: f(0).f(c)<0 Vaäy phöông trình f(t)=0 luoân coù nghieäm t 0   0;c  , khi ñoù: x  1  t 0  t 20  1  1 Vaäy vôùi moïi m phöông trình luoân coù moät nghieäm lôùn hôn 1. Bài 8. Cho a,b,c là ba số dương phân biệt. Chứng minh rằng phương trình: a  x  b  x  c  b  x  a  x  c  c  x  b  x  a   0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Giải Khoâng maát tính toång quaùt, giaû söû a  b  c vaø ñaët: f(x)  a  x  b  x  c   b  x  a  x  c   c  x  b  x  a  Ta coù: f(b)<0 vaø heä soá x2 cuûa f(x) baèng a+b+c>0 Vaäy phöông trình coù 2 nghieäm phaân bieät thoûa maõn x1  b  x2 49 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Bài 9. Chứng minh rằng phương trình : p  x  a x  c  q  x  b  x  d   0 luôn có nghiệm, biết rằng a  b  c  d , p và q là hai số thực bất kì. Bài 10. Chứng minh phương trình a)  m  1 x 2 3  4x  1  0 luôn luôn có nghiệm.    b) cos2x  2sinx  2 có ít nhất 2 nghiệm tong khoảng   ;    6  c) x3  6x  1  2  0 có nghiệm dương d) x5  x2  2x  1  0 có nghiệm. Hướng dẫn và đáp số: a) Xét f(0) và f(1) b) Xeùt haøm soá y=f(x)=cos2x-sin2x+2      Xét trên khoảng   ,  ;  ;    6 2 2  c) Xét f(0) và f(1) 50 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT {Tham khảo} Bài 1. Cho ví dụ về một hàm số liên tục trên (a;b] và trên (b;c) nhưng không liên tục trên (a;c). Hướng dẫn x  2, neáu x  0  Xeùt haøm soá f(x)   1 , neáu x  0  x2 * Tröôøng hôïp x  0 : f(x) laø haøm ña thöùc, lieân tuïc treân , neân noù lieân tuïc treân  2;0  *Tröôøng hôïp x  0 : 1 f(x)  laø haøm soá phaân thöùc höõu tæ neân lieân tuïc treân (0;2) thuoäc taäp xaùc ñònh cuûa x2 noù. Nhö vaäy f(x) lieân tuïc treân (-2;0] vaø treân (0;2). 1 Tuy nhieân, vì lim f(x)  lim   neân haøm soá f(x) khoâng coù giôùi haïn höõu haïn 2   x 0 x 0 x taïi x=0. Do ñoù, noù khoâng lieân tuïc taïi x=0. Nghóa laø khoâng lieân tuïc treân (-2;2). Bài 2. Chứng minh rằng nếu một hàm số liên tục trên (a;b] và trên [b;c) thì nó liên tục trên (a;c). Hướng dẫn Vì haøm soá lieân tuïc treân  a; b  neân lieân tuïc treân  a; b  vaø lim f(x)  f(b) x  b Vì haøm soá lieân tuïc treân  b;c  neân lieân tuïc treân  b;c  vaø lim f(x)  f(b) x  b (1) (2) Töø (1) vaø (2) suy ra f(x) lieân tuïc treân caùc khoaûng  a; b  vaø  b;c  vaø lieân tuïc taïi x=b (vì lim f(x)  f(b)). Nghóa laø noù lieân tuïc treân (a;c) xb Bài 3. Cho hàm số f(x)   x  1 x . Vẽ đồ thị hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số x liên tục và chứng minh dự đoán đó. Hướng dẫn  x  1 x   x  1,neáu x  0 1  x,neáu x  0 x Haøm soá naøy xoù taäp xaùc ñònh laø {0}. b)Töø ñoà thò döï ñoaùn f(x) lieân tuïc treân caùc khoaûng  ;0  ,  0;   ,nhöng khoâng lieân tuïc treân . Thaät vaäy: * Vôùi x>0, f(x)=x-1 laø haøm phaân thöùc neân lieân tuïc treân . Do ñoù lieân tuïc treân (0;+). * Vôùi x>0, f(x)=1-x laø haøm phaân thöùc neân lieân tuïc treân . Do ñoù lieân tuïc treân (-;0) Deã thaáy haøm soá giaùn ñoaïn taïi x=0, vì lim f(x)  1; lim f(x)  1 a)f(x)  x 0 x 0 Bài 4. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu f(a).f(b)>0 thì phương trình f(x)=0 có nghiệm hay không trong khoảng (a;b)? Cho ví dụ minh hoạ. Hướng dẫn Neáu haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân ñoaïn a; b  vaø f(a).f(b)  0 thì phöông trình f(x)=0 coù theå coù nghieäm hoaëc voâ nghieäm trong khoaûng (a;b). Ví duï minh hoïa: * f(x)=x2  1 lieân tuïc treân [-2;2],f(-2).f(2)=9>0.Phöông trình x2  1  0 coù nghieäm x=  1trong khoaûng (-2;2). * f(x)=x2  1 lieân tuïc treân [-1;1],f(-1).f(1)=4>0.Phöông trình x2  1  0 coù nghieäm x=  1trong khoaûng (-1;1). Bài 5. Nếu hàm số y=f(x) không liên tục trên đoạn [a;b] nhưng f(a).f(b)<0, thì phương trình f(x)=0 có nghiệm hay không trong khoảng (a;b)? Hãy giải thích câu trả lời bằng minh hoạ hình học. Hướng dẫn 51 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. Neáu haøm soá y=f(x) khoâng lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] nhöng f(a).f(b)<0 thì phöông trình f(x)=0 coù theå coù nghieäm hoaëc voâ nghieäm trong khoaûng (a;b) Minh hoạ hình học: Bổ sung hình vẽ /185.SBT Bài 5. Chứng minh phương trình: xn  a1xn1  a2 xn2  ...  an1x  an  0 luôn có nghiệm với n là số tự nhiên lẻ. Hướng dẫn Haøm soá f(x)=x n  a1x n 1  a2 x n 2  ...  an 1x  an xaùc ñònh treân . *Ta coù: lim f(x)  .Vì lim f(x)   neân vôùi daõy soá (x n ) baát kì maø x n  , x  x  ta luoân coù lim f(x n )  .Do ñoù f(x n )coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Noùi caùch khaùc, luoân toàn taïi soá a sao cho f(a)>1. (1) *Ta coù: lim f(x)   ( do n leû).Vì lim f(x)   neân vôùi daõy soá (x n ) x  x  baát kì maø x n  ,ta luoân coù lim f(x n )   haylim   f(x n )   . Do ñoù -f(x n )coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Neáu soá döông naøy laø 1 thì -f(x n )  1 keå töø soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Noùi caùch khaùc, luoân toàn taïi soá b sao cho -f(b)>1 hay f(b)<-1. (2) Töø (1) vaø (2) suy ra f(a).f(b)<0. Maët khaùc haøm ña thöùc f(x) lieân tuïc treân , neân lieân tuïc treân a; b  Doño,ù phöông trình f(x)=0 luoân coù nghieäm Bài 6. Cho hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên đoạn [a;b]. Chứng minh rằng với mọi dãy hữu hạn có các số c1,c2,c3,...,cn cùng thuộc [a;b] thì phương trình: f(x)  1  f(c )  f(c2 )  ...  f  cn   luôn có nghiệm  n 1 trong đoạn [a;b] Hướng dẫn Ta coù: a  c1  b;a  c2  b;a  c3  b;... Haøm soá f(x) ñoàng bieán treân [a;b] f(a)  f(c1 )  f(b) f(a)  f(c2 )  f(b) Neân : f(a)  f(c3 )  f(b) .............. f(a)  f(cn )  f(b) Suyra : nf(a)  f(c1 )  f(c2 )  ...  