Giới thiệu Phân dạng và bài tập Hình học 9
Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Phân dạng và bài tập Hình học 9.
Tài liệu môn Toán sẽ luôn được cập thường xuyên từ nguồn đóng góp của quý bạn đọc và hoctoanonline.vn sưu tầm, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán mới nhất nhé.
Hơn nữa, Hoctoanonline.vn còn cung cấp file WORD Tài liệu môn Toán miễn phí nhằm hỗ trợ thầy, cô trong quá trình dạy học, biên soạn đề thi.
Tài liệu Phân dạng và bài tập Hình học 9
Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm nhé
1
| Chủ đề
A
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG
TAM GIÁC VUÔNG
1:
HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO
TRONG TAM GIÁC VUÔNG
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
A
Cho 4 ABC vuông tại A , cạnh huyền BC = a, các
cạnh góc vuông AC = b và AB = c. Gọi AH = h là
đường cao ứng với cạnh huyền CH = b0 , BH = c0
c
b
h
lần lượt là hình chiếu của AC, AB trên cạnh huyền
BC .
1
c’
b’
H
C
a
Ba hệ thức về cạnh
• b2 = ab0
(1)
• c2 = ac0
(2)
• a2 = b2 + c2 (hệ thức Pytago)
(3)
2
Ba hệ thức về đường cao
• h2 = b 0 c 0
(4)
• ah = bc
(5)
•
3
B
1
1
1
= 2+ 2
2
h
b
c
(6)
Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông
• Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng một nữa cạnh ấy thì
tam giác đó là tam giác vuông.
1
Chương 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
• Dấu hiệu này sinh ra cách vẽ một tam giác vuông bằng thước kẻ và compa gồm hai
bước:
B1: Vẽ một nữa đường tròn tâm O , đường kính BC .
B2: Lấy điểm A bất kì trên nữa đường tròn thu được 4 ABC vuông tại A .
B
Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng trong tam giác vuông
1.
• Xác định vị trí cạnh huyền.
• Áp dụng hệ thức về cạnh hoặc đường cao.
2.
• Dùng kĩ thuật đại số hóa hình học: Nếu
AB m
=
(m, n là hằng số) thì AB = mt,
CD
n
CD = nt, với t > 0.
• Xác định độ dài cạnh huyền.
• Áp dụng hệ thức về độ dài cạnh và đường cao.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1.
Hãy tính x, y với các kích thước như hình bên.
12
y
x
20
# Ví dụ 2.
Hãy tính x, y với các kích thước như hình bên.
6
8
x
y
x
y
1
4
# Ví dụ 3.
Hãy tính x, y với các kích thước như hình bên.
# Ví dụ 4.
Trang 2
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
1. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Hãy tính x, y với các kích thước như hình bên.
5
7
x
y
# Ví dụ 5.
Hãy tính x, y với các kích thước như hình bên.
y
2
x
1
# Ví dụ 6.
A
Hãy tính x, y với các kích thước như hình bên.
15
B
AB
AC =
x
H
3
4
C
y
# Ví dụ 7.
A
Hãy tính x, y với các kích thước như hình bên.
y
x
B
2
t
H
C
5
# Ví dụ 8.
A
Hãy tính x, y với các kích thước như hình bên.
AB
AC =
30
B
x
5
6
y
C
# Ví dụ 9.
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 3
Chương 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A
Hãy tính x, y với các kích thước như hình bên.
AB
AC =
3
4
B
y
x
C
125
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho 4 ABC Ab = 90◦ , AB = 12cm, BC = 13cm. Tính AC , đường cao AH , các đoạn
¡
¢
thẳng BH , CH và diện tích của tam giác.
# Bài 2. Cho 4 ABC vuông cạnh huyền AB, cạnh AC = 15, đường cao CH chia AB thành
hai đoạn AH và HB với HB = 16. Tính diện tích tam giác ABC .
# Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh bên bằng 15 cm, cạnh đáy bằng 18 cm. Tính
độ dài các đường cao.
# Bài 4. Tính diện tích của một tam giác cân có chiều cao ứng với cạnh đáy bằng 10cm,
chiều cao ứng với với cạnh bên bằng 12cm.
# Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường phân giác trong BE , biết EC = 3, BC = 6.
Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC .
# Bài 6. Tính diện tích tam giác có độ dài ba cạnh là 10cm, 17cm, 21cm.
Dạng 2: Dựng đoạn thẳng Py-ta-go; Dựng đoạn trung bình nhân
1. Dựng đoạn thẳng Py-ta-go
• Loại 1. Cho trước hai đoạn thẳng a và b. Dựng đoạn thẳng x =
p
a2 + b 2 ⇔ x2 =
a2 + b 2 .
Dựng tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông là a và b thì cạnh huyền bằng x.
• Loại 2. Cho trước hai đoạn thẳng a và b. Dựng đoạn thẳng
p
y = a2 − b2 (a > b) ⇔ y2 + b2 = a2 .
Dựng tam giác vuông có cạnh huyền là a, cạnh góc vuông là b thì cạnh góc vuông
kia là y.
2. Dựng đoạn trung bình nhân
p
Cho trước hai đoạn thẳng a và b. Dựng đoạn thẳng x = ab.
Dựng tam giác ABC có cạnh huyền BC = a + b Ab = 90◦ thì đường cao ứng với cạnh
¡
¢
huyền là x với BH = a, HC = b.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
Trang 4
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
1. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
# Ví dụ 1. Dựng đoạn thẳng
# Ví dụ 2. Dựng đoạn thẳng
# Ví dụ 3. Dựng đoạn thẳng
# Ví dụ 4. Dựng đoạn thẳng
# Ví dụ 5. Dựng đoạn thẳng
# Ví dụ 6. Dựng đoạn thẳng
p
2
p
5
p
5
p
3
p
3
p
5
bằng cách dựng đoạn thẳng Py-ta-go.
bằng cách dựng đoạn thẳng Py-ta-go.
bằng cách dựng đoạn thẳng Py-ta-go.
bằng cách dựng đoạn thẳng Py-ta-go.
bằng cách dựng trung bình nhân.
bằng cách dựng đoạn trung bình nhân.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
p
6 bằng cách dựng đoạn thẳng Py-ta-go.
p
# Bài 2. Dựng đoạn thẳng 7 bằng cách dựng trung bình nhân.
# Bài 1. Dựng đoạn thẳng
Dạng 3: Chứng minh hệ thức hình học
1. Chọn các tam giác vuông thích hợp chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức. Tính các
đoạn thẳng đó nhờ các hệ thức về cạnh và đường cao.
2. Liên kết các giá trị trên rút ra hệ thức phải chứng minh.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho 4 ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông
góc của H trên AB và AC . Chứng minh rằng:
a) AM · AB = AN · AC ;
b) HB · HC = M A · MB + N A · NC ;
µ
¶
HB
AB 2
=
c)
.
HC
AC
# Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD . Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia D I cắt tia CD
ở K . Kẻ Dx ⊥ D I cắt tia BC ở L.
a) Tam giác D IL là một tam giác cân.
b) Tổng
1
1
+
không đổi khi I di động trên cạnh AB.
2
DI
DK 2
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A Ab < 90◦ ,kẻ BM ⊥ C A . Chứng minh rằng
¡
¢
¶
µ
AM
AB 2
=2
− 1.
MC
AC
# Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH . Trên nữa mặt phẳng bờ BC
có chứa điểm A lấy điểm D sao cho
cạnh của một tam giác vuông.
DB AB
= p . Chứng minh rằng BD, DH, H A là độ dài ba
DC
2
# Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi D , E lần lượt là hình chiếu
của H trên AB và AC . Hãy chứng minh các hệ thức sau:
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 5
Chương 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
µ
¶
CA 2
CE
a)
;
=
BD
AB
b) AH 3 = BC · BD · CE ;
c) 3 AH 2 + BD 2 + CE 2 = BC 2 ;
d)
| Chủ đề
A
2:
p
3
BD 2 +
p
3
p
3
CE 2 =
BC 2 .
Tỉ số lượng giác của một góc nhọn.
Kiến thức cần nhớ
I. Định nghĩa
Cho góc nhọn α, từ một điểm bất kì trên một cạnh
B
• sin α =
AB
Cạnh đối
;
=
Cạnh huyền AC
• cos α =
Cạnh kề
AC
=
;
Cạnh huyền BC
• tan α =
Cạnh đối AB
=
;
Cạnh kề AC
• cot α =
Cạnh kề AC
=
.
Cạnh đối AB
h
n
Cạ
C
n
yề
u
h
Cạnh kề
Cạnh đối
của góc α, kẻ đường vuông góc với cạnh kia. Khi đó
A
Nhận xét: Vì độ dài các cạnh trong một tam giác vuông đều dương và hai cạnh góc
vuông nhỏ hơn cạnh huyền nên 0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1, tan α > 0, cot α > 0.
II. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Nếu hai góc phụ nhau (có tổng số đo bằng 90◦ ) thì: sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này
bằng cot góc kia.
Cụ thể: sin B = cos C ; cos B = sin C ; tan B = cot C ; cot B = tan C .
III. Tỉ số lượng giác góc đặc biệt
Tỉ số lượng giác góc α
sin α
cos α
tan α
cot α
Trang 6
30◦
1
p2
3
p2
3
3
p
3
45◦
p
2
p2
2
2
1
1
60◦
p
3
2
1
2
p
3
p
3
3
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
2. Tỉ số lượng giác của một góc nhọn.
B
Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác
1. Xác định cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền, viết tỉ số lượng giác theo định nghĩa.
2. Tính cạnh còn lại nhờ hệ thức Py-ta-go hoặc hệ thức về cạnh, đường cao.
3. Tính tỉ số lượng giác còn lại theo định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại C , có BC = 1,2, C A = 0,9. Tính các tỉ số lượng giác
của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A .
# Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB = 6, AC = 8. Tính các tỉ số lượng giác
của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc C .
# Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại A . Kẻ đường cao AH . Tính sin B, sin C (làm tròn
đến chữ số thập phân thứ tư) biết rằng AB = 13, BH = 5.
BH = 3, CH = 4.
# Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A . Kẻ đường cao AH . Tính sin B, sin C (làm tròn
đến chữ số thập phân thứ tư) biết rằng BH = 3, CH = 4.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho tam giác ABC có hai cạnh góc vuông là AB = 16mm, AC = 3cm.
a) Tính tỉ số lượng giác của các góc nhọn;
b) Tính tổng sin2 B + sin2 C .
Dạng 2: Dựng góc α biết một tỉ số lượng giác là
m
n
1. Dựng một tam giác vuông có
– Cạnh góc vuông và cạnh huyền là m, n nếu cho sin α hoặc cos α bằng
– Hai cạnh góc vuông là m, n nếu cho tan α hoặc cot α bằng
m
.
n
m
.
n
2. Xác định tỉ số lượng giác để nhận ra góc α.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
2
3
# Ví dụ 1. Dựng góc nhọn α biết sin α = .
# Ví dụ 2. Dựng góc nhọn α biết cos α = 0,6.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
3
4
3
# Bài 2. Dựng góc nhọn α biết cot α = .
2
# Bài 1. Dựng góc nhọn α biết tan α = .
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 7
Chương 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Dạng 3: Tính cạnh, tỉ số lượng giác của góc còn lại khi biết tỉ số lượng giác
của một góc
Phương pháp giải:
a) Xác định cạnh đối, cạnh lề của một góc, viết tỉ số lượng giác theo định nghĩa.
b) Dùng kĩ thuật đại số hóa hình học
Nếu
AB = mt
AB m
=
thì
(với t > 0).
CD
n
CD = nt
c) Áp dụng hệ thức Py-ta-go
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A . Biết sin B = 0, 8. Hãy tính tỉ số lượng giác của
góc C .
# Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A , AB = 6 cm, Bb = α. Biết tan α =
5
. Hãy tính
12
a) Độ dài cạnh AC .
b) Độ dài cạnh BC .
# Ví dụ 3. Hãy tính sin α, cos α (làm tròn đến số thập phân thứ tư) nếu biết
3
4
1
3
b) cot α = .
a) tan α = .
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
3
5
1
# Bài 2. Tính sin α, tan α biết cos α = .
4
# Bài 1. Tính cos α, tan α biết sin α = .
# Bài 3. Tính sin α, cos α biết tan α = 0, 8.
# Bài 4. Tính sin α, cos α biết cot α = 3.
Dạng 4: Sắp thứ tự các tỉ số lượng giác mà không dùng bảng số và máy tính
Phương pháp giải:
a) Đưa các tỉ số lượng giác về cùng một loại.
b) Biểu diễn tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt trên trục số.
c) Chèn các tỉ số cần sắp xếp lên trục số ta được thứ tự của chúng.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh
Trang 8
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
2. Tỉ số lượng giác của một góc nhọn.
a) sin 20◦ và sin 70◦ .
b) cos 25◦ và cos 63◦ 150 .
c) tan 73◦ 200 và tan 45◦ .
d) cot 20◦ và cot 37◦ 400 .
# Ví dụ 2. Sắp xếp các tỉ số lượng giác theo thứ tự tăng dần
a) sin 78◦ , cos 14◦ , sin 47◦ , cos 87◦ .
b) tan 73◦ , cot 25◦ , tan 62◦ , cot 38◦ .
# Ví dụ 3. So sánh
a) tan 25◦ và sin 25◦ .
b) cot 32◦ và cos 32◦ .
c) tan 45◦ và cos 45◦ .
d) cot 60◦ và sin 30◦ .
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Áp dụng quan hệ giữa tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau để biết tỉ số lượng
giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45◦ : sin 60◦ , cos 75◦ , sin 52◦ 300 , cot 82◦ , tan 80◦ .
Dạng 5: Chứng minh hệ thức lượng giác
Phương pháp giải:
a) Tính tỉ số lượng giác theo định nghĩa.
b) Nhân hay chia theo vế các tỉ số lượng giác.
c) Áp dụng hệ thức Py-ta-go.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Với góc nhọn α tùy ý, chứng minh rằng
a) tan α =
sin α
.
cos α
b) cot α =
cos α
.
sin α
d) sin2 α + cos2 α = 1.
c) tan α · cot α = 1.
# Ví dụ 2. Với góc nhọn α tùy ý, chứng minh rằng
a) 1 + tan2 α =
1
.
cos2 α
b) 1 + cot2 α =
1
sin2 α
.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn, chứng minh rằng với
góc nhọn α tùy ý ta có
a) tan α =
sin α
;
cos α
b) sin2 α + cos2 α = 1.
# Bài 2. Áp dụng kết quả của bài 1, hãy đơn giản các biểu thức sau
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 9
Chương 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
a) 1 − sin2 α;
b) sin4 α + cos4 α + 2 sin2 α cos2 α;
c) (1 − cos α) (1 + cos α);
d) 1 + sin2 α + cos2 α;
e) tan2 α − sin2 α tan2 α;
f) cos2 α + cos2 α tan2 α;
g) sin α − sin α cos2 α;
h) tan2 α 2 cos2 α + sin2 α − 1 .
¡
¢
# Bài 3. Không dùng bảng số hoặc máy tính, áp dụng kết quả của bài 1, hãy tính giá trị
của các biểu thức
A = sin2 15◦ + sin2 25◦ + sin2 35◦ + sin2 45◦ + sin2 55◦ + sin2 65◦ + sin2 75◦ .
