Nguyên hàm và các phương pháp tính nguyên hàm – Nguyễn Hoàng Việt

Giới thiệu Nguyên hàm và các phương pháp tính nguyên hàm – Nguyễn Hoàng Việt

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Nguyên hàm và các phương pháp tính nguyên hàm – Nguyễn Hoàng Việt CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Nguyên hàm và các phương pháp tính nguyên hàm – Nguyễn Hoàng Việt

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Nguyên hàm và các phương pháp tính nguyên hàm – Nguyễn Hoàng Việt

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Nguyên hàm và các phương pháp tính nguyên hàm – Nguyễn Hoàng Việt
“Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB BÀI 1: NGUYÊN HÀM DẠNG TOÁN 1: TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG BẢNG NGUYÊN HÀM  Bài toán 1.Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định) https://luyenthitracnghiem.vn n  x dx  x n 1 Môû roäng   C  n1 n  (ax  b) dx  Một số công thức thường sử dụng:  kdx  kx  C .  kf (x)dx  k. f (x)dx .  f ( x)  g( x) dx   f ( x)dx   g( x)dx . a) Tìm họ nguyên hàm của f ( x)  4×3  x  5 Lời giải x2 Ta có: F( x)   f ( x)dx   (4 x  x  5)dx  x   5x  C . 2 3 4 b) Tìm họ nguyên hàm của f ( x)  3×2  2x Lời giải https://www.facebook.com/vietgold Ta có: F( x)   f ( x)dx   (3×2  2x)dx  x3  x2  C . c) Tìm họ nguyên hàm của f ( x)  1  x2 5 x Lời giải Ta có: F( x)   f ( x)dx   ( x5  x2 )dx   d) Tìm họ nguyên hàm của f ( x)  x4 x3  C. 4 3 1  x2  1 3 x Lời giải   Ta có: F( x)   f ( x)dx   x3  x2  1 dx   x2 x3  x. 2 3 e) Tính I   ( x2  3x)( x  1)dx Lời giải x4 2 3 3 2 Phân phối được: I   ( x  2x  3x)dx   x  x  C 4 3 2 3 f) Tính I   ( x  1)( x2  2)dx 1 2 1 ( ax  b)n1 C a n1 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Lời giải x4 x3   x2  2x  C Phân phối được: I   ( x  x  2x  2)dx  4 3 3 2 g) Tính I   (2x  1)5 dx (công thức mở rộng) Lời giải https://luyenthitracnghiem.vn I   (2 x  1)5 dx  1 (2 x  1)6 C 2 6 h) Tính I   (2x  10)2020 dx Lời giải I   (2 x  10) 2020 1 (2 x  10)2021 dx  C 2 2021 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tìm một nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x)  4×3  4x  5 thỏa mãn F(1)  3 A. F( x)  x4  2×2  5x  1 . B. F( x)  x4  4×2  5x  1 . C. F( x)  x4  2×2  5x  3 . D. F( x)  x 4  2 x 2  5x  1 . 2 Lời giải https://www.facebook.com/vietgold Chọn A Ta có: F( x)   f ( x)dx   (4×3  4x  5)dx  x4  2×2  5x  C Theo đề bài, ta có: F(1)  3  14  2.12  5.1  C  3  C  1 Do đó: F( x)  x4  2×2  5x  1 Lưu ý. Nếu đề bài yêu cầu tìm F( a) ta chỉ cần thế x  a vào F( x) sẽ tìm được F( a) . Chẳng hạn, tính F(2) , ta thế x  2 vào F( x) , nghĩa là F(2)  24  2.22  5.2  1  17 . Câu 2: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   3×2  2x  5 thỏa mãn F 1  4 . A. F  x   x3  x2  5x  3 . B. F  x   x3  x2  5x  3 . C. F  x   x3  x2  5x  3 . D. F  x   x3  x2  5x  3 . Lời giải Chọn B  f  x  dx   3x 2   2x  5 dx  x3  x2  5x  C . 2 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB F  1  4  7  C  4  C  3 . Vậy F  x   x3  x2  5x  3 . Câu 3: Hàm số f  x   5×4  4×2  6 có một nguyên hàm F  x  thỏa F  3   1 . Tính F  3  . B. F  3   225 . https://luyenthitracnghiem.vn A. F  3   226 . C. F  3   451 . D. F  3   225 . Lời giải Chọn C  f  x  dx   5x 4   4 x2  6 dx   x5  4 3 x  6x  C . 3 F  3   1  225  C  1  C  226  F  x    x5  4 3 x  6 x  226 . 3 Do đó F  3   451 . Câu 4: Hàm số f  x   x3  3x  2 có một nguyên hàm F  x  thỏa F  2   14 . Tính F  2  . A. F  2   6 . B. F  2   14 . C. F  2   6 . D. F  2   14 . Lời giải https://www.facebook.com/vietgold Chọn A  f  x  dx   x 3   3x  2 dx  1 4 3 2 x  x  2x  C . 4 2 F  2   14  14  C  14  C  0  F  x   1 4 3 2 x  x  2x . 4 2 Do đó F  2   6 . 1 3 Câu 5: Hàm số f  x    2x  1 có một nguyên hàm F  x  thỏa F    4 . Tính P  F   . 2 2 3 A. P  32 . C. P  18 . B. P  34 . Lời giải Chọn B  2x  1  C . 1  2 x  1 2 x  1 d x  .  C     2 4 8 4 4 3  2x  1  2 . 1 F    4  2  C  4  C  2  F  x  8 2 4 3 Do đó F    34 . 2 3 D. P  30 . Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB  1 2 Câu 6: Hàm số f  x   1  2 x  có một nguyên hàm là F  x  thỏa F     . Tính F  1 .  2 3 5 A. F 1  10 . B. F 1  5 . C. F  1  59 . 12 D. F  1  71 . 12 Lời giải Chọn D 6 1  1  1 2  1 2 C   C  6. Ta có F       . 2 6 3  2 3 6 1 1  2x  1 1 71  6 nên F  1   .  6  . Do đó F  x    . 2 6 2 6 12 6 Câu 7: Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x    2x  3  thỏa F  0   2 thức T  log 2 3F 1  2F  2  . A. T  2 . B. T  4 . 1 . Tính giá trị của biểu 3 https://luyenthitracnghiem.vn 5 1 1  2x  1 C . F  x    1  2x  dx     1  2 x  d 1  2 x    . 2 6 2 5 D. T  4 . C. T  10 . Lời giải Chọn A 2 1  2x  3 1 C . F  x     2x  3  dx    2 x  3  d  2 x  3   . 2 3 2 3 1  0  3 1 1 29 C   C  Ta có F  0    . . 2 3 3 3 6 3 1  2 x  3  29 1 1 29 14 1 1 29  Do đó F  x   . nên F  1  .  ; F  2  .   5. 2 3 6 2 3 2 3 6 6 3 3  14   T  log 2 3F 1  2 F  2   log 2  3.  2.5   log 2 4  2 .  3  Câu 8: Hàm số f  x   x3  3x  2 có một nguyên hàm F  x  . Biết đồ thị hàm số y  F  x  đi qua điểm M  2;10  . Giá trị của F  2  bằng A. 18 . C. 8 . B. 6 . D. 20 . Lời giải Chọn B x 4 3x 2   2x  C . F  x     x  3x  2  dx  4 2 3 4 https://www.facebook.com/vietgold 2 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB 4 2 2 3.2   2.2  C  10  C  4 . 4 2 Hàm số đi qua M  2;10  do đó  2   3.  2   2 2  4  6 . x 4 3x 2  2 x  4  F  2   Do đó F  x      4 2 4 2 4 2 https://luyenthitracnghiem.vn  Bài toán 2.Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  (mục đích cho học sinh rèn luyện công thức). Làm quen nhóm công thức có mẫu số cơ bản 1  x dx  ln x  C 1 x 2 Môû roäng   1 Môû roäng  dx    C  x 1 1  ax  b dx  a ln ax  b  C .  1 1 1 dx   . C . a ax  b ax  b   2  1  a) Tìm I    3x 2   2  dx . x   Lời giải  1  Ta có: I    3×2   2  dx  x 3  ln x  2 x  C. x    2 1  b) Tìm I    3x 2   2  dx . x x   https://www.facebook.com/vietgold Lời giải  2 1  1 Ta có: I    3×2   2  dx  x 3  2 ln x   C. x x  x  c) Tìm I   x 2  3x  1 dx . x Lời giải Ta có: I   d) Tìm I   x 2  3x  1  1 dx    x  3   dx  x 2  3x  ln x  C. x x  2×2  6 x  3 dx . x Lời giải Ta có: I   e) Tìm I   2×2  6x  3  3 dx    2 x  6   dx  x2  6 x  3ln x  C. x x  1 dx . 2x  1 Lời giải 5  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Ta có: I   f) Tìm I   Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm 1 1 dx  ln 2 x  1  C. 2x  1 2 2 dx . 3  4x Lời giải 2 1 1 dx  2. .ln 3  4 x  C   ln 3  4 x  C. 3  4x 4 2 1 dx. g) Tìm I   2  2x  1 https://luyenthitracnghiem.vn Ta có: I   Lời giải I 1 1 1 dx   . C   C. 2 2x  1 4x  2  2x  1 1 2  12 2   dx h) Tìm I      x  12 2 x  3    Lời giải https://www.facebook.com/vietgold  12 2  12 1 2 12  I  dx   .  ln 2 x  3  C   ln 2 x  3  C. 2 1 x 1 2 x 1   x  1 2 x  3    1 i) Tìm I   2 dx 4x  4x  1 Lời giải I 1 1 1 1 1 dx   dx   . C   C. 2 2 2x  1 4x  2 4x  4x  1  2x  1 2 j) Tìm I   4 dx x  6x  9 2 Lời giải I 4 4 4 1 4 dx   dx   . C   C. 2 1 x  3 x  3 x  6x  9  x  3 2 k) Tìm I   2x  1  x  1 2 dx Lời giải I 2x  2  3  x  1 2  2( x  1) 3  2 3 dx     dx   dx   dx 2 2 2 x1   x  1  x  1  x  1     6 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB 3 3  C  2 ln x  1   C. x1 x1 2x  2 l) Tìm I   2 dx 4x  4x  1 I  2 ln x  1  https://luyenthitracnghiem.vn Lời giải  2x  1  3  dx I dx    2 2 2    2x  1   2 x  1  2 x  1  1 3 I dx   dx 2 2x  1  2x  1 2x  2 Câu 9: I 1 3 ln 2 x  1  C 2 2  2 x  1 I 1 3 ln 2 x  1  C 2 2  2 x  1 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   và F  2   1 . Giá trị F  3  bằng x 1 7 1 A. . B. ln 2  1 . C. . D. ln 2  1 . 4 2 https://www.facebook.com/vietgold Lời giải Chọn B F  x   1 dx  ln x  1  c . x 1 F  2   1  1  c  F  x   ln x  1  1  F  3   ln 2  1 . Câu 10: Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm f  x   A. 1 ln 7  5 . 2 B. 2 ln7  5 . 1 và F  1  5 . Giá trị của F  4  bằng 2x  1 1 C. ln7  5 . D. ln 7  5 . 2 Lời giải Chọn D F  x   1 1 dx  ln 2 x  1  c . 2x  1 2 F  1  5  5  c  F  x   1 1 ln 2 x  1  5  F  4   ln 7  5 . 2 2 Câu 11: Biết F  x  là một guyên hàm của hàm số f  x   7 3 thỏa F  1  0 . Giá trị của F  2  bằng 2x  1 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB A. 4ln 2 . B. 3ln 2 . C. 3 ln 3 . 2 D. 1 . Lời giải Chọn C F  x   3 3 dx  ln 2 x  1  c . 2x  1 2 https://luyenthitracnghiem.vn F  1  0  0  c  F  x   3 3 ln 2 x  1  F  2   ln 3 . 2 2 Câu 12: Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x    e 1 3 1 biết F    là 2x  1  2  2 A. F  x   2 ln 2x  1  0, 5 . B. F  x   2 ln 2x  1  1 . C. F  x   D. F  x   0, 5ln 2x  1  0, 5 . 1 ln 2 x  1  1 . 2 Lời giải Chọn C F  x   1 1 dx  ln 2 x  1  c . 2x  1 2  e 1 3 3 1 1 F    ln e  c  c  1  F  x   ln 2 x  1  1 .  2 2 2  2  2 F  1  4 và f  1  0 . b a ,b  x2 , x  0  biết F  1  1 , A. F  x   3×2 3 7   . 4 2x 4 B. F  x   3×2 3 7   . 4 2x 4 C. F  x   3×2 3 7   . 2 4x 4 D. F  x   3×2 3 1   . 2 2x 2 Lời giải Chọn A  b  a b F  x     ax  2  dx  x 2   c . 2 x x   8 https://www.facebook.com/vietgold Câu 13: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   ax  “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB https://luyenthitracnghiem.vn a  3 2  b  c  1 a  2  F  1  1    3×2 3 7 3 a    . Lại có:  F  1  4    b  c  4  b   . Nên F  x   2 2 4 2 x 4     f  1  0 a  b  0 7    c  4    Bài toán 3. Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định):. Làm quen nhóm công thức nguyên hàm của hàm lượng giác 1   sin( ax  b)dx   cos( ax  b)  C .  sin xdx   cos x  C  a 1   cos( ax  b)dx  sin( ax  b)  C .  cosxdx  sin x  C  a  Cần nhớ: sin 2x  2sin x cos x, cos 2x  cos2 x  sin2 x  2cos2 x  1  1  2sin 2 x. a) Tìm I   (sin x  cos x)dx . Lời giải I   (sin x  cos x)dx.   cos x  sin x  C . b) Tìm I   (3cos x  2 sin x)dx . https://www.facebook.com/vietgold Lời giải I   (3cos x  2 sin x)dx  3sin x  2 cos x  C c) Tìm I   (2 sin 2x  3cos 6x)dx . Lời giải 1 I   (2 sin 2 x  3cos 6 x)dx   cos 2 x  sin 6 x  C . 2 d) Tìm I   sin x cos xdx . Lời giải I   sin x cos xdx  1 1 sin 2 xdx   cos 2 x  C .  2 4 x   e) Tìm I   cos   dx . 2 6 Lời giải x   x   I   cos   dx  2 sin     C . 2 6 2 6 9 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB  x f) Tìm I   sin   dx .  3 3 Lời giải  x  x I   sin   dx  3cos     C .  3 3  3 3 Lời giải 1 I   (sin x  cos x)2 dx   (sin 2 x  2 sin x cos x  cos2 x)dx   (1  sin 2x)dx  x  cos 2 x  C 2 . h) Tìm I   (cos x  sin x)2 dx . Lời giải   2 1 I    sin x  cos x  dx   sin 2 x  2 sin x cos x  cos2 x dx   1  sin 2x  dx  x  cos 2x  C 2 .  https://luyenthitracnghiem.vn g) Tìm I   (sin x  cos x)2 dx .  i) Tìm I   cos2 x  sin 2 x dx . Lời giải    https://www.facebook.com/vietgold 1 I   cos2 x  sin 2 x dx   cos 2 xdx  sin 2 x  C . 2  j) Tìm I   cos4 x  sin 4 x dx . Lời giải      I   cos4 x  sin 4 x dx   cos2 x  sin 2 x sin 2 x  cos2 x dx   1   cos2 x  sin 2 x dx   cos 2 xdx  sin 2 x  C 2  Nhóm áp dụng công thức: 1  sin 2 x dx   (1  cot 2 x)dx   cot x  C   x dx   (1  tan 2 x)dx  tan x  C   1  cos 2 dx 1  sin (ax  b)   a cot(ax  b)  C . 2 dx 1  cos (ax  b)  a tan(ax  b)  C . 2  1 1   k) Tìm I     dx . 2 2  cos x sin x  10 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Lời giải  1 1  I     dx  tan x  cot x  C . 2 2  cos x sin x  https://luyenthitracnghiem.vn l) Tìm I   6 dx . cos2 3x Lời giải I 6 1 dx  6. tan 3x  C  2 tan 3x  C . 2 3 cos 3x m) Tìm I   tan 2 xdx. Lời giải  1  I   tan 2 xdx   tan 2 x  1  1 dx     1 dx  tan x  x  C . 2  cos x    n) Tìm I   (tan x  cot x)2 dx . Lời giải 2  1 1  I    tan x  cot x  dx   tan 2 x  2  cot 2 x dx      dx  tan x  cot x  C 2 2  cos x sin x  . https://www.facebook.com/vietgold   PP  Bậc chẵn   Hạ bậc và lấy công thức nguyên hàm. Công thức hạ bậc: sin 2 x  1 1 1 1  cos 2 x và cos 2 x   cos 2 x . 2 2 2 2 (Cần nhớ: Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hai số 1 ; sin là trừ, cos là cộng, cung góc tăng gấp 2 đôi) o) Tìm I   sin 2 xdx . Lời giải 1 1  1 1 Ta có I   sin 2 xdx     cos 2 x  dx  x  sin 2 x  C . 2 4 2 2  p) Tìm I   cos2 xdx . Lời giải 1 1  1 1 Ta có I   cos2 xdx     cos 2 x  dx  x  sin 2 x  C . 2 4 2 2  11 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB q) Tìm I   sin 2 2 xdx . Lời giải 1 1  1 1 Ta có I   sin 2 2 xdx     cos 4 x  dx  x  sin 4 x  C . 2 8 2 2  r) Tìm I   cos2 2 xdx . https://luyenthitracnghiem.vn Lời giải 1 1  1 1 Ta có I   cos2 2 xdx     cos 4 x  dx  x  sin 4 x  C . 2 8 2 2  s) Tìm I   (2  sin 3x)2 dx . Lời giải 2  1 1  Ta có I    2  sin 3x  dx   4  4 sin 3x  sin 2 3x dx    4  4 sin 3x   cos 6 x  dx 2 2      9 4 1 x  cos 3x  sin 6 x  C . 2 3 12 t) Tìm I   (2  cos 2x)2 dx . Lời giải  1 1  Ta có I   (2  cos 2 x)2 dx   4  4 cos 2 x  cos 2 2 x dx    4  4 cos 2 x   cos 4 x  dx 2 2    https://www.facebook.com/vietgold   9 1 x  2 sin 2 x  sin 4 x  C . 