Một số vấn đề cơ bản về giới hạn của dãy số – Nguyễn Hữu Hiếu

Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa 1 Dãy số  un  được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có un  un1 Dãy số  un  được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có un  un1 2. Định nghĩa 2 Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un  M , n  * un  m, n  * Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn nếu tồn tại một số M và một số m sao cho m  un  M , n  * 3. Định lý 1 a. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ. b. Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. 4. Định lí 2 a. Mọi dãy tăng và không bị chặn trên thì tiến tới  . b. Mọi dãy giảm và không bị chặn dưới thì tiến tới  . 5. Định lý 3 a. Nếu một dãy  un  hội tụ đến a thì mọi dãy con trích từ  un  cũng hội tụ đến a . b.  un  hội tụ đến a   u2n  và  u2 n1  hội tụ đến a . 6. Định lý 4 a. Nếu lim un  0 và un  0, n  n  b. Nếu lim un   và un  0, n  n 1  n  u n 1 thì lim 0 n  u n thì lim 7. Định lý 5.(Định lý kẹp giữa về giới hạn). Nếu với mọi n  n0 ta luôn có un  xn  vn và lim un  lim vn  a thì lim xn  a 8. Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để chứng minh dãy số có giới hạn  u1  a Bài toán. Chứng minh dãy số  un  xác định bởi  có giới hạn hữu hạn và  un  f  un1  ; n  2 tìm giới hạn đó ( f  x  là hàm số liên tục). Phương pháp giải a) Dãy  xn  bị chặn. Nếu f  x  là hàm số tăng trên  a; b thì dãy  xn  đơn điệu và hội tụ đến L là nghiệm của phương trình f  x   x . Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 1 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn b) Nếu f  x  là hàm số nghịch biến thì các dãy con  x2 n  ;  x2 n1  của dãy  xn  ngược chiều biến thiên. Nhận xét: Nếu dãy  x2n  hội tụ đến L , dãy  x2 n 1  hội tụ đến K : Với L  K thì dãy  xn  không có giới hạn; Với L  K thì dãy  xn  có giới hạn là L . II. BÀI TẬP 1. CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN u1 Bài 1. Cho dãy số (u n ) xác định bởi công thức un 3 1 2un 3 1 3 ; (n un2 * ). . Chứng minh dãy số có giới hạn. Tính lim un ? Lời giải Theo công thức xác định dãy (un ) , ta có un n 0; * . Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: un 1 1 2un 3 Do đó: un Mặt khác: un 3 un2 3 1 1 u 3 n * 3; n 3 un2 . 3 un2 3 3 ; n * . . 2 u 3 n un 3 un2 un 1 un2 un 1 3 3 un2 3 1 3 un 3 un2 un 0. Vậy (un ) là dãy số giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn. Giả sử, lim un Kết luận. lim un 2 a 3 a .Ta có: a 3 1 a2 a 3 a2 a 3 3. 3. Bài 2. Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó u0  1  Bài 3. Chứng minh dãy số  có giới hạn và tìm giới hạn đó. 1 un  3  u ; n  1, 2,3… n 1  3x n 1 , xn 1 a) x n : x1 6 2x n 1 b) x n : x1 2; xn c) xn : xn d) x n : x1 13; xn e) x n : x1 1 ;x 2 n n! 2n 2 1 1 !! 1 1 ;n xn N 12 xn 4 x 3 n x n2 Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 2 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước f) 1 2 u1 un un 1 x1 xn g) xn xn : xn 1 xn : xn x1 j) xn : xn 10x n 2 1 2x n 2 1 13 ,n xn 20 1 ,n 2 1, 2… 1 1 x 2 n 1 2014 ,n xn 1 1 u n 1 2 n 1 u k) x n : x1 3 ;x 2 n l) x n : x1 0; xn m) x n : x1 1; x n n) x n : x1 1; x 2 o) x n : x1 p) x n : x1 f x 3 3 x 2 minh un 1 3x n 1 1 x1 i) 4 ,n 1 0; x 2 x1 h) 3un 2un GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 ,n 2 3xn 1 xn ; n 6 1 2; n 2 2x n 1 xn 2; xn 4 ;x 9 n 1 ;x 2 n 1 4 9 1 3 2 x 2 n 1 1 1 1 ;n 3 xn 1 xn 1 ; n 2 8 3x n ; n 1 9 1 3 x ; n 1 . Hướng dẫn: Xét hàm số. 2 n 1 3 x , x 0;1 , f ‘ x 0; x 0;1 từ đó suy ra f x tăng trên 0;1 . Chứng 2 f un 1 & un un 1 cùng dấu, và do 0;1 bằng quy nạp. Do f x tăng nên f un đó cùng dấu với u2 3 16 u1 q) x n : x1 2; xn r) x n : x1 2; xn s) x n : x1 1982; x n 1 2 1 2 2 ;n un 1 0 . Từ đó suy ra un là dãy giảm và bị chặn dưới. xn ; n 1 HD: Xét hàm số f x x ;x 2 0;2 x 1 HD: Xét hàm số f x 1 ;n 4 3x n 22 ; x 1 HD: Xét hàm số f x Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 3 1;2 1 4 3x ;x 0;1 . Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước x n : x1 t) 1; x n 1 1 ;n xn 1 GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1  u1  Bài 1. Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  2 u  u 2  u , n  1 n n  n 1 . Tìm giới hạn sau: (1)  1 1 1  lim    …  . n  u  1 u2  1 un 1  1   1 Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  1 , n  3  Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được un1  un  un2  0   un  tăng. Tính tổng: un 1  un2  un   1 1 1 1    un 1 un  un  1 un un  1 1 1 1   un  1 un un 1 (n  1, 2,…) (*) Thay n bởi 1,2,3,…,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: 1 1 1 1   …   2 u1  1 u2  1 un1  1 un1  Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  0 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  2) Dãy  un  a  a 2  a  a  0 (vô lý) không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên: 1 0 n u n 1 lim un    lim un1    lim n  n  1  1 1  1    …   lim  2  Vì thế từ (2) ta suy ra: lim   2 n  u  1 n  u  1 u  1 u 2 n 1 n 1   1     1 1 1    …  Vậy lim  2 n  u  1 u2  1 un 1  1   1 .  u1  2 Bài 2. Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  2  un 1  un  un  1, n  1 Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 4 (1) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 1 1 Tìm giới hạn sau: lim    …   . n  u un   1 u1 Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta chứng minh được rằng: un  2 , n  1  Xét tính đơn điệu của n     un  Từ hệ thức (1) ta suy ra được , un1  un   un  1  0 , vậy  un  tăng. 2 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được 1 1 1 1 un 1  1  un  un  1     un 1  1 un  un  1 un  1 un  1 1 1   un un  1 un 1  1 (n  1, 2,…)   Thay n bởi 1,2,3,…,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: 1 1 1 1   …   1  u1 u1 un un 1  1  Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  2 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  2) Dãy  un  a  a2  a  1  a2  2a  1  0  a  1 (vô lý) không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên: lim un    lim  un1  1    lim n  n  n 1 un1  1 0 1 1  1 1  Vì thế từ (2) ta suy ra: lim    …    lim 1   1 n  u un  n  un 1  1   1 u1 1 1 1 Vậy lim    …    1  . n  u un   1 u1 u1  3  Bài 3. Cho dãy số un xác định bởi  1 un 1   un2  un  4  , n  1; 2;3….  