B = cos2 10◦ − cos2 20◦ + cos2 30◦ − cos2 40◦ − cos2 50◦ − cos2 70◦ + cos2 80◦ .
3
5
# Bài 4. Cho tan α = . Áp dụng kết quả 1 của bài 1. Hãy tính giá trị của
a) M =
c) P =
sin α + cos α
;
sin α − cos α
sin3 α + cos3 α
2 sin α cos2 α + cos α sin2 α
| Chủ đề
A
3:
b) N =
sin α · cos α
sin2 α − cos2 α
;
.
HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM
GIÁC VUÔNG
Kiến thức cần nhớ
I. Các hệ thức
Cho tam giác ABC vuông tại A , cạnh huyền a và các cạnh góc vuông b, c.
A
1. Định lý: Trong một tam giác vuông, mỗi
cạnh góc vuông bằng
c
b
• Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc
nhân với côsin góc kề.
B
a
C
• Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc
đối hoặc nhân với côtang góc kề.
2. Như vậy, trong tam giác ABC vuông tại A , ta có hệ thức
b = a · sin B = a · cos C ; b = c · tan B = c · cot C
c = a · sin C = a · cos B; c = b · tan C = b · cot B.
II. Giải tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, nếu cho trước hai cạnh hoặc một cạnh và một góc nhọn thì
ta sẽ tìm được tất cả các cạnh và các góc còn lại của nó. Bài toán đặt ra như thế được
gọi là bài toán “Giải tam giác vuông”.
Trang 10
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
3. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
B
Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Giải tam giác vuông biết độ dài một cạnh và số đo một góc nhọn
Phương pháp giải:
a) Xác định cạnh kề, cạnh đối. Viết tỉ số lượng giác để tìm độ dài các cạnh.
b) Tính góc nhọn còn lại nhờ quan hệ phụ nhau.
c) Thay giá trị rồi tính.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Giải tam giác ABC vuông tại A , biết
b) c = 10 cm, Cb = 45◦ ;
a) b = 10 cm, Cb = 30◦ ;
c) a = 20 cm, Bb = 35◦ .
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Để giải một tam giác vuông cần biết ít nhất mấy góc và cạnh? Có lưu ý gì về số
cạnh?
# Bài 2.
a) Tỉ số lượng giác nào có liên quan đến cạnh huyền của tam giác vuông?
b) Nêu định lí và viết hệ thức diễn tả các tỉ số lượng giác đó.
Dạng 2: Giải tam giác vuông biết hai cạnh
Phương pháp giải:
a) Áp dụng định lý Py-ta-go để tìm cạnh còn lại.
b) Xác định cạnh kề, cạnh đối, viết tỉ số lượng giác.
c) Tính góc nhọn còn lại nhờ quan hệ phụ nhau.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Giải tam giác ABC vuông tại A , biết
a) b = 18 cm, c = 21 cm.
b) b = 28 cm, c = 21 cm.
c) b = 10 cm, b = 6 cm.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1.
a) Tỉ số lượng giác nào liên quan đến cả hai cạnh góc vuông của tam giác
vuông?
b) Nêu định lý và viết hệ thức diễn tả các tỉ số lượng giác đó.
# Bài 2. Cho tam giác ABC, Ab = α(α < 90◦ ), AB = c, AC = b.
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 11
Chương 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1
2
a) Chứng minh rằng S ABC = bc · sin α.
b) Trên tia AB lấy D , trên tia AC lấy E sao cho AD = m, AE = n. Chứng minh rằng
S ABC
bc
=
.
S ADE mn
Dạng 3: Tính cạnh, tính góc của tam giác
Phương pháp giải:
a) Kẻ thêm đường cao xuống cạnh kề của góc đã biết.
b) Chuyển bài toán về giải tam giác vuông biết một cạnh và một góc.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho tam giác ABC , trong đó BC = 11 cm,
ABC = 38◦ ,
ACB = 30◦ . Gọi N là chân
đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh BC . Hãy tính
a) Độ dài đoạn thẳng AN .
b) Độ dài cạnh AC .
# Ví dụ 2. Trong hình vẽ bên cho AC = 8 cm, AD = 9, 6 cm,
ABC = 90◦ ,
ACB = 54◦ và
ACD =
74◦ . Hãy tính
a) Độ dài đoạn thẳng AB.
b) Số đo góc ADC .
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Tính cạnh huyền và diện tích của một tam giác vuông cân nếu a là cạnh góc
vuông.
# Bài 2. Nửa tam giác đều là cụm từ dùng để chỉ tam giác vuông có góc 60◦ hoặc 30◦ . Tính
hai cạnh góc vuông và diện tích của nửa tam giác đều có cạnh huyền là a.
# Bài 3. Tính chiều cao và diện tích của một tam giác đều cạnh a.
# Bài 4.
Cho tam giác đều ABC cạnh 5 cm và góc
ADB = 40◦ . Hãy
A
tính
m
5c
a) Độ dài đoạn AD .
b) Độ dài đoạn DB.
D
60◦
40◦
B
H
C
# Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH . Biết HB = 25 cm, HC = 64 cm.
b.
bC
Tính B,
Trang 12
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
3. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
# Bài 6. Cho tam giác ABC có BC = 6 cm, Bb = 60◦ , Cb = 40◦ . Tính
a) Chiều cao CH và cạnh AC ;
b) Diện tích tam giác ABC .
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 13
Chương
2
ĐƯỜNG TRÒN
| Chủ đề
A
1:
SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN
Kiến thức cần nhớ
I. Ba khái niệm cơ bản
1.
Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các
điểm cách đều điểm O một khoảng không đổi bằng R .
Đường tròn tâm O bán kính R được kí hiệu là (O ; R ), hay gọn
R
O
hơn (O ).
M
2. Đoạn thẳng nối hai điểm bât kì trên đường tròn gọi là một
dây của đường tròn.
3. Dây đi qua tâm là đường kính của đường tròn (đường kính
dài gấp đôi bán kinh).
II. Ba vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (O, R )
Cho đường tròn (O ; R ) và một điểm M . Khi đó
1. M nằm trên (O ; R ) khi và chỉ khi OM = R .
2. M nằm bên trong (O ; R ) khi và chỉ khi OM < R .
3. M nằm bên ngoài (O ; R ) khi và chỉ khi OM > R .
III. Ba điều kiện để xác định đường tròn
1. Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của nó.
2. Một đường tròn được xác định khi biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó.
3. Qua ba điểm không thẳng hàng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
15
Chương 2: ĐƯỜNG TRÒN
IV. Tính chất đối xứng của đường tròn
Tính chất 1. Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng
của đường tròn đó.
Tính chất 2. Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối
xứng của đường tròn.
B
Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn
Phương pháp giải: Chứng minh các điểm đã cho cách đều một điểm cho trước.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, BC = 5 cm. Chứng minh rằng bốn
điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
# Ví dụ 2. Chứng minh các định lí sau
a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
b) Nếu một tam giác có mộ cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác
đó là tam giác vuông.
Nhận xét 1. Từ đây trở đi được áp dụng kết quả: Nếu các tam giác vuông có chung cạnh
huyền thì các đỉnh góc vuông của tam giác vuông đó cùng thuộc một đường tròn có tâm là
trung điểm của cạnh huyền chung đó.
# Ví dụ 3. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. AM , BN , CP là các đường trung tuyến.
Chứng minh rằng bốn điểm B, P, N, C cùng thuộc một đường tròn. Hãy vẽ đường tròn đó.
b = 90◦ . Gọi M, N, P,Q lần lượt là trung điểm của
# Ví dụ 4. Cho tứ giác ABCD có Cb + D
AB, BD, DC và C A . Chứng minh bốn điểm M, N, P,Q cùng thuộc một đường tròn.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho tam giác ABC ( Ab = 90◦ ), đường cao AH . Từ M là điểm bất kì trên cạnh BC kẻ
MD ⊥ AB, ME ⊥ AC . Chứng minh năm điểm A, D, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn.
# Bài 2. Cho tam giác ABC ( Ab = 90◦ ) gọi D là điểm đối xứng với A qua cạnh BC . Chứng
minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
# Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD vẽ tam giác AEC vuông tại E . Chứng minh năm điểm
A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.
# Bài 4. Cho hình vuông ABCD .
a) Chứng minh rằng bốn đỉnh hình vuông cùng nằm trên một đường tròn.
Trang 16
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
1. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN
b) Tính bán kính của đường tròn đó biết cạnh của hình vuông bằng 2 dm.
# Bài 5. Cho tam giác ABC , các đường cao BD , CE . Chứng minh rằng bốn điểm B, E, D, C
cùng thuộc một đường tròn.
b = 90◦ .
# Bài 6. Cho tứ giác ABCD có Bb = D
a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
b) Nếu AC = BD thì tứ giác ABCD là hình gì?
# Bài 7. Cho tứ giác ABCD có AC ⊥ BD . M, N, P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, BC , CD , D A . Chứng minh bốn điểm M , N , P , Q cùng thuộc một đường tròn.
?
Dạng 2: Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp
Phương pháp giải:
1. Tam giác thường. Vẽ hai đường trung trực. Giao điểm của hai đường trung trực tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác.
2. Tam giác vuông. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền.
3. Tam giác cân. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác thuộc đường hạ từ đỉnh lên
đáy
4. Tam giác đều. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác trùng với trục tâm, trọng
tâm, tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác vuông cần có cạnh góc
vuông bằng a.
# Ví dụ 2. Xác định tâm và bán kính của đường tròn (O ) ngoại tiếp tam giác đều ABC có
cạnh bằng a.
# Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân tại A . Nội tiếp đường tròn (O ). Đường cao AH cắt (O ) ở
D . Biết BC = 24 cm, AC = 20 cm. Tính chiều cao AH và bán kính đường tròn (O ).
# Ví dụ 4. Một tấm bìa hình tròn không còn dấu vết của tâm. Hãy tìm lại tâm của hình
tròn đó.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Thế nào là đường tròn ngoại tiếp một tam giác? Nêu cách xác định tâm của
đường tròn ngoại tiếp tam giác.
# Bài 2. Tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác có ba góc nhọn, có một góc vuông,
có một góc tù nằm ở đâu?
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 17
Chương 2: ĐƯỜNG TRÒN
# Bài 3. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng
3.
# Bài 4. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3. Hãy tính chiều cao và bán kính của đường
tròn ngoại tiếp của nó.
# Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A , BC = 12 cm, chều cao AH = 4 cm. Tính bán kính
của dường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Dạng 3: Dựng đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải:
1. Xác định tâm.
2. Xác định bán kính.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho góc nhọn xA y và hai điểm B, C thuộc tia Ax. Dựng đường tròn (O ) đi qua
B và C sao cho tâm O nằm trên tia A y.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A .
a) Nêu cách dựng đường tròn (O ) đi qua A và tiếp xúc với BC tại B.
b) Nêu cách dựng đường tròn (O 0 ) đi qua A và tiếp xúc với BC tại C .
| Chủ đề
A
2:
ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA MỘT
CUNG TRÒN
Kiến thức cần nhớ
Định nghĩa 1.
• Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt cùng nằm trên một
đường tròn.
• Dây cung đi qua tâm của đường tròn gọi là đường kính của đường tròn.
I. Tính chất đặc trưng của đường kính
Định lí 1. Trong các dây cung của một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.
II. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
Định lí 2. Trong một đường tròn
1) Đường kính vuông góc với một dây cung thì đi qua trung điểm của dây đó.
2) Đường kính đi qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm của đường tròn thì
vuông góc với dây đó.
Trang 18
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA MỘT CUNG TRÒN
Định nghĩa 2. Khoảng cách từ một điểm O đến đường thẳng a là độ dài đường vuông góc
OH kẻ từ O đến a.
III. Dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song cách đều
Tính chất 3. Những đường thẳng song song chắn trên một đường thẳng cho trước những
đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.
Tính chất 4. Những đường thẳng song song cách đều chắn trên một đường thẳng bất kì
những đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.
IV. Trong một đường tròn
Định lí 3. 1) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
2) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
V. Trong hai dây của một đường tròn
Định lí 4. 1) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
2) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
B
Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. Hai dây bằng nhau
Phương pháp giải:
1. Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều nhau và ngược lại.
2. Chứng minh hai tam giác bằng nhau.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho (O ) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H ,K thứ tự là
chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD . Chứng minh rằng:
a) CD và HK có trung điểm trùng nhau;
b) CH = DK ;
c) DH = CK .
# Ví dụ 2. Cho (O ) đường kính AB. Kẻ hai dây song song AC và BD . Chứng minh rằng
a) AC = BD ;
b) CD là đường kính của (O ).
# Ví dụ 3. Cho (O ) có các dây AB và CD bằng nhau. Các tia AB và CD cắt nhau tại điểm
E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD . Chứng
minh rằng:
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 19
Chương 2: ĐƯỜNG TRÒN
a) EH = EK ;
b) E A = EC .
# Ví dụ 4. Cho tam giác ABC , các đường cao BD , CE . Chứng minh rằng
a) Bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn.
b) DE < BC .
# Ví dụ 5. Cho (O, 5 cm), dây AB = 8 cm.
a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
b) Lấy điểm I thuộc dây AB sao cho AI = 1 cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB.
Chứng minh AB = CD .
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Chứng minh định lí: Trong các dây của một đường tròn dây lớn nhất là đường
kính.
# Bài 2. Việt bảo Nam: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm một dây
thì vuông góc với dây ấy. Nam bảo Việt bạn nói sai rồi. Theo em ai nói đúng, ai nói sai? Vì
sao?
# Bài 3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD , các đường vuông góc với CD
tại C và D tương ứng cắt AB tại M và N . Chứng minh rằng AM = BN .
# Bài 4. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên AB lấy hai điểm M và N sao
cho AM = BN . Qua M và N kẻ hai đường thẳng song song với nhau cắt nửa đường tròn lần
lượt ở C và D . Chứng minh rằng MC và ND vuông góc với CD .
# Bài 5. Cho (O ) đường kính AB. Dây CD cắt đường kính AB tại I . Gọi H và K thứ tự là
chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD . Chứng minh rằng CH = DK .
# Bài 6. Cho (O ) có tâm O nằm trên đường phân giác của góc xA y, cắt tia Ax ở B và C ,
cắt tia A y ở D và E . Chứng minh rằng hai dây BC và DE cách đều tâm O và bằng nhau.
# Bài 7. Cho hình vẽ bên, trong đó MN = PQ . Chứng minh rằng:
a) AE = AF .
b) AN = AQ .
# Bài 8. Cho (O ) hai dây AB, CD bằng nhau và cắt nhau tại điểm I nằm bên trong đường
tròn. Chứng minh rằng:
a) IO là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây AB và CD .
b) Điểm I chia AB, CD thành các đoạn thẳng bằng nhau đôi một.
Trang 20
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA MỘT CUNG TRÒN
# Bài 9. Cho (O ) các bán kính O A và OB. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho
AM = BM . Gọi C = AM ∩ BN . Chứng minh rằng
a) OC là tia phân giác của góc AOB.
b) OC vuông góc với AB.
