Một số vấn đề cơ bản về giới hạn của dãy số – Nguyễn Hữu Hiếu

Giới thiệu Một số vấn đề cơ bản về giới hạn của dãy số – Nguyễn Hữu Hiếu

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và quý thây cô Một số vấn đề cơ bản về giới hạn của dãy số – Nguyễn Hữu HiếuChương Giới hạn.

Tài liệu môn Toán 11  và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất nhé.

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 11 tại đây.

Text Một số vấn đề cơ bản về giới hạn của dãy số – Nguyễn Hữu Hiếu
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa 1 Dãy số  un  được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có un  un1 Dãy số  un  được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có un  un1 2. Định nghĩa 2 Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un  M , n  * un  m, n  * Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn nếu tồn tại một số M và một số m sao cho m  un  M , n  * 3. Định lý 1 a. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ. b. Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. 4. Định lí 2 a. Mọi dãy tăng và không bị chặn trên thì tiến tới  . b. Mọi dãy giảm và không bị chặn dưới thì tiến tới  . 5. Định lý 3 a. Nếu một dãy  un  hội tụ đến a thì mọi dãy con trích từ  un  cũng hội tụ đến a . b.  un  hội tụ đến a   u2n  và  u2 n1  hội tụ đến a . 6. Định lý 4 a. Nếu lim un  0 và un  0, n  n  b. Nếu lim un   và un  0, n  n 1  n  u n 1 thì lim 0 n  u n thì lim 7. Định lý 5.(Định lý kẹp giữa về giới hạn). Nếu với mọi n  n0 ta luôn có un  xn  vn và lim un  lim vn  a thì lim xn  a 8. Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để chứng minh dãy số có giới hạn  u1  a Bài toán. Chứng minh dãy số  un  xác định bởi  có giới hạn hữu hạn và  un  f  un1  ; n  2 tìm giới hạn đó ( f  x  là hàm số liên tục). Phương pháp giải a) Dãy  xn  bị chặn. Nếu f  x  là hàm số tăng trên  a; b thì dãy  xn  đơn điệu và hội tụ đến L là nghiệm của phương trình f  x   x . Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 1 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn b) Nếu f  x  là hàm số nghịch biến thì các dãy con  x2 n  ;  x2 n1  của dãy  xn  ngược chiều biến thiên. Nhận xét: Nếu dãy  x2n  hội tụ đến L , dãy  x2 n 1  hội tụ đến K : Với L  K thì dãy  xn  không có giới hạn; Với L  K thì dãy  xn  có giới hạn là L . II. BÀI TẬP 1. CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN u1 Bài 1. Cho dãy số (u n ) xác định bởi công thức un 3 1 2un 3 1 3 ; (n un2 * ). . Chứng minh dãy số có giới hạn. Tính lim un ? Lời giải Theo công thức xác định dãy (un ) , ta có un n 0; * . Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: un 1 1 2un 3 Do đó: un Mặt khác: un 3 un2 3 1 1 u 3 n * 3; n 3 un2 . 3 un2 3 3 ; n * . . 2 u 3 n un 3 un2 un 1 un2 un 1 3 3 un2 3 1 3 un 3 un2 un 0. Vậy (un ) là dãy số giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn. Giả sử, lim un Kết luận. lim un 2 a 3 a .Ta có: a 3 1 a2 a 3 a2 a 3 3. 3. Bài 2. Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó u0  1  Bài 3. Chứng minh dãy số  có giới hạn và tìm giới hạn đó. 1 un  3  u ; n  1, 2,3… n 1  3x n 1 , xn 1 a) x n : x1 6 2x n 1 b) x n : x1 2; xn c) xn : xn d) x n : x1 13; xn e) x n : x1 1 ;x 2 n n! 2n 2 1 1 !! 