Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (dành cho học sinh Yếu – TB) – Đặng Việt Đông

Giới thiệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (dành cho học sinh Yếu – TB) – Đặng Việt Đông

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (dành cho học sinh Yếu – TB) – Đặng Việt Đông CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (dành cho học sinh Yếu – TB) – Đặng Việt Đông

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (dành cho học sinh Yếu – TB) – Đặng Việt Đông

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (dành cho học sinh Yếu – TB) – Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng NGUYÊN HÀM A – KIẾN THỨC CHUNG 1- Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F  x  được gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  trên K nếu F ‘  x   f  x  với mọi x  K . Định lí: + Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K . + Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì mọi nguyên hàm của f  x  trên K đều có dạng F  x   C , với C là một hằng số. Do đó F  x   C, C   là họ tất cả các nguyên hàm của f  x  trên K . Ký hiệu + Tính chất của nguyên hàm  Tính chất 1:  f  x  dx  f  x  và    f  x  dx  F  x   C .  f ‘  x  dx  f  x   C Tính chất 2:  kf  x  dx  k  f  x  dx với k là hằng số khác 0 . Tính chất 3:   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx 2 – Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . 3 – Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp u  u  x  Nguyên hàm của hàm số sơ cấp  dx  x  C 1  x dx    1 x   1  C   1 1  x dx  ln x  C 1 1  x dx   x  C  e dx  e  C 2 x x ax  C  a  0, a  1 ln a  sin xdx   cos x  C  du  u  C 1  u du    1 u   1  C   1 1  u du  ln u  C 1 1  u du   u  C  e du  e  C 2 u u au  C  a  0, a  1 ln a  sin udu   cos u  C x  a dx  u  a du   cos xdx  sin x  C 1  cos x dx  tan x  C  cos udu  sin u  C 1  cos u du  tan u  C 2 1  sin 2 dx   cot x  C x 4 – Bảng nguyên hàm mở rộng 2 1  sin ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 2 u du   cot u  C Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A  d  ax  b   1  ax  b   C a Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng kx  e dx  ekx C k  1 1  ax  b     ax  b  dx  a    1  dx  c ,   1 1  ax  b  a ln ax  b  c  c e ax  b a px  q a 2 a 2 1 ax b e c a dx  dx  1 a px q  c p ln a 1  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c  sin  ax  b  dx  1 cos  ax  b   c a 1  tg  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   c 1  cotg  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   c dx 1 x  arctg  c 2 x a a  sin dx 1 ax  ln c 2 x 2a a  x  cos 2 2 dx 1  cotg  ax  b   c  ax  b  a dx 1  tg  ax  b   c  ax  b  a B – BÀI TẬP DẠNG 1: CÁC CÂU HỎI LÍ THUYẾT Câu 1: Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có đạo hàm trên  a; b . (2): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b . (3): Mọi hàm số đạo hàm trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b . (4): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên  a; b . Câu 2: A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Cho hai hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . B.   f  x  .g  x   dx   f  x  dx. g  x  dx . C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . D.  kf  x  dx  k  f  x  dx  k  0;k    . Câu 3: Cho f  x  , g  x  là các hàm số xác định và liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A.  f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx . B.  2 f  x  dx  2 f  x  dx . C. Câu 4:   f  x   g  x   dx  f  x  dx   g  x  dx . D.   f  x   g  x   dx  f  x  dx   g  x  dx . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A.  kf  x  dx  k  f  x  dx với k   . B.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx với f  x  ; g  x  liên tục trên  . ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Câu 5: C. x D.  Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng 1  1 x với   1 .  1  f  x  dx  f  x  .  dx   Cho hai hàm số f  x  , g  x  là hàm số liên tục, có F  x  , G  x  lần lượt là nguyên hàm của f  x  , g  x  . Xét các mệnh đề sau:  I  . F  x   G  x  là một nguyên hàm của f  x   g  x  .  II  . k.F  x  là một nguyên hàm của k. f  x  với k   .  III  . F  x  .G  x  là một nguyên hàm của f  x  .g  x  . Câu 6: Các mệnh đề đúng là A.  II  và  III  . B. Cả 3 mệnh đề. C.  I  và  III  . D.  I  và  II  . Mệnh đề nào sau đây sai? A.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với mọi hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  .  f   x  dx  f  x   C với mọi hàm số f  x  có đạo hàm trên  . C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với mọi hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  . D.  kf  x  dx  k  f  x  dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f  x  liên tục trên  . B. Câu 7: Cho hàm số f  x  xác định trên K và F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f   x   F  x  , x  K . B. F   x   f  x  , x  K . C. F  x   f  x  , x  K . Câu 8: D. F   x   f   x  , x  K . Cho hàm số f  x  xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu hàm số F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K . B. Nếu f  x  liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K . C. Hàm số F  x  được gọi là một nguyên hàm của f  x  trên K nếu F   x   f  x  với mọi x  K . D. Nếu hàm số F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì hàm số F   x  là một nguyên hàm Câu 9: của f  x  trên K . Trong các mênh đề sau, mệnh đề nào sai: A. Nếu hàm F  x  là một nguyên hàm của hàm f  x  thì F  x  1 cũng là một nguyên hàm của hàm f  x  . B. Mọi hàm liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . C. Nếu hàm F  x  là một nguyên hàm của hàm f  x  thì  f  x dx  F  x   C , với C là một hằng số. D. Nếu F  x  , G  x  là hai nguyên hàm của hàm số f  x  thì F  x   G  x   C , với C là một hằng số. Câu 10: Cho f , g là các hàm số liên tục trên K . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai. A.   f  x  .g  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  g  x  dx . ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng f 3  x C .  3 C.   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . f   x  f 2  x dx  B. D. k  f  x  dx  k  f  x  dx , ( k : hằng số). DẠNG 2: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Câu 11: Khẳng định nào sau đây sai? A.  dx  x  C . 1 C . x Câu 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? B.  sin x dx   cos x  C . 1 C.  ln x dx  D.  x dx  ln x  C . A.  e x dx  e x  C . B.  sin C.  cosxdx  sinx  C . D.  sinxdx  cosx  C . Câu 13: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 0dx  C ( C là hằng số). A.  C.   f  2 x  1 dx  2F  2 x 1  C . 1 C.  f  2 x  1 dx  F  2 x  1  C . 2 Câu 15: Khẳng đinh nào sau đây là sai? A.  a x dx  a x ln a  C  a  0; a  1 . 2 1 dx  x  C . x Câu 16: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai: A.  e x dx  e x  C . C.  2xdx  x2  C . 1 A.  f  x  dx  2  2 x  1 C.  f  x  dx  2  2 x  1 2 2 dx   tan x  C . n  x dx  x  C ( C là hằng số). x n 1  C ( C là hằng số, n   ). n 1  f  2 x  1 dx  2 F  x   1  C . D.  f  2 x  1 dx  F  2 x  1  C . B. B.  cos xdx  sin x  C . D. 1 x 2 1 dx    C . x B.  sin xdx  cos x  C . D. Câu 17: Công thức nguyên hàm nào sau đây sai? 2x C . A.  2 x dx  ln 2 dx C.   ln x  C . x Câu 18: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  1 x  e dx  e D. f  u  du  F  u   C . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. C. 2 x B.  dx  x  2C ( C là hằng số). Câu 14: Biết 1 1  x dx  ln x  C . B.  sin xdx   cos x  C . dx D.  cos x  tan x  C C . B.  f  x  dx  4  2 x  1 C . D.  f  x  dx   2 x  1 . 1 2 2 C . C . Câu 19: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x 2  x  1 là ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng 2 x3 x 2 2 x3 x 2 2 x3   x. B.   xC. C.  x2  x  C . 3 2 3 2 3 Câu 20: Nguyên hàm của hàm số f  x   10 x 4  3 x  2 trên  là A. 3 2 x  2x . 2 3 f  x  dx  2 x5  x 2  2 x  C . 2 A.  f  x  dx  2 x C.  5  Câu 21: Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   A. ln  3 x  1  C 3   Câu 22: Tìm nguyên hàm của hàm số   x 2   2 x  dx x   3 x 4 3 A.  3ln x  x C . 3 3 x3 4 3 C.  3ln x  x . 3 3 Câu 23: Nguyên hàm của hàm số f  x   22 x là 22 x1 C. A.  2 dx  ln 2 4x C . C.  22 x dx  ln 2  5  3 2 x  2C . 2 C. ln 3x  1  C D. 1 ln 3 x  1  C . 3 x3 4 3  3ln x  x C . 3 3 x3 4 3 D.  3ln x  x C . 3 3 B. x 1 dx ? x2  1 C . 2 x 1 A.  f  x  dx  2 x  3x 2  2 x  C . B.  22 x dx  x 1 dx  ln | x |  ln x 2  C . x2 x2  xC x 1 C.  2 dx  2 3 . x x C 3 Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  1 là: A. D. 5 22 x C . ln 2 22 x 1 D.  22 x dx  C. ln 2 2x Câu 24: Tìm nguyên hàm  f  x  dx  10x 1 là 3x  1 B. ln  3 x  1  C . . B. D. 4 x  1 . B.  2 x  1 3 B.  x 1 1 dx  ln | x |   C . 2 x x D.  x 1 1 dx  ln x   C . 2 x x 3 C. C. 2  2 x  1 3 3 C . D. 3  2 x  1 4 Câu 26: Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   e2 x3 là 2 x 3 A.  f  x  dx  e C.  f  x  dx  2e C . 2 x 3 C . Câu 27: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   1 x sin 2 1 2 x 3 C . 1 2 x 3 C . B.  f  x  dx  2 e D.  f  x  dx  3 e B.  . 2 A.  dx x  2 tan  C . x 2 sin 2 2 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay dx x  2 tan  C . x 2 sin 2 2 Trang 6 3 C . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A C.  Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng dx 1 x   cot  C . x 2 2 sin 2 2 D. Câu 28: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x    f  x  dx  2x  C . 1 C.  f  x  dx    C . 2x f  x  dx  sin x  e Nếu  dx x  2cot  C . x 2 sin 2 2 1 . 2x  f  x dx  2 2 x  C . D.  f  x  dx  ln 2x  C . A. Câu 29:  B. x C thì x B. f  x   cos x  e x . A. f  x    cos x  e . C. f  x   cos x  e x . Câu 30: Tìm khẳng định sai? x e1 A.  xe dx   2C . e 1 C.  e x dx  C  e x D. f  x    cos x  e x  C . 2x 1 C. x 1 D.  tan 2 xdx  tan x  x  C . B.  2 x dx  Câu 31: Cho F  x  là nguyên hàm của f  x   2x 4  3 . Khi đó x2 2 x3 3 2 x3 B. F  x    C .  3ln x  C . 3 x 3 2×3 2 x3 3 C. F ( x)  D. F ( x )   3ln x  C .  C . 3 3 x Câu 32: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  sin 2 x là A. F ( x )  A. x2  2cos 2x  C . 1 B. x 2  cos 2 x  C . 2 C. x2  2cos 2 x  C . 1 D. x 2  cos 2 x  C 2 . Câu 33: Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   1 là sin  x  2  2 A. cot  x  2   C . C.  2 cos  x  2  sin 3  x  2 B.  cot  x  2   C . C . D.  cos  x  2  C . sin 3  x  2  Câu 34: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  cos x  2018 là A. F  x   e x  sin x  2018 x  C . B. F  x   e x  sin x  2018 x  C . C. F  x   e x  sin x  2018 x . D. F  x   e x  sin x  2018  C . Câu 35: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e x  e x .  f  x  dx  e C.  f  x  dx  e A. x  e x  C . x  e x  C . Câu 36: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x là A. e x  C . B. e x  C . Câu 37: Tìm nguyên hàm của hàm số y  sin( x  1) ? A.  sin( x  1)dx   cos( x  1)  C . x  e x  C . x  e x  C .  f  x  dx  e D.  f  x  dx  e B. C.  e  x  C . D. e x  C . B.  sin( x  1)dx  cos( x  1)  C . ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A C.  sin( x  1)dx  ( x  1) cos( x  1)  C . Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng D.  sin( x  1)dx  (1  x) cos( x  1)  C . 2 Câu 38: Hàm số F  x   e x là nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 2 2 B. f  x   2 x 2e x  C . A. f  x   2 xe x . 2 2 C. f  x   xe x . D. f  x   x 2e x  3 . Câu 39: Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  cos(2 x  3) . 1 A. F ( x )   sin(2 x  3)  C . B. F ( x)  sin(2x  3)  C . 2 1 C. F ( x)   sin(2 x  3)  C . D. F ( x )  sin(2 x  3)  C . 2 Câu 40: Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại? A. f  x   sin 2 x , g  x   cos 2 x . B. f  x   e x , g  x   e  x . C. f  x   sin 2 x , g  x   sin 2 x . D. f  x   tan 2 x , g  x   Câu 41: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  tan x là 1 A.  ln cos x  C. B.   C. cos 2 x Câu 42: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   đây đúng? A. F  x   2 tan x  3 . D. 1  C. cos 2 x 2   và F    3 . Khẳng định nào dưới 2 cos x 4 B. F  x   tan x  4 . C. F  x   2 tan x  5 . Câu 43: Tìm khẳng định sai? D. F  x   2 cot x  5 . A.  tan 2 xdx  tan x  x  C . C.  2 x dx  C. ln cos x  C. 1 . cos 2 x 2 B. 2x 1 C. x 1 e  x dx  x e1  2C . e 1 D.  e x dx  C  e x Câu 44: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   1 là 1 x 1 1 ln(1  x)2  C . C.  ln 2  2x  C . D.  ln 1  x  C . 2 2 6 Câu 45: Cho hàm số f  x  thỏa f   x   và f  2   0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3  2x A. f  x   3ln 3  2 x . B. f  x   2 ln 3  2 x . A. ln 1  x  C . B. C. f  x   3ln 3  2 x . D. f  x   2 ln 3  2 x .     Câu 46: Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm f ( x)  sin 2 x và F    1. Tính F    4 6     3 A. F    0. B. F     6 6 4 Câu 47: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 A.  dx  ln 3x  C . 3x   1 C. F     6 2   5 D. F     6 4 B.  e x dx  e x  C . ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng 2x D.  2 dx  C . ln 2 x C.  sin x dx  cosx  C . Câu 48: Tìm nguyên hàm I   2 x  1dx 2 3 1 C. I  3  2 x  1 A. I   2 x  1 Câu 49: Tìm a  b biết 3 3 1 C . 2 2x 1 1 D. I  C . 4 2x 1 C . B. I  C . 7 x  11  ( x  1)( x  2)dx  a ln x  2  b ln x  1  C ? A. a  b  7 . B. a  b  5 . C. a  b  11 . D. a  b  5 .   Câu 50: Tìm hàm số F  x  biết F   x   sin 2 x và F    1 . 2 1 1 A. F  x    cos 2 x  . B. F  x    cos 2 x . 2 2 1 3 C. F  x   cos 2 x  . D. F  x   2 x    1 . 2 2 x Câu 51: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  . 2 x3 x 2 A.  f  x  dx  x3  x2  C . B.  f  x  dx    C . 3 4 2 x x2 C.  f  x  dx  x3   C . D.  f  x  dx  x3   C . 4 2 2 2x  7 x  5 Câu 52: Tính nguyên hàm I   dx . x 3 A. I  2 x 2  x  2ln x  3  C . B. I  x 2  x  2ln x  3  C . C. I  x 2  x  2ln x  3  C . Câu 53: Hàm số F  x    f  x   x D. I  2 x 2  x  2 ln x  3  C . 1 3 x 1 e 9 x 2  24 x  17  C là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? 27    2 x  1 e  A. f  x   x 2  2 x  1 e3 x 1 . C. 2 3 x 1  f  x   x   2 x  1 e B. f  x   x 2  2 x  1 e3 x 1 . . D. 2 3 x 1 . Câu 54: Tính I   8sin3x cos x dx  a cos 4 x  b cos 2 x  C . Khi đó a  b bằng: A. 3 . B. 1 . Câu 55: ) Họ nguyên hàm của hàm số f  x  x  sin x là A. 1  cos x  C . B. x2  cos x  C . 2 C. 1 . C. D. 2 . x2  cos x  C . 2 D. x2  cos x  C . Câu 56: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn đồng thời các điều kiện f   x   x  sin x và f  0   1 . Tìm f x . A. f  x   x2 1  cos x  . 2 2 B. f  x   ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay x2  cos x  2 . 2 Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng x2 C. f  x    cos x  2 . 2 x2 D. f  x    cos x . 2 Câu 57: Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f  x   A. F ( x )  2 2 x  1  1 . 2 thỏa mãn F  5  7 . 2x 1 B. F ( x)  2 x  1  4 . C. F ( x )  2 x  1  10 . Câu 58: Cho f  x   x2  2 x  x  12 D. F ( x )  2 2 x  1 . , F  x  là một nguyên hàm của f  x  . Tìm phương án sai? x2  x 1 x2  2 x  2 . B. F  x   . x 1 x 1 x2  x 1 x2 C. F  x   . D. F  x   . x 1 x 1 Câu 59: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   3x.ln 9 thỏa F  0   2 . Tính F 1 . A. F  x   A. F 1  6 . 2 C. F 1  12  ln 3 . B. F 1  3 . Câu 60: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   D. F 1  4 . x 1 , biết đồ thị hàm số y  F  x  đi qua điểm x2 1; 2  , 1 1 . x 1 C. F  x   ln x   3 . x Câu 61: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x  sin 6 x . A. F  x   ln x  1  3. x 1 D. F  x   ln x   1 . x B. F  x   ln x  x 2 sin 6 x f  x  dx   C . 2 6 x 2 sin 6 x f  x  dx   C . 2 6 x 2 cos 6 x A.  B.  f  x  dx   C. 2 6 x 2 cos 6 x C.  D.  f  x  dx   C. 2 6 1 Câu 62: Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   và F 1  3 . Tính F  4  . x A. F  4   5 . B. F  4  3 . C. F  4   3  ln 2 . D. F  4   4 . Câu 63: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 3  sin 2 x . A.  C.  x4 1 f  x  dx   cos 2 x  C . 4 2 x4 f  x  dx   cos 2 x  C . 4 x4 1 f  x  dx   cos 2 x  C . 4 2 B.  D.  f  x  dx  3x C. ln[( x  1)( x  3)] .  2cos 2 x  C . x3 ? x  4x  3 x 1  2. B. ln x 3 D. ln(2 x  1 ) . Câu 64: Hàm số F(x) nào sau đây là 1 nguyên hàm của hàm số f ( x)  A. 2ln x  3  ln x  1  C . 2 2 Câu 65: Tìm giá trị m để hàm số F  x   m 2 x 3   3m  2  x 2  4 x  3 là một nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2  10 x  4 . A. m   1 . B. m   1 . C. m  1 . ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. m  2 . Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng Câu 66: Cho hàm số F  x   ax3   a  b  x 2   2a  b  c  x  1 là một nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  6 x  2 . Tổng a  b là A. 4 . B. 2 . DẠNG 3: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN TÌM HẰNG SỐ C C. 5 . D. 3 . Câu 67: Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2 x 2  x 3  4 thỏa mãn điều kiện F  0   0 là 2 3 x4 x   4x . C. x 3  x 4  2 x . 3 4 Câu 68: Tìm hàm số F(x) biết rằng F ’  x   4 x 3 – 3 x 2  2 và F  1  3 A. 2 x 3  4 x 4 . B. A. F  x   x 4 – x 3  2 x  3 B. F  x   x 4 – x 3 +2x  3 C. F  x   x 4 – x 3  2 x  3 D. F  x   x 4  x 3  2 x  3 Câu 69: Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x  2 x thỏa mãn F (0)  1 A. F ( x)  e x  x 2  . 2 3 C. F ( x)  e x  x 2  . 2 2 3 x4 x   4x . 3 4 D. 3 . Tìm F ( x) . 2 1 B. F ( x )  2e x  x 2  . 2 5 D. F ( x)  e x  x 2  . 2   Câu 70: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  thỏa mãn điều kiện: f  x   2 x  3cos x, F    3 2 2 A. F ( x)  x  3sin x  6  4 2  C. F ( x)  x 2  3sin x  4 2 2 B. F ( x)  x  3sin x  4 2 D. F ( x)  x2  3sin x  6  Câu 71: Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  1 B. F (3)  ln 5  5. 2 A. F (3)  2ln5  3. 2 4 1 1 và F (2)  3  ln 3. Tính F (3). 2 x 1 2 1 C. F (3)  ln 5  3. D. 2 F (3)  2ln 5  5. F  x f  x    2 x  1 x  2  F 1  2 Câu 72: Tìm nguyên hàm của hàm số , biết . 2 3 3 2 29 2 3 3 2 A. F  x   x  x  2 x  . B. F  x   x  x  2 x . 3 2 6 3 2 1  2 3 C. F  x   x2  x  x2  2 x   2 . D. F  x   x 3  x 2  2 x  2 . 3 2 2  1  Câu 73: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  2 x  2 thỏa mãn F( )  1 là: sin x 4   A. F( x)  cotx  x2  C. F( x)  cotx  x 2 2 16 2 16 2 2 D. F( x)  cotx  x  16   B. F( x)  cotx  x 2  Câu 74: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f ( x)  sin 2 x , biết F    0 . 6 1 1  A. F  x   cos 2 x . B. F  x   cos 2 x  . 2 2 6 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 C. F  x   cos 2 x  . D. F  x   sin 2 x  . 4 4 Câu 75: Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   sin x và đồ thị của hàm số y  F  x  đi qua   điểm M  0;1 . Tính F   . 2     A. F    1. B. F    1 . 2 2 Câu 76: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   A. F  x   2 2 x  1  4 . C. F  x   2 2 x  1  10 .   C. F    2 . 2   D. F    0 . 2 2 thỏa mãn F  5  7 2x 1 B. F  x   2 2 x  1  1 . D. F  x   2 2 x  1 . 2x  3  x  0 . Biết rằng F 1  1 thì F  x  là x2 3 3 A. F  x   2 x   2 . B. F  x   2ln x   4 . x x 3 3 C. F  x   2 x   4 . D. F  x   2ln x   2 . x x x x Câu 78: Nếu F  x  là một nguyên hàm của f ( x)  e (1  e ) và F (0)  3 thì F ( x ) là? Câu 77: Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   A. e x  x B. e x  x  2 C. e x  x  C D. e x  x  1 3 Câu 79: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   8 1  2 x  . Tính I  F 1  F  0  . A. I  0 . B. I  2 . C. I  16 . D. I  2 . DẠNG 4: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN HÀM HỮU TỈ P( x) Dạng: I   Q ( x) – Nếu bậc của P(x)  bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định). 1 A B   Chẳng hạn: ( x  a)( x  b) x  a x  b 1 A Bx  C   2 , vôùi   b 2  4ac  0 2 ( x  m)(ax  bx  c) x  m ax  bx  c 1 A B C D     2 2 2 ( x  a ) ( x  b) x  a ( x  a ) x  b ( x  b) 2 Ví dụ: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: x 2  3x  3 1 a. f(x) = . b. f(x) = 2 . x 1 x  3x  2  Giải a. Ta có: x 2  3x  3 1  1   f ( x)dx =  x  1 dx =   x  2  x  1  dx = 2 x2 + 2x + lnx + 1 + C. b. Ta có: dx dx 1   1  f ( x)dx =  x2  3x  2 =  ( x  1)( x  2) dx =   x  1  x  2  dx ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A = ln|x + 1| - ln|x + 2| + C = ln Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng x 1 C . x2 Nhận xét: Qua thí dụ trên: Câu a) chúng ta chỉ cần thực hiện phép chia đa thức là đã biến đổi phân thức hữu tỉ ban đầu thành tổng các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm. Câu b) chúng ta nhận thấy: ( A  B) x  2 A  B 1 A B =  = ( x  1)( x  2) x  3x  2 x  1 x  2 Ta được đồng nhất thức 1 = (A + B)x + 2A + B. Để xác định A, B trong (1) ta lựa chọn một trong hai cách sau: Phương pháp đồng nhất hệ số: Đồng nhất đẳng thức, ta được: A  B  0 A 1  .  2 A  B  1  B  1 2 Câu 80: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   ax  f 1  0 b  x  0  , biết rằng F  1  1 , F 1  4 , x2 . 3x 2 3 7   . 4 2x 4 3x 2 3 7 F x    . C.   2 4x 4 6x  2 Câu 81: Tìm  dx . 3x  1 4 A. F  x   ln 3 x  1  C 3 4 C. F  x   2 x  ln 3 x  1  C 3 x2  x  1 Câu 82: Nguyên hàm  dx x 1 x2 1 A. B. 1  C .  ln x  1  C . 2 2  x  1 A. F  x   Câu 83: Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   1 2 (1) 2 A.  ln x 1  C . B. 3x 2 3 7   . 4 2x 4 3x 2 3 1 F x    . D.   2 2x 2 B. F  x   B. F  x   2 x  4 ln  3x  1  C D. F  x   2 x  4 ln 3 x  1  C C. x  1 C. x 1 1 là x 1 2 1 x 1 ln C . 2 x 1 1 x 1 C.  ln C . 2 x 1 Câu 84: Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f  x   1 x2 A. F  x   ln C. 5 x1 2 1 2x  1 C. F  x    ln C. 5 x2 D. x 2  ln x  1  C . D. 1 ln x 2 1  C . 2 1 ?  2 x  1 x  2  1 x2 B. F  x   ln C 5 2x 1 D. F  x   ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 1 3x  6 ln C. 15 2 x  1 Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng 1 . x x B. F  x   ln x  ln x  1 . D. F  x    ln x  ln x  1 . Câu 85: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 A. F  x   ln x  ln x  1 . C. F  x    ln x  ln x  1 . x 1 Câu 86: Biết  dx  a.ln x  1  b.ln x  2  C . Tính giá trị của biểu thức a  b .  x  1 2  x  A. a  b  1. B. a  b  5 . x 1 Câu 87: Họ các nguyên hàm của hàm số y  2 là: x 1 1 A. ln x   C . B. ln x   C . x x x Câu 88: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 x 4 1 1 2 A. ln x  4  C . B. C . 2 2 2  x  4 Câu 89: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A. C.   1  x2 f  x  dx   ln C . x Câu 90: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   A. Câu 91: 1 x 3 ln C . 2 x 1  Nguyên hàm x A. 2 B. D. a  b  1. 1 C. e x   C . x D. ln x  C. 1 4  x2  4 2 1 C . x D. 2 ln x2  4  C . C . 1 . x 1  x 2  1  x2 C . x f  x  dx  ln C. a  b  5 . B.  f  x  dx  ln D.  f  x  dx   ln x 1  x2 x C . 1  x2 C . 1 . x  4x  3 2 1 x3 ln C . 2 x 1 1 x 3 C.  ln C. 2 x 1 1 x5 ln C . 6 x 1 C. D. 1 x 3 ln C . 2 x 1 D. 1 x 1 ln C . 6 x 5 dx   4x  5 . 1 x 1 ln C . 6 x5 B. 1 x 1 ln C . 6 x5 x 3 b dx  a ln x  1   C với a, b   . Chọn khẳng định đúng trong các  2x 1 x 1 khẳng định sau: b 2a a 1 A.  2 . B.  1 . C. a  2b . D.  . a b 2b 2 2x  3 Câu 93: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 . 2x  x 1 2 2 2 5 A.  f  x  dx   ln 2 x  1  ln x  1  C . f  x  dx   ln 2 x  1  ln x  1  C  3 3 3 3 B. . 1 5 2 5 C.  f  x  dx   ln 2 x  1  ln x  1  C . D.  f  x  dx   ln 2 x  1  ln x  1  C . 3 3 3 3 DẠNG 5: NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A – CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG DÙNG 1. Công thức cộng cos(a  b)  cos a. cos b  sin a. sin b Câu 92: Biết rằng x 2 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng sin(a  b)  sin a. cos b  sin b. cos a tan a  tan b 1  tan a. tan b 2. Công thức nhân đôi tan(a  b)  1  tan 2 a cos 2a  cos a – sin a  2 cos a – 1  1 – 2 sin a  1  tan2 a 2 tan a 2 tan a ; tan 2a  sin 2a  2 sin a. cos a  2 1  tan2 a 1  tan a ; cos 3  4 cos 3   3 cos  sin 3  3 sin   4 sin 3  3. Công thức hạ bậc 1  cos 2a 1  cos 2a 1  cos 2a ; cos2 a  ; tan2 a  sin2 a  2 2 1  cos 2a 3 sin   sin 3 cos 3  3 cos  sin 3   ; cos3   4 4 4. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos  . cos    cos(   )  cos(   ) 2 1 sin  . sin    cos(   )  cos(   ) 2 1 sin  . cos   sin(   )  sin(   ) 2 5. Công thức biến đổi tổng thành tích   cos   cos   2 cos . cos 2 2   cos   cos   2 sin .sin 2 2   sin   sin   2 sin . cos 2 2    sin   sin   2 cos . sin 2 2 sin(   ) tan   tan   cos  cos  sin(   ) tan   tan   cos  cos  Hệ quả: 2 2 2 2     cos   sin   2 cos      2 sin     4 4       cos   sin   2 cos       2 sin     4 4   B – BÀI TẬP Câu 94: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  sin x  1 là sin 2 x A. cos x  x  C . B. C.  cos x  x  C . D. cos x  C .  xC . 2 Câu 95: Cho a   , hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f  x   cos x . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A A. F  x   sin x . Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng xa xa . cos 2 2 xa xa D. F  x   2 sin . cos 2 2 B. F  x   2 cos x  x  C. F  x   2 sin   a  cos   a  . 2  2  Câu 96: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2 x là A.  sin 2 x  C . B.  cos2x  C . C. cos2x  C . D. cos 2 x  C . Câu 97: Trong các hàm số sau, hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số g  x   tan x ? 2 (III) f  x   tan 2 x  1 2 cos x B.  II  . C.  II  ,  III  . (I) f  x   tan 2 x  2 (II) f  x   A.  III  . D.  I  ,  II  ,  III  . Câu 98: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x     sin 2 x  cos3x dx . 1 1 1 1 Câu 99: Nguyên hàm của hàm số f  x   sin x cos x là: 1 1 A.  sin x cos x . B. cos 2 x  C . C.  cos 2 x  C . 4 4 x 2 Câu 100: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   4  sin x là D.  f  x  dx  2 cos 2x  3 sin 3x  C . C.  f  x  dx   cos 2 x  sin 3x  C . A. sin 3 x C . 3 4x x 1 C.   sin 2 x  C . ln 4 2 4 Câu 101: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  tan 2 x . A. 4 x ln x   f ( x)dx  tan x  x  C . C.  f ( x)dx  tan x  C . A.  f  x  dx   2 cos 2x  3 sin 3x  C . D.  f  x  dx  cos 2 x  sin 3x  C . B. B. 4 x ln x  D. 1 sin 2 x  C . 4 sin 3 x C . 3 4x 1  sin 2 x  C . ln 4 4  f ( x)dx  tan x  x  C . D.  f ( x)dx x  tan x  C . B. Câu 102: Nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin 3 x.cos5 x là. 1 1 1 1 A.  f ( x)dx  cos2 x  cos8 x  C . B.  f ( x)dx  cos2 x  sin 8 x  C . 4 16 4 16 1 1 1 1 C.  f ( x)dx  sin 2 x  cos8 x  C . D.  f ( x )dx   cos2 x  cos8 x  C . 4 16 4 16 Câu 103: Tính I   8sin 3x cos xdx  a cos 4 x  b cos 2 x  C . Khi đó, a  b bằng A. 1. B. 2. 2 Câu 104: Nguyên hàm  sin 2 xdx là 1 1 x  sin 4 x  C . 2 8 1 1 C. x  sin 4 x  C . 2 4 DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT A. C. 3. D. 1 . 1 3 sin 2 x  C . 3 1 1 D. x  sin 4 x  C . 2 8 B. 2x Câu 105: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   5 . A.  52 x dx  2. 52x C . ln5 B.  52 x dx  ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 25x C . 2ln 5 Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng C.  52 x dx  2.5 2 x ln 5  C . D.  52 x dx  25x1 C . x 1 2018x Câu 106: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  e . 1 A.  f  x  d x  2018 .e 2018 x C  f  x  dx  e f  x  dx  e D.  . 2018 x f  x  dx  2018e C C.  . Câu 107: Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f  x   e1 4x ? A. y  4e1 4 x . B. y  2018 x B. 1 1 4 x e . 4 C. y  2018 x C . ln 2018  C 1 1 4 x e . 4 . D. y  e1 4 x . x Câu 108: Cho F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x  e  2x thỏa mãn F  0   3 . Tìm F  x . 2 A. F  x   e x  x 2  5 . 2 C. F  x   e x  x 2  3 . 2 B. F  x   2e x  x 2  1 . 2 1 D. F  x   e x  x 2  . 2 x Câu 109: Cho hàm số f  x thỏa mãn f   x  2018 ln2018  cos x và f  0  2 . Phát biểu nào sau đúng? x A. f  x  2018  sin x 1. C. f  x   B. f  x   2018x  sin x 1 . ln 2018 2018x  sin x 1 . ln 2018 x D. f  x  2018  sin x 1. 3x 2 (2  e Câu 110: Tính  ) dx A. 3 x  4 e 3 x  1 e 6 x  C B. 4 x  4 e 3 x  5 e 6 x  C 3 6 4 3x 1 6 x C. 4 x  e  e  C 3 6 3 6 4 3x 1 6 x D. 4 x  e  e  C 3 6 F(x)  ex  ex  x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? f (x)  ex ex 1 B. f ( x )  e x  e  x  1 x 2 Câu 111: Hàm số A. C. x x f (x)  e e 1 Câu 112: Họ nguyên hàm của hàm số D. f ( x )  e x  e  x f (x)  e2x e3x là : e3 x e2 x  C. A. 3 2 e3 x e3x  C . C. 2 2 Câu 113: Họ nguyên hàm của hàm số 2 1  x2 2 e2 x e3x  C . B. 2 3 e2 x e3x  C. D. 3 2 f (x)  32x 23x 32 x 23 x  C . A. 2.ln 3 3.ln 2 32 x 23x  C . C. 2.ln 3 3.ln 2 là : 32 x 23x  C . B. 2.ln 3 3.ln 2 32 x 23x  C . D. 2.ln 3 3.ln 2   Câu 114: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e x 1  e  x . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng x  f  x  dx  e  C . C.  f  x  dx  e  e  C . Câu 115: F  x là một nguyên hàm của hàm số A. x x x  f  x  dx  e  x  C . D.  f  x  dx  e  C . B. x 2 y  xex . Hàm số nào sau đây không phải là F  x ? A. F  x   1 e x  2 . B. F  x   1 e x  5 . C. F  x    1 e x  C . D. F  x    1 2  e x  2 2 2  2  2 2 2  2x x Câu 116: Tìm nguyên hàm F  x của hàm số f  x   2  3   2 . x . 4  x x 12 2x x  C . ln12 3 22 x  3x x x  F x     C.  . ln 2  ln 3 4x  x B. F  x   12  x x  C . A. F  x   D. F  x    Câu 117: Tính nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2017   2018 C . x4 504, 5 f  x  d x  2017e x  C . x4 A.  f  x  dx  2017e C.  x  2018e  x x5 22 x  3x x x ln 4    . ln 2  ln3 4x   .  504, 5 C . x4 2018 f  x  d x  2017e x  4  C . x B.  f  x  d x  2017e D.  x  Câu 118: Tính  22 x.3x.7 x dx 84 x C A. ln 84 Câu 119: Nguyên hàm 22 x.3x.7 x C B. ln 4.ln 3.ln 7 C. 84 x  C D. 8 4 x ln 84  C e2 x1  2  3 ex dx là: 5 53 x1 2  3x 5 53 x1 2 3x e  e  C A. . B. e  e  C . 3 3 3 3 5 x 5 5 3 x1 2 3 5 3 x1 2  3x e  e  C C. . D. e  e  C . 3 3 3 3 1 Câu 120: Cho F  x là nguyên hàm của hàm số f  x   x và F  0    1 ln 4 . Tập nghiệm S của e 3  3  x phương trình 3F  x   ln e  3  2 là A. S  2 . B. S  2;2 . C. S  1;2 . D. S 2;1 . Câu 121: Hàm số F  x   1 e 3 x 1  9 x 2  24 x  17   C là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây. 27  f  x   x   2 x  1 e C. Câu 122: Cho hai hàm số F  x    x A. f  x   x  2 x  1 e3 x 1 . 2 2 3 x 1 2 .  ax  b  e x và nguyên hàm của hàm số f  x . A. a  1 , b   7 . B. a   1 , b   7 .   D. f  x    x  2 x  1 e . f  x     x  3x  6 e . Tìm a và b để F  x là một B. f  x   x 2  2 x  1 e3 x 1 . 3 x 1 2 2 C. a   1 , b  7 . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay x D. a  1 , b  7 . Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A  Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng    Câu 123: Cho F  x   ax 2  bx  c e2 x là một nguyên hàm của hàm số f  x   2018x 2  3x  1 e2 x trên khoảng  ;  . Tính T  a  2b  4c . A. T   3035 . B. T  1007 . C. T  5053 . D. T  1011 . 2 x Câu 124: Biết F  x   ax  bx  c e là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x 2  5x  2 e x trên  .    Tính giá trị của biểu thức f  F  0  . A.  e  1 . B. 20e 2 . C. 9e . DẠNG 7: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN BIẾT HÀM f   x  Câu 125: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f '( x )   D. 3e . 1 , f (1)  1. Tính f (5) 2x 1 1 B. f (5)  ln 3 . C. f (5)  ln 2 . D. f (5)  ln 3  1 . 2 Câu 126: Cho hàm số f  x  thỏa mãn đồng thời các điều kiện f   x   x  sin x và f  0   1 . Tìm f  x  . A. f (5)  2ln3 1. x2 x2  cos x  2 . B. f  x    cos x  2 . 2 2 2 x x2 1 C. f  x    cos x . D. f  x    cos x  . 2 2 2 Câu 127: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   3  5cos x và f  0   5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f  x   A. f  x   3 x  5sin x  2 . B. f  x   3 x  5sin x  5 . C. f  x   3 x  5sin x  5 . D. f  x   3 x  5sin x  5 .   Câu 128: Tìm hàm số y  f  x  biết f   x   x 2  x  x  1 và f  0   3 . x4 x2  3. 4 2 4 x x2 C. f  x     3 . 4 2 A. f  x   B. f  x   3 x 2  1 . D. f  x   x4 x2  3. 4 2 1 , f  0   2017 , f  2   2018 . x 1 Câu 129: Cho hàm số f  x  xác định trên  1 thỏa mãn f   x   Tính S  f  3  f  1 . A. S  4 . B. S  ln 2 . C. S  ln 4035 . D. S  1 . 3x 1 Câu 130: Cho hàm số f  x  xác định trên  2 thỏa mãn f   x   , f  0   1 và f  4   2 . Giá x2 trị của biểu thức f  2   f  3 bằng: A. 3  20ln 2 . B. ln 2 . C. 12 . D. 10  ln 2 . Câu 131: Cho hàm số f  x  xác định trên  1 thỏa mãn f   x   Giá trị f  3 bằng A. 2  ln 2 . B. 1  2ln 2 . 3 ; f  0   1 và f 1  f  2   2 . x 1 C. 1  ln 2 . Câu 132: Cho hàm số f  x  xác định trên  0 thỏa mãn1 f   x  x  D. 1. 2  1 x3 2 , f  1  1 và f 1  2 . Giá trị của biểu thức f  2   f  2  bằng ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng 27 3 15  4 ln 2 . B.  4ln 2 . C. 4 ln 2 . D.  4ln 2 4 4 4 Câu 133: Hàm số f  x  xác định, liên tục trên  và có đạo hàm là f   x   x  1 . Biết rằng f  0   3 . A. Tính f  2   f  4  ? A. 10 . B. 12 . C. 4 . D. 11 . 2 Câu 134: Biết hàm số y  f  x  có f   x   3 x  2 x  m  1 , f  2   1 và đồ thị của hàm số y  f  x  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 . Hàm số f  x  là A. x3  x 2  3x  5 . C. 2 x3  x 2  7 x  5 . D. x3  x 2  4 x  5 . 1 Câu 135: Cho hàm số f  x  xác định trên  2;1 thỏa mãn f   x   2 và f  3  f  3  0 . x  x2 Giá trị của biểu thức f  4   f  4  bằng A. 0 . B. x3  2 x 2  5 x  5 . 1 B.  ln 2 . 3 C. 1 ln 2 . 3 Câu 136: Cho hàm số f  x  xác định trên  1;1 và thỏa mãn f   x   D. 1 ln 5 . 3 1 . Biết rằng x 1 2  1 1 f  3  f  3  0 và f     f    2 . Tính T  f  2   f  0   f  4  .  2 2 9 6 1 9 1 6 A. T  1  ln . B. T  1  ln . C. T  1  ln . D. T  1  ln . 5 5 2 5 2 5 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN 2. Đổi biến dạng 1 Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x    t  . Trong đó   t  cùng với đạo hàm của nó (  '  t  là những hàm số liên tục) thì ta được :  f ( x)dx   f   t   '  t  dt   g (t )dt  G (t )  C . 2.1. Phương pháp chung  Bước 1: Chọn t=   x  . Trong đó   x  là hàm số mà ta chọn thích hợp .  Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt   '  t  dt .  Bước 3: Biểu thị : f ( x )dx  f   t    '  t  dt  g (t )dt .  Bước 4: Khi đó : I   f ( x)dx   g (t )dt  G (t )  C 2.