Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Chín Em

Giới thiệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Chín Em

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Chín Em CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Chín Em

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Chín Em

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Chín Em
MỤC LỤC CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1 NGUYÊN HÀM 1 A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1 1 Nguyên hàm và tính chất 1 2 1.1 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Phương pháp tính nguyên hàm 1 3 2.1 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số 2.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần . 2.3 Bảng nguyên hàm cơ bản . . . . . . . . . . 2.4 Bảng nguyên hàm mở rộng . . . . . . . . . Các dạng toán và bài tập 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 3 4 Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm . . . . 3.1.1 Bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số 3.2.1 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Nguyên hàm từng phần . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . Phương pháp đổi biến số B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 39 1 Nhận biết 39 2 1.1 Thông hiểu 3 2.1 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Vận dụng thấp 69 4 3.1 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Vận dụng cao 81 4.1 2 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 22 23 35 35 39 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 54 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TÍCH PHÂN 86 87 A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 87 1 Khái niệm tích phân 87 2 1.1 Định nghĩa tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 1.2 Tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 87 2.1 Phương Pháp Đổi Biến Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 3 Chương 3 – Giải tích 12 2.2 Phương Pháp Tích Phân Từng Phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Các dạng toán và bài tập 88 3.1 3.1.1 3.2 3.2.1 3.3 3.3.1 Tích phân cơ bản và tính chất tính phân Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ . . . Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . Tính chất của tích phân . . . . . . . . . Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 88 93 93 95 96 Zb 3.4 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối | f (x) | dx . . . . . . . . . . 107 a 3.4.1 3.5 3.5.1 3.6 3.6.1 3 Ví dụ và bài tập . Phương pháp đổi biến số Ví dụ và bài tập . Tích phân từng phần . . . Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 109 109 140 140 B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 150 1 Nhận biết 150 2 1.1 Thông hiểu 3 2.1 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Vận dụng thấp 192 4 3.1 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Vận dụng cao 228 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 161 4.1 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 247 A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 247 1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành 247 2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 247 B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 247 C Dạng toán và bài tập 248 1 Diện tích hình phẳng và bài toán liên quan 248 2 1.1 1.2 Thể tích 2.1 2.2 Th.s Nguyễn Chín Em Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Tìm vận tốc, gia tốc, quãng đường trong vật lí . . . . . . . . . . . . . . . . 251 254 Thể tích của vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Tính thể tích của vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 259 1 Nhận biết 259 2 1.1 Thông hiểu 3 2.1 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Vận dụng thấp 287 4 3.1 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Vận dụng cao 297 4.1 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 277 ĐÁP ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1. A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1.1 NGUYÊN HÀM Nguyên hàm Định nghĩa 1. Cho hàm số f ( x) xác định trên K . Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K nếu F 0 ( x) = f ( x) với mọi x ∈ K . Định lí 1. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G ( x) = F ( x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K . Định lí 2. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K đều có dạng F ( x) + C , với C là một hằng số. Định lí 3. Mọi hàm số f ( x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . 1.2 Tính chất Tính chất 1. Z f 0 ( x) d x = f ( x) + C Tính chất 2. Z Z k f ( x) d x = k f ( x) d x ( k là một hằng số khác 0). Tính chất 3. Z 2 £ ¤ f ( x) ± g ( x) d x = Z Z f ( x) d x ± g ( x) d x PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 2.1 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số Z Định lí 4. Nếu f (u) d u = F (u) + C và u = u( x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì Z 2.2 f ( u( x)) u0 ( x) d x = F ( u( x)) + C. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Định lí 5. Nếu hai hàm số u = u( x) và v = v( x) có đạo hàm liên tục trên K thì Z Z 0 u ( x) · v ( x) d x = u ( x) v( x) − 0 u0 ( x)v( x) d x. Z 0 Nhận xét. Vì v ( x) d x = dv, u ( x) d x = du nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng Z u dv = uv − v d u. Z Để tính nguyên hàm f ( x) d x bằng từng phần ta làm như sau: 0 Bước 1: Chọn u, v sao cho f ( x) d x = u dv (chú ý dv = v ( x) d x). Sau đó tính v = 1 Z dv và d u = u0 · d x. https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Z Bước 2: Thay vào công thức (∗) và tính v d u. Chú ý. Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm Z Z được v và tích phân v d u dễ tính hơn u dv. Ta thường gặp các dạng sau Z 1 Dạng 1: I = Z 2 Dạng 2: I =    u = P ( x) sin x ¸ · d x. Với dạng này, ta đặt P ( x) sin x cos x   dv = cos x d x · ¸ ( P ( x) eax+b d x, trong đó P ( x) là đa thức. Với dạng này, ta đặt u = P ( x) dv = eax+b d x. ½ Z u = ln ( mx + n) 3 Dạng 3: I = P ( x) ln ( mx + n) d x, trong đó P ( x) là đa thức. Với dạng này, ta đặt dv = P ( x) d x.  ¸ ·  ¸ Z ·  u = sin x sin x x cos x e d x. Với dạng này ta đặt 4 Dạng 4: I = cos x  d x = e x d x 2.3 Bảng nguyên hàm cơ bản Nguyên hàm của hàm sơ cấp Nguyên hàm của hàm hợp u = u( x) Z 1 Z 0 dx = C 1 Z 2 Z 1 dx = x + C xα+1 3 x dx = +C α+1 Z 1 d x = ln | x| + C 4 x Z 5 ex d x = e e x + C Z Z 6 α ax a dx = +C ln a x 2 Z 1 d u = ln | u| + C u Z eu d u = eu + C Z au du = 5 6 au +C ln a 7 cos u d u = sin u + C Z sin x d x = − cos x + C 1 9 d x = tan x + C cos2 x Z 1 10 d x = − cot x + C sin2 x Z p 1 11 p dx = x+C 2 x Z 8 sin u d u = − cos u + C 1 d u = tan u + C cos2 u Z 1 10 d u = − cot u + C sin2 u Z p 1 11 p du = u+C 2 u Z 9 Bảng nguyên hàm mở rộng Z 1 (ax + b)α+1 1 (ax + b)α d x = + C (α 6= −1) a α+1 Z 1 2 eax+b d x = eax+b + C a Z 1 3 sin(ax + b)d x = − cos(ax + b) + C a Th.s Nguyễn Chín Em uα d u = 4 Z 2.4 uα+1 +C α+1 Z Z cos x d x = sin x + C 8 1 du = u + C 3 Z 7 0 du = C 1 1 d x = ln |ax + b| + C ax + b a Z 1 11 cos(ax + b)d x = sin(ax + b) + C a Z 1 1 12 d x = tan(ax + b) + C 2 a cos (ax + b) Z 10 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z 4 Z 5 Z 6 Z 7 Z 8 Z 9 3 Chương 3 – Giải tích 12 1 d x = − cot(ax + b) + C 2 a sin (ax + b) 1 cot(ax + b)d x = ln |sin(ax + b)| + C a ¯ ¯ dx 1 ¯a+ x¯ = ln ¯ ¯+C a−x a2 − x2 2 a x dx = arcsin =C p | a| a2 − x2 µ ¶ b ln(ax + b)d x = x + ln(ax + b) − x + C a eax (a cos bx) + b sin bx +C eax cos bxd x = a2 + b 2 1 tan(ax + b)d x = − ln |cos(ax + b)| + C a Z 1 x dx 14 = arctan +C a a2 + x2 a Z ´ ³ p dx 15 p = ln x + x2 + a2 + C x2 + a2 Z ¯x¯ 1 dx ¯ ¯ = arccos ¯ ¯ + C 16 p 2 2 a a x. x − a p Z p 2 x x a − x2 a2 + arcsin + C a2 − x2 d x = 17 2 2 a Z ax e (a sin bx) − b cos bx 18 eax sin bxd x = +C a2 + b 2 1 Z 13 CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 3.1 Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm Phương pháp giải PP 1 Tích của đa thức hoặc lũy thừa −−−−−−−−−→ khai triển. PP 2 Tích các hàm mũ −−−−−−−−−→ khai triển theo công thức mũ. PP 3 Chứa căn −−−−−−−−−→ chuyển về lũy thừa. PP 4 Tích lượng giác bậc một của sin và cosin −−−−−−−−−→ Sử dụng công thức tích thành tổng. 1 2 1 • sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 1 • cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)] 2 • sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] 5 Bậc chẵn của sin và cosin ⇒ Hạ bậc: sin2 x = Z 6 Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ I = 1 1 1 1 − cos 2a, cos2 x = + cos 2a. 2 2 2 2 P ( x) d x, với P ( x), Q ( x) là các đa thức. Q ( x) PP • Nếu bậc của tử số P ( x) ≥ bậc của mẫu số Q ( x)−−−−−−−−−→ Chia đa thức. PP • Nếu bậc của tử số P ( x) < bậc của mẫu số Q ( x)−−−−−−−−−→ Phân tích mẫu số Q ( x) thành tích số, rồi sử dụng đồng nhất thức đưa về dạng tổng của các phân số (PP che). † † 1 A Bx + C = + 2 , với ∆ = b2 − 4ac. 2 ( x − m)(ax + bx + c) x − m ax + bx + c 1 B D A C = + + + . ( x − a)2 ( x − b)2 x − a ( x − a)2 x − b ( x − b)2 Nhận xét. Nếu mẫu không phân tích được thành tích sẽ tìm hiểu ở phần đổi biến. 3.1.1 Bài tập vận dụng Ví dụ 1. Tính nguyên hàm của hàm số 1 f ( x) = 3 x2 + x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Th.s Nguyễn Chín Em 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 ĐS: x3 + Z µ Lời giải: Ta có F ( x) = x2 +C 6 ¶ 1 x2 3 x + x d x = x3 + + C . 3 6 2 Bài 1. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định), biết 1 f ( x) = 2 x3 − 5 x2 − 4 x + 7 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 1 4 5 3 x − x − 2 x2 + 7 x + C 2 3 - Lời giải. ¡ 3 ¢ 1 5 2 x − 5 x2 − 4 x + 7 d x = x4 − x3 − 2 x2 + 7 x + C . 2 3 Z Ta có F ( x) = ä 2 f ( x) = 6 x5 − 12 x3 + x2 − 8 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 ĐS: x6 − 3 x4 + x3 − 8 x + C - Lời giải. ¡ 5 ¢ 1 6 x − 12 x3 + x2 − 8 d x = x6 − 3 x4 + x3 − 8 x + C . 3 Z Ta có F ( x) = 3 f ( x) = ( x2 − 3 x)( x + 1) ä ....................................................................... 1 4 2 3 3 2 ĐS: F ( x) = x4 − x3 − x2 + C - Lời giải. Z Ta có F ( x) = Z 2 ( x − 3 x)( x + 1)d x = 4 f ( x) = ( x − 1)( x2 + 2) 2 3 1 ( x3 − 2 x2 − 3 x)d x = x4 − x3 − x2 + C . 4 3 2 ä ........................................................................ 1 4 1 3 ĐS: F ( x) = x4 − x3 + x2 − 2 x + C - Lời giải. Z Ta có F ( x) = Z 2 ( x − 1)( x + 2)d x = 5 f ( x) = x( x2 + 1)2 1 1 ( x3 − x2 + 2 x − 2)d x = x4 − x3 + x2 − 2 x + C . 4 3 ä ............................................................................ 1 6 ĐS: F ( x) = ( x2 + 1)3 + C - Lời giải. Z 2 Ta có F ( x) = Z 2 x( x + 1) d x = 6 f ( x) = (3 − x)3 ( x2 + 1)2 d( x2 + 1) 1 2 = ( x + 1)3 + C . 2 6 ä .............................................................................. 1 4 ĐS: F ( x) = − (3 − x)4 + C - Lời giải. Z Ta có F ( x) = Z 3 (3 − x) d x = − 7 f ( x) = (2 x + 1)5 1 (3 − x)3 d(3 − x) = − (3 − x)4 + C . 4 ä ............................................................................. ĐS: F ( x) = 1 (2 x + 1)6 + C 12 - Lời giải. Z Ta có F ( x) = Th.s Nguyễn Chín Em 5 (2 x + 1) d x = Z (2 x + 1)5 d(2 x + 1) 1 = (2 x + 1)6 + C . 2 12 4 ä https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 8 f ( x) = (2 x − 10)2018 Chương 3 - Giải tích 12 ......................................................................... ĐS: F ( x) = 1 (2 x − 10)2019 + C 4038 - Lời giải. Z Ta có F ( x) = (2 x − 10) 9 f ( x) = (3 − 4 x)2019 2018 1 dx = 2 Z (2 x − 10)2018 d(2 x − 10) = 1 (2 x − 10)2019 + C . 4038 ä .......................................................................... ĐS: F ( x) = − 1 (3 − 4 x)2020 + C 8080 - Lời giải. Z Ta có F ( x) = 2019 (3 − 4 x) 10 f ( x) = (2 x2 − 1)2 1 dx = − 4 Z (3 − 4 x)2019 d(3 − 4 x) = − 1 (3 − 4 x)2020 + C . 8080 ä ............................................................................ 4 5 4 3 ĐS: F ( x) = x5 − x3 + x + C - Lời giải. Z Ta có F ( x) = 2 Z 2 (2 x − 1) d x = 11 f ( x) = ( x2 + 1)3 ¡ ¢ 4 4 4 x4 − 4 x2 + 1 d x = x5 − x3 + x + C . 5 3 ä ............................................................................. 3 5 1 7 ĐS: F ( x) = x7 + x5 + x3 + x + C - Lời giải. Z Ta có F ( x) = ( x2 + 1)3 d x = Z ¡ ¢ 1 3 x6 + 3 x4 + 3 x2 + 1 d x = x7 + x5 + x3 + x + C . 7 5 ä Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 4 x3 − 4 x + 5 thỏa mãn F (1) = 3 . . . . . . . . . . . ĐS: F ( x) = x4 − 2 x2 + 5 x − 1 Z Z Lời giải: Ta có F ( x) = f ( x)d x = ¡ ¢ 4 x3 − 4 x + 5 d x = x4 − 2 x2 + 5 x + C . Vì F (1) = 3 ⇔ 1 − 2 + 5 + C = 3 ⇔ C = −1. Suy ra F ( x) = x4 − 2 x2 + 5 x − 1. Bài 2. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện F ( x◦ ) = k. 1 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = − x3 + 3 x2 − 2 x thỏa mãn F (1) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: F ( x) = − 1 x4 + x3 − x2 + 4 4 - Lời giải. ¡ 3 ¢ x4 − x + 3 x2 − 2 x d x = − + x3 − x2 + C . 4 1 x4 1 Vì F (1) = 0 nên C = . Suy ra F ( x) = − + x3 − x2 + . 4 4 4 Z Ta có F ( x) = 2 Z f ( x) d x = ä Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 3 x3 − 2 x2 + 1 thỏa mãn F (−2) = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: F ( x) = 3 x4 2 x3 37 − +x− 4 3 3 - Lời giải. ¡ 3 ¢ 3 x4 2 x3 3 x − 2 x2 + 1 d x = − + x + C. 4 3 37 3 x4 2 x3 37 Vì F (−2) = 3 nên C = − . Suy ra F ( x) = − +x− . 3 4 3 3 Z Ta có F ( x) = Th.s Nguyễn Chín Em Z f ( x) d x = 5 ä https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 3 Chương 3 - Giải tích 12 Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = −5 x4 + 4 x2 − 6 thỏa mãn F (3) = 1. Tính F (−3) . . . . . ĐS: F (−3) = 451 - Lời giải. ¡ ¢ 4 x3 −5 x4 + 4 x2 − 6 d x = − x5 + − 6x + C. 3 4 x3 Vì F (3) = 1 nên C = 226. Suy ra F ( x) = − x5 + − 6 x + 226. 3 Do đó F (−3) = 451. Z Ta có F ( x) = 4 Z f ( x) d x = ä Hàm số f ( x) = x3 + 3 x2 + 2 có một nguyên hàm F ( x) thỏa F (2) = 14. Tính F (−2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: F (−2) = −10 - Lời giải. ¢ x4 x3 + 3 x2 + 2 d x = + x3 + 2 x + C . 4 x4 Vì F (2) = 14 nên C = −2. Suy ra F ( x) = + x3 + 2 x − 2. 4 Do đó F (−2) = −10. Z Ta có F ( x) = 5 Z f ( x) d x = ¡ ä Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = (1 − x)9 thỏa 10F (2) = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: F ( x) = − (1 − x)10 +1 10 - Lời giải. ¡ ¢ (1 − x)10 9 Ta có F ( x) = f ( x) d x = (1 − x) d x = − + C. 10 (1 − x)10 Vì 10F (2) = 9 nên C = 1. Suy ra F ( x) = − + 1. 10 Z Z ä µ ¶ µ ¶ 1 3 6 Hàm số f ( x) = (2 x + 1) có một nguyên hàm là F ( x) thỏa F = 4. Tính F ................... 2 2 µ ¶ 3 ĐS: F = 34 2 3 - Lời giải. ¡ ¢ (2 x + 1)4 + C. (2 x + 1)3 d x = 8 µ ¶ 1 (2 x + 1)4 Vì F = 4 nên C = 2. Suy ra F ( x) = + 2. 2 µ ¶ 8 3 Do đó F = 34. 2 Z Ta có F ( x) = Z f ( x) d x = ä ¶ 1 2 = . Tính F (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Hàm số f ( x) = (1 − 2 x) có một nguyên hàm là F ( x) thỏa F − 2 3 µ ¶ 3 71 ĐS: F = 2 12 µ 5 - Lời giải. ¡ ¢ (1 − 2 x)6 (1 − 2 x)5 d x = − + C. 12 µ ¶ 1 2 (1 − 2 x)6 Vì F − = nên C = 6. Suy ra F ( x) = − + 6. 2µ ¶ 3 12 3 71 Do đó F = . 2 12 Z Ta có F ( x) = Th.s Nguyễn Chín Em Z f ( x) d x = 6 ä https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 8 Chương 3 - Giải tích 12 1 3 Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = (2 x − 3)2 thỏa F (0) = . Tính giá trị của biểu thức P = log2 [3F (1) − 2F (2)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: P = log2 [3F (1) − 2F (2)] = 2 - Lời giải. ¡ ¢ (2 x − 3)3 + C. (2 x − 3)2 d x = 6 1 29 (2 x − 3)3 29 13 Vì F (0) = nên C = . Suy ra F ( x) = + ⇒ F (1) = ; F (2) = 5. 3 6 6 6 3 Do đó P = log2 [3F (1) − 2F (2)] = 2. Z Ta có F ( x) = 9 Z f ( x) d x = ä Gọi F1 ( x) là một nguyên hàm của hàm số f 1 ( x) = x( x + 2)2 thỏa F1 (0) = 1 và F2 ( x) là một nguyên hàm của hàm số f 2 ( x) = x3 + 4 x2 + 5 thỏa F2 (0) = −2. Tìm nghiệm của phương trình F1 ( x) = F2 ( x) . . . . . . . ¾ ½ 3 ĐS: 1; 2 - Lời giải. ¢ x4 4 x3 x3 + 4 x2 + 4 x d x = + + 2 x2 + C . 4 3 x4 4 x3 + 2 x2 + 1 (1). Vì F1 (0) = 1 nên C = 1. Suy ra F1 ( x) = + 4 3 Z Z ¡ 3 ¢ x4 4 x3 + + 5x + C. Tương tự F2 ( x) = f 2 ( x) d x = x + 4 x2 + 5 d x = 4 3 x4 4 x3 Vì F2 (0) = −2 nên C = −2. Suy ra F2 ( x) = + + 5x − 2 (2). 4 3  x=1  Từ (1) và (2), ta có F1 ( x) = F2 ( x) ⇔ 2 x2 + 1 = 5 x − 2 ⇔ 2 x2 − 5 x + 3 = 0 ⇔  3 x= . 2 Z Ta có F1 ( x) = 10 Z f 1 ( x) d x = x( x + 2)2 d x = Z ¡ ä Gọi F1 ( x) là một nguyên hàm của hàm số f 1 ( x) = ( x + 1)( x + 2) thỏa F1 (0) = 0 và F2 ( x) là một nguyên hàm của hàm số f 2 ( x) = x2 + x − 2 thỏa F2 (0) = 0. Biết phương trình F1 ( x) = F2 ( x) có hai nghiệm là x1 , x2 . Tính 2 x1 + 2 x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ĐS: 16 - Lời giải. Z Ta có F1 ( x) = Z f 1 ( x) d x = Z ( x + 1)( x + 2) d x = ¡ ¢ x3 3 x3 x2 + 3 x + 2 d x = + − 2x + C. 3 2 x3 3 x3 + − 2x (1). 3 2 Z Z ¡ 2 ¢ x3 x2 Tương tự F2 ( x) = f 2 ( x) d x = x + x2 − 2 d x = + − 2x + C. 3 2 x3 x2 Vì F2 (0) = 0 nên C = 0. Suy ra F2 ( x) = + − 2 x (2). 3 2  x=0 3 x2 x2 + 2x = − 2 x ⇔ x2 + 4 x = 0 ⇔  Từ (1) và (2), ta có F1 ( x) = F2 ( x) ⇔ 2 2 x = −4. Vì F1 (0) = 0 nên C = 0. Suy ra F1 ( x) = Khi đó 20 + 2−4 = 17 . 16 ä 1 x Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định). f ( x) = x2 −3 x+ ⇒ Z F ( x) = f ( x) d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Th.s Nguyễn Chín Em 7 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 x3 3 2 − x + ln | x| + C 3 2 ĐS: Z µ Lời giải: Ta có F ( x) = ¶ 1 x3 3 2 x − 3x + dx = − x + ln | x| + C . x 3 2 2 Bài 3. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định). 1 1 f ( x) = 3 x + − 2 ⇒ F ( x) = x 2 Z f ( x) d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: x3 + ln | x| − 2 x + C - Lời giải. ¶ Z µ 1 2 ä Ta có F ( x) = 3 x + − 2 d x = x3 + ln | x| − 2 x + C . x Z 2 1 2 2 f ( x) = 3 x − − 2 ⇒ F ( x) = f ( x) d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x x 1 ĐS: x3 − 2 ln | x| + + C x - Lời giải. ¶ Z µ 2 1 1 2 3 x − − 2 d x = x3 − 2 ln | x| + + C . Ta có F ( x) = ä x x x Z 2 x − 3x + 1 x2 − 3 x + 1 3 f ( x) = ⇒ F ( x) = dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x x =.......................................................................................... x2 ĐS: − 3 x + ln | x| + C 2 - Lời giải. ¶ Z µ x2 − 3 x + 1 x2 1 Ta có F ( x) = dx = dx = − 3 x + ln | x| + C . ä x−3+ x x 2 Z 2 x4 − x2 − 3 x 2 x4 − x2 − 3 x 4 f ( x) = ⇒ F ( x ) = dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 x2 =.......................................................................................... 2 x3 ĐS: − x − 3 ln | x| + C 3 Z - Lời giải. Z Ta có F ( x) = 5 f ( x) = 2 x4 − x2 − 3 x dx = x2 ¶ Z µ 3 2 x3 2 2x − 1 − dx = − x − 3 ln | x| + C . x 3 ä 1 ............................................................................... 2x − 1 1 ĐS: ln |2 x − 1| + C . 2 - Lời giải. Z Ta có F ( x) = 6 f ( x) = 1 1 dx = 2x − 1 2 Z d(2 x − 1) 1 = ln |2 x − 1| + C . 2x − 1 2 ä 1 ............................................................................... 3 − 4x 1 ĐS: − ln |3 − 4 x| + C . 4 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 8 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 1 1 dx = − 3 − 4x 4 Z Ta có F ( x) = 7 f ( x) = Z Chương 3 - Giải tích 12 d(3 − 4 x) 1 = − ln |3 − 4 x| + C . 3 − 4x 4 ä 5 ............................................................................... 3x + 1 5 ĐS: ln |3 x + 1| + C. 3 - Lời giải. 5 5 dx = 3x + 1 3 Z Ta có F ( x) = 8 f ( x) = Z d(3 x + 1) 5 = ln |3 x + 1| + C . 3x + 1 3 ä 3 ............................................................................... 2 − 4x 3 ĐS: − ln |2 − 4 x| + C. 4 - Lời giải. 3 3 dx = − 2 − 4x 4 Z Ta có F ( x) = 9 f ( x) = Z d(2 − 4 x) 3 = − ln |2 − 4 x| + C . 2 − 4x 4 ä 2 3 2 + + 2 ...................................................................... 5 − 2x x x 3 ĐS: − ln |5 − 2 x| + 2 ln | x| − + C. x - Lời giải. Z µ Ta có F ( x) = 3 + C. x 10 f ( x) = ¶ Z Z Z 2 2 3 d(5 − 2 x) 1 1 d x = − ln |5 − 2 x| + 2 ln | x| − + + 2 dx = − +2 dx + 3 5 − 2x x x 5 − 2x x x2 ä 5 2 4 + − 2 ...................................................................... 2x + 1 x x 2 ĐS: 2 ln |2 x + 1| + 5 ln | x| + + C. x - Lời giải. Z µ Ta có F ( x) = 2 + C. x 11 f ( x) = ¶ Z Z Z 5 2 d(2 x + 1) 1 1 4 + − 2 dx = 2 +5 dx − 2 d x = 2 ln |2 x + 1| + 5 ln | x| + 2x + 1 x x 2x + 1 x x2 ä 12 ( x − 1) + 2 2 ...................................................................... 2x − 3 12 ĐS: − + ln |2 x − 3| + C. x−1 - Lời giải. Z µ Ta có F ( x) = ä 12 f ( x) = 6 2 (3 x − 1) ¶ Z Z 2 d(2 x − 3) 12 −2 + d x = 12 ( x − 1) d( x − 1) + =− + ln |2 x − 3|+ C . 2 2x − 3 2x − 3 x−1 ( x − 1) 12 − 9 .................................................................... 3x − 1 2 ĐS: − − 3 ln |3 x − 1| + C. 3x − 1 - Lời giải. Z µ Ta có F ( x) = 1| + C . Th.s Nguyễn Chín Em ¶ Z Z 9 d(3 x − 1) 2 −2 − d x = 2 (3 x − 1) d(3 x − 1) − 3 =− − 3 ln |3 x − 2 3x − 1 3x − 1 3x − 1 (3 x − 1) ä 6 9 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 1 1 − x (2 − x)2 Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định). f ( x) = + Z 2 x ⇒ F ( x) = f ( x) d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: ln | x| − Z µ Lời giải: Ta có F ( x) = ¶ 1 1 1 + − x2 + C . − 2 d x = ln | x| − 2 x (2 − x) x−2 1 − x2 + C x−2 Bài 4. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định). 1 2 4 1 f ( x) = 3 − 2 + 4 ⇒ F ( x) = x x x Z f ( x) d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: − 1 2 4 + − 3 +C 2 x 3x 2x - Lời giải. ¶ 1 2 4 1 2 4 − 2 + 4 dx = − 2 + − 3 + C. ä 3 x 3x x x x 2x Z ⇒ F ( x) = f ( x) d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z µ Ta có F ( x) = 2 f ( x) = 2 (2 x − 1)3 ĐS: − 1 +C 2(2 x − 1)2 - Lời giải. Z µ Ta có F ( x) = ¶ 1 2 dx = − + C. 3 (2 x − 1) 2(2 x − 1)2 ä Bài 5. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện F ( x◦ ) = k. 1 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = p 1 thỏa mãn F (1) = 2 ln 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2x − 5 1 1 ĐS: F ( x) = ln |2 x − 5| + ln 3 2 2 - Lời giải. 1 1 f ( x) d x = d x = ln |2 x − 5| + C . 2x − 5 2 p 1 1 1 Vì F (1) = 2 ln 3 nên C = ln 3. Suy ra F ( x) = ln |2 x − 5| + ln 3. 2 2 2 Z Z Ta có F ( x) = 2 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = ä 5 thỏa mãn F (2) = 3 ln 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 − 10 x 1 1 ĐS: F ( x) = − ln |10 x − 2| + ln 18 + 3 ln 2 2 2 - Lời giải. 5 1 d x = − ln |10 x − 2| + C . 2 − 10 x 2 1 1 1 Vì F (2) = 3 ln 2 nên C = ln 18 + 3 ln 2. Suy ra F ( x) = − ln |10 x − 2| + ln 18 + 3 ln 2. 2 2 2 Z Ta có F ( x) = 3 Z f ( x) d x = Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = ä 1 và F (2) = 1. Tính F (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x−1 ĐS: F (3) = ln 2 + 1 - Lời giải. 1 d x = ln | x − 1| + C . x−1 Vì F (2) = 1 nên C = 1. Suy ra F ( x) = ln | x − 1| + 1. Do đó F (3) = ln 2 + 1. Z Ta có F ( x) = Th.s Nguyễn Chín Em Z f ( x) d x = 10 ä https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 4 Chương 3 - Giải tích 12 Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 và F (0) = 2. Tính F ( e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2x + 1 ĐS: F ( e) = ln (2 e + 1) + 2 - Lời giải. Z Z 1 d x = ln |2 x + 1| + C . Ta có F ( x) = f ( x) d x = 2x + 1 Vì F (0) = 2 nên C = 2. Suy ra F ( x) = ln |2 x + 1| + 2. Do đó F ( e) = ln (2 e + 1) + 2. 5 cho hàm số y = f ( x) thỏa mãn f 0 ( x) = ä 1 và f (1) = 1. Tính f (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2x − 1 ĐS: f (5) = 2 ln 3 + 1 - Lời giải. 1 d x = ln |2 x − 1| + C . 2x − 1 Vì f (1) = 1 nên C = 1. Suy ra f ( x) = ln |2 x − 1| + 1. Do đó f (5) = 2 ln 3 + 1. Z Ta có f ( x) = 6 0 Z f ( x) d x = Cho hàm số f ( x) xác định trên thỏa mãn f 0 ( x) = ä 2 , f (0) = 1 và f (1) = 2. Giá trị của biểu thức 2x − 1 P = f (−1) + f (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: f (−1) + f (3) = 3 + ln 15. - Lời giải. Z Ta có f ( x) = 0 Z f ( x) d x = 2 d x = ln |2 x − 1| + C , với mọi x. 2x − 1 µ ¶ 1 Xét trên −∞; . Ta có f (0) = 1, suy ra C = 1. 2 ¶ µ 1 Do đó, f ( x) = ln |2 x − 1| + 1, với mọi x ∈ −∞; . Suy ra f (−1) = 1 + ln 3. 2 ¶ µ 1 Xét trên ; +∞ . Ta có f (1) = 2, suy ra C = 2. 2 ¶ 1 Do đó, f ( x) = ln |2 x − 1| + 2, với mọi ; +∞ . Suy ra f (3) = 2 + ln 5. 2 Vậy f (−1) + f (3) = 3 + ln 3 + ln 5 = 3 + ln 15. µ Mấu chốt của bài toán là tính chất của hàm f ( x), hàm f ( x) là hàm phân nhánh (hàm cho bởi nhiều biểu thức) thường ít xuất hiện trong các bài toán tích phân, nguyên hàm thông thường. Nắm được điểm này, ta có thể viết ra biểu thức f ( x) một cách rõ ràng, và tìm được các giá trị cụ thể của C . 7 Cho hàm số f ( x) xác định trên thỏa mãn f 0 ( x) = ä 2 , f (0) = 3 và f (2) = 4. Giá trị của biểu thức x−1 P = f (−2) + f (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: f (−2) + f (5) = 5 + 2 ln 2 + ln 3 - Lời giải. Z Ta có f ( x) = f 0 ( x) d x = Z 2 d x = ln | x − 1| + C , với mọi x. x−1 Xét trên (−∞; 1). Ta có f (0) = 3, suy ra C = 1. Do đó, f ( x) = ln | x − 1| + 1, với mọi x ∈ (−∞; 1). Suy ra f (−2) = 1 + ln 3. Xét trên (1; +∞). Ta có f (2) = 4, suyµ ra C =¶4. Do đó, f ( x) = ln | x − 1| + 4, với mọi Th.s Nguyễn Chín Em 1 ; +∞ . Suy ra f (5) = 4 + 2 ln 2. 2 11 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Vậy f (−2) + f (5) = 5 + 2 ln 2 + ln 3. 8 ä Cho hàm số f ( x) xác định trên thỏa mãn f 0 ( x) = 6 , f (−2) = 2 và f (1) = 1. Giá trị của biểu thức 3x − 1 P = f (−1) + f (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: f (−1) + f (4) = 3 + 2 ln 2 − ln 7 + 2 ln 11 - Lời giải. Z Ta có f ( x) = 0 6 d x = 2 ln |3 x − 1| + C , với mọi x. 3x − 1 Z f ( x) d x = µ ¶ 1 Xét trên −∞; . Ta có f (−2) = 2, suy ra C = 2 − ln 7. 3 µ ¶ 1 Do đó, f ( x) = 2 ln |3 x − 1| + 2 − ln 7, với mọi x ∈ −∞; . Suy ra f (−1) = 2 + 4 ln 2 − ln 7. 3 µ ¶ 1 Xét trên ; +∞ . Ta có f (1) = 1, suy ra C = 1 − 2 ln 2. 3 µ ¶ 1 Do đó, f ( x) = 2 ln |3 x − 1| + 1 − 2 ln 2, với mọi ; +∞ . Suy ra f (4) = 1 + 2 ln 11 − 2 ln 2. 3 Vậy f (−1) + f (4) = 3 + 2 ln 2 − ln 7 + 2 ln 11. ä Bài 6. 1 Cho hàm số f ( x) xác định trên R? thỏa mãn f 00 ( x) = 1 , f (−1) = 1, f (1) = 0 và f (2) = 0. Giá trị của x2 biểu thức f (−2) bằng A. 1 + 2 ln 2. B. 2 + ln 2. C. 3 + ln 2. D. ln 2. ĐS: f (−2) = 1 + 2 ln 2. - Lời giải. 1 1 d x = − + C1 . 2 x x  ¸ Z Z ·  − ln( x) + C 1 x + C 21 khi x > 0 1 Suy ra, f ( x) = f 0 ( x) d x = − + C 1 d x = − ln | x|+ C 1 x + C 2 =  − ln(− x) + C x + C khi x < 0. x 1 22 Với f (−1) = 1, f (1) = 0 và f (2) = 0, ta có hệ       f ( − 1) = ln(1) + C · ( − 1) + C = 1 − C + C = 1 C 1 = − ln 2    1 22 1 22       ⇔ C 1 + C 21 = 0 ⇔ C 21 = ln 2 f (1) = ln(1) + C 1 · (1) + C 21 = 0          f (2) = ln(2) + C · (2) + C = 0 2C + C = − ln(2)  C = 1 + ln 2. 1 21 1 21 22   − ln x − x ln 2 + ln 2 khi x > 0 Khi đó, f ( x) =  − ln(− x) − x ln 2 + 1 + ln 2 khi x < 0. Vậy f (−2) = 1 + 2 ln 2. 0 Z Ta có f ( x) = 00 Z f ( x) d x = Chọn đáp án A 2 ä Cho hàm số f ( x) xác định trên R{2} thỏa f 0 ( x) = |2 x − 4|, f (1) = 1 và f (3) = −2. Giá trị của biểu thức f (−1) + f (4) bằng bao nhiêu? A. −6. B. 2. C. −14. D. 0. ĐS: −6. - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 12 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ta có |2 x − 4| = Chương 3 - Giải tích 12  2 x − 4 khi x > 2 4 − 2 x khi x < 2.  Z  x2 − 4 x + C 1 khi x > 2 0 Khi đó, f ( x) = f ( x) d x = 4 x − x2 + C khi x < 2. 2     2  f (3) = −2 3 − 4 · 3 + C 1 = −2 C 1 = 1  x2 − 4 x + 1 khi x > 2 mà ⇔ ⇔ ⇔ f ( x) =  f (1) = 1 4 · 1 − 1 2 + C = 1 C = −2 4 x − x2 − 2 khi x < 2. 2 2 Vậy f (−1) + f (4) = 4 · (−1) − (−1)2 − 2 + [42 − 4 · 4 + 1] = −6. Chọn đáp án A ä µ ¶ µ ¶ 2 1 1 = 2. 3 Cho hàm số f ( x) xác định trên R {−1; 1} thỏa f ( x) = 2 ; f (−3) + f (3) = 0 và f − + f 2 2 x −1 Tính giá trị của biểu thức P = f (−2) + f (0) + f (4). 0 A. 2 ln 2 − 2 ln 3 − ln 5. C. 2 ln 3 − ln 5. B. 2 ln 3 − ln 5 + 1. D. 2 ln 3 − ln 5 + 6. ĐS: 2 ln 3 − ln 5 + 1. - Lời Zgiải. ¶ Z µ 1 2 1 1 f ( x) = f ( x) d x = dx = − d x = ln | x − 1| − ln | x + 1| + C. 2 x¶− 1 x + 1 2 x − 1 µ x−1   ln + C 1 khi x > 1    x+1  ¯ ¯  ¶ µ  ¯ x −1¯ ¯ + C = ln 1 − x + C 2 khi − 1 < x < 1 Hay f ( x) = ln ¯¯  x +1¯ x+1   µ ¶   x−1    ln + C 3 khi x < −1. x+1 0 Z Theo đề ta có    1     ln 2 + C 1 + ln + C 3 = 0 C 1 + C 3 = 0  f (−3) + f (3) = 0 2 µ ¶ µ ¶ ⇔ ⇔ 1 1 1   C = 1.  f − + f =2  2  ln 3 + C 2 + ln + C 2 = 2 2 2 3 3 5 Do đó f (−2) + f (0) + f (4) = ln 3 + C3 + C2 + ln + C1 = ln 3 + ln 3 − ln 5 + 1 = 2 ln 3 − ln 5 + 1. Chọn đáp án B ä ½ ¾ µ ¶ 1 4x + 1 3 4 Cho hàm số f ( x) xác định trên R −1; thỏa f 0 ( x) = 2 ; f (1) + f (−2) = 0; f = ln 20 2 2 2 x µ+ x −¶ 1 1 và f (0) + f (1) = 0. Tính giá trị của biểu thức f (−3) + f (3) + f − . 2 µ ¶ 7 . B. − ln 7. A. ln 2 C. ln 2. D. ln 14. µ ¶ 7 ĐS: ln . 2 - Lời giải. Z Z Z 4x + 1 1 0 Ta có f ( x) = f ( x) d x = dx = d(2 x2 + x − 1) = ln |2 x2 + x − 1| + C . 2 2 2 x + x − 1 2 x + x − 1   ln(2 x2 + x − 1) + C 1 khi x < −1      1 2 Khi đó, f ( x) = ln(1 − x − 2 x ) + C2 khi − 1 < x < 2     1   ln(2 x2 + x − 1) + C 3 khi x > . 2 Th.s Nguyễn Chín Em 13 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12         f (1) + f (−2) = 0  C 1 = − ln 40 C + C = − ln 10 ln 2 + C + ln 5 + C = 0     1 3 3 1        µ3¶  ⇔ C 2 = − ln 8 ⇔ C 3 = ln 4 Mà f = ln 20 ⇔ ln 5 + C 3 = ln 20     2        C = ln 4. C + C = − ln 2   ln 1 + C + ln 2 + C = 0   3 2 3 2 3 f (0) + f (1) = 0 µ ¶ µ ¶ 1 7 Khi đó, f (−3) + f (3) + f − = ln 14 + C1 + ln 20 + C3 + C2 = ln 14 − ln 40 + ln 20 + ln 4 − ln 8 = ln . 2 2 Chọn đáp án A ä µ ¶ 4 = 0 và f (4) = 2. Tính 5 Cho hàm số f ( x) xác định trên R {1; 2} thỏa f ( x) = | x − 1| + | x − 2|; f (0) + f 3 µ ¶ 3 giá trị của biểu thức P = f (−1) + f + f (3) bằng 2 3 35 A. − . B. − . 26 6 3 5 C. − . D. − . 2 36 35 ĐS: − . 6 – Lời giải.   3 − 2 x khi x < 1    Ta có f 0 ( x) = | x − 1| + | x − 2| = 1 khi 1 < x < 2    2 x − 3 khi x > 2.  2  3 x − x + C 1 khi x < 1  Z  Khi đó f ( x) = f 0 ( x) d x = x + C2 khi 1 < x < 2     x2 − 3 x + C khi x > 2. 3 µ ¶    4  C 1 + 4 + C 2 = 0  C 1 + C 2 = − 4  f (0) + f =0  3 3 3 ⇔ ⇔ Mà    4 + C = 2 .  C = −2 f (4) = 2 3 3 µ ¶ µ ¶ 3 3 5 4 35 Suy ra f (−1) + f + f (3) = (−4 + C 1 ) + + C 2 + C 3 = − − − 2 = − . 2 2 2 3 6 0 Chọn đáp án B 6 ä Cho hàm số f ( x) xác định trên R {0} thỏa f 0 ( x) = x ln | x|; f (−1) = biểu thức P = f (−2) + f (1). – Lời giải.   x ln x khi x > 0 0 f ( x) = 3 và f (2) = −1. Tính giá trị của 4 1 ĐS: P = − . 4 .  x ln(− x) khi x < 0   1    u = ln x  du = d x x Đặt ⇒ 2  dv = x d x  x  v = . 2 Z x2 x Khi đó, x ln x d x = ln x − + C . 2 2 Th.s Nguyễn Chín Em 14 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Tương tự ta có  2 x x    ln x − + C 1 khi x > 0 2 f ( x) = 22  x x   ln(− x) + + C 2 khi x < 0 2 2 1 3 5 3 ⇔ − + C2 = ⇒ C2 = 4 2 4 4 và f (2) = −1 ⇔ 2 ln 2 − 1 + C1 = −1 ⇔ C1 = −2 ln 2. 1 3 5 1 Do đó, P = f (−2) + f (1) = − ln 2 − 1 + C2 − + C1 = 2 ln 2 − + − 2 ln 2 = − . 2 2 4 4 Mà f (−1) = 7 ä Cho f 0 ( x) = 2 x + 1; f (1) = 5 và phương trình f ( x) = 5 có hai nghiệm x1 ; x2 . Tính tổng log2 | x1 | + ĐS: 1 log2 | x2 |. - Lời Zgiải. f ( x) = 0 f ( x) d x = Z (2 x + 1) d x = x2 + x + C . Mà f (1) = 5 ⇔ 2 + C = 5 ⇔ C = 3. Mặt khác f ( x) = 5 có hai nghiệm x1 ; x2 , nên x2 + x + 3 = 5 có hai nghiệm 1; −2. Suy ra log2 | x1 | + log2 | x2 | = log2 | x1 · x2 | = log2 |−2| = 1. 8 ä 2 1 1 − thỏa f (2) = − . Biết phương trình f ( x) = −1 có nghiệm duy nhất 2 2 3 (2 x − 1) ( x − 1) x = x0 . Tính 2017 x0 . ĐS: 1 Cho f 0 ( x) = - Lời giải. Z Z · 0 Ta có f ( x) = f ( x) d x = ¸ 1 2 1 1 + + C. − dx = − 2 2 2x − 1 x − 1 (2 x − 1) ( x − 1) 1 1 1 Mà f (2) = − ⇔ − + 1 + C1 = − ⇔ C1 = −1. 3 3 3 1 1 Phương trình f ( x) = −1 ⇔ − + − 1 = −1 có nghiệm duy nhất x = 0, suy ra 2017 x0 = 2x − 1 x − 1 20070 = 1. ä 9 Cho hàm số có đạo hàm cấp hai là f 00 ( x) = 12 x2 + 6 x − 4 và thỏa f (0) = 1, f (1) = 3. Tính giá trị của ĐS: −3 hàm số f ( x) tại x = −1. - Lời giải. Z Z 00 0 Ta có f ( x) = f ( x) d x = (12 x2 + 6 x − 4) d x = 4 x3 + 3 x2 − 4 x + C1 . Z Z f ( x) = f 0 ( x) d x = (4 x3 + 3 x2 + C 1 ) d x = x4 + x3 − 2 x2 + C 1 x + C 2 .     f (0) = 1 C 2 = 1 C 1 = 2 Mà ⇔ ⇔ .  f (1) = 3 C + C = 3 C = 1 1 2 2 Suy ra f ( x) = x4 + x3 − 2 x2 + 2 x + 1 ⇒ f (−1) = −3. 10 b ä Tìm hàm số f ( x), biết f 0 ( x) = ax + 2 , f 0 (1) = 0, f (1) = 4 và f (−1) = 2. Tính f (2). x - Lời Zgiải. ¶ Z µ b b a f ( x) = f 0 ( x) d x = ax + 2 d x = x2 − + C . 2 x x   0   f (1) = 0 ⇔ a + b = 0 a=1         a Ta có f (1) = 4 ⇔ 2 − b + C = 4 ⇔ b = −1 .       5 a   f (−1) = 2 ⇔ + b + C = 2  c = 2 2 1 2 1 5 Suy ra, f ( x) = x + + ⇒ f (2) = 5. 2 x 2 Th.s Nguyễn Chín Em 15 ĐS: 5 ä https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 11 Chương 3 - Giải tích 12 Cho hàm số f ( x) xác định trên [−1; 2] thỏa f (0) = 1 và f 2 ( x) · f 0 ( x) = 1 + 2 x + 3 x2 . Hãy tìm giá trị nhỏ p ĐS: m = f (−1) = 3 −2 và nhất của hàm số và giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) trên [−1; 2]. M = f (2) = p 3 43 Z Lời giải. 1 3 f ( x) = x3 + x2 + x + C ⇔ f 3 ( x) = 3( x3 + x2 + x + C ) 3 p 1 3 mà f (0) = 1 ⇔ f 3 (0) = 1 ⇔ C = Suy ra, f 3 ( x) = 3 x3 + 3 x2 + 3 x + 1 ⇒ f ( x) = 3 x3 + 3 x2 + 3 x + 1. 3 1 + 2 x + 3 x2 Mà f 0 ( x) = > 0 ∀ x, nên f ( x) là hàm đồng biến. f 2 ( x) p p Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là m = f (−1) = 3 −2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là M = f (2) = 3 43. 2 0 f ( x) · f ( x) d x = Z (1 + 2 x + 3 x2 ) d x ⇔ ä Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) thỏa f ( x) = Z p n p n ax + b ⇒ F ( x) = ax + b d x = . . .. p n n · (ax + b) ax + b + C ĐS: F ( x) = ( n + 1)a p n Lời giải: Đặt t = ax + b ⇒ t n = ax + b ⇒ n · t n−1 dt = a · dx. Z p n · t n−1 · t n n n Suy ra F ( x) = dt = · t n+1 + C = · (ax + b) ax + b + C. a ( n + 1)a ( n + 1)a Z p p n n n ax + b d x = · (ax + b) ax + b + C. Nhận xét. ( n + 1)a Z p p 2 • Với n = 2, suy ra F ( x) = ax + b d x = (ax + b) ax + b + C . 3a Z p p 3 3 3 • Với n = 3, suy ra F ( x) = ax + b d x = (ax + b) ax + b + C . 4a Bài 7. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện F ( x0 ) = k. 1 p Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = x thỏa mãn F (4) = 19 . 3 2 p 3 ĐS: F ( x) = x x + 1. – Lời giải. 2 p x d x = x x + C. 3 19 2 p 19 mà F (4) = ⇒ 4 4+C = ⇒ C = 1. 3 3 3 2 p Vậy F ( x) = x x + 1. 3 Z F ( x) = 2 p ä p 4 3 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 2 x − 1 thỏa mãn F (1) = . 1 3 p ĐS: F ( x) = (2 x − 1) 2 x − 1 + 1. – Lời giải. Z p p 2 F ( x) = 2x − 1 dx = (2 x − 1) 2 x − 1 + C. 3·2 p 4 1 4 mà F (1) = ⇒ (2 · 1 − 1) 2 · 1 − 1 + C = ⇒ C = 1. 3 3 3 p 1 Vậy F ( x) = (2 x − 1) 2 x − 1 + 1. 3 ä µ ¶ p 9 3 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 4 x − 5 thỏa mãn F = 2. 4 1 6 p 2 3 ĐS: F ( x) = (4 x − 5) 4 x − 5 + . Th.s Nguyễn Chín Em 16 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 – Lời giải. Z p p 2 F ( x) = 2x − 1 dx = (4 x − 5) 4 x − 5 + C. 3·4 ¶… µ ¶ µ 9 1 9 9 2 mà F =2⇒ 4· −5 4· −5+C = 2 ⇒ C = . 4 6 4 4 3 p 2 1 Vậy F ( x) = (4 x − 5) 4 x − 5 + . 6 3 ä µ ¶ p 1 7 =− . 4 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 5 − 2 x thỏa mãn F 2 3 p 1 3 1 3 ĐS: F ( x) = − (5 − 2 x) 5 − 2 x + . – Lời giải. Z p p p 2 1 F ( x) = 5 − 2x dx = (5 − 2 x) 5 − 2 x + C = − (5 − 2 x) 5 − 2 x + C. 3 µ ¶ µ3 · (−2) ¶ … 1 1 7 1 1 7 1 mà F 5−2· +C = − ⇒ C = . = − ⇒ − 5−2· 2 3 3 2 2 3 3 p 1 1 Vậy F ( x) = − (5 − 2 x) 5 − 2 x + . 3 3 5 p 5 3 ä Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 1 − x thỏa mãn F (−3) = . p 2 3 ĐS: F ( x) = − (1 − x) 1 − x + 7. – Lời giải. p p 2 2 (1 − x) 1 − x + C = − (1 − x) 1 − x + C. 3 · (−1) 3 p 5 2 5 mà F (−3) = ⇒ − (1 − (−3)) 1 − (−3) + C = ⇒ C = 7. 3 3 3 p 2 Vậy F ( x) = − (1 − x) 1 − x + 7. 3 Z p F ( x) = 1 − x dx = ä 6 p 1 4 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 3 2 x − 4 thỏa mãn F (−2) = . 3 8 p ĐS: F ( x) = (2 x − 4) 3 2 x − 4 − 23 . 4 – Lời giải. Z p p p 3 3 3 3 3 F ( x) = 2x − 4 dx = (2 x − 4) 2 x − 4 + C = (2 x − 4) 2 x − 4 + C 4·2 8 p 1 3 1 23 mà F (−2) = ⇒ (2 · (−2) − 4) 3 2 · (−2) − 4 + C = ⇒ C = − . 4 8 4 4 p 3 23 3 Vậy F ( x) = (2 x − 4) 2 x − 4 − . 8 4 ä 7 Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = p 3 7 x − 2 thỏa mãn F (3) = . Tính giá trị biểu thức 4 T = 2log13 [F(10)] + 3log13 [F(−6)] . ĐS: T = 2log13 12 + 3log13 12 – Lời giải. p 3 3 x − 2 d x = ( x − 2) x − 2 + C. 4 p 7 3 7 mà F (3) = ⇒ (3 − 2) 3 3 − 2 + C = ⇒ C = 1. 4 4 4 F ( x) = Z p 3 Th.s Nguyễn Chín Em 17 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 p 3 4 Vậy F ( x) = ( x − 2) 3 x − 2 + 1, nên F (10) = 13; F (−6) = 13. Vậy T = 2log13 [F(10)] + 3log13 [F(−6)] = 2log13 12 + 3log13 12 . 8 ä p 8 5 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 3 3 − 5 x thỏa mãn F (−1) = − . ĐS: F ( x) = − p 3 4 3 (3 − 5 x) 3 − 5 x + . 20 5 – Lời giải. p p 3 3 3 3 (3 − 5 x) 3 − 5 x + C = − (3 − 5 x) 3 − 5 x + C 4 · (−5) 20 p 8 3 4 8 3 mà F (−1) = − ⇒ − (3 − 5 · (−1)) 3 − 5 · (−1) + C = − ⇒ C = . 5 20 5 5 p 3 4 3 Vậy F ( x) = − (3 − 5 x) 3 − 5 x + . 20 5 Z p 3 3 − 5x dx = F ( x) = ä 9 Cho f ( x) = p n 1 Z ax + b ⇒ F ( x) = p n 1 ax + b d x = . . .. ĐS: F ( x) = ax + b n ·p + C. n ( n − 1)a ax + b – Lời giải. p n ax + b ⇔ t n = ax + b ⇔ n · t n−1 d t = a d x. Z Z Z n · t n−1 n n ax + b 1 n · t n−2 d x = + Suy ra, F ( x) = p d t = dt = · t n−1 +C = ·p n n at a ( n − 1)a ( n − 1)a ax + b ax + b C. Đặt t = ä ax + b n ·p dx = +C . n ( n − 1)a ax + b ax + b Z 2 p 1 • Với n = 2, suy ra F ( x) = p d x = · ax + b + C . a Z ax + b 3 p 1 3 · (ax + b)2 + C . d x = • Với n = 3, suy ra F ( x) = p 3 2 a ax + b Z Nhận xét. 10 p n 1 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = p 2 4x − 1 p thỏa mãn F (3) = 3 11. p p ĐS: F ( x) = 4 x − 1 + 2 11. – Lời giải. Z p 2 2·2p f ( x) d x = p dx = 4 x − 1 + C = 4 x − 1 + C. 4 4x − 1 p p p p Mà F (3) = 3 11 ⇔ 4 · 3 − 1 + C = 3 11 ⇔ C = 2 11. p p Vậy F ( x) = 4 x − 1 + 2 11. Z Ta có F ( x) = 11 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = p 1 3x − 1 ä p thỏa mãn F (2) = 5. ĐS: F ( x) = 2p 1p 3x − 1 + 5. 3 3 – Lời giải. 2 2p dx = 3 x − 1 + C. p 3 3x − 1 p p 2p 1p Mà F (2) = 5 ⇔ 3·2−1+C = 5 ⇔ C = 5. 3 3 p p 2 1 Vậy F ( x) = 3x − 1 + 5. 3 3 Z Ta có F ( x) = Th.s Nguyễn Chín Em Z f ( x) d x = 18 ä https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 1 ¶ 3 thỏa mãn F − = 2018. 12 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = p 2 1 − 2x p ĐS: F ( x) = − 1 − 2 x + 2020. µ – Lời giải. p 2 p 1 dx = 1 − 2 x + C = − 1 − 2 x + C. p −2 … 1 − 2x µ ¶ −3 3 + C = 2018 ⇔ C = 2020. Mà F − = 2018 ⇔ − 1 − 2 · 2 p 2 Vậy F ( x) = − 1 − 2 x + 2020. Z Ta có F ( x) = Z f ( x) d x = ä p p dx = a( x + 2) x + 2 + b( x + 1) x + 1 + C với a, b là các số hữu tỷ và C là hằng số p x+2+ x+1 bất kỳ. Tính S = 3a + b. 4 ĐS: S = . 3 Z 13 Biết p – Lời giải. p p p Z Z p ( x + 2) − ( x + 1) ( x + 2 − x + 1) · ( x + 2 + x + 1) dx = p dx = dx F ( x) = p p p p p x+2+ x+1 x+2+ x+1 Z px + 2 + px + 1 p p 2 2 F ( x) = ( x + 2 − x + 1) d x = ( x + 2) x + 2 − ( x + 1) x + 1 + C. 3 3 2 4 2 Ta có a = ; b = − nên S = 3a + b = . 3 3 3 Z 14 Biết F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) = p 1 p x+ x+1 ä 2 3 thỏa F (0) = . Tính giá trị của biểu thức p T = 3 [F (3) + F (2)] + 4 2. ĐS: T = 16. – Lời giải. p p p Z Z p dx ( x + 1) − x ( x + 1 − x) · ( x + 1 + x) F ( x) = p = p dx = dx p p p p x + x + 1 x + x + 1 x + 2 + x + 1 Z p p p 2 2 p F ( x) = ( x + 1 − x) d x = ( x + 1) x + 1 − x x + C. 3 3 p 2 p 2 2 2 Ta có F (0) = ⇔ (0 + 1) 0 + 1 − 0 0 + C = ⇔ C = 0, 3 3 3 3 · ¸ p p p p 2 2 p 2 2 p T = 3 [F (3) + F (2)] + 4 2 = 3 (3 + 1) 3 + 1 − 3 3 + (2 + 1) 2 + 1 − 2 2 + 4 2 = 16. 3 3 3 3 Z ä p thỏa F (1) = 2. p 2x + 1 − 2x − 2 p p p p 1 1 ĐS: F ( x) = (2 x + 1) 2 x − 1 + (2 x − 2) 2 x − 2 + 2 − 3 3 3 Ví dụ 6. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = p Th.s Nguyễn Chín Em 19 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Lời giải: Ta có: p ¡p ¢ 2x + 1 + 2x − 2 d x = ¡p F ( x) = p p p p ¢ ¡p ¢ dx 2x + 1 − 2x − 2 2x + 1 − 2x − 2 2x + 1 + 2x − 2 p ¢ Z ¡p 3 2x + 1 + 2x − 2 = dx 3 Z ³p ´ p 2x + 1 + 2x − 2 dx = Z p Z p = 2x + 1 dx + 2x − 2 dx Z Z 1 p 1 p 2 x + 1 d(2 x + 1) + 2 x − 2 d(2 x − 2) = 2 2 p p 1 1 = (2 x + 1) 2 x − 1 + (2 x − 2) 2 x − 2 + C. 3 3 p p p p p Vì F (1) = 2 nên suy ra 3 + C = 2 ⇒ C = 2 − 3. p p p p 1 1 Vậy F ( x) = (2 x + 1) 2 x + 1 + (2 x − 2) 2 x − 2 + 2 − 3. 3 3 3 Z 3 Z Bài 8. 1 p 9x thỏa F (0) = 10. p x + 10 + 10 − 8 x p p 2 1 13 p ĐS: F ( x) = ( x + 10) x + 10 + (10 − 8 x) 10 − 8 x − 10 3 12 2 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = p – Lời giải. Z F ( x) = p ¢ ¡p 9 x x + 10 − 10 − 8 x p p ¡p ¢ ¡p ¢ dx x + 10 + 10 − 8 x x + 10 − 10 − 8 x p ¡p ¢ Z 9 x x + 10 − 10 − 8 x = dx 9x Z ³p ´ p x + 10 − 10 − 8 x d x = Z p Z 1 p = x + 10 d( x + 10) + 10 − 8 x d(10 − 8 x) 8 p p 2 1 = ( x + 10) x + 10 + (10 − 8 x) 10 − 8 x + C. 3 12 9x dx = p p x + 10 + 10 − 8 x Z p 15 p 13 p 10 + C = 10 ⇒ C = − 10. 2 2 p p p 2 1 13 Vậy F ( x) = ( x + 10) x + 10 + (10 − 8 x) 10 − 8 x − 10. 3 12 2 p Vì F (0) = 10 nên suy ra 2 ä 6x thỏa F (2) = 1. p 3x + 7 − 7 − 3x p p 2 2 11 26 p ĐS: F ( x) = (3 x + 7) 3 x + 7 − (7 − 3 x) 7 − 3 x + − 13 9 9 9 9 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = p Th.s Nguyễn Chín Em 20 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 – Lời giải. Z F ( x) = p ¡p ¢ 6x 3x + 7 + 7 − 3x p p ¢ ¡p ¢ dx ¡p 3x + 7 − 7 − 3x 3x + 7 + 7 − 3x p ¡p ¢ Z 6x 3x + 7 + 7 − 3x = dx 6x Z ³p ´ p = 3x + 7 + 7 − 3x dx Z Z 1 p 1 p = 3 x + 7 d(3 x + 7) − 7 − 3 x d(7 − 3 x) 3 3 p p 2 2 = (3 x + 7) 3 x + 7 − (7 − 3 x) 7 − 3 x + C. 9 9 6x dx = p p 3x + 7 − 7 − 3x 11 26 p − 13. 9 9 p p 2 2 11 26 p Vậy F ( x) = (3 x + 7) 3 x + 7 − (7 − 3 x) 7 − 3 x + − 13. 9 9 9 9 2 9 p Z 2 9 Vì F (2) = 1 nên suy ra 13 13 − + C = 1 ⇒ C = 3 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = ä p 1 thỏa F (2) = 2 2. p p ( x + 1) x − x x + 1 p p p ĐS: F ( x) = 2 x + 2 x + 1 − 2 3 – Lời giải. 1 Z F ( x) = 1 ¡p p p p ¢ dx x x+1 x+1− x ¡p p ¢ Z x+1+ x = p p ¡p p ¢ ¡p p ¢ dx x x+1 x+1− x x+1+ x p Z p x+1+ x = dx p p x x+1 ¶ Z µ 1 1 = dx p +p x x+1 Z 1 1 = p dx + p d( x + 1) x x+1 p p = 2 x + 2 x + 1 + C. Z dx = p p ( x + 1) x − x x + 1 p p p p p Vì F (2) = 2 2 nên suy ra 2 2 + 2 3 + C = 2 2 ⇒ C = −2 3. p p p Vậy F ( x) = 2 x + 2 x + 1 − 2 3. 4 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = Th.s Nguyễn Chín Em ä 1 thỏa F (3) = 4. p p ( x + 2) x + 1 + ( x + 1) x + 2 p p ĐS: F ( x) = x + x + 2 − 1 21 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 – Lời giải. 1 Z F ( x) = Z dx = p p ( x + 2) x + 1 + ( x + 1) x + 2 1 ¡p p ¢ dx x+2− x+1 p ¢ ¡p Z x+2− x+1 = p p p p ¡p ¢ ¡p ¢ dx x+2 x+1 x+2− x+1 x+2+ x+1 p Z p x+2− x+1 dx = p p x+2 x+1 ¶ Z µ 1 1 = −p dx p x+1 x+2 Z 1 1 d( x + 1) − p d( x + 2) = p x+1 x+2 p p = 2 x + 1 − 2 x + 2 + C. p p p x+1 x+2 p Vì F (3) = 4 nên suy ra 4 − 2 5 + C = 4 ⇒ C = 2 5. p p p Vậy F ( x) = 2 x + 1 − 2 x + 2 + 2 5. 5 ä Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = p 1 thỏa F (1) = 3. p p ( x + 2) x − x x + 2 p p p ĐS: F ( x) = 2 x + 1 − 2 x + 2 + 2 5 – Lời giải. 1 Z F ( x) = 1 ¡p p p p ¢ dx x x+2 x+2− x ¡p p ¢ Z x+2+ x = p p ¡p p ¢ ¡p p ¢ dx x+2 x x+2− x x+2+ x p Z p x+2+ x = p p dx 2 x+2 x ¶ Z µ 1 1 1 1 = dx p + p 2 x 2 x+2 Z 1 1 = d( x + 2) p dx + p 2 x 2 x+2 p p = x + x + 2 + C. Z dx = p p ( x + 2) x − x x + 2 p p p Vì F (1) = 3 nên suy ra 1 + 3 + C = 3 ⇒ C = −1. p p Vậy F ( x) = x + x + 2 − 1. ä Ví dụ 7. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = x + sin x thỏa mãn điều kiện F (0) = 19. 1 2 ĐS: F ( x) = x2 − cos x + 20 1 ( x + sin x) d x = x2 − cos x + C . 2 Vì F (0) = 19 nên suy ra 0 − 1 + C = 19 ⇒ C = 20. 1 Vậy F ( x) = x2 − cos x + 20. 2 Z Lời giải: Ta có: F ( x) = Bài 9. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện F ( x0 ) = k 1 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin x − cos x thỏa mãn điều kiện F Th.s Nguyễn Chín Em ³π´ = 0. 4 p ĐS: F ( x) = − cos x − sin x + 2 22 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 – Lời giải. Z Ta có: F ( x) = (sin x − cos x) d x = − cos x − sin x + C . p p ³π´ p 2 2 − + C = 0 ⇒ C = 2. Vì F = 0 nên suy ra − 4 2p 2 Vậy F ( x) = − cos x − sin x + 2. 2 ä Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x − 3 cos x và F ³π´ 2 = π2 4 . Tính F (π). ĐS: F ( x) = x2 − 3 sin x + 3 – Lời giải. Z Ta có: F ( x) = Vì F ³π´ = π2 (2 x − 3 cos x) d x = x2 − 3 sin x + C . nên suy ra π2 2 4 4 Vậy F ( x) = x2 − 3 sin x + 3. 3 − 3 + C = 0 ⇒ C = 3. ä x 2 ³ Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin − cos ³ π ´ 3π x ´2 . thỏa mãn điều kiện F = 2 2 2 ĐS: F ( x) = x + cos x + π – Lời giải. Z ³ Z Z ³ ´ x ´2 x x x 2 x 2 x dx = sin − 2 sin cos + cos d x = (1 − sin x) d x = x + Ta có: F ( x) = sin − cos 2 2 2 2 2 2 cos x ³+ C´. π 3π π 3π nên suy ra + C = ⇒ C = π. Vì F = 2 2 2 2 Vậy F ( x) = x + cos x + π. ä 4 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = ³ π´ 2 thỏa mãn điều kiện F − = 2. 4 cos2 x ĐS: F ( x) = 2 tan x + 4 – Lời giải. 2 d x = 2 tan x + C . cos2 x ³ π´ Vì F − = 2 nên suy ra −2 + C = 2 ⇒ C = 4. 4 Vậy F ( x) = 2 tan x + 4. Z Ta có: F ( x) = 5 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = ä 1 sin2 x ³ π´ = 0. 6 p ĐS: F ( x) = − cot x − 3 thỏa mãn điều kiện F − – Lời giải. Z Ta có: F ( x) = 1 d x = − cot x + C . sin2 x ³ π´ p p Vì F − = 0 nên suy ra 3 + C = 0 ⇒ C = − 3. 6 p Vậy F ( x) = − cot x − 3. µ 6 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = x 2 + ä 1 x sin2 x ¶ thỏa mãn điều kiện F ³π´ 4 = −1. ĐS: F ( x) = x2 − cot x − π2 16 – Lời giải. Z Ta có: F ( x) = Th.s Nguyễn Chín Em µ x 2+ 1 ¶ 2 x sin x Z µ dx = 2x + 1 2 sin x 23 ¶ d x = x2 − cot x + C . https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Vì F ³π´ 4 = −1 nên suy ra Vậy F ( x) = x2 − cot x − π2 16 π2 16 Chương 3 – Giải tích 12 − 1 + C = −1 ⇒ C = − π2 16 . . ä ³ π ´ p2 1 7 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin x + . thỏa mãn điều kiện F − = 4 2p cos2 x ĐS: F ( x) = − cos x + tan x + 2 + 1 – Lời giải. ¶ 1 Ta có: F ( x) = sin x + d x = − cos x + tan x + C . cos2 xp p p ³ π´ p 2 2 2 Vì F − = nên suy ra − −1+C = ⇒ C = 2 + 1. 4 2 2 p 2 Vậy F ( x) = − cos x + tan x + 2 + 1. Z µ ä ¶ p 5 π 3 = . 8 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 1 + tan2 x thỏa mãn điều kiện F 6 3 µ p 2 3 ĐS: F ( x) = tan x + 3 – Lời giải. Z ¢ 1 + tan2 x d x = tan x + C . p p p µ ¶ p 5π 3 3 3 2 3 Vì F = nên suy ra − +C = ⇒C= . 6 3 3 3 3 p 2 3 . Vậy F ( x) = tan x + 3 Ta có: F ( x) = 9 ¡ ä Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = tan2 x thỏa mãn điều kiện F (0) = 3. ĐS: F ( x) = tan x − x + 3 – Lời giải. Z Ta có: F ( x) = 2 tan x d x = Z ¡ ¢ tan2 x + 1 − 1 d x = tan x − x + C . Vì F (0) = 3 nên suy ra 0 − 0 + C = 3 ⇒ C = 3. Vậy F ( x) = tan x − x + 3. 10 ä Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = (tan x + cot x)2 thỏa mãn điều kiện F ³π´ = 3. 4 ĐS: F ( x) = tan x − cot x + 3 – Lời giải. Ta có: Z F ( x) = 2 (tan x + cot x) d x = Z ¡ 2 2 ¢ Z tan x + 2 + cot x d x = ¡ ¢ tan2 x + 1 + cot2 x + 1 d x = tan x − cot x + C. ³π´ Vì F = 3 nên suy ra 1 − 1 + C = 3 ⇒ C = 3. 4 Vậy F ( x) = tan x − cot x + 3. 11 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = ä cos 2 x sin2 x cos2 x thỏa mãn điều kiện F ³π´ = 0. 4 ĐS: F ( x) = − cot x − tan x + 2 – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 24 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z Ta có: F ( x) = ³π´ cos 2 x Z Chương 3 – Giải tích 12 cos2 x − sin2 x Z µ dx = dx = sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x = 0 nên suy ra −1 − 1 + C = 0 ⇒ C = 2. 1 ¶ 1 − d x = − cot x − tan x + C . sin2 x cos2 x Vì F 4 Vậy F ( x) = − cot x − tan x + 2. 12 ä Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin2 ³π´ x thỏa mãn F = 4. 2 2 1 2 1 2 ĐS: F ( x) = x − sin x + 9−π 4 – Lời giải. Z x 1 1 1 − cos x Ta có: F ( x) = sin d x = d x = x − sin x + C . 2 2 2 2 ³π´ π 1 9−π = 4 nên suy ra − + C = 4 ⇒ C = . Vì F 2 4 2 4 1 1 9−π Vậy F ( x) = x − sin x + . 2 2 4 ³π´ π x = . 13 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = cos2 thỏa mãn F 2 2 4 Z 2 ä 1 2 1 2 ĐS: F ( x) = x + sin x − 1 2 – Lời giải. Z 1 + cos x 1 1 x d x = x + sin x + C . Ta có: F ( x) = cos d x = 2 2 2 2 ³π´ π π 1 π 1 Vì F = nên suy ra + + C = ⇒ C = − . 2 4 4 2 4 2 1 1 1 Vậy F ( x) = x + sin x − . 2 2 2 Z 2 ä Z Lời giải: Ta có: F ( x) = ³π´ cos 2 x d x = 1 sin 2 x + C . 2 ³π´ 5 = . 4 2 1 ĐS: F ( x) = sin 2 x + 2 2 Ví dụ 8. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = cos 2 x thỏa mãn điều kiện F 5 1 5 nên suy ra + C = ⇒ C = 2. 4 2 2 2 1 Vậy F ( x) = sin 2 x + 2. 2 Vì F = Bài 10. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện F ( x0 ) = k µ ¶ 1 1 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin(1 − 2 x) thỏa mãn điều kiện F = 1. 2 1 1 ĐS: F ( x) = cos(1 − 2 x) + 2 2 – Lời giải. Z 1 1 Ta có: F ( x) = sin(1 − 2 x) d x = − sin(1 − 2 x) d(1 − 2 x) = cos(1 − 2 x) + C . 2 2 µ ¶ 1 1 1 Vì F = 1 nên suy ra + C = 1 ⇒ C = . 2 2 2 1 1 Vậy F ( x) = cos(1 − 2 x) + . 2 2 Z 2 ³π´ 3 = . 4 2 1 ĐS: F ( x) = sin 2 x + 1 2 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = cos4 x − sin4 x thỏa mãn điều kiện F Th.s Nguyễn Chín Em ä 25 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 – Lời giải. Z Ta có: F ( x) = C. ³π´ ¡ ¢ sin cos4 x − sin4 x d x = Z ¡ 2 ¢¡ ¢ cos x − sin2 x cos2 x + sin2 x d x = Z cos 2 x d x = 1 sin 2 x+ 2 3 1 3 nên suy ra + C = ⇒ C = 1. 4 2 2 2 1 Vậy F ( x) = sin 2 x + 1. 2 Vì F 3 = ä 3π . 4 16 3 1 ĐS: F ( x) = x + sin 4 x 4 16 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = cos4 x + sin4 x thỏa mãn điều kiện F ³π´ = – Lời giải. 1 2 1 4 3 1 4 4 Ta có: cos4 x+sin4 x = cos2 x + sin2 x −2 cos2 x sin2 x = 1− sin2 2 x = 1− (1 − cos 4 x) = + cos 4 x. ¡ Z Do đó: F ( x) = ¢ ¡ 4 ¢ cos x + sin4 x d x = Z µ ¶ 3 1 3 1 + cos 4 x d x = x + sin 4 x + C . 4 4 4 16 3π 3π 3π nên suy ra +C = ⇒ C = 0. 4 16 16 16 3 1 Vậy F ( x) = x + sin 4 x. 4 16 Vì F 4 ³π´ = ä Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin x(2 + cos x) thỏa mãn điều kiện 4F (0) = 11. 1 2 ĐS: F ( x) = − (2 + cos x)2 + 29 4 – Lời giải. 1 sin x(2 + cos x) d x = − (2 + cos x) d(2 + cos x) = − (2 + cos x)2 + C . 2 µ ¶ 9 29 Vì 4F (0) = 11 nên suy ra 4 − + C = 11 ⇒ C = . 2 4 1 29 2 Vậy F ( x) = − (2 + cos x) + . ä 2 4 ³ ³π´ 5 π´ 5 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = cos 3 x + thỏa mãn điều kiện F = . 6 3 6³ 1 π´ ĐS: F ( x) = sin 3 x + + 1 3 6 Z Z Ta có: F ( x) = – Lời giải. ³ ³ 1 π´ π´ d x = sin 3 x + + C. cos 3 x + 6 3 6 ³π´ 5 1 5 Vì F = nên suy ra − + C = ⇒ C = 1. 3 6 6 6 ³ 1 π´ Vậy F ( x) = sin 3 x + + 1. 3 6 Z Ta có: F ( x) = ä p 2 = . 6 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = cos 6 x − cos 4 x thỏa mãn điều kiện F 8 12 1 1 1 ĐS: F ( x) = sin 6 x − sin 4 x + 6 4 4 ³π´ – Lời giải. 1 1 (cos 6 x − cos 4 x) d x = sin 6 x − sin 4 x + C . 6 p 4 p ³ π ´ p2 2 1 2 1 Vì F = nên suy ra − +C = ⇒C= . 8 12 12 4 12 4 1 1 1 Vậy F ( x) = sin 6 x − sin 4 x + . 6 4 4 Z Ta có: F ( x) = Th.s Nguyễn Chín Em 26 ä https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 7 Chương 3 – Giải tích 12 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin 2 x + 3 x2 thỏa mãn điều kiện F (0) = 0. 1 2 ĐS: F ( x) = − cos 2 x + x3 + 1 2 – Lời giải. ¢ 1 sin 2 x + 3 x2 d x = − cos 2 x + x3 + C . 2 1 1 Vì F (0) = 0 nên suy ra − + C = 0 ⇒ C = . 2 2 1 1 Vậy F ( x) = − cos 2 x + x3 + . 2 2 Z Ta có: F ( x) = ¡ ä ³π´ x thỏa mãn điều kiện F = 5. 8 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 1 + tan 2 2 x ĐS: F ( x) = 2 tan + 3 2 2 – Lời giải. Z ³ x´ x x´ ³x´ dx = 2 d = 2 tan + C . 1 + tan2 2 2 2 2 ³π´ Vì F = 5 nên suy ra 2 + C = 5 ⇒ C = 3. 2 x Vậy F ( x) = 2 tan + 3. 2 Ta có: F ( x) = 9 Z ³ 1 + tan2 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 1 sin2 x cos2 x ä thỏa mãn điều kiện F ³π´ = 3. 4 ĐS: F ( x) = −2 cot 2 x + 3 – Lời giải. 1 Z Ta có: F ( x) = Vì F ³π´ 4 2 x cos2 x Z dx = 4 2 sin 2 x = 3 nên suy ra 0 + C = 3 ⇒ C = 3. sin 2 Z dx = d(2 x) = −2 cot 2 x + C . sin2 2 x Vậy F ( x) = −2 cot 2 x + 3. 10 ä Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 2 (cos x − sin x)2 thỏa mãn điều kiện F (0) = 1. ³ ĐS: F ( x) = − cot x − π´ 4 −1 – Lời giải. Ta có: Z 2 F ( x) = d x = ³p dx = ³ 2 π ´´2 (cos x − sin x) 2 sin x − 4 Vì F (0) = 1 nên suy ra 1 + C = 0 ⇒ C = − 1 . ³ π´ Vậy F ( x) = − cot x − − 1. 4 11 2 Z Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = Z ³ ³ 1 π´ π´ ³ π ´ d x − 4 = − cot x − 4 + C . sin2 x − 4 ä 1 2 (cos x + sin x) 1 2 ³ 1 π´ ĐS: F ( x) = − cot x + + 1 2 4 thỏa mãn điều kiện F (0) = . – Lời giải. Ta có: Z 1 ³ ³ F ( x) = d x = p π ´´ d x = (cos x + sin x)2 2 sin x + 4 1 1 1 Vì F (0) = nên suy ra − + C = ⇒ C = 1. 2 2 2 ³ 1 π´ Vậy F ( x) = − cot x + + 1. 2 4 Th.s Nguyễn Chín Em 1 Z 27 Z ³ ³ 1 π´ 1 π´ ³ ´ d x + = − cot x + +C . π 4 2 4 2 sin2 x + 4 ä https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 12 Chương 3 – Giải tích 12 Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = a + b cos 2 x thỏa mãn điều kiện F (0) = ³π´ π F = . 12 3 2 3 π 2 ĐS: F ( x) = − x − ,F ³π´ 2 = π 6 và 2π π sin 2 x + 9 2 – Lời giải. 1 (a + b cos 2 x) d x = ax + b sin 2 x + C . ³π´ π ³π´ π 2 π Vì F (0) = , F = và F = nên ta có hệ: 2 2 6 12 3  π π    C= C =     2   2    aπ  π −2 +C = ⇔ a= . 2 6   3       −4π    aπ + b + C = π  b= 12 4 3 9 2π π 2 sin 2 x + . Vậy F ( x) = − x − 3 9 2 Z Ta có: F ( x) = 13 ä 3 thỏa mãn điều kiện đồ thị của hai hàm số 5 F ( x) và f ( x) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung. Tìm hàm số F ( x). 2 2 p 3 ĐS: F ( x) = − cos 5 x + x x + x + 1 5 3 5 p Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 2 sin 5 x + x + – Lời giải. p ¶ 3 2 2 p 3 Ta có: F ( x) = 2 sin 5 x + x + d x = − cos 5 x + x x + x + C . 5 5 3 5µ ¶ p 3 3 Đồ thị hàm số f ( x) = 2 sin 5 x + x + cắt trục tung tại điểm A 0; . 5 5 Vì đồ thịµ của¶hai hàm số F ( x) và f ( x) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung nên suy ra F ( x) đi qua 3 điểm A 0; . Do đó: 5 3 2 − + C = ⇒ C = 1. 5 5 2 2 p 3 Vậy F ( x) = − cos 5 x + x x + x + 1. ä 5 3 5 Z µ Ví dụ 9. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = cos2 x thỏa mãn F (0) = 10. 1 2 1 4 Lời giải: F ( x) = x + sin 2 x + 10 – Lời giải. Z Z 1 + cos 2 x 1 1 2 Ta có: F ( x) = cos x d x = d x = x + sin 2 x + C . Vì F (0) = 10 nên suy ra C = 10. 1 2 2 2 4 1 4 Vậy F ( x) = x + sin 2 x + 10. ä Bài 11. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện F ( x0 ) = k 1 Tìm một hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin2 2 x, biết rằng đồ thị của hàm số y = F ( x) đi qua ³ nguyên ´ điểm π π ; . 2 4 1 2 1 8 ĐS: F ( x) = x − sin 4 x – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 28 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 1 − cos 4 x 1 1 d x = x − sin 4 x + C . 2 8 ³π 2 π´ Vì đồ thị của hàm số y = F ( x) đi qua điểm ; nên suy ra: 2 4 π π + C = ⇒ C = 0. 4 4 1 1 Vậy F ( x) = x − sin 4 x. 2 8 Z Ta có: F ( x) = 2 2 Z sin 2 x d x = ä Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = (1 + sin x)2 thỏa mãn F (0) = 0. 3 2 1 4 ĐS: F ( x) = x − 2 cos x − sin 4 x + 2 – Lời giải. Ta có: Z F ( x) = Z 2 (1 + sin x) d x = ¡ ¢ 1 + 2 sin x + sin2 x d x = Z µ ¶ 3 1 + 2 sin x − cos 2 x d x 2 2 3 1 x − 2 cos x − sin 4 x + C. 2 4 Vì F (0) = 0 nên suy ra −2 + C = 0 ⇒ C = 2. 3 1 Vậy F ( x) = x − 2 cos x − sin 4 x + 2. ä 2 4 ³π´ π 4m + sin2 x thỏa mãn F (0) = 1 và F = . Tìm giá thực 3 Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = π 4 8 của tham số m. 3 ĐS: m = − 4 = – Lời giải. ¶ ¶ µ ¶ Z µ 4m 1 4m 1 1 1 4m 2 + sin x d x = + − cos 2 x d x = + Ta có: F ( x) = x − sin 2 x + C . π´ π 2 2 π 2 4 ³π π Vì F (0) = 1 và F = nên ta có hệ 4 8   =1  =1 C C ⇒ π π 3 3.   m + + m = − = 8 4 8 4 3 Vậy m = − . ä 4 a 4 Cho hàm số f ( x) = + cos2 x Tìm tất cả các giá trị của a để f ( x) có một nguyên hàm F ( x) thỏa mãn π ³ ´ 1 π π đồng thời F (0) = và F = . 4 4 4 π ĐS: a = − 2 2 Z µ – Lời giải. ¶ ¶ µ Z ³ Z µ ´ a a 1 1 a 1 1 2 Ta có: F ( x) = + cos x d x = + + cos 2 x d x = + x + sin 2 x + C . π π 2 2 π 2 4 ³π´ π 1 Vì F (0) = và F = nên suy ra: 4 4 4   1   = C = C 1 4⇔ . a = π − 2  a + π + 1 +C = π  2 4 8 4 4 π ä Vậy a = − 2. 2 ³ π´ 13 5 Tìm hàm số f ( x), biết rằng f 0 ( x) = cos2 x + và f (0) = . 4 4 1 1 ĐS: f ( x) = x + cos 2 x + 3 2 4 Th.s Nguyễn Chín Em 29 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 – Lời giải. Z Ta có: f ( x) = 2 ³ x+ π´ Z µ ¶ ¶ Z µ ³ 1 1 π´ 1 1 1 1 + cos 2 x + − sin 2 x d x = x + cos 2 x + C . dx = 2 2 2 2 2 2 4 dx = 4 13 1 13 Vì f (0) = nên suy ra + C = ⇒ C = 3. 4 4 4 1 1 Vậy f ( x) = x + cos 2 x + 3. 2 4 cos ä Ví dụ 10. Gọi F1 ( x) là một nguyên hàm của hàm số f 1 ( x) = sin2 x thỏa F1 (0) = 0 và F2 ( x) là một nguyên hàm của hàm số f 2 ( x) = cos2 x thỏa mãn F2 (0) = 0. Giải phương trình F1 ( x) = F2 ( x). ĐS: x = k µ ¶ Z 1 1 1 Lời giải: Ta có, F1 ( x) = sin x d x = x − sin 2 x + C (1 − cos 2 x) d x = 2 2 2 µ ¶ 1 1 mà F1 (0) = 0 ⇒ 0 − sin 0 + C = 0 ⇒ C = 0 2µ 2 ¶ 1 1 Khi đó, F1 ( x) = x − sin 2 x 2Z 2 µ ¶ Z 1 1 1 2 Tương tự, F2 ( x) = cos x d x = x + sin 2 x + C (1 + cos 2 x) d x = 2 2 µ ¶ 2 1 1 mà F2 (0) = 0 ⇒ 0 + sin 0 + C = 0 ⇒ C = 0 2µ 2 ¶ 1 1 Khi đó, F2 ( x) = x + sin 2 x 2 2 Z π 2 2 Theo đề bài, F1 ( x) = F2 ( x) ¶ ¶ µ µ 1 1 1 1 ⇒ x − sin 2 x = x + sin 2 x 2 2 2 2 ⇒ sin 2 x = 0 ⇒ 2 x = kπ π ⇒ x=k 2 Bài 12. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện F ( x◦ ) = k. 1 Tìm một nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos4 x thỏa mãn F ³π´ = p 2. 4 µ ¶ p 1 3π 1 ĐS: F ( x) = 3 x + 2 sin 2 x + sin 4 x + 8 2 − 2 − 8 4 4 – Lời giải. Ta có, ¶ Z ¢ 1 + cos 2 x 2 1 ¡ cos x d x = dx = 1 + 2 cos 2 x + cos2 2 x d x 2 4 ¶ Z µ 1 1 + cos 4 x 1 + 2 cos 2 x + dx 4 2 Z 1 (3 + 4 cos 2 x + cos 4 x) d x 8µ ¶ 1 1 3 x + 2 sin 2 x + sin 4 x + C 8 4 Z F ( x) = = = = Th.s Nguyễn Chín Em 4 Z µ 30 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 µ ¶ p p p 1 3π π 1 3π mà F = 2⇒ + 2 sin + sin π + C = 2 ⇒ C = 8 2 − 2 − 4 8 4 2 4 4 µ ¶ p 1 1 3π Vậy một nguyên hàm cần tìm là F ( x) = 3 x + 2 sin 2 x + sin 4 x + 8 2 − 2 − . 8 4 4 ³π´ 2 ä 3 8 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin4 2 x thỏa mãn F (0) = . µ ¶ 1 1 3 ĐS: F ( x) = 3 x − sin 4 x − sin 8 x + 8 8 8 – Lời giải. ¶ Z Z µ ¢ 1 ¡ 1 − cos 4 x 2 dx = 1 − 2 cos 4 x + cos2 4 x d x sin4 2 x d x = 2 4 ¶ Z µ Z 1 1 − cos 8 x 1 1 − 2 cos 4 x + dx = (3 − 4 cos 4 x − cos 8 x) d x 4 2 8 µ ¶ 1 1 3 x − sin 4 x − sin 8 x + C 8 8 Z Ta có, F ( x) = = = µ ¶ 3 1 1 3 3 ⇒ 0 − sin 0 − sin 0 + C = ⇒ C = 8 8 8 8 8 µ ¶ 1 1 3 Vậy một nguyên hàm cần tìm là F ( x) = 3 x − sin 4 x − sin 8 x + . 8 8 8 mà F (0) = Ví dụ 11. Hàm số f ( x) = sin 3 x cos x có 1 nguyên hàm là F ( x) thỏa F ä ³π´ 6 = ³π´ 15 . Tính F . 16 4 ¶ µ 1 1 1 ĐS: F ( x) = − cos 4 x − cos 2 x + 1 2 4 2 Lời giải: Z (sin 3 x cos x) d x Z 1 = (sin 4 x + sin 2 x) d x 2µ ¶ 1 1 1 = − cos 4 x − cos 2 x + C 2 4 2 µ ¶ ³ π ´ 15 1 1 2π 1 π 15 Theo giả thuyết, F = ⇒ − cos − cos +C = ⇒ C = 1. 6 16 2 4 2 3 16 µ3 ¶ 1 1 1 Vậy có 1 nguyên hàm cần tìm là F ( x) = − cos 4 x − cos 2 x + 1. 2 4 2 F ( x) = Bài 13. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện F ( x◦ ) = k. 1 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 2 sin x cos 3 x thỏa mãn F ³π´ 2 = −3. ĐS: F ( x) = − cos 4 x cos 2 x 9 + − 4 2 4 – Lời giải. Z F ( x) = 2 sin x cos 3 x d x = Z (sin 4 x + sin(−2 x)) d x = (sin 4 x − sin 2 x) d x = − cos 2π cos π 1 −1 9 + + C = −3 ⇔ − + + C = −3 ⇔ C = − . 2 4 2 4 2 4 cos 4 x cos 2 x 9 Vậy F ( x) = − + − . 4 2 4 F ³π´ Z cos 4 x cos 2 x + + C. 4 2 = −3 ⇔ − Th.s Nguyễn Chín Em 31 ä https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 2 Chương 3 – Giải tích 12 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin 4 x cos x thỏa mãn F (π) = 4µ . ¶ 1 cos 5 x cos 3 x 56 ĐS: F(x) = − − + 2 5 3 15 – Lời giải. µ ¶ Z 1 1 cos 5 x cos 3 x F ( x) = sin 4 x cos x d x = − − + C. (sin 5 x + sin 3 x) d x = 2 2 5 3 µ ¶ µ ¶ 1 cos 5π cos 3π 1 1 1 56 − +C =4⇔ F (π) = 4 ⇔ − + +C =4⇔ C = . 2 5 3 2 5 3 15 µ ¶ 56 1 cos 5 x cos 3 x − + . ä Vậy F ( x) = − 2 5 3 15 ³π´ 3 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = cos 5 x cos x thỏa mãn F = 5. 4 µ ¶ 61 1 sin 6 x sin 4 x + + ĐS: F ( x) = 2 6 4 12 Z – Lời giải. µ ¶ Z 1 1 sin 6 x sin 4 x F ( x) = cos 5 x cos x d x = + + C. (cos 6 x + cos 4 x) d x = 2 2 6 4   π µ ¶ sin 6 ³π´ sin π  1 −1 0 61 1 4 F + + +C =5⇔ C = . =5⇔  +C = 5 ⇔ 4 2 6 4 2 6 4 12 Z µ ¶ 1 sin 6 x sin 4 x 61 Vậy F ( x) = + + . 2 6 4 12 4 ä Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = cos 6 x cos 2 x thỏa mãn F ³π´ = −2. µ6 ¶ p 3 − 64 1 sin 8 x sin 4 x + + ĐS: F ( x) = 2 8 4 32 – Lời giải. µ ¶ Z 1 1 sin 8 x sin 4 x + F ( x) = cos 6 x cos 2 x d x = + C. (cos 8 x + cos 4 x) d x = 2 2 8 4  p p   π π 3 3 p sin 8 sin 4 −   ³π´ 1 1 2 3 − 64   6 6 2 F = −2 ⇔  + + .  + C = −2 ⇔ C =  + C = −2 ⇔  6 2 8 4 2 8 4  32 Z µ ¶ p 1 sin 8 x sin 4 x 3 − 64 Vậy F ( x) = + + . 2 8 4 32 5 ä Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = cos 2 x cos 8 x thỏa mãn F ³π´ = 2018. 8 p ¶ 1 sin 10 x sin 6 x 2 + 2018 − ĐS: F ( x) = + 2 10 6 60 µ – Lời giải. Z F ( x) = = = = Th.s Nguyễn Chín Em cos 2 x cos 8 x d x Z 1 (cos 10 x + cos(−6 x)) d x 2Z 1 (cos 10 x + cos 6 x) d x 2µ ¶ 1 sin 10 x sin 6 x + +C 2 10 6 32 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ F ⇔ ⇔ ⇔ Chương 3 – Giải tích 12 ³π´ = 2018 8 π π sin 10 sin 6 1 8+ 8  + C = 2018   2 10 6   5π 3π sin sin 1 4 + 4    + C = 2018 2  10 6   p p  2 2 −   1 2  + 2  + C = 2018  2  10 6  p 2 ⇔ C = 2018 − 60 p µ ¶ 1 sin 10 x sin 6 x 2 Vậy F ( x) = + + 2018 − . 2 10 6 60 6 ä Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin 7 x sin x thỏa mãn F ³π´ = −7. 3µ ¶ p 1 sin 8 x sin 6 x 3 ĐS: F ( x) = − − −7 + 2 8 6 32 – Lời giải. µ ¶ 1 sin 8 x sin 6 x F ( x) = − + C. (cos 8 x − cos 6 x) d x = − 2 8 6 p   π π 3 p sin 8 sin 6 ³π´ 1 1 0 3   2  3 3 F = −7 ⇔ −  − −  + C = −7 ⇔ C = − 7.  + C = −7 ⇔ −    3 2 8 6 2 8 6 32 Z 1 sin 7 x sin x d x = − 2 Z µ ¶ p 1 sin 8 x sin 6 x 3 Vậy F ( x) = − − + − 7. 2 8 6 32 7 ä ³π´ 1 = . 4 2µ ¶ 1 sin 4 x sin 2 x 1 ĐS: F ( x) = − − + 2 4 2 4 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin x sin 3 x thỏa mãn F – Lời giải. Z F ( x) = sin x sin 3 x d x Z 1 = − (cos 4 x − cos(−2 x)) d x 2Z 1 = − (cos 4 x − cos 2 x) d x 2µ ¶ 1 sin 4 x sin 2 x = − − +C 2 4 2 Th.s Nguyễn Chín Em 33 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ F Chương 3 – Giải tích 12 ³π´ 4 = 1 2 π π sin 4 sin 2 1 4− 4 +C = 1 ⇔ −   2 4 2 2 π 2 +C = 1  2 2  sin 1  sin π ⇔ −  − 2 4 µ ¶ 1 1 0 1 − +C = ⇔ − 2 4 2 2 1 ⇔ C= 4 µ ¶ 1 sin 4 x sin 2 x 1 Vậy F ( x) = − − + . 2 4 2 4 8 ä ³π´ = 9. 2µ ¶ 1 sin 15 x sin 5 x 133 ĐS: F ( x) = − − + 2 15 5 15 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin 10 x sin 5 x thỏa mãn F – Lời giải. µ ¶ Z 1 sin 15 x sin 5 x 1 − F ( x) = sin 10 x sin 5 x d x = − + C. (cos 15 x − cos 5 x) d x = − 2 2 15 5  π π µ ¶ sin 5 sin 15 ³π´ 1 1 −1 1 133  2 2 =9⇔−  − − +C =9⇔ C = . F +C = 9 ⇔ − 2 2 15 5 2 15 5 15 Z µ ¶ 1 sin 15 x sin 5 x 133 Vậy F ( x) = − − . + 2 15 5 15 ä Ví dụ 12. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = e3x thỏa mãn F (0) = 1. 1 3 ĐS: F ( x) = e3x + 1 3x e + C. 3 1 2 F (0) = 1 ⇔ e0 + C = 1 ⇔ C = . 3 3 1 3x 2 Vậy F ( x) = e + . 3 3 Z Lời giải: F ( x) = 2 3 e3x d x = Bài 14. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện F ( x◦ ) = k. 1 e 3 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = e3x+1 thỏa mãn F (0) = . Tính ln3 [3F (1)]. ĐS: ln3 [3F (1)] = 64 – Lời giải. 1 3x+1 e + C. 3 e 1 e F (0) = ⇔ e + C = ⇔ C = 0. 3 3 3 1 3x+1 e4 ⇒ F (1) = . ⇒ F ( x) = e 3 3 · 4¸ e ln3 [3F (1)] = ln3 3 = 43 = 64. 3 Z F ( x) = e3x+1 d x = Th.s Nguyễn Chín Em ä 34 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 µ ¶ ¢ ¡ 3 1 3x 2 thỏa mãn F (0) = . Tính F · 2 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 2 + e 2 µ 3¶ 1 3 e2 ĐS: F = + 12 e 3 2 – Lời giải. Z F ( x) = ¡ 2+ e ¢ 3x 2 Z dx = ¡ ¢ e6x 4 e3x e6x + 4 e3x + 4 d x = + + 4x + C. 6 3 3 e0 4 e0 3 1 4 3 ⇒ + + 0 + C = ⇒ + + C = ⇒ C = 0. 2 6 3 2 6 3 2 3x 6x 4e e + + 4 x. ⇒ F ( x) = 6 3 1 1 µ ¶ 1 e6 3 4 e3 3 1 e2 4 e 4 ⇒F = + +4 = + + . 3 6 3 3 6 3 3 F (0) = 3 ä Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = e−x (2 e x + 1) thỏa mãn F (0) = 1. ĐS: F ( x) = 2 x − e−x + 2 – Lời giải. Z F ( x) = ¡ ¢ e− x 2 e x + 1 d x = Z ¡ ¢ 2 + e− x d x = 2 x − e− x + C . F (0) = 1 ⇒ 2 · 0 − e0 + C = 1 ⇒ C = 2. Vậy F ( x) = 2 x − e−x + 2 4 ä Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = e x (3 + e−x ) thỏa mãn F (ln 2) = 3 ĐS: F ( x) = 3 e x + x − 4 − ln 2 – Lời giải. Z F ( x) = x ¡ ¢ e 3 + e− x d x = Z ¡ x ¢ 3e + 1 dx = 3ex + x + C. F (ln 2) = 3 ⇒ 3 eln 2 + ln 2 + C = 2 ⇒ C = −4 − ln 2. Vậy F ( x) = 3 e x + x − 4 − ln 2. 5 ä p Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = e4x−2 µ ¶ 1 thỏa mãn F =1 2 ĐS: F ( x) = – Lời giải. Z p F ( x) = e4x−2 d x = Z e 4 x−2 2 Z dx = e2x−1 d x = e2x−1 1 + 2 2 e2x−1 + C. 2 1 µ ¶ e2 2 −1 1 1 F =1⇒ +C =1⇒ C = . 2 2 2 Vậy F ( x) = 6 e2x−1 1 + . 2 2 ä Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = e3x−1 − 1 e2 thỏa mãn F = 2 + · (1) 3 x2 ĐS: F ( x) = e3x−1 1 + +1 3 x – Lời giải. Z F ( x) = e3x−1 − Th.s Nguyễn Chín Em 1 e3x−1 1 d x = + + C. 3 x x2 35 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 e2 e3·1−1 1 e2 ⇒ + +C = 2+ ⇒ C = 1. 3 3 1 3 e3x−1 1 + + 1. Vậy F ( x) = 3 x F (1) = 2 + 7 ä Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 2017x thỏa mãn F (1) = ln−1 2017. ĐS: F ( x) = 2017 x 2016 − ln 2017 ln 2017 – Lời giải. Z F ( x) = 2017 x 2017 d x = + C. ln 2017 x 20171 −2016 + C = ln−1 2017 ⇒ C = . ln 2017 ln 2017 2017 x 2016 Vậy F ( x) = − . ln 2017 ln 2017 F (1) = ln−1 2017 ⇒ 8 ä 1 + 2. ln 6 x 3 6x 1 ĐS: F ( x) = − +2− ln 3 ln 6 ln 3 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 3x − 2x · 3x thỏa mãn F (0) = − – Lời giải. Z F ( x) = x x Z x 3 − 2 · 3 dx = 3x − 6x d x = 3x 6x − + C. ln 3 ln 6 1 30 60 1 1 1 1 1 F (0) = − +2 ⇒ − +C =− +2 ⇒ − +C =− +2 ⇒ C = 2− . ln 6 ln 3 ln 6 ln 6 ln 3 ln 6 ln 6 ln 3 6x 1 3x − +2− . Vậy F ( x) = ln 3 ln 6 ln 3 9 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 9x − 3 x2 thỏa mãn F (0) = 1 + 2. ln 9 ĐS: F ( x) = ä 9x − x3 + 2 ln 9 – Lời giải. Z F ( x) = 9 x − 3 x2 d x = 9x − x3 + C . ln 9 1 90 1 +2 ⇒ −0+C = + 2 ⇒ C = 2. ln 9 ln 9 ln 9 9x − x3 + 2. Vậy F ( x) = ln 9 F (0) = 10 ä Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 4x 22x+3 thỏa mãn F (0) = 2 [ln 2 · F (1)]3 . Tính A = · ln 2 210 ĐS: A = 32 – Lời giải. Z F ( x) = x 2x+3 4 2 Z dx = 16 x 16 x 8 · 16 d x = 8 +C =2 + C. ln 16 ln 2 x 2 160 2 ⇒2 +C = ⇒ C = 0. ln 2 ln 2 ln 2 16 x ⇒ F ( x) = 2 . ln 2 · ¸3 161 ln 2 · 2 [ln 2 · F (1)]3 ln 2 A= = = 32. 10 10 2 2 F (0) = Th.s Nguyễn Chín Em ä 36 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 11 Chương 3 – Giải tích 12 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 22x 3 x 7x thỏa mãn F (1) = 1 · ln 84 ĐS: F ( x) = 84 x 83 − ln 84 ln 84 – Lời giải. 84 x F ( x) = 2 3 7 d x = 84 d x = + C. ln 84 1 841 1 83 F (1) = ⇒ +C = ⇒C=− . ln 84 ln 84 ln 84 ln 84 83 84 x − . Vậy F ( x) = ln 84 ln 84 Z 12 Z 2x x x x ä 2 9 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 2x 3−2x thỏa mãn F (1) = · ¡ 2 ¢x 9 ĐS: F ( x) = ln 92 à ! 1 2 1− 2 + 9 ln 9 – Lời giải. ¡ 2 ¢x Z µ ¶x 2 dx = 9 2 + C. F ( x) = 2 3 dx = 9 ln 9 à ! ¡ 2 ¢1 2 2 2 1 9 F (1) = ⇒ +C = ⇒ C = 1− 2 9 9 9 ln 29 ln 9 à ! ¡ 2 ¢x 2 1 Vậy F ( x) = 9 2 + 1 − 2 . ln 9 9 ln 9 Z x −2x ä Z 2x + 1 2x + 1 Ví dụ 13. f ( x) = ⇒ F ( x) = dx = x−1 x−1 Z Z 3 2x + 1 dx = 2 + d x = 2 x + 3 ln | x − 1| + C Lời giải: F ( x) = x−1 x−1 ĐS: F ( x) = 2 x + 3 ln | x − 1| + C Bài 15. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định) 3x + 1 ⇒ F ( x) = 1 f ( x) = x−2 Z 3x + 1 dx = x−2 ĐS: F ( x) = 3 x + 7 ln | x − 2| + C – Lời giải. Z F ( x) = 3x + 1 dx = x−2 Z 3+ x+1 2 f ( x) = ⇒ F ( x) = 2x + 3 Z 7 d x = 3 x + 7 ln | x − 2| + C . x−2 ä x+1 dx = 2x + 3 ĐS: F ( x) = x ln |2 x + 3| − +C 2 2 – Lời giải. 1 1 x ln |2 x + 3| − dx = − + C. 2 2 (2 x + 3) 2 2 Z x−1 x−1 3 f ( x) = ⇒ F ( x) = dx = 3x + 1 3x + 1 Z F ( x) = x+1 dx = 2x + 3 Z ä ĐS: F ( x) = x 4 ln |3 x + 1| − +C 3 3 – Lời giải. Z F ( x) = x−1 dx = 3x + 1 Th.s Nguyễn Chín Em Z 1 4 x 4 ln |3 x + 1| − dx = − + C. 3 3 (3 x + 1) 3 3 37 ä https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 4 f ( x) = x2 + x + 1 ⇒ F ( x) = x+1 Chương 3 – Giải tích 12 Z f ( x) d x = ĐS: F ( x) = x2 + ln | x + 1| + C 2 – Lời giải. Z F ( x) = 5 f ( x) = x2 + x + 1 dx = x+1 Z x+ 4 x2 + 6 x + 1 ⇒ F ( x) = 2x + 1 1 x2 d x = + ln | x + 1| + C . x+1 2 ä Z f ( x) d x = ĐS: F ( x) = x2 + 2 x − ln |2 x + 1| + C – Lời giải. Z 1 4 x2 + 6 x + 1 dx = 2x + 2 − d x = x2 + 2 x − ln |2 x + 1| + C . ä 2x + 1 2x + 1 Z x2 − x + 2 6 f ( x) = ⇒ F ( x) = f ( x) d x = 2x + 1 x2 3 x 11 ln |2 x + 1| +C ĐS: F ( x) = − + 4 4 4 Z F ( x) = – Lời giải. x2 − x + 2 dx = 2x + 1 11 x2 3 x 11 ln |2 x + 1| x 3 − + dx = − + + C. ä 2 4 4 (2 x + 1) 4 4 4 Z 4 x3 + 4 x2 − 1 ⇒ F ( x) = f ( x) d x = 7 f ( x) = 2x + 1 2 x3 x2 x ln |2 x + 1| ĐS: F ( x) = + − − +C 3 2 2 2 Z F ( x) = Z – Lời giải. Z F ( x) = 4 x3 + 4 x2 − 1 dx = 2x + 1 Z 2 x2 + x − x3 − 2 x2 + 3 x − 5 ⇒ F ( x) = 8 f ( x) = 2x + 3 1 1 2 x3 x2 x ln |2 x + 1| − + − − + C. dx = 2 2 (2 x + 1) 3 2 2 2 ä Z f ( x) d x = ĐS: F ( x) = x3 7 x2 33 x 139 ln |2 x + 3| − + − +C 6 8 8 8 – Lời giải. Z F ( x) = ä x3 − 2 x2 + 3 x − 5 dx = 2x + 3 Z 139 x3 7 x2 33 x 139 ln |2 x + 3| x2 7 x 33 − + − dx = − + − + C. 2 4 8 8 (2 x + 3) 6 8 8 8 1 Ví dụ 14. Tìm nguyên của hàm số f ( x) = 2 ⇒ F ( x) = x − a2 Z Lời giải: F ( x) = 1 x2 − a2 dx = 1 2a Z µ Z f ( x) d x = ¯x−a¯ ¯ ¯ ln ¯ ¯ 1 1 x + a + C. dx = − x−a x+a 2a ¯x−a¯ ¯ ¯ ln ¯ ¯ x+a +C ĐS: F ( x) = 2a ¶ Bài 16. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định) 1 ⇒ F ( x) = 1 f ( x) = 2 x −4 Th.s Nguyễn Chín Em Z f ( x) d x = ¯ ¯ ¯ x −2¯ ¯ ¯ ln ¯ x +2¯ ĐS: F ( x) = +C 4 38 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 – Lời giải. ¯ ¯ ¯ x −2¯ ¯ ¯ ln ¯ Z 1 x +2¯ F ( x) = dx = + C. 4 x2 − 4 Z 1 ⇒ F ( x) = f ( x) d x = 2 f ( x) = x( x + 1) ä ¯ x ¯ ¯ ¯ ĐS: F ( x) = ln ¯ ¯+C x−1 – Lời giải. Z F ( x) = ¯ x ¯ 1 1 ¯ ¯ − d x = ln ¯ ¯+C x x+1 x−1 Z ⇒ F ( x) = f ( x) d x = 1 dx = x( x + 1) 3 3 f ( x) = 2 x + 3x Z ä ¯ x ¯ ¯ ¯ ĐS: F ( x) = ln ¯ ¯+C x+3 – Lời giải. Z F ( x) = ¯ x ¯ 1 1 ¯ ¯ − d x = ln ¯ ¯ + C. x x+3 x+3 Z ⇒ F ( x) = f ( x) d x = 3 dx = 2 x + 3x 4 4 f ( x) = 2 x − 4x Z ä ¯ ¯ ¯ x −4¯ ¯+C ĐS: F ( x) = ln ¯¯ x ¯ – Lời giải. Z F ( x) = ¯ ¯ ¯ x −4¯ 1 1 ¯ ¯ + C. − d x = ln ¯ x−4 x x ¯ Z ⇒ F ( x) = f ( x) d x = 4 dx = 2 x − 4x 1 5 f ( x) = 2 x − 6x + 5 Z ä ¯ ¯ 1 ¯¯ x − 5 ¯¯ ĐS: F ( x) = ln ¯ +C 4 x −1¯ – Lời giải. Z F ( x) = 1 1 dx = ( x − 1)( x − 5) 4 Z ⇒ F ( x) = f ( x) d x = 1 dx = x2 − 6 x + 5 1 6 f ( x) = 2 x + 4x − 5 Z Z ¯ ¯ 1 1 1 ¯¯ x − 5 ¯¯ − d x = ln ¯ + C. x−5 x−1 4 x −1¯ ä ¯ ¯ 1 ¯¯ x + 5 ¯¯ +C ĐS: F ( x) = ln ¯ 6 x −1¯ – Lời giải. Z F ( x) = 7 f ( x) = 1 dx = 2 x + 4x − 5 1 2 x2 − x − 6 1 1 dx = ( x + 5)( x − 1) 6 Z ⇒ F ( x) = f ( x) d x = Z Z ¯ ¯ 1 1 1 ¯¯ x − 1 ¯¯ − d x = ln ¯ + C. x−1 x+5 6 x +5¯ ä ¯ ¯ 1 ¯¯ x − 2 ¯¯ ĐS: F ( x) = ln ¯ ¯+C 7 ¯ x + 32 ¯ – Lời giải. Z F ( x) = 1 dx = 2 x2 − x − 6 Th.s Nguyễn Chín Em Z 1 1 d x = · 2 2 + 32 2( x + 32 )( x − 2) 1 39 Z ¯ ¯ 1 1 1 ¯¯ x − 2 ¯¯ − d x = ln ¯ ¯ + C. x − 2 x + 23 7 ¯ x + 32 ¯ ä https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 1 ⇒ F ( x) = 8 f ( x) = 2 2x − 3x − 9 Chương 3 – Giải tích 12 Z f ( x) d x = ¯ ¯ 1 ¯¯ x − 3 ¯¯ ĐS: F ( x) = ln ¯ ¯+C 9 ¯ x + 32 ¯ – Lời giải. ¯ ¯ Z Z 1 1 1 ¯¯ x − 3 ¯¯ 1 1 1 1 dx = · d x = ln ¯ F ( x) = dx = − ¯ + C. . ä 2 3 + 32 x − 3 x + 32 9 ¯ x + 23 ¯ 2 x2 − 3 x − 9 2( x + 32 )( x − 3) Z 4x − 5 ⇒ F ( x) = f ( x) d x = 9 f ( x) = 2 x − x−2 ĐS: F ( x) = ln | x − 2| + 3 ln | x + 1| + C Z – Lời giải. · ¸ mx + n 1 −( mb − na) md − nc Áp dụng công thức: = + . (ax + b)( cx + d ) ad − bc ax + b cx + d Z F ( x) = 4x − 5 x2 − x − 2 dx 4x − 5 dx ( x − 2)( x + 1) · ¸ Z 1 −(4 · (−2) − (−5)) 4 · 1 − (−5) + dx 1+2 x−2 x+1 ¸ Z · 9 3 1 + dx 3 x−2 x+1 ¸ · Z 3 1 + dx x−2 x+1 ln | x − 2| + 3 ln | x + 1| + C Z = = = = = ä 4 x + 11 Z ⇒ F ( x) = 10 f ( x) = 2 x + 5x + 6 f ( x) d x = ĐS: F ( x) = 3 ln | x + 2| + ln | x + 3| + C – Lời giải. · ¸ mx + n 1 −( mb − na) md − nc Áp dụng công thức: = + . (ax + b)( cx + d ) ad − bc ax + b cx + d 4 x + 11 dx 2 + 5x + 6 x Z 4 x + 11 dx ( x + 2)( x + 3) · ¸ Z 1 −(4 · 2 − (11 · 1)) 4 · 3 − 11 · 1 + dx 3−2 x+2 x+3 ¸ Z · 3 1 + dx x+2 x+3 3 ln | x + 2| + ln | x + 3| + C Z F ( x) = = = = = ä x+1 11 f ( x) = 2 ⇒ F ( x) = x − x−6 Z f ( x) d x = 4 5 1 5 ĐS: F ( x) = ln | x − 3| + ln | x + 2| + C Th.s Nguyễn Chín Em 40 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 – Lời giải. · ¸ −( mb − na) md − nc mx + n 1 Áp dụng công thức: = + . (ax + b)( cx + d ) ad − bc ax + b cx + d ¸ Z Z · Z 4 x+1 1 1 4 1 x+1 F ( x) = dx = + d x = ln | x − 3| + ln | x + 2| + C . dx = 2 ( x − 3)( x + 2) 5 x−3 x+2 5 5 x − x−6 ä Z 5x − 3 12 f ( x) = 2 ⇒ F ( x) = f ( x) d x = x − 3x + 2 ĐS: F ( x) = – Lời giải. · ¸ −( mb − na) md − nc mx + n 1 Áp dụng công thức: = + . (ax + b)( cx + d ) ad − bc ax + b cx + d Z F ( x) = 5x − 3 x2 − 3 x + 2 dx 5x − 3 dx ( x − 2)( x − 1) ¸ Z · 1 7 −2 = + dx 1 x−2 x−1 ¸ Z · 2 7 = − dx x−2 x−1 = 7 ln | x − 2| − 2 ln | x − 1| + C Z = ä 13 f ( x) = 2 x2 + 6 x − 4 ⇒ F ( x) = x( x2 − 4) Z f ( x) d x = ĐS: F ( x) = ln | x| − ln | x + 2| + 2 ln | x − 2| + C – Lời giải. Z F ( x) = 2 x2 + 6 x − 4 dx = x( x2 − 4) 2 x2 − 6 x − 6 14 f ( x) = 3 x − 6 x2 + 11 x − 6 ¸ 1 1 2 − + d x = ln | x| − ln | x + 2| + 2 ln | x − 2| + C . x x+2 x−2 Z ⇒ F ( x) = f ( x) d x = Z · ä ĐS: F ( x) = 10 ln | x − 2| − 3 ln | x − 3| − 5 ln | x − 1| + C – Lời giải. 2 x2 − 6 x − 6 dx x3 − 6 x2 + 11 x − 6 ¸ Z · 10 3 5 − − dx = x−2 x−3 x−5 = 10 ln | x − 2| − 3 ln | x − 3| − 5 ln | x − 1| + C Z F ( x) = ä 1 Z 15 f ( x) = 2 ⇒ F ( x) = x − 6x + 9 f ( x) d x = ĐS: F ( x) = − 1 +C x−3 – Lời giải. Z F ( x) = 1 dx = x2 − 6 x + 9 Th.s Nguyễn Chín Em Z 1 1 d x = − + C. x−3 ( x − 3)2 41 ä https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 3x + 2 ⇒ F ( x) = 16 f ( x) = 2 4x − 4x + 1 Chương 3 – Giải tích 12 Z f ( x) d x = 3 4 ĐS: F ( x) = ln |2 x − 1| − 1 +C 4(2 x − 1) – Lời giải. 3x + 2 Z F ( x) = 4 x2 − 4 x + 1 Z “3 dx 1 2 (2 x − 1) + 2 = (2 x − 1)2 # dx ¸ 3 1 + dx 2(2 x − 1) 2(2 x − 1)2 3 1 ln |2 x − 1| − +C 4 4(2 x − 1) Z · = = ä 3x + 1 ⇒ F ( x) = 17 f ( x) = ( x + 1)3 Z f ( x) d x = ĐS: F ( x) = − 3 1 +C + x + 1 ( x + 1)2 – Lời giải. 3x + 1 dx ( x + 1)3 ¸ Z · 3( x + 1) − 2 = dx ( x + 1)3 ¸ Z · 2 3 = − dx ( x + 1)2 ( x + 1)3 3 1 = − + +C x + 1 ( x + 1)2 Z F ( x) = ä 2x − 1 Ví dụ 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = ⇒ F ( x) = ( x − 1)3 Z f ( x) d x = . . . ĐS: F ( x) = − 1 2 − + C Lời giải: x − 1 2( x − 1)2 2x − 1 dx ( x − 1)3 ¸ Z · 2( x − 1) + 1 = dx ( x − 1)3 ¸ Z · 2 1 = + dx ( x − 1)2 ( x − 1)3 1 2 = − − + C. x − 1 2( x − 1)2 Z F ( x) = Bài 17. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định) 1 1 f ( x) = 2 ⇒ F ( x) = x ( x − 1) Z f ( x) d x = . . . 1 x ĐS: F ( x) = ln | x − 1| − ln | x| + + C Th.s Nguyễn Chín Em 42 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 – Lời giải. 1 Z F ( x) = x2 ( x − 1) dx ¸ x2 − ( x2 − 1) dx x2 ( x − 1) · ¸ Z 1 x+1 − 2 dx x−1 x ¸ Z · 1 1 1 − − dx x − 1 x x2 1 ln | x − 1| − ln | x| + + C. x Z · = = = = ä 2 f ( x) = 2 ⇒ F ( x) = ( x − 1)( x + 2)2 Z f ( x) d x = 2 9 2 9 2 1 +C 3 x+2 ĐS: F ( x) = ln | x − 1| − ln | x + 2| + · – Lời giải. 2 dx ( x − 1)( x + 2)2 ¸ Z · 2 x + 2 − ( x − 1) dx 3 ( x − 1)( x + 2)2 ¸ Z · 2 1 1 − dx 3 ( x − 1)( x + 2) ( x + 2)2 ¶ ¸ Z · µ 1 1 1 2 1 − − dx 3 3 x−1 x+2 ( x + 2)2 2 2 1 2 ln | x − 1| − ln | x + 2| + · + C. 9 9 3 x+2 Z F ( x) = = = = = ä 3 f ( x) = 3 ⇒ F ( x) = x( x − 1)2 Z f ( x) d x = . . . ĐS: F ( x) = − 3 − 3 ln | x − 1| + 3 ln | x| + C x−1 – Lời giải. 3 dx x( x − 1)2 ¸ Z · 3 x − 3( x − 1) dx x( x − 1)2 ¸ Z · 3 3 − dx ( x − 1)2 x( x − 1) · ¸ Z 3 3 3 − + dx ( x − 1)2 x − 1 x 3 − − 3 ln | x − 1| + 3 ln | x| + C. x−1 Z F ( x) = = = = = ä 4 f ( x) = 4 ⇒ F ( x) = ( x2 − x)( x − 2)2 Z f ( x) d x = . . . ĐS: F ( x) = − ln | x| + 4 ln | x − 1| − 3 ln | x − 2| − 2 +C x−2 – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 43 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 A B D E + + + x x − 1 x − 2 ( x − 2)2 2 ⇒ A ( x − 1)( x − 2) + Bx( x − 2) + Dx( x − 1)( x − 2) + Ex( x − 1) = 4 Ta có f ( x) = 4 ( x2 − x)( x − 2)2 2 = ⇒ ( A + B + D ) x3 + (−5 A − 4B −  3D + E ) x2 + (8 A + 4B + 2D − E ) x − 4 A = 4   A = −1  A + B + D = 0        B = 4  − 5 A − 4B − 3 D + E = 0  ⇔ ⇒     D = −3 8 A + 4B + 2 D − E = 0         E = 2.  − 4A = 4 Khi đó Z F ( x) = f ( x) d x · ¸ Z 1 4 3 2 = − + dx − + x x − 1 x − 2 ( x − 2)2 2 = − ln | x| + 4 ln | x − 1| − 3 ln | x − 2| − + C. x−2 ä 5 f ( x) = x+1 ⇒ F ( x) = x( x − 1)2 Z f ( x) d x = . . . ĐS: F ( x) = ln | x| − ln | x − 1| − 2 +C x−1 – Lời giải. x+1 B D A + = + 2 x x − 1 ( x − 1)2 x( x − 1) 2 ⇒ A ( x − 1) + Bx( x − 1) + Dx = x + 1 Ta có f ( x) = ⇒ ( A + B) x2 + (−2 A − B +D ) x + A = x + 1   A+B =0 A=1       ⇒ − 2 A − B + D = 1 ⇔ B = −1       A = 1 D = 2. Khi đó Z F ( x) = f ( x) d x ¸ Z · 1 2 1 − + dx = x x − 1 ( x − 1)2 2 = ln | x| − ln | x − 1| − + C. x−1 ä 2 x + 10 x − 6 6 f ( x) = 3 ⇒ F ( x) = x − 2 x2 − 7 x − 4 Z f ( x) d x = . . . ĐS: 2 ln | x − 4| − ln | x + 1| − 3 +C x+1 – Lời giải. x2 + 10 x − 6 x2 + 10 x − 6 A B D = = + + 3 2 2 x − 4 x + 1 ( x + 1)2 x − 2 x − 7 x − 4 ( x − 4)( x + 1) 2 2 ⇒ A ( x + 1) + B( x − 4)( x + 1) + D ( x − 4) = x + 10 x − 6 Ta có f ( x) = ⇒ ( A + B) x2 + (2 A − 3B +  D ) x + A − 4B − 4D = x2 + 10 x − 6   A+B =1 A=2       ⇒ 2 A − 3B + D = 10 ⇔ B = −1       A − 4B − 4D = −6   D = 3. Th.s Nguyễn Chín Em 44 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Khi đó Z F ( x) = f ( x) d x ¸ Z · 2 1 3 = − + dx x − 4 x + 1 ( x + 1)2 3 + C. = 2 ln | x − 4| − ln | x + 1| − x+1 ä 3x + 6 7 f ( x) = ⇒ F ( x) = x( x − 1)( x − 2)2 Z f ( x) d x = . . . 