Một số thủ thuật tính tích phân

Giới thiệu Một số thủ thuật tính tích phân

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Một số thủ thuật tính tích phân CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Một số thủ thuật tính tích phân

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Một số thủ thuật tính tích phân

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Một số thủ thuật tính tích phân
KÊNH PPT – TIVI – 2020 MỘT SỐ THỦ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ MH-BGD NĂM 2020 VÀ CÁC ĐỀ PHÁT TRIỂN Tổng hợp: Thủy Đinh Ngọc I. CÁC PP HAY SỬ DỤNG – PP tự luận – PP Casio – PP chọn hàm đại diện…. II. BÀI TẬP ĐỀ MINH HỌA CỦA BỘ GIÁO DỤC NĂM 2020. Câu 1. [CÂU 48-MH-BGD-L1] Cho hàm f  x số xf  x3   f 1  x2    x10  x6  2x, x   . Khi đó 17 A. . 20 Câu 2. 13 B. . 4 [CÂU 7-MH-BGD-L1] Nếu Câu 3. Câu 4. 17 . 4 3 1 2 1  f  x  dx  2 và  f  x  dx  1 thì  f  x  dx C. 1. 1 0 f (x)dx  4 thì B. 4. thoả mãn D. 1. 3   trên 1 2 [CÂU 18-MH-BGD-L2] Nếu A. 16 . tục  f  x dx ? C. B. 1. A. 3 . liên 0 bằng D. 3. 1  2 f ( x)dx bằng 0 D. 8. C. 2. 2 [CÂU 45-MH-BGD-L2] Cho hàm số f  x  có f  0  0 và f   x   cos x cos 2 x, x   . Khi  đó  f  x  dx bằng 0 A. 1041 .. 225 B. 208 .. 225 C. 242 .. 225 D. 149 . 225 ĐỀ PHÁT TRIỂN Câu 5. [TRẦN BÌNH TRỌNG–KHÁNH HÒA-2020] Cho hàm số f   x  A. Câu 6. I 2 2 x  x 1 , x  1. Tính I   f  x  dx . x  x  x 1 0 3 2 3 2 29 6 B. I   10 1 C. I  43 6 B. 38 3 D. I  52 . 6 Cho hàm số y  f  x  có f  ln3  4 và f   x   A. f  x  có f  3   9 và C. 76 3 ex e 1 x 6 , x  . Khi đó ln 8  e f  x  dx x ln 3 D. 136 . 3 bằng: Câu 7. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  f 1  1 và thỏa mãn 1 xf 1  x 3   f   x   x 7  x  2, x   . Tính tích phân I   f  x  dx . 0 B. 5 . 9 A. 2 . 3 Câu 8. Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên D. 2 C. 5 . 9 3 3 5  và thỏa mãn 4xf ( x2 )  6 f (2x)  x3  4 . Giá trị 4  f ( x)dx bằng 0 A. Câu 9. 52 . 25 B. 52. C. 48 . 25 D. 48. Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  3 x   x. f  x 2  2   5 x 5  18 x 3  45 x 2  11x  1, x   . Khi đó A. 96 . B. 64 . Câu 10. Cho hàm số  f  x  2 3  f  x dx bằng 3 C. 192 . f  x  có đạo hàm liên tục trên D. 32 . 0;1 thỏa mãn  4  6 x 2  1 f  x   40 x 6  44 x 4  32 x 2  4, x   0;1 . Tích phân f  0   1 và 1  f  x  dx bằng 0 23 17 13 7 A. . B.  . C. . D.  . 15 15 15 15 Câu 11. [SỞ HÀ NỘI LẦN 1 – CÂU 31 – 2020] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , 1 thỏa mãn  f  x  dx  3 và f 1  4 . Tích phân 0 1  xf   x  dx có giá trị là 0 1 A.  . 2 B. 1 . 2 C. 1. D. 1 . Câu 12. [LAM SƠN – THANH HÓA – CÂU 40 – 2020] Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;10  10 thỏa mãn  f  x  dx  7, 0 10  2 A. P  6 . 1 f  x  dx  1 . Tính P   f  2 x  dx . 