# Bài 10. Cho hình vẽ bên, hai đường tròn cùng có tâm là O . Một đường thẳng cắt hai
đường tròn đó theo thứ tự A, B, C, D . Chứng minh rằng:
a) AB = CD .
b) AC = CD .
Dạng 2: Tính độ dài một đoạn thẳng. Độ dài một cung
Phương pháp giải:
1. Xác định khoảnh cách từ tâm đến dây.
2. Áp dụng hệ thức Py-ta-go cho một tam giác vuông có cạnh huyền là bán kính của
đường tròn.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho (O ) có bán kính O A = 3 cm. Dây BC của đường tròn vuông góc với O A tại
trung điểm của O A . Tính độ dài của dây BC .
# Ví dụ 2. Cho (O, R ) và điểm M nằm trong đường tròn.
a) Hãy nêu cách dựng dây AB nhận M làm trung điểm.
b) Tính dây AB ở câu a, biết R = 5 cm, OM = 1,4 cm.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho (O, 25 cm) dây AB = 40 cm. Vẽ dây cung CD song song với AB và có khoảng
cách đến AB bằng 22 cm. Tính độ dài dây cung CD .
# Bài 2. Cho (O ) trong đó hai dây cung AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I .
Biết IC = 2 cm, ID = 14 cm. Tính khoảng các từ tâm O đến mỗi dây cung.
# Bài 3. Cho (O, 25 cm), hai dây cung AB, CD song song với nhau và có độ dài theo thứ tự
bằng 40 cm, 48 cm. Tính khoảng cách giữa hai dây cung ấy.
Dạng 3: So sánh hai dây cung – Hai đoạn thẳng
Phương pháp giải:
1. Xác định khoảng cách từ tâm đến dây.
2. Trong hai dây cung của một đường tròn, dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn và ngược
lại.
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 21
Chương 2: ĐƯỜNG TRÒN
3. Quan hệ giữa đường tròn và đường xiên: Trong các đường xiên và đường vuông góc
kẻ từ ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn
nhất.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho hình vẽ bên trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O . Cho biết AB > CD .
Hãy so sánh các độ dài
a) OH và OK .
b) ME và MF .
c) MH và MK .
# Ví dụ 2. Cho O điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với O A . Vẽ dây
EF bất kì đi qua A và không vuông góc với O A . So sánh độ dài hai dây BC và EF .
Nhận xét 2. Trong các dây đi qua một điểm A ở trong một đường tròn, dây vuông góc với
bán kính đi qua A là dây ngắn nhất.
# Ví dụ 3. Cho (O, 5 cm), điểm M cách O là 3 cm.
a) Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua M .
b) Tính độ dài dây dài nhất đi qua M
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho (O ) và hai dây cung AB và CD cắt nhau tại điểm M nằm bên trong đường
tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD , biết AB > CD . Chứng minh rằng
MH > MK .
# Bài 2. Trong (O ) cho một điểm A khác điểm O . Tìm trên đường tròn này một điểm M
sao cho góc AMO lớn nhất.
| Chủ đề
A
3:
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG
VÀ ĐƯỜNG TRÒN
Kiến thức cần nhớ
I. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Xét đường thẳng a và đường tròn (O ) trên mặt phẳng.
a) Đường thẳng a cắt (O ) ⇔ a và (O ) có hai điểm chung phân biệt ⇔ a là cát tuyến của
(O ).
b) Đường thẳng a tiếp xúc (O ) ⇔ a và (O ) có một điểm chung ⇔ a là tiếp tuyến của (O ).
c) Đường thẳng a không giao nhau với (O ) ⇔ a và (O ) không có điểm chung.
Trang 22
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
II. Ba mệnh đề xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường
tròn
Xét đường thẳng a và đường tròn (O ; R ) trên mặt phẳng. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ
từ O đến a thì độ dài d = OH là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a.
a) Đường thẳng a cắt (O ; R ) ⇔ d < R .
b) Đường thẳng a tiếp xúc (O ; R ) ⇔ d = R .
c) Đường thẳng a không giao nhau với (O ) ⇔ d > R .
III. Tính chất của các điểm cách đều một đường thẳng cho trước
Các điểm cách đường thẳng a một khoảng cách bằng h nằm trên hai đường thẳng song song
với a và cách a một khoảng bằng h.
B
Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Phương pháp giải:
1) Xác định khoảng cách d từ tâm O đến đường thẳng.
2) So sánh d với R .
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Điền vào các chỗ trống (. . .) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d
là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng).
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
R
d
5 cm
3 cm
6 cm
…
4 cm
7 cm
…
Tiếp xúc nhau
…
# Ví dụ 2. Trên mặt phẳng tọa độ Ox y cho điểm A (3; 4). Hãy xác định vị trí tương đối
giữa ( A ; 3) và các trục tọa độ Ox, O y.
# Ví dụ 3. Cho đường thẳng a và một điểm O cách a là 3 cm. Vẽ (O ; 5 cm).
a) Đường thẳng a có vị trí như thế nào đối với (O )? Vì sao?
b) Gọi B, C là các giao điểm của đường thẳng a và (O ). Tính độ dài đoạn BC .
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Vì sao một đường thẳng và một đường tròn không thể có nhiều hơn hai điểm
chung?
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 23
Chương 2: ĐƯỜNG TRÒN
# Bài 2. Vì sao không thể có một tiếp tuyến đi qua một điểm bên trong đường tròn?
# Bài 3. Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm I (−3; 2). Vẽ đường tròn tâm I bán kính bằng 2
thì đường tròn có vị trí tương đối như thế nào đối với các trục tọa độ?
# Bài 4. Cho điểm O cách đường thẳng a là 6 cm. Vẽ đường tròn (O ; 10 cm).
a) Chứng minh rằng (O ) có hai giao điểm với đường thẳng a.
b) Gọi B, C là các giao điểm của đường thẳng a và (O ). Tính độ dài đoạn BC .
Dạng 2: Tìm vị trí tâm của một đường tròn có bán kính cho trước tiếp xúc với
một đường thẳng cho trước
Phương pháp giải:
1) Xác định khoảng cách từ tâm đến đường thẳng.
2) Áp dụng tính chất các điểm cách đều một đường thẳng.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1 (Dương BùiĐức – Dự án 9EXV-2-2018). Cho đường thẳng x y. Tâm của các
đường tròn có bán kính bằng 1 cm và tiếp xúc với x y nằm trên đường nào?
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1.
I
Cho đường thẳng a. Tâm I của tất cả các đường tròn bán kính 3
cm tiếp xúc với đường thẳng a nằm trên đường nào?
3 cm
a
# Bài 2. Cho hai đường thẳng x0 Ox và y0 O y cắt nhau tại O . Tâm I của tất cả các đường
tròn tiếp xúc với hai đường thẳng trên nằm trên đường thẳng nào?
| Chủ đề
A
4:
CÁC TÍNH CHẤT CỦA TIẾP TUYẾN
Kiến thức cần nhớ
I. Định nghĩa
Đường thẳng a tiếp xúc với (O ; R ) khi và chỉ khi khoảng cách d từ O đến đường thẳng a
bằng R (d = R ).
II. Hai tính chất của tiếp tuyến
1. Tính chất đặc trưng của tiếp tuyến
(a) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán
kính đi qua tiếp điểm.
(b) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi
qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Trang 24
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
4. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TIẾP TUYẾN
2. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
M A và MB là hai tiếp tuyến của (O ). Khi đó
A
M A = MB
d
M1 = d
M2
O
c3 = O
c4
3
2
1
M
4
O
B
III. Hai dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
1. Dấu hiệu 1: Theo định nghĩa
2. Dấu hiệu 2: Tính chất đặc trưng của tiếp tuyến.
IV. Dựng tiếp tuyến
Qua điểm M nằm bên ngoài (O ) hãy dựng tiếp tuyến của đường tròn I .
Bước 1. Dựng đường tròn phụ đường kính MO cắt (O ) tại A, B.
Bước 2. Nối M A, MB thu được 2 tiếp tuyến cần dựng.
V. Đường tròn nội tiếp tam giác
1. Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác,
còn tam giác gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn.
2. Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đường phân giác các góc trong
của tam giác.
A
A
B
D
C
E
F
F
E
Ia
B
D
C
VI. Đường tròn bàng tiếp tam giác
1. Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và phần kéo dài của hai cạnh kia gọi
là đường tròn bàng tiếp tam giác.
2. Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân
giác các góc ngoài tại B và C .
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 25
Chương 2: ĐƯỜNG TRÒN
3. Mỗi tam giác có ba đường tròn bàng tiếp.
B
Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Tính độ dài của một đoạn tiếp tuyến
Phương pháp giải:
1. Xác định tam giác vuông có đỉnh góc vuông là tiếp điểm nhờ tính chất đặc trưng của
tiếp tuyến
2. Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho (O ; 6 cm) và một điểm A cách O là 10 cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn
(B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.
# Ví dụ 2. Cho (O ) có bán kính O A = R , dây BC vuông góc với O A tại trung điểm M của
O A.
a) Tứ giác OC AB là hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B cắt đường thẳng O A tại E . Tính độ dài BE theo R .
# Ví dụ 3. Từ điểm A ở ngoài (O ) kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp
điểm).
a) Chứng minh rằng O A ⊥ BC .
b) Vẽ đường kính CD . Chứng minh rằng BD ∥ AO .
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết OB = 2 cm, O A = 4 cm
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O ). Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường
tròn đó ( M, N là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng O A ⊥ MN .
b) Vẽ đường kính NOC , chứng minh rằng MC ∥ AO .
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM = 3 cm, O A = 5 cm.
# Bài 2. Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O ), kẻ các tiếp tuyến MD, ME với đường
tròn (D, E là các tiếp điểm). Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE , kẻ tiếp tuyến với đường tròn
cắt MD, ME theo thứ tự ở P và Q . Biết MD = 5 cm. Tính chu vi tam giác MPQ .
# Bài 3. Từ điểm A nằm bên ngoài (O ; 6cm) có O A = 10 cm, kẻ các tiếp tuyến AB, AC với
đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC .
Trang 26
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
4. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TIẾP TUYẾN
a) Tính độ dài OH .
b) Tính độ dài AB.
# Bài 4. Cho đường tròn (O ; 2cm) các tiếp tuyến M A, MB kẻ từ M đến đường tròn vuông
góc với nhau tại M ( A, B là các tiếp điểm).
a) Tứ giác MBO A là hình gì? Vì sao?
b) Gọi C là điểm bất kì thuộc cung nhỏ AB. Qua C kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt
M A, MB thứ tự tại D và E . Tính chu vi tam giác MDE .
c) Tính số đo góc DOE .
# Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp
xúc với AB, AC lần lượt tại D, E .
a) Tứ giác AD IE là hình gì? Vì sao?
b) Tính bán kính của ( I ) biết AB = 3 cm, AC = 4 cm.
Dạng 2: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn
Phương pháp giải:
1. Dấu hiệu 1
• Xác định khoảng cách d từ tâm đến đường thẳng.
• Chứng minh d = R .
2. Dấu hiệu 2
• Xác định giao điểm của đường thẳng với đường tròn.
• Chứng minh đường thẳng vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5. Vẽ (B; BA ). Chứng minh rằng AC
là tiếp tuyến của đường tròn.
# Ví dụ 2. Cho (O ) dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp
tuyến tại A của đường tròn ở điểm C .
a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Cho bán kính của đường tròn bằng 15 cm, AB = 24 cm. Tính độ dài OC .
# Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Kẻ phân giác trong của Bb cắt AC tại I .
Chứng minh rằng BC tiếp xúc với đường tròn ( I ; I A ).
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 27
Chương 2: ĐƯỜNG TRÒN
# Ví dụ 4. Cho hình thang vuông ABCD ( Ab = Bb = 90◦ ) có I là trung điểm của AB và góc
= 90◦ . Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
CID
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
b = 90◦ ), AB = 4 cm, BC = 13 cm, CD = 9 cm.
# Bài 1. Cho hình thang vuông ABCD ( Ab = D
a) Tính độ dài AD .
b) Chứng minh rằng đường thẳng AD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC .
# Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A ( AB = AC ), đường cao BH . Trên nửa mặt phẳng
chứa C bờ AB vẽ Bx ⊥ BA cắt (B; BH ) tại D . Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của (B).
# Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ hai đường tròn (B; BA ) và (C ; C A ) cắt nhau
tại D (khác A ). Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của (B).
# Bài 4. Cho (O ; R ). Vẽ đường tròn tâm I có đường kính lớn hơn R đi qua O cắt (O ) tại
A, B. Đường thẳng OI cắt I tại M ( I nằm giữa O và M ). Chứng minh rằng M A, MB là hai
tiếp tuyến của (O ).
# Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Vẽ ( A ; AH ), kẻ các tiếp tuyến
BD, CE với ( A ) (D, E là các tiếp điểm khác H ). Chứng minh rằng:
a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.
b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC .
# Bài 6. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, B y của nửa
đường tròn. Kẻ tiếp tuyến tại M là một điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến này
cắt Ax, B y thứ tự tại C, D . Chứng minh rằng đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB.
# Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ), đường cao AH . Gọi E là điểm đối xứng
với B qua H . Đường tròn đường kính EC cắt AC ở K . Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến
của đường tròn.
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức hình học
Phương pháp giải:
1. Xác định những đoạn tiếp tuyến bằng nhau.
2. Đại số hóa hình học.
3. Dùng phép tính cộng diện tích và phương pháp diện tích.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho I nội tiếp tam giác ABC , tiếp xúc với các cạnh AB, BC, C A thứ tự tại
D, E, F . Chứng minh rằng:
Trang 28
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
a) 2 AD = AB + AC − BC .
b) Tìm các hệ thức tương tự như hệ thức ở câu a).
# Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có chu vi 2 p ngoại tiếp đường tròn ( I ; r )
thì diện tích S của tam giác có công thức S = p · r .
# Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có chu vi 2 p ngoại tiếp ( I ; r ) gọi a, b, c, h a , h c thứ tự là độ
dài và chiều cao tương ứng của các cạnh BC, C A, AB. Chứng minh rằng:
a)
1
1
1
1
+
+
=
ha hb h c r
1 1 1
b) h a + h b + h c = 2 pr + +
a b c
µ
¶
# Ví dụ 4. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, B y của nửa
đường tròn. Qua điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với
nửa đường tròn cắt Ax, B y thứ tự tại C và D . Chứng minh rằng:
= 90◦ .
a) COD
b) CD = AC = BD.
c) Tích AC · BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Chứng minh diện tích của tam giác đều ngoại tiếp đường tròn bán kính r bằng
3r2 .
# Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A ngoại tiếp ( I ; r ) và nội tiếp (O ; R ). Chứng minh
rằng:
a) 2r = AB + AC − BC .
b) AB + AC = 2(R + r ).
# Bài 3. Cho tam giác ABC đường tròn tâm I a bàng tiếp trong góc A tiếp xúc với các tia
AB và AC thứ tự tại E và F . Cho BC = a, C A = b, AB = c. Chứng minh rằng:
a) AE = AF =
a+b+c
.
2
b) BE =
a+b−c
.
2
c) CF =
c+a−b
.
2
# Bài 4. Cho đường tròn ( I ) nội tiếp tam giác ABC vuông tại A tiếp xúc với BC tại D .
Chứng minh rằng S ABC = BD · DC.