3 2 ĐS: − ln | x| + 9 ln | x − 1| − 15 6 ln | x − 2| − +C 2 x−2 – Lời giải. 3x + 6 A B D E = + + + 2 x x − 1 ( x − 2) ( x − 2)2 x( x − 1)( x − 2) 2 2 ⇒ A ( x − 1)( x − 2) + Bx( x − 2) + Dx( x − 1)( x − 2) + Ex( x − 1) = 3 x + 6 Ta có f ( x) = ⇒ ( A + B + D ) x3 + (−5 A − 4B −  3D + E ) x2 + (8 A + 4B + 2D − E ) x − 4 A = 3 x + 6 3    A=−   A + B + D = 0   2          − 5 A − 4B − 3 D + E = 0 B = 9 ⇒ ⇔ 15     8 A + 4B + 2 D − E = 3   D=−     2    − 4A = 6    E = 6. Khi đó Z F ( x) = f ( x) d x ¸ Z · 9 15 6 3 = − + − + dx 2 x x − 1 2( x − 2) ( x − 2)2 15 6 3 ln | x − 2| − + C. = − ln | x| + 9 ln | x − 1| − 2 2 x−2 ä Ví dụ 16. Tìm một nguyên hàm của hàm số F ( x) của hàm số f ( x) = x thỏa F (2) = 3 − ln 3. x+1 ĐS: F ( x) = x − ln | x + 1| + 1 Lời giải: Ta có Z F ( x) = f ( x) d x x dx x+1 ¶ Z µ 1 = 1− dx x+1 = x − ln | x + 1| + C. Z = Ta lại có F (2) = 3 − ln 3 ⇔ 2 − ln 3 + C = 3 − ln 3 ⇔ C = 1. Vậy F ( x) = x − ln | x + 1| + 1. Bài 18. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện F ( x0 ) = k. Th.s Nguyễn Chín Em 45 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 1 Chương 3 – Giải tích 12 Tìm một nguyên hàm của hàm số F ( x) của hàm số f ( x) = điểm M (2; 5). x2 biết đồ thị hàm số y = F ( x) đi qua x−1 1 2 ĐS: F ( x) = x2 + x + ln | x − 1| + 1 – Lời giải. Ta có Z F ( x) = f ( x) d x Z = Z x2 dx x − 1 µ x+1+ = ¶ 1 dx x−1 1 2 x + x + ln | x − 1| + C. 2 = Ta lại có F (2) = 5 ⇔ 2 + 2 + ln 1 + C = 5 ⇔ C = 1. 1 Vậy F ( x) = x2 + x + ln | x − 1| + 1. ä 2 2 Tìm một nguyên hàm của hàm số F ( x) của hàm số f ( x) = x2 biết F (−1) = 3. x+2 1 1 ĐS: F ( x) = x2 − 2 x + 4 ln | x + 2| + 2 2 – Lời giải. Ta có Z F ( x) = f ( x) d x Z = Z = = x2 dx µx + 2 ¶ 4 x−2+ dx x+2 1 2 x − 2 x + 4 ln | x + 2| + C. 2 1 1 + 2 + 4 ln 1 + C = 3 ⇔ C = . 2 2 1 2 1 Vậy F ( x) = x − 2 x + 4 ln | x + 2| + . 2 2 Ta lại có F (−1) = 3 ⇔ 3 Hàm số f ( x) = ä x3 có một nguyên hàm là F ( x) thỏa F (−2) = 6. Tính F (0). x2 + 2 x + 1 ĐS: F (0) = 2 – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 46 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Ta có Z F ( x) = f ( x) d x x3 dx x2 + 2 x + 1 ¸ Z · 3 x +1 1 − dx ( x + 1)2 ( x + 1)2 ¸ Z · 2 x − x+1 1 dx − x+1 ( x + 1)2 · ¸ Z 3 1 x−2+ − dx x + 1 ( x + 1)2 1 1 2 x − 2 x + 3 ln | x + 1| + + C. 2 x+1 Z = = = = = Ta lại có F (−2) = 6 ⇔ 2 + 4 + 3 ln 1 − 1 + C = 6 ⇔ C = 1. 1 2 Do đó F ( x) = x2 − 2 x + 3 ln | x + 1| + Vậy F (0) = 2. 1 + 1. x+1 ä µ ¶ µ ¶ x 3 1 4 Hàm số f ( x) = có một nguyên hàm là F ( x) thỏa F − = 5. Tính F − . 3 2 2 ( x + 1) ¶ 1 ĐS: F − = 1 2 µ – Lời giải. Ta có Z F ( x) = f ( x) d x x dx ( x + 1)3 Z x+1−1 = dx ( x + 1)3 ¸ · Z 1 1 = − dx ( x + 1)2 ( x + 1)3 1 1 = − + + C. x + 1 2( x + 1)2 Z = µ ¶ 3 Ta lại có F − = 5 ⇔ 2 + 2 + C = 5 ⇔ C = 1. 2 1 1 Do đó F ( x) = − + + 1. x + 1 2( x + 1)2 µ ¶ 1 Vậy F − = 1. 2 5 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = ä 3x + 1 biết F (−2) = 5. ( x + 1)3 ĐS: F ( x) = − 3 1 + +1 x + 1 ( x + 1)2 – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 47 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Ta có Z F ( x) = f ( x) d x 3x + 1 dx ( x + 1)3 Z 3( x + 1) − 2 dx = ( x + 1)3 ¸ Z · 3 2 = − dx ( x + 1)2 ( x + 1)3 3 1 = − + + C. x + 1 ( x + 1)2 Z = Ta lại có F (−2) = 5 ⇔ 3 + 1 + C = 5 ⇔ C = 1. Vậy F ( x) = − 3 1 + + 1. x + 1 ( x + 1)2 ä µ ¶ µ ¶ x 1 1 1 6 Hàm số f ( x) = có một nguyên hàm là F ( x) thỏa F − = . Tính F − . 3 4 9 8 (2 x + 1) ¶ 1 ĐS: F − = 0 8 µ – Lời giải. Ta có Z F ( x) = f ( x) d x x dx (2 x + 1)3 Z 1 2x + 1 − 1 = dx 2 (2 x + 1)3 · ¸ Z 1 1 1 = − dx 2 (2 x + 1)2 (2 x + 1)3 1 1 1 1 = − · + · + C. 4 2 x + 1 8 (2 x + 1)2 Z = µ ¶ 1 1 1 1 1 1 Ta lại có F − = ⇔ − + + C = ⇔ C = . 4 9 2 2 9 9 1 1 1 Do đó F ( x) = − + + . 4(2 x + 1) 8(2 x + 1)2 9 µ ¶ 1 Vậy F − = 0. 8 7 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = ä x3 5 biết F (2) = . x−1 3 1 3 1 2 ĐS: F ( x) = x3 + x2 + x + ln | x − 1| − 5 – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 48 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Ta có Z F ( x) = f ( x) d x x3 dx x−1 Z 3 x −1+1 dx = x − 1 ¶ Z µ 1 2 = x + x+1+ dx x−1 1 3 1 2 = x + x + x + ln | x − 1| + C. 3 2 8 5 5 Ta lại có F (2) = ⇔ + 2 + 2 + C = ⇔ C = −5. 3 3 3 1 3 1 2 Vậy F ( x) = x + x + x + ln | x − 1| − 5. 3 2 Z = 8 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = ä 5 x3 − 1 biết F (1) = . x+1 6 1 1 ĐS: F ( x) = x3 − x2 + x − 2 ln | x + 1| + 2 ln 2 3 2 – Lời giải. Ta có Z F ( x) = f ( x) d x x3 − 1 dx x+1 Z 3 x +1−2 = dx x+1 ¶ Z µ 2 2 = dx x − x+1− x+1 1 3 1 2 x − x + x − 2 ln | x + 1| + C. = 3 2 5 1 1 5 Ta lại có F (1) = ⇔ − + 1 − 2 ln 2 + C = ⇔ C = 2 ln 2. 6 3 2 6 1 3 1 2 Vậy F ( x) = x − x + x − 2 ln | x + 1| + 2 ln 2. 3 2 Z = 9 Hàm số f ( x) = ä x3 có một nguyên hàm là F ( x) thỏa F (−3) = 0. Tính F (−1). x+2 ĐS: F (−1) = 74 3 – Lời giải. Ta có Z F ( x) = f ( x) d x x3 dx x+2 Z 3 x +8−8 = dx x+2 µ Z = x2 − 2 x + 4 − Z = = Th.s Nguyễn Chín Em ¶ 8 dx x+2 1 3 x − x2 + 4 x − 8 ln | x + 2| + C. 3 49 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Ta lại có F (−3) = 0 ⇔ −9 − 9 − 12 + C = 0 ⇔ C = 30. 1 3 74 Vậy F (−1) = . 3 Do đó F ( x) = x3 − x2 + 4 x − 8 ln | x + 2| + 30. 10 Biết f 0 ( x) = ä 2x + 3 và f (2) = 6. Tính giá trị của e f (0) . x+1 1 3 ĐS: e f (0) = e2 – Lời giải. Ta có Z f ( x) = f 0 ( x) d x 2x + 3 dx x+1 ¶ Z µ 1 = 2+ dx x+1 = 2 x + ln | x + 1| + C. Z = Ta lại có f (2) = 6 ⇔ 4 + ln 3 + C = 6 ⇔ C = 2 − ln 3. Do đó f ( x) = 2 x + ln | x + 1| + 2 − ln 3. 1 3 Vậy e f (0) = e2−ln 3 = e2 . 11 ä Gọi F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) = x−3 x2 + 2 x − 3 thỏa F (0) = 0. Tính F (−2). ĐS: F (−2) = −2 ln 3 – Lời giải. A B + ⇒ ( A + B) x + 3 A − B = x − 3 x−1 x+3   1   A = − A + B = 1 2 ⇒ ⇔ 3 3 A − B = −3   B = . 2 Ta có f ( x) = x−3 x2 + 2 x − 3 = Khi đó Z F ( x) = f ( x) d x x−3 Z = x2 + 2 x − 3 dx ¶ Z µ 1 1 3 1 + · dx = − · 2 x−1 2 x+3 1 3 = − ln | x − 1| + ln | x + 3| + C. 2 2 3 2 3 2 Ta lại có F (0) = 0 ⇔ ln 3 + C = 0 ⇔ C = − ln 3. 1 2 Vậy F (−2) = −2 ln 3. 3 2 3 2 Do đó F ( x) = − ln | x − 1| + ln | x + 3| − ln 3. 12 Gọi F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) = ä ( x + 1)2 1 thỏa F (−1) = . Tính F (2). x+2 2 ĐS: F (2) = 2 + ln 4 – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 50 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Ta có Z F ( x) = f ( x) d x ( x + 1)2 dx x+2 Z 2 x + 2x + 1 = dx x+2 ¶ Z µ 1 = x+ dx x+2 1 2 x + ln | x + 2| + C. = 2 Z = Ta lại có F (−1) = 1 1 1 1 ⇔ + C = ⇔ C = 0. 2 2 2 Do đó F ( x) = x2 + ln | x + 2|. 2 Vậy F (2) = 2 + ln 4. 13 ä 1 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 4 x2 + 4 x + 1 µ ¶ 1 điểm M −1; . 2 ; biết rằng đồ thị hàm số y = F ( x) đi qua ĐS: F ( x) = − 1 2(2 x + 1) – Lời giải. Ta có Z F ( x) = f ( x) d x 1 Z = 4 x2 + 4 x + 1 dx 1 dx (2 x + 1)2 1 + C. = − 2(2 x + 1) Z = 1 1 1 ⇔ + C = ⇔ C = 0. 2 2 2 1 Vậy F ( x) = − . 2(2 x + 1) Ta lại có F (−1) = 14 ä 2x + 9 có một nguyên hàm là F ( x) thỏa F (−2) = 0. Biết phương trình F ( x) = 2 x + 4 có x+3 1 1 hai nghiệm x1 , x2 . Tính tổng x + x . 1 2 2 2 1 1 ĐS: x + x = 20 1 2 2 2 Hàm số f ( x) = – Lời giải. Ta có Z f ( x) d x F ( x) = 2x + 9 dx x+3 ¶ Z µ 3 = 2+ dx x+3 = 2 x + 3 ln | x + 3| + C. Z = Th.s Nguyễn Chín Em 51 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Ta lại có F (−2) = 0 ⇔ −4 + C = 0 ⇔ C = 4.  Khi đó phương trình F ( x) = 2 x + 4 ⇔ 2 x + 3 ln | x + 3| + 4 = 2 x + 4 ⇔ | x + 3| = 1 ⇔    15 x = −2 (= x1 ) Vậy x = −4 (= x2 ). x+3 = 1 x + 3 = −1 1 1 + x = 20. x 2 1 2 2 ⇔ ä Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 9 8 2 x2 + 2 x + 3 , biết đồ thị của hàm số y = F ( x) cắt trục 2x + 1 tung tại điểm có tung độ bằng . 1 2 1 2 5 4 ĐS: F ( x) = x2 + x + ln |2 x + 1| – Lời giải. Ta có Z F ( x) = f ( x) d x 2 x2 + 2 x + 3 dx 2 x + 1 ¶ Z µ 1 5 1 = x+ + · dx 2 2 2x + 1 1 2 1 5 = x + x + ln |2 x + 1| + C. 2 2 4 Z = 9 9 ⇔C= . 8 8 1 2 1 5 Vậy F ( x) = x + x + ln |2 x + 1|. 2 2 4 Ta lại có F (0) = 16 ä Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 1 x2 + 3 x 5 3 1 1 ĐS: F ( x) = ln | x| − ln | x + 3| − ln 2 3 3 thỏa mãn F (1) = − ln 2. – Lời giải. Ta có Z F ( x) = f ( x) d x 1 Z = x2 + 3 x dx ¶ 1 1 1 − dx 3 x x+3 1 1 ln | x| − ln | x + 3| + C. 3 3 Z µ = = 5 3 1 3 5 3 Ta lại có F (1) = − ln 2 ⇔ − ln 4 + C = − ln 2 ⇔ C = − ln 2. 1 3 1 3 Vậy F ( x) = ln | x| − ln | x + 3| − ln 2. 17 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = tung tại điểm có tung độ bằng Th.s Nguyễn Chín Em 2 ln 2. 3 ä 1 x2 + x − 2 ; biết rằng đồ thị của hàm số y = F ( x) cắt trục ¯ ¯ 1 ¯¯ x − 1 ¯¯ ĐS: F ( x) = ln ¯ + ln 2 3 x +2¯ 52 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 – Lời giải. Ta có Z F ( x) = f ( x) d x 1 dx x2µ+ x − 2 ¶ Z 1 1 1 − dx 3 x−1 x+2 1 1 ln | x − 1| − ln | x + 2| + C. 3 3 Z = = = 1 2 3 ¯3 ¯ 1 ¯¯ x − 1 ¯¯ Vậy F ( x) = ln ¯ + ln 2. 3 x +2¯ 2 3 Ta lại có F (0) = ln 2 ⇔ − ln 2 + C = ln 2 ⇔ C = ln 2. 18 ä Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 1 6 ln 4. ; biết F ( − 1) = 5 x2 − x − 6 ¯ ¯ 1 ¯¯ x − 3 ¯¯ ĐS: F ( x) = ln ¯ + ln 4 5 x +2¯ – Lời giải. Ta có Z F ( x) = f ( x) d x 1 Z = x2 − x − 6 dx ¶ 1 1 1 − dx 5 x−3 x+2 1 1 ln | x − 3| − ln | x + 2| + C. 5 5 Z µ = = 6 1 5 ¯ 5 ¯ 1 ¯¯ x − 3 ¯¯ Vậy F ( x) = ln ¯ + ln 4. 5 x +2¯ 6 5 Ta lại có F (−1) = ln 4 ⇔ ln 4 + C = ln 4 ⇔ C = ln 4. ä µ ¶ 1 2 19 Hàm số f ( x) = 2 có một nguyên hàm là F ( x) thỏa F (3) = 0. Tính F . 3 x − 3x + 2 µ ¶ 2 ĐS: F = 3 ln 2 3 – Lời giải. Ta có Z F ( x) = f ( x) d x 1 Z dx ¶ 1 1 = − dx x−2 x−1 = ln | x − 2| − ln | x − 1| + C. = x2 − 3 x + 2 Z µ Ta lại có F (3) = 0 ¯ ⇔ −¯ln 2 + C = 0 ⇔ C = ln 2. ¯ x −2¯ ¯ + ln 2. x −1¯ µ ¶ 2 4 1 Vậy F = ln − ln + ln 2 = ln 8 = 3 ln 2. 3 3 3 Do đó F ( x) = ln ¯¯ Th.s Nguyễn Chín Em ä 53 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 20 Hàm số f ( x) = Chương 3 – Giải tích 12 2x + 3 11 có một nguyên hàm là F ( x) thỏa F (−1) = ln 2. Tìm eF(0) . 2 3 2x − x − 1 ĐS: eF(0) = 4 – Lời giải. Ta có f ( x) = 2x + 3 A B = + 2 2x − x − 1 2x + 1 x − 1  4   A = − 3 ⇒ A ( x − 1) + B(2 x + 1) = 2 x + 3 ⇒ ( A + 2B) x − A + B = 2 x + 3 ⇒ ⇔ 5 − A +B = 3   B = . 3   A + 2B = 2 Khi đó Z F ( x) = f ( x) d x 2x + 3 dx 2 x2 − x − 1 µ ¶ Z 4 1 5 1 = − · + · dx 3 2x + 1 3 x − 1 2 5 = − ln |2 x + 1| + ln | x − 1| + C. 3 3 Z = 11 5 11 ln 2 ⇔ ln 2 + C = ln 2 ⇔ C = 2 ln 2. 3 3 3 5 2 Do đó F ( x) = − ln |2 x + 1| + ln | x − 1| + 2 ln 2. 3 3 Vậy eF(0) = e2 ln 2 = 4. Ta lại có F (−1) = 21 Hàm số f ( x) = ä 4 x + 11 có một nguyên hàm là F ( x) thỏa F (−1) = ln 2. Tìm eF(−4) . 2 x + 5x + 6 ĐS: eF(−4) = 3 ln 2 – Lời giải. Ta có f ( x) = 4 x + 11 x2 + 5 x + 6 = A B + x+2 x+3 ⇒ A ( x + 3) + B( x + 2) = 4 x + 11 ⇒ ( A + B) x + 3 A + 2B = 4 x + 11 ⇒  A + B = 4 3 A + 2B = 11 ⇔  A = 3  B = 1. Khi đó Z F ( x) = f ( x) d x 4 x + 11 Z dx ¶ 3 1 = + dx x+2 x+3 = 3 ln | x + 2| + ln | x + 3| + C. = x2 + 5 x + 6 Z µ Ta lại có F (−1) = ln 2 ⇔ ln 2 + C = ln 2 ⇔ C = 0. Do đó F ( x) = 3 ln | x + 2| + ln | x + 3|. Vậy eF(−4) = 3 ln 2. 22 Hàm số f ( x) = 5x + 3 x2 + 7 x + 12 ä có một nguyên hàm là F ( x) thỏa F (−2) = 18 ln 2. Tìm F (−5). ĐS: F (−5) = −11 ln 2 – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 54 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ta có f ( x) = 5x + 3 x2 + 7 x + 12 = Chương 3 – Giải tích 12 A B + x+3 x+4 ⇒ A ( x + 4) + B( x + 3) = 5 x + 3 ⇒ ( A + B) x + 4 A + 3B = 5 x + 3 ⇒  A + B = 5 4 A + 3 B = 3 ⇔   A = −12 B = 17. Khi đó Z F ( x) = f ( x) d x 5x + 3 dx x2 + 7 x + 12 ¶ Z µ 12 17 = − + dx x+3 x+4 = −12 ln | x + 3| + 17 ln | x + 4| + C. Z = Ta lại có F (−2) = 18 ln 2 ⇔ 17 ln 2 + C = 18 ln 2 ⇔ C = ln 2. Do đó F ( x) = −12 ln | x + 3| + 17 ln | x + 4| + ln 2. Vậy F (−5) = −12 ln 2 + ln 2 = −11 ln 2. 23 Hàm số f ( x) = 9 x − 10 6 x2 − 11 x + 3 ä có một nguyên hàm là F ( x) thỏa F (1) = ln 2. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm 1 2 của phương trình F ( x) = ln |3 x − 1| + ln 3. Tính 3×1 + 3 x2 . ĐS: 3×1 + 3×2 = 28 – Lời giải. Ta có f ( x) = A B 9 x − 10 = + 6 x2 − 11 x + 3 2 x − 3 3 x − 1 ⇒ A (3 x − 1) + B(2 x − 3) = 9 x − 10 ⇒ (3 A + 2B) x − A − 3B = 9 x − 10 ⇒  3 A + 2 B = 9  − A − 3B = −10 ⇔  A = 1  B = 3. Khi đó Z F ( x) = f ( x) d x 9 x − 10 Z = 6 x2 − 11 x + 3 Z µ = = dx ¶ 1 3 + dx 2x − 3 3x − 1 1 ln |2 x − 3| + ln |3 x − 1| + C. 2 Ta lại có F (1) = ln 2 ⇔ C = 0. 1 2 Do đó F ( x) = ln |2 x − 3| + ln |3 x − 1|. 1 2 1 2 1 2 Phương trình F ( x) = ln |3 x − 1| + ln 3 ⇔ ln |2 x − 3| + ln |3 x − 1| = ln |3 x − 1| + ln 3 ⇔ |2 x − 3| = 3   2x − 3 = 3 x = 3 (= x1 ) ⇔ ⇔ . 2 x − 3 = −3 x = 0 (= x2 ) Vậy 3×1 + 3 x2 = 28. 24 Hàm số f ( x) = 1 x2 ( x + 1) ä có một nguyên hàm là F ( x) thỏa F (1) = ln 2. Tính F (−2). ĐS: F (−2) = 3 − ln 2 2 – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 55 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ta có f ( x) = 1 x2 ( x + 1) = Chương 3 – Giải tích 12 A B D + + 2 x+1 x x     A=1 A + B = 0       ⇒ Ax2 + Bx( x + 1) + D ( x + 1) = 1 ⇒ ( A + B) x2 + (B + D ) x + D = 1 ⇒ B + D = 0 ⇔ B = −1        D = 1. D = 1 Khi đó Z F ( x) = f ( x) d x 1 dx x2 ( x + 1) ¶ Z µ 1 1 1 dx = − + x + 1 x x2 1 = ln | x + 1| − ln | x| − + C. x Z = Ta lại có F (1) = ln 2 ⇔ ln 2 − 1 + C = ln 2 ⇔ C = 1. 1 Do đó F ( x) = ln | x + 1| − ln | x| − + 1. x 1 3 Vậy F (−2) = − ln 2 + + 1 = − ln 2. 2 2 3.2 ä Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số ĐịnhZlí Cho f (u) d u = F (u) + C và u = u( x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì Z 0 f [ u( x)] u ( x) d x = F [ u( x)] + C. Một số dạng đổi biến thường gặp  Z phương pháp I = f (ax + b)n · x d x −−−−−−−−→ Đặt t = ax + b ⇒ d t = a d x.   ¶m Z µ  xn phương pháp  1 I = f d x −−−−−−−−→ Đặt t = ax n+1 + 1 ⇒ d t = a( n + 1) x n d x, với m, n ∈ Z. n + 1 ax +1  Z  phương pháp I = f (ax2 + b)n · x d x −−−−−−−−→ Đặt t = ax2 + b ⇒ d t = 2ax d x. 2 I= Z p n 0 phương pháp f ( x) · f ( x) d x −−−−−−−−→ Đặt t = p n 0 f ( x) ⇒ t n = f ( x) ⇒ nt n−1 d t = f ( x) d x. 1 1 phương pháp  I = f (ln x) · x d x −−−−−−−−→ Đặt t = ln x ⇒ d t = x d x. Z 3   1 b phương pháp I = f (a + b ln x) · d x −−−−−−−−→ Đặt t = a + b ln x ⇒ d t = d x. x x Z  phương pháp x x x x  I = f (e ) · e d x −−−−−−−−→ Đặt t = e ⇒ d t = e d x. Z 4   phương pháp I = f (a + be x ) · e x d x −−−−−−−−→ Đặt t = a + be x ⇒ d t = be x d x  Z Z phương pháp I = f (cos x ) · sin x d x − −−−−−−−→ Đặt t = cos x ⇒ d t = − sin x d x.   Z 5  phương pháp I = f (a + b cos x) · sin x d x −−−−−−−−→ Đặt t = a + b cos x ⇒ d t = − b sin x d x.  Th.s Nguyễn Chín Em 56 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z  Chương 3 – Giải tích 12 phương pháp  I = f (sin x) · cos x d x −−−−−−−−→ Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x. Z 6   phương pháp I = f (a + b sin x) · cos x d x −−−−−−−−→ Đặt t = a + b sin x ⇒ d t = b cos x d x. Z 7 I= f (tan x) · Z 8 I= f (cot x) · Z d x phương pháp 1 −−−−−−−−→ Đặt t = tan x ⇒ d t = d x = (1 + tan2 x) d x. 2 cos x cos2 x dx phương pháp 2 sin x −−−−−−−−→ Đặt t = cot x ⇒ d t = − ” phương pháp f (sin2 x; cos2 x) · sin 2 x d x −−−−−−−−→ Đặt 9 I= Z 1 2 sin x d x = −(1 + cot2 x) d x. t = sin2 x ⇒ d t = sin 2 x d x; t = cos2 x ⇒ d t = − sin 2 x d x. phương pháp 10 I = f (sin x ± cos x) · (sin x ∓ cos x) d x −−−−−−−−→ Đặt t = sin x ± cos x ⇒ d t = (cos x ∓ sin x) d x. 4 Chú ý: Sau khi đổi biến và tính nguyên hàm xong, ta cần trả lại biến cũ ban đầu là x. ! 3.2.1 Bài tập áp dụng Z Ví dụ 1. Tính I = x(1 − x)2018 d x. ĐS: I = (1 − x)2020 (1 − x)2019 − +C 2020 2019 Lời giải: Đặt t = 1 − x ⇒ x = 1 − t ⇒ d x = − d t. Suy ra Z (1 − t) t2018 d t = I = − Vậy I = x(1 − x)2018 d x = ¡ ¢ t2019 − t2018 d t t2020 t2019 (1 − x)2020 (1 − x)2019 − +C = − + C. 2020 2019 2020 2019 = Z Z (1 − x)2020 (1 − x)2019 − + C. 2020 2019 Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau Z 1 x(1 + x)2017 d x. Tính I = ĐS: I = (1 + x)2019 (1 + x)2018 − +C 2019 2018 – Lời giải. Đặt t = 1 + x ⇒ x = t − 1 ⇒ d x = d t. Suy ra Z I = = Z Vậy I = x(1 + x)2017 d x = Z 2 Tính I = ( t − 1) t 2017 Z dt = ¡ ¢ t2018 − t2017 d t t2019 t2018 (1 + x)2019 (1 + x)2018 − +C = − + C. 2019 2018 2019 2018 (1 + x)2019 (1 + x)2018 − + C. 2019 2018 ä x( x2 + 1)5 d x. ¡ ĐS: I = x2 + 1 12 ¢6 +C – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 57 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 1 2 Đặt t = x2 + 1 ⇒ d t = 2 x d x ⇒ x d x = d t. Suy ra 1 2 I = ¡ Z 2 Vậy I = x( x + 1) d x = Z 3 5 ¢6 x2 + 1 12 Z ¡ 2 ¢6 x +1 1 t6 t dt = · + C = + C. 2 6 12 5 + C. ä x2 ( x − 1)9 d x. Tính I = ( x − 1)12 ( x − 1)11 ( x − 1)10 +2 + +C 12 11 10 ĐS: I = – Lời giải. Đặt t = x − 1 ⇒ x = t + 1 ⇒ d x = d t. Suy ra Z I = = Z Z 4 ( t + 1) t d t = Tính I = ¡ ¢ t11 + 2 t10 + t9 d t t11 t10 ( x − 1)12 ( x − 1)11 ( x − 1)10 t12 +2 + +C = +2 + + C. 12 11 10 12 11 10 x2 ( x − 1)9 d x = Vậy I = Z 2 9 ( x − 1)12 ( x − 1)11 ( x − 1)10 +2 + + C. 12 11 10 ä £ ¡ ¢¤5 d x. 2 x 1 − x2 ¡ ĐS: I = − 1 − x2 6 ¢6 + ¡ ¢7 2 1 − x2 7 − ¡ ¢8 1 − x2 8 +C – Lời giải. Z Ta có I = £ ¡ ¢¤5 2 x 1 − x2 dx = Z ¡ ¢5 x4 1 − x2 · 2 x d x. Đặt t = 1 − x2 ⇒ x2 = 1 − t ⇒ 2 x d x = − d t. Suy ra Z Z ¡ 5 ¢ − t + 2 t6 − t7 d t ¡ ¢6 ¡ ¢7 ¡ ¢8 1 − x2 2 1 − x2 1 − x2 t6 2 t7 t8 = − + − +C =− + − + C. 6 7 8 6 7 8 ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ Z 2 6 2 7 2 8 £ ¡ ¢¤ 1 − x 2 1 − x 1 − x 5 Vậy I = 2 x 1 − x2 d x = − + − + C. ä 6 7 8 Z ¡ ¢6 5 Tính I = x5 1 − x3 d x. ¡ ¢7 ¡ ¢8 1 − x3 1 − x3 ĐS: I = − + +C 21 24 I = − 2 5 (1 − t) t d t = – Lời giải. Z Ta có I = 5 ¡ x 1− x ¢ 3 6 Z dx = ¡ ¢6 x3 1 − x3 · x2 d x 1 Đặt t = 1 − x3 ⇒ x3 = 1 − t ⇒ x2 d x = − d t. 3 Suy ra 1 I = − 3 Z 1 ¡ 6 7¢ (1 − t) t d t = − t − t dt 3 ¡ ¢7 ¡ ¢8 1 − x3 1 − x3 t7 t8 = − + +C =− + + C. 21 24 21 24 Th.s Nguyễn Chín Em Z 6 58 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z 5 Vậy I = x 1− x Z 6 ¡ ¢ 3 6 ¡ dx = − 1 − x3 ¢7 21 + Chương 3 – Giải tích 12 ¢8 ¡ 1 − x3 24 + C. ä ¡ ¢8 x3 2 − 3 x2 d x. Tính I = ĐS: I = − ¢9 ¡ 2 − 3 x2 81 + ¢10 ¡ 2 − 3 x2 180 +C – Lời giải. Z Ta có I = 3 ¡ x 2 − 3x ¢ 2 8 Đặt t = 2 − 3 x2 ⇒ x2 = Suy ra Z ¡ ¢8 x2 2 − 3 x2 · x d x. dx = 2− t 1 ⇒ x d x = − d t. 3 6 ¶ Z ¡ 8 9¢ 2− t 8 1 t dt = − 2t − t dt 3 18 ¢9 ¡ ¢10 ¡ 2 − 3 x2 2 − 3 x2 t9 t10 = − + +C =− + + C. 81 180 81 180 ¢10 ¢9 ¡ ¡ Z ¡ ¢ 2 − 3 x2 2 − 3 x2 3 2 8 + + C. Vậy I = x 2 − 3 x d x = − 81 180 1 I = − 6 Z Ví dụ 2. Tính I = Z µ x dx . x2 + 2 ä 1 2 ĐS: I = ln( x2 + 2) + C 1 2 Lời giải: Đặt t = x2 + 2 ⇒ x2 = t − 2 ⇒ 2 x d x = d t ⇒ x d x = d t. Suy ra 1 1 1 · d t = ln | t| + C 2 t 2 1 1 ln | x2 + 2| + C = ln( x2 + 2) + C. 2 2 Z I = = Z Vậy I = x dx 1 = ln( x2 + 2) + C. 2 x +2 2 Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau x dx . ( x + 1)5 Z 1 Tính I = ĐS: I = − 1 1 + +C 3( x + 1)3 4( x + 1)4 – Lời giải. Đặt t = x + 1 ⇒ x = t − 1 ⇒ d x = d t. Suy ra ¶ Z µ t−1 1 1 dt = − dt t5 t4 t5 t−3 t−4 1 1 − +C =− + + C. −3 −4 3( x + 1)3 4( x + 1)4 Z I = = Z Vậy I = Z 2 Tính I = 1 1 x dx =− + + C. 5 3 ( x + 1) 3( x + 1) 4( x + 1)4 x3 d x ¡ ¢3 . 1 + x2 Th.s Nguyễn Chín Em ä 1 ¢+ ¡ ¢2 + C 2 1 + x2 4 1 + x2 ĐS: I = − ¡ 59 1 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 – Lời giải. x3 d x ¡ ¢3 = 1 + x2 Z Ta có I = x2 · x d x ¡ ¢3 . 1 + x2 Z 1 2 Đặt t = 1 + x2 ⇒ x2 = t − 1 ⇒ 2 x d x = d t ⇒ x d x = d t. Suy ra I = = 1 1 x3 d x ¢+ ¡ ¢3 = − ¡ ¡ ¢2 + C. 2 1 + x2 1 + x2 4 1 + x2 Z Vậy I = ä 4 x3 d x ¡ ¢2 . x4 + 2 Z 3 ¶ Z Z µ 1 1 1 1 t−1 dt = − dt 2 2 t3 t2 t3 µ ¶ 1 1 t−1 t−2 1 ¢+ ¡ − +C =− ¡ ¢2 + C. 2 2 −1 −2 2 1+ x 4 1 + x2 Tính I = ĐS: I = − 1 +C x4 + 2 – Lời giải. Đặt t = x4 + 2 ⇒ x4 = t − 2 ⇒ 4 x3 d x = d t. Suy ra Z I = 4 x3 d x 1 + C. ¡ ¢2 = − 4 x +2 x4 + 2 Z Vậy = ä x5 d x . x2 + 1 Z 4 1 1 t−1 +C =− 4 + C. d t = 2 −1 t x +2 Tính I = ¡ ĐS: I = x2 + 1 4 ¢2 ¡ ¢ 1 ¡ ¢ − x2 + 1 + ln x2 + 1 + C 2 – Lời giải. x5 d x = x2 + 1 Z Ta có I = Z x4 · x d x . x2 + 1 1 2 Đặt t = x2 + 1 ⇒ x2 = t − 1 ⇒ 2 x d x = d t ⇒ x d x = d t. Suy ra I = = Z ¡ 2 ¢2 ¡ 2 ¢ 1 ¡ 2 ¢ x +1 x5 d x = − x + 1 + ln x + 1 + C. 4 2 x2 + 1 Z Vậy I = Z 5 ¶ Z µ 1 1 ( t − 1)2 dt = t−2+ dt t 2 t ¡ 2 ¢2 µ ¶ ¡ ¢ 1 ¡ ¢ x +1 1 t2 − 2 t + ln | t| + C = − x2 + 1 + ln x2 + 1 + C. 2 2 4 2 1 2 Tính I = x4 d x . x10 − 4 ä ¯ 5 ¯ ¯ x −2¯ 1 ¯+C ln ¯ ĐS: I = 20 ¯ x5 + 2 ¯ – Lời giải. Z x4 d x x4 d x ¡ ¢¡ ¢. Ta có I = = x10 − 4 x5 − 2 x5 + 2 1 Đặt t = x5 ⇒ x4 d x = d t. 5 Z Th.s Nguyễn Chín Em 60 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Suy ra ¸ ¶ Z · Z µ 1 1 1 1 1 I = dt = − dt 5 ( t − 2)( t + 2) 20 t−2 t+2 ¯ ¯ ¯ ¯ 5 ¯ t −2¯ ¯ x −2¯ 1 1 ¯ + C. ¯+C = = ln ¯ ln ¯ 20 ¯ t + 2 ¯ 20 ¯ x5 + 2 ¯ ¯ 5 ¯ Z ¯ x −2¯ x4 d x 1 ¯ + C. Vậy I = = ln ¯ ä x10 − 4 20 ¯ x5 + 2 ¯ ¶ µ ¶ Z µ 1 1 3 dx 1 4 6 Tính I = . ĐS: I = − 1 + +C 1+ x x2 4 x – Lời giải. Đặt t = 1 + Suy ra 1 1 dx ⇒ = t − 1 ⇒ 2 = − d t. x x x Z I = − µ ¶ t4 1 1 4 + C. t dt = − + C = − 1 + 4 4 x 3 ¶ µ ¶ Z µ 1 3 dx 1 4 1 1+ Vậy I = + C. = − 1+ x x2 4 x ä µ ¶ x + 1 2018 ( x + 1)2017 1 · d x. ĐS: I = +C 2018 2 x + 3 (2 x + 3)2019 ¶ Z µ Z x + 1 2017 1 ( x + 1)2017 dx = · d x. Lời giải: Ta có I = 2019 2x + 3 (2 x + 3) (2 x + 3)2 1 x+1 ⇒ dt = Đặt t = d x. 2x + 3 (2 x + 3)2 Z Ví dụ 3. Tính I = Suy ra µ ¶ 1 x + 1 2018 t2018 +C = · + C. I = t dt = 2018 2018 2 x + 3 µ ¶ Z x + 1 2018 ( x + 1)2017 1 Vậy I = dx = · + C. 2018 2 x + 3 (2 x + 3)2019 Z 2017 Bài 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau x5 d x. ( x + 1)7 Z 1 Tính I = ĐS: I = 1 ³ x ´6 · +C 6 x+1 – Lời giải. Z ³ x5 x ´5 1 Ta có I = d x = · d x. 7 x+1 ( x + 1) ( x + 1)2 x 1 Đặt t = ⇒ dt = d x. x+1 ( x + 1)2 Z Suy ra Z I = Z Vậy I = Z 2 Tính I = t5 d t = t6 1 ³ x ´6 +C = · + C. 6 6 x+1 x5 1 ³ x ´6 d x = · + C. 6 x+1 ( x + 1)7 ä µ ¶ 1 7 x − 1 100 ĐS: I = · +C 900 2 x + 1 (7 x − 1)99 d x. (2 x + 1)101 Th.s Nguyễn Chín Em 61 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 – Lời giải. ¶ Z µ 1 7 x − 1 99 (7 x − 1)99 · Ta có I = dx = d x. 101 2x + 1 (2 x + 1) (2 x + 1)2 7x − 1 9 1 1 Đặt t = ⇒ dt = d x ⇒= d x = d t. 2 2 2x + 1 9 (2 x + 1) (2 x + 1) Z Suy ra µ ¶ 7 x − 1 100 1 t100 1 + C. I = t dt = · +C = · 9 100 900 2 x + 1 µ ¶ Z (7 x − 1)99 1 7 x − 1 100 Vậy I = dx = + C. ä · 900 2 x + 1 (2 x + 1)101 µ 2 ¶5 Z 1 x x9 d x ĐS: I = 3 Tính I = ¡ · 2 +C ¢6 . 10 x + 1 x2 + 1 1 9 Z 99 – Lời giải. Z Ta có I = x9 d x ¡ ¢6 = x2 + 1 Z µ x2 x2 + 1 ¶4 x ¢2 d x. x2 + 1 x 1 2x x2 ⇒ dt = ¡ Đặt t = 2 ¢2 d x ⇒ ¡ ¢2 d x = d t. 2 x +1 x2 + 1 x2 + 1 ·¡ Suy ra 1 2 I = 4 µ 2 ¶5 1 x9 d x x · 2 + C. ¢6 = ¡ 10 x + 1 x2 + 1 Z Vậy I = ä µ 2 ¶1001 x 1 +C · 2 ĐS: I = 2002 x + 1 x2001 d x ¡ ¢1002 . x2 + 1 Z 4 µ 2 ¶5 1 t5 1 x + C. t dt = · + C = · 2 2 5 10 x + 1 Z Tính I = – Lời giải. Z µ 2 ¶1000 x2001 d x x x ·¡ Ta có I = ¡ ¢1002 = ¢2 d x. 2 x +1 x2 + 1 x2 + 1 x2 2x x 1 Đặt t = 2 ⇒ dt = ¡ ¢2 d x ⇒ ¡ ¢2 d x = d t. 2 x +1 x2 + 1 x2 + 1 Z Suy ra I = Z Vậy I = 1 2 Z t 1000 µ 2 ¶1001 1 t1001 1 x dt = · +C = · 2 + C. 2 1001 2002 x + 1 µ 2 ¶1001 x2001 d x 1 x · 2 + C. ¡ ¢1002 = 2002 x + 1 x2 + 1 ä p ( x + 1) d x . p 2 + 2x − 4 x p Łời giải: Đặt t = x2 + 2 x − 4 ⇒ t2 = x2 + 2 x − 4 Z ĐS: I = x2 + 2 x − 4 + C Ví dụ 4. Tính I = ⇒ 2 t d t = (2 x + 2) d x ⇒ ( x + 1) d x = t d t. Suy ra Z I = Th.s Nguyễn Chín Em t dt = t Z dt = t + C = 62 p x2 + 2 x − 4 + C. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 p ( x + 1) d x = x2 + 2 x − 4 + C. p x2 + 2 x − 4 Z Vậy I = Bài 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau 1 p (2 x − 3) d x . p x2 − 3 x − 5 Z Tính I = ĐS: I = 2 x2 − 3 x − 5 + C – Lời giải. p Đặt t = x2 − 3 x − 5 ⇒ t2 = x2 − 3 x − 5 ⇒ 2 t d t = (2 x − 3) d x ⇒ (2 x − 3) d x = 2 t d t. Suy ra Z I = Z Vậy I = Z 2 dt = 2t + C = 2 p x2 − 3 x − 5 + C. p (2 x − 3) d x = 2 x2 − 3 x − 5 + C. p x2 − 3 x − 5 Tính I = ä p p 2(2017 − x)2 2017 − x 4034(2017 − x) 2017 − x ĐS: I = − +C 5 3 p x 2017 − x d x. Z 2 2t dt = t – Lời giải. p Đặt t = 2017 − x ⇒ x = 2017 − t2 ⇒ d x = −2 t d t. Suy ra Z Z (2 t4 − 4034 t2 ) d t p p 2 t5 4034 t3 2(2017 − x)2 2017 − x 4034(2017 − x) 2017 − x = − +C = − + C. 5 3 5 3 p p Z p 2(2017 − x)2 2017 − x 4034(2017 − x) 2017 − x − + C. ä Vậy I = x 2017 − x d x = 5 3 p Z p 2 ( x + 3) x2 + 3 3 Tính I = x x2 + 3 d x. +C ĐS: I = 3 I = 2 (2017 − t ) · t · (−2 t) d t = – Lời giải. p Đặt t = x2 + 3 ⇒ t2 = x2 + 3 ⇒ 2 t d t = 2 x d x ⇒ x d x = t d t. Suy ra Z I = Z Vậy I = x p Z 4 Tính I = x p t3 ( x2 + 3) x2 + 3 t dt = + C = + C. 3 3 2 p 2 ( x + 3) x2 + 3 x2 + 3 d x = + C. 3 p ä p (2019 − x2 ) 2019 − x2 ĐS: I = − +C 3 2019 − x2 d x. – Lời giải. p Đặt t = 2019 − x2 ⇒ t2 = 2019 − x2 ⇒ 2 t d t = −2 x d x ⇒ x d x = − t d t. Suy ra p (2019 − x2 ) 2019 − x2 t3 I = −t dt = − + C = − + C. 3 3 p Z p 2 (2019 − x ) 2019 − x2 Vậy I = x 2019 − x2 d x = − + C. 3 Z Th.s Nguyễn Chín Em 2 63 ä https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z 5 Tính I = x p 3 Chương 3 – Giải tích 12 p 3 3( x2 − 2018) x2 − 2018 ĐS: I = +C 8 x2 − 2018 d x. – Lời giải. p 3 Đặt t = Suy ra 3 x2 − 2018 ⇒ t3 = x2 − 2018 ⇒ 3 t2 d t = 2 x d x ⇒ x d x = t2 d t. 2 p 3 3 t4 3( x2 − 2018) x2 − 2018 I = t dt = · + C = + C. 2 4 8 p Z p 3 3( x2 − 2018) x2 − 2018 3 2 Vậy I = x x − 2018 d x = + C. ä 8 Z ¢2 3» 2x 3 ¡ 2 d x. ĐS: I = 6 Tính I = x + 4 +C p 3 2 2 x +4 3 2 Z 3 – Lời giải. p 3 Đặt t = x2 + 4 ⇒ t3 = x2 + 4 ⇒ 3 t2 d t = 2 x d x. Suy ra I = 3 t2 dt = t 3 2 ¢2 x2 + 4 + C. Z 2x Z Vậy I = p 3 x2 + 4 Z 7 Tính I = 5x dx = »¡ 3 Z 3t dt = 3 t2 3 +C = 2 2 »¡ 3 ¢2 x2 + 4 + C. ä p 3 1 − x2 d x. ĐS: I = − ¢p 15 ¡ 3 1 − x2 1 − x2 + C 8 – Lời giải. p 3 Đặt t = 1 − x2 ⇒ t3 = 1 − x2 ⇒ 3 t2 d t = −2 x d x ⇒ x d x = − Suy ra 3 I = − 2 Z Vậy I = 5x Z 8 Tính I = p 3 1 − x2 d x = − Z 5 t3 d t = − 3 t2 d t. 2 ¢p 15 t4 15 ¡ 3 · +C =− 1 − x2 1 − x2 + C. 2 4 8 ¢p 15 ¡ 3 1 − x2 1 − x2 + C. 8 ä p p p 4(1 − x) 1 − x 2(1 − x)2 1 − x ĐS: I = −2 1 − x + − +C 3 5 x2 d x. p 1− x – Lời giải. p Đặt t = 1 − x ⇒ x = 1 − t2 ⇒ d x = −2 t d t. Suy ra Z ¡ I = 1 − t2 t ¢2 Z · (−2 t) d t = −2 ¡ ¢ 1 − 2 t2 + t4 d t p p p t3 t5 4(1 − x) 1 − x 2(1 − x)2 1 − x = −2 t + 4 · − 2 · + C = −2 1 − x + − + C. 3 5 3 5 p p Z p x2 4(1 − x) 1 − x 2(1 − x)2 1 − x Vậy I = p d x = −2 1 − x + − + C. ä 3 5 1− x ¡ ¢p Z p 4 − x2 4 − x2 x3 9 Tính I = p d x. ĐS: I = − 4 4 − x2 + C 3 4 − x2 – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 64 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Z x3 x2 dx = p · x dx p 2 2 4 − x 4 − x p Đặt t = 4 − x2 ⇒ t2 = 4 − x2 ⇒ x2 = 4 − t2 ⇒ 2 x d x = −2 t d t ⇒ x d x = − t d t. Z Ta có I = Suy ra Z ¡ 2 ¢ 4 − t2 · (− t) d t = t − 4 dt t ¢p ¡ p 4 − x2 4 − x2 t3 = − 4t + C = − 4 4 − x2 + C. 3 3 ¢p ¡ Z p 4 − x2 4 − x2 x3 − 4 4 − x2 + C. Vậy I = p dx = 3 4 − x2 Z I = 10 ¯ ¯p 1 ¯¯ x2 + 4 − 2 ¯¯ ĐS: I = ln ¯ p ¯+C 4 ¯ x2 + 4 + 2 ¯ dx Z Tính I = ä . p x x2 + 4 – Lời giải. x dx . p 2 x2 x2 + 4 p x x +4 Đặt t = x2 + 4 ⇒ t2 = x2 + 4 ⇒ x2 = t2 − 4 ⇒ 2 x d x = 2 t d t ⇒ x d x = t d t. Z Ta có I = p dx Z = Suy ra ¶ Z µ 1 1 1 1 dt = − dt 4 t−2 t+2 t2 − 4 ¯ ¯ p ¯ ¯ 1 ¯¯ x2 + 4 − 2 ¯¯ 1 ¯¯ t − 2 ¯¯ ln + C = ln ¯ p ¯ + C. 4 ¯ t +2¯ 4 ¯ x2 + 4 + 2 ¯ Z I = = ¯p ¯ 1 ¯¯ x2 + 4 − 2 ¯¯ = ln ¯ p ¯ + C. p x x2 + 4 4 ¯ x2 + 4 + 2 ¯ dx Z Vậy I = ¯p ¯ 1 ¯¯ x2 + 9 − 3 ¯¯ ĐS: I = ln ¯ p ¯+C 6 ¯ x2 + 9 + 3 ¯ dx Z 11 ä Tính I = . p x x2 + 9 – Lời giải. x dx . p 2 x2 x2 + 9 p x x +9 Đặt t = x2 + 9 ⇒ t2 = x2 + 9 ⇒ x2 = t2 − 9 ⇒ 2 x d x = 2 t d t ⇒ x d x = t d t. Z Ta có I = p dx Z = Suy ra ¶ Z µ 1 1 1 1 dt = − dt 6 t−3 t+3 t2 − 9 ¯ ¯ p ¯ ¯ 1 ¯¯ x2 + 9 − 3 ¯¯ 1 ¯¯ t − 3 ¯¯ + C = ln ¯ p ln ¯ + C. 6 ¯ t +3¯ 6 ¯ x2 + 9 + 3 ¯ Z I = = Z Vậy I = ¯p ¯ 1 ¯¯ x2 + 9 − 3 ¯¯ = ln ¯ p ¯ + C. p x x2 + 9 6 ¯ x2 + 9 + 3 ¯ Z 12 dx ä »¡ ¢2 1 − 2 x2 d x. ¢ »¡ ¢2 3 ¡ ¢ »¡ ¢2 ¢ »¡ ¢2 3 ¡ 3 ¡ 2 3 2 2 3 2 3 3 2 2 I =− 1 − 2x 1 − 2x + 1 − 2x 1 − 2x − 1 − 2x 1 − 2 x2 + C 80 64 176 Tính I = x5 3 ĐS: – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 65 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z Ta có I = x 5 »¡ 3 ¢2 1 − 2 x2 d x = Z x 4 Chương 3 – Giải tích 12 »¡ 3 p 3 Đặt t = 1 − 2 x2 ⇒ t3 = 1 − 2 x2 ⇒ x2 = Suy ra 1 − 2 x2 ¢2 · x d x. 1 − t3 3 t2 ⇒ x dx = − d t. 2 4 ¶2 µ ¶ Z ¡ 4 ¢ 3 t2 3 1 − t3 2 ·t · − dt = − t − 2 t7 + t10 d t I = 2 4 16 µ 5 8 11 ¶ 3 t 2t t = − − + +C 16 5 8 11 ¢2 3 ¡ ¢2 ¢2 ¢ »¡ ¢ »¡ ¢ »¡ 3 ¡ 3 ¡ 2 3 2 2 3 2 3 3 2 2 = − 1 − 2x 1 − 2x + 1 − 2x 1 − 2x − 1 − 2x 1 − 2 x2 + C. 80 64 176 Z µ ¢» ¢2 » ¢3 » ¢2 3 ¡ ¢2 ¢2 3 ¡ 3 ¡ 3 ¡ 3 ¡ 3 ¡ 1 − 2 x2 + 1 − 2 x2 − 1 − 2 x2 + C. ä 1 − 2 x2 1 − 2 x2 1 − 2 x2 80 64 176 ¡ ¢p Z p 2 x2 − x + 1 x2 − x + 1 2 x3 − 3 x2 + x d x. ĐS: I = 13 Tính I = − 2 x2 − x + 1 + C p 3 x2 − x + 1 Vậy I = − – Lời giải. Z Z 2 x3 − 3 x2 + x (2 x − 1)( x2 − x) ( x2 − x) d x = d x = · (2 x − 1) d x. p p p 2 − x+1 2 − x+1 2 − x+1 x x x p Đặt t = x2 − x + 1 ⇒ t2 = x2 − x + 1 ⇒ x2 − x = t2 − 1 ⇒ (2 x − 1) d x = 2 t d t. Z Ta có I = Suy ra Z ¡ 2 ¢ t2 − 1 · 2t dt = 2t − 2 dt I = t ¡ ¢p 3 p 2 x2 − x + 1 x2 − x + 1 2t = − 2t + C = − 2 x2 − x + 1 + C. 3 3 ¡ ¢p Z p 2 x2 − x + 1 x2 − x + 1 2 x3 − 3 x2 + x − 2 x2 − x + 1 + C. Vậy I = dx = p 3 x2 − x + 1 Z ä p p 2 (1 + ln x) 1 + ln x Ví dụ 5. Tính I = ĐS: I = − 2 1 + ln x + C 3 p d x Lời giải: Đặt t = 1 + ln x ⇒ t2 = 1 + ln x ⇒ ln x = t2 − 1 ⇒ = 2 t d t. x Z ln x d x . p x 1 + ln x Suy ra Z ¡ 2 ¢ t2 − 1 I = · 2t dt = 2t − 2 dt t p 3 p 2t 2 (1 + ln x) 1 + ln x = − 2t + C = − 2 1 + ln x + C. 3 3 p Z p ln x d x 2 (1 + ln x) 1 + ln x = Vậy I = − 2 1 + ln x + C. p 3 x 1 + ln x Z Bài 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau Z 1 Tính I = p ln x 1 + 3 ln x d x. x p p 2 (1 + 3 ln x)2 1 + 3 ln x 2 (1 + 3 ln x) 1 + 3 ln x ĐS: I = − +C 45 27 – Lời giải. p Đặt t = 1 + 3 ln x ⇒ t2 = 1 + 3 ln x ⇒ ln x = Th.s Nguyễn Chín Em t2 − 1 dx 2t ⇒ = d t. 3 x 3 66 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Suy ra ¢ Z t2 − 1 t 2 t 2 ¡ 4 2¢ I = · dt = t − t dt 3 3 9 p p µ ¶ 2 t5 t3 2 (1 + 3 ln x)2 1 + 3 ln x 2 (1 + 3 ln x) 1 + 3 ln x = − +C = − + C. 9 5 3 45 27 p p p Z ln x 1 + 3 ln x 2 (1 + 3 ln x)2 1 + 3 ln x 2 (1 + 3 ln x) 1 + 3 ln x Vậy I = dx = − + C. ä x 45 27 p Z 3 3 (1 + ln x)2 dx . ĐS: I = +C 2 Tính I = p 3 2 x 1 + ln x Z ¡ – Lời giải. p 3 Đặt t = 1 + ln x ⇒ t3 = 1 + ln x ⇒ ln x = t3 − 1 ⇒ Suy ra Z I = = dx Z Vậy I = = p 3 x 1 + ln x Z 3 Tính I = 3 dx = 3 t2 d t. x 1 · 3 t2 d t = t 3 3 t2 +C = 2 Z p 3 3t dt (1 + ln x)2 + C. 2 p 3 (1 + ln x)2 + C. 2 ä p p p 2 (1 + ln x)2 1 + ln x 4 (1 + ln x) 1 + ln x ĐS: I = − + 2 1 + ln x + C 5 3 ln2 x d x . p x 1 + ln x – Lời giải. p dx Đặt t = 1 + ln x ⇒ t2 = 1 + ln x ⇒ ln x = t2 − 1 ⇒ = 2 t d t. x Suy ra Z ¡ ¢2 t2 − 1 Z ¢ 2 t4 − 4 t2 + 2 d t t p p 5 p 2t 4 t3 2 (1 + ln x)2 1 + ln x 4 (1 + ln x) 1 + ln x = − + 2t + C = − + 2 1 + ln x + C. 5 3 5 3 p p Z p ln2 x d x 2 (1 + ln x)2 1 + ln x 4 (1 + ln x) 1 + ln x Vậy I = = − + 2 1 + ln x + C. p 5 3 x 1 + ln x Z p 4 I = e x 5 − e x d x. I = · 2t dt = ¡ ĐS: ä ¢3 −2 ¡p 5 − ex + C 3 – Lời giải. p Đặt t = 5Z− e x ⇒ t2 = 5 − e x Z⇒ −2 t d t = ex d x. Suy ra I = Z 5 I= t · (−2 t) d t = −2 t2 d t = ´3 −2 3 −2 ³p t +C = 5 − ex + C . 3 3 ä dx . p ex + 3 ¯p p ¯ p ¯¢ 1 ¡ ¯¯p x ln e + 3 − 3¯ − ln ¯ e x + 3 + 3¯ + C 3 ĐS: p – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 67 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 p Đặt t = e x + 3 ⇒ t2 = e x + 3 ⇒ e x = t2 − 3 ⇒ dx = Suy ra Z I= 1 2t · dt = 2 t t2 − 3 Z 2t t2 − 3 d t. ¶ Z µ 2 1 1 p p − p dt 2 3 t− 3 t+ 3 ¯ p ¯´ 1 ³ ¯¯ p ¯¯ ¯ ¯ p ln ¯ t − 3¯ − ln ¯ t + 3¯ + C 3 ¯p p ¯¯ p ¯¯´ 1 ³ ¯¯p x ¯ p ln ¯ e + 3 − 3¯ − ln ¯ e x + 3 + 3¯ + C. 3 1 dt = 2 t −3 = = ä Z 6 I= p cos x 3 sin x + 2 d x. ĐS: ´3 2 ³p 3 sin x + 2 + C 9 – Lời giải. p 2 3 Đặt t = 3 sin x + 2 ⇒ t2 = 3 sin x + 2 ⇒ t d t = cos x d x. Z Suy ra I = Z 7 I= 2 2 t · t dt = 3 3 Z ´3 2 2 ³p t2 d t = t3 + C = 3 sin x + 2 + C . 9 9 ä p sin x 2018 + cos x d x. ĐS: ¢3 −2 ¡p 2018 + cos x + C 3 – Lời giải. p 2 Đặt t = 2018 Z + cos x ⇒ t =Z2018 + cos x ⇒ −2 t d t = sin ³ x d x. Suy ra I = t · (−2 t) d t = −2 1 Z 8 I= x ln x p 6 + 3 ln2 x t2 d t = ´3 −2 3 −2 p t +C = 2018 + cos x + C . 3 3 ä d x. 1 ³ ĐS: p 2 6 ¯p ¯p p ¯¯ p ¯¯´ ¯ ¯ ln ¯ 6 + 3 ln2 x − 6¯ − ln ¯ 6 + 3 ln2 x + 6¯ + C – Lời giải. ln x Z Ta có I = Đặt t = Suy ra Z I= 2 p x ln x p 2 d x. 6 + 3 ln x 1 1 6 + 3 ln x ⇒ t2 = 6 + 3 ln2 x ⇒ t d t = ln x d x. 3 x 2 1 t2 − 6 ·t 3 1 · t dt = 3 Z 1 dt = 2 t −6 = = 1 p 2 6 Z µ ¶ 1 1 p − p dt t− 6 t+ 6 ¯ p ¯´ 1 ³ ¯¯ p ¯¯ ¯ ¯ p ln ¯ t − 6¯ − ln ¯ t + 6¯ + C 2 6 ¯p p ¯¯ p ¯¯´ 1 ³ ¯¯p ¯ p ln ¯ 6 + 3 ln2 x − 6¯ − ln ¯ 6 + 3 ln2 x + 6¯ + C. 2 6 ä Z 9 I= x d x. p x + x2 − 1 ĐS: Th.s Nguyễn Chín Em 68 ´3 1 3 1 ³p 2 x − x −1 +C 3 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 – Lời giải. Ta có I = Z ³ x− p x2 − 1 ´ Z · x dx = 2 x dx − Z x p x2 − 1 d x = I 1 − I 2 . 1 x2 d x = x3 + C 1 . 3 Z p I 2 = x x2 − 1 d x. p Đặt t = x2Z− 1 ⇒ t2 =Zx2 − 1 ⇒ t d t = x d x. ³p ´3 1 1 3 2 2 Suy ra I 2 = t · t d t = t d t = t + C2 = x − 1 + C2 . 3 3 ´3 1 ³p 2 1 Vậy I = x3 − x − 1 + C. 3 3 Z x3 10 I = p d x. x4 + 1 − x2 Z I1 = ä ´3 1 6 1 ³p 4 ĐS: x + x +1 +C 6 6 – Lời giải. Ta có I = Z ³p Z Z ´ p x4 + 1 + x2 · x3 d x = x3 x4 + 1 d x + x5 d x = I 1 + I 2 . 1 x5 d x = x6 + C 1 . Z p 6 3 x4 + 1 d x. I1 = x p 1 Đặt t = x4 + 1 ⇒ t2 = x4 + 1 ⇒ t d t = x3 d x. 2 Z Z ´3 ´3 1 1 1 1 ³p 4 1 1 ³p 4 2 Suy ra I 1 = t · t d t = t d t = t3 + C 2 = x + 1 + C 2 . Vậy I = x6 + x + 1 + C. 2 2 6 6 6 6 ä Z 3x 11 I = p d x. p x2 + 2 + x2 − 1 ´3 ³p ´3 ³p x2 + 2 x2 − 1 + +C ĐS: 3 3 Z I2 = – Lời giải. Z Ta có I = Z p x ³p x2 + 2 − p Z p Z p ´ x2 − 1 d x = x x2 + 2 d x − x x2 − 1 d x = I 1 − I 2 . x2 + 2 d x. p Đặt a = x2 + 2 ⇒ a2 = x2 + 2 ⇒ ³a da = x d´ x. p 3 2 +2 Z 3 x a Suy ra I 1 = a2 da = + C1 = + C1 . 3 3 Z p I1 = x x2 − 1 d x. p Đặt b = x2 − 1 ⇒ b2 = x2 − 1 ⇒ ³b d b = x d´ x. p 3 Z 3 x2 − 1 b Suy ra I 2 = b2 d b = + C2 = + C2 . 3 3 ³p ´3 ³p ´3 x2 + 2 x2 − 1 Vậy I = + + C. 3 3 I2 = Z Ví dụ 6. I = ä ln x d x. x ĐS: Th.s Nguyễn Chín Em 69 ln2 x +C 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Lời giải: 1 Đặt t = ln x ⇒ d t = d x. Suy ra I = x Z t dt = t2 ln2 x +C = + C. 2 2 Bài 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: Z 1 I= ln2 x d x. x ln3 x ĐS: +C 3 – Lời giải. 1 x Z Đặt t = ln x ⇒ d t = d x. Suy ra I = Z 2 I= t2 d t = t3 ln3 x +C = + C. 3 3 ä 1 + ln x d x. x ĐS: (1 + ln x)2 +C 2 – Lời giải. 1 Đặt t = 1 + ln x ⇒ d t = d x. Suy ra I = x Z 1 + ln4 x d x. 3 I= x Z t dt = t2 (1 + ln x)2 +C = + C. 2 2 ä ĐS: ln x + ln5 x +C 5 – Lời giải. 1 Đặt t = ln x ⇒ d t = d x. Suy ra I = x Z 3 ln x + 1 4 I= d x. x ln x Z (1 + t4 ) d t = t + t5 ln5 x + C = ln x + + C. 5 5 ä ĐS: ln | x| + ln | x ln x| + C – Lời giải. Đặt t = x ln x ⇒ d t = (ln x + 1) d x. Suy ra Z I= 3 ln x + 1 dx = x ln x Z 2 ln x + ln x + 1 dx = x ln x Z 2 dx + x Z Z ln x + 1 dt d x = ln | x| + x ln x t = ln | x| + ln | t| + C = ln | x| + ln | x ln x| + C. ä Z 5 I= ln x d x. x(2 + ln x)2 ĐS: ln |2 + ln x| + 2 · 1 +C 2 + ln x – Lời giải. 1 x Đặt t = 2 + ln x ⇒ d t = d x. Z Suy ra I = C. ln x dx = x(2 + ln x)2 Th.s Nguyễn Chín Em Z t−2 dt = t2 Z 1 dt − t 70 Z 2 1 1 d t = ln | t|+ 2 + C = ln |2 + ln x|+ 2 · + 2 t 2 + ln x t ä https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Z p 4 + ln x d x. 6 I= x 2 ĐS: ³p ´3 4 + ln x 3 +C – Lời giải. p 1 x Đặt t = 4 + ln x ⇒ t2 = 4 + ln x ⇒ 2 t d t = d x. ´3 ³p Z p Z Z 3 4 + ln x 2 4 + ln x 2t Suy ra I = d x = 2 t2 d t = 2 t2 d t = +C = + C. x 3 3 Z p 1 + 3 ln x 7 I= d x. x ĐS: ä ´3 2 ³p 1 + 3 ln x + C 9 – Lời giải. p 3 x Đặt t = 1 + 3 ln x ⇒ t2 = 1 + 3 ln x ⇒ 2 t d t = d x. Z p Z ´3 1 + 3 ln x 2 2 2 t3 2 ³p Suy ra I = dx = t dt = · + C = 1 + 3 ln x + C . ä x 3 3 3 9 Z ln x 8 I= d x. p x 1 + ln x ´3 p 2 ³p 1 + ln x + 2 1 + ln x + C ĐS: 3 – Lời giải. p 1 x Z Z Z ´3 t3 2 ³p ln x t( t2 − 1) Suy ra I = dx = 2 d t = 2 ( t2 − 1) d t = 2 · − 2 t + C = 1 + ln x + p t 3 3 x 1 + ln x p 2 1 + ln x + C . ä Đặt t = 1 + ln x ⇒ t2 = 1 + ln x ⇒ 2 t d t = d x. ex d x . ex − 1 Z Ví dụ 7. I = ĐS: ln |ex − 1| + C x x Lời giải: Đặt Z t = e −Z1 ⇒ d t = e d x. ex d x = ex − 1 Suy ra I = 1 d t = ln | t| + C = ln |e x − 1| + C . t Bài 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx Z 1 I= ex + 3 . ĐS: 1 (ln |e x | − ln |e x + 3|) + C 3 – Lời giải. Đặt t = e x + 3 ⇒ d t = ex d x. Suy ra Z I= dx = x e +3 Z ex dx = e x (e x + 3) Z 1 dt = ( t − 3) t Z µ ¶ 1 1 − dt = 3( t − 3) 3 t = 1 1 ln | t − 3| − ln | t| + C 3 3 ¢ 1¡ ln |e x | − ln |e x + 3| + C. 3 ä Th.s Nguyễn Chín Em 71 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ dx Z 2 I= ex + 4 Chương 3 – Giải tích 12 . ĐS: 1 (ln |e x | − ln |e x + 4|) + C 4 – Lời giải. Đặt t = e x + 4 ⇒ d t = ex d x. Suy ra Z I= dx = x e +4 Z ex dx = e x (e x + 4) Z 1 dt = ( t − 4) t Z µ ¶ 1 1 − dt = 4( t − 4) 4 t 1 1 ln | t − 4| − ln | t| + C 4 4 ¢ 1¡ ln |e x | − ln |e x + 4| + C. 4 = ä Z 3 I= dx e x + e− x . ĐS: arctan e x + C – Lời giải. x Z x Đặt t = e ⇒ d t = e d x. Suy ra I = dx = x e + e− x Z ex d x = e2x + 1 Z 1 t2 + 1 dt 1 d u. cos2 u Z Z 1 1 Vậy I = d u = d u = u + C = arctan t + C = arctan e x + C . · 2 2 tan u + 1 cos u Z x e dx 4 I= . e x + e− x Đặt t = tan u ⇒ d t = ĐS: ä 1 ln |e2x + 1| + C 2 – Lời giải. Đặt t = e2x + 1 ⇒ d t = 2e2x d x. Z Suy ra I = dx Z 5 I= ex d x = e x + e− x e x + 2 e− x − 3 Z e2x d x 1 = e2x + 1 2 1 1 1 d t = ln | t| + C = ln |e2x + 1| + C . t 2 2 Z ä . ĐS: ln |e x − 2| − ln |e x − 1| + C – Lời giải. Đặt t = e x ⇒ d t = e x d x. Ta có Z I= dx = e x + 2e− x − 3 Z ex d x = e2x + 2 − 3e x Z 1 dt = t2 − 3 t + 2 Z Z 1 1 1 dt = − dt ( t − 2)( t − 1) t−2 t−1 = ln | t − 2| − ln | t − 1| + C = ln |e x − 2| − ln |e x − 1| + C. ä Z 6 I= dx . e x − 4 · e− x ĐS: 1 (ln |e x − 2| − ln |e x + 2|) + C 4 – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 72 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 ex dx. e2x − 4 x x Đặt t = e ⇒ ¶ Z d t = e d x.Z µ ¯ ¯ ¯¢ 1 1 1 1 dt 1¡ ¯ Suy ra I = = − = (ln | t − 2| − ln | t + 2|) + C = ln ¯e x − 2¯ − ln ¯e x + 2¯ + C . 2 t−2 t+2 4 4 t −4 4 ä Z (1 + e x )3 7 I= d x. ex −1 1 ĐS: x + 3 x + 3ex + e2x + C e 2 Z Ta có I = – Lời giải. 1 + 3e x + 3e2x + e3x dx = ex Z Ta có I = Z 8 I= Z µ ¶ 1 −1 1 2x x 2x x + 3 + 3e + e d x = + 3 x + 3e + e + C. ex ex 2 ä e2x + 3e x d x. e2x + 3e x + 2 ĐS: 2 ln |e x + 1| − ln |e x + 2| + C – Lời giải. e x (e x + 3) d x. e2x + 3ex x + 2 x Đặt t = e ⇒ ¶ Z d t = e d x. Z µ ¯ ¯ ¯ ¯ x 1 t+3 2 ¯e + 1¯ − ln ¯e x + 2¯ + | |− | |+ − Suy ra I = dt = dt = 2 ln t + 1 ln t + 2 C = 2 ln t+1 t+2 t2 + 3 t + 2 C. Z Ta có I = ä ex Z 9 I= (1 + e x )2 d x. ĐS: −1 ex + 1 +C – Lời giải. Đặt t = e xZ+ 1 ⇒ d t = ex d x. d t −1 −1 = + C = + C. t ex + 1 t2 Ta có I = Z 10 I = ä 2e x − 1 d x. ex + 1 1 2 1 2 ĐS: 2 ln e x + 1 − ln(ex ) − ln(ex + 2) + C – Lời giải. dt Đặt t = e x + 1 ⇒ e x = t − 1 ⇒ d x = . t−1 Suy ra Z I= 2( t − 1) − 1 d t · = t t−1 Z µ ¶ ¶ Z µ 1 2 1 1 − d t = 2 ln t − − t t( t − 1) t−1 t = 2 ln t − ln( t − 1) − ln( t) + C = 2 ln(e x + 1) − ln(e x ) − ln(e x + 1) + C. ä Z 11 I = e2x d x. p ex + 1 Th.s Nguyễn Chín Em 73 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 ĐS: 2 ¡p ¢2 ex + 1 3 p + ex + 1 + C – Lời giải. p Đặt t = e x − 1 ⇒ t2 = e x − 1 ⇒ e x = t2 + 1 ⇒ e x d x = 2 t d t. Z Suy ra I = Z 12 I = ( t2 + 1)2 t dt = 2 t Z 2 2 t3 ( t + 1) d t = + 2t + C = 3 2 ¢3 ¡p ex + 1 3 p + 2 ex + 1 + C ä e2x d x . p 3 + ex ĐS: p 2e x p 3 + ex − 6 3 + ex + C 3 – Lời giải. p Đặt t = 3 + e x ⇒ d t = p ex d x. x 2 3 + e Z p p p 2 2 t3 2e x p − 6 t + C = (3 + e x ) 3 + e x − 6 3 + e x + C = Suy ra I = 2( t2 − 3) d t = 3 + ex − 6 3 + ex + C . 3 3 3 ä Z dx . 13 I = p ex + 1 p p ĐS: ln | e x + 1 − 1| − ln | e x + 1 + 1| + C . – Lời giải. p Đặt t = e x + 1 ⇒ d t = p ex 2 ex + 1 Suy ra 1 dt = 2 2 t −1 Z I =2 Z µ d x. ¶ 1 1 − d t = ln | t − 1| − ln | t + 1| + C 2( t − 1) 2( t + 1) p p = ln | e x + 1 − 1| − ln | e x + 1 + 1| + C. ä Z Ví dụ 8. I = tan x d x. sin x Lời giải: Ta có I = d x. cos x Đặt t = cosZx ⇒ d t = − sin x d x. 1 Suy ra I = − d t = − ln | t| + C = − ln | cos x| + C . t Z ĐS: − ln | cos x| + C . Bài 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: Z 1 I= sin3 x d x. ĐS: − cos x + cos3 x +C 3 – Lời giải. Z Ta có I = (1 − cos2 x) · sin x d x. Đặt t = cos x ⇒ d t = − sin x d x. Z Suy ra I = −(1 − t2 ) d t = − t + Th.s Nguyễn Chín Em t3 cos3 x + C = − cos x + + C. 3 3 74 ä https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z 2 I= Chương 3 – Giải tích 12 sin5 x d x. ĐS: − cos5 x 2 cos3 x + − cos x + C 5 3 – Lời giải. Z Ta có I = (1 − cos2 x)2 sin x d x. Đặt t = cos x ⇒ d t = − sin x d x. Z Suy ra I = Z 3 I= Z 2 2 −(1 − t ) d t = t5 2 t3 cos5 x 2 cos3 x (− t + 2 t − 1) d t = − + − t+C = − + − cos x + C . ä 5 3 5 3 4 2 cos2017 x · sin x d x. ĐS: − cos2018 x +C 2018 – Lời giải. Đặt t = cos x ⇒ d t = − sin x d x. Z Suy ra I = Z 4 I= − t2017 d t = − t2018 cos2018 x +C =− + C. 2018 2018 ä sin x d x. cos2 x ĐS: 1 +C cos x – Lời giải. Đặt t = cosZx ⇒ d t = − sin x d x. Suy ra I = Z 5 I= − 1 1 1 + C = + C. d t = t cos x t2 ä sin 2 x cos2 x d x. ĐS: − cos4 x +C 2 – Lời giải. Z Ta có I = Z Suy ra I = Z 6 I= 2 sin x cos3 x d x. Đặt t = cos x ⇒ d t = − sin x d x. −2 t3 d t = − cos4 x t4 +C =− + C. 2 2 ä sin x d x. 2 + cos x ĐS: − ln |2 + cos x| + C – Lời giải. Đặt t = 2 +Zcos x ⇒ d t = − sin x d x. Suy ra I = Z 7 I= 1 − d t = − ln | t| + C = − ln |2 + cos x| + C . t ä 5 sin3 x d x. 1 − cos x 5 2 ĐS: −5 cos x − cos2 x + C – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 75 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Z 5(1 − cos2 x) sin x d x = 5(1 + cos x) sin x d x. 1 − cos x Đặt t = cos x ⇒ d t = − sin x d x. Z 5 t2 Suy ra I = −5(1 + t) d t = −5 t − 5 + C = −5 cos x − cos2 x + C . 2 2 Z 8 I = sin2 x tan x d x. Z Ta có I = ä ĐS: − ln | cos x| + cos2 x +C 2 – Lời giải. Z sin3 x (1 − cos2 x) sin x Ta có I = dx = d x. cos x cos x Đặt t = cos x ⇒ d t = − sin x dµx. ¶ Z Z 1 − t2 1 t2 cos2 x Suy ra I = − dt = − + t d t = − ln | t| + + C = − ln | cos x| + + C. t t 2 2 Z sin 2 x cos x 9 I= d x. 1 − cos x Z ĐS: ä cos2 x − 2 cos x + ln | cos x| + C . 2 – Lời giải. 2 sin x cos2 x d x. 1 − cos x Đặt t = 1 − cos x ⇒ d t = sin xµd x. ¶ Z Z (1 − t)2 t2 cos2 x 1 Suy ra I = dt = d t = − 2 t + ln | t| + C = − 2 cos x + ln | cos x| + C . t−2+ t t 2 2 Z sin 2 x 10 I = d x. 4 − cos2 x Z Ta có I = ä ĐS: ln |4 − cos2 x| + C . – Lời giải. Đặt t = 4 −Zcos2 x ⇒ d t = sin 2 x d x. Suy ra I = Z 11 I = 1 d t = ln | t| + C = ln |4 − cos2 x| + C . t ä sin 4 x d x. 1 + cos2 x ĐS: −2(1 + cos2 x)2 + 6 ln |1 + cos2 x| + C . – Lời giải. 2 sin 2 x(2(cos2 x + 1) − 3) dx 1 + cos2 x Đặt t = 1 + cos2 x ⇒ d t = − sin 2 x dµx. ¶ Z Z 2(2 t2 − 3) 6 Suy ra I = − dt = − 4t − d t = −2 t2 +6 ln | t|+C = −2(1+cos2 x)2 +6 ln |1+cos2 x|+C . t t ä Z ³ x´ 12 I = 1 + tan x tan sin x d x. 2 ĐS: − ln | cos x| + C Z I= – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 76 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 x x x Z Z + sin x sin cos sin x 2 2 2 I= sin x d x = x x sin x d x = cos x d x cos x cos cos x cos 2 2 Đặt t = cosZx ⇒ d t = − sin x d x. 1 ä Suy ra I = − d t = − ln | t| + C = − ln | cos x| + C . t Z sin x d x. 13 I = cos 2 x + 3 cos x + 2 ĐS: ln | cos x + 1| − ln |2 cos x + 1| + C Z cos x cos – Lời giải. sin x Z I= 2 cos2 x + 3 cos x + 1 d x. Đặt t = cos x ⇒ d t = − sin x d x. Suy ra Z I= 1 − dt (2 t + 1)( t + 1) ¶ Z µ 1 2 = − d t = ln | t + 1| − ln |2 t + 1| + C = ln | cos x + 1| − ln |2 cos x + 1| + C t + 1 2t + 1 1 dt = − 2 2t + 3t + 1 Z ä Z 14 I = sin x d x. cos 2 x − cos x 1 3 1 3 ĐS: − ln | cos x + 1| + ln |2 cos x + 1| + C – Lời giải. sin x Z Ta có I = 2 cos2 x − cos x − 1 d x. Đặt t = cos x ⇒ d t = − sin x d x. Suy ra Z I= 1 − 2 dt = 2t − t − 1 ¶ Z µ 1 1 2 1 − dt = − − dt (2 t + 1)( t − 1) 3 t − 1 2t + 1 1 1 1 1 = − ln | t + 1| + ln |2 t + 1| + C = − ln | cos x + 1| + ln |2 cos x + 1| + C. 3 3 3 3 Z ä Z 15 I = sin x + sin 3 x d x. cos 2 x ĐS: − cos 4 x +C 2 – Lời giải. 2 sin 4 x cos 2 x Ta có I = dx = cos 2 x Z p 16 I = 2 sin x 1 + 4 cos x d x. Z Z 2 sin 4 x d x = − cos 4 x + C. 2 ä ĐS: − 1p 1 + 4 cos x(1 + 4 cos x) + C 3 – Lời giải. p Đặt t = 1 + 4 cos x ⇒ t2 = 1 + 4 cos x ⇒ t d t = −2 sin x d x. Z Suy ra I = − t2 d t = − Th.s Nguyễn Chín Em t3 1p =− 1 + 4 cos x(1 + 4 cos x) + C . 3 3 77 ä https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z 17 Tính I = Chương 3 – Giải tích 12 à ¡p ! ¢3 p 2 2 1 + 3 cos x ĐS: − + 1 + 3 cos x + C 9 3 sin 2 x + sin x d x. p 1 + 3 cos x – Lời giải. sin x(2 cos x + 1) . p 1 + 3 cos x p 2 Đặt t = 1 + 3 cos x ⇒ t2 = 1 + 3 cos x ⇒ − t d t = sin x d x. Khi đó 3 µ µ 2 ¶ ¶ t −1 2 à ¡p ! ¢3 µ ¶ +1 Z − t 2 Z p 2 2 2 2 t3 2 2 1 + 3 cos x 3 3 I= d t = − (2 t +1) d t = − + t +C = − + 1 + 3 cos x +C. t 9 9 3 9 3 Z Ta có I = sin 2 x + sin x dx = p 1 + 3 cos x Z ä Z 18 Tính I = ¯ ¯ 1 ¯¯ cos x − 1 ¯¯ ĐS: ln ¯ +C 2 cos x + 1 ¯ dx . sin x – Lời giải. Z Z sin x d x dx sin x d x = Ta có I = = . sin x 1 − cos2 x sin2 x Đặt t = cos x ⇒ − d t = sin x d x. Khi đó ¯ ¯ ¯ ¯ ¶ Z Z µ 1 1 1 ¯¯ t − 1 ¯¯ 1 ¯¯ cos x − 1 ¯¯ 1 1 dt = − +C = ln ¯ +C. I= d t = (ln | t − 1| − ln | t + 1|)+C = ln ¯ t−1 t+1 2 2 t +1¯ 2 cos x + 1 ¯ t2 − 1 2 Z ä Z 19 Tính I = dx ¯ ¯¶ ¯ 1 + cos x ¯ 1 1 1 ¯ ¯ +C ĐS: − − + ln ¯ 4 1 − cos x 1 + cos x 1 − cos x ¯ µ sin3 x . – Lời giải. Z Ta có I = dx Z sin3 x = sin x d x sin4 x Z = sin x d x . (1 − cos2 x)2 Đặt t = cos x ⇒ d t = − sin x d x. Khi đó Z Z 1 [(1 + t) + (1 − t)]2 d t 1 (1 + t)2 + (1 − t)2 + 2(1 − t)(1 + t) − dt I = =− =− dt 4 4 (1 − t2 )2 (1 − t)2 · (1 + t)2 (1 − t)2 (1 + t)2 ¸ ¸ Z · Z · 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + + dt = − + + + dt 4 4 (1 − t)2 (1 + t)2 (1 − t)(1 + t) (1 − t)2 (1 + t)2 1 + t 1 − t ¯ ¯¶ ¯ ¯¶ µ µ ¯1+ t¯ ¯ 1 + cos x ¯ 1 1 1 1 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ + C. − + ln ¯ +C =− − + ln ¯ = − 4 1− t 1+ t 1− t¯ 4 1 − cos x 1 + cos x 1 − cos x ¯ Z ä Z 20 Tính I = ³ ¯ π ´ ¯¯ ¯ 1 + cos x + ¯ ¯ 1 ¯ 3 ´¯+ C ³ ĐS: − ln ¯ ¯ π ¯ 4 ¯ 1 − cos x + ¯¯ 3 dx . p sin x + 3 cos x – Lời giải. Ta có ³ I = = π´ sin x + d x dx 1 dx 1 ³ ´ ³ ´ 3³ ´ = = p 2 sin x + π sin x + π sin x + 3 cos x 2 sin x + π 3 ³ 3 3 ³ ¯ π´ π ´ ¯¯ ¯ Z sin x + dx 1 + cos x + ¯ 1 1 ¯¯ 3 ´ ¯ + C. ³3 π ´ = − ln ¯ ³ ¯ π 2 1 − cos2 x + 4 ¯¯ 1 − cos x + ¯¯ 3 3 Z Z Z ä Th.s Nguyễn Chín Em 78 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Ví dụ 9. Z Tính I = ĐS: ln | sin x| + C cot x d x. Lời giải: Z Z cos x Ta có I = cot x d x = d x = ln | sin x| + C. sin x Bài 9. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: Z 1 Tính I = cos3 x d x. ĐS: 1 sin3 x + C 3 – Lời giải. Ta có I = cos3 x d x = cos x sin2 x d x. R R t3 1 + C = sin3 x + C . 3 3 Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x. Khi đó I = t2 d = R Z 2 Tính I = ä 1 5 2 3 cos5 x d x. ĐS: sin x − sin3 x + sin5 x + C – Lời giải. Z cos5 x d x = Ta có I = Z ¡ ¢2 cos x 1 − sin2 x d x. Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x. Khi đó Z I = ¡ 1− t ¢ 2 2 Z dt = ¡ ¢ 1 − 2 t2 + t4 d t 2 1 2 1 = t − t3 + t5 + C = sin x − sin3 x + sin5 x + C. 3 5 3 5 ä Z 3 Tính I = sin2019 x cos x d x. ĐS: 1 sin2020 x + C 2020 – Lời giải. Z Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x. Khi đó I = t2019 d t = 1 2020 1 t +C = sin2020 x + C. 2020 2020 Z 4 Tính I = ĐS: (1 + 2 sin x) cos x d x. ä (1 + 2 sin x)2 +C 4 – Lời giải. 1 2 Z Đặt t = 1 + 2 sin x ⇒ d t = 2 cos x d x ⇒ d t = cos x d x. Khi đó Z I= 1 1 t dt = 2 2 t dt = 1 t2 1 (1 + 2 sin x)2 · +C = + C. 2 2 2 2 ä Z 5 Tính I = cos x d x. 4 + sin x ĐS: ln |4 + sin x| + C – Lời giải. Z Đặt t = 4 + sin x ⇒ d t = cos x d x. Khi đó I = Z 6 Tính I = dt = ln | t| + C = ln |4 + sin x| + C. t cos x d x. 9 − 2 sin x ä 1 2 ĐS: − ln |9 − 2 sin x| + C – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 79 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 1 2 Đặt t = 9 − 2 sin x ⇒ d t = −2 cos x d x ⇒ − d t = cos x d x. Khi đó 1 Z − dt Z 1 dt 1 1 2 I = =− = − ln | t| + C = − ln |9 − 2 sin x| + C. t 2 t 2 2 ä sin 2 x d x. 1 − sin x Z 7 Tính I = ĐS: −2 ln |1 − sin x| + 2(1 − sin x) + C – Lời giải. Z sin 2 x 2 sin x cos x Ta có I = dx = d x. 1 − sin x 1 − sin x Đặt t = 1 − sin x ⇒ d t = − cos x d x. Khi đó ¶ Z Z µ −2 −2(1 − t) d t I= = + 2 d t = −2 ln | t| + 2 t + C = −2 ln |1 − sin x| + 2(1 − sin x) + C. t t Z ä sin 2 x d x. (2 + sin x)2 Z 8 Tính I = ĐS: 2 ln |2 + sin x| + 4 +C 2 + sin x – Lời giải. sin 2 x Z Z 2 sin x cos x Ta có I = dx = d x. (2 + sin x)2 (2 + sin x)2 Đặt t = 2 + sin x ⇒ d t = cos x d x. Khi đó Z I= 2( t − 2) d t = t2 Z µ ¶ 4 4 2 4 − 2 d t = 2 ln | t| + + C = 2 ln |2 + sin x| + + C. t t t 2 + sin x ä Z 9 Tính I = (1 + sin x)9 cos x d x. ĐS: (1 + sin x)10 +C 10 – Lời giải. Z Đặt t = 1 + sin x ⇒ d t = cos x d x. Khi đó I = Z 10 Tính I = t9 d t = (1 + sin x)10 t10 +C = + C. 10 10 sin 2 x sin5 x d x. ä ĐS: 2 sin7 x + C 7 – Lời giải. Z Z 2 sin6 x cos x d x. Z 2 2 Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x. Khi đó I = 2 t6 d t = t7 + C = sin7 x + C. 7 7 Z 11 Tính I = (1 + 2 sin x)7 cos x d x. Ta có I = 5 sin 2 x sin x d x = ä (1 + 2 sin x)8 ĐS: +C 8 – Lời giải. 1 Đặt t = 1 + 2 sin x ⇒ d t = cos x d x. Khi đó I = 2 Z (2 sin x − 3) cos x d x. 12 Tính I = 2 sin x + 1 Z t7 d t = t8 (1 + 2 sin x)8 +C = + C. 8 8 ĐS: ä 1 (2 sin x + 1 − 4 ln |2 sin x + 1|) + C 2 – Lời giải. Đặt t = 2 sin x + 1 ⇒ t−1 1 = sin x ⇒ d t = cos x d x. Khi đó 2 2 1 ¶ Z ( t − 1 − 3) d t Z µ 1 4 1 1 2 I= = 1− d t = ( t − 4 ln | t|) + C = (2 sin x + 1 − 4 ln |2 sin x + 1|) + C. t 2 t 2 2 ä Th.s Nguyễn Chín Em 80 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ cos 2 x d x. 1 + 2 sin 2 x Z 13 Chương 3 – Giải tích 12 Tính I = 1 ln |1 + 2 sin 2 x| + C 4 ĐS: – Lời giải. Đặt t = 1 + 2 sin 2 x ⇒ d t = 4 cos 2 x d x. Khi đó 1 Z dt 4 = 1 1 dt t 4 t 1 1 ln | t| + C = ln |1 + 2 sin 2 x| + C. 4 4 Z I = = ä 1 − 2 sin2 x d x. 1 + sin 2 x Z 14 Tính I = 1 ln |1 + sin 2 x| + C 2 ĐS: – Lời giải. Z 1 − 2 sin2 x cos 2 x Ta có I = dx = d x. 1 + sin 2 x 1 + sin 2 x Đặt t = 1 + sin 2 x ⇒ d t = 2 cos 2 x d x. Khi đó Z 1 Z dt 2 = 1 d t = 1 ln | t| + C = 1 ln |1 + sin 2 x| + C. t 2 t 2 2 Z I= ä cos x d x Z 15 Tính I = 6 − 5 sin x + sin2 x ¯ ¯ ¯ sin x − 3 ¯ ¯ ¯+C ĐS: ln ¯ sin x − 2 ¯ . – Lời giải. cos x d x Z Ta có I = Z 2 6 − 5 sin x + sin x = cos x d x . (sin x − 3)(sin x − 2) Đặt t = sin x − 3 ⇒ d t = cos x d x. Khi đó Z I= dt = t( t + 3 − 2) Z dt = t( t + 1) Z µ ¯ ¯ ¯ ¯ ¶ ¯ t ¯ ¯ sin x − 3 ¯ 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ + C. − d t = ln ¯ + C = ln ¯ t t+1 t +1¯ sin x − 2 ¯ ä Z 16 Tính I = cos xesin x d x. ĐS: esin x + C – Lời giải. Z cos xesin x d x = esin x + C . Ta có I = Z 17 Tính I = ä p cos x 1 + sin x d x. ĐS: 2p (1 + sin x)3 + C 3 – Lời giải. p Đặt t = 1 + sin x ⇒ t2 = 1 + sin x ⇒ 2 td t = cos x d x. Khi đó Z I = t · 2t dt = 2 t3 2p +C = (1 + sin x)3 + C. 3 3 ä Z 18 Tính I = p cos x 3 sin x + 1 d x. ĐS: 2 p (3 sin x + 1)3 +C 9 – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 81 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ p Chương 3 – Giải tích 12 2 3 Đặt t = 3 sin x + 1 ⇒ t2 = 3 sin x + 1 ⇒ t d t = cos x d x. Khi đó Z I = 2 2 2 t3 2 t dt = · + C = 3 3 3 3 p (3 sin x + 1)3 + C. 3 ä cos x d x . p 2 + 3 sin x + 1 Z 19 Tính I = ĐS: ´ p p 2³ 2 + 3 sin x + 1 − 2 ln |2 + 3 sin x + 1| + C 3 – Lời giải. p p Đặt t = 2 + 3 sin x + 1 ⇒ t − 2 = 3 sin x + 1 ⇒ ( t − 2)2 = 3 sin x + 1 ⇒ 2( t − 2) d t = 3 cos x d x. Khi đó 2 · ( t − 2) d t cos x d x 3 = p t 2 + 3 sin x + 1 µ ¶ Z Z 2 2 2 t−2 dt = 1− dt 3 t 3 t ¯ ¯´ p p 2 2³ ¯ ¯ ( t − 2 ln | t|) + C = 2 + 3 sin x + 1 − 2 ln ¯2 + 3 sin x + 1¯ + C. 3 3 Z I = = = Z ä 20 ¯ ¯ 1 ¯¯ 1 + sin x ¯¯ ĐS: ln ¯ +C 2 1 − sin x ¯ dx . cos x Z Tính I = – Lời giải. Z Z dx cos x d x cos x d x . = = Ta có I = 2 cos x cos x 1 − sin2 x Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x. Khi đó ¶ Z Z µ dt 1 1 1 I = = + dt 2 1− t 1+ t 1 − t2 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯¯ 1 + t ¯¯ 1 ¯¯ 1 + sin x ¯¯ 1 + C = ln ¯ + C. = (ln |1 + t| − ln |1 − t|) + C = ln ¯ 2 2 1− t¯ 2 1 − sin x ¯ Z ä 21 ¯ ¯¶ ¯ 1 + sin x ¯ 1 1 1 ¯ ¯ +C ĐS: − + ln ¯ 4 1 − sin x 1 + sin x 1 − sin x ¯ dx . cos3 x Z Tính I = µ – Lời giải. Z Z cos x d x cos x d x dx . Ta có I = = = 3 4 cos x cos x (1 − sin2 x)2 Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x. Khi đó Z Z Z dt 1 [(1 + t) + (1 − t)]2 d t 1 (1 + t)2 + (1 − t)2 + 2(1 − t)(1 + t) = = dt 4 (1 − t2 )2 4 (1 − t)2 · (1 + t)2 (1 − t)2 (1 + t)2 ¸ ¸ Z · Z · 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + dt = + + + dt 4 4 (1 − t)2 (1 + t)2 (1 − t)(1 + t) (1 − t)2 (1 + t)2 1 + t 1 − t ¯ ¯¶ ¯ ¯¶ µ µ ¯1+ t¯ ¯ 1 + sin x ¯ 1 1 1 1 1 ¯ +C = 1 ¯ + C. − + ln ¯¯ − + ln ¯¯ ¯ 4 1− t 1+ t 1− t 4 1 − sin x 1 + sin x 1 − sin x ¯ Z I = = = ä Z Ví dụ 10. Tính I = Th.s Nguyễn Chín Em tan x d x. cos2 x ĐS: 82 tan2 x +C 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 dx Lời giải: Đặt t = tan x ⇒ d t = . Khi đó I = cos2 x Z t dt = t2 tan2 x +C = + C. 2 2 Bài 10. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: Z 1 Tính I = sin2 x d x. cos4 x ĐS: tan3 x +C 3 – Lời giải. Z tan2 x sin2 x d x = d x. Ta có I = cos4 x cos2 x Z dx t3 tan3 x 2 Đặt t = tan x ⇒ d t = . Khi đó I = t d t = + C = + C. 3 3 cos2 x Z (1 + tan x)2 d x. 2 Tính I = cos2 x Z ä ĐS: (1 + tan x)3 +C 3 – Lời giải. dx Đặt t = 1 + tan x ⇒ d t = . Khi đó I = cos2 x Z 2 + 3 tan x 3 Tính I = d x. 1 + cos 2 x Z t2 d t = (1 + tan x)3 t3 +C = + C. 3 3 ĐS: ä 1 (2 + 3 tan x)2 · +C 6 2 – Lời giải. Z 2 + 3 tan x 2 + 3 tan x Ta có I = dx = d x. 1 + cos 2 x 2 cos2 x Z 1 dx 1 t2 1 (2 + 3 tan x)2 1 Đặt t = 2 + 3 tan x ⇒ d t = . Khi đó I = t d t = · + C = · + C. ä 3 6 6 2 6 2 cos2 x ¯ ¯ Z 1 ¯¯ 1 + tan x ¯¯ tan2 x d x. ĐS: ln ¯ 4 Tính I = − tan x + C cos 2 x 2 1 − tan x ¯ Z – Lời giải. Z Ta có I = tan2 x dx = cos 2 x Z tan2 x dx = 2 cos2 x − 1 Z tan2 x dx · = 1 cos2 x 2− cos2 x Z tan2 x 2 − (1 + tan2 x) · dx . cos2 x dx . Khi đó cos2 x ¶ ¶ Z Z µ Z µ t2 1 1 1 1 I = dt = − 1 dt = + − 2 dt 2 1− t 1+ t 1 − t2 1 − t2 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 1 + tan x ¯¯ 1 ¯¯ 1 + t ¯¯ − t + C = ln ¯¯ − tan x + C. = ln ¯ ¯ 2 1− t 2 1 − tan x ¯ Đặt t = tan x ⇒ d t = ä dx Z 5 Tính I = sin2 x − 4 cos2 x ¯ ¯ 1 ¯¯ tan x − 2 ¯¯ ĐS: ln ¯ +C 4 tan x + 2 ¯ . – Lời giải. dx Z Ta có I = dx ¡ ¢. cos2 x tan2 x − 4 Z = sin2 x − 4 cos2 x dx Đặt t = tan x ⇒ d t = . Khi đó cos2 x I = = Th.s Nguyễn Chín Em dt = 2 t −4 µ ¶ 1 1 1 − dt 4 t−2 t+2 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯¯ t − 2 ¯¯ 1 ¯¯ tan x − 2 ¯¯ + C = ln ¯ + C. (ln | t − 2| − ln | t + 2|) + C = ln ¯ 4 4 t +2¯ 4 tan x + 2 ¯ Z Z 83 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 ä dx Z 6 Tính I = 2 sin x + 3 sin x cos x ¯ ¯ 1 ¯¯ tan x ¯¯ +C ĐS: ln ¯ 3 tan x + 3 ¯ . – Lời giải. dx Z Ta có I = dx Z = 2 . cos2 x(tan2 x + 3 tan x) sin x + 3 sin x cos x dx Đặt t = tan x ⇒ d t = . Khi đó cos2 x ¶ Z Z µ dt 1 1 1 I = = − dt 3 t t+3 t2 + 3 t ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯¯ t ¯¯ 1 ¯¯ tan x ¯¯ = + C = ln ¯ + C. (ln | t| − ln | t + 3|) + C = ln ¯ 3 3 t +3¯ 3 tan x + 3 ¯ ä dx Z 7 Tính I = 5 cos2 x − 8 sin x cos x + 3 sin2 x ¯ ¯ 1 ¯¯ tan x − 1 ¯¯ ĐS: − ln ¯ +C 2 3 tan x − 5 ¯ . – Lời giải. dx Z Ta có I = dx Z 2 = cos2 x(5 − 8 tan x + 3 tan2 x) . 5 cos2 x − 8 sin x cos x + 3 sin x dx Đặt t = tan x ⇒ d t = . Khi đó cos2 x µ ¶ Z Z Z 1 1 3 dt dt I = = = − · − dt (3 t − 5)( t − 1) 2 t − 1 3t − 5 5 − 8 t + 3 t2 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯¯ t − 1 ¯¯ 1 ¯¯ tan x − 1 ¯¯ = − (ln | t − 1| − ln |3 t − 5|) + C = − ln ¯ + C = − ln ¯ + C. 2 2 3t − 5 ¯ 2 3 tan x − 5 ¯ ä Z 8 Tính I = dx . sin x cos3 x ĐS: ln | tan x| + tan2 x +C 2 – Lời giải. Z Z Z dx 1 dx 1 dx 1 + tan2 x d x = · = · = · . sin x cos x cos2 x tan x sin x cos3 x cos2 x(tan x) cos2 x cos2 x dx Đặt t = tan x ⇒ d t = . Khi đó cos2 x ¶ Z Z µ 1 + t2 1 t2 tan2 x I= dt = + t d t = ln | t| + + C = ln | tan x| + + C. t t 2 2 Z Ta có I = ä dx Z 9 Tính I = cos4 x sin2 x ĐS: − . 1 tan3 x + 2 tan x + +C tan x 3 – Lời giải. dx Z Ta có I = Z cos4 x sin2 x Đặt t = tan x ⇒ d t = = dx · = 2 2 cos x sin x cos2 x 1 Z dx · = 2 4 cos x(tan x) cos2 x 1 Z (1 + tan2 x)2 tan2 x · dx . cos2 x dx . Khi đó cos2 x ¶ Z Z µ (1 + t2 )2 1 2 I = dt = + 2 + t dt t2 t2 1 t3 1 tan3 x = − + 2t + + C = − + 2 tan x + + C. t 3 tan x 3 ä Th.s Nguyễn Chín Em 84 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ dx . cos4 x Z 10 Chương 3 – Giải tích 12 Tính I = ĐS: tan x + tan3 x +C 3 – Lời giải. Z dx 1 1 + tan2 x · = d x. Ta có I = cos2 x cos2 x Z cos2 x dx t3 tan3 x 2 Đặt t = tan x ⇒ d t = . Khi đó I = (1 + t ) d t = t + + C = tan x + + C. ä 3 3 cos2 x Z (1 + sin 2 x) d x tan2 x 3 tan x ln |2 tan x + 1| 11 Tính I = + + +C . ĐS: 4 4 8 2 sin x cos3 x + cos4 x dx = cos4 x Z Z – Lời giải. Ta có Z (1 + sin 2 x) d x 1 + sin 2 x dx I = = · 3 4 2 2 sin x cos x + cos x 2 sin x cos x + cos x cos2 x 1 Z Z + 2 tan x 2x dx 1 + tan2 x + 2 tan x d x cos = · = · 2 tan x + 1 2 tan x + 1 cos2 x cos2 x Z Đặt t = tan x ⇒ d t = dx . Khi đó cos2 x ¶ Z µ t2 + 2 t + 1 3 1 1 dt = t+ + dt 2t + 1 2 4 4(2 t + 1) t2 3 t ln |2 t + 1| + + +C 4 4 8 tan2 x 3 tan x ln |2 tan x + 1| + + + C. 4 4 8 Z I = = = ä Ví dụ 11. Z Tính I = cot x sin2 x ĐS: − d x. Lời giải: Đặt t = cot x ⇒ d t = − 1 cot2 x +C 2 d x. 2 sin x Z t2 cot2 x Do đó I = − t d t = − + C = − + C. 2 2 Bài 11. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: (2 − cot x)2 Z 1 Tính I = sin2 x ĐS: d x. (2 − cot x)3 +C 3 – Lời giải. Đặt t = 2 − cot x ⇒ d t = Z Do đó I = Z 2 Tính I = 1 d x. sin2 x t3 (2 − cot x)3 t2 d t = + C = + C. 3 3 cos2 x sin4 x ä ĐS: − d x. cot3 x +C 3 – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 85 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ cos2 x Z Ta có I = sin4 x Z dx = 1 Đặt t = cot x ⇒ d t = − Z Do đó I = Z 3 Tính I = cot2 x sin2 x Chương 3 – Giải tích 12 d x. d x. sin2 x cot3 x t3 + C. − t2 d t = − + C = − 3 3 ä 3 − cot x d x. 1 − cos 2 x 1 4 ĐS: (3 − cot x)2 + C – Lời giải. Z Z 3 − cot x 3 − cot x 3 − cot x dx = d x = d x. 1 − cos 2 x 1 − (1 − 2 sin2 x) 2 sin2 x 1 Đặt t = 3 − cot x ⇒ d t = d x. sin2 x Z 1 1 t d t = t2 + C = (3 − cot x)2 + C . Do đó I = 2 4 Z cos4 x d x. 4 Tính I = sin6 x Z Ta có I = ä ĐS: I = − cot5 x +C 5 – Lời giải. Z Ta có I = cos4 x sin6 x Z dx = Đặt t = cot x ⇒ d t = − 1 cot4 x sin2 x d x. d x. 2 sin x Z t5 cot5 x Do đó I = − t4 d t = − + C = − + C. 5 5 Z dx 5 Tính I = . sin4 x ä cot3 x +C ĐS: − cot x − 3 – Lời giải. Z Ta có I = dx sin4 x Z = 1 + cot2 x sin2 x 1 Đặt t = cot x ⇒ d t = − 2 d x. sin x Z Do đó I = − (1 + t2 ) d t = − t − Z 6 Tính I = d x. cot3 x t3 + C = − cot x − + C. 3 3 cot2 x d x. cos 2 x ä ¯ ¯ 1 ¯¯ cot x − 1 ¯¯ ĐS: − cot x − ln ¯ +C 2 cot x + 1 ¯ – Lời giải. Đặt t = cot x ⇒ d t = − Ta có cos 2 x = t2 − 1 . 1 + t2 1 sin2 x d x = −(1 + cot2 x) d x. Suy ra d t = −(1 + cot2 x) d x ⇒ d x = − 1 d t. 1 + t2 ¶ 1 ¶ Z t − Z 2 Z µ Z t2 t −1+1 1 1 + t2 Do đó I = dt = − dt = − dt = − 1+ 2 d t. t2 − 1 t2 − 1 t −1 t2 − 1 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¶¶ Z µ 1 + µt ¯ t −1¯ 1 1 1 1 1 ¯¯ cot x − 1 ¯¯ ¯ ¯ Vậy I = − t + · + d t = − t − · ln ¯ + C = − cot x − ln ¯ + C. ä 2 t−1 t+1 2 t +1¯ 2 cot x + 1 ¯ ¯ ¯ Z cot4 x cot3 x 1 ¯¯ cot x − 1 ¯¯ 7 Tính I = d x. ĐS: − − cot x − ln ¯ +C cos 2 x 3 2 cot x + 1| ¯ 2 Th.s Nguyễn Chín Em µ 86 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 – Lời giải. Đặt t = cot x ⇒ d t = − Ta có cos 2 x = t2 − 1 . 1 + t2 1 sin2 x d x = −(1 + cot2 x) d x. Suy ra d t = −(1 + cot2 x) d x ⇒ d x = − 1 d t. 1 + t2 ¶ 1 ¶ Z t − Z Z 4 Z µ t4 1 t −1+1 1 + t2 2 Do đó I = dt = − dt = − dt = − t +1+ 2 d t. t2 − 1 t2 − 1 t −1 t2 − 1 1 + t2 ¯ ¯ ¯ ¯ 3 t 1 ¯¯ t − 1 ¯¯ 1 ¯¯ cot x − 1 ¯¯ cot3 x Vậy I = − − t − ln ¯ − cot x − ln ¯ +C =− + C. ä 3 2 t +1¯ 3 2 cot x + 1| ¯ Z dx cot2 x . ĐS: − − ln | cot x| + C 8 Tính I = 2 cos x sin3 x 4 µ – Lời giải. dx Z Ta có I = Z cos x sin3 x Đặt t = cot x ⇒ d t = − 2t Và sin 2 x = t2 + 1 = 1 sin2 x 2(1 + cot2 x) d x. sin 2 x d x = −(1 + cot2 x) d x. . 2(1 + t2 ) µ ¶ dt = − Do đó I = − 2 t (1 + t2 ) 2 t +1 2 cot x Vậy I = − − ln | cot x| + C . 2 Z sin x d x. 9 Tính I = (sin x + cos x)3 Z – Lời giải. sin x dx = (sin x + cos x)3 Z Ta có I = Đặt t = x + π Z Z t2 + 1 dt = − t Z µ ¶ 1 t2 t+ d t = − − ln | t| + C . t 2 ä ³ ĐS: − cot x + π´ 4 +C p 2 2 sin x ³ π ´ d x. sin3 x + 4 ⇒ d t = d x. 4 p ³ π´ ¶ Z Z µ Z 2 2 sin t − 2 cot t 4 d t = 2(sin t − cos t) d t = d t. Do đó I = − sin3 t sin3 t ³ sin2 t sin2 t ´ π Vậy I = −2 cot t + cot t + C = − cot t + C = − cot x + + C . 4 ä Ví dụ 12. sin 2 x d x. 1 + cos2 x Lời giải: ZĐặt t = 1 + cos2 x ⇒ d t = − sin 2 x d x. 1 Do đó I = − d t = − ln | t| + C = − ln |1 + cos2 x| + C . t Z Tính I = ĐS: − ln |1 + cos2 x| + C Bài 12. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: Z 1 Tính I = sin 2 x 2 1 + sin x ĐS: ln |1 + sin2 x| + C d x. – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 87 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Đặt t = 1 +Zsin2 x ⇒ d t = sin 2 x d x. 1 d t = ln | t| + C = ln |1 + sin2 x| + C . t Do đó I = sin 2 x d x. 3 + cos2 x Z 2 Tính I = ä ĐS: − ln |3 + cos2 x| + C – Lời giải. Đặt t = 3 +Zcos2 x ⇒ d t = − sin 2 x d x. 1 − d t = − ln | t| + C = − ln |3 + cos2 x| + C . t Do đó I = Z 3 ¡ ¢3 sin 2 x 1 + sin2 x d x. Tính I = ä ĐS: (1 + sin2 x)4 +C 4 – Lời giải. Đặt t = 1 + sin2 x ⇒ d t = sin 2 x d x. Z Do đó I = Z 4 Tính I = (1 + sin2 x)4 t4 + C. t dt = + C = 4 4 3 2 esin x ä 2 ĐS: esin x + C sin 2 x d x. – Lời giải. Đặt t = sinZ2 x ⇒ d t = sin 2 x d x. Z 5 Tính I = 2 e t d t = e t + C = esin Do đó I = 2 ecos x x + C. ä 2 ĐS: −ecos x + C sin 2 x d x. – Lời giải. Đặt t = cosZ2 x ⇒ d t = − sin 2 x d x. 2 Do đó I = −e t d t = −e t + C = −ecos x + C . Z 6 Tính I = ä sin 4 x d x. 1 + cos2 x ĐS: −4(1 + cos2 x) + 6 ln |1 + cos2 x| + C – Lời giải. Z sin 4 x 2(2 cos2 x − 1) sin 2 x Ta có I = d x = dx 1 + cos2 x 1 + cos2 x Đặt t = 1 + cosZ2 x ⇒ d t = − sin Z µ2 x d x. ¶ 2t − 3 6 Do đó I = −2 dt = −4 + d t = −4 t + 6 ln | t|+ C = −4(1 + cos2 x) + 6 ln |1 + cos2 x|+ C . ä t t Z 2p sin 2 x 7 Tính I = p d x. ĐS: 1 + sin2 x + C 2 3 cos2 x + 4 sin x Z – Lời giải. sin 2 x Z Ta có I = sin 2 x Z d x. cos2 x + 4 sin2 x 1 + 3 sin2 x Đặt t = 1 + 3Zsin2 x ⇒ d t = 3 sin 2 x d xp . 1 2 1 2p Do đó I = t+C = 1 + sin2 x + C . p dt = 3 3 3 t Z sin x cos x d x. 8 Tính I = p 4 cos2 x + 9 sin2 x p dx = p ä ĐS: 1p 4 + 5 sin2 x + C 5 – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 88 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ sin x cos x Z Chương 3 – Giải tích 12 sin 2 x Z d x. 4 cos2 x + 9 sin2 x 2 4 + 5 sin2 x Đặt t = 4 +Z5 sin2 x ⇒ d t = 5 sin 2 x d x.p 1 1 1p 1 Do đó I = t+C = 4 + 5 sin2 x + C . p dt = 10 t 5 5 Ta có I = p dx = p ä Ví dụ 13. sin x − cos x d x. sin x + cos x Lời giải: Đặt Z t = sin x + cos x ⇒ d t = −(sin x − cos x) d x. 1 Do đó I = − d t = − ln | t| + C = − ln | sin x + cos x| + C . t Z Tính I = ĐS: − ln | sin x + cos x| + C Bài 13. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: Z 1 Tính I = sin x − cos x d x. sin x + cos x + 3 ĐS: − ln | sin x + cos x + 3| + C – Lời giải. Đặt t = sin xZ+ cos x + 3 ⇒ d t = −(sin x − cos x) d x. 1 Do đó I = − d t = ln | t| + C = − ln | sin x + cos x + 3| + C . t Z 2 Tính I = cos 2 x d x. sin x + cos x + 1 ä ĐS: ln | sin x + cos x + 1| − sin x − cos x − 1 + C – Lời giải. Z Z cos 2 x cos2 x − sin2 x (sin x + cos x)(sin x − cos x) Ta có I = dx = dx = − d x. sin x + cos x + 1 sin x + cos x + 1 sin x + cos x + 1 Đặt t = sinZx + cos x + 1Z⇒µd t = −¶(sin x − cos x) d x. t−1 1 d t = t − ln | t| + C = sin x + cos x + 1 − ln | sin x + cos x + 1| + C . ä Do đó I = dt = 1− t t Z cos 2 x 1 2 d x. ĐS: − + +C 3 Tính I = 3 sin x + cos x + 4 (sin x + cos x + 4)2 (sin x + cos x + 4) Z – Lời giải. Z cos 2 x (sin x + cos x)(sin x − cos x) d x = − d x. (sin x + cos x + 4)3 (sin x + cos x + 4)3 Đặt t = sinZx + cos x + 4 ⇒Zd tµ= −(sin¶x − cos x) d x. t−4 4 1 1 2 1 2 Do đó I = dt = − − 2 dt = − + 2 + C = − + + C. 3 3 t t sin x + cos x + 4 (sin x + cos x + 4)2 t t t ä ¯ ¯ Z ¯ sin x − cos x − 2 ¯ sin x + cos x 1 ¯ ¯+C 4 Tính I = d x. ĐS: − · ln ¯ 3 + sin 2 x 4 sin x − cos x + 2 ¯ Z Ta có I = – Lời giải. Z sin x + cos x sin x + cos x Ta có I = dx = d x. 3 + sin 2 x 4 − (sin x − cos x)2 Đặt t = sinZx − cos x ⇒ d t =Z (sin x + cos x) d x.Z µ ¯ ¯ ¶ ¯ t −2¯ 1 1 1 1 1 1 ¯ ¯ + C. Do đó I = dt = − dt = − · − d t = − · ln ¯ 4 t−2 t+2 4 t +2¯ 4 −¯ t2 t2 −¯4 ¯ sin x − cos x − 2 ¯ 1 ¯ + C. Vậy I = − · ln ¯¯ ä 4 sin x − cos x + 2 ¯ Z 1 + sin 2 x + cos 2 x d x. ĐS: 2 sin x + C 5 Tính I = sin x + cos x Z – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 89 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Z Z 1 + sin 2 x + cos 2 x (sin x + cos x)2 + (cos x − sin x)(cos x + sin x) dx = d x = 2 cos x d x. sin x + cos x sin x + cos x Do đó I = 2 sin x + C . ä Z 1 sin x − cos x 6 Tính I = d x. ĐS: +C sin 2 x + 2(1 + sin x + cos x) sin x + cos x + 1 Z Ta có I = – Lời giải. Z sin x − cos x sin x − cos x dx = d x. sin 2 x + 2(1 + sin x + cos x) (sin x + cos x + 1)2 Đặt t = sin xZ+ cos x + 1 ⇒ d t = −(sin x − cos x) d x. 1 1 1 d t = + C = + C. ä Do đó I = − t sin x + cos x + 1 t2 Z cos 2 x 7 Tính I = dx p 2 − 1 + sin x − cos x p p 4 p ĐS: − ( 1 + sin x − cos x)3 + 4( 1 + sin x − cos x)2 − 16 1 + sin x − cos x + 32 ln |2 − 3 p 1 + sin x − cos x| + C . Z Ta có I = – Lời giải. Z cos 2 x (sin x + cos x)(sin x − cos x) dx = d x. p p 2 − 1 + sin x − cos x 1 + sin x − cos x − 2 p Đặt t = 1 + sin x − cos x ⇒ t2 = 1 + sin x − cos x ⇒ 2 t · d t = (sin x + cos x) d x. Z Ta có I = 2 Và sin x − cos Z x = t − 1. ¶ Z µ 4 2 t( t2 − 1) 32 2 Do đó I = dt = d t = − t3 + 4 t2 − 16 t + 32 ln |2 − t| + C . −4 t + 8 t − 16 − 2− t 2− t 3 p p p 4 p Vậy I = − ( 1 + sin x − cos x)3 +4( 1 + sin x − cos x)2 −16 1 + sin x − cos x+32 ln |2− 1 + sin x − cos x|+ 3 C. ä Z 5 1 4(sin x + cos x) − cos 2 x 8 Tính I = d x. ĐS: ln | sin x − cos x − 1| − ln | sin x − cos x + 3| + C 2(sin x − cos x − 1) − sin 2 x 4 4 – Lời giải. Z (sin x + cos x)(4 + sin x − cos x) 4(sin x + cos x) − cos 2 x Ta có I = dx = d x. 2(sin x − cos x − 1) − sin 2 x (sin x − cos x)2 + 2(sin x − cos x) − 3 Đặt t = sinZx − cos x ⇒ d t = (sin ¶ Z x + cos x) d x. Z µ 4+ t 1 5 1 4+ t Do đó I = dt = dt = · − d t. ( t − 1)( t + 3) 4 t−1 t+3 t2 + 2 t − 3 1 5 1 5 Vậy I = ln | t − 1| − ln | t + 3| + C = ln | sin x − cos x − 1| − ln | sin x − cos x + 3| + C . 4 4 4 4 Z Z 9 Tính I = p 2 ĐS: − +C sin x + cos x cos 2 x ³ π ´ d x. (1 + sin 2 x) cos x − 4 – Lời giải. sin2 x − cos2 x ³ ´ d x = − dx = − Ta có I = p π 2 (1 + sin 2 x) cos x − 2 (sin x + cos x) (sin x + cos x) 4 2 Đặt t = sin x +pcos x ⇒ d t = −(sin x − cos p x) d x. Z p Z 1 2 2 Do đó I = dt = 2 dt = − + C. 2 2 t tp t 2 Vậy I = − + C. sin x + cos x Z 3.3 cos 2 x ä Z Z p 2(sin x − cos x) d x. (sin x + cos x)2 ä Nguyên hàm từng phần Th.s Nguyễn Chín Em 90 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Định lí. Nếu hai hàm số u = u( x) và v = v( x) có đạo hàm và liên tục trên K thì Z Z Z Z 0 0 I = u( x)v ( x) d x = u( x)v( x) − u ( x)v( x) d x hay I = u dv − v d u. Z Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhau. Ví dụ: 1 Đặt:  u = . . . −−−−→ d u = . . . d x  dv = . . . d x −−−−−−−−→ v = . . . e sin x d x, vi phân nguyên hàm Z x x ln x d x, . . . Z Suy ra: I = Z u dv = uv − v d u. 2 Thứ tự ưu tiên chọn u: nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ và dv = phần còn lại. 3 Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm. 4 Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi. 3.3.1 Ví dụ và bài tập Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định)  Z Tính I = ln x d x. Chọn  u = . . . −→ d u = . . .  dv = . . . −→ v = . . . ĐS: I = x ln x − x + C    du = 1 d x x Lời giải: Đặt ⇒  dv = d x  v = x Z 1 Ta có: I = x ln x − x d x = x ln x − x + C . x   u = ln x Bài 1. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định): Z 1 Tính I = x ln x d x. Chọn   u = . . . −→ d u = . . .  dv = . . . −→ v = . . . ĐS: I = x2 x2 ln x − + C . 2 4 – Lời giải.  1    du = d x x Đặt ⇒ 2  dv = x d x  x  v = Z 22 x2 x 1 x2 x2 Ta có: I = · ln x − · dx = ln x − + C . 2 2 x 2 4  Z  u = . . . −→ d u = . . . 2 Tính I = (2 x + 1) ln x d x. Chọn  dv = . . . −→ v = . . .   u = ln x ä ĐS: I = ( x2 + x) ln x − x2 −x+C 2 – Lời giải.    du = 1 d x x Đặt ⇒  dv = (2 x + 1) dx   v = x2 + x Z Z 1 x2 Ta có: I = ( x2 + x) ln x − ( x2 + x) d x = ( x2 + x) ln x − ( x + 1) d x = ( x2 + x) ln x − − x + C x 2   u = ln x ä Th.s Nguyễn Chín Em 91 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z 3 Tính I = x ln(1 − x) d x. Chọn Chương 3 – Giải tích 12   u = . . . −→ d u = . . . x2 − 1 1 1 ĐS: I = ln(1 − x) − x2 − x + C 2 4 2  dv = . . . −→ v = . . . – Lời giải. Đặt   u = ln(1 − x)  dv = x d x  −1   dx  du = 1− x ⇒  x2  v = 2 I= = = = = ¶ Z 2 µ −1 x2 x ln(1 − x) − · dx 2 2 1− x Z x2 1 x2 ln(1 − x) + dx 2 2 1− x ¶ Z µ x2 1 1 ln(1 − x) + −x − 1 + dx 2 2 1− x µ 2 ¶ x2 1 x ln(1 − x) + − − x − ln(1 − x) + C 2 2 2 2 1 1 x −1 ln(1 − x) − x2 − x + C. 2 4 2 ä Z 4 Tính I = x sin x d x. Chọn   u = . . . −→ d u = . . . ĐS: I = − x cos x + sin x + C  dv = . . . −→ v = . . . – Lời giải. Đặt  u = x  dv = sin x d x ⇒   du = d x v = − cos x Z I = − x cos x − (− cos x) d x Z = − x cos x + cos x d x = − x cos x + sin x + C. ä Z 5 Tính I = x cos x d x. Chọn   u = . . . −→ d u = . . . ĐS: I = x sin x + cos x + C  dv = . . . −→ v = . . . – Lời giải. Đặt  u = x   du = d x ⇒  dv = cos x d x v = sin x Z Ta có: I = x sin x − sin x d x = x sin x + cos x + C . Z 6 Tính I = ( x + 1) sin 2 x d x. Chọn   u = . . . −→ d u = . . .  dv = . . . −→ v = . . . ä 1 2 1 4 ĐS: I = − ( x + 1) cos 2 x + sin 2 x + C – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 92 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Đặt  u = x + 1 ⇒ Chương 3 – Giải tích 12    du = d x 1  v = − cos 2 x 2 ¶ Z µ Z 1 1 1 1 I = − ( x + 1) cos 2 x − − cos 2 x d x = − ( x + 1) cos 2 x + cos 2 x d x 2 2 2 2 1 1 = − ( x + 1) cos 2 x + sin 2 x + C. 2 4  dv = sin 2 x d x ä Z 7 Tính I =   u = . . . −→ d u = . . . x x sin d x. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . 2 x 2 x 2 ĐS: I = −2 x · cos + 4 sin + C – Lời giải. Đặt  u = x   du = d x ⇒  dv = sin x d x v = −2 cos x 2Z 2 x x x x I = −2 x · cos − (−2) · cos d x = −2 x · cos + 4 sin + C . 2 2 2 2  Z  u = . . . −→ d u = . . . 8 Tính I = x sin x cos x d x. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . ä 1 4 1 8 ĐS: I = − x · cos 2 x + sin 2 x + C – Lời giải. 1 x sin 2 x d x. 2    1   du = 1 d x u = x  2 2 Đặt ⇒ 1    dv = sin 2 x d x  v = − cos 2 x 2 Z Ta có I = ¶ Z µ 1 1 I = − x · cos 2 x − − cos 2 x d x 4 4 1 1 1 = − x · cos 2 x + · sin 2 x + C 4 4 2 1 1 = − x · cos 2 x + sin 2 x + C 4 8 ä Z 9 Tính I = x(2 cos2 x − 1) d x. Chọn   u = . . . −→ d u = . . . 1 2 1 4 ĐS: I = x sin 2 x + cos 2 x + C  dv = . . . −→ v = . . . – Lời giải. Z I= Đặt x · cos 2 x d x  u = x  dv = cos 2 x d x ⇒    du = d x 1  v = sin 2 x 2 Z 1 1 I = x sin 2 x − sin 2 x d x 2 2 1 1 = x sin 2 x + cos 2 x + C. 2 4 ä Th.s Nguyễn Chín Em 93 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z 10 xe x d x. Chọn Tính I = Chương 3 – Giải tích 12   u = . . . −→ d u = . . . ĐS: I = x · e x − e x + C  dv = . . . −→ v = . . . – Lời giải. Đặt  u = x  dv = e x d x ⇒   du = d x v = e x Z x ex dx I = x· e − = x · e x − e x + C. ä Z 11 Tính I = (1 − 2 x) e x d x. Chọn   u = . . . −→ d u = . . . ĐS: I = (1 − 2 x) e x + 2 e x + C  dv = . . . −→ v = . . . – Lời giải. Đặt  u = 1 − 2 x  dv = e x d x ⇒   d u = −2 d x v = e x Z x I = (1 − 2 x) · e − e x (−2) d x = (1 − 2 x) e x + 2 e x + C. ä Z 12 Tính I = xe3x d x. Chọn   u = . . . −→ d u = . . . 1 3 1 9 ĐS: I = xe3x − e3x + C  dv = . . . −→ v = . . . – Lời giải.    du = d x Đặt ⇒ 1  dv = e3x d x  v = e3x 3  u = x Z 1 x 1 3x e − e dx 3 3 1 1 1 = xe3x − · · e3x + C 3 3 3 1 3x 1 3x = xe − e + C. 3 9 I= ä Z 13 Tính I = xe− x d x. Chọn   u = . . . −→ d u = . . . ĐS: I = − xe−x − e−x + C  dv = . . . −→ v = . . . – Lời giải. Đặt  u = x  dv = e− x d x ⇒   du = d x v = − e− x I = − xe −x = − xe −x Z (− e − x ) d x Z e− x d x − + = − xe− x − e− x + C. Th.s Nguyễn Chín Em 94 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 ä Z 14 Tính I = (4 x − 1) e−2x d x. Chọn   u = . . . −→ d u = . . . 1 2 ĐS: I = − (4 x − 1) e−2x − e−2x + C  dv = . . . −→ v = . . . – Lời giải. Đặt  u = 4 x − 1 v = e−2x d x ⇒    du = 4 d x 1  v = − e−2x 2 ¶ Z µ 1 1 −2x −2x I = − (4 x − 1) e − − e · 4 dx 2 2 Z 1 = − (4 x − 1) e−2x + 2 e−2x d x 2 µ ¶ 1 1 −2x = − (4 x − 1) e + 2 · − · e−2x + C 2 2 1 = − (4 x − 1) e−2x − e−2x + C. 2 ä Z 15 Tính I = x sin2 x d x. Chọn   u = . . . −→ d u = . . . ĐS: I = − x cot x − ln | sin x| + C  dv = . . . −→ v = . . . – Lời giải. Đặt   u = x   dv = 1 2 sin x dx ⇒   du = d x v = − cot x Z I = − x cot x + (− cot x) d x cos x dx sin x Z d (sin x) = − x cot x − sin x Z = − x cot x − = − x cot x − ln | sin x| + C. ä Z 16 Tính I =   u = . . . −→ d u = . . . x d x. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . cos2 x ĐS: I = x tan x + ln | cos x| + C – Lời giải. Đặt   u = x   dv =   du = d x ⇒ 1 v = tan x d x cos2 x Z I = x tan x − tan x d x sin x dx cos x Z d (cos x) = x tan x + cos x Z = x tan x − = x tan x + ln | cos x| + C. ä Th.s Nguyễn Chín Em 95 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/   u = . . . −→ d u = . . . 2x − 1 d x. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . 1 + cos 2 x Z 17 Chương 3 – Giải tích 12 Tính I = 1 2 ĐS: I = (2 x − 1) tan x + ln | cos x| + C – Lời giải.     u = 2 x − 1  du = 2 d x  ⇒ Đặt 1 1   v = tan x  dv = d x 2 2 cos x 2 Z 1 1 I = (2 x − 1) tan x − tan x · 2 d x 2 2 Z 1 d (cos x) = (2 x − 1) tan x + 2 cos x 1 = (2 x − 1) tan x + ln | cos x| + C. 2 ä   u = . . . −→ d u = . . . 2x d x. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . 1 − cos 4 x Z 18 Tính I = 1 2 1 4 ĐS: I = − x cot 2 x + ln | sin 2 x| + C – Lời giải. Z 2x Z x d x. sin2 2 x  2 sin 2 x   u = x  du = d x Đặt ⇒ 1 1   dv = v = − cot 2 x dx  2 2 sin 2 x I= 2 dx = ¶ Z µ 1 1 I = − x cot 2 x − − cot 2 x d x 2 2 Z 1 1 cos 2 x = − x cot 2 x + dx 2 2 sin 2 x Z 1 1 1 d (sin 2 x) = − x cot 2 x + · 2 2 2 sin 2 x 1 1 = − x cot 2 x + ln | sin 2 x| + C. 2 4 ä Z 19 Tính I =   u = . . . −→ d u = . . . ln x d x. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . x3 ĐS: I = − ln x 1 − +C 2 x2 4 x2 – Lời giải.   1     du = d x  u = ln x x ⇒ Đặt −2 1   x 1  dv = dx  v = . = x3 −2 −2 x2 Z −2 ln x x 1 I =− 2 − · dx −2 x 2x Z ln x 1 1 =− 2 + dx 2 x3 2x ln x 1 x−2 =− 2 + · +C 2 −2 2x ln x 1 = − 2 − 2 + C. 2x 4x ä Th.s Nguyễn Chín Em 96 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z 20 Tính I = Chương 3 – Giải tích 12   u = . . . −→ d u = . . . 2 x −1 ln x d x. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . x2 ¶ 1 1 ĐS: I = x + ln x − x + + C x x µ – Lời giải. x2 − 1 ln x d x = x2 ¶ 1 I= 1 − 2 ln x d x. x  1     u = ln x  du = d x x µ ¶ Đặt ⇒ 1 1    dv = 1 − dx  v = x + x2 x Z Z µ ¶ ¶ Z µ 1 1 1 x + · dx I = x + ln x − x x x µ ¶ ¶ Z µ 1 1 = x + ln x − 1 + 2 dx x x µ ¶ µ ¶ 1 1 = x + ln x − x − + C x x µ ¶ 1 1 = x + ln x − x + + C. x x µ ä Z 21 Tính I = e x cos x d x. Chọn   u = . . . −→ d u = . . . 1 2 ĐS: I = e x (cos x − sin x) + C  dv = . . . −→ v = . . . – Lời giải. Đặt   u = cos x   d u = − sin x d x ⇒  dv = e x d x v = e x Z Z x x x I = e · cos x + e · sin x d x = e · cos x + I 2 , với I 2 = e x · sin x d x.    u = sin x  d u = cos x d x Đặt ⇒  dv = e x d x v = e x R I 2 = e x sin x − e x cos x d x = e x sin x − I . 1 Do đó: I = e x cos x − ( e x sin x − I ) + C ⇔ I = e x (cos x − sin x) + C . 2 Z 22 Tính I = e x sin x d x. Chọn   u = . . . −→ d u = . . . ä 1 2 ĐS: I = e x (sin x − cos x) + C  dv = . . . −→ v = . . . – Lời giải. Đặt   u = sin x  dv = e x d x ⇒   d u = cos x d x v = e x Z x I = e sin x − e x · cos x d x = e x sin x − I 2 Z Tính I 2 = e x cos x d x Th.s Nguyễn Chín Em 97 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Đặt   u = cos x  dv = e x d x ⇒ Chương 3 – Giải tích 12   d u = − sin x d x v = e x Z x I 2 = e cos x + e x sin x d x = e x cos x + I ⇒ I = e x sin x − e x cos x − I ⇔ 2 I = e x (sin x − cos x) ⇒I= 1 x e (sin x − cos x) + C. 2 ä Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm của hàm số F ( x) của hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện cho trước. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = xe−x thỏa mãn F (0) = 1. Z Lời giải: Theo đề ta tính Đặt   u=x Z f ( x) d x = ĐS: F ( x) = − xe−x − e−x + 1 xe− x d x. ⇒ du = d x  d v = e− x d x ⇒ v = −e− x . Z Z −x −x Suy ra xe d x = − xe + e−x d x = − xe−x − e−x + C = F ( x). Mà F (0) = 1 ⇒ C = 1. Vậy F ( x) = − xe−x − e−x + 1. Bài 2. Tìm một nguyên hàm của hàm số F ( x) của hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện cho trước. 1 Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = x cos 3 x thỏa mãn F (0) = 1. 1 3 1 9 ĐS: F ( x) = x sin 3 x + cos 3 x − 1 9 – Lời giải. Z Theo đề ta tính Đặt    u=x Z f ( x) d x = x cos 3 x d x. ⇒ du = d x 1   dv = cos 3 x d x ⇒ v = sin 3 x. 3 Z Z 1 1 1 1 Suy ra x cos 3 x d x = x sin 3 x − sin 3 x d x = x sin 3 x + cos 3 x + C = F ( x). 