0 B. P  6 . C. P  3 . D. P  12 . Câu 13. [CHUYÊN SP HÀ NỘI – CÂU 40 – 2020] Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên tập số thực thỏa mãn f ( x)  (5 x  2). f  5 x 2  4 x   50 x3  60 x 2  23x  1, x  R . 1 Giá trị của biểu thức  f ( x)dx bằng 0 A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 6 . Câu 14. [CHUYÊN BIÊN HÒA – HÀ NAM – CÂU 42- 2020] Cho hàm số f  x  liên tục trên R và 1 thỏa mãn  f  x  dx  9 . Tính tích phân 5 A. 15 . 2   f 1  3x   9  dx . 0 B. 27 . C. 75 . D. 21 . Câu 15. [CHUYÊN THÁI BÌNH – CÂU 37 – 2020] Biết 1 2 0 1  f  x  dx  1 và  f  2 x  1 dx  3. Tính 3  f  x  dx. 0 A. 5. . B. 2. . D. 4. C. 7. . Câu 16. [CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH – CÂU 40 – 2020] 1 Cho f  x  là hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và f 1   , 18 1 1  xf   x dx  36 . 0 1 Giá trị của  f  x dx bằng 0 A.  1 . 12 B. 1 . 36 C. 1 . 12 D.  1 . 36 Câu 17. Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện f  x   2 f 1  x   3 x  6 x ,  x   0;1 . Tính I  2 1  f 1  x  dx 2 0 A. I  4 . 15 B. I  1 . Câu 18. Cho hàm số f ( x) C. I   có đạo hàm liên tục trên f  x   f  2  x   x 2  2 x  2; x   . Tích phân 4 A.  . 3 2 . 15 10 B.  . 3 2 D. I   2 . 15 và thỏa mãn f (0)  3 và  xf ( x)dx bằng 0 C. 2 . 3 5 3 D. Câu 19. [THTT-L1-2017-2018] Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục và dương trên  0; a  , thỏa mãn và f  x  . f  a  x   1; x   0; a  . Tích phân a 1  1  f  x dx  0 ba trong đó b, c là hai số nguyên c b dương và là phân số tối giản. Khi đó b  c có giá trị là c A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6  Câu 20. Cho f  x  là hàm liên tục trên  thỏa f 1  1 và A. I  4 . 3 B. I  2 . 3 1  0 2 1 f  t  dt  , tính I   sin 2 x. f   sin x  dx . 3 0 C. I  Câu 21. Cho hàm số liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa điều kiện 1 1 . 3 1   f  x 0 D. I   2 2 . 3 1 dx  21 và   x  1 f  x  dx  7 . 0 Tính I   e f  x  dx . x 0 A. e . B. 2e . D. 4e .  1  1  x  f  x  dx  10 2 Câu 22. Cho 0 A. I  5 . C. 3e . 2 I   cos3 xf  sin x  dx 0 . Tính B. I  10 . . C. I  10 . D. I  5 .  1 Câu 23. Cho hàm số liên tục trên đoạn  0;  và thỏa điều kiện  3 4 f 1  f  0   2020 . Tính A. 1 . 9  9  4 0 và  f  3x  dx . C. 1 . 3 D. 1. 2 f ( x)dx  16 Câu 24. Cho 0 A. I  32 . Câu 25. Cho   3x  1 f ( x)dx  2019 1 3 0 B. 3 . 4 1 . Tính I   f (2 x )dx 0 B. I  8 . C. I 16 . D. I  4 1 f  x dx  10 . Tính tích phân J   f  5 x  4 dx . 0 A. J  2 . B. J  10 . Câu 26. Giả sử hàm số f  x  liên tục trên đoạn C. J  50 . D. J  4 . 2  0; 2 thỏa mãn  f  x dx  6 . Tính tích phân 0  2 I   f  2 sin x  cos xdx. 0 B. 3 . A. 3 . Câu 27. Cho hàm số f  x  thỏa mãn C. 6 . 1   x  1 f   x  dx  10 D. 6 . và 2 f 1  f  0  2 . Tính 0 B. I  8 . A. I  12 .  f  x  dx . 0 C. I  1 . Câu 28. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  và thỏa mãn 1 D. I  8 1   2 x  1 f   x  dx  10 , 3 f 1  f  0  12 . 0 1 Tính I   f  x  dx . 