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp : Dấu hiệu Hàm số mẫu số có  Hàm số : f x;   x  Hàm f  x   Hàm f  x    Cách chọn t là mẫu số t    x a.s inx+b.cosx c.s inx+d.cosx+e 1 x  x  t  tan ;  cos  0  2  2  Với : x  a  0 và x  b  0 . Đặt : t  x  a  x  b Với x  a  0 và x  b  0 . Đặt : t   x  a   x  b  x  a  x  b  1. Đổi biến dạng 2 Nếu :  f ( x)dx  F ( x)  C và với u    t  là hàm số có đạo hàm thì :  f (u )du  F ( (t ))  C 1.1. Phương pháp chung  Bước 1: Chọn x    t  , trong đó   t  là hàm số mà ta chọn thích hợp .  Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx   '  t  dt  Bước 3: Biến đổi : f ( x)dx  f   t    '  t  dt  g  t  dt  Bước 4: Khi đó tính :  f ( x)dx   g (t )dt  G (t )  C . 1.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp Dấu hiệu Cách chọn a2  x2    Đặt x  a sint ; với t    ;  . hoặc x  a cost ;  2 2 với t   0;   . Đặt x  x2  a2 2 a x 2 a a    . ; với t    ;  0 hoặc x  sint cost  2 2   với t   0;     . 2    Đặt x  a tant ; với t    ;  . hoặc x  a cot t  2 2 với t   0;   . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A a x . hoặc ax ax . a x Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng Đặt x  acos 2t Đặt x  a  (b – a)sin2t  x  a  b  x     Đặt x  atant ; với t    ;  .  2 2 1 a  x2 2 BÀI TẬP Câu 1. DẠNG 1: PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN 2x Cho hàm số f  x   2 . Khi đó: x 1 A.  f  x dx  2 ln 1  x 2   C . B.  f  x dx  3ln 1  x 2   C . C. Câu 2.  f  x dx  4 ln 1  x   C . 2 Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  D. 2 x là : x  4x  4 1 .ln x 2  4 x  4  C . 2 C. 2 ln x 2  4 x  4  C . Câu 4. B. ln x 2  4 x  4  C . D. 4 ln x 2  4 x  4  C . 3x2 Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  3 là: x 4 A. 3ln x 3  4  C B. 3ln x3  4  C C. ln x 3  4  C D.  ln x 3  4  C Tính F ( x)   x3 dx x4 1 1 B. F ( x )  ln x 4  1  C 4 1 D. F ( x )  ln x 4  1  C 3 A. F ( x )  ln x 4  1  C 1 C. F ( x )  ln x 4  1  C 2 Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  sin x là cos x  3 A.  ln cos x  3  C ln cos x  3 C 2 Nguyên hàm của hàm số: y  sin3 x.cosx là: 1 1 A. cos 4 x  C . B. sin 4 x  C . 4 4 2 Tính  cos x.sin x.dx C.  Câu 6. Câu 7. 3sin x  sin 3 x C 12 sin 3 x C C. 3 Họ nguyên hàm của hàm số f  x   tan x là: A. Câu 8. 2 2 A. Câu 3.  f  x dx  ln 1  x   C . A. ln cos x  C B. 2ln cos x  3  C D. 4ln cos x  3  C C. 1 3 sin x  C . 3 B. 3cos x  cos 3 x C 12 D.  cos 2 x  C . D. sinx .cos 2 x  C B.  ln cos x  C ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 22 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A tan 2 x C C. 2 Câu 9. D. ln  cos x   C Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  ex là: ex  3 A. e x  3  C C. 2 ln e x  3  C B. 3e x  9  C D. ln e x  3  C Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số 1 A. B. 2  C ln 2.2 x Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số 2 f ( x )  2 x 2 x là: 1 x2 .2  C ln 2 C. 2 1 2x 2 2 D. ln 2.2x  C C 2 ex B. C . 2 2 D. e x  C . 1 x2 e C. 2 1 2 D. e x 1  C . 2 B. 1 x2 1 e C . 2 Câu 13. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   ln x . x 2  1 2  f  x  dx  2 ln x  C . D.  f  x  dx  e  C  f  x  dx  ln x  C . C.  f  x  dx  ln x  C A. A. ln 2 f ( x)  2 xe x là: C . Câu 14. Nguyên hàm C. 2 e x C . A. 2 C. e x  C . 2 Câu 12. Tính  x.e x 1dx A. e x Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng B. x 1  ln x dx  x  0  bằng x 1 2 ln x  ln x  C . 2 B. x  ln 2 x  C . Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  1 2 2 ln ( x  1)  C 2 1 C. ln 2 ( x 2  1)  C 2 dx Câu 16. Tính  x.ln x A. ln x  C C. ln(lnx)  C  x. 1 D. x  ln 2 x  C . 2 2x ln( x 2  1) là: 2 x 1 B. ln( x2  1)  C A. Câu 17. Họ nguyên hàm C. ln 2 x  ln x  C . D. 1 2 2 ln ( x  1)  C 2 B. ln | x |  C D. ln | lnx |  C 3 x 2  1dx bằng 1 3 2 3 3 1 . ( x  1)  C. B. . 3 ( x 2  1)  C. C. . 3 ( x 2  1)4  C. D. . 3 ( x 2  1)4  C. 8 8 8 8 DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ A. Loại 1: Nếu  f  x  dx  F  x   C thì  f u  x   .u '  x  dx  F u  x    C . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I   f  x  dx , trong đó ta có thể phân tích f  x   g  u  x   u '  x  thì ta thực hiện phép đổi biến số t  u  x  , suy ra dt  u '  x  dx . Khi đó ta được nguyên hàm:  g  t  dt  G  t   C  G u  x   C. Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t  u  x  . HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC Câu 18. Cho  f ( x )dx  F ( x)  C. Khi đó với a  0, ta có 1 F (a x  b)  C 2a 1 C. F (a x  b)  C a Câu 19. Hàm số f ( x)  x(1  x)10 có nguyên hàm là: A. ( x  1)12 ( x  1)11  C . A. F ( x)  12 11 ( x  1)11 ( x  1)10  C . C. 11 10 dx Câu 20. Tính  thu được kết quả là: (1  x 2 ) x A. ln x  x 2  1  C . x C. ln 1  x2  f (a x  b)dx bằng: B. a.F (a x  b)  C D. F (a x  b)  C ( x  1)12 ( x  1)11  C. B. F ( x)  12 11 ( x  1)11 ( x  1)10  C . D. F ( x)  11 10 B. ln x 1  x 2  C . C . D. 1 x2 .ln C . 2 1  x2 3 Câu 21. Tính  x  x  1 dx là :  x  1 A. 5 5  x  1  4 C 4 B.  x  1 5 5  x  1  4 4 C x5 3x 4 x2 x5 3x 4 x2   x3   C   x3   C D. 5 4 2 5 4 2 5 Câu 22. Xét I   x 3  4 x 4  3  dx . Bằng cách đặt: u  4 x 4  3 , khẳng định nào sau đây đúng? C. 1 1 1 u 5du . B. I   u 5du . C. I   u 5 du . D. I   u 5 du .  16 12 4 6 8 7 Câu 23. Cho  2 x  3x  2  dx  A  3x  2   B  3x  2   C với A , B   và C   . Giá trị của biểu A. I  thức 12 A  7 B bằng 23 A. . 252 B. 241 . 252 x dx là: 1 A. ln t  C , với t  x 2  1 . Câu 24. Nguyên hàm của x C. 52 . 9 D. 7 . 9 2 B.  ln t  C , với t  x 2  1 . 1 1 ln t  C , với t  x 2  1 . D.  ln t  C , với t  x 2  1 . 2 2 HÀM CHỨA CĂN THỨC Câu 25. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  3 C. A. 2  f  x  dx  3 x 2x  3  C . B. 1  f  x  dx  3  2 x  3 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 2x  3  C . Trang 24 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A C. 2  f  x  dx  3  2 x  3 2x  3  C . Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng D.  f  x  dx  2x  3  C . Câu 26. Hàm số F  x  nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số y  3 x  1 ? A. F  x  C. F  x   4 3 x  1  3  C 8 . 3  x  1 3 x  1  C . 4 Câu 27. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   1 43 4  x  1  C . 3 3 3 D. F  x   4  x  1  C . 4 B. F  x   1 . 2 2x 1 A.  f  x dx  2 2x 1  C . B.  f  x dx  C.  f  x dx  2 2x 1  C . D.  f  x dx   2 x  1 2x 1  C . 1 Câu 28. Một nguyên hàm của hàm số: f ( x )  x 1  x 2 là: 3 1 1 A. F ( x)  1  x2 B. F ( x)  1  x2 3 3 2 x2 1 1  x2 C. F ( x)  D. F ( x)  1  x2 2 2       2x 1 C . 2   2 Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  2 x 1  x 2 là: 3 3 1 A. 1  x2   C B.  1  x 2   C  3 3 3 2 C. 2 1  x 2   C D.  1  x2   C  3 3 Câu 30. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  x 3x  1 là: 1 3 1 1 3 1 7 5 6 4 A. B.  3 x  1  3  3 x  1  C .  3x  1  3  3 x  1  C . 21 15 18 12 1 1 3 1 3 4 C. 3  3 x  1  3  3 x  1  C . D.  3 x  1  3  3 x  1  C . 9 12 3 Câu 31. Cho I   x3 x 2  5dx , đặt u  x 2  5 khi đó viết I theo u và du ta được A. I   (u 4  5u 2 )du. B. I   u 2 du. C. I   (u 4  5u 3 )du. D. I   (u 4  5u 3 )du. 4 Câu 32. Cho I   x 1  2 x dx và u  2 x  1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 3 A. I  1 2 2 x  x  1 dx . 2 1 5 3 3 B. I   u 2  u 2  1 du . 1 3 3 1u u  C. I     . 2  5 3 1 Câu 33. Khi tính nguyên hàm A.  2u  u 2  4 du . 5 Câu 34. Tính tích phân: I   1 D. I   1 2 2 u  u  1 du . 2 1 x3 dx , bằng cách đặt u  x  1 ta được nguyên hàm nào? x 1 B.   u 2  4 du . C.  2  u 2  4 du . D.   u 2  3du . dx được kết quả I  a ln 3  b ln 5 . Tổng a  b là x 3x  1 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 25 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng B. 3 . A. 2 . Câu 35. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   C. 1 . x D. 1 . 3 1  x2 là: 1 2 x  2  1  x2  C  3 1 C.  x 2  1 1  x 2  C 3 HÀM LƯỢNG GIÁC Một số dạng tích phân lượng giác 1 2 x  1 1  x 2  C  3 1 D.   x 2  2  1  x 2  C 3 B.  A. b  Nếu gặp I   f  sin x  .cos xdx ta đặt t  sin x . a b  Nếu gặp dạng I   f  cos x  .sin xdx ta đặt t  cos x . a b  Nếu gặp dạng I   f  tan x  dx ta đặt t  tan x . cos2 x  Nếu gặp dạng I   f  cot x  dx ta đặt t  cot x . sin 2 x a b a Câu 36. Theo phương pháp đổi biến số với t  cos x, u  sin x , nguyên hàm của I    tan x  cot x  dx là: A.  ln t  ln u  C . B. ln t  ln u  C . C. ln t  ln u  C . D.  ln t  ln u  C .   F  F  x f  x   sin x.cos x F  0   Câu 37. Biết là một nguyên hàm của hàm số và . Tính  2  .   F     1       1 A.  2  . B. F     . C. F       . D. F      . 4 2 2 2 4 sin 2 x Câu 38. Tìm nguyên hàm  dx . Kết quả là 1  sin 2 x 3 A. 1  sin 2 x C. 2 B. 1  sin 2 x  C . C.  1  sin 2 x  C . Câu 39. Theo phương pháp đổi biến số  x  t  , nguyên hàm của I   A. 2 3 t  C . B. 6 3 t  C . C. 3 3 t  C . HÀM MŨ –LÔGARIT 3 Câu 40. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 e x 1 1 1  A.   t 5  2t 3   dt  t 4  t 2  ln t  C . t 4  1 3 C.  f  x  dx  e x 1  C . 3 dx Câu 41. Tìm nguyên hàm I   . 1  ex A. I  x  ln 1  e x  C . B. D. D. 2 1  sin 2 x  C . 2sin x  2 cos x dx là: 3 1  sin 2 x D. 12 3 t  C . 3  f  x  dx  3e x 1  C .  f  x  dx  x3 x3 1 e C . 3 B. I  x  ln 1  e x  C . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 26 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A C. I   x  ln 1  e x  C . Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng D. I  x  ln 1  e x  C . Câu 42. Với phương pháp đổi biến số  x  t  , nguyên hàm  ln 2x dx bằng: x 1 2 t C. B. t 2  C . C. 2t 2  C . D. 4t 2  C . 2 Câu 43. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số y  2sin x.2cos x  cos x  sin x  ? A. sin x cos x C . A. y  2 Câu 44. Cho hàm số f ( x)  2 x 2sin x.2cos x 2sin x  cos x sin x cos x C . B. y  . C. y  ln 2.2 . D. y   ln 2 ln 2 ln 2 . Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x) ? x  A. F ( x)  2 x  C .  C. F ( x)  2 2 x B. F ( x)  2 2  1  C . Câu 45. Nguyên hàm của f  x    x 1  1  C . C . 1  ln x là x.ln x 1  ln x dx  ln ln x  C . x.ln x 1  ln x C.  dx  ln x  ln x  C . x.ln x A. D. F ( x )  2 x 1  ln x dx  ln x 2 .ln x  C . x.ln x 1  ln x D.  dx  ln x.ln x  C . x.ln x B.  ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 27 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn  a; b và có đạo hàm liên tục trên đoạn  a; b . Khi đó:  udv  uv   vdu. * Để tính nguyên hàm  f  x  dx bằng từng phần ta làm như sau: Bước 1. Chọn u , v sao cho f  x  dx  udv (chú ý dv  v '  x  dx ). Sau đó tính v   dv và du  u '.dx . Bước 2. Thay vào công thức * và tính  vdu . Chú ý. Cần phải lựa chọn và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân  vdu dễ tính hơn  udv . Ta thường gặp các dạng sau sin x  ● Dạng 1. I   P  x    dx , trong đó P  x  là đa thức. u  cos x  u  P  x   Với dạng này, ta đặt  sin x  . dv   cos x  dx    ax  b ● Dạng 2. I   P  x  e dx , trong đó P  x  là đa thức. u  P  x  Với dạng này, ta đặt  . ax  b dv  e dx ● Dạng 3. I   P  x  ln  mx  n  dx , trong đó P  x  là đa thức. u  ln  mx  n  Với dạng này, ta đặt  . dv  P  x  dx sin x  x ● Dạng 4. I     e dx .  cos x   sin x  u    Với dạng này, ta đặt   cos x  .  x  d v  e dx BÀI TẬP Câu 1: DẠNG 1. Nguyên hàm của hàm số f  x   x sin x là: A. F  x    x cos x  sin x  C . B. F  x   x cos x  sin x  C . C. F  x    x cos x  sin x  C . D. F  x   x cos x  sin x  C .  x cos 2 xdx  ax sin 2 x  b cos 2 x  C Câu 2: Biết Câu 3: 1 1 A. ab  . B. ab  . 8 4 2 Nguyên hàm của I   x sin xdx là: A. 1 2 x 2  x sin 2 x  cos 2 x   C .  8 với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? 1 C. ab   . 8 B. 1 D. ab   . 4 1 1 cos 2 x   x 2  x sin 2 x   C . 8 4 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 28 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A C. Câu 4: 1 2 1   x  cos 2 x  x sin 2 x   C . 4 2  1  2 x  cos 2 x  sin 2 x  C . 2 1  2 x  cos 2 x  sin 2 x  C C. I  . 4 Tìm nguyên hàm  sin x dx A.  sin xdx  1 cos x  C . 2 x C.  sin x dx  cos x  C . Câu 6: Câu 7: Câu 8: Câu 9: D. Đáp án A và C đúng. Tìm nguyên hàm I    x  1 sin 2 xdx A. I  Câu 5: Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng B. I   2  2 x  cos 2 x  sin 2 x  C . 2  2  2 x  cos 2 x  sin 2 x  C D. I  . 4 B.  sin x dx   cos x  C . D.  sin xdx  2 x cos x  2sin x  C . Nguyên hàm của I   x sin x cos 2 xdx là: 1 A. I1   x cos 3 x  t  t 3  C , t  sin x . 3 1 C. I1  x cos 3 x  t  t 3  C , t  sin x . 3 x Một nguyên hàm của f  x   là : cos 2 x A. x tan x  ln cos x 2 B. I1   x cos 3 x  t  t 3  C , t  sin x . 3 2 D. I1  x cos3 x  t  t 3  C , t  sin x . 3 C. x tan x  ln cos x D. x tan x  ln sin x Một nguyên hàm của f  x   B. x tan x  ln  cos x  x là : sin 2 x A. x cot x  ln sinx B.  x cot x  ln  sin x  C.  x tan x  ln cos x D. x tan x  ln sin x DẠNG 2. Họ nguyên hàm của  e x 1  x  dx là: B. I  e x  A. I  e x  xe x  C . 1 x xe  C . 2 1 C. I  e x  xe x  C . D. I  2e x  xe x  C . 2 Câu 10: Biết  xe 2 x dx  axe 2 x  be 2 x  C  a, b    . Tính tích ab . 1 1 1 1 A. ab   . B. ab  . C. ab   . D. ab  . 4 4 8 8 x x Câu 11: Biết F  x    ax  b  e là nguyên hàm của hàm số y   2 x  3 e .Khi đó a  b là A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. 1 Câu 12: Biết   x  3 .e 2 x dx   e 2 x  2 x  n   C , với m, n   . Tính S  m 2  n 2 . m A. S  10 . B. S  5 . C. S  65 . D. S  41 . x Câu 13: Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f  x    5 x  1 e và F  0   3 . Tính F 1 . A. F 1  11e  3 . B. F 1  e  3 . C. F 1  e  7 . D. F 1  e  2 . DẠNG 3. Câu 14: Kết quả của  ln xdx là: ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 29 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng A. x ln x  x  C C. x ln x  C Câu 15: Nguyên hàm của I   x ln xdx bằng với: B. Đáp án khác D. x ln x  x  C x2 x2 1 ln x   xdx  C . ln x   xdx  C . B. 2 2 2 1 C. x 2 ln x   xdx  C . D. x 2 ln x   xdx  C . 2 Câu 16: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x ln  x  2  . A. A.  C.  x2 x2  4x ln  x  2   C . 2 4 x2 x2  4x f  x  dx  ln  x  2   C . 2 2 f  x  dx  Câu 17: Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của g  x    ln 2 x  x ln 2 x  ln  1999 . x 1 x 1 ln x x  ln  2016 . C. x 1 x 1 B.  D.  x2  4 x2  4x ln  x  2   C . 2 4 x2  4 x2  4 x f  x  dx  ln  x  2   C . 2 2 f  x  dx  ln x  x  1 2 ?  ln x x  ln  1998 . x 1 x 1 ln x x  ln  2017 . D. x 1 x 1 A. B. Câu 18: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x ln x . 1 32 2 32 A.  f  x  dx  x  3ln x  2   C . B.  f  x  dx  x  3ln x  2   C . 9 3 3 2 2 3 C.  f  x  dx  x 2  3ln x  1  C . D.  f  x  dx  x 2  3ln x  2   C . 9 9 3 a b 1 Câu 19:  2 x x 2  1  x ln x dx có dạng x 2  1  x 2 ln x  x 2  C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. 3 6 4 Giá trị a bằng: A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. Không tồn tại. a 1  ln x Câu 20: Cho F  x    ln x  b  là một nguyên hàm của hàm số f  x   , trong đó a , b  . Tính x x2 S  a b. A. S  2 . B. S  1 . C. S  2 . D. S  0 . DẠNG 4: Câu 21: Phát biểu nào sau đây là đúng? A.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. . B.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. .    C.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. .  D.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. Câu 22: Tìm J   e x .sinxdx ? ex A. J   cos x  sin x   C . 2 ex C. J   sin x  cos x   C . 2 ex B. J   sin x  cos x   C . 2 ex D. J   sin x  cos x  1  C . 2 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 30 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b]. Hiệu số F (b )  F ( a ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f ( x), kí b hiệu là  f ( x)dx. a b b Ta dùng kí hiệu F ( x ) a  F (b)  F ( a ) để chỉ hiệu số F (b)  F ( a ) . Vậy  f ( x)dx  F ( x) b a  F (b)  F (a) . a b Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi b  f ( x)dx hay  f (t )dt. Tích phân đó chỉ a a phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số. b Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân  f ( x)dx a là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) , trục Ox và hai đường thẳng x  a, x  b. b Vậy S   f ( x )dx. a 2.Tính chất của tích phân a 1. b  f ( x)dx  0 2.  f ( x)dx    f ( x)dx a a b 3. a  a b c c b b f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x)dx ( a  b  c )4.  k . f ( x)dx  k . f ( x )dx (k  ) b b a a b a b 5.  [ f ( x)  g ( x )]dx   f ( x) dx   g ( x )dx . a a a B. BÀI TẬP DẠNG 1: ĐỊNH NGHĨA TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN Câu 1: Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục trên  a; b  và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? b A.  f  x  dx    f  x  dx . a b B. a b b  xf  x  dx  x  f  x  dx . a a a C.  kf  x  dx  0 . a b D. b   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . a Câu 2: b a a Khẳng định nào sau đây sai? b A. b b   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . a a a b B. b c  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . a ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay c a Trang 31 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A b C. Câu 3: a b  f  x  dx   f  x  dx . a Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng D. b b  f  x  dx   f  t  dt . a a Cho hai hàm số f  x  và g  x  liên tục trên K , a, b  K . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? b b b b b A.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . B.  kf  x  dx  k  f  x  dx . a a b C. a b  f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx . a Câu 4: a b a D. a  B. a a C.  f  x  dx  F  b   F  a  . a b b  f  x  dx  F  a   F  b  . D. a  f  x  dx  F  b   F  a  . a Cho f  x  là hàm số liên tục trên đoạn  a; b  và c   a; b  . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. c A. C. b a  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . b B. c b  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . a c b a a c b c c b a b  a f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx . a D. c  a f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx . c c Cho hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng K và a, b, c  K . Mệnh đề nào sau đây sai? b A.  a b C. c f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx . c b b B. a  a a b f  x  dx   f  t  dt . a a  f  x  dx    f  x  dx . a D. b  f  x  dx  0 . a Cho hàm số f  t  liên tục trên K và a, b  K , F  t  là một nguyên hàm của f  t  trên K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. b b A. F  a   F  b    f  t  dt . B. a b C.  a Câu 8:   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . b f  x  dx  f  b   f  a  . a Câu 7: b Cho hai số thực a , b tùy ý, F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên tập  . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Câu 6: b a b Câu 5: a b  f  t  dt  F  t  b a . a b   f  t  dt    f  t  dt  .  a b D.  a b f  x  d x   f  t  dt . a Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Mệnh đề nào dưới đây sai? b A.  f  x  dx   f  t  dt . a b B. b  a a a f  x  d x    f  x  dx . b b C.  kdx  k  a  b  , k   . a ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 32 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A b D. c b  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx , c   a; b  . a Câu 9: Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng a c Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ trên khoảng K . Khẳng định nào sau đây sai? a A. b  f  x  dx  1 . B. a  a  f  x  dx    f  x  dx . a c C. a b b b b f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx, c   a; b  . D. c a  a b f  x  dx   f  t  dt . a Câu 10: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b . Mệnh đề nào dưới đây sai? b A. a  f  x  dx   f  x  dx . a B. b b C. b b  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx , c   . a b c a c a  f  x  dx   f  t  dt .D.  f  x  dx  0 . a a a Câu 11: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  . Khi đó hiệu số F  0   F 1 bằng 1 A.  1 f  x  dx . 1 B.   F  x  dx . 0 0 a Câu 12: Cho hai tích phân C.   F  x  dx . 0 a  f  x  dx  m và a A. m  n . 1 D.   f  x  dx . 0 a  g  x  dx  n . Giá trị của tích phân   f  x   g  x  dx a B. n  m . C. m  n . D. Không thể xác định. b Câu 13: Tích phân  f  x dx được phân tích thành: a b A.  c a c b C.  c b f  x     f  x dx . B. a  c a f  x     f  x dx . c b f  x    f  x dx . a D.   f  x    f  x dx . c c c DẠNG 2: TÍCH PHÂN CƠ BẢN 2 Câu 14: Tích phân I   2 x.dx có giá trị là: 1 A. I = 1. B. I =2. C. I = 3. D. I = 4. C. I = 3. D. I = 4. C. I  2018.ln 2 . C. I  2018 . C. 2  ln 3 . D. 1  ln 3 . 1 Câu 15: Tích phân I   x 3  3x  2  dx có giá trị là: 1 A. I = 1. B. I = 2. 22018 Câu 16: Tính tích phân I   1 dx . x A. I  2018.ln 2  1 . B. I  22018 . 1  1   3 x  dx . Câu 17: Tính I     0  2x 1 B. 4  ln 3 . A. 2  ln 3 . 1 Câu 18: là: a Tính tích phân I   x 2018 1  x  dx 0 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 33 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A A. I  1 1  . 2018 2019 B. I  1 1  . 2020 2021 Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng C. I  1 1 1 1   . D. I  . 2019 2020 2017 2018 b Câu 19: Giá trị nào của b để   2 x  6  dx  0 ? 1 A. b  0 hoặc b  3 . B. b  0 hoặc b  1 C. b  5 hoặc b  0 . D. b  1 hoặc b  5 . a Câu 20: Có bao nhiêu giá trị thực của AD để có   2 x  5  dx  a  4 0 B. 0 . A. 1 . C. 2 . D. Vô số. 1 Câu 21: Tích phân I    ax 2  bx dx có giá trị là: 0 a b A. I   . 2 3 B. I  a b  . 3 3 C. I  a b  . 2 2 a b  . 3 2 D. I  2 Câu 22: Đặt I    2mx  1 dx ( m là tham số thực). Tìm m để I  4 . 1 A. m  1 . B. m  2 . C. m  1 . D.  1  Câu 23: Tích phân I    2  2 x dx có giá trị là:  2 x 1 1 3 1 5 1 A. I     a 2 . B. I     a 2 . C. I     a 2 . D. 2 a 2 a 2 a 2 3 x 2 khi 0  x  1 Câu 24: Cho hàm số y  f  x    . Tính tích phân  f  x  dx . 4  x khi 1  x  2 0 7 5 A. . B. 1 . C. . D. 2 2 2 3 x 2 khi 0  x  1 Câu 25: Cho hàm số y  f  x    . Tính  f  x dx . 4  x khi 1  x  2 0 m2. a A. 7 . 2 B. 1 . 3 Câu 26: Cho C. 5 . 2 D. 7 1 I     a2 . 2 a 3 . 2 3 . 2 2 3  f ( x)dx  a ,  f ( x)dx  b . Khi đó  f ( x)dx bằng: 0 0 2 A. a  b . B. b  a . C. a  b . D. a  b . 2 Câu 27: Cho a là số thực thỏa mãn a  2 và   2 x  1 dx  4 . Giá trị biểu thức 1  a 3 bằng. a A. 0 . B. 2 . Câu 28: Cho gá trị của tích phân I1  1  x 4  2 x3 dx  a , I 2  1 4 A. P   . 65 D. 3 . C. 1 . 1 12 B. P  . 65  x 2  3 x dx  b . Giá trị của 2 C. P   12 . 65 D. P  C. I   3 . 2 1 D. I   . 6 a là: b 4 . 65 2 Câu 29: Tích phân I   x 2  x dx có giá trị là: 1 3 A. I  . 2 B. I  1 . 6 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 34 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng 1 1  Câu 30: Tích phân I    2ax 3  dx có giá trị là: x 2  15a 15a  ln 2 .  ln 2 . A. I   B. I  16 16 1 C. I  15a  ln 2 . 16 D. I   15a  ln 2 . 16 2 Câu 31: Biết tích phân I1   2 xdx  a . Giá trị của I 2    x 2  2 x dx là: 0 A. I 2  17 . 3 a B. I 2  19 . 3 1 C. I 2  16 . 3 D. I 2  13 . 3 1  f  x  dx  3 . Tính tích phân I   2 f  x   1 dx . Câu 32: Cho 2 2 A. 9 . B. 3 . C. 3 . D. 5 . 3  f   x  dx bằng Câu 33: Cho hàm f  x  có đạo hàm liên tục trên  2;3 đồng thời f  2   2 , f  3   5 . Tính 2 A. 3 . B. 7 . C. 10 D. 3 . Câu 34: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  a ; b  và f  a   2 , f  b   4 . Tính b T   f   x  dx . a A. T  6 . B. T  2 . C. T  6 . D. T  2 . 1 Câu 35: Cho hàm số f  x  liên tục trên 0;1 và f 1  f  0   2 . Tính tích phân  f   x  dx . 0 A. I  1 . B. I  1 . C. I  2 . D. I  0 . 4 Câu 36: Cho hàm số y  f  x  thoả mãn điều kiện f 1  12 , f   x  liên tục trên  và  f   x  dx  17 . 1 Khi đó f  4  bằng A. 5 . B. 29 . C. 19 . D. 9 . Câu 37: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  1;3 và thỏa mãn f  1  4 ; f  3   7 . Giá trị 3 của I   5 f   x  dx bằng 1 A. I  20 . B. I  3 . C. I  10 . D. I  15 . 1 a b Câu 38: Cho hàm số f  x   2   2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện  f  x  dx  2  3ln 2 . Tính x x 1 2 T  a b. A. T  1 . B. T  2 . C. T  2 . D. T  0 . DẠNG 3: TÍCH PHÂN HỮU TỈ CƠ BẢN 1 x5 Câu 39: Biết  dx  a  ln b với a , b là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 x  2 1 3 8 7 9 3 . B. a  b  . C. ab  . D. a  b  . 81 24 8 10 2 2 x Câu 40: Biết  x  1 dx  a  ln b  a, b    . Gọi S  2a  b , giá trị của S thuộc khoảng nào sau đây ? 0 A. ab  A.  8;10  . B.  6;8  . C.  4; 6  . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D.  2; 4  . Trang 35 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng Câu 41: Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả như trên mà ta chỉ có thể dùng để kiểm tra 2  1  mà Tích phân I    2  2 x  dx có giá trị là:  1 x 5 7 9 11 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 2 2 2 a a x Câu 42: Tích phân I      dx ,với a  0 có giá trị là: a 1 x a2  1 a2  1 A. I  a ln a  . B. I  a ln a  . 2a 2a a2  1 a2 1 C. I  a ln a  . D. I  a ln a  . 2a 2a 2 b  Câu 43: Tích phân I    ax 2   dx có giá trị là: x 1 7 7 A. I  a  b ln 2 . B. I  3a  b ln 2 . C. I  a  b ln 2 . D. I  3a  b ln 2 . 3 3 1 x I  Câu 44: Giá trị của tích phân 0 x  1dx  a . Biểu thức P  2a  1 có giá trị là: A. P  1  ln 2 . B. P  2  2 ln 2 . C. P  1  2 ln 2 . D. P  2  ln 2 . e2  1  x  x2  Câu 45: Giá trị của tích phân I    dx  a . Biểu thức P  a  1 có giá trị là: x  e  1 1 1 1 A. P  e  e2  e4 . B. P  e  e2  e4 . 2 2 2 2 1 1 1 1 C. P  e  e 2  e 4 . D. P  e  e 2  e 4 . 2 2 2 2 1 dx Câu 46: Tính tích phân I   2 . 0 x 9 1 1 1 1 1 A. I  ln . B. I   ln . C. I  ln 2 . 6 2 6 2 6 2 x 1 dx  a ln 5  b ln 3; a, b   . Tính P  ab . Câu 47: Giả sử  2 x  4x  3 0 A. P  8 . Câu 48: Biết B. P  6 . C. P  4 . D. I  ln 6 2 . D. P  5 . x 1   x  1 2  x dx  a.ln x  1  b.ln x  2  C , a, b   . Tính giá trị của biểu thức a  b . A. a  b  1 . B. a  b  5 . C. a  b  1 . D. a  b  5 . 3 2 x  3x  2 Câu 49: Biết  2 dx  a ln 7  b ln 3  c với a , b , c   . Tính T  a  2b 2  3c3 . x  x  1 2 A. T  4 . B. T  6 . C. T  3 . D. T  5 . 0 2 3x  5 x  1 2 Câu 50: Giả sử I   dx  a.ln  b . Khi đó giá trị a  2b là: x2 3 1 A. 30. B. 40. C. 50. D. 60. 5 3 Câu 51: Biết rằng  2 dx  a ln 5  b ln 2  a , b    . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 x  3x A. a  2b  0 . B. 2a  b  0 . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 36 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng C. a  b  0 . D. a  b  0 . 3 x2 Câu 52: Nếu  2 dx  a ln 5  b ln 3  3ln 2  a , b    thì giá trị của P  2a  b là 2 x  3 x  1 2 15 15 A. P  1 . B. P  7 . C. P   . D. P  . 2 2 2 2 x dx  a  ln b với a , b  , b  0 . Hỏi giá trị 2a  b thuộc khoảng nào sau đây? Câu 53: Biết rằng  x  1 0 A.  8;10  . 4 Câu 54: Biết I   3 B.  6;8  . C.  4; 6  . D.  2; 4  . dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Tính S  a  b  c x x 2 A. S  6 . B. S  2 . C. S  2 . D. S  0 . dx 1 1 Câu 55: Biết  2   , với a , b là các số nguyên thuộc khoảng  7;3 thì a và b là nghiệm a b 1 4x  4x  1 của phương trình nào sau đây? A. 2 x2  x  1  0 . B. x2  4x  12  0 . C. x 2  5x  6  0 . D. x2  9  0 . 5 2 x  x 1 b dx  a  ln với a , b là các số nguyên. Tính S  a  2b . Câu 56: Biết  x 1 2 3 2 A. S  2 . 3 Câu 57: Biết B. S  5 . C. S  2 . D. S  10 . dx   x  2  x  4   a ln 2  b ln 5  c ln 7 ,  a, b, c    . Giá trị của biểu thức 2a  3b  c bằng 0 A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . 1 1   1  Câu 58: Cho    dx  a ln 2  b ln 3 với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x  1 x  2   0 A. a  b  2 . B. a  2b  0 . C. a  b  2 . D. a  2b  0 . 3 5 x  12 Câu 59: Biết  2 dx  a ln 2  b ln 5  c ln 6 . Tính S  3a  2b  c . x  5 x  6 2 A. 3 . B. 14 . C. 2 . D. 11 . DẠNG 4: TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ CƠ BẢN 2 Câu 60: Tính tích phân I   4 x  1 dx . 0 A. 13 . B. 1  13 . 3 C. 4 . a 3  b 2 . Giá trị của a  b là: 6 4 B. – 2. C. – 3. D. 4 . 3  Câu 61: Biết rằng I1   x  x  1 dx  0 A. – 1. 2 Câu 62: Tích phân I   0 D. – 4. 1 dx bằng 2 x2 1 1 . B. I  2 2 . C. I  2  . 2 2 1 dx 8 2 a b a  ,  a, b   *  . Tính a  2b . Câu 63: Cho  3 3 x  2  x 1 0 A. a  2b  7 . B. a  2b  8 . C. a  2b  1. A. I  1  ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. I  2  2 . D. a  2b  5 . Trang 37 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A 1 Câu 64: Biết tích phân Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng x ab 3 dx  với a , b là các số thực. Tính tổng T  a  b . 9 3x  1  2 x  1 B. T  4 . C. T  15 . D. T  8 .  0 A. T  10 . a Câu 65: Tích phân I   x x  1dx có giá trị là: 0 A. I  C. I  2  a  1 5  5 2  a  1 5 5 1 Câu 66: Tích phân I   2  a  1 3 3 2  a  1 3 3 4  . 15 4  . 15 B. I  D. I  5  a  1 2  5  a  1 2 5 5  2  a  1 3 3 2  a  1  4 . 15  4 . 15 3 3 x dx có giá trị là: x  1 1  1 4 2 4 2 4 2  2. 2. 1 . B. I  C. I  3 3 3 DẠNG 5: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A. I  D. I  4 2 1 . 3  Câu 67: Tính tích phân  sin 3 xdx . 0 1 A.  . 3 B. 1 . 3 2 C.  . 3 D. 2 . 3 C. I  0 . D. I  1 .  2   Câu 68: Tính tích phân I   sin   x  dx . 4  0  A. I  . B. I  1 . 4  3 Câu 69: Tích phân I    4 A. cot dx bằng? sin 2 x    cot . 3 4 B. cot    cot . 3 4 C.  cot    cot . 3 4 D.  cot    cot . 3 4  2 Câu 70: Biết  cos xdx  a  b 3 , với a , b là các số hữu tỉ. Tính T  2a  6b .  3 A. T  3 . B. T  1 C. T  4 . D. T  2 . C. I  1 . D. Cả A, B, C đều sai.  2 Câu 71: Tích phân I   sin xdx có giá trị là: 0 B. I  0 . A. I  1 . b Câu 72: Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng  ;3  sao cho  4 cos 2 xdx  1 ?  A. 8 . B. 2 . C. 4 . D. 6 .  2 Câu 73: Tích phân I    sin x  cos x  dx có giá trị là:   2 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 38 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A A. I  1 . Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng B. I  2 . C. I  2 . D. I  1 .  6 Câu 74: Tích phân I    sin 2 x  cos 3x  dx có giá trị là:  2  A. I  2 . 3 B. I  3 . 4 C. I   3 . 4 D. I   2 . 3  2 Câu 75: Kết quả của tích phân   2 x 1  sin x  dx được viết ở dạng a , b  . Khẳng định nào sau đây là 0 sai? A. a  2b  8 . B. a  b  5 .  2 Câu 76: Cho tích phân C. 2a  3b  2 .  D. a  b  2 . 1   4 x  1  cos x  dx    a  b   c ,  a, b, c    . Tính a  b  c 0  6 Câu 77: Biết C. 2 . B. 1 . A. 3   3  4 sin x  dx  2 0 A. 8 . D. 1 . 3 a c 3 a , trong đó a , b nguyên dương và tối giản. Tính a  b  c .  b b 6 B. 16 . C. 12 . D. 14 .  3 Câu 78: Cho giá trị của tích phân I1   3   sin 2 x  cos x  dx  a , I 2    2   cos 2 x  sin x  dx  b . Giá trị của a   3 + b là: A. P  3  3. 4 B. P  3 3  . 4 2 C. P  3  3. 4 D. P  3 3  . 4 2  2 Câu 79: Tích phân I    sin ax  cos ax  dx , với a  0 có giá trị là:   2 A. I  2 a         sin  a 2  4   sin  a 2  4   .      B. I  2 a         sin  a 2  4   sin  a 2  4   .      C. I  2 a         sin  a 2  4   sin   a 2  4   .      D. I  2         sin  a    sin  a    .  a   2 4  2 4   Câu 80: Cho hàm số f  x   a sin 2 x  b cos 2 x thỏa mãn f '    2 và 2 A. 3. B. 4. C. 5. b  adx  3 . Tính tổng a  b bằng: a D. 8. 0 Câu 81: Cho tích phân  cos 2 x cos 4 xdx  a  b  3 , trong đó a , b là các hằng số hữu tỉ. Tính e a  log 2 b  3 . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 39 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A B. 3 . A. 2 . Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng C. 1 . 8 D. 0 .  2 Câu 82: Tích phân I    cos x  1 cos 2 xdx có giá trị là: 0  1 A. I   . 4 3 B. I    2  . 4 3 C. I   1  . 4 3  3 D. I    2  . 4 3  Câu 83: Cho I    sin 3x  cos 2 x  dx   a cos 3 x  bx sin  c sin 2 x  06 . Giá trị của 3a  2b  4c là: 0 A. – 1. B. 1. C. – 2. DẠNG 6: TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LÔGARIT CƠ BẢN D. 2. 1 Câu 84: Tích phân  e  x dx bằng 0 A. e  1 . B. 1 1 . e C. e 1 . e D. 1 . e 2018 Câu 85: Tích phân I   2 x dx bằng 0 22018  1 22018 . C. . D. 22018 . ln 2 ln 2 4 0 4 1 1 Câu 86: Biết  f ( x)dx  và.  f ( x)dx  . Tính tích phân I    4e 2 x  2 f ( x )  dx . 2 2 1 1 0 A. 22018  1 . B. A. I  2e8 . B. I  4e8  2 . C. I  4e8 . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. I  2e8  4 . Trang 40 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 y  f  x Cho hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u  u ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và   u ( x )   . Giả sử có thể viết f ( x)  g (u ( x ))u '( x), x [a;b], với g liên tục trên đoạn [ ;  ]. Khi đó, ta có u (b ) b I   f ( x ) dx  a  g (u ) du. u (a) Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân Dấu hiệu Có thể đặt Có 1 t f ( x) Ví dụ I  f ( x) 3 0 3 x dx x 1 . Đặt t  x  1 1 2 Có (ax  b)n t  ax  b I   x ( x  1) 2016 dx . Đặt t  x  1 3 Có a f ( x ) t  f ( x) I 4 0  4 Có dx và ln x x e tan x3 dx . Đặt t  tan x  3 0 cos2 x e ln xdx I  . Đặt t  ln x  1 1 x(ln x  1) t  ln x hoặc biểu thức chứa ln x 5 Có e x dx t  e x hoặc biểu thức chứa e x 6 Có sin xdx t  cos x I  ln 2 2 x e 0 x 3e x  1dx . Đặt t  3e  1  I   2 sin 3 x cos xdx . Đặt t  sin x 0 7 Có cos xdx t  sin xdx 8 dx Có cos 2 x t  tan x 9 Có dx sin 2 x t  cot x I   0 sin 3 x dx Đặt t  2cos x  1 2cos x  1  4 0  1 1 4 (1  tan 2 x) dx  dx  4 0 cos x cos2 x Đặt t  tan x  cot x e ecot x I  4 dx   dx . Đặt t  cot x 2 1  cos 2 x 2sin x 6 I  BÀI TẬP Câu 1: y  f  x a, b u  u  x a, b Cho hàm số liên tục trên   . Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên   u  x    ,   x   a, b f u  ,  và , hơn nữa liên tục trên đoạn  . Mệnh đề nào sau đây là đúng? x  a b A.  f u  x   u  x  dx   f  u  du . a  B. ub  f u  x  u   x  dx   b f u  x  u   x  dx   f  u  du . b f  u  du . u a  a  u a  a b C. ub b D.  a b f u  x   u   x  dx   f  x  du . a a HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ 3 1000 Câu 2: Tính tích phân I   x  x  1 dx. 1 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 41 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Câu 3: Câu 4: Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng 2003.21002 1502.21001 3005.21002 2003.21001 . . . . A. I  B. I  C. I  D. I  1003002 501501 1003002 501501 2 x Tích phân  2 dx bằng x 3 0 1 7 7 1 7 1 3 A. log . B. ln . C. ln . D. ln . 