3 3 3 9 1 Mà F (0) = 1 ⇒ C = − . 9 1 1 1 Vậy F ( x) = x sin 3 x + cos 3 x − . 3 9 9 2 Cho F ( x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số ä f ( x) . Tìm nguyên hàm của hàm f 0 ( x) ln x. x3 Z x2 0 2 ĐS: f ( x) ln x d x = x ln x − + C 2 – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 98 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 f ( x) nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có x3 f ( x) (ln x)0 = 3 x 1 f ( x) = 3 ⇒ x x ⇒ f ( x) = x2 ⇒ f 0 ( x) = 2 x. Vì F ( x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số Z Khi đó 0 Z f ( x) ln x d x = 2 x ln x d x.  1   u = ln x ⇒ du = d x x Đặt   dv = 2 x d x ⇒ v = x2 . Z Z x2 2 Suy ra 2 x ln x d x = x ln x − x d x = x2 ln x − + C . 2 3 Cho F ( x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số ä f ( x) . Tìm nguyên hàm của hàm f 0 ( x) ln x. x2 Z ĐS: f 0 ( x) ln x d x = x ln x − x + C – Lời giải. f ( x) nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có x2 f ( x) (ln x)0 = 2 x 1 f ( x) = 2 ⇒ x x ⇒ f ( x ) = x ⇒ f 0 ( x ) = 1. Vì F ( x) = ln x là một nguyên hàm của hàm sô Z Khi đó f 0 ( x) ln x d x = Z ln x d x.    u = ln x ⇒ d u = 1 d x x Đặt   dv = d x ⇒ v = x. Z Z Suy ra ln x d x = x ln x − 1 d x = x ln x − x + C . 4 ä Cho F ( x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số x f ( x). Tìm nguyên hàm của hàm f 0 ( x) ln x. Z ĐS: f 0 ( x) ln x d x = 1 1 ln x + 2 + C 2 x 2x – Lời giải. Vì F ( x) = ln x là một nguyên hàm của hàm sô x f ( x) nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có (ln x)0 = x f ( x) 1 ⇒ = x f ( x) x 1 2 ⇒ f ( x) = 2 ⇒ f 0 ( x) = − 3 . x x −2 ln x d x. x3  1   ⇒ du = d x  u = ln x x Đặt 1 − 2    dv = dx ⇒ v= 2. 3 x x Z Z −2 1 1 1 1 Suy ra ln x d x = 2 ln x − d x = 2 ln x + 2 + C . 3 3 x x x x 2x Z Khi đó 0 Z f ( x) ln x d x = Th.s Nguyễn Chín Em 99 ä https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 5 Chương 3 – Giải tích 12 Cho F ( x) = x2 + 1 là một nguyên hàm của f ( x) . Tìm nguyên hàm của hàm f 0 ( x) ln x. x Z ĐS: f 0 ( x) ln x d x = 2 x2 ln x − x2 + C – Lời giải. Vì F ( x) = x2 + 1 là một nguyên hàm f ( x) nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có x ( x2 + 1)0 = f ( x) x f ( x) x f ( x) = 2 x2 ⇒ f 0 ( x) = 4 x. ⇒ 2x = ⇒ Z Khi đó Đặt f 0 ( x) ln x d x = Z 4 x ln x d x. 1 ⇒ du = d x x    u = ln x   dv = 4 x d x ⇒ v = 2 x2 . Z Z 2 Suy ra 4 x ln x d x = 2 x ln x − 2 x d x = 2 x2 ln x − x2 + C . 6 Cho F ( x) = ä 1 f ( x) là một nguyên hàm của . Tìm nguyên hàm của f 0 ( x)( x4 − x3 ). 2 x x Z ĐS: f 0 ( x) ln x d x = 2 x2 − 4 x + C – Lời giải. 1 f ( x) nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có là một nguyên hàm của 2 x x µ ¶0 1 f ( x) = 2 x x 2 f ( x) ⇒ − 3= x x 2 4 ⇒ f ( x) = − 2 ⇒ f 0 ( x) = 3 . x x Z Z Khi đó f 0 ( x)( x4 − x3 ) d x = (4 x − 4) d x = 2 x2 − 4 x + C . Vì F ( x) = ä 7 Cho F ( x) = x2 là một nguyên hàm của f ( x)e2x . Tìm nguyên hàm của f 0 ( x)e2x . Z ĐS: f 0 ( x)e2x d x = 2 x − 2 x2 + C – Lời giải. Vì F ( x) = x2 là một nguyên hàm của f ( x)e2x nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có ( x2 )0 = f ( x)e2x ⇒ 2 x = f ( x)e2x 2 − 4x 2x ⇒ f ( x) = 2x ⇒ f 0 ( x) = 2x e e Z Khi đó 0 2x f ( x)e d x = Z (2 − 4 x) d x = 2 x − 2 x2 + C ä Th.s Nguyễn Chín Em 100 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 8 Cho F ( x) = Chương 3 – Giải tích 12 1 f ( x) là một nguyên hàm của . Tìm nguyên hàm của f 0 ( x)( x3 + 1). 2 x x Z 2 ĐS: f 0 ( x)( x3 + 1) d x = 4 x − 2 + C x – Lời giải. 1 f ( x) là một nguyên hàm của nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có x x2 µ ¶0 1 f ( x) = x x2 f ( x) 2 ⇒ − 3= x x 2 4 ⇒ f ( x) = − 2 ⇒ f 0 ( x) = 3 . x x Z Z 4 2 0 3 Khi đó f ( x)( x + 1) d x = (4 + 3 ) d x = 4 x − 2 + C . x x Vì F ( x) = ä 9 Cho F ( x) = 1 là một nguyên hàm của x2 f ( x). Tìm nguyên hàm của f 0 ( x) x3 ln x. x Z 4 4 ĐS: f 0 ( x) x3 ln x d x = − ln x − + C x x – Lời giải. 1 là một nguyên hàm của x2 f ( x) nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có x µ ¶0 1 = x2 f ( x) x 1 ⇒ − 2 = x2 f ( x) x 4 1 ⇒ f ( x) = − 4 ⇒ f 0 ( x) = 5 . x x Z Z 4 Khi đó f 0 ( x) x3 ln x d x = ln x d x. x2 Vì F ( x) = ä     u = ln x 1 ⇒ du = d x x Đặt 4 4    dv = dx ⇒v=− . 2 x Z x Z 4 4 4 4 2 Suy ra 4 x ln x d x = − ln x + d x = − ln x − + C. x x x x2 10 Cho F ( x) = 1 f ( x) là một nguyên hàm của . Tìm nguyên hàm của f 0 ( x) x ln x. 2 x x Z 4 4 ĐS: f 0 ( x) x ln x d x = − ln x − + C x x – Lời giải. Vì F ( x) = 1 là một nguyên hàm của hàm số x2 µ ¶0 1 f ( x) 2 = ⇒ − = x x2 x3 Th.s Nguyễn Chín Em f ( x) nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có x f ( x) 2 4 ⇒ f ( x) = − 2 ⇒ f 0 ( x) = 3 . x x x 101 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 4 f ( x) x ln x d x = ln x d x. x2   dx    Z d u =  u = ln x 4 4 4 4 x Đặt ⇒ ⇒ I = − ln x + d x = − ln x − + C . 4 2 4   x x x x d v = dx  v = − x2 x Z Khi đó I = 11 Cho F ( x) = 0 Z ä 1 f ( x) là một nguyên hàm của 2 . Tìm nguyên hàm của f 0 ( x) ln x. 3 x x Z 3 3 ĐS: f 0 ( x) ln x d x = − 2 · ln x − 2 + C x 2x – Lời giải. 1 f ( x) là một nguyên hàm của hàm số nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có x3 x2 µ ¶0 f ( x) 1 3 f ( x) 3 6 = 2 ⇒ − 4 = 2 ⇒ f ( x) = − 2 ⇒ f 0 ( x) = 3 . 3 x x x x x x Z Z 1 Khi đó I = f 0 ( x) ln x d x = 6 ln x d x. x3   dx    Z  u = ln x d u = 1 1 3 3 x Đặt d x = − 2 · ln x − 2 + C . ⇒ ⇒ I = −6 · 2 · ln x + 3 1 3 1  2x x x 2x dv =  dx  v = − 2 x3 2x Vì F ( x) = 12 Cho F ( x) = ä x4 f ( x) là một nguyên hàm của . Tìm nguyên hàm của f 0 ( x) ln x. 16 x Z x4 x4 0 ĐS: f ( x) ln x d x = · ln x − + C 4 16 – Lời giải. f ( x) x4 là một nguyên hàm của hàm số nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có 16 x µ 4 ¶0 x f ( x) x3 f ( x) x4 = ⇒ = ⇒ f ( x) = ⇒ f 0 ( x) = x3 . 16 x 4 x 4 Z Z 0 Khi đó I = f ( x) ln x d x = x3 ln x d x.   dx   Z 3 d u =  u = ln x x4 x x4 x4 x ⇒ I = · ln x − d x = · ln x − + C. Đặt ⇒ 4 d v = x 3 d x  x 4 4 4 16  v = 4 Vì F ( x) = 13 ä Cho F ( x) = − xe x là một nguyên hàm của hàm số f ( x)e2x . Tìm nguyên hàm của f 0 ( x)e2x . Z ĐS: f 0 ( x)e2x d x = xe x − e x + C – Lời giải. Vì F ( x) = − xe x là một nguyên hàm của hàm số f ( x)e2x nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có ¡ ¢0 −1 − x x − xe x = f ( x)e2x ⇒ −e x − xe x = f ( x)e2x ⇒ f ( x) = ⇒ f 0 ( x) = x . x e e Z Z Khi đó I = f 0 ( x)e2x d x = xe x d x.   Z u = x d u = d x x Đặt ⇒ ⇒ I = xe − e x d x = xe x − e x + C . dv = e x d x v = e x Th.s Nguyễn Chín Em 102 ä https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 14 Chương 3 – Giải tích 12 Cho F ( x) = 2( x − 1)e x là một nguyên hàm của hàm số f 0 ( x)ex thỏa f (0) = 0. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)ex . Z ĐS: ¡ ¢ f ( x)e x d x x2 − 2 x + 2 e x + C 0 – Lời giải. Vì F ( x) = 2( x − 1)e x là một nguyên hàm của hàm số f 0 ( x)ex nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có ¡ ¢0 2( x − 1)e x = f 0 ( x)e x ⇒ 2e x + 2( x − 1)e x = f 0 ( x)e x ⇒ 2 xe x = f 0 ( x)e x ⇒ f 0 ( x) = 2 x ⇒ f ( x) = x2 + C. 2 Mà f (0) = 0Z ⇒ C = 0, do đó Z f ( x) = x . Khi đó I = f ( x)ex d x = x2 ex d x.   u = x2  d u = 2 x d x Z ⇒ I = x e − 2 xe x d x. v = e x  Z Z d u 0 = d x x x Đặt ⇒ ⇒ xe d x = xe − e x d x = xe x − e x + C . d v 0 = e x d x  v 0 = e x d x ¡ ¢ Do đó I = x2 e x − 2 ( xe x − e x + C ) = x2 − 2 x + 2 e x + C 0 (với C 0 = 2C ). Đặt d v = e x d x   u0 = x ⇒ 2 x ä ¶ x2 cos x + x sin x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) sin x. Tìm nguyên hàm của 2 Z 0 hàm số f ( x) cos x. ĐS: f 0 ( x) cos x d x = x sin x + cos x + C µ 15 Cho F ( x) = 1 − – Lời giải. ¶ x2 Vì F ( x) = 1 − cos x + x sin x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) sin x nên theo định nghĩa 2 µ ¶ ¶0 ¶ µµ x2 x2 cos x + x sin x = f ( x) sin x ⇒ − x cos x − 1 − sin x + sin x + x cos x = nguyên hàm ta có 1 − 2 2 x2 x2 f ( x) sin x ⇒ sin x = f ( x) sin x ⇒ f ( x) = ⇒ f 0 ( x) = x. 2 2 Z Z Khi đó I = f 0 ( x) cos x d x = x cos x d x.   Z u = x d u = d x Đặt ⇒ ⇒ I = x sin x − sin x d x = x sin x + cos x + C . ä dv = cos x d x v = sin x µ ¶ x2 16 Cho F ( x) = − 1 sin x + x cos x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) cos x. Tìm nguyên hàm của 2 Z 0 hàm số f ( x) sin x. ĐS: f 0 ( x) sin x d x = − x cos x + sin x + C µ – Lời giải. ¶ x2 Vì F ( x) = − 1 sin x + x cos x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) cos x nên theo định nghĩa nguyên 2 µµ 2 ¶ ¶0 µ 2 ¶ x x hàm ta có − 1 sin x + x cos x = f ( x) cos x ⇒ x sin x + − 1 cos x + cos x − x sin x = f ( x) cos x ⇒ 2 2 x2 x2 cos x = f ( x) cos x ⇒ f ( x) = ⇒ f 0 ( x) = x. 2 2 Z Z Khi đó I = f 0 ( x) sin x d x = x sin x d x.   Z u = x d u = d x Đặt ⇒ ⇒ I = − x cos x + cos x d x = − x cos x + sin x + C . ä dv = sin x d x v = − cos x µ Th.s Nguyễn Chín Em 103 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 17 Chương 3 – Giải tích 12 f ( x) . Tìm nguyên hàm của hàm số cosZ2 x ĐS: f 0 ( x) tan x d x = − ln | cos x| + C Cho F ( x) = x tan x + ln | cos x| là một nguyên hàm của hàm số f 0 ( x) tan x. – Lời giải. f ( x) nên theo định nghĩa nguyên hàm cos2 x f ( x) x f ( x) x f ( x) ta có ( x tan x + ln | cos x|)0 = ⇒ tan x + − tan x = ⇒ = ⇒ f ( x) = x ⇒ 2 2 2 2 cos x cos x cos x cos x cos2 x 0 f ( x ) = 1. Z Z 0 Khi đó I = f ( x) tan x d x = tan x d x = − ln | cos x| + C . ä Vì F ( x) = x tan x + ln | cos x| là một nguyên hàm của hàm số 18 Cho F ( x) = − x cot x + ln |sin x| là một nguyên hàm của hàm số f 0 ( x) cot x. f ( x) . Tìm nguyên hàm của hàm số sin2 xZ ĐS: f 0 ( x) cot x d x = ln | sin x| + C – Lời giải. Vì F ( x) = − x cot x + ln |sin x| là một nguyên hàm của hàm số f ( x) nên theo định nghĩa nguyên hàm sin2 x f ( x ) x f ( x) x f ( x) ta có (− x cot x + ln |sin x|)0 = ⇒ − cot x + + cot x = ⇒ = ⇒ f ( x) = x ⇒ 2 2 2 2 sin x sin x sin x sin x sin2 x f 0 ( x ) = 1. Z Z 0 Khi đó I = f ( x) cot x d x = cot x d x = ln | sin x| + C . ä ¶ x2 19 Cho F ( x) = − x + 1 e x là một nguyên hàm của hàm số f ( x)e x . Tìm nguyên hàm của hàm số 2 Z 0 x f ( x)e . ĐS: f 0 ( x)ex d x = ( x − 1)e x + C µ – Lời giải. ¶ x2 Vì F ( x) = − x + 1 e x là một nguyên hàm của hàm só f ( x)e x nên theo định nghĩa nguyên hàm ta 2 ·µ 2 ¶ ¸0 ¶ µ 2 x x x x x có − x + 1 e = f ( x)e ⇒ ( x − 1)e + − x + 1 e x = f ( x)e x ⇒ x2 e x = f ( x)e x ⇒ f ( x) = x2 . 2 Z Z2 Suy ra f 0 ( x) = 2 x. Khi đó I = f 0 ( x)ex d x = 2 xex d x.   Z d u = 2 d x u = 2 x Đặt ⇒ ⇒ I = xe x − e x d x = xe x − e x = ( x − 1)e x . ä d v = e x d x  v = e x µ 4 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Zb ¯b ¯ [ f ( x)] u0 ( x) d x = F [ u( x)] ¯ = F [ u( b)] − F [ u(a)] . a a Bước 1: Biến đổi để chọn phép đặt t = u( x) ⇒ d t = u0 ( x)d x. ½ Bước 2: Đổi cận x = b ⇒ t = u( b) . x = a ⇒ t = u ( a) u(b) Z Bước 3: Đưa về dạng I = f ( t) d t đơn giản hơn và dễ tính toán. u(a) Th.s Nguyễn Chín Em 104 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 NHẬN BIẾT Chương 3 – Giải tích 12 Câu 1. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = ex + x là 1 2 A. e x + x2 + C . B. e x + x2 + C . – Lời giải. Ta có Z Z f ( x) d x = Z x (e + x) d x = x C. Z e dx + 1 x 1 2 e + x + C. x+1 2 D. e x + 1 + C . 1 x d x = e x + x2 + C, với C là hằng số. 2 Chọn đáp án B ä Câu 2. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x3 + x là A. x4 + x2 + C . – LờiZgiải. B. 3 x2 + 1 + C . C. x3 + x + C . D. 1 4 1 2 x + x + C. 4 2 1 1 ( x3 + x) d x = x4 + x2 + C . 4 2 Ta có Chọn đáp án D ä Câu 3. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x4 + x2 là A. 4 x3 + 2 x + C . – LờiZgiải. Ta có Z f ( x) d x = B. 1 5 1 3 x + x + C. 5 3 C. x4 + x2 + C . D. x5 + x3 + C . 1 1 ( x4 + x2 ) d x = x5 + x3 + C . 5 3 Chọn đáp án B ä Câu 4. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau? Z A. x ¡ x Z ¢ B. 2e d x = 2 e + C . Z C. 1 d x = ln x + C . x x3 d x = Z D. x4 + C . 4 sin x d x = − cos x + C . – LờiZgiải. 1 d x = ln | x| + C nên mệnh đề ở phương án C sai. x Ta có Chọn đáp án C ä Câu 5. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 52x ? Z A. 2x B. 5 d x = 2.5 ln 5 + C . Z C. 52x d x = 25 x + C. 2 ln 5 – Lời giải. Z Ta có 52x + C. ln 5 Z 25 x+1 D. 52x d x = + C. x+1 Z 2x 52x d x = 2. 25 x 1 52x 52x d x = . +C = + C. 2 ln 5 2 ln 5 Chọn đáp án C ä Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 x2 + 3x là A. x3 + 3x ln 3 + C . B. x3 + – LờiZgiải. Ta có 3x + C. ln 3 C. x3 + 3x + C . D. x3 + ln 3 + C. 3x ¡ 2 ¢ 3x 3 x + 3 x d x = x3 + + C. ln 3 Chọn đáp án B ä Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 22x là A. 4x · ln 4 + C . Th.s Nguyễn Chín Em B. 1 + C. x 4 · ln 4 C. 4x + C . 105 D. 4x + C. ln 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ – LờiZgiải. Ta có 2x Chương 3 – Giải tích 12 4x 4 dx = + C. ln 4 Z x 2 dx = Chọn đáp án D ä Câu 8. Với C là hằng số, họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 cos 2 x là A. − sin 2 x + C . – LờiZgiải. Z Ta có B. −2 sin 2 x + C . C. 2 sin 2 x + C . D. sin 2 x + C . 2 cos 2 x d x = sin 2 x + C . f ( x) d x = Chọn đáp án D ä µ −x Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = e 2 + ex . cos2 x ¶ 2 + tan x + C . B. F ( x) = 2ex − tan x + C . ex 2 C. F ( x) = − x − tan x + C . D. F ( x) = 2e−x + tan x + C . e – Lời giải. nπ o Tập xác định D = R + k π, k ∈ Z . 2 Ta có µ ¶ ¶ Z Z µ ex 1 2 −x −x e 2+ dx = 2e + d x = − x + tan x + C. 2 2 e cos x cos x A. F ( x) = − Chọn đáp án A ä Câu 10. Cho biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên R. Tìm I = A. I = 2 xF ( x) − x + C . B. I = 2 xF ( x) − 1 + C . Z C. I = 2F ( x) − 1 + C . [2 f ( x) − 1] d x. D. I = 2F ( x) − x + C . – Lời giải. Ta có Z I= Z [2 f ( x) − 1] d x = 2 Z f ( x) d x − d x = 2F ( x) − x + C. Chọn đáp án D ä Câu 11. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 5 x là 1 cos 5 x + C . B. cos 5 x + C . 5 – LờiZgiải. Z 1 Ta có f ( x)d x = sin 5 xd x = − cos 5 x + C . 5 A. C. − cos 5 x + C . 1 5 D. − cos 5 x + C . Chọn đáp án D ä Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. log |1 + x| + C . – LờiZgiải. Ta có 1 dx = x+1 Z 1 là x+1 B. ln(1 + x) + C . C. − 1 + C. (1 + x)2 D. ln |1 + x| + C . 1 d( x + 1) = ln | x + 1| + C . x+1 Chọn đáp án D ä Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = e x + x2 là A. 1 x x3 e + + C. x 3 B. e x + 2 x + C . C. e x + – Lời giải. Z ¡ x3 + C. 3 D. e x + 3 x3 + C . ¢ x3 e x + x2 d x = e x + + C , với C là hằng số. 3 Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em ä 106 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Câu 14. Z Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 3 x. A. Z B. cos 3 x d x = 3 sin 3 x + C . sin 3 x C. cos 3 x d x = − + C. 3 Z Lời giải. Z 1 sin 3 x cos 3 x d x = cos 3 x d(3 x) = +C 3 3 Z cos 3 x d x = sin 3 x + C. 3 Z D. cos 3 x d x = sin 3 x + C . Chọn đáp án B ä Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 . 5x − 2 Z dx 1 dx 1 A. = ln |5 x − 2| + C . B. = − ln(5 x − 2) + C . 2 Z 5x − 2 5 Z 5x − 2 dx dx C. = 5 ln |5 x − 2| + C . D. = ln |5 x − 2| + C . 5x − 2 5x − 2 – LờiZgiải. Z 1 1 dx = d(5 x − 2) = ln |5 x − 2| + C . Ta có 5x − 2 5(5 x − 2) 5 Z Chọn đáp án A ä x Câu 16. Z Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 7 . x A. 7x + C. ln 7 Z 7 x+1 D. 7x d x = + C. x+1 Z x B. 7 d x = 7 ln 7 + C . Z C. 7 x d x = 7 x+1 + C . Câu 17. Z Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 2 x. 1 A. f ( x)d x = sin 2 x + C . 2 Z C. f ( x)d x = 2 sin 2 x + C . . – LờiZgiải. 1 f ( x)d x = 2 Ta có 7x d x = 1 f ( x)d x = − sin 2 x + C . . 2 Z D. f ( x)d x = −2 sin 2 x + C . Z B. Z cos 2 x d(2 x) = 1 sin 2 x + C . 2 Chọn đáp án A ä Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x2 + x3 2 A. f ( x) d x = − + C. 3 x Z x3 2 C. f ( x) d x = + + C. 3 x 2 . x2 Z x3 1 − + C. 3 x Z x3 1 D. f ( x) d x = + + C. 3 x Z B. f ( x) d x = – Lời giải. µ Z Ta có ¶ 2 x3 2 x + 2 dx = − + C. 3 x x 2 Chọn đáp án A ä Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 x2 + 1 là A. x3 + C . – Lời giải. Z Ta có (3 x2 + 1) d x = 3. B. x3 + x + C. 3 D. x3 + x + C . C. 6 x + C . x3 + x + C = x3 + x + C . 3 Chọn đáp án D ä Câu 20. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x3 + x là A. x4 + x2 + C . B. 3 x2 + 1 + C . C. x3 + x + C . – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 107 D. 1 4 1 2 x + x + C. 4 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 1 1 ( x3 + x) d x = x4 + x2 + C . 4 2 Z Ta có Chọn đáp án D ä Câu 21. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 4 x · 22x+3 . 24x+3 B. F ( x) = 24x+1 · ln 2. A. F ( x) = . ln 2 – Lời giải. Z Z Ta có f ( x) dx = x 4 ·2 2x+3 Z dx = 24x+3 d x = C. F ( x) = 24x+1 . ln 2 D. F ( x) = 24x+3 · ln 2. 24x+3 24x+1 +C = + C. 4 ln 2 ln 2 Chọn đáp án C ä Câu 22. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. R [ f ( x) + g( x)] dx = R R f ( x) dx + g( x) dx, với mọi hàm số f ( x), g( x)liên tục trên R. f 0 ( x) dx = f ( x) + C với mọi hàm f ( x) có đạo hàm trên R. R R C. k f ( x)dx = k f ( x)dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f ( x) liên tục trên R. R R R D. [ f ( x) − g( x)] dx = f ( x)dx − g( x)dx, với mọi hàm số f ( x), g( x) liên tục trên R. B. R – Lời giải. R R Mệnh đề k f ( x)dx = k f ( x)dx sai vì k 6= 0. Chọn đáp án C ä Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = Z A. f ( x)d x = Z C. π 4 π 2 cos 2 x. π f ( x)d x = − sin 2 x + C . 2 Z π D. f ( x)d x = sin 2 x + C . 2 Z B. sin 2 x + C . f ( x)d x = π sin 2 x + C . Z Lời giải. Z f ( x)d x = π 2 cos 2 xd x = π 4 sin 2 x + C . Chọn đáp án A ä Câu 24. Z Cho f ( x), g( x) là các hàm Z số liên tục trên R. Khẳng Z định nào sau đây đúng? A. f ( x) · g ( x) d x = f ( x) d x · g ( x) d x. B. f 0 ( x) · g 0 ( x) d x = f ( x) · g ( x) + C . Z C. Z k · f ( x) d x = k Z D. f ( x) d x. – Lời giải. Z f ( x) · f 0 ( x) d x = f ( x) · f 0 ( x) d x = f 2 ( x) + C. 2 f 2 ( x) + C. 2 Z f ( x) d [ f ( x)] = Chọn đáp án D ä Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 4x là 4 x+1 A. f ( x) d x = + C. x+1 Z C. f ( x) d x = 4 x ln 4 + C . Z – LờiZgiải. Ta có f ( x) d x = Z f ( x) d x = 4 x+1 + C . Z 4x f ( x) d x = + C. ln 4 B. D. 4x + C. ln 4 Chọn đáp án D ä Câu 26. Họ các nguyên hàm của hàm số y = e−3x+1 là 1 A. e−3x+1 + C . 3 – LờiZgiải. Ta có 1 3 B. − e−3x+1 + C . C. 3e−3x+1 + C . D. −3e−3x+1 + C . 1 e−3x+1 d x = − e−3x+1 + C . 3 Th.s Nguyễn Chín Em 108 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Chọn đáp án B ä Câu 27. Z Mệnh đề nào Z sau đây sai? A. k f ( x) d x = k f ( x) d x với mọi hằng số k và với mọi hàm số f ( x) liên tục trên R. Z f 0 ( x) d x = f ( x) + C với mọi hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên R. Z Z Z C. ( f ( x) − g( x)) d x = f ( x) d x − g( x) d x, với mọi hàm số f ( x); g( x) liên tục trên R. Z Z Z D. ( f ( x) + g( x)) d x = f ( x) d x + g( x) d x, với mọi hàm số f ( x); g( x) liên tục trên R. B. – Lời giải. Z Z Z Với k = 0 ta có k f ( x) d x = 0 d x = C còn k f ( x) d x = 0. Z Z Do đó mệnh đề “ k f ( x) d x = k f ( x) d x với mọi hằng số k và với mọi hàm số f ( x) liên tục trên R” là mệnh đề sai. Chọn đáp án A ä Câu 28. định nào là đúng? Z Z Z Trong các khẳngZđịnh sau, khẳng A. [ f ( x) · g( x)] d x = Z C. f ( x) d x · B. g ( x) d x. 0 d x = 0. Z f ( x) d x = f 0 ( x) + C . D. f 0 ( x) d x = f ( x) + C . – Lời giải. Hiển nhiên theo định nghĩa Znguyên hàm thì f ( x) là một nguyên hàm của f 0 ( x) nên họ tất cả các nguyên hàm của f 0 ( x) là f ( x) + C do đó f 0 ( x) d x = f ( x) + C . Chọn đáp án D ä Câu 29. Tìm một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 f ( x) d x = − ln(5 x − 2) + C . 2 Z C. f ( x) d x = ln |5 x − 2| + C . Z 1 . 5x − 2 Z A. Z Lời giải. Z f ( x) d x = B. f ( x) d x = Z D. 1 ln |5 x − 2| + C . 5 f ( x) d x = 5 ln |5 x − 2| + C . 1 1 d x = ln |5 x − 2| + C . 5x − 2 5 Chọn đáp án B ä Câu 30. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 3 x là Z A. sin 3 x + C. 3 Z sin 3 x D. f ( x) d x = + C. 3 Z B. f ( x) d x = sin 3 x + C . Z C. f ( x) d x = 3 sin 3 x + C . Z Lời giải. Z f ( x) d x = cos 3 x d x = f ( x) d x = − sin 3 x + C. 3 Chọn đáp án D ä Câu 31. Z Khẳng định Znào sau đây là khẳng định sai? A. B. Z C. f ( x) d x với k ∈ R. Z Z [ f ( x) + g( x)] d x = f ( x) d x + g( x) d x với f ( x); g( x) liên tục trên R. k f ( x) d x = k Z xα d x = 1 α+1 x với α 6= −1. α+1 Th.s Nguyễn Chín Em 109 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ¶0 µZ D. Chương 3 – Giải tích 12 f ( x) d x = f ( x). – LờiZgiải. Ta có Z k f ( x) d x = k f ( x) d x với k ∈ R sai vì tính chất đúng khi k ∈ R {0}. Chọn đáp án A ä Z Câu 32. Tính ( x − sin 2 x) d x. x2 + sin x + C . 2 A. B. – Lời giải. Z Ta có x2 + cos 2 x + C . 2 Z ( x − sin 2 x) d x = Z x dx − sin 2 x d x = C. x2 + cos 2 x + C. 2 D. x2 cos 2 x + + C. 2 2 x2 cos 2 x + + C. 2 2 Chọn đáp án D ä Câu 33. Khẳng định nào sau đây sai? Z A. Z B. 0 dx = C. x5 + C. x dx = 5 Z 4 C. 1 d x = ln x + C . x Z D. ex d x = ex + C . – LờiZgiải. 1 d x = ln | x| + C x Tacó: Vậy C sai. Chọn đáp án C ä Câu 34. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x − sin 2 x là A. x2 + cos 2 x + C . 2 B. – Lời giải. Z Ta có: x2 1 + cos 2 x + C . 2 2 Z f ( x) d x = ( x − sin 2 x) d x = 1 2 C. x2 + cos 2 x + C . D. x2 1 − cos 2 x + C . 2 2 x2 1 + cos 2 x + C . 2 2 Chọn đáp án B ä Câu 35. Họ nguyên hàm của hàm số y = 3 cos x − 2x là A. −3 sin x − – LờiZgiải. Ta có 2x + C. ln 2 B. 3 sin x − 2x + C . C. 3 sin x − 2x + C. ln 2 D. 3 sin x − 2x ln 2 + C . ¡ ¢ 2x 3 cos x − 2 x d x = 3 sin x − + C. ln 2 Chọn đáp án C ä Câu 36. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x3 + x2 là 1 4 1 3 x + x + C. C. x4 + x3 + C . D. 4 x4 + 3 x3 + C . 4 3 – Lời giải. Z Z 1 1 Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản f ( x) d x = ( x3 + x2 ) d x = x4 + x3 + C . 4 3 A. 3 x2 + 2 x + C . B. Chọn đáp án B ä x x Câu 37. Z Tìm một họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 + 7Z. 3x 7x + + C. ln 3 ln 7 Z 3 x+1 7x C. f ( x) d x = + + C. x+1 x+1 – LờiZgiải. Z 3x 7x Ta có f ( x) d x = (3 x + 7x ) d x = + + C. ln 3 ln 7 A. B. f ( x) d x = Z D. Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em f ( x) d x = 3 x ln 3 + 7 x ln 7 + C . f ( x) d x = 3 x+1 + 7 x+1 + C . ä 110 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Câu 38. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. F ( x) = − – Lời Z giải. 1 + C. x2 B. F ( x) = Chương 3 – Giải tích 12 1 là x 2 + C. x2 p C. F ( x) = ln | x| + C . D. F ( x) = x + C . 1 1 d x = ln | x| + C nên họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = là F ( x) = ln | x| + C . x x Vì Chọn đáp án C ä Câu 39. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 2 x + 3 x là 3 2 1 2 1 sin 2 x + 3 x2 + C . 2 3 1 D. sin 2 x + x2 + C . 2 2 A. − sin 2 x + x2 + C . B. C. −2 sin 2 x + 3 + C . – Lời giải. Z Z 1 3 Ta có F ( x) = f ( x) d x = (cos 2 x + 3 x) d x = sin 2 x + x2 + C . 2 2 Chọn đáp án D ä Câu 40. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. ln |2 x − 1| + C . – Lời Zgiải. Ta có: Z f ( x) d x = 1 là 2x − 1 B. 2 ln |2 x − 1| + C . C. 1 ln |2 x − 1| + C . 2 D. 1 ln(2 x + 1) + C . 2 1 1 d x = ln |2 x − 1| + C . 2x − 1 2 Chọn đáp án C ä Câu 41. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x2 + x3 2 A. f ( x) d x = + + C. 3 x Z x3 1 C. f ( x) d x = + + C. 3 x 2 x2 x3 2 − + C. 3 x Z x3 1 D. f ( x) d x = − + C. 3 x Z Z B. f ( x) d x = – Lời giải. µ Z Ta có ¶ 2 x3 2 − + C. x + 2 dx = 3 x x 2 Chọn đáp án B ä Câu 42. Hàm số f ( x) = cos(4 x + 7) có một nguyên hàm là A. − sin(4 x + 7) + x. B. – Lời giải. 1 sin(4 x + 7) − 3. 4 C. sin(4 x + 7) − 1. Tính nguyên hàm của hàmZ số f ( x) = cos(4 x + 7) Z Ta có: cos(4 x + 7) d x = d(4 x + 7) 1 cos(4 x + 7) = 4 4 Z cos(4 x + 7)d(4 x + 7) = 1 4 D. − sin(4 x + 7) + 3. 1 sin(4 x + 7) + C . 4 Chọn đáp án B ä Câu 43. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x + x là 1 2 A. cos x + x2 + C . – LờiZgiải. Ta có B. cos x + x2 + C . Z (sin x + x) d x = Z sin x d x + C. − cos x + 1 + C . 1 2 D. − cos x + x2 + C . 1 x d x = − cos x + x2 + C . 2 Chọn đáp án D ä Câu 44. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x3 + sin 2 x là A. x4 1 − cos 2 x + C . 4 2 – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em B. x4 − cos 2 x + C . 4 C. 111 x4 1 + cos 2 x + C . 4 2 D. x4 + cos 2 x + C . 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z Ta có ¡ Chương 3 – Giải tích 12 ¢ 1 1 x3 + sin 2 x d x = x4 − cos 2 x + C . 4 2 Chọn đáp án A ä Câu 45. Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. − 1 + C. ( x + 1)2 1 là x+1 – Lời giải. Ta có (ln |2 x + 2| + C )0 = 1 2 C. − ln( x + 1)2 + C . B. − ln | x + 1| + C . D. ln |2 x + 2| + C . 1 . x+1 Chọn đáp án D ä Câu 46. Z Mệnh đề nào sau đây Z là sai? A. [ f 1 ( x) + f 2 ( x)] d x = Z f 1 ( x) d x + f 2 ( x) d x. B. Nếu F ( x) và G ( x) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x) thì F ( x) = G ( x). Z Z C. k f ( x) d x = k f ( x) d x ( k là hằng số và k 6= 0). Z Z D. Nếu f ( x) d x = F ( x) + C thì f (u) d u = F (u) + C . – Lời giải. Nếu F ( x) và G ( x) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x) thì F ( x) = G ( x) + C , với C là hằng số. Chọn đáp án B Câu 47. Z Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 2 x A. C. sin 2 x d x = − – LờiZgiải. Ta có Z B. sin 2 x d x = − cos 2 x + C . Z sin 2 x d x = − ä cos 2 x + C. 2 sin 2 x d x = 2 cos 2 x + C . Z D. sin 2 x d x = cos 2 x + C. 2 cos 2 x +C 2 Chọn đáp án C ä 2019x Câu 48. . Z Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = e 1 A. f ( x) d x = · e2019x + C . 2019 Z C. f ( x) d x = e2019x + C . – LờiZgiải. Ta có f ( x) d x = Z f ( x) d x = 2019 · e2019x + C . Z f ( x) d x = e2019x ln 2019 + C . B. D. 1 · e2019x + C. 2019 Chọn đáp án A ä Câu 49. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 3 x là 1 3 A. cos 3 x + C . – LờiZgiải. Ta có B. − cos 3 x + C . Z f ( x) d x = C. − cos 3 x + C . D. 1 cos 3 x + C . 3 1 sin 3 x d x = − cos 3 x + C. 3 Chọn đáp án B ä Z Câu 50. Tính sin x d x. A. sin(π − x) + C . C. cos(π − x) + C . B. cos x + C . – LờiZgiải. Ta có D. cos ³π 2 ´ − x + C. sin x d x = − cos x + C = cos(π − x) + C . Th.s Nguyễn Chín Em 112 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Chọn đáp án C ä Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos x là A. F ( x) = tan x + C . B. F ( x) = cot x + C . C. F ( x) = − sin x + C . D. F ( x) = sin x + C . – Lời giải. Z Ta có F ( x) = cos xd x = sin x + C . Chọn đáp án D ä Z Câu 52. Tìm nguyên hàm F ( x) = A. F ( x) = cos x + C . cos x d x B. F ( x) = − cos x + C . C. F ( x) = sin x + C . Câu 53. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x + 1. Z A. C. f ( x) d x = x2 + x + C . – Lời giải. Z Ta có Z f ( x) d x = x2 + x + C. B. f ( x) d x = 2 Z D. f ( x) d x = 2 x + C . Z 2 f ( x) d x = 2 x + x + C . Z D. F ( x) = − sin x + C . (2 x + 1) d x = 2 x2 + x + C = x2 + x + C . 2 Chọn đáp án C ä Câu 54. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số y = x3 ? A. y = x4 + 3. 4 B. y = – Lời giải. Nguyên hàm của hàm số y = x3 là của hàm số y = x3 . x4 + 1. 4 C. y = x4 + 2. 4 D. y = 3 x2 . x4 + C , với C là hằng số. Vậy hàm số y = 3 x2 không là một nguyên hàm 4 Chọn đáp án D ä Câu 55. Z Phát biểu nào sau đây đúng? A. Z B. cos x d x = − cos x + C . Z C. cos x d x = − sin x + C . Z D. cos x d x = cos x + C . cos x d x = sin x + C . – LờiZgiải. Ta có cos x d x = sin x + C . Chọn đáp án D ä −x Câu 56. Z Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = e + 2 x là A. f ( x) d x = e Z C. −x 2 Z f ( x) d x = − xe− x + x2 + C . Z f ( x) d x = xe− x + x2 + C . B. + x + C. f ( x) d x = −e− x + x2 + C . D. – Lời giải. Z Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) là f ( x) d x = −e−x + x2 + C . Chọn đáp án C ä Câu 57. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai? Z A. xe+1 e dx = + C. e+1 x – Lời giải. Z B. Z 1 3 e x+1 x dx = x + C. C. e x d x = + C. 3 x+1 Z e x d x = e x + C. 2 Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em Z D. 1 x7 d x = x8 + C . 8 ä 113 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Câu 58. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x là A. F ( x) = − cos x. B. F ( x) = − cos x + C . C. F ( x) = cos x + C . D. F ( x) = cos x. – Lời giải. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x là F ( x) = − cos x + C. Chọn đáp án B ä dx bằng 2 − 3x Z Câu 59. 1 ln |2 − 3 x| + C . 3 A. B. – Lời giải. Z Ta thấy 1 + C. (2 − 3 x)2 C. − 3 + C. (2 − 3 x)2 1 3 D. − ln |3 x − 2| + C . 1 1 dx = − ln |2 − 3 x| + C = − ln |3 x − 2| + C . 2 − 3x 3 3 Chọn đáp án D Z5 Câu 60. Cho 1 ä dx = ln C . Khi đó giá trị của C là 2x − 1 A. 3. B. 8. C. 9. D. 81. – Lời giải. Z5 Ta có 1 µ ¶ ¯5 dx 1 1 ¯ = ln |2 x − 1| ¯ = ln 9 = ln 3. Do đó C = 3. 2x − 1 2 2 1 Chọn đáp án A ä Z Câu 61. Khi tính sin ax · cos bx d x, biến đổi nào dưới đây là đúng? Z Z A. sin ax · cos bx d x = sin ax d x · cos bx d x. Z Z 1 B. sin ax · cos bx d x = [sin (a + b) x + sin (a − b) x] d x. 2Z · ¸ Z a−b a+b 1 x + sin x d x. sin C. sin ax · cos bx d x = 2 Z 2 2 Z D. sin ax · cos bx d x = ab sin x · cos x d x. Z – Lời giải. 1 2 Ta có sin ax · cos bx = [sin (a + b) x + sin (a − b) x]. Z Do đó 1 sin ax · cos bx d x = 2 Z [sin (a + b) x + sin (a − b) x] d x. Chọn đáp án B ä Câu 62. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x + 1 là A. − cos x + x + C . – LờiZgiải. Ta có B. sin2 x + x + C. 2 C. cos x + x + C . D. sin 2 x + x + C . (sin x + 1) d x = − cos x + x + C . Chọn đáp án A ä 1 + 2 x là x B. ln | x| + 2 x2 + C. C. ln | x| + x2 + C. Câu 63. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. 2 ln | x| + x2 + C. Z Lời giải. Z µ f ( x) d x = D. ln | x2 | + 2 x + C. ¶ Z Z 1 dx + 2x dx = + 2 x d x = ln | x| + x2 + C. x x Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em ä 114 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Câu 64. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. −6 ln |1 − 2 x| + C . Z Lời giải. Z Chương 3 – Giải tích 12 3 . 1 − 2x B. 3 ln |1 − 2 x| + C . 3 2 C. − ln |1 − 2 x| + C . D. 3 ln |1 − 2 x| + C . 2 3 3 d x = − ln |1 − 2 x| + C . 1 − 2x 2 f ( x) d x = Chọn đáp án C ä Câu 65. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 2 1 D. F ( x) = ln(4 x2 + 4 x + 1) + 3. 4 A. F ( x) = ln |2 x + 1| + 1. B. F ( x) = ln |2 x + 1| + 2. 1 2 C. F ( x) = ln |4 x + 2| + 3. – LờiZgiải. 1 ? 2x + 1 1 1 d x = ln |2 x + 1| + C . 2x + 1 2 1 1 ln 2 1 1 Mặt khác ln |4 x + 2| + 3 = ln |2 x + 1| + + 3 và ln(4 x2 + 4 x + 1) + 3 = ln |2 x + 1| + 3. 2 2 2 2 2 Ta có Chọn đáp án A ä x Câu 66. Z Nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 là Z x A. B. f ( x) d x = 3 + C . Z C. 3 x+1 f ( x) d x = + C. x+1 f ( x) d x = 3 x ln 3 + C . Z D. – Lời giải. Z Theo công thức nguyên hàm thì f ( x) d x = f ( x) d x = 3x + C. ln 3 3x + C. ln 3 Chọn đáp án D ä x Câu 67. Z Cho hàm số f ( x) = 2017 . Khẳng định nào sau đâyZ là khẳng định đúng? A. f ( x) d x = Z C. 2017 x + C. ln 2018 2017 x + C. ln 2017 Z 2017 x D. f ( x) d x = + C. 2017 B. f ( x) d x = 2017 x ln 2017 + C . – Lời giải. Z f ( x) d x = f ( x) d x = 2017 x + C. ln 2017 Chọn đáp án B ä Z Câu 68. Tính cos 2 x d x. 1 sin 2 x + C . 2 Z 1 D. cos 2 x d x = − sin 2 x + C . 2 Z A. Z B. cos 2 x d x = − sin 2 x + C . Z C. cos 2 x d x = sin 2 x + C . cos 2 x d x = – Lời giải. Ta có Z Z cos 2 x d x = d(2 x) 1 cos 2 x = 2 2 Z cos 2 x d(2 x) = 1 sin 2 x + C. 2 Chọn đáp án B ä Câu 69. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos x + sin x là A. sin x − cos x + C . B. sin x + cos x + C . C. − sin x + cos x + C . D. − sin x − cos x + C . – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 115 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Z (cos x + sin x) d x = sin x − cos x + C . Chọn đáp án A ä Câu 70. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x − 1)3 . A. 3( x − 1) + C . – LờiZgiải. Ta có B. Z f ( x) d x = 1 ( x − 1)4 + C . 4 C. 4( x − 1)4 + C . D. 1 ( x − 1)3 + C . 4 1 ( x − 1)3 d x = ( x − 1)4 + C . 4 Chọn đáp án B ä Câu 71. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f ( x) = e1−4x . 1 4 A. y = e1−4x . B. y = −4e1−4x . C. y = e1−4x . 1 4 D. y = − e1−4x . – LờiZgiải. 1 e1−4x d x = − e1−4x + C . 4 Ta có Chọn đáp án D ä Câu 72. Cho bốn mệnh đề sau cos3 x + C. 3 Z cos2 x d x = Z 3 x d x = 3 x · ln 3 + C . Z xα d x = I. II. III. xα+1 + C với α ∈ R. α+1 IV. Nếu F ( x),G ( x) là các nguyên hàm của f ( x) thì F ( x) = G ( x). Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai? A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. – Lời giải. Ta lần lượt xét 4 mệnh đề đã cho Z Mệnh đề ( I ) sai vì 2 cos x d x = Z Mệnh đề ( I I ) sai vì Z 3x d x = µ ¶ 1 1 + cos 2 x sin 2 x dx = x+ + C. 2 2 2 3x + C. ln 3 Mệnh đề (III) sai vì thiếu điều kiện α 6= −1. Mệnh đề (IV) sai vì nguyên hàm của hàm số f ( x) là có một họ nguyên hàm, chúng sai khác nhau một hằng số. Vậy có 4 mệnh đề SAI. Chọn đáp án C ä Câu 73. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x( x + 1). A. x( x + 1) + C . – Lời giải. Z Ta có Z x( x + 1) d x = C. x3 + x2 + C . B. 2 x + 1 + C . ( x2 + x) d x = x3 x2 + + C. 3 2 x3 x2 + + C. 3 2 Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em D. ä 116 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Câu 74. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Z A. Z B. 0 dx = C. 1 d x = ln | x| + C . x Z C. – Lời giải. Z Đáp án xa+1 x dx = + C. a+1 a Z D. dx = x + C. xa+1 + C không đúng với trường hợp a = −1. x dx = a+1 a Chọn đáp án C ä Câu 75. Z Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x − cos Zx. A. B. f ( x) d x = − sin x + cos x + C . Z C. f ( x) d x = sin x + cos x + C . Z D. f ( x) d x = − sin x − cos x + C . f ( x) d x = sin x − cos x + C . – LờiZgiải. Ta có (sin x − cos x) d x = − cos x − sin x + C = − sin x − cos x + C Chọn đáp án C ä Câu 76. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3x + 1 A. f ( x) d x = 3 + + C . x Z 1 x C. f ( x) d x = 3 − + C . x – Lờiµgiải. ¶0 µ ¶ 3x 1 3 x ln 3 1 1 Ta có − +C = − − 2 = 3x + 2 . ln 3 x ln 3 x x Z 1 . x2 3x 1 + + C. ln 3 x Z 3x 1 f ( x) d x = D. − + C. ln 3 x Z x B. f ( x) d x = Chọn đáp án D ä Câu 77. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. 3x e3 ln 3 e + C. B. 3x e3 3x + C. −2 ln 3 · e2 C. 3 x ln 3 + C. e3 D. 3x + C. e3 ln 3 – LờiZgiải. Ta có 3x 3x + C. d x = e3 e3 ln 3 Chọn đáp án D ä Câu 78. Cho hai hàm số f ( x), g( x) là hai hàm số liên tục có F ( x), G ( x) lần lượt là nguyên hàm của f ( x), g( x). Xét các mệnh đề sau: (I). F ( x) + G ( x) là một nguyên hàm của f ( x) + g( x). (II). kF ( x) là một nguyên hàm của hàm số k f ( x), (k ∈ R). (III). F ( x) · G ( x) là một nguyên hàm của f ( x) · g( x). Mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. (I) và (III). B. (I) và (II). C. (II) và (III). D. (III). – Lời giải. Chỉ có mệnh đề (I) và (II) là hai mệnh đề đúng. Chọn đáp án B ä Câu 79. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 4 x3 + sin x − 2 là A. x4 + cos x − 2 x + C . – LờiZgiải. Ta có B. x4 + cos x + C . 4 C. 12 x + cos x + C . D. x4 − cos x − 2 x + C . ¡ 3 ¢ 4 x + sin x − 2 d x = x4 − cos x − 2 x + C . Th.s Nguyễn Chín Em 117 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Chọn đáp án D ä Câu 80. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 2 x là 1 2 A. F ( x) = − cos 2 x + C . 1 2 B. F ( x) = cos 2 x + C . D. F ( x) = − cos 2 x + C . C. F ( x) = cos 2 x + C . – LờiZgiải. Ta có sin 2 x d x = − cos 2 x + C. 2 Chọn đáp án A ä Câu 81. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 5x là A. 5x + C. ln 5 B. 5x · ln 5 + C . – Lời giải. Z Áp dụng công thức ax dx = C. ax + C , ta được ln a Z 5x d x = 5 x+1 + C. x+1 D. 5 x+1 + C . 5x + C. ln 5 Chọn đáp án A ä Câu 82. Tìm họ nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = e2x . A. F ( x) = e x + C . B. F ( x) = – Lời giải. Z Ta có F ( x) = e2x d x = ex + C. 2 C. F ( x) = e2x + C . D. F ( x) = e2x + C. 2 e2x + C. 2 Chọn đáp án D ä Câu 83. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 1 x A. F ( x) = 2 ln | x| + + 1 x C. F ( x) = ln x − + – Lời giải. x2 + C. 2 x2 + C. 2 1 x Ta có F ( x) = 2 ln | x| + + 2 1 − + x trên khoảng (0; +∞). x x2 x2 B. F ( x) = ln x − ln x2 + + C . 2 1 x2 D. F ( x) = ln | x| + + + C . x 2 x2 + C. 2 Chọn đáp án A ä Z Câu 84. Tìm nguyên hàm I = A. I = −e−x + x2 + C . ¡ ¢ e− x + 2 x d x. B. I = e−x + x2 + C . C. I = −e−x − x2 + C . D. I = e−x − x2 + C . – Lời Z giải. I= ¡ −x ¢ e + 2 x d x = −e− x + x2 + C . Chọn đáp án A ä Câu 85. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos x là A. − sin x + C . B. sin x + C . C. cos x + C . D. − cos x + C . – Lời giải. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos x là F ( x) = sin x + C . Chọn đáp án B ä Câu 86. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y = cos x? A. y = tan x. Th.s Nguyễn Chín Em B. y = cot x. C. y = sin x. 118 D. y = − sin x. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 – Lời giải. Vì (sin x)0 = cos x nên sin x là một nguyên hàm của hàm số cos x. Chọn đáp án C ä Câu 87. Z Mệnh đề nào dưới đây sai? f 0 ( x) d x = f ( x) + C với mọi hàm f ( x) có đạo hàm trên R. Z Z B. [ f ( x) + g( x)] d x = f ( x) d x + g( x) d x, với mọi hàm số f ( x), g( x) có đạo hàm trên R. Z Z C. k f ( x) d x = k f ( x) d x với mọi hằng số k và với mọi hàm số f ( x) có đạo hàm trên R. Z Z Z D. [ f ( x) − g( x)] d x = f ( x) d x − g( x) d x, với mọi hàm số f ( x), g( x) có đạo hàm trên R. A. Z Z- Lời giải. Z k f ( x) d x = k f ( x) d x với mọi hằng số k và với mọi hàm số f ( x) có đạo hàm trên R là mệnh đề sai vì hằng số k phải khác 0. Chọn đáp án C ä Câu 88. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin(3ax + 1) (với a là tham số khác 0). A. cos(3ax + 1) + C . B. 1 D. − cos(3ax + 1) + C . C. − cos(3ax + 1) + C . 3a Lời giải. Z Z 1 3a sin(3ax + 1) d x = 1 cos(3ax + 1) + C . 3a sin(3ax + 1) d(3ax + 1) = − 1 cos(3ax + 1) + C . 3a Chọn đáp án C ä Câu 89. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. ln | x + 2| + C . B. – Lời giải. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 trên khoảng (−∞; −2) là x+2 1 ln | x + 2| + C . 2 C. ln( x + 2) + C . D. 1 ln( x + 2) + C . 2 1 trên khoảng (−∞; −2) là ln | x + 2| + C. x+2 Chọn đáp án A ä Câu 90. Z Công thức nguyên hàm nào sau đây là công thức SAI? Z ax A. a d x = + C (a > 0; a 6= 1). ln a Z C. cos x d x = sin x + C . x B. sin x d x = cos x + C . Z D. – Lời giải. Z Công thức đúng sin x d x = − cos x + C . xα d x = xα+1 +C α+1 (α 6= −1). Chọn đáp án B ä Câu 91. Z Tìm nguyên hàm của hàm số y = sin( x − 1). A. Z B. sin( x − 1) d x = − cos( x − 1) + C . Z C. sin( x − 1) d x = cos( x − 1) + C . Z D. sin( x − 1) d x = ( x − 1) cos( x − 1) + C . Z Lời giải. sin( x − 1) d x = sin( x − 1) d x = (1 − x) cos( x − 1) + C . Z sin( x − 1) d( x − 1) = − cos( x − 1) + C . Chọn đáp án A ä Câu 92. Tìm nguyên hàm của hàm số y = x3 . Th.s Nguyễn Chín Em 119 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z A. 3 4 x dx = 3x + C. Z B. Chương 3 – Giải tích 12 1 x d x = x4 + C . 4 3 Z C. 3 Z 4 D. x dx = 4x + C. 1 x3 d x = x4 + C . 3 – LờiZgiải. Ta có 1 x3 d x = x4 + C . 4 Chọn đáp án B ä Câu 93. Z Tìm nguyên hàm của hàm số y = cos(3 x − 2). Z 1 1 B. cos(3 x − 2)d x = − sin(3 x − 2) + C . A. cos(3 x − 2)d x = − sin(3 x − 2) + C . 3 2 Z Z 1 1 C. cos(3 x − 2)d x = sin(3 x − 2) + C . D. cos(3 x − 2)d x = sin(3 x − 2) + C . 2 3 – LờiZgiải. Z 1 1 Ta có cos(3 x − 2)d x = cos(3 x − 2)d(3 x − 2) = sin(3 x − 2) + C . 3 3 Chọn đáp án D ä Câu 94. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x là A. sin x + C . B. cos x + C . C. − sin x + C . D. − cos x + C . – LờiZgiải. Ta có sin x d x = − cos x + C . Chọn đáp án D ä Câu 95. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = e x là biểu thức nào sau đây? A. ln | x| + C . B. −e x + C . C. e x + C . D. – LờiZgiải. Ta có 1 + C. x ex d x = ex + C . Chọn đáp án C ä Câu 96. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x + 1 là họ hàm số nào sau đây? A. x2 + x + C . B. x2 + 1 + C . C. 2 x2 + 1 + C . D. 4 x2 + x + C . – LờiZgiải. Ta có (2 x + 1) d x = x2 + x + C . Chọn đáp án A ä Câu 97. Z Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?Z 1 d x = tan x + C . 2x cos Z xα+1 C. xα d x = + C (α 6= −1). α+1 – Lời giải. Z 1 Công thức đúng là d x = ln | x| + C . x A. B. Z D. axdx = ax +C ln a (0 < a 6= 1). 1 d x = ln x + C . x Chọn đáp án D ä Câu 98. Z Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 d x = ln x2 + C . 2 x Z 1 C. d x = cot x + C . sin2 x Z A. B. cos xd x = sin x + C . Z D. e2x d x = 2e x + C . Z- Lời giải. cos xd x = sin x + C . Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em ä 120 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 x Câu 99. Z Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = e + 2 sin x. Z ¡ x ¢ ¡ x ¢ A. e + 2 sin x d x = e x − cos2 x + C . B. e + 2 sin x d x = e x + sin2 x + C . Z C. Z ¡ x ¢ e + 2 sin x d x = e x − 2 cos x + C . D. ¡ ¢ e x + 2 sin x d x = e x + 2 cos x + C . Z Lời giải. ¡ ¢ e x + 2 sin x d x = e x − 2 cos x + C . Chọn đáp án C ä Câu 100. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x2 + x − 2. x3 x2 A. f ( x)d x = + − 2 + C. 3 2 Z C. f ( x)d x = 2 x + 1 + C . x3 x2 + + C. 3 2 Z x3 x2 D. f ( x)d x = + − 2x + C. 3 2 Z Z B. f ( x)d x = - Lời giải. Z x3 x2 + − 2x + C. f ( x)d x = 3 2 Chọn đáp án D ä 3 Câu 101. Z Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x − 9. 1 f ( x) d x = x4 − 9 x + C . 2 Z 1 4 C. f ( x) d x = x + C . 2 A. Z f ( x) d x = x4 − 9 x + C . Z f ( x) d x = 4 x3 + 9 x + C . B. D. Z Lời giải. 1 (2 x3 − 9) d x = x4 − 9 x + C . 2 Chọn đáp án A ä Câu 102. Z Mệnh đề nào sau đây đúng? A. cot x d x = ln | sin x| + C . Z B. 1 1 dx = . 2 x x Lời giải. Z Z d sin x cot x d x = = ln | sin x| + C . sin x Z sin x d x = cos x + C . Z C. D. cos x d x = − sin x + C . Chọn đáp án A ä Ze Câu 103. Cho tích phân I = 3 ln x + 1 d x. Nếu đặt t = ln x thì x 1 Z1 A. I = Ze 3t + 1 d t. et B. I = 0 Ze 3t + 1 d t. t C. I = 1 - Lời giải. Đặt t = ln x, ta có d t = dx . x Z1 (3 t + 1) d t. 1 D. I = (3 t + 1) d t. 0 Z1 Khi x = 1 thì t = 0. Khi x = e thì t = 1. Vậy I = (3 t + 1) d t. 0 Chọn đáp án D ä Z Câu 104. Biết f ( u) d u = F ( u) + C . Mệnh đề nào dưới đây đúng? Z A. f (2 x − 1) d x = 2F (2 x − 1) + C . B. f (2 x − 1) d x = 2F ( x) − 1 + C . Z Z 1 C. f (2 x − 1) d x = F (2 x − 1) + C . D. f (2 x − 1) d x = F (2 x − 1) + C . 2 Z Th.s Nguyễn Chín Em 121 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 - Lời giải. Đặt u = 2 x − 1 ⇒ d u = 2 d x. Khi đó, ta có Z 1 f (2 x − 1) d x = 2 Z 1 f ( u) d u = F (2 x − 1) + C. 2 Chọn đáp án C ä x Câu 105. Z Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 5 . Z x A. B. f ( x) d x = 5 ln 5 + C . 5x C. f ( x) d x = + C. ln x - LờiZgiải. Z 5x + C. Ta có f ( x) d x = 5x d x = ln 5 Z f ( x) d x = 5 x + C . Z D. f ( x) d x = 5x + C. ln 5 Chọn đáp án D ä Câu 106. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 4 1 ? 1− x B. F ( x) = − ln |1 − x| + 4. A. F ( x) = − ln |4 − 4 x| + 3. 1 2 D. F ( x) = ln( x2 − 2 x + 1) + 5. C. F ( x) = ln |1 − x| + 2. - Lời giải. Ta có Z 1 dx = − 1− x Z d(1 − x) = − ln |1 − x| + C. 1− x Do đó F ( x) = − ln |1 − x| + 4 là một nguyên hàm của hàm số f ( x) đã cho. Chọn đáp án B Câu 107. Hàm số F ( x) = e3x là một nguyên hàm của hàm số A. f ( x) = 3e3x . B. f ( x) = e3x . C. f ( x) = - Lời giải. e3x . 3 ä D. f ( x) = 3 ln 3 x. ¡ ¢0 F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) khi và chỉ khi F 0 ( x) = f ( x). Vậy f ( x) = e3x = 3e3x . Chọn đáp án A ä Câu 108. Z Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 2 x. 1 A. f ( x)d x = sin 2 x + C . 2 Z C. f ( x)d x = 2 sin 2 x + C . - LờiZgiải. Ta có 1 cos 2 xd x = 2 Z cos 2 xd(2 x) = 1 f ( x)d x = − sin 2 x + C . 2 Z D. f ( x)d x = −2 sin 2 x + C . Z B. 1 sin 2 x + C . 2 Chọn đáp án A ä Câu 109. Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x) = 48 sin 2 x là A. 24 cos 2 x + C . B. 96 cos 2 x + C . C. −96 cos 2 x + C . D. −24 cos 2 x + C . - Lời giải. Ta có (−24 cos 2 x + C )0 = 48 sin 2 x. Chọn đáp án D ä Câu 110. Để tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 12 x ln x, ta đặt u = ln x và dv = 12 x d x. Tính d u. Th.s Nguyễn Chín Em 122 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 1 x 1 x A. d u = . - Lời giải. Chương 3 - Giải tích 12 B. d u = d x. 1 x C. d u = 12 x d x. D. d u = dv. 1 x Ta có du = d x. Chọn đáp án B ä Câu 111. Z Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? 1 1 + C. d x = − 2 x Z x p 1 C. p dx = x + C. 2 x - Lời giải. Z Chú ý rằng Z B. A. cos x d x = sin x + C . Z D. a x d x = a x · ln a + C (a > 0, a 6= 1). ax + C (a > 0, a 6= 1). ln a ax dx = Chọn đáp án D ä µ ¶ 1 Câu 112. Biết rằng F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin(1 − 2 x) và thỏa mãn F = 1. Mệnh 2 đề nào sau đây là đúng? A. F ( x) = cos(1 − 2 x). 1 3 C. F ( x) = − cos(1 − 2 x) + . 2 2 – Lời giải. Z 1 Ta có F ( x) = sin(1 − 2 x) d x = cos(1 − 2 x) + C . 2 µ ¶ 1 1 1 1 Do F = 1 ⇒ C = . Vậy F ( x) = cos(1 − 2 x) + . 2 2 2 2 B. F ( x) = cos(1 − 2 x) + 1. 1 2 1 2 D. F ( x) = cos(1 − 2 x) + . Chọn đáp án D ä p Câu 113. Hàm số f ( x) = x + 3 là một nguyên hàm của hàm số nào bên dưới? 2 3 3 B. g( x) = p A. g( x) = ( x + 3) 2 + C . −1 C. g( x) = p – Lời giải. x+3 1 . 2 x+3 3 3 D. g( x) = ( x + 3) 2 + C . 2 . g ( x) = f 0 ( x) = ¡p ¢0 ( x + 3)0 1 x+3 = p = p . 2 x+3 2 x+3 Chọn đáp án B ä Z Câu 114. Tìm F ( x) = cos x d x. A. sin x + C . B. cos x + C . C. − cos x + C . D. − sin x + C . – Lời giải. Z Ta có F ( x) = cos x d x = sin x + C . Chọn đáp án A ä Câu 115. Z Khẳng định nào sau đây đúng? x A. B. 2 d x = 2 ln2 + C . Z C. Z x x Z x D. e d x = −e + C . – Lời giải. Z Công thức nguyên hàm cơ bản xn dx = x3 d x = 1 + C. x x4 + C. 4 x n+1 + C. n+1 Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em ln x d x = ä 123 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Câu 116. Cho F ( x) và f 0 ( x) lần lượt là một nguyên hàm và đạo hàm của hàm số f ( x). Khẳng định nào sau đây là sai? A. Rb Za B. f ( x) d x = F (a) − F ( b). a Zc f ( x) d x = C. Zb D. d x = b − a. a f ( x) d x. f ( x) d x + a b Zb Zc b f 0 ( x) d x = f ( b) − f (a). a – Lời giải. Zb Ta có f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ). a Chọn đáp án A ä Câu 117. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? e x+1 + C. A. e d x = x+1 Z 1 C. cos 2 xd x = sin 2 x + C . 2 Z x xe+1 + C. e+1 Z xe d x = Z 1 d x = ln | x| + C . x B. D. – Lời giải. Ta có Z ex d x = ex + C . Z xe d x = xe+1 + C. e+1 Z cos 2 xd x = Z 1 sin 2 x + C . 2 1 d x = ln | x| + C . x Chọn đáp án A ä Z1 Câu 118. Tính tích phân I = 2 A. I = . ln 3 – Lời giải. 3 x ¯¯1 2 Ta có I = . ¯ = ln 3 0 ln 3 3 x d x. 0 B. I = 3 . ln 3 1 2 C. I = . D. I = 2. Chọn đáp án A ä Câu 119. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3x + 1 là A. 3 x ln x + x + C . – LờiZgiải. B. 3x + x + C. ln 3 C. 3x + C. ln 3 D. 3x + x + C . ¡ x ¢ 3x 3 + 1 dx = + x + C. ln 3 Ta có Chọn đáp án B ä Câu 120. Z Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? A. C. B. cos x d x = sin x + C . Z sin x d x = − cos x + C . Z ex d x = ex + C . D. – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em Z 124 1 sin2 x d x = − tan x + C . https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 1 Z Mệnh đề sai ở đáp án D. Mệnh đề đúng phải là sin2 x d x = − cot x + C . Chọn đáp án D ä Câu 121. Tìm họ nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = cos(2 x + 3). 1 2 A. F ( x) = − sin(2 x + 3) + C . B. F ( x) = sin(2 x + 3) + C . 1 2 D. F ( x) = sin(2 x + 3) + C . C. F ( x) = − sin(2 x + 3) + C . – Lời giải. Z F ( x) = cos(2 x + 3) d x = 1 sin(2 x + 3) + C . 2 Chọn đáp án B ä ³ π´ 4 sin 2 x + d x, kết quả nào sau đây là đúng? 3 ³ ´ ³ ³ π 1 π´ π´ A. −2 cos 2 x + + C . B. − cos 2 x + + C . C. −4 cos 2 x + + C . 3 2 3 3 – Lời Zgiải. ³ ³ π´ π´ Ta có: 4 sin 2 x + d x = −2 cos 2 x + + C . 3 3 Z Câu 122. Tính ³ D. 2 cos 2 x + π´ 3 + C. Chọn đáp án A ä 1 d x bằng 2x + 1 Z Câu 123. Nguyên hàm I = 1 2 A. − ln |2 x + 1| + C . – Lời giải. Z Sử dụng công thức B. − ln |2 x + 1| + C . C. 1 ln |2 x + 1| + C . 2 D. ln |2 x + 1| + C . 1 1 d x = ln |ax + b| + C , ta được ax + b a Z 1 1 d x = ln |2 x + 1| + C. 2x + 1 2 Chọn đáp án C ä Câu 124. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x2 + x + 1 là A. 2 x3 + x2 + x + C . 3 – Lời giải. Z Ta có (2 x2 + x + 1) d x= B. 4 x + 1. C. 2 x3 x2 + + x. 3 2 D. 2 x3 x2 + + x + C. 3 2 2 x3 x2 + + x + C. 3 2 Chọn đáp án D ä Câu 125. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x − 1 là A. cos x − x + C . – LờiZgiải. Ta có B. − cos x + C . C. − cos x − x + C . D. cos x − x + C . Z f ( x) dx = (sin x − 1) d x = − cos x − x + C . Chọn đáp án C ä Z Câu 126. Tính nguyên hàm A. −3 sin 3 x + c. – LờiZgiải. Ta có cos 3 x d x = cos 3 x d x. B. 1 sin 3 x + c. 3 C. 3 sin 3 x + c. 1 sin 3 x + c. 3 Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 1 3 D. − sin 3 x + c. ä 125 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Câu 127. Công thức nguyên hàm nào sau đây là sai? dx A. = ln x + C . Z x ax + C (< α 6= −1). C. a x d x = ln a Z xα d x = Z 1 d x = tan x + C . cos2 x B. D. - Lời giải. xα+1 + C. α+1 Z dx = ln | x| + C ). x Z Dựa vào công thức nguyên hàm cơ bản. (Đúng là Chọn đáp án A ä Câu 128. Cho hai hàm số f ( x) và g( x) liên tục trên K và a, b ∈ K . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? Zb A. Zb [ f ( x) + g( x)] d x = a a a Zb f ( x) d x. k f ( x) d x = k a a D. g ( x) d x. Zb Zb Zb g ( x) d x. f ( x) d x − [ f ( x) − g( x)] d x = a a a a a a B. Zb f ( x) d x · [ f ( x) g( x)] d x = Zb g ( x) d x. f ( x) d x + Zb Zb C. Zb - Lời giải. Dựa vào tính chất của tích phân. Chọn đáp án C ä 2x+3 Câu 129. là Z Z Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x) = e 1 2x+3 + C. B. f ( x) d x = e2x+3 + C . A. f ( x) d x = e Z C. 3 1 f ( x) d x = e2x+3 + C . 2 Z D. - Lời giải. Z f ( x) d x = 2e2x+3 + C . Z Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng, ta được f ( x) d x = 1 e2x+3 d x = e2x+3 + C . 2 Chọn đáp án C ä Câu 130. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 1 ln(2 x + 3) + C . B. ln |2 x + 3| + C . 2 2 - Lời Zgiải. Z 1 1 Ta có: f ( x) d x = d x = ln |2 x + 3| + C . 2x + 3 2 1 là 2x + 3 A. C. ln |2 x + 3| + C . D. 1 ln |2 x + 3| + C . ln 2 Chọn đáp án B ä Câu 131. Họ nguyên hàm của hàm số y = sin 2 x là 1 2 1 2 A. y = − cos 2 x + C . - LờiZgiải. 1 2 B. y = − cos 2 x. C. y = cos 2 x + C . D. y = − cos 2 x + C . 1 sin 2 x d x = − cos 2 x + C. 2 Ta có Chọn đáp án A ä π Z2 Câu 132. Tích phân ecos x · sin x d x bằng 0 A. 1 − e. B. e + 1. - Lời giải. π Z2 Ta có ecos x · sin x d x = − 0 Th.s Nguyễn Chín Em C. e − 1. D. e. π Z2 ¯ π2 ¯ ecos x d (cos x) = −ecos x ¯ = e − 1. 0 0 126 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Chọn đáp án C ä x Câu 133. Z Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 7 . 7x + C. ln 7 Z 7 x+1 C. 7x d x = + C. x+1 7x d x = A. Z 7 x d x = 7 x ln 7 + C . Z 7 x d x = 7 x+1 + C . B. D. - Lời giải. Z Theo công thức nguyên hàm 7x d x = 7x + C. ln 7 Chọn đáp án A ä Câu 134. Z Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Z C. sin x d x = cos x + C . B. ex d x = ex + C . D. - Lời giải. Z 2 x d x = x2 + C . Z 1 d x = ln | x| + C . x Z Theo công thức nguyên hàm sin x d x = − cos x + C. Chọn đáp án A ä Câu 135. Z Kết luận nào sau đây đúng? A. Z B. sin x d x = − sin x + C . Z C. sin x d x = sin x + C . Z D. sin x d x = − cos x + C . sin x d x = cos x + C . Z- Lời giải. sin x d x = − cos x + C . Chọn đáp án C ä Câu 136. Z Mệnh đề nào dưới Z đây sai? Z A. ( f ( x) + g( x)) d x = Z B. Z C. Z D. f ( x) d x + Z g( x) d x với mọi hàm số f ( x), g( x) liên tục trên R. Z ( f ( x) − g( x)) d x = f ( x) d x − g( x) d x với mọi hàm số f ( x), g( x) liên tục trên R. Z Z ( f ( x) · g( x)) d x = f ( x) d x · g( x) d x với mọi hàm số f ( x), g( x) liên tục trên R. f 0 ( x) d x = f ( x) + C với mọi hàm số f ( x) có đạo hàm trên R. - Lời giải. Z Mệnh đề sai là Z ( f ( x) · g( x)) d x = Z f ( x) d x · g( x) d x với mọi hàm số f ( x), g( x) liên tục trên R. Chọn đáp án C p ¶ µ x 2x x Câu 137. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 2 3 − x . 4 p x p 12 2x x A. F ( x) = − + C. B. F ( x) = 12x + x x + C . ln 12µ 3 p ¶ p µ ¶ 22x 3 x x x 22x 3 x x x ln 4 D. F ( x) = + C. C. F ( x) = − x + C. − ln 2 ln 3 4 ln 2 ln 3 4x - Lời giải. x p Ta có: f ( x) = 12 − x nên F ( x) = Z ä p 12 x 2x x f ( x) d x = − + C. ln 12 3 Chọn đáp án A ä 1 x Câu 138. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 4 x5 − + 2018 là A. 4 6 x + ln | x| + 2018 x + C . 6 Th.s Nguyễn Chín Em B. 127 2 6 x − ln x + 2018 x + C . 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 1 2 + C. D. x6 − ln | x| + 2018 x + C . 2 3 x - LờiZgiải. ¶ Z µ 1 2 Ta có f ( x) d x = 4 x5 − + 2018 d x = x6 − ln | x| + 2018 x + C . x 3 C. 20 x4 + Chọn đáp án D ä Câu 139. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 5 x + 2 là 1 5 A. 5 cos 5 x + C . - Lời Zgiải. Ta có: B. − cos 5 x + 2 x + C . Z f ( x) dx = C. 1 cos 5 x + 2 x + C . 5 D. cos 5 x + 2 x + C . 1 (sin 5 x + 2) dx = − cos 5 x + 2 x + C . 5 Chọn đáp án B ä Câu 140. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos x là A. cos x + C . B. sin x + C . C. − cos x + C . D. − sin x + C . Z- Lời giải. Z f ( x) d x = cos x d x = sin x + C . Chọn đáp án B ä Câu 141. Z Khẳng định nào sau đây sai (C là hằng số)? 1 d x = tan x + C . A. 2 Z cos x C. sin x d x = cos x + C . Z B. 1 d x = − cot x + C . 2 Z sin x D. cos x d x = sin x + C . - LờiZgiải. Ta có sin x d x = − cos x + C . Chọn đáp án C ä Câu 142. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f 0 ( x) = 3 + 2 sin x và f (0) = 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f ( x) = 3 x − 2 cos x + 5. B. f ( x) = 3 x + 2 cos x + 3. C. f ( x) = 3 x − 2 cos x + 3. - Lời giải. Z Z D. f ( x) = 3 x + 2 cos x + 5. Ta có f ( x) = f 0 ( x) d x = (3 + 2 sin x) d x = 3 x − 2 cos x + C . f (0) = 3 ⇔ −2 + C = 3 ⇔ C = 5. Vậy f ( x) = 3 x − 2 cos x + 5. Chọn đáp án A ä x Câu 143. Z Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 . 3x + C. ln 3 Z 3 x+1 D. 3x d x = + C. x+1 Z 3x d x = 3x + C . A. Z C. 3 x d x = 3 x ln 3 + C . - LờiZgiải. 3x d x = Ta có B. 3x d x = 3x + C. ln 3 Chọn đáp án B ä Câu 144. Z Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. C. B. sin x d x = cos x + C . Z ex d x = ex + C . Th.s Nguyễn Chín Em 1 1 dx = − 2 + C. x Z x 1 D. ln x d x = + C . x Z 128 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Z- Lời giải. ex d x = ex + C . Chọn đáp án C ä 1 d x bằng cách đặt t = ln x. Mệnh đề nào dưới dây đúng? x ln Z x Z Z 1 1 B. A = d t . C. A = t d t . D. A = d t. t t2 Z Câu 145. Tính nguyên hàm A = Z A. A = d t. - Lời giải. 1 x Đặt t = ln x ⇒ d t = d x. 1 d t. t Z A= Chọn đáp án D ä Câu 146. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x + 1. x2 A. (2 x + 1) d x = + x + C . 2 Z C. (2 x + 1) d x = 2 x2 + 1 + C . Z Z (2 x + 1) d x = x2 + x + C . Z (2 x + 1) d x = x2 + C . B. D. Z Lời giải. (2 x + 1) d x = x2 + x + C . Chọn đáp án B ä Câu 147. Họ các nguyên hàm của hàm số y = 102x là 10 x + C. B. 102x 2 ln 10 + C . 2 ln 10 - Lời giải. Z 102x Ta có 102x d x = + C. 2. ln 10 A. C. 102x + C. 2 ln 10 D. 102x + C. ln 10 Chọn đáp án C ä Z Câu 148. Họ nguyên hàm A. cos x + C . sin x d x bằng B. − sin x + C . C. − cos x + C . D. sin x + C . - Lời Z giải. Có sin x d x = − cos x + C . Chọn đáp án C ä Câu 149. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 2 x là A. sin 2 x + C . B. - Lời Zgiải. Ta có: cos 2 x d x = 1 sin 2 x + C . 2 1 2 C. − sin 2 x + C . D. 2 sin 2 x + C . 1 sin 2 x + C . 2 Chọn đáp án B ä 2018x Câu 150. . Z Z Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = e A. f ( x) d x = e2018x + C . B. f ( x) d x = Z C. 2018x f ( x) d x = 2018 · e - LờiZgiải. Ta có Z f ( x) d x = Z D. + C. e2018x d x = f ( x) d x = e2018x · ln 2018 + C . 1 2018x 1 e d(2018 x) = · e2018x + C. 2018 2018 Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 1 · e2018x + C . 2018 ä 129 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Câu 151. Họ nguyên hàm của hàm số y = cos 3 x là sin 3 x + C. 3 A. B. − - Lời giải. sin 3 x + C. 3 C. sin 3 x + C . sin(ax + b) cos(ax + b) d x = + C ta có a Z Áp dụng công thức Z cos 3 x d x = D. − sin 3 x + C . sin 3 x + C. 3 Chọn đáp án A ä Câu 152. Họ nguyên hàm của hàm số e xe + 4 là A. e xe+1 + 4 x + C . B. e2 xe−1 + C . C. - Lời giải. Z Ta có: ¡ ¢ e xe + 4 d x = e Z xe d x + Z 4 dx = e e xe+1 + 4x + C. e+1 D. xe+1 + 4x + C. e+1 xe+1 + 4x + C. e+1 Chọn đáp án C ä Câu 153. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 cos x + A. 3 cos x + ln x + C . - Lời Zgiải. Ta có: (3 cos x + 1 x Z B. 3 sin x − + C . 1 ) dx = 3 x2 Z cos x d x + 1 trên (0; +∞). x2 1 C. −3 sin x + + C . x 1 x D. 3 cos x + + C . 1 1 d x = 3 sin x − + C. x x2 Chọn đáp án B ä Câu 154. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là nguyên hàm của hàm số f ( x) = x3 ? A. y = x4 − 1. 4 B. y = - Lời giải. x4 + 1. 4 C. y = Ta có Z x3 d x = x4 . 4 D. y = 3 x2 . x4 + C. 4 Suy ra hàm số y = 3 x2 không phải là nguyên hàm của y = x3 . Chọn đáp án D ä Câu 155. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y = x2 . Giá trị của biểu thức F 0 (4) là A. 2. B. 4. C. 8. D. 16. - Lời giải. Theo định nghĩa nguyên hàm, ta có F 0 ( x) = x2 . Suy ra F 0 (4) = 16. Chọn đáp án D ä Câu 156. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 3 − A. F ( x) = 3 x − tan x + C . 1 sin2 x B. F ( x) = 3 x + tan x + C . C. F ( x) = 3 x + cot x + C . - Lời giải. Z µ F ( x) = 3− 1 sin2 x là D. F ( x) = 3 x − cot x + C . ¶ d x = 3 x + cot x + C . Chọn đáp án C ä x −x Câu 157. Z Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = e − e . f ( x) d x = e x + e− x + C . A. Z C. x f ( x) d x = −e − e −x Z f ( x) d x = e x − e− x + C . Z f ( x) d x = −e x + e− x + C . B. D. + C. - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 130 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z f ( x) d x = e x − Chương 3 - Giải tích 12 1 −x e + C = e x + e− x + C . −1 Chọn đáp án A ä Câu 158. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 2 x. A. F ( x) = 2 sin 2 x + C . 1 C. F ( x) = sin 2 x + C . 2 - Lời giải. Z Ta có: F ( x) = cos 2 x d x = 1 2 B. F ( x) = − sin 2 x + C . D. F ( x) = −2 sin 2 x + C . 1 sin 2 x + C . 2 Chọn đáp án C ä Câu 159. Z Phát biểu nào sau đây là đúng? 0 A. Z C. 0 f 0 (ax + b)d x = Z f 0 ( x)d x = a · f (ax + b) + C . B. f ( x)d x = f ( x) + C . 00 D. f ( x)d x = f ( x) + C . 1 · f ( x) + C . a Z - LờiZgiải. f 0 ( x)d x = f ( x) + C . Ta có Chọn đáp án A ä Câu 160. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y = 12 x5 . A. y = 12 x6 + 5. B. y = 2 x6 + 3. - Lời giải. Z Ta có 12 x5 d x = 12 C. y = 12 x4 . D. y = 60 x4 . x6 + C = 2 x6 + C . 6 Chọn đáp án B ä Z Câu 161. Tính nguyên hàm I = ¢ ¡ x 2 + 3 x d x. 2x 3x ln 2 ln 3 + + C. B. I = x + x + C . ln 2 ln 3 2 3 - Lời giải. Z ¡ ¢ 2x 3x + + C. Ta có I = 2x + 3x d x = ln 2 ln 3 A. I = C. I = ln 2 ln 3 + + C. 2 3 D. I = − ln 2 ln 3 − + C. 2 3 Chọn đáp án A ä Câu 162. Z Trong các khẳng Z định dướiZ đây, khẳng định nào sai? Z A. [ f ( x) · g( x)] d x = Z C. f ( x) d x · Z Z f ( x ) ± g ( x )] d x = f ( x ) d x ± g ( x) d x . [ Z Z D. [k · f ( x)] d x = k · f ( x) d x . B. g ( x) d x . f 0 ( x) d x = f ( x) + C . - Lời giải. Z Theo tính chất của nguyên hàm, ta suy ra Z [ f ( x) · g( x)] d x = Z f ( x) d x · g( x) d x là khẳng định sai. Chọn đáp án A ä Z p 4 Câu 163. Tìm H = 2 x − 1 d x. 2 5 5 A. H = (2 x − 1) 4 + C . 1 5 5 B. H = (2 x − 1) 4 + C . 5 C. H = (2 x − 1) 4 + C . - Lời giải. 8 5 5 D. H = (2 x − 1) 4 + C . 1 Z p Z 1 5 1 (2 x − 1) 4 +1 2 4 4 Ta có: H = 2 x − 1 d x = (2 x − 1) d x = · + C = (2 x − 1) 4 + C . 1 2 5 4 +1 Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em ä 131 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Câu 164. đề nàoZ sai? Z Cho hai hàm sốZf ( x), g( x) liên Z tục trên R. Trong Zcác mệnh đề sau, mệnh Z A. [ f ( x) + g( x)] d x = Z C. [ f ( x) − g( x)] d x = Z Z Ta có Z 2 (2 · x) d x = x + C , còn D. g ( x) d x. f ( x) d x − - Lời giải. Z B. g ( x) d x. f ( x) d x + Z Z 2 dx · [ f ( x) · g( x)] d x = f ( x) d x · Z k f ( x) d x = k f ( x) d x. x2 x d x = 2 x · + C nên 2 Z Z (2 · x) d x 6= g ( x) d x. Z 2 dx · x d x. Chọn đáp án B ä 1 x Câu 165. Z Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = e 2 . 1 1 f ( x) d x = e 2 x + C . 2 Z 2 1 D. f ( x) d x = e 2 x + C . 3 1 f ( x) d x = 2e 2 x + C . A. Z C. Z B. 1 f ( x) d x = e 2 x + C . - Lời giải. Z Theo công thức nguyên hàm 1 1 e 2 x d x = 2e 2 x + C . Chọn đáp án A ä Câu 166. Z Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 3 x. Z cos 3 x cos 3 x A. sin 3 x d x = − + C. B. sin 3 x d x = + C. 3 3 Z Z sin 3 x C. sin 3 x d x = − + C. D. sin 3 x d x = − cos 3 x + C . 3 - Lời giải. Z cos kx Áp dụng công thức cơ bản sin kx d x = − + C. k Chọn đáp án A ä Câu 167. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. ln |3 x + 1| + C . B. - LờiZgiải. 1 . 3x + 1 1 ln |3 x + 1| + C . 3 C. 1 ln(3 x + 1) + C . 3 D. ln(3 x + 1) + C . 1 1 d x = ln |3 x + 1| + C . 3x + 1 3 Ta có Chọn đáp án B ä Câu 168. Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 3 x. A. −3 sin 3 x + C . - LờiZgiải. Z Ta có f ( x) d x = 1 3 Z B. − sin 3 x + C . cos 3 x d x = 1 3 cos 3 x d(3 x) = C. − sin 3 x + C . D. 1 sin 3 x + C . 3 1 sin 3 x + C . 3 Chọn đáp án D ä x 2Z Câu 169. Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 x2 + . x3 x2 + + C. 3 4 Z x2 C. f ( x) d x = x3 + + C . 4 x2 + C. 2 Z x2 D. f ( x) d x = x3 + . 4 Z A. B. f ( x) d x = f ( x) d x = x3 + - Lời giải. Z Ta có Z ³ Z Z x´ 1 x2 2 2 f ( x) d x = 3x + dx = 3 x dx + x d x = x3 + + C . 2 2 4 Chọn đáp án C ä Z Câu 170. Nguyên hàm Th.s Nguyễn Chín Em sin 2 x d x bằng 132 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 1 2 A. − cos 2 x + C . - Lời giải. Z Chú ý rằng Chương 3 - Giải tích 12 B. cos 2 x + C . C. 1 cos 2 x + C . 2 D. − cos 2 x + C . 1 sin(ax + b) d x = − cos(ax + b) + C . a Chọn đáp án A ä Câu 171. Nguyên hàm của hàm số y = e−3x+1 là 1 3 1 −3x+1 e + C. B. −3e−3x+1 + C . 3 - Lời Zgiải. 1 Ta có: e−3x+1 d x = − e−3x+1 + C . 3 C. − e−3x+1 + C . A. D. 3e−3x+1 + C . Chọn đáp án C ä 2x Câu 172. Z Cho hàm số f ( x) = e . Mệnh đề nào sau đây đúng? Z 1 f ( x) d x = e2x + C . 2 Z 1 2x D. f ( x) d x = e +C . 2x f ( x) d x = e2x + C . A. B. 1 f ( x) d x = − e2x + C . 2 Lời giải. Z Z Z 1 1 2x f ( x) d x = e d x = e2x d(2 x) = e2x + C. 2 2 Z C. Chọn đáp án B ä Câu 173. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x2 . x2 +C . x dx = 2 Z 2 A. - Lời giải. Z x2 d x = Ta có Z B. Z 2 C. x dx = 2x + C . x3 x dx = +C . 3 2 Z D. x2 d x = x3 . 3 x3 + C. 3 Chọn đáp án C ä Câu 174. Z Khẳng định Z nào trong các khẳng định sau là sai? A. f ( x)d x với k ∈ R. Z Z [ f ( x) + g( x)]d x = f ( x)d x + g( x)d x với f ( x), g( x) liên tục trên R. k f ( x)d x = k Z B. Z C. xα d x = 0 µZ D. 1 α+1 x + C với α 6= −1. ¶α + 1 f ( x)d x = f ( x). - Lời giải. Z Z Khẳng định k f ( x)d x = k f ( x)d x chỉ đúng với k 6= 0. Chọn đáp án A ä Câu 175. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x2 + x − 1 1 1 d x = 2 + − 2 + C. 2 x x x Z 2 x2 + x − 1 1 C. d x = x2 + ln | x| + + C. 2 x x Z A. 2 x2 + x − 1 . x2 Z 2 x2 + x − 1 1 B. d x = 2 x + + ln | x| + C. 2 x x Z 2 x2 + x − 1 1 D. d x = x2 − + ln | x| + C. x x2 - Lời giải. Z 2 x2 + x − 1 dx = x2 Z µ ¶ 1 1 1 2 + − 2 d x = 2 x + ln | x| + + C. x x x Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em ä 133 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Câu 176. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = ex + sin x là A. F ( x) = e x + cos x + C . B. F ( x) = ex − sin x + C . C. y = e x + sin x + C . - LờiZgiải. D. y = e x − cos x + C . ¡ x ¢ e + sin x d x = e x − cos x + C. Ta có Chọn đáp án D ä Câu 177. Nguyên hàm của hàm số y = x2 − 3 x + x3 3 x2 − − ln | x| + C . 3 2 x3 3 x2 − + ln x + C . C. 3 2 - Lời giải. ¶ Z µ 1 x3 3 x2 2 Ta có x − 3x + dx = − + ln | x| + C . x 3 2 1 là x A. x3 3 x2 1 − + 2 + C. 3 2 x x3 3 x2 D. − + ln | x| + C . 3 2 B. Chọn đáp án D ä Câu 178. Z Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?Z ax dx = A. Z C. ax + C (0 < a 6= 1). ln a dx = tan x + C . cos x Z xα+1 D. xα d x = + C (α 6= −1). α+1 B. dx = ln | x| + C . x - LờiZgiải. dx = tan x + C . cos2 x Ta có Chọn đáp án B ä Câu 179. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số y = cos x A. y = − sin x. - LờiZgiải. Ta có B. y = x − sin x. C. y = x + sin x. D. y = sin x. cos x d x = sin x + C . Chọn đáp án D ä Câu 180. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x3 là. A. x4 . 4 B. - Lời giải. x3 + C. 3 Z C. 3 x2 + C . Z f ( x) d x = x3 d x = D. x4 + C. 4 x4 + C. 4 Chọn đáp án D 1.1 1. 11. 21. 31. 41. 51. 61. 71. 81. 91. ä ĐÁP ÁN B D C A B D B D A A 2. 12. 22. 32. 42. 52. 62. 72. 82. 92. D D C D B C A C D B Th.s Nguyễn Chín Em 3. 13. 23. 33. 43. 53. 63. 73. 83. 93. B C A C D C C D A D 4. 14. 24. 34. 44. 54. 64. 74. 84. 94. C B D B A D C C A D 5. 15. 25. 35. 45. 55. 65. 75. 85. 95. C A D C D D A C B C 6. 16. 26. 36. 46. 56. 66. 76. 86. 96. 134 B B B B B C D D C A 7. 17. 27. 37. 47. 57. 67. 77. 87. 97. D A A A C C B D C D 8. 18. 28. 38. 48. 58. 68. 78. 88. 98. D A D C A B B B C B 9. 19. 29. 39. 49. 59. 69. 79. 89. 99. A D B D B D A D A C 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. 90. 100. D D D C C A B A B D https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 101. 111. 121. 131. 141. 151. 161. 171. A D B A C A A C 2 102. 112. 122. 132. 142. 152. 162. 172. A D A C A C A B 103. 113. 123. 133. 143. 153. 163. 173. D B C A B B A C 104. 114. 124. 134. 144. 154. 164. 174. C A D A C D B A 105. 115. 125. 135. 145. 155. 165. 175. Chương 3 - Giải tích 12 D D C C D D A B 106. 116. 126. 136. 146. 156. 166. 176. B A B C B C A D 107. 117. 127. 137. 147. 157. 167. 177. A A A A C A B D 108. 118. 128. 138. 148. 158. 168. 178. A A C D C C D B 109. 119. 129. 139. 149. 159. 169. 179. D B C B B A C D 110. 120. 130. 140. 150. 160. 170. 180. B D B B B B A D THÔNG HIỂU Câu 1. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f 0 ( x) = − cos x và f (0) = 2019. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f ( x) = − sin x + 2019. B. f ( x) = 2019 + cos x. C. f ( x) = sin x + 2019. D. f ( x) = 2019 − cos x. - Lời giải. Z 0 0 Z Do f ( x) = − cos x nên f ( x) = f ( x) d x = (− cos x) d x = − sin x + C . Do f (0) = 2019 nên − sin 0 + C = 2019 ⇔ C = 2019. Vậy f ( x) = − sin x + 2019. Chọn đáp án A ä p x−3 d x, bằng cách đặt u = x + 1 ta được nguyên hàm nào? p Zx+1 Z Z ¡ 2 ¢ ¡ 2 ¢ ¡ ¢ B. u − 4 d u. C. u − 3 d u. D. 2u u2 − 4 du. Z Câu 2. Khi tính nguyên hàm Z A. ¡ ¢ 2 u2 − 4 d u. - Lời giải. p 2 2 Với u = Z x + 1 ta có u Z = x + 1 ⇒ 2 u du = dZx và x = u − 1. Từ đó x−3 dx = p x+1 u2 − 1 − 3 · 2u du = u ¡ ¢ 2 u2 − 4 d u. Chọn đáp án A ä Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 4 x (1 + ln x) là A. 2 x2 ln x + 3 x2 . B. 2 x2 ln x + x2 . C. 2 x2 ln x + 3 x2 + C . D. 2 x2 ln x + x2 + C . - Lời giải.    du = 1 d x x Đặt ⇒  dv = 4 x d x   v = 2 x2 . Z Z 2 Khi đó f ( x) d x = 2 x (1 + ln x) − 2 x d x = 2 x2 (1 + ln x) − x2 + C = 2 x2 ln x + x2 + C .   u = 1 + ln x Chọn đáp án D ä Câu 4. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x4 + x là A. x4 + x2 + C . B. 4 x3 + 1 + C . C. x5 + x2 + C . - LờiZgiải. Ta có ¡ D. 1 5 1 2 x + x + C. 5 2 ¢ 1 1 x4 + x d x = x5 + x2 + C . 5 2 Chọn đáp án D ä Câu 5. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x3 + x2 là A. x4 + x3 + C . - LờiZgiải. Ta có Z f ( x) d x = B. 1 4 1 3 x + x + C. 4 3 C. 3 x2 + 2 x + C . 1 1 ( x3 + x2 ) d x = x4 + x3 + C. 4 3 Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em D. x3 + x2 + C . ä 135 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Z p Câu 6. Nguyên hàm I = 2 x + 1 d x là 2p 1p B. I = (2 x + 1)3 + C . (2 x + 1)3 + C . 3 3 1 1 C. I = p + C. D. I = p + C. 2 2x + 1 4 2x + 1 - Lời giải. Z » 1 p 1 Ta có I = 2 x + 1 d (2 x + 1) = (2 x + 1)3 + C , với C là hằng số tùy ý. 2 3 A. I = Chọn đáp án A ä 1 1 1 x thỏa mãn điều kiện F (−1) = e là e x2 1 3 1 1 D. F ( x) = −2 e x + . C. F ( x) = 2 e x − . e e Câu 7. Nguyên hàm F ( x) trên (−∞; 0) của hàm số f ( x) = − 1 A. F ( x) = e x . B. F ( x) = 2 1 −ex. e - Lời giải. Z µ ¶ Z 1 1 1 1 1 Ta có F ( x) = − 2 e x d x = e x d = e x + C. x x 1 1 F (−1) = ⇔ e−1 + C = ⇔ C = 0. e e 1 Vậy F ( x) = e x . Chọn đáp án A ä ³ π´ 1 trên khoảng 0; là Câu 8. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 sin2 x cos2 x Z Z A. f ( x) d x = − cot x + tan x + C . B. f ( x) d x = cot x − tan x + C . Z Z C. f ( x) d x = ln sin2 x + ln cos2 x + C . D. f ( x) d x = − cot x − tan x + C . - Lời giải. Ta có f ( x) = Z Do đó, 1 2 sin2 x cos Z µ x f ( x) d x = = sin2 x + cos2 x 2 = 1 1 + . cos2 x sin2 x sin x cos¶2 x 1 1 + d x = tan x − cot x + C . 2 cos x sin2 x Chọn đáp án A ä Câu 9. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x3 5 − + C. A. f ( x)d x = 3 x Z 2 x3 5 C. f ( x)d x = + + C. 3 x 5 + 2 x4 x2 Z Z B. f ( x)d x = 2 x3 − Z D. f ( x)d x = 5 + C. x 2 x3 + 5 ln x2 + C . 3 - Lời giải. 5 + 2 x2 . 2 xZ Z Z 5 2 x3 5 2 Khi đó f ( x)d x = 2 x d x + d x = − + C. 3 x x2 Rút gọn f ( x) ta được f ( x) = Chọn đáp án A ä Câu 10. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x + 1) ln x. Tính F 00 ( x). 1 x A. F 00 ( x) = 1 + . 1 x 1 x B. F 00 ( x) = . C. F 00 ( x) = 1 + + ln x. D. F 00 ( x) = x + ln x. - Lời giải. Z 1 Ta có F ( x) = ( x + 1) ln x d x ⇒ F 0 ( x) = ( x + 1) ln x ⇒ F 00 ( x) = 1 + + ln x. x Chọn đáp án C ä Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = e x + x là A. e x + x2 + C . Th.s Nguyễn Chín Em 1 2 B. e x + x2 + C . C. 136 1 x 1 2 e + x + C. x+1 2 D. e x + 1 + C . https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z Lời giải. Z f ( x) d x = Chương 3 - Giải tích 12 ¡ x ¢ 1 e + x d x = e x + x2 + C 2 Chọn đáp án B ä Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 4 x(1 + ln x) là A. 2 x2 ln x + 3 x2 . B. 2 x2 ln x + x2 . C. 2 x2 ln x + 3 x2 + C . D. 2 x2 ln x + x2 + C . - Lời giải. Z Z (1 + ln x) d(2 x2 ) Z 1 = 2 x2 (1 + ln x) − 2 x2 d x x 4 x(1 + ln x) d x = = 2 x2 (1 + ln x) − x2 + C = 2 x2 ln x + x2 + C. Chọn đáp án D ä Câu 13. Hàm số F ( x) = x2 ln (sin x − cos x) là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? A. f ( x) = x2 . sin x − cos x C. f ( x) = 2 x ln (sin x − cos x) + - Lời giải. B. f ( x) = 2 x ln (sin x − cos x) + x2 (cos x + sin x) . sin x − cos x D. f ( x) = x2 (sin x + cosx) . sin x − cos x x2 . sin x − cos x Vì F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) nên f ( x) = F 0 ( x) = 2 x · ln (sin x − cos x) + x2 · sin x + cos x (sin x − cos x)0 = 2 x · ln (sin x − cos x) + x2 · . sin x − cos x sin x − cos x Chọn đáp án C ä Câu 14. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f 0 ( x) − x f ( x) = 0, f ( x) > 0, ∀ x ∈ R và f (0) = 1. Giá trị của f (1) bằng 1 1 A. p . B. . e e C. p e. D. e. – Lời giải. Z 0 Z f 0 ( x) f ( x) 1 =x⇒ d x = x d x ⇒ ln [ f ( x)] = x2 + C (do f ( x) > 0, ∀ x ∈ R). f ( x) f ( x) 2 1 2 p 1 2 1 2 Do đó ln [ f (0)] = · 0 + C ⇒ C = 0 ⇒ ln f ( x) = x ⇒ f ( x) = e 2 x ⇒ f (1) = e. 2 2 Từ giả thiết ta có Chọn đáp án C ä Câu 15. Cho hàm số f ( x) = sin2 2 x · sin x. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm f ( x). 4 4 4 4 B. y = − cos3 x + cos5 x + C . 3 5 3 5 4 4 4 4 3 3 5 C. y = sin x − cos x + C . D. y = − sin x + sin5 x + C . 3 5 3 5 – LờiZgiải. Z Z Ta có f ( x) d x = sin2 2 x · sin x d x = 4 sin3 x · cos2 x d x Z Z ¡ ¢ 2 2 = −4 sin x · cos x · d (cos x) = −4 1 − cos2 x · cos2 x · d (cos x) Z ¡ 2 ¢ 4 4 = −4 cos x − cos4 x · d (cos x) = − cos3 x + cos5 x + C. 3 5 A. y = cos3 − sin5 x + C . Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em ä 137 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z Câu 16. Tìm họ nguyên hàm F ( x) = 1 + C. 4(2 x + 1)2 1 C. F ( x) = − + C. 4(2 x + 1)3 Chương 3 – Giải tích 12 1 d x. (2 x + 1)3 1 + C. 6(2 x + 1)2 1 D. F ( x) = − + C. 6(2 x + 1)3 B. F ( x) = − A. F ( x) = − – Lời giải. Z Ta có F ( x) = −3 (2 x + 1) 1 (2 x + 1)−2 1 dx = · +C =− + C. 2 −2 4(2 x + 1)2 Chọn đáp án A ä 3 2 Câu 17. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = e x + 2 x thỏa mãn F (0) = . F ( x) bằng 1 2 5 2 – LờiZgiải. Ta có 3 2 B. F ( x) = e x + x2 − . A. F ( x) = e x + x2 + . C. F ( x) = e x + x2 + . 1 2 D. F ( x) = e x + x2 + . ¡ x ¢ e + 2 x d x = e x + x2 + C . 3 3 1 nên e0 + 02 + C = ⇔ C = . 2 2 2 1 x 2 Vậy F ( x) = e + x + . 2 Do F (0) = Chọn đáp án D ä Câu 18. Cho F ( x) là nguyên hàm của f ( x) = p p A. 3. – Lời giải. Z 1 x+2 thỏa mãn F (2) = 4. Giá trị F (−1) bằng p B. 1. C. 2 3. D. 2. p dx = 2 x + 2 + C. x+p 2 p Theo đề bài F (2) = 4 nên 2 2 + 2 + C = 4 ⇔ C = 0 ⇒ F (−1) = 2 −1 + 2 = 2. F ( x) = Z f ( x)d x = p 1 Vậy F (−1) = 2. Chọn đáp án D ä Z Câu 19. Cho biết A. a + 2 b = 8. 2 x − 13 d x = a ln | x + 1| + b ln | x − 2| + C . Mệnh đề nào sau đây đúng? ( x + 1)( x − 2) B. a + b = 8. C. 2a − b = 8. D. a − b = 8. – Lời giải. Giả sử 2 x − 13 = A ( x + 1) + B( x− 2) ⇔ 2 x − 13 = ( A+ B) x + A − 2B. Đồng nhất thức hai vế ta có hệ  A + B = −2  A − 2B = −13 Z ⇔  A = −3  B = 5. −3( x + 1) + 5( x − 2) dx ( x + 1)( x − 2) Z Z −3 5 = dx + dx x−2 x+1 = −3 ln | x − 2| + 5 ln | x + 1| + C. 2 x − 13 dx = ( x + 1)( x − 2) Z Suy ra a = 5, b = −3, vậy a − b = 8. Chọn đáp án D ä Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = p p A. 2 1 − 2 x + C . 1 1 − 2x p B. −2 1 − 2 x + C . là C. p 1 − 2x + C. p D. − 1 − 2 x + C . – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 138 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 1 Z Ta có 1 1 dx = − p 2 1 − 2x Z (1 − 2 x) − p (1 − 2 x) 2 + C = − 1 − 2x + C. · 1 2 2 1 1 2 d(1 − 2 x) = − Chọn đáp án D ä Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = p 3 3x + 1 p 3 3x + 1 + C. A. B. – Lời giải. Z Ta có 1 là 1p 3 3x + 1 + C. 3 C. 1p 3 (3 x + 1)2 + C . 2 D. 3p 3 (3 x + 1)2 + C . 2 2 1 dx = p 3 3 3x + 1 1 1 −3 Z (3 x + 1) 1 (3 x + 1) 3 1p 3 d(3 x + 1) = · (3 x + 1)2 + C . +C = 2 3 2 3 Chọn đáp án C ä Câu 22. Cho hàm số f ( x) thỏa f 0 ( x) = 3 − 5 sin x và f (0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f ( x) = 3 x + 5 cos x + 5. B. f ( x) = 3 x + 5 cos x + 2. C. f ( x) = 3 x − 5 cos x + 2. D. f ( x) = 3 x − 5 cos x + 15. – Lời Zgiải. f ( x) = (3 − 5 sin x) d x = 3 x + 5 cos x + C . f (0) = 10 ⇒ 5 + C = 10 ⇒ C = 5. Vậy hàm số cần tìm: f ( x) = 3 x + 5 cos x + 5. Chọn đáp án A ä Câu 23. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin x + cos x thỏa mãn F ³π´ = 2. 2 B. F ( x) = − cos x + sin x + 3. A. F ( x) = cos x − sin x + 3. C. F ( x) = − cos x + sin x − 1. D. F ( x) = − cos x + sin x + 1. – Lời giải. Z ³π´ = 2 nên C = 1. Ta có F ( x) = f ( x) d x = − cos x + sin x + C . Mà F 2 Chọn đáp án D ä p Câu 24. Z Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x − 1. p 2 A. f ( x) d x = (2 x − 1) 2 x − 1 + C . 3 Z p 1 C. f ( x) d x = − (2 x − 1) 2 x − 1 + C . 3 p 1 f ( x) d x = (2 x − 1) 2 x − 1 + C . 3 Z p 1 D. f ( x) d x = (2 x − 1) 2 x − 1 + C . 2 Z B. – Lời giải. Ta có Z Z p Z 1 1 2x − 1 dx = (2 x − 1) 2 d(2 x − 1) 2 p 3 1 2 1 = · (2 x − 1) 2 + C = (2 x − 1) 2 x − 1 + C 2 3 3 f ( x) d x = Chọn đáp án B ä ½ ¾ 1 2 Câu 25. Cho hàm số f ( x) xác định trên R thỏa mãn f 0 ( x) = , f (0) = 1 và f (1) = 2. Giá trị của 2 2x − 1 biểu thức f (−1) + f (3) bằng A. 4 + ln 15. B. 2 + ln 15. C. 3 + ln 15. D. ln 15. – Lời giải. Cách 1: dùng bài toán tìm nguyên hàm có½điều ¾ kiện trên 1 khoảng K Chú ý: g( x) = 2 1 xác định trên D = R nên mỗi nguyên hàm G ( x) của g( x) chỉ được xét trên từng 2x − 1 2 Th.s Nguyễn Chín Em 139 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 khoảng con của D, không được xét trên cả tập xác định D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Z. . . . . . . . . . . .Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trên từng khoảng của D, ta có f ( x) = f 0 ( x) d x = 2 d x = ln |2 x − 1| + C 2x − 1 µ ¶ 1 Xét trên khoảng −∞; , ta có f (0) = 1, suy ra C = 1. 2 ¶ µ 1 Do đó, f ( x) = ln |2 x − 1| + 1, với mọi x ∈ −∞; . Suy ra f (−1) = 1 + ln 3. 2 1 2 Xét trên khoảng ( ; +∞), ta có f (1) = 2, suy ra C = 2. ¶ 1 Do đó, f ( x) = ln |2 x − 1| + 2, với mọi ; +∞ . Suy ra f (3) = 2 + ln 5. 2 µ Vậy f (−1) + f (3) = 3 + ln 3 + ln 5 = 3 + ln 15. Cách 2: dùng định nghĩa tích phân xác định trên đoạn mà hàm số liên tục Chú ý: Nếu hàm số f ( x) liên tục trên K (một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng) chứa a và b thì F (b) = Zb f ( x) d x, trong đó F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên đoạn [a; b]. F ( a) + . . . . . . .a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Do f 0 ( x) = 2 liên tục trên mỗi đoạn [−1; 0] và [1; 3] nên 2x − 1   Z−1 Z−1     2   0    f (−1) = f (0) + f ( x) d x  d x = 1 + ln 3 f (−1) = 1 +     2x − 1   0 0 ⇔ 3 3   Z Z     2   0   f (3) = f (1) + f ( x ) d x f (3) = 2 + d x = 2 + ln 5       2x − 1 1 1 Vậy f (−1) + f (3) = 3 + ln 3 + ln 5 = 3 + ln 15. Chọn đáp án C ä Câu 26. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x4 + x là A. x4 + x2 + C . B. 4 x3 + 1 + C . C. x5 + x2 + C . – LờiZgiải. Ta có ¡ D. 1 5 1 2 x + x + C. 5 2 ¢ 1 1 x4 + x d x = x5 + x2 + C . 5 2 Chọn đáp án D ä Câu 27. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x3 + x2 là A. x4 + x3 + C . – LờiZgiải. Z Ta có f ( x) d x = B. 1 4 1 3 x + x + C. 4 3 C. 3 x2 + 2 x + C . D. x3 + x2 + C . 