Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử THPT QG môn Toán

Giới thiệu Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử THPT QG môn Toán

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử THPT QG môn Toán CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử THPT QG môn Toán

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử THPT QG môn Toán

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử THPT QG môn Toán
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 NỘI DUNG CÂU HỎI π Z2 Câu 1. Tính tích phân I = (sin 2x + sin x) dx 0 A. I = 5. B. I = 3. C. I = 4. D. I = 2. Lời giải. π Z2 Ta có: I = Å 1 (sin 2x + sin x) dx = − · cos 2x − cos x 2 0 ã π 2 = 2. 0  Chọn đáp án D Z Å ã 3 2 2x − dx. Câu 2. Tính nguyên hàm I = x 2 A. I = x3 − 3 ln x + C. 3 2 3 C. I = x + 3 ln x + C. 3 Lời Zgiải. Å ã 3 2 2 I= 2x − dx = x3 − 3 ln |x| + C. x 3 Chọn đáp án B 2 B. I = x3 − 3 ln |x| + C. 3 2 D. I = x3 + 3 ln |x| + C. 3  Câu 3. Cho hai quả bóng A, B di chuyển ngược chiều nhau va chạm với nhau. Sau va chạm mỗi quả bóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quả bóng A nảy ngược lại với vận tốc vA (t) = 8 − 2t (m/s) và quả bóng B nảy ngược lại với vận tốc vB (t) = 12 − 4t (m/s). Tính khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi đã dừng hẳn (Giả sử hai quả bóng đều chuyển động thẳng). A. 36 mét. Lời giải. B. 32 mét. C. 34 mét. D. 30 mét. Thời gian quả bóng A chuyển động từ lúc vaZchạm đến khi dừng hẳn vA (t) = 0 ⇔ 8−2t = 0 ⇒ t = 4s. 4 (8 − 2t) dx = 16m Quãng đường quả bóng A di chuyển SA = 0 Thời gian quả bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn vB (t) = 0 ⇔ 12 − 4t = 0 ⇒ t = 3s. Z 3 (12 − 4t) dx = 18m Quãng đường quả bóng B duy chuyển SB = 0 Vậy: Khoảng cách hai quả bóng sau khi dừng hẳn là S = SA + SB = 34m. Chọn đáp án C  π  Câu 4. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R thỏa mãn f = −1 và với mọi x ∈ R ta có 2 π R4 f 0 (x) · f (x) − sin 2x = f 0 (x) · cos x − f (x). sin x. Tính tích phân I = f (x) dx. 0 √ √ 2 − 1. D. I = 2. A. I = 1. B. I = 2 − 1. C. I = 2 Lời giải. Ta có f 0 (x) · f (x) − sin 2x = f 0 (x) · cos x − f (x) · sin x ⇔ f 0 (x) · f (x) − sin 2x = [f (x) · cos x]0 . R R Lấy nguyên hàm hai vế: [f 0 (x) · f (x) − sin 2x] dx = [f (x) · cos x]0 dx f 2 (x) 1 ⇔ + cos 2x = cos x · f (x) + C. 2π  2 Vì f = −1 ⇒ C = 0 ⇒ f 2 (x) + cos 2x = 2 cos x · f (x) ⇔ f 2 (x) − 2 cos x · f (x) + cos2 x = sin2 x. 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 ” f (x) − cos x = sin x ⇔ (f (x) − cos x)2 = sin2 x ⇔ . f (x) − cos x = − sin x π  = −1 nên nhân f (x) = cos x − sin x. Vì f 2 π π R4 R4 Vậy I = f (x) dx = (cos x − sin x) dx = (cos x − sin x) 0 π 4 0 0 = √ 2 − 1.  Chọn đáp án B Z1 Câu 5. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn Z5 f (x)dx = 3 và 0 f (x)dx = 6. Tính tích 0 Z1 f (|3x − 2|)dx phân I = −1 B. I = −2. A. I = 3. C. I = 4. D. I = 9. Lời giải. 2 Z1 Z3 Z1 Ta có f (|3x − 2|)dx = f (−3x + 2)dx + f (3x − 2)dx = I1 + I2 . −1 Z −1 2 3 2 3 I1 = 1 f (−3x + 2)dx = − 3 −1 Z 2 3 f (−3x + 2)d(−3x + 2). −1 1 2 Đặt t = −3x + 2 suy ra x = −1 ⇒ t = 5; x = ⇒ x = 0. Do đó I1 = 3 3 Z5 f (t)dt = 2. 0 Z1 f (3x − 2)dx = I2 = 2 3 1 3 Z 1f (3x − 2)d(3x − 2). 2 3 1 2 Đặt t = 3x − 2 suy ra x = 1 ⇒ t = 1; x = ⇒ x = 0. Do đó I2 = 3 3 Z1 f (t)dt = 1. 0 Vậy I = I1 + I2 = 3.  Chọn đáp án A 3 2 x +1 Câu 6. Z Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x e Z. 3 3 A. f (x) dx = ex +1 + C. B. f (x) dx = 3ex +1 + C. Z Z x3 3 1 x3 +1 C. f (x) dx = e + C. D. f (x) dx = ex +1 + C. 3 3 Lời giải. Z Z 1 1 3 3 2 x3 +1 Ta có x e dx = ex +1 d(x3 + 1) = ex +1 + C. 3 3 Chọn đáp án C Câu 7. Z Mệnh đề nào sau đây đúng? A. xex dx = ex + xex + C. Z x2 C. xex dx = ex + C. 2 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Z B. Z D. 3  xex dx = −ex + xex + C. xex dx = ex + x2 x e + C. 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z Ta có Z x xe dx = x Z x x de = xe − Chương 3-Giải tích 12 ex dx = xex − ex + C.  Chọn đáp án B Câu 8. Tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 1 ln |5x + 4| + C. ln 5 1 C. F (x) = ln |5x + 4| + C. 5 Lời giải. Z 1 1 Ta có dx = ln |5x + 4| + C. 5x + 4 5 Chọn đáp án C 1 . 5x + 4 B. F (x) = ln |5x + 4| + C. 1 D. F (x) = ln(5x + 4) + C. 5 A. F (x) =  Câu 9. Cho hàm số f (x) = 2x + ex . Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn F (0) = 2019. A. F (x) = ex − 2019. B. F (x) = x2 + ex − 2018. C. F (x) = x2 + ex + 2017. D. F (x) = x2 + ex + 2018. Lời giải. Z F (x) = (2x + ex ) dx = x2 + ex + C. Do F (0) = 2019 nên 02 + e0 + C = 2019 ⇔ C = 2018. Vậy F (x) = x2 + ex + 2018. Chọn đáp án D  √ Câu 10. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện: f (0) = 2 2, f (x) > 0 với mọi x ∈ R p và f (x).f 0 (x) = (2x + 1) 1 + f 2 (x) với mọi x ∈ R. Khi đó giá trị f (1) bằng √ √ √ √ A. 15. B. 23. C. 24. D. 26. Lời giải. Z Z f (x) · f 0 (x) f (x) · f 0 (x) p Từ giả thiết ta có 2x + 1 = p ⇒ dx = (2x + 1) dx. 1 + f 2 (x) 1 + f 2 (x) Z f (x) · f 0 (x) p Bây giờ ta tính I = dx. 1 + f 2 (x) p 2 2 ⇒ 2f (x)f 0 (x)dx = 2tdt ⇒ f (x)f 0 (x)dx = tdt. Đặt 1 + fZ2 (x) = t ⇒ Z 1 + f (x) = t » t Do đó I = dx = dt = t + C = 1 + f 2 (x) + C. tp √ Ta nhận được 1 + f 2 (x) + C = x2 + x. f (0) = 2 2 ⇒ C = −3. p Từ đó 1 + f 2 (x) − 3 = x2 + x. Khi x = 1 ta có p √ 1 + f 2 (1) − 3 = 1 + 1 ⇒ 1 + f 2 (1) = 25 ⇒ f (1) = 24.  Chọn đáp án C Z1 Z1 f (x) dx = 2 và Câu 11. Cho 0 Z1 0 A. −3. [f (x) − 2g(x)] dx bằng g(x) dx = 5, khi đó 0 C. −8. B. 12. D. 1. Lời giải. Z1 Z1 Z1 [f (x) − 2g(x)] dx = f (x) dx − 2 g(x) dx = 2 − 2 · 5 = −8. 0 0 0  Chọn đáp án C Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + x là Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 1 B. ex + x2 + C. 2 x D. e + 1 + C. A. ex + x2 + C. 1 x 1 2 C. e + x + C. x+1 2 Lời giải. Z Z 1 f (x) dx = (ex + x) dx = ex + x2 + C 2 Chọn đáp án B  Câu 13. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây ? Z2 A. (2×2 − 2x − 4) dx. y = −x2 + 3 Z2 (−2x + 2) dx. B. −1 Z2 −1 Z2 (2x − 2) dx. C. y D. −1 2 −1 O x (−2×2 + 2x + 4) dx. y = x2 − 2x − 1 −1 Lời giải. Z2 S= Z2   (−x2 + 3) − (x2 − 2x − 1) dx = −1 (−2×2 + 2x + 4) dx. −1  Chọn đáp án D Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x(1 + ln x) là A. 2×2 ln x + 3×2 . B. 2×2 ln x + x2 . C. 2×2 ln x + 3×2 + C. D. 2×2 ln x + x2 + C. Lời giải. Z Z (1 + ln x) d(2×2 ) Z 1 2 = 2x (1 + ln x) − 2×2 dx x 4x(1 + ln x) dx = = 2×2 (1 + ln x) − x2 + C = 2×2 ln x + x2 + C.  Chọn đáp án D Z1 Câu 15. Cho x dx = a + b ln 2 + c ln 3 với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a + b + c (x + 2)2 0 bằng A. −2. B. −1. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 2. 5 D. 1. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Z1 x dx = (x + 2)2 Z1 0 x+2−2 dx (x + 2)2 0 Z1 = x+2 dx − (x + 2)2 = 2 dx (x + 2)2 0 0 Z1 Z1 1 dx − x+2 0 Z1 2 dx (x + 2)2 0 1 2 = ln |x + 2| + x+2 0 1 = ln 3 − ln 2 − . 3 1 0 1 Nên a = − , b = −1, c = 1, suy ra 3a + b + c = −1. 3 Chọn đáp án B  Câu 16. Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1 , A2 , B1 , B2 như B2 2 hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200.000 đồng/m và phần còn lại là 100.000 đồng/m2 . Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết A1 A2 = 8m, B1 B2 = 6m và tứ giác M N P Q là hình chữ nhật có M Q = 3m ? M N A1 A2 Q A. 7.322.000 đồng. B. 7.213.000 đồng. C. 5.526.000 đồng. Lời giải. D. 5.782.000 đồng. P B1 x2 y 2 Giả sử phương trình elip (E) : 2 + 2 = 1. a b ( ( ( A1 A2 = 8 2a = 8 a=4 Theo giả thiết ta có ⇔ ⇔ B1 B2 = 6 2b = 6 a=3 2 2 x y 3√ Suy ra (E) : + =1⇒y=± 16 − x2 . 16 9 4 Diện tích của elip (E) là S(E) = πab = 12π (m2 ). ( √ 3 √ 3 M = d ∩ (E) 3 Ta có: M Q = 3 ⇒ với d : y = ⇒ M (−2 3; ) và N (2 3; ). 2 2 2 N = d ∩ (E) Z4 √ √ 3 Khi đó, diện tích phần không tô màu là S = 4 ( 16 − x2 )dx = 4π − 6 3(m2 ). 4 √ 2 3 √ Diện tích phần tô màu là S 0 = S(E) − S = 8π + 6 3. Số tiền để sơn theo yêu cầu bài toán là √ √ T = 100.000 × (4π − 6 3) + 200.000 × (8π + 6 3) ≈ 7.322.000 đồng.  Chọn đáp án A Câu 17. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x + sin x là x2 A. x2 + cos x + C. B. x2 − cos x + C. C. − cos x + C. 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 6 D. x2 + cos x + C. 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Z (x + sin x) dx = Cách 1: Dựa vào bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản ta có x2 − cos x + C. 2 Cách 2: Lấy đạo hàm các hàm số trên ta được kết quả.  Chọn đáp án C Z2 Z2 g(x)dx = −1, khi đó f (x)dx = 2 và Câu 18. Cho −1 Z2 −1 [x + 2f (x) + 3g(x)] dx bằng −1 5 7 17 11 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải. Z2 Z2 Z2 Z2 3 5 Ta có: [x + 2f (x) + 3g(x)]dx = xdx + 2 f (x)dx + 3 g(x)dx = + 4 − 3 = . 2 2 −1 −1 −1 −1  Å ã 1 201 . Giá trị F là Câu 19. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e2x và F (0) = 2 2 1 1 1 B. 2e + 200. C. e + 50. D. e + 100. A. e + 200. 2 2 2 Lời giải. Z 1 Ta có F (x) = e2x dx = e2x + C. 2 201 1 201 Theo đề bài ta có F (0) = ⇔ e0 + C = ⇔ C = 100. 2 2 2 1 1 Vậy F (x) = e2x + 100 ⇒ F (2) = e + 100. 2 2 Chọn đáp án D  Z Câu 20. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) · g(x) biết F (1) = 3, biết f (x)dx = x + 2018 Z và g(x)dx = x2 + 2019. Chọn đáp án A A. F (x) = x3 + 1. B. F (x) = x3 + 3. C. F (x) = x2 + 2. D. F (x) = x2 + 3. Lời giải. Z Ta có f (x)dx = x + 2018 ⇒ f (x) = (x + 2018)0 = 1 Z và g(x)dx = x2 + 2019 ⇒ g(x) = (x2 + 2019)0 = 2x. Z ⇒ f (x) · g(x) = 2x ⇒ F (x) = f (x) · g(x)dx = x2 + C. Mặt khác F (1) = 3 ⇒ 12 + C = 3 ⇒ C = 2. Vậy F (x) = x2 + 2. Chọn đáp án C Z Câu 21. Cho 0  2 1 dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a, b, c là các số thực. Giá trị của (x + 1)(x + 2) a + b2 − c3 bằng A. 3. B. 6. C. 5. D. 4. Lời giải. Z3 Z3 Å ã dx 1 1 x+1 Ta có = − dx = ln (x + 1)(x + 2) x+1 x+2 x+2 2 2 3 = ln 2 4 3 − ln = 4 ln 2 − ln 3 − ln 5. 5 4 Suy ra a = 4, b = −1, c = −1. Vậy a + b2 − c3 = 6. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 7 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án B x Câu 22. Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên 0; , thỏa mãn f (x) + tan xf 0 (x) = . 2 cos3 x π  √ π  √ Biết rằng 3f −f = aπ 3 + b ln 3 trong đó a, b ∈ R. Giá trị của biểu thức P = a + b 3 6 bằng 14 2 7 4 A. . B. − . C. . D. − . 9 9 9 9 Lời giải. x x x Ta có f (x) + tan xf 0 (x) = ⇔ cos x · f (x) + sin xf 0 (x) = ⇔ [sin x · f (x)]0 = . 3 2 cos cos x cos2 x Z Z x Z x x Do đó [sin x · f (x)]0 dx = dx ⇒ sin x · f (x) = dx. 2 cos x cos2 x Z x dx. Tính I = cos2 x  ( u = x du = dx Đặt ⇒ dx  dv = v = tan x. cos2 x Z Z d cos x = x · tan x + ln | cos x|. Khi đó I = x · tan x − tan x dx = x · tan x − cos x x · tan x + ln | cos x| x ln | cos x| Suy ra f (x) = = + . sin x cos x Å sin x √ √ å ã Ç √     √ √ √ 2π 2 ln 2 5π 3 π 3 π π 3 Do 3f −f = aπ 3 + b ln 3 = 3 − √ + 2 ln = ln 3. − 3 6 3 9 2 9 3  a = 5 9 . Khi đó  b = −1 4 Vậy P = a + b = − . 9 Chọn đáp án D   π Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3×2 − 1 là x3 3 + x + C. C. 6x + C. A. x + C. B. 3 Lời giải. Z Z Ta có f (x)dx = (3×2 − 1) dx = x3 − x + C. D. x3 − x + C.  Chọn đáp án D Z1 Câu 24. Giá trị của (2019×2018 − 1)dx bằng 0 A. 0. B. 22017 + 1. C. 22017 − 1. Lời giải. Z1 Z1 Z1 (2019×2018 − 1)dx = 2019 x2018 dx − dx = (x2019 − x + C) D. 1. 1 =0 0 0 0 0  Chọn đáp án A Câu 25. Hàm số f (x) = cos(4x + 7) có một nguyên hàm là 1 A. − sin(4x + 7) + x. B. sin(4x + 7) − 3. C. sin(4x + 7) − 1. 4 Lời giải. 1 Hàm số f (x) = cos(4x + 7) có một nguyên hàm là sin(4x + 7) − 3. 4 Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 8 1 D. − sin(4x + 7) + 3. 4  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 Câu 26. Biết Chương 3-Giải tích 12 x2 + 2x 4 a dx = − 4 ln với a, b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức 2 (x + 3) 4 b 0 2 2 a + b bằng A. 25. B. 41. C. 20. D. 34. Lời giải. ( Z1 2 x=0⇒t=3 x + 2x I= dx. Đặt t = x + 3 ⇒ dt = dx, đổi cận 2 (x + 3) x = 1 ⇒ t = 4. 0 Z4 Å Z4 2 ã Å ã 4 3 3 4 5 4 t − 4t + 3 = − 4 ln 1 − + 2 dt = t − 4 ln |t| − dt = I= 2 t t t t 3 4 3 3 3 ( a=5 ⇒ ⇒ a2 + b2 = 34. b=3  Å ã 1 1 thỏa mãn F = 2 và F (e) = Câu 27. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = x ln x e Å ã 1 ln 2. Giá trị của biểu thức F + F (e2 ) bằng e2 A. 3 ln 2 + 2. B. ln 2 + 2. C. ln 2 + 1. D. 2 ln 2 + 1. Chọn đáp án D Lời giải. Z Z 1 d(ln x) Ta có dx = = ln |ln x| + C, x > 0, x 6= 1. x ln( x ln x ln(ln x) + C1 khi x > 1 Nên F (x) = ln(− ln x) + C2 khi 0 < x < 1. Å ã Å ã 1 1 = 2 nên ln − ln + C2 = 2 ⇔ C2 = 2; F (e) = ln 2 nên ln(ln e) + C1 = ln 2 ⇔ C1 = ln 2. Mà F e e ( ln(ln x) + ln 2 khi x > 1 Suy ra F (x) = ln(− ln x) + 2 khi 0 < x < 1. Å ã Å ã 1 1 2 Vậy F + F (e ) = ln − ln 2 + 2 + ln(ln e2 ) + ln 2 = 3 ln 2 + 2. e2 e  Chọn đáp án A π Câu 28. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = cos x; y = 0; x = 0 và x = . Thể tích 2 vật thể tròn xoay có được khi (H) quay quanh trục Ox bằng π2 π π2 A. . B. 2π. C. . D. . 4 4 2 Lời giải. Gọi V là thể tích khối tròn xoay cần tính. Ta có π π Z2 Z2 V =π 2 (cos x) dx = π 0 1 + cos 2x dx = π 2 0 Å x sin 2x + 2 4 ã π 2 0 = π2 . 4  Chọn đáp án A Câu 29. Gọi d là đường thẳng tùy ý đi qua điểm M (1; 1) và có hệ số góc âm. Giả sử d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B. Quay tam giác OAB quanh trục Oy thu được một khối tròn xoay có thể tích là V . Giá trị nhỏ nhất của V bằng Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 9 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. 3π. B. Chương 3-Giải tích 12 9π . 4 C. 2π. D. 5π . 2 Lời giải. y B M 1 A x 1 O x y b Giả sử A(a; 0), B(0; b). Phương trình đường thẳng d : + = 1 ⇒ d : y = − x + b(1). a b a 1 1 Mà M (1; 1) ∈ d nên + = 1 ⇒ a + b = ab(2). a b b b Từ (1) suy ra d có hệ số góc là k = − , theo giả thiết ta có − < 0 ⇒ ab > 0. a a ( a<0 a Nếu thì a + b < 0 mâu thuẫn với (2). Suy ra a > 0, b > 0. Mặt khác từ (2) suy ra b = a−1 b<0 kết hợp với a > 0, b > 0 suy ra a > 1. Khi quay ∆OAB quanh trục Oy, ta được hình nón có chiều cao h = b và bán kính đường tròn đáy r = a. 1 1 a3 1 . Thể tích khối nón là V = πr2 h = πa2 .b = π. 3 3 3 a−1 a3 Suy ra V đạt giá trị nhỏ nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất. a−1 x3 1 Xét hàm số f (x) = = x2 + x + 1 + trên khoảng (1; +∞). x−1 x−1  x=0 2 1 x (2x − 3) 0  f 0 (x) = 2x + 1 − = ; f (x) = 0 ⇒ 3. (x − 1)2 (x − 1)2 x= 2 Bảng biến thiên x 3 2 0 1 f 0 (x) − +∞ +∞ + +∞ f (x) 27 4 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của V bằng π.f 3 Chọn đáp án B Å ã 3 9π = . 2 4  Z3 Câu 30. Cho hàm số f (x) thoả mãn [2x ln(x + 1) + xf 0 (x)] dx = 0 và f (3) = 1. 0 Z3 f (x) dx = Biết a + b ln 2 với a, b là các số thực dương. Giá trị của a + b bằng 2 0 A. 35. B. 29. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 11. 10 D. 7. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Z3 Tính I = 2x ln(x + 1) dx. 0 Đặt ( u = ln(x + 1) ⇒ dv = 2x dx 3 2  Z3 I = x ln(x + 1) − 0 1 dx x + 1 . Khi đó  du = v = x2 x2 dx = 9 ln 4 − x+1 Å ã x2 − x + ln |x + 1| 2 0 3 0 3 = 16 ln 2 − . 2 R3 Tính J = xf 0 (x) dx. 0 ( ( uJ = x duJ = dx Đặt ⇒ . dvJ = f 0 (x)dx vJ = f (x) Z3 Z3 Z3 3 0 J = xf (x) dx = xf (x)|0 − f (x) dx = 3 − f (x) dx. 0 Z3 Mà 0 0 [2x ln(x + 1) + xf 0 (x)] dx = 0 0 3 ⇒ I + J = 0 ⇒ 16 ln 2 − + 3 − 2 ( a=3 . Vậy a + b = 35. Suy ra b = 32 Z3 Z3 f (x)dx = 0 ⇒ 0 f (x) dx = 16 ln 2 + 3 + 32 ln 2 3 = . 2 2 0  Chọn đáp án A Câu 31. Cho f (x), g(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên R, k ∈ R. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? Z Z Z Z A. [f (x) − g(x)] dx = f (x)dx − g(x)dx. B. f 0 (x)dx = f (x) + C. Z Z Z Z Z C. kf (x)dx = k f (x)dx. D. [f (x) + g(x)] dx = f (x)dx + g(x)dx. Lời giải. Khẳng định A, B, D đúng theo tính chất của nguyên hàm. Khẳng định C chỉ đúng khi k 6= 0. Chọn đáp án C  Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x (1 + 3×3 ) là Å ã Å ã Å ã Å ã 3 2 6×3 3 4 3 3 2 2 2 A. x 1 + x + C. B. x 1 + + C. C. 2x x + x + C. D. x x + x + C. 2 5 4 4 Lời giải. Å ã R R R 6×5 6×3 3 4 2 2 Ta có f (x) dx = 2x (1 + 3x ) dx = (2x + 6x ) dx = x + +C =x 1+ + C. 5 5  Chọn đáp án B Z1 Câu 33. Cho f (x), g(x) là các hàm số liên tục trên R và thỏa mãn 11 [f (x) − 3g(x)] dx = 4 f (x) dx = 3, 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Z2 0 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z2 Z2 [2f (x) + g(x)] dx = 8. Tính I = và Chương 3-Giải tích 12 f (x) dx. 0 1 A. I = 1. B. I = 2. C. I = 3. D. I = 0. Lời giải. Z2 Z2 Đặt a = f (x) dx, b = g(x) dx. 0 Theo giả thiết, ta có ( 0 a − 3b = 4 ⇔ ( a=4 2a + b = 8 Z2 Z1 f (x) dx = Ta có 0 b = 0. Z2 f (x) dx ⇒ f (x) dx + 0 Z2 1 Z2 f (x) dx − f (x) dx = 1 Z1 0 f (x) dx = 4 − 3 = 1. 0  Chọn đáp án A Câu 34. Hai người A và B ở cách nhau 180(m) trên đoạn đường thẳng và cùng chuyển động theo một hướng với vận tốc biến thiên theo thời gian , A chuyển động với vận tốc v1 (t) = 6t + 5(m/s), B chuyển động với vận tốc v2 (t) = 2at − 3(m/s) (a là hằng số ), trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A và B bắt đầu chuyển động . Biết rằng lúc A đuổi theo B và sao 10(giây) thì đuổi kịp. Hỏi sau 20(giây), A cách B bao nhiêu mét? A. 320(m). B. 720(m). C. 360(m). D. 380(m). Lời giải. Z10  Quảng đường A đi được trong 10 (giây) : (6t + 5) dt = 3t2 + 5t 10 = 350(m). 0 0 Z10  Quảng đường B đi được trong 10 (giây) : (2at − 3) dt = at2 − 3t 10 = 100a − 30(m). 0 0 Vì lúc đầu A đuổi theo B và sau 10 (giây) thì đuổi kịp nên ta có: (100a − 30) + 180 = 350 ⇔ a = 2 ⇒ v2 (t) = 4t − 3(m/s) Z20  Sau 20(giây) quãng đường A đi được : (6t + 5) dt = 3t2 + 5t 20 = 1300(m) . 0 0 Z20  Sau 20(giây) quãng đường B đi được : (4t − 3) dt = 2t2 − 3t 20 = 740(m). 0 0 Khoảng cách giữa A và B sau 20 (giây) 1300 − 740 − 180 = 380(m) .  Chọn đáp án D Z1 Câu 35. Cho 9x + 3m dx = m2 − 1. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m 9x + 3 0 A. P = 12. 1 B. P = . 2 C. P = 16. D. P = 24. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 12 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Từ giả thiết ta có Z1 9x + 3m dx = m2 − 1 9x + 3 0 Z1 ⇔ 9x dx + m 9x + 3 Z1 3 dx = m2 − 1 +3 9x 0 0 ⇔ m2 − m Z1 3 dx − x 9 +3 0 Z1 9x dx − 1 = 0 9x + 3 0 Phương trình trên là phương trình bậc hai đối với biến m, với các hệ số a = 1 Z1 b = − 9x 3 dx +3 0 Z1 c = − 9x dx − 1 9x + 3 0 Áp dụng hệ thức Viet, tổng các giá trị của m là: b m1 + m2 = − = a Z1 9x 1 3 dx = +3 2 0 (dùng máy tính bỏ túi tính tích phân xác định)  Chọn đáp án B Câu 36. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 + cos x là 1 1 A. 2x − sin x + C. B. x3 + sin x + C. C. x3 − sin x + C. 3 3 Lời giải. Z 1 Ta có: (x2 + cos x)dx = x3 + sin x + C. 3 Chọn đáp án B Z2 Z5 1 A. −2.  Z5 f (x) dx = −1 thì f (x) dx = 5, Câu 37. Nếu D. x3 + sin x + C. 2 f (x) dx bằng 1 B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Z5 Z2 Z5 Ta có f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx = 5 + (−1) = 4. 1 1 2  Chọn đáp án D Câu 38. Diện tích hình phẳng H được giới hạn bởi hai đồ thị y = x3 − 2x − 1 và y = 2x − 1 được tính theo công thức Z0 A. S = x3 − 4x dx. Z2 B. S = −2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em x3 − 4x dx. 0 13 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z2 C. S = Chương 3-Giải tích 12 Z2 x3 − 4x dx.  D. S = −2 x3 − 4x dx. −2 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của y = x3 − 2x − 1 và y = 2x − 1 là  x=2  x3 − 2x − 1 = 2x − 1 ⇔ x3 − 4x = 0 ⇔  x = 0 . x = −2 Vậy diện tích hình phẳng H được giới hạn bởi hai đồ thị y = x3 − 2x − 1 và y = 2x − 1 được tính Z2 theo công thức S = x3 − 4x dx. −2  Chọn đáp án D Câu 39 (2D3B1-3). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = (2x + 1)ex là A. (2x − 1)ex + C. B. (2x + 3)ex + C. C. 2xex + C. D. (2x − 2)ex + C. Lời giải. Z Z Ta có f (x) dx = (2x + 1)ex dx. ( ( u = 2x + 1 du = 2 dx Đặt ⇒ dv = ex dx v = ex . Z Z x x ⇒ (2x + 1)e dx = (2x + 1)e − 2ex dx = (2x + 1)ex − 2ex + C = (2x − 1)ex + C.  Chọn đáp án A x2 y 2 + = 1 quay quanh trục Ox. 4 1 8π 8π 2 C. . D. . 3 3 Câu 40. Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip (E) : 10π 64π . B. . 9 3 Lời giải. (E) có a2 = 4 ⇒ a = 2. Do đó hai đỉnh thuộc trục lớn có tọa độ A0 (−2; 0) và (2; 0). x2 y 2 x2 Vì + = 1 ⇒ y2 = 1 − . 4 1 4 Z2 Z2 Å ã x2 8π 2 Do đó thể tích khối tròn xoay là VOx = π y dx = π 1− dx = . 4 3 A. −2 −2 8π Vậy VOx = (đvtt). 3 Chọn đáp án C Z1 Câu 41. Cho x2  1 dx = a ln 2 + b ln 3, với a, b là các số hữu tỷ. Khi đó a + b bằng + 3x + 2 0 A. 0. B. 2. C. 1. D. −1. Lời giải. Z1 Z1 Z1 Å ã Å ã 1 1 1 1 x+1 1 Xét dx = dx = − dx = ln = 2 ln 2 − x2 + 3x + 2 (x + 1)(x + 2) x+1 x+2 x+2 0 0 0 0 ln 3. Vậy a = 2, b = −1 ⇒ a + b = 1.  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 14 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 42. Người ta cần trồng một vườn hoa Cẩm Tú Cầu theo hình giới hạn bởi một √ đường Parabol và nửa đường tròn có bán kính 2 mét (phần tô trong hình y 2 vẽ). Biết rằng: để trồng mỗi m2 hoa cần ít nhất là 250000 đồng, số tiền tối 1 thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu gần bằng A. 893000 đồng. B. 476000 đồng. C. 809000 đồng. D. 559000 đồng. −1 O 1 x −1 Lời giải. Nửa đường tròn (T ) có phương trình y = √ 2 − x2 . Xét parabol (P ) có trục đối xứng Oy nên có phương trình dạng: y = ax2 + c. (P ) cắt Oy tại điểm (0; −1) nên ta có: c = −1. (P ) cắt (T ) tại điểm (1; 1) thuộc (T ) nên ta được: a + c = 1 ⇒ a = 2. Phương trình của (P ) là: y = 2×2 − 1. Diện tích miền phẳng D (tô màu trong hình) là: S= Z1 Ä√ Z1 √ Z1  2 − x2 − 2×2 + 1 dx = 2 − x2 dx + −2×2 + 1 dx. ä −1 −1 Z1 I1 = Å ã 2 3 −2x + 1 dx = − x + x 3 2 −1 Z1 √ 1  −1 −1 2 = . 3 √ h π πi √ 2 sin t, t ∈ − ; thì dx = 2 cost dt. 2 2 −1 π π Đổi cận: x = −1 thì t = − , với x = 1 thì t = , ta được: 4 4 Xét I2 = 2 − x2 dx, đặt x = Zπ/4 p Zπ/4 √ I2 = 2 − 2sin2 t 2 cos tdt = 2cos2 tdt −π/4 Zπ/4 = −π/4 ã Å 1 (1 + cos 2t) dt = t + sin 2t 2 −π/4 π/4 =1+ −π/4 π . 2 5 π 2 + m. 3 2 Å ã 5 π Số tiền trồng hoa tối thiểu là: 250000 + ≈ 809365 đồng. 3 2 Suy ra S = I1 + I2 =  x3 Câu 43. Cho hàm số y = f (x)có đạo hàm trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn f (x) = x. ln x.f 0 (x) − f (x) 5 Z và f (1) = 0. Tính tích phân I = f (x) dx. Å 1 A. 12 ln 13 − 13. B. 13 ln 13 − 12. C. 12 ln 13 + 13. D. 13 ln 13 + 12. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 15 https://emncischool.wixsite.com/geogebra ã https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Từ giả thiết và ã x3 f (x) x3 f (x) = x. ln ⇔ = ln . x.f 0 (x) − f (x) x x.f 0 (x) − f (x) f (x) x.f 0 (x) − f (x) f (x) x3 ⇔ e x = ⇔ .e x = x. x.f 0 (x) − f (x) x2 ò ï f (x) 0 f (x) .e x = x. ⇔ (1) x Å Lấy nguyên hàm hai vế của (1) suy ra e f (x) x = x2 + C. 2 f (x) 1 x2 + 1 x2 + 1 Do f (1) = 0 ⇒ C = , nên e x = ⇒ f (x) = x ln với x ∈ (0; +∞). 2 2 2 Z5 Z5 x2 + 1 I = f (x) dx = x. ln dx (2). 2 1 1 x2 + 1 2x x2 + 1 Đặt u = ln ⇒ du = 2 dx; dv = x dx, chọn v = . 2 x +1 2 Theo công thức tích phân từng phần, ta được: Å I= x2 + 1 x2 + 1 . ln 2 2 ã Z5 5 x dx = 13 ln 13 − − 1 x2 2 1 5 = 13 ln 13 − 12. 1 Chọn đáp án B  2x Câu 44. Z Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = e . Z 2x 2x A. e dx = 2e + C. B. e2x dx = e2x + C. Z Z 1 e2x+1 2x + C. D. e2x dx = e2x + C. C. e dx = 2x + 1 2 Lời giải. Z Z 1 1 2x Ta có e dx = e2x d(2x) = e2x + C. 2 2 Chọn đáp án D  Câu 45. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b, (a < b) được tính theo công thức Zb A. S = Zb f (x)dx . B. S = a Zb f (x)dx. C. S = π a 2 f (x)dx. a Zb |f (x)| dx. D. S = a Lời giải. Theo lí thuyết về tính diện tích hình phẳng ta có diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b, (a < b) được tính theo công thức Zb S = |f (x)| dx. a  Chọn đáp án D Z5 Câu 46. Tính tích phân I = dx . 1 − 2x 1 A. I = − ln 9. C. I = − ln 3. B. I = ln 9. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 16 D. I = ln 3. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Z5 Ta có I = dx 1 =− 1 − 2x 2 1 Z5 d(1 − 2x) 1 = − ln |1 − 2x| 1 − 2x 2 5 = − ln 3. 1 1  Chọn đáp án C Câu 47. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng x = −1,x = 2 biết rằng 15 cm2 . B. A. 4 Lời giải. Z2 Z0 3 Ta có S = x dx = x3 −1 −1 mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là 2 cm. 17 cm2 . C. 17 cm2 . D. 15 cm2 . 4 Z2 dx + x Z0 3 dx = − x dx + −1 0 Do mỗi đơn vị trên trục là 2 cm nên S = Z2 3 x4 x dx = − 4 0 3 0 −1 x4 + 4 2 = 0 17 . 4 17 2 · 2 cm2 = 17 cm2 . 4  Chọn đáp án C Ze √ ln x √ dx = a e + b với a,b ∈ Z. Tính P = ab. Câu 48. Biết x 1 A. P = 4. B. P = −8. Lời giải.     du = dx  u = ln x x Đặt dx ⇒  √ , ta có   dv = √ v=2 x x Ze 1 √ ln x √ dx = 2 x ln x − 2 x e 1 Từ đó suy ra ( a = −2 D. P = −4. C. P = 8. Ze 1 √ √ dx √ = 2 x ln x − 4 x x e 1 √ = −2 e + 4. e 1 . Vậy P = ab = −8. b=4 Chọn đáp án B  Câu 49. Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(1; 1) và trục đối xứng song v 10 song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật đi được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát. 40 46 A. s = (km). B. s = 8(km). C. s = (km). D. s = 6(km). 3 3 2 1 O t 1 4 Lời giải. Vì đồ thị của hàm số v(t) có dạng là một phần của parabol nên v(t) = at2 + bt + c (a 6= 0, t ≥ 0). Đồ thị hàm số v(t) đi qua các điểm (0; 2), (1; 1), (4; 10) nên ta có hệ phương trình     c = 2 a=1     ⇔ b = −2 a+b+c=1       16a + 4b + c = 10 c = 2. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 17 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Do đó v(t) = t2 − 2t + 2. Z4 Vậy quãng đường mà vật đi được là s = Z4 v(t) dt = 0 (t2 − 2t + 2) dt = 40 (km). 3 0  Chọn đáp án A Câu 50. Cho hàm Z số y = f (x) là hàm sốZbậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. xf 00 (x − 1) dx = 7 và Biết y 2 4 1 2xf 0 (x2 − 1) dx = −3. Phương 1 2 trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm có hoành độ x = 3 là 1 5 B. y = x − . 2 2 D. y = 3x − 10. A. y = x − 4. C. y = 2x − 7. x O Lời giải. Từ đồ thị hàm số ta suy ra f (0) = 2 và f 0 (0) = 0. Z2 Xét tích phân 2xf 0 (x2 − 1) dx. Đặt u = x2 − 1 ⇒ du = 2x dx. 1 Đổi cận x = 1 ⇒ u = 0; x = 2 ⇒ u = 3. Z2 Z3 Do đó 2xf 0 (x2 − 1) dx = f 0 (u) du = f (u) 3 = f (3) − f (0) ⇒ f (3) − f (0) = −3 ⇔ f (3) = −1. 0 1 0 Z4 Xét tích phân xf 00 (x − 1) dx. Đặt u = x − 1 ⇒ x = u + 1 ⇒ dx = du. 1 Đổi cận x = 1 ⇒ u = 0; x = 4 ⇒ u = 3. Z4 ⇒ 00 Z3 xf (x − 1) dx = 00 Z3 0 0 3 Z3 (u + 1) df (u) = (u + 1)f (x) − (u + 1)f (u) du = f 0 (u) du 0 1 0 0 0 = 4f 0 (3) − f 0 (0) − f (u) 3 = 4f 0 (3) − f 0 (0) − f (3) + f (0). 0 Do đó 4f 0 (3) − f 0 (0) − f (3) + f (0) = 7 ⇔ 4f 0 (3) = 7 + f (3) − f (0) = 4 ⇔ f 0 (3) = 1. Như vậy, f (3) = −1, f 0 (3) = 1. Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 3 là y = x − 4.  Chọn đáp án A Câu 51. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 18 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Đồ thị trong hình bên là của hàm số y = f (x), S là diện tích hình y phẳng (phần tô đậm trong hình). Chọn khẳng định đúng. Z0 Z1 A. S = f (x) dx + f (x) dx. −2 Z1 B. S = 0 −2 f (x) dx. −2 Z−2 C. S = O x Z1 f (x) dx + f (x) dx. 0 0 Z0 Z1 f (x) dx − D. S = 1 −2 f (x) dx. 0 Lời giải. Từ đồ thị ta có f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [−2; 0] và f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [0; 1]. Z1 Z1 Z1 Z0 Z1 Do đó S = |f (x)| dx = |f (x)| dx + |f (x)| dx = f (x) dx − f (x) dx. −2 −2 −2 0 0  Chọn đáp án D Z3 0 Câu 52. Cho hàm số f (x) biết f (0) = 1, f (x) liên tục trên [0; 3] và f 0 (x) dx = 9. Tính f (3). 0 A. f (3) = 9. B. f (3) = 10. C. f (3) = 8. D. f (3) = 7. Lời giải. Z3 Ta có f 0 (x) dx = 9 ⇔ f (x)|30 = 9 ⇔ f (3) − f (0) = 9 ⇔ f (3) = 9 + f (0) = 9 + 1 = 10. 0 Vậy f (3) = 10.  Chọn đáp án B Câu 53. Cho hàm số f (x) đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn [0; 2] và thỏa mãn 2[f (x)]2 − f (x) · f 00 (x) + [f 0 (x)]2 = 0 với ∀x ∈ [0; 2]. Biết f (0) = 1; f (2) = e6 . Z0 Tích phân I = (2x + 1)f (x) dx bằng −2 A. 1 + e. B. 1 − e2 . C. 1 − e. D. 1 − e−1 . Lời giải. 2 2 2[f (x)]2 − f (x) · f 00 (x) + [f 0 (x)] = 0 ⇔ f (x) · f 00 (x) − [f 0 (x)] = 2[f (x)]2 Å 0 ã0 f (x) · f 00 (x) − [f 0 (x)]2 f (x) ⇔ =2⇔ =2 2 [f (x)] f (x) Z Å 0 ã0 Z f (x) f 0 (x) ⇔ dx = 2dx ⇔ = 2x + C1 f (x) f (x) Z 0 Z f (x) ⇔ dx = 2x + C1 ⇔ ln |f (x)| = x2 + C1 x + C2 f (x) Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 19 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có f (0) = 1 ⇒ ln 1 = C2 ⇒ C2 = 0 f (2) = e6 ⇒ 6 = 4 + 2C1 ⇒ C1 = 1 2 ⇒ ln |f (x)| = x2 + x ⇒ f (x) = ex +x Z0 2 2 ⇒ I = (2x + 1)ex +x dx = ex +x 0 −2 = 1 − e2 −2  Chọn đáp án B Câu 54. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e−x + cos x. Tìm khẳng định đúng. A. F (x) = e−x + sin x + 2019. C. F (x) = − e−x + sin x + 2019. B. F (x) = e−x + cos x + 2019. D. F (x) = − e−x − cos x + 2019. Lời giải. Z Áp dụng công thức ( e−x + cos x) dx = − e−x + sin x + C, với C là hằng số Cho C = 2019 ta có F (x) = − e−x + sin x + 2019. Chọn đáp án C  √ 10x2 − 7x + 2 √ Câu 55. Nếu f (x) = (ax2 + bx + c) 2x − 1 là một nguyên hàm của hàm số g (x) = 2x − 1 Å ã 1 trên khoảng ; +∞ thì a + b + c có giá trị bằng 2 A. 3. B. 0. C. 2. D. 4. Lời giải. √ 1 (2ax + b) (2x − 1) + (ax2 + bx + c) 2 √ √ Ta có: g (x) = f (x) = (2ax + b) 2x − 1+ (ax + bx + c) = . 2x − 1 2x − 1 5ax2 + (3b − 2a) x + c − b √ = . 2x − 1 10x2 − 7x + 2 √ nên Theo bài ra: g (x) = 2x − 1     5a = 10 a=2     2 2 5ax + (3b − 2a) x + c − b 10x − 7x + 2 √ √ = ⇒ 3b − 2a = −7 ⇔ b = −1   2x − 1 2x − 1     c = 1. c−b=2 Vậy a + b + c = 2 . 0  Chọn đáp án C Z3 Câu 56. Cho f (x), g(x) là các hàm số liên tục trên [1; 3] và thỏa mãn [f (x) + 3g(x)] dx = 10; 1 Z3 Z3 [2f (x) − g(x)] dx = 6. Tính tích phân I = 1 [f (x) + g(x)] dx bằng 1 A. I = 6. B. I = 7. C. I = 8. D. I = 9. Lời giải.    Z3 Z3 Z3 Z3                [f (x) + 3g(x)] dx = 10 f (x) dx + 3 g(x) dx = 10 f (x) dx = 4          1 1 1 1 Ta có ⇔ ⇔ 3 3 3 3    Z Z Z Z             [2f (x) − g(x)] dx = 6 2 f (x) dx − g(x) dx = 6 g(x) dx = 2.          1 1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 1 20 1 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z3 Vậy I = Z3 [f (x) + g(x)] dx = 1 Chương 3-Giải tích 12 Z3 f (x) dx + 1 g(x) dx = 4 + 2 = 6. 1  Chọn đáp án A Câu 57. Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay, biết đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm. Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay có đường sinh là √ đồ thị hàm số y = x − 1. Tính thể tích bình cắm hoa đó. 14π 15π 15π dm2 . C. dm3 . D. dm3 . A. 8π dm2 . B. 2 3 2 Lời giải. y 2 1 O 1 2 5 x Vì đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm nên đáy và miệng có bán kính đáy lần lượt là 1 dm và 2 dm. √ √ Ta có x − 1 = 1 ⇔ x = 2 và x − 1 = 2 ⇔ x = 5. Z5 √ 15π Vậy thể tích bình hoa là S = π ( x − 1)2 dx = dm3 . 2 2  Chọn đáp án D Câu 58. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 + x2 là x4 x3 A. + + C. B. x4 + x3 . C. 3x2 + 2x. 4 3 Lời Z giải.  x4 x3 + + C. x3 + x2 dx = 4 3 Chọn đáp án A Z0 Câu 59. Giá trị của D. 1 4 1 3 x + x. 4 4  ex+1 dx bằng −1 A. 1 − e. Lời giải. Z0 Ta có ex+1 dx = ex+1 −1 B. e − 1. C. −e. D. e. 0 = e1 − e0 = e − 1. −1  Chọn đáp án B Câu 60. Cho F (x) là một nguyên hàm của f (x) = 1 trên khoảng (1; +∞) thỏa mãn F (e+1) = 4 x−1 . Tìm F (x) . A. F (x) = 2 ln(x − 1) + 2. C. F (x) = 4 ln(x − 1). B. F (x) = ln(x − 1) + 3. D. F (x) = ln(x − 1) − 3. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 21 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Z 1 dx = ln(x − 1) + C. x−1 F (e + 1) = 4 ⇒ ln e + C = 4 ⇒ C = 3. Ta có F (x) = Vậy F (x) = ln(x − 1) + 3 .  Chọn đáp án B Câu 61. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = 2x − x2 , y = 0. Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là Z2 Z2 Z2 Z2 2 2 2 2 2 A. (2x − x )dx. B. π (2x − x ) dx. C. (2x − x ) dx. D. π (2x − x2 )dx. 0 0 0 0 Lời giải. " Ta có 2x − x2 = 0 ⇔ x=0 . x=2 Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có Z2 V = π (2x − x2 )2 dx 0  Chọn đáp án B Z2 Z2 g(x)dx = −1. Giá trị của f (x)dx = 3 và Câu 62. Cho 0 Z2 0 A. 12. [f (x) − 5g(x) + x] dx bằng 0 B. 0. C. 8. D. 10. Lời giải. Z2 Z2 Z2 Z2 1 Ta có [f (x) − 5g(x) + x] dx = f (x)dx − 5 g(x)dx + xdx = 3 − 5 · (−1) + (22 − 0) = 10. 2 0 0 0 0  Chọn đáp án D Câu 63. Họ nguyên hàm của hàm số y = 3x(x + cos x) là A. x3 + 3(x sin x + cos x) + C. C. x3 + 3(x sin x − cos x) + C. B. x3 − 3(x sin x + cos x) + C. D. x3 − 3(x sin x − cos x) + C. Lời giải. Z Z Z  2 3 Ta có I = 3x(x + cos x)dx = 3x + 3x cos x dx = x + 3 x cos xdx. ( ( Z x=u dx = du Tính J = x cos xdx. Đặt ⇒ . cos xdx = dv sin x = v R ⇒ J = x sin x − sin xdx = x sin x + cos x + C. Vậy I = x3 + 3(x sin x + cos x) + C. Chọn đáp án A Z4 Câu 64. Cho x2  5x − 8 dx = a ln 3 + b ln 2 + c ln 5 với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị 2a−3b+c − 3x + 2 3 bằng A. 12. B. 6. C. 1. D. 64. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 22 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z4 5x − 8 dx = 2 x − 3x + 2 Chương 3-Giải tích 12 Z4 Å ã 4 3 2 Ta có + dx = 3 ln |x − 1| + 2 ln |x − 2| x−1 x−2 3 3 3    a=3 = 3 ln 3 − 3 ln 2 + 2 ln 2 = − ln 2 + 3 ln 3 ⇒ b = −1 ⇒ a − 3b + c = 6 .   c=0 4 3  Chọn đáp án D Câu 65. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f 0 (x) trên [−3; 2] như hình bên y (phần cong của đồ thị là một phần của parabol y = ax2 +bx+c). Biết f (−3) = 0, giá trị của f (−1) + f (1) bằng 31 35 9 23 . B. . C. . D. . A. 6 6 3 2 2 1 x −3 −2 −1 O 1 2 Lời giải. Parabol y = ax2 + bx + c có đỉnh I(−2; 1) và đi qua điểm (−3; 0) nên ta có   b    a = −1 − = −2    2a  2 4a − 2b + c = 1 ⇔ b = −4 ⇒ y = −x − 4x − 3.       c = −3 9a − 3b + c = 0 Do f (−3) = 0 nên f (−1) + f (1) = [f (1) − f (0)] + [f (0) − f (−1)] + 2 [f (−1) − f (3)] Z1 = 0 Z0 f (x) dx + Z−1 f (x) dx + 2 (−x2 − 4x − 3) dx 0 −1 0 −3 Z−1 = S1 + S2 + 2 (−x2 − 4x − 3) dx −3 3 8 31 =1+ + = . 2 3 6 Với S1 , S2 lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f 0 (x), trục Ox và hai đường thẳng x = −1, x = 0 và x = 0, x = 1.  Chọn đáp án B π Z4 Câu 66. Cho I = ln(sin x + 2 cos x) dx = a ln 3 + b ln 2 + cπ với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị cos2 x 0 của abc bằng 15 A. . 8 Lời giải. B. 5 . 8 Đặt u = ln(sin x + 2 cos x) ⇒ du = C. 5 . 4 D. 17 . 8 cos x − 2 sin x dx. sin x + 2 cos x Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 23 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ dv = Chương 3-Giải tích 12 dx sin x + 2 cos x , chọn v = tan x + 2 = . Khi đó 2 cos x cos x π I = (tan x + 2) · ln(sin x + 2 cos x) π 4 0 Z4 Å ã sin x − 1−2 dx cos x 0 √ 3 2 = 3 ln − 2 ln 2 − (x + 2 ln(cos x)) 2 √ √ 3 2 π 2 = 3 ln − 2 ln 2 − − 2 ln 2 4 2 5 1 = 3 ln 3 − ln 2 − π. 2 4 π 4 0 15 . 8 Chọn đáp án A Vậy abc =  Câu 67. Cho hai hàm số f (x) và f (−x) liên tục trên R và thỏa mãn 2f (x) + 3f (−x) = 1 . 4 + x2 Z2 Tính I = f (x) dx. −2 A. I = π . 20 B. I = π . 10 C. I = − π . 20 D. I = − π . 10 Lời giải. Đặt t = −x ⇒ dx = −dt. Đổi cận x = −2 ⇒ t = 2; x = 2 ⇒ t = −2, ta có Z−2 Z2 I = − f (−t) dt = f (−x) dx. −2 2 Theo bài ra ta có 1 2f (x) + 3f (−x) = ⇔2 4 + x2 Z2 Z2 Z2 f (x) dx + 3 −2 f (−x) dx = −2 Z2 ⇔ 3I + 2I = 1 dx 4 + x2 −2 1 dx 4 + x2 −2 ⇔I= 1 5 Z2 1 dx. 4 + x2 −2 1 Đặt x = 2 tan u ta có dx = 2 2 du = 2 (1 + tan2 u) du. cos u π π Đổi cận x = −2 ⇒ u = − ; x = 2 ⇒ u = , ta có 4 4 π 1 I= 5 Z4 π 2 2 (1 + u ) 1 du = 2 4 + 4 tan u 10 − π4 Z4 1 du = u 10 − π4 = − π4 1 π π  π + = . 10 4 4 20  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em π 4 24 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z2 Z4 f (x) dx = 2. Hãy tính Câu 68. Cho 1 Chương 3-Giải tích 12 √ f ( x) √ dx. x 1 A. I = 4. 1 C. I = . 2 B. I = 1. D. I = 2. Lời giải. √ 1 1 Đặt t = x ⇒ dt = √ dx ⇒ √ dx = 2dt. 2 x x Đổi cận x = 1 ⇔ t = 1; x = 4 ⇒ t = 2, ta có Z2 I=2 Z2 f (x) dx = 2 · 2 = 4. f (t) dt = 2 1 1  Chọn đáp án A Z5 Câu 69. Cho Z−2 Z5 f (x) dx = 8 và g (x) dx = 3. Tính I = [f (x) − 4g (x) − 1] dx. −2 −2 5 A. I = 13. Lời giải. C. I = −11. B. I = 27. D. I = 3. Theo tính chất của tích phân ta có Z5 Z5 [f (x) − 4g (x) − 1] dx = I= −2 Z5 f (x) dx − 4 −2 Z5 g (x) dx − −2 5 dx = 8 · 4 · (−3) − x −2 = 13. −2  Chọn đáp án A Z2 Câu 70. Tích phân x2 x dx bằng +3 0 1 7 A. log . 2 3 Lời giải. 7 B. ln . 3 C. 1 3 ln . 2 7 D. 1 7 ln . 2 3 1 Đặt u = x2 + 3 ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = du. 2 Đổi cận x = 0 ⇒ u = 3; x = 2 ⇒ u = 7, ta có 1 I= 2 Z7 1 1 du = ln |u| u 2 3 7 = 3 1 1 7 1 ln 7 − ln 3 = ln . 2 2 2 3 Chọn đáp án D  Câu 71. Z Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau? Z x4 + C x x A. 2e dx = 2 (e + C). B. x3 dx = . 4 Z Z 1 C. dx = ln x + C. D. sin x dx = − cos x + C. x Lời giải. Z 1 Ta có dx = ln |x| + C nên mệnh đề ở phương án C sai. x Chọn đáp án C  2x Câu 72. Z Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 5 ? Z 52x A. 52x dx = 2.52x ln 5 + C. B. 52x dx = 2. + C. ln 5 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 25 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 25x C. 5 dx = + C. 2 ln 5 Lời giải. Z 25x 1 52x +C = + C. Ta có 52x dx = . 2 ln 5 2 ln 5 Chọn đáp án C Z Z 2x D. 52x dx = 25x+1 + C. x+1  Câu 73. Cho hàm số y = f (x) có f 0 (x) liên tục trên [0; 2] và f (2) = 16; Z2 f (x) dx = 4 . Tính 0 Z1 I= xf 0 (2x) dx . 0 A. I = 7. B. I = 20. C. I = 12. D. I = 13. Lời giải. Đặt t = 2x ⇒ dt = 2dx. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 2, ta có Z2 I= t 0 1 1 f (t) dt = 2 2 4 0 Đặt  u = t dv = f 0 (t)dt  du = dt ⇒ v = f (t)  1 tf (t) − 4 0 2 I= Z2 Z2 tf 0 (t) dt. 0 , ta có  1 1 f (t) dt = [2f (2) − 4] = (2 · 16 − 4) = 7. 4 4 0  Chọn đáp án A Câu 74. Cho các hàm số y = f (x) và y = g (x) liên tục trên [a; b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Za A. kf (x) dx = 0. a Zb Zb xf (x) dx = x B. a f (x) dx. a Zb Zb [f (x) + g (x)] dx = C. a f (x) dx + a Zb g (x) dx. a Za f (x) dx = − D. Zb a f (x) dx. b Lời giải. Dựa vào các đáp án ta dễ dàng nhận thấy các đáp án A, C, D đúng, đáp án B sai.  Chọn đáp án B Z1 Câu 75. Cho f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [−1; 1] và f (x) dx = 4. Kết quả I = −1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 26 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 Chương 3-Giải tích 12 f (x) dx bằng 1 + ex −1 A. I = 8. B. I = 4. D. I = 14 . C. I = 2. Lời giải. Đặt t = −x ⇒ dt = −dx. Đổi cận x = 1 ⇒ t = −1; x = −1 ⇒ t = 1, ta có Z1 I=e f (x) dx = − 1 + ex −1 Z−1 f (−t) dt = 1 + e−t Z1 −1 1 f (−x) dx = 1 + e1x Z1 Do f (x) là hàm số chẵn nên f (x) = f (−x), ∀x ∈ [−1; 1] ⇒ I = Z1 ex f (−x) dx. 1 + ex −1 ex f (x) dx. 1 + ex −1 Từ đó suy ra Z1 I +I = f (x) dx + 1 + ex Z1 ex f (x) dx = 1 + ex −1 −1 Z1 (ex + 1) f (x) dx = 1 + ex −1 Z1 f (x) dx = 4. −1 Vậy I = 2.  Chọn đáp án C Câu 76. Một chất điểm chuyển động theo quy luật s(t) = −t3 + 6t2 với t là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, s(t) là quãng đường đi được trong khoảng thời gian t. Tính thời điểm t tại đó vận tốc đạt giá trị lớn nhất. A. t = 2. B. t = 1. C. t = 4. D. t = 3. Lời giải. Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t là v(t) = s0 (t) = −3t2 + 12t = 12 − 3(t − 2)2 ≤ 12. Vậy tại thời điểm t = 2 tại đó vận tốc đạt giá trị lớn nhất. Chọn đáp án A  1 Câu 77. Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = x2 − 3x + . x x3 3x 1 x3 1 A. − − 2 + C, C ∈ R. B. − 3x + 2 + C, C ∈ R. 3 ln 3 x 3 x x3 3x x3 3x C. − − ln |x| + C, C ∈ R. D. − + ln |x| + C, C ∈ R. 3 ln 3 3 ln 3 Lời giải. Z Å ã 1 x3 3x 1 2 x Ta có x −3 + dx = − − 2 + C, C ∈ R. x 3 ln 3 x Chọn đáp án D  Z4 Câu 78. Cho tích phân I = Z2 f (x) dx = 32. Tính tích phân J = 0 A. J = 64. Lời giải. f (2x) dx. 0 B. J = 8. C. J = 16. D. J = 32. dt = dx. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = 2 ⇒ t = 4. 2 Z4 1 1 Khi đó J = f (t) dt = · 32 = 16. 2 2 Đặt t = 2x ⇒ 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 27 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Chọn đáp án C  2 Câu 79. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = . 4x − 3 Z Z 2 3 2 1 dx = ln |4x − 3| + C. B. dx = 2 ln 2x − + C. A. 4 2 ã Z 4x − 3 Z 4x − 3 Å 2 2 3 1 1 3 C. D. dx = ln 2x − + C. dx = ln 2x − + C. 4x − 3 2 2 4x − 3 2 2 Lời giải. Z Z 2 1 3 1 Ta có dx = ln 2x − + C. 3 dx = 4x − 3 2 2 2x − 2 Chọn đáp án C  2 cos x − 1 . Biết rằng giá trị lớn Câu 80. Cho hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin2 x √ nhất của F (x) trên khoảng (0; π) là 3. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. Å ã Å ã √ π  π  √ √ √ 3 5π 2π = . B. F = 3 − 3. C. F = 3 3 − 4. D. F = − 3. A. F 3 2 6 6 3 Lời giải. Ta có Z 1 2 cos x dx − dx F (x) = f (x)dx = 2 sinZx sin2 x Z 2 1 = dx 2 d(sin x) − sin x sin2 x 2 =− + cot x + C. sin x Z Z 2 cos x − 1 . sin2 x π Trên khoảng (0; π), F 0 (x) = 0 ⇔ 2 cos x − 1 = 0 ⇔ x = . 3 Suy ra F 0 (x) = f (x) = x π 3 0 √ 3 0 F 0 (x) + π − F (x) −∞ −∞ √ Giá trị lớn nhất của F (x) trên khoảng (0; π) là 3 nên ta có √ π  √ √ √ 3 3 F = 3⇔− + C = 3 ⇔ C = 2 3. 3 3 π  √ √ 2 Vậy F (x) = − + cot x + 2 3. Do đó F = 3 3 − 4. sin x 6 Chọn đáp án C  Câu 81. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai liên tục trên [0; 1] và thỏa mãn Z1 Z1 Z1 ef 0 (1) − f 0 (0) ex f (x) dx = ex f 0 (x) dx = ex f 00 (x) dx 6= 0. Giá trị của biểu thức bằng ef (1) − f (0) 0 0 A. −1. 0 B. 1. C. 2. D. 2. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 28 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 Đặt ex f (x) dx = 0 Z1 ex f 0 (x) dx = Z1 0 Z1 ex f 00 (x) dx = k. 0 Z1 x 00 k= Chương 3-Giải tích 12 e f (x) dx = 0 Z1 1 x 0 x 0 − e df (x) = e f (x) 0 0 1 1 ex f 0 (x) dx = ex f 0 (x) − k. 0 0 Suy ra 2k = ex f 0 (x) . 0 Z1 Z1 x 0 k= e f (x) dx = 0 Z1 1 x x − e df (x) = e f (x) 0 0 1 1 ex f (x) dx = ex f (x) − k. 0 0 Suy ra 2k = ex f (x) . 0 Vậy ef 0 (1) − f 0 (0) = ef (1) − f (0) 1 ex f 0 (x) 0 1 = 1. ex f (x) 0  Chọn đáp án B Câu 82. Cho hàm số f (x) xác định trên R {1} thỏa mãn f 0 (x) = 1 , f (0) = 2018, f (2) = 2019. x−1 Tính S = f (3) − f (−1). A. S = ln 4035. Lời giải. Z B. S = 4. C. S = ln 2. D. S = 1. Z 1 dx = ln |x − 1| + C x−1 Khi Z 3đó f (−1) =Zln3 2 + C1 ; f (0) = C2 = 2018; f (2) = C3 = 2019; f (3) = ln 2 + C4 1 f 0 (x)dx = • dx ⇔ f (3) − f (2) = ln 2 ⇔ ln 2 + C4 − C3 = ln 2 ⇒ C3 = C4 x − 1 2 2 Z 0 Z 0 1 0 dx ⇔ f (0) − f (−1) = − ln 2 ⇔ C2 − C1 − ln 2 = − ln 2 ⇒ C1 = C2 • f (x)dx = −1 −1 x − 1 Vậy S = f (3) − f (−1) = C4 − C1 = 2019 − 2018 = 1. 0 Ta có f (x) = f (x)dx =  Chọn đáp án D Z6 Câu 83. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn Z10 f (x) dx = 7, 0 Z6 f (x) dx = 8, 3 f (x) dx = 3 Z10 9. Giá trị của I = f (x) dx bằng 0 A. I = 5. B. I = 6. C. I = 7. D. I = 8. Lời giải. Z10 Z6 Z10 Z10 Z10 Z6 Ta có f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx ⇔ f (x) dx = f (x) dx − f (x) dx = 8 − 9 = −1 3 3 Z10 Khi đó I = 6 Z6 f (x) dx = 0 6 3 f (x) dx = 7 − 1 = 6. f (x) dx + 0 3 Z10 6  Chọn đáp án B Z1+a Câu 84. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để tích phân dx tồn tại. x (x − 5) (x − 4) 1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 29 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. −1 < a < 3. Chương 3-Giải tích 12 B. a < −1. C. a 6= 4, a 6= 5. D. a < 3. Lời giải. Z1+a Tích phân dx 1 tồn tại khi và chỉ khi hàm số y = liên tục trên x (x − 5) (x − 4) x (x − 5) (x − 4) 1 [1; 1 + a] hoặc [1 + a; a]. 1 Mà hàm số y = liên tục trên khoảng (−∞; 0); (0; 4); (4; 5); (5; +∞). x (x − 5) (x − 4) Nên hàm số liên tục trên [1; 1 + a] hoặc [1 + a; 1] ⇔ 0 < 1 + a < 4 ⇔ −1 < a < 3. Vậy −1 < a < 3.  Chọn đáp án A Câu 85. Hàm số F (x) = x2 ln (sin x − cos x) là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? x2 A. f (x) = . sin x − cos x x2 B. f (x) = 2x ln (sin x − cos x) + . sin x − cos x 2 x (cos x + sin x) C. f (x) = 2x ln (sin x − cos x) + . sin x − cos x 2 x (sin x + cosx) D. f (x) = . sin x − cos x Lời giải. Vì F (x) là một nguyên hàm của f (x) nên (sin x − cos x)0 sin x + cos x f (x) = F (x) = 2x · ln (sin x − cos x) + x · = 2x · ln (sin x − cos x) + x2 · . sin x − cos x sin x − cos x 0 2  Chọn đáp án C Câu 86. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f 0 (x) − xf (x) = 0, f (x) > 0, ∀x ∈ R và f (0) = 1. Giá trị củaf (1) bằng √ 1 1 C. e. B. . D. e. A. √ . e e Lời giải. Z 0 Z f 0 (x) f (x) 1 Từ giả thiết ta có =x⇒ dx = x dx ⇒ ln [f (x)] = x2 +C (do f (x) > 0, ∀x ∈ R). f (x) f (x) 2 1 2 √ 1 2 1 2 Do đó ln [f (0)] = · 0 + C ⇒ C = 0 ⇒ ln f (x) = x ⇒ f (x) = e 2 x ⇒ f (1) = e. 2 2 Chọn đáp án C  Câu 87. Cho hàm số f (x) = sin2 2x · sin x. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm f (x). 4 4 4 4 A. y = cos3 − sin5 x + C. B. y = − cos3 x + cos5 x + C. 3 5 3 5 4 3 4 4 4 3 C. y = sin x − cos5 x + C. D. y = − sin x + sin5 x + C. 3 5 3 5 Lời giải. Z Z Z 2 Ta có f (x) dx = sin 2x · sin x dx = 4 sin3 x · cos2 x dx Z Z  2 2 = −4 sin x · cos x · d (cos x) = −4 1 − cos2 x · cos2 x · d (cos x) Z  4 4 = −4 cos2 x − cos4 x · d (cos x) = − cos3 x + cos5 x + C. 3 5 Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 30  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Zπ2 sin Câu 88. Tích phân √ Chương 3-Giải tích 12 √  x − cos x dx = A + Bπ. Tính A + B. 0 A. 7. B. 6. C. 5. D. 4. Lời giải. √ Đặt y = x ⇒ t2 = x ⇒ 2t dt = dx. Zπ 2 Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = π ⇒ t = π Suy ra I = 2 (sin t − cos t)t dt. 0 Đặt u = t; dv = (sin t − cos t) dt ⇒ du = dt; v = − cos t − sin t.   Zπ h π πi   I = 2 t(− cos t − sin t) + (cos t + sin t) dt = 2 π + (sin t − cos t) = 4 + 2π. 0 0 0 Nên A = 4; B = 2 ⇒ A + B = 6.  Chọn đáp án B Câu 89. Hàm số có đạo hàm bằng 2x + 1 là x2 2×3 − 2 x3 + 1 3×3 + 3x . B. y = . C. y = . x3 x x Lời giải. Z Å ã 1 1 x3 + Cx − 1 Ta xét 2x + 2 dx = x2 − + C = . x x x x3 + 5x − 1 Chọn C = 5 ta được hàm số thoả yêu cầu bài toán là y = . x Chọn đáp án D A. y = Câu 90. Z Công thức nào sau đây là sai? 1 A. x3 dx = x4 + C. 4 Z C. sin xdx = − cos x + C. D. y = x3 + 5x − 1 . x  Z dx = cot x + C. 2 Z sin x 1 dx = ln |x| + C. D. x B. Lời giải. Phương pháp: SửZ dụng bảng nguyên hàm cơ bản. dx Cách giải: Ta có = − cot x + C do đó đáp án B sai. sin2 x Chọn đáp án B  Câu 91. Nguyên hàm của hàm số f (x) = 4×3 + x − 1 là: A. x4 + x2 + x + C. 1 C. x4 + x2 − x + C. 2 B. 12×2 + 1 + C. 1 D. x4 − x2 − x + C. 2 Lời giải. xn+1 Phương pháp: Sử dụng nguyên hàm cơ bản x dx = + C. n+1 Z x4 x2 1 Cách giải: f (x) dx = 4 · + − x + C = x4 + · x2 − x + C. 4 2 2 Chọn đáp án C Z n  1 Câu 92. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = ? x(ln x +Z2)2 Z 1 −1 f (x) dx = A. f (x) dx = + C. B. + C. ln x + 2 ln x + 2 Z Z x C. f (x) dx = + C. D. f (x) dx = ln x + 2 + C. ln x + 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 31 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Phương pháp: dx −1 + C và công thức vi phân d [f (x)] = f 0 (x)dx. Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản = 2 x x Z Z Z 1 d(ln x + 2) −1 Cách giải: f (x) dx = + C. 2 dx = 2 = ln x + 2 x(ln x + 2) (ln x + 2) Chú ý: HS có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải bài toán này bằng cách đặt t = ln x + 2. Z  Chọn đáp án B Câu 93. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 − 2×2 + 1 thỏa mãn F (0) = 5. Khi đó phương trình F (x) = 5 có số nghiệm thực là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Phương pháp: Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tìm F (x) sau đó giải phương trình. Cách giải: x4 2×3 − + x + C. 4 3 4 3 x 2x Lại có: F (0) = 5 ⇔ C = 5 ⇒ F (x) = − + x + 5. 4 3 ” Å 4 ã x=0 x4 2×3 2×3 x F (x) = 5 ⇔ − +x=0⇔x − +1 =0⇔ . 4 3 4 3 x ≈ −1, 04 Ta có: F (x) = R (x3 − 2×2 + 1)dx =  Chọn đáp án B Câu 94. Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình (H) quanh Ox với (H) được giới hạn √ bởi đồ thị hàm số y = 4x − x2 và trục hoành. 31π 32π 34π 35π A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải. ” x=0 √ Ta có 4x − x2 = 0 ⇔ 4x − x2 = 0 ⇔ x = 4. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox là Z4 Ä√ Z4 ã Å ä2  x3 2 2 2 V =π 4x − x dx = π 4x − x dx = π 2x − 3 0 4 = 0 32π đvtt. 3 0  Chọn đáp án B Z3 Câu 95. Cho f, g là hai hàm liên tục trên [1; 3] thoả: Z3 [2f (x) − g(x)] dx = [f (x) + 3g(x)] dx = 10, 1 1 Z3 6. Tính [f (x) + g(x)] dx 1 A. 7. B. 6. C. 8. D. 9. Lời giải. Z3 Đặt I1 = Z3 f (x) dx, I2 = 1 g(x) dx. Theo bài ra ta có 1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 32 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/  Z3      [f (x) + 3g(x)] dx = 10    1  Z3     [2f (x) − g(x)] dx = 6    Chương 3-Giải tích 12  Z3 Z3      f (x) dx + 3 g(x) dx = 10    1 ⇔ 1  Z3 Z3     2 f (x) dx − g(x) dx = 6    1 1 ⇔ ( I1 + 3I2 = 10 2I1 − I2 = 6 ⇔ ( I1 = 4 I2 = 2. 1 Z3 [f (x) + g(x)] dx = I1 + I2 = 6. Vậy 1  Chọn đáp án B Z Câu 96. Tính (x − sin 2x) dx. x2 + cos 2x + C. 2 Lời giải. B. x2 + A. 1 cos 2x + C. 2 C. Z (x − sin 2x) dx = x2 1 + cos 2x + C. 2 2 D. x2 + sin x + C. 2 x2 1 + cos 2x + C. 2 2  Chọn đáp án C Z64 Câu 97. Giả sử I = √ 2 dx √ = a ln + b với a, b là số nguyên. Khi đó giá trị a − b là: 3 3 x+ x 1 A. −17. C. −5. B. 5. D. 17. Lời giải. √ Đặt 6 x = t ⇔ x = t6 ; t ≥ 0. Khi đó ta có dx = 6t5 · dt. Ta có Z64 I = 1 Z2 = dx √ √ = x+ 3x Z2 6t5 · dt = t3 + t2 1 Å t2 − t + 1 − Z2 6t3 .dt t+1 1 ã Å 3 ã t t2 1 · dt = − + t − ln |t + 1| t+1 3 2 1 2 = 6 ln 1 2 + 11. 3 Do đó a = 6; b = 11. Vậy a − b = −5.  Chọn đáp án C Câu 98. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f 0 (x) trên [−5; 3] như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol y = ax2 + bx + c). y 4 3 2 −5 O −4 3 −1 1 2 x −1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 33 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Biết f (0) = 0, giá trị của 2f (−5) + 3f (2) bằng: 109 35 A. 33. B. . C. . 3 3 Lời giải.   3x + 14 nếu − 5 ≤ x ≤ −4    2 Từ đồ thị ta có f 0 (x) = − (x + 1) nếu − 4 ≤ x ≤ −1 .  3    − x2 + 2x + 3 nếu − 1 ≤ x ≤ 3  x2   3 · + 14x + C1 nếu − 5 ≤ x ≤ −4   2Å   ã  2 x2 Suy ra f (x) = − + x + C2 nếu − 4 ≤ x ≤ −1 .  3 2    3    − x + x2 + 3x + C3 nếu − 1 ≤ x ≤ 3 3 Mặt khác D. 11. f (0) = 0 ⇒ CÅ3 = 0. ã 2 1 1 f (−1) = − − 1 + C2 = − + 1 − 3 ⇒ C2 = −2. 3 2 3 16 8 82 f (−4) = 24 − 56 + C1 = − + − 2 ⇒ C1 = . 3 3 3 35 Khi đó 2f (−5) + 3f (2) = . 3 Chọn đáp án C  Câu 99. Họ các nguyên hàm của hàm số y = cos x + x là 1 1 A. sin x + x2 + C. B. sin x + x2 + C. C. − sin x + x2 + C. 2 2 Lời giải. Z 1 Ta có F (x) = (cos x + x) dx = sin x + x2 + C. 2 Chọn đáp án A D. − sin x + x2 + C.  Câu 100. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x , y = 0, x = 0, x = 2. Mệnh đề nào dướiZ đây đúng? 2 A. S = 3x dx. Z 2x B. S = π 3 dx. 2 x Z |3 | dx = 0 2 x 3 dx. C. S = π 0 0 Lời giải. Z Ta có S = 2 Z Z D. S = 0 2 32x dx. 0 2 3x dx. 0  Chọn đáp án A Zm Câu 101. Tìm tất cả các giá trị thực m thỏa mãn (2x + 1) dx < 2. 0 A. m < −2. B. −2 < m < 1. Lời giải. Zm  Ta có (2x + 1)dx < 2 ⇔ x2 + x m 0 C. m ≥ 1. D. m > 2. < 2 ⇔ m2 + m − 2 < 0 ⇔ −2 < m < 1. 0  Chọn đáp án B Z5 Câu 102. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và f (x) dx = 12. 3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 34 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Z2 Giá trị tích phân I = f (2x + 1) dx bằng 1 A. 4. B. 6. C. 8. D. 12. Lời giải. Đặt t = 2x + 1 ⇒ dt = 2 dx, x = 1 ⇒ t = 3; x = 2 ⇒ t = 5. Z5 1 Vậy I = f (t) dt = 6. 2 3  Chọn đáp án B Câu 103. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm, liên tục trên R, nhận giá trị dương trên khoảng (0; +∞) và thỏa mãn f (1) = 1, f 0 (x) = f (x) · (3x2 + 2mx + m) với m là tham số. Giá trị của tham số m để f (3) = e−4 là A. m = −2. B. m = √ 3. C. m = −3. D. m = 4. Lời giải. Z 0 Z f (x) f 0 (x) 2 Theo giả thiết ta có = 3x + 2mx + m ⇒ dx = (3x2 + 2mx + m) dx. f (x) f (x) 3 2 Nên ln[f (x)] = x3 + mx2 + mx + C ⇒ f (x) = ex +mx +mx+C . Do f (1) = 1 ⇒ e1+2m+C = 1 ⇒ C = −2m − 1. 3 2 Vậy f (x) = ex +mx +mx−2m−1 ⇒ f (3) = e−4 ⇔ e26+10m = e−4 ⇔ m = −3.  ò Å ã 1 1 Câu 104. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm, liên tục trên ; 3 thỏa mãn f (x) + xf = x3 − x. 3 x Z3 f (x) Giá trị tích phân I = dx bằng x2 + x Chọn đáp án C ï 1 3 8 . 9 Lời giải. A. B. 16 . 9 C. 2 . 3 D. 3 . 4 Å ã 1 = x3 − x. Theo giả thiết f (x) + xf x 1 1 1 1 Đặt x = ⇒ dx = − 2 dt; x = 3 ⇒ t = ; x = ⇒ t = 3. t 3 Å 3ã Å ãt Å ã 1 1 1 1 3 3 3 Z f Z tf Z xf Å ã 1 t t x Suy ra I = · − 2 dt = dt = dx. Å ã2 2 2 t t +t x +x 1 1 1 1 + 3 3 3 t Åt ã 1 Z3 f (x) + xf Z3 3 Z3 x −x 16 x ⇒ 2I = dx = dx = (x − 1) dx = . 2 2 x +x x +x 9 1 3 1 3 1 3 8 ⇒I= . 9 Chọn đáp án A Câu 105. Cho hàm số f (x) =  ( 7 − 4x2 khi 0 ≤ x ≤ 1 . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ 4 − x2 khi x > 1 thị hàm số f (x) và các đường thẳng x = 0, x = 3, y = 0. 16 20 A. . B. . C. 10. D. 9. 3 3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 35 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Phương pháp: Công thức tính diện tích hình phẳng được Z giới hạn bởi các đường thẳng x = a, x = b b |f (x) − g(x)| dx. (a < b) và các đồ thị hàm số y = f (x), y = g(x) là S = a Cách giải: Xét các phương trình hoành độ giao điểm: " x=2 4 − x2 = 0 ⇔ ⇔ x = 2. x = −2 ∈ / (1; +∞) √ 7 7 − 4x2 = 0 ⇔ x = ± ∈ / [0; 1]. 2 Z1 Z2 Z3 2 2 ⇒S= 7 − 4x dx + 4 − x dx + 4 − x2 dx 0 1 Z1 Z2 7 − 4x = 2  2 7 − 4x dx + 0 2  Z3 dx + 1   7 − 4x2 dx 2 16 11 16 =7−1+ − −3+ = 10. 3 3 3 Câu 106. Cho hàm số f (x) xác định trên R thỏa mãn f 0 (x) = 4x + 3 và f (1) = −1. Biết rằng phương trình f (x) = 10 có hai nghiệm thực x1 , x2 . Tính tổng log2 |x1 | + log2 |x2 |. A. 8. B. 16. C. 4. D. 3. Lời giải. Phương pháp: Z Sử dụng công thức: f (x) = f 0 (x) dx để tìm hàm số f (x) sau đó giải phương trình và tính tổng đề bài yêu cầu. Z Ta có: f (x) = (4x + 3) dx = 2x3 + 3x + C. Lại có: f (1) = −1 ⇒ 2 · 1 + 3 · 1 + C = −1 ⇔ C = −6 ⇒ f (x) = 2x2 + 3x − 6. ⇒ f (x) = 10 ⇔ 2x2 + 3x − 6 = 10 ⇔ 2x2 + 3x − 16 = 0 (∗). Ta có: ac = 2 · (−16) = −32 <0 ⇒ (∗) luôn có hai nghiệm trái dấu. x1 + x2 = − 3 2 Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:  x1 x2 = −8. Ta có: log2 |x1 | + log2 |x2 | = log2 |x1 x2 | = log2 |−8| = log2 23 = 3.  Chọn đáp án D Z3 Câu 107. Cho hàm số f (x) liên tục trên R có Z5 f (x) dx = 8 và 0 f (x) dx = 4. 0 Z1 (|4x − 1|) dx. Tính −1 A. 3. B. 6. C. 9 . 4 D. 11 . 4 Lời giải. Phương pháp: Sử dụng phương pháp tích phân đổi biến. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 36 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 1 Z1 f (|4x − 1|) dx = Ta có: I = Z1 Z4 −1 f (4x − 1) dx. f (−4x + 1) dx + −1 1 4 1 Z4 Xét I1 = f (−4x + 1) dx. −1 Đặt −4x  + 1 = t ⇒ dt = −4 dx.  x = −1 ⇒ t = 5 Đổi cận:  x = 1 ⇒ t = 0. 4 Z0 Z5 Z5 1 1 1 1 ⇒ I1 = − f (t) dt = f (t) dt = f (x) dx = · 4 = 1. 4 4 4 4 5 0 0 Z1 f (4x − 1) dx. Xét I2 = 1 4 Đặt 4x − 1 = t ⇒ dt = 4 dx.  x=1⇒t=3 Đổi cận:  x = 1 ⇒ t = 0. 4 Z3 Z3 Z3 1 1 1 1 ⇒ I2 = f (t) dt = f (t) dt = f (x) dx = · 8 = 2 4 4 4 4 0 0 0 I = I1 + I2 = 1 + 2 = 3  Chọn đáp án A π Z3 tan xf (cos x) dx = Câu 108. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn 0 √ Z2 Tính tích phân Z8 2 √ f ( 3 x) dx = 6. x 1 f (x2 ) dx. x 1 2 A. 4. B. 6. C. 7. D. 10. Lời giải. π Z3 Xét tích phân I1 = tan xf (cos2 x) dx = 6. 0 Đặt t = cos2 x ⇒ dt = −2 sin x cos x dx. 1 π Khi x = 0 ⇒ t = 1, x = ⇒ t = . Ta có 3 4 π Z3 I1 = − −2 sin x cos x f (cos2 x) dx = 2 cos2 x 1 4 0 Z8 Xét tích phân I2 = Đặt t = √ 3 Z1 f (t) dt = 6 ⇒ 2t Z2 f (x) dx = 6. 2x 1 4 √ f ( 3 x) dx. x 1 3 x ⇒ x = t ⇒ dx = 3t2 dt. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 37 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Khi x = 1 ⇒ t = 1, x = 8 ⇒ t = 2. Ta có Z2 I2 = 3t2 f (t) dt = 6 ⇒ t3 1 Z2 f (x) dx = 1. 2x 1 √ Z2 Xét tích phân I = f (x2 ) dx. x 1 2 Đặt t = x2 ⇒ dt = 2x dx. Khi x = √ Z2 I= 2xf (x2 ) dx = 2x2 1 2 Z2 √ 1 1 ⇒ t = , khi x = 2 ⇒ t = 2. Ta có 2 2 f (t) dt = 2t Z2 f (x) dx = 2x 1 4 1 4 Z1 f (x) dx + 2x 1 4 Z2 f (x) dx = 6 + 1 = 7. 2x 1  Chọn đáp án C Câu 109. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 + 3 là x3 x3 3 A. + 3x + C. B. x + 3x + C. C. + 3x + C. 3 2 Lời giải. Z xn+1 Sử dụng công thức xn dx = + C (n 6= −1). n+1 Chọn đáp án A Z1 Câu 110 (2D3B2-1). Tích phân D. x2 + 3 + C.  1 dx bằng 2x + 5 0 1 7 A. ln . 2 5 Lời giải. 1 5 B. ln . 2 7 Z Sử dụng công thức C. − 4 . 35 D. 1 7 log . 2 5 1 1 dx = ln |ax + b| + C. ax + b a  Chọn đáp án A Câu 111. Diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đường cong y = −x3 + 12x và y = −x2 là A. S = 397 . 4 B. S = 937 . 12 C. S = 3943 . 12 D. S = 793 . 4 Lời giải. Phương pháp: Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), y = g(x) trục hoành Zb và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức S = |f (x) − g(x)| dx. a  x=0  Cách giải: Giải phương trình −x3 + 12x = −x2 ⇔ x3 − x2 − 12x = 0 ⇔  x = 4 x = −3. Diện tích S của hình phẳng (H) là Z4 S = −x3 + 12x − −x  −3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  2 Z4 dx = −x3 + 12x + x2 dx −3 38 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z0 −x3 + 12x + x2 dx + = Z4 −3 Chương 3-Giải tích 12 −x3 + 12x + x2 dx 0 Z0 3 −x + 12x + x = 2  Z4  −x3 + 12x + x2 dx dx + −3 0 ã 1 4 1 3 1 3 4 1 4 2 2 + x − 6x − x x − 6x − x = 4 3 4 3 −3 0 Å ã Å ã 1 4 1 1 1 3 937 2 3 4 2 = 0− ·3 −6·3 + ·3 + − ·4 +6·4 + ·4 −0= . 4 3 4 3 12 ã Å 0 Å  Chọn đáp án B 20x2 − 30x + 7 3 √ ; +∞ hàm số f (x) = Câu 112. Biết rằng trên khoảng có một nguyên hàm 2 2x − 3 √ F (x) = (ax2 + bx + c) 2x − 3, (a, b, c ∈ Z). Tổng S = a + b + c bằng ã Å A. 6. B. 5. C. 4. D. 3. Lời giải. Phương pháp: f (x) có một nguyên hàm F (x) ⇔ (F (x))0 = f (x). Cách giải: √ ax2 + bx + c 2x − 3 √ ax2 + bx + c (2ax + b) (2x − 3) + ax2 + bx + c √ ⇒ (F (x))0 = (2ax + b) 2x − 3 + √ = 2x − 3 2x − 3 2 5ax + (3b − 6a) x − 3b + c √ . = 2x − 3     5a = 20 a=4     f (x) có một nguyên hàm F (x) ⇔ (F (x))0 = f (x), khi đó 3b − 6a = −30 ⇔ b = −2 .       −3b + c = 7 c=1 ⇒ S = a + b + c = 3. F (x) =  Chọn đáp án D R2 Câu 113. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và f (2) = 16, f (x) dx = 4. Tính tích phân I = 0 R1 x · f 0 (2x) dx 0 A. 13. B. 12. C. 20. D. 7. Lời giải. Zb u dv = Phương pháp: Sử dụng công thức từng phần: uv|ba a Zb − v du. a Cách giải: Z2 0 x · f (2x) dx I= = 1 2 Z1 x d (f (2x)) 0 0 = 1 1 x · f (2x)|10 − 2 2 Z1 f (2x) dx 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 39 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 1 1 f (2) − 2 4 = Z1 f (2x) d(2x) 0 1 1 f (2) − 2 4 đặt t=2x = Z2 f (t) dt 0 1 1 f (2) − 2 4 = Z2 f (x) dx = 1 1 · 16 − · 4 = 8 − 1 = 7. 2 4 0  Chọn đáp án D √ Câu 114. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau y = x, y = 1 đường thẳng x = 4 (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng y = 1 bằng y x=4 y=1 1 O 9 π. 2 Lời giải. A. B. 1 x 4 119 π. 6 C. 7 π. 6 D. Phương pháp: Gắn hệ trục tọa độ mới. Cho hai hàm số y = y 21 π. 2 Y f (x), y = g(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi hai đồ thị số y = f (x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b khi quay quanh trục Ox là: V = Zb π f 2 (x) − g 2 (x) dx. a Cách giải: Đặt ( X =x−1 Y =y−1 1 O0 3 X O 1 4 x . Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ: √ √ √ Ta có: y = x ⇔ Y + 1 = X + 1 ⇔ Y = X + 1 − 1. Thể tích cần tìm là V = π Z3 Ä √ 3 Z Ä ä2 ä √ X + 1 − 1 dX = π X + 2 − 2 X + 1 dX 0 0 √ 1 2 4 = π X + 2X − (X + 1) X + 1 2 3 Å ã 3 ïÅ =π 0 ã Å ãò 32 4 7π 9 +6− − − = . 2 3 3 6  Chọn đáp án C Câu 115. Cho hàm số f (x) liên tục trên R có đạo hàm thỏa mãn f 0 (x) + 2f (x) = 1, ∀x ∈ R và R1 f (0) = 1. Tích phân f (x) dx bằng 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 40 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 3 1 − 2. 2 e Lời giải. A. B. Chương 3-Giải tích 12 1 3 − 2. 4 4e C. 1 1 − 2. 4 4e 1 1 D. − − 2 . 2 e Phương pháp: (f · g)0 = f 0 · g + f · g 0 . Cách giải: Ta có f 0 (x) + 2f (x) = 1 ⇔ e2x f 0 (x) + e2x · 2f (x) = e2x 0 ⇔ e2x · f (x) = e2x Z 2x ⇒ e · f (x) = e2x dx 1 ⇔ e2x · f (x) = e2x + C. 2 Mà f (0) = 1 1 ⇒1 = +C 2 1 ⇒C = 2 1 2x 1 ⇒ e2x · f (x) = e + 2 2 2x e +1 . ⇔ f (x) = 2e2x Z1 Z1 f (x) dx = 0 e2x + 1 dx 2e2x 0 Z1 Å = = = = ã 1 1 −2x dx + e 2 2 0 Å ã 1 1 −2x 1 x− e 2 4 ã Å0 ã Å 1 1 1 − 2 − − 2 4e 4 3 1 − 2. 4 4e  Chọn đáp án B Z Câu 116 (2D3Y1-1). Nếu A. f (x) = 3x2 + ex . f (x) dx = B. f (x) = x3 + ex + C thì f (x) bằng 3 x4 + ex . 3 C. f (x) = x2 + ex . D. f (x) = Lời giải. Z x3 Ta có f (x) dx = + ex + C ⇒ f (x) = x2 + ex . 3 Chọn đáp án C x4 + ex . 12  Câu 117 (2D3Y1-1). Nguyên hàm của hàm số f (x) = x2019 , (x ∈ R) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây? A. F (x) = 2019x2018 + C, (C ∈ R). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. F (x) = x2020 + C, (C ∈ R). 41 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 x2020 + C, (C ∈ R). D. F (x) = 2018x2019 + C, (C ∈ R). 2020 Lời giải. Z Z Z xn+1 x2020 n Áp dụng công thức x dx = + C (n 6= −1), ta có f (x) dx = x2019 dx = + C.  n+1 2020 C. F (x) = Câu 118 (2D3B1-1). Cho hàm số f (x) thoả mãn f 0 (x) = 27 + cos x và f (0) = 2019. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f (x) = 27x + sin x + 1991. B. f (x) = 27x − sin x + 2019. C. f (x) = 27x + sin x + 2019. Lời giải. Z D. f (x) = 27x − sin x − 2019. 0 Ta có f (x) = 27 + cos x ⇒ 0 Z (27 + cos x) dx ⇒ f (x) = 27x + sin x + C. f (x) dx = Lại có f (0) = 2019 ⇒ 27 · 0 + sin 0 + C = 2019 ⇔ C = 2019 ⇒ f (x) = 27x + sin x + 2019.  Chọn đáp án C 2 Câu 119 (2D3Y1-1). Hàm số F (x) = ex là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? 2 ex x2 2 x2 x2 A. f (x) = 2xe . B. f (x) = x e . C. f (x) = e . D. f (x) = . 2x Lời giải. Ä 2 ä0 2 Ta có f (x) = (F (x))0 = ex = 2xex .  Chọn đáp án A Câu 120 (2D3K1-1). Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R thoả mãn f 0 (x)−2018f (x) = 2018x2017 e2018x với mọi x ∈ R, f (0) = 2018. Tính f (1). A. f (1) = 2019e2018 . B. f (1) = 2019e−2018 . C. f (1) = 2017e2018 . D. f (1) = 2018e2018 . Lời giải. Ta có: f 0 (x) − 2018f (x) = 2018x2017 e2018x ⇔ e−2018x f 0 (x) − 2018e−2018x f (x) = 2018x2017 . 0 2017 ⇒ (e−2018x ⇒ e−2018x f (x) là 1 nguyên hàm của2018x2017 . Z f (x)) = 2018x Ta có: 2018x2017 dx = x2018 + C ⇒ e−2018x f (x) = x2018 + C0 . Mà f (0) = 2018 ⇒ 2018 = C0 ⇒ e−2018x f (x) = x2018 + 2018 ⇒ f (x) = x2018 e2018x + 2018e2018x ⇒ f (1) = e2018 + 2018e2018 = 2019e2018 .  Chọn đáp án A Câu 121 (2D3Y1-1). Cho hai hàm số f (x) , g (x) liên tục trên R. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? Z Z f (x) dx f (x) A. dx = Z , (g(x) 6= 0, ∀x ∈ R). g(x) g(x) dx Z Z Z B. f (x) − g(x) dx = f (x) dx − g(x) dx. Z Z C. k · f (x) dx = k f (x) dx, (k 6= 0, k ∈ R). Z Z Z D. f (x) + g(x) dx = f (x) dx + g(x) dx. Lời giải. Z Z Theo tính chất của nguyên hàm ta có mệnh đề sai là Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 42 f (x) dx = Z g(x) f (x) dx , (g(x) 6= 0, ∀x ∈ R). g(x) dx https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án A Câu 122. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 3−x . 3−x 3−x A. + C. B. − + C. C. −3−x + C. ln 3 ln 3 Lời giải. Z 3−x −x + C. Ta có 3 dx = − ln 3 Chọn đáp án B D. −3−x ln 3 + C.  Câu 123. Giả sử f (x) là một hàm số bất kì liên tục trên khoảng (α; β) và a, b, c, b + c ∈ (α; β). Mệnh đề nào sau đây sai ? Zb Zc Zb A. f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. a a Zb C. Zb B. c Zb+c Zb f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. a a Zb+c Zc f (x) dx = f (x) dx − f (x) dx. a a a Zb Zc Zc a b+c f (x) dx − f (x) dx = D. a f (x) dx. b Lời giải. Dựa vào tính chất của tích phân, với f (x) là một hàm số bất kì liên tục trên khoảng (α; β) và a, b, c, b + c ∈ (α; β) ta luôn có Zb Zc f (x) dx = a Zb f (x) dx + f (x) dx a c Zc Zc f (x) dx − = f (x) dx a b Zb+c Zb = f (x) dx + f (x) dx. a Zb Vậy mệnh đề sai là a b+c Zb+c Zc f (x) dx = f (x) dx − f (x) dx. a a  Chọn đáp án B Câu 124. Giả sử f (x) là một hàm số bất kì liên tục trên khoảng (α; β) và a, b, c, b + c ∈ (α; β). Mệnh đề nào sau đây sai? Z b Z c Z b A. f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. cZ Za b Za b+c a C. f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. a a Z b Z Za b a a f (x) dx − f (x) dx. Z cc f (x) dx − f (x) dx. a b f (x) dx = D. Z Za c f (x) dx = B. c b+c Lời giải. Dựa vào tính chất của tích phân, với f (x) là một hàm số bất kì liên tục trên khoảng (α; β) và a,b,c,b + c ∈ (α; β) ta có: Z b Z c Z b Z c Z c Z b+c Z b f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx − f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. a a c a b a b+c Z b Z b+c Z a Vậy mệnh đề sai là f (x) dx = f (x) dx − f (x) dx a a c  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 43 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 125. Cho f (x) = x4 − 5x2 + 4. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai? Z2 Z A. S = |f (x)|dx. B. S = 2 1 Z Z2 Z2 |f (x)|dx. C. S = 2 f (x)dx . 1 0 −2 2 f (x)dx + 2 f (x)dx . D. S = 2 0 0 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số f (x) = x4 − 5x2 + 4 và trục hoành 4 " 2 x =1 2 x − 5x + 4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ " x = ±1 x = ±2. Diện tích hình phẳng cần tìm là Z2 |f (x)|dx (1) S= −2 2 Z |f (x)|dx (2) (do f (x) là hàm số chẵn) =2 0 Z1 Z2 |f (x)|dx + 2 =2 0 |f (x)|dx 1 Z1 =2 Z2 f (x)dx + 2 0 f (x)dx (3) (do trong các khoảng(0; 1), (1; 2) phương trình f (x) = 0 vô nghiệm). 1 Từ (1), (2) và (3) suy ra các đáp án A, B, C là đúng, đáp án D là sai. Máy tính: Bấm máy kiểm tra, ba kết quả đầu bằng nhau nên đáp án là đáp án D.  Chọn đáp án D x trên khoảng (0; π) là sin2 x B. x cot x − ln |sin x| + C. D. −x cot x − ln (sin x) + C. Câu 126. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = A. −x cot x + ln (sin x) + C. C. x cot x + ln |sin x| + C. Lời giải. Z Z x F (x) = f (x)dx = 2 dx. sin x  ( u = x du = dx Đặt ⇒ . dv = 1 dx v = − cot x sin2 x Khi đó: Z Z Z Z x cos x d (sin x) F (x) = cot xdx = −x. cot x + dx = −x. cot x + 2 dx = −x. cot x + sin x sin x sin x = −x. cot x + ln |sin x| + C. Với x ∈ (0; π) ⇒ sin x > 0 ⇒ ln |sin x| = ln (sin x). Vậy F (x) = −x cot x + ln (sin x) + C  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 44 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 x trên khoảng (0; π) là s in2 x B. .−x cot x + ln (s inx) + C. D. x cot x + ln |s inx| + C. Câu 127. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = A. x cot x − ln |s inx| + C. C. −x cot x − ln (s inx) + C. Lời giải.Z Z x F (x) = f (x) dx = dx. s in2 x  ( u = x du = dx Đặt ⇒ . dv = 1 dx v = − cot x s in2 x Z Z Z cos x x dx = −x. cot x + cot xdx = −x. cot x + dx = −x. cot x + Khi đó: F (x) = 2 s in x sin x Z d (sin x) = −x. cot x + ln |s inx| + C. sin x Với x ∈ (0; π) suy ra s inx > 0 suy ra ln |s inx| = ln (s inx). Vậy F (x) = −x cot x + ln (s inx) + C.  Chọn đáp án B Câu 128. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x) + f 0 (x) = e−x , ∀x ∈ R và f (0) = 2. Tất cả các nguyên hàm của f (x)e2x là A. (x − 1)ex + C. B. (x − 2)ex + ex + C. C. (x + 1)ex + C. D. (x + 2)e2x + ex + C. Lời giải. Chọn C. Sử dụng phương pháp tọa độ hóa. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Chuẩn hóa a = 1 (đơn vị √ dài). Khi đó SA = 11 Đặt OC = OD = b > 0; OS = c > 0 ta có: SA2 = SC 2 = SO2 +OC 2 = b2 +c2 ⇒ b2 +c2 = 11(1). Tọa độ các điểm B(0; −b; 0), ã D(0; b; 0), S(0; 0; c Å C(b; 0; 0), 1 1 1 y . Theo giả Mặt phẳng (SBC) có phương trình xb + −b + zc = 1 ⇒ vtpt của (SBC) là: ;− ; b b c 1 1 |1| 1 9 2 1 c2 thiết ta có: |cos(n1 ; n2 )| = ⇔ √ √ = ⇔ ⇔ 2 = 2 ⇔ 9b2 − 2c2 = 0. Kết = 2 1 10 10 10 c b 1. 2 + 2 2 c √b √ hợp (1) và (2) ta được: b2 = 2 và c2 = 9 ⇒ b = 2 và c = 3 (do b, c > 0). Vậy CD = OC 2 = 1 1 2; SO = 3 ⇒ VS.ABCD = .SABCD .SO = .22 .3 = 4 (đơn vị thể tích). Vậy VS.ABCD = 4a3 . 3 3  Câu 129. Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng y B một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng OO0 = 5 cm, OA = 10 cm, OB = 20 cm, đường cong AB là một phần của parabol có đỉnh là điểm A. Thể tích của chiếc mũ bằng 2750π A. (cm3 ). 3 2050π C. (cm3 ). 3 2500π (cm3 ). 3 2250π D. (cm3 ). 3 B. O A x O0 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 45 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta gọi thể tích của chiếc mũ là V . y B(0; 20) Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng OA = 10 cm và đường cao OO0 = 5 cm là V1 . Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong AB và hai trục tọa độ quanh trục Oy là V2 . 1 y = (x − 10)2 5 Ta có V = V1 + V2 . V1 = 5.102 π = 500π (cm3 ). Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Do parabol có đỉnh A nên nó có phương trình dạng (P ) : O y = a(x − 10)2 . O0 A(10; 0) x 1 Vì (P ) qua điểm B(0; 20) nên a = . 5 √ 1 2 Do đó, (P ) : y = (x − 10) . Từ đó suy ra x = 10 − 5y (do x < 10). 5 Z20 Ä ã Å p ä2 1000 8000 10 − 5y dy = π 3000 − Suy ra V2 = π = π (cm3 ). 3 3 0 2500 1000 π + 500π = π (cm3 ) . 3 3 Do đó V = V1 + V2 =  Chọn đáp án B Câu 130. Giả sử f (x) và g (x) là các hàm số bất kỳ liên tục trên R và a, b, c là các số thực. Mệnh đề nào sau đây sai ? Zb Zc Za A. f (x) dx + f (x) dx + f (x) dx = 0. a c b Zb Zb cf (x) dx = c B. a f (x) dx. a Zb Zb f (x) dx · f (x)g (x) dx = C. a Zb a Zb a Zb (f (x) − g(x)) dx + D. g(x) dx. a Zb g(x) dx = a f (x) dx. a Lời giải. Theo tính chất tích phân ta có: Za Zc Za Za Zb Zc f (x) dx + f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx = 0. a c b Zb a c a Zb f (x) dx, với c ∈ R. cf (x) dx = c a a Zb Zb (f (x) − g(x)) dx + a Zb f (x) dx − g(x) dx = a Zb a Zb g(x) dx + a Zb g(x) dx = a f (x) dx. a  Chọn đáp án C Câu 131. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 5x. 1 A. cos 5x + C. B. cos 5x + C. C. − cos 5x + C. 5 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 46 1 D. − cos 5x + C. 5 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Z Z 1 1 Ta có sin 5xdx = sin 5xd(5x) = − cos 5x + C. 5 5 Chọn đáp án D  1 thỏa mãn F (2) = 4. Giá trị F (−1) bằng Câu 132. Cho F (x) là nguyên hàm của f (x) = √ x + 2 √ √ A. 3. B. 1. C. 2 3. D. 2. Lời giải. Z Z √ 1 √ dx = 2 x + 2 + C. F (x) = f (x) dx = x√ +2 √ Theo đề bài F (2) = 4 nên 2 2 + 2 + C = 4 ⇔ C = 0 ⇒ F (−1) = 2 −1 + 2 = 2. Vậy F (−1) = 2.  Chọn đáp án D Câu 133. Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 4, biết rằng khi cắt bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 < x < 4) thì được thiết diện √ là nửa hình tròn có bán kính R = x 4 − x. 32 64π 32π 64 B. V = . C. V = . D. V = . A. V = . 3 3 3 3 Lời giải. 1 1 1 Ta có diện tích thiết diện là S(x) = πR2 = πx2 (4 − x) = π (4x2 − x3 ). 2 2 2 Z4 Z4 Å ã 4  1 4 3 1 4 1 32π 2 3 4x − x dx = π x − x . Thể tích của vật thể cần tìm là: V = S(x) dx = π = 2 2 3 4 3 0 0 0  Chọn đáp án D Câu 134. 1 Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f (x) = x3 − 3 1 2 x − x + 1 và trục hoành như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây 3 sai? Z1 Z3 Z3 A. S = f (x) dx − f (x) dx. B. S = 2 f (x) dx. −1 1 −1 0 1 3 x 1 Z1 C. S = 2 y Z3 f (x) dx. |f (x)| dx. D. S = −1 −1 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và trục hoành:  x = −1  1 1 3 x − x2 − x + 1 = 0 ⇔  x = 1 3 3 x = 3. Từ hình vẽ ta thấy f (x) > 0, ∀x ∈ (−1; 1) và f (x) > 0, ∀x ∈ (1; 3). Z3 Z1 Z3 Z1 Do đó S = |f (x)| dx = f (x) dx − f (x) dx = 2 f (x) dx. −1 −1 −1 1 Suy ra các phương án A, C, D đúng.  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 47 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 135. Cho Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f 0 (x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây: x −∞ −1 +∞ 1 +∞ 1 f 0 (x) −∞ −1 Hàm số g(x) = f (x) − x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. Lời giải. Ta có g 0 (x) = f 0 (x) − 1; g 0 (x) = 0 ⇔ f 0 (x) = 1. ” Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f 0 (x) ta có f 0 (x) = 1 ⇔ x = −1 . x = x0 > 1 Bảng xét dấu của g 0 (x) như sau: −∞ x g 0 (x) x0 −1 − 0 − 0 +∞ + Vậy hàm số g(x) = f (x) − x có một điểm cực trị .  Chọn đáp án D Câu 136. Cho hàm số y = f (x) liên tục, nhận giá trị dương trên R và có bảng xét dấu đạo hàm như dưới đây x g 0 (x) −∞ −1 − 0 0 + 0 1 + 0 +∞ 2 − 0 + Hàm số y = log2 (f (2x)) đồng biến trên khoảng A. (1; 2). B. (−∞; −1). C. (−1; 0). D. (−1; 1). Lời giải. 2f 0 (x) . f (2x) ln 2 Theo giả thiết ta có f (2x) > 0 với mọi x ∈ R. Do đó  1 ” 1 − ≤x≤ − 1 ≤ 2x ≤ 1 0 0 2 g (x) ≥ 0 ⇔ f (2x) ≥ 0 ⇔ ⇔ 2 2x ≥ 2 x≥1 Đặt g(x) = log2 (f (2x)), ta có g 0 (x) = Å ã 1 1 và có dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm, suy ra hàm số y = g(x) đồng biến trên các khoảng − ; 2 2 và (1; +∞). Vậy hàm số đồng biến trên (1; 2).  Chọn đáp án A Câu 137. Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m sao cho tồn tại hai số phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn đồng thời các phương trình |z − 1| = |z − i| và |z + 2m| = m + 1. Tổng tất cả các phần tử của S là Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 48 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. 1. Chương 3-Giải tích 12 B. 4. C. 2. D. 3. Lời giải. Giả sử z = x + yi (x, y ∈ R). Ta có |z + 2m| = m + 1 ≥ 0. TH1: m + 1 = 0 ⇔ m = −1 ⇒ z = 2 (loại) vì không thỏa mãn phương trình |z − 1| = |z − i| TH2: m + 1 > 0 ⇔ m > −1 (1). Theo bài ra ta có ( |z − 1| = |z − i| ( |(x − 1) + yi| = |x + (y − 1)i| ( (x − 1)2 + y 2 = x2 + (y − 1)2 ⇔ ⇔ |z + 2m| = m + 1 |(x + 2m) + yi| = m + 1 (x + 2m)2 + y 2 = (m + 1)2 ( ( y=x y=x ⇔ ⇔ . (x + 2m)2 = (m + 1)2 2×2 + 4mx + 3m2 − 2m − 1 = 0(∗) Để tồn tại hai số phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn thỏa mãn yêu cầu đề bài thì phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt √ √ ⇔ ∆0 = 4m2 − 2(3m2 − 2m − 1) = 2(−m2 + 2m + 1) > 0 ⇔ 1 − 2 < m < 1 + 2 (2) Từ (1), (2) và m ∈ Z ta nhận được S = {0; 1; 2}. Vậy tổng các phần tử của S là 0 + 1 + 2 = 3.  Chọn đáp án D Câu 138. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AC √ và SD. a 6 A. . 