2 3 3 2 3 2 7 1 5 x dx Tích phân I   được kết quả I  a ln 2  b . Giá trị a+b là: 3 2 0 1  x  A. 3 16 B. 13 16 C. 14 17 4 17 D. 1 x2 1 0 x3  1 dx  3 ln a ,a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. 0 ax Câu 6: Tích phân I   2 dx ,với a  2 có giá trị là: 1 ax  2 ln 2  ln a  2 ln 2  ln a  2 A. I  . B. I  . 2 2  ln 2  ln a  2  ln 2  ln a  2 C. I  . D. I  . 2 2 HÀM VÔ TỈ Câu 5: Cho 1 Câu 7: Cho tích phân  3 1  x dx , với cách đặt t  3 1 x thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào 0 sau đây? 1 1 B.  t 3 dt . A. 3 tdt . 0 1 1 C. 3  t 2 d t . D. 3  t 3 d t . 0 0 0 2 Câu 8: Trong các tích phân sau, tích phân nào có cùng giá trị với I   x 1 2 x  1dx 4 3 3 1 2 2 2 t t  1 dt . B. C. . D. t t  1 dt t  1 t dt x 2  1 x 2 dx .     1 1 0 1 2 3 2 x Nếu  dx   f (t )dt , với t  1 x thì f (t ) là hàm số nào trong các hàm số dưới 0 1 1 x 1  A. Câu 9: 3 đây ? A. f (t )  2t 2  2t 1 Câu 10: Tích phân  0 4 A. . 3 B. f (t )  t 2  t  C. f (t )  t 2  t   D. f (t )  2t 2  2t dx bằng 3x  1 B. 3 . 2 C. 1 . 3 D. 2 . 3 4 1 dx  a  b ln 2 với a, b là số nguyên. Tính S  a  b . 2x  1  5 0 A. S  3. B. S  3. C. S  5. D. S  7. 4 dx 2 Câu 12: Cho tích phân I    a  b ln với a, b   . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 2x 1 0 3 A. a  b  3 . B. a  b  5 . C. a  b  5 . D. a  b  3 . Câu 11: Biết I   ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 42 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A 3 Câu 13: Biết 2 a  b , với a, b là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây đúng. 3 B. a  b . C. a  b . D. a  3b .  x 2  1dx  x 1 A. a  2b . 1 x Câu 14: Cho I    dx  a 2  b . Giá trịa.b là: 2 x 1 0 A. – 1. B. – 2. 2 Câu 15: Với a, b, c  R . Đặt I   1 C. 1. 7 Câu 16: Giá trị của I   x3dx 3 0 1  x2 D. 2. 2 4 x b dx  a  ln . Giá trị của tính abc là : x c B. 2 3 3 A. Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng D.  3 C. 2 3 được viết dưới dạng phân số tối giản a ( a , b là các số nguyên b dương). Khi đó giá trị của a  7b bằng A. 2 . Câu 17: Cho biết  0 x 3 3 dx  1  x2 A. 0 . HÀM LƯỢNG GIÁC D. 1. C. 0 . B. 1 . 7 m m với là một phân số tối giản. Tính m  7 n . n n B. 1 . C. 2 . D. 91 . Câu 18: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau 1 1 1 A.  sin 1  x  dx   sin xdx . 0 1 B.  cos 1  x  dx    cos xdx . 0 0 0  2   2  x C.  cos dx   cos xdx . 2 0 0 x D.  sin dx   sin xdx . 2 0 0 π 3 sin x dx . cos 3 x 0 Câu 19: Tính tích phân I   A. I  5 . 2 B. I   3 3 . 2 C. I  π 9 .  3 20 D. I  9 . 4 b 8 Câu 20: Cho I   sin 2 x tan xdx  ln a  . Chọn mệnh đề đúng: 0 A. a  b  4 B. a  b  2 D. a b  4 C. ab  6  a cos 2x 1 dx  ln 3 . Tìm giá trị của a là: 1  2 sin 2x 4 0 B. 2 C. 4 Câu 21: Cho I   A. 3  4 1 Câu 22: Biết I1   1  tan x  dx  a và I 2   2 0 0 D. 6 1  1  3  x  x dx   bx  cx 3  , a và b là các số hữu tỉ. Giá  0 2  trị của a + b + c là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.  3 sin 2 x dx có giá trị là: cos x  cos 3 x 0 Câu 23: Tích phân I   ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 43 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng 1  2 2 2 1   ln  ln . 2 2 22 2  1  1  2 2 2 1  C. I   ln  ln . 2 2 22 2  1  1  2 2 2 1   ln  ln . 2 2 22 2  1  1  22 2 1  D. I   ln  ln . 2 2 2 2 2  1  A. I   2 Câu 24: Xét tích phân I  sin 2 x d x . Nếu đặt 1  cos x  0 1 t  1cos x , khẳng định nào dưới đây là đúng? 1 4t 3  4t  t dt . 2 A. I  B. I  B. I   4t 3  4t  t dt . 2 2 2 C. I  4   t 2  1 d t . D. I   4   t 2  1  d t . 1 1 Câu 25: Cho f là hàm số liên tục thỏa  f  x  dx  7 . Tính I   cos x. f  sin x  dx . 0 0 B. 9 . A. 1 . C. 3 . D. 7 . 2 3 1 Câu 26: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và  f  x  dx  12 ,  f  2cos x  sin xdx bằng  3 1 A. 12 . HÀM MŨ – LÔGARIT 1 2 Câu 27: Cho I   xe1 x dx . Biết rằng I  0 ae  b . Khi đó, a  b bằng 2 B. 0 . 2 f  x   sin 2 x.esin x Câu 28: Nguyên hàm của D. 6 . C. 6 . B. 12 . A. 1 . 1  2 C. 2 . D. 4 . là sin 2 x 1 2 e esin x 1 sin 2 x A. sin x.e C . B. C. C. e C . D. C . sin 2 x  1 sin 2 x  1 1 a b b c Câu 29: Biết rằng  3e 13 x dx  e2  e  c  a, b, c   . Tính T  a   . 5 3 2 3 0 A. T  6 . B. T  9 . C. T  10 . D. T  5 . 2 sin 2 x 1 ln12 Câu 30: Tích phân I  e x  4dx có giá trị là:  ln 5 A. I  2  ln 3  ln 5 . C. I  2  2 ln 3  ln 5 . ln 6 Câu 31: Biết tích phân  1 0 T  abc. A. T  1 . B. I  2  2ln 3  2ln 5 . D. I  2  ln 3  2ln 5 . ex dx  a  b ln 2  c ln 3 , với a , b , c là các số nguyên. Tính x e 3 B. T  0 . Câu 32: Với cách đổi biến u  1  3ln x thì tích phân C. T  2 . e ln x x 1 2 2 2 A.   u 2  1 du . 31 2 B.   u 2  1 du . 91 e Câu 33: Tính tích phân I   1 D. T  1 . 1  3ln x dx trở thành 2 2   C. 2 u 2  1 du . 1 D. 2 u 2 1 du . 9 1 u 1  3ln x dx bằng cách đặt t  1  3ln x , mệnh đề nào dưới đây sai? x ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 44 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A 2 2 2 A. I  t 3 . 9 1 2 B. I   tdt . 31 Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng 2 2 C. I   t 2dt . 31 D. I  C. I  e . D. I  2e . 14 . 9 e Câu 34: Tích phân I   x  ln 2 x  ln x  dx có giá trị là: 1 A. I  2e . B. I  e . e 2 Câu 35: Tích phân I   1 2 ln x ln x  1 dx có gái trị là: x 4 2 2 4 22 2 2 2 2 22 . B. I  . C. I  . D. I  . 3 3 3 3 e 3  ln x a b c dx  Câu 36: Biết  , trong đó a , b , c là các số nguyên dương và c  4 . Tính giá trị x 3 1 S  abc. A. S  13 . B. S  28 . C. S  25 . D. S  16 . A. I  PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x   (t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ ;  ](*) sao cho  ( )  a, (  )  b và a   (t )  b với mọi t [ ;  ]. Khi đó:  b  f ( x)dx   f ( (t )) '(t )dt.  a Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng    a 2  x 2 : đặt 2 2 x  a : đặt x | a | sin t ; t    ;   2 2 x |a|    ; t    ;  {0} sin t  2 2    x | a | tan t; t    ;  x a :  2 2 ax ax a  x hoặc a  x : đặt x  a.cos 2t 2 2 Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích 3 phân I  x 2 dx  x2  1 0 thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân I   0 3 x3 dx x2  1 thì nên đổi biến dạng 1. 1 Câu 37: Biết rằng  4  x 2 dx  1 A. 2. B. 1 . 1 2 Câu 38: Cho tích phân I   0 1 A. . 2 2  a . Khi đó a bằng: 3 1 1  x2 B. C. 3. D. 2 . dx  a ,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: 1 . 3 C. 1 . 4 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 1 . 6 Trang 45 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A 3 Câu 39: Giá trị của  0 Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng a a 9  x 2 dx   trong đó a, b   và là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu b b thức T  ab . A. T  35 . B. T  24 . C. T  12 . 1 Câu 40: Đổi biến x  2sin t thì tích phân  0  6 A. dx 4  x2 trở thành  3  tdt .  6 dt C.  . t 0 B.  tdt . 0 0 a b Câu 41: Biết rằng  4 1 x2  6x  5 a  b bằng A. 5 . dx  D. T  36 .  6 D.  dt . 0  trong đó a , b là các số nguyên dương và 4  a  b  5 . Tổng 6 B. 7 . D. 6 . C. 4 . 3 Câu 42: Tích phân I    x  1 3  x dx có giá trị là: 5 2 A. I   3  . 6 4 B. I  1 Câu 43: Tích phân I   0 A. I   . 2  3  . 3 8 B. I   . 3 0 0 D. I   3  . 3 8 C. I   . 4 D. I   . 6 1 dx có giá trị là: x 1 1 A. I   3dt .  3  . 6 8 2 Câu 44: Khi đổi biến x  3 tan t , tích phân I    3 C. I   6 B. I   0 3 dt 3 dx trở thành tích phân nào? x 3 2  6 C. I   3tdt . 0 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  6 1 D. I   dt . t 0 Trang 46 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Định lí Nếu u  x  và v  x  là các hàm số có đạo hàm liên tục trên  a; b thì: b b b ' u ( x ) v ( x ) dx  u ( x ) v ( x )     v( x)u ' ( x)dx a a a b Hay  udv  uv a b b  vdu a a 2. Phương pháp chung  Bước 1: Viết f  x  dx dưới dạng udv  uv ' dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f  x  làm u  x  và phần còn lại dv  v '( x )dx  Bước 2: Tính du  u ' dx và v   dv   v '( x)dx b  Bước 3: Tính và uv  vu '( x)dx a b a * Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần. b b b Đặt u theo thứ tự ưu tiên: x  P( x)e dx  P( x) ln xdx  P( x) cos xdx Lốc-đa-mũ-lượng a a a u P(x) lnx P(x) dv e x dx P(x)dx cosxdx b e x cos xdx a ex cosxdx Chú ý: Nên chọn u là phần của f  x  mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv  v ' dx là phần của f  x  dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm. BÀI TẬP DẠNG 1:  2 Câu 1: Tích phân I   x sin axdx, a  0 có giá trị là:  3 A. I    63 3 . 6a B. I   33 3 . 6a C. I   63 3 . 6a D. I   33 3 . 6a  4 Câu 2: Biết  1  x  cos 2 xdx  1   ( a, b là các số nguyên khác 0). Tính giá trị ab . a 0 A. ab  32 . b B. ab  2 . C. ab  4 . D. ab  12 . 2 u  x Tính tích phân I   x 2 cos 2 xdx bằng cách đặt  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? dv  cos 2 xdx 0 π Câu 3: π A. I  1 2 x sin 2 x π0   x sin 2 xdx . 2 0 C. I  1 2 x sin 2 x π0  2 x sin 2 xdx . 2 0 π B. I  1 2 x sin 2 x π0  2  x sin 2 xdx . 2 0 D. I  1 2 x sin 2 x π0   x sin 2 xdx . 2 0 π  2 π  2 Câu 4: Biết I   x cos 2 xdx  a 3  b  sin 2 xdx , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của  6  6 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay a là: b Trang 47 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A A. 1 . 12 B. 1 Câu 5: C.  1 . 12 D.  1 . 24 1 4 B. a  2b  c  0 . Biết rằng  x cos 2 xdx  (a sin 2  b cos 2  c) với a, b, c   . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 0 A. 2a  b  c  1 . Câu 6: 1 . 24 Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng C. a  b  c  0 . D. a  b  c  1 . ( x  2) cos3x  b sin 3x  C . Tính M  a  27b . Chọn Tính nguyên hàm I   ( x  2)sin 3xdx   a đáp án đúng: A. 6 B. 14 C. 34 D. 22  Câu 7: Tính tích phân  x  x  sin x  dx  a 3  b . Tính tích ab: 0 A. 3 B. 1 3 C. 6 D. 2 3 D. 1 2   . 4  Câu 8: Tích phân   3x  2  cos 2 x dx bằng 0 3 A.  2   . 4 B. 3 2   . 4 C. 1 2   . 4  Câu 9: Tính  x 1  cos x  dx . Kết quả là 0 2 2  3. B. 3  2. A. 2  3 Câu 10: Tính tích phân x  cos 2 0 A. 0 x Câu 11: Cho I   x tan 2 xdx  0 A. 4 2 2. D. 2 dx  a  b . Phần nguyên của tổng a  b là ? B. -1 x 4 2 3. C. 3 C. 1  2  ln b  khi đó tổng a  b bằng a 32 B. 8 C. 10 D. -2 D. 6  2 Câu 12: Tính   x  sin x  cos xdx . Kết quả là 2 0 A.  2  . 2 3 B. 2 Câu 13: Cho tích phân I   0 Chọn đáp án đúng: A. 7  2  . 2 3 C.  2  . 3 3 D.  2  . 2 3 x .sin xdx  a 2  b . Tính A  a  b B. 10 C. 6 D. 2 C. 2. D. e. DẠNG 2: a Câu 14: Cho  xe dx  1  a    . Tìm x a? 0 B. 1 . A. 0. 1 Câu 15: Cho I   xe 2 x dx  ae 2  b ( a, b là các số hữu tỷ). Khi đó tổng a  b là 0 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 48 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A A. 0 . B. 1 . 4 Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng C. 1 . D. 1 . 2 1 x   2 x  1 e dx  a  b.e , tích ab Câu 16: Biết rằng tích phân bằng: 0 A. 1 . B. 1 . a C.  15 . D. 20 . x 2 Câu 17: Tìm a sao cho I   x.e dx  4 , chọn đáp án đúng 0 A. 1 B. 0 C. 4 D. 2 1 Câu 18: Cho tích phân I    x  1  e x  3 dx . Kết quả tích phân này dạng I  e  a . Đáp án nào sau 0 đây đúng? A. a  9 2 B. a  9 4 C. a  9 5 D. a  8 3 1 Câu 19: Tìm m để x   mx  1 e dx  e ? 0 A. 0 B. -1 C. 1 2 D. 1 DẠNG 3. e Câu 20: Cho I   x ln xdx  1 A. 5 . a.e 2  b với a , b , c   . Tính T  a  b  c . c B. 3 . C. 4 . D. 6 . 1 Câu 21: Kết quả của phép tính tích phân  ln  2 x  1 dx được biểu diễn dạng a.ln 3  b , khi đó giá trị 0 3 của tích ab bằng A. 3. B. 3 . 2 3 D.  . 2 C. 1. 2 Câu 22: Biết tích phân   4 x  1 ln xdx  a ln 2  b với a , b  Z . Tổng 2a  b bằng 1 A. 5. C. A 1;  2;1 B. 8. 2  D. 13.  2 Câu 23: Tính tích phân I  1 x 1 ln x dx . A. I  2 ln 2  6 . 9 Câu 24: Kết quả tích phân A. 3 B. I  6 ln 2  2 . 9 C. I  2 ln 2  6 . 9 D. I  6 ln 2  2 . 9 2   2 x  ln  x  1 dx  3ln 3  b . Giá trị 3  b là: 0 B. 4 C. 5 D. 7 e ln x dx  a e  b với a, b   . Tính P  a.b . x 1 A. P  4 . B. P  8 . C. P   4 . D. P  8 . 1 7 Câu 26: Cho biết tích phân I    x  2  ln  x  1 dx  a ln 2  trong đó a , b là các số nguyên dương. b 0 Câu 25: Biết  Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. a  b . B. a  b . C. a  b . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. a  b  3 . Trang 49 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A e Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng 1 Câu 27: Cho tích phân I    x   ln xdx  ae 2  b , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a  3b là: x 1 A. 13 . 2   13 B. . 4 C.  13 . 4 D.  13 2 2 Câu 28: Giả sử A. 3 . 4ln x  1 dx  a ln 2 2  b ln 2 , với a , b là các số hữu tỷ. Khi đó tổng 4a  b bằng. x 1 B. 5 C. 7 . D. 9 .  ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 50 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH 1. Diện tích hình phẳng a)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn a; b , trục hoành và hai b đường thẳng x  a , x  b được xác định: S  f ( x) dx a y y  f (x) O a c1 c3 c2 y  f ( x)  y  0 (H )  x  a  x  b b x b S   f ( x ) dx a b)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) liên tục trên đoạn a; b và hai b đường thẳng x  a , x  b được xác định: S  f ( x )  g ( x) dx a y  (C 1 ) : y  f1 ( x )   (C ) : y  f 2 ( x ) (H )  2 x  a x  b  (C 1 ) (C 2 ) b O a c2 c1 x b S  f 1 ( x )  f 2 ( x ) dx a Chú ý: b b - Nếu trên đoạn [a; b ] , hàm số f ( x ) không đổi dấu thì:  f ( x) dx  f ( x)dx a a - Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g ( y ) , x  h( y ) và hai đường thẳng y  c , y  d d được xác định: S  g ( y )  h( y) dy c DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ PHƯƠNG PHÁP: Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các b đường y  f ( x ), y  g ( x ), x  a, x  b là S  f ( x)  g ( x) dx . a Phương pháp giải toán +) Giải phương trình f ( x )  g ( x) (1) b +) Nếu (1) vô nghiệm thì S   f ( x)  g ( x) dx . a  b +) Nếu (1) có nghiệm thuộc. a; b . giả sử  thì S   f ( x)  g ( x) dx  f ( x)  g ( x) dx a  Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f ( x )  g ( x ) trên đoạn a; b rồi dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân. ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 51 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các  đường y  f ( x ), y  g ( x) là S  f ( x )  g ( x) dx . Trong đó  ,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của  phương trình f ( x)  g ( x) a      b . Phương pháp giải toán Bước 1. Giải phương trình f ( x)  g ( x) tìm các giá trị  ,  .  Bước 2. Tính S  f ( x )  g ( x) dx như trường hợp 1.  BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI ĐỒ THỊ HÀM SỐ y  f ( x ) , TRỤC HOÀNH VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG x  a , x  b  a  b  Câu 1: Viết công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox và các đường thẳng x  a, x  b  a  b  . b A. b  f  x  dx . B. a b 2  f  x  dx . C. a b  f  x  dx . D.   f  x  dx . a a Câu 2: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng được đánh dấu trong hình vẽ bên có diện tích là y y  f  x a b A. c b b c x O c  f  x  dx   f  x  dx . B.  f  x  dx   f  x  dx . a b b a b c b C.   f  x  dx   f  x  dx . a D. b b  f  x  dx   f  x  dx . a c Câu 3: Cho hàm số f  x  liên tục trên  , có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số f  x  , trục hoành và trục tung. Khẳng định nào sau đây đúng? y c d x O y  f  x d 0 d A. S   f  x  dx   f  x  dx . c B. S    f  x  dx   f  x  dx . d d c 0 C. S    f  x  dx   f  x  dx . c 0 d d d 0 D. S   f  x  dx   f  x  dx . c ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay d Trang 52 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng Câu 4: Diện tích của hình phẳng  H  được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  (phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức: b c A. S   f  x  dx . a a c c b C. S  b B. S    f  x  dx   f  x  dx . b D. S   f  x  dx   f  x  dx .  f  x  dx . a a c Câu 5: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có đồ thị  C  là đường cong như hình bên. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  , trục hoành và hai đường thẳng x  0 , x  2 (phần tô đen) là y 3 O x 2 1 2 2 2 1 2 B.  f  x  dx   f  x  dx .  f  x  dx . C.  f  x  dx   f  x  dx . D.  f  x  dx . A. 0 0 1 1 2 0 2 1 0 Câu 6: Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính S là y y  f  x 1 1 O 2 C. S   f  x  dx . 1 2 1 A. S   f  x  dx   f  x  dx . 1 2 1 x 2 B. S   f  x  dx   f  x  dx . 1 1 1 2 D. S    f  x  dx . 1 Câu 7: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3  3x 2 , trục hoành và hai đường thẳng x  1 , x  4 là 53 51 49 25 A. B. C. D. 4 4 4 2 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 53 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng x 1 , trục hoành và đường thẳng x  2 là x2 A. 3  2ln 2 B. 3  ln 2 C. 3  2 ln 2 D. 3  ln 2 Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos x , trục tung, trục hoành và đường thẳng x   bằng A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1 . x x Câu 10: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e  e , trục hoành, trục tung và đường thẳng x  2 . e4  1 e4  1 e2  1 e4  1 A. S  2 (đvdt). B. S  (đvdt). C. S  (đvdt). D. S  2 (đvdt). e e e e 2 Câu 11: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x , trục hoành Ox , các đường thẳng x  1 , x  2 là 7 8 A. S  . B. S  . C. S  7 . D. S  8 . 3 3 Câu 12: Cho parabol  P  có đồ thị như hình vẽ: y Câu 8: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  4 1 2 3 x O 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  với trục hoành. 4 . 3 Câu 13: Diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x3  2x  1 , trục hoành, x  1 và x  2 là 31 49 21 39 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 4 4 4 4 Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x 2  4 , đường thẳng x  3 , trục tung và trục hoành là 22 32 25 23 A. B. C. D. 3 3 3 3 Câu 15: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x ln x , trục hoành và đường thẳng x  e là A. 4 . A. e2  1 2 B. 2 . B. e2  1 2 C. 8 . 3 D. C. e2  1 4 D. Câu 16: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e2  1 4 1 ln x , trục hoành và đường thẳng x  e x bằng 1 1 A. . B. 1 . C. . D. 2 . 2 4 Câu 17: Hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  1 , x  3 và Ox có diện tích là 4 16 20 A. 8 . B. . C. . D. . 3 3 3 Câu 18: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y  x ; y  0 ; x  4 . Diện tích S của hình phẳng H bằng 16 15 17 A. S  . B. S  3 . C. S  . D. S  . 3 4 3 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 54 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng Câu 19: Cho hình phẳng  H  như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng  H  . 9 9 3 9 ln 3  2 . B. 1 . C. ln 3  . D. ln 3  2 . 2 2 2 2 2 Câu 20: Tính diện tích miền hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x  2x , y  0 , x  10 , x  10 . 2000 2008 A. S  . B. S  2008 . C. S  . D. 2000 . 3 3 DẠNG 2: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG y  f ( x), y  g ( x ), x  a, x  b A. Câu 21: Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục trên  a; b . Gọi  H  là hình giới hạn bởi hai đồ thị y  f  x  , y  g  x  và các đường thẳng x  a , x  b . Diện tích hình  H  được tính theo công thức: b b b A. S H   f  x  dx   g  x  dx . a B. S H   f  x   g  x  dx . a a b b D. S H    f  x   g  x   dx . C. S H    f  x   g  x   dx . a a Câu 22: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số f1  x  và f 2  x  liên tục trên đoạn  a; b  và hai đường thẳng x  a , x  b (tham khảo hình vẽ dưới). Công thức tính diện tích của hình  H  là y f1  x  f2  x  O a c1 b c2 b x b B. S    f1  x   f 2  x   dx . A. S   f1  x   f 2  x  dx . a b a b C. S   f1  x   f 2  x  dx . b D. S   f 2  x  dx   f1  x  dx . a a a Câu 23: Cho hàm số f  x  liên tục trên 1;2 . Gọi  D  là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  f  x  , y  0 , x  1 và x  2 . Công thức tính diện tích S của  D  là công thức nào trong các công thức dưới đây? 2 A. S   f  x  dx . 1 2 B. S   f 2  x  dx . 1 2 C. S   f  x  dx . 1 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 2 D. S    f 2  x  dx . 1 Trang 55 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng Câu 24: Tính diện tích hình phẳng tạo thành bởi parabol y  x 2 , đường thẳng y   x  2 và trục hoành trên đoạn  0;2 (phần gạch sọc trong hình vẽ) 3 5 2 7 . B. . C. . D. . 5 6 3 6 2 Câu 25: Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  x  x  2, y  x  2 và hai đường thẳng x  2; x  3 . Diện tích của (H) bằng 87 87 87 87 A. B. C. D. 5 4 3 5 2  x  4x  4 Câu 26: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C ) : y  , tiệm cận xiêm của (C ) và hai đường x 1 thẳng x  0, x  a (a  0) có diện tích bằng 5 Khi đó a bằng A. A. 1  e5 B. 1  e5 C. 1  2e5 D. 1  2e5 Câu 27: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  x và y  e x , trục tung và đường thẳng x  1 được tính theo công thức: 1 A. S   e x  1 dx . 0 1 B. S    e x  x  dx . 0 1 1 C. S    x  e x  dx . 0 D. S  e x  x dx . 1 DẠNG 3:DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG y  f ( x), y  g ( x) Câu 28: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y  2  x2 và đường thẳng y   x là 7 9 9 A. B. C. 3 D. 2 4 2 Câu 29: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của các hàm số y  x 2 và y  x là:  1 5 1 A. . B. . C. . D.  . 6 6 6 6 3 Câu 30: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  x và y  x là 1 1 1 1 A. B. C. D. 12 13 14 15 2 Câu 31: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi  P  : y  x  4 , tiếp tuyến của  P  tại M  2;0  và trục Oy là 4 8 7 A. S  . B. S  2 . C. S  . D. S  . 3 3 3 1 4 2 Câu 32: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x , y   x  và trục hoành. 3 3 11 61 343 39 A. . B. . C. . D. . 6 3 162 2 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 56 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng Câu 33: Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  ln  x  1 , đường thẳng y  1 và trục tung (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của  H  bằng A. e  2 . B. e 1 . C. 1. ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. ln 2 . Trang 57 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng ỨNG DỤNG THỂ TÍCH 1) Thể tích vật thể: Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S ( x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x , ( a  x  b) . Giả sử S ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b ] . (V ) a O b x b x V  S ( x )d x  a S (x ) b Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: V S ( x)dx a 2) Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: y y  f (x) a O b (C ) : y  f ( x )  b 2 (Ox ) : y  0 V   f ( x ) dx   x  x x  a a  x  b Chú ý: - Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g ( y ) , trục hoành và hai đường thẳng y  c , y  d quanh trục Oy: y d c O x (C ) : x  g( y)  (Oy ) : x  0  y  c  y  d d 2 V y     g( y ) dy c - Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x) , y  g ( x ) và hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: b V   f 2 ( x)  g 2 ( x) dx a 3) Thể tích giới hạn bởi các đồ thị (tròn xoay) PHƯƠNG PHÁP: . Tính thể tích khối tròn xoay: Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x ) , y  0 , x  a và b x  b (a  b) quay quanh trục Ox là V    f 2 ( x )dx . a ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 58 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x), y  g ( x) , x  a b và x  b (a  b) quay quanh trục Ox là V    f 2 ( x )  g 2 ( x) dx . a BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY SINH BỞI MIỀN  D  GIỚI HẠN BỞI y  f  x  ; y  0 VÀ x  a, x  b KHI QUAY QUANH TRỤC Ox. Câu 1: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a ; b  . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức. b A. V    f 2  x  dx . b b B. V  2  f 2  x  dx . C. V   2  f 2  x  dx . a a a Câu 2: b D. V   2  f  x  dx . a Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đồ thị như hình bên. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục Ox . Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích V được xác định theo công thức y 3 O 1 3 3 2 1 B. V    f  x  dx . 31 2 A. V     f  x   dx . 1 3 C. V   2   f  x   2 3 2 D. V    f  x  dx . dx . 1 Câu 3: 3 x 1 Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x2  3x  2 , trục hoành và hai đường thẳng x  1 , x  2 . Quay  H  xung quanh trục hoành được khối tròn xoay có thể tích là 2 2 2 1 1 2  2  2 2 D. V    x 2  3x  2 dx . C. V    x  3x  2 dx . 1 Câu 4: 1 Cho hàm số y   x có đồ thị  C  . Gọi D là hình phẳng giởi hạn bởi  C  , trục hoành và hai đường thẳng x  2 , x  3 . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính bởi công thức: 3 2 2x A. V     dx . B. V   3 3  x dx . 2 3 Câu 5: 2 B. V   x2  3x  2 dx . A. V   x  3x  2 dx . 3 2x C. V     dx . D. V   2 2  x dx . 2 Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x , trục Ox và hai đường thẳng x  1 ; x  4 khi quay quanh trục hoành được tính bởi công thức nào? 4 A. V    xdx . 1 4 B. V   1 4 x dx . C. V   2  xdx . 1 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 4 D. V    xdx . 1 Trang 59 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y  x2  2x , trục hoành, trục tung, đường thẳng x  1 . Tính thể tích V hình tròn xoay sinh ra bởi (H) khi quay (H) quanh trục Ox. 8 4 15 7 A. V  B. V  C. V  D. V  15 3 8 8 Câu 6: Câu 7: x2 y 2   1 . Hình phẳng  H  giới hạn 25 9 bởi nửa elip nằm trên trục hoành và trục hoành. Quay hình  H  xung quanh trục Ox ta được Trong hệ trục tọa độ Oxy cho elip  E  có phương trình khối tròn xoay, tính thể tích khối tròn xoay đó: A. V  60 . B. 30 . C. 1188 . 25 D. 1416 . 25 Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  e x , trục hoành và các đường thẳng x  0 , x  1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?  e2  1  e2  1 e2  1  e2 A. V  . B. V  . C. V  . D. . 2 2 2 2 DẠNG 2: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY KHI CHO HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI: y  f  x  VÀ y  g  x  QUAY QUANH TRỤC Ox. Câu 8:  Câu 9:    Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào? y f1  x  f2  x  O a x b b b A. V    f12  x   f 2 2  x   dx . B. V     f12  x   f 2 2  x   dx . a a b b C. V     f 2 2  x   f12  x   dx . 2 D. V     f1  x   f 2  x   dx . a a Câu 10: Cho hình phẳng  D  được giới hạn bởi các đường x  0 , x  1 , y  0 và y  2 x  1 . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay  D  xung quanh trục Ox được tính theo công thức? 1 1 A. V   2 x  1dx . B. V     2 x  1 dx . 0 0 1 C. V    2 x  1 dx . 0 1 D. V   2 x  1dx . 0 Câu 11: Cho hình phẳng  D  được giới hạn bởi các đường x  0 , x   , y  0 và y   sin x . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay  D  xung quanh trục Ox được tính theo công thức   A. V    sin x dx . B. V    sin 2 xdx . 0  C. V      sin x  dx . 0 0  D. V   sin 2 xdx . 0 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 60 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng Câu 12: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  xex , y  0 , x  0 , x  1 xung quanh trục Ox là 1 1 A. V   x 2 e 2 x dx . 1 B. V    xe x dx . 0 1 C. V    x 2 e 2 x dx . 0 D. V    x 2 e x dx . 0 0 Câu 13: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x 2 ; y  0; x  2. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay  H  quanh trục Ox . 8 A. V  . 3 B. V  32 . 5 C. V  8 . 3 D. 32 5 Câu 14: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng  H  giới hạn bởi y  x 2 và y  x  2 quanh trục Ox là 72 A. (đvtt). 10 B. 72 (đvtt). 5 C. 81 (đvtt). 10 D. 81 (đvtt). 5 Câu 15: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  ex và các đường thẳng y  0 , x  0 và x  1 được tính bởi công thức nào sau đây? 1 1 1 x2 2x B. V    e dx . A. V   e dx . 0 1 x2 C. V   e dx . 0 D. V    e 2 x dx . 0 0 Câu 16: Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol  P  : y  x 2 và đường thẳng d : y  2 x quay xung quanh trục Ox . 2 2 2 A.    x 2  2 x  dx . 0 2 0 2 2 C.   4 x 2 dx    x 4dx . 0 2 B.   4 x 2 dx    x 4 dx . 0 D.    2 x  x 2  dx . 0 0 Câu 17: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  1  x2 , y=0 quanh trục a Ox có kết quả dạng . Khi đó a+b có kết quả là: b A. 11 B. 17 C. 31 D. 25 Câu 18: Cho hình  H  giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một Parabol và một đường thẳng tiếp xúc với Parabol đó tại điểm A  2; 4  , như hình vẽ bên. Thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi hình  H  quay quanh trục Ox bằng y 4 2 1 O A. 16 . 15 B. 32 . 5 C. 2 2 . 3 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay x D. 22 . 5 Trang 61 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng Câu 19: Cho hình thang cong  H  giới hạn bởi các đường y  e x , y  0 , x  1 , x  1 . Thể tích vật thể tròn xoay được tạo ra khi cho hình  H  quay quanh trục hoành bằng e 2  e 2 A. . 2 e B. 2  e 2   2 . e 4 C. . 2 e D. 2  e 2   2 . Câu 20: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y  1 x2 , y  0 quanh trục Ox là aπ với a , b là số nguyên. Khi đó a  b bằng V b A. 11 . B. 17 . C. 31 . D. 25 . Câu 21: Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x2  4 , y  2 x  4 , x  0 , x  2 quanh trục Ox. 32π 32π 32π 22π A. . B. . C. . D. . 5 7 15 5 1 và các đường thẳng y  0 , x  1 , x  4 . x Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng  H  quay quanh trục Ox . Câu 22: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  A. 2 ln 2 . B. 3 . 4 C. 3 1 . 4 D. 2 ln 2 . Câu 23: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  1 , x y  0 , x  1 , x  a ,  a  1 quay xung quanh trục Ox .  1 A. V   1   .  a  1 B. V  1    .  a  1 C. V  1    .  a  1 D. V   1   .  a Câu 24: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x2 , y  2 x . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox bằng: 32 64 21 A. . B. . C. . 15 15 15 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 16 . 15 Trang 62 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Tích Phân và Ứng Dụng Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng NGUYÊN HÀM A - KIẾN THỨC CHUNG 1- Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F  x  được gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  trên K nếu F '  x   f  x  với mọi x  K . Định lí: + Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K . + Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì mọi nguyên hàm của f  x  trên K đều có dạng F  x   C , với C là một hằng số. Do đó F  x   C, C   là họ tất cả các nguyên hàm của f  x  trên K . Ký hiệu + Tính chất của nguyên hàm  Tính chất 1:  f  x  dx  f  x  và    f  x  dx  F  x   C .  f '  x  dx  f  x   C Tính chất 2:  kf  x  dx  k  f  x  dx với k là hằng số khác 0 . Tính chất 3:   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx 2 - Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . 3 - Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp u  u  x  Nguyên hàm của hàm số sơ cấp  dx  x  C 1  x dx    1 x   1  C   1 1  x dx  ln x  C 1 1  x dx   x  C  e dx  e  C 2 x x ax  C  a  0, a  1 ln a  sin xdx   cos x  C  du  u  C 1  u du    1 u   1  C   1 1  u du  ln u  C 1 1  u du   u  C  e du  e  C 2 u u au  C  a  0, a  1 ln a  sin udu   cos u  C x  a dx  u  a du   cos xdx  sin x  C 1  cos x dx  tan x  C  cos udu  sin u  C 1  cos u du  tan u  C 2 1  sin 2 dx   cot x  C x 4 – Bảng nguyên hàm mở rộng 2 1  sin ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 2 u du   cot u  C Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  d  ax  b   1  ax  b   C a Tích Phân và Ứng Dụng kx  e dx  ekx C k  1 1  ax  b     ax  b  dx  a    1  dx 1  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c  c ,   1 1  sin  ax  b  dx   ax  b  a ln ax  b  c  c e ax  b a px  q a 2 a 2 dx  dx  1 ax b e c a 1 cos  ax  b   c a 1  tg  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   c 1 a px q  c p ln a 1  cotg  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   c dx 1 x  arctg  c 2 x a a  sin dx 1 ax  ln c 2 x 2a a  x  cos 2 2 dx 1  cotg  ax  b   c  ax  b  a dx 1  tg  ax  b   c  ax  b  a B - BÀI TẬP HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: CÁC CÂU HỎI LÍ THUYẾT Câu 1: Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có đạo hàm trên  a; b . (2): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b . (3): Mọi hàm số đạo hàm trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b . (4): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên  a; b . A. 2 . B. 3 . C. 1. Hướng dẫn giải D. 4 . Chọn B Khẳng định (1): Sai, vì hàm số y  x liện tục trên  1;1 nhưng không có đạo hàm tại x  0 nên không thể có đạo hàm trên  1;1 Khẳng định (2): đúng vì mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b . Khẳng định (3): Đúng vì mọi hàm số có đạo hàm trên  a; b thì đều liên tục trên  a; b nên đều có nguyên hàm trên  a; b . Khẳng định (4): Đúng vì mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên  a; b . Câu 2: Cho hai hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . B.   f  x  .g  x   dx   f  x  dx. g  x  dx . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . D.  kf  x  dx  k  f  x  dx  k  0;k    . Câu 3: Hướng dẫn giải Chọn B Cho f  x  , g  x  là các hàm số xác định và liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A.  f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx . B.  2 f  x  dx  2 f  x  dx . C.   f  x   g  x   dx  f  x  dx   g  x  dx . D.   f  x   g  x   dx  f  x  dx   g  x  dx . Hướng dẫn giải Câu 4: Chọn A Nguyên hàm không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm. Hoặc B, C, D đúng do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm nên A sai. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A.  kf  x  dx  k  f  x  dx với k   . B.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx với f  x  ; g  x  liên tục trên  . 1  1 C.  x dx  x với   1 .  1  D.  f  x  dx  f  x  .   