1 1 ( x3 + x2 ) d x = x4 + x3 + C. 4 3 Chọn đáp án B ä Z Câu 28. Giả sử ¡ ¢ ¡ ¢ e2x 2 x3 + 5 x2 − 2 x + 4 d x = ax3 + bx2 + cx + d e2x + C . Khi đó a + b + c + d bằng A. −2. – LờiZgiải. B. 3. C. 2. D. 5. ¡ ¢ ¡ ¢ e2x 2 x3 + 5 x2 − 2 x + 4 d x = ax3 + bx2 + cx + d e2x + C nên: ¡¡ 3 ¢ ¢0 ¡ ¢ ¡ ¢ ax + bx2 + cx + d e2x + C = 3ax2 + 2 bx + c e2x + 2 e2x ax3 + bx2 + cx + d ¡ ¢ . = 2ax3 + (3a + 2 b) x2 + (2 b + 2 c) x + c + 2 d e2x Ta có = (2 x3 + 5 x2 − 2 x + 4) e2x Th.s Nguyễn Chín Em 140 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Do đó   2a = 2      3 a + 2 b = 5   2 b + 2 c = −2      c + 2d = 4 ⇔   a=1      b = 1   c = −2     d = 3 Chương 3 – Giải tích 12 . Vậy a + b + c + d = 3. Chọn đáp án B ä Câu 29. Z Khẳng định nào sau đây sai? tan 2 x 1 d x = + C. 2 2 Z cos 2 x D. cos 2 x d x = 2 sin 2 x + C . sin 4 x + C. 4 Z 1 ln | x| C. dx = + C. ex e – LờiZgiải. sin 2 x Ta có cos 2 x d x = + C. 2 A. Z B. cos 4 x d x = Chọn đáp án D ä 1 d x. p 5x + 2 Z Câu 30. Tìm nguyên hàm I = 1p A. I = 3 (5 x + 2)3 + C . 2p 5x + 2 + C. 5 p 2 D. I = (5 x + 2)3 + C . 5 B. I = 5 1p 5x + 2 + C. C. I = 5 – Lời giải. Z I= 1 1 Z dx = p 5x + 2 − 12 (5 x − 2) 2 · (5 x − 2) 2 2p dx = +C = 5x − 2 + C. 5 5 Chọn đáp án B ä ³π´ Câu 31. Biết F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x + cos x, thỏa mãn F = 2. Tính giá trị của 2 S = F (0) + 2F (π). A. S = 4. B. S = 5. C. S = −1. D. S = 0. – Lời giải. Z Ta có F ( x) = (sin x + cos x) d x = − cos x + sin x + C Theo giả thiết ta có F ³π´ π π + C = 2 ⇒ C = 1. 2 2 2 Vậy F ( x) = − cos x + sin x + 1, S = F (0) + 2F (π) = 4. = 0 ⇒ − cos + sin Chọn đáp án A ä p Câu 32. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = p x x+ x là x2 2 ( x − 1) A. F ( x) = p + C. xp 1+2 x C. F ( x) = + C. x Lời giải. p Z p x x+ x dx = x2 Z µ x 1 −2 +x B. F ( x) = 2 ¡p x+1 ¢ + C. 2 xp 2−3 x D. F ( x) = p + C. x 3 −2 ¶ 1 1 d x = 2 x 2 − 2 x− 2 + C ä p p 2 2 2x − 2 = 2 x − p + C = 2 x − p + C = p + C. x x x 3 cos x d x bằng 2 + sin x 3 sin x A. + C. B. −3 ln |2 + sin x| + C . (2 + sin x)2 Z Câu 33. C. 3 ln (2 + sin x) + C . D. 3 sin x (2 + sin x)2 + C. – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 141 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ . Z Đặt t = 2 + sin x⇒ d t = cos x d x. I = Chương 3 – Giải tích 12 3 dt = 3 ln | t|= 3 ln (2 + sin x) + C . t Chọn đáp án C ä Câu 34. Z Công thức nào dưới đây là sai? 1 ¯¯ x − a ¯¯ 1 A. d x = ln ¯ ¯ + C. 2 2 2 x+a Z x −a 1 C. eax+b d x = eax+b + C . a Z B. sin x d x = cos x + C . Z D. ax dx = ax + C, (0 < a 6= 1). ln a Z- Lời giải. sin x d x = − cos x + C . ä ln x d x có kết quả là x x2 1 A. B. ln2 x + C . (ln x − 1) + C . 2 2 - Lời giải. Z Z ln2 x ln x d x = ln x d(ln x) = + C. Ta có x 2 Z Câu 35. Tìm C. ln |ln x| + C . D. ln x2 + C. 2 Chọn đáp án B ä Câu 36. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên R {1} thỏa mãn f 0 ( x) = trị của f (3) − f (−1) bằng A. 1. - Lời giải. B. ln 4. 1 , f (0) = 2018, f (2) = 2019. Giá x−1 C. ln 4037. D. 0. Cách 1:   ln( x − 1) + C 1 khi x > 1 1 d x = ln | x − 1| + C , suy ra f ( x) = Có f ( x) = f 0 ( x) d x =  ln(1 − x) + C khi x < 1. x−1 2 Do f (0) = 2018, f (2) = 2019 nên C2 = 2018, C1 = 2019. Z Z Khi đó f (3) − f (−1) = ln 2 + C1 − (ln 2 + C2 ) = C1 − C2 = 1. Cách 2: Sử dụng MTCT Ta có f (3) − f (−1) = f (3) − f (2) + f (0) − f (−1) + f (2) − f (0) Z3 Z0 0 = f ( x) d x + f 0 ( x) d x + f (2) − f (0) + 1 2 Z3 = 2 −1 Z0 1 dx + x−1 −1 1 d x + f (2) − f (0) = 1. x−1 Chọn đáp án A ä p 3 Câu 37. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x · x2 + 1 bằng 1p 1p 3p 3 B. ( x2 + 1) + C . C. 3 ( x2 + 1) + C . A. 3 ( x2 + 1)4 + C . 8 8 8 D. - LờiZgiải. Z p 1 4 1 3 3p 3 3 2 Ta có x · x + 1 d x = ( x2 + 1) 3 d( x2 + 1) = ( x2 + 1) 3 + C = ( x2 + 1)4 + C . 2 8 3p 3 ( x2 + 1)4 + C . 8 8 Chọn đáp án D ä Câu 38. Cho F ( x) = (ax2 + bx − c)e2x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = (2018 x2 − 3 x + 1)e2x trên khoảng (−∞; +∞). Tính T = a + 2b + 4 c. Th.s Nguyễn Chín Em 142 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. T = −3035. Chương 3 - Giải tích 12 B. T = 1007. C. T = −5053. D. T = 1011. - Lời giải. Vì F ( x) = (ax2 + bx− c)e2x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = (2018 x2 −3 x+1)e2x trên khoảng (−∞; +∞) nên ta có: (F ( x))0 = f ( x), với mọi x ∈ (−∞; +∞). ¡ ¢ ¡ ¢ ⇔ 2ax2 + x(2 b + 2a) − 2 c + b e2x = 2018 x2 − 3 x + 1 e2x , với mọi x ∈ (−∞; +∞).   a = 1009    2 a = 2018       2021 ⇔ 2 b + 2a = −3 ⇔ b = − 2         − 2c + b = 1 2023   . c=− 4µ ¶ µ ¶ 2021 2023 Vậy T = a + 2 b + 4 c = 1009 + 2 · − +4· − = −3035. 2 4 Chọn đáp án A ä Câu 39. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 A. f ( x) d x = − ln |1 − 2 x| + C . 2 Z C. f ( x) d x = −2 ln |1 − 2 x| + C . Z Z Lời giải. Z f ( x) d x = 1 dx =− 1 − 2x 2 1 là 1 − 2x Z B. f ( x) d x = ln |1 − 2 x| + C . Z D. f ( x) d x = 2 ln |1 − 2 x| + C . 1 d(1 − 2 x) = − ln |1 − 2 x| + C . 1 − 2x 2 Z Chọn đáp án A ä Câu 40. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Z A. xe+1 x dx = + C. e+1 e Z B. 1 x d x = x3 + C . 3 Z 2 C. - LờiZgiải. Ta có e x+1 e dx = + C. x+1 x Z D. 1 x7 d x = x8 + C . 8 e x d x = e x + C ⇒. Chọn đáp án C ä Câu 41. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 1 ln |2 x + 3| + C . C. ln |2 x + 3| + C . D. ln |2 x + 3| + C . 2 ln 2 - Lời giải. Z Z 1 1 Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng: f ( x) d x = d x = ln |2 x + 3| + C . 2x + 3 2 A. 1 ln(2 x + 3) + C . 2 1 là 2x + 3 B. Chọn đáp án B ä 2 Câu 42. F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y = x · ex . Hàm số nào sau đây không phải là F ( x) ? 1 2 2 A. F ( x) = e x + 2. - Lời giải. B. F ( x) = ´ 1 ³ x2 e +5 . 2 1 2 2 C. F ( x) = − e x + C . D. F ( x) = − ´ 1³ 2 2 − ex . 2 µ ¶0 1 x2 2 2 Ta thấy ở đáp án C thì − e + C = − xe x 6= xex nên hàm số ở đáp án C không là một nguyên hàm của 2 x2 hàm y = x · e . Chọn đáp án C ä Câu 43. Nguyên hàm của hàm số y = e−3x+1 là A. 1 −3x+1 e + C. 3 - Lời giải. Ta có: Z −3x+1 e Th.s Nguyễn Chín Em 1 3 B. −3e−3x+1 + C . 1 dx = − 3 Z C. − e−3x+1 + C . D. 3e−3x+1 + C . 1 e−3x+1 d(−3 x + 1) = − e−3x+1 + C. 3 143 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Chọn đáp án C ä Câu 44. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = e2x , biết F (0) = 1. A. F ( x) = e2x . B. F ( x) = - Lời giải. e2x 1 + . 2 2 Ta có: Z F ( x) = Z f ( x) d x = 1 2 Theo giả thiết: F (0) = 1 ⇒ C = . Vậy F ( x) = D. F ( x) = e x . C. F ( x) = 2e2x − 1. 1 e2x d x = e2x + C. 2 e2x 1 + . 2 2 Chọn đáp án B ä Câu 45. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f 0 ( x) = x + sin x và f (0) = 1. Tìm f ( x). x2 − cos x − 2. 2 2 x 1 D. f ( x) = + cos x + . 2 2 x2 − cos x + 2. 2 2 x C. f ( x) = + cos x. 2 B. f ( x) = A. f ( x) = - Lời giải. Ta có f 0 ( x) = x + sin x ⇒ f ( x) = Vậy f ( x) = x2 − cos x + 2. 2 x2 − cos x + C ; f (0) = 1 ⇔ −1 + C = 1 ⇔ C = 2. 2 Chọn đáp án A ä Z1 Câu 46. Cho A. −9. Z1 f ( x) d x = 3. Tính tích phân I = −2 [2 f ( x) − 1] d x. −2 B. −3. C. 3. D. 5. - Lời giải. Z1 I= Z1 [2 f ( x) − 1] d x = 2 −2 Z1 f ( x) d x − −2 ¯1 ¯ d x = 6 − x ¯ = 3. −2 −2 Chọn đáp án C ä Câu 47. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x3 5 − + C. 3 x Z 2 x3 5 C. f ( x) d x = + + C. 3 x Z A. 5 + 2 x4 . x2 Z B. f ( x) d x = f ( x) d x = 2 x3 − Z D. f ( x) d x = 5 + C. x 2 x3 + 5 ln x2 + C . 3 - Lời giải. Z Ta có ¶ Z µ 5 2 x3 5 2 2x + 2 dx = f ( x) d x = − + C. 3 x x Chọn đáp án A ä Câu 48. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x + 1) ln x. Tính F 00 ( x). 1 x A. F 00 ( x) = 1 + . 1 x 1 x B. F 00 ( x) = . C. F 00 ( x) = 1 + + ln x. D. F 00 ( x) = x + ln x. - Lời giải. Z Z 1 Ta có F ( x) = f ( x) d x = ( x + 1) ln x d x ⇒ F 0 ( x) = ( x + 1) ln x ⇒ F 00 ( x) = 1 + + ln x. x Chọn đáp án C ä Câu 49. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x3 + x2 là: A. x4 x3 + + c. 4 3 Th.s Nguyễn Chín Em B. x4 + x3 . C. 3 x2 + 2 x. 144 D. 1 4 1 3 x + x . 3 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 - Lời giải. Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản ta có: Z Z f ( x) d x = ( x3 + x2 ) d x = x4 x3 + + c. 4 3 Chọn đáp án A ä 1 trên khoảng (1; +∞) thỏa mãn F (e + 1) = 4. Tìm Câu 50. Cho F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) = x−1 F ( x). A. F ( x) = 2 ln( x − 1) + 2. B. F ( x) = ln( x − 1) + 3. C. F ( x) = 4 ln( x − 1). D. F ( x) = ln( x − 1) − 3. - Lời giải.Z dx = ln( x − 1) + C với x ∈ (1; +∞) x−1 Lại có F (e + 1) = 4 ⇒ 4 = 1 + C ⇒ C = 3. Do đó F ( x) = ln( x − 1) + 3. Gọi F ( x) = Z f ( x) d x = Chọn đáp án B ä Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số y = 3 x ( x + cos x) là A. x3 + 3 ( x sin x + cos x) + C . B. x3 − 3 ( x sin x + cos x) + C . C. x3 + 3 ( x sin x − cos x) + C . D. x3 − 3 ( x sin x − cos x) + C . - Lời giải. Z Z Z ¡ 2 ¢ 3 Ta có I = 3 x ( x + cos x) d x = 3 x + 3 x cos x d x = x + 3 x cos x d x.   Z x = u d x = d u Tính J = x cos x d x.Đặt ⇒  cos x d x = dv  sin x = v Z ⇒ J = x sin x − sin x d x = x sin x + cos x + C . Vậy I = x3 + 3 ( x sin x + cos x) + C . Chọn đáp án A ä Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x + 1 là sin2 x A. + x + C. B. − cos x + x + C . 2 - LờiZgiải. Z Ta có f ( x) d x = (sin x + 1) d x = − cos x + x + C . C. cos x + x + C . D. − cos x + C . Chọn đáp án B ä Câu 53. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = e3x , biết F (0) = 1. 1 2 A. F ( x) = e3x + . 3 3 - LờiZgiải. Z 1 3 B. F ( x) = e3x + 1. 1 3 C. F ( x) = e3x + . D. F ( x) = 3e3x − 2. 1 e3x d x = e3x + c = F ( x). 3 1 2 Mặt khác, F (0) = · 1 + c = 1 ⇔ c = . 3 3 1 3x 2 Nên F ( x) = e + . 3 3 Ta có f ( x) d x = Chọn đáp án A ä Câu 54. Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x) = 10x là 10 x A. + C. ln 10 - LờiZgiải. Ta có 10 x d x = B. 10 x+1 + C. x+1 C. 10 x + C. 11 D. 10x · ln 10 + C . 10 x + C. ln 10 Th.s Nguyễn Chín Em 145 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Chọn đáp án A ä Câu 55. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. − ln x 2 + + C. x x B. − - Lời giải. 1 + ln x là x2 ln x 2 − + C. x x C. ln x 2 + + C. x x D. ln x 2 − + C. x x 1 + ln x 1 ln x = 2+ 2 . 2 x x  x  1     u = ln x d u = d x x Đặt ⇒ 1 1   d v = dx  v = − . 2 x xZ Z ln x ln x 1 ln x 1 Khi đó: dx = − + dx = − − + C0. 2 2 x x x x x Z 1 1 Mặt khác, d x = − + C ". x2 Z Z x Z ln x ln x 1 1 2 ln x 1 Do đó, f ( x) d x = dx + dx = − − − +C =− − + C. 2 2 x x x x x x x Ta có f ( x) = Chọn đáp án B ä Câu 56. Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x) = (2 x + 1) ln x là x2 x2 + x + C. B. ( x2 + x) ln x − − x + C . 2 2 2 x 1 C. ( x2 + 1) ln x − − x + C . D. 2 ln x + + C . 2 x - Lời giải.Z Xét F ( x) = (2 x + 1) ln x d x.     u = ln x d u = 1 d x x Đặt ⇒ dv = (2 x + 1) d x  v = x2 + x. Z x2 2 ⇒ F ( x) = ( x + x) ln x − ( x + 1) d x = ( x2 + x) ln x − − x + C. 2 A. ( x2 + x) ln x − Chọn đáp án B ä Câu 57. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = ln x là x 1 2 1 ln x + ln x + C . B. ln2 x + C . C. ln2 x + C . 2 2 - LờiZgiải. Z Z ln x 1 Ta có f ( x) d x = d x = ln xd (ln x) = ln2 x + C . x 2 A. D. ln (ln x) + C . Chọn đáp án B Z Câu 58. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; +∞). Khi đó 1 ¡p ¢ A. f x + C . 2 - Lời giải. Z 0 ¡p ¢ f x B. f ¡p ¢ x + C. C. −2 f ¡p ¢ x + C. ¡p ¢ f x d x bằng p x ¡p ¢ D. 2 f x + C . ä 0 1 x = t, ta có p d x = d t. x 2 x Z ¡p ¢ 0 Do đó: I = f ( t)2 d t = 2 f ( t) + C = 2 f x + C . Ta có: I = p d x. Đặt p Chọn đáp án D ä Câu 59. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f 0 ( x) = 3 − 5 sin x và f (0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f ( x) = 3 x + 5 cos x + 2. B. f ( x) = 3 x − 5 cos x + 15. C. f ( x) = 3 x + 5 cos x + 5. D. f ( x) = 3 x − 5 cos x + 2. Th.s Nguyễn Chín Em 146 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ - LờiZgiải. Ta có Chương 3 - Giải tích 12 Z 0 f ( x) d x = (3 − 5 sin x) d x = 3 x + 5 cos x + C . Mà f (0) = 10 ⇔ 3 · 0 + 5 cos 0 + C = 10 ⇔ C = 5. Vậy f ( x) = 3 x + 5 cos x + 5. Chọn đáp án C ä Câu 60. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = e−x + sin x thỏa mãn F (0) = 0. Tìm F ( x). A. F ( x) = −e−x − cos x + 2. B. F ( x) = −e−x − cos x. C. F ( x) = −e−x + cos x − 2. D. F ( x) = −e x − cos x + 2. - Lời giải. Z Có: f ( x) = e + sin x ⇒ f ( x) d x = −e−x − cos x + C . Mà F (0) = 0 ⇒ −1 − 1 + C = 0 ⇒ C = 2. −x Khi đó F ( x) = −e−x − cos x + 2. Chọn đáp án D ä Câu 61. Tìm họ nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 1 x 1 C. F ( x) = − (1 − ln 2 x) + C . x - Lời giải.   1     u = ln(2 x) d u = d x x Đặt , ta có 1 1   d v =  dx v = − . x2 x ln(2 x) . x2 A. F ( x) = − (ln 2 x − 1) + C . 1 x B. F ( x) = − (ln 2 x + 1) + C . 1 x D. F ( x) = (ln 2 x + 1) + C . Suy ra ln(2 x) f ( x) d x = dx x2 Z 1 ln(2 x) + = − dx x x2 ln(2 x) 1 − +C = − x x 1 = − (ln(2 x) + 1) + C. x Z Z F ( x) = Chọn đáp án B Câu 62. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 1 ln(2 x + 3) + C . B. ln |2 x + 3| + C . 2 2 - LờiZgiải. 1 1 Ta có d x = ln |2 x + 3| + C . 2x + 3 2 ä 1 là 2x + 3 A. C. ln |2 x + 3| + C . D. 2 ln |2 x + 3| + C . Chọn đáp án B ä Câu 63. Tìm một nguyên hàm của hàm số f ( x) = x tan2 x. x2 + C. 2 x2 C. x tan x + ln |cos x| + + C . 2 - Lời  giải. u = x ⇒ du = d x x2 + C. 2 x2 D. − x tan x + ln |cos x| − + C . 2 A. x tan x + ln |cos x| − Đặt B. x tan x − ln |cos x| − dv = tan2 x d x ⇒ v = − x + tan x. Th.s Nguyễn Chín Em 147 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z Khi đó x tan2 x d x = x (− x + tan x) − Z Chương 3 - Giải tích 12 (− x + tan x) d x = − x2 + x tan x + x2 x tan2 x d x = x tan x + ln |cos x| − + C . Z Z Z 2 sin x d (cos x) Biết rằng tan x d x = dx = − = − ln | cos x| + C . cos x cos x x2 + ln |cos x| + C 2 Z Hay Chọn đáp án A ä Z ¡ ¢10 x 1 − x2 d x. Đặt u = 1 − x2 , khi đó viết I theo u và d u ta được Z Z Z Z 1 1 10 10 10 A. I = − u d u. B. I = −2 u du. C. I = 2 u du. D. I = u10 d u. 2 2 Câu 64. Cho I = - Lời giải. 1 1 Đặt u = 1 − x ⇒ du = −2 x d x ⇒ x d x = − d u. Vậy I = − 2 2 2 Z u10 d u. Chọn đáp án A ä Câu 65. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f 0 ( x) = 3 − 5 sin x và f (0) = 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f ( x) = 3 x − 5 cos x + 5. C. f ( x) = 3 x + 5 cos x − 4. B. f ( x) = 3 x + 5 cos x + 5. D. f ( x) = 3 x − 5 cos x + 15. - Lời giải. Z Z 0 Ta có f ( x) = f ( x) d x = (3 − 5 sin x) d x = 3 x + 5 cos x + C . Ta có f (0) = 1 ⇔ 3 · 0 + 5 cos 0 + C = 1 ⇔ C = −4. Vậy f ( x) = 3 x + 5 cos x − 4. Chọn đáp án C ä p Câu 66. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = cos x sin x + 1. p 1 1 − 2 sin x − 3 sin2 x B. F ( x) = . p 3 2 sin x + 1 p p 2 1 C. F ( x) = (sin x + 1) sin x + 1 + C . D. F ( x) = sin x sin x + 1 + C . 3 3 - LờiZgiải. Z p p p 2 Ta có cos x sin x + 1 d x = sin x + 1 d(sin x + 1) = (sin x + 1) sin x + 1 + C . 3 A. F ( x) = (sin x + 1) sin x + 1 + C . Chọn đáp án C ä 1 và F (1) = 2. Tính F (2). x C. F (2) = 3. D. F (2) = ln 2 + 2. Câu 67. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. F (2) = 2 − ln 2. B. F (2) = 2 ln 2. - Lời giải. Theo giả thiết, F ( x) = ln | x| + C . Do F (1) = 2 nên C = 2. Vậy F (2) = ln 2 + 2. Chọn đáp án D ä Câu 68. Z Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x − sin x. Z A. B. f ( x) d x = x − cos x + C . Z C. Z D. f ( x) d x = x + cos x + C . f ( x) d x = x2 − cos x + C . f ( x) d x = x2 + cos x + C . - Lời giải. Ta có Z Z f ( x) d x = (2 x − sin x) d x = x2 + cos x + C. Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em ä 148 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Câu 69. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f ( x) = (3 x + 2)e2x+3 ? 1 2 1 C. F ( x) = (6 x + 1)e2x+3 . 4 1 3 A. F ( x) = (3 x + 1)e2x+3 . B. F ( x) = (2 x + 3)e2x+3 . D. F ( x) = (3 x − 1)e2x+3 . - Lời giải. Ta có Z Z f ( x) d x = (3 x + 2)e2x+3 d x. Đặt  u = 3 x + 2 dv = e2x+3 d x ⇒   d u = 3 d x 1  v = e2x+3 . 2 Khi đó Z 2x+3 (3 x + 2)e dx = = = = Z 1 3 2x+3 (3 x + 2)e − e2x+3 d x 2 2 1 3 (3 x + 2)e2x+3 − e2x+3 + C 4 µ2 ¶ 3 3 2x+3 x+1− e +C 2 4 1 (6 x + 1)e2x+3 + C. 4 Chọn đáp án C ä Câu 70. Z Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 2 x. A. Z C. cos 2 x + C. 2 Z cos 2 x D. sin 2 x d x = − + C. 2 Z B. sin 2 x d x = 2 cos 2 x + C . sin 2 x d x = − cos 2 x + C . sin 2 x d x = - LờiZ giải. Tính sin 2 x d x. Z Đặt t = 2 x ⇒ d t = 2 d x. Khi đó, sin t cos t cos 2 x dt = − +C =− + C. 2 2 2 Z sin 2 x d x = Chọn đáp án D ä 3x+1 Câu 71. . Z Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = e 1 A. f ( x) d x = e3x+1 + C . 3 Z 1 3x+1 C. f ( x) d x = e . 3 - Lời giải. Z f ( x) d x = e3x+1 + C . Z 1 f ( x) d x = − e3x+1 + C . 3 B. D. Z Z f ( x) d x = 1 e3x+1 d x = e3x+1 + C. 3 Chọn đáp án A ä Câu 72. Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng? 1 Mọi hàm số liên tục trên [a; b] đều có đạo hàm trên [a; b]. 2 Mọi hàm số liên tục trên [a; b] đều có nguyên hàm trên [a; b]. 3 Mọi hàm số có đạo hàm trên [a; b] đều có nguyên hàm trên [a; b]. 4 Mọi hàm số liên tục trên [a; b] thì đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a; b]. Th.s Nguyễn Chín Em 149 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. 2. Chương 3 - Giải tích 12 B. 3. C. 1. D. 4. - Lời giải. a) và b) sai, lấy VD là hàm y = | x|. c) đúng vì hàm số có đạo hàm trên [a; b] thì liên tục trên [a; b]. Do đó hàm số có nguyên hàm trên [a; b]. d ) đúng vì hàm số liên tục trên [a; b] thì có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các điểm cực trị hoặc hai đầu mút. Chọn đáp án A ä p Câu 73. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = x − 1 trên (0; +∞)? 2p 3 2 x − x + 1. 3 1 C. F ( x) = p . 2 x - Lời giải. Z ¡p ¢ 2p 3 Ta có: F ( x) = x − 1 dx = x − x + C. 3 2p 3 Cho C = 2 ta được F ( x) = x − x + 2. 3 2p 3 x − x + 2. 3 1 D. F ( x) = p − x. 2 x A. F ( x) = B. F ( x) = Chọn đáp án B ä Câu 74. Z Mệnh đề nào trong bốn mệnh đề sau sai? 1 d x = ln x + C . A. Z x C. cos x d x = sin x + C . - Lời giải. Z Mệnh đề Z B. ex d x = ex + C . Z D. 1 d x = ln x + C sai vì x Z 0 dx = C. 1 d x = ln | x| + C . x Chọn đáp án A ä Câu 75. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos x là A. tan x + C . B. cot x + C . C. − sin x + C . D. sin x + C . - LờiZgiải. Ta có cos x d x = sin x + C . Chọn đáp án D ä Câu 76. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = e−2018x là A. −1 2018x e + C. 2018 B. - Lời giải. Z e −2018x −1 −2018x e + C. 2018 1 dx = − 2018 Z C. 2018e−2018x + C . e−2018x d (−2018 x) = D. e−2018x + C . −1 −2018x e + C. 2018 Chọn đáp án B ä Câu 77. Tìm họ nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = x3 + x + 1. x4 x3 + + C. 4 2 x3 C. F ( x) = x4 + + x + C . 2 A. F ( x) = B. F ( x) = x4 x2 + + x + C. 4 2 D. F ( x) = 3 x3 + C . - Lời giải. x4 x2 F ( x) = + + x + C. 4 2 Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em ä 150 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Câu 78. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x + 1)e x là A. 2 xex + C . B. xe x + C . - Lời  giải. Đặt C. ( x − 1)e x + C . D. ( x + 2)e x + C .  d u = d x u = x + 1 ⇔ d v = e x d x  v = e x . Z Z x Khi đó f ( x) d x = ( x + 1)e − ex d x = ( x + 1)ex − e x = xe x + C . Chọn đáp án B ä Câu 79. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 4 x3 + 2018 là A. x4 + 2018 x + C . B. Z Lời giải. x4 + 2018 x + C . 3 C. 12 x2 + C . D. x4 + C . (4 x3 + 2018) d x = x4 + 2018 x + C. Chọn đáp án A ä Ze Câu 80. Tích phân 1 dx bằng x(ln x + 2) 3 2 A. ln 2. B. ln . - Lời giải. C. 0. D. ln 3. dx . x Đổi cận x = 1 thì t = 2 và x = e thì t = 3. Z3 Ze ¯3 dt 3 dx ¯ = = ln | t|¯ = ln . ⇒ x(ln x + 2) t 2 2 Đặt t = ln x + 2 ⇒ d t = 2 1 Chọn đáp án B ä Câu 81. Cho hàm số f ( x) xác định trên R {1; 4} có f 0 ( x) = bằng A. 1 − ln 2. B. 2. 2x − 5 x2 − 5 x + 4 C. 1 + 3 ln 2. thỏa mãn f (0) = 1. Giá trị f (2) D. −1 + 3 ln 2. - Lời giải. Z Ta có: f ( x) = ¶ Z µ 1 2x − 5 1 dx = + d x = ln | x − 1| + ln | x − 4| + C với C ∈ R. x−1 x−4 x2 − 5 x + 4 Do f (0) = 1 nên C = 1 − 2 ln 2 hay f ( x) = ln | x − 1| + ln | x − 4| + 1 − 2 ln 2. Khi đó: f (2) = 1 − ln 2. Chọn đáp án A ä Câu 82. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = e2x là A. e x + C . B. - LờiZgiải. Ta có ex + C. 2 C. e2x + C . D. e2x + C. 2 1 e2x d x = e2x + C . 2 Chọn đáp án D ä Câu 83. Họ nguyên hàm của hàm số y = x2 + e x − cos 3 x là ¢ 1¡ 3 x + 3e x − sin 3 x + C . 3 ¢ 1¡ 3 C. x + 3e x + sin 3 x + C . 3 ¢ 1¡ 3 x + e x − sin 3 x + C . 3 ¢ 1¡ 3 D. x + e x + sin 3 x + C . 3 A. B. - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 151 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z Chương 3 - Giải tích 12 ¢ 1 1 1¡ ( x2 + e x − cos 3 x) d x = x3 + e x − sin 3 x + C = x3 + 3e x − sin 3 x + C. 3 3 3 Chọn đáp án A ä 1 là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? x 1 1 1 1 A. y = ln x + 1. B. y = ln2 x − 2 . C. y = ln2 x − . 2 2 x x - Lời µ ¶0 µ giải. ¶0 1 1 1 1 = (ln x)0 + = − 2. y0 = ln x + x x x x Câu 84. Hàm số y = ln x + D. y = 1 1 − . x x2 Chọn đáp án D ä p Câu 85. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 x + x2018 là x2019 + C. 673 1 x2019 C. p + + C. x 673 A. p p B. 2 x3 + x+ D. x2019 + C. 2019 1 p + 6054 x2017 + C . 2 x - Lời giải. Ta có Z ¡ p ¢ 3 x + x2018 d x Z Z 1 = 3 x 2 d x + x2018 d x Z f ( x) d x = 3 x 2 x2019 = 3· +C + 3 2019 2 p x2019 = 2 x3 + + C. 2019 Chọn đáp án B ä Câu 86. Z Cho hàm số F ( x) là một nguyên hàm của hàm số fZ( x). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Z C. 1 f (2 x) d x = F (2 x) + C . 2 Z D. f (2 x) d x = F ( x) + C . B. f (2 x) d x = 2F (2 x) + C . 1 f (2 x) d x = F ( x) + C . 2 - Lời giải. Z 1 f (2 x) d x = 2 Z 1 f (2 x) d(2 x) = F (2 x) + C. 2 Chọn đáp án B ä Câu 87. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 32x+1 . A. (2 x + 1)32x + C . B. - Lời giải. Z Áp dụng công thức a bx+ c 32x+1 + C. ln 3 a bx+ c dx = + C ta được b ln a C. 32x+1 ln 3 + C . Z f ( x) d x = D. 32x+1 + C. ln 9 32x+1 32x+1 +C = + C. 2 ln 3 ln 9 Chọn đáp án D ä ¶ µ 1 1 Câu 88. Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = trên khoảng −∞; − . Mệnh đề nào 3x + 1 3 sau đây đúng? 1 3 A. F ( x) = ln(−3 x − 1) + C . B. F ( x) = ln(3 x + 1) + C . 1 3 C. F ( x) = ln(−3 x − 1) + C . Th.s Nguyễn Chín Em D. F ( x) = ln |3 x + 1| + C . 152 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ - Lời µgiải. Vì x ∈ −∞; − ¶ 1 nên ta có 3 Z Z f ( x) d x = Chương 3 - Giải tích 12 1 1 1 d x = ln |3 x + 1| + C = ln (−3 x − 1) + C. 3x + 1 3 3 Chọn đáp án C ä Câu 89. Cho hàm số F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) xác định trên K . Mệnh đề nào dưới đây sai? µ Z ¶0 A. x f ( x) d x = f 0 ( x). ¶0 µZ C. ¶0 µZ B. f ( x ) d x = f ( x ). Z 0 D. f ( x) d x = F ( x). f ( x) d x = F ( x) + C . - Lời giải. 0 Ta có: F µZ( x) = f ( x¶). 0 Suy ra f ( x) d x = f ( x) = F 0 ( x) và Z f ( x) d x = F ( x) + C . Chọn đáp án A ä Câu 90. Biết F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) = p 1 2 x+1 + m − 1 thỏa mãn F (0) = 0 và F (3) = 7. Khi đó, giá trị của tham số m bằng A. −2. - Lời giải. Z µ 1 Ta có F ( x) = p B. 3. C. −3. D. 2. p + m − 1 d x = x + 1 + ( m − 1) x + C . 2 x+ 1   F (0) = 0 C + 1 = 0 C = −1 Theo giả thiết, ta có ⇒ ⇔ F (3) = 7 C + 3 m = 8  m = 3. ¶ Chọn đáp án B ä Câu 91. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 4x + sin2 x là 4x 1 − sin 2 x + C . ln 4 4 sin3 x C. 4 x ln x − + C. 3 - LờiZgiải. Z Z x 2 Ta có f ( x) d x = (4 + sin x) d x = Z = A. sin3 x + C. 3 4x x 1 D. + − sin 2 x + C . ln 4 2 4 µ ¶ 1 − cos 2 x 4x + dx 2 µ ¶ 1 cos 2 x 4x x 1 x 4 + − dx = + − sin 2 x + C. 2 2 ln 4 2 4 B. 4 x ln x + Chọn đáp án D ä Câu 92. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin2 2 x · cos3 2 x thỏa F 1 1 1 sin5 2 x + . 6 10 15 1 1 1 3 5 C. F ( x) = sin 2 x − sin 2 x − . 6 10 15 ³π´ 4 = 0 là 1 1 1 sin5 2 x − . 6 10 15 1 1 4 3 5 D. F ( x) = sin 2 x + sin 2 x − . 6 10 15 A. F ( x) = sin3 2 x − B. F ( x) = sin3 2 x + - Lời giải. 1 2 Z Z Z ¡ ¢ ¡ ¢ 1 1 2 3 Ta có F ( x) = sin 2 x · cos 2 x d x= · t2 · 1 − t2 d t = · t2 − t4 d t 2 2 1 3 1 5 1 1 = t − t + C = sin3 2 x − sin5 2 x + C . 6 10 6 10 Đặt t = sin 2 x ⇒ d t = 2 cos 2 x d x ⇒ d t = cos 2 x d x. Th.s Nguyễn Chín Em 153 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 π π 1 1 1 sin3 − sin5 + C = 0 ⇔ C = − . 4 6 2 10 2 15 1 1 1 3 5 Vậy F ( x) = sin 2 x − sin 2 x − . 6 10 15 Mà từ giả thiết ta được F ³π´ =0⇔ Chọn đáp án C ä Z 2 x (3 x − 2)6 d x = A (3 x − 2)8 + B (3 x − 2)7 + C với A, B ∈ Q và C ∈ R. Giá trị của biểu thức Câu 93. Cho 12 A + 7B bằng 23 A. . 252 - Lời giải. B. 241 . 252 C. 52 . 9 D. 7 . 9 1 t+2 ⇒ d t = d x. 3 Z Z3 Z ¢ 2 2 ¡ 7 2 t8 4 t7 t+2 6 6 Ta có 2 x (3 x − 2) d x = · t dt = t + 2 t6 d t = · + · + C 3 3 9 9 8 9 7 4 1 · (3 x − 2)8 + · (3 x − 2)7 + C . = 36 63 1 4 Suy ra A = , B = . 36 63 4 7 1 = . Giá trị của biểu thức 12 A + 7B = 12 · + 7 · 36 63 9 Đặt t = 3 x − 2 ⇒ x = Chọn đáp án D ä Câu 94. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = e x + cos x là ex + 1 + sin x + C . B. e x − sin x + C . x+1 - LờiZgiải. ¡ x ¢ Ta có e + cos x d x = e x + sin x + C . C. e x + sin x + C . A. D. e x+1 − sin x + C . x+1 Chọn đáp án C ä Câu 95. Cho hàm số f ( x) xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của f ( x) trên K nếu F 0 ( x) = f ( x) với mọi x ∈ K . B. Nếu f ( x) liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K . C. Nếu hàm số F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G ( x) = F ( x) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x) trên K . D. Nếu hàm số F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên K thì hàm số F (− x) cũng là một nguyên hàm của f ( x) trên K . - Lời giải. Khẳng định “Nếu hàm số F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên K thì hàm số F (− x) cũng là một nguyên hàm của f ( x) trên K ” là khẳng định sai. Chọn đáp án D Câu 96. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = e2x − 1 2x 1 1 1 e − + C. B. e2x + + C . 2 x 2 x - LờiZgiải. ¶ Z µ 1 1 1 2x Ta có f ( x) d x = e − 2 d x = e2x + + C . 2 x x ä 1 là x2 1 x C. e2x + + C . A. 1 x D. e2x − + C . Chọn đáp án B ä Câu 97. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 2 x + cos x là A. − cos 2 x + sin x + C . C. sin2 x + sin x + C . B. cos2 x − sin x + C . D. cos 2 x − sin x + C . - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 154 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z Do Z f ( x) d x = Chương 3 - Giải tích 12 1 1 (sin 2 x + cos x) d x = − cos 2 x + sin x + C = sin2 x + sin x + C − . 2 2 Chọn đáp án C ä Câu 98. Tìm họ nguyên F ( x) của hàm số y = f ( x) = sin 2 x + 2 x. cos 2 x + x2 + C . 2 C. F ( x) = cos 2 x + 2 + C . cos 2 x + x2 + C . 2 D. F ( x) = − cos 2 x + x2 + C . A. F ( x) = Z Lời giải. B. F ( x) = − Z (sin 2 x + 2 x) d x = Z sin 2 x d x + 2x dx = − cos 2 x + x2 + C . 2 Chọn đáp án B ä ³ π´ Câu 99. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 3 x + . 6 Z Z ³ ³ 1 π´ π´ A. f ( x) d x = − sin 3 x + + C. B. f ( x) d x = 6 sin 3 x + + C. 3 ³ 6 6´ Z Z ´ ³ π π 1 + C. D. f ( x) d x = 3 sin 3 x + + C. C. f ( x) d x = sin 3 x + 3 6 6 Z Lời giải. Z ³ ³ π´ 1 π´ f ( x) d x = cos 3 x + d x = sin 3 x + + C. 6 3 6 Chọn đáp án C ä Câu 100. Nguyên hàm 1 + ln x d x ( x > 0) bằng x A. x + ln2 x + C . B. ln2 x + ln x + C . Z – Lời giải. C. 1 2 ln x + ln x + C . 2 1 2 D. x + ln2 x + C . 1 x Đặt u = 1 + ln x ⇒ du = d x. Do đó Z 1 + ln x dx = x Z u du = u2 (1 + ln x)2 1 +C = + C = ln2 x + ln x + C. 2 2 2 Chọn đáp án C ä Câu 101. Họ nguyên hàm của hàm số y = x2 − 3 x + 1 là x x3 3 2 x3 3 − x + ln x + C . B. F ( x) = − x2 + ln | x| + C . 3 2 3 2 1 x3 3 2 C. F ( x) = + x + ln x + C . D. F ( x) = 2 x − 3 − + C . 3 2 x – Lời giải. ¶ Z µ 1 x3 3 2 2 x − 3x + dx = Ta có F ( x) = − x + ln | x| + C . x 3 2 A. F ( x) = Chọn đáp án B ä Câu 102. Z Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 x + 2 2 A. C. B. f ( x) d x = 3 x + 2 x + C . Z 3 f ( x) d x = x2 − 2 x + C . 2 Z 3 2 D. f ( x) d x = x + 2 x + C . 2 Z f ( x) d x = 3 x2 − 2 x + C . Z Lời giải. 3 f ( x) d x = x2 + 2 x + C . 2 Chọn đáp án D ä p Câu 103. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x + 3. Th.s Nguyễn Chín Em 155 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Z p 2 p 1 A. f ( x) d x = x 2 x + 3 + C . B. f ( x) d x = (2 x + 3) 2 x + 3 + C . 3 3 Z Z p p 2 C. f ( x) d x = (2 x + 3) 2 x + 3 + C . D. f ( x) d x = 2 x + 3 + C . 3 – Lời giải. Z p 2 x + 3 d x. Xét I = p Đặt t = 2 x + 3, suy ra t2 = 2 x + 3. Khi đó t d t = d x. Ta có Z p Z p 1 1 I= 2 x + 3 d x = t2 d t = t3 + C = (2 x + 3) 2 x + 3 + C. 3 3 Z Chọn đáp án B ä Câu 104. Cho F ( x) = cos 2 x − sin x + C là nguyên hàm của hàm số f ( x). Tính f (π). A. f (π) = −3. B. f (π) = 1. C. f (π) = −1. D. f (π) = 0. – Lời giải. f ( x) = F 0 ( x) = −2 sin 2 x − cos x, suy ra f (π) = 1. Chọn đáp án B ä Câu 105. Z Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos(2 x + 3) Z. A. 1 f ( x) d x = − sin(2 x + 3) + C . 2 Z 1 D. f ( x) d x = sin(2 x + 3) + C . 2 B. f ( x) d x = − sin(2 x + 3) + C . Z C. f ( x) d x = sin(2 x + 3) + C . Z Lời giải. f ( x) d x = 1 sin(2 x + 3) + C 2 Chọn đáp án D ä Z Z f (2 x) d x = sin2 x + ln x + C , tìm nguyên hàm f ( x) d x. Z Z x 2 x A. f ( x) d x = sin + ln x + C . B. f ( x) d x = 2 sin2 + 2 ln x + C . 2 2 Z Z 2 2 C. f ( x) d x = 2 sin x + 2 ln x − ln 2 + C . D. f ( x) d x = 2 sin 2 x + 2 ln x − ln 2 + C . Câu 106. Biết – Lời giải. Gọi F ( xZ) là 1 nguyên hàm của f ( x). F (2 x) + C = sin2 x + ln x + C . 2 ³ x´ ³ x´ 2 2 ⇒ F (2 x) = 2 sin x + 2 ln x + C = 2 sin 2 · + 2 ln 2 · + C . 2 2 x x x ⇒ F ( x) = 2 sin2 + 2 ln + C = 2 sin2 + 2 ln x + C . 2 2 2 Khi đó f (2 x) d x = Chọn đáp án B ä Câu 107. Tìm hàm số F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = − sin x(4 cos x + 1) thỏa mãn F −1. A. F ( x) = cos 2 x + cos x − 1. B. F ( x) = −2 cos 2 x + cos x − 3. C. F ( x) = cos 2 x + cos x. D. F ( x) = − cos 2 x − cos x − 2. ³π´ 2 = – LờiZgiải. Z Ta có [− sin x(4 cos x + 1)] d x = − (2 sin 2 x + sin x) d x = cos 2 x + cos x + C . Ta có F ³π´ = cos π + cos π 2 2 Vậy F ( x) = cos 2 x + cos x. + C = −1 ⇔ C = 0. Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em ä 156 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Câu 108. Z Mệnh đề nào trong bốn mệnh đề sau sai? 1 d x = ln x + C . Z x C. e x d x = e x + C . Z A. – Lời giải. Z Mệnh đề B. 0 dx = C. Z D. cos x d x = sin x + C . 1 d x = ln x + C sai. x Chọn đáp án A ä Câu 109. Nguyên hàm của hàm số y = A. 1 ln |2 − 3 x| + C . 3 1 là 2 − 3x 1 3 B. −3 ln |2 − 3 x| + C . C. − ln |2 − 3 x| + C . – Lời giải. Z 1 1 dx = − 2 − 3x 3 Z D. ln |2 − 3 x| + C . 1 1 d(2 − 3 x) = − ln |2 − 3 x| + C . 2 − 3x 3 Chọn đáp án C ä Câu 110. Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = e x , biết F (0) = 4. Tìm F ( x). A. F ( x) = e x + 2. B. F ( x) = e x + 3. C. F ( x) = e x + 4. D. F ( x) = e x + 1. – Lời giải. Do F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) = e x nên F ( x) = e x + C . Lại có F (0) = 4 nên C = 3 hay F ( x) = e x + 3. Chọn đáp án B ä Ze4 Câu 111. Biết e 1 f (ln x) d x = 4. Tính tích phân I = x Z4 f ( x) d x. 1 A. I = 8. B. I = 16. C. I = 2. D. I = 4. – Lời giải. Ze4 Xét tích phân e 1 1 f (ln x) d x = 4. Đặt ln x = t khi đó ta có d x = d t. Tại x = e thì t = 1; tại x = e4 thì t = 4. x x Z4 Khi đó tích phân đã cho trở thành f ( t ) d t = 4. 1 Chọn đáp án D ä Câu 112. Z Mệnh đề nào sauZ đây sai? Z A. [ f ( x) − g( x)] d x = f ( x) d x − g( x) d x, với mọi hàm số f ( x), g( x) liên tục trên R. Z f 0 ( x) d x = f ( x) + C với mọi hàm số f ( x) có đạo hàm trên R. Z C. k f ( x) d x = k f ( x) d x với mọi hằng số k và mọi hàm số f ( x) liên tục trên R. Z Z Z D. [ f ( x) + g( x)] d x = f ( x) d x + g( x) d x, với mọi hàm số f ( x), g( x) liên tục trên R. B. Z – LờiZgiải. Ta có k f ( x) d x = k Z f ( x) d x với mọi hằng số k 6= 0 và mọi hàm số f ( x) liên tục trên R. Chọn đáp án C ä Câu 113. Z Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 A. d x = ln |1 − 2 x| + C . 2 Z 1 − 2x 1 1 C. d x = − ln |4 x − 2| + C . 1 − 2x 2 Th.s Nguyễn Chín Em 1 d x = ln |1 − 2 x| + C . Z 1 − 2x 1 1 + C. D. d x = 2 ln |1 − 2 x | 1 − 2x Z B. 157 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 – LờiZgiải. 1 1 d x = − ln |1 − 2 x| + C 1 . 1 − 2x 2 Chú ý rằng C , C1 là một hằng số bất kì nên Ta có 1 1 1 1 − ln |4 x − 2| + C = − ln |1 − 2 x| − ln 2 + C = − ln |1 − 2 x| + C 1 . 2 2 2 2 Chọn đáp án C ä Câu 114. Z Cho hàm số f ( x) = sin 3 x. Khẳng định nào sau đây Z đúng? A. f ( x) d x = Z C. 1 cos 3 x + C . 3 1 f ( x) d x = − cos 3 x + C . 3 Z D. f ( x) d x = −3 cos 3 x + C . B. f ( x) d x = 3 cos 3 x + C . – LờiZgiải. Ta có 1 sin 3 x d x = − cos 3 x + C . 3 Z f ( x) d x = Chọn đáp án B ä Câu 115. Cho số thực a > 0, a 6= 1. Khẳng định nào dưới đây đúng? Z A. Z C. ax dx = – LờiZgiải. ax dx = Ta có a x+1 + C. x+1 Z ax D. a x d x = + C. ln a Z a x d x = a x ln a + C . B. ax + C. log a ax dx = ax + C. ln a Chọn đáp án D ä 1 + ln x + C . x 1 1 C. f ( x) = 2 + . x x Z Câu 116. Cho x > 0. Tìm hàm số f ( x) biết rằng 1 x A. f ( x) = ln x + . – Lời Z giải. Vì f ( x) d x = B. f ( x) = ln x − 1 + ln x + C nên x f ( x) d x = 1 . x2 D. f ( x) = − 1 1 + . x2 x ¶0 1 1 1 f ( x) = + ln x + C = − 2 + . x x x µ Chọn đáp án D ä x Câu 117. Z Tìm nguyên hàm của hàm số y = xe . x A. Z C. xe d x = xe + C . B. xe x d x = e x + C . D. – Lời  giải. Đặt x u = x Z xe x d x = xe x − e x + C . Z xe x d x = xe x + e x + C .  d u = d x ⇒ d v = e x d x  v = e x . Z Z x x Khi đó xe d x = xe − e x d x = xe x − e x + C . Chọn đáp án B ä Câu 118. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 4 x ln x là A. x2 (2 ln x + 1) + C . B. 4 x2 (2 ln x − 1) + C . C. x2 (2 ln x − 1) + C . D. x2 (8 ln x − 16) + C . – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 158 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12   d u = 1 d x x Đặt ⇒ d v = 4 x d x   v = 2 x2 .   u = ln x Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần. Ta được Z Z 2 4 x ln x d x = 2 x ln x − 2 x d x = x2 (2 ln x − 1) + C. Chọn đáp án C ä Z Câu 119. Xác định f ( x) biết A. f ( x) = ln | x| + ex . f ( x) d x = B. f ( x) = – Lời giải. 1 + e x + C. x 1 + ex . x2 C. f ( x) = − 1 + ex . x2 D. f ( x) = ln x + ex . ¶0 1 1 x Ta có + e + C = − 2 + ex . x x µ Chọn đáp án C ä Câu 120. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. − 1 + C. (2 x + 1)49 B. − 98 là (2 x + 1)50 2 + C. (2 x + 1)49 C. 1 + C. 51(2 x + 1)51 D. 2 + C. (2 x + 1)51 – Lời giải. Z Ta có 1 98 98 (2 x + 1)−49 · +C =− d x = + C. 50 2 −49 (2 x + 1) (2 x + 1)49 Chọn đáp án A ä ln 3 · p . Hàm số nào dưới đây không phải là nguyên hàm của hàm số f ( x)? x p p x B. F ( x) = 2 · ³3 x + C .´ A. F ( x) = 3 ³ + C . ´ p p C. F ( x) = 2 · 3 x − 1 + C . D. F ( x) = 2 · 3 x + 1 + C . p Câu 121. Cho f ( x) = 3 – Lời Zgiải. Ta xét Z f ( x) d x = 3 p x x ln 3 · p dx = 2 x Z ³ p ´ p d 3 x = 2 · 3 x + C , với C là hằng số tùy ý. Chọn đáp án B ä x+3 ? x2 + 4 x + 3 B. F ( x) = ln (2 | x + 1|). Câu 122. Hàm số F ( x) nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. F ( x) = 2 ln ¯ | x + 3¯ | − ln | x + 1| + C . ¯ x +1¯ ¯ + 2. x +3¯ D. F ( x) = ln [( x + 1) ( x + 3)]. C. F ( x) = ln ¯¯ – Lời giải. Ta có Z x+3 dx = 2 x + 4x + 3 Z x+3 dx = ( x + 3) ( x + 1) Z dx = ln | x + 1| + C 0 x+1 Chọn C = ln 2 suy ra ln | x + 1| + C = | x + 1| + ln 2 = ln 2 | x + 1|. Chọn đáp án B ä Câu 123. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 3 x là 1 3 A. − · sin 3 x + C . – Lời Zgiải. Ta có: cos 3 xd x = B. 1 · sin 3 x + C . 3 C. 3 sin 3 x + C . 1 · sin 3 x + c 3 Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em D. −3 sin 3 x + C . ä 159 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 4 và F (0)=2. Tìm F (2). 1 + 2x C. 2 ln 5 + 4. D. 2(1 + ln 5). Câu 124. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y = f ( x) = A. 4 ln 5 + 2. B. 5 (1 + ln 2). – Lời giải. 4 d x = 2 ln |1 + 2 x| + C . 1 + 2x Mặt khác F (0) = 2 ⇔ C = 2. Z Ta có: F ( x) = Do đó F (2) = 2 ln 5 + 2 = 2(1 + ln 5). Chọn đáp án D ä Câu 125. F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) = sau đây 4 x 3x + 4 , ( x 6= 0), biết rằng F (1) = 1. F ( x) là biểu thức nào x2 4 x 4 D. F ( x) = 3 ln | x| − + 3. x A. F ( x) = 2 x + − 5. B. F ( x) = 3 ln | x| − + 5. 4 x C. F ( x) = F (3 x − + 3. – Lời giải. Z ¶ Z µ 3 4 3x + 4 4 Ta có: F ( x) = dx = + 2 d x = 3 ln | x| − + C . 2 x x 4 Mà F (1) = 1 ⇔ 3 ln 1 − + C = 1 ⇔ C = 5. 1 4 Vậy F ( x) = 3 ln | x| − + 5. x x x Chọn đáp án B ä Câu 126. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 10x . 10 x + C. A. 10 d x = ln 10 Z C. 10x d x = 10x+1 + C . Z x – Lời giải. Z Áp dụng công thức Z 10 x d x = 10 x ln 10 + C . Z 10 x d x = B. D. 10 x+1 + C. x+1 ax a dx = + C với a > 0. ln a x Chọn đáp án A ä Z Câu 127. Tính x( x2 + 7)15 d x. ¢16 1¡ A. x( x + 7) d x = x2 + 7 + C . 2 Z ¢16 1¡ 2 2 15 x + 7 + C. C. x( x + 7) d x = − 32 Z 2 ¢16 1¡ 2 x + 7 + C. 32 Z ¢16 1¡ 2 2 15 D. x( x + 7) d x = x + 7 + C. 16 Z 15 B. x( x2 + 7)15 d x = – Lời giải. Ta có Z 1 x( x + 7) d x = 2 2 15 Z 1 2 x( x + 7) d x = 2 2 15 Z ( x2 + 7)15 d( x2 + 7) = ¢16 1¡ 2 x + 7 + C. 32 Chọn đáp án B ä Z Câu 128. Tính F ( x) = x cos 2 x d x. 1 1 2 2 x2 sin 2 x C. F ( x) = + C. 4 1 2 A. F ( x) = x sin 2 x + cos 2 x + C . Th.s Nguyễn Chín Em 1 4 B. F ( x) = x sin 2 x + cos 2 x + C . D. F ( x) = sin 2 x + C . 160 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 – Lời giải. Z F ( x) = = = = x cos 2 x d x Z 1 xd sin 2 x 2 Z 1 1 x sin 2 x − sin 2 x d x 2 2 1 1 x sin 2 x + cos 2 x + C. 2 4 Chọn đáp án B ä Câu 129. Cho f ( x) = F ³π´ 4 = π 8 4m + sin2 x. Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x). Tìm m để F (0) = 1 và π . 3 4 3 4 A. m = − . – Lời giải. 4 3 B. m = . 4 3 C. m = − . D. m = . Z 4m 4m 1 1 1 − cos 2 x F ( x) = x+ dx = x + x − sin 2 x + C . π π 2 4  2   F (0) = 1 π C = 1 3 ³π´ = ⇔ ⇒m=− . π 1 π  F 8 4 m + − + C = 4 8 4 8 Chọn đáp án A ä Câu 130. Họ các nguyên hàm của hàm số y = cos 4 x là 1 4 A. − sin 4 x + C . B. – Lời giải. 1 sin 4 x + C . 4 C. sin 4 x + C . D. 1 sin x + C . 4 1 4 Họ các nguyên hàm của hàm số y = cos 4 x là F ( x) = sin 4 x + C . Chọn đáp án B ä Câu 131. Hàm số f ( x) thỏa mãn f 0 ( x) = xe x là A. ( x − 1) e x + C . B. x2 + – Lời giải. Z Z 0 Ta có f ( x) = f ( x) d x = xe x d x. Đặt  u = x d v = e x d x ⇒  d u = d x v = e x e x+1 + C. x+1 C. x2 e x + C . Z . Do đó f ( x) = uv − x v d u = xe − Z D. ( x + 1) e x + C . e x d x = ( x − 1) e x + C . Chọn đáp án A ä Câu 132. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin x − cos x thỏa mãn F ³π´ 4 p p 2 A. − cos x − sin x + . B. − cos x − sin x − 2. C. cos x − sin x. 2 – Lời giải. Z Z F ( x) = f ( x) d x = (sin x − cos x) d x = − cos x − sin x + C . p p ³π´ p 2 2 =0⇔− Ta có F − + C = 0 ⇔ C = 2. 4 2 2 p Vậy F ( x) = − cos x − sin x + 2. Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em = 0 là p D. − cos x − sin x + 2. ä 161 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 x Câu 133. Z Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = xe . A. Z C. x f ( x) d x = ( x + 1)e + C . B. f ( x) d x = xe x + C . D. – Lời  giải. Đặt u = x d v = e x d x ⇒  d u = d x v = e x Z f ( x) d x = ( x − 1)e x + C . Z f ( x) d x = x2 e x + C . . Khi đó, ta có Z x x Z xe d x = xe − e x d x = xe x − e x + C = ( x − 1)e x + C. Chọn đáp án B ä Câu 134. Tìm hàm số F ( x) biết F 0 ( x) = sin 2 x và F 1 2 3 2 ³π´ 2 B. F ( x) = 2 x − π + 1. A. F ( x) = cos 2 x + . 1 = 1. 1 D. F ( x) = − cos 2 x. C. F ( x) = − cos 2 x + . 2 2 – Lời giải. Ta có Z F ( x) = 0 F ( x) d x = Z 1 sin 2 x d x = − cos 2 x + C. 2 ³π´ 1 1 = 1 nên − cos(π) + C = 1 ⇒ C = . 2 2 2 1 1 Vậy F ( x) = − cos 2 x + . 2 2 Do F Chọn đáp án C ä Câu 135. Biết F³ ( x´) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x và đồ thị hàm số y = F ( x) đi qua điểm π M (0; 1). Tính F . A. F ³π´ 2 2 – Lời giải. Z F ( x) = B. F = 2. ³π´ 2 C. F = 0. ³π´ 2 D. F = 1. ³π´ 2 Z sin x d x = − cos x + C . f ( x) d x = F (0) = 1 ⇔ − cos 0 + C = 1 ⇔ C = 2. Do đó F ( x) = − cos x + 2. Vậy F ³π´ 2 = 2. Chọn đáp án A ä Câu 136. Cho F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 e A. I = 1. ln x . Tính I = F (e) − F (1). x B. I = . – Lời giải. Z F ( x) = = −1. Z f ( x) d x = 1 x C. I = e. 1 2 D. I = . ln x d x. x Đặt t = ln x ⇒ dt = d x. 1 1 t d t = t2 + C = ln2 x + C . 2 2 1 2 1 I = F (e) − F (1) = ln e = . 2 2 Z Khi đó F ( x) = Chọn đáp án D ä Câu 137. Cho bốn mệnh đề sau Z (I) cos2 x d x = Th.s Nguyễn Chín Em cos3 x + C. 3 162 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 2x + 1 Z (II) x2 + x + 2018 d x = ln( x2 + x + 2018) + C . 6x + C. ln 6 Z 3 x (2 x + 3− x ) d x = Z 3 x d x = 3 x ln 3 + C . (III) (IV) Chương 3 – Giải tích 12 Có bao nhiêu mệnh đề sai? p A. −2 − 3. p B. −2 + 3. C. 0. D. −2. – Lời giải. Ta có Z (I) 1 cos x d x = 2 2 2x + 1 Z (II) x2 + x + 2018 Z (III) x x −x 1 1 cos3 x (1 + cos 2 x) d x = ( x + sin 2 x) + C 6= + C ⇒ (I) sai. 2 2 3 d x = ln( x2 + x + 2018) + C ⇒ (II) đúng. 3 (2 + 3 ) d x = Z (IV) Z 3x d x = Z (6 x + 1) d x = 6x 6x + x + C 6= + C ⇒ (III) sai. ln 6 ln 6 3x + C 6= 3 x ln 3 + C ⇒ (IV) sai. ln 3 Vậy có 3 mệnh đề sai. Chọn đáp án B ä Z Câu 138. Tìm nguyên hàm I = x ln x d x? µ ¶ x2 x2 1 x2 A. I = ln x − + C . B. I = ln x − + C . 2 2 2 2 2 2 x x C. I = x2 ln x − + C . D. I = x2 ln x − + C . 4 2 – Lời giải. µ 2¶ Z Z Z 2 x x x2 Ta có I = x ln x d x = ln x d ln x − dx = 2 2 2x µ ¶ x2 x2 x2 1 = ln x − + C = ln x − + C . 2 4 2 2 Chọn đáp án A ä x 2π . và F (π) = 1. Tính F 3µ ¶ µ2 ¶ 2π 2π C. F = 3. D. F = −1. 3 3 µ ¶ Câu 139. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin ¶ 2π A. F = 2. 3 ¶ 2π B. F = 0. 3 µ µ – Lời giải. Do F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) nên x x sin d x = −2 cos + C. 2 2 µ ¶ x 2π = 0. Do F (π) = 1 = C nên F ( x) = −2 cos + 1. Vậy F 2 3 Z F ( x) = Chọn đáp án B ä 2 3 cos 3 x 2 B. F ( x) = 3 x − − 1. 3 Câu 140. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 6 x + sin 3 x, biết F (0) = . A. F ( x) = 3 x2 − cos 3 x 2 + . 3 3 Th.s Nguyễn Chín Em 163 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ C. V = F ( x) = 3 x2 + Z Lời giải. Z f ( x) d x = Chương 3 – Giải tích 12 cos 3 x + 1. 3 (6 x + sin 3 x) d x = 3 x2 − D. F ( x) = 3 x2 − cos 3 x + 1. 3 cos 3 x + C. 3 1 2 2 suy ra − + C = hay C = 1. 3 3 3 cos 3 x 2 Vậy F ( x) = 3 x − + 1. 3 Từ F (0) = Chọn đáp án D ä Câu 141. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = x · e2x . 1 2 µ ¶ 1 2x 1 D. F ( x) = e x − + C . 2 2 A. F ( x) = 2e2x ( x − 2) + C . C. F ( x) = 2e 2x – Lời giải. Đặt  u = x  dv = e2x d x µ B. F ( x) = e2x ( x − 2) + C . ¶ 1 x − + C. 2    du = d x suy ra Khi đó 1  v = e2x . 2 µ ¶ Z Z 1 1 1 2x 1 2x 2x 2x I = x · e dx = x · e − e d x = e x − + C. 2 2 2 2 Chọn đáp án D ä 6 và f (2) = 0. 3 − 2x A. f ( x) = −3 ln |3 − 2 x|. B. f ( x) = 2 ln |3 − 2 x|. C. f ( x) = −2 ln |3 − 2 x|. D. f ( x) = 3 ln |3 − 2 x|. Câu 142. Tìm hàm số f ( x) thỏa mãn f 0 ( x) = – Lời giải. Z Ta có f ( x) = 6 d x = −3 ln |3 − 2 x| + C . 3 − 2x Mà f (2) = 0 nên C = 0, do đó f ( x) = −3 ln |3 − 2 x|. Chọn đáp án A ä Câu 143. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 8(1 − 2 x)3 . Tính I = F (1) − F (0). A. I = 2. B. I = −2. C. I = 0. D. I = −16. – Lời giải. Z Ta có F ( x) = 8(1 − 2 x)3 d x = −(1 − 2 x)4 + C , suy ra F (1) − F (0) = 0. Chọn đáp án C ä Câu 144. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3x ln 9 thỏa mãn F (0) = 2. Tính F (1). A. F (1) = 12 · ln2 3. B. F (1) = 3. C. F (1) = 6. D. F (1) = 4. – Lời giải. Z 3x + C = 2 · 3 x + C và F (0) = 2 nên C = 0. Do đó F (1) = 6. Ta có F ( x) = 3x ln 9 d x = ln 9 · ln 3 Chọn đáp án C ä Câu 145. Biết hàm số F ( x) = ax3 + (a + b) x2 + (2a − b + c) x + 1 là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 x2 + 6 x + 2. Tổng a + b + c là A. 5. B. 3. C. 4. D. 2. – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 164 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 2 2 Ta có F0 ( x) = f ( x), ∀ x ∈ R ⇔  3ax + 2(a + b) x + (2a − b + c) = 3 x + 6 x + 2, ∀ x ∈ R.   a=1 3a = 3       Suy ra 2(a + b) = 6 ⇔ b = 2 ⇒ a + b + c = 5.      c = 2 2 a − b + c = 2  Chọn đáp án A ä Z p p 1 + tan x Câu 146. Đặt t = 1 + tan x thì d x trở thành nguyên hàm nào? cos2 x Z Z Z 2 A. 2 t d t. B. t d t. C. d t. – Lời giải. p 1 + tan x dx = cos2 x Z Ta có Z D. 2 t2 d t. Z p Z Z 1 + tan x d(tan x + 1) = t d t2 = 2 t2 d t. Chọn đáp án D Z µ Câu 147. Biết ä 1 + x5 d x = a ln | x| + bx6 + C với (a, b ∈ Q, C ∈ R). Tính a2 + b? 2x 7 5 B. . C. 9. D. . 13 12 ¶ 7 . 6 – LờiZgiải. µ ¶ 1 1 1 5 Ta có + x d x = ln | x| + x6 + C . 2x 2 6 1 1 1 1 5 2 Vậy a = , b = ⇒ a + b = + = . 2 6 4 6 12 A. Chọn đáp án D ä Câu 148. Z Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 3 x. A. Z B. f ( x) d x = 3 cos 3 x + C . 1 C. f ( x) d x = − cos 3 x + C . 3 – Lời giải. Z Z 1 Có f ( x) d x = sin 3 x d x = − cos 3 x + C . 3 Z f ( x) d x = Z D. 1 cos 3 x + C . 3 f ( x) d x = −3 cos 3 x + C . Chọn đáp án C ä Câu 149. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là mệnh đề sai? x2 A. x ln x d x = x ln x − + C . 2 Z x2 x2 C. x ln x d x = ln x − + C . 2 4 Z Z 2 B. ln x d x = x ln x − x + C . Z D. – Lời giải. 1 xZ Đặt u = ln x ⇒ du = d x và dv = x d x ⇒ v = 2 x ln x d x = x2 ln x − x2 + C. 2 x2 . 2 x x2 x2 x2 x ln x d x = ln x − dx = ln x − + C . 2 2 2 4 Z 2 x Vậy x ln x d x = x2 ln x − + C là mệnh đề sai. 2 Z Chọn đáp án A ä Câu 150. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 2 A. F (3) = ln 5 + 5. – Lời giải.Z Có F ( x) = Z f ( x) d x = Th.s Nguyễn Chín Em 1 2 B. F (3) = ln 5 + 3. 1 1 và F (2) = 3 + ln 3. Tính F (3). 2x − 1 2 C. F (3) = −2 ln 5 + 5. D. F (3) = 2 ln 5 + 3. 1 1 d x = ln |2 x − 1| + C . 2x − 1 2 165 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 1 1 2 2 1 Vậy ta có F (3) = ln 5 + 3. 2 Chương 3 – Giải tích 12 1 2 Ta có F (2) = 3 + ln 3 ⇔ ln 3 + C = 3 + ln 3 ⇔ C = 3. Chọn đáp án B ä Câu 151. Họ nguyên hàm của hàm số y = 2 x(1 + 3 x3 ) là A. F ( x) = x2 ( x + x3 ) + C . 2 B. F ( x) = 2 x(µx + x3 ) +¶C . 2 C. F ( x) = x (1 + 3 x ) + C . D. F ( x) = x – Lời giải. R 3 2 x(1 + 3 x ) d x = R¡ 2x + 6x 4 ¢ 2 6 x3 1+ + C. 5 µ ¶ 6 5 6 x3 2 + C. dx = x + x + C = x 1 + 5 5 2 Chọn đáp án D ä Câu 152. Nếu F ( x) + C là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = bằng A. 3 ln 3. 2 2 3 B. − ln 3. Z Lời giải. x−3 dx = x2 + 2 x − 3 C. x−3 x2 + 2 x − 3 2 ln 3. 3 và F (0) = 0 thì hằng số C 3 2 D. − ln 3. ¶ 3 1 3 1 − d x = ln | x + 3| − ln | x − 1| + C. 2( x + 3) 2( x − 1) 2 2 3 3 Theo giả thiết F (0) = 0 nên ta có ln 3 + C = 0 ⇔ C = − ln 3. 2 2 Z µ Chọn đáp án D ä Câu 153. Họ nguyên hàm của hàm số y = (1 + sin x)2 là 2 1 3 4 3 1 C. F ( x) = x + 2 cos x − sin 2 x + C . 2 4 3 1 2 4 3 1 D. F ( x) = x − 2 cos x − sin 2 x + C . 2 4 A. F ( x) = x − 2 cos x − sin 2 x + C . B. F ( x) = x − 2 cos x + sin 2 x + C . – Lời giải. Z Z 2 ¢ 1 + 2 sin x + (sin x)2 d x ¶ Z µ 1 3 = + 2 sin x − cos 2 x d x 2 2 1 3 = x − 2 cos x − sin 2 x + C. 2 4 ¡ (1 + sin x) d x = Chọn đáp án D ä Câu 154. Z Khẳng định nào sau đây là sai? ³ π´ sin x d x = − cos x + C . B. sin x d x = sin x − + C. 2 Z Z ³ ´ π C. sin x d x = − sin x + + C . D. sin x d x = sin x + C . 2 – LờiZgiải. Ta có sin x d x = − cos x + C . ³π ´ ³ ³³ ´ ³ π´ π´ π´ Mặt khác, ta có cos x = sin − x = − sin x − = sin x − + π = sin x + . 2 2 2 2 Z A. Chọn đáp án D ä 2 Câu 155. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = xex . Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f ( x)? 1 2 2 A. F ( x) = − e x + C . – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 1 2 2 B. F ( x) = − (2 − e x ). 166 1 2 2 C. F ( x) = (ex + 2). 1 2 2 D. F ( x) = (ex + 5). https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z Ta có 1 xe d x = 2 x2 Z Chương 3 – Giải tích 12 2 1 2 e x d x2 = e x + C . 2 Chọn đáp án A ä 2 3 cos 3 x 2 B. F ( x) = 3 x − − 1. 3 cos 3 x D. F ( x) = 3 x2 − + 1. 3 Câu 156. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 6 x + sin 3 x, biết F (0) = . cos 3 x 2 + . 3 3 cos 3 x 2 C. F ( x) = 3 x + + 1. 3 – Lời giải. Z cos 3 x Ta có F ( x) = (6 x + sin 3 x)d x = 3 x2 − + C. 3 2 cos 3 x Mà F (0) = nên C = 1 ⇒ F ( x) = 3 x2 − + 1. 3 3 A. F ( x) = 3 x2 − Chọn đáp án D ä Z Câu 157. Tìm nguyên hàm I = A. sin5 x + C. 5 B. – Lời giải. sin4 x cos x d x. cos5 x + C. 5 C. − sin5 x + C. 5 D. − cos5 x + C. 5 Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x. Z Khi đó I = t4 d t = sin5 x t5 +C = + C. 5 5 Chọn đáp án A ä x−1 Câu 158. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 2 , biết đồ thị hàm số y = F ( x) đi qua điểm x (1; −2). 1 x 1 x 1 x 1 x A. F ( x) = ln | x| + + 3. B. F ( x) = ln | x| − + 1. C. F ( x) = ln | x| − − 1. D. F ( x) = ln | x| + − 3. – Lời giải. Z ¶ Z µ 1 1 1 x−1 dx = Ta có F ( x) = − 2 d x = ln | x| + + C 2 x x x 1 Theo giả thiết F (1) = −2 ⇔ ln 1 + + C = −2 ⇔ C = −3. 1 1 Suy ra F ( x) = ln | x| + − 3. x x Chọn đáp án D ä Câu 159. Cho a ∈ R, hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos x? x+a x−a cos . 2 2 x+a x−a D. F ( x) = 2 sin cos . 2 2 A. F ( x) = sin x. C. F ( x) = 2 sin Z Lời giải. B. F ( x) = 2 cos ³x ´ ³x ´ + a cos − a . 2 2 cos x d x = sin x + C . x+a x−a Ta có 2 cos cos = cos x + cos a. Đây không phải là họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos x. 2 2 Chọn đáp án B ä Câu 160. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x2 − 2 x . x3 2x A. f ( x) d x = + + C. 3 ln 2 Z x3 2x C. f ( x) d x = − + C. 3 ln 2 Z – Lời giải. Z Z f ( x) d x = ( x2 − 2 x ) d x = Th.s Nguyễn Chín Em Z B. f ( x) d x = 2 x − Z D. 2x + C. ln 2 f ( x) d x = 2 x − 2 x ln 2 + C . x3 2x − + C. 3 ln 2 167 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Chọn đáp án C ä Câu 161. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = (e x − 1)2 . 1 2 D. F ( x) = 2e2x − 2e x + C . A. F ( x) = 2e x (e x − 1). B. F ( x) = e2x − 2ex + x + C . C. F ( x) = e2x − 2e x + x + C . – Lời giải. 1 2 Ta có f ( x) = (e x − 1)2 = e2x − 2e x + 1 ⇒ F ( x) = e2x − 2ex + x + C . Chọn đáp án B ä 1 d x. x2 Z 1 1 dx = + C. A. 2 x x – LờiZgiải. 1 1 Ta có dx = − + C. 2 x x Z Câu 162. Tìm Z B. 1 1 dx = − + C. 2 x x Z C. 1 1 dx = + C. 2 2x x Z D. 1 d x = ln x2 + C . x2 Chọn đáp án B ä Câu 163. Hàm số F ( x) = x2 + sin x là một nguyên hàm của hàm số 1 3 A. f ( x) = x3 + cos x. 1 3 C. f ( x) = x3 − cos x. B. f ( x) = 2 x + cos x. – Lời giải. F ( x) là nguyên hàm của f ( x) ⇔ F 0 ( x) = f ( x). D. f ( x) = 2 x − cos x. Ta có F 0 ( x) = 2 x + cos x. Vậy hàm số F ( x) = x2 + sin x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x + cos x. Chọn đáp án B Z10 Câu 164. Cho hàm số f ( x) liên tục trên [0; 10] thỏa mãn ä Z6 f ( x ) d x = 7, 0 Z2 f ( x) d x = 3. Tính P = 2 f ( x) d x + 0 Z10 f ( x) d x. 6 A. P = 4. – Lời giải. Z10 Ta có B. P = 5. Z2 f ( x) d x = 0 Z6 f ( x) d x + 0 Z2 Suy ra 0 2 f ( x) d x. 6 Z10 f ( x) d x = 6 D. P = −4. Z10 f ( x) d x + Z10 f ( x) d x + C. P = 7. Z6 f ( x) d x = 4. f ( x) d x − 0 2 Chọn đáp án A ä Câu 165. Z Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?Z 1 1 + C. B. ( x + 1)−3 d x = ( x + 1)−2 + C . x 2 Z Z 1 dx 3 4 D. = ln |2 x + 1| + C . C. ( x + 1) d x = ( x + 1) + C . 4 2x + 1 – LờiZgiải. Z 1 3 Ta có ( x + 1) d x = ( x + 1)3 d( x + 1) = ( x + 1)4 + C . 4 A. ln | x| d x = Chọn đáp án C ä Câu 166. Z Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 3 x. A. B. f ( x) d x = 3 cos 3 x + C . Th.s Nguyễn Chín Em Z 168 f ( x) d x = −3 cos 3 x + C . https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Z 1 1 C. f ( x) d x = − cos 3 x + C . D. f ( x) d x = cos 3 x + C . 3 3 – LờiZgiải. Z Z 1 1 sin 3 x d(3 x) = − cos 3 x + C . Ta có f ( x) d x = sin 3 x d x = 3 3 Z Chọn đáp án C ä 3 2 Câu 167. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = ex + 2 x thỏa mãn F (0) = . Tìm F ( x). 1 2 A. F ( x) = e x + x2 + . 5 2 3 2 B. F ( x) = e x + x2 + . C. F ( x) = e x + x2 + . – Lời giải. Z Z Ta có F ( x) = f ( x) d x = ( e x + 2 x) d x = e x + x2 + C . 1 2 D. F ( x) = 2e x + x2 − . 3 3 1 ⇒ 1+C = ⇒ C = . 2 2 2 1 x 2 Từ đó ta có F ( x) = e + x + . 2 Do F (0) = Chọn đáp án A ä x −x Câu 168. Z Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = e (1 + e ). Z A. f ( x) d x = e x + 1 + C . B. f ( x) d x = e x + x + C . Z C. Z x D. f ( x) d x = −e + x + C . – LờiZgiải. Ta có Z f ( x) d x = x Z −x e (1 + e ) d x = f ( x) d x = e x + C . (e x + 1) d x = e x + x + C . Chọn đáp án B ä 2 Câu 169. Cho biết F ( x) = g( x) = x cos ax. 1 3 1 ( x + a) x + 2 x − là một nguyên hàm của f ( x) = . Tìm nguyên hàm của 3 x x2 1 1 x sin 2 x − cos 2 x + C . 2 4 1 1 D. x sin 2 x + cos 2 x + C . 2 4 A. x sin x − cos x + C . B. C. x sin x + cos x + C . – Lời giải. Ta có: Z F ( x) = 2 f ( x) d x ⇒ F 0 ( x) = f ( x) ⇒ ( x2 + 1)2 ( x2 + a)2 = ⇒ a = 1. x2 x2 Z Do đó: g( x) = x cos x d x.   du = d x Đặt ⇒  dv = cos x d x v = sin x.  u = x Z ⇒ g( x) = x sin x − sin x d x = x sin x + cos x + C. Chọn đáp án C ä Câu 170. Z Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 2 x là A. B. cos 2 x d x = 2 sin 2 x + C . Z C. cos 2 x d x = sin 2 x + C . – LờiZgiải. Ta có cos 2 x d x = 1 sin 2 x + C . 2 Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em 1 cos 2 x d x = − sin 2 x + C . 2 Z 1 D. cos 2 x d x = sin 2 x + C . 2 Z ä 169 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 1 Câu 171. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 4 x3 + 2 x + p . 2 x p x4 + 2x + x + C. 4 Z 1 D. f ( x)d x = 12 x2 + 2 − p + C . 4x x p x4 + x2 + x + C . A. f ( x)d x = 4 Z p C. f ( x)d x = x4 + x2 + x + C . Z Z B. f ( x)d x = Z µLời giải. ¶ p 1 4 x + 2 x + p d x = x4 + x2 + x + C . 2 x 3 Chọn đáp án C ä Câu 172. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 + 2 x + 3 x2 thỏa mãn F (1) = 2. Tính F (0) + F (−1). A. −3. B. −4. C. 3. D. 4. – Lời giải. Z F ( x) = (1 + 2 x + 3 x2 ) d x = x + x2 + x3 + C. Do F (1) = 2 nên C = −1. Suy ra F ( x) = x + x2 + x3 − 1, từ đó ta có F (0) + F (−1) = −3. Chọn đáp án A Câu 173. Tìm ä Z µp 3 x2 + 4 dx x ¶ 3p 3p 3 5 3 5 x + 4 ln | x| + C . B. x − 4 ln | x| + C . 5 5 3p 5p 3 5 3 5 C. − x + 4 ln | x| + C . D. x + 4 ln | x| + C . 5 3 giải. ¶ Z µLời Z Z 2 p 4 1 3 5 3p 3 3 2 3 x + dx = x dx + 4 d x = x 3 + 4 ln | x| + C = x5 + 4 ln | x| + C . x x 5 5 A. Chọn đáp án A ä Câu 174. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 x B. x3 + C . A. − + C . – LờiZgiải. 1 dx = x2 Ta có 1 là x2 Z C. − 1 . 3 x2 D. 1 + C. x 1 x−2 d x = − + C. x Chọn đáp án A ä Câu 175. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 5 x4 − 3 x2 trên tập số thực thỏa mãn F (1) = 3 là A. x5 − x3 + 2 x + 1. B. x5 − x3 + 3. C. x5 − x3 + 5. D. x5 − x3 . – Lời giải. Ta có F ( x) = x5 − x3 + C , do F (1) = C = 3 nên F ( x) = x5 − x3 + 3. Chọn đáp án B 2.1 1. 11. 21. 31. 43. 53. 63. 73. ä ĐÁP ÁN A B C A C A A B 2. 12. 22. 33. 44. 54. 64. 74. A D A C B A A A Th.s Nguyễn Chín Em 3. 13. 23. 35. 45. 55. 65. 75. D C D B A B C D 4. 14. 24. 36. 46. 56. 66. 76. D C B A C B C B 5. 15. 25. 37. 47. 57. 67. 77. B B C D A B D B 6. 16. 26. 38. 48. 58. 68. 78. 170 A A D A C D D B 7. 17. 27. 39. 49. 59. 69. 79. A D B A A C C A 8. 18. 28. 40. 50. 60. 70. 80. A D B C B D D B 9. 19. 29. 41. 51. 61. 71. 81. A D D B A B A A 10. 20. 30. 42. 52. 62. 72. 82. C D B C B B A D https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 83. 93. 103. 113. 123. 133. 143. 153. 163. 173. 3 A D B C B B C D B A 84. 94. 104. 114. 124. 134. 144. 154. 164. 174. D C B B D C C D A A 85. 95. 105. 115. 125. 135. 145. 155. 165. 175. B D D D B A A A C B 86. 96. 106. 116. 126. 136. 146. 156. 166. B B B D A D D D C 87. 97. 107. 117. 127. 137. 147. 157. 167. Chương 3 – Giải tích 12 D C C B B B D A A 88. 98. 108. 118. 128. 138. 148. 158. 168. C B A C B A C D B 89. 99. 109. 119. 129. 139. 149. 159. 169. A C C C A B A B C 90. 100. 110. 120. 130. 140. 150. 160. 170. B C B A B D B C D 91. 101. 111. 121. 131. 141. 151. 161. 171. D B D B A D D B C 92. 102. 112. 122. 132. 142. 152. 162. 172. C D C B D A D B A VẬN DỤNG THẤP Câu 1. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 sin x . sin x − cos x 1 + C. | sin x − cos x| D. T ( x) = x + ln | sin x − cos x| + C . A. F ( x) = x + ln | sin x + cos x| + C . B. G ( x) = x + C. H ( x) = ln | sin x − cos x| + C . – Lời giải. Ta có Z ¶ Z Z µ 2 sin x sin x + sin x + cos x − cos x sin x + cos x f ( x) d x = dx = dx = 1+ dx sin x − cos x sin x − cos x sin x − cos x Z d(sin x − cos x) = x+ = x + ln | sin x − cos x| + C. sin x − cos x Z Chọn đáp án D ä Câu 2. Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2x , thỏa mãn F (0) = T = F (0) + F (1) + F (2) + · · · + F (2017) + F (2018) + F (2019). 22019 − 1 22019 + 1 . B. T = 22019·2020 . C. T = . A. T = 1009 · ln 2 ln 2 – Lời giải.Z 2x Có F ( x) = 2x d x = + C. ln 2 1 1 1 Lại có F (0) = ⇒ +C = ⇒ C = 0. ln 2 ln 2 ln 2 x 2 Vậy F ( x) = . ln 2 1 . Tính giá trị của biểu thức ln 2 D. T = 22020 − 1 . ln 2 T = F (0) + F (1) + F (2) + · · · + F (2017) + F (2018) + F (2019) 1 2 22 22017 22018 22019 = + + +···+ + + ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ¢ 1 ¡ = · 1 + 2 + 22 + · · · + 22017 + 22018 + 22019 ln 2 1 22020 − 1 22020 − 1 = · = . ln 2 2−1 ln 2 Chọn đáp án D ä Câu 3. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = e 15 A. 6 − . e – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em p 3 x và F (0) = 2. Hãy tính F (−1). 15 10 C. − 4. D. . e e 10 B. 4 − . e 171 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Z p 3 e x d x (1). Z p 3 2 3 Đặt t = x ⇒ t = x ⇒ 3 t d t = d x. Suy ra (1) trở thành F ( t) = 3e t · t2 d t.    u = 3 t2  du = 6 t d t Đặt ⇒  dv = e t d t v = e t . Z F ( t) = 3 t2 · e t − 6 te t d t. Vì F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x), suy ra F ( x) = Đặt  u1 = 6 t  dv = e t d t 1 ⇒   du1 = 6 d t v = e t . Z 1 F ( t) = 3 t2 · e t − (6 t · e t − 6e t d t) = 3 t2 e t − 6 te t + 6e t + C . p p p p 3 3 Thay t = 3 x ta được F ( x) = e x (3 x2 − 6 3 x + 6) + C . Theo bài ra F (0) = 2 ⇒ 6 + C = 2 ⇒ C = −4. p p p 3 3 Vậy F ( x) = e x (3 x2 − 6 3 x + 6) − 4. Suy ra 1 15 F (−1) = (3 + 6 + 6) − 4 = − 4. e e Chọn đáp án C ä Câu 4. Biết rằng xe x là một nguyên hàm của f (1 − x) trên khoảng (−∞; +∞). Gọi F ( x) là một nguyên hàm của f 0 ( x)ex thỏa mãn F (3) = 1, giá trị của F (1) bằng A. 2e − 1. B. 2e + 1. C. e + 1. D. 4e + 1. – Lời giải. Ta có f (1 − x) = ( xe x )0 = e x + xex , ∀ x ∈ (−∞; +∞). Đặt t = 1 − x, ta có f ( t) = e1−t + (1 − t)e1−t = (2 − t)e1−t , ∀ t ∈ (−∞; +∞). Hay f ( x) = (2 − x)e1−x , ∀ x ∈ (−∞; +∞). £ ¤ 1− x 0 Do đó f 0 ( x) = (2 = ( x − 3)e1− x ⇒ f 0 ( x)e x = ( x − 3)e1− x e x = ( x − 3)e. Z − x)e e ( x − 3)e d x = ( x − 3)2 + C . 2 e Lại có F (3) = 1 ⇔ C = 1. Vậy F ( x) = ( x − 3)2 + 1 ⇒ F (1) = 2e + 1. 2 Bởi vậy F ( x) = Chọn đáp án B ä Câu 5. Biết rằng e x là một nguyên hàm của f (2 x) trên khoảng (−∞; +∞). Gọi F ( x) là một nguyên hàm của [ f 0 ( x)]2 thỏa mãn F (0) = 1, giá trị của F (1) bằng A. 1. B. 4e − 3. C. – Lời giải. e+1 . 4 D. e+3 . 4 Ta có f (2 x) = (e x )0 = ex , ∀ x ∈ (−∞; +∞). t Đặt t = 2 x, ta có f ( t) = e 2 , ∀ t ∈ (−∞; +∞). x Hay f ( x) = e 2 , ∀ x ∈ (−∞; +∞). µ ¶ 1 x 1 x 2 1 x 0 2 Do đó f ( x) = e = e 2 ⇒ [ f ( x)] = e 2 = e . 2 2 4 Z 1 1 x x Bởi vậy F ( x) = e dx = e + C. 4 4 1 3 Lại có F (0) = 1 ⇔ + C = 1 ⇔ C = . 4 4 1 x 3 1 3 e+3 . Vậy F ( x) = e + ⇒ F (1) = e + = 4 4 4 4 4 0 h x 2 i0 Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em ä 172 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Câu 6.Z Cho F ( x) = x2 là một nguyên hàm của hàm số f ( x)eZ2x . Tìm nguyên hàm của hàm số f 0 ( x)e2x . f 0 ( x)e2x d x = − x2 + 2 x + C . A. Z C. 0 2x f ( x)e f 0 ( x)e2x d x = − x2 + x + C . B. Z 2 D. dx = x − 2x + C. f 0 ( x)e2x d x = −2 x2 + 2 x + C . – Lời giải. 2x 2x F ( x)= x2 là một nguyên  hàm của f ( x)e ⇒ 2 x = f ( x)e .  u = e2x d u = 2 e2x d x Đặt ⇒ dv = f 0 ( x)d x v = f ( x) Z Z 0 2x 2x ⇒ f ( x)e d x = f ( x)e − 2 f ( x)e2x d x = 2 x − 2 x2 + C . Chọn đáp án D ä Câu 7. Cho F ( x) = ( x − 1)ex là một nguyên hàm của hàm số f ( x)e2x . Tìm nguyên hàm của hàm số f 0 ( x)e2x . Z A. Z C. f 0 ( x)e2x d x = (4 − 2 x)e x + C . 0 x 2x f 0 ( x)e2x d x = Z f 0 ( x)e2x d x = ( x − 2)e x + C . D. f ( x)e d x = (2 − x)e + C . 2− x x e + C. 2 Z B. – Lời giải. – Ta có fZ( x)e2x = F 0 ( x) = xe x . Z 0 2x 2x – Suy ra f ( x)e d x = e . f ( x) − 2 f ( x)e2x d x = xe x − 2( x − 1)e x = (2 − x)ex + C Chọn đáp án C ä Câu 8. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 . 1 + 8x Z 8 x ln 8 + C . B. f ( x ) d x = + C. x x )2 1 + 8 (1 + 8 Z Z ln(1 + 8 x ) ln(1 + 8 x ) + C. D. f ( x) d x = x − + C. C. f ( x) d x = x + ln 8 ln 8 – Lời giải. ¶ Z Z Z µ Z Z 1 1 + 8x − 8x 8x 8x F ( x) = d x = d x = d x = d x − dx 1 − 1 + 8 xZ 1 + 8x 1 + 8x 1 + 8x d (1 + 8 x ) 1 1 F ( x) = x − = x− ln (1 + 8 x ) + C . x ln 8 1+8 ln 8 Z A. f ( x) d x = 1 Chọn đáp án D ä Z Câu 9. Tính nguyên hàm x2 − x + 3 d x. x+1 A. 2 x + 5 ln | x + 1| + C . B. x2 − 2 x − 5 ln | x − 1| + C . 2 x2 − 2 x + 5 ln | x + 1| + C . D. x + 5 ln | x + 1| + C . 2 – Lời giải. Z 2 Z x − x+3 5 x2 dx = (x − 2 + ) dx = − 2 x + 5 ln | x + 1| + C . x+1 x+1 2 C. Chọn đáp án C ä Câu 10. Gọi F ( x) là họ các nguyên hàm của hàm số f ( x) = 8 sin 3 x cos x. Biết rằng F ( x) có dạng F ( x) = a cos 4 x + b cos 2 x + C . Khi đó, a − b bằng A. 3. B. −1. – Lời giải. Z F ( x) = 8 sin 3 x cos x d x = 4 C. 1. D. 2. Z (sin 4 x + sin 2 x) d x = − cos 4 x − 2 cos 2 x + C . Suy ra a = −1, b = −2. Vậy a − b = 1. Th.s Nguyễn Chín Em 173 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Chọn đáp án C ä Câu 11. Giả sử hàm số f ( x) liên tục, dương trên R; thỏa mãn f (0) = 1 và ¡ p ¢ x f ( x ) . Khi đó hiệu T = f 2 2 − 2 f (1) thuộc khoảng nào? x2 + 1 A. (2; 3). B. (7; 9). C. (0; 1). f 0 ( x) = D. (9; 12). – Lời giải. Ta có: Z Z 0 x x 1 f 0 ( x) 2x f ( x) f ( x) = 2 = 2 dx = f ( x) ⇔ ⇒ dx 2 f ( x) x + 1 f ( x) 2 x +1 x +1 p 1 ⇒ ln | f ( x)| = ln | x2 + 1| + C ⇒ ln f ( x) = ln x2 + 1 + C ( vì f ( x) luôn dương trên R ). 2 p p ¡ p ¢ Mà f (0) = 1 ⇒ C = 0 ⇒ f ( x) = x2 + 1 ⇒ T = f 2 2 − 2 f (1) = 3 − 2 2 ∈ (0; 1). 0 Chọn đáp án C ä Z3 Câu 12. Cho 2 5 x + 12 x2 + 5 x + 6 A. 3. d x = a ln 2 + b ln 5 + c ln 6 với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị 3a + 2 b + c bằng B. −14. C. −2. D. −11. – Lời giải. 5 x + 12 A B ( A + B ) x + 3 A + 2B . = + = ( x + 2)(x + 3) x + 2 x + 3 x2 + 5 x + 6  A + B = 5 A = 2 Khi đó: ⇔ 3 A + 2B = 12 B = 3. Ta có: 5 x + 12 x2 + 5 x + 6 = Nên Z3 2 5 x + 12 dx = 2 x + 5x + 6 Z3 2 2 dx + x+2 Z3 2 3 dx x+3 ¯3 ¯3 ¯ ¯ = 2 ln | x + 2|¯ + 3 ln | x + 3|¯ 2 2 = 3 ln 6 − ln 5 − 2 ln 4 = −4 ln 2 − ln 5 + 3 ln 6. Vậy a = −4, b = −1, c = 3 ⇒ 3a + 2 b + c = −11. Chọn đáp án D ä ´ ³ x π π và F ( x) là một nguyên hàm của x · f 0 ( x) thỏa mãn F (0) = 0. Tính Câu 13. Cho f ( x) = trên − ; 2 2 2 cos x ³π´ F ? 3 p p p p π2 π 3 4π2 π 3 4π2 π 3 π2 π 3 − + ln 2. B. − − ln 2. C. − + ln 2. D. − − ln 2. A. 36 3 9 3 9 3 36 3 – Lời giải. Ta có F ( x) = Z Mà x cos2 x x2 f ( x) d x = − cos2 x x x · f ( x) d x = x d( f ( x)) = x · f ( x) − d x. cos2 x Z Z d x = xd (tan x) = x · tanx − tan x d x = x · tan x + ln (cos x) + C , (vì cos x > 0 ). Z 0 Z Z Z x2 − x tan x − ln (cos x) + C . Mà F (0) = 0 nên C = 0. cos2 xp ³ π ´ 4π 2 3π Vậy F = − + ln 2. 3 9 3 Do đó F ( x) = Chọn đáp án C ä Câu 14. Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = Th.s Nguyễn Chín Em 174 1 x9 + 3 x5 . https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 ¯ 4 ¯ ¯ x ¯ 1 1 ¯ + C. A. f ( x) d x = − 4 + ln ¯¯ 4 36 ¯ x + 3 ¯¯ 3x Z ¯ x4 ¯ 1 1 ¯ + C. ln ¯¯ 4 C. f ( x) d x = − 4 − 36 3x x +3¯ ¯ 4 ¯ ¯ x ¯ 1 1 ¯ + C. ¯ − B. f ( x) d x = − ln 12 x4 36 ¯¯ x4 + 3 ¯¯ Z ¯ x4 ¯ 1 1 ¯ ¯ + C. + ln D. f ( x) d x = − 12 x4 36 ¯ x4 + 3 ¯ Z Z – Lời giải. Ta có Z Z dx dx = 9 5 5 x + 3x x ( x4 + 3) Z 1 ( x4 + 3) − x4 dx 3 x5 ( x4 + 3) µZ ¶ µZ ¶ Z Z dx dx 1 d x 1 ( x4 + 3) − x4 1 − = − dx 3 3 x5 x( x4 + 3) x5 3 x( x4 + 3) ·Z ·Z ¸ ¸ Z Z 3 Z Z 1 dx 1 dx x dx 1 dx 1 d x 1 d( x4 + 3) − − − = − 3 x5 9 x 3 x5 9 x 4 x4 + 3 x4 + 3 ¯ 4 ¯ ¯ x ¯ 1 1 ¯ ¯ + C. − − ln 12 x4 36 ¯ x4 + 3 ¯ Z f ( x) d x = = = = = Chọn đáp án B ä µ ¶ 1 1 Câu 15. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = thỏa mãn F = 2 và F ( e) = ln 2. Giá trị x ln x e µ ¶ 1 của biểu thức F 2 + F (e2 ) bằng e A. 3 ln 2 + 2. B. ln 2 + 2. C. ln 2 + 1. D. 2 ln 2 + 1. – Lời giải.  Z  ln (ln x) + C 1 khi x > 1 1 1 dx = d (ln x) = ln |ln x| + C = Ta có F ( x) =  ln (− ln x) + C x ln x ln x 2 khi x < 1. µ ¶ µ µ ¶¶ 1 1 Theo đầu bài F = 2 ⇒ ln − ln + C 2 = 2 ⇔ C 2 = 2. e e Và F ( e) = ln 2 ⇒ ln(ln x) + C1 = ln 2 ⇔ C1 = ln 2.  ln (ln x) + ln 2 khi x > 1 Từ đó ta có F ( x) =  ln (− ln x) + 2 khi x < 1. µ ¶ µ ¶ ¡ ¢ 1 1 2 Từ đó suy ra F 2 + F (e ) = ln − ln 2 + 2 + ln ln e2 + ln 2 = 3 ln 2 + 2. e e µ ¶ 1 2 Vậy F 2 + F (e ) = 3 ln 2 + 2. e Z Chọn đáp án A ä 1 3 1 ( x 2 + a )2 Câu 16. Cho biết F ( x) = x + 2 x − là một nguyên hàm của f ( x) = . Tìm nguyên hàm của hàm 3 x x2 số g( x) = x cos ax. 1 1 x sin 2 x − cos 2 x + C . 2 4 1 1 D. x sin 2 x + cos 2 x + C . 2 4 A. x sin x − cos x + C . B. C. x sin x + cos x + C . - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 175 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 1 3 Ta có F ( x) = x3 + 2 x − Chương 3 - Giải tích 12 1 ( x2 + a)2 là một nguyên hàm của f ( x) = x x2 ⇔ F 0 ( x) = f ( x), ∀ x 6= 0 1 x4 + 2ax2 + a2 ⇔ x2 + 2 + 2 = , ∀ x 6= 0 x x2 1 a2 ⇔ x2 + 2 + 2 = x2 + 2a + 2 , ∀ x 6= 0 x x ⇔ a=1 Suy ra Zg( x) = x cos xZ Suy ra g ( x) d x =  u = x x cos x d x  Z Z d u = d x Đặt ⇒ ⇒ g( x) d x = x sin x − sin x d x = x sin x + cos x + C . dv = cos x d x v = sin x Chọn đáp án C ä ¯ ¯ x ¯2 + a¯ 1 ¯ + b (a, b ∈ Z) là nguyên hàm của hàm số f ( x) = thỏa mãn Câu 17. Biết F ( x) = log2 ¯¯ x ¯ x 2 −2 2 + 6 · 2− x − 5 F (2) = 2018. Tính P = a + b. A. P = 2017. B. P = 2019. C. P = 2016. D. P = 2022. - Lời giải. Ta có Z F ( x) = 2x dx x +6 22x − 5 · 2 Z 1 1 = d(2 x ) 2x x ln 2 µ2 − 5 · 2 + 6 ¶ Z 1 1 1 − x = d(2 x ) x ln 2 2 −3 2 −2 ¯ x ¯ ¯2 −3¯ 1 ¯ ¯+C · ln ¯ x = ln 2 2 −2¯ ¯ ¯ x ¯2 −3¯ ¯+C = log2 e · ln ¯¯ x 2 −2¯ ¯ x ¯ ¯2 −3¯ ¯ ¯ + C. = log2 ¯ x 2 −2¯ 1 dx = 2 x + 6 · 2− x − 5 Z 1 ¯ x 2¯ ¯2 −3¯ ¯ + 2019. Vậy a = −3, b = 2019 và P = a + b = −3 + 2019 = 2016. Do đó F ( x) = log2 ¯¯ x 2 −2¯ Vì F (2) = 2018 nên log2 + C = 2018 ⇔ C = 2019. Chọn đáp án C ä ¶ ¡ ¢p 4 x2 1 Câu 18. Cho F ( x) = ax2 + bx + c 2 x − 1 là một nguyên hàm của hàm số p trên ; +∞ . Tính 2 2x − 1 S = a + b + c. 9 28 A. S = 2. B. S = . C. S = . D. S = 1. 5 15 µ - Lời giải. Theo giả thiết ta có 4 x2 5ax2 + (3 b − 2a) x − b + c = F 0 ( x) = . p p 2x − 1 2x − 1   5a = 4    4 8 28 Đồng nhất hệ số ta được 3 b − 2a = 0 , suy ra a = , b = c = . Vậy S = .  5 15 15   −b+ c = 0 Th.s Nguyễn Chín Em 176 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Chọn đáp án C Z Câu 19. Biết A. 5. ä x2 + 1 d x = ln |( x − 1)m ( x − 2)n ( x − 3) p | + C . Tính 4( m + n + p). x3 − 6 x2 + 11 x − 6 B. 0. C. 2. D. 4. - Lời giải. ¶ Z µ Z 1 5 5 x2 + 1 x2 + 1 d x = − + dx d x = ( x − 1)( x − 2)( x − 3) x−1 x−2 x−3 x3 − 6 x2 + 11 x − 6 = ln | x − 1 − 5 ln | x − 2| + 5 ln | x − 3| + C = ln |( x − 1)( x − 2)−5 ( x − 3)5 | + C . Z Suy ra m = 1, n = −5, p = 5. Vậy 4(m + n + p) = 4. Chọn đáp án D ä Câu 20. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = nào dưới đây đúng? A. F (−1) = 2 − ln 2. B. F (2) = 2 − 2 ln 2. - Lời giải.  Ta có F ( x) =  ln | x − 1| + C 1 với x > 1  ln | x − 1| + C với x < 1 2 Với F (5) = 2 và F (0) = 1 ta có F ( x) = 1 thoả mãn F (5) = 2 và F (0) = 1. Mệnh đề x−1 C. F (3) = 1 + ln 2. D. F (−3) = 2. .   ln | x − 1| + 2 − 2 ln 2 với x > 1  ln | x − 1| + 1 với x < 1 . Từ đó ta có F (2) = 2 − 2 ln 2 là đúng. Chọn đáp án B ä Câu 21. Cho hàm số f ( x) xác định trên R {0; 2} và thỏa mãn f 0 ( x) = 1 . Biết rằng f (−2) + f (4) = 0 µ ¶ µ ¶ 1 3 và f +f = 2018. Tính T = f (−1) + f (1) + f (5). 2 2 1 1 9 1 9 1 9 A. T = ln 5 + 1009. B. T = ln + 1009. C. T = ln + 2018. D. T = ln . 2 2 5 2 5 2 5 - Lời giải. Z ¯ ¯ Z 1 1 ¯¯ x − 2 ¯¯ Ta có f ( x) = f 0 ( x) d x = ln d x = + C. 2 2 ¯ x ¯  ¯ ¯ x − 2x 1 ¯¯ x − 2 ¯¯   ln ¯   ¯ + C 1 khi x < 0  2 x ¯   1 ¯ x − 2 ¯¯ ¯ + C 2 khi 0 < x < 2 Suy ra f ( x) = ln ¯¯ ¯  2 x ¯ ¯   ¯  ¯ x − 2 1  ¯ + C 3 khi x > 2.   ln ¯¯ x ¯ µ µ ¶2 ¶ µ ¶ 1 3 1 1 Do f +f = 2018 ⇔ ln 3 + ln + 2C 2 = 2018 ⇔ C 2 = 1009. 2 2 2µ 3 ¶ 1 1 Lại có f (−2) + f (4) = 0 ⇔ ln 2 + ln + C1 + C3 = 0 ⇔ C1 + C3 = 0. 2 µ 2 ¶ 1 3 1 9 Do đó T = f (−1) + f (1) + f (5) = ln 3 + ln 1 + ln + C1 + C2 + C3 = ln + 1009. 2 5 2 5 Chọn đáp án B ä ¢ ¡p ¢ Z ¡p f x+1 2 x+1+3 Câu 22. Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và thỏa mãn dx = + C . Nguyên hàm p x+5 x+1 của hàm số f (2 x) trên tập R+ là x+3 x+3 2x + 3 2x + 3 A. ¡ 2 ¢ + C . B. 2 + C. C. ¡ 2 ¢ + C . D. ¡ 2 ¢ + C . x +4 2 x +4 4 x +1 8 x +1 – Lời giải. p Đặt t = x + 1 ⇒ p dx x+1 Th.s Nguyễn Chín Em x2 − 2 x = 2 d t. 177 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z Khi đó f ¡p ¢ x+1 Chương 3 – Giải tích 12 Z d x = 2 f ( t) d t. x +¢ 1 ¡p ¢ Z Z f x+1 2 x+1+3 2( t + 3) Mà dx = + C nên 2 f ( t) d t = 2 + C. p x+5 t +4 x+1 p ¡p Khi đó t+3 +C t2 + 4 Z 1 2t + 3 ⇔ f (2 t) d t = · 2 +C 2 4t + 4 Z 2x + 3 ¢ + C. ⇔ f (2 x) d x = ¡ 2 4 x +1 Z f ( t) d t = Chọn đáp án C ä Câu 23. Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) = ln( x + 3) sao cho F (−2) + F (1) = 0. Giá trị của F (−1) + x2 F (2) bằng 7 2 3 A. ln 2. B. ln 2 + ln 5. 3 3 6 – Lời giải. Z ln( x + 3) F ( x) = d x, ( x > −3). 2 x   1   dx  du =  u = ln( x + 3)  x+3 ⇒ . Đặt 1 1     dv = d x v = − x2 x C. 10 5 ln 2 − ln 5. 3 6 D. 0. Z 1 1 dx F ( x) = − ln( x + 3) + x x( x + 3) ¶ Z µ 1 1 1 1 = − ln( x + 3) + − dx x 3 x x+3 1 ¯¯ x ¯¯ 1 = − ln( x + 3) + ln ¯ ¯ + C. x 3 x+3 Suy ra  1 x 1   + C 1 khi x > 0  − ln( x + 3) + ln x 3 x+3 F ( x) =   − 1 ln( x + 3) + 1 ln − x + C khi − 3 < x < 0.  2 x 3 x+3 Khi đó 1 ln 2 + C 2 . 3 1 1 F (1) = − ln 4 + ln + C 1 . 3 4 F (−2) = F (−2) + F (1) = 0 ⇒ C 1 + C 2 = 7 ln 2. 3 1 1 ln + C 2 . 3 2 1 1 2 F (2) = − ln 5 + ln + C 1 . 2 3 5 1 2 10 5 1 1 1 ⇒ F (−1) + F (2) = ln 2 + ln − ln 5 + ln + C 1 + C 2 = ln 2 − ln 5. 3 2 2 3 5 3 6 F (−1) = ln 2 + Chọn đáp án C Z Câu 24. Biết ä (sin 2 x − cos 2 x)2 d x = x + giản và C ∈ R. Giá trị của a + b bằng A. 5. Th.s Nguyễn Chín Em a a cos 4 x + C , với a, b là các số nguyên dương, là phân số tối b b B. 4. C. 2. 178 D. 3. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ - LờiZgiải. Chương 3 - Giải tích 12 Z 1 (1 − 2 sin 2 x cos 2 x) d x = (1 − sin 4 x) d x = x + cos 4 x + C . 4  Z  a=1 a Mà (sin 2 x − cos 2 x)2 d x = x + cos 4 x + C nên ⇒ a + b = 5. b = 4 b Ta có (sin 2 x − cos 2 x)2 d x = Z Chọn đáp án A ä 2018 Z ln (1 + 2 x ) d x. (1 + 2− x ) log4 e 0 ¢ ¡ A. I = ln2 1 + 22018 − ln2 2. ¢ ¡ C. I = ln 1 + 22018 − ln 2. Câu 25. Tính I = B. I = ln2 1 + 22018 − ln 4. ¢ ¡ D. I = ln2 1 + 2−2018 − ln2 2. ¢ ¡ - Lời giải. ¢ ¡ 2 x ln 2 ln 2 2018 . = d x . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = ln 2 ; x = 2018 ⇒ t = ln 1 + 2 1 + 2 x 1 + 2− x 2018 ln(1Z +2 ) µ ¶ 2018 ¢ ¡ t 1 t2 ¯¯ln(1+2 ) Khi đó I = dt = · = ln2 1 + 22018 − ln2 2. ¯ ln 2. log4 e log4 2 2 ln 2 Đặt t = ln(1 + 2 x ), ta có d t = ln 2 Chọn đáp án A ä Câu 26. Gọi F ( x) là nguyên hàm của hàm số y = 4 cos4 x − 3 cos2 x. F ( x) là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? A. F ( x) = cos 4 x cos 2 x + + C. 8 4 B. F ( x) = sin3 x cos x + C . C. F ( x) = − sin x cos3 x + C . D. F ( x) = - Lời giải. sin 4 x sin 2 x + + C. 8 4 cos 4 x 3 3(cos 2 x + 1) cos 4 x cos 2 x + 2 cos 2 x + − = + . 2 2 2 2 ¶ 2 Z µ sin 4 x sin 2 x cos 4 x cos 2 x F ( x) = + dx = + + C. 2 2 8 4 Ta có 4 cos4 x − 3 cos2 x = Chọn đáp án D ä Câu 27. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = e Đặt t = 3 x và F (0) = 2. Hãy tính F (−1). 15 10 C. − 4. D. . e e 10 15 B. 4 − . A. 6 − . e e - Lời giải. Z Z p 3 Xét I = f ( x) d x = e x d x. p 3 p 3 Z 2 3 t2 e t d t. x suy ra t = x nên 3 t d t = d x khi đó I = Theo công thức tích phân từng phần 2 t I = 3t e − 3 Z t 2 t µ t 2 te d t = 3 t e − 3 2 te − Z t ¶ ¡ ¢ 2e d t = 3 t2 e t − 3 2 te t − 2e t + C ³ p ´ p p p p 3 3 3 3 f ( x) d x = 3 x2 · e x − 3 2 3 x · e x − 2e x + C ³ p ´ p p p p 3 3 3 3 hay F ( x) = 3 x2 · e x − 3 2 3 x · e x − 2e x + C . µ ¶ 3 2 2 15 Do F (0) = 2 suy ra 6 + C = 2 ⇔ C = −4. Khi đó F (−1) = − 3 − − − 4 = − 4. e e e e Z Suy ra I = Chọn đáp án C ä Câu 28. Cho hàm số f ( x) xác định trên R {−1; 1} thỏa mãn f 0 ( x) = µ ¶ µ ¶ 1 1 f + f − = 2. Tính giá trị của biểu thức T = f (−5) + f (0) + f (2). 3 3 Th.s Nguyễn Chín Em 179 1 x2 − 1 . Biết f (3) + f (−3) = 4 và https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 1 2 A. T = 5 − ln 2. Chương 3 - Giải tích 12 1 2 1 2 B. T = 6 − ln 2. C. T = 5 + ln 2. 1 2 D. T = 6 + ln 2. - LờiZgiải. ¯ ¯ ¶ Z µ 1 1 1 1 ¯¯ x − 1 ¯¯ 1 dx = − d x = ln ¯ Ta có + C. 2 x−1 x+1 2 x +1¯ x2 − 1 Do hàm số f ( x) liên tục trên các khoảng (−∞; −1), (−1; 1), (1; +∞) nên ¯ ¯  1 ¯¯ x − 1 ¯¯   ln + C1    2 ¯ x +1¯   ¯ ¯ 1 ¯ x −1¯ ¯ + C2 ln ¯¯ f ( x) = ¯  2 x + 1   ¯ ¯   1 ¯¯ x − 1 ¯¯    ln ¯ + C3 2 x +1¯ khi x ∈ (1; +∞), khi x ∈ (−∞; −1), khi x ∈ (−1; 1). Theo đề bài ta có 1 ln 2 + C 2 , 2 1 1 f (3) = ln + C 1 . 2 2 f (−3) = Mà f (3) + f (−3) = 4 ⇔ C 1 + C 2 = 4. (1) Tương tự µ ¶ µ ¶ 1 1 f + f − = 2 ⇔ 2C 3 = 2 ⇔ C 3 = 1. 3 3  1 3   f (−5) = ln + C 2    2 2  1 1 Ta có f (0) = 1 ⇒ f (−5) + f (0) + f (2) = ln + 1 + C 1 + C 2 .  2 2    1 1   f (2) = ln + C 1 2 3 1 1 Từ (1) suy ra f (−5) + f (0) + f (2) = − ln 2 + 1 + C1 + C2 = − ln 2 + 5. 2 2 Chọn đáp án A ä Câu 29. Cho F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. F (−2) không xác định. C. F (−2) = 2018. x2 + x + 1 và F (0) = 2018. Tính F (−2). x+1 B. F (−2) = 2. D. F (−2) = 2020. - Lời giải. ¶ 1 x2 f ( x) d x = x+ dx = + ln | x + 1| + C . x+1 2 Ta có F (0) = 2018 nên C = 2018. Z µ Z Suy ra F (−2) = 2020. Chọn đáp án D ä Câu 30. Biết F ( x) = (ax2 + bx + c)ex là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x2 + 5 x + 5)e x . Giá trị của 2a + 3 b + c là A. 10. B. 6. C. 8. D. 13. - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 180 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Ta có F 0 ( x) = (ax2 + bx + c)ex + (2ax + b)ex = (ax2 + (2a + b) x + b + c)ex . Từ giả thiết ta có hệ     a=1 a = 1       2a + b = 5 ⇔ b = 3        c = 2. b + c = 5 Vậy 2a + 3b + c = 13. Chọn đáp án D ä Câu 31. Gọi F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) = 4 x − 1 thỏa mãn F (0) = −1. Đồ thị của hai hàm số y = f ( x) và y = F ( x) có bao nhiêu điểm chung? A. Không có. - Lời giải. B. 1. C. 2. Ta có Z Z F ( x) = f ( x) d x = D. Vô số. (4 x − 1) d x = 2 x2 − x + C. Vì F (0) = −1 nên 2 · 02 − 0 + C = −1 ⇔ C = −1. Vậy F ( x) = 2 x2 − x − 1. Số điểm chung của hai đồ thị y = f ( x) và y = F ( x) bằng số nghiệm của phương trình 2 x2 − x − 1 = 4 x − 1 2 ⇔ 2 x − 5 x = 0 x=0  ⇔  5 x= . 2 Vậy đồ thị của hai hàm số y = f ( x) và y = F ( x) có 2 điểm chung. Chọn đáp án C Z cos2 x d x, B = Câu 32. Đặt A = Z ä sin2 x d x. Xác định A − B. 1 2 A. A − B = − · sin 2 x + C . B. A − B = − cos 2 x + C . C. A − B = −2 cos 2 x + C . D. A − B = - Lời giải. Z Ta có A − B = ¡ 2 2 ¢ Z cos x − sin x d x = cos 2 x d x = 1 · sin 2 x + C . 2 1 sin 2 x + C. 2 Chọn đáp án D ä 2 2x 0 2x Câu 33. Z Cho F ( x) = x là một nguyên hàm của hàm số f ( x)e Z . Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)e . A. f 0 ( x)e2x d x = 2 x2 − 2 x + C . B. f 0 ( x)e2x d x = − x2 + 2 x + C . Z C. 0 2x Z 2 D. f ( x)e d x = −2 x + 2 x + C . f 0 ( x)e2x d x = − x2 + x + C . - Lời giải. Vì F ( x) = x2 là một nguyên hàm của hàm số f ( x)e2x nên ta có f ( x)e2x = F 0 ( x) = 2 x.  Đặt  u = e2x dv = f 0 ( x)d x ⇒ d u = 2e2x d x . Khi đó, ta có  v = f ( x) Z Z 0 2x 2x f ( x)e d x = e · f ( x) − 2 f ( x)e2x d x = 2 x − 2 x2 + C. Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em ä 181 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Câu 34. Xét hàm số f ( x) xác định trên R{−2; 2} và thỏa mãn f 0 ( x) = 2. Giá trị của biểu thức f (−4) + f (0) + f (4) bằng A. 4. B. 1. - Lời giải. Z Z 0 Ta có f ( x) = f ( x)d x = ¯ ¯ ¯ x −2¯ ¯+ c = ln ¯¯ x +2¯ 4 x2 − 4 C. 2. 4 dx = 4 2 x −4 Z , f (−3) + f (3) = f (−1) + f (1) = D. 3. 1 dx = 4 ( x − 2)( x + 2) Z µ ¶ 1 1 1 − dx 4 x−2 x+2 1 5 Khi đó ta có f (−3) + f (3) = ln 5 + c + ln + c = 2 ⇒ 2 c = 2 ⇒ c = 1. ¯ ¯ ¯ x −2¯ ¯ ¯ + 1. Suy ra f ( x) = ln ¯ x +2¯ 1 3 Do đó f (−4) + f (0) + f (4) = ln 3 + 1 + ln 1 + 1 + ln + 1 = 3. Vậy f (−4) + f (0) + f (4) = 3 Chọn đáp án D ä Câu 35. Biết F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) = ³π´ 1 + m thoả mãn F (0) = 0 và F = 2. Giá trị 4 cos2 x của m bằng A. π 4 π 4 . π B. − . - Lời giải. Ta có C. − . D. 4 Z F ( x) = π 4 . 1 + m d x = tan x + mx + C. cos2 x Theo giả thiết ta có      C = 0  tan 0 + C = 0 C = 0 F (0) = 0 ³π´ ⇔ ⇔ ⇔ π π π 4 F m = . = 2  tan + m + C = 2 1 + m = 2  4 4 4 4 π 4 π Vậy m = . Chọn đáp án A ä p Câu 36. Biết F ( x) = (ax2 + bx + c) x (a, b, c ∈ R) là nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x2 − 3 x + 2 trên p x khoảng (0; +∞). Tính tổng S = 5a + 4 b + 3 c. A. S = 14. B. S = 12. C. S = 7. D. S = 8. - Lời giải. Do F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) nên F 0 ( x) = f ( x), ∀ x ∈ (0; +∞). Ta có p ax2 + bx + c F 0 ( x) = (2ax + b) x + p 2 x 5ax2 + 3 bx + c = p 2 x Vì F 0 ( x) = f ( x), ∀ x ∈ (0; +∞), nên 5ax2 + 3 bx + c 2 x2 − 3 x + 2 = , ∀ x ∈ (0; +∞). Hay p p 2 x x 5ax2 + 3 bx + c = 4 x2 − 6 x + 4, ∀ x ∈ (0; +∞).  