6 Lời giải. √ a 6 B. . 2 √ a 6 C. . 3 √ a 3 D. . 3 Gắn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho z S A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; 2a; 0) và S(0; 0; a). Khi đó ta có # » # » #» AC = (a; a; 0), SD = (0; 2a; −a), SA = (0; 0; −a), # » # » [AC; SD] = (−a; a; 2a) và # » # » #» [AC; SD] · SA = −a · 0 + a · 0 + 2a · (−a) = −2a2 . a A 2a D y Vậy ta có √ # » # » #» |[AC; SD] · SA| 2a2 6 d(AC, SD) = =√ = a. # » # » 2 2 2 3 a + a + 4a |[AC; SD]| a B x a C  Chọn đáp án C Câu 139. Người ta sản xuất một vật lưu niệm (N ) bằng thủy tinh trong suốt có dạng khối tròn xoay mà thiết diện qua trục của nó là một hình thang cân (xem hình vẽ). Bên trong (N ) có hai khối cầu ngũ sắc với bán kính lần lượt là R = 3 cm, r = 1 cm tiếp xúc với nhau và cùng tiếp xúc với mặt xung quanh của (N ), đồng thời hai khối cầu lần lượt tiếp xúc với hai mặt đáy của (N ). Tính thể V tích vật lưu niệm đó 485π A. V = (cm3 ). B. V = 81π (cm3 ). 6 728π C. V = 72π (cm3 ). D. V = (cm3 ). 9 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 49 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. G M E L J D K H C I F N S Gọi tâm của hai đường tròn trong (N ) là C và D. Ta có GS là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại K và J. Khi đó DJ ⊥ GS, CK ⊥ GS. Kẻ DN k GS (N ∈ IS), khi đó DHKJ là hình chữ nhật nên HK = DJ = 1 cm, do đó ta có CH = 2 cm. DJ GD DJ · CD Ta có tam giác DHC đồng dạng với tam giác GJD nên = ⇒ DG = = 2 cm, từ CH CD CH đó suy ra GF = 9 cm. GF DC · GF DS Ta lại có tam giác DHC đồng dạng với tam giác GF S nên = ⇒ GS = = DC DH DH √ √ √ DC · GF √ = 6 3 cm, từ đó suy ra F S = GS 2 − GF 2 = 3 3 cm. DC 2 − CH 2 √ √ EL GE GE · F S 3 3 3 = ⇒ EL = = = Vì tam giác GEL đồng dạng với tam giác GF S nên FS GF GF 9 3 cm. 1 728π Vì (N ) là khối nón cụt nên V(N ) = (EL2 + F S 2 + EL · F S) · EF = . 3 9 Chọn đáp án D  Câu 140. Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1 , A2 , B1 , B2 M B2 N như hình vẽ bên. Người ta chia elip bởi Parabol có đỉnh B1 , trục đối xứng B1 B2 và đi qua các điểm M , N . Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng/m2 và trang trí đèn led phần còn lại với giá A1 500.000 đồng/m2 . Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng A1 A2 = 4m, B1 B2 = 2m, M N = 2m. A. 2.431.000 đồng. B. 2.057.000 đồng. C. 2.760.000 đồng. A2 B1 D. 1.664.000 đồng. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 50 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của A1 A2 . Tọa độ các đỉnh A1 (−2; 0), A2 (2; 0), B1 (0; −1), B2 (0; …1). 2 2 x y x2 + =1⇔y =± 1− . Phương trình đường Elip (E) : 4 Ç Ç √ 4å 1 √ å 3 3 Ta có M −1; , N 1; ∈ (E). 2 2 Parabol (P ) có đỉnh B1 (0; −1) và trục đối xứng là Ox nên (P ) y B2 1 M A1 N A2 O −2 2 −1 x B1 2 có phương √ trình y = ax − 1, (a > 0), đi quaÇM √, N . å 3 3 ⇒a= + 1 ⇒ (P ) có phương trình y = + 1 x2 − 1. 2 2 Diện tích phần tô đậm Z1 ” S1 = 2 x2 − 1− 4 Ç√ # å Ç√ å Z1 √ 3 2 3 2 + 1 x + 1 dx = + 1 + 2. 4 − x2 dx − 2 3 2 0 0 h π πi π Đặt x = 2 sin t, t ∈ − ; ⇒ dx = 2 cos t dt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = . 2 2 6 π π Ç å √ √ Z6 p Z6 2 3 3 4 2 2 + 1 + 2 = 4 cos t dt − + ⇒ S1 = 4 − 4 sin t · 2 cos t dt − 3 2 3 3 π Z6 =2 0 0 √ 3 4 (1 + cos 2t) dt − + = (2t + sin 2t) 3 3 0 π 6 0 √ √ 3 4 π 3 4 − + = + + . 3 3 3 6 3 Diện tích hình Elip là S = πab = 2π. √ 5π 3 4 − − . ⇒ Diện tích phần còn lại S2 = S − S1 = 3 6 3 Kinh phí sử dụng là 200000S1 + 500000S2 ≈ 2341000 (đồng).  Chọn đáp án A Câu 141. Giả sử hàm f có đạo hàm cấp 2 trên R thỏa mãn f 0 (1) = 1 và f (1 − x) + x2 f 00 (x) = 2x Z1 với mọi x ∈ R. Tích phân xf 0 (x) dx bằng 0 A. 1. B. 2. C. 0. D. 2 . 3 Lời giải. Từ giả thiết f (1 − x) + x2 f 00 (x) = 2x ⇒ f (1) = 0. Z1 Z1 Z1 Suy ra x2 f 00 (x) dx = 2x dx − f (1 − x) dx. ( 0 u = x2 0 0 ( du = 2x dx ⇒ dv = f 00 (x) dx v = f 0 (x). Z1 Z1 1 Khi đó x2 f 00 (x) dx = x2 f 0 (x) − 2 xf 0 (x) dx = 1 − 2I. Đặt 0 0 Z1 Z1 2x dx− Mà 0 0 0 1 f (1−x) dx = x2 − Suy ra 1 − 2I = 1 + I ⇒ I = 0. 0 Z1 Z1 f (x) dx = 1− 0 Z1 f (x) dx = 1−xf (x) + 0 0 xf 0 (x) dx = 1+I. 0  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 1 51 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z2 Câu 142. Tính tích phân I = Chương 3-Giải tích 12 x−1 dx x 1 7 B. I = . 4 A. I = 1 − ln 2. C. I = 1 + ln 2. D. I = 2 ln 2. Lời giải. Ta có Z2 I= x−1 dx = x 1 Z2 Å ã 1 1− dx = (x − ln |x|)|21 x 1 = (2 − ln 2) − (1 − ln 1) = 1 − ln 2  Chọn đáp án A Å ã 1 1 trên −∞; . 1 − 2x 2 1 1 1 B. ln |1 − 2x| + C. C. − ln |2x − 1| + C. D. ln |2x − 1| + C. A. ln |2x − 1| + C. 2 2 2 Lời giải. Z Z ã Å 1 1 1 1 Trên khoảng −∞; , ta có f (x)dx = − d(1 − 2x) = − ln |2x − 1| + C. 2 2 1 − 2x 2 Chọn đáp án C  x Câu 144. Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = , y = 0, x = 1, x = 4. Tính thể tích 4 vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (D) quanh trục Ox. 15π 21π 21 15 . B. . C. . D. . A. 16 8 16 16 Lời giải. Câu 143. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (D) quanh trục Ox là Z4  2 x πx3 V =π· dx = 4 48 1 4 = 1 21π . 16  Chọn đáp án C Câu 145. Biết rằng hàm số F (x) = mx3 + (3m + n)x2 − 4x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3×2 + 10x − 4. Tính mn. A. mn = 1. B. mn = 2. C. mn = 0. D. mn = 3. Lời giải. Vì F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) nên F 0 (x) = f (x), ( ∀x ∈ R. ( 3m = 3 m=1 Khi đó, 3mx2 + 2(3m + n)x − 4 = 3×2 + 10x − 4, ∀x ∈ R ⇔ ⇔ 2(3m + n) = 10 n = 2. Vậy m.n = 2  Chọn đáp án B Z1 Câu 146. Tích phân I = (x − 1)2 dx = a − ln b trong đó a, b là các số nguyên. Tính giá trị của x2 + 1 0 biểu thức a + b . A. 1. C. −1. B. 0. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 52 D. 3. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Ta có Z1 I= (x − 1)2 dx x2 + 1 0 Z1 = Å 1− ã 2x dx x2 + 1 0 1 1 = x − ln x2 + 1  0 0 = 1 − ln 2 ( a=1 ⇒ ⇒ a + b = 3. b=2  Chọn đáp án D Câu 147. Cho hình phẳng D được giới hạn bởi hai đường y = 2(x2 − 1); y = 1 − x2 . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do D quay quanh trục Ox. 64π 32 32π 64 A. . B. . C. . D. . 15 15 15 15 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số y = 2(x2 −1) y và y = 1 − x2 là y = 2×2 − 2 2 2(x2 − 1) = 1 − x2 ⇔ x = ±1. 1 Lấy đối xứng đồ thị hàm số y = 2(x2 − 1) qua trục Ox ta được đồ −1 thị hàm số y = 2(1 − x2 ). Ta có 2(1 − x2 ) ≥ 1 − x2 , ∀x ∈ [−1; 1]. Khi đó trên đoạn [−1; 2] phần thể tích của hàm số y = 2(x2 − 1) O 1 −2 x y = 1 − x2 chứa cả phần thể tích của hàm số y = 1 − x2 . y = −2×2 + 2 Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là Z1 V =π  2 64π 2(x2 − 1) dx = . 15 −1  Chọn đáp án A Câu 148. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f 0 (x) = (x − 1)(x2 − 3)(x4 − 1) với mọi x ∈ R. So sánh f (−2), f (0), f (2) ta được A. f (2) < f (0) < f (−2). B. f (0) < f (−2) < f (2). C. f (−2) < f (2) < f (0). Lời giải. D. f (−2) < f (0) < f (2). Ta có f 0 (x)Z = (x − 1)(x2 Z− 3)(x4 − 1) = x7 − x6 − 3x5 + 3x4 − x3 + x2 + 3x − 3. 0 0 464 I1 = f 0 (x)dx = (x7 − x6 − 3x5 + 3x4 − x3 + x2 + 3x − 3)dx = − < 0. 105 −2 −2 ⇒ f (0) − f (−2) < 0 ⇒ f (0) < f (−2). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 53 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 2 Z Z 0 f (x)dx = I2 = Chương 3-Giải tích 12 2 (x7 − x6 − 3x5 + 3x4 − x3 + x2 + 3x − 3)dx = − 0 0 44 < 0. 105 ⇒ f (2) − f (0) < 0 ⇒ f (2) < f (0). Vậy f (2) < f (0) < f (−2). Chọn đáp án A  Câu 149. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 . Biết F cos2 x π 4  + kπ = k với mọi k ∈ Z. Tính F (0) + F (π) + F (2π) + · · · + F (10π). A. 55. B. 44. C. 45. D. 0. Lời giải. Z Z dx Ta có f (x)dx = = tan x + C. 2x cos Å ã  π 3π    π tan x + C0 , x ∈ − ;     F + 0π = 1 + C0 = 0 ⇒ C0 = −1 2 2     π π  4   π      ;  tan x + C1 , x ∈    F + π = 1 + C1 = 1 ⇒ C1 = 0     Å2 2 ã 4       3π 5π      tan x + C2 , x ∈ F π + 2π = 1 + C2 = 2 ⇒ C2 = 1 ; 2 2 4 Suy ra F (x) = ⇒     ··· ···       Å π  ã     17π 19π     F + 9π = 1 + C9 = 9 ⇒ C9 = 8 tan x + C9 , x ∈ ;     4   2 2       ã Å  F π + 10π = 1 + C = 10 ⇒ C = 9.  21π 19π 10 10   tan x + C10 , x ∈ ; 4 2 2 Vậy F (0) + F (π) + F (2π) + · · · + F (10π) = tan 0 − 1 + tan π + tan 2π + 1 + · · · + tan 10π + 9 = 44.  Chọn đáp án B Z Câu 150. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn Z 1   f (x) tan2 x + f 0 (x) tan x dx Tính tích phân I = 0 A. −1. Lời giải. Z Ta có I = B. 1 − ln(cos 1). 1   f (x) tan2 x + f 0 (x) tan x dx = 0 Mà Z 1 Z 2 f (x) tan xdx + 0 1 1 f (x)dx = 1, f (1) = cot 1. 0 D. 1 − cot 1. C. 0. Z 1 1 f 0 (x) tan xdx. 0 Z 1 Z 1 Z 1 ã 1 f (x) f (x) f (x) tan xdx = f (x) f (x)dx = − 1 dx = dx − dx − 1. 2 2 2 cos x 0 cos x 0 cosZ x 0 Z0 1 Z 01 Z 1 1 f (x) f (x) f 0 (x) tan xdx = tan xd(f (x)) = f (x) · tan x|10 − dx = 1 − dx. 2 2 0 0 0 cos x 0 cos x Vậy I = 0. 2 Z Å  Chọn đáp án C Câu 151. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + sin x là A. x3 + cos x + C. C. x3 − cos x + C. B. 6x + cos x + C. Lời Z giải.  x3 3x2 + sin x dx = 3 · − cos x + C = x3 − cos x + C. 3 Chọn đáp án C D. 6x − cos x + C.  Câu 152. Với hàm số f (x) tùy ý liên tục trên R, a < b, diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x), trục hoành và các đường thẳng x = a, x = b được xác định theo công Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 54 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 thức Zb |f (x)| dx. A. S = |f (x)| dx. B. S = π a Zb Zb Zb D. S = π f (x) dx . C. S = a a a f (x) dx . Lời giải. Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng y = 0, x = a, x = b(a < b)và Zb đồ thị hàm số y = f (x)là S = |f (x)| dx. a  Chọn đáp án A Câu 153. Diện tích hình phẳng bôi đậm trong hình vẽ dưới đây được xác định y = x − 2x − 1 theo công thức Z2  A. 2x2 − 2x − 4 dx. −1 Z2 Z2 B. −1 Z2  −2x2 + 2x + 4 dx. C. y 2 D. −1  2x2 + 2x − 4 dx. −1  −2x2 − 2x + 4 dx. O 2 x −1 y = −x2 + 3 Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy công thức tính diện tích hình phẳng cần tính là Z2 Z2   2 2 −x + 3 − x + 2x + 1 dx = −2x2 + 2x + 4 dx. −1 −1  Chọn đáp án C Câu 154. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = A. ln |x + 1| + 2 ln |x + 2| + C. x2 x+3 là + 3x + 2 B. 2 ln |x + 1| + ln |x + 2| + C. C. 2 ln |x + 1| − ln |x + 2| + C. D. − ln |x + 1| + 2 ln |x + 2| + C. Lời giải. Ta có: Z Z Z x+3 x+3 I = f (x)dx = dx = dx 2 x + 3x + 2 (x + 1)(x + 2) Z Å ã 2 1 = − dx = 2 ln |x + 1| − ln |x + 2| + C. x+1 x+2 Chọn đáp án C  Câu 155. Biết rằng tồn tại duy nhất bộ các số Z3 (4x + 2) ln x dx = a + b ln 2 + c ln 3. Giá trị của a + b + c bằng nguyên a, b, c sao cho 2 B. −19. A. 19. C. 5. D. −5. Lời giải. Z3 Đặt I = (4x + 2) ln x dx. 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 55 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  du = dx x Đặt ⇔  dv = (4x + 2)dx v = 2x2 + 2x = 2x(x + 1) Khi đó ( u = ln x I = [2x(x + 1) ln x] |32 − Z3 2x(x + 1) dx x 2 Z3 I = 24 ln 3 − 12 ln 2 − 2 (x + 1)dx 2 ã x2 I = 24 ln 3 − 12 ln 2 − 2 + x 32 2 ã Å 15 −4 I = 24 ln 3 − 12 ln 2 − 2 2 I = 24 ln 3 − 12 ln 2 − 7 = a + b ln 2 + c ln 3. Å   a = −7   ⇒ b = −12 ⇒ a + b + c = −7 − 12 + 24 = 5 .    c = 24  Chọn đáp án C Câu 156. Cho hàm số f (x) > 0 với mọi x ∈ R, f (0) = 1 và f (x) = √ x + 1 · f 0 (x) với mọi x ∈ R. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 4 < f (3) < 6. B. f (3) < 2. C. 2 < f (3) < 4. D. f (3) > 6. Lời giải. Phương pháp: f 0 (x) 1 . =√ f (x) x+1 +) Sử dụng phương pháp nguyên hàm 2 vế. +) Từ giả thiết suy ra Cách giải: √ x + 1f 0 (x) (*) f 0 (x) 1 . Do f (x) > 0∀x ∈ R nên từ (*) ta có =√ f (x) x+1 Lấy Z 0nguyên hàm Z 2 vế ta được: f (x) 1 √ dx = dx f (x) √ √x + 1 √ ⇔ ln |f (x)| dx = 2 x + 1 + C ⇔ ln f (x) = 2 x + 1 + C ⇔ f (x) = e2 x+1+C . Theo bài ra ta có: f (x) = Ta có f (0) = 1 ⇒ 1 = e2+C ⇔ 2 + C = 0 ⇔ C = −2. √ Do đó f (x) = e2 x+1−2 ⇒ f (3) = e2 ≈ 7, 4 > 6.  Chọn đáp án D 1 Câu 157. Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P ). Xét các điểm A, B thuộc (P ) sao cho tiếp tuyến tại 2 A và B của (P ) vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P ) và đường thẳng AB bằng 9 . Gọi x1 , x2 lần lượt là hoành độ của A và B. Giá trị của (x1 + x2 )2 bằng 4 A. 7. B. 5. C. 13. D. 11. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 56 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 1 (P ) : y = x2 2 0 Tập xác định: D =ã R. Ta Å Å có y = ãx 1 2 1 2 Giả sử A x1 ; x1 ; B x2 ; x2 ∈ (P )(x1 6= x2 ). 2 2 y 1 2 x 2 1 1 Phương trình tiếp tuyến tại điểm A của (P ) là y = x1 (x − x1 ) + x21 ⇔ 2 1 2 y = x1 x − x1 (d1 ). 2 1 Phương trình tiếp tuyến tại điểm B của (P ) là y = x2 (x−x2 )+ x22 ⇔ 2 1 2 y = x2 x − x2 (d2 ). 2 −1 Do (d1 )⊥(d2 ) nên ta có x1 x2 = −1 ⇔ x2 = . x1 1 2 x 2 2 x1 O x2 x Phương trình đường thẳng AB: 1 y − x21 x − x1 2 = 1 2 1 2 x2 − x1 x − x 2 2 2 1 Å ã  1 1 2 2 2 ⇔ (x − x1 ) x2 − x1 = y − x1 (x2 − x1 ) 2 2 2 ⇔ (x − x1 )(x2 + x1 ) = 2y − x1 ⇔ (x1 + x2 )x − 2y − x1 x2 = 0 1 1 ⇔ y = [(x1 + x2 ) x − x1 x2 ] = [(x1 + x2 ) x + 1] 2 2 Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P ) là: 1 S= 2 Zx2  (x1 + x2 ) x + 1 − x2 dx x1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Å ã 9 x2 1 x 3 x2 (x1 + x2 ) = +x− 4 2 2 3 x1 ï Å 2 ã ò 9 1 x2 x21 x32 − x31 = (x1 + x2 ) − + (x2 − x1 ) − 4 2 2 2 3 3  9 1 x − x31 = (x1 + x2 ) x22 − x21 + (x2 − x1 ) − 2 4 2 3  27 = 3 x1 x22 − x31 + x32 − x21 x2 + 6 (x2 − x1 ) − 2×32 + 2×31 ⇔ 27 = 3×1 x22 − 3×1 x22 + x32 − x31 + 6(x2 − x1 )  ⇔ 27 = −3(x2 − x1 ) + (x2 − x1 ) x21 + x22 − 1 + 6(x2 − x1 )  ⇔ 27 = 3(x2 − x1 ) + (x2 − x1 ) x21 + x22 − 1  ⇔ 27 = (x2 − x1 ) x21 + x22 + 2  ⇔ 27 = (x2 − x1 ) x21 + x22 − 2×1 x2 ⇔ 27 = (x2 − x1 )(x2 − x1 )2 = (x2 − x1 )3 ⇔ x2 − x1 = 3 Thay x2 = −1 ta có: x1 −1 − x1 = 3 x1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 57 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 ⇔ −1 − x21 − 3×1 = 0  √ −3 − 5 2 √ ⇒ x2 = x1 = 2 3+ 5  √ ⇔   −3 + 5 −2 √ x1 = ⇒ x2 = 2 −3 + 5 ⇔ (x1 + x2 )2 = 5.  Chọn đáp án B Câu 158. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 1 là A. F (x) = 2×2 + x. B. F (x) = 2. D. F (x) = x2 + x + C. C. F (x) = C. Lời giải. Ta có Z Z F (x) = f (x) dx = (2x + 1) dx = x2 + x + C.  Chọn đáp án D 2 Câu 159. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ex (x3 − 4x). Hàm số F (x2 + x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 6. B. 5. C. 3. D. 4. Lời giải. Ta có Z F (x) = x2 e Z Z  2 ex x2 − 4 x dx Z ï ò 1 2 x2 2 x2 x2 (x − 4) d(e ) = (x − 4) · e − 2 · xe dx 2 3  x − 4x dx = 1 · 2 1 2 = · (x2 − 5)ex + C. 2 = Đặt g(x) = F (x2 + x). 1 2 2 · [(x2 + x)2 − 5] · e(x +x) + C. 2 ó 2 î 2 2 ⇒ g 0 (x) = (x2 + x) (2x + 1)e(x +x) (x2 + x) − 4 . 2 2 g 0 (x) = x(x + 1)(2x + 1) (x2 + x − 2) (x2 + x + 2) e(x +x)  x=0  x = ±1  0 g (x) = 0 ⇔  −1 .  x =  2 x = −2 Vậy hàm số F (x2 + x) có 5 điểm cực trị. Suy ra g(x) = F (x2 + x) =  Chọn đáp án B Câu 160. Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB = 6, AC = 8 và M là trung điểm của cạnh AC. Khi đó thể tích của khối tròn xoay do tam giác BM C quanh cạnh AB là A. 86π. B. 106π. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 96π. 58 D. 98π. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Khi quay tam giác BM C quanh cạnh AB tạo ra 2 khối tròn xoay có 1 1 1 1 thể tích là: V = π·AC 2 ·AB − π·AM 2 ·AB = π·82 ·6− π·42 ·6 = 3 3 3 3 96π. B N A M C  Chọn đáp án C Câu 161. Cho hàm số f (x) > 0 với x ∈ R, f (0) = 1 và f (x) = √ x + 1 · f 0 (x) với mọi x ∈ R. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f (3) < 2. B. 2 < f (3) < 4. C. 4 < f (3) < 6. D. f (3) < f (6). Lời giải. √ √ Do giả thiết f (x) > 0 với x ∈ R và f (x) = x + 1 · f 0 (x) suy ra x + 1 > 0. √ f 0 (x) 1 Khi đó f (x) = x + 1 · f 0 (x) ⇔ =√ . f (x) x+1 Z 0 Z f (x) 1 √ dx (∗). Suy ra dx = x+1 Z 0 f (x) Z Z 0 f (x) df (x) f (x) Mà dx = = ln |f (x)| + C1 . Vì f (x) > 0 nên dx = ln f (x) + C1 . f (x) f (x)Z f (x) Z √ d (x + 1) 1 √ √ dx = = 2 x + 1 + C2 . Mặt khác x+1 x+1 √ √ Từ (∗) suy ra ln f (x) = 2 x + 1 + C ⇒ f (x) = e2 x+1+C . √ Do f (0) = 1 nên e2+C = 1 ⇔ 2 + C = 0 ⇔ C = −2 suy ra f (x) = e2 x+1−2 . √ Khi đó f (3) = e2 3+1−2 √ = e2 và f (6) = e2 7−2 suy ra f (3) < f (6).  Chọn đáp án D Z Câu 162. Cho 2x(3x − 2)6 dx = A(3x − 2)8 + B(3x − 2)7 + C với A, B, C ∈ R. Tính giá trị của biểu thức 12A + 7B. 23 A. . 252 Lời giải. B. 241 . 252 C. 52 . 9 D. 7 . 9 Ta có Z = = = = 2x(3x − 2)6 dx Z 2 3x(3x − 2)6 dx 3 Z  2  (3x − 2)7 + 2(3x − 2)6 dx 3 ï ò 2 1 2 8 7 · (3x − 2) + · (3x − 2) + C 3 3·8 3·7 1 4 · (3x − 2)8 + · (3x − 2)7 + C. 36 63 1 4 7 ,B = nên 12A + 7B = . 36 63 9 Chọn đáp án D Suy ra A =  Câu 163. Tìm nguyên hàm của hàm số y = x2 − 3x + Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 59 1 x https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 x3 3x2 x3 3x2 1 − − ln |x| + C. B. − + 2 + C. 3 2 3 2 x x3 3x2 x3 3x2 − − ln x + C. D. − + ln |x| + C. C. 3 2 3 2 Lời Zgiải. Å ã 1 x3 3x2 2 I= x − 3x + dx = − + ln |x| + C x 3 2 Chú ý khi giải: Dùng dấu giá trị tuyệt đối khi có ln |x|, học sinh có thể chọn nhầm đáp án C. A.  Chọn đáp án D Z Câu 164. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [0; 10] và Z 10 Z 2 f (x) dx + f (x) dx. Tính P = 0 10 Z 6 f (x) dx = 7 và 0 f (x) dx = 3. 2 6 A. P = −4. B. P = 10. C. P = 7. D. P = 4. Lời giải. Z 10 Z 2 Z 6 Z 10 Ta có: f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + f (x) dx 0 0 2 6 Z 10 Z 10 Z 6 Z 2 f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx − f (x) dx = 7 − 3 = 4. ⇒P = 0 6 0 2  Chọn đáp án D Câu 165. Biết F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) = x − cos x . Hỏi đồ thị của hàm số y = F (x) x2 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. C. 2. B. Vô số điểm. D. 0. Lời giải. Z Ta có F (x) = f (x) dx ⇒ F 0 (x) = f (x). x − cos x = 0 (x 6= 0) ⇔ g(x) = x − cos x = 0. x2 Xét hàm số g(x) = x − cos x ta có g 0 (x) = 1 + sin x ≥ 0, ∀x ∈ R. Do đó hàm số g(x) đồng biến trên R ⇒ phương trình g(x) = 0 có nghiệm duy nhất. ⇒ F 0 (x) = 0 ⇔  Chọn đáp án A Câu 166. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn f (0) = 0. Biết Z1 Z1 Z1 3π 9 πx f 2 (x) dx = và f 0 (x) cos dx = . Tích phân f (x) dx bằng. 2 2 4 0 0 0 Zb f (x) dx. a 6 . π Lời giải. B. A. 2 . π C. 4 . π D. 1 . π Phương pháp Z1 Sử dụng phương pháp từng phần đối với tích phân f 0 (x) cos πx 3π dx = . 2 4 0 Xét Z1 h f (x) + k sin πx i2 2 dx = 0, tìm k, từ đó suy ra f (x) = −k sin πx . 2 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 60 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 Z1 −k sin f (x) dx = 0 Chương 3-Giải tích 12 πx dx. 2 0 Cách giải   u = cos πx du = − π sin πx dx 2 2 2 Đặt ⇒ . dv = f 0 (x) dx v = f (x) Z1 ⇒ 1 π + 2 0 πx πx f (x) cos dx = cos f (x) 2 2 0 0 Z1 πx dx 2 f (x) sin 0 π π = f (1) · cos − f (0) · cos 0 + 2 2 Z1 f (x) sin πx dx 2 0 π 2 = Z1 πx 3π dx = ⇒ 2 4 f (x) sin 0 Z1 f (x) sin πx 3 dx = . 2 2 0 Xét tích phân Z1 h πx i2 f (x) + k sin dx = 0 ⇔ 2 0 Z1 h i πx 2 2 πx f (x) + 2kf (x) sin + k sin dx = 0 2 2 2 0 Z1 ⇔ Z1 2 f (x) dx + 2k 0 πx + k2 f (x) sin 2 Z1 sin2 πx dx = 0 2 0 0 9 3 1 ⇔ + 2k + k 2 = 0 2 2 2 ⇔ k = −3. Khi đó ta có Z1 h f (x) − 3 sin πx πx i2 πx dx = 0 ⇔ f (x) − 3 sin = 0 ⇔ f (x) = 3 sin . 2 2 2 0 Z1 Z1 f (x) dx = 3 Vậy 0 0 πx cos πx dx = −3 π 2 sin 2 2 1 0 πx −6 cos = π 2 1 =− 0  6 π 6 cos − cos 0 = . π 2 π  Chọn đáp án A Câu 167. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (2x) = 3f (x), ∀x ∈ R. Biết rằng Z1 Z2 f (x)dx = 1. Tính tích phân I = f (x)dx. 0 1 A. I = 3. B. I = 5. C. I = 2. D. I = 6. Lời giải. Z2 Ta có I = Z2 f (x)dx − f (x)dx = 1 Z1 0 Z1 Mặt khác ta có 1 = f (x)dx = 0 f (x)dx − 1 = J − 1, f (x)dx = 0 1 3 Ñ Z2 0 Z1 3f (x)dx = 1 3 Z2 với J = é f (x)dx . 0 Z1 0 Z1 f (2x)dx = 1 ⇒ 0 f (2x)dx = 3 0 Đặt t = 2x ⇒ dt = 2dx. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 61 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Đổi cận: Z1 ⇒ Chương 3-Giải tích 12 ( x=0⇒t=0 x = 1 ⇒ t = 2. Z2 Z2 f (2x)dx = f (t)dt = f (x)dx = 3 ⇒ J = 3. 0 0 0 Z2 f (x)dx = 3 − 1 = 2. Vậy I = 1  Chọn đáp án C Câu 168. Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính theo công thức nào dưới đây? Zc Zb A. S = − f (x) dx + f (x) dx. a a c b O x c Zb B. S = f (x) dx . a Zc C. S = Zb f (x) dx. f (x) dx + a c Zb D. S = f (x) dx. a Lời giải. Zb Zc |f (x)| dx = Ta có: S = a Zb |f (x)| dx + a Zc |f (x)| dx = − c Zb f (x) dx + a f (x) dx. c  Chọn đáp án A Câu 169. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị y = 2x − x2 và trục hoành. Tính thể tích V vật thể tròn xoay sinh ra khi cho (H) quay quanh Ox. 16 16 4 4 A. V = π. B. V = . C. V = . D. V = π. 15 15 3 3 Lời giải. " x=0 Phương trình hoành độ giao điểm là 2x − x2 = 0 ⇔ x = 2. Z2 Z2 Å 3 ã x x5 2 16 2 2 2 3 4 4 Thể tích V = π (2x − 2 ) dx = π (4x − 4x + x ) dx = π 4 − x + = π. 3 5 0 15 0 0  Chọn đáp án A Z2 Câu 170. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và f (x) + 3x 0 A. −18.  2 Z2 dx = 10. Tính f (x) dx. 0 B. −2. C. 18. D. 2. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 62 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z2 f (x) + 3x Ta có:  2 Chương 3-Giải tích 12 Z2 dx = 10 ⇔ 0 Z2 f (x) dx = 10 − 0 3x2 dx = 10 − x2 2 0 = 2. 0  Chọn đáp án D −3 2 Câu 171. Å Tìm tập xác ã định D của hàm số y = (4x − 1) . ß ™ Å ã 1 1 1 1 1 A. D = −∞; − . B. D = R. C. D = R − ; . D. D = − ; . 2 2 2 2 2 Lời giải. 1 Điều kiện xác định là 4x2 − 1 6= 0 ⇔ x 6= ± . ™ ß2 1 1 . Vậy tập xác định của hàm số là D = R − ; 2 2 Chọn đáp án C  Câu 172. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + sin x là A. F (x) = x3 + sin x + C. B. F (x) = x3 − cos x + C. C. F (x) = 3x3 − sin x + C. D. F (x) = x3 + cos x + C. Lời giải. Z Z Ta có: F (x) = f (x) dx =  3x2 + sin x dx = x3 − cos x + C.  Chọn đáp án B Câu 173. Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian y t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(1; 3) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật 12 di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát. 50 A. s = (km). B. s = 10 (km). 3 64 C. s = 20 (km). D. s = (km). 3 4 3 O 1 4 x Lời giải. Ta có v(t) = at2 + bt đỉnh I(1; 3), đi qua điểm A(0; 4) và B(4; 12).   + c có dạng parabol    −b −b        b = −2a b = −2a b = −2 = 1 = 1       2a  2a    a + b + c = 3 ⇒ a + b + c = 3 ⇒ a + b = −1 ⇒ a + (−2a) = −1 ⇒ a = 1              c = 4 c = 4 c = 4. v(0) = 4 0+0+c=4 Do đó v(t) = t2 − 2t + 4. Quãng đường vật di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát được tính như sau Z4 Z4 Å 3 ã 4 Å 3 ã  t 4 64 2 2 2 s = v(t) dt = t − 2t + 4 dt = − t + 4t = − 4 + 4.4 − 0 = (km). 3 3 3 0 0 0  Chọn đáp án D Z3 Câu 174. Cho hàm số f (x) liên tục và f (3) = 21, 63 x· f (x)dx = 9. Tính tích phân I = 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Z1 0 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 f 0 (3x)dx. A. I = 6. B. I = 12. C. I = 9. D. I = 15. Lời giải. dt Đặt 3x = t ⇒ dx = . Đổi cận 3 Z3 I= 1 t 0 dt f (t) = 3 3 9 0 ( u=x Z3 ( x=0⇒t=0 x = 1 ⇒ t = 3. xf 0 (x)dx. 0 ( du = dx ⇒ dv = f 0 (x)dx v = f (x) é Ñ Z3 1 3 xf (x) 0 − f (x)dx = 6. Suy ra I = 9 Đặt 0  Chọn đáp án A Câu 175. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; +∞), biết f 0 (x) + (2x + 1)f (x) = 0, 1 f (x) = 0, f 0 (x) > 0, f (2) = . Tính giá trị của P = f (1) + f (2) + . . . + f (2019). 6 2020 2019 2018 2021 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 2019 2020 2019 2020 Lời giải. Z Z −f 0 (x) −f 0 (x) 0 = 2x + 1 ⇒ dx = (2x + 1)dx. Ta có f (x) + (2x + 1)f (x) = 0 ⇒ f (x) f (x) 1 1 1 1 1 1 Suy ra = x2 +x+c ⇒ f (x) = 2 . Mà f (2) = ⇒ c = 0 ⇒ f (x) = 2 = − . f (x) x +x+c 6 x +x x x+1 1 1 2019 1 1 1 1 1 − = . P = f (1) + f (2) + . . . + f (2019) = − + − + − . . . + 1 2 2 3 3 2019 2020 2020  Chọn đáp án B Câu 176. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f 0 (x) = 2 − 5 sin x và f (0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f (x) = 2x + 5 cos x + 5. B. f (x) = 2x + 5 cos x + 3. C. f (x) = 2x − 5 cos x + 10. Lời giải. D. f (x) = 2x − 5 cos x + 15. Ta có: f 0 (x) = 2 − 5 sin x ⇒ f (x) = R (2 − 5 sin x) dx = 2x + 5 cos x + C. Mà f (0) = 10 ⇒ C = 5 ⇒ f (x) = 2x + 5 cos x + 5.  Chọn đáp án A Câu 177. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + sin 2x. 1 1 A. x2 − cos 2x + C. B. x2 + cos 2x + C. C. x2 − 2 cos 2x + C. 2 2 Lời giải. Z 1 Ta có 2x + sin 2x = x2 − cos 2x + C. 2 Chọn đáp án A Z 2 2 Câu 178. Tính tích phân dx. 0 2x + 1 1 A. 2 ln 5. B. ln 5. C. ln 5. 2 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 64 D. x2 + 2 cos 2x + C.  D. 4 ln 5. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Z 2 2 2 1 Ta có dx = d(2x + 1) = ln |2x + 1| = ln 5. 0 0 2x + 1 0 2x + 1 Chọn đáp án C Z 3 x a √ Câu 179. Cho dx = +b ln 2+c ln 3, với a, b, c là các số nguyên. Tính a+b+c. 3 0 4+2 x+1 A. 1. B. 2. C. 7. D. 9. Z 2  Lời giải. √ Đặt t = xZ + 1 ⇒ t2 = x + 1 ⇒ 2tdt 2. Z 2 = 2dx. Đổi cận:Zx2 =3 0 ⇒ t = 1;Z x2 = 3 ⇒ t = 3 2 t −t (t + 2)(t − 2t + 3) − 6 x 2(t − 1)t √ dt = dt = dt Ta có I = dx = 4 + 2t t+2 1 t+2 1 0 4 + 2 x + 1ã 1 Z 2Å 6 1 7 = t2 − 2t + 3 − dt = t3 − t2 + 3t − 6 ln t = − 12 ln 2 + 6 ln 3. t+2 3 3 1 Suy ra a = 7; b = −12; c = 6 ⇒ a + b + c = 7 − 12 + 6 = 1.  Chọn đáp án A Câu 180. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x cos 2x. cos 2x x sin 2x cos 2x − + C. B. x sin 2x − + C. A. 2 4 2 cos 2x x sin 2x cos 2x C. x sin 2x + + C. D. + + C. 2 2 4 Lời giải. 1 Đặt u = x ⇒ du = dx; dv = cos 2x dx ⇒ v = sin 2x. Suy ra 2 Z Z 1 1 1 1 I = x cos 2x dx = x sin 2x − sin 2x dx = x sin 2x + cos 2x + C. 2 2 2 4 Chọn đáp án D  Z e √ ln x √ Câu 181. Với cách đổi biến u = 1 + 3 ln x thì tích phân dx trở thành Z 2 1 x 1 + 3 ln x Z 2 Z 2 Z 2 2 u2 − 1 2 2 2 2 2 (u − 1) du. D. (u − 1) du. B. (u − 1) du. C. 2 du. A. 3 1 9 1 9 1 u 1 Lời giải. √ u2 − 1 2u 1 Với u = 1 + 3 ln x ⇒ u2 = 1 + 3 ln x ⇒ = ln x ⇒ du = dx. 3 3 x 2 u − 1 2u Z Z 2 Z e · 2 2 2 ln x 3 3 √ du = (u − 1) du. Khi đó, dx = u 9 1 1 1 x 1 + 3 ln x Chọn đáp án B  Câu 182. Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị (C), biết rằng (C) đi qua điểm A(−1; 0), tiếp tuyến d tại A của (C) cắt (C) tại hai điểm có hoành độ y lần lượt là 0 và 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai 28 đường thẳng x = 0, x = 2 có diện tích bằng (phần gạch chéo trong hình 5 vẽ). Tính diện tích giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x = −1, x = 0. 2 A. . 5 B. 1 . 4 C. 2 . 9 D. 1 . 5 x −1 O 2 Lời giải. Ta có y 0 = 4ax3 + 2bx. Phương trình tiếp tuyến d tại A(−1; 0) là d : y = y 0 (−1)(x + 1) + 0 = (−4a − 2b)(x + 1). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 65 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là (−4a − 2b)(x + 1) = ax4 + bx2 + c. Theo giả thiết, x = 0 và x = 2 là hai nghiệm của phương trình này, lần lượt thay x = 0 và x = 2 vào ta được ( − 4a − 2b = c − 12a − 6b = 16a + 4b + c ⇔ ( 4a + 2b + c = 0 (1) 28a + 10b + c = 0 (2) Mặt khác, diện tích của phần gạch chéo là 28 = 5 Z 2  (−4a − 2b)(x + 1) − (ax4 + bx2 + c) dx ï0 Å 2 ã Å 5 ãò x ax bx3 = (−4a − 2b) +x − + + cx 2 5 3 Å ã 32 8 =(−4a − 2b) · 4 − a + b + 2c 5 3  2 0 112 32 28 a + b + 2c = − (3) 5 3 5 Từ (1), (2) và (3) suy ra a = 1, b = −3, c = 2. Tương đương với Do đó, (C) : y = x4 − 3×2 + 2, d : y = 2xZ + 2. Suy ra diện tích của hình giới hạn bởi d, đồ thị (C) và 0   1 hai đường thẳng x = −1, x = 0 là S = (x4 − 3×2 + 2) − (2x + 2) dx = . 5 −1 Chọn đáp án D  Câu 183. Cho f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] và c ∈ [a; b]. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. Zc Zb Za Zb Zc Zb A. f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx. B. f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx. a c b a a c Zb Zc Zc Zb Za Zb f (x) dx − C. a f (x) dx = a f (x) dx. f (x) dx + D. a b f (x) dx = c f (x) dx. c Lời giải. Za Zb f (x) dx + Theo tính chất của tích phân suy ra c Zb f (x) dx = a f (x) dx. c  Chọn đáp án D 1 Câu 184. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = tan2 2x + . Z Å Z Å 2 ã 1 A. tan2 2x + dx = 2 tan 2x − 2x + C. B. tan2 2x + 2 Z Å Z Å ã 1 2 C. tan 2x + dx = tan 2x − x + C. D. tan2 2x + 2 Lời giải. ã 1 x dx = tan 2x − + C. 2ã 2 1 1 x dx = tan 2x − + C. 2 2 2 Ta có Z Å Z Å ã ã 1 1 1 2 tan 2x + dx = − dx 2 cos2 2x 2 1 x = tan 2x − + C. 2 2  Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 66 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Zb Câu 185. Cho a > b > −1. Tích phân I = ln(x + 1) dx bằng biểu thức nào sau đây? a b b B. I = (x + 1) ln(x + 1) − b + a. A. I = (x + 1) ln(x + 1) − a + b. a a b C. I = Zb b 1 . x+1 D. I = x ln(x + 1) + a a x dx. x+1 a Lời giải. Ta có Zb I= ln(x + 1) d(x + 1) a Zb b = (x + 1) ln(x + 1) − a (x + 1) d (ln(x + 1)) a b = (x + 1) ln(x + 1) − (b − a) a b = (x + 1) ln(x + 1) − b + a. a  Chọn đáp án B C02018 C12018 C22018 C32018 C2017 2018 C2018 2018 Câu 186. Tính tổng T = − + − + ··· − + . 3 4 5 6 2020 2021 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4121202989 4121202990 4121202992 4121202991 Lời giải. 2018 2018 P k P k Ta có x2 (1 − x)2018 = x2 · C2018 xk (−1)k = C2018 xk+2 (−1)k . k=0 Z1 Do đó x2 (1 − x)2018 dx = 0 Mặt khác 0 Z1 X 2018 0 k=0 Z1 X 2018 k=0 Ck2018 xk+2 (−1)k k=0 Ck2018 xk+2 (−1)k dx. dx = 2018 X Ck2018 k=0 xk+3 (−1)k k+3 1 = 0 2018 X Ck2018 · k=0 (−1)k = T. k+3 Đặt t = 1 − x ⇒ dt = − dx. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1 và x = 1 ⇒ t = 0. Khi đó Z0 Z1 2 2018 x (1 − x) dx = t2018 (1 − t)2 (− dt) 0 1 Z1 = t2018 (t2 − 2t + 1) dt 0 Å = t2021 t2020 t2019 −2· + 2021 2020 2019 ã 1 0 1 2 1 = − + 2021 2020 2019 1 1 = = . 1010 · 2019 · 2021 4121202990 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 67 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án B Câu 187. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x(2017 + √ 2019 − x2 ) trên tập xác định của nó. Tính M − m. √ √ √ √ A. 2019 + 2017. B. 2019 2019 + 2017 2017. √ C. 4036. D. 4036 2018. Lời giải. ó î √ √ Tập xác định là D = − 2019; 2019 . Ta có √ x 2019 − x2 − √ ·x 2019 − x2 2019 − 2×2 = 2017 + √ 2019 − x2 √ 2017 · 2019 − x2 + 2019 − 2×2 √ . = 2019 − x2 y 0 = 2017 + Ta có y 0 = 0 ⇔ 2017 · √ 2019 − x2 + 2019 − 2×2 = 0.  t = 1 (thỏa mãn) 2 2  Đặt t = 2019 − x > 0. Khi đó 2017t + 2t − 2019 = 0 ⇔ . 2019 t=− (loại) 2 √ √ Với t = 1 ⇒ 2019 − x2 = 1 ⇔ 2019 − x2 = 1 ⇔ x = ± 2018 (thỏa mãn). √ Bảng biến thiên √ − 2019 x √ − 2018 y0 − √ + 0 √ −2017 2019 √ 2019 2018 0 √ 2018 2018 − y √ −2018 2018 √ 2017 2019 √ √ √ Dựa vào bảng biến thiên, ta có M = 2018 2018, m = −2018 2018 ⇒ M − m = 4036 2018.  Chọn đáp án D Câu 188. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + cos x là A. x2 − sin x + C. B. x2 + sin x + C. C. 2 + sin x + C. D. 2 − sin x + C. Lời Z giải. (2x + cos x) dx = x2 + sin x + C.  Chọn đáp án B Câu 189. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = −x3 + 3×2 − 2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 là 5 3 A. S = . B. S = . 2 2 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 7 C. S = . 2 68 D. S = 4. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành −x3 + 3×2 − 2 = 0 ⇔ ” x=1 x=1± √ 3. Diện tích cần tính là Z2 S = | − x3 + 3×2 − 2| dx 0 Z1 3 Z2 2 | − x + 3x − 2| dx + = 0 1 Å ã 1 4 3 − x + x − 2x 4 = − = | − x3 + 3×2 − 2| dx 1 0 Å ã 1 4 3 + − x + x − 2x 4 2 1 5 5 5 + = . 4 4 2  Chọn đáp án A π Z2 x cos x dx Câu 190. Tính tích phân 0 π π π 1 A. I = . B. I = − 1. C. I = − . 2 2 3 2 Lời giải. π π π Z2 Z2 Z2 π π I = x cos x dx = x d(sin x) = x sin x 02 − sin x dx = + cos x 2 0 0 D. I = π 2 0 = π . 3 π − 1. 2 0  Chọn đáp án B Câu 191. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 = 4x và y = x y 2 = 4x 4 Cho (H) quay quanh trục Ox. Thể tích khối tròn xoay tạo thành 3 bằng A. 11π. y=x y (với 0 ≤ x ≤ 4) được minh họa bằng hình vẽ bên (phần tô đậm). B. 32 π. 3 C. 2 15 π. 7 D. 10π. 1 −1 Lời giải. O 1 2 3 4 x −2 √ y = 4x ⇒ y = 2 x (xét y ≥ 0). 2 Thể tích khối tròn xoay cần tính là Z4 V =π √ (2 x)2 dx − π 0 Z4 0 4 π x dx = 2πx − x3 3 0 2 4 2 = 0 32 π. 3  Chọn đáp án B Câu 192. Cho f (x) là hàm số liên tục và a > 0. Giả sử rằng với mọi x ∈ [0; a], ta có f (x) > 0 và Za dx f (x) · f (a − x) = 1. Tính được kết quả bằng 1 + f (x) 0 a a B. 2a. C. a ln(a + 1). D. . A. . 3 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 69 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. f (x) · f (a − x) = 1 ⇒ f (x) = Za I= 1 . f (a − x) Za f (a − x) dx = dx 1 1 + f (a − x) 0 0 1+ f (a − x) Z0 Za f (t) f (a − x) d(a − x) = − dt = − 1 + f (a − x) 1 + f (t) dx = 1 + f (x) 0 Za a 0 Za = f (t) dt = 1 + f (t) Za 0 Za 2I = dx + 1 + f (x) 0 Za f (x) dx = 1 + f (x) 0 Za f (x) dx. 1 + f (x) 0 a dx = a. Vậy I = . 2 0  Chọn đáp án D Z2 Câu 193. Cho y = f (x) là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn [−6; 6]. Biết rằng f (x) dx = 8 và −1 Z3 Z6 f (−2x) dx = 3. Tính I = f (x) dx. −1 1 A. I = 2. B. I = 11. C. I = 5. D. I = 14. Lời giải. Z3 1 f (−2x) dx = 3 ⇔ − 2 1 Z3 1 f (−2x) d(−2x) = 3 ⇔ − 2 −2 1 Z6 I= Z2 f (x) dx = −1 Z−6 Z−2 f (t) dt = 3 ⇔ f (t) dt = 6. Z6 f (x) dx + −1 −6 Z−6 Z−2 f (x) dx = 8 + f (−t) d(−t) = 8 + f (t) dt = 14. 2 −2 −6  Chọn đáp án D Câu 194. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn 3f (x)+xf 0 (x) ≥ x2018 Z1 với mọi x ∈ [0; 1]. Giá trị nhỏ nhất của tích phân f (x) dx bằng 0 A. 1 . 2019 × 2021 B. 1 . 2018 × 2021 C. 1 . 2018 × 2019 D. 1 . 2021 × 2022 Lời giải. Z1 Đặt I = f (x) dx. 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 70 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Vì x ∈ [0; 1] ⇒ x2 − 1 ≤ 0 nên 3f (x) + xf 0 (x) ≥ x2018 ⇔ 3(x2 − 1)f (x) + x(x2 − 1)f 0 (x) ≤ (x2 − 1)x2018 ⇔ 3×2 f (x) + x3 f 0 (x) − [3f (x) + xf 0 (x)] ≤ x2020 − x2018   Z1 Z1 Z1 Z1 Z1 ⇒ 3 x2 f (x) dx + x3 df (x) − 3I + x df (x) ≤ x2020 dx − x2018 dx 0 0 Z1 ⇒ 3 0 Z1 1 2 3 x f (x) dx + x f (x) − 3 0 0 ⇒ f (1) − [2I + f (1)] ≤ ⇒ I≥ 0 0 1 ñ ô 2 x f (x) dx − 3I + xf (x) − I ≤ 0 0 1 1 − 2021 2019 −2 2019 · 2021 1 . 2019 · 2021  Chọn đáp án A Câu 195. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = thẳng x = 2 là A. 3 − ln 2. B. 3 − 2 ln 2. x+1 , trục hoành và đường x+2 C. 3 + 2 ln 2. D. 3 + ln 2. Lời giải. x+1 Cho = 0 ⇔ x = −1. x+2 Diện tích hình phẳng cần tìm là Z2 S= Z2 Å 1− x+1 dx = x+2 −1 1 x+2 ã 2 dx = (x − ln |x + 2|) −1 = 3 − 2 ln 2. −1  Chọn đáp án B Z1 Câu 196. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] và thỏa mãn x (f 0 (x) − 2) dx = f (1). 0 Z1 Giá trị của I = f (x) dx bằng 0 A. 1. B. 2. C. −1. Lời giải. ( ( u=x du = dx Đặt ⇒ . Ta có dv = (f 0 (x) − 2) dx v = f (x) − 2x Z1 1 f (1) = x (f (x) − 2x) D. −2. − (f (x) − 2x) dx 0 0 Z1 ⇔ f (1) = f (1) − 2 − f (x) dx 0 Z1 ⇔ f (x) dx = −2. 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 71 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án D π  Câu 197. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = cos 3x + . Z Z 6    π 1 A. f (x) dx = − sin 3x + + C. B. f (x) dx = 6 sin 3x + 3  6 Z Z  1 π C. f (x) dx = sin 3x + + C. D. f (x) dx = 3 sin 3x + 3 6 Lời Z giải. Z   1 π π dx = sin 3x + + C. f (x) dx = cos 3x + 6 3 6 Chọn đáp án C π + C. 6 π + C. 6  Câu 198. Tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) trong hình sau. 8 A. S = . 3 B. S = 11 . 3 C. S = 10 . 3 7 D. S = . 3 y 2 f (x) = √ x 2 4 g(x) = x − 2 O x Lời giải. Dựa vào hình vẽ, ta có Z2 S= √ Z4 x dx + 0 √ 2 3 x − x + 2 dx = x 2 3 2  2 Å + 0 2 3 x2 x2 − + 2x 3 2 ã 4 = 2 10 . 3  Chọn đáp án C Z 1 + ln x dx (x > 0) bằng x Câu 199. Nguyên hàm A. x + ln2 x + C. B. ln2 x + ln x + C. C. 1 2 ln x + ln x + C. 2 D. x + 1 2 ln x + C. 2 Lời giải. Đặt u = 1 + ln x ⇒ du = Z 1 dx. Do đó x 1 + ln x dx = x Z u du = u2 (1 + ln x)2 1 +C = + C = ln2 x + ln x + C. 2 2 2  Chọn đáp án C Câu 200. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng y = 8x, y = x và đồ thị hàm số y = x3 là phân số tối giản. Khi đó a + b bằng A. 66. B. 33. C. 67. D. 62. Lời giải. Ta có 8x = “x ⇔ x = 0. x=0 8x = x3 ⇔ √ x = 2 2. ” x=0 x3 = x ⇔ x = ±1. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 72 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Diện tích hình phẳng cần tìm là √ Z1 Z2 2 8x − x3 dx |8x − x| dx + S = 0 1 Z1 Z2 √ 2  8x − x3 dx (8x − x) dx + = 1 0 1 Å ã x4 7 2 2 = x + 4x − 2 0 4 63 = . 4 √ 2 2 1 Suy ra a = 63 và b = 4 nên a + b = 67.  Chọn đáp án C Câu 201. Họ nguyên hàm của hàm số y = x2 − 3x + 1 là x x3 3 2 x3 3 2 − x + ln x + C. B. F (x) = − x + ln |x| + C. 3 2 3 2 1 x3 3 2 + x + ln x + C. D. F (x) = 2x − 3 − + C. C. F (x) = 3 2 x Lời giải. Z Å ã 1 x3 3 2 2 x − 3x + Ta có F (x) = dx = − x + ln |x| + C. x 3 2 Chọn đáp án B A. F (x) = Zb Zb f (x) dx = −2 và Câu 202. Cho a A. I = −13.  Zb [2f (x) − 3g(x)] dx. g(x) dx = 3. Tính I = a a C. I = −5. B. I = 13. D. I = 5. Lời giải. Zb Zb Zb I = [2f (x) − 3g(x)] dx = 2 f (x) dx − 3 g(x) dx = 2 · (−2) − 3 · 3 = −13. a a a  Chọn đáp án A Z1 Z1 f (x) dx = 2018. Tính tích phân I = Câu 203. Cho biết −1 0 A. I = e2018 . f (|x|) dx . 1 + 2018x B. I = 2018. C. I = 1009. D. I = 2019. Lời giải. Đặt x = −t ⇒ dx = −dt. Đổi cận x = 1 ⇒ t = −1; x = −1 ⇒ t = 1. Ta có Z1 I= f (|x|) dx =− 1 + 2018x −1 Z1 Khi đó 2I = Z−1 f (| − t|) dt = 1 + 2018−t 1 Z1 Z1 2018t · f (|t|) dt = 1 + 2018t −1 2018x · f (|x|) dx . 1 + 2018x −1 Z1 f (|x|) dx ⇒ I = f (|x|) dx = 2 −1 Z1 0 f (|x|) dx. 0 Z1 Vì hàm y = f (|x|) là hàm số chẵn trên [−1; 1], nên I = f (|x|) dx = 0 f (x) dx = 2018. 0  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Z1 73 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 (x + 1)3 Câu 204. Tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = , (x 6= 0). x3 1 3 3 A. F (x) = x − 3 ln |x| − + 2 + C. B. F (x) = x − 3 ln |x| + + x 2x x 1 3 3 C. F (x) = x + 3 ln |x| − − 2 + C. D. F (x) = x − 3 ln |x| + − x 2x x Lời giải. 3 1 1 3 3 Ta có f (x) = 1 + + 2 + 3 , do đó F (x) = x + 3 ln |x| − − 2 + C. x x x x 2x Chọn đáp án C 1 + C. 2×2 1 + C. 2×2  Câu 205. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 (m/s) thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −2t + 10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 25 m. B. 44 m. 5 C. 25 m. 2 D. 45 m. 4 Lời giải. Khi v = 0 thì t = 5, khi đó quãng đường ô tô đi được đến khi dừng hẳn là Z5 (10 − 2t) dt = 25 (m). S= 0  Chọn đáp án A Câu 206. Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong x = y 2 và đường thẳng x = a với a > 0. Gọi V1 và V2 lần lượt là thể tích của vật thể trong xoay được sinh ra khi quay hình (H) quanh V2 trục hoành và trục tung. Kí hiệu ∆V là giá trị lớn nhất của V1 − đạt được khi a = a0 > 0. Hệ 8 thức nào sau đây đúng? A. 5∆V = 2πa0 . B. 5∆V = 4πa0 . Lời giải. C. 4∆V = 5πa0 . D. 2∆V = 5πa0 . √ √ Za √ πa 8πa2 a V2 π 2 4 ; V2 = 2π (a − y ) dy = ; V1 − = a2 (5 − 2 a). Ta có V1 = π x dx = 2 5 8 10 0 0 √ √ √ √ ã5 Å√ π a + a + a + a + 10 − 4 a 32π 8π Do đó ∆V ≤ = = . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 20 5 20 5 a = a0 = 4 ⇒ 5∆V = 2πa0 . Za 2  Chọn đáp án A Câu 207. Tính diện tích của S của hình phẳng giới hạn bởi elip (E) có phương trình x2 y 2 + = 1, a2 b 2 với a, b > 0. ã 1 1 2 A. S = π + . B. S = π(a + b)2 . b a Lời giải. Za 4b √ 2 S= a − x2 dx = πab. a Å C. S = πab. πa2 b2 D. S = . a+b 0  h πi  π Câu 208. Giả sử f là hàm số liên tục trên đoạn 0; với f 0; = 1, thỏa mãn hai điều kiện 4 4 Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 74 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ π Z4 0 Chương 3-Giải tích 12 π 2 4−π x f (x) và 2 dx = 4+π (x sin x + cos x) π Z4 0 xf (x) dx = 0. Tính cos x(x sin x + cos x) 0 f (x) dx. cos2 x 0 π B. I = . 4−π A. I = 1. Z4 4 C. I = . 4+π D. I = π . 4+π Lời giải. Ta có π 4−π 4+π Z4 = 0 π x2 f (x) dx = (x sin x + cos x)2 xf (x) 1 = − · cos x x sin x + cos x Z4 0 π xf (x) x cos x · dx = cos x (x sin x + cos x)2 π 4 π 4 Z f (x) dx + cos2 x + 0 π 4 0 Z Z4 Å ã xf (x) −1 d cos x x sin x + cos x 0 xf 0 (x) dx cos x(x sin x + cos x) 0 −2π +I 4+π 4−π 2π ⇒ I= + = 1. 4+π 4+π =  Chọn đáp án A Câu 209. Một xe buýt bắt đầu đi từ một nhà chờ xe buýt A với vận tốc v(t) = 10 + 3t2 (m/s) (khi bắt đầu chuyển động từ A thì t = 0) đến nhà chờ xe buýt B cách đó 175 m. Hỏi thời gian xe đi từ A đến B là bao nhiêu giây? A. 7 . B. 8 . C. 9 . D. 5 . Lời giải. Ta có Zb v(t) dt = 175 0 Zb ⇔ (10 + 3t2 ) dt = 175 0 ⇔ (10t + t3 ) b 0 = 175 ⇔ 10b + b3 = 175 ⇔ b = 5. Vậy xe đi từ A đến B mất 5 giây.  Chọn đáp án D Z2 Câu 210. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [1; 2] và thỏa mãn f (2) = 0, (f 0 (x))2 dx = 1 5 2 + ln và 12 3 Z2 f (x) 5 3 dx = − + ln . Tính tích phân 2 (x + 1) 12 2 1 3 2 A. + 2 ln . 4 3 Lời giải. Z2 f (x) dx. 1 3 B. ln . 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 3 3 C. − 2 ln . 4 2 75 D. 3 3 + 2 ln . 4 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có Z2 f (x) 1 dx = 2 (x + 1) 2 1 Z2 x−1 f (x) d x+1 Å ã 2 Z2 1 1 1 1 = f (x) − 2 2 1 x−1 0 1 · f (x) dx = − x+1 2 Z2 x−1 0 · f (x) dx. x+1 1 Vậy 5 3 1 − + ln = − 12 2 2 Z2 x−1 0 · f (x) dx x+1 1 Z2 ⇔ − x−1 0 5 3 · f (x) dx = − + 2 ln . x+1 6 2 (1) 1 Mà Z2 Å x−1 x+1 ã2 5 3 dx = − 4 ln ⇒ 3 2 Mặt khác Å ãô 1 x−1 2 5 3 · dx = − ln . 4 x+1 12 2 (2) 1 1 Z2 Z2 ñ (f 0 (x))2 dx = 5 2 5 3 + ln = − ln . 12 3 12 2 (3) 1 Từ (1), (2) và 3, ta được Z2 ñ Z2 Z2 Å ãô 1 x−1 0 x−1 2 dx − · · f (x) dx + (f 0 (x))2 dx = 0 4 x+1 x+1 1 1 1 Z2 ï Å ãò 1 x−1 2 0 dx = 0 ⇔ f (x) − 2 x+1 1 Å ã 1 x−1 0 ⇒ f (x) = 2 x+1 Z Å ã 1 1 1 1− dx = x − ln |x + 1| + C. ⇒ f (x) = 2 x+1 2 Mà f (2) = 0 ⇒ c = ln 3 − 1. Z2 3 3 Vậy f (x) dx = − ln . 4 2 1  Chọn đáp án C Câu 211. Sân vận động Sports Hub (Singapore) là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức ở Singapore năm 2015. Nền sân là một Elip (E) có trục lớn dài 150 m, trục bé dài 90 m (Hình 3). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của (E) và cắt Elip (E) ở M , N (Hình a) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm I (phần tô đậm trong Hình b) với M N ’ là một dây cung và góc M IN = 900 . Để lắp máy điều hòa không khí cho sân vận động thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu làm mái không đáng kể. Hỏi thể tích đó xấp xỉ bao nhiêu? Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 76 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 E M M C N A I N 3 A. 57793 m . Hình a B. 115586 m3 . 3 C. 32162 m . Hình b D. 101793 m3 . Lời giải. x2 y2 Ta có 2a = 150 ⇒ a = 75, 2b = 90 ⇒ b = 45. Phương trình Elip có dạng 2 + 2 = 1. 75 45 6√ 2 45 √ 2 2 75 − x = 75 − x2 . Gọi M (x, y) ∈ (E) ⇒ N (x, −y) ∈ (E) ⇒ M N = 2|y| = 2 · 75 5 Diện tích phần gạch sọc được tính bằng ã Å ã Å ãÅ 1 1 1 π 1 π 1 MN 2 2 2 2 √ . S(I,IM ) − S4IM N = πIM − IM = − IM = − 4 4 2 4 2 4 2 2 Khi đó, thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, được tính bằng Z75 Å π 1 − 4 2 ãÅ −75 MN √ 2 ã2 Å dx = π 1 − 4 2 ã Z75 18 2 (75 − x2 ) dx ≈ 115586 m3 . 25 −75  Chọn đáp án B Câu 212. Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 2 Z0 Z2 (như hình vẽ bên). Đặt a = f (x) dx, b = f (x) dx, −1 1 0 mệnh đề nào dưới đây đúng? A. S = b − a. C. S = −b + a. x B. S = b + a. D. S = −b − a. −1 O 2 Lời giải. Ta có diện tích hình phẳng Z2 Z0 |f (x)| dx = − S= −1 Z2 f (x) dx = −a + b. f (x) dx + −1 0  Chọn đáp án A Câu 213. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x + 2 Z Z 3 A. f (x) dx = 3×2 + 2x + C . B. f (x) dx = x2 − 2x + C . 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 77 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z Chương 3-Giải tích 12 Z 2 f (x) dx = 3x − 2x + C . C. D. 3 f (x) dx = x2 + 2x + C. 2 Lời Z giải. 3 f (x) dx = x2 + 2x + C. 2 Chọn đáp án D  π Z2 ex · sin x dx = Câu 214. Biết I = ea + 1 với a ∈ R, b ∈ N. Khi đó sin a + cos 2a + b bằng b 0 A. 2 . B. 4 . C. 1 . D. 0 . Lời giải. ( ( u = sin x du = cos x dx Đặt ⇒ . Ta được dv = ex dx v = ex π π 2 I = ex sin x Z2 − 0 ex cos x dx 0 π Z2 Xét ex cos x dx, đặt ( u = cos x 0 dv = ex dx ⇒ ( du = − sin x dx v = ex π Z2 π 2 Z2 + 0 0 Do đó, I = ex sin x π π 2 ex cos x dx = ex cos x π 2 ex sin x dx = ex cos x 0 π 2 − I ⇔ 2I = ex sin x 0 π 2 − ex cos x 0 π Vậy a = , b = 0 suy ra sin a + cos 2a + b = 0. 2 + I. 0 0 π 2 − ex cos x , ta có π = e 2 + 1. 0  Chọn đáp án D Ç √ å Z4 √ √ 25 − x2 5 6 + 12 √ Câu 215. Cho + d · ln 2 với a, b, c, d là các số hữu dx = a + b · 6 + c · ln x 5 6 − 12 1 tỉ. Tính tổng a + b + c + d. 3 3 A. − . B. − . 20 2 C. − 3 . 24 D. − 3 . 25 Lời giải. ( Z4 √ Z4 √ − t dt = xdx √ 25 − x2 x 25 − x2 Ta có dx = dx = I. Đặt t = 25 − x2 ⇒ . 2 x x x2 = 25 − t2 1 1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 78 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 √ Đổi cận x = 1 ⇒ t = 2 6, x = 4 ⇒ t = 3. Khi đó, Z3 I = √ 2 6 −t2 dt 25 − t2 Z3 ï = 1− √ 2 6 ò 25 dt 25 − t2 Z3 ï Å ãò 5 1 1 = 1− + dt 2 5−t 5+t √ 2 6 5−t 5 = t + ln 2 5+t 3 √ 2 6 √ √ 5 1 5 5−2 6 √ = 3 + ln − 2 6 − ln 2 4 2 5+2 6 √ √ 5 5 6 + 12 = 3 − 5 ln 2 − 2 6 + ln √ . 2 5 6 − 12 3 5 Vậy a = 3, b = −2, c = , d = −5 suy ra a + b + c + d = − . 2 2 Chọn đáp án B  π Z2 Câu 216. Tính tích phân I = x cos x dx. 0 π π A. − 1. B. + 1. 2 2 Lời giải. ( ( du = dx u=x ⇒ Đặt dv = cos xdx v = sin x. C. 1. D. π . 2 π π 2 Ta có I = (x sin x) 0 π 2 Z2 − sin x dx = (x sin x) π 2 + cos x 0 0 = 0 π − 1. 2  Chọn đáp án A Câu 217. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ex và các đường thẳng y = 0; x = 0 và x = 1 được tính bởi công thức nào sau đây? Z1 Z1 Z1 Z1 2 2 A. V = e2x dx. B. V = π ex dx. C. V = ex dx. D. V = π e2x dx. 0 0 0 0 Lời giải. Z1 Thể tích cần tính là V = π x 2 Z1 (e ) dx = π 0 e2x dx. 0  Chọn đáp án D Câu 218. Tìm họ Z A. f (x) dx = Z C. f (x) dx = √ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2xZ + 3. √ 2 √ 1 f (x) dx = (2x + 3) 2x + 3 + C. x 2x + 3 + C. B. 3 3 Z √ √ 2 (2x + 3) 2x + 3 + C. D. f (x) dx = 2x + 3 + C. 3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 79 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải.Z √ Xét I = 2x + 3 dx. √ Đặt t = 2x + 3, suy ra t2 = 2x + 3. Khi đó t dt = dx. Ta có Z I= √ 2x + 3 dx = Z √ 1 1 t2 dt = t3 + C = (2x + 3) 2x + 3 + C. 3 3  Chọn đáp án B π Z1 Z2 f (2x + 1) dx = 12 và Câu 219. Cho 0 f sin2 x sin 2x dx = 3. Tính  0 A. 26. Z3 f (x) dx. 0 B. 22. C. 27. D. 15. Lời giải. Z1 Với I1 = f (2x + 1) dx = 12. 0 dt . 2 Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1, x = 1 ⇒ t = 3. Z3 Z3 Z3 dt 1 Do đó, I1 = f (t) = f (t) dt ⇒ f (x) dx = 24. 2 2 Đặt t = 2x + 1 ⇒ dt = 2 dx ⇒ dx = 1 1 1 π Z2 Với I2 =  f sin2 x sin 2x dx = 3. 0 Đặt t = sin2 x ⇒ dx = sin 2x dx. π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0, x = ⇒ t = 1. 2 Z1 Z1 Do đó, I2 = f (t) dt ⇒ f (x) dx = 3. Z3 0 0 Z1 Z3 f (x) dx = Vậy 0 f (x) dx + 0 f (x) dx = 3 + 24 = 27. 1  Chọn đáp án C Câu 220. √ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn y = 2 − x2 , đường √ thẳng AB √ biết A(− 2; 0), B(1;√1) (phần tô đậm√như hình vẽ). √ π+ 2 3π + 2 2 π−2 2 3π − 2 2 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 y B A √ − 2 O 1 x Lời giải. √ √ x+ 2 y 1 √ = ⇒ d: y = √ (x + 2). Phương trình đường thẳng d : 1 1+ 2 1+ 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 80 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Diện tích hình phẳng cần tìm là S = Z1 ï√ 2− x2 √ √ ò 1 √ (x + 2) dx − 1+ 2 − 2 = Z1 √ 2− x2 √ 1 √ dx − 1+ 2 Å x2 √ + 2x 2 ã 1 √ − 2 − 2 √ Z1 √ 1+ 2 . Trong đó I = 2 − x2 dx. = I− 2 √ − 2 Z1 √ Tính I = 2 − x2 dx. √ − 2 h π πi √ 2 sin t, t ∈ − ; ⇒ dx = 2 cos t dt. 2 2 √ π π Đổi cận x = − 2 ⇒ t = − , x = 1 ⇒ t = . 2 4 π π Z4 Z4 3π 1 2| cos t| · cos t dt = (1 + cos 2t) dt = + . Do đó I = 4 2 π π −2 −2 √ 3π 2 Do đó, S = − . 4 2 Chọn đáp án D Đặt x = √ Z2 Câu 221. Cho I =  a 1 a x + ln x dx = ln 2 − , với a, b, c là các số nguyên dương và là phân số (x + 1)2 b c b 1 a+b tối giản. Tính giá trị của biểu thức S = . c 2 5 1 A. S = . B. S = . C. S = . 3 6 2 Lời giải. Z2 Z2 Z2 x + ln x x ln x Ta có I = dx = dx + dx = I1 + I2 . 2 2 (x + 1) (x + 1) (x + 1)2 1 1 Z2 Trong đó I1 = x dx, I2 = (x + 1)2 1 1 D. S = . 3 1 Z2 ln x dx. (x + 1)2 1 Tính Z2 I1 = 1 x dx = (x + 1)2 Z2 ï ò ï ò 1 1 1 − dx = ln(x + 1) + x + 1 (x + 1)2 x+1 1 2 1 1 = ln 3 − ln 2 − . 6 Z2 ln x dx. (x + 1)2 1   1   u = ln x  u0 = x Đặt ⇒ 1 0   v = v = − 1 . (x + 1)2 x+1 Tính I2 = Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 81 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Suy ra I2 ln x = − x+1 = − Do đó I = Z2 2 + 1 1 ln 2 x dx = − + ln x(x + 1) 3 x+1 1 2 1 2 2 ln 2 ln 2 + ln + ln 2 = − ln 3 + ln 2. 3 3 3 2 1 5 ln 2 − . Suy ra a = 2, b = 3 và c = 6. Vậy S = . 3 6 6  Chọn đáp án B Câu 222. y Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn [−3; 3]. Biết rằng diện tích hình phẳng S1 , S2 giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) với đường thẳng y = −x − 1 lần lượt là M , m. Tính tích phân Z3 f (x) dx. 2 −1 1 −3 −3 A. 6 + m − M . B. 6 − m − M . C. M − m + 6. D. m − M − 6. 3 x 0 S1 −2 S2 −4 −6 Lời giải. Tính diện tích S1 . Ta có Z1 Z1 [−x − 1 − f (x)] dx = M ⇔ S1 = −3 Z1 f (x) dx = −M − −3 (x + 1) dx. −3 Tính diện tích S2 . Ta có Z3 Z3 [f (x) + x + 1] dx = m ⇔ S2 = 1 Do đó f (x) dx = m − 1 Z3 Z3 (x + 1) dx. 1 Z3 f (x) dx = m − M − −3 (x + 1) dx = m − M − 6. −3  Chọn đáp án D Câu 223. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = cos 3x. 1 1 A. sin 3x + C. B. − sin 3x + C. C. −3 sin 3x + C. 3 3 Lời giải. Z 1 Ta có cos 3xdx = sin 3x + C. 3 Chọn đáp án A D. − sin 3x + C.  Câu 224. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b). Diện tích hình phẳng D được xác định bởi công thức Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 82 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Zb A. S = Chương 3-Giải tích 12 Zb f (x)dx. |f (x)| dx. B. S = a Zb C. S = π a Zb 2 f (x)dx. D. S = a f 2 (x)dx. a Lời giải. Diện tích miền D giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b Zb (a < b) là S = |f (x)| dx. a  Chọn đáp án B Z3 Câu 225. Biết x2 − 3x + 2 dx = a ln 7 + b ln 3 + c ln 2 + d (với a, b, c, d là các số nguyên). Tính x2 − x + 1 2 giá trị của biểu thức T = a + 2b2 + 3c3 + 4d4 . A. T = 6. B. T = 7. C. T = 9. Lời giải. Z3 2 Z3 Å ã  x − 3x + 2 2x − 1 2 Ta có dx = 1 − dx = x − ln |x − x + 1| x2 − x + 1 x2 − x + 1 2 D. T = 5. 3 = 1 − ln 7 + ln 3 2 2 ⇒ a = −1, b = 1, c = 0, d = 1 ⇒ T = 5.  Chọn đáp án D Câu 226. Cho hàm số y = f (x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [1; 2], f (1) = 2 và f (2) = 2018. Z2 Tính I = f 0 (x)dx. 1 A. I = −2016. B. I = 2018. C. I = 2016. D. I = 1016. Lời giải. Z2 Ta có I = f 0 (x)dx = f (2) − f (1) = 2016. 1  Chọn đáp án C Câu 227. Cho hàm số f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn f (x) 6= 0 với mọi x ∈ R và 3f 0 (x) + 2f 2 (x) = 0. Tính f (1) biết rằng f (0) = 1. 1 4 3 A. . B. . C. . 5 5 5 Lời giải. f 0 (x) 2 Ta có 3f 0 (x) + 2f 2 (x) = 0 ⇔ 2 = − . Lấy tích phân hai vế ta được f (x) 3 Z1 f 0 (x) dx = − f 2 (x) 0 Z1 2 1 dx ⇔ − 3 f (x) 1 0 2 =− x 3 1 ⇔ 0 D. 2 . 5 1 2 1 5 3 −1= ⇔ = ⇔ f (1) = . f (1) 3 f (1) 3 5 0  Chọn đáp án C Z1 Câu 228. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f (0) = 1, [f 0 (x)]2 dx = 0 1 , 30 Z1 (2x − 1)f (x)dx = − 1 . Tính 30 0 1 A. . 30 Z1 f (x)dx. 0 11 B. . 30 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 83 11 . 12 D. 11 . 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Z 1 Z 1 Z 1 1 1 1 2 0 2 2 (x2 − x)f 0 (x)dx = . (x − x)f (x)dx ⇔ Ta có − = f (x)d(x − x) = (x − x)f (x) − 30 30 0 0 0 0 Ta tìm Z 1 Z 1 Z 1 Z 1m thỏa mãn 2 0 2 2 0 2 0 2 (x2 − x)2 dx ⇒ f (x)(x − x)dx + m [f (x)] dx + 2m f (x) + m(x − x) dx = 0= 0 0 0 0 m = −1. x3 x2 Do vậy, f 0 (x) − (x2 − x) = 0 ⇒ f 0 (x) = x2 − x ⇒ f (x) = − + C. 3 2 Z1 Z1 Å 3 ã x x2 11 Mà f (0) = 1 ⇒ C = 1 ⇒ f (x)dx = − + 1 dx = . 3 2 12 0 0  Chọn đáp án C 2019π Z √ Câu 229. Tính tích phân I = √ A. I = 4038 2. Lời giải. 1 − cos 2x dx. √ B. I = 2019 2. √ D. I = 2 2. 0 C. I = 0. Ta có 2019π Z 2019π Z √ I = p 1 − cos 2x dx = 2 2 sin x dx = √ 0 0 2019π Z | sin x| dx 2 0 Ñ π é 2π 3π 2019π Z Z Z Z √ = 2 | sin x| dx + | sin x| dx + | sin x| dx + · · · + | sin x| dx 0 π 2π 2018π π √ Z = 2019 2 sin x dx . 0 Zπ Mà √ sin x dx = 2. Suy ra I = 4038 2. 0  Chọn đáp án A Câu 230. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn điều kiện f (x) + 2f (1 − x) = 3x2 − 6x, Z1  ∀x ∈ [0; 1]. Tính tích phân I = f 1 − x2 dx. 0 4 A. I = − . 15 Lời giải. C. I = − B. I = 1. 2 . 15 D. I = 2 . 15 Đặt t = 1 − x, thì x ∈ [0; 1] ⇔ t ∈ [0; 1]. Ta có f (x) + 2f (1 − x) = 3x2 − 6x ⇔ f (x) + 2f (1 − x) = 3(x − 1)2 − 3 ⇔ f (1 − t) + 2f (t) = 3t2 − 3 ⇔ 2f (x) + f (1 − x) = 3x2 − 3. Xét hệ phương trình ( f (x) + 2f (1 − x) = 3x2 − 6x 2f (x) + f (1 − x) = 3x2 − 3 ⇔ ( f (x) + 2f (1 − x) = 3x2 − 6x 4f (x) + 2f (1 − x) = 6x2 − 6 ⇒ 3f (x) = 3x2 + 6x − 6 ⇔ f (x) = (x + 1)2 − 3, ∀x ∈ [0; 1]. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 84 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Khi đó f (1 − x2 ) = (2 − x2 )2 − 3 = x4 − 4x2 + 1. Z1 Z1   2 Suy ra I = f 1 − x2 dx = x4 − 4x2 + 1 dx = − . 15 0 0  Chọn đáp án C Câu 231. Tại một thời điểm t trước lúc đỗ xe ở điểm dừng xe, một chiếc xe đang chuyển động đều với vận tốc là 60 km/h. Chiếc xe di chuyển trong trạng thái đó 5 phút rồi bắt đầu đạp phanh và chuyển động chậm dần đều thêm 8 phút nữa rồi mới dừng hẳn ở điểm đỗ xe. Tính quãng đường mà xe đi được từ thời điểm t nói trên đến khi dừng hẳn. A. 4 km. B. 5 km. C. 9 km. D. 6 km. Lời giải. 2 Vận tốc xe khi bắt đầu phanh là v = 60 + at (km/h), mà xe dừng khi chạy được 8 phút = giờ 15 2a thì dừng hẳn nên 0 = 60 + ⇔ a = −450 (m/h2 ). Khi đó quãng đường xe đi được kể từ lúc đạp 15 phanh là 2 Z15 (60 − 450t) dt = 4. 0 Vậy tổng quãng đường cần tính là 60 · 5 + 4 = 9 km. 60  Chọn đáp án C Câu 232. Cho f (x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] với f (a) = 0. Đặt M = max |f (x)|. Tìm [a;b] Zb giá trị nhỏ nhất của 2 [f 0 (x)] dx. a B. M 2 (b − a). A. M (b − a). C. M2 . b−a D. M . b−a Lời giải. Gọi x0 ∈ [a; b], sao cho |f (x0 )| = M . Ta có Ñx Z0 é2 f 0 (x) dx Zx0 ≤ a 2 [f 0 (x)] dx · a ⇔ f 2 (x0 ) ≤ (x0 − a) · Zx0 Zx0 dx ⇔ [f (x0 ) − f (a)] ≤ (x0 − a) a Mà (x0 − a) · 2 [f 0 (x)] dx ⇔ M 2 ≤ (x0 − a) · 2 [f 0 (x)] dx ≤ (b − a) · a Suy ra M 2 ≤ (b − a) · Zx0 a 2 [f 0 (x)] dx a a Zx0 Zx0 2 Zx0 2 [f 0 (x)] dx. a Zx0 2 [f 0 (x)] dx. a 2 [f 0 (x)] dx ⇒ Zx0 2 [f 0 (x)] dx ≥ M2 . b−a a Dấu bằng xảy ra khi f 0 (x) = 1 tức là khi chẳng hạn f (x) = x.  Chọn đáp án C Câu 233. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 85 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Zb A. S = Chương 3-Giải tích 12 Za f (x) dx. |f (x)| dx. B. S = a Zb Za |f (x)| dx. C. S = D. S = − a b f (x) dx. b Lời giải. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng Zb x = a, x = b được tính theo công thức S = |f (x)| dx. a  Chọn đáp án C Câu 234. Cho F (x) = cos 2x − sin x + C là nguyên hàm của hàm số f (x). Tính f (π). A. f (π) = −3. C. f (π) = −1. B. f (π) = 1. D. f (π) = 0. Lời giải. f (x) = F 0 (x) = −2 sin 2x − cos x, suy ra f (π) = 1.  Chọn đáp án B x2 + x + 1 và F (0) = 2018. Tính F (−2). x+1 B. F (−2) = 2. D. F (−2) = 2020. Câu 235. Cho F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) = A. F (−2) không xác định. C. F (−2) = 2018. Lời Z giải. Z Å x+ f (x) dx = ã 1 x2 dx = + ln |x + 1| + C. x+1 2 Ta có F (0) = 2018 nên C = 2018. Suy ra F (−2) = 2020. Chọn đáp án D Câu 236. Tính diện  tích hình phẳng tạo y thành bởi parabol y = x2 , đường thẳng y = −x + 2 và trục hoành trên đoạn [0; 2] (phần gạch sọc trong hình vẽ). 3 5 A. . B. . 5 6 2 7 C. . D. . 3 6 Lời giải. O 1 2 x Dựa vào đồ thị ta có: Parabol y = x2 cắt trục Ox tại điểm có hoành độ 0. Parabol y = x2 cắt đường thẳng y = −x + 2 tại điểm có hoành độ 1. Đường thẳng y = −x + 2cắt trục Ox tại điểm có hoành độ 2. Z1 Z2 5 2 Diện tích hình phẳng đã cho là S = x dx + (−x + 2) dx = . 6 0 1  Chọn đáp án B π Z2 Câu 237. Biết x sin x + cos x + 2x π2 b b dx = + ln với a, b, c là các số nguyên dương và là phân sin x + 2 a c c 0 số tối giản. Tính P = a · b · c. A. P = 24. B. P = 13. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. P = 48. 86 D. P = 96. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. π π Z2 Z2 x sin x + cos x + 2x dx = sin x + 2 0 x(sin x + 2) + cos x dx sin x + 2 0 π Z2 Å = cos x x+ sin x + 2 ã dx 0 ò x2 + ln | sin x + 2| = 2 3 π2 + ln . = 8 2 ï π 2 0 P = a · b · c = 48. Chọn đáp án C  Câu 238. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x và y = √ x quay quanh trục hoành. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành bằng π π B. V = . C. V = π. A. V = . 6 2 Lời giải. " x=0 √ Phương trình hoành độ giao điểm x = x ⇔ x = 1. Thể tích khối tròn xoay là Z1 Z1 π 2 V = π |x − x| dx = π (x − x2 ) dx = . 6 0 D. V = 0. 0  Chọn đáp án A Câu 239. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [1; 3] thỏa f (4 − x) = f (x) ∀x ∈ [1; 3] và Z3 Z3 x.f (x) dx = −2. Giá trị f (x) dx bằng 1 1 B. −1. A. 2. C. −2. D. 1. Lời giải. Đặt t = 4 − x ⇒ dx = − dt. Với x = 1 ⇒ t = 3, x = 3 ⇒ t = 1. Z3 Z1 Z3 x · f (x) dx = − (4 − t) · f (4 − t) dt = (4 − x) · f (x) dx. 1 3 Z3 1 Z3 x · f (x) dx = 4 Suy ra 2 1 Z3 f (x) dx = −1. f (x) dx hay 1 1  Chọn đáp án B Câu 240. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Z Z 1 A. 0 dx = C. B. dx = ln |x| + C. x Z Z xa+1 a C. x dx = + C. D. dx = x + C. a+1 Lời giải. Z xa+1 Đáp án xa dx = + C không đúng với trường hợp a = −1. a+1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 87 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Chọn đáp án C  Câu 241. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = cos(2x Z Z + 3). 1 A. f (x) dx = − sin(2x + 3) + C. B. f (x) dx = − sin(2x + 3) + C. 2 Z Z 1 C. f (x) dx = sin(2x + 3) + C. D. f (x) dx = sin(2x + 3) + C. 2 Lời giải. Z 1 f (x) dx = sin(2x + 3) + C 2 Chọn đáp án D  Zb (2x − 6) dx = 0? Câu 242. Giá trị nào của b để 1 A. b = 0 hoặc b = 3. B. b = 0 hoặc b = 1. Lời giải. Zb Ta có (2x − 6) dx = (x2 − 6x) b C. b = 5 hoặc b = 0. D. b = 1 hoặc b = 5. = b2 − 6b + 5. 1 1 Zb Do đó " (2x − 6) dx = 0 ⇔ b2 − 6b + 5 = 0 ⇔ b=1 . b=5 1  Chọn đáp án D Z4 Câu 243. Biết rằng I = √ a−4 b x2 − x + 2 √ dx = . Với a, b, c là các số nguyên dương. Tính c x+ x−2 3 a + b + c. A. 39. B. 27. C. 33. D. 41. Lời giải. Z4 2 Z4 Å 2 ä3 ã √ 2 Ä√ x −x+2 x √ dx = (x − x − 2) dx = Ta có − x−2 2 3 x+ x−2 3 3 4 3 √ √ 25 − 4 8 25 − 8 2 = . = 6 6 Suy ra a = 25; b = 8; c = 6. Vậy a + b + c = 39.  Chọn đáp án A π Z1 Z4 Câu 244. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và f (tan x) dx = 2. Tính I = 0 A. I = 1. f (x) dx. 0 B. I = 2. C. I = 3. D. I = 6. Lời giải. π Z4 Z1 f (t) Từ f (tan x) dx = 4. Ta đặt t = tan x, ta được dt = 4. 2 t +1 0 0 π Z4 Từ x2 f (x) dx = 2 ⇔ x2 + 1 0 (x2 + 1 − 1)f (x) dx = 2 ⇒ x2 + 1 0 Z1 ⇒ Z1 Z1 f (x) dx = 2 + 0 Z1 Z1 f (x)dx − 0 f (x) dx = 2. x2 + 1 0 f (x) dx = 2 + 4 = 6. x2 + 1 0  Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 88 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 245. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f 0 (x) > 0, ∀x ∈ [1; 2] và Z2 [f 0 (x)]3 7 . Biết f (1) = 1, dx = 4 x 375 1 f (2) = 22 , tính I = 15 Z2 f (x) dx. 1 71 A. P = . 60 Lời giải. 6 B. P = . 5 C. P = 73 . 60 D. P = 37 . 30 … 0 3 [f 0 (x)]3 x2 3f 0 (x) x2 x2 x2 3 [f (x)] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: + ≥ 3 · = . + · x4 125 125 x4 25 25 25 Lấy tích phân hai vế BĐT trên, ta có: Z2 [f 0 (x)]3 dx+2 x4 1 Z2 x2 dx ≥ 125 Z2 3f 0 (x) ⇔ 25 1 1 Z2 [f 0 (x)]3 3 7 ≥ [f (2)−f (1)] ⇔ dx+2· 4 x 375 25 1 Z2 [f 0 (x)]3 7 dx ≥ 4 x 375 1 Kết hợp với giả thiết ta có dấu “=” của BĐT trên xảy ra khi [f 0 (x)]3 x6 x2 x3 x2 0 3 0 ⇔ [f (x)] = ⇔ f (x) = ⇒ f (x) = + C. = x4 125 125 5 15 1 14 x3 + 14 Mà f (1) = 1 ⇒ 1 = +C ⇒C = ⇒ f (x) = . 15 15 15 Z2 3 x + 14 71 Ta có I = dx = . 15 60 1 Chọn đáp án A  2x Câu 246. NguyênÅhàm của Å ã hàm số f (x) = x.e là: ã 1 1 1 2x 2x x− x− A. F (x) = e + C. B. F (x) = 2e + C. 2 2 2 1 C. F (x) = 2e2x (x − 2) + C. D. F (x) = e2x (x − 2) + C. 2 Lời giải. Z Ta có F (x) = x.e2x dx.  (  Z  du = dx u=x xe2x 1 1 1 Đặt ⇒ − ⇒ F (x) = e2x dx = e2x (x − ) + C. 2x e  2 2 2 2 dv = e2x dx v = 2 Chọn đáp án D  π Z1 Z4 Câu 247. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (tan x) dx = 4 và 0 x2 f (x) dx = 2. x2 + 1 0 Z1 Tính tích phân I = f (x) dx. 0 A. 6. B. 2. C. 3. D. 1. Lời giải. π Z4 Với J = f (tan x) dx = 4. 0 dt Đặt t = tan x ⇒ d tan x = dt ⇒ = dx. 1 + t2 π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 1. 4 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 89 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 Ta có J = f (t) dt = 2 t +1 0 f (x) dx = 4. x2 + 1 0 Z1 Vậy I = Z1 Chương 3-Giải tích 12 Z1 f (x) dx = 0 (x2 + 1)f (x) dx = x2 + 1 Z1 x2 f (x) dx + x2 + 1 0 0 Z1 f (x) dx = 2 + 4 = 6. x2 + 1 0  Chọn đáp án A Z2 Câu 248. Biết ln x b b + a ln 2 (với a là số thực, b, c là các số nguyên dương và là phân số dx = x2 c c 1 tối giản). Tính giá trị của 2a + 3b + c. B. −6. A. 4. C. 6. D. 5. Lời giải. Z2 ln x Với I = dx. x2 1   dx   du = u = ln x x ⇒ I = −1 ln 2 + 1 . ⇒ Đặt dx   dv = 2 2 v = −1 x2 x −1 Vậy a = , b = 1, c = 2 ⇒ 2a + 3b + c = 4. 2 Chọn đáp án A  Câu 249. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (H) : y = x−1 và các trục tọa x+1 độ. Khi đó giá trị của S bằng A. S = ln 2 − 1(đvdt). C. S = 2 ln 2 − 1(đvdt). B. S = 2 ln 2 − 1(đvdt). D. S = ln 2 + 1(đvdt). Lời giải. Ta có hoành độ giao điểm của (H) với Ox là x = 1. Trục Oy có phương trình x = 0. Z1 Z1 x−1 x−1 dx = |x − 2 ln(x + 1)| Vậy S = dx = x+1 x+1 0 1 = 2 ln 2 − 1. 0 0  Chọn đáp án C Zm Câu 250. Giá trị thực dương của tham số m sao cho 250 A. m = 2 √ 2500 √ xe 0 √ − 2. B. m = 21000 − 1. C. m = x2 +1 √ √ dx = 2500 e 21000 + 1. m2 +1 là √ D. m = 2250 2500 + 2. Lời giải. √ Đặt t = x2 + 1 ⇒ t2 = x2 + 1 ⇒ t dt = x dx. √ Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1, x = m ⇒ t = m2 + 1. Zm ⇒I= √ √ xe x2 +1 dx = 1 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Zm2 +1 tet dt. 90 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Đặt ( u=t dv = et dt ( ⇒ Chương 3-Giải tích 12 du = dt v = et . √ √ m2 +1 tet 1 I = = √ √ Zm2 +1 − et dt 1 √ m2 + 1 · e √ m2 +1 2 √ m2 +1 1 √ m2 +1 − e − et m2 + 1 · e m +1 − e − e ä √ 2 Ä√ m2 + 1 − 1 e m +1 . = = +e Theo giả thuyết ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Ä√ ä √ 2 √ 2 m2 + 1 − 1 e m +1 = 2500 e m +1 √ m2 + 1 − 1 = 2500 2 m2 + 1 = 2500 + 1 » m = (2500 + 1)2 − 1 » m = (2500 + 1 + 1) (2500 + 1 − 1) √ m = 2250 2500 + 2.  Chọn đáp án D Câu 251. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x và y = x2 . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox là 2π 3π π . B. . C. . A. 15 25 30 Lời giải. ” x=0 Xét phương trình x = x2 ⇔ x2 − x = 0 ⇔ x = 1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox là Z1 V =π D. π . 6 y 1  x2 − x4 dx = π Å 3 5ã 1 x x − 3 5 0 = 0 2π . 15 O 1 x  Chọn đáp án A 2Z1000 x2 + 4x + 1 dx bằng x2 + x 1 î ó î ó 2 2 A. I = 21000 + ln 2996 (1 + 21000 ) . B. I = 21000 − 1 + ln 2996 (1 + 21000 ) . î ó î ó 2 2 C. I = 21000 − 1 + ln 2998 (1 + 21000 ) . D. I = 21000 − 1 + ln 21998 (1 + 21000 ) . Câu 252. Tích phân I = Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 91 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. 2Z1000 I = x2 + 4x + 1 dx x2 + x 1 2Z1000 = (x2 + x) + (2x + 1) + x dx x2 + x 1 2Z1000Å ã 2x + 1 x 1+ 2 + dx x + x x2 + x = 1 2Z1000 2Z1000 = dx + 1 2Z1000 2x + 1 dx + x2 + x 1 1 2Z1000 21000 + = x 1 1 dx x+1 d (x2 + x) + ln |x + 1| x2 + x 21000 1 1 = 21000 − 1 + ln x2 + x 21000  + ln 21000 + 1 − ln 2 1 = = = = 21000  + ln 21000 + 1 − ln 2 1   21000 − 1 + ln 21000 + ln 21000 + 1 − ln 2 + ln 21000 + 1 − ln 2  21000 − 1 + ln 21000 − 2 ln 2 + 2 ln 21000 + 1  2 21000 − 1 + ln 21000 − ln 22 + ln 21000 + 1 2 21000 − 1 + ln 2998 + ln 21000 + 1 î 2 ó 21000 − 1 + ln 2998 21000 + 1 . = 2 = 1000 − 1 + (ln |x| + ln |x + 1|)  Chọn đáp án C Z3 Ze f (x) dx = 1. Tính tích phân I = Câu 253. Cho tích phân 0 3 . 2 Lời giải. 1 B. 9. A. 1 3 Đặt t = ln x3 ⇒ dt = 3 · 3×2 dx = dx ⇒ x x Z3 Z3 1 1 1 ⇒I= f (t) dt = f (x) dx = · 1 = 6 6 6 0 f (ln x3 ) dx. 2x C. 1 . 6 D. 6. dx 1 = dt. 2x 6 1 . 6 0  Chọn đáp án C Câu 254. Diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của 2 hàm số y = |x2 − 4| và x2 y= + 4 là 2 32 64 A. S = . B. S = 16. C. S = . D. S = 8. 3 3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 92 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải.  2  x − 4 ≥ 0   2 x2   x − 4 = +4  x2 2 2  |x − 4| = + 4 ⇔  2 2   x − 4 < 0  x2   − (x2 − 4) = +4 2 (  x2 − 4 ≥ 0  x=4   x2 = 16   ⇔ ( ⇔ x = −4  x2 − 4 < 0  x = 0. 3x2 = 0 Suy ra Z0 S = x2 |x2 − 4| − +4 2 Å Z4 ã dx + −4 = ã x2 − 8 dx + 2 −4 = ã dx 0 Z−2Å Å x2 |x − 4| − +4 2 Å 2 Z0 −3x2 dx + 2 −2 3 x − 8x 6 ã −2 −4 −x + 2 3 0 −2 −x + 2 Z2 −3x2 dx + 2 0 3 2 ã x2 − 8 dx 2 2 Å + 0 Z4 Å 3 x − 8x 6 ã 4 2 20 20 +4+4+ 3 3 64 = . 3 =  Chọn đáp án C Câu 255.Cho một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = a cos4 x − b cos x với a, b ∈ R biết rằng  π F (0) = F = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng? 2 Å ã a 3π b a . B. cos ≈ 0,83. C. ab < 0. D. cos = 0,45. A. = b 16 a b Lời giải. Ta có f (x) = a cos4 x − b cos x Å ã 1 + cos 2x 2 = a − b cos x 2  a = 1 + 2 cos 2x + cos2 2x − b cos x 4Å ã a 1 + cos 4x = 1 + 2 cos 2x + − b cos x. 4 2 Suy ra Z Å ã a a 1 + cos 4x F (x) = + cos 2x + − b cos x dx 4 2 8 3a a a = x + sin 2x + sin 4x − b sin x + C. 8 4 32 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 93 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Mặt khác   F (0) = 0 C = 0 π  ⇔ 3aπ F  =0 −b=0 2 16 b 3π 3aπ −b=0⇔ = ⇒ 16 Åa ã 16 16 b a = ⇒ cos ≈ 0,83. ⇔ b 3π a  Chọn đáp án B Câu 256. Cho hàm số f xác định, liên tục và có đạo hàm trên R, đạo hàm của f cũng liên tục trên π Z1 Z3 Å ã 735 1 17 , f (1) = 2, f = . Tính I = (sin 4x + 2 sin 2x)f 0 (cos2 x) dx. R. Giả sử f (x) dx = 1024 4 64 0 1 4 1245 . 1024 Lời giải. B. A. 1245 . 128 C. π Z3 Ta có I = 1245 . 256 D. 1245 . 512 π 2 sin 2x(cos 2x + 1)f 0 (cos2 x) dx = 0 Z3 4 sin 2x cos2 xf 0 (cos2 x) dx. 0 Đặt t = cos2 x ⇒ dt = − sin 2x dx. π 1 Đổi cận x = ⇒ t = ; x = 0 ⇒ t = 1. 3 4 Z1 I= Z1 1 0 tf (t) dt = tf (t) 1 4 1 4 − f (t) dt = 2 − 1 17 735 1245 · − = . 4 64 1024 1024 1 4  Chọn đáp án A Câu 257. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin xZ − cos x. Z A. f (x) dx = − sin x + cos x + C. B. f (x) dx = sin x + cos x + C. Z Z C. f (x) dx = − sin x − cos x + C. D. f (x) dx = sin x − cos x + C. Lời giải. Z Ta có (sin x − cos x) dx = − cos x − sin x + C = − sin x − cos x + C  Chọn đáp án C 1 Câu 258. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x + 2 . Z Zx 1 x A. f (x) dx = 3 + + C. B. f (x) dx = x Z Z 1 C. f (x) dx = 3x − + C. D. f (x) dx = x Lời giải. ã0 Å ã Å x 3 1 3x ln 3 1 1 Ta có − +C = − − 2 = 3x + 2 . ln 3 x ln 3 x x Chọn đáp án D Z1 Câu 259. Tính tích phân I = 3x 1 + + C. ln 3 x 3x 1 − + C. ln 3 x  x2018 (1 + x) dx. 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 94 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. I = 1 1 + . 2018 2019 B. I = Chương 3-Giải tích 12 1 1 + . 2020 2021 C. I = 1 1 + . 2019 2020 D. I = 1 1 + . 2017 2018 Lời giải. Z1 Ta có I = x 2018 +x 2019  Å dx = x2019 x2020 + 20019 2020 ã 1 = 0 1 1 + . 2019 2020 0  Chọn đáp án C Câu 260. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = diện tích của (H). 5 A. . 3 Lời giải. B. 16 . 3 C. Hoành độ giao điểm của đường cong y = đường thẳng y = 2x − 2 là √ √ √ 2x; y = 2x − 2 và trục hoành. Tính 10 . 3 D. 2x và 8 . 3 y y = 2x − 2 2x = 2x − 2 ⇔ x = 2. y= √ 2x Đồ thị hàm số y = 2x − 2 cắt Ox tại điểm (1; 0). Diện tích hình phẳng là S= Z1 √ 2x dx + Z2 Ä√ x O ä 2x − 2x + 2 dx 1 0 5 = . 3  Chọn đáp án A Z12 Å ã 1 x+ 1 a c Câu 261. Cho tích phân I = 1+x− e x dx = · e d trong đó a, b, c, d là các số nguyên x b 1 12 a c , là các phân số tối giản. Tính bc − ad. b d 1 A. 24. B. . C. 12. 6 Lời giải. Z12 Å Z12 Z12 Å ã ã 1 1 x+ 1 1 x+ 1 x+ Ta có I = 1+x− e x dx = e x dx + x− e x dx. x x dương và 1 12 Z12 Xét I1 = 1 12 D. 1. 1 12 1 ex+ x dx. 1 12  Å ã  1  u = ex+ x1  du = 1 − 1 ex+ x dx x2 Đặt ⇒  dv = dx   v = x. Do đó I1 = 1 12 xex+ x 1 12 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Z12 Å ã 1 x+ 1 − x− e x dx. x 1 12 95 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Suy ra 143 145 e 12 . 12 1 12 I = xex+ x = 1 12 Vậy a = 143, b = 12 , c = 145, d = 12 và bc − ad = 24.  Chọn đáp án A Z2 Câu 262. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có f (x) dx = 1. Tính giới hạn của dãy số 1 ñ Ç… å … Ç… å Ç… åô … … 1 n n+3 n n+6 n 4n − 3 f (1) + ·f + ·f + ··· + ·f . un = n 3+n n 6+n n 4n − 3 n 2 B. lim un = . 3 A. lim un = 2. C. lim un = 1. 4 D. lim un = . 3 Lời giải. Ta có:  Ç… å Ç… å Ç… f (1) 1  3 1 2 · 3 1 3(n − 1 … f +… f + ··· + … +  1+ 1+ f 1+ un =  n n n n n 3 2·3 3(n − 1) 1+ 1+ 1+ n n n Z1 Ä√ ä 1 √ f 1 + 3x dx. ⇒ lim un = 1 + 3x 0 Đặt t = √ 3 2 1 + 3x ⇒ dt = √ dx ⇒ lim un = 3 2 1 + 3x Z2 2 f (t) dt = . 3 1  Chọn đáp án B   Z8 khi x ≤ 3 12 . Tính tích phân I = f (x) dx. Câu 263. Cho hàm số f (x) = x2 − 3x  khi x > 3 √ 0 x+1−2 2441 1906 1606 2541 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 15 15 15 15 Lời giải. Dễ dàng chứng minh hàm số y = f (x) liên tục tại x = 3. Z8 Z3 Z8 Z3 Z8 x2 − 3x I = f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx = 12 dx + √ dx. x+1−2 0 0 3 0 3 Z8 Ä Z8 ä √ √ 3 = 12x|0 + x x + 1 + 2 dx = 91 + x x + 1 dx. 3 Z8 Xét J = Đặt t = 3 √ 3 √ x x + 1 dx. x + 1 ⇒ t2 = x + 1 ⇒ 2t dt = dx. Đổi cận x = 3 ⇒ t = 2; x = 8 ⇒ t = 3. Z3  1076 2441 Vậy J = 2 t2 t2 − 1 dt = ⇒I= . 15 15 2  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 96 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z4 Z1 f (x) dx = 9, tính I = Câu 264. Cho 1 A. I = 9. Chương 3-Giải tích 12 f (3x + 1) dx. 0 B. I = 3. C. I = 1. D. I = 27. Lời giải. Z1 Ta có I = 1 f (3x + 1) dx = 3 Z1 1 f (3x + 1) d(3x + 1) = 3 0 0 Z4 f (t) dt = 3. 1  Chọn đáp án B Câu 265. Một vật chuyển động thẳng có vận tốc và gia tốc tại thời điểm t lần lượt là v(t) m/s và a(t) m/s2 . Biết rằng 1 giây sau khi chuyển động, vận tốc của vật là 1 m/s đồng thời a(t)+v 2 (t)·(2t−1) = 0. Tính vận tốc của vật sau 3 giây. 1 1 1 1 A. v(3) = m/s. B. v(3) = m/s. C. v(3) = m/s. D. v(3) = m/s. 13 7 12 6 Lời giải. Å ã 1 0 a(t) 2 = 1 − 2t ⇔ = 2t − 1. Ta có a(t) + v (t)(2t − 1) = 0 ⇔ 2 v (t) v(t) 1 ⇒ = t2 − t + C. v(t) 1 1 Mà v(1) = 1 ⇒ C = 1 ⇒ v(t) = 2 ⇒ v(3) = (m/s). t −t+1 7 Chọn đáp án B  Z Z Câu 266. Biết f (2x) dx = sin2 x + ln x + C, tìm nguyên hàm f (x) dx. Z Z x 2 x A. f (x) dx = sin + ln x + C. B. f (x) dx = 2 sin2 + 2 ln x + C. 2 2 Z Z C. f (x) dx = 2 sin2 x + 2 ln x − ln 2 + C. D. f (x) dx = 2 sin2 2x + 2 ln x − ln 2 + C. Lời giải. Gọi F (x) Z là 1 nguyên hàm của f (x). F (2x) Khi đó f (2x) dx = + C = sin2 x + ln x + C. 2  x  x 2 2 ⇒ F (2x) = 2 sin x + 2 ln x + C = 2 sin 2 · + 2 ln 2 · + C. 2 2 x x x ⇒ F (x) = 2 sin2 + 2 ln + C = 2 sin2 + 2 ln x + C. 2 2 2 Chọn đáp án B Z2 Z4 f (x) dx = 1, tính Câu 267. Biết 1 A. I = 4.  √  1 √ f x dx. x 1 B. I = 2. C. I = 1. 1 D. I = . 2 Lời giải. √ dx Đặt t = x ⇒ , dt = √ . 2 x Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1, x = 4 ⇒ t = 2. Z2 Khi đó I = 2 f (t) dt = 2. 1  Chọn đáp án B Câu 268. Cho hàm số f (x) liên tục trên khoảng K, a, b, c là các số thực thuộc K. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 97 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Zc Zc a b Zc a Zc f (x) dx. Zc f (x) dx + f (x) dx. a c Zc f (x) dx = a Za f (x) dx + Zc D. a b Zb f (x) dx = B. b Za f (x) dx = C. Za f (x) dx − f (x) dx = A. Chương 3-Giải tích 12 f (x) dx. b Za f (x) dx + b f (x) dx. b Lời giải. Theo tính chất của tích phân.  Chọn đáp án A Z4 Câu 269. Cho x2 1 dx = a ln 2 + b ln 3, (a, b ∈ Z). Mệnh đề nào dưới đây đúng? − 3x + 2 3 A. a + b + 1 = 0. C. a − 2b = 0. B. a + 3b + 1 = 0. D. a + b = −2. Lời giải. Z4 Z4 Å ã 1 1 1 dx = − dx = (ln(x − 2) − ln(x − 1))|43 . 2 x − 3x + 2 x−2 x−1 3 3 = ln 2 − ln 3 − (ln 1 − ln 2) = 2 ln 2 − ln 3 ⇒ a = 2; b = −1. Vậy a + 3b + 1 = 0 là khẳng định đúng.  Chọn đáp án B Câu 270. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = A. 3x e3 ln 3 e + C. 3x B. + C. −2 ln 3 · e2 3x e3 3x ln 3 C. + C. e3 3x D. 3 + C. e ln 3 Lời giải. Z x 3 3x Ta có dx = + C. e3 e3 ln 3 Chọn đáp án D  Câu 271. Tìm hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = − sin x(4 cos x + 1) thỏa mãn π  F = −1. 2 A. F (x) = cos 2x + cos x − 1. B. F (x) = −2 cos 2x + cos x − 3. C. F (x) = cos 2x + cos x. Lời giải. Z D. F (x) = − cos 2x − cos x − 2. Z [− sin x(4 cos x + 1)] dx = − (2 sin 2x + sin x) dx = cos 2x + cos x + C. π  π = cos π + cos + C = −1 ⇔ C = 0. Ta có F 2 2 Vậy F (x) = cos 2x + cos x. Chọn đáp án C Ta có  Câu 272. Tính diện tích S của phần hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = x3 − 3×2 và y = x2 + x − 4. 253 A. S = . 12 Lời giải. B. S = 125 . 12 C. S = 16 . 3 D. S = 63 . 4  x = −1  Ta thấy x3 − 3×2 = x2 + x − 4 ⇔ x3 − 4×2 − x + 4 = 0 ⇔  x = 1 x = 4. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 98 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 Khi đó S = x3 − 4×2 − x + 4 dx +  −1 Z4 Chương 3-Giải tích 12  16 63 253 x3 − 4×2 − x + 4 dx = + = . 3 4 12 1  Chọn đáp án A Câu 273. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox của hình giới hạn bởi đường thẳng y = 1 − x2 và Ox. 16π 4 4π 16 . B. . C. . D. . A. 15 15 3 3 Lời giải. Z1 2 16π Thể tích khối tròn xoay V = π 1 − x2 dx = . 15 −1  Chọn đáp án B Câu 274. Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn y 0 = x2 y và f (−1) = 1. Tính f (2). A. e + 1. B. e3 . C. 2e. D. e2 . Lời giải. Ta có f 0 (x) = x2 · f (x) x3 x3 ⇔ f 0 (x) · e 3 + x2 · e 3 · f (x) = 0 h x3 i0 ⇔ e 3 · f (x) = 0 23 ⇒ f (2) · e 3 − f (−1) · e (−1)3 3 =0 ⇔ f (2) = e3 .  Chọn đáp án B Z2 Câu 275. Tính tích phân I =  max x2 , 3x − 2 dx. 0 17 A. . 6 Lời giải. 17 B. . 