1 1 ;n xn N 12 xn 4 x 3 n x n2 Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 2 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước f) 1 2 u1 un un 1 x1 xn g) xn xn : xn 1 xn : xn x1 j) xn : xn 10x n 2 1 2x n 2 1 13 ,n xn 20 1 ,n 2 1, 2… 1 1 x 2 n 1 2014 ,n xn 1 1 u n 1 2 n 1 u k) x n : x1 3 ;x 2 n l) x n : x1 0; xn m) x n : x1 1; x n n) x n : x1 1; x 2 o) x n : x1 p) x n : x1 f x 3 3 x 2 minh un 1 3x n 1 1 x1 i) 4 ,n 1 0; x 2 x1 h) 3un 2un GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 ,n 2 3xn 1 xn ; n 6 1 2; n 2 2x n 1 xn 2; xn 4 ;x 9 n 1 ;x 2 n 1 4 9 1 3 2 x 2 n 1 1 1 1 ;n 3 xn 1 xn 1 ; n 2 8 3x n ; n 1 9 1 3 x ; n 1 . Hướng dẫn: Xét hàm số. 2 n 1 3 x , x 0;1 , f ‘ x 0; x 0;1 từ đó suy ra f x tăng trên 0;1 . Chứng 2 f un 1 & un un 1 cùng dấu, và do 0;1 bằng quy nạp. Do f x tăng nên f un đó cùng dấu với u2 3 16 u1 q) x n : x1 2; xn r) x n : x1 2; xn s) x n : x1 1982; x n 1 2 1 2 2 ;n un 1 0 . Từ đó suy ra un là dãy giảm và bị chặn dưới. xn ; n 1 HD: Xét hàm số f x x ;x 2 0;2 x 1 HD: Xét hàm số f x 1 ;n 4 3x n 22 ; x 1 HD: Xét hàm số f x Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 3 1;2 1 4 3x ;x 0;1 . Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước x n : x1 t) 1; x n 1 1 ;n xn 1 GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1  u1  Bài 1. Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  2 u  u 2  u , n  1 n n  n 1 . Tìm giới hạn sau: (1)  1 1 1  lim    …  . n  u  1 u2  1 un 1  1   1 Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  1 , n  3  Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được un1  un  un2  0   un  tăng. Tính tổng: un 1  un2  un   1 1 1 1    un 1 un  un  1 un un  1 1 1 1   un  1 un un 1 (n  1, 2,…) (*) Thay n bởi 1,2,3,…,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: 1 1 1 1   …   2 u1  1 u2  1 un1  1 un1  Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  0 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  2) Dãy  un  a  a 2  a  a  0 (vô lý) không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên: 1 0 n u n 1 lim un    lim un1    lim n  n  1  1 1  1    …   lim  2  Vì thế từ (2) ta suy ra: lim   2 n  u  1 n  u  1 u  1 u 2 n 1 n 1   1     1 1 1    …  Vậy lim  2 n  u  1 u2  1 un 1  1   1 .  u1  2 Bài 2. Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  2  un 1  un  un  1, n  1 Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 4 (1) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 1 1 Tìm giới hạn sau: lim    …   . n  u un   1 u1 Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta chứng minh được rằng: un  2 , n  1  Xét tính đơn điệu của n     un  Từ hệ thức (1) ta suy ra được , un1  un   un  1  0 , vậy  un  tăng. 2 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được 1 1 1 1 un 1  1  un  un  1     un 1  1 un  un  1 un  1 un  1 1 1   un un  1 un 1  1 (n  1, 2,…)   Thay n bởi 1,2,3,…,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: 1 1 1 1   …   1  u1 u1 un un 1  1  Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  2 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  2) Dãy  un  a  a2  a  1  a2  2a  1  0  a  1 (vô lý) không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên: lim un    lim  un1  1    lim n  n  n 1 un1  1 0 1 1  1 1  Vì thế từ (2) ta suy ra: lim    …    lim 1   1 n  u un  n  un 1  1   1 u1 1 1 1 Vậy lim    …    1  . n  u un   1 u1 u1  3  Bài 3. Cho dãy số un xác định bởi  1 un 1   un2  un  4  , n  1; 2;3….  