# Bài 5. Cho ( I ) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB tại D . Chứng minh rằng ∆ ABC
vuông tại C khi và chỉ khi C A · CB = 2D A · DB.
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 29
Chương 2: ĐƯỜNG TRÒN
| Chủ đề
A
5:
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG
TRÒN
Kiến thức cần nhớ
I. Ba vị trí tương đối của hai đường tròn (O ) và (O 0 )
a) (O ) cắt (O 0 ) ⇔ (O ) và (O 0 ) có hai điểm chung phân biệt.
b) (O ) tiếp xúc (O 0 ) ⇔ (O ) và (O 0 ) có một điểm chung.
c) (O ) không giao nhau với (O 0 ) ⇔ (O ) và (O 0 ) không có điểm chung.
II. Ba hệ thức xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn
Cho đường tròn (O ; R ) và (O 0 ; R 0 ) có tâm không trùng nhau. Đường thẳng OO 0 gọi là đường
nối tâm, đoạn OO 0 = d gọi là đoạn nối tâm.
a) (O ; R ) cắt (O 0 ; R 0 ) ⇔ |R − R 0 | < d < R + R 0 .
b) (O ; R ) tiếp xúc (O 0 ; R 0 ) ⇔
Tiếp xúc ngoài: d = R + R 0
Tiếp xúc trong: d = |R − R 0 |.
c) (O ; R ) không giao nhau với (O 0 ; R 0 ) ⇔
Ở ngoài nhau: d > R + R 0
Ở trong nhau: d < |R − R 0 |.
III. Tính chất của đường nối tâm
a) Đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn.
b) Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
IV. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
a) Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn
đó.
b) Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.
c) Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm.
B
Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
Phương pháp giải:
1) Xác định độ dài đoạn nối tâm.
2) So sánh d với R + R 0 hoặc |R − R 0 |.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
Trang 30
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
# Ví dụ 1. Cho đường tròn (O ) bán kính O A và đường tròn đường kính O A .
a) Hãy xác định vị trí của hai đường tròn (O ) và đường tròn đường kính O A .
b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C . Chứng minh rằng AC = CD .
# Ví dụ 2. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn trong các trường hợp sau đây
a) R = 6 cm, R 0 = 4 cm, d = 2 cm.
b) R = 5 cm, R 0 = 3 cm, d = 4 cm.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Hai đường tròn có thể có bao nhiêu điểm chung? Vì sao?
# Bài 2. Vì sao hai đường tròn phân biệt không thể có quá hai điểm chung?
# Bài 3. Cho hai đường tròn (O ; R ) và (O 0 ; R 0 ) có đường nối tâm d = OO 0 . Hãy xác định vị
trí tương đối của hai đường tròn ấy theo bảng sau:
R
R0
d
5 cm
3 cm
7 cm
11 cm
4 cm
3 cm
9 cm
6 cm
15 cm
7 cm
2 cm
10 cm
7 cm
3 cm
4 cm
6 cm
2 cm
7 cm
Vị trí tương đối
# Bài 4. Hãy điền giá trị thích hợp vào ô trống trong bảng sau:
R
R0
8 cm
2 cm
Tiếp xúc trong
7 cm
3 cm
Cắt nhau
5 cm
12 cm
d
Vị trí tương đối
11 cm
Tiếp xúc ngoài
6 cm
Đựng nhau
Dạng 2: Các bài toán với hai đường tròn tiếp xúc nhau
Phương pháp giải:
1) Sử dụng tính chất tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
2) Kẻ tiếp tuyến chung để sử dụng tính chất đặc trưng và tính chất của hai tiếp tuyến
cắt nhau.
3) Đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 31
Chương 2: ĐƯỜNG TRÒN
# Ví dụ 1. Cho đường tròn (O ) tiếp xúc ngoài với (O 0 ) tại A . Qua A kẻ cát tuyến bất kỳ cắt
(O ) tại C và (O 0 ) tại D . Chứng minh rằng OC ∥ O 0 D .
# Ví dụ 2. Cho đường tròn (O ) tiếp xúc trong với (O 0 ) tại A ((O 0 ) nằm trong (O )). Qua A kẻ
cát tuyến bất kỳ cắt (O ) tại B và (O 0 ) tại C . Chứng minh rằng OB ∥ O 0 C .
# Ví dụ 3. Cho (O1 ; 9 cm) tiếp xúc ngoài với (O2 ; 4 cm) tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
BC (B ∈ (O1 ); C ∈ (O2 )). Chứng minh rằng
a) O1 O2 tiếp xúc với đường tròn đường kính BC .
b) BC tiếp xúc với đường tròn đường kính O1 O2 .
c) Tính độ dài cạnh BC .
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho (O1 ; R1 ) tiếp xúc (O2 ; R2 ) tại A (R1 > R2 ). Hãy cho biết số tiếp tuyến chung
của hai đường tròn đồng thời nêu rõ các bước vẽ tiếp tuyến chung này.
# Bài 2. Cho hai đường tròn (O1 ) tiếp xúc (O2 ; 1 cm) tại A . Vẽ một cát tuyến qua A cắt hai
đường tròn tại B, C . Chứng minh rằng các tiếp tuyến của hai đường tròn tại B và C song
song với nhau.
# Bài 3. Cho (O1 ; 3 cm) tiếp xúc ngoài với (O2 ; 1 cm) tại A . Vẽ hai bán kính O1 B, O2 C song
song với nhau thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ O1 O2 .
.
a) Tính số đo góc BAC
b) Gọi I là giao điểm của BC và O1 O2 . Tính độ dài O1 I .
# Bài 4. Cho (O1 ) tiếp xúc ngoài với (O2 ) tại A . Đường nối tâm O1 O2 cắt (O1 ) tại B và (O2 )
tại C . Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường (D ∈ (O1 ), E ∈ (O2 )) và M là giao điểm
của BD với CE .
a) Tính số đo góc D
AE .
b) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh rằng M A là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
# Bài 5. Cho hai đường tròn (O1 ) tiếp xúc ngoài với (O2 ) tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
MN ( M ∈ (O1 ), N ∈ (O2 )). Gọi P là điểm đối xứng với M qua O1 O2 và Q là điểm đối xứng với
N qua O1 O2 . Chứng minh rằng
a) MNPQ là hình thang cân.
b) PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Trang 32
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
c) MN + PQ = MP + NQ .
# Bài 6. Cho hai đường tròn (O1 ; R1 ) tiếp xúc ngoài với (O2 ; R2 ) tại A . Kẻ tiếp tuyến chung
ngoài BC (B ∈ (O1 ), C ∈ (O2 )).
.
a) Tính BAC
b) Tính độ dài BC .
c) Gọi D là giao điểm của BA với (O2 ). Chứng minh rằng C , O2 , D thẳng hàng.
d) Tính độ dài AB, AC .
# Bài 7. Cho hai đường tròn (O1 ; R1 ) tiếp xúc ngoài với (O2 ; R2 ) tại A (R1 > R2 ). Đường nối
tâm O1 O2 cắt (O1 ) tại B, cắt (O2 ) tại C . Dây DE của (O1 ) vuông góc với BC tại trung điểm K
của BC .
a) Chứng minh tứ giác BDCE là hình thoi.
b) Gọi I là giao điểm của EC và (O2 ). Chứng minh rằng D , A , I thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng K I là tiếp tuyến của (O2 ).
Dạng 3: Các bài toán với hai đường tròn cắt nhau
Phương pháp giải:
1) Vẽ dây chung, vẽ đường nối tâm.
2) Dùng tính chất đường nối tâm là trung trực của dây chung.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho (O1 ) cắt (O2 ) tại A, B. Kẻ các đường kính AC của (O1 ) và AD của (O2 ).
Chứng minh rằng:
a) Ba điểm B, C, D thẳng hàng.
b) CD = 2O1 O2 .
# Ví dụ 2. Cho (O1 ; 20 cm) cắt (O2 ; 15 cm) tại A, B. Tính đoạn nối tâm O1 O2 biết AB = 24
cm (Xét hai trường hợp O1 , O2 nằm cùng phía và khác phía đối với AB).
# Ví dụ 3. Cho (O1 ) cắt (O2 ) tại A, B. Gọi I là trung điểm của O1 O2 . Qua A vẽ đường
thẳng vuông góc với I A , cắt (O1 ) tại C và (O2 ) tại D (khác A ). Chứng minh rằng C A = AD .
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho hai đường tròn (O1 ; R1 ) cắt (O2 ; R2 ) tại A và B (R1 > R2 ). Hãy cho biết số tiếp
tuyến chung của hai đường tròn, đồng thời nêu rõ các bước vẽ các tiếp tuyến chung này.
# Bài 2. Cho hai đường tròn đồng tâm O . Một đường tròn (O 0 ) cắt một đường tròn tâm O
tại A , B và cắt đường tròn tâm O còn lại tại C , D . Chứng minh rằng AB ∥ CD .
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 33
Chương 2: ĐƯỜNG TRÒN
# Bài 3. Cho hai đường tròn (O1 ; R1 ) cắt (O2 ; R2 ) tại A và B (O1 và O2 nằm khác phía đối
với AB). Một cát tuyến P AQ quay quanh A (P ∈ (O1 ), Q ∈ (O2 )) sao cho A nằm giữa P và Q .
Hãy xác định vị trí của cát tuyến P AQ trong mỗi trường hợp sau
a) A là trung điểm của PQ .
b) PQ có độ dài lớn nhất.
c) Chu vi tam giác BPQ lớn nhất.
d) Diện tích tam giác BPQ lớn nhất.
# Bài 4. Cho H, K là các giao điểm của hai đường tròn (O1 ) và (O2 ). Đường thẳng O1 H cắt
(O1 ) tại A và (O2 ) tại B. Đường thẳng O2 H cắt (O1 ) tại C và (O2 ) tại D . Chứng minh rằng ba
đường thẳng AC , BD , HK đồng quy tại một điểm.
Trang 34
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Chương
3
GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu góc ở tâm, góc tạo bởi hai cát tuyến (hoặc góc
giữa cát tuyến và tiếp tuyến) của đường tròn, quỹ tích cung chứa góc và điều kiện để một tứ
giác nội tiếp hay ngoại tiếp được một đường tròn. Qua đó rèn luyện những kỹ năng cơ bản
trong việc chứng minh các tính chất hình học, cách giải các bài toán quỹ tích, dựng hình,
tính toán các đại lượng hình học như độ dài đường tròn, độ dài cung tròn, diện tích hình
tròn và diện tích hình quạt tròn.
| Chủ đề
A
1:
GÓC Ở TÂM, SỐ ĐO CUNG, LIÊN HỆ GIỮA
CUNG VÀ DÂY
Kiến thức cần nhớ
B
Góc ở tâm có mối liên hệ chặt chẽ với cung tròn. Trong đường tròn
(O ), ta xét góc ở tâm
AOB (H.170) thì số đo cung nhỏ AB bằng số
m
đo góc
AOB, số đo cung lớn AB bằng 360◦ −
AOB. Từ đó, để tìm số
O
A
đo cung ta tìm số đo góc và ngược lại.
n
Hình 170
B
Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: SỰ LIÊN HỆ GIỮA GÓC Ở TÂM VÀ CUNG
Phương pháp giải: Số đo góc ở tâm đường tròn bằng số đo cung bị chắn. Trên hình 170:
sđ
AOB = sđ
AB.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Giả sử A là một điểm nằm ngoài đường tròn (O ). Kẻ các tiếp tuyến AB và AC
35
Chương 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
tới đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Tìm số đo cung nhỏ và cung lớn BC của đường tròn
= α.
(O ), biết rằng BAC
# Ví dụ 2. Cho đường tròn (O ) đường kính AB và dây cung AC . Chứng tỏ rằng
1
2
= sđBC.
sđBAC
# Ví dụ 3. Giả sử C là một điểm trên cung lớn AB của đường tròn (O ). Điểm C chia cung
+ sđCB
.
lớn AB thành hai cung AC và CB. Chứng minh rằng cung lớn AB có sđ
AB = sđ AC
Trong các bài toán về cung tròn, bài toán chứng minh hai cung bằng nhau có ý nghĩa
! rất quan trọng. Từ hai cung bằng nhau, ta chứng minh được hai đoạn thẳng bằng
nhau, hai góc bằng nhau.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Giả sử M là một điểm nằm ngoài đường tròn (O ; R ) sao cho OM = 2R . Từ M kẻ
hai tiếp tuyến M A , MB với đường tròn ( A và B là các tiếp điểm). Tìm số đo góc ở tâm
AOB.
# Bài 2. Cho hai đường tròn (O ) và (O 0 ) cắt nhau tại hai điểm A và B. Đường phân giác
0 cắt các đường tròn (O ) và (O 0 ) theo thứ tự tại C và D . So sánh hai góc
của góc OBO
BOC và
0D.
BO
# Bài 3. Cho tam giác ABC có Bb = 70◦ , Cb = 50◦ . Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác đó
tiếp xúc với các cạnh AB, AC , BC theo thứ tự tại D , E , F . Tính số đo các cung DE , EF và
FD .
Dạng 2: SỰ LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
Phương pháp giải:
a) Hai đường thẳng song song cắt (O ) tại A , B, C , D (H.176a) thì
sđ
AB = sđCD.
A
A
A
B
B
D
O
C
a)
O
C
M
O
N
B
b)
c)
Hình 176
b) Các trường hợp cơ bản:
.
Trên hình 176b: AB = AC ⇔ sđ
AB = sđ AC
.
Trên hình 176c: AB = MN ⇔ sđ
AB = sđ MN
Trang 36
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
2. GÓC NỘI TIẾP VÀ GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VỚI MỘT DÂY CUNG
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Giả sử ABC là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O ). Đường cao AH cắt đường
tròn (O ) tại D . Kẻ đường kính AE của đường tròn (O ). Hãy chứng minh:
a) BC ∥ DE .
b) Tứ giác BCED là hình thang cân.
Để chứng minh hai cung bằng nhau trong một đường tròn, ngoài cách dùng định nghĩa,
ta thường sử dụng các định lí sau:
• Nếu hai dây bằng nhau thì hai cung căng hai dây đó bằng nhau.
!
• Hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
• Đường kính đi qua trung điểm của một dây cung (khác đường kính) thì chia cung
căng dây ấy thành hai cung bằng nhau.
• Đường kính vuông góc với một dây cung thì chia cung căng dây ấy thành hai cung
bằng nhau.
# Ví dụ 2. Giả sử AB là một dây cung của đường tròn (O ). Trên cung nhỏ AB lấy điểm C
= BD
. Chứng minh rằng AB ∥ CD .
và D sao cho AC
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho đường tròn (O ) đường kính AB và đường tròn (O 0 ) đường kính AO . Các điểm
, BC
< BD
. Các dây cung AC và AD cắt đường tròn
C , D thuộc đường tròn (O ) sao cho B ∈ CD
(O 0 ) theo thứ tự tại E và F .
a) So sánh độ dài các đoạn thẳng OE và OF .
b) So sánh số đo các cung AE và AF của đường tròn (O 0 ).