3 Z1 Ta có I = 2 Z2 (3x − 2) dx = x dx + 0 C. 7 . 3 D. 7 . 2 17 1 5 + = . 3 2 6 1  Chọn đáp án A Câu 276. Cho hàm số y = f (x) liên tục và có đạo hàm trên R. Biết f (0) = f (3) = 1. Tìm giá Z3 trị nhỏ nhất của I = f 0 (x) dx. 0 A. −1. B. −3. C. −2. D. 0. Lời giải. Z3 Ta có I = f 0 (x) dx = f (3) − f (0). 0 Ta có |f (3) − f (0)| ≤ |f (3)| + |f (0)| Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 99 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 ⇔ |f (3) − f (0)| ≤ 2 ⇔ − 2 ≤ f (3) − f (0) ≤ 2.  Chọn đáp án C Câu 277. Mệnh đề nào trong bốn mệnh đề sau sai? Z Z 1 dx = ln x + C . B. 0 dx = C. A. Z x Z C. ex dx = ex + C. D. cos x dx = sin x + C. Lời giải. Z 1 Mệnh đề dx = ln x + C sai. x Chọn đáp án A  Câu 278. Cho parabol (P1 ) : y = −x2 + 4 cắt trục hoành tại hai điểm A, B y và đường thẳng d : y = a (0 < a < 4). Xét parabol (P2 ) đi qua A, B và có đỉnh thuộc đường thẳng y = a. Gọi S1 là diện tích hình y=a phẳng giới hạn bởi (P1 ) và d, S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P2 ) và trục hoành. Biết S1 = S2 (tham khảo hình vẽ bên). Tính T = a3 − 8a2 + 48a. A. T = 32. B. T = 64. A C. T = 72. B D. T = 99. O x Lời giải. √ √ Đường thẳng y = a cắt (P1 ) tại hai điểm có hoành độ − 4 − a và 4 − a. Vậy √ Z4−a S1 = (−x2 + 4 − a) dx = √ − 4−a 4 √ · 4 − a · (4 − a). 3 a Parabol (P2 ) có dạng y = m (x2 − 4). Chú ý vì nó còn đi qua điểm (0; a) nên m = − . Vậy 4 a 2 (P2 ) : y = − x + a. Từ đó suy ra 4 S2 = Z2   a 8a − x2 + a dx = . 4 3 −2 Từ đó ta có 16(4 − a)3 64a2 = ⇔ a3 − 8a2 + 48a = 64. 9 9  Chọn đáp án B Zx2 Câu 279. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R. Biết 2 f (t) dt = ex + x4 − 1 với ∀x ∈ R. Giá trị 0 của f (4) là A. f (4) = e4 + 4. B. f (4) = 4e4 . C. f (4) = 1. D. e4 + 8. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 100 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 2 Gọi F (x) là một nguyên hàm của f (x). Từ giả thiết ta có F (x2 ) − F (0) = ex + x4 − 1. Lấy đạo hàm hai vế ta được 2 2 2x · f (x) = 2x · ex + 4x3 ⇔ f (x) = ex + 2x. Vậy f (4) = e4 + 8.  Chọn đáp án D Câu 280. Biết F (x) = (ax2 + bx + c)ex là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (x2 + 5x + 5)ex . Giá trị của 2a + 3b + c là A. 10. B. 6. C. 8. D. 13. Lời giải. Ta có F 0 (x) = (ax2 + bx + c)ex + (2ax + b)ex = (ax2 + (2a + b)x + b + c)ex . Từ giả thiết ta có hệ     a=1 a=1     2a + b = 5 ⇔ b = 3       b+c=5 c = 2. Vậy 2a + 3b + c = 13.  Chọn đáp án D Câu 281. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đạo hàm đến cấp hai trên R. Biết hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x = −1, có đồ thị như hình vẽ y ∆ và đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành Z4 độ bằng 2. Tính f 00 (x − 2) dx. 1 A. 3. B. 4. C. 1. −1 D. 2. O 1 2 x −3 Lời giải. Đường thẳng ∆ : y = 3x − 3. Vậy f 0 (2) = 3. Từ giả thiết ta có Z4 00 Z2 f (x − 2) dx = 1 f 00 (x) dx = f 0 (2) − f 0 (1) = 3 − 0 = 3. −1  Chọn đáp án A Câu 282. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong y = x2 − 2x và y = 2x2 − x − 2 là 9 A. . B. 9. C. 5. D. 4. 2 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm x2 − 2x = 2x2 − x − 2 ⇔ x = 1 ∨ x = −2. Z1 9 Vậy S = (x2 − 2x) − (2x2 − x − 2) dx = . 2 −2  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 101 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Z3 Câu 283. Cho f (x), g(x) là hai hàm liên tục trên [1; 3] thỏa mãn [f (x) + 3g(x)] dx = 10, 1 Z3 Z3 [2f (x) − g(x)] dx = 6. Tính 1 [f (x) + g(x)] dx. 1 A. 9. B. 8. C. 6. D. 7. Lời giải.   3 Z3 Z           f (x) dx = 4 [f (x) + 3g(x)] dx = 10     Z3   1 1 ⇒ [f (x) + g(x)] dx = 4 + 2 = 6. ⇔ Ta có   Z3 Z3     1     g(x) dx = 2 [2f (x) − g(x)] dx = 6       1 1  Chọn đáp án C π 2 πi Câu 284. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên 0; thỏa mãn f (0) = 0 và 2 h Z 2 [f 0 (x)] dx = 0 π π Z2 Z2 sin xf (x) dx = π . Tích phân 4 0 f (x) dx bằng 0 A. 2. B. 1. C. π . 2 π π π 2 Z2 Z2 D. π . 4 Lời giải. Ta có π = 4 π π Z2 Z2 sin xf (x) dx = 0 0 0 π π Z2 Z2 Mặt khác 1 cos x dx = 2 2 0 − f (x) d cos x = cos xf (x) 0 0 Như vậy ta có 0 = π 2 2 [f 0 (x)] dx − 2 0 Z π 2 = 0 π 2 cos xf 0 (x) dx + 0 Z 0 π cos xf 0 (x) dx = − . 4 0 Å ã 1 1 (1 + cos 2x) dx = x + sin 2x 2 2 π 2 Z cos xf 0 (x) dx ⇒ π . 4 π cos2 x dx = Z2 2 [f 0 (x) − cos x] dx ≥ 0. 0 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f 0 (x) = cos x ⇒ f (x) = sin x + C. Mà f (0) = 0 ⇒ C = 0. π π π Z2 Z2 2 Vậy f (x) dx = sin x dx = − cos x = 1. 0 0 0  Chọn đáp án B Câu 285. Nguyên hàm của hàm số y = 1 ln |2 − 3x| + C. 3 Lời giải. Z A. 1 là 2 − 3x B. −3 ln |2 − 3x| + C. 1 1 dx = − 2 − 3x 3 Z 1 1 d(2 − 3x) = − ln |2 − 3x| + C. 2 − 3x 3  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 1 C. − ln |2 − 3x| + C. D. ln |2 − 3x| + C. 3 102 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 286. Cho hai hàm số f (x), g(x) là hai hàm số liên tục có F (x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của f (x), g(x). Xét các mệnh đề sau: (I). F (x) + G(x) là một nguyên hàm của f (x) + g(x). (II). kF (x) là một nguyên hàm của hàm số kf (x), (k ∈ R). (III). F (x) · G(x) là một nguyên hàm của f (x) · g(x). Mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. (I) và (III). B. (I) và (II). C. (II) và (III). D. (III). Lời giải. Chỉ có mệnh đề (I) và (II) là hai mệnh đề đúng.  Chọn đáp án B 1 1 a Câu 287. Cho hàm số y = x3 + mx2 − 2x − 2m − có đồ thị (C). Biết m = với a, b ∈ N∗ , 3 b ã 3 Å 5 sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng x = 0, (a; b) = 1 và m ∈ 0; 6 x = 2, y = 0 có diện tích bằng 4. Tính P = 2a2 + b2 . A. 18. B. 8. C. 6. D. 12. Lời giải. 1 3 1 x − 2x − 1 3 1 3 (do x = ±√2 không phải là Xét phương trình x + mx2 − 2x − 2m − = 0 ⇔ m = 3 3 3 2 − x2 nghiệm của phương trình). 1 1 Xét hàm số f (x) = x3 − 2x − . 3 3 √ f 0 (x) = x2 − 2 ⇒ f 0 (x) = 0 ⇔ x = ± 2. Ta có bảng biến thiên sau x f 0 (x) f (x) Dễ thấy với x > √ √ 0 − − 1 3 2 2 0 + − √ 4 2+1 − 3 5 3 1 3 1 x − 2x − 1 1 3 < 0 nên phương trình 2 thì 2 − x2 < 0 mà x3 − 2x − < 0 nên 3 3 3 2 − x2 vô nghiệm. 1 3 1 Å ã x − 2x − √ 1 1 3 1 5 3 3 Với x > 2 thì m = > x − 2x − ≥ . 2 2−x 2 3 3 6 1 3 1 Å ã x − 2x − 5 3 3 Như vậy phương trình m = vô nghiệm với m ∈ 0; . 2 − x2 6 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 103 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng x = 0, x = 2, y = 0 là V = = = ⇒ Z2 Å 1 − x3 − mx2 + 2x + 2m + 3 0 Å 1 mx3 − x4 − + x2 + 2mx + 12 3 10 4m + =4 3 3 1 m= . 2 1 3 ã 1 x 3 dx ã 2 0 Nên a = 1, b = 2 và P = 2a2 + b2 = 6.  Chọn đáp án C Câu 288. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x − 1)e2x , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 2. e4 e2 3 e4 e2 3 − − . B. − + . A. 4 2 4 4 2 4 Lời giải. C. e4 e2 3 + + . 4 2 4 D. e4 e2 3 + − . 4 2 4 Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = (x − 1)e2x và trục hoành là nghiệm của phương trình (x − 1)e2x = 0 ⇔ x = 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là Z2 S = |(x − 1)e2x | dx 0 Z1 Z2 2x (1 − x)e dx + = 0 (x − 1)e2x dx 1 1 = 2 Z1 1 (1 − x) d(e ) + 2 2x 0 (x − 1) d(e2x ) 0 1 1 1 = (1 − x)e2x + 2 2 0 4 Z1 1 Z1 0 2 1 1 e dx + (x − 1)e2x − 2 2 1 2x 1 1 1 e − + e2x − e2x 2 2 4 4 0 4 2 e e 3 = + − . 4 2 4 Z2 e2x dx 1 2 = 1  Chọn đáp án D Câu 289. Một khối cầu có bán kính 5 dm, người ta cắt bỏ 2 phần bằng 2 mặt phẳng song song và vuông góc với bán kính, hai mặt phẳng đó đều cách tâm của khối cầu 3 dm để làm một chiếc lu đựng nước. Tính thể tích nước mà chiếc lu chứa được (coi độ dày của bề mặt không đáng kể). 100 A. 132π dm3 . B. 41π dm3 . C. π dm3 . D. 43π dm3 . 3 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 104 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Đặt trục tọa độ như hình vẽ. Thể tích cái được tính bằng cách 2 2 2 cho đường tròn có phương trình x + y = 25 ⇔ y = 25 − x x 2 quay quanh trục Ox. I Thể tích cái lu bằng Z3 V =π (25 − x2 ) dx = π(25x − x3 ) 3 −3 3 dm 3 = 132π dm3 . 5 dm −3 O 3 dm  Chọn đáp án A Câu 290. Cho hai hàm số y = f (x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b). Diện tích hình phẳng D được tính theo công thức là Zb A. S = |f (x) − g(x)| dx. Za |f (x) − g(x)| dx. B. S = a b Zb Zb |f (x) − g(x)| dx. C. S = π [f (x) − g(x)] dx . D. S = a a Lời giải. Zb |f (x) − g(x)| dx. Theo lý thuyết S = a  Chọn đáp án A Câu 291. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x3 + sin x − 2 là x4 A. x4 + cos x − 2x + C. B. + cos x + C. 44 C. 12x + cos x + C. D. x − cos x − 2x + C. Lời giải. Z  Ta có 4x3 + sin x − 2 dx = x4 − cos x − 2x + C.  Chọn đáp án D Z2 Câu 292. Tích phân a dx, (a > 0) bằng ax + 3a 0 16a 5 5 A. . B. a log . C. ln . 225 3 3 Lời giải. Z2 Z2 a 1 5 dx = dx = ln(x + 3)|20 = ln 5 − ln 3 = ln . Ta có ax + 3a x+3 3 0 D. 2a . 15 0  Chọn đáp án C Câu 293. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 105 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 √ Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 3×2 , cung √ tròn có phương trình y = 4 − x2 (với 0 ≤ x ≤ 2) và trục y hoành (phần √ tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng aπ − b , (a, b, c ∈ Z). Tính T = a + b + c. S= c A. 7. B. 13. C. 11. D. 12. 2 2 O x Lời giải. ” 2 x =1 √ Ta có 3×2 = 4 − x2 ⇒ 3×4 = 4 − x2 ⇔ 3×4 + x2 − 4 = 0 ⇔ ⇒ x = 1 ∈ [0; 2]. x2 = −4 Diện tích của (H) được tính theo công thức Z2 √ Z2 √ Z1 √ Z2 √ 2 2 S= 3x dx + 4 − x dx = 3x dx + 4 − x2 dx. √ 0 Z1 Tính I1 = 1 √ 3 √ 2 3x 3x dx = 3 0 1 0 0 1 √ 3 = . 3 Tính I2 Z2 √ = 4 − x2 dx 1 Z0 » Z0 = 4 − (2 cos t)2 d(2 cos t) = −4 | sin t| sin t dt π 3 π π Z3 Z3 1 − cos 2t dt 2 0 0 √ Å ã π3 sin 2t 2π 3 2 t− = − . 2 3 2 0 √ 4π − 3 = ⇒ a = 4, b = 3, c = 6 ⇒ a + b + c = 13. 6 = 4 = π 3 sin2 t dt = 4 √ √ 3 3 2π − + Vậy S = 3 2 3 Chọn đáp án B  √ √ Z2 dx a− b−c √ = với a, b, c là các số nguyên dương. Câu 294. Biết I = √ 2 (2x + 2) x + 2x x + 1 1 Tính P = a − b + c. A. P = 24. B. P = 12. C. P = 18. D. P = 22. Lời giải. Ta có 1 I = 2 Z2 dx 1 √ = √ 2 (x + 1) x + x x + 1 1 Z2 dx √ √ √ √  x+1· x x+1+ x 1 √ Z2 √ Z2 Å ã 1 x+1− x 1 1 1 √ √ −√ = dx √ dx = 2 2 x x+1· x x+1 1 1 √ √ √ √ Ä √ ä2 √ √ √ 4 2−2 3−2 32 − 12 − 2 = 2 x−2 x+1 =2 2− 3−1= = . 1 2 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 106 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Vậy a = 32, b = 12, c = 2 ⇒ P = a − b + c = 32 − 12 + 2 = 22.  Chọn đáp án D Ze Câu 295. Cho √ ln x √ dx = a e + b với a, b là các số hữu tỉ. Tính P = a · b. x 1 A. P = −8. C. P = −4. B. P = 8. D. P = 4. Lời giải. Ta có Ze ln x √ dx = 4 x 1 Ze √ √ Ze Ze √ √ √  √  ln x √ dx = 4 ln x d x = 4 ln x dx = 4 (x ln x − x)|1 e = −2 e + 4. 2 x 1 1 1 Vậy a = −2 và b = 4 ⇒ P = a · b = 8.  Chọn đáp án A Z1 Câu 296. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = 0, 2 [f 0 (x)] dx = 0 Z1 7 và 1 x2 f (x) dx = . Tích phân 3 0 Z1 [f (x) + 2] dx bằng 0 17 A. . 5 Lời giải. B. 3. C. 15 . 4 D. 6. Ta có Z1 x3 1 ⇔ f (x) · x f (x) dx = 3 3 0 Z1 ⇔ Z1 1 2 − 0 1 x3 0 · f (x) dx = ⇔ − 3 3 Z1 1 x3 0 · f (x) dx = 3 3 0 0 x3 f 0 (x) dx = −1. 0 Z1 ⇒ 14×3 f 0 (x) dx = −14. 0 Z1 Ta lại có 49×6 dx = 7. 0 Suy ra Z1 0 2 Z1 [f (x)] dx + 0 3 0 Z1 Z1 49x dx = 7 − 14 + 7 = 0 ⇔ 14x f (x) dx + 0 6 0  0 2 f (x) + 7×3 dx = 0. 0 −7 4 7 7 −7 4 7 ⇒ f 0 (x) = −7×3 ⇒ f (x) = x + C ⇒ f (1) = − + C = 0 ⇒ C = ⇒ f (x) = x + . 4 4 4 4 4 Z1 Vậy Z1 Å ã 7 4 7 17 [f (x) + 2] dx = − x + + 2 dx = . 4 4 5 0 0  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 107 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 297. √ Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x và √ nửa đường tròn có phương trình y = 4x − x2 (với 0 ≤ x ≤ 4) y (phần tô đậm√ trong hình vẽ). Diện tích của√(H) bằng 8π − 9 3 4π + 15 3 . B. . A. 24 √ 6 √ 10π − 15 3 10π − 9 3 . D. . C. 6 6 2 O 3 4 x Lời giải. ” x=0 √ √ Với 0 ≤ x ≤ 4 thì 4x − x2 = x ⇔ x2 − 3x = 0 ⇔ . x=3 Vậy diện tích cần tính là Z3 Ä√ S= √ ä 4x − x2 − x dx = Z3 √ Z3 Z3 √ √ √ 4x − x2 dx − x dx = 4x − x2 dx − 2 3. 0 0 0 0 Đặt x − 2 = 2 sin t ⇒ dx = 2 cos t dt, suy ra π Z3 √ π Z6 p Z6 2 4x − x2 dx = 2 1 − sin t cos t dt = 2(1 + cos 2t) dt = (2t + sin 2t) π − 2 0 π 6 − π − 2 π 2 √ √ √ 8π + 3 3 8π − 9 3 −2 3= . Vậy S = 6 6 Chọn đáp án B √ 8π + 3 3 . = 6  Câu 298. Cho hai hàm số y = f (x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f (x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính theo công thức Zb A. S = (f (x) − g(x)) dx. Zb |f (x) − g(x)| dx. B. S = a a Zb Zb (f (x) − g(x)) dx . C. S = (f (x) − g(x)) dx. D. S = π a a Lời giải. Zb |f (x) − g(x)| dx. Công thức đúng là S = a Chọn đáp án B √ 3x − 2 Câu 299. Cho lim = a là một số thực. Khi đó giá trị của a2 bằng x→+∞ x + 3 A. 9. B. 3. C. 4. D. 1.  Lời giải. √ 2 √ 3 − 3x − 2 x = √3 ⇒ a = √3 ⇒ a2 = 3. Ta có lim = lim 3 x→+∞ x + 3 x→+∞ 1+ x Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 108  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 √ Z3 Câu 300. Biết √ √ √ dx 1 √ = a 3 + b 2 + c + ln(3 2 − 3) với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính 2 1 + x + 1 + x2 1 P = a + b + c. 1 1 B. P = −1. C. P = − . A. P = . 2 2 Lời giải. √ √ √ Z3 Z3 Å ã dx (1 + x − 1 + x2 ) dx 1 1 √ Ta có = = ln x + x 2x 2 2 1 + x + 1 + x2 1 1 √ 3−1 1 √ = ln 3 + − I. 2 2 √ Z3 √ x 1 + x2 Xét I = dx. 2x2 1 √ Đặt t = 1 + x2 , khi đó t dt = x dx. Ta có Z2 I= √ √ 1 √ 3 Z3 √ x 1 + x2 − dx. 2x2 1 t2 dt 2(t2 − 1) 2  = 5 D. P = . 2 1 t 2 Z2 Å 2 √ + 2 1 2√  1 1 − t−1 t+1 ã  dt 2 ò 2 1 1 t−1 = t + ln 2 2 t + 1 √2 ñ ô √ √ 1 1 1 1 2−1 = 2 − 2 + ln − ln √ 2 2 3 2 2+1 î ó √ √ √ 1 2 − 2 ln 3 − ln( 2 − 1) . = 2 √ 1√ 1√ 3 1 Vậy I = 3+ 2 − + ln(3 2 − 3). 2 2 2 2 1 Do đó P = a + b + c = − . 2 Chọn đáp án C ï  Z1 Câu 301. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [0; 1], thỏa mãn Z1 f (x) dx = 0 Z1 [f (x)]2 dx = 4. Giá trị của tích phân 0 Z1 xf (x) dx = 1 và 0 [f (x)]3 dx bằng 0 A. 1. B. 8. C. 10. D. 80. Lời giải. Z1 Z1 Z1 Z1 2 2 Xét [f (x) + (ax + b)] dx = [f (x)] dx + 2 [f (x) · (ax + b)] dx + (ax + b)2 dx 0 0 Z1 = 4 + 2a Z1 xf (x) dx + 2b 0 f (x) dx + 0 0 1 (ax + b) 3a 0 1 = 4 + 2(a + b) + 0 a2 + ab + b2 . 3 2 Cần xác định a, b sao cho a + (2 + b)a + b2 + 2b + 4 = 0. 3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 109 (1) https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 4 (b − 2)2 Có ∆(a) = b3 + 4b + 4 − (b2 + 2b + 4) = − ≤ 0 nên (1) ⇔ b = 2 và a = −6. 3 3 Z1 Ta có [f (x) − 6x + 2] dx = 0 nên f (x) = 6x − 2. 0 Z1 Vậy [f (x)]3 dx = Z1 0 (6x − 2)3 dx = 10. 0 Chọn đáp án C  Câu 302. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 2x là 1 A. F (x) = − cos 2x + C. B. F (x) = cos 2x + C. 2 1 C. F (x) = cos 2x + C. D. F (x) = − cos 2x + C. 2 Lời giải. Z cos 2x Ta có sin 2x dx = − + C. 2 Chọn đáp án A  Zd Zd f (x) dx = 5 và Câu 303. Nếu a Zb a b A. 3. f (x) dx bằng f (x) dx = 2 (với a < d < b) thì 5 C. . 2 B. 7. D. 10. Lời giải. Zb Zd Zb Zd Zd Ta có f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx − f (x) dx = 5 − 2 = 3. a a a d b  Chọn đáp án A Z1 Câu 304. Cho 2x + 3 dx = a · ln 2 + b (với a, b là các số nguyên). Khi đó giá trị của a là 2−x 0 A. −7. B. 7. D. −5. C. 5. Lời giải. Ta có Z1 2x + 3 dx = − 2−x 0 Z1 2(x − 2) + 7 dx = − x−2 0 Z1 Å 2+ 7 x−2 1 ã dx = − (2x + 7 ln |x − 2|) = 7 ln 2 − 2. 0 0 Do đó a = 7.  Chọn đáp án B Câu 305. Một ô tô đang chạy với vận tốc v0 m/s thì gặp chướng ngại vật nên người lái xe đã đạp phanh. Từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc a(t) = −8t m/s2 trong đó t là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Biết từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được 12 m. Tính v0 . √ √ B. 3 36 m/s. A. 3 1269 m/s. C. 12 m/s. D. 16 m/s. Lời giải. Z Ta có v(t) = a(t) dt = −4t2 + C. Tại thời điểm t = 0, ta có v0 = C. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 110 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 √ Tại thời điểm ô tô dừng hẳn t = t1 ta có v(t1 ) = 0 ⇔ −4t21 + C = 0 ⇔ t1 = C . 2 Kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được 12 m, do đó Zt1 Å ã t1 4 3 v(t) dt = 12 ⇔ − t + Ct = 12 3 0 0 √ √ 4 3 4 C C C C ⇔ − t1 + Ct1 = 12 ⇔ − · + = 12 3 3 8 2 √ √ 3 ⇔ C C = 36 ⇔ C = 1296. √ 3 Vậy v0 = 1296.  Chọn đáp án A Z2 Câu 306. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [0; 4] và Z4 f (x) dx = 1, 0 f (x) dx = 3. Tính I = 0 Z1 f (|3x − 1|) dx. −1 A. I = 4. 4 C. I = . 3 B. I = 2. D. I = 1. Lời giải. dt . 3 Khi x = −1 thì t = −4; khi x = 1 thì t = 2. Z2 Z0 Z2 Z0 Z2 1 Ta có I = f (|t|) dt ⇒ 3I = f (|t|) dt + f (|t|) dt = f (−t) dt + f (t) dt = J + 1. 3 Đặt 3x − 1 = t ⇒ dx = −4 −4 −4 0 0 Z0 f (−t) dt. Đặt −t = x ⇒ dt = − dx. Tính J = −4 Khi t = −4 thì x = 4; khi t = 0 thì x = 0. Z0 Z4 Suy ra J = − f (x) dx = f (x) dx = 3. 4 0 4 Vậy 3I = 4 ⇔ I = . 3  Chọn đáp án C π 4 Z1 Z Câu 307. Cho hàm số f (x) liên tục trên R, thỏa mãn f (tan x) dx = 3 và 0 x2 f (x) dx = 1. Tính x2 + 1 0 Z1 f (x) dx. 0 A. 1. B. 2. C. 5. D. 4. Lời giải. π Z4 Xét A = f (tan x) dx. 0 Đặt t = tan x ⇒ dt = (1 + tan2 x) dx ⇒ dx = Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em dt . 1 + t2 111 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 π Khi x = 0 thì t = 0; khi x = thì t = 1. 4 Z1 Z1 Z1 f (t) f (x) f (x) Ta có A = dt = dx ⇒ dx = 3 (1). 2 2 t +1 x +1 x2 + 1 0 0 Z1 Mà theo giả thiết, ta có 0 x2 f (x) dx = 1 (2). x2 + 1 0 Z1 Lấy (1) cộng (2) vế với vế, ta được x2 f (x) + f (x) dx = 4 ⇔ x2 + 1 0 Z1 f (x) dx = 4. 0  Chọn đáp án D Câu 308. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên (0; +∞), biết f 0 (x) + (2x + 4)f 2 (x) = 0, 1 f (x) > 0 ∀x > 0 và f (2) = . Tính S = f (1) + f (2) + f (3). 15 7 11 11 7 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 15 15 30 30 Lời giải. Từ giả thiết, ta có f 0 (x) = −(2x + 4) ⇒ f 2 (x) f 0 (x) dx = − f 2 (x) Z Z Z (2x + 4) dx ⇒ df (x) =− f 2 (x) Z (2x + 4) dx. 1 1 1 = x2 + 4x + C. Vì f (2) = ⇒ C = 3 nên f (x) = 2 . f (x) 15 x + 4x + 3 1 1 7 1 + = . Do đó S = f (1) + f (2) + f (3) = + 8 15 24 30 Suy ra  Chọn đáp án D Câu 309. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 + 2x + 3×2 thỏa mãn F (1) = 2. Tính F (0) + F (−1). A. −3. B. −4. C. 3. D. 4. Lời giải. Z Ta có F (x) = (1 + 2x + 3×2 )dx = x + x2 + x3 + c. Mà F (1) = 2 ⇒ c = −1 hay F (x) = x + x2 + x3 − 1. Do đó F (0) + F (−1) = −3.  Chọn đáp án A Câu 310. Cho hàm số f (x) = ( x khi x ≥ 1 Z2 . Tính tích phân I = 1 khi x < 1 A. I = 4. f (x) dx. 0 3 C. I = . 2 B. I = 2. 5 D. I = . 2 Lời giải. Z2 Ta có I = Z1 f (x) dx = 0 Z2 f (x) dx + 0 Z1 f (x) dx = 1 Z1 1 dx + 0 5 x dx = . 2 0  Chọn đáp án D Câu 311. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x) + x · f 0 (x) = 3x2 + 2x, ∀x ∈ R. Tính f (1). A. 2. B. 3. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 4. 112 D. 5. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Theo giả thiết f (x) + x · f 0 (x) = 3x2 + 2x, ∀x ∈ R. Z1 Z1 0 0 2 Ta có (xf (x)) = 3x + 2x ⇒ (xf (x)) dx = (3x2 + 2x) dx = 2 ⇒ (xf (x)) 0 1 = 2 ⇒ f (1) = 2. 0 0  Chọn đáp án A Câu 312. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi y = √ x, y = x − 2 và trục hoành (hình vẽ). Quay (H) xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành. 10π 16π 7π 8π A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 y 2 y= √ x 2 y =x−2 O 4 x Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta có Z4 Z4 √ 2 16π . V(H) = π ( x) dx − π (x − 2)2 dx = 3 2 0  Chọn đáp án B Z2 Câu 313. Biết √ √ √ 4dx √ = a + b − c − d với a, b, c, d là các số nguyên dương. √ (x + 4) x + x x + 4 1 Tính P = a + b + c + d. A. 48. B. 46. C. 54. D. 52. Lời giải. Ta có Z2 I= 4 dx √ = √ (x + 4) x + x x + 4 Z2 1 1 p x(x + 4) 4 √ √ Z2 √ x+4− x p dx. √  dx = x+4+ x x(x + 4) 1 Khi đó, Z2 Å I= ã Ä √ ä √ 1 1 √ −√ dx = 2 x − 2 x + 4 x x+4 1 2 √ √ √ √ √ √ = 2 2 − 2 6 − 2 + 2 5 = 8 + 20 − 24 − 2. 1 Suy ra a = 8, b = 20, c = 24, d = 2. Do đó, P = 54.  9 Câu 314. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục đến cấp 2 trên R và f (0) = 0, f 0 (1) = , 2 Z1 Z1 Z2 39 5 [f 0 (x)]2 dx = , (x2 + x)f 00 (x) dx = . Tính tích phân I = f (x) dx. 4 2 Chọn đáp án C 0 14 A. I = . 3 Lời giải. 0 0 7 C. I = . 3 B. I = 14. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 113 D. I = 7. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 5 Ta có = 2 Z1 (x2 + x)f 00 (x) dx = Z1 0 Z1 ⇒ Chương 3-Giải tích 12 (x2 + x) df 0 (x) = (x2 + x)f 0 (x)|10 − 0 (2x + 1)f 0 (x) dx = 13 2 Z1 (2x + 1)f 0 (x) dx 0 (1). 0 Z1 ⇒   4[f 0 (x)]2 − 12(2x + 1)f 0 (x) + 9(2x + 1)2 dx = 0 0 Z1 ⇒ 2 [2f 0 (x) − 3(2x + 1)] dx = 0 0 3(x2 + x) +C 2 Z2 3(x2 + x) 3(x2 + x) Từ f (0) = 0 ⇒ f (x) = . Vậy I = dx = 7. 2 2 ⇒ 2f 0 (x) − 3(2x + 1) = 0 ⇒ f (x) = 0  Chọn đáp án D Câu 315. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = √ x ln x. Z 2 3 1 3 B. f (x) dx = x 2 (3 ln x − 2) + C. A. f (x) dx = x 2 (3 ln x − 2) + C. 9 3 Z Z 2 3 2 3 C. f (x) dx = x 2 (3 ln x − 1) + C. D. f (x) dx = x 2 (3 ln x − 2) + C. 9 9 Lời giải.  1 (   du = dx u = ln x x . Đặt ⇒ √ 2  dv = x dx v = x 32 3Z Z Z 1 2 3 1 2 2 3 2 3 2 3 2 2 2 Ta có f (x) dx = x ln x − x · dx = x ln x − x 2 dx = x 2 (3 ln x − 2) + C. 3 3 x 3 3 9 Chọn đáp án D Z  Câu 316. Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol (P ) : y = x2 và đường thẳng d : y = 2x quay xung quanh trục Ox. Z2 A. π x2 − 2x 2 Z2 dx. B. π 0 Z2 C. π 0 0 4x2 dx + π Z2 Z2 x4 dx. D. π 0 4x2 dx − π Z2 x4 dx. 0  2x − x2 dx. 0 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 114 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P ) : y = x2 và đường y thẳng d : y = 2x là " 2 x = 2x ⇔ 4 x=0 x = 2. Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol (P ) : y = x2 và đường thẳng d : y = 2x quay xung quanh trục Ox là Z2 Z2 2 4x dx − π V =π 0 O 4 2 x x dx. 0  Chọn đáp án B Câu 317. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (tan x) = cos2 x, ∀x ∈ R. Tính I = Z1 f (x) dx. 0 2+π . 8 Lời giải. B. 1. A. C. 2+π . 4 D. π . 4  π π 1 Đặt x = tan t với t ∈ − ; · dt. , suy ra dx = 2 2 cos2 t Khi x = 0 thì t = 0. π Khi x = 1 thì t = . 4 Ta có π π π Z4 Z4 Z4 π 1 1 π 2 4 cos t · dt = t| I = f (tan t) · dt = · dt = . 0 = 2 2 cos t cos t 4 0 0 0  Chọn đáp án D Câu 318. Cho hàm số f (x) liên tục trên R+ thỏa mãn f 0 (x) ≥ x + 1 , ∀x ∈ R+ và f (1) = 1. Tìm x giá trị nhỏ nhất của f (2). A. 3. B. 2. C. 5 + ln 2. 2 D. 4. Lời giải. Z2 Ta có f (2) − f (1) = 1 Do đó min f (2) = Z2 Å ã Å 2 ã 1 x f (x) dx ≥ x+ dx = + ln x x 2 2 0 1 = 1 3 + ln 2. 2 3 5 + ln 2 + f (1) = + ln 2. 2 2  Chọn đáp án C Câu 319. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = ex−1 , các trục tọa độ và phần đường thẳng y = 2−x với x ≥ 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành. 1 e2 − 1 π (5e2 − 3) 1 e−1 1 e2 − 1 A. V = + . B. V = . C. V = + π. D. V = + . 3 2e2 6e2 2 e 2 2e2 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm ex−1 = 2 − x ⇔ ex−1 + x − 2 = 0 (1) Hàm số f (x) = ex−1 + x − 2 đồng biến trên R và (1) có nghiệm x = 1 nên phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 115 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Đường thẳng y = 2 − x cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành là Z1 V = π (e Z2 x−1 2 ) dx + π 0 1 Z1 = π (2 − x)2 dx e2x−2 dx + π 0 Z2 (2 − x)2 dx 1 1 2x−2 1 1 2 = πe − π (2 − x)3 1 0 2 Å ã3 1 1 π (5e2 − 3) 1 = π 1− 2 + π = . 2 e 3 6e2  Chọn đáp án B Câu 320. Xét hàm số y = f (x) liên tục trên miền D = [a; b] có đồ thị là một đường cong (C). Gọi S là phần giới hạn bởi (C) và các đường thẳng x = a, x = b. Người ta chứng minh được rằng độ dài Zb » đường cong S bằng 1 + (f 0 (x))2 dx. Theo kết quả trên, độ dài đường cong S là phần đồ thị của √ √ √ 1+ m hàm số f (x) = ln x bị giới hạn bởi các đường x = 1, x = 3 là m − m + ln √ với m, n ∈ Z n thì giá trị m2 − mn + n2 là bao nhiêu? A. 6. B. 7. C. 3. D. 1. a Lời giải. √ √ Z 3… Z3 √ 1 x 1 + x2 Ta có S = 1 + 2 dx = dx. x x2 1 √1 2 2 Đặt u = 1 + x ⇒ u = 1 + x2 ⇒ u du = x dx. √ Khi x = 1 thì u = 2. √ Khi x = 3 thì u = 2. Nên Z2 S= √ 2 Z2 = √ = 2 Z2 Z2 u2 1 du = du + du 2 u −1 (u − 1)(u + 1) √ √ 2 Z2 1 du + 2√ u|2√ Å 2 1 1 − u−1 u+1 ã 2 1 u−1 ln 2+ 2 u+1 2 √ =2− 2 √ du √ 1+ 2 2 + ln √ . 3 Do đó m = 2, n = 3. Bởi vậy m2 − mn + n2 = 7. Chọn đáp án B  Câu 321. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 5x là 5x 5x+1 A. + C. B. 5x · ln 5 + C. C. + C. ln 5 x+1 Lời giải. Z ax Áp dụng công thức ax dx = + C, ta được ln a Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 116 D. 5x+1 + C. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z Chương 3-Giải tích 12 5x dx = 5x + C. ln 5  Chọn đáp án A Câu 322. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 − 4x + 3, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng 16 4π 16π 4 A. . B. . C. . D. . 15 3 15 3 Lời giải. Thể tích của khối tròn xoay bằng Z3 V =π (x2 − 4x + 3)2 dx = π 1 Z3 (x4 − 8x3 + 22x2 − 24x + 9) dx = 16π . 15 1  Chọn đáp án C Z2 Z2 0 (x − 1)f (x) dx = a. Tính Câu 323. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [1; 2] và 1 f (x) dx 1 theo a và b = f (2). A. a − b. C. b − a. B. a + b. D. −b − a. Lời giải. Zβ − u dv = uv Áp dụng công thức Zβ β v du, ta có α α α Z2 Z2 0 (x − 1)f (x) dx = a= 2 Z2 (x − 1) d (f (x)) = (x − 1)f (x) − f (x) dx 1 1 1 Z2 = f (2) − 1 Z2 f (x) dx = b − 1 f (x) dx. 1 Z2 f (x) dx = b − a. Từ đó suy ra 1  Å ã 2 15x Câu 324. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R {0} và thỏa mãn 2 · f (3x) + 3 · f =− , x 2 Chọn đáp án C 3 Z9 Z2 f (x) dx = k. Tính I = Å ã 1 f dx. x 1 2 3 A. I = − 45 + k . 9 B. I = 45 − k . 9 C. I = 45 + k . 9 D. I = 45 − 2k . 9 Lời giải. Å ã 2 15x =− Từ giả thiết 2 · f (3x) + 3 · f , suy ra x 2 Z3 2 Z3 f (3x) dx + 3 1 Z3 Å Å ã ã 2 15x f dx = − dx = −30. x 2 1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 1 117 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Z3 Xét tích phân K = f (3x) dx. 1 Đặt t = 3x ⇒ dx = 1 dt. Với x = 1 ⇒ t = 3; x = 3 ⇒ t = 9. Suy ra 3 Z9 K= k 1 f (t) dt = . 3 3 3 Z3 Xét tích phân L = Å ã 2 f dx. x 1 1 2 1 3 Đặt = ⇔ x = 2t ⇒ dx = 2 dt. Với x = 1 ⇒ t = ; x = 3 ⇒ t = . Suy ra t x 2 2 3 Z2 L= Å ã 1 f 2 dt = 2I. t 1 2 Vậy ta có 2· k 45 + k + 3 · 2I = −30 ⇔ I = − . 3 9  Chọn đáp án A Câu 325. Cho hàm số f (x) xác định trên R {0} và thỏa mãn f 0 (x) = x2 1 , f (1) = a và + x4 f (−2) = b. Giá trị của biểu thức f (−1) − f (2) bằng B. b − a. A. a + b. C. a − b. D. −a − b. Lời giải. Z Å ã 1 1 1 1 dx = − 2 dx = − − arctan x + C. Ta có f (x) = f (x) dx = 2 4 2 x +x x x +1 x Do hàm số f (x) có đạo hàm trên R {0} nên liên tục trên từng khoảng (−∞; 0) và (0; +∞). Do đó, 1   − − arctan x + C1 , nếu x < 0 x hàm số f (x) có dạng   − 1 − arctan x + C2 , nếu x > 0. x 1 π Thay x = 1, ta được a = − − arctan 1 + C2 ⇒ C2 = a + 1 + . 1 4 1 1 Thay x = −2, ta được b = − − arctan(−2) + C1 ⇒ C1 = b − − arctan 2. −2 2 Do đó ï ò ï ò 1 1 1 π f (−1) − f (2) = − − arctan(−1) + b − − arctan 2 − − − arctan 2 + a + 1 + −1 2 2 4 Z Z 0 = b − a.  Chọn đáp án B π Z2 Câu 326. Cho a a (4 cos 2x + 3 sin 2x) ln(cos x + 2 sin x) dx = c ln 2 − , trong đó a, b, c ∈ N∗ , là b b 0 phân số tối giản. Tính T = a + b + c. A. T = −11. B. T = 5. C. T = 7. D. T = 9. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 118 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Gọi I là tích phân đã cho. Ta có − sin x + 2 cos x (− sin x + 2 cos x)(cos x + 2 sin x) = cos x + 2 sin x (cos x + 2 sin x)2 2 cos 2x + 3 sin x cos x = cos2 x + 4 sin2 x + 4 sin x cos x 4 cos 2x + 3 sin 2x = . 4 sin 2x − 3 cos 2x + 5  4 cos 2x + 3 sin 2x (  du = dx u = ln(cos x + 2 sin x) 4 sin 2x − 3 cos 2x + 5 . Đặt ⇒  dv = (4 cos 2x + 3 sin 2x) dx v = 1 · (4 sin 2x − 3 cos 2x + 5) 2 Suy ra [ln(cos x + 2 sin x)]0 = I= 1 (4 sin 2x − 3 cos 2x + 5) · ln(cos x + 2 sin x) 2 Å ã 3 1 2 sin 2x − cos 2x = 4 ln 2 − 2 2 π 2 0 π π 2 − 0 1 = 4 ln 2 − 2 1 2 Z2 (4 cos 2x + 3 sin 2x) dx 0 Å 3 3 + 2 2 ã 3 = 4 ln 2 − . 2 Vậy c = 4, a = 3, b = 2. Suy ra T = a + b + c = 9.  Chọn đáp án D Câu 327. Tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = e2x . ex x A. F (x) = e + C. B. F (x) = + C. C. F (x) = e2x + C. 2 Lời giải. Z e2x Ta có F (x) = e2x dx = + C. 2 Chọn đáp án D e2x D. F (x) = + C. 2  Câu 328. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [−1; 3] và thỏa mãn f (−1) = 4; f (3) = 7. Z3 Tính tích phân I = 5f 0 (x) dx. −1 A. I = 20. B. I = 3. C. I = 10. D. I = 15. Lời giải. Z3 Ta có I = 5f 0 (x) dx = 5 f (x)|3−1 = 5 (f (3) − f (−1)) = 15. −1  Chọn đáp án D Câu 329. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]. Mệnh đề nào dưới đây sai? Zb Za A. f (x) dx = − f (x) dx. a b Zb Zc f (x) dx = B. a a Zb f (x) dx = a f (x) dx, ∀c ∈ R. f (x) dx + Zb C. Zb c f (t) dt. a Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 119 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Za f (x) dx = 0. D. a Lời giải. Zb Ta không biết được hàm số y = f (x) có liên tục tại c hay không, nên biểu thức f (x) dx = a Zc Zb f (x) dx, ∀c ∈ R sai. f (x) dx + a c  Chọn đáp án B Z3 Z6 f (x) dx = 12, tính giá trị của tích phân I = Câu 330. Cho 1 A. I = 24. f x 2 dx. 2 B. I = 10. C. I = 6. D. I = 14. Lời giải. x dx Đặt u = ⇒ du = ⇒ dx = 2du. 2 2 Đổi cận Với x = 2 suy ra u = 1. Với x = 6 suy ra u = 3. Z3 Suy ra I = 2 f (u) du = 24. 1  Chọn đáp án A Câu 331. Cho hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) thỏa mãn (f (0) − f (2)) (f (3) − f (2)) > 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số f (x) có hai cực trị. B. Phương trình f (x) = 0 luôn có 3 nghiệm phân biệt. C. Hàm số f (x) không có cực trị. D. Phương trình f (x) = 0 luôn có nghiệm duy nhất. Lời giải. Ta có f 0 (x) = 3ax2 + 2bx + c. Do (f (0) − f (2)) (f (3) − f (2))  > 0 nên ta có hai trường hợp: Z2      f (2) − f (0) = f 0 (x) dx < 0  (   f (0) − f (2) > 0 0 ⇒  Z3 f (3) − f (2) > 0   f (3) − f (2) = f 0 (x) dx > 0.     2 0 Từ đó suy ra ∃x1 ∈ (0; 2), f (x1 ) < 0 và ∃x2 ∈ (2; 3), f 0 (x2 ) > 0, suy ra f 0 (x1 )f 0 (x2 ) < 0, suy ra f 0 (x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (x1 ; x2 ), kết hợp f 0 (x) = 0 là phương trình bậc hai suy ra f 0 (x) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Vậy hàm số có hai cực trị. ( f (0) − f (2) < 0 . Tương tự, hàm số cũng có hai cực trị. f (3) − f (2) < 0 Còn việc kết luận số nghiệm của phương trình f (x) = 0, ta chưa đủ điều kiện kết luận. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 120 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án A 2 Câu 332. Gọi S là diệnÅtích hình ã phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x − 4x + 3 (P ) và các 3 ; −3 đến đồ thị (P ). Tính giá trị của S. tiếp tuyến kẻ từ điểm A 2 9 9 9 A. S = 9. B. S = . C. S = . D. S = . 8 4 2 Lời giải. y Ta có y 0 = f 0 (x) = 2x − 4. (P ) Giả sử đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (P ) tại điểm M (x0 ; y0 ), suy ra đường thẳng d có dạng 3 d : y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + y0 . d2 3 2 Đường thẳng d đi qua điểm A, nên ta có ã Å 3 − x0 + x20 − 4x0 + 3 = −3 (2x0 − 4) 2 −3 ⇔ 3x0 − 6 − 2x20 + 4x0 + x20 − 4x0 + 6 = 0 " x0 = 0 ⇔ − x20 + 3x0 = 0 ⇔ x0 = 3. x 3 O A d1 Với x0 = 0 ⇒ y0 = 3, suy ra phương trình tiếp tuyến d1 tại điểm M1 (0; 3) là y = −4x + 3. Với x0 = 3 ⇒ y0 = 0, suy ra phương trình tiếp tuyến d2 tại điểm M2 (3; 0) là y = 2x − 6. Từ đó suy ra diện tích hình giới hạn 3 Z2 Z3 2 (x − 4x + 3) − (−4x + 3) dx + 0 9 (x2 − 4x + 3) − (2x − 6) dx = . 4 3 2  Chọn đáp án C Câu 333. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = −x2 + 4x và trục hoành. Hai đường thẳng y = m, y y = n chia hình (H) thành 3 phần có diện tích bằng nhau (ta có thể tham khảo hình vẽ). Tính giá trị biểu thức T = (4 − m)3 + (4 − n)3 . 75 320 A. T = . B. T = . 9 2 512 C. T = . D. T = 405. 15 y=m y=n O x Lời giải. Hoành độ giao điểm giữa parabol và trục hoành là nghiệm của phương trình " x=0 −x2 + 4x = 0 ⇔ x = 4. Z4 Diện tích hình phẳng (H) là S = −x2 + 4x dx = 32 . 3 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 121 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có " −x2 + 4x = y ⇔ x2 − 4x + y = 0 ⇔ p 4−y (y < 4). p x=2+ 4−y x=2− Suy ra diện tích hình giới hạn bởi y = n, y = −x2 + 4x và trục hoành là p Zn Ä Zn p ä Ä ä p p 4 (4 − y)3 2 + 4 − y − 2 − 4 − y dy = 2 4 − y dy = − S1 = 3 0 0 n 0 p 32 4 (4 − n)3 . = − 3 3 Tương tự ta có diện tích hình giới hạn bởi y = m, y = −x2 + 4x và trục hoành là p 32 4 (4 − m)3 − . S2 = 3 3 Để hai đường thẳng y = n, y = m chia (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau khi và chỉ khi  p  p   3 4 (4 − n)3 4 (4 − n) 32 32 256 32 64       S 1 =  (4 − n)3 =  − = = 9 ⇔ 3 9 ⇔ 9 ⇔ 9 . p 3 p 3 3 3 64 64     S 2 =  (4 − m)3 =   4 (4 − m) = 32  32 − 4 (4 − m) = 64 9 9 3 3 9 3 9 320 Từ đó suy ra T = (4 − m)3 + (4 − n)3 = . 9 Chọn đáp án A    √ √ Z 2 x+1+3 f x+1 √ dx = Câu 334. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn + C. x+5 x+1 Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (2x) trên tập R+ . x+3 x+3 2x + 3 2x + 3 A. + C. B. 2 + C. C. + C. D. + C. 2 2 2 (x + 4) x +4 4 (x + 1) 8 (x2 + 1) Lời giải. √   √ Z Z Ä√ ä Ä√ ä 2 x+1+3 f x+1 √ Ta có dx = 2f x+1 d x+1 = √ + C, 2 x+1 x + 1 + 4 √ Z Ä ä Ä√ ä √ x+1+3 +C suy ra f x+1 d x+1 = √ 2 x+1 +4 Z Z 1 1 2x + 3 2x + 3 Từ đó suy ra f (2x) dx = f (2x) d(2x) = · + C = + C. 2 2 (2x)2 + 4 8 (x2 + 1) Chọn đáp án D  √ a+ Z b Câu 335. Biết rằng √ 1 π √ dx = , ở đó a, b ∈ Z+ và 4 < a + b < 5. Tính tổng 6 −x2 + 6x − 5 4 S = a + b. A. S = 5. Lời giải. Ta có π = 6 √ a+ Z b B. S = 7. √ 1 dx = −x2 + 6x − 5 4 C. S = 4. √ a+ Z b p 4 D. S = 6. 1 dx. 4 − (x − 3)2 (∗) Đặt x − 3 = 2 sin t, suy ra dx = 2 cos t dt. Ç å √ √ π a+ b−3 Đổi cận: x = 4 ⇒ t = và x = a + b ⇒ t = arcsin . 6 2  √  arcsin a+ 2b−3 π Thay vào (∗) ta có = 6 Z π 6 Ç 1 p · 2 cos t dt = arcsin 4 − 4 sin2 t Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 122 a+ å √ b−3 π − . 2 6 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ç Từ đó suy ra arcsin a+ √ b−3 2 å Chương 3-Giải tích 12 √ √ π a+ b−3 3 = ⇒ = ⇒ a = 3, b = 3. 3 2 2 Vậy S = a + b = 6.  Chọn đáp án D 2 1 − 2 + x trên khoảng (0; +∞). x x x2 B. F (x) = ln x − ln x2 + + C. 2 1 x2 D. F (x) = ln |x| + + + C. x 2 Câu 336. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 1 x2 + + C. x 2 1 x2 C. F (x) = ln x − + + C. x 2 Lời giải. 1 x2 Ta có F (x) = 2 ln |x| + + + C. x 2 Chọn đáp án A A. F (x) = 2 ln |x| +  Z3 Câu 337. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và thỏa mãn Z5 f (x) dx = 20, 0 f (x) dx = 2. Tính 0 Z5 f (x) dx. 3 A. 22. C. −18. B. 18. D. −22. Lời giải. Z5 Z5 Z3 f (x) dx = f (x) dx − f (x) dx = −18. 3 0 0  Chọn đáp án C Câu 338. Một ô tô chuyển động thẳng với vận tốc ban đầu bằng 10 m/s và gia tốc a(t) = −2t + 8 m/s2 , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây. Hỏi từ lúc chuyển động đến lúc có vận tốc lớn nhất thì xe đi được quãng đường bao nhiêu? 128 248 A. m. B. m. C. 70 m. D. 80 m. 3 3 Lời giải. Z Z Ta có vận tốc ô tô là v(t) = a(t)dt = (−2t + 8)dt = −t2 + 8t + C. Vì vận tốc ban đầu là 10 m/s nên ta có v(t) = −t2 + 8t + 10 = −(t − 4)2 + 26 ≥ 26. Vậy vận tốc lớn nhất của ô tô bằng 26 m/s, đạt được khi t = 4. Do đó quãng đường xe đi được kể từ lúc chuyển động đến lúc có vận tốc lớn nhất là: Z4 S= Z4 v(t)dt = 0 (−t2 + 8t + 10)dt = 248 . 3 0  Chọn đáp án B Câu 339. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = √ ln x, y = 0 và x = 2. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trục Ox. A. V = 2π ln 2. B. V = 2π (ln 2 − 1). C. V = π(2 ln 2 − 1). D. V = π(ln 2 + 1). Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 123 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Z2 Ta có ln x = 0 ⇔ x = 1, suy ra thể thích V = π ln xdx = π(2 ln 2 − 1). 1  Chọn đáp án C Câu 340. Có bao nhiêu hàm số y = f (x) liên tục trên [0; 1] thỏa mãn Z1 2018 (f (x)) Z1 dx = 0 A. 3 . 2019 (f (x)) Z1 dx = 0 (f (x))2020 dx. 0 B. 2. C. 4. D. 5. Lời giải. Từ giả thiết ta có Z1 Z1 Z1 Z1 2018 2020 2019 (f (x)) dx + (f (x)) dx − 2 (f (x)) dx = 0 ⇔ (f (x))2018 (f (x) − 1)2 dx = 0. 0 0 0 0 Do đó hoặc f (x) = 0 hoặc f (x) = 1. Vì f (x) liên tục nên f (x) = 0, ∀ x ∈ [0; 1] hoặc f (x) = 1, ∀ x ∈ [0; 1].  Chọn đáp án B Câu 341. Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên R, thỏa mãn f (0) = f (2) = 0, 3 Z2 Z2 2 max |f 00 (x)| = 1 và f (x) dx = . Tính f (x) dx . [0;2] 3 0 1 2 11 . 12 Lời giải. B. A. Z2 11 . 24 37 . 12 C. Z2 2 (2x − x ) dx ≥ 0 D. 37 . 24 f 00 (x)(2x − x2 ) dx 0 2 = f 0 (x)(2x − x2 ) − Z2 0 Z2 = f 0 (x)(2 − 2x) dx 0 f 0 (x)(2 − 2x) dx 0 2 Z2 = f (x)(2 − 2x) − 0 f (x)(−2) dx 0 Z2 =2 f (x) dx 0 4 = . 3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 124 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z2 Mà Chương 3-Giải tích 12 4 (2x − x2 ) dx = . Từ đó suy ra 3 0 Z2 (2x − x2 ) dx = Z2 f 00 (x)(2x − x2 ) dx ⇔ |f 00 (x)| = 1 ⇔ 0 0 Mặt khác f 00 (x) liên tục trên [0; 2] nên 1 f 00 (x) = −1 khi đó f (x) = − 3 Z2 f (x) dx = Khi đó " 00 f (x) = −1, ∀x ∈ [0; 2] f 00 (x) = 1, ∀x ∈ [0; 2] " 00 f (x) = −1 f 00 (x) = 1 . . x2 x2 + C1 x + C2 . Vì f (0) = f (2) = 0 nên f (x) = − + x. 2 2 11 . 24 1 2 2 f 00 (x) = 1 khi đó f (x) = 3 Z2 f (x) dx = Khi đó x2 x2 + C1 x + C2 . Vì f (0) = f (2) = 0 nên f (x) = − x. 2 2 11 . 24 1 2  Chọn đáp án B Z Câu 342. Tìm nguyên hàm I =  e−x + 2x dx. A. I = −e−x + x2 + C. B. I = e−x + x2 + C. C. I = −e−x − x2 + C. D. I = e−x − x2 + C. Lời Zgiải. I=  e−x + 2x dx = −e−x + x2 + C.  Chọn đáp án A Câu 343. Giả sử F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ex , biết F (0) = 4. Tìm F (x). A. F (x) = ex + 2. B. F (x) = ex + 3. C. F (x) = ex + 4. D. F (x) = ex + 1. Lời giải. Do F (x) là một nguyên hàm của f (x) = ex nên F (x) = ex + C. Lại có F (0) = 4 nên C = 3 hay F (x) = ex + 3.  Chọn đáp án B Câu 344. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 và y = 2x. 5 14 20 4 A. S = (đvdt). B. S = (đvdt). C. S = (đvdt). D. S = (đvdt). 3 3 3 3 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm y " x2 = 2x ⇔ x=0 x = 2. Diện tích hình phẳng cần tìm là Z2 S=  4 2x − x2 dx = . 3 O 2 x 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 125 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án D Z3 Câu 345. Cho f , g là hai hàm số liên tục trên [1; 3], đồng thời thỏa mãn [f (x) + 3g(x)] dx = 10 1 Z3 Z3 [2f (x) − g(x)] dx = 6. Tính và 1 [f (x) + g(x)] dx. 1 A. 6. B. 8. C. 7. D. 9. Lời giải. Z3 Z3 Đặt a = f (x) dx, b = g(x) dx. Theo giả thiết ta có 1 1 ( a + 3b = 10 ⇒ 2a − b = 6 ( a=4 b = 2. Z3 [f (x) + g(x)] dx = a + b = 6. Vậy 1  Chọn đáp án A Zm Câu 346. Tìm số thực m > 1 thỏa mãn (ln x + 1) dx = m. 1 A. m = e + 1. C. m = e2 . B. m = 2e. D. m = e. Lời giải. Ta có Zm m= Zm m − (ln x + 1) dx = x(ln x + 1) dx 1 1 1  = m(ln m + 1) − 1 − x m = m ln m. 1 Do m > 1 nên m = e.  Chọn đáp án D Câu 347. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên [a; b] và f (a) = f (b). Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng? Zb A. f 0 (x)ef (x) dx = e. Zb B. a a Zb Zb C. f 0 (x)ef (x) dx = ln(b − a). D. a f 0 (x)ef (x) dx = 1. f 0 (x)ef (x) dx = 0. a Lời giải. Zb Zb 0 f (x) Ta có f (x)e dx = ef df = ef b = ef (b) − ef (a) = 0. a a a  Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 126 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ä ä √ Câu 348. Cho f (x) = a ln x + x2 + 1 +bx2017 +2018 với a, b ∈ R. Biết rằng f (log (log e)) = 2019. Tính giá trị của f (log (ln 10)). A. 2019. B. 2020. C. 2018. D. 2017. Lời giải. Ta có Ä ä √ f (x) = a ln x + x2 + 1 + bx2017 + 2018 1 + bx2017 + 2018 = a ln √ 2 x +1−x Ä√ ä = −a ln x2 + 1 − x + bx2017 + 2018 »  2 = −a ln (−x) + 1 + (−x) − b(−x)2017 + 2018 = 4036 − f (−x), mà log(ln 10) = log 1 = − log(log e) nên log e f (log (ln 10)) = 4036 − f (log (log e)) = 4036 − 2019 = 2017.  Chọn đáp án D Z2 Câu 349. Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn f (2) = −2, f (x) dx = 1. 0 Z4 Tính tích phân I = f0 √  x dx. 0 A. I = −10. C. I = −5. B. I = 0. D. I = −18. Lời giải. √ Đặt t = x, suy ra dx = 2t dt. Khi x = 0 thi t = 0, khi x = 4 thì t = 2. Do đó Z2 I= 2 2tf 0 (t) dt = 2tf (t) − 2 Z2 f (t) dt = 2 · 2f (2) − 2 · 1 = −10. 0 0 0  Chọn đáp án A Câu 350. Nguyên hàm của hàm số y = x2 − 3x + 1 là x x3 3×2 1 B. − + 2 + C. 3 2 x x3 3×2 D. − + ln |x| + C. 3 2 x3 3×2 − − ln |x| + C. 3 2 x3 3×2 C. − + ln x + C. 3 2 Lời giải. Z Å ã x3 3×2 1 2 Ta có x − 3x + dx = − + ln |x| + C. x 3 2 Chọn đáp án D A.  Câu 351. Trong các hàm số sau: (I) f (x) = tan2 x + 2, (II) f (x) = 2 , (III) f (x) = tan2 x + 1. 2 cos x Hàm số nào có nguyên hàm là hàm số g(x) = tan x? A. Chỉ (II). B. Chỉ (III). C. Chỉ (II), (III). D. (I), (II), (III). Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 127 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Cách Z1: Z Å 1+ tan x + 2 dx = 2  Chương 3-Giải tích 12 ã 1 dx = x + tan x + C. cos2 x Ta có Z 2 Và dx = 2 tan x + C. 2 Z cos x Z  1 2 Và tan x + 1 dx = dx = tan x + C. cos2 x Cách 2: Ta có g 0 (x) = (tan x)0 = 1 + tan2 x.  Chọn đáp án B Câu 352. Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = −x2 + 2x, trục hoành. Quay hình phẳng (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là 32π 4π 496π . B. . C. . A. 15 15 3 Lời giải. D. 16π . 15 Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và Ox: −x2 + 2x = 0 ⇔ x = 0 và x = 2. Z2 Z2   16π 2 Khi đó V = π −x2 + 2x dx = π x4 − 4×3 + 4×2 dx = . 15 0 0  Chọn đáp án D Z2 Câu 353. Cho I = Z2 [4f (x) − 3] dx bằng f (x)dx = 3. Khi đó J = 0 A. 2. 0 B. 6. C. 8. D. 4. Lời giải. Z2 Z2 [4f (x) − 3] dx = 4 Ta có J = 0 Z2 f (x)dx − 3 0 dx = 4 · 3 − 3 · x 2 0 = 6. 0  Chọn đáp án B Câu 354. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x2 , y = 2x. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox bằng 64π 21π 16π 32π A. . B. . C. . D. . 15 15 15 15 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: x2 − 2x = 0 ⇔ x = 0 và x = 2. Z2 2 64π Thể tích khối tròn xoay là V = π x2 − (2x)2 dx = . 15 0  Chọn đáp án B Câu 355. Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Vậy số tiền bác Năm phải trả là A. 33750000 đồng. B. 3750000 đồng. C. 12750000 đồng. D. 6750000 đồng. Lời giải. Gọi phương trình parabol (P ) : y = ax2 + bx + c. Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho (P ) có đỉnh I ∈ Oy (như hình vẽ). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 128 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ − − Chương 3-Giải tích 12 y 9 4 3 3 2 2 x O  9    =c   a = −1     4  9 9 3 Ta có hệ phương trình a − b + c = 0 ⇔ b = 0 . Vậy (P ) : y = −x2 + .   4 4 2   9     9 3  c=  a+ b+c=0 4 4 2 3 Z2 Å ã 9 9 2 Dựa vào đồ thị, diện tích của cửa parabol là:S = −x + dx = (m). 4 2 − 32 Số tiền phải trả là 9 × 1500000 = 6750000 (đồng). 2  Chọn đáp án D Z2 Câu 356. Cho x5 dx = a ln 5 + b ln 2 + c, với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của a + 2b + 4c + x3 1 bằng 5 C. − . 8 B. −1. A. 0. D. 1. Lời giải. Z2 Z2 1 dx x dx Ta có = = I. Đặt t = x2 + 1 ⇒ x2 = t − 1, x dx = dt. Với x = 1 ⇒ t = 2; 5 3 4 2 x +x x (x + 1) 2 1 1 x = 2 ⇒ t = 5. Khi đó 1 I= 2 Z5 1 dt = 2 (t − 1) t 2 2 Z5 1 dt − 2 (t − 1) 2 2 1 =− 2(t − 1) Z5 1 dt + t−1 2 2 5 1 1 − ln |t − 1| + ln |t| 2 2 2 2 5 Z5 dt t 2 5 2 1 3 3 = ln 5 − ln 2 + . 2 2 8 1 3 3 Suy ra a = , b = − , c = ⇒ a + 2b + 4c = −1. 2 2 8 Chọn đáp án B  Câu 357. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị y = x2 và y = |x − 2| bằng 13 21 9 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải. ” 2 ” x = x − 2 x=1 Phương trình hoành độ giao điểm x2 = |x − 2| ⇔ ⇔ Suy ra diện tích hình x2 = −x + 2 x = −2. phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 và |x − 2| là Z1 2 Z1 |x − |x − 2|| dx = S= −2 2 Z1 (x − |x − 2|) dx = −2 Å [x − (−x + 2)] dx = x3 x2 + − 2x 3 2 ã 1 −2 9 = . 2 −2  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 2 129 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Z (2x − 1) ln x dx Câu 358. Tìm họ nguyên hàm x2 x2 + x + C. B. F (x) = (x2 − x) ln x + − x + C. 2 2 x2 x2 C. F (x) = (x2 + x) ln x − + x + C. D. F (x) = (x2 − x) ln x − − x + C. 2 2 Lời giải.    du = 1 dx u = ln x x ⇒ Đặt v = x 2 − x  dv = (2x − 1) dx Z Z x2 2 F (x) = (2x − 1) ln x dx = (x − x) ln x − (x − 1) dx = (x2 − x) ln x − + x + C. 2 Chọn đáp án A Z Câu 359. Tìm họ nguyên hàm sin2 x dx A. F (x) = (x2 − x) ln x − x sin 2x x sin 2x x sin 2x + + C. B. + + C. C. − + C. 2 4 2 2 2 4 Lời Z giải. Z 1 − 2 cos 2x x sin 2x 2 dx = − + C. sin x dx = 2 2 2 Chọn đáp án D A. √ Câu 360. Với cách đổi biến u = 4x + 5 thì tích phân Z1 D.  x sin 2x − + C. 2 2  √ x 4x + 5 dx trở thành −1 Z3 A. u2 (u2 − 5) du. 8 Z1 B. Z3 u2 (u2 − 5) du. 8 C. −1 1 u2 (u2 − 5) du. 4 1 Z3 D. u(u2 − 5) du. 8 1 Lời giải. √ u2 − 5 u Đặt u = 4x + 5 ⇒ x = và dx = du. 4 2 x −1 1 Đổi cận: u 1 3 1 Z Z3 2 2 √ u (u − 5) Suy ra, x 4x + 5 dx = du 8 −1 1  Chọn đáp án A Z Câu 361. Tìm họ nguyên hàm A. I = 1 dx 2x − 1 ln |2x − 1| + C. 2 B. I = ln(2x − 1) + C. C. I = ln |2x − 1| + C. D. I = Lời Z giải. 1 ln |2x − 1| dx = + C. 2x − 1 2 Chọn đáp án A ln(2x − 1) + C. 2  Câu 362. Cho hàm số y = x4 − 3×2 + m có đồ thị là (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành, S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành. Biết rằng S1 = S2 . Giá trị của m bằng Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 130 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. 1. Chương 3-Giải tích 12 B. 2. C. 3 . 2 D. 5 . 4 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành: x4 − 3×2 + m = 0 (1). Đặt t = x2 , t ≥ 0, ta được phương y trình t2 − 3t + m = 0 (2). Ta có (C) cắt trục hoành tại bốn  điểm phân  biệt ⇔ (2) có hai nghiệm cùng dương ⇔   ∆>0 9 − 4m > 0     9 ⇔00 ⇔ 3>0   4     P >0 m>0 x1 x2 O x3 x4 x Gọi các nghiệm của phương trình (1) là x1 < x2 < x3 < x4 , x1 , x2 , x3 , x4 6= 0. Do đồ thị (C) nhận trục tung là trục đối xứng nên ta có Z0 S1 = 2 Zx2 (x4 − 3x2 + m) dx và S2 = 2 (−x4 + 3x2 − m) dx. x2 x1 Vì S1 = S2 nên Zx2 Z0 ã Å 5 ã Å 5 x1 x2 4 2 4 2 3 3 (−x + 3x − m) dx = (x − 3x + m) dx ⇔ − + x2 − mx2 − − + x1 − mx1 5 5 x1 x2 Å 5 ã x5 x2 3 =− − x2 + mx2 ⇔ 1 − x31 + mx1 = 0. 5 5    5 5 5    x21 =  x1 − x3 + mx = 0  x1 − x3 + (3x2 − x4 )x = 0 1 1 1 1 1 1 2 5 Suy ra ⇔ 5 ⇔ 5    x4 − 3x2 + m = 0   m= . m = 3x21 − x41 1 1 4 Chọn đáp án D Z1 Câu 363. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên [0; 1] thỏa mãn f (1) = 1,  4 xf (x) dx = , 15 0 49 . Tích phân 45 Z1 Z1 [f 0 (x)]2 dx = 0 [f (x)]2 dx bằng 0 2 A. . 9 Lời giải. B. 1 . 6 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 131 4 . 63 D. 1. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Đặt ( u = xf (x) ( ⇒ dv = dx du = [f (x) + xf 0 (x)] dx Chương 3-Giải tích 12 . Khi đó v=x Z1 1 xf (x) dx = x2 f (x) − Z1 x[f (x) + xf 0 (x)] dx 0 0 0 Z1 = f (1) − Z1 xf (x) dx − 0 Z1 Suy ra x2 f 0 (x) dx = 1 − 2 · x2 f 0 (x) dx. 0 7 4 = . Khi đó dự đoán dạng f 0 (x) = mx2 , với m ∈ R. Ta có 15 15 0 Z1 [mx2 − f 0 (x)]2 dx = 0 Z1 m2 x4 dx − 0 Z1 2mx2 f 0 (x) dx + 0 Z1 Ta cần [mx2 − f 0 (x)]2 dx = 0 ⇔ [f 0 (x)]2 dx 0 2 = Z1 2 m 14m 49 (3m − 7) − + = . 5 15 45 45 (3m − 7)2 7 = 0 ⇔ m = . Như vậy ta có 45 3 0 Z1 ï ò2 7 2 0 x − f (x) dx = 0. 3 0 7 7x3 2 7x3 2 Suy ra f 0 (x) = x2 ⇒ f (x) = + C. Từ f (1) = 1 ⇒ C = . Khi đó f (x) = + thỏa mãn 3 9 9 9 9 Z1 4 xf (x) dx = . Vậy 15 0 Z1 2 Z1 Å [f (x)] dx = 0 7x3 2 + 9 9 ã2 2 dx = . 9 0  Chọn đáp án A Câu 364. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (với a < b) cho bởi công thức nào sau đây? Zb Zb Zb Zb 2 A. S = |f (x)| dx. B. S = π |f (x)| dx. C. S = π f (x) dx. D. S = f (x) dx. a a a a Lời giải. Theo định nghĩa diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b], trục Zb hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (với a < b) được cho bởi công thức S = |f (x)| dx. a  Chọn đáp án A Ze Câu 365. Tính tích phân I = x ln x dx. 1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 132 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 1 e2 − 2 A. I = . B. I = . 2 2 Lời giải.  1 (  du = dx u = ln x x Đặt ⇒ 2 x  dv = x dx v = . 2 Khi đó x2 ln x I= 2 e 1 − 2 1 Ze x2 ln x x dx = 2 1 C. I = e x2 − 4 1 e 1 e4 + 1 . 4 D. I = e2 − 1 . 4 Å 2 ã e2 e 1 e4 + 1 = − − = . 2 4 4 4  Chọn đáp án C Câu 366. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + cos x + 2018 là A. F (x) = ex + sin x + 2018x + C. B. F (x) = ex − sin x + 2018x + C. C. F (x) = ex + sin x + 2018x. D. F (x) = ex + sin x + 2018 + C. Lời giải. Ta có Z F (x) = Z f (x) dx = (ex + cos x + 2018) dx = ex + sin x + 2018x + C.  Chọn đáp án A Câu 367. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi y = √ x, y = x − 2 và trục hoành (hình vẽ). Diện tích của (H) bằng 10 16 7 8 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 y 2 f (x) = √ x 4 2 O x g(x) = x − 2 Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta có Z2 Z4 √ √ 2 3 S(H) = x dx + x − (x − 2) dx = x 2 3 0 2 2 Å + 0 x2 2 3 − x 2 − 2x 2 3 ã 4 = 2 10 · 3  Chọn đáp án A Z2 Câu 368. Biết (x + 1) √ √ √ √ dx √ = a − b − c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính x+x x+1 1 P = a + b + c. A. P = 44. B. P = 42. C. P = 46. D. P = 48. Lời giải. √ √ 1 x+1− x 1 1 √ Ta có = √ · √ √ =√ −√ x (x + 1) x + x x + 1 x+1· x x+1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 133 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Suy ra Z2 dx √ = √ (x + 1) x + x x + 1 1 Z2 Å ã 1 1 √ −√ dx x x+1 1 Z2 Z2 ä 2 Ä √ √ 2 2 √ dx − √ d(x + 1) = 2 x − 2 x + 1 2 x 1 2 x+1 1 1 Ä √ √ ä Ä √ ä √ √ √ √ √ = 2 2 − 2 3 − 2 − 2 2 = 32 − 12 − 2 = 32 − 12 − 4. = Do đó a = 32, b = 12, c = 4. Vậy P = a + b + c = 48.  Chọn đáp án D 1 Câu 369. Cho hàm số f (x) xác định trên R {−1; 1} và thỏa mãn f 0 (x) = 2 · Biết rằng x −1 Å ã Å ã 1 1 +f = 2. Tính T = f (−2) + f (0) + f (4). f (−3) + f (3) = 0 và f − 2 2 9 6 1 9 1 6 A. T = 1 + ln . B. T = 1 + ln . C. T = 1 + ln . D. T = 1 + ln . 5 5 2 5 2 5 Lời giải. Z Z Å ã 1 1 1 1 1 x−1 Ta có f (x) = dx = − dx = ln + C. 2 x −1 2 x−1 x+1 2 x+1 1 x−1 Với x ∈ (−∞; −1) ta có f (x) = ln + C1 . 2 x+1 1 x−1 Với x ∈ (1; +∞) ta có f (x) = ln + C3 . 2 x+1 −3 − 1 1 3−1 1 + C1 + ln + C3 = 0 Mà f (−3) + f (3) = 0 ⇔ ln 2 −3 + 1 2 3+1 ⇔ 1 1 1 ln 2 + C1 + ln + C3 = 0 ⇔ C1 + C3 = 0. 2 2 2 1 1 3 ln 3 + C1 ; f (4) = ln + C3 . 2 2 5 1 x−1 Với x ∈ (−1; 1) ta có f (x) = ln + C2 . 2 x+1 1 1 Å ã Å ã −1 − −1 1 1 1 1 +f = 2 ⇔ ln 2 f − + C2 + ln 2 + C2 = 2. 1 1 2 2 2 2 − +1 +1 2 2 1 1 1 ⇔ ln 3 + C2 + ln + C2 = 2 ⇔ C2 = 1. 2 2 3 1 x−1 Do đó với x ∈ (−1; 1): f (x) = ln + 1 ⇒ f (0) = 1. 2 x+1 1 9 Vậy T = f (−2) + f (0) + f (4) = 1 + ln · 2 5 Chọn đáp án C Do đó f (−2) = Z1 Câu 370. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn 2 0 1)ex f (x) dx = e −1 và f (1) = 0. Tính 4 Z1 [f (x)] dx = 0 2  (x + 0 Z1 f (x) dx. 0 e−1 A. . 2 e2 B. . 4 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. e − 2. 134 D. e . 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Ta có e2 − 1 = 4 Z1 x Z1 1 x − (x + 1)e f (x) dx = [xe f (x)] ⇒2 xe f (x) dx = − xex f 0 (x) dx. 0 0 0 Z1 Z1 x 0 0 e2 − 1 xe f (x) dx = − . 2 x 0 0 Z1 Ta lại có e2 − 1 và x2 e2x dx = 4 0 Z1 2 [f 0 (x)] dx = e2 − 1 . 4 0 Khi đó Z1 2 [f 0 (x)] dx + 2 0 Z1 ⇔ Z1 xex f 0 (x) dx + 0 Z1 x2 e2x dx = 0 0 2 [f 0 (x) + xex ] dx = 0. 0 Vì [f 0 (x) + xex ]2 ≥ 0, ∀x ∈ [0; 1] và f 0 (x) liên tục trên [0; 1] nên Z1 2 [f 0 (x) + xex ] dx ≥ 0. 0 Đẳng thức xảy ra khi f 0 (x) + xex = 0 ⇔ f 0 (x) = −xex ⇔ f (x) = (1 − x)ex + C. Lại có f (1) = 0 nên C = 0. Vậy f (x) = (1 − x)ex . Do đó Z1 Z1 f (x) dx = 0 (1 − x)ex dx = (2 − x)ex 1 0 = e − 2. 0  ã Å 2018e−x . Câu 371. Tính nguyên hàm của hàm số f (x) = ex 2017 − x5 Z Z 2018 504, 5 A. f (x) dx = 2017ex + 4 + C. B. f (x) dx = 2017ex + + C. x x4 Z Z 504, 5 2018 C. f (x) dx = 2017ex − + C. D. f (x) dx = 2017ex − 4 + C. 4 x x Lời giải. Z Z Z Å Å ã ã 2018e−x 2018 504, 5 x x x Ta có f (x) dx = e 2017 − dx = 2017e − dx = 2017e + + C. x5 x5 x4 Chọn đáp án B  Chọn đáp án C Z1 Câu 372. Biết x3 + 2x2 + 3 1 3 dx = + b ln , (a, b > 0). Tìm các giá trị k để x+2 a 2 0 Zab (k 2 + 1)x + 2017 · x→+∞ x + 2018 dx < lim 8 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 135 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 B. k 6= 0. A. k < 0. D. k ∈ R. C. k > 0. Lời giải. Z1 3 Z1 Å ã Å 3 ã 1 1 x + 2×2 + 3 3 x 3 2 = + 3 ln · Ta có dx = x + dx = + 3 ln(x + 2) x+2 x+2 3 3 2 0 0 0 ( Zab Z9 a=3 (k 2 + 1)x + 2017 ⇒ = k 2 + 1. ⇒ dx = dx = 1. Mặt khác lim x→+∞ x + 2018 b=3 8 8 ab Z (k 2 + 1)x + 2017 ⇒ dx < lim ⇔ 1 < k 2 + 1 ⇔ k 6= 0. x→+∞ x + 2018 8  Chọn đáp án B Z4 Câu 373. Giả sử a, b, c là các số nguyên thỏa mãn trong đó u = √ 2x + 1. Tính giá trị S = a + b + c. A. S = 3. B. S = 0. 2x2 + 4x + 1 1 √ dx = 2 2x + 1 Z3 (au4 + bu2 + c) du, 1 0 C. S = 1. D. S = 2. Lời giải. √ u2 − 1 · Đặt u = 2x + 1 ⇒ u2 = 2x + 1 ⇒ x = 2 x 0 4 Đổi cận u 1 3 Å 2 ã2 Å 2 ã u − 1 u − 1 Z4 2 Z3 2 Z3 +4 +1 1 2x + 4x + 1 2 2 √ Khi đó dx = · u du = (u4 + 2u2 − 1) du. u 2 2x + 1 1 1  0  a = 1   ⇒ b = 2 ⇒ S = a + b + c = 2.    c = −1  Chọn đáp án D ln x Câu 374. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong y = √ , trục hoành và đường thẳng x = e. x Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? π π π A. S = . B. S = . C. S = . D. S = π. 2 3 6 Lời giải. ln x Hoành độ giao điểm của (H) với trục Ox là nghiệm phương trình √ = 0 ⇔ x = 1. x Ze 2 Ze 3 ln x ln x e π Khi đó thể tích V = π dx = π ln2 x d(ln x) = π · = · x 3 1 3 1 1  Chọn đáp án B Câu 375. Cho hàm số f (x) xác định trên R{1} thỏa mãn f 0 (x) = 1 , f (0) = 2017, f (2) = 2018. x−1 Tính S = f (3) − f (−1). A. S = 1. B. S = ln 2. C. S = ln 4035. D. S = 4. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 136 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z Chương 3-Giải tích 12 Z 1 dx = ln |x − 1| + C. x−1 ( ln |x − 1| + 2017 nếu x < 1 ⇒ f (0) = C = 2017 và f (2) = C = 2018 ⇒ f (x) = ln |x − 1| + 2018 nếu x > 1 ( f (3) = ln 2 + 2018 ⇒ ⇒ S = f (3) − f (−1) = 1. f (−1) = ln 2 + 2017 0 Ta có f (x) = f (x) dx =  Chọn đáp án A ax + b (4a − b 6= 0) là nguyên hàm của hàm số f (x) x+4 thỏa mãn 2f 2 (x) = (F (x) − 1) f 0 (x). Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? Câu 376. Biết luôn có hai số a và b để F (x) = B. a = 1, b = −1. A. a = 1, b = 4. C. a = 1, b ∈ R{4}. D. a ∈ R, b ∈ R. Lời giải. 4a − b −2(4a − b) ; f 0 (x) = . 2 (x + 4) (x + 4)3 Thay vào biểu thức, ta có Ta có f (x) = F 0 (x) = 2f 2 (x) = (F (x) − 1) f 0 (x) ⇔ 4a − b = −(a − 1)x − b + 4 ⇔ (a − 1)x + 4(a − 1) = 0 (1) (1) đúng với mọi x 6= −4 khi a = 1, 4a − b 6= 0 ⇒ b 6= 4.  Chọn đáp án C Câu 377. Cho hai hàm số y = f (x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a; b]. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b. Mệnh đề nào dưới đây là sai? Zb A. S = |f (x) − g(x)| dx. Zb a a Zb Zb [g(x) − f (x)] dx. C. S = [f (x) − g(x)] dx. B. S = f (x) − g(x) dx . D. S = a a Lời giải. Vì f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a; b] nên f (x) − g(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b]. Zb Zb Zb Vậy S = |f (x) − g(x)| dx = f (x) − g(x) dx = [f (x) − g(x)] dx. a a a  Chọn đáp án C Câu 378. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x (1 + 3×3 ) là 2 2 A. x (1 + 3x ) + C. 3 2 B. 2x (x + x ) + C. Lời giải. Z Z  3 Ta có 2x 1 + 3x dx = 2x + 6x 4  3 C. x (x + x ) + C. Å ã 6×3 D. x 1 + + C. 5 2 Å ã 6×5 6×3 2 dx = x + +C =x 1+ + C. 5 5 2  Chọn đáp án D Câu 379. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ax + F (1) = 4, f (1) = 0. Giá trị của M = 2a − b là 9 A. M = . B. M = 3. 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 3 C. M = . 2 137 b (x 6= 0). Biết F (−1) = 1, x2 D. M = 0. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Z Z Å ã ax2 b b − + C. Ta có f (x) dx = ax + 2 dx = x x 2   3   F (−1) = 1 a+b+C =1      a = 2 Theo giả thiết, ta có hệ phương trình F (1) = 4 ⇔ a − b + C = 4 ⇒      b = − 3 ·   f (1) = 0 a+b=0 2 9 3 Vậy M = 2a − b = 3 + = · 2 2 Chọn đáp án A  Zk ln x dx = 1 + 2k (k > 1). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? Câu 380. Biết rằng 1 A. k ∈ (1; 4). B. k ∈ (6; 9). Lời giải.  ( du = 1 dx u = ln x x Đặt ⇒  dv = dx v = x. k Zk Z k Suy ra ln x dx = x ln x − dx = k ln k − x 1 1 1 C. k ∈ (18; 21). D. k ∈ (11; 14). k = k ln k − k + 1. 1 Theo giả thiết, ta có k ln k − k + 1 = 1 + 2k ⇔ ln k = 3 ⇔ k = e3 ∈ (18; 21).  Chọn đáp án C Câu 381. Cho đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh 3a (như hình vẽ bên). Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đường tròn và hình vuông (phần nằm bên ngoài đường tròn và bên trong hình vuông). Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay S quanh trục M N . 9πa3 A. V = . 2 Lời giải. 9πa3 B. V = . 4 M C. V = 9πa3 . N D. V = 27πa3 . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó, đường tròn tâm O, 3 bán kính R = có phương trình là 2 y 3 2 9 x2 + y 2 = · 4 Từ đồ thị suy ra thể tích khối tròn xoay cần tính là 3 2 3 Z ï V = 2πa M − 3 2 N 3 2 O Å ãò 9 9 9πa3 2 − −x dx = · 4 4 4 0 x − 3 2  Chọn đáp án B Câu 382. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi parabol (P ) : y = x2 và đường tròn (C) có tâm là gốc √ tọa độ, bán kính R = 2. Diện tích của (H) bằng Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 138 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ π 1 + . 4 6 Lời giải. A. B. Chương 3-Giải tích 12 π 1 + . 2 3 C. π + 1. 2 D. π 1 − . 4 6 Phương trình đường tròn (C) là x2 + y 2 = 2. Tọa độ giao điểm của (P ) và (C) là nghiệm của hệ phương trình ( y = x2 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ±1. 2 2 x +y =2 S=2 x −1 O Từ đồ thị, diện tích hình phẳng (H) là Z1 Ä√ y 1 ä π 1 2 − x2 − x2 dx = + . 2 3 0  Chọn đáp án B Câu 383. Cho hai hàm số f (x), g(x) liên tục trên R. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? Z Z Z A. [f (x) + g(x)] dx = f (x) dx + g(x) dx. Z Z Z B. [f (x) · g(x)] dx = f (x) dx · g(x) dx. Z Z Z C. [f (x) − g(x)] dx = f (x) dx − g(x) dx. Z Z D. kf (x) dx = k f (x) dx. Lời giải. Z Z Z Z Z Z x2 2 Ta có (2 · x) dx = x + C, còn 2 dx · x dx = 2x · + C nên (2 · x) dx 6= 2 dx · x dx. 2  Chọn đáp án B √ Câu 384. Tìm hàm số F (x) biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = x và F (1) = 1. 2 √ 2 √ 1 1 2 √ 1 A. F (x) = x x. B. F (x) = x x + . C. F (x) = √ + . D. F (x) = x x − 3 3 3 3 2 x 2 Lời Z giải. √ Xét x dx Z Z √ √ 2 2 Đặt t = x ⇒ t = x và dx = 2 dt. Khi đó x dx trở thành t · 2t dt = t3 + C. 3 Z √ 2 √ 2 √ x dx = x x + C ⇒ F (x) = x x + C. Như vậy 3 3 1 Vì F (1) = 1 nên C = . 3 2 √ 1 Vậy F (x) = x x + . 3 3 Chọn đáp án B Z2 Câu 385. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và xf (x ) dx = 2. Hãy tính I = f (x) dx. 0 1 C. I = . 2 B. I = 1.  Z4 2 0 A. I = 2. 5 . 3 D. I = 4. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 139 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z2 Xét tích phân Chương 3-Giải tích 12 xf (x2 ) dx = 2. Đặt x2 = t ⇒ x dx = 1 dt. 2 0 Đổi cận: x = 0 thì t = 0 ; x = 2 thì t = 4. Z2 Z4 Z4 Z4 1 2 Do đó xf (x ) dx = 2 ⇔ f (t) dt = 2 ⇔ f (t) dt = 4 ⇒ f (x) dx = 4 hay I = 4. 2 0 0 0 0  Chọn đáp án D a 1 + ln x (ln x + b) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = , trong đó a, b là x x2 các số nguyên. Tính S = a + b. Câu 386. Cho F (x) = A. S = −2. B. S = 1. C. S = 2. D. S = 0. Lời giải.Z Z 1 + ln x Xét I = f (x) dx = dx. x2   1  du = dx u = 1 + ln x x . Khi đó Đặt ⇒ dv = 1 dx  v = − 1 x2 x Z 1 1 1 1 1 dx = − (1 + ln x) − + C = − (ln x + 2) + C ⇒ a = −1; b = 2. I = − (1 + ln x) + 2 x x x x x Vậy S = a + b = 1.  Chọn đáp án B 4 1 Câu 387. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 , y = − x+ và trục hoành. 3 3 11 61 343 39 A. . B. . C. . D. . 6 3 162 2 Lời giải. y 1 x 1 O 4 1 4 Phương trình hoành độ giao điểm của các đường y = x2 , y = − x + là 3 3  x = 1 1 4 x2 = − x + ⇔ 3×2 + x − 4 = 0 ⇔  4. 3 3 x=− 3 1 4 Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = − x + với trục hoành là x = 4. 3 3 Hoành độ giao điểm của parabol y = x2 với trục hoành là x = 0. Diện tích hình phẳng cần tìm là: Z1 Z4 Å ã 1 4 x3 2 S = x dx + − x+ dx = 3 3 3 0 1 1 Å ã 1 2 4 + − x + x 6 3 0 4 = 1 11 . 6  Chọn đáp án A Câu 388. Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol có hình bên dưới. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 140 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 v(m) 50 O 10 t(s) Biết rằng sau 10 s thì xe đạt đến vận tốc cao nhất 50 m/s và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét? 1000 1100 1400 A. m. B. m. C. m. D. 300 m. 3 3 3 Lời giải. Quãng đường xe đi được chính bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và trục Ox. Gọi (P ) : y = ax2 + bx + c.Do (P ) qua gốc tọa độ nên c = 0.  b (  − b = 10 = 10 b = −20a 2a Đỉnh (P ) là I(10; 50) nên ⇔ ⇔ .  a = − 1 b2 = −200a  − ∆ = 50 2 4a Z10 Å ã 1 1000 Ta có − x2 + 10x dx = . 2 3 0 Vậy quãng đường xe đi được bằng 1000 m. 3  Chọn đáp án A Câu 389. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] . Gọi D là y y = f (x) hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C): y = f (x), trục hoành, hai đường thẳng x = a, x = b (như hình vẽ bên). Giả sử SD là diện tích của hình phẳng D. Chọn công thức đúng trong các phương án A, B, C, D dưới đây? Z0 Zb A. SD = − f (x) dx − f (x) dx. a O b x 0 Z0 Zb f (x) dx − B. SD = a a f (x) dx. 0 Z0 C. SD = − Zb f (x) dx + f (x) dx. a 0 Z0 Zb D. SD = − f (x) dx + a f (x) dx. 0 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 141 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Dựa trên đồ thị ta thấy: – Đồ thị cắt trục hoành tại O(0; 0). – Trên đoạn [a; 0], đồ thị ở phía dưới trục hoành nên |f (x)| = −f (x). – Trên đoạn [0; b], đồ thị ở phía trên trục hoành nên |f (x)| = f (x). Zb Z0 Zb Do đó SD = |f (x)| dx = − f (x) dx + f (x) dx. a a 0  Chọn đáp án C Z cos 3x dx. Câu 390. Tính nguyên hàm 1 1 A. − sin 3x + C. B. sin 3x + C. 3 3 Lời giải. Z Z 1 1 cos 3x dx = cos 3x d(3x) = sin 3x + C. 3 3 Chọn đáp án B C. −3 sin 3x + C. D. 3 sin 3x + C.  Câu 391. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0 (x) trên R và đồ y 0 thị của hàm số f (x) cắt trục hoành tại điểm a, b, c, d (hình bên). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. f (c) > f (a) > f (b) > f (d). B. f (a) > f (c) > f (d) > f (b). C. f (a) > f (b) > f (c) > f (d). a 0 D. f (c) > f (a) > f (d) > f (b). b S2 c d S1 x S3 Lời giải. Từ đồ thị của hàm số f 0 (x), ta có dấu của f 0 (x) và bảng biến thiên như hình bên. x −∞ y0 Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra f (a) và f (c) cùng lớn hơn f (b) và f (d). a b c S1 < S2 ⇒ f (a) f (c) y 0 Zc f (x) dx < b Zc S2 < S3 ⇒ b +∞ + 0 − 0 + 0 − 0 + f (b) Za d f (d) f 0 (x) dx ⇒ f (a) − f (b) < f (c) − f (b) ⇒ f (a) < f (c). b f 0 (x) dx < Zc f 0 (x) dx ⇒ f (c) − f (b) < f (c) − f (d) ⇒ f (b) > f (d). d Vậy ta có f (c) > f (a) > f (b) > f (d).  Chọn đáp án A Z5 Câu 392. Giả sử tích phân I = 1 √ dx = a + b ln 3 + c ln 5 (a, b, c ∈ Z). Tính S = 1 + 3x + 1 1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 142 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 a + b + c. 5 8 7 4 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 3 3 3 3 Lời giải. √ 2 Đặt t = 1 + 3x + 1 ⇒ 3x + 1 = (t − 1)2 ⇒ dx = (t − 1) dt. 3 Đổi cận x = 1 ⇒ t = 3; x = 5 ⇒ t = 5. Khi đó Z5 Z5 Å ã t−1 1 4 2 2 2 2 2 5 1− I= dt = dt = (t − ln |t|) 3 = + ln 3 − ln 5. 3 t 3 t 3 3 3 3 3 3 2 2 4 Suy ra a = , b = , c = − . 3 3 3 4 Vậy S = . 3 Chọn đáp án D  Z1 Câu 393. Cho hàm số f (x) thỏa mãn (x + 3)f 0 (x) dx = 15 và f (1) = 2, f (0) = 1. Tính 0 Z1 f (x) dx. 0 A. I = −12. B. I = −10. C. I = 12. D. I = 10. Lời giải. Đặt u = x + 3 và dv = f 0 (x) dx, ta có du = dx và v = f (x). Do đó Z1 Z1 1 0 (x + 3)f (x) dx = (x + 3)f (x) 0 − f (x) dx 0 0 Z1 = 4f (1) − 3f (0) − f (x) dx. 0 Z1 Suy ra 4 · 2 − 3 · 1 − f (x) dx = 15 0 Z1 f (x) dx = −10. Vậy 0  Chọn đáp án B Z5 Câu 394. Biết dx = a ln 4 + b ln 2 + c ln 5, với a, b, c là 3 số nguyên khác 0. Tính P = −x x2 2 a2 + 2ab + 3b2 − 2c. A. 7. B. 5. C. 4. Lời giải. Z5 Z5 Å ã 1 dx 1 = − dx = (ln |x − 1| − ln |x|) Ta có x2 − x x−1 x 2 2 D. 8. 5 = ln 4 − ln 5 + ln 2. 2 Suy ra a = 1, b = 1, c = −1. Vậy P = 8.  Chọn đáp án D Câu 395. Diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x , y = −x + 3 và y = 1 là Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 143 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. S = 1 1 − . ln 2 2 B. S = Chương 3-Giải tích 12 1 + 3. ln 2 C. S = 1 + 1. ln 2 D. S = 47 . 50 Lời giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của các đường ta có: y 2x = −x + 3 ⇔ x = 1; 2x = 1 ⇔ x = 0; −x + 3 = 1 ⇔ x = 2. Diện tích cần tìm là Z1 Z2 1 1 x S = (2 − 1) dx + (−x + 3 − 1) dx = − · ln 2 2 0 y = 2x 3 2 y=1 1 y = −x + 3 O 1 2 3 x 4  Chọn đáp án A Z1 Câu 396. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có Z3 f (x) dx = 2; 0 f (x) dx = 6. Tính I = 0 Z1 f (|2x − 1|) dx. −1 A. I = 6. 2 C. I = . 3 B. I = 4. 3 D. I = . 2 Lời giải. 1 Z1 f (1 − 2x) dx + f (|2x − 1|) dx = I= Z1 Z2 −1 −1 f (2x − 1) dx 1 2 1 1 =− 2 Z2 1 f (1 − 2x) d (1 − 2x) + 2 −1 1 =− 2 Z0 Z1 f (2x − 1) d (2x − 1) 1 2 1 f (t) dt + 2 3 Z1 1 f (t) dt = − 2 0 Z0 1 f (x) dx + 2 3 Z1 f (x) dx = 1 1 · 6 + · 2 = 4. 2 2 0  Chọn đáp án B π Z2 Câu 397. Cho tích phân π 3 A. 2a + b = 0. sin x dx = a ln 5+b ln 2 với a, b ∈ Z. Mệnh đề nào sau đây đúng? cos x + 2 B. a − 2b = 0. C. 2a − b = 0. D. a + 2b = 0. Lời giải. Đặt t = cos x + 2 ⇒ dt = − sin x dx π 5 ⇒t= , 3 2 π x = ⇒ t = 2. 2 x= 5 Z2 I= 1 dt = ln t t 2 5 2 = ln 5 − 2 ln 2. 2 Suy ra a = 1, b = −2. Vậy 2a + b = 0. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 144 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án A 2×2 − 7x + 5 dx là x−3 A. I = x2 − x + 2 ln |x − 3| + C. B. I = x2 − x − 2 ln |x − 3| + C. Z Câu 398. Nguyên hàm I = C. I = 2×2 − x + 2 ln |x − 3| + C. D. I = 2×2 − x − 2 ln |x − 3| + C. Lời Zgiải. Z Å ã 2×2 − 7x + 5 2 I= dx = 2x − 1 + dx = x2 − x + 2 ln |x − 3| + C. x−3 x−3 Chọn đáp án A  Câu 399. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x − sin 6x là Z Z x2 cos 6x x2 sin 6x A. f (x) dx = − + C. B. f (x) dx = − + C. 2 6 2 6 Z Z x2 sin 6x x2 cos 6x + + C. D. f (x) dx = + + C. C. f (x) dx = 2 6 2 6 Lời giải. Z x2 cos 6x (x − sin 6x) dx = + + C. 2 6  Chọn đáp án C Z5 Câu 400. Cho hai tích phân Z−2 Z5 f (x) dx = 8 và g(x) dx = 3. Tính [f (x) − 4g(x) − 1] dx −2 A. I = −11. −2 5 B. I = 13. C. I = 27. D. I = 3. Lời giải. Z5 Z5 [f (x) − 4g(x) − 1] dx = −2 Z−2 Z5 f (x) dx + 4 g(x) dx − dx −2 −2 5 = 8 + 4 · 3 − [5 − (−2)] = 13.  Chọn đáp án B Zπ ( 2 x cos 2x dx bằng cách đặt Câu 401. Tính tích phân u = x2 . Mệnh đề nào dưới đây dv = cos 2x dx 0 đúng? 1 A. I = x2 sin 2x 2 π 1 C. I = x2 sin 2x 2 π Zπ − 0 x sin 2x dx. 0 Zπ +2 0 x sin 2x dx. 1 B. I = x2 sin 2x 2 π 1 D. I = x2 sin 2x 2 π 0 Zπ −2 0 0 Zπ + 0 x sin 2x dx. x sin 2x dx. 0 Lời giải.  (  du = 2x u = x2 Ta có ⇒  v = 1 sin 2x dv = cos 2x dx 2 Zπ π 1 2 Áp dụng công thức ta có I = x sin 2x − x sin 2x dx 2 0 0  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 145 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 π Z2 x2 + (2x + cos x) cos x + 1 − sin x c dx = aπ 2 + b − ln , với a, b, c x + cos x π Câu 402. Cho tích phân I = 0 là các số hữu tỉ. Giá trị biểu thức P = ac3 + b là 5 A. 3. B. . 4 Lời giải. C. 3 . 2 D. 2. π Z2 I= x2 + (2x + cos x) cos x + 1 − sin x dx x + cos x 0 π Z2 = (x + cos x)2 + 1 − sin x dx x + cos x 0 π π Z2 Z2 = (x + cos x) dx + 0 0 π Z2 Z2 π (x + cos x) dx + = 0 Å = 1 − sin x dx x + cos x d(x + cos x) x + cos x 0 x2 + sin x 2 ã π 2 + ln |x + cos x| 0 π 2 0 π π2 + 1 + ln = 8 2 1 2 2 = π + 1 − ln 8 π 1 Suy ra a = ; b = 1; c = 2 8 Vậy P = 2.  Chọn đáp án D Câu 403. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R thỏa f 0 (x) − 2018f (x) = 2018 · x2017 · e2018x với mọi x ∈ R và f (0) = 2018. Giá trị f (1) là A. 2019e2018 . B. 2018e−2018 . C. 2018e2018 . D. 2017e2018 . Lời giải. Theo đề bài, ta có f 0 (x) − 2018 · f (x) = 2018 · x2017 · e2018x ⇔e−2018x · f 0 (x) − 2018 · e−2018x · f (x) = 2018 · x2017   ⇔ e−2018x · f 0 (x) = 2018 · x2017 Z −2018x ⇔e · f (x) + C = 2018×2017 dx ⇔e−2018x · f (x) + C = x2018 Thay x = 0 ta được f (0) + C = 0 ⇔ 2018 + C = 0 ⇔ C = −2018 Từ đó ta được e−2018x · f (x) − 2018 = x2018 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 146 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Thay x = 1 ta được e−2018 · f (1) − 2018 = 1 ⇔ f (1) = 2019 ⇔ f (1) = 2019e2018 . e2018  Chọn đáp án A Câu 404. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) là Za Zb Zb A. S = |f (x)| dx. B. S = f (x) dx. C. S = |f (x)| dx. a b Za D. S = a f (x) dx. b Lời giải. Zb |f (x)| dx. Diện tích hình phẳng cần tìm là S = a  Chọn đáp án C Câu 405. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 + 2x. x4 x4 x4 − x2 + C. B. + x2 + C. C. + C. A. 4 4 4 Lời giải. Z Z  x4 Ta có f (x) dx = x3 + 2x dx = + x2 + C. 4 Chọn đáp án B Z1 Câu 406. Tính tích phân I = D. x2 + C.  dx . x+1 0 A. ln 2. B. 1. Lời giải. Z1 dx = ln |x + 1| I= x+1 3 D. ln . 2 C. 0. 1 = ln 2. 0 0  Chọn đáp án A Câu 407. Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị như hình vẽ. Trong khoảng thời gian 3 giờ v 9 kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của parabol có đỉnh I(2; 9) với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật đó đi được trong 4 giờ. A. 28, 5 (km). B. 27 (km). C. 24 (km). D. 26, 5 (km). 0 2 3 4 t Lời giải. Giả sử phương trình parabol có dạng y = ax2 + bx + c (a 6= 0). Vì parabol đi qua O(0; 0) nên  c = 0.  − b =2 a = − 9 9 4 ⇒ v(t) = − t2 + 9t. 2a Do tọa độ đỉnh là I(2; 9) nên ⇒   4 b=9 4a + 2b = 9 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 147 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Z3 Å Quãng đường vật chuyển động được trong 3 giờ đầu là 9 − t2 + 9t 4 ã 81 (km). 4 dt = 0 27 27 ⇒ quãng đường vật đi được trong 1 giờ cuối là Vận tốc của vật tại thời điểm t = 3 là v(3) = 4 4 (km). 81 27 + = 27 (km). Vậy quãng đường vật đi được trong 4 giờ là 4 4 Chọn đáp án B  Z2 Câu 408. Cho ln(9 − x2 ) dx = a ln 5 + b ln 2 + c (với a, b, c ∈ Z). Tính S = |a| + |b| + |c|. 1 A. S = 34. B. S = 13. C. S = 18. D. S = 26. Lời giải. Z2 Z2 Z2 Z2 Å ã 2 2 2x 1 1 2 2 Có ln(9−x ) dx = x ln(9−x ) − dx = 2 ln 5−3 ln 2−2 dx−3 − dx x2 − 9 x−3 x+3 1 1 1 x−3 = 2 ln 5 − 3 ln 2 − 2 − 3 ln x+3 Chọn đáp án B 1 1 2 = 5 ln 5 − 6 ln 2 − 2 ⇒ S = 13. 1  Câu 409. Cho hàm số f (x) xác định trên R {−1} thỏa mãn f 0 (x) = 1 và f (0) = 2018. Giá x+1 trị của biểu thức f (3) − f (1) bằng A. ln 2. B. ln 4. C. ln 3. D. ln 5. Lời giải. Z f (x) = 1 d x = ln |x + 1| + C. Vì f (0) = 2018 nên C = 2018 ⇒ f (x) = ln |x + 1| + 2018 ⇒ x+1 f (3) − f (1) = ln 4 − ln 2 = ln 2.  Chọn đáp án A a Câu 410. Cho hàm số f (x) = + bxex . Tìm a và b biết rằng f 0 (0) = −22 và (x + 1)3 Z1 f (x) dx = 0 5. A. a = −2, b = −8. B. a = 2, b = 8. C. a = 8, b = 2. D. a = −8, b = −2. Lời giải. Ta có f 0 (x) = − 3a + b(x + 1)ex , suy ra −3a + b = f 0 (0) = −22. Lại có 4 (x + 1) Z1 5= Z1 ï f (x) dx = 0 ò ï ò a a x x + bxe dx = − + b(x − 1)e (x + 1)3 2(x + 1)2 0 1 = 0 3a +b 8 nên ta có hệ phương trình  (  − 3a + b = −22 a=8 ⇒ 3a  +b=5 b = 2. 8  Chọn đáp án C √ Câu 411. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 3 x +Zx. Z   √ √ √ x2 3 √ x2 A. 3 x + x dx = x x + + C. B. 3 x + x dx = x x + + C. 2 2 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 148 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  √ √ x2 3 x + x dx = 2x x + + C. 2 Z C.  √ 2 √ x2 3 x + x dx = x x + + C. 3 2 Z D. Lời Z giải. Z Å ã 1 3  √ √ x2 x2 + C = 2x x + + C. 3 x + x dx = 3x 2 + x dx = 2x 2 + 2 2  Chọn đáp án C Z1 Câu 412. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [−2; 2] và là hàm số chẵn. Biết f (2x) dx = 4. Tính 0 Z2 I= f (x) dx. −2 A. I = 16. B. I = 4. C. I = 8. D. I = 2. Lời giải. Đặt t = 2x ⇒ dt = 2 dx, với x = 0 ⇒ t = 0 và x = 1 ⇒ t = 2. Z2 Z2 Z1 1 f (t) dt ⇔ f (t) dt = 2 × 4 = 8. Ta có f (2x) dx = 2 0 0 0 Z2 Vì f (x) là hàm chẵn trên [−2; 2] nên I = Z2 f (x) dx = 2 −2 Z2 f (t) dt = 2 × 8 = 16. f (x) dx = 2 0 0  Chọn đáp án A Câu 413. Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = Diện tích S của hình (H) bằng bao nhiêu? 4 7 A. S = . B. S = . 3 6 Lời giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm ⇔ ⇔ √ √ x + 1, y = 1 − x và trục Ox. 3 C. S = . 2 5 D. S = . 4 x+1=1−x ( x + 1 = 1 − 2x + x2 x≤1 ( 2 x − 3x = 0 x≤1 ⇔ x = 0. √ Đồ thị y = x + 1 cắt Ox tại điểm x = −1 và đồ thị y = 1 − x cắt Ox tại x = 1. Z0 Z1 √ Vậy S = x + 1 dx + (1 − x) dx −1 y y= √ x+1 0 2 1 = + 3 2 7 = . 6 −1 1 x y =1−x  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em O 149 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 414. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b(a < b). Diện tích hình D được tính theo công thức Zb A. S = |f (x)| dx. f |x| dx. B. S = a Zb Zb Zb D. S = f (x) dx . C. S = a a a f (x) dx. Lời giải. Zb |f (x)| dx. Ta có S = a  Chọn đáp án A Z2 Câu 415. Tích phân 2x + 1 dx bằng x+3 0 3 5 5 5 A. 4 − 5 ln . B. 4 − 5 log . C. 4 + 5 ln . D. 4 − 5 ln . 5 3 3 3 Lời giải. Z2 Å Z2 ã 2 5 5 2x + 1 dx = 2− dx = (2x − 5 ln |x + 3|) = 4 − 5 ln . Ta có x+3 x+3 3 0 0 0  Chọn đáp án D Câu 416. Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y 2 = 5, và đường thẳng d có phương trình y = 1. Biết d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi d và cung nhỏ AB của (C). Quay hình (H) xung quanh đường thẳng d ta được một khối tròn xoay có thể tích V . Giá trị của V gần nhất với số nào sau đây? A. 46,1. B. 12,4. C. 11,3. D. 33,5. Lời giải. Tọa độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của hệ ( ( 2 ( ( y=1 x =4 x = −2 x=2 ⇔ ⇔ hoặc x2 + y 2 = 5 y=1 y=1 y=1 Vậy giao điểm là A(−2; 1) và B(2; 1). Phương trình nửa đường tròn phía trên trục Ox là y = √ y B d A 1 −2 O 2 x 5 − x2 . Gọi I là giao điểm của d và Oy, suy ra I(0; 1). Tịnh tiến hệ trục tọa #» độ theo OI = (0; 1) thành hệ trục XIY với ( x−0=X y−1=Y đường thẳng d. Khi đó hình phẳng quay quanh trục IX. ⇔ ( x=X , trục IX nằm trùng với y =Y +1 √ Đối với hệ trục XIY phương trình nửa đường tròn là Y = 5 − X 2 − 1. Do đó, thể tích khối tròn Z2 Ä√ ä2 44π 2 xoay là V = π 5 − X 2 − 1 dX = − 10 arcsin √ ≈ 11,295. 