Hướng dẫn giải Chọn A Ta có  kf  x  dx  k  f  x  dx với k   sai vì tính chất đúng khi k   0 . Câu 5: Cho hai hàm số f  x  , g  x  là hàm số liên tục, có F  x  , G  x  lần lượt là nguyên hàm của f  x  , g  x  . Xét các mệnh đề sau:  I  . F  x   G  x  là một nguyên hàm của f  x   g  x  .  II  . k.F  x  là một nguyên hàm của k. f  x  với k   .  III  . F  x  .G  x  là một nguyên hàm của f  x  .g  x  . Các mệnh đề đúng là A.  II  và  III  . Câu 6: B. Cả 3 mệnh đề. C.  I  và  III  . Hướng dẫn giải D.  I  và  II  . Chọn D Theo tính chất nguyên hàm thì  I  và  II  là đúng,  III  sai. Mệnh đề nào sau đây sai? A.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với mọi hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  .  f   x  dx  f  x   C với mọi hàm số f  x  có đạo hàm trên  . C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với mọi hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  . D.  kf  x  dx  k  f  x  dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f  x  liên tục trên  . B. Hướng dẫn giải Chọn D ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  kf  x  dx  k  f  x  dx với mọi hằng số k mệnh đề sai vì khi k  0 thì  kf  x  dx  k  f  x  dx . Mệnh đề: Câu 7: và với mọi hàm số f  x  liên tục trên  là Cho hàm số f  x  xác định trên K và F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f   x   F  x  , x  K . B. F   x   f  x  , x  K . C. F  x   f  x  , x  K . Câu 8: Tích Phân và Ứng Dụng D. F   x   f   x  , x  K . Hướng dẫn giải Chọn B  Ta có F  x    f  x  dx , x  K   F  x    f  x  , x  K . Cho hàm số f  x  xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu hàm số F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K . B. Nếu f  x  liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K . C. Hàm số F  x  được gọi là một nguyên hàm của f  x  trên K nếu F   x   f  x  với mọi x  K . D. Nếu hàm số F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì hàm số F   x  là một nguyên hàm của f  x  trên K . Hướng dẫn giải Câu 9: Chọn D Dựa theo định lí 1 trang 95 SGK 12 CB suy ra khẳng định A đúng. Dựa theo định lí 3 Sự tồn tại nguyên hàm trang 97 SGK 12 CB kết luận B đúng. Và C đúng dựa vào định nghĩa của nguyên hàm. Trong các mênh đề sau, mệnh đề nào sai: A. Nếu hàm F  x  là một nguyên hàm của hàm f  x  thì F  x  1 cũng là một nguyên hàm của hàm f  x  . B. Mọi hàm liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . C. Nếu hàm F  x  là một nguyên hàm của hàm f  x  thì  f  x dx  F  x   C , với C là một hằng số. D. Nếu F  x  , G  x  là hai nguyên hàm của hàm số f  x  thì F  x   G  x   C , với C là một hằng số. Hướng dẫn giải Chọn D Câu 10: Cho f , g là các hàm số liên tục trên K . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai. A.   f  x  .g  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  g  x  dx . f 3  x 2 C . B.  f   x  f  x dx  3 C.   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . D. k  f  x  dx  k  f  x  dx , ( k : hằng số). Hướng dẫn giải Chọn A ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng DẠNG 2: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Câu 11: Khẳng định nào sau đây sai? A.  dx  x  C . C.  ln x dx  B.  sin x dx   cos x  C . 1 C . x D. 1  x dx  ln x  C . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có:  ln x dx  x ln x  x  C . Câu 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 1 A.  e x dx  e x  C . B. C.  cosxdx  sinx  C . D.  sinxdx  cosx  C .  sin 2 x dx   tan x  C . Hướng dẫn giải Chọn B 1 dx   cot x  C . sin 2 x Câu 13: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 0dx  C ( C là hằng số). A.  Ta có  C.  dx  x  2C ( C là hằng số). x e dx  e B.  x  C ( C là hằng số). x n 1  x dx  n  1  C ( C là hằng số, n   ). D. Hướng dẫn giải:. n Chọn D Công thức trên cần có thêm điều kiện n  1 . Câu 14: Biết  f  u  du  F  u   C . Mệnh đề nào dưới đây đúng?  f  2 x  1 dx  2F  2 x 1  C . 1 C.  f  2 x  1 dx  F  2 x  1  C . 2  f  2 x  1 dx  2 F  x   1  C . D.  f  2 x  1 dx  F  2 x  1  C . A. B. Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 1 1  f  2 x  1 dx  2  f  2 x  1 d  2 x  1  2 F  2 x  1  C . Câu 15: Khẳng đinh nào sau đây là sai? A.  a x dx  a x ln a  C  a  0; a  1 . C. 2 1 x B.  cos xdx  sin x  C . dx  x  C . D. 1 x 2 1 dx    C . x Hướng dẫn giải Chọn A ax  C  a  0; a  1 ln a Câu 16: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai: A.  e x dx  e x  C . Vì  a x dx  C.  2xdx  x2  C . B.  sin xdx  cos x  C . D. 1  x dx  ln x  C . Hướng dẫn giải. ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Chọn B Theo bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp ta có  sin xdx  cos x  C . Câu 17: Công thức nguyên hàm nào sau đây sai? 2x C . A.  2 x dx  ln 2 dx C.   ln x  C . x B.  sin xdx   cos x  C . D. dx  cos x  tan x  C . Hướng dẫn giải Chọn D 1 dx nên   tan x  C . 2 cos x cos 2 x Câu 18: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  1 Vì  tan x   1 A.  f  x  dx  2  2 x  1 C.  f  x  dx  2  2 x  1 2 2 1 C . B.  f  x  dx  4  2 x  1 C . D.  f  x  dx   2 x  1 2 2 C . C . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có  f  x  dx    2 x  1 dx  x 2  x  C1  1 1 1 2 4 x 2  4 x  1   C1   2 x  1  C .  4 4 4 Câu 19: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x 2  x  1 là A. 2 x3 x 2   x. 3 2 B. 2 x3 x 2 2 x3   xC. C.  x2  x  C . 3 2 3 Hướng dẫn giải D. 4 x  1 . Chọn B 2 x3 x 2  2 x  x  1 dx = 3  2  x  C. Câu 20: Nguyên hàm của hàm số f  x   10 x 4  3 x  2 trên  là   2 3 2 x  2x . 2 3 f  x  dx  2 x5  x 2  2 x  C . 2 A.  f  x  dx  2 x C.  5  B.  f  x  dx  10x D.  f  x  dx  2 x 5 5  3x 2  2 x  C .  3 2 x  2C . 2 Hướng dẫn giải Chọn C 3 2 x  2x  C . 2 1 Câu 21: Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   là 3x  1 ln  3 x  1  C ln 3x  1  C A. . B. ln  3 x  1  C . C.  f  x  dx   10 x 4  3 x  2  dx  2 x 5  D. 1 ln 3 x  1  C . 3 Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 1 d  3x  1  ln 3 x  1  C .  3 3x  1 3 3   Câu 22: Tìm nguyên hàm của hàm số   x 2   2 x  dx x   Ta có 1  3 x  1 dx  ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A x3 4 3 A.  3ln x  x C . 3 3 x3 4 3 C.  3ln x  x . 3 3 Tích Phân và Ứng Dụng x3 4 3 B.  3ln x  x C . 3 3 x3 4 3 D.  3ln x  x C . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B 3 x3 4 3   Ta có:   x 2   2 x  dx   3ln x  x C . x 3 3   Câu 23: Nguyên hàm của hàm số f  x   22 x là 22 x1 C. A.  2 dx  ln 2 4x C . C.  22 x dx  ln 2 22 x C . ln 2 22 x 1 D.  22 x dx  C. ln 2 Hướng dẫn giải 2x B.  22 x dx  Chọn D Ta có  22 x dx   4x dx  Câu 24: Tìm nguyên hàm  4x 22 x 1 C  C . ln 4 ln 2 x 1 dx ? x2 x 1 dx  ln | x |  ln x 2  C . x2 x2  xC x 1 C.  2 dx  2 3 . x x C 3 A.  B.  x 1 1 dx  ln | x |   C . 2 x x D.  x 1 1 dx  ln x   C . 2 x x Hướng dẫn giải Chọn B x 1 1 1 1   x 2 dx    x  x2  dx  ln x  x  C . Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  1 là: A. 1 C . 2 x 1 B.  2 x  1 3 3 C. C. 2  2 x  1 3 3 C . D. 3  2 x  1 4 Hướng dẫn giải Chọn B 1 2x  1dx  2 3  2x 1  2x  1 3 C  C. 1 3 1 2 Câu 26: Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   e2 x3 là Ta có  2 x 3 A.  f  x  dx  e C.  f  x  dx  2e C . 2 x 3 C . 1 2 x 3 C . 1 2 x 3 C . B.  f  x  dx  2 e D.  f  x  dx  3 e Hướng dẫn giải Chọn B ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 8 3 C . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng e ax b 1 2 x 3 2 x 3  e dx  a  C  a  0    e dx  2 e  C 1 Câu 27: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   . 2 x sin 2 dx x dx x  2 tan  C .  2 tan  C . A.  B.  x x 2 2 sin 2 sin 2 2 2 dx 1 x dx x   cot  C .  2cot  C . C.  D.  x x 2 2 2 sin 2 sin 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D x d  dx x 2  2 x  2 2 x  2cot 2  C . sin sin 2 2 1 Câu 28: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   . 2x ax  b  f  x  dx  2x  C . 1 C.  f  x  dx    C . 2x  f  x dx  2 2 x  C . D.  f  x  dx  ln 2x  C . A. B. Hướng dẫn giải Chọn A Ta có Câu 29:  f  x dx   1 dx   d 2x f  x  dx  sin x  e Nếu  x C   2x  2x  C . thì A. f  x    cos x  e x . B. f  x   cos x  e x . C. f  x   cos x  e x . D. f  x    cos x  e x  C . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có :  f  x  dx  sin x  e x  C  f  x    sin x  e x  C   cos x  e x . Câu 30: Tìm khẳng định sai? x e1 A.  xe dx   2C . e 1 C.  e x dx  C  e x 2x 1 C. x 1 D.  tan 2 xdx  tan x  x  C . B.  2 x dx  Hướng dẫn giải Chọn B x e1  2C đúng e 1 x x  e dx  C  e đúng e  x dx  Sử dụng công thức 1  tan 2 x  1 1  , suy ra  tan 2 xdx     1 dx  tan x  x  C 2 2 cos x  cos x  ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Nên  tan 2 xdx  tan x  x  C đúng. Câu 31: Cho F  x  là nguyên hàm của f  x   2x 4  3 . Khi đó x2 2 x3 3  C . 3 x 3 2x C. F ( x)   3ln x  C . 3 2 x3  3ln x  C . 3 2 x3 3 D. F ( x )   C . 3 x Hướng dẫn giải B. F  x   A. F ( x )  Chọn D 2x4  3 2 x3 3  2 3  d x  2 x  d x   C   x2   . 3 x x2  Câu 32: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  sin 2 x là Ta có: 1 B. x 2  cos 2 x  C . 2 A. x2  2cos 2x  C . C. x2  2cos 2 x  C . 1 D. x 2  cos 2 x  C 2 . Hướng dẫn giải Chọn D 1  cos 2 x  C . 2 1 Câu 33: Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   là 2 sin  x  2   f  x  dx    2 x  sin 2 x  dx  x 2 A. cot  x  2   C . C.  2 cos  x  2  sin 3  x  2 B.  cot  x  2   C . C . D.  cos  x  2  C . sin 3  x  2  Hướng dẫn giải Chọn B Áp dụng công thức Ta có 1 1  sin  ax  b  d x   a cot  ax  b   C 2 1  sin  x  2  d x   cot  x  2   C 2 Câu 34: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  cos x  2018 là A. F  x   e x  sin x  2018 x  C . B. F  x   e x  sin x  2018 x  C . C. F  x   e x  sin x  2018 x . D. F  x   e x  sin x  2018  C . Hướng dẫn giải Chọn A F  x    e x  cos x  2018 dx  e x  s inx  2018 x  C (với C là hằng số).   Câu 35: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e x  e x .  f  x  dx  e C.  f  x  dx  e A. x  e x  C . x  e x  C . x  e x  C . x  e x  C .  f  x  dx  e D.  f  x  dx  e B. Hướng dẫn giải Chọn D x x x x  f  x dx   e  e dx  e  e  C .   ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 36: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x là A. e x  C . B. e x  C . C.  e  x  C . Hướng dẫn giải Chọn A x x  e dx  e  C D. e x  C . Câu 37: Tìm nguyên hàm của hàm số y  sin( x  1) ? A.  sin( x  1)dx   cos( x  1)  C . B.  sin( x  1)dx  cos( x  1)  C . C.  sin( x  1)dx  ( x  1) cos( x  1)  C . D.  sin( x  1)dx  (1  x) cos( x  1)  C . Hướng dẫn giải Chọn A Câu 38: Hàm số F  x   e x là nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 2 2 2 B. f  x   2 x 2e x  C . A. f  x   2 xe x . 2 2 C. f  x   xe x . D. f  x   x 2e x  3 . Hướng dẫn giải Chọn A    2 xe Ta có : F   x   e x 2 x2 2 Vậy f  x   2 xe x . Câu 39: Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  cos(2 x  3) . A. F ( x )   sin(2 x  3)  C . 1 B. F ( x)  sin(2x  3)  C . 2 1 C. F ( x)   sin(2 x  3)  C . 2 D. F ( x )  sin(2 x  3)  C . Hướng dẫn giải Chọn B. 1 F ( x)   cos(2 x  3)dx  sin(2 x  3)  C . 2 Câu 40: Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại? A. f  x   sin 2 x , g  x   cos 2 x . B. f  x   e x , g  x   e  x . C. f  x   sin 2 x , g  x   sin 2 x . D. f  x   tan 2 x , g  x   1 . cos 2 x 2 Lời giải Chọn C 1 1 Ta có  sin 2 xdx   cos 2 x  C  sin 2 x   C 2 2 Câu 41: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  tan x là 1 A.  ln cos x  C. B.   C. C. ln cos x  C. cos 2 x Hướng dẫn giải Chọn A sin x d (cos x ) Có  tan xdx   dx      ln cos x  C. cos x cos x ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 1  C. cos 2 x Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 42: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   Tích Phân và Ứng Dụng 2   và F    3 . Khẳng định nào dưới 2 cos x 4 đây đúng? A. F  x   2 tan x  3 . B. F  x   tan x  4 . C. F  x   2 tan x  5 . D. F  x   2 cot x  5 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 dx  2 tan x  C . cos 2 x    Ta lại có F    3  2 tan  C  3  C  5 . 4 4 Vậy F  x   2 tan x  5 . F  x   Câu 43: Tìm khẳng định sai? A.  tan 2 xdx  tan x  x  C . C.  2 x dx  B. 2x 1 C. x 1 e  x dx  x e1  2C . e 1 D.  e x dx  C  e x Hướng dẫn giải Chọn C x e1  2C đúng e 1 x x  e dx  C  e đúng e  x dx  Sử dụng công thức 1  tan 2 x  1 1  , suy ra  tan 2 xdx     1 dx  tan x  x  C 2 2 cos x  cos x  Nên  tan 2 xdx  tan x  x  C đúng. Câu 44: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   A. ln 1  x  C . B. 1 là 1 x 1 ln(1  x)2  C . 2 C.  ln 2  2x  C . 1 2 D.  ln 1  x  C . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: 1  1  x dx   ln 1  x  C   ln 2  2 x  C . Câu 45: Cho hàm số f  x  thỏa f   x   A. f  x   3ln 3  2 x . C. f  x   3ln 3  2 x . 6 và f  2   0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3  2x B. f  x   2 ln 3  2 x . D. f  x   2 ln 3  2 x . Hướng dẫn giải Chọn C 6 1 dx  6.   ln 3  2 x  C  3ln 3  2x  C . 3  2x  2  f  2   0  C  0 . Vậy f  x   3ln 3  2 x . f  x    f   x  dx   ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng     Câu 46: Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm f ( x)  sin 2 x và F    1. Tính F    4 6   A. F    0. 6   3 B. F     6 4   1 C. F     6 2   5 D. F     6 4 Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có: F ( x)   sin 2 xdx   cos 2 x  C. 2 1    1 Biết F    1   cos 2.  C  1  C  1 . Do đó F ( x )   cos 2 x  1. 2 4 2 4 1  3   Suy ra: F     cos 2.  1   2 6 4 6  4 Cách khác: 1       1   3  sin 2 xdx  4  F  4   F  6   4  1  F  6   F  6   4   6 Câu 47: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 A.  dx  ln 3x  C . 3x B.  e x dx  e x  C . D.  2 x dx  C.  sin x dx  cosx  C . 2x C . ln 2 Hướng dẫn giải Chọn A Câu 48: 1 1 1 1 1  3xdx  3  xdx  3 ln x  C , do đó chọn  3xdx  ln 3x  C . Tìm nguyên hàm I   2 x  1dx Ta có 2 3 1 C. I  3 A. I   2 x  1  2 x  1 3 3 1 C . 2 2x 1 1 D. I  C . 4 2x 1 Hướng dẫn giải C . B. I  C . Chọn C 3 1  2 x  1 2 1 3 2 x  1 dx  2 x  1 dt  . C  2 x  1  C      3 2 3 2 7 x  11 Câu 49: Tìm a  b biết  dx  a ln x  2  b ln x  1  C ? ( x  1)( x  2) A. a  b  7 . B. a  b  5 . C. a  b  11 . Hướng dẫn giải Chọn A 7 x  11 3   4 Ta có:  dx      dx  4.ln x  1  3ln x  2  C . ( x  1)( x  2)  x 1 x  2  1 2 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. a  b  5 . Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng a  3 . Vậy a  b  7 .  b  4   Câu 50: Tìm hàm số F  x  biết F   x   sin 2 x và F    1 . 2 1 1 A. F  x    cos 2 x  . B. F  x    cos 2 x . 2 2 1 3 C. F  x   cos 2 x  . D. F  x   2 x    1 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 Ta có:  sin 2 x dx   cos 2 x  C nên F  x    cos 2 x  C . 2 2 1 1   1 1 Mà F    1   cos   C  1  C  . Vậy F  x    cos 2 x  . 2 2 2 2 2 x Câu 51: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  . 2 x3 x 2 A.  f  x  dx  x3  x2  C . B.  f  x  dx    C . 3 4 2 x x2 C.  f  x  dx  x3   C . D.  f  x  dx  x3   C . 4 2 Hướng dẫn giải Chọn C x3 x 2 x2  2 x 3 f x d x  3 x  d x  3.   C  x  C .       2 3 4 4 2 x2  7 x  5 Câu 52: Tính nguyên hàm I   dx . x 3 A. I  2 x 2  x  2ln x  3  C . B. I  x 2  x  2ln x  3  C . C. I  x 2  x  2ln x  3  C . D. I  2 x 2  x  2 ln x  3  C . Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 x 2  7 x  5 2  x  3  5  x  3  2 2 2 Ta có  .  2  x  3  5   2x 1 x 3 x3 x3 x 3 2x2  7 x  5 2   2 Vậy  dx    2 x  1   dx  x  x  2ln x  3  C . x3 x3  Câu 53: Hàm số F  x    f  x   x 1 3 x 1 e 9 x 2  24 x  17  C là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? 27    2 x  1 e  A. f  x   x 2  2 x  1 e3 x 1 . C. 2 3 x 1 .  f  x   x   2 x  1 e B. f  x   x 2  2 x  1 e3 x 1 . D. 2 3 x 1 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: F   x   1 1 3 x1 3e3 x 1  9 x 2  24 x  17   e3 x 1 18 x  24    e  27 x 2  72 x  51  18 x  24    27 27 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Tích Phân và Ứng Dụng 1 3 x 1 e  27 x 2  54 x  27    x 2  2 x  1 e3 x 1 . 27 Câu 54: Tính I   8sin3x cos x dx  a cos 4 x  b cos 2 x  C . Khi đó a  b bằng: B. 1 . A. 3 . C. 1 . Hướng dẫn giải D. 2 . Chọn C Ta có: I   8s in3x cos x dx   4  sin4x  sin2x  dx   cos 4 x  2 cos 2 x  C .  a  1, b  2 nên a  b  1 . Câu 55: ) Họ nguyên hàm của hàm số f  x  x  sin x là A. 1  cos x  C . B. x2 x2 C.  cos x  C .  cos x  C . 2 2 Hướng dẫn giải D. x2  cos x  C . Chọn B Ta có   x  sin x dx  x2  cos x  C . 2 Câu 56: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn đồng thời các điều kiện f   x   x  sin x và f  0   1 . Tìm f x . x2 1 A. f  x    cos x  . 2 2 x2 B. f  x    cos x  2 . 2 x2 C. f  x    cos x  2 . 2 x2 D. f  x    cos x . 2 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: f   x   x  sin x  f  x   x2  cos x  C 2 Do f  0   1 nên 1  1  C  C  2 Vậy f  x   x2  cos x  2 . 2 Câu 57: Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f  x   A. F ( x )  2 2 x  1  1 . C. F ( x )  2 x  1  10 . 2 thỏa mãn F  5  7 . 2x 1 B. F ( x)  2 x  1  4 . D. F ( x )  2 2 x  1 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có F ( x)   f  x dx =  2 dx  2 2 x  1  C . 2x 1 Mà F  5   7  C  1 . Vậy: F ( x )  2 2 x  1  1 . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 58: Cho f  x   x2  2 x  x  12 Tích Phân và Ứng Dụng , F  x  là một nguyên hàm của f  x  . Tìm phương án sai? x2  x 1 . x 1 x2  x 1 C. F  x   . x 1 x2  2 x  2 . x 1 x2 D. F  x   . x 1 A. F  x   B. F  x   Hướng dẫn giải Chọn A  x2  x  1  x2  2 x  2 x2  2 x  Vì ta có  . '  2  x  12  x  1  x 1  Câu 59: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   3x.ln 9 thỏa F  0   2 . Tính F 1 . A. F 1  6 . B. F 1  3 . 2 C. F 1  12  ln 3 . Hướng dẫn giải D. F 1  4 . Chọn A 3x  C = 2.3x  C . ln 3 0 F  0   2  2.3  C  2  C  0 . Vậy F  x   2.3x  F 1  2.31  6 . F  x    f  x  dx = ln 9 3x dx = ln 9. Câu 60: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   x 1 , biết đồ thị hàm số y  F  x  đi qua điểm x2 1; 2  , 1 1 . x 1 C. F  x   ln x   3 . x 1  3. x 1 D. F  x   ln x   1 . x Hướng dẫn giải A. F  x   ln x  B. F  x   ln x  Chọn B x 1 1 1 1  dx     2  dx  ln x   C 2 x x x x  1 1 Mà ta có: F 1  2  ln1   C  2  C  3  F  x   ln x   3 . 1 x Câu 61: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x  sin 6 x . Ta có: F  x    A.  C.  x 2 sin 6 x  C . 2 6 x 2 sin 6 x f  x  dx   C . 2 6 f  x  dx  x 2 cos 6 x  C.  2 6 x 2 cos 6 x D.  f  x  dx   C. 2 6 Hướng dẫn giải B. f  x  dx  Chọn D Ta có   x  sin 6 x  dx  x 2 cos 6 x  C . 2 6 1 và F 1  3 . Tính F  4  . x B. F  4  3 . C. F  4   3  ln 2 . D. F  4   4 . Hướng dẫn giải Câu 62: Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   A. F  4   5 . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Chọn A 4 4 1 1  x dx  F (4)  F (1)  F (4)  x dx  F (1)  5 . 1 1 Câu 63: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 3  sin 2 x . A.  C.  x4 1  cos 2 x  C . 4 2 x4 f  x  dx   cos 2 x  C . 4 f  x  dx  f  x  dx  x4 1  cos 2 x  C . 4 2 B.  D.  f  x  dx  3x 2  2cos 2 x  C . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có x 3  sin 2 x  dx  x4 1  cos 2 x  C . 4 2 x3 ? x  4x  3 x 1  2. B. ln x 3 D. ln(2 x  1 ) . Câu 64: Hàm số F(x) nào sau đây là 1 nguyên hàm của hàm số f ( x)  A. 2ln x  3  ln x  1  C . C. ln[( x  1)( x  3)] . 2 Hướng dẫn giải Chọn D x3 x3 1   x  4 x  3 ( x  1)( x  3) x  1 1 thì đó là 1 nguyên hàm của f ( x)  Hàm số F(x) nào có đạo hàm bằng x 1 Chọn F  x   ln  2 x  1  f ( x)  2 Câu 65: Tìm giá trị m để hàm số F  x   m 2 x 3   3m  2  x 2  4 x  3 là một nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2  10 x  4 . A. m   1 . B. m   1 . C. m  1 . Hướng dẫn giải D. m  2 . Chọn C 2 2 Ta có: F  x  3m x  2 3m  2 x  4 . 3m2  3 m  1   m  1. Khi đó F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x    2  3m  2   10 m  1 Câu 66: Cho hàm số F  x   ax3   a  b  x 2   2a  b  c  x  1 là một nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  6 x  2 . Tổng a  b là A. 4 . B. 2 . C. 5 . Hướng dẫn giải D. 3 . Chọn D Ta có: F   x   f  x   3ax 2  2  a  b  x  2a  b  c  3x 2  6 x  2 , x  R 3a  3 a  1    2  a  b   6  b  2  a b  3.  2a  b  c  2 c  c  2   ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng DẠNG 3: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN TÌM HẰNG SỐ C Câu 67: Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2 x 2  x 3  4 thỏa mãn điều kiện F  0   0 là 2 3 x4 x   4x . C. x 3  x 4  2 x . 3 4 Hướng dẫn giải 3 2x x4   4x  C Ta có: F  x     2 x2  x3  4  dx  3 4 3 4 2.0 0 2 x4 F  0  0    C  0  C  0  F  x   x3   4 x . 3 4 3 4 Chọn D Câu 68: Tìm hàm số F(x) biết rằng F ’  x   4 x 3 – 3 x 2  2 và F  1  3 A. 2 x 3  4 x 4 . B. A. F  x   x 4 – x 3  2 x  3 B. F  x   x 4 – x 3 +2x  3 C. F  x   x 4 – x 3  2 x  3 D. F  x   x 4  x 3  2 x  3 Ta có: F  x    F   x dx   4  2 3 x4 x   4x . 3 4 D. Hướng dẫn giải 4x  3x  2 dx  x 4  x3  2x  C 3  2 3 F  1  3   1   1  2.  1  C  3  C  3 Vậy F  x   x 4 – x 3 +2x  3 Chọn B Câu 69: Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x  2 x thỏa mãn F (0)  1 A. F ( x)  e x  x 2  . 2 3 C. F ( x)  e x  x 2  . 2 3 . Tìm F ( x) . 2 1 B. F ( x )  2e x  x 2  . 2 5 D. F ( x)  e x  x 2  . 2 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có:  f ( x)dx   e x  2 x dx  e x  x 2  C   3 1 3 nên e0  02  C   C  2 2 2 1 Vậy: F  x   e x  x 2  . 2 Do F (0)    Câu 70: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  thỏa mãn điều kiện: f  x   2 x  3cos x, F    3 2 A. F ( x)  x2  3sin x  6  C. F ( x)  x 2  3sin x  2 4 B. F ( x)  x 2  3sin x  2 4 2 4 D. F ( x)  x2  3sin x  6  2 4 Hướng dẫn giải Ta có: F  x     2 x  3cos x  dx  x  3sin x  C 2 2  2     F    3     3sin  C  3  C  6  2 4 2 2 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 Vậy F ( x)  x  3sin x  6  4 2 Chọn D Câu 71: Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  1 B. F (3)  ln 5  5. 2 A. F (3)  2ln5  3. 1 1 và F (2)  3  ln 3. Tính F (3). 2 x 1 2 1 C. F (3)  ln 5  3. D. 2 F (3)  2ln 5  5. Hướng dẫn giải Chọn C Từ giả thiết ta có: Có:  f ( x)dx  F ( x) 1 1  f ( x)dx  2 x  1 dx  2 ln 2 x  1  C. 1 Theo đề: F (2)  3  ln 3  C  3. 2 1  F (3)  ln 5  3. 2 Câu 72: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x    2 x  1 x  2  , biết F 1  2 . 2 3 3 2 29 x  x  2x  . 3 2 6 1  C. F  x   x2  x  x2  2 x   2 . 2  2 3 3 2 x  x  2x . 3 2 2 3 D. F  x   x 3  x 2  2 x  2 . 3 2 Hướng dẫn giải A. F  x    B. F  x    Chọn A   Ta có F  x     2 x  1 x  2dx   2 x2  3x  2 dx  2 3 3 2 x  x  2x  C . 3 2 2 3 29 Mà F 1  2  .13  .12  2.1  C  2  C  . 3 2 6 2 3 29 Vậy F  x   x 3  x 2  2 x  . 3 2 6 1  Câu 73: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  2 x  2 thỏa mãn F( )  1 là: sin x 4 2 A. F( x)  cotx  x  16 2 B. F( x)  cotx  x  16 2 D. F( x)  cotx  x2  16 2 2 C. F( x)  cotx  x 2 Hướng dẫn giải 1   Ta có: F  x     2 x  2  dx  x2  cot x  C sin x   2  2     F    1     cot  C  1  C  4 16 4 4 2  Vậy F( x)  cotx  x2  16 Chọn A ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng   Câu 74: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f ( x)  sin 2 x , biết F    0 . 6 1 1  A. F  x   cos 2 x . B. F  x   cos 2 x  . 2 2 6 1 1 C. F  x   cos 2 x  . D. F  x   sin 2 x  . 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D 1 1   Ta có : F  x    sin 2 xdx   cos 2 x  C ; F    0  C  . 2 4 6 1 1 1 1 1 Vậy F  x    cos 2 x    1  2sin 2 x    sin 2 x  . 2 4 2 4 4 Câu 75: Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   sin x và đồ thị của hàm số y  F  x  đi qua   điểm M  0;1 . Tính F   . 2       A. F    1. B. F    1 . C. F    2 . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C F  x    sin xdx   cos x  C .   D. F    0 . 2 Vì đồ thị của hàm số y  F  x  đi qua điểm M  0;1   cos 0  C  1  C  2 . Vậy F  x    cos x  2 .    F     cos  2  2 . 2 2 Câu 76: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   A. F  x   2 2 x  1  4 . C. F  x   2 2 x  1  10 . 2 thỏa mãn F  5  7 2x 1 B. F  x   2 2 x  1  1 . D. F  x   2 2 x  1 . Hướng dẫn giải Chọn B 1 1 2  2 x  1 2  C  2 2 x  1  C .  F  x   dx  2   2 x  1 2 dx  2 1 2x 1 2 2 F  5   7  2.3  C  7  C  1 . Vậy F  x   2 2 x  1  1 . Câu 77: Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 3 C. F  x   2 x   4 . x A. F  x   2 x   2 . 2x  3  x  0 . Biết rằng F 1  1 thì F  x  là x2 3 B. F  x   2ln x   4 . x 3 D. F  x   2ln x   2 . x Hướng dẫn giải Chọn B ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 3 3 dx  2ln x   C . 2  x  F 1  1  C  3  1  C  4 .  f  x  dx    x  x Câu 78: Nếu F  x  là một nguyên hàm của f ( x)  e x (1  e x ) và F (0)  3 thì F ( x ) là? A. e x  x B. e x  x  2   Ta có: F  x    e x . 1  e x dx    C. e x  x  C Hướng dẫn giải x e  1 dx  e x  x  C D. e x  x  1  F  0   3  e0  0  C  3  C  2 Vậy F  x   e x  x  2 Chọn B 3 F  x Câu 79: Cho là một nguyên hàm của hàm số f  x   8 1  2 x  . Tính I  F 1  F  0  . B. I  2 . A. I  0 . D. I  2 . C. I  16 . Hướng dẫn giải Chọn A 4 3 F  x    8 1  2 x  dx   1  2x   C F 1  1  C F  0   1  C  I  F 1  F  0   0 . 1 1 3 Cách 2: I  F 1  F  0    f  x dx   8. 1  2 x  dx   1  2x  0 0 Câu 80: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   ax  f 1  0 41  0. 0 b  x  0  , biết rằng F  1  1 , F 1  4 , x2 . 3x 2 3 7   . A. F  x   4 2x 4 3x 2 3 7   . C. F  x   2 4x 4 3x 2 3 7   . B. F  x   4 2x 4 3x 2 3 1   . D. F  x   2 2x 2 Hướng dẫn giải Chọn A . b  ax 2 bx 1 ax 2 b  F  x    f  x  dx    ax  2  dx    ax  bx 2  dx   C   C x  2 1 2 x  3 a  2  b  C 1 a  2  F  1  1    3x 2 3 7 3 a    . Ta có:  F 1  4    b  C  4  b   . Vậy F  x   4 2 x 4 2 2     f 1  0 a  b  0 7    C  4   DẠNG 4: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN HÀM HỮU TỈ P( x) Dạng: I   Q ( x) – Nếu bậc của P(x)  bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định). 1 A B   Chẳng hạn: ( x  a)( x  b) x  a x  b 1 A Bx  C   2 , vôùi   b 2  4ac  0 2 ( x  m)(ax  bx  c) x  m ax  bx  c 1 A B C D     2 2 2 ( x  a ) ( x  b) x  a ( x  a ) x  b ( x  b) 2 Ví dụ: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: x 2  3x  3 1 a. f(x) = . b. f(x) = 2 . x 1 x  3x  2  Giải a. Ta có: x 2  3x  3 1  1   f ( x)dx =  x  1 dx =   x  2  x  1  dx = 2 x2 + 2x + lnx + 1 + C. b. Ta có: dx dx 1   1  f ( x)dx =  x2  3x  2 =  ( x  1)( x  2) dx =   x  1  x  2  dx x 1 = ln|x + 1| - ln|x + 2| + C = ln C . x2 Nhận xét: Qua thí dụ trên: Câu a) chúng ta chỉ cần thực hiện phép chia đa thức là đã biến đổi phân thức hữu tỉ ban đầu thành tổng các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm. Câu b) chúng ta nhận thấy: ( A  B) x  2 A  B 1 A B =  = ( x  1)( x  2) x  3x  2 x  1 x  2 Ta được đồng nhất thức 1 = (A + B)x + 2A + B. (1) Để xác định A, B trong (1) ta lựa chọn một trong hai cách sau: Phương pháp đồng nhất hệ số: Đồng nhất đẳng thức, ta được: A  B  0 A 1  .  2 A  B  1  B  1 6x  2 Câu 81: Tìm  dx . 3x  1 4 A. F  x   ln 3 x  1  C B. F  x   2 x  4 ln  3x  1  C 3 4 C. F  x   2 x  ln 3 x  1  C D. F  x   2 x  4 ln 3 x  1  C 3 Hướng dẫn giải Chọn C 6x  2 4  4   3x  1 dx    2  3 x  1  dx  2 x  3 ln 3x  1  C . x2  x  1 Câu 82: Nguyên hàm  dx x 1 2 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 22 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A x2 A.  ln x  1  C . 2 B. 1  1  x  1 2 C . C. x  Tích Phân và Ứng Dụng 1 C. x 1 D. x 2  ln x  1  C . Hướng dẫn giải Chọn A x2  x  1 1  x2  d x  x  d x   ln x  1  C .  x 1   x  1  2 Câu 83: Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   1 2 2 A.  ln x 1  C . B. 1 là x 1 2 1 x 1 1 x 1 ln C . C.  ln C . 2 x 1 2 x 1 Hướng dẫn giải D. 1 ln x 2 1  C . 2 Chọn B  f  x  dx   x 1 1 1 1  1 x 1 dx     C .  dx  ln 1 2  x 1 x 1  2 x 1 2 Câu 84: Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f  x   1 x2 A. F  x   ln C. 5 x1 2 1 2x  1 C. F  x    ln C. 5 x2 1 ?  2 x  1 x  2  1 x2 B. F  x   ln C 5 2x 1 D. F  x   1 3x  6 ln C. 15 2 x  1 Hướng dẫn giải Chọn D + Ta có F  x    1 1  1 2  1 dx     dx   ln x  2  ln 2 x  1   C  5  x  2 2x 1  5  2 x  1 x  2  1 x2 1 2x 1 1 x2  ln  C   ln  C  ln  C1 . 5 2x 1 5 x2 5 x 1 2 1 . x x B. F  x   ln x  ln x  1 . D. F  x    ln x  ln x  1 . Hướng dẫn giải Câu 85: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f  x   A. F  x   ln x  ln x  1 . C. F  x    ln x  ln x  1 . 2 Chọn D 1 1  Phân tích hàm số f  x    . x 1 x  Các nguyên hàm là ln x  1  ln x  C  một nguyên hàm là F x    ln x  ln x  1 . x 1 Câu 86: Biết  dx  a.ln x  1  b.ln x  2  C . Tính giá trị của biểu thức a  b .  x  1 2  x  A. a  b  1. B. a  b  5 . C. a  b  5 . Hướng dẫn giải D. a  b  1. Chọn D ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng x 1 A B   .  x  1 x  2  x  1 x  2   x  1  A  x  2   B  x  1 .  A  B  1 A  2   . 2 A  B  1  B  3 x 1 3   2 dx     Nên:  dx .  x 1 2  x   x 1 x  2   2ln x  1  3ln x  2  C . Vậy a  2 , b  3 . Vậy a  b  1. x 1 là: x2 1 1 B. ln x   C . C. e x   C . x x Hướng dẫn giải Câu 87: Họ các nguyên hàm của hàm số y  1 A. ln x   C . x Chọn A x 1 1 1 1   x2 dx    x  x 2  dx  ln x  x  C . x Câu 88: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 x 4 1 1 2 A. ln x  4  C . B. C . 2 2 2  x  4 C. 1 4  x  4 2 2 D. ln x  1 C . x D. 2 ln x2  4  C . C . Hướng dẫn giải Chọn A 2 x 1 d  x  4 1 Ta có  2 dx   dx  ln x 2  4  C 2 x 4 2 x 4 2 1 Câu 89: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   . x 1  x 2  A. C.  f  x  dx  ln  f  x  dx   ln 1  x2 C . x 1  x2 C . x B.  f  x  dx  ln D.  f  x  dx   ln x 1  x2 x C . 1  x2 C . Hướng dẫn giải Chọn B 1 (1  x 2 )  x 2 1 1 2 x    . . x (1  x 2 ) x (1  x 2 ) x 2 1  x2 x 1 Khi đó  f ( x)dx  ln x  ln(1  x 2 )  C  ln C . 2 1  x2 1 Câu 90: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 . x  4x  3 1 x 3 1 x3 1 x 3 A. ln C . B. ln C . C.  ln C. 2 x 1 2 x 1 2 x 1 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: f  x   ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 1 x 3 ln C . 2 x 1 Trang 24 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 1  1 1  1 x 3 dx   dx     C .  dx  ln x  4x  3 2  x  3 x 1  2 x 1  x 1 x  3 dx Câu 91: Nguyên hàm  2 . x  4x  5 1 x 1 1 x5 1 x 1 1 x 1 A. ln C . B. ln C . C. ln C . D. ln C . 6 x5 6 x 1 6 x5 6 x 5 Hướng dẫn giải Chọn C dx 1 1 x 1 Ta có:  2  dx  ln  C. 6 x5 x  4x  5  x  1 x  5  . F  x   2 x 3 b dx  a ln x  1   C với a, b   . Chọn khẳng định đúng trong các  2x 1 x 1 khẳng định sau: b 2a a 1 A.  2 . B.  1 . C. a  2b . D.  . a b 2b 2 Hướng dẫn giải Chọn A x 3 x 3 1 2 2 dx   dx   dx   dx  ln x  1  C . Ta có  2 2 2 x  2x 1 x 1 x 1  x  1  x  1 Câu 92: Biết rằng x 2 x3 b b 2 dx  a ln x  1   C  a ln x  1   C  ln x  1  C .  2x 1 x 1 x 1 x 1 a 1 b Suy ra    2. b  2 a 2x  3 Câu 93: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 . 2x  x 1 2 2 2 5 A.  f  x  dx   ln 2 x  1  ln x  1  C . f  x  dx   ln 2 x  1  ln x  1  C  3 3 3 3 B. . 1 5 2 5 C.  f  x  dx   ln 2 x  1  ln x  1  C . D.  f  x  dx   ln 2 x  1  ln x  1  C . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B 2x  3 2x  3 5 1   4 1 Ta có:  2 dx   dx     .  . dx . 2x  x 1  2 x  1 x  1  3 2 x  1 4 x  1  2 d  2 x  1 5 d  x  1 2 5       ln 2 x  1  ln x  1  C . 3 2x  1 3 x 1 3 3 DẠNG 5: NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Suy ra x 2 Câu 94: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  sin x  1 là A. cos x  x  C . B. sin 2 x C.  cos x  x  C .  xC . 2 Hướng dẫn giải D. cos x  C . Chọn C Ta có:  sinx  1   cos x  x  C Câu 95: Cho a   , hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f  x   cos x . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 25 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. F  x   sin x . Tích Phân và Ứng Dụng xa xa . cos 2 2 xa xa D. F  x   2 sin . cos 2 2 Hướng dẫn giải B. F  x   2 cos x  x  C. F  x   2 sin   a  cos   a  . 2  2  Chọn B  cos x dx  sin x  C . xa xa cos  cos x  cos a . Đây không phải là một nguyên hàm của hàm số 2 2 f  x   cos x . Ta có 2 cos Câu 96: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2 x là A.  sin 2 x  C . D. cos 2 x  C . B.  cos2x  C . C. cos2x  C . Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 1 2cos 2 x  1  C =  cos 2 x   C .  2 2 Câu 97: Trong các hàm số sau, hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số g  x   tan x ?  f ( x)dx   sin 2 xdx =  2 cos 2 x  C = 2 (III) f  x   tan 2 x  1 2 cos x B.  II  . C.  II  ,  III  . (I) f  x   tan 2 x  2 (II) f  x   A.  III  . D.  I  ,  II  ,  III  . Hướng dẫn giải. Chọn A 1 dx  tan x  C . cos2 x Câu 98: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x     sin 2 x  cos3x dx . Ta có   tan 2 x  1 dx   1 1  f  x  dx  2 cos 2x  3 sin 3x  C . C.  f  x  dx   cos 2 x  sin 3x  C . A. 1 1  f  x  dx   2 cos 2x  3 sin 3x  C . D.  f  x  dx  cos 2 x  sin 3x  C . B. Hướng dẫn giải Chọn B 1 1 f  x     sin 2 x  cos 3 x dx   cos 2 x  sin 3x  C . 2 3 Câu 99: Nguyên hàm của hàm số f  x   sin x cos x là: A.  sin x cos x . B. 1 1 cos 2 x  C . C.  cos 2 x  C . 4 4 Hướng dẫn giải D. 1 sin 2 x  C . 4 Chọn C sin 2 xdx cos 2 x  C. 2 4 Câu 100: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   4 x  sin 2 x là  sin x cos xdx   sin 3 x C . 3 4x x 1 C.   sin 2 x  C . ln 4 2 4 A. 4 x ln x  B. 4 x ln x  sin 3 x C . 3 4x 1  sin 2 x  C . ln 4 4 Hướng dẫn giải D. ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 26 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Chọn C Ta có: 1  cos 2 x    sin 2 x  dx    4 x   dx 2   x 1 cos 2 x  4 x 1     4x     sin 2 x  C .  dx  2 2  ln 4 2 4  Câu 101: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  tan 2 x .  f  x  dx    4 x  f ( x)dx  tan x  x  C . C.  f ( x)dx  tan x  C .  f ( x)dx  tan x  x  C . D.  f ( x)dx x  tan x  C . A. B. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có :  f ( x)dx  tan 2 xdx   (1  tan 2 x  1)dx   1 dx   dx  tan x  x  C . cos 2 x Câu 102: Nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin 3 x.cos5 x là. 1 1 1 1 A.  f ( x)dx  cos2 x  cos8 x  C . B.  f ( x)dx  cos2 x  sin 8 x  C . 4 16 4 16 1 1 1 1 C.  f ( x)dx  sin 2 x  cos8 x  C . D.  f ( x )dx   cos2 x  cos8 x  C . 4 16 4 16 Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 1  f ( x)dx  2   sin 8x  sin 2 x dx  4 cos2 x  16 cos8x  C . Câu 103: Tính I   8sin 3x cos xdx  a cos 4 x  b cos 2 x  C . Khi đó, a  b bằng A. 1. B. 2. C. 3. Hướng dẫn giải D. 1 . Chọn A I   8sin 3x cos xdx  4  sin 4 x  sin 2 x  dx   cos 4 x  2 cos 2 x  C  a  1, b  2 . Vậy a  b  1 . Câu 104: Nguyên hàm  sin 2 2 xdx là 1 1 x  sin 4 x  C . 