5   a) Chứng minh dãy số un tăng nhưng không bị chặn trên ; n 1 , n  1, 2,3… Tính lim Sn . k 1 uk  3 b) Đặt Sn   Bài 4. (Đề kiểm tra đội dự tuyển Nam Định) Cho dãy số x1  2012; xn1  xn2  5xn  9 với mọi n nguyên dương. a) Chứng minh  xn  là dãy số tăng; b) Chứng minh  xn  không có giới hạn hữu hạn; n c) Xét dãy  yn  xác định bởi yn   1 . Tìm lim yn . k 1 xk  2 Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 5  xn  xác định bởi Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn Lời giải a) Xét hiệu: xn1  xn  x  5xn  9  xn  ( xn  3)2  0 2 n  Do x1  2012  3 nên xn1  xn  0 suy ra dãy đã cho là dãy tăng. b) Giả sử dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn, đặt limxn  a(a  2012) . Từ công thức truy hồi xn1  xn2  5xn  9 . Lấy giới hạn 2 vế, ta được: a  a2  5a  9  a  3 (không thỏa mãn). Do đó dãy đã cho không có giới hạn hữu hạn. c) Ta có: 1 1 1   xn  2 xn  3 xn1  3 n 1 1 1 1 1   …    x1  3 xn1  3 2009 xn1  3 k 1 xn  2 Do đó, ta có: yn   1 . 2009 u1 1 Mà limxn   nên limyn  Bài 5. Cho dãy số un un n u1u2u3 …un 1 1 1, 2,… Đặt Sn ;n k 1 . Tìm lim Sn . n 1 uk Lời giải Ta có un un 1 un 1 1 1 un 1 1 1 u1u2…un (n un , n 2 un 1 n 1 u1 Sn un k 1 1 un 1 2 uk 1 1 1 un 1 n 1 u1 1); un un 1 un 1 un 1 un 1 k 2 uk Kết hợp với giả thiết suy ra Sn u1u2…un 1; n 1 1 uk 1 2 1 un 1 1 1 2 , suy ra 1 1 u1 un 1 1 1 u2 1 un 1 1 1 1 un 1 1 Ta có u2  1  u1 ; u3  1  u1u2  1  u1 1  u1   1  u1  un  1  u1  u1u2 ….un  1  u1  Mặt khác un un 1 1 1 un u1u2 …un 1 n 1 un u1u2…un u1 1 Bài 6. Cho dãy số x n : x1 u1 n 1 1, xn 2n 1 0 hay un tăng nên 1 1 1 lim un n xn xn Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 1 xn 6 1 lim Sn 1 2 xn 2 n 3 1 . Tính lim n n i 1 1 xi 2 . Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn Lời giải Ta có x 2 xn xn (xn 1 0 với mọi n  1, 2, 5 và xn 1)(xn 2)(xn 1 xn2 xn 1 xn 3) 3xn xn2 3xn 2 xn2 1 3xn 1 (1) Từ đó suy ra xn xn2 1 1 3xn 1 xn 1 1 Từ (1) xk xi 2 xk2 1 3xk xi 1 3.3k 3xk 1 xn 1 xi i 1 1 (vì do (2) xn 2 n 3n Suy ra a 2 a a 1)(a 1 a 1 1 xn 1 1 xn 2 1 1 1 xn 1 1 2 1 1 1 xn 1 1 (2) 3n ) 1 với cách khác: Dễ thấy x n là dãy tăng, giả sử lim xn a(a xn 1 3k 1 Ta có thể chứng minh lim xn Nên ta có a 2 x1 1 1 Ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp xn Nên lim yn 1 1 xn 1 2 1 = 2 1 n 1 i 1 1 1 xn xn n Do đó yn 2 2)(a 2 a 3) a (a 1) 1 1 hay a 4 3 6a 3 10a 2 6a 1 0 Rõ ràng phương trình này không có nghiệm thỏa mãn a  1 . Vậy lim xn Bài 7. Xét dãy số xn ; n n 1 . . Đặt Sn 1, 2, 3, xác định bởi x1 1, 2, 3, 1 1 x1 1 1 2 (x 2 n 1) với mọi 1 . Tìm lim Sn . n 1 xn … x2 1 2 và x n Lời giải Ta có thể tổng quát hóa bài toán như sau: Cho dãy un thỏa mãn u1 un n Ta chứng minh Sn a un2 1 1 b c )un b c c2 u1 c2 c )un b c 1 ui i 1 (b 1 c un c 1 Thật vậy. Ta có un Từ đó un2 1 (b 1 un 1 1 c un suy ra un 1 c un c 1 un2 1 b Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy un 7 (b c )un b c 1 b un bc 1 c un 1 c (un b)(un b c c) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn Khai triển và ước lượng được 1 u1 1 b u1 1 u2 1 c u2 c 1 b 1 u2 c u3 c ……………………. 