2 8 PP  Tích bậc nhất của sin và cos   Áp dụng công thức tích thành tổng. sin a.cos b  1 sin( a  b)  sin( a  b) . 2 1 sin a.sin b   cos( a  b)  cos( a  b)  . 2 cos a.cos b  1 cos( a  b)  cos( a  b) . 2 u) Tìm I   sin 3x cos xdx . Lời giải Ta có I   sin 3x cos xdx   1 1 1 sin 4 x  sin 2x  dx   cos 4x  cos 2 x  C .  2 8 4 12 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB v) Tìm I   sin 4x cos xdx . Lời giải https://luyenthitracnghiem.vn Ta có I   sin 4 x cos xdx   1 1 1 sin 5x  sin 3x  dx   cos 5x  cos 3x  C .  2 10 6 w) Tìm I   sin 3x sin xdx . Lời giải Ta có I   sin 3x sin xdx    1 1 1 cos 4 x  cos 2 x  dx   sin 4 x  sin 2 x  C .  2 8 4 x) Tìm I   sin 2 x sin 4 xdx . Lời giải Ta có I   sin 2 x sin 4 xdx    1 1 1 cos 6 x  cos 2 x  dx   sin 6 x  sin 2 x  C .  2 12 4 y) Tìm I   cos7 x cos xdx . Lời giải https://www.facebook.com/vietgold Ta có I   cos7 x cos xdx   1 1 1 cos 8 x  cos 6x  dx  sin 8x  sin 6 x  C .  2 16 12 z) Tìm I   cos 9x cos xdx . Lời giải Ta có I   cos 9 x cos xdx   1 1 1 cos10 x  cos 8x  dx  sin10x  sin 8 x  C .  2 20 16 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM     Câu 14: Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2x và F    1 . Tính P  F   . 4 6 A. P  5 . 4 C. P  B. P  0 . 1 . 2 Lời giải Chọn D 1 Ta có: F  x    sin 2 x dx   cos 2 x  C . 2   1   F    1   cos  2.   C  1  C  1 . 2 4  4 1   1   3 Suy ra F  x    cos 2 x  1  P  F     cos  2.   1  . 2 2 4 6  6 13 D. P  3 . 4 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Câu 15: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2x  sin x  2 cos x thỏa mãn F  0   1 . A. F  x   x2  cos x  2 sin x  2 . B. F  x   x2  cos x  2 sin x . C. F  x   2  cos x  2 sin x . D. F  x   x2  cos x  2 sin x  2 . Lời giải https://luyenthitracnghiem.vn Chọn D Ta có: F  x     2x  sin x  2 cos x  dx  x2  cos x  2 sin x  C . F  0   1  02  cos 0  2 sin 0  C  1  C  2 . Suy ra F  x   x2  cos x  2 sin x  2 . Câu 16: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin x    2 1 thỏa mãn F    . 2 cos x 4 2 A. F  x    cos x  tan x  C . B. F  x    cos x  tan x  2  1 . C. F  x   cos x  tan x  2  1 . D. F  x    cos x  tan x  2  1 . Lời giải Chọn D  1  Ta có: F  x     sin x   dx   cos x  tan x  C . cos2 x   https://www.facebook.com/vietgold   2   2 F     cos  tan  C   C  2  1. 4 4 2 4 2 Suy ra F  x    cos x  tan x  2  1 . Câu 17: Cho F  x  là một nguyên hàm của f  x   4 cos2 x  5 thỏa mãn F    0 . Tìm F  x  . A. F  x   3x  sin 2x  3 . 4 B. F  x   sin 3 x  5x  5 . 3 4 4 C. F  x   cos3 x  5x   5 . 3 3 D. F  x   3x  sin 2x  3 . Lời giải Chọn A   Ta có: F  x    4 cos2 x  5 dx    2 cos 2x  3  dx  sin 2 x  3x  C . F    0  sin 2  3  C  0  C  3 . Suy ra F  x   3x  sin 2x  3 . Câu 18: Biết rằng F  x    cos2 x dx  ax  b sin 2x  C . Giá trị của a2  b2 bằng 14 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB A. 1 . 2 B. 5 . 16 C. 2 . D. 5 . 4 Lời giải https://luyenthitracnghiem.vn Chọn B Ta có: F  x    cos2 x dx  1 1 1 1  cos 2 x  dx  x  sin 2 x  C .   2 2 4 1 1 5 Suy ra a  ; b   a2  b2  . 2 4 16   sin 2x  cos 2x  a a dx  x  cos 4 x  C , với a , b là các số nguyên dương, là b b phân số tối giản và C  . Giá trị của a  b bằng Câu 19: Biết 2 A. 2 . C. 4 . B. 3 . D. 5 . Lời giải Chọn D Ta có:   sin 2x  cos 2x  2 1 dx    1  sin 4 x  dx  x  cos 4 x  C . 4 Suy ra a  1; b  4  a  b  5 .  Bài toán 4. Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định):. https://www.facebook.com/vietgold Làm quen nhóm công thức mũ  e dx  e x x  a dx  x 1  C    e ax bdx  e ax b  C . a ax 1 a x    C    a x  dx  C . ln a  ln a aa) Tìm I   e 2 xdx. Lời giải I   e 2 xdx  1 2x e C . 2 bb) Tìm I   e12 xdx. Lời giải 1 I   e12 xdx.   e12 x  C . 2 cc) Tìm I   (2x  e x )dx. Lời giải 15 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB I   (2x  e x )dx  x2  e  x  C dd) I   e x (1  3e2 x )dx. Lời giải     I   e x 1  3e2 x dx   e x  3e  x dx  e x  3e  x  C . https://luyenthitracnghiem.vn ee) Tìm I   (3  e x )2 dx. Lời giải  I   3  ex  2   dx   9  6e x  e 2 x dx 1  9 x  6e x  e 2 x  C . 2  ff) Tìm I   2  e 3 x  2 dx Lời giải  I   2  e3 x  2   4 1 dx   4  4e 3 x  e 6 x dx  4 x  e 3 x  e 6 x  C . 3 6 gg) Tìm I   22 x1 dx Lời giải https://www.facebook.com/vietgold 1 2 2 x 1 I   22 x1 dx  . C . 2 ln 2 hh) Tìm I   412 x dx. Lời giải I  4 1 2 x 1 412 x dx.   . C . 2 ln 4 ii) Tìm I   3x.5x dx . Lời giải I   3x.5x dx   15xdx  15x . ln 5 jj) Tìm I   4x.3x1 dx. Lời giải 16 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB I   4 x.3x1 dx   kk) Tìm I   x x 12 1 12 dx  . C . 3 3 ln12 dx . e25 x https://luyenthitracnghiem.vn Lời giải I dx 1   e 5 x2dx  e 5 x2  C . 25 x 5 e ll) Tìm I   dx . 2 3 2 x Lời giải I dx 1   22 x3dx  22 x3  C . 3 2 x 2 2 4 x 1.3x 1 dx. mm) Tìm I   2x Lời giải https://www.facebook.com/vietgold I 4 x1.3x1 4 12 x 4 x 4 6x d x  d x  6 d x  C . 3  2x 3 3 ln 6 2x nn) Tìm I   42 x 1.6 x 1 dx. 3x Lời giải I 42 x1.6 x1 1 96 x 1 32 x d x  d x  . C . 24  3x 24 ln 32 3x CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 3 Câu 20: Biết F( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  e2 x thỏa F(0)   Giá trị của F   bằng 2 2 A. 1 e2. 2 B. 1 e 1. 2 C. 2e  1 . Lời giải Chọn B Ta có:  f  x  dx   e * F 0  17 2x dx  1 2x e C 2 3 1 3  .e 2.0  C   C  1 2 2 2 D. 1 1 e 2 2 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Vậy F  x   1 2x 1 1 e  1  F    e  1. 2 2 2 Câu 21: Một nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x)  2e x  3×2 thỏa F(0)  3 A. 2e x  x 3   2 9 là 2 7 C. e x  x 3   2 5 B. 2e x  x 3   2 9 D. 2e x  x 3   2 https://luyenthitracnghiem.vn Lời giải Chọn B Ta có:  f  x  dx    2e * F 0  x   3×2 dx  2e x  x3  C 9 9 5  2.e 0  03  C   C  2 2 2 5 Vậy F  x   2e x  x 3   2 3  Giá trị của F(2) bằng ln 2 7 8 C. F(2)  . D. F(2)  . ln 2 ln 2 Câu 22: Biết F( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  4 x thỏa F(1)  A. F(2)  9 . ln 2 B. F(2)  3 . ln 2 Lời giải Chọn A  * F 1  f  x  dx   4 x dx  4x 4x C  C ln 4 2 ln 2 https://www.facebook.com/vietgold Ta có: 3 4 3 1  C  C  ln 2 2 ln 2 ln 2 ln 2 4x  2 42  2 9  F  x   F  2   2 ln 2 2 ln 2 ln 2 Câu 23: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  22 x.3x.7 x là 22 x.3x.7 x  C . C. 84x  C . B. ln 4.ln 3.ln 7 84 x C . A. ln 84 D. 84x.ln 84  C . Lời giải Chọn A Ta có:    f  x  dx   22 x.3x.7 x dx    4.3.7  dx   84 x dx  2 84 x C ln 84 e Câu 24: Biết F( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  e3 x1 thỏa mãn F(0)   Tính ln3  3F(1) . 3 A. ln 3 3F(1)  64 . B. ln 3  3F(1)  8 . C. ln 3 3F(1)  81 . D. ln 3  3F(1)  27 . 18 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Lời giải Chọn A https://luyenthitracnghiem.vn Ta có:  f  x  dx   e 3 x1dx  * F 0  e 3 x 1 C 3 e e 3.01 e  C   C  0 3 3 3  F  x  e 3 x 1 e4  F  1   ln 3 3F 1  ln 3 e 4  ln e 4 3 3    Câu 25: Biết một nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x)  4 x.22 x3 thỏa mãn F(0)   3  43  64 2  Tính giá trị của ln 2 3 ln 2.F(1)  biểu thức A   210 A. A  1 . B. A  8 . C. A  16 . D. A  32 . Lời giải Chọn B Ta có:  f  x  dx   4 .2 x 2 x3 dx   2 4 x3 24 x3 dx  C 4 ln 2 https://www.facebook.com/vietgold 2 24.0 3 2  C  C 0 * F 0  ln 2 4 ln 2 ln 2 3  25  3 ln 2.   ln 2.F  1  ln 2  24 x3 25 215   F  x   F  1  A    2 5  32 4 ln 2 ln 2 210 210 210 19 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB DẠNG TOÁN 2: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ (PHÂN SỐ KHÔNG CĂN)  Bài toán 5. Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định): a) Tìm I   3x  1 dx. x1 Lời giải b) Tìm I   3( x  1)  4  4  dx    3  dx  3x  4 ln x  1  C. x1 x  1   https://luyenthitracnghiem.vn Ta có I   2x  1 dx. x 1 Lời giải Ta có I   c) Tìm I   2  x  1  3 x 1  3  dx    2  dx  2x  4 ln x  1  C. x  1   3x  1 dx. x2 Lời giải Ta có I   d) Tìm I   3  x  2  7 x2  7  dx    3  dx  3x  7 ln x  2  C. x  2   4x  3 dx. 2x  1 https://www.facebook.com/vietgold Lời giải Ta có I   e) Tìm I   2  2 x  1  5 2x  1  5  5 dx    2  dx  2 x  ln 2 x  1  C.  2x  1  2  x2 dx. x 1 Lời giải Ta có: I   ( x2  12 )  1 ( x  1)( x  1)  1  1  dx   dx    x  1  dx x 1 x 1 x  1   x2   x  ln x  1  C. 2 x2 dx. f) Tìm I   x1 Lời giải 20  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Ta có: I   “Thành công là nói không với lười biếng” (x  1 )  1 ( x  1)( x  1)  1  1  dx   dx    x  1  dx x1 x1 x  1   2 2 https://luyenthitracnghiem.vn x2   x  ln x  1  C. 2 g) Tìm I   x3 dx. x1 Lời giải Ta có: I   ( x3  13 )  1 ( x  1)( x2  x  1)  1  1  dx   dx    x 2  x  1  dx x1 x1 x  1   x3 x2    x  ln x  1  C. 3 2 x3 dx. h) Tìm I   x2 Lời giải Ta có: I ( x3  23 )  8 ( x  2)( x2  2 x  4)  8  8  dx   dx    x 2  2 x  4  dx x2 x2 x  2   https://www.facebook.com/vietgold x3   x2  4 x  8 ln x  2  C. 3 x2  x  1 dx. i) Tìm I   x2 Lời giải  3  x2 d x   x  3ln x  2  C. Ta có: I    x  1  x  2  2  j) Tìm I   2×2  4x  3 dx. x 1 Lời giải  9  dx  x2  6 x  9 ln x  1  C. Ta có: I    2 x  6   x 1  k) Tìm I   4×2  6 x  1 dx. 2x  1 Lời giải 21 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB  1  1 Ta có: I    2 x  2  dx  x2  2 x  ln 2 x  1  C.  2x  1  2  l) Tìm I   3x 2  2 x  1 dx. x 1 Lời giải u  u dx   ln u  Nhớ. m) Tìm I   https://luyenthitracnghiem.vn  4  3 Ta có: I    3x  5  dx  x 2  5x  4 ln x  1  C.  x 1 2   dx  ln u  C 4x  2 dx . x2  x  4 Lời giải    2 x2  x  4 2  2 x  1 4x  2 dx Ta có: I   2 dx   2 dx   x2  x  4 x x4 x x4      2 ln x2  x  4 dx  2ln x2  x  4  C . n) Tìm I   6x  1 dx . 3×2  x  4    3x 2  x  4 6x  1  dx   ln 3×2  x  4 dx  ln 3×2  x  4  C . Ta có: I   2 dx   2 3x  x  4 3x  x  4 o) Tìm I     5x  4 dx . 2×2  x  6 Lời giải Áp dụng f  x   ax2  bx  c  a  x  x1  x  x2  với x1 , x2 là hai nghiệm của f  x   0 ta được:  5x  4 2 a  2 x  3  x2 5x  4 5x  4 5x  4 a b     với  . 2 5x  4  3   x  2  2 x  3  x  2 2 x  3 2x  x  6  2  x  2  x   b 1  2 x  2 x3   2 22 https://www.facebook.com/vietgold Lời giải “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Khi đó, ta có Lời giải sau: I    2 5x  4 1   dx    dx 2 2x  x  6  x  2 2x  3  1  2 ln x  2  ln 2 x  3  C . 2 https://luyenthitracnghiem.vn p) Tìm I   1  x  1 x  3  dx . Lời giải  1 1  a   x  3 x 1 4 1 a b Ta có: với  .    x  1 x  3 x  1 x  3 b  1 1   x 1 4 x   3  Khi đó: I   1 1 1  1  dx     dx  ln x  1  ln x  3  C 4  x 1 x  3  4  x  1 x  3   1  x 1 1  ln C . 4 x3 q) Tìm I   1 dx .  2x  4  x  5  https://www.facebook.com/vietgold Lời giải  1 1  a   x  5 x2 7 1 a b Ta có: với  .    2x  4  x  5 2x  4 x  5 b  1 1   2x  4 14 x   5  Khi đó: I    1 1 1  1 1  ln x  2  ln x  5  C dx     dx  14  x  2 x  5  14  2x  4  x  5   x2 1 ln C . 14 x  5 r) Tìm I   1 dx . x  4x 2 Lời giải  1 1  a  4 a b 1 1  x  4 x0   Ta có: 2 với  .  x  4x x  x  4  x x  4 1 b  1   x 4 x  4  23  Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Khi đó: I   1 1 1 x4 1 1 1   dx  ln x  4  ln x  C  ln C . dx    4  x4 x  4 4 x x  4x  2  4x  5 dx . x x2 s) Tìm I   2 Lời giải Khi đó: I   https://luyenthitracnghiem.vn  4x  5 3 a  x  2 x  1  4x  5 4x  5 a b    Ta có: 2 với  . x  x  2  x  1 x  2  x  1 x  2 4 x  5 b  1  x  1 x2   3 4x  5 1   dx     dx  3ln x  1  ln x  2  C . x x2  x 1 x  2  2 4 x  11 dx . x  5x  6 t) Tìm I   2 Lời giải  4 x  11 3 a  x  3 x  2  4 x  11 4 x  11 a b    Ta có: 2 với  x  5x  6  x  2  x  3  x  2 x  3 b  4 x  11 1  x  2 x  3  https://www.facebook.com/vietgold u) Tìm I   1 dx . x  x  1 2 Lời giải a b c  Ta có: I     2   dx x x  1 x   với a   1  d  1  1     1; b    1; c 2 dx  x  1  x  0 x  x  1  x0 1 x 1  1 x 1 1 1 1 1   2  dx  ln x  1  ln x   C  ln  C . Nên I    x x x  x 1 x x  v) Tìm I   2  x  2   x  1 2 dx . Lời giải 24 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Ta có: I   https://luyenthitracnghiem.vn với a    1   2 d x   x  2 2 x  1  dx  2 x  2 x  1        2  a b c   2     x  2 x  2 2 x  1  dx .       1  d  1  1 1 1  1  b      ; ; c   .     2   x  2  dx  x  1  x  2 3 9 9  x  1  x  2   x 1 Khi đó: I     1 1 1   dx  2   d x  2 2  9 x  1 9 x  2     3  x  2    x  2   x  1  2 x 1 2 2 1 2 1  ln x  1  ln x  2   C  ln  C . 9 9 9 x  2 3  x  2 3  x  2 DẠNG TOÁN 3: NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN  Định lý: Nếu hai hàm số u  u  x  và v  v  x  có đạo hàm và liên tục trên K thì I   u  x  v  x  dx  u  x  v  x    v  x  u  x  dx hay I   udv  uv   vdu .  Vận dụng giải toán: Nhận dạng: Tích hai hàm nhân khác nhau, ví dụ:  e x sin xdx,  x ln xdx,… u  ……… du  ……dx  + Đặt  . Suy ra I   udv  uv   vdu . dv  ……dx v  ……… https://www.facebook.com/vietgold + Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv  phần còn lại. + Lưu ý: Bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm. + Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi. Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định):  Bài toán 6. Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định): a) Tìm I    x  1 sin xdx . Lời giải v/ p   du  dx u  x  1 Chọn  . n/ h  dv  sin xdx  v   cos x Suy ra I    x  1 cos x   cos xdx    x  1 cos x  sin x  C . b) Tìm I   x ln xdx . Lời giải  1 v/ p u  ln x  du  x dx Chọn  . 1 n / h 2 dv  xdx  v  x  2 25  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Suy ra I  Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm 1 1 2 1 1 x ln x   xdx  x2 ln x  x2  C . 2 2 4 2 c) Tìm I   xe xdx . Lời giải https://luyenthitracnghiem.vn v/ p   du  dx u  x Chọn  . n/ h x x d v  e d x  v  e   Suy ra I  xe x   e xdx  xe x  e x  C  e x  x  1  C . d) Tìm I   xe  xdx . Lời giải v/ p   du  dx u  x Chọn  . x x n/ h d v  e d x  v   e   Suy ra I  xe  x   e  xdx  xe  x  e  x  C  e  x  x  1  C . e) Tìm I   x dx . sin 2 x Lời giải Suy ra I  x cot x   cot xdx   x cot x   f) Tìm I   https://www.facebook.com/vietgold v/ p u  x  du  dx  Chọn  . 1 n/ h dx  v   cot x dv  2 sin x  1 d  sin x   x cot x  ln sin x  C . sin x x dx . cos 2 x Lời giải v/ p u  x  du  dx  Chọn  . 1 n/ h d x  v  tan x dv  cos 2 x  Suy ra I  x tan x   tan xdx  x tan x   1 d  cos x   x tan x  ln cos x  C . cos x  Cần nhớ: 1)  tan xdx   ln cos x  C . 2)  cot xdx  ln sin x  C . g) Tìm I   ln xdx Lời giải 26 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB  1 u  ln x du  dx 1 Đặt   x  I  x ln x   x. dx  x ln x  x  C. x dv  dx v  x  h) Tìm I    2x  1 ln xdx https://luyenthitracnghiem.vn Lời giải  1  u  ln x du  dx Đặt   x  dv   2 x  1 dx v  x 2  x     I  x  x ln x   2     1 x2 2 x  x . dx  x  x ln x   x  C. x 2 2 i) Tìm I   x sin x cos xdx Lời giải du  dx u  x 1  Ta có I   x sin 2 xdx . Khi đó, đặt  .  1 2 dv  sin 2 xdx v   cos 2 x  2 1 1 1  1 1 Suy ra I    x cos 2 x   cos 2 xdx    x cos 2 x  sin 2 x  C . 2 2 2 4 8    https://www.facebook.com/vietgold j) Tìm I   x 2 cos2 x  1 dx Lời giải   Ta có: I   x 1  cos 2x  x  dx   x2  x dx   x cos 2xdx du  dx u  x x3 x2 x 1  Đặt    I    sin 2 x   sin 2 xdx 1 3 2 2 2 dv  cos 2 xdx v  sin 2 x  2 I x3 x2 x 1   sin 2 x  cos 2 x  C . 3 2 2 4 k) Tìm I   e x sin xdx Lời giải u  e x du  e x dx   I  e x cos x   e x cos xdx  e x cos x  I1 . Đặt  dv  sin xdx v   cos x u  e x du  e x dx   I1  e x sin x   e x sin xdx  e x sin x  I . Đặt  dv  cos xdx v  sin x   27 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB ex Suy ra: I  e cos x  e sin x  I  I   sin x  cos x   C . 2 x x l) Tìm I   e x cos xdx Lời giải https://luyenthitracnghiem.vn u  e x du  e x dx   I  e x sin x   e x sin xdx  e x sin x  I1 . Đặt  dv  cos xdx v  sin x   u  e x du  e x dx   I1  e x cos x   e x cos xdx  e x cos x  I . Đặt  dv  sin xdx v   cos x ex Suy ra: I  e cos x  e sin x  I  I   sin x  cos x   C . 2 x x    1  m) Tìm I    1   ln x  x  1 dx  2 x Lời giải  1  Đặt t  x  x  dt   1   dx  I   ln 1  t  dt .  2 x  1  dt t u  ln  1  t  du  Đặt   dt  t ln  1  t   t  ln  1  t   C 1  t  I  t ln  1  t    1  t dv  dt  v  t          https://www.facebook.com/vietgold   I  x  x ln x  x  1  x  x  ln x  x  1  C . n) Tìm I    ln 4 x 2  8 x  3  x  1 3  dx Lời giải Đặt   ln 4  x  1  1 ln  4t  1 dt t   x  1  dt  2  x  1 dx  dx  I dx   dt . 3 2  x  1 2t 2  x  1 2 2 u  ln  4t  1 du  4 dt  2  4t  1  I   ln  4t  1   dt Đặt  1  1 2 t t 4 t  1   dv  dt  v   2t 2   2t  I ln  4t  1 2t ln  4t  1  1 1 4t  1  8    dt    8 ln C 2t 4t  4t  1 4t  28  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB I  ln 4 x 2  8 x  3 2  x  1   8 ln 4x “Thành công là nói không với lười biếng” 2  8x  3 4  x  1 2 https://luyenthitracnghiem.vn o) Cho F  x   ln x là một nguyên hàm của 2  C. f  x x3 . Tìm nguyên hàm của f   x  ln x . Lời giải f  x 1 f  x Áp dụng định nghĩa F ‘( x)  f ( x), Ta có:  ln x   3   3  f  x   x2 x x x Ta tìm I   f   x  ln xdx .  1 u  ln x  du  dx Chọn  x dv  f   x  dx  v  f  x   x 2  1 x2 2 2  I  x .ln x   x . dx  x ln x   x dx  x ln x   C x 2 2 Vậy  2 x2 f   x  ln xdx  x ln x   C 2 2 p) Cho F  x   ln x là một nguyên hàm của f  x x2 . Tìm nguyên hàm của f   x  ln x . https://www.facebook.com/vietgold Lời giải f  x 1 f  x Áp dụng định nghĩa F ‘( x)  f ( x), Ta có:  ln x   2   2  f  x   x x x x Ta tìm I   f   x  ln x dx .  1  u  ln x du  dx Chọn   x  dv  f   x  dx v  f  x   x  1  I  x ln x   x. dx  x ln x   dx  x ln x  x  C . x Vậy  f   x  ln x dx  x ln x  x  C q) Cho F  x   f  x 1 là một nguyên hàm của . Tìm nguyên hàm của f   x  ln x . x2 x3 Lời giải f  x  1  f  x  3 3 Áp dụng định nghĩa F ‘( x)  f ( x), Ta có:  3   2   4  2  f  x    2 x x x x x  29 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Ta tìm I   f   x  ln xdx .  1 du  x dx u  ln x Chọn   dv  f   x  dx v  f  x   3  x2 I  f   x  ln x dx   x 3 r) Cho F  x   2 ln x  https://luyenthitracnghiem.vn Vậy 3 3 1 3 1 3 3 ln x   2 . dx   2 ln x  3 3 dx   2 ln x  2  C . 2 x x x x x x 2x 3 C 2 x2 f  x 1 là một nguyên hàm của . Tìm nguyên hàm của x4  x3 f ‘( x) . 2 x x   Lời giải f  x  1  f  x  2 2  3  Áp dụng định nghĩa F ‘( x)  f ( x), Ta có:  2    f  x   2 x x x x x    Ta tìm I   x4  x3 f   x  dx .   du  4 x 3  3x 2 dx u  x 4  x 3   Chọn  2 dv  f   x  dx  v  f  x   2 x      Vậy x 4 https://www.facebook.com/vietgold 2 4 2 x  x 3   2 . 4 x 3  3x 2 dx  2 x 2  2 x    8 x  6  dx  2 x x 2 2  2 x  2 x  4 x  6 x  C  2 x 2  4 x  C I   x3 f   x  dx  2×2  4x  C s) Cho F  x   x2 là một nguyên hàm của f ( x).e 2 x . Tìm nguyên hàm của e 2 x . f ‘( x) . Lời giải    f (x).e Áp dụng định nghĩa F ‘( x)  f ( x), Ta có: x2 2x  2x  f ( x).e 2 x  f  x   2x.e 2 x Ta tìm I   e 2 x f   x  dx . 2x 2x   u  e du  2.e dx  Đặt  2 x  dv  f   x  dx   v  f  x   2 xe  I  2xe 2 x .e 2 x   4x.e 2 x .e 2 xdx  2x   4xdx  2×2  2x  C Vậy  e 2 x f   x  dx  2×2  2x  C 30 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB t) Cho F  x   x.e x là một nguyên hàm của f ( x).e 2 x . Tìm nguyên hàm của e 2 x f ‘( x) . Lời giải  https://luyenthitracnghiem.vn Áp dụng định nghĩa F ‘( x)  f ( x), Ta có:  x.e x   f (x).e 2x   ( x  1) e x  f ( x).e 2 x  f ( x)   ( x  1).e  x Ta tìm I   e 2 x f ‘( x).dx 2x u  e 2 x du  2e dx  Chọn  x dv  f ‘( x) dx v  f ( x)   ( x  1).e Suy ra I  ( x  1)e x  2  ( x  1)e xdx  ( x  1)e x  2 I1 Tìm I1   ( x  1)e x dx u  x  1 du1  dx  Chọn  1  x x dv1  e dx v1  e  I   ( x  1)e x  2I1   ( x  1)e x  2 ( x  1).e x   e xdx   ( x  1)e x  C   Vậy  e 2 x f ‘( x).dx  ( x  1)e x  C https://www.facebook.com/vietgold DẠNG TOÁN 4: NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN SỐ  Định lí: Cho  f (u)du  F(u)  C và u  u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì  f u( x) u( x)dx  F u( x)  C. Có sẵn Tách từ hàm Nhân thêm Một số dạng đổi biến thường gặp PP  I  f ( ax  b)n .x dx   t  ax  b  dt  a dx   m   xn  PP n 1 n   I    n 1  dx  t  x  1  dt  (n  1)x dx , với m, n  .   ax  1   PP 2 n 2  I   f ( ax  b) .x dx  t  ax  b  dt  2ax dx PP  I   n f ( x). f ( x)dx   Đặt t  n f ( x)  t n  f ( x)  nt n1 dt  f ( x)dx.  1  1 t  ln x  dt  dx  I   f (ln x) x dx  x PP     Đặt   I  f ( a  b ln x) 1 dx t  a  b ln x  dt  b dx    x x 31 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB t  e x  dt  e xdx   I   f (e ).e dx  Đặt  x x t  a  be  dt  be dx x x PP t  cos x  dt   sin x dx PP   I   f (cos x).sin x dx   Đặt  t  a  b cos x  d t   b sin x d x   I   f (tan x) dx 1 PP   Đặt t  tan x  dt  dx  (1  tan 2 x)dx. 2 cos x cos2 x  I   f (cot x) dx dx PP   Đặt t  cot x  dt    (1  cot 2 x)dx. 2 2 sin x sin x https://luyenthitracnghiem.vn t  sin x  dt  cos x dx PP   I   f (sin x).cos x dx   Đặt  t  a  b sin x  d t  b cos x d x  t  sin 2 x  dt  sin 2 x dx   I   f (sin x; cos x).sin 2 x dx  Đặt  2 t  cos x  dt   sin 2 x dx 2 2 PP PP  I   f (sin x  cos x).(sin x cos x)dx   Đặt t  sin x  cos x.  Lưu ý: Sau khi đổi biến và tính nguyên hàm xong, ta cần trả lại biến cũ ban đầu là x.  Nhóm 1.  https://www.facebook.com/vietgold PP  I  f  ax  b n .xdx   t  ax  b  dt  adx   m  n   PP n 1 n I   x  dx  t  ax  1  dt  a  n  1 x dx , khi m, n  Z .    axn1  1   n PP  I   f ax 2  b .xdx   t  ax 2  b  dt  2axdx    Bài toán 7. Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định): a) Tìm I   x 1  x  2018 dx. Lời giải v/ p Đặt t  1  x  x  1  t  dx  dt Khi đó: I   1  t  t 2018dt    t  1t 2018dt   t 2019 t 2018  t 2020 t 2019 dt   C 2020 2019 1  x  Suy ra I  2020 2020 b) Tìm I   x 1  x  2019 1  x   2019 2019  C. dx. 32 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Lời giải v/ p Đặt t  1  x  x  t  1  dx  dt Khi đó: I    t  1 t 2019 dt https://luyenthitracnghiem.vn     t 2020  t 2019 dt  t 2021 t 2020  C 2021 2020 1  x  Suy ra I  1  x   2021 2021   2020 2020  C. 5 c) Tìm I   x x2  1 dx. Lời giải dt 2 v/ p Đặt t  1  x2  dt  2 xdx  xdx  t6 1 5 C Khi đó: I   t dt  12 2 x Suy ra I  2  1 6  C. 12 d) Tìm I   x2  x  1 dx. https://www.facebook.com/vietgold 9 Lời giải v/ p Đặt t  x  1  x  t  1  dx  dt   Khi đó: I    t  1 t 9dt   t 11  2t 10  t 9 dt 2 t 12 2t 11 t 10    C 12 11 10  x  1 Suy ra I  12 12 e) Tìm I   2  x  1 11  11  x  1  10 10 C . xdx x2  2 Lời giải   2 x x d x 2 I 2 dx   2 . 2x x 2 x 2 . 1  ln x 2  2  C 2  33  Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB f) Tìm I   xdx  x  1 5 Lời giải v/ p Đặt t  x  1  x  t  1  dx  dt  t 1 dt t5 https://luyenthitracnghiem.vn Khi đó: I   1 1  4 C 3 3t 4t Suy ra I   g) Tìm I   1 3  x  1 3  1 4  x  1 4 C . x 5dx . x2  1 Lời giải Ta có I   x5dx x 4 .xdx  x2  1  x2  1 1 v/ p Đặt t  x2  1  x2  t  1  xdx  dt 2 Khi đó: I  https://www.facebook.com/vietgold  1 (t  1)2 1  1 dt    t  2  dt  2 t 2  t ln t t2 t  C 4 2 x Suy ra I  2  1 4 2    x 1  2   C . ln x2  1 2 x 4 dx h) Tìm I   10 . x 4 Lời giải 1 v/ p Đặt t  x5  x 4 dx  dt 5 Khi đó: I   1 1 1  1 1  dt   dt    5  t  2  t  2  20  t  2 t  2  1 t2 ln C 20 t  2 34 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Suy ra I  i) Tìm I   1 x5  2 ln 5 C . 20 x  2 x 5dx  x2  1 https://luyenthitracnghiem.vn Lời giải vp  2xdx  dt Đặt t  x2  1  x2  t  1   xdx  1 dt. Khi đó: 2 I    t  1  2 1 1 1  1  dt    t  2   dt 2 t 2  t t2 1  t  ln t  C 4 2 x  2 1 4 j) Tìm I    2   1  x 2  1  ln x 2  1  C. 2 x4dx  x10  4 Lời giải https://www.facebook.com/vietgold Đặt t  x5  5×4 dx  dt  x 4 dx  dt 5 Khi đó: 1 dt 1  1 1    dt    2 5 t  4 20  t  2 t  2  1 t2  ln C 20 t  2 I  1 x5  2 ln 5  C. 20 x  2 k) Tìm I   ( x  1)2017 dx. (2 x  3)2019 Lời giải 2017  x1  1 Ta có: I     dx.  (2 x  3)2  2x  3  x1 1  dt  dx. Đặt t  2x  3 (2 x  3)2 Khi đó: I   t 2017 t 2018 dt  C 2018 1  x1    2018  2 x  3  35 2018  C. Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB l) Tìm I   5 x dx  ( x  1)7 Lời giải 5 Khi đó: I   t 5dt  https://luyenthitracnghiem.vn  x  1 Ta có: I     dx.  2  x  1  ( x  1) x 1  dt  dx. Đặt t  x1 ( x  1)2 t6 C 6 6 1  x     C. 6  x  1  m) Tìm I   (7 x  1)99 dx  (2 x  1)101 Lời giải 99  7x  1  1 Ta có: I     dx.  2  2 x  1  (2 x  1) 7x  1 9  dt  dx. Đặt t  2x  1 (2 x  1)2 dt t 100  C 9 900 Khi đó: I   t 99 n) Tìm I   https://www.facebook.com/vietgold 100 1  7x  1    900  2 x  1   C. x 2001dx  (1  x2 )1002 Lời giải 1000  x2  Ta có: I    2   x 1  x dx. ( x  1)2 2 Đặt t  x2  dt  2 x.dx  x.dx  1000  t  Khi đó: I      t 1 Đặt u  . 1  t  1 2 dt 2 dt 2 t 1  du  dt. t 1 (t  1)2 36 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB  I   u1000 . https://luyenthitracnghiem.vn  x2   2  x 1   2001 du u1001  C 2 2002 1001  C.  Nhóm 2. Hai công thức thường được sử dụng là:  dx  ax  b 2 ax  b  C và a  ax  bdx  2 3a  ax  b  3 C .  Bài toán 8. Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định): a) Tìm I   4 x x2  3 dx . Lời giải Đặt t  x2  3  t 2  x2  3 .  2tdt  2xdx 4 Lúc đó: I   4t 2 dt  t 3  c . 3 3 4 4 Vậy I  x2  3  x2  3 3 3     x2  3  c . b) Tìm I   x 2020  xdx . https://www.facebook.com/vietgold Lời giải Đặt t  2020  x  t 2  2020  x  2tdt  dx     Lúc đó: I    2020  t 2 .t.2t dt   2t 4  4040t 2 dt  Vậy I  c) Tìm I   2  2020  x  5  5 dx x x2  4 4040  2020  x 3  2t 5 4040t 3  c 5 3 3 c. . Lời giải Đặt t  x2  4  t 2  x2  4  2tdt  2xdx . I x x2 x2  4 dx     1 4 1 8 1 8  dt      dt  t2 t2 t2  4 t  t 1  1 1 1   ln t  ln t  2  ln t  2  c . 4 8 8 1 1 1 Vậy I   ln x2  4  ln x2  4  2  ln 4 8 8 37 x2  4  2  c . Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB d) Tìm I   dx x x2  9 . Lời giải Đặt t  x2  9  t 2  x2  9  2tdt  2xdx . x x2 x2  9 dx     1 9 1 18 1 18  dt       dt t3 t3 t 9 t  t 1 2  1 1 1   ln t  ln t  2  ln t  2  c . 9 18 18 1 1 1 Vậy I   ln x2  9  ln x2  9  2  ln 9 18 18 https://luyenthitracnghiem.vn I x2  9  2  c . e) Tìm I   e x 5  e x dx . Lời giải Đặt t  5  e x  t 2  5  e x  2tdt  e xdx 2 I   e x 5  e x dx   t.  2t  dx    2t 2dt   t 3  c . 