4   a=    5 4 Đồng nhất các hệ số, được b = −2 . Vậy S = 5 · + 4 · (−2) + 3 · 4 = 8.  5    c = 4 Th.s Nguyễn Chín Em 182 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Chọn đáp án D ä a c a sin3 x, với và b d b c là phân số tối giản và a, b, c, d là các số nguyên dương. Tính T = a + b + c + d . d A. Đáp án khác. B. T = 11. C. T = 10. D. T = 9. Câu 37. Một nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin2 x · cos3 x có dạng là F ( x) = − sin5 x + - Lời giải. Ta có Z sin2 x · cos3 x d x Z sin2 x · cos2 x · cos x d x Z ¡ ¢ sin2 x · 1 − sin2 x d (sin x) F ( x) = = = Z = ¡ ¢ sin2 x − sin4 x d (sin x) 1 1 = − sin5 x + sin3 x + C. 5 3 Vậy a = 1, b = 5, c = 1, d = 3 ⇒ T = a + b + c + d = 10. Chọn đáp án C ä 2 Câu 38. Xét hàm số f ( x) = x + ax + ln | bx + 1| + c với a, b, c ∈ R. Biết f 0 ( x) = Tính giá trị S = c(2a − b)2 . 2 . 3 A. B. 1. - Lời giải. Z f ( x) = f 0 ( x) d x = Z 4 x2 + 4 x + 3 dx = 2x + 1 C. 4. Z µ 2x + 1 + 4 x2 + 4 x + 3 và f (0) = 1. 2x + 1 D. 0. ¶ 2 d x = x2 + x + ln |2 x + 1| + C . 2x + 1 Suy ra a = 1, b = 2. Lại có: f (0) = 1 ⇒ C = 1 hay c = 1. Vậy S = c(2a − b)2 = 0. Chọn đáp án D ä Câu 39. Tìm F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 x2 + e x − 1, biết F (0) = 2. 1 − x + 1. ex D. F ( x) = x3 + ex − x − 1. A. F ( x) = 6 x + ex − x − 1. B. F ( x) = x3 + C. F ( x) = x3 + e x − x + 1. - LờiZgiải. Ta có (3 x2 + e x − 1) d x = x3 + e x − x + C . Mặt khác F (0) = 2 ⇒ C = 1 ⇒ F ( x) = x3 + e x − x + 1. Chọn đáp án C Câu 40. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = ä 1 là x2 + x − 2 Z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x +2¯ 1 ¯¯ x + 2 ¯¯ ¯ ¯ A. f ( x) d x = ln ¯ B. f ( x) d x = ln ¯ + C. ¯ + C. 3 ¯ x − 1 ¯¯ ¯ x −1¯ Z Z ¯ x −1¯ 1 ¯¯ x − 1 ¯¯ ¯ + C. C. f ( x) d x = ln ¯¯ D. f ( x ) d x = ln + C. x +2¯ 3 ¯ x +2¯ ¯ ¯ ¶ Z Lời giải. Z µ 1 1 1 1 1 ¯¯ x − 1 ¯¯ dx = − d x = ln ¯ + C. 3 x−1 x+2 3 x +2¯ x2 + x − 2 Z Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em ä 183 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 1 2 Câu 41. Cho hàm số f ( x) 6= 0 thỏa mãn điều kiện f 0 ( x) = (2 x + 3) f 2 ( x) và f (0) = − . Biết rằng tổng f (1) + f (2) + f (3) + · · · + f (2017) + f (2018) = sau đây đúng? A. a < −1. b B. - Lời giải. a a với (a ∈ Z, b ∈ N∗ ) và là phân số tối giản. Mệnh đề nào b b a > 1. b C. a + b = 1010. D. b − a = 3029. Ta có Z 0 Z f 0 ( x) f ( x) 1 f ( x) = (2 x + 3) f ( x) ⇒ 2 = 2x + 3 ⇒ d x = (2 x + 3) d x ⇔ − = x2 + 3 x + C . 2 f ( x) f ( x) f ( x) 1 Vì f (0) = − ⇒ C = 2. 2 1 1 1 Vậy f ( x) = − = − . ( x + 1)( x + 2) x + 2 x + 1 1 1009 1 − =− . Do đó f (1) + f (2) + f (3) + · · · + f (2017) + f (2018) = 2020 2 2020 Vậy a = −1009; b = 2020. Do đó b − a = 3029. 2 0 Chọn đáp án D ä p ³π´ 1 − sin3 x 2 Câu 42. Biết F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) = và F = . Có bao nhiêu số thực x ∈ 2 4 2 sin x (0; 2018π) để F ( x) = 1. A. 2018. B. 1009. – Lời giải. C. 2017. D. 2016. 1 Ta có f ( x) = − sin x, suy ra F ( x) = − cot x + cos x + C . sin2 x p ³π´ 2 = nên C = 1, khi đó F ( x) = − cot x + cos x + 1. Do F 4 2  cos x = 0 π ⇔ x = + kπ, k ∈ Z. Vậy F ( x) = 1 ⇔ cot x − cos x = 0 ⇔  2 sin x = 1 Do x ∈ (0; 2018π) ⇒ 0 < toán. π 2 + kπ < 2018π ⇒ 0 < 1 + k, từ đó suy ra có 2018 số thực thỏa mãn yêu cầu bài 2 Chọn đáp án A ä Z Câu 43. Biết x cos 2 x d x = ax sin 2 x + b cos 2 x + C với a, b là các số hữu tỉ. Tính tích ab. 1 1 4 A. ab = . 8 - Lời giải. Đặt 1 8 B. ab = .  u = x  dv = cos 2 x d x ⇒    du = d x C. ab = − . . Khi đó sin 2 x  v = 2 Z x cos 2 x d x = = 1 2 Suy ra a = , b = Z 1 1 x sin 2 x − sin 2 x d x 2 2 1 1 x sin 2 x + cos 2 x + C. 2 4 1 1 ⇒ ab = . 4 8 Chọn đáp án A ä Câu 44. Z Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x + 1. A. 1 4 D. ab = − . 2 B. f ( x) d x = (2 x + 1) + C . Th.s Nguyễn Chín Em Z 184 1 f ( x) d x = (2 x + 1)2 + C . 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z C. Chương 3 - Giải tích 12 1 f ( x) d x = (2 x + 1)2 + C . 4 - Lời giải. Z Z f ( x) d x = (2 x + 1) d x = Z D. f ( x) d x = 2(2 x + 1)2 + C . 1 1 (2 x + 1)2 · + C = (2 x + 1)2 + C . 2 2 4 Chọn đáp án C ä Câu 45. F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y = 2 sin x cos 3 x và F (0) = 0, khi đó cos 2 x cos 4 x 1 − − . 4 8 8 cos 4 x cos 2 x 1 D. F ( x) = − + . 4 2 4 A. F ( x) = cos 4 x − cos 2 x. B. F ( x) = cos 2 x cos 4 x 1 − − . 2 4 4 - Lời giải. Z Z cos 2 x cos 4 x Ta có F ( x) = 2 sin x cos 3 x d x = (− sin 2 x + sin 4 x) d x = − + C. 2 4 1 Vì F (0) = 0, suy ra C = − . 4 cos 2 x cos 4 x 1 − − . Vậy F ( x) = 2 4 4 C. F ( x) = Chọn đáp án C ä Câu 46. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 3x − 2 x là A. F ( x) = - LờiZgiải. 3x − x2 − 1. ln 3 (3 x − 2 x) d x = Ta có B. F ( x) = 3x − 2. ln 3 C. F ( x) = 3x x2 − . ln 3 2 D. F ( x) = 3 x ln 3 − x2 . 3x − x2 + C . ln 3 Chọn đáp án A ä Câu 47. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 x2 + sin x là A. x3 + cos x + C . B. x3 + sin x + C . C. x3 − cos x + C . D. x3 − sin x + C . Z- Lời giải. (3 x2 + sin x) d x = x3 − cos x + C . Chọn đáp án C ä Câu 48. Cho f ( x), g( x) là các hàm số xác định và liên tục trên R. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? Z Z Z A. [2 f ( x) + 3 g( x)] d x = 2 f ( x) d x + 3 g( x) d x. Z Z Z [ f ( x) − g( x)] d x = f ( x) d x − g( x) d x. Z Z C. 2 f ( x) d x = 2 f ( x) d x. Z Z Z D. f ( x) g ( x) d x = f ( x) d x · g ( x) d x. B. Z Lời giải. f ( x) g ( x) d x = Z Z f ( x) d x · g( x) d x là mệnh đề sai. Chọn đáp án D ä 4x Câu 49. Z Tìm nguyên hàm của hàm Z số f ( x) = e . A. 1 e4x d x = e4x + C . B. 4 e4x d x = 4e x + C . Z C. e4x d x = e4x + C . Z D. e4x d x = 4e4x + C . - LờiZgiải. Ta có 1 e4x d x = e4x + C . 4 Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em ä 185 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z Câu 50. Biết ( x − 2) sin 3 x d x = − Chương 3 - Giải tích 12 ( x − a) cos 3 x 1 + sin 3 x + 2017, trong đó a, b, c là các số nguyên dương. b c Khi đó S = ab + c bằng A. S = 15. B. S = 10. - Lời giải. Đặt  u = x − 2 dv = sin 3 x d x Do đó Z C. S = 14. D. S = 3.   d u = d x . Khi đó 1  v = − cos 3 x. 3 Z 1 1 ( x − 2) sin 3 x d x = − ( x − 2) cos 3 x + cos 3 x d x 3 3 ( x − 2) cos 3 x 1 = − + sin 3 x + C 3 9 ( x − 2) cos 3 x 1 + sin 3 x + 2017 (với C = 2017). = − 3 9 Như vậy a = 2, b = 3, c = 9. Do đó S = 2 · 3 + 9 = 15. Chọn đáp án A ä Câu 51. Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x) = 5 x4 − 6 x2 + 1 là 3 5 A. 20 x − 12 x + C . x4 C. 20 x − 12 x + x + C . D. + 2 x2 − 2 x + C . 4 3 5 B. x − 2 x + x + C . - LờiZgiải. Ta có 3 ¡ 4 ¢ 5 x − 6 x2 + 1 d x = x5 − 2 x3 + x + C. Chọn đáp án B ä Câu 52. Z Cho số thực x > 0. Chọn đẳng thức đúng trong cácZ khẳng định sau ln x d x = 2 ln x + C . Z x ln x C. d x = ln2 x + C . x – LờiZgiải. Z ln x 1 Ta có d x = ln x d (ln x) = ln2 x + C . x 2 ln x d x = 2 ln2 x + C . Z x ln x 1 D. d x = ln2 x + C . x 2 A. B. Chọn đáp án D ä Câu 53. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin x + 2 cos x biết F ³π´ = 0 là 2 B. F ( x) = 2 sin x − cos x − 2. A. F ( x) = 2 sin x − cos x + 2. C. F ( x) = −2 sin x − cos x + 2. – LờiZgiải. D. F ( x) = sin x − 2 cos x − 2. Ta có (sin x + 2 cos x) d x = − cos x + 2 sin x + C . ³π´ Do F = 0 nên C = −2. Vậy F ( x) = 2 sin x − cos x − 2. 2 Chọn đáp án B ä Câu 54. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos(2 x + 1) là A. 2 sin(2 x + 1) + C . – LờiZgiải. Ta có 1 cos(2 x + 1)d x = 2 B. sin(2 x + 1) + C . Z cos(2 x + 1)d(2 x + 1) = C. 1 2 D. − sin(2 x + 1) + C . 1 sin(2 x + 1) + C . 2 Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 1 sin(2 x + 1) + C . 2 ä 186 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Câu 55. Z Khẳng định nào sau đây sai? A. d x = − cot x + 3C . 2 Z sin x 1 d x = tan x − 5 + C . D. cos2 x Z C. 1 Z B. cos x d x = sin x − C . sin x d x = cos x + C . Z Lời giải. sin x d x = cos x + C sai vì (cos x + C )0 = − sin x . Các Z nguyên hàm: cos x d x = sin x − C đúng vì (sin x − C )0 = cos x. 1 Z 2 d x = cot x − 3C đúng vì (− cot x + 3C )0 = 1 . sin2 x Z sin x 1 1 0 = d x = tan x − 5 + C đúng vì x − 5 + C . (tan ) cos2 x cos2 x Chọn đáp án C ä p p x x + 2 d x. Nếu đặt t = x + 2 thì ta được Z Z ¡ ¢ ¡ ¢ B. I = 4 t4 − 2 t2 d t. C. I = 2 t4 − 4 t2 d t. Z Câu 56. Xét nguyên hàm I = Z A. I = ¡ ¢ t4 − 2 t2 d t. Z D. I = ¡ ¢ 2 t4 − t2 d t. – Lời giải. p 2 Đặt t = x + hai vế ta được 2 t d t = d x. Z 2 ⇔ t = x + 2. Vi phân Z ¡ 2 ¢ ¡ 4 ¢ Khi đó I = t − 2 · t · 2t dt = 2 t − 4 t2 d t. Chọn đáp án C ä Câu 57. Họ các nguyên hàm của hàm số y = x sin x là A. − x cos x + C . B. − x cos x + sin x + C . C. − x sin x + cos x + C . x 2 D. x2 sin + C . – Lời giải. Đặt Zu = x, v0 = sin xZ ta có u0 = 1, v = − cos x. Khi đó áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có I= uv0 d x = uv − u0 v dx + C = − x cos x + sin x + C. Chọn đáp án B Câu 58. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = ä 1 + cos 4 x là 2 x 1 x 1 + sin 2 x + C . B. + sin 4 x + C . 2 8 2 2 – LờiZgiải. µ ¶ 1 cos 4 x 1 sin 4 x Ta có + dx = x + + C. 2 2 2 8 A. C. x 1 + sin 4 x + C . 2 8 x 1 + sin 4 x + C . 2 4 D. Chọn đáp án C ä Câu 59. Z Mệnh đề nào dưới đây đúng? p e d x = 2 ex + C . A. Z C. Z x 2 B. dx = ln x + C . x sin 2 x d x = −2 cos 2 x + C . Z D. 2 x d x = 2 x · ln 2 + C . – Lời giải. Bằng cách so sánh hàm dưới dấu nguyên hàm với đạo hàm của các hàm ở vế phải tương ứng ở các phương ¡ p ¢0 x án, ta thấy chỉ có một trường hợp cho kết quả đúng, là 2 ex + C = e 2 . Chọn đáp án A ä 4 1 trên khoảng −∞; thỏa mãn F (0) = 10. 1 − 4x 4 µ Câu 60. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = Tính F (−1). Th.s Nguyễn Chín Em 187 ¶ https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. F (−1) = 10 − 4 ln 5. Chương 3 – Giải tích 12 B. F (−1) = 10 + 4 ln 5. – Lời giải. Do F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) = nên C = 10. Vậy F (−1) = − ln 5 + 10. Chọn đáp án D C. F (−1) = 10 + ln 5. D. F (−1) = 10 − ln 5. 4 nên F ( x) có dạng F ( x) = − ln |1 − 4 x| + C. Lại có F (0) = 10 1 − 4x ä ¢ ¡ −5x 3x 1 − 3e Câu 61. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e Z Z. 1 3x 3 −2x 1 3 A. f ( x) d x = e + e + C. B. f ( x) d x = e3x − e−2x + C . 3 2 3 2 Z Z 3x −2x 3x C. f ( x) d x = e − 3e + C. D. f ( x) d x = 3e + 6e−2x + C . – Lời giải. 3x Ta có f ( x) = e ¡ 1 − 3e −5x ¢ =e 3x − 3e −2x Z . Do đó, 1 3 f ( x) d x = e3x + e−2x + C. 3 2 Chọn đáp án A ä Câu 62. Xét trên khoảng (0; +∞), hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = x2 − 1 ? x2 x2 − x + 1 x2 + 1 x2 + 2 x + 1 x2 − 1 . B. F2 ( x) = . C. F3 ( x) = . D. F4 ( x) = . x x x x – Lời giải. µ ¶ 1 0 1 1 0 Do (F4 ( x)) = x − = 1 + 2 , trong khi f ( x) = 1 − 2 nên F4 ( x) không phải là một nguyên hàm của f ( x). x x x Chọn đáp án D ä A. F1 ( x) = 2 Câu 63. Hàm số F ( x) = e x là nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 2 A. f ( x) = x2 e x + 3. – Lời giải. ³ ´ Ta có F 0 ( x) = e x 2 0 2 2 B. f ( x) = 2 x2 e x + C . 2 C. f ( x) = 2 xex . 2 D. f ( x) = xe x . 2 = ( x2 )0 · e x = 2 xe x . 2 Vậy F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 xe x . Chọn đáp án C ä Câu 64. Nguyên hàm của hàm số y = e−3x+1 là 1 3 1 A. e−3x+1 + C . 3 – Lời giải. Z Áp dụng công thức B. − e−3x+1 + C . eax+b d x = C. 3e−3x+1 + C . D. −3e−3x+1 + C . 1 ax+b e + C , ta được a Z 1 e−3x+1 d x = − e−3x+1 + C. 3 Chọn đáp án B ä Câu 65. Họ nguyên hàm của f ( x) = A. 2 x3 − 3 ln | x| + C . 3 – Lời giải. 2 x4 + 3 là x2 2 x3 2 x3 3 + 3 ln x + C . C. − + C. 3 3 x ¶ Z Z µ 2 x4 + 3 3 2 x3 3 2 d x = 2 x + d x = − + C. 3 x x2 x2 B. Chọn đáp án C D. 2 x3 3 + + C. 3 x ä Câu 66. Để hàm số F ( x) = mx3 + (3m + 2) x2 − 4 x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 x2 + 10 x − 4 thì giá trị của m là Th.s Nguyễn Chín Em 188 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. m = −1. Chương 3 – Giải tích 12 B. m = 2. C. m = 0. D. m = 1. – Lời giải. Ta có F 0 ( x) = 3 mx2 + 2(3m + 2) x − 4. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) thì 3 mx2 + 2(3 m + 2) x − 4 = 3 x2 + 10 x − 4, ∀ x ∈ R. Đồng nhất hai vế, thu được m = 1. Chọn đáp án D ä Z p 3 x2 + 1 d x bằng 3p 3 2 B. x + 1 + C. 8 Câu 67. Họ nguyên hàm x 1p 3p 3 2 x + 1 + C. C. 3 ( x2 + 1)4 + C . 8 8 – LờiZgiải. Z p 1 1 3p 3 3 Ta có x x2 + 1 d x = ( x2 + 1) 3 d( x2 + 1) = ( x2 + 1)4 + C. 2 8 A. D. 1p 3 ( x2 + 1)4 + C . 8 Chọn đáp án C ä Z Câu 68. Tính I = 8 sin 3 x cos x d x = a cos 4 x + b cos 2 x + C . Khi đó a − b bằng A. 3. B. −1. C. 1. – Lời giải. Z Ta có I = 4 (sin 4 x + sin 2 x) d x = − cos 4 x − 2 cos 2 x + C ⇒ D. 2.  a = −1  b = −2 ⇒ a − b = 1. Chọn đáp án C ä Câu 69. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. ln |3 x + 1| + C . B. 1 + C. 3x + 1 3 là 3x + 1 C. 9 + C. (3 x + 1)2 D. 3 ln |3 x + 1| + C . – LờiZgiải. 3 d x = ln |3 x + 1| + C . 3x + 1 Ta có Chọn đáp án A ä Câu 70. Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = 1 . ( x + 1)2 1 2 A. dx = + C. 2 ( x + 1)3 Z ( x + 1) 1 1 dx = + C. C. 2 x+1 ( x + 1) Z Lời giải. Z 1 1 −1 d x = d( x + 1) = + C. x+1 ( x + 1)2 ( x + 1)2 Z 1 −1 dx = + C. 2 x+1 Z ( x + 1) 1 −2 D. dx = + C. 2 ( x + 1) ( x + 1)3 Z B. Chọn đáp án B ä Câu 71. Cho hàm số f ( x) liên tục trên [a; b]. Giả sử hàm số u = u( x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] và u( x) ∈ [α; β], ∀ x ∈ [a; b], hơn nữa f ( u) liên tục trên đoạn [α; β]. Mệnh đề nào sau đây đúng? u(b) Zb Zb Z Zb 0 0 A. f ( u( x)) · u ( x) d x = f ( u) d u. B. f ( u( x)) · u ( x) d x = f ( u) d u. a Zb C. f ( u( x)) · u0 ( x) d x = a a u(b) Z u(a) Zb f ( u( x)) · u0 ( x) d x = D. f ( u) d u. a u(a) a Zb f ( x) d u . a – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 189 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Zb Ta có Chương 3 – Giải tích 12 u(b) Z 0 f ( u) d u. f ( u( x)) · u ( x) d x = a u(a) Chọn đáp án C ä Câu 72. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 22x . A. F ( x) = 22x · ln 2. B. F ( x) = 22x + C. ln 2 C. F ( x) = – Lời giải. Z Z Z 4x 2x Ta có F ( x) = f ( x) d x = 2 d x = 4x d x = + C. 4x + C. ln 4 D. F ( x) = 4 x · ln 4 + C . ln 4 Chọn đáp án C ä Câu 73. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = Z A. 1 là 1 − 2x Z B. f ( x)d x = ln |1 − 2 x| + C . Z f ( x)d x = −2 ln |1 − 2 x| + C . Z C. D. f ( x)d x = 2 ln |1 − 2 x| + C . 1 f ( x)d x = − ln |1 − 2 x| + C . 2 Z Lời giải. Z dx 1 d(1 − 2 x) 1 − 2x =− 1 = − ln |1 − 2 x| + C . 1 − 2x 2 2 Chọn đáp án D ä Câu 74. Z Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin(2Zx + 1) là 1 1 B. f ( x) d x = cos(2 x + 1) + C . f ( x) d x = − cos(2 x + 1) + C . 2 2 Z Z 1 C. f ( x) d x = − cos(2 x + 1). D. f ( x) d x = cos(2 x + 1). 2 – LờiZgiải. Z 1 Ta có f ( x) d x = sin(2 x + 1) d x = − cos(2 x + 1) + C . 2 A. Chọn đáp án A ä Câu 75. Z Chọn công thức đúng trong các công thức dưới đây. Z ln x d x = 2 ln x + C . Z x ln x d x = ln2 x + C . C. x ln x d x = 2 ln2 x + C . x Z ln x 1 D. d x = ln2 x + C . x 2 A. B. – Lời giải. Z Ta có ln x dx = x Z ln x d(ln x) = ln2 x + C. 2 Chọn đáp án D ä Câu 76. F ( x) = (ax3 + bx2 + cx + d )e−x + 2018e là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = (−2 x3 + 3 x2 + 7 x − 2)e− x . Khi đó A. a + b + c + d = 4. B. a + b + c + d = 6. C. a + b + c + d = 5. D. a + b + c + d = 7. – Lời giải. Ta có F 0 ( x) = e−x (−ax3 + (3a − b) x2 + (2 b − c) x + c − d ) và F 0 ( x) = f ( x) suy ra a = 2; b = 3; c = −1; d = 1, do đó a + b + c + d = 5. Chọn đáp án C ä Câu 77. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x2018 là hàm số nào trong các hàm số dưới đây? 1 2019 x + C, (C ∈ R). 2019 D. F ( x) = 2018 · x2017 + C, (C ∈ R). A. F ( x) = 2017 · x2018 + C, (C ∈ R). B. F ( x) = C. F ( x) = x2019 + C, (C ∈ R). – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 190 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z x2018 d x = Ta có Chương 3 – Giải tích 12 1 2019 x + C, (C ∈ R). 2019 Chọn đáp án B ä 3 2 Câu 78. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = e x + 2 x thỏa mãn F (0) = . Tìm F ( x). 5 2 A. F ( x) = e x + x2 + . 1 2 B. F ( x) = 2e x + x2 − . – Lời giải. Z Ta có F ( x) = f ( x) d x = e x + x2 + C . 3 2 C. F ( x) = e x + x2 + . 1 2 D. F ( x) = e x + x2 + . 3 1 3 ⇒ C +1 = ⇒ C = . 2 2 2 1 Vậy F ( x) = e x + x2 + . 2 Theo bài ra F (0) = Chọn đáp án D ä 1 4 Câu 79. Hàm số F ( x) = ln4 x + C là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? A. f ( x) = – Lời giải. ln3 x . x B. f ( x) = 1 x ln3 x C. f ( x) = . x ln3 x D. f ( x) = . x ln3 x . 3 1 x Ta có F 0 ( x) = ln3 x. Chọn đáp án A ä Câu 80. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = e x + cos x + 2018 là A. F ( x) = e x + sin x + 2018 x + C . B. F ( x) = ex − sin x + 2018 x + C . C. F ( x) = e x + sin x + 2018 x. – Lời giải. D. F ( x) = ex + sin x + 2018 + C . Ta có Z F ( x) = Z f ( x) d x = ¡ x ¢ e + cos x + 2018 d x = e x + sin x + 2018 x + C. Chọn đáp án A ä p Câu 81. Tìm hàm số F ( x) biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = x và F (1) = 1. 2 p 3 A. F ( x) = x x. 2 p 3 1 3 1 B. F ( x) = x x + . 1 2 C. F ( x) = p + . 2 x 2 p 3 5 3 D. F ( x) = x x − . – Lời Z giải. Xét p x dx p 2 Đặt t = x ⇒ t = x và d x = 2 d t. Khi đó Z p Z x d x trở thành 2 p 2 p x d x = x x + C ⇒ F ( x) = x x + C . 3 3 1 Vì F (1) = 1 nên C = . 3 2 p 1 Vậy F ( x) = x x + . 3 3 Z Như vậy p 2 t · 2 t d t = t3 + C . 3 Chọn đáp án B ä p Câu 82. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 x + x. ¡ p ¢ p x2 A. 3 x + x dx = x x + + C. 2 Z ¡ p ¢ p x2 C. 3 x + x dx = 2x x + + C. 2 Z ¡ p ¢ 3 p x2 3 x + x dx = x x + + C. 2 2 Z ¡ p ¢ 2 p x2 D. 3 x + x dx = x x + + C. 3 2 Z B. – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 191 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z ¢ ¡ p 3 x + x dx = Chương 3 – Giải tích 12 ¶ Z µ 1 3 p x2 x2 3 x 2 + x d x = 2 x 2 + + C = 2 x x + + C. 2 2 Chọn đáp án C ä Câu 83. Cho bốn mệnh đề sau Z I) cos2 x d x = 2x + 1 Z II) cos3 x + C. 3 x2 + x + 2018 d x = ln( x2 + x + 2018) + C . Z ¡ ¢ 6x 3 x 2 x + 3− x d x = + x + C. ln 6 Z 3 x d x = 3 x · ln 3 + C . III) IV) Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai? A. 3. B. 1. C. 2. D. 4. – Lời giải. Ta lần lượt xét 4 mệnh đề đã cho µ ¶ 1 + cos 2 x 1 sin 2 x Mệnh đề ( I ) sai vì cos x d x = x+ + C. dx = 2 2 2 Z Z 2x + 1 d( x2 + x + 2018) Mệnh đề ( I I ) đúng vì d x = = ln( x2 + x + 2018) + C. x2 + x + 2018 x2 + x + 2018 Z Z ¢ ¡ x ¡ ¢ 6x −x x Mệnh đề ( I I I ) đúng vì 3 2 + 3 d x = 6x + 1 d x = + x + C. ln 6 Z 3x Mệnh đề ( IV ) sai vì 3 x d x = + C. ln 3 Z 2 Z Vậy có 2 mệnh đề đúng. Chọn đáp án C ä Câu 84. Tìm họ nguyên hàm F ( x) của hàm số: f ( x) = x2 − 3 x. 3 2 x3 3 2 C. F ( x) = − x + C . 3 2 A. F ( x) = x3 − x2 + C . B. F ( x) = x3 − 3 x2 + C . D. F ( x) = 2 x − 3 + C . – Lời giải. Họ nguyên hàm của hàm f ( x) = x2 − 3 x là F ( x) = x3 3 x2 − + C. 3 2 Chọn đáp án C ä Câu 85. Khẳng định nào sau đây làZsai? Z A. Nếu f ( x) d x = F ( x) + C thì f ( u) d u = F ( u) + C . B. Nếu F ( x) và G ( x) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x) thì F ( x) = G ( x). Z C. Z D. Z Z [ f 1 ( x) + f 2 ( x)] d x = f 1 ( x) d x + f 2 ( x) d x. Z k f ( x) d x = k f ( x) d x ( k là hằng số và k 6= 0). Câu 86. Cho hàm số f ( x) = x3 − x2 + 2 x − 1. Gọi F ( x) là một nguyên hàm của f ( x). Biết rằng F (1) = 4. Tìm F ( x). Th.s Nguyễn Chín Em 192 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 x4 x3 − + x2 − x. 4 3 x4 x3 C. F ( x) = − + x2 − x + 2. 4 3 x4 x3 − + x 2 − x + 1. 4 3 x4 x3 49 D. F ( x) = − + x2 − x + . 4 3 12 A. F ( x) = B. F ( x) = – Lời giải. x4 x3 − + x2 − x + C . 4 3 49 . F (1) = 4 ⇒ C = 12 x4 x3 49 Vậy F ( x) = − + x2 − x + . 4 3 12 Ta có F ( x) = Chọn đáp án D ä Câu 87. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = ax + f (1) = 0. b ( x 6= 0) biết rằng F (−1) = 1; F (1) = 4; x2 3 x2 3 7 3 x2 3 7 + + . B. F ( x) = − − . 4 2x 4 4 2x 4 2 2 3x 3 7 3x 3 1 C. F ( x) = + − . D. F ( x) = − − . 2 4x 4 2 2x 2 – Lời giải. ¶ Z Z µ b ax2 b Ta có F ( x) = f ( x) d x = ax + 2 d x = − + c. x x  2 a 3   a =  +b+c =1    F (−1) = 1     2    2    3 a ⇔ b=− . Từ đó F (1) = 4 ⇔ − b + c = 4    2 2         f (1) = 0    7  a+b =0 c = 4 3 x2 3 7 Vậy F ( x) = + + . 4 2x 4 A. F ( x) = Chọn đáp án A ä µ 1 Câu 88. Một nguyên hàm của f ( x) = (2 x − 1) e x là F ( x) = ax2 + bx + c + A. 1. B. 3. C. 0. d 1 e x . Tính tổng a + b + c + d . x D. 2. ¶ – Lời giải. Ta có µ µ µ ¶ ¶ ¶ d 1 d 1 −1 2 F ( x) = 2ax + b − 2 e x + ax + bx + c + ex · 2 x x x µ ¶ b c+d d 1 = 2ax + ( b − a) − − 2 − 3 e x x x x 0 = f ( x).    2a = 2     a=1       b − a = − 1      b = 0 Đồng nhất hệ số ta được b = 0 ⇔ ⇒ a + b + c + d = 1.     c=0       c+d =0    d = 0    d=0 Chọn đáp án A ä Z Câu 89. Nếu p f ( x) d x = A. f ( x) = x + 1 . 5x Th.s Nguyễn Chín Em 1 + ln |5 x| + C với x ∈ (0; +∞) thì hàm số f ( x) là x 1 1 1 1 B. f ( x) = − 2 + . C. f ( x) = − 2 + . 5x x x x 193 D. f ( x) = 1 + ln(5 x). x2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ – Lời giải. µZ Ta có f ( x) = ¶0 Chương 3 – Giải tích 12 ¶0 1 1 1 f ( x) d x = + ln |5 x| + C = − 2 + . x x x µ Chọn đáp án C ä Câu 90. Tìm m để hàm số F ( x) = mx3 + (3m + 2) x2 − 4 x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 x2 + 10 x − 4. A. m = 3. B. m = 1. – Lời giải. 3 C. m = 2. Z 2 F ( x) = mx + (3 m + 2) x − 4 x + 3 =  m = 1 Z f ( x) d x = D. m = 0. ¡ 2 ¢ 3 x + 10 x − 4 d x = x3 + 5 x2 − 4 x + C . Khi đó C = 3. Chọn đáp án B ä 1 Z Câu 91. Tính 2 x2 + 5 x + 2 ¯ ¯ 1 ¯¯ x + 2 ¯¯ A. ln ¯ + C. 3 2x + 1 ¯ d x. ¯ ¯ ¯ x+2 ¯ ¯ + C. ¯ B. ln ¯ 2x + 1 ¯ ¯ ¯ 1 ¯¯ 2 x + 1 ¯¯ C. ln ¯ + C. 3 x+2 ¯ D. ln ¯2 x2 + 5 x + 2¯ + C . ¯ ¯ – Lời giải. Z Ta có 1 dx = 2 x2 + 5 x + 2 Z Z Z 1 2 1 1 1 dx = dx − dx (2 x + 1)( x + 2) 3 2x + 1 3 x+2 1 2 1 = · ln |2 x + 1| − ln | x + 2| + C 3 2¯ 3 ¯ 1 ¯¯ 2 x + 1 ¯¯ = ln ¯ + C. 3 x+2 ¯ Chọn đáp án C ä Câu 92. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin(2 x + 1) là A. cos(2 x + 1) + C . B. − cos(2 x + 1) + C . C. 1 2 1 cos(2 x + 1) + C . 2 D. − cos(2 x + 1) + C . – Lời giải. Đặt u = 2 x + 1Z ⇒ d u = 2 d x. Z 1 1 1 Khi đó, ta có sin(2 x + 1) d x = sin u d u = − cos u + C = − cos(2 x + 1) + C . 2 2 2 Chọn đáp án D ä Câu 93. Z Phát biểu nào sau đây đúng? A. Z B. cos 2 x d x = −2 sin 2 x + C . 1 cos 2 x d x = − sin 2 x + C . 2 Lời giải. Z Z 1 1 cos 2 x d x = cos 2 x d(2 x) = sin 2 x + C . 2 2 cos 2 x d x = 2 sin 2 x + C . Z Z C. D. cos 2 x d x = 1 sin 2 x + C . 2 Chọn đáp án D ä Câu 94. Z Phát biểu nào sau đâyZđúng? e x sin x d x = e x cos x − A. Z C. x x e sin x d x = e cos x + Z e x cos x d x. Z B. Z x D. e cos x d x. e x sin x d x = −e x cos x + x x e sin x d x = −e cos x − Z e x cos x d x. Z e x cos x d x. – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 194 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ + Đặt  u = ex Chương 3 – Giải tích 12   du = ex d x ⇒  dv = sin x d x v = − cos x. Z Z x x + Suy ra e sin x d x = −e cos x + e x cos x d x. Chọn đáp án B ä p x−3 d x, bằng cách đặt u = x + 1 ta được nguyên hàm nào dưới p x+1 Z Z Z 2 2 B. (u − 4) d u. C. 2( u − 4) d u. D. (u2 − 3) d u. Z Câu 95. Khi tính nguyên hàm đây? Z A. 2( u2 − 4) u d u. – Lời giải. p Đặt u = x + 1 ⇒ u2 = x + 1 ⇒ 2u du = d x. Thay vào ta được u2 − 1 − 3 · 2 u d u = 2( u2 − 4) d u. u Z Chọn đáp án C ä Câu 96. Z Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = tan 2 x. 2 ¡ ¢ Z tan 2 x d x = 2 1 + tan 2 x + C . B. tan 2 x d x = − ln |cos 2 x| + C . Z ¢ 1 1¡ D. tan 2 x d x = − ln |cos 2 x| + C . C. tan 2 x d x = 1 + tan2 2 x + C . 2 2 – LờiZgiải. Z Z sin 2 x 1 −d(cos 2 x) 1 Ta có tan 2 x d x = dx = = − ln | cos 2 x| + C . cos 2 x 2 cos 2 x 2 A. Z Chọn đáp án D ä Câu 97. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 52x . 52x A. 5 d x = 2 · + C. ln 5 Z C. 52x d x = 2 · 52x + C . Z B. – Lời giải. Z Ta có 1 5 dx = 2 2x Z 25 x + C. 2 ln 5 Z 25 x+1 + C. D. 52x d x = 2 · x+1 Z 2x 52x d(2 x) = 52x d x = 52x 25 x +C = + C. 2 ln 5 2 ln 5 Chọn đáp án B ä Z Câu 98. Tìm nguyên hàm của hàm số F ( x) = (4 x + 1) ln x d x. A. F ( x) = 2 x2 + x ln x + x2 + x + C . B. F ( x) = 3 x2 + 2 x ln x + C . C. F ( x) = 2 x2 + x ln x − x2 − x + C . D. F ( x) = x2 ln x + C . ¡ ¢ ¡ ¡ ¢ – Lời giải. Z Z F ( x) = 2 0 Z 2 (4 x + 1) ln x d x = (2 x + x) ln x d x = (2 x + x) ln x − Z 2 = (2 x + x) ln x − (2 x + 1) d x = (2 x2 + x) ln x − x2 − x + C. ¢ 1 (2 x2 + x) d x x Chọn đáp án C ä Câu 99. Một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 cos 2 x là A. F ( x) = −4 sin 2 x. Z Lời giải. B. F ( x) = 4 sin 2 x. C. F ( x) = − sin 2 x. D. F ( x) = sin 2 x. Z 2 cos 2 x d x = cos 2 xd(2 x) = sin 2 x + C . Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em ä 195 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z Câu 100. Nguyên hàm e x ( e x − 1)3 d x = a2 + b − m. A. H = −4. Z Lời giải. Chương 3 – Giải tích 12 a x a ( e − 1)m + C (với a, b ∈ Z, là phân số tối giản). Tìm H = b b B. H = −1. C. H = 4. D. H = 1. ¢4 ¡ ¢ 1¡ ( e x − 1)3 d e x − 1 = e x − 1 + C . 4 Suy ra a = 1, b = 4, m = 4 nên H = a2 + b − m = 1. e x ( e x − 1)3 d x = Z Chọn đáp án D ä Câu 101. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 x2 + 8 sin x và thỏa mãn F (0) = 2010. Tìm F ( x). A. F ( x) = 6 x − 8 cos x + 2018. C. F ( x) = x3 − 8 cos x + 2018. B. F ( x) = 6 x + 8 cos x. D. F ( x) = x3 − 8 cos x + 2019. – Lời giải. Z ¡ ¢ Ta có F ( x) = 3 x2 + 8 sin x d x = x3 − 8 cos x + C . Mặt khác F (0) = 2010 ⇔ −8 + C = 2010 ⇔ C = 2018. Vậy F ( x) = x3 − 8 cos x + 2018. Chọn đáp án C ä p Câu 102. Một nguyên hàm của hàm số f ( x) = x 1 + x2 là ´3 ´2 1 ³p 1 ³p A. F ( x) = 1 + x2 . 1 + x2 . B. F ( x) = 3 3 ´2 ´2 1 ³p x2 ³p 2 2 1+ x . D. F ( x) = 1+ x . C. F ( x) = 2 2 – LờiZgiải. Z ´3 p 1 p 1 ³p 2 Ta có x 1 + x d x = 1 + x2 d(1 + x2 ) = 1 + x2 + C . 2 3 Chọn đáp án A ä Câu 103. Tính nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = e2x , biết F (0) = 1. A. F ( x) = e2x . – Lời giải. Z F ( x) = e2x d x = C. F ( x) = e x . B. F ( x) = e2x − 1. D. F ( x) = e2x 1 + . 2 2 1 e2x 1 1 2x · e + C . Vì F (0) = 1 nên C = . Vậy F ( x) = + . 2 2 2 2 Chọn đáp án D ä Câu 104. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x sin x là A. F ( x) = − x cos x − sin x + C . B. F ( x) = x cos x − sin x + C . C. F ( x) = − x cos x + sin x + C . D. F ( x) = x cos x + sin x + C . – Lời giải. Z F ( x) = x sin x d x, đặt  u = x   du = d x ⇒  dv = sin x d x v = − cos x. Z Khi đó F ( x) = − x cos x + cos x d x = − x cos x + sin x + C . Chọn đáp án C ä Câu 105. Hàm số F ( x) = cos 3 x là nguyên hàm của hàm số A. f ( x) = – Lời giải. sin 3 x . 3 B. f ( x) = −3 sin 3 x. C. f ( x) = 3 sin 3 x. D. f ( x) = sin 3 x. F 0 ( x) = f ( x) = −3 sin 3 x Th.s Nguyễn Chín Em 196 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chọn đáp án B Z Câu 106. Cho nguyên hàm I = x hàm theo biến Z mới u là A. I = 1 2 ä p 1 + 2 x2 d x, khi thực hiện đổi biến u = 1 + 2 x2 thì ta được nguyên p Z u2 d u. Chương 3 – Giải tích 12 B. I = Z u2 d u. C. I = 2 Z u d u. D. I = u d u. – Lời giải. p Ta có: u = 1 + 2 x2 suy ra u2 = Z1 + 2 x2 . 1 2 Do đó d u = xd x. Suy ra I = 1 2 u2 d u. Chọn đáp án A ä Câu 107. Tìm m để hàm số F ( x) = mx3 + (3 m + 2) x2 − 4 x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 x2 + 10 x − 4. A. m = 3. B. m = 0. C. m = 1. D. m = 2. – Lời giải. Nguyên hàm của f ( x) là x3 + 5 x2 − 4 x + C . Do đó, F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) khi và chỉ khi m = 1. Chọn đáp án C ä Z Câu 108. Tính F ( x) = 1 4 x sin 2 xd x. Chọn kết quả đúng? 1 4 1 4 C. F ( x) = − (2 x cos 2 x − sin 2 x) + C . – Lời giải. Đặt 1 4 B. F ( x) = − (2 x cos 2 x + sin 2 x) + C . A. F ( x) = (2 x cos 2 x + sin 2 x) + C . D. F ( x) = (2 x cos 2 x − sin 2 x) + C .   d u = d x  u = x ⇒ 1 dv = sin 2 xd x  v = − cos 2 x 2 Z Z 1 1 1 1 Suy ra x sin 2 xd x = − x cos 2 x + cos 2 xd x = − x cos 2 x + sin 2 x + C . 2 2 2 4 1 Vậy: F ( x) = − (2 x cos 2 x − sin 2 x) + C . 4 Chọn đáp án C ä 1 và F (2) = 1. Tính F (3). x−1 1 7 C. F (3) = . D. F (3) = . 2 4 Câu 109. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. F (3) = ln 2 − 1. B. F (3) = ln 2 + 1. – Lời giải. Z Ta có F ( x) = 1 d x = ln | x − 1| + C . x−1 Theo đề F (2) = 1 ⇔ ln 1 + C = 1 ⇔ C = 1. Vậy F (3) = ln 2 + 1 . Chọn đáp án B ä Câu 110. Cho hàm số f ( x) = F ³π´ 4 = π 8 4m + sin2 x. Tìm m để nguyên hàm F ( x) của f ( x) thỏa mãn F (0) = 1 và π . 4 3 A. m = − . – Lời giải. 3 4 4 3 B. m = − . C. m = . 3 4 D. m = . π Z4 µ Ta có 0 ¶ ³π´ 4m + sin2 x d x = F − F (0) π 4 Th.s Nguyễn Chín Em 197 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 ¶¯ π 4m x sin 2 x ¯¯ 4 π π 1 π 3 ⇔ x+ − = −1 ⇔ m+ − = −1 ⇔ m = − . ¯ π 2 4 8 8 4 8 4 0 µ Chọn đáp án B ä Câu 111. Z Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 sin 2 x. 2 A. Z B. 2 sin 2 x d x = sin x + C . Z C. D. 2 sin 2 x d x = cos 2 x + C . – LờiZgiải. Ta có 2 sin 2 x d x = − cos 2 x + C . Z 2 sin 2 x d x = 2 · 2 sin 2 x d x = −2 cos 2 x + C . − cos 2 x + C = − cos 2 x + C . 2 Chọn đáp án B ä x3 − 2 x2 + 5 d x bằng x2 x2 5 5 5 A. − 2x − + C. B. −2 x + + C . C. x2 − 2 x − + C . 2 x x x – Lời giải. ¶ Z 3 Z µ x − 2 x2 + 5 5 x2 5 Ta có d x = x − 2 + d x = − 2 x − + C. 2 x x2 x2 Z Câu 112. Họ nguyên hàm 5 x D. x2 − x − + C . Chọn đáp án A ä Câu 113. Họ nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = x2 − 1 là x3 x3 A. F ( x) = + C . B. F ( x) = + x + C . 3 3 – Lời giải. Z Z x3 2 Có f ( x) d x = ( x − 1) d x = − x + C . 3 x3 C. F ( x) = − x + C . 3 D. F ( x) = 2 x + C . Chọn đáp án C ä Câu 114. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R và có đạo hàm là hàm số f 0 ( x). Mệnh đề nào dưới đây đúng? Z A. Z C. 0 f ( x) d x = − f ( x) + C . B. f 0 ( x) d x = f ( x) + C . D. Z f 0 ( x) d x = − f ( x) + C . Z f ( x) d x = f 0 ( x) + C . – Lời giải. 0 Theo định nghĩa, hàm số F ( x) là một nguyên hàm Z của hàm số f ( x) khi và chỉ khi F ( x) = f ( x). Vậy ta có f ( x) là một nguyên hàm của f 0 ( x) nên f 0 ( x) d x = f ( x) + C . Chọn đáp án C ä 1 và F (3) = 1. Tính giá trị của F (2). x−1 C. F (2) = −1 + ln 2. D. F (2) = 1 + ln 2. Câu 115. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = A. F (2) = −1 − ln 2. – Lời giải.Z B. F (2) = 1 − ln 2. 1 d x = ln | x − 1| + C , mà F (3) = 1 ⇔ C = 1 − ln 2. x−1 Vậy F ( x) = ln | x − 1| + 1 − ln 2 ⇒ F (2) = 1 − ln 2. Có F ( x) = Z f ( x) d x = Chọn đáp án B ä Câu 116. Cho hàm số F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 3 x và F 2 1 B. F ( x) = − sin 3 x + 5. 3 1 13 D. F ( x) = − sin 3 x + . 3 3 1 13 A. F ( x) = sin 3 x + . 3 3 1 C. F ( x) = sin 3 x + 5. 3 – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em ³π´ 198 = 14 thì 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 1 F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) = cos 3 x nên F ( x) = sin 3 x + C . 3 µ ¶ ³ π ´ 14 1 3π 14 Mà F nên sin +C = ⇔ C = 5. = 2 3 3 2 3 Chọn đáp án C ä 1 + ln |2 x| + C với x ∈ (0; +∞) thì hàm số f ( x) là x p 1 1 1 1 B. f ( x) = x + . C. f ( x) = 2 + ln (2 x). A. f ( x) = − 2 + . x 2x x x – Lời giải. · ¸0 1 1 1 Ta có f ( x) = + ln |2 x| + C = − 2 + . x x x Z f 0 ( x)d x = Câu 117. Nếu D. f ( x) = − 1 1 + . 2 2x x Chọn đáp án A ä Z Câu 118. Tính F ( x) = x cos x d x ta được kết quả A. F ( x) = x sin x − cos x + C . C. F ( x) = x sin x + cos x + C . – Lời  giải. Đặt u = x  dv = cos x d x ⇒   du = d x v = sin x B. F ( x) = − x sin x − cos x + C . D. F ( x) = − x sin x + cos x + C . Z ⇒ F ( x) = x sin x − sin x d x = x sin x + cos x + C. Chọn đáp án C ä Câu 119. Biết F³ ( x´) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x và đồ thị hàm số y = F ( x) đi qua điểm π M (0; 1). Tính F . A. F ³π´ 2 2 B. F = 0. ³π´ – Lời giải. 2 C. F = 1. 2 D. F = 2. ³π´ 2 = −1. π π Z2 Ta có ³π´ f ( x) d x = F ³π´ 2 − F (0) = F ³π´ 2 −1 ⇒ F ³π´ 2 Z2 = 0 ¯ π2 ¯ sin x d x + 1 = sin x¯ + 1 = 2. 0 0 Chọn đáp án C ä Câu 120. Trong các khẳng định sau, hãy chọn khẳng định đúng. 9x + C. ln 3 Z 32x+1 D. 32x d x = + C. 2x + 1 32x + C. ln 3 Z 32x C. 32x d x = + C. ln 9 Z A. – Lời giải. Z Z 32x d x = 1 3 dx = 2 2x Z 32x d(2 x) = B. 32x d x = 32x + C. 2 ln 3 Chọn đáp án C ä Câu 121. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x3 − 9 là A. 1 4 x − 9x + C. 2 B. 4 x4 − 9 x + C . C. Z Lời giải. 1 4 x − 9x + C. 4 D. 4 x3 − 9 x + C . 1 (2 x3 − 9) d x = x4 − 9 x + C. 2 Chọn đáp án A ä Câu 122. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = p Z A. f ( x) d x = p 2x + 1 + C. Th.s Nguyễn Chín Em 1 . 2 2 x + 1Z B. 199 p f ( x) d x = 2 2 x + 1 + C . https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 1 C. f ( x) d x = + C. p (2 x + 1) 2 x + 1 Z Lời giải. Z 1 1p f ( x) d x = 2x + 1 + C. d(2 x + 1) = p 2 4 2x + 1 Z Z D. f ( x) d x = 1p 2x + 1 + C. 2 Chọn đáp án D ä 2018x Câu 123. . Z Z Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = e 2018x A. f ( x) d x = e + C. B. f ( x) d x = Z C. f ( x) d x = 2018e Z Lời giải. Z f ( x) d x = 2018x Z D. + C. 1 · e2018x + C . 2018 f ( x) d x = e2018x · ln 2018 + C . 1 1 · e2018x d(2018 x) = · e2018x + C 2018 2018 Chọn đáp án B ä 2 3 cos 3 x 2 B. F ( x) = 3 x − − 1. 3 cos 3 x D. F ( x) = 3 x2 − + 1. 3 Câu 124. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 6 x + sin 3 x, biết F (0) = . cos 3 x 2 + . 3 3 cos 3 x + 1. C. F ( x) = 3 x2 + 3 – LờiZgiải. cos 3 x 2 Ta có (6 x + sin 3 x) d x = 3 x2 − + C . Mà F (0) = nên C = 1. 3 3 A. F ( x) = 3 x2 − Chọn đáp án D ä 4 3 x +1 Câu 125. .Z Z Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x · e 4 x4 +1 A. f ( x) d x = e + C. B. f ( x) d x = 4e x +1 + C . x4 4 C. f ( x) d x = e x +1 + C . 4 Lời giải. Z Z ¡ ¢ 1 4 4 1 f ( x) d x = e x +1 d x4 + 1 = e x +1 + C . 4 4 Z Z D. 1 4 f ( x) d x = e x +1 + C . 4 Chọn đáp án D ä Câu 126. Z Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? x A. Z B. e dx = e + C. Z C. x 1 d x = ln | x| + C . x 2 x d x = x2 + C . Z D. sin x d x = cos x + C . – LờiZgiải. Ta có sin x d x = − cos x + C . Chọn đáp án D ä Câu 127. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x + sin 2 x. 1 2 1 2 A. x2 − cos 2 x + C . – LờiZgiải. Ta có 2 x + sin 2 x = x2 − B. x2 + cos 2 x + C . C. x2 − 2 cos 2 x + C . D. x2 + 2 cos 2 x + C . 1 cos 2 x + C . 2 Chọn đáp án A ä Câu 128. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x cos 2 x. x sin 2 x cos 2 x − + C. 2 4 cos 2 x C. x sin 2 x + + C. 2 cos 2 x + C. 2 x sin 2 x cos 2 x D. + + C. 2 4 A. Th.s Nguyễn Chín Em B. x sin 2 x − 200 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ – Lời giải. Chương 3 – Giải tích 12 1 2 Đặt u = x ⇒ d u = d x; dv = cos 2 x d x ⇒ v = sin 2 x. Suy ra Z I= 1 1 x cos 2 x d x = x sin 2 x − 2 2 Z 1 1 sin 2 x d x = x sin 2 x + cos 2 x + C . 2 4 Chọn đáp án D ä 2x Câu 129. Nguyên µhàm của ¶ hàm số f ( x) = x.e là: 1 1 A. F ( x) = e2x x − + C . 2 B. F ( x) = 2 e 2 Đặt  dv = e2x d x ⇒ 2x  v = e 2 ¶ 1 x − + C. 2 1 2 – Lời giải. Z Ta có F ( x) = x.e2x d x.    du = d x µ D. F ( x) = e2x ( x − 2) + C . C. F ( x) = 2 e2x ( x − 2) + C .  u = x 2x xe2x 1 ⇒ F ( x) = − 2 2 Z e2x d x = 1 2x 1 e (x − ) + C. 2 2 Chọn đáp án D ä p Câu 130. Z Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x ln x. Z 2 3 1 3 2 f ( x) d x = x 2 (3 ln x − 2) + C . B. A. f ( x) d x = x (3 ln x − 2) + C . 9 3 Z Z 2 3 2 3 C. f ( x) d x = x 2 (3 ln x − 1) + C . D. f ( x) d x = x 2 (3 ln x − 2) + C . 9 9 – Lời giải.   1    du = d x  u = ln x x . Đặt ⇒ 3 2  dv = p x d x   v = x 2 3Z Z Z 1 2 2 3 2 3 2 3 1 2 3 Ta có f ( x) d x = x 2 ln x − x 2 · d x = x 2 ln x − x 2 d x = x 2 (3 ln x − 2) + C . 3 3 x 3 3 9 Chọn đáp án D ä Câu 131. Trong các hàm số sau: (I) f ( x) = tan2 x + 2, (II) f ( x) = 2 , (III) f ( x) = tan2 x + 1. Hàm số nào cos2 x có nguyên hàm là hàm số g( x) = tan x? A. Chỉ (II). B. Chỉ (III). C. Chỉ (II), (III). D. (I), (II), (III). – Lời giải. Cách Z1: Ta có ¡ ¢ tan2 x + 2 d x = Z µ 1+ ¶ 1 d x = x + tan x + C . cos2 x 2 d x = 2 tan x + C . 2 Z cos x Z ¡ ¢ 1 2 Và tan x + 1 d x = d x = tan x + C . cos2 x Z Và Cách 2: Ta có g0 ( x) = (tan x)0 = 1 + tan2 x. Chọn đáp án B ä Câu 132. Cho F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) = A. ln 8 + 1. B. 4 ln 2 + 1. 2 . Biết F (−1) = 2. Tính F (1) kết quả là x+2 C. 2 ln 3 + 2. D. 2 ln 4. – Lời giải. Z Z Ta có: F ( x) = f ( x) d x = 2 d x = 2 ln | x + 2| + C . x+2 F (−1) = 2 ⇔ 2 ln | − 1 + 2| + C = 2 ⇔ C = 2. Th.s Nguyễn Chín Em 201 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Suy ra F ( x) = 2 ln | x + 2| + 2. Vậy F (1) = 2 ln |1 + 2| + 2 = 2 ln 3 + 2. Chọn đáp án C ä Câu 133. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = (3 x + 1)2019 là (3 x + 1)2018 A. 6054 – Lời giải. Z Ta có: B. + C. 2019 (3 x + 1) 1 dx = 3 Z (3 x + 1)2018 + C. 2018 C. (3 x + 1)2019 d(3 x + 1) = (3 x + 1)2020 + C. 6060 D. (3 x + 1)2020 + C. 2020 (3 x + 1)2020 + C. 6060 Chọn đáp án C 3.1 ä ĐÁP ÁN 1. 10. 19. 28. 37. 46. 55. 64. 73. 82. 91. 100. 109. 118. 127. D C D A C A C B D C C D B C A 2. 11. 20. 29. 38. 47. 56. 65. 74. 83. 92. 101. 110. 119. 128. D C B D D C C C A C D C B C D 3. 12. 21. 30. 39. 48. 57. 66. 75. 84. 93. 102. 111. 120. 129. 4 VẬN DỤNG CAO C D B D C D B D D C D A B C D 4. 13. 22. 31. 40. 49. 58. 67. 76. 85. 94. 103. 112. 121. 130. B C C C D A C C C B B D A A D 5. 14. 23. 32. 41. 50. 59. 68. 77. 86. 95. 104. 113. 122. 131. D B C D D A A C B D C C C D B 6. 15. 24. 33. 42. 51. 60. 69. 78. 87. 96. 105. 114. 123. 132. D A A C A B D A D A D B C B C 7. 16. 25. 34. 43. 52. 61. 70. 79. 88. 97. 106. 115. 124. 133. C C A D A D A B A A B A B D C 8. 17. 26. 35. 44. 53. 62. 71. 80. 89. 98. 107. 116. 125. D C D A C B D C A C C C C D 9. 18. 27. 36. 45. 54. 63. 72. 81. 90. 99. 108. 117. 126. C C C D C C C C B B D C A D Câu 1. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên [1; 2] thỏa mãn f (1) = 4 và f ( x) = x f 0 ( x) − 2 x3 − 3 x2 . Tính f (2). A. 5. B. 20. C. 10. D. 15. – Lời giải. Với x ∈ [1; 2] ta có 0 3 f ( x) = x f ( x) − 2 x − 3 x 2 x f 0 ( x) − f ( x) ⇔ = 2x + 3 x2 µ ¶0 f ( x) ⇔ = 2x + 3 x f ( x) ⇔ = x2 + 3 x + C. x Do f (1) = 4 nên C = 0 ⇒ f ( x) = x3 + 3 x2 . Vậy f (2) = 23 + 3 · 22 = 20. Chọn đáp án B ä µ ¶ 5π Câu 2. Cho hàm số f ( x) xác định trên R {kπ, k ∈ Z} thỏa mãn f 0 ( x) = cot x, f = 2 và f − = 1. Giá 4 3 µ ¶ ³π´ 7π trị của biểu thức f −f − bằng 6 4 p p p p 3 1 3 3 1 2 A. 1 + ln . B. 3 + ln − ln . C. 1 − ln . D. ln − ln . 2 2 2 2 2 2 ³π´ Th.s Nguyễn Chín Em 202 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ – LờiZgiải. Ta có 0 Chương 3 – Giải tích 12 Z f ( x) d x = cot x d x = ln |sin x| + C = f ( x). Xét trên khoảng (−2π; −π) ta có: p p ¯ ¶ ¶¯ µ ¯ 5π 3 3 5π ¯¯ ¯ f − = 1 ⇔ ln ¯sin − + C 1 = 1 ⇒ C 1 = 1 − ln ⇒ f ( x) = ln |sin x| + 1 − ln . ¯ 3 3 2 2 p p p ¯ ¶ ¶¯ µ µ ¯ 7π −7π ¯¯ 3 2 3 ¯ = ln ¯sin − + 1 − ln = ln + 1 − ln . F − ¯ 4 4 2 2 2 Xét trên khoảng (0; π) ta có: p p ¯ ³π´ ³ π ´¯ 2 2 ¯ ¯ f ⇒ f ( x) = ln |sin x| + 2 − ln . = 2 ⇔ ln ¯sin ¯ + C 2 = 2 ⇒ C 2 = 2 − ln 4 4 2 2 p p ¯ ³π´ ³ π ´¯ 1 2 2 ¯ ¯ f = ln + 2 − ln . = ln ¯sin ¯ + 2 − ln 6 6 ¶ 2p 2 2 µ ³π´ 7π 3 Vậy f = 1 + ln . −f − 6 4 2 µ Chọn đáp án A ä Câu 3. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên R , thỏa mãn f ( x) > 0, ∀ x ∈ R và f 0 ( x) + 2 f ( x) = 0. Tính f (0) , biết rằng f (3) = 1. A. e6 . B. e3 . D. e4 . C. 1. – Lời giải. f 0 ( x) = −2, lấy nguyên hàm hai vế ta được ln | f ( x)| = −2 x + C , suy ra f ( x) = A e−2x với A > 0. Do f ( x) f (3) = A e−6 = 1 nên A = e6 . Vậy f (0) = e6 · e0 = e6 . Ta có Chọn đáp án A ä ZCâu 4. Cho nguyên hàm p p dx = m( x + 2018) x + 2018 + n( x + 2017) x + 2017 + C . Khi đó 4 m − n bằng p p x + 2018 + x + 2017 4 8 2 10 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 – LờiZgiải. Z ³p ´ p dx = x + 2018 − x + 2017 d x Ta có p p x + 2018 + x + 2017 p p 2 2 = ( x + 2018) x + 2018 − ( x + 2017) x + 2017 + C . 3 3 10 Vậy 4 m − n = . 3 Chọn đáp án D ä ½ ¾ 1 2 thỏa mãn f 0 ( x) = và f (0) = 1. Giá trị của biểu thức Câu 5. Cho hàm số f ( x) xác định trên R 2 2x − 1 f (−1) + f (3) bằng A. 4 + ln 15. B. 3 + ln 15. C. 2 + ln 15. D. ln 15. – Lời giải. Ta có Z 0 Z f ( x) d x = 2 dx = 2x − 1 Z d(2 x − 1) = ln |2 x − 1| + C. 2x − 1 Vì f (0) = 1 nên ln |2 · 0 − 1| + C = 1 hay C = 1. Do vậy f ( x) = ln |2 x − 1| + 1. Suy ra f (−1) + f (3) = ln 3 + 1 + ln 5 + 1 = 2 + ln 15. Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em ä 203 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Câu 6. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số f ( x) = |2 x − 4| trên khoảng (−∞; +∞), ở đó C, C 0 là các hằng số tùy ý? ¯ ¯ A. F ( x) = ¯ x2 − 4 x¯ + C . B. F ( x) = C. F ( x) = ¯ x2 − 4 x + C ¯. D. F ( x) = ¯ ¯ – Lời giải. Ta có f ( x) = |2 x − 4| = Xét hàm số F ( x) =  2 x − 4 khi x ≥ 2  − 2x + 4 khi x < 2   x2 − 4 x + 2C khi x ≥ 2  − x2 + 4 x + 2C − 8 khi x < 2   x2 − 4 x + C khi x ≥ 2  − x2 + 4 x + C 0 . . khi x < 2 .   x2 − 4 x + C khi x ≥ 2  − x2 + 4 x + C 0 khi x < 2 . Với x > 2, ta có F 0 ( x) = 2 x − 4 = f ( x). Với x < 2, ta có F 0 ( x) = −2 x + 4 = f ( x). Xét tại x = 2, ta có f (2) = 0, F ( x) − F (2) x2 − 4 x + C − (C − 4) lim = lim+ = lim+ ( x − 2) = 0, x→2+ x→2 x→2 x−2 x−2 − x2 + 4 x + C 0 − (C − 4) F ( x) − F (2) = lim− . lim x→2 x→2− x−2 x−2 Do lim− ( x − 2) = 0 nên điều kiện cần để F 0 (2) = f (2) = 0 là lim− (− x2 + 4 x + C 0 − C + 4) = 0 x→2 x→2 ⇔ C 0 − C + 8 = 0 ⇔ C 0 = C − 8. Ngược lại, với C 0 = C − 8 ta có lim− x→2 Vậy nếu chọn hằng số là 2C thì F ( x) = F ( x) − F (2) − x2 + 4 x − 4 = lim− = 0. x→2 x−2 x−2   x2 − 4 x + 2C khi x ≥ 2  − x2 + 4 x + 2C − 8 khi x < 2 là nguyên hàm của f ( x) = |2 x − 4| trên (−∞; +∞). Chọn đáp án B ä Câu 7. Cho hàm số f ( x) xác định trên đoạn [−1; 2] thỏa mãn f (0) = 1 và f 2 ( x) · f 0 ( x) = 3 x2 + 2 x − 2. Số nghiệm của phương trình f ( x) = 1 trên đoạn [−1; 2] là A. 1. B. 3. C. 0. D. 2. - Lời giải. ZVì hàm số f ( x) xácZđịnh trên đoạn [−Z1; 2] nên ta có 1 f 2 ( x) · f 0 ( x)d x = f 2 ( x)d( f ( x)) = (3 x2 + 2 x − 2)d x ⇔ f 3 ( x) = x3 + x2 − 2 x + C . 3 1 Vì f (0) = 1 suy ra C = . 3 Ta có f ( x) = 1 ⇔ f 3 ( x) = 1 ⇔ 3( x3 + x2 − 2 x) + 1 = 1 ⇔ x3 + x2 − 2 x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = −2 (loại vì x = −2 ∉ [−1; 2]). Chọn đáp án D Z Câu 8. Biết ä f ( x) d x = − x2 + 2 x + C . Tính A. x2 + 2 x + C 0 . Z f (− x) d x. B. − x2 + 2 x + C 0 . C. − x2 − 2 x + C 0 . D. x2 − 2 x + C 0 . - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 204 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z Ta có Z Chương 3 - Giải tích 12 f ( x) d x = − x2 + 2 x + C ⇒ f ( x) = −2 x + 2 ⇒ f (− x) = 2 x + 2 f (− x ) d x = x 2 + 2 x + C 0 . ⇒ Chọn đáp án A ä Câu 9. Một nguyên hàm của µ ¶ hàm số y = cos 5 x cos x là 1 1 1 sin 6 x + sin 4 x . A. 2 6µ 4 ¶ 1 sin 6 x sin 4 x C. − + . 2 6 4 - Lời giải. µ ¶ 1 1 1 B. cos 6 x + cos 4 x . 2 6 4 1 D. sin 5 x sin x. 5 1 2 Ta có cos 5 x cos x = [cos(6 x) + cos(4 x)]. Z ⇒ Z Z Z 1 1 1 cos 5 x cos x d x = cos 6 x d x + cos 4 x d x [cos(6 x) + cos(4 x)] d x = 2 2 2 1 1 sin 6 x + sin 4 x + C. = 12 8 Chọn đáp án A ä p Câu 10. Hàm số f ( x) = x x + 1 có một nguyên hàm là F ( x). Nếu F (0) = 2 thì F (3) bằng 146 886 . C. . 15 105 - Lời giải. Z Z p Cách 1. Ta có F ( x) = f ( x) d x = x x + 1 d x. p Đặt t = x + 1 ⇒ t2 = x + 1. Suy ra x = t2 − 1 và d x = 2 t d t. A. 116 . 15 Z F ( x) = B. Z 2 ( t − 1) · t · 2 t d t = D. 3. p p 2 t5 2 t3 2( x + 1)2 x + 1 2( x + 1) x + 1 (2 t − 2 t ) d t = − +C = − + C. 5 3 5 3 4 2 Từ 34 2 2 − +C =2⇔ C = . 5 3 15 F (0) = 2 ⇔ p p 2( x + 1)2 x + 1 2( x + 1) x + 1 34 2 · 42 · 2 2 · 4 · 2 34 146 Vậy F ( x) = − + nên F (3) = − + = . 5 3 15 5 3 15 15 Z3 Z3 Z3 p Cách 2. Ta có F (3) − F (0) = f ( x) d x nên F (3) = F (0) + f ( x) d x = 2 + x x + 1 d x. 0 0 0 Z3 p Tính tích phân I = x x + 1 d x. 0 p Đặt t = x + 1 ⇒ t2 = x + 1. Suy ra x = t2 − 1 và d x = 2 t d t. Đổi cận x=0⇒t=1 x = 3 ⇒ t = 2. Từ đó Z2 I= Z2 ( t − 1) · t · 2 t d t = 1 Vậy F (3) = 2 + 2 1 ¶ ¯2 2 t5 2 t3 ¯¯ 116 (2 t − 2 t ) d t = − = . ¯ 5 3 1 15 4 2 µ 116 146 = . 15 15 Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em ä 205 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 ³ π π´ x và F ( x) là một nguyên hàm của x · f 0 ( x) thỏa mãn F (0) = 0. Biết trên − ; 2x 2 2 cos ³ π π´ α∈ − ; và tan α = 3. Tính F (α) − 10α2 + 3α. 2 2 1 1 1 A. − ln 10. B. − ln 10. C. ln 10. D. ln 10. 2 4 2 Câu 11. Cho f ( x) = - Lời giải. Theo công thức tích phân từng phần ta có Z Z 0 x · f ( x) d x = x · f ( x) − f ( x) d x. Cũng theo công thức tích phân từng phần lại có Z Z f ( x) d x = Z 0 x · (tan x) d x = x · tan x − Do đó Z F ( x) = tan x d x = x · tan x + ln |cos x| + C. x · f 0 ( x) d x = x · f ( x) − x · tan x − ln | cos x| + C. Mà F (0) = 0 nên F ( x) = x · f ( x) − x · tan x − ln | cos x|. Lại có tan α = 3 nên 1 1 3α = − ln p = ln 10. 10 2 1 = 10. Từ đó F (α) − 10α2 + 2 cos α Chọn đáp án C ä Câu 12. Cho hàm số f ( x) xác định trên R{−2; 1} thỏa mãn f 0 ( x) = Giá trị của biểu thức f (−4) + f (−1) − f (4) bằng A. 1 1 ln 2 + . 3 3 B. ln 80 + 1. C. - Lời giải. 1 x2 + x − 2 1 4 ln + ln 2 + 1. 3 5 1 3 , f (−3) − f (3) = 0 và f (0) = . D. 1 8 ln + 1. 3 5 ¯ ¯  1 ¯¯ x − 1 ¯¯   + C 1 , ∀ x ∈ (−∞; −2)  ln ¯   3 x +2¯   Z  1 ¯¯ x − 1 ¯¯ 1 ¯ + C 2 , ∀ x ∈ (−2; 1) . dx = ln ¯¯ Ta có f ( x) = ¯  ( x + 2)( x − 1) 3 x + 2   ¯ ¯   ¯ x −1¯ 1   ¯ + C 3 , ∀ x ∈ (1; +∞)  ln ¯¯ 3 x +2¯ 1 3 Trên khoảng (−∞; −2), ta có f (−3) = ln 4 + C1 . 1 3 1 2 Trên khoảng (−2; 1), ta có f (0) = ln + C2 = 2 3 1 3 1 1 ⇒ C 2 = (1 + ln 2). 3 3 Do đó f (−1) = ln 2 + . 1 3 2 5 Trên khoảng (1; +∞), ta có f (3) = ln + C3 . 1 3 Theo giả thiết f (−3) − f (3) = 0 ⇔ C1 − C3 = ln 1 . 10 Khi đó f (−4) + f (−1) − f (4) = = = 1 5 2 1 1 1 1 ln + C 1 + ln + − ln − C 3 3 2 3 2 3 3 2 1 5 2 1 1 1 1 1 1 ln + ln + − ln + ln 3 2 3 2 3 3 2 3 10 1 1 ln 2 + . 3 3 Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em ä 206 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Câu 13. Cho hàm số f ( x) xác định trên R {−1} thỏa mãn f 0 ( x) = trị f (−3) bằng A. 1 + 2 ln 2. B. 1 − ln 2. 3 ; f (0) = 1 và f (1) + f (−2) = 2. Giá x+1 C. 1. D. 2 + ln 2. - Lời giải. Trên khoảng (−∞; −1) nguyên hàm của f ( x) là 3 ln | x + 1| + C1 . Trên khoảng (−1; +∞) nguyên hàm của f ( x) là 3 ln | x + 1| + C2 . f (0) = 1 nên 3 ln 1 + C 2 = 1 ⇒ C 2 = 1. f (1) + f (−2) = 2 nên 3 ln 2 + 1 + 3 ln 1 + C 1 = 2 ⇒ C 1 = 1 − 3 ln 2. f (−3) = 3 ln 2 + 1 − 3 ln 2 = 1. Chọn đáp án C ä Câu 14. Giả sử hàm số f ( x) liên tục, dương trên R, thỏa mãn f (0) = 1 và p f 0 ( x) x = 2 . Khi đó giá trị của f ( x) x + 1 biểu thức T = f (2 2) − 2 f (1) thuộc khoảng A. (2; 3). B. (7; 9). C. (0; 1). D. (9; 12). - Lời giải. Z Z 0 f 0 ( x) x x f ( x) 1 = 2 dx = ln( x2 + 1) + C . ⇒ d x ⇔ ln f ( x ) = f ( x) x + 1 f ( x) 2 x2 + 1 p Do hàm số y = ln x đồng biến trên R nên ln f ( x) = ln x2 + 1 + C . p Theo bài ra f (0) = 1 ⇔ C = 0 ⇒ f ( x) = x2 + 1. p p Vậy f (2 2) − 2 f (1) = 3 − 2 2 ∈ (0; 1). Chọn đáp án C ä Z Câu 15. Tìm nguyên hàm J = 1 3 ( x + 1)e3x d x. 1 9 1 1 3 3 1 1 3x D. J = ( x + 1)e + e3x + C . 3 9 A. J = ( x + 1)e3x − e3x + C . B. J = ( x + 1)e3x − e3x + C . 1 3    du = d x C. J = ( x + 1)e3x − e3x + C . - Lời giải. Đặt  u = x + 1 . 1  v = e3x 3 Z 1 3x x + 1 3x 1 3x x + 1 3x e − e dx = e − e + C. Suy ra J = 3 3 3 9  dv = e3x d x ⇒ Chọn đáp án A ä a 1 + ln x (ln x + b) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = , trong đó a, b là các số x x2 nguyên. Tính S = a + b. Câu 16. Cho F ( x) = A. S = −2. - Lời giải. Z B. S = 1. C. S = 2. D. S = 0. 1 + ln x d x.  x2  1    u = 1 + ln x  d u = d x x . Khi đó Đặt ⇒ 1 1   d v =  dx v = − x2 x Z 1 1 1 1 1 d x = − I = − (1 + ln x) + (1 + ln x ) − + C = − (ln x + 2) + C ⇒ a = −1; b = 2. x x x x x2 Vậy S = a + b = 1. Xét I = Z f ( x) d x = Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em ä 207 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 ¶ 1 Câu 17. Biết f ( x) d x = 2 x ln(3 x − 1) + C với x ∈ ; +∞ . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định 3 sau Z Z A. f (3 x) d x = 2 x ln(9 x − 1) + C . B. f (3 x) d x = 6 x ln(3 x − 1) + C . Z Z C. f (3 x) d x = 6 x ln(9 x − 1) + C . D. f (3 x) d x = 3 x ln(9 x − 1) + C . µ Z - Lời giải. Đặt Z x = 3 t ⇒ dZx = 3d t. Ta có: f ( x) d x = 3 Z f (3 t) d t = 2 · 3 t ln(3 · 3 t − 1) + C ⇒ Z f (3 t) d t = 2 t ln(9 t − 1) + C ⇒ f (3 x) d x = 2 x ln(9 x − 1) + C . Chọn đáp án A ä ³π´ sin x và F = 2. Khi đó F (0) là 1 + 3 cos x 2 1 2 C. − ln 2 + 2. D. − ln 2 − 2. 3 3 Câu 18. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 3 Z 2 B. − ln 2 − 2. A. − ln 2 + 2. 3 - Lời giải. Z sin x 1 d(1 + 3 cos x) 1 dx = − = − ln |1 + 3 cos x| + C . 1 + 3 cos x 3 1 + 3 cos x 3 ³π´ 1 F = 2 ⇒ C = 2 ⇒ F ( x) = − ln |1 + 3 cos x| + 2. 2 3 1 2 Suy ra F (0) = − ln 4 + 2 = − ln 2 + 2. 3 3 Ta có F ( x) = Chọn đáp án A ä Câu 19. Cho hàm số y = f ( x) thỏa mãn f 0 ( x) = 2018x ln 2018 − cos x và f (0) = 2. Phát biểu nào sau đây đúng? A. f ( x) = 2018x + sin x + 1. B. f ( x) = 2018 x D. f ( x) = 2018x − sin x + 1. C. f ( x) = − sin x + 1. ln 2018 - Lời Z giải. ¡ Vì 2018 x + sin x + 1. ln 2018 ¢ 2018 x ln 2018 − cos x d x = 2018 x − sin x + C . Do f (0) = 2 nên C = 1. Vậy f ( x) = 2018x − sin x + 1. Chọn đáp án D ä Câu 20. Biết F ( x) là một nguyên hàm trên R của hàm số f ( x) = ¡ 2017 x ¢2018 thỏa mãn F (1) = 0. Tìm giá x2 + 1 trị nhỏ nhất m của F ( x). 1 2 A. m = − . - Lời giải. 1 − 22017 . 22018 B. m = C. m = 22017 + 1 . 22018 1 2 D. m = . Ta có Z 2017 x 2017 ¡ ¢2018 dx = 2 x2 + 1 Do đó ta có thể viết F ( x) = − ¡ 1 2 x2 + 1 F ( x) = Z ¡ ¢ d x2 + 1 1 ¡ ¢2018 = − ¡ ¢2017 + C. x2 + 1 2 x2 + 1 ¢2017 + C . Vì F (1) = 0 nên C = . Suy ra 1 1 1 1 − 22017 − ≥ − = . ¡ ¢ 22018 2 x2 + 1 2017 22017 2 22018 1 Đẳng thức xảy ra khi x = 0. Vậy m = 1 − 22017 . 22018 Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 1 22018 ä 208 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Câu 21. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số y = A. y = x2 + x − 1 . x+1 B. y = - Lời giải. x (2 + x) ( x + 1)2 2 x + x+1 C. y = . x+1 x2 − x − 1 . x+1 ? D. y = x2 . x+1 x2 + 2 x 1 = = 1− . 2 2 2 x + 1) x + 1) x + 1) ( ( ( ¶ Z Z µ 1 1 x (2 + x) x2 + (C + 1) x + C + 1 Suy ra, d x = 1 − d x = x + + C = . x+1 x+1 ( x + 1)2 ( x + 1)2 Ta có biến đổi: x (2 + x) Với C = −2, ta được y = Với C = 0, ta được y = x2 − x − 1 ; x+1 x2 + x + 1 ; x+1 Với C = −1, ta được y = x2 . x+1 Vậy hàm số không phải là nguyên hàm của hàm số đã cho là y = x2 + x − 1 . x+1 Chọn đáp án A ä Câu 22. Cho F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) = x ln x. Tính F "( x). A. F "( x) = 1 − ln x. 1 x B. F "( x) = . - Lời giải. C. F "( x) = 1 + ln x. D. F "( x) = x + ln x. F 0 ( x) = f ( x), F "( x) = f 0 ( x) = 1 + ln x. Chọn đáp án C ä p 20 x2 − 30 x + 7 3 , F ( x) = (ax2 + bx + c) 2 x − 3 với x > . Gọi (a; b; c) là bộ p 2 2x − 3 số thỏa mãn F ( x) là một nguyên hàm của f ( x). Khi đó a + b + c bằng Câu 23. Cho các hàm số f ( x) = A. 1. – Lời giải. B. 5. C. 3. D. 7. Ta có p p p 7 7 f ( x) = 10 x 2 x − 3 + p = 5(2 x − 3) 2 x − 3 + 15 2 x − 3 + p 2x − 3 2x − 3 3 1 7 = 5(2 x − 3) 2 + 15(2 x − 3) 2 + p . 2x − 3 Z 3 5 p p Suy ra f ( x) d x = (2 x − 3) 2 + 5(2 x − 3) 2 + 7 2 x − 3 + C = (4 x2 − 2 x + 1) 2 x − 3 + C . p Suy ra F ( x) = (4 x2 − 2 x + 1) 2 x − 3 hay a = 4, b = −2, c = 1 ⇒ a + b + c = 3. Chọn đáp án C ä Z Câu 24. Tìm x cos 2 x d x. 1 1 x sin 2 x − cos 2 x + C . B. x sin 2 x + cos 2 x + C . 2 4 1 1 1 1 C. x sin 2 x + cos 2 x + C . D. x sin 2 x + cos 2 x + C . 2 2 2 4 – Lời giải.    u = x  du = d x Đặt ⇒ . 1  dv = cos 2 x d x  v = sin 2 x 2 Z Z 1 1 1 1 Khi đó I = x cos 2 x d x = x sin 2 x − sin 2 x d x = x sin 2 x + cos 2 x + C. 2 2 2 4 A. Th.s Nguyễn Chín Em 209 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Chọn đáp án D ä ¶ 1 Câu 25. Biết f ( x) d x = 2 x ln (3 x − 1) + C với x ∈ ; +∞ . Khẳng định nào sau đây đúng? 9 Z Z A. f (3 x) d x = 2 x ln (9 x − 1) + C . B. f (3 x) d x = 6 x ln (3 x − 1) + C . Z Z C. f (3 x) d x = 6 x ln (9 x − 1) + C . D. f (3 x) d x = 3 x ln (9 x − 1) + C . µ Z – Lời giải. Z Đặt x = 3 t ⇒ d x = 3 d t ⇒ Z f ( x) d x = 3 f (3 t) d t = 6 t · ln (9 t − 1) + C Z f (3 t) d t = 2 t · ln (9 t − 1) + C . ⇒ Z Mà nguyên hàm không phụ thuộc vào biến số nên f (3 x) d x = 2 x ln (9 x − 1) + C . Chọn đáp án A ä Câu 26. Tìm các họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 1 + C. tan3 x − 2 tan x − 3 tan2 x Z 1 1 + C. C. f ( x) d x = tan3 x + 2 tan2 x − 3 tan x Z A. f ( x) d x = – Lời giải. Ta có f ( x) = sin2 x + cos2 x 2 = 1 2 . sin x cos Z 4x 1 1 B. f ( x) d x = tan4 x + 2 tan x − + C. 4 tan x Z 1 1 D. f ( x) d x = tan3 x + 2 tan x − + C. 3 tan x 1 1 1 1 1 + = (tan2 x + 1) + + . Nên 4 2 2 2 cos x sin x cos2 x cos x cos x sin2 x sin x cos4 x Z 1 1 1 + C. f ( x) d x = tan3 x + tan x + tan x − cot x + C = tan3 x + 2 tan x − 3 3 tan x Chọn đáp án D ä Câu 27. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2x + 1 x4 + 2 x3 + x2 trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn 1 F (1) = . Giá trị của biểu thức S = F (1) + F (2) + F (3) + · · · + F (2019) bằng 2 2019 2019 · 2021 1 A. . B. . C. 2018 . 2020 2020 2020 – Lời giải. Z Z 2x + 1 1 1 Ta có F ( x) = dx = d( x2 + x) = − 2 + C. 4 3 2 2 2 x + 2x + x ( x + x) x +x 1 1 1 1 1 1 Mà F (1) = ⇔ = − + C ⇔ C = 1 ⇒ F ( x) = − 2 +1 = − + 1. 2 2 2 x+1 x x +x D. − 2019 . 2020 Ta có ¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 1 1 S = F (1) + F (2) + F (3) + · · · + F (2019) = − +1 + − +1 +··+ − +1 2 1 3 2 2020 2019 µ ¶ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2019 + − + − + · · + = 2019 − + − = 2018 . 2 1 3 2 2020 2019 1 2020 2020 µ Chọn đáp án C ä p p Câu 28. Cho hàm số f ( x) có đồ thị (C ). Biết rằng f 0 ( x + 2) = 2 x + x + 3 − 3 x + 1 − 1 và tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại điểm M (a; 1) thuộc (C ) song song với đường thẳng y = x + 1. Có bao nhiêu hàm số f ( x) thỏa mãn yêu cầu bài toán. A. vô số. B. 2. C. 0. D. 1. – Lời giải. p p Từ giả thiết, ta có f 0 (u) = 2u − 5 + u + 1 − 3u − 5. Suy ra Z f ( u) = Th.s Nguyễn Chín Em p p 2p 2p (2 u − 5 + u + 1 − 3 u − 5)d u = u2 − 5 u + ( u + 1)3 − (3 u − 5)3 + C 3 9 210 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 với C là hằng số. Tiếp tuyến tại điểm M (a; 1) thuộc đồ thị song song với đường thẳng y = x + 1 nên f 0 (a) = 1. p p Với u¶ < 2 thì f 0 (a) < −1 + 3 + 0 = 3 − 1 < 1 nên phương trình f 0 (u) = 1 không có nghiệm trên · 3 1 5 − p > 0 nên phương trình f 0 ( u) = 1 có không quá 1 ; 2 . Với u > 2 thì f 00 ( u) = 2 + p 3 2 u + 1 2 3u − 5 nghiệm. Do đó phương trình f 0 (u) = 1 có 1 nghiệm duy nhất u = 3. Như vậy có duy nhất điểm M (3; 1) thỏa mãn điều kiện. Do M ∈ (C ) nên f (3) = 1 nên tồn tại duy nhất 1 giá trị C thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy có đúng 1 hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn đáp án D ä 1 3 Câu 29. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2) = − và f 0 ( x) = x [ f ( x)]2 với mọi x ∈ R. Giá trị của f (1) bằng 11 2 3 A. − . 6 – Lời giải. 2 9 B. − . C. − . 7 6 D. − . f 0 ( x) Ta có f ( x) = x [ f ( x)] ⇔ 2 = x. f ( x) 2 0 Do đó, Z f 0 ( x) dx = x dx f 2 ( x) ¶ Z Z µ 1 ⇔ − d = x dx f ( x) 1 1 = x2 + C ⇔ − f ( x) 2 1 ⇔ f ( x) = − 1 . 2 2x +C Z 1 3 Theo giả thuyết, f (2) = − ⇒ C = 1 ⇒ f ( x) = − 1 2x 2 3 1 2 +1 . Suy ra f (1) = − . Chọn đáp án B ä 1 3 Câu 30. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2) = − và f 0 ( x) = x [ f ( x)]2 với mọi x ∈ R. Giá trị của f (1) bằng A. − 11 . 6 2 3 2 9 B. − . – Lời giải. Ta có f 0 ( x) = x [ f ( x)]2 ⇔ C. − . 7 6 D. − . f 0 ( x) = x. f 2 ( x) Do đó, Z f 0 ( x) dx = x dx f 2 ( x) ¶ Z Z µ 1 ⇔ − d = x dx f ( x) 1 1 ⇔ − = x2 + C f ( x) 2 1 ⇔ f ( x) = − 1 . 2+C x 2 Z 1 3 Theo giả thuyết, f (2) = − ⇒ C = 1 ⇒ f ( x) = − 1 2 3 1 2 2x +1 . Suy ra f (1) = − . Th.s Nguyễn Chín Em 211 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Chọn đáp án B ä Câu 31. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f 00 ( x) · f 2 ( x) + 2[ f 0 ( x)]2 · f ( x) = 2 x − 3, ∀ x ∈ R, f (0) = f 0 (0) = 1. Tính giá trị P = f 3 (2). A. P = − 11 . 3 B. P = −6. C. P = −3. D. P = − 23 . 3 – Lời giải. ¤0 Ta có f 00 ( x) · f 2 ( x) + 2[ f 0 ( x)]2 · f ( x) = 2 x − 3, ∀ x ∈ R ⇔ f 0 ( x) · f 2 ( x) = 2 x − 3 (1). £ Lấy nguyên hàm hai vế ta cóZ Z (1) ⇒ £ ¤0 f 0 ( x) · f 2 ( x) d x = (2 x − 3) d x ⇔ f 0 ( x) · f 2 ( x) = x2 − 3 x + C. Với x = 0 ⇒ f 0 (0) · f 2 (0) = C ⇔ C = 1 ⇒ f 0 ( x) · f 2 ( x) = x2 − 3 x + 1. Lấy nguyên hàm hai vế ta cóZ Z f 0 ( x) · f 2 ( x) = x2 − 3 x + 1 ⇒ f 0 ( x) · f 2 ( x) d x = ( x2 − 3 x + 1) d x 1 3 1 3 . f ( x) = x3 − x2 + x + C. 3 3 2 1 1 9 Với x = 0 ⇒ f 3 (0) = C ⇒ C = ⇒ f 3 ( x) = x3 − x2 + 3 x + 1 ⇒ f 3 (2) = −3. 3 3 2 ⇒ Chọn đáp án C ä p Câu 32. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên (0; +∞) thỏa mãn 2 x f 0 ( x) − f ( x) = 6 x3 x. Biết f (1) = a, hãy tìm f (4) theo a. A. 2a + 126. B. 4a + 252. – Lời giải. 0 Ta có 2 x f ( x) − f ( x) = 6 x 3p C. 2a + 63. D. a + 63. µ ¶ 2 x f 0 ( x) − f ( x) f ( x) 0 2 x⇔ = 3x ⇔ p = 3 x2 p 2x x x f ( x) ⇒ p = x3 + a − 1 (do f (1) = a). x ⇒ f (4) = 2a + 126. Chọn đáp án A ä Câu 33. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = ex 2 +1 ( x3 + 3 x). Hàm số F ( x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 0. – Lời giải. Z F ( x) = Z f ( x) d x = ( x2 + 3)e x 2 +1 C. 2. D. 3. · x d x. Z 1 Đặt t = x + 1 ⇒ d t = 2 x d x ⇒ x d x = d t. Khi đó F ( t) = ( t + 2)e t d t. 2   Z u = t + 2 d u = d t t Đặt ⇒ ta có F ( t) = ( t + 2)e − e t d t = ( t + 2)e t − e t + C = ( t + 1)et + C . d v = e t d t  v = e t 2 Vậy F ( x) = ( x2 + 2)ex 2 +1 + C , từ đó ta có F 0 ( x) = 2 xe x 2 +1 ( x2 + 3) = 0 ⇔ x = 0. Hàm số F 0 ( x) đổi dấu khi qua x = 0, suy ra hàm số F ( x) có 1 cực trị. Chọn đáp án A ä Câu 34. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục và f ( x) > 0 trên đoạn [0; 2] đồng thời thỏa mãn f 0 (0) = 1, ¸ f ( x) 2 £ 0 ¤2 f (0) = 2 và f ( x) · f ( x) + = f ( x) . Tính f 2 (1) + f 2 (2)? x+2 A. 20. B. 10. C. 15. 00 · D. 25. – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 212 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Ta có ¸ f ( x) 2 £ 0 ¤2 f ( x) · f ( x) + = f ( x) x+2 £ ¤2 f ( x) · f 00 ( x) − f 0 ( x) 1 ⇔ =− 2 ( x + 2)2 [ f ( x)] µ 0 ¶0 f ( x) 1 ⇔ =− . f ( x) ( x + 2)2 00 · f 0 ( x) 1 = + C. f ( x) x + 2 f 0 (0) 1 1 1 Cho x = 0 ⇒ = + C ⇔ = + C ⇔ C = 0. f (0) 2 Z 2 2 Z f 0 ( x) 1 f 0 ( x) 1 Khi đó = ⇒ dx = d x ⇒ ln | f ( x)| = ln | x + 2| + C. f ( x) x + 2 f ( x) x+2 Cho x = 0 ⇒ ln | f (0)| = ln 2 + C ⇔ C = 0. Lấy nguyên hàm hai vế ⇒ Do đó ln | f ( x)| = ln | x + 2| ⇔ | f ( x)| = | x + 2|. Vì f ( x) > 0 trên đoạn [0; 2] nên f ( x) = x + 2, ∀ x ∈ [0; 2]. Ta có f (1) = 3, f (2) = 4 ⇒ f 2 (1) + f 2 (2) = 33 + 42 = 25. Chọn đáp án D ä Câu 35. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] và f 0 ( x) − 2018 f ( x) = x · e2019x . Biết f (0) = −1, tính f (1). A. e2018 . B. e2019 . C. 0. D. −1. – Lời giải. Từ f 0 ( x) − 2018 f ( x) = x · e2019x . Nhân hai vế cho e−2018x ta được e−2018x · f 0 ( x) − 2018e−2018x · f ( x) = x · e x ¡ ¢0 ⇔ e−2018x · f ( x) = xe x Z −2018x ⇔e · f ( x) = xe x d x ⇔ e−2018x · f ( x) = xe x − e x + C. Thay x = 0 ta được 1 · f (0) = 0 · e0 − e0 + C ⇒ C = 0. Do đó e−2018x · f ( x) = xe x − e x . Thay x = 1 ta có e−2018 · f (1) = 1e1 − e1 ⇒ f (1) = 0. Chọn đáp án C ä Câu 36. Biết F ( x) = ax2 + bx + c · ex là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = x2 + 5 x + 5 e x . Giá trị của ¡ ¢ ¡ ¢ 2a + 3 b + c là A. 6. B. 13. C. 8. D. 10. – Lời giải. Ta có F 0 ( x) = ax2 + bx + c e x + (2ax + b) ex = ax2 + (2a + b) x + b + c ex . ¡ ¢ ¡ ¢ Từ giả thiết ta có hệ     a = 1 a=1       2a + b = 5 ⇔ b = 3       b + c = 5  c = 2. Vậy 2a + 3b + c = 13. Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em ä 213 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z Câu 37. Cho I n = A. Có I n = Z = tann x d x với n ∈ N. Khi đó I 0 + I 1 + 2( I 2 + I 3 + · · · + I 8 ) + I 9 + I 10 bằng 9 (tan x) r X + C. r r =1 – Lời giải. Z n Chương 3 – Giải tích 12 tan x d x = 9 (tan x) r +1 X + C. r+1 r =1 B. Z tan n−2 tann−2 x d(tan x) − I n−2 = 2 x · tan x d x = 10 (tan x) r X + C. r r =1 C. Z tan n−2 D. 10 (tan x) r +1 X + C. r+1 r =1 ¶ 1 − 1 dx x cos2 x µ (tan x)n−1 − I n−2 + C . n−1 (tan x)n−1 +C (*) Suy ra I n−2 + I n = n−1 Từ đẳng thức (*), cho n nhận lần lượt các giá trị 2, 3, . . . , 10 rồi cộng vế với vế các đẳng thức thu được, ta có 9 (tan x) r X kết quả I 0 + I 1 + 2( I 2 + I 3 + · · · + I 8 ) + I 9 + I 10 = + C. r r =1 Chọn đáp án A ä Câu 38. Cho hàm số f ( x) xác định trên R {0} và thỏa mãn f 0 ( x) = của biểu thức f (−1) − f (2) bằng A. a + b. B. b − a. 1 , f (1) = a và f (−2) = b. Giá trị x2 + x4 C. a − b. D. −a − b. – Lời giải. Z Z 0 Ta có f ( x) = f ( x) d x = ¶ Z µ 1 1 1 1 dx = − 2 d x = − − arctan x + C . 2 4 2 x x +x x x +1 Do hàm số f (x) có đạo hàm trên R {0} nên liên tục trên từng khoảng (−∞; 0) và (0; +∞). Do đó, hàm số 1    − − arctan x + C 1 , nếu x < 0 x f ( x) có dạng 1    − − arctan x + C 2 , nếu x > 0. x 1 π Thay x = 1, ta được a = − − arctan 1 + C2 ⇒ C2 = a + 1 + . 1 4 1 1 Thay x = −2, ta được b = − − arctan(−2) + C 1 ⇒ C 1 = b − − arctan 2. −2 2 Do đó · ¸ · ¸ 1 1 1 π f (−1) − f (2) = − − arctan(−1) + b − − arctan 2 − − − arctan 2 + a + 1 + −1 2 2 4 = b − a. Chọn đáp án B ä Câu 39. Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và thỏa mãn f Z hàm của hàm số f (2 x) trên tập R+ . A. x+3 ¡ ¢ + C. 2 x2 + 4 – Lời giải.¡p x+3 + C. x2 + 4 C. p x+1 x+1 ¢ dx = 2 ¡p x+1+3 x+5 2x + 3 ¡ ¢ + C. 4 x2 + 1 D. ¢ + C . Tìm họ nguyên 2x + 3 ¡ ¢ + C. 8 x2 + 1 ¢ ¡p ´ ³p ´ 2 x+1+3 Ta có + C, dx = 2 f x+1 d x+1 = p p 2 x+1 x + 1 + 4 Z ³p ´ ³p ´ px + 1 + 3 suy ra f x + 1 d x + 1 = p +C 2 x + 1 + 4 Z Z 1 1 2x + 3 2x + 3 ¡ ¢ + C. Từ đó suy ra f (2 x) d x = f (2 x) d(2 x) = · + C = 2 2 (2 x)2 + 4 8 x2 + 1 Z f ¢ x+1 B. ¡p Z ³p Chọn đáp án D ä Câu 40. Cho hàm số y = f ( x) liên tục, nhận giá trị dương trên (0; +∞) và thỏa mãn f (1) = 1, f ( x) = p f 0 ( x) 3 x + 1, với mọi x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? Th.s Nguyễn Chín Em 214 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. 2 < f (5) < 3. Chương 3 - Giải tích 12 B. 4 < f (5) < 5. C. 1 < f (5) < 2. D. 3 < f (5) < 4. - Lời giải. Z 0 Z p f 0 ( x) 1 f ( x) dx Ta có f ( x) = f ( x) 3 x + 1 ⇔ =p ⇔ dx = p . f ( x) f ( x) 3x + 1 3x + 1 Z Z 2p 1 d( f ( x)) 2p Suy ra = (3 x + 1)− 2 d x ⇔ ln f ( x) = 3 x + 1 + C ⇔ f ( x) = e 3 3x+1+C . f ( x) 3 4 4 Mà f (1) = 1 ⇒ 1 = e 3 +C ⇒ C = − ⇒ f (5) ≈ 3,793. 3 0 Chọn đáp án D ä Câu 41. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn [ f 0 ( x)]2 + f ( x) · f "( x) = 2 x2 − x + 1, ∀ x ∈ R và f (0) = f 0 (0) = 3. Giá trị của [ f (1)]2 bằng A. 28. - Lời giải. B. 22. C. 19 . 2 D. 10. Ta có [ f 0 ( x)]2 + f ( x) · f "( x) = 2 x2 − x + 1 £ ¤0 ⇔ f ( x) · f 0 ( x) = 2 x2 − x + 1 Z ⇔ f ( x) · f 0 ( x) = (2 x2 − x + 1)d x ⇔ 1 2 f ( x) · f 0 ( x) = x3 − x2 + x + C. 3 2 Thay x = 0 ta được f (0) · f 0 (0) = C ⇔ C = 9. Khi đó ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2 1 f ( x) · f 0 ( x) = x3 − x2 + x + 9 3 Z 2µ ¶ Z 2 3 1 2 0 f ( x) · f ( x)d x = x − x + x + 9 dx 3 2 Z 1 1 1 f ( x)d[ f ( x)] = x4 − x3 + x2 + 9 x + C 1 6 6 2 1 2 1 4 1 3 1 2 f ( x) = x − x + x + 9 x + C 1 2 6 6 2 1 1 f 2 ( x) = x4 − x3 + x2 + 18 x + 2C 1 . 3 3 9 2 Thay x = 0 ta được f 2 (0) = 2C1 ⇔ C1 = . 1 3 1 3 Vậy f 2 ( x) = x4 − x3 + x2 + 18 x + 9, nên f 2 (1) = 28. Chọn đáp án A ä Câu 42. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R{−1; 0} thỏa mãn x( x + 1) f 0 ( x) + f ( x) = x2 + x, ∀ x ∈ R{−1; 0} và f (1) = −2 ln 2 biết f (2) = a + b ln 3 với a, b ∈ Q. Tính a2 + b2 . 1 A. . 2 - Lời giải. B. 9 . 2 C. 3 . 4 D. 13 . 4 x 1 x f 0 ( x) + f ( x) = , ∀ x ∈ R {−1; 0}. 2 x +i1 x+1 ( x + 1) h x 0 x ⇒ · f ( x) = . x+1 x+1 Từ giả thiết Lấy nguyên hàm hai vế, ta có x · f ( x) = x+1 Th.s Nguyễn Chín Em Z x dx = x+1 Z µ ¶ 1 1− d x = x − ln | x + 1| + C. x+1 215 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 x = x − ln | x + 1| − 1. x+1 2 3 3 Cho x = 2 ⇒ f (2) · = 2 − ln 3 − 1 ⇒ f (2) = − ln 3. 3 2 2 3 3 9 Vậy a = , b = − ⇒ a2 + b2 = . 2 2 2 Mà f (1) = −2 ln 2 nên C = −1 ⇒ f ( x) · Chọn đáp án B ä Câu 43. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = |1 + x| − |1 − x| trên tập R và thỏa mãn F (1) = 3. Tính tổng T = F (0) + F (2) + F (−3). A. 8. B. 12. C. 14. D. 10. - Lời giải. Ta viết lại hàm số f ( x) đã cho   2 nếu x > 1    f ( x) = 2 x nếu − 1 ≤ x ≤ 1 .     − 2 nếu x < −1 Xét trên các khoảng (−∞; −1), (−1; 1), (1; +∞) hàm số f ( x) có nguyên hàm là   2 x + C 1 nếu x > 1    F ( x) = x2 + C 2 nếu − 1 < x < 1 .     − 2x + C nếu x < −1 3 Vì F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên R nên F ( x) liên tục trên R. Do đó F ( x) liên tục tại các điểm x = −1 và x = 1. Để có điều này trước hết phải có    lim+ F ( x) = lim− F ( x) x→1 x→1   lim F ( x) = lim F ( x) − + x→(−1) x→(−1) ⇔  C 1 = C 3 . C = C + 1 2 1 Lại có F (1) = 3 nên C1 = 1 khi đó ta có   2 x + 1 nếu x > 1    F ( x) = x2 + 2 nếu − 1 ≤ x ≤ 1 .     − 2 x + 1 nếu x < −1 Vậy T = F (0) + F (2) + F (−3) = 14. Chọn đáp án C ä ¢2 Câu 44. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f 0 ( x) + f ( x) · f 00 ( x) = 15 x4 + 12 x, ∀ x ∈ R và f (0) = f 0 (0) = 1. Giá trị ¡ của f 2 (1) bằng A. 9 . 2 B. 5 . 2 C. 10. D. 8. - Lời giải. Ta có ¢2 f 0 ( x) + f ( x) · f 00 ( x) = 15 x4 + 12 x £ ¤0 ⇔ f 0 ( x) · f ( x) = 15 x4 + 12 x ¡ ⇔ Th.s Nguyễn Chín Em f 0 ( x) · f ( x) = 3 x5 + 6 x2 + C 1 . 216 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Do f (0) = f 0 (0) = 1 nên ta có C1 = 1. Do đó: f 0 ( x) · f ( x) = 3 x5 + 6 x2 + 1 µ ¶0 1 2 ⇔ f ( x) = 3 x5 + 6 x2 + 1 2 ⇔ f 2 ( x) = x6 + 4 x3 + 2 x + C 2 . Mà f (0) = 1 nên ta có C2 = 1. Vậy f 2 ( x) = x6 + 4 x3 + 2 x + 1 suy ra f 2 (1) = 8. Chọn đáp án D ä Câu 45. Cho hàm số f ( x) xác định trên khoảng (0; +∞) {e} thỏa mãn f 0 ( x) = µ ¶ ¡ ¢ ¡ 2¢ 1 + f e3 bằng f e = 3. Giá trị của biểu thức f e A. 3 (ln 2 + 1). B. 2 ln 2. - Lời giải. Z Z 0 Ta có f ( x) = f ( x) d x = =   ln (ln x − 1) + C 1 1 dx = x (ln x − 1) khi x > e Z C. 3 ln 2 + 1. 1 1 , f 2 = ln 6 và x (ln x − 1) e µ ¶ D. ln 2 + 3. d (ln x − 1) = ln |ln x − 1| + C ln x − 1 .  ln (1 − ln x) + C 2 khi 0 < x < e µ ¶ µ ¶ 1 1 Vì f 2 = ln 6 ⇒ ln 1 − ln 2 + C2 = ln 6 ⇒ ln 3 + C2 = ln 6 ⇒ C2 = ln 6 − ln 3 = ln 2. ¡e ¢ ¡ ¢e 2 Vì f e2 µ= 3 ⇒ ln ln e − 1 ¶ µ + C1 = ¶ 3 ⇒ C 2 = 3. ¡ 3¢ ¡ ¢ 1 1 Do đó f + f e = ln 1 − ln + ln 2 + ln ln e3 − 1 + 3 = 2 ln 2 + ln 2 + 3 = 3 (ln 2 + 1). e e Chọn đáp án A ä Câu 46. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; +∞), biết f 0 ( x) + (2 x + 3) f 2 ( x) = 0, 1 f ( x) > 0 với mọi x > 0 và f (1) = . Tính giá trị của P = 1 + f (1) + f (2) + · · · + f (2017) 6 6059 6055 6053 6047 A. . B. . C. . D. . 4038 4038 4038 4038 – Lời giải. f 0 ( x) + (2 x + 3) f 2 ( x) = 0 ⇔ nên C = −2. 1 Vậy f ( x) = 2 f 0 ( x) 1 1 = −2 x − 3. Lấy nguyên hàm hai vế ta có − = − x2 − 3 x + C . Do f (1) = 2 f ( x) 6 f ( x) 1 1 1 = − . x + 3 x + 2 ( x + 1)( x + 2) x + 1 x + 2 1 1 1 1 1 1 6055 Do đó P = 1 + − + − + · · · + − = . 2 3 3 4 2018 2019 4038 = Chọn đáp án B ä Câu 47. Cho hàm số f ( x) xác định trên R {−1; 1} và thỏa mãn f 0 ( x) = 1 · Biết rằng f (−3) + f (3) = 0 x2 − 1 µ ¶ µ ¶ 1 1 và f − + f = 2. Tính T = f (−2) + f (0) + f (4). 2 2 9 6 1 9 A. T = 1 + ln . B. T = 1 + ln . C. T = 1 + ln . 5 5 2 5 – Lời giải. Z ¯ ¯ ¶ Z µ 1 1 1 1 1 ¯¯ x − 1 ¯¯ Ta có f ( x) = d x = + C. d x = − ln 2 x−1 x+1 2 ¯ x +1¯ x2 − 1 ¯ ¯ 1 ¯¯ x − 1 ¯¯ Với x ∈ (−∞; −1) ta có f ( x) = ln ¯ + C1 . 2 x +1¯ ¯ ¯ 1 ¯¯ x − 1 ¯¯ Với x ∈ (1; +∞) ta có f ( x) = ln ¯ + C3 . x +¯ 1 ¯ ¯2 ¯ ¯ 1 ¯¯ 3 − 1 ¯¯ 1 ¯¯ −3 − 1 ¯¯ Mà f (−3) + f (3) = 0 ⇔ ln ¯ + C 1 + ln ¯ + C3 = 0 2 −3 + 1 ¯ 2 3+1¯ Th.s Nguyễn Chín Em 217 1 2 6 5 D. T = 1 + ln . https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ⇔ 1 2 Chương 3 – Giải tích 12 1 1 1 ln 2 + C 1 + ln + C 3 = 0 ⇔ C 1 + C 3 = 0. 2 2 2 1 2 3 5 Do đó f (−2) = ln 3 + C1 ; f (4) = ln + C3 . ¯ ¯ 1 ¯¯ x − 1 ¯¯ Với x ∈ (−1; 1) ta có f ( x) = ln ¯ + C2 . 2 x +1¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯1 ¯ ¯− −1¯ ¯ −1¯ µ ¶ µ ¶ ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯ 1 ¯ + C 2 + 1 ln ¯ 2 ¯ + C 2 = 2. = 2 ⇔ ln ¯¯ 2 f − +f ¯ ¯ ¯ 1 2 2 2 ¯ 1 2 ¯ ¯ +1¯ ¯− +1¯ ¯ ¯ 2 2 1 1 1 ⇔ ln 3 + C 2 + ln + C 2 = 2 ⇔ C 2 = 1. 2 2 3 ¯ ¯ 1 ¯¯ x − 1 ¯¯ Do đó với x ∈ (−1; 1): f ( x) = ln ¯ + 1 ⇒ f (0) = 1. 2 x +1¯ 1 9 Vậy T = f (−2) + f (0) + f (4) = 1 + ln · 2 5 Chọn đáp án C ä Câu 48. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn f ( x) > 0, ∀ x ∈ R. Biết f (0) = 1 và f 0 ( x) = 2 − 2 x, f ( x) hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( x) = m có hai nghiệm thực phân biệt? A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. – Lời giải. Z f 0 ( x) Theo bài ra ta có d x = (2 − 2 x) d x ⇔ ln | f ( x)| = 2 x − x2 + C . f ( x) 2 Thay x = 0 vào (1) ta được C = 0, từ đó suy ra ln | f ( x)| = 2 x − x2 ⇔ f ( x) = e2x−x . Z (1) 2 Phương trình f ( x) = m có hai nghiệm phân biệt khi chỉ khi phương trình m = e2x−x có hai nghiệm phân biệt tương đương với − x2 + 2 x − ln m = 0 có hai nghiệm phân biệt tương đương với ∆0 = 1 − ln m > 0 ⇔ 0 < m < e, từ đó suy ra m = 1 hoặc m = 2. Chọn đáp án B ä Câu 49. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn f ( x) > 0, ∀ x ∈ R. Biết f (0) = 1 và f 0 ( x) = 2 − 2 x. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( x) = m có hai nghiệm thực phân f ( x) biệt. A. m > e. B. 0 < m É 1. C. 0 < m < e. D. 1 < m < e. - Lời giải. Z 0 Z f 0 ( x) f ( x) 2 Ta có = 2 − 2x ⇒ d x = (2 − 2 x) d x. ⇔ ln f ( x) = 2 x − x2 + C ⇔ f ( x) = A.e2x− x . f ( x) f ( x) 2 Mà f (0) = 1 suy ra f ( x) = e2x−x . ¡ ¢ Ta có 2 x − x2 = 1 − x2 − 2 x + 1 = 1 − ( x − 1)2 É 1. 2 Suy ra 0 < e2x−x É e và ứng với một giá trị thực t < 1 thì phương trình 2 x − x2 = t sẽ có hai nghiệm phân biệt. Vậy để phương trình f ( x) = m có 2 nghiệm phân biệt khi 0 < m < e1 = e. Chọn đáp án C ä 1 f ( x) là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số f 0 ( x) ln x. 3 x 3 x Z Z ln x 1 ln x 1 0 A. f ( x) ln x d x = − 3 + 3 + C . B. f 0 ( x) ln x d x = 3 + 3 + C . x 3x x 3x Câu 50. Cho F ( x) = − Th.s Nguyễn Chín Em 218 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z C. Chương 3 - Giải tích 12 1 ln x f ( x) ln x d x = 3 − 5 + C . x 5x Z 0 D. f 0 ( x) ln x d x = ln x 1 + 5 + C. 3 x 5x - Lời giải. 1 1 f ( x) f ( x) ⇔ 4= ⇒ f ( x) = 3 . x x x x    du = 1 d x  u = ln x x Đặt ⇒  d v = f 0 ( x) d x  v = f ( x). Ta có F 0 ( x) = Suy ra Z Z 0 f ( x) ln x d x = f ( x) · ln x − f ( x) ln x 1 ln x d x = 3 − F ( x) + C = 3 + 3 + C . x x x 3x Chọn đáp án B 4.1 1. 10. 19. 28. 37. 46. ä ĐÁP ÁN B B D D A B 2. 11. 20. 29. 38. 47. A C B B B C Th.s Nguyễn Chín Em 3. 12. 21. 30. 39. 48. A A A B D B 4. 13. 22. 31. 40. 49. D C C C D C 5. 14. 23. 32. 41. 50. C C C A A B 219 6. 15. 24. 33. 42. B A D A B 7. 16. 25. 34. 43. D B A D C 8. 17. 26. 35. 44. A A D C D 9. 18. 27. 36. 45. A A C B A https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ BÀI Chương 3 - Giải tích 12 2. TÍCH PHÂN KIẾN THỨC TRỌNG TÂM KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN A 1 1.1 Định nghĩa tích phân Cho f ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F ( b) − F (a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f ( x), kí Z b hiệu là f ( x) d x. a b Z Vậy a f ( x) d x = F ( x)|ab = F ( b) − F (a). Nhận xét. 1 Tích phân chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay biến t. b Z 2 Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f ( x) liên túc trên đoạn [a; b], thì f ( x) d x là diện tích a S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f ( x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. 1.2 Tính chất của tích phân b Z 1 a k f ( x) d x = k Zb b Z f ( x) d x ( k là hằng số). a Za 2 Zb ( f ( x) ± g( x)) d x = a Zb Zc f ( x) d x = a b 4 a 5 f ( x) d x. Zb f ( x) d x = 0. 3 f ( x) d x = − 2 a Za Zb f ( x) d x + a f ( x) d x (a < c < b). 6 f ( x) d x ± a Zb c Zb g ( x) d x. a ¯b Zb ¯b ¯ ¯ 00 0 f ( x) d x = f ( x)¯ , f ( x ) d x = f ( x )¯ , . . . . 0 a a a a PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 2.1 Phương Pháp Đổi Biến Số Zb Dạng 1. Giả sử cần tính I = f ( x) d x ta thực hiện các bước sau a 1 Đặt ¡x = ¢ u ( t) (với u ( t) là hàm có đạo hàm liên tục trên α; β , f [ u ( t)] xác định trên α; β và u (α) = £ ¤ £ ¤ a, u β = b) và xác định α, β. Zβ 2 Thay vào, ta có I = 0 f [ u ( t)] · u ( t) d t = α ¯ ¡ ¢ ¯β g ( t) d t = G ( t) ¯α = G β − G (α). α Dấu hiệu • • p p Cách chọn h π πi x = |a| sin t, t ∈ − ; 2 2 • x = |a| cos t, t ∈ [0; π]  h π πi | a| x = , t ∈ − ; {0}  sin t 2 2  • nπo | a| x= , t ∈ [0; π] cos t 2 ³ π π´ • x = |a| tan t, t ∈ − ; 2 2  a2 − x2 x2 − a2 • x2 + a2 Th.s Nguyễn Chín Em Zβ 220 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Dạng 2: Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi là loại 2) như sau: Zb Để tính tích phân I = f ( x) d x nếu f ( x) = g [ u ( x)] · u0 ( x), ta có thể thực hiện phép đổi biến như sau a ½ 0 1 Đặt t = u ( x) ⇒ d t = u ( x) d x. Đổi cận x = a ⇒ t = u ( a) x = b ⇒ t = u ( b) . u(b) Z ¯ ¯ g ( t) d t = G ( t) ¯ u(b) . 2 Thay vào ta có I = u(a) u(a) 2.2 Phương Pháp Tích Phân Từng Phần Cho hai hàm số u và v liên tục trên [a; b] và có đạo hàm liên tục trên [a; b]. Khi đó Zb Zb ¯ ¯b u dv = uv ¯a − v d u. a 3 a CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 3.1 Tích phân cơ bản và tính chất tính phân Dùng định nghĩa tích phân và các tính chất để giải bài toán. 3.1.1 Ví dụ và bài tập Ví dụ 1. Tính các tích phân sau Z3 1 Tính (3 x2 − 4 x + 5) d x. ĐS: 20 1 Z3 Lời giải: ¢ ¯¯3 (3 x − 4 x + 5) d x = x − 2 x + 5 x ¯ = 24 − 4 = 20. 2 ¡ 3 2 1 1 Z1 2 Tính 0 dx . (1 + x)3 Z1 Lời giải: 0 dx = (1 + x)3 ĐS: Z1 −3 (1 + x) 0 3 8 ¯1 1 1 3 (1 + x)−2 ¯¯ =− + = . dx = − ¯ 2 8 2 8 0 Ví dụ 2. Tìm số thực m thỏa mãn Zm 1 e x+1 d x = e2 − 1. −1 Zm Lời giải: ĐS: m = 1 ¯m ¯ e x+1 d x = e x+1 ¯ = em+1 − 1. −1 −1 Theo đề bài ta suy ra e2 − 1 = em+1 − 1 ⇔ m = 1. Vậy m = 1. Zm 2 (2 x + 5) d x = 6. ĐS: m = 1, m = −6 0 Th.s Nguyễn Chín Em 221 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Zm ¡ ¢ ¯¯m Lời giải: (2 x + 5) d x = x2 + 5 x ¯ = m2 + 5m. 0 0 Theo đề bài ta suy ra m2 + 5 m = 6 ⇔ m = 1 hoặc m = −6. Vậy m = 1 hoặc m = −6. Bài 1. Tính các tích phân sau π Z2 ĐS: sin x d x. 1 π 3 1 2 - Lời giải. π Z2 π 3 ¯π 1 1 ¯2 sin x d x = − cos x¯ π = 0 + = . 2 2 3 ä π Z3 2 π 4 dx . cos2 x ĐS: p 3−1 - Lời giải. π Z3 π 4 ¯π p dx ¯3 = tan x¯ π = 3 − 1. 2 cos x 4 ä Bài 2. Tính các tính phân Th.s Nguyễn Chín Em 222 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z−5 dx . p 1 − 3x 1 −2 Chương 3 - Giải tích 12 p 2 7−8 ĐS: 3 Z7 2 - Lời giải. 4 dx . p x+1+ x−1 2 p p p 64 2 − 12 3 − 24 6 + 4 3 ĐS: p p p ¯−5 2p 8 2 7 2 7 − 8 - Lời giải. ¯ =− = . 1 − 3 x¯ = − + p 3 3 3 3 −2 p ¢ 1 − 3x Z7 ¡p Z7 −2 4 x + 1 − x − 1 dx 4 dx ä = p p x+1− x+1 x+1+ x−1 Z−5 dx 2 2 Z7 p Z7 p = 2 x + 1 d x − 2 x − 1 d x. 2 2 p Z7 p 3 ¯¯7 4 64 2 − Ta có 2 x + 1 d x = ( x + 1) 2 ¯ = 3 3 2 2 p 4 3, p Z7 p 3 ¯¯7 24 6 4 4 2 x − 1 d x = ( x − 1) 2 ¯ = − . 3 3 3 2 2 Z7 Vậy 2 p p p 64 2 − 12 3 − 24 6 + 4 4 dx . = p p 3 x+1+ x−1 ä Bài 3. Tính các tích phân sau Z3 1 Tính (4 x3 − 3 x2 + 10) d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −2 ĐS: 80 - Lời giải. Z3 ¯3 ¯ (4 x3 − 3 x2 + 10) d x = ( x4 − x3 + 10 x)¯ = 84 − 4 = 80. −2 Z4 2 ä −2 Tính p ( x2 + 3 x) d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ĐS: 35 - Lời giải. Z4 1 µ 3 ¶ p ¯¯4 112 7 4 x dx = + 2x x ¯ = − = 35. 3 3 3 (1 − 2 x)2 1 Z2 3 Tính ä x( x + 1)2 d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: 34 3 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 223 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z2 Z2 2 x( x + 1) d x = 0 ¶ 34 x4 2 x3 x2 ¯¯2 34 + + −0 = . ( x + 2 x + x) d x = ¯ = 4 3 2 0 3 3 3 2 µ ä 0 Z4 µ 4 Chương 3 - Giải tích 12 Tính ¶ 1 dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x+ x 2 ĐS: 6 + ln 2 - Lời giải. Z4 µ ¶ µ 2 ¶ ¯4 1 x ¯ x+ dx = + ln x ¯ = 8 + ln 4 − 2 − ln 2 = 6 + ln 2. x 2 2 ä 2 Z3 µ 5 Tính ¶ 3 1 dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . − x x2 1 ĐS: 3 ln 3 − 2 3 - Lời giải. Z3 µ ¶ µ ¶ 1 2 1 ¯¯3 3 1 − 2 d x = 3 ln x + ¯ = 3 ln 3 + − 0 − 1 = 3 ln 3 − . x x x 1 3 3 ä 1 Z1 6 Tính e3x d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 3 ĐS: e3 − 1 3 - Lời giải. Z1 1 ¯¯1 1 1 e3x d x = e3x ¯ = e3 − . 3 3 3 0 ä 0 2018 Z 7 7x d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tính 0 ĐS: 72018 − 1 ln 7 - Lời giải. 2018 Z 7x d x = 7 x ¯¯2018 72018 1 72018 − 1 = − = . ¯ ln 7 0 ln 7 ln 7 ln 7 ä 0 Z6 8 Tính 0 dx =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x+6 ĐS: ln 2 - Lời giải. Z6 0 ¯6 dx ¯ = ln( x + 6)¯ = ln 12 − ln 6 = ln 2. x+6 0 Th.s Nguyễn Chín Em ä 224 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z3 9 Tính 1 Chương 3 - Giải tích 12 dx = ............................................................................ 1 − 3x 1 3 ĐS: − ln 4 - Lời giải. Z3 1 ¯3 dx 1 1 1 1 ¯ = − ln(3 x − 1)¯ = − ln 8 + ln 2 = − ln 4. 1 − 3x 3 3 3 3 1 Z2 10 Tính 1 ä dx =.......................................................................... (4 x − 1)2 ĐS: 1 21 - Lời giải. Z2 1 dx 1 ¯¯2 1 1 1 1 · = . = − ¯ =− + 2 4 4x − 1 1 28 12 21 (4 x − 1) Z4 11 Tính 1 ä 4 dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 − 2 x)2 ĐS: 12 7 - Lời giải. Z4 1 4 1 ¯¯4 2 12 d x = 2 · . ¯ = − +2 = 2 1 − 2x 1 7 7 (1 − 2 x) ä Bài 4. Tìm các số thực m thỏa mãn Z5 1 m2 (5 − x3 ) d x = −549. 