1 un 1 b 1 un c un c 1 1 Do đó Sn u1 1 c un c 1 Từ đó vận dụng vào bài toán trên với b =1, c = – 1 ta có 1 Sn 1 x1 Mà x n 1 1 1 1 x 2 n – xn a2 > 2). Thì 2a xn 1 1 1 xn 1 1 2 N * nên dãy x n là dãy tăng. Giả sử lim xn 1 >0 n n a (a 1 suy ra a = 1. Vô lý. Vậy lim xn . Do đó lim Sn n 1 n Nhận xét. Trong các bài toán tổng quát ta có thể thay các giá trị của a, b, c khác nhau để được các bài toán mới. Chẳng hạn: (2x n 1)2012 Bài 8. Cho dãy số x n được xác định bởi: x1 = 1; x n 1 x n . Với n là số nguyên 2012 (2×1 1)2011 (2x 2 1)2011 (2x 3 1)2011 (2x n 1)2011 dương. Đặt un . Tìm lim un . … 2x 2 1 2x 3 1 2x 3 1 2x n 1 1 Lời giải Ta có x n Suy ra n i 1 1 1 2x n 2(x n 1 2x n 1 (2x i 1)2011 2x i 1 1 Mặt khác: xn (2x n 1)2012 , n 2012 – xn 1 1 1 (2x n n 1006 – xn i 1 1 xn ) 1)(2x n 1 2x i 1 1 1) 1 1 2x i 1 1 (2x n 1)2011 1006(2x n 1 1) 1006 0 nên dãy (xn) là dãy số tăng n tại. Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 8 1 2×1 1 1 2x n 1 1 1 . Nếu (xn) bị chặn thì limxn tồn Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Đặt lim xn a hay lim xn a suy ra lim (a 1 và a 1 2x n 1 1 GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1)2012 2012 a (vô lý). Suy ra x n không bị chặn trên =0. Suy ra lim un n 1006 3 u1  1  Bài 9. Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  Tìm giới hạn sau: un2 u   u ,  n  1  n 1 n 2012  u u u  lim  1  2  …  n  . n  u un 1   2 u3 Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  1 , n  1  Xét tính đơn điệu của un2  0 , vậy  un  tăng. 2012 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được u2 un 1  n  un  un2  2012  un 1  un  2012 u  u  u  n  2012 n 1 n un 1 un .un 1 n    un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được  , un 1  un   1 un 1   2012    un 1  un un 1   n  1, 2,… (*) Thay n bởi 1,2,3,…,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: 1  u u1 u2 1  1    …  n  2012     2012 1   u2 u3 un1  u1 un1   un1   (2) Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  1 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  2) Dãy  un  a2 a  a  a  0 (vô lý) 2012 không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên: 1 0 n u n 1 lim un    lim un1    lim n   n u u  u  1  Vì thế từ (2) ta suy ra: lim  1  2  …  n   lim 2012 1    2012 n  u un1  n  2 u3  un1  Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 9 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước  u u u  Vậy lim  1  2  …  n   2012 n  u un 1   2 u3 GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn . u1  2  Bài 10. Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un2  2011un u  , n  1  n 1 2012   u un  u sau: lim  1  2  …   n  u  1 u3  1 un 1  1   2 (1) Tìm giới hạn Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  2 , n  1  Xét tính đơn điệu của n    un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được u  u  1  , un 1  un  n n  0 , vậy  un  tăng. 2012 Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được un2  2011un  un2  2012un  2012un 1  un  un  1  2012  un 1  un  2012  u  1   un  1  un  2012  1  1  n  1, 2,… (*) un   2012 n 1     un 1  1  un1  1 un  1 un1  1  un  1 un 1  1  un 1  Thay n bởi 1,2,3,…,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:  un u1 u 1   2  …   2012 1   u2  1 u3  1 un1  1  un1  1   (2) Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  2 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  a(a  1)  a  a(a  1)  0  a  0  a  1 (vô lý) 2012 không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên: a 2) Dãy  un  lim un    lim  un1  1    lim n  n  n 1 un1  1 0   u  un  u 1   lim 2012 1  Vì thế từ (2) ta suy ra: lim  1  2  …     2012 . n  u  1 u3  1 un1  1  n  2  un1  1    u un  u Vậy lim  1  2  …    2012 .  