0 A. I  1 . B. I   2 . 2  6x Câu 29. Biết rằng 1 A. 1. 6 8x  5 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a,b,c là các số thực. Tính P  a 2  b 2  3c  7x  2 B. 2. C. 3. D. 4. x2  2 2 dx  a 24 ; a , b  . Mệnh đề nào sau đây là đúng? b A. a  b  7. B. a  b  7. C. a  b  15. Câu 31. [CHUYÊN NGUYỄN TRÃI – HẢI DƯƠNG – CÂU 37 – 2020] 3 Cho x 1 2 D. a  b  9. x3 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính S  a 2  b2  c 2 .  3x  2 A. S  5 . e Câu 32. Cho I   x ln xdx  1 A. 5 . D. I   1 . 2 x3  Câu 30. Biết C. I  2 . B. S  3 . C. S  4 . a.e 2  b với a , b , c   . Tính T  a  b  c . c B. 3 . C. 4 . D. S  6 . D. 6 . 2 Câu 33. Biết  2 x ln  x  1 dx  a.ln b , với a , b   * , b là số nguyên tố. Tính 6a  7b . 0 A. 33 . B. 25 . C. 42 . D. 39 . 1 1  Câu 34. Cho   2  dx  a ln 2  b ln 3 với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào đúng? x  3x  2  0 A. a  2b  0 . B. a  2b  0 . C. a  b  2 . D. a  b  2 . e ln x  3 a dx   b 3 , với a , b là các số nguyên. Giá trị của biểu x 3  Câu 35. Cho biết 1 1 thức b  log 2 a bằng 2 A. -1. B. 4 Câu 36. Biết I   3 7 . 2 C. 8. D. 6. dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 , trong đó a , b, c   . Tính giá trị của T  a  b  c . x x 2 B. T  3 . A. T  2 . C. T   1 . D. T  5 . 2 Câu 37. Biết  2 x ln 1  x  dx  a.ln b , với a, b* , b là số nguyên tố. Tính 3a  4b . 0 A. 42 . 3 Câu 38. Cho B. 2 1 . ln x   x  1 dx  2 1 B. 7 . ln 6  1 ex 0 e 3 x 1 x 0 A.  5 . C. 6 . D. 9 . dx  a  b ln 2  c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Tính T  a  b  c . A. T  1 . Câu 40. Cho biết D. 32 . a a  ln 3  c  ln 2 với a, b, c   * và phân số tối giản. Giá trị của a  b  c b b bằng A. 8 . Câu 39. Biết C. 12 . B. T  0 . x 2  1 dx  C. T  2 . D. T  1 . a 2 1 với a , b là các số tự nhiên. Giá trị của a 2  b 2 bằng b B. 5. C. 2. D. 7. ————–Hết————– BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 11.C 21.C 31.D 2.B 12.C 22.C 32.D 3.D 13.A 23.A 33.D 4.C 14.D 24.B 34.A 5.C 15.A 25.A 35.C 6.C 16.A 26.A 36.A 7.D 17.C 27.D 37.B 8.A 18.B 28.A 38.A 9.A 19.A 29.D 39.B HƯỚNG DẪN PHẦN ĐỀ MINH HỌA CỦA BỘ GIÁO DỤC NĂM 2020. Câu 1. [CÂU 48-MH-BGD-L1] Cho hàm số f  x  liên tục trên  thoả mãn xf  x   f 1  x   x  x  2x, x  . Khi đó 3 2 10 6 0  f  x dx ? 1 A. 17 . 20 B. 13 . 4 17 . 4 Lời giải D. 1 . C. Chọn B Cách 1: PP tự luận Ta có xf  x3   f 1  x 2    x10  x 6  2 x  x 2 f  x3   xf 1  x 2    x11  x 7  2 x 2 . Lấy tích phân hai vế cận từ 0 đến 1 ta được: 1 1 1 2 3 2 11 7 2  x f  x  dx   x f 1  x  dx     x  x  2 x dx 0 0 0 1 1 1 0  1 1 5 1 1 5 f  x3  d  x 3    f 1  x 2  d 1  x 2      f  t  dt   f  t  dt   .  30 20 8 30 21 8  1 1 5 5 5 3 f  t  dt   f  t  dt     f  t  dt     f  t  dt    30 20 8 60 8 4 0 1 1 1 Suy ra 1 1 3  f  x  dx   4 . 