3 3 2 Vậy I   5  ex  c . 3   f) Tìm I   sin x 2018  cos xdx . https://www.facebook.com/vietgold Đặt t  2018  cos x  t 2  2018  cos x  2tdt   sin xdx 2 I   t.  2t  dx    2t 2dt   t 3  c . 3 Vậy I   g) Tìm I    2018  cos x  c. 3 xdx x  x2  1 Lời giải Ta có: I   x( x  x 2  1)dx ( x  x2  1)( x  x 2  1) x2  x x2  1  2 dx x  ( x 2  1)  x2  x x2  1 dx x 2  ( x 2  1) 38 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB   ( x2  x x2  1)dx   x2 dx   x x2  1dx https://luyenthitracnghiem.vn  x3 A 3 Tính A ? t  x2  1  tdt  xdx 1 1 Ta có  x x2  1dx   t 2 dt  t 3  C  3 3 x x3 1  3 3 Vậy I  2  x 2  3 1 C . 3  1  C. x3dx h) Tìm I   x4  1  x2 Lời giải Đặt I   https://www.facebook.com/vietgold   x3dx x4  1  x2 x 3 ( x 4  1  x 2 )dx ( x4  1  x2 )( x4  1  x2 ) x3 x4  1  x5 dx ( x 4  1)  x 4   ( x3 x4  1  x5 )dx   x5dx   x3 x4  1dx  x6 B 6 Tính B ? Đặt t  x4  1  tdt  2x3dx Ta có  x3 x4  1dx  Vậy I  i) Tìm I   39 x6 1  6 6 x 4 1 2 1 1 t dt  t 3  C   2 6 6  3 1 C dx ( x  1) x  x x  1 x 4  3 1 C . Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Lời giải I x x1 x1  x   x  1  x  dx x  1  x  1  x  x  1  x  x   https://luyenthitracnghiem.vn   ( x  1) x  x x  1 dx   dx  x  1  x dx x x1 dx x  dx x1  2 x 2 x1 C . j) Tìm I   dx x x  3  ( x  3) x Lời giải I  x x  3  ( x  3) x dx x x3  x  x3  x x3 x  x  https://www.facebook.com/vietgold  dx   x  3  x  3 dx x  x3   x  3  x dx  1 3   1  dx dx     3  x x3  1  dx dx     3  x x3  1  2 x  2 x  3 C .  3  x x3  Nhóm 3. 40 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB 1 1 +Nếu: I   f  ln x  . dx Đặt: t  ln x  dt  dx x x 1 b + Nếu: I   f  a  b ln x  . dx Đặt: t  a  b ln x  dt  dx x x https://luyenthitracnghiem.vn  Bài toán 9. Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định): a) Tìm I   2  ln x dx . x Lời giải Đặt: t  2  ln x  dt  2 t2 1  C   2  ln x   C . 2 2 Khi đó: I   tdt  b) Tìm I   1 dx x ln 2 x dx . x https://www.facebook.com/vietgold Lời giải Đặt t  ln x  dt  1 dx x Suy ra: I   t 2 dt  t3 ln 3 x C  C . 3 3 c) Tìm I   1  ln x dx . x Lời giải Đặt: t  ln x  dt  1 dx x t2 ln 2 x C . Suy ra I    1  t  dt  t   C  ln x  2 2 1  ln 4 x dx . d) Tìm I   x Lời giải Đặt: t  ln x  dt  Khi đó: I   e) Tìm I   41  1 dx x  t5 ln 5 x 1  t dt  t   C  ln x  C . 5 x 4 3ln x  1 dx . x ln x Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Lời giải d  ln x  3 1  dx dx dx  3    3 d  ln x     3ln x  ln ln x  C . Ta có: I      x x ln x ln x  x x ln x  f) Tìm I   ln x x  2  ln x  2 dx . Đặt t  2  ln x  dt  Khi đó: I   https://luyenthitracnghiem.vn Lời giải 1 dx , ta có: ln x  t  2 x t2 1 2  2 2 dt     2  dt  ln t   C  ln 2  ln x  C . 2 t 2  ln x t t t   Nhóm 4. t  e x  dt  e xdx  Tìm I   f (e ).e dx  Đặt  x x t  a  be  dt  be dx x x PP  Bài toán 10. Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định): a) Tìm I   dx . e 3 x Lời giải v/ p Đặt t  ex  3  ex  t  3   dt  e xdx .  https://www.facebook.com/vietgold Khi đó: I   dx e xdx  . e x  3  e x (e x  3) dt 1 t3 1 ex  ln  C  ln x C . t(t  3) 3 t 3 e 3 b) Tìm I   dx . e 4 x Lời giải v/ p Đặt t  ex  4  ex  t  4   dt  e xdx . dx e xdx  Khi đó: I   x . e  4  e x (e x  4)  dt 1 t4 1 ex  ln  C  ln x C . t(t  4) 4 t 3 e 4 c) Tìm I   e xdx . ex  1 42 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Lời giải v/ p Đặt t  ex  1  dt  e xdx . https://luyenthitracnghiem.vn Khi đó: I    e xdx . ex  1 dt  ln t  C  ln e x  1  C . t e xdx d) Tìm I   x . e 8 Lời giải v/ p Đặt t  ex  8  dt  e xdx . Khi đó: I    e xdx . ex  8 dt  ln t  C  ln e x  8  C . t e) Tìm I   dx . e  2e  x  3 x https://www.facebook.com/vietgold Lời giải Ta có I   e x dx e x dx dx   . e x  2e  x  3  e 2 x  3e x  2  e x  1 e x  2   v/ p Đặt t  ex  dt  exdx . Khi đó: I   f) Tìm I   dt t2 ex  2  ln  C  ln x C . t 1 e 1  t  1 (t  2) e xdx . ex  e x Lời giải e 2 x dx e xdx Ta có I   x .  e  e x  e2 x  1 v/ p Đặt t  e 2 x  1  Khi đó: I  g) Tìm I   43 dt  e 2 xdx . 2 1 dt 1 1  ln t  C  ln e 2 x  1  C .  2 t 2 2 e 2 xdx ex  1 .  Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Lời giải Đặt t  e x  1 . v/ p t 2  ex  1  2tdt  exdx Khi đó: I   2 ex  1     ex  1 ex  1   t3  2  t  1 dt 2   t   C  2   ex  1   C .   3 3     1 2tdt  t h) Tìm I   . https://luyenthitracnghiem.vn  t e x .e xdx e 2 xdx 2  . 3  ex Lời giải Đặt t  3+e x . v/ p t 2  3  ex  2tdt  exdx Khi đó: I    t 2 e x .e xdx 3+e x   3 2tdt t    3+e x 3+e x   t3  2  t  3 dt 2   3t   C  2   3 3+e x   C .   3 3     2  https://www.facebook.com/vietgold i) Tìm I   e 2 xdx .  ex  1 Lời giải Đặt t  e x  1  dt  Ta có: I   e 2 xdx e 1 x  ex 2 e 1 x e x .e xdx e 1 x dx ; e x  t 2  1 .     t 2  1 .2dt . 2  I  t 3  2t  C . 3 I 2 3   3 ex  1  2 ex  1  C . * Đặt t  e x  1  t 2  e x  1  2t dt  e x dx 44  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB I https://luyenthitracnghiem.vn j) Tìm I   e x .e x dx e 1 x e 2 xdx 3e x  t 2 “Thành công là nói không với lười biếng”   1 .2t dt     t 2  1 .2 dt t  Lời giải Đặt t  3  e x  dt= e 2 xdx Ta có: I   3e  I  2 3 t  6t  C . 3 Vậy I  2 3  2 3e 3e  6 3 x e x .e x dx  x 3  ex ex x dx ; t 2  3  e x .     t 2  3 2 dt . 3  ex  C . * Đặt t  3  e x  t 2  3  e x  2t dt  e x dx https://www.facebook.com/vietgold I e x .e x dx 3e x  I 2 3 t  6t  C 3 I 2 3  3  ex t 2  6 3   3 .2t dt t     t 2  3 .2 dt 3  e x  C.  Nhóm 5. Nhóm đổi biến hàm số lượng giác  Bài toán 11. Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định): a) Tìm I   sin 3 x dx. Lời giải I   sin2 x.sin xdx   (1  cos2 x)sin xdx . Đặt t  cos x  dt   sin xdx Ta có: I     t3 1  t  dt   t   C . 3 2 1 Vậy: I   cos x  cos3 x  C. 3 45 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB b) Tìm I   cos3 x dx. Lời giải   I   cos2 x.cos x dx   1  sin 2 x cos x dx . Đặt t  sin x  dt  cos x dx .   https://luyenthitracnghiem.vn 1  I   1  t 2 dt  t  t 3  C . 3 1 Vậy I  sin x  sin 3 x  C . 3 c) Tìm I   cos2017 x sin x dx. Lời giải Đặt t  cos x  dt  sin xdx  I    t 2017 dt   I 1 2018 t C . 2018 1 cos2018 x  C . 2018 d) Tìm I   sin2019 x cos x dx . Lời giải https://www.facebook.com/vietgold Đặt t  sin x  dt  cos x dx .  I   t 2019 dt  I 1 2020 t C . 2020 1 sin 2020 x  C . 2020 e) Tìm I   (1  2 sin x)cos x dx . Lời giải Đặt t  sin x  dt  cos x dx .  I   1  2t  dt  t  t 2  C  I  sin x  sin2 x  C . f) Tìm I   sin 2x cos2 x dx . Lời giải 46  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng” Ta có: I   sin 2x cos2 x dx   2 sin x cos x cos2 x dx  2 sin x cos3 x dx . Đặt t  cos x  dt   sin xdx . https://luyenthitracnghiem.vn 1  I    2t 3 dt   t 4  C . 2 1  I   cos4 x  C . 2 g) Tìm I   sin x dx . 2  cos x Lời giải Đặt t  2  cos x  dt   sin xdx I dt   ln t  C . t  I   ln 2  cos x  C . h) Tìm I   cos x dx . 9  2 sin x Lời giải https://www.facebook.com/vietgold Đặt t  9  2sin x  dt  2cos x dx . I 1 1 dt   ln t  C . 2t 2 1  I   ln 9  2 sin x  C . 2 i) Tìm I   cos xdx  6  5sin x  sin 2 x Lời giải Đặt t  sin x  dt  cos xdx . I dt 6  5t  t 2   1    dt   t  2  t  3      1 1      dt t3 t2  ln t  3  ln t  2  C  ln sin x  3  ln sin x  2  C 47  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB j) Tìm I   Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm sin xdx  cos 2 x  3cos x  2 Lời giải sin xdx cos 2 x  3 cos x  2 sin xdx  Đặt t  cos x  dt   sin xdx . 2 2 cos x  1  3 cos x  2 sin xdx   2 2 cos x  3 cos x  1 I   https://luyenthitracnghiem.vn I   dt 2t  3t  1 2 1 dt  2t  1 t  1  2 1       dt  2t  1 t  1    ln 2t  1  ln t  1  C   ln 2 cos x  1  ln cos x  1  C k) Tìm I   dx  cos x Lời giải dx cos x.dx .  cos x cos2 x https://www.facebook.com/vietgold I Đặt t  sin x  dt  cos xdx . I dt 1 1  1 1   dt     dt 2 1t 1  t 1  t  2  1  t 1  t   1 ln 1  t  ln 1  t   C  2  1 ln 1  sin x  ln 1  sin x   C .  2 l) Tìm I   dx  sin x Lời giải I dx sin xdx .  sin x sin 2 x Đặt t  cos x  dt   sin xdx . 48 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB I   https://luyenthitracnghiem.vn  dt dt 1  2  dt 2 1t t 1  t  1 t  1 1  1 1   dt   2  t  1 t  1  1 ln t  1  ln t  1   C  2 1  ln cos 1  ln cos 1   C 2  m) Tìm I   dx sin x  3 cos x  Lời giải https://www.facebook.com/vietgold I dx sin x  3 cos x  1 dx  2 1 3 sin x  cos x 2 2  1 2 dx   sin  x   6   1 2 dx x   x   2 sin    cos     2 12   2 12  1 dx 1 1 2   . 2 x   x   tan    cos 2     2 12   2 12    x   d  tan     1  2 12      2 x   tan     2 12  = 1 x   ln tan     C . 2  2 12  n) Tìm I   dx cos x  3 sin x  Lời giải I   49 dx 3 sin x  cos x  1 dx  2 3 1 sin x  cos x 2 2 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB  1 2 dx 1 x     ln tan     C 2    2 12  sin  x   6  o) Tìm I   tan x dx. cos 2 x Lời giải https://luyenthitracnghiem.vn I tan x 1 dx   tan x. dx . 2 cos x cos2 x Đặt t  tan x  dt  1 dx . cos2 x t2 tan 2 x I   tdt   C  C . 2 2 p) Tìm I   cot x dx. sin 2 x Lời giải I cot x 1 dx   cot x. dx. 2 sin x sin 2 x Đặt t  cot x  dt   q) Tìm I   t2 cot 2 x C   C . 2 2 https://www.facebook.com/vietgold I    tdt   1 dx sin 2 x (1  tan x)2 dx. cos2 x Lời giải Đặt t  1  tan x  dt  1 dx cos2 x 1  tan x   C t3  I   t dt   C  3 3 3 2 r) Tìm I   (2  cot x)2 dx. sin 2 x Lời giải Đặt t  2  cot x  dt  1 dx sin 2 x 50 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB  2  cot x   C t3 C  3 3 3  I   t 2 dt  sin 2 x dx. 1  cos 2 x s) Tìm I   https://luyenthitracnghiem.vn Lời giải I 2 sin x.cos x dx 1  cos2 x Đặt t  1  cos2 x  dt  2sin x.cos x.dx   1  I   dt  ln t  C  ln 1  cos 2 x  C t t) Tìm I   sin 2 x dx. 1  sin 2 x Lời giải I 2 sin x.cos x dx 1  sin 2 x Đặt t  1  sin2 x  dt  2sin x.cos x.dx   https://www.facebook.com/vietgold 1  I    dt   ln t  C   ln 1  sin 2 x  C t u) Tìm I   sin x  cos x dx. sin x  cos x  2 Lời giải Đặt t  sin x  cos x  2  dt    cos x  sin x  dx 1  I   dt  ln t  C t  ln  sin x  cos x   C v) Tìm I   sin x  cos x dx. sin x  cos x  3 Lời giải Đặt t  sin x  cos x  3  dt   sin x  cos x  dx 1  I   dt  ln t  C t  ln  sin x  cos x  3   C 51 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB w) Tìm I   cos 2 x dx. sin x  cos x  1 Lời giải cos 2 x  sin 2 x dx sin x  cos x  1  cos x  sin x  cos x  sin x  I sin x  cos x  1 dx https://luyenthitracnghiem.vn  t  1  sin x  cos x Đặt t  sin x  cos x  1   dt    cos x  sin x  dx   t  1  1 dt    1   dt t t   t  ln t  C I    sin x  cos x  1  ln  sin x  cos x  1  C x) Tìm I   sin x  cos x dx. 3  sin 2 x Lời giải I sin x  cos x dx. 3  2 sin x cos x I  dt 1  1 1     dt 2 4  t  2 2  t  4t   1 ln t  2  ln 2  t  C 4  1 ln sin x  cos x  2  ln 2  sin x  cos x  C . 4  https://www.facebook.com/vietgold  dt   sin x  cos x  dx Đặt t  sin x  cos x   2 2  t  1  2 sin x cos x  2 sin x cos x  1  t  52 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB DẠNG TOÁN 5: TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM & NGUYÊN HÀM CỦA HÀM ẨN Nhóm 1. Sử dụng định nghĩa F( x)  f ( x). Câu 1: (THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội năm 2019) Gọi F( x)  (ax2  bx  c).ex là một nguyên hàm https://luyenthitracnghiem.vn của hàm số f ( x)  ( x  1)2 .e x . Giá trị của biểu thức S  a  2b  c bằng. B. 2 . A. 3 . C. 0 . D. 4 . Lời giải Chọn B Theo định nghĩa F( x)  f ( x), ta có: f ( x)  F( x)  [(ax2  bx  c).e x ]  (2ax  b)e x  e x (ax2  bx  c)  [ax2  (2a  b)x  b  c]e x  ( x2  2x  1)ex . a  1 a  1   Đồng nhất hệ số: 2a  b  2  b  4  S  a  2b  c  1  8  5  2. b  c  1 c  5   Câu 2: Biết F( x)  (ax2  bx  c).e x là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  (2×2  5x  2).e x trên . Giá trị của biểu thức f  F(0) bằng. A. e 1 . B. 9e . C. 20e 2 . D. 3e . Lời giải https://www.facebook.com/vietgold Chọn B Theo định nghĩa F( x)  f ( x), ta có: f ( x)  F( x)  [(ax2  bx  c).e x ]  (2ax  b)e x  e x (ax2  bx  c)  [  ax2  (2a  b)x  b  c]e x  (2×2  5x  2)e x . a  2 a  2   Đồng nhất hệ số: 2a  b  5  b  1 b  c  2 c  1   F( x)  (2×2  x  1).e x  F(0)  1 f  F(0)  f (1)  9e Câu 3: Biết F( x)  (ax  bx  c) 2x  3 là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 3  khoảng  ;   . Giá trị của biểu thức T  a  b  c bằng. 2  A. 5 . B. 6 . C. 7 . Lời giải Chọn C Theo định nghĩa F( x)  f ( x), ta có: 53 20 x2  30 x  11 D. 8 . 