f(cn )  nf(b) 1  f(a)   f(c1 )  f(c2 )  ...  f(cn )   f(b) n 1 Ñaët M  M   f(c1 )  f(c2 )  ...  f(c n )  n Xeùt haøm g(x)=f(x)-M lieân tuïc treân [a;b]; g(a)=f(a)-M  0 vaø g(b)=f(b)-M  0.Suy ra: g(a).g(b)  0. *Khi g(a).g(b)=0  g(a)  0 neân a hoaëc b laø nghieäm cuûa phöông trình f(x)=M g(b)  0 *Khi g(a).g(b)<0 thì phöông trình f(x)-M=0 coù ít nhaát moät nghieäm trong (a;b) 1 Vaäy, phöông trình : f(x)=  f(c1 )  f(c2 )  ...  f(cn ) luoân coù nghieäm trong  a; b  n Bài 7. Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) chứa điểm x0. Chứng minh rằng nếu lim x x 0 f(x)  f(x 0 ) x  x0  L thì hàm số f(x) liên tục tại x0 Hướng dẫn: Đặt g(x)  f(x)  f(x 0 ) x  x0  L vaø bieåu dieãn f(x) qua g(x) 52 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế. ÔN TẬP CHƯƠNG 4 Bài 1. Tính các giới hạn sau: a) lim n2  3n  2 x 2n2 b) lim  3n  2 n 2   3n  c) lim n 1 x  2   3n1 n 3n3  2 x 4n2  1 1 1 b)   c) 2 3 Bài 2. Tính tổng các cấp số nhân lùi vô hạn: Đáp số: a) 2 n a) 1  0,03   0,03   ...   0,03   ... b)1   1 1 1 1    ...     2 4 8  2 2 n 1 c)1  0,9   0,9   ...   0,9   ... n 1  ... 3 1  100 3 Hướng dẫn và Đáp số: a) 1  100  b) 1  2  c) 10 3 1 3 97 1 1 100 2 Bài 3. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,131131...( chu kì 131) dưới dạng số hữu tỉ. 131 131 Đáp số: S  2  1000  2  131 999 1 1000 Bài 4. Cho dãy số (xn): x n  2n  1 3n  1 a) Chứng minh dãy số (xn) dãy tăng b) Dãy (xn) hội tụ có giới hạn hữu hạn. Hướng dẫn và đáp số: a) Chứng minh xn1  xn  0, n  2 3 Bài 5. Dùng định nghĩa giới hạn chứng minh: b) lim x n  a)lim  2x  6   4 b)lim x1 x1 3 1  x  2   Bài 6. Tìm các giới hạn sau: a) lim x2 x2 x2  3x  2 Đáp số: a) 1; ; b) lim x2 b) 2 3 2 1 x  3 8  x ; x 0 x x2  5  3 ; x2 c) 13 12 1 Bài 7. Cho hàm số y  f(x)   2 x  x  1 c) lim d) lim  x  x 2  1  . x   d)0 neáu x  0 . Chứng minh hàm số liên tục. neáu x  1 Hướng dẫn:  Với x  0 :Haøm soá lieân tuïc.  Với x=0. Hàm số liên tục 53 Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.  Vậy hàm số liên tục trên tập xác định x  a Bài 8. Cho hàm số y  f(x)   2 ax  bx  1 neáu x  0 . Tìm a,b để hàm số liên tục. neáu x  0 Đáp số: với a=1, b bất kì thì hàm số liên tục trên R Bài 9. Tìm các giới hạn sau:  x3 x2  a) lim   ; x  3x2  4 3x  2    b) lim x x 2 x 3 1 2 x ; c) lim x x2  3x ; x5 d)lim x1 3 x7 2 x 1 2 1 b)   c)1 d) 9 12 Bài 10. Chứng minh phương trình sau có nghiệm: Đáp số: a) a) 3x3  2x2  3x  2  0 có ít nhất một nghiệm b) Chứng minh rằng phương trình x5  3x4  6x3  x2  4x  1  0 có nghiệm trong khoảng (0;2) c) 4x3  12x2  x  3  0 có 3 nghiệm trong các khoảng (-1;0),(0;1),(2;4). Hướng dẫn: f(x)=0 có nghiệm trong đoạn [a;b]  f(a).f(b)  0 a) khoảng (0;1) b) (0;2) c) (-1;0),(0;1),(2;4). 54
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top