5   a) Chứng minh dãy số un tăng nhưng không bị chặn trên ; n 1 , n  1, 2,3… Tính lim Sn . k 1 uk  3 b) Đặt Sn   Bài 4. (Đề kiểm tra đội dự tuyển Nam Định) Cho dãy số x1  2012; xn1  xn2  5xn  9 với mọi n nguyên dương. a) Chứng minh  xn  là dãy số tăng; b) Chứng minh  xn  không có giới hạn hữu hạn; n c) Xét dãy  yn  xác định bởi yn   1 . Tìm lim yn . k 1 xk  2 Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 5  xn  xác định bởi Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn Lời giải a) Xét hiệu: xn1  xn  x  5xn  9  xn  ( xn  3)2  0 2 n  Do x1  2012  3 nên xn1  xn  0 suy ra dãy đã cho là dãy tăng. b) Giả sử dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn, đặt limxn  a(a  2012) . Từ công thức truy hồi xn1  xn2  5xn  9 . Lấy giới hạn 2 vế, ta được: a  a2  5a  9  a  3 (không thỏa mãn). Do đó dãy đã cho không có giới hạn hữu hạn. c) Ta có: 1 1 1   xn  2 xn  3 xn1  3 n 1 1 1 1 1   …    x1  3 xn1  3 2009 xn1  3 k 1 xn  2 Do đó, ta có: yn   1 . 2009 u1 1 Mà limxn   nên limyn  Bài 5. Cho dãy số un un n u1u2u3 …un 1 1 1, 2,… Đặt Sn ;n k 1 . Tìm lim Sn . n 1 uk Lời giải Ta có un un 1 un 1 1 1 un 1 1 1 u1u2…un (n un , n 2 un 1 n 1 u1 Sn un k 1 1 un 1 2 uk 1 1 1 un 1 n 1 u1 1); un un 1 un 1 un 1 un 1 k 2 uk Kết hợp với giả thiết suy ra Sn u1u2…un 1; n 1 1 uk 1 2 1 un 1 1 1 2 , suy ra 1 1 u1 un 1 1 1 u2 1 un 1 1 1 1 un 1 1 Ta có u2  1  u1 ; u3  1  u1u2  1  u1 1  u1   1  u1  un  1  u1  u1u2 ….un  1  u1  Mặt khác un un 1 1 1 un u1u2 …un 1 n 1 un u1u2…un u1 1 Bài 6. Cho dãy số x n : x1 u1 n 1 1, xn 2n 1 0 hay un tăng nên 1 1 1 lim un n xn xn Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 1 xn 6 1 lim Sn 1 2 xn 2 n 3 1 . Tính lim n n i 1 1 xi 2 . Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn Lời giải Ta có x 2 xn xn (xn 1 0 với mọi n  1, 2, 5 và xn 1)(xn 2)(xn 1 xn2 xn 1 xn 3) 3xn xn2 3xn 2 xn2 1 3xn 1 (1) Từ đó suy ra xn xn2 1 1 3xn 1 xn 1 1 Từ (1) xk xi 2 xk2 1 3xk xi 1 3.3k 3xk 1 xn 1 xi i 1 1 (vì do (2) xn 2 n 3n Suy ra a 2 a a 1)(a 1 a 1 1 xn 1 1 xn 2 1 1 1 xn 1 1 2 1 1 1 xn 1 1 (2) 3n ) 1 với cách khác: Dễ thấy x n là dãy tăng, giả sử lim xn a(a xn 1 3k 1 Ta có thể chứng minh lim xn Nên ta có a 2 x1 1 1 Ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp xn Nên lim yn 1 1 xn 1 2 1 = 2 1 n 1 i 1 1 1 xn xn n Do đó yn 2 2)(a 2 a 3) a (a 1) 1 1 hay a 4 3 6a 3 10a 2 6a 1 0 Rõ ràng phương trình này không có nghiệm thỏa mãn a  1 . Vậy lim xn Bài 7. Xét dãy số xn ; n n 1 . . Đặt Sn 1, 2, 3, xác định bởi x1 1, 2, 3, 1 1 x1 1 1 2 (x 2 n 1) với mọi 1 . Tìm lim Sn . n 1 xn … x2 1 2 và x n Lời giải Ta có thể tổng quát hóa bài toán như sau: Cho dãy un thỏa mãn u1 un n Ta chứng minh Sn a un2 1 1 b c )un b c c2 u1 c2 c )un b c 1 ui i 1 (b 1 c un c 1 Thật vậy. Ta có un Từ đó un2 1 (b 1 un 1 1 c un suy ra un 1 c un c 1 un2 1 b Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy un 7 (b c )un b c 1 b un bc 1 c un 1 c (un b)(un b c c) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn Khai triển và ước lượng được 1 u1 1 b u1 1 u2 1 c u2 c 1 b 1 u2 c u3 c ……………………. 1 un 1 b 1 un c un c 1 1 Do đó Sn u1 1 c un c 1 Từ đó vận dụng vào bài toán trên với b =1, c = – 1 ta có 1 Sn 1 x1 Mà x n 1 1 1 1 x 2 n – xn a2 > 2). Thì 2a xn 1 1 1 xn 1 1 2 N * nên dãy x n là dãy tăng. Giả sử lim xn 1 >0 n n a (a 1 suy ra a = 1. Vô lý. Vậy lim xn . Do đó lim Sn n 1 n Nhận xét. Trong các bài toán tổng quát ta có thể thay các giá trị của a, b, c khác nhau để được các bài toán mới. Chẳng hạn: (2x n 1)2012 Bài 8. Cho dãy số x n được xác định bởi: x1 = 1; x n 1 x n . Với n là số nguyên 2012 (2×1 1)2011 (2x 2 1)2011 (2x 3 1)2011 (2x n 1)2011 dương. Đặt un . Tìm lim un . … 2x 2 1 2x 3 1 2x 3 1 2x n 1 1 Lời giải Ta có x n Suy ra n i 1 1 1 2x n 2(x n 1 2x n 1 (2x i 1)2011 2x i 1 1 Mặt khác: xn (2x n 1)2012 , n 2012 – xn 1 1 1 (2x n n 1006 – xn i 1 1 xn ) 1)(2x n 1 2x i 1 1 1) 1 1 2x i 1 1 (2x n 1)2011 1006(2x n 1 1) 1006 0 nên dãy (xn) là dãy số tăng n tại. Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 8 1 2×1 1 1 2x n 1 1 1 . Nếu (xn) bị chặn thì limxn tồn Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Đặt lim xn a hay lim xn a suy ra lim (a 1 và a 1 2x n 1 1 GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1)2012 2012 a (vô lý). Suy ra x n không bị chặn trên =0. Suy ra lim un n 1006 3 u1  1  Bài 9. Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  Tìm giới hạn sau: un2 u   u ,  n  1  n 1 n 2012  u u u  lim  1  2  …  n  . n  u un 1   2 u3 Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  1 , n  1  Xét tính đơn điệu của un2  0 , vậy  un  tăng. 2012 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được u2 un 1  n  un  un2  2012  un 1  un  2012 u  u  u  n  2012 n 1 n un 1 un .un 1 n    un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được  , un 1  un   1 un 1   2012    un 1  un un 1   n  1, 2,… (*) Thay n bởi 1,2,3,…,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: 1  u u1 u2 1  1    …  n  2012     2012 1   u2 u3 un1  u1 un1   un1   (2) Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  1 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  2) Dãy  un  a2 a  a  a  0 (vô lý) 2012 không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên: 1 0 n u n 1 lim un    lim un1    lim n   n u u  u  1  Vì thế từ (2) ta suy ra: lim  1  2  …  n   lim 2012 1    2012 n  u un1  n  2 u3  un1  Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 9 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước  u u u  Vậy lim  1  2  …  n   2012 n  u un 1   2 u3 GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn . u1  2  Bài 10. Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un2  2011un u  , n  1  n 1 2012   u un  u sau: lim  1  2  …   n  u  1 u3  1 un 1  1   2 (1) Tìm giới hạn Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  2 , n  1  Xét tính đơn điệu của n    un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được u  u  1  , un 1  un  n n  0 , vậy  un  tăng. 2012 Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được un2  2011un  un2  2012un  2012un 1  un  un  1  2012  un 1  un  2012  u  1   un  1  un  2012  1  1  n  1, 2,… (*) un   2012 n 1     un 1  1  un1  1 un  1 un1  1  un  1 un 1  1  un 1  Thay n bởi 1,2,3,…,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:  un u1 u 1   2  …   2012 1   u2  1 u3  1 un1  1  un1  1   (2) Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  2 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  a(a  1)  a  a(a  1)  0  a  0  a  1 (vô lý) 2012 không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên: a 2) Dãy  un  lim un    lim  un1  1    lim n  n  n 1 un1  1 0   u  un  u 1   lim 2012 1  Vì thế từ (2) ta suy ra: lim  1  2  …     2012 . n  u  1 u3  1 un1  1  n  2  un1  1    u un  u Vậy lim  1  2  …    2012 .  n  u  1 u  1 u  1 3 n 1  2  Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 10 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1  u1  2  Bài 11. Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  2 u  un 1  4un 1  un 1 , n  2  n 2  1 1 1  hạn sau: lim  2  2  …  2  . n  u un   1 u2 Tìm giới (1) Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  0 , n  1  Xét tính đơn điệu của un  un 1   un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được un21  4 xn 1  un 1 2  un 1  un21  4 xn 1  un 1 2  2un 1 un21  4 xn 1  un 1 0 Suy ra:  un  tăng.  Tính tổng: un  un1   2un1 un21  4 xn1  un1  un2   un  1 un1  1 1 1   un2 un1 un (n  1,2,…) (*) Thay n bởi 1,2,3,…,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: 1 1 1 1 1 1 1  2  …  2  2    6  (2) 2 u1 u2 un u1 u1 un un Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  0 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  a 2  4a  a  a  0 (vô lý) 2 không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên: a 2) Dãy  un  lim un    lim n    n 1 0 un  1 1  1  1 Vì thế từ (2) ta suy ra: lim  2  2  …  2   lim  6    6 n  u un  n  un   1 u2  1 1 1  Vậy lim  2  2  …  2   6  . n  u un   1 u2  u1  2012 Bài 12. Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  2  un  2011un  2013un 1  1  0, n  1   1 1 1   …  giới hạn sau: lim  . n  u  2012 u2  2012 un  2012   1 Lời giải Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 11 (1) Tìm Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  2012 , n  1  Xét tính đơn điệu của    u  1  n 2  0   un  tăng. 2010 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được u 2  2011un  1 un2  2011un  2013un 1  1  0  un 1  n 2013 2 u  2011un  1  un 1  1  n 1 2013  u  1 un  2012   un 1  1  n 2013 1 1 1    (n=1,2,…) un  2012 un  1 un 1  1 Thay n bởi 1,2,3,…,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: 1 1 1 1 1 1 1   …      u1  2012 u2  2012 un  2012 u 1  1 un1  1 2011 un1  1 un 1  un   un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được (*) Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  2012 . Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  2) Dãy  un  a2  2011a  2012a  1  0  a  1 (vô lý) không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên: lim un    lim  un1  1    lim n  n  n 1 un1  1 0 Vì thế từ (2) ta suy ra:    1 1 1 1 1  1 lim    …   lim     n  u  2012 n  u2  2012 un  2012   1  2011 un1  1  2011   1 1 1 1 .   …   Vậy lim   n  u  2012 u2  2012 un  2012  2011  1 1  u1  2012 Bài 13. Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  u  2012u 2  u , n  1 n n  n 1  u u u  sau: lim  1  2  …  n  . n  u un 1   2 u3 Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  0 , n  1 Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 12 . Tìm giới hạn (1) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước  Xét tính đơn điệu của GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được un1  un  2012un2  0   un  tăng.  Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được 2012un2  un 1  un   2012un2 un 1  un u 1 1 1    n     unun 1 unun 1 un 1 2012  un un 1  Thay n bởi 1,2,3,…,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: 1 u u1 u2 1  1 1   1 1  1    …  n          …     u2 u3 un 1 2012  u1 u2   u2 u3   un un 1     (n=1,2,…) 1  1   2012   2012  un 1  Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  0 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  2) Dãy  un  a  2012a2  a  a  0 (vô lý) không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên: lim un    lim un1    lim n  n n 1 0 un1   1  u u u  1  Vì thế từ (2) ta suy ra: lim  1  2  …  n   lim  2012     1 n  u un 1  n  2012  un 1    2 u3  u u u  Vậy lim  1  2  …  n   1 n  u un1   2 u3 . u1  3  Bài 14. Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  . Tìm giới hạn sau: un2  2009un  2 u  ,  n  1  n 1 2012   u  1 u2  1 u 1  lim  1   …  n  n  u  2 u3  2 un 1  2   2 Lời giải  Biến đổi un1  u  2009un  2 (u  1)(un  2)  un 1  un  n 2012 2012 2 n ( 1) Vì u 1 = 3 nên 3 = u 1 < u 2 3) un2  2009un  2 L2  2009 L  2 hay L = 2012 2012  L 2 -3L+2 = 0  L = 1 hoặc L = 2 (vô lý vì L > 3) 1 0 n  u n Do đó {u n } không bị chặn trên hay lim u n = +  hay lim Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 13 (*) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn  Biến đổi (1)  (u n -1)(u n -2) = 2012(u n1 -un)  un  1 1 1 = 2012 ( ) (*) un 1  2 un  2 un 1  2  Cho n lần lượt nhận các giá trị 1, 2, 3, ….n, sau đó cộng vế theo vế ta được: n Sn =  Vậy lim S n = 2012 ui  1 1 = 2012 ( 1) un 1  2 i 1  2 u i 1 . Bài 15. Cho dãy số ( xn ) xác định như sau x1  3 và xn1  mỗi số nguyên dương n, đặt yn  Lời giải. Do xn1  2  n x i 1 2 i xn3  2 xn  4 với n  1,2,… Với xn2  xn  6 1 . Tìm lim yn . 4 ( x  4)( xn  2) (1) xn2  xn  6 2 n x1  3 nên bằng qui nạp chứng minh được (x n  2)2 xn1  xn  2  0  ( xn ) là dãy tăng (2). xn  xn  6 Giả sử dãy ( xn ) bị chặn trên  a  3 để xn  2 với mọi n  lim xn  a a  2a  4  a 2  4a  4  0  a  2 (loại) 2 a a6 Do đó: lim xn   (3) 1 1 1 1 1 1   2   Từ (1) suy ra :  2 xn1  2 xn  2 xn  4 xn  4 xn  2 xn1  2 n 1 1  1 (4)  yn   2 xn1  2 i 1 xi  4 Từ (3) và (4) suy ra : lim yn  1 2017  x  1  2 Bài 16. Cho dãy số ( xn ) xác định như sau   x  2 x2  5x  9 ;  n  n n  n1 2 n 1 nguyên dương n, đặt un   . Tính lim un . k 1 xk  1 a . Khi 3 . Với mỗi số * Lời giải 9 9 3 . Khi đó f ( x)  x  2 x 2  5 x   x  x  . 2 2 2 3 Vậy hàm số có một điểm bất động là x  . 2 9 3 3  Ta có xn1  2 xn2  5 xn   xn1   2  xn    xn  1 2 2 2  1 1 1 1 1 1 1 1   .   Từ đó suy ra   3 2  3 xn  1 3 xn  1 x  3 x  3 xn1  xn    xn  1 xn  n n 1  2 2 2 2 2   Xét hàm số f ( x)  2 x 2  5 x  Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 14 * đó Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn n 1 1 1 1 1 .     3 3 3 x  1 1007 k 1 k x1  xn1  xn1  2 2 2 2017 3 Chứng minh dãy tăng. Do x1  nên bằng qui nạp chứng minh được xn  với mọi 2 2 n * 1 2 Xét hiệu xn1  xn   2 xn  3  0  n  *  ( xn ) là dãy tăng. 2  Chứng minh dãy  xn  không bị chặn trên. un   Giả sử dãy số ( xn ) bị chặn trên. Vì dãy tăng và bị chặn nên a  3 để lim xn  a . Khi đó 2 9 3  a  a  (không thỏa mãn). Do đó : lim xn   2 2 1 Vậy lim un  . 1007 Bài 17. (Olympic 30-4-2012) Cho dãy số ( xn ) xác định bởi:  x1  4  . xn4  9  x   n1 x3  x  6 ; n  1 n n  n 1 Với mỗi số nguyên dương n, đặt yn   3 . Tính lim yn . k 1 xk  3 2a 2  5a  Lời giải. x4  9 x4  9  x  x  3.  . Khi đó f ( x )  x x3  x  6 x3  x  6 Vậy hàm số có một điểm bất động là x  3 . xn3  3  xn  3  xn4  9  xn1  3  + Ta có xn1  3 . xn3  xn  6 xn  xn  6 + Xét hàm số f ( x)  xn3  3   xn  3  1 1 1  .    