2x  3 trên Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB 5ax2  x  3b  6a   c  3b  f ( x)  F( x)  ( ax  bx  c) 2 x  3     2x  3 2 5a  20 a  4   Do đó ta có 3b  6a  30  b  2  a  b  c  7 c  3b  11 c  5   Câu 4: Cho hàm số F( x) là một nguyên hàm của f ( x)  2019x ( x2  4)( x2  3x  2). Khi đó số điểm https://luyenthitracnghiem.vn cực trị của hàm số F( x) là. B. 4 . A. 5 . D. 2 . C. 3 . Lời giải Chọn D Theo định nghĩa F( x)  f ( x), ta có: f ( x)  0  2019 x ( x 2  4)( x 2  3x  2)  0  2019 x  x  2   x  2  x  1  0 2 x  2    x  2  x  1 x  2 là nghiệm bội bậc hai nên f  x  không đổi dấu qua x  2 Vậy hàm số y  F  x  có hai điểm cực trị. Câu 5: Cho F( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x ( x3  4x). Hàm số F( x2  x) có bao nhiêu 2 B. 4 . C. 3 . https://www.facebook.com/vietgold điểm cực trị? A. 5 . D. 2 . Lời giải Chọn A Ta có 3  F( x  x)   2x  1 f  x  x    2x  1 e x x  x2  x   4  x2  x   2 2 2 2  e  x  x 2 x  1 x2  x x2  x  2 x2  x  2      e  x  x 2 x  1 x x  1 x  1 x  2 x2  x  2         2 2  F( x 2  2 2    x)  0 có 5 nghiệm đơn Vậy hàm số F( x2  x) có 5 điểm cực trị 54 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nhóm 2. Sử dụng định nghĩa giải bài toán nguyên hàm của hàm ẩn Vận dụng tính chất  f (x)dx  f (x)  C ,  f (x)dx  f (x)  C ,… vào các dạng sau:  (uv  vu)dx   (u.v)dx  uv  C.  n.u https://luyenthitracnghiem.vn n1 uv  vu  u  u dx   v2   v  dx  v  C. u 2 u dx   ( u )dx  u  C. .udx   (un )dx  un  C. u   u dx    ln u  dx  ln u  C.  u  1  1 d x   u  dx  u  C.  2 u   Câu 6: (HSG Bắc Ninh năm 2019) Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 2] thỏa mãn f (1)  4 và f ( x)  xf ( x)  2×3  3×2 . Giá trị của f (2) bằng C. 15. B. 10. A. 5. D. 20. Lời giải Chọn D Ta có: f ( x)  xf ( x)  2×3  3×2  xf ( x)  f ( x)  2×3  3×2  x2 (2x  3) https://www.facebook.com/vietgold xf ( x)  f ( x)  f ( x)  f ( x)   2x  3     x 2  3 x  C.  dx    2 x  3  dx  2 x x  x  Do f (1)  4  4  1  3  C  C  0  f ( x)  x3  3×2  f (2)  20. Câu 7: (THPT Yên Định Thanh Hóa năm 2019) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f ( x). f ( x)  3×5  6×2 và f (0)  2. Giá trị của f 2 (2) bằng A. 144. C. 100. B. 64. D. 81. Lời giải Chọn C Ta có: f ( x). f ( x)  3×5  6×2  2 f ( x). f ( x)  6 x 5  12 x 2    f (x)   6x  12x 2 5 2  f (x) dx   6x  12x  dx   f (x)  x  4x  C 2 5 2 2 6 3 Do f (0)  2  4  C  C  4  f 2 (2)  100. Câu 8: (Đề thi THPT QG năm 2018 – Mã đề 102 – Câu 40) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2)   2 và f ( x)  x  f ( x) với mọi x  . Giá trị của f (1) bằng A. 55 11 . 6 B. 2 . 3 C. 2 . 9 D. 7 . 6 1 3 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Lời giải Chọn B  1  x Ta có: f ‘  x   x  f  x     x 2  f  x    f  x   2 f ‘  x 1 1 x2   (  x)dx   C 2 f  x f  x 1 1 2 2 1 2 Do f (2)    3   C  3  C  1  f (1)   1 3 f (2) 2 3 1 2 Câu 9: Cho hàm số f ( x) thỏa f 2 ( x)  2xf ( x) f ( x)  5×4 với f (1)  0, f ( x)  0. Hệ số góc tiếp tuyến k của đồ thị hàm số y  f ( x) tại điểm có hoành độ x  2 bằng A. k  1. B. k  2. C. k  4. D. k  3. Lời giải Chọn D https://luyenthitracnghiem.vn  f ( x ) 0 Ta có: f 2 ( x)  2xf ( x) f ( x)  5×4   xf 2 ( x)   5×4       xf 2 ( x) dx   5×4 dx  xf 2 ( x)  x5  C. Do f (1)  0  0  15  C  C  1  xf 2 ( x)  x5  1  https://www.facebook.com/vietgold 56 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN 1. Câu 10: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2018)Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  3×2  1. https://luyenthitracnghiem.vn A. x3  C. . B. x3  x  C. . 3 D. x3  x  C. C. 6x  C. . Lời giải Chọn D x n 1 n x d x   C. Áp dụng công thức  n1 Ta có:  f ( x) dx    3x 2   1 dx  x3  x  C. . Câu 11: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  1 1 A.  5x  2 dx  5 ln 5x  2  C. . C.  5x  2 dx  5ln 5x  2  C. . 1 1 1  5x  2 1 B.  5x  2 dx   2 ln(5x  2)  C. . D.  5x  2 dx  ln 5x  2  C. 1 Lời giải https://www.facebook.com/vietgold Chọn A Áp dụng công thức:  1 1  ax  b dx  a ln ax  b  C. 1 1 dx  ln 5x  2  C. . 5x  2 5 Câu 12: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  7 x. A.  7 x dx  7 x ln 7  C. . B.  7 x dx  7 x1  C. . C.  7 x dx  7x  C. . ln 7 D.  7 x dx  7 x 1  C. x1 Lời giải Chọn C ax  C. Áp dụng công thức  a dx  ln a x 7x   7 dx   C. . ln 7 x Câu 13: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017)Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  cos 3x. A.  cos 3xdx  3sin 3x  C. . 57 B.  cos 3xdx  sin 3x  C. . 3 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB D.  cos 3xdx  cos 3x  C. C.  cos 3xdx  sin 3x  C. . Lời giải Chọn B 1 Ta có:  cos( ax  b)dx  sin( ax  b)  C. a https://luyenthitracnghiem.vn   cos 3xdx  sin 3x  C. . 3 Câu 14: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 sin x. A.  2 sin xdx  2 cos x  C. . B.  2 sin xdx  sin 2 x  C. . C.  2 sin xdx  sin 2 x  C. . D.  2 sin xdx  2 cos x  C. Lời giải Chọn D Ta có:  sin xdx   cos x  C.   2 sin xdx  2 cos x  C. . Câu 15: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 104 câu 28) Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số C. sin x  cos x  1. . https://www.facebook.com/vietgold   f ( x)  sin x  cos x thoả mãn F    2. 2 A. cos x  sin x  3. . B.  cos x  sin x  3. . D.  cos x  sin x  1. Lời giải Chọn D Ta có: F  x    f ( x) dx    sin x  cos x  dx   cos x  sin x  C        F     cos    sin    C  2. 2 2 2  1 C  2  C  1 Vậy F  x    cos x  sin x  1. . Câu 16: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 101 câu 27) Cho hàm số y  f ( x) thỏa mãn f ( x)  3  5sin x và f (0)  10. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f ( x)  3x  5cos x  5. . B. f ( x)  3x  5cos x  2. . 58 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB D. f ( x)  3x  5cos x  15. C. f ( x)  3x  5cos x  2. . Lời giải https://luyenthitracnghiem.vn Chọn A Ta có: f  x    f ‘  x  dx   3  5sin x  dx  3x  5cos x  C f (0)  10  5  C  10  C  5 Vậy f ( x)  3x  5cos x  5. . Câu 17: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 103 câu 13)Cho F( x) là một nguyên hàm của hàm 3 A. e x  x 2   . 2 3  Tìm F( x). 2 1 B. 2e x  x 2   . 2 5 C. e x  x 2   . 2 1 D. e x  x 2   2 số f ( x)  e x  2 x thỏa mãn F(0)  Lời giải Chọn D   https://www.facebook.com/vietgold F  x    f ( x) dx   e x  2x dx  e x  x2  C F(0)  3 3 1  1 C   C  2 2 2 1 vậy F  x  =e x  x2   . 2 Câu 18: (Đề thi minh họa – Bộ GD & ĐT 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  2x  1. A. 1 2x  1  C . 2 C.  1 2x  1  C . 3 B. 1 (2 x  1) 2 x  1  C . 3 D. 2 (2 x  1) 2 x  1  C . 3 Lời giải Chọn B Ta có  1 2 x  1dx    2 x  1 2 dx  3 2 2 2 x  1 2  C   2 x  1 2 x  1  C .  3 3 Câu 19: (Đề thi minh họa – Bộ GD & ĐT 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  x2  A. 59 x3 2  C . 3 x B. x3 1  C . 3 x 2  x2 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB 3 3 C. x 2  C . 3 x D. x 1  C . 3 x Lời giải Chọn A Câu 20: (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh Cụm 6 năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số     f ( x)  cos 5x cos x thỏa mãn F    0. Tính F    3 6   3 A. F    .  6  12   B. F    0 . 6   3 C. F    . 6 8   3 D. F    . 6 6 Lời giải https://luyenthitracnghiem.vn  2  1 2 Ta có   x 2  2  dx  x 3   C . 3 x x   Chọn C Ta có   cos 5x cos x  dx  2   cos 4x  cos 6x  dx  8 sin 4 x  12 sin 6 x  C . 1 1 1   3 1 1 3 F   0  C   F  x   sin 4x  sin 6x  . 16 8 12 16 3 Câu 21: (THPT Kim Liên – Hà Nội) Biết F( x)  (ax2  bx  c)e x là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  x2 .e x . Tìm a, b, c. A. a  1, b  2, c  2 . B. a  2, b  1, c  2 . C. a  2, b  2, c  1 . D. a  1, b  2, c  2 . Lời giải Chọn D u  x 2 du  2 xdx  Đặt  . x x dv  e dx v  e Lúc đó:  f  x  dx  x e 2 x 2 xe xdx . u2  x du2  dx  Đặt  .  x x dv2  e dx v2  e 60 https://www.facebook.com/vietgold   1 4 1 6 3 3 F    sin  sin   . 6 12 6 16 8 6 8  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB  f  x  dx  x e 2 x  “Thành công là nói không với lười biếng” 2 xe xdx  x2 e x  2 xe x   e xdx     x2 e x  2xe x  2e x  x2  2x  2 e x . https://luyenthitracnghiem.vn Vậy a  1, b  2, c  2.     Cách 2: Ta có F  x    2ax  b  e x  ax2  bx  c e x  ax2   2a  b  x  b  c e x Do F  x  là một nguyên hàm của hàm f  x  nên F  x   f  x  , x  a  1 a  1    ax   2a  b  x  b  c e  x e  2a  b  0  b  2 . b  c  0 c  2     2 x 2 x Câu 22: (THPT Lê Lợi – Thanh Hóa) Tìm một nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x)  sin x  1 cos2 x   2  thỏa mãn điều kiện F    4 2 A. F( x)   cos x  tan x  C . B. F( x)   cos x  tan x  2  1 . C. F( x)  cos x  tan x  2  1 . D. F( x)   cos x  tan x  2  1 . Lời giải https://www.facebook.com/vietgold Chọn D  1  F  x    f ( x)dx    sin x   dx   cos x  tan x  c . cos2 x     2   2   cos  tan  c   c  2  1. Theo đề: F    4 4 2 4 2 Vậy F( x)   cos x  tan x  2  1. Câu 23: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 103 câu 37) Cho F( x)   f ( x)  Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)ln x. x ln x 1 ln x 1 A. 3  5  C. B. 3  5  C. x 5x x 5x của hàm số C. ln x 1  3  C. 3 x 3x D.  ln x 1  3  C. 3 x 3x Lời giải Chọn C F  x   61 1 1  F  x   4 3 3x x 1 là một nguyên hàm 3x 3  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Theo bài ra f  x x f  x  F  x   x Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  1 1  f  x  3 . 4 x x Xét: I   f ( x)ln x dx .  1  u  ln x du  dx Đặt   x .  d v  f x dx      v  f  x  https://luyenthitracnghiem.vn Lúc đó: I  ln x. f  x    f ( x) ln x 1 dx  3  3  C . x x 3x Câu 24: Tìm nguyên hàm của y  x.e x C.  x  1 e x  C . B. x.e x  C . A. x2 .e x  C . D.  x  1 e x  C . Lời giải Chọn D u  x du  dx  Đặt  . x x dv  e dx v  e Khi đó  x.e dx  xe   e dx xe x x x x  e x  C   x  1 e x  C . Câu 25: Một nguyên hàm của y  x ln x là x2 1 ln x  x2 . A. 2 4 x2 1 ln x  x 2 . C. 2 4 1 B. x ln x  x 2 . 2 2 1 D. x ln x  x . 2 https://www.facebook.com/vietgold Lời giải Chọn C  1 du  dx  u  ln x  x .  Đặt  2 dv  xdx v  x  2 Khi đó  x ln xdx  x2 x x2 1 ln x   dx  ln x  x2  C . 2 2 2 4 Câu 26: Tìm nguyên hàm của hàm số y  ( x  1)cos x A. ( x  1)sin x  cos x  C . B. ( x  1)sin x  cos x  C . C. ( x  1)sin x  cos x  C . D. ( x  1)sin x  cos x  C . Lời giải Chọn B 62 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB u  x  1 du  dx  Đặt  . dv  cos xdx v  sin x https://luyenthitracnghiem.vn Khi đó   x  1 cos xdx   x  1 sin x   sinx dx   x  1 sin x  cos x  C . Câu 27: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  x cos2 x A. x cot x  ln cos x  C . B. x tan x  ln cos x  C . C. x cot x  ln cos x  C . D. x tan x  ln cos x  C . Lời giải Chọn B u  x du  dx  Đặt  .  1 dx v  tan x dv  2 cos x  Khi đó x  cos 2 x dx  x tan x   tan x dx  x tan x  ln cos x  C . Câu 28: Gọi F( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  ln x thỏa mãn điều kiện F(1)  3 . Tính giá trị của biểu thức T  2F (e)  log 4 3.log 3  F(e) . https://www.facebook.com/vietgold A. T  2 . C. T  B. T  8 . 9 2 D. T  17 . Lời giải Chọn D F  x    f  x  dx   ln x dx .  dx u  ln x du  Đặt   x . dv  dx v  x  F  x   x ln x   x. dx  x ln x   dx  x ln x  x  C . x Ta có : F(1)  3  1.ln1  1  C  3  C  4 . Suy ra : F  x   x ln x  x  4  F  e   e ln e  e  4  4 . Khi đó: T  2F (e)  log 4 3.log 3  F(e)  24  log 4 3.log 3 4  16  1  17 . Câu 29: Xét I   x3 (4×4  3)5dx. Bằng cách đặt u  4×4  3 , hỏi khẳng định nào đúng? A. I  1 5 u du . 4 B. I  1 u5du . 12  C. I  Lời giải Chọn C 63 1 u5du 16  D. I   u5du . Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Đặt u  4 x4  3  du  16 x3dx  x3dx  I   x3 (4 x4  3)5 dx   u5 Câu 30: Xét I   4x  1 du 1  u5du .  16 16 dx , bằng cách đặt t  4 x  1 thì I trở thành  1  t3  tC . 8 3  B.  1  t3  tC . 4 3  C. 1  t3   tC 8 3  D.  1  t3  tC . 4 3  https://luyenthitracnghiem.vn A. x du . 16 Lời giải Chọn C t2  1 t Đặt t  4 x  1  x   dx  dt . 4 2 I x 4x  1 dx   t2  1 1 t t2  1 1  t3  1 . . dt   dt   t 2  1 dt    t   C . 4 t 2 8 3 8 8    Câu 31: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos2 x.sin x. A. 1 cos3 x  C. 3 1 C.  cos3 x  C. 3 B.  cos3 x  C. D. 1 sin 3 x  C. 3 Lời giải Chọn C Cách 1: https://www.facebook.com/vietgold I   f  x  dx   cos2 x.sin x.dx Đặt t  cos x  dt   sin xdx  dt  sin xdx Khi đó I   t 2  dt    t3  C. 3 1 Dẫn đến I   cos3 x  C. 3 Cách 2:  cos3 x f  x  dx   cos x.sin x.dx   cos x.d  cos x     C. 3 2 2   Câu 32: Biết F  x  là một nguyên hàm của f  x   sin3 x.cos x và F  0    . Tìm F    2   A. F     . 2   1 B. F       4 2   1 C. F      . 2 4   D. F     . 2 Lời giải Chọn C 64 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Cách 1 I   f  x  dx   sin3 x.cos x.dx Đặt t  sin x  dt  cos xdx. t4 Khi đó I   t dt   C . 4 https://luyenthitracnghiem.vn 3 sin 4 x  C. Suy ra F  x   I  4 sin 4 0 F 0    C    C  . 4 sin 4 x . Dẫn đến F  x   4   1 Vậy F      . 2 4 Cách 2 F  x    f  x  dx   sin 3 x.cos xdx   sin 3 xd  sin x   https://www.facebook.com/vietgold F 0    sin 4 x  C. 4 sin 4 0 C    C  . 4 Dẫn đến F  x   sin 4 x . 4   1 Vậy F      . 2 4 Cách 3    F    F  0    2 sin 3 x.cos x.dx 0 2   1   1 Bấm máy vế phải, ta được F      . Dẫn đến F      . 