n  u  1 u  1 u  1 3 n 1  2  Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 10 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1  u1  2  Bài 11. Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  2 u  un 1  4un 1  un 1 , n  2  n 2  1 1 1  hạn sau: lim  2  2  …  2  . n  u un   1 u2 Tìm giới (1) Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  0 , n  1  Xét tính đơn điệu của un  un 1   un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được un21  4 xn 1  un 1 2  un 1  un21  4 xn 1  un 1 2  2un 1 un21  4 xn 1  un 1 0 Suy ra:  un  tăng.  Tính tổng: un  un1   2un1 un21  4 xn1  un1  un2   un  1 un1  1 1 1   un2 un1 un (n  1,2,…) (*) Thay n bởi 1,2,3,…,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: 1 1 1 1 1 1 1  2  …  2  2    6  (2) 2 u1 u2 un u1 u1 un un Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  0 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  a 2  4a  a  a  0 (vô lý) 2 không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên: a 2) Dãy  un  lim un    lim n    n 1 0 un  1 1  1  1 Vì thế từ (2) ta suy ra: lim  2  2  …  2   lim  6    6 n  u un  n  un   1 u2  1 1 1  Vậy lim  2  2  …  2   6  . n  u un   1 u2  u1  2012 Bài 12. Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  2  un  2011un  2013un 1  1  0, n  1   1 1 1   …  giới hạn sau: lim  . n  u  2012 u2  2012 un  2012   1 Lời giải Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 11 (1) Tìm Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  2012 , n  1  Xét tính đơn điệu của    u  1  n 2  0   un  tăng. 2010 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được u 2  2011un  1 un2  2011un  2013un 1  1  0  un 1  n 2013 2 u  2011un  1  un 1  1  n 1 2013  u  1 un  2012   un 1  1  n 2013 1 1 1    (n=1,2,…) un  2012 un  1 un 1  1 Thay n bởi 1,2,3,…,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: 1 1 1 1 1 1 1   …      u1  2012 u2  2012 un  2012 u 1  1 un1  1 2011 un1  1 un 1  un   un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được (*) Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  2012 . Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  2) Dãy  un  a2  2011a  2012a  1  0  a  1 (vô lý) không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên: lim un    lim  un1  1    lim n  n  n 1 un1  1 0 Vì thế từ (2) ta suy ra:    1 1 1 1 1  1 lim    …   lim     n  u  2012 n  u2  2012 un  2012   1  2011 un1  1  2011   1 1 1 1 .   …   Vậy lim   n  u  2012 u2  2012 un  2012  2011  1 1  u1  2012 Bài 13. Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  u  2012u 2  u , n  1 n n  n 1  u u u  sau: lim  1  2  …  n  . n  u un 1   2 u3 Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  0 , n  1 Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 12 . Tìm giới hạn (1) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước  Xét tính đơn điệu của GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được un1  un  2012un2  0   un  tăng.  Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được 2012un2  un 1  un   2012un2 un 1  un u 1 1 1    n     unun 1 unun 1 un 1 2012  un un 1  Thay n bởi 1,2,3,…,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: 1 u u1 u2 1  1 1   1 1  1    …  n          …     u2 u3 un 1 2012  u1 u2   u2 u3   un un 1     (n=1,2,…) 1  1   2012   2012  un 1  Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  0 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  2) Dãy  un  a  2012a2  a  a  0 (vô lý) không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên: lim un    lim un1    lim n  n n 1 0 un1   1  u u u  1  Vì thế từ (2) ta suy ra: lim  1  2  …  n   lim  2012     1 n  u un 1  n  2012  un 1    2 u3  u u u  Vậy lim  1  2  …  n   1 n  u un1   2 u3 . u1  3  Bài 14. Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  . Tìm giới hạn sau: un2  2009un  2 u  ,  n  1  n 1 2012   u  1 u2  1 u 1  lim  1   …  n  n  u  2 u3  2 un 1  2   2 Lời giải  Biến đổi un1  u  2009un  2 (u  1)(un  2)  un 1  un  n 2012 2012 2 n ( 1) Vì u 1 = 3 nên 3 = u 1 < u 2 3) un2  2009un  2 L2  2009 L  2 hay L = 2012 2012  L 2 -3L+2 = 0  L = 1 hoặc L = 2 (vô lý vì L > 3) 1 0 n  u n Do đó {u n } không bị chặn trên hay lim u n = +  hay lim Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 13 (*) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn  Biến đổi (1)  (u n -1)(u n -2) = 2012(u n1 -un)  un  1 1 1 = 2012 ( ) (*) un 1  2 un  2 un 1  2  Cho n lần lượt nhận các giá trị 1, 2, 3, ….n, sau đó cộng vế theo vế ta được: n Sn =  Vậy lim S n = 2012 ui  1 1 = 2012 ( 1) un 1  2 i 1  2 u i 1 . Bài 15. Cho dãy số ( xn ) xác định như sau x1  3 và xn1  mỗi số nguyên dương n, đặt yn  Lời giải. Do xn1  2  n x i 1 2 i xn3  2 xn  4 với n  1,2,… Với xn2  xn  6 1 . Tìm lim yn . 4 ( x  4)( xn  2) (1) xn2  xn  6 2 n x1  3 nên bằng qui nạp chứng minh được (x n  2)2 xn1  xn  2  0  ( xn ) là dãy tăng (2). xn  xn  6 Giả sử dãy ( xn ) bị chặn trên  a  3 để xn  2 với mọi n  lim xn  a a  2a  4  a 2  4a  4  0  a  2 (loại) 2 a a6 Do đó: lim xn   (3) 1 1 1 1 1 1   2   Từ (1) suy ra :  2 xn1  2 xn  2 xn  4 xn  4 xn  2 xn1  2 n 1 1  1 (4)  yn   2 xn1  2 i 1 xi  4 Từ (3) và (4) suy ra : lim yn  1 2017  x  1  2 Bài 16. Cho dãy số ( xn ) xác định như sau   x  2 x2  5x  9 ;  n  n n  n1 2 n 1 nguyên dương n, đặt un   . Tính lim un . k 1 xk  1 a . Khi 3 . Với mỗi số * Lời giải 9 9 3 . Khi đó f ( x)  x  2 x 2  5 x   x  x  . 2 2 2 3 Vậy hàm số có một điểm bất động là x  . 2 9 3 3  Ta có xn1  2 xn2  5 xn   xn1   2  xn    xn  1 2 2 2  1 1 1 1 1 1 1 1   .   Từ đó suy ra   3 2  3 xn  1 3 xn  1 x  3 x  3 xn1  xn    xn  1 xn  n n 1  2 2 2 2 2   Xét hàm số f ( x)  2 x 2  5 x  Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 14 * đó Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn n 1 1 1 1 1 .     3 3 3 x  1 1007 k 1 k x1  xn1  xn1  2 2 2 2017 3 Chứng minh dãy tăng. Do x1  nên bằng qui nạp chứng minh được xn  với mọi 2 2 n * 1 2 Xét hiệu xn1  xn   2 xn  3  0  n  *  ( xn ) là dãy tăng. 2  Chứng minh dãy  xn  không bị chặn trên. un   Giả sử dãy số ( xn ) bị chặn trên. Vì dãy tăng và bị chặn nên a  3 để lim xn  a . Khi đó 2 9 3  a  a  (không thỏa mãn). Do đó : lim xn   2 2 1 Vậy lim un  . 1007 Bài 17. (Olympic 30-4-2012) Cho dãy số ( xn ) xác định bởi:  x1  4  . xn4  9  x   n1 x3  x  6 ; n  1 n n  n 1 Với mỗi số nguyên dương n, đặt yn   3 . Tính lim yn . k 1 xk  3 2a 2  5a  Lời giải. x4  9 x4  9  x  x  3.  . Khi đó f ( x )  x x3  x  6 x3  x  6 Vậy hàm số có một điểm bất động là x  3 . xn3  3  xn  3  xn4  9  xn1  3  + Ta có xn1  3 . xn3  xn  6 xn  xn  6 + Xét hàm số f ( x)  xn3  3   xn  3  1 1 1  .    