3 5 −2  Chọn đáp án C Câu 417. Cho hàm số f (x) có đạo hàm không âm trên đoạn [0; 1] thỏa (f (x))4 · (f 0 (x))2 · (x2 + 1) = 1 + (f (x))3 và f (x) > 0, ∀x ∈ [0; 1]. Biết f (0) = 2, hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 150 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 5 5 3 A. 2 < f (1) < . B. < f (1) < 3. C. < f (1) < 2. 2 2 2 Lời giải. 2 Ta có: (f (x))4 · (f 0 (x)) · (x2 + 1) = 1 + (f (x))3 » √ ⇔ (f (x))2 · f 0 (x) · x2 + 1 = 1 + (f (x))3 (f (x))2 · f 0 (x) = » ⇔√ x2 + 1 1 + (f (x))3 ä Ä Z1 Z1 d 1 + (f (x))3 1 2 √ » ⇔ dx = 3 x2 + 1 2 1 + (f (x))3 0 0  Ä ä 1 2 » √ 3 2 = × ⇔ ln x + x + 1 1 + (f (x)) 3 0  Ä √ ä 2 » 3 ⇔ ln 1 + 2 = × 1 + (f (1)) − 3 3 ⇔ f (1) ≈ 2,605. 7 D. 3 < f (1) < . 2 1 1 0  Chọn đáp án B Câu 418. Hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b], gọi S là diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b. Khi đó: Zb Za Za Zb A. S = |f (x)| dx. B. S = |f (x)| dx. C. S = f (x) dx. D. S = f (x) dx. a b a b Lời giải. Zb |f (x)| dx. Theo công thức tính diện tích hình phẳng bằng tích phân S = a  Chọn đáp án A 1 Câu 419. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = e 2 x . Z Z 1 A. f (x) dx = 2e 2 x + C. B. f (x) dx = Z Z 1 D. f (x) dx = C. f (x) dx = e 2 x + C. 1 1x e 2 + C. 2 2 1x e 2 + C. 3 Lời giải. Z Theo công thức nguyên hàm 1 1 e 2 x dx = 2e 2 x + C.  Chọn đáp án A Z2 Z5 f (x) dx = −4, Câu 420. Cho 1 Z5 f (x) dx = 6, 1 Z5 [4f (x) − g(x)] dx có g(x) dx = 8. Tích phân 2 2 giá trị là A. 12. B. 0. C. 48. D. 32. Lời giải. Z2 Z5 f (x) dx + Ta có 1 Z5 f (x) dx = 2 Z5 1 Z5 2 Z2 f (x) dx − f (x) dx = Suy ra f (x) dx. 1 f (x) dx = 6 − (−4) = 10. 1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 151 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z5 Z5 [4f (x) − g(x)] dx = 4 Do đó Chương 3-Giải tích 12 2 Z5 f (x) dx − 2 g(x) dx = 4 · 10 − 8 = 32. 2  Chọn đáp án D Z5 Câu 421. Giả sử tích phân I = 1 √ dx = a + b ln 3 + c ln 5. Lúc đó 1 + 3x + 1 1 4 5 7 8 A. a + b + c = . B. a + b + c = . C. a + b + c = . D. a + b + c = . 3 3 3 3 Lời giải. √ 2t Đặt t = 3x + 1 ⇒ t2 = 3x + 1 ⇒ 2t dt = 3 dx ⇒ dx = dt. 3 " x=1⇒t=2 Đổi cận x = 5 ⇒ t = 4. 4 Z Z4 Å ã 4 t 1 2 2 4 2 2 2 1− dt = dt = (t − ln |t + 1|) = + ln 3 − ln 5. I= 3 1+t 3 t+1 3 3 3 3 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 Vậy a = ; b = ; c = − suy ra a + b + c = + − = . 3 3 3 3 3 3 3  Chọn đáp án A Câu 422. Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn 0 < a < b < c < d và hàm số y 0 y = f (x). Biết hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m a lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [0; d]. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. M + m = f (0) + f (c). B. M + m = f (d) + f (c). C. M + m = f (b) + f (a). D. M + m = f (0) + f (a). O b c d x Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số của f 0 (x) ta có bảng biến thiên cho hàm f (x) x f 0 (x) a 0 − 0 c b + 0 − 0 d + f (x) Dưạ vào BBT ta có M ∈ {f (0), f (b), f (d)} và m ∈ {f (a), f (c)}.  x = 0, x = a   . Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H1 ) : y = 0    y = f 0 (x)   x = a, x = b   Gọi S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H2 ) : y = 0 .    y = f 0 (x) Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 152 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12   x = b, x = c   Gọi S3 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H3 ) : y = 0 .    y = f 0 (x)   x = c, x = d   Gọi S4 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H4 ) : y = 0 .    y = f 0 (x) Ta có Za S1 = a 0 |f 0 (x)| dx = −f (x) Zb = f (0) − f (a), S2 = 0 b a |f 0 (x)| dx = f (x) = f (b) − f (a). a Dễ dàng thấy S1 > S2 nên f (0) − f (a) > f (b) − f (a) ⇒ f (0) > f (b). Ta có Zc Zd c b 0 |f (x)| dx = −f (x) = f (b) − f (c) và S4 = S3 = |f 0 (x)| dx = f (x) d c = f (d) − f (c). c b Do S3 > S4 nên f (b) > f (d). Từ đó suy ra f (0) > f (b) > f (d) và M = f (0). Mặt khác S3 > S2 nên f (a) > f (c) hay m = f (c). Vậy M + m = f (0) + f (c).  Chọn đáp án A Câu 423. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f 0 (x) cắt y trục Ox tại ba điểm có hoành độ a < b < c như hình vẽ. Xét 4 mệnh đề sau: (1): f (c) < f (a) < f (b). (2): f (c) > f (b) > f (a). (3): f (a) > f (b) > f (c). (4): f (a) > f (b). O a Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 4. B. 1. C. 2. b c x D. 3. Lời giải. Từ đồ thị hàm số y = f 0 (x) ta có bảng biến thiên như sau x y0 −∞ y a + 0 b 0 − f (a) c + 0 +∞ − f (c) f (b) Từ đó ta thấy mệnh đề (4) đúng. Từ đồ thị ta có diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = f 0 (x), trục Ox, x = a, x = b nhỏ hơn Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 153 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f 0 (x), trục Ox, x = b, x = c. Zb Zc b c 0 0 Do đó (−f (x)) dx < f (x) dx ⇔ −f (x) < f (x) ⇔ − (f (b) − f (a)) < f (c) − f (b) ⇔ f (a) < a a b b f (c). Mà f (a) > f (b) ⇒ f (a) > f (b) > f (c), hay mệnh đề (3) đúng.  Chọn đáp án C Z5 Z2 f (x) dx = 4. Tính I = Câu 424. Cho −1 A. I = 2. f (2x + 1) dx. −1 5 B. I = . 2 C. I = 4. 3 D. I = . 2 Lời giải. Đặt 2x + 1 = t ⇒ dx = 1 dt. 2 Với x = −1 ⇒ t = −1. Với x = 2 ⇒ t = 5. Z5 Z2 Z5 1 1 f (x) dx = 2. Suy ra I = f (2x + 1) dx = f (t) · dt = 2 2 −1 −1 −1  Chọn đáp án A Câu Z 425. Cho bốn mệnh đề sau cos3 x I) cos2 x dx = + C. 3 Z 2x + 1 dx = ln(x2 + x + 2018) + C. II) 2 x + x + 2018 Z  6x III) 3x 2x + 3−x dx = + x + C. ln 6 Z IV) 3x dx = 3x · ln 3 + C. Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai? A. 3. B. 1. C. 2. D. 4. Lời giải. Ta lần lượt xét 4 mệnh đề Z đã cho Z Å ã 1 + cos 2x 1 sin 2x 2 Mệnh đề (I) sai vì cos x dx = dx = x+ + C. 2 2 2 Z Z 2x + 1 d(x2 + x + 2018) Mệnh đề (II) đúng vì dx = = ln(x2 + x + 2018) + C. 2 + x + 2018 2 + x + 2018 x x Z Z  6x x x −x Mệnh đề (III) đúng vì 3 2 + 3 dx = (6x + 1) dx = + x + C. ln 6 Z 3x Mệnh đề (IV ) sai vì 3x dx = + C. ln 3 Vậy có 2 mệnh đề đúng.  Chọn đáp án C √ Câu 426. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + cos x, trục hoành và các đường π thẳng x = 0, x = . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao 2 nhiêu? A. V = π − 1. C. V = π(π − 1). B. V = π + 1. D. V = π(π + 1). Lời giải. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành là Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 154 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 π Z2 V =π (2 + cos x) dx = (2x + sin x) π 2 0 = π(π + 1). 0 Chọn đáp án D  Câu 427. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 3x. Z Z cos 3x cos 3x A. sin 3x dx = − + C. B. sin 3x dx = + C. 3 3 Z Z sin 3x C. sin 3x dx = − + C. D. sin 3x dx = − cos 3x + C. 3 Lời giải. Z cos kx + C. Áp dụng công thức cơ bản sin kx dx = − k Chọn đáp án A  Câu 428. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (x) > 0, ∀x ∈ [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b). Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay D quanh Ox được tính theo công thức Z b Z b 2 A. S = [f (x)] dx. B. S = π [f (x)]2 dx. Za b Za b 2 C. S = f (x ) dx. D. S = π f (x2 ) dx. a a Lời giải. Z Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay D quanh Ox được tính theo công thức S = π b [f (x)]2 dx. a  Chọn đáp án B √ Câu 429. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 x + 3x là √ √ 4 √ 3 √ 3x2 3x2 3x2 3x2 A. x x + + C. B. 2x x + + C. C. x x + + C. D. 4x x + + C. 3 2 2 2 2 2 Lời giải. √ Đặt x = t ⇒ x = t2 ⇒ dx = 2tdt. Ta được Z Z   3 4 √ 3x2 4 2 2t + 3t 2t dt = 4t2 + 6t3 dt = t3 + t4 + C = x x + + C. 3 2 3 2  Chọn đáp án A Ze Câu 430. Biết rằng x ln x dx = ae2 + b với a, b ∈ Q. Tính T = a + b. 1 1 1 A. T = . B. T = 0. C. T = . D. T = 10. 4 2 Lời giải. Ñ é Ze Ze Ze Å ã 1 1 1 2 1 2e 1 1 1 e 2 2 ln x dx = x ln x 1 − x dx = e − x 1 = e2 + . Vậy T = . x ln x dx = 2 2 2 2 4 4 2 1 1 1  Chọn đáp án C Câu 431. Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị của hai hàm số y = x2 và y = x + 2. Tính diện tích S của hình (H). 3 9 9 7 A. S = . B. S = − . C. S = . D. S = . 2 2 2 6 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 155 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ " Xét phương trình x2 = x + 2 ⇔ x = −1 Chương 3-Giải tích 12 . x=2 Z2 Z2 2 |x − x − 2| dx = − Vậy S = −1 Å 1 3 1 2 x − x − 2x (x − x − 2) dx = − 3 2 2 ã 2 −1 9 = . 2 −1  Chọn đáp án C Câu 432. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị y = f 0 (x) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a < b < c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? y A. f (a) > f (b) > f (c). B. f (c) > f (a) > f (b). C. f (b) > f (a) > f (c). D. f (c) > f (b) > f (a). a b 0 c x Lời giải. Gọi S1 là diện tích của hàm số y = f 0 (x) và trục Ox trên đoạn [a; b] và S2 là y diện tích của hàm số y = f 0 (x) và trục Ox trên đoạn [b; c]. Ta có Zb Zc S1 = − f 0 (x) dx = f (a) − f (b) và S2 = f 0 (x) dx = f (c) − f (b). a b a b 0 Từ đồ thị ta có S2 > S1 > 0 ⇒ f (c) > f (a) > f (b). c x  Chọn đáp án B Z1 Câu 433. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và là hàm số chẵn, biết f (x) dx = 1. Tính 1 + ex −1 Z1 f (x) dx. −1 1 . B. 4. 2 Lời giải. Z0 Z1 Z1 f (x) f (x) f (x) Ta có dx = dx + dx. x x 1+e 1+e 1 + ex A. −1 −1 Z0 Đặt I = C. 1. D. 2. 0 f (x) dx. 1 + ex −1 Đặt x = −t ⇒ dx = − dt. Với x = −1 ⇒ t = 1; x = 0 ⇒ t = 0. Z0 Z1 t Z1 x f (−t) e f (t) e f (x) I=− dt = dt = dx −t t 1+e 1+e 1 + ex 1 0 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 156 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 f (x) dx = 1 + ex −1 Z0 f (x) dx + 1 + ex Z1 −1 Z1 Z0 f (x) dx = Vậy −1 Z1 0 0 Z1 Z1 f (x) dx + −1 et f (x) dx = 1 + ex f (x) dx = 2 0 Chương 3-Giải tích 12 (ex + 1)f (x) dx = 1 + ex Z1 Z1 f (x) dx ⇒ 0 f (x) dx = 1. 0 f (x) dx = 2. 0  Chọn đáp án D Câu 434. Cho hàm số f (x) có đạo hàm không âm trên [0; 1] thỏa mãn [f (x)]4 · [f 0 (x)]2 · (x2 + 1) = 1 + [f (x)]3 và f (x) > 0, ∀x ∈ [0; 1] biết f (0) = 2. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. 7 5 3 5 A. 3 < f (1) < . B. < f (1) < 3. C. < f (1) < 2. D. 2 < f (1) < . 2 2 2 2 Lời giải. Ta có » √  [f (x)]4 · [f 0 (x)]2 · x2 + 1 = 1 + [f (x)]3 ⇒ [f (x)]2 · f 0 (x) · x2 + 1 = 1 + [f (x)]3 3 · [f (x)]2 · f 0 (x) 3 p = √ 3 2 x2 + 1 2 1 + [f (x)] h» i0 3 ⇒ 1 + [f (x)]3 = √ 2 x2 + 1 Z 1 Z 1 h» i0 3 1 √ ⇒ 1 + [f (x)]3 dx = dx. 2 0 x2 + 1 0 ⇒ Mà f (0) = 2 nên ta được p √ ä 3 Ä 1 + [f (1)]3 − 3 = ln 1 + 2 ⇒ f (1) ≈ 2,6. 2  Chọn đáp án B Câu 435. Một con quạ khát nước, nó tìm thấy một cái lọ có nước nhưng cổ lọ lại cao nó không thò mỏ uống được nên đã gắp từng viên bi (hình cầu) bỏ vào trong lọ để nước dâng lên. Hỏi con quạ cần bỏ vào lọ ít nhất bao nhiêu viên bi để có thể uống nước? 3 Biết rằng viên bi có bán kính là (đvđd) và không thấm nước, 4 cái lọ có hình dáng là một khối tròn xoay với đường sinh là 2 đồ thị của một hàm bậc 3, mực nước ban đầu trong lọ ở vị trí mà mặt thoáng tạo thành hình tròn có bán kính lớn nhất R = 3, mực nước mà quạ có thể uống được là vị trí mà hình tròn có bán kính nhỏ nhất r = 1 và khoảng cách giữa hai mặt này bằng 2, được minh họa ở hình vẽ trên. A. 15. B. 16. C. 17. D. 18. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 157 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Đặt cái bình vào hệ trục Oxy sao cho O trùng với tâm đường tròn y lớn, Ox trùng với trục của cái bình, đi qua tâm hai đường tròn lớn và bé. Khi đó một đường sinh của cái bình là đồ thị hàm bậc ba có hai điểm cực trị là A(3; 0) và B(2; 1). Gọi hàm bậc ba đó là y = ax3 + bx2 + cx + d ta có hệ     y 0 (0) = 0 c=0         Å ã y 0 (2) = 0 d = 3 1 3 ; − ; 0; 3 . ⇔ ⇔ (a; b; c; d) =   2 2 y(0) = 3 3a + b = 0           y(2) = 1 4a + 2b = −1 x O Từ đó thể tích phần bình từ đường tròn lớn lên đường tròn nhỏ là Z 2Å ã2 314π 1 3 3 2 V1 = π x − x + 3 dx = . 2 2 35 0 Å ã3 3 9π V1 5024 4 . Ta có = ≈ 15,95. = Thể tích một viên bi là V2 = π 3 4 16 V2 315 Do đó số viên bi ít nhất cần phải thả vào lọ là 16 viên.  Chọn đáp án B Câu 436. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = cos x. Z Z A. cos x dx = sin x + C. B. cos x dx = − sin x + C. Z Z 1 C. cos x dx = sin 2x + C. D. cos x dx = − sin x + C. 2 Lời giải. Z Ta có cos x dx = sin x + C  Chọn đáp án A √ Câu 437. Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x, trục Ox và hai đường thẳng x = 1; x = 4 khi quay quanh trục hoành được tính bởi công thức nào? Z4 Z4 Z4 Z4 √ √ 2 A. V = π x dx. B. V = x dx. C. V = π x dx. D. V = π x dx. 1 1 1 1 Lời giải. Z4 Thể tích là V = π x dx. 1  Chọn đáp án A Câu 438. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 5x + 1. 5x A. + x + C. B. 5x ln 5 + x + C. C. 5x ln x + x + C. ln 5 Lời giải. Z 5x + x + C. Ta có (5x + 1) dx = ln x Chọn đáp án A Câu 439. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm f (x) = Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 158 D. 5x + x + C.  1 ; biết F (1) = 2. Tính F (2). 2x − 1 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. F (2) = 1 ln 3 + 2. 2 Chương 3-Giải tích 12 1 ln 3 − 2. 2 B. F (2) = C. F (2) = ln 3 + 2. D. F (2) = 2 ln 3 − 2. Lời giải. Z 1 1 1 Ta có dx = ln |2x − 1| + C. Mà F (1) = 2 ⇔ C = 2. Vậy F (2) = ln 3 + 2. 2x − 1 2 2 Chọn đáp án A  Câu 440. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x2 − 4x + 6 và y = −x2 − 2x + 6. B. π − 1. A. 3π. C. π. D. 2π. Lời giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm: " 2 2 2 x − 4x + 6 = −x − 2x + 6 ⇔ 2x − 2x = 0 ⇔ x=0 x = 1. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x2 − 4x + 6, y = −x2 − 2x + 6 là: Z1 2 x − 4x + 6 V =π 2 2 − −x − 2x + 6 2 Z1 dx = π 0  36x2 − 12x3 − 24x dx = 3π. 0  Chọn đáp án A Z Câu 441. Cho I = 1 e ln x dx có kết quả dạng I = ln a + b (với a > 0, b ∈ R). Khẳng định x(ln x + 2)2 nào sau đây đúng: A. 2ab = −1. C. −b + ln B. 2ab = 1. 3 1 =− . 2a 3 D. −b + ln 3 1 = . 2a 3 Lời giải. dx . Khi đó: x Z1 Z1 Å ã Å ã t dt 1 2 2 I= = − dt = ln |t + 2| + (t + 2)2 t + 2 (t + 2)2 t+2 Đặt t = ln x ⇒ dt = 0 0 1 = ln 0 3 1 − . 2 3 3 1 3 1 − ⇔ −b + ln = . 2 3 2a 3 Lưu ý. Với bài toán này, nếu đọc đề không kĩ thì rất dễ rơi vào phương án nhiễu vì các bộ số a, b ở 3 1 đây là không duy nhất. Nhiều em học sinh sau khi giải ra được I = ln − = ln a + b (∗) 2 3 3 1 đã vội vàng kết luận a = , b = − , do đó 2ab = −1 và rơi vào phương án nhiễu của đề bài. Dễ thấy 2 3 3 2 a = , b = cũng thỏa mãn (∗) nhưng 2ab 6= −1. 2e 3 Chọn đáp án D  Z (2x + 3) dx 1 Câu 442. Giả sử = − + C (C là hằng số). Tính tổng của các x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 g(x) nghiệm của phương trình g(x) = 0. Vậy ln a + b = ln A. −1. B. 1. C. 3. D. −3. Lời giải. Ta có x(x+1)(x+2)(x+3)+1 = x2 + 3x   2  2 x2 + 3x + 2 +1 = x2 + 3x +2 x2 + 3x +1 = x2 + 3x + 1 . Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 159 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Do đó Z (2x + 3) dx = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 Chương 3-Giải tích 12 0 (x2 + 3x + 1) dx 1 =− 2 + C. 2 2 x + 3x + 1 (x + 3x + 1) Z 1 1 = 2 . g(x) x + 3x + 1 Suy ra g(x) = x2 + 3x + 1. Do đó g(x) = 0 ⇔ x2 + 3x + 1 = 0. Vậy Vậy theo định lí Viet, tổng các nghiệm của phương trình g(x) = 0 là −3. Chọn đáp án D  9 √ 3 4 Z Câu 443. Giá trị I =  3 x2 sin πx3 ecos(πx ) dx gần bằng số nào nhất trong các số sau đây: 1 √ 3 6 A. 0,046. B. 0,036. C. 0,037. D. 0,038. Lời giải. 9 √ 3 4 Z Xét tích phân I =  3 x2 sin πx3 ecos(πx ) dx. Đặt t = cos (πx3 ) ⇒ dt = −3πx2 sin (πx3 ) dx. 1 √ 3 6 √ π  √2 1 3 9 729π Đổi cận: x = √ ;x= √ = cos + 182π = . ⇒t= ⇒ t = cos 3 3 2 4 4 2 6 4 √ 2 Z2 1 Vậy I = − et dt = 3π √ 3 2 √ 2 1 t 2 − e √ 3 3π 2 √ = e 3 2 √ −e 3π 2 2 ≈ 0,037.  Chọn đáp án C Câu 444. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3×2 + 2x + 5 là A. F (x) = x3 + x2 + 5. C. F (x) = x3 + x2 + 5x + C. B. F (x) = x3 + x + C. D. F (x) = x3 + x2 + C. Lời giải. Rõ ràng nguyên hàm của f (x) = 3×2 + 2x + 5 là F (x) = x3 + x2 + 5x + C.  Chọn đáp án C Z1 (2x − 1)dx có giá trị bằng Câu 445. Tích phân I = 0 A. 1. B. 2. Lời giải. Z1 1 I = (2x − 1)dx = x2 − x = 0. C. 3. D. 0. 0 0  Chọn đáp án D Câu 446. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (4 − x) = f (x) ∀x ∈ R. Biết Z3 Z3 xf (x)dx = 5, tính I = f (x)dx. 1 1 5 A. I = . 2 7 B. I = . 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 9 C. I = . 2 160 D. I = 11 . 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Z3 Z1 1 Z2 3 Z3 f (t)dt − 4 1 (4 − t)f (4 − t)d(4 − t) = xf (x)dx, đặt x = 4−t, ta được 5 = Trong tích phân Z3 Z3 tf (t)dt. Suy ra 1 Z3 f (x)dx = 1 (4 − t)f (t)dt = 1 5 f (t)dt = . 2 1  Chọn đáp án A Câu 447. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức Zb Zb Zb A. V = π f 2 (x)dx. B. V = π 2 f 2 (x)dx. C. V = π 2 f (x)dx. a a Zb D. V = 2π a f 2 (x)dx. a Lời giải.  Chọn đáp án A Câu 448. Cho parabol (P ) : y = x2 + 2 và hai tiếp tuyến của (P ) tại các điểm M (−1; 3) và N (2; 6). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P ) và hai tiếp tuyến đó bằng 9 13 7 A. . B. . C. . 4 4 4 Lời giải. Phương trình tiếp tuyến của (P ) tại N (2; 6) là (d1 ) : y = D. y 4x − 2. 6 21 . 4 (d1 ) : y = 4x − 2 (P ) : y = x2 + 2 Phương trình tiếp tuyến của (P ) tại M (−1; 3) là (d2 ) : y = −2x + 1. Å ã 1 (d1 ) cắt (d2 ) tại điểm ; 0 . Ta có diện tích 2 3 Z 1 2 S= (x2 + 2 + 2x − 1)dx + −1 Z2 7 (x2 + 2 − 4x + 2)dx = . 4 1 2 x −1O 1 2 (d ) : y = −2x + 1 2 2  Chọn đáp án C Z2 ln(x + 1) dx = a ln 3 + b ln 2 + c, với a, b, c là các số nguyên. Tính S = Câu 449. Biết rằng 1 a + b + c. A. S = 0. B. S = 1. C. S = 2 . D. S = −2. Lời giải.   u = ln(x + 1)  du = 1 dx x+1 Đặt ta có  dv = dx  v =x+1 2 Z Z2 2 từ đây suy ra ln(x + 1) dx = (x + 1) ln(x + 1) 1 − dx = 3 ln 3 − 2 ln 2 − 1. Vậy a + b + c = 0. 1 1  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 161 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 450. Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn 28cm, trục nhỏ 25cm. Biết cứ 1000cm3 dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20.000đ. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể. A. 183.000đ. B. 180.000đ. C. 185.000đ . D. 190.000đ. Lời giải. Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó phương trình của x2 y2 Elip là 2 + Å ã2 = 1. Suy ra phương trình nửa đường 14 25 2 25 √ Elip nằm phía trên trục hoành là y = 196 − x2 . 28 Thể tích của quả dưa hấu là −14 Z14 Å V =π 25 √ 196 − x2 28 ã2 y 25 2 14 x O dx = 9162cm3 − −14 25 2 . Vậy từ quả dưa hấu có thể thu được số tiền là 20.000 · 9.162 = 183.000đ.  ß ™ 3 1 Câu 451. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R thỏa mãn f 0 (x) = , f (0) = 1, 3 3x − 1 Å ã 2 = 2. Giá trị của biểu thức f (−1) + f (3) bằng f 3 A. 5 ln 2 + 3. B. 5 ln 2 − 2. C. 5 ln 2 + 4 . D. 5 ln 2 + 2. Chọn đáp án A Lời giải.   Z ln |3x − 1| + C1 , nếux > 1 3 3 Ta có dx = ln |3x − 1| + C từ đây suy ra f (x) = 1  3x − 1 ln |3x − 1| + C2 , nếux < 3 Å ã 2 = 2 ⇒ C1 = 2. f (0) = 1 ⇒ C2 = 1, f 3 Vậy f (−1) + f (3) = ln 4 + 2 + ln 8 + 1 = 5 ln 2 + 3. .  Chọn đáp án A Z2 Z2 g(x) dx = −1, Tính I = f (x) dx = 2 và Câu 452. Cho −1 Z2 −1 [x + 2f (x) − 3g(x)] dx −1 11 7 17 5 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 2 2 2 Lời giải. Z2 Z2 Z2 Z2 17 I = [x + 2f (x) − 3g(x)] dx = x dx + 2 f (x) dx − 3 g(x) dx = 2 −1 −1 −1 −1  Chọn đáp án C Câu 453. Một ô tô đang chạy với vận tốc 200 m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc v (t) = 200 + at (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính Ä ä bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh và a m/s2 là gia tốc. Biết rằng khi đi được 1500 m thì xe dừng hẳn, hỏi gia tốc của xe bằng bao nhiêu? 200 100 A. a = − m/s2 . B. a = − m/s2 . 13 13 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. a = 162 40 m/s2 . 3 D. a = − 40 m/s2 . 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Thời điểm xe dừng hẳn là 200 + at = 0 ⇒ t = − 200 . a Khi đó ta có − 200 a Z 40 2002 = 1500 ⇔ a = − . (200 + at) dt = 1500 ⇔ − 2a 3 0  Chọn đáp án D Z4 Z2 f (x) dx = 16. Tính I = Câu 454. Cho 0 f (2x) dx. 0 A. I = 32. B. I = 8. C. I = 16. D. I = 4. Lời giải. Z2 Ta có I = 1 f (2x) dx = 2 0 Z2 1 f (2x) d(2x) = 2 0 Z4 f (u) d(u) = 8. 0  Chọn đáp án B Câu 455. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn f (x) > 0, ∀x ∈ R. Biết f (0) = 1 và f 0 (x) = 2 − 2x, hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f (x) = m có hai f (x) nghiệm thực phân biệt? A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. Lời giải. Z f 0 (x) Theo bài ra ta có dx = (2 − 2x) dx ⇔ ln |f (x)| = 2x − x2 + C. f (x) 2 Thay x = 0 vào (1) ta được C = 0, từ đó suy ra ln |f (x)| = 2x − x2 ⇔ f (x) = e2x−x . Z (1) 2 Phương trình f (x) = m có hai nghiệm phân biệt khi chỉ khi phương trình m = e2x−x có hai nghiệm phân biệt tương đương với −x2 + 2x − ln m = 0 có hai nghiệm phân biệt tương đương với ∆0 = 1 − ln m > 0 ⇔ 0 < m < e, từ đó suy ra m = 1 hoặc m = 2.  Chọn đáp án B Z3 Câu 456. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 3]. Nếu Z3 0 có giá trị bằng 5 1 A. . B. . C. 7. 2 2 Lời giải. Z3 Z3 3 x2 9 1 Ta có [x − 2f (x)] dx = − 2 f (x) dx = − 4 = . 2 0 2 2 0 [x − 2f (x)] dx f (x) dx = 2 thì tích phân 0 D. 5. 0  Chọn đáp án B Câu 457. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 163 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 1 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường tròn có bán 4 √ kính R = 2, đường cong y = 4 − x và trục hoành (như y 2 hình vẽ). Tính thể tích V của khối tạo thành khi cho hình (H) quay quanh trục Ox. 53π 40π . B. V = . A. V = 3 6 67π 77π C. V = . D. V = . 6 6 Lời giải. Phần đường tròn có phương trình hàm số y = 1 −2 −1 1 2 4 x −1 √ 4 − x2 , nên thể tích khi quay hình giới hạn quanh trục Ox là Z0 π (4 − x2 ) dx + π −2 Z4 (4 − x) dx = 40π . 3 0 Chọn đáp án A  Câu 458. Tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số: f (x) = x2 − 3x. 3 B. F (x) = x3 − 3x2 + C. A. F (x) = x3 − x2 + C. 2 x3 3 2 C. F (x) = − x + C. D. F (x) = 2x − 3 + C. 3 2 Lời giải. x3 3x2 Họ nguyên hàm của hàm f (x) = x2 − 3x là F (x) = − + C. 3 2 Chọn đáp án C  Câu 459. ZKhẳng định nào sau đây làZ sai? A. Nếu f (x) dx = F (x) + C thì f (u) du = F (u) + C. B. Nếu F (x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f (x) thì F (x) = G(x). Z Z Z C. [f1 (x) + f2 (x)] dx = f1 (x) dx + f2 (x) dx. Z Z D. kf (x) dx = k f (x) dx (k là hằng số và k 6= 0). √ Câu 460. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 4 + x3 . » √ 2» 1» A. 2 4 + x3 + C. B. (4 + x3 )3 + C. C. 2 (4 + x3 )3 + C. D. (4 + x3 )3 + C. 9 9 Lời giải. √ 2 Đặt t = 4 + x3 ⇒ t2 = 4 + x3 ⇒ 2tdt = 3x2 dx ⇒ x2 dx = tdt. 3 Z Z 2 2 2 3 2» 3 Ta có f (x)dx = t dt = t + C = (4 + x3 ) + C. 3 9 9 Chọn đáp án B  Z100 Câu 461. Tính tích phân xe2x dx. 0 1 1 A. (199e200 + 1). B. (199e200 − 1). 4 4 Lời giải.  ( du = dx u=x Đặt ⇒ v = 1 e2x dv = e2x dx 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 164 1 (199e200 + 1). 2 D. 1 (199e200 − 1). 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ e2x ⇒I =x· 2 Z100 100 − 0 Chương 3-Giải tích 12  1 2x 1 1 1 e dx = 50e200 − e200 + = 199e200 + 1 . 2 4 4 4 0  Chọn đáp án A Câu 462. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = quay quanh trục Ox bằng 21π 15 21 . B. . C. . A. 16 16 16 Lời giải. Z4  2 x 21π Thể tích cần tính bằng V = π dx = . 4 16 x , y = 0, x = 1, x = 4 4 D. 15π . 8 1  Chọn đáp án B 2 Câu 463. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ex (x3 − 4x). Hàm số F (x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Lời giải. 2 Ta có F 0 (x) = f (x) = ex (x3 − 4x).  x=0  Khi đó, F 0 (x) = 0 ⇔ x3 − 4x = 0 ⇔  x = −2 . x=2 Bảng biến thiên: x −∞ F 0 (x) −2 − 0 0 + +∞ +∞ 2 − 0 0 + +∞ CĐ F (x) CT CT Suy ra hàm số F (x) có 3 điểm cực trị.  Chọn đáp án C Z0 Câu 464. Cho hàm số y = f (x) là hàm lẻ và liên tục trên [−4; 4] biết f (−x) dx = 2 và −2 Z2 Z4 f (−2x) dx = 4. Tính I = 1 f (x) dx 0 A. I = 10. B. I = −6. D. I = −10. C. I = 6. Lời giải. Z0 Z0 f (−x) dx = 2, ta đặt t = −x. Khi đó 2 = Với giả thiết −2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em f (−x) dx = − −2 165 Z0 Z2 f (t) dt = 2 f (t) dt. 0 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Z2 f (−2x) dx = 4, ta đặt t = 2x. Khi đó cùng với giả thiết f (x) là hàm số lẻ ta có Mặt khác 1 Z2 4= 1 f (−2x) dx = 2 Z4 1 f (−t) dt = − 2 2 1 Z4 Z4 f (t) dt ⇒ 2 f (t) dt = −8. 2 Z4 f (x) dx = 2 + (−8) = −6. Vậy 0  Chọn đáp án B Z Câu 465. Họ nguyên hàm √ 3 x x2 + 1 dx bằng 1√ 3√ 3 x2 + 1 + C. B. 3 x2 + 1 + C. 8 8 Lời giải. Z √ Z 1 1 3 (x2 + 1) 3 d(x2 + 1) = Ta có x x2 + 1 dx = 2 Chọn đáp án C Z Câu 466. Họ nguyên hàm sin x dx bằng A. A. cos x + C. C. 3p 3 (x2 + 1)4 + C. 8 D. 1p 3 (x2 + 1)4 + C. 8 3» 3 (x2 + 1)4 + C. 8 B. − sin x + C.  C. − cos x + C. D. sin x + C. LờiZgiải. Có sin x dx = − cos x + C.  Chọn đáp án C Câu 467. Tìm a để diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi (P ) : y = x2 − 2x , đường thẳng x−1 d : y = x − 1 và x = a, x = 2a (a > 1) bằng ln 3. A. a = 1. B. a = 4. C. a = 3. D. a = 2. Lời giải. x2 − 2x Ta có = x − 1 ⇒ x2 − 2x = x2 − 2x + 1 ⇒ vô nghiệm. x−1 Z2a 2 Z2a Z2a x − 2x −1 1 ⇒S = − (x − 1) dx = dx = dx = ln(x − 1) x−1 x−1 x−1 a 2a − 1 = 3 ⇔ a = 2. a−1 Chọn đáp án D a 2a = ln a 2a − 1 = ln 3 a−1 a ⇔  Câu 468. Tính thể tích của phần vật thể tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số (P ) : y = 2x − x2 và trục Ox. 19π 13π A. V = . B. V = . 15 15 Lời giải. C. V = 17π . 15 D. V = 16π . 15 ” Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục Ox là nghiệm của phương trình 2x − x2 = 0 ⇔ x=0 . x=2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 166 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Khi đó thể tích khi quay hình phẳng D là Z2 V =π (2x − x2 )2 dx = π 0 Å =π Z2 (4×2 − 4×3 + x4 ) dx 0 3 ã x5 2 4x − x4 + 3 5 = 0 16π · 15  Chọn đáp án D Z2 Z2 [2f (x) − g(x)] dx = −3. Khi đó [3f (x) + 2g(x)] dx = 1 và Câu 469. Cho 1 Z2 1 f (x) dx bằng 1 5 6 16 11 . B. − . C. . D. . A. 7 7 7 7 Lời giải.    2 2 2 Z2 Z Z Z       5          f (x) dx = − 3 f (x) dx + 2 g(x) dx = 1 [3f (x) + 2g(x)] dx = 1       7    1 1 1 1 ⇔ Ta có ⇔ .    Z2 Z2 Z2 Z2       11       2 f (x) dx − g(x) dx = −3 [2f (x) − g(x)] dx = −3 g(x) dx =       7    1 1 1 1  Chọn đáp án B Z Câu 470. Tính I = 8 sin 3x cos x dx = a cos 4x + b cos 2x + C. Khi đó a − b bằng B. −1. A. 3. C. 1. D. 2. Lời giải. Z (sin 4x + sin 2x) dx = − cos 4x − 2 cos 2x + C ⇒ Ta có I = 4 ( a = −1 b = −2 ⇒ a − b = 1.  Chọn đáp án C 3 (m/s2 ). Vận tốc t+1 ban đầu của vật là 6 m/s. Tính vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Câu 471. Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc là v 0 (t) = A. 11 m/s. B. 12 m/s. C. 13 m/s. D. 14 m/s. Lời giải. Z Z 3 dt = 3 ln |t + 1| + C. t+1 Vì v(0) = 6 ⇒ C = 6 ⇒ v(t) = 3 ln |t + 1| + 6 ⇒ v(10) = 3 ln 11 + 6 = 13 m/s. Vận tốc v = 0 v (t) dt =  Chọn đáp án C Câu 472. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = cos 2x là 1 1 A. sin 2x + C. B. sin 2x + C. C. − sin 2x + C. 2 2 Lời giải. Z 1 Ta có: cos 2x dx = sin 2x + C. 2 Chọn đáp án B D. 2 sin 2x + C.  √ Câu 473. Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường x = 0, x = 1, y = 0 và y = 2x + 1. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức nào dưới đây? Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 167 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 A. V = π Chương 3-Giải tích 12 Z1 √ 2x + 1 dx. B. V = π 0 0 Z1 C. V = (2x + 1) dx. Z1 (2x + 1) dx. D. V = 0 √ 2x + 1 dx. 0 Lời giải. Ta có V = π Z1 Ä ä2 √ 2x + 1 dx= π 0 Z1 (2x + 1) dx. 0  Chọn đáp án B Z1 Câu 474. Tích phân √ dx bằng 3x + 1 0 3 1 4 B. . C. . A. . 3 2 3 Lời giải. √ 2t Đặt t = 3x + 1 ⇒ t2 = 3x + 1 ⇒ 2t dt = 3 dx ⇒ dt = dx. 3 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 2. Khi đó Z1 dx 2 √ = 3 3x + 1 0 Z1 2 1 · t dt = t 3 0 Z1 D. 2 dt = t 3 0 1 0 2 . 3 2 = . 3  Chọn đáp án D Z1 Câu 475. Cho f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (2) = 16, Z2 f (2x) dx = 2. Tích phân 0 bằng A. 30. B. 28. xf 0 (x) dx 0 C. 36. D. 16. Lời giải. Đặt t = 2x ⇒ dx = Z1 dt , ta có: x = 0 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t = 2. 2 1 f (2x) dx = 2 Z2 0 Khi đó Z2 Z2 f (t) dt = 2 ⇒ 0 xf 0 (x) dx = 0 Z2 f (t) dt = 4 ⇒ 0 Z2 0 2 Z2 x d (f (x)) = xf (x) − 0 0 f (x) dx = 4. f (x) dx = 2f (2) − 4 = 28. 0  Chọn đáp án B Câu 476. Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô mầu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng A. 800 cm2 . B. 800 cm2 . 3 C. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 400 cm2 . 3 168 D. 250 cm2 . https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Chọn hệ tọa độ như hình vẽ (1 đơn vị trên trục bằng 10 cm = 1 dm), x2 các cánh hoa tạo bởi các đường parabol có phương trình là y = , 2 x2 y2 y2 y=− ,x=− ,x= . 2 2 2 Diện tích một cánh hoa (nằm trong góc phần tư thứ nhất) bằng diện √ x2 tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = ,y = 2x và 2 hai đường thẳng x = 0; x = 2. Do đó diện tích một cánh hoa bằng Ç √ å Z2 Å√ ã x2 2 2 √ 3 x3 2x − dx = x − 2 3 6 0 Vậy diện tích một cánh hoa là 2 0 y O 2 x 4 = . 3 4 400 dm2 = cm2 . 3 3  Chọn đáp án C Câu 477. Cho hàm số f (x) thỏa mãn (f 0 (x))2 +f (x)·f 00 (x) = 15×4 +12x, ∀x ∈ R và f (0) = f 0 (0) = 1. Giá trị của f 2 (1) bằng 9 A. . 2 Lời giải. B. 5 . 2 C. 10. D. 8. Ta có 2 (f 0 (x)) + f (x) · f 00 (x) = 15×4 + 12x 0 ⇔ [f 0 (x) · f (x)] = 15×4 + 12x ⇔ f 0 (x) · f (x) = 3×5 + 6×2 + C1 . Do f (0) = f 0 (0) = 1 nên ta có C1 = 1. Do đó: f 0 (x) · f (x) = 3×5 + 6×2 + 1 ã0 Å 1 2 ⇔ f (x) = 3×5 + 6×2 + 1 2 ⇔ f 2 (x) = x6 + 4×3 + 2x + C2 . Mà f (0) = 1 nên ta có C2 = 1. Vậy f 2 (x) = x6 + 4×3 + 2x + 1 suy ra f 2 (1) = 8.  Chọn đáp án D Câu 478. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và f (0) + f (1) = 0. Biết Z1 Z1 Z1 1 π 2 0 f (x) dx = , f (x) cos (πx) dx = . Tính f (x) dx. 2 2 0 0 A. π. 0 1 B. . π C. 2 . π D. 3π . 2 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 169 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Đặt ( u = cos (πx) ( dv = f 0 (x) dx Z1 ⇔ du = −π sin (πx) dx Chương 3-Giải tích 12 . Khi đó: v = f (x) 1 f 0 (x) cos (πx) dx = cos (πx) f (x) + π 0 0 Z1 f (x) sin (πx) dx 0 Z1 = − (f (1) + f (0)) + π Z1 f (x) sin (πx) dx = π 0 Z1 ⇒ f (x) sin (πx) dx 0 1 f (x) sin (πx) dx = . 2 0 Cách 1: Ta có Z1 Z1 2 [f (x) − k sin (πx)] dx = 0 Z1 2 f (x) dx − 2k 0 f (x) sin (πx) dx + k 0 2 Z1 sin2 (πx) dx 0 2 = Z1 Do đó 1 k −k+ = 0 ⇔ k = 1. 2 2 [f (x) − sin (πx)]2 dx = 0 ⇒ f (x) = sin (πx). 0 Z1 Z1 f (x) dx = Vậy 0 sin (πx) dx = 2 . π 0 Cách 2: Sử dụng BĐT Holder  b 2 Zb Zb Z 2  f (x) g (x) dx 6 f (x) dx · g 2 (x) dx a a a Dấu “=” xảy ra ⇔ f (x) = kg(x), ∀x ∈ [a; b]. Áp dụng vào bài ta có  1 2 Z Z1 Z1 1  1 = f (x) sin (πx) dx 6 f 2 (x) dx · sin2 (πx) dx = , suy ra f (x) = k sin (πx). 4 4 0 0 Z1 f (x) sin (πx) dx = Mặt khác: 0 1 ⇔k 2 0 Z1 0 sin2 (πx) dx = 1 ⇔ k = 1 ⇒ f (x) = sin (πx). 2 0 Z1 f (x) dx = Vậy Z1 sin (πx) dx = 2 . π 0  Chọn đáp án C Câu 479. Xác định m để đồ thị hàm số (C) : y = 5×4 − 8×2 + m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành có phần trên và phần dưới bằng nhau. 9 . 16 Lời giải. A. B. 16 . 9 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 9. 170 D. 25 . 16 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành là 5×4 − 8×2 + m = 0. Đặt t = x2 , t ≥ 0. Ta có 5t2 − 8t + m = 0. (1) Đồ thị (C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt    16 − 5m > 0 0    ∆ > 0   m 16 ⇔00 ⇔ 5 >0   5      S>0 8 > 0 5 Ta có hàm số y = f (x) = 5×4 − 8×2 + m là hàm số chẵn nên S1 + S2 = S3 ⇒ S2 = 1 S3 . Gọi 2 x1 < x2 < x3 < x4 là bốn hoành độ giao điểm của (Cm ) với trục hoành ta có 1 S2 = S3 ⇒ 2 Zx3 Zx4 (−f (x)) dx = 0 x3 Zx4 ⇔ Zx4 Zx3 f (x) dx = 0 ⇔ f (x) dx + x3 Zx4 f (x) dx = 0 ⇔ (5x4 − 8x2 + m) dx = 0 0 0 0 Å ã 8 3 5 ⇔ x − x + mx 3 x4 0 f (x) dx.  x4 = 0 8 = 0 ⇔ x54 − x34 + mx4 = 0 ⇔  8 3 x44 − x24 + m = 0 3 (2) Với x4 = 0 ⇒ m = 0 (loại). Xét (2) ⇔ (5x44 − 8x24 + m) − 4x44 + 16 2 16 4 16 x4 = 0 ⇔ 4x44 − x24 = 0 ⇔ x24 = ⇒ m = (nhận). 3 3 3 9  Chọn đáp án B Zπ Câu 480. Biết a a (x − sin 2x) dx = π 2 trong đó a, b là các số thực và (tối giản). Tính a + b. b b 0 A. −3. B. 5. Lời giải. Zπ Å 2 ã x 1 Ta có (x − sin 2x) dx = + cos 2x 2 2 0 C. 3. π = 0 D. 2. 1 1 π2 π2 + − = . Suy ra a = 1, b = 2 khi đó 2 2 2 2 a + b = 3.  Chọn đáp án C Câu 481. Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên đoạn [a; b]. Đẳng thức nào sai? Zb Zb Zb Zb A. f (x) dx = f (x) dt. B. f (x) dx = f (t) dt. a a Zb Za f (x) dx = − C. a f (t) dt. a a Zb Za f (x) dx = D. a b f (t) d(−t). b Lời giải. Zb Zb Ta có f (x) dx = f (t) dt. a a  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 171 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Z4 Câu 482. Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện f 0 (x) dx = 5, 0 Z5 f 0 (2u) du = 6, f (0) = 3. Giá trị của f (10) bằng 2 A. 4. C. −4. B. 20. D. −20. Lời giải. Đặt x = 2u ⇒ dx = 2 du. Đổi cận u = 2 ⇒ x = 4, u = 5 ⇒ x = 10. Z5 Z5 Z5 dx 1 0 0 = f 0 (x) dx. Khi đó f (2u)du = f (x) 2 2 2 Z5 Mà 2 2 1 f (2u)du = 6 ⇒ 2 0 Z5 Z5 0 f (x) dx = 6 ⇒ 2 2 Z10 0 Z4 f (x) dx = Ta có 0 f 0 (x) dx = 12. 2 Z10 0 f (x) dx + 0 Z10 0 f (x) dx = 5 + 12 = 17. Mà 4 f 0 (x) dx = f (10) − f (0) 0 ⇒ f (10) = 20.  Chọn đáp án B Câu 483. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = A. ln |3x + 1| + C. B. 3 là 3x + 1 1 + C. 3x + 1 C. 9 + C. (3x + 1)2 D. 3 ln |3x + 1| + C. Lời giải. Z 3 Ta có dx = ln |3x + 1| + C. 3x + 1  Chọn đáp án A Câu 484. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x ln x, y = 0, x = e khi quay quanh trục Ox. 5e3 + 2 5e3 − 2 5e3 + 2 5e3 − 2 A. π. B. π. C. π. D. π. 27 27 25 25 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm x ln x = 0 ⇔ x = 1. Ze Ze Ze 2 2 2 2 Thể tích khối tròn xoay sinh ra V = π x ln x dx = π x ln x dx . Xét x2 ln2 x dx 1 1 1 x3 2 Đặt u = ln2 x ⇒ du = ln x, dv = x2 dx ⇒ v = . Ta được x 3 Ze x2 ln2 x dx 1 e x3 2 2 ln x − = 3 3 1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 172 Ze x2 ln x dx 1 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ze Xét x2 ln x dx. Đặt u = ln x ⇒ du = Chương 3-Giải tích 12 1 x3 dx, dv = x2 dx ⇒ v = . Ta được x 3 1 Ze e 1 x3 x ln x dx = ln x − 3 3 2 1 1 Ze Khi đó e3 2 x ln x dx = − 3 3 2 Ze 2 Å e 1 x3 x dx = ln x − x3 3 9 1 1 e3 e3 1 − + 3 9 9 e 2 ã = 1 e3 e3 1 − + . 3 9 9 5 3 2 5e3 − 2 = e − = . Vậy thể tích khối tròn xoay 27 27 27 1 5e3 − 2 V = π. 27  Chọn đáp án B Câu 485. Một quả đào có dạng hình cầu đường kính 6 cm. Hạt của nó là khối tròn xoay sinh ra bởi hình Ê-líp khi quay quanh đường thẳng nối hai tiêu điểm F1 , F2 . Biết tâm của Ê-líp trùng với tâm của khối cầu và độ dài trục lớn, trục nhỏ lần lượt là 4 cm và 2 cm. Thể tích phần cùi (phần ăn a a được) của quả đào bằng π (cm3 ) với a, b là các số thực và (tối giản), khi đó a − b bằng b b A. 97. B. 36. C. 5. D. 103. Lời giải. Xét Elip có độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ lần lượt là 4 và 2. Ta có a = 2, y b = 1. Phương trình chính tắc của Ê-líp là x2 y 2 + = 1. 4 1 x Gọi V1 là thể tích khối cầu. V2 là thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi hình Ê-líp khi quay quanh trục Ox. Khi đó thể tích V phần cùi (phần ăn được) của quả đào là V = V1 − V2 . 4 4 Ta có V1 = πR3 = π33 = 36π. 3 3 Z2 Ta có V2 = 2π x2 1− dx = 2π 4 0 Khi đó V = V1 − V2 = 36π − Z2 Å ã Å ã x2 x3 1− dx = 2π x − 4 12 0 2 = 2π · 0 4 8π = . 3 3 100π 8π = . Khi đó a = 100, b = 3 suy ra a − b = 97. 3 3  Chọn đáp án A Câu 486. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 173 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f 0 (x) như x2 hình bên. Đặt h(x) = f (x) − . Mệnh đề nào dưới đây 2 đúng? y A. Hàm số y = h(x) đồng biến trên khoảng (−2; 3). 4 B. Hàm số y = h(x) nghịch biến trên khoảng (0; 1). C. Hàm số y = h(x) nghịch biến trên khoảng (2; 4). D. Hàm số y = h(x) đồng biến trên khoảng (0; 4). 2 −2 O 2 4 x 4 x −2 Lời giải. Ta có h(x) = 2f (x) − x2 nên h0 (x) = 2f 0 (x) − 2x = y 0 2 (f (x) − x). Vẽ đường thẳng y = x cắt đồ thị tại ba điểm (−2; −2), (2; 2), (4; 4) tạo ra hai miền (H1 ), (H2 ) có diện tích là S1 và 4 S2 . Trong đó Z4 S1 0 2 (x − f (x))dx > 0 S1 = 2 Z4 nên 0 < 2 O −2 4  (x − f 0 (x))dx = x2 − 2f (x) 2 = h(2) − h(4). −2 2 2 Do đó h(2) > h(4). Ta có f (x) là hàm liên tục nên h(x) cũng là hàm liên tục, ∀x ∈ (2; 4), mà h(2) > h(4) nên suy ra hàm số y = h(x) nghịch biến trên khoảng (2; 4).  Chọn đáp án C Câu 487. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = e2018x Z Z. 1 · e2018x + C. A. f (x) dx = e2018x + C. B. f (x) dx = 2018 Z Z 2018x C. f (x) dx = 2018 · e + C. D. f (x) dx = e2018x · ln 2018 + C. Lời giải. Z Z Ta có f (x) dx = e2018x dx = 1 2018x 1 e d(2018x) = · e2018x + C. 2018 2018  Chọn đáp án B π  π  Câu 488. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 2x và F = 1. Tính F 4 π  5 π  π  3 π  A. F = . B. F = 0. C. F = . D. F = 6 4 6 6 4 6 Lời giải. π Z4 π  π  π  π  1 1 1 3 Ta có sin 2x dx = = F −F ⇒F =F − =1− = . 4 4 6 6 4 4 4 4 6 1 . 2 . π 6  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 174 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Z1 Câu 489. Một học sinh làm bài tích phân I = dx theo các bước sau. 1 + x2 0 Bước 1: Đặt x = tan t, suy ra dx = (1 + tan2 t) dt. π Bước 2: Đổi cận x = 1 ⇒ t = ; x = 0 ⇒ t = 0. 4π π 4 Z Z4 π 1 + tan2 t π π 4 Bước 3: I = dt = dt = t = 0 − = − . 2 1 + tan t 4 4 0 0 0 Các bước làm ở trên, bước nào sai? A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Không bước nào. Lời giải. π Z4 Bước 3 bị sai. Sửa đúng là I = π 2 1 + tan t dt = 1 + tan2 t 0 Z4 dt = t π 4 = 0 π π −0= . 4 4 0  Chọn đáp án C Câu 490. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (H) : y = x−1 và các trục tọa x+1 độ. Khi đó giá trị của S bằng A. ln 2 − 1. B. 2 ln 2 − 1. C. ln 2 + 1. D. ln 2 + 1. Lời giải. Đồ thị hàm số H cắt trục tọa độ tại các điểm (0; −1) và (1; 0). Z1 Å ã x−1 Vậy diện tích S = − dx = 2 ln 2 − 1. x+1 y 4 3 0 2 1 −3 −2 −1 O 1 2 3 y= 2x − 1 x+1 x −1  Chọn đáp án B Z5 Câu 491. Tính tích phân I = dx ta được kết quả I = a ln 3 + b ln 5. x 3x + 1 √ 1 Giá trị S = a2 + ab + 3b2 là A. 4. B. 1. C. 0. D. 5. Lời giải. √ Đặt t = 3x + 1 ⇒ t2 = 3x + 1 ⇒ 2tdt = 3dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 2; x = 5 ⇒ t = 4. Z5 Z4 Z4 dx 2 tdt dt √ I= = =2 2 2 t −1 3 t −1 x 3x + 1 ·t 1 2 2 3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 175 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z4 Å = ã 1 t−1 1 − dt = ln t−1 t+1 t+1 2 Chương 3-Giải tích 12 4 = 2 ln 3 − ln 5. 2 Khi đó a = 2, b = −1 ⇒ a2 + ab + 3b2 = 4 − 2 + 3 = 5.  Chọn đáp án D 1 Câu 492. Cho hàm số f (x) liên tục trên R+ thỏa mãn f 0 (x) ≥ x + , ∀x ∈ R+ và f (1) = 1. Khẳng x định nào sau đây là đúng? 5 5 D. f (2) ≥ + 2 ln 2 . A. f (2) ≥ 5. B. f (2) ≥ 4. C. f (2) ≥ + ln 2. 2 2 Lời giải. Lấy tích phân hai vế ta có: Z2 Z2 Å ã Å 2 ã 1 x 0 f (x)dx ≥ x+ dx ⇔ f (2) − f (1) ≥ + ln x x 2 1 1 2 1 3 5 + ln 2 ⇔ f (2) ≥ + ln 2. 2 2 Chọn đáp án C ⇔ f (2) − 1 ≥  Câu 493. Cho số thực a > 0. Giả sử hàm số f (x) liên tục và luôn dương trên đoạn [0; a] thỏa mãn Za 1 dx? f (x) · f (a − x) = 1. Tính tích phân I = 1 + f (x) 0 2a A. I = . 3 Lời giải. a B. I = . 2 a C. I = . 3 D. I = a. Đặt t = a − x ⇒ dt = −dx. Đổi cận x = 0 ⇒ t = a; x = a ⇒ t = 0. 1 . f (a − x) Z0 Z0 f (t) 1 + f (t) − 1 =− dt = − dt 1 + f (t) 1 + f (t) Ta có f (x) · f (a − x) = 1 ⇒ f (x) = Z0 Vậy I = a Za −dt 1 1+ f (t) a a Za Å ã ã 1 1 = dt = 1− dx = x|a0 − I = a − I. 1 + f (t) 1 + f (x) 0 0 0 a Do đó ta có I = a − I ⇔ I = . 2 Chọn đáp án B 1 + f (t) − 1 dt = 1 + f (t) Za Å 1− Z1 Câu 494. Tích phân  e−x dx bằng 0 A. e − 1. Lời giải. Z1 Ta có e−x dx = −e−x B. 1 0 = 1 − 1. e C. e−1 . e D. 1 . e e−1 . e 0  Chọn đáp án C Câu 495. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = 0, x = π, đồ thị hàm số y = cos x và trục Ox là Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 176 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Zπ A. S = Zπ cos x dx. B. S = 0 Chương 3-Giải tích 12 Zπ 2 cos x dx. | cos x| dx. C. S = 0 Zπ | cos x| dx. D. S = π 0 0 Lời giải. Zπ | cos x| dx. Theo công thức tính diện tích hình phẳng bằng tích phân ta có S = 0 Chọn đáp án C  Câu 496. Họ nguyên hàm của hàm số y = cos 3x là sin 3x sin 3x A. + C. B. − + C. C. sin 3x + C. D. − sin 3x + C. 3 3 Lời giải. Z Z sin 3x sin(ax + b) + C ta có cos 3x dx = + C. Áp dụng công thức cos(ax + b) dx = a 3 Chọn đáp án A  Z1 Câu 497. Biết 2×2 + 3x + 3 dx = a − ln b với a, b là các số nguyên dương. Tính P = a2 + b2 . x2 + 2x + 1 0 A. P = 13. B. P = 5. C. P = 4. D. P = 10. Lời giải. Z1 I= 2×2 + 3x + 3 dx = x2 + 2x + 1 0 Z1 Å x−1 2− (x + 1)2 ã dx 0 Z1 Å ã 1 2 = 2− + dx x + 1 (x + 1)2 0 ã1 Å 2 = 2x − ln |x + 1| − = 3 − ln 2. x+1 0 Suy ra P = 13.  Chọn đáp án A Zm Câu 498. Cho I = (2x − 1)e2x dx. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để I < m là 0 khoảng (a; b). Tính P = a − 3b. A. P = −3. B. P = −2. C. P = −4. D. P = −1. Lời giải. Zm 1 Ta có: I = (2x − 1)e2x dx. Đặt u = 2x − 1 ⇒ du = 2 dx; dv = e2x ⇒ v = e2x . 2 0 1 Vậy I = e2x (2x − 1) 2 Ta có I < m ⇔ e 2m Zm m − 0 e2x dx = e2m (m − 1) + 1. 0 (m − 1) + 1 < m ⇔ (m − 1)(e2m − 1) < 0 ⇔ 0 < m < 1. Vậy m ∈ (0; 1) theo đó P = 0 − 3 · 1 = −3  Chọn đáp án A Câu 499. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x + y − 2 = 0; y = y = 0 quay quanh trục Ox bằng 5 6π A. . B. . 6 5 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 177 2π . 3 D. √ x; 5π . 6 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 5 Lời giải. √ Đặt f (x) = 2 − x; g(x) = x; h(x) = ( 0. ( 2−x>0 x62 √ Xét 2 − x = x ⇔ ⇔ ⇔ x = 1. (2 − x)2 = x x2 − 5x + 4 = 0   √   x x+y−2=0 y =     và (H2 ) : y = 0 . Ta có (H1 ) : y = 0       x = 0, x = 1 x = 1, x = 2 Cho (H1 ), (H2 ) quay quanh Ox có thể tích lần lượt là V1 , V2 và thể tích cần tìm là V = V1 + V2 . Z1 Z1 Å 2ã x 2 V1 = π g (x) dx = π x dx = π 2 0 0 Z2 Z2 V2 = π 2 = 0 Z2 2 (2 − x) dx = f (x) dx = π 1 1 1 y 2 4 0 1 2 x π . 2 (x − 2)3 (x − 2) d(x − 2) = π · 3 2 2 1 = 1 π . 3 π π 5π Vậy V = V1 + V2 = + = . 2 3 6 Chọn đáp án D  Zπ x sin2018 x πa Câu 500. Biết dx = trong đó a, b là các số nguyên dương. Tính P = b sin2018 x + cos2018 x 0 2a + b. A. P = 8. B. P = 10. C. P = 6. D. P = 12. Lời giải. sin2018 x . sin2018 x + cos2018 x Đặt t = π − x. Zπ Z0 xf (x) dx = − (π − t)f (π − t) dt Đặt f (x) = 0 π Zπ Zπ (π − t)f (π − t) dt = = 0 xf (x) dx = Suy ra 0 0 πf (x) dt − xf (x) dt. 0 Zπ f (x) dx. 0 Zπ Xét I1 = π 2 (π − x)f (x) dx Zπ 0 Zπ (π − x)f (π − x) dx = 0 Zπ = Zπ f (x) dx. Đặt t = π − x. 2 0 −π π Z2 I1 = − f( π 2 π − t) dt = 2 Z2 π Z2 2018 cos t dt cos2018 t + sin2018 t =2 −π 2 cos2018 t dt cos2018 t + sin2018 t 0 π 2 Z =2 cos2018 x dx. cos2018 x + sin2018 x 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 178 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 π Z2 Xét I2 = cos2018 x dx. cos2018 x + sin2018 x 0 π Đặt t = − x. 2 π  cos2018 −t π  2 π  dt 2018 cos − t + sin2018 −t 2 2 π Z2 I2 = 0 π Z2 = sin2018 t dt cos2018 t + sin2018 t 0 π 2 Z = sin2018 x dx. cos2018 x + sin2018 x 0 Zπ π dx = . Suy ra 2 Khi đó I1 = 2I2 = I2 + I2 = 0 Zπ xf (x) dx = π π2 I1 = . 2 4 0 Suy ra a = 2; b = 4. Do đó 2a + b = 8. Chọn đáp án A  1 . Câu 501. Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = (x + 1)Z2 Z 1 2 −1 1 A. dx = + C. B. dx = + C. 2 3 2 (x + 1) x+1 Z (x + 1) Z (x + 1) 1 −2 1 1 C. dx = + C. D. dx = + C. 2 2 (x + 1) x+1 (x + 1) (x + 1)3 Lời Z giải. Z 1 1 −1 dx = d(x + 1) = + C. 2 2 (x + 1) (x + 1) x+1 Chọn đáp án B  Câu 502. Cho hàm số f (x) liên tục trên [a; b]. Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] và u(x) ∈ [α; β], ∀x ∈ [a; b], hơn nữa f (u) liên tục trên đoạn [α; β]. Mệnh đề nào sau đây đúng? Zb Zb Zu(b) Zb A. f (u(x)) · u0 (x) dx = f (u) du. B. f (u(x)) · u0 (x) dx = f (u) du. a a Zb Zu(b) 0 f (u(x)) · u (x) dx = C. a a u(a) Zb f (u) du. 0 f (u(x)) · u (x) dx = D. a u(a) Zb f (x) du. a Lời giải. Zb Zu(b) Ta có f (u(x)) · u0 (x) dx = f (u) du. a u(a)  Chọn đáp án C π Z2 Câu 503. Tính tích phân I = A. I = π 4  − x dx. 0 π . 4 B. I = −1. Lời giải. Ta có I = cos sin π 4 −x  π 2 C. I = 0. D. I = 1. = 0. 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 179 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12    π π x trên − ; và F (x) là một nguyên hàm của x · f 0 (x) thỏa mãn Câu 504. Cho f (x) = 2 x 2 2  π cos  π F (0) = 0. Biết α ∈ − ; và tan α = 3. Tính F (α) − 10α2 + 3α. 2 2 1 1 1 A. − ln 10. B. − ln 10. C. ln 10. D. ln 10. 2 4 2 Lời giải. Chọn đáp án C Theo công thức tích phân từng phần ta có Z Z 0 x · f (x) dx = x · f (x) − f (x) dx. Cũng theo công thức tích phân từng phần lại có Z Z Z 0 f (x) dx = x · (tan x) dx = x · tan x − tan x dx = x · tan x + ln |cos x| + C. Do đó Z F (x) = x · f 0 (x) dx = x · f (x) − x · tan x − ln | cos x| + C. 1 = 10. Từ đó Mà F (0) = 0 nên F (x) = x · f (x) − x · tan x − ln | cos x|. Lại có tan α = 3 nên cos2 α 1 1 F (α) − 10α2 + 3α = − ln √ = ln 10. 2 10 Chọn đáp án C  Z1 Câu 505. Cho In = e−nx dx , n ∈ N. Đặt un = 1 (I1 + I2 ) + 2 (I2 + I3 ) + · · · + n (In + In+1 ) − n. 1 + e−x 0 Biết lim un = L. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. L ∈ (−1; 0). B. L ∈ (−2; −1). C. L ∈ (0; 1). D. L ∈ (1; 2). Lời giải. Ta có Z1 In + In−1 = e−nx + e−(n−1)x dx = 1 + e−x 0 Z1 e−(n−1)x dx = − 1 −(n−1)x e n−1 0 Do đó (n − 1) (In−1 + In ) = 1 − 1 en−1 1 =− 0 ä 1 Ä −(n−1) e −1 . n−1 . Suy ra ñÅ ãn Å ãn−1 ô 1 1 1 un = − + + ··· + . e e e Nên −un =  1 n+1 − e 1 −1 e 1 − 1 và lim un = 1 . Vậy L ∈ (−1; 0). 1−e  Chọn đáp án A Câu 506. Cho số thực a > 0. Giả sử hàm số f (x) liên tục và luôn dương trên đoạn [0; a] thỏa mãn Za 1 f (x) · f (a − x) = 1, ∀x ∈ [0; a]. Tính tích phân I = dx. 1 + f (x) 0 2a A. I = . 3 Lời giải. a B. I = . 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. I = a. 180 a D. I = . 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Đặt t = a − x thì Z0 I=− 1 dt = 1 + f (a − t) 0 a Za Từ đó ta có I + I = Za 1 1 dt = 1 + f (t) Za f (t) dt. 1 + f (t) 0 a dx = a. Do đó I = . 2 0  Chọn đáp án B Câuh 507.i Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sin x, y = cos x, x = 0, x = a, với √ √ ä 1Ä π π ; là a∈ −3 + 4 2 − 3 . Hỏi số a thuộc khoảng nào sau đây? 4Å 2 ã 2 Å ã Å ã Å ã 51 11 11 3 51 7 ;1 . B. ; . C. ; . D. 1; . A. 10 50 10 10 2 50 Lời giải. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sin x, y = cos x, x = 0, x = a là π Za | sin x − cos x| dx = S = Za Z4 0 | sin x − cos x| dx + | sin x − cos x| dx π 4 0 π Za Z4 (cos x − sin x) dx − = (cos x − sin x) dx π 4 0 √ = 2 2 − 1 − cos a − sin a. Theo bài ra ta có √  √ ä √ π 3+1 5π −3 + 4 2 − 3 = −2 + 4 2 − 2 cos a − 2 sin a ⇔ sin a + = √ = sin . 4 12 2 2 Å ã π 7π π 51 11 ⇒a+ = ⇔ a = ≈ 1,047 ⇒ a ∈ ; . 4 12 3 10 10 Chọn đáp án B √ Ä  Câu 508. Cho hai hàm số y = f (x) và y = g(x) liên tục trên [a; b]. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f (x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính theo công thức Zb A. S = |f (x) − g(x)| dx. Zb a a Zb Zb (f (x) − g(x)) dx. C. S = (f (x) − g(x)) dx. B. S = π f (x) − g(x) dx . D. S = a a Lời giải. Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f (x), y = g(x) và hai Zb đường thẳng x = a, x = b (a < b) là S = |f (x) − g(x)| dx. a  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 181 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 Chương 3-Giải tích 12 x dx là x+1 Câu 509. Giá trị của tích phân I = 0 A. I = 2 + ln 2. C. I = 1 − ln 2. B. I = 1 + ln 2. D. I = 2 − ln 2. Lời giải. Ta có Z1 I= x dx = x+1 Z1 x+1−1 dx = x+1 0 0 Z1 Å 1− 1 x+1 Z1 ã Z1 dx − dx = 0 0 1 dx x+1 0 1 1 = x − ln(x + 1) 0 = 1 − ln 2. 0  Chọn đáp án C Z1 Câu 510. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thoả mãn f (1) = 0, 2 [f 0 (x)] dx = 0 Z1 2 (x + 1)ex f (x) dx = e −1 . Tích phân 4 Z1 f (x) dx bằng 0 0 e−1 e2 e A. . B. . C. . 2 4 2 Lời giải. Z1 Z1 e2 − 1 2 0 Đặt I = [f (x)] dx = (x + 1)ex f (x) dx = . 4 0 D. e − 2. 0 Xét Z1 ex f (x) dx = xex f (x)|10 Z1 − 0 x d (ex f (x)) = − 0 Z1 (xex f (x) + xex f 0 (x)) dx. 0 Suy ra Z1 xex f 0 (x) dx = − 0 Z1 xex f (x) dx − 0 Z1 ex f (x) dx = −I = 1 − e2 . 4 0 Khi đó Z1 f 0 (x) (f 0 (x) + xex ) dx = Z1 Ä 0 1 1 Z Z ä 2 0 x 0 0 [f (x)] + xe f (x) dx = [f (x)] dx + xex f 0 (x) dx = 0. 2 0 0 0 Z1 x Do f (x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1], xe liên tục trên [0; 1] ⊂ R, 2 [f 0 (x)] dx 6= 0, suy ra 0 f 0 (x) 6= 0 với mọi x ∈ [0; 1] nên 0 x f (x) = −xe ⇒ f (x) = − Z x xe = − Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Z x x x de = −xe + 182 Z ex dx = −xex + ex + C. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Từ f (1) = 0 suy ra C = 0. Vậy f (x) = −xex + ex . Do đó Z1 Z1 f (x) dx = 0 (−xex + ex ) dx = − 0 Z1 xex dx + 0 Z1 ex dx = − 0 Z1 x dex + 0 1 = −xex + 2 Z1 0 1 Z ex dx ex dx = −e + 2ex 1 0 0 0 = −e + 2(e − 1) = e − 2.  Chọn đáp án D Câu 511. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 2x. A. 2 cos 2x + C. B. 2 cos 2x + C. C. 1 cos 2x + C. 2 1 D. − cos 2x + C. 2 Lời giải. 1 Nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 2x là − cos 2x + C. 2 Chọn đáp án D  Câu 512. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2x2 − 1 và nửa đường tròn có phương √ √ √ trình y = 2 − x2 với (− 2 ≤ x ≤ 2) (phần tô đậm trong hình vẽ). y √ 2 √ 2 O x −1 Diện tích của (H) bằng 3π + 2 3π + 10 A. . B. . 6 3 Lời giải. C. 3π + 10 . 6 D. 3π − 2 . 6 Phương trình hoành độ giao điểm của parabol y = f (x) = 2x2 − 1 và nửa đường tròn √ √ √ y = g(x) = 2 − x2 (− 2 ≤ x ≤ 2) là √ 2x2 − 1 = 2 − x2  √ √  2 2    x≤− ∨x≥  ( 2 1  2 2 x 2 ≥  2x ≥ 1 2 2 ⇔ ⇔ ⇔ x =1  4  2 − x2 = 4x4 − 4x2 + 1  4x − 3x2 − 1 = 0   1   x2 = − (vô lý) 4  √ √ "  2 2 x ≤ − x=1 ∨x≥ 2 2 ⇔ . ⇔  x = −1 x = 1 ∨ x = −1 Z1 Z1 Z1 √ √ S = |f (x) − g(x)| dx = |2x2 − 1 − 2 − x2 | dx = ( 2 − x2 − 2x2 + 1) dx −1 −1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em −1 183 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ = Z1 √ Z 2− x2 1 Z 2 dx − 2 1 1 dx = A − 2B + C x dx + −1 −1 Chương 3-Giải tích 12 −1 Trong đó: Z1 √ A= 2 − x2 dx −1 √ √ Đặt x = 2 sin t ⇒ dx = 2 cos t dt với t ∈ [−π; π] π π Đổi cận: x = 1 ⇒ t = ; x = −1 ⇒ t = − . 4 4 π 4 Z √ Z π √ 4 2 − 2cos2 t · 2 cos t dt = Khi đó A = 2| cos t| · cos tdt − π4 − π4 π π Z4 Z4 2 cos t dt = = − π4 cos 2t + 1 2· 2 ã dt − π4 π 4 π Z4 Z = Å cos 2t dt + − π4 1 dt = 1 · sin 2t 2 π 4 − π4 +t π 4 = − π4 1 π π ·2+ =1+ 2 2 2 − π4 1 x3 B= x dx = 3 −1 Z1 C = 1 dx = 2 Z 1 2 = −1 2 3 −1 Suy ra S = A − 2B + C = 1 + 2 3π + 10 π −2· +2= . 2 3 6  ß ™ 2 1 Câu 513. Cho hàm số f (x) xác định trên R thỏa mãn f 0 (x) = , f (0) = 1 và f (1) = 2. 2 2x − 1 Giá trị của biểu thức f (−1) + f (3) bằng Chọn đáp án C A. 2 + ln 15. B. 4 + ln 15. C. 3 + ln 15. D. ln 15. Lời giải.   ln(2x − 1) + C1 1 2 Ta có f (x) = ln |2x − 1| + C = 1  ln(1 − 2x) + C2 khi x < . 2 Do f (0) = 1 và f (1) = 2 nên ta có C1 = 2 và C2 = 1. khi x ≥ Vậy f (−1) + f (3) = 3 + ln 3 + ln 5 = 3 + ln 15.  Chọn đáp án C Z3 Câu 514. Tính tích phân I = dx . x+2 0 21 A. I = − . 100 Lời giải. Z3 dx I= = ln |x + 2| x+2 0 5 B. I = ln . 2 3 0 C. I = 4581 . 5000 5 D. I = log . 2 5 = ln 5 − ln 2 = ln . 2  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 184 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 515. Cho H là hình phẳng được tô đậm trong hình ( vẽ và được giới hạn bởi − x khi x ≤ 1 10 các đường có phương trình y = x − x2 , y = . Diện 3 x − 2 khi x > 1 tích của H bằng 13 11 14 11 . B. . C. . D. . A. 2 2 6 3 y 1 1 3 O −1 x Lời giải. Z1 Å Ta có S = 10 x − x2 + x 3 Z3 Å ã dx + 0 10 x − x2 − x + 2 3 ã dx = 13 . 2 1  Chọn đáp án B Câu 516. Cho hàm số y = π x có đồ thị C. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi C, trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 3. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức Z3 Z3 Z2 Z3 x x 2x 3 2 A. V = π π dx. B. V = π π dx. C. V = π π dx. D. V = π π 2x dx. 2 2 3 2 Lời giải. Z3 Ta có: V = π Z3 x 2 (π ) dx = π 2 π 2x dx. 2  Chọn đáp án D 1 Câu 517. Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (0; +∞) {e} thỏa mãn f 0 (x) = , x (ln x − 1) Å ã Å ã 1 1 + f (e3 ) bằng f 2 = ln 6 và f (e2 ) = 3. Giá trị của biểu thức f e e A. 3 (ln 2 + 1). B. 2 ln 2. C. 3 ln 2 + 1. D. ln 2 + 3. Lời giải. Z d (ln x − 1) 1 dx = = ln |ln x − 1| + C Ta có f (x) = f (x) dx = x (ln x − 1) ln x − 1 ( ln (ln x − 1) + C1 khi x > e = . ln (1 − ln x) + C2 khi 0 < x < e Å ã Å ã 1 1 Vì f 2 = ln 6 ⇒ ln 1 − ln 2 + C2 = ln 6 ⇒ ln 3 + C2 = ln 6 ⇒ C2 = ln 6 − ln 3 = ln 2. e e 2 2 Vì f (e )Å= 3ã ⇒ ln (ln e − 1) Å + C1 =ã3 ⇒ C2 = 3. 1 1 Do đó f + f (e3 ) = ln 1 − ln + ln 2 + ln (ln e3 − 1) + 3 = 2 ln 2 + ln 2 + 3 = 3 (ln 2 + 1). e e Chọn đáp án A  Z 0 Z1 Câu 518. Biết Z Å ã πx3 + 2x + ex3 · 2x 1 1 e dx = + ln p + với m, n, p là các số nguyên π + e · 2x m e ln n e+π 0 dương. Tính tổng S = m + n + p. A. S = 7. B. S = 6. C. S = 8. D. S = 5. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 185 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 πx3 + 2x + ex3 · 2x dx = π + e · 2x 0 Z1 Chương 3-Giải tích 12 x3 (π + e · 2x ) + 2x dx = π + e · 2x 0 1 1 x4 + = 4 0 ln 2 Z1 0 Z1 Å x3 + 2x π + e · 2x Z1 ã dx = Z1 x3 dx+ 0 0 1 d (2x ) 1 1 1 π + 2e 1 1 1 x = + + ln |π + e · 2 | ln = + = x π+e·2 4 e · ln 2 4 e · ln 2 π+e 4 e · ln 2 0 2x dx π + e · 2x 0 Å ln 1 + ã e . e+π Suy ra S = 7.  Chọn đáp án A Câu 519. Họ nguyên hàm của hàm số exe + 4 là A. exe+1 + 4x + C. B. e2 xe−1 + C. C. exe+1 + 4x + C. e+1 D. xe+1 + 4x + C. e+1 Lời giải. Z Z Z xe+1 e e Ta có: (ex + 4) dx = e x dx + 4 dx = e + 4x + C. e+1 Chọn đáp án C  1 Câu 520. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 3 cos x + 2 trên (0; +∞). x 1 1 1 C. −3 sin x + + C. D. 3 cos x + + C. A. 3 cos x + ln x + C. B. 3 sin x − + C. x x x Lời giải. Z Z Z 1 1 1 Ta có: (3 cos x + 2 ) dx = 3 cos x dx + dx = 3 sin x − + C. x x2 x  Chọn đáp án B Câu 521. Cho sốZdương a và hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (x) + f (−x) = a, ∀x ∈ R. Giá a f (x)dx bằng trị của biểu thức −a A. 2a2 . B. a2 . C. a. D. 2a. Lời giải. Đặt x = −t, suy ra dx = −dt. Khi đó Z a Z −a Z I= f (x)dx = − f (−t)dt = −a Z Z a Z a [a − f (t)] dx = f (−t)dt = −a a 1 ⇒I= 2 a −a adx − I −a a 1 adx = a · (a + a) = a2 . 2 −a  Chọn đáp án B Câu 522. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 ? x4 x4 x4 A. y = − 1. B. y = + 1. C. y = . D. y = 3x2 . 4 4 4 Lời giải. Ta có Z x4 x3 dx = + C. 4 Suy ra hàm số y = 3x2 không phải là nguyên hàm của y = x3 .  Chọn đáp án D Câu 523. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = x2 . Giá trị của biểu thức F 0 (4) là A. 2. B. 4. C. 8. D. 16. Lời giải. Theo định nghĩa nguyên hàm, ta có F 0 (x) = x2 . Suy ra F 0 (4) = 16.  Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 186 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 524. Cho hàm số y = f (x) liên tục và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi y y = f (x) D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị đã cho và trục Ox. Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích V được xác định theoZcông thức nào dưới đây? Z 3 3 A. V = π 2 (f (x))2 dx. Z1 1 3 C. V = (f (x))2 dx. 3 1 (f (x))2 dx. B. V = 1Z D. V = π x 3 1 O (f (x))2 dx. 1 3 −1 Lời giải. Theo công Z 3 thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay một hình phẳng xung quanh trục Ox, ta có V =π (f (x))2 dx. 1  Chọn đáp án D Câu 525. Cho số dương a thỏa mãn hình phẳng giới hạn bởi các đường parabol y = ax2 − 2 và y = 4 − 2ax2 có diện tích bằng 16. Tìm giá trị của a. 1 1 C. . A. 1. B. . 2 4 Lời giải. D. 2. √ 2 2 Xét phương trình hoành độ giao điểm ax − 2 = 4 − 2ax ⇔ x = ⇔ x = ± √ . a a √ 2 Đặt m = √ > 0. Khi đó, diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai parabol là a √ Z m Z m 8 2 2 2 3 3 S= |3ax − 6|dx = (6 − 3ax )dx = (6x − ax )|−m→m = 12m − 2am = √ . a −m −m √ 8 2 1 Từ đó suy ra √ = 16 ⇔ a = . 2 a Chọn đáp án B 2 2 2  Câu 526. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Tính diện tích SZcủa hình phẳng Z c được đánh dấu trong hình. b f (x) dx − f (x) dx. A. S = Za b Zb c B. S = f (x) dx + f (x) dx. aZ bZ b c C. S = − f (x) dx + f (x) dx. Z ba Z bb D. S = f (x) dx − f (x) dx. a y y = f (x) a b c x O c Lời giải. Z b Z f (x) dx + Ta có S = a c Z Z f (x) dx − f (x) dx = b b a c f (x) dx. b  Chọn đáp án A Câu 527. Cho hàm số f (x) = ( 1 − 2x nếu x > 0 cos x Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em nếu x ≤ 0 187 Z1 . Tính giá trị biểu thức I = f (x) dx. − π2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 1 B. I = . 2 A. Đáp án khác. C. I = 1. D. I = 0. Lời giải. Ta có Z1 Z0 I= f (x) dx = − π2 Z1 f (x) dx + − π2 = sin x|0− π + (x − x2 ) 2 Z0 f (x) dx = (1 − 2x) dx cos x dx + − π2 0 1 0 Z1 0 = 1.  Chọn đáp án C Câu 528. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 22x . 22x + C. B. F (x) = ln 2 D. F (x) = 4x · ln 4 + C. 2x A. F (x) = 2 · ln 2. 4x C. F (x) = + C. ln 4 Lời giải. Z Z Z 4x 2x Ta có F (x) = f (x) dx = 2 dx = 4x dx = + C. ln 4 Chọn đáp án C  Câu 529. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 − 2x và y = −x2 + 4x. 11 D. S = 27. A. S = 12. B. S = 9. C. S = . 3 Lời giải. Ta có phương trình hoành độ giao điểm ” 2 2 2 x − 2x = −x + 4x ⇔ x − 3x = 0 ⇔ x=0 . x=3 Suy ra diện tích hình giới hạn là Z3 2 Z3 2 |x − 2x − (−x + 4x)| dx = S= 0 (2×2 − 6x) dx = 9. 0  Chọn đáp án B Z1 Câu 530. Cho I = (2x − m2 ) dx. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để I + 3 ≥ 0. 0 A. 4. B. 0. C. 5. D. 2. Lời giải. Z1 Ta có I = (2x − m2 ) dx = (x2 − m2 x) 1 0 = 1 − m2 . 0 Để I + 3 ≥ 0 ⇔ 4 − m2 ≥ 0 ⇔ m2 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ m ≤ 2. Từ đó suy ra có 2 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn.  Chọn đáp án D Câu 531. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 2 có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ 2) √ là một nửa đường tròn đường kính là 5×2 . Tính thể tích V của vật thể đã cho. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 188 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. V = 2π. Chương 3-Giải tích 12 B. V = 5π. C. V = 4π. D. V = 3π. Lời giải. √ Do thiết diện là nửa đường tròn với đường kính 5×2 nên diện tích của thiết diện là Ç√ å2 5×2 π 2 5πx4 S(x) = = . 2 8 Từ đó suy ra thể tích của vật thể là Z2 V = Z2 S(x) dx = 0 5πx4 dx = 4π. 8 0  Chọn đáp án C Câu 532. Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) v phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình vẽ bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu 9 chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung. Khoảng thời gian còn lại vật chuyển động chậm dần đều. Tính quãng đường S mà vật đi được trong 4 4 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. S = 23, 71 km. B. S = 23, 58 km. C. S = 23, 56 km. D. S = 23, 72 km. t O 1 2 3 4 Lời giải. Trong 1 giờ đầu, ta gọi phương trình vận tốc của vật là v = at2 + bt + c, suy ra v 0 = 2at + b. Theo giả thiết ta có    5     a=− v(0) = 4 c=4       4 v(2) = 9 ⇔ 4a + 2b + 4 = 9 ⇔ b = 5 .          0  4a + b = 0 v (2) = 0 c=4 5 31 Suy ra v(t) = − t2 + 5t + 4, từ đó ta có v(1) = . 4 4 Trong 3 giờ sau, gọi phương trình vận tốc v(t) = at + b. Theo giả thiết ta có   v(1) = a + b = 31 a = − 5 4 ⇔ 4.   v(4) = 4a + b = 4 b=9 5 Suy ra v(t) = − t + 9. 4 Quãng đường vật đi trong 4 giờ là Z1 Å Z4 Å ã ã 5 2 5 S= − t + 5t + 4 dt + − t + 9 dt = 23, 7083. 4 4 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 1 189 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án A Câu 533. Cho hai hàm số f (x) và g(x) có đạo hàm trên [1; 4] và thỏa mãn hệ thức sau với mọi x ∈ [1; 4]   f (1) = 2g(1) = 2      0 1 1 f (x) = √ · x x g(x)    2 1   g 0 (x) = − √ · . x x f (x) Z4 Tính I = [f (x)g(x)] dx. 1 A. I = 4 ln 2. B. I = 4. C. I = 2 ln 2. D. I = 2. Lời giải. Theo bài ra ta có 1 2 1 [f (x)g(x)]0 = f 0 (x)g(x) + g 0 (x)f (x) = √ − √ = − √ x x x x x x Z 2 1 √ dx = √ + C. ⇒ f (x)g(x) = − x x x Kết hợp với giả thiết ta có 2 f (1)g(1) = 2 = √ + C ⇒ C = 0. 1 Từ đó suy ra Z4 Z4 [f (x)g(x)] dx = I= 1 2 √ dx = 4. x 1  Chọn đáp án B Câu 534. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau? Zb Zb A. f (x) dx = f (u) du. a a Zb Zb Zb [f (x) · g(x)] dx = B. f (x) dx · a a Za g(x) dx. a f (x) dx = 0. C. a Zb Zb [f (x) + g(x)] dx = D. a f (x) dx + a Lời giải. Z1 1 Ta có (x · x) dx = x3 3 1 0 1 = và 3 0 Z1 ⇒ g(x) dx. a Z1 Z1 x dx · 0 Z1 (x · x) dx 6= 0 Zb Z1 x dx · 0 1 0 = 1 4 0 Zb x dx ⇒ 0 1 1 1 x dx = x2 0 · x2 2 2 Zb [f (x) · g(x)] dx = a f (x) dx · a g(x) dx là mệnh đề sai. a  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Zb 190 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z2 Câu 535. Biết Chương 3-Giải tích 12 ln(9 − x2 ) dx = a ln 5 + b ln 2 + c với a, b, c ∈ Z. Tính S = a + b + c. 1 B. S = −2. A. S = 0. C. S = −3. D. S = −1. Lời giải. Ta có Z2 Z2 Z2  2 2 2 2 ln(9 − x ) dx = ln(9 − x ) 1 − x d ln(9 − x ) = ln 5 − ln 8 + 2 1 1 1 Z2 Å = ln 5 − 2 ln 2 + x2 dx 9 − x2 −2 + 3 3 − x+3 x−3 ã dx 1 2 = ln 5 − 2 ln 2 + (−2x + 3 ln |x + 3| − 3 ln |x − 3|) 1 = 5 ln 5 − 6 ln 2 − 2. Vậy S = −3.  Chọn đáp án C Z sin 2x Câu 536. Cho I = dx. Đặt t = cos 2x thì mệnh đề nào đúng? 4 cos x + sin4Zx Z Z Z 1 −1 1 −1 1 A. I = dt. B. I = dt. C. I = dt. D. I = 2 dt. 2 2 2 2 t +1 t +1 2 t +1 t +1 Lời giải. sin 2x sin 2x sin 2x 2 sin 2x Ta có . = = = 4 2 2 1 2 2x 4 2 1 + cos cos x + sin x 1 − 2 sin x cos x 1− sin 2x 2 Z −1 dt. dt = −2 sin 2x dx ⇒ 2 sin 2x dx = − dt ⇒ I = 2 t +1  Chọn đáp án A Câu 537. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 x y = x 2 e 2 , y = 0, x = 1, x = 2 quanh trục Ox. A. V = π(e2 − e). B. V = πe2 . C. V = π(e2 + e). D. V = πe. Lời giải. Áp dụng công thức tính thể tích vật thể tròn xoay ta có Z2 Z2 x V = π xe dx = π x dex 1 = πxex |21 − π 1 Z2 ex dx = π Ä ä 2e2 − ex − ex |21 = πe2 . 1  Chọn đáp án B Câu 538. Tìm nguyên hàm I của hàm số y = ex − 3×2 . A. I = ex − x3 + C. B. I = ex + x3 + C. C. I = ex + 6x + C. D. I = ex − 6x + C. Lời Zgiải. I= (ex − 3×2 ) dx = ex − x3 + C.  Chọn đáp án A Câu 539. Cho một mảnh vườn hình chữ nhật ABCD có chiều rộng là 2 m, chiều dài gấp ba chiều rộng. Người ta chia mảnh vườn bằng cách dùng hai đường parabol, mỗi parabol có đỉnh là trung Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 191 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 điểm của một cạnh dài và đi qua hai mút của cạnh dài đối diện. Tính tỉ số k diện tích phần mảnh vườn nằm ở miền trong hai parabol √ với diện tích phần đất còn lại? 3 1 1 A. = . B. = . C. = . 3 3 2 Lời giải. √ 2+3 2 D. = . 7 Giả sử mảnh vườn được gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ bên. Khi đó phương trình hai parabol có đỉnh là trung điểm AB, CD 2 2 lần lượt là y = x2 và y = − x2 + 2. Xét phương trình 9 √9 2 2 2 2 3 2 x =− x +2⇒x=± . 9 9 2 Miền diện tích giới hạn bởi các parabol (như hình vẽ) có diện tích là 3 √ 2 2 − x2 + 2 − x2 9 9 S= √ 2 D y = − 29 x2 + 2 A −3 C B √ −3 2 2 O y= √ 2 2 3 2 x 2 9 3 x √ 3 2 2 Z2 y −322 Z2 Å ã √ 4 2 dx = 2 − x dx = 4 2. 9 √ −3 2 2 √ √ 4 2 2+3 2 √ = . Ta có SABCD = 12 ⇔ k = 7 12 − 4 2 Chọn đáp án D  9 Câu 540. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục đến cấp 2 trên R và f (0) = 0, f 0 (1) = , 2 Z1 Z1 Z2 39 5 [f 0 (x)]2 dx = , (x2 + x)f 00 (x) dx = . Tính tích phân I = f (x) dx. 4 2 0 0 0 14 7 A. I = . B. I = 14. C. I = . D. I = 7. 3 3 Lời giải. Z1 Z1 Z1 5 2 00 2 0 2 0 1 Ta có = (x + x)f (x) dx = (x + x) df (x) = (x + x)f (x)|0 − (2x + 1)f 0 (x) dx 2 0 Z1 ⇒ (2x + 1)f 0 (x) dx = 0 13 2 0 (1). 0 Z1 ⇒   4[f 0 (x)]2 − 12(2x + 1)f 0 (x) + 9(2x + 1)2 dx = 0 0 Z1 ⇒ 2 [2f 0 (x) − 3(2x + 1)] dx = 0 0 3(x2 + x) +C 2 Z2 3(x2 + x) 3(x2 + x) . Vậy I = dx = 7. Từ f (0) = 0 ⇒ f (x) = 2 2 ⇒ 2f 0 (x) − 3(2x + 1) = 0 ⇒ f (x) = 0  Chọn đáp án D Câu 541. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3×2 + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 là A. S = 8. B. S = 12. C. S = 10. D. S = 9. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 192 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z2 Ta có S = 3×2 + 1 dx = Z2 Chương 3-Giải tích 12 (3×2 + 1) dx = (x3 + x) 2 = 10. 0 0 0  Chọn đáp án C Câu 542. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + e−x là A. ex + e−x + C. B. ex − e−x + C. C. e−x − ex + C. D. 2e−x + C. Lời giải. Z Ta có (ex + e−x ) dx = ex − e−x + C.  Chọn đáp án B Z1 Câu 543. x−1 dx bằng − 2x + 2 x2 0 √ C. ln 2. B. − ln 2. A. ln 2. D. − ln Lời giải. Z1 Z1 x−1 1 1 1 Ta có dx = d(x2 − 2x + 2) = ln x2 − 2x + 2 2 2 x − 2x + 2 2 x − 2x + 2 2 0 1 0 √ 2. 1 = − ln 2. 2 0  Chọn đáp án D π Z4 Câu 544. Biết 5 sin x + cos x dx = aπ + ln b, với a, b là các số hữu tỉ. Tính S = a + b. sin x + cos x 0 A. S = 2 + √ 2. B. S = 11 . 4 5 C. S = . 4 3 D. S = . 4 Lời giải. Phân tích 5 sin x + cos x = α (sin x + cos x) + β (− sin x + cos x) ⇒ α = 3, β = −2. Suy ra π Z4 π Z4 Å ã 5 sin x + cos x − sin x + cos x dx = 3−2 dx sin x + cos x sin x + cos x 0 0 π 4 = (3x − 2 ln |sin x + cos x|) = 0 √ 3π 3π 1 − 2 ln 2 = + ln 4 4 2 3 1 5 ⇒S =a+b= + = . 4 2 4  Chọn đáp án C Câu 545. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = √ x, đường thẳng y = 2 − x và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng trên khi quay quanh trục Ox bằng 7π 4π 5π 5π A. . B. . C. . D. . y 6 3 6 4 2 x O 2 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 193 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ √ Ta có x = −x + 2 ⇔ Z1 Thể tích V = π 0 ( Chương 3-Giải tích 12 ( x≤2 −x+2≥0 ⇔ ⇔ x = 1. x = (−x + 2)2 x2 − 5x + 4 = 0 ñ 1 Å Z2 ã 2ô 3 2 √ 2 x 5π x + = x dx + π (−x + 2)2 dx = π − 2×2 + 4x . 2 0 3 6 1 1  Chọn đáp án C 3 , f (−2) = 2 ln 2+2 Câu 546. Cho hàm số f (x) xác định trên R{−1; 2} thỏa mãn f 0 (x) = 2 x −x−2 Å ã 1 và f (−2) − 2f (0) = 4. Giá trị của biểu thức f (−3) + f bằng 2 5 5 C. 2 − ln 2. D. 1 + ln . A. 2 + ln 5. B. 2 + ln . 2 2 Lời giải. Z Z Z Å ã 3 x−2 1 1 0 Ta có f (x) = f (x) dx = + C. dx = − + dx = ln 2 x − x − 2 x + 1 x − 2 x + 1  x−2  ln + C1 , x ∈ (−∞; −1)    x+1   2−x ⇒ f (x) = ln + C2 , x ∈ (−1; 2)  x+1      ln x − 2 + C3 , x ∈ (2; +∞) (x + 1 ( f (−2) = 2 ln 2 + 2 C1 = 2 Xét điều kiện ⇒ . f (−2) − 2f (0) = 4 C2 = −1 Å ã 1 5 5 Suy ra f (−3) + f = ln + 2 + ln 1 − 1 = 1 + ln . 2 2 2  Chọn đáp án D Zπ Câu 547. Cho hàm số y = f (x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [−π; π] thỏa mãn f (x) dx = Zπ 2018. Tính 0 f (x) dx. 2018x + 1 −π A. 2018. B. 4036. C. 0. D. 1 . 2018 Lời giải. Đặt t = −x ⇒ dt = − dx. Đổi cận x = −π ⇒ t = π; x = π ⇒ t = −π. Khi đó Zπ Zπ Zπ Zπ f (x) f (−t) 2018t · f (t) 2018x · f (x) I= dx = − (− dt) = dt = dx. 2018x + 1 2018−t + 1 2018t + 1 2018x + 1 −π −π Zπ ⇒ 2I = f (x) dx + 2018x + 1 −π Zπ x 2018 · f (x) dx = 2018x + 1 −π −π Zπ −π Zπ f (x) dx = 4036 ⇒ I = 2018. f (x) dx = 2 −π 0  Chọn đáp án A Z1 Z1 −2 A. −9. [2f (x) − 1] dx. f (x) dx = 3. Tính tích phân I = Câu 548. Cho −2 C. −3. B. 3. D. 5. Lời giải. Z1 Z1 Z1 I = [2f (x) − 1] dx = 2 f (x) dx − dx = 3. −2 −2 −2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 194 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án B Z2 Câu 549. Tích phân (x + 3)2 dx bằng 1 61 . A. 9 Lời giải. B. 4. Z2 2 C. 61. Z2 (x + 3) dx = 1 Å 2 (x + 6x + 9) dx = D. x3 6×2 + + 9x 3 2 1 ã 2 = 1 61 . 3 61 . 3  Chọn đáp án D Câu 550. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 cos 2x là A. − sin 2x + C . B. −2 sin 2x + C. C. sin 2x + C. D. 2 sin 2x + C. Lời giải. Z 2 cos 2x dx = 2 · Chọn đáp án C Z1 Câu 551. Cho 1 sin 2x + C. 2  √ x √ dx = a + b 2, với a, b là các số hữu tỉ. Khi đó giá trị của a là 3x + 9×2 − 1 1 3 26 27 25 26 . B. − . C. − . D. − . 27 27 26 27 Lời giải. √ Nhân cả tử và mẫu với lượng liên hợp của 3x + 9×2 − 1 ta được Z1 Z1 Z1 Z1 √ √ x √ I= dx = x(3x − 9×2 − 1) dx = 3 x2 dx − x 9×2 − 1 dx 3x + 9×2 − 1 A. 1 3 1 3 1 3 1 3 Đặt u = 9×2 − 1 ⇒ du = 18x dx và đổi cận, ta được Ñ é 3 Z1 √ Z8 1 1 √ 1 1 u2 26 + − I = x3 − 9×2 − 1 · 18x dx = x3 − u du = 1 1 18 18 27 27 3 3 1 3 0 8 0 √ 26 16 2 − . = 27 27  Chọn đáp án A Câu 552. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = e, y y = ex và y = (1 − e)x + 1 (tham khảo hình vẽ bên). Diện tích của (H) là e+1 A. S = . 2 3 C. S = e + . 2 y=e 3 1 B. S = e + . 2 e−1 D. S = . 2 2 1 x y=e −2 −1 −1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 195 O 1 x y = (1 − e)x + 1 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Dựa vào hình vẽ, ta xác định nhanh các hoành độ giao điểm của từng cặp đồ thị hàm số lần lượt là x = −1, x = 0, x = 1. Z0 Z1 (e − (1 − e)x + 1) dx + S= −1 (e − ex ) dx = e+1 2 0  Chọn đáp án A Câu 553. Cho hàm số f (x) xác định trên R{−1; 1} và thỏa mãn f 0 (x) = x2 1 , f (−3)+f (3) = 0. −1 Tính giá trị của biểu thức f (0) + f (4). 1 3 1 3 3 3 A. P = 1 + ln . B. ln . C. 1 + ln . D. ln + 2. 2 5 2 5 5 5 Lời giải. Z 1 1−x 1 1 0 + C. f (x) = 2 ⇒ f (x) = dx = ln 2 x −1 x −1 2 1+x Theo giả thiết, ta có f (−3) + f (3) = 0 ⇔ Vậy f (0) + f (4) = 1 1 1 ln 2 + ln + 2C = 0 ⇔ C = 0. 2 2 2 1 3 1 3 1 ln 1 + ln + 2C = ln . 2 2 5 2 5  Chọn đáp án B Z1 Câu 554. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = 0 và [f 0 (x)]2 dx = 0 Z1 (x + 1)ex f (x) dx = e2 − 1 . Tính tích phân 4 Z1 0 f (x) dx. 0 A. I = e − 2. B. I = 2 − e. C. I = e−1 . 2 e D. I = . 2 Lời giải. ( ( Z1 u = f (x) du = f 0 (x) dx x Tính (x + 1)e f (x) dx. Đặt ⇒ . dv = (x + 1)ex dx v = xex 0 Z1 Z1 1 x x (x + 1)e f (x) dx = xe f (x) − 0 0 Z1 Mà e2 − 1 (x + 1)e f (x) dx = ⇒ 4 x 0 Z1 x 0 xe f (x) dx = ef (1) − 0 Z1 Z1 x 0 xe f (x) dx = − 0 xex f 0 (x) dx = xex f 0 (x) dx 0 1 − e2 . 4 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có Ñ 1 é2 Ñ 1 éÑ 1 é Z Z Z Å 2 ã2 1−e = xex f 0 (x) dx ≤ (xex )2 dx [f 0 (x)]2 dx 4 0 1 − e2 ⇔ 4 Å ã2 ≤ e2 − 1 4 0 Z1 [f 0 (x)]2 dx ⇔ 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 0 e2 − 1 ≤ 4 Z1 [f 0 (x)]2 dx 0 196 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Dấu bằng xảy ra khi f 0 (x) = axex , với a ∈ R. Z1 Z1 2 1 − e 1 − e2 e2 − 1 1 − e2 Ta có xex f 0 (x) dx = ⇒ a(xex )2 dx = ⇔a· = ⇔ a = −1. 4 4 4 4 0 0 Suy ra f 0 (x) = −xex ⇒ f (x) = −ex (x − 1) + C, mà f (1) = 0 nên C = 0. Z1 Z1 Vậy f (x) dx = −ex (x − 1) dx = e − 2. 0 0  Chọn đáp án A Zx2 Câu 555. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [0; +∞) và f (t) dt = x sin(πx). Tính f (4). 0 π−1 A. f (4) = . 4 Lời giải. π B. f (4) = . 2 1 C. f (4) = . 2 π . 4 D. f (4) = Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x). Zx2 x2 Ta có f (t) dt = F (x) = F (x2 ) − F (0) = x sin(πx). 0 0 Lấy đạo hàm hai vế, ta được 2xF 0 (x2 ) = sin πx + πx cos πx. π π Thay x = 2 vào ta được 4F 0 (4) = 2π ⇔ F 0 (4) = ⇔ f (4) = . 2 2  Chọn đáp án B Câu 556. Cho hàm số y = f (x) liên tục, xác định trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức Zb Zb Zb Za A. S = |f (x)| dx. B. S = f (x) dx. C. S = − f (x) dx. D. S = |f (x)| dx. a a a b Lời giải. Câu hỏi lý thuyết.  Chọn đáp án A 1 là sin2 x B. F (x) = 3x + tan x + C. D. F (x) = 3x − cot x + C. Câu 557. Nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 3 − A. F (x) = 3x − tan x + C. C. F (x) = 3x + cot x + C. Lời giải. Z Å F (x) = 3− 1 sin2 x ã dx = 3x + cot x + C.  Chọn đáp án C Câu 558. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0 (x) liên tục trên đoạn [1; 4], f (1) = 12 và Z 4 f 0 (x) dx = 1 17. Giá trị của f (4) bằng A. 29. Lời giải. Z4 Ta có f 0 (x) dx = f (x) B. 5. 4 1 C. 19. D. 9. = f (4) − f (1) ⇒ 17 = f (4) − 12 ⇔ f (4) = 29. 1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 197 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án A Câu 559. Cho hình phẳng (S) giới hạn bởi đường cong có phương trình y = √ 2 − x2 và trục Ox, quay (S) xung √ của khối tròn xoay được tạo thành bằng √ quanh trục Ox. Thể tích 4 2π 4π 8π 8 2π . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 3 3 3 3 Lời giải. √ Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong y = 2 − x2 và trục Ox là √ √ 2 − x2 = 0 ⇔ x = ± 2. √ Z2 Thể tích khối tròn xoay là V = π √ √ Å ã x3 2 (2 − x ) dx = π 2x − 3 2 √ − 2 √ 8 2π = . 3 − 2  Chọn đáp án A Z1 Câu 560. Cho √ dx 8√ 2 √ √ =a b− a + , a, b ∈ N∗ . Tính a + 2b. 3 3 x+2+ x+1 0 A. a + 2b = 7. C. a + 2b = −1. B. a + 2b = 8. D. a + 2b = 5. Lời giải. Ta có Z1 dx √ √ = x+2+ x+1 0 Z1  √ √ x + 2 − x + 1 dx  √  √ √ √ x+2+ x+1 x+2− x+1 0 = Z1 Ä √ x+2− √ ä x + 1 dx 0 ó 3 3 2î = (x + 2) 2 − (x + 1) 2 3 √ 8√ 2 = 2 3− 2+ . 3 3 1 0 Suy ra a = 2 và b = 3. Vậy a + 2b = 8.  Chọn đáp án B 1 Câu 561. Cho hàm số f (x) xác định trên R{−2; 1} thỏa mãn f 0 (x) = 2 , f (−3)−f (3) = 0 x +x−2 1 và f (0) = . Giá trị của biểu thức f (−4) + f (−1) − f (4) bằng 3 1 1 1 4 1 8 A. ln 2 + . B. ln 80 + 1. C. ln + ln 2 + 1. D. ln + 1. 3 3 3 5 3 5 Lời giải.    1 ln x − 1 + C1 , ∀x ∈ (−∞; −2)    3 x+2   Z  1 x−1 1 dx = ln + C2 , ∀x ∈ (−2; 1) . Ta có f (x) =  (x + 2)(x − 1) 3 x+2     1 x−1   + C3 , ∀x ∈ (1; +∞)  ln 3 x+2 1 Trên khoảng (−∞; −2), ta có f (−3) = ln 4 + C1 . 3 1 1 1 1 Trên khoảng (−2; 1), ta có f (0) = ln + C2 = ⇒ C2 = (1 + ln 2). 3 2 3 3 2 1 Do đó f (−1) = ln 2 + . 3 3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 198 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 1 2 ln + C3 . 3 5 1 1 Theo giả thiết f (−3) − f (3) = 0 ⇔ C1 − C3 = ln . 3 10 Khi đó Trên khoảng (1; +∞), ta có f (3) = 2 1 1 1 1 1 5 ln + C1 + ln + − ln − C3 3 2 3 2 3 3 2 1 5 2 1 1 1 1 1 1 = ln + ln + − ln + ln 3 2 3 2 3 3 2 3 10 1 1 = ln 2 + . 3 3 f (−4) + f (−1) − f (4) =  Chọn đáp án A Câu 562. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau 1 f (x) > 0, ∀x ∈ R; f 0 (x) = −ex · f 2 (x), ∀x ∈ R và f (0) = . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại 2 điểm có hoành độ x0 = ln 2 là A. 2x + 9y − 2 ln 2 − 3 = 0. B. 2x − 9y − 2 ln 2 + 3 = 0. C. 2x − 9y + 2 ln 2 − 3 = 0. D. 2x + 9y + 2 ln 2 − 3 = 0. Lời giải. ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ f 0 (x) = −ex · f 2 (x) f 0 (x) − 2 = ex f (x) Zln 2 Zln 2ï ò f 0 (x) dx = ex dx − 2 f (x) 0 0 Å ã ln 2 ln 2 1 = ex f (x) 0 0 1 1 − =1 f (ln 2) f (0) 1 f (ln 2) = . 3 Å ã2 1 2 f (ln 2) = −e · f (ln 2) = −2 · =− . 3 9 2 1 Vậy phương trình tiếp tuyến là y = − (x − ln 2) + ⇔ 2x + 9y − 2 ln 2 − 3 = 0. 9 3 Chọn đáp án A 0 ln 2 2  Câu 563. Cho hàm số y = f (x) > 0 xác định, có đạo hàm trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn: g(x) = Zx Z1 » 1 + 2018 f (t) dt, g(x) = f 2 (x). Tính g(x) dx. 0 0 1011 A. . 2 Lời giải. 1009 B. . 2 C. 2019 . 2 D. 505. Vì f (x) > 0 và g(x) = f 2 (x) nên g(x) > 0. Zx Z0 g(x) = 1 + 2018 f (t) dt nên g(0) = 1 + 2018 f (t) dt = 0. 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 0 199 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có Zx g(x) = 1 + 2018 f (t) dt 0 ⇒ g 0 (x) = 2018f (x) = 2018 » g(x) g 0 (x) ⇒ p = 2018 g(x) Zt Zt 0 g (x) p dx = 2018 dx ⇒ g(x) 0 0 »  ⇒ 2 g(t) − 1 = 2018t » ⇒ g(t) = 1009t + 1 Z1 » Z1 1011 . ⇒ g(t) dt = (1009t + 1) dt = 2 0 0  Chọn đáp án A Câu 564. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b(a < b) được tính theo công thức. Za Zb Zb Zb A. |f (x)| dx. B. π f (x) dx. C. π |f (x)| dx. D. |f (x)| dx. a b a a Lời giải.  Chọn đáp án D Câu 565. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 − x + x2 là x2 x3 x2 x3 A. F (x) = x − + + C. B. F (x) = − + + C. 2 3 2 3 2 3 C. F (x) = −1 + 2x + C. D. F (x)x − x + x + C. Lời giải.  Chọn đáp án A Câu 566. Tập nghiệm của bất phương trình log2 (x − 2) < 3 là A. (−∞; 10). B. (2; 6). C. (2; 10). D. [2; 10). Lời giải. Điều kiện: x > 2. Phương trình tương đương với: x − 2 < 8 ⇔ x < 10. Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (2; 10).  Chọn đáp án C Z1 Câu 567. Tích phân 3e3x dx bằng 0 A. e3 − 1. B. e3 + 1. C. e3 . D. 2e3 . Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 200 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 3e3x dx = 0 Z1 Chương 3-Giải tích 12 1 = e3 − 1. e3x d(3x) = e3x 0 0  Chọn đáp án A Z2 Câu 568. Tích phân  max x2 ; 3x − 2 dx bằng 0 2 A. . 3 Lời giải. B. 10 . 3 C. " Xét phương trình x2 = 3x − 2 ⇔ x2 − 3x + 2 = 0 ⇔ 11 . 6 x=1 D. 17 . 6 . x=2 Ta có bảng xét dấu như sau: −∞ x x2 − 3x + 2 Như vậy max {x2 ; 3x − 2} = 1 + ( 2 x - 0 0 + 0 khi 0 ≤ x < 1 . 3x − 2 khi 1 ≤ x ≤ 2 Z2 Z1 Z2  2 x3 Vậy max x ; 3x − 2 dx = x2 dx + (3x − 2) dx = 3 0 +∞ 2 0 1 0 3x2 − 2x − 2 Å ã 2 = 1 17 . 6  Chọn đáp án D Câu 569. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = M (4; 2) và trục hoành là 1 3 8 A. . B. . C. . 3 8 3 Lời giải. TXĐ: D = [0; +∞). 1 y0 = √ . 2 x Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M (4; 2) là : 1 1 y = √ (x − 4) + 2 ⇔ y = x + 1. 4 2 4 √ x và tiếp tuyến với đồ thị tại D. 2 . 3 y 2 1 −4 −3 −2 −1 O 1 2 3 4 x 1 Tiếp tuyến cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là nghiệm: x + 1 = 0 ⇔ x = −4. 4 √ √ Ta chia miền diện tích giới hạn bởi các đường y = x, Ox và tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x tại điểm M (4; 2) thành hai miền S1 (phần gạch chéo) và S2 (phần chấm) như ở hình vẽ trên. Z0 Å 2 ã 0 1 x S1 = x + 1 dx = +x = 2. 4 8 −4 Z4 S2 = −4 Å √ 1 x + 1 − x dx = 4 ã Å ã x2 2√ 3 +x− x 8 3 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 4 = 0 201 2 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Vậy S = S1 + S2 = 2 + Chương 3-Giải tích 12 2 8 = . 3 3  Chọn đáp án C Z9 Câu 570. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn π √ Z2 f ( x) √ dx = 4 và f (sin x) cos x dx = 2. x 1 0 Z3 Tính tích phân I = f (x) dx. 0 A. I = 2. B. I = 6. C. I = 10. D. I = 4. Lời giải. √ f ( x) √ dx = 4 x Z9 Tích phân (1) 1 √ 1 1 1 Đặt t = x ⇒ dt = √ dx ⇒ dt = √ dx. 2 2 x x x 1 9 Đổi cận: t 1 3 Z3 Z3 Z3 1 (1) ⇔ f (t) dt = 4 ⇔ f (t) dt = 8 ⇔ f (x) dx = 8. 2 1 1 1 π Z2 f (sin x) cos x dx = 2 Tích phân (2) 0 Đặt t = sin x ⇒ dt = cos x dx. π x 0 2 Đổi cận t 0 1 Z1 Z1 (2) ⇔ f (t) dt = 2 ⇔ f (x) dx = 2. 0 0 Z3 Như vậy ta có: I = Z1 f (x) dx = 0 Z3 f (x) dx + 0 f (x) dx = 2 + 8 = 10. 1  Chọn đáp án C Câu 571. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = ex − e−x Z Z. A. f (x) dx = ex + e−x + C. B. f (x) dx = ex − e−x + C. Z Z x −x C. f (x) dx = −e − e + C. D. f (x) dx = −ex + e−x + C. Lời Z giải. 1 −x f (x) dx = ex − e + C = ex + e−x + C. −1 Chọn đáp án A  Zln 2 Câu 572. Tính I = e2x dx. 0 1 A. I = . 2 Lời giải. 1 C. I = . 8 B. I = 1. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 202 3 D. I = . 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Zln 2 1 I= e2x dx = e2x 2 ln 2 0 Chương 3-Giải tích 12 3 = . 2 0  Chọn đáp án D Câu 573. Cho hai hàm số y = f (x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức Zb Zb A. S = [|f (x)| − |g(x)|] dx. B. S = [f (x) − g(x)] dx. a a Zb Zb [f (x) − g(x)] dx . C. S = |f (x) − g(x)| dx. D. S = a a Lời giải. Zb |f (x) − g(x)| dx. Công thức diện tích S = a  Chọn đáp án D Câu 574. Cho hàm số f (x) xác định trên R {−1} thỏa mãn f 0 (x) = 3 ; f (0) = 1 và f (1) + x+1 f (−2) = 2. Giá trị f (−3) bằng A. 1 + 2 ln 2. B. 1 − ln 2. C. 1. D. 2 + ln 2. Lời giải. Trên khoảng (−∞; −1) nguyên hàm của f (x) là 3 ln |x + 1| + C1 . Trên khoảng (−1; +∞) nguyên hàm của f (x) là 3 ln |x + 1| + C2 . f (0) = 1 nên 3 ln 1 + C2 = 1 ⇒ C2 = 1. f (1) + f (−2) = 2 nên 3 ln 2 + 1 + 3 ln 1 + C1 = 2 ⇒ C1 = 1 − 3 ln 2. f (−3) = 3 ln 2 + 1 − 3 ln 2 = 1.  Chọn đáp án C Câu 575. √ Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 3x2 và nửa √ đường tròn có phương trình y = 4 − x2 với −2 ≤ x ≤ 2 (phần y 2 tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng −2 √ 2π + 5 3 A. . 3 Lời giải. √ 4π + 5 3 B. . 3 4π + C. 3 √ 3 . 2 O 2π + D. 3 √ 3 x . Phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm là x = ±1. Do đó diện tích cần tìm là √ Z1 √ Z1 √ Z1 √ Z1 √ √ 2 2 3 S = ( 4 − x2 − 3x ) dx = 4 − x2 dx − 3x2 dx = I − , với I = 4 − x2 dx 3 −1 −1 −1 −1 Để tính I đặt x = 2 sin t ⇒ dx = 2 cos t dt. π Z6 π 2π √ Nên I = 4 cos2 t dt = (2t − sin 2t) −6 π = + 3. 6 3 − π6 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 203 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 2π + Do đó S = 3 Chọn đáp án D √ 3 Chương 3-Giải tích 12 .  Câu 576. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; +∞), biết f 0 (x)+(2x+3)f 2 (x) = 1 0, f (x) > 0 với mọi x > 0 và f (1) = . Tính giá trị của P = 1 + f (1) + f (2) + · · · + f (2017) 6 6059 6055 6053 6047 A. . B. . C. . D. . 4038 4038 4038 4038 Lời giải. f 0 (x) 1 f 0 (x) + (2x + 3)f 2 (x) = 0 ⇔ 2 = −2x − 3. Lấy nguyên hàm hai vế ta có − = −x2 − 3x + C. f (x) f (x) 1 Do f (1) = nên C = −2. 6 1 1 1 1 = = − . Vậy f (x) = 2 x + 3x + 2 (x + 1)(x + 2) x+1 x+2 1 1 1 1 1 1 6055 Do đó P = 1 + − + − + · · · + − = . 2 3 3 4 2018 2019 4038 Chọn đáp án B  π Z 1 − x tan x π−a Câu 577. Biết dx = ln (a, b ∈ Z). Tính P = a + b. 2 x cos x + x π−b 2π 3 A. P = 2. B. P = −4. D. P = −2. C. P = 4. Lời giải. Zπ Zπ 1 − x tan x cos x − x sin x Ta có dx = dx. 2 2 x cos x + x x cos2 x + x cos x 2π 3 2π 3 Đặt t = x cos x ⇒ dt = (cos x − x sin x) dx π 2π ⇒ t = − ; x = π ⇒ t = −π. Đổi cận x = 3 3 −π Z−π dt t π−3 I= = ln ⇒ P = a + b = 4. = ln 2 t +t t+1 π−1 π −3 − π3 Chọn đáp án C  1 Câu 578. Nguyên hàm của hàm số f (x) = là 1 − 2x Z Z A. f (x)dx = ln |1 − 2x| + C. B. f (x)dx = −2 ln |1 − 2x| + C. Z Z 1 C. f (x)dx = 2 ln |1 − 2x| + C. D. f (x)dx = − ln |1 − 2x| + C. 2 Lời giải. Z Z dx 1 d(1 − 2x) 1 =− = − ln |1 − 2x| + C. 1 − 2x 2 1 − 2x 2 Chọn đáp án D  Câu 579. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành, đường thẳng x = a và đường thẳng x = b. Khi đó diện tích S của hình phẳng D được tính bởi công thức Zb Zb A. S = f (x)dx. B. S = |f (x)|dx. a Zb C. S = a Zb f (x)dx . D. S = π a f 2 (x)dx. a Lời giải. Công thức ở bài “§3. Ứng dụng của tích phân trong hình học”, SGK Giải tích 12. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 204 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án B Z1 Câu 580. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và √ Z2 f (2x)dx = 8. Tính I = xf (x2 )dx. 0 A. I = 8. Lời giải. B. I = 16. Ta có Z1 8= 1 f (2x)dx = 2 0 Z1 0 C. I = 4. 1 f (2x)d(2x) = 2 0 D. I = 32. Z2 Z2 f (t)dt ⇒ 0 f (t)dt = 16. 0 2 Đặt t = x ⇒ dt = 2xdx. Suy ra 1 I= 2 Z2 f (t)dt = 8. 0  Chọn đáp án A Câu 581. Gọi F (t) là số lượng vi khuẩn phát triển sau t giờ. Biết F (t) thỏa mãn F 0 (t) = 10000 với 1 + 2t t ≥ 0 và ban đầu có 1000 con vi khuẩn. Hỏi sau 2 giờ số lượng vi khuẩn là bao nhiêu? A. 17094. B. 9047. C. 32118. D. 8047. Lời giải. Z 10000 F (t) = dt = 5000 ln |1 + 2t| + C. 1 + 2t F (0) = 1000 ⇔ 5000 ln |1 + 2 · 0| + C = 1000 ⇔ C = 1000. Số lượng vi khuẩn sau 2 giờ: F (2) = 5000 ln |1 + 2 · 2| + 1000 = 5000 ln (5) + 1000 ≈ 9047.  Chọn đáp án B a b Câu 582. Cho hàm số f (x) = 2 + +2 với a, b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện x x Z1 f (x) dx = 2 − 3 ln 2. 1 2 Tính T = a + b A. T = −2. Lời giải. C. T = −1. B. T = 2. D. T = 0. Ta có Z1 2 − 3 ln 2 =  a  f (x)dx = − + b ln |x| + 2x x 1 2 1 1 2 = a + b ln 2 + 1 ⇒  a + 1 = 2 ⇒ a + b = −2. b = −3  Chọn đáp án A Câu 583. √ Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x, cung √ √ √ tròn có phương trình y = 6 − x2 (− 6 ≤ x ≤ 6) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Tính thể tích V của y vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng D quanh trục Ox √ 22π A. V = 4π 6 + . 3 √ 22π C. V = 8π 6 − . 3 √ B. V = 8π 6 − 2π. √ 22π D. V = 8π 6 + . 3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 205 √ − 6 O √ x 6 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Lời giải. Chương 3-Giải tích 12 √ √ √ 6 − x2 , Ox, x = − 6, x = 0} và D2 = {y = 6 − x2 , y = x, x = 0, x = 2}. √ Khi quay D1 quanh Ox ta được khối tròn xoay là nửa khối cầu có bán kính R = 6 nên có thể tích Gọi D1 = {y = √ √ 1 4 3 · πR = 4π 6. 2 3 V1 = Khi quay D2 quanh trục Ox, khối tròn xoay sinh bởi có thể tích Z2 V2 = π (6 − x2 − x)dx = 22π . 3 0 √ 22π . Vậy thể tích cần tính là V = V1 + V2 = 4π 6 + 3 Chọn đáp án A Z4 Câu 584. Biết  √ 1 x + ex + √ 2x dx = a + eb − ec với a, b, c là các số nguyên. Tính T = a + b + 4x xe 1 c A. T = −4. B. T = −5. C. T = −3. D. T = 3. Lời giải. Ta có Z4 √ Z4 1 x + ex + √ 2x dx = 4x xe Å 1 √ + e−x 2 x 1 1 Z4 Å ã2 dx = ã  √ 1 −x √ +e dx = x − e−x 2 x 4 1 = 1−e−4 +e−1 . 1 Do đó T = 1 − 1 − 4 = −4.  Chọn đáp án A Câu 585. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 , trục hoành và các đường thẳng x = 1, x = 2 là 7 8 A. S = . B. S = . C. S = 7. D. S = 8. 3 3 Lời giải. Z2 Z2 2 1 3 7 2 2 Ta có S = |x | dx = x dx = x = . 3 1 3 1 1 Chọn đáp án A  Câu 586. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) Z= sin(2x + 1) là Z 1 1 A. f (x) dx = − cos(2x + 1) + C. B. f (x) dx = cos(2x + 1) + C. 2 2 Z Z 1 C. f (x) dx = − cos(2x + 1). D. f (x) dx = cos(2x + 1). 2 Lời giải. Z Z 1 Ta có f (x) dx = sin(2x + 1) dx = − cos(2x + 1) + C. 2 Chọn đáp án A  Câu 587. Chọn công thức đúng trong các công thức dưới Z Z đây. ln x ln x A. dx = 2 ln x + C. B. dx = 2 ln2 x + C. Z x Z x ln x ln x 1 2 C. dx = ln x + C. D. dx = ln2 x + C. x x 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 206 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Z Z ln x ln2 x dx = ln x d(ln x) = + C. Ta có x 2 Chọn đáp án D Z1 Câu 588. Biết rằng  1 x cos 2x dx = (a sin 2 + b cos 2 + c), với a, b, c ∈ Z. Khẳng định nào sau đây 4 0 đúng? B. a − b + c = 0. A. a + b + c = 1. C. 2a + b + c = −1. Lời giải.  ( du = dx u=x Đặt . Khi đó ⇒ v = 1 sin 2x dv = cos 2x dx 2 Z1 Å ã 1 1 1 1 1 I = x sin 2x − sin 2x dx = sin 2 + cos 2x 2 2 2 4 0 0 1 0 D. a + 2b + c = 1. 1 = (2 sin 2 + cos 2 − 1). 4 Suy ra a = 2, b = 1, c = −1 ⇒ a − b + c = 0.  Chọn đáp án B Câu 589. Cho số thực a > 0. Giả sử hàm số f (x) liên tục và luôn dương trên đoạn [0; a] thỏa mãn Za 1 f (x)f (a − x) = 1. Tính tích phân I = dx. 1 + f (x) 0 2a A. I = . 3 Lời giải. a B. I = . 2 Đặt t =Za − x ⇒ dx = − dt. Z a a 1 ⇒I= dt = 0 1 + f (a − t) 0 Z 1 1+ a a dx = a ⇒ I = . 2 0 Chọn đáp án B Z Câu 590. Nguyên hàm I = 1 f (x) a C. I = . 3 Z a dx = 0 D. I = a. f (x) dx. 1 + f (x) ⇒ 2I =  1 dx bằng 2x + 1 1 1 A. − ln |2x + 1| + C. B. − ln |2x + 1| + C. C. ln |2x + 1| + C. 2 2 Lời giải. Z 1 1 dx = ln |ax + b| + C, ta được Sử dụng công thức ax + b a Z 1 1 dx = ln |2x + 1| + C. 2x + 1 2 D. ln |2x + 1| + C.  Chọn đáp án C Câu 591. Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn điều kiện f (1) = 12, f 0 (x) liên tục trên R và Z4 f 0 (x) dx = 1 17. Khi đó f (4) bằng A. 5. B. 29. C. 19. D. 9. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 207 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ta có Z4 Chương 3-Giải tích 12 f 0 (x) dx = f (4) − f (1) ⇒ f (4) = 1 Z4 f 0 (x) dx + f (1) = 17 + 12 = 29. 1  Chọn đáp án B Câu 592. Cho hai hàm số y = f (x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] với a < b. Kí hiệu S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3f (x), y = 3g(x), x = a, x = b; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x) − 2, y = g(x) − 2, x = a, x = b. Khẳng định nào sau đây đúng? A. S1 = 2S2 . C. S1 = 2S2 − 2. B. S1 = 3S2 . D. S1 = 2S2 + 2. Lời giải. Từ giả thiết, suy ra Zb Zb |3f (x) − 3g(x)| dx = 3 S1 = a |f (x) − g(x)| dx a Zb Zb |[f (x) − 2] − [g(x) − 2]| dx = S2 = a |f (x) − g(x)| dx a ⇒ S1 = 3S2 .  Chọn đáp án B Câu 593. Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường y = ex , y = 0, x = −1, x = 1. Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi cho hình (H) quay quanh trục hoành bằng e2 − e−2 (e2 + e−2 ) π e4 π (e2 − e−2 ) π A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải. Thể tích của khối tròn xoay cần tìm bằng 1 Z1  (e2 − e−2 ) π π 2x π 2 x 2 −2 V = π (e ) dx = e e −e . = = 2 2 2 −1 −1  Chọn đáp án D Z1 Câu 594. Biết tích phân 2x + 3 dx = a ln 2 + b (a, b ∈ Z), giá trị của a bằng 2−x 0 A. 7. B. 2. C. 3. D. 1. Lời giải. Ta có Z1 Z1 Z1 Å ã 2x + 3 2(x − 2) + 7 7 dx = dx = −2 − dx = (−2x − 7 ln |x − 2|) 2−x −(x − 2) x−2 0 0 0 1 0 = (−2 − 7 ln 1) − (0 − 7 ln 2) = −2 + 7 ln 2. Vậy a = 7, b = −2.  Chọn đáp án A Câu 595. Xét hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn điều kiện 4x · f (x2 ) + 3f (1 − x) = Z1 √ 2 1 − x . Tích phân I = f (x) dx bằng 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 208 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. I = π . 4 B. I = Lời giải. Từ 4xf (x2 ) + 3f (1 − x) = Z1 Chương 3-Giải tích 12 π . 6 C. I = Z1 3f (1 − x) dx = 4xf (x ) dx + 0 0 Xét tích phân L = D. I = π . 16 √ 1 − x2 , ta có 2 Z1 π . 20 Z1 √ 1 − x2 dx = 1 π · π · 12 = . (1) 4 4 0 4xf (x2 ) dx. 0 Đặt t = x2 ⇒ dt = 2xdx và x = 0 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t = 1. Suy ra Z1 L= Z1 2f (t) dt = 2 f (x) dx = 2I. 0 0 Z1 3f (1 − x) dx. Xét tích phân K = 0 Đặt t = 1 − x ⇒ dt = −dx ⇔ dx = −dt. Khi x = 0 ⇒ t = 1 và x = 1 ⇒ t = 0. Suy ra Z0 K= Z1 3f (t)(−dt) = 3 1 Z1 f (t) dt = 3 f (x) dx = 3I. 0 0 2I + 3I = π π ⇔I= . 4 20 Từ (1) suy ra  Chọn đáp án C 2 Câu 596. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = xex . Hàm số nào sau đây không phải là F (x)? ä 1 2 1 Ä x2 B. F (x) = e +5 . A. F (x) = ex + 2. 2 2 Ä ä 1 x2 1 2 C. F (x) = − e + C. D. F (x) = − 2 − ex . 2 2 Z Câu 597. Biết xe2x dx = axe2x + be2x + C (a, b ∈ Q). Tính tích ab. 1 1 1 1 A. ab = − . B. ab = . C. ab = − . D. ab = . 4 4 8 8 Câu 598. Trong các hàm số sau, hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số ln |x|? 1 x3 A. f (x) = x. B. f (x) = . C. f (x) = . D. f (x) = |x|. x 2 Câu 599. Cho f (x), g(x) là các hàm số xác định và liên tục trên R. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nàoZ SAI? Z Z A. f (x)g(x) dx = f (x) dx · g(x) dx. Z Z B. 2f (x) dx = 2 f (x) dx. Z Z Z C. [f (x) + g(x)] dx = f (x) dx + g(x) dx. Z Z Z D. [f (x) − g(x)] dx = f (x) dx − g(x) dx. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 209 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 600. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 5x . Z Z A. f (x) dx = 5x + C. B. f (x) dx = 5x ln 5 + C. Z Z 5x+1 5x + C. D. f (x) dx = + C. C. f (x) dx = ln 5 x+1 Z Câu 601. Kết quả của I = xex dx là x2 x2 A. I = xex − ex + C. B. I = ex + C. C. I = xex + ex + C. D. I = ex + ex + C. 2 2 Z 4 √ √ x 1 + 2x dx và u = 2x + 1. Mệnh đề nào dưới đây là SAI? Câu 602. Cho I = 0 Z 3 Z 1 3 2 2 u2 (u2 − 1) du. A. I = x (x − 1) dx. B. I = 2 1 1 Z Å 5 3ã 3 1 u 1 3 2 2 u C. I = . D. I = − u (u − 1) du. 2 5 3 1 2 1 Z 5 2 x +x+1 b Câu 603. Biết I = dx = a + ln với a, b là các số nguyên. Tính S = a − 2b. x+1 2 3 A. −2. B. 5. C. 2. D. 10. Z π ã Å 2 π 1 − 1. Khẳng định Câu 604. Kết quả tích phân − (2x − 1 − sin x) dx được viết ở dạng π a b 0 nào sau đây SAI? B. a + b = 5. C. 2a − 3b = 2. D. a − b = 2. 1 Câu 605. Nếu I = f (x) dx = + ln x + C thì f (x) là x √ √ 1 A. f (x) = x+ ∈ x + C. B. f (x) = − x + + ln x + C. x 1 x−1 C. f (x) = − 2 + ∈ x + C. D. f (x) = . x x2 A. a + 2b = 8. Z 3 Câu 606. Hàm số F (x) = ex là một nguyên hàm của hàm số 3 3 A. f (x) = ex . Z Câu 607. Biết 3 B. f (x) = 3x2 .ex . C. f (x) = ex . 3x2 3 −1 D. f (x) = x3 .ex . e √ ln x √ dx = a e + b với a, b ∈ Z. Tính P = ab. x 1 A. P = 4. B. P = −8. C. P = −4. Z 3 x Câu 608. Nếu f (x) dx = + ex + C thì f (x) bằng 3 x4 A. f (x) = x2 + ex . B. f (x) = + ex . C. f (x) = 3x2 + ex . 4 D. P = 8. D. f (x) = Câu 609. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x , thỏa mãn F (0) = x4 + ex . 12 1 . Tính giá trị ln 2 biểu thức T = F (0) + F (1) + F (2) + · · · + F (2017). 22017 + 1 A. T = 1009 · . B. T = 22017.2018 . ln 2 22017 − 1 22018 − 1 . D. T = . C. T = ln 2 ln 2 Lời giải. Z 2x 1 Ta có F (x) = 2x dx = + C. Mà F (0) = nên C = 0. Khi đó ln 2 ln 2 2017 X  22018 − 1 2x 1 T = = 1 + 2 + 22 + · · · + 22017 = . ln 2 ln 2 ln 2 x=0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 210 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án D Câu 610. Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v0 = 15 m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = t2 + 4t (m/s2 ). Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3s kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc. A. 70, 25 m. B. 68, 25 m. C. 67, 25 m. D. 69, 75 m. Lời giải. Z Vận tốc của chuyển động từ khi tăng tốc là v(t) = (t2 + 4t) dt = t3 + 2t2 + C. 3 t3 + 2t2 + 15. Quãng đường đi được sau 3s là 3 Z 3Å 3 ã t 2 S= + 2t + 15 dt = 69, 75. 3 0 Mà v0 = 15 nên C = 15 ⇒ v(t) =  Chọn đáp án D Câu 611. Hàm số F (x) = x + cos(2x − 3) + 10 là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số được cho ở các phương án sau? 1 1 A. f (x) = x2 + sin(2x − 3) + 10x + C. 2 2 1 2 1 C. f (x) = x − sin(2x − 3) + 10x + C. 2 2 Lời giải. B. f (x) = 2 sin(2x − 3) + 1. D. f (x) = −2 sin(2x − 3) + 1. Ta có f (x) = F 0 (x) = 1 − 2 sin(2x − 3).  Chọn đáp án D Zb Zb f (x) dx = 10 và Câu 612. Biết a Zb a a B. I = −5. A. I = 5. [3f (x) − 5g(x)] dx. g(x) dx = 5. Tính tích phân I = C. I = 15. D. I = 10. Lời giải. Zb Zb [3f (x) − 5g(x)] dx = 3 Ta có I = a Zb f (x) dx − 5 a g(x) dx = 3 · 10 − 5 · 5 = 5. a  Chọn đáp án A Câu 613. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = −x2 + 2x và y = −3x. 125 125 125 125 A. . B. . C. . D. . 2 3 6 8 Lời giải. " x=0 Phương trình hoành độ giao điểm −x2 + 2x = −3x ⇔ x = 5. Khi đó diện tích S của hình phẳng được xác định bởi Z5 2 Z5 | − x + 2x + 3x| dx = S= 0 Z5 2 | − x + 5x| dx = 0 Å 3 ã x 5x2 (−x + 5x) dx = − + 3 2 2 5 = 0 125 . 6 0  Chọn đáp án C Câu 614. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 211 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x2 , y = y 0, x = 0, x = 4. Đường thẳng y = k(0 < k < 16) chia hình (H) thành hai phần có diện tích S1 , S2 (hình vẽ). Tìm k để S1 = S2 . S1 y=k S2 O A. k = 8. B. k = 3. Lời giải. Ta có hình (H) giới hạn bởi các đường x = Z16 64 √ S = (4 − y) dx = . 3 C. k = 5. √ 0 Gọi (H1 ) là hình giới hạn bởi các đường x = Zk 2√ 3 √ k . S1 = (4 − y) = 4k − 3 x=4 x D. k = 4. y, x = 4, y = 0, y = 16, khi đó diện tích hình (H) là: √ y, x = 4, y = 0, y = k, khi đó diện tích hình (H1 ) là: 0 Ä√ ä2 32 S 2 √ 3 32 2 Ä√ ä3 S1 = S2 = ⇔ 4k − k = ⇔− k +4 k − =0 2 3 3 3 3 √  √ √ k =2+2 3 k = 16 + 8 3 √  √ √  ⇔   k = 2 − 2 3 ⇔ k = 16 − 8 3 √ k=2 k = 4. Kết hợp với điều kiện 0 < k < 16 ta được k = 4.  Chọn đáp án D Câu 615. Cho hàm số f (x) xác định trên R, thỏa mãn f (x) > 0, ∀x ∈ R và f 0 (x) + 2f (x) = 0. Tính f (−1), biết rằng f (1) = 1. B. e−2 . A. 3. C. e4 . D. e3 . Lời giải. f 0 (x) = −2 ⇒ (f (x))0 = −2 f (x) ⇒ ln (f (x)) = −2x + C ⇒ f (x) = e−2x+C , C ∈ R. f 0 (x) + 2f (x) = 0 ⇒ Có f (1) = 1 ⇒ C = 2 ⇒ f (x) = e−2x+2 . Từ đó f (−1) = e4 .  Chọn đáp án C π Z6 Câu 616. Biết − A. M = 35. π 6 √ x cos x π2 3π √ dx = a+ + với a, b, c là các số nguyên. Tính M = a−b+c. 2 b c 1+x +x C. M = −37. B. M = 41. D. M = −35. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 212 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Đặt x = −t ⇒ dx = − dt. π π π π Đổi cận: x = − ⇒ t = và x = ⇒ t = − . 6 6 6 π 6 π π − Z6 Z6 Z6 x cos x −t cos(−t) x cos x √ √ √ Từ đó, I = dx = − dt = − dx. 1 + x2 + x 1 + t2 − t 1 + x2 − x − π 6 π Z6 Suy ra 2I = − √ π 6 − π Z6 Suy ra I = − − x cos x dx − 1 + x2 + x π 6 π Z6 π 6 π 6 π Z6 − √ x cos x dx = − 1 + x2 − x − 2×2 cos x dx. π 6 x2 cos x dx. π 6 u v0 x2 cos x 2x sin x 2 − cos x 0 − sin x √ π2 π 3 =2− − . + 2x cos x − 2 sin x 36 3 Vậy a = 2, b = −36, c = −3 do đó M = a − b + c = 35. Å = − x2 sin x π 6 π − 6 π 6 π − 6 π 6 π − 6 ã  Chọn đáp án A Câu 617. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f (x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b được xác định bởi công thức Zb Zb A. S = π f (x) − g(x) dx. B. S = [f (x) − g(x)] dx. a a Zb Zb [g(x) − f (x)] dx. C. S = f (x) − g(x) dx. D. S = a a Lời giải. Zb f (x) − g(x) dx. Diện tích cần tìm được tính theo công thức S = a  Chọn đáp án D Câu 618. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2×2 + x + 1 là 2×3 2×3 x2 A. + x2 + x + C. B. 4x + 1. C. + + x. 3 3 2 Lời giải. Z 2×3 x2 Ta có (2×2 + x + 1) dx= + + x + C. 3 2 Chọn đáp án D Z2 Câu 619. Tích phân D. 2×3 x2 + + x + C. 3 2  x dx bằng x2 + 3 0 1 7 A. log . 2 3 7 B. ln . 3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 213 1 7 ln . 2 3 D. 1 3 ln . 2 7 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Z2 Z2 x dx d(x2 + 3) 1 1 Ta có = = ln |x2 + 3| 2 2 x +3 2 x +3 2 0 0 2 = 0 1 7 ln . 2 3  Chọn đáp án C Câu 620. Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn (C) : x2 + (y − 3)2 = 1 xung quanh trục hoành là B. V = 6π 3 . A. V = 6π. C. V = 3π 2 . Lời giải. ” D. V = 6π 2 . √ 1 − x2 Phương trình đường tròn (C) : x + (y − 3) = 1 ⇔ . √ y = 3 − 1 − x2 Khi đó hình xuyến cái phao được tạo thành khi quay đường tròn tâm I(0; 3) và 2 2 y =3+ y có bán kính r = 1 xung quanh trục Ox. Z1 hÄ Z1 √ ä2 Ä ä2 i √ √ 2 2 3+ 1−x 1 − x2 dx. ⇒V =π − 3− 1−x dx = 12π −1 3 −1 Đặt x = sin t ⇒ dx = cos t dt. Khi đó π π Z2 Z2 V = 12π 2 cos t dt = 6π − π 2 − π 2 Å ã 1 (1 + cos 2t) dt = 6π t + sin 2t 2 π 2 −π 2 −1 O = 6π 2 . 1 x  Chọn đáp án D Ze2x Câu 621. Gọi x1 , x2 lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số f (x) = t ln t dt. Tính ex S = x1 + x2 A. ln 2e. C. − ln 2. B. ln 2. D. 0. Lời giải. Z Đặt F (t) = t ln t dt ⇒ F 0 (t) = t ln t. Ze2x Khi đó f (x) = t ln t dt = F (e2x ) − F (ex ) ⇒ f 0 (x) = 2e2x F 0 (e2x ) − ex F 0 (ex ). 0 ex Suy ra f (x) = 2e2x · e2x ln(e2x ) − ex · ex ln(ex ) = 4xe4x − xe2x = xe2x (4e2x − 1).   ” x=0 x=0 x=0 Cho f 0 (x) = 0 ⇔  ⇔ ⇔ 1 1 x = − ln 2. e2x = 2x = ln 4 4 Bảng biến thiên x −∞ y0 − ln 2 + − 0 +∞ 0 0 + +∞ y −∞ Suy ra x1 = − ln 2 và x2 = 0. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 214 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Vậy S = x1 + x2 = − ln 2.  Chọn đáp án C 1 Câu 622. Cho hàm số f (x) 6= 0 thỏa mãn điều kiện f 0 (x) = (2x + 3)f 2 (x) và f (0) = − . Biết rằng 2 a a tổng f (1) + f (2) + f (3) + · · · + f (2017) + f (2018) = với (a ∈ Z, b ∈ N∗ ) và là phân số tối giản. b b Mệnh đề nào sau đây đúng? a a B. > 1. C. a + b = 1010. D. b − a = 3029. A. < −1. b b Lời giải. Ta có Z 0 Z f 0 (x) f (x) 1 f (x) = (2x + 3)f (x) ⇒ 2 = 2x + 3 ⇒ dx = (2x + 3) dx ⇔ − = x2 + 3x + C. 2 f (x) f (x) f (x) 1 Vì f (0) = − ⇒ C = 2. 2 1 1 1 Vậy f (x) = − = − . (x + 1)(x + 2) x+2 x+1 1 1 1009 Do đó f (1) + f (2) + f (3) + · · · + f (2017) + f (2018) = − =− . 2020 2 2020 Vậy a = −1009; b = 2020. Do đó b − a = 3029. 0 2  Chọn đáp án D Câu 623. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x − 1 là A. cos x − x + C. B. − cos x + C. C. − cos x − x + C. D. cos x − x + C. Lời giải. Z Z Ta có f (x)dx = (sin x − 1) dx = − cos x − x + C.  Chọn đáp án C Câu 624. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b với a < b. Diện tích của D được tính theo công thức Zb A. S = |f (x)| dx. Zb |f (x)| dx. B. S = π a Zb C. S = a Zb f (x)dx. a D. S = π f 2 (x)dx. a Lời giải. Zb |f (x)| dx. Diện tích của D được tính theo công thức S = a  Chọn đáp án A Z4 Câu 625. Tính tích phân I = x dx. x−1 2 A. 2 − ln 3. B. 1 + ln 3. C. 2 . 5 D. 2 + ln 3. Lời giải. Z4 Ta có I = x dx = x−1 2 Z4 Å 1+ 1 x−1 ã 4 dx = (x + ln |x − 1|) = 2 + ln 3. 2 2  Chọn đáp án D Z2 Câu 626. Biết x 1 1√ √ √ dx = a − b với a, b là các số nguyên dương. Tính P = 3 3 2+x+ 2−x 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 215 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 5a − b. A. P = 6. B. P = 1. C. P = 5. D. P = 8. Lời giải. Ta có Z2 x √ √ dx = 2+x+ 2−x Z2 √ √ x( 2 + x + 2 − x) dx [(2 + x) − (2 − x)] 0 0 Z2 ä √ 1 Ä√ 2 + x − 2 − x dx 2 0 p p (2 + x)3 + (2 − x)3 2 = 3 0 √ 8 − 32 = . 3 = Từ đó suy ra a = 8, b = 32 nên P = 5 · 8 − 32 = 8.  Chọn đáp án D √ π  1 − sin3 x 2 và F = . Có bao nhiêu số Câu 627. Biết F (x) là một nguyên hàm của f (x) = 2 4 2 sin x thực x ∈ (0; 2018π) để F (x) = 1. A. 2018. B. 1009. C. 2017. D. 2016. Lời giải. 1 Ta có f (x) = − sin x, suy ra F (x) = − cot x + cos x + C. sin2 x √ π  2 = nên C = 1, khi đó F (x) = − cot x + cos x + 1. Do F 4 2 " cos x = 0 π ⇔ x = + kπ, k ∈ Z. Vậy F (x) = 1 ⇔ cot x − cos x = 0 ⇔ 2 sin x = 1 π 1 Do x ∈ (0; 2018π) ⇒ 0 < + kπ < 2018π ⇒ 0 < + k, từ đó suy ra có 2018 số thực thỏa mãn yêu 2 2 cầu bài toán.  Chọn đáp án A Câu 628. Cho hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn f (x) > 0, ∀x ∈ R, f (0) = 1, f 0 (x) = (2 − 2x) · f (x). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f (x) = m có hai nghiệm thực phân biệt. A. m ∈ (0; e2 ). B. m ∈ (0; e). C. m ∈ (1; e). D. m ∈ (0; 1). Lời giải. Z f 0 (x) Từ giả thiết f (x) = (2 − 2x) · f (x) ta suy ra dx = (2 − 2x) dx. f (x) 2 2 Suy ra ln |f (x)| = 2x − x2 + C ⇒ |f (x)| = e2x−x +C ⇒ f (x) = e2x−x +C (vì f (x) > 0, ∀x ∈ R). Z 0 2 Do f (0) = 1 ⇒ C = 0 ⇒ f (x) = e2x−x . 2 Ta có f 0 (x) = (2 − 2x) · e2x−x ; f 0 (x) = 0 ⇔ x = 1. Ta có bảng biến thiên: Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 216 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ x Chương 3-Giải tích 12 −∞ f 0 (x) +∞ 1 + − 0 e f (x) 0 0 Từ đó suy ra phương trình f (x) = m có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi m ∈ (0; e).  Chọn đáp án B Câu 629. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = √ 1 − x2 , y = 2 − x2 và trục hoành bằng √ √ √ 8 2 π 8 2 4 2 π A. − . B. − π. C. − . 3 2 3 3 2 Lời giải. ” ” √ x = −1 2 x = − √ Ta có 1 − x2 ⇔ , 2 − x2 = 0 ⇔ √ . x=1 x= 2 Gọi S là diện tích hình phẳng cần tính, S1 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Parabol y = 2 − x2 và trục Ox, S2 là diện tích √ của hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = 1 − x2 và trục Ox. Khi đó S = S√1 − S2 . Z2 Å ã x3 2 (2 − x ) dx = 2x − Ta có S1 = 3 √ √ 8 2 π D. + . 3 2 y 2 1 √ − 2 √ 2 −1 O √ 2 √ − 2 √ 8 2 = . 3 1 x y = 2 − x2 − 2 π S2 chính là diện tích của nửa hình tròn bán kính 1, do đó S1 = . 2 √ 8 2 π − . Vậy S = 3 2  Chọn đáp án A Z 1 Câu 630. Tìm dx. x2 Z 1 1 A. dx = + C. 2 x Z x 1 1 C. dx = + C. 2 x 2x Lời giải. Z 1 1 Ta có dx = − + C. 2 x x Chọn đáp án B Z 1 1 dx = − + C. 2 x Z x 1 D. dx = ln x2 + C. x2 B.  Câu 631. Cho hai hàm số y = f (x), y = g(x) liên tục trên [a; b] và nhận giá trị bất kỳ. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức Zb Zb [f (x) − g(x)] dx. A. S = a a Zb Zb |f (x) − g(x)| dx. C. S = [g(x) − f (x)] dx. B. S = [f (x) − g(x)] dx . D. S = a a Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 217 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Zb |f (x) − g(x)| dx. Ta có: diện tích hình phẳng theo yêu cầu bài toán được tính theo công thức S = a  Chọn đáp án C π Z3 cos 2x dx bằng Câu 632. Tích phân √ 3 . A. − 2 Lời giải. √ 0 π Z3 √ 3 B. − . 4 1 cos 2x dx = sin 2x 2 π 3 0 √ 3 C. . 2 D. 3 . 4 √ = 3 . 4 0  Chọn đáp án D Z Câu 633. Biết x cos 2x dx = ax sin 2x + b cos 2x + C với a, b là các số hữu tỉ. Tính tích ab. 1 1 1 A. ab = . B. ab = . C. ab = − . 8 4 8 Lời giải.  (  du = dx u=x Đặt ⇒ . Khi đó v = sin 2x dv = cos 2x dx 2 Z Z 1 1 x cos 2x dx = x sin 2x − sin 2x dx 2 2 1 1 = x sin 2x + cos 2x + C. 2 4 1 1 1 Suy ra a = , b = ⇒ ab = . 2 4 8 Chọn đáp án A 1 D. ab = − . 4  Câu 634. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 và đường thẳng y = 2x. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) xung quanh trục hoành. 64π 16π 20π 4π A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 15 15 3 3 Lời giải. ” x=0 Phương trình hoành độ giao điểm x2 = 2x ⇔ . Ta có x2 · 2x ≥ 0, ∀x ∈ [0; 2]. Khi đó x=2 2 2 Z Z Å 5 ã x 4×3 2 64π 4 2 4 2 V = π |x − 4x | dx = π (−x + 4x ) dx = π − + = . 5 3 15 0 0 0  Chọn đáp án A Z 1 Câu 635. Cho hàm số chẵn y = f (x) liên tục trên R và −1 A. 2. Lời giải. B. 4. C. 8. 2 f (2x) dx = 8. Tính f (x) dx. 1 + 2x 0 D. 16. Z 1 dt. Với x = −1 ⇒ t = −2, x = 1 ⇒ t = 2. Suy ra 2 Z 1 Z Z 2 f (2x) 1 2 f (t) f (x) √ x dx = 16. dx = √ t dt = 8 ⇒ x 2 −2 1 + 2 2 −1 1 + 2 −2 1 + • Đặt t = 2x ⇒ dx = Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 218 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z 2 • Xét −2 Chương 3-Giải tích 12 f (−x) √ dx. Đặt u = −x ⇒ dx = − du. Với x = −2 ⇒ u = 2, x = 2 ⇒ u = −2. 1 + ( 2)−x Suy ra 2 Z −2 f (−x) √ dx = 1 + ( 2)−x Z 2 −2 f (u) √ u du = 16. 1+ 2 • Ta cóZy = f (x) là hàm liên tục trên R nên f (−x) = f (x) ∀x ∈ [−2; 2]. Z chẵn, 2 2 f (x) dx. Khi đó f (x) dx = 2 Suy ra −2 0 Z 2 −2 Z √ x f (x) · 2 √ x dx 2 −2 1 + Z 2 Z 2 f (x) √ x dx f (x) dx − = 2 −2 1 + −2 Z 2 Z 2 f (x) √ x dx. f (x) dx − = 2 2 0 −2 1 + f (−x) √ dx = 1 + ( 2)−x 2 Z f (x) dx − 16 ⇒ Suy ra 16 = 2 0 Z 2 2 f (x) dx = 16. 0  Chọn đáp án D Câu 636. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1], f (x), f 0 (x) đều nhận giá trị dương Z1 Z1 » 0 2 f 0 (x) · f (x) dx. Tính trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn f (0) = 2, [f (x) · [f (x)] + 1] dx = 2 0 Z1 0 [f (x)]3 dx. 0 15 15 17 19 . B. . C. . D. . 4 2 2 2 Lời giải. Z1 Z1 » Z1 » 2 Ta có [f 0 (x) · [f (x)]2 + 1] dx = 2 f 0 (x) · f (x) dx ⇔ f 0 (x) · f (x) − 1 dx = 0 A. 0 0 0 p [f (x)]3 = x + C. ⇒ f 0 (x) · f (x) = 1 ⇒ f 0 (x) · [f (x)]2 = 1. Lấy nguyên hàm hai vế ta được 3 Z1 Å ã 8 8 19 Mà f (0) = 2 ⇒ C = ⇒ [f (x)]3 = 3 x + . Suy ra [f (x)]3 dx = . 3 3 2 0  Chọn đáp án D Z cos 3x dx. Câu 637. Tính nguyên hàm A. −3 sin 3x + c. B. 1 sin 3x + c. 3 C. 3 sin 3x + c. 1 D. − sin 3x + c. 3 Lời giải. Z 1 Ta có cos 3x dx = sin 3x + c. 3 Chọn đáp án B Z1 Câu 638. Tích phân I =  (x + 1)2 dx bằng 0 8 A. . 3 B. 4. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 219 7 . 3 D. 2. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Z1 Ta có I = (x + 1)3 (x + 1) dx = 3 1 2 0 = 0 8 1 7 − = . 3 3 3  Chọn đáp án C Z4 0 Câu 639. Nếu f (1) = 12, f (x) liên tục và f 0 (x) dx = 17. Giá trị của f (4) bằng 1 A. 19. B. 5. Lời giải. Z4 Ta có f 0 (x) dx = f (x) C. 29. D. 9. 4 = f (4) − f (1) = 17 ⇔ f (4) = 29. 1 1  Chọn đáp án C Z2 Z2 0 A. 6. [4f (x) − 3] dx bằng f (x) dx = 5. Khi đó Câu 640. Cho 0 B. 14. C. 8. D. 2. Lời giải. Z2 Z2 Z2 Ta có [4f (x) − 3] dx = 4f (x) dx − 3 dx = 4 · 5 − 3x 0 0 2 = 14. 0 0  Chọn đáp án B Ze Câu 641. Cho tích phân H = 1 √ ae3 + c 2a − c − 4 √ x · ln x dx = . Tính N = . b 3 b 2 1 7 A. N = − . B. N = 1. C. N = 3. D. N = . 9 9 Lời giải. Ze Ze Ze Ze e  1 3 1 e3 1 1 2 3 3 Xét H = x · ln x dx = ln x d x = x · ln x − x d (ln x) = − x2 dx 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 2e3 + 1 2·2−1−4 1 √ Khi đó H = ⇒ a = 2, b = 9, c = 1 ⇒ N = =− . 9 9 3 9 Chọn đáp án A  Câu 642. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a (t) = 3t + t2 (m/s2 ). Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng bao nhiêu? 2200 A. m. 3 Lời giải. 4000 m. 4 B. C. 1900 m. 3 D. 4300 m. 3  t3 3t2 3t + t2 dx = + + c, khi t = 0 thì v = 10 ⇒ c = 10. 3 2 Z10 Å 3 ã t 3t2 4300 0 Mặt khác v (t) = s (t) ⇒ s = + + 10 dx = . 3 2 3 0 Z Ta có a (t) = v (t) ⇒ v (t) = 0  Chọn đáp án D Câu 643. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = 1 và Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 220 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 Z1 f (x) dx = 2. Tích phân 0 Chương 3-Giải tích 12 √  x dx bằng f0 0 B. −2. A. 3. C. 1. D. 4. Lời giải. ( Z1 x=0⇒t=0  √ √ x dx, đặt x = t → dx = 2t dt, đổi cận Xét I = f 0 x=1⇒t=1 0 1 1 1 Z Z Z 0 0 Khi đó I = f (t) · 2t dt = 2 x · f (x) dx = 2 x d (f (x)) = 2 · x · f (x) 0 0 Z1 1 −2 0 0 f (x) dx = −2. 0  Chọn đáp án B Câu 644. Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Quay hình (H) quanh trục hoành ta được vật thể có thể tích bằng 7π 5π 31π 9π . B. . C. . D. . A. 2 3 31 5 Lời giải. Z2 Z2 Å 5ã 2 π x 31π 2 2 4 = (32 − 1) = Ta có thể tích cần tính là V = π (x ) dx = π x dx = π . 5 1 5 5 1 1  Chọn đáp án D Z10 Câu 645. Cho hàm số f (x) liên tục trên [0; 10] thỏa mãn f (x) dx = 7, 0 Z2 Z6 f (x) dx = 3. Tính 2 Z10 P = f (x) dx + 0 f (x) dx. 6 A. P = 4. B. P = 5. C. P = 7. D. P = −4. Lời giải. Z10 Z2 Z6 Z10 Ta có f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + f (x) dx. 0 0 Z2 f (x) dx + Suy ra 2 Z10 0 6 Z10 f (x) dx − f (x) dx = 6 Z6 0 f (x) dx = 4. 2 Chọn đáp án A  Câu 646. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Z Z 1 1 A. ln |x| dx = + C. B. (x + 1)−3 dx = (x + 1)−2 + C. x 2 Z Z 1 dx C. (x + 1)3 dx = (x + 1)4 + C. D. = ln |2x + 1| + C. 4 2x + 1 Lời giải. Z Z 1 3 Ta có (x + 1) dx = (x + 1)3 d(x + 1) = (x + 1)4 + C. 4 Chọn đáp án C  Câu 647. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y = (x − 2)2 , y = 0, x = 0, x = 2. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? 32 32π 32 A. V = . B. V = 32π. C. V = . D. V = . 5 5 5π Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 221 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ta có thể tích V được tính bởi Z2 (x − 2)5 4 V = π (x − 2) dx = π · 5 2 0 Chương 3-Giải tích 12 ò (2 − 2)5 (0 − 2)5 32π =π − = . 5 5 5 ï 0  Chọn đáp án C Z1 Câu 648. Cho tích phân I = √  π π dx thì . Nếu đổi biến số x = 2 sin t, t ∈ − ; 2 2 4 − x2 0 π 6 Z A. I = dt. π π π Z6 Z6 Z3 B. I = 0 t dt. C. I = 0 dt . t dt. D. I = 0 0 Lời giải. Ta có x = 2 sin t ⇒ dx = 2 cos t dt. π Với x = 0 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t = . 6 π π π π 6 6 Z Z Z6 Z6 2 cos t dt 2 cos t dt 2 cos t dt p √ Do đó I = dt. = = = 2 2 2 cos t 2 cos t 4 − 4 sin t 0 0 0 0  Chọn đáp án A Câu 649. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên [−1; 0], F (−1) = −1, F (0) = 0 và Z0 Z0 23x F (x) dx = −1. Tính I = 23x f (x) dx. −1 −1 1 1 B. I = + ln 2. A. I = − 3 ln 2. 8 8 Lời giải. Z0 Z0 3x I = 2 f (x) dx = 23x d (F (x)) = 23x F (x) −1 C. I = Z0 0 −1 − 3 ln 2 −1 1 + 3 ln 2. 8 23x F (x) dx = D. I = 1 + 3 ln 2. 8 1 + 3 ln 2. 8 −1  Chọn đáp án C Å ã ï ò 1 1 Câu 650. Cho hàm số y = f (x) liên tục và thỏa mãn f (x) + 2f = 3x với x ∈ ; 2 . Tính x 2 Z2 f (x) I= dx. x 1 2 3 A. I = . 2 Lời giải. 3 B. I = − . 2 9 C. I = . 2 9 D. I = − . 2 Å ã Å ã 1 1 1 2 Ta có f (x) + 2f = 3x và f + 2f (x) = 3 · . Suy ra f (x) = − x. x x x x Z2 Z2 Å ã f (x) 2 3 I= dx = − 1 dx = . x x2 2 1 2 1 2  Chọn đáp án A π Z2 h πi π 2 Câu 651. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên 0; thỏa mãn f (0) = 0, [f 0 (x)] dx = 2 4 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 222 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ π π Z2 Z2 sin x · f (x) dx = và 0 A. 1. π . Tích phân 4 π B. . 4 Chương 3-Giải tích 12 f (x) dx bằng 0 C. 2. D. π . 2 Lời giải. π Z2 Xét I = π sin x · f (x) dx = , đặt 4 0 Ta có I = −f (x) · cos x π 2 ( ( u = f (x) ⇒ v = − cos x dv = sin x dx π π Z2 Z2 + du = f 0 (x) dx cos x · f 0 (x) dx = cos x · f 0 (x) dx = 0 π Z2 Suy ra 0 π Z4 Do đó π Z2 0 π −2 cos x · f 0 (x) dx = − , theo giả thiết 2 π . 4 π π Z2 Z2 [f 0 (x)]2 dx = π , mặt khác 4 0 cos2 x dx = π . 4 0 [f 0 (x) − cos x]2 dx = 0 ⇒ f 0 (x) = cos x ⇒ f (x) = sin x + C vì f (0) = 0 ⇒ f (x) = sin x. 0 π Z2 sin x = − cos x f (x) dx = Vậy 0 . π 2 = 1. 0 0 0 Chọn đáp án A  Câu 652. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 3x. Z Z A. f (x) dx = 3 cos 3x + C. B. f (x) dx = −3 cos 3x + C. Z Z 1 1 C. f (x) dx = − cos 3x + C. D. f (x) dx = cos 3x + C. 3 3 Lời giải. Z Z Z 1 1 sin 3x d(3x) = − cos 3x + C. Ta có f (x) dx = sin 3x dx = 3 3 Chọn đáp án C  Câu 653. Cho hàm số f liên tục trên R và số thực dương a. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào luôn đúng? Za A. f (x) dx = f (a). a Za Za f (x) dx = 1. B. f (x) dx = −1. C. a Za a f (x) dx = 0. D. a Lời giải. Za f (x) dx = 0. Theo tính chất cơ bản của tích phân thì a  Chọn đáp án D Z1 dx có giá trị bằng Câu 654. Tích phân 0 A. −1. Lời giải. Z1 Ta có dx = x B. 0. 1 0 C. 1. D. 2. = 1. 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 223 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Chọn đáp án C  Câu 655. Công thức nguyên hàm nào sau đây là sai? Z Z dx xα+1 A. = ln x + C. B. xα dx = + C. α+1 Z x Z ax 1 C. ax dx = + C (< α 6= −1). D. dx = tan x + C. ln a cos2 x Lời giải. Z dx Dựa vào công thức nguyên hàm cơ bản. (Đúng là = ln |x| + C). x Chọn đáp án A  Câu 656. Tính thể tích V của vật thể nằm giữa 2 mặt phẳng x = 0, x = 3, biết thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ 3) là một hình √ chữ nhật có hai kích thước là x và 2 1 − x2 . A. V = 16. B. V = 17. C. V = 18. D. V = 19. Lời giải. √ √ Diện tích hình chử nhật có hai kích thước là x và 2 1 − x2 là S(x) = x · 2 1 − x2 . Z1 √ Vậy thể tích là V = x · 2 1 − x2 dx = 18 0  Chọn đáp án C 3 Câu 657. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + 2x thỏa mãn F (0) = . Tìm 2 F (x). 1 5 A. F (x) = ex + x2 + . B. F (x) = ex + x2 + . 2 2 3 1 x 2 x 2 C. F (x) = e + x + . D. F (x) = 2e + x − . 2 2 Lời giải. Z Z Ta có F (x) = f (x) dx = (ex + 2x) dx = ex + x2 + C. 3 3 1 ⇒1+C = ⇒C = . 2 2 2 1 x 2 Từ đó ta có F (x) = e + x + . 2 Chọn đáp án A Do F (0) = Z1 Câu 658. Tính tích phân I = x2  1 dx. −x−2 0 A. I = −2 ln 2. B. I = 2 ln 2 . 3 C. I = − 2 ln 2 . 3 D. I = 2 ln 2. Lời giải. Ta có Z1 I= 1 dx = x2 − x − 2 0 = 1 x−2 ln 3 x+1 1 0 Z1 1 1 dx = (x + 1)(x − 2) 3 0 Å ã 1 1 2 ln 2 1 = ln − ln 2 = − . 3 2 3 3 0 1 dx − x−2 Z1 é 1 dx x+1 0  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Ñ 1 Z 224 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Z1 Câu 659. Cho hàm số f (x) liên tục trong đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = 0, f (0) = ln 2, 2 [f 0 (x)] dx = 0 3 − ln 2 và 2 Z1 f (x) 3 dx = 2 ln 2 − . Tính tích phân I = 2 (x + 1) 2 0 Z1 f (x) dx. 0 1 − ln 2 3 − ln 2 3 − 4 ln 2 A. I = . B. I = . C. I = 1 − ln 2. D. I = . 2 2 2 Lời giải. Z1 0 Z1 Z1 0 f (x) f (x) f (x) 3 −f (x) 1 + dx = ln 2 + dx. Ta có 2 ln 2 − = dx = 2 2 (x + 1) x+1 0 x+1 x+1 0 0 Z1 Suy ra 0 f 0 (x) 3 dx = ln 2 − . x+1 2 0 Kết hợp với giả thiết ta có Z1 2 0 Z1 [f (x)] dx + 0 f 0 (x) dx = 0 ⇔ x+1 0 Z1 ï ò 1 f (x) f (x) + dx. x+1 0 0 0 1 ⇒ f (x) = − ln(x + 1) + C. x +( 1 f (1) = − ln 2 + C = 0 2 . Kết hợp với giả thiết ta có ⇒ C = ln 2, suy ra f (x) = ln x+1 f (0) = − ln 1 + C = ln 2 Z1 Từ đó ta tính được I = f (x) dx = 1 − ln 2. Từ đó suy ra f 0 (x) = − 0  Chọn đáp án C Câu 660. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì người lại đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −5t + 10 m/s, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét? A. 10 m. B. 5 m. C. 20 m. D. 8 m. Lời giải. Thời điểm ô tô dừng hẳn v(t) = −5t + 10 = 0 ⇔ t = 2 (s). Z2 Quãng đường từ lúc đạp phanh tới khi ô tô dừng hẳn s = (−5t + 10) dt = 10 (m). 0  Chọn đáp án A Câu 661. Cho hai hàm số f (x) và g(x) liên tục trên K và a, b ∈ K . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? Zb Zb Zb A. [f (x) + g(x)] dx = f (x) dx + g(x) dx. a a Zb kf (x) dx = k B. a a Zb f (x) dx. a Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 225 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Zb Zb a Zb f (x) dx · [f (x)g(x)] dx = C. a Zb g(x) dx. a Zb [f (x) − g(x)] dx = D. a Chương 3-Giải tích 12 Zb f (x) dx − a g(x) dx. a Lời giải. Dựa vào tính chất của tích phân.  Chọn đáp án C Z9 Câu 662. Biết f (x) là hàm số liên tục trên R và Z4 f (3x − 3) dx f (x) dx = 9. Khi đó giá trị của 0 1 là A. 27. B. 3. C. 0. D. 24. Lời giải. Đặt t = 3x − 3 ⇒ dt = 3dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 0; x = 4 ⇒ t = 9. Z4 Z9 1 1 Suy ra f (3x − 3) dx = f (t) dt = · 9 = 3. 3 3 1 0    x = 2 + 3t   Câu 663. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y = 5 − 4t (t ∈ R) và    z = −6 + 7t điểm A(1; 2; 3). Đường thẳng ∆ đi qua A và song song song với đường thẳng d có một véc-tơ chỉ Chọn đáp án B phương là A. #» u = (3; −4; 7). B. #» u = (3; −4; −7). C. #» u = (−3; −4; −7). D. #» u = (−3; −4; 7). Lời giải. Đường thẳng d có một véc-tơ chỉ phương là #» v = (3; −4; 7). Vì đường thẳng ∆ song song song với đường thẳng d nên đường thẳng ∆ nhận #» v = (3; −4; 7) làm một véc-tơ chỉ phương. Chọn đáp án A  Câu 664. Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) = e2x+3Z là Z 1 A. f (x) dx = e2x+3 + C. B. f (x) dx = e2x+3 + C. 3 Z Z 1 2x+3 C. f (x) dx = e + C. D. f (x) dx = 2e2x+3 + C. 2 Lời giải. Z Z 1 Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng, ta được f (x) dx = e2x+3 dx = e2x+3 + C. 2 Chọn đáp án C  Câu 665. Cho các số thực dương a, b, c với c 6= 1. Khẳng định nào sau đây là sai? a logc a A. logc (ab) = logc b + logc a. B. logc = . b logc b √ 1 a C. logc b = logc b. D. logc = logc a − logc b. 2 b Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 226 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Dựa vào tính chất của lôgarit.  Chọn đáp án B Z2 Câu 666. Tích phân I = 3x · ex dx nhận giá trị nào sau đây? −1 3e3 + 6 3e3 + 6 3e3 − 6 3e3 + 6 . D. I = . A. I = . B. I = . C. I = e−1 e−1 e −e Lời giải. ( ( u = 3x u = 3 dx Đặt ⇒ dv = ex dx v = ex . Z2 2  6 3e3 + 6 x − 3 ex dx = 6e2 + 3e−1 − 3 e2 − e−1 = 3e2 + = . ⇒ I = 3xe e e −1 −1  Chọn đáp án C Câu 667. Cho hàm số f (x) liên tục trên R {0; −1} thỏa mãn điều kiện f (1) = −2 ln 2 và x (x + 1) f 0 (x)+ f (x) = x2 + x. Giá trị f (2) = a + b ln 3 (a, b ∈ Q). Tính a2 + b2 . 9 5 13 25 . B. . C. . D. . A. 4 2 2 4 Lời giải. x x 1 Ta có x (x + 1) f 0 (x) + f (x) = x2 + x ⇔ f 0 (x) + 2 f (x) = x+1 x+1 (x + 1) ï ò0 x x ⇔ f (x) = . x+1 x+1 Lấy tích phân từ 1 đến 2 hai vế ta được Z2 Z2 ï ò0 2 2 x x x f (x) dx = dx ⇔ f (x) = (x − ln |x + 1|) x+1 x+1 x+1 1 1 1 1 1 2 3 3 2 ⇔ f (2) − f (1) = (2 − ln 3) − (1 − ln 2) ⇔ f (2) + ln 2 = 1 − ln 3 + ln 2 ⇔ f (2) = − ln 3. 3 2 3 2 2 3 3 Suy ra a = và b = − . 2 2 9 2 2 Vậy a + b = . 2 Chọn đáp án B  Câu 668. Cho hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường y = ln(x + 1), trục hoành và đường thẳng x = e − 1. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình (H ) quanh trục Ox. A. e − 2. B. 2π. D. π(e − 2). C. πe. Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường y = ln(x + 1) và trục hoành là ln(x + 1) = 0 ⇔ x = 0. Vậy thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình (H ) quanh trục Ox là Ze−1 Ze V = [ln(x + 1)]2 dx = (ln t)2 dt = π(e − 2). 0 1  Chọn đáp án D Câu 669. Một vật chuyển động với vận tốc v = 20 m/s thì thay đổi vận tốc với gia tốc được tính theo thời gian t là a(t) = −4 + 2t m/s2 . Tính quãng đường vật đi được để từ thời điểm thay đổi gia tốc đến lúc vật đạt vận tốc bé nhất. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 227 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 104 104 m. B. 104 m. C. 208 m. D. m. 3 6 Lời giải. Z Ta có v = (−4 + 2t) dt = −4t + t2 + C. Tại thời điểm t = 0, v = 20 ⇒ C = 20. A. Do đó v = t2 − 4t + 20 = (t − 2)2 + 16 ≥ 16. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = 2. Z2 104 Vậy s = (t2 − 4t + 20) dt = m. 3 0  Chọn đáp án A Za (2x + 5) dx = a − 4. Câu 670. Có bao nhiêu giá trị thực của a để có 0 A. 1. B. 0. Lời giải. Za  Ta có (2x + 5) dx = x2 + 5x C. 2. a 0 D. Vô số. = a2 + 5a. 0 Za Nên: (2x + 5) dx = a − 4 ⇔ a2 + 5a = a − 4 ⇔ a2 + 4a + 4 ⇔ a = −2. 0 Vậy, có một giá trị thực của a thỏa mãn là a = −2.  Chọn đáp án A Câu 671. Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kì thuộc K. Khẳng định nào sau đây sai? Za A. f (x) dx = 1. a Zb Za f (x) dx = − B. a b Zc Zb f (x) dx + C. a c Zb f (x) dx = a Zb f (x) dx, c ∈ (a; b). f (x) dx = Zb D. f (x) dx. a f (t) dt. a Lời giải. Za Hàm số f liên tục trên khoảng K và a số bất kì thuộc K, ta có f (x) dx = 0. Như vậy, khẳng định a Za f (x) dx = 1 là khẳng định sai. a  Chọn đáp án A Câu 672. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = ex (1 + Ze−x ). Z A. f (x) dx = ex + 1 + C. B. f (x) dx = ex + x + C. Z Z x C. f (x) dx = −e + x + C. D. f (x) dx = ex + C. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 228 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z Ta có Z f (x) dx = x Z −x Chương 3-Giải tích 12 (ex + 1) dx = ex + x + C. e (1 + e ) dx =  √ Câu 673. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường y = x − 1, trục hoành và đường thẳng x = 4. Chọn đáp án B Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? 7π 2 7π 7π 7 B. V = . C. V = . D. V = . A. V = . 6 6 6 3 Lời giải. √ Ta có x − 1 = 0 ⇔ x = 1. √ Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) giới hạn bởi đường y = x − 1, trục hoành và đường thẳng x = 4 quanh trục hoành là Z4 V √ = π 2 x − 1 dx 1 Z4  √ x − 2 x + 1 dx = π 1 x2 4 √ 3 = π x +x − 2 3 Å ã 4 = 1 7π . 6  Chọn đáp án C Câu 674. Cho hàm số f (x) xác định trên R {1} thỏa mãn f 0 (x) = 2018. Tính S = [f (3) − 2018] · [f (−1) − 2017]. A. S = 1. B. S = 1 + ln2 2. C. S = 2 ln 2. 1 , f (0) = 2017, f (2) = x−1 D. S = ln2 2. Lời giải. Ta có Z3 f (3) − 2018 = f (3) − f (2) = Z3 0 f (x) dx = 2 1 dx = ln (x − 1)|32 = ln 2. x−1 2 Z0 2017 − f (−1) = f (0) − f (−1) = Z0 0 f (x) dx = −1 1 dx = ln |x − 1||0−1 = − ln 2. x−1 −1 Do đó f (−1) − 2017 = ln 2. Vậy S = [f (3) − 2018] · [f (−1) − 2017] = (ln 2) · (ln 2) = ln2 2. Chọn đáp án D  √ Ze √ 3 + ln x a−b c Câu 675. Biết dx = , trong đó a, b, c là các số nguyên dương và c < 4. Tính x 3 1 giá trị S = a + b + c. A. S = 13. Lời giải. B. S = 28. Ze √ Xét tích phân: I = √ C. S = 25. D. S = 16. 3 + ln x dx. x 1 1 3 + ln x ⇒ u2 = 3 + ln x ⇒ 2u du = dx; x √ Khi x = 1 thì u = 3; Đặt u = Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 229 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Khi x = e thì u = 2; Z2 Z2 2 Ta có: I = u · 2u du = 2 u2 du = u3 3 √ √ 3 2 √ 3 Chương 3-Giải tích 12 √ 16 − 6 3 = . 3 3 Suy ra a = 16, b = 6, c = 3. Do đó S = a + b + c = 16 + 6 + 3 = 25.  Chọn đáp án C π Z1 Z4 Câu 676. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và biết f (tan x) dx = 4, 0 x2 f (x) dx = 2. Giá trị x2 + 1 0 Z1 f (x) dx thuộc khoảng nào dưới đây? của tích phân √ C. ( 2; 5). 0 A. (5; 9). Lời giải. B. (3; 6). D. (1; 4). π Z4 Xét tích phân I = f (tan x) dx: 0 1 dx ⇒ dt = (1 + tan2 x) dx. cos2 x π Khi x = 0 thì t = 0. Khi x = thì t = 1. 4 Từ đó ta có: Đặt t = tan x ⇒ dt = π π Z4 Z4 I= f (tan x) dx = 0 Z1 Do đó  f (tan x) 1 + tan2 x dx = 2 1 + tan x Z1 0 f (x) dx. x2 + 1 0 f (x) dx = 4. x2 + 1 0 Từ đó ta có: Z1 f (x) dx + x2 + 1 0 Z1 ⇔ Z1 x2 f (x) dx = 4 + 2 x2 + 1 0 (x2 + 1)f (x) dx = 6 x2 + 1 0 Z1 ⇔ f (x) dx = 6. 0  Chọn đáp án A Câu 677. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = xex , y = 0, x = 0, x = 1 xung quanh trục Ox là Z1 Z1 A. V = x2 e2x dx. B. V = π xex dx. 0 Z1 C. V = π 0 0 x2 e2x dx. Z1 D. V = π x2 ex dx. 0 Lời giải. Z1 Ta có: V = π x 2 Z1 (xe ) dx = π 0 x2 e2x dx. 0  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 230 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 1 là 2x + 3 1 B. ln |2x + 3| + C. 2 1 D. ln |2x + 3| + C. ln 2 Câu 678. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 ln(2x + 3) + C. 2 C. ln |2x + 3| + C. A. Lời giải. Z Z Ta có: f (x) dx = 1 1 dx = ln |2x + 3| + C. 2x + 3 2  Chọn đáp án B Z1 Câu 679. Tích phân x(x2 + 3) dx bằng 0 A. 2. B. 1. C. 4 . 7 D. 7 . 4 Lời giải. Đặt t = x2 + 3 ⇒ dt = 2x dx. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 3, x = 1 ⇒ t = 4. Khi đó Z1 1 x(x2 + 3) dx = 2 0 Z4 1 t dt = t2 4 4 3 7 = . 4 3  Chọn đáp án D 1 (x2 + a)2 1 3 . Tìm nguyên Câu 680. Cho biết F (x) = x + 2x − là một nguyên hàm của f (x) = 3 x x2 hàm của g(x) = x cos ax. 1 1 A. x sin x − cos x + C. B. x sin 2x − cos 2x + C. 2 4 1 1 C. x sin x + cos x + C. D. x sin 2x + cos 2x + C. 2 4 Lời giải. Ta có: Z (x2 + 1)2 (x2 + a)2 F (x) = f (x) dx ⇒ F 0 (x) = f (x) ⇒ = ⇒ a = 1. x2 x2 Z Do đó: g(x) = x cos x dx. ( ( u=x du = dx Đặt ⇒ dv = cos x dx v = sin x. Z ⇒ g(x) = x sin x − sin x dx = x sin x + cos x + C.  Chọn đáp án C Câu 681. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 231 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18 m, chiều rộng chân đế 12 m. Người ta căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol và mặt đất thành ba phần có diện A tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). AB Tỉ số bằng CD 1 4 1 A. √ . B. . C. √ . 3 5 2 2 D. B C 3 √ . 1+2 2 18 m D 12 m Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. y Phương trình parabol (P ) có dạng y = ax2 . Parabol (P ) đi qua điểm (−6; −18) nên suy ra −6 x1 x2 O x 1 a · (−6)2 = −18 ⇔ a = − . 2 1 Suy ra (P ) : y = − x2 . 2 AB x1 Từ hình vẽ ta có: = . CD x2 A B C D 1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P ) với đường thẳng AB : y = − x21 là 2 Zx1 Å ã Å 3 ã 1 2 1 2 x 1 2 S1 = 2 − x + x1 dx = 2 − + x1 x 2 2 6 2 0 x1 0 2 = x31 . 3 1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P ) với đường thẳng CD : y = − x22 là 2 Zx2 Å ã Å 3 ã 1 2 1 2 1 2 x S2 = 2 − x + x2 dx = 2 − + x2 x 2 2 6 2 0 x2 0 2 = x32 . 3 Từ giả thiết ta có S2 = 2S1 ⇔ x32 = 2x31 ⇔ x1 1 = √ . 3 x2 2 AB x1 1 = = √ . 3 CD x2 2 Chọn đáp án C Vậy  Câu 682. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên [1; 2] thỏa mãn f (1) = 4 và f (x) = xf 0 (x) − 2x3 − 3x2 . Tính f (2). A. 5. B. 20. C. 10. D. 15. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 232 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Với x ∈ [1; 2] ta có xf 0 (x) − f (x) = 2x + 3 x2 ã0 Å f (x) = 2x + 3 ⇔ x f (x) ⇔ = x2 + 3x + C. x f (x) = xf 0 (x) − 2x3 − 3x2 ⇔ Do f (1) = 4 nên C = 0 ⇒ f (x) = x3 + 3x2 . Vậy f (2) = 23 + 3 · 22 = 20.  Chọn đáp án B Z1 xf (x) dx = 0 và max |f (x)| = 1. Câu 683. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn [0;1] 0 Z1 Tích phân I = ex f (x) dx thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? 0ã Å 5 A. −∞; − . 4 Lời giải. Å B. ã 3 ;e − 1 . 2 Z1 Với mọi a ∈ [0; 1], ta có 0 = Z1 xf (x) dx = a 0 Z1 Kí hiệu I(a) = Å ã 5 3 C. − ; . 4 2 D. (e − 1; +∞). Z1 xf (x) dx = 0 axf (x) dx. 0 (ex − ax) dx, khi đó với mọi a ∈ [0; 1], ta có: 0 Z1 ex f (x) dx = 0 Z1 ex f (x) dx − 0 Z1 Z1 axf (x) dx = 0 Z1 6 0 |ex − ax| · max |f (x)| dx = Suy ra |ex − ax| · |f (x)| dx 0 Z1 |ex − ax| dx = I(a). x∈[0;1] 0 Z1 (ex − ax) f (x) dx 6 Z1 0 ex f (x) dx 6 min I(a). a∈[0;1] 0 Mặt khác với mọi x, a ∈ [0; 1] ta có: ex − ax > 0. Z1 Z1  a 2 x x x Do đó I(a) = |e − ax| dx = (e − ax) dx = e − x 2 0 Suy ra min I(a) = e − a∈[0;1] 0 3 ⇒ 2 Z1 ex f (x) dx 6 e − 1 =e− 0 a − 1. 2 3 ≈ 1,22. 2 0 ã Å 5 3 . Vậy I ∈ − ; 4 2 Chọn đáp án C  Câu 684. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2π có diện tích là? A. 4. B. 4π. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 2. 233 D. 2π. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Z2π | sin x|dx = 4. Diện tích hình phẳng cần tìm là: S = 0  Chọn đáp án A Z1 Câu 685. Tính tích phân I = x dx ta được kết quả là 0 1 C. I = . 4 1 B. I = . 3 A. I = 1. 1 D. I = . 2 Lời giải. Z1 Ta có I = x2 x dx = 2 0 1 0 1 = . 2  Chọn đáp án D Câu 686. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 3t + t2 m/s2 . Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu? 43 A. m. 3 Lời giải. 4300 43000 m. D. m. 3 3 Z 3t2 t3 Vận tốc của vật sau khi tăng tốc có phương trình v(t) = (3t + t2 ) dt = + + C. 2 3 3t2 t3 Vì v(0) = 10 nên c = 10. Suy ra v(t) = + + 10. 2 3 Do đó, trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc vật được quảng đường B. Z10 Å s= 430 m. 3 3t2 t3 + + 10 2 3 C. ã Å dx = ã t4 t3 + + 10t 2 12 0 10 = 0 4300 (m). 3  Chọn đáp án C Câu 687. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 , trục tung, trục hoành và đường thẳng y = 4. Khi quay (D) quanh trục tung ta được khối tròn xoay có thể tích bằng bao nhiêu? A. 6π. B. 10π. C. 8π. Lời giải. Xét phần hình phẳng bên phải trục tung, ta có x = D. 12π. √ y. Thể tích khối tròn xoay khi quay (D) quanh trục tung có thể tích Z4 V =π y2 y dy = π · 2 0 y 4 4 = 8π. 0 O x  Chọn đáp án C Z1 Câu 688. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có Z3 f (x) dx = 2, 0 f (x) dx = 6. Tính I = 0 Z1 f (|2x − 1|) dx. −1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 234 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 2 A. I = . 3 Lời giải. Chương 3-Giải tích 12 3 C. I = . 2 B. I = 4. D. I = 6. Đặt t = 2x − 1 ⇒ dt = 2dx. Đổi cận: x = −1 ⇒ t = −3; x = 1 ⇒ t = 1. Khi đó 1 I= 2 = 1 2 Z1 1 f (|t|) dt = 2 Z0 −3 −3 Z3 Z1 f (x) dx + 1 2 0 1 f (−t) dt + 2 Z1 f (t) dt 0 f (x) dx = 1 + 3 = 4. 0  Chọn đáp án B Câu 689. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên R có f (x) > 0, ∀x ∈ R, f (0) = 1. Biết f 0 (x) = 2 − 2x, tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f (x) = m có 2 nghiệm thực f (x) phân biệt. A. 1 < m < e. B. 0 < m < e. D. 0 < m ≤ 1. C. m > e. Lời giải. f 0 (x) Từ = 2 − 2x lấy nguyên hàm hai vế ta được ln f (x) = 2x − x2 + C, với C là hằng số. Mà f (x) 2 f (0) = 1 ⇒ C = 0. Suy ra f (x) = e2x−x . 2 Đạo hàm f 0 (x) = (2 − 2x) · e2x−x = 0 ⇔ x = 1. Lập bảng biến thiên như sau: x −∞ +∞ 1 f 0 (x) + − 0 e f (x) 0 0 Từ bảng biến thiên suy ra với 0 < m < e thì phương trình f (x) = m có hai nghiệm phân biệt.  Chọn đáp án B Z4 Câu 690. Cho biết √ 2x + 1 √ dx = a + b ln 2, (a, b ∈ Q). Khi đó, đẳng thức nào sau đây 1 + 2x + 1 0 đúng? B. a2 − 4b − 1 = 0. A. a − b = 0. C. a2 − 4b + 1 = 0. D. a2 − 4b = 0. Lời giải. √ Đặt t = 2x + 1 ⇒ tdt = dx. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 4 ⇒ t = 3. Khi đó Z4 √ 2x + 1 √ dx = 1 + 2x + 1 Z3 t2 dt = 1+t 1 0 Å = Z3 Å t−1+ 1 1+t ã dt 1 2 ã t − t + ln |t + 1| 2 3 = 2 + ln 2. 1 Vậy, a = 2, b = 1 và a2 − 4b = 0.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 235 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 691. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x + cos x. Z Z x2 A. f (x) dx = + sin x + C. B. f (x) dx = 1 − sin x + C. 2 Z Z x2 C. f (x) dx = x sin x + cos x + C. D. f (x) dx = − sin x + C. 2 Lời Z giải. x2 + sin x + C. (x + cos x) dx = 2 Chọn đáp án A  Câu 692. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b], có đồ thị hàm số y = f 0 (x) y B như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? Zb A. f 0 (x) dx là diện tích hình thang cong ABM N . A P N M a Zb B. f 0 (x) dx là độ dài đoạn BP . a O b x a Zb C. f 0 (x) dx là độ dài đoạn N M . a Zb D. f 0 (x) dx là độ dài đoạn cong AB. a Lời giải. Zb Theo ý nghĩa hình học của tích phân thì f 0 (x) dx là diện tích hình thang cong ABM N . a  Chọn đáp án A 1 và các đường thẳng y = 0, x = 1, x x = 4. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quay xung quanh trục Ox. 3π 3 A. 2π ln 2. B. . C. . D. 2 ln 2. 4 4 Lời giải. Câu 693. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = Hình phẳng (H) là phần tô đậm trong hình vẽ bên. Thể tích của y khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh trục Ox là y= Z4 V =π 1 1 dx = − 2 x x 1 4 = 1 3π . 4 O 1 x 1 4  Chọn đáp án B Câu 694. Cho hàm số y = f (x) = 7 A. . 2 Lời giải. x B. 1. ( 2 3x khi 0 ≤ x ≤ 1 4 − x khi 1 ≤ x ≤ 2 5 C. . 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 236 Z2 f (x) dx. . Tính tích phân 0 D. 3 . 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có Z2 Z1 f (x) dx = 0 Z2 2 3x dx + 0 7 (4 − x) dx = . 2 1  Chọn đáp án A Ze Câu 695. Cho I = x ln x dx = a ae2 + b , với a, b, c ∈ N và phân số là tối giản. Tính T = c c 1 a + b + c. A. T = 5. B. T = 3. C. T = 4. D. T = 6. Lời giải. Ta có Ze x2 ln x x ln x dx = 2 1 Ze e − 1 1 x2 e2 1 · dx = − x 2 2 2 1 Ze x dx = e2 + 1 . 4 1 Suy ra a = b = 1, c = 4. Vậy T = a + b + c = 6.  Chọn đáp án D Câu 696. Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu 1 m. Một ô tô A đang chạy với vận tốc 16 m/s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bằng công thức vA (t) = 16 − 4t (m/s), thời gian tính bằng giây. Hỏi rằng để hai ô tô A và B đạt khoảng cách an toàn thì khi dừng lại ô tô A phải hãm phanh cách ô tô B một khoảng ít nhất là bao nhiêu? A. 33 m. B. 12 m. C. 31 m. D. 32 m. Lời giải. Dễ thấy ô tô A dừng lại sau 4 giây. Quãng đường mà ô tô A di chuyển từ lúc bắt đầu hãm phanh đến lúc dừng lại là Z4 (16 − 4t) dt = 16t − 2t2  4 = 32 (m). 0 0 Vậy ô tô A phải bắt đầu hãm phanh cách ô tô B một khoảng ít nhất 32 + 1 = 33 m.  Chọn đáp án A Câu 697. Giả sử hàm số y = f (x) đồng biến trên (0; +∞), y = f (x) có đạo hàm, nhận giá trị dương 2 trên (0; +∞) và thỏa mãn f (3) = và [f 0 (x)]2 = (x + 1)f (x). Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 3 A. 2613 < f 2 (8) < 2614. B. 2614 < f 2 (8) < 2615. C. 2618 < f 2 (8) < 2619. D. 2616 < f 2 (8) < 2617. Lời giải. Do f (x) đồng biến nên f 0 (x) ≥ 0, với x > 0. Từ giả thiết ta có √ √ f 0 (x) df x+1 p = x+1⇒ √ = dx 2 2 f f (x) Lấy nguyên hàm hai vế ta được 3 » (x + 1) 2 f (x) = + C. 3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 237 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 2 −8 + Do f (3) = nên C = 3 3 √ 6 Chương 3-Giải tích 12 . Suy ra  f 2 (x) =  (x + 3 3 1) 2 √ 4 −8 + 6  + . 3 Do đó f 2 (8) ≈ 2613,26. Vậy 2613 < f 2 (8) < 2614.  Chọn đáp án A Câu 698. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b). Diện tích S của hình D được tính theo công thức Zb Zb A. S = f (x) dx. B. S = f |x| dx. a Zb Zb D. S = f (x) dx . C. S = a a a f (x) dx. Lời giải. Zb Diện tích S = f (x) dx. a Chọn đáp án A  Câu 699. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = cos 2x làZ Z 1 A. cos 2x dx = 2 sin 2x + C. B. cos 2x dx = − sin 2x + C. 2 Z Z 1 C. cos 2x dx = sin 2x + C. D. cos 2x dx = sin 2x + C. 2 Lời giải. Z 1 Ta có cos 2x dx = sin 2x + C. 2 Chọn đáp án D  Z2 Z2 g(x) dx = −1. Tính I = f (x) dx = 2 và Câu 700. Cho −1 Z2 −1 [x + 2f (x) + 3g(x)] dx bằng −1 11 7 17 A. I = . B. I = . C. I = . 2 2 2 Lời giải. Z2 Z2 Z2 5 Ta thấy I = x dx + 2 · f (x) dx + 3 · g(x) dx = . 2 −1 −1 5 D. I = . 2 −1  Chọn đáp án D Câu 701. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ln(x + 1), y đường thẳng y = 1 và trục tung (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích (H) bằng A. e − 2. B. e − 1. C. 1. D. ln 2. 1 O x Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 238 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Phương trình hoành độ giao điểm ln(x + 1) = 1 ⇔ x = e − 1. Ze−1 Diện tích (H) được tính theo công thức S = [1 − ln(x + 1)] dx. 0 Z ln(x + 1) dx = (x + 1) ln(x + 1) − x + C. Ta thấy e−1 = e − 2. Do vậy, S = [2x − (x + 1) ln(x + 1)] 0  Chọn đáp án A Z2 Câu 702. Biết √ √ dx √ = a + b − c với a, b, c ∈ Z+ . Tính P = a + b + c. x x + 2 + (x + 2) x √ 1 A. P = 2. B. P = 8. C. P = 46. D. P = 22. Lời giải. 1 1 1 1 √ Ta thấy f (x) = √ . √ =√ √ √ = √ − √ 2 x 2 x+2 x x + 2 + (x + 2) x x x+2 x+2+ x Z2 Z2 Å ã Ä√ ä 2 √ √ √ 1 1 √ − √ dx = = 3 + 2 − 3. x− x+1 Ta được f (x) dx = 2 x 2 x+2 1 1 1 Vậy P = 8.  Chọn đáp án B Câu 703. y Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f 0 (x) có đồ thị như hình bên. Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f 0 (x) trên đoạn [−2; 1] và [1; 4] lần lượt bằng 9 và 12. Cho f (1) = 3. Giá trị của biểu thức f (−2) + f (4) bằng A. 21. B. 9. C. 3. O 1 4 x −2 D. 2. Lời giải. Z1 Ta có f 0 (x) dx = −9 ⇒ f (1) − f (−2) = −9. −2 Z4 Ta có (1) f 0 (x) dx = −12 ⇒ f (4) − f (1) = −12. (2) 1 Từ (1) và (2) ta được f (−2) + f (4) = 9 − 12 + 2f (1) = 3.  Chọn đáp án C Z1 Câu 704. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thoả mãn f (2x) = 3f (x), ∀ x ∈ R. Biết f (x) dx = 1. 0 Z2 f (x) dx bằng Tích phân 1 A. 5. B. 3. C. 8. D. 2. Lời giải. Z1 Z2 Z1 Z2 Z2 Z2 1 Ta có f (2x) dx = · f (t) dt = 3 · f (x) dx ⇒ f (t) dt = 6 ⇒ f (x) dx = 6 ⇒ f (x) dx = 2 0 0 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 0 239 0 1 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 5.  Chọn đáp án A Câu 705. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thoả mãn f (x) + f 0 (x) ≤ 1, ∀ x ∈ R và f (0) = 0. Tìm giá trị lớn nhất của f (1). 2e − 1 e−1 A. . B. . e e C. e − 1. D. 2e − 1. Lời giải. Ta thấy f (x) + f 0 (x) ≤ 1 ⇔ ex · [f (x) + f 0 (x)] ≤ ex ⇔ [ex · f (x)]0 ≤ ex Z1 Z1 0 x ⇔ [e · f (x)] dx ≤ ex dx 0 0 ⇒ e · f (1) ≤ e − 1 e−1 ⇔ f (1) ≤ . e  Chọn đáp án B Câu 706. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2x2 − 1 và nửa √ √ √ đường tròn có phương trình y = 2 − x2 với − 2 ≤ x ≤ 2 (phần y √ gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích của hình (H) bằng 3π − 2 3π + 10 3π + 2 3π + 10 A. . B. . C. . D. . 6 3 6 6 √ − 2 2 O √ x 2 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là √ 2x2 − 1 = 2 − x2    (2x2 − 1)2 = 2 − x2   4x4 − 3x2 − 1 = 0 2 ⇔ 2x − 1 ≥ 0 ⇔ 1   ≤ x2 ≤ x2   2 2 2−x ≥0 ⇔x2 = 1 ⇔ x = ±1. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 240 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Khi đó diện tích của hình (H) là Z1 SH = |2x2 − 1 − √ Z1 2 − x2 | dx = −1 (−(2x2 − 1) + √ 2 − x2 ) dx −1 Z1 =− Z1 (2x2 − 1) dx + −1 √ 2 − x2 dx −1 π Å 2 3 x −x 3 =− π 4 2 = + 3 Z ã Z4 1 2 cos t · cos t dt (Đổi biến x = + −1 √ 2 sin t) − π4 Å ã 1 2 sin(2t) + t (cos(2t) + 1) dt = + 3 2 − π4 π 4 = −π 4 3π + 10 . 6  Chọn đáp án D Z2 Câu 707. Biết √ √ √ x3 dx = a 5 + b 2 + c với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của P = a + b + c x2 + 1 − 1 1 là 5 A. − . 2 Lời giải. B. 7 . 2 √ C. Z2 √ Ta có: a 5 + b 2 + c = √ 5 . 2 D. 2. x3 dx x2 + 1 − 1 1 Z2 = √ x3 ( x2 + 1) dx x2 + 1 − 1 1 Z2 = √ x( x2 + 1 + 1) dx 1 Z2 √ Z2 √ 2 = ( x2 + 1) d( x2 + 1) + x dx 1 √ 2 ( x2 + 1)3 x2 = + 3 2 √ √ 1 5 5−2 3 3 = + . 3 2 1 2 1 2 3 5 5 Do đó a = , b = − và c = hay P = . 3 3 2 2 Chọn đáp án C Z1 Câu 708. Giá trị tích phân  x+4 dx bằng x+3 0 5 A. ln . 3 Lời giải. 4 B. 1 + ln . 3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 3 C. ln . 5 241 3 D. 1 − ln . 5 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 Ta có: x+4 dx = x+3 0 Z1 Å 1+ 1 x+3 Chương 3-Giải tích 12 1 ã dx = (x + ln |x + 3|) 0 0 4 = 1 + ln . 3  Chọn đáp án B 1 Câu 709. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = + 2x là x A. 2 ln |x| + x2 + C. B. ln |x| + 2x2 + C. C. ln |x| + x2 + C. D. ln |x2 | + 2x + C. Lời Z giải. Z Å Z Z ã 1 dx f (x) dx = + 2x dx = + 2x dx = ln |x| + x2 + C. x x Chọn đáp án C Ze dx bằng Câu 710. Tích phân x(ln x + 2)  1 3 B. ln . 2 A. ln 2. D. ln 3. C. 0. Lời giải. dx . x Đổi cận x = 1 thì t = 2 và x = e thì t = 3. Z3 Ze 3 dt dx 3 = = ln |t| = ln . ⇒ x(ln x + 2) t 2 2 Đặt t = ln x + 2 ⇒ dt = 2 1  Chọn đáp án B Câu 711. Công thức nào sau đây để tính diện tích hình phẳng S (phần y f (x) tô đậm trong hình vẽ) Zb Zb A. S = f (x) dx − g(x) dx. a a Zb Zb B. S = f (x) dx + g(x) g(x) dx. a a Zb Zb g(x) dx − C. S = a b x f (x) dx . a a Zb Zb g(x) dx − D. S = O a f (x) dx. a Lời giải. Ta có: S = Rb |f (x) − g(x)| dx. a Trong đoạn [a; b] thì f (x) > g(x) nên f (x) − g(x) > 0 ∀x ∈ [a; b], do đó Zb Zb [f (x) − g(x)] dx = S= a Zb f (x) dx − a g(x) dx. a  Chọn đáp án A Câu 712. Cho hàm số f (x) xác định trên R {1; 4} có f 0 (x) = 2x − 5 thỏa mãn f (0) = 1. Giá x2 − 5x + 4 trị f (2) bằng Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 242 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. 1 − ln 2. Chương 3-Giải tích 12 B. 2. D. −1 + 3 ln 2. C. 1 + 3 ln 2. Lời giải. Z Å ã 2x − 5 1 1 Ta có: f (x) = dx = + dx = ln |x − 1| + ln |x − 4| + C với C ∈ R. x2 − 5x + 4 x−1 x−4 Do f (0) = 1 nên C = 1 − 2 ln 2 hay f (x) = ln |x − 1| + ln |x − 4| + 1 − 2 ln 2. Z Khi đó: f (2) = 1 − ln 2.  Chọn đáp án A Câu 713. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (x) + f (−x) = π Z2 I= f (x) dx là √ 2 + 2 cos 2x. Giá trị −π 2 B. I = −1. A. I = 1. D. I = −2. C. I = 2. Lời giải. −π π Z2 −x=t f (x) dx = Ta có: I = π I= π π Z2 Z2 f (−t) dt = f (−t)(− dt) = π 2 −π 2 Z2 Z2 −π 2 f (−x) dx. Do đó: −π 2 π π π Z2 √ Z2 √ Z2 2 f (x) + f (−x) 2 + 2 cos 2x 4 cos x dx = dx = dx = cos x dx = sin x 2 2 2 −π 2 −π 2 −π 2 −π 2 π 2 −π 2 hay I = 2.  Chọn đáp án C Câu 714. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]. Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được tính theo công thức Zb Zb A. S = f (x) dx. B. S = |f (x)| dx. a a Zb Zb |f (x)| dx . C. S = π D. S = π [f (x)]2 dx. a a Lời giải. Zb |f (x)| dx. Theo giáo khoa, ta có S = a  Chọn đáp án B Câu 715. Họ nguyên hàm của hàm số y = sin 2x là 1 1 A. y = − cos 2x + C . B. y = − cos 2x. 2 2 1 C. y = cos 2x + C . D. y = − cos 2x + C . 2 Lời giải. Z 1 Ta có sin 2x dx = − cos 2x + C. 2 Chọn đáp án A  π 2 Z Câu 716. Tích phân A. 1 − e. ecos x · sin x dx bằng 0 C. e − 1. B. e + 1. D. e. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 243 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ π π Z2 Z2 Ta có ecos x · sin x dx = − 0 Chương 3-Giải tích 12 ecos x d (cos x) = −ecos x π 2 = e − 1. 0 0  Chọn đáp án C Câu 717. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (x) + f (2 − x) = 2×2 − 4x + 10. Tích Z2 phân f (x) dx bằng 0 52 26 . B. . 3 3 Lời giải. Z2 Z2 Chú ý f (x) dx = f (2 − x) dx. C. A. 0 D. 14 . 3 0 Z2 Ta có 2 Z2 Z2 (f (x) + f (2 − x)) dx = f (x) dx = 0 0 Z2 f (x) dx = Vậy 13 . 3 (2×2 − 4x + 10) dx = 52 . 3 0 26 . 3 0  Chọn đáp án A Câu 718. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R thỏa mãn 3f 0 (x) · ef 3 (x)−x2 −1 √ − 2x f 2 (x) = 0 và Z7 f (0) = 1. Tích phân xf (x) dx bằng 0 √ 2 7 A. . 3 Lời giải. √ 5 7 B. . 4 C. 3 13 . 4 D. 45 . 8 2 Từ giả thiết ta có 3 · f 2 (x) · f 0 (x) · ef (x) = 2x · ex +1 . √ Lấy nguyên hàm hai vế ta thu được f (x) = 3 x2 + 1 + C. Vì f (0) = 1 ⇒ C = 0. √ Vậy f (x) = 3 x2 + 1. Từ đó ta có √ √ 0 0 Z7 Z7 √ 45 3 xf (x)dx = x x2 + 1dx = . 8 Chú ý tích phân trên tính bằng phép đổi biến t = √ 3 x2 + 1.  Chọn đáp án D Câu 719. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức nào sau đây? Zb Zb 2 A. V = 2π f (x) dx. B. V = π f 2 (x) dx. a C. V = π 2 Zb a f 2 (x) dx. D. V = π 2 a Zb f (x) dx. a Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 244 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Zb Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành là V = π f 2 (x) dx. a  Chọn đáp án B Câu 720. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R {−1; 0} thỏa mãn x(x + 1)f 0 (x) + f (x) = x2 + x, ∀x ∈ R {−1; 0} và f (1) = −2 ln 2 biết f (2) = a + b ln 3 với a, b ∈ Q. Tính a2 + b2 . 9 3 13 1 B. . C. . D. . A. . 2 2 4 4 Lời giải. x 1 x Từ giả thiết f 0 (x) + , ∀x ∈ R {−1; 0}. f (x) = 2 x + 1 (x + 1) x + 1 ï ò0 x x ⇒ · f (x) = . x+1 x+1 Lấy nguyên hàm hai vế, ta có Z Z Å ã x x 1 1− · f (x) = dx = dx = x − ln |x + 1| + C. x+1 x+1 x+1 x = x − ln |x + 1| − 1. Mà f (1) = −2 ln 2 nên C = −1 ⇒ f (x) · x+1 2 3 3 Cho x = 2 ⇒ f (2) · = 2 − ln 3 − 1 ⇒ f (2) = − ln 3. 3 2 2 3 9 3 2 2 Vậy a = , b = − ⇒ a + b = . 2 2 2 Chọn đáp án B  Z4 Câu 721. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn Z2 f (x) dx = 8. Tính I = 0 3 B. I = . 2 A. I = 4. f (2x) dx. 0 C. I = 8. D. I = 12. Lời giải. Đặt t = 2x ⇒ dt = 2 dx. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0 và x = 2 ⇒ t = 4. Z4 Z4 1 1 Ta có I = f (t) dt = f (x) dx = 4. 2 2 0 0 Chọn đáp án A  Câu 722. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 7x . Z Z 7x x A. 7 dx = + C. B. 7x dx = 7x ln 7 + C. ln 7 Z Z 7x+1 x C. 7 dx = + C. D. 7x dx = 7x+1 + C. x+1 Lời giải. Z 7x Theo công thức nguyên hàm 7x dx = + C. ln 7 Chọn đáp án A  Câu 723. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? Z Z A. sin x dx = cos x + C. B. 2x dx = x2 + C. Z Z 1 x x C. e dx = e + C. D. dx = ln |x| + C. x Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 245 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Z sin x dx = − cos x + C. Theo công thức nguyên hàm  Chọn đáp án A Câu 724. Cho hình phẳng S giới hạn bởi các đường y = √ 1 − x2 , y = 0. Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo bởi S khi quay quanh trục Ox. Khẳng định nào sau đây đúng? Z1 Z1 A. V = (1 − x2 ) dx. B. V = π (1 − x2 ) dx. −1 −1 Z1 √ C. V = π 1 − x2 dx. Z1 √ D. V = −1 1 − x2 dx. −1 Lời giải. Cho y = 0 suy ra x = ±1. Theo công thức tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân ta có Z1 V =π (1 − x2 ) dx. −1  Chọn đáp án B Z2 Câu 725. Biết dx = a ln 7 + b ln 2 (a, b ∈ Q). Khi đó tổng a + b bằng 3x + 1 1 1 A. . 3 Lời giải. Z Ta có D. −1. 1 1 dx = ln |ax + b| + C. ax + b a Áp dụng công thức Z2 1 C. − . 3 B. 1. dx 1 = ln |3x + 1| 3x + 1 3 1 2 = 1 1 2 1 2 1 ln 7 − ln 2. Do đó a = , b = − ⇒ a + b = − . 3 3 3 3 3  Chọn đáp án C Câu 726. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 − x và y = x bằng 4 4 1 A. . B. − . C. . D. 4. 3 3 4 Lời giải. " x=0 Phương trình x2 − x = x ⇔ x2 − 2x = 0 ⇔ x = 2. Z2 Z2 Å ã2  4 x3 2 2 2 Diện tích hình phẳng là S = |x − 2x| dx = 2x − x dx = x − = . 3 0 3 0 0  Chọn đáp án A Z1 Câu 727. Tích phân e2x dx bằng 0 A. 1 − e2 . Lời giải. Z1 1 Ta có e2x dx = e2x 2 0 B. 1 = 0 1 (1 − e2 ). 2 C. 1 2 (e − 1). 2 D. e2 − 1.  1 2 e −1 . 2  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 246 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Z (sin x + cos x) dx bằng Câu 728. Nguyên hàm của hàm số A. − sin x + cos x + C. B. sin x + cos x + C. C. − sin x − cos x + C. D. sin x − cos x + C. Lời giải. Kết hợp các công thức nguyên hàm cơ bản, ta được Z (sin x + cos x) dx = sin x − cos x + C.  Chọn đáp án D Câu 729. Cho một vật thể (T ), gọi B là phần của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và π π x = . Cắt vật thể B bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (với 0 ≤ x ≤ ) 2 2 thiết diện thu được là một nửa hình tròn có bán kính bằng sin x. Tính thể tích V của vật thể B. π2 π π π2 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 8 8 4 4 Lời giải. 1 Tại điểm có hoành độ x, diện tích thiết diện là S = π sin2 x. 2 Thể tích vật thể B theo công thức tích phân là π π Z2 Z2 V = S dx = 0 1 π2 π sin2 x dx = . 2 8 0  Chọn đáp án A Câu 730. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f 3 (x) + f (x) = x, ∀x ∈ R. Tính Z2 I = f (x) dx. 0 5 . 4 Lời giải. Từ giả thiết A. B. 4 . 5 5 C. − . 4 4 D. − . 5 f 3 (x) + f (x) = x. Cho x = 0, suy ra f 3 (0) + f (0) = 0 ⇒ f (0) = 0. Cho x = 2, suy ra f 3 (2) + f (2) = 2 ⇒ f (2) = 1. Ta có Z2    f (x) + f (x) f 0 (x) dx = 3 0 Å ⇔ Z2 xf 0 (x) dx 0 f 4 (x) f 3 (x) + 4 3 ã = 0 5 Từ đây, dễ dàng có được I = . 4 Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Z2 2 xf (x)|20 − f (x) dx. 0  247 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 731. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, √ SA = a 3. Gọi E là điểm đối xứng của B qua A. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SE. √ a 5 B. . 2 A. a. √ a 21 C. . 7 D. Lời giải. Tứ giác ACDE là hình bình hành nên AC k ED, 2a . 5 S suy ra AC k (SDE). Do đó d(AC, SE) = d [AC, (SDE)] = d [A, (SDE)] . H E Gọi I là trung điểm của √ DE, do 4ADE vuông cân tại A nên a 2 AI ⊥ DE và AI = . 2 Trong mặt phẳng (SAI), kẻ AH ⊥ SI, dễ dàng chứng minh I A D được AH ⊥ (SDE). Do đó d [A, (SDE)] = AH. B Xét 4SAI vuông tại A, đường cao AH, ta có √ 1 1 1 1 1 7 a 21 = + = Ä √ ä2 + Ç √ å2 = 2 ⇒ AH = . AH 2 SA2 AI 2 3a 7 a 2 a 3 2 √ a 21 Vậy d(AC, SE) = d [A, (SDE)] = AH = . 7 Chọn đáp án C C  Câu 732. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm và liên tục trên R thỏa mãn f 0 (x) + 2xf (x) = 2xe−x 2 và f (0) = 1. Tính f (1). A. e. B. 1 . e C. 2 . e 2 D. − . e Lời giải. 2 Từ giả thiết f 0 (x) + 2xf (x) = 2xe−x , ta suy ra 2 2 ex f 0 (x) + 2xex f (x) = 2x ⇔ ⇔ î ó0 2 ex f (x) = 2x Z1 î 1 Z ó0 e f (x) dx = 2x dx x2 0 0 x2 ⇔ e f (x) 1 = 0 1 x2 0 2 ⇔ ef (1) − f (0) = 1 ⇒ f (1) = . e  Chọn đáp án C Câu 733. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = A. −6 ln |1 − 2x| + C. Lời Z giải. Z f (x) dx = B. 3 ln |1 − 2x| + C. 3 . 1 − 2x 3 3 C. − ln |1 − 2x| + C. D. ln |1 − 2x| + C. 2 2 3 3 dx = − ln |1 − 2x| + C. 1 − 2x 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 248 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án C Zln 2 Câu 734. Tích phân e2x dx bằng 0 A. 4. B. Lời giải. Zln 2 1 Ta có e2x dx = · e2x 2 0 ln 2 0 3 . 2 C. 3. D. 1 2 (e − 1). 2 3 = . 2  Chọn đáp án B Câu 735. Cho hai hàm số y = f1 (x), y = f2 (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường cong y = f1 (x), y = f2 (x) và các đường thẳng x = a, x = b (a < b) được xác định bởi công thức nào sau đây? Zb Zb A. S = |f1 (x) + f2 (x)| dx. B. S = [f1 (x) − f2 (x)] dx. a a Zb Zb [f1 (x) − f2 (x)] dx . C. S = |f1 (x) − f2 (x)| dx. D. S = a a Lời giải. Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường cong y = f1 (x), y = f2 (x) và các đường thẳng x = a, Zb x = b (a < b) được xác định bởi công thức S = |f1 (x) − f2 (x)| dx. a  Chọn đáp án D [f (x)]2 [f 0 (x)]2 = 1 + [f (x)]2 e2x và f (x) > 0 với ∀x ∈ [0; 1], biết f (0) = 1. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. 5 7 5 3 A. < f (1) < 3. B. 3 < f (1) < . C. 2 < f (1) < . D. < f (1) < 2. 2 2 2 2 Lời giải. Câu 736. Cho hàm số f (x) có đạo hàm không âm trên [0; 1] thỏa mãn Ta có [f (x)]2 [f 0 (x)]2 = 1 + [f (x)]2 e2x f (x)f 0 (x) » ⇒ = 1 + [f (x)]2 ex f (x)f 0 (x) ⇒ p = ex 1 + [f (x)]2 Z1 Z1 f (x)f 0 (x) p ⇒ I= dx = ex dx = e − 1. 2 1 + [f (x)] 0 0 p 1 + [f (x)]2 ⇒ t2 = 1 + [f (x)]2 ⇒ t dt = f (x)f 0 (x) dx. p √ Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 2 = t1 ; x = 1 ⇒ t = 1 + [f (1)]2 = t2 . Zt2 » √ t dt Khi đó I = = t|tt21 = 1 + [f (1)]2 − 2. t t1 » p √ √ 2 Do đó 1 + [f (1)] − 2 = e − 1 ⇔ f (1) = (e − 1 + 2)2 − 1 ' 2,96. Đặt t = Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 249 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 5 < f (1) < 3. 2 Chọn đáp án A Vậy  Câu 737. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1, y = x a x2 trong miền x ≥ 0, y ≤ 1 là (phân số và đồ thị hàm số y = 4 b tối giản). Khi đó b − a bằng A. 2. B. 4. C. 3. y 3 g(x) = x 2 h(x) = D. 1. x2 4 1 x O 1 2 Lời giải. Diện tích hình phẳng cần tính là Z1 Å S= x2 x− 4 ã 0 Z2 Å ã Å 2 ã1 Å ã x3 x2 x x3 + x− dx + 1− dx = − 4 2 12 0 12 1 2 1 5 = . 6 Khi đó a = 5, b = 6. Vậy b − a = 1.  Chọn đáp án D π 4 Z Câu 738. Biết tích phân 5 sin x + cos x dx = aπ+ln b với a, b là các số hữu tỉ. Tính S = a+b. sin x + cos x 0 5 A. S = . 4 Lời giải. B. S = 11 . 4 3 C. S = . 4 π π Z4 Z4 I= 5 sin x + cos x dx = sin x + cos x 0 D. S = 2. 3(sin x + cos x) + 2(sin x − cos x) dx sin x + cos x 0 π Z4 Å ã 2(sin x − cos x) = 3+ dx sin x + cos x 0 π π Z4 Z4 = 3 dx + 0 −2(cos x − sin x) dx sin x + cos x 0 3π = + J. 4 Đặt t = sin x + cos x ⇒ dt = (cos x − sin x)dx. √ π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1, x = ⇒ t = 2. 4 √ π Z4 Z2 −2(cos x − sin x) −2 dt Khi đó J = dx = = −2 ln |t| sin x + cos x t 0 √ 1 2 1 = − ln 2 = ln . 2 1 3π 3 1 − ln 2. Mà I = aπ + ln b nên a = , b = . 4 4 2 5 Vậy S = a + b = . 4 Chọn đáp án A Suy ra I = Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 250  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Z2 Câu 739. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0; 2] và thỏa mãn x(f 0 (x) − 1) dx = 2f (2). 0 Z2 Tính giá trị của I = f (x) dx. 0 A. 1. C. −1. B. 2. D. −2. Lời giải. Z2 Ta có J = Z2 0 x(f (x) − 1) dx = 0 ( u=x Z2 0 x(f (x)) dx − 0 ( du = dx Z2 x dx = 0 x2 x(f (x)) dx − 2 2 0 0 = K − 2. 0 ⇒ dv = f 0 (x)dx v = f (x). 2 Z Z2 Khi đó K = x(f 0 (x)) dx = xf (x)|20 − f (x) dx = 2f (2) − I. Đặt 0 0 Suy ra I = 2f (2) − K = 2f (2) − (J + 2) = 2f (2) − 2f (2) − 2 = −2.  Chọn đáp án D Câu 740. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y = p ln(2x + 1), y = 0, x = 0, x = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox. ã Å 3 π 1 A. ln 3 − 1. ln 3 − 1. B. ln 3 − π. C. π + 2 2 2 Lời giải. Z1 Thể tích của khối tròn xoay là V = π ln(2x + 1) dx. D. y √ ln 3 0 Đổi biến 2x + 1 = t thì dt = 2dx. Khi x = 0 thì t = 1, x = 1 thì t = 3. Z3 Z3 π π Do đó ta có V = ln t dt = ln t dt. 2 2 1 3π ln 3 − π. 2 1 O 1 x  du = dt ln t = u t Đặt ⇒  dt = dv v = t. Sử dụng tích phân từng phần ta có ( Z3 3 1 Z3 ln t dt = t ln t − 1 dt = (t ln t − t) 3 1 = 3 ln 3 − 2. 1 (3 ln 3 − 2)π 3π = ln 3 − π. 2 2 Chọn đáp án D Vậy V =  Câu 741. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 , y = 63 . 8 Lời giải. A. B. 27 ln 2 − 63 . 8 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 27 ln 2. 251 x2 27 ,y= . 8 x D. 27 ln 2 − 63 . 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 x2 là (0; 0). 8 27 là (3; 9). Giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 và y = x x2 27 9 Giao điểm của đồ thị hàm số y = và y = là (6; ). 8 x 2 Thể tích hình phẳng được tính bởi Giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 và y = y 9 Z3 Å Z6 Å ã 2ã x 27 x2 2 S = x − dx + − dx 8 x 8 0 3 Å ã6 3 3 7x x3 = + 27 ln x − 24 0 24 3 = 27 ln 2. 9 2 3 O 6 x  Chọn đáp án C Z2 Câu 742. Tính tích phân √ 4x + 1 dx. 0 A. 13. B. 13 . 3 Lời giải. p Z2 √ (4x + 1)3 4x + 1 dx = Ta có 6 0 C. 4. 2 = 0 4 . 3 D. 13 . 3  Chọn đáp án B Câu 743. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 ? 2x + 1 1 A. F (x) = ln |2x + 1| + 1. B. F (x) = ln |2x + 1| + 2. 2 1 1 C. F (x) = ln |4x + 2| + 3. D. F (x) = ln(4x2 + 4x + 1) + 3. 2 4 Lời giải. Z 1 1 Ta có dx = ln |2x + 1| + C. 2x + 1 2 1 1 ln 2 1 1 Mặt khác ln |4x + 2| + 3 = ln |2x + 1| + + 3 và ln(4x2 + 4x + 1) + 3 = ln |2x + 1| + 3. 2 2 2 2 2 Chọn đáp án A  π Z2m Câu 744. Cho số hữu tỷ dương m thỏa mãn x cos mx dx = π−2 . Hỏi m thuộc khoảng nào trong 2 0 các khoảng dưới đây? Å ã 7 A. ;2 . 4 Å ã 1 B. 0; . 4 Å ã 6 C. 1; . 5 Å D. ã 5 8 ; . 6 7 Lời giải.  (  du = dx u=x Đặt . Khi đó ta có thể chọn v = sin mx . dv = cos mx dx m Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 252 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có π π Z2m π 2m Z2m sin mx x sin mx − dx m m 0 0 Å π ã π cos mx 2m = − − 2m2 m2 0 π 1 = − 2. 2 2m m x cos mx dx = 0 π−2 1 π−2 π−2 π ⇔ ⇔ m2 = 1. − 2 = = 2 2 2m m 2 2m 2 Vì m là số hữu tỷ dương nên m = 1. Do đó ta có  Chọn đáp án D Câu 745. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = e2x là ex A. ex + C. B. + C. C. e2x + C. 2 Lời giải. Z 1 Ta có e2x dx = e2x + C. 2 Chọn đáp án D D. e2x + C. 2  Câu 746. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [−1; 3] và thỏa mãn f (−1) = 4; Z3 f (3) = 7. Giá trị của I = 5f 0 (t) dt bằng −1 A. I = 20. B. I = 3. C. I = 10. D. I = 15. Lời giải. Z3 Ta có I = 5 f 0 (t) dt = 5f (t) 3 −1 = 5(f (3) − f (−1)) = 15. −1  Chọn đáp án D Câu 747. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]. Mệnh đề nào dưới đây sai? Zb Za A. f (x) dx = − f (x) dx. a b Zb Zc f (x) dx = B. a a Zb c f (x) dx = a f (x) dx, ∀c ∈ R. f (x) dx + Zb C. Zb f (t) dt. a Za f (x) dx = 0. D. a Lời giải. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] ta có các mệnh đề sau Zb Za f (x) dx = − f (x) dx. a b Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 253 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Zb Zc f (x) dx = a a Zb f (x) dx = a Zb f (x) dx, ∀c ∈ (a; b). f (x) dx + Zb Chương 3-Giải tích 12 c f (t) dt. a Za f (x) dx = 0. a  Chọn đáp án B Z3 Z6 f (x) dx = 12 giá trị của Câu 748. Cho 1 A. 24. f x 2 dx bằng 2 B. 10. C. 6. D. 14. Lời giải. Ta có Z6 I = f x 2 dx 2 Z6 = 2 f x 2 d x 2 2 Z3 f (t) dt = 2 · 12 = 24. = 2 1  Chọn đáp án A 2 Câu 749. Gọi S là diệnÅtích hình ã phẳng giói hạn bởi đồ thị của hàm số (P ) : y = x − 4x + 3 và các 3 tiếp tuyến kẻ từ điểm A ; −3 đến đồ thị (P ). Giá trị của S bằng 2 9 9 9 C. . D. . A. 9. B. . 8 4 2 Lời giải. Gọi M (x0 ; y0 ) ∈ (P ) ⇒ y0 = x20 − 4x0 + 3. Phương trình tiếp tuyến của (P ) tại điểm M là: d : y = (2x0 − 4)(x − x0 ) + x20 − 4x0 + 3. Vì tiếp tuyến đi qua điểm A nên thay tọa độ điểm A vào d ta được 3 −3 = (2x0 − 4)( − x0 ) + x20 − 4x0 + 3 2 " x0 = 0 ⇔ x20 − 3x0 = 0 ⇔ x + 0 = 3. Với x0 = 0 ⇒ tiếp tuyến d1 : y = −4x + 3. Với x0 = 3 ⇒ tiếp tuyến d2 : y = 2x − 6. Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng d1 , d2 là nghiệm phương trình 3 −4x + 3 = 2x − 6 ⇔ x = . 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 254 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Vẽ đồ thị (P ) và hai đường thẳng d1 ; d2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ y như hình vẽ. 3 Khi đó diện tích cần tính là phần được bôi đen bên hình được xác định bởi 2 1 O S = S1 + S2 Z 3 2  2  (x − 4x + 3) − (−4x + 3) dx + = 0 Z3 3 = Z3 2  (x2 − 4x + 3) − (2x − 6) dx 0 x3 = 3 3 −1 −2 −3 2 d2 (x − 6x + 9) dx x dx + 3 2 x  3 2 Z2 (P ) d1 3 2 3 2 0 x3 − 3x2 + 9x + 3 Å ã 3 3 2 9 = . 4  Chọn đáp án C Câu 750. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = −x2 + 4x và trục hoành. Hai đường thẳng y = m và y = n chia (H) thành ba y phần có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ). Giá trị của biểu thức T = (4 − m)3 + (4 − n)3 bằng 320 75 512 A. T = . B. T = . C. T = . 9 2 15 y=m D. T = 405. y=n O x Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 255 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = −x2 +4x và trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 2. Z2 16 Khi đó S = (−x2 + 4x) dx = . 3 y 4 y=m 0 Đường thẳng y = m và y = n chia S thành ba phần bằng nhau có diện tích theo thứ tự từ trên xuống là S1 ; S2 ; S3 . Gọi hoành độ các giao điểm của parabol với hai đường thẳng như hình bên. y=n O ba 2 x Ta có Z2 1 (−x2 + 4x − m) dx = S 3 a Å 3 ã 2 1 16 x 2 = · ⇔ − + 2x − mx 3 3 3 a ã Å 3 ã Å a 16 16 2 − 2m − − + 2a − ma = ⇔ 3 3 9 S1 = 2 (1). Mà x = a là nghiệm của phương trình −x2 + 4x = m nên ta có −a2 + 4a = m (2). 2a3 32 Thay (2) vào (1) ta được − + 4a2 − 8a + = 0 ⇔ a ≈ 0,613277. 3 9 Suy ra m = −a2 + 4a ≈ 2,077. Tương tự ta có 2 S1 + S2 = S 3 Z2 Z2 2 ⇒ 2 (−x2 + 4x − n) dx = · 2 · (−x2 + 4x) dx 3 0 b 2 16 ⇔ − b3 + 4b2 − 8b + =0 3 9 ⇔ b ≈ 0,252839 ⇒ n = −b2 + 4b = 0,947428. Khi đó T = (4 − m)3 + (4 − n)3 = 320 . 9  Chọn đáp án A Z Câu 751. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn Nguyên hàm của hàm số f (2x) trên tập R+ là x+3 x+3 A. + C. B. 2 + C. 2 2 (x + 4) x +4 C. f   √ √ x+1 2 x+1+3 √ dx = + C. x+5 x+1 2x + 3 + C. 4 (x2 + 1) D. 2x + 3 + C. 8 (x2 + 1) Lời giải. √ dx Đặt t = x + 1 ⇒ √ = 2 dt. x + 1 Z √ Z f x+1 √ Khi đó dx = 2f (t) dt. x + 1   √ √ Z Z f x+1 2 x+1+3 2(t + 3) √ Mà dx = + C nên 2f (t) dt = 2 + C. x+5 t +4 x+1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 256 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Khi đó Z t+3 +C t2 + 4 Z 1 2t + 3 +C ⇔ f (2t) dt = · 2 2 4t + 4 Z 2x + 3 ⇔ f (2x) dx = + C. 4 (x2 + 1) f (t) dt =  Chọn đáp án C √ a+ Z b Câu 752. Biết rằng √ 1 π √ dx = , ở đó a, b là các số nguyên dương và 4 < a+ b < 5. 6 −x2 + 6x − 5 4 Tổng a + b bằng A. 5. Lời giải. B. 7. √ a+ Z b Ta có I = 4 C. 4. D. 6. 1 p dx. 4 − (x − 3)2 Đặt x − 3 = 2 sin t ⇒ dx = 2 cos t dt. Đổi cận √ a+ x = a + b ⇒ sin t = x = 4 ⇒ sin t = √ b−3 ⇒ t = arcsin 2 Ç b+ √ å b−3 . 2 1 π ⇒t= . 2 6 Khi đó arcsin   √ b+ b−3 2 Z 1 p · 2 cos t dt 4 − 4 sin2 t I = π 6 arcsin   √ b+ b−3 2 Z 1 dt = π 6 = t  √  arcsin b+ 2b−3 π 6 Ç = arcsin Vì I = a+ √ b−3 2 π nên 6 å − π . 6 √ å b−3 π arcsin = 2 6 √ √ a+ b−3 3 ⇔ = √2 √2 ⇔ a+ b=3+ 3 ( a=3 ⇒ ⇒ a + b = 6. b=3 Ç b+  Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 257 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z3 Câu 753. Biết Chương 3-Giải tích 12 x ln(x2 + 16) dx = a ln 5 + b ln 2 + c trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị 2 0 của biểu thức T = a + b + c. B. T = −16. A. T = 2. C. T = −2. Lời giải.  2x (  2 dx  du = 2 u = ln(x + 16) x + 16 Đặt ⇒ 1  dv = x dx  v = (x2 + 16). 2 Z3 ï ò 1 2 2 2 x ln(x + 16) dx = (x + 16) · ln(x + 16) 2 0 = Z3 3 − 0 1 1 · 25 · ln 25 − · 16 · ln 16 − 2 2 x2 D. T = 16. 2x 1 · (x2 + 16) dx + 16 2 0 3 Z x dx 0 2 3 x 2 0 9 = 25 ln 5 − 32 ln 2 − . 2 ⇒ a = 25, b = −32, c = −9 ⇒ T = a + b + c = 25 − 32 − 9 = −16. = 25 ln 5 − 16 ln 4 −  Chọn đáp án B Câu 754. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới √ hạn bởi các đường y = 0, y = x, y = x − 2. 8π 16π A. . B. . C. 10π. D. 8π. 3 3 Lời giải. Xét  hoành độ giao điểm √ các phương trình   x=0 x=0    √ x=x−2 ⇔ x=4       x−2=0 x = 2. Suy ra thể tích của vật thể tròn xoay cần tính là Z2 Z4 √ 2 √ V = π ( x) dx + π (x − 2)2 − ( x)2 dx = 2π + πI. 0 y y =x−2 √ y= x 2 O 2 4 x 2 Z4 Ta có I = √ (x − 2)2 − ( x)2 dx = 2 Z4  10 −x2 + 5x − 4 dx = . 3 2 16π 10 Vậy V = 2π + π = . 3 3 Chọn đáp án B  Câu 755. Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình sau 32x+8 − 4 · 3x+5 + 27 = 0. Tính tổng các phần tử của S. A. −5. B. 5. C. 4 . 27 D. − 4 . 27 Lời giải. Ta có 32x+8 − 4 · 3x+5 + 27 = 0 ⇔ 32(x+4) − 12 · 3x+4 + 27 = 0. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 258 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Đặt t = 3x+4 > 0. Khi đó phương trình trên tương đương với ” ” x+4 ” ” 2 t = 9 (thoả t > 0) 3 = 3 x + 4 = 2 x = −2 t2 − 12t + 27 = 0 ⇔ ⇒ ⇔ ⇔ t = 3 (thoả t > 0) 3x+4 = 31 x+4=1 x = −3. Vậy tổng tất cả các phần tử của S là (−2) + (−3) = −5. Chọn đáp án A  Câu 756. Mệnh đề nào sauZđây sai? Z Z A. (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx với mọi hàm số f (x), g(x) liên tục trên R. Z B. f 0 (x) dx = f (x) + C với mọi hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Z Z Z C. (f (x) − g(x)) = f (x) dx − g(x) dx với mọi hàm số f (x), g(x) liên tục trên R. Z Z D. kf (x) dx = k f (x) dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f (x) liên tục trên R. Lời giải. Z Z Mệnh đề “ kf (x) dx = k f (x) dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f (x) liên tục trên R ” sai vì hằng số k phải khác 0.  Chọn đáp án D Z1 Câu 757. Cho f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên R thoả mãn f (x) dx = 2018 và g(x) là hàm số 0 Z1 liên tục trên R thoả mãn g(x) + g(−x) = 1, ∀x ∈ R. Tính tích phân I = f (x) · g(x) dx. −1 1009 B. I = . 2 A. I = 2018. C. I = 4036. D. I = 1008. Lời giải. Z1 Z−1 Z1 Z1 I = f (x) · g(x) dx = − f (−x) · g(−x) dx = f (x) · (1 − g(x)) dx = f (x) dx − I. −1 −1 1 −1 Suy ra I= 1 2 Ñ Z1 f (x) dx = −1 1 2 f (x) dx + Z0 − f (x) dx 0 é Z1 f (−x) dx + 1 é Z1 −1 Ñ = 1 2 Z0 f (x) dx 0 Z1 = f (x) dx 0 = 2018.  Chọn đáp án A Câu 758. Cho hàm số f (x) xác định trên R {−2; 1} thoả mãn f 0 (x) = x2 1 1 , f (0) = và +x−2 3 f (−3) − f (3) = 0. Tính giá trị của biểu thức T = f (−4) + f (−1) − f (4). 1 1 A. ln 2 + . B. ln 80 + 1. 3 3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 259 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Å ã 4 1 + ln 2 + 1. C. ln 3 5 Lời giải. Å ã 1 8 D. ln + 1. 3 5 1 Ta có T = f (−4) + f (−1) − f (4) = f (−4) − f (−3) + f (−1) − f (0) + f (3) − f (4) + . 3 Do f 0 (x) liên tục trên các đoạn [−4; −3], [−1; 0], [3; 4] nên Z−4 Z−1 Z3 1 0 0 T = f (x) dx + f (x) dx + f 0 (x) dx + 3 −3 0 4 Å ã 1 5 1 2 1 1 = ln − ln 4 + ln 2 − ln + ln − ln + 3 2 2 5 2 3 1 1 = ln 2 + . 3 3 Chọn đáp án A Z1 Câu 759. Biết √  x dx a a = với a, b là các số nguyên dương và phân thức tối giản. Tính giá b b 5×2 + 4 0 trị biểu thức T = a2 + b2 . A. T = 13. B. T = 26. C. T = 29. D. T = 34. Lời giải. √ Đặt t = 5×2 + 4 ⇒ t2 = 5×2 + 4 ⇒ t dt = 5x dx. Do đó Z1 Z3 1 x dx 1 √ = dt = ⇒ a = 1; b = 5. Vậy T = 12 + 52 = 26. 5 5 5×2 + 4 0 2  Chọn đáp án B Câu 760. Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c (a, b, c ∈ R, a 6= 0), phương trình f (x) = 0 có Zx2 2 hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 . Tính tích phân I = (2ax + b)3 · eax +bx+c dx. x1 x2 − x1 . B. I = 4 A. I = x2 − x1 . C. I = 0. D. I = x2 − x1 . 2 Lời giải. Ta đặt t = ax2 + bx + c ⇒ dt = (2ax + b) dx và g(t) = (2ax(+ b)2 x = x1 ⇒ t = 0 Do giả thiết x1 , x2 là hai nghiệm của ax2 + bx + c = 0 nên x = x2 ⇒ t = 0. Do đó dễ dàng có Zx2 Z0 3 ax2 +bx+c I = (2ax + b) · e dx = g(t) · et dt = 0. x1 0  Chọn đáp án C Z5 Câu 761. Biết rằng x2 3 dx = a ln 5 + b ln 2 (a, b ∈ Z). Tính P = a2 + b2 . + 3x 1 A. P = 1. B. P = 2. C. P = 0. D. P = −1. Lời giải. Z5 Z5 Å Z5 Z5 ã 5 3 1 1 dx d(x + 3) I= dx = − dx = − = ln x − ln(x + 3) x(x + 3) x x+3 x x+3 1 1 1 1 1 5 = ln 5 − ln 2. 1 ⇒ a = 1, b = −1. Suy ra, P = a2 + b2 = 2.  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 260 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Z5 Z2 f (x) dx = 12. Tính tích phân I = Câu 762. Biết 1 A. I = 16.  x 2 + f (x2 + 1) dx. 0 B. I = 4. C. I = 10. D. I = 7. Lời giải. Z2 Z2 2   1 2 2 I= 2x + xf (x + 1) dx = x + f (x2 + 1) d(x2 + 1) 2 0 0 =4+ 0 Z5 1 2 f (t) dt (ta đặt x2 + 1 = t) = 4 + 1 · 12 = 10. 2 0  Chọn đáp án C Câu 763. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường cong y = ex , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? π (e2 + 1) e2 − 1 πe2 π (e2 − 1) A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 2 2 2 2 Lời giải. Z1 Z1 1 πe2x π(e2 − 1) x 2 2x Ta có V = π (e ) dx = π e dx = . = 2 0 2 0 0  Chọn đáp án D Câu 764. √ Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = − 3 (x2 − 2), √ và nửa đường tròn có phương trình y = 4 − x2 (với −2 ≤ y x ≤ 2) (phần tô đậm như hình vẽ ). Diện tích của hình (H) bằng √ 5 3 − 2π A. . √ 6 7 3 − 2π . C. 3 √ 7 3 − 2π B. . √ 6 5 3 − 2π D. . 3 −2 2 x O Lời giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm ( 2 √ √ x −2≤0  − 3 x2 − 2 = 4 − x 2 ⇔ 3(x4 − 4×2 + 4) = 4 − x2 ( 0 ≤ x2 ≤ 2 ⇔ ⇔ x = ±1. x2 = 1 Suy ra, diện tích của hình H là Z1 S= y −2 −1 1 1 −1 −1 O 1 2 x Z √ Z √ √  √  2 2 2 − 3 x − 2 − 4 − x dx dx = − 3 x − 2 dx − 4 − x2 dx. −1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 261 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 Xét tích phân I1 = −1 Z1 Xét tích phân I2 = Chương 3-Giải tích 12 √  10 − 3 x2 − 2 dx = √ . 3 √ 4 − x2 dx. Đặt x = 2 sin t ta được −1 Z1 √ π Z− 6 4 − x2 dx = π Z− 6 √ 2 cos t 4 cos2 t dt = 4 cos2 t dt − π6 −1 − π6 π Z− 6 π 6 2 (cos 2t + 1) dt = (sin 2t + 2t) = = √ 3+ − π6 − π6 2π . 3 √ Å ã √ 10 2π 7 3 − 2π Từ đây ta tính được S = I1 − I2 = √ − 3+ = . 3 3 3 Chọn đáp án C  Câu 765. Cho hàm số f (x) có các đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn xf 0 (x) − x2 ex = f (x) và Z2 f (1) = e. Tính tích phân I = f (x) dx. 1 2 A. I = e − 2e. C. I = e2 . B. I = e. D. I = 3e2 − 2e. Lời giải. • Với x = 0 thì f (0) = 0. Với x 6= 0 ta có Z 0 Z f 0 (x) f (x) f (x) f (x) x xf (x) − f (x) = x e ⇔ − 2 =e ⇔ dx − dx = ex + C1 . (1) 2 x x x Zx 0 f (x) dx. • Xét biểu thức nguyên hàm J = x Z 1 −1 f (x) f (x) 0 Đặt u = , dv = f (x) dx thì du = 2 dx, v = f (x). Suy ra, J = + dx + C2 . x x x x2 f (x) • Thế (2) vào (1) ta thu được = ex + C. Lại có f (1) = e nên C = 0. x Z2 Z2 2 2 x Suy ra, f (x) = xe (thỏa f (0) = 0) ⇒ I = f (x) dx = xex dx = xex − ex = e2 . 0 2 x 1 1 1 (2) 1  Chọn đáp án C Z1 Câu 766. Cho I = xe2x dx = ae2 + b (a, b là các số hữu tỷ). Khi đó tổng a + b là 0 A. 0. B. 1 . 4 C. 1. Lời giải.  ( du = dx u=x Đặt ta có v = 1 e2x . dv = e2x dx 2 Z1 Z1 1 1 2x 1 1 1 2x Vậy I = xe dx = xe − e2x dx = e2 − e2x 2 2 2 4 0 0 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 262 1 0 D. 1 . 2 1 1 = e2 + . 4 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  1  a = 4 ⇒ a + b = 1. Suy ra  2 b = 1 4 Chọn đáp án D Z4 Câu 767. Cho I =  √ √ e x √ dx. Thực hiện phép đổi biến, đặt t = x, ta được x 1 Z4 A. I = Z4 t e dt. B. I = 2 1 Z2 t e dt. C. I = 2 1 Z2 t e dt. D. I = 1 et dt. 1 Lời giải. √ 1 dx Đặt t = x ⇒ dt = √ dx ⇒ √ = 2 dt. 2 x x Với x = 4 thì t = 2, với x = 1 thì t = 1. Z2 Vậy I = 2 et dt. 1  Chọn đáp án C Câu 768. Họ nguyên hàm của hàm số y = x2 + ex − cos 3x là 1 1 B. (x3 + ex − sin 3x) + C. A. (x3 + 3ex − sin 3x) + C. 3 3 1 3 1 x C. (x + 3e + sin 3x) + C. D. (x3 + ex + sin 3x) + C. 3 3 Lời giải. Z  1 1 1 3 (x2 + ex − cos 3x) dx = x3 + ex − sin 3x + C = x + 3ex − sin 3x + C. 3 3 3  Chọn đáp án A Z3 Câu 769. Cho tích phân x3 1 dx = a ln 3 + b ln 2 + c, với a, b, c ∈ Q. Tính S = a + b + c. + x2 2 2 7 2 7 A. S = − . B. S = − . C. S = . D. S = . 3 6 3 6 Lời giải. 1 C 1 A B (A + C)x2 + (A + B)x + B Ta có: 3 = = + + = . x + x2 x2 (x +  1) x x2 x+ 1 x2 (x + 1)   A+C =0 A = −1     Đồng nhất 2 vế, ta được A + B = 0 ⇔ B = 1 .       B=1 C=1 Z3 Z3 Å ã Å ã 3 1 1 1 1 x+1 1 1 Khi đó dx = − + + dx = ln − = −2 ln 3 + 3 ln 2 + . x3 + x2 x x2 x + 1 x x 6 2 2 2 1 1 7 Suy ra a = −2, b = 3 và c = . Vậy S = −2 + 3 + = . 6 6 6 Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 263  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 16 m Câu 770. Một mảnh vườn toán học có dạng hình chữ nhật, chiều dài là 16 m và chiều rộng là 8 m. Các nhà toán học dùng hai đường parabol có đỉnh là trung điểm của một cạnh dài và đi qua 2 điểm 8m đầu của cạnh đối diện, phần mảnh vườn nằm ở miền trong của cả hai parabol (phần gạch sọc như hình vẽ minh họa) được trồng hoa hồng. Biết chi phí để trồng hoa hồng là 45000 đồng/m2 . Hỏi các nhà toán học phải chi bao nhiêu tiền để trồng hoa trên phần mảnh vườn đó (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)? A. 3322000 đồng. B. 3476000 đồng. C. 2715000 đồng. D. 2159000 đồng. Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ có gốc là tâm hình chữ nhật, các trục tọa độ song song với các cạnh của hình x2 x2 chữ nhật khi đó các phương trình của parabol là y = − + 4 và y = − 4. Diện tích phần trồng 8 8 √ Z4 2 Å 2 ã x x2 hoa là S = − +4− + 4 dx ≈ 60, 34 m2 . 8 8 √ −4 2  Chọn đáp án C π Z4 Câu 771. Biết √ 0 a · b. 4 sin x − 2 cos x  dx = a + b ln 2, với a, b là các số nguyên. Tính S = π 2 sin x + (cos 2x + 1) 4 B. S = −6. A. S = 10. C. S = 6. D. S = 4. Lời giải. Ta có √ 2 sin x − cos x 4 sin x − 2 cos x   = π (sin x + cos x) cos2 x 2 sin x + (cos 2x + 1) 4 3 2 − = 2 cos x (sin x + cos x) cos x 2 3 = − . 2 2 cos x cos x(tan x + 1) π Z4 4 sin x − 2 cos x  dx = (2 tan x) √ π 2 sin x + (cos 2x + 1) 0 4 Vậy S = a · b = 2 · (−3) = −6. Suy ra π 4 0 − 3 ln | tan x + 1| π 4 = 2 − 3 ln 2. 0 Chọn đáp án B  Câu 772. Nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x là Z Z x A. f (x) dx = 3 + C. B. f (x) dx = 3x ln 3 + C. Z Z 3x+1 3x C. f (x) dx = + C. D. f (x) dx = + C. x+1 ln 3 Lời giải. Z 3x Theo công thức nguyên hàm thì f (x) dx = + C. ln 3 Chọn đáp án D  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 264 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 773. Viết công thức tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = ln 4, biết khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ ln 4), √ ta được thiết diện là một hình vuông có độ dài cạnh là xex . Zln 4 Zln 4 x A. V = xe dx. B. V = π xex dx. 0 0 Zln 4 C. V = π (xex )2 dx. D. V = 0 Zln 4 √ xex dx. 0 Lời giải. Zln 4 Theo định nghĩa ta có V = xex dx. 0  Chọn đáp án A Z1 Câu 774. Tính tích phân 8x dx. 0 A. I = 8. Lời giải. Z1 8x 8x dx = ln 8 0 B. I = 1 8 . 3 ln 2 C. I = 7 . 3 ln 2 D. I = 7. 7 . 3 ln 2 = 0  Chọn đáp án C Câu 775. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ Z 4thị của hàm số y = f (x) như hình vẽ. Khi đó giá trị của biểu thức f 0 (x − 2)dx + 0 Z 2 0 f (x + 2)dx bằng bao nhiêu? 0 A. 6. C. −2. B. 2. y 6 4 2 D. 10. −2 O 2 4 x −2 Lời giải. Z Xét tích phân A = 4 f 0 (x − 2)dx. 0 Đặt t = x (− 2 ⇒ dt = dx. x = 0 → t = −2 Đổi cận x=4→t=2 Z 2 Z 2 0 Do đó A = f (t)dt = f 0 (x)dx = f (2) − f (−2) = 4. −2 Z −2Z 4 4 Tương tự B = f 0 (t)dt = f 0 (x)dx = f (4) − f (2) = 2. 2 2 Vậy I = A + B = 6. Chọn đáp án A Câu 776. Cho hàm số y = f (x) > 0, ∀x ≥ 0, thỏa mãn  ( 00 f (x) · f (x) − 2[f 0 (x)]2 + xf 3 (x) = 0, f 0 (0) = 0; f (0) = 1. Tính f (1). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 265 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 2 . 3 Lời giải. A. B. Chương 3-Giải tích 12 3 . 2 C. 6 . 7 D. 7 . 6 f 00 (x) · f (x) − 2[f 0 (x)]2 + xf 3 (x) = 0 ⇔ f 00 (x) · f 2 (x) − 2[f 0 (x)]2 f (x) = −xf 4 (x) ï 0 ò f 00 (x) · f 2 (x) − 2[f 0 (x)]2 · f (x) f (x) 0 ⇔ = −x ⇔ 2 = −x f 4 (x) f (x) Z ï 0 Z ò f (x) 0 f 0 (x) x2 ⇔ dx = (−x) dx ⇔ = − + C. f 2 (x) f 2 (x) 2 Với f 0 (0) = 0; f (0) = 1 suy ra C = 0 và Z1 f 0 (x) dx = f 2 (x) 0 Z1 Å x2 − 2 Z1 ã dx ⇔ 0 d(f (x)) x3 =− f 2 (x) 6 0 1 0 1 ⇔− f (x) 1 0 1 1 1 1 =− ⇔ − =− 6 f (0) f (1) 6 1 1 7 6 1 =− ⇔ = ⇔ f (1) = . f (1) 6 f (1) 6 7 Chọn đáp án C Suy ra 1 − Z1 Câu 777. Tích phân  √ 2x + 1 dx có giá trị bằng 0 √ √ √ √ 2 3 3−1 3 3 A. 2 3 − . B. . C. 2 3 − . D. 3 3 − . 3 3 2 2 Lời giải. √ Z1 Z1 1 ä 3 3−1 √ √ 1 √ 1 2 1Ä √ 3 3−1 = . 2x + 1 dx = 2x + 1 d(2x + 1) = · (2x + 1) 2x + 1 = 2 2 3 3 3 0 0 0  Chọn đáp án B Z2 Z3 f (x) dx = −2. Giá trị của f (x) dx = 1 và Câu 778. Cho Z3 1 2 1 B. −3. A. 1. f (x) dx bằng bao nhiêu? C. −1. D. 3. Lời giải. Z3 Z2 Z3 f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx = 1 + (−2) = −1. 1 1 2  Chọn đáp án C Ze2 Å Câu 779. Biết 1 1 − 2 ln x ln x ã dx = a · e2 + b · e + c , trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị 2 e của a2 + b2 + c2 bằng bao nhiêu? A. 5. Lời giải. Ze2 1 x dx = ln x ln x e B. 3. Ze2 e2 + e C. 4. 1 dx ⇒ ln2 x e Ze2 1 dx − ln2 x e 2 Ze2 e 2 D. 9. 1 x dx = − ln x ln x e2 = e −e2 + 2e . 2 2 Suy ra a = −1, b = 2, c = 0 nên a + b + c = 5.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 266 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 780. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x, y = x2 , y = 1 trên miền x ≥ 0, y ≤ 1 bằng 1 A. . 3 Lời giải. 1 . 2 B. C. 5 . 12 D. 2 . 3 4 1 Z2 2 Z1 (2x − x ) dx + S= 0 (1 − x2 ) dx 2 1 2 ã Å 1 3 2 = x − x 3 1 2 y 1 1 + x−x  2 x −1 1 2 0 5 5 5 + = . = 24 24 12 O 1 2  Chọn đáp án C Z3 Câu 781. Cho x2 x+3 dx = m ln 2 + n ln 3 + p ln 5, với m, n, p là các số hữu tỉ. Tính + 3x + 2 1 S = m2 + n + p 2 . A. S = 6. B. S = 4. C. S = 3. D. S = 5. Lời giải. Z3 Z3 Z3 Å ã x+3 x+3 1 2 dx = dx = 2 ln 2 + ln 3 − ln 5. dx = − x2 + 3x + 2 (x + 1)(x + 2) x+1 x+2 1 1 1 2 Suy ra m = 2, n = 1, p = −1 nên S = m + n + p2 = 6.  Chọn đáp án A 1 là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? x 1 1 1 1 1 1 B. y = ln2 x − 2 . C. y = ln2 x − . D. y = − 2 . 2 x 2 x x x Câu 782. Hàm số y = ln x + A. y = ln x + 1. Lời giải. Å ã Å ã0 1 0 1 1 1 0 0 y = ln x + = (ln x) + = − 2. x x x x Chọn đáp án D  Câu 783. Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f 0 (x) có đồ thị như hình vẽ bên. y 2 Hàm số y = f (x − 1) đồng biến trên khoảng √ A. (−∞; − 2). B. (−1; 1). √ C. (1; 2). D. (0; 1). −1 1 1 O −1 x Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 267 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Hàm số y = f (x2 − 1) có y 0 = 2xf 0 (x2 − 1).   x=0 ” x=0  2 x − 1 = 0  x = 0  y0 = 0 ⇔ ⇔ ⇔  x = ±1 0 2 x2 − 1 = −1 √ f x −1 =0  2 x = ± x2 − 1 = 1 Bảng biến thiên x √ − 2 −∞ y0 − 0 −1 + 0 0 − 0 √ 1 + 0 − +∞ 2 + 0 y Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (0; 1).  Chọn đáp án D Câu 784. Trong không gian Oxyz, cho vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng (P ), (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt P Q R tại x = a, x = b (a < b). Một mặt phẳng (R) tùy ý vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x, (a ≤ x ≤ b) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là S(x), với y = S(x) là hàm số liên tục trên [a; b]. Thể tích V của vật thể đó được tính theo công thức Zb Zb 2 A. V = S (x) dx. B. V = π S 2 (x) dx. a S(x) O a x b x a Zb C. V = π Zb S(x) dx. a D. V = S(x) dx. a Lời giải. Zb Theo định nghĩa tích phân, thể tích V của vật thể đó được tính theo công thức V = S(x) dx. a  Chọn đáp án D √ Câu 785. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3 x + x2018 là √ √ x2019 x2019 A. x + + C. B. 2 x3 + + C. 673 2019 1 x2019 1 C. √ + + C. D. √ + 6054x2017 + C. 673 x 2 x Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 268 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có  √ 3 x + x2018 dx Z Z 1 = 3 x 2 dx + x2018 dx Z Z f (x) dx = 3 x2 x2019 +C = 3· + 3 2019 2 √ x2019 + C. = 2 x3 + 2019  Chọn đáp án B Z0 Câu 786. Tích phân A. 1 − √ −1 3. √ 1 dx là 1 − 2x √ B. 3 − 1. C. √ √ D. − 3 − 1. 3 + 1. Lời giải. Z0 Xét tích phân I = 1 √ dx. 1 − 2x −1 √ Đặt u = 1 − 2x ⇒ u2 = 1 − 2x ⇒ dx = −u du. √ Đổi cận: x = −1 ⇒ u = 3;√x = 0 ⇒ u = 1. Z1 Z3 √ √ 1 Do đó: I = − · u du = du = u|1 3 = 3 − 1. u √ 1 3  Chọn đáp án B Câu 787. Ba Tí muốn làm cửa sắt được thiết kế như hình bên. Vòm cổng có hình dạng một parabol. Giá 1m2 cửa sắt là 660000 1,5 m 2 m đồng. Cửa sắt có giá (nghìn đồng) là 55 A. 6500. B. · 103 . C. 5600. D. 6050. 6 Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Khi đó, vòm cửa là một 5m y 2 parabol có phương dạng y = ax + 2. Å ãtrình 2 5 2 Ta có 1,5 = a · +2⇔a=− . 2 25 2 2 Như vậy y = − x + 2. 25 2 1,5 − 5 2 O 5 2 x Diện tích của cửa sắt là 5 Z2 Å ã 2 2 55 S= − x + 2 dx = 25 6  m2 . − 25 Vậy, giá tiền cửa sắt là   55 · 660000 = 6050000 đồng = 6050 nghìn đồng . 6 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 269 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án D 2π Z1 Câu 788. Cho f (x) là hàm số liên tục trên R và Z3 f (x) dx = 12, −1 A. −12. B. 12. f (2 cos x) sin x dx bằng π 3 D. −6. C. 6. Lời giải. 2π Z3 Xét tích phân I = f (2 cos x) sin x dx. π 3 1 Đặt t = 2 cos x ⇒ dt = −2 sin x dx hay sin x dx = − dt. 2 π 2π Đổi cận: x = ⇒ t = 1, x = ⇒ t = −1. 3 3 Từ đó: 1 I=− 2 Z−1 Z1 1 1 f (t) dt = f (x) dx = · 12 = 6. 2 2 −1 1  Chọn đáp án C nπ o ã Å π 5π n π o thỏa mãn f (x) = tan x, ∀x ∈ − ; , 4 4 2 0 Câu 789. Cho hàm số f (x) liên tục trên [0; π] 2 Å ã π  2π và f bằng f (0) = 0, f (π) = 1. Tỉ số giữa f 3 4 A. 2 (log2 e + 1). B. 2. C. 2(1 + ln 2) . 2 + ln 2 D. 2 (1 − log2 e). Lời giải. h π Trên nửa khoảng 0; , ta có: 2 f π  4 π π Z4 Z4 − f (0) = 0 f 0 (x) dx = tan x dx 0 π 4 Z π sin x dx = − ln cos x|04 cos x 0   π = − ln cos − ln cos 0 Ç √ 4å 2 1 = − ln = ln 2. 2 2 = Suy ra f π  4 = 1 1 ln 2 + f (0) = ln 2 (1). 2 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 270 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Trên nửa khoảng π 2 Chương 3-Giải tích 12 i ; π , ta có: Å f (π) − f 2π 3 Zπ ã Zπ 0 f (x) dx = = 2π 3 2π 3 Zπ = tan x dx sin x dx = − ln |cos x||π2π 3 cos x 2π 3 Å ã 2π = − ln |cos π| − ln cos 3 Å ã 1 = ln = − ln 2. 2 Å Suy ra f 2π 3 ã = f (π) + ln 2 = 1 + ln 2 (2). Å ã 2π Å ã f 1 + ln 2 1 3 =2 + 1 = 2 (log2 e + 1). Từ (1) và (2) ta có  π  = 1 ln 2 f ln 2 4 2 Chọn đáp án A  h πi thỏa mãn f 0 (x) = Câu 790. Cho hàm số y = f (x) liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn 0; 4 π Z4 h πi tan x · f (x), ∀x ∈ 0; , f (0) = 1. Khi đó cos x · f (x) dx bằng 4 0 1+π A. . 4 Lời giải. π 1+π B. . C. ln . D. 0. 4 4 h πi h πi Từ f 0 (x) = tan x · f (x), ∀x ∈ 0; và y = f (x) liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn 0; , 4 4 h πi nên trên đoạn 0; , ta có 4 Z 0 Z f 0 (x) f (x) = tan x ⇒ dx = tan x dx f (x) f (x) Z 0 Z f (x) sin x ⇒ dx = dx f (x) cos x ⇒ ln f (x) = − ln (cos x) + C. Mặt khác f (0) = 1 nên ln f (0) = − ln (cos 0) + C ⇒ C = 0. h πi 1 Như vậy ln f (x) = − ln (cos x) ⇒ f (x) = , ∀x ∈ 0; . cos x 4 π π Z4 Z4 π Từ đó cos x · f (x) dx = dx = . 4 0 0  Chọn đáp án B Câu 791. Cho hàm số f (x) = 2017x . Khẳng định nào Z sau đây là khẳng định đúng? Z 2017x 2017x + C. B. f (x) dx = + C. A. f (x) dx = ln 2018 ln 2017 Z Z 2017x C. f (x) dx = 2017x ln 2017 + C. D. f (x) dx = + C. 2017 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 271 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Z f (x) dx = 2017x + C. ln 2017  Chọn đáp án B Câu 792. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 2] và f (0) − f (2) = 2. Tính Z2 f 0 (x) dx. 0 B. −2. A. 2. C. 1 . 2 D. 4. Lời giải. Z2 f 0 (x) dx = f (2) − f (0) = −2. 0  Chọn đáp án B Câu 793. Cho hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm Z Z số f (x). Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 A. f (2x) dx = 2F (2x) + C. B. f (2x) dx = F (2x) + C. 2 Z Z 1 f (2x) dx = F (x) + C. C. D. f (2x) dx = F (x) + C. 2 Lời giải. Z Z 1 1 f (2x) dx = f (2x) d(2x) = F (2x) + C. 2 2  Chọn đáp án B Câu 794. Bên trong hình vuông cạnh a, dựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ a 2 y (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình). Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quanh trục Ox. 5πa3 5πa3 5πa3 7πa3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 24 48 96 24 x − a2 a 2 O − a2 Lời giải. 1 a a Ta có AB : y = x + , BC : y = 2x − . 2 4 2 Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao quanh trục Ox a 2 V  = 2 π a Z2 Å a 1 x+ 2 4 a Z2 ã2 dx − π a 4 0 Å = 2π 3 7a 19a − 96 48 3ã   a 2  dx 2x −  2 C − a2 x a 2 O − a2 3 = B A là  y 5πa . 48  Chọn đáp án B Z2 Câu 795. Cho f (x) là hàm số có đạo hàm liên tục trên R, có f (2) = 1 và f (x) dx = 3. Khi đó 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 272 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 Chương 3-Giải tích 12 xf 0 (2x) dx bằng 0 A. 1. 1 . 4 B. 1 C. − . 4 D. 5 . 4 Lời giải.  ( du = dx u=x Đặt ⇒ v = 1 f (2x). dv = f 0 (2x) dx 2 Z1 Z1 1 1 x 1 1 3 1 Do đó xf 0 (2x) dx = f (2x) − f (2x) dx = − · = − . 2 2 2 2 2 4 0 0 0  Chọn đáp án C Z2 Câu 796. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R, biết f (1) = 2017 và f 0 (x) dx = 1, 1 giá trị của f (2) bằng A. 2017. B. 2019. C. 2018. D. 2016. Lời giải. Ta có Z2 2 0 f (x) dx = 1 ⇔ f (x) = 1 ⇔ f (2) − f (1) = 1 ⇔ f (2) = 1 + f (1) ⇔ f (2) = 2018. 1 1  Chọn đáp án C Z Câu 797. Tính cos 2x dx. Z A. cos 2x dx = − sin 2x + C. Z C. cos 2x dx = sin 2x + C. Z 1 sin 2x + C. 2 Z 1 D. cos 2x dx = − sin 2x + C. 2 B. cos 2x dx = Lời giải. Ta có Z Z cos 2x dx = d(2x) 1 cos 2x = 2 2 Z cos 2x d(2x) = 1 sin 2x + C. 2  Chọn đáp án B π Z2 Câu 798. Biết rằng cos x sin 2x π dx = a + , với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của a + b bằng 1 + sin x b 0 A. 0. C. −4. B. 4. D. 2. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 273 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có π π Z2 Z2 cos x sin 2x dx = 1 + sin x 0 π 2 2 cos x sin x dx = 1 + sin x 0 Z2 2(1 − sin2 x) sin x dx 1 + sin x 0 π 2 Z π π Z2 Z2 2(1 − sin x) sin x dx = = 0 = −2 cos x 2 sin x dx − 0 π 2 0 Å 1 sin 2x − x + 2 2 sin2 x dx 0 ã π 2 0 π . =2+ −2 Suy ra a = 2, b = −2. Vậy a + b = 0.  Chọn đáp án A Câu 799. Cho hai hàm số y = f (x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] (với a < b). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f (x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b có công thức là Zb A. |f (x) − g(x)| dx. Zb [f (x) − g(x)] dx . B. a a Za Zb |f (x) − g(x)| dx. C. [f (x) − g(x)] dx. D. a b Lời giải. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f (x), y = g(x) và hai đường Zb thẳng x = a, x = b (với a < b) là |f (x) − g(x)| dx. a  Chọn đáp án A Z1 Câu 800. Biết x2 1 dx = a ln 2 + b ln 3 với a, b là các số hữu tỉ. Hỏi a + b bằng bao + 3x + 2 0 nhiêu? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Lời giải. Ta có x2 1 1 1 1 = = − . + 3x + 2 (x + 1)(x + 2) x+1 x+2 Khi đó Z1 1 dx = 2 x + 3x + 2 0 Z1 Å 1 1 − x+1 x+2 1 ã dx = (ln |x + 1| − ln |x + 2|) = ln 2 − ln 3 + ln 2 0 0 = 2 ln 2 − ln 3. Vậy a = 2, b = −1. Do đó a + b = 1.  Chọn đáp án C Câu 801. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 274 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Nhà bạn Minh cần làm một cái cửa có dạng như hình vẽ, nửa dưới là hình b vuông, phần phía trên (phần tô đen) là một Parabol. Biết các kích thước a = 2,5 m, b = 0,5 m, c = 2 m. Biết số tiền để làm 1 m2 cửa là 1 triệu a đồng. Số tiền để làm cửa là 14 13 A. triệu đồng. B. triệu đồng. 3 3 63 17 C. triệu đồng. D. triệu đồng. 17 3 Lời giải. Gọi (P ) : y = ax2 +bx+c là Parabol đi qua A(1; 2) và có đỉnh là B(0; 2,5).   a + b + c = 2   a = −0,5     b Khi đó ta có − ⇔ b=0 =0  2a       c = 2,5. c = 2,5 c y B A 2 Vậy (P ) : y = −0,5x2 + 2,5. Z1 14 2 Diện tích cái cửa là (−0,5x2 + 2,5) dx = m. 3 −1 O 1 x −1 Do đó, số tiền để làm cửa là 14 triệu đồng. 3  Chọn đáp án A Câu 802. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn các điều kiện sau Z1 f (1) = 0 và 2 [f 0 (x)] dx = 0 Z1 (x + 1)ex f (x) dx = e2 − 1 . 4 0 Z1 Tính giá trị của I = f (x) dx. 0 e−1 A. I = . 2 Lời giải. e B. I = . 2 C. I = e − 2. D. I = e2 . 4 Ta có e2 − 1 = 4 Z1 x Z1 1 x − (x + 1)e f (x) dx = [xe f (x)] ⇒2 Z1 xe f (x) dx = − xex f 0 (x) dx. 0 0 Z1 x 0 0 xex f 0 (x) dx = − 0 e2 − 1 . 2 0 Z1 Ta lại có e2 − 1 x2 e2x dx = và 4 0 Z1 2 [f 0 (x)] dx = e2 − 1 . 4 0 Khi đó Z1 2 [f 0 (x)] dx + 2 0 Z1 ⇔ Z1 xex f 0 (x) dx + 0 Z1 x2 e2x dx = 0 0 2 [f 0 (x) + xex ] dx = 0. 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 275 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Vì [f 0 (x) + xex ]2 ≥ 0, ∀x ∈ [0; 1] và f 0 (x) liên tục trên [0; 1] nên Z1 2 [f 0 (x) + xex ] dx ≥ 0. 0 Đẳng thức xảy ra khi f 0 (x) + xex = 0 ⇔ f 0 (x) = −xex ⇔ f (x) = (1 − x)ex + C. Lại có f (1) = 0 nên C = 0. Vậy f (x) = (1 − x)ex . Do đó Z1 Z1 f (x) dx = 0 (1 − x)ex dx = (2 − x)ex 1 0 = e − 2. 0  Chọn đáp án C Z1 Câu 803. Giá trị của tích phân I = x dx là x+1 0 B. I = 1 − ln 2. A. I = 2 + ln 2. C. I = 2 − ln 2. Lời giải. Z1 Z1 Å ã x 1 I= dx = (x − ln |x + 1|) dx = 1− x+1 x+1 0 0 D. I = 1 + ln 2. 1 = 1 − ln 2. 0 Chọn đáp án B  Câu 804. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 32x+1 . 32x+1 32x+1 2x 2x+1 A. (2x + 1)3 + C. B. + C. C. 3 ln 3 + C. D. + C. ln 3 ln 9 Lời giải. Z Z 32x+1 32x+1 abx+c bx+c + C ta được f (x) dx = +C = + C. Áp dụng công thức a dx = b ln a 2 ln 3 ln 9 Chọn đáp án D  Câu 805. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), y y = f (x) trục hoành, x = a, x = b. Khi đó S được tính theo công thức nào dưới đây? a c O Zb A. S = Zc f (x) dx. B. S = a C. S = − Zb f (x) dx + a D. S = c f (x) dx. c Zc f (x) dx. f (x) dx + Zb f (x) dx + a x Zb a Zc b f (x) dx . c Lời giải. Zc Phần đồ thị của f (x) khi a < x < c nằm phía dưới trục hoành nên ta có S = − f (x) dx+ a f (x) dx. c  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Zb 276 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z2 Câu 806. Biết I = Chương 3-Giải tích 12 (3x2 + ln x) dx = a + b ln 2 với a, b là các số nguyên. Tính S = a + b. 1 A. S = 4. B. S = 6. C. S = 2. D. S = 8. Lời giải. Z2 Ta có I = (3x2 + ln x) dx = 1 Z2 Z2 3x2 dx + 1 Z2 ln x dx. 1 2 3x2 dx = x3 = 7. 1 1 Z2 Z2 2 ln x dx = x ln x − 1 1 dx = 2 ln 2 − 1. 1 Suy ra I = 7 + 2 ln 2 − 1 = 6 + 2 ln 2. Vậy S = a + b = 6 + 2 = 8.  Chọn đáp án D Z3 Câu 807. Biết √ √ √ dx √ = a 3+b 2+c với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính P = a+b+c. x+1− x 1 13 16 2 A. P = . B. P = . C. P = 5. D. P = . 2 3 3 Lời giải. 3 Z3 Z3 Ä ï Ä ä3 2 √ 3 ò √ √ ä dx 2 √ √ Ta có x + 1 + x dx = x+1 + x . √ = 3 3 x+1− x 1 1 1 = Vậy P = a + b + c = 2 − √ √ 4√ 2 4√ 14 16 +2 3− 2− =2 3− 2+ . 3 3 3 3 3 4 14 16 + = . 3 3 3  Chọn đáp án B Câu 808. 1 Cho (H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 + 1 (với 4 √ √ 0 ≤ x ≤ 2 2), nửa đường tròn y = 8 − x2 và trục hoành, y trục tung (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của hình (H ) bằng A. 3π + 4 . 6 B. 2π + 2 . 3 C. 3π + 2 . 3 D. 3π + 14 . 6 O √ 2 2 x Lời giải. √ 1 Phương trình hoành độ giao điểm của parapol y = x2 + 1 và nửa đường tròn y = 8 − x2 là 4 √ 1 8 − x2 = x2 + 1 ⇔ x = 2. 4 Từ đồ thị, ta có diện tích hình phẳng (H ) là Z2 Å S= √ ã 1 2 x + 1 dx + 4 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Z2 2√ 8 − x2 dx. 2 277 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z2 Å S1 = ã Å 3 ã 1 2 x x + 1 dx = +x 4 12 0 √ Z2 2 √ S2 = 2 0 Chương 3-Giải tích 12 8 = . 3 8 − x2 dx. 2  h π π i √ √ ⇒ dx = 2 2 cos t dt. Đặt x = 2 2 sin t t ∈ − ; 2 2√ π π Đổi cận x = 2 ⇒ t = ; x = 2 2 ⇒ t = . 4 2 π π π 2 Z p Z2 Z2 √ Suy ra S2 = 2 2 8 − 8 sin2 t cos t dt = 8 cos2 t dt = 4 (1 + cos 2t) dt π 4 Å ã 1 = 4 t + sin 2t 2 Vậy S = S1 + S2 = π 4 π 2 π 4 = π − 2. π 4 8 3π + 2 +π−2= . 3 3  Chọn đáp án C Câu 809. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R đồng thời thỏa mãn điều kiện 2f (x) + f (x) = x + 1 Z2 a b với mọi x ∈ R. Biết rằng tích phân I = f (x) dx = + với a, b ∈ Q. Tính P = a + b. 2 ln 2 0 A. P = 4. B. P = 1. C. P = 2. D. P = 3. Lời giải. Thay x = 0, x = 2 vào biểu thức 2f (x) + f (x) = x + 1, ta được 2f (0) + f (0) = 1 ⇔ f (0) = 0. 2f (2) + f (2) = 3 ⇔ f (2) = 1. Đặt t = f (x), ta có 2t + t = x + 1 ⇒ dx = (2t ln 2 + 1) dt. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = 2 ⇒ t = 1. Z1 Å ã 1 1 t t2 1 5 t t Vậy I = t(2 ln 2 + 1) dt = t · 2 − 2 + . = − ln 2 2 2 ln 2 0 0 Vậy P = a + b = 5 − 1 = 4.  Å ã 1 Câu 810. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và f (x) + 2f = 3x. Tính tích phân I = x Z2 f (x) dx. x Chọn đáp án A 1 2 3 1 5 7 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 2 2 2 Lời giải. Å ã Å ã Å ã 1 1 1 3 1 Đặt t = , thay vào biểu thức f (x)+2f = 3x, ta được f +2f (t) = hay f +2f (x) = x x t t x 3 . x 2 Suy ra f (x) = − x. x Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 278 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z2 Vậy I = f (x) dx = x 1 2 Z2 Å Chương 3-Giải tích 12 ã 2 3 − 1 dx = . 2 x 2 1 2 Chọn đáp án A 1 trên khoảng 3x + 1 Câu 811. Giả sử F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = Å  ã 1 −∞; − . 3 Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 A. F (x) = ln(−3x − 1) + C. B. F (x) = ln(3x + 1) + C. 3 1 C. F (x) = ln(−3x − 1) + C. D. F (x) = ln |3x + 1| + C. 3 Lời giải. Å ã 1 Vì x ∈ −∞; − nên ta có 3 Z Z 1 1 1 dx = ln |3x + 1| + C = ln (−3x − 1) + C. f (x) dx = 3x + 1 3 3  Chọn đáp án C Câu 812. Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường x = 0, x = π, y = 0 và y = − sin x. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức Zπ Zπ |sin x| dx. A. V = π B. V = π 0 Zπ C. V = sin2 x dx. 0 Zπ 2 sin x dx. D. V = π 0 (− sin x) dx . 0 Lời giải. Zπ Ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là V = π sin2 x dx. 0  Chọn đáp án B Z1 Câu 813. Tích phân 32x+1 dx bằng 0 27 A. . ln 9 Lời giải. B. 9 . ln 9 C. Z1 32x+1 dx = 32x+1 2 ln 3 0 4 . ln 3 1 = 0 D. 12 . ln 3 12 . ln 3  Chọn đáp án D Z1 Câu 814. Cho y = f (x) là hàm số chẵn và liên tục trên R. Biết 0 Z2 trị của 1 f (x) dx = 2 Z2 f (x) dx = 1. Giá 1 f (x) dx bằng 3x + 1 −2 A. 3. B. 1. C. 4. D. 6. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 279 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z2 Ta có I = f (x) dx = 3x + 1 −2 Z0 f (x) dx + 3x + 1 −2 Z2 Chương 3-Giải tích 12 f (x) dx. 3x + 1 0 Đặt x = −t ⇒ dx = −dt; x = −2 ⇒ t = 2; x = 0 ⇒ t = 0 Z0 Z2 t Z2 t Z2 x Z0 f (−t) 3 f (−t) 3 f (t) 3 f (x) f (x) dx = (−dt) = dt = dt = dx. ⇒ x −t t t 3 +1 3 +1 3 +1 3 +1 3x + 1 −2 2 Z2 ⇒I= 0 3x f (x) dx + 3x + 1 0 Z2 0 f (x) dx = 3x + 1 0 Z2 0 Z1 f (x) dx = 0 Z2 f (x) dx + 0 f (x) dx = 3. 1  Chọn đáp án A Câu 815. Giả sử F (x) là một nguyên hàm của f (x) = của F (−1) + F (2) bằng 2 3 7 B. ln 2 + ln 5. A. ln 2. 3 3 6 Lời giải. Z ln(x + 3) F (x) = dx, (x > −3). x2   1  dx u = ln(x + 3)  du = x+3 Đặt ⇒ . 1  dv = 1 dx   v=− x2 x C. 1 F (x) = − ln(x + 3) + x 1 = − ln(x + 3) + x 1 = − ln(x + 3) + x ln(x + 3) sao cho F (−2) + F (1) = 0. Giá trị x2 10 5 ln 2 − ln 5. 3 6 D. 0. Z 1 dx x(x + 3) Z Å ã 1 1 1 dx − 3 x x+3 1 x ln + C. 3 x+3 Suy ra  1   − ln(x + 3) + x F (x) =   − 1 ln(x + 3) + x 1 x ln + C1 khi x > 0 3 x+3 1 −x ln + C2 khi − 3 < x < 0. 3 x+3 Khi đó 1 ln 2 + C2 . 3 1 1 F (1) = − ln 4 + ln + C1 . 3 4 7 F (−2) + F (1) = 0 ⇒ C1 + C2 = ln 2. 3 1 1 F (−1) = ln 2 + ln + C2 . 3 2 1 1 2 F (2) = − ln 5 + ln + C1 . 2 3 5 1 1 1 1 2 10 5 ⇒ F (−1) + F (2) = ln 2 + ln − ln 5 + ln + C1 + C2 = ln 2 − ln 5. 3 2 2 3 5 3 6 Chọn đáp án C F (−2) = Câu 816. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R, f (0) = 0 và f (x) + f π Z2 sin x. cos x, với mọi x ∈ R. Giá trị của tích phân  π 2 −x  = xf 0 (x) dx bằng 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 280 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ π A. − . 4 Lời giải. Chương 3-Giải tích 12 1 . 4 B. C. π . 4 1 D. − . 4 Ta có  π  π π  π  π π − x = sin x · cos x ⇒ f +f − = sin · cos ⇒ f = 0. 2 2 2 2 2 2 2 π f (x) + f Suy ra π Z2 h f (x) + f π 2 −x i π π π Z2 Z2 Z2 sin x · cos x dx ⇔ dx = 0 0 Đặt t = f (x) dx + 0 π f π  − x dx = 2 0 1 2 Z2 sin 2x dx (∗) . 0 π π π − x ⇒ dt = − dx. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = ; x = ⇒ t = 0. 2 2 2 Khi đó π Z2 f π 2 Z0  − x dx = − π π Z2 Z2 Từ (∗) ta có: 2 π Z2 Do đó f (x) dx = 1 ⇔ 2 0 xf 0 (x) dx = xf (x) 0 π 2 0 0 π Z2 − π Z2 f (t)dt = π 2 0 π Z2 f (t)dt = f (x) dx. 0 0 1 f (x) dx = . 4 1 f (x) dx = − . 4 0  Chọn đáp án D Câu 817. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin 2x, biết F π  6 = 0. 1 π 1 A. F (x) = − cos 2x + . B. F (x) = cos2 x − . 2 6 4 1 1 2 C. F (x) = sin x − . D. F (x) = − cos 2x. 4 2 Lời giải. Z π  1 1 π 1 Ta có F (x) = sin 2x dx = − cos 2x + C. Từ F = 0, suy ra − cos + C = 0 ⇔ C = . 2 6 2 3 4 1 1 1 Khi đó F (x) = − (1 − 2 sin2 x) + = sin2 x − . 2 4 4  Chọn đáp án C Câu 818. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = √ x, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục hoành. 3π 3 2π A. . B. 3π. C. . D. . 2 2 3 Lời giải. Z2 π 2 3π Thể tích khối tròn xoay được tạo thành là V = π x dx = x2 = . 2 1 2 1  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 281 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Z1 Câu 819. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn Z3 f (x) dx = 2; 0 f (x) dx = 6. Tính 1 Z3 I= f (x) dx. 0 A. I = 8. B. I = 12. C. I = 36. D. I = 4. Lời giải. Z3 Z1 Z3 Ta có f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx = 2 + 6 = 8. 0 0 1  Chọn đáp án A Câu 820. Gọi S là diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình y vẽ bên. Công thức tính S là Z1 Z2 A. S = f (x) dx + f (x) dx. −1 Z1 1 −1 Z2 C. S = −1 Z2 f (x) dx − B. S = y = f (x) 1 O 2 x f (x) dx. 1 f (x) dx. −1 Z2 D. S = − f (x) dx. −1 Lời giải. Z1 Z2 f (x) dx − Dựa vào hình vẽ suy ra S = −1 f (x) dx. 1  Chọn đáp án B Z Câu 821. Cho hàm số f (x) = 4x3 + 2x + 1. Tìm f (x) dx. Z Z 4 2 A. f (x) dx = 12x + 2x + x + C. B. f (x) dx = 12x2 + 2. Z Z 4 2 C. f (x) dx = x + x + x + C. D. f (x) dx = 12x2 + 2 + C. Lời Z giải. Z f (x) dx = (4x3 + 2x + 1) dx = x4 + x2 + x + C. Ta có  p Câu 822. Cho phương trình: 3x = a · 3x cos(πx) − 9. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số a Chọn đáp án C thuộc đoạn [−2018; 2018] để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực? A. 1. B. 2018. C. 0. D. 2. Lời giải. p Ta có 3x = a · 3x cos(πx) − 9 ⇔ 9x + 9 = a · 3x · cos(πx) ⇔ 3x + 32−x = a · cos(πx) (1). Điều kiện cần: Nhận thấy nếu x0 là một nghiệm của phương trình đã cho thì 2 − x0 cũng là nghiệm của phương trình đã cho. Do đó, để phương trình có đúng một nghiệm thực thì x0 = 2−x0 ⇔ x0 = 1. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 282 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Thay vào (1) ta tìm được a = −6 ∈ [−2018; 2018]. Điều kiện đủ: Với a = −6, phương trình (1) trở thành: 3x + 32−x = −6 cos(πx). √ x 2−x Sử dụng Cauchy ta có: 3 + 3 ≥ 2 3x · 32−x = 6 ≥ −6 cos(πx). " x=2−x Dấu bằng xảy ra khi ⇔ x = 1. cos(πx) = −1 Vậy có đúng một giá trị của tham số thực a ∈ [−2018; 2018] để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực. Chọn đáp án A  Câu 823. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên R{0} thỏa mãn f (1) = −2 và x2 f 2 (x) + Z2 0 (2x − 1)f (x) = xf (x) − 1, ∀x ∈ R{0}. Tính I = f (x)dx. 1 1 B. − ln 2 − . 2 ln 2 A. − − 1. 2 Lời giải. 3 C. − ln 2 − . 2 D. − ln 2 3 − . 2 2 Từ giả thiết ta có (xf (x) + 1)2 = f (x) + xfZ0 (x). u0 u0 −1 = x + C. Đặt u = xf (x) + 1 ⇒ u2 = u0 ⇒ 2 = 1 ⇒ dx = x + C ⇒ 2 u u u −1 Do đó xf (x) = − 1, mà f (1) = −2 ⇒ C = 0. x+C Z2 1 1 1 Vậy f (x) = − 2 − ⇒ f (x)dx = − ln 2 − . x x 2 1  Chọn đáp án B Câu 824. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Mệnh đề nào dưới đây sai? Zb Zb A. f (x) dx = f (t) dt. a a Zb Za f (x) dx = − B. a f (x) dx. b Zb k dx = k(a − b), ∀k ∈ R. C. a Zb Zc f (x) dx = D. a Lời giải. Zb Ta có k dx = kx a Zb f (x) dx, ∀c ∈ (a; b). f (x) dx + a c b = kb − ka = k(b − a). a  Chọn đáp án C Câu 825. Cho hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) xác định trên K. Mệnh đề nào dưới đây Å Zsai? ã0 A. x f (x) dx = f 0 (x). ÅZ ã0 C. f (x) dx = F 0 (x). ã0 ÅZ f (x) dx B. = f (x). Z D. f (x) dx = F (x) + C. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 283 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 0 Ta có: FÅZ (x) = f (x). Z ã0 0 Suy ra f (x) dx = f (x) = F (x) và f (x) dx = F (x) + C.  Chọn đáp án A Câu 826. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số √ π y = tan x, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = quanh trục hoành là 4 √ π π ln 2 π2 π . B. V = . C. V = . D. V = . A. V = 4 2 4 4 Lời giải. π π Z4 Z4 Thể tích khối tròn xoay cần tính là V = π tan x dx = π 0 sin x dx = −π ln |cos x| cos x 0 π 4 = 0 π ln 2 . 2  Chọn đáp án B Câu 827. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x − 2)2 − 1 và trục hoành bằng 25 . 4 Lời giải. A. B. 3 . 4 4 . 3 C. " Xét phương trình (x − 2)2 − 1 = 0 ⇔ D. 2 . 3 x=3 x = 1. Z3 2 Z3 (x − 2) − 1 dx = Diện tích hình phẳng S = 1 Å 2 (x − 4x + 3) dx = x3 − 2x2 + 3x 3 1 ã 3 1 4 = . 3  Chọn đáp án C Câu 828. Gọi F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) = (2x − 3)2 thỏa mãn F (0) = 1 . Giá trị của 3 biểu thức log2 [3F (1) − 2F (2)] bằng A. 10. B. −4. C. 4. D. 2. Lời giải. Ta có: Z1 3F (1) − 2F (2) = 3 [F (1) − F (2)] + F (2) − F (0) + F (0) = 3 Z2 f (x) dx + 2 f (x) dx + 1 = 4. 3 0 ⇒ log2 [3F (1) − 2F (2)] = log2 4 = 2.  Chọn đáp án D Câu 829. Một chiếc ô tô đang chuyển động với vận tốc v(t) = 2 + t2 − 4 (m/s). Quãng đường ô tô t+4 đi được từ thời điểm t = 5 s đến thời điểm t = 10 s là A. 12,23 m. B. 32,8 m. C. 45,03 m. D. 10,24 m. Lời giải. Z10 Å ã t2 − 4 Quãng đường ô tô đi được là s = 2+ dt = 32,8 m. t+4 5  Chọn đáp án B Câu 830. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 284 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Cho hàm số f (x) có đạo hàm f 0 (x) liên tục trên R y 0 và đồ thị của f (x) trên đoạn [−2; 6] như hình bên 3 dưới. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f (−2) < f (−1) < f (2) < f (6). B. f (2) < f (−2) < f (−1) < f (6). 1 C. f (−2) < f (2) < f (−1) < f (6). −2 −1 O D. f (6) < f (2) < f (−2) < f (−1). 2 6 x Lời giải. Dựa vào đồ thị của hàm f 0 (x) trên đoạn [−2; 6] ta suy ra bảng biến thiên của hàm số f (x) trên đoạn [−2; 6] như sau: x −2 f 0 (x) 0 −1 + 2 − 0 6 + 0 f (−1) f (6) f (x) f (−2) f (2)   f (−2) < f (−1)   Dựa vào bảng biến thiên ta có f (2) < f (−1)    f (2) < f (6). Chỉ cần so sánh f (−2) và f (2) nữa là xong. Gọi S1 , S2 là diện tích hình phẳng được tô đậm như trên hình vẽ. y 3 S1 1 −2 −1 O 2 6 x S2 Ta có: Z−1 Z−1 S1 = |f 0 (x)| dx = f 0 (x) dx = f (−1) − f (−2). −2 Z2 −2 Z2 0 |f (x)| dx = − S2 = −1 f 0 (x) dx = f (−1) − f (2). −1 Dựa vào đồ thị ta thấy S1 < S2 nên f (−1) − f (−2) < f (−1) − f (2) ⇔ f (−2) > f (2).  Chọn đáp án B Z a a cos 4x + C, với a, b là các số nguyên dương, là b b phân số tối giản và C ∈ R. Giá trị của a + b bằng Câu 831. Biết (sin 2x − cos 2x)2 dx = x + Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 285 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. 5. Chương 3-Giải tích 12 B. 4. C. 2. D. 3. Lời giải. Z Z Z 1 2 Ta có (sin 2x − cos 2x) dx = (1 − 2 sin 2x cos 2x) dx = (1 − sin 4x) dx = x + cos 4x + C. 4 ( Z a=1 a Mà (sin 2x − cos 2x)2 dx = x + cos 4x + C nên ⇒ a + b = 5. b b=4  Chọn đáp án A 1 Câu 832. Biết F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) = √ + m − 1 thỏa mãn F (0) = 0 và 2 x+1 F (3) = 7. Khi đó, giá trị của tham số m bằng A. −2. C. −3. B. 3. D. 2. Lời giải. ã √ 1 √ Ta có F (x) = + m − 1 dx = x + 1 + (m − 1)x + C. 2 ( x+1 ( ( F (0) = 0 C +1=0 C = −1 Theo giả thiết, ta có ⇒ ⇔ F (3) = 7 C + 3m = 8 m = 3. Z Å Chọn đáp án B  Câu 833. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x + sin2 x là 1 sin3 x 4x x − sin 2x + C. B. 4 ln x + + C. A. ln 4 4 3 3 x sin x 4 x 1 C. 4x ln x − + C. D. + − sin 2x + C. 3 ln 4 2 4 Lời giải. Z Z Z Å ã 1 − cos 2x x x 2 4 + dx Ta có f (x) dx = (4 + sin x) dx = 2 Z Å ã 1 cos 2x 4x x 1 x 4 + − = dx = + − sin 2x + C. 2 2 ln 4 2 4 Chọn đáp án D  Câu 834. Cho M , N là các số thực, xét hàm số f (x) = M sin πx + N cos πx thỏa mãn f (1) = 3 và 1 Z2 Å ã 1 0 1 bằng f (x) dx = − . Giá trị của f π 4 0 √ √ 5π 2 5π 2 A. . B. − . 2 2 Lời giải. √ π 2 C. − . 2 √ π 2 D. . 2 Ta có f (1) = 3 ⇔ M sin π + N cos π = 3 ⇔ N = −3. 1 1 Z2 Z2 f (x) dx = − Mặt khác 1 ⇔ π 0 Å ã M 3 ⇔ − cos πx − sin πx π π (M sin πx − 3 cos πx) dx = − 1 π 0 1 2 =− 1 3 M 1 ⇔− + = − ⇔ M = 2. π π π π √ Å ã 1 5π 2 Vậy f (x) = 2 sin πx − 3 cos πx nên f (x) = 2π cos πx + 3π sin πx ⇒ f = . 4 2 Chọn đáp án A 0 0 0  Z5 f (x) dx = a, (a ∈ R). Tích phân I = Câu 835. Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên R và 3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 286 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Z2 f (2x + 1) dx có giá trị là 1 1 A. I = a + 1. 2 Lời giải. B. I = 2a + 1. 1 D. I = a. 2 C. I = 2a. Đặt t = 2x + 1 ⇒ dt = 2 dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 3; x = 2 ⇒ t = 5. Z5 Z5 1 1 1 ⇒I= f (t) dt = f (x) dx = a. 2 2 2 3 3  Chọn đáp án D Câu 836. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 + x − 2 và trục hoành bằng A. 9. B. 13 . 6 C. 9 . 2 D. 3 . 2 Lời giải. 2 Hoành độ giao điểm ” của đồ thị hàm số y = x + x − 2 và trục hoành là nghiệm của phương trình x=1 x2 + x − 2 = 0 ⇔ x = −2. Z1 Z1 9 Diện tích hình phẳng cần tìm là S = x2 + x − 2 dx = − (x2 + x − 2) dx = . 2 −2 −2  Chọn đáp án C Câu 837. Goi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ex , trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox là π π B. π(e2 + 1). C. (e2 + 1). D. π(e2 − 1). A. (e2 − 1). 2 2 Lời giải. Z1 1 π π Thể tích khối tròn xoay V = π e2x dx = e2x = (e2 − 1). 2 2 0 0  Chọn đáp án A Z3 Câu 838. Cho 2×2 x+2 dx = a ln 5 + b ln 3 + 3 ln 2 (a, b ∈ Q). Tính P = 2a − b. − 3x + 1 2 A. P = 1. Lời giải. Z3 Ta có 2 C. P = − B. P = 7. x+2 dx = 2 2x − 3x + 1 Z3 x+2 dx = (x − 1)(2x − 1) 2 Z3 Å 15 . 2 3 5 − x − 1 2x − 1 D. P = 15 . 2 ã dx 2 Å ã 5 = 3 ln |x − 1| − ln |2x − 1| 2 5 5 15 Suy ra a = − và b = . Từ đó P = 2a − b = − . 2 2 2 Chọn đáp án C 3 2 5 5 = − ln 5 + ln 3 + 3 ln 2. 2 2  Câu 839. Một vật chuyển động có phương trình v(t) = t3 − 3t + 1 m/s. Quãng đường vật đi được kể từ khi bắt đầu chuyển động đến khi gia tốc bằng 24 m/s2 là Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 287 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 15 m. 4 Lời giải. Chương 3-Giải tích 12 B. 20 m. A. C. 19 m. D. 39 m. 4 Gia tốc của chuyển động là a(t) = v 0 (t) = 3t2 − 3. Tại thời điểm vật có gia tốc 24 m/s2 thì 24 = 3t2 − 3 ⇔ t = 3. Quãng đường vật đi được kể từ khi bắt đầu chuyển động đến khi gia tốc bằng 24 m/s2 là quãng đường vật đi từ vị trí t = 0 đến vị trí t = 3. Z3 39 m. Vậy S(3) = (t3 − 3t + 1) dt = 4 0  Chọn đáp án D Z2 Câu 840. Cho a là số thực thỏa mãn |a| < 2 và (2x + 1) dx = 4. Giá trị biểu thức 1 + a3 bằng a A. 0. B. 2. Lời giải. Z2 Ta có (2x + 1) dx = (x2 + x) C. 1. D. 3. 2 = 6 − a2 − a. a a " Theo giả thiết 6 − a2 − a = 4 ⇔ a2 + a − 2 = 0 ⇔ a=1 a = −2. Đối chiếu điều kiện |a| < 2 ⇒ a = 1. Vậy 1 + a3 = 2 là giá trị cần tìm.  Chọn đáp án B Câu 841. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = thẳng x = e bằng 1 A. . 2 Lời giải. B. 1. C. Ta có phương trình hoành độ giao điểm là 1 ln x, trục hoành và đường x 1 . 4 D. 2. 1 ln x = 0 ⇔ x = 1. x Diện tích của hình phẳng là Ze 1 ln x dx = x 1 Ze ln x d(ln x) = ln2 x 2 e 1 1 = . 2 1  Chọn đáp án A Z6 Z2 f (x) dx = 12 thì Câu 842. Nếu 0 f (3x) dx bằng 0 A. 6. B. 36. C. 2. D. 4. Lời giải. Đặt t = 3x ⇒ dt = 3dx. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0, x = 2 ⇒ t = 6. Z2 Z6 1 1 Khi đó f (3x) dx = f (t) dt = · 12 = 4. 3 3 0 0  Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 288 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 843. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = tan x, trục hoành và các đường π thẳng x = 0, x = . Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng 4 π π2 π2 A. 1 − . B. π 2 . C. π − . D. + π. 4 4 4 Lời giải. Thể tích của (H) là π Z4 V =π π tan2 x dx = π 0 Z4 Å 1 cos2 x ã − 1 dx = π (tan x − x) π 4 0 0  π2 π =π− . =π 1− 4 4  Chọn đáp án C Z1 Câu 844. Biết rằng 0 √ ã Å 2+ a dx √ √ = 2 ln với a, b là các số nguyên dương. Giá trị của x2 + 4x + 3 1+ b a + b bằng A. 3. B. 5. C. 9. D. 7. Lời giải. Z1 Z1 dx dx √ p Ta có = . x2 + 4x + 3 (x + 1)(x + 3) 0 0 Å ã √ √ 1 1 1 √ +√ dx Đặt t = x + 3 + x + 1 ⇒ dt = 2 x + 3 x + 1 å Ç√ √ 1 x+1+ x+3 1 2 dt t dx p ⇔ dt = ⇔ dt = · p dx ⇔ . =p 2 2 t (x + 1)(x + 3) (x + 1)(x + 3) (x + 1)(x + 3) √ √ Khi x = 0 thì t = 1 + √3; khi x = 1 thì t = 2 + 2. ( 2+ √ Z1 Z 2 √ a=2 dx dt 2+ 2 2+ 2 √ ⇒ √ =2 = 2 ln |t| 1+√3 = 2 ln ⇒ a + b = 5. t x2 + 4x + 3 1+ 3 b=3 √ 0 1+ 3  Chọn đáp án B π  Câu 845. Nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin2 2x · cos3 2x thỏa F = 0 là 4 1 1 1 1 1 A. F (x) = sin3 2x − sin5 2x + . B. F (x) = sin3 2x + sin5 2x − 6 10 15 6 10 1 1 1 1 1 C. F (x) = sin3 2x − sin5 2x − . D. F (x) = sin3 2x + sin5 2x − 6 10 15 6 10 Lời giải. 1 Đặt t = sin 2x ⇒ dt = 2 cos 2x dx ⇒ dt = cos 2x dx. 2 Z Z Z   1 1 2 3 2 2 Ta có F (x) = sin 2x · cos 2x dx= · t · 1 − t dt = · t2 − t4 dt 2 2 1 3 1 5 1 3 1 sin5 2x + C. = t − t + C = sin 2x − 6 10 6 10 π  1 π 1 π 1 Mà từ giả thiết ta được F = 0 ⇔ sin3 − sin5 + C = 0 ⇔ C = − . 4 6 2 10 2 15 1 3 1 1 5 Vậy F (x) = sin 2x − sin 2x − . 6 10 15 Chọn đáp án C Z Câu 846. Cho 2x (3x − 2)6 dx = A (3x − 2)8 + B (3x − 2)7 + C với A, B ∈ Q và C của biểu thức 12A + 7B bằng 23 241 A. . B. . 252 252 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 289 52 . 9 D. 1 . 15 4 . 15  ∈ R. Giá trị 7 . 9 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 t+2 1 Đặt t = 3x − 2 ⇒ x = ⇒ dt = dx. 3 Z 3 Z Z  t+2 6 2 2 2 t8 4 t7 6 · t dt = Ta có 2x (3x − 2) dx = t7 + 2t6 dt = · + · + C 3 3 9 9 8 9 7 1 4 8 7 = · (3x − 2) + · (3x − 2) + C. 36 63 1 4 Suy ra A = , B = . 36 63 1 4 7 Giá trị của biểu thức 12A + 7B = 12 · +7· = . 36 63 9 Chọn đáp án D  p Câu 847. Cho hàm số y = f (x) liên tục, không âm trên R thỏa mãn f 0 (x) · f (x) = 2x [f (x)]2 + 1 và f (0) = 0 . Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = f (x) trên đoạn [1; 3] lần lượt là √ √ A. M = 20; m = 2. B. M = 4 11; m = 3. √ √ √ C. M = 20; m = 2. D. M = 3 11; m = 3. Lời giải. Ta có f 0 (x) · f (x) = 2x » f (x) · f 0 (x) = 2x (1). [f (x)]2 + 1 ⇔ p [f (x)]2 + 1 p Lấy nguyên hàm hai vế (1) ta có [f (x)]2 + 1 = x2 + C, do f (0) = 0 nên C = 1. √ Vậy f (x) = x4 + 2x2 trên đoạn [1; 3]. Ta có f 0 (x) = √ x2 + 2 + √ x2 >0 x2 + 2 √ √ với mọi x ∈ [1; 3] nên f (x) đồng biến trên [1; 3] . Vậy M = f (3) = 3 11; m = f (1) = 3.  Chọn đáp án D Z2 Z7 f (x) dx = 2, Câu 848. Cho −1 Z7 f (t) dt = 9. Giá trị của −1 A. 7. f (z) dz là 2 B. 3. C. 11. D. 5. Lời giải. Ta có Z7 Z7 f (z) dz = 2 −1 f (x) dx −1 Z2 f (t) dt − −1 Z2 f (x) dx − f (x) dx = 2 Z7 = Z7 f (x) dx = 9 − 2 = 7. −1  Chọn đáp án A Câu 849. Nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x + cos x là A. sin x − cos x + C. C. cos x − sin x + C. B. sin x + cot x + C. D. sin x + cos x + C. Lời giải. Z Ta có (sin x + cos x) dx = − cos x + sin x + C.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 290 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 √ Câu 850. Tìm √ hàm số f (x), biết rằng f 0 (x) = 4 x − x và f (4) = √0. 8x x x2 40 8x x x2 88 A. f (x) = − − . B. f (x) = + − . 3 2 3 3 2 3 2 2 x2 C. f (x) = √ − + 1. D. f (x) = √ − 1. 2 x x Lời giải. √ Z Z √ 8x x x2 0 − + C. Ta có f (x) = f (x) dx = (4 x − x) dx = 3 2 √ 64 40 8x x x2 40 Do f (4) = 0 nên ta có − 8 + C = 0 ⇔ C = − . Vậy f (x) = − − . 3 3 3 2 3 Chọn đáp án A  Câu 851. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 6t + 12t2 (m/s2 ). Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là 4300 m. 3 Lời giải. B. 4300 m. A. C. 98 m. 3 D. 11100 m . Ta có công thức chuyển động của vật theo thời gian kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là Z Z v(t) = a(t) dx = (6t + 12t2 ) dx = 4t3 + 3t2 + C. Do v(0) = 10 nên ta có C = 10. Suy ra v(t) = 4t3 + 3t2 + 10. Từ đó ta có quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là Z10 s= Z10 v(t) dx = (4t3 + 3t2 + 10) dx = 11100. 0 0  Chọn đáp án D Câu 852. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và ∀x ∈ [0; 2018], ta có f (x) > 0 và f (x)·f (2018−x) = 1. 2018 Z 1 dx là Giá trị của tích phân I = 1 + f (x) 0 A. 2018. B. 4016. C. 0. D. 1009. Lời giải. Đặt t = 2018 − x, dt = −dx. Khi đó Z0 I=− dt = 1 + f (2018 − t) 2018 Do đó 2018 Z 0 2018 Z 2I = I + I = 1+ 1 dx + 1 + f (x) 0 2018 Z dt 1 f (t) 2018 Z = f (t) dt = 1 + f (t) 0 2018 Z f (x) dx . 1 + f (x) 0 f (x) dx = 1 + f (x) 0 2018 Z 1 dx = 2018. 0 Vậy I = 1019. Chọn đáp án D  Câu 853. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, gọi (H1 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y= x2 , 4 y= Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em −x2 , 4 291 x = −4, x=4 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 và (H2 ) là hình gồm tất cả các điểm (x; y) thoả: x2 + y 2 6 16, x2 + (y − 2)2 > 4, x2 + (y + 2)2 > 4. y y 4 4 2 x −4 x −4 4 O 4 O −2 −4 −4 Cho (H1 ) và (H2 ) quay quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích lần lượt là V1 , V2 . Đẳng thức nào sau đây đúng? 1 A. V1 = V2 . 2 Lời giải. 2 B. V1 = V2 . 3 C. V1 = V2 . D. V1 = 2V2 . V1 bằng thể tích khối trụ có bán kính đáy bằng 4 và chiều cao bằng 8 trừ bốn lần thể tích của √ vật tròn xoay tạo thành khi vật thể giới hạn bởi các đường x = 2 y, x = 0, y = 0, x = 4 quay quanh trục Oy. Z4 V1 = π · 42 · 8 − 4π 2y dy = 64π. 0 4 Thể tích V2 = π (43 − 23 − 23 ) = 64π. 3 Chọn đáp án C  2 x−m (với m là tham số khác 0) có đồ thị là (C). Gọi S là diện tích x+1 hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và hai trục toạ độ. Có bao nhiêu giá trị thực của m thoả mãn Câu 854. Cho hàm số y = S = 1? A. Không. B. Một. C. Hai. D. Ba. Lời giải. m2 + 1 > 0, ∀x 6= 1, nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định với mọi m. (x + 1)2 (C) cắt trục hoành tại A(m2 ; 0) và cắt trục tung B(0; −m2 ). Zm2   x − m2 S=− dx = m2 + 1 ln m2 + 1 − m2 . x+1 0 √ S = 1 ⇔ (m2 + 1) · [ln (m2 + 1) − 1] = 0 ⇔ m = ± e − 1. Ta có y 0 =  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 292 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 855. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + cos x là ex + 1 A. + sin x + C. B. ex − sin x + C. C. ex + sin x + C. x+1 Lời giải. Z Ta có (ex + cos x) dx = ex + sin x + C. D. ex+1 − sin x + C. x+1  Chọn đáp án C Câu 856. Cắt một vật thể ϑ bởi hai mặt phẳng (P ) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại các điểm x = a và x = b (a < b). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x (a ≤ x ≤ b) cắt ϑ theo thiết diện có diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó phần vật thể ϑ giới hạn bởi hai mặt phẳng (P ) và (Q) có thể tích bằng Zb Zb Zb A. V = π S(x)dx. B. V = S(x)dx. C. V = π S 2 (x)dx. a a Zb D. V = a S 2 (x)dx. a Lời giải. Theo định nghĩa SGK.  Chọn đáp án B Câu 857. Cho hàm số f (x) xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của f (x) trên K nếu F 0 (x) = f (x) với mọi x ∈ K . B. Nếu f (x) liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K . C. Nếu hàm số F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F (x) + C cũng là một nguyên hàm của f (x) trên K . D. Nếu hàm số F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì hàm số F (−x) cũng là một nguyên hàm của f (x) trên K . Lời giải. Khẳng định “Nếu hàm số F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì hàm số F (−x) cũng là một nguyên hàm của f (x) trên K ” là khẳng định sai.  Chọn đáp án D Câu 858. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos x, trục tung, trục hoành và đường thẳng x = π bằng A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Lời giải. Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cos x và trục hoành là nghiệm phương trình cos x = 0 ⇔ π π x = + kπ. Xét trên [0; π] suy ra x = . 2 2 π Z2 Zπ Diện tích hình phẳng cần tính là S = cos x dx − cos x dx = 2. π 2 0  Chọn đáp án A 2018 Z Câu 859. Tính I = 2 0 2018 ln (1 + 2x ) dx. (1 + 2−x ) log4 e A. I = ln (1 + 2 ) − ln2 2. C. I = ln (1 + 22018 ) − ln 2. B. I = ln2 (1 + 22018 ) − ln 4. D. I = ln2 (1 + 2−2018 ) − ln2 2. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 293 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Đặt t = ln(1 + 2x ), ta có dt = ln (1 + 22018 ). Chương 3-Giải tích 12 2x ln 2 ln 2 = dx. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = ln 2; x = 2018 ⇒ t = x 1+2 1 + 2−x ln(1+22018 ) Z Khi đó I = ln 2 t dt = ln 2. log4 e Å 1 t2 · log4 2 2 ã ln(1+22018 ) = ln2 (1 + 22018 ) − ln2 2. ln 2  Chọn đáp án A Câu 860. Xét (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f (x) = a sin x + b cos x (với a, b là các hằng số thực dương), trục hoành, trục tung và đường thẳng x = π. Nếu vật thể tròn xoay được tạo 5π 2 và f 0 (0) = 2 thì 2a + 5b bằng thành khi quay (H) quanh trục Ox có thể tích bằng 2 A. 8. B. 9. C. 10. D. 11. Lời giải. Ta có f 0 (x) = a cos x − b sin x; f 0 (0) = 2 ⇒ a = 2. √ a f (x) = a sin x + b cos x = a2 + b2 sin (x + α) với α = arccos √ . 2 a + b2 Zπ V =π (a2 + b2 ) sin2 (x + α) dx 0 π(a2 + b2 ) = 2 Zπ [1 − cos (2x + 2α)] dx 0 2 = = = = Lại có: V = 2 ï π(a + b ) x− 2 ï π(a2 + b2 ) x− 2 π 2 (a2 + b2 ) 2 π 2 (4 + b2 ) . 2 ò 1 sin (2x + 2α) 2 ò 1 sin (2x + 2α) 2 π 0 π 0 5π 2 ⇒ 4 + b2 = 5 ⇒ b = 1 (vì b > 0 ) Vậy 2a + 5b = 9. 2  Chọn đáp án B Z2 Å ã 1 Câu 861. Tính I = 2019 log2 x + x2018 dx. ln 2 1 2018 A. I = 2 . B. I = 22017 . C. I = 22020 . D. I = 22019 . Lời giải.   2019 1  dx u = 2019 log x +  du = 2 x ln 2 ln 2 ⇒ Đặt 2019   2018 v = x dv = x dx 2019 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 294 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Khi đó Å ã 2019 1 x I = 2019 log2 x + ln 2 2019 Z2 2 − 1 x2018 dx ln 2 1 2 1 x2019 2 − − =2 + 2019 ln 2 2019 ln 2 2019 ln 2 1 22019 1 22019 1 = 22019 + − − + 2019 ln 2 2019 ln 2 2019 ln 2 2019 ln 2 2019 =2 . 2019 2019  Chọn đáp án D Câu 862. Gọi F (x) là nguyên hàm của hàm số y = 4 cos4 x − 3 cos2 x. F (x) là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? cos 4x cos 2x + + C. A. F (x) = 8 4 C. F (x) = − sin x cos3 x + C. B. F (x) = sin3 x cos x + C. sin 4x sin 2x D. F (x) = + + C. 8 4 Lời giải. cos 4x 3 3(cos 2x + 1) cos 4x cos 2x Ta có 4 cos4 x − 3 cos2 x = + 2 cos 2x + − = + . 2 2 2 2 Z Å ã2 sin 4x sin 2x cos 4x cos 2x dx = + + + C. F (x) = 2 2 8 4 Chọn đáp án D  π 4 Z Câu 863. Cho I = 0 dx . Khẳng định nào sau đây đúng? (sin x + cos x)2 A. I ∈ (−1; 3). B. I ∈ (−2; 0). C. I ∈ (−7; −5). Lời giải. π π Z4 Z4  1 dx dx π  = tan x − I= = 2 4 2 cos2 x − π4 (sin x + cos x)2 0 π 4 0 D. I ∈ [3; 8]. 1 = . 2 0  Chọn đáp án A Z1 Câu 864. Có bao nhiêu số thực a để x dx = 1? a + x2 0 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. a + x2 6= 0 với mọi x ∈ [0; 1] ⇒ a > 0 hoặc a < −1. Z1 x 1 dx = 1 ⇔ ln a + x2 2 a+x 2 0 1 0  1 a= 2 1 a+1  e −1 = ln =1⇔ 1 2 a a=− 2 (loại) e +1  Chọn đáp án B Z0 Câu 865. Cho f (x) là một hàm số chẵn liên tục trên R và Z2 f (x) dx = 2018, −2 f (x) dx = 2017. −1 Z0 Giá trị của I = f (x) dx bằng −1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 295 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. I = 2. Chương 3-Giải tích 12 B. I = 1. D. I = −1. C. I = 0. Lời giải. Vì f (x) là hàm số chẵn liên tục trên R nên Z0 Z2 f (x) dx = 2018 ⇒ f (x) dx = −2 Z0 Khi đó, I = Z0 0 Z2 f (x) dx = −1 f (x) dx = −2018 2 Z0 f (x) dx = 2017 − 2018 = −1. f (x) dx + −1 2  Chọn đáp án D Z1 Câu 866. Tập hợp nào dưới đây chứa số thực a để x cos2 (ax) dx = 4 8 − 2 ln 2? π π 0 π π  A. ; . 4 2 B. π 2  ;π . C. (−1; 0). D. (0; 1). Lời giải. Đặt u = x, dv = dx , ta có cos2 (ax) Z1 x x tan(ax) dx = 2 cos (ax) a 0 Z1 1 − 0 tan(ax) dx a 0 x tan(ax) 1 ln | cos(ax)| = + a a2 0 tan a ln | cos a| = + a a2 Suy ra a = 1 0 π ∈ (0; 1). 4  Chọn đáp án D Câu 867. Ông Rich muốn gắn những viên kim cương nhỏ vào một mô hình như cánh bướm theo hình vẽ bên dưới. Để tính diện tích đó ông đưa vào một hệ trục tọa độ như hình vẽ thì nhận thấy rằng diện tích mô hình đó là phần giao (tô) giữa hai hàm số trùng phương y = f (x), y = g(x) đối xứng nhau qua trục hoành. Hỏi ông Rich đã gắn bao nhiêu viên kim cương trên mô hình đó biết rằng mỗi đơn vị vuông trên mô hình đó mất 15 viên kim cương? Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 296 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 y 4 2 −2 2 x −2 −4 A. 256. Lời giải. B. 128. C. 64. D. 265. Hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c cắt trục hoành tại (2; 0), (−2; 0) có giá trị cực đại bằng 4, giá trị cực tiểu bằng 0, dễ thấy a = −1, b = 4, c = 0, f (x) = −x4 + 4x2 , g(x) = x4 − 4x2 . Ta có Z2 S=  256 −x4 + 4x2 − (x4 − 4x2 ) dx = 15 −2 Vậy ông Rich đã gắn 15 · 256 = 256 viên kim cương. 15  Chọn đáp án A Z1 Câu 868. Cho a, b là các số thực thỏa mãn 2abx + a + b dx = 0. Giá trị của S = ab + a + b (1 + ax)(1 + bx) 0 bằng A. S = 0, S = 1. B. S = −2, S = 0. C. S = 1, S = −2. D. S = −2, S = 1. Lời giải. Ta có Z1 2abx + a + b dx = (1 + ax)(1 + bx) 0 Z1 Å a b + ax + 1 bx + 1 ã 1 1 dx = ln |ax+1| +ln |bx+1| 0 = ln |(a+1)(b+1)| = 0. 0 0 " Suy ra |ab + a + b + 1| = 1 ⇔ ab + a + b = 0 ab + a + b = −2.  Chọn đáp án B Câu 869. Tập hợp nào dưới đây có chứa số thực m để diện tích giới hạn bởi đường cong (C) : y = x3 − 3x và đường thẳng (d) : y = mx có diện tích bằng 8(đvdt)? A. (−8; 0). B. (−8; 3). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. (1; 7). 297 D. (−3; 0). https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm " x3 − 3x = mx ⇔ x(x2 − m − 3) = 0 ⇔ x=0 √ x=± m+3 Đồ thị hàm số y = x3 − 3x có tâm đối xứng là gốc tọa độ và đường thẳng y = mx cũng đi qua gốc tọa độ nên diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và đường thẳng (d) là √ Zm+3 S=2 √ Zm+3   x3 − (m + 3)x dx = 2 (m + 3)x − x3 dx = 8 0 0 " ⇔ (m + 3)2 = 16 ⇔ m=1 m = −7 (loại)  Chọn đáp án B Câu 870. Cho hàm số y = x3 − 2x2 − (m − 1)x + m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên R và diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số và hai trục Ox, Oy có diện tích không lớn hơn 1 (đvđt)? A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. Lời giải. 1 y 0 = 3x2 − 4x − (m − 1), hàm số đồng biến trên R khi 3x2 − 4x − (m − 1) > 0, ∀x ∈ R ⇔ m 6 − . 3 y = x3 − 2×2 − (m − 1)x + m = (x − 1)(x2 − x − m) cho nên hàm số cắt trục hoành tại điểm x = 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và các trục tọa độ là Z1 S= ã x4 2×3 (m − 1)x2 x − 2x − (m − 1)x + m dx = − − − + mx 4 3 2 3 Å 2 1 =− 0 6m + 1 12 0 Theo giả thiết S 6 1 ⇔ − 13 6 m ⇒ m = −1, m = −2. 6  Chọn đáp án B Câu 871. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong y = 3e−x + x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = ln 2. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho (H) quay quanh trục hoành được tính bằng công thức nào sau đây? Zln 2 2 2 A. π 3e−x + x dx. Zln 2 B. 0 Zln 2 C. π 3e−x + x dx. 0 −x 3e +x 2 Zln 2 dx. D. π 0 3e−x + x dx. 0 Lời giải. Zln 2 Theo lý thuyết, thể tích khối tròn xoay sinh ra là V = π 3e−x + x 2 dx. 0  Chọn đáp án C Câu 872. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = e2x − Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 298 1 là x2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 1 2x 1 1 1 e − + C. B. e2x + 2 x 2 x Lời giải. Z Z Å ã 1 2x Ta có f (x) dx = e − 2 dx = x Chọn đáp án B Câu 873. Tích phân I = C. e2x + + C. A. Z2 Chương 3-Giải tích 12 1 + C. x D. e2x − 1 + C. x 1 2x 1 e + + C. 2 x  (x + 2)3 dx bằng 0 A. I = 56. B. I = 60. C. I = 240. D. I = 120. Lời giải. Z2 Ta có I = (x + 2)4 (x + 2) dx = 4 2 3 0 44 − 24 = 60. 4 = 0  Chọn đáp án B 1+ln Z 2 Câu 874. Cho hàm số f (x) thỏa mãn Ze f (x) dx = 2018. Tính I = 1 ln 2 A. I = 2018. 1 f (ln 2x) dx. x 1009 C. I = . 2 B. I = 4036. D. I = 1009. Lời giải. 1 dx, với x = 1 ⇒ t = ln 2, x = e ⇒ t = 1 + ln 2. x 1+ln 1+ln Z 2 Z 2 Ta có I = f (t) dt = f (x) dx = 2018. Đặt t = ln 2x ⇒ dt = ln 2 ln 2  Chọn đáp án A Câu 875. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi parabol (P ) : y = 2×2 , tiếp tuyến của (P ) tại M (1; 2) và trục Oy là 1 1 2 A. S = 1. B. S = . C. S = . D. S = . 3 3 2 Lời giải. Có y 0 = 4x, suy ra y 0 (1) = 4. Phương trình tiếp tuyến của (P ) tại M là y = y 0 (1)(x − 1) + 2 = 4(x − 1) + 2 = 4x − 2. Diện tích hình phẳng cần tìm là Z1 S= 2×2 − 4x + 2 dx = 0 Z1 2(x − 1)3 2(x − 1)2 dx = 3 0 1 0 2 = . 3  Chọn đáp án B Câu 876. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [4; 8] và f (x) 6= 0, ∀x ∈ [4; 8]. Biết rằng Z8 0 [f (x)]2 1 1 4 dx = 1 và f (4) = , f (8) = . Tính giá trị của f (6). 4 2 [f (x)] 4 5 A. f (6) = . 8 Lời giải. 2 B. f (6) = . 3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 3 C. f (6) = . 8 299 1 D. f (6) = . 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z8 Xét A = 4 Chương 3-Giải tích 12 f 0 (x) dx, đặt t = f (x) ⇒ dt = f 0 (x) dx, suy ra [f (x)]2 Zf (8) A= dt 1 =− 2 t t f (8) =− f (4) 1 1 + = 2. f (8) f (4) f (4) Z8 ñ ô2 Z8 0 Z8 0 Z8 f 0 (x) 1 [f (x)]2 f (x) 1 Ta có dx = dx = 1 − 2 + 1 = 0. 2 − 4 dx − 2 dx + 2 4 [f (x)] [f (x)] [f (x)] 4 ñ ô2 4 ô2 4 ñ4 0 0 f (x) 1 1 1 f (x) f 0 (x) Mặt khác, do − − ≥ 0 nên suy ra = 0 ⇒ 2 2 2 = 2 2 2 [f (x)] [f (x)] [f (x)] Z Z 0 1 f (x) 1 x ⇒ dx ⇔ − = + C. 2 dx = 2 f (x) 2 [f (x)] 1 1 2 1 Do f (4) = ⇒ C = −6. Vậy f (x) = − x = , suy ra f (6) = . 4 −6 12 − x 3 2 Chọn đáp án D Zπ Câu 877. Cho tích phân π 2 cos 2x dx = aπ + b với a, b ∈ Q. Tính P = 1 − a3 − b2 . 1 − cos x B. P = −29. A. P = 9.  C. P = −7. D. P = −27. Lời giải. Zπ π 2 cos 2x dx = 1 − cos x Zπ π 2 2 cos2 x − 1 dx = 1 − cos x Zπ Ç = −2 cos x − 2 + π 2 =  Zπ Å π 2 1 −2 cos x − 2 + 1 − cos x 1 2 sin2 x −2x − 2 sin x − cot 2 ã dx å dx x 2 π = 3 − π. π 2 Vậy ta có a = −1, b = 3, nên suy ra P = 1 − a3 − b2 = 1 + 1 − 9 = −7.  Chọn đáp án C Câu 878. Cho hai hàm số F (x) = (x2 + ax + b)e−x và f (x) = (−x2 + 3x + 6)e−x . Tìm a và b để F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x). A. a = 1, b = −7. B. a = −1, b = −7. C. a = −1, b = 7. D. a = 1, b = 7. Lời giải. Ta có F 0 (x) = (−x2 + (2 − a)x + a − b)e−x = f (x) nên 2 − a = 3 và a − b = 6. Vậy a = −1 và b = −7.  Chọn đáp án B Câu 879. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có R1 R3 R1 f (x)dx = 2; f (x)dx = 6. Tính I = f (|2x − 1|)dx. 0 2 A. I = . 3 3 C. I = . 2 B. I = 4. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 0 300 −1 D. I = 6. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 880. Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong y = −x3 + 12x và y = −x2 . 397 937 . D. S = . 4 12 √ Zk x+1−1 Câu 881. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để có (2x − 1)dx = 4 lim . x→0 x ” ” ” 1 ” k=1 k=1 k = −1 k = −1 A. . B. . C. . D. . k=2 k = −2 k = −2 k=2 A. S = 343 . 12 B. S = 793 . 4 C. S = Lời giải. Zk Zk 1 (2x − 1)2 (2k − 1)2 1 1 (2x − 1)d(2x − 1) = = = . Ta có (2x − 1)dx = 2 4 4 4 k 1 1 √ √ √ ( x + 1 − 1)( x + 1 + 1) x+1−1 1 √ Mà 4 lim = 4 lim = 4 lim √ = 2. x→0 x→0 x→0 x x( x + 1 + 1) x+1+1 ” √ Zk k=2 x+1−1 (2k − 1)2 − 1 2 Khi đó (2x − 1)dx = 4 lim ⇔ = 2 ⇔ (2k − 1) = 9 ⇔ x→0 x 4 k = −1 1  Chọn đáp án D Câu 882. Cho f (x) là hàm liên tục trên đoạn [0; a] thỏa mãn Za ( f (x).f (a − x) = 1 f (x) > 0, ∀x ∈ [0; a] và dx = 1 + f (x) 0 ba b , trong đó b, c là hai số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó b + c có giá trị thuộc khoảng c c nào dưới đây? A. (11; 22). B. (0; 9). C. (7; 21). D. (2017; 2020). Lời giải. Đặt t = a − x ⇒ dt = −dx. Đổi cận x = 0 ⇒ t = a; x = a ⇒ t = 0. Za Z0 Za Za dx −dt dx Lúc đó I = = = = 1 + f (x) 1 + f (a − t) 1 + f (a − x) 0 a Za Suy ra 2I = I + I = 0 dx + 1 + f (x) 0 Za 0 f (x)dx = 1 + f (x) 0 dx 1+ 1 f (x) Za = f (x)dx . 1 + f (x) 0 Za 1dx = a. 0 1 Do đó I = a ⇒ b = 1; c = 2 ⇒ b + c = 3. 2  Chọn đáp án B Z5 Câu 883. Cho I = Z2 2 A. 34. [2 − 4f (x)] dx là f (x) dx = 10. Kết quả J = 5 B. 36. C. 40. D. 32. Lời giải. Z2 Z2 2 Xét J = [2 − 4f (x)] dx = 2x − 4 f (x) dx = −6 + 40 = 34. 5 5 5  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 301 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 884. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm K (2; 4; 6), gọi K 0 là hình chiếu vuông góc của điểm K lên trục Oz, khi đó trung điểm OK 0 có tọa độ là A. (0; 0; 3). B. (1; 0; 0). C. (1; 2; 3). D. (0; 2; 0). Lời giải. Tọa độ hình chiếu K 0 (0; 0; 6) ⇒ trung điểm của đoạn OK 0 có tọa độ là (0; 0; 3).  Chọn đáp án A Câu 885. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt x−2 y+3 z−3 phẳng đi qua điểm M (3; −1; 1) và vuông góc với đường thẳng ∆ : = = ? 3 −2 1 A. 3x − 2y + z + 12 = 0. B. 3x − 2y + z − 12 = 0. C. 3x + 2y + z − 8 = 0. D. x − 2y + 3z + 3 = 0. Lời giải. Mặt phẳng vuông góc với ∆ có một véc-tơ pháp tuyến là #» n = (3; −2; 1), khi đó phương trình mặt phẳng là: 3x − 2y + z − 12 = 0. Chọn đáp án B  Câu 886. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [0; 2]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức: Z2 Z2 A. V = π f 2 (x) dx. B. V = 2π f 2 (x) dx. 1 C. V = π 2 1 Z2 f 2 (x) dx. D. V = π 2 1 Z2 f (x) dx. 1 Lời giải. Z2 Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành là V = π f 2 (x) dx. 1  Chọn đáp án A Câu 887. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4π và có thiết diện qua trục là hình vuông. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng A. 6π. B. 10π. C. 8π. D. 12π. Lời giải. Thiết diện qua trục hình trụ là hình vuông ⇒ l = 2r. Ta có Sxq = 2π · r · l = 4π · r2 = 4π ⇔ r = 1. Khi đó diện tích toàn phần hình trụ là Stp = Sxq + 2πr2 = 6π.  Chọn đáp án A Z2 Câu 888. Tính I = 2x dx. 1 A. I = 2. B. I = 3. C. I = 1. D. I = 4. Lời giải. Z2 Ta có I = 2 2x dx = x 1 2 = 4 − 1 = 3. 1  Chọn đáp án B Câu 889. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây sai? Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 302 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ x −∞ y0 Chương 3-Giải tích 12 −1 − 0 + 0 0 +∞ +∞ 1 − 0 + +∞ 3 y 0 0 A. Hàm số có ba điểm cực trị. B. Hàm số có hai điểm cực tiểu. C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3. Lời giải. D. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị cực đại bằng 3.  Chọn đáp án D Câu 890. Cho hàm số y = 2×3 + 6x + 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) và đồng biến trên khoảng (0; +∞). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; +∞). Lời giải. Xét hàm số y = 2×3 + 6x + 2 có tập xác định D = R. Có y 0 = 6×2 + 6 > 0 với ∀x ∈ R ⇒ hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định. Chọn đáp án C  Câu 891. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = cos 5x.Z Z sin 5x sin 5x A. cos 5x dx = + C. B. cos 5x dx = − + C. 5 5 Z Z C. cos 5x dx = 5 sin 5x + C. D. cos 5x dx = sin 5x + C. Lời giải. Z sin 5x + C. Ta có cos 5x dx = 5 Chọn đáp án A  Z2 Câu 892. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 2] và thỏa mãn f (2) = 16, f (x) dx = 0 Z2 4. Tính tích phân I = x · f 0 (2x) dx. 0 A. I = 12. B. I = 7. C. I = 13. D. I = 20. Lời giải. • Đặt t = 2x. Ta có I= 1 4 Z2 Ñ tf 0 (t) dt = 1 4 2 Z2 tf (t) − f (t) dt 0 0 é 1 = (32 − 4) = 7. 4 0  Chọn đáp án B Câu 893. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] đồng thời thỏa mãn f 0 (0) = 9 và 9f 00 (x) + [f 0 (x) − x]2 = 9. Tính T = f (1) − f (0). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 303 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. T = 2 + 9 ln 2. Chương 3-Giải tích 12 B. T = 9. C. T = 1 + 9 ln 2. 2 D. T = 2 − 9 ln 2. Lời giải. Ta có 9f 00 (x) + [f 0 (x) − x]2 = 9 ⇔ [f 0 (x) − x]2 = −9 [f 00 (x) − 1] ⇔ f 00 (x) − 1 1 =− 2 9 [f 0 (x) − x] 1 x = − + c, (x) − x 9 1 1 x 1 Do f 0 (0) = 9 ⇒ − = c ⇒ − 0 =− − 9 f (x) − x 9 9 9 9 ⇒ f 0 (x) − x = ⇒ f 0 (x) = x + , lấy tích phân 2 vế ta được x+1 x+1 Z1 Z1 Å ã Å 2 ã 9 x 0 f (1) − f (0) = f (x) dx = x+ dx = + 9 ln |x + 1| x+1 2 Lấy nguyên hàm 2 vế ta được − 0 f0 0 1 = 0 1 + 9 ln 2. 2  Chọn đáp án C Câu 894. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 2x + cos x là A. − cos 2x + sin x + C. B. cos2 x − sin x + C. C. sin2 x + sin x + C. D. cos 2x − sin x + C. LờiZgiải. Do Z f (x) dx = 1 1 (sin 2x + cos x) dx = − cos 2x + sin x + C = sin2 x + sin x + C − . 2 2  Chọn đáp án C √ 3 Câu 895. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e x và F (0) = 2. Hãy tính F (−1). 10 15 10 15 B. 4 − . C. − 4. D. . A. 6 − . e e e e Lời giải. Z Z √ 3 Xét I = f (x) dx = e x dx. Z √ 3 2 3 Đặt t = x suy ra t = x nên 3t dt = dx khi đó I = 3t2 et dt. Theo công thức tích phân từng phần 2 t I = 3t e − 3 Z Z Å ã  t t 2te dt = 3t e − 3 2te − 2e dt = 3t2 et − 3 2tet − 2et + C t 2 t Ä √ ä √ √ √ √ 3 3 3 3 f (x) dx = 3 x2 · e x − 3 2 3 x · e x − 2e x + C Ä √ ä √ √ √ √ 3 3 3 3 hay F (x) = 3 x2 · e x − 3 2 3 x · e x − 2e x + C. Å ã 3 2 2 15 Do F (0) = 2 suy ra 6 + C = 2 ⇔ C = −4. Khi đó F (−1) = − 3 − − −4= − 4. e e e e Z Suy ra I =  Chọn đáp án C Câu 896. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 − 6x + 12 và các tiếp tuyến tại các điểm A (1; 7) và B (−1; 19). 1 2 A. . B. . 3 3 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 304 4 . 3 D. 2. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Xét hàm số y = x2 − 6x + 12 trên R. y 19 Ta có y 0 = 2x − 6. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm A là y − 7 = y 0 (1) (x − 1) ⇔ y = −4x + 11. Tương tự phương trình tiếp tuyến tại điểm B là 0 y − 19 = y (−1) (x + 1) ⇔ y = −8x + 11. Hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị là phần gạch chéo hình bên. Do đó diện tích là Z0 11  x2 − 6x + 12 + 8x − 11 dx+ S= 7 −1 Z1 +  x2 − 6x + 12 + 4x − 11 dx 3 0 Z0 = 2 Z1  x + 2x + 1 dx + −1 =  x2 − 2x + 1 dx −1 0 1 (x + 1)3 3 0 −1 + 1 (x − 1)3 3 1 0 x 1 2 3 2 = . 3  Chọn đáp án B Câu 897. Giả sử số tự nhiên n ≥ 2 thỏa mãn C02n + C22n C42n C62n C2n−2 C2n 8192 2n + + +· · ·+ 2n + = . 3 5 7 2n − 1 2n + 1 15 Khẳng định nào sau đây là đúng A. 6 < n < 9. B. 9 < n < 12. C. n < 6. D. Không tồn tại n. Lời giải. 2n 2n−1 + C2n Ta có (1 + x)2n = C02n + C12n x + C22n x2 + · · · + C2n−1 2n x 2n x (1) và 2n−1 2n−1 2n (1 − x)2n = C02n − C12n x + C22n x2 − · · · − C2n x + C2n 2n x (2) Từ (1) và (2) suy ra  2n−2 2n 2 C02n + C22n x2 + · · · + C2n−2 + C2n = (1 + x)2n + (1 − x)2n 2n x 2n x (∗) Lấy tích phân hai vế của (∗) ta có Z1 2 C02n + C22n x2 + ··· + 2n−2 C2n−2 2n x + 2n C2n 2n x 0  dx = Z1 î ó (1 + x)2n + (1 − x)2n dx (∗∗) 0 Mà Z1 2  2n−2 2n C02n + C22n x2 + · · · + C2n−2 + C2n dx 2n x 2n x 0 1 Å 3 2n−1 2n+1 ã 0 2 x 2n−2 x 2n x =2 C2n x + C2n + · · · + C2n + C2n 3 2n − 1 2n + 1 0 Å 2n−2 2 4 6 2n ã C C C C C2n =2 C02n + 2n + 2n + 2n + · · · + 2n + 3 5 7 2n − 1 2n + 1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 305 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Mặt khác Z1 î 2n (1 + x) 2n + (1 − x) ó (1 + x)2n+1 (1 − x)2n+1 dx = − 2n + 1 2n + 1 ñ 0 ô 1 = 0 22n+1 . 2n + 1 Từ (∗∗) ta suy ra Å ã 2n−2 C22n C42n C62n C2n C2n 22n+1 2n 0 2 C2n + + + + ··· + + = 3 5 7 2n − 1 2n + 1 2n + 1 2n−2 2 4 6 2n 2n C C C C C2n 2 ⇔C02n + 2n + 2n + 2n + · · · + 2n + = . 3 5 7 2n − 1 2n + 1 2n + 1 22n 8192 22n 213 Do đó = ⇔ = ⇔ 15 · 22n−13 = 2n + 1. 2n + 1 15 2n + 1 15 - Nếu n ≥ 7 suy ra 15 · 22n−13 là một số chẵn và 2n + 1 là một số lẻ. Do đó không có giá trị thỏa mãn. p - Nếu n ≤ 6 suy ra 15 · 22n−13 là một số hữu tỉ dạng với (p, q) = 1 và 2n + 1 là một số lẻ. Dó đó q không có giá trị nào thỏa mãn.  Chọn đáp án D Câu 898. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và 3f (−x) − 2f (x) = tan2 x. Tính π Z4 f (x) dx. − A. 1 − π . 2 B. π − 1. 2 C. 1 + π . 4 π 4 D. 2 − π . 2 Lời giải. π π π π suy ra t = − ; khi x = − suy ra t = . 4 4 4 4 π π π − Z4 Z4 Z4 Đặt I = f (x) dx suy ra I = − f (−t) dt = f (−t) dt. Đặt x = −t suy ra dx = −dt. Khi x = − π 4 π 4 − π 4 π Z4 Do giá trị tích phân không phụ thuộc vào biến lấy tích phân nên I = f (−x) dx. − π 4 Do giả thiết ta có π π Z4 Z4 [3f (−x) − 2f (x)] dx = − π 4 π Z4 Å 2 tan x dx = − π 4 − Từ chứng minh trên suy ra 3I − 2I = 2 − π 4 ã 1 − 1 dx = (tan x − x) cos2 x π 4 π − 4 =2− π 2 π π ⇔I =2− . 2 2  Chọn đáp án D Câu 899. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f 0 (x) · [f (x)]2018 = x · ex với mọi x ∈ R và f (1) = 1. Hỏi 1 phương trình f (x) = − có bao nhiêu nghiệm e A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. Lời giải. Z Do giả thiết ta có 0 2018 f (x) · [f (x)] Z dx = x · ex dx (∗). Theo công thức tích phân từng phần Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 306 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z x Z x x · e dx = x · e − Từ (∗) ta suy ra Chương 3-Giải tích 12 ex dx = x · ex − ex + C. 1 1 [f (x)]2019 = x · ex − ex + C. Do f (1) = 1 suy ra C = . 2019 2019 Khi đó 1 1 [f (x)]2019 = x · ex − ex + 2019 2019 2019 ⇔ [f (x)] = 2019 (x · ex − ex ) + 1 » ⇔ f (x) = 2019 2019 (x · ex − ex ) + 1 Xét phương trình 1 f (x) = − ⇔ e » 1 2019 (x · ex − ex ) + 1 = − e Å ã2019 1 ⇔ 2019 (x · ex − ex ) + 1 = − e 1 ⇔ 2019 (x · ex − ex ) + 1 + 2019 = 0 (∗∗) e 1 Xét hàm số g (x) = 2019 (x · ex − ex ) + 1 + 2019 trên R. e Ta có g 0 (x) = 2019 (x · ex + ex − ex ) = 2019x · ex 2019 Xét g 0 (x) = 0 suy ra 2019x · ex = 0 ⇔ x = 0. 1 Mà lim g (x) = 1 + 2019 và lim g (x) = +∞. x→+∞ x→−∞ e Ta có bảng biến thiên x −∞ +∞ 0 g 0 (x) − + 0 +∞ 1 1 + 2019 e g(x) −2018 + 1 e2019 Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình (∗∗) có hai nghiêm.  Chọn đáp án D Zm Câu 900. Có bao nhiêu giá trị của tham số m trong khoảng (0; 6π) thỏa mãn sin x dx = 5 + 4 cos x 0 1 ? 2 A. 6. B. 12. C. 8. D. 4. Lời giải. Ta có Zm 0 sin x 1 dx = − 5 + 4 cos x 4 Zm 5 + 4 cos x dx 5 + 4 cos x 0 m 1 1 = − ln |5 + 4 cos x| = − (ln |5 + 4 cos m| − ln 9) 4 4 0 1 |5 + 4 cos m| = − ln 4 9 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 307 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Vì −1 ≤ cos m ≤ 1 , ∀m nên −4 ≤ 4 cos m ≤ 4 , ∀m suy ra 5 + 4 cos m > 0 , ∀m do đó Å ã 1 5 + 4 cos m 1 |5 + 4 cos m| = ⇔ ln = −2 − ln 4 9 2 9 5 + 4 cos m 9 ⇔ = e−2 ⇔ cos m = 2 − 5 ‘ −0,945 9 e Dễ thấy trong một chu kì 2π có 2 giá trị m thỏa mãn cos m = 9 − 5. Do đó trong khoảng (0; 6π) sẽ e2 có 6 nghiệm thỏa mãn bài toán.  Chọn đáp án A Câu 901. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f1 (x), y = f2 (x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức Zb Zb Zb A. S = f1 (x) dx − f2 (x) dx. B. S = (f1 (x) − f2 (x)) dx. a a a Zb Zb |f1 (x) − f2 (x)| dx. C. S = (f1 (x) − f2 (x)) dx . D. S = a a Lời giải. Theo lý thuyết. Chọn đáp án C  Câu 902. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = cos x + sin x là A. sin x − cos x + C. B. sin x + cos x + C. C. − sin x + cos x + C. D. − sin x − cos x + C. Lời Z giải. (cos x + sin x) dx = sin x − cos x + C.  Chọn đáp án A Z1 Câu 903. Tích phân I = x dx bằng x+1 0 B. 1 − ln 2. A. ln 3. Lời giải. Z1 Z1 Å ã 1 x 1 I= dx = 1− dx = x − ln |x + 1| x+1 x+1 0 0 D. 1 − ln 3. C. ln 2. 1 = 1 − ln 2. 0 0  Chọn đáp án B Câu 904. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường (P ) : y = |x2 − 4x + 3|, d : y = x + 3. 109 . 3 Lời giải. A. B. 109 . 6 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 308 125 . 6 D. 125 . 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ • |x2 − 4x + 3| = x + 3 ⇔ Chương 3-Giải tích 12 ” x=0 y x = 5. • Từ đồ thị ta có S = S1 + S2 + S3 trong đó Z1 Z1   13 2 S1 = (x + 3) − (x − 4x + 3) dx = −x2 + 5x dx = . 6 0 0 Z3 Z3  (x + 3) + (x2 − 4x + 3) dx = S2 = 1 1 Z5 Z5  (x + 3) − (x2 − 4x + 3) dx = S3 = 3 8  26 x2 − 3x + 6 dx = . 3 3  22 −x2 + 5x dx = . 3 O 1 1 2 3 5 x 3 109 • Vậy S = . 6  Chọn đáp án B Z2 Câu 905. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn f (2) = 2, 2 [f 0 (x)] dx = 0 512 và 9 Z16 √ 224 f ( 4 x) dx = − . Tính tích phân 9 0 Z2 f (x) dx. 0 20 32 A. I = − . B. I = . 3 9 Lời giải. √ • Đặt t = 4 x ⇒ x = t4 ⇒ dx = 4t3 dx. C. I = − 32 . 15 D. I = 108 . 5 • Ta có Z16  √ 4 x dx =− 224 9 f (t) 4t3 dt =− 224 9 t4 f 0 (t) dt = − 224 9 t4 f 0 (t) dt 224 9 f 0 Z2 ⇒ 0 2 ⇒ t4 f (t) − Z2 0 0 Z2 ⇒ 16f (2) − =− 0 Z2 ⇒ t4 f 0 (t) dt = 512 . 9 0 Z2 • Suy ra  2 f 0 (t) − t4 dt = 0 Z2 2 [f 0 (t)] dt − 2 0 Z2 t4 f 0 (t) dt + 0 Z2 t8 dt = 512 512 512 −2· + = 0. 9 9 9 0 1 22 Mặt khác [f 0 (t) − t ] ≥ 0 với mọi x nên f 0 (t) = t4 ⇒ f (t) = t5 + C. Do f (2) = 2 nên C = − . 5 5 Z2 Z2 Å ã 1 5 22 20 • Vậy f (x) dx = t − dx = − . 5 5 3 4 2 0 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 309 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án A Câu 906. Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên R và f 0 (x) = e−f (x) (2x + 3), f (0) = ln 2. Z2 Tính f (x) dx. 1 B. 6 ln 2 − 2. A. 6 ln 2 + 2. C. 6 ln 2 − 3. D. 6 ln 2 + 3. Lời giải. 0 f (x) • Ta có f (x)e Z = 2x + 3 ⇒ e Z f (x) 0 f (x) dx = (2x + 3) dx ⇒ ef (x) = x2 + 3x + C. • Do f (0) = ln 2 nên eln 2 = 02 + 3 · 0 + C ⇒ C = 2. Suy ra f (x) = ln(x2 + 3x + 2). • Z2 I = Z2 f (x) dx = 1 ln(x2 + 3x + 2) dx 1 2 2 Z2 = x ln(x + 3x + 2) − 1 x(2x + 3) dx x2 + 3x + 2 1 Z2 Å 2 2 = x ln(x + 3x + 2) − 2− 1 2 1 − x+2 x+1 ã dx 1 2 2 2 2 1 1 1 1 = x ln(x2 + 3x + 2) − 2x + 2 ln |x + 2| + ln |x + 1| = 6 ln 2 − 2.  Chọn đáp án B Z1 Câu 907. Biết I = x ln(2 + x2 ) dx = a c ln 3 + b ln 2 + với a, b, c là các số nguyên. Tính tổng 2 2 0 a + b + c. A. 3. B. 0. C. 1. D. 2. Lời giải.  2x (  dx  du = 2 u = ln(x2 + 2) x +2 • Đặt ⇒ 2  dv = x dx v = x . 2 • Ta có Z1 I = x ln(2 + x2 ) dx 0 1 x2 ln(x2 + 2) − = 2 0 Z1 x3 dx x2 + 2 0 1 x2 = ln(x2 + 2) − 2 0 Z1 Å x− 2x 2 x +2 ã dx 0 2 x x2 ln(x2 + 2) − 2 2 0 3 1 = ln 3 − ln 2 − . 2 2 1 1 = Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 310 0 + ln(x2 + 2) 1 0 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 • Suy ra a = 3, b = −1, c = −1. Vậy a + b + c = 1.  Chọn đáp án C Câu 908. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = (x − 1)3 . 1 C. 4(x − 1)4 + C. A. 3(x − 1) + C. B. (x − 1)4 + C. 4 Lời giải. Z Z 1 Ta có f (x) dx = (x − 1)3 dx = (x − 1)4 + C. 4 Chọn đáp án B D. 1 (x − 1)3 + C. 4  Câu 909. Cho hai hàm số y = f (x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) và y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b). Diện tích của D được tính theo công thức nào dưới đây? Zb A. S = (f (x) − g(x)) dx. Zb a a Zb Zb f (x) dx − C. S = |f (x) − g(x)| dx. B. S = a Za g(x) dx. |f (x) − g(x)| dx. D. S = a b Lời giải. Diện tích của D được tính theo công thức Zb |f (x) − g(x)| dx. S= a  Chọn đáp án B π Z4 cos Câu 910. Tính tích phân I = π  − x dx. 2 0 √ 1− 2 A. I = √ . 2 Lời giải. B. I = 1 − √ √ 2. C. I = 2−1 √ . 2 D. I = √ 2 − 1. Ta có π π Z4 I= cos π 2  Z4 − x dx = 0 π 4 sin x dx = − cos x 0 0 √ 2 =1− = 2 √ 2−1 √ . 2  Chọn đáp án C Z2 Câu 911. Biết Å ã 3x + 1 ln b dx = ln a + với a, b, c là các số nguyên dương và c ≤ 4. Tính 3x2 + x ln x c 1 tổng T = a + b + c. A. T = 7. B. T = 6. C. T = 8. D. T = 9. Lời giải.  du = dx x Đặt u = ln x ⇒  u x=e . Với x = 1 ⇒ u = 0 và x = 2 ⇒ u = ln 2. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 311 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có Z2 3x + 1 dx = 2 3x + x ln x 1 Zln 2 3eu + 1 du 3eu + u 0 Zln 2 = d (3eu + u) = ln x 3eu + u 0 6+ln 2 3 Å ã ln 2 = ln (6 + ln 2) − ln 3 = ln 2 + . 3 Khi đó a = 2; b = 2; c = 3. Vậy T = a + b + c = 7.  Chọn đáp án A 1 . Biết f (3)+f (−3) = 4 Câu 912. Cho hàm số f (x) xác định trên R{−1; 1} thỏa mãn f 0 (x) = 2 x −1 Å ã Å ã 1 1 và f +f − = 2. Tính giá trị của biểu thức T = f (−5) + f (0) + f (2). 3 3 1 1 1 1 B. T = 6 − ln 2. C. T = 5 + ln 2. D. T = 6 + ln 2. A. T = 5 − ln 2. 2 2 2 2 Lời giải. Z Å Z ã 1 1 1 1 x−1 1 dx = − dx = ln Ta có + C. 2 x −1 2 x−1 x+1 2 x+1 Do hàm số f (x) liên tục trên các khoảng (−∞; −1), (−1; 1), (1; +∞) nên  1 x−1   ln + C1 khi x ∈ (1; +∞),    2 x+1   1 x−1 ln f (x) = + C2 khi x ∈ (−∞; −1),  2 x+1     1 x−1   + C3 khi x ∈ (−1; 1).  ln 2 x+1 Theo đề bài ta có 1 ln 2 + C2 , 2 1 1 f (3) = ln + C1 . 2 2 f (−3) = Mà f (3) + f (−3) = 4 ⇔ C1 + C2 = 4. (1) Tương tự Å ã Å ã 1 1 f +f − = 2 ⇔ 2C3 = 2 ⇔ C3 = 1. 3 3  1 3  f (−5) = ln + C2   2 2  1 1 Ta có f (0) = 1 ⇒ f (−5) + f (0) + f (2) = ln + 1 + C1 + C2 .  2 2    f (2) = 1 ln 1 + C1 2 3 1 1 Từ (1) suy ra f (−5) + f (0) + f (2) = − ln 2 + 1 + C1 + C2 = − ln 2 + 5. 2 2 Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 312  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 913. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn f (0) = 0. Biết Z1 Z1 Z1 9 πx 3π f 2 (x) dx = và f 0 (x) cos dx = . Tính tích phân I = f (x) dx. 2 2 4 0 0 0 1 4 A. I = . B. I = . π π Lời giải.   u = cos πx du = − π sin πx dx 2 2 2 Đặt ⇒ dv = f 0 (x) dx v = f (x). Khi đó Z1 f 0 (x) cos 6 C. I = . π D. I = 2 . π πx 3π dx = 2 4 0 πx ⇔ f (x) cos 2 Z1 ⇔ f (x) sin Z1 1 + 0 π πx 3π · f (x) sin dx = 2 2 4 0 πx 3 dx = . 2 2 0 Mặt khác Z1  Z1 Å ã 1 πx 2 1 1 − cos πx x − sin πx sin dx = dx = 2 2 2 π 0 0 1 0 1 = . 2 Ta có Z1 f 2 (x) dx − 2 0 Z1 ⇔ Z1 πx f (x) · 3 sin dx + 9 2 0 Z1  sin πx 2 dx = 0 2 0  πx 2 f (x) − 3 sin dx = 0 2 0 ⇔ f (x) = 3 sin Z1 Z1 f (x) dx = Vậy 0 πx . 2 6 πx πx 3 sin dx = − cos 2 π 2 0 1 = 0 6 . π  Chọn đáp án C Câu 914. Gọi tam giác cong (OAB) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm y số y = 2x2 , y = 3 − x, y = 0 (hình vẽ bên). Tính diện tích S của (OAB). 8 4 5 10 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 3 3 3 3 3 A B O 3 x Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 313 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Xét phương trình hoành độ giao điểm y  x=1 2 2  2x = 3 − x ⇔ 2x + x − 3 = 0 ⇔ 3 x=− . 2 3 A Z1 Ta có SOAB = 2x2 dx + 0 Z3 1 1 Å ã x2 2 3 (3 − x) dx = x + 3x − 3 0 2 3 1 8 = . 3 B O 1 3 x  Chọn đáp án A Câu 915. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường |y| = 1 − x2 là 8 4 B. 2. C. . A. . 3 3 Lời giải. Hình phẳng ( y = 1 − x2 y = −1 + x2 đã cho được giới hạn bởi các , với − 1 ≤ x ≤ 1 nên có diện tích là , với − 1 ≤ x ≤ 1 Z1 S= Å ã 2x3 2(1 − x ) dx = 2x − 3 2 1 −1 D. 1. đường y −1 8 = . 3 O 1 x −1  Chọn đáp án C π Z2 |sin x| dx. Khi đó Câu 916. Đặt I = −π 2 1 A. I = . 2 Lời giải. Ta có B. I = 1. C. I = 0. D. I = 2. π π Z0 Z2 |sin x| dx = − I = −π 2 0 = cos x − cos x −π 2 Z2 sin x dx + −π 2 π 2 sin x dx 0 = 2. 0  Chọn đáp án D Câu 917. Gọi D là phần mặt phẳng giới hạn bởi các đường x = −1, y = 0, y = x3 . Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay D quanh trục Ox bằng 2π π π π A. . B. . C. . D. . 7 8 7 6 Lời giải. Ta có x3 = 0 ⇔ x = 0, nên thể tích khối tròn xoay cần tìm là Z0 V =π x6 dx = πx7 7 0 −1 = π . 7 −1  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 314 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 π Z2 sin x dx. 1 + x2 Câu 918. Tính I = −π 2 A. I = 1 B. I = . 2 π . 4 Lời giải. Đặt x = −t ⇒ dx = −dt. Khi x = − −π π Z2 Z2 − sin t dt = − 1 + t2 Suy ra I = − π 2 C. I = 0. D. I = 1. π π π π thì t = và khi x = thì t = − . 2 2 2 2 sin t dt = −I, dẫn tới I = 0. 1 + t2 −π 2  Chọn đáp án C Câu 919. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R; a, b, c ∈ R thoả mãn a < c < b. Phát biểu nào sau đây là sai? A. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng Zb x = a, x = b là S = |f (x)| dx. a B. Thể tích vật thể tròn xoay tạo nên khi quay phần mặt phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số Zb y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là V = [f (x)]2 d(πx). a Zb Zb |f (x)| dx = C. a a Zb Zc a Zc f (x) dx − f (x) dx = D. f (x) dx . a f (x) dx. b Lời giải. Chọn f (x) = 2x, a = −1, b = 1 thì ta có Zb Z1 |f (x)| dx = |2x| dx = − −1 a Zb 2x dx + 2x dx = x 2 2x dx = −x2 0 −1 + x2 1 =2 0 0 Zb 1 −1 =0⇒ −1 a Zb Z1 −1 Z1 f (x) dx = và f (x) dx = 0. a Zb |f (x)| dx 6= Khi đó Z0 a f (x) dx . a  Chọn đáp án C Câu 920. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f (x) = e1−4x . 1 A. y = e1−4x . B. y = −4e1−4x . C. y = e1−4x . 4 Lời giải. Z 1 Ta có e1−4x dx = − e1−4x + C. 4 Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 315 1 D. y = − e1−4x . 4  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 921. Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f (x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và các đường thẳng x = a, x = b (a < b). Diện tích hình phẳng (H) được tính theo công thức nào dưới đây? Zb Zb |f (x) − g(x)| dx. A. S = π B. S = π a a Zb Zb |f (x) − g(x)| dx. C. S = f 2 (x) − g 2 (x) dx. D. S = a f 2 (x) − g 2 (x) dx. a Lời giải.  Chọn đáp án C Z2 Å Câu 922. Tính tích phân I = 2 1 − 2 x x ã dx. 1 1 C. I = 2 ln 2 + . 2 1 B. I = 2 ln 2 − . 2 A. I = 1. 1 D. I = 2e − . 2 Lời giải. Z2 Å Ta có I = 2 1 − 2 x x ã Å ã 1 dx = 2 ln |x| + x 2 1 1 = 2 ln 2 − . 2 1  Chọn đáp án B Z Câu 923. Biết 2x + 2 1 + p ln |2x + 1| + C với m, n, p là các số hữu tỉ. Tổng 2 dx = mx + n (2x + 1) m + n + p bằng 11 13 13 11 B. . C. . D. − . A. − . 2 2 2 2 Lời giải. å Z Z Ç 2x + 2 1 1 1 1 Ta có + + ln |2x + 1| + C. dx = − 2 dx = 2 2x + 1 (2x + 1) 4x + 2 2 (2x + 1) 1 11 Vậy suy ra m = −4, m = −2, p = nên m + n + p = − . 2 2 Chọn đáp án A Câu 924. Diện tích hình phẳng được tô đậm ở hình bên bằng 8 11 7 10 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3  y 2 y= √ x y =x−2 O 2 4 x Lời giải. Z4 Ta có diện tích phần tô đậm bằng √ Z4 x dx − 0 2 √ 4 10 (x − 2) dx = x x − 2 = . 3 3 0 2  Chọn đáp án D Câu 925. Cho hàm số y = f (x) = ( 2 3x với x ≤ 1 . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi 4 − x với x > 1 quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 316 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ quanh trục hoành bằng 29 A. . 4 Lời giải. B. Chương 3-Giải tích 12 29π . 4 C. 122 . 15 D. Hình phẳng chính là phần tô đậm trong hình bên. Từ đó suy ra thể y tích khối tròn xoay cần tìm là Z1 3 Z2 4 9x dx + π V =π 122π . 15 0 (4 − x)2 dx = 2 122π 15 1 1 O 2 4 x  Chọn đáp án D Câu 926. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R, thoả mãn cot x · f 0 (x) + f (x) = 2cos3 x với √ π  9 2 mọi x 6= kπ và f = . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 4 4 π  π  π  π  A. f ∈ (1; 4). B. f ∈ (6; 10). C. f ∈ (3; 5). D. f ∈ (4; 8). 3 3 3 3 Lời giải. Từ giả thiết ta có ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ cos x · f 0 (x) + sin x · f (x) = 2 cos3 x · sin x cos x · f 0 (x) + sin x · f (x) = 2 sin x · cos x cos2 x Å ã f (x) 0 = sin 2x cos x Z f (x) = sin 2x dx cos x 1 f (x) = − cos 2x · cos x + C · cos x. 2 √ 9 2 9 1 9 Do f = nên ta có C = và f (x) = − cos 2x · cos x + · cos x. 4 2 2 2 4π  19 Từ đó ta có f = = 2, 375 ∈ (1; 4). 3 8 Chọn đáp án A π   Câu 927. Cho phần vật thể (=) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x = 0 và x = 2. Cắt phần vật thể (=) bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ 2), ta được √ thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng x 2 − x. Tính thể tích V của phần vật thể (=). √ √ 3 B. V = . C. V = 4 3. 3 √ x2 (2 − x) 3 Diện tích thiết diện: S4 = . 4 √ √ Z2 √ Å Z2 2 ã x (2 − x) 3 3 3 2 3 1 4 2 V= = dx = x (2 − x) dx = x − x 4 4 4 3 4 4 A. V = . 3 Lời giải. 0 0 D. V = √ 2 = 0 √ 3. 3 . 3  Chọn đáp án B Câu 928. Cho bốn mệnh đề sau Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 317 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z I. Z II. cos2 x dx = Chương 3-Giải tích 12 cos3 x + C. 3 3x dx = 3x · ln 3 + C. xα+1 + C với α ∈ R. α+1 IV. Nếu F (x), G(x) là các nguyên hàm của f (x) thì F (x) = G(x). Z III. xα dx = Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai? A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. Lời giải. Ta lần lượt xét 4 mệnh đề Z đã cho Z Å ã 1 + cos 2x 1 sin 2x 2 dx = x+ + C. Mệnh đề (I) sai vì cos x dx = 2 2 2 Z 3x Mệnh đề (II) sai vì 3x dx = + C. ln 3 Mệnh đề (III) sai vì thiếu điều kiện α 6= −1. Mệnh đề (IV) sai vì nguyên hàm của hàm số f (x) là có một họ nguyên hàm, chúng sai khác nhau một hằng số. Vậy có 4 mệnh đề SAI.  Chọn đáp án C Câu 929. Cho hàm số f (x) có nguyên hàm trên R. Xét các mệnh đề: π Z2 Z1 I. sin 2x.f (sin x) dx = 2 xf (x) dx. 0 Z1 II. 0 x f (e ) dx = ex Ze f (x) dx. x2 1 0 Mệnh đề đúng là A. Chỉ I đúng. B. Cả I, II đúng. C. Cả I, II sai. D. Chỉ II đúng. Lời giải. π π Z2 Z2 sin 2x.f (sin x) dx = Xét mệnh đề I. 0 2 sin x cos x.f (sin x) dx. 0 Đặt t = sin x ⇒ dt = cos x dx. π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 1. Từ đó: 2 π Z2 Z1 Z1 sin 2x.f (sin x) dx = 2 tf (t) dt = 2 xf (x) dx. Vậy I đúng. 0 0 Z1 Xét mệnh đề II. 0 x f (e ) dx. ex 0 dt . t Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = e. Từ đó: Z1 Ze Ze f (ex ) f (t) f (x) dx = dt = dx. Vậy II đúng. ex t2 x2 x Đặt t = e ⇒ dt = ex dx ⇒ dx = 0 1 1 Do đó cả I, II đều đúng.  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 318 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Z2 Câu 930. Cho y = f (x) là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn [−6; 6]. Biết rằng f (x) dx = 8 và −1 Z3 Z6 f (−2x) dx = 3. Tính f (x) dx. −1 1 A. I = 11. B. I = 5. C. I = 2. D. I = 14. Lời giải. Z3 Hàm số y = f (x) chẵn trên [−6; 6] nên f (−2x) = f (2x), do đó f (2x) dx = 3. 1 Đặt u = 2x ⇒ du = 2dx, đổi cận: x = 1 ⇒ u = 2, x = 2 ⇒ u = 6; lúc này được Z3 1 f (2x) dx = 2 Z6 Z2 −1 f (x) dx = 14. f (x) dx + f (x) dx = Vậy f (u) du = 3. 2 1 Z6 Z6 −1 2  Chọn đáp án D Câu 931. Cho hàm số f (x) có đạo hàm không âm trên đoạn [0; 1] thỏa mãn (f (x))4 · (f 0 (x))2 · (x2 + 1) = 1 + (f (x))3 và f (x) > 0, ∀x ∈ [0; 1]. Biết f (0) = 2, hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây. 5 A. 2 < f (1) < . 2 Lời giải. B. 5 < f (1) < 3. 2 C. 3 < f (1) < 2. 2 7 D. 3 < f (1) < . 2 Ta có: 2 (f (x))4 · (f 0 (x)) · (x2 + 1) = 1 + (f (x))3 » √ ⇔ (f (x))2 · f 0 (x) · x2 + 1 = 1 + (f (x))3 (f (x))2 · f 0 (x) = » x2 + 1 1 + (f (x))3 Ä ä Z1 Z1 d 1 + (f (x))3 1 2 √ » dx = 2 3 x +1 2 1 + (f (x))3 0 0  Ä ä 1 2 » √ ln x + x2 + 1 = × 1 + (f (x))3 3 0 »  Ä ä √ 2 ln 1 + 2 = × 1 + (f (1))3 − 3 3 f (1) ≈ 2,605. ⇔ √ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 1 1 0  Chọn đáp án B Câu 932. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 319 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0 (x) trên R và đồ thị của hàm số f 0 (x) y cắt trục hoành tại điểm a, b, c, d (hình bên). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. f (c) > f (a) > f (b) > f (d). C. f (a) > f (b) > f (c) > f (d). B. f (a) > f (c) > f (d) > f (b). D. f (c) > f (a) > f (d) > f (b). a b c d x 0 Lời giải. Từ đồ thị của hàm số f 0 (x), ta có dấu của f 0 (x) và bảng biến thiên như hình sau. x −∞ a y0 + c b − 0 + 0 f (a) +∞ d − 0 + 0 f (c) y f (b) f (d) Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra f (a) và f (c) cùng lớn hơn f (b) và f (d). Gọi S1 là diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), y = 0, x = a, x = b. S2 là diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), y = 0, x = b, x = c. S3 là diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), y = 0, x = c, x = d. Từ đồ thị ta thấy Za Zc 0 S1 < S2 ⇒ f (x) dx < f 0 (x) dx ⇒ f (a) − f (b) < f (c) − f (b) ⇒ f (a) < f (c). b Zc S2 < S3 ⇒ b f 0 (x) dx < b Zc f 0 (x) dx ⇒ f (c) − f (b) < f (c) − f (d) ⇒ f (b) > f (d). d Vậy ta có f (c) > f (a) > f (b) > f (d).  Chọn đáp án A Câu 933. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x(x + 1). A. x(x + 1) + C. C. x3 + x2 + C. B. 2x + 1 + C. D. x3 x 2 + + C. 3 2 Lời giải. Z Z x3 x2 2 + + C. Ta có x(x + 1) dx = (x + x) dx = 3 2 Chọn đáp án D  Câu 934. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = √ x, x = 0, x = 1 và trục hoành Ox. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh bởi hình (H) quay quanh trục Ox. √ π π A. . B. . C. π. D. π. 3 2 Lời giải. Z1 1 √ 2 x2 1 Thể tích V = π x dx = π · = π. 2 0 2 0  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 320 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 Câu 935. Tính Chương 3-Giải tích 12 e−x dx. 0 1 A. − + 1. e Lời giải. Z1 Ta có e−x dx = −e−x B. 1. 1 0 0 C. 1 . e 1 D. −1 + . e 1 = −e−1 + e0 = − + 1. e  Chọn đáp án A Câu 936. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]. Diện tích S của miền hình phẳng (miền gạch chéo trong hình vẽ bên) được tính bởi công thức Zb Zc A. S = f (x) dx + f (x) dx. a b Zb Zc f (x) dx − B. S = a y y = f (x) f (x) dx. a b Zb f (x) dx − C. S = − a b Zc f (x) dx + a c b x f (x) dx. Zb D. S = − O Zc f (x) dx. b Lời giải. Nhận thấy, f (x) 6 0, ∀x ∈ [a; b] và f (x) > 0, ∀x ∈ [b; c]. Do đó, diện tích miền gạch chéo là Zc Zb f (x) dx = − S= a Zc f (x) dx + a f (x) dx. b  Chọn đáp án D Câu 937. √ Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2 3 2 x và 2 y x + y 2 = 1 (phần gạch chéo trong 4 hình vẽ). Diện tích của (H) bằng √ √ 2π + 3 2π π+ 3 3π A. . B. . C. . D. . 6 3 4 4 đường elip có phương trình −1 O 1 x Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của nửa trên elip và parabol là  2 √ x =1 2 3 2 x x = 1− ⇔ 3×4 + x2 − 4 ⇔  4 ⇔ x = ±1. 2 4 x2 = − 3 Vì hình phẳng (H) đối xứng qua trục tung nên diện tích (H) là Z1 S=2 ! √ Z1 √ Z1 √ x2 3 2 3 2 2 1− − x dx = 4 − x dx − 2 x dx. 4 2 2 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 0 321 0 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ √ Z1 √ 3 2 3 3 Ta có x dx = x 2 6 0 1 0 Chương 3-Giải tích 12 √ 3 = . 6 Đặt x = 2 sin t ⇒ dx = 2 cos t dt. Khi đó, π π Z1 √ Z6 p Z6 2 2 4 − x dx = 2 4 − 4 sin t cos t dt = 2 (1 + cos 2t) dt = (2t + sin 2t) 0 0 π 6 0 0 √ π 3 = + . 3 2 √ √ √ 2π + 3 π 3 3 −2· = . Vậy S = + 3 2 6 6 Chọn đáp án A Z1 ï Câu 938. Cho x ln (x + 2) +  ò 1 a2 ln 2 − bc ln 3 + c dx = , với a, b, c ∈ N. Tính T = a + b + x+2 4 0 c. A. T = 13. B. T = 15. C. T = 17. D. T = 11. Lời giải. Z1 ï Ta có I = x ln (x + 2) + Z1 Z1 ò x 1 dx = x ln (x + 2) dx + dx. x+2 x+2 0 0 0 Z1 Z1 Å dx = 1− 1 ã 2 dx = (x − 2 ln |x + 2|) = 1 − 2 ln 3 + 2 ln 2. x+2 0 0 0  1 (  dx du = u = ln (x + 2) x+2 ⇒ . Tích phân thứ 1, đặt 2  dv = x dx v = x − 2 2 Ta có Z1 Z1 1 x2 − 4 x−2 · ln (x + 2) − dx x ln (x + 2) dx = 2 2 0 0 0 ï 2 ò 1 x2 3 x −4 3 = · ln (x + 2) − +x = − ln 3 + 2 ln 2 + . 2 4 2 4 0 Tích phân thứ 2, x x+2 7 7 16 ln 2 − 14 ln 3 + 7 Suy ra, I = − ln 3 + 4 ln 2 + = ⇒ a = 4, b = 2, c = 7. Vậy T = 13. 2 4 4 Chọn đáp án A  Câu 939. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Biết f (1) = e và (x + 2)f (x) = xf 0 (x) − x3 , ∀x ∈ R. Tính f (2). A. 4e2 + 4e − 4. B. 4e2 − 2e + 1. C. 2e3 − 2e + 2. D. 4e2 − 4e + 2. Lời giải. Ta có x+2 f (x) = x2 . x g 0 (x) x+2 1 =− ⇒ ln g(x) = −x − 2 ln x ⇒ g(x) = e−x−2 ln x = x 2 . Đặt g(x) x e ·x Từ (1), suy ra ï ò 1 f (x) 0 f (x) 0 0 f (x)g(x) + f (x)g (x) = x ⇔ = e−x ⇔ x 2 = −e−x + C. x 2 e e ·x e ·x (x + 2)f (x) = xf 0 (x) − x3 ⇔ f 0 (x) − Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 322 (1) https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 e 1 Mà f (1) = e ⇒ = −e−1 + C ⇔ C = 1 + . e Å e ã 1 −x x 2 Vậy, f (x) = 1 + − e e · x ⇒ f (2) = 4e2 + 4e − 4. e Chọn đáp án A  Z1 Câu 940. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] và thỏa mãn f (1) = 0; [f 0 (x)]2 dx = 0 Z1 2 (x + 1)ex f (x) dx = e −1 . Tính 4 0 Z1 f (x) dx. 0 e e−1 e2 A. . B. . C. . D. 2 − e. 2 2 4 Lời giải. ( ( u = f (x) du = f 0 (x) dx Đặt ⇒ . dv = (x + 1)ex dx v = xex Z1 Z1 1 e2 − 1 e2 − 1 x 0 x Khi đó = x.e f (x) − x.e f (x) dx ⇒ x.ex f 0 (x) dx = − . 4 4 0 0 Z1 0 Z1 x 2 [f (x) + xe ] dx = Xét 0 0 0 Z1 2 x · e f (x) dx + [f (x)] dx + 2 0 0 ⇒ f 0 (x) = −xex ⇒ f (x) = − Z x2 e2x dx = 0. 0 x x xe dx = (1 − x)e + C. Mà f (1) = 0 nên C = 0. Z1 Z1 Do đó f (x) dx = (1 − x) ex dx = (2 − x)ex 0 Z1 x 0 1 = 2 − e. 0 0  Chọn đáp án D Câu 941. Một ô tô đang chuyển động đều với vận tốc 15 m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái xe đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc −a (m/s2 ) , (a > 0). Biết ô tô chuyển động được 20m nữa thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây? A. (3; 4). B. (4; 5). C. (5; 6). D. (6; 7). Lời giải. Chọn gốc thời gian t = 0 tại lúc ôtô bắt đầu đạp phanh. Zt Vận tốc v(t) − v(0) = −a dt ⇒ v(t) = −at + 15. 0 Zt (−at + 15) dt = Quãng đường s(t) = Ta có ( v(t) = 0 s(t) = 20 −at2 + 15t. 2 0 .⇒   − at + 15 = 0 8 15.3 45 ⇒t= ⇒a= = ∈ (5; 6). 2 −at  3 8 8  + 15t = 20 2  Chọn đáp án C Câu 942. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xex , trục hoành, hai đường thẳng x = −2; x = 3 có công thức tính là Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 323 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z3 A. S = Z3 xex dx. Z3 |xex | dx. B. S = −2 Chương 3-Giải tích 12 C. S = xex dx . Z3 D. S = π −2 −2 −2 xex dx. Lời giải. Z3 Theo công thức tính diện tích hình phẳng ta có S = |xex | dx. −2  Chọn đáp án B Câu 943. Cho hàm số f (x) liên tục trên [−1; 1] và f (−x) + 2018f (x) = ex ∀x ∈ [−1; 1]. Tính Z1 f (x) dx. −1 e2 − 1 . 2018e Lời giải. e2 − 1 . e B. A. C. e2 − 1 . 2019e D. 0. Ta có f (−x) + 2018f (x) = ex Z1 Z1 ⇒ [f (−x) + 2018f (x)]dx = ex dx −1 Z1 ⇒ −1 Z1 f (−x)dx + 2018 −1 Z1 f (x)dx = −1 −1 Z1 Đặt t = −x ⇒ ex dx. Z1 f (−x)dx = −1 Z1 f (t) dt = −1 Z1 f (x)dx = e − Do đó ta có 2019 f (x)dx. −1 1 ⇒ e −1 Z1 f (x)dx = e2 − 1 . 2019 · e −1  Chọn đáp án C Câu 944. Tìm họ nguyên F (x) của hàm số y = f (x) = sin 2x + 2x. cos 2x cos 2x A. F (x) = + x2 + C . B. F (x) = − + x2 + C. 2 2 C. F (x) = cos 2x + 2 + C. D. F (x) = − cos 2x + x2 + C. Lời Z giải. Z Z cos 2x (sin 2x + 2x) dx = sin 2x dx + 2x dx = − + x2 + C. 2 Chọn đáp án B Z2 Câu 945. Cho x ln(x + 1)2017 dx =  a a ln 3, ( là phân số tối giản, b > 0). Tính S = a − b. b b 0 A. 6049. B. 6053. C. 1. D. 5. Lời giải. Z2 Z2 2017 Ta có x ln(x + 1) dx = 2017 x ln(x + 1) dx = 2017 · I. 0 Đặt ( u = ln(x + 1) dv = x dx 0 ⇒   du = 1 dx x+1 2  v = x 2 . Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 324 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Khi đó 2 x2 1 I = ln(x + 1) − 2 2 0 Z2 x2 dx x+1 0 Z2 2 x2 1 1 = ln(x + 1) − (x − 1 + ) dx 2 2 x+1 0 0 Å 2 ãò ï 2 1 x x ln(x + 1) − − x + ln(x + 1) = 2 2 2 3 = ln 3. 2 Z2 Do đó x ln (x + 1)2017 dx = 2017 · 2 0 3 6051 ln 3 = ln 3 ⇒ a = 6051; b = 2; a − b = 6049. 2 2 0  Chọn đáp án A Z3 Câu 946. Cho (x + 6)2017 a2018 − 32018 . Tính a. dx = x2019 6 · 2018 1 A. 7. B. 9. C. 6. D. 8. Lời giải. Z3 Ta có I = (x + 6)2017 dx = x2019 Z3 (x + 6)2017 1 · 2 dx = x2017 x 1 1 Z3 Å ã 6 2017 1 1+ · 2 dx. x x 1 6 1 Đặt t = 1 + ⇒ nếu x = 1 thì t = 7; nếu x = 3 thì t = 3; dt = − 2 dx. x 6x Z7 2018 2018 1 7 −3 Khi đó I = ⇒ a = 7. t2017 dt = 6 6 · 2018 3  Chọn đáp án A Câu 947. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số y = (m − 3) x4 + √ (m + 3) x2 + m + 1 có 3 điểm cực trị? A. 5. B. 4. C. 3. D. Vô số. Lời giải. Hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ y 0 = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ 4×3 (m − 3) + 2x (m + 3) = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Ta có: 4×3 (m − 3) + 2x (m + 3) = 0 (1). ” x=0 ⇔ x [4×2 (m − 3) + 2 (m + 3)] = 0 ⇔ 4×2 (m − 3) + 2 (m + 3) = 0 (2)   m 6= 3 (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ −2 (m + 3)  >0  4 (m − 3) m < 3. ⇔ −3 < Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Cách tính nhanh: Hàm số bậc 4 có 3 cực trị ⇔ a · b < 0 ⇔ (m − 3) (m + 3) < 0 ⇔ −3 < m < 3.  Chọn đáp án A Câu 948. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 325 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Cho hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các số thực, y có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để 4 2 phương trình f (ex ) = m có ba nghiệm phân biệt ? A. 3. B. Vô số. C. 1. D. 2. 1 1 O 3 x Lời giải. 2 Đặt u = ex , vì x2 ≥ 0 nên u ≥ 1. 2 Khi đó phương trình: f (ex ) = m trở thành phương trình f (u) = m với u ≥ 1. 2 Nhận xét: phương trình u = ex có hai nghiệm phân biệt nếu u > 1, có 1 nghiệm nếu u = 1 và vô nghiệm nếu u < 1. 2 Vậy để phương trình f (ex ) = m có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình f (u) = m có một nghiệm bằng 1 và một nghiệm lớn hơn 1. Dựa vào đồ thị hàm số suy ra chỉ có m = 1 thỏa mãn.  Chọn đáp án C Câu 949. Một cốc đựng nước dạng hình trụ có chiều cao 15 cm đường kính đáy 8 cm và có mực nước trong cốc là 12 cm. Thả vào cốc nước 3 viên bi có cùng bán kính bằng 2 cm. Hỏi nước dâng cao cách mép cốc bao nhiêu ? A. 1,5. B. 15. C. 1. D. 12,5. Lời giải. 4 · π · 23 = 32π cm3 . 3 Gọi h là chiều cao tăng thêm của mực nước khi cho 3 viên bi vào. Tổng thể tích của 3 viên bi là V = 3 · Ta có: π · 42 · h = 32π ⇔ h = 2 cm. Do đó nước dâng cao cách mép cốc là 15 − (12 + 2) = 1 cm.  Chọn đáp án C Câu 950. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = mx + 9 nghịch biến trên x+m khoảng (1; +∞)? A. 5. B. 3. C. 4. D. 2. Lời giải. Tập xác định: D = R {−m}. m2 − 9 . Ta có y 0 = (x + m)2 Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞) ⇔ ( 0 y <0 −m∈ / (1; +∞) ⇔ ( 2 m −9<0 m ≥ −1 ⇔ −1 ≤ m ≤ 3. Do đó có 4 giá trị nguyên của m là −1; 0; 1; 2.  Chọn đáp án C Câu 951. Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (2) = − 4 và f 0 (x) = x3 f 2 (x), ∀x ∈ R. Giá trị của f (1) 9 bằng 2 A. − . 3 Lời giải. 1 B. − . 2 C. −1. 3 D. − . 4 Cách 1: Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 326 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 f 0 (x) = x3 . f 2 (x) Z2 0 Z2 Å ã 2 Å 4ã f (x) 1 x 3 Khi đó ta có x dx ⇔ − dx = = f 2 (x) f (x) 1 4 Từ điều kiện bài toán ta có: f 0 (x) = x3 f 2 (x) ⇔ 1 2 ⇔ 1 1 1 1 15 − = . f (1) f (2) 4 4 1 15 19 Do f (2) = − ⇒ = − = −1 ⇒ f (1) = −1. 9 f (1) 4 4 Vậy f (1) = −1. Cách 2: f 0 (x) Từ điều kiện bài toán ta có: f 0 (x) = x3 f 2 (x) ⇔ 2 = x3 . f (x) Z Z 0 f (x) −1 x4 3 dx = x dx ⇒ = + C. Ta có f 2 (x) f (x) 4 4 3 −4 Vì f (2) = − ⇒ C = ⇒ f (x) = 4 . 9 4 x +3 Vậy f (1) = −1.    x = 1 + 2t   x−3 y−2 Câu 952. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 : y = 2 + t và ∆2 : = =  −1 2   z = −2 − t z+3 . Gọi d là đường thẳng qua A(−1; 0; −1) cắt đường thẳng ∆1 và tạo với đường thẳng ∆2 một 2 góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là y z+1 x+1 y z+1 x+1 = = . B. = = . A. 2 2 −1 2 2 1 x+1 y z+1 x+1 y z+1 C. = = . D. = = . 2 1 2 2 −1 2 Lời giải. Chọn đáp án C Gọi M = d ∩ ∆1 ⇒ tọa độ M (1 + 2t; 2 + t; −2 − t). # » Ta có AM = (2 + 2t; 2 + t; −1 − t). Đường thẳng ∆2 có véc tơ chỉ phương là #» a = (−1; 2; 2). # » #» |AM · a | | − 2t| Khi đó cos(d; ∆2 ) = # » #» = √ . 3 6t2 + 14t + 9 |AM | · | a | Dễ nhận thấy d tạo với ∆2 một góc lớn nhất ⇔ t = 0. # » Khi đó d đi qua A(−1; 0; −1) và có véc tơ chỉ phương AM = (2; 2; −2) . y z+1 x+1 = = . Vậy phương trình đường thẳng d là 2 2 −1 Chọn đáp án A  Câu 953. Với a, b là hai số thực khác 0 tùy ý, ln (a2 b4 ) bằng A. 2 ln |a| + 4 ln |b|. B. 4(ln |a| + ln |b|). C. 2 ln a + 4 ln b. D. 4 ln a + 2 ln b. Lời giải. Ta có: ln (a2 b4 ) = ln a2 + ln b4 = 2 ln |a| + 4 ln |b|.  Chọn đáp án A Câu 954. Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k ≤ n, mệnh đề nào dưới đây đúng? n! n! n! A. Akn = . B. Akn = . C. Akn = n!. D. Akn = . (n − k)! k! k!(n + k)! Lời giải. n! Ta có Akn = . (n − k)! Chọn đáp án A  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 327 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 955. Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và diện tích toàn phần bằng 3πa2 . Độ dài đường sinh l của hình nón bằng: √ B. l = a 3. A. l = 4a. C. l = 2a. D. l = a. Lời giải. Ta có: Stp = πrl + πr2 ⇔ 3πa2 = π · al + πa2 ⇔ 2πa2 = πal ⇔ l = 2a.  Chọn đáp án C Câu 956. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây? 4 y 3 2 1 −2 −1 O 1 2 x −1 A. y = −x4 − 2x2 + 3. B. y = x4 + 2x2 − 3. C. y = −x4 + 2x2 + 3. D. y = −x2 + 3. Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy limx→+∞ y = −∞ ⇒ Loại đáp án B. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành " 2 độ 1 và −1 nên chọn đáp án A vì: x =1 Phương trình hoành độ giao điểm −x4 − 2x2 + 3 = 0 ⇔ ⇔ x = ±1. x2 = −3  Chọn đáp án A Câu 957. Mặt cầu bán kính a có diện tích bằng. 4 A. πa2 . B. πa2 . 3 Lời giải. C. 4πa2 . D. 4 3 πa . 3 Diện tích mặt cầu bán kính a là S = 4πa2 .  Chọn đáp án C Câu 958. Cho khối lăng trụ ABCA0 B 0 C 0 có diện tích đáy ABC bằng S và chiều cao bằng h. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng: 1 A. 2Sh. B. Sh. 3 Lời giải. C. 2 Sh. 3 D. Sh. Thể tích khối lăng trụ có chiều cao h và diện tích đáy bằng S là V = S · h.  Chọn đáp án D Câu 959. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 328 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ −∞ x Chương 3-Giải tích 12 −1 f 0 (x) − 0 0 + +∞ 0 +∞ 1 − 0 + +∞ −3 f (x) −4 −4 Hàm số đạt cực trị tại điểm x0 B. −4. A. 0. D. −3. C. 1. Lời giải. Dựa vào BBT ta thấy hàm số y = f (x) đạt cực đại tại điểm x = 0. Chú ý: Không kết luận hàm số y = f (x) đạt cực đại tại điểm x = −3.  Chọn đáp án A Câu 960. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây. y 1 x O 1 A. y = ln x. e B. y = −ex . C. y = | ln x|. D. y = ex . Lời giải. Hàm số ψ = | ln x| và y = ex luôn nằm phía trên trục Ox, hàm số y = −ex luôn nằm phía dưới trục Ox, do đó loại các đáp án B, C, D.  Chọn đáp án A Câu 961. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên SB tạo với đáy một góc 45◦ . Thể tích khối chóp S.ABCD bằng. √ √ a3 2 a3 2 a3 A. . B. . C. . D. a3 . 3 6 3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 329 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 S A D ◦ 45 B C Lời giải. Ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ AB là hình chiếu của SB lên (ABCD). ⇒ ∠(SB; (ABCD)) = ∠(SB; AB) = ∠SBA = 45◦ (Do ∠SBA < 90◦ ) 1 1 a3 Xét tam giác vuông SAB ta có: SA = AB · tan 45◦ = a Vậy VS·ABCD = SA · SABCD = · a · a2 = 3 3 3 Chọn đáp án C  1√ Câu 962. Rút gọn biểu thức P = x 2 A. x4 . B. 8 x 5 x 16 . 5 C. x 8 . 1 D. x 16 . Lời giải. 1√ Ta có: P = x 2 8 1 1 1 1 5 x = x2 x8 = x2+8 = x8 .  Chọn đáp án C Câu 963. Cho khối tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng 2a. Thể tích khối tứ diện đã cho bằng: √ √ √ √ a3 2 a3 2 a3 2 2a3 2 A. . B. . C. . D. . 6 12 3 3 A B D G E C Lời giải. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD ⇒ AG ⊥ (BCD). Gọi E là trung √ điểm của CD. Do đó tam giác √ BCD đều có cạnh 2a. √ 2a 3 2 2a 3 ⇒ BE = = a 3 ⇒ BG = BE = 2 3 3 √ √ 2a 6 Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABG ta có AG = AB 2 − BG2 = 3 √ √ (2a)2 3 Tam giác BCD đều cạnh 2a ⇒ SBCD = = a2 3 A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 330 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 √ √ 1 1 2a 6 2 √ 2a3 2 Vậy VABCD = AG · SBCD = · ·a 3= 3 3 3 3 Chọn đáp án D  Câu 964. Tập hợp các điểm M trong không gian cách đường thẳng ∆ cố định một khoảng R không đổi (R > 0) là A. Hai đường thẳng song song. B. Một mặt cầu. C. Một mặt nón. D. Một mặt trụ. Lời giải. Tập hợp các điểm M trong không gian cách đường thẳng ∆ cố định một khoảng R không đổi (R > 0) là một mặt trụ.  Chọn đáp án D Câu 965. Số nghiệm thực của phương trình log3 (x2 − 3x + 9) = 2 bằng A. 3. B. 0. C. 1. D. 2. Lời giải. ” Ta có: log3 (x2 − 3x + 9) = 2 ⇔ x2 − 3x + 9 = 9 ⇔ x=0 . x=3 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.  Chọn đáp án D Câu 966. Cho cấp số cộng (un ) có số hạng đầu (u1 = 3) và công sai d = 2.Giá trị của u7 bằng A. 15. B. 17. C. 19. D. 13. Lời giải. Ta có: u7 = u1 + 6d = 3 + 6 · 2 = 15  Chọn đáp án A Câu 967. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [−3; 4] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [−3; 4] . Tính M + m . y 5 4 3 x −3 O A. 5. 1 3 4 B. 8. C. 7. D. 1. Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số ta dễ dàng suy ra được M = max[−3;4] f (x) = 5; m = min[−3;4] f (x) = 0 Vậy M + m = 5 + 0 = 5.  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 331 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 968. Hình bát diện đều có bao nhiêu đỉnh? A. 10. B. 8. C. 12. D. 6. Lời giải. Hình bát diện đều có 6 đỉnh.  Chọn đáp án D Câu 969. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x+1 tại điểm có hoành độ x0 = −1 có hệ số góc 2x − 3 bằng 1 B. − . C. −5. 5 Lời giải. ß ™ 1.(−3) − 1.2 3 −5 Tập xác định: D = R .Ta có:y 0 = = 2 2 (2x − 3) (2x − 3)2 A. 5. D. 1 . 5 Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 = −1 là y 0 (−1) = −5 = [2(−1) − 3]2 1 . 5 Chọn đáp án B −  Câu 970. Cho đường thẳng ∆. Xét một đường thẳng l cắt ∆ tại một điểm. Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng ∆ được gọi là: A. Mặt trụ. B. Mặt nón. C. Hình trụ. D. Hình nón. Lời giải. Cho đường thẳng ∆. Xét một đường thẳng l cắt ∆ tại một điểm. Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng ∆ được gọi là mặt nón.  Chọn đáp án B Câu 971. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Tồn tại một hình đa diện có số đỉnh bằng số mặt. B. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh gấp đôi số mặt. C. Số đỉnh của một hình đa diện bất kì luôn lớn hơn hoặc bằng 4. D. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số mặt. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 332 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Đáp án A đúng vì tứ diện có 4 đỉnh và 4 mặt. Đáp án B đúng vì hình lập phương có 12 cạnh và 6 mặt. Đáp án C đúng, khối đa diện có ít đỉnh nhất là khối tứ diện, có 4 đỉnh.  Chọn đáp án D Câu 972. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. y 1 −4 −3 −2 −1 O 1 2 x −1 −2 −3 −4 −5 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−1; +∞). B. 0; +∞. C. (−2; 0). D. (−4; +∞). Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (0; +∞).  Chọn đáp án B Câu 973. Giá trị còn lại của một chiếc xe ô tô loại M thuộc hàng xe Toyota sau r năm kể từ khi mua được các nhà kinh tế nghiên cứu và ước lượng bằng công thức G(t) = 600 · e−0,12t (triệu đồng). Ông A mua một chiếc xe ô tô loại X thuộc hãng xe đó từ khi xe mới xuất xưởng và muốn bán sau một thời gian sử dụng với giá từ 300 triệu đến 400 triệu đồng. Hỏi ông A phải bán trong khoảng thời gian nào gần nhất với kết quả dưới đây kể từ khi mua? A. Từ 2,4 năm đến 3,2 năm. B. Từ 3,4 năm đến 5,8 năm. C. Từ 3 năm đến 4 năm. D. Từ 4,2 năm đến 6,6 năm. Lời giải. Theo đề bài ta có: 300 ≤ G(t) = 600e−012t ≤ 400 ⇔ 3, 4 ≤ t ≤ 5, 8 1 2 1 2 ≤ e−0.12t ≤ ⇔ ln ≤ −0, 12t ≤ ln ⇔ 2 3 2 3 Vậy ông A phải bán trong khoảng thời gian từ 3,4 năm đến 5,8 năm.  Chọn đáp án B π Câu 974. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ [0; 2018] để bất phương trình m + e 2 ≥ √ 4 e2z + 1 có nghiệm với mọi x ∈ R ? A. 2016. B. 2017. C. 2018. D. 2019. Lời giải. π π √ Để bất phương trình m + e 2 ≥ 4 e2x + 1 = f (x) đúng với mọi x ∈ R ⇔ m + e 2 ≥ maxx∈R f (x) −3 √ 1 Xét hàm số f (x) = 4 e2x + 1ta cóf 0 (x) = (e2x + 1) 4 · 2e2x > 0∀x ∈ R. 4 BDT: Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 333 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 −∞ t +∞ f 0 (t) + +∞ f (t) −∞ π Dựa vào bảng biến thiên ta thấy BPT nghiệm đúng với mọi x ∈ R ⇔ m + e 2 > 1 ⇔ m > π 1 − e 2 ≈ −3, 81 Kết hợp với điều kiện đề bài ⇒ ( m ∈ [0; 2018] m∈Z ⇒ có 2019 giá trị của m thỏa mãn.  Chọn đáp án D Å Câu 975. Số hạng không chứa x trong khai triển A. 5. Lời giải. Ä√ Ta có 3 x + B. 35. 1 √ 4x ä7 = 7 P k=0 √ 3 1 x+ √ 4 x C. 45. ã7 bằng D. 7. 7 7 P √ 7−k Ä 1 äk P 7−k k − k4 k 7−k √ 3 x = Ck7 x 3 − 4 Ck7 ( 3 x) = C x 4x 7 k=0 k=0 7−k k 28 − 4k − 3k Số hạng không chứa x trong khải triển ứng với − =0⇔ =0⇔k=4 3 4 12 4 Vậy số hạng không chứa x trong khai triển trên là C7 = 35. Chọn đáp án B  x Câu 976. Cho hàm số y = 7 2 có đồ thị(C) . Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng với (C) qua đường thẳng có phương trình y = x . x 1 A. log7 x2 . B. log7 . C. y = log7 x. D. y = log√7 x. 2 2 Lời giải. x √ Ta có y = 7 2 = ( 7)x . Do đó hàm số có đồ thị đối xứng với (C) qua đường thẳng có phương trình y = x là y = log√7 x.  Chọn đáp án D Câu 977. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log5 (6 − 5x ) = 1 − x bằng A. 2. Lời giải. B. 1. C. 0. D. 6. ” Ta có:log5 (6 − 5x ) = 1 − x ⇔ 6 − 5x = 51−x = 5x = 5 ” x=1 5 x 2 x ⇔ (5 ) − 6 · 5 + 5 = 0 ⇔ ⇔ 5x 5x = 1 x=0 Vậy nghiệm của hệ phương trình là S = {0; 1}.  Chọn đáp án B  π x2 −x−9  π x−1 ≤ tan Câu 978. Tập nghiệm S của bất phương trình tan là: 7 √ √ √7 √ A. S = [−2 2; 2 2]. B. S = (−∞; −2 2] ∪ [2 2; +∞). D. (−∞; 2] ∪ [4; +∞). C. [−2; 4]. Lời giải. ”  x≥4 π x2 −x−9  π x−1 Ta có: tan ≤ tan ⇔ x2 − x − 9 ≥ x − 1 ⇔ x2 − 2x − 8 ≥ 0 ⇔ . 7 7 x≤2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (−∞; 2] ∪ [4; +∞)  Chọn đáp án D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 334 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 979. Cho hàm số y = f () có đạo hàm f 0 (x) = x2 (x − 1)(x + 2)3 (2 − x)∀x ∈ R . Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng A. 7. B. 2. C. 4. D. 3. Lời giải.  x=0  x = 1  0 2 3 Xét phương trình f (x) = 0 ⇔ x (x − 1)(x + 2) (2 − x) = 0 ⇔  . x = −2  x=2 Hàm số không đạt cực trị tại điểm x = 0 vì đó là nghiệm bội hai của phương trình f 0 (x) = 0 . Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.  Chọn đáp án D Câu 980. Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 6mx − 8 có đồ thị (C) . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−5; 5] để (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân? A. 8. B. 7. C. 9. D. 11. Lời giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm x3 − 3mx2 + 6mx − 8 = 0 ⇔ (x − 2) (x”2 + 2x + 4) − 3mx(x − 2) = 0 x=2 ⇔ (x − 2) [x2 + (2 − 3m)x + 4] = 0 ⇔ g(x) = x2 + (2 − 3m)x + 4 = 0 (1) Để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 2.  ” ( ( 2 ”  2  m>2 ∆ = (2 − 3m) − 16 > 0 9m − 12m − 12 > 0 m>2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ m < −2 3  m < −2 g(2) 6= 0 4 + 4 − 6m + 4 6= 0  3 m 6= 2 Giả ( sử x1 , x2 (x1 < x2 ) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (∗). Áp dụng định lí Vi-ét ta có: x1 + x2 = 3m − 2 x1 x2 = 4 2 TH1:  x21 ,x2 ,2 theo thứ tự lập thành cấp số nhân khi đó 2x1 = x2 x  (   2 + x2 = 3m − 2 x2 = 2 ⇒ 22 ⇔ ⇔ m = 2 (không thỏa mãn)  x2 4 = 3m − 2   x2 = 4 2 TH2: 2,x1 ,x2 theo thứ tự lập thành cấp số nhân, tương tự TH1 ta tìm được m = 2 (Không thỏa mãn). ï ã −2 Vậy kết hợp điều kiện đầu bài khi m ∈ −5; ∪ (2; 5] thì có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn 3 yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án A Câu 981. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 335 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ x −∞ y0 Chương 3-Giải tích 12 −2 − 0 −1 + + 0 +∞ −2 +∞ 0 − +∞ y −∞ −∞ 2 Số nghiệm thực của phương trình f (x) = 4 bằng A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải. Số nghiệm của phương trình f (x) = 4 là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng y = 4 song song với trục hoành. Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng y = 4 cắt đồ thị hàm số y = f (x) tại 2 điểm phân biệt. Vậy phương trình f (x) = 4 có 2 nghiệm phân biệt.  Chọn đáp án C 2 Câu 982. Cho log3 a = 5 và log3b = . Tính giá trị của biểu thức I = 2log6 [log5 (5a)] + log 1 b3 3 9 A. I = 3. B. I = −2. C. I = 1. D. I = log6 5 + 1. Lời giải. 3 3 2 Ta có: I = 2log6 [log5 (5a)] + log 1 b3 = 2log6 [1 + log5 a] − log3 b = 2log6 6 − · = 2 · 1 − 1 = 1 2 2 3 9 Chọn đáp án C  Câu 983. Người ta xếp bảy viên bi là các khối cầu có cùng bán kính R vào một cái lọ hình trụ. Biết rằng các viên bi đều tiếp xúc với hai đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với sáu viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Tính theo R thể tích lượng nước cần dùng để đổ đầy vào lọ sau khi đã xếp bi. 26πR3 28πR3 A. 6πR3 . B. . C. 18πR3 . D. . 3 3 Lời giải. Ta mô phỏng hình vẽ đáy của hình trụ như sau: Khi đó ta có Rht = 3R và chiều cao hình trụ chính bằng đường kính viên bi và h = 2 · R 2 ⇒ Vkt = πRkt h = π · (3R)2 .2R = 18πR3 4 28πR3 Thể tích 7 viên bi là 7 · πR3 = . Vậy thể tích lượng nước cần dùng để đổ đầy vào lọ sau khi 3 3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 336 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ đã xếp bi là 18πR3 − Chương 3-Giải tích 12 28πR3 26πR3 = . 3 3  Chọn đáp án B Câu 984. Hàm số f (x) = log3 (sinx) có đạo hàm là tan x cot x . B. f 0 (x) = . C. f 0 (x) = cot x ln 3. A. f 0 (x) = ln 3 ln 3 Lời giải. (sin x)0 cos x cot x Ta có: f 0 (x) = = = sin x ln 3 sin x ln 3 ln 3 Chọn đáp án A D. f 0 (x) = 1 . sin x ln 3  Câu 985. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. x −∞ f 0 (x) −1 − 0 0 + +∞ 0 +∞ 1 − 0 + +∞ 2 f (x) −1 1 Tập hợp tất cả các giátrị thực của tham số m để phương trình f (cos 2x) − 2m − 1 = 0 có nghiệm π π thuộc khoảng − ; là 3 4 Ç å √ ï ò Å ò Å ò 1 1 1 1 −2 + 2 1 A. 0; . B. 0; . C. ; . D. ; . 2 2 4 2 4 4 Lời giải. ã Å  π π 2π π ⇒ cos 2x ∈ [−1; 0) ⇒ 2x ∈ − ; Đặt t = cos 2x vì x ∈ − ; 3 4 3 2 ò Å 1 Phương trình trở thành f (t) = 2m + 1 có nghiệm thuộc − ; 1 2 Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f (t) và đường thẳng y = 2m + 1 song song với trục hoành. Å ò 1 Dựa vào BBT ta có để phương trình trở thành f (t) = 2m + 1 có nghiệm thuộc − ; 1 thì 1 ≤ 2 1 2m + 1 ≤ 2 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2 ï ò 1 Vậy m ∈ 0; . 2  Chọn đáp án A 2x + 1 có đồ thị (C) . Có bao nhiêu điểm M thuộc (C) có tung độ x−1 nguyên dương sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng 3 lần khoảng cách từ M đến tiệm Câu 986. Cho hàm số y = cận ngang của đồ thị (C) . A. 0. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải. TXĐ: D = R{1}. Đồ thị hàm số y = 2x + 1 có tiệm cận đứng là x = 1 ⇔ x − 1 = 0 (d1 ) và tiệm cận ngang x−1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 337 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 y=2⇔ Å y − 2 = 0 (d ã2 ). 3 2m + 1 2m + 1 Gọi M m; ∈ (C) ta có: d (M ; d1 ) = |m − 1|; d (M ; (d2 )) = −2 = m−1 m−1 |m − 1| Vì khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng 3lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang nên " m = 4 ⇒ M (4; 3)(tm) 9 d (M ; d1 ) = 3d (M ; (d2 )) ⇔ |m − 1| = ⇔ (m − 1)2 = 3 ⇔ |m − 1| m = −2 ⇒ M (−2; 1)(tm) Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án C Câu 987. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng (d) : y = −x+m √ −2x + 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB ≤ 2 2 . Tổng giá trị tất cả cắt đồ thị hàm số y = x+1 các phần tử của S bằng A. −6. B. 0. D. −27. C. 9. Lời giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm −2x + 1 −x + m = (x 6= −1) ⇔ −x2 − x + mx + m = −2x + 1 ⇔ x2 − (m + 1)x − m + 1 = 0 x+1 −2x + 1 tại hai điểm phân biệt A,B thì Để đường thẳng d : y = −x + m cắt đồ thị hàm số y = x+1 phương khác −1. ( trình2 (∗) có hai nghiệm phân ( biệt " √ 2 (m + 1) − 4(−m + 1) > 0 m + 6m − 3 > 0 m > −3 + 2 3 ⇔ ⇔ ⇔ √ . 1 + m + 1 − m + 1 6= 0 3 6= 0(luon dung) m < −3 − 2 3 Gọi A (xA ; −xA + m) ; B (xB ; −x ( B + m) khi đó xA , xB là hai nghiệm phân biệt của phương trình (∗). xA + xB = m + 1 Áp dụng định lý Vi-ét ta có: xA xB = −m + 1 î ó 2 Ta có: AB 2 = (xA − xB ) + (−xA + m + xB − m)2 = 2 (xA − xB )2 = 2 (xA + xB )2 − 4x1 x2 = 2 [(m + 1)2 − 4(−m(+ 1)] = 2 (m2 + 6m − 3) ≤ 8 ⇔ m2 + 6m − 3 ≤ 4 ⇔ −7 ≤ m ≤ 1. m∈Z Kết hợp điều kiện ⇒ √ √ m ∈ [−7; −3 − 2 3) ∪ (−3 + 2 3; 1] ⇔ S = {−7; 1}  Chọn đáp án A x+2 . Giá trị ( min y)2 + ( max y)2 . x∈[2;3] x∈[2;3] x−1 45 25 B. . C. . 4 4 Câu 988. Cho hàm số y = A. 16. D. 89 . 4 Lời giải. −3 TXĐ: D = R{1} Ta có: y 0 = < 0∀x ∈ D ⇒ Hàm số đã cho nghịch biến trên [2; 3]. (x − 1)2  5   min y = y(3) = 5 89 x∈[2;3] 2 ⇒ ⇒ ( min y)2 + ( max y)2 = ( )2 + 42 = .  x∈[2;3] x∈[2;3] 2 4  max y = 4 x∈[2;3]  Chọn đáp án D Câu 989. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Mặt bên (SBC) vuông góc ’ = 90o . Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC? với đáy và CSB √ √ √ √ a 3 a 2 a 3 A. . B. . C. . D. a 3. 6 2 3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 338 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 A G B S M Lời giải. C Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ GA = GB = GC (1) . Gọi  M là trung điểm của BC ta có :  (ABC) ∩ (SBC) = BC   (ABC) ⊥ (SBC) ⇒ AM ⊥ (SBC) ⇒ AM ⊥ (SBC)    AM ⊂ (ABC), AM ⊥ BC Ta lại có 4SBC vuông tại S ⇒ M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SBC. ⇒ SM là trục của ∆SBC.  Chọn đáp án C 1 Câu 990. Tính đạo hàm của hàm số y = (x2 − x + 1) 3 2x − 1 A. y 0 = √ . B. y 0 = 3 3 x2 − x + 1 2x − 1 C. y 0 = » . D. y 0 = 2 3 2 (x − x + 1) Lời giải. −2 1 2x − 1 Ta có: y 0 = (x2 − x + 1) 3 (2x − 1) = » . 3 3 3 (x2 − x + 1)2 2x − 1 » . 3 3 (x2 − x + 1)2 1 » . 3 3 (x2 − x + 1)2  Chọn đáp án B Câu 991. Xét các số thực x, y thỏa mãn x2 + y 2 ≥ 4 và logx2 +y2 (4x − 2y) ≥ 1 . Giá trị lớn nhất của √ biểu thức P = 3x + 4y − 5 là a + b 5 với a, b là các số nguyên. Tính T = a3 + b3 A. T = 0. B. T = 250. C. T = 152. D. T = 98. Lời giải. Chọn D.  Chọn đáp án D Câu 992. Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x4 − 2(m − 1)x2 + m − 2 đồng biến trên (1; 5) là A. m < 2. C. m ≤ 2. B. 1 < m < 2. D. 1 ≤ m ≤ 2. Lời giải. Ta có : y 0 = 4x3 − 4(m − 1)x = 0 ⇔ 4x (x2 − m + 1) = 0 ⇔ " x=0 x2 = m − 1 TH1: m ≤ 1 ⇒ y 0 = 0 ⇔ x = 0 ⇒ Hàm số đồng biến trên (0; +∞) và nghịch biến trên (−∞; 0). ⇒ Hàm số đồng biến trên (1; 5) thõa mãn. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 339 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  x=0  √ TH2: m > 1 ⇒ y 0 = 0 ⇔  x = m − 1 √ x=− m−1 Bảng xét dấu: Dựa vào bảng xét dấu ta thấy để hàm số đồng biến trên (1; 5) ⇔ √ m−1≤1⇔m≤2 ⇒ 1 < m ≤ 2.  Chọn đáp án C Câu 993. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: −∞ x y0 2 +∞ 3 − − − +∞ 4 5 y −∞ −∞ −∞ Số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho bằng A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Dựa vào BBT ta thấy: limx→−∞ y = 5 ⇒ y = 5 là TCN của đồ thị hàm số. limx→2− y = −∞ ⇒ x = 2 là TCĐ của đồ thị hàm số. limx→3− y = −∞; limx→3+ y = +∞ ⇒ x = 3 TCĐ của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.  Chọn đáp án C Câu 994. Cho khối hộp ABCD · A0 B 0 C 0 D0 có thể tích bằng 1. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh BB 0 và DD0 sao cho BE = 2EB 0 ,DF = 2F D0 . Tính thể tích khối tứ diện ACEF . 2 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 9 9 6 Lời giải. B C A D E H G F B0 A0 C0 D0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 340 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lấy G ∈ AA0 , H ∈ CC 0 sao cho AG = 2GA0 , CH = 2HC 0 , dễ thấy (EGF H)//(ABCD) và 2 2 VABCD·EGF H = VABCD·A0 C 0 D0 = . 3 3 Ta có: VABCD·EGF H = VAGEF + VC·EF H + VF ACD + VEABC + VACEF ⇒ VACEF = VABCD·EGF H − (VA·GEF + VC·EF H + VF ·ACD + VE·ABC ) 2 1 2 2 = −4· · = 3 6 3 9 Chọn đáp án B  Câu 995. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, CH vuông góc với AB tại ’ = 90o . Gọi O là trung H, I là trung điểm của đoạn HC. Biết SI vuông góc với mặt phẳng đáy,ASB điểm của đoạn AB,O0 là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABSI,α là góc giữa OO0 và mặt phẳng (ABC) . Tính cosa. √ 3 A. . 2 Lời giải. 2 B. . 3 √ 1 C. . 2 D. 3 . 4 S K A C O H M I B Ta có: SI ⊥ (ABC) ⇒ SI ⊥ HC. Xét ∆SHC có SI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao ⇒ ( ∆SHC cân tại S ⇒ SH = SC (1) AB ⊥ HC Ta có: ⇒ AB ⊥ (SHC) ⇒ AB ⊥ SH. AB ⊥ SI Do ∆ABC vuông tại C và ∆SAB vuông tại S, lại có O là trung điểm của AB ⇒ OA = OB = OS = OC. Xét tam giác OSH và tam giác vuông OCH có: OS = OC và OH cạnh chung. ⇒ ∆OSH = ∆OCH (Cạnh huỳnh - cạnh góc vuông) ⇒ SH = CH Từ (1) và (2) ⇒ ∆SHC đều. (2) Gọi K là trung điểm của SH ta có CK ⊥ SH. Do AB ⊥ (SHC) (Cmt) ⇒ AB ⊥ CK ⇒ CK ⊥ (SAB)(3) Vì tam giác SAB vuông tại S ⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAB . O0 là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABSI ⇒ OO0 là trục của ∆SAB ⇒ OO0 ⊥ (SAB) (4). Từ (3) và (4) ⇒ CK//OO0 ⇒ ∠ (OO0 ; (ABC)) = ∠(CK; (ABC)) Trong (SHC) kẻ KM//SI(M ∈ CH) ⇒ CM là hình chiếu của CK trên (ABC) ⇒ ∠(CK, (ABC)) = ∠(CK, CM ) = ∠KCM = ∠KCH Do tam giác SHC là tam giác đều (cmt) ⇒ Đường cao CK đồng thời là phân giác ⇒ ∠KCH = 30◦ . √ 3 Vậy ∠ (OO0 ; (ABC)) = 30◦ ⇒ α = 30◦ ⇒ cos α = . 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 341 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án A Câu 996. Gọi n là số các giá trị của tham số m để bất phương trình (2m − 4) (x3 + 2x2 ) + (m2 − 3m + 2) (x2 + 2x) − (m3 − m2 − 2m) (x + 2) < 0 vô nghiệm. Giá trị của n bằng A. n = 5. B. n = 1. C. n = 4. D. n = 2. Lời giải. Ta có: (2m − 4) (x3 + 2x2 ) + (m2 − 3m + 2) (x2 + 2x) − (m3 − m2 − 2m) (x + 2) < 0 ⇔ 2x2 (m − 2)(x + 2) + x(m − 1)(m − 2)(x + 2) − m(m + 1)(m − 2)(x + 2) < 0 ⇔ (m − 2)(x + 2) [2x2 + (m − 1)x − m(m + 1)] < 0 ⇔ (m − 2)(x + 2)(x + m)(2x − m − 1) < 0 TH1: m = 2 ⇒ 0 < 0 ⇒ Bất phương trình vô nghiệm ⇒ m = 2 (Thỏa mãn). TH2: m 6= 2, vế trái của (*) f (x) = (m − 2)(x + 2)(x + m)(2x − m − 1) là đa thức bậc ba, do đó luôn tồn tại x0 ∈ R để f (x0 ) < 0 ⇒ Bất phương trình luôn có nghiệm ∀m 6= 2 . Vậy tồn tại duy nhất m = 2 để bất phương trình đã cho vô nghiệm.  Chọn đáp án B Câu 997. Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau: x −∞ f 0 (x) −6 − 0 −4 + 0 −2 − 0 +∞ 0 − 0 + Hàm số f (2x − 2) − 2ex nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0; 1). C. (−∞; −1). B. (1; +∞). D. (−2; 0). Lời giải. x 0 0 x 0 x Đặt g(x) = f (2x − 2) ( − 2e Ta có: g (x) = 02f (2x − 2) − 2e = 2 [f (2x − 2) − e ] 2x − 2 ∈ (−2; 0) ⇒ f (2x − 2) < 0 Với x ∈ (0; 1) ta có x ∈ (0; 1) ⇒ ex ∈ (1; e) > 0 ⇒ g 0 (x) = 2 [f 0 (2x − 2) − ex ] < 0∀x ∈ (0; 1) ⇒ Hàm số f (2x − 2) − 2ex nghịch biến trên (0; 1) Chọn đáp án A √ Câu 998. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với O là tâm của đáy và chiều cao SO =  3 AB. 2 Tính góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng đáy A. 90◦ . B. 60◦ . C. 30◦ . D. 45◦ . Lời giải. S H A D O B C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 342 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Gọi(H là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S ⇒ SH ⊥ AB. AB ⊥ SO Ta có: ⇒ AB ⊥ (SHO) ⇒ AB ⊥ OH AB ⊥ SH   (SAB) ∩ (ABCD) = AB   (SAB) ⊃ SH ⊥ AB    (ABCD) ⊃ OH ⊥ AB ⇒ ∠((SAB); (ABCD)) = ∠(SH, OH) = ∠SHO √ 3 AB √ SH = 2 = 3 ⇒ ∠SHO = 60◦ . Xét tam giác vuông SHO có tan ∠SHO = AB OH 2 Chọn đáp án B  Câu 999. Cho hàm số f (x) = ax4 + 2bx3 − 3cx2 − 4dx + 5h(a, b, c, d, h ∈ Z). Hàm số y = f 0 (x) có đồ thị như hình vẽ bên. y y = f 0 (x) x −3 −1 1 O Tập nghiệm thực của phương trình f (x) = 5h có số phần tử bằng A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. Lời giải.  x = −3  Dựa vào đồ thị hàm số y = f 0 (x) ta có f 0 (x) = 0 ⇔  x = −1 x=1 Ta có BBT của hàm số y = f (x) như sau: x −∞ −3 −1 0 f 0 (x) − 0 + 0 − 0 +∞ f (x) +∞ 1 + +∞ 5h y = 5h Ta có:f (0) = 5h. Số nghiệm của phương trình f (0) = 5h là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng y = 5h song song với trục hoành. Dựa vào BBT ta thấy phương trình f (x) = 5h có 4 nghiệm phân biệt.  Chọn đáp án B Câu 1000. Một đề kiểm tra trắc nghiệm 45 phút môn Tiếng Anh của lớp 10 là một đề gồm 25 câu Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 343 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 hỏi độc lập, mỗi câu có 4 đáp án trả lời trong đó chỉ có một đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,4 điểm, câu trả lời sai không được điểm. Bạn Bình vì học kém môn Tiếng Anh nên làm bài theo cách chọn ngẫu nhiên câu trả lời cho tất cả 25 câu. Gọi A là biến cố “Bình làm đúng k câu”, biết xác suất của biến cố A đạt giá trị lớn nhất. Tính k. A. k = 5. B. k = 1. C. k = 25. D. k = 6. Lời giải. 1 Do mỗi câu có 4 đáp án trong đó chỉ có 1 đáp án đúng nên xác suất để trả lời đúng 1 câu là và 4 3 xác suất để trả lời sai 1 câu là . Gọi A là biến cố “Bình làm đúng k câu”, xác suất của biến cố A Å ãk Å ã25−k 4 Å ã Å ãk Å ã25−k 25 1 3 1 3 25 P 1 3 k k là P (A) = C25 . Xét khai triển 1 = + = C25 4 4 4 4 4 4 k=0 Å ãk Å ã25−k 1 3 k Giả sử Ak = C25 là số hạng lớn nhất trong khai triển trên ta có  4 Å 4ãk Å ã25−k Å ãk−1 Å ã26−k  3 1 3 1  k−1 k (  > C C  25 25 Ak > Ak−1 4 4 4 4 ⇔ Å ã Å ã Å ã Å ã k 25−k k+1  1 3 3 24−k Ak > Ak+1  k k+1 1  > C25 C25 4 4 4 4   26 − k − 3k   k < 26 >0   k(26 − k) 4 ⇔ 22 < k < 26 , k ∈ Z ⇒ k = 6 ⇔ ⇔ 3k + 3 − 25 + k   4 4  k > 22  >0 4 (25 − k)(k + 1)  Chọn đáp án D Câu 1001. Cho khối chóp S.ABC có thể tích V . M là một điểm trên cạnh SB. Thiết diện quaM song song với đường thẳng SA và BC chia khối chóp thành hai phần. Gọi V1 là thể tích phần khối V1 20 SM chóp S.ABC chứa cạnh SA. Biết = . Tính tỉ số . V 27 SB 2 3 1 4 B. . C. . D. . A. . 4 3 4 2 S Q M A C P N Lời giải. B Dựng M N k SA(N ∈ AB), N P k BC(P ∈ AC); P Q k SA(Q ∈ SC) Khi đó thiết diện cần tìm là M N P Q Ta có V1 = VS·ANP + VS·N P M + VS·P M Q Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 344 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 SM SQ AP AN =x⇒ = = =x SB SC AC AB VS·ANP SAN P AN AP Ta có: = = · = x2 ⇒ VS·ANP = x2 V VSABC SABC AB AC VS,N P M SM = = x(x < 1) ⇒ VSN P M = xVS·N P B VS·N P B SB SBN P BN SBAP AP = = 1 − x; = =x SBAP BA SABC AC SBVP SBAP SBV P ⇒ · = (1 − x)x ⇒ = (1 − x)x SBAP SABC SABC SBN P VSN P B = = (1 − x)x ⇒ VSN P B = (1 − x)xV ⇒ VS·ABC SABC ⇒ VS·N P M = x2 (1 − x)V VS·P M Q SM SQ = · = x2 VSP BC SB SC SP BC PC VS·P BC = = =1−x VS·ABC SABC AC VS·P M Q ⇒ = x2 (1 − x) ⇒ VS.P M Q = x2 (1 − x)V VS·ABC Đặt V1 ⇒ V1 = VS·AN P + VS·N P M + VSP M Q = (x2 + 2x2 (1 − x)) V ⇒ = x2 + 2x2 (1 − x) = 3x2 − 2x3 V V1 20 20 2 Mà = ⇔ 3x2 − 2x3 = ⇔x= . V 27 27 3  Chọn đáp án B ’ = 30o . Câu 1002. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại C và D,ABC √ a a 3 Biết AC = a, CD = , SA = và cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B 2 2 đến mặt phẳng (SCD) bằng. √ √ √ √ a 6 a 3 a 6 A. a 6. . C. . D. . B. 2 4 2 S E C 30◦ B a H D a/2 A Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 345 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Kẻ AE ⊥ BC(E ∈ BC) ta có: AD = √ √ a a 3 BE = AE · cot 30◦ = · 3 = 2 2 ⇒ E là trung điểm của BC √ Chương 3-Giải tích 12 √ 3 a AC 2 − CD2 = = CE 2 ⇒ d(B; (SCD)) = 2d(E; (SCD)) = d(A; (SCD)) Trong (SAD) kẻ AH ⊥ SD(H ∈ SD) ta có: ( CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AH CD ⊥ SA ( AH ⊥ CD ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ d(A; (SCD)) = AH AH ⊥ SD Áp dụng hệ thức lượng trong tam √ giác√vuông SAD ta có: a 3 a 3 √ · a 6 SA · AD 2 2 = sÇ √ å2 Ç √ å2 = AH = √ 4 SA2 + AD2 a 3 a 3 + 2 2 √ a 6 Vậy: d(B; (SCD)) = 2  Chọn đáp án B Câu 1003 (2D3K3-2). Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách hai chân cổng là AB = 5 m. Người ta treo một tấm phông hình M chữ nhật có hai đỉnh M , N nằm trên Parabol và hai đỉnh P , Q nằm trên mặt đất (như hình vẽ). Ở phần ngoài phông (phần N không tô đen) người ta mua hoa để trang trí với chi phí cho 1 m2 cần số tiền mua hoa là 200000 đồng cho 1 m2 . Biết M N = 4 m, M Q = 6 m. Hỏi số tiền dùng để mua hoa trang trí chiếc cổng gần với số tiền nào sau đây? A A. 3735300 đồng. B. 3437300 đồng. C. 3734300 đồng. Q P B D. 3733300 đồng. Lời giải. Tính diện tích hình Parabol: Chọn hệ trục Oxy sao cho gốc O là trung điểm của AB như hình vẽ. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 346 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 y M A−4 6 N Q−2 P2 1 y = − x2 + 8 2 B 4 xO Khi đó A(−4; 0), B(4; 0), M (−2; 6) và N (2; 6). Khi đó phương trình Parabol có dạng y = ax2 +c  ( a = − 1 16a + c = 0 2 . Diện tích Parabol là đi qua A và M nên có hệ ⇔  4a + c = 6 c=8 Z S1 4 Å ã 1 2 − x + 8 dx 2 −4 128 = . 3 Diện tích hình chữ nhật M N P Q là: S2 = M N · M Q = 4 · 6 = 24. 56 Diện tích phần trang trí hoa là S = S1 − S2 = . 3 Số tiền trang trí hoa là S · 200000 ≈ 3733300 đồng.  Chọn đáp án D Câu 1004 (2D4G1-2). Cho hai số phức z ,ω thay đổi sao cho |z| = 3, |z − ω| = 1. Biết tập hợp điểm của số phức ω là hình phẳng H. Tính diện tích S của hình H. A. S = 20π. B. S = 12π. C. S = 4π. D. S =. Lời giải. 2 1 O Tập hợp số phức z là đường tròn (C) tâm O bán kính là 3. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 347 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Bằng cách suy luận, với mỗi điểm trên (C) thì vẽ đường tròn bán kính 1, ta nhận thấy rằng tất cả các đường tròn tạo ra các vành khuyên như hình vẽ sau, đây chính là tập hợp biểu diễn số phức ω. Hình vành khuyên được giới hạn bởi đường tròn bán kính 4 và đường tròn bán kính 2 tâm O Diện tích hình vành khuyên đó là π42 − π22 = 12π.  Chọn đáp án B Câu 1005 (2D1K1-3). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = mx + 1 luôn 4x + m nghịch biến trên từng khoảng xác định của hàm số? A. 1. B. 2. C. 3. D. vô số. Lời giải. n mo Tập xác định D = R − . 4 2 m −4 Ta có y 0 = . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi chỉ khi (4x + m)2 m2 − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2. Vì m chỉ nhận các giá trị nguyên nên m ∈ {−1; 0; 1}. Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Câu 1006. Đặt log2 3 = a; log3 5 = b. Khi đó log6 15 bằng a+b a2 + b a(b + 1) . B. ab. C. . D. . A. a+1 a+1 a(a + 1) Lời giải. log2 15 log2 (5 · 3) log2 5 + log2 3 log2 3 · log3 5 + log2 3 + log2 3 Ta có log6 15 = = = = log2 6 log2 (2 · 3) 1 + log2 3 1 + log2 3 ab + a a(b + 1) = = . a+1 a+1 Chọn đáp án A  Câu 1007. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−2; 1; −3) và B(1; 0; −2). Độ dài đoạn thẳng AB bằng √ √ A. 3 3. B. 11. C. 11. D. 27. Lời giải. p √ AB = (−2 − 1)2 + (1 − 0)2 + (−3 − (−2))2 = 11.  Chọn đáp án C 1 Câu 1008. Cho hàm số y = x3 − mx2 + (4m − 3)x + 2017. Tìm giá trị lớn nhất của tham số thực 3 m để hàm số đã cho đồng biến trên R. A. m = 2. B. m = 3. C. m = 4. D. m = 1. Lời giải. Tập xác địnhD = R 0 0 Đạo hàm y 0 = x2 − 2mx + 4m − 3. Để hàm  số đồng biến trên R thì y ≥ 0; ∀x ∈ R (y = 0 có hữu a = 1 > 0 hạn nghiệm). Điều này tương đương với ⇔ 1 ≤ m ≤ 3. ∆0 = m2 − 4m + 3 ≤ 0 Suy ra giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m = 3.  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 348 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1009. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình (x2 − 5x + 4) √ x−m=0 có đúng hai nghiệm phân biệt. A. 4. B. 2. C. 3. D. 1. Lời giải. Phương pháp Giải phương trình tích Cách giải: Điều kiện xác định x − m ≥ 0 ⇔ x ≥ m  ” 2 x=4  x − 5x + 4 = 0 √ (x2 − 5x + 4) x − m = 0 ⇔ ⇔ x = 1 x−m=0 x=m Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt ⇔ x = m vô nghiệm hoặc có nghiệm có nghiệm x = 1, x = 4 ⇔ 1 ≤ m < 4  Chọn đáp án C x+1 có đồ thị (C) biết cả hai đường thẳng d1 : y = a1 x + b1 x−1 ,d2 : y = a2 x + b2 đi qua điểm I(1; 1) và cắt đồ thị (C) tại 4 điểm tạo thành một hình chữ nhật. Khi 5 a1 + a2 = ,giá trị biểu thức P = b1 b2 bằng: 2 5 1 1 5 A. . B. . C. − . D. − . 2 2 2 2 Lời giải. Câu 1010. Cho hàm số y = Gọi α, β lần lượt là các góc tạo bởi tia Ox và phần đồ thị phía trên trục y Ox của d1 , d2 . Khi đó ta có: a1 = tan α,a2 = tan β 4 . Gọi α, β lần lượt là các góc tạo bởi tia Ox và phần đồ thị phía trên trục Ox của d1 , d2 . Khi đó ta có: a1 = tan α,a2 = tan β B 2 y= 1 −3 −2 −1 D . Vẽ đồ thị như hình vẽ bên. 1 O 2 3 x+1 x−1 4 x C −1 Theo tính chất đối xứng của đồ thị −2 hàm số ta có: α + β = 90◦ 1 ⇒ a1 = a2 5 Lại có: a1 + a2 =  2 a1 = 2 b1 = −1 ⇒ ⇒ a2 = 1 b 2 = 1 2 2 1 ⇒ P = b1 .b2 = − . 2  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em .A 3 Cách giải: 349 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1011. Biết hai điểm B(a; b), C(c; d) thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số y = 2x sao cho x−1 tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A(2; 0), khi đó giá trị biểu thức T = ab + cd bằng: A. 6. C. −9. B. 0. D. 8. Lời giải. Phương pháp C Sử dụng các tính chất của tam giác vuông cân. Cách giải: Å Gọi B a; 2 + ã Å ã 2 2 ; C c; 2 + (a < 1 < c) a−1 c−1 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C trên trục Ox ⇒ H(a; 0), K(c; 0) 4ABC vuông cân ⇒ B H A K  AB = AC BAC ’ = 90◦ ’ = CAK ’ + ACK ’ = BAH ’ + ABH ’ Ta có: BCA ’ + CAK ’ = 90◦ Mà: BAH ’ = ACK ’ ⇒ BAH Xét 4ABH và 4CAK ta có: ’ = ACK ’ (cmt) BAH AC = AB (gt) 4ABH = 4CAK (ch − gn) AH = CK; HB = AK(các cạnh tương ứng bằng nhau) Ta có: AH |a − 2| = 2 − 1; AK = |c − 2| ; (a < 1) 2 2 2 BH = 2 + (c > 1) ; CK = 2 + + =2+ a + 1 c−1 c−1 2 − a = 2 + 2 (   AH = CK c−1 ⇔ 2  HB = AK  = |c − 2|  2+ a−1  2  a=    2  1−c   a=      2   1−c   =c−2  2+ 2  2  ⇔ =c−2 ⇔ −1 2+      a−1 1−c         2 2 2     2+  2 +  =2−c =  2  a−1 a−1  1− 1−c ( b = −1 ™ ⇔ c = 3 ™ ( B(−1; 1) ⇒ ⇒ T = (−1).1 + 3.3 = 8 C(3; 3)  Chọn đáp án D Câu 1012. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên (a; b) . Phát biểu nào sau đây là sai? A. f 0 (x) < 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f (x) gọi là nghịch biến trên (a; b). B. Hàm số y = f (x) gọi là nghịch biến trên (a; b) khi và chỉ khi f 0 (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) và f 0 (x) = 0 tại hữu hạn giá trị x ∈ (a; b). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 350 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 C. Hàm số y = f (x) gọi là nghịch biến trên (a; b) khi và chỉ khi ∀x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 > x2 ⇔ f (x1 ) < f (x2 ). D. Hàm số y = f (x) gọi là nghịch biến trên (a; b) khi và chỉ khi f 0 (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b). Lời giải. Hàm số y = f (x) gọi là nghịch biến trên (a; b) khi và chỉ khi f 0 (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) và f 0 (x) = 0 tại hữu hạn giá trị x ∈ (a; b) nên D sai.  Chọn đáp án D Câu 1013. Đường dây điện 110 KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong đất liền ra đảo (điểm C). Biết khoảng cách từ C đến B là 60 km, C khoảng cách từ A đến B là 100 km. Mỗi km dây điện dưới 60 km nước chi phí là 100 triệu đồng, chi phí mỗi km dây điện trên bờ là 60 triệu đồng. Hỏi điểm G cách điểm A bao nhiêu km để mắc dây điện từ A đến G, rồi từ G đến C chi phí thấp nhất? A (Đoạn AB trên bờ, đoạn GC dưới nước). A. 50 km. B. 60 km. Lời giải. Đặt GB = x km, 0 < x < 100. Khi đó GC = C. 55 km. √ 100 km G B D. 45 km. x2 + 3600 km. C Số tiền để mắc dây điện từ A đến G và từ G đến C là √ f (x) = 60(100 − x) + 100 x2 + 3600 triệu đồng. 60 km 100x Ta có f 0 (x) = √ − 60 và 2 x + 3600 x km A 100x − 60 = 0 f (x) = 0 ⇔ √ x2 + 3600 √ ⇔ 100x = 60 x2 + 3600 ( 0 < x < 100 ⇔ ⇔ x = 45. 25x2 = 9(x2 + 3600) 100 km G B 0 Ta có bảng biến thiên của hàm số f (x) như sau x y0 0 45 0 − 100 + y 10800 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f (x) đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 45 km, khi đó AG = 100 − 45 = 55 km.  Chọn đáp án C Câu 1014. ]Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 0; 1) và đường thẳng d : x−1 y−2 z−3 = = . 1 2 3 Đường thẳng đi qua M , vuông góc với d và cắt Oz có phương trình là Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 351 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/   x = 1 − 3t   A. y = 0 .    z =1+t Lời giải. Chương 3-Giải tích 12   x = 1 − 3t   B. y = 0 .    z =1−t   x = 1 − 3t   C. y = t .    z =1+t   x = 1 + 3t   D. y = 0 .    z =1+t Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm, N là giao điểm của ∆ và Oz. Ta có N (0; 0; z). # » Ta có M N = (−1; 0; z − 1), #» u d = (1; 2; 3). # » #» Oz ∆⊥d⇒ Å M N ã· u d = 0 ⇔ −1 + 3(z − 1) = 0 ⇔ z = 4 4 ⇒ N 0; 0; . 3 3 Å ã 1 # » #» N u ∆ = MN = −1; 0; k (−3; 0; 1) ⇒ 3 M   x = 1 − 3t   ∆: y = 0 .    z =1+t d ∆  Chọn đáp án A Câu 1015. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B 0 C 0 D0 có A trùng với gốc tọa độ O,các đỉnh B(a; 0; 0) , D(0; a; 0) , A0 (0; 0; b) với a, b > 0 và a + b = 2. Gọi M là trung điểm của cạnh CC 0 .Thể tích của khối tứ diện BDA0 M có giá trị lớn nhất bằng 64 32 8 4 . B. . C. . D. . A. 27 27 27 27 Lời giải. Å ã # » b # » # » 0 Tọa độ điểm C(a; a; 0), C (a; a; b), M a; a; suy ra BA0 = (−a; 0; b), BD = (−a; a; 0), BM = 2 Å ã î # »0 # »ó b 0; a; , BA , BD = (−ab; −ab; −b2 ). 2 ï 1 î # »0 # »ó # » a2 b Nên VBDA0 M = . BA , BD BM = 6 4 Å ã3 32 8 a + a + 2b 64 Ta có a · a · (2b) ≤ ⇒ a2 b ≤ ⇒ VBDA0 M ≤ = 3 27 27 2 Chọn đáp án C  Z1 Å Câu 1016. Cho 2x + 1 x+1 ã2 dx = a + b ln 2 với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a + b bằng 0 A. −1. B. 6. C. 5. D. 4. Lời giải. Z1 Å Z1 Å Z1 Å ã ã2 ã 2x + 1 2 1 4 1 Ta có 2− 4− + dx = dx = dx x+1 x+1 x + 1 (x + 1)2 0 0 Å 0 ã1 1 9 9 = 4 − 4 ln |x + 1| − = − 4 ln 2 ⇒ a = , b = −4 ⇒ P = 5. x+1 0 2 2 Chọn đáp án C  Câu 1017. Cho S là tập hợp các số tự nhiên từ 1 đến 100. Chọn ngẫu nhiên độc lập hai số a và b thuộc tập hợp S (với mỗi phần tử của tập S có khả năng lựa chọn như nhau). Xác suất để số x = 3a + 3b chia hết cho 5 bằng. 1 1 A. . B. . 2 3 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 352 1 . 5 D. 1 . 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Các lũy thừa nguyên dương của 3 có tận cùng là 3, 9, 7 và 1 với các khả năng xuất hiện bằng nhau khi số mũ chạy từ 1 đến 100 . Lập bảng các tổng của các số hàng đơn vị của 3a và 3b cho các kết quả như bảng dưới đây. Số các chữ số tận cùng là 0 sẽ là bội của 5 đều xuất hiện 4 lần trong tổng 1 số 16, nên xác suất là . 4 3 9 7 1 3 6 2 0 3 9 2 8 6 0 7 0 6 4 8 1 4 0 8 2  Chọn đáp án D Câu 1018. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, trên cạnh SA lấy điểm M SM = x. Giá trị x để mặt phẳng (M BC) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng và đặt SA nhau là √ √ √ 1 5−1 5 5−1 A. x = . B. x = . C. x = . D. x = . 3 2 3 3 Lời giải. Ta có 2VSM BC SM VS.M BC = = =x VS.ABC V SA VS.M CN 2VSM CN SM SN = = · = x2 VS,ACD V SA SD 2 (VS.M CN + VS.M BC ) 2VSM BCN = x + x2 ⇔ = x + x2 ⇒ V V √ 2 1=x+x ⇔x= 5−1 . 2  Chọn đáp án B Câu 1019. Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3 (m2 − 1) x − m3 − m, với m là tham số. Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số I(2; −2). Giá trị thực m < 1 để ba điểm I, A, B tạo thành một tam √ giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 5 là 2 3 4 5 A. m = . B. m = . C. m = . D. m = . 17 17 17 17 Lời giải. " x=m+1 Ta có y 0 = 3x2 − 6mx + 3m2 − 3 = 3 [(x − m)2 − 1]; y 0 = 0 ⇔ x=m−1 Do đó, hàm số luôn có hai cực trị với mọi m. √ Giả sử A(m + 1; −4m − 2); B(m − 1; −4m + 2). Ta có AB = 2 5, ∀m ∈ R. √ AB Mặt khác, vi 4IAB có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R = 5 nên từ = 2R suy ra ‘ sin AIB ‘ = AB = 1 ⇒ AIB = 90◦ hay 4AIB vuông tại I. sin AIB 2R 1 AB 2 2 Gọi M là trung điểm của AB, ta có M (m; −4m) và IM = AB ⇔ IM = =5 4 2 m=1 ⇔ (m − 2)2 + (−4m + 2)2 = 5 ⇔ 17m2 − 20m + 3 = 0 ⇔  3 . m= . 17 3 Vậy m = . 17 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 353 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án B Câu 1020 (2H2K2-4). Một mô hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột thẳng đứng. Biết rằng mỗi khối cầu có bán kính gấp đôi bán kính của khối cầu nằm ngay trên nó và bán kính khối cầu dưới cùng là 50 cm. Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Mô hình có thể đạt được chiều cao tùy ý. B. Chiều cao mô hình không quá 1, 5 mét. C. Chiều cao mô hình tối đa là 2 mét. D. Chiều cao mô hình dưới 2 mét. Lời giải. Gọi các quả cầu được xếp trong mô hình là n quả (n ∈ N∗ ). Suy ra bán kính các quả cầu tạo thành cấp số nhân có công bội là 2. Gọi bán kính quả cầu trên cùng hay quả cầu nhỏ nhất là R1 (0 < R1 < 50). 100 Suy ra bán kính quả cầu dưới cùng là Rn = 50 = R1 · 2n−1 ⇔ 2n = . R1 Khi đó chiều cao của mô hình có thể là Å ã 2 · R1 (2n − 1) 100 h = 2Sn = = 2R1 − 1 = 200 − 2R1 < 200cm = 2m. 2−1 R1 Vậy chiều cao của mô hình là dưới 2 mét. Chọn đáp án D  Å Câu 1021. Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển A. 29 C918 . C. 28 C818 . B. 211 C718 . x 4 + 2 x ã18 với x 6= 0. D. 28 C10 18 . Lời giải. Å ã Å ãk X 18 18 x 4 18 X k  x 18−k 4 Ta có C18 · Ck18 · 23k−18 · x18−2k . + = = · 2 x 2 x 0 k=0 Å ã x 4 18 Số hạng tổng quát trong khai triển + là Ck18 · 23k−18 · x18−2k . 2 x Số hạng không chứa x tương ứng với 18 − 2k = 0 ⇔ k = 9. Suy ra hệ số của số hạng không chứa x là 29 · C918 .  Chọn đáp án A Câu 1022. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0 B 0 C 0 có AB = 2a, AA0 = √ 3a. Tính thể tích của khối chóp ABC.A0 B 0 C 0 theo a. A. V = a3 . B. V = 3a3 . C. V = a3 . 4 D. V = 3a3 . 4 Lời giải. √ (2a)2 3 √ 2 Diện tích tam giác đều ABC có cạnh 2a là S = = 3a . √ 42 √ Suy ra thể tích của khối lăng trụ là V = B · h = 3a · 3a = 3a3 . C0 A0 B0 A C B  Chọn đáp án B Câu 1023. Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn [−2019; 2019] của tham số m để đồ thị hàm số √ x−3 y= 2 có đúng hai đường tiệm cận. x +x−m Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 354 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. 2007. Chương 3-Giải tích 12 B. 2010. C. 2009. D. 2008. Lời giải. √ x−3 = 0 nên đồ thị hàm số luôn có 1 tiệm cận ngang y = 0. Để đồ thị Ta có lim y = lim 2 x→+∞ x→+∞ x + x − m hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có đúng 1 tiệm cận đứng. 1 Trường hợp 1. x2 + x − m = 0 (1) có nghiệm kép x1 = x2 ≥ 3, suy ra ∆ = 1 + 4m = 0 ⇔ m = − 4 (loại do m nguyên). Trường hợp 2. (1) có nghiệm x1 ; x2 thỏa x1 < 3, x2 = 3. Phương trình (1) nhận 3 là nghiệm khi 32 + 3 − m = 0 ⇔ m = 12. Thử lại thỏa mãn. Trường hợp 3. (1) có nghiệm x1 ; x2 thỏa x1 < 3 < x2 ⇔ 1 · f (3) < 0 ⇔ 9+3−m<0 ⇔ m > 12. Kết hợp 3 trường hợp ta được m ≥ 12, lại có m ∈ [−2019; 2019] nên m ∈ [12; 2019] nên có 2008 giá trị m thỏa mãn.  Chọn đáp án D Câu 1024. Cho đa thức f (x) = (1 + 3x)n = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn biết rằng a1 + 2a2 + · · · + nan = 49152n. A. a3 = 945. B. a3 = 252. C. a3 = 5670. (n ∈ N∗ ). Tìm hệ số a3 , D. a3 = 1512. Lời giải. Xét khai triển (1 + 3x)n = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn (1). Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được 3n(1 + 3x)n−1 = a1 + 2a2 x + · · · + nan xn−1 (2). Thay x = 1 vào (2) ta được 3n · 4n−1 = a1 + 2a2 + · · · + nan ⇔ 3n · 4n−1 = 49152n ⇔ 4n−1 = 47 ⇔ n = 8. 8 8 X X k k 8 Xét khai triển nhị thức Niu–tơn (1 + 3x) = C8 · (3x) = Ck8 · 3k · xk . k=0 k=0 Số hạng thứ 4 có k = 3 nên a3 = C38 · 33 = 1512.  Chọn đáp án D Câu 1025. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3 + 2m = 0 có đúng bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn [0; 2π]. 3 1 1 3 1 3 A. − < m < − . B. ≤ m < . C. < m < . 2 3 3 2 3 2 Lời giải. 1 |cos3 x| − 3 cos2 x + 5| cos x| − 3 3 1 D. − ≤ m ≤ − . 2 3 Đặt t = cos x, t ∈ (−1; 1]. 1 1 Phương trình trở thành 2m = − |t3 | + 3t2 − 5|t| + 3 ⇔ 2m = f (|t|) với f (t) = − t3 + 3t2 − 5t + 3. 3 3 Ta có f 0 (t) = −t2 + 6t − 5 ≤ 0, ∀t ∈ (−1; 1]. Bảng biến thiên Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 355 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 t −1 0 1 f 0 (t) 0 - 0 f (t) 34 3 3 2 3 3 f (|t|) 2 3 2 3 1 |cos3 x| − 3 cos2 x + 5| cos x| − 3 + 2m = 0 có đúng bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn 3 [0; 2π] khi và chỉ khi phương trình 2m = f (|t|) có hai nghiệm phân biệt thuộc (−1; 1]. Điều này 2 1 3 tương đương với < 2m < 3 ⇔ < m < . 3 3 2 Chọn đáp án C  Phương trình Câu 1026. Cho hàm số y = ax + b (a 6= 0) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. cx + d y O x Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. A. Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có hai điểm cực trị trái dấu. B. Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d cắt trục tung tại điểm có tung độ dương. C. Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung. D. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d nằm bên trái trục tung. Lời giải. ax + b a a Đồ thị hàm số y = có tiệm cận đứng y = nằm bên trái trục tung nên ta có < 0 hay cx + d c c ac < 0. Xét hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có y 0 = 3ax2 + 2bx + c. Hàm số bậc ba không có hoặc có hai cực trị. Hàm số bậc ba này có ac < 0 nên y 0 = 0 có hai nghiệm trái dấu hay hàm số bậc ba có hai điểm cực trị trái dấu. Chọn đáp án A  √ Câu 1027. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 2. Tính khoảng cách d từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên theo a. √ √ √ √ a 5 a 3 2a 5 a 2 A. d = . B. d = . C. d = . D. d = . 2 2 3 3 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 356 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Gọi M là trung điểm của CD. S Vì S.ABCD là chóp tứ giác đều nên SC = SD. Do đó 4SCD cân tại S ⇒ SM ⊥ CD. Lại có ABCD là hình vuông nên ta có AD a OM ⊥ CD; OM = = . 2 2 Suy ra CD ⊥ (SOM ) ⇒ CD ⊥ OH (1). Trong mặt phẳng (SOM ) kẻ OH ⊥ SM Từ (1) và (2) ta suy ra OH ⊥ (SCD) H A D (2). M O nên d (O; (SCD)) = OH B C 1 1 1 1 4 9 Xét 4SOM vuông tại O (do SO ⊥ (ABCD)) có = + = 2 + 2 = 2 . Suy 2 2 2 OH SO OM 2a a 2a √ a 2 ra OH = . 3  Chọn đáp án D Z4 Câu 1028. Cho tích phân I = Z2 f (x) dx = 32. Tính tích phân J = 0 A. 32. f (2x) dx. 0 B. 64. C. 8. D. 16. Lời giải. Đặt t = 2x ⇒ dt = 2 dx. Với x = 0 thì t = 0, x = 2 thì t = 4 . Z2 Z4 Z4 1 1 1 Suy ra f (2x) dx = f (t)dt = f (x) dx = · 32 = 16. 2 2 2 0 0 0  Chọn đáp án D Câu 1029. Gọi T là tổng các nghiệm của phương trình log21 x − 5 log3 x + 4 = 0. Tính T . 3 A. T = 4. B. T = −5. C. T = 84. D. T = 5. Lời giải. Ta có log21 x − 5 log3 x + 4 = 0 3 ⇔ (− log3 x)2 − 5 log3 x + 4 = 0 ⇔ log23 x − 5 log3 x + 4 = 0 " log3 x = 1 ⇔ log3 x = 4 " x=3 ⇔ x = 34 = 81. Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 3 + 81 = 84.  √  x2 + 4 − 2   khi x 6= 0 x2 Câu 1030. Cho hàm số f (x) = . Tìm giá trị thực của tham số a để hàm  5  2a − khi x = 0 4 số f (x) liên tục tại x = 0. 3 4 4 3 A. a = − . B. a = . C. a = − . D. a = . 4 3 3 4 Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 357 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Lời giải. √ Ta có lim f (x) = lim x→0 x→0 Chương 3-Giải tích 12 x2 + 4 − 2 1 1 x2 ä Ä √ = lim = . = lim √ x→0 x→0 x2 x2 4 x2 + 4 + 2 x2 + 4 + 2 5 Ta lại có f (0) = 2a − . 4 1 5 3 Để hàm số liên tục tại x = 0 thì lim f (x) = f (0) ⇔ = 2a − ⇔ a = . x→0 4 4 4 Chọn đáp án D  Câu 1031. Tìm giá trị cực đại của hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + 1. A. 6. C. −26. B. 3. D. −20. Lời giải. " Ta có y 0 = 3x2 − 6x − 9, y 0 = 0 ⇔ x = −1 x = 3. y = 6x − 6, y (−1) = −12 < 0, y (3) = 12 > 0. Do đó hàm số đạt cực đại tại x = −1, giá trị cực 00 00 00 đại y = 6.  Chọn đáp án A ’ = 30◦ Câu 1032. Cho mặt cầu tâm O và tam giác ABC có ba đỉnh nằm trên mặt cầu với góc BAC và BC = a. Gọi S là điểm nằm trên mặt cầu, không nằm trên mặt phẳng (ABC) và thoả mãn SA = SB = SC, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60◦ . Tính thể tích V của khối cầu tâm √ O theo a. 3 3 πa . A. V = 9 Lời giải. √ 32 3 3 B. V = πa . 27 √ 4 3 3 C. V = πa . 27 √ 15 3 3 D. V = πa . 9 Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC. S Vì SA = SB = SC nên SI ⊥ (ABC). ‘ = 60◦ . Khi đó ta có (SA, (ABC)) = SAI Xét 4ABC, theo định lí hàm số sin ta có BC a = 2AI = 2R4ABC ⇔ sin 30◦ ’ sin BAC √ A ⇒ AI = a ⇒ SI = AI · tan 60◦ = a 3. SM SO Ta có 4SM O ∼ 4SIA, suy ra = . SI SA √ SM · SA 2 3a Do đó SO = = . SI 3 Ç √ å3 √ 4 3 4 2 3a 32 3 3 Vậy thể tích khối cầu là V = πR = π = πa . 3 3 3 27 M O C I B  Chọn đáp án B Z2 Câu 1033. Cho tích phân I = Z2 0 A. J = 6. [3f (x) − 2] dx. f (x) dx = 2. Tính tích phân J = 0 B. J = 2. C. J = 8. D. J = 4. Lời giải. Z2 Z2 [3f (x) − 2] dx = 3 Ta có J = 0 Z2 f (x) dx − 2 0 2 dx = 3 · 2 − (2x) 0  Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em = 6 − 4 = 2. 0 358 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Å ã 1 = Câu 1034. Gọi F (x) là nguyên hàm trên R của hàm số f (x) = x e (a 6= 0) sao cho F a F (0) + 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. 2 ax A. 0 < a ≤ 1. B. a < −2. C. a ≥ 3. D. 1 < a < 2. Lời giải. Å ã 1 = F (0) + 1. Khi đó ta có Ta có F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) và F a 1 a F  − F (0) = 1 1 Za ⇔ x2 · eax dx = 1. 0 Đặt  du = 2x dx . Suy ra ⇒ v = 1 eax dv = eax dx a ( u = x2 I = = x · eax a 1 1 a 2 2 · a − 0 e 2 − · 3 a a Za xeax dx 0 1 Za xeax dx 0 1 = e 2 − · I1 với I1 = 3 a a Za xeax dx. 0 Đặt  du = dx ⇒ . Suy ra v = 1 eax dv = eαx dx a ( u=x 1 I1 = x ax ·e a 1 a 0 − 1 a Za eαx dx 0 e e 1 − 2+ 2 2 a a a 1 = 2. a = √ e 2 e−2 3 − = = 1 ⇒ a = e − 2 ⇒ 0 < a ≤ 1. 3 3 3 a a a Chọn đáp án A Do đó I =  Câu 1035. Hình bát diện đều thuộc loại khối đa diện đều nào sau đây? A. {3, 4}. B. {3, 3}. C. {5, 3}. D. {4, 3}. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 359 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Hình bát diện đều mỗi mặt có 3 cạnh và mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng bốn mặt nên nó thuộc loại {3, 4}.  Chọn đáp án A Câu 1036. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 − 3x2 + mx đạt cực đại tại x = 0. A. m = 1. C. m = −2. B. m = 2. D. m = 0. Lời giải. Ta có y 0 = 3x2 − 6x + m; y 00 = 6x(− 6. ( y 0 (0) = 0 m=0 Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ⇒ ⇔ ⇔ m = 0. y 00 (0) < 0 −6<0 3 2 Thử lại, thay m = 0, hàm số trở " thành y = x − 3x . x=0 Ta có y 0 = 3x2 − 6x, y 0 = 0 ⇔ x = 2. Bảng biến thiên: x y −∞ 0 0 + 0 +∞ 2 − 0 + +∞ 0 y −∞ −4 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0. Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án D Câu 1037. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực R?  π x A. y = . B. y = log π (2x2 + 1) . 4 3 Å ãx 2 C. y = . D. y = log 2 x . e 3 Lời giải. Å ãx 2 2 Hàm số y = có tập xác định D = R và có cơ số 0 < < 1 nên hàm số nghịch biến trên tập e e số thực R.  Chọn đáp án C Câu 1038. Gọi l, h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của một hình nón. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón đó theo l, h, r. 1 A. Sxq = 2πrl. B. Sxq = πr2 h. C. Sxq = πrh. 3 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 360 D. Sxq = πrl. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón Sxq = πrl. S O A  Chọn đáp án D Å ã−x2 +3x 1 1 < . Câu 1039. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2 4 A. S = [1; 2]. B. S = (−∞; 1). C. S = (1; 2). D. S = (2; +∞). Lời giải. Ta có Å ã−x2 +3x 1 1 < 2 4 Å ã−x2 +3x Å ã2 1 1 ⇔ < 2 2 2 ⇔ −x + 3x > 2 ⇔ x2 − 3x + 2 < 0 ⇔ 1 < x < 2. Vậy S = (1; 2).  Chọn đáp án C 3a . Biết 2 rằng hình chiếu vuông góc của điểm A0 lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC. Tính thể tích Câu 1040. Cho hình lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA0 = V của khối lăng … trụ đó theo a. 3 2a3 A. V = a3 . B. V = . 2 3 Lời giải. Gọi H là trung√điểm BC. √ a2 3 a 3 và SABC = . Ta có AH = 2 4 4A0 AH vuông tại H nên…ta có √ √ 9a2 3a2 a 6 0 02 2 A H = AA − AH = − = . 4 4 2 3a3 Do đó VABC.A0 B 0 C 0 = A0 H · SABC = √ . 4 2 3a3 C. V = √ . 4 2 D. V = a3 . C0 B0 A0 H B C A  Chọn đáp án C Câu 1041. Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường cong y = −x3 + 12x và y = −x2 . 937 A. . 12 B. 343 . 12 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. 361 793 . 4 D. 397 . 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải.  x=0  Xét phương trình −x3 + 12x = −x2 ⇔ x3 − x2 − 12x = 0 ⇔  x = −3 x = 4. Diện tích S của hình phẳng (H) là Z4 S = x3 − x2 − 12x dx −3 Z0 = x3 − x2 − 12x dx + −3 Z4 x3 − x2 − 12x dx 0 Z0 3 2 Z4   x3 − x2 − 12x dx x − x − 12x dx + = −3 Å 0 4 3 x x = − − 6x2 4 3 937 = . 12 ã 0 Å + −3 x4 x3 − − 6x2 4 3 ã 4 0  Chọn đáp án B Câu 1042. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình bên dưới. x −∞ y0 −1 + +∞ 1 − 0 0 + +∞ 3 y −∞ −1 Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 0). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 3). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số không thể đồng biến trên khoảng (−∞; 3).  Chọn đáp án B 3 − 4x 7 Câu 1043. Tìm hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tại điểm có tung độ y = − . x−2 3 9 5 5 A. . B. − . C. . D. −10. 5 9 9 Lời giải. Å ã 5 7 0 Ta có y = . Gọi M x0 ; − là tiếp điểm, ta có 3 (x − 2)2 3 − 4x0 7 =− ⇔ 5x0 = −5 x0 − 2 3 ⇔ x0 = −1. Å ã 7 5 Vậy hệ số góc tiếp tuyến tại M x0 ; − là k = y 0 (−1) = . 3 9 Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 362  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 2 cos x − 1 Câu 1044. Cho hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = trên khoảng (0; π). sin2 x √ Biết rằng giá trị lớn nhất của F (x) trên khoảng (0; π) là 3. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. Å ã √ Å ã π  π  √ √ √ 3 2π 5π = 3 3 − 4. B. F = . C. F = − 3. D. F = 3 − 3. A. F 6 3 2 3 6 Lời giải. Ta có 2 cos x − 1 dx 2 sin x Z Z 1 2 cos x dx − dx = 2 sinZ2 x Z sin x 1 1 = 2 dx. 2 d(sin x) − sin x sin2 x Z Z f (x) dx = Z 2 + cot x + C. sin x 2 cos x − 1 1 π Ta có F 0 (x) = f (x) = = 0 ⇔ cos x = ⇔ x = ∈ (0; π). 2 2 3 sin x Do đó F (x) = f (x) dx = − x π 3 0 π  F 3 0 F 0 (x) + F (x) π − π . 3√ √ √ √ √ 2 4 3 3 π Suy ra − + C = 3 ⇔ − + + C = 3 ⇔ C = 2 3. + cot π 3 3 3 sin 3 π  √ √ 2 Do đó F (x) = − + cot x + 2 3 nên F = 3 3 − 4. sin x 6 Chọn đáp án A Hàm F (x) đạt giá trị lớn nhất tại x =  Câu 1045. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R là f 0 (x) = (x − 1)(x + 3). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−10; 20] để hàm số y = f (x2 + 3x − m) đồng biến trên khoảng (0; 2)? A. 18. B. 17. C. 16. D. 20. Lời giải. Bảng xét dấu x f (x) −∞ 0 + −3 0 − 1 0 +∞ + Ta có y 0 = (2x + 3)f 0 (x2 + 3x − m). Vì 2x + 3 > 0, ∀x ∈ (0; 2). Do đó, để hàm số y = f (x2 + 3x − m) đồng biến trên khoảng (0; 2) thì f 0 (x2 + 3x − m) ≥ 0, ∀x ∈ (0; 2) (∗) Đặt t = x2 + 3x − m. Vì x ∈ (0; 2) nên t ∈ (−m; 10 − m). Khi đó (*) trở thành f 0 (t) ≥ 0, ∀t ∈ (−m; 10 − m). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 363 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 ” 13 ≤ m ≤ 20    10 − m ≤ −3 m ≥ 13 Dựa vào bảng xét dấu của f 0 (x) ta có ⇔ ⇒ − 10 ≤ m ≤ −1  1 ≤ −m m ≤ −1   m ∈ Z. Suy ra m ∈ {−10; −9; . . . ; −2; −1; 13; 14; . . . ; 19; 20}. Vậy có 18 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài. ” ”  Chọn đáp án A Câu 1046. Cho hình lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 . Biết tích của khoảng cách từ điểm B 0 và điểm D đến mặt phẳng (D0 AC) bằng 6a2 (a > 0). Giả sử thể tích của khối lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 là ka3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau A. k ∈ (20; 30). B. k ∈ (100; 120). C. k ∈ (50; 80). D. k ∈ (40; 50). Lời giải. Gọi x là độ dài cạnh của hình lập phương. Gọi O là tâm của 0 A0 D0 0 hình vuông ABCD, I là giao điểm của B D và D O, suy ra I là giao điểm của B 0 D và (D0 AC). Đặt h = d(D, (D0 AC)). d(B 0 , (D0 AC)) IB 0 Ta có = 2. = d(D, (D0 AC)) ID ⇒ d(B 0 , (D0 AC)) = 2d(D, (D0 AC)) = 2h. Theo giả thiết 2h2 = 6a2 ⇒ h2 = 3a2 . B0 C0 I A D O B C 0 Lại có tứ diện DD AC là tứ diện vuông tại đỉnh D nên ta có 1 1 1 1 3 x2 2 = + + = ⇒ h = . h2 DA2 DC 2 DD02 x2 3 x2 = 3a2 ⇔ x = 3a. 3 Do đó thể tích khối lập phương bằng 27a3 ⇒ k = 27. Suy ra  Chọn đáp án A Câu 1047. Cho cấp số cộng (un ) với số hạng đầu u1 = −6 và công sai d = 4. Tính tổng S của 14 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. A. S = 46. B. S = 308. C. S = 644. D. S = 280. Lời giải. Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng ta được S= 14 (2u1 + 13d) = 7 (−6 · 2 + 13 · 4) = 280. 2  Chọn đáp án D Câu 1048. Một khối trụ có thể tích bằng 25π. Nếu chiều cao của hình trụ tăng lên năm lần và giữ nguyên bán kính đáy thì được một hình trụ mới có diện tích xung quanh bằng 25π. Tính bán kính đáy r của hình trụ ban đầu. A. r = 15. B. r = 5. C. r = 10. D. r = 2. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 364 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Gọi bán kính đáy và chiều cao  của hình trụ ban đầu lần lượt là r, h. ( 2 rrh = 25 πr h = 25π Ta có hệ ⇔ ⇒ r = 10. rh = 5 2πr5h = 25π 2 O0 A0 O A  Chọn đáp án C y x Câu 1049. Cho x, y là các số thực lớn hơn 1 sao cho y x · (ex )e ≥ xy · (ey )e . Tìm giá trị nhỏ nhất √ của biểu thức P = logx xy + logy x. √ √ √ √ 2 1+ 2 1+2 2 . B. 2 2. . D. . A. C. 2 2 2 Lời giải. Ta có y y x · (ex )e ≥ xy · (ey )e x ⇔ x · ln y + x · ey ≥ y · ln x + y · ex ⇔ x · (ln y + ey ) ≥ y · (ln x + ex ) ln y + ey ln x + ex ⇔ ≥ y x ⇔ f (y) ≥ f (x), với hàm đặc trưng f (t) = ln t + et , t > 1. t −et t + ln t + et − 1 . t2 Đặt g(t) = −et t + ln t + et − 1. 1 Ta có g 0 (t) = −et · t + < 0, ∀t > 1 nên f 0 (t) > 0, ∀t > 1. Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên (1; +∞). t Do đó f (y) ≥ f (x) ⇔ y ≥ x ⇔ logx y ≥ 1. 1 1 √ Ta có P = logx x · y + logy x = (1 + logx y) + . 2 logx y √ 1 1 1 1 Đặt u = logx y ⇒ u ≥ 1. Khi đó P (u) = (1 + u) + , P 0 (u) = − 2 = 0 ⇔ u = 2. 2 u 2 u Bảng biến thiên: Ta có f 0 (t) = − x y √ 2 −1 0 − 0 + +∞ 2 y +∞ √ 1+2 2 2 √ 1+2 2 Suy ra giá trị nhỏ nhất bằng . 2 Chọn đáp án C  1 Câu 1050. Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = x2 − 3x + . x x3 3x x3 3x A. − − ln |x| + C, C ∈ R. B. − + ln |x| + C, C ∈ R. 3 ln 3 3 ln 3 x3 1 x3 3x 1 C. − 3x + 2 + C, C ∈ R. D. − − 2 + C, C ∈ R. 3 x 3 ln 3 x Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 365 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Z Å ã 1 x3 3x 2 x x −3 + dx = − + ln |x| + C, C ∈ R. Ta có x 3 ln 3 Chọn đáp án B  Câu 1051. Tìm số hạng đầu u1 của cấp số nhân (un ) biết u1 +u2 +u3 = 168 và u4 +u5 +u6 = 21. 217 1344 . C. u1 = 96. D. u1 = . A. u1 = 24. B. u1 = 11 3 Lời giải. Ta gọi q là công bội của cấp số nhân, khi đó ta có ( u1 + u1 q + u1 q 2 = 168 u1 q 3 + u1 q 4 + u1 q 5 = 21 ⇔   q = 1 q 3 = 1 8 2 ⇔ ⇔   2 q 3 (u1 + u1 q + u1 q 2 ) = 21 u1 + u1 q + u1 q = 168 u1 = 96. ( u1 + u1 q + u1 q 2 = 168  Chọn đáp án C mx + 1 với tham số m 6= 0. Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ x − 2m thị hàm số thuộc đường thẳng có phương trình nào dưới đây? Câu 1052. Cho hàm số y = A. 2x + y = 0. C. x − 2y = 0. B. y = 2x. D. x + 2y = 0. Lời giải. Giao điểm hai đường tiệm cận là I(2m; m) khi đó thấy I thuộc đường thẳng x − 2y = 0.  Chọn đáp án C Câu 1053. Tìm đạo hàm của hàm số y = 3x x2 −2x 0 A. y = 3 2 −2x . 0 ln 3. B. y = (2x − 2) ln 3. D. y 0 = 3x 2 −2x 2 C. y 0 = 3x 2 −2x (2x − 2) . ln 3 3x −2x . ln 3 Lời giải. Ta có (3x 2 −2x )0 = (2x − 2) · 3x 2 −2x ln 3.  Chọn đáp án C ’ = 45◦ và cạnh IM = a. Câu 1054. Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc IOM Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OM I tạo thành một hình nón tròn xoay. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón tròn xoay đó theo a. √ √ √ πa2 2 2 2 2 A. Sxq = πa 2. B. Sxq = πa . C. Sxq = πa 3. D. Sxq = . 2 Lời giải. ’ = IM Ta có Sxq = πrl, trong đó r = IM = a, l = OM · sin IOM O OM a ⇒ sin 45◦ = . OM√ √ √ 45◦ Suy ra OM = a 2 ⇒ Sxq = πrl = πa · a 2 = πa2 2. I  Chọn đáp án A Câu 1055. Cho khối nón có bán kính đáy r = 3, chiều cao h = nón. √ 3π 2 A. V = . 3 M √ 9π 2 C. V = . 3 √ B. V = 3π 11. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 366 √ 2. Tính thể tích V của khối √ D. V = 9π 2. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. √ 1 1√ 9π 2 2 2 Thể tích khối nón là V = hπr = 2π3 = (đvtt). 3 3 3 S O A  Chọn đáp án C Câu 1056. Cho tập hợp S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Gọi M là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau lấy từ S sao cho tổng các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm lớn hơn tổng chữ số các hàng còn lại 3 đơn vị. Tính tổng T của các phần tử trong tập hợp M . A. T = 11.003.984. B. T = 36.011.952. C. T = 12.003.984. D. T = 18.005.967. Lời giải. Gọi số có 6 chữ số thỏa mãn yêu cầu bài(ra, có dạng abcdef . d + e + f = 12 Ta có a + b + c + 3 = d + e + f , suy ra a + b + c = 9. Các tập số thỏa mãn {a, b, c} là {1, 2, 6}, {2, 3, 4} và {1, 3, 5}. Các tập số tương ứng thỏa mãn bộ {d, e, f } là {3, 4, 5}, {1, 5, 6} và {2, 4, 6}. Có ba tập số {a, b, c}, {d, e, f } mà mỗi tập số thì các số a, b, c, d, e và f đều xuất hiện 12 lần. Tổng số các số của tập M là   T = 3 · 12 (a + b + c)(105 + 104 + 103 ) + (d + e + f )(102 + 10 + 1) = 36.011.952.  Chọn đáp án B Z2 Câu 1057. Cho tích phân b ln x dx = + a ln 2 với a là số thực và b, c là các số nguyên dương, 2 x c 1 b đồng thời là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P = 2a + 3b + c. c A. P = 6. B. P = −6. C. P = 5. D. P = 4. Lời giải.   dx  u = ln x  du = x . Suy ra Đặt ⇒ 1  dv = 1 dx  v = − x2 x ln x I = − x Z2 2 + 1 1 dx x2 1 2 ln 2 1 − 2 x 1 ln 2 1 = − + . 2 2 = − 1 Vậy a = − , b = 1, c = 2 hay P = 2a + 3b + c = 4. 2 Chọn đáp án D  367 https://emncischool.wixsite.com/geogebra Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 1 Câu 1058. Cho hàm số y = x3 − 2mx2 + (m − 1)x + 2m2 + 1 (m là tham số). Xác định khoảng cách 3 lớn nhất từ gốc tọa độ O(0; 0) đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên. √ √ √ 2 10 A. . B. 3. C. 2 3. D. . 9 3 Lời giải. Ta có y 0 = x2 −Å4mx + mã− 1. 1 2m 2 4m2 2m Mặt khác y = x− (x2 − 4mx + m − 1) + (m − 1 − 4m2 )x + + + 1. 3 3 3 3 3 1 Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số y = x3 − 2mx2 + (m − 1)x + 2m2 + 1 là 3 2 4m2 2m y = (m − 1 − 4m2 )x + + + 1 (∆). 3 3 3 4m2 2m 2 + + 1 luôn đi qua. Gọi M (x0 ; y0 ) là điểm mà đường thẳng y = (m − 1 − 4m2 )x + 3 3 3 2 2 2 8m 2m 8m 2m 1 Khi đó y0 = (m − 1 − 4m2 )x0 + − + 1 ⇔ (1 − x0 )( − + 1) + − y0 = 0. 3 3 3 3 √ Å3 ã 3 1 10 1 hay OM = . Suy ra x0 = 1, y0 = . Khi đó M 1; 3 3 3 Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên d. Khi đó d(O, ∆) = OH ≤ OM . Vậy khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O(0; 0) đến đường√thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị 1 10 hàm số y = x3 − 2mx2 + (m − 1)x + 2m2 + 1 là OM = . 3 3 Chọn đáp án D  Câu 1059. Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối và đồng trên các mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 2. 1 2 A. P = . B. P = . C. P = 3 9 Lời giải. chất. Tính xác suất P để hiệu số chấm 1 . 9 D. P = 1. Ta có số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 6 · 6 = 36 phần tử. Gọi a (1 ≤ a ≤ 6) là số chấm trên mặt của con súc sắc đầu tiên gieo được. Suy ra số chấm trên mặt của con súc sắc thứ hai phải là a + 2 hoặc a − 2. ( 1≤a+2≤6 Trường hợp 1. Con súc sắc thứ hai gieo mặt có a + 2 chấm. Khi đó ⇔ 1 ≤ a ≤ 4. 1≤a≤6 ( 1≤a−2≤6 Trường hợp 2. Con súc sắc thứ hai gieo mặt có a − 2 chấm. Khi đó ⇔ 3 ≤ a ≤ 6. 1≤a≤6 2 4+4 = . Vậy xác suất cần tìm là P = 36 9 Chọn đáp án B  Câu 1060. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình √ thang vuông tại A và B; có AB = a, AD = 2a, BC = a. Biết rằng SA = a 2. Tính thể tích V của khối chóp S.BCD theo a. √ √ a3 2 2a3 2 A. V = . B. V = . 2 3 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em C. V = 2a 368 √ 3 2. √ a3 2 D. V = . 6 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Diện tích đa giác đáy là SABCD S (AD + BC) · AB (a + 2a) · a 3a2 = = = . 2 2 2 Vậy thể tích khối chóp là VABCD √ 1 1 √ 3a2 a3 2 = SA · SABCD = · a 2. = . 3 3 2 2 VS.ABD 2a A Mặt khác, ta có thể tích √ 1 √ 1 a3 2 1 . = SA · SABD = · a 2 · a · 2a = 3 3 2 3 D a a B Vậy thể tích V của khối chóp S.BCD là √ √ √ a3 2 a3 2 a3 2 V = − = . 2 3 6 C  Chọn đáp án D Câu 1061. Cho một chiếc trống như hình vẽ, có đường sinh là nữa elip được cắt bởi trục lớn với độ dài trục lớn bằng 80 cm, độ dài trục bé bằng 60 cm và đáy trống là hình tròn có bán kính bằng 60 cm. Tính thể tích đường sinh V của trống (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). A. V = 344.963 cm3 . B. V = 344.964 cm3 . C. V = 20.8347 cm3 . D. V = 20.8346 cm3 . 60 cm Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Khi đó chiếc trống là hình tròn xoay được sinh bởi một nửa elip, dưới của elip có x2 (y − 60)2 phương trình là 2 + = 1. Khi đó nửa đường elip 40 302 3√ 2 dưới có phương trình y = 60 − 40 − x2 . 4 Vậy thể tích của chiếc trống là V y 30 −40 O 40 x −30 Z40 Å ã2 3√ 2 2 = π· 60 − 40 − x dx 4 −40 ≈ 344.964 cm3 .  Chọn đáp án B Câu 1062. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A0 B 0 C 0 . Gọi M , N ,P , Q lần lượt là các điểm thuộc AM 1 BN 1 CP 1 C 0Q 1 cạnh AA0 , BB 0 , CC 0 , B 0 C 0 thỏa mãn = , = , = , = . Gọi V1 , V2 lần lượt AA0 2 BB 0 3 CC 0 4 C 0B0 5 V1 là thể tích của khối tứ diện M N P Q và khối lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 . Tính tỉ số . V2 V1 11 V1 11 V1 19 V1 22 A. = . B. = . C. = . D. = . V2 30 V2 45 V2 45 V2 45 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 369 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 C A P M B N A0 C0 Q B0 Ta có VM.N P Q = VA.N P Q và SN P Q = SBCB 0 C 0 − SBCP − SP BN − SP QC 0 − SB 0 QN 1 1 3 4 = SBCB 0 C 0 − SBCB 0 C 0 − SBCB 0 C 0 − SBCB 0 C 0 − SBCB 0 C 0 8 6 40 15 11 = SBCB 0 C 0 . 30 11 ⇒ VA.N P Q = VBCB 0 C 0 . 30 Do đó V1 VA.N P Q 11 VBCB 0 C 0 = = · V2 V2 30 V2 1 11 V2 − VA.A0 B 0 C 0 11 V2 − 3 V2 = · = · 30 V2 30 V2 11 = . 45  Chọn đáp án B Câu 1063. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = x − Tính tổng M + m. A. M + m = 2 − √ 2. √ C. M + m = 2(1 − 2). B. M + m = 2(1 + √ √ 4 − x2 . 2). D. M + m = 4. Lời giải. Điều kiện : − 2 ≤ x ≤ 2. √ x Ta có y 0 = 1 + √ ; y 0 = 0 ⇔ x + 4 − x2 = 0 (1). 4 − x2 √ Giải phương trình (1) và đối chiếu với điều kiện có nghiệm x = − 2. √ √ Do đó y(− 2) = −2 2; y(2) = 2; y(−2) = −2. √ √ √ Vậy M = y(2) = 2; m = y(− 2) = −2 2, suy ra M + m = 2(1 − 2).  Chọn đáp án C Câu 1064. Tính giới hạn L = lim A. L = +∞. n3 − 2n . 3n2 + n − 2 1 C. L = . 3 B. L = 0. D. L = −∞. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 370 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Å ã è  Ö 2 2 n 1 − 1− 2 n3 − 2n n2  n ã = lim  = lim Å Ta có L = lim 2 n ·  = +∞, 1 2 1 2 3n + n − 2 2 3 + − n 3+ − 2 n n2 n n   lim n = +∞     2 1− 2 vì 1−2·0 1 n  = = > 0. lim   2 1  3+0−2·0 3  3+ − 2 n n Chọn đáp án A 3  Câu 1065. Gọi T là tổng các nghiệm của phương trình log21 x − log3 x + 4 = 0. Tính T . A. T = 4. 3 B. T = −5. C. T = 84. D. T = 5. Lời giải. Điều kiện x > 0. Phương trình đã cho tương đương với phương trình log21 x − 5 log3 x + 4 = 0 3 ⇔ (− log3 x)2 − 5 log3 x + 4 = 0 ⇔ log23 x − 5 log3 x + 4 = 0 ” log3 x = 4 ⇔ log3 x = 1 ” x = 34 ⇔ x=3 ” x = 81 ⇔ x = 3. So sánh với điều kiện x > 0, phương trình đã cho có hai nghiệm x = 81 và x = 3 nên T = 81+3 = 84.  Chọn đáp án C Câu 1066. Tìm nghiệm của phương trình sin4 x − cos4 x = 0. π π π A. x = + k , k ∈ Z. B. x = + kπ, k ∈ Z. 4 2 4 π π C. x = ± + k2π, k ∈ Z. D. x = k , k ∈ Z. 4 2 Lời giải. Ta có sin4 x − cos4 x = 0 ⇔ (sin2 x − cos2 x)(sin2 x + cos2 x) = 0 ⇔ − cos 2x · 1 = 0 ⇔ cos 2x = 0 π ⇔ 2x = + kπ 2 π π ⇔ x = + k , k ∈ Z. 4 2  Chọn đáp án A Câu 1067. Tìm điều kiện cần và đủ của a, b, c để phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 371 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. a2 + b2 > c. Chương 3-Giải tích 12 B. a2 + b2 ≤ c2 . C. a2 + b2 = c2 . D. a2 + b2 ≥ c2 . Lời giải. Điều kiện cần và đủ của a, b, c để phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm là a2 + b2 ≥ c2 .  Chọn đáp án D Câu 1068. Tìm tập xác định D của hàm số y = (x2 − 1)−4 . A. D = R. B. D = (−1; 1). C. D = R{−1; 1}. Lời giải. D. D = (−∞; −1) ∪ (1; +∞). Điều kiện x2 − 1 6= 0 ⇔ x 6= ±1 ( −4 là số mũ nguyên âm). Vậy tập xác định là D = R{−1; 1}.  Chọn đáp án C Câu 1069. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới y đây? 2 A. y = x3 − 3×2 + 1. 3 2 C. y = −x − 3x + 1. B. y = 2×3 − 6×2 + 1. 1 D. y = − x3 + x2 + 1. 3 1 −2 −1 O −1 1 2 3 4 x −2 −3 −4 Lời giải. Ta có lim y = +∞ và đồ thị đi qua điểm (2; −3) nên chọn hình vẽ bên là của đồ thị hàm số x→+∞ y = x3 − 3×2 + 1.  Chọn đáp án A Câu 1070 (1D3Y-4-5). Cho cấp số nhân u1 , u2 , u3 , …, un với công bội q (q 6= 0, q 6= 1). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + … + un . Khi đó ta có: A. Sn = u1 (q n − 1) . q−1 B. Sn = u1 (q n−1 − 1) u1 (q n + 1) . C. Sn = . q−1 q+1 D. Sn = u1 (q n−1 − 1) . q+1 Lời giải. Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân là Sn = u1 (1 − q n ) u1 (q n − 1) = . 1−q q−1  Chọn đáp án A Câu 1071. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 372 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Săm lốp xe tô khi bơm căng đặt nằm trên mặt phẳng nằm ngang có hình chiếu bằng như hình vẽ với bán kính đường tròn nhỏ R1 = 20 cm, bán kính đường tròn lớn R2 = 30 cm và mặt cắt khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trục, vuông góc mặt phẳng nằm ngang là hai đường tròn. Bỏ qua độ dày vỏ săm. Tính thể R2 R1 O tích không khí được chứa bên trong săm. A. 1250π 2 cm3 . B. 1400π 2 cm3 . C. 2500π 2 cm3 . D. 600π 2 cm3 . Lời giải. Thể tích săm xe bằng thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình tròn tâm y I(0; 25) bán kính bằng 5 quay quanh trục Ox. Ta có phương trình đường ” tròn tâm √ I bán kính bằng 5 là y = 25 + 25 − x2 2 2 x + (y − 25) = 25 ⇔ , x ∈ [−5; 5]. √ y = 25 − 25 − x2 Khi dóthể tích săm xe là  5 Z5 Z √ √ V = π  (25 + 25 − x2 )2 dx − (25 − 25 − x2 )2 dx −5 = 100π 30 I 20 −5 Z5 √ x 25 − x2 dx. −5 O 5 −5 Ta có Z5 √ −5 Z5 5 nên 25 − x2 dx là diện tích nửa hình tròn tâm O(0; 0), bán kính bằng √ 1 25π 25 − x2 dx = · π · 52 = . 2 2 −5 Suy ra V = 100π · Z5 √ 25 − x2 dx = 100π · 25π = 1250π 2 cm3 . 2 −5  Chọn đáp án A Câu 1072. Một lớp học có 15 bạn nam và 10 bạn nữ. Số cách chọn hai bạn trực nhật sao cho có cả nam và nữ là A. 300. B. 25. C. 150. D. 50. Lời giải. Ta có 15 bạn nam và 10 bạn nữ. Có C115 = 15 cách chọn 1 bạn nam. Có C110 = 15 cách chọn 1 bạn nữ. Khi đó, số cách chọn hai bạn sao cho có một bạn nam và một bạn nữ là: C115 · C110 = 15 · 10 = 150.  Chọn đáp án C Câu 1073. Hàm số y = x4 − x3 − x + 2019 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 373 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Ta có: y 0 = 4×3 − 3×2 − 1 ⇒ y 0 = 0 ⇔ 4×3 − 3×2 − 1 = 0 ⇔ x = 1. y 00 = 12×2 − 6x ⇒ y 00 (1) = 12 − 6 = 6 > 0. ⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy đồ thị hàm số đã cho có 1 điểm cực trị. Chọn đáp án D  x trên đoạn [−2; 3] bằng Câu 1074. Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x+3 1 A. −2. B. . C. 3. D. 2. 2 Lời giải. x Hàm số f (x) = xác định trên đoạn [−2; 3]. x+3 3 > 0, ∀x ∈ [−2; 3] ⇒ Hàm số luôn đồng biến trên đoạn [−2; 3]. Ta có: f 0 (x) = (x + 3)2 x 1 ⇒ GTLN của hàm số f (x) = trên đoạn [−2; 3] là f (3) = . x+3 2 Chọn đáp án B  Câu 1075. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên R, có bảng biến thiên như sau: −∞ x y0 −1 0 + +∞ 1 0 − + +∞ 2 y −∞ −1 Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −2). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; +∞). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta thấy. Hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞), hàm số nghịch biến trên (−1; 1). Vậy hàm số đồng biến trên (−∞; −2).  Chọn đáp án B Câu 1076. Hàm số y = −x3 + 3×2 − 1 có đồ thị nào trong các đồ thị dưới đây? y y y 4 5 3 4 y 1 −2 −1 O −1 2 1 2 3 x 1 2 3 1 2 −2 1 −3 −2 −4 −3 −2 −1 O −1 1 −2 Hình 1 A. Hình 3. 2 3 x −2 −1 O 1 −1 Hình 2 2 3 x −2 −1 O −1 Hình 3 B. Hình 1. 1 2 x Hình 4 C. Hình 2. D. Hình 4. Lời giải. Ta có: lim y = −∞ ⇒ loại đáp án A và D. x→+∞ Đồ thị hàm số đi qua điểm (0; −1) ⇒ loại đáp án C. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 374 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án B 1 1 1 190 1 + + + ··· + = log3 x log32 x log33 x log3n x log3 x đúng với mọi x dương, x 6= 1. Tìm giá trị của biểu thức P = 2n + 3. Câu 1077. Gọi n là số nguyên dương sao cho A. P = 23. B. P = 41. C. P = 43. D. P = 32. Lời giải. Với mọi x > 0, x 6= 1 ta có: 1 1 1 1 190 + + + ··· + = log3 x log32 x log33 x log3n x log3 x 2 n ⇔ logx 3 + logx 3 + · · · + logx 3 = 190 logx 3 ⇔ logx (3.32 .33 . . . 3n ) = 190 logx 3 ⇔ logx 31+2+3+···+n = 190 logx 3 n (n + 1) ⇔ = 190 ⇔ n (n + 1) = 380 ⇔ n = 19. 3 ⇒ P = 2n + 3 = 41.  Chọn đáp án B Câu 1078. Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số y = −x4 + 8×2 . A. (−∞; −2) ∪ (0; 2). B. (−∞; −2) và (0; 2). C. (−2; 0) ∪ (2; +∞). D. (−2; 0) và (2; +∞). Lời giải. y 0 = −4×4 + 16x. y 0 = 0 ⇔ x ∈ {−2; 0; 2}. Ta có bảng biến thiên x −∞ y0 y −2 + 0 0 − 0 +∞ 2 + 0 − −∞ −∞ Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (−∞; −2) và (0; 2).  Chọn đáp án D Câu 1079. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M (3; −2) là điểm biểu diễn cho số phức nào sau đây? A. z = 2 − 3i. C. z = 3 − 2i. B. z = 2 + 3i. D. z = −3 + 2i. Lời giải. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M (3; −2) là điểm biểu diễn cho số phức z = 3 − 2i.  Chọn đáp án C Câu 1080. Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x3 − 3×2 + 1 là B. (2; −3). A. (0; 1). C. (1; −1). D. (3; 1). Lời giải. Tập xác định D = R. ” y 0 = 3×2 − 6x; y 0 = 0 ⇔ x=0 x = 2. Bảng biến thiên Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 375 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ x −∞ f 0 (x) Chương 3-Giải tích 12 0 + +∞ 2 − 0 0 + +∞ 1 f (x) −∞ −3 Vậy tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x3 − 3×2 + 1 là (0; 1).  Chọn đáp án A Câu 1081. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(5; 3; −1) và B(1; −1; 9). Tọa độ trung điểm I của đoạn AB là A. I(3; 1; 4). B. I(2; 2; −5). C. I(2; 6; −10). D. I(−1; −3; −5). Lời giải.  5+1   xI = =3   2   3−1 Tọa độ trung điểm I của đoạn AB là yI = =1  2     zI = −1 + 9 = 4. 2  Chọn đáp án A Câu 1082. Trong không gian Oxyz, cho véc-tơ #» u = (1; 3; 1), đường thẳng nào dưới đây nhận #» u là véc-tơ chỉ phương?   x = 1 + 2t   A. y = 3 + 3t .    z = 1 − 4t   x = 1 + 2t   B. y = 2 − 3t .    z = 2 − 4t   x=2+t   C. y = 3 + 3t .    z = −4 + t   x=2+t   D. y = 3 + 5t .    z = −4 − 3t Lời giải.   x = 2 + t  u làm véc-tơ chỉ phương. Đường thẳng y = 3 + 3t nhận #»    z = −4 + t  Chọn đáp án C Câu 1083. Hình bát diện đều có bao nhiêu cạnh? A. 8. B. 9. C. 11. D. 12. Lời giải. Hình bát diện đều có 12 cạnh. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 376 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 E A B D C F  Chọn đáp án D Câu 1084. Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy r = 50 cm và có chiều cao h = 50 cm. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng A. 2500π cm2 . B. 5000ππ cm2 . C. 2500π cm2 . D. 5000π cm2 . Lời giải. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng Sxq = 2πrl = 2π · 50 · 50 = 5000ππ cm2 .  Chọn đáp án B Câu 1085. Cho dãy số (un ) biết ( u1 = 3 un+1 = 3un B. un = 3n+1 . n A. un = 3 . , ∀n ∈ N∗ . Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un ). C. un = 3n−1 . D. un = nn+1 . Lời giải. un+1 Ta có = 3. un Do đó dãy số (un ) là một cấp số nhân với công bội q = 3. Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân là un = u1 · q n−1 = 3 · 3n−1 = 3n .  Chọn đáp án A Câu 1086. Hàm số F (x) = x2 + sin x là một nguyên hàm của hàm số 1 B. f (x) = 2x + cos x. A. f (x) = x3 + cos x. 3 1 C. f (x) = x3 − cos x. D. f (x) = 2x − cos x. 3 Lời giải. F (x) là nguyên hàm của f (x) ⇔ F 0 (x) = f (x). Ta có F 0 (x) = 2x + cos x. Vậy hàm số F (x) = x2 + sin x là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + cos x.  Chọn đáp án B Z2 Å Câu 1087. Tích phân I = 1 +2 x ã dx bằng 1 A. I = ln 2 + 2. C. I = ln 2 − 1. B. I = ln 2 + 1. D. I = ln 2 + 3. Lời giải. Z2 Å Ta có I = 1 +2 x 2 ã dx = ln x + 2x  1 = ln 2 + 4 − 2 = ln 2 + 2. 1  Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 377 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1088. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A(3; 4; 2), B (5; −1; 0) và C(2; 5; 1). Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C có phương trình A. 7x + 4y − 3z − 31 = 0. B. x + y + z − 9 = 0. C. 7x + 4y − 3z + 31 = 0. D. x + y + z − 8 = 0. Lời giải. # » # » Ta có: AB = (2; −5; −2); AC = (−1; 1; −1). î # » # »ó Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C nhận véc-tơ #» n = AB, AC = (7; 4; −3) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình 7x + 4y − 3z − 31 = 0.  Chọn đáp án A Câu 1089. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x + 2y − 3z − 12 = 0 và đường thẳng d y + 10 z−4 x+7 = = . Toạ độ giao điểm M của đường thẳng d với mặt phẳng có phương trình d : 3 4 −2 (P ) là A. M (2; 2; −2). B. M (−7; −10; 4). C. M (1; 2; −3). D. M (2; −1; −3). Lời giải. Toạ  của d và (P ) là nghiệm của hệ phương trình:  x = −7 + 3t (1)     y = −10 + 4t (2)  z = 4 − 2t (3)      x + 2y − 3z − 12 = 0 (4) Thay (1), (2), (3) vào (4) ta được t = 3. Vậy M (2; 2; −2) là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (P ).  Chọn đáp án A Câu 1090. Số nghiệm của phương trình 22x A. 3. 2 −5x+3 = 1 là B. 2. C. 0. D. 1. Lời giải.  x=1 2 Ta có 22x −5x+3 = 1 = 20 ⇔ 2×2 − 5x + 3 = 0 ⇔  3 x= . 2 Chọn đáp án B Câu 1091. Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = A. 0.  4x − x trên đoạn [0; 4] là x+1 B. 1. C. 2. D. 4 . 5 Lời giải. ” ” x + 1 = 2 x = 1 ∈ [0; 4] 4 4 2 Ta có f 0 (x) = − 1; − 1 = 0 ⇔ (x + 1) = 4 ⇔ ⇔ . (x + 1)2 (x + 1)2 x + 1 = −2 x = −3 ∈ / [0; 4]. 4 f (0) = 0, f (1) = 1, f (4) = − . Vậy max f (x) = f (1) = 1. [0;4] 5 Chọn đáp án B  Câu 1092. Tập hợp tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 − mx2 + (m + 6)x − m có điểm cực trị là A. (−∞; −3) ∪ (6; +∞). B. (−∞; −6) ∪ (3; +∞). C. (−∞; −3] ∪ [6; +∞). D. (−∞; −6] ∪ [3; +∞). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 378 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Lời giải. Ta có y 0 = 3×2 − 2mx + m + 6 = 0. Hàm số y = x3 − mx2 + (m + 6)x − m có điểm cực trị khi”và chỉ khi y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt m < −3 ⇔ ∆0 > 0 ⇔ m2 − 3(m + 6) > 0 ⇔ m2 − 3m − 18 > 0 ⇔ m > 6.  Chọn đáp án A x+1 Câu 1093. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = √ là 1 − x2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Điều kiện 1 − x2 > 0 ⇔ −1 < x < 1. Do vậy đồ thị hàm √ số không có tiệm cận ngang. x+1 x+1 x+1 Xét lim− √ = lim− √ = +∞. Nên đồ thị hàm số có tiệm cận = lim− p x→1 x→1 x→1 1−x 1 − x2 (1 − x)(1 + x) đứng là đường thẳng x = 1. √ x+1 x+1 x+1 = lim + √ = 0. Suy ra đường thẳng x = −1 Xét lim + √ = lim + p 2 x→(−1) x→(−1) 1−x 1−x (1 − x)(1 + x) x→(−1) không là tiệm cận của đồ thị hàm số.  Chọn đáp án A Câu 1094. Phương trình x4 − 4x2 + m − 3 = 0 ( m là tham số) có đúng bốn nghiệm khi và chỉ khi A. m < 7. B. m 6 7. C. m < 3. D. 3 < m < 7. Lời giải. Ta có x4 − 4x2 + m − 3 = 0 ⇔ x4 − 4x2 − 3 = −m. Số nghiệm của phương trình x4 − 4x2 − 3 = −m bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = x4 − 4x2 − 3 và đường thẳng y = −m. 4 2 0 3 Xét hàm số " y = x − 4x − 3 có y = 4x − 8x. x=0 y0 = 0 ⇔ √ . x = ± 2. Có bảng biến thiên: √ x −∞ − 2 y0 − + 0 √ 2 0 0 +∞ − 0 +∞ + +∞ −3 y −7 −7 Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có 4 nghiệm thì −7 < −m < −3 ⇔ 3 < m < 7.  Chọn đáp án D Câu 1095. Tìm hệ số của x7 trong khai triển (2 − 3x)15 . A. −C815 · 28 · 37 · x7 . B. C715 · 28 · 37 . C. −C715 · 28 · 37 . D. −C815 · 28 · 3. Lời giải. 15 Ta có (2 − 3x) = 15 X Ck15 15−k ·2 k · (−3x) = k=0 15 X Ck15 · 215−k · (−3)k · xk . k=0 Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi k = 7 nên hệ số cần tìm là −C715 · 28 · 37 . Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 379 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án C y−6 z+2 x−2 = = và Câu 1096. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau d1 : 2 −2 1 x−4 y+1 z+2 d2 : = = . Phương trình mặt phẳng (P ) chứa d1 và (P ) song song với đường thẳng 1 3 −2 d2 là A. (P ) : x + 5y + 8z − 16 = 0. B. (P ) : x + 5y + 8z + 16 = 0. C. (P ) : x + 4y + 6z − 12 = 0. Lời giải. D. (P ) : 2x + y − 6 = 0. Đường thẳng d1 đi qua A(2; 6; −2) và có một véc-tơ chỉ phương u#»1 = (2; −2; 1). Đường thẳng d có một véc-tơ chỉ phương u#» = (1; 3; −2). 2 2 Gọi #» n là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P ). Do mặt phẳng (P ) chứa d1 và (P ) song song với đường thẳng d2 nên #» n = [u#»1 , u#»2 ] = (1; 5; 8). Vậy phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A(2; 6; −2) và có một véc-tơ pháp tuyến #» n = (1; 5; 8) là x + 5y + 8z − 16 = 0.  Chọn đáp án A Câu 1097. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x+2y+z−12 = 0 và hai điểm A(5; 10; 21), B(1; 3; 16). Gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm A đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P ). Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng ∆ bằng A. 3. B. 4. C. 13. D. 9. Lời giải. Mặt phẳng (P ) có một véc-tơ pháp tuyến là #» n = (2; 2; 1). Vì đường thẳng ∆ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P ) nên ∆ có một véc-tơ chỉ phương là  x = 5 + 2t   #» u = (2; 2; 1) ⇒ phương trình đường thẳng ∆ là y = 10 + 2t (t ∈ R).    z = 21 + t. î# » ó AB, #» u # » Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng ∆ là d (B, ∆) = ,với AB = (−4; −7; −5), #» |u| #» u = (2; 2; 1). î# » ó AB, #» u Vậy d (B, ∆) = = 3. | #» u|  Chọn đáp án A x−2 y z−1 = = và điểm I(1; −2; 5). 3 6 2 Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB Câu 1098. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : vuông tại I. A. (S) : (x − 1)2 + (y + 2)2 + (x − 5)2 = 40. C. (S) : (x − 1)2 + (y + 2)2 + (x − 5)2 = 69. B. (S) : (x − 1)2 + (y + 2)2 + (x − 5)2 = 49. D. (S) : (x − 1)2 + (y + 2)2 + (x − 5)2 = 64. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 380 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Đường thẳng d đi qua M (2; 0; 1) và có một véc-tơ chỉ phương là #» u = A (3; 6; 2). H Gọi H làó hình chiếu của I trên đường thẳng d ta có IH = d(I, d) = î# » IM , #» u # » , với IM = (1; 2; −4), #» u = (3; 6; 2) . #» |u| î# » ó IM , #» u √ Suy ra IH = d(I, d) = = 20. #» |u| √ Theo đề bài ta có tam giác IAB vuông cân tại I nên IA = IH 2 = √ 40. B I Vậy phương trình mặt cầu (S) là (x − 1)2 + (y + 2)2 + (x − 5)2 = 40.  Chọn đáp án A Câu 1099. Cho mặt cầu (S) tâm O và các điểm A, B, C nằm trên mặt cầu (S) sao cho AB = AC = 6, BC = 8. Khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (ABC) bằng 2. Diện tích mặt cầu (S) bằng √ 404π 505 A. . 75 Lời giải. B. 2196π . 75 C. 404π . 5 D. 324π . 5 Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, do A, B, C nằm trên mặt cầu (S) nên OI ⊥ (ABC). Theo đề bài ta có khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (ABC) bằng 2 hay OI = 2. Gọi M là trung điểm của BC, do tam giác ABC cân tại A nên AM ⊥ √ √ BC ⇒ AM = AB 2 − BM 2 = 20. √ 1 1 √ Diện tích tam giác ABC là S4ABC = AM · BC = · 20 · 8 = 8 5. 2 2 Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có r = AB · BC · CA 6·6·8 9 √ =√ . = 4S4ABC 4·8 5 5 81 101 Xét tam giác vuông OIA ta có OA2 = OI 2 + IA2 = 4 + = . 5 5 101 404π Vậy diện tích mặt cầu (S) là S = 4πR2 = 4π · OA2 = 4π · = . 5 5 O A B I C  Chọn đáp án C √ Câu 1100. Cho hình lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a 5, BC = 3a. √ Cạnh bên AA0 = a 3 và tạo với mặt phẳng đáy một góc 60◦ . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 bằng √ 3a3 10 A. . 2 Lời giải. √ a3 2 B. . 2 √ 3a3 5 C. . 2 √ a3 5 D. . 2 ¤ 0 A; (ABC)) = A 0 AH = 60◦ ÷ Kẻ A0 H ⊥ (ABC) tại√H ⇒ (A √ 0 3 3 0 3a AH ⇒ sin 60◦ = 0 = ⇒ A0 H = AA= . AA 2 2 2 √ 1 0 Cạnh AC = BC 2 − AB 2 = 2a ⇒ V = A H · SABC = A0 H. AB · 2 √ 3a 1 √ 3a3 5 · · a 5 · 2a = . AC = 2 2 2 A0 C0 B0 C A H B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 381 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  Chọn đáp án C Câu 1101. Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm thuộc khoảng (0; 2023) của phương trình lượng giác Ä√ ä √ 3 (1 − cos 2x) + sin 2x − 4 cos x + 8 = 4 3 + 1 sin x. Tổng tất cả các phần tử của S là 312341 310408 π. B. 102827π. C. π. D. 104760π. A. 3 3 Lời giải. Ä√ ä √ Ta có 3 (1 − cos 2x) + sin 2x − 4 cos x + 8 = 4 3 + 1 sin x Ä√ ä √ ⇔ 2 3 sin2 x + 2 sin x cos x − 4 cos x + 8 = 4 3 + 1 sin x √ ⇔ 2 3 sin x (sin x − 2) + 2 cos x (sin x − 2) = 4 (sin x − 2) √ ⇔ 2 3 sin x + 2 cos x = 4 (vì sin x 6 1 < 2 ) √ π π ⇔ 3 sin x + cos x = 2 ⇔ sin x cos + cos x sin = 1 6 6  π π π π = 1 ⇔ x + = + k2π ⇔ x = + k2π (k ∈ Z). ⇔ sin x + 6 6 2 3 Å ã π 1 2023 Theo đề bài x ∈ (0; 2023) ⇒ + k2π ∈ (0; 2023) ⇒ 2k + ∈ 0; ⇒ k ∈ {0; 1; . . . ; 321}. 3 3 π Tổng tất cả các phần tử của S là π π 310408 π. 322 · + (0 + 1 + 2 + · · · + 321)2π = 322 · + 51681 · 2π = 3 3 3 Chọn đáp án A  Câu 1102. Giá trị thực của tham số m để phương trình log23 x − 3 log3 x + 3m − 5 = 0 có hai nghiệm thực xÅ1 , x2 thỏa sau đây? ã mãn (x1 + 3)(x Å2 + 3) ã = 72 thuộc khoảng Å nào ã Å ã 5 5 5 10 10 A. − ; 0 . B. 0; . C. ; . D. ;5 . 3 3 3 3 3 Lời giải. ã Å 3 2 29 2 − 3m Ta có log3 x − 3 log3 x + 3m − 5 = 0 ⇒ log3 x − = 2 4 …   √ 3 29 3+ 29−12m ã Å log x − = − 3m 2  3 29 x = 3 2 4 √ … ⇒ − 3m > 0 ⇒ .   3− 29−12m 4 3 29 2 x=3 log3 x − = − − 3m 2 4 ã Å 3−√29−12m ã Å 3+√29−12m 2 2 +3 3 + 3 = 72 Theo đề bài (x1 + 3)(x2 + 3) = 72 ⇒ 3 √ √ √ Å 3+√29−12m ã 3− 29−12m 3+ 29−12m 3− 29−12m 2 2 2 2 ⇒ 33 + 3 3 +3 + 9 = 72 ⇒ 3 +3 = 12. √ √ 3 + 29 − 12m 3 3 − 29 − 12m Đặt t = > ⇒ =3−t 2 2 2 ” ” t 3 = 9 t=2 3 ⇒ 3t + 33−t = 12 ⇒ (3t )2 + 33 = 12 · 3t ⇒ ⇒ ⇒ t = 2 vì t > . t 2 3 =3 t=1 √ √ 3 + 29 − 12m 7 Với t = 2 ⇒ = 2 ⇔ 29 − 12m = 1 ⇔ m = . 2 3 Å ã 7 5 10 Thử lại ta thấy thỏa mãn, do đó m = ∈ ; . 3 3 3 Chọn đáp án C  Câu 1103. Cho số phức z = x + yi (x, y ∈ R) thỏa mãn z + 2 − i − z (1 − i) = 0. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M là điểm biểu diễn của số phức z. Hỏi M thuộc đường thẳng nào sau đây? A. x − y + 5 = 0. B. x − y + 2 = 0. C. x + y − 2 = 0. D. x + y + 1 = 0. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 382 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 p Ta có z + 2 − i − z (1 − i) = 0 ⇔ x + yi + 2 − i − (1 − i) x2 + y 2 = 0 Ä ä p p ⇔ x + 2 − x2 + y 2 + y − 1 + x2 + y 2 i = 0 p ( p p x + 2 − x2 + y 2 = 0 ⇔ ⇒ x + 2 − x2 + y 2 + y − 1 + x2 + y 2 = 0 ⇔ x + y + 1 = 0. p y − 1 + x2 + y 2 = 0 Do đó M thuộc đường thẳng x + y + 1 = 0.  Chọn đáp án D Câu 1104. Cho số phức z thỏa mãn z − 2 + 3i = √ 5. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và 2 2 lớn nhất của biểu thức P = z + i − z − 2 . Tính A = m + M . A. A = −3. B. A = −2. C. A = 5. D. A = 10. Lời giải. √ √ Đặt z = x + iy ( x, y ∈ R ) thì z − 2 + 3i = 5 ⇔ x + iy − 2 + 3i = 5 ⇔ (x − 2)2 + (y + 3)2 = 5. 2 2 2 2 P = z + i − z − 2 = x + iy + i − x + iy − 2 = x2 + (y + 1)2 − (x − 2)2 − y 2 = 4x + 2y − 3. √ √ Đặt x = 2 + 5 sin t, y = −3 + 5 cos t, t ∈ R. Ä ä Ä ä √ √ √ √ ⇒ P = 4 2 + 5 sin t + 2 −3 + 5 cos t − 3 = 4 5 sin t + 2 5 cos t − 1. ä2 Ä √ √ (P + 1)2 = 4 5 sin t + 2 5 cos t 6 (80 + 20).1 ⇒ −10 6 P + 1 6 10 ⇒ −11 6 P 6 9. Vậy A = −11 + 9 = −2.  Chọn đáp án B Zb Zb g(x) dx = −3. Giá trị của M = f (x) dx = 2, Câu 1105. Cho biết a Zb a [5f (x) + 3g(x)] dx a bằng A. M = 6. B. M = 1. C. M = 5. D. M = 9. Lời giải. Zb Zb Zb M = [5f (x) + 3g(x)] dx = 5 f (x) dx + 3 g(x) dx = 5 · 2 − 3 · 3 = 1. a a a  Chọn đáp án B √ Câu 1106. Gọi (H) là hình giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x, y = 2 − x và trục hoành. Diện tích của hình (H) bằng √ 7 9 4 2 5 A. . B. . C. 2 − . D. . 6 2 3 6 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm ( 06×62 √ x=2−x⇔ ⇔ x = 1. x = 4 − 4x + x2 Z1 Z2 Å ã 1 √ 2 √ x2 Vậy S = x dx + (2 − x) dx = x x + 2x − 3 2 0 0 1 2 1 7 + = . 3 2 6 y y= 2 2 = √ x 1 1 O 1 2 x y =2−x  Chọn đáp án A Z1 0 Câu 1107. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) và thỏa (2x + 1)f 0 (x) dx = 10, 3f (1) − f (0) = 12. 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 383 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Z1 Tính I = f (x) dx. 0 A. I = 2. C. I = −1. B. I = 1. D. I = −2. Lời giải. Đặt u = 2x + 1 ⇒ du = 2 dx, dv = f 0 (x) dx ⇒ v = f (x). Z1 Z1 Z1 1 Ta có 10 = (2x + 1)f 0 (x) dx = [(2x + 1)f (x)] − 2 f (x) dx = 3f (1) − f (0) − 2 f (x) dx. 0 0 Z1 ⇒I= f (x) dx = 0 0 12 − 10 = 1. 2 0  Chọn đáp án B Z2 Câu 1108. Hàm số f (x) là hàm số chẵn liên tục trên R và Z2 f (x) dx = 10. Tính I = −2 0 A. I = 10. B. I = 10 . 3 f (x) dx. 2x + 1 C. I = 20. D. I = 5. Lời giải. Đặt t = −x ⇒ dt = − dx. Đổi cận x = −2 ⇒ t = 2, x = 2 ⇒ t = −2. Z2 Z2 Z2 2t 2x f (t) dt = f (t) dt = f (x) dx I= 2−t + 1 2t + 1 2x + 1 −2 −2 Z2 ⇒ 2I = −2 f (x) dx + 2x + 1 −2 Z2 2x f (x) dx = 2x + 1 −2 Z2 Z0 f (x) dx = Z2 f (x) dx = f (x) dx + −2 −2 Z0 0 f (x) dx + 10 −2 Mặt khác do f (x) là hàm số chẵn nên f (−x) = f (x). Z0 Xét J = f (x) dx, đặt t = −x ⇒ dt = − dx −2 Z2 ⇒J = Z2 f (−t) dt = 0 Z2 f (x) dx = 10 ⇒ 2I = 20 ⇒ I = 10. f (−x) dx = 0 0  Chọn đáp án A Câu 1109. Cho 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100, chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ. Xác suất để chọn được 3 tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là số chia hết cho 2 là 5 1 5 A. P = . B. P = . C. P = . 6 2 7 Lời giải. 3 D. P = . 4 Chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ từ 100 tấm thẻ có C3100 (cách chọn). Để chọn được 3 tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là số chia hết cho 2 thì có thể xảy ra các trường hợp sau: TH1: Cả 3 tấm thẻ được chọn đều ghi số chẵn, có C350 (cách chọn). TH2: Chọn được 2 tấm thẻ ghi số lẻ và 1 tấm thẻ ghi số chẵn, có C250 · C150 (cách chọn). Do đó có tất cả C350 + C250 · C150 cách chọn thỏa yêu cầu đề bài. C3 + C250 · C150 1 Xác suất cần tìm là P = 50 = . 3 C100 2 Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 384  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Câu 1110. Gọi S là tập hợp giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x9 + 3×3 − 9x = √ m + 3 3 9x + m có đúng hai nghiệm thực. Tích tất cả phần tử của tập S là A. −1. B. −64. C. −81. D. −121. Lời giải. 3 √ √ √ Ta có x9 + 3×3 − 9x = m + 3 3 9x + m ⇔ (x3 )3 + 3×3 = 3 9x + m + 3 3 9x + m (1). 3 0 2 Hàm số f (t) = t + 3t có f (t) = 3t + 3 > 0, ∀t ∈ R nên nó đồng biến trên R.  √ √ Mặt khác, theo (1) ta có f (x3 ) = f 3 9x + m ⇔ x3 = 3 9x + m hay m = x9 − 9x (∗). Đặt g(x) = x9 − 9x, ta có g 0 (x) = 9×8 − 9; g 0 (x) = 0 ⇔ x = ±1. Bảng biến thiên: x −∞ g 0 (x) −1 + +∞ 1 − 0 0 + +∞ 8 g(x) −∞ −8 Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực ⇔ phương trình (∗) có đúng hai nghiệm thực ⇔ m = −8 hoặc m = 8. Do đó S = {−8; 8}. Tích các phần tử của S bằng −64.  Chọn đáp án B Câu 1111. Cho hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị nhận hai điểm A(1; 3) và B(3; −1) làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax2 x + bx2 + c x + d là A. 5. B. 7. C. 9. D. 11. Lời giải. Xét hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có  y 0 = 3ax2 + 2bx + c.     a=1 a + b + c + d = 3 y(1) = 3             b = −6 3a + 2b + c = 0 y 0 (1) = 0 . ⇔ ⇔ Theo giả thiết, ta có hệ phương trình c = 9   27a + 9b + 3c + d = −1 y(3) = −1                0 d = −1. 27a + 6b + c = 0 y (3) = 0 3 2 Vậy hàm số đã cho là y = f (x) = x − 6x + 9x − 1 có đồ thị (C) như sau: y (C) x O Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 385 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 3 Từ đồ thị (C), ta suy ra đồ thị (C1 ) của hàm số y = x − 6×2 + 9 x − 1 gồm có hai phần: + Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị (C) bên phải trục tung. + Phần 2: Lấy đối xứng của phần 1 qua trục tung y (C1 x O 3 Từ đó suy ra đồ thị (C2 ) của hàm số y = x − 6×2 + 9 x − 1 gồm có hai phần: + Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị (C1 ) phía trên trục hoành. + Phần 2: Lấy đối xứng của phần đồ thị (C1 ) phía dưới trục hoành qua trục hoành. y (C2 ) x O Do đó, đồ thị (C2 ) có 11 điểm cực trị.  Chọn đáp án D Câu 1112. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, G là trọng tâm tam giác ABC. Góc giữa mặt bên với đáy bằng 60◦ . Khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBC) bằng A. a . 2 B. a . 4 C. 3a . 4 D. 3a . 2 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 386 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 Gọi I là trung điểm BC. S Trong mặt ( phẳng (SAI), kẻ GH ⊥ SI (1) BC ⊥ AI Ta có: ⇒ BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ GH (2). BC ⊥ SI Từ (1), (2) ⇒ GH ⊥ (SBC) ⇒ d (G; (SBC)) = GH.  (SBC) ∩ (ABC) = BC   Có: ⇒ ((SBC); (ABC)) SI ⊥ BC    AI ⊥ BC ‘ = SIG ‘ = 60◦ . (SI; AI) = SIA √ √ √ 3 3 1 a 3 a Ta có GI = AI = ⇒ GH = GI sin 60◦ = · = 3 6 6 2 H = A C I G B a . 4  Chọn đáp án B Câu 1113. Cho hình lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB = 2a. Hình chiếu vuông góc của A0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh AB. Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60◦ . Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng AC và BB 0 . Tính cos ϕ. 1 1 2 2 A. cos ϕ = . B. cos ϕ = . C. cos ϕ = . D. cos ϕ = . 4 3 5 3 Lời giải. Ta có A0 H ⊥ (ABC) ⇒ AH là hình chiếu của AA0 lên mặt phẳng C0 A0 (ABC). 0 AH = 60◦ . ÷ ⇒ (AA0 ; (ABC)) = (AA0 ; AH) = A 0 AC = ϕ. ’ Ta có: AA0 k BB 0 ⇒ (AC; BB 0 ) = (AC; AA0 ) = A √ √ Có AH = a ⇒ A0 H = AH tan 60◦ = a 3; AA0 = AH 2 + A0 H 2 = √ √ 2a; CH = a 3 ⇒ A0 C = a 6. AA0 2 + AC 2 − A0 C 2 0 0 ’ = Xét ∆A AC, ta có: cos A AC = 2AA0 · AC 2 2 2 1 4a + 4a − 6a = . 2 · 2a · 2a 4 B0 A C H B  Chọn đáp án A Câu 1114. Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(3; 7; 1), B(8; 3; 8) và C(−2; 5; 6). Gọi (S1 ) là mặt cầu tâm A bán kính bằng 3 và (S2 ) là mặt cầu tâm B bán kính bằng 6. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đi qua C và tiếp xúc đồng thời cả hai mặt cầu (S1 ), (S2 )? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. √ Ta có AB = 3 10. Gọi (P ) là mặt phẳng đi qua C(−2; 5; 6) ⇒ (P ) : A(x+2)+B(y−5)+C(z−6) = 0 (A2 +B 2 +C 2 > 0). Mặt phẳng (P ) tiếp xúc với hai mặt cầu (S1 ), (S2 ) nên ta có hệ 5A + 2B − 5C  √ ( ( √  =3  d (A, (P )) = 3 5A + 2B − 5C = 3 A2 + B 2 + C 2 (1) A2 + B 2 + C 2 ⇔ ⇔ √  d (B, (P )) = 6 10A − 2B + 2C = 6 A2 + B 2 + C 2  10A − 2B + 2C  =6  √ 2 A + B2 + C 2 ” ” 5A + 2B − 5C = 5A − B + C B = 2C ⇒ 5A + 2B − 5C = 5A − B + C ⇔ ⇔ 5A + 2B − 5C = −5A + B − C B = −10A + 4C. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 387 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12  A = 2C √ Với B = 2C, thay vào (1): 5A − C = 3 A2 + 5C 2 ⇔ 16A2 − 10AC − 44C 2 = 0 ⇔  11 A=− C 8 • Với A = 2C, chọn C = 1, A = B = 2 ⇒ (P ) : 2x + 2y + z − 12 = 0. 11 • Với A = − C, chọn C = −8, A = 11, B = −16 ⇒ (P ) : 11x − 16y − 8z + 150 = 0. 8 Với B = −10A + 4C, thay vào (1) ta được  1 A= C √  2 − 5A + C = 101A2 − 80AC + 17C 2 ⇔ −76A2 + 70AC − 16C 2 = 0 ⇔  8 A = C. 19 1 • Với A = C, chọn C = 2, A = 1, B = −2 ⇒ (P ) : x − 2y + 2z = 0. 2 8 • Với A = C, chọn C = 19, A = 8, B = −4 ⇒ (P ) : 8x − 4y + 19z − 78 = 0. 19 Vậy có 4 mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.  Chọn đáp án D Câu 1115. Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình (m+1)16x −2(2m−3)4x +6m+5 = 0 có hai nghiệm trái dấu là khoảng (a; b). Tính S = a + b. 29 11 A. S = −5. B. S = − . C. S = − . 6 6 Lời giải. 3 D. S = . 2 Đặt t = 4x (t > 0). Khi đó (m + 1)16x − 2(2m − 3)4x + 6m + 5 = 0 ⇔ (m + 1)t2 − 2(2m − 3)t + 6m + 5 = 0. Để phương trình (m + 1)16x − 2(2m − 3)4x + 6m + 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu thì phương trình (m + 1)t2 − 2(2m − 3)t + 6m + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 thỏa 0 < t1 < 1 < t2 . t2 + 6t + 5 Ta có (m + 1)t2 − 2(2m − 3)t + 6m + 5 = 0 ⇔ m = − 2 . t − 4t + 6 t2 + 6t + 5 trên khoảng (0; +∞), ta có Xét hàm số f (t) = − 2 t − 4t + 6 10t2 − 2t − 56 f 0 (t) = 2 2 (t − 4t + 6)√ 1 + 561 > 1. f 0 (t) = 0 ⇔ t = 10 Ta có bảng biến thiên t 0 f 0 (t) f (t) 1+ 1 − − √ 561 10 0 +∞ + −1 5 6 −1 −4 Từ đó ta chọn −4 < m < −1. Suy ra ( a = −4 b = −1 ⇒ a + b = −5.  Chọn đáp án A x+3 có đồ thị là (C), điểm M thay đổi thuộc đường thẳng d : y = 1−2x x−1 sao cho qua M có hai tiếp tuyến của (C) với hai tiếp điểm tương ứng là A, B. Biết rằng đường thẳng Câu 1116. Cho hàm số y = Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 388 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 AB luôn đi qua điểm cố định là K. Độ dài đoạn thẳng OK là √ √ √ A. 34. B. 10. C. 29. D. √ 58. Lời giải. Vì M ∈ d nên M (m; 1 − 2m). Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ∆. Tiếp tuyến ∆ đi qua M có dạng y = k(x − m) + 1 − 2m. Vì  ∆ tiếp xúc với (C) nên hệ phương trình x+3   = k(x − m) + 1 − 2m (1)  x−1 có nghiệm. −4   = k (2)  (x − 1)2 Thay (2) vào (1) ta được −4 −4 x+3 x+3 = = (x − m) + 1 − 2m ⇔ (x − 1 + 1 − m) + 1 − 2m. 2 x−1 (x − 1) x−1 (x − 1)2 4 ⇔ x + 3 = −4 + (m − 1) · + (1 − 2m)(x − 1)(3). x−1 x+3 4 Mặt khác y = ⇔ = y − 1, thay vào (3) ta được x + 3 = −4 + (m − 1)(y − 1) + (1 − x−1 x−1 2m)(x − 1) ⇔ 2mx − (m − 1)y − m + 7 = 0. Vậy phương trình đường thẳng AB là: 2mx − (m − 1)y − m + 7 = 0. Gọi K(x0 ; y0 ) là điểm cố định mà đường thẳng AB đi qua. Ta có 2mx0 − (m − 1)y0 − m + 7 = 0 ⇔ (2x0 − y0 − 1)m + y0 + 7 = 0. Vì đẳng thức luôn đúng với mọi m nên ta có Vậy OK = √ ( 2x0 − y0 − 1 = 0 y0 + 7 = 0 ⇔ ( x0 = −3 y0 = −7 ⇒ K(−3; −7). 58.  Chọn đáp án D … Câu 1117. Cho dãy số (un ) thỏa mãn: u1 = 1; un+1 = 2 2 u + a, ∀n ∈ N∗ . Biết rằng lim(u21 + u22 + 3 n · · · + u2n − 2n) = b. Giá trị của biểu thức T = ab là A. −2. B. −1. C. 1. D. 2. Lời giải. ∗ Ta có ∀n …∈ N , 2 2 2 un+1 = un + a ⇒ u2n+1 − 3a = (u2n − 3a). 3 3 2 Đặt vn = u2n − 3a thì (vn ) là cấp số nhân với v1 = 1 − 3a và công bội q = . 3 Å ãn−1 Å ãn−1 2 2 (1 − 3a) ⇒ u2n = vn + 3a = (1 − 3a) + 3a. Do đó vn = 3 Å ã3n 2 ï Å ãn ò 1− 2 3 2 2 2 Suy ra u1 + u2 + · · · + un − 2n = (1 − 3a) − 2n + 3na = 3(1 − 3a) 1 − − n(3a − 2). 2 3 1− 3 Vì lim(u21 + u22 + · · · + u2n − 2n) = b nên  ( ï Å Å ãn ã ò a = 2 3a − 2 = 0 2 3 lim 3(1 − 3a) 1 − − n(3a − 2) = b ⇔ ⇔  3 b = 3(1 − 3a) b = −3. Suy ra T = ab = −2.  Chọn đáp án A Câu 1118. Xét ba số thực a, b, c thay đổi thuộc đoạn [0; 3]. Giá trị lớn nhất của biểu thức T = Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 389 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 4 |(a − b)(b − c)(c − a)| + (ab + bc + ca) − (a2 + b2 + c2 ) là 81 3 C. . A. 0. B. − . 2 4 Lời giải. D. 41 . 2 Đặt x = a − b, y = b − c, z = c − a, không mất tổng quát giả sử a > b > c. Do a, b, c ∈ [0; 3] nên x + y = a − c 6 3. Ta có 1 T = −4xyz − (x2 + y 2 + z 2 ) 2  1 = −4xy(−x − y) − x2 + y 2 + (x + y)2 2  x + y 2 81 6 . = 4xy(x + y) − x2 − y 2 − xy 6 11xy − x2 − y 2 6 9xy 6 9 2 4   a=3    81 81 3 nên giá trị lớn nhất của T bằng . Khi b = thì T =  4 4 2    c=0  Chọn đáp án C ĐÁP ÁN 1. D 2. B 3. C 4. B 5. A 6. C 7. B 8. C 9. D 10. C 11. C 21. B 12. B 22. D 13. D 23. D 14. D 24. A 15. B 25. B 16. A 26. D 17. C 27. A 18. A 28. A 19. D 29. B 20. C 30. A 31. C 32. B 33. A 34. D 35. B 36. B 37. D 38. D 39. A 40. C 41. C 43. B 44. D 45. D 46. C 47. C 48. B 49. A 50. A 51. D 52. B 62. D 53. B 63. A 54. C 64. D 55. C 65. B 56. A 66. A 57. D 67. A 58. A 68. A 59. B 69. A 60. B 70. D 61. B 71. C 72. C 73. A 74. B 75. C 76. A 77. D 78. C 79. C 80. C 81. B 82. D 83. B 84. A 85. C 86. C 87. B 88. B 89. D 90. B 91. C 92. B 102. B 93. B 103. C 94. B 104. A 95. B 106. D 96. C 107. A 97. C 108. C 98. C 109. A 99. A 110. A 100. A 111. B 101. B 112. D 113. D 114. C 115. B 116. C 118. C 119. A 120. A 121. A 122. B 123. B 124. B 125. D 126. A 127. B 129. B 130. C 131. D 132. D 133. D 134. B 135. D 145. B 136. A 146. D 137. D 147. A 138. C 148. A 139. D 149. B 140. A 150. C 141. C 151. C 142. A 152. A 143. C 153. C 144. C 154. C 155. C 156. D 157. B 158. D 159. B 160. C 161. D 162. D 163. D 164. D 165. A 166. A 167. C 168. A 169. A 170. D 171. C 172. B 173. D 174. A 175. B 185. B 176. A 186. B 177. A 187. D 178. C 188. B 179. A 189. A 180. D 190. B 181. B 191. B 182. D 192. D 183. D 193. D 184. D 194. A 195. B 196. D 197. C 198. C 199. C 200. C 201. B 202. A 203. B 204. C 205. A 206. A 207. C 208. A 209. D 210. C 211. B 212. A 213. D 214. D 215. B 225. D 216. A 226. C 217. D 227. C 218. B 228. C 219. C 229. A 220. D 230. C 221. B 231. C 222. D 232. C 223. A 233. C 224. B 234. B 235. D 236. B 237. C 238. A 239. B 240. C 241. D 242. D 243. A 244. D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 390 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 245. A 246. D 247. A 248. A 249. C 250. D 251. A 252. C 253. C 254. C 255. B 256. A 257. C 258. D 259. C 260. A 261. A 262. B 263. A 264. B 265. B 266. B 267. B 268. A 269. B 270. D 271. C 272. A 273. B 274. B 275. A 285. C 276. C 286. B 277. A 287. C 278. B 288. D 279. D 289. A 280. D 290. A 281. A 291. D 282. A 292. C 283. C 293. B 284. B 294. D 295. A 296. A 297. B 298. B 299. B 300. C 301. C 302. A 303. A 304. B 305. A 306. C 307. D 308. D 309. A 310. D 311. A 312. B 313. C 314. D 315. D 325. B 316. B 326. D 317. D 327. D 318. C 328. D 319. B 329. B 320. B 330. A 321. A 331. A 322. C 332. C 323. C 333. A 324. A 334. D 335. D 336. A 337. C 338. B 339. C 340. B 341. B 342. A 343. B 344. D 345. A 346. D 347. D 348. D 349. A 350. D 351. B 352. D 353. B 354. B 355. D 365. C 356. B 366. A 357. C 367. A 358. A 368. D 359. D 369. C 360. A 370. C 361. A 371. B 362. D 372. B 363. A 373. D 364. A 374. B 375. A 376. C 377. C 378. D 379. A 380. C 381. B 382. B 383. B 384. B 385. D 386. B 387. A 388. A 389. C 390. B 391. A 392. D 393. B 394. D 395. A 405. B 396. B 406. A 397. A 407. B 398. A 408. B 399. C 409. A 400. B 410. C 401. A 411. C 402. D 412. A 403. A 413. B 404. C 414. A 415. D 416. C 417. B 418. A 419. A 420. D 421. A 422. A 423. C 424. A 425. C 426. D 427. A 428. B 429. A 430. C 431. C 432. B 433. D 434. B 435. B 445. D 436. A 446. A 437. A 447. A 438. A 448. C 439. A 449. A 440. A 450. A 441. D 451. A 442. D 452. C 443. C 453. D 444. C 454. B 455. B 456. B 457. A 458. C 459. B 460. B 461. A 462. B 463. C 464. B 465. C 466. C 467. D 468. D 469. B 470. C 471. C 472. B 473. B 474. D 475. B 485. A 476. C 486. C 477. D 487. B 478. C 488. C 479. B 489. C 480. C 490. B 481. A 491. D 482. B 492. C 483. A 493. B 484. B 494. C 495. C 496. A 497. A 498. A 499. D 500. A 501. B 502. C 503. C 504. C 505. A 506. B 507. B 508. A 509. C 510. D 511. D 512. C 513. C 514. B 515. B 525. B 516. D 526. A 517. A 527. C 518. A 528. C 519. C 529. B 520. B 530. D 521. B 531. C 522. D 532. A 523. D 533. B 524. D 534. B 535. C 536. A 537. B 538. A 539. D 540. D 541. C 542. B 543. D 544. C 545. C 546. D 547. A 548. B 549. D 550. C 551. A 552. A 553. B 554. A 555. B 565. A 556. A 566. C 557. C 567. A 558. A 568. D 559. A 569. C 560. B 570. C 561. A 571. A 562. A 572. D 563. A 573. D 564. D 574. C 575. D 576. B 577. C 578. D 579. B 580. A 581. B 582. A 583. A 584. A 585. A 586. A 587. D 588. B 589. B 590. C 591. B 592. B 593. D 594. A 595. C 605. D 596. C 606. B 597. C 607. B 598. B 608. A 599. A 609. D 600. C 610. D 601. A 611. D 602. B 612. A 603. C 613. C 604. B 614. D 615. C 616. A 617. D 618. D 619. C 620. D 621. C 622. D 623. C 624. A 625. D 626. D 627. A 628. B 629. A 630. B 631. C 632. D 633. A 634. A 635. D 645. A 636. D 646. C 637. B 647. C 638. C 648. A 639. C 649. C 640. B 650. A 641. A 651. A 642. D 652. C 643. B 653. D 644. D 654. C 655. A 656. C 657. A 658. C 659. C 660. A 661. C 662. B 663. A 664. C 665. B 666. C 667. B 668. D 669. A 670. A 671. A 672. B 673. C 674. D Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 391 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12 675. C 676. A 677. C 678. B 679. D 680. C 681. C 682. B 683. C 684. A 685. D 686. C 687. C 688. B 689. B 690. A 691. A 692. A 693. B 694. A 695. D 696. A 697. A 698. A 699. D 700. D 701. A 702. B 703. C 704. A 705. B 715. A 706. D 716. C 707. C 717. A 708. B 718. D 709. C 719. B 710. B 720. B 711. A 721. A 712. A 722. A 713. C 723. A 714. B 724. B 725. C 726. A 727. C 728. D 729. A 730. A 731. C 732. C 733. C 734. B 735. D 736. A 737. D 738. A 739. D 740. D 741. C 742. B 743. A 744. D 745. D 755. A 746. D 756. D 747. B 757. A 748. A 758. A 749. C 759. B 750. A 760. C 751. C 761. B 752. D 762. C 753. B 763. D 754. B 764. C 765. C 766. D 767. C 768. A 769. D 770. C 771. B 772. D 773. A 774. C 775. A 776. C 777. B 778. C 779. A 780. C 781. A 782. D 783. D 784. D 785. B 795. C 786. B 796. C 787. D 797. B 788. C 798. A 789. A 799. A 790. B 800. C 791. B 801. A 792. B 802. C 793. B 803. B 794. B 804. D 805. C 806. D 807. B 808. C 809. A 810. A 811. C 812. B 813. D 814. A 815. C 816. D 817. C 818. A 819. A 820. B 821. C 822. A 823. B 824. C 825. A 835. D 826. B 836. C 827. C 837. A 828. D 838. C 829. B 839. D 830. B 840. B 831. A 841. A 832. B 842. D 833. D 843. C 834. A 844. B 845. C 846. D 847. D 848. A 849. A 850. A 851. D 852. D 853. C 854. C 855. C 856. B 857. D 858. A 859. A 860. B 861. D 862. D 863. A 864. B 865. D 875. B 866. D 876. D 867. A 877. C 868. B 878. B 869. B 879. B 870. B 880. D 871. C 881. D 872. B 882. B 873. B 883. A 874. A 884. A 885. B 886. A 887. A 888. B 889. D 890. C 891. A 892. B 893. C 894. C 895. C 896. B 897. D 898. D 899. D 900. A 901. C 902. A 903. B 904. B 905. A 915. C 906. B 916. D 907. C 917. C 908. B 918. C 909. B 919. C 910. C 920. D 911. A 921. C 912. A 922. B 913. C 923. A 914. A 924. D 925. D 926. A 927. B 928. C 929. B 930. D 931. B 932. A 933. D 934. B 935. A 936. D 937. A 938. A 939. A 940. D 941. C 942. B 943. C 944. B 945. A 955. C 946. A 956. A 947. A 957. C 948. C 958. D 949. C 959. A 950. C 960. A 951. C 961. C 952. A 962. C 953. A 963. D 954. A 964. D 965. D 966. A 967. A 968. D 969. B 970. B 971. D 972. B 973. B 974. D 975. B 976. D 977. B 978. D 979. D 980. A 981. C 982. C 983. B 984. A 985. A 995. A 986. C 996. B 987. A 997. A 988. D 998. B 989. C 999. B 990. B 1000.D 991. D 1001.B 992. C 1002.B 993. C 1003.D 994. B 1004.B 1006.A 1007.C 1008.B 1009.C 1010.C 1011.D 1012.D 1013.C 1014.A 1015.C 1016.C 1017.D 1018.B 1019.B 1020.D 1021.A 1022.B 1023.D 1024.D 1025.C 1026.A 1036.D 1027.D 1037.C 1028.D 1038.D 1029.C 1039.C 1030.D 1040.C 1031.A 1041.B 1032.B 1042.B 1033.B 1043.C 1034.A 1044.A 1035.A 1045.A 1046.A 1047.D 1048.C 1049.C 1050.B 1051.C 1052.C 1053.C 1054.A 1055.C 1056.B 1057.D 1058.D 1059.B 1060.D 1061.B 1062.B 1063.C 1064.A 1065.C 1066.A 1076.B 1067.D 1077.B 1068.C 1078.D 1069.A 1079.C 1070.A 1080.A 1071.A 1081.A 1072.C 1082.C 1073.D 1083.D 1074.B 1084.B 1075.B 1085.A 1086.B 1087.A 1088.A 1089.A 1090.B 1091.B 1092.A 1093.A 1094.D 1095.C 1096.A 1097.A 1098.A 1099.C 1100.C 1101.A 1102.C 1103.D 1104.B 1105.B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 392 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 1106.A 1107.B 1108.A 1116.D 1117.A 1118.C 1109.B 1110.B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Chương 3-Giải tích 12 1111.D 393 1112.B 1113.A 1114.D 1115.A https://emncischool.wixsite.com/geogebra
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top