4 2 4 2 Câu 33: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   A. 3  2 ln 2. B. 3  ln 2. Lời giải Chọn B Cách 1 65   1 và F  e   3. Tính F e 2 . x ln x C. 1  ln 3. D. 3  ln 2. Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB I   f  x  dx   1 1 1 dx   . dx. x ln x ln x x Đặt t  ln x  dt  1 dx. x 1 Khi đó I   dt  ln t  C. t https://luyenthitracnghiem.vn Suy ra F  x   I  ln ln x  C. F  e   3  ln lne  C  3  C  3. Dẫn đến F  x   I  ln ln x  3.   Vậy F e2  3  ln 2. Cách 2   F e2  F  e    e2 e 1 dx x ln x     Bấm máy vế phải, ta được F e 2  3  0,693… . Dẫn đến F e2  3,693… Bấm máy kiểm tra từng kết quả. Ta chọn được Chọn Câu Câu 34: Tìm nguyên hàm của hàm số B.  x  2 f  x   x  1 10 12  11 11 11 11 1  x2 D.    C. 33  x  1  https://www.facebook.com/vietgold 1  x2 1  x2 B.      C.   C. C. 11  x  1  11  x  1  1 x2 A.    C. 3 x1  Lời giải Chọn D  x  2 I   f  x  dx    x  1 10 12 Đặt t  10  x2 1 dx    . dx.  2  x  1   x  1 x2 3 1 1  dt  dx  dt  dx. 2 2 x1 3  x  1  x  1 1 1 Khi đó I   t 10 . dt  t 11  C. 3 33 11 1  x2 Vậy I     C. 33  x  1  Câu 35: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   x và F  0   1. Tính F  1 . x 1 2 66 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB A. ln 2  1. B. 1 ln 2  1. 2 C. 0. D. ln 2  2. Lời giải https://luyenthitracnghiem.vn Chọn B Cách 1 I   f  x  dx   x 1 dx   2 xdx. x 1 x 1 2 1 Đặt t  x2  1  dt  2 xdx  dt  xdx. 2 1 1 1 Khi đó I   . dt  ln t  C. t 2 2 1 1 Suy ra F  x   I  ln x2  1  C. F  x   I  ln x2  1  C. 2 2 1 F  0   1  ln 02  1  C  1  C  1. 2 Dẫn đến F  x   https://www.facebook.com/vietgold Vậy F  1  1 ln x 2  1  1. 2 1 ln 2  1. 2 Cách 2 F  1  F  0    1 0 x dx x 1 2 Bấm máy vế phải, ta được F 1  1  0,346… . Dẫn đến F 1  1, 346… Bấm máy kiểm tra từng kết quả. Ta chọn được Chọn Câu B. Câu 36: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 1  x2 . A. x2 1  x2  C. C. 1 3  1  x2   C. 3   3 1 2 x 1  x 2  C. 3 1 D. x2 1  x 2  C. 3 B. Lời giải Chọn C I   f  x  dx   x 1  x2 dx   1  x2 xdx. Đặt t  x2  1  t 2  x2  1  2tdt  2xdx  tdt  xdx. 67 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Khi đó I   t.tdt   t 2 dt  Dẫn đến I  1 3  1  x2 3 t  C. 3   C. 3 2 ln x 1 ln 2 x  1 và F  1   Tính  F  e   . x 3 2 2 1 1 C.  F  e   .   D.  F  e   .   9 3 Câu 37: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   Lời giải Chọn B Cách 1 I   f  x  dx   ln x ln x ln 2 x  1dx   ln 2 x  1 dx. x x 1 ln x Đặt t  ln 2 x  1  t 2  ln 2 x  1  2tdt  2 ln x. dx  tdt  dx x x Khi đó I   t.tdt   t 2 dt  Dẫn đến F  x   I  F  1    3 ln 2 1  1  C  Dẫn đến F  x   1 3  Ta tính được F  e   3 ln 2 x  1  C.   t3  C. 3  1  C  0. 3 https://www.facebook.com/vietgold 1 1  3 3 1 3 3 ln 2 x  1 . 1 3  ln 2 x  1   2 32 . Suy ra F  e  .  89  3 2 Cách 2 F  e   F  1   e 1 ln x ln 2 x  1dx x Bấm máy vế phải, ta được F  e   2 1 8  0,609… . Suy ra F  e   0.942… Dẫn đến  F  e   .   3 9 Câu 38: Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   nghiệm của phương trình F  x   x . A. 1  3 . https://luyenthitracnghiem.vn 2 8 B.  F  e   .   9 2 8 A.  F  e   .   3 B. 2 . x 8  x2 C. 1 . thỏa mãn F  2   0 . Tìm tổng các D. 1  3 . Lời giải 68 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Chọn D Ta có F  x    x 8  x2 dx     1 1 d 8  x2  F  x    8  x2  C .  2 2 8x https://luyenthitracnghiem.vn Vì F  2   0  2  C  0  C  2 . Suy ra F  x    8  x2  2 . Xét phương trình F  x   x   8  x2  2  x  8  x2  2  x   x  2  x  2 2  x  0    x  1 3 .    2 2 2 x  2 x  2  0 8  x  2  x x  1  3         Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng 1  3 . 9 x  10 có một nguyên hàm là F  x  thỏa mãn F 1  ln 2 . Gọi x1 , x2 là 6 x  11x  3 1 hai nghiệm của phương trình F  x   ln 3x  1  ln 3 . Giá trị của 3×1  3×2 bằng 2 82 730 A. 28 . B. 4 . C. . D. . 27 27 Câu 39: Hàm số f  x   2 Lời giải Chọn A https://www.facebook.com/vietgold Ta có F  x    3  2 x  3    3 x  1 9 x  10 dx dx  F  x    6 x  11x  3  2x  3 3x  1 2  3 1  1  F  x     dx  F  x   ln 3x  1  ln 2 x  3  C .  2  3x  1 2 x  3  1 Vì F 1  ln 2  ln 2  C  ln 2  C  0 . Suy ra F  x   ln 3x  1  ln 2 x  3 . 2 1 Xét phương trình F  x   ln 3x  1  ln 3  ln 2x  3  ln 3  2 x  3  3 2 x  3  1  3×1  3×2  33  30  28 .  x2  0 Vậy 3×1  3×2  28 . ĐÁP ÁN ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN 1 1.D 2.B 3.C 4.B 5.D 6.D 7.A 8.D 9.B 10.A 11.C 12.D 13.D 14.B 15.D 16.C 17.B 18.B 19.D 20.C 21.C 22.C 23.C 24.B 25.D 26.B 27.C 28.B 29.D 30.A 69 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN 2 Câu 40: (Đề thi THPT QG năm 2019 Mã đề 101) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   2x  5 là A. x2  5x  C . B. 2×2  5x  C . C. x2  5x . D. x2  C . Lời giải Ta có  f  x  dx    2x  5 dx  x 2  5x  C . Câu 41: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   4 cos2 x  5 thỏa mãn F    0 . Tìm F  x  . A. F  x   3x  sin 2x  3 . 4 B. F  x    sin 3 x  5x  5 . 3 4 4 C. F  x   cos3 x  5x   5 . 3 3 D. F  x   3x  sin 2x  3 . Lời giải https://luyenthitracnghiem.vn Chọn A Chọn A   Ta có F  x    4 cos2 x  5 dx  F  x     2 cos 2x  3  dx  F  x   sin 2x  3x  C . https://www.facebook.com/vietgold Lại có F    0  3  C  0  C  3 . Vậy F  x   3x  sin 2x  3 . Câu 42: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2x  3 x thỏa mãn F 1  0 . A. x2  3 3 x2  4 . B. x2  2 x3  3 . C. x2  2 3 x2  3 . D. x2  3 x3  4 . Lời giải Chọn B   Ta có F  x    2 x  3 x dx  F  x    2 xdx  6   x  d x  2  F  x   x2  2 x3  C . Lại có F  1  0  3  C  0  C   3 . Vậy F  x   x2  2 x3  3 . Câu 43: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2x  8 sin x cos x thỏa mãn F    2 . 70 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB A. F  x   x2  4 cos 2x   2  2 . B. F  x   x2  2 cos 2x   2  4 . C. F  x   x2  2 cos 2x   2 . D. F  x   x2  4 cos 2x   2  6 . https://luyenthitracnghiem.vn Lời giải Chọn C   2x  8 sin x cos x  dx    2x  4 sin 2x  dx  x 2  2 cos 2 x  C . F    2   2  2  C  2  C   2 . Do đó F  x   x2  2 cos 2x   2 . Câu 44: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   2x  3 x và f  4   A. f  x   2 x  2 x3  C. f  x   2 x  x3  16  32 . ln 2 16 . Mệnh đề nào đúng? ln 2 B. f  x   2 x ln 2  x3  8 . D. f  x   16  24 . ln 2 2x  2 x3  16 . ln 2 Lời giải Chọn D 1 3   2x 2x f  x    2 x  3 x dx    2 x  3.x 2  dx   2.x 2  C   2 x3  C . ln 2 ln 2   https://www.facebook.com/vietgold  f  4   2x 16 16 16  2 x3  16 .   16  C   C  16 . Do đó f  x   ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 Câu 45: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   22 x.3x.7 x . 84 x C . A. ln 84 22 x.3x.7 x  C . C. 84x  C . B. ln 4.ln 3.ln 7 D. 84x.ln 84  C . Lời giải Chọn A 2x x x x  2 .3 .7 dx   84 dx  84 x C . ln 84 Câu 46: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A. 1 C . 2  4x B.  1  2x  1 1  2 x  1 3 C . 2 . C. 1 C . 4x  2 Lời giải Chọn A 71 D.  1 C . 2x  1 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB 2 1 1 1 d x  2 x  1 dx   . C  C .    2x  1 2  2 2x  1 2  4x   1 Câu 47: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x là 3 3 x2 A. C . 4 3x 3 x C . B. 4 C. 4x 3 3 x C . D. 4x 3 3 x2 C . https://luyenthitracnghiem.vn Lời giải Chọn B  1 3 3 43 3 3x 3 x x  C  3 x4  C  C . 4 4 4 xdx   x 3 dx  Câu 48: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   sin 5x cos x . cos 4 x cos6 x  C . 8 12 1 1 D. cos 4 x  cos6 x  C . 8 12 1 A.  cos5x  C . 5 1 C. cos5x  C . 5 B.  Lời giải Chọn B  sin 5x cos xdx  2   sin 6x  sin 4x  dx   12 cos6x  8 cos4x  C . 1 1 1 2x  1 trên ( x  1)2 khoảng (1; ) là 2  C. x1 2 C. 2 ln( x  1)   C. x1 A. 2 ln( x  1)  3  C. x1 3 D. 2 ln( x  1)   C. x1 B. 2 ln( x  1)  Lời giải Chọn B Ta có f ( x)   2x  1 2 3   . 2 x  1  x  12 ( x  1)  2 3  3 f  x  dx     dx  2 ln x  1  C . 2 x1  x  1  x  1    Câu 50: Hàm số F( x) là nguyên hàm của f ( x)  (1  x)ln( x2  1). Hỏi hàm số F( x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải 72 https://www.facebook.com/vietgold Câu 49: (Đề thi THPT QG năm 2019 Mã đề 101) Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x)  “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Chọn B TXĐ D  .   https://luyenthitracnghiem.vn Ta có F ‘  x   f  x   1  x  ln x2  1 . 1  x  0 F ‘  x   0   1  x  ln x 2  1  0   2 ln x  1  0     x  1 x  1  2  . x  1  1 x  0 Phương trình F ‘  x   0 có 1 nghiệm đơn x  1 và nghiệm kép x  0 nên hàm số F( x) có 1 điểm cực trị. Câu 51: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  1 là (giả sử hàm số xác định). x  ( a  b)x  ab 2 A. ln xb  C. xa B. 1 xa ln  C. ba xb C. ln xa  C. xb D. 1 xb ln  C. ba xa Lời giải https://www.facebook.com/vietgold Chọn B Ta có f  x   1  1 1   x  a  x  b   b  a  x  a   b  a  x  b     1 1 f  x dx     dx b  a x  a b  a x  b          1  1 1   dx   b  a  x  a x  b   1 1 xa . ln x  a  ln x  b   C  ln C . ba ba xb Câu 52: Hàm số f ( x)  . x4 22 1 có một nguyên hàm là F( x) thỏa F(3)   ln 2  Giá trị của e F (2) 2 3 2 x 1 bằng: A. 2 3  3 B. 3  2 C. Lời giải Chọn D F  x   73  2  x4 1 d x  x  1   dx  x  1 x  1 x2  1      3. D. 3  3 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB  x 1 x 1  x  ln C 3 2 x1 3 Trên khoảng  1;   F  x   Ta có F(3)  x3 1  x 1  x  ln   C1 3 2  x  1  22 1 33 1 1 22 1 14  ln 2   3  ln  C1   ln 2  C1   . 3 2 3 2 2 3 2 3 https://luyenthitracnghiem.vn x3 1  x  1  14  F  x    x  ln   , x  1;   . 3 2  x  1  3 1 1 3 3 F 2 F  2   ln  ln e    . 2 3 3 3 Câu 53: Hàm số f  x   A. 3 10 ln 2 2x  1 F  3 có 1 nguyên hàm là F  x  thỏa F  2   . Tính e . 3 x x2 2 B. ln 3 2 . 2 5.5 . C. 3 2.55 . D. ln 3 45 . Lời giải Chọn C Sử dụng phương pháp đồng nhất thức. Có f  x    A  B x   2 A  B . 2x  1 2x  1 A B     x2  x  2  x  1 x  2  x  1 x  2  x  1 x  2  https://www.facebook.com/vietgold  1  A  3 A  B  2 Suy ra:  .  2 A  B  1 B  5  3 1 1 5 1  1 5 F  x    f  x  dx    .  . dx  .ln x  1  .ln x  2  C .  3 3  3 x 1 3 x  2  1 5 Trên khoảng  1;   F  x   .ln  x  1  .ln  x  2   C1 3 3 1 5 10 ln 2 10 ln 2 Mà: F  2    C1  0 .  .ln  2  1  .ln  2  2   C1  3 3 3 3 1 5  F  x   .ln  x  1  .ln  x  2 x  1;   . 3 3 1 5 Khi đó: F  3   .ln 2  .ln 5 . 3 3 1 5 1 5 .ln 2  .ln 5 .ln 2 .ln 5 F 3 3  e 3 .e 3  3 2.55 . Vậy: e    e 3 Câu 54: Hàm số f  x   1 1 có một nguyên hàm là F  x  thỏa F  1  F  2   . Tính 2 x  x  1 2 F  2   F  3  . A. 1 . 3 B. 5  ln 2 . 6 C. 1  ln 2 . 3 D. 5 . 6 Lời giải 74 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Chọn D Sử dụng phương pháp đồng nhất thức. A  C  x2   A  B  x  B  1 A B C     Có f  x   2 . x  x  1 x x 2 x  1 x 2  x  1 https://luyenthitracnghiem.vn A  C  0  A  1   Suy ra:  A  B  0   B  1 . B  1 C  1    1 1 1  F  x    f  x  .dx     2  .dx x  1   x x  F  x    ln x  1 x1 1  ln x  1  C  ln  C . x x x   x 1 1 ln     C1 ,x   0;     x  x    x  1  1 Khi đó: F  x   ln     C2 ,x   1;0    x  x   x 1 1 ln     C3 ,x   ; 1   x  x Mà: F  1  F  2    1 1  1 1   ln 2  1  C1    ln   C3    C1  C3  1 . 2  2 2  2 https://www.facebook.com/vietgold  3 1   2 1  5 Vậy: F  2   F  3    ln   C1    ln   C3   .  2 2   3 3  6 Câu 55: (Đề thi THPT QG năm 2017 – Mã đề 110) Cho F  x    x  1 e x là một nguyên hàm của hàm số f  x  e 2x . Tìm nguyên hàm của hàm số f   x  e 2x . A.  x  2  e x  C . B. 2x x e C . 2 C.  2  x  e x  C . D.  4  2 x  e x  C . Lời giải Chọn C Có: F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  e 2x nên:  F  x   f  x  e 2x   x  1 e x   f  x  e 2 x . Hay: f  x  e 2 x  e x   x  1 e x  x.e x . Xét I   f   x  e 2 xdx . 2x 2x   u  e du  2e dx  Đặt  .  d v  f x d x v  f x         Khi đó: I  f  x  e 2 x   2 f  x  e 2 x dx  x.e x  2.  x  1 e x  C   2  x  e x  C . Câu 56: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa lần 2 năm 2017) Cho a , b là các số hữu tỉ thỏa mãn  75 dx x 2  x1  a  x  2  x  2  b  x  1 x  1  C . Tính S  3a  b . Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB 2 A. S   . 3 B. S  1 . 3 C. S  4 . 3 D. S  2 . 3 Lời giải Chọn C Có I   dx x 2  x1  x  2  x 1 dx    x  2    x  1   x  2  x  1 dx . 2 2 x  2  x  2   x  1 x  1  C .  3 3 2 2 Hay: a  , b  . 3 3 4 Vậy S  3a  b  . 3 https://luyenthitracnghiem.vn Suy ra: I    Câu 57: Tìm một nguyên hàm F( x) của hàm số f  x   x.sinx thỏa mãn F    2019. 2 A. F( x)  x sin x  cos x  2019.   