# Bài 2. Cho đường tròn (O, R ) hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại I (C thuộc
cung nhỏ AB). Kẻ đường kính BE của đường tròn (O ).
a) Chứng tỏ rằng AC = DE .
b) Chứng minh hệ thức I A 2 + IB2 + IC 2 + ID 2 = 4R 2 .
# Bài 3. Cho đường tròn (O ) đường kính AB. Trên nửa đường tròn đó lấy hai điểm C , D .
Kẻ CH vuông góc với AB cắt đường tròn tại điểm thứ hai E . Chứng minh rằng:
a) Hai cung nhỏ CF và DB bằng nhau.
b) Hai cung nhỏ BF và DE bằng nhau.
c) DE = BF .
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 37
Chương 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
| Chủ đề
2:
GÓC NỘI TIẾP VÀ GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP
TUYẾN VỚI MỘT DÂY CUNG
A
Kiến thức cần nhớ
○ Góc
ABC có đỉnh nằm trên đường tròn (O ) và các cạnh
D
E
cắt đường tròn đó được gọi là góc nội tiếp (H.179a). Trong
trường hợp các góc nội tiếp có số đo không vượt quá 90◦ thì số
B
đo của chúng bằng nửa số đo của góc ở tâm, cùng chắn một
cung. Các góc nội tiếp đều có số đo bằng nửa số đo cung bị
O
C
chắn. Vì thế, nếu những góc này cùng chắn một cung (hoặc
chắn những cung bằng nhau) thì chúng bằng nhau, nếu các
A
góc nội tiếp này bằng nhau thì các cung bị chắn bằng nhau.
Hình 179a
○ Cho đường tròn (O ) và dây cung AB. Từ điểm A ta kẻ tia
được gọi là góc tạo
tiếp tuyến Ax với đường tròn, khi đó BAx
bởi tia tiếp tuyến với dây cung AB (H.179b). Cũng như góc
nội tiếp, số đo góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa
1
2
= sđ AmB
.
số đo cung bị chắn sđBAx
B
O
m
A
x
Hình 179b
Những khái niệm, định lí, hệ quả về góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
có thể giúp chúng ta so sánh số đo các góc, từ đó chứng minh được các đường thẳng song
song với nhau, các tam giác bằng nhau, các tam giác đồng dạng vói nhau…
B
Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: GÓC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN
Phương pháp giải:
Trang 38
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
2. GÓC NỘI TIẾP VÀ GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VỚI MỘT DÂY CUNG
C
a) Chú ý phân biệt: Góc nằm trên đường tròn khác
B
với góc nằm trong đường tròn.
b) Hai góc cùng chắn một cung thì bằng nhau và
O
bằng nửa số đo cung bị chắn. Trên hình 179a:
D
1
2
.
sđ
ABC = sđ
ADC = sđ
AEC = sđ AC
c) Các góc chắn hai cung bằng nhau thì bằng
nhau. Trên hình 179c:
A
Hình 179c
= sđCD
⇔ sđ
AD = CD ⇔ sđ AD
ABD = sđC
AD.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Trên cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC về phía ngoài ta dựng hình
.
vuông với tâm tại điểm O . Chứng minh rằng AO là tia phân giác của góc vuông BAC
# Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ). Từ đỉnh A ta kẻ đường cao
=O
AH ( H thuộc BC ). Chứng minh rằng BAH
AC .
# Ví dụ 3. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O ). Trên cung BC không chứa A
ta lấy điểm P bất kì (P khác B và P khác C ). Các đoạn P A và BC cắt nhau tại Q .
a) Giả sử D là một điểm cố định trên đoạn P A sao cho PD = PB. Chứng minh rằng tam
giác PDB đều.
b) Chứng minh rằng P A = PB + PC .
c) Chứng minh hệ thức
1
1
1
=
+
.
PQ PB PC
• Tứ giác ABCD có tính chất AB · CD = BC · AD
(∗) nói ở ví dụ trên được gọi là tứ
giác điều hòa. Loại tứ giác đặc biệt này có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài
toán hình học phẳng khác.
• Nếu viết hệ thức (∗) dưới dạng
!
AB
BC
=
và nhớ lại tính chất đường phân giác
AD CD
trong tam giác ta có thể nêu thêm một tính chất của tứ giác điều hòa.
• Tứ giác ABCD là một tứ giác điều hòa khi và chỉ khi các đường phân giác của góc
và BCD
cắt nhau tại một điểm trên đường chéo BD .
BAD
• Tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa khi và chỉ khi các đường phân giác của góc
ABC
và
ADC cắt nhau trên đường chéo AC .
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 39
Chương 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
# Bài 1. Cho góc xA y và điểm M là một điểm bất kì nằm trong góc đó. Kẻ các đường
vuông góc MP và MQ theo thứ tự lên các cạnh Ax, A y (P thuộc Ax, Q thuộc A y). Kẻ AK
vuông góc với đoạn PQ . Chứng minh rằng P
AK = M
AQ .
# Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Gọi A 0 , B0 , C 0 là chân các
đường vuông góc vẽ từ A , B, C trên cạnh BC , C A , AB; H là trực tâm của tam giác ABC .
0 A0 C0.
a) Chứng minh rằng A A 0 là đường phân giác trong của góc Bà
= 60◦ . Chứng tỏ rằng tam giác AOH cân.
b) Cho BAC
# Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Tia phân giác của góc BAC cắt
BC ở D và cắt đường tròn (O ) tại E .
a) Chứng minh AB · AC = AD · AE .
b) Chứng minh ED · E A = EB2 .
Dạng 2: GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
Phương pháp giải:
A
a) Số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung (tại một
điểm trên đường tròn) bằng nửa số đo cung bị chắn.
= sđ xBC
= 1 sđBC
.
b) Trên hình 183 ta có sđBAC
2
C
O
m
B
x
Hình 183
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Giả sử A và B là hai điểm phân biệt trên đường tròn (O ). Các tiếp tuyến của
đường tròn (O ) tại A và B cắt nhau tại điểm M . Từ A kẻ đường thẳng song song với MB,
cắt đường tròn (O ) tại C . MC cắt đường tròn (O ) tại E . Các tia AE và MB cắt nhau tại K .
Chứng minh rằng MK 2 = AK · EK và MK = K B.
# Ví dụ 2. Cho đường tròn (C ) tâm O , AB là một dây cung của (C ) không đi qua O và I
là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi đi qua A cắt đường tròn (C1 ) tâm O bán
kính OI tại P và Q . Chứng minh rằng tích AP · AQ không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam
giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định khác B.
= 60◦ . Gọi M , N , P theo thứ tự
# Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và BAC
là chân các đường cao kẻ từ A , B, C của tam giác ABC và I là trung điểm của BC .
a) Chứng minh rằng tam giác I NP đều.
Trang 40
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
3. GÓC CÓ ĐỈNH Ở TRONG HOẶC NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
b) Gọi E và K lần lượt là trung điểm của PB và NC . Chứng minh rằng các điểm I , M , E ,
K cùng thuộc một đường tròn.
.
c) Giả sử I A là phân giác của N
IP . Tìm số đo góc BCP
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A . Lấy điểm D trên cạnh AC ( AC > 2DC ) làm tâm
vẽ đường tròn tiếp xúc với BC tại E . Từ B kẻ tiếp tuyến thứ hai BF cắt AD tại I và cắt AE
tại K . Trung tuyến AM của tam giác ABC cắt BF tại N .
a) Chứng minh năm điểm A , B, E , D , F cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh hệ thức
IF BF
=
.
IK BK
.
c) Cho
AEC = 130◦ , tính số đo góc ANB
# Bài 2. Cho hai đường tròn (O ) và (O 0 ) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A . Một tiếp tuyến
của đường tròn (O ) tại điểm B cắt đường tròn (O 0 ) tại C và D (C nằm giữa B và D ). Các tia
C A , D A cắt đường tròn (O ) theo thứ tựtại E và F .
a) Chứng minh rằng EF ∥ CD .
b) Gọi M là điểm chính giữa của cung CD ( M và A khác phía đối với CD ). Tính số đo góc
.
BAM
# Bài 3. Cho đường tròn (O ) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC
cắt DE
và cát tuyến ADE với đường tròn (D nằm giữa A và E ). Tia phân giác của góc DBE
tại I . Chứng minh rằng
a)
BD CD
=
.
BE CE
b) AI = AB = AC .
.
c) CI là tia phân giác của góc DCE
# Bài 4. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O ), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến
AK D sao cho BD song song với AC . Nối BK cắt AC ở I .
a) Nêu cách vẽ cát tuyến AK D sao cho BD ∥ AC .
b) Chứng minh hệ thức IC 2 = IK · IB.
= 60◦ . Chứng tỏ rằng cát tuyến AK D đi qua điểm O .
c) Cho góc BAC
# Bài 5. Cho hai đường tròn (O ) và (O 0 ) cắt nhau tại hai điểm A và B. Qua A kẻ hai đường
thẳng d và d 0 . Đường thẳng d 0 cắt (O ) tại M và cắt (O 0 ) tại N . Đường thẳng d cắt đường
tròn (O ) tại C và cắt đường tròn (O 0 ) tại D sao cho AB là tia phân giác của góc M
AD . Chứng
minh rằng CD = MN .
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 41
Chương 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
| Chủ đề
A
3:
GÓC CÓ ĐỈNH Ở TRONG HOẶC NGOÀI
ĐƯỜNG TRÒN
Kiến thức cần nhớ
D
Với đỉnh A nằm trong đường tròn (O ) ta có góc với đỉnh ở trong
C
đường tròn (H.187).
Số đo của góc này bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn giữa hai
A
cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh đó.
= sđBE + sđCD ;
sđBAE
O
2
= sđBD + sđCE
sđBAD
2
B
E
Hình 187
Với đỉnh A nằm ở ngoài đường tròn (O ) ta lưu ý đến các loại góc có hai cạnh cắt đường tròn
hoặc tiếp xúc với đường tròn (H.188a, H.188b, H.188c).
Các góc này đều có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
C
C
B
n
A
m
O
m
O
B
D
n
A
E
Hình 188a
Hình 188b
B≡C
A
n
O
m
D≡E
Hình 188c
Trang 42
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
3. GÓC CÓ ĐỈNH Ở TRONG HOẶC NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
B
Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: ÁP DỤNG GÓC CÓ ĐỈNH Ở TRONG ĐƯỜNG TRÒN
Phương pháp giải: Cũng như phần góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung,
các định lí và hệ quả của góc có đỉnh nằm trong hoặc nằm ngoài đường tròn giúp chúng
ta tìm mối quan hệ giữa các số đo các góc, chứng minh các đường song song, các tam giác
bằng nhau, các tam giác đồng dạng với nhau, hai đường thẳng vuông góc với nhau.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Trên đường tròn (O ) cho các điểm A, B, C, D theo thứ tự đó. Gọi A 1 , B1 , C1 và
D 1 lần lượt là điểm chính giữa các cung AB, BC, CD và D A . Chứng minh các đường thẳng
A 1 C 1 và B1 D 1 vuông góc với nhau.
# Ví dụ 2. Cho bốn điểm A, D, C, B theo thứ tự đó nằm trên đường tròn tâm O đường kính
AB = 2R (C và D nằm về cùng phía so với AB). Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu vuông
p
góc của A, B trên đường thẳng CD . Tia AD cắt tia BC tại I . Biết rằng AE + BF = R 3.
a) Tính số đo góc AIB.
b) Trên cung nhỏ CD lấy điểm K . Gọi giao điểm của K A, K B với DC lần lượt là M và N .
Tìm giá trị lớn nhất của MN khi K di động trên cung nhỏ CD .
# Ví dụ 3. Trong tam giác ABC , đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D . Giả sử
(T ) là đường tròn tiếp xúc với BC tại D và đi qua điểm A . Gọi M là giao điểm thứ hai của
(T ) và AC , P là giao điểm thứ hai của (T ) và BM , E là giao điểm của AP và BC .
.
a) Chứng minh rằng
E AB = MBC
b) Chứng minh hệ thức BE 2 = EP · E A .
# Ví dụ 4. Trên đường tròn (O ) ta lấy các điểm A, C1 , B, A 1 , C, B1 theo thứ tự đó.
a) Chứng minh rằng nếu các đường thẳng A A 1 , BB1 , CC1 là các đường phân giác trong
của tam giác ABC thì chúng là các đường cao của ∆ A 1 B1 C1 .
b) Chứng minh rằng nếu các đường thẳng A A 1 , BB1 , CC1 là các đường cao của tam giác
ABC thì chúng là các đường phân giác của ∆ A 1 B1 C 1 .
c) Giả sử (T1 ) và (T2 ) là hai tam giác nội tiếp đường tròn (O ), đồng thời các đỉnh của tam
giác (T2 ) là các điểm chính giữa của các cung của đường tròn bị chia bởi các đỉnh của
tam giác (T1 ). Chứng minh rằng trong hình lục giác là giao của các tam giác (T1 ) và
(T2 ) các đường chéo nối các đỉnh đối nhau song song với các cạnh của tam giác (T1 ) và
đồng quy tại một điểm.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 43
Chương 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
# Bài 1. Dọc theo cạnh của một tam giác đều ta lăn một đường tròn có bán kính bằng
đường cao của tam giác. Chứng minh rằng số đo của cung định trên đường tròn bởi các
cạnh của tam giác bằng 60◦ .
# Bài 2. Giả sử A, B và C là ba điểm thuộc đường tròn (O ) sao cho tiếp tuyến tại A của
cắt đường tròn tại M , tia phân giác của
đường tròn cắt tia BC tại D . Tia phân giác của BAC
ADC cắt AM tại I . Chứng minh rằng AM ⊥ D I .
# Bài 3. Trên đường tròn tâm O bán kính R ta kẻ ba dây cung liên tiếp bằng nhau AB, BC
và CD (mỗi dây có độ dài nhỏ hơn R ). Gọi I là giao điểm của AB và CD . Các tiếp tuyến của
đường tròn tại B và D cắt nhau tại K .
= BK
a) Chứng minh rằng BIC
D.
b) Chứng tỏ rằng BC là tia phân giác của góc K BD .
# Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Các đường phân giác trong của
tam giác kẻ từ A, B, C cắt nhau tại I và cắt đường tròn (O ) theo thứ tự tại D, E và F .
a) Chứng minh rằng CI ⊥ ED .
b) Gọi M là giao điểm của AC và DE . Chứng minh rằng I M ∥ BC .
c) Gọi K là điểm đối xứng với I qua D . Chứng tỏ rằng K là tâm đường tròn bàng tiếp của
tam giác ABC .
# Bài 5. Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) nội tiếp đường tròn (O ). Gọi D là điểm thuộc
cung BC không chứa A, E là giao điểm của BC và AD .
a) Chứng minh rằng
AEB =
ABD .
b) Chứng minh hệ thức AC 2 = AD · AE .
c) Các kết quả ở câu a) và câu b) có thay đổi không nếu điểm D thuộc cung BC chứa A ?
# Bài 6. Cho đường tròn tâm O và dây AB. Trên hai cung AB ta lần lượt lấy các điểm M
và N . Hai tia AM và NB cắt nhau tại C , hai tia AN và MB cắt nhau tại D . Chứng minh
= ADM
thì AB ⊥ CD .
rằng nếu ACN
| Chủ đề
A
4:
CUNG CHỨA GÓC
Kiến thức cần nhớ
• Quỹ tích những điểm nhìn đoạn AB cố định dưới môt góc không đổi α (0◦ < α < 180) là
hai cung chứa góc α vẽ trên đoạn AB (quỹ tích cơ bản).