2 8 1 1 C. x  sin 4 x  C . 2 4 A. 1 3 sin 2 x  C . 3 1 1 D. x  sin 4 x  C . 2 8 Hướng dẫn giải B. Chọn D 1  cos 4 x 1 1 1 1  dx   x  sin 4 x   C  x  sin 4 x  C . 2 2 4 2 8  DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT Ta có:  sin 2 2 xdx   2x Câu 105: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   5 . 52x C . A.  5 dx  2. ln5 2x C.  52 x dx  2.5 2 x ln 5  C . 25x C . B.  5 dx  2ln 5 25x1 2x C . D.  5 dx  x 1 2x ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 27 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Hướng dẫn giải Chọn B 25x 25x C  C . ln 25 2ln 5 f  x  e2018x. Ta có  52 x dx   25x dx  Câu 106: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 2018 x  f  x  d x  2018 .e  C . A. f  x  dx  2018e2018 x  C C.  . f  x  dx  e B.  f  x  dx  e D.  2018 x 2018 x C . ln 2018  C . Hướng dẫn giải Chọn A Theo công thức nguyên hàm mở rộng. Câu 107: Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f  x   e1 4x ? A. y  4e1 4 x . B. y  1 1 4 x e . 4 C. y  1 1 4 x e . 4 D. y  e1 4 x . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: 1 4 x  f  x  dx   e 1 dx   e1 4 x  C . 4 x Câu 108: Cho F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x  e  2x thỏa mãn F  0   3 . Tìm F  x . 2 A. F  x   e x  x 2  5 . 2 C. F  x   e x  x 2  3 . 2 B. F  x   2e x  x 2  1 . 2 1 D. F  x   e x  x 2  . 2 Hướng dẫn giải Chọn D F  x    e x  2 x dx  e x  x 2  C .   3 3 1  e0  C   C  . 2 2 2 1 F  x   ex  x2  . 2 F 0   x Câu 109: Cho hàm số f  x thỏa mãn f   x  2018 ln2018  cos x và f  0  2 . Phát biểu nào sau đúng? x A. f  x  2018  sin x 1. C. f  x   B. f  x   2018x  sin x 1 . ln 2018 2018x  sin x 1 . ln 2018 x D. f  x  2018  sin x 1. Hướng dẫn giải Chọn D Ta có f  x    2018x ln 2018  cos x dx  2018 x  sin x  C   Mà f  0  2  2018 0  sin 0  C  2  C  1 x Vậy f  x  2018  sin x 1. Câu 110: Tính  (2  e3 x )2 dx ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 28 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 3 x  4 e 3 x  1 e 6 x  C Tích Phân và Ứng Dụng B. 4 x  4 e 3 x  5 e 6 x  C 3 6 4 3x 1 6 x C. 4 x  e  e  C 3 6 3 6 4 3x 1 6 x D. 4 x  e  e  C 3 6 Hướng dẫn giải Ta có: 3x 2 2  e  4e3x e6x dx    4  4e  e  dx  4x   C. 3 6 3x 6x Chọn D F(x)  ex  ex  x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? f (x)  ex ex 1 B. f ( x )  e x  e  x  1 x 2 Câu 111: Hàm số A. C. x x f (x)  e e 1 Ta có:  D. f ( x )  e x  e  x 2 1  x2 2 Hướng dẫn giải e  e  1 dx  e  e  x  C . x  x x x Chọn C Câu 112: Họ nguyên hàm của hàm số f (x)  e2x e3x là : e3 x e2 x  C. A. 3 2 e3 x e3x  C . C. 2 2 e2 x e3x  C . B. 2 3 e2 x e3x  C. D. 3 2 Hướng dẫn giải Ta có:  e 2x  e3x  dx  2x 3 x e e  C . 2 3 Chọn B Câu 113: Họ nguyên hàm của hàm số f (x)  32x 23x là : 3 x 2x 32 x 23x  C . B. 2.ln 3 3.ln 2 32 x 23x  C . D. 2.ln 3 3.ln 2 3 2  C . A. 2.ln 3 3.ln 2 32 x 23x  C . C. 2.ln 3 3.ln 2 Hướng dẫn giải Ta có:  3 2x  23x  dx  2x 3 x 3 2  C . 2.ln3 3.ln 2 Chọn A Câu 114: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e x 1  e  x .   f  x  dx  e C.  f  x  dx  e A. x x  x  f  x  dx  e  x  C . D.  f  x  dx  e  C . C . B.  e x  C . x Hướng dẫn giải Chọn B Ta có  f  x  dx   e x  1 dx  e x  x  C .   2 x Câu 115: F  x là một nguyên hàm của hàm số y  xe . Hàm số nào sau đây không phải là F  x ? ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 29 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng A. F  x   1 e x  2 . B. F  x   1 e x  5 . C. F  x    1 e x  C . D. F  x    1 2  e x  2 2 2 2   2 2 2 2 . Hướng dẫn giải Chọn C  Ta thấy ở đáp án C thì   1 e x  C    xe x  xe x nên hàm số ở đáp án C không là một nguyên 2 2  2 2  2 x hàm của hàm y  xe .  2x x Câu 116: Tìm nguyên hàm F  x của hàm số f  x   2  3   12x 2x x  C . ln12 3 22 x  3x x x  F x   C.    . ln 2  ln 3 4x  x . 4x  x B. F  x   12  x x  C . A. F  x   D. F  x   22 x  3x x x ln 4    . ln 2  ln3 4x  Hướng dẫn giải Chọn A  2x x Ta có f  x  2  3   Nên F  x    x x   12  x 4  x 12x 2x x 12  x dx   C . ln12 3   x  Câu 117: Tính nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2017   A.  C.  2018 f  x  d x  2017e x  4  C . x 504, 5 f  x  d x  2017e x  C . 4 x 2018e  x x5  .  504, 5 C . x4 2018 f  x  d x  2017e x  4  C . x B.  f  x  d x  2017e D.  x  Hướng dẫn giải Chọn B  f  x  dx    2017e x  2018 x  5  d x  2017e x  504, 5 C . x4 22 x.3x.7 x C B. ln 4.ln 3.ln 7 C. 84 x  C Câu 118: Tính  22 x.3x.7 x dx 84 x C A. ln 84 D. 8 4 x ln 84  C Hướng dẫn giải x 2x x x x Ta có: 2 .3 .7 dx  84 dx    84 C . ln84 Chọn A Câu 119: Nguyên hàm e2 x1  2  3 ex dx là: 5 53 x1 2  3x A. e  e  C . 3 3 5 53 x1 2 3x B. e  e  C . 3 3 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 30 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. 5 53 x1 2 3x e  e C . 3 3 D. Tích Phân và Ứng Dụng 5 53 x1 2  3x e  e C . 3 3 Hướng dẫn giải Ta có:  e2 x 1  2 3 ex  e2 x 1 2 dx    x  x  3 e3  e x x       2 x 1 3x  35 x1 5 53 x 1 2  3x 3 3 dx   e  2 e dx  e  2 e dx  e  e C .       3 3     Chọn D Câu 120: Cho F  x là nguyên hàm của hàm số f  x    1 và F  0    1 ln 4 . Tập nghiệm S của e 3 3 x  phương trình 3F  x   ln e x  3  2 là A. S  2 . B. S  2;2 . C. S  1;2 . Hướng dẫn giải D. S 2;1 . dx 1  ex  1 x  1    dx  x  ln  e  3  C . x x  e 3 3  e 3 3 Do F  0    1 ln 4 nên C  0 . Vậy F  x   1 x  ln  e x  3  . 3 3 Ta có: F  x          Do đó: 3F  x   ln e x  3  2  x  2 Chọn A Câu 121: Hàm số F  x   1 e 3 x 1  9 x 2  24 x  17   C là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây. 27  f  x   x   2 x  1 e A. f  x   x  2 x  1 e3 x 1 . C. 2 2 3 x 1  f  x   x   2 x  1 e B. f  x   x 2  2 x  1 e3 x 1 . . D. 2 3 x 1 . Hướng dẫn giải Chọn C 1  3 x 1  1 3 x 1   Fx   e 9 x 2  24 x  17    3.e 9 x 2  24 x  17   e 3 x 1  9 x 2  24 x  17      27 27     1  3 x 1 1  3.e  9 x 2  24 x  17   e 3 x 1 18 x  24    27 e 3 x 1  27 x 2  54 x  27   e 3 x1  x 2  2 x  1 . 27      Câu 122: Cho hai hàm số F  x   x2  ax  b e x và f  x    x 2  3x  6 e x . Tìm a và b để F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x . A. a  1 , b   7 . B. a   1 , b   7 . C. a   1 , b  7 . D. a  1 , b  7 . Hướng dẫn giải Chọn B 2  a  3  a  1 Ta có F   x    x2   2  a  x  a  b e x  f  x  nên  .  a  b  6 b   7       Câu 123: Cho F  x   ax 2  bx  c e2 x là một nguyên hàm của hàm số f  x   2018x 2  3x  1 e2 x trên khoảng  ;  . Tính T  a  2b  4c . A. T   3035 . B. T  1007 . C. T  5053 . Hướng dẫn giải D. T  1011 . Chọn A ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 31 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Tích Phân và Ứng Dụng    Vì F  x   ax 2  bx  c e2 x là một nguyên hàm của hàm số f  x   2018x 2  3x  1 e2 x trên  khoảng  ;  nên ta có: F  x   f  x  , với mọi x ;  .     2ax 2  x  2b  2a   2c  b  e2 x   2018 x2  3x  1 e2 x , với mọi x ;  .   a  1009 2a  2018    2b  2a  3  b   2021 . 2 2c  b  1   2023   c   4  2021   2023    4.     3035 . 2  4    là một nguyên hàm của hàm số f  x    2 x 2  5x  2 e x trên  . Vậy T  a  2b  4c  1009  2.     Câu 124: Biết F  x   ax 2  bx  c e x Tính giá trị của biểu thức f  F  0  . A.  e  1 . B. 20e 2 . C. 9e . Hướng dẫn giải D. 3e . Chọn C Ta có F   x    ax2  bx  c  e x   ax2  bx  c  e x    2ax  b  e x   ax 2  bx  c  e x F   x   ax2   2a  b  x  b  c  e x     Vì F  x   ax 2  bx  c e x là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x 2  5x  2 e x trên  nên: F   x   f  x  , x    ax 2   2a  b  x  b  c  e  x   2 x 2  5x  2  e  x , x    a  2 a  2    2a  b  5  b  1 . b  c  2 c  1     f  F  0    f  1   2.1   Như vậy F  x   2 x2  x  1 e x  F  0   2.02  0  1 e0  1. Bởi vậy 2  5.1  2 e  9e . DẠNG 7: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN BIẾT HÀM f   x  Câu 125: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f '( x)  A. f (5)  2ln3 1. 1 , f (1)  1 . Tính f (5) 2x 1 1 B. f (5)  ln 3 . C. f (5)  ln 2 . 2 Hướng dẫn giải D. f (5)  ln 3  1 . Chọn D 1 1 dx  ln 2 x  1  C 2x 1 2 1 1 Lại có f (1)  1  ln 1  C  1  C  1  f ( x )  ln 2 x  1  1 . 2 2 Vậy f (5)  ln 3  1 Ta có: f ( x)   f '( x)dx   ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 32 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 126: Cho hàm số f  x  thỏa mãn đồng thời các điều kiện f   x   x  sin x và f  0   1 . Tìm f  x  . x2 A. f  x    cos x  2 . 2 x2 C. f  x    cos x . 2 x2 B. f  x    cos x  2 . 2 x2 1 D. f  x    cos x  . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có f   x   x  sin x  f  x   x2  cos x  C ; f  0   1  1  C  1  C  2 . 2 x2 Vậy f  x    cos x  2 . 2 Câu 127: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   3  5cos x và f  0   5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f  x   3 x  5sin x  2 . B. f  x   3 x  5sin x  5 . C. f  x   3 x  5sin x  5 . D. f  x   3 x  5sin x  5 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có f  x     3  5cos x  dx  3x  5sin x  C . Lại có: f  0   5  3.0  5sin 0  C  5  C  5 . Vậy f  x   3 x  5sin x  5 .   Câu 128: Tìm hàm số y  f  x  biết f   x   x 2  x  x  1 và f  0   3 . x4 x2  3. 4 2 4 x x2 C. f  x     3 . 4 2 A. f  x   B. f  x   3 x 2  1 . D. f  x   x4 x2  3. 4 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có f   x   x 2  x  x  1  x 3  x 2  x 2  x  x 3  x .   x4 x2 x4 x2   C mà f  0   3  C  3 . Vậy f  x    3. 4 2 4 2 1 f x  1 f  0   2017 f  2   2018 Câu 129: Cho hàm số xác định trên thỏa mãn f   x   , , . x 1 S  f  3  f  1 Tính . A. S  4 . B. S  ln 2 . C. S  ln 4035 . D. S  1 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 Ta có  f  x  dx   dx  ln  x  1   C . x 1  f  x   ln  x  1   2017 khi x  1 Theo giả thiết f  0   2017 , f  2   2018 nên  . f x  ln x  1  2018 khi x  1      Suy ra f  x     x 3  x  dx  Do đó S  f  3  f  1  ln 2  2018  ln 2  2017  1 . Câu 130: Cho hàm số f x trị của biểu thức xác định trên f  2   f  3  2 thỏa mãn f   x   3x 1 f  0   1 f  4   2 , và . Giá x2 bằng: ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 33 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 3  20 ln 2 . B. ln 2 . Tích Phân và Ứng Dụng C. 12 . Hướng dẫn giải D. 10  ln 2 . Chọn C 3 x  2  7 3x  1 7   dx   dx    3   dx x2 x2 x2  3 x  7 ln  x  2   C1 , x  2  3x  7 ln x  2  C   . 3 x  7 ln  x  2  C , x   2    2 Xét trên  2;   , ta có f  0   1  3.0  7 ln 2  C1  1  C1  1  7ln 2 Ta có f  x     f  2   3.2  7 ln 4  1  7 ln 2   7  7 ln 2 . Xét trên  ; 2  , ta có f  4   2  3.  4   7 ln 2  C2  2  C2  14  7 ln 2  f  3  3. 3  7 ln1  14  7 ln 2   5  7 ln 2 . Do đó f  2   f  3  12 . Câu 131: Cho hàm số f  x  xác định trên  1 thỏa mãn f   x   Giá trị f  3 bằng A. 2  ln 2 . B. 1  2 ln 2 . 3 ; f  0   1 và f 1  f  2   2 . x 1 C. 1  ln 2 . Hướng dẫn giải D. 1. Chọn D Ta có: f  x    f   x  dx   3 dx  3ln x  1  C x 1 +) Với x   1  f  x   3 ln  x  1  C1 Ta có: f  0   1  C1  1  f 1  3 ln 2  1 +) Với x   1  f  x   3 ln   x  1  C2 Ta có: f  2   3 ln1  C 2  C2 Từ f 1  f  2   2  3ln 2  1  C2  2  C2  1  3ln 2  f  3   3 ln 2  1  3 ln 2  1 . Câu 132: Cho hàm số f  x  xác định trên  0 thỏa mãn1 f   x  x  2  1 x3 2 , f  1  1 và f 1  2 . Giá trị của biểu thức f  2   f  2  bằng A. 27  4 ln 2 . 4 B. 3  4ln 2 . 4 C. 4 ln 2 . D. 15  4ln 2 4 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có 2 1  x x3 1 2 1   f  x   2 x  2 ln x  2 x 2  C1  x  0    f  x   1 x 2  2 ln   x   1  C  x  0  2  2 2x2 Theo giải thiết f 1  2  C1  2 và f  1  1  C2  1 f  x  x  ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 34 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 2 1 1 1 x  2ln x  2  2  x  0  và f  x   x 2  2ln   x   2  1  x  0  2 2x 2 2x 23 31 Từ đó suy ra f  2    2 ln 2 và f  2    2ln 2 8 8 27  f  2   f  2    4ln 2 . 4 Câu 133: Hàm số f  x  xác định, liên tục trên  và có đạo hàm là f   x   x  1 . Biết rằng f  0   3 . Vậy f  x   Tính f  2   f  4  ? A. 10 . B. 12 . C. 4 . Hướng dẫn giải D. 11 . Chọn B khi  x 1 Ta có f   x       x  1 khi x 1 x 1 . x2 Khi x  1 thì f  x     x  1 dx   x  C1 . 2  x2  Khi x  1 thì f  x      x  1 dx     x   C2 .  2   x2   f  x     x   3 C 3  2  Theo đề bài ta có f  0   3 nên 2 khi x  1 . Mặt khác do hàm số f x 2 liên tục tại x 1 nên lim f  x   lim f  x   f 1 x 1 x1 2  x  x  1    1   lim     x   3  lim   x   C1      1  3   1  C1  C1  4 . x 1 2 2    x1  2    2  x2 Vậy khi x  1 thì f  x    x  4  f  2   f  4   12 . 2 Câu 134: Biết hàm số y  f  x  có f   x   3 x 2  2 x  m  1 , f  2   1 và đồ thị của hàm số y  f  x  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 . Hàm số f  x  là A. x3  x 2  3x  5 . B. x3  2 x 2  5 x  5 . C. 2 x3  x 2  7 x  5 . Hướng dẫn giải D. x3  x 2  4 x  5 . Chọn A Ta có f  x    3x 2  2 x  m  1 dx  x3  x2  1  m  x  C .    f  2   1 2 1  m   C  12  1 m  4 Theo đề bài, ta có     f  x   x 3  x 2  3x  5 C   5  f  0   5 C  5 1 Câu 135: Cho hàm số f  x  xác định trên  2;1 thỏa mãn f   x   2 và f  3  f  3  0 . x  x2 Giá trị của biểu thức f  4   f  4  bằng 1 B.  ln 2 . 3 A. 0 . 1 ln 2 . 3 Hướng dẫn giải C. D. 1 ln 5 . 3 Chọn B Ta có: f   x   1 1 1 1 1      x  x  2  x  1 x  2  3  x  1 x  2  2 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 35 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 Suy ra: f  x    f   x  dx  ln x  1  ln x  2  C 3 3 1 1  3 ln  x  1  3 ln  x  2   C1 khi x  1  1 1  f  x    ln 1  x   ln  x  2   C2 khi  2  x  1 . 3 3 1 1  3 ln 1  x   3 ln  2  x   C3 khi x  2  1 1 1 1 1 Mà f  3  f  3  0  ln 4  C3  ln 2  ln 5  C1  0  C3  C1   ln 2  ln 5 . 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1  f  4   f  4   ln 5  ln 2  C3  ln 3  ln 6  C1   ln 2 . 3 3 3 3 3 1 Câu 136: Cho hàm số f  x  xác định trên  1;1 và thỏa mãn f   x   2 . Biết rằng x 1  1 1 f  3  f  3  0 và f     f    2 . Tính T  f  2   f  0   f  4  .  2 2 9 6 1 9 1 6 A. T  1  ln . B. T  1  ln . C. T  1  ln . D. T  1  ln . 5 5 2 5 2 5 Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: 1 x 1 dx 1 x 1  ln  C1  ln Trên khoảng  ; 1  1;   : f ( x)   f ( x)dx   2  C1 . x 1 2 x 1 2 x 1 1 x 1 dx 1 1 x  ln  C2  ln Trên khoảng  1;1 : f ( x)   f '( x)dx   2  C2 . x 1 2 x 1 2 x 1  f  3  f  3  0 C1  0  Theo đề   1  nên  . 1 C  1 f   f  2  2       2   2  1 x 1  2 ln x  1 khi x  (; 1)  (1; ) Suy ra f ( x )    1 ln 1  x +1 khi x  (1;1)  2 x  1 1 1 1 3 1 9  T  f  2   f  0   f  4   ln 3  ln1  1  ln  1  ln . 2 2 2 5 2 5 Cách 2: 1 x 1 1 C Với mọi x   1 , ta có: f  x    f   x  dx   2 dx  ln 2 x 1 x 1 Vì hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thuộc  1;1 nên hàm số liên tục trên các khoảng  ; 1 ,  1;1 , 1;   . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 36 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  x 1 ln x  1  C1 , x  1   1 x  C2 , 1  x  1 Do đó: f  x   ln  x 1  x 1 ln x  1  C3 , x  1  1  ln 2  C1  ln 2  C3  0 C1  C3  0    1 1   f    2 ln 3  C  ln 1  C  2 C2  1 2 2  2  2  3 3 9 Vậy T  f  2   f  0   f  4   ln 3  C1  ln1  C2  ln  C3  1  ln 5 5 f  Theo giả thiết:  f   3  f  3  0 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 37 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 1. Đổi biến dạng 1  f ( x)dx  F ( x)  C Nếu : và với u    t  là hàm số có đạo hàm thì :  f (u )du  F ( (t ))  C 1.1. Phương pháp chung  Bước 1: Chọn x    t  , trong đó   t  là hàm số mà ta chọn thích hợp .  Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx   '  t  dt  Bước 3: Biến đổi : f ( x)dx  f   t    '  t  dt  g  t  dt  Bước 4: Khi đó tính :  f ( x)dx   g (t )dt  G (t )  C . 1.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp Dấu hiệu Cách chọn    Đặt x  a sint ; với t    ;  . hoặc x  a cost ;  2 2 a2  x2 với t   0;   . Đặt x  x2  a2 a a    . ; với t    ;  0 hoặc x  sint cost  2 2   với t   0;     . 2    Đặt x  a tant ; với t    ;  . hoặc x  a cot t  2 2 a2  x 2 với t   0;   . a x . hoặc ax ax . a x  x  a  b  x  1 a  x2 2 Đặt x  acos 2t Đặt x  a  (b – a)sin2t    Đặt x  atant ; với t    ;  .  2 2 2. Đổi biến dạng 2 Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x    t  . Trong đó   t  cùng với đạo hàm của nó (  '  t  là những hàm số liên tục) thì ta được :  f ( x)dx   f   t   '  t  dt   g (t )dt  G (t )  C . 2.1. Phương pháp chung  Bước 1: Chọn t=   x  . Trong đó   x  là hàm số mà ta chọn thích hợp .  Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt   '  t  dt .  Bước 3: Biểu thị : f ( x )dx  f   t    '  t  dt  g (t )dt .  Bước 4: Khi đó : I   f ( x)dx   g (t )dt  G (t )  C 2.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp : File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 68 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dấu hiệu Hàm số mẫu số có Tích Phân và Ứng Dụng Cách chọn t là mẫu số  Hàm số : f x;   x   t    x Hàm f  x   a.s inx+b.cosx c.s inx+d.cosx+e Hàm f  x   1 x  x  t  tan ;  cos  0  2  2  Với : x  a  0 và x  b  0 .  x  a  x  b  Đặt : t  x  a  x  b Với x  a  0 và x  b  0 . Đặt : t   x  a   x  b BÀI TẬP HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. DẠNG 1: PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN 2x Cho hàm số f  x   2 . Khi đó: x 1 A.  f  x dx  2 ln 1  x 2   C . B.  f  x dx  3ln 1  x 2   C . C.  f  x dx  4 ln 1  x   C . 2 D.  f  x dx  ln 1  x   C . 2 Hướng dẫn giải d  x  1 2x.dx   ln x 2  1  C . 2 2 1 x 1 2 Ta có: x Chọn D Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  2 x là : x  4x  4 2 1 .ln x 2  4 x  4  C . 2 C. 2 ln x 2  4 x  4  C . B. ln x 2  4 x  4  C . A. D. 4 ln x 2  4 x  4  C . Hướng dẫn giải x2 1 d  x  4 x  4 1 Ta có:  2 dx   . 2  .ln x 2  4 x  4  C . x  4x  4 2 x  4x  4 2 Chọn A 3x2 Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  3 là: x 4 A. 3ln x 3  4  C B. 3ln x3  4  C 2 Câu 3. C. ln x 3  4  C D.  ln x 3  4  C Hướng dẫn giải d  x  4 3 x .dx   ln x3  4  C 3 3 4 x 4 3 2 Ta có: x Chọn C Câu 4. Tính F ( x)   x3 dx x4 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 69 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. F ( x )  ln x 4  1  C Câu 5. Tích Phân và Ứng Dụng 1 B. F ( x )  ln x 4  1  C 4 1 D. F ( x )  ln x 4  1  C 3 1 C. F ( x )  ln x 4  1  C 2 x3 1 d ( x 4  1) 1  ln x 4  1  C Ta có:  4 dx   4 x 1 4 x 1 4 Hướng dẫn giải 3 4 x 1 d ( x  1) 1  ln x 4  1  C Ta có:  4 dx   4 x 1 4 x 1 4 Chọn B sin x Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  là cos x  3 A.  ln cos x  3  C B. 2ln cos x  3  C C.  ln cos x  3 C 2 D. 4ln cos x  3  C Hướng dẫn giải Ta có: Câu 6. Câu 7. sin x  cos x  3 dx   Chọn A Nguyên hàm của hàm số: y  sin3 x.cosx là: 1 1 1 A. cos 4 x  C . B. sin 4 x  C . C. sin 3 x  C . 4 4 3 Hướng dẫn giải sin 4 x C . Ta có:  sin 3 x.cos x.dx   sin 3 x.d  sin x   4 Chọn B Tính  cos x.sin 2 x.dx 3sin x  sin 3 x C 12 sin 3 x C C. 3 A. Câu 8. B. D.  cos 2 x  C . 3cos x  cos 3 x C 12 D. sinx .cos 2 x  C Hướng dẫn giải sin 3 x C Ta có:  cos x.sin 2 x.dx   sin 2 x.d  sin x   3 Chọn C Họ nguyên hàm của hàm số f  x   tan x là: A. ln cos x  C C. Câu 9. d  cos x  3   ln cos x  3  C cos x  3 tan 2 x C 2 B.  ln cos x  C D. ln  cos x   C Hướng dẫn giải d  cosx  sin x.dx     ln cos x  C Ta có:  tan x.dx   cos x cos x Chọn B ex Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  x là: e 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 70 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. e x  3  C C. 2 ln e x  3  C Tích Phân và Ứng Dụng B. 3e x  9  C D. ln e x  3  C Hướng dẫn giải d  e  3 e x dx   e x  3  e x  3  ln e  3  C Chọn D 2 Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  2 x 2 x là: 1 1 x2 ln 2 A. C B. .2  C C. x2  C x2 ln 2 ln 2.2 2 Hướng dẫn giải 2 2 2 1 1 1 x2 Ta có:  2 x.2 x dx  2 x.2 x .ln 2  d 2x  .2  C   ln 2 ln 2 ln 2 Chọn B 2 Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 xe x là: x x Ta có: 2 D. ln 2.2x  C   2 e x C . A. 2 C. e x  C . ex B. C . 2 2 D. e x  C . Hướng dẫn giải  e 2 Ta có:  2 x.e x dx   d e x 2 x2 C . Chọn D 2 Câu 12. Tính  x.e x 1dx A. e x C. 2 1 1 x2 e C. 2 1 2 D. e x 1  C . 2 Hướng dẫn giải C . B. 1 x2 1 e C . 2 2 Ta có: I   xe x 1dx  2 1 1 2 d (e x 1 )  e x 1  C .  2 2 Chọn C Câu 13. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   ln x . x 2 1 2  f  x  dx  2 ln x  C . D.  f  x  dx  e  C  f  x  dx  ln x  C . C.  f  x  dx  ln x  C A. B. x Hướng dẫn giải Chọn B Ta có Câu 14. Nguyên hàm A. 1  f  x  dx   ln xd  ln x   2 ln  2 xC . 1  ln x dx  x  0  bằng x 1 2 ln x  ln x  C . 2 B. x  ln 2 x  C . C. ln 2 x  ln x  C . 1 D. x  ln 2 x  C . 2 Hướng dẫn giải Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 71 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1  ln x 1 ln x 1 1 dx   dx   dx   dx   ln xd  ln x   ln x  ln 2 x  C . x x x x 2 2x Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 ln( x 2  1) là: x 1 1 2 2 A. ln ( x  1)  C B. ln( x2  1)  C 2 1 1 C. ln 2 ( x 2  1)  C D. ln 2 ( x 2  1)  C 2 2 Hướng dẫn giải 2x 1 Ta có:  2 ln( x 2  1)dx   ln( x 2  1) d(ln( x 2  1))  ln 2 ( x 2  1)  C x 1 2 Chọn D dx Câu 16. Tính  x.ln x A. ln x  C B. ln | x |  C C. ln(lnx)  C D. ln | lnx |  C Hướng dẫn giải d  ln x  dx   ln ln x  C Ta có:  x.ln x ln x Chọn D Ta có  Câu 17. Họ nguyên hàm A.  x. 3 1 3 2 . ( x  1)  C. 8 x 2  1dx bằng B. 3 3 2 3 . ( x  1)  C. C. . 3 ( x 2  1)4  C. 8 8 Hướng dẫn giải D. 1 3 2 . ( x  1)4  C. 8 Chọn C 1 4 4 1 3 2 3 2 3 d x2  1  3 C x  1 x  1  3  x 2  1  C .        2 8 8 DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ Ta có 3 2  x. x  1dx   f u  x   .u '  x  dx  F u  x    C . Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I   f  x  dx , trong đó ta có thể phân tích f  x   g  u  x   u '  x  Nếu  f  x  dx  F  x   C thì thì ta thực hiện phép đổi biến số t  u  x  , suy ra dt  u '  x  dx . Khi đó ta được nguyên hàm:  g  t  dt  G  t   C  G u  x   C. Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t  u  x  . HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC Câu 18. Cho  f ( x )dx  F ( x)  C. Khi đó với a  0, ta có 1 F (a x  b)  C 2a 1 C. F (a x  b)  C a A.  f (a x  b)dx bằng: B. a.F (a x  b)  C D. F (a x  b)  C Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 72 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Ta có: I   f  ax  b  dx Đặt: t  ax  b  dt  adx  1 dt  dx . a 1 1 f  t  dt  F  t   C  a a 1 Suy ra: I  F  ax  b   C a Chọn C Câu 19. Hàm số f ( x)  x(1  x)10 có nguyên hàm là: Khi đó: I  ( x  1)12 ( x  1)11  C . A. F ( x)  12 11 ( x  1)11 ( x  1)10  C . C. 11 10 ( x  1)12 ( x  1)11  C. B. F ( x)  12 11 ( x  1)11 ( x  1)10  C . D. F ( x)  11 10 Hướng dẫn giải 10 Ta có: I   x. 1  x  .dx . Đăt: t  1  x   dt  dx , x  1  t . Khi đó I    t  1 .t10 .dt   (t11  t10 ).dt  Suy ra I  1 12 1 11 t  t c 12 11 1 1 12 11 1  x   1  x   C . 12 11 Chọn A Câu 20. Tính  dx thu được kết quả là: (1  x 2 ) x A. ln x  x 2  1  C . B. ln x 1  x 2  C . 1 x2 .ln C . 2 1  x2 1  x2 Hướng dẫn giải dx xdx 1  Ta có:  . Đặt: t  1  x 2  dt  x.dx , x 2  t  1 . 2 2 2 (1  x ) x (1  x ) x 2 x C. ln C . D. 1 1 1 t 1 1 x2 Khi đó: I   . dt  .ln  C  I  ln  C. 2 t.  t  1 2 t 2 1  x2 Chọn D 3 Câu 21. Tính  x  x  1 dx là :  x  1 A. 5 C. 5  x  1  4 4 C x5 3x 4 x2   x3   C 5 4 2 B.  x  1 5 5  x  1  4 4 C x5 3x 4 x2   x3   C 5 4 2 Hướng dẫn giải D. 3 Ta có: I   x  x  1 dx Đặt: t  x  1  dt  dx , x  t  1  t5 t 4  Khi đó: I    t  1 .t 3 .dt    t 4  t 3  dt      C 5 4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 73 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Suy ra:  x  1 I 5 5  x  1  Tích Phân và Ứng Dụng 4 C 4 Chọn B 5 Câu 22. Xét I   x 3  4 x 4  3  dx . Bằng cách đặt: u  4 x 4  3 , khẳng định nào sau đây đúng? A. I  1 u 5du .  16 B. I  1 u 5du . C. I   u 5 du .  12 Hướng dẫn giải D. I  1 5 u du . 4 Chọn A u  4 x 4  3  du  16 x 3dx  1 d u  x 3 dx . 16 1 u 5 du .  16 6 8 7 Câu 23. Cho  2 x  3x  2  dx  A  3x  2   B  3x  2   C với A , B   và C   . Giá trị của biểu I  thức 12 A  7 B bằng 23 A. . 252 B. 241 . 252 52 . 9 Hướng dẫn giải C. D. 7 . 9 Chọn D t2 1  dt  dx . 3 3 2 t8 4 t 7 2 t 2 6 2 1 4 8 7 Ta có:  .t dt    t 7 +2t 6  dt  .  .  C  .  3 x  2   .  3 x  2   C . 3 3 9 9 8 9 7 36 63 1 4 1 4 7 Suy ra A  , B  , 12.  7.  . 36 63 36 63 9 x Câu 24. Nguyên hàm của  2 dx là: x 1 A. ln t  C , với t  x 2  1 . B.  ln t  C , với t  x 2  1 . Đặt t  3 x  2  x  1 ln t  C , với t  x 2  1 . 2 C. 1 D.  ln t  C , với t  x 2  1 . 2 Hướng dẫn giải Đặt t  x 2  1  dt  2 xdx . x 1 1 1  2 dx  ...   dt  ln t  C . x 1 2 t 2 Chọn C HÀM CHỨA CĂN THỨC Câu 25. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  3 2 A.  f  x  dx  3 x C.  f  x  dx  3  2 x  3 2x  3  C . 2 2x  3  C . 1 B.  f  x  dx  3  2 x  3 D.  f  x  dx  2x  3  C . 2x  3  C . Hướng dẫn giải Chọn B Xét I   Đặt   2 x  3 dx . 2 x  3  t  t 2  2 x  3  2tdt  2dx . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 74 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 3 1 1 1 I   t.tdt   t 2 dt  t 3  C  2 x  3  C   f  x  dx   2 x  3 2 x  3  C . 3 3 3 3 Câu 26. Hàm số F  x  nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số y  x  1 ?  A. F  x  C. F  x   4 3  x  1 3  C 8 . 3  x  1 3 x  1  C . 4  43 4  x  1  C . 3 3 3 D. F  x   4  x  1  C . 4 Hướng dẫn giải B. F  x   Chọn C Ta có: I   3 x  1dx . Đặt: t  3 x  1  t 3  x  1  3t 2 dt  dx . 3 3 3 4  I   t.3t 2 dt   3t 3dt  t 4  C  3  x  1  C   x  1 3 x  1  C . 4 4 4 3 Vậy F  x    x  1 3 x  1  C . 4 1 Câu 27. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   . 2 2x 1 1 A.  f  x dx  2x 1  C . B.  f  x dx  2 x  1  C . 2 1 C.  f  x dx  2 2 x  1  C . D.  f  x dx  C .  2 x  1 2 x  1 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 2 x  1  t  2 x  1  t 2  dx  tdt . 1 1 tdt 1 1 1 Khi đó ta có  2 x  1dx      dt  t  C  2x 1  C . 2 2 t 2 2 2 Câu 28. Một nguyên hàm của hàm số: f ( x )  x 1  x 2 là: 3 1 1 A. F ( x)  1  x2 B. F ( x)  1  x2 3 3 2 x2 1 1  x2 C. F ( x)  D. F ( x)  1  x2 2 2 Hướng dẫn giải Ta có: I   x 1  x 2 dx       2   2 Đặt: t  1  x 2  t 2  1  x 2  t.dt  x.dx Khi đó: I   t.t.dt   t 2 dt  Suy ra: I  1 3  1  x2 t3 C 3 3  C Chọn A Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  2 x 1  x 2 là: 3 3 1 A. 1  x2   C B.  1  x 2   C  3 3 3 2 C. 2 1  x 2   C D.  1  x2   C  3 Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 75 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Ta có: I   2 x 1  x 2 dx Đặt: t  1  x 2  t 2  1  x 2  2tdt  2 xdx . 2t 3 K Khi đó: I   t.  2t  .dt   2t 2 .dt   3 3 2 Suy ra: I   1  x2   C .  3 Chọn D Câu 30. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  x 3 3x  1 là: 1 3 1 1 3 1 7 5 6 4 A. B.  3 x  1  3  3 x  1  C .  3x  1  3  3 x  1  C . 21 15 18 12 1 1 3 1 3 4 C. 3  3 x  1  3  3 x  1  C . D.  3 x  1  3  3 x  1  C . 9 12 3 Hướng dẫn giải Ta có: I   x 3 3 x  1dx . Đặt: t  3 3x  1  t 3  3x  1  t 2 .dt  dx t3 1 2 1 1  t 7 t5  .t.t .dt    t 6  t 4  dt      C 3 3 3 7 5  1 1 1 7 5  Suy ra I   3  3 x  1  3  3 x  1   C . 3 7 5  Chọn A Khi đó: I   Câu 31. Cho I   x3 x 2  5dx , đặt u  x 2  5 khi đó viết I theo u và du ta được A. I   (u 4  5u 2 )du. B. I   u 2 du. C. I   (u 4  5u 3 )du. D. I   (u 4  5u 3 )du. Hướng dẫn giải. Chọn A Đặt u  x 2  5  u 2  x 2  5  udu  xdx Khi đó: I   x3 x 2  5dx   x 2 .x. x 2  5dx    u 2  5  .u.udu    u 4  5u 2  du 4 Câu 32. Cho I   x 1  2 x dx và u  2 x  1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 3 1 A. I   x 2  x 2  1 dx . 21 3 1  u5 u 3  C. I     . 2  5 3 1 3 B. I   u 2  u 2  1 du . 1 3 1 D. I   u 2  u 2  1 du . 21 Hướng dẫn giải Chọn B 4 I   x 1  2 x dx 0 Đặt u  2 x  1  x  1 2  u  1  dx  u du , đổi cận: x  0  u  1 , x  4  u  3 . 2 3 1 u 2  1 u 2 du .   21 x3 dx , bằng cách đặt u  x  1 ta được nguyên hàm nào? Câu 33. Khi tính nguyên hàm  x 1 Khi đó I  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 76 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A.  2u  u 2  4 du . B.  u 2  4 du . Tích Phân và Ứng Dụng C.  2  u 2  4 du . D.  u 2  3du . Hướng dẫn giải Chọn C dx  2u du Đặt u  x  1 , u  0 nên u 2  x  1   . 2 x  u  1  2 x3 u 1  3 dx   .2u du   2  u 2  4 du . Khi đó  u x 1 5 Câu 34. Tính tích phân: I   1 A. 2 . dx được kết quả I  a ln 3  b ln 5 . Tổng a  b là x 3x  1 B. 3 . C. 1 . D. 1 . Hướng dẫn giải Chọn D 5 I  1 dx x 3x  1 u 2 1 1  dx  2udu 3 3 Đổi cận: x  1  u  2 x  5  u  4 4 4 4 u  1   u  1 2 u 1 3 1 Vậy I   2 du   du  ln  ln  ln  2 ln 3  ln 5 u 1 2 5 3 2 u 1 2  u  1 u  1 Do đó a  2; b  1  a  b  1 . Đặt u  3x  1  x  Câu 35. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   1 2 x  2  1  x2  C  3 1 2 C.  x  1 1  x 2  C 3 A. Ta có : I   x3 1  x2 x3 1  x2 là: 1 2 x  1 1  x 2  C  3 1 D.   x 2  2  1  x 2  C 3 Hướng dẫn giải B.  dx Đặt t  1  x 2  t 2  1  x 2  tdt  xdx (1  t 2 ) t3 2 tdt   (t  1)dt   t  C . Khi đó: I   t 3 ( 1  x 2 )3 1 Thay t  1  x ta được I   1  x 2  C    x2  2  1  x 2  C . 3 3 Chọn D 2 HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 36. Theo phương pháp đổi biến số với t  cos x, u  sin x , nguyên hàm của I    tan x  cot x  dx là: A.  ln t  ln u  C . B. ln t  ln u  C . C. ln t  ln u  C . D.  ln t  ln u  C . Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 77 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có:   tan x  cot x  dx   Tích Phân và Ứng Dụng sin x cos x dx   dx . cos x sin x sin x 1 dx . Đặt t  cos x  dt   sin xdx  I1    dt   ln t  C1 . cos x t cos x 1 Xét I 2   dx . Đặt u  sin x  du  cos xdx  I 2   du  ln u  C2 . sin x u  I  I1  I 2   ln t  ln u  C Xét I1   Chọn A   F  F  x f  x   sin x.cos x F  0   Câu 37. Biết là một nguyên hàm của hàm số và . Tính  2  .   F     1       1 A.  2  . B. F     . C. F       . D. F      . 4 2 2 2 4 Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t  sin x  dt  cos xdx . t4 sin 4 x 3 3 C . F  x    f  x  dx   sin x cos xdx   t dt   C  4 4 sin 4  sin 4 x  C    C    F  x   . F  0    4 4  sin 4    2  1  . F  4 4 2 sin 2 x Câu 38. Tìm nguyên hàm  dx . Kết quả là 1  sin 2 x 3 A. 1  sin 2 x C. 2 B. 1  sin 2 x  C . C.  1  sin 2 x  C . D. 2 1  sin 2 x  C . Hướng dẫn giải. Chọn D Đặt t  1  sin 2 x  t 2  1  sin 2 x  2tdt  sin 2 xdx   sin 2 x 1  sin 2 x dx   2t dt t   2dt  2t  C  2 1  sin 2 x  C Câu 39. Theo phương pháp đổi biến số  x  t  , nguyên hàm của I   A. 2 3 t  C . B. 6 3 t  C . C. 3 3 t  C . Hướng dẫn giải 2sin x  2 cos x dx là: 3 1  sin 2 x D. 12 3 t  C . Ta có: 2  sin x  cos x  2 sin x  2 cos x I  3 dx   dx . 2 3 1  sin 2 x  sin x  cos x  Đặt t  sin x  cos x  dt   sin x  cos x  dx . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 78 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A I  2 3 t2 dt  2. Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 t3  C  63 t  C .  2 1     3 Chọn B HÀM MŨ –LÔGARIT Câu 40. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 e x 3 1 3 1 1  A.   t 5  2t 3   dt  t 4  t 2  ln t  C . B.  f  x  dx  3e x 1  C . t 4  x3 3 1 3 C.  f  x  dx  e x 1  C . D.  f  x  dx  e x 1  C . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t  x 3  1  dt  3x 2 dx 3 1 1 1 3 Do đó, ta có  f  x  dx   x 2 e x 1dx   et . dt  et  C  e x 1  C . 3 3 3 1 x3 1 Vậy  f  x  dx  e  C . 3 dx Câu 41. Tìm nguyên hàm I   . 1  ex A. I  x  ln 1  e x  C . B. I  x  ln 1  e x  C . C. I   x  ln 1  e x  C . D. I  x  ln 1  e x  C . Hướng dẫn giải Chọn D dx e x dx . I   1  e x  e x 1  e x  Đặt t  e x  dt  e x dx e x dx dt 1 1  x x x I  x       ln t  ln t  1  C  ln e  ln e  1  C  x  ln e  1  C x t (1  t ) e 1  e   t t 1  Câu 42. Với phương pháp đổi biến số  x  t  , nguyên hàm A. 1 2 t C. 2 B. t 2  C .  ln 2x dx bằng: x C. 2t 2  C . D. 4t 2  C . Hướng dẫn giải 1 1 Đặt t  ln 2 x  dt  2. dx  dt  dx . 2x x ln 2 x 1  dx  ...   tdt  t 2  C . x 2 Chọn A Câu 43. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số y  2sin x.2cos x  cos x  sin x  ? sin x cos x C . A. y  2 B. y  2sin x.2cos x . ln 2 sin x cos x C. y  ln 2.2 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. y   2sin x  cos x C . ln 2 Trang 79 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: I   2sin x.2cos x  cos x  sin x  dx   2sin x cos x  cos x  sin x  dx . Đặt: t  sin x  cos x  dt   cos x  sin x  dx . 2t 2sin x cos x 2sin x.2cos x C  C  C . ln 2 ln 2 ln 2 2sin x.2cos x Vậy hàm số đã cho có 1 nguyên hàm là hàm số: y  . ln 2 ln 2 Câu 44. Cho hàm số f ( x)  2 x . Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x) ? x  I   2t dt   A. F ( x)  2 x  C .  C. F ( x)  2 2 x B. F ( x)  2 2  D. F ( x )  2 1  C . x 1 x  1  C . C . Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Đặt t  x  2dt  F ( x )   f ( x )dx   2 x ln 2 Ngoài ra: + D đúng vì F ( x)  2.2 + B đúng vì F ( x )  2.2 x 1 dx . x dx   2t 2.ln 2dt  2.2t  C  2.2 x C . x  2  C  2.2 x x  C nên A sai.  C . + C đúng vì F ( x )  2.2 x  2  C  2.2 x  C  . Cách 2: Ta thấy B, C, D chỉ khác nhau một hằng số nên theo định nghĩa nguyên hàm thì chúng phải là nguyên hàm của cùng một hàm số. Chỉ còn mình A “ lẻ loi” nên chắc chắn sai thì A sai thôi. Cách 3: Lấy các phương án A, B, C, D đạo hàm cũng tìm được A sai. 1  ln x Câu 45. Nguyên hàm của f  x   là x.ln x 1  ln x 1  ln x A.  dx  ln ln x  C . B.  dx  ln x 2 .ln x  C . x.ln x x.ln x 1  ln x 1  ln x C.  dx  ln x  ln x  C . D.  dx  ln x.ln x  C . x.ln x x.ln x Hướng dẫn giải Chọn D 1  ln x Ta có I   f  x  dx   dx . x.ln x 1  ln x 1 dx   dt  ln t  C  ln x.ln x  C Đặt x ln x  t   ln x  1 dx  dt . Khi đó ta có I   x.ln x t File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 80 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn  a; b  và có đạo hàm liên tục trên đoạn  a; b  . Khi đó:  udv  uv   vdu. * Để tính nguyên hàm  f  x  dx bằng từng phần ta làm như sau: Bước 1. Chọn u , v sao cho f  x  dx  udv (chú ý dv  v '  x  dx ). Sau đó tính v   dv và du  u '.dx . Bước 2. Thay vào công thức * và tính  vdu . Chú ý. Cần phải lựa chọn và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân  vdu dễ tính hơn  udv . Ta thường gặp các dạng sau sin x  ● Dạng 1. I   P  x    dx , trong đó P  x  là đa thức. u  cos x  u  P  x   Với dạng này, ta đặt  sin x  . dv  cos x  dx    ● Dạng 2. I   P  x  e ax b dx , trong đó P  x  là đa thức. u  P  x  Với dạng này, ta đặt  . ax  b dv  e dx ● Dạng 3. I   P  x  ln  mx  n  dx , trong đó P  x  là đa thức. u  ln  mx  n  Với dạng này, ta đặt  . dv  P  x  dx sin x  x ● Dạng 4. I     e dx .  