B. F( x)  x cos x  sin x  2018. C. F( x)  x sin x  cos x  2019. D. F( x)  sin x  x cos x  2018. Lời giải Chọn B u  x du  dx  Đặt  dv  sin xdx v  cos x  x sin xdx  x cos x   cos x  C  x cos x  sinx C     https://www.facebook.com/vietgold f ( )   .cos  sin  C  2019  C  2018 2 2 2 2 Câu 58: Tìm một nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x)  x.e x thỏa mãn F(0)  1. A. ( x  1)e x  1. B. ( x  1)e x  2. C. ( x  1)e x  1. D. ( x  1)e x  2. Lời giải Chọn B u  x du  dx  Đặt  x x dv  e dx v  e F( x)   xe  x dx  xe  x   e  x  C  xe  x  e  x  C F(0)  1  1  C  1  C  2 A. etan x  C. e tan x  cos2 x B. e tan x  C. C. tan x.etan x  C. D. etan x  C. Câu 59: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  Lời giải 76 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Chọn A https://luyenthitracnghiem.vn Đặt t  tanx  dt  1 dx cos2 x e tan x t t tan x  cos2 x dx   e dt  e  C  e  C Câu 60: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin4 x cos x. 1 A.  sin 5 x  C. 5 1 C. sin 5 x  C. 5 B. sin5 x  C. D.  sin5 x  C. Lời giải Chọn C Đặt t  sinx  dt  cos xdx t5 1 5  sin x cos xdx   t dt  5  C  5 sin x  C 4 4 Câu 61: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  cos2 x sin x. https://www.facebook.com/vietgold A. 1 cos3 x  C. 3 C.  cos3 x  C. 1 B.  cos3 x  C. 3 D. cos3 x  C. Lời giải Chọn B Đặt t  cos x  dt   sin xdx 2 2  cos x sin xdx   t dt  t 3 1  C  cos3 x  C 3 3 Câu 62: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  x2 x1  2 3 ( x  4) x  1  C. B. ( x  4) x  1  C. 4 3 1 x  C. C.  C. D. x  1  x1 2( x  1) x  1 A. Lời giải Chọn B Đặt t  x  1  t 2  x  1  2tdt  dx  77  t2  1  2t 3 2 dx    2t  C  2tdt   2t  2 dt  3 x1  t  x2   Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB  2  x  1 x  1 3  2 x1 C  2  x  4 x  1  C 3 Câu 63: Cho F( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x)    1 1 thỏa mãn F(0)   ln 4. Tìm tập nghiệm 3 e 3 x S của phương trình 3F( x)  ln e x  3  2. A. S  2 . B. S  2; 2 . D. S  2;1. C. S  2;1. https://luyenthitracnghiem.vn Lời giải Chọn A F ( x)   1 ex dx   e x e x  3 dx ex  3   Đặt t  e x  dt  e xdx ex  e e x  x 3  dx      ln  e ln e x 3 x 1 ln t ln t  3 1 1  dt      C  dt   3t 3  t  3   3 3 t t  3   3   C  x  ln  e 3 3 x 3 3  C 1 ln 4 1 F(0)   ln 4    C   ln 4  C  0 3 3 3   Câu 64: Đặt I       ln   e x   3  2  x  2. https://www.facebook.com/vietgold  x ln e x  3 Ta có: 3F( x)  ln e  3  2  3   3 3  x cos x sin x dx . Tìm T  4 J  2I dx , J   sin x  cos x sin x  cos x A. T  x  3ln sin x  cos x  C. B. T  x  3ln sin x  cos x  C. C. T  3x  ln sin x  cos x  C. D. T  2x  ln sin x  cos x  C. Lời giải Chọn A Ta có: I  J   1.dx  x  C1 ; I  J   Do đó I  x  ln sin x  cos x 2  cos x  sin x dx  ln sin x  cos x  C2 sin x  cos x x  ln sin x  cos x C1  C2 C1  C2 ;J   2 2 2 Suy ra: T  4 J  2I = x  3ln sin x  cos x  C Câu 65: Tìm một nguyên hàm của hàm số f  x   ln x . ln 2 x  1 . x 78 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB  ln A.   ln B. 3 3  ln x  1 C. https://luyenthitracnghiem.vn x1 2 2  ln D. 3 3 x1  3 3 2 x 1   ln 2 x 1  3 3 Lời giải Chọn A F  x   ln x ln x ln 2 x  1dx . Đặt t  ln 2 x  1  t 2  ln 2 x  1  tdt  dx x x Khi đó F  x    t 2 .dt  3 t C  3  ln 2 x  1 3  C 3 Câu 66: Tìm hàm số f  x  , biết rằng f ‘  x   x 1  x2 và 3 f  0   4  A. x2 C. 1  x2  3 3  1  x2 1  x2 1 B. 2 1  2 3 1 D.  1  x2 3  1 3 Lời giải https://www.facebook.com/vietgold Chọn A Ta có f  x    f ‘  x  dx   x 1  x 2 dx   1 1 x 2 1 2 2  d 1  x   3   2  1  0       C  4  C  1 Mà 3 f  0   4 nên 3     3     f  x   1  x2 3  3 1 Câu 67: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   79   x2  1   x2  1   x2  1   x2  1 A. F  x   2 3 2 2 x  x 1 3 3 B. F  x   2 3 2 2 x  x 1 3 3 C. F  x   2 3 2 2 x  x 1 3 3 D. F  x   2 3 2 2 x  x 1 3 3 2x x  x2  1 2  1  x2 3  C 3 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Lời giải Chọn A F  x    dx   2 x x  x 2  1 dx   2x 2 dx   2x x 2  1dx x  x 1 2 1    2x      2 3 2 2 x   x2  1 2 d x2  1  x3  x2  1 3 3 3 x2  1  C C. 3 bằng D. 2 Lời giải Chọn C Ta có: F  x   1 dx   sin x 1 1 1  x x dx   dx   d  tan   ln tan  C x x x x x  2 2 2 sin .cos 2 tan cos 2 tan 2 2 2 2 2 https://luyenthitracnghiem.vn  2   3  F   1 Câu 68: Hàm số f  x   có một nguyên hàm là F  x  thoã F    0 . Giá trị của e  sin x 3 1 1 A. B. 3 2  3 1    ln 3  ln 3 Mà F    0 nên ln tan  C  0  C   ln 6 3 2 3 Do đó: e  2  F   3  e ln tan  3 1  ln 3 2  e ln 3  3 Câu 69: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x    x2  1 e x 3 x , biết rằng đồ thị của hàm số F  x  có 3 điểm cực tiểu nằm trên trục hoành C. ex 3 3 x e 2 ex B.  e2 3 x2 3e D. 3 3 ex 3 3 x https://www.facebook.com/vietgold A. e x3  3 x 1 2 1 3 Lời giải Chọn B   Ta có: F  x    x2  1 e x 3 3 x dx      x  1 3x Mà: F ‘  x   f  x   x2  1 e x F ”  x   2x.e x 3 3 x  2  1 x3  3 x 1 3 e d x 3  3x  e x  3 x  C  3 3 3 3 x 2  0  x  1   3 ex 3 3 x ; F ” 1  0; F ”  1  0 . Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x  1 . Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là A  1,0  Suy ra F 1  0  1 2 1 e C  0  C   2 3 3e 80 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Do đó F  x   ex 3 3 x2 3e 1 2 https://luyenthitracnghiem.vn ĐÁP ÁN ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN 2 1.A 2.A 3.B 4.C 5.D 6.A 7.A 8.B 9.B 10.B 11.B 12.B 13.D 14.C 15.D 16.C 17.C 18.B 19.B 20.A 21.C 22.B 23.B 24.A 25.A 26.A 27.A 28.A 29.C 30.B ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN 3 (NHÓM BÀI NÂNG CAO CÓ MẪU VÀ HƯỚNG DẪN) Câu 70: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT 2019)Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  4x(1  ln x) là A. 2×2 ln x  3×2 . C. 2×2 ln x  3×2  C. D. 2×2 ln x  x2  C. B. 2×2 ln x  x2 . Hướng dẫn: Nhân phân phối và tách ra hai bài nguyên hàm. Lời giải Chọn D https://www.facebook.com/vietgold  1 u  1  ln x du  dx Đặt   x dv  4 xdx v  2 x 2   f  x  dx  1  ln x  2x   2xdx  1  ln x  2x Khi đó: Câu 71: Giả sử 2 (2 x  3)dx 1  x( x  1)( x  2)( x  3)  1   g( x)  C 2  x2  C  x2 1  2 ln x   C với C là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình g( x)  0 bằng A. 1. B. 1. C. 3. D. 3. Hướng dẫn: Dựa vào phương trình ( x  a)( x  b)( x  c)( x  d)  e với a  b  c  d, ta sẽ nhóm ( x  a)( x  d) . ( x  b)( x  c)  e , sau đó sẽ đặt t  ( x  a)( x  d). Cụ thể: x( x  1)( x  2)( x  3)  1  x( x  3)[( x  1)( x  2)]  ( x2  3x)( x2  3x  2). Đặt t  x2  3x  dt  (2x  3)dx là phần còn lại của nguyên hàm. Lời giải Chọn D Ta có: I   (2 x  3)dx (2 x  3)dx  2 x( x  1)( x  2)( x  3)  1 ( x  3x  2)( x2  3x)  1 Đặt t  x2  3x  dt   2x  3  dx Khi đó: 81 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB I dt dt 1 1   C   2  C  g  x  x 2  3x  1. 2 (t  2) t  1 x  3x  1  t  1 t  1 Theo định lý Viet ta thấy phương trình g  x   0 có hai nghiệm x1 ; x2 và x1  x2  3. Mẫu 1. Cho hàm số f ( x) xác định trên {1} thỏa f ( x)  2 ; f (0)  3 và f (2)  4. Tính giá trị của x 1 biểu thức P  f (2)  f (5). 2 ln( x  1)  C1 khi x  1 2 dx  2 ln x  1  C   . 2 ln(1  x )  C khi x  1 x 1  2  f (0)  3 2 ln(1  0)  C2  3 C1  4 2 ln( x  1)  4 khi x  1    f ( x)   . Do   f (2)  4 2 ln(2  1)  C1  4 2 ln(1  x)  3 khi x  1 C2  3 Khi đó: P  f (2)  f (5)   2 ln[1  ( 2)]  3   2 ln(5  1)  4   2 ln 3  2 ln 4  7. Câu 72: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2018 – Câu 37)Cho hàm số f ( x) xác định trên thỏa mãn f ( x)  A. P  4  ln15. 1   2 2 ; f (0)  1 và f (1)  2. Tính P  f (1)  f (3). 2x  1 B. P  2  ln15. C. P  3  ln15. https://luyenthitracnghiem.vn Giải. Ta có: f ( x)   f ( x)dx   D. P  ln15. Lời giải Chọn C https://www.facebook.com/vietgold  1 ln(2 x  1)  C1 khi x   2  2. Ta có: f ( x)   f ( x)dx   dx  ln 2 x  1  C   2x  1 ln(1  2 x)  C khi x  1 2   2  1 ln(2 x  1)  2 khi x  2 C1  2  f (0)  1 ln(1  0)  C2  1    f ( x)   . Do   f (1)  2 ln(2  1)  C1  2 C2  1 ln(1  2 x)  1 khi x  1  2 Khi đó: P  f (1)  f (3)   ln 3  1   ln 5  2   ln15  3. Câu 73: Cho hàm số f ( x) xác định trên {1} thỏa f ( x)  1 , f (0)  2017, x 1 f (2)  2018. Giá trị của biểu thức T   f (3)  2018   f ( 1)  2017  bằng A. 1  ln2 2 . B. 2ln 2 . C. ln 2 2 . D. 1 . Lời giải Chọn C 82 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Ta có: f ( x)   f ( x)dx   ln( x  1)  C1 khi x  1 1 dx  ln x  1  C   . x 1 ln(1  x)  C2 khi x  1 https://luyenthitracnghiem.vn C  2018  f (0)  2017 ln(1  0)  C2  2017   1 Do  .  f (2)  2018 ln(2  1)  C1  2018 C2  2017 Khi đó: T   f (3)  2018   f ( 1)  2017     ln  3  1  2018  2018  ln 1   1  2017  2017     ln 2.ln 2  ln2 2 . Câu 74: Cho y  f ( x) xác định trên f (3)  {2} thỏa mãn f ( x)  4 1 ; f (0)  ln 6 và 3x  6 3 4 ln 3. Tính P  f (7)  f (11) . 3 A. P  ln162 . C. P  2 ln 3 . B. P  ln18 . D. P  3  ln 2 . Lời giải Chọn A 1  3 ln( x  2)  C1 khi x  2 1 1 Ta có: f ( x)   f ( x)dx   . dx  ln x  2  C   3x  6 3  1 ln(2  x)  C khi x  2 2  3 https://www.facebook.com/vietgold   f (0)  Do   f (3)   4 1 4  4 ln 6 ln(2  0)  C2  ln 6 C1  ln 3     3 3 3  3  4 1 4 C  ln 2  4 ln 3 ln 3.  ln(3  2)  C1  ln 3   2 3 3 3 3 1 4 khi x  2  3 ln( x  2)  3 ln 3  f ( x)   .  1 ln(2  x)  ln 2  4 ln 3 khi x  2  3 3 1 4  1 4  Khi đó: P  f ( 7)  f (11)   ln[2  ( 7)]  ln 2  ln 3    ln(11  2)  ln 3  3 3 3  3   4ln 3  ln 2  ln162 . Câu 75: Cho hàm số f ( x) xác định trên * thỏa mãn f ( x)  1 , f (1)  1, f (1)  0 và x2 f (2)  0. Giá trị của biểu thức f ( 2) bằng A. 1  2ln 2 . B. 2  ln 2 . C. 3  ln 2 . Lời giải Chọn A 83 D. ln 2 . Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Ta có: f ( x)   f ( x)dx   1 1 dx    C . 2 x x  1  Suy ra f ( x)   f ( x)dx    +C  dx   ln x  Cx  C  x   ln x  Cx  C1 khi x  0  .  ln(  x)  Cx  C2 khi x  0 https://luyenthitracnghiem.vn  f ( 1)  1  ln1  C.  1  C2  1 C1   ln 2     C2  1  ln 2 Do  f (1)  0   ln1  C.1  C1  0  f (2)  0  ln 2  C.2  C  0 C  ln 2 1     ln x  x ln 2  ln 2 khi x  0  f ( x)   .  ln(  x)  x ln 2  1  ln 2 khi x  0 Khi đó: f (2)   ln 2  2ln 2  1  ln 2  1  2ln 2 . Câu 76: Cho hàm số f ( x) xác định trên {2} thỏa f ( x)  2x  4 , f (1)  1 và f (3)  2. Giá trị của biểu thức f (1)  f (4) bằng bao nhiêu? A. 6 . C. 14 . B. 2 . D. 0 . Lời giải Chọn A Ta có:   2 x  4  dx khi x  2  f ( x)   f ( x)dx   2 x  4 dx      4  2 x  dx khi x  2 https://www.facebook.com/vietgold  x 2  4 x  C1 khi x  2  . 2 4 x  x  C2 khi x  2 4.1  12  C2  1 C  2  f (1)  1  2  2 Do   f (3)  2 3  4.3  C1  2 C1  1  x 2  4 x  1 khi x  2  f ( x)   . 2 4 x  x  2 khi x  2   2 Khi đó: f (1)  f (4)  4.  1   1  2   4 2  4.4  1  6 .   Câu 77: Xét hàm số y  f ( x) xác định trên f ( x)  {1}, có f (0)  2 và f (2)  1. Biết rằng hàm số ax  b có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Tính giá trị của f (1)  f (3). xc A. f (1)  f (3)  2 ln 2 . B. f (1)  f (3)  6 . C. f (1)  f (3)  6  2 ln 2 . D. f (1)  f (3)  3  2 ln 2 . Lời giải 84 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Chọn D Từ đồ thị hàm số f ( x)  ax  b ax ta thấy: Đồ thị đi qua gốc tọa độ do đó b  0  f ( x)  . xc xc ax có đồ thị như hình vẽ nên a  0 , suy ra xc đồ thị có đường tiệm cận đứng của đồ thị là x  c và đường tiệm cận ngang là y  a . Từ đồ https://luyenthitracnghiem.vn Mà f ( x)  thị ta thấy đồ thị có đường tiệm cận đứng x  1 ; đường tiệm cận ngang y  1 Suy ra a  1 và c  1 . Vậy f ( x)  Ta có: f ( x)   f ( x)dx   x . x 1 x  1  dx    1  dx  x  ln x  1  C x 1 x  1    x  ln( x  1)  C1 khi x  1  . x  ln(1  x )  C khi x  1  2  x  ln( x  1)  1 khi x  1  f (0)  2  0  ln  1  0   C2  2 C1  1  f  x   Do  .   x  ln(1  x )  2 khi x  1 C  2 2  ln 2  1  C  1     f (2)  1   2 1    Khi đó f ( 1)  f (3)  1  ln 1   1  2   3  ln  3  1  1  3  2 ln 2 .   Mẫu 2. Hàm số F( x) liên tục trên 2 3x  5 khi x  0 . Biết , là một nguyên hàm của hàm số f ( x)   5cos x khi x  0     rằng F     F(1)  3. Giá trị của biểu thức T  F(2)  2 F    bằng bao nhiêu?  2  6 https://www.facebook.com/vietgold Lời giải  x3  5x  C1 khi x  0 F ( x )  f ( x )d x  . Ta có:   5sin x  C2 khi x  0     Theo đề F     F(1)  2  5sin     C2  13  5.1  C2  3  C1  C2  2 (1)  2  2 Vì hàm số F( x) liên tục trên nên liên tục tại điểm x  0, tức có: lim F( x)  lim F( x)  F(0)  C2  C1 nên kết hợp (1)  C1  C2  1. x 0 x 0  x 3  5x  1 khi x  0 . Suy ra: F( x)   5sin x  1 khi x  0       Do đó: T  F(2)  2 F     2 3  5.2  1  2 5sin     1  22.  6  6   3×2  2 khi x  2 f ( x )  . Câu 78: Biết rằng F( x) liên tục trên , là một nguyên hàm của hàm số  3 4 x  18 khi x  2  Giá trị của biểu thức F(1)  F(3) bằng A. 7. B. 18. C. 8. D. 32. 85 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Lời giải Chọn B  x3  2 x  C1 khi x  2 . Ta có: F( x)   f ( x)dx   4  x  18 x  C2 khi x  2 nên liên tục tại điểm x  2, tức có: Vì hàm số F( x) liên tục trên x 2 Do đó: F(1)  F(3)  1  18  C2    27  6  C1   14  C1  C2   14  32  18 . 2 x khi x  1 có một nguyên hàm là hàm số F( x) thỏa mãn F(0)  1 2 3x  1 khi x  1 Câu 79: Cho hàm số f ( x)   và F( x) liên tục trên A. 7. . Giá trị của T  F(1)  F(2) bằng C. 8. B. 5. D. 6. Lời giải Chọn B  x2  C1 khi x  1 F ( x )  f ( x )d x  . Ta có:   3 x  x  C khi x  1  2 https://luyenthitracnghiem.vn lim F( x)  lim F( x)  F(2)  12  C1  20  C2  C1  C2  32 x 2  Theo đề F  0   1  C2  1 (1) nên liên tục tại điểm x  1, tức có: Vì hàm số F( x) liên tục trên  x 2 khi x  1 . Suy ra: F( x)   3  x  x  1 khi x  1   Do đó: T  F(1)  F(2)   1  1  1  22  5 . sin x  x cos x khi x  0 , là nguyên hàm của hàm số f ( x)   và khi x  0 2( x  1) F( )  F(1)  1. Giá trị của biểu thức F(2 )  F(5) bằng Câu 80: Biết rằng F( x) liên tục trên A. 17. B. 2  3. C. 8. D.   1. Lời giải Chọn A  x sin x  C1 khi x  0 . Ta có: F( x)   f ( x)dx   2  x  2 x  C2 khi x  0   Theo đề F( )  F( 1)  1.   