• Trường hợp đặc biệt: Quỹ tích những điểm nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuông
là đường tròn đường kính AB.
B
Các dạng bài tập cơ bản
Trang 44
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
4. CUNG CHỨA GÓC
Dạng 1: ÁP DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ QUỸ TÍCH VÀ DỰNG HÌNH
Phương pháp giải: Khái niệm cung chứa góc giúp chúng ta giải được nhiều bài toán quỹ
tích, dựng hình, chứa nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) và D là một điểm trên cạnh BC. Kẻ DM song
song với AB( M thuộc AC ) , DN song song với AC ( N thuộc AB). Gọi D 0 là điểm đối xứng của
D qua MN. Tìm quỹ tích điểm D 0 khi điểm D di động trên cạnh BC .
# Ví dụ 2. Cho đường tròn (O ) và dây cung BC cố định. Gọi A là điểm di động trên cung
lớn BC của đường tròn (O ) ( A khác B, A khác C ). Tia phân giác của góc
ACB cắt đường tròn
(O ) tại điểm D khác điểm C . Lấy điểm I thuộc đoạn CD sao cho D I = BD . Đường thẳng BI
cắt đường tròn (O ) tại điểm K khác điểm B.
a) Chứng minh rằng tam giác K AC cân.
b) Chứng minh đường thẳng AI luôn đi qua một điểm J cố định.
c) Trên tia đối của AB lấy điểm M sao cho AM = AC . Tìm quỹ tích các điểm M khi A di
động trên cung lớn BC của đường tròn (O ).
# Ví dụ 3. Cho trước điểm A trên đường thẳng d và hai điểm C , D thuộc hai nửa mặt
phẳng đối nhau, bờ d . Hãy dựng một điểm B trên d sao cho
ACB =
ABD
# Ví dụ 4. Giả sử AD là đường phân giác trong góc A của tam giác ABC (D thuộc đoạn
= CBM
. Đường thẳng BM cắt đường tròn
BC ). Trên AD lấy hai điểm M và N sao cho ABN
ngoại tiếp tam giác ACM tại điểm thứ hai E và CN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABM tại điểm thứ hai F .
a) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh 3 điểm A, E, F thằng hàng.
= ACM
, từ đó suy ra ACN
= BCM
.
c) Chứng minh BCF
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC = 2R . Gọi A là điểm di động trên nửa
đường tròn đó. Gọi D và E theo thứ tự là trung điểm của các dây AC và AB. Tìm quỹ tích
giao điểm M của BD và CE .
# Bài 2. Cho nửa đường tròn (O ) đường kính AB và một điểm C di động trên nửa đường
tròn. Vẽ tam giác đều ACD với D thuộc nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B. Tìm quỹ tích
trung điểm M của đoạn CD.
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 45
Chương 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
p
# Bài 3. Cho đường tròn tâm (O ) bán kính R và dây cung AB = R 3. C là điểm di động
trên cung nhỏ AB. Vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với AB. Từ A và B kẻ các tiếp tuyến (khác
AB) với đường tròn tâm C, chúng cắt nhau tại M . Tìm quỹ tích các điểm M .
# Bài 4. Dựng tam giác ABC, biết rằng
= 50◦ , độ dài đường trung tuyến AM = 3 cm.
a) BC = 3 cm, BAC
= 50◦ , bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng 2,5 cm, bán kính đường tròn
b) BAC
nội tiếp tam giác bằng 1 cm.
# Bài 5. Cho bốn điểm A , B, C , D theo thứ tự cùng nằm trên đường tròn (O ) sao cho AC
vuông góc BD tại H (H khác O ). Gọi M và N lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ H
xuống các đường thẳng AB và BC , P và Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MH và
N H với các đường thẳng CD và D A .
a) Chứng minh rằng PQ ∥ AC .
b) Chứng minh bốn điểm M , N , P , Q cùng nằm trên một đường tròn.
# Bài 6. Cho tam giác ABC , gọi D và E theo thứ tự là các tiếp điểm của đường tròn tâm
(O ) nội tiếp tam giác với các cạnh AB và AC , H là giao điểm của đường thẳng BO và đường
thẳng DE .
a) Chứng minh rằng bốn điểm O , E , H , C cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh đường phân giác trong của góc
ABC , đường trung bình của tam giác ABC
song song với cạnh AB và đường thẳng DE đồng quy.
| Chủ đề
5:
TỨ GIÁC NỘI TIẾP VÀ ĐƯỜNG TRÒN
NGOẠI TIẾP
A
Kiến thức cần nhớ
Ta đã biết một tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh cùng nằm trên một
D
x
C
đường tròn. Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối
diện bằng 180◦ . Đảo lại, nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc
đối diện bằng 180◦ thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường
O
tròn.
A
B
• Từ những kiến thức cơ bản trên ta có thể rút ra các hệ quả sau:
Trang 46
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
5. TỨ GIÁC NỘI TIẾP VÀ ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP
a) Góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác nội tiếp bằng góc trong tại đỉnh đối diện. Đảo
lại, nếu góc ngoài ở một đỉnh của tứ giác bằng góc trong ở đỉnh đối diện thì tứ
giác đó nội tiếp được trong một đường tròn.
= DCx
(hình bên).
ABCD nội tiếp ⇔ BAD
b) Hình thang nội tiếp được trong một đường tròn khi và chỉ khi nó là hình thang
cân.
• Cách nhận biết một tứ giác nội tiếp
1) Dựa vào định nghĩa tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh tứ giác đó có hai góc đối bù nhau (hoặc tứ giác đó có một góc bằng
góc ngoài tại đỉnh đối diện).
3) Dựa vào khái niệm cung chứa góc: Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp nhìn đoạn thẳng
nối hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp được trong một
đường tròn.
B
Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp
b = 180◦ thì tứ giác ABCD nội tiếp.
1. Cho tứ giác ABCD . Nếu Ab + Cb = Bb + D
2. Dựa vào các hệ quả, cách nhận biết để giải quyết bài toán.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ) với trực tâm là H .
Giả sử M là một điểm trên cung BC không chứa A ( M khác B, M khác C ). Gọi N , P theo
thứ tự là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB, AC .
a) Chứng minh tứ giác AHCP nội tiếp.
b) Chứng minh ba điểm N , H , P thẳng hàng.
c) Tìm vị trí của M để độ dài đoạn NP lớn nhất.
# Ví dụ 2. Cho tam giác cân ABC ( AB = AC, Ab < 90◦ ), đường cao BD . Gọi M , N , I theo thứ
tự là trung điểm của đoạn BC , BM và BD . Tia N I cắt cạnh AC tại K . Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABMD, ABNK nội tiếp.
4
3
b) BC 2 = C A.CK .
# Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H
(D thuộc cạnh AC , E thuộc cạnh AB). Gọi I là trung điểm của BC . Đường tròn ngoại tiếp
4BEI và đường tròn ngoại tiếp 4CD I cắt nhau tại K (K khác I ).
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 47
Chương 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
= CEK
a) Chứng minh rắng BDK
b) Đường thẳng DE cắt BC tại M . Chứng minh ba điểm M , H , K thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng tứ giác BK MD nội tiếp.
Sử dụng kiến thức của tam giác đồng dạng ta thấy: Nếu hai cát tuyến AB và CD của
! một đường tròn cắt nhau tại M thì M A · NB = MC · MD (xem hình dưới).
A
M
B
D
B
M
D
A
C
C
Đảo lại, ta cũng chứng minh được: Nếu hai đường thẳng BA và CD cắt nhau tại điểm M
sao cho M A · NB = MC · MD thì bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Đây cũng
là một cách nhận biết một tứ giác nội tiếp.
b = 90◦ ). Gọi E là trung điểm của AD . Kẻ
# Ví dụ 4. Cho hình thang vuông ABCD ( Ab = D
AH vuông góc với BE , D I vuông góc với CE , K là giao điểm của AH và D I .
a) Chứng minh rằng tứ giác BH IC nội tiếp.
b) Chứng minh rằng EK ⊥ BC .
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn; AD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H , O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi M là điểm đối xứng của B qua O , I là giao
điểm của BM và DE , K là giao điểm của AC và HM .
a) Chứng minh rằng các tứ giác AEDC và D I MC là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh OK ⊥ AC .
c) Cho số đo góc AOK bằng 60◦ . Chứng minh tam giác HBO cân.
# Bài 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh AD và CD lần lượt lấy các điểm
= 45◦ . BM và BN cắt AC theo thứ tự tại E và F .
M và N sao cho MBN
a) Chứng minh các tứ giác BENC và BF M A nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Chứng tỏ MEF N cũng là tứ giác nội tiếp.
c) Gọi H là giao điểm của MF và NE , I là giao điểm BH và MN . Tính độ dài đoạn BI
theo a.
Trang 48
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
5. TỨ GIÁC NỘI TIẾP VÀ ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP
# Bài 3. Giả sử trong tứ giác lồi ABCD có điểm M sao cho tứ giác ABMD là hình bình
= CDM
. Dựng hình bình hành BMCN .
hành và CBM
a) Chứng minh rằng tứ giác ABNC nội tiếp.
.
b) Chứng minh rằng
ACD = BCM
Dạng 2: Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn
1. Dựa vào cách chứng minh tam giác, tứ giác nội tiếp.
2. Dựa vào kết quả: Nếu I M · I H = I N · IK thì bốn điểm H, M, N, K cùng nằm trên đường
tròn.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật ABCD , I là trung điểm của CD , E thuộc cạnh BA . Qua I
kẻ I M vuông góc với DE , cắt AD tại H . Qua I kẻ I N vuông góc với CE , cắt BC tại K . Gọi G
là giao điểm của EI và HK . Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm H, M, N, K cùng nằm trên đường tròn.
b) Chứng minh năm điểm E,G, N, K, B cùng thuộc một đường tròn.
c) Năm điểm E,G, M, H, A cùng thuộc một đường tròn.
# Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn ABC với đường cao AD . Gọi M là điểm đối xứng của D qua
AB, N là điểm đối xứng của D qua AC , E và F theo thứ tự là giao điểm của MN với AB và
AC . Chứng minh rằng:
a) Năm điểm A, F, D, C, N cùng thuộc một đường tròn.
b) Ba đường AD, BE, CF đồng quy.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho đường tròn tâm O , đường kính AB và dây cung CD vuông góc với AB tại
điểm H . Gọi I là điểm đối xứng với H qua D , K là trung điểm của đoạn HD . Vẽ dây cung
EF đi qua K . Chứng minh bốn điểm E, H, I, F cùng nằm trên một đường tròn.
# Bài 2. Cho đường tròn (O ) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ các tiếp tuyến
AB, AC với đường tròn (O ) (B và C là các tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của O A và BC . Kẻ
dây cung DE của đường tròn (O ) qua I .
a) Chứng minh bốn điểm A, D, O, E cùng nằm trên một đường tròn.
=C
b) Chứng minh rằng BAD
AE .
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 49
Chương 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
Kết quả bài toán không thay đổi nếu ta hoán đổi vị trí hai điểm D và E trên đường tròn
! (O )
# Bài 3. (Định lí Ptô-lê-mê) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O . Chứng minh
rằng AB · CD + BC · AD = AC · BD .
| Chủ đề
6:
TỨ GIÁC NGOẠI TIẾP VÀ ĐƯỜNG TRÒN
NỘI TIẾP
A
Kiến thức cơ bản
B
1. Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một tứ
C
giác được gọi là đường tròn nội tiếp tứ giác và tứ giác
được gọi là ngoại tiếp đường tròn.
O
2. Nếu một tứ giác ngoại tiếp một đường tròn thì tổng
các cặp cạnh đối bằng nhau. Đảo laị nếu một tứ giác
có tổng các cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó ngoại
A
D
tiếp một đường tròn.
Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O ) ⇔ AB + CD =
BC + AD (hình bên)
B
Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Chứng minh các hệ thức liên hệ giữa các cạnh của tứ giác ngoại tiếp
Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O ) ⇔ AB + CD = BC + AD .
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
b = 90◦ ) ngoại tiếp đường tròn (O ). Tìm độ
# Ví dụ 1. Cho hình thang vuông ABCD ( Ab = D
dài các cạnh AB và CD , biết rằng OB = 15cm và OC = 20cm.
# Ví dụ 2. Cho tứ giác lồi ABCD , các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại K (C nằm giữa
D và K ), các đường thẳng BC và AD cắt nhau tại L (C nằm giữa B và L). Chứng minh rằng
tứ giác ABCD ngoại tiếp được một đường tròn khi và chỉ khi thỏa mãn một trong hai điều
kiện sau:
a) BK + BL = DK + DL
(1)
b) CK + AL = AK + CL
Kết quả của VD2 cho ta thêm một dấu hiệu nhận biết một tứ giác lồi là tứ giác ngoại
! tiếp được một đường tròn
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Trang 50
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
7. ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRÒN
b = 90◦ ) ngoại tiếp đường tròn (O ) bán kính
# Bài 1. Cho hình thang vuông ABCD ( Ab = D
6cm, cạnh đáy nhỏ AB = 10cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BC và CD .
# Bài 2. Cho hình thang cân ABCD ( AB ∥ CD ) ngoại tiếp đường tròn (O, r ) và CD = 4 AB.
Tìm độ dài các đoạn thẳng AB và CD .
Dạng 2: Chứng minh tứ giác ngoại tiếp
1. Dựa vào dấu hiệu tứ giác ngoại tiếp.
2. Nếu tứ giác ABCD có AB + CD = BC + AD thì nó ngoại tiếp đường tròn.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho tam giác ABC và D là một điểm bất kì nằm trong tam giác. Các đường
thẳng AD, BD, CD cắt các cạnh BC, AC, AB theo thứ tự tại X , Y , Z . Chứng minh rằng nếu
hai trong ba tứ giác DY AZ, DZBX , D X CY ngoại tiếp thì tứ giác thứ ba cũng ngoại tiếp.
# Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD , các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại K (C nằm giữa D
và K ), các đường thẳng BC và AD cắt nhau tại L (C nằm giữa B và L). Qua K và L kẻ hai
đường thẳng chia tứ giác ABCD thành bốn tứ giác nhỏ. Chứng minh rằng nếu hai tứ giác
nhỏ không có cạnh chung mà ngoại tiếp thì tứ giác ABCD cũng ngoại tiếp.
# Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu tứ giác ABD ngoại tiếp đường tròn tâm I thì ta có hệ
thức BI 2 +
AI
· BI · CI = AB · BC .
DI
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho tứ giác ngoại tiếp ABCD . Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp các tam
giác ABC và ACD tiếp xúc nhau tại một điểm nằm trên đường chéo AC .
# Bài 2. Cho tứ giác ngoại tiếp ABCD . Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường
thẳng AB tại P . Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng CD tại Q . Chứng
minh rằng tứ giác APCQ ngoại tiếp.
# Bài 3. Cho hình thang cân ABCD nội tiếp trong đường tròn (O1 , r ) và ngoại tiếp đường
tròn (O2 , R ). Gọi d = O1 O2 . Chứng minh bất đẳng thức
1
2
≥ 2
.