xn1  3  xn3  3  xn  3  xn  3  xn3  3 1 1 1   . x  3 xn  3 xn1  3 n 1 1 1 1    1  yn   3 . x1  3 xn1  3 xn1  3 k 1 xk  3  3 n + Chứng minh dãy tăng. Do x1  4 nên bằng qui nạp chứng minh được xn  3 với mọi n   xn  3 xn1  xn  0  xn  2   xn2  2 xn  3 2 Xét hiệu  ( xn ) là dãy tăng. + Chứng minh dãy ( xn ) không bị chặn trên. Giả sử dãy số ( xn ) bị chặn trên. Vì dãy tăng và bị chặn nên a  3 để lim xn  a . Khi đó Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 15 * Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn a 9  a  a  3 (không thỏa mãn). a a6 Do đó : lim xn   Vậy lim yn  1 . 4 3 Bài 18. (HSG BP 12-13). Cho dãy số (un ) được xác định: 2 2013 un2 (2 9un 1 ) u1 2un 1(2 5un ), n 1 u1 1 u1 . Xét dãy số vn u2 1 u2 un . Tìm 1 un lim vn . Lời giải Ta có un Khi đó un2 2 Đặt x n 9un 2 un n x1 xn 0; n 1. 2un 1 1 9un 2 5un 2 un 2 2 un2 1 1 2 5un un 9 1 4 un2 10 un 1 . Khi đó ta có dãy mới x n được xác định bởi: 2013 x n2 1 5x n 9 n 1 Chứng minh x n là dãy tăng: Xét hiệu: xn xn2 xn 1 Do x1 2013 2 5xn 9 xn xn 3 nên xn 1 xn 0 suy ra dãy x n là dãy tăng 3 Chứng minh x n không bị chặn hay lim xn 0 : Giả sử x n bị chặn, do dãy tăng và bị chặn nên tồn tại giới hạn hữu hạn. Giả sử dãy x n có giới hạn hữu hạn, đặt lim xn Từ công thức truy hồi xn xn2 1 5xn a, a 2013 . 9 Lấy giới hạn hai vế, ta được: a a 2 5a 9 a 3 (không thỏa mãn) Do đó dãy đã cho không có giới hạn hữu hạn. Ta có: vn u1 1 u1 Mà un 1 un … 1 xn 2 1 2 u1 1 xn 2 Do đó, ta có: vn 2 2 un 2 2 2 1 x1 2 … 1 xn 2 n 1 1 3 xn 1 x1 1 … 1 3 1 3 xn 1 3 2 1 2013 1 3 xn 1 3 1 . 1005 Bài 19. (Quảng Ngãi) Cho dãy số  an  thỏa mãn điều kiện: a1  2,  4  an  6  an1   24 Mà lim xn nên lim vn Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 16 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Tính S2012  GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 1 1 .   …  a1 a2 a2012 HD giải: Từ công thức truy hồi ta suy ra an  Đặt tn  4an1  6  an1 1  2 1  3an1 4 1 2 1   . an 3an1 4 1 1 3 1 1 3 1 (t1  )  tn  tn1   tn   (tn1  ) an 2 2 4 2 2 2 1 3 3 Đặt un  tn  (u1  1)  un  un1  Sn  2[( )n  1] 2 2 2 3 2012 Cho n  2012 , ta có S2012  2[( )  1]  1006. 2 5  u1  2 Bài 20. Cho dãy số (un ) thỏa mãn:  u  1 u 2  u  2 n  n1 2 n u1  2  Bài 21. Cho dãy số:  un2015  un  1 u   n1 u 2014  u  3 n n  n   n 1  . Tìm lim   u  .  k 1 k  * (n  N * ) * a) Chứng minh un  1, n  N và (un ) là dãy số tăng. n b) Tìm lim u i 1 1 2014 i 2 . Bài 22. Cho dãy số un thỏa mãn u1  2017; un1  un Bài 23. Cho dãy số x n : x1 1, Bài 24. Cho dãy số x n : x1 Bài 25. Cho dãy số x n n 1 xn 1 xn 3, xn 1 1   n un  1 ; n  1, 2,3… Tính lim  x n2014 n 2 i 1 1 . Tìm lim n xn 4 n được xác định bởi x1 12, x n 1 . Tìm lim n xn 1 1 n n 1 ,x 24 n Bài 26. Cho dãy số x n được xác định bởi x1 x1 x2 … x 22014 x3 n 1 2 x 5 n x n là dãy số tăng nhưng không bị chặn trên. Tìm lim Sn x12014 x2 k 1 3 n 1 xk k 1 3 1 x n2014 . xn 1 1 . xk . Chứng minh rằng . xn 1 … 1 ui  1 1 3 n 2 n 1 2x n2 1, n 3 xn . Đặt xn . Tính lim Sn . n Bài 27. Cho dãy số x n được xác định bởi x n : x1 Bài 28. Cho dãy số x n : x1 1; x n x n2 1 1 1 xn Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 17 ,n 1 ;x 2 n 1 . Tìm lim x n . n 1 . Tìm lim n xn . n Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước 1 ;x 2 n Bài 29. Cho dãy số x n : x n : x1 GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 x 2 n 1 x1 Bài 30. (HSG QG 2012). Cho dãy số x n : x1 Bài 31. Cho dãy số x n : 2 xn 3n 2 1 1 . Tìm lim x n . n . Tìm lim x n . n 2012 x n3 xn 1 x1 Bài 32. Cho dãy số x n : 3 n xn 1 ,n 4n x n2 3x n . Tìm lim x n . 