cos x   sin x  u    Với dạng này, ta đặt   cos x  .  x  d v  e dx BÀI TẬP HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: DẠNG 1. Nguyên hàm của hàm số f  x   x sin x là: A. F  x    x cos x  sin x  C . B. F  x   x cos x  sin x  C . C. F  x    x cos x  sin x  C . D. F  x   x cos x  sin x  C . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: I   f  x  dx   x sin x dx . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 81 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng u  x  du  d x Đặt  Ta có  . dv  sin x dx v   cos x I   f  x  dx   x sin x dx   x cos x   cos x dx   x cos x  sin x  C . Câu 2: Biết  x cos 2 xdx  ax sin 2 x  b cos 2 x  C 1 A. ab  . 8 B. ab  1 . 4 với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? 1 C. ab   . 8 Hướng dẫn giải 1 D. ab   . 4 Chọn A Câu 3: du  dx u  x  Đặt   1 d v  cos 2 xdx v  sin 2 x  2 1 1 1 1 Khi đó  x cos 2 xdx  x sin 2 x   sin 2 xdx  x sin 2 x  cos 2 x  C 2 2 2 4 1 1 a , b . 2 4 1 Vậy ab  . 8 Nguyên hàm của I   x sin 2 xdx là: 1 2 x 2  x sin 2 x  cos 2 x   C .  8 1 1  C.  x 2  cos 2 x  x sin 2 x   C . 4 2  A. B. 1 1 cos 2 x   x 2  x sin 2 x   C . 8 4 D. Đáp án A và C đúng. Hướng dẫn giải Ta biến đổi: 1 1 1 2 1  1  cos 2 x  I   x sin 2 xdx   x   dx   xdx   x cos 2 xdx  x   x cos 2 xdx  C1 2 2 2 4 2    I1 I1   x cos 2 xdx . Câu 4:  du  dx u  x  Đặt   . 1 dv  cos 2 x v  sin 2 x  2 1 1 1 1  I1   x cos 2 xdx  x sin 2 x   sin 2 xdx  x sin 2 x  cos 2 x  C . 2 2 2 4 1 1 1   I   x 2  cos 2 x  x sin 2 x   C   2 x 2  2 x sin 2 x  cos 2 x   C 4 2 8  . 1 1 2   cos 2 x   x  x sin 2 x   C 8 4 Chọn C Tìm nguyên hàm I    x  1 sin 2 xdx A. I  C. I  1  2 x  cos 2 x  sin 2 x  C . B. I  C. D. I  2 1  2 x  cos 2 x  sin 2 x 4  2  2 x  cos 2 x  sin 2 x  C . 2  2  2 x  cos 2 x  sin 2 x 4 C . Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 82 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Chọn D Câu 5: du  dx u  x  1  Đặt   1 dv  sin 2 xdx v   cos 2 x  2 1 1 1 1 Khi đó I    x  1 sin 2 xdx    x  1 cos 2 x   cos 2 xdx    x  1 cos 2 x  sin 2 x  C 2 2 2 4 Tìm nguyên hàm  sin xdx A.  sin x dx  1 cos x  C . 2 x C.  sin xdx  cos x  C . B.  sin xdx   cos x  C . D.  sin xdx  2 x cos x  2sin x  C . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t  x , ta có  sin xdx   2t sin tdt u  2t du  2dt Đặt  ta có  dv  sin tdt v   cos t  2t sin tdt  2t cos t   2 cos tdt   2t cos t  2sin t  C  2 x cos x  2 sin x  C Câu 6: Nguyên hàm của I   x sin x cos 2 xdx là: 1 A. I1   x cos3 x  t  t 3  C , t  sin x . 3 1 C. I1  x cos3 x  t  t 3  C , t  sin x . 3 2 B. I1   x cos3 x  t  t 3  C , t  sin x . 3 2 D. I1  x cos3 x  t  t 3  C , t  sin x . 3 Hướng dẫn giải Ta đặt: u  x du  dx .   2 3 du  sin x cos x u   cos xdx  I   x sin x cos 2 xdx   x cos 3 x   cos3 xdx  C1 .   I1 Xét I1   cos xdx   cos x 1  sin x  dx . 3 2 Đặt t  sin x  dt  cos xdx . 1  I1   1  t 2  dt  t  t 3  C2 . 3 Câu 7: 1  I   x cos3 x  I1   x cos3 x  t  t 3  C . 3 Chọn A x Một nguyên hàm của f  x   là : cos 2 x A. x tan x  ln cos x C. x tan x  ln cos x Ta có: I   B. x tan x  ln  cos x  D. x tan x  ln sin x Hướng dẫn giải x dx cos 2 x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 83 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng u  x du  dx  Đặt:   1 dv  cos2 x dx v  tan x Khi đó: I  uv   vdu  x tan x   tan xdx  x tan x  ln cos x  C Chọn C Câu 8: Một nguyên hàm của f  x   x là : sin 2 x B.  x cot x  ln  sin x  A. x cot x  ln sinx C.  x tan x  ln cos x Ta có: I   D. x tan x  ln sin x Hướng dẫn giải x dx sin 2 x u  x du  dx  Đặt:   1 dv  sin 2 x dx v   cot x Khi đó: I  uv   vdu   x cot x   cot xdx   x cot x  ln sin x  C Câu 9: Chọn B DẠNG 2. Họ nguyên hàm của  e x 1  x  dx là: 1 x xe  C . 2 A. I  e x  xe x  C . B. I  e x  1 C. I  e x  xe x  C . 2 D. I  2e x  xe x  C . Hướng dẫn giải Ta có: I   e x 1  x  dx   e x dx   e x xdx  e x  C1   xe x dx .  I1 x Xét I1   e xdx . u  x du  x Đặt  .  x x dv  e dx v  e  I1  xe x   xe x dx  I1   I  ex  1 x xe  C2 . 2 1 x xe  C . 2 Chọn B Câu 10: Biết  xe 2 x dx  axe 2 x  be 2 x  C  a, b    . Tính tích ab . 1 A. ab   . 4 B. ab  1 . 4 1 C. ab   . 8 Hướng dẫn giải 1 D. ab  . 8 Chọn C du  dx u  x  Đặt   1 2x 2x dv  e dx v  e  2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 84 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 2x 1 2x 1 1 xe   e dx  xe2 x  e 2 x  C 2 2 2 4 1 1 1 Vậy: a  ; b    ab   . 2 4 8 x Câu 11: Biết F  x    ax  b  e là nguyên hàm của hàm số y   2 x  3 e x .Khi đó a  b là A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Hướng dẫn giải x x Ta có:   2x+3 e dx   ax+b  e , nghĩa là: Suy ra:  xe 2x dx   ax+b  e x  '   2x+3 e x  a.e x  e x  ax  b  =  2x+3  e x  e x  ax  a  b  =  2x+3  e x Đồng nhất hệ số ta được: a=2 và b =1 Vậy a  b  3 . Chọn B 1 Câu 12: Biết   x  3 .e 2 x dx   e 2 x  2 x  n   C , với m, n   . Tính S  m2  n 2 . m A. S  10 . B. S  5 . C. S  65 . D. S  41 . Hướng dẫn giải Chọn C du  dx u  x  3  Đặt   1 2 x 2 x dv  e dx v   e  2 1 1 1 1 Khi đó   x  3 .e 2 x dx   e 2 x  x  3   e 2 x dx   .e 2 x  x  3   e 2 x  C 2 2 2 4 1 1   e 2 x .  2 x  6  1  C   e 2 x  2 x  7   C  m  4; n  7 . 4 4 2 2 S  m  n  65. Câu 13: Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f  x    5 x  1 e x và F  0   3 . Tính F 1 . A. F 1  11e  3 . B. F 1  e  3 . C. F 1  e  7 . Hướng dẫn giải D. F 1  e  2 . Chọn C Ta có F  x     5 x  1 e x dx . u  5 x  1 du  5dx Đặt  .  x x  dv  e dx  ve F  x    5 x  1 e x   5e x dx   5 x  1 e x  5e x  C   5 x  4  e x  C . Mặt khác F  0   3  4  C  3  C  7 .  F  x   5x  4  e x  7 . Vậy F 1  e  7 . DẠNG 3. Câu 14: Kết quả của  ln xdx là: A. x ln x  x  C C. x ln x  C B. Đáp án khác D. x ln x  x  C Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 85 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Ta có: I   ln xdx dx  u  ln x du  Đặt:   x dv  dx v  x  Khi đó: I  uv   vdu  x ln x   dx  x ln x  x  C Chọn D Câu 15: Nguyên hàm của I   x ln xdx bằng với: x2 ln x   xdx  C . 2 1 C. x 2 ln x   xdx  C . 2 A. B. x2 1 ln x   xdx  C . 2 2 D. x 2 ln x   xdx  C . Hướng dẫn giải Ta đặt: 1  du  dx  u  ln x   x  .  2 dv  xdx v  x  2 x2 1  I   x ln xdx  ln x   xdx . 2 2 Chọn B Câu 16: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x ln  x  2  . x2 x2  4x ln x  2  C .    2 4 x2  4 x2  4x ln  x  2   C . B.  f  x  dx  2 4 x2 x2  4x C . C.  f  x  dx  ln  x  2   2 2 x2  4 x2  4 x ln  x  2   C . D.  f  x  dx  2 2 Hướng dẫn giải Chọn B dx  du   u  ln  x  2   x2 Đặt   2 dv  xdx v  x  2 x2 1 x2 dx suy ra  f  x  dx   x ln  x  2  dx  ln  x  2    2 2 x2 x2 1  4  x2  4 x2  4x  ln  x  2     x  2  d x  ln x  2  C .    2 2  x2 2 2 ln x Câu 17: Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của g  x   ? 2  x  1 A. A. f  x  dx   ln 2 x  x ln 2 x  ln  1999 . x 1 x 1 B.  ln x x  ln  1998 . x 1 x 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 86 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. ln x x  ln  2016 . x 1 x 1 Tích Phân và Ứng Dụng ln x x  ln  2017 . x 1 x 1 Hướng dẫn giải D. 1  u  ln x du  dx    x 1 Đặt   dv  dx 2  v   1  x  1  x 1  S  ln x 1  ln x 1   lnx 1 dx 1  dx     dx     dx    x 1 x  x  1 x 1 x 1 x x 1  x x 1 .  ln x  ln x x S   ln x  ln x  1   C   ln C x 1 x 1 x 1 Chọn A Câu 18: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x ln x . A.  C.  1 32 x  3ln x  2   C . 9 2 3 f  x  dx  x 2  3ln x  1  C . 9 2 32 x  3ln x  2   C .  3 2 3 D.  f  x  dx  x 2  3ln x  2   C . 9 Hướng dẫn giải f  x  dx  B. f  x  dx  Chọn A I   f  x  dx   x ln x.dx . 1 Đặt: t  x  dt  dx  2tdt  dx . 2 x  I  2  t 2 ln t 2 .dt  4  t 2 ln t.dt . 1  du  t dt u  ln t Đặt:   . 2 3  dv  t dt  v  t  3 1 1 1  1  2  I  2  t 3 ln t   t 2 dt   2  t 3 ln t  t 3  C   t 3  3ln t  1  C 3 9 3  3  9 3 2  x 2 3ln x  1  C 9 1 3  x 2  3ln x  2   C . 9 3 a b 1 Câu 19:  2 x x 2  1  x ln x dx có dạng x 2  1  x 2 ln x  x 2  C , trong đó a, b là hai số hữu 3 6 4 tỉ. Giá trị a bằng: A. 3 . B. 2 . C. 1. D. Không tồn tại. Hướng dẫn giải Cách 1:     Theo đề, ta cần tìm   2x    x 2  1  x ln x dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . Ta có:   2x  x 2  1  x ln x dx   2 x x 2  1 dx   x ln x dx . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 87 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Để tìm   2x Tích Phân và Ứng Dụng  x 2  1  x ln x dx ta đặt I1   2 x x 2  1 dx và I 2   x ln x dx và tìm I1 , I 2 . * I1   2 x x 2  1 dx . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t  x 2  1, t  1 ta được t 2  x 2  1, xdx  tdt . Suy ra: 3 2 2 I1   2 x x 2  1 dx   2t 2 dt  t 3  C1  x 2  1  C1 , trong đó C1 là 1 hằng số. 3 3 * I 2   x ln x dx .   Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần. 1  du  dx  u  ln x   x Đặt   , ta được: dv  xdx v  1 x 2  2 I 2   x ln x dx   udv  uv   vdu . 1 2 1 1 1 1 1 1 x ln x   x 2  dx  x 2 ln x   xdx  x 2 ln x  x 2  C2 2 2 x 2 2 2 4 3 2 1 2 1 2 2 2  2 x x  1  x ln x dx  I1  I 2  3 x  1  C1  2 x ln x  4 x  C2 . 3 2 1 2 1 2 2  x  1  x ln x  x  C 3 2 4 3 a b 1 Suy ra để  2 x x 2  1  x ln x dx có dạng x 2  1  x 2 ln x  x 2  C thì 3 6 4 a  2  , b  3  . Chọn B Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ. 3 a b 1 Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào x 2  1  x 2 ln x  x 2  C . Sau đó, với mỗi a của 3 2 4 3 a b 1 các đáp án ta lấy đạo hàm của x 2  1  x 2 ln x  x 2  C . 3 2 4 Không khuyến khích cách này vì việc tìm đạo hàm của hàm hợp phức tạp và có 4 đáp án nên việc tìm đạo hàm trở nên khó khăn. Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không đọc kĩ đề nên chỉ tìm giá trị của b . Học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau:                * I1   2 x x 2  1 dx . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t  x 2  1, t  1 ta được t 2  x 2  1, tdt  2 xdx . Suy ra: 3 1 1 I1   2 x x 2  1 dx   t 2 dt  t 3  C1  x 2  1  C1 , trong đó C1 là 1 hằng số. 3 3   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 88 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 2 1 x ln x  x 2  C2 theo phân tích ở trên. 2 4 3 1 1 1 2 2 2 x x  1  x ln x dx  I  I  x  1  C1  x 2 ln x  x 2  C2 1 2  3 2 4 . 3 1 1 2 1 2 2  x  1  x ln x  x  C 3 2 4 3 a b 1 Suy ra để  2 x x 2  1  x ln x dx có dạng x 2  1  x 2 ln x  x 2  C thì a  1, b  3 . 3 6 4 Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. D. Đáp án D sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: Học sinh tìm đúng I 2            * I1   2 x x 2  1 dx . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t  x 2  1, t  1 ta được t 2  x 2  1, tdt  2 xdx . Suy ra: 3 1 1 I1   2 x x 2  1 dx   t 2 dt  t 3  C1  x 2  1  C1 , trong đó C1 là 1 hằng số. 3 3 1 2 1 2 Học sinh tìm đúng I 2  x ln x  x  C2 theo phân tích ở trên. 2 4 3 1 1 1 2 2 2 x x  1  x ln x dx  I  I  x  1  C1  x 2 ln x  x 2  C2 1 2  3 2 4 . 3 1 1 1 2 2 2  x  1  x ln x  x  C 3 2 4 3 a b 1 Suy ra để  2 x x 2  1  x ln x dx có dạng x 2  1  x 2 ln x  x 2  C 3 6 4 1 a  1 , b    . 3 Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm do tính sai giá trị của b . a 1  ln x Câu 20: Cho F  x    ln x  b  là một nguyên hàm của hàm số f  x   , trong đó a , b  . x x2 Tính S  a  b . A. S  2 . B. S  1 . C. S  2 . D. S  0 . Hướng dẫn giải Chọn B  1  ln x  Ta có I   f  x  dx    dx . 2  x  1 1  ln x  u  x dx  du  Đặt  1  khi đó  x 2 dx  dv  1  v  x 1 1 1 1 1 I   1  ln x    2 dx   1  ln x    C    ln x  2   C  a  1; b  2 . x x x x x Vậy S  a  b  1 . DẠNG 4: Câu 21: Phát biểu nào sau đây là đúng? A.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. . B.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. .             File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 89 thì ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. . Tích Phân và Ứng Dụng D.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. Hướng dẫn giải Chọn B Đặt u  e x du  e x dx    dv  sin xdx v   cos x x   e sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. . Câu 22: Tìm J   e x .sinxdx ? ex  cos x  sin x   C . 2 ex J  C.  sin x  cos x   C . 2 A. J  ex  sin x  cos x   C . 2 ex J  D.  sin x  cos x  1  C . 2 Hướng dẫn giải u  e x du1  e x .dx Đặt:  1  dv1  sin x.dx v1   cos x  J   e x cos x   e x cos xdx  e x cos x  T B. J  T   e .cos xdx  x Tính T   e x .cos xdx :  T  e x sin x   e x sin xdx  e x sin x  J  J  e x cos x  e x sin x  J  2 J  e x  sin x  cos x   J  ex  sin x  cos x   C 2 Chọn C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 90 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b ]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a ; b ]. Hiệu số F (b )  F ( a ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f ( x), kí b hiệu là  f ( x)dx. a b b Ta dùng kí hiệu F ( x ) a  F (b)  F (a ) để chỉ hiệu số F (b )  F ( a ) . Vậy  f ( x)dx  F ( x) b a  F (b)  F (a) a . b Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi  b f ( x )dx hay a  f (t )dt. Tích phân đó chỉ a phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số. Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân b  f ( x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x ) , trục Ox và hai đường thẳng a b x  a , x  b. Vậy S   f ( x )dx. a 2.Tính chất của tích phân a 1.  b f ( x ) dx  0 2. a b 3.  a b  a a f ( x)dx    f ( x)dx b c c b b f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x)dx ( a  b  c )4.  k . f ( x) dx  k . f ( x) dx ( k  ) b a b a a b 5.  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x ) dx   g ( x )dx . a a a B. BÀI TẬP HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: ĐỊNH NGHĨA TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN Câu 1: Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục trên  a; b  và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? b A.  a b B. a f  x  d x    f  x  dx . b b  xf  x  dx  x  f  x  dx . a a a C.  kf  x  dx  0 . a b b b D.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . a a a Hướng dẫn giải Câu 2: Chọn B Dựa vào tính chất của tích phân, A, C, D đúng nên B sai. Khẳng định nào sau đây sai? ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A b b b b A.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . B. a a b C. Câu 3: a a  f  x  dx   f  x  dx . a Tích Phân và Ứng Dụng D. b b c  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . a c b b a  f  x  dx   f  t  dt . a a Hướng dẫn giải Chọn C Cho hai hàm số f  x  và g  x  liên tục trên K , a, b  K . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? b b b b b A.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . B.  kf  x  dx  k  f  x  dx . a a b C.  a Câu 4: a b a b f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx . a a b D. a b b   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . a a a Hướng dẫn giải Chọn C Cho hai số thực a , b tùy ý, F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên tập  . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? b A. b  f  x  dx  f  b   f  a  . B. a a b C.   f  x  dx  F  b   F  a  . b f  x  dx  F  a   F  b  . D. a  f  x  dx  F  b   F  a  . a Hướng dẫn giải Chọn B b Theo định nghĩa, ta có  f  x  dx  F  b   F  a  . a Câu 5: Cho f  x  là hàm số liên tục trên đoạn  a; b và c   a; b  . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. c A.  a b b C.  a a f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx . c b c c f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx . a b B.  a c b D. c  a b f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx . a c a b f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx . c c Hướng dẫn giải Chọn D b a b  f  x  dx   f  x  dx  F  b   F  a   F  a   F  c   F  b   F  c    f  x  dx . a Câu 6: c c Cho hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng K và a, b, c  K . Mệnh đề nào sau đây sai? b A.  a b b C. c f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx . c a b  a a  f  x  d x    f  x  dx . a b B. b f  x  dx   f  t  dt . a a D.  f  x  dx  0 . a Hướng dẫn giải Chọn A ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A b Mệnh đề đúng là: c c  f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx . a Câu 7: Tích Phân và Ứng Dụng b a Cho hàm số f  t  liên tục trên K và a, b  K , F  t  là một nguyên hàm của f  t  trên K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. b b A. F  a   F  b    f  t  dt . B. a a b b b   a f  t  dt    f  t  dt  . a Bài giải Chọn A C. D.  a b Theo định nghĩa ta có:  b f  t  dt  F  t  a .  f  t  dt  F  t  b a b f  x  d x   f  t  dt . a  F  b   F  a  . Suy ra phương án A sai. a Câu 8: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Mệnh đề nào dưới đây sai? b A.  a b f  x  d x   f  t  dt . a b B. a  f  x  d x    f  x  dx . a b b C.  kdx  k  a  b  , k   . a b D.  a c b f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx ,  c   a ; b  . a c Hướng dẫn giải Chọn C b b Ta có:  kdx  kx a  kb  ka  k  b  a  . a Câu 9: Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ trên khoảng K . Khẳng định nào sau đây sai? a A. b  f  x  dx  1 . B. a c C.  a b a  f  x  dx    f  x  dx . a b b b f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx, c   a; b  . D. c a  a b f  x  dx   f  t  dt . a Hướng dẫn giải Chọn A a Ta có:  f  x  dx  F  a   F  a   0 . a Câu 10: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b . Mệnh đề nào dưới đây sai? b A. a  f  x  dx    f  x  dx . a b C. b B. b b c b  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx , c   . a a c a  f  x  dx   f  t  dt .D.  f  x  dx  0 . a a a ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 11: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  . Khi đó hiệu số F  0   F 1 bằng 1 A. 1  f  x  dx . 1 B.   F  x  dx . 0 1 C.   F  x  dx . 0 0 D.   f  x  dx . 0 Hướng dẫn giải Chọn D 1 Ta có:   f  x  dx   F  x  0 1 0    F 1  F  0    F  0   F 1 . a a f  x  dx  m và  Câu 12: Cho hai tích phân a a g  x  dx  n . Giá trị của tích phân  a A. m  n . B. n  m . a Cho hai tích phân C. m  n . Hướng dẫn giải a  f  x  dx  m và a  D. Không thể xác định.  g  x  dx  n . Giá trị của tích phân   f  x   g  x  dx a a a  f  x   g  x  dx  a  a a f  x  dx   g  x  dx m  n . a Chọn A b Câu 13: Tích phân  f  x dx được phân tích thành: a b A.  c a c b C. b f  x     f  x dx . B. a c a f  x     f  x dx . c b  f  x    f  x dx . c  a D.   f  x    f  x dx . c c c Hướng dẫn giải b Tích phân  f  x dx được phân tích thành: a b Ta có: b c b a  f  x dx   f  x dx   f  x dx   f  x dx   f  x dx . a c a c c Chọn A DẠNG 2: TÍCH PHÂN CƠ BẢN 2 Câu 14: Tích phân I   2 x.dx có giá trị là: 1 A. I = 1. B. I =2. C. I = 3. Hướng dẫn giải D. I = 4. 2 Tích phân I   2 x.dx có giá trị là: 1 2 2 2  x2  Cách 1: I   2 x.dx  2. x.dx   2.   3 .  2 1 1 1 Chọn C Cách 2: Kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách 1. 1 Câu 15: Tích phân I   x 3 là: a a Ta có ngay kết quả:   f  x   g  x  dx a  3x  2  dx có giá trị là: 1 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 4 là: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. I = 1. B. I = 2. Tích Phân và Ứng Dụng C. I = 3. Hướng dẫn giải D. I = 4. 1 Tích phân I   x 3  3x  2  dx có giá trị là: 1 1 1 3 1  Cách 1: I    x  3 x  2  dx   x 4  x 2  2 x   4 . 2 4  1 1 Chọn D Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. 3 22018 Câu 16: Tính tích phân I   1 dx . x B. I  22018 . A. I  2018.ln 2  1 . C. I  2018.ln 2 . Hướng dẫn giải C. I  2018 . Chọn C Ta có: I  ln x 2 2018 1  ln  22018   ln1  2018.ln 2 . 1  1   3 x  dx . Câu 17: Tính I     0  2x 1 B. 4  ln 3 . A. 2  ln 3 . C. 2  ln 3 . Hướng dẫn giải D. 1  ln 3 . Chọn A 1 1 1 1  1   3 x  dx   dx  3 x dx Ta có I     0  2x 1 0 2x 1 0 1 1 1 2 1  ln 2 x  1  3. x x  ln 3  2  ln 3  2 . 2 3 2 0 0 1 Câu 18: Tính tích phân I   x 2018 1  x  dx 0 A. I  1 1  . 2018 2019 B. I  1 1 1 1 1 1    . C. I  . D. I  . 2020 2021 2019 2020 2017 2018 Hướng dẫn giải Chọn C 1 Ta có: I   x 0 1 1 2018 1  x  dx    x 2018 x 2019 0  x 2019 x 2020  1 1 d x   .   2019  2020   2019 2020  0 b Câu 19: Giá trị nào của b để   2 x  6  dx  0 ? 1 A. b  0 hoặc b  3 . B. b  0 hoặc b  1 C. b  5 hoặc b  0 . Hướng dẫn giải D. b  1 hoặc b  5 . Chọn D b Ta có b 2 2 2   2 x  6  dx   x  6 x  1   b  6b   1  6  b  6b  5 . 1 b  1 Theo bài ra, có b 2  6b  5  0   . b  5 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng a Câu 20: Có bao nhiêu giá trị thực của AD để có   2 x  5  dx  a  4 0 B. 0 . A. 1 . C. 2 . Hướng dẫn giải D. Vô số. Chọn A a Ta có a 2   2 x  5  dx  a  4   x  5 x  0  a  4  H  y  x 1 0 1 Câu 21: Tích phân I    ax 2  bx dx có giá trị là: 0 A. I  a b  . 2 3 B. I  a b  . 3 3 a b  . 2 2 Hướng dẫn giải C. I  D. I  a b  . 3 2 1 Tích phân I    ax 2  bx dx có giá trị là: 0 Ta có: 1 1 b  a b a I    ax  bx dx   x3  x 2    . 2 0 3 2 3 0 Chọn D 2 2 Câu 22: Đặt I    2mx  1 dx ( m là tham số thực). Tìm m để I  4 . 1 A. m  1 . B. m  2 . C. m  1 . Hướng dẫn giải D. m  2 . Chọn C 2 Ta có I    2mx  1 dx   mx 2  x  1 2 1   4 m  2    m  1  3m  1 . I  4  3m  1  4  m  1 . a  1  Câu 23: Tích phân I    2  2 x dx có giá trị là:  2 x 1 1 3 1 5 1 A. I     a 2 . B. I     a 2 . C. I     a 2 . 2 a 2 a 2 a Hướng dẫn giải a  1  Tích phân I    2  2 x dx , với a  0 có giá trị là:  2 x Ta có: a a 1 7  1   1  I    2  2 x dx     x 2   a 2   . a 2   x 2 2 x Chọn D 3 x 2 khi 0  x  1 Câu 24: Cho hàm số y  f  x    . Tính tích phân 4  x khi 1  x  2 A. 7 . 2 7 1 D. I     a 2 . 2 a B. 1 . 5 . 2 Hướng dẫn giải C. ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 2  f  x  dx . 0 D. 3 . 2 Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Chọn A Ta có 2  0 1 2 1 2 2 2  7 3x 3 x2  f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx    3 x  d x    4  x  d x    4x     . 3 1  2 1 2 0 1 0 1 2 2 3 x 2 khi 0  x  1 y  f x  Câu 25: Cho hàm số . Tính  f  x dx .    4  x khi 1  x  2  0 7 5 3 A. . B. 1 . C. . D. . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A 1 2 1 2 1  x2  2 5 7 Ta có,  f  x  dx   f  x  dx   3x 2 dx    4  x  dx  x 3   4 x    1   . 0  2 1 2 2 0 1 0 1 3  Câu 26: Cho 2 3 f ( x)dx  a , 0  f ( x)dx  b . Khi đó  f ( x)dx bằng: 0 2 A. a  b . B. b  a . C. a  b . Hướng dẫn giải D. a  b . Chọn D 3 Do  0 2 3 2 3 3 2 f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x )dx  a  b 0 2 0 0 2 0 2 Câu 27: Cho a là số thực thỏa mãn a  2 và   2 x  1 dx  4 . Giá trị biểu thức 1  a 3 bằng. a A. 0 . B. 2 . D. 3 . C. 1 . Hướng dẫn giải Chọn B 2 Ta có:   2 x  1 dx   x a 2  a  2 2  a 1.  x   6  a 2  a . Theo đề:  2 a 6  a  a  4 Vậy 1  a3  2 . Câu 28: Cho gá trị của tích phân I1  1 1 4 3   x  2 x dx  a , I 2   x 1 4 . 65 A. P   B. P  12 . 65 2 a là: b  3 x dx  b . Giá trị của 2 C. P   12 . 65 D. P  4 . 65 Hướng dẫn giải Cho gá trị của tích phân I1  1 1 4 3   x  2 x dx  a , I 2   x 1 2 2  3 x dx  b . Giá trị của a là: b Ta có: 1 1 1  2 2 1 I1    x  2 x dx   x 5  x 4    a  . 2  1 5 5 5 1 4 3 1 1 3  13 13 1 I 2    x  3 x dx   x 3  x 2     b   . 2  2 6 6 3 2 a 12 P  . b 65 Chọn C 2 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 Câu 29: Tích phân I   x 2  x dx có giá trị là: 1 3 A. I  . 2 B. I  1 . 6 C. I   3 . 2 1 D. I   . 6 Hướng dẫn giải 2 Tích phân I   x 2  x dx có giá trị là: 1 Ta có: x2  x  0  x  0  x  2 .  f  x Từ bảng xét dấu ta được: 2 0 0 2 2 1  1  3 1  1 I   x  x dx    x  x dx     x  x dx   x 3  x 2     x 3  x 2   . 2  1  3 2 0 2 3 1 1 0 Chọn A 1 1  Câu 30: Tích phân I    2ax3  dx có giá trị là: x 2  15a 15a 15a 15a  ln 2 .  ln 2 .  ln 2 .  ln 2 . A. I   B. I  C. I  D. I   16 16 16 16 Hướng dẫn giải 1 1  Tích phân I    2ax3  dx có giá trị là: x 2  Ta có: 2 2 2 1 1 1 15a  a  I    2ax 3  dx   x 4  ln x     ln 2 . x 16 2  2 2  Chọn C 1 2 Câu 31: Biết tích phân I1   2 xdx  a . Giá trị của I 2    x 2  2 x dx là: 0 A. I 2  17 . 3 a B. I 2  19 . 3 16 . 3 Hướng dẫn giải C. I 2  1 D. I 2  13 . 3 2 Biết tích phân I1   2 xdx  a . Giá trị của I 2    x 2  2 x dx là: 0 a Ta có: 1 I1   2 xdx   x 0 2  1 0 2 2 2 16 1   1  I 2    x  2 x  dx    x  2 x  dx   x 3  x 2   . 3 1 3 a 1 2 2 Chọn C 1 Câu 32: Cho  2 1 f  x  dx  3 . Tính tích phân I    2 f  x   1 dx . 2 A. 9 . B. 3 . C. 3 . Hướng dẫn giải D. 5 . Chọn C 1 1 1 1 Ta có I    2 f  x   1 dx  2  f  x  dx   dx  6  x 2  3 . 2 2 2 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 3 Câu 33: Cho hàm f  x  có đạo hàm liên tục trên  2;3 đồng thời f  2   2 , f  3  5 . Tính  f   x  dx 2 bằng A. 3 . B. 7 . C. 10 Hướng dẫn giải D. 3 . Chọn D 3 Ta có 3  f   x  dx  f  x  2  f  3   f  2   3 . 2 Câu 34: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  a ; b  và f  a   2 , f  b   4 . Tính b T   f   x  dx . a A. T  6 . B. T  2 . C. T  6 . Hướng dẫn giải D. T  2 . Chọn D b Ta có: T   f   x  dx  f  x  b a  f  b   f  a   2 . a 1 Câu 35: Cho hàm số f  x  liên tục trên 0;1 và f 1  f  0   2 . Tính tích phân  f   x  dx . 0 A. I  1 . B. I  1 . C. I  2 . Hướng dẫn giải D. I  0 . Chọn C 1 Ta có: 1  f   x  dx  f  x  0  f 1  f  0   2 . 0 4 Câu 36: Cho hàm số y  f  x  thoả mãn điều kiện f 1  12 , f   x  liên tục trên  và  f   x  dx  17 . 1 Khi đó f  4  bằng A. 5 . B. 29 . C. 19 . Hướng dẫn giải D. 9 . Chọn B 4 Ta có  f   x  dx  17  f  x  4 1  17  f  4   f 1  17  f  4   29 . 1 Câu 37: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  1;3 và thỏa mãn f  1  4 ; f  3   7 . Giá 3 trị của I   5 f   x  dx bằng 1 A. I  20 . B. I  3 . C. I  10 . Hướng dẫn giải D. I  15 . Chọn D 3 3 I   5 f   x  dx  5 f  x  1  5 f  3   5 f  1  5.7  5.4  15 . 1 a b Câu 38: Cho hàm số f  x   2   2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện x x Tính T  a  b . A. T  1 . B. T  2 . C. T  2 . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 1  f  x  dx  2  3ln 2 . 1 2 D. T  0 . Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Hướng dẫn giải Chọn C 1 Ta có 1 1  1 2  a   a b  f  x  dx    2   2  dx     b ln x  2 x   a  1  b ln 2 . x  x 1  1 x 2 2 Theo giả thiết, ta có 2  3ln 2  a  1  b ln 2 . Từ đó suy ra a  1 , b  3 . Vậy T  a  b  2 . DẠNG 3: TÍCH PHÂN HỮU TỈ CƠ BẢN 1 x5 Câu 39: Biết  dx  a  ln b với a , b là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2x  2 3 A. ab  8 . 81 B. a  b  7 . 24 C. ab  9 . 8 D. a  b  3 . 10 Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 1 1 1 1 4 x5 1  6  Ta có:  dx    1   dx  2  x  6 ln x  1  1  2 1  6 ln 2  3  6 ln 3  2 1  x 1    1 2x  2 3 3 3 1 8 1 8 8   ln . Vậy ab  .  . 3 27 3 27 81 2 2 x Câu 40: Biết  x  1 dx  a  ln b  a, b    . Gọi S  2a  b , giá trị của S thuộc khoảng nào sau đây ? 0 A.  8;10  . B.  6;8 . C.  4; 6  . Hướng dẫn giải D.  2; 4  . Chọn D 2 2 2  x2  a  0 x2 1   Ta có  dx    x  1  d x  S 3.   x  ln  x  1   ln 3  a  ln b    x 1 x 1  b  3  2 0 0 0 Vậy S   2; 4  . Câu 41: Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả như trên mà ta chỉ có thể dùng để kiểm tra 2  1  mà Tích phân I    2  2 x  dx có giá trị là:  1 x 5 7 9 11 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải 2  1  Tích phân I    2  2 x  dx có giá trị là:  1 x 2 2 7  1   1  Cách 1: I    2  2 x  dx     x 2   .   x 1 2 1 x Chọn B Cách 2: DÙng máy tính cầm tay. a a x Câu 42: Tích phân I      dx ,với a  0 có giá trị là: a 1 x ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A a2  1 . 2a a2  1 C. I  a ln a  . 2a A. I  a ln a  Tích Phân và Ứng Dụng a2  1 . 2a a2 1 D. I  a ln a  . 2a Hướng dẫn giải B. I  a ln a  a a x Tích phân I      dx , với a  0 có giá trị là: a 1 x Ta có: a a  x2  a 1 a2 1 a x I      dx   a ln x    a ln a    a ln a  . x a 2a  1 2 2a 2a  1 Chọn C 2 b  Câu 43: Tích phân I    ax 2   dx có giá trị là: x 1 7 7 A. I  a  b ln 2 . B. I  3a  b ln 2 . C. I  a  b ln 2 . 3 3 Hướng dẫn giải 2 b  Tích phân I    ax 2   dx có giá trị là: x 1 Ta có: D. I  3a  b ln 2 . 2 2 b 7a  a  I    ax 2   dx   x 3  b ln x    b ln 2 . x 3 3     1 1 Chọn C 1 x dx  a . Biểu thức P  2a  1 có giá trị là: Câu 44: Giá trị của tích phân I   0 x 1 A. P  1  ln 2 . B. P  2  2 ln 2 . C. P  1  2 ln 2 . D. P  2  ln 2 . Hướng dẫn giải 1 x dx  a . Biểu thức P  2a  1 có giá trị là: Giá trị của tích phân I   x  1 0 Tacó: 1 I  0 1 1 x 1   dx   1   dx   x  ln x  1  0  1  ln 2  a  1  ln 2  P  2a  1  1  2 ln 2 . x 1 x 1  0 Chọn C e2  1  x  x2  Câu 45: Giá trị của tích phân I    dx  a . Biểu thức P  a  1 có giá trị là: x  e  1 1 1 1 A. P  e  e2  e4 . B. P  e  e2  e4 . 2 2 2 2 1 2 1 4 1 2 1 4 C. P  e  e  e . D. P  e  e  e . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải e2  1  x  x2  Giá trị của tích phân I    dx  a . Biểu thức P  a  1 có giá trị là: x  e  Ta có: ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A e2 Tích Phân và Ứng Dụng e2 2 e  1  x  x2   x2  e 2 e4 1  I   dx   1  x dx  ln x  x   1  e   .       x x 2 2 2       e e e  a  1 e  e 2 e4 e2 e4 e2 e4   a  1  e    P   e   . 2 2 2 2 2 2 Chọn B 1 Câu 46: Tính tích phân I   0 1 1 A. I  ln . 6 2 dx . x 9 2 1 1 1 B. I   ln . C. I  ln 2 . 6 2 6 Hướng dẫn giải D. I  ln 6 2 . Chọn A 1 1 dx 1  1 1  1 x3  I    Ta có: I   2  dx  ln 6 0  x 3 x 3 6 x 3 0 x 9 2 Câu 47: Giả sử x 0 2 1 0 1 1  1 1   ln  ln1  ln . 6 2  6 2 x 1 dx  a ln 5  b ln 3; a, b   . Tính P  ab .  4x  3 A. P  8 . B. P  6 . C. P  4 . Hướng dẫn giải D. P  5 . Chọn B BN M 2 2 2 2 x 1 x 1 2   1 dx   dx     dx    ln x  1  2 ln x  3   2 ln 5  3ln 3 0  4x  3 x 3 0 0  x  1 x  3  0  x 1 Suy ra:. Do đó: P  ab  6 . x 1 dx  a.ln x  1  b.ln x  2  C , a, b . Tính giá trị của biểu thức a  b . Câu 48: Biết   x  1 2  x  x 2 A. a  b  1 . B. a  b  5 . C. a  b  1 . Hướng dẫn giải: D. a  b  5 . Chọn C x 1 A B   .  x  1 x  2 x  1 x  2   x  1  A  x  2   B  x  1 .  A  B  1 A  2 .   2 A  B  1  B  3 x 1 3   2 Nên:  dx     dx .  x  1 2  x   x 1 x  2   2 ln x  1  3ln x  2  C . Vậy a  2 , b  3 . Vậy a  b  1 . 3 2 x  3x  2 Câu 49: Biết  2 dx  a ln 7  b ln 3  c với a , b , c   . Tính T  a  2b 2  3c3 . 2 x  x 1 A. T  4 . B. T  6 . C. T  3 . D. T  5 . Hướng dẫn giải Chọn A ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 3 3 x 2  3x  2 2x 1   2 2 x 2  x  1 dx  2 1  x 2  x  1  dx  x  ln x  x  1  Tích Phân và Ứng Dụng  3 2 a  1    ln 7  ln 3  1 , suy ra b  1 . c  1  Vậy T  a  2b2  3c3  4 . 0 3x 2  5 x  1 2 Câu 50: Giả sử I   dx  a.ln  b . Khi đó giá trị a  2b là: x2 3 1 A. 30. B. 40. C. 50. D. 60. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 0 0  3x 2 0 3x 2  5 x  1 21  2 19 I dx    3x  11  d x   11x  21ln x  2   21ln     1 x2 x2 3 2   2  1 1 5 3 dx  a ln 5  b ln 2  a , b    . Mệnh đề nào sau đây đúng?  3 x 1 A. a  2b  0 . B. 2a  b  0 . C. a  b  0 . D. a  b  0 . Hướng dẫn giải: Chọn D 5 5 3 1  1 1 x 2  3x dx  1  x  x  3  dx Câu 51: Biết rằng x 2 5   ln | x |  ln | x  3 | 1  ln 5  ln 2 . Vậy a  1, b  1 . 3 x2 dx  a ln 5  b ln 3  3ln 2  a , b    thì giá trị của P  2a  b là  3x  1 2 15 15 A. P  1 . B. P  7 . C. P   . D. P  . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 3 3 3 x2 1 4x  3 11 1 d x  d x  dx 2 2 2 2 x 2  3x  1   4 2 2 x  3x  1 4 2 2 x  3x  1 Câu 52: Nếu  2x 2 3  3 1 1 11 1 d  2 x 2  3 x  1   dx 2  4 2 2 x  3x  1 4 2  x  1 2 x  1 3 3 1 11  1 2   ln 2 x 2  3 x  1      dx 4 4 2  x 1 2x  1  2 3 1 11 x 1  ln 2 x 2  3x  1  ln 4 4 2x 1 2 3  2 1 11 2 1  ln10  ln 3   ln  ln  4 4 5 3 1 10 11 6 1 11 5 5  ln  ln   ln 5  ln 2  ln 3   ln 2  ln 3  ln 5    ln 5  ln 3  3ln 2 . 4 3 4 5 4 4 2 2 5 5 15 Do đó a   , b  , P   . 2 2 2 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 x2 dx  a  ln b với a , b  , b  0 . Hỏi giá trị 2a  b thuộc khoảng nào sau đây? Câu 53: Biết rằng  0 x 1 A.  8;10  . B.  6;8 . C.  4; 6  . Hướng dẫn giải D.  2; 4  . Chọn D 2 2 2  x2  x2 1   Ta có:  dx    x  1  d x    x  ln x  1   ln 3  a  0 , b  3  2a  b  3 .  x 1 x 1   2 0 0 0 4 Câu 54: Biết I   3 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Tính S  a  b  c x x 2 A. S  6 . B. S  2 . C. S  2 . Hướng dẫn giải D. S  0 . Chọn B Cách 1: 4 4 4 1 1 x 4 3 dx   dx  ln  ln  ln  4 ln 2  ln 3  ln 5 . 2 x 1 3 5 4 3 x  x 3 x  x  1 Suy ra a  4, b  c  1  S  2 . Cách 2: 4 4 4 4 1 1 1 1 dx   dx   dx   dx  ln 4  ln 3  ln 5  ln 4  4 ln 2  ln 3  ln 5 Ta có: I   2 x  x x x  1 x x  1   3 3 3 3 I  Suy ra a  4, b  c  1  S  2 . 2 dx 1 1   , với a , b là các số nguyên thuộc khoảng  7;3  thì a và b là nghiệm  4x  1 a b 1 của phương trình nào sau đây? A. 2 x2  x  1  0 . B. x2  4x  12  0 . C. x 2  5x  6  0 . D. x2  9  0 . Hướng dẫn giải Chọn B Câu 55: Biết  4x 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 dx dx 1 2 Ta có  2    2 x  1 d  2 x  1   2  2 x  1      . 2  4 x  4 x  1 1  2 x  1 21 6 2 6 2 1 1 a  6 a  2 Suy ra  hoặc  và a , b là nghiệm của phương trình x2  4x  12  0 . b  2 b   6   5 2 x  x 1 b dx  a  ln với a , b là các số nguyên. Tính S  a  2b . Câu 56: Biết  x 1 2 3 A. S  2 . B. S  5 . C. S  2 . Hướng dẫn giải D. S  10 . Chọn C 5 5 5 x2  x 1 1  25 9 3  1 2  3 x  1 dx  3  x  x  1  dx   2 x  ln x  1  3  2  ln 6  2  ln 4  8  ln 2 . Vậy a  8 , b  3 . Suy ra S  a  2b  8  2.3  2 . 3 dx  a ln 2  b ln 5  c ln 7 ,  a , b, c    . Giá trị của biểu thức 2a  3b  c bằng Câu 57: Biết  x  2 x  4    0 Ta có A. 5 . B. 4 . C. 2 . Hướng dẫn giải ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 3 . Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Chọn D 3 3 3 dx 1  1 1  1 1 1 1  0  x  2  x  4  2 0  x  2  x  4  dx  2  ln x  2  ln x  4  0  2 ln 5  2 ln 7  2 ln 2 . 1 1 1 Khi đó: 2a  3b  c  2.  3.   3 . 2 2 2 1 1   1  Câu 58: Cho    dx  a ln 2  b ln 3 với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x  1 x  2   0 A. a  b  2 . B. a  2b  0 . C. a  b  2 . D. a  2b  0 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 1 1 dx dx  ln x  1  ln 2  ln x  2  ln 3  ln 2 Ta có:  và  0 0 0 x 1 0 x2 1 1   1  Do đó    dx  ln 2   ln 3  ln 2   2 ln 2  ln 3  a  2 , b  1 . x2 0  x 1 Vậy a  2b  0 . 