xn1  3  xn3  3  xn  3  xn  3  xn3  3 1 1 1   . x  3 xn  3 xn1  3 n 1 1 1 1    1  yn   3 . x1  3 xn1  3 xn1  3 k 1 xk  3  3 n + Chứng minh dãy tăng. Do x1  4 nên bằng qui nạp chứng minh được xn  3 với mọi n   xn  3 xn1  xn  0  xn  2   xn2  2 xn  3 2 Xét hiệu  ( xn ) là dãy tăng. + Chứng minh dãy ( xn ) không bị chặn trên. Giả sử dãy số ( xn ) bị chặn trên. Vì dãy tăng và bị chặn nên a  3 để lim xn  a . Khi đó Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 15 * Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn a 9  a  a  3 (không thỏa mãn). a a6 Do đó : lim xn   Vậy lim yn  1 . 4 3 Bài 18. (HSG BP 12-13). Cho dãy số (un ) được xác định: 2 2013 un2 (2 9un 1 ) u1 2un 1(2 5un ), n 1 u1 1 u1 . Xét dãy số vn u2 1 u2 un . Tìm 1 un lim vn . Lời giải Ta có un Khi đó un2 2 Đặt x n 9un 2 un n x1 xn 0; n 1. 2un 1 1 9un 2 5un 2 un 2 2 un2 1 1 2 5un un 9 1 4 un2 10 un 1 . Khi đó ta có dãy mới x n được xác định bởi: 2013 x n2 1 5x n 9 n 1 Chứng minh x n là dãy tăng: Xét hiệu: xn xn2 xn 1 Do x1 2013 2 5xn 9 xn xn 3 nên xn 1 xn 0 suy ra dãy x n là dãy tăng 3 Chứng minh x n không bị chặn hay lim xn 0 : Giả sử x n bị chặn, do dãy tăng và bị chặn nên tồn tại giới hạn hữu hạn. Giả sử dãy x n có giới hạn hữu hạn, đặt lim xn Từ công thức truy hồi xn xn2 1 5xn a, a 2013 . 9 Lấy giới hạn hai vế, ta được: a a 2 5a 9 a 3 (không thỏa mãn) Do đó dãy đã cho không có giới hạn hữu hạn. Ta có: vn u1 1 u1 Mà un 1 un … 1 xn 2 1 2 u1 1 xn 2 Do đó, ta có: vn 2 2 un 2 2 2 1 x1 2 … 1 xn 2 n 1 1 3 xn 1 x1 1 … 1 3 1 3 xn 1 3 2 1 2013 1 3 xn 1 3 1 . 1005 Bài 19. (Quảng Ngãi) Cho dãy số  an  thỏa mãn điều kiện: a1  2,  4  an  6  an1   24 Mà lim xn nên lim vn Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 16 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Tính S2012  GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 1 1 .   …  a1 a2 a2012 HD giải: Từ công thức truy hồi ta suy ra an  Đặt tn  4an1  6  an1 1  2 1  3an1 4 1 2 1   . an 3an1 4 1 1 3 1 1 3 1 (t1  )  tn  tn1   tn   (tn1  ) an 2 2 4 2 2 2 1 3 3 Đặt un  tn  (u1  1)  un  un1  Sn  2[( )n  1] 2 2 2 3 2012 Cho n  2012 , ta có S2012  2[( )  1]  1006. 2 5  u1  2 Bài 20. Cho dãy số (un ) thỏa mãn:  u  1 u 2  u  2 n  n1 2 n u1  2  Bài 21. Cho dãy số:  un2015  un  1 u   n1 u 2014  u  3 n n  n   n 1  . Tìm lim   u  .  k 1 k  * (n  N * ) * a) Chứng minh un  1, n  N và (un ) là dãy số tăng. n b) Tìm lim u i 1 1 2014 i 2 . Bài 22. Cho dãy số un thỏa mãn u1  2017; un1  un Bài 23. Cho dãy số x n : x1 1, Bài 24. Cho dãy số x n : x1 Bài 25. Cho dãy số x n n 1 xn 1 xn 3, xn 1 1   n un  1 ; n  1, 2,3… Tính lim  x n2014 n 2 i 1 1 . Tìm lim n xn 4 n được xác định bởi x1 12, x n 1 . Tìm lim n xn 1 1 n n 1 ,x 24 n Bài 26. Cho dãy số x n được xác định bởi x1 x1 x2 … x 22014 x3 n 1 2 x 5 n x n là dãy số tăng nhưng không bị chặn trên. Tìm lim Sn x12014 x2 k 1 3 n 1 xk k 1 3 1 x n2014 . xn 1 1 . xk . Chứng minh rằng . xn 1 … 1 ui  1 1 3 n 2 n 1 2x n2 1, n 3 xn . Đặt xn . Tính lim Sn . n Bài 27. Cho dãy số x n được xác định bởi x n : x1 Bài 28. Cho dãy số x n : x1 1; x n x n2 1 1 1 xn Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 17 ,n 1 ;x 2 n 1 . Tìm lim x n . n 1 . Tìm lim n xn . n Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước 1 ;x 2 n Bài 29. Cho dãy số x n : x n : x1 GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 x 2 n 1 x1 Bài 30. (HSG QG 2012). Cho dãy số x n : x1 Bài 31. Cho dãy số x n : 2 xn 3n 2 1 1 . Tìm lim x n . n . Tìm lim x n . n 2012 x n3 xn 1 x1 Bài 32. Cho dãy số x n : 3 n xn 1 ,n 4n x n2 3x n . Tìm lim x n . 