2
r
R − d2
Đẳng thức xảy ra khi nào?
| Chủ đề
A
7:
ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐỘ DÀI CUNG
TRÒN
Kiến thức cần nhớ
I. Công thức tính độ dài đường tròn
1. Tỉ số giữa độ dài đường tròn và đường kính của nó là một số không đổi, nghĩa là như
nhau cho mọi đường tròn.
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 51
Chương 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
Người ta kí hiệu số không đổi ấy bằng chữ π (đọc là pi). Như vậy
22
C
= π ≈ 3,14 ≈
.
2R
7
2. Độ dài C của một đường tròn bán kính R là C = 2πR hay C = π d với d là đường kính đường
tròn.
II. Công thức tính độ dài cung tròn
1. Đường tròn bán kính R (ứng với cung 360◦ ) có độ dài là 2πR .
2π R π R
=
.
360 180
πRn
3. Một cung n◦ bán kính R có độ dài là: `
AB = 180 .
A
2. Mỗi cung 1◦ bán kính R có độ dài là
B
R
O
n
◦
l
AB
B
Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRÒN HOẶC CÁC ĐẠI LƯỢNG
LIÊN QUAN
Phương pháp giải:
• Xác định công thức.
• Tìm R, n, d .
• Thay giá trị và tính.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1.
a) Tính độ dài cung 60◦ của một đường tròn có bán kính 2 dm.
b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kính 650 mm.
# Ví dụ 2.
Bánh xe của một ròng rọc có chu vi là 540 mm. Dây curoa bao bánh xe
theo cung AB có độ dài 200 mm (H.213). Tính số đo góc AOB.
A
B
n◦
O
# Ví dụ 3. Tính bán kính của một đường tròn biết độ dài cung 30◦ của nó là 1 m.
# Ví dụ 4. Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp:
a) Một tam giác đều có cạnh là 6 cm.
b) Một tứ giác đều có cạnh là 4 cm.
c) Một lục giác đều có cạnh là 4 cm.
Trang 52
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
7. ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRÒN
# Ví dụ 5.
a) Xích đạo là một đường tròn của Trái Đất có độ dài khoảng 40000 km. Hỏi
bán kính Trái Đất bằng bao nhiêu.
b) Biết rằng mỗi kinh tuyến là một nửa đường tròn lớn của Trái Đất, có độ dài khoảng
0
20000 km. Vĩ độ của Hà Nội là 20◦ 01 . Tính độ dài cung kinh tuyến từ Hà Nội đến Xích
Đạo.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Nêu cách tính độ dài cung n◦ của hình quạt tròn bán kính R .
# Bài 2. Đường kính bánh xe của một xe đạp là 73 cm.
a) Bánh xe đó quay bao nhiêu vòng khi xe đi được một đoạn đường 8 km?
b) Xe đi được bao nhiêu kilômét nếu bánh xe quay 1000 vòng?
# Bài 3. Nếu đường kính của một đường tròn tăng
bao nhiêu?
1
đơn vị thì chu vi của nó tăng thêm
π
# Bài 4. Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp
a) Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 6 cm và 8 cm.
b) Một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông là 4 cm.
c) Một tam giác cân có góc ở đỉnh là 120◦ và đáy là 6 cm.
# Bài 5. Một tam giác đều và một tứ giác đều có cùng chu vi là 36 (cm). Hỏi độ dài đường
tròn ngoại tiếp hình nào lớn hơn? Lớn hơn bao nhiêu?
Dạng 2: TÍNH ĐỘ DÀI CỦA CUNG TRÒN DO CÁC CUNG CHẮP NỐI THÀNH
Phương pháp giải:
• Tính độ dài mỗi cung theo bán kính đường tròn tạo ra cung đó.
• Lấy tổng độ dài các cung thành phần.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1.
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C .
Chứng minh rằng độ dài của nửa đường đường tròn đường
kính AC bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường
kính AB và BC .
A
B
C
# Ví dụ 2. Cho (O, OM ) . Vẽ (O 0 ) đường kính OM . Một bán kính O A của (O ) cắt (O 0 ) ở B.
có độ dài bằng nhau.
Chứng minh M
A và MB
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 53
Chương 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
# Ví dụ 3.
Xem hình vẽ bên và so sánh độ dài cung AmB với độ dài đường gấp khúc
AOB.
B
m 120◦
O
A
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Hãy so sánh độ dài ba đường cong a,b,c trong các hình sau
a
a
c
b
c
b
6 cm
| Chủ đề
A
8:
6 cm
DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, DIỆN TÍCH HÌNH
QUẠT
Kiến thức cần nhớ
I. Công thức tính diện tích hình tròn
Diện tích S của một hình tròn bán kính R được tính theo công thức
S = πR2
S = πR 2 .
II. Cách tính diện tích hình quạt tròn
Trang 54
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
8. DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, DIỆN TÍCH HÌNH QUẠT
1. Hình tròn bán kính R (ứng với cung 360◦ ) có diện tích là S =
πR 2 .
2. Diện tích một hình quạt 1◦ bán kính R có diện tích là
3. Diện tích một hình quạt n◦ bán kính R có diện tích là
Sq =
πR 2 · n
360
πR 2
360
A
.
n◦
O
B
R
.
Viết lại thành
Sq =
πR · n R
R
· = Lq · .
180 2
2
Vậy công thức tính diện tích quạt tròn là
Sq =
πR 2 · n
360
hay S q = L q ·
R
.
2
III. Diện tích hình viên phân-Diện tích hình vành khăn
A
1. Hình viên phấn (phần tô đen) là phần hình tròn giới hạn bởi
một cung AmB và dây căng cung AB có diện tích được tính bởi
m
công thức
O
S vp = S qAOB − S O AB .
B
R
2. Hình vành khăn (phần tô đen) là phần hình tròn nằm giữa hai
đường tròn đồng tâm có diện tích được tính bởi công thức
S vành khăn = π R 12 − R 2 .
¡
B
R2
¢
2
O
R1
CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, QUẠT TRÒN
Phương pháp giải:
• Xác định công thức.
• Tìm R, n◦ , l .
• Thay số và tính.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Tính diện tích các hình tròn nội tiếp ngoại tiếp một hình vuông có cạnh là 4
cm và nêu nhận xét về kết quả tìm được.
# Ví dụ 2. Tính diện tích các hình tròn nội tiếp, ngoại tiếp một tam giác đều có cạnh là 3
cm và nêu nhận xét về kết quả tìm được.
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 55
Chương 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
# Ví dụ 3. Tính diện tích hình tròn trong mỗi trường hợp sau:
a) Chu vi của đường tròn là C .
b) Chu vi của hình tròn bằng nghịch đảo bán kính của nó.
# Ví dụ 4. Tính diện tích hình quạt tròn có bán kính 6 cm, số đo cung là 36◦ .
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Nêu cách tính diện tích hình quạt tròn bán kính R , cung n◦ .
# Bài 2. Tính diện tích hình tròn bán kính 4 cm và các hình quạt tròn có góc ở tâm 30◦
và 150◦ của hình tròn đó.
# Bài 3. Một thiết diện cắt ngang của một thân cây có chu vi đo được 154 cm. Tính diện
tích thiết diện đó (coi như hình tròn).
# Bài 4. Ở vườn quốc gia Cúc Phương (tỉnh Ninh Bình) có cây Chò ngàn năm tuổi thân
to đến mức 8 người ôm mới xuể. Hãy tính thiết diện ngang của thân cây (coi như hình tròn
và mỗi sải tay khoảng 1,5 m).
# Bài 5. Cho một hình tròn và một hình vuông có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn
hơn?
Dạng 2: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH VIÊN PHÂN, HÌNH VÀNH KHĂN VÀ NHỮNG
HÌNH KHÁC CÓ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG TRÒN
Phương pháp giải:
• Dùng tính cộng diện tích: Nếu một hình H được chia thành hai hình H1 và H2 không
có điểm chung S H = S H1 + S H2 .
• Xác định công thức.
• Tìm R, n thay số rồi tính.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Hãy tính diện tích hình viên phân AmB biết góc ở tâm
AOB = 60◦ và bán kính
đường tròn là 5,1 cm.
# Ví dụ 2.
Trên hình vẽ bên
R2
a) Tính diện tích S của hình vành khăn theo R1 và R2 (giả sử R1 >
R 2 ).
O
R1
b) Tính S khi R1 = 10,5 cm; R2 = 7,8 cm.
Trang 56
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
8. DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, DIỆN TÍCH HÌNH QUẠT
# Ví dụ 3.
Trên hình vẽ bên biết diện tích miền tô đen là 86 cm2 . Tính diện tích hình
tròn.
# Ví dụ 4. Cho tam giác ABC nội tiếp nửa đường tròn đường kính BC . Vẽ ra phía ngoài
của tam giác các nửa đường tròn đường kính AB và AC . Chứng minh rằng tổng diện tích
hai hình trăng khuyết giới hạn bởi ba nửa đường tròn bằng S ABC (hình trăng khuyết Hypô-crát)
# Ví dụ 5. Cho đường tròn có đường kính AB. Trên đoạn AB lấy điểm C và D sao cho
AC = CD = DB. Vẽ về một phía của AB hai nửa đường tròn đường kính AC và AD . Vẽ về
phía bên kia của AB hai nửa đường tròn đường kính CB, DB. So sánh diện tích phần tô đen
(như hình vẽ) và diện tích mỗi phần còn lại của hình tròn.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Hãy xem biểu đồ hình quạt biểu diễn xếp loại học lực học sinh của một trường
THCS theo ba loại: giỏi, khá, trung bình.
Hãy trả lời các câu hỏi sau:
a) Có phải
1
số học sinh xếp loại học lực giỏi không?
2
b) Có phải
1
số học sinh xếp loại học lực khá không?
3
Giỏi
Khá
30◦ TB
c) Số học sinh xếp loại học lực trung bình chiếm bao nhiêu phần
trăm?
d) Tính số học sinh mỗi loại, biết tổng số học sinh là 900 em.
# Bài 2. Người ta muốn may một chiếc khăn để phủ một chiếc bàn tròn đường kính 76
cm sao cho khăn rủ xuống khỏi mép bàn (khăn có dạng hình tròn). Hãy tính diện tích vải
cần có để làm khăn (không kể viền, mép, phần thừa) phần diện tích vải rủ xuống khỏi mép
bàn.
# Bài 3. Cho hai đường tròn đồng tâm tạo thành một hình vành khăn. Biết rằng đường
tròn nhỏ có bán kính bằng 4 cm và hình vành khăn có diện tích là 20πcm2 . Tìm đường kính
của đường tròn lớn.
# Bài 4.
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 57
Chương 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
C
Trong hình vẽ bên
ACB là một cung của một đường tròn, CD là
đoạn thẳng nằm trên đường trung trực của dây AB. Biết AB =
6, CD = 9. Tính diện tích của cả hình tròn.
D
A
B
# Bài 5. Với những kiến thức đã học, có thể tính được diện tích những hình tô đen dưới
đây hay không? Cần biết những dữ liệu nào đối với mỗi hình?
Trang 58
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Chương
4
| Chủ đề
A
HÌNH TRỤ – HÌNH NÓN HÌNH CẦU
1:
DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH
HÌNH TRỤ
Kiến thức cần nhớ
I. Hình trụ
Khi quay hình chữ nhật OO 0 AB một vòng tròn quanh cạnh OO 0 cố định, ta được một hình
trụ như hình vẽ bên. Khi đó:
• OO 0 gọi là trục của hình trụ.
• O 0 A và OB quét nên hai đáy của hình trụ, là hai hình tròn bằng
O0
A
nhau nằm trên hai mặt phẳng song song, có tâm là O 0 và O .
C
• Cạnh AB quét nên mặt xung quanh của hình trụ, mỗi vị trí của
AB được gọi là một đường sinh. Chẳng hạn, CD là một đường
h
sinh.
• Các đường sinh của hình trụ vuông góc với hai mặt phẳng đáy.
Độ dài của đường sinh là chiều cao của hình trụ.
D
O
B
II. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
• S xq = 2π · R · h.
• S tp = 2π · R · h + 2π · R 2 .
Ở đó R là bán kinh đáy, h là chiều cao.
III. Thể tích hình trụ
• V = π · R 2 · h = S · h.
Ở đó R là bán kinh đáy, h là chiều cao và S là diện tích đáy.
59
Chương 4: HÌNH TRỤ – HÌNH NÓN – HÌNH CẦU
B
Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Tính diện tích xung quanh – Diện tích toàn phần, thể tích hình trụ
hoặc các yếu tố liên quan
Phương pháp giải:
a) Xác định công thức
b) Tìm R và h.
c) Thay ví dụ và tính.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Hãy tính:
a) Diện tích xung quanh của một hình trụ có chu vi đường tròn đáy là 13 cm và chiều cao
là 3 cm.
b) Thể tích của hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 5 mm và chiều cao là 8 mm.
# Ví dụ 2. Chiều cao của một hình trụ bằng bán kính đáy. Diện tích xung quang của hình
trụ là 314 cm2 . Hãy tính bán kính đáy và thể tích hình trụ (làm tròn kết quả đến chữ số
thập phân thứ hai).
# Ví dụ 3. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a, BC = a. Quay hình chữ nhật quanh cạnh
AB thì được hình trụ có thể tích là V1 , quanh BC thì được hình trụ có thể tích là V2 . Hỏi V2
gấp mấy lần V1 .
# Ví dụ 4 (Bài toán Ác-si-mét). Người ta nhấn chìm hoàn toàn một tượng đá nhỏ vào
trong một lọ thủy tinh có nước dạng hình trụ. Diện tích đáy lọ thủy tinh là 12,8 cm2 . Nước
trong lọ dâng thêm 8,5 mm. Hỏi thể tích tượng đá là bao nhiêu?
# Ví dụ 5.
Một cái chai phía dưới là hình trụ chứa lượng nước
có chiều cao 10 cm. Người ta lật ngược chai lại thì
8 cm
phần chai không chứa nước là một hình trụ có chiều
cao 8 cm như hình vẽ bên. Tính thể tích của chai, biết
10 cm
rằng đường kính của đáy chai bằng 10 cm.
10 cm
Trang 60
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
1. DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH HÌNH TRỤ
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Diện tích và chu vi của một hình chữ nhật ABCD ( AB > AD ) theo thứ tự là 3a2
và 8a. Cho hình chữ nhật quay quanh cạnh AB một vòng ta được một hình trụ. Tính thể
tích, diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ này.
# Bài 2. Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng và có diện tích là 28 cm2 .
Cho hình chữ nhật quay quanh chiều dài một vòng ta được một hình trụ. Tính diện tích
xung quanh và thể tích hình trụ.
# Bài 3. Một hình trụ có đường cao bằng đường kính đáy. Tính diện tích xung quanh và
diện tích toàn phần của hình trụ biết thể tích của hình trụ là 128π cm3 .
# Bài 4. Một hình trụ bán kính đáy là 4 cm. Biết diện tích toàn gấp đôi diện tích xung
quanh. Tính chiều cao của hình trụ.
# Bài 5. Một hình trụ có diện tích xung quanh là 20π cm2 và diện tích toàn phần là 28π cm2
. Biết diện tích toàn gấp đôi diện tích xung quanh. Tính chiều cao của hình trụ.