3x 2 n n 1 2012 xn 2012 . Tìm nlim x n xn 1 x 2 n 1 Bài 33. Cho dãy số un xác định bởi u1 2014 un un2 2un 1 6 . Tính nlim un 1 HD: Chứng minh dãy un giảm và bị chặn dưới bởi 2. Bài 34. Cho un : u1 un 3 un2 un 5 1 Bài 35. Cho dãy số un thỏa mãn un Bài 37. Cho dãy số x n được xác định u1 2 2 1 … u2 2 n 2 n u 4un 1 u1 thỏa mãn 1 1 2 u1 un Bài 36. Cho dãy số un 1 9 . Đặt Sn un . Tìm lim n k un 1 2 1 uk 2 3 n 1 2 u 2 n 1 u1 un un 2 . Tìm lim n k 1 1 uk 2 un2 2014 1 2013 ;n 2014 1, 2… a) Chứng minh un là dãy số tăng. b) Với mỗi n v1 v2 … 1, n vn N , đặt vn 2014 , n un un 1 1 . Chứng minh rằng 1, 2… Bài 38. Cho dãy số un được xác định u1 1 2 a) n2 ; n 1, 2… 1 2013 Chứng minh rằng dãy số un tăng nhưng không bị chặn trên. b) Đặt Sn un n i 1 ui un 1 . Tính lim Sn n 2013 Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 18 . Tìm lim Sn . Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước u1 Bài 39. Cho dãy số un : 5 u u1 16 ;n 1 1 . Tính lim n 2 n u 7un 13 1 ;n 2014 2013 un2 2un ;n 2 1 Bài 42. Cho dãy số x n : x1 9 n 1 n n 1, 2… x1 Bài 43. Cho dãy số un được xác định bởi u1 x2 1 xn 2 . 10 . xn 2 . Tính lim 1 . Tìm lim n i 1 1 . xn n n un 1 ui ,n 1 ui 1 i 1 … 2, un n i 1 n 2 2 . Đặt lim . Đặt lim 2n 1; x n 1, 2… ui i 1 20 un un 2un 6 1 u1 Bài 41. Cho dãy số un n 2 n un Bài 40. Cho dãy số un : GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 ui HD Bước 1. Chứng minh lim un n n Bước 2. Tính i 1 n 1 , tính lim n ui i 1 1 . ui Lời giải chi tiết trang 64- Tài liệu 0 x 1 Bài 44. Cho dãy số x n : 1 x n 1 2014x n2 Bài 45. Cho dãy số x n : x1 lim n 1 x1 1 1 x2 1 … Bài 46. Cho dãy số x n : x1 3, xn xn a 3xn 1, xn 4n 1 un ; wn xn . xn 1 … 4 . Tìm xn2 . Tìm lim 1 n 1 Bài 47. Cho dãy số x n được xác định bởi vn n x2 x3 . 1 1 xn2 1 1 xn x1 x2 . Tính lim x0 x1 x2 1; x n x2 1 1 x3 xn 2 1 1 xn … xn 1 1 . . Đặt u1u2…un . Hãy tính lim vn ; lim wn . Bài 48. Cho dãy số x n : x1 Bài 49. Cho dãy số x n : x1 8, x n 1 2009, x n Bài 50. Cho dãy số thực an : a1 Bài 51. Cho dãy số x n : x1 1 2 x 3 n 2, x n n 1 2009x n2 1 an 1 2 x 2 n n xn 1 ;n an i 1 x n2 xi 1 . Tính lim n n 2009 2 . x i2 n i 1 x i2 1 an 1 . Chứng minh rằng lim n n 1 . Đặt Sn Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 19 1 25 . Tính lim 2009x n 1 1;an 1 7x n k 1 1 xk 1 n . 2. . Tính Sn ; lim Sn . n Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước xn Bài 52. Cho dãy số x n : x1 2 ,x 3 n Bài 53. Cho dãy số x n : x1 a 1, xn 1 Bài 54. Cho dãy số x n : x1 a 0, xn 1 lim n 1 1 1 x1 1 x2 … 1 1 2 2n Bài 55. Cho dãy số x n : x1 1, x n Bài 56. Cho dãy số (un ) u1 21 ,u 10 n 1 xn 1 xn2 xn 1n xn2 xn n x n2 n 2014 xn 1 un un2 2 1 n b) Đặt x n k 1 uk k 1 x k . Tính lim Sn . n 1 . Tìm lim n 1 x1 1 x2 … 1 . xn x2 x3 … xn . xn 1 1 . Tìm n x1 x2 1 . Tìm lim n 8un 4 2 Bài 57. Cho dãy số un được xác định bởi u1 a) Chứng minh un n . Đặt Sn . xn 1 GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 2008, un 1 , n un2 n * 1 lim n i 1 2 i 1 u 20072 ; n 4013un 4 1 2007 . 1 ; tính lim x n . n 2006 Bài 58. (HSG BP 11-12). Cho dãy số un được xác định bởi u1 2 n u 2013 2011un 2013un 1 0 n 1 . Tìm lim n u1 1 2012 Bài 59. . . . to be continued . . . Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 20 u2 1 2012 … un 1 . 2012 .