2 ĐS: m = ± 1 2 - Lời giải. Ta có Z5 µ ¶ x4 ¯¯5 549 2 m (5 − x ) d x = m (5 x − )¯ = m · − . 4 2 4 2 3 2 (1) 2 Từ (1) suy ra µ ¶ 549 1 1 m · − = −549 ⇔ m2 = ⇔ m = ± . 4 4 2 2 1 2 Vậy m = ± . Z2 2 (3 − 2 x)4 d x = m ä 122 . 5 ĐS: m = 0 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 225 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ta có Z2 Chương 3 - Giải tích 12 (3 − 2 x)4 d x = − m (3 − 2 x)5 ¯¯2 1 (3 − 2 m)5 + . ¯ = 10 10 10 m (1) Từ (1) suy ra 1 (3 − 2 m)5 122 (3 − 2 m)5 243 + = ⇔ = ⇔ 3 − 2 m = 3 ⇔ m = 0. 10 10 5 10 10 Vậy m = 0. ä Zm 3 (3 x2 − 12 x + 11) d x = 6. 0 ĐS: m = 1, m = 2, m = 3 - Lời giải. Ta có Zm ¯m ¯ (3 x2 − 12 x + 11) d x = ( x3 − 6 x2 + 11 x)¯ = m3 − 6 m2 + 11 m. 0 (1) 0 Từ (1) suy ra  m=1   m3 − 6 m2 + 11 m = 6 ⇔ m3 − 6 m2 + 11 m − 6 = 0 ⇔  m = 2  m = 3. Vậy m = 1, m = 2, m = 3. Z2 4 ¡ 2 m + (4 − 4 m) x + 4 x 3 1 ¢ ä Z4 2 x d x. dx = 2 ĐS: m = 3 - Lời giải. Ta có Z2 ¡ ¢ ¡ ¢ ¯¯2 m2 + (4 − 4 m) x + 4 x3 d x = m2 x + (2 − 2 m) x2 + x4 ¯ = m2 − 6 m + 21. 1 (1) 1 Mà Z4 ¯4 ¯ 2 x d x = x2 ¯ = 12. (1) 2 2 Từ (1) và (2) suy ra m2 − 6 m + 21 = 12 ⇔ m2 − 6 m + 9 = 0 ⇔ m = 3. Vậy m = 3. ä Bài 5. Tính các tính phân sau 2π Z3 1 Tính π 3 µ ¶ 2π cos 3 x − dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Th.s Nguyễn Chín Em p 3 ĐS: − 3 226 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 - Lời giải. 2π Z3 π 3 p p p µ ¶ µ ¶ 2π 2π 1 2π ¯¯ 3 3 3 3 cos 3 x − d x = sin 3 x − − =− . ¯π = − 3 3 3 3 6 6 3 ä π Z4 2 Tính tan2 x d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . π 6 p 3 π ĐS: 1 − − 3 12 - Lời giải. π π Z4 Z4 µ 2 tan x d x = π 6 π 6 p p ¶ ¯π π 1 3 π 3 π ¯4 − 1 d x = (tan x − x) ¯ π = 1 − − + = 1− − . 2 4 3 6 3 12 cos x 6 ä π Z3 3 Tính cot2 x d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . π 4 p 3 π − ĐS: 1 − 3 12 - Lời giải. π π Z3 Z3 µ 2 cot x d x = π 4 π 4 p p ¯π π 3 π 3 π ¯3 − 1 x d x = (− cot x − x) ¯ π = − − +1+ = 1− − . 2 3 3 4 3 12 sin x 4 1 ¶ ä π Z4 4 Tính sin 5 x sin x d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: 1 12 - Lời giải. π Z4 π 1 sin 5 x sin x d x = 2 0 Z4 µ ¶¯π 1 1 1 1 1 ¯4 −0 = . (cos 4 x − cos 6 x) d x = · sin 4 x − sin 6 x ¯ = 2 4 6 12 12 0 ä 0 π Z6 5 Tính sin 4 x cos x d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 p 3 4 ĐS: + 20 15 - Lời giải. π Z6 π 1 sin 4 x cos x d x = 2 0 Th.s Nguyễn Chín Em Z6 µ ¶¯π p 1 1 1 3 4 ¯6 + . (sin 5 x + sin 3 x) d x = − · cos 5 x + cos 3 x ¯ = 2 5 3 20 15 0 ä 0 227 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 π Z4 6 sin 6 x cos 2 x d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tính 0 ĐS: 1 4 - Lời giải. π Z4 π Z4 1 sin 6 x cos 2 x d x = 2 0 µ ¶¯π 1 1 1 1 3 1 ¯4 + = . (sin 8 x + sin 4 x) d x = − · cos 8 x + cos 4 x ¯ = 2 8 4 16 16 4 0 ä 0 π Z6 7 cos 3 x cos x d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tính 0 p 3 3 ĐS: 16 - Lời giải. π Z6 π 1 cos 3 x cos x d x = 2 0 p p µ ¶¯π 1 1 1 3 3 ¯6 3 3 −0 = . (cos 4 x + cos 2 x) d x = · sin 4 x + sin 2 x ¯ = 2 4 2 16 16 0 Z6 ä 0 π Z6 8 Tính cos 6 x cos 2 x d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 p 3 ĐS: 32 - Lời giải. π π Z6 1 cos 6 x cos 2 x d x = 2 0 Z6 p µ ¶¯π p 1 1 1 3 3 ¯6 −0 = . (cos 8 x + cos 4 x) d x = · sin 8 x + sin 4 x ¯ = 2 8 4 32 32 0 ä 0 π Z4 9 Tính sin4 x d x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 µ ¶ 1 3π ĐS: −1 4 8 - Lời giải. Ta có 1 − cos 2 x sin x = 2 4 µ ¶2 ¶ µ ¢ 1 1 ¡ 1 + cos 4 x 2 = · 1 − 2 cos 2 x + cos 2 x = · 1 − 2 cos 2 x + . 4 4 2 Suy ra π Z4 π 1 sin x d x = 4 4 0 Z4 µ ¶ µ ¶¯π µ ¶ 1 + cos 4 x 1 1 1 ¯ 4 1 3π 1 − 2 cos 2 x + dx = x − sin 2 x + x + sin 4 x ¯ = −1 . 2 4 2 8 4 8 0 0 ä Th.s Nguyễn Chín Em 228 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Za Bài 6. Biết 1 Chương 3 - Giải tích 12 1 sin x cos x d x = . Tìm a. 4 0 ĐS: a = π π +k , k∈Z 4 2 - Lời giải. Ta có Za Za sin x cos x d x = 0 ¯a 1 1 1 ¯ sin 2 x d x = − cos 2 x¯ = − cos 2a + . 2 4 4 0 0 Theo đề bài ta có − cos 2a + 1 1 = 4 4 ⇔ cos 2a = 0 π + kπ 2 π π ⇔ a = + k , k ∈ Z. 4 2 ⇔ 2a = Vậy a = π + k , k ∈ Z. 4 2 π ä Zm 2 Có bao nhiêu số nguyên m ∈ (0; 2018) thỏa cos 2 x d x = 0? 0 ĐS: 1284 - Lời giải. Ta có Zm cos 2 x d x = ¯m 1 1 ¯ sin 2 x¯ = sin 2 m. 2 2 0 0 Theo đề bài ta có 1 sin 2 m = 0 ⇔ sin 2 m = 0 2 ⇔ 2 m = kπ π ⇔ m = k , k ∈ Z. 2 π Vì m ∈ (0; 2018) ⇔ 0 < k < 2018 ⇔ 0 < k < 1284,6. 2 Do k ∈ Z nên k = 1, 2, 3, . . . , 1284. Vậy có 1284 số nguyên m ∈ (0; 2018) thỏa mãn đề. π Z4 3 Biết ä p 2 sin 5 x d x = a + b với a, b ∈ Q. Tính giá trị P = ab + b − a. 2 0 ĐS: 1 25 - Lời giải. Ta có π Z4 ¯ π p2 1 1 1 p2 1 ¯4 sin 5 x d x = − cos 5 x¯ = + = + · . 5 10 5 5 5 2 0 0 Suy ra a = b = Th.s Nguyễn Chín Em 1 1 nên P = ab + b − a = . 5 25 ä 229 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ π Z4 4 Biết π 6 p 1 − sin3 x dx = sin2 x Chương 3 - Giải tích 12 p a+ b−c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính giá trị P = a2 + b2 + abc. 2 ĐS: 25 - Lời giải. Ta có π Z4 π Z4 µ 3 1 − sin x sin2 x π 6 dx = π 6 ¯ π p3 + p2 − 2 ¯4 − sin x d x = (− cot x + cos x)¯ π = . 2 2 sin x 6 1 ¶ Suy ra a = 3, b = 2, c = 2 hoặc a = 2, b = 3, c = 2 và P = a2 + b2 + abc = 25. ä π Z4 5 Biết dx 2 0 cos2 x sin x p = a + b 3 với a, b ∈ Q. Tính giá trị P = ab − a + b. ĐS: 2 3 - Lời giải. Ta có π π Z4 0 dx cos2 x sin2 x Suy ra a = 0, b = π Z4 6 Biết Z4 µ = 0 ¶ ¯ π 2p3 2p 1 1 ¯4 = 0+ + 3. d x = (tan x − cot x) ¯ = 2 2 3 3 cos x sin x 0 2 2 và P = ab − a + b = . 3 3 ä p b 2 với a, b ∈ Z. Tính a + b. sin 3 x sin 2 x d x = a + 10 0 ĐS: 3 - Lời giải. Ta có π Z4 π 1 sin 3 x sin 2 x d x = 2 0 Z4 p µ ¶¯π 1 1 ¯4 3 2 (cos x − cos 5 x) d x = sin x − sin 5 x ¯ = . 2 5 10 0 0 Suy ra a = 0, b = 3 và a + b = 3. ä Bài 7. Tính các tích phân sau Z1 p 3 1 Tính 5 + 3x dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 p 3 5 5 ĐS: 4 − 4 - Lời giải. p Z1 p Z1 3 ¯1 1 1 5 5 3 ¯ 5 + 3 x d x = (5 + 3 x) 3 d x = (5 + 3 x)¯ = 4 − . 4 4 0 0 Th.s Nguyễn Chín Em ä 0 230 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z5 2 Tính 3 Chương 3 - Giải tích 12 4x dx = ................................................................. p p 5x + 1 − 3x + 1 p p 104 26 512 40 10 ĐS: + − 15 45 9 - Lời giải. Z5 3 4x dx p p 5x + 1 − 3x + 1 Z5 = 4x p ¢ ¡p 5x + 1 + 3x + 1 5x + 1 − 3x − 1 3 dx ¶ Z5 µ 1 1 2 2 = 2 (5 x + 1) + (3 x + 1) d x 3 ¶ 3 3 ¯¯5 2 2 = 2 (5 x + 1) 2 + (3 x + 1) 2 ¯ 15 9 3 p p 104 26 512 40 10 + − . = 15 45 9 µ ä Z5 3 Tính 1 5x dx = ................................................................. p p 8x + 1 + 3x + 1 p 41 41 529 ĐS: − 12 36 - Lời giải. Z5 1 5x dx p p 8x + 1 + 3x + 1 Z5 = 5x p ¡p ¢ 8x + 1 − 3x + 1 8x + 1 − 3x − 1 1 dx ¶ Z5 µ 1 1 = (8 x + 1) 2 − (3 x + 1) 2 d x 1 ¶ 3 3 ¯¯5 2 1 2 2 (8 x + 1) − (3 x + 1) ¯ 12 9 1 p 41 41 529 − . 12 36 µ = = ä Z6 4 Tính 1 dx =................................................................ p p ( x + 3) x − x x + 3 p 2 6 ĐS: 3 - Lời giải. Z6 1 dx p p ( x + 3) x − x x + 3 Z6 = p 1 dx ¡p p ¢ x( x + 3) x + 3 − x Z6 p = 1 Th.s Nguyễn Chín Em 231 p x+3+ x dx p 3 x( x + 3) https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 = 1 3 Z6 µ 1 = = ¶ 1 1 dx p +p x x+3 ´ ¯6 p 2 ³p ¯ x+ x+3 ¯ 3 1 p 2 6 . 3 ä Z3 5 Tính 2 dx =........................................................ p p ( x + 2) x + 1 + ( x + 1) x + 2 p p ĐS: 8 − 2 5 − 2 3 - Lời giải. Z3 2 dx p p ( x + 2) x + 1 + ( x + 1) x + 2 Z3 = 2 dx p ¡p ¢ p ( x + 2)( x + 1) x + 2 + x + 1 p Z3 p x+2− x+1 = dx p ( x + 2)( x + 1) 2 Z3 µ = p 1 x+1 −p 1 ¶ x+2 2 ³p ´ ¯3 p ¯ = 2 x+1− x+2 ¯ 2 p p = 8 − 2 5 − 2 3. dx . Bài 8. ä p Z2 p a−1 1 Biết với a, b là số nguyên dương. Tính a − b3 . 2x − 1 dx = b 1 ĐS: 0 - Lời giải. p Z2 Z2 p 1 3 ¯¯2 p 1 1 27 − 1 2 x − 1 d x = (2 x − 1) 2 d x = (2 x − 1) 2 ¯ = 3 − = . 3 3 3 1 1 1 Suy ra a = 27, b = 3 và a − b3 = 0. ä p p Z3 p a− b 2 Biết 8 − 2x dx = với a, b là số nguyên dương. Tính P = ab + a + b. 3 1 ĐS: 1952 - Lời giải. p p p p Z3 Z3 p 1 3 ¯¯3 1 6 6−2 2 216 − 8 8 − 2 x d x = (8 − 2 x) 2 d x = − (8 − 2 x) 2 ¯ = = . 3 3 3 1 1 1 Suy ra a = 216, b = 8 và ab + a + b = 1952. ä Z3 p p 1 3 3 Biết 3 x − 5 d x = 3 a − với a, b là các số nguyên. Tính P = ab + a − b. b 2 Th.s Nguyễn Chín Em 232 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 ĐS: 16 - Lời giải. Z3 p Z3 4 ¯¯3 1 p 1 1 3 3 3 x − 5 d x = (3 x − 5) 3 d x = (3 x − 5) 3 ¯ = 4 − . 4 4 2 2 2 Suy ra a = 4, b = 4 và P = ab + a − b = 16. Z6 4 Biết 2 ä p p 2 dx = a − b với a, b là các số nguyên dương. Tính P = ab + a + b. p 2x − 1 ĐS: 584 - Lời giải. Z6 2 2 dx =2 p 2x − 1 Z6 2 ¯6 p p p p p 2 dx ¯ = 2 2 x − 1¯ = 2 11 − 2 3 = 44 − 12. p 2 2 2x − 1 Suy ra a = 44, b = 12 và P = ab + a + b = 584. Z2 5 Biết 1 ä p p dx = a − b − c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính P = a + b + c. p p ( x + 1) x + x x + 1 ĐS: 46 - Lời giải. Z2 1 dx p p ( x + 1) x + x x + 1 Z2 = p 1 dx ¡p p ¢ x( x + 1) x + 1 + x p Z2 p x+1− x = dx p x( x + 1) 1 Z2 µ = 1 ¶ 1 1 dx p −p x x+1 ´ ¯2 p ¯ x− x+1 ¯ 1 p p = 4 2−2 3−2 p p = 32 − 12 − 2. = 2 ³p Suy ra a = 32, b = 12, c = 2 và P = a + b + c = 46. 3.2 ä Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ Phương pháp giải: Chú ý nguyên hàm của một số hàm phân thức hữu tỉ thường gặp. Z 1 1 1 d x = ln |ax + b| + C , với a 6= 0. ax + b a 1 1 −1 dx = · + C , với a 6= 0, n ∈ N, n ≥ 2. n (ax + b) a ( n − 1)(ax + b)n−1 Z ¯x+a¯ 1 1 ¯ ¯ 3 dx = ln ¯ ¯ + C , với a 6= b. ( x + a)( x + b) b−a x+b Z 2 3.2.1 Ví dụ và bài tập Th.s Nguyễn Chín Em 233 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Ví dụ 1. Tính các tích phân sau Z1 1 Tính 0 x d x. ( x + 1)2 1 ĐS: ln 2 − 2 Z1 2 0 x d x. ( x + 2)3 3 2 ĐS: ln − 5 36 Lời giải: 1 Ta có Z1 0 2 x dx = ( x + 1)2 Z1 0 x+1−1 dx = ( x + 1)2 Z1 · 0 ¸ · ¸¯ 1 1 ¯¯1 1 1 d x = ln | x + 1 | + − . = ln 2 − ¯ x + 1 ( x + 1)2 x+1 0 2 Ta có Z1 0 x dx = ( x + 2)3 Z1 0 x+2−2 dx = ( x + 2)3 Z1 · 0 ¸ · ¸¯1 ¯ 1 2 1 ¯ = ln 3 − 5 . − d x = ln | x + 2| + 3 2 x + 2 ( x + 2) 2 36 ( x + 2) ¯0 Ví dụ 2. Tính các tích phân sau Z2 1 Biết 1 Z2 2 Biết 0 dx 1 = ln b với b > 0. Tính S = a2 + b. 3x − 1 a ĐS: x2 d x = a + ln b với a, b ∈ Q. Tính S = 2a + b + 2b . x+1 ĐS: 11 47 18 Lời giải: Z2 1 Ta có 1 1 dx = 3x − 1 3 Z2 1 1 1 5 d(3 x − 1) 1 = ln |3 x − 1||21 = (ln 5 − ln 2) = ln . 3x − 1 3 3 3 2 5 1 5 47 Suy ra a = 3, b = . Do đó S = + = . 2 9 2 18 2 Ta có Z2 0 x2 dx = x+1 Z2 µ 0 ¶ · 2 ¸¯2 ¯ 1 x x−1+ dx = − x + ln | x + 1| ¯¯ = ln 3 = 0 + ln 3. x+1 2 0 Suy ra a = 0, b = 3 nên S = 2 · 0 + 3 + 23 = 11. Bài 1. Tính các tích phân sau Z1 1 Biết 0 2x + 3 d x = a ln 2 + b với a, b ∈ Q. Tính P = a + 2 b + 2a − 2b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2− x ĐS: 523 4 – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 234 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 2( x − 2) + 7 7 2x + 3 =− = −2 − . Do đó 2− x x−2 x−2 Ta có Z1 0 2x + 3 dx = 2− x Z1 µ 0 ¶ 7 −2 − d x = [−2 x − 7 ln | x − 2|]|10 = −2 + 7 ln 2 = 7 ln 2 − 2. x−2 Do đó, a = 7, b = −2. Vậy P = 7 + 2 · (−2) + 27 − 2−2 = Z1 2 Biết 0 523 . 4 ä 2x − 1 d x = a + b ln 2 với a, b ∈ Q. Tính P = ab − a + b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x+1 ĐS: −11 – Lời giải. Z1 2x − 1 dx = x+1 Ta có 0 Z1 0 2( x + 1) − 3 dx = x+1 Z1 µ 0 ¶ 3 2− d x = (2 x − 3 ln | x + 1|)|10 = 2 − 3 ln 2. x+1 Vậy a = 2, b = −3, suy ra P = −6 − 2 − 3 = −11. ä Bài 2. Tính các tích phân sau Z1 1 Tính 0 3x − 1 x2 + 6 x + 9 d x = 3 ln a a 5 − với a, b ∈ Z+ và là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức b 6 b P = 2a + 2b − ab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 12 – Lời giải. Ta có 3x − 1 x2 + 6 x + 9 = 3( x + 3) − 10 3 10 = . − 2 x + 3 ( x + 3)2 ( x + 3) Do đó Z1 0 3x − 1 dx = 2 x + 6x + 9 Z1 · 0 ¸ · ¸¯ 3 10 10 ¯¯1 4 5 − d x = 3 ln | x + 3| + = 3 ln − . ¯ 2 x + 3 ( x + 3) x+3 0 3 6 Suy ra a = 4, b = 3 nên P = 24 + 23 − 4 · 3 = 12. Z1 µ 2 Biết 0 ä ¶ 1 1 − d x = a ln 2 + b ln 3 với a, b ∈ Z. Tính S = a + b − ab2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x+1 x+2 ĐS: −1 – Lời giải. Ta có Z1 µ 0 ¯ ¯¯ ¶ ¯ x + 1 ¯¯1 1 1 1 ¯ ¯¯ = ln 2 − ln 1 = ln 4 = 2 ln 2 − ln 3. − d x = [ln | x + 1| − ln | x + 2|]|0 = ln ¯ x+1 x+2 x + 2 ¯¯0 3 2 3 Suy ra a = 2, b = −1 nên S = 2 + (−1) − 2 · (−1)2 = −1. ä Bài 3. Tính các tích phân sau Th.s Nguyễn Chín Em 235 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 1 Biết 0 Chương 3 – Giải tích 12 x3 a d x = + b ln 3 + c ln 2, với a, b, c ∈ Q. Tính S = 2a + 4 b2 + 3 c3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x+2 3 ĐS: −1388 – Lời giải. Ta có Z1 0 Z1 0 x3 dx = x+2 Z1 0 x2 ( x + 2) − 2 x( x + 2) + 4( x + 2) − 8 dx = x+2 Z1 µ 0 ¶ 8 dx x − 2x + 4 − x+2 2 · 3 ¸¯1 ¯ x3 x 10 10 2 dx = − x + 4 x − 8 ln | x + 2| ¯¯ = − 8 ln 3 − 8 ln 2 = + (−8) ln 3 + (−8) ln 2. x+2 3 3 3 0 Suy ra a = 10, b = −8, c = −8 nên S = 2 · 10 + 4 · (−8)2 + 3 · (−8)3 = −1388. Z0 2 Biết −1 ä 3 x2 + 5 x − 1 2 d x = a ln + b với a, b ∈ Q. Tính giá trị của S = a + 4 b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x−2 3 ĐS: −29 – Lời giải. 21 3 x2 + 5 x − 1 3( x2 − 4) + 5( x − 2) + 21 = = (3 x + 11) + . Ta có x−2 x−2 x−2 · ¸ · ¸¯0 Z0 2 Z ¯ 3x + 5x − 1 21 3 2 25 2 0 Do đó: d x = 1 3 x + 11 + dx = x + 11 x + 21 ln | x − 2| ¯¯ = − +21 ln . x−2 x−2 2 2 3 −1 − −1 µ ¶ 25 25 Khi đó a = 21, b = − nên S = 21 + 4 · − = −29. ä 2 2 Z5 3 Biết 3 dx x2 − x = a ln 5 + b ln 3 + c ln 2 với a, b, c ∈ Q. Tính S = −2a + b + 3 c2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 6 – Lời giải. Ta có x − ( x − 1) 1 1 1 = = − . x( x − 1) x−1 x x2 − x Khi đó Z5 3 dx = 2 x −x Z5 µ 3 ¯ ¯¯ ¶ ¯ x − 1 ¯¯ 5 1 1 5 ¯ ¯¯ = ln 4 − ln 2 = ln 2 + ln 3 − ln 5. − d x = [ln | x − 1| − ln | x|]|3 = ln ¯ x−1 x x ¯¯ 3 5 3 Suy ra rằng a = −1, b = 1, c = 1 nên S = −2 · (−1) + 1 + 3 · 12 = 6. Z5 4 Tính 1 3 x2 + 3 x ä d x = a ln 5 + b ln 2 với a, b ∈ Z. Tính S = a + b − ab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 1 – Lời giải. Ta có Th.s Nguyễn Chín Em µ ¶ 3 ( x + 3) − x 1 1 = = − . x( x + 3) x x+3 x2 + 3 x 236 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Khi đó Z5 1 3 dx = x2 + 3 x Z5 µ 1 ¶ ¯ x ¯¯ 5 1 1 1 5 ¯ ¯¯ − d x = ln ¯ ¯¯ = ln − ln = ln 5 − 3 ln 2 + 2 ln 2 = ln 5 − ln 2. x x+3 x+3 1 8 4 Suy ra a = 1, b = −1 nên S = 1 + (−1) − 1 · (−1) = 1. Z2 5 ä x d x = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a, b, c ∈ Q. Tính S = a + b + c. . . . . . . . . . . . . . . . . . ( x + 1)(2 x + 1) Biết 1 ĐS: 0 – Lời giải. Ta có (2 x + 1) − ( x + 1) 1 1 x = = − . ( x + 1)(2 x + 1) ( x + 1)(2 x + 1) x + 1 2x + 1 Do đó Z2 1 x dx = ( x + 1)(2 x + 1) Z2 µ 1 ¶ · ¸¯2 ¯ 1 1 1 1 3 − d x = ln | x + 1| − ln |2 x + 1| ¯¯ = − ln 2 + ln 3 − ln 5. x + 1 2x + 1 2 2 2 1 µ ¶ 1 1 3 3 Suy ra a = −1, b = , c = − nên S = −1 + + − = 0. 2 2 2 2 Z1 6 dx Biết x2 − 5 x + 6 0 ä = a ln 2 + b ln 3 với a, b ∈ Z. Tính S = a + b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: −1 – Lời giải. Ta có 1 x2 − 5 x + 6 = 1 1 ( x − 2) − ( x − 3) = − . ( x − 2)( x − 3) x−3 x−2 Khi đó Z1 0 dx = 2 x − 5x + 6 Z1 µ 0 ¶ 1 1 − d x = [ln | x − 2| − ln | x − 3|]|10 = −2 ln 2 + ln 3 x−2 x−3 Suy ra a = −2, b = 1 nên S = a + b = −2 + 1 = −1. Z3 7 Tính 2 ä dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a, b, c ∈ Z. Tính S = 2a + b2 + 2 c . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 −2 x + 3 x − 1 ĐS: 1 – Lời giải. Ta có 1 −2 x2 + 3 x − 1 =− 2( x − 1) + (−2 x + 1) −2 1 = − . (−2 x + 1)( x − 1) −2 x + 1 x − 1 Khi đó Z3 2 d = 2 −2 x + 3 x − 1 Z3 µ 2 ¶ −2 1 − d x = [ln | − 2 x + 1| − ln | x − 1|]|32 = − ln 2 − ln 3 + ln 5. −2 x + 1 x − 1 Suy ra a = −1, b = −1, c = 1 nên S = 2 · (−1) + (−1)2 + 21 = 1. Th.s Nguyễn Chín Em 237 ä https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 8 Tính 5 − 2x x2 + 3 x + 2 0 Chương 3 – Giải tích 12 d x = a ln 2 + b ln 3 với a, b ∈ Z. Tính S = 2a − 3ab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 65968 – Lời giải. Ta có 5 − 2x x2 + 3 x + 2 = −9 7 −9( x + 1) + 7( x + 2) = + . ( x + 1)( x + 2) x+2 x+1 Khi đó Z1 0 5 − 2x dx = 2 x + 3x + 2 Z1 µ 0 ¶ −9 7 + d x = [−9 ln | x + 2| + 7 ln | x + 1|]|10 = 16 ln 2 − 9 ln 3. x+2 x+1 Suy ra a = 16, b = −9 nên S = 216 − 3 · 16 · (−9) = 65968. Z2 9 Tính 0 x−1 x2 + 4 x + 3 ä d x = a ln 5 + b ln 3 với a, b ∈ Q. Tính S = ab + 3a − a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 1 – Lời giải. Ta có x−1 x2 + 4 x + 3 = 2( x + 1) − ( x + 3) 2 1 = − . ( x + 1)( x + 3) x+3 x+1 Khi đó Z2 0 Z2 µ x−1 dx = 2 x + 4x + 3 0 ¶ 1 2 − d x = [2 ln | x + 3| − ln | x + 1|]|20 = 2 ln 5 − 3 ln 3. x+3 x+1 Suy ra a = 2, b = −3 nên S = ab + 3a − a = 2 · (−3) + 32 − 2 = 1. Z2 10 Biết 1 x2 ( x + 1) 1 dx = ä 1 a a + ln với a, b ∈ Z+ và là phân số tối giản. Tính S = a + 2b . . . . . . . . . . . . . . 2 b b ĐS: 19 – Lời giải. Ta có 1 x2 ( x + 1) = 1 1 x+1− x 1 1 1 = 2− = 2+ − . 2 x( x + 1) x x+1 x x ( x + 1) x Khi đó Z2 1 1 dx = 2 x ( x + 1) Z2 µ 1 ¶ · ¸¯2 ¯ 1 1 1 1 ¯ = 1 + ln 3 . + − d x = − + ln | x + 1 | − ln | x | ¯ 2 x+1 x x 2 4 x 1 Suy ra a = 3, b = 4 nên S = a + 2b = 3 + 24 = 19. 3.3 ä Tính chất của tích phân Zb Zc f ( x) d x = 1 a Th.s Nguyễn Chín Em Zb f ( x) d x + a Zb f ( x) d x, c Za f ( x) d x = − a f ( x) d x. b 238 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Zb f ( x) d x = 2 f ( x)|ab Zb = f ( b) − f (a), ¯b f 00 ( x) d x = f 0 ( x)¯a = f ( b) − f (a),.. . . a a 3.3.1 Chương 3 – Giải tích 12 Ví dụ và bài tập Ví dụ 1. Z10 1 Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [0; 10] thỏa mãn Z6 f ( x) d x = 7 và 0 Z2 2 Z10 0 ĐS: 4 f ( x) d x. f ( x) d x + 2 f ( x) d x = 3. Tính 6 Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R thỏa mãn Zb Zb f ( x) d x = 2 và a Zc f ( x) d x = 3 với a < b < c. Tính c ĐS: −1 f ( x) d x a 3 Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R thỏa mãn Z3 Z3 f ( x) d x = 2017 và 1 f ( x) d x = 2018. Tính 4 Z4 ĐS: −1 f ( x) d x. 1 Lời giải: 1 Ta có Z10 Z2 f ( x) d x = 7= 0 Z6 f ( x) d x + 0 Z10 f ( x) d x + 2 f ( x) d x. 6 Hay là Z10 Z2 f ( x) d x = 7= 0 2 f ( x) d x + 3 + 0 Z2 f ( x) d x ⇒ P = 6 Z10 f ( x) d x + 0 f ( x) d x = 7 − 3 = 4. 6 Ta có Zc Zb f ( x) d x = a 3 Z10 Zc f ( x) d x + a Zb f ( x) d x = Zb f ( x) d x − a b f ( x) d x = 2 − 3 = −1. c Ta có Z4 Z3 f ( x) d x = 1 Z4 f ( x) d x + 1 Z3 f ( x) d x = 3 Z3 f ( x) d x − 1 f ( x) d x = 2017 − 2018 = −1. 4 Ví dụ 2. Th.s Nguyễn Chín Em 239 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 1 Chương 3 - Giải tích 12 Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R thỏa mãn Z5 Z7 f ( x) d x = 3 và 2 Z7 f ( x) d x = 9. Tính 5 f ( x) d x. 2 ĐS: 12 2 Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R thỏa mãn Z6 Z6 f ( x) d x = 4 và 0 Z2 f ( t) d t = −3. Tính 2 [ f ( v) − 0 ĐS: 1 3] dv. Lời giải: 1 Ta có Z7 Z5 f ( x) d x = 2 Z7 f ( x) d x + f ( x) d x = 3 + 9 = 12. 2 2 5 Z6 Z6 Z6 Ta có Z2 f ( v) d v = 0 f ( v) d v − 0 Z6 f ( v) d v = 2 f ( x) d x − f ( x) d x = 4 − (−3) = 7. 0 2 Z2 Z2 Hay là Z2 Z2 f ( v) d v = 7 ⇒ 0 [ f (v) − 3] dv = 0 f ( v) d v − 0 3 dv = 7 − 3v|20 = 1. 0 Ví dụ 3. 1 Z2 f 0 ( x) d x. ĐS: 1 f 0 ( x) d x = 2. Tính f (4). ĐS: 3 f 0 ( x) d x = 6. Tính f (1). ĐS: −1 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên đoạn [1; 2], f 0 (1) = 1 và f (2) = 2. Tính 1 Z4 2 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên đoạn [1; 4], f (1) = 1 và 1 Z3 3 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên đoạn [1; 3], f (3) = 5 và 1 Lời giải: Z2 1 Ta có f 0 ( x) d x = f ( x)|21 = f (2) − f (1) = 2 − 1 = 1. 1 Z4 2 Ta có 2 = f 0 ( x) d x = f ( x)|41 = f (4) − f (1) = f (4) − 1 ⇒ f (4) = 3. 1 Z3 3 Ta có 6 = f 0 ( x) d x = f ( x)|31 = f (3) − f (1) = 5 − f (1) ⇒ f (1) = −1. 1 Zb Bài 1. Bài toán sử dụng tính chất f ( x) d x = a Th.s Nguyễn Chín Em Zc Zb f ( x) d x, f ( x) d x + a c 240 Zb Za f ( x) d x = − a f ( x) d x b https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z4 1 Cho Chương 3 - Giải tích 12 Z4 f ( x) d x = 10 và 2 Z4 g( x) d x = 5. Tính tích phân [3 f ( x) − 5 g( x)] d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 ĐS: 5 - Lời giải. Ta có Z4 Z4 [3 f ( x) − 5 g( x)] d x = 3 2 Z4 f ( x) d x − 5 2 g( x) d x = 3 · 10 − 5 · 5 = 5. 2 ä Z5 2 Cho Z5 f ( x ) d x = 5, −1 Z4 1 g( u) d u = . Tính I = 3 f ( t) d t = −2 và 4 Z4 [ f ( x) + g( x)] d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . −1 −1 ĐS: 22 3 - Lời giải. Ta có −1 4 −1 4 −1 f ( t) d t = 5 − (−2) = 7. f ( x) d x − f ( x) d x = f ( x) d x − f ( x) d x = Z5 Z5 Z5 Z5 Z4 Khi đó Z4 I= Z4 [ f ( x) + g( x)] d x = −1 Z4 f ( x) d x + −1 Z4 g ( x) d x = −1 Z4 f ( x) d x + −1 g( u) d u = 7 + 1 22 = . 3 3 −1 ä π π Z4 3 Z4 f ( x) d x = a. Tính tích phân I = Cho 0 f ( x) cos2 x − 5 d x theo a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos2 x 0 ĐS: a − 5 - Lời giải. Ta có π Z4 π π 2 f ( x) cos x − 5 dx = cos2 x 0 Z4 µ 5 dx = cos2 x ¶ f ( x) − 0 π Z4 Z4 f ( x) d x − 0 π 5 4 | d x = a − 5 tan x 0 = a − 5. 2 cos x 0 ä π π Z2 4 Cho Z2 f ( x) d x = 5. Tính tích phân I = 0 [ f ( x) + 2 sin x] d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: 7 - Lời giải. Ta có π π Z2 [ f ( x) + 2 sin x] d x = 0 π Z2 Z2 f ( x) d x + 2 · 0 π sin x = 5 − 2 cos x|02 = 5 − 2(0 − 1) = 7. 0 ä Th.s Nguyễn Chín Em 241 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Zb Bài 2. Bài toán sử dụng tính chất f ( x) d x = Chương 3 - Giải tích 12 f ( x)|ab Zb = f ( b) − f (a), a 1 ¯b f 00 ( x) d x = f 0 ( x)¯a = f ( b) − f (a),.. . . a Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo hàm cấp hai trên đoạn [1; 3], f 0 (1) = 1 và f 0 (3) = m. Tìm m để Z3 f 00 ( x) d x = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ĐS: 6 - Lời giải. Z3 Ta có 5 = ¯3 f 00 ( x) d x = f 0 ( x)¯1 = f 0 (3) − f 0 (1) = m − 1 ⇒ m = 6. ä 1 2 Biết f (1) = 12, f 0 ( x) là hàm số liên tục trên [1; 4] và Z4 f 0 ( x) d x = 17. Tính f (4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ĐS: 29 - Lời giải. Z4 Ta có 17 = f 0 ( x) d x = f ( x)|41 = f (4) − f (1) = f (4) − 12 ⇒ f (4) = 29. ä 1 Zb Bài 3. Bài toán sử dụng tính chất Zc f ( x) d x = a Z2 1 Cho Zb f ( x) d x, f ( x) d x + a Zb c f ( x) d x = 5 và −1 f ( x) d x = − a Z2 Za f ( x) d x b Z2 g( x) d x = −2. Tính tích phân I = −1 [ x + 2 f ( x) − 3 g( x)] d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . −1 ĐS: 35 2 - Lời giải. Ta có Z2 I= Z2 [ x + 2 f ( x) − 3 g( x)] d x = I = −1 Z2 x dx + 2 −1 Z2 f ( x) d x − 3 −1 −1 ¯2 x2 ¯¯ 35 g ( x) d x = + 2 · 5 − 3 · (−2) = . ¯ 2 −1 2 ä Z4 2 Cho Z6 f ( x) d x = 10 và −1 Z−1 f ( x) d x = 2. Tính tích phân I = 4 f ( x) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 ĐS: −12 - Lời giải. Ta có Z−1 I= Z6 f ( x) d x = − 6 Z4 f ( x) d x = − −1 −1 Z6 f ( x) d x − f ( x) d x = −10 − 2 = −12. 4 ä Z6 3 Cho Z6 f ( x) d x = 7. Tính tích phân I = 3 [ x2 − f ( x)] d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ĐS: 56 Th.s Nguyễn Chín Em 242 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 - Lời giải. Ta có Z6 I= Z6 2 [ x − f ( x)] d x = 3 Z6 2 ¯6 x3 ¯¯ f ( x) d x = − 7 = 63 − 7 = 56. 3 ¯3 x dx − 3 3 ä Z2 4 Cho Z2 f ( x) d x = 1 và 0 £ x ¤ e − f ( x) d x = ea − b. Tìm a, b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: a = b = 2 - Lời giải. Ta có Z2 £ x ¤ e − f ( x) d x = 0 Z2 Z2 x e dx − 0 ¯2 f ( x) d x = e x ¯0 − 1 = e2 − 2. 0 Suy ra a = 2, b = 2. ä Zb Bài 4. Bài toán sử dụng tính chất f ( x) d x = f ( x)|ab Zb = f ( b ) − f ( a ), a ¯b f 00 ( x) d x = f 0 ( x)¯a = f ( b) − f (a),.. . . a Z5 1 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên [−3; 5], f (−3) = 1 và f (5) = 9. Tính 4 f 0 ( x) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . −3 ĐS: 32 - Lời giải. Z5 Ta có 4 f 0 ( x) d x = 4 f ( x)|5−3 = 4 · [ f (5) − f (−3)] = 4(9 − 1) = 32. ä −3 2 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm cấp 3 trên [−3; 2], f 00 (−3) = 4 và f 00 (2) = 6. Tính giá trị của tích phân Z2 f 000 ( x) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −3 ĐS: 2 - Lời giải. Z2 Ta có ¯2 f 000 ( x) d x = f 00 ( x)¯−3 = f 00 (2) − f 00 (−3) = 6 − 4 = 2. ä −3 Bài 5. Tính các tích phân sau bằng phương pháp biến đổi hàm ẩn: 1 Cho f ( x) liên tục trên R và π Z1 Z4 f ( x) d x = 2017. Tính 0 f (sin 2 x) cos 2 x d x. ĐS: 2017 2 0 - Lời giải.  x = 0 ⇒ t = 0 1 Đặt t = sin 2 x ⇒ d t = 2 cos 2 x d x ⇒ cos 2 x d x = d t. Đổi cận:  x = π ⇒ t = 1. 2 4 Z1 Z1 1 1 2017 Khi đó I = f ( t) d t = f ( x) d x = . 2 2 2 0 Th.s Nguyễn Chín Em ä 0 243 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z4 2 Cho Chương 3 - Giải tích 12 Z2 f ( x) d x = 16. Tính 0 f (2 x) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: 8 - Lời giải. 1 2 Đặt t = 2 x ⇒ d t = 2 d x ⇒ d x = d t. Đổi cận: 1 Khi đó I = 2 Z4 1 f ( t) d t = 2  x = 2 ⇒ t = 4. Z4 f ( x ) d x = 8. 0 ä 0 2017 Z 3  x = 0 ⇒ t = 0 Cho f ( x) thỏa mãn Z1 f ( x) d x = 1. Tính 0 f (2017 x) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: 1 2017 - Lời giải.  x = 0 ⇒ t = 0 1 Đặt t = 2017 x ⇒ d t = 2017 d x ⇒ d x = d t. Đổi cận:  x = 1 ⇒ t = 2017. 2017 1 Khi đó I = 2017 2017 Z 1 f ( t) d t = 2017 2017 Z 0 Cho 1 . 2017 ä 0 Z4 4 f ( x) d x = Z1 f ( x) d x = 2. Tính 0 f (4 x) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: 1 2 - Lời giải. 1 4 Đặt t = 4 x ⇒ d t = 4 d x ⇒ d x = d t. Đổi cận: 1 Khi đó I = 4 Z4 1 f ( t) d t = 4 0 Z4 Biết  x = 1 ⇒ t = 4. 1 f ( x) d x = . 2 ä 0 Z8 Z3 5  x = 0 ⇒ t = 0 f (3 x − 1) d x = 20. Tính 1 f ( x) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ĐS: 60 - Lời giải. 1 3 Đặt t = 3 x − 1 ⇒ d t = 3 d x ⇒ d x = d t. Đổi cận: Z3 Khi đó, ta có 20 = 1 1 f (3 x − 1) d x = 3 Z8  x = 1 ⇒ t = 2  x = 3 ⇒ t = 8. 1 f ( t) d t = 3 2 Z8 Z8 2 ä 2 Z2 6 f ( x) d x = 60. f ( x) d x ⇒ Cho f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 2] thỏa mãn 0 Z2 f ( x) d x = 10 và 1 f 0 ( x) d x = ln 2. Biết rằng f ( x) 1 hàm số f ( x) > 0, ∀ x ∈ [1; 2]. Tính f (2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 20 Th.s Nguyễn Chín Em 244 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 – Lời giải.   x = 1 ⇒ u = f (1) Đặt u = f ( x) ⇒ d u = f 0 ( x) d x. Đổi cận: Khi đó Z2 10 =  x = 2 ⇒ u = f (2). Zf (2) f (2) f ( x) d x = d u = u| f (1) = f (2) − f (1) 0 1 Z2 ln 2 = (1). f (1) Zf (2) f 0 ( x) dx = f ( x) 1 du f (2) = ln | u|| f (1) = ln | f (2)| − ln | f (1)|. u f (1) Vì f ( x) > 0, ∀ x ∈ [1; 2] nên f (1) > 0 và f (2) > 0. Do đó: ln f (2) − ln f (1) = ln 2 ⇔ 2 f (1) f (2) = 2 ⇔ f (2) = f (1) (2). Từ (1) và (2), suy ra f (2) = 20. ä Bài 6. Tính các tích phân bằng phương pháp đổi biến hàm ẩn: Z2 1 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên [1; 2], f (2) = 2 và f (4) = 2018. Tính I = f 0 (2 x) d x. . . . ĐS: 1 I = 1008. – Lời giải. Z2 Xét I = f 0 (2 x) d x. 1 Đặt t = 2 x ⇒ d t = 2 d x. Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 2, x = 2 ⇒ t = 4. Z4 Khi đó I = ¯4 1 1 0 1 · f ( t) d t = · f ( t)¯2 = [ f (4) − f (2)] = 1008. 2 2 2 ä 2 π π 2 Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và có Z2 Z4 f ( x) d x = 4. Tính I = 0 [ f (2 x) − sin x] d x. . p 2 ĐS: 1 + . 2 0 – Lời giải. π π Z4 Ta có I = [ f (2 x) − sin x] d x = 0 π Z4 Xét H = π Z4 Z4 sin x d x. f (2 x) d x − 0 0 f (2 x) d x. 0 Đặt t = 2 x ⇒ d t = 2 d x. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = π Khi đó H = π Z4 Xét K = 1 · 2 Z2 f ( t) d t = π 4 ⇒t= π 2 . 1 · 4 = 2. 2 0 p ¯π 2 ¯4 sin x d x = − cos x¯ = 1 − . 2 0 0 Th.s Nguyễn Chín Em 245 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 p 2 . Vậy I = H − K = 1 + 2 ä Z2 3 Cho tích phân Z1 f ( x) d x = a. Hãy tính tích phân I = 1 £ ¤ x f x2 + 1 d x theo a. . . . . 1 2 ĐS: a. 0 – Lời giải. Đặt t = x2 + 1 ⇒ d t = 2 x d x. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1, x = 1 ⇒ t = 2. Z2 Khi đó I = f ( t) · 1 1 d t = a. 2 2 ä 1 π Z9 ¡p ¢ Z2 Z3 f x 4 Cho f ( x) liên tục trên R thỏa d x = 4 và f (sin x) · cos x d x = 2. Tính tích phân I = f ( x) d x. p x 1 0 0 ĐS: I = 4. – Lời giải. Z9 ¡p ¢ x f Xét H = dx p x 1 dx p Đặt t = x ⇒ d t = p . 2 x Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1, x = 9 ⇒ t = 3. Z3 Khi đó H = Z3 f ( t) · 2 d t = 4 ⇒ 1 π Z2 Xét K = Z3 f ( x ) d x = 2. f ( t) d t = 2 ⇒ 1 1 f (sin x) · cos x d x 0 Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x. π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = ⇒ t = 1. Z1 Khi đó K = 2 Z1 f ( t ) d t = 2 ⇒ f ( x ) d x = 2. 0 Z3 Vậy I = 0 Z1 f ( x) d x = 0 Z3 f ( x ) d x = 2 + 2 = 4. f ( x) d x + 0 1 π 5 ä Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và có Z1 Z4 f (tan x) d x = 4 và 0 0 x2 f ( x) d x = 2. Tính tích phân I = x2 + 1 Z1 ĐS: I = 6. f ( x) d x.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 – Lời giải. π Z4 Xét H = f (tan x) d x. 0 Đặt t = tan x ⇒ d t = 1 + tan2 x d x ⇒ d x = ¡ Th.s Nguyễn Chín Em ¢ 1 d t. 1 + t2 246 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = Z1 π 4 Chương 3 – Giải tích 12 ⇒ t = 1. Z1 f ( t) f ( x) Khi đó H = dt = 4 ⇒ d x = 4. 2 1+ t 1 + x2 0 0 # ¢ Z1 2 Z1 ” ¡ 2 Z1 Z1 x + 1 f ( x) x f ( x) f ( x) f ( x) Xét K = d x = − d x = f ( x ) d x − d x. x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 1 + x2 0 0 0 0 Z1 ä f ( x) d x − 4 ⇒2= 0 ⇒ I = 6. 6 Cho f ( x) là hàm liên tục và a > 0. Giả sử rằng với mọi x ∈ [0; a] ta có f ( x) > 0 và f ( x) · f (a − x) = 1. Za Tính I = 0 dx . ……………….. 1 + f ( x) a 2 ĐS: I = . – Lời giải. Do f ( x) · f (a − x) = 1 ⇒ f (a − x) = 1 − f ( x). Ra dx . 0 1 + f ( x) Đặt t = a − x ⇒ d t = − d x. Xét I = Đổi cận: x = 0 ⇒ t = a, x = a ⇒ t = 0. Za Za dt f ( t) d t f ( x) d x I= = = . 1 1 + f ( t) 1 + f ( x) a 0 1+ 0 0 f ( t) a a a Z Z Z f ( x) d x dx + = d x = a. Mặt khác, 1 + f ( x) 1 + f ( x) 0 0 0 a ⇒ 2I = a ⇔ I = . 2 Z0 − dt = 1 + f ( a − t) Za ä Bài 7. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần của hàm ẩn: Z2 1 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa f (1) = 0, f (2) = 2 và Z2 f ( x) d x = 1. Tính I = 1 x f 0 ( x) d x. 1 ĐS: I = 3. – Lời giải. Z2 Từ I = x f 0 ( x) d x chọn 1  u = x ⇒ du = d x  d v = f 0 ( x) d x ⇒ v = f ( x) . ¯2 Z2 ¯ Khi đó I = x f ( x)¯ − f ( x) d x = 2 f (2) − 1 = 3. 1 1 4 Lưu ý: Tùy vào bài toán mà ta cần chọn u và dv sao cho ! Zb v d u đơn giản nhất. a ä Z2 2 Cho hàm số f ( x) có nguyên hàm là F ( x) trên [1; 2], F (2) = 1 và F ( x) d x = 5. Tính I = 1 (x − 1 ĐS: I = −4. 1) f ( x) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Th.s Nguyễn Chín Em Z2 247 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 – Lời giải. Z2 Từ I = ( x − 1) f ( x) d x chọn 1  u = x − 1 ⇒ du = d x .  d v = f ( x) d x ⇒ v = F ( x) ¯2 Z2 ¯ I = ( x − 1)F ( x)¯ − F ( x) d x = F (2) − 5 = 1 − 5 = −4. ä 1 1 3 Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và f (2) = 16, Z2 Z1 f ( x) d x = 4. Tính I = 0 x f 0 (2 x) d x.. . ĐS: I = 7. 0 – Lời giải. Z1 Xét I = x f 0 (2 x) d x. 0 Đặt t = 2 x ⇒ d t = 2d x. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t = 2. 1 Khi đó I = 4 Z2 t f 0 ( t) d x = 1 J. 4 0 Z2 Xét J = Chọn t f 0 ( t) d t. 0 u = t ⇒ du = d t  d v = f 0 ( t) d t ⇒ v = f ( t) . Z2 ¯2 Z2 ¯ Khi đó J = t f ( t)¯ − f ( t) d t = 2 f (2) − f ( x) d x = 32 − 4 = 28. 0 1 Vậy I = J = 7. 4 0 0 ä Z2 4 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn f ( x) d x = 3 và f (2) = 2. Tính tích 0 Z4 phân I = f0 ¡p ¢ x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = 2. 0 – Lời giải. Z4 Xét I = f0 ¡p ¢ x d x. 0 p Đặt t = x ⇒ t2 = x ⇒ 2 td t = d x. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0, x = 4 ⇒ t = 2. Ta được Z2 I= f 0 ( t) · 2 t d t 0 Chọn   u = 2 t ⇒ d u = 2d t d v = f 0 ( t ) d t ⇒ v = f ( t ) Z2 ¯2 Z2 ¯ . Khi đó I = 2 t · f ( t)¯ − 2 f ( t)d t = 2 · 2 · 2 − 2 f ( x)d x = 8 − 2 · 3 = 2. 0 0 0 ä Th.s Nguyễn Chín Em 248 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Z2 5 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 2] thỏa f 0 ( x) ln [ f ( x)] d x = 1 và f (1) = 1, f (2) > 1. 1 ĐS: f (2) = e. Tính f (2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – Lời giải. Z2 Xét I = f 0 ( x) ln [ f ( x)] d x. 1 Đặt t = f ( x) ⇒ d t = f 0 ( x)d x. Đổi cận: x = 1 ⇒ t = f (1) = 1, x = 2 ⇒ t = f (2).  Zf (2)  u = ln t ⇒ d u = d t t Khi đó I = ln t d t. Chọn  dv = d t ⇒ v = t. 1 ¯ f (2) Zf (2) ¯ d t = f (2) ln f (2) − [ f (2) − 1]. Ta được I = t ln t¯ − 1 1 Do I = 1 và f (2) > 1 nên  f (2) ln f (2) − [ f (2) − 1] = 1 ⇔ f (2) · [ln f (2) − 1] = 0 ⇔  f (2) = 0 (loại) ln f (2) = 1 ⇒ f (2) = e. Vậy f (2) = e. ä Z1 6 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa ( x + 1) f 0 ( x)d x = 10 và 2 f (1) − f (0) = 2. 0 Z1 Tính tích phân I = ĐS: I = −8. f ( x)d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 – Lời giải. Z1 Với H = ( x + 1) f 0 ( x)d x, chọn 0  u = x + 1 ⇒ du = d x dv = f 0 ( x)d x ⇒ v = f ( x) . ¯1 Z1 ¯ Ta được H = ( x + 1) f ( x)¯ − f ( x) d x = 2 f (1) − f (0) − I . 0 0 ⇒ I = 2 − 10 = −8. ä Z1 7 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm cấp hai và liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn các điều kiện x2 f 00 ( x)d x = 0 12 và 2 f (1) − f 0 (1) = −2. tính tích phân I = Z1 ĐS: I = 5. f ( x)d x. . . . . . . . . . . 0 – Lời giải. Z1 Với H = 2 00 x f ( x)d x, chọn 0   u = x2 ⇒ d u = 2 xd x dv = f 00 ( x)d x ⇒ v = f 0 ( x) Suy ra f 0 (1) − 2K = 12 với K = Z1 ¯1 Z1 ¯ . Ta được H = x2 f 0 ( x)¯ − 2 x f 0 ( x)d x. 0 0 x f 0 ( x)d x. 0 Th.s Nguyễn Chín Em 249 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chọn  u = x ⇒ du = d x dv = f 0 ( x)d x ⇒ v = f ( x) Chương 3 – Giải tích 12 ¯1 Z1 ¯ . Ta được K = x f ( x)¯ − f ( x)d x = f (1) − I . 0 0 Do đó f 0 (1) − 2 ( f (1) − I ) = 12 ⇒ f 0 (1) − 2 f (1) + 2 I = 12 ⇒ I = 5. Z3 8 Cho hàm số f ( x) thỏa mãn xe ä Z3 f (x) 0 f ( x)d x = 8 và f (3) = ln 3. Tính I = 0 e f (x) d x. . . ĐS: I = 1. 0 – Lời giải. Z3 H= xe f (x) f 0 ( x)d x = 8. Đặt 0  u = x ⇒ du = d x dv = e f (x) f 0 ( x)d x ⇒ v = e f (x) H = xe . Do đó ¯3 Z3 ¯ − e f (x) d x = 3 · e f (3) − I. f (x) ¯ 0 0 ⇒ I = 3 · 3 − 8 = 1. ä Z1 9 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = 4, x f ( x) d x = 223 . Tính 10 0 Z1 tích phân I = x2 f 0 ( x)d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = − 203 . 5 0 – Lời giải. Z1 H= x f ( x) d x = 0  0   u = f ( x) ⇒ d u = f ( x)d x 223 . Đặt 2  10 d v = x d x ⇒ v = x 2 . Do đó ¯1 Z1 x2 1 1 x2 ¯ f ( x)¯ − f 0 ( x) d x = f (1) − I. H= 2 2 2 2 0 0 ⇒ I = f (1) − 2 H = 4 − 223 203 =− . 5 5 ä Z1 10 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = 0, 1 x2 f ( x) d x = . Tính tích 3 0 Z1 phân I = x3 f 0 ( x)d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = −1. 0 – Lời giải. Z1 H= 0  0   u = f ( x) ⇒ d u = f ( x)d x 1 x2 f ( x) d x = . Đặt 3  3 d v = x 2 d x ⇒ v = x 3 . Do đó ¯1 Z1 x3 x3 1 1 ¯ H= f ( x)¯ − f 0 ( x) d x = f (1) − I. 3 3 3 3 0 0 ⇒ I = f (1) − 3 H = 0 − 3 · 1 = −1. 3 ä Th.s Nguyễn Chín Em 250 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Z3 11 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [0; 3] thỏa mãn f (3) = 2, x3 f ( x) d x = 5461 . Tính 120 0 Z3 tích phân I = x4 f 0 ( x)d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = − 601 . 30 0 – Lời giải. Z3 H= x3 f ( x) d x = 0  0   u = f ( x) ⇒ d u = f ( x)d x 5461 . Đặt 4  120 d v = x 3 d x ⇒ v = x 4 . Do đó ¯3 Z3 x4 34 1 x4 ¯ 0 f ( x)¯ − f ( x) d x = f (3) − I H= 4 4 4 4 0 0 ⇒ I = 34 · f (3) − 4 H = 2 · 34 − 4 · 5461 601 =− . 120 30 ä Zb 12 Cho hàm số f ( x) thỏa mãn x f 00 ( x)d x = 4, f 0 (a) = −2, f 0 ( b) = 3 với a, b là các số thực dương và a 9 b2 4 a2 + .. . . . . . . f (a) = f ( b). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3 b + 1 2a + 3 ĐS: 1 . 32 – Lời giải. Zb H= x f 00 ( x)d x = 4 . Đặt a  u = x ⇒ du = d x dv = f 00 ( x)d x ⇒ v = f 0 ( x) . Do đó ¯b ¯b Zb ¯ ¯ H = x f ( x)¯ − f 0 ( x)d x = b f 0 ( b) − a f 0 (a) − f ( x)¯ = 3 b + 2a. 0 a a a ⇒ 2a + 3 b = 4 ⇔ a = 4 − 3b . 2 (∗) Thay (∗) vào P ta được P= (4 − 3 b)2 9 b2 18 b2 − 27 b + 14 + = 8· . 3b + 1 7 − 3b −9 b2 + 18 b + 8 4 3 µ ¶ 18 x2 − 27 x + 14 4 Xét hàm số f ( x) = trên 0; . 3 −9 x2 + 18 x + 7 Lại có a > 0, b > 0 nên 0 < b < .  x = −7 81 x + 504 x − 441  0 . Cho f ( x ) = 0 ⇔  ¢2 7 −9 x2 + 18 x + 7 x= . 9 2 Ta có f 0 ( x) = ¡ Ta có bảng biến thiên x 7 9 0 f 0 ( x) − 0 2 4 3 + 2 3 f ( x) 1 4 Th.s Nguyễn Chín Em 251 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 µ ¶ 4 1 7 Do đó giá trị nhỏ nhất của y = f ( x) trên 0; là tại x = . 3 4 9 1 7 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8 · = 2 tại b = . Khi đó a = . 4 9 6 ä Z1 Bài 8. 1 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa f (1) = 0, £ ¤2 f ( x) d x = 7 và 0 0 1 . Tính 3 Z1 x2 f ( x) d x = 0 Z1 7 5 ĐS: . f ( x) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 - Lời giải.    u = f ( x) ⇒ d u = f 0 ( x) d x 1 Ta có = x2 f ( x) d x. Chọn 1  3 d v = x 2 d x ⇒ v = x 3 . 0 3 Z1 Z1 Z1 ¯ 1 1 3 ¯1 1 2 3 0 Suy ra = x f ( x) d x = x f ( x)¯ − x f ( x) d x ⇒ x3 f 0 ( x) d x = −1. 0 3 3 3 0 0 0 1 Z    £ 0 ¤2  f ( x) d x = 7       0     Z1  Z1 £ 0 ¤2 3 0 f ( x ) + 7 x 3 d x = 0. Ta lại có 2 7 x f ( x) d x = −14 ⇒    0  0    1  Z     (7 x3 )2 d x = 7    0  1  Z £ 0 ¤2   f ( x) + 7 x3 d x ≥ 0     £ 0 ¤ 0 3 2 ⇒ f 0 ( x) = −7 x3 . Mà f ( x) + 7 x ≥ 0 ⇒ 1  Z   £ 0 ¤2   f ( x) + 7 x3 d x = 0    0 Z 7 3 Ta có f ( x) = −7 x d x = − x4 + C . 4 7 7 7 7 Vì f (1) = 0 nên − + C = 0 ⇔ C = ⇔ f ( x) = − x4 + . 4 4 4 4 ¶ µ ¶¯ Z1 Z1 µ 5 7 7x 7 7 x ¯1 7 Vậy f ( x) d x = − x4 + dx = − + ¯ = . 4 4 20 4 0 5 Z1 0 0 Z1 2 ä Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa f (1) = 4, 0 Z1 Tính tích phân f ( x) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . £ ¤2 f ( x) d x = 36 và 0 Z1 1 x f ( x) d x = . 5 0 5 2 ĐS: . 0 - Lời giải.  0   u = f ( x) ⇒ d u = f ( x) d x Z1 1 x f ( x) d x = . Chọn 2  5 d v = x d x ⇒ v = x . 0 2 Z1 Z1 ¯ 2 1 x 18 ¯1 1 Suy ra = f ( x)¯ − x2 f 0 ( x) d x ⇒ x2 f 0 ( x) d x = . 0 5 2 2 5 Ta có 0 Th.s Nguyễn Chín Em 0 252 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12  Z1   £ 0 ¤2   f ( x) d x = 36       0     Z1  Z1 £ 0 ¤2 216 2 0 Do đó, 2 −(6 x ) f ( x) d x = − ⇒ f ( x ) − 6 x 2 d x = 0.  5   0  0    1  Z   36   (6 x2 )2 d x =    5 0 Suy ra f 0 ( x) − 6 x2 = 0 ⇔ f 0 ( x) = 6 x2 ⇒ f ( x) = 2 x3 + C . Mà f (1) = 4 nên C + 2 = 4 ⇒ C = 2 ⇒ f ( x) = 2 x3 + 2. Z1 Vậy Z1 f ( x) d x = 0 5 (2 x3 + 2) d x = . 2 ä 0 Z1 3 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = 1, £ f 0 ( x) ¤2 d x = 9 và 0 Z1 1 x3 f ( x) d x = . Tích phân 2 Z1 ĐS: f ( x) d x bằng . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 0 0 - Lời giải. Ta có 1 = 2 Z1 0 Z1 Suy ra ¯1 Z1 Z1 x4 f ( x) ¯¯ 1 1 1 4 0 x f ( x) d x = − x f ( x) d x = − x4 f 0 ( x) d x. ¯ 4 4 4 4 0 3 0 0 x4 f 0 ( x) d x = −1, do đó ta có 0 Z1 £ 0 f ( x) + 9 x ¤ 4 2 Z1 dx = 0 £ ¤2 f ( x) d x + 18 0 Z1 0 Z1 4 0 x f ( x) d x + 81 0 x8 d x 0 = 9 − 18 + 9 = 0. 9 x5 14 + . Vậy Do đó f ( x) = −9 x , kết hợp với f (1) = 1, suy ra f ( x) = − 5 5 0 4 Z1 5 f ( x) d x = . 2 ä 0 4 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn Z1 f (1) = 1, £ 9 f ( x) d x = và 5 0 ¤2 Z1 f ¡p ¢ 2 x dx = . 5 0 0 Z1 Tính tích phân I = f ( x) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = 1 4 0 - Lời giải. p Đặt t = x ⇒ t2 = x ⇒ d x = 2 t d t. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 1. Th.s Nguyễn Chín Em 253 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Suy ra Z1 ¡p ¢ f x dx = 2 0 Z1 Do đó Z1 Z1 t f ( t) d t ⇔ 0 1 t f ( t) d t = . 5 0 1 x f ( x) d x = . 5 0 Mặt khác Z1 0 ¯1 Z1 2 Z1 2 ¯ x 0 x2 x 1 0 x f ( x) d x = f ( x)¯¯ − f ( x) d x = − f ( x) d x. 2 2 2 2 0 0 0 Suy ra Z1 x2 0 1 1 3 f ( x) d x = − = ⇒ 2 2 5 10 0 Z1 3 x2 f 0 ( x) d x = . 5 0 ¡ ¢2 9 3 x2 d x = . 5 £ ¤2 f ( x) d x − 2 Ta tính được Z1 0 Do đó Z1 0 Z1 0 Z1 2 0 3 x f ( x) d x + 0 ¡ 2 ¢2 3x dx = 0 ⇔ 0 Z1 ¡ ¢2 f 0 ( x ) − 3 x 2 d x = 0. 0 Suy ra f 0 ( x) − 3 x2 = 0 ⇔ f 0 ( x) = 3 x2 ⇔ f ( x) = x3 + C. Vì f (1) = 1 nên f ( x) = x3 . Z1 Vậy I = Z1 f ( x) d x = 0 5 1 x3 d x = . 4 ä 0 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn Z1 f (0) = 1, 1 [ f ( x)] d x = , 30 2 0 Z1 1 (2 x − 1) f ( x)d x = − . Tính 30 0 0 Z1 f ( x)d x. 0 ĐS: ........................... 11 12 - Lời giải. 1 Ta có − = 30 Z 1 ⇔ 0 Z 0 1 ¯1 Z 1 ¯ f ( x)d( x − x) = ( x − x) f ( x)¯ − ( x2 − x) f 0 ( x)d x. 2 2 0 1 ( x2 − x) f 0 ( x)d x = . 30 Z Z 1 Ta có 0 = 0 [ f 0 ( x)]2 d x − 2 1 0 0 f 0 ( x)( x2 − x)d x + 1 Z 0 ( x2 − x)2 d x = Z 0 1¡ ¢2 f 0 ( x) − ( x2 − x) d x. x3 x2 Do vậy, f ( x) − ( x − x) = 0 ⇒ f ( x) = x − x ⇒ f ( x) = − + C . 3 2 ¶ Z1 Z1 µ 3 2 x x 11 Mà f (0) = 1 ⇒ C = 1 ⇒ f ( x)d x = − + 1 dx = . 3 2 12 0 2 2 0 0 ä 0 Za Bài 9. Cho hàm số f ( x) liên tục và lẻ trên đoạn [−a; a]. Chứng minh rằng I = f ( x ) d x = 0. −a - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 254 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Za Ta có I = Za Z0 f ( x) d x = −a Chương 3 - Giải tích 12 f ( x) d x. Xét tích phân f ( x) d x + −a Đặt x = − t ⇒ d x = − d t. Đổi cận Z0 f ( x) d x, ta có: −a 0  x = −a ⇒ t = a  x = 0 ⇒ t = 0. Vì f ( x) là hàm số lẻ và liên tục trên [−a; a] nên f (− x) = − f ( x) ⇒ f (− t) = − f ( t). Z0 Z0 Do đó, Z0 f ( x) d x = − −a f (− t ) d t = − a Vậy I = f ( x) d x = − −a [− f ( t)] d t = a Za Za Za Z0 f ( t) d t = − a f ( t) d t = − 0 Za 0 ä 0 Z0 1 f ( x) d x. f ( x ) d x = 0. f ( x) d x + 0 Za Cho f ( x) là hàm số lẻ thỏa mãn Z2 f ( x) d x = 2. Tính tích phân I = −2 f ( x) d x. . . . . ĐS: −2. 0 - Lời giải. Vì y = f ( x) là hàm số lẻ nên y = f ( x) cũng là hàm số lẻ trên [−2; 2]. Z2 Do đó, Z0 f ( x) d x = 0 ⇔ −2 Z2 Suy ra Z0 −2 0 ä −2 2017 Z 2 f ( x) d x = 0 . f ( x) d x + f ( x) d x = −2. f ( x) d x = − 0 Z2 Tính tích phân I = x2019 p x4 + 2018 d x. . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 0 −2017 - Lời giải. Với mọi x ∈ [−2017; 2017], ta có f (− x) = (− x)2019 p p (− x)4 + 2018 = − x2019 x4 + 2018 = − f ( x), do p đó, hàm số y = x2019 x4 + 2018 là hàm số lẻ trên [−2017; 2017]. 2017 Z p Suy ra I = x2019 x4 + 2018 d x = 0. ä −2017 π Z4 3 Tính tích phân I = sin x p 1 + x2018 d x. . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 0 − π4 - Lời giải. h π πi p p Với mọi x ∈ − ; , ta có f (− x) = sin(− x) · 1 + (− x)2018 = − sin x · 1 + x2018 = − f ( x), do đó, hàm h π πi p4 4 số y = sin x · 1 + x2 018 là hàm số lẻ trên − ; . 4 4 π 4 Z p Suy ra I = sin x · 1 + x2018 d x = 0. ä − π4 π Z4 4 Biết − π4 sin x dx = p 1 + x2 + x p p π b− a 4 với a, b là các số nguyên dương. Tính T = ab. . . ĐS: 64 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 255 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 π 4 π 4 π 4 Z Z Z hp h π πi i p sin x 2 2 d x = sin x nên I = p Vì 1 + x − x > 0, ∀ x ∈ − ; 1 + x − x d x = − x sin x d x 4 4 1 + x2 + x π π π −4 −4 −4 π 4 Z h π πi p p 2 (vì hàm số y = sin x 1 + x là hàm số lẻ trên − ; nên sin x 1 + x2 d x = 0). 4 4 − π4 π p p p Z4 ¯π ¯π π 2 π 2 − 32 ¯4 ¯4 Đặt . Do đó, I = x cos x¯ π − cos x d x = − sin x¯ π = . dv = − sin x d x ⇒ v = cos x −4 −4 4 4  u = x ⇒ du = d x − π4 Suy ra a = 32, b = 2. Vậy T = ab = 64. ä Bài 10. Cho hàm số y = f ( x) liên tục và chẵn trên đoạn [−a; a]. Chứng minh rằng Za Za Z0 f ( x) d x = 2 −a f ( x) d x (1) và f ( x) d x = 2 −a Za −a 0 1 f ( x) dx = x 1+b 2 Za Za f ( x) d x = −a f ( x) d x (2) 0 Chứng minh Za 1. Ta đi chứng minh công thức (1) : f ( x) d x = 2 −a Za Ta có I = f ( x) d x = 2 −a 0 f ( x) d x = f ( x) d x + −a f ( x) d x = A + B. 0 Z0 Xét A = f ( x) d x. Za Z0 −a Za Z0 f ( x) d x. Đặt x = − t ⇒ d x = − d t. Đổi cận −a   x = −a ⇒ t = a.  x = 0 ⇒ t = 0. Do f ( x) là hàm chẵn và liên tục trên [−a; a] nên f (− x) = f ( x) ⇒ f (− t) = f ( t) . Za Z0 Khi đó : A = − f (− t) d t = a 1 Suy ra A = B = I nên I = 2 Za f (− t) d t = Za f ( x) d x = B . f (− x) d x = 0 0 0 Za Z0 Za f ( x) d x = 2 −a −a Za f ( x) 1 dx = x 1+b 2 2. Ta đi chứng minh công thức (2) : Đặt x = − t ⇒ d x = − d t. Đổi cận f ( x) d x. f ( x) d x = 2  −a  x = −a ⇒ t = a Za 0 Za f ( x) d x = −a f ( x) d x với 0 < b 6= 1 và a ∈ R+ . 0  x = 0 ⇒ t = 0. Ta có Z−a I =− f (− t ) dt = 1 + b− t −a a Za Cộng hai vế cho I ⇒ 2 I = Suy ra I = 1 2 −a Za f ( x) d x = Th.s Nguyễn Chín Em −a Za x Za t f ( t) b · f ( t) b · f ( x) dt = dt = d x. t 1 1+b 1 + bx 1+ t −a −a b b x · f ( x) dx + 1 + bx Z0 −a Za Za Za −a f ( x) dx = 1 + bx Za −a ( b x + 1) f ( x) dx = 1 + bx Za f ( x) d x. −a f ( x) d x. f ( x) d x = 0 256 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 1 Chương 3 - Giải tích 12 Cho hàm số f ( x) là hàm chắn và liên tục trên R, thỏa mãn I = Za f ( x) d = 6. 0 Z0 i) Tính A = f ( x) d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −3 ĐS: A = 6 - Lời giải. Đặt t = − x ⇒ d t = − d x. Đổi cận Z0 Vậy A = −  x = 0 ⇒ t = 0  x = −3 ⇒ t = 3. Z3 f ( t) d t = 6. f (− t) d t = 3 ä 0 Z1 ii) Tính B = f (3 x) d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −1 ĐS: B = 4 - Lời giải. Z0 Z1 Ta có B = f (3 x) d x. f (3 x) d x + −1 0 Z0 Z1 f (3 x) d x và J = Đặt I = −1 f (3 x) d x. 0 Z0 f (3 x) d x. Ta đi tính I = −1 Đặt t = − x ⇒ d x = − d t. Đổi cận Z0  x = 0 ⇒ t = 0  x = −1 ⇒ t = 1. Z1 Vậy I = − f (−3 t) d t = 1 Z1 f (3 x) d x = J . f (−3 t) d t = 0 0 Z1 Vậy B = 2 f (3 x) d x. 0 1 3 Đặt t = 3 x ⇒ d x = d t. Đổi cận 2 Vậy B = 3 Z3 f ( t) d t =  x = 0 ⇒ t = 0  x = 1 ⇒ t = 3. 2 · 6 = 4. 3 ä 0 π Z2 iii) Tính C = cos x · f (3 sin x) d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . − π2 ĐS: C = 4 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 257 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Ta có π π Z2 C = cos x · f (3 sin x) d x = − π2 2 = 3 π Z2 f (3 sin x) d (sin x) = − π2 Z3 1 3 Z2 f (3 sin x) d (3 sin x) − π2 2 · 6 = 4. 3 f ( t) d t = 0 ä Z2 2 Cho f ( x) là hàm số chẵn và có đạo hàm trên đoạn [−6; 6]. Biết rằng f ( x) d x = 8 và −1 Z6 Tính tích phân Z3 f (−2 x) d x = 3. 1 f ( x) d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −1 ĐS: 14 - Lời giải. Ta có : 2 −1 −1 Z6 f ( x) d x. f ( x) d x + f ( x) d x = Đặt I = Z6 Z2 Z6 f ( x) d x. 2 Đặt x = 2 t ⇒ d x = 2 d t. Đổi cận Z6 Suy ra  x = 2 ⇒ t = 1  x = 6 ⇒ t = 3. Z3 f ( x) d x = 2 2 Z3 f (−2 x) d x = 2 · 3 = 6. f (2 t) d t = 2 1 1 Z6 Vậy f ( x) d x = 8 + 6 = 14. ä −1 Z1 3 Cho f ( x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [−1; 1] thỏa mãn Z1 −1 f ( x) d x = 4. Tính tích phân −1 f ( x) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2x + 1 ĐS: 2 - Lời giải. Z1 Áp dụng tính chất trên, ta có −1 Z3 4 Tính tích phân −3 f ( x) dx = 2x + 1 Z1 f ( x ) d x = 2. ä 0 x2018 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ex + 1 ĐS: 1 · 32019 2019 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 258 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z3 x2018 dx = ex + 1 Ta có −3 Z3 Tính tích 1 (2018 x + 1) −1 1 2019 ¯¯3 1 x · 32019 . ¯ = 2019 2019 0 ä 0 Z1 5 x2018 d x = Chương 3 - Giải tích 12 ¡ ¢ dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 − 4 1 4 ĐS: − ln 3 - Lời giải. Z1 Z1 dx Ta có (2018 x + 1) −1 ¡ x2 − 4 ¢= 0  1  Z1 Z dx 1 dx  dx =  − 2 x−2 x+2 x −4 4 0 0 ¯1 1 ¯¯ x − 2 ¯¯¯¯ 1 = ln ¯ ¯¯ = − ln 3. 4 x+2 0 4 ä π Z4 6 cos x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017 x + 1 p 2 ĐS: 2 Tính I = − π4 - Lời giải. π π Z4 cos x dx = 2017 x + 1 Ta có I = − π4 Z4 ¯ π4 p2 ¯ cos x d x = sin x¯ = . 2 0 ä 0 π Z4 7 Tính tích phân − π4 sin6 x + cos6 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6x + 1 ĐS: 5π 32 - Lời giải. π π Z4 6 sin x + cos x dx = 6x + 1 Ta có I = π 4 − π4 6 π 4 Z4 π ¡ 6 ¢ sin x + cos6 x d x = 0 Z4 ¡ ¢ 1 − 3 sin2 x cos2 x d x 0 π 4 π π Z Z4 Z4 π 3 3 3 1 2 = sin 2 x d x = − · dx + cos 4 x d x (1 − cos 4 x) d x = − 4 4 2 4 8 8 0 0 0 0 0 ¯ π4 5π π 3π 3 ¯ = − + sin 4 x¯ = . 4 32 32 32 0 Z 3 dx − 4 π Z ä Bài 11. Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng Zb 1 Nếu Zb f ( x) d x = k thì a f ( a + b − x) d x = k . a Zb 2 Nếu f (a + b − x) = − f ( x) thì f ( x ) d x = 0. a Zb 3 Nếu f (a + b − x) = f ( x) thì a Th.s Nguyễn Chín Em a+b x f ( x) d x = 2 Zb f ( x) d x a 259 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Chứng minh Zb 1 Nếu Zb f ( x) d x = k thì a f ( a + b − x) d x = k . a Đặt t = a + b − x ⇒ d t = − d x. Đổi cận: x = a ⇒ t = b và x = b ⇒ t = a. Zb Za Suy ra f ( a + b − x) d x = − a Zb f ( x) d x = k . f ( t) d t = a b Zb 2 Nếu f (a + b − x) = − f ( x) thì f ( x ) d x = 0. a Đặt t = a + b − x ⇒ d t = − d x. Đổi cận: x = a ⇒ t = b và x = b ⇒ t = a. Zb Suy ra Za f ( a + b − x) d x = − a a f ( x) d x = 0. Zb 3 f ( a + b − x) d x = a a a a f ( x) d x ⇒ f ( x) d x = Zb f ( x) d x. Mà f (a + b − x) = − f ( x) nên ta có f ( t) d t = b Zb Zb Zb − Zb Nếu f (a + b − x) = f ( x) thì a a+b x f ( x) d x = 2 Zb f ( x) d x. a Đặt t = a + b − x ⇒ d t = − d x. Đổi cận: x = a ⇒ t = b và x = b ⇒ t = a. Zb Za Khi đó x f ( x) d x = − a Zb ( a + b − t) f ( a + b − t) d t = a b Zb ( a + b − x) f ( a + b − x) d x = ( a + b − t) f ( a + b − t) d t f (a+ b− x)= f (x) = Zb (a + b) a Zb f ( x) d x − a Zb Suy ra 2 Zb x f ( x) d x = ( a + b ) a Zb f ( x) d x ⇒ a x f ( x) d x = a x f ( x) d x a a+b 2 Zb f ( x) d x. a 2018 Z 1 Cho tích phân f ( x) d x = 5 trong đó f ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [1; 2018]. Tính tích phân 1 2018 Z f (2019 − x) d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I= 1 ĐS: 5 - Lời giải. Đặt t = 2019 − x ⇒ d t = − d x. Đổi cận Z1 Vậy I = −   x = 1 ⇒ t = 2018  x = 2018 ⇒ t = 1. 2018 Z f ( x ) d x = 5. f ( t) d t = 2018 ä 1 Z2 2 Cho tích phân −1 Z2 I= f ( x) d x = 10 trong đó f ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [−1; 2]. Tính tích phân f (1 − x) d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −1 Th.s Nguyễn Chín Em 260 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 ĐS: 10 - Lời giải. Đặt t = 1 − x ⇒ d t = − d x. Đổi cận Z−1 ⇒I =−   x = −1 ⇒ t = 2  x = 2 ⇒ t = −1. Z2 f ( x) d x = 10. f ( t) d t = 2 ä −1 Zb Zb 3 f (a + b − x) d x. . . . . . . . . f ( x) = 7 d x. Tính Cho f ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] thỏa mãn a a ĐS: 7 - Lời giải. Đặt t = a + b − x ⇒ d x = − d t. Đổi cận Za Vậy I = −  x = a ⇒ t = b  x = b ⇒ t = a. Zb f ( x ) d x = 7. f ( t) d t = ä a b π Z4 4 Biết ln (1 + tan x) d x = a a ln c với là phân số tối giản và c > 0. Tính a + 9 b − c. . . . . . . . . . . . . . . . . b b 0 ĐS: π + 70 – Lời giải. π Z4 Ta có I = 0 0 = π 4 π ¯ π4 Z4 ¯ ln (1 + tan x) d x = x · ln (1 + tan x) ¯ − x · 0 π 4 Z x ln 2 − 0 1 cos2 x · (1 + tan x) dx 1 + tan2 x d x. 1 + tan x π Z4 Ta đi tính tích phân J = x 0 1 + tan2 x d x. 1 + tan x ³ ´ 2 π 1 + tan − x ³π ´ 1 + tan2 x ³ π4 ´ = f ( x) Xét hàm số f ( x) = , có : f +0− x = 1 + tan x 4 1 + tan − x 4π π π 4 Z4 Z Z4 π 1 + tan2 x 1 π 1 π Vì vậy J = dx = dx = d (1 + tan x) 2 8 1 + tan x 8 cos x (1 + tan x) 8 1 + tan x 0 0 0 ¯ π4 π π ¯ = ln |1 + tan x|¯ = ln 2. 8 8 0 Vậy a = π, b = 8, c = 2 ⇒ a + 9b − c = π + 72 − 2 = π + 70. Zπ 5 Biết x · sin6 x d x = a · π6 với a, b, c ∈ R. Tìm phần nguyên của a + 2π + 10b − c. . . . . c ä ĐS: 0 – Lời giải. Xét hàm số f ( x) = sin6 x. Có : f (π + 0 − x) = f (π − x) = sin6 (π − x) = sin6 x = f ( x). Th.s Nguyễn Chín Em 261 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Zπ Ta có 6 x sin x d x = π Zπ µ 2 0 Zπ π π 6 sin x d x = 2 0 = Zπ Chương 3 – Giải tích 12 1 − cos 2 x 2 ¶3 d x. 0 (− cos 6 x + 6 cos 4 x − 15 cos 2 x + 10) d x 64 µ0 ¶ ¯π 1 3 15 5π 2 ¯ = − sin 6 x + sin 4 x − sin 2 x + 10 x ¯ = . 64 6 2 2 32 0 ⇒ a = 5, b = 2, c = 32. π Do đó a + 2π + 10b − c = 5 + 2π + 20 − 32 = 2π − 7 ⇒ [a + 2π + 10b − c] = 1. Zπ 6 Biết x f (sin x) d x = 2π. Tính tích phân I = 0 ä Zπ f (sin x) d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: 4 – Lời giải. Xét hàm số g ( x) = f (sin x). Ta có g (0 + π − x) = f (sin(π − x)) = f (sin x) . π Suy ra I = Zπ 2 f (sin x) d x = 2π ⇒ 0 Zπ 7 Biết Zπ f (sin x) d x = 4. ä 0 2 f (sin x) d x = . Tính tích phân I = 3 0 Zπ x f (sin x) d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: – Lời giải. Zπ Ta có I = 0 Zπ ⇒I= 2 f (sin x) d x = . 3 x f (sin x) d x = 0 π Zπ f (sin x) d x = 2 π 2 π · = . 2 3 3 ä 0 π Z2 8 Chứng minh rằng 0 sinn x d x π = với n ∈ R+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n n sin x + cos x 4 π ĐS: 4 – Lời giải.  π  x = 0 ⇒ t =  π 2 Đặt x = − t ⇒ d x = − d t. Đổi cận π  2  x = ⇒ t = 0. 2 π π 2 Z2 Z sinn x cosn t Như vậy d x = d t. cosn x + sinn x sinn t + cosn t 0 π 2 Z Đặt I = 0 n sin t d x và J = sin t + cosn t n 0 Zπ 9 π Z2 Tính tích phân 0 Th.s Nguyễn Chín Em n cos x π d x. Ta có π ⇒I=J= . n  sin x + cos x 4 I+J= 2 n 0  I = J ä x dx . ………………………………………………………… sin x + 1 ĐS: π 262 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 – Lời giải. 1 1 1 thỏa mãn g (π − x) = = = g ( x). sin x + 1 sin (π − x) + 1 sin x + 1 Zπ Zπ Zπ Zπ π 1 π dx π 1 x ³ x π ´ dx dx = dx = Suy ra ³ ´2 = x x sin x + 1 2 sin x + 1 2 2 2 sin2 + 0 0 sin + cos 0 0 2 4 2 2 π Z ¯ ³ ´ π dx π x π ¯π ³ x π ´ = − cot + = ¯ = π. 4 sin2 + 2 2 4 0 0 2 4 Hàm số g( x) = Bài 12. Cho hàm số f ( x) xác định và liên tục trên R và thỏa mãn : m f (− x) + n f ( x) = g( x) thì 1 m+n ä Za f ( x) d x = −a Za g ( x) d x. −a Hệ quả 1. Nếu f ( x) liên tục trên [0; 1] thì π Z−α x · f (sin x) d x = 1) α 2Zπ−α π Z−α π f (sin x) d x 2 x · f (cos x) d x = π 2) α 2Zπ−α α f (cos x) d x α π 1 Cho f ( x) liên tục trên R và thỏa mãn f (− x) + 2017 f ( x) = cos x. Tính tích phân I = Z2 f ( x) d x. . . . . . . . − π2 ĐS: 1 1009 – Lời giải. Ta có f (− x) + 2017 f ( x) = cos x (1) Thay x bởi − x, ta có f ( x) + 2017 f (− x) = cos x (2). Lấy (1) − (2), ta được f ( x) + 2017 f (− x) = f (− x) + 2017 f ( x) ⇔ 2016 f (− x) = 2016 f ( x) ⇔ f (− x) = f ( x). Vậy f ( x) là hàm số chẵn trên R. π π Z2 Ta có Z2 f ( x) d x. f ( x) d x = 2 − π2 0 π 2 π Suy ra [ f (− x) + 2017 f ( x)] d x = 0 π 2 Z f ( x) d x = ⇒ 0 π Z2 Z Z2 cos x d x ⇔ 2018 0 ¯ π2 ¯ f ( x) d x = sin x¯ = 1. 0 0 1 2018 π Z2 Vậy f ( x) d x = − π2 1 1009 ä 1 2 Cho hàm f ( x) liên tục trên R và thỏa mãn 2 f ( x) + 5 f (− x) = . Tính tích phân 4 + x2 Th.s Nguyễn Chín Em 263 Z2 f ( x) d x. . . . . . . . −2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 ĐS: π 28 – Lời giải. 1 4 + x2 Ta có 2 f ( x) + 5 f (− x) = (1). 1 (2). 4 + x2 Lấy (1) − (2), ta được f (− x) = f ( x). Vậy f ( x) là hàm số chẵn trên R. 1 1 ¢. ¡ Từ (1) suy ra 7 f ( x) = ⇔ f ( x ) = 4 + x2 7 4 + x2 Z2 Z2 1 dx Suy ra I = f ( x) d x = . 7 4 + x2 Thay x bởi − x, ta có 2 f (− x) + 5 f ( x) = −2 (1) −2 Z2 Ta đi tính tích phân J = −2 dx . x2 + 4 2 d t. cos2 t  π   x = −2 ⇒ t = − 4 Đổi cận: π  x = 2 ⇒ t = . 4 π π 4 Z Z4 π 2 1 1 ¯¯ 4 1 ³π π´ 1 π π ¡ ¢ Suy ra J = d t = d t = = t + = · = . ¯ 2 t 1 + tan2 t 2 2 − π4 2 4 4 2 2 4 4 cos π π Đặt x = 2 tan t ⇒ d x = −4 1 π π Thay vào (1), suy ra I = · = . 7 4 28 3 −4 ä p Cho hàm số f ( x) liên tục trên R thỏa mãn f ( x) + f (− x) = 2 + 2 cos 2 x, ∀ x ∈ R. Tính tích phân I = 3π Z2 f ( x) d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . − 32π ĐS: 6 – Lời giải. Áp dụng công thức trên, ta có 3π 3π Z2 f ( x) d x = 3π − 2 3π 3π Z2 p Z2 Z2 1 1 2| cos x| d x = | cos x| d x 2 + 2 cos 2 x d x = 2 2 3π − 2 π Z− 2 = − 3π − 2 3π Z2 π Z2 cos x d x + 3π − 2 − cos x d x − π 2 3π − 2 cos x d x π 2 ¯− π ¯π ¯ 3π ¯ 2 ¯2 ¯2 = − sin x¯ 3π + sin x¯ π − sin x¯ π = 6. − 2 −2 2 ä aZ+T Bài 13. Cho tích phân f ( x) d x = k với f ( x) là hàm xác định, liên tục trên R và tuần hoàn với chu kỳ T a ZT thì tích phân aZ+T f ( x) d x = k . f ( x) d x = 0 Th.s Nguyễn Chín Em a 264 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Chứng minh aZ+T Ta có I = ZT Z0 f ( x) d x + f ( x) d x = a a aZ+T f ( x) d x. f ( x) d x + 0 T aZ+T Xét tích phân J = Đổi cận f ( x) d x. Đặt t = x − T . a  x = T ⇒ t = 0  x = a + T ⇒ t = a. Za aZ+T Khi đó: J = f ( x) d x = f (t + T ) dt = 0 T aZ+T ZT Z0 f ( x) d x = ⇒ Za a f ( x) d x + a f ( t) d t = f ( x) d x 0 0 Za ZT f ( x) d x + 0 Za f ( x) d x = 0 f ( x) d x = k 0 4 Hàm số f (x) có chu kỳ T thì f (x + T ) = f (x) với T là số nguyên dương nhỏ nhất ! a Z+π 1 Cho tích phân I = f ( x) d x = 2018, với f ( x) là hàm xác định, liên tục trên R và tuần hoàn với chu a Zπ kỳ π. Tính tích phân I = f ( x) d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: 2018 – Lời giải. Zπ Cho a = 0 ta suy ra I = f ( x) d x = 2018. ä 0 5π Z4 2 Tính tích phân I = π sin 2 x d x cos4 x + sin4 x …………………………………………………. ĐS: π 4 – Lời giải. 5π 5π Z4 Ta có sin 2 x 4 sin π 5π Z4 x + cos4 x dx = 2 tan x ¡ ¢ dx = 1 + tan4 x cos2 x π 2 Đặt t = tan  x ⇒ d t = 2 tan x d(tan x). Đổi cận: Do đó π π 2 tan x 1 + tan4 x d(tan x).  x = π ⇒ t = 0 5π  x = ⇒ t = 1. 4 5π Z4 Z4 2 tan x 1 + tan4 x Z1 d(tan x) = 0 Z1 Ta đi tính tích phân I = 0 Đặt t = tan u ⇒ d t = Th.s Nguyễn Chín Em 1 d t. 1 + t2 (1) dt . 1 + t2 1 d u. cos2 u 265 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12  t = 0 ⇒ u = 0 Đổi cận t = 1 ⇒ u = π . 4 π π 1 4 Z Z Z4 ¯π π dt du ¯4 ¡ ¢ Suy ra = = d u = u¯ = . 2 2 2 4 1+ t 0 cos u · 1 + tan u 0 0 5π Z4 Vậy I = 0 sin 2 x d x 4 π cos4 x + sin x = π 4 . ä 2017 Z π 3 p 1 − cos 2 x d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tính tích phân I = 0 p ĐS: 4034 2 – Lời giải. p Vì hàm số f ( x) = 1 − cos 2 x là hàm tuần hoàn với chu kỳ π nên Zπ Z2π f ( x) d x = 0 2017 Z π f ( x) d x. f ( x) d x = . . . = π 2016π Do đó 2017 Z π π p Z p 1 − cos 2 x d x = 2017 2 sin x d x I = 0 0 µ ¯π ¶ p p p ¯ = −2017 2 cos x¯ = −2017 2(−1 − 1) = 4034 2 0 ä Zb 3.4 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối | f (x) | dx a Phương pháp giải Sử dụng tính chất của tích phân Zb Zc | f ( x) | d x = a Zb | f ( x) | d x + a | f ( x) | d x c đến đây ta có 2 cách để phá dấu giá trị tuyệt đối • Cách 1. Xét dấu biểu thức f ( x) để khử dấu trị tuyệt đối. • Cách 2. Giải phương trình f ( x) = 0 trên (a; b). Giả sử trên khoảng (a; b) phương trình có nghiệm a < x1 < x2 < . . . < xn < b. Do hàm số f ( x) không đổi dấu trên mỗi khoảng ( x i ; x i+1 ) nên ta có Zx1 Zb | f ( x) | d x = a Zx2 | f ( x) | d x + a ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f ( x) d x¯ + ¯ Zx2 x1 a 3.4.1 | f ( x) | d x + . . . + x1 Zx1 Zb | f ( x) | d x xn ¯ ¯ Zb ¯ ¯ ¯ ¯ f ( x) d x¯ + . . . + ¯ f ( x) d x¯ xn Ví dụ và bài tập Th.s Nguyễn Chín Em 266 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Ví dụ 1. Tính các tích phân sau: Z2 1 Tính tích phân I = ĐS: 1 |1 − x | d x . 0 Lời giải: Cách 1. Ta có 1 − x = 0 ⇔ x = 1 Và 1 − x ≥ 0, ∀ x ∈ (0; 1) Z1 Do đó I = Z2 (1 − x) d x + 0 ¶ µ 2 ¶ ¯2 x x2 ¯¯1 ¯ − x ¯ = 1. ¯ + ( x − 1) d x = x − 2 0 2 1 µ 1 Cách 2. phương trình 1 − x = 0 ⇔ x = 1 ∈ (0; 2), nên ta có Z2 I = Z1 |1 − x | d x = 0 Z2 |1 − x | d x + 0 ¯ Z1 ¯ ¯ Z2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ |1 − x| d x = ¯ (1 − x) d x¯ + ¯ (1 − x) d x¯ 1 0 1 ¯ ¯ 1 ¯¯ ¯¯ 1 ¯ ¯ = ¯1 − ¯ + ¯ − 1¯ = 1 2 2 Z2 2 Tính tích phân I = | x2 − x | d x. ĐS: 1 0  Lời giải: Ta có x2 − x = 0 ⇔  x=0 x = 1. Do đó Z2 I = Z1 2 | x − x | dx = 0 ¯ ¯ = ¯ Z2 2 | x − x | dx + 0 Z1 ¯ ¯ ¯ ¯ ( x2 − x) d x¯ + ¯ 0 | x2 − x | d x 1 Z2 ¯ 1 5 ¯ ( x2 − x) d x¯ = + = 1 6 6 1 Bài 1. Z2 1 Tính tích phân I = | x2 − x| d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: 1 - Lời giải. Ta có : x2 − x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1. Bảng xét dấu x2 − x trên đoạn [0; 2] x −∞ f ( x) Z1 Suy ra : I = + ¡ 2 ¢ −x + x dx + 0 1 − 0 Z2 ¡ 0 + 0 µ 3 ¶ µ 3 ¶ x x2 ¯¯1 x x2 ¯¯2 x − x dx = − + − ¯ + ¯ = 1. 3 2 0 3 2 1 2 ¢ +∞ 2 + ä 1 Z3 2 0 Tính tích phân ¯ 2 ¯ ¯ x − 2 x¯ d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 Th.s Nguyễn Chín Em 267 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 ĐS: 8 3 - Lời giải. Phương trình f ( x) = 0 có các nghiệm lần lượt là x = 0 và x = 2. Bảng xét dấu x −∞ 0 f ( x) Z3 Vì vậy I = Z2 2 | x − 2 x| d x = 0 ¡ 2x − x 2 Tính tích phân − 0 ¢ Z3 dx + 0 Z4 3 + +∞ 2 ¡ + 0 ¢ 8 x2 − 2 x d x = 3 ä 2 ¯ 2 ¯ ¯ x + 4 x − 5¯ d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: 116 3 - Lời giải. Nghiệm của phương trình x2 − 4 x + 5 = 0 lần lượt là x = 1 và x = −5. Do đó Z4 ¯ Z1 Z4 ¯ ¡ 2 ¢ ¡ 2 ¢ 116 8 ¯ 2 ¯ x + 4x − 5 dx + x + 4 x − 5 d x = + 36 = ¯ x + 4 x − 5¯ d x = − 3 3 0 4 0 Tính tích phân I = Z3 p ä 1 x3 − 2 x2 + x d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 p 8 8 3 + ĐS: 15 5 - Lời giải. Ta có I = Z3 p x3 − 2 x2 + x d x = p0 8 8 3 + = 15 5 Z1 2 x ( x − 1) d x = 0 p Z3 (1 − x) x d x + 0 p ( x − 1) x d x 1 ä Zπ 5 Z3 » Tính tích phân I = ¯ ¯p ¯ cos x¯ sin x d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: 4 3 - Lời giải. π Z2 Ta có I = π Z p p cos x sin x d x − cos x sin x d x π 2 0 π Z2 Ta đi tính hai tích phân sau: I 1 = π Z p p cos x sin x d x và I 2 = cos x sin x d x. π 2 0 π Z2 Tính I 1 = p cos x sin x d x. 0 Th.s Nguyễn Chín Em 268 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ p cos x d x Đặt t = sin x ⇒ d t = p 2 sin x  x = 0 ⇒ t = 0 Đổi cận:  x = π ⇒ t = 1. 2 Chương 3 - Giải tích 12 . Suy ra π Z2 I1 = 1 Z p 2 cos x sin x d x = 2 t2 d t = . 3 0 2 3 Tương tự I 2 = − . (1) 0 (2) 4 3 Từ (1), (2) suy ra I = . ä Z2πp 6 Tính tích phân I = 1 − cos 2 x d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 p ĐS: 4 2 - Lời giải. Z2πp Z2π Zπ Z2π p p p Ta có I = 1 − 1 + 2 sin2 x d x = 2 | sin x| d x = 2 sin x d x − 2 sin x d x 0 p p p = − 2 (−1 − 1) + 2 (1 + 1) = 4 2. 0 π 0 ä π 7 Tính tích phân I = Z3 p tan2 x + cot2 x − 2 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . π 6 p 3 ĐS: −2 ln 2 - Lời giải. π π π Z3 p Z3 Z3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ sin x cos x ¯ 2 2 ¯ ¯ Ta có I = tan x + cot x − 2 d x = tan x − cot x d x = ¯ − ¯ dx cos x sin x π 6 π 3 π 3 Z ¯ Z 2 2 ¯ ¯ sin x − cos x ¯ = ¯ ¯ dx = sin x · cos x π 6 π 6 Đặt t = 2 x. Khi đó 2π π 6 π 6 ¯ cos 2 x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ d(2 x). sin 2 x 2π π p Z3 ¯ Z2 Z3 ¯ ¯ ¯¯¯ π2 ¯ ¯¯¯ 23π cos t cos t 3 ¯ cos t ¯ I= ¯ dt − d t = ln ¯ sin t¯¯ π − ln ¯ sin t¯¯ π = −2 ln . ¯ dt = sin t sin t sin t 2 3 2 π 3 π 3 Z1 8 ä π 2 Tính tích phân I = ¯ ¯ x ¯2 − 2− x ¯ d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −1 ĐS: − 3 ln 2 - Lời giải. Z1 Ta có I = ¯ x ¯ ¯2 − 2 − x ¯ d x = −1 Th.s Nguyễn Chín Em Z0 −1 ¯ x ¯ ¯2 − 2 − x ¯ d x + Z1 ¯ ¯ x ¯2 − 2 − x ¯ d x 0 269 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z0 = ¡ −x 2 −2 x ¢ Z1 dx + −1 x 2 −2 −x µ −x ¶ µ x ¶ 3 2 2 x ¯¯0 2 2− x 1 =− dx = − − + . ¯ + ln 2 ln 2 −1 ln 2 ln 2 0 ln 2 ¢ 0 Z2 9 ¡ Tính tích phân I = Chương 3 - Giải tích 12 ä ¯ ¯ ¯ 2 x − | x + 1| ¯ d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −2 ĐS: 6 - Lời giải. Z2 Ta có I = ¯ ¯ ¯2 x − | x + 1|¯ d x = −2 Z1 ¯ ¯ ¯2 x − | x + 1|¯ d x + −2 Z1 = ¯ ¯ ¯2 x − | x + 1 | ¯ d x 1 ¯ ¡¯ ¢ ¯ x + 1¯ − 2 x d x + −2 Z1 Z2 ¡ ¯ ¯¢ 2 x − ¯ x + 1¯ d x 1 Z1 | x + 1| d x − 2 = Z2 −2 Z2 x dx + 2 −2 Z−1 2x dx − 1 −2 | x + 1| d x 1 Z1 ( x + 1) d x + = − Z2 Z1 ( x + 1) d x − 2 −1 Z2 x dx + 2 −2 Z2 ( x + 1) d x x dx − 1 1 ¯1 ¯2 ( x + 1)2 ¯2 ( x + 1)2 ¯¯−1 ( x + 1)2 ¯¯1 ¯ ¯ ¯ = − ¯ + ¯ − x2 ¯ + x2 ¯ − ¯ = 6. 2 2 2 −2 −1 −2 1 1 ä 3.5 Phương pháp đổi biến số Zb ¯b ¯ [ f ( x)] u ( x) d x = F [ u( x)] ¯ = F [ u( b)] − F [ u(a)] . 0 a a 1 Biến đổi để chọn phép đặt t = u( x) ⇒ d t = u0 ( x)d x. ½ 2 Đổi cận x = b ⇒ t = u( b) . x = a ⇒ t = u ( a) u(b) Z 3 Đưa về dạng I = f ( t) d t đơn giản hơn và dễ tính toán. u(a) 3.5.1 Ví dụ và bài tập Z Dạng: I = f (ax + b)n x d x Z f (ax + b)n x d x −→ Đặt t = ax + b ⇒ d t = ad x. ¶m Z µ xn d x −→ Đặt t = x n+1 + 1 ⇒ d t = ( n + 1) x n d x. I2 = n+1 + 1 x Z I 3 = f (ax2 + b)n xd x −→ Đặt t = ax2 + b ⇒ d t = 2axd x. I1 = Th.s Nguyễn Chín Em 270 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 Ví dụ 1. Tính tích phân I = Chương 3 - Giải tích 12 x(1 − x)19 d x. ĐS: 1 420 0 Lời giải: Đặt t = 1 − x ⇒ x = 1 − t ⇒ d x = −d t. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 . x = 1 ⇒ t = 0 Z0 Z1 19 Khi đó I = − (1 − t) t d t = 1 ¡ t 19 −t 20 ¢ ¶ 1 1 1 t20 t21 ¯¯1 − − = . dt = ¯ = 20 21 0 20 21 420 µ 0 Z1 Ví dụ 2. Tính tích phân I = 0 2 x3 d x. 1 + x2 ĐS: 1 1 − ln 2 2 2 1 2 2 Lời giải: Đặt t = 1 + x ⇒ x = t − 1 ⇒ 2 xd x = d t ⇒ xd x = d t. Đổi cận  x = 0 ⇒ t = 1 . x = 1 ⇒ t = 2 Z1 Khi đó I = 0 Z2 x2 1 x dx = 2 2 1+ x 1 Ví dụ 3. Tính tích phân I = 0 Lời giải: Ta có I = 0 7x − 1 2x + 1 ¶ Z2 µ ¯2 1 1 1 1 ¯ 1− d t = ( t − ln | t|)¯ = − ln 2. t 2 2 2 1 1 Z1 Z1 µ 1 t−1 dt = t 2 (7 x − 1)99 d x. (2 x + 1)101 ¶99 · ĐS: 2100 − 1 900 1 d x. (2 x + 1)2 9 1 1 7x − 1 ⇒ dt = dx ⇒ d x = d t. Đặt t = 2 2 2x + 1 9 (2 x + 1) (2 x + 1)  x = 0 ⇒ t = −1 Đổi cận . x = 1 ⇒ t = 2 Z2 1 2100 − 1 1 t100 ¯¯2 Khi đó I = t99 d t = · . ¯ = 9 9 100 −1 900 −1 Bài 1. Tính các tích phân sau: Z2 1 I= x(1 − x)50 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 103 2652 1 - Lời giải. Đặt t = 1− x ⇒ x = 1 − t ⇒ d x = −d t. Đổi cận x = 1 ⇒ t = 0 .  x = 2 ⇒ t = −1 µ 51 ¶ Z−1 Z0 ¡ 50 51 ¢ t t52 ¯¯0 103 50 Khi đó I = − (1 − t) t d t = − . t − t dt = ¯ = 51 52 −1 2652 0 Z1 2 I= ä −1 ¡ ¢4 x 1 + x2 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 Th.s Nguyễn Chín Em 271 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 ĐS: 31 10 - Lời giải. 1 2 Đặt t = 1 + x2 ⇒ x2 = t − 1 ⇒ xd x = d t. Đổi cận  x = 0 ⇒ t = 1 . x = 1 ⇒ t = 2 1 Khi đó I = 2 Z2 µ ¶ 1 t5 ¯¯2 1 25 1 31 t dt = · ¯ = − = . 2 5 1 2 5 5 10 4 ä 1 Bài 2. Tính các tích phân sau: Z1 1 I= 0 x5 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 + 1 µ ¶ 1 1 ĐS: ln 2 − 2 2 - Lời giải. 1 2 Đặt t = x2 + 1 ⇒ x2 = t − 1 ⇒ xd x = d t. Đổi cận  x = 0 ⇒ t = 1 . x = 1 ⇒ t = 2 Z1 Khi đó I = 0 1 x4 x dx = 2 2 x +1 Z2 ( t − 1)2 1 dt = t 2 Z2 µ 1 ¶ µ ¶ ¯2 µ ¶ 1 t2 1 1 1 ¯ dt = − 2 t + ln | t| ¯ = ln 2 − . t−2+ t 2 2 2 2 1 1 ä Z1 2 I= x3 ¡ 0 1 + x2 ¢3 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 1 16 - Lời giải. 1 2 Đặt t = 1 + x2 ⇒ x2 = t − 1 ⇒ xd x = d t. Đổi cận  x = 0 ⇒ t = 1 . x = 1 ⇒ t = 2 Z1 Khi đó I = 0 Z3 Bài 3. Tính I = 2 - Lời giải. Ta có I = Z3 ³ 2 x2 1 ¡ ¢3 x d x = 2 1 + x2 Z2 1 t−1 1 dt = 3 2 t Z2 µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 1 ¯¯2 1 − + 2 ¯ = − 3 dt = . 2 2 t 2 t 1 16 t t ä 1 x2017 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( x − 1)2019 µ ¶2018 3 2018 2 − 2 ĐS: 2018 x ´2017 1 · d x. x−1 ( x − 1)2 x −1 1 Đặt t = ⇒ dt = d x ⇒ d x = −d t. x−1 ( x − 1)2 ( x − 1)2 Th.s Nguyễn Chín Em 272 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Đổi cận   x = 2 ⇒ t = 2 3  x = 3 ⇒ t = 2 Z . 3 2 Khi đó I = − t 2017 Chương 3 - Giải tích 12 Z2 dt = 2 t 2017 3 2 t2018 ¯¯2 dt = ¯ = 2018 23 2 µ ¶2018 3 − 2 . 2018 2018 ä Bài 4. Tính các tích phân sau: Z1 1 I= ¡ ¢6 x5 1 − x3 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: 1 168 - Lời giải. 1 3 Đặt t = 1 − x3 ⇒ x3 = 1 − t ⇒ x2 d x = − d t. Đổi cận  x = 0 ⇒ t = 1 . x = 1 ⇒ t = 0 1 Khi đó I = − 3 Z0 £ ¤ 1 (1 − t) · t6 d t = 3 1 Z1 2 I= Z1 ¡ 6 t −t 7 ¢ µ ¶ 1 t7 t8 ¯¯1 1 dt = − . ¯ = 3 7 8 0 168 ä 0 ¢10 ¡ dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 + 3 x) 1 + 2 x + 3 x2 0 ĐS: 611 − 1 22 - Lời giải. 1 2 Đặt t = 1 + 2 x + 3 x2 ⇒ (1 + 3 x)d x = d t. Đổi cận  x = 0 ⇒ t = 1 . x = 1 ⇒ t = 6 1 Khi đó I = 2 Z6 t11 ¯¯6 611 − 1 . t dt = ¯ = 22 1 22 10 ä 1 Bài 5. Tính các tích phân sau: Z1 1 I= £ ¡ ¢¤5 2 x 1 − x2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: 1 168 - Lời giải. Đặt t = 1− x2 ⇒ x2 = 1 − t ⇒ 2 xd x = −d t. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1 . x = 1 ⇒ t = 0 Khi đó I= Z1 h ¡ x ¢ ¡ 2 2 1− x 0 ¢ 2 5 i Z0 2x dx = − £ ¤ (1 − t)2 · t5 d t = 1 Z1 ¡ 7 6 t − 2t + t 5 ¢ ¶ t8 2 7 t6 ¯¯1 1 dt = − t + . ¯ = 8 7 6 0 168 µ 0 ä Th.s Nguyễn Chín Em 273 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z0 2 I= Chương 3 - Giải tích 12 x2 ( x + 1)15 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −1 ĐS: 1 2448 - Lời giải. Đặt t = x+ 1 ⇒ x = t − 1 ⇒ d x = d t. Đổi cận  x = −1 ⇒ t = 0 . x = 0 ⇒ t = 1 Z1 Khi đó I = £ ¤ ( t − 1)2 · t15 d t = 0 Z1 3 I= Z1 ¡ t 17 − 2t 16 +t 15 ¢ ¶ t18 2 17 t16 ¯¯1 1 dt = − t + . ¯ = 18 17 16 0 2448 µ ä 0 ¡ ¢n ¡ ¢ x2 1 + x3 d x, ∀ n ∈ N∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: 2n+1 − 1 3( n + 1) - Lời giải. 1 3 Đặt t = 1 + x3 ⇒ x2 d x = d t. Đổi cận  x = 0 ⇒ t = 1 . x = 1 ⇒ t = 2 1 Khi đó I = 3 Z2 tn dt = 1 Z1 4 I= t n+1 ¯¯2 2n+1 − 1 . ¯ = 3( n + 1) 1 3( n + 1) ä ¡ ¢n ¡ ¢ x 1 − x2 d x, ∀ n ∈ N∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: 1 2( n + 1) - Lời giải. 1 2 Đặt t = 1 − x2 ⇒ x2 = t − t ⇒ xd x = − d t. Đổi cận  x = 0 ⇒ t = 1 . x = 1 ⇒ t = 0 1 Khi đó I = − 2 Z0 1 t dt = 2 n 1 Z1 0 tn dt = t n+1 ¯¯1 1 . ¯ = 2( n + 1) 0 2( n + 1) ä Bài 6. Tính các tích phân sau: Z1 1 I= 4 x3 ¡ 0 x4 + 2 ¢3 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 5 72 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 274 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 4 Đặt t = x + 2 ⇒ 4 x3 d x = d t. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 2 . x = 1 ⇒ t = 3 Z3 Khi đó I = 1 −1 ¯¯3 5 . dt = 2 ¯ = 3 t 2 t 2 72 ä 2 Z1 2 I= x ¡ 0 x2 + 1 ¢3 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 3 16 - Lời giải. 1 2 Đặt t = x2 + 1 ⇒ xd x = d t. Đổi cận  x = 0 ⇒ t = 1 . x = 1 ⇒ t = 2 1 Khi đó I = 2 Z2 1 −1 ¯¯2 3 . d t = ¯ = 3 2 t 4 t 1 16 ä 1 Bài 7. Tính các tích phân sau: Z2 1 I= ( x + 2)2017 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2019 1 ĐS: 32018 − 22018 4036 - Lời giải. Z2 µ Ta có I = x+2 x ¶2017 · 1 d x. x2 1 −2 1 1 x+2 Đặt t = ⇒ d t = 2 d x ⇒ 2 d x = − d t. 2 x x x x = 1 ⇒ t = 3 Đổi cận . x = 2 ⇒ t = 2 Z2 Z3 1 1 t2018 ¯¯3 32018 − 22018 2017 Khi đó I = − t dt = t2017 d t = . ¯ = 2 2 2 · 2018 2 4036 3 Z2 Bài 8. Tính I = ¡ 1 - Lời giải. ä 2 x2001 ¢1002 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + x2 µ ¶1001 µ ¶1001 4 1 − 5 2 ĐS: 2002 1 2 Đặt t = 1 + x2 ⇒ x2 = t − 1 ⇒ xd x = d t. Đổi cận  x = 1 ⇒ t = 2 . x = 2 ⇒ t = 5 Th.s Nguyễn Chín Em 275 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z2 ¡ x2 ¢1000 1 ¢1002 · x d x = ¡ 2 1 + x2 Khi đó I = 1 1 t−1 ⇒ d u = 2 d t. Đặt u = t t 1   t = 2 ⇒ u = 2. Đổi cận 4   t = 5 ⇒ u = 5 Z5 Chương 3 - Giải tích 12 ( t − 1)1000 1 dt = 1002 2 t 2 Z5 µ t−1 t ¶1000 · 1 d t. t2 2 µ ¶1001 µ ¶1001 1 4 − Z 1001 ¯ 4 1 u 5 2 ¯5 Khi đó I = u1000 d u = . ¯1 = 2 2002 2 2002 4 5 ä 1 2 Dạng: I = Zb p n f ( x) f 0 ( x) d x −→ Đặt t = p n f ( x) ⇒ t n = f ( x) ⇒ nt n−1 d t = f 0 ( x)d x. a Z9 p 3 Ví dụ 4. Tính tích phân I = x 1 − x d x. ĐS: − 468 7 1   x = 1 − t3 p 3 3 Lời giải: Đặt t = 1 − x ⇒ t = 1 − x ⇒ d x = −3 t2 d t.  x = 1 ⇒ t = 0 Đổi cận  x = 9 ⇒ t = −2. µ 4 ¶ Z−2 Z0 ¡ 3 6¢ t t7 ¯¯0 468 3 2 Khi đó I = − (1 − t ) · t · 3 t d t = 3 t − t d t = 3 − . ¯ =− 4 7 −2 7 0 −2 Bài 9. Tính các tích phân sau: Z1 1 I= p −1 2x + 1 x2 + x + 1 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 2 ¡p ¢ 3−1 - Lời giải. p Đặt t = x2 + x + 1 ⇒ d t = p 2x + 1 2 x2 + x + 1   x = −1 ⇒ t = 1 Đổi cận p . x = 1 ⇒ t = 3 d x. p Z3 ¯p3 ³p ´ ¯ Khi đó I = 2 d t = 2 t¯ = 2 3 − 1 . ä 1 1 Z1 p 2 I = x 1 − x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: 4 15 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 276 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 p Đặt t = 1 − x ⇒ x = 1 − t2 ⇒ d x = −2 td t. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1 . x = 1 ⇒ t = 0 Z0 2 Z1 2 Khi đó I = −2 (1 − t ) t d t = 2 1 ¶ t3 t5 ¯¯1 4 (t − t ) dt = 2 − . ¯ = 3 5 0 15 2 4 µ ä 0 Bài 10. Tính các tích phân sau: Z3 1 I= p 0 x x+1 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 8 3 - Lời giải. p Đặt t = x + 1 ⇒ x = t2 − 1 ⇒ d x = 2 td t. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1 . x = 3 ⇒ t = 2 Z2 Khi đó I = 2 ¶ ¯2 t3 8 ¯ −t ¯ = . ( t − 1) d t = 2 3 3 1 µ 2 ä 1 Z1 p 2 I = x 2 − x2 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 p 2 2−1 ĐS: 3 - Lời giải. p Đặt t = 2 − x2 ⇒ x2 = 2 − t2 ⇒ 2 xd x = −2 td t ⇒ xd x = − td t. p Đổi cận x = 0 ⇒ t = 2 . x = 1 ⇒ t = 1 Z1 Khi đó I = − p 2 p p p Z2 t3 ¯¯ 2 2 2 − 1 2 2 t dt = t dt = ¯ = . 3 1 3 ä 1 Z3 p 3 3 I = x x2 − 1 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ĐS: 6 - Lời giải. p 3 3 x2 − 1 ⇒ x2 = t3 + 1 ⇒ 2 xd x = 3 t2 d t ⇒ xd x = t2 d t. 2  x = 1 ⇒ t = 0 Đổi cận . x = 3 ⇒ t = 2 Z2 3 3 t4 ¯¯2 Khi đó I = t3 d t = ¯ = 6. 2 8 0 Đặt t = ä 0 p Z7 4 I= x p 3 1 + x2 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 Th.s Nguyễn Chín Em 277 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 ĐS: 45 8 - Lời giải. p 3 3 2 Đặt t = 1 + x2 ⇒ x2 = t3 − 1 ⇒ 2 xd x = 3 t2 d t ⇒ xd x = t2 d t.  x = 0 ⇒ t = 1 Đổi cận . p x = 7 ⇒ t = 2 Z2 3 3 t4 ¯¯2 45 Khi đó I = . t3 d t = ¯ = 2 8 1 8 ä 1 Z0 5 I= p ( x − 1)2 x + 1 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −1 ĐS: 142 105 - Lời giải. p Đặt t = x + 1 ⇒ x = t2 − 1 ⇒ d x = 2 td t. Đổi cận  x = −1 ⇒ t = 0 . x = 0 ⇒ t = 1 Z1 Khi đó I = 2 ¡ ¢2 2 Z1 2 t − 2 t dt = 2 0 Z1 6 I= x3 ¡ 6 4 t − 4t + 4t 2 ¢ ¶ t7 4 5 4 3 ¯¯1 142 − t + t ¯ = . dt = 2 7 5 3 105 0 µ ä 0 p 1 + x2 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 p 2 2+2 ĐS: 15 - Lời giải. p Đặt t = 1 + x2 ⇒ x2 = t2 − 1 ⇒ xd x = td t. x = 0 ⇒ t = 1 Đổi cận p . x = 1 ⇒ t = 2 p Khi đó I = Z2 ¡ 1 p Z3 x5 7 I= p 2 ¢ 2 t − 1 t dt = p Z2 ¡ 4 t −t 2 ¢ p ¶ p t5 t3 ¯¯ 2 2 2 + 2 dt = − . ¯ = 5 3 1 15 µ ä 1 1 + x2 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: 848 105 - Lời giải. p Đặt t = 1 + x2 ⇒ x2 = t2 − 1 ⇒ xd x = td t. x = 0 ⇒ t = 1 . p x = 3 ⇒ t = 2 µ 7 ¶ Z2 Z2 ¡ 2 ¢2 2 ¡ 6 ¢ t 2 t3 ¯¯2 848 Khi đó I = t − 1 t dt = t − 2 t4 + t2 d t = − t5 + . ¯ = 7 5 3 1 105 Đổi cận 1 Th.s Nguyễn Chín Em ä 1 278 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 p Z7 8 I= p 3 0 x3 x2 + 1 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 141 20 - Lời giải. p 3 3 x2 + 1 ⇒ x2 = t3 − 1 ⇒ xd x = t2 d t. 2  x = 0 ⇒ t = 1 Đổi cận . p x = 7 ⇒ t = 2 µ ¶ Z2 Z2 ¢ 3 ¡ 4 ¢ 3 t5 t2 ¯¯2 141 3 ¡ 3 t − 1 t dt = t − t dt = − . Khi đó I = ¯ = 2 2 2 5 2 1 20 Đặt t = 1 Z1 9 I= x15 ä 1 p 1 + 3 x8 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: 29 270 - Lời giải. p Đặt t = 1 + 3 x8 ⇒ x8 = Đổi cận  x = 0 ⇒ t = 1 ¢ 1 1¡ 2 t − 1 ⇒ x7 d x = td t. 3 12 . x = 1 ⇒ t = 2 1 Khi đó I = 36 Z2 ¡ 1 t − 1 t dt = 36 2 ¢ 2 1 Z2 ¡ 4 t −t 2 ¢ µ ¶ 1 t5 t3 ¯¯2 29 dt = − . ¯ = 36 5 3 1 270 ä 1 Bài 11. Tính các tích phân sau: p 2Z 3 1 I= 1 p p 5 x x2 + 4 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . µ ¶ 1 5 ĐS: ln 4 3 - Lời giải. p p Đặt t = x2 + 4 ⇒ x = t2 − 4 ⇒ d x = p t d t. 2 −4 t  p x = 5 ⇒ t = 3 Đổi cận . p x = 2 3 ⇒ t = 4 ¶ Z4 Z4 µ ¯4 1 µ 5 ¶ 1 1 1 1 1 ¯ Khi đó I = dt = − d t = (ln | t − 2| − ln | t + 2|) ¯ = ln . ( t − 2)( t + 2) 4 t−2 t+2 4 4 3 3 3 Z4 2 I= p 7 p 1 x x2 + 9 ä 3 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . µ ¶ 1 7 ĐS: ln 6 4 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 279 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ p p Đặt t = x2 + 9 ⇒ x = t2 − 9 ⇒ d x = p Đổi cận  p x = 7 ⇒ t = 4 Chương 3 - Giải tích 12 t t2 − 9 d t. . x = 4 ⇒ t = 5 Z5 Khi đó I = 4 Z2 3 I= p 1 1 1 dt = ( t − 3)( t + 3) 6 1 x x3 + 1 Z5 µ 4 ¶ ¯5 1 µ 7 ¶ 1 1 1 ¯ − d t = (ln | t − 3| − ln | t + 3|) ¯ = ln . t−3 t+3 6 6 4 4 ä dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 1 3+2 2 ĐS: ln 3 2 - Lời giải. p Đặt t = x3 + 1 ⇒ x = Đổi cận p 3 2t t2 − 1 ⇒ d x = »¡ ¢2 d t . 3 3 t2 − 1  p x = 1 ⇒ t = 2 . x = 2 ⇒ t = 3 p ¶ Z3 Z3 µ ¯3 2 1 1 1 1 3+2 2 1 1 ¯ Khi đó I = dt = − d t = (ln | t − 1| − ln | t + 1|) ¯p = ln . 3p ( t − 1)( t + 1) 3p t − 1 t + 2 3 3 2 2 2 2 ä Z5 4 I= 1 1 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p x 3x + 1 µ ¶ 9 ĐS: ln 5 - Lời giải. p ¢ 2 1¡ 2 t − 1 ⇒ d x = td t. 3 3  x = 1 ⇒ t = 2 Đổi cận . x = 5 ⇒ t = 4 µ ¶ ¶ Z4 Z4 µ ¯4 2 9 1 1 ¯ Khi đó I = dt = − d t = (ln | t − 1| − ln | t + 1|) ¯ = ln . ( t − 1)( t + 1) t−1 t+1 5 2 Đặt t = 3 x + 1 ⇒ x = 2 Z6 p Bài 12. Tính I = 1 ä 2 x+3+1 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x+2 ĐS: 2 (1 + ln 2) - Lời giải. p Đặt t = x + 3 ⇒ x + 2 = t2 − 1 ⇒ d x = 2 td t. Đổi cận x = 1 ⇒ t = 2 . x = 6 ⇒ t = 3 Z3 Khi đó I = 2 2 t d t. t−1 Đặt u = t − 1 ⇒ t = u + 1 ⇒ d t = du. Th.s Nguyễn Chín Em 280 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Đổi cận  t = 2 ⇒ u = 1 Chương 3 - Giải tích 12 . t = 3 ⇒ u = 2 Z2 u+1 du = 2 u Khi đó I = 2 1 Z2 µ ¶ ¯2 1 ¯ 1+ d u = 2 ( u + ln | u|) ¯ = 2 (1 + ln 2). u 1 ä 1 Bài 13. Tính tích phân Z6 1 I= 0 2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 4x + 1 + 1 ĐS: 4 − ln 3 - Lời giải.  t2 − 1    x = p 4 Đặt t = 4 x + 1 ⇒ t2 = 4 x + 1 ⇒  t  d x = d t. 2  x = 0 ⇒ t = 1 Đổi cận: . x = 6 ⇒ t = 5 Z5 Khi đó I = 1 Z4 2 I= 0 ¯5 ¯5 t ¯ ¯ d x = t¯ − ln | t + 1|¯ = 4 − ln 3. t+1 1 1 ä 4x − 1 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 2x + 1 + 2 ĐS: 34 5 − 10 ln 3 3 - Lời giải.  2  x = t − 1 p 2 Đặt t = 2 x + 1 ⇒ t2 = 2 x + 1 ⇒   d x = t d t.  x = 0 ⇒ t = 1 Đổi cận: . x = 4 ⇒ t = 3 Z3 Khi đó I = 1 5 10 ln . 3 1 Z3 ¢ ¡ 2 2t − 4t + 5 dt − 1 Z3 1 µ 3 ¶ ¯3 ¯3 34 10 2t 4 t2 ¯ ¯ dt = − + 5 t ¯ − 10 ln | t + 2|¯ = − t+2 3 2 3 1 1 ä Z4 3 I= 2 t3 − 3 t dt = t+2 1 p dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x(1 + x) ĐS: ln 16 9 - Lời giải. p Đặt t = x ⇒ t2 = x ⇒ Đổi cận:   x = t2 d x = 2 t d t.  x = 1 ⇒ t = 1 . x = 4 ⇒ t = 2 Th.s Nguyễn Chín Em 281 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z2 Khi đó I = 1 2t dt = 2 t ( t + 1) Z2 2 dt − t Z2 1 1 Chương 3 - Giải tích 12 ¯2 ¯2 2 16 ¯ ¯ d t = 2 ln | t|¯ − 2 ln | t + 1|¯ = ln . t+1 9 1 1 ä p Z2 p 2+ x 4 I= p dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + 2x 0 ĐS: 4 − ln 3 - Lời giải. p Đặt t = x ⇒ t2 = x ⇒   x = t2 d x = 2 t d t.  x = 0 ⇒ t = 0 Đổi cận: p . x = 2 ⇒ t = 2 p p p p ¢ Z 2¡p Z 2³ Z2 ¯p2 ´ ³ ´¯ 2 p p p 2 + t 2t 1 ¯ ¯ Khi đó I = dt = 2t + 2 dt − p d t = t2 + 2 t ¯ − ln | 2 t + 1|¯ = 4 − p 0 0 1 + 2t 2t + 1 0 0 1 ln 3. Z4 5 I= 1 ä p e4 x+1 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p x ĐS: e9 − e5 2 - Lời giải. p Đặt t = x ⇒ t2 = x ⇒ Đổi cận:   x = t2 d x = 2 t d t.  x = 1 ⇒ t = 1 . x = 4 ⇒ t = 2 Z2 Khi đó I = e4t+1 2t dt = 2 t 1 Z1 6 I= ( x − 1)3 Z2 4t+1 e ¶ e4t+1 ¯¯2 e9 − e5 dt = 2 . ¯ = 4 2 1 µ ä 1 p 2 x − x2 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: − 2 15 - Lời giải.  ( x − 1)2 = 1 − t2 p 2 2 2 Đặt t = 2 x − x ⇒ t = 2 x − x ⇒ ( x − 1)d x = − t d t.  x = 0 ⇒ t = 0 Đổi cận: . x = 1 ⇒ t = 1 Z1 Khi đó I = ¡ 2 −t + t 4 ¢ ¶ 2 t3 t5 ¯¯1 dt = − + ¯ =− . 3 5 0 15 µ ä 0 Z2 7 I= 1 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p x + x2 − 1 Th.s Nguyễn Chín Em 282 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 p 7−3 3 ĐS: 3 - Lời giải. Z2 Ta có I = 1 x dx = p x + x2 − 1 p Z2 ³ 2 x −x p x2 − 1 ´ Z2 dx = 1 Đặt t = x2 − 1 ⇒ t2 = x2 − 1 ⇒ Z2 ³ p ´ x dx − x x2 − 1 d x. 2 1 1   x2 = t2 − 1  x d x = t d t.  x = 1 ⇒ t = 0 Đổi cận: p . x = 2 ⇒ t = 3 p p Z3 ¡ 2¢ 7 7−3 3 Khi đó I = − t dx = . 3 3 ä 0 p Z5 8 I= 0 x3 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p x + x2 + 4 p 5 5 253 + ĐS: I = − 4 60 - Lời giải. p Z5 I= 0 3 x dx = p x + x2 + 4 I1 = 0 p Z5 −4 0 Ta có:p Z5 p ´ ³ p p Z 5 x3 x − x2 + 4 Z5 dx = 0 p 4 x dx + −4 Z5 p x3 x2 + 4 d x. 4 0 p µ ¶¯ 5 25 p 1 x5 ¯¯ x4 =− dx = − 5. ¯ −4 4 5 0 20 p x3 x2 + 4 d x. I2 = 4 0 p Đặt t = x2 + 4 ⇒ t2 = x2 + 4 ⇒ x2 = t2 − 4 ⇒ x d x = t d t. p Đổi cận x = 5 ⇒ t = 3; x = 0 ⇒ t = 2. ¢ µ ¶¯3 Z3 ¡ 2 t −4 · t· t 1 t5 t3 ¯¯ 253 I2 = dt = − 4. = . ¯ 4 4 5 3 2 60 2 p 5 5 253 Vậy, I = − + . 4 60 Z1 9 I= 0 ä x3 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p x2 + x4 + 1 p 2−1 ĐS: 3 - Lời giải. Ta có: Z1 I= ³ ´ p p Z 5 x3 x − x2 + 4 3 x p dx = x2 + x4 + 1 0 µ 6 ¶¯1 x ¯¯ 1 I1 = − =− . ¯ 6 0 6 Th.s Nguyễn Chín Em 0 −1 Z1 dx = − Z1 x dx + 0 283 5 x3 p x4 + 1 d x. 0 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 I2 = 0 x3 p Chương 3 - Giải tích 12 x4 + 1 d x. p 1 2 Đặt t = x4 + 1 ⇒ t2 = x4 + 1 ⇒ 2 t d t = 4 x3 d x ⇒ x3 d x = t d t. p Đổi cận: x = p1 ⇒ t = 2; x = 0 ⇒ t = 1. Z2 Khi đó I 2 = à p ! p 1 1 2 2 1 2 2−1 t · t dt = − = . 2 2 3 3 6 p 1 2−1 . Vậy, I = 3 ä Dạng: Đổi biến biểu thức chứa ln, e x hoặc lượng giác trong dấu căn Phương pháp giải: Đặt t là căn thức chứa lôgarit hoặc căn thức chứa mũ hoặc căn thức chứa lượng giác. Ze Ví dụ 5. Tính tích phân I = 1 p 4−2 2 ĐS: 3 ln x dx p x 1 + ln x p Lời giải: Đặt t = 1 + ln x ⇒ t2 = 1 + ln x ⇒  2   ln x = t − 1 dx  2 t d t = . x  x = 1 ⇒ t = 1 Đổi cận: p . x = e ⇒ t = 2 p p à p ! ¢ p p µ 3 ¶ ¯p2 Z 2¡ 2 Z2 ¡ 2 ¢ t − 1 · 2t t 2 2 p 2− 2 4−2 2 1 ¯ I= dt = 2 t − 1 dt = 2 −t ¯ =2 − 2− +1 = 2 = . t 3 3 3 3 3 1 1 1 Ze3 Ví dụ 6. Tính tích phân I = 1 ln2 x dx p x ln x + 1 p Lời giải: Đặt t = ln x + 1 ⇒ t2 = ln x + 1 ⇒ Đổi cận: Z2 ¡ I=  x = 1 ⇒ t = 1  x = e3 ⇒ t = 2 ¢2 t2 − 1 · 2 t t 76 15 ĐS: 14 9  2   ln x = t − 1 dx  2 t d t = . x . Z2 dt = 2 1 ĐS: ¡ ¶ ¯2 t5 t3 76 ¯ t − 2t + 1 dt = 2 −2 + t ¯ = . 5 3 15 1 4 2 ¢ µ 1 Z2 Ví dụ 7. Tính tích phân I = p p cos x 3 sin x + 1 d x 0 Lời giải: Đặt t = 3 sin x + 1 ⇒ t2 = 3 sin x + 1 ⇒ 2 t d t = 3 cos x d x. x = 0 ⇒ t = 1 . x = π ⇒ t = 2 2 µ ¶ µ ¶ Z2 2 2 t3 ¯¯2 2 8 1 14 I = t · t dt = − = . ¯ = 3 3 3 1 3 3 3 9 Đổi cận: 1 Th.s Nguyễn Chín Em 284 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Zln 2 Chương 3 - Giải tích 12 e2x Ví dụ 8. Tính tích phân I = dx p ex + 1 0  e x = t 2 − 1 p 2 x x Lời giải: Đặt t = e + 1 ⇒ t = e + 1 ⇒ 2 t d t = e x d x.  p x = 0 ⇒ t = 2 Đổi cận: p .  x = ln 2 ⇒ t = 3 p p à p ! ¢ p p ¶ ¯p3 µ 3 Z 3¡ 2 Z3 p ¡ 2 ¢ t − 1 · 2t t 3 3 2 2 2 2 ¯ dt = 2 − t ¯p = 2 + 2 = . I= t − 1 dt = 2 p − t 3 3 3 2 3− 3 p p 2 p 2 2 ĐS: 3 2 Bài 14. Tính tích phân Ze 1 I= p ln x 1 + 3 ln x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1 ĐS: 116 135 - Lời giải.  t2 − 1    ln x = p 3 Đặt t = 1 + 3 ln x ⇒ t2 = 1 + 3 ln x ⇒  3  2 t d t = d x . x  x = 1 ⇒ t = 1 . Đổi cận: x = e ⇒ t = 2 Z2 I= t2 − 1 2 2 · t · t dt = 3 3 9 1 Z2 ¡ 4 t −t 2 ¢ µ ¶ 2 t5 t3 ¯¯2 116 dt = − . ¯ = 9 5 3 1 135 ä 1 Zln 2 p 2 I= ex 5 − ex d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 p 16 − 6 3 ĐS: 3 - Lời giải. p Đặt t = 5 − e x ⇒ t2 = 5 − e x ⇒ Đổi cận: p  x = 0 ⇒ t = 2  x = ln 2 ⇒ t =  e x = 5 − t 2 2 t d t = −e x d x. p . 3 à p ! p µ 3 ¶ ¯2 Z3 Z2 t 8 27 16 − 6 3 ¯ 2 I = t · (−2 t) d t = 2 t d t = 2 − = . ¯p = 2 3 3 3 3 3 p 2 ä 3 π Z2 3 I= p sin x 1 + cos x d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 Th.s Nguyễn Chín Em p 4 2−2 ĐS: 3 285 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 - Lời giải. p Đặt t =  1 + cos x ⇒ t2 = 1 + cos x ⇒ 2 t d t = − sin x d x. p x = 0 ⇒ t = 2 . x = π ⇒ t = 1 2 p à p ! p µ 3 ¶ ¯p2 Z2 Z1 1 4 t 2 2 2−2 ¯ − = . I = t · (−2 t) d t = 2 t2 d t = 2 ¯ =2 3 1 3 3 3 p Đổi cận: ä 1 2 π Z2 4 I= 0 sin 2 x + sin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 1 + 3 cos x ĐS: 34 27 - Lời giải. p 1 + 3 cos x ⇒ t2 = 1 + 3 cos x ⇒ 2 t d t = −3 sin x d x. Đặt t =  x = 0 ⇒ t = 2 . x = π ⇒ t = 1 ¶ ¶ µ µ µ 2 2¶ 2 t −1 1 ¶ ¯2 ¶ µ µ +1 · − t Z2 Z 2· ¢ 2 ¡ 2 2 2 t3 2 16 2 34 3 3 ¯ dt = 2t + 1 dt = +t ¯ = +2− −1 = . I= t 9 9 3 9 3 3 27 1 Đổi cận: ä 1 2 Bài 15. Tính tích phân p eZ e 1 I= 1 3 − 2 ln x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p x 1 + 2 ln x ĐS: 5 3 - Lời giải.  t2 − 1    ln x = p 2 Đặt t = 1 + 2 ln x ⇒ t2 = 1 + 2 ln x ⇒  2 dx  2 t d t = . x  x = 1 ⇒ t = 1 . Đổi cận:  x = epe ⇒ t = 2 ¡ ¢ µ ¶ Z2 Z2 ¡ ¢ 3 − t2 − 1 t3 ¯¯2 8 1 5 2 I= · t dt = 4 − t dt = 4t − ¯ = 8− −4+ = . t 3 1 3 3 3 1 1 Ze ln3 x 2 I= 1 ä x p 1 + 3 ln2 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 4 27 - Lời giải.  t2 − 1    ln2 x = p 3 Đặt t = 1 + 3 ln2 x ⇒ t2 = 1 + 3 ln2 x ⇒  6 ln x dx  2 t d t = . x Th.s Nguyễn Chín Em 286 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Đổi cận:  x = 1 ⇒ t = 1 Chương 3 - Giải tích 12 . x = e ⇒ t = 2 µ 2 ¶ t −1 2 2 µ ¶ ¯2 · t dt Z Z2 ¢ 1 ¡ 2 1 t3 4 3 6 ¯ I= = t − 1 dt = −t ¯ = . t 9 9 3 27 1 1 Ze 3 I= ä 1 ln x p 3 2 + ln2 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1 p p 3 3 9 3−6 2 ĐS: 8 - Lời giải. Đặt t = p 3 2 + ln2 x ⇒ t3 = 2 + ln2 x ⇒  p x = 1 ⇒ t = 3 2 Đổi cận: p . x = e ⇒ t = 3 3 p 3 3 p 3 3 Z Z I= p 3 2 Ze 4 I= 1  2 3   ln x = t − 2 2 ln x d x  3 t 2 d t = . x p p µ ¶ p 3 3 3 3 3 2 3 t4 ¯¯ 3 9 3 − 6 2 3 . t · t dt = t dt = = ¯p 2 2p 2 4 32 8 3 ä 2 1 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 3 x 1 + ln x p 3 3 4−3 ĐS: 2 - Lời giải. p 3 Đặt t = 1 + ln x ⇒ t3 = 1 + ln x ⇒  x = 1 ⇒ t = 1 Đổi cận: p . x = e ⇒ t = 3 2 p 3 2 Z I= 2 3t dt = 3 t 1 Zln 6 5 I= 0 p 3 2 Z  3   ln x = t − 1 dx  3 t 2 d t = . x p ¶ p 3 3 t2 ¯¯ 2 3 4 − 3 t dt = 3 . ¯ = 2 1 2 µ ä 1 1 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p x e +3 1 ¡ p ¢ ĐS: p ln 2 + 3 3 - Lời giải.  e x = t 2 − 3 p 2 x x Đặt t = e + 3 ⇒ t = e + 3 ⇒ . 2 t d t = e x d x  x = 0 ⇒ t = 2 Đổi cận: .  x = ln 6 ⇒ t = 3 Th.s Nguyễn Chín Em 287 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z3 Z3 Z3 2 1 1 1 1 I= ¡ p ¢ ¡ p ¢ dt = p ¡ p ¢ dt − p ¡ p ¢ dt = t− 3 t+ 3 3 t− 3 3 t+ 3 2 2 2 2 ¢¡ ¯ ¯ ¯ 2p ¯ ¯¡ ¯ p p ¯3− 3¯ ¯3+ 3¯ ¯ 3 − 3 2 + p3¢ ¯ p ¯¯3 p ¯¯3 1 1 1 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ p ln | t − 3|¯ − p ln | t + 3|¯ = p ln ¯ p ¯ − p ln ¯ p ¯ = p ln ¯ ¡ p ¢¯ = p ¢¡ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 2 3 3 3 2− 3 3 2+ 3 3 2− 3 3+ 3 ¯ ³ ´ p 1 ä p ln 2 + 3 . 3 1 2t · 2 dt = t t −3 Zln 5 6 I= ln 2 Z3 Chương 3 - Giải tích 12 2 dt = 2 t −3 Z3 e2x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p ex − 1 ĐS: 22 3 - Lời giải. p Đặt t = e x − 1 ⇒ t2 = e x − 1 ⇒   x = ln 2 ⇒ t = 1 Đổi cận:  e x = t 2 + 1 2 t d t = e x d x. .  x = ln 5 ⇒ t = 2 Z2 ¡ I= ¢ t2 + 1 · 2 t t Z2 dt = 2 ¡ ¶ ¯2 µ ¶ t3 8 1 22 ¯ t + 1 dt = 2 + t ¯ = 2 +2− −1 = . 3 3 3 3 1 2 ¢ µ ä 1 1 p Z3 7 I= ex p (e x + 1)3 0 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ĐS: 2 − p +p 2 e 3 +1 µ 1 ¶ - Lời giải.  e x = t 2 − 1 p 2 x x Đặt t = e + 1 ⇒ t = e + 1 ⇒ 2 t d t = e x d x.  p x = 0 ⇒ t = 2 » p . Đổi cận: p  x = 3 ⇒ t = e 3+1 pp pp µ ¶ ¯pep3+1 µ ¶ Ze 3+1 Ze 3+1 2t 1 1 ¯ 1 1 d t = 2 − ¯p I= dt = 2 =2 − p +p . t t2 · t t2 2 2 e 3 +1 p p 2 Z1 8 I= 0 ä 2 x 52 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p (5 x − 9) 6 − 51− x ĐS: 1 2 log5 7 9 - Lời giải. x Z1 Z1 52 I= … 0 (5 x − 9) p 6− 5 5x dx = 0 5x d x. p (5 x − 9) 6 · 5 x − 5 Đặt t = 6 · 5 x − 5 ⇒ t2 = 6 · 5 x − 5 ⇒ 5x = Th.s Nguyễn Chín Em t2 + 5 ⇒ 2 t d t = 6 · 5 x · ln 5 d x. 6 288 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 5; x = 0 ⇒ t = 1.  5  2 Z5 Z5 Z 2 1 2 2  dt  ¡ ¢ dt = I = µ 26 ln 5 ¶ d t = dt = 2 2 ln 5 t − 49 ln 5 ( t − 7)( t + 7) ln 5 t + 5 − 54 ( t + 5) 1 1 1 1 −9 6  5  µ Z Z5 ¯5 ¯5 ¶ 2  1 1 1 1 ¯ ¯  = dt − dt = ln | t − 7| ¯ − ln | t + 7| ¯ ln 5 14( t − 7) 14 ( t + 7) 7 ln 5 1 1 1 1 µ ¶ ¶ µ 1 1 8 1 1 8 1 ln + ln = . ln · = (ln 2 − ln 6 − ln 12 + ln 8) = 7 ln 5 7 ln 5 3 12 7 ln 5 3 12 1 2 1 2 = · ln = log5 . 7 ln 5 9 7 9 Z5 ä π Z2 9 I= sin 2 x p cos2 x + 4 sin2 x 0 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 2 3 - Lời giải. π π Z2 I= Z2 sin 2 x p cos2 x + 4 sin2 x 0 p sin 2 x p 0 1 + 3 sin2 x dx Đặt t = 1 + 3 sin x ⇒ t = 1 + 3 sin2 x ⇒ 2 t d t = 6 sin x cos x d x. I= 2 x = 0 ⇒ t = 1 . x = π ⇒ t = 2 2 Đổi cận: Z2 2 dx = 2 t ¯ 3 d t = 2 t ¯2 = 2 . ( )¯ t 3 3 1 ä 1 π Z2 10 I = sin x cos x p 4 cos2 x + 9 sin2 x 0 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 1 5 - Lời giải. Đặt t = p 4 cos2 x + 9 sin2 x ⇒ t2 = 4 + 5 sin2 x ⇒   t2 = 4 + 5 sin2 x 2 t d t = 10 sin x cos x d x.  x = 0 ⇒ t = 2 . Đổi cận: x = π ⇒ t = 3 2 1 3 Z t 1 ¯¯3 1 I = 5 d t = ( t) ¯ = . t 5 5 2 ä 2 π Z2 11 I = 0 cos x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 2 + 3 sin x + 1 µ ¶ 2 4 ĐS: 1 − 2 ln 3 3 Th.s Nguyễn Chín Em 289 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 - Lời giải. p Đặt t =  3 sin x + 1 ⇒ t2 = 3 sin x + 1 ⇒ 2 t d t = 3 cos x d x. x = 0 ⇒ t = 1 . x = π ⇒ t = 2 2  2  2 µ ¶ Z2 Z Z2 Z2 t ¯2 ¶ 2 µ 2 t 2 2 4 2 ¯ 3 dt = dt =  dt − d t = 1 − 2 ln | t + 2| ¯ = 1 − 2 ln . I= 2+ t 3 2+ t 3 2+ t 3 3 3 1 Đổi cận: 1 1 1 ä 1 π Z4 p 2 + 3 tan x 12 I = dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + cos 2 x 0 p p 5 5−2 2 ĐS: 9 - Lời giải. p Đặt t = 2 + 3 tan x ⇒ t2 = 2 + 3 tan x. Đổi cận: x = π ⇒t= p p 5; x = 0 ⇒ t = 2. p4 p p p µ 3 ¶¯ 5 Z2 Z5 ¯ 1 1 5 5−2 2 t·t t 2 ¯ Khi đó I = dt = t dt = = . 3 3 3 3 ¯p2 9 p ä 1 2 π Z2 13 I = sin x cos x p 0 b2 cos2 x + c2 sin2 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 1 c+b - Lời giải. p Đặt t = b2 + ( c2 − b2 )sin2 x ⇒ t2 = b2 + ( c2 − b2 ) sin2 x ⇒ 2 t d t = 2( c2 − b2 ) sin x · cos x. Đổi cận: x = π Zc Khi đó I = b 2 ⇒ t = c; x = 0 ⇒ t = b. 1 Zc t ¯c 1 1 c−b 1 ( c2 − b2 ) ¯ dt = . d t = · t = ¯ = 2 2 2 2 2 2 t c+b c −b c −b c −b b ä b Dạng: Đổi biến biểu thức chứa hàm ln không nằm trong căn Zb I= a   . Phương pháp giải:  t = ln x ⇒ d t = 1 dx x t = m + n ln x ⇒ dt = Ze Ví dụ 9. Tính tích phân I = 1 f (ln x) d x x n d x. x ln x dx x ĐS: 1 2 1 1 x Lời giải: Đặt t = ln x ⇒ d t = d x. Th.s Nguyễn Chín Em 290 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Đổi cận: x = e ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 0. Z1 Khi đó I = 0 ¯1 t2 ¯¯ 1 t dt = ¯ = . 2 0 2 Ze Ví dụ 10. Tính tích phân I = 1 + ln2 x dx x ĐS: 4 3 1 1 Lời giải: Đặt t = ln x ⇒ d t = d x. x Đổi cận: x = e ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 0. µ ¶¯1 Z1 ¡ ¢ t3 ¯¯ 1 4 2 Khi đó I = 1 + t d t = t + = 1+ = . ¯ 3 0 3 3 0 Bài 16. Tính các tích phân Ze 1 I= ln2 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1 ĐS: 1 3 - Lời giải. 1 x Đổi cận: x = e ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 0. ¯1 Z1 1 t3 ¯¯ 2 Khi đó I = t d t = ¯ = . 3 0 3 Đặt t = ln x ⇒ d t = d x. ä 0 Ze 2 I= 1 + ln x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1 ĐS: 3 2 - Lời giải. 1 x Đổi cận: x = e ⇒ t = 2; x = 1 ⇒ t = 1. ¯2 Z2 t2 ¯¯ 1 3 Khi đó I = t d t = ¯ = 2 − = . 2 1 2 2 Đặt t = 1 + ln x ⇒ d t = d x. ä 1 Ze 3 I= 1 + 2 ln x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1 ĐS: 2 - Lời giải. 2 x Đổi cận: x = e ⇒ t = 3; x = 1 ⇒ t = 1. ¯2 µ ¶ Z3 t 1 t2 ¯¯ 1 9 1 4 Khi đó I = dt = . ¯ = − = = 2. 2 2 2 1 2 2 2 2 Đặt t = 1 + 2 ln x ⇒ d t = d x. ä 1 Th.s Nguyễn Chín Em 291 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ze 4 I= Chương 3 - Giải tích 12 1 + ln4 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1 ĐS: 6 5 - Lời giải. 1 x Đổi cận: x = e ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 0. µ ¶¯1 Z1 ¡ ¢ t5 ¯¯ 1 6 4 Khi đó I = 1 + t d t = t + = 1+ = . ¯ 5 0 5 5 Đặt t = ln x ⇒ d t = d x. ä 0 Ze 5 I= 1 ln x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x(2 + ln x)2 3 2 ĐS: ln − 1 3 - Lời giải. 1 x Đổi cận: x = e ⇒ t = 3; x = 1 ⇒ t = 2. µ ¶ ¯3 Z3 Z3 Z3 t−2 t 2 2 ¯ 3 2 3 1 3 Khi đó I = dt = dt − d t = ln | t||2 + ¯ = ln + − 1 = ln − . 2 2 2 t 2 2 3 2 3 t t t Đặt t = 2 + ln x ⇒ d t = d x. 2 Ze 6 I= 1 2 ä 2 ln x − 2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x ln x + x ĐS: 1 − 3 ln 2 - Lời giải. 1 x Đổi cận: x = e ⇒ t = 2; x = 1 ⇒ t = 1. Z2 Z2 Z2 ¯2 1 t−3 ¯ Khi đó I = dt = dt − 3 d t = 1 − 3 ln | t| ¯ = 1 − 3 ln 2. t t 1 Đặt t = ln x + 1 ⇒ d t = d x. 1 1 ä 1 Bài 17. Tính các tích phân Ze 1 I= 1 ln2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x(1 + 2 ln x) ĐS: I = 1 1 − ln 3 4 8 - Lời giải. Đặt t = 1 + 2 ln x ⇒ ln x = Có  x = 1 ⇒ t = 1 1− t dt dx và = . 2 2 x  x = e ⇒ t = 3. Khi đó Z3 I= 1 µ 2 ¶ ¯3 ¯ t t 1 1 (1 − t)2 dt = − + ln t ¯¯ = ln 3. 8t 16 4 8 8 1 ä Th.s Nguyễn Chín Em 292 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ze 2 I= 1 Chương 3 - Giải tích 12 ln x + 1 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x ln x + 1 ĐS: I = ln(e + 1) - Lời giải. Ta có Ze I= 1 Ze+1 Đặt t = x ln x + 1 ⇒ I = ln x + 1 dx = x ln x + 1 Ze 1 d ( x ln x + 1) . x ln x + 1 ¯e+1 dt ¯ = ln t¯ = ln(e + 1). 1 t ä 1 Ze 3 I= 1 1 + ln x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 + x ln x µ ¶ e+2 ĐS: I = ln 2 - Lời giải. Ta có Ze I= 1 Ze+2 Đặt t = x ln x + 2 ⇒ I = 1 + ln x dx = 2 + x ln x Ze 1 d ( x ln x + 2) . x ln x + 2 µ ¶ ¯e+2 dt e+2 ¯ = ln t¯ = ln . 2 t 2 ä 2 Ze2 4 I= e 1 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x ln x · ln e x ĐS: I = ln 4 3 - Lời giải. Ta có Ze2 I= e Ze2 = e 1 dx x ln x · ln e x 1 d (ln x) ln x · (1 + ln x) Ze2µ = e Z2 µ Đặt t = ln x ⇒ I = 1 Ze 5 I= ¶ 1 1 d (ln x) − ln x 1 + ln x ¯ ¯¯ ¶ ¯ t ¯ ¯2 1 1 ¯ ¯ ¯ = ln 4 . − d t = ln ¯ t t+1 t + 1 ¯ ¯1 3 ä 2 x + ln x + 1 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1 Th.s Nguyễn Chín Em 293 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 ĐS: I = 2e − 1 2 - Lời giải. Ta có Ze I= 2 x + ln x + 1 dx x 1 Ze Ze 2 dx + = 1 Ze ln x d(ln x) + 1 1 dx x 1 µ ¶ ¯e ¯ ln2 x = 2x + + ln x ¯¯ 2 1 1 =2e − . 2 ä Z2 6 I= 1 + x ln x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 1 ĐS: I = 1 + (ln 2)2 2 - Lời giải. Ta có Z2 I= 1 + x ln x dx x2 1 Z2 = 1 ln x + dx x x2 1 µ ¶ ¯2 1 (ln2 x) ¯¯ = − + ¯ x 2 1 = 1 + (ln 2)2 . 2 ä Ze p 4 + ln x 7 I= d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1 ĐS: I = ¢ 2¡ p 5 5−8 3 - Lời giải. Ta có Ze p Ze p 4 + ln x I= dx = 4 + ln x d (ln x + 4) . x 1 Z5 Đặt t = ln x + 4 ⇒ I = p 1 ´ 2 3 ¯¯5 2 ³ p t dt = t 2 ¯ = 5 5 − 8 . 4 3 3 ä 4 Th.s Nguyễn Chín Em 294 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Ze p 1 + 3 ln x 8 I= d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1 ĐS: I = 14 9 - Lời giải. Ta có Ze Ze p 1 p 1 + 3 ln x dx = 1 + 3 ln x d(3 ln x + 1). I= x 3 1 1 Đặt t = 3 ln x + 1 ⇒ I = 1 3 Z4 p 2 3 ¯¯4 14 t dt = t 2 ¯ = . 9 1 9 ä 1 Bài 18. Tính các tích phân p Ze 1 + ln2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x p 8−1 ĐS: I = 3 ln x 1 I= 1 - Lời giải. p ln x d x Đặt t = 1 + ln2 x ⇒ t2 = 1 + ln2 x ⇒ t d t = . x  x = 1 ⇒ t = 1 Có p  x = e ⇒ t = 2. Khi đó p p p Z2 3 ¯¯ 2 t ¯ 8−1 2 . I = t dt = ¯ = 3 1 3 1 ä p Ze 1 2 I= 1 x p 1 − ln2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = π 6 - Lời giải. Ta có p e 1 Z I= 1 p Ze = x p 1 − ln2 x 1 p 1 − ln2 x 1 p dx d (ln x) . 1 2 Đặt t = ln x, với x = 1 ⇒ t = 0; x = e ⇒ t = . Khi đó 1 Z2 I= 0 Th.s Nguyễn Chín Em 1 d t. p 1 − t2 295 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Đặt t = sin u ⇒ d t = cos u du; với t = 0 ⇒ u = 0; với t = π Z6 Ta có I = 1 π ⇒u= . 2 6 π cos u du = . cos u 6 ä 0 Ze 3 I= p 3 2 + ln2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x ln x 1 ĐS: I = ´ 3³ 4 4 33 −23 8 - Lời giải. p 3 t2 d t ln x d x 3 Đặt t = 2 + ln2 x ⇒ t3 = 2 + ln2 x ⇒ = . Khi đó x 2  p x = 1 ⇒ t = 3 2 Có p  x = e ⇒ t = 3 3. p 3 3 p 3 ³ ´ 4 ¯¯ 3 3 3 t 3 ¯ = 3 3 43 − 2 43 . I= t dt = 3 2p 8 ¯p 8 2 Z 3 2 ä Ze 4 I= 1 ln3 x − 2 log2 x x p 1 + 3 ln2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = 4 2 − 27 3 ln 2 - Lời giải. Ta có Ze I= 1 ln3 x − 2 log2 x x p 1 + 3 ln2 x dx ln x ln 2 d(ln x) p 1 + 3 ln2 x Ze ln3 x − 2 = 1 Đặt t = p 1 + 3 ln2 x ⇒ 1 + 3 ln2 x = t2 ⇒ ln2 x = Với x = 1 ⇒ t = 1; x = e ⇒ t = 2. Ta có Z2 µ I= t2 − 1 1 ⇒ ln x d(ln x) = t d t. 3 3 ¶ ¢ 1¡ 2 2 dt t −1 − 9 3 ln 2 1 ¯2 µ ¶ ¯2 ¯ 1 t3 2 ¯¯ ¯ = −t ¯ − t 9 3 3 ln 2 ¯1 1 4 2 = − . 27 3 ln 2 ä Ze log32 x 5 I= 1 x p 2 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 + ln x Th.s Nguyễn Chín Em 296 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 ĐS: I = 1 (ln 2)3 µ p 10 − +2 3 3 ¶ - Lời giải. µ Ze log32 x Ta có I = 1 Ze x p 3 + ln2 x dx = 1 x ln x ln 2 ¶3 p 3 + ln2 x d x. ln x 3 + ln x ⇒ t = 3 + ln2 x ⇒ ln2 x = t2 − 3 ⇒ d x = t d t. x p Ta có x = 1 ⇒ t = 3; x = e ⇒ t = 2. Đặt t = p 2 2 Khi đó I= 1 Z2 (ln 2)3 p ¡ ¢ t2 − 3 d t 3 ¶¯ t3 ¯2 = − 3 t ¯p 3 (ln 2)3 3 µ ¶ p 1 10 = − +2 3 . 3 (ln 2)3 1 µ ä Ze 6 I= 1 xe x + 1 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x(e x + ln x) ĐS: I = ln(ee + 1) − 1 - Lời giải. Ta có Ze I= 1 xe x + 1 dx x(e x + ln x) Ze ¡ x ¢ 1 d e + ln x e x + ln x 1 ¯ ¯ ¯¯e = ln ¯e x + ln x¯ ¯ = 1 e = ln(e + 1) − 1. ä Ze2 7 I= e ( x2 + 1) ln x + 1 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x ln x ĐS: I = Th.s Nguyễn Chín Em 297 e4 e2 − + 1 + ln 2 2 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 - Lời giải. Ze2 I= e ( x2 + 1) ln x + 1 dx x ln x Ze2µ = e ¶ Ze2 1 d(ln x) dx + x+ x ln x e ¶ ¯e2 ¯ x + ln | x| + ln |ln x| ¯¯ = 2 e µ = 2 e4 e2 − + 1 + ln 2. 2 2 ä Ze2 8 I= 1 2 ln x − 1 x(8 ln2 x − 8 ln x + 3) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 ĐS: I = ln 19 3 - Lời giải. dx . x Ta có x = 1 ⇒ t = 0; x = e2 ⇒ t = 2. Đặt t = ln x ⇒ d t = Z2 I= 0 2t − 1 8 t2 − 8 t + 3 dt Z ¡ 2 ¢ 1 1 8 t − 8 t + 3 = d 8 8 t2 − 8 t + 3 ¯ ¯¯2 1 ¯¯ 2 = ln 8 t − 8 t + 3¯ ¯ 0 8 1 19 = ln . 8 3 ä Z5 9 I= 2 ¢ x−1+1 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p x−1+ x−1 ln ¡p ĐS: I = ln2 3 − ln2 2 Th.s Nguyễn Chín Em 298 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 - Lời giải. Z5 ¡p ¢ x−1+1 dx p x−1+ x−1 ln I= 2 Z5 ¢ x−1+1 p ¡p ¢ dx x−1 x−1+1 ln = 2 Z5 ¡p ¢ ´ ln x − 1 + 1 ³p ¡p ¢ d x−1+1 x−1+1 =2 2 Z5 =2 ¡p ln ³p ´ ³p ´ x − 1 + 1 d ln x − 1 + 1 2 = ln2 ³p ´ ¯5 ¯ x−1+1 ¯ 2 2 2 = ln 3 − ln 2. ä Z1 10 I = 0 ln(3 + x) − ln(3 − x) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 − x2 ĐS: I = 1 2 ln 2 12 - Lời giải. Ta có Z1 I= 0 ln(3 + x) − ln(3 − x) dx 9 − x2 3+ x 3 − x dx ( x + 3)(3 − x)2 Z1 (3 − x) ln = 0 1 = 6 Z1 0 µ ¶ 3− x 3+ x 3+ x ln d 3+ x 3− x 3− x Z1 ¶ µ ¶ 3+ x 3+ x ln d ln 3− x 3− x 0 µ ¶¯ 1 3 + x ¯1 = ln2 ¯ 12 3− x 0 1 = ln2 2. 12 1 = 6 µ ä Dạng: Zb I= ¡ ¢ f e x e x d x. a Th.s Nguyễn Chín Em 299 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 t = ex ⇒ d t = ex d x Đặt t = m + ne x ⇒ d t = ne x d x. · Z1 Ví dụ 11. Tính tích phân I = 2 xe x d x. ĐS: e−1 2 0 2 2 dt 2 Lời giải: Đặt t = e x ⇒ d t = 2 xe x d x ⇒ xex d x = . 2 Với x = 0 ⇒ t = 1 và x = 1 ⇒ t = e. Khi đó Ze I= 1 Z2 Ví dụ 12. Tính I = ¯e d t t ¯¯ e−1 = ¯ = . 2 2 1 2 2 (2 x − 1) e x− x d x. ĐS: I = 1 − e−2 0 2 2 Lời giải: Đặt t = e x−x ⇒ d t = (1 − 2 x)ex−x d x. Với x = 0 ⇒ t = 1 và x = 2 ⇒ t = e−2 . Khi đó Z1 I= e−2 ¯1 ¯ d t = t¯¯ = 1 − e−2 . −2 e Bài 19. Tính các tích phân Zln 2 1 I= ex (e x + 1)2 0 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = 1 6 - Lời giải. Đặt t = e x + 1, suy ra d t = e x d x Với x = 0 thì t = 2; với x = ln 2 thì t = 3. Z3 Vây I = 1 1 ¯¯3 1 d t = − ¯ = . t 2 6 t2 ä 2 Z3 2 I= 1 1 ex − 1 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = ln(e2 + e + 1) − 2 - Lời giải. Z3 ¶ Z3 µ x Z3 Z3 e x − (e x − 1) e 1 x I= dx = − 1 dx = d(e − 1) − d x. ex − 1 ex − 1 ex − 1 1 1 1 ¯31 ¯ Vậy I = (ln(ex − 1) − x) ¯¯ = ln(e2 + e + 1) − 2. ä 1 Zln 3 3 I= 0 1 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ex + 2 Th.s Nguyễn Chín Em 300 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 ĐS: I = 3e + 6 5e - Lời giải. ¶ Zln 3µ e x − (e x + 2) 1 ex dx = 1− x dx . ex + 2 2 e +2 0 0 ¯ln 3 µ ¶ ¯ 9 1 1 x ¯ Suy ra I = ( x − ln(e + 2)) ¯ = ln . 2 2 5 0 1 I =− 2 Zln 2 4 I= 0 Zln 3 ä 2e x − 1 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ex + 1 ĐS: I = ln 5 2 - Lời giải. Đặt t = e x , suy ra d t = e x d x. Z2 Suy ra I = 1 Z1 5 I= 0 2t − 1 dt = t2 + t Z2 1 d( t2 + t) −2 t2 + t Z2 µ 1 ¶ µ ¶ ¯2 ¯ 1 1 t 27 2 − d t = ln( t + t) − 2 ln = ¯¯ = ln . t t+1 t+1 16 1 ä ex d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e x + e− x 1 2 ĐS: I = ln e2 + 1 2 - Lời giải. Z1 I= 0 e2x 1 d x = 2 e2x + 1 Z1 0 ¯1 2 ¯ d(e2x + 1) 1 2x ¯ = 1 ln e + 1 . = ln(e + 1) ¯ 2 2 2 e2x + 1 0 ä Bài 20. Tính các tích phân Zln 5 1 I= ln 3 1 e x + 2e− x − 3 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = ln 3 2 - Lời giải. Zln 5 Ta có I = ln 3 Z5 Vậy, I = 3 Z1 2 I= ex d x. Đặt t = e x , suy ra d t = e x d x. 2x x e − 3e + 2 1 dt = ( t − 1)( t − 2) Z5 µ 3 ¯5 ¶ ¯ 3 1 1 d t = (ln( t − 2) − ln( t − 1)) ¯¯ = ln . − t−2 t−1 2 3 ä (1 + e x )3 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ex 0 ĐS: I = e2 1 1 + 3e − + . 2 e 2 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 301 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 1 + 3e x + 3e2x + e3x dx = ex I= 0 0 1 1 + . e 2 Z1 3 I= 0 Z1 Chương 3 - Giải tích 12 µ ¶ ¯1 ¡ −x ¢ 1 2x ¯¯ e2 x 2x −x x e + 3 + 3e + e d x = −e + 3 x + 3e + e ¯ = + 3e − 2 2 0 ä e−2x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + e− x 1 e ĐS: I = − + 1 − ln 2e 1+e - Lời giải. Z1 Ta có I = 0 dx = e2x + e x Z1 Ta tính I 1 = 0 Z1 µ 0 dx = x e +1 x Z1 0 ¶ 1 1 1 − d x = − + 1 − I1. ex ex + 1 e ex d x. e x (e x + 1) Ze x Đặt t = e ⇒ d t = e d x ⇒ I 1 = 1 2e 1 . ⇒ I = − + 1 − ln e 1+e Zln 2 4 I= 0 ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ t ¯ ¯e ¯ 2e ¯ dt ¯ ¯ = ln ¯ ¯ = ln ¯¯ ¯ e + 1 ¯. t( t + 1) t + 1 ¯ ¯1 ä e2x + 3e x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e2x + 3e x + 2 ĐS: I = ln 27 16 - Lời giải. Đặt t = e x ta có d t = e x d x. Z2 Suy ra I = 1 Zln 5 5 I= ln 2 t+3 d t. = t2 + 3 t + 2 Z2 µ 1 ¶ ¯2 2 1 27 ¯ − d t = (2 ln | t + 1| − ln | t + 2|) ¯ = ln . 1 t+1 t+2 16 ä e2x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p ex − 1 ĐS: I = 20 3 - Lời giải. p Đặt t = e x − 1 ⇒ e x = t2 + 1 ⇒ e x d x = 2 t d t. Z2 Suy ra I = 1 ¶ ¯2 ¯ 2 3 20 2( t + 1) d t = t + 2 t ¯¯ = . 3 3 1 2 µ ä Dạng: Zb f (sin x) cos x d x a · Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x t = m + n sin x ⇒ d t = n cos x d x. Th.s Nguyễn Chín Em 302 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 π Z4 Ví dụ 13. Tính I = 1 2 ĐS: I = ln 2 cot x d x. π 6 Lời giải: π π Z4 Ta có I = Z4 cot x d x = π 6 π 6 cos x d x. sin x Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x.  π 1   x = ⇒ t = 6 2 p Có   x = π ⇒ t = 2 . 4 2 p 2 Z2 Khi đó I = p ¯ 2 ¯ 2 1 dt = ln | t|¯¯ = ln 2. 1 t 2 2 1 2 π Z2 Ví dụ 14. Tính I = sin2 x cos x d x. ĐS: I = 1 3 ĐS: I = − 1 2 0 Lời giải: Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x.  x = 0 ⇒ t = 0 Có  x = π ⇒ t = 1. 2 Z1 ¯1 t3 ¯¯ 1 t dt = ¯ = . 3 0 3 2 Khi đó I = 0 π Z2 Ví dụ 15. Tính I = (1 − 3 sin x) cos x d x. 0 Lời giải: Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x.  x = 0 ⇒ t = 0 Có  x = π ⇒ t = 1. 2 Z1 Khi đó I = 0 ¶ ¯1 3 2 ¯¯ 1 (1 − 3 t) d t = t − t ¯ = − . 2 2 0 µ Bài 21. Tính các tích phân Th.s Nguyễn Chín Em 303 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 π Z4 1 I= cos3 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 p 5 2 ĐS: I = 12 - Lời giải. π Z4 Ta có I = π cos2 x cos x d x = 0 Z4 ¡ ¢ 1 − sin2 x cos x d x. 0 Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x.   x = 0 ⇒ t = 0 p Có  x = π ⇒ t = 2 . 4 2 p 2 Z2 Khi đó I = 0 p 2 3 ¶ ¯¯ 2 t p 5 2 ¯ = (1 − t ) d t = t − . 3 ¯0 12 µ 2 ä π Z3 2 I= cos5 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 p 49 3 ĐS: I = 160 - Lời giải. π Z3 Ta có I = π cos4 x cos x d x = 0 Z3 ¡ ¢2 1 − sin2 x cos x d x. 0 Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x.   x = 0 ⇒ t = 0 p Có  x = π ⇒ t = 3 . 3 2 p 3 Z2 Khi đó I = p 3 Z2 2 2 (1 − t ) d t = 0 ¡ 2 1 − 2t + t 0 4 ¢ p 3 5 ¶ ¯¯ 2 t p t 49 3 ¯ dt = t − 2 + = . 3 5 ¯0 160 µ 3 ä π Z6 3 I= 1 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos x 0 1 2 ĐS: I = ln 3 - Lời giải. π Z6 Ta có I = 0 Th.s Nguyễn Chín Em π 1 dx = cos x Z6 0 π cos x dx = cos2 x Z6 0 cos x 1 − sin2 x 304 d x. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x.   x = 0 ⇒ t = 0 Có π 1  x = ⇒ t = . 6 2 1 1 Z2 Z2 Khi đó I = 0 1 dt = 1 − t2 0 ¯1 µ ¶ ¯2 1 1 1 1 1 + d t = (ln |1 + t| − ln |1 − t|) ¯¯ = ln 3. 2 1+ t 1− t 2 2 0 ä π Z6 4 I= 1 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos3 x 0 ĐS: I = 1 1 + ln 3 3 4 - Lời giải. π π Z6 Ta có I = 1 dx = cos3 x 0 Z6 π cos x dx = cos4 x 0 Z6 cos x ¡ 0 1 − sin2 x ¢2 d x . Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x.   x = 0 ⇒ t = 0 Có 1 π  x = ⇒ t = . 6 2 Khi đó 1 1 Z2 Z2 I= 1 ¡ 0 1 Z2 = 0 1 − t2 ¢2 d t = 0 1 ¶¸2 Z2 · µ 1 1 1 1 − dt ¡ ¢2 d t = 2 t−1 t+1 t2 − 1 0 · ¸ 1 1 2 1 + − dt 4 ( t + 1)2 ( t − 1)2 ( t − 1)( t + 1) 1 Z2 = 0 µ · ¶¸ 1 1 1 1 1 + − dt − 4 ( t + 1)2 ( t − 1)2 t−1 t+1 µ ¶¯1 ¯2 1 1 1 − − − ln | t − 1| + ln | t + 1| ¯¯ = 4 t+1 t−1 0 1 1 = + ln 3. 3 4 ä π Z2 5 I= (1 + sin x)2 cos x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: I = 7 3 - Lời giải. Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x. Th.s Nguyễn Chín Em 305 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12  x = 0 ⇒ t = 0 Có  x = π ⇒ t = 1. 2 ¯1 Z1 ¯ 7 1 2 3¯ Khi đó I = (1 + t) d t = (1 + t) ¯ = . 3 0 3 0 ä π Z2 6 I= (1 + 2 sin x)3 cos x d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: I = 10 - Lời giải. Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x.  x = 0 ⇒ t = 0 Có  x = π ⇒ t = 1. 2 ¯1 Z1 ¯ 1 4¯ 3 Khi đó I = (1 + 2 t) d t = (1 + 2 t) ¯ = 10. 8 0 0 ä π Z2 7 I= sin 2 x sin3 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: I = 2 5 - Lời giải. π Z2 Ta có I = π sin 2 x sin3 x d x = 0 Z2 π 2 sin x cos x sin3 x d x = 2 0 Z2 sin4 x cos x d x 0 Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x.  x = 0 ⇒ t = 0 Có  x = π ⇒ t = 1. 2 ¯1 Z1 2 5 ¯¯ 2 4 Khi đó I = 2 t d t = t ¯ = . 5 0 5 0 ä π Z2 8 I= sin 2 x(1 + sin2 x)3 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: I = 15 4 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 306 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 π π Z2 Ta có I = 2 sin x cos x(1 + sin2 x)3 d x = 2 0 Z2 sin x(1 + sin2 x)3 cos x d x 0 Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x.  x = 0 ⇒ t = 0 Có  x = π ⇒ t = 1. 2 ¯1 Z1 ¯ 15 1 2 4¯ 2 3 Khi đó I = 2 t(1 + t ) d t = (1 + t ) ¯ = . 4 4 0 0 ä π Z2 9 I= 0 cos x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + sin x ĐS: I = ln 2 - Lời giải. Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x.  x = 0 ⇒ t = 0 Có  x = π ⇒ t = 1. 2 ¯1 Z1 ¯ 1 Khi đó I = d t = ln |1 + t|¯¯ = ln 2. 1+ t 0 0 ä π Z2 10 I = 0 cos x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 − 2 sin x 1 2 1 2 ĐS: I = ln 5 − ln 3 - Lời giải. Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x.  x = 0 ⇒ t = 0 Có  x = π ⇒ t = 1. 2 ¯1 Z1 ¯ 1 1 1 1 Khi đó I = d t = − ln |5 − 2 t|¯¯ = ln 5 − ln 3. 5 − 2t 2 2 0 2 0 ä Bài 22. Tính các tích phân π Z2 1 I= 0 sin 2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + sin x ĐS: I = 2 − 2 ln 2 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 307 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ π π Z2 Ta có I = 0 Chương 3 - Giải tích 12 sin 2 x dx = 1 + sin x Z2 2 sin x cos x d x. 1 + sin x 0 Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x. π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 1. Z1 Khi đó I = 2 I= − π2 ä 0 0 Z0 2 ¶ Z1 µ ¯1 2 2t ¯ dt = 2− d t = (2 t − 2 ln | t + 1|) ¯ = 2 − 2 ln 2. 0 1+ t 1+ t sin 2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 + sin x)2 ĐS: I = 2 ln 2 - Lời giải. Z0 sin 2 x dx = (2 + sin x)2 Ta có I = − π2 Z0 − π2 2 sin x cos x d x. (2 + sin x)2 Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x. π Đổi cận: x = − ⇒ t = −1; x = 0 ⇒ t = 0. Z0 Khi đó I = −1 π 2 Z 3 I= 0 2 2t dt = (2 + t)2 Z0 µ −1 ¶ µ ¶ 4 4 ¯¯0 2 − d t = 2 ln | t + 2| + ¯ = 2 ln 2. 2 + t (2 + t)2 2 + t −1 ä (2 sin x − 3) cos x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 sin x + 1 ĐS: I = 1 − 2 ln 3 - Lời giải. Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = Z1 Khi đó I = 0 π 4 Z 4 I= 0 2t − 3 dt = 2t + 1 π 2 Z1 µ 0 ⇒ t = 1. ¶ ¯1 4 ¯ 1− d t = ( t − 2 ln |2 t + 1|) ¯ = 1 − 2 ln 3. 0 2t + 1 ä cos 2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + 2 sin 2 x 1 4 ĐS: I = ln 3 - Lời giải. 1 2 Đặt t = sin 2 x ⇒ d t = 2 cos 2 x d x ⇒ cos 2 x d x = d t. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 Khi đó I = 2 Z1 0 π 4 ⇒ t = 1. ¯1 1 1 1 ¯ d t = ln |2 t + 1|¯ = ln 3. 0 2t + 1 4 4 ä π Z2 5 I= π 6 cos3 x sin2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Th.s Nguyễn Chín Em 308 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 ĐS: I = 1 2 - Lời giải. π Z2 Ta có I = π cos3 x sin2 x π 6 Z2 dx = π cos2 x cos x sin2 x π 6 dx = ¢ Z2 ¡ 1 − sin2 x cos x sin2 x π 6 d x. Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x. 1 π ⇒ t = ; x = ⇒ t = 1. 6 2 2 ¶ µ ¶ ¯1 Z1 Z1 µ 2 ¯ 1 1 1− t 1 Khi đó I = dt = − 1 d t = − − t ¯¯ = . 2 2 1 t 2 t t Đổi cận x = π 1 2 ä 2 1 2 π Z2 6 I= π 4 cos3 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + sin x p 3 2 ĐS: I = − 4 2 - Lời giải. π π Z2 2 cos x · cos x dx = 1 + sin x Ta có I = π 4 π Z2 = π 4 ¢ Z2 ¡ 1 − sin2 x · cos x 1 + sin x π 4 dx ä p ¶ ¯ π2 ¯ 1 3 2 2 ¯ (1 − sin x) d(sin x) = sin x − sin x ¯ = − . π 2 4 2 µ 4 π Z2 7 I= ¡ ¢ cos 2 x sin4 x + cos4 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: I = 5 12 - Lời giải. 1 2 ¢2 Ta có sin4 x + cos4 x = sin2 x + cos2 x − 2 sin2 x cos2 x = 1 − sin2 2 x. ¡ π ¶ Z2 µ 1 2 1 − sin 2 x cos 2 x d x. Do đó I = 2 0 1 2 Đặt sin 2 x = t ⇒ 2 cos 2 x d x = d t ⇒ cos 2 x d x = d t. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 Khi đó I = 2 π 2 ⇒ t = 1. ¶ µ ¶ ¯1 Z1 µ 1 2 1 1 3 ¯¯ 5 1 − t dt = t− t ¯ = . 2 2 6 12 0 ä 0 π Z6 8 I= 0 cos x 6 − 5 sin x + sin2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = ln 10 9 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 309 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Đặt t = sin x ⇒ d t = cos x d x. π 1 ⇒t= . 6 2 1 1 2 2 ¯ ¯¯1 ¶ Z Z µ ¯ t −3¯¯2 1 1 1 ¯ ¯ = ln 10 . Khi đó I = dt = − d t = ln ¯¯ 2 t−3 t−2 t − 2 ¯ ¯0 9 t − 5t + 6 Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = 0 ä 0 π 2 9 I= Z ³ ´ esin x + cos x cos x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: I = 4e + π − 4 4 - Lời giải. π Z2 Ta có I = Z e 0 esin x cos x d x + 0 π 2 I1 = π Z cos x d x = π Z2 I2 = π 1 cos x d x = 2 2 0 Z2 0 cos2 x d x. 0 π 2 sin x Z2 e sin x d(sin x) = ¯π ¯2 esin x ¯ 0 = e − 1. 0 µ ¶ ¯ π2 ¯ 1 1 π (1 + cos 2 x) d x = x + sin 2 x ¯¯ = . 2 2 4 0 4e + π − 4 Vậy I = I 1 + I 2 = . 4 ä π Z2 ¡ 3 ¢ cos x − 1 cos2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 I = 0 ĐS: I = 8 π − 15 4 - Lời giải. π Z2 Ta có I = π 2 Z I1 = π ¡ 3 ¢ cos x − 1 cos2 x d x = 0 5 cos x d x = 0 Z = cos2 x d x. 0 ¡ ¢2 1 − sin2 x cos x d x µ ¶ ¯ π2 ¯ ¡ 4 ¢ 1 2 8 2 5 3 sin x − 2 sin x + 1 d(sin x) = sin x − sin x + sin x ¯¯ = . 5 3 15 0 π Z2 I2 = cos5 x d x − Z2 0 π 2 0 π 0 π 2 Z Z2 π 1 cos x d x = 2 2 0 Z2 0 µ ¶ ¯ π2 ¯ 1 1 π (1 + cos 2 x) d x = x + sin 2 x ¯¯ = . 2 2 4 0 8 π Vậy I = I 1 − I 2 = − . 15 4 ä π Z2 p 1 + sin x cos x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I = 0 p 4 2−2 ĐS: I = 3 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 310 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 p 1 + sin x = t ⇒ 1 + sin x = t2 ⇒ cos x d x = 2 t d t. p π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 2. 2 p p p Z2 2 3 ¯¯ 2 4 2 − 2 2 Khi đó I = 2 t d t = t ¯ = . 3 1 3 Đặt ä 1 π Z2 12 I = p cos x 3 sin x + 1 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: I = 14 9 - Lời giải. p 2 3 sin x + 1 = t ⇒ 3 sin x + 1 = t2 ⇒ cos x d x = t d t. 3 π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 2. 2 Z2 2 2 3 ¯¯2 14 2 Khi đó I = t dt = t ¯ = 3 9 1 9 Đặt ä 1 π Z2 13 I = 0 cos x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 2 + 3 sin x + 1 ĐS: I = 2 4 3 + ln 3 3 4 - Lời giải. p 2 3 sin x + 1 = t ⇒ 3 sin x + 1 = t2 ⇒ cos x d x = t d t. 3 π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 2. 2 ¶ Z2 Z2 µ ¯2 2 4 3 2 t 2 2 2 ¯ Khi đó I = dt = d t = ( t − 2 ln | t + 2|) ¯ = + ln . 1− 1 3 2+ t 3 t+2 3 3 3 4 Đặt 1 ä 1 Dạng: Zb I= f (cos x) sin x d x. a · Phương pháp giải: Đặt t = cos x ⇒ d t = − sin x d x. . t = m + n cos x ⇒ d t = − n sin x d x π Z3 Ví dụ 16. Tính I = ĐS: I = − ln tan x d x. 0 1 2 π Z3 Lời giải: Ta có I = sin x d x. cos x 0 Đặt cos x = t ⇒ − sin x d x = d t. π 1 Đổi cận x = ⇒ t = ; x = 0 ⇒ t = 1. 3 Th.s Nguyễn Chín Em 2 311 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 1 Z2 Khi đó I = ¯1 1 1 ¯2 − d t = (− ln | t|) ¯ = − ln . 1 t 2 1 π Z4 Ví dụ 17. Tính I = p 1 2 ĐS: I = − 3 12 2 cos x sin x d x. 0 Lời giải: Đặt cos x =p t ⇒ − sin x d x = d t. π 2 ; x = 0 ⇒ t = 1. 2 p4 2 p µ 3 ¶ ¯ p2 Z2 t ¯2 2 1 2 Khi đó I = − t d t = − . ¯ = − 3 1 3 12 Đổi cận x = ⇒t= 1 π Z3 Ví dụ 18. Tính I = sin x cos4 x d x. ĐS: I = 31 160 0 Lời giải: Đặt cos x = t ⇒ − sin x d x = d t. π 1 ⇒ t = ; x = 0 ⇒ t = 1. 3 2 1 µ 5 ¶¯1 Z2 t ¯2 31 4 Khi đó I = − t d t = − . ¯ = 5 1 160 Đổi cận x = 1 Bài 23. Tính các tích phân π Z3 1 I= sin3 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: I = 5 24 - Lời giải. π Z3 Ta có I = ¡ ¢ 1 − cos2 x sin x d x. 0 Đặt cos x = t ⇒ − sin x d x = d t. Đổi cận x = π 1 ⇒t= . 3 2 1 Z2 Khi đó I = ¡ − 1− t 1 ¢ 2 Z1 dt = ¡ 1 2 1− t 2 ¢ ¶ 1 3 ¯¯1 5 dt = t − t ¯ 1 = 3 24 2 µ ä π Z6 2 I= sin5 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 p 49 3 8 ĐS: I = − + 15 160 - Lời giải. π Z6 Ta có ¡ ¢2 1 − cos2 x sin x d x. 0 Đặt cos x = t ⇒ − sin x d x = d t. Th.s Nguyễn Chín Em 312 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 p 3 Đổi cận x = ⇒ t = ; x = 0 ⇒ t = 1. 2 p6 3 p ¶ ¯1 µ Z2 Z1 ¯ ¡ ¢ ¡ 4 ¢ 49 1 5 2 3 3 8 2 2 2 Khi đó I = − 1 − t d t = + . t − 2 t + 1 d t = t − t + 1 ¯¯ p = − 3 5 3 160 15 p π 1 ä 2 3 2 π Z2 3 I= 0 sin x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + cos x ĐS: I = ln 2 - Lời giải. π Z2 I= 0 ¯π − d(1 + cos x) ¯2 = − ln |1 + cos x| ¯ = ln 2. 0 1 + cos x ä π Z3 4 I= sin x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos2 x 0 ĐS: I = 1 - Lời giải. π Z3 I= 0 Zπ 5 I= ¯π 1 ¯¯ 3 − d(cos x) = = 1. cos x ¯0 cos2 x ä sin 2 x cos2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: I = 0 - Lời giải. Zπ Ta có I = Zπ 3 2 sin x cos x d x = −2 0 ¯π 1 ¯ cos3 x d(cos x) = − cos4 x¯ = 0. 0 2 ä 0 π Z2 6 I= sin x cos x(1 + cos x)2 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: I = 17 12 - Lời giải. π Z2 I= sin x cos x(1 + cos x)2 d x 0 π Z2 =− ¡ 3 ¢ cos x + 2 cos2 x + cos x d(cos x) 0 ¶ ¯ π2 ¯ 1 2 1 17 = − cos4 x + cos3 x + cos2 x ¯¯ = . 4 3 2 12 0 µ ä Th.s Nguyễn Chín Em 313 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 π Z2 7 I= 0 4 sin3 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + cos x ĐS: I = 2 - Lời giải. I= π ¢ Z2 ¡ 4 1 − cos2 x sin x 1 + cos x 0 π Z2 d x = −4 ¡ ¢ ¯¯ π2 (1 − cos x) d(cos x) = 2 cos2 x − 4 cos x ¯ = 2. ä 0 0 π Z3 8 I= sin2 x tan x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 3 8 ĐS: I = − + ln 2 - Lời giải. π Z3 Ta có I = π 3 sin x dx = cos x 0 ¢ Z3 ¡ 1 − cos2 x sin x cos x dx 0 π 3 Z µ =− ä ¶¯π ¯3 1 3 1 2 − cos x d(cos x) = cos x − ln | cos x| ¯¯ = − + ln 2. cos x 2 8 ¶ µ 0 0 π Z2 9 I= 0 sin 2 x cos x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + cos x p 2 2−3 4 ĐS: I = + 2 ln p 2 2+ 2 - Lời giải. π Z2 Ta có 0 2 cos2 x sin x d x, 1 + cos x Đặt cos x = t ⇒ − sin p x d x = d t. π 2 ; x = 0 ⇒ t = 1. 2p 2 2 p ¶ Z2 Z1 µ ¡ 2 ¢ ¯¯1 2 t2 2 2 2−3 4 p Khi đó I = − dt = 2t − 2 + d t = t − 2 t + 2 ln | t + 1| ¯ 2 = + 2 ln p . ä t+1 t+1 2 2+ 2 2 p Đổi cận x = ⇒t= 1 2 2 Bài 24. Tính các tích phân π Z2 1 I= 0 sin 2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 cos2 x + 1 1 3 ĐS: I = ln 8 5 - Lời giải. π Z2 Ta có 0 2 cos x sin x d x. 3 cos2 x + 1 Đặt cos x = t ⇒ − sin x d x = t. Th.s Nguyễn Chín Em 314 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 p 2 ; x = 0 ⇒ t = 1. Đổi cận x = ⇒ t = 2 p2 2 ¢ Z1 ¡ 2 Z2 ¯1 d 3t + 1 1 1 −2 t 1 8 ¯p 2 d t = = ln | 3 t + 1 | ln . Khi đó I = = ¯ 2 3p 3 3 5 3 t2 + 1 3 t2 + 1 2 π 1 ä 2 2 π Z2 2 I= 0 sin 2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 − cos2 x ĐS: I = ln 4 3 - Lời giải. π Z2 Ta có I = 0 2 cos x sin x d x. 4 − cos2 x Đặt cos x = t ⇒ − sin x d x = d t. Đổi cận x = π ⇒ t = 0; x = 0 ⇒ t = 1. 2 ¶ Z0 Z1 Z1 µ ¯1 1 1 2t 2t 4 ¯ Khi đó I = − dt = dt = − d t = (− ln |2 − t| − ln |2 + t|) ¯ = ln . 2 2 0 2− t 2+ t 3 4− t 4− t 1 π 2 Z 3 Tính I = 0 0 ä 0 sin 4 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + cos2 x 3 2 ĐS: I = 2 − ln 5 - Lời giải. π Z2 Ta có I = 0 4 sin 2 x cos 2 x d x. 3 + cos 2 x Đặt cos 2 x = t ⇒ −2 sin 2 x = d t. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1; x = π ⇒ t = −1. 2 ¶¯ ¶ µ Z−1 Z1 µ 3 2t 3 3 ¯1 Khi đó I = − dt = 1− d t = t − ln |2 t + 3| ¯ = 2 − ln 5. −1 2t + 3 2t + 3 2 2 1 ä −1 π Z2 4 I= 0 sin3 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + cos2 x ĐS: I = π−2 2 - Lời giải. π Ta có I = ¢ Z2 ¡ 1 − cos2 x sin x 1 + cos2 x 0 d x. Đặt cos x = t ⇒ − sin x d x = d t. Đổi cận x = π ⇒ t = 0; x = 0 ⇒ t = 1. 2 ¶ Z0 Z1 Z1 µ Z1 Z1 1 − t2 1 − t2 2 2 Khi đó I = − d tI = dt = − 1 dt = d t − d t. 1 + t2 1 + t2 1 + t2 1 + t2 1 Th.s Nguyễn Chín Em 0 0 0 315 0 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 5 I1 = 0 Chương 3 - Giải tích 12 2 d t. 1 + t2 ¡ ¢ 1 2 d u = 1 + tan u d u. cos2 u π Đổi cận t = 0 ⇒ u = 0; t = 1 ⇒ u = . 4 π 4 Z ¯π π ¯4 Khi đó I 1 = 2 du = 2 u¯ = . 0 2 Đặt t = tan u ⇒ d t = 0 Z1 I2 = ¯1 ¯ d t = t ¯ = 1. 0 0 Vậy I = I 1 − I 2 = π 2 −1 = π−2 2 . ä π 6 Tính I = Z4 ³ x´ 1 + tan x tan sin x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 p ĐS: I = ln 2 - Lời giải. x x 2 sin2 sin x sin 2 x 2 = 1 + 1 − cos x = 1 . · = 1+ Ta có 1 + tan x tan = 1 + x 2 cos x cos cos x cos x cos x 2 π p Z4 ¯π p 2 sin x ¯4 d x = − ln | cos x|¯ = − ln = ln 2. Suy ra I = 0 cos x 2 ä 0 π Z2 7 Tính I = 0 sin x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos 2 x + 3 cos x + 2 ĐS: I = ln 3 2 - Lời giải. π Z2 Ta có I = 0 sin x d x 2 cos2 x + 5 cos x + 1 d x. Đặt cos x = t → d t = − sin x d x. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1; x = Z1 Khi đó I = − 0 3 ln . 2 π 2 ⇒ t = 0. dt = 2 2t + 3t + 1 Z0 1 dt = (2 t + 1)( t + 1) Z1 0 2 dt − 2t + 1 Z1 0 ¯1 ¯1 1 ¯ ¯ d t = ln |2 t + 1|¯ − ln | t + 1|¯ = 0 0 t+1 ä π Z2 8 Tính I = π 3 sin x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos 2 x − cos x 2 3 ĐS: I = − ln 2 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 316 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 π Z2 Ta có π 3 sin x 2 cos2 x − cos x − 1 d x. Đặt cos x = t ⇒ d t = − sin x d t. 1 π ⇒ t = ; x = ⇒ t = 0. 3 2 2 1 1 1 0 Z Z2 Z2 Z2 ¯1 1 ¯1 1 1 dt dt dt 2 dt ¯2 ¯2 = − = ln | t − 1 | ln | 2 t + 1 | Khi đó I = − = − ¯ ¯ = 0 3 0 ( t − 1)(2 t + 1) 3 t − 1 3 2 t + 1 3 2 t2 − t − 1 π Đổi cận x = 0 1 2 0 0 2 − ln 2 3 ä π Z3 9 I= sin x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos3 x 0 ĐS: I = 3 2 - Lời giải. Đặt cos x = t ⇒ d t = − sin x d x. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 Z2 Khi đó I = − 1 π 1 ⇒t= . 3 2 dt 1 ¯¯1 3 = − ¯ = . t3 2 t2 12 2 ä Dạng: Zb I= f (tan x) a Phương pháp giải: Đặt t = tan x ⇒ d t = Zb Tính I = f (cot x) a 1 sin2 x 1 d x. cos2 x ¡ ¢ 1 2 d x = 1 + tan x d x. cos2 x d x. Phương pháp giải: Đặt t = cot x ⇒ d t = − 1 sin2 x ¡ ¢ d x = − 1 + cot2 x d x. π Z4 Ví dụ 19. Tính I = π 4 Z Lời giải: I = (1 + tan x)2 d x. cos2 x 0 ĐS: I = 7 3 π (1 + tan x)2 dx = cos2 x 0 Z4 ¯π 7 1 3¯ 4 (1 + tan x) d(1 + tan x) = (1 + tan x) ¯ = . 0 3 3 2 0 π 4 p p 5 5−2 2 ĐS: I = 9 Z p 2 + 3 tan x Ví dụ 20. Tính I = d x. 1 + cos 2 x 0 π π Z4 p Z4 p 2 + 3 tan x 2 + 3 tan x Lời giải: Ta có I = dx = d x. 1 + cos 2 x 2 cos2 x 0 0 p Đặt 2 + 3 tan x = t ⇒ 2 + 3 tan x = t2 ⇒ Th.s Nguyễn Chín Em 1 2 d x = t d t. 2 3 cos x 317 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ p Đổi cận x = 0 ⇒ t = 2; x = p Z5 Khi đó I = p 2 π ⇒t= Chương 3 - Giải tích 12 p 5. p4 p p p Z5 t 2 1 3 ¯¯ 5 5 5 − 2 2 1 2 t d t = t ¯p = · t dt = . 2 2 3 3p 9 9 2 π Ví dụ 21. Tính I = ¢ Z4 ¡ cos x + etan x sin x cos3 x 0 π Z4 Lời giải: Ta có I = π 4 Z I1 = π cos x sin x dx + cos3 x 0 sin x dx = cos2 x 0 Tính I 2 = Z Z4 π e tan x sin x dx = cos3 x 0 Z4 0 π sin x dx + cos2 x Z4 tan xetan x d x. cos2 x 0 − d(cos x) 1 ¯¯ π4 p = ¯ = 2 − 1. cos x 0 cos2 x 0 π Z4 π 4 p ĐS: I = 2 d x. tan xetan x d x. cos2 x 0 1 d x = d t. cos2 x π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 1. 4 Z1 ¯1 t t t ¯ Khi đó I 2 = te d t = ( te − e )¯ = 1. Đặt tan x = t ⇒ 0 0 p Vậy I = I 1 + I 2 = 2. Bài 25. Tính các tích phân π Z6 1 I= tan4 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos 2 x 0 Ãp ! 1 3+1 10 ĐS: I = − p + ln p 9 3 2 3−1 - Lời giải. Ta có cos 2 x = 1 − tan2 x . 1 + tan2 x ¡ ¢ Z tan4 x 1 + tan2 x π 6 Nên I = 0 1 − tan2 x d x. ¡ ¢ 1 d x = d t hay 1 + tan2 x d x = d t. 2 cos x 1 π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ t = p . 6 3 Đặt tan x = t ⇒ Th.s Nguyễn Chín Em 318 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ p1 Z3 Khi đó I = 0 p1 3 p1 4 t dt = 1 − t2 Z µ = 0 Chương 3 - Giải tích 12 Z 3µ 0 ¶ 1 dx −t − 1 + 1 − t2 2 ä ¶ 1 1 −t − 1 + + dx 2(1 − t) 2(1 + t) 2 Ãp ! ¶ ¯ p1 3+1 1 3 1 1 10 1 ¯ 3 = − t − t − ln |1 − t| + ln |1 + t| ¯ = − p + ln p . 0 3 2 2 9 3 2 3−1 µ π Z3 2 dx ....................................................................... sin x cos3 x Tính I = π 4 p ĐS: I = 1 + ln 3 - Lời giải. Chia cả tử và mẫu của hàm dưới dấu tích phân cho cos4 x ta được π Z3 I= π 4 π 1 ¢¡ ¢ Z3 ¡ 4 1 + tan2 x 1 + tan2 x cos x d x = d x. tan x tan x π 4 Đặt tan x = t ⇒ 1 + tan2 x d x = d t. p π π Đổi cận x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 3. ¡ p4 Z3 Khi đó I = ¢ 1 + t2 dt = t 1 p3 Z 3µ ¶ µ ¶ p p 1 1 2 ¯¯ 3 + t d t = ln | t| + t ¯ = 1 + ln 3. 1 t 2 ä 1 Bài 26. Tính các tích phân π Z6 1 I= 0 1 5 cos2 x − 8 sin x cos x + 3 sin2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 1 5 3−3 ĐS: I = ln p 2 5 3−5 - Lời giải. Chia cả tử và mẫu của hàm dưới dấu tích phân cho cos2 x ta được π Z6 I= 0 π 1 Z6 1 + tan2 x cos2 x d x = d x. (tan x − 1) (3 tan x − 5) 5 − 8 tan x + 3 tan2 x 0 Đặt tan x = t ⇒ 1 + tan2 x d x = d t. ¡ Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = ¢ π 1 ⇒t= p . 6 3 p1 Z3 p1 ¸ 3 1 Khi đó I = − dt 2(3 t − 5) 2( t − 1) 0 0 p µ ¶ ¯ p1 1 1 ¯ 3 1 5 3−3 = ln |3 t − 5| − ln | t − 1| ¯ = ln p . 0 2 2 2 5 3−5 Th.s Nguyễn Chín Em 1 dt = ( t − 1) (3 t − 5) Z 3· 319 ä https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 π Z2 2 I= 1 2 sin x + 3 sin x cos x + 1 π 4 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = ln 4 3 - Lời giải. Chia cả tử và mẫu của hàm số dưới dấu tích phân cho sin2 x ta được 1 π Z2 sin x I= 1 + 3 cot x + π 4 π Z2 2 dx = 1 π 4 sin2 x 1 + cot2 x cot2 x + 3 cot x + 2 d x. 1 ¡ ¢ 2 d x = d t hay − 1 + cot x d x = d t. sin2 x π π Đổi cận x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 0. 4 2 ¯ ¯¯ ¶ Z0 Z1 Z1 µ ¯ t + 1 ¯ ¯1 1 1 1 1 ¯ ¯ ¯ = ln 4 . Khi đó I = − − d t = ln ¯ dt = dt = 2 2 t+1 t+2 t + 2 ¯ ¯0 3 t + 3t + 2 t + 3t + 2 Đặt cot x = t ⇒ − 1 0 ä 0 π Z4 3 I= π 6 sin x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 cos x + 5 cos2 x sin x p p p 1 2+ 3 2 2 3+1 ĐS: I = ln 3 + ln p − ln p 6 3 3 3 - Lời giải. Chia cả tử và mẫu của hàm số dưới dấu tích phân cho cos3 x ta được π Z4 I= π 6 tan x 1 cos2 x 2 + 5 tan x cos2 x π Z4 dx = π 6 ¡ ¢ tan x 1 + tan2 x 2 tan2 x + 5 tan x + 2 d x. Đặt tan x = t ⇒ 1 + tan2 x d x = d t. ¡ ¢ π 1 π ⇒ t = p ; x = ⇒ t = 1. 6 4 3 Z1 Z1 t t Khi đó I = dt = dt 2 (2 t + 1)( t + 2) 2t + 5t + 2 Đổi cận x = p1 3 Z1 · = p1 3 p1 3 ¸ µ ¶ ¯1 ¯ 2 1 2 1 − dt = ln | t + 2| − ln |2 t + 1| ¯¯ 3( t + 2) 3(2 t + 1) 3 6 p1 ä 3 p p p 1 2+ 3 2 2 3+1 = ln 3 + ln p − ln p . 6 3 3 3 π Z4 4 I= − π4 sin x(2 − sin 2 x) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos3 x ĐS: I = π − 4 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 320 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 ¡ ¢ sin x(2 − sin 2 x) 2 sin x − 2 sin2 x cos x 1 1 2 = · = 2 tan x − 2 sin x · cos x cos3 x cos2 x cos2 x ¡ ¢ 1 2 tan x − 2 = 2 tan x − 2 + 2 cos2 x · = + 2. 2x 2x cos cos π π π ¶ Z4 µ Z4 Z4 2 tan x − 2 Suy ra I = + 2 d x = (2 tan x − 2) d(tan x) + 2 d x cos2 x Ta có − π4 − π4 ä − π4 ¯π ¡ ¢ ¯¯ π4 ¯4 = tan2 x − 2 tan x ¯ π + 2 x¯ π = π − 4. −4 −4 Bài 27. Tính các tích phân π Z4 1 I= tan3 x − 3 sin2 x − sin 2 x − 3 cos2 x 0 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 5 + 7 ln 2 − 6 ln 3 2 - Lời giải. Ta có tan3 x − 3 2 sin x − sin 2 x − 3 cos2 x = tan3 x − 3 tan2 x − 2 tan x − 3 · 1 cos2 x ¶ 1 6 1 + = tan x + 2 + · tan x − 3 tan x + 1 cos2 x µ 1 dx cos2 x π x = 0 ⇒ t = 0, x = ⇒ t = 1. 4 Đặt t = tan x ⇒ d t = Khi đó Z1 µ I= 0 ¶ 6 1 t+2+ + dt t−3 t+1 ¶¯1 ¯ t2 + 2 t + 6 ln | t − 3| + ln | t + 1| ¯¯ = 2 0 1 = + 2 + 6 ln 2 + ln 2 − 6 ln 3 2 5 = + 7 ln 2 − 6 ln 3. 2 µ Vậy I = 5 + 7 ln 2 − 6 ln 3. 2 ä π Z4 2 I= 0 1 + sin 2 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 sin x cos3 x + cos4 x 1 8 ĐS: 1 + ln 3 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 321 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Ta có 1 + sin 2 x 1 + 2 sin x cos x ¡ ¢ = 2 sin x cos3 x + cos4 x cos2 x 2 sin x cos x + cos2 x 1 tan2 x + 2 tan x + 1 · 2 tan x + 1 cos2 x ¶ µ 1 1 3 1 1 = . tan x + + · 2 4 4 2 tan x + 1 cos2 x = 1 dx cos2 x π x = 0 ⇒ t = 0, x = ⇒ t = 1. Khi đó 4 Đặt t = tan x ⇒ d t = Z1 µ ¶ 1 3 1 1 t+ + · dt I= 2 4 4 2t + 1 0 µ ¶¯1 ¯ 1 2 3 1 = t + t + ln |2 t + 1| ¯¯ 4 4 8 0 1 = 1 + ln 3. 8 1 8 Vậy I = 1 + ln 3. ä π Z4 3 I= sin4 x + 1 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos4 x 0 ĐS: π 4 + 2 3 - Lời giải. Ta có sin4 x + 1 (1 − cos2 x)2 + 1 = cos4 x cos4 x 2 2 = 1− + cos2 x cos4 x ¡ ¢ 2 1 2 = 1− + 2 1 + tan x · . cos2 x cos2 x Th.s Nguyễn Chín Em 322 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Khi đó π Z4 µ I= ¶ ¡ ¢ 1 2 2 1− + 2 1 + tan x · dx cos2 x cos2 x 0 π π Z4 µ 1− = 2 dx + 2 cos2 x ¶ 0 Z4 ¡ ¢ 1 + tan2 x · 1 dx cos2 x 0 π 4 π 4 Z = ( x − 2 tan x)|0 + 2 ¡ ¢ 1 + tan2 x d (tan x) 0 ¶¯ π tan3 x ¯¯ 4 = − 2 + 2 tan x + ¯ 4 3 0 µ ¶ π 1 = −2+2 1+ 4 3 π 2 = + . 4 3 π Vậy I = µ π 2 + . 4 3 ä π Z4 4 I= 1 cos4 x sin2 x π 6 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 36 + 8 3 ĐS: 27 - Lời giải. Ta có 1 cos4 x sin2 x Khi đó = sin2 x + cos2 x cos4 x sin2 x = ¡ ¢ 1 4 4 1 2 + + = 1 + tan x . 4 2 2 cos x sin 2 x cos x sin2 2 x π I= Z4 µ ¡ π 6 ¶ 1 4 dx 1 + tan x + cos2 x sin2 2 x 2 ¢ π Z4 = π ¡ 1 + tan2 x d (tan x) + ¢ π 6 Z4 π 6 4 sin2 2 x dx p µ ¶¯ π4 ¯ tan3 x 36 + 8 3 = tan x + − 2 cot 2 x ¯¯ = . π 3 27 6 ä π Z6 5 I= 0 1 ¡ ¢ dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos x cos x + π4 à p ! p 3− 3 ĐS: − 2 ln 3 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 323 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 p p 2 2 1 ¢ ¡ = . Ta có = · cos2 x − sin x cos x cos2 x 1 − tan x cos x cos x + π4 1 π p Khi đó I = 2 Z6 µ 0 à p ! ¶ ¯π p p 3− 3 1 ¯6 d (tan x) = − 2 ln |1 − tan x|¯ = − 2 ln . 0 1 − tan x 3 ä π Z3 1 ¡ ¢ dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin x sin x + π6 6 I= π 6 ĐS: −2 ln 2 3 - Lời giải. 1 1 ·p . sin x sin x + sin x 3 + cot x p 1 Đặt t = 3 + cot x ⇒ d t = − 2 d x. sin x p p p p π 3 4 3 π = . Đổi cận : x = ⇒ t = 2 3, x = ⇒ t = 3 + 6p 3 3 3 Ta có ¡ π 6 ¢= 2 2 4 3 Z3 Khi đó I = −2 p 2 3 p 4 3 p 4 3 1 2 3 3 d t = −2 ln | t|| p = −2 ln p = −2 ln 2 3 t 3 2 3 ¯ ¯ ¯p 1 ¯¯ ¯ ¶ Z µ ¯ 3+ p ¯ ¯p ¯¯ π 1 2 3¯ ¯ ¯¯ 3 ¯ Cách khác : I = −2 d (cot x) = −2 ln ¯ 3 + cot x¯¯ π = −2 ln ¯ p p p ¯ = −2 ln . ¯ 3+ 3 ¯ 3 3 + cot x 6 ¯ ¯ π ¯ ¯ 6 2 Vậy I = −2 ln . 3 π 3 ä π Z2 7 I= π 4 sin x (sin x + cos x)3 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 3 8 - Lời giải. Ta có sin x (sin x + cos x)3 = 1 · 1 . sin2 x (1 + cot x)3 1 Đặt t = 1 + cot x ⇒ d t = − 2 d x sin x π π Đổi cận : x = ⇒ t = 1, x = ⇒ t = 2. 4 2 π 2 ¯ Z Z1 1 1 1 −2 ¯¯2 3 1 Khi đó I = · dx = − dt = − t ¯ = . 2 8 t3 sin2 x (1 + cot x)3 1 π ä 2 4 Dạng: Zb I= f (sin x ± cos x) d x a Phương pháp : Đặt t = sin x ± cos x ⇒ d t = (cos x ± sin x) d x Th.s Nguyễn Chín Em 324 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Ví dụ 22. Tính các tích phân π Z2 1 I= π 4 sin x − cos x d x. sin x + cos x ĐS: 1 ln 2 2 π Z4 2 I= 0 sin x − cos x d x. sin x + cos x + 3 ĐS: ln 4 p 3+ 2 p 2 − 1 + 2 ln 3 p 2+ 2 Lời giải: 1 Đặt t = sin x + cos x ⇒ d t = − (sin x − cos x) d x Đổi cận x = π p4 Z2 Khi đó I = ⇒t= p π 2, x = ⇒ t = 1 2 p 1 1 d t = ln | t||1 2 = ln 2. t 2 1 2 Đặt t = sin x + cos x + 3 ⇒ d t = − (sin x − cos x) d x Đổi cận x = 0 ⇒ t = 4, x = Z4 Khi đó I = p 3+ 2 π 4 p ⇒ t = 3+ 2 4 1 d t = ln | t||4 p = ln p . 2 3 + t 3+ 2 Ví dụ 23. Tính các tích phân π Z4 1 I= 0 cos 2 x d x. sin x + cos x + 2 ĐS: π Z2 2 I= 0 cos 2 x (sin x − cos x + 3) ĐS: d x. 3 1 32 Lời giải: cos 2 x (cos x + sin x) (cos x − sin x) = . sin x + cos x + 2 sin x + cos x + 2 Đặt t = sin x + cos x + 2 ⇒ d t = (cos x − sin x) d x. p π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 3, x = ⇒ t = 2 + 2. 4 p 2Z + 2 p p t−2 3 Khi đó I = d t = ( t − 2 ln | t|)|23+ 2 = 2 − 1 + 2 ln p . t 2+ 2 1 Ta có 3 p Vậy I = 2 − 1 + 2 ln 2 Ta có 3 p . 2+ 2 cos 2 x = (cos x + sin x) (cos x − sin x) . (sin x − cos x + 3) (sin x − cos x + 3)3 Đặt t = sin x − cos x + 3 ⇒ d t = (cos x + sin x) d x. π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 2, x = ⇒ t = 4. 2 ¶ µ ¶¯ Z4 Z4 µ 1 t−3 1 3 1 3 1 ¯¯4 Khi đó I = − d t = − − d t = − − + · | = . ¯ t 2 t2 2 32 t3 t2 t3 1 Vậy I = . 32 Th.s Nguyễn Chín Em 3 2 2 325 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 π Z4 cos 2 x Ví dụ 24. Tính I = ³ 0 (1 + sin 2 x) cos x − ĐS: π ´ d x. p 2−1 4 p cos2 x 2(cos x − sin x) ³ Lời giải: Ta có π ´ = (sin x + cos x)2 (1 + sin 2 x) cos x − 4 π ¯π p Z4 ¯4 p d (sin x + cos x) 2 ¯ Khi đó I = = − ¯ = 2 − 1. 2 ¯ sin x + cos x (sin x + cos x) 0 p0 Vậy I = 2 − 1. Bài 28. Tính các tích phân π Z2 1 I= π 4 1 + sin 2 x + cos 2 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin x + cos x p ĐS: 2 − 2 - Lời giải. Ta có 1 + sin 2 x + cos 2 x 1 + 2 sin x cos x + (sin x + cos x)(cos x − sin x) = sin x + cos x sin x + cos x 2 (cos x + sin x) + (sin x + cos x)(cos x − sin x) = sin x + cos x = 2 cos x. π Z2 Khi đó I = π p 2 cos x d x = 2 sin x| π2 = 2 − 2. 4 π 4 p Vậy I = 2 − 2. π Z4 2 I= 0 ä p 2(sin x − cos x) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin 2 x + 2(1 + sin x + cos x) p 4−2 2 ĐS: 2 - Lời giải. p p 2(sin x − cos x) 2(sin x − cos x) Ta có = . 2 (sin x + cos x) + 2(sin x + cos x) + 1 (sin x + cos x + 1)2 Đặt t = sin x + cos x + 1 ⇒ d t = − (sin x − cos x) d x. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 2, x = p ¯¯3 p Z2 p 2 2¯ 4−3 2 dt = − . Khi đó I = = ¯ t ¯ p 2 t2 p 1+ 2 1+ p2 4−3 2 Vậy I = . 2 π 4 p ⇒ t = 1 + 2. ä Bài 29. Tính các tích phân π Z4 1 I= 0 cos 2 x (sin x + cos x + 2)3 Th.s Nguyễn Chín Em dx . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 p 13 − 9 2 ĐS: 18 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 - Lời giải. cos 2 x Ta có 3 = (cos x + sin x) (cos x − sin x) . (sin x + cos x + 2) (sin x + cos x + 2)3 Đặt t = sin x + cos x + 2 ⇒ d t = (cos x − sin x) d x. p π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 3, x = ⇒ t = 2 + 2. 4p p p 2Z + 2 2Z + 2µ ¶ µ ¶¯ p t−2 1 2 1 1 ¯¯2+ 2 13 − 9 2 Khi đó I = dt = − dt = − + 2 | ¯ = t t 18 t3 t2 t3 3 3 p 3 13 − 9 2 Vậy I = . 18 ä π Z4 2 0 sin x + cos x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 + sin 2 x ĐS: ln 3 - Lời giải. ³ ³ p π´ π´ 2 sin x + sin x + sin x + cos x sin x + cos x 4 ´= 1 · ³ ³ 4 ´ = Ta có = p 3 + sin 2 x 2 + (sin x + cos x)2 2 + 2 sin2 x + π 2 2 − cos2 x + π 4 4 ³ ³ π´ π´ Đặt t = cos x + ⇒ d t = − sin x + d x 4 4 p 2 π Đổi cận : x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t = 0. 2 p 4 p p 2 2 ¯p ¯¯ 2 Z2 Z2 2 ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯ 2 + t ¯¯ d t = ¡p Khi đó I = ¯¯ = ln 3. ¢ ¡p ¢ = ln ¯ p ¯ 2 − t ¯¯ 2 − t2 2− t 2+ t 0 0 0 Vậy I = ln 3. ä π Z4 Bài 30. Tính I = 0 - Lời giải. sin 4 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 5 − 4 sin x − cos2 x + cos x 14 3 ĐS: − + 12 ln 3 2 2(cos x − sin x)(cos x + sin x) sin 2 x . 2 + cos x − sin x 5 − 4 sin x − cos2 x + cos x Đặt t = 2 + cos x − sin x ⇒ d t = −(cos x + sin x) d x và sin 2 x = − t2 + 4 t − 3 π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 3; x = ⇒ t = 2 4 Ta có p sin 4 x = Khi đó Z3 I =2 ( t − 2)(− t2 + 4 t − 3) dt t 2 Z3 µ = −2 ¶ 6 t − 6 t + 11 − dt t 2 2 ¶¯3 ¯ t3 2 = −2 − 3 t − 6 ln | t| ¯¯ 3 2 14 3 = − + 12 ln . 3 2 µ Vậy I = − 14 3 + 12 ln . 3 2 Th.s Nguyễn Chín Em ä 327 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Bài 31. Tính các tích phân π Z4 1 I= 0 cos2 x(1 + cos x) − sin2 x(1 + sin x) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin x + cos x ĐS: p 1 1 2 − − ln 2 4 4 - Lời giải. µ ¶ sin x cos x cos2 x(1 + cos x) − sin2 x(1 + sin x) = 1 + cos x + sin x + (cos x − sin x) Ta có sin x + cos x sin x + cos x 1 Đặt t = sin x + cos x ⇒ d t = (cos x − sin x) d x và sin x cos x = ( t2 − 1). 2 p π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 2. 4 Khi đó p Z2  1 2 ( t − 1)   1 + t + 2  dt   t  I= 1 p ¶ Z 2µ 1 3 = 1+ t− dt 2 2t 1 ¶¯p2 ¯ 3 2 1 = t + t − ln | t| ¯¯ 4 2 1 p 1 1 = 2 − − ln 2. 4 4 µ p 1 4 1 4 Vậy I = 2 − − ln 2. ä π Z4 2 0 cos 2 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 2 − 1 + sin x − cos x ĐS: 26 − 12 ln 2 3 - Lời giải. cos 2 x (cos x − sin x)(cos x + sin x) = . p p 2p − 1 + sin x − cos x 2 − 1 + sin x − cos x Đặt t = 1 + sin x − cos x ⇒ t2 = 1 + sin x − cos x Ta có Suy ra 2 t d t = (cos x + sin x) d x và cos x − sin x = 1 − t2 . Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = Th.s Nguyễn Chín Em π 4 ⇒ t = 1. 328 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Khi đó Z1 I =2 0 Z1 =2 0 (1 − t2 ) t dt 2− t − t3 + t dt 2− t Z1 µ =2 0 ¶ 6 t + 2t + 3 − dt 2− t 2 ¶¯1 ¯ t3 2 + t + 3 t + 6 ln |2 − t| ¯¯ = 3 0 26 = − 12 ln 2. 3 µ ä Bài 32. Tính các tích phân π Z4 1 0 3 cos 2 x − sin 4 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 − sin x − cos x p p −5 + 13 2 ĐS: + 6 ln(2 − 2). 3 - Lời giải. Ta có 3 cos 2 x − sin 4 x cos2 x (3 − 2 sin 2 x) = 2 − sin x − cos x 2 − cos x − sin x ¡ ¢ (cos x + sin x)(3 − 2 (cos x + sin x)2 − 1 = (cos x − sin x) 2 − sin x − cos x µ ¶ 3 −2(sin x + cos x) + 5(sin x + cos x) = (cos x − sin x) . 2 − sin x − cos x Đặt t = 2 − sin x − cos x ⇒ sin x + cos x = 2 − t d t = − (cos x − sin x) d x π p Đổi cận : x = 0 ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 2 − 2. 4 Ta có Z1 I= p 2− 2 Z1 = p 2− 2 −2(2 − t)3 + 5(2 − t) dt t 2 t3 − 12 t2 + 19 t − 6 dt t Z1 µ = p 2− 2 ¶ 6 2 t − 12 t + 19 − dt t 2 ¶¯1 ¯ 2 3 2 = t − 6 t + 19 t − 6 ln | t| ¯¯ p 3 2− 2 p p −5 + 13 2 = + 6 ln(2 − 2). 3 µ Th.s Nguyễn Chín Em 329 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 p p −5 + 13 2 + 6 ln(2 − 2). Vậy I = 3 ä π Z4 2 I= 0 4(sin x + cos x) − cos 2 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2(sin x − cos x − 1) − sin 2 x 1 4 ĐS: − ln 3 − ln 2 - Lời giải. 4(sin x + cos x) − cos 2 x (sin x + cos x)(4 + sin x − cos x) = 2(sin x − cos x − 1) − sin 2 x (sin x − cos x − 1)(3 + sin x − cos x) Đặt t = sin x − cos x − 1 ⇒ d t = (cos x + sin x) d x. π Đổi cận x = 0 ⇒ t = −2; x = ⇒ t = −1. 4 Ta có Khi đó Z−1 I= 5+ t dx t( t + 4) −2 Z−1µ ¶ 1 5 1 + dx t + 4 4 t( t + 4) −2 ¯ ¯ µ ¶¯−1 ¯ 5 ¯¯ t ¯¯ = ln ¯ + ln | t + 4| ¯¯ ¯ 4 t+4 −2 1 = − ln 3 − ln 2. 4 = 1 4 Vậy I = − ln 3 − ln 2. ä Dạng: Zb ¡ ¢ f sin2 x, cos2 x sin 2 x d x a " Phương pháp : Đặt t = sin2 x ⇒ d t = sin 2 x d x t = cos2 x ⇒ d t = − sin 2 x d x π Z2 Ví dụ 25. Tính 0 sin 2 x dx 1 + cos2 x ĐS: ln 2 Lời giải: Đặt t = 1 + cos2 x ⇒ d t = − sin 2 x d x π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 2; x = Z2 Khi đó I = 2 ⇒ t = 1. 1 d t = ln | t||21 = ln 2. t 1 Vậy I = ln 2. π Z2 Ví dụ 26. Tính I = 2 esin x ĐS: e − 1 sin 2 x d x 0 Lời giải: Đặt t = sin2 x ⇒ d t = sin 2 x d x Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = Th.s Nguyễn Chín Em π 2 ⇒ t = 1. 330 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 Khi đó I = Chương 3 - Giải tích 12 ¯1 e t d t = e t ¯0 = e − 1 . 0 Vây I = e − 1. π Z2 Bài 33. Tính I = sin 2 x(1 + sin2 x)3 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: - Lời giải. 15 4 Đặt t = 1 + sin2 x ⇒ d t = sin 2 x d x π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 2. Z2 Khi đó I = 2 t3 d t = 1 4 ¯¯2 t ¯ 15 . = ¯ 4 1 4 15 Vậy I = . 4 ä Bài 34. Tính các tích phân π Z4 1 I= 0 sin 4 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + cos2 x ĐS: 2 + 6 ln 3 4 - Lời giải. sin 4 x 2 cos 2 x 4 cos2 x − 2 = · sin 2 x = · sin 2 x. 1 + cos2 x 1 + cos2 x 1 + cos2 x Đặt t = 1 + cos2 x ⇒ d t = − sin 2 x d x π 3 Đổi cận x = 0 ⇒ t = 2; x = ⇒ t = . 4 2 3 3 ¶ Z2 Z2 µ 3 4( t − 1) − 2 3 6 Khi đó I = dt = 4− d t = (4 t − 6 ln | t|)|12 = 2 + 6 ln . t t 2 Ta có 2 2 3 Vậy I = 2 + 6 ln 2 ä π Z2 2 I= sin 2 x p 0 cos2 x + 4 sin2 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 2 3 - Lời giải. sin 2 x sin 2 x =p . Ta có p 2 2 x + 4 sin2 x cos 1 + 3 sin x p Đặt t = 1 + 3 sin2 x ⇒ t2 = 1 + 3 sin2 x ⇒ 2 t d t = sin 2 x d x Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1; x = Z2 Khi đó I = 2 Vậy I = . 3 π 2 ⇒ t = 2. 2 Z2 t 3 d t = 2 d t = 2 (2 − 1) = 2 . t 3 3 3 1 Th.s Nguyễn Chín Em 1 ä 331 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 π Z2 Bài 35. Tính I = sin x cos x p 4 cos2 x + 9 sin2 x 0 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 1 5 - Lời giải. 1 sin 2 x Ta có p =p2 . 4 + 5 cos2 x 9 cos2 x + 4 sin2 x p 1 1 Đặt t = 4 + 5 cos2 x ⇒ t2 = 4 + 5 cos2 x ⇒ 2 t d t = −5 sin 2 x d x ⇒ sin 2 x d x = − t d t. 2 5 π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 3; x = ⇒ t = 2. 2 Z2 1 Z2 t 1 1 Khi đó I = 5 d t = d t = (2 − 1). t 5 5 sin x cos x 1 Vậy I = . 5 1 1 ä π Z2 Bài 36. Tính I = sin x cos x p 0 b2 cos2 x + c2 sin2 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: 1 | c| + | b| - Lời giải. 1 sin 2 x 2 sin x cos x Ta có p . =p 2 + ( c2 − b2 ) sin2 x 2 cos2 x + c2 sin2 x b b p Đặt t = b2 + ( c2 − b2 ) sin2 x ⇒ t2 = b2 + ( c2 − b2 ) sin2 x ⇒ 2 t d t = ( c2 − b2 ) sin 2 x d x Đổi cận x = 0 ⇒ t = |b|; x = π 2 ⇒ t = | c |. 1 2 Z| c| · Z| c| t 2 1 1 1 2 c − b2 Khi đó I = dt = dt = 2 (| c | − | b | ) = . 2 2 2 t | c| + | b| c −b c −b | b| 1 Vậy I = . | c| + | b| | b| ä Dạng: Zb ³p ´ I= f a2 − x2 x2n d x a Phương pháp : Đặt x = a sin t ⇒ d x = a cos t d t. Ví dụ 27. Tính các tích phân Z1 p 1 − x2 d x. 1 I= ĐS: π 4 0 p 3 ĐS: + 3 8 Z1 p 2 I= 1 − x2 d x. π − 12 Th.s Nguyễn Chín Em 332 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z2 3 I= x2 p Chương 3 - Giải tích 12 ĐS: π 4 − x2 d x 0 Lời giải: 1 Đặt x = sin t ⇒ d x = cos t d t. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = π 2 π 2 Z Khi đó I = π Vậy I = 4 Z 2 cos t d t = 0 0 π 2 . µ ¶¯ π ¯2 π 1 1 1 t + sin 2 t ¯¯ = . (1 + cos 2 t) d t = 2 2 2 4 0 . 2 Đặt x = sin t ⇒ d x = cos t d t. 1 π π Đổi cận x = − ⇒ t = − ; x = 1 ⇒ t = . 2 6π 2 π p 2 2 µ ¶¯ π Z Z ¯2 1 3 1 1 π 2 t + sin 2 t ¯¯ = + . Khi đó I = cos t d t = (1 + cos 2 t) d t = π 2 2 2 3 8 −6 π π −6 −6 p π 3 Vậy I = + . 3 8 3 Đặt x = 2 sin t ⇒ d x = 2 cos t d t. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = 2 ⇒ t = Khi đó π 2 . π π Z2 I= 2 4 sin t · p π Z2 2 4 − 4 sin t ·2 cos t d t = 0 Z2 2 4 sin 2 t d t = 2 0 0 ¶¯ π ¯2 1 (1−cos 4 t) d t = 2 t − sin 4 t ¯¯ = π 4 0 µ Vậy I = π. Bài 37. Tính các tích phân Z1 1 I= x2 p 1 − x2 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: π 16 - Lời giải. Đặt x = sin t ⇒ d x = cos t d t. π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = . 2 π Z2 Khi đó I = π 16 2 sin t · 0 π 1 1 − 1 sin t · cos t d t = 4 p 2 Z2 π 1 sin 2 t d t = 8 0 2 Z2 0 µ ¶¯ π ¯2 1 1 (1 − cos 4 t) d t = t − sin 4 t ¯¯ = 8 4 0 . Vậy I = p 2 2 Z 2 I= 0 π 16 . ä x2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 1 − x2 Th.s Nguyễn Chín Em 333 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 ĐS: π 8 − 1 4 - Lời giải. Đặt x = sin t ⇒ d x = cos t dpt. π 2 ⇒t= . 2 π 4 π 4 µ ¶¯ π Z4 Z ¯4 π 1 1 1 sin2 t 1 Khi đó I = · cos t d t = (1 − cos 2 t) d t = t − sin 2 t ¯¯ = − . cos t 2 2 2 8 4 0 Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = 0 π 0 1 Vậy I = − . 8 4 Z1 3 I= 0 ä x2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 4 − x2 p π 3 ĐS: − 3 2 - Lời giải. Đặt x = 2 sin t ⇒ d x = 2 cos t d t. π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = . 6 Khi đó π Z6 I= π 2 4 sin t · 2 cos t d t = 2 cos t 0 Z6 0 p ¶¯ π ¯6 π 3 1 2(1 − cos 2 t) d t = 2 t − sin 2 t ¯¯ = − 2 3 2 0 µ p π 3 Vậy I = − . 3 2 ä Bài 38. Tính các tích phân Z2 p 1 I= 2 x − x2 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ĐS: π 2 - Lời giải. Ta có 2 x − x2 = 1 − ( x − 1)2 Đặt x − 1 = sin t ⇒ d x = cos t d t π π Đổi cận x = 0 ⇒ t = − ; x = 2 ⇒ t = . 2 2 π π µ ¶¯ π Z2 p Z2 ¯2 1 1 π 2 2 Khi đó I = 1 − sin t cos t d t = cos t d t = t + sin 2 t ¯¯ = . 2 2 2 − π2 π − π2 − π2 Vậy I = . ä 2 2 I= Z1 p x − x2 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 ĐS: π 8 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 334 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 µ ¶ 1 1 2 Ta có x − x = − x − 4 2 1 1 1 Đặt x − = sin t ⇒ d x = cos t d t 2 2 2 1 π Đổi cận x = ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = . 2 2 π π 2 2 µ ¶¯ π Z Z ¯2 π 1 1 1 1 2 Khi đó I = cos t d t = t + sin 2 t ¯¯ = . (1 + cos 2 t) d t = 2 4 4 2 8 0 0 0 π Vậy I = . 8 2 Z1 3 I= 0 ä x2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 3 + 2 x − x2 ĐS: −4 + p π+3 3 2 - Lời giải. Ta có 3 + 2 x − x2 = 4 − ( x − 1)2 Đặt x − 1 = 2 sin t ⇒ d x = 2 cos t d t π Đổi cận x = 0 ⇒ t = − ; x = 1 ⇒ t = 0. Z0 Khi đó I = p π+3 3 2 − π6 6 (1 + 2 sin t)2 · 2 cos t d t = 2 cos t Z0 (3 + 4 sin t − 2 cos 2 t) d t = (3 t − 4 cos t − sin 2 t)|0− π = −4 + 6 − π6 . Vậy I = −4 + p π+3 3 2 . ä Dạng: Zβ ³³p ´m ´ I= f x2 + a2 x2n d x α Phương pháp giải: Đặt x = a tan t ⇒ d x = a 1 + tan2 t d t. ¡ ¢ Ví dụ 28. Tính các tích phân sau Z1 1 I= 0 1 dx 1 + x2 p 2Z 3 2 I= 2 ĐS: p 3 3 dx x2 + 4 π 4 p 3π ĐS: 8 Lời giải: 1 Đặt x = tan t ⇒ d x = (1 + tan2 t) d t. Th.s Nguyễn Chín Em 335 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Đổi cận: Chương 3 - Giải tích 12 x=0⇒t=0 π x=1⇒t= 4 π π Z4 I= 1 + tan2 t 0 2 1 Z4 2 · (1 + tan t) d t = ¯ π4 π ¯ d t = t¯ = . 4 0 0 Đặt x = 2 tan t ⇒ d x = 2(1 + tan2 t) d t. p π Đổi cận: x = 2 3 ⇒ t = x=2⇒t= π π 3 4 π p ¯π p Z3 p 3 3 3 3 ¯¯ 3 3π 2 · 2(1 + tan t) d t = dt = t¯ = . 2 ¯ 2 2 8 4 + 4 tan t π p 3 3 Z3 I= π 4 π 4 4 Bài 39. Tính các tích phân sau Z4 1 I= 2 1 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 − 2 x + 4 π ĐS: I = p 6 3 - Lời giải. Z4 I= 2 Z4 p p 1 d x . Đặt x − 1 = 3 tan t ⇒ d x = 3(1 + tan2 t) d t. ( x − 1)2 + 3 2 π x=4⇒t= 3 1 dx = 2 x − 2x + 4 Đổi cận: x=2⇒t= π 6 . π Z3 I= π 6 π 3 Z p 1 π 2 3(1 + tan t ) d t = d t = . p p 3 tan2 t + 3 3 6 3 π 1 6 ä Z1 2 I= 0 1 x2 + x + 1 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . π ĐS: p 3 3 - Lời giải. Z1 I= 0 p p 1 1 3 3 d x. Đặt x + = tan t ⇒ d x = (1 + tan2 t) d t. µ ¶2 2 2 2 1 3 0 x+ + 2 4 π x=1⇒t= 3 1 dx = x2 + x + 1 Đổi cận: Z1 x=0⇒t= Th.s Nguyễn Chín Em π 6 . 336 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ π Z3 I= π 6 Chương 3 - Giải tích 12 π p Z3 1 3 2 π 2 · (1 + tan t) d t = p d t = p . 3 3 2 3 3 3 π tan2 t + 6 4 4 ä Z1 3 I= 0 x3 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + x8 ĐS: π 16 - Lời giải. Đặt u = x4 ⇒ du = 4 x3 d x. Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 1 x = 0 ⇒ u = 0. Z1 Ta có I = 0 Đổi cận: Z1 1 1 du = d x. Đặt x = tan t ⇒ d x = (1 + tan2 t)d t. 2 4(1 + u ) 4(1 + x2 ) 0 π x=1⇒t= 4 x = 0 ⇒ t = 0. π π Z4 Ta có I = 0 Z2 4 I= p 0 1 4(1 + tan2 t) dx (1 + tan2 t)d t = Z4 1 π dt = . 4 16 ä 0 .............................................................................. x2 + 4 ĐS: p 1 ln(3 + 2 2) 2 - Lời giải. Đặt x = 2 tan t ⇒ d x = 2(1 + tan2 t)d t. π Đổi cận: x = 2 ⇒ t = 4 x = 0 ⇒ t = 0. Ta có π Z4 I = 0 π π π Z4 p Z4 Z4 1 1 cos t 2 1 + tan2 t dt = dt · 2(1 + tan t)d t = dt = p cos t 1 − sin2 t 4 + 4 tan2 t 0 0 0 Đặt u = sin t ⇒ d u = cos tp d x. Đổi cận: t= π ⇒u= 2 2 4 t = 0 ⇒ u = 0. p 2 Z2 I = 0 p ¯ ¯¯ 2 p 1 1 1 ¯¯ u + 1 ¯¯¯¯ 2 du = ln ¯ = ln(3 + 2 2). ¯ ¯ 2 2 u−1 0 2 1−u ä Bài 40. Tính các tích phân sau Th.s Nguyễn Chín Em 337 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 1 I= Z1 p Chương 3 - Giải tích 12 x2 + 1d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 p p 2 1 ĐS: + ln(3 + 2 2) 2 4 - Lời giải. 1 d t. cos2 t π x=1⇒t= 4 Đặt x = tan t ⇒ d x = Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0. π Z4 p I = 1 + tan2 t · π 1 dt = cos2 t 0 π 1 dt = cos3 t 0 1 4 = Z4 π 4 Z · 0 1 1 + 1 − sin t 1 + sin t ¸2 Z4 π cos t dt = cos4 t 0 1 d (sin x) = 4 Z · 0 1 2 0 π 4 π Z4 (1 − sin t)2 d (sin x) = 1 4 Z4 · 0 1 + sin t + 1 − sin t (1 + sin x)(1 − sin x) ¸ 1 2 1 + + d (sin x) (1 − sin t)2 (1 + sin t)2 (1 − sin t)(1 + sin t) π 4 µ ¶¯ π Z ¯4 1 1 1 1 1 − sin x + 1 + sin x ¯ − + d (sin x) ¯ 4 1 − sin x 1 + sin x 0 4 (1 − sin x)(1 + sin x) = 0 π 4 p ¶ Z µ 1 2 1 1 + + d (sin x) 2 4 1 + sin x 1 − sin x 0 p π 2 1 + (ln |1 + sin x| − ln |1 − sin x|)|04 4 p2 p 2 1 + ln(3 + 2 2). 2 4 = = = ä p Z3 2 I= 0 dx ............................................................................. p 3 + x2 1 2 p ĐS: − ln(3 − 2 2) - Lời giải. p Đặt x = 3 tan t ⇒ d x = p p 3 π d t . Với x = 0 ⇒ t = 0 và x = 3⇒t= . 2 4 cos t π Z4 I = 1 p π 4 Z p ¡ ¢ 2 · 3 1 + tan t d t = 3(1 + tan2 t) ¯ ¯¯ π 1 ¯¯ sin t − 1 ¯¯¯¯ 4 = − ln ¯ 2 sin t + 1 ¯¯0 p 1 = − ln(3 − 2 2). 2 0 π 1 dt = cos t 0 Z4 π Z4 cos t 2 0 1 − sin t dt = − 0 1 d(sin t) (sin t − 1)(sin t + 1) ä Z1 3 I= p 0 1 x2 + x + 1 Th.s Nguyễn Chín Em dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 1 2 p ĐS: − ln(21 − 12 3) - Lời giải. Z1 Z1 1 1 d x. ¶2 1 3 0 0 x+ + 4 p p 2 3 3 1 1 π π Đặt x + = tan t ⇒ d x = d t. Với x = 0 ⇒ t = và x = 1 ⇒ t = . Ta có 2 2 2 2 cos t 6 3 I= p x2 + x + 1 dx = µ π π Z3 1 I = … π 6 3 (1 + tan2 t) 4 π p Z3 Z3 3 1 1 cos t · dt = dt = dt 2 2 cos t cos t 1 − sin2 t π 6 π 6 π Z3 1 = 1 − sin2 t π 6 d(sin t) π Z3 = − π 6 1 d(sin t) (sin t − 1)(sin t + 1) ¯ ¯¯ π 1 ¯¯ sin t − 1 ¯¯¯¯ 3 = − ln ¯ 2 sin t + 1 ¯¯ π6 p 1 = − ln(21 − 12 3). 2 ä Z2 4 I= p 0 p 3 x2 + 2 x + 4 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p p 3 ĐS: − ln(21 − 12 3) 2 - Lời giải. Z2 I= p 0 p 3 p 3 Z2 x2 + 2 x + 4 dx = p 0 p Đặt x + 1 = 3 tan t ⇒ d x ( x + 1)2 + 3 dx p 3 π π d t . Với x = 0 ⇒ t = và x = 2 ⇒ t = . Ta có 6 3 cos2 t π I = p 3(1 + tan2 t) π 6 π p 3 Z3 = π 6 1 − sin2 t π Z3 = − π 6 π π p 3 Z3 p · 3 Z3 p Z3 p 1 3 3 cos t dt = dt = dt 2 cos t cos t 1 − sin2 t π 6 π 6 d(sin t) p 3 d(sin t) (sin t − 1)(sin t + 1) p ¯ ¯¯ π 3 ¯¯ sin t − 1 ¯¯¯¯ 3 = − ln ¯ 2 sin t + 1 ¯¯ π6 Th.s Nguyễn Chín Em 339 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 p p 3 = − ln(21 − 12 3). 2 ä p Z3 5 I= p 3 3 1 p (1 + x2 )3 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 3−1 ĐS: 2 - Lời giải. p p 1 3 π π Đặt x = tan t ⇒ d x = d t . Với x = ⇒ t = và x = 3 ⇒ . Ta có 2 3 6 3 cos t π π Z3 I = 1 p π 6 (1 + tan2 t)3 · 1 dt = cos2 t Z3 cos td t π 6 π = = sin t| π3 p 6 3−1 . 2 ä Bài 41. Tính các tích phân sau Z2 1 I= x2 p x2 + 4d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 p ¡ p ¢ ĐS: 6 2 + ln 3 − 2 2 - Lời giải. Đặt x = 2 tan t ⇒ d x = 2 π d t. Với x = 0 ⇒ t = 0; và x = 2 ⇒ t = . Do đó 2 4 cos t π Z4 I = π 4 tan2 t · 2 4(1 + tan2 t) · d t = 16 cos2 t p 0 π sin2 t d t = 16 cos5 t 0 Đặt u = sin t ⇒ d u = cos td t. Ta có I = 16 u2 du = (1 − u2 )3 0      u = 16 x d u = 16d x Đặt ⇒ . Ta được 1 xd x   dv = v = 4(1 − x2 )2 (1 − x2 )3 p Z4 sin2 t · cos t dt cos6 t 0 p 2 p 2 Z2 I = Z4 p 2 Z2 0 16 x2 d x. (1 − x2 )3 p 2 p 2 ¯ 2 Z2 ¶2 ¶ Z2 µ Z2 µ p p 4 x ¯¯ 2 4 2 1 1 2 − dx = 8 2 − dx = 8 2 − + dx 1− x 1+ x (1 − x2 )2 ¯0 (1 − x2 )2 1 − x2 0 p 2 2 Z p = 8 2− 0 Th.s Nguyễn Chín Em · 0 0 ¸ 1 1 2 + + dx (1 − x)2 (1 + x)2 (1 − x)(1 + x) 340 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ¸¯ p 1 1 ¯¯ = 8 2− − 1− x 1+ x ¯ · Chương 3 - Giải tích 12 p 2 2 p 2 2 Z + 0 0 p 2 2 2 dx ( x − 1)( x + 1) ¯ ¯ p ¯ x − 1 ¯ ¯¯ ¯ ¯¯ = 6 2 + ln ¯ x +1¯ 0 ³ p ´ p = 6 2 + ln 3 − 2 2 . ä p Z3 2 I= 0 x2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 3 + x2 p p 3 2 3 ĐS: + ln(3 − 2 2) 2 4 - Lời giải. p p Đặt x = 3 tan t ⇒ d x = 3 π Z4 I = 0 p 1 π d t. Với x = 0 ⇒ t = 0 và x = 3 ⇒ t = . 2 4 cos t π π p Z4 Z4 3 tan t 3 1 sin2 t · cos t 2 d t = 3 dt · d t = 3 tan t p 2 cos t (1 − sin2 t)2 3(1 + tan2 t) cos t 2 0 0 Đặt u = sin t, ta có p 2 Z2 I = 3 0 = 3 4 = 3 u2 d u = 4 (1 − u2 )2 p 2 2 Z µ 0 = p 2 Z2 µ 0 1 1 + u−1 u+1 ¶2 1 1 2 + + ( u − 1)2 ( u + 1)2 ( u − 1)( u + 1) du ¶2 du p ¯ ¯¸¯ 2 · ¯ u −1¯ ¯ 2 3 1 1 ¯ ¯ − − + ln ¯¯ 4 u−1 u+1 u + 1 ¯ ¯0 p p 3 2 3 + ln(3 − 2 2). 2 4 ä Dạng: ¶ Zβ Zβ µ… a±x dx f d x; ; p n a∓x (a + bx n ) a + bx n α α Phương pháp giải: ¶ Zβ µ… a±x f dx 1 a∓x đặt x = a cos 2 t. α Zβ 2 α dx p n (a + bx n ) Th.s Nguyễn Chín Em a + bx n 1 đặt x = . t 341 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Zβ R 3 h p s 1 ax + b, · · · , p sk Chương 3 - Giải tích 12 i ax + b d x α đặt t n = ax + b, với n là bội chung nhỏ nhất { s 1 , s 2 , · · · , s k }. Zβ 4 α dx p (ax + b)( cx + d ) đặt t = p ax + b + p cx + d Ví dụ 29. Tính các tích phân sau Z64 1 I= p 3 1 1 Z2 … 2 I= 0 2− x dx x+2 Z1 3 I= p 0 ĐS: 11 + 6 ln p dx x+ x 2 3 ĐS: π − 2 p ! 2+ 2 ĐS: 2 ln p 1+ 3 à 1 x2 + 4 x + 3 dx Lời giải: 1 Đặt t = p 6 x ⇒ x = t6 ⇒ d x = 6 t5 d t. Với x = 1 ⇒ t = 1 và x = 64 ⇒ t = 2. Z2 I = 1 6 t5 d t = t3 + t2 Z2 1 6 t3 dt = 6 t+1 Z2 µ 1 ¶ 1 t − t+1− dt t+1 2 ¶¯2 ¯ t t − + t − ln | t + 1| ¯¯ = 6 3 2 1 2 = 11 + 6 ln . 3 µ 2 2 3 Đặt x = 2 cos 2 t ⇒ d x = −4 sin 2 td t. Với x = 0 ⇒ t = π Z4 … I = 0 π 4 và x = 2 ⇒ t = 0. π 2 − 2 cos 2 t 4 sin 2 td t = 2 + 2 cos 2 t π Z4 Z4 tan t · 4 sin 2 td t = 0 π 8 sin2 td t = 0 Z4 4(1 − cos 2 t)d t 0 ¶¯ π ¯4 1 4 t − sin 2 t ¯¯ 2 µ = 0 = π − 2. 3 p p 2 dx dt ⇔ dt = p . t 2 ( x + 1)(p x + 3) ( x + 1)( x + 3) p Với x = 0 ⇒ t = 1 + 3 và x = 1 ⇒ t = 2 + 2 Đặt t = x + 1 + x + 3 ⇒ d t = p p 2Z + 2 I = p 1+ 3 1 p ¯2+p2 2 2+ 2 ¯ d t = 2 ln | t|¯ p = 2 ln p . t 1+ 3 1+ 3 Bài 42. Tính các tích phân sau Th.s Nguyễn Chín Em 342 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 1 I= 0 Chương 3 - Giải tích 12 p 4 x p dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1+ x ĐS: π − 8 3 - Lời giải. Đặt t = p 4 x ⇒ x = t4 ⇒ d x = 4 t3 d t. Với x = 0 ⇒ t = 1 và x = 1 ⇒ t = 1. Z1 I = 0 t · 4 t3 d t = 1 + t2 Đặt x = tan t ⇒ d x = Z1 4 t4 dt = 1 + t2 0 Z1 µ 4 t2 − 4 + 0 ¶ Z1 4 8 4 d t = − + dx 3 1 + t2 1 + x2 0 1 d t. Khi đó cos2 t π 8 I = − + 3 Z4 0 1 dt 1 + tan2 t cos2 t 4 · π 8 = − + 3 Z4 4d t 0 8 = π− . 3 ä Z27 p x−2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 3 x + x2 2 I= 1 ĐS: 4 − 6 ln 2 + π 2 - Lời giải. Đặt t = p 6 x ⇒ t6 = x ⇒ d x = 6 t5 d t. Với x = 1 ⇒ t = 1 và x = 27 ⇒ t = p Z3 I = 1 p 3 t −2 · 6 t5 d t = t6 + t4 p Z3 = 4 − 6 ln 2 + 1 Đặt x = tan t ⇒ d x = Z3 1 p 3. p p p 1 1 1 ¶ Z 3µ Z3 Z3 6 t − 12 t 6 − 12 t 6 12 t 2 d t = 6 t − 6 + d t = 4 + d t − dt t2 + 1 t2 + 1 t2 + 1 t2 + 1 4 6 dx x2 + 1 p 1 π π d t . Với x = 1 ⇒ t = và x = 3⇒t= . 2 4 3 cos t π Z6 I = 4 − 6 ln 2 + π 4 π 6 1 + tan2 t · 1 d t = 4 − 6 ln 2 + cos2 t Z6 π 4 π 6d t = 4 − 6 ln 2 + . 2 ä Z1 3 I= 0 1 x2 … 2− x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2+ x p p 3 1 ĐS: + ln(7 − 4 3) 2 4 Th.s Nguyễn Chín Em 343 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 - Lời giải. Đặt x = 2 cos 2 t ⇒ d x = −4 sin 2 td t. Với x = 1 ⇒ t = π 6 π π Z6 I = và x = 2 ⇒ t = 0. 1 · 4 cos2 2 t 0 … 1 − cos 2 t · 4 sin 2 td t = 1 + cos 2 t Z6 π 1 tan t · sin 2 td t = cos2 2 t 0 Z6 2 sin2 t dt cos2 2 t 0   2   d u = 2 sin 2 td t  u = 2 sin t ⇒ . Khi đó Đặt 1 1   v = tan 2 t dv = d t cos2 2 t 2 π I = ¯π sin2 t tan 2 t¯ 6 − Z6 0 0 π p Z6 3 sin2 2 t sin 2 t · cos 2 td t dt = − sin 2 t · cos 2 t 4 1 − sin2 2 t 0 π 6 = π 6 p p ¶ Z Z µ 3 1 − sin2 2 t + 1 3 1 1 + cos 2 td t = − 1− d(sin 2 t) 4 4 2 1 − sin2 2 t 1 − sin2 2 t 0 = = 0 p ¯ ¯¸¯ π · 3 1 1 ¯¯ sin 2 t − 1 ¯¯ ¯¯ 6 + sin 2 t + ln ¯ 4 2 2 sin 2 t + 1 ¯ ¯0 p p 3 1 + ln(74 3). 2 4 ä Z2 Bài 43. Tính tích phân I = p 3 1 1 p dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 + 4 x p p p 4+6 2 3 6 ĐS: 3 2 − 24 2 + 21 + 96 ln 5 - Lời giải. Đặt t = p 6 x ⇒ t6 = xd x = 6 t5 d t. Với x = 1 ⇒ t = 1 và x = 2 ⇒ t = p 6 2 Z I = 1 1 t4 + 4 t3 p 6 2 · 6 t5 d t = Z 1 p 6 2. p 6 ¶ Z 2µ 6t 96 dt = 6 t − 24 + dt t+4 t+4 2 1 6 µ ¶¯ p 96 ¯¯ 2 2 = 3 t − 24 t + t + 4 ¯1 p p p 4+6 2 3 6 = 3 2 − 24 2 + 21 + 96 ln . 5 ä Bài 44. Tính các tích phân sau Z1 1 I= 0 p 1− x p dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1+ x ĐS: 2 − π 2 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 344 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Đặt p Chương 3 - Giải tích 12 x = cos 2 t ⇒ x = cos2 2 t ⇒ d x = −4 cos 2 t · sin 2 td t. Với x = 0 ⇒ t = π Z4 … I = 0 π 1 − cos 2 t · 4 sin 2 t cos 2 td t = 1 + cos 2 t π 4 và x = 1 ⇒ t = 0 π Z4 Z4 tan t4 sin 2 t cos 2 td t = 0 ¡ ¢ 8 sin2 t − 16 sin2 t d t 0 π 4 π 4 µ ¶ ¸ Z · Z π 1 − cos 2 t 2 = 4(1 − cos 2 t) − 16 d t = (4 t − 2 sin 2 t)|04 − 4(1 − cos 2 t)2 d t 2 0 0 π 4 = π−2− π Z π 4 ¡ 2 Z ¢ 4 − 8 cos 2 t + 4 cos 2 t d t = 2 − 0 ¶ 1 + cos 4 t 2 dt 2 µ 0 = 2− . 2 ä Z1 … 2 I= 0 3− x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1+ x p ĐS: 2 − 3 + π 3 - Lời giải. … p 3− x 3 − t2 8t Đặt t = ⇒x= 2 ⇒ dx = − 2 d t. Với x = 0 ⇒ t = 3 và x = 1 ⇒ t = 1. Ta có 1+ x t +1 t +1 p p Z3 t· I = 1 8t dt = 2 ( t + 1)2 Z3 1 8 t2 dt ( t2 + 1)2   u = 4 t   d u = 4d t Đặt ⇒ 2t 1 . Khi đó   v = − d v = d t ( t2 + 1)2 t2 + 1 I = p p 1 1 ¯p Z3 Z3 p −4 t ¯¯ 3 4 4 + dt = 2 − 3 + dx ¯ 2 2 2 t +1 t +1 x +1 1 Đặt x = tan t ⇒ d x = (1 + tan2 t)d t. với x = 1 ⇒ t = π 4 p π và x = 3 ⇒ t = . 3 π Z3 p I = 2− 3+ π 4 4 1 + tan2 t (1 + tan2 t)d t π Z3 p = 2 − 3 + 4d t π 4 p π = 2− 3+ . 3 ä 3.6 Tích phân từng phần Th.s Nguyễn Chín Em 345 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Định lý: Nếu u = u( x) và v = v( x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì Zb I= 0 u ( x) v ( x) d x = [ u( x)v( x)]|ab − a Zb Zb 0 u ( x)v( x) d x hay I = a u dv = uv|ab − a Zb v d u. a Thực hành: 1 Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác, . . .  VP Zb Zb  u = · · · · · · −→ du = · · · · · · d x b . Suy ra I = u dv = uv|a − v d u. 2 Đặt: NH  dv = · · · d x −→ v = · · · · · · a a 3 Thứ tự ưu tiên chọn u: loga - đa - lượng - mũ và dv = phần còn lại. Nghĩa là nếu có ln x hay 1 · ln x và dv = còn lại. Nếu không có ln, log thì chọn ln a u = đa thức và dv = còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác, . . . loga x thì chọn u = ln x hay u = loga x = 4 Lưu ý: rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm. ! 4 Dạng mũ 3.6.1 nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi. Ví dụ và bài tập Z1 ( x − 3)e x d x. . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 1. Tính I = Lời giải: Chọn ĐS: I = 4 − 3e 0 u = x − 3 ⇒ du = d x  dv = e x d x ⇒ v = e x . ¯1 Z1 ¯1 x x¯ Khi đó I = ( x − 3)e ¯ − e d x = −2e + 3 − e ¯ = 4 − 3e. x¯ 0 0 0 Z1 Ví dụ 2. Tính I = Lời giải: Chọn ( x2 + 2 x)e x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = e 0  u = x2 + 2 x ⇒ d u = 2( x + 1) d x  dv = e x d x ⇒ v = e x . Z1 Z1 ¯1 ¯ x Khi đó I = ( x2 + 2 x)ex ¯ − 2 ( x + 1)e d x = 3e − 2 ( x + 1)e x d x = 3e − 2 J . 0 Tính J : Chọn 0  u1 = x + 1 ⇒ du1 = d x 0  dv = e x d x ⇒ v = e x . ¯1 ¯1 Z1 x x¯ x¯ Khi đó J = ( x + 1)e ¯ − e d x = 2e − 1 − e ¯ = e. 0 0 0 Vậy I = 3e − 2e = e. Zπ Ví dụ 3. Tính I = 1 2 ĐS: I = − (eπ + 1) e x cos x d x. . . . . . . . . . . . . . . 0 Th.s Nguyễn Chín Em 346 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Lời giải: Chọn Chương 3 - Giải tích 12   u = cos x ⇒ d u = − sin x d x  dv = e x d x ⇒ v = e x . ¯π Zπ ¯ Khi đó I = e cos x¯ + sin xex d x = −eπ − 1 + J . x 0 Tính J . Chọn 0   u 1 = sin x ⇒ d u 1 = cos x d x  dv = e x d x ⇒ v = e x . ¯π ¯ Khi đó J = sin xe x ¯ − I = − I . 0 1 π Vậy I = − (e + 1). 