sin    C1  1  2  C2   1  C1  C2  2 (1) Vì hàm số F( x) liên tục trên nên liên tục tại điểm x  0, tức có: 86 https://www.facebook.com/vietgold C  1 lim F( x)  lim F( x)  F(1)  1  C1  C2 nên kết hợp (1)   2 x 1 x 1 C1  0 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB lim F( x)  lim F( x)  F(0)  C2  C1 nên kết hợp (1)  C1  C2  1. x 0 x 0 https://luyenthitracnghiem.vn  x sin x  1 khi x  0 . Suy ra: F( x)   2  x  2 x  1 khi x  0 Do đó: T  F(2 )  F(5)   2 sin  2   1   25  10  1  17.  1 khi x  0  , là một nguyên hàm của hàm f  x    2 x  1 . Biết  2 x  1 3 khi x  0   Câu 81: Biết F  x  liên tục trên F  4   F  1  8 . Tính P  F  2   F 12  . A. 20 . B. 281 . 16 C. 27 . 121 . 8 Lời giải Chọn A  2x  1  C  1 khi x  0 1 khi x  0   4 là nguyên hàm của f  x  . f  x    2x  1  F  x    2x  1   3   2 x  1 khi x  0  C2 khi x  0   8  Từ đó suy ra: F  4   F  1  8  8  1  C1  2  1   4  1 2.12  1  Ta có: P  F  2   F  12   https://www.facebook.com/vietgold D. 8 Câu 82: Cho hàm số y  f  x  xác định trên 4 8  C2  8  C1  C2  39 . 8 4  C1  C2  20 . 0 thỏa mãn 2xf  x   x2 f   x   1 và f  1  0 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại giao điểm với trục hoành là A. y  x  1 . B. y  2x  2 . D. y  x . C. y  x . Lời giải Chọn A   f  x   x f   x   1   x f  x   1 . Ta có: 2 xf  x   x2 f   x   1  x2 2 2 Lây nguyên hàm hai vế ta được:    x f  x  .dx   1.dx  x f  x   x  C . Lại có: f 1  0  1. f 1  1  C  C  1 . 2 2 x 1 . x2 x 1 Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2  0  x  1 (thỏa mãn). x 2x Ta có: f ‘  x   3  f   1  1 ; f  1  0 . x Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là: Từ đó suy ra: x2 f  x   x  1  f  x   y  f  1 x  1  f 1  y  x  1 . 87 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Câu 83: Cho hàm số y  f  x  xác định trên 0 thỏa mãn f  x   xf   x   3×2 và f  2   8 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại giao điểm với trục hoành là A. y  x  1 . D. y  6x  12 . C. y  4 x . B. y  2x  4 . Lời giải Chọn D   https://luyenthitracnghiem.vn Ta có: f  x   xf   x   3×2   x  f  x   xf   x   3×2  xf  x  ‘  3×2 . Lây nguyên hàm hai vế ta được:    xf  x  .dx   3x .dx  xf  x   x  C . Lại có: f  2   8  2. f  2   8  C  2.8  C  8  C  8 . 2 3 Từ đó suy ra: xf  x   x3  8  f  x   Xét phương trình hoành độ giao điểm x3  8 . x x3  8  0  x  2 . x 2 x3  8  f   2   6 ; f  2   0 . x2 Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là: y  f   2  x  2   f  2   y  6  x  2   y  6x  12 . Ta có: f   x   Câu 84: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f   x  . f 2  x   x2 và f  2   2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số g  x   f  x   x2 tại điểm có hoành độ bằng 3 là A. y  7 x  9 . B. y  x  2 . C. y  4x  4 . D. y  x . https://www.facebook.com/vietgold Lời giải Chọn A Ta có: f   x  . f 2  x   x2 . Lây nguyên hàm hai vế ta được:  f 3  x  x3 x3 f   x  . f  x .dx   x .dx   f  x .df  x    C   C . 3 3 3 2 2 f  2  2  Suy ra: f 3 f 3  2 3  x  x 3 3 3  2 23 8 8 C   C  C  0. 3 3 3  f  x  x . Vậy g  x   x2  x  g ‘  x   2x  1 . Ta có: g ‘  3   7; g  3   12 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 là: y  g  3  x  3   g  3   y  7  x  3   12  y  7 x  9 . Câu 85: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f   x   f  x   e x và f  0   2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x   f  x  tại giao điểm với trục hoành là 88 “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB B. y  e2  x  4  . A. y  x  2 . C. y  e2  x  2  . D. y  x . Lời giải Chọn C https://luyenthitracnghiem.vn Ta có: f   x   f  x   e x .  Nhân cả 2 vế với e  x ta được: e  x f   x   e  x f  x   1  e  x f  x   1 .   Lây nguyên hàm hai vế ta được:    e f  x  .dx   1.dx  e f  x   x  C . f 0  2  f 0  0  C  C  2 . x x Suy ra: e  x f  x   x  2  f  x   x2   x  2  ex  f   x    x  3 ex . x e Xét phương trình hoành độ giao điểm  x  2  e x  0  x  2 . Ta có: f   2    2  3  e2  e 2 ; f  2   0 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 là: y  e2  x  2  . Câu 86: THIẾU Câu 87: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x   f ‘  x   e  x , x  và f  0   2 . Tất cả các nguyên https://www.facebook.com/vietgold hàm của f  x  e 2x là A.  x  2  e x  e x  C . B.  x  2  e 2 x  e x  C . C.  x  1 e x  C . D.  x  1 e x  C . Lời giải Chọn D   f  x  f ‘  x  ex  ex . f  x  ex f ‘  x  1  ex . f  x  ‘  1  e x . f  x   x  C Mà f  0   2 , suy ra f  x    f  x e 2x dx  x2 . ex x  2 2x e dx   x  2  e x dx   x  2  d e x   x  2  e x   e xdx x e     x  2  e x  e x  C   x  1 e x  C Câu 88: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f 2  x   2x. f  x  . f ‘  x   5×4 , f  x   0 và f 1  1 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm M có hoành độ x  2 là A. y  2x  1 . B. y  x  4 . C. y  4x  4 . D. y  x . Lời giải 89 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Chọn C f 2  x   2x. f  x  . f ‘  x   5×4  2 f 2  x   4x. f  x  . f ‘  x   10x 4    2x. f 2  x  ‘  10×4  2x. f 2  x   2x 5  C Mà f 1  1  2.1  2  C  C  0 , suy ra f 2  x   x4  f  x   x2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M có hoành độ x  2 là y  4  x  2   f  2   4x  4 . thỏa mãn các điều kiện f  x   0, x  , Câu 89: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên f ‘  x   e x . f 2  x  , x  và f  0   1 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm 2 có hoành độ x0  ln 2 là A. 2x  9 y  2 ln 2  3  0 . B. 2x  9 y  2 ln 2  3  0 . C. 2x  9 y  2 ln 2  3  0 . D. 2x  9 y  2 ln 2  3  0 . https://luyenthitracnghiem.vn f ‘  x   2x, f ‘  2   4 . Lời giải Chọn A x  , f  x   0, f ‘  x   e x . f 2  x   f ‘  x  e  x  e x  1  e x  C f  x 1 1 suy ra C  1 và f  x   x . 2 e 1 e x x f 2  1 2  f ‘  ln 2   2 1 , f  ln 2   . 9 3 Phương trình tiếp tuyến tại hoành độ x0  ln 2 là: y 2 1 x  ln 2    2 x  9 y  2 ln 2  3  0  9 3 Câu 90: Cho hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f 1  1 , f  x   f ‘  x  . 3x  1, x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2  f  5   3 . B. 1  f  5   2 . C. 4  f  5   5 . D. 3  f  5   4 . Lời giải Chọn D 90 https://www.facebook.com/vietgold Mà f  0   f ‘  x “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Vì f  x   0 và f  x   f ‘  x  . 3x  1 ta suy ra https://luyenthitracnghiem.vn  f ‘  x f  x 3x  1 . f ‘  x 1 2 3x  1 dx   dx  ln f  x   C 3 f  x 3x  1 Mà f  1  1 suy ra C  4 và f  x   e 3 3 2 3 x 1  4 3 4 . f  5   e 3  3,79 . Câu 91: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 0; 3  thỏa mãn f  x   1, f  0   0 , và  x2  1. f ‘  x   2 x. f  x   1 . Giá trị của f A. 0 .   3  bằng C. 7 . B. 3 . D. 9 . Lời giải Chọn B Vì f  x   0 và f  x   f ‘  x  . 3x  1 ta suy ra f ‘  x  f  x  dx   1 3x  1 dx  ln f  x   f ‘  x f  x 1  3x  1 . 2 3x  1 C 3 4 Mà f  1  1 suy ra C  và f  x   e 3 3 2 https://www.facebook.com/vietgold 1  3 x 1  4 3 4 3 . f  5   e  3,79 . Câu 92: Cho hai hàm số y  f ( x) và y  g( x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa các hệ thức f (1)  g(1)  4, g( x)  x. f ( x) và f ( x)  x.g( x). Giá trị của f (4)  g(4) bằng A. 1 . B. ln 2 . D. 2ln 2 . C. ln 3 . Lời giải Chọn A Ta có g( x)  x. f ( x) và f ( x)  x.g( x)   Suy ra f  x   g( x)   x. f ( x)  g  x   f ( x)  g  x  f  x   g( x)   1 . x  4 4 4 d f x  g( x) f ( x)  g  x     4 1 dx  dx    ln x   ln 4 Từ đó suy ra      1   x f x  g ( x ) f x  g ( x )     1 1 1   ln f  x   g( x)   ln 4  ln f  4   g(4)  ln f 1  g(1)   ln 4 4 1  ln f  4   g(4)  0  f  4   g  4   1  f  4   g  4   1 . Câu 93: Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên {0; 1}, thỏa mãn x( x  1) f ( x)  f ( x)  x2  x với mọi x  {0; 1} và f (1)  2 ln 2. Biết f (2)  a  b ln 3 với a, b  . Giá trị của tổng a2  b2 bằng 91 Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB B. 0,75 . A. 0, 5 . C. 13 . 4 D. 4, 5 . Lời giải Chọn D Ta có x( x  1) f ( x)  f ( x)  x 2  x  1  x  1 2 f  x  x x  x  x f  x    f  x   x1 x1 x 1 x 1  https://luyenthitracnghiem.vn  1 f x  f x  1 x  x  1  x  x x dx   dx  f  x   x  ln x  1  C Suy ra   f  x   x 1 x1 x1  1 Mà f 1  2 ln 2  2 ln  2  .  1  ln 2  C  C  1 . 2 Do đó f  x   x  1  x1 x1 1 x 1 ln x  1   x  ln x  1 . x x x x 3 1 3 3 3 3 9 Ta có f (2)  2   ln 3   ln 3 suy ra a  ; b   a2  b2  . 2 2 2 2 2 2 2 Câu 94: Cho hàm số y  f ( x) có có đạo hàm trên [1; 2] thỏa f (1)  4 và f ( x)  xf ( x)  2×3  3×2 . Giá trị của f (2) bằng A. 5 . D. 15. C. 10 . B. 20 . Lời giải Chọn f  x   ax3  bx2  cx  d .   Ta có f ( x)  xf ( x)  2×3  3×2  ax3  bx2  cx  d  x 3ax 2  2bx  c  2x 3  3x 2 .  a  3a  2 a  1   b  2 b  3 b  3 Suy ra  .  c  c c  0 d  0 d  0 Vậy f  x   x3  3×2 suy ra f  2   20 . Câu 95: Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên (0; ) thỏa mãn 2xf ( x)  f ( x)  3×2 x . Biết f (1)  0, 5. Giá trị của f (4) bằng A. 24 . B. 14 . C. 4 . D. 16. Lời giải Chọn D Ta có 2 xf ( x)  f ( x)  3x 2 x .  1 3x x f x  f x  2x 2 92 https://www.facebook.com/vietgold Chọn B “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB  1 2 x https://luyenthitracnghiem.vn Suy ra f  x  x f  x   2 3x  2    3x x f  x  2 2   3x 2 x3 x f  x  dx   dx  x f  x    C . 2 2 x2 x 1 . Vậy f (4)  16 .  C  C  0 . Do đó f  x   2 2 Mà f 1  0.5  f 1  Câu 96: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục trên , f (0)  0, f (0)  0, f ( 2)  2 và thỏa mãn hệ thức f ( x). f ( x)  18×2  (3×2  x) f ( x)  (6 x  1) f ( x);  . Giá trị của f ( 2) bằng A. 4 . C. 24 . B. 4 . D. 24 . Lời giải Chọn D f ( x). f ( x)  18 x 2  (3x 2  x) f ( x)  (6 x  1) f ( x)  2 f ( x). f ( x)  36 x 2  2(3x 2  x) f ( x)  2(6 x  1) f ( x)    2 f ( x). f ( x)  2(3×2  x) f ( x)  2(6 x  1) f ( x)  36 x2 f 2  x   2  3x 2        x f  x   36×2   f 2  x   2 3×2  x f  x  dx   36x 2dx     https://www.facebook.com/vietgold f 2  x   2 3×2  x f  x   12×3  C Ta có f  0   0  C  0 .  f  2   24 Vậy f 2  x   2 3x 2  x f  x   12 x 3  f 2  2   20 f  2   96   .  f  2   4   Vì f (2)  2 suy ra f  2   24 . Câu 97: Cho hàm số y  f ( x) liên tục, không âm trên đoạn [0;  /2] thỏa mãn f (0)  3 và f ( x). f ( x)  cos x. 1  f 2 ( x). Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y  f ( x)    trên đoạn  ;   6 2 A. m  21 , M2 2. 2 C. m  5 , M  3 . D. m  3, M  2 2 . 2 B. m  5 , M  3. 2 Lời giải Chọn A Ta có f ( x). f ( x)  cos x. 1  f 2 ( x)  93 f ( x). f ( x) 1  f 2 ( x)  cos x Nguyên hàm và các phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Suy ra  f ( x). f ( x) 1  f 2 ( x) dx   cos xdx      1  f 2 ( x) dx  sin x  C  1  f 2 ( x)  sin x  C . Mà f (0)  3 suy ra C  2 . Do đó ta có 1  f 2 ( x)  sin x  2  f 2  x   sin 2 x  4 sin x  3 . Vì f  x  không âm trên [0;  /2] nên ta có f  x   sin2 x  4 sin x  3 . https://luyenthitracnghiem.vn    Xét hàm số f  x   sin2 x  4 sin x  3 trên đoạn  ;  . 6 2 1  1  Đặt t  sin x , t   ;1  f  t   t 2  4t  3, t   ;1 . 2  2  Có f   t   1  1   0, t   ;1 suy ra hàm số đồng biến trên  ;1 . 2  2  t  4t  3 t2 2 1 21 21 ; f  1  2 2  M  2 2 , m  + f  . 2 2 2 Câu 98: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, dương trên , thỏa mãn f  0   1 và   f  x f  x  x  Khi đó x 1 2 hiệu T  f 2 2  2 f 1 thuộc khoảng B.  7; 9  . A.  2; 3  . D.  9;12  . C.  0;1 . Chọn C Ta có f  x f  x    x x 1   ln f  x   2  ln f  x   ln x 2  1  C . 2 x 1 x 1 2     1 Vì f  0   1 nên C  0  ln f  x   ln x2  1  f  x   x2  1 , 2   Suy ra T  f 2 2  2 f 1  3  2. 2  0,17 .    3   7 cos x  4 sin x  Giá trị F   bằng có một nguyên hàm F  x  thỏa F    cos x  sin x 4 8 2 3  11ln 2 3  ln 2 3 3 A. B. C. D.     4 4 8 4 Câu 99: Hàm f  x   Lời giải Chọn A 94 https://www.facebook.com/vietgold Lời giải “Thành công là nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Ta có f  x   7 cos x  4 sin x 3 cos x  sin x 11  sin x  cos x  .  . cos x  sin x 2 cos x  sin x 2 cos x  sin x Suy ra F  x    https://luyenthitracnghiem.vn  7 cos x  4 sin x 3 cos x  sin x 11  sin x  cos x dx   . dx   . dx cos x  sin x 2 cos x  sin x 2 cos x  sin x 3 11 x  ln cos x  sin x  C 2 2    3 3 11 3 11 Vì F      ln 2  C   C   ln 2 . 8 2 8 4 4 8    3 11 Vậy F     ln 2 . 4 2 4 https://www.facebook.com/vietgold ĐÁP ÁN ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN 3 95 1.D 2.D 3.C 4.C 5.A 6.A 7.A 8.D 9.B 10.B 11.A 12.C 13.A 14.D 15.A 16.C 17.C 18.D 19.C 20.A 21.D 22.B 23.A 24.D 25.B 26.D 27.D 28.A 29.C 30.A
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top