3 5 x  12 Câu 59: Biết  2 dx  a ln 2  b ln 5  c ln 6 . Tính S  3a  2b  c . 2 x  5x  6 A. 3 . B. 14 . C. 2 . D. 11 . Hướng dẫn giải Chọn D 5 x  12 5 x  12 A B  A  B  x  3 A  2B .  Ta có: 2    x  5 x  6  x  2  x  3 x  2 x  3 x2  5 x  6 A B  5 A  2 .   3 A  2 B  12 B  3 3 3 3 3 3 5 x  12 2 3 Nên  2 dx   dx   dx  2ln x  2 2  3ln x  3 2 2 x  5x  6 2 x2 2 x3  3ln 6  ln 5  2ln 4  4ln 2  ln 5  3ln 6 . Vậy S  3a  2b  c  11 . DẠNG 4: TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ CƠ BẢN 2 Câu 60: Tính tích phân I   4 x  1 dx . 0 A. 13 . B. 13 . 3 C. 4 . D. 4 . 3 Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 Ta có I   4 x  1 dx    4 x  1 0 0 1  1 2 2 3 1 2 13 dx  .  4 x  1 2  . 4 3 3 0 a 3  b 2 . Giá trị của a  b là: 6 4 B. – 2. C. – 3. Hướng dẫn giải a 3 x  x  1 dx   b 2 . Giá trị của a  b là: 6 4  Câu 61: Biết rằng I1   x  x  1 dx  0 A. – 1. 1 Biết rằng I1   0  D. – 4.  Ta có: ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 Tích Phân và Ứng Dụng 1  x2 2 1 4 2 4 3 3  I1   x  x  1 dx     a  1, b   a  b  2 .  x  1     6 3 3 4  2 3 0 0 Chọn B 2 1 dx bằng Câu 62: Tích phân I   0 2 x2 1 1 A. I  1  . B. I  2 2 . C. I  2  . D. I  2  2 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 1 dx  x  2  2  2 . Ta có: I   0 0 2 x2   1 dx 8 2 a b a  ,  a, b   *  . Tính a  2b . 3 3 x  2  x 1 0 A. a  2b  7 . B. a  2b  8 . C. a  2b  1 . D. a  2b  5 . Hướng dẫn giải Chọn B 1 1 1 dx 8 2 2 3 3   x  2  x  1 dx  Ta có   x  2    x  1  2 3  2  . 3 3 3 x  2  x 1 0 0 0 Do đó a  2 , b  3 , a  2b  8 . Câu 63: Cho   1 Câu 64: Biết tích phân    x a b 3 dx  với a , b là các số thực. Tính tổng T  a  b . 9 3x  1  2 x  1 B. T  4 . C. T  15 . D. T  8 . Hướng dẫn giải  0 A. T  10 . Chọn D 1 Ta có  0 x x dx   3x  1  2 x  1 0 1  3x  1  2 x  1 x  dx  1   3 x  1  2 x  1 dx 0 1 1 1 1 3 3 1   2     3x  1 2   2 x  1 2  dx    3x  1 2   2 x  1 2  3  9 0 0  17  9 3  16   2 1  17    3     3  . 9 9   9 3 9 a Câu 65: Tích phân I   x x  1dx có giá trị là: 0 A. I  C. I  2  a  1 5  5 2  a  1 5 5  2  a  1 3 3 2  a  1 3 3 4  . 15 4  . 15 B. I  D. I  2  a  1 5  5 2 5  a  1 5  2  a  1 3 3 2  a  1 3  4 . 15  4 . 15 3 Hướng dẫn giải a Tích phân I   x x  1dx có giá trị là: 0 Ta có: ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A a a a Tích Phân và Ứng Dụng a a 3 1 I   x x  1dx    x  1 x  1dx   x  1dx    x  1 2 dx    x  1 2 dx 0 0 0 a 0 5 3 2 2 5 2  2  =   x  1 2     x  1 2  =  x  1  3 5  0 3 0 5 Chọn B 1 x Câu 66: Tích phân I   dx có giá trị là: x  1 1 1 A. I  4 2  2. 3 1 Tích phân I  0 a B. I  3  x  1  4 15 4 2 4 2 2. 1 . C. I  3 3 Hướng dẫn giải D. I  4 2 1 . 3 x dx có giá trị là: x  1 1  1 Ta có: 1 1 1 3 x x 4 2 2   x 1 1  I   dx   x  1  1 dx    x  1 2  x    2. 3 x  1 1 x 1 1 3  1 1 1 Chọn A DẠNG 5: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN    Câu 67: Tính tích phân  sin 3 xdx . 0 1 A.  . 3 B. 1 . 3 2 C.  . 3 Hướng dẫn giải D. 2 . 3 Chọn D  1 1 2  Ta có  sin 3 xdx   cos 3 x 0    1  1  . 3 3 3 0  2   Câu 68: Tính tích phân I   sin   x  dx . 4  0  A. I  . B. I  1 . 4 C. I  0 . D. I  1 . Hướng dẫn giải Chọn C  2   2       I   sin   x  dx  cos   x   cos     cos    0 . 4 0  4 4 4  0  3 Câu 69: Tích phân I    4 A. cot dx bằng? sin 2 x    cot . 3 4 B. cot      cot . C.  cot  cot . 3 4 3 4 Hướng dẫn giải D.  cot    cot . 3 4 Chọn C ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  3  3 4  4 dx Ta có I   2   cot x  sin x Tích Phân và Ứng Dụng .  2 Câu 70: Biết  cos xdx  a  b 3 , với a , b là các số hữu tỉ. Tính T  2a  6b .  3 A. T  3 . B. T  1 C. T  4 . Hướng dẫn giải D. T  2 . Chọn B  2  Ta có:  cos xdx  sin x 2  1   3 3 3 . Vậy 2a  6b  2  3  1 . 2  2 Câu 71: Tích phân I   sin xdx có giá trị là: 0 B. I  0 . A. I  1 . C. I  1 . Hướng dẫn giải D. Cả A, B, C đều sai.  2 Tích phân I   sin xdx có giá trị là: 0  2  Cách 1: I   sin xdx    cos x  02  1 . 0 Chọn A Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. b Câu 72: Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng   ;3  sao cho  4 cos 2 xdx  1 ?  A. 8 . B. 2 . C. 4 . Hướng dẫn giải D. 6 . Chọn C   b   k  1 12 Ta có:  4 cos 2 xdx  1  2sin 2 x b  1  sin 2b    . 5 2  b    k  12 Do đó, có 4 số thực b thỏa mãn yêu cầu bài toán. b  2 Câu 73: Tích phân I    sin x  cos x  dx có giá trị là:   2 A. I  1 . B. I  2 . C. I  2 . Hướng dẫn giải D. I  1 .  2 Tích phân I    sin x  cos x  dx có giá trị là:   2 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  2 Cách 1 m   0; 2017  : I     sin x  cos x  dx    cos x  sin x  2   2  2 . 2 Chọn C Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.  6 Câu 74: Tích phân I    sin 2 x  cos 3x  dx có giá trị là:   2 2 . 3 A. I  B. I  3 . 4 C. I   3 . 4 D. I   2 . 3 Hướng dẫn giải  6 Tích phân I    sin 2 x  cos 3x  dx có giá trị là:   2  6  1 3  1 6 Cách 1: I    sin 2 x  cos 3 x  dx    cos 2 x  sin 3x    . 3 4  2     2 2 Chọn C Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.  2 Câu 75: Kết quả của tích phân   2 x 1  sin x  dx được viết ở dạng a , b  . Khẳng định nào sau đây là 0 sai? A. a  2b  8 . B. a  b  5 . C. 2a  3b  2 . Hướng dẫn giải D. a  b  2 . Chọn B  2  2 2   1  1      1 . 0 4 2  4 2 0 Vậy a  4 , b  2 . Suy ra a  b  6 . Vậy B sai.   2 x  1  sin x  dx   x 2  x  cos x    2 Câu 76: Cho tích phân  1   4 x  1  cos x  dx    a  b   c ,  a, b, c    . Tính a  b  c 0 C. 2 . B. 1 . A. 3 D. 1 . 3 Hướng dẫn giải Chọn B  2 Ta có  2   4 x  1  cos x  dx   2 x  x  sin x  02 0  1       1.  2 2 Suy ra a  2 , b  2 , c  1 nên a  b  c  1 .  6 Câu 77: Biết a c 3   3  4 sin x  dx  b  6 , trong đó a , b nguyên dương và 2 0 A. 8 . B. 16 . C. 12 . Hướng dẫn giải ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay a tối giản. Tính a  b  c . b D. 14 . Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Chọn D Ta có:  6  6  6 0 0   3  4sin x  dx   3  2 1  cos 2 x  dx    5  2 cos 2 x  dx 2 0 5 3 3  . 6 6 Suy ra a  5 , b  6 , c  3 . Vậy a  b  c  14 .   3 Câu 78: Cho giá trị của tích phân I1   3   sin 2 x  cos x  dx  a , I 2    2   cos 2 x  sin x  dx  b . Giá trị của a   3 + b là: A. P  3  3. 4 B. P  3 3 3  . C. P   3 . 4 2 4 Hướng dẫn giải  3 Cho giá trị của tích phân I1  D. P  3 3  . 4 2  3   sin 2 x  cos x  dx  a , I 2    2   cos 2 x  sin x  dx  b . Giá trị của a   3 + b là: Cách 1: Ta có:  3  3 3 3 3  1 3 I1    sin 2 x  cos x  dx    cos 2 x  sin x    a  . 4 2  2   4 2   2 2  3  3 3 1 3 I 2    cos 2 x  sin x  dx   sin 2 x  cos x   b .  2 2 2      3 3  P  a b  3  3. 4 Chọn A Cách 2: Dùng máy tính cầm tay vì các giá trị rất quen thuộc học sinh có thể nhận ra.  2 Câu 79: Tích phân I    sin ax  cos ax  dx , với a  0 có giá trị là:   2 2        sin  a    sin  a    .  a   2 4  2 4  2        B. I  sin  a    sin  a    .  a   2 4  2 4  A. I  2        sin  a    sin   a    .  a   2 4 2 4   2        D. I   sin  a    sin  a    .  a   2 4  2 4  C. I  ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Hướng dẫn giải  2 Tích phân I    sin ax  cos ax  dx có giá trị là:   2 Ta có:  2 I  1 1    sin ax  cos ax  dx    a cos ax  a sin ax    2  2   2   2   2    sin  ax    4     a  2 . 2        sin  a    sin  a     a   2 4  2 4  Chọn B  b  Câu 80: Cho hàm số f  x   a sin 2x  b cos 2 x thỏa mãn f '    2 và  adx  3 . Tính tổng a  b bằng: 2 a A. 3. B. 4. C. 5. D. 8. Hướng dẫn giải Chọn C f '  x   2a cos 2 x  2b sin 2x   f '     2  2 a  2  a  1 2 b b  adx   dx  3  b  1  3  b  4 a 1 Vậy a  b  1  4  5. 0 Câu 81: Cho tích phân  cos 2 x cos 4 xdx  a  b  3 , trong đó a , b là các hằng số hữu tỉ. Tính ea  log 2 b  3 . B. 3 . A. 2 . 1 . 8 Hướng dẫn giải C. D. 0 . Chọn A 0 1 0 11 1 1  Ta có:   cos 2 x cos 4 xdx     cos 6 x  cos 2 x dx   sin 6 x  sin 2 x   3.  2 3 2 6 2   8 3 0 3 1 1 Do đó ta có a  0 , b   . Vậy e a  log 2 b  e 0  log 2  2 . 8 8  2 Câu 82: Tích phân I    cos x  1 cos2 xdx có giá trị là: 0  1 A. I   . 4 3 B. I    2  1  . C. I   . 4 3 4 3 Hướng dẫn giải D. I    2  . 4 3  2 Tích phân I    cos x  1 cos2 xdx có giá trị là: 0 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta Tích Phân và Ứng Dụng đổi: biến  2  2  2  2 1  t3  1 1 2   I    cos x  1 cos xdx   cos x 1  sin x dx   cos xdx   t     x  sin 2 x    3 0 2 2 0 3 4  0 0 0 , với t  sin x . Chọn D 2 2 2  3  Câu 83: Cho I    sin 3x  cos 2 x  dx   a cos 3 x  bx sin  c sin 2 x  06 . Giá trị của 3a  2b  4c là: 0 A. – 1. B. 1. C. – 2. Hướng dẫn giải  3 D. 2.  Cho I    sin 3x  cos 2 x  dx   a cos 3 x  bx sin  c sin 2 x  06 . Giá trị của 3a  2b  4c là: 0 Ta có:  3  3  1  cos 2 x  1 1   1 3 I1    sin 3 x  cos x  dx    sin 3 x   dx    cos 3x  x  sin 2 x  2 2 4   3 0 0 0 1 1 1  a   , b  , c   3a  2c  4c  1 3 2 4 Chọn B DẠNG 6: TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LÔGARIT CƠ BẢN 2 1 Câu 84: Tích phân  e  x dx bằng 0 A. e  1 . B. e 1 . e Hướng dẫn giải 1 1. e C. D. 1 . e Chọn C 1 Ta có:  e  x dx  e x 0 1  1  e 1 .     1  0 e e  2018 Câu 85: Tích phân I   2 x dx bằng 0 A. 22018  1 . B. 22018  1 . ln 2 22018 . ln 2 Hướng dẫn giải D. 22018 . C. Chọn D 2018 I  0 2018 2x 2 dx  ln 2 0 x 4 Câu 86: Biết  f ( x)dx  1 A. I  2e8 . 1 và. 2 22018  1  . ln 2 0  1 4 f ( x)dx  1 . Tính tích phân I    4e 2 x  2 f ( x )  dx . 2 0 B. I  4e8  2 . C. I  4e8 . Hướng dẫn giải D. I  2e8  4 . Chọn A 4 1 4 e2 x 4 Ta có I    4e 2 x  2 f ( x )  dx  4.  2  f  x  dx  2  f  x  dx . 2 0 0 0 1 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 22 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1  I  2 e 8  1  2.  2.  2.e8 . 2 2   ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u  u ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và   u ( x)   . Giả sử có thể viết f ( x)  g (u ( x))u '( x), x [a;b], với g liên tục trên đoạn [ ;  ]. Khi đó, ta có u (b ) b I   f ( x ) dx  a  g (u ) du. u (a) Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân Dấu hiệu Có thể đặt Có 1 Có (ax  b)n 2 3 4 f ( x) Có a Có f ( x) dx và ln x x t Ví dụ I  f ( x) 3 0 3 x dx x 1 . Đặt t  x  1 1 I   x ( x  1) 2016 dx . Đặt t  x  1 t  ax  b 0  4 0 t  f ( x) t  ln x hoặc biểu thức chứa ln x 5 Có e x dx t  e x hoặc biểu thức chứa e x 6 Có sin xdx t  cos x e tan x3 I  dx . Đặt t  tan x  3 cos2 x e ln xdx I  . Đặt t  ln x  1 1 x(ln x  1) I  ln 2 2 x e 0 x 3e x  1dx . Đặt t  3e  1  I   2 sin 3 x cos xdx . Đặt t  sin x 0 7 Có cos xdx 8 dx Có cos 2 x t  tan x 9 Có dx sin 2 x t  cot x t  sin xdx I   0 sin 3 x dx Đặt t  2cos x  1 2cos x  1   1 1 2 dx  04 (1  tan x) cos2 x dx 0 cos4 x Đặt t  tan x  cot x e ecot x I  4 dx   dx . Đặt t  cot x 1  cos 2 x 2sin 2 x 6 I 4 BÀI TẬP HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: y  f  x a, b u  u  x Cho hàm số liên tục trên   . Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên  a, b và u  x    ,   x   a, b , hơn nữa f  u  liên tục trên đoạn  ,   . Mệnh đề nào sau đây là đúng? x  a b A. C. ub b  f u  x   u  x  dx   f  u  du . a a b ub   a f u  x  u   x  dx   B.  u a  b f u  x  u   x  dx   f  u  du . b f  u  du . u a  D.  a b f u  x   u   x  dx   f  x  du . a a Hướng dẫn giải Chọn C Đặt u  x   t  u  x  dx  dt . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Đổi cận Khi x  a thì t  u  x  ; khi x  b thì t  u  b  . ub b Do đó ub  f u  x  u  x  dx   f  t  dt   f  u  du . u a  a ua  HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ 3 Câu 2: 1000 Tính tích phân I   x  x  1 dx. 1 1002 1502.21001 3005.21002 . . B. I  C. I  501501 1003002 Hướng dẫn giải 2003.2 . A. I  1003002 2003.21001 . D. I  501501 Đặt x  1  t , khi x  1  t  0; x  3  t  2. Câu 3: 2 2  t1002 t1001  Do đó I    t  1 t1000 d  t  1    t 1001  t1000  dt      1002 1001  0 0 21002 21001 1  1502.21001  2    21001   .  1002 1001 501501  1002 1001  Chọn B 2 x Tích phân  2 dx bằng x 3 0 1 7 7 1 7 A. log . B. ln . C. ln . 2 3 3 2 3 Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 2 x 1 1 1 1 7 2 2 Ta có:  2 dx   2 d  x  3   ln x  3  ln . x 3 2 0 x 3 2 3 2 0 0 1 Câu 4: Tích phân I   0 A. x 5 dx 1  x  3 16 2 2 0 D. 1 3 ln . 2 7 D. 4 17 được kết quả I  a ln 2  b . Giá trị a+b là: 3 B. 13 16 14 17 Hướng dẫn giải C. Chọn A 2 đặt t  1  x 2   I  1 1 2 1  1 5   2  3 dt  ln 2  .  2 1t t t  2 16 1 Câu 5: x2 1 0 x3  1 dx  3 ln a ,a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: A. 2. B. 3. C. 4. Hướng dẫn giải 1 2 x 1 Cho  3 dx  ln a . Giá trị của a là: x 1 3 0 Ta có: 1 2 2 x2 1 1 1 dx  ...  0 x3  1 1 3t dt  3  ln t  1  3 ln 2  a  2 . Chọn A Cho ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 5. Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 0 Câu 6: ax dx ,với a  2 có giá trị là: 2 1 ax  2 ln 2  ln a  2 ln 2  ln a  2 A. I  . B. I  . 2 2  ln 2  ln a  2  ln 2  ln a  2 C. I  . D. I  . 2 2 Hướng dẫn giải 0 ax Tích phân I   2 dx , với a  2 có giá trị là: 1 ax  2 Tích phân I   Ta nhận thấy:  ax 2  2  '  2ax . Ta dùng đổi biến số. Đăt t  ax 2  2  dt  2axdx . x  0  t  2 Đổi cận  .  x  1  t  a  2 2 I 2 1 1 1 dt   ln t    ln 2  ln a  2  . a2 2t 2 2 a2  Chọn B HÀM VÔ TỈ 1 Câu 7: Cho tích phân  3 1  x dx , với cách đặt t  3 1 x thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào 0 sau đây? 1 1 1 3 A. 3 tdt . B.  t dt . 0 1 2 C. 3  t d t . D. 3  t 3 d t . 0 0 0 Hướng dẫn giải Chọn D t  3 1 x  x 1t3  dx  3t2dt , đổi cận: x  0  t  1 , x  1  t  0 . Đặt 1 Khi đó ta có  1 3 1  x dx  3  t 3 dt . 0 Câu 8: 0 2 Trong các tích phân sau, tích phân nào có cùng giá trị với I   x3 x2  1dx 1 A. 1 t t  1dt . 2 1 2 B.  4 1 t t  1dt C. 3  t 0 2   1 t 2 dt . D. 3  x 1 2   1 x 2 dx . Hướng dẫn giải. Đặt t  x 2  1  t 2  x 2  1  tdt  xdx x 1  t  0 , x  2 t  3 2 I   x 3 x 2  1dx   1 0 3 t 2   1 t 2 dt Chọn C 3 Câu 9: 2 x 0 1  1  x dx  1 f (t )dt , với t  1 x thì f (t ) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây ? A. f (t )  2t 2  2t B. f (t )  t 2  t C. f (t )  t 2  t D. f (t )  2t 2  2t Hướng dẫn giải Chọn D Nếu Đặt t  1 x , suy ra t 2  1  x , 2tdt  dx ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 3 2 2 Tích Phân và Ứng Dụng 2 x t 2 1 Ta có  dx   .2tdt   (t  1).2tdt   (2t 2  2t )dt 1  t 1  1  x 0 1 1 1 1 Câu 10: Tích phân dx bằng 3x  1  0 A. 4 . 3 B. 3 . 2 1 . 3 Hướng dẫn giải C. D. 2 . 3 Chọn D Đặt t  3x  1  t 2  3 x  1  2tdt  3dx  2t dt  dx 3 Đổi cận: x  0  t  1 ; x  1  t  2 Khi đó 2 2 1 2 2 2 dx 2 1 2   .tdt   dt  t  . 31 3 1 3 3x  1 3 1 t  0 Cách khác: Sử dụng công thức 4  dx 2  ax  b  C thì ax  b a 1  0 1 dx 2 2  3x  1  . 3 3x  1 3 0 1 dx  a  b ln 2 với a, b là số nguyên. Tính S  a  b . 2x  1  5 B. S  3. C. S  5. D. S  7. Hướng dẫn giải: Câu 11: Biết I   0 A. S  3. Chọn B t  2 x  1  t 2  2 x  1  2tdt  2dx x  0  t  1 x  4  t  3  4 3 3 3 1 t 5   I  dx   dt    1   dt   t  5ln t  5  1  2  5ln 2. t 5 t 5  2x 1  5 0 1 1 Suy ra: a  2; b  5  S  a  b  3. 4 dx 2  a  b ln với a, b   . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 2x 1 0 3 B. a  b  5 . C. a  b  5 . D. a  b  3 . Hướng dẫn giải Câu 12: Cho tích phân I   A. a  b  3 . Chọn C Đặt t  2 x  1  t 2  2 x  1  dx  tdt . Đổi cận: x  0  t  1 ; x  4  t  3 3 3 4 3 tdt 3  dx 2     1  Khi đó I    dt   t  3ln t  3  1  2  3ln 3t 1  t  3 3 0 3  2x 1 1 Do đó a  b  5 . 3 Câu 13: Biết x x 2  1dx  1 A. a  2b . 2 a  b , với a, b là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây đúng. 3 B. a  b . C. a  b . D. a  3b . Hướng dẫn giải   Chọn A Đặt t  x 2  1  t 2  x 2  1  tdt  xdx . Đổi cận x  1  t  2; x  3  t  2 . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 3 Khi đó  1 1 Câu 14: Cho I   0 2 t3 x x  1dx   t dt  3 2 2 2 2 x x2 1  2 B. – 2. 1 0 x x2 1 2 4  2 . Vậy a  2b. 3   dx  a 2  b . Giá trịa.b là: A. – 1. Cho I   Tích Phân và Ứng Dụng C. 1. Hướng dẫn giải D. 2. dx  a 2  b . Giá trịa.b là: Ta có: x  0  t  1 Đặt t  x 2  1  dt  2 xdx . Đổi cận  . x  1  t  2 2 1 1 I  dt  2  1  a  1, b  1  a.b  1 . 21 t Chọn A 2 4  x2 b Câu 15: Với a, b, c  R . Đặt I   dx  a  ln . Giá trị của tính abc là : x c 1 A. B. 2 3 3 D.  3 C. 2 3 Hướng dẫn giải Chọn D Đây là dạng toán tính tích phân để tránh tình trạng bấm máy tính nên chúng ta cần phải nhớ phương pháp làm. Có hai cách để làm bài toán này là chuyển về lượng giác hoặc phá căn. Dưới đây là một cách Đặt t  4  x 2  t 2  4  x 2  tdt   xdx 0 t (tdt ) I  4  t2 3 0 0 t2 4   t 2    t 2  4 dt   1  t 2  4  dt   t  ln t  2  3 3 0   3  ln 3 2 3 2 3 Suy ra abc   3(2  3)(2  3)   3 7 Câu 16: Giá trị của I   x3dx 3 2 được viết dưới dạng phân số tối giản 1 x dương). Khi đó giá trị của a  7b bằng A. 2 . B. 1 . C. 0 . Hướng dẫn giải Chọn B 0 7 Cách 1: Tính I   0 a ( a , b là các số nguyên b D. 1. x3dx 3 1  x2 3 Đặt u  3 1  x 2  u 2 du  xdx . Đổi cận: x  0  u  1 ; x  7  u  2 . 2 3 2 2 2 3  u  1 u 3 141 Vậy I   du    u 4  u  du  . 21 u 21 20 Suy ra: a  141 , b  20 . Vậy a  7b  1. 7 Cách 2: Dùng MTCT I   0 x 3dx 3 1  x2  7.01  141 . 20 Suy ra: a  141 , b  20 . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Vậy a  7b  1. 7  Câu 17: Cho biết x3 3 0 1  x2 dx  A. 0 . m m với là một phân số tối giản. Tính m  7 n . n n B. 1 . C. 2 . D. 91 . Hướng dẫn giải Chọn B 3t 2 dt Đặt t  1  x  t  1  x  3t dt  2 xdx  xdx  . 2 Đổi cận: khi x  0  t  1 ; khi x  7  t  2 3 7 2 3 2 2 2 2 2 t 3  1 3t 2 3 3  t5 t 2  141 4 0 3 1  x2 dx  1 t . 2 dt  2 .1  t  t dt  2 . 5  2   20 . 1 .  m  7 n  141  7.20  1 HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 18: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau x3 1 1 1 A.  sin 1  x  dx   sin xdx . 0 1 B.  cos 1  x  dx    cos xdx . 0 0 0  2  x C.  cos dx   cos xdx . 2 0 0 D.   2 x sin d x  0 2 0 sin xdx . Hướng dẫn giải Chọn A 1 Xét tích phân  sin 1  x  dx 0 Đặt 1  x  t  dx  dt . Khi x  0  t  1 ; Khi x  1  t  0 . 0 1 1 1 Do đó  sin 1  x  dx   sin t  dt    sin tdt   sin xdx . 1 0 0 0 π 3 sin x dx . 3 cos x 0 Câu 19: Tính tích phân I   A. I  5 . 2 B. I  3 . 2 C. I  π 9 .  3 20 D. I  9 . 4 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt t  cos x  dt   sin xdx . π 1 Đổi cận: x  0  t  1 ; x   t  . 3 2 1 2 1 1 1 1 Khi đó: I   3 dt   3 dt  2 2t 1 t 1 t 2 1 1 2 1 3  2 . 2 2  3 b Câu 20: Cho I   sin 2 x tan xdx  ln a  . Chọn mệnh đề đúng: 8 0 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. a  b  4 B. a  b  2 Tích Phân và Ứng Dụng D. a b  4 C. ab  6 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt u  cos x  du  sin xdx  1   x u   Đổi cận 3 2   u  1 x  0   1 2 1  u   du   2 I u 1 1 1 2 2  u2  3 1   u du  ln u   ln 2   1  u   2 1 8  a cos 2x 1 dx  ln 3 . Tìm giá trị của a là: 1  2 sin 2x 4 0 B. 2 C. 4 Hướng dẫn giải Câu 21: Cho I   A. 3 D. 6 Chọn C 1 2 sin 2 1 Đặt t  1  2 sin 2 x đưa đến I = 4 1 suy ra 1  2 sin 2 / a  3 suy ra a = 4.  4  Câu 22: Biết I1   1  tan x  dx  a và I 2   0 trị của a + b + c là: A. 1. B. 2. dt 1 1 = lnt| 11 2sin 2 / a = ln3 t 4 4 1 1 2 0 a 1  3  x  x dx   bx  cx 3  , a và b là các số hữu tỉ. Giá  0 2  C. 3. Hướng dẫn giải  4 1 0 0 D. 0. 1 Biết I1   1  tan 2 x  dx  a và I 2    1   x 2  x dx   bx 3  cx 3  . Giá trị của a + b + c là:  0  Ta có:  4  4 1 1 dx  ...   tdt  1 , với t  tan x . 2 cos x 0 0 I1   1  tan 2 x  dx   0 1 1  1 3 2 13  I 2   x  x dx   x  x  . 3 0 3 0 1 2  a  1, b  , c   a  b  c  2 . 3 3 Chọn B  2   3 sin 2 x dx có giá trị là: cos x  cos 3 x 0 Câu 23: Tích phân I   1  2 2 2 1   ln  ln . 2 2 22 2  1  1  2 2 2 1  C. I   ln  ln . 2 2 22 2  1  A. I  1  2 2 2 1   ln  ln . 2 2 22 2  1  1  22 2 1  D. I   ln  ln . 2 2 2 2 2  1  Hướng dẫn giải B. I  ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  3 sin 2 x dx có giá trị là: cos x  cos 3 x 0 Tích phân I    3  3  3 1 2 sin 2 x sin x sin x 1  2t  1  dxI   dx   dx  ...   ln  2 cos x  cos 3x cos 2 x 2 cos x  1 2 2 2t  1  1 0 0 0 Ta biến đổi: , 1  22 2 1    ln  ln  2 2 22 2  1  với t  cos x . Chọn C I   2 Câu 24: Xét tích phân I   0 1 A. I  sin 2 x d x . Nếu đặt 1  cos x t  1cos x , khẳng định nào dưới đây là đúng? 1 3 4t  4t  t dt . 2  4t 3  4t  t dt . 2 B. I  2 C. I  4   t 2  1 d t . D. 1 2 I   4  t 2  1 d t . 1 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t  1  cos x  dt   sin x sin x dx  dx  2dt 2 1  cos x 1  cos x  t 2  1  cos x  cos x  t 2  1 Đổi cận x  0  t  2; x   2 I  0 sin 2 x d x  1  cos x  2  0   t  1. 2 1 2 cos x sin x d x  1  cos x 1  2(t 2 1)(2)dt  4  (t 1)dt  4  (t 2 1)dt. 2  f  x  dx  7 . Tính I   cos x. f  sin x  dx . 0 0 B. 9 . A. 1 . 1 2  2 1 Câu 25: Cho f là hàm số liên tục thỏa 2 2 C. 3 . Hướng dẫn giải D. 7 . Chọn D Đặt t  sin x  dt  cos xdx . Đổi cận x  0  t  0 , x   2 1   t  1. 2 1 Ta có I   cos x. f  sin x  dx   f  t  dt   f  x  dx  7 . 0 0 0 1 Câu 26: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và  f  x  dx  12 ,  f  2cos x  sin xdx bằng 1 A. 12 . B. 12 . 2 3  3 C. 6 . Hướng dẫn giải D. 6 . Chọn C Đặt t  2 cos x  dt  2sin xdx . Đổi cận ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 3 1  f  2cos x  sin xdx    3 1 Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 1 1  1 f  t     dt   f  t  dt   f  x  dx  6 . 2 1 2 1  2 HÀM MŨ – LÔGARIT 1 2 Câu 27: Cho I   xe1 x dx . Biết rằng I  0 ae  b . Khi đó, a  b bằng 2 B. 0 . A. 1 . C. 2 . Hướng dẫn giải D. 4 . Chọn C 1 2 Ta có I   xe1 x dx   0 1 2 1 1 1 x2 1 e 1 e d 1  x 2    e1 x   0 20 2 2 ae  b Vì I   a  1; b  1 . Vậy a  b  2 . 2 2 f x  sin 2 x.esin x Câu 28: Nguyên hàm của   là 2 2 2 esin x 1 A. sin2 x.esin x1  C . B. C. C. esin x  C . 2 sin x  1 Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 esin x 1 D. C . sin 2 x  1 2 2 Ta có  sin 2 x.esin x dx   esin x d  sin 2 x   esin x  C 1 Câu 29: Biết rằng  3e 13 x dx  0 A. T  6 . a 2 b b c e  e  c  a, b, c   . Tính T  a   . 5 3 2 3 B. T  9 . C. T  10 . Hướng dẫn giải D. T  5 . Chọn C Đặt t  1  3x  t 2  1 3x  2tdt  3dx Đổi cận: x  0  t  1 , x  1  t  2 1   3e 0 1 3 x 2  2   2 2 2  dx 2  tet dt 2 tet 1   et dt  2 tet 1  et 1  2  2e 2  e  e 2  e   2e 2 . 1 1  a  10   T  10 nên câu C đúng. b  c  0 ln12 Câu 30: Tích phân I   e x  4dx có giá trị là: ln 5 A. I  2  ln 3  ln 5 . C. I  2  2 ln 3  ln 5 . B. I  2  2ln 3  2ln 5 . D. I  2  ln 3  2ln 5 . Hướng dẫn giải ln12 Tích phân I   e x  4dx có giá trị là: ln 5 Đặt: t  e x  4  t 2  e x  4  2tdt  e x dx  dx  2tdt . t2  4 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  x  ln 5  x  3 Đổi cận  .  x  ln12  x  4 4 4 2t 2  t2  I  2 dt  2  t  2 ln  2  2 ln 3  2ln 5 . t 4 t  2  3  3 Chọn B ln 6 ex Câu 31: Biết tích phân  dx  a  b ln 2  c ln 3 , với a , b , c là các số nguyên. Tính x 1  e  3 0 T  abc. A. T  1 . B. T  0 . C. T  2 . D. T  1 . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt t  e x  3  t 2  e x  3  2tdt  e x dx .  x  ln 6 t  3  Đổi cận  . x  0 t  2 ln 6 3 3 ex 3 2  2tdt   2 dt   2t  2ln t  1    6  2ln 4    4  2ln 3 Suy ra  dx    x 2 1 t 2  1 t  0 1 e  3 2 a  2   2  4ln 2  2ln 3  b  4 . c  2  Vậy T  0 . e ln x dx trở thành Câu 32: Với cách đổi biến u  1  3ln x thì tích phân  1 x 1  3ln x 2 A. 2 2 u 2  1 du .   31 B. 2 2 u 2  1 du . C. 2  u 2  1 du .   91 1 Hướng dẫn giải 2 D. 2 u 2 1 du . 9 1 u Chọn B u  1  3ln x  u 2  1  3ln x  ln x  u2 1 dx 2u   du . 3 x 3 u2 1 2 ln x 2 2u 2 3 dx   Khi đó  du   u  1 du . 91 u 3 1 x 1  3ln x 1 e 2 e Câu 33: Tính tích phân I   1 2 2 A. I  t 3 . 9 1   1  3ln x dx bằng cách đặt t  1  3ln x , mệnh đề nào dưới đây sai? x 2 2 B. I   tdt . 31 2 C. I  2 2 t dt . 3 1 D. I  14 . 9 Hướng dẫn giải Chọn B e I  1 1  3ln x 3 2t dx dx , đặt t  1  3ln x  t 2  1  3 ln x  2tdt  dx  dt  . x x 3 x Đổi cận: x  1  t  1 ; x  e  t  2 . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 2t 2 2 2 14 dt  t 3  . 1 3 9 9 1 I  e Câu 34: Tích phân I   x  ln 2 x  ln x  dx có giá trị là: 1 A. I  2e . B. I  e . C. I  e . Hướng dẫn giải D. I  2e . e Tích phân I   x  ln 2 x  ln x  dx có giá trị là: 1 e e Ta biến đổi: I   x  ln 2 x  ln x  dx   x ln x  ln x  1 dx . 1 1 Đặt t  x ln x  dt   ln x  1 dx . e x  1  t  0 Đổi cận  .  I   dt  e . x  e  t  e 0 Chọn C e 2 ln x ln 2 x  1 Câu 35: Tích phân I   dx có gái trị là: x 1 A. I  4 2 2 . 3 B. I  4 22 2 2 2 . C. I  . 3 3 Hướng dẫn giải D. I  2 22 . 3 e 2 ln x ln 2 x  1 dx có gái trị là: x 1 2ln x Ta nhận thấy:  ln 2 x  1 '  . Ta dùng đổi biến số. x 2ln x Đặt t  ln 2 x  1  dt  dx . x x  1  t  1 Đổi cận  . x  e  t  2  Tích phân I   2 2 2 3 4 2 2 . I   tdx   t 2   3 3  1 1 Chọn A e 3  ln x a b c dx  Câu 36: Biết  , trong đó a , b , c là các số nguyên dương và c  4 . Tính giá x 3 1 S  abc. trị A. S  13 . B. S  28 . C. S  25 . D. S  16 . Hướng dẫn giải Chọn C dx Đặt t  3  ln x  2tdt  . x Đổi: Với x  1  t  3 ; x  e  t  2 . e I  1 2 3  ln x 2 2 16  6 3 dx  2  t 2dt  t 3  . 3 x 3 3 3  a  16 , b  6 , c  3  S  a  b  c  25 . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x   (t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ ;  ](*) sao cho  ( )  a, (  )  b và a   (t )  b với mọi t [ ;  ]. Khi đó:  b  f ( x) dx   f ( (t )) '(t )dt.  a Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng    a 2  x 2 : đặt 2 2 x  a : đặt x | a | sin t ; t    ;   2 2 x |a|    ; t    ;  {0} sin t  2 2    x | a | tan t; t    ;  x a :  2 2 ax ax a  x hoặc a  x : đặt x  a.cos 2t 2 2 Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính 3 tích phân I   0 x 2 dx thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân I   x3 dx 3 0 x2  1 x2  1 thì nên đổi biến dạng 1. 1 Câu 37: Biết rằng  4  x 2 dx  1 2  a . Khi đó a bằng: 3 2. A. B. 1 . C. 3 . Hướng dẫn giải D. 2 . Chọn C Đặt x  2sin t  dx  2 cos tdt .  6 1 Khi đó  : 4  x 2 dx  1   2t  sin 2t   6   6   4cos t cos t dt   4cos   6  6 2 tdt    2  2 cos 2t  dt  6 6 2  3. 3 1 2 Câu 38: Cho tích phân I   0 A.  6 1 1  x2 1 . 2 B. 1 2 Cho tích phân I   0 1 1  x2 dx  a ,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: 1 . 3 1 . 4 Hướng dẫn giải C. D. 1 . 6 dx  a . Giá trị của a là: Ta có:    Đặt x  sin t , t    ;   dx  cos tdt .  2 2 x  0  t  0  Đổi cận  1 . x   t   2 6 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  6 I   dt  0 Tích Phân và Ứng Dụng  1 a . 6 6 Chọn D 3 Câu 39: Giá trị của  0 a a 9  x 2 dx   trong đó a, b   và là phân số tối giản. Tính giá trị của b b biểu thức T  ab . A. T  35 . B. T  24 . D. T  36 . C. T  12 . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt x  3sin t  dx  3cos tdt . Đổi cận: x  0  t  0; x  3  t   2  2 2  2  I   9   3sin t  .3cos tdt =  9cos 2 tdt   9. 0 0 1 Câu 40: Đổi biến x  2sin t thì tích phân 0 dx  4  x2 0  6 A.  3  tdt . 1  cos 2t 9 dt   . Vậy T  9.4  36 . 2 4 trở thành  6  6 dt C.  . t 0 Hướng dẫn giải B.  tdt . 0  . 2 0 D.  dt . 0 Chọn D x  0  t  0 Đặt x  2sin t , khi đó dx  2cos tdt . Đổi cận   x  1 t  6  1 I  0  6 dx 4 x 2 2 cos t  2 4  4sin t 0 a b Câu 41: Biết rằng 1   6 2 dt   0 dx  x  6x  5 . Tổng a  b bằng A. 5 . B. 7 . 4 2cos t 2 4cos t  6 dt   0  6 2cos t dt   dt . 2cos t 0  trong đó a , b là các số nguyên dương và 4  a  b  5 6 C. 4 . Hướng dẫn giải D. 6 . Chọn D a b Ta có  4 a b 1 x2  6x  5 dx   4 1 4   x  3 2 dx .    Đặt x  3  2sin t , t    ;  , dx  2cos tdt .  2 2  a  b 3 Đổi cận x  4  t  , x  a  b  t  arcsin  m. 6 2 m m  2 cos t m d t   4  4sin 2 t  dt  t 6  m  6 . 6 Theo đề ta có m  6   a b 3  a b 3 3   arcsin  a  b  3  3.    6 6 2 3 2 2 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Do đó a  3 , b  3 , a  b  6 . 3  x  1 3  x dx Câu 42: Tích phân I   có giá trị là: 5 2 A. I   3  . 6 4 B. I   3  3  . C. I   . 3 8 6 8 Hướng dẫn giải D. I   3  . 3 8 3  x  1 3  x dx Tích phân I   có giá trị là: 5 2 Ta có: 3 3  x  1 3  x dx   I  5 2 5 2 3 2 2 3  x  2 xdx   1   x  2  dx . 5 2    Đặt x  2  sin t , t    ;   dx  cos tdt .  2 2 5    x  2  t  6 Đổi cận  .  x  3  t   2  2 I  6  2  2 6 6  1  cos 2t 1  sin 2 t .cos tdt   cos 2 tdt   dt  2   1 1 3 2  .  x  sin 2t     2 2 6 8  6 Chọn C 1 Câu 43: Tích phân I   0 A. I  1 dx có giá trị là: x 1 2  . 2 B. I   . 3 C. I   . 4 D. I   . 6 Hướng dẫn giải 1 Tích phân I   0 1 dx có giá trị là: x 1 2 Ta có: 1 I  0 1 dx . Ta dùng đổi biến số. x 1 2 1    dt . Đặt x  tan t , t    ;   dx  cos2 t  2 2 x  0  t  0  Đổi cận  .  x  1  t  4  4   I   dt  t 04  0  . 4 Chọn C 1 Câu 44: Khi đổi biến x  3 tan t , tích phân I   0 dx trở thành tích phân nào? x 3 2 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacg[email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  3  6 A. I   3dt .  6 B. I   0 Tích Phân và Ứng Dụng 0 3 dt C. I   3tdt . 3 0 Hướng dẫn giải  6 1 D. I   dt . t 0 Chọn B Đặt x  3 tan t  dx  3 1  tan 2 t  dt . Khi x  0 thì t  0 ; Khi x  1 thì t  1 Ta có I   0  6  . 6  6 3 1  tan t  dx 3  dt . dt   2 x  3 0 3 1  tan t  3 0 2 2 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Định lí Nếu u  x  và v  x  là các hàm số có đạo hàm liên tục trên  a; b thì: b b b ' b '  u ( x)v ( x)dx   u( x)v( x)  a   v( x)u ( x)dx a Hay a b b a udv  uv a a vdu 2. Phương pháp chung  Bước 1: Viết f  x  dx dưới dạng udv  uv ' dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f  x  làm u  x  và phần còn lại dv  v '( x )dx  Bước 2: Tính du  u ' dx và v   dv   v '( x)dx b  Bước 3: Tính và uv  vu '( x)dx a b a * Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần. b b b Đặt u theo thứ tự ưu tiên: x P ( x ) e dx P ( x ) ln xdx    P( x) cos xdx Lốc-đa-mũ-lượng a a a u P(x) lnx P(x) dv e x dx P(x)dx cosxdx b e x cos xdx a ex cosxdx Chú ý: Nên chọn u là phần của f  x  mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv  v ' dx là phần của f  x  dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm. BÀI TẬP HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1:  2 Câu 1: Tích phân I   x sin axdx, a  0 có giá trị là:  3 A. I    63 3 . 6a B. I   33 3  63 3 . C. I  . 6a 6a Hướng dẫn giải D. I   33 3 . 6a  2 Tích phân I   x sin axdx, a  0 có giá trị là:  3 du  dx u  x  Đặt   . 1 dv  sin axdx v   cos x a   2  2  3 3 3  1  1   1 2 1  2  63 3  I   x cos x    cos xdx   x cos x    sin x   . 6a  a  a  a  a  3 Chọn A ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  4 Câu 2: Biết 1 Tích Phân và Ứng Dụng  ( a, b là các số nguyên khác 0). Tính giá trị ab .  1  x  cos 2 xdx  a  b 0 A. ab  32 . B. ab  2 . C. ab  4 . Hướng dẫn giải D. ab  12 . Chọn A  4  sin 2 x cos 2 x  4 1  1   1  x cos 2 x d x  1  x            . 0 2 4 0 4 8 a b   a  4; b  8  ab  32 . π Câu 3: u  x 2 Tính tích phân I   x cos 2 xdx bằng cách đặt  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? dv  cos 2 xdx 0 π π 1 1 A. I  x 2 sin 2 x π0   x sin 2 xdx . B. I  x 2 sin 2 x π0  2  x sin 2 xdx . 2 2 0 0 2 π C. I  π 1 2 x sin 2 x π0  2 x sin 2 xdx . 2 0 D. I  1 2 x sin 2 x π0   x sin 2 xdx . 2 0 Hướng dẫn giải Chọn A du  2 xdx u  x 2  Ta có:   . 1 v  sin 2 x d v  cos 2 x d x   2 π π 1 Khi đó: I   x 2 cos 2 xdx  x 2 sin 2 x π0   x sin 2 xdx . 2 0 0  2 Câu 4:  2 Biết I   x cos 2 xdx  a 3  b  sin 2 xdx , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của  6 A. 1 . 12  6 B. 1 . 24  2 1 . 12 Hướng dẫn giải C.   2 Biết I   x cos 2 xdx  a 3  b  sin 2 xdx . Giá trị của  6  6 D.  a là: b 1 . 24 a là: b Ta có: 1  a  1  3 1 a 1  1  24 I   x cos 2 xdx   x sin 2 x    sin 2 xdx     sin 2 xdx     24 2  b 12 2  2  b   1 6 6 6 6  2 . Chọn A 1 1 Biết rằng  x cos 2 xdx  (a sin 2  b cos 2  c) với a, b, c   . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 4 0 A. 2a  b  c  1 . B. a  2b  c  0 . C. a  b  c  0 . D. a  b  c  1 . Hướng dẫn giải Chọn C  2 Câu 5:  2  2 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  2 Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 6: Tích Phân và Ứng Dụng du  dx u  x  Đặt   sin 2 x . dv  cos 2 xdx v   2 1 1 x sin 2 x 1 1 1 |0   sin 2 xdx   2sin 2  cos 2  1 . Khi đó  x cos 2 xdx  2 20 4 0 Vậy a  b  c  0 . ( x  2) cos3x  b sin 3x  C . Tính M  a  27b . Tính nguyên hàm I   ( x  2)sin 3xdx   a Chọn đáp án đúng: A. 6 B. 14 C. 34 D. 22 Hướng dẫn giải Chọn A du  dx u  x  2  Đặt  .ta được:  cos 3 x dv  sin 3 xdx v   3 Do đó: I   x  2  cos 3x 3   x  2  cos 3 x 1 1 1 cos 3 xdx    sin 3 x  c  a  3; b   m  6  3 3 9 9  Câu 7: Tính tích phân  x  x  sin x  dx  a 3  b . Tính tích ab: 0 A. 3 B. 1 3 C. 6 D. 2 3 Hướng dẫn giải Chọn B     I   x 2 dx   x sin xdx   x 2 dx   xd  cos x   0 0 0 0   x3    x cos x    cos xdx 3 0 0 0 3        sin x   3   0 3 3  Câu 8: Tích phân   3x  2  cos 2 x dx bằng 0 A. 3 2   . 4 B. 3 2   . 4 1 2   . 4 Hướng dẫn giải C. D. 1 2   . 4 Chọn B  Đặt I    3x  2  cos 2 x dx . Ta có: 0    1 1 1 I    3x  2 1  cos 2 x  dx     3 x  2  dx    3x  2  cos 2 x dx    I1  I 2  . 20 2 0 0  2    3 3  I1    3 x  2  dx   x 2  2 x    2  2 . 2 0 2 0  I 2    3x  2  cos 2 x dx . Dùng tích phân từng phần 0 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng du  3dx u  3 x  2  Đặt   . 1 dv  cos 2 x dx v  sin 2 x  2    1 3 3 Khi đó I 2   3 x  2  sin 2 x   sin 2 x dx  0   cos 2 x   0 . 2 20 4 0 0 13  3 Vậy I    2  2    2   . 22  4  Câu 9: Tính  x 1  cos x  dx . Kết quả là 0 2 A.  2. 2 B. 2  3. 3 C. 2 3. 3 D. 2 2. 2 Hướng dẫn giải Chọn A u  x du  dx Đặt   dv  (1  cos x )dv v  x  sin x  Khi đó: I  x  x  sin x  0  3 Câu 10: Tính tích phân x  cos 0 A. 0 2 x    x2  2  2    x  sin x  dx      cos x    2    1  1  2  2 0  2  2 0 2 dx  a  b . Phần nguyên của tổng a  b là ? B. -1 C. 1 Hướng dẫn giải D. -2 Chọn B Đối với bài toán này, chúng ta sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần. du  dx  ux    Đặt  dx   sin x dv  cos 2 x v  tan x  cos x  Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có:  3 sin xdx I   x tan x  3   cos x 0 0   3   d  cos x     x tan x  3    I   x tan x  3  ln  cos x  3   ln 2 cos x 3 0 0 0 0 1 ; b   ln 2 . 3 1 Tổng a  b   ln 2  0,1157969114 3 Lưu ý khái niệm phần nguyên của x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, vậy đáp án đúng là đáp án B. Nhận xét: Bài toán trên đòi hỏi khả năng biến đổi của thí sính và nhắc lại kiến thức về khái niệm phần nguyên, sẽ có thí sinh khi đi thi đã tìm ra kết quả phân tích nhưng lúng túng trong việc lựa chọn đáp án vì không nhớ rõ khái niệm phần nguyên. Suy ra a  ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A x 4 Câu 11: Cho I   x tan 2 xdx  0 A. 4  2  ln b  khi đó tổng a  b bằng a 32 B. 8 C. 10 Hướng dẫn giải Tích Phân và Ứng Dụng D. 6 Chọn D  4   4 4 1  1  I   x  1 dx  x . dx   2 0 cos2 x 0 xdx  0  cos x  4  xdx  0  4 0  2  4  2 32 1 dx . cos2 x I1   x. 0 u  x du  dx  Đặt  dx   v  tan x dv  cos 2 x  4 0 I1  x tan x Vậy I   4    tan xdx   ln cos x 4 0  4  0   ln 2 4  2  ln 2  4 32  2 Câu 12: Tính   x  sin x  cos xdx . Kết quả là 2 0  2  . 