2 Bài 1. Tính các tích phân sau: Z1 1 I= xe x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = 1 0 - Lời giải. Chọn  u = x ⇒ du = d x  dv = e x d x ⇒ v = e x . ¯1 Z1 ¯1 ¯ Khi đó I = xe ¯ − e x d x = e − e x ¯ = 1. x¯ 0 ä 0 0 Z2 2 I= (2 x − 1)e x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = e2 + 3 0 - Lời giải. Chọn  u = 2 x − 1 ⇒ du = 2 d x  dv = e x d x ⇒ v = e x . Z2 ¯2 ¯2 ¯ x 2 x¯ x Khi đó I = (2 x − 1)e ¯ − 2 e d x = 3e + 1 − 2e ¯ = e2 + 3. ä 0 0 0 Z1 3 I= (2 x + 1)e x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = e + 1 0 - Lời giải. Chọn  u = 2 x + 1 ⇒ du = 2 d x  dv = e x d x ⇒ v = e x . Z1 ¯1 ¯1 ¯ Khi đó I = (2 x + 1)e ¯ − 2 e x d x = 3e − 1 − 2ex ¯ = e + 1. x¯ ä 0 0 0 Z1 4 I= 1 2 (4 x − 1)e2x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = e2 + 3 2 0 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 347 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chọn Chương 3 - Giải tích 12   u = 4 x − 1 ⇒ du = 4 d x 1   dv = e2x d x ⇒ v = e2x . 2 Z1 ¯ ¯1 1 1 3 3 2 1 1 ¯ 2x ¯ 2x 2x Khi đó I = (4 x − 1)e ¯ − 2 e d x = e + − e ¯ = e2 + . 0 0 2 2 2 2 2 ä 0 Z1 5 I= ( x − 1)e2x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = 3 1 2 − e 4 4 0 - Lời giải. Chọn   u = x − 1 ⇒ du = d x 1   dv = e2x d x ⇒ v = e2x . 2 Z1 ¯ 1 1 1 ¯¯1 3 1 1 1 2x ¯ e2x d x = − e2x ¯ = − e2 . Khi đó I = ( x − 1)e ¯ − 0 0 2 2 2 4 4 4 ä 0 Z3 6 I= x e− x d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = − 4 2 + e3 e 1 - Lời giải. Chọn  u = x ⇒ du = d x  dv = e− x d x ⇒ v = −e− x . Khi đó I = − xe ¯3 Z3 ¯3 4 2 3 1 1 1 ¯ ¯ + e− x d x = −3e−3 + e−1 − e− x ¯ = − 3 + − 3 + = − 3 + . 1 1 e e e e e e −x ¯ ä 1 Z2 7 I= (1 − 2 x)e− x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = 5 −1 e2 0 - Lời giải. Chọn   u = 1 − 2 x ⇒ d u = −2 d x  dv = e− x d x ⇒ v = −e− x . Z2 ¯2 ¯2 3 2 5 ¯ ¯ − 2 e− x d x = 3e−2 + 1 + 2e− x ¯ = 2 + 1 + 2 − 2 = 2 − 1. 0 0 e e e −x ¯ Khi đó I = −(1 − 2 x)e ä 0 Z3 8 I= x2 e− x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = − 17 5 + e3 e 1 - Lời giải. Chọn   u = x2 ⇒ d u = 2 x d x  dv = e− x d x ⇒ v = −e− x . Z3 ¯3 9 1 ¯ + 2 xe− x d x = − 3 + + 2 J . 1 e e 2 −x ¯ Khi đó I = − x e Tính J . Chọn Th.s Nguyễn Chín Em 1  u = x ⇒ du = d x  dv = e− x d x ⇒ v = −e− x . 348 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 ¯3 Z3 ¯3 4 2 ¯ ¯ + e− x d x = −3e−3 + e−1 − e− x ¯ = −3e−3 + e−1 − e−3 + e−1 = − 3 + . 1 1 e e −x ¯ Khi đó J = − xe 1 17 5 Vậy I = − 3 + . e e ä π Z4 9 I= π 5e x sin 2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = e 4 + 2 0 - Lời giải. π Z4 I= 0 Chọn π 5e x sin 2 x d x = 5 Z4 e x sin 2 x d x = 5 J . 0   u = sin 2 x ⇒ d u = 2 cos 2 x d x  dv = e x d x ⇒ v = e x . π Z4 ¯π π ¯4 x Khi đó J = e sin 2 x¯ − 2 cos 2 xe x d x = e 4 − 2K . 0 Tính K . Chọn 0   u = cos 2 x ⇒ d u = −2 sin 2 x d x  dv = e x d x ⇒ v = e x . ¯π ¯ Khi đó K = cos 2 xe x ¯ 4 + 2 J = −1 + 2 J . Vậy I π = e4 0 + 2. ä π Z2 10 I = π e− 2 + 1 ĐS: I = 2 e− x cos x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 - Lời giải. Chọn   u = cos x ⇒ d u = − sin x d x  dv = e− x d x ⇒ v = −e− x . π ¯π ¯2 Khi đó I = −e−x cos x¯ − Z2 0 Tính J . Chọn sin xe− x d x = 1 − J . 0   u = sin x ⇒ d u = cos x d x  dv = e− x d x ⇒ v = −e− x . ¯π π ¯ Khi đó J = −e−x sin x¯ 2 + I = −e− 2 + I . 0 Vậy 2 I π = 1 + e− 2 π e− 2 + 1 ⇒I= . 2 ä π Z4 3x ĐS: I = e sin 4 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I = 4e 3π 4 +4 25 0 - Lời giải.    u = sin 4 x ⇒ d u = 4 cos 4 x d x Chọn  dv = e3x d x ⇒ v = 1 e3x .  3 Th.s Nguyễn Chín Em 349 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 π ¯ π 4 Z4 4 1 4 ¯ Khi đó I = sin 4 xe3x ¯ 4 − cos 4 xe3x d x = 0 − J = − J . 0 3 3 3 3 0    u = cos 4 x ⇒ d u = −4 sin 4 x d x Tính J . Chọn  dv = e3x d x ⇒ v = 1 e3x .  3 ¯π 4 1 3x 1 3π 1 4 ¯4 Khi đó J = e cos 4 x¯ + I = − e 4 − + I . 0 3 3 3 3 3 Suy ra I = 4e 3π 4 +4 . 25 ä π Z2 12 I = π e2 +1 ĐS: I = − 5 e x cos 2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 - Lời giải. Chọn   u = cos 2 x ⇒ d u = −2 sin 2 x d x  dv = e x d x ⇒ v = e x . π Z2 ¯π π x¯ 2 Khi đó I = cos 2 xe ¯ + 2 sin 2 xe x d x = −e 2 − 1 + 2 J . 0 Tính J . Chọn 0   u = sin 2 x ⇒ d u = 2 cos 2 x d x  dv = e x d x ⇒ v = e x . ¯π ¯ Khi đó J = e x sin 2 x¯ 2 − 2 I = −2 I . 0 Vậy I Z1 13 I = π = −1 − e 2 π e2 +1 . − 4I ⇒ I = − 5 ä 3x + 1 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e2x ĐS: I = − 11 5 + 4e2 4 0 - Lời giải. Chọn   u = 3 x + 1 ⇒ du = 3 d x 1   dv = e−2x d x ⇒ v = − e−2x . 2 Z1 ¯ ¯1 1 1 3 1 3 11 5 ¯ −2x ¯ Khi đó I = − (3 x + 1)e ¯ + e−2x d x = −2e−2 + − e−2x ¯ = − 2 + . 0 0 2 2 2 4 4 4e ä 0 Z3 Ví dụ 4. Tính I = ĐS: I = 3 ln 3 − 2 ln x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . 1 - Lờigiải.   u = ln x ⇒ d u = 1 d x x Chọn   dv = d x ⇒ v = x. ¯3 Z1 ¯3 ¯ ¯ Khi đó I = x ln x¯ − d x = 3 ln 3 − x¯ = 3 ln 3 − 2. 1 1 ä 0 Th.s Nguyễn Chín Em 350 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ze Ví dụ 5. Tính I = Chương 3 - Giải tích 12 x2 ln x d x. . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = 2e3 1 + 9 9 1 1    u = ln x ⇒ d u = d x x Lời giải: Chọn  x3   d v = x2 d x ⇒ v = . 3 Ze ¯ 3 3 x e 1 ¯¯e e3 e3 1 2e3 1 ¯e 1 Khi đó I = ln x¯ − x2 d x = − x3 ¯ = − + = + . 1 3 3 3 9 1 3 9 9 9 9 1 Ze Ví dụ 6. Tính I = x ln2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = e2 1 − 4 4 1 2  2   u = ln x ⇒ d u = ln x d x x Lời giải: Chọn 2  x   dv = x d x ⇒ v = . 2 Ze ¯ 2 x e2 ¯e Khi đó I = ln2 x¯ − x ln x d x = − J . 1 2 2 1  1    u = ln x ⇒ d u = d x x Tính J . Chọn 2  x   dv = x d x ⇒ v = . 2 Ze ¯ 2 x e2 1 ¯¯ e e2 e2 1 e2 1 ¯e 1 Khi đó J = ln x¯ − x d x = − x2 ¯ = − + = + . 1 2 2 2 4 1 2 4 4 4 4 1 e2 e2 1 e2 1 Vậy I = − − ⇒ I = − .. 2 4 4 4 4 Z1 Ví dụ 7. Tính I = (2 x − 1) ln( x + 1) d x. . . . . . . . . . . . . Lời giải: Chọn 0   u = ln( x + 1) ⇒ d u = ĐS: I = 3 − ln 4 2 1 dx x+1   dv = (2 x − 1) d x ⇒ v = x2 − x. ¶ µ 2 ¶¯ Z1 µ ¯1 Z1 x2 − x 2 x ¯1 ¯ Khi đó I = ( x − x) ln( x + 1)¯ − dx = − x−2+ dx = − − 2 x + 2 ln | x + 1| ¯ = 0 0 x+1 x+1 2 2 0 3 − ln 4. 2 0 π Z4 ln(sin x + 2 cos x) Ví dụ 8. Tính I = d x. . . . . . . . . . . cos2 x 0 h πi Lời giải: Với mọi x ∈ 0; , ta có 4 p 27 2 π ĐS: I = ln − 8 4 ln(sin x + 2 cos x) ln[cos x(tan x + 2)] ln cos x ln(tan x + 2) = = + . cos2 x cos2 x cos2 x cos2 x π Z4 Tính I 1 = ln cos x d x. cos2 x 0 Th.s Nguyễn Chín Em 351 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chọn     u = ln cos x ⇒ d u =    dv = Khi đó Chương 3 - Giải tích 12 1 · (− sin x) d x cos x 1 d x ⇒ v = tan x. cos2 x π I1 ¯ π Z4 ¯ = tan x ln cos x¯ 4 + tan2 x d x 0 0 π Z4 µ p ¶ 1 2 = ln + − 1 dx 2 cos2 x 0 p ¯π 2 ¯ + (tan x − x) ¯ 4 = ln 0 p2 2 π = ln +1− . 2 4 π Z4 Tính I 2 = Chọn ln(tan x + 2) d x. cos2 x  0    u = ln(tan x + 2) ⇒ d u =    dv = Khi đó 1 d(tan x) tan x + 2 1 d x ⇒ v = tan x. cos2 x π I2 ¯ π Z4 ¯ = tan x ln(tan x + 2)¯ 4 − 0 0 π Z4 µ = ln 3 − 0 tan x d(tan x) tan x + 2 ¶ 2 1− d(tan x) tan x + 2 ¯π ¯ = ln 3 − (tan x − 2 ln | tan x + 2|) ¯ 4 0 = 3 ln 3 − 2 ln 2 − 1. p p 2 π 27 2 π Vậy I = I 1 + I 2 = ln + 1 − + 3 ln 3 − 2 ln 2 − 1 = ln − . 2 4 8 4 Bài 2. Tính các tích phân sau: Z2 ĐS: I = 2 ln 2 − x ln x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I= 3 4 1 - Lời giải.  1    u = ln x ⇒ d u = d x x Chọn 2  x   dv = x d x ⇒ v = . 2 Z2 ¯ 2 x x2 ¯¯2 3 ¯2 1 x d x = 2 ln 2 − ¯ = 2 ln 2 − . Khi đó I = ln x¯ − 1 2 2 4 1 4 ä 1 Th.s Nguyễn Chín Em 352 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Z2 ĐS: I = 2 ln 2 − (2 x − 1) ln x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I= 1 2 1 - Lời giải.    u = ln x ⇒ d u = 1 d x x Chọn   dv = (2 x − 1) d x ⇒ v = x2 − x. ¶¯ µ 2 ¯2 Z2 1 x ¯2 ¯ 2 − x ¯ = 2 ln 2 − . Khi đó I = ( x − x) ln x¯ − ( x − 1) d x = 2 ln 2 − 1 1 2 2 ä 1 Ze ĐS: I = (1 + x) ln x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I= e2 5 + 4 4 1 - Lời giải.  1    u = ln x ⇒ d u = d x x Chọn  x2   dv = (1 + x) d x ⇒ v = + x. 2 µ 2 ¶ µ 2 ¶¯ ¯e Ze ³ x ´ 2 x e2 e2 5 e2 5 x ¯ ¯e e Khi đó I = + x ln x¯ − + 1 dx = +e− +x ¯ = +e− −e+ = + . 1 1 2 2 2 4 2 4 4 4 4 ä 1 Ze e2 9 ĐS: I = + 4 4 ( x + 2) ln x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I= 1 - Lời giải.  1    u = ln x ⇒ d u = d x x Chọn  x2   dv = ( x + 2) d x ⇒ v = + 2 x. 2 µ 2 ¶ µ 2 ¶¯ ¯e Ze ³ x ´ x e2 x ¯e ¯ Khi đó I = + 2 x ln x¯ − + 2 dx = + 2e − + 2x ¯ 1 1 2 2 2 4 1 e2 e2 9 e2 9 = + 2e − − 2e + = + . 2 4 4 4 4 Ze 5 I = x(ln x + 1) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ä ĐS: I = 3e2 1 − 4 4 1 - Lời giải. Ze Ze I= x(ln x + 1) d x = Ze x ln x d x + x dx = I1 + I2. 1 1 1  1    u = ln x ⇒ d u = d x x Tính I 1 . Chọn  x2   dv = x d x ⇒ v = . 2 Ze ¯ 2 e x 1 e2 1 ¯¯ e e2 e2 1 e2 1 ¯ Khi đó I 1 = ln x¯ − x d x = − x2 ¯ = − + = + . 1 2 2 2 4 1 2 4 4 4 4 1 x2 ¯¯ e e2 1 Tính I 2 = ¯ = − . 2 1 2 2 3e2 1 Vậy I = I 1 + I 2 = − . 4 4 Th.s Nguyễn Chín Em 353 ä https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z2 6 I= Chương 3 - Giải tích 12 x3 − 2 ln x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 ĐS: I = ln 2 + 1 2 1 - Lời giải. Z2 Z2 Z2 x3 − 2 ln x ln x x2 ¯¯2 3 I= d x = x d x − 2 d x = ¯ − 2J = − 2J. 2 2 2 1 2 x x 1 1 1  1    u = ln x ⇒ d u = d x x Tính J . Chọn 1    dv = x−2 d x ⇒ v = − . x Z2 ¯ 1 1 1 ¯¯2 1 1 1 1 ¯2 Khi đó J = − ln x¯ + ln 2 − d x = − ¯ = − ln 2 − + 1 = ln 2 + . 2 1 x 2 x 1 2 2 2 x 1 1 Vậy I = ln 2 + . 2 Z2 7 I= 1 ä ln( xe x ) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . ( x + 2)2 5 4 1 2 ĐS: I = ln 2 − ln 3 − 1 6 - Lời giải.  x+1   dx  u = ln( xe x ) ⇒ d u = x Chọn 1    dv = ( x + 2)−2 d x ⇒ v = − . x+2 ¯2 Z2 x + 1 1 1 1 x ¯ Khi đó I = − ln( xe )¯ + d x = − ln(2e2 ) + + J . 1 x+2 x( x + 2) 4 3 1 Z2 Tính J . Ta có J = 1 x+1 1 = x( x + 2) 2 5 1 1 Vậy I = ln 2 − ln 3 − . 4 2 6 Z2 µ 1 ¶ ¯2 1 1 1 1 ¯ d x = ln | x( x + 2)|¯ = (ln 8 − ln 3). + 1 x x+2 2 2 ä Ze e2 − 3 ĐS: I = 2 2 x(1 − ln x) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I= 1 - Lời giải. Ze I= Ze 2 x(1 − ln x) d x = Ze 2x dx − 2 ¯e ¯ x ln x d x = x2 ¯ − 2 J = e2 − 1 − 2 J . 1 1 1 1  1    u = ln x ⇒ d u = d x x Tính J . Chọn 2  x   dv = x d x ⇒ v = . 2 ¯ e 1 Ze x2 e2 1 ¯¯ e e2 e2 1 e2 1 ¯ Khi đó J = ln x¯ − x d x = − x2 ¯ = − + = + . 1 2 2 2 4 1 2 4 4 4 4 1 e2 1 e2 3 Vậy I = e2 − 1 − − = − . 2 2 2 2 ä Ze2 9 I = (1 + ln x) x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = e 5e4 3e2 − 4 4 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 354 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Ze2 Ze2 Ze2 x2 ¯¯e2 e4 e2 I = (1 + ln x) x d x = x ln x d x + x d x = J + ¯ = J + − . 2 e 2 2 e e e  1    u = ln x ⇒ d u = d x x Tính J . Chọn 2  x   dv = x d x ⇒ v = . 2 e2 Z ¯e 2 1 e2 1 ¯¯e2 3e4 e2 x2 ¯ x d x = e4 − − x2 ¯ = − . Khi đó J = ln x¯ − e 2 2 2 4 e 4 4 e 3e4 e2 e4 e2 5e4 3e2 Vậy I = − + − = − . 4 4 2 2 4 4 Z3 10 I = ä 1 + ln( x + 1) d x. . . . . . . . . . . . . . . . x2 2 3 2 3 ĐS: I = ln 3 + − ln 2 1 - Lời giải. Chọn     u = ln( x + 1) + 1 ⇒ d u = 1    dv = x−2 d x ⇒ v = − . x 1 dx x+1 Khi đó ¯3 Z3 1 1 ¯ dx I = − (ln( x + 1) + 1)¯ + 1 x x( x + 1) 1 = = = 1 2 ln 2 + + 3 3 Z3 µ ¶ 1 1 − dx x ( x + 1) 1 ¯3 2 1 ¯ ln 2 + + (ln | x| − ln | x + 1|)¯ 1 3 3 2 2 2 1 ln 2 + + ln 3 − ln 4 + ln 2 = − ln 2 + ln 3 + . 3 3 3 3 ä Z3 ĐS: I = 8 ln 2 − 2 x ln( x − 1) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I = 7 2 2 - Lời giải. Chọn    u = ln( x − 1) ⇒ d u = 1 dx x−1   d v = 2 x d x ⇒ v = x2 . ¶ µ 2 ¶¯ Z3 µ ¯3 Z3 x2 1 x ¯ ¯3 2 dx = Khi đó I = x ln( x−1)¯ − d x = 9 ln 2− J . Tính J = x+1+ + x + ln | x − 1| ¯ = 2 2 x−1 x−1 2 7 + ln 2. 2 2 2 7 2 Vậy I = 8 ln 2 − . ä Z1 12 I = ĐS: I = 16 − 15 ln 5 (4 x − 5) ln(2 x + 3) d x. . . . . . . . . . . . . . . . −1 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 355 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chọn    u = ln(2 x + 3) ⇒ d u = Chương 3 - Giải tích 12 2 dx 2x + 3   dv = (4 x − 5) d x ⇒ v = 2 x2 − 5 x. Khi đó Z1 2 ¯1 2x − 5x ¯ I = (2 x − 5 x) ln(2 x + 3)¯ − 2 dx −1 2x + 3 2 −1 Z1 µ = −3 ln 5 − 2 −1 ¶ µ 2 ¶¯ x 12 ¯1 x−4+ d x = −3 ln 5 − 2 − 4 x + 6 ln |2 x + 3| ¯ −1 2x + 3 2 = 16 − 15 ln 5. ä Z1 p 3 3 1 − ĐS: I = ln 2 2 2 x ln(2 + x ) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 I = 0 - Lời giải. Chọn   2   u = ln(2 + x ) ⇒ d u =  x2   dv = x d x ⇒ v = . 2 2x x2 + 2 dx Khi đó I = = ¶ Z1 µ ¯1 Z1 x3 x2 1 2x ¯ 2 d x = ln( x + 2)¯ − ln 3 − x − dx 0 2 2 x2 + 2 x2 + 2 0 0 p µ 2 ¶¯ 1 x 1 3 3 1 1 1 ¯ 2 ln 3 − − ln( x + 2) ¯ = ln 3 − + ln 3 − ln 2 = ln − . 0 2 2 2 2 2 2 ä Z1 ĐS: I = 5 − ( x − 5) ln(2 x + 1) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . 14 I = 57 ln 3 8 0 - Lời giải. 2 dx 2x + 1 Chọn  x2   dv = ( x − 5) d x ⇒ v = − 5 x. 2 µ 2 ¶ ¯1 Z1 x2 − 10 x x 9 ¯ Khi đó I = − 5 x ln(2 x + 1)¯ − d x = − ln 3 − J . 0 2 2x + 1 2     u = ln(2 x + 1) ⇒ d u = 0 Z1 Tính J = 0 x2 − 10 x dx = 2x + 1 Z1 µ 0 ¶ µ 2 ¶¯ 1 21 21 x 21 21 21 ¯1 dx = x− + − x+ ln |2 x + 1| ¯ = −5 + ln 3. 0 2 4 4(2 x + 1) 4 4 8 8 9 21 57 Vậy I = − ln 3 + 5 − ln 3 = 5 − ln 3. 2 8 8 ä Zln 2 15 I = e x ln(e x + 1) d x. . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = 3 ln 3 − 2 ln 2 − 1 0 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 356 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chọn    u = ln(e x + 1) ⇒ d u = Chương 3 - Giải tích 12 ex dx ex + 1   dv = e x d x ⇒ v = e x . ¯ln 2 Zln 2 e2x ¯ Khi đó I = e ln(e + 1)¯ − d x = 2 ln 3 − ln 2 − J. 0 ex + 1 x x 0 x x Tính J . Đặt  t = e ⇒ d t = e d x. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1  x = ln 2 ⇒ t = 2. Z2 Khi đó J = 1 t dt = t+1 ¶ Z2 µ ¯2 1 ¯ 1− d t = ( t − ln | t + 1|) ¯ = 1 − ln 3 + ln 2. 1 t+1 1 Vậy I = 3 ln 3 − 2 ln 2 − 1. Z1 16 I = 0 ä ln( x + 1) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( x + 2)2 5 3 ĐS: I = ln 2 − ln 3 - Lời giải.     u = ln( x + 1) ⇒ d u = 1 dx x+1 Chọn 1    dv = ( x + 2)−2 d x ⇒ v = − . x+2 Khi đó ¯1 Z1 1 1 ¯ I = − ln( x + 1)¯ + dx 0 x+2 ( x + 1)( x + 2) 0 1 = − ln 2 + 3 Z1 µ 0 ¶ 1 1 − dx x+1 x+2 ¯1 5 1 ¯ = − ln 2 + (ln | x + 1| − ln | x + 2|) ¯ = ln 2 − ln 3. 0 3 3 ä Z3 17 I = ln[2 + x( x2 − 3)] d x. . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = −4 ln 2 + 5 ln 5 − 3 2 - Lời giải. Chọn    u = ln( x3 − 3 x + 2) ⇒ d u =   3 x2 − 3 3( x + 1) dx = dx 3 ( x − 1)( x + 2) x − 3x + 2 dv = d x ⇒ v = x. Khi đó Z3 ¯3 ¯ I = x ln( x − 3 x + 2)¯ − 3 3 2 2 x2 + x dx ( x − 1)( x + 2) Z3 µ µ ¶¶ 1 2 1 = 3 ln 20 − 2 ln 4 − 3 1+ − dx 3 x−1 x+2 2 µ ¶ | x − 1| ¯¯3 = 3 ln 20 − 2 ln 4 − 3 x + 2 ln ¯ | x + 2| 2 8 = 3 ln 20 − 2 ln 4 − 3 − 2 ln = −4 ln 2 + 5 ln 5 − 3. 5 ä Th.s Nguyễn Chín Em 357 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 18 I = 0 Chương 3 - Giải tích 12 ln(4 x2 + 8 x + 3) d x. . . . . . . . . . . . . ( x + 1)3 1 2 1 8 ĐS: I = − ln 15 + ln 3 + ln 25 16 - Lời giải. 8x + 8 dx 4 x2 + 8 x + 3 Chọn 1 1    dv = d x ⇒ v = − . ( x + 1)3 2( x + 1)2   2   u = ln(4 x + 8 x + 3) ⇒ d u = Khi đó ¯1 Z1 1 8x + 8 ¯ 2 I = − ln(4 x + 8 x + 3)¯ + dx 2 2 0 2( x + 1) 2(4 x + 8 x + 3)( x + 1)2 0 1 1 = − ln 15 + ln 3 + 8 2 Z1 0 1 1 = − ln 15 + ln 3 + 4 8 2 4 dx (2 x + 1)(2 x + 3)( x + 1) Z1 µ 0 ¶ 1 1 1 + − dx 2x + 1 2x + 3 x + 1 ¯1 1 1 ¯ = − ln 15 + ln 3 + (2 ln |2 x + 1| + 2 ln |2 x + 3| − 4 ln | x + 1|) ¯ 0 8 2 1 1 25 = − ln 15 + ln 3 + ln . 8 2 16 ä π Z2 19 I = log(3 sin x + cos x) sin2 x π 4 p 128 2 π ĐS: I = log − 27 4 ln 10 d x. . . . . . . . . . . . . - Lời giải. Với mọi x ∈ hπ πi ; , ta có 4 2 log(3 sin x + cos x) 2 sin x = log[sin x(3 + cot x)] 2 sin x = log sin x 2 sin x + log(3 + cot x) sin2 x . π Z2 Tính I 1 = log sin x π Chọn sin2 x d x:  4    u = log sin x ⇒ d u =    dv = 1 sin2 x Th.s Nguyễn Chín Em 1 · cos x d x sin x · ln 10 d x ⇒ v = − cot x. 358 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Khi đó π I1 ¯ π Z2 cot2 x ¯ = − cot x log sin x¯ π2 + dx ln 10 4 π 4 π p ¶ Z2 µ 2 1 1 + = log − 1 dx 2 ln 10 sin2 x π 4 p ¯π 2 1 ¯2 + = log (− cot x − x) ¯ π 2 ln 10 4 p ³ ´ 2 1 π = log + − +1 . 2 ln 10 4 π Z2 Tính I 2 = log(3 + cot x) sin2 x π 4 Chọn d x:     u = log(3 + cot x) ⇒ d u =    dv = Khi đó 1 sin2 x 1 d(cot x) (3 + cot x) ln 10 d x ⇒ v = − cot x. π I2 ¯π ¯ = − cot x log(3 + cot x)¯ π2 + 4 1 ln 10 Z2 π 4 cot x d(cot x) 3 + cot x π 1 = log 4 + ln 10 Z2 µ 1− π 4 ¶ 3 d(cot x) 3 + cot x ¯π 1 ¯2 = log 4 + (cot x − 3 ln |3 + cot x|) ¯ π ln 10 4 µ ¶ 1 4 = log 4 + 3 ln − 1 . ln 10 3 p p µ ¶ ´ 2 1 ³ π 1 4 128 2 π Vậy I = I 1 + I 2 = log + − + 1 + log 4 + 3 ln − 1 = log − . 2 ln 10 4 ln 10 3 27 4 ln 10 ä π Z2 Ví dụ 9. Tính I = (2 x − 1) cos 2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = −1 0 Lời giải: Đặt  u = 2 x − 1 ⇒ dv = cos 2 x d x π    du = 2 d x sin 2 x  v = . 2 ¯ π Z2 ¯π cos 2 x ¯¯ 2 (2 x − 1) sin 2 x ¯¯ 2 Do đó I = ¯ − sin 2 x d x = 2 ¯ = −1. 2 0 Th.s Nguyễn Chín Em 0 0 359 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 π Z2 ¡ ¢ e2x 1 + xe−2x cos x d x. . . . . . . . . . . Ví dụ 10. Tính I = π Z2 Lời giải: Có I = 0 π 2x ¡ ¢ e 1 + xe−2x cos x d x = 0 Đặt  u = x  dv = cos x d x Z2 π 2x e dx + 0 ⇒ Z2 0 ĐS: I = eπ − 3 π + 2 2 ¯π e2x ¯¯ 2 eπ − 1 x cos x d x = + J. + J = 2 ¯0 2   du = d x v = sin x. π ¯ π Z2 ¯π ¯2 ¯2 π π Do đó J = x sin x¯¯ − sin x d x = + cos x¯¯ = − 1. 2 2 0 0 0 eπ − 3 π eπ − 1 π + −1 = + . Vậy I = 2 2 2 2 Z2 ¡ ¢ Ví dụ 11. Tính I = 2 x3 + ln x x d x. . . . . . . . . . . . . ĐS: I = 2 ln 2 + 233 20 1 Z2 Lời giải: Có I = 4 Z2 x ln x d x = I 1 + I 2 . 2x dx + 1 1 5 ¯¯2 62 2x ¯ = . ¯ 5 1 5 Z2 + I 2 = x ln x d x. + I1 = 1  1    du = d x x Đặt ⇒ 2  dv = x d x  x   v= . 2 ¯2 Z2 ¯2 2 x2 ¯¯ x ln x ¯¯ x 3 d x = 2 ln 2 − ¯ = 2 ln 2 − . Suy ra I 2 = − ¯ 2 2 4 4   u = ln x 1 Vậy I = 2 ln 2 + 1 1 233 . 20 π Z2 Ví dụ 12. Tính I = π 4 Lời giải: Có I = 1 ln 2 log2 (3 sin x + cos x) sin2 x d x. . . . . . . µ ¶ p 1 4 π ĐS: I = ln 2 2 + 3 ln − ln 2 3 4 π Z2 π 4 ln (3 sin x + cos x) sin2 x d x.     u = ln (3 sin x + cos x)   d u = 3 cos x − sin x d x 3 sin x + cos x Đặt ⇒ 1    dv = v = − cot x. d x sin2 x ¯π ¯2 p Suy ra ln 2 · I = − cot x · ln (3 sin x + cos x) ¯¯ + J = ln 2 2 + J . π 4 Th.s Nguyễn Chín Em 360 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ π Z2 Với J = π 3 cos x − sin x cos x 3 sin x + sin x cos x π Z2 2 2 π 4 Chương 3 - Giải tích 12 dx = 3 2 π 4 3 sin x + sin x cos x ¯π ¯2 π 4 π = −3 ln |3 + cot x| ¯¯ − = 3 ln − . π 4 3 4 4 µ ¶ p 1 4 π Vậy I = ln 2 2 + 3 ln − . ln 2 3 4 π Z2 dx − Z2 dx = π 4 3 2 π 4 (3 + cot x) sin x dx − π 4 Bài 3. Tính các tích phân sau: π Z2 ĐS: I = 1 x sin x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I= 0 - Lời giải. Chọn  u = x ⇒ du = d x  dv = sin x d x ⇒ v = − cos x. π ¯π ¯ π Z2 ¯ ¯ Khi đó I = − x cos x¯ 2 + cos x d x = sin x¯ 2 = 1. 0 ä 0 0 π p p 2 ĐS: I = π+ 2−2 4 Z4 2 x cos x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I= 0 - Lời giải. Chọn  u = 2 x ⇒ du = 2 d x  dv = cos x d x ⇒ v = sin x. π p ¯ π p2 ¯ π Z4 p 2 ¯4 ¯4 Khi đó I = 2 x sin x¯ − 2 sin x d x = π + 2 cos x¯ = π + 2 − 2. 0 0 4 4 ä 0 π Z4 ĐS: I = ( x + 1) sin 2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I= 3 4 0 - Lời giải. Chọn   u = x + 1 ⇒ du = d x 1   dv = sin 2 x d x ⇒ v = − cos 2 x. 2 π Z4 π ¯ ¯π 3 1 1 1 1 ¯4 ¯ Khi đó I = − ( x + 1) cos 2 x¯ + cos 2 x d x = + sin 2 x¯ 4 = . 0 0 2 2 2 4 4 ä 0 π Z2 ĐS: I = ( x − 2) cos x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I= π 2 −3 0 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 361 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chọn Chương 3 - Giải tích 12  u = x − 2 ⇒ du = d x  dv = cos x d x ⇒ v = sin x. π ¯ π Z2 ¯π π π ¯2 ¯ Khi đó I = ( x − 2) sin x¯ − sin x d x = − 2 + cos x¯ 2 = − 3. 0 0 2 2 ä 0 π Z2 ĐS: I = ( x + 1) cos x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I= π 2 0 - Lời giải. Chọn  u = x − 2 ⇒ du = d x  dv = cos x d x ⇒ v = sin x. π ¯π π ¯ π Z2 π ¯ ¯ Khi đó I = ( x + 1) sin x¯ 2 − sin x d x = + 1 + cos x¯ 2 = . 0 0 2 2 ä 0 π Z2 ĐS: I = 0 ( x − 1) sin x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I= 0 - Lời giải. Chọn  u = x − 1 ⇒ du = d x  dv = sin x d x ⇒ v = − cos x. π ¯π ¯ π Z2 ¯ ¯2 Khi đó I = −( x − 1) cos x¯ + cos x d x = −1 + sin x¯ 2 = 0. 0 ä 0 0 π Z2 ĐS: I = 3 (2 x + 1) sin x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I= 0 - Lời giải. Chọn  u = 2 x + 1 ⇒ du = 2 d x  dv = sin x d x ⇒ v = − cos x. π ¯ π Z2 ¯π ¯ ¯ Khi đó I = −(2 x + 1) cos x¯ 2 + 2 cos x d x = 1 + 2 sin x¯ 2 = 3. 0 ä 0 0 π Z2 ĐS: I = − x cos 2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I= 1 2 0 - Lời giải. Chọn   u = x ⇒ du = d x 1   dv = cos 2 x d x ⇒ v = sin 2 x. 2 π 2 ¯π Z 1 ¯π 1 1 1 ¯ ¯ Khi đó I = x sin 2 x¯ 2 − sin 2 x d x = cos 2 x¯ 2 = − . 0 0 2 2 4 2 ä 0 Th.s Nguyễn Chín Em 362 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Bài 4. Tính các tích phân sau: π Z4 ĐS: I = 1 (3 − 2 x) sin 2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I= 0 - Lời giải. Đặt  u = 3 − 2 x ⇒    d u = −2 d x cos 2 x  v = − . 2 π ¯π µ ¶ ¯ π Z4 3 sin 2 x ¯¯ 4 (3 − 2 x) cos 2 x ¯¯ 4 Do đó I = − ¯ − cos 2 x d x = 2 − 2 ¯ = 1. 2 0 0  dv = sin 2 x d x ä 0 π Z2 ĐS: I = 3 x cos x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I= 3π −3 2 0 - Lời giải. Đặt  u = 3 x  dv = cos x d x ⇒   du = d x v = sin x. π ¯ π Z2 ¯π ¯2 ¯ 2 3π 3π ¯ Do đó I = 3 x sin x¯ − 3 sin x d x = + 3 cos x¯¯ = − 3. 2 2 0 0 ä 0 π Z2 3 I= x sin2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = π2 16 + 1 4 0 - Lời giải. π Z2 Có I = 0 π Z2 + I1 = 0 π Z2 + I2 = π x − x cos 2 x dx = 2 Z2 π x dx − 2 0 Z2 x cos 2 x 1 1 dx = I1 − I2. 2 2 2 0 ¯π x2 ¯¯ 2 π2 x dx = ¯ = . 2 0 8 x cos 2 x d x. 0 Đặt  u = x ⇒    du = d x sin 2 x  v = . 2 π ¯ π Z2 ¯π 1 x sin 2 x ¯¯ 2 sin 2 x cos 2 x ¯¯ 2 Do đó I 2 = − dx = =− . ¯ ¯ 2 2 4 0 2 0  dv = cos 2 x d x 0 π2 1 Vậy I = + . 16 4 ä π Z2 4 I= x cos2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = π2 16 − 1 4 0 Th.s Nguyễn Chín Em 363 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 - Lời giải. π Z2 Có I = 0 π Z2 + I1 = 0 π Z2 + I2 = π π x cos2 x d x = Z2 x + x cos 2 x dx = 2 0 Z2 π x dx + 2 0 Z2 x cos 2 x 1 1 dx = I1 + I2. 2 2 2 0 ¯π x2 ¯¯ 2 π2 x dx = ¯ = . 2 0 8 x cos 2 x d x. 0 Đặt  u = x ⇒    du = d x sin 2 x  v = . 2 π ¯ π Z2 ¯π sin 2 x 1 x sin 2 x ¯¯ 2 cos 2 x ¯¯ 2 − =− . Do đó I 2 = dx = ¯ ¯ 2 2 4 0 2 0  dv = cos 2 x d x 0 π2 1 Vậy I = − . 16 4 ä π Z3 5 I= ¡ 2 ¢ ĐS: x + 2 cos x x d x. . . . . . . . . . . . . . . . π3 81 + π2 18 + p π 3 12 − 3 8 0 - Lời giải. π Z3 Có I = 0 π Z3 + I1 = 0 π Z3 + I2 = π ¡ ¢ x + 2 cos2 x x d x = Z3 π ¡ ¢ x2 + x + x cos 2 x d x = 0 ¡ Z3 π ¡ ¢ x2 + x d x + 0 Z3 x cos 2 x d x = I 1 + I 2 . 0 ¶¯π x3 x2 ¯¯ 3 π3 π2 = x + x dx = + + . 3 2 ¯0 81 18 2 ¢ µ x cos 2 x d x. 0 Đặt  u = x ⇒    du = d x sin 2 x  v = . 2 π p p ¯ π Z3 ¯π 3 ¯ x sin 2 x ¯ sin 2 x π 3 cos 2 x ¯¯ 3 π 3 3 Do đó I 2 = − dx = + = − . 2 ¯0 2 12 4 ¯0 12 8 0 p π3 π2 π 3 3 + + − . Vậy I = 81 18 12 8  dv = cos 2 x d x ä π Z4 6 I= ln (cos x) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . cos2 x 1 2 ĐS: I = − ln 2 + 1 − π 4 0 - Lời giải.     u = ln x (cos )   d u = − sin x d x = − tan x d x cos x Đặt ⇒ 1    dv =  dx v = tan x. cos2 x Th.s Nguyễn Chín Em 364 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 π π p ¯ π Z4 ¯π ¶ Z4 µ ¯4 ¯4 1 2 1 2 ¯ Do đó I = tan x ln (cos x) ¯¯ + tan x d x = ln + ln 2 + x − x − 1 d x = − (tan ) ¯ 2 2 cos2 x 0 0 1 π = − ln 2 + 1 − . 2 4 0 0 ä π Z2 7 I= ¡ ¢ x2 + 1 sin x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = π − 1 0 - Lời giải. Đặt   u = x2 + 1  dv = sin x d x ⇒   du = 2 x d x v = − cos x. π ¯π Z2 ¯2 ¡ 2 ¢ ¯ Do đó I = − x + 1 cos x¯ + 2 x cos x d x = 1 + 2 J . 0 0   u = x  du = d x Đặt ⇒  dv = cos x d x v = sin x. π ¯π ¯ π Z2 ¯2 π ¯2 π Do đó J = x sin x¯¯ − sin x d x = + cos x¯¯ = − 1. 2 2 0 0 ³π ´ 0 Vậy I = 1 + 2 − 1 = π − 1. 2 ä Zπ ĐS: I = x ( x − sin x) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I= π3 3 −π 0 - Lời giải. Zπ Có I = Đặt Zπ x ( x − sin x) d x =  0 u = x  dv = sin x d x ⇒ Zπ 2 x dx −  0  du = d x 0 ¯π x3 ¯¯ π3 x sin x d x = ¯ − J = − J. 3 0 3 v = − cos x. ¯π Zπ ¯π ¯ ¯ ¯ Do đó J = − x cos x¯ + cos x d x = π + sin x¯¯ = π. 0 π Vậy I = 0 0 3 3 − π. ä π Z2 ĐS: I = ( x + cos 3 x) x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 I= π3 24 − π 6 − 1 9 0 - Lời giải. π π Z2 Có I = Z2 ( x + cos 3 x) x d x = 0 Đặt  u = x  dv = cos 3 x d x Th.s Nguyễn Chín Em ⇒ π 2 Z2 x dx +  0   du = d x 0 ¯π x3 ¯¯ 2 π3 x cos 3 x d x = ¯ + J = + J. 3 0 24 sin 3 x  v = . 3 365 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 π ¯π ¯π Z2 π cos 3 x ¯¯ 2 x sin 3 x ¯¯ 2 1 π 1 sin 3 x d x = − + Do đó J = − =− − . ¯ ¯ 3 3 6 9 6 9 0 Vậy I = π3 24 − 0 0 π 1 − . 6 9 ä π Z4 ĐS: I = x (1 + sin 2 x) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 I = π2 32 + 1 4 0 - Lời giải. π π Z4 Có I = Đặt π Z4 x (1 + sin 2 x) d x =  0 u = x ⇒ Z4 x dx +  0   du = d x x sin 2 x d x = 0 π 2 ¯¯ 4 π x ¯ + 2 ¯0 Z4 x sin 2 x d x = π2 32 + J. 0 cos 2 x  v = − . 2 π ¯π ¯π Z4 x cos 2 x ¯¯ 4 1 sin 2 x ¯¯ 4 1 Do đó J = − cos 2 x d x = + = . 2 ¯0 2 4 ¯0 4  dv = sin 2 x d x 0 π2 1 Vậy I = + . 32 4 ä π Z2 ĐS: I = cos x ( x − 2 sin x) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I = π 2 −2 0 - Lời giải. π π Z2 Có I = Đặt π Z2 cos x ( x − 2 sin x) d x =  0 u = x  dv = cos x d x ⇒ Z2 x cos x d x − 0   du = d x 0 ¯π cos 2 x ¯¯ 2 sin 2 x d x = J + = J − 1. 2 ¯0 v = sin x. π ¯ π Z2 ¯π ¯2 ¯2 π π Do đó J = x sin x¯¯ − sin x d x = + cos x¯¯ = − 1. 2 2 0 0 0 π Vậy I = − 2. 2 ä π Z2 12 I = ( x − sin x)2 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = π3 24 + π 4 −2 0 - Lời giải. π Z2 Có I = 0 π Z2 + I1 = π ( x − sin x)2 d x = Z2 π ¡ ¢ x2 + sin2 x d x − 2 0 ¡ ¢ x2 + sin2 x d x = 0 π 3 ¯¯ 2 π Z2 0 x2 d x + ¯π ¯π x ¯ x ¯¯ 2 sin 2 x ¯¯ 2 π3 π = ¯ + ¯ − = + . 3 0 2 0 4 ¯0 24 4 Th.s Nguyễn Chín Em π Z2 Z2 x sin x d x = I 1 − 2 I 2 . 0 1 − cos 2 x dx = 2 0 π Z2 0 366 π x2 d x + 1 2 π Z2 dx − 0 1 2 Z2 cos 2 x d x 0 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 π Z2 x sin x d x. + I2 = Đặt 0 u = x ⇒  dv = sin x d x   du = d x v = − cos x. π ¯ π Z2 ¯π ¯2 ¯2 Do đó I 2 = − x cos x¯¯ + cos x d x = sin x¯¯ = 1. 0 Vậy I = π2 Z4 13 I = π 3 24 + π 4 0 0 − 2. ä p cos x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = π − 2 0 - Lời giải. p Đặt t = x ⇒ t2 = x ⇒ 2 t d t = d x. Đổi cận  x = 0 ⇒t = 0 2  x = π ⇒t = π . 4 2 π Z2 Vậy I = 2 t cos t d t. Đặt  0 u = 2 t  dv = cos t d t ⇒   du = 2 d t v = sin t. π ¯ π Z2 ¯π ¯2 ¯2 Suy ra I = 2 t sin t¯¯ − 2 sin t d t = π + 2 cos t¯¯ = π − 2. 0 ä 0 0 Zπ2 p 14 I = sin x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = 2π 0 - Lời giải. p Đặt t = x ⇒ t2 = x ⇒ 2 t d t = d x. Đổi cận x = 0 ⇒t = 0  x = π2 ⇒ t = π. Zπ Vậy I = 2 t sin t d t. Đặt  0 u = 2 t  dv = sin t d t ⇒   du = 2 d t v = − cos t. ¯π Zπ ¯π ¯ ¯ ¯ Suy ra I = −2 t cos t¯ + 2 cos t d t = 2π + 2 sin t¯¯ = 2π. 0 ä 0 0 π Z2 sin 2 x ln (1 + cos x) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 I = ĐS: I = 1 2 0 Th.s Nguyễn Chín Em 367 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 - Lời giải. π π Z2 Có I = Z2 2 sin x cos x ln (1 + cos x) d x. sin 2 x ln (1 + cos x) d x = 0 0 Đặt t = 1+ cos x ⇒ cos x = t − 1 ⇒ − sin x d x = d t. x = 0 ⇒t = 2 Đổi cận  x = π ⇒ t = 1. 2 Z1 Z2 Vậy I = − 2 ( t − 1) ln t d t = (2 t − 2) ln t d t. 2   u = ln t  1   du = 1 d t t Đặt ⇒  dv = (2 t − 2) d t  v = t2 − 2 t. ¯2 Z2 2 µ 2 ¶ ¯2 Z2 ¯ ¯ t t − 2t 1 ¯ Suy ra I = t − 2 t ln t¯ − d t = − ( t − 2) d t = − − 2 t ¯¯ = . t 2 2 ¡ 2 ¢ 1 1 1 ä 1 π Z2 16 I = ¡ ¢ sin 2 x ln 1 + cos2 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = 2 ln 2 − 1 0 - Lời giải. Đặt t = 1+ cos2 x ⇒ d t = −2 cos x sin x d x = − sin 2 x d x. x = 0 ⇒t = 2  x = π ⇒ t = 1. 2 Z1 Z2 Vậy I = − ln t d t = ln t d t. Đổi cận 2   u = ln t  1   du = 1 d t t Đặt ⇒  dv = d t  v = t. ¯2 Z2 ¯2 ¯ ¯ ¯ Suy ra I = t ln t¯ − d t = 2 ln 2 − t¯¯ = 2 ln 2 − 1. 1 ä 1 1 Bài 5. Tính các tích phân sau: Z1 1 I= ¡ ¢ (1 − x) 2 + e2x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = e2 1 + 4 4 0 - Lời giải. Z1 Có I = Z1 (2 − 2 x) d x + (1 − x) e2x d x = I 1 + I 2 . 0 0 ¯1 ¯ ¢ + I 1 = 2 x − x2 ¯¯ = 1. ¡ 0 Z1 + I2 = (1 − x) e2x d x. 0 Th.s Nguyễn Chín Em 368 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Đặt  u = 1 − x ⇒ Chương 3 - Giải tích 12    du = − d x 2x  v = e . 2 ¯1 Z1 2x ¯¯1 1 e2x ¯¯ 1 e2 3 (1 − x) e ¯ 2x Suy ra I 2 = e d x = − + − . + = ¯ 2 2 2 4 ¯ 4 4  dv = e2x d x 0 0 0 2 Vậy I = e 1 + . 4 4 ä Zπ ĐS: I = x ( x − sin x) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I= π3 3 −π 0 - Lời giải. Zπ Có I = 2 Zπ x sin x d x = I 1 − I 2 . x dx − 0 ¯ 0 π x3 ¯¯ π3 + I1 = ¯ = . 3 0 3 Zπ + I 2 = x sin x d x. Đặt 0 u = x  dv = sin x d x ⇒   du = d x v = − cos x. ¯π ¯π Zπ ¯ ¯ ¯ Suy ra I 2 = − x cos x¯ + cos x d x = π + sin x¯¯ = π. 0 Vậy I = Z2 3 I= π 0 0 3 3 − π. ä x3 − 2 ln x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 ĐS: I = ln 2 + 1 2 1 - Lời giải. Z2 Có I = Z2 x dx − 2 1 ¯2 x2 ¯¯ 3 + I1 = ¯ = . 2 1 2 Z2 ln x + I2 = d x. x2 1   u = ln x ln x dx = I1 − 2I2. x2 1  1    du = d x x Đặt ⇒ 1 1    dv = dx  v = − . x2 x ¯2 Z2 ¯2 1 ln 2 1 ln x ¯¯ ln 2 1 ¯¯ Suy ra I 2 = − + d x = − − = − + . ¯ ¯ x 2 x 2 2 x2 1 Vậy I = Z2 4 I= 1 1 3 1 + ln 2 − 1 = ln 2 + . 2 2 ä 1 + x2 e x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x ĐS: I = e2 + ln 2 1 Th.s Nguyễn Chín Em 369 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 - Lời giải. Z2 1 d x + xe x d x = I 1 + I 2 . Có I = x 1 1 ¯2 ¯ + I 1 = ln x¯¯ = ln 2. Z2 1 Z2 + I2 = xe x d x.  1 u = x Đặt ⇒  dv = e x d x   du = d x v = e x . ¯2 Z2 ¯2 ¯ ¯ x 2 x¯ Suy ra I 2 = xe ¯ − e d x = 2e − e − e ¯ = e2 . x¯ 1 1 1 2 Vậy I = e + ln 2. Z1 5 I= ä ex + x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ex ĐS: I = 2 − 2 e 0 - Lời giải. Z1 Có I = Z1 dx + xe− x d x = I 1 + I 2 . 0 0 ¯1 ¯ + I 1 = x¯¯ = 1. 0 Z1 + I2 = Đặt xe− x d x. 0 u = x  dv = e− x d x ⇒   du = d x v = −e− x . ¯1 Z1 ¯1 ¯ ¯ 1 2 −x −x ¯ ¯ + e dx = − e − e ¯ = 1 − e . −x ¯ Suy ra I 2 = − xe 0 2 e 0 0 Vậy I = 2 − . Z3 6 I= ä 1 + ln ( x + 1) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . x2 ĐS: I = 2 2 + ln 3 − ln 2 3 3 1 - Lời giải. Z3 Z3 1 ln ( x + 1) Có I = dx + dx = I1 + I2. 2 x x2 1 1 ¯3 ¯ 2 1 + I 1 = − ¯¯ = . x 1 3 Z3 ln ( x + 1) + I2 = d x. x2  1 1   dx  u = ln ( x + 1)   du = x+1 Đặt ⇒ 1 1    dv =  dx v = − . x2 x Th.s Nguyễn Chín Em 370 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 ¯3 Z3 ¶ Z3 µ ¯ x ¯ ¯¯3 ¯ 1 1 1 1 1 1 ¯ ¯¯ ¯ Suy ra I 2 = − ln ( x + 1) ¯ + d x = ln 2 + − d x = ln 2 + ln ¯ ¯ x x ( x + 1) 3 x x+1 3 x + 1 ¯1 1 1 2 = ln 3 − ln 2. 3 2 2 Vậy I = + ln 3 − ln 2. 3 3 Z1 µ 7 I = x ex + 0 1 ä ¶ 2 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . x+1 ĐS: I = 3 − 2 ln 2 - Lời giải. Z1 xe x d x + Có I = 0 Z1 0 Z1 + I1 = 2x dx = I1 + I2. x+1 xe x d x.  0 u = x Đặt ⇒  dv = e x d x   du = d x v = e x . ¯1 Z1 ¯1 ¯ ¯ x x¯ Suy ra I 1 = xe ¯ − e d x = e − e ¯ = 1. x¯ 0 Z1 2x dx = x+1 + I2 = 0 0 0 Z1 µ 0 ¯1 ¶ ¯ 2 2− d x = (2 x − 2 ln | x + 1|) ¯¯ = 2 − 2 ln 2. x+1 0 Vậy I = 3 − 2 ln 2. ä Z1 ³ ´ p e x + 3 x2 + 1 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I= ĐS: I = 16 9 0 - Lời giải. Z1 Có I = Z1 p xe d x + x 3 x2 + 1 d x = I 1 + I 2 . x 0 0 Z1 + I1 = xe x d x.  0 u = x Đặt  dv = e x d x ⇒   du = d x v = e x . ¯1 ¯1 Z1 ¯ ¯ x x¯ Suy ra I 2 = xe ¯ − e d x = e − e ¯ = 1. x¯ 0 0 0 Z1 p + I 2 = x 3 x2 + 1 d x. 0 p t 3 Đặt t = 3 x2 + 1 ⇒ t2 = 3 x2 + 1 ⇒ t d t = 3 x d x ⇒ x d x = d t. Đổi cận  x = 0 ⇒t = 1 . x = 1 ⇒t = 2 Th.s Nguyễn Chín Em 371 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z2 Suy ra I 2 = 1 Vậy I = 1 + Chương 3 - Giải tích 12 ¯2 t2 t3 ¯¯ 7 dt = ¯ = . 3 9 1 9 7 16 = . 9 9 ä π Z2 9 I= ¡ ¢ x + cos2 x sin x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = 4 3 0 - Lời giải. π π Z2 Có I = Z2 x sin x d x + 0 π Z2 0 + I1 = Đặt cos2 x sin x d x = I 1 + I 2 . x sin x d x. 0 u = x  dv = sin x d x ⇒   du = d x v = − cos x. π ¯π ¯ π Z2 ¯2 ¯2 ¯ Suy ra I 2 = − x cos x¯ + cos x d x = sin x¯¯ = 1. 0 π Z2 + I2 = 0 0 cos2 x sin x d x. 0 Đặt t = cos  x ⇒ d t = − sin x d x. x = 0 ⇒t = 1  x = π ⇒ t = 0. 2 ¯1 Z0 Z1 t3 ¯¯ 1 2 2 Suy ra I 2 = − t d t = t d t = ¯ = . 3 0 3 Đổi cận 1 0 1 4 Vậy I = 1 + = . 3 3 Ze µ 10 I = ä ¶ 1 x + ln x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x ĐS: I = e2 + 3 4 1 - Lời giải. Ze Có I = Ze x ln x d x + 1 1 Ze + I1 = ln x dx = I1 + I2. x x ln x d x. 1  1    du = d x x Đặt ⇒ 2  dv = x d x  x  v = . 2 ¯e Ze ¯e x2 ln x ¯¯ x e2 x2 ¯¯ e2 + 1 − d x = − = . Suy ra I 1 = 2 ¯1 2 2 4 ¯1 4   u = ln x 1 Th.s Nguyễn Chín Em 372 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ze I2 = Chương 3 - Giải tích 12 ln x d x. x 1 1 x  x = 1 ⇒t = 0 Đặt t = ln x ⇒ d t = d x. Đổi cận  x = e ⇒ t = 1. ¯1 Z1 t2 ¯¯ 1 Suy ra I 2 = t d t = ¯ = . 2 0 2 0 e2 + 1 1 e2 + 3 Vậy I = + = . 4 2 4 Z1 11 I = ä 2 x3 e x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = 1 2 0 - Lời giải. 2 Đặt t = x ⇒ d t = 2 x d x. Đổi cận x = 0 ⇒t = 0  x = 1 ⇒ t = 1. Z1 1 Suy ra I = te t d t. 2 0   u = t  du = d t Đặt ⇒  dv = e t d t v = e t . ¯1 ¯1 Z1 1 t ¯¯ 1 e e t ¯¯ 1 t Suy ra I = te ¯ − e dt = − ¯ = . 2 2 2 2 0 2 0 ä 0 Z1 12 I = 3 x5 e x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = 1 3 0 - Lời giải. 3 Đặt t = x ⇒ d t = 3 x2 d x. Đổi cận x = 0 ⇒t = 0  x = 1 ⇒ t = 1. Z1 1 Suy ra I = te t d t. 3 0   u = t  du = d t Đặt ⇒  dv = e t d t v = e t . ¯1 ¯1 Z1 1 t ¯¯ 1 e e t ¯¯ 1 t Suy ra I = te ¯ − e dt = − ¯ = . 3 3 3 3 0 3 0 ä 0 Z1 13 I = ¡ 3 ¢ 2 8 x − 2 x e x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = 5 − e 0 - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 373 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 Có I = 8 Z1 3 x2 x e dx − 2 0 Z1 + I1 = Chương 3 - Giải tích 12 2 xe x d x = 8 I 1 − 2 I 2 . 0 2 x3 e x d x. 0 2 Đặt t = x ⇒ d t = 2 x d x. Đổi cận x = 0 ⇒t = 0  x = 1 ⇒ t = 1. Z1 1 Suy ra I 1 = te t d t. 2 0   u = t  du = d t Đặt ⇒  dv = e t d t v = e t . ¯1 ¯1 Z1 1 t ¯¯ 1 e e t ¯¯ 1 t Suy ra I 1 = te ¯ − e dt = − ¯ = . 2 2 2 2 0 2 0 0 Z1 + I2 = 2 xe x d x. 0 2 Đặt t = x ⇒ d t = 2 x d x. Đổi cận x = 0 ⇒t = 0  x = 1 ⇒ t = 1. ¯1 Z1 e−1 1 t ¯¯ 1 t . e dt = e ¯ = Suy ra I 2 = 2 2 0 2 0 Vậy I = 4 − e + 1 = 5 − e. Z1 14 I = p p xe x ä ĐS: I = 2e − 4 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 - Lời giải. p Đặt t = x ⇒ t2 = x ⇒ 2 t d t = d x. Đổi cận x = 0 ⇒t = 0  x = 1 ⇒ t = 1. Z1 Suy ra I = 2 t2 et d t. Đặt 0   u = t2  dv = e t d t ⇒   du = 2 t d t v = e t . ¯1 Z1 ¯ Do đó I = 2 t e ¯ − 4 te t d t = 2e − 4 J . 0  0 u = t  du = d t Đặt ⇒  dv = e t d t v = e t . ¯1 Z1 ¯1 ¯ ¯ t t¯ t¯ Suy ra J = te ¯ − e d t = e − e ¯ = 1. 2 t¯ 0 0 0 Vậy I = 2e − 4. Th.s Nguyễn Chín Em ä 374 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ π3 Z27 15 I = sin p 3 Chương 3 - Giải tích 12 ĐS: I = − x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . π2 6 p +π 3−3 0 - Lời giải. p Đặt t = 3x ⇒ t3 = x ⇒ 3 t2 d t = d x. Đổi cận  x = 0 ⇒t = 0 3  x = π ⇒t = π . 27 3 π Z3 Suy ra I = 3 t2 sin t d t. Đặt 0   u = t2 ⇒  dv = sin t d t   du = 2 t d t v = − cos t. π ¯π Z3 ¯3 π2 2 ¯ Suy ra I = −3 t cos t¯ + 6 t cos t d t = − + 6 J . 6 0   0 u = t  du = d t ⇒ Đặt  dv = cos t d t v = sin t. π p p p ¯ π Z3 ¯π ¯3 ¯3 π 3 1 π 3−3 π 3 Suy ra J = t sin t¯¯ − sin t d x = + cos t¯¯ = − = . 6 6 2 6 0 Vậy I = − Z1 16 I = π 2 6 0 0 p + π 3 − 3. ä p cos 1 − x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐS: I = π − 2 π2 1− 4 - Lời giải. p Đặt t = 1 − x ⇒ t2 = 1 − x ⇒ 2 t d t = − d x. 2  x = 1 − π 4 Đổi cận   x=1 ⇒t = 2 ⇒ t = 0. π Z0 Suy ra I = −2 Z2 t cos t d t. t cos t d t = 2 π 2 Đặt π  u = t  dv = cos t d t 0 ⇒   du = d t v = sin t. π ¯π ¯π Z2 ¯2 ¯2 Suy ra I = 2 t sin t¯¯ − 2 sin t d t = π + 2 cos t¯¯ = π − 2. 0 π Z2 17 I = π 6 cos x ln (sin x) sin2 x 0 ä 0 ĐS: I = 1 − 2 ln 2 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 375 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Đặt t = sin  x ⇒ d t = cos x d x. π 1  x = ⇒t = 6 2 Đổi cận π  x = ⇒ t = 1. 2 Z1 ln t Suy ra I = d t. t2 1 2   1     du = d t  u = ln t t ⇒ Đặt 1 1    dv = d t  v = − . t2 t ¯1 Z1 ¯1 ln t ¯¯ 1 1 ¯¯ 1 Suy ra I = − + d t = 2 ln − ¯ = 1 − 2 ln 2. t ¯1 2 t 1 t2 2 ä 2 1 2 π Z3 18 I = π 4 p 3 ln 3 p ĐS: I = − 3+1 2 ln (tan x) d x. . . . . . . . . . . . . . . . . cos2 x - Lời giải. 1 d x. cos2 x ⇒t = 1 p ⇒ t = 3. Đặt t = tan x ⇒ d t =  π  x = 4 Đổi cận π  x = p 3 Z3 Suy ra I = ln t d t. 1   u = ln t    du = 1 d t t Đặt ⇒  dv = d t  v = t. p ¯p3 Z 3 ¯p3 p p p ¯ ¯ 3 ln 3 p Suy ra I = t ln t¯¯ − d t = 3 ln 3 − t¯¯ = − 3 + 1. 2 1 ä 1 1 B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 NHẬN BIẾT Câu 1. Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và thỏa mãn Z6 Z6 Z10 3 0 f ( x) d x = 9. Giá trị f ( x ) d x = 8, f ( x ) d x = 7, 3 Z10 của I = f ( x) d x bằng 0 A. I = 5. B. I = 6. C. I = 7. D. I = 8. - Lời giải. Z10 Ta có Z6 f ( x) d x = Z10 f ( x) d x + 3 3 Z10 Khi đó I = Z10 f ( x) d x ⇔ 6 Z6 f ( x) d x = 0 Th.s Nguyễn Chín Em f ( x) d x = 6 Z6 f ( x) d x − 3 f ( x) d x = 8 − 9 = −1 3 Z10 f ( x) d x + 0 Z10 f ( x ) d x = 7 − 1 = 6. 6 376 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Chọn đáp án B ä Câu 2. Cho các hàm số y = f ( x) và y = g ( x) liên tục trên [a; b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Za A. Zb B. k f ( x ) d x = 0. a Zb C. Zb [ f ( x) + g ( x)] d x = a Zb a a f ( x) d x. x f ( x) d x = x a a Zb Za D. g ( x) d x. f ( x) d x + Zb f ( x) d x. f ( x) d x = − a b - Lời giải. Dựa vào các đáp án ta dễ dàng nhận thấy các đáp án A, C, D đúng, đáp án B sai. Chọn đáp án B ä π Z3 Câu 3. Cho I = sin x cos2 x d x, khẳng định nào sau đây đúng? 0 1 A. 0 < I < . 3 - Lời giải. π Z3 Ta có I = − 0 B. 1 1 0) bằng ax + 3a 5 3 5 3 B. a log . Z2 0 C. ln . 2a . 15 1 5 d x = ln( x + 3)|20 = ln 5 − ln 3 = ln . x+3 3 Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em D. ä 410 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Zd Câu 53. Nếu Chương 3 – Giải tích 12 Zd f ( x) d x = 5 và a Zb f ( x) d x = 2 (với a < d < b) thì a b A. 3. 5 C. . 2 B. 7. - Lời giải. Zb Ta có Zd Zb f ( x) d x = a f ( x) d x + a f ( x) d x bằng Zd f ( x) d x = Zd f ( x) d x − a d D. 10. f ( x) d x = 5 − 2 = 3. b Chọn đáp án A Z1 Câu 54. Cho 0 ä 2x + 3 d x = a · ln 2 + b (với a, b là các số nguyên). Khi đó giá trị của a là 2− x A. −7. B. 7. C. 5. D. −5. - Lời giải. Ta có Z1 0 2x + 3 dx = − 2− x Z1 0 2( x − 2) + 7 dx = − x−2 Z1 µ 2+ 0 ¶ ¯1 7 ¯ d x = − (2 x + 7 ln | x − 2|) ¯ = 7 ln 2 − 2. x−2 0 Do đó a = 7. Chọn đáp án B ä Câu 55. Cho hàm số f ( x) = A. I = 4.   x khi x ≥ 1 1 khi x < 1 Z2 . Tính tích phân I = 0 3 C. I = . 2 B. I = 2. - Lời giải. Z2 Ta có I = Z1 f ( x) d x = 0 Z2 f ( x) d x + 0 Z1 f ( x) d x = 1 f ( x) d x. Z1 1 dx + 0 5 2 D. I = . 5 x dx = . 2 0 Chọn đáp án D ä Câu 56. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên [a; b]. Mệnh đề nào dưới đây sai? Zb A. Za Zb a f ( x) d x = Zb f ( x) d x + a f ( x) d x, ∀ c ∈ R. c Za D. f ( t) d t. f ( x) d x = Zc a b Zb C. B. f ( x) d x. f ( x) d x = − a Zb a f ( x) d x = 0. a - Lời giải. Zb Ta không biết được hàm số y = f ( x) có liên tục tại c hay không, nên biểu thức Zc f ( x) d x = a Zb f ( x) d x + a f ( x) d x, ∀ c ∈ R sai. c Chọn đáp án B ä Câu 57. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R và thỏa mãn Z3 Z5 Th.s Nguyễn Chín Em B. 18. C. −18. 411 f ( x) d x = 2. Tính f ( x) d x = 20, 0 A. 22. Z5 0 f ( x) d x. 3 D. −22. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 - Lời giải. Z5 Z5 f ( x) d x = 3 Z3 f ( x) d x = −18. f ( x) d x − 0 0 Chọn đáp án C ä Z3 Câu 58. Cho f , g là hai hàm số liên tục trên [1; 3], đồng thời thỏa mãn [ f ( x) + 3 g( x)] d x = 10 và 1 Z3 Z3 [2 f ( x) − g( x)] d x = 6. Tính [ f ( x) + g( x)] d x. 1 1 A. 6. B. 8. C. 7. D. 9. - Lời giải. Z3 Đặt a = Z3 f ( x) d x, b = 1 g( x) d x. Theo giả thiết ta có 1  a + 3 b = 10 2 a − b = 6 ⇒  a = 4  b = 2. Z3 Vậy [ f ( x) + g( x)] d x = a + b = 6. 1 Chọn đáp án A ä π Z2 Câu 59. Cho tích phân π 3 A. 2a + b = 0. sin x d x = a ln 5 + b ln 2 với a, b ∈ Z. Mệnh đề nào dưới đây đúng? cos x + 2 B. a − 2 b = 0. C. 2a − b = 0. D. a + 2b = 0. - Lời giải. Đặt t = cos  x+2 ⇒ d t = − sin x d x ⇒ sin x d x = −d t. π   x = t = 5 3 2 Đổi cận π ⇒  x =  t = 2. 2 π µ ¶ Z2 Z2 ¯2 sin x − dt 5 ¯ dx = = − ln | t|¯ 5 = − ln 2 − ln = ln 5 − 2 ln 2. Suy ra a ln 5 + b ln 2 = cos x + 2 t 2 2 π 3 5 2 Do đó a = 1, b = −2 nên 2a + b = 0. Chọn đáp án A ä Z1 Câu 60. Tích phân I = 0 ( x − 1)2 d x = a ln b + c, trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu x2 + 1 thức a + b + c. A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. - Lời giải. Ta có Z1 I= 0 ( x − 1)2 dx = x2 + 1 Th.s Nguyễn Chín Em Z1 0 ( x2 + 1) − 2 x dx = x2 + 1 Z1 µ 0 ¶ Z1 Z1 2x 1 1− 2 dx = dx − d( x2 + 1). 2 x +1 x +1 0 412 0 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 ¤ ¯¯1 Suy ra I = 1 − ln( x2 + 1) ¯ = 1 − ln 2. Do đó a = −1, b = 2, c = 1. 0 Vậy a + b + c = 2. £ Chọn đáp án A ä Z5 Câu 61. Cho I = Z2 f ( x) d x = 26. Khi đó J = 1 £ ¤ x · f ( x2 + 1) + 1 d x bằng 0 A. 13. B. 52. C. 54. D. 15. - Lời giải. Ta có Z2 J = 2 £ Z2 ¤ x · f ( x + 1) + 1 d x = 0 Z2 2 x · f ( x + 1) d x + 0 Z2 = 1 2 = 1 · 26 + 2 = 15. 2 f ( x2 + 1) d( x2 + 1) + x dx 0 x2 ¯¯2 1 ¯ = 2 0 2 0 Z5 f ( t) d t + 2 1 Chọn đáp án D ä Z8 Câu 62. Cho hàm số f ( x) liên tục trên và 3 f ( x)d x = 10. Tính I = 2 f (3 x − 1)d x. 1 2 A. 30. Z3 B. 10. C. 20. D. 5. - Lời giải. 1 3 Đổi cận x = 1 ⇒ t = 2; x = 3 ⇒ t = 8. Z3 Z8 Z8 3 1 3 1 I= f (3 x − 1)d x = f ( t) d t = f ( t)d t. 2 2 3 2 Đặt 3 x − 1 = t ⇒ 3d x = d t ⇒ d x = d t. 1 2 Z8 Ta có Z8 f ( x)d x = 10 ⇒ 2 2 1 f ( t)d t = 10. Vậy I = 2 2 Z8 f ( t)d t = 1 · 10 = 5. 2 2 Chọn đáp án D ä Z3 Câu 63. Biết rằng I = x ln x d x = m ln 3 + n ln 2 + p, trong đó m, n, p ∈ Q. Tính m + n + 2 p. 2 5 A. . 4 - Lời giải. B. 9 . 2 5 4 C. 0. D. − .  1   d u = d x x Đặt ⇒ suy ra 2 d v = x d x  x  v = 2   u = ln x ¯3 Z3 ¯ x2 1 9 5 ¯ I= ln x¯ − x d x = ln 3 − 2 ln 2 − . 2 2 2 4 2 2 Suy ra m + n + 2 p = 0. Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em ä 413 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 Chương 3 - Giải tích 12 Z1 Câu 64. Cho f ( x) d x = 2 và 0 Z1 g( x) d x = 5, khi đó 0 A. −3. [ f ( x) − 2 g( x)] d x bằng 0 B. 12. C. −8. D. 1. - Lời giải. Z1 Z1 Ta có [ f ( x) − 2 g( x)] d x = 0 Z1 g( x) d x = 2 − 2 · 5 = −8. f ( x) d x − 2 0 0 Chọn đáp án C Z2 Câu 65. ä e3x−1 d x bằng 1 1 A. (e5 − e2 ). 3 B. 1 5 e − e2 . 3 C. e5 − e2 . D. 1 5 (e + e2 ). 3 - Lời giải. Z2 ¯2 1 1 ¯ e3x−1 d x = e3x−1 ¯ = (e5 − e2 ). 3 3 1 Ta có 1 Chọn đáp án A Z1 Câu 66. ä e3x+1 d x bằng 0 ¢ 1¡ 4 A. e −e . 3 B. e4 − e. C. ¢ 1¡ 4 e +e . 3 D. e3 − e. - Lời giải. Z1 3x+1 Ta có e 0 ¯ 1 3x+1 ¯¯1 1 4 dx = e ¯ = 3 (e − e). 3 0 Chọn đáp án A Z2 Câu 67. 1 ä dx bằng 3x − 2 A. 2 ln 2. B. 1 ln 2. 3 C. 2 ln 2. 3 D. ln 2. - Lời giải. Z2 Ta có 1 ¯2 1 dx 1 2 ¯ = ln |3 x − 2| ¯ = (ln 4 − ln 1) = ln 2. 3x − 2 3 3 3 1 Chọn đáp án C Ze Câu 68. Cho ä (1 + x ln x) d x = ae2 + be + c với a, b, c là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 A. a + b = c. - Lời giải. Ze Ta có (1 + x ln x) d x = 1 B. a + b = − c. Ze Ze 1 dx + 1 Th.s Nguyễn Chín Em x ln x d x. x ln x d x = e − 1 + 1 D. a − b = − c. Ze 1   d u = d x x Đặt , ta chọn 2 d v = x d x  x  v = . 2   u = ln x C. a − b = c. 1 414 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Ze ¯e 1 Ze x2 e2 1 ¯¯e e2 e2 1 e2 1 ¯ x ln x d x = ln x¯ − x d x = − x2 ¯ = − + = + . 2 2 2 4 1 2 4 4 4 4 1 Khi đó 1 1 2 Ze Suy ra Chương 3 - Giải tích 12 (1 + x ln x) d x = e − 1 + 1 e2 3 1 3 e + = + e − nên a = , b = 1, c = − . 4 4 4 4 4 4 1 Vậy a − b = c. Chọn đáp án C Z2 Câu 69. 1 ä dx bằng 2x + 3 7 5 A. 2 ln . B. - Lời giải. Z2 Ta có 1 1 ln 35. 2 7 5 C. ln . D. 1 7 ln . 2 5 ¯2 1 1 1 7 dx ¯ = ln |2 x + 3|¯ = (ln 7 − ln 5) = ln . 1 2x + 3 2 2 2 5 Chọn đáp án D ä π 4 Z Câu 70. Tính tích phân sin 2 x d x bằng 0 A. 1. B. 2. - Lời giải. 1 . 2 D. 0. π π Z4 Ta có I = C. sin 2 x d x = 0 1 2 Z4 ¯ π4 1 1 ¯ sin 2 x d(2 x) = − cos 2 x¯ = . 2 2 0 0 Chọn đáp án C ä Câu 71. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R và thỏa mãn I = Ze f (ln x) d x = e. Mệnh đề nào dưới đây x 1 đúng? Ze A. Z1 B. f ( x) d x = e. 1 Z1 C. f ( x ) d x = 1. 0 Ze f ( x) d x = e. 0 D. f ( x ) d x = 1. 0 - Lời giải. dx = d t. x Đổi cận: Khi x = 1 ⇒ t = 0; Khi x = e ⇒ t = 1. Z1 Z1 Vậy ta có I = f ( t) d t = e ⇔ I = f ( x) d x = e. Đặt ln x = t ⇒ 0 0 Chọn đáp án C ä Ze2 Câu 72. Tích phân e 1 d x bằng x ln x A. ln 2 + 1. - Lời giải. B. ln 2 + 2. 1 x Z2 C. ln 3 − 1. D. ln 2. Đặt u = ln x ⇒ du = d x. Ze2 Khi đó e 1 dx = x ln x Th.s Nguyễn Chín Em ¯2 du ¯ = ln | u|¯ = ln 2. 1 u 1 415 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Chọn đáp án D ä e Z Câu 73. Giá trị của 1 1 A. . 4 ln x d x bằng x B. 1. C. - Lời giải. 1 . 2 D. 1 . 6 1 x Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 0; x = e ⇒ t = 1. ¯1 Z 1 1 t2 ¯¯ Khi đó, I = t dt = ¯ = . 2 0 2 0 Đặt t = ln x ⇒ d t = d x. Chọn đáp án C ä Ze Câu 74. Tính tích phân x ln xd x ta được kết quả 1 e2 + 1 . A. 4 B. - Lời giải. e2 − 1 . 4 C. 2e2 + 1 . 4 D. 2e2 − 1 . 4 1 x2 Đặt u = ln x ⇒ du = d x, dv = xd x ⇒ v = . x 2 Ze ¯e Ze x 2 e x2 ¯¯e e2 + 1 x2 ¯ Suy ra x ln xd x = ln x¯ − dx = − ¯ = . 1 2 2 2 4 1 4 1 1 Chọn đáp án A ä Z1 Câu 75. Cho Z1 f ( x) d x = 2 và 0 Z1 g( x) d x = 5, khi đó 0 A. −3. [ f ( x) − 2 g( x)] d x bằng 0 B. 12. - Lời giải. Z1 Z1 [ f ( x) − 2 g( x)] d x = D. 1. Z1 g( x) d x = 2 − 2 · 5 = −8. f ( x) d x − 2 0 0 C. −8. 0 Chọn đáp án C ä 1 Z+a Câu 76. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để tích phân 1 A. −1 < a < 3. B. a < −1. dx tồn tại. x ( x − 5) ( x − 4) C. a 6= 4, a 6= 5. D. a < 3. - Lời giải. 1 Z+a Tích phân 1 1 dx tồn tại khi và chỉ khi hàm số y = liên tục trên [1; 1 + a] hoặc x ( x − 5) ( x − 4) x ( x − 5) ( x − 4) [1 + a; a]. 1 liên tục trên khoảng (−∞; 0); (0; 4); (4; 5); (5; +∞). x ( x − 5) ( x − 4) Nên hàm số liên tục trên [1; 1 + a] hoặc [1 + a; 1] ⇔ 0 < 1 + a < 4 ⇔ −1 < a < 3. Mà hàm số y = Vậy −1 < a < 3. Chọn đáp án A Z2 Câu 77. Cho 1 ä Z4 ¡p ¢ f x f ( x) d x = 2. Hãy tính d x. p x A. I = 4. Th.s Nguyễn Chín Em 1 1 2 B. I = 1. C. I = . 416 D. I = 2. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ - Lời giải. 1 p Chương 3 - Giải tích 12 1 Đặt t = x ⇒ d t = p d x ⇒ p d x = 2d t. 2 x x Đổi cận x = 1 ⇔ t = 1; x = 4 ⇒ t = 2, ta có Z2 I =2 Z2 f ( t) d t = 2 1 f ( x ) d x = 2 · 2 = 4. 1 Chọn đáp án A Z5 Câu 78. Cho A. I = 13. ä Z−2 Z5 f ( x) d x = 8 và g ( x) d x = 3. Tính I = [ f ( x) − 4 g ( x) − 1] d x. −2 5 −2 B. I = 27. C. I = −11. D. I = 3. - Lời giải. Theo tính chất của tích phân ta có Z5 I= Z5 [ f ( x) − 4 g ( x) − 1] d x = −2 Z5 f ( x) d x − 4 −2 Z5 g ( x) d x − −2 ¯5 ¯ d x = 8 · 4 · (−3) − x¯ = 13. −2 −2 Chọn đáp án A ä Z2 Câu 79. Tích phân 0 x x2 + 3 1 7 A. log . 2 3 d x bằng 7 3 B. ln . - Lời giải. C. 1 3 ln . 2 7 D. 1 7 ln . 2 3 1 2 Đặt u = x2 + 3 ⇒ d u = 2 xd x ⇒ xd x = du. Đổi cận x = 0 ⇒ u = 3; x = 2 ⇒ u = 7, ta có 1 I= 2 Z7 3 ¯7 ¯ 1 1 1 1 1 7 d u = ln | u|¯¯ = ln 7 − ln 3 = ln . u 2 2 2 2 3 3 Chọn đáp án D ä Z1 Câu 80. Cho Z2 f ( x) d x = 3, 0 Z2 f ( x) d x bằng 0 B. −1. C. 1. D. 5. Z2 Z1 f ( x ) d x = 5. f ( x) d x + f ( x) d x = 0 f ( x) d x = 2. Khi đó 1 A. 6. - Lời giải. Z2 0 1 Chọn đáp án D ä Z2 Câu 81. Cho biết Z2 f ( x) d x = 3 và 0 g( x) d x = −2. Tính tích phân 0 Z2 I= [2 x + f ( x) − 2 g( x)] d x. 0 Th.s Nguyễn Chín Em 417 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. I = 11. Chương 3 - Giải tích 12 B. I = 18. C. I = 5. D. I = 3. - Lời giải. Z2 Ta có I = Z2 [2 x + f ( x) − 2 g( x)] d x = 0 Z2 2x dx + 0 Z2 f ( x) d x − 2 0 ¯2 ¯ g( x) d x = x2 ¯ + 3 − 2(−2) = 11. 0 0 Chọn đáp án A ä p 3 Z2 Z3 Câu 82. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [2; 3] thỏa mãn 2 1) d x. p B. I = 3 2019. A. I = 6057. x2 f ( x3 + f ( x) d x = 2019. Tính I = 1 C. I = 673. D. I = 2019. - Lời giải. 1 p 3 Đổi cận x = 1 ⇒ t = 2, x = 3 2 ⇒ t = 3. Z3 1 2019 Vậy I = f ( t) d t = = 673. 3 3 Đặt t = x3 + 1 ⇒ d t = 3 x2 d x ⇒ d t = x2 d x. 2 Chọn đáp án C ä Z4 Câu 83. Cho 16 . Tính I = f ( x) d x = 3 0 Z4 · 0 A. I = −12. ¸ 5 − 3 f ( x) d x. ( x + 1)2 B. I = 0. C. I = −20. D. I = 1. - Lời giải. Ta có Z4 · I= 0 ¯4 ¸ Z4 5 −5 ¯¯ 16 − 3 = −12. − 3 f ( x ) d x = f ( x ) d x = − 1 + 5 − 3 · ¯ x+1 0 3 ( x + 1)2 0 Chọn đáp án A ä Z4 p p Câu 84. Cho I = x 1 + 2 x d x và u = 2 x + 1. Mệnh đề nào sau đây sai? 0 Z3 ¶¯3 1 u u3 ¯¯ A. I = − . 2 5 3 ¯1 µ 1 C. I = 2 Z3 5 2 B. I = 1 1 D. I = 2 2 x ( x − 1) d x. 1 - Lời giải. p Đặt u = 2 x + 1 ⇒ d u = p u2 ( u2 − 1) d u. Z3 u2 ( u2 − 1) d u. 1 1 d x ⇒ d x = u d u. 2x + 1 Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1, x = 4 ⇒ u = 3. Khi đó, ta có 1 I= 2 Z3 1 µ ¶¯3 1 u5 u3 ¯¯ . u ( u − 1) d u = − 2 5 3 ¯1 2 2 Mặt khác, do tích phân không phụ thuộc vào ký hiệu biến nên ta có 1 I= 2 Z3 1 u ( u − 1) d u = 2 2 2 1 Th.s Nguyễn Chín Em Z3 x2 ( x2 − 1) d x. 1 418 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z3 Ta thấy 1 u ( u − 1) d u 6= 2 2 2 1 Z3 Chương 3 - Giải tích 12 u2 ( u2 − 1) d u. 1 Z3 Vậy mệnh đề “ I = u2 ( u2 − 1) d u” sai. 1 Chọn đáp án B ä Z1 2 Câu 85. Biết rằng hàm số f ( x) = ax + bx + c thỏa mãn 7 f ( x) d x = − , 2 0 (với a, b, c ∈ R). Tính giá trị của biểu thức P = a + b + c. 3 4 4 3 A. P = − . - LờiZgiải. B. P = − . Z2 Z3 f ( x) d x = −2 và 0 f ( x) d x = 13 2 0 4 3 3 4 C. P = . D. P = . 1 1 f ( x) d x = ax3 + bx2 + cx + d . 3 2 µ ¶¯1 Z1 ¯ 7 1 1 1 1 7 Có f ( x) d x = − ⇒ ax3 + bx2 + cx + d ¯¯ ⇒ a + b + c = − 2 3 2 3 2 2 0 Ta có (1). 0 Z2 Có 0 ¶¯2 ¯ 8 1 3 1 2 ax + bx + cx + d ¯¯ ⇒ a + 2 b + 2 c = −2 f ( x) d x = −2 ⇒ 3 2 3 0 µ (2). Z3 µ ¶¯3 ¯ 13 1 3 1 2 9 13 Có f ( x) d x = ⇒ ax + bx + cx + d ¯¯ ⇒ 9a + b + 3 c = 2 3 2 2 2 0 0  1 1 7   a+ b+c =−    3 2 2   8 Từ (1), (2), (3) ta có hệ a + 2 b + 2 c = −2  3     13 9  9 a + b + 3 c = . 2 µ 2 ¶ 16 Hệ phương trình có nghiệm (a; b; c) = 1; 3; − . 3 4 16 Vậy P = a + b + c = 4 − =− . 3 3 (3). Chọn đáp án B ä Z3 Câu 86. Cho f , g là hai hàm số liên tục trên [1; 3] thỏa mãn điều kiện [ f ( x) + 3 g( x)] d x = 10 đồng thời 1 Z3 Z3 [2 f ( x) − g( x)] d x = 6. Tính 1 [ f ( x) + g( x)] d x. 1 A. 9. B. 6. C. 7. D. 8. - Lời giải. Z3 Đặt A = Z3 f ( x)] d x, B = 1 Theo bài ra ta có hệ g ( x) d x.  1  A + 3B = 10 2 A − B = 6 ⇒  A = 4 B = 2. Z3 Vậy [ f ( x) + g( x)] d x = A + B = 6. 1 Th.s Nguyễn Chín Em 419 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Chọn đáp án B ä π 2 Z x(cos x + 2 m) d x = 2π2 + Câu 87. Biết m là số thực thỏa mãn π 2 − 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 0 A. m ≤ 0. B. 0 < m ≤ 3. C. 3 < m ≤ 6. D. m > 6. – Lời giải. Ta có π π Z2 π Z2 x(cos x + 2 m) d x = 0 Z2 x cos x d x + 0 0 π 2 π = 2 mx d x x sin x|02 − Z ¯π sin x d x + mx2 ¯02 0 = = = π π 2 + cos x|0 + 2 m π2 π −1+ 2 4 2 mπ π + − 1. 4 2 m π2 4 (1) π Z2 Theo bài ra x(cos x + 2 m) d x = 2π2 + 0 Từ (1) và (2), suy ra π 2 − 1. (2) m = 4 ⇒ m = 8. 2 Chọn đáp án D ä Z6 Câu 88. Cho Z2 f ( x) d x = 12. Tính I = 0 0 A. I = 6. B. I = 36. – Lời giải. Z2 I= f (3 x) d x. 1 f (3 x) d x = 3 0 1 ⇒ I = .12 = 4. 3 Z2 1 f (3 x) d(3 x) = 3 0 C. I = 2. D. I = 4. Z6 f ( u) d u (với u = 3 x) 0 Chọn đáp án D ä ln x . Tính I = F (e) − F (1). x 1 C. I = . D. I = 1. 2 Câu 89. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 e A. I = e. B. I = . – Lời giải. e Z Ta có I = 1 ln x dx = x Z 1 e ¯e 1 (ln x)2 ¯¯ = . ln x d(ln x) = ¯ 2 2 1 Chọn đáp án C ä Z2 Câu 90. Cho 5 A. I = . 2 Z2 f ( x) d x = 2 và −1 – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em Z2 g( x) d x = −1. Tính I = −1 [ x + 2 f ( x) − 3 g( x)] d x. −1 7 B. I = . 2 C. I = 420 17 . 2 D. I = 11 . 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Z2 [ x + 2 f ( x) − 3 g( x)] d x −1 Z2 Z2 x dx + 2 = −1 2 ¯2 Z2 f ( x) d x − 3 −1 g ( x) d x −1 17 x ¯ . = ¯ + 2.2 − 3.(−1) = 2 −1 2 Chọn đáp án C ä π 2 π 2 Z Câu 91. Cho Z f ( x) d x = 5. Tính I = 0 0 π A. 7. B. 5 + . π π Z2 π Z2 [ f ( x) + 2 sin x] d x = 0 D. 5 + π. C. 3. 2 – Lời giải. I= [ f ( x) + 2 sin x] d x. Z2 f ( x) d x + 0 ¯ π2 ¯ 2 sin x d x = 5 − 2 cos x¯ = 7 0 0 Chọn đáp án A ä Zπ Câu 92. Tính tích phân I = cos3 x. sin x d x. 0 1 A. I = − π4 . 4 B. I = −π4 . 1 4 C. I = 0. D. I = − . – Lời giải. Đặt u = cos x ⇒ d u = − sin x d x ⇒ sin x d x = − du Đổi cận x 0 π u 1 −1 ¯ Z−1 Z1 1 4 ¯¯1 3 3 Nên I = u . (− du) = u . d u = u ¯ = 0 4 −1 1 −1 Chọn đáp án C ä Ze Câu 93. Tính tích phân I = x ln x d x 1 1 A. I = . 2 B. I = – Lời giải. e2 − 2 . 2 C. I = e2 + 1 . 4 D. I = e2 − 1 . 4  1    du = d x x Đặt ⇒ , ta có: 1  dv = x d x    v = x2 2   u = ln x ¯ e Ze ¯e ¯ µ ¶ ¯ ¯ 1 1 2 ¯¯ e 1 2 1 2 1 2 1 2 1 e2 + 1 ¯ ¯ I = x ln x¯ − x d x = x ln x¯ − x ¯ = e − e − = . 2 2 2 4 1 2 4 4 4 1 1 1 Chọn đáp án C Câu 94. Biết F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) = Th.s Nguyễn Chín Em ä 1 và F (2) = 1. Tính F (3). x−1 421 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. F (3) = ln 2 − 1. Chương 3 – Giải tích 12 1 2 B. F (3) = ln 2 + 1. C. F (3) = . 7 4 D. F (3) = . – Lời giải. Ta có F ( x) = ln | x − 1| + C . Do F (2) = 1 nên C = 1 ⇒ F ( x) = ln | x − 1| + 1. Khi đó F (3) = ln 2 + 1. Chọn đáp án B ä Z4 Câu 95. Cho Z2 f ( x) d x = 16. Tính tích phân I = 0 f (2 x) d x. 0 A. I = 32. B. I = 8. C. I = 16. D. I = 4. – Lời giải. Đặt t = 2 x ⇒ d t = 2 d x. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 2 ⇒ t = 4. Z4 ⇒I= 1 1 f ( t) d t = 2 2 Z4 f ( x ) d x = 8. 0 0 Chọn đáp án B ä 2 Z Câu 96. Tính tích phân I = Z A. I = 2 3p ud u. 0 p x2 − 1d x bằng cách đặt u = x2 − 1, mệnh đề nào dưới đây đúng? Z 2 Z 3 Z p p 1 2p B. I = ud u. C. I = ud u. D. I = ud u. 2 1 1 0 2x 1 – Lời giải. Đặt u = x2 − 1 ⇒ du = 2 xd x. Đổi cận x = 1 ⇒ u = 0; x = 2 ⇒ u = 3. Z2 p Z3 p 2 Do đó: I = 2 x x − 1d x = ud u. 1 0 Chọn đáp án C ä Z1 Câu 97. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn Z1 0 ( x + 1) f ( x)d x = 10 và 2 f (1) − f (0) = 2. Tính 0 A. I = −12. f ( x)d x. 0 B. I = 8. C. m = 1. D. I = −8. – Lời giải. Đặt  u = x + 1 dv = f 0 ( x)d x ⇒  d u = d x  v = f ( x) ¯1 Z1 ¯ . Khi đó I = ( x + 1) f ( x)¯ − f ( x)d x. 0 0 Z1 Suy ra 10 = 2 f (1) − f (0) − Z1 f ( x)d x ⇒ 0 f ( x)d x = −10 + 2 = −8. 0 Z1 Vậy f ( x)d x = −8. 0 Chọn đáp án D Z2 Câu 98. ä e3x−1 d x bằng 1 1 A. (e5 − e2 ). 3 B. 1 5 e − e2 . 3 C. e5 − e2 . D. 1 5 (e + e2 ). 3 – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 422 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z2 Ta có Chương 3 – Giải tích 12 ¯2 1 1 ¯ e3x−1 d x = e3x−1 ¯ = (e5 − e2 ). 3 3 1 1 Chọn đáp án A Z1 Câu 99. ä e3x+1 d x bằng 0 ¢ 1¡ 4 A. e −e . 3 B. e4 − e. C. – Lời giải. Z1 Ta có 3x+1 e 0 ¢ 1¡ 4 e +e . 3 D. e3 − e. ¯ 1 3x+1 ¯¯1 1 4 dx = e ¯ = 3 (e − e). 3 0 Chọn đáp án A Z2 Câu 100. 1 ä dx bằng 2x + 3 7 5 A. 2 ln . B. – Lời giải. Z2 Ta có 1 1 ln 35. 2 7 5 C. ln . D. 1 7 ln . 2 5 ¯2 1 1 1 7 dx ¯ = ln |2 x + 3|¯ = (ln 7 − ln 5) = ln . 1 2x + 3 2 2 2 5 Chọn đáp án D ä Câu 101. Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và f (2) = 16, Z2 Z1 f ( x) d x = 4. Tính I = 0 A. I =7. B. I =12. x f 0 (2 x) d x. 0 C. I =20. D. I =13. – Lời giải. Đặt t = 2 x ⇒ d t = 2 d x, Đổi cận x = 0 ⇔ t = 0, x = 1 ⇔ t = 2. Z2 1 I= t · f 0 ( t) d t. 4 0 u = t ⇒ du = d t Đặt  dv = f 0 ( t) d t ⇒ v = f ( t).   Z2 1 1 t f ( t)|20 − f ( t) d t = (2 f (2) − 0 f (0) − 4) = 7. I= 4 4 0 Chọn đáp án A ä Z1 Câu 102. Cho f ( x), g( x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [0; 1] và g( x) · f 0 ( x)d x = 1, 0 Z1 f ( x)d x = 2. Tính tích phân I = Z1 g 0 ( x) · 0 [ f ( x) · g( x)]0 d x. 0 A. I = −1. B. I = 1. C. I = 2. D. I = 3. – Lời giải. Z1 I= 0 Z1 [ f ( x) · g( x)] d x = 0 £ ¤ f 0 ( x ) g ( x ) + g 0 ( x ) f ( x ) d x = 2 + 1 = 3. 0 Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em ä 423 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 π Z2 ³ ´ sin x e + cos x · cos x d x = ae + bπ + c, với a, b, c ∈ Q. Tính S = a2 + b2 + c2 . Câu 103. Biết 0 49 A. . 36 B. – Lời giải. π −e + π 4 C. π Z2 Ta có I = 49 . 9 sin x e π Z2 2 · cos x d x + 0 Z2 cos x d x = − 0 33 . 16 π sin x e Z2 d(sin x) + 0 0 D. 9 . 4 ¯π µ ¶¯π ¯2 x sin 2 x ¯¯ 2 1 + 2 cos 2 x sin x ¯ d x = −e ¯ = ¯ + 2+ 4 2 0 0 + 1. 1 4 Đồng nhất với đề bài ta được a = −1; b = ; c = 1 ⇒ S = a2 + b2 + c2 = 33 . 16 Chọn đáp án C ä p Câu 104. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đạo hàm là hàm số f ( x) = x2 + 2 x − 1 1 1 A. g( x) = 2 x + p − 1. B. g( x) = 2 x + p − 1. x 1 C. g( x) = 2 x + p . 2 x 2 x 1 D. g( x) = 2 x + p . x – Lời giải. 1 1 f 0 ( x) = 2 x + 2 · p = 2 x + p . 2 x x Chọn đáp án D ä Z3 Câu 105. Biết rằng 2 4 A. . 3 3x + 1 d x = a ln 2 + b ln 5 + c ln 7 trong đó a, b, c ∈ Q. Tính P = a + b + c. 2 x2 − x − 1 B. – Lời giải. 3 . 2 C. 5 . 3 D. 7 . 6 Ta có Z3 2 3x + 1 dx = 2 x2 − x − 1 = = 4 3 1 6 Z3 1 1 1 dx + dx x−1 3 2x + 1 2 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯3 1 ¯3 4 ln | x − 1| ¯¯ + ln |2 x + 1| ¯¯ 3 ¯2 6 ¯2 4 3 Z3 4 1 1 ln 2 − ln 5 + ln 7. 3 6 6 1 6 Suy ra a = , b = − , c = . 4 3 Vậy a + b + c = . Chọn đáp án A ä Câu 106. Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và F ( x) là nguyên hàm của f ( x), biết 2019 Z f ( x) d x = 2019 và 0 F (0) = 3. Tính F (2019). A. F (2019) = 2020. – Lời giải. 2019 Z I= B. F (2019) = 2016. C. F (2019) = 2022. D. F (2019) = −2022. ¯2019 ¯ f ( x) d x = F ( x)¯ = F (2019) − F (0) = 2019 ⇔ F (2019) = 2019 + F (0) = 2022. 0 0 Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em ä 424 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 µ Câu 107. Cho 0 Chương 3 – Giải tích 12 ¶ 1 1 − d x = a ln 2 + b ln 3 với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng x+2 x+3 ? A. a + b < 2. B. a − 2b > 0. C. a + b > 3. D. a + 2b < 0. - Lời giải. Z1 ¯ ¯ ¯ ¯ Z1 1 ¯ ¯1 dx d x Ta có = ln | x + 2| ¯¯ = ln 3 − ln 2 và = ln | x + 3| ¯¯ = ln 4 − ln 3 = 2 ln 2 − ln 3. x+2 x+3 ¯0 ¯0 0 0 ¶ Z1 µ 1 1 − d x = (ln 3 − ln 2) − (2 ln 2 − ln 3) = −3 ln 2 + 2 ln 3 nên a = −3, b = 2. Do đó x+2 x+3 0 Vậy a + b = −1 < 2. Chọn đáp án A ä Z3 Câu 108. Cho tích phân I = 0 Z2 A. I = p x d x. Nếu đặt t = x + 1 thì p 1+ x+1 Z2 2 B. I = ( t − 2 t) d t. 1 Z2 2 C. I = (2 t − t) d t. 1 2 (2 t + 2 t) d t. 1 Z2 D. I = (2 t2 − 2 t) d t. 1 - Lời giải. p Đặt t = x + 1 ⇒ t2 = x + 1 ⇔ x = t2 − 1, d x = 2 t d t. Đổi cận: Khi x = 0 thì t = 1; khi x = 3 thì t = 2. Z3 I= 0 x dx = p 1+ x+1 Z2 1 t2 − 1 2t dt = 1+ t Z2 Z2 2 t( t − 1) d t = 1 (2 t2 − 2 t) d t. 1 Chọn đáp án D ä Z4 Câu 109. Biết I = dx x2 + x 3 A. S = 0. = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5, với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a + b + c. B. S = 6. C. S = 2. D. S = −2. - Lời giải. Ta có 1 x2 + x = 1 1 1 = − . Khi đó x( x + 1) x x + 1 Z4 I= 3 dx = x2 + x Z4 µ 3 ¶ ¯4 1 1 ¯ − d x = [ln x − ln( x + 1)] ¯ = 4 ln 2 − ln 3 − ln 5. x x+1 3 Suy ra: a = 4, b = −1, c = −1. Vậy S = 2. Chọn đáp án C ä Z1 Câu 110. Kết quả tích phân I = (2 x + 3)e x d x được viết dưới dạng I = ae + b với a, b là các số hữu tỉ. Tìm 0 khẳng định đúng. A. a3 + b3 = 28. B. a + 2b = 1. C. a − b = 2. D. ab = 3. - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 425 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 Cách 1: Ta có Z1 I = (2 x + 3)e x d x 0 1 Z = 0 (2 x + 3) de x ¯1 Z1 ¯ = [(2 x + 3)e x ]¯ − 2e x d x 0 0 £ ¤ ¯¯1 = (2 x + 3)e x − 2e x ¯ 0 = 3e − 1. Do đó a = 3, b = −1 nên a + 2b = 1. Cách 2: Đặt  u = 2 x + 3 ⇒ d v = e x d x  d u = 2 d x v = e x . Z1 ¯1 ¯1 ¯ ¯ ⇒ I = (2 x + 3)e x ¯ − 2 e x d x = 5e − 3 − 2e x ¯ = 5e − 3 − 2(e − 1) = 3e − 1. 0 0 0 Suy ra Do đó a = 3, b = −1 nên a + 2b = 1. Chọn đáp án B ä Z2 Câu 111. Biết 1 T = 2a + 3 b − c − A. T = 2. - Lời giải. x ( x2 + 6 x + 8) d . 2 d x = a ln 3 + b ln 4 + c ln 5 + d ln 6 (a, b, c, d ∈ Z). Tính giá trị của biểu thức B. T = 5. C. T = 0. D. T = 3. Ta có Z2 1 x dx = 2 ( x + 6 x + 8) Z2 1 x dx ( x + 2)( x + 4) Z2 µ = 1 ¶ 2 1 − dx x+4 x+2 ¯2 ¯ = [2 ln( x + 4) − ln( x + 2)] ¯ 1 = = 2 ln 6 − ln 4 − 2 ln 5 + ln 3. Từ đó có a = 1, b = −1, c = −2, d = 2 nên T = 2 + (−3) + 2 − 1 = 0. Chọn đáp án C ä Câu 112. Biết f ( x) là hàm liên tục trên R và Z9 Z4 f ( x) d x = 9. Khi đó giá trị của I = 1 0 A. 24. f (3 x − 3) d x là B. 0. C. 27. D. 3. - Lời giải. Z4 f (3 x − 3) d x. I= 1 Th.s Nguyễn Chín Em 426 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 - Giải tích 12 1 3 Đặt t = 3 x − 3 ⇒ d t = 3 d x ⇒ d x = d t. Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 0; x = 4 ⇒ t = 9. 1 Khi đó: I = 3 Z9 f ( t) d t = 1 · 9 = 3. 3 0 Chọn đáp án D ä Z10 Câu 113. Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [0; 10] và Z6 f ( x) d x = 7 và 0 Z2 f ( x) d x = 3. Tính P = 2 f ( x) d x + 0 Z10 f ( x) d x. 6 A. P = 7. B. P = −4. C. P = 4. D. P = 10. - Lời giải. Z10 Ta có Z2 f ( x) d x = 7 ⇔ 0 Z6 f ( x) d x + 0 Z10 f ( x) d x + 2 Z2 f ( x) d x = 7 ⇔ 6 Z10 f ( x ) d x = 7 − 3 = 4. f ( x) d x + 0 6 Vậy P = 4. Chọn đáp án C ä Z2 1 d x. 2x − 1 Câu 114. Tính tích phân I = 1 ln 3 − 1 . A. I = 2 B. I = ln 3 . 2 C. I = ln 3 . 3 D. I = ln 3 + 1. - Lời giải. Z2 Ta có I = 1 ¯2 1 1 1 ln 3 ¯ d x = ln |2 x − 1|¯ = (ln 3 − ln 1) = . 2x − 1 2 2 2 1 Chọn đáp án B ä Z1 Câu 115. Biết rằng tích phân (2 x + 1)e x d x = a + b · e (a, b ∈ Z), tích a · b bằng 0 A. −15. B. −1. C. 1. D. 20. - Lời giải. Điềukiện: a, b ∈ Z.  Đặt u = 2 x + 1 d v = e x d x Z1 ⇒ ⇒ ⇒ d u = 2 d x v = e x Z1 ¯1 ¯1 ¯ (2 x + 1)e d x = (2 x + 1)e ¯ − 2 e x d x = (2 x − 1)e x ¯ = 1 + e = a + b · e. x x¯ 0 0  a = 1 b = 1 0 0 . Vậy tích a · b = 1. Chọn đáp án C ä Z5 Câu 116. Cho hai tích phân Z3 f ( x) d x = 7 và 0 A. 3. Z5 f ( x) d x = 4. Tính 0 [1 + f ( x)] d x. 3 B. 11. C. 5. D. 13. - Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 427 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z5 Ta có Z5 Z5 [1 + f ( x)] d x = 3 Chương 3 - Giải tích 12 dx + 3 Z5 f ( x) d x = 2 + 3 Z3 f ( x ) d x = 5. f ( x) d x − 0 0 Chọn đáp án C ä Ze 1Z +ln 2 Câu 117. Cho f ( x) d x = 2018. Tính 1 ln 2 A. I = 2018. - Lời giải. 1 f (ln 2 x) d x. x B. I = 4036. C. I = 1009 . 2 D. I = 1009. 1 x Đặt ln 2 x = t ⇒ d x = d t. Ze 1Z +ln 2 1 f (ln 2 x) d x = x Khi đó f ( t) d t = 2018. 1 ln 2 Chọn đáp án A ä Ze Câu 118. Tính tích phân I = 1+ x d x. x2 1 1 A. I = 1 + . e 1 e 1 e B. I = 2 − . - Lời giải. Ze I= 1+ x dx = x2 1 Ze µ C. I = 2 + . 1 e D. I = 1 − . ¶ ¯e ¶ µ 1 1 1 1 ¯ + d x = − + ln | x| ¯ = 2 − . 2 x x e x 1 1 Chọn đáp án B ä Câu 119. Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và có Z1 Z3 f ( x) d x = 6. Tính I = f ( x) d x = 2; 0 2 A. I = . 3 Z1 0 3 C. I = . 2 B. I = 4. - Lời giải. f ( | 2 x − 1| ) d x . −1 D. I = 6. 1 Z1 Z1 Z2 Có I = f (|2 x − 1|) d x = f (1 − 2 x) d x + −1 −1 f (2 x − 1) d x = I 1 + I 2 1 2 1 Z2 Tính I 1 = f (1 − 2 x) d x. −1 Đặt u = 1 − 2 x ⇒ d u = −2 d x. Đổi cận: −1 ⇒ I1 = 2 Z0 1 f ( u) d u = 2 3 Z3    x = −1 ⇒ u = 3 1   x = ⇒ u = 0. 2 f ( u) d u = 3 0 Z1 Tính I 2 = f (2 x − 1) d x. 1 2 Đặt u = 2 x − 1 ⇒ d u = 2 d x. Đổi cận: Th.s Nguyễn Chín Em   x = 1 ⇒ u = 1 1   x = ⇒ u = 0. 2 428 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 1 ⇒ I2 = 2 Z1 Chương 3 - Giải tích 12 Z1 1 f ( u) d u = 2 f ( u) d u = 1 0 0 Vậy I = I 1 + I 2 = 4. Chọn đáp án B ä Ze Câu 120. Tính chất tích phân x ln x d x 1 e2 + 1 A. . 4 B. - Lời giải. e2 − 1 . 4 C. 2e2 + 1 . 4 D. 2e2 − 1 . 4 x2 1 Đặt u = ln x ⇒ du = d x, dv = x d x ⇒ v = x 3 Ze ¯e Z e x 2 2 ¯e x2 e x e2 + 1 ¯ ¯ Vậy x ln x d x = ln x¯ − dx = − ¯ = . 2 2 2 4 1 4 1 1 1 Chọn đáp án A ä Z0 Câu 121. Giá trị của e x+1 d x bằng −1 A. 1 − e. B. e − 1. C. −e. D. e. - Lời giải. Z0 Ta có: e x+1 Z0 dx = −1 ¯0 ¯ e x+1 d( x + 1) = e x+1 ¯ = e − 1. −1 −1 Chọn đáp án B ä Z4 Câu 122. Cho 3 5x − 8 x2 − 3 x + 2 d x = a ln 3 + b ln 2 + c ln 5 với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a−3b+ c bằng A. 12. B. 6. C. 1. D. 64. - Lời giải. Z4 ¶ Z4 µ ¯4 ¯4 5x − 8 3 2 ¯ ¯ dx = + d x = 3 ln | x − 1|¯ + 2 ln | x − 2|¯ = 3 ln 3 − 3 ln 2 + 2 ln 2 = − ln 2 + 3 ln 3 2 x−1 x−2 x − 3x + 2 3 3 3  3  a=3    ⇒ b = −1 ⇒ a − 3 b + c = 6.    c = 0 Chọn đáp án D ä Z2 Câu 123. Tích phân 0 A. ln 5. - Lời giải. Z2 Ta có 0 2 d x bằng 2x + 1 B. ln 5 . 2 C. 2 ln 5. D. 4 ln 5. ¯2 2 ¯ d x = ln |2 x + 1|¯ = ln 5. 2x + 1 0 Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em ä 429 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z3 Câu 124. Cho Z2 0 Z3 g( t) d t = −1, khi đó 0 A. 4. 0 Z3 Z2 2 f ( x) d x = 0 C. 1. D. 3. Z3 ¯2 3 x d x = x ¯ = 8 ⇒ f ( x) d x = 4. 2 3¯ 0 0 Z3 Lại có: [ f ( x) + 3 g( x)] d x bằng 0 B. 7. - Lời giải. Ta có: Z3 2 3 x d x và 2 f ( x) d x = Chương 3 - Giải tích 12 0 Z3 g( x) d x = −1. g( t) d t = −1 ⇒ 0 0 Z3 Z3 Vậy [ f ( x) + 3 g( x)] d x = 0 Z3 g( x) d x = 4 + 3 · (−1) = 1. f ( x) d x + 3 0 0 Chọn đáp án C ä Câu 125. Trong không gian với hệ tọa độ cho 3 điểm A (1; 4; 5), B(3; 4; 0), C (2; −1; 0) và mặt phẳng (P ) : 3 x− 3 y − 2 z − 12 = 0. Gọi M (a; b; c) thuộc mặt phẳng (P ) sao cho M A 2 + MB2 + 3 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức T = 2a − b + c. A. 15 . 2 B. 5 . 2 C. − 15 . 2 - Lời giải. Gọi I là điểm thỏa mãn điều kiện ¶ µ 1 + 3 + 3 · 2 4 + 4 + 3 · (−1) 5 + 0 + 3 · 0 # » #» # » #» I A + IB + 3 IC = 0 ⇒ I Khi đó 1+1+3 ; ; 1+1+3 1+1+3 5 2 D. − . ⇒ I (2; 1; 1). ³ # » # »´2 ³ # » # » # » # »´2 M I + I A + M I + IB)2 + 3( M I + IC # »´ # »³# » # » = 5 M I 2 + 2 M I I A + IB + 3 IC + + I A 2 + IB2 + 3 IC 2 M A 2 + MB2 + 3 MC 2 = = 5 M I 2 + I A 2 + IB2 + 3 IC 2 . Do I A 2 + IB2 + 3 IC 2 là hằng số cụ thể nên M A 2 + MB2 + 3 MC 2 min ⇔ 5 M I 2 min ⇔ M I min, khi  đó M là hình chiếu của I trên (P ).  x = 2 + 3t   Đường thẳng đi qua I (2; 1; 1) và vuông góc với (P ) là y = 1 − 3 t     z = 1 − 2 t.   x = 2 + 3t      ¶ µ  y = 1 − 3t 15 7 1 . Điểm M thỏa mãn hệ ⇒ M ; − ; 0 ⇒ 2a − b + c =  2 2 2  z = 1 − 2 t     3 x − 3 y − 2 z − 12 = 0 Chọn đáp án A ä Câu 126. Cho số thực a và hàm số f ( x) = a A. − 1. 6 Z1 Z0 f ( x) d x = −1 nếu x ≤ 0  a( x − x2 ) nếu x > 0 2a B. + 1. 3 – Lời giải. Ta có  2 x −1 Th.s Nguyễn Chín Em Z0 f ( x) d x = 0 . Tích phân −1 Z1 2x dx + f ( x) d x bằng −1 a C. + 1. 6 Z1 f ( x) d x + Z1 D. a( x − x2 ) d x = 2a − 1. 3 a − 1. 6 0 430 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Chọn đáp án A ä Câu 127. Trên đoạn thẳng AB dài 200 (m) có hai chất điểm X và Y . Chất điểm X xuất phát từ A chuyển 1 2 1 t + t (m/s), trong đó t 80 3 (giây) tính từ lúc X bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, chất điểm Y xuất phát từ B và xuất phát chậm động thẳng hướng đến B với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v( t) = hơn X , 10 giây và chuyển động thẳng ngược chiều với X có gia tốc bằng a (m/s2 ) với a là hằng số. Biết rằng hai chất điểm gặp nhau tại đúng trung điểm của đoạn thẳng AB, giá trị của a bằng A. 2. B. 1,5. C. 2,5. D. 1. – Lời giải. Gọi I là trung điểm AB, ta có AI = 100 m. Gọi t0 là khoảng thời gian chất điểm X xuất phát từ A đi đến I , ta có Zt0 SX = Zt0 µ v( t) d t = 0 ¶ µ 3 ¶ t30 t20 t t2 ¯¯ t0 t2 t + dt = + + = 100 ¯ = 80 3 240 6 0 240 6 0 ⇒ t 0 = 20 (giây). Do đó Y cần 20 − 10 = 10 giây để di chuyển đến trung điểm I của đoạn thẳng AB, vì vậy Z10 Z10 100 = 2. vY ( t) d t = 100 ⇔ at d t = 100 ⇔ a = Z10 0 0 t dt 0 Chọn đáp án A ä Zb Câu 128. Cho Zb f ( x) d x = 2 và a Zb g( x) d x = −3. Giá trị của a A. −4. [ f ( x) − 2 g( x)] d x bằng a B. 4. C. 6. D. 8. – Lời giải. Zb Ta có Zb [ f ( x) − 2 g( x)] d x = a Zb g( x) d x = 2 − 2 · (−3) = 8. f ( x) d x − 2 a a Chọn đáp án D Z2 Câu 129. Biết ä x ln( x2 + 1) d x = a ln 5 + b ln 2 + c với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính P = a + b + c. 1 A. P = 3. B. P = 0. – Lời giải. Đặt   u = ln( x2 + 1) d v = x d x Z2 ⇒    d u = 2x x2 + 1 C. P = 5. D. P = 2. dx  x2 + 1  v = . 2 ¯ ¯2 Z2 ¯ x +1 5 3 2 2 Do đó: x ln( x + 1) d x = ln( x + 1) ¯¯ − x d x = ln 5 − ln 2 − . 2 2 2 ¯1 1 1 5 3 Suy ra a = , b = −1, c = − ⇒ P = a + b + c = 0. 2 2 2 Chọn đáp án B ä Z2 Câu 130. Cho Z2 f ( x) d x = 2 và −1 Th.s Nguyễn Chín Em Z2 g( x) d x = −1. Tính I = −1 [ x + 2 f ( x) − 3 g( x)] d x. −1 431 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. I = 17 . 2 B. I = Chương 3 – Giải tích 12 11 . 2 7 2 5 2 C. I = . D. I = . – Lời giải. Ta có Z2 I= Z2 [ x + 2 f ( x) − 3 g( x)] d x = −1 Z2 x dx + 2 −1 2 ¯2 Z2 f ( x) d x − 3 −1 g ( x) d x −1 x ¯ 1 17 = ¯ + 2 · 2 − 3 · (−1) = 2 − + 4 + 3 = . 2 −1 2 2 Chọn đáp án A ä Z5 Câu 131. Cho các hàm số f ( x), g( x) liên tục trên R có [2 f ( x) + 3 g( x)] d x = −5; −1 Z5 21. Tính Z5 [3 f ( x) − 5 g( x)] d x = −1 [ f ( x) + g( x)] d x. −1 A. −5. B. 1. C. 5. – Lờigiải. Ta có Z5 Z5      [2 f ( x) + 3 g( x)] d x = −5    −1 −1 Z5 [ f ( x) + g( x)] d x = ⇒ ⇔  Z5      [3 f ( x) − 5 g( x)] d x = 21   −1  Z5 Z5      2 f ( x) d x + 3 g( x) d x = −5    −1 −1 −1  Z5 Z5     3 f ( x) d x − 5 g( x) d x = 21    −1 Z5 f ( x) d x + D. −1. ⇔  5  Z    f ( x) = 2    −1  Z5      g( x) = −3.   −1 −1 g( x) d x = 2 − 3 = −1. −1 Chọn đáp án D ä Z1 Câu 132. Cho I = x2 p 1 − x3 d x. Nếu đặt t = p 1 − x3 thì ta được 0 3 A. I = 2 Z1 3 B. I = − 2 2 t d t. 0 Z1 2 C. I = − 3 2 t d t. 0 Z1 2 t d t. 0 2 D. I = 3 Z1 t2 d t. 0 – Lời giải. p 2 3 Đặt t = 1 − x3 ⇒ t2 = 1 − x3 ⇒ 2 t d t = −3 x2 d x hay x2 d x = − t d t Đổi cận:  x = 0 ⇒ t = 1  x = 1 ⇒ t = 0. 2 Do đó I = − 3 Z0 2 t dt = 3 2 1 Z1 t2 d t. 0 Chọn đáp án D ä Z2 Câu 133. Cho Z4 f ( x ) d x = 1, −2 A. I = 5. Z4 f ( t) d t = −4. Tính I = −2 f ( y)d y = 1. 2 B. I = 3. C. I = −3. D. I = −5. – Lời giải. Th.s Nguyễn Chín Em 432 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z2 Vì Z2 Z4 f ( y)d y = 1 và f ( x) d x = −2 Z4 −2 f ( t) d t = −2 f ( y)d y = −4 nên −2 Z4 I= Chương 3 – Giải tích 12 Z−2 f ( y)d y = 2 Z4 f ( y)d y + 2 f ( y)d y = −1 − 4 = −5. −2 Chọn đáp án D ä Z3 Câu 134. Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [0; 3]. Nếu Z3 f ( x) d x = 2 thì tích phân I = 0 [ x − 3 f ( x)] d x có 0 giá trị bằng A. I = −3. Ta có I = Z3 [ x − 3 f ( x)] d x = 0 Z3 x dx − 3 0 D. I = − . C. I = . – Lời giải. Z3 3 2 3 2 B. I = 3. f ( x) d x = 9 3 −3·2 = − . 2 2 0 Chọn đáp án D ä Z1 Câu 135. Cho với ( x + 3)e x d x = a + be với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 0 A. a + b = −5. B. a · b = −6. C. a · b = 6. D. a + b = −1. – Lời giải. Z1 Ta có: Z1 x ( x + 3)e d x = 0 ¯1 Z1 ¯1 x x¯ ( x + 3)d(e ) = ( x + 3) · e ¯ − e d x = ( x + 2) · e ¯ = 3e − 2. x x¯ 0 0 0 0 Suy ra a = −2, b = 3. Do đó a · b = −6. Chọn đáp án B ä Z1 Câu 136. Cho Z1 f ( x) d x = 1, tích phân 0 ¡ ¢ 2 f ( x) − 3 x2 d x bằng 0 A. 1. B. 0. C. 3. D. −1. – Lời giải. Z1 ¡ ¢ 2 f ( x) − 3 x2 d x = 2 0 Z1 Z1 f ( x) d x − 3 0 x2 d x = 2 · 1 − 1 = 1. 0 Chọn đáp án A Z5 Câu 137. Biết 3 ä x2 + x + 1 b d x = a + ln với a, b là các số nguyên. Tính S = a − 2 b. x+1 2 A. S = 2. B. S = −2. C. S = 5. D. S = 10. – Lời giải. Z5 3 2 x + x+1 dx = x+1 Z5 µ 3  ¶ ¯5 x 3 a = 8 1 ¯ x+ dx = + ln | x + 1| ¯ = 8 + ln ⇒ ⇒ S = a − 2 b = 2. x+1 2 2 b = 3 3 ¶ µ 2 Chọn đáp án A ä Câu 138. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R thỏa mãn Z6 f ( x ) d x = 7, 0 Th.s Nguyễn Chín Em 433 Z10 Z6 f ( x ) d x = 8, 3 f ( x) d x = 9. Giá trị 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Z10 của I = f ( x) d x bằng 0 A. 5. B. 6. C. 7. D. 8. – Lời giải. Z10 I= Z6 f ( x) d x = Z3 f ( x) d x + 0 0 Z10 f ( x) d x = 7 − 9 + 8 = 6. f ( x) d x + 6 3 Chọn đáp án B ä 1 Z+a Câu 139. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để tích phân 1 A. −1 < a < 3. B. a < −1. dx tồn tại. x( x − 5)( x − 4) C. a 6= 4, a 6= 5. D. a < 3. - Lời giải. Để tích phân của đề bài xác định thì 1, 1 + a phải thuộc vào cùng một khoảng xác định của hàm số 1 . Khoảng xác định chứa 1 là khoảng (0; 4). Nên 1 + a ∈ (0; 4) hay a ∈ (−1; 3). x( x − 5)( x − 4) Chọn đáp án A ä Câu 140. Tích phân Zπ2 ¡ p p ¢ sin x − cos x d x = A + Bπ với A, B ∈ Z. Tính A + B. 0 A. 7. B. 6. C. 5. - Lời giải. p Đặt t = x ⇒ t2 = x ⇒ 2 td t = d x. Đổi cận D. 4.  x = 0 ⇒ t = 0  x = π2 ⇒ t = π . Zπ Suy ra I = 2 (sin t − cos t) t d t. 0 Đặt  u = t   du = d t ⇒  dv = (sin t − cos t) d t v = − cos t − sin t.   ¯π Zπ ¯π i h ¯ ¯   I = 2 t (− cos t − sin t) ¯ + (cos t + sin t) d t = 2 π + (sin t − cos t) ¯ = 4 + 2π. 0 0 0 Vậy A = 4; B = 2 ⇒ A + B = 6. Chọn đáp án B Z2 Câu 141. Cho ä e3x−1 d x = m(e p − e q ) với m, p, q ∈ Q và là các phân số tối giản. Giá trị m + p + q bằng 1 A. 10. B. 6. C. - Lời giải. Z2 Ta có 3x−1 e 1 dx = 3 1 Z2 e3x−1 d(3 x − 1) = 22 . 3 D. 8. 1 3x−1 ¯¯2 1 5 ·e ¯ = (e − e2 ). 1 3 3 1 1 Suy ra m = , p = 5 và q = 2. 3 22 Vậy m + p + q = . 3 Chọn đáp án C ä Câu 142. Khẳng định nào sau đây là đúng? Th.s Nguyễn Chín Em 434 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z1 A. −1 Chương 3 - Giải tích 12 ¯ 1 ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ 3 3 ¯ | x| d x = ¯ x d x¯¯. ¯ ¯ 2018 Z ¯ 4 ¯ ¯ x − x 2 + 1 ¯3 d x = B. −1 Z3 C. ¯ x ¯ ¯e ( x + 1)¯ d x = −2 Z3 −1 π Z2 e x ( x + 1)3 d x. D. 1 − cos2 xd x = −π 2 −2 - Lời giải. 1 4 1 2 Ta có x4 − x2 + 1 = x4 − 2 · · x2 + + 2018 Z 2018 Z −1 −1 ¯ 4 ¯ ¯ x − x2 + 1¯3 d x = Do đó p ¡ π Z2 2018 Z ¡ ¢ x4 − x2 + 1 d x. −1 sin xd x. −π 2 µ ¶ 3 1 2 3 + > 0, ∀ x ∈ R. = x2 − 4 2 4 ¢ x4 − x2 + 1 d x. Chọn đáp án B ä Z2 Câu 143. Tích phân Z2 [4 f ( x) − 2 x]d x = 1. Khi đó 1 f ( x)d x bằng 1 A. 1. B. −3. C. 3. D. −1. – Lời giải. Ta có: Z2 [4 f ( x) − 2 x]d x = 1 1 Z2 Z2 f ( x)d x − 2 ⇔ 4 1 xd x = 1 1 Z2 ⇔ 4 x2 ¯¯2 f ( x)d x − 2 · ¯ = 1 2 1 1 Z2 ⇔ 4 f ( x)d x = 4 1 2 Z f ( x)d x = 1. ⇔ 1 Chọn đáp án A ä Ze Câu 144. Tích phân 1 A. a2 + b2 + c2 = 1. ln x c d x = a ln 3 + b ln 2 + với a, b, c ∈ Z. Khẳng định nào sau đây là đúng? 2 3 x(ln x + 2) B. a2 + b2 + c2 = 11. C. a2 + b2 + c2 = 9. D. a2 + b2 + c2 = 3. – Lời giải. Ze Ta có I = 1 ln x dx d x, đặt t = ln x + 2 ⇒ dt = . 2 x x(ln x + 2) Đổi cận tích phân: Khi x = 1 ⇒ t = 2; x = e ⇒ t = 3. Z3 Vậy I = t−2 dt = t2 2 Z3 1 2 2 ¯¯3 1 ( − 2 )d t = (ln t + )¯ = ln 3 − ln 2 − . t t t 2 3 2 Suy ra a = 1, b = −1, c = −1. Vậy a2 + b2 + c2 = 3. Th.s Nguyễn Chín Em 435 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 Chọn đáp án D ä Z1 p p 3 3 Câu 145. Cho tích phân I = 1 − x d x. Với cách đặt t = 1 − x ta được 0 Z1 A. I = 3 Z1 3 B. I = 3 t d t. 0 Z1 2 C. I = t d t. 0 Z1 3 D. I = 3 t d t. 0 t d t. 0 – Lời giải. p Đặt t = 31 − x ⇒ x = 1 − t3 ⇒ d x = −3 t2 d t. Đổi cận x = 1 ⇒ t = 0 x = 0 ⇒ t = 1 Z0 Z1 3 ⇒ I = −3 t dt = 3 1 t3 d t. 0 Chọn đáp án A Ze Câu 146. Biết 1 ä ln x 3 d x = a ln + b, (a, b ∈ Q). Mệnh đề nào sau đây đúng? x(ln x + 2) 2 A. a − b = 1. C. a2 + b2 = 4. B. 2a + b = 1. D. a + 2 b = 0. – Lời giải.   d u = d x x Đặt u = ln x + 2 ⇒   ln x = u − 2. Đổi cận: x = 1 → u = 2; x = e → u = 3. Ze Khi đó Vậy ln x dx = x(ln x + 2)  1 a = −2 b = 1 Z3 2 ¯3 ¯ u−2 3 d u = ( u − 2 ln | u|)¯¯ = −2 ln + 1. u 2 2 ⇒ a + 2 b = 0. Chọn đáp án D ä Z16 Câu 147. Cho Z4 f ( x) d x = 20. Tính 4 f (4 x) d x. 1 A. 80. B. 24. C. 5. D. 16. – Lời giải. Z4 1 f (4 x) d x = 4 1 Z4 f (4 x) d(4 x) = 1 · 20 = 5. 4 1 Chọn đáp án C ä Z7 Câu 148. Biết Z7 f ( x ) d x = 3, 1 Z5 f ( x) d x = 5. Tính I = 5 A. I = −2. f ( x) d x. 1 B. I = 2. C. I = 1. D. I = −1. – Lời giải. Z7 Ta có Z5 f ( x) d x = 1 Z7 f ( x) d x nên I = f ( x) d x + 1 Z5 5 Z7 f ( x) d x = 1 Th.s Nguyễn Chín Em f ( x) d x = −2. f ( x) d x − 1 Chọn đáp án A Z7 5 ä 436 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Z8 Câu 149. Biết 1 p x x+1 3 A. S = 2. Chương 3 – Giải tích 12 d x = a ln 2 + b ln 3 + c ln 4. Tính S = a2 + b2 + c2 . B. S = 3. C. S = 4. D. S = 5. – Lời giải. p Đặt t = x + 1. Khi đó t2 = x + 1 hay x = t2 − 1. Suy ra 2 t d t = d x. Với x = 3 thì t = 2 và với x = 8 thì t = 3. Khi đó Z3 2t dt = ( t2 − 1) t I = 2 Z3 2 2 dt = ( t − 1)( t + 1) Z3 2 ( t + 1) − ( t − 1) dt = ( t − 1)( t + 1) Z3 µ 2 ¶ 1 1 − dt t−1 t+1 ¯ ¯¯ ¯ t − 1 ¯ ¯3 ¯ ¯ ¯ = ln 2 − ln 1 = ln 2 + ln 3 − ln 4. = ln ¯ t + 1 ¯ ¯2 4 3 Suy ra a = 1, b = 1, c = −1. Do đó S = 12 + 12 + (−1)2 = 3. Chọn đáp án B ä Z2 Câu 150. Cho Z5 2 f ( x)d x bằng f ( x + 1) xd x = 2, khi đó 2 1 A. 2. B. 1. C. −1. D. 4. – Lời giải. • Đặt t = x2 + 1 ⇒ d t = 2 xd x. Z2 Z5 Z5 Z5 1 2 • f ( x + 1) xd x = f ( t)d t nên f ( x)d x = f ( t)d t = 4 . 2 1 2 2 2 Chọn đáp án D Z5 Câu 151. Biết 3 ä b x2 + x + 1 d x = a + ln với a, b là các số nguyên. Tính S = a − 2 b. x+1 2 A. S = −2. B. S = 5. C. S = 2. D. S = 10. – Lời giải. Z5 3 x2 + x + 1 dx = x+1 Z5 µ 3 ¶ ¯5 ¶ µ ¯ 3 1 1 2 x+ d x = x + ln | x + 1| ¯¯ = 8 + ln . x+1 2 2 3 Vậy a − 2 b = 2. Chọn đáp án C ä Z2 Câu 152. Tích phân e x d x bằng 1 A. e − e2 . B. e2 − e. C. e. D. e−1 . – Lời giải. Z2 Ta có ¯2 e x d x = e x ¯1 = e 2 − e . 1 Chọn đáp án B ä Z5 Câu 153. Nếu Z7 f ( x) d x = 3 và 2 A. 3. Th.s Nguyễn Chín Em Z7 f ( x) d x = 9 thì 5 f ( x) d x bằng 2 B. 6. C. 12. 437 D. −6. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3 – Giải tích 12 – Lời giải. Z7 Ta có Z5 Z7 f ( x) d x = f ( x) d x = 3 + 9 = 12. f ( x) d x + 2 2 5 Chọn đáp án C ä Z10 Câu 154. Cho hàm số f ( x) liên tục trên [0; 10] thỏa mãn Z6 0 Z2 P= f ( x) d x = 3. Tính giá trị của f ( x ) d x = 7, 2 Z10 f ( x) d x. f ( x) d x + 0 6 A. P = 3. B. P = 1. C. P = 4. D. P = 2. – Lời giải. Z10 Ta có Z2 Z6 f ( x) d x = f ( x) d x + 0 0 Z10 ⇒P= Z10 f ( x) d x + 2 f ( x) d x 6 Z6 f ( x) d x = 7 − 3 = 4. f ( x) d x − 0 2 Chọn đáp án C ä Z2 Câu 155. Giả sử 1 x d x = a + b ln c. Tính S = 3a + 2 b + c. p 1+ x−1 A. S = 5. B. S = 1. C. S = 8. D. S = 11. – Lời giải. p Đặt t = x − 1 ⇒ t2 + 1 = x ⇒ d x = 2 t d t. Ta có Z2 1 x dx = p 1+ x−1 Z1 µ 0 ¶ t2 + 1 · 2t dt 1+ t ¶ Z1 µ 4 2 = dt 2t − 2t + 4 − 1+ t 0 µ ¶ ¯1 2 3 2 ¯ = t − t + 4 t − 4 ln | t + 1| ¯ 3 0 11 − 4 ln 2 = 3 Do đó a = 11 , b = −4, c = 2 ⇒ S = 3a + 2 b + c = 5. 3 Chọn đáp án A ä Z1 Câu 156. Tích phân p 0 1 x+1 A. 1. p d x = a + b 2 với a, b ∈ Q. Khi đó a − b bằng B. −1. C. −4. D. 4. – Lời giải. p Ta có b 2 + a = Z1 p 0 1 x+1 Z1 dx = ¯1 p p 1 ¯ ( x + 1)− 2 d( x + 1) = 2 x + 1¯ = 2 2 − 2. 0 0 Do đó a = −2, b = 2 ⇒ a − b = −4. Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em ä 438 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Zd Câu 157. Nếu Chương 3 – Gi