3x 2 n n 1 2012 xn 2012 . Tìm nlim x n xn 1 x 2 n 1 Bài 33. Cho dãy số un xác định bởi u1 2014 un un2 2un 1 6 . Tính nlim un 1 HD: Chứng minh dãy un giảm và bị chặn dưới bởi 2. Bài 34. Cho un : u1 un 3 un2 un 5 1 Bài 35. Cho dãy số un thỏa mãn un Bài 37. Cho dãy số x n được xác định u1 2 2 1 … u2 2 n 2 n u 4un 1 u1 thỏa mãn 1 1 2 u1 un Bài 36. Cho dãy số un 1 9 . Đặt Sn un . Tìm lim n k un 1 2 1 uk 2 3 n 1 2 u 2 n 1 u1 un un 2 . Tìm lim n k 1 1 uk 2 un2 2014 1 2013 ;n 2014 1, 2… a) Chứng minh un là dãy số tăng. b) Với mỗi n v1 v2 … 1, n vn N , đặt vn 2014 , n un un 1 1 . Chứng minh rằng 1, 2… Bài 38. Cho dãy số un được xác định u1 1 2 a) n2 ; n 1, 2… 1 2013 Chứng minh rằng dãy số un tăng nhưng không bị chặn trên. b) Đặt Sn un n i 1 ui un 1 . Tính lim Sn n 2013 Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 18 . Tìm lim Sn . Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước u1 Bài 39. Cho dãy số un : 5 u u1 16 ;n 1 1 . Tính lim n 2 n u 7un 13 1 ;n 2014 2013 un2 2un ;n 2 1 Bài 42. Cho dãy số x n : x1 9 n 1 n n 1, 2… x1 Bài 43. Cho dãy số un được xác định bởi u1 x2 1 xn 2 . 10 . xn 2 . Tính lim 1 . Tìm lim n i 1 1 . xn n n un 1 ui ,n 1 ui 1 i 1 … 2, un n i 1 n 2 2 . Đặt lim . Đặt lim 2n 1; x n 1, 2… ui i 1 20 un un 2un 6 1 u1 Bài 41. Cho dãy số un n 2 n un Bài 40. Cho dãy số un : GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 ui HD Bước 1. Chứng minh lim un n n Bước 2. Tính i 1 n 1 , tính lim n ui i 1 1 . ui Lời giải chi tiết trang 64- Tài liệu 0 x 1 Bài 44. Cho dãy số x n : 1 x n 1 2014x n2 Bài 45. Cho dãy số x n : x1 lim n 1 x1 1 1 x2 1 … Bài 46. Cho dãy số x n : x1 3, xn xn a 3xn 1, xn 4n 1 un ; wn xn . xn 1 … 4 . Tìm xn2 . Tìm lim 1 n 1 Bài 47. Cho dãy số x n được xác định bởi vn n x2 x3 . 1 1 xn2 1 1 xn x1 x2 . Tính lim x0 x1 x2 1; x n x2 1 1 x3 xn 2 1 1 xn … xn 1 1 . . Đặt u1u2…un . Hãy tính lim vn ; lim wn . Bài 48. Cho dãy số x n : x1 Bài 49. Cho dãy số x n : x1 8, x n 1 2009, x n Bài 50. Cho dãy số thực an : a1 Bài 51. Cho dãy số x n : x1 1 2 x 3 n 2, x n n 1 2009x n2 1 an 1 2 x 2 n n xn 1 ;n an i 1 x n2 xi 1 . Tính lim n n 2009 2 . x i2 n i 1 x i2 1 an 1 . Chứng minh rằng lim n n 1 . Đặt Sn Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 19 1 25 . Tính lim 2009x n 1 1;an 1 7x n k 1 1 xk 1 n . 2. . Tính Sn ; lim Sn . n Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước xn Bài 52. Cho dãy số x n : x1 2 ,x 3 n Bài 53. Cho dãy số x n : x1 a 1, xn 1 Bài 54. Cho dãy số x n : x1 a 0, xn 1 lim n 1 1 1 x1 1 x2 … 1 1 2 2n Bài 55. Cho dãy số x n : x1 1, x n Bài 56. Cho dãy số (un ) u1 21 ,u 10 n 1 xn 1 xn2 xn 1n xn2 xn n x n2 n 2014 xn 1 un un2 2 1 n b) Đặt x n k 1 uk k 1 x k . Tính lim Sn . n 1 . Tìm lim n 1 x1 1 x2 … 1 . xn x2 x3 … xn . xn 1 1 . Tìm n x1 x2 1 . Tìm lim n 8un 4 2 Bài 57. Cho dãy số un được xác định bởi u1 a) Chứng minh un n . Đặt Sn . xn 1 GV. Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 2008, un 1 , n un2 n * 1 lim n i 1 2 i 1 u 20072 ; n 4013un 4 1 2007 . 1 ; tính lim x n . n 2006 Bài 58. (HSG BP 11-12). Cho dãy số un được xác định bởi u1 2 n u 2013 2011un 2013un 1 0 n 1 . Tìm lim n u1 1 2012 Bài 59. . . . to be continued . . . Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 20 u2 1 2012 … un 1 . 2012 .
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top