2 3 A. B.  2  . 2 3  2  . 3 3 Hướng dẫn giải C. D.  2  . 2 3 Chọn D  2 Ta có: I   ( x  sin 2 x ) cos xdx 0  2   ( x cos x  sin 2 x cos x)dx 0  2  2   x cos xdx   sin 2 x cos xdx  I 1  I 2 0 0 u  x Tính I1 : Đặt   dv  cos xdx du  dx .  v  sin x  2 Nên I1   x cos xdx 0  2 0  2      x sin x  |   sin xdx   cos x |02   1 2 2 0 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Tính I 2 : Đặt u  sin x. Ta có du  cos xdx. Đổi cận: x  0  u  0; x   2   u  1. 2 1 1 1 1  2  I 2   sin x cos xdx   u 2 du  u 3  . Vậy I  I1  I 2   . 3 0 3 2 3 0 0 2 Câu 13: Cho tích phân I   2 0 x .sin xdx  a 2  b . Tính A  a  b Chọn đáp án đúng: A. 7 B. 10 C. 6 Hướng dẫn giải D. 2 Chọn B * Đặt u  t 2  du  2tdt ; dv  sin tdt chọn v   cos t     Vậy I  2  t 2 cos t  2  t cos tdt  0 0   Đặt u  t  du  dt dv  cos tdt chọn v  sin t     I1   t sin tdt  t sint   sin tdt  cost  2 0 0 0 0    * Do đó: I  2  t 2 cos t  4   2 2  8  a  2; b  8  A  10 0   DẠNG 2: a  xe dx  1  a    . Tìm Câu 14: Cho x a? 0 B. 1 . A. 0. C. 2. Hướng dẫn giải D. e. Chọn B a x  xe dx  1   x  1 e x a 0   a  1 e a  1  1  a  1 . 0 1 Câu 15: Cho I   xe 2 x dx  ae 2  b ( a, b là các số hữu tỷ). Khi đó tổng a  b là 0 A. 0 . B. 1 . 4 C. 1 . D. 1 . 2 Hướng dẫn giải Chọn D du  dx   1 2x . v  2 e 1 1 1 1 1 2x 1 1 2x 1 1 1 1 1 1 2x Vậy I   xe dx  xe   e dx  e 2  e 2 x  e 2  e 2   e 2  . 2 0 20 2 4 0 2 4 4 4 4 0 u  x Đặt  ta có 2x dv  e dx 1  a  4 1  ab  . Suy ra  2 b  1  4 1 Câu 16: Biết rằng tích phân x   2 x  1 e dx  a  b.e , tích ab bằng: 0 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 1 . B. 1 . Tích Phân và Ứng Dụng C.  15 . Hướng dẫn giải D. 20 . Chọn A u  2 x  1 du  2dx Đặt   . x x dv  e dx v  e 1 Vậy x   2 x  1 e dx   2 x  1 e 1 x 1 0 1  2 e x dx   2 x  1 e x  e  1 . 0 0 0 Suy ra a  1; b  1  ab  1 . a x Câu 17: Tìm a sao cho I   x.e 2 dx  4 , chọn đáp án đúng 0 A. 1 B. 0 C. 4 Hướng dẫn giải D. 2 Chọn D a x u  x du  dx Ta có: I   x.e 2 dx . Đặt   x x 0 dv  e 2 dx v  2.e 2  I  2 x.e x a 2 a x 2 a 2  2  e dx  2ae  4.e 0 x a 2 0 a  2  a  2 e 2  4 0 a 2 Theo đề ra ta có: I  4  2  a  2  e  4  4  a  2 1 Câu 18: Cho tích phân I    x  1  e x  3 dx . Kết quả tích phân này dạng I  e  a . Đáp án nào sau 0 đây đúng? 9 A. a  2 B. a  9 4 C. a  9 5 D. a  8 3 Hướng dẫn giải Chọn A u  x  1 du  dx   x x x dv   e  3 dx v    e  3 dx   e  3x  1 1 0 0  I   x  1  e x  3 x     e x  3 x  dx 1 3  9    x  1  e  3x    e x  x 2   e  0 2 0 2  1 x 1 Câu 19: Tìm m để x   mx  1 e dx  e ? 0 A. 0 B. -1 1 2 Hướng dẫn giải C. D. 1 Chọn D Ta có 1 1 1 1 1 1 x x x x x x   mx  1 e dx    mx  1 dx(e )   mx  1 e 0  m  e d  mx  1   mx  1 e 0  m  e dx 0 0 x 1 0 0 x 1   mx  1 e    me    m  1 e  1  me  m  e  m  1 0 0 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 22 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng DẠNG 3. e a.e 2  b với a , b , c   . Tính T  a  b  c . c B. 3 . C. 4 . Hướng dẫn giải Câu 20: Cho I   x ln xdx  1 A. 5 . D. 6 . Chọn D 1  du  dx  u  ln x  x Ta có:  nên  . 2 dv  xdx v  x  2 a  1 e e x2 1 e2  1  I   x ln xdx  ln x   xdx  .  b  1 . 2 21 4 1 c  4 1  Vậy T  a  b  c  6 . e 1 Câu 21: Kết quả của phép tính tích phân  ln  2 x  1 dx được biểu diễn dạng a.ln 3  b , khi đó giá trị 0 3 của tích ab bằng A. 3. B. 3 . 2 3 D.  . 2 C. 1. Hướng dẫn giải Chọn D 2  u  ln  2 x  1 du  dx Đặt   2x 1 . dv  dx v  x 1 1 1 2x 1   dx  ln 3    1   dx 2x 1 2x 1  0 0 1 Ta có I   ln  2 x  1 dx  x ln  2 x  1 0   0 1 1 3    ln 3   x  ln 2 x  1   ln 3  1 . 2  0 2 3 3 Khi đó a  ; b  1 . Vậy ab3   . 2 2 2 Câu 22: Biết tích phân   4 x  1 ln xdx  a ln 2  b với a , b  Z . Tổng 2a  b bằng 1 A. 5. C. A 1;  2;1 B. 8. D. 13. Hướng dẫn giải Chọn C 1  u  ln x  du  dx Đặt  x . dv   4 x  1 dx.  2 Ta có 2 2 2 2   4 x  1 ln xdx  x  2 x  1 ln x 1    2 x  1 dx  6 ln 2   x  x  1  6ln 2  2 . 1 1 Vậy 2a  b  10 . Câu 23: Tính tích phân I  2  x 1 2 1 ln x dx . ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. I  2 ln 2  6 . 9 B. I  6 ln 2  2 . 9 Tích Phân và Ứng Dụng C. I  2 ln 2  6 . 9 D. I  6 ln 2  2 . 9 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: I  2   x 1 ln x dx 2 1 dx  du  x u  ln x Đặt   2 3 dv   x  1 dx v  x  x  3 2 2 2 2  x3   x2   x3   x3  6ln 2  2 . Do đó I    x  ln x     1 dx    x  ln x    x   3 9  3    3  9 1 1 1 1 Cách 2: 2 2 2 2  x3   x3   x3  x  1 ln x d x  ln x d  x   x ln x    1 1  3   3  1  3  x  d  ln x  1 2 2 2  x2   2 2  x3 2  6ln 2  ln 2     1 dx     x   . 3 3 3 9 9  1 1 Câu 24: Kết quả tích phân 2   2 x  ln  x  1 dx  3ln 3  b . Giá trị 3  b là: 0 A. 3 B. 4 C. 5 Hướng dẫn giải D. 7 Chọn C 2 I    2 x  ln  x  1  dx  A  B 0 2 2 Tính A   2 xdx  x 2  4 0 0 2 Tính B    ln  x  1 dx 0 dx  du  x 1  v  x  1 Dùng công thức tích phân từng phần 2 2 x 1 2 2 B    ln  x  1  dx   x  1 .ln  x  1 0   dx  3ln 3  x 0  3ln 3  2 0 0 x 1 u  ln  x  1 Xem:  ta chọn được dv  dx 2 Vậy: I    2 x  ln  x  1 dx  3ln 3  2 0 e ln x dx  a e  b với a, b   . Tính P  a.b . x 1 A. P  4 . B. P  8 . C. P   4 . Hướng dẫn giải Chọn B dx  u  ln x   du  Đặt  x dx    dv  x  dv  2 x   Câu 25: Biết  D. P  8 . e e e e a  2 ln x dx . d x  2 x ln x  2  2 x ln x  4 x  2 e  4   1 x  1 1 1 x b  4 1 e Suy ra ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 24 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Vậy P  ab  8 . 1 Câu 26: Cho biết tích phân I    x  2  ln  x  1 dx  a ln 2  0 7 trong đó a , b là các số nguyên b dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. a  b . B. a  b . C. a  b . Hướng dẫn giải Chọn A 1  du  x  1 dx u  ln  x  1  Đặt  . 2 dv   x  2  dx v  x  2 x  2 D. a  b  3 . 1 1 1  x 2   1 x2  4 x 5 1  3  I    2 x  ln  x  1    dx  ln 2    x  3   dx 2 2 0 x 1    2  0 2 0 x 1 1  5 1  x2 7 .  ln 2    3x  3ln  x  1   4ln 2  2 2 2 4 0 Suy ra a  4 , b  4 . Vậy a  b . e 1  Câu 27: Cho tích phân I    x   ln xdx  ae 2  b , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a  3b là: x 1 13 13 13 13 A. . B. . C.  . D.  2 4 4 2 Hướng dẫn giải e 1  Cho tích phân I    x   ln xdx  ae 2  b . Giá trị của 2a  3b là: x 1 Ta có: e e e e e 1  x2  1 1 x e2 5  I    x   ln xdx   x ln xdx   ln xdx   ln x    dx   dt   , với t  ln x . x x 4 4  2 1 1 2 1 1 1 0 1 5 13  a  , b   2a  3b   . 4 4 4 Chọn C 2 4ln x  1 dx  a ln 2 2  b ln 2 , với a , b là các số hữu tỷ. Khi đó tổng 4a  b bằng. Câu 28: Giả sử  x 1 B. 5 C. 7 . D. 9 . A. 3 . Hướng dẫn giải 2 2 2 4ln x  1 1  4 ln x 1  2 2 1 x dx  1  x + x  dx  41 ln xd  ln x   1 x dx  2 ln x 1  ln x 1  2ln 2  ln 2 . Chọn D 2 2 2 ĐT: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 25 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH 1. Diện tích hình phẳng a)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn a; b , trục hoành và b hai đường thẳng x  a , x  b được xác định: S  f ( x ) dx a y y  f (x) O a c1 c2 c3 y  f ( x)  y  0 (H )  x  a  x  b b x b S   f ( x ) dx a b)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) liên tục trên đoạn a; b và b hai đường thẳng x  a , x  b được xác định: S  f ( x)  g ( x ) dx a y  (C 1 ) : y  f1 ( x )   (C ) : y  f 2 ( x ) (H )  2 x  a x  b  (C 1 ) (C 2 ) b O c2 a c1 x b S  f 1 ( x )  f 2 ( x ) dx a Chú ý: b b - Nếu trên đoạn [a; b] , hàm số f ( x) không đổi dấu thì:  f ( x) dx  f ( x)dx a a - Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g ( y ) , x  h( y ) và hai đường thẳng y  c , d y  d được xác định: S  g ( y )  h( y ) dy c DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ PHƯƠNG PHÁP: Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn b bởi các đường y  f ( x ), y  g ( x), x  a, x  b là S  f ( x)  g ( x ) dx . a Phương pháp giải toán +) Giải phương trình f ( x )  g ( x) (1) b +) Nếu (1) vô nghiệm thì S   f ( x)  g ( x) dx . a  b +) Nếu (1) có nghiệm thuộc. a; b . giả sử  thì S   f ( x)  g ( x) dx  f ( x)  g ( x) dx a  Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f ( x)  g ( x ) trên đoạn a; b rồi dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn  bởi các đường y  f ( x), y  g ( x ) là S  f ( x)  g ( x ) dx . Trong đó  ,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn  nhất của phương trình f ( x )  g ( x ) a      b . Phương pháp giải toán Bước 1. Giải phương trình f ( x )  g ( x ) tìm các giá trị  ,  .  Bước 2. Tính S  f ( x)  g ( x ) dx như trường hợp 1.  HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1:TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI ĐỒ THỊ HÀM SỐ y  f ( x ) , TRỤC HOÀNH VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG x  a , x  b  a  b  Câu 1: Viết công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox và các đường thẳng x  a, x  b  a  b  . b A. b  f  x  dx . B. a b 2  f  x  dx . C. a b  f  x  dx . D.   f  x  dx . a a Hướng dẫn giải Chọn A Câu 2: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng được đánh dấu trong hình vẽ bên có diện tích là y y  f  x a b A. c b b c x O c  f  x  dx   f  x  dx . B.  f  x  dx   f  x  dx . a b b a b c C.   f  x  dx   f  x  dx . a b b D. b  f  x  dx   f  x  dx . a c Hướng dẫn giải Chọn A Ta có f  x   0 x   a; b  và f  x   0 x   b; c  nên diện tích của hình phẳng là b  a c f  x  dx   f  x  dx b Câu 3: Cho hàm số f  x  liên tục trên  , có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số f  x  , trục hoành và trục tung. Khẳng định nào sau đây đúng? File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng y c d x O y  f  x d 0 d A. S   f  x  dx   f  x  dx . c d d c 0 d d C. S    f  x  dx   f  x  dx . c 0 B. S    f  x  dx   f  x  dx . 0 D. S   f  x  dx   f  x  dx . d c d Hướng dẫn giải Chọn A 0 d 0 Ta có S   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . c c d Quan sát đồ thị hàm số ta thấy f  x   0 với x   c; d  và f  x   0 với x   d ;0 . d 0 Do đó S   f  x  dx   f  x  dx . c d Câu 4: Diện tích của hình phẳng  H  được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  (phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức: b c A. S   f  x  dx . B. S    f  x  dx   f  x  dx . a a c b C. S  b  f  x  dx . a c b D. S   f  x  dx   f  x  dx . a c Hướng dẫn giải Chọn B Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có: b c b c b S   f  x  dx   0  f  x   dx    f  x   0  dx    f  x  dx   f  x  dx . a a c a c Câu 5: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có đồ thị  C  là đường cong như hình bên. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  , trục hoành và hai đường thẳng x  0 , x  2 (phần tô đen) là File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng y 3 O x 2 1 2 2 2 1 2 B.  f  x  dx   f  x  dx .  f  x  dx . C.  f  x  dx   f  x  dx . D.  f  x  dx . A. 0 0 1 1 2 0 2 1 0 Hướng dẫn giải Chọn C Dựa vào hình vẽ ta nhận thấy: khi x   0;1 thì f  x   0 , khi x  1;2  thì f  x   0 . 1 2  f  x  dx   f  x  dx . Vậy S  0 1 Câu 6: Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính S là y y  f  x 1 1 O 1 2 2 1 A. S   f  x  dx   f  x  dx . 1 2 x 2 B. S   f  x  dx   f  x  dx . 1 1 1 2 C. S   f  x  dx . D. S    f  x  dx . 1 1 Hướng dẫn giải Chọn B Ta thấy miền hình phẳng giới hạn từ x  1 đến x  1 ở trên trục hoành  mang dấu dương 1  S1    f  x  dx 1 Miền hình phẳng giới hạn từ x  1 đến x  2 ở dưới trục hoành  mang dấu âm 2  S2   f  x  dx 1 1 2 Vậy S   f  x  dx   f  x  dx . 1 1 Câu 7: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3  3x 2 , trục hoành và hai đường thẳng x  1 , x  4 là 53 51 49 25 A. B. C. D. 4 4 4 2 Hướng dẫn giải Ta có x3  3x2  0  x  3  [1; 4] Khi đó diện tích hình phẳng là File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 3 4  x4   x4  27 51 S  x  3 x dx  ( x  3x )dx ( x  3 x )dx    x 3     x 3   6   4 4 1 1 3 4 1  4 3 4 3 3 2 4 3 2 3 2 Câu 8: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  2 là A. 3  2ln 2 x 1 , trục hoành và đường thẳng x2 B. 3  ln 2 C. 3  2 ln 2 D. 3  ln 2 Hướng dẫn giải 2 2 2  x 1 1   dx  x  ln x  2 dx  1   3  2ln 2 Ta có x  1  0  x  1 nên S  1 x 2 1 x  2 1  Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos x , trục tung, trục hoành và đường thẳng x   bằng A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1 . Hướng dẫn giải Chọn B Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  cos x và trục hoành là nghiệm phương trình   cos x  0  x   k . Xét trên 0;   suy ra x  2 2   2   Diện tích hình phẳng cần tính là S   cos xdx   cos xdx  2 .  2 0 Câu 10: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e x  e  x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x  2 . e4  1 e4  1 e2  1 e4  1 A. S  2 (đvdt). B. S  (đvdt). C. S  (đvdt). D. S  2 (đvdt). e e e e Hướng dẫn giải Chọn D 0 0 e4  1 1 x x x x 2 Ta có: S   e  e dx   e  e   e  2  2 (đvdt). 2 e e 2 Câu 11: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2 , trục hoành Ox , các đường thẳng x  1 , x  2 là 7 8 A. S  . B. S  . C. S  7 . D. S  8 . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A 2 2 2 8 1 7 x3 2 2 Diện tích hình phẳng là S   x dx   x dx     . 3 1 3 3 3 1 1 Câu 12: Cho parabol  P  có đồ thị như hình vẽ: y 4 1 2 3 x O 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  với trục hoành. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 4 . Tích Phân và Ứng Dụng 8 . 3 Hướng dẫn giải B. 2 . C. D. 4 . 3 Chọn D Từ đồ thị ta có phương trình của parabol là y  x2  4x  3 . Parabol  P  cắt Ox tại hai điểm có hoành độ lần lượt là x  1 , x  3 . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  với trục hoành ta có 3 S 1 3 3  x3  4 x  4 x  3 dx    x  4 x  3 dx    2 x 2  3 x   .  3 1 3 1 2 2 Câu 13: Diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x3  2x  1 , trục hoành, x  1 và x  2 là 31 49 21 39 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A 2 31 Diện tích hình phẳng cần tìm là S   x3  2 x  1 dx  . 4 1 Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x 2  4 , đường thẳng x  3 , trục tung và trục hoành là 22 32 25 23 A. B. C. D. 3 3 3 3 Hướng dẫn giải 2 Xét pt  x  4  0 trên đoạn 0;3 có nghiệm x  2 2 3 23 3 0 2 Câu 15: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x ln x , trục hoành và đường thẳng x  e là Suy ra S  x 2  4 dx  x 2  4 dx  e2  1 4 Hướng dẫn giải Xét pt x ln x  0 trên nữa khoảng 0;e có nghiệm x  1 A. e2  1 2 B. e Suy ra S x ln xdx  1 e2  1 2 C. D. e2  1 4 e2 1 4 Câu 16: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  1 ln x , trục hoành và đường thẳng x x  e bằng 1 A. . 2 1 . 4 Hướng dẫn giải B. 1 . C. D. 2 . Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm: 1 ln x  0  x  1 . x e Diện tích của hình phẳng giới hạn là:  1 e e 1 ln 2 x 1 ln x dx   ln xd  ln x    . x 2 1 2 1 Câu 17: Hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  1 , x  3 và Ox có diện tích là File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 8 . B. 4 . 3 Tích Phân và Ứng Dụng 16 . 3 Hướng dẫn giải C. D. 20 . 3 Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm của các đường y  x 2  1 và Ox là: x 2  1  0  x  1 . Diện tích hình phẳng là: 3 1 3  x3  1  x3 3 S   x2  1 dx    x 2  1 dx   x 2  1 dx     x     x   8 .  3  1  3 1 1 1 1     Câu 18: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y  x ; y  0 ; x  4 . Diện tích S của hình phẳng H bằng 16 15 17 A. S  . B. S  3 . C. S  . D. S  . 3 4 3 Hướng dẫn giải Chọn A Xét phương trình x  0  x  0 . 4 4 Ta có S   xdx  0 2 16 . x x  3 3 0 Câu 19: Cho hình phẳng  H  như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng  H  . A. 9 ln 3  2 . 2 9 3 ln 3  . 2 2 Hướng dẫn giải B. 1 . C. D. 9 ln 3  2 . 2 Chọn A 3 Diện tích hình phẳng  H  là: S   x ln xdx . 1 1  du  dx  u  ln x  x  Đặt  , nên: dv  xdx v  1 x 2  2 3 S   x ln xdx  1 3 3 3 3 9 1 2 1 1 1 x ln x   xdx  x 2 ln x  x 2  ln 3  2 . 2 21 2 4 1 2 1 1 Câu 20: Tính diện tích miền hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x2  2x , y  0 , x  10 , x  10 . 2000 2008 A. S  . B. S  2008 . C. S  . D. 2000 . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng x  0 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y  x2  2x và y  0 là x 2  2 x  0   . x  2 Trên đoạn  10;10 ta có x 2  2 x  0 , x   10;0 và  2;10  . x 2  2 x  0 , x   0; 2 . 10 Do đó S   0 x 2  2 x dx  10  10 2 10  x 2  2 x  dx    x2  2 x  dx    x 2  2 x  dx  0 2 2008 ( đvdt). 3 Nhận xét: Nếu học sinh sử dụng MTCT tính tích phân mà không chia khoảng thì có sự sai khác về kết quả giữa máy casio và vinacal. Trong trường hợp này máy vinacal cho đáp số đúng. DẠNG 2: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG y  f ( x), y  g ( x ), x  a, x  b Câu 21: Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục trên  a; b . Gọi  H  là hình giới hạn bởi hai đồ thị y  f  x  , y  g  x  và các đường thẳng x  a , x  b . Diện tích hình  H  được tính theo công thức: b b b A. S H   f  x  dx   g  x  dx . a B. S H   f  x   g  x  dx . a a b b D. S H    f  x   g  x   dx . C. S H    f  x   g  x   dx . a a Hướng dẫn giải Chọn D Câu 22: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số f1  x  và f 2  x  liên tục trên đoạn  a; b và hai đường thẳng của hình  H  là x  a , x  b (tham khảo hình vẽ dưới). Công thức tính diện tích y f1  x  f2  x  O b A. S   f1  x   f 2  x  dx . a b C. S   f1  x   f 2  x  dx . a a c1 b x c2 b B. S    f1  x   f 2  x   dx . a b b D. S   f 2  x  dx   f1  x  dx . a a File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Hướng dẫn giải Chọn A Theo định nghĩa ứng dụng tích phân tích diện tích hình phẳng. Câu 23: Cho hàm số f  x  liên tục trên 1;2 . Gọi  D  là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  f  x  , y  0 , x  1 và x  2 . Công thức tính diện tích S của  D  là công thức nào trong các công thức dưới đây? 2 2 A. S   f  x  dx . B. S   f 1 2 2  x  dx . C. S   f  x  dx . 1 2 D. S    f 2  x  dx . 1 1 Hướng dẫn giải Chọn C Câu 24: Tính diện tích hình phẳng tạo thành bởi parabol y  x 2 , đường thẳng y   x  2 và trục hoành trên đoạn  0;2 (phần gạch sọc trong hình vẽ) A. 3 . 5 B. 5 . 6 2 . 3 Hướng dẫn giải C. D. 7 . 6 Chọn B 1 2 1 2  x2  x3 5 Ta có S   x dx     x  2  dx      2x   . 3 0  2 1 6 0 1 2 Câu 25: Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  x 2  x  2, y  x  2 và hai đường thẳng x  2; x  3 . Diện tích của (H) bằng 87 87 87 87 A. B. C. D. 5 4 3 5 Hướng dẫn giải Xét phương trình ( x 2  x  2)  ( x  2)  0  x 2  4  0  x  2 2 3 87 Suy ra S  x 2  4 dx  x 2  4 dx  3 2 2  x2  4 x  4 Câu 26: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C ) : y  , tiệm cận xiêm của (C ) và hai x 1 đường thẳng x  0, x  a (a  0) có diện tích bằng 5 Khi đó a bằng A. 1  e5 B. 1  e5 C. 1  2e5 D. 1  2e5 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Ta có TCX : y   x  3 0 a  1   1  a   dx   dx  ln x  1 0  ln(1  a) Nên S (a )     a  x  1 0  x  1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Suy ra ln(1  a)  5  a  1  e5 Câu 27: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  x và y  e x , trục tung và đường thẳng x  1 được tính theo công thức: 1 1 0 1 1 B. S    e x  x  dx . A. S   e x  1 dx . C. S    x  e x  dx . 0 D. S  e x  x dx . 1 0 Hướng dẫn giải Chọn B Vì trong khoảng  0;1 phương trình e x  x không có nghiệm và e x  x , x   0;1 nên 1 1 S   e x  x dx    e x  x  dx . 0 0 DẠNG 3:DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG y  f ( x), y  g ( x) Câu 28: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y  2  x2 và đường thẳng y   x là 7 9 9 A. B. C. 3 D. 2 4 2 Hướng dẫn giải  x  1 Ta có 2  x 2   x   và 2  x2   x, x  [  1; 2] x  2 2  x2 x3  9 Nên S (2  x  x )dx  2 x     2 3  1 2 1  Câu 29: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của các hàm số y  x 2 và y  x là:  1 5 1 A. . B. . C. . D.  . 6 6 6 6 Hướng dẫn giải Chọn B x  0 Phương trình hoành độ giao điểm là: x 2  x   .  x 1 2 2 1 Ta có diện tích hình phẳng cần tính là: S   0 1  x3 x 2  1 x  x dx      .  3 2 0 6 2 Câu 30: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  x và y  3 x là 1 1 1 1 A. B. C. D. 12 13 14 15 Hướng dẫn giải x  0 Ta có x  3 x   x  1 1 Nên S  0 1 1 2 3 3 3 4  1 x  x dx  ( x  x )dx   x  x   4 3  0 12 0 3 3 Câu 31: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi  P  : y  x 2  4 , tiếp tuyến của  P  tại M  2;0  và trục Oy là 4 A. S  . B. S  2 . 3 C. S  8 . 3 D. S  7 . 3 Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Chọn A y   2x . y   2  4 . Phương trình tiếp tuyến của  P  tại M  2;0  y  2  x  2  2x  4 . 2 Diện tích hình phẳng cần tìm là S   x 2  4   2 x  4  dx  0 2  x 0 2  2 x  dx 2  x3  4    x2   . 3  3 0 1 4 Câu 32: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2 , y   x  và trục hoành. 3 3 11 61 343 39 A. . B. . C. . D. . 6 3 162 2 Hướng dẫn giải Chọn A 1 4 Phương trình hoành độ giao điểm của các đường y  x 2 , y   x  là 3 3 x  1 1 4 2 2 x   x   3x  x  4  0   4. x   3 3 3  1 4 Hoành độ giao điểm của đường thẳng y   x  với trục hoành là x  4 . 3 3 2 Hoành độ giao điểm của parabol y  x với trục hoành là x  0 . Diện tích hình phẳng cần tìm là 1 4 1 4 4 11 x3 1 2 4   1  2 S   x d x   x  d x   x  x  . 3 3 3 0  6 3 1 6 0 1 Câu 33: Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  ln  x  1 , đường thẳng y  1 và trục tung (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của  H  bằng A. e  2 . B. e 1 . C. 1. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. ln 2 . Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Hướng dẫn giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số y  ln  x  1 và đường thẳng y  1 là ln  x  1  1  x  e  1 . e 1 Diện tích của  H  là S   ln  x  1 dx . 0 1  e 1 dx e 1 u  ln  x  1 du  Đặt   x  1 . Khi đó S   x  1 ln  x  1 0   dx  e   e  1  1 . dv  dx 0 v  x  1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng ỨNG DỤNG THỂ TÍCH 1) Thể tích vật thể: Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S ( x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x , ( a  x  b) . Giả sử S ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] . (V ) O b x a b x V  S ( x )d x  a S (x ) b Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: V S ( x)dx a 2) Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: y y  f (x) a O b (C ) : y  f ( x )  b 2 (Ox ) : y  0 Vx     f ( x ) dx  x x  a a  x  b Chú ý: - Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g ( y ) , trục hoành và hai đường thẳng y  c , y  d quanh trục Oy: y d c O x (C ) : x  g( y)  (Oy ) : x  0  y  c  y  d d 2 V y     g( y ) dy c - Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x) , y  g ( x) và hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: b V   f 2 ( x )  g 2 ( x) dx a THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ (TRÒN XOAY) PHƯƠNG PHÁP: . Tính thể tích khối tròn xoay: Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x ) , y  0 , b x  a và x  b ( a  b) quay quanh trục Ox là V    f 2 ( x )dx . a File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x), y  g ( x) , b x  a và x  b ( a  b) quay quanh trục Ox là V    f 2 ( x )  g 2 ( x) dx . a HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY SINH BỞI MIỀN  D  GIỚI HẠN BỞI y  f  x  ; y  0 VÀ x  a, x  b KHI QUAY QUANH TRỤC Ox. Câu 1: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a ; b  . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức. b A. V    f 2  x  dx . a b b B. V  2  f 2  x  dx . C. V   2  f 2  x  dx . b a a D. V   2  f  x  dx a . Hướng dẫn giải Chọn A Theo công thức tính thể tích vật tròn xoay khi quay hình  H  quanh trục hoành ta có b V    f 2  x  dx . a Câu 2: Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đồ thị như hình bên. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục Ox . Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích V được xác định theo công thức y 3 O 1 3 3 2 A. V     f  x   dx . 1 3 3 x 2 C. V   2   f  x   dx . 1 2 1 B. V    f  x   dx . 31 3 2 D. V    f  x  dx . 1 Hướng dẫn giải Chọn A Đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục Ox tại hai điểm có hoành độ lần lượt là x  1 , x  3 nên thể tích 3 2 khối tròn xoay khi quay hình phẳng D quanh trục Ox được tính theo công thức V     f  x   dx 1 Câu 3: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x2  3x  2 , trục hoành và hai đường thẳng x  1 , x  2 . Quay  H  xung quanh trục hoành được khối tròn xoay có thể tích là 2 2 2 A. V   x  3x  2 dx . 1 2 B. V   x2  3x  2 dx . 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2   Tích Phân và Ứng Dụng 2 2 C. V    x 2  3x  2 dx . D. V    x 2  3x  2 dx . 1 1 Hướng dẫn giải Chọn C Cho hàm số y   x có đồ thị  C  . Gọi D là hình phẳng giởi hạn bởi  C  , trục hoành và hai Câu 4: đường thẳng x  2 , x  3 . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính bởi công thức: 3 2 2x B. V   A. V     dx . 3 3  x dx . C. V     dx . 2 3 3 2x D. V   2 2  x dx . 2 Hướng dẫn giải Chọn C Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính bởi công thức: 3 V     x 2  3 dx    2 x dx . 2 2 Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x , trục Ox và hai đường thẳng x  1 ; x  4 khi quay quanh trục hoành được tính bởi công thức nào? Câu 5: 4 4 A. V    xdx . B. V   1 4 x dx . 4 C. V   2  xdx . 1 D. V    xdx . 1 1 Hướng dẫn giải Chọn A Thể tích khối tròn xoay giới hạn bời đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox , x  a và x  b được tính b 2 bởi công thức V     f  x   dx . a Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y  x2  2x , trục hoành, trục tung, đường thẳng x  1 . Tính thể tích V hình tròn xoay sinh ra bởi (H) khi quay (H) quanh trục Ox. 8 4 15 7 A. V  B. V  C. V  D. V  15 3 8 8 - Phương pháp: Công thức tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox và hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  quay xung quanh trục Ox là Câu 6: b V    f 2  x  dx a - Cách giải: Áp dụng công thức ta có 1 1 1  x5 x3   4 V     x  2 x  dx     x  4 x  4 x  dx     x  4   3  0 15  5 0 0 2 Câu 7: 2 4 3 2 x2 y 2   1 . Hình phẳng  H  giới 25 9 hạn bởi nửa elip nằm trên trục hoành và trục hoành. Quay hình  H  xung quanh trục Ox ta Trong hệ trục tọa độ Oxy cho elip  E  có phương trình được khối tròn xoay, tính thể tích khối tròn xoay đó: 1188 A. V  60 . B. 30 . C. . 25 Hướng dẫn giải Chọn D File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 1416 . 25 Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có Tích Phân và Ứng Dụng  x2  y2 x2  y  9 1   với  5  x  5  .  1 9 25  25  5  9x2  Gọi V là thể tích cần tìm, ta có: V     9   dx  60 . 25  5  Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  e x , trục hoành và các đường thẳng x  0 , x  1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?  e2  1  e2  1 e2  1  e2 A. V  . B. V  . C. V  . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C 1 1   e 2  1  e2 x  x 2 Thể tích khối tròn xoay cần tính là V     e  dx    .   2  2 0 0 Câu 8:     File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng DẠNG 2: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY KHI CHO HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI: y  f  x  VÀ y  g  x  QUAY QUANH TRỤC Ox. Câu 9: Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào? y f1  x  f2  x  a O b x b b A. V    f12  x   f 2 2  x   dx . B. V     f12  x   f 2 2  x   dx . a a b b C. V     f 2 2  x   f12  x   dx . 2 D. V     f1  x   f 2  x   dx . a a Hướng dẫn giải Chọn B Do f1  x   f 2  x  x   a; b  nên Chọn B . Câu 10: Cho hình phẳng  D  được giới hạn bởi các đường x  0 , x  1 , y  0 và y  2 x  1 . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay  D  xung quanh trục Ox được tính theo công thức? 1 1 1 B. V     2 x  1 dx . A. V   2 x  1dx . 0 C. V    2 x  1 dx . 0 0 1 D. V   2 x  1dx . 0 Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có V      2 1 2 x  1 dx     2 x  1 dx . 0 0 Câu 11: Cho hình phẳng  D  được giới hạn bởi các đường x  0 , x   , y  0 và y   sin x . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay  D  xung quanh trục Ox được tính theo công thức   A. V    sin x dx . B. V    sin 2 xdx . 0  C. V      sin x  dx . 0 0  D. V   sin 2 xdx . 0 Hướng dẫn giải Chọn B  Ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là V    sin 2 xdx . 0 Câu 12: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  xex , y  0 , x  0 , x  1 xung quanh trục Ox là File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 Tích Phân và Ứng Dụng 1 A. V   x 2 e 2 x dx . 1 B. V    xe x dx . 0 1 C. V    x 2 e 2 x dx . 0 D. V    x 2 e x dx . 0 0 Hướng dẫn giải Chọn C Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi y  f  x  , y  0 , x  a , x  b ( a  b ) xác định bởi: b V    f 2  x  dx . a 1 Vậy, V    x 2 e 2 x dx . 0 Câu 13: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x 2 ; y  0; x  2. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay  H  quanh trục Ox . 8 A. V  . 3 B. V  32 . 5 C. V  8 . 3 D. 32 5 Hướng dẫn giải Chọn D Vẽ phác họa hình thấy ngay miền cần tính 2 2 32  V    x 4 dx  x 5  . 5 0 5 0 Câu 14: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng  H  giới hạn bởi y  x 2 và y  x  2 quanh trục Ox là A. 72 (đvtt). 10 B. 72 (đvtt). 5 81 (đvtt). 10 Hướng dẫn giải C. D. 81 (đvtt). 5 Chọn B  x  1 Phương trình hoành độ giao điểm x 2  x  2   . x  2 2 72 2 Thể tích cần tìm là V     x 4   x  2   dx  . 1   5 Câu 15: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  ex và các đường thẳng y  0 , x  0 và x  1 được tính bởi công thức nào sau đây? 1 A. V   e2 x dx . 0 1 1 2 B. V    e x dx . 0 1 2 C. V   e x dx . 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. V    e 2 x dx . 0 Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Hướng dẫn giải Chọn D 1 Thể tích khối tròn xoay cần tìm là: V  π   e x 2  1 dx  π  e 2 x dx . 0 0 Câu 16: Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol  P  : y  x 2 và đường thẳng d : y  2 x quay xung quanh trục Ox . 2 2 2 A.    x  2 x  dx . 2 0 2 B.   4 x dx    x 4 dx . 0 2 2 C.   4 x 2 dx    x 4dx . 0 2 2 0 D.    2 x  x 2  dx . 0 0 Hướng dẫn giải Chọn A x  0 Phương trình hoành độ giao điểm: x 2  2 x  0   . x  2 2 2 Vậy thể tích khối tròn xoay được tính: V     x 2  2 x  dx . 0 Câu 17: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  1  x2 , y=0 a quanh trục Ox có kết quả dạng . Khi đó a+b có kết quả là: b A. 11 B. 17 C. 31 D. 25 Hướng dẫn giải Chọn C 1   (1  x2 )2 dx  1 16 15 Nên a= 16, b= 15, a+b=31 Câu 18: Cho hình  H  giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một Parabol và một đường thẳng tiếp xúc với Parabol đó tại điểm A  2; 4  , như hình vẽ bên. Thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi hình  H  quay quanh trục Ox bằng y 4 2 O A. 16 . 15 B. 32 . 5 1 2 x 2 . 3 Hướng dẫn giải C. D. 22 . 5 Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Parabol có đỉnh là gốc tọa độ như hình vẽ và đi qua A  2; 4  nên có phương trình y  x2 . Tiếp tuyến của Parabol đó tại A  2; 4  có phương trình là y  4  x  2   4  4 x  4 . 2 2 2 2 Suy ra thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là V     x 2  dx     4 x  4  dx . 0 2 2 2 x  0 x5 dx  5 2 0 32 ;  5 2 2 1 2 2  x3  16 2 4 x  4 d x  16 x  2 x  1 d x  16  x  x        . 1 1  3 1 3 2 2 2 2 2  32 16  16 Vậy V     x 2  dx     4 x  4  dx       .  5 3  15 0 1 Câu 19: Cho hình thang cong  H  giới hạn bởi các đường y  e x , y  0 , x  1 , x  1 . Thể tích vật thể tròn xoay được tạo ra khi cho hình  H  quay quanh trục hoành bằng e B. e 2  e 2 A. . 2 2  e 2   2 e 4 . C. . 2 Hướng dẫn giải e D. 2  e 2   2 . Chọn D 2 2  1  2x 1  e  e  2x Thể tích vật thể cần tính là V    e dx   d  e   e  . 1 2 1 2 2 1 1 2x Câu 20: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y  1 x2 , y  0 quanh trục Ox aπ là V  với a , b là số nguyên. Khi đó a  b bằng b A. 11 . B. 17 . C. 31 . D. 25 . Hướng dẫn giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm 1  x 2  0  x  1 . 1 2 16π Ta có V  π  1  x 2 dx   a  16 , b  15 . 15 1 Vậy a  b  31 .   Câu 21: Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x2  4 , y  2 x  4 , x  0 , x  2 quanh trục Ox. 32π 32π 32π 22π A. . B. . C. . D. . 5 7 15 5 Hướng dẫn giải Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 Tích Phân và Ứng Dụng 2 256 32 2 π , V2  π   2 x  4  dx  π. 15 3 0 0 32π Vậy thể tích cần tìm V  V1  V2  . 5 2 Ta có V1  π   x 2  4  dx  1 và các đường thẳng y  0 , x  1 , x x  4 . Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng  H  quay quanh trục Ox . Câu 22: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  A. 2 ln 2 . B. 3 . 4 3 1 . 4 Hướng dẫn giải C. D. 2 ln 2 . Chọn B Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng  H  quay quanh trục Ox là 2 4 4  1  3 1  1 V     dx           1  . x 4  4   x 1 1 Câu 23: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 y  , y  0 , x  1 , x  a ,  a  1 quay xung quanh trục Ox . x  1  1  1  1 A. V   1   . B. V  1    . C. V  1    . D. V   1   .  a  a  a  a Hướng dẫn giải Chọn B Thể tích V của vật thể tròn xoay cần tìm là 2 a a 1  1 1 1  V      dx       1  V   1    . x x1  a a  1 Câu 24: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x2 , y  2 x . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox bằng: A. 32 . 15 B. 64 . 15 21 . 15 Hướng dẫn giải C. D. 16 . 15 Chọn B x  0 Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 2  2 x  0   . x  2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  y  x2   y  2x Khi quay  H  xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay giới hạn bởi  . x  0  x  2 2 2 64 2 Do đó thể tích của khối tròn xoay là: V     x 2    2 x  dx  . 15 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 22
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top