Dạng 2: Diện tích xung quanh – Thể tích của một hình hỗ hợp
Phương pháp giải: Tính diện tích xung quanh hoặc thể tích của một từng bộ phận là các
hình cơ bản sau đó cộng lại hoặc trừ đi.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1.
Một cái hầm bi-ô-ga như hình vẽ bên. Phần trên là nửa hình
trụ, phần dưới là một hình hộp chữ nhật với các kích thước
22
).
7
1m
cho trên hình vẽ. Tính thể tích hầm bi-ô-ga (lấy π =
1,4
2
m
m
# Ví dụ 2.
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 61
Chương 4: HÌNH TRỤ – HÌNH NÓN – HÌNH CẦU
Hãy tính thể tích, diện tích bề mặt một chi tiết máy theo kích
11 cm
7 cm
2 cm
thước đã cho trên hình vẽ bên.
6 cm
# Ví dụ 3.
Một vật thể có dạng hình trụ, bán kính đáy và chiều
cao đều bằng 2R . Người ta khoan một lỗ có bán kính
đáy bằng R và chiều cao bằng 2R như hình vẽ bên. Tính
bán kính vật thể còn lại.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Một chi tiết máy có dạng hình hộp chữ nhật có các kích thước là 20 cm, 20 cm,
5 cm. Người ta khoan một lỗ hình trụ có đường kính đáy là 16 cm và chiều cao là 5 cm xuyên
qua chi tiết đó. Tính thể tích phần vật thể còn lại.
# Bài 2. Một chi tiết máy có dạng hình trụ có đường kính đáy 25 cm, chiều cao 5 cm. Người
ta khoét một hình hộp chữ nhật có kích thước là 16 cm, 16 cm, 5 cm xuyên qua chi tiết đó.
Tính thể tích phần vật thể còn lại.
# Bài 3.
Trang 62
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
2. DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH NÓN, HÌNH NÓN CỤT
6 cm
Một chi tiết máy có các kích thước như hình vẽ bên. Hãy tính thể
5 cm
20 cm
tích và diện tích bề mặt của chi tiết đó.
10
cm
10
cm
# Bài 4.
Lõi của một cuộn chỉ có kích thước như hình vẽ bên. Tính thể
5 cm
tích của chỉ sau khi chỉ được cuộn đầy vào lõi (làm tròn đến số
8 cm
thập phân thứ 2).
1 cm
| Chủ đề
A
2:
DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH
CỦA HÌNH NÓN, HÌNH NÓN CỤT
Kiến thức cần nhớ
I. Hình nón
Khi quay tam giác vuông AOC một vòng tròn quanh cạnh góc vuông AO
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 63
Chương 4: HÌNH TRỤ – HÌNH NÓN – HÌNH CẦU
A
cố định thì được một hình nón hình như hình vẽ bên. Khi đó:
• Cạnh OC quét nên đáy của hình nón là một hình tròn tâm
O . A gọi là đỉnh và O A gọi là đường cao của hình nón.
h
• Cạnh AC quét nên mặt xung quanh của hình nón. Mỗi vị
trí của AC được gọi là một đường sinh của hình nón. Chẳng
hạn AD là một đường sinh.
B
O
D
R
C
II. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
• S xq = π · R · `.
• S tp = 2π · R · ` + π · R 2 .
Ở đó R là bán kinh đáy, ` là độ dài đường sinh.
III. Thể tích của hình nón
1
1
• V = π · R 2 · h = · S · h.
3
3
Ở đó R là bán kinh đáy, h là chiều cao, S là diện tích đáy.
IV. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón cụt
Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm
trong hình nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa mặt
O0 R1
phẳng nói trên và đáy được gọi là hình nón cụt như hình vẽ
bên.
• S xq = π · (R 1 + R 2 ) · `.
¡
¢
1
• Vnón cụt = π · h · R 12 + R 22 + R 1 · R 2 .
3
Ở đó R1 , R2 là bán kính đáy, h là chiều cao.
B
`
h
R2
O
Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Tính số đo cung hoặc bán kính hình quạt tròn hoặc nửa góc ở đỉnh
của hình nón
Phương pháp giải:
Trang 64
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
2. DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH NÓN, HÌNH NÓN CỤT
A
Rq
a) Vẽ hình minh họa như hình vẽ bên.
uạt
α
=`
b) Tính độ dài cung BD của hình quạt theo
D
công thức Cđáy = 2π · Rnón .
c) Tính số đo cung (hoặc góc ở tâm) n◦ theo
công thức
C đáy = 2π · R nón =
π · R quạt · n
180
n◦
.
C
R nón O
B
d) Rquạt = ` là đường sinh của hình nón.
e) Tính nửa góc ở đỉnh α phải xác định
cạnh kế, cạnh đối của tam giác vuông
chứa α.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1.
A
Tính số đo cung của quạt tròn như hình vẽ bên.
6 cm
t◦
B
O
2 cm
C
# Ví dụ 2.
A
Khi quay tam giác vuông để tạo ra một hình nón
Rq
(như hình vẽ bên) thì góc C
AO = 30◦ gọi là góc
uạt
=`
ở đỉnh của hình nón, độ dài đường sinh là a.
D
Tính số đo cung của hình quạt khi khai triển
mặt xung quanh của hình nón.
n◦
C
R nón O
B
# Ví dụ 3. Hình khai triển mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt Rquạt =
16 cm, số đo cung là 120◦ . Tính tang của nửa góc ở đỉnh của hình nón.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Một hình nón có bán kính đáy 7 cm, chiều cao 24 cm. Sau khi khai triển mặt xung
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 65
Chương 4: HÌNH TRỤ – HÌNH NÓN – HÌNH CẦU
quanh, ta được một hình quạt. Tính số đo cung hình quạt này.
# Bài 2.
S
Viết công thức tính góc ở nửa đỉnh một hình nón
(α là góc của tam giác vuông SO A như hình vẽ
α
bên) sao cho diện tích mặt khai triển của mặt nón
C
bằng một phần tư diện tích hình tròn bán kính
S A.
A
B
O
Dạng 2: Diện tích xung quanh, thể tích của hình nón, nón cụt và các đại lượng
có liên quan nếu biết hai trong ba yếu tố: Bán kính đáy, chiều cao, đường sinh
Phương pháp giải:
a) Xác định công thức.
b) Tìm yếu tố còn lại nhờ hệ thức lượng trong tam giác vuông.
c) Thay giá trị rồi tính.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1.
S
Tính diện tích xung quanh và thể tích của một hình nón
khi quay tam giác vuông cân SO A có cạnh huyền S A =
3
α
cm
3 cm quanh cạnh góc vuông SO cố định.
O
R
A
# Ví dụ 2. Tính diện tích xung quanh và thể tích của một hình nón khi quay tam giác
vuông AOB có O
AB = 30◦ quanh cạnh góc vuông AO = 4 cm.
# Ví dụ 3. Một hình nón cụt có bán kính đáy là 6 cm và 9 cm, chiều cao 4 cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón cụt.
b) Tính thể tích của hình nón sinh ra hình nón cụt đó.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Một hình nón bán kính đáy bằng 5 cm và diện tích xung quanh là 65π cm2 .
a) Tính chiều cao của hình nón đó.
b) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình nón.
Trang 66
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
2. DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH NÓN, HÌNH NÓN CỤT
# Bài 2. Một hình nón có đường sinh dài 17 cm và diện tích xung quanh là 136π cm2 . Thể
tích của hình nón đó.
# Bài 3. Một chiếc xô hình nón cụt làm bằng tôn để đựng nước có các bán kính đáy là
14 cm và 9 cm, chiều cao là 23 cm.
a) Tính dung tích của xô.
b) Tính diện tích tôn để làm xô (coi như diện tích các mép gấp không đáng kể).
Dạng 3: Tính diện tích xung quanh, thể tích của một hình hỗn hợp, gồm nhiều
hình
Phương pháp giải: Tính diện tích xung quanh hoặc thể tích của từng bộ phận rồi cộng lại
hoặc trừ đi.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1.
Từ một khúc gỗ hình lập phương có cạnh bằng 1, người thợ
tiện có thể tiện ra một hình nón như hình vẽ bên. Hãy tính
thể tích của hình nón và cho biết người thợ đó đã loại bỏ đi
bao nhiêu vật liệu.
# Ví dụ 2.
Cái mũ bằng vải dạ của nhà ảo thuật với các kích thước như hình
vẽ bên. Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ
30 cm
(không kể viền, mép, phần thừa).
10 cm
35 cm
# Ví dụ 3.
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 67
Chương 4: HÌNH TRỤ – HÌNH NÓN – HÌNH CẦU
1, 4 m
Một dụng cụ gồm một phần có dạnh hình trụ, phần còn
lại có dạng hình nón. Các kích thước cho trên hình vẽ
70 cm
dưới. Hãy tính
1,60 m
a) Thể tích của dụng cụ này.
b) Diện tích của mặt ngoài của dụng cụ (không tính nắp đậy).
# Ví dụ 4. Một hình trụ và một hình nón có chung đáy, đường cao của chúng bằng nhau
như hình vẽ bên. Tìm mối liên hệ giữa bán kính đáy và đường cao của hình trụ để diện tích
xung quanh của hai hình bằng nhau.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Từ một khúc gỗ hình trụ có bán kính đáy là 6 cm và chiều cao 14 cm người ta tiện
thành một hình nón có chiều cao bằng chiều cao của hình trụ và bán kính đáy là 6 cm. Hỏi
thể tích phần gỗ tiện bỏ đi là bao nhiêu?
# Bài 2. Cho tam giác ABC có cạnh BC = 6 cm, chiều cao tương ứng bằng 4 cm. Tính thể
tích của hình tạo thành khi quay tam giác một vòng quanh BC .
b = 90◦ ) có cạnh AB = AD = a, CD = 2a. Quay
# Bài 3. Cho hình thang vuông ABCD ( Ab = D
hình thang vuông một vòng quanh cạnh AD , ta được một hình có thể tích V1 . Quay hình
thang vuông một vòng quanh cạnh CD , ta được một hình có thể tích V2 . Tính tỉ số V1 : V2 .
# Bài 4. Cho tam giác ABC ( Ab = 90◦ ) có cạnh BC = 10 cm và AB = 8 cm. Tính thể tích toàn
phần của hình tạo thành khi quay tam giác một vòng quanh BC .
= 60◦ .
# Bài 5. Cho hình bình hành ABCD với AB = 2, AD = x ( x > 0) và BAD
a) Tính diện tích toàn phần S của hình tạo thành khi quay hình bình hành ABCD đúng
một vòng quanh cạnh AB và diện tích toàn phần S1 của hình tạo thành khi quanh
quanh cạnh AD .
b) Xác định giá trị x khi S = S1 .
Trang 68
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
3. DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẦU
| Chủ đề
3:
DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH HÌNH
CẦU
A
Kiến thức cần nhớ
A0
I. Hình cầu
Khi quay nửa đường tròn tâm O , bán kính R một vòng quanh
đường kính AB cố định thì được một hình cầu (H.288).
A
B
O
• Nửa đường tròn trong phép quay nói trên quét nên mặt
cầu.
• Điểm O được gọi là tâm, R là bán kính của hình cầu,
B0
mặt đó.
II. Cắt hình cầu bởi một mặt phẳng
a) Khi cắt hình cầu bởi một mặt phẳng ta được một hình tròn.
b) Khi mặt cầu bán kính R bởi một phẳng ta được một đường tròn.
• Đường tròn có bán kính R nếu mặt đi qua tâm (gọi là đường tròn lớn).
• Đường tròn có đó có bán kính r bé hơn R nếu mặt phẳng không đi qua tâm.
III. Diện tích mặt cầu
S = 4πR 2 hay S = π d 2 (R là bán kính, d là đường kính của mặt cầu).
IV. Thể tích hình cầu
4
V = πR 3 .
3
B
Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu khi biết bán kính của hình
cầu hoặc ngược lại, tính bán kính hình cầu khi biết thể tích hoặc diện tích của
nó
Phương pháp giải:
a) Xác định công thức tính V , Sxq theo R .
b) Tìm R từ các công thức V , Sxq .
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 69
Chương 4: HÌNH TRỤ – HÌNH NÓN – HÌNH CẦU
# Ví dụ 1. Nếu thể tích của một hình cầu là 113
nhiêu? lấy π =
22
.
7
1
cm3 thì bán kính của nó bằng bao
7
# Ví dụ 2. Một khinh khí cầu là hình cầu có đường kính 11 m. Hãy tính diện tích mặt
khinh khí cầu đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
# Ví dụ 3. Các loại bóng cho trong bảng đều có dạng hình cầu. Hãy điền vào ô trống trong
bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Loại
Quả bóng gôn
Quả khúc côn cầu
Quả tennit
Quả bóng bàn
Quả bi a
6,5 cm
40 mm
61 mm
bóng
Đường
42,7 mm
kính
Độ dài
23 cm
đường
tròn
lớn
Diện
tích
Thể
tích
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 20. Một hình cầu có số đo diện tích (tính bằng cm2 ) đúng bằng hai lần số đo thể
tích của nó (tính bằng cm3 ). Tính bán kính của hình cầu và thể tích của nó.
# Bài 21. Một hình cầu có diện tích bề mặt là 120π m2 . Tính thể tích của hình cầu đó.
Dạng 2: Tính diện tích, thể tích của một hình hỗn hợp gồm nhiều hình
Phương pháp giải: Tính diện tích, thể tích của từng bộ phận rồi cộng lại hoặc trừ đi.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1.
2R (đơn vị cm). Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu như
R
hình bên. Hãy tính diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại
2R
Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đáy là R chiều cao
(diện tích cả ngoài lẫn trong).
# Ví dụ 2.
Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa
3,62 m
Hãy tính thể tích của bồn chứa theo
kích thước cho trên hình vẽ.
Trang 70
1,80 m
hình cầu và một hình trụ (hình bên).
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
3. DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẦU
2 cm
# Ví dụ 3. Hãy tính thể tích tính các hình dưới đây theo kích thước đã cho (đơn vị cm).
a)
12,6 cm
b)
4 cm
4 cm
20 cm
8,4 cm
6,9 cm
c)
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 22. Một bồn chứa xăng dầu có phần dưới là một hình trụ với chiều cao bằng đường
kính đáy và phần trên là nửa hình cầu có đường kính bằng đường kính hình trụ. Biết diện
tích bề mặt của bồn chứa là 445 m2 . Tính thể tích của nó.
# Bài 23. Một đồ chơi gồm một hình nón gắn với nửa hình cầu. Biết thể tích hình nón
gấp đôi thể tích. Tính tỉ số đường cao và bán kính đáy của hình tròn.
# Bài 24.
Hình bên mô tả một hình cầu được đặt khít vào trong một hình
trụ, các kích thước cho trên hình vẽ. Hãy tính
a) Thể tích hình cầu;
b) Thể tích hình trụ;
R cm
c) Hiệu giữa thể tích hình trụ và hình cầu.;
d) Thể tích của một hình nón có bán kính đáy là R cm và chiều
cao 2R cm.
e) Từ các kết quả a),b),c),d) hãy tìm mối liên hệ giữa chúng.
Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX
Trang 71