0 Lấy tích phân hai vế cận từ 1 đến 0 ta được: 0 0 2 3 2  x f  x  dx   x f 1  x  dx  1 1 0 0  x 11  x 7  2 x 2  dx 1 0  1 1 17 f  x 3  d  x3    f 1  x 2  d 1  x 2     3 1 2 1 24  1 1 17 1 1 17 f  t  dt   f  t  dt     f  t  dt   f  t  dt    3 1 20 24 3 1 20 24  1 17 1 f  t  dt     f  t  dt  3 1 24 2 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 17 1 17 1 3 13 13   f  x  dx    f  x  dx   .     f  x  dx  . 3 1 24 2 0 24 2 4 12 1 4 10.D 20.A 30.A 40.A Cách 2: PP chọn hàm đại diện: Từ đẳng thức xf  x3   f 1  x 2    x10  x 6  2 x, x   suy ra chọn đặt hàm số f  x  là hàm số bậc 3 dạng f  x   ax 3  bx 2  cx  d . Ta có f  x 3   ax 9  bx 6  cx3  d  xf  x 3   ax10  bx 7  cx 4  dx f 1  x 2    ax 6   3a  b  x 4   3a  2b  c  x 2  a  b  c  d  f  x3   f 1  x 2   ax10  bx 7  ax 6   3a  b  c  x 4   3a  2b  c  x 2  dx  a  b  c  d a  1 b  0  Đồng nhất thức ta được  . Suy ra f  x    x3  3 x  2 c  3 d  2 0 Vậy  f  x dx     x 0 1 1 3  3x  2     2 Câu 2. [CÂU 7-MH-BGD-L1] Nếu  13 . 4 f  x  dx  2 và 1 A. 3 . 3 f  x  dx  1 thì  2 B. 1 . 3  f  x  dx bằng 1 C. 1. Lời giải D. 3 . Chọn B Cách 1: PP tự luận b Áp dụng tính chất  a Ta có c b a c f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx, a  c  b 3 2 3 1 1 2  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2  1  1 . Cách 1: PP chọn hàm đại diện Gợi ý: Do cho hai điều kiện nên chọn hàm có hai hệ số chưa biết dạng f  x   ax  b , cách này dài hơn tự luận. Câu 3. [CÂU 18-MH-BGD-L2] Nếu  1 0 f ( x)dx  4 thì B. 4 . A. 16 . 1  2 f ( x)dx bằng 0 C. 2 . Lời giải D. 8 . Chọn D Cách 1: PP tự luận Ta có 1 1 0 0  2 f ( x)dx  2 f ( x)dx  2.4  8 . Cách 1: PP chọn hàm đại diện Gợi ý: Do giả thiết cho một điều kiện nên chọn hàm có dạng f  x   a , cách này dài hơn tự luận. Câu 4. [CÂU 45-MH-BGD-L2] Cho hàm số f  x  có f  0   0 và f   x   cos x cos2 2 x, x  . Khi  đó  f  x  dx bằng 0 A. 1041 .. 225 B. 208 .. 225 C. 242 .. 225 D. 149 . 225 Lời giải Chọn C Cách 1: PP tự luận áp dụng tính chất f  x    f   x  dx Ta có f   x   cos x cos2 2 x  cos x cos 3 x cos 5 x   2 4 4  cos x cos 3 x cos 5 x  Do đó f  x    f   x  dx       dx 4 4   2  f ( x)  sin x sin 3 x sin 5 x    C , vì f (0)  0 nên C  0 2 12 20   I   f ( x ) dx  0 242 225 Cách 2: PP chọn hằng số C u  f  x   Để tính  f  x  dx ta đặt dv  dx 0  du  f   x  dx  v  x  C Khi đó   0    0 0 f  x  dx   x  C  f  x |    x  C  f   x  dx  f    C   f  0  .C    x  C  f   x  dx 0 Chọn C    Suy ra  0   0 0 f  x  dx     x    f   x  dx   (  x)cosx.cos 2 2 xdx  242 255 Bài toán tổng quát cho Câu 4 Cho hàm số f  x  có biết f  a  và f   x   g  x  , x  . b Khi đó  a b f  x  dx    b  x  g  x  dx   b  a  f  a  (1*) – công thức tính nhanh. a Chứng minh bằng PP chọn hằng số C u  f  x   du  f   x  dx   dv  dx v  x  C Đặt  Khi đó b  a b b  a 0 f  x  dx   x  C  f ( x)|    x  C  f   x  dx   b  C  f  b    a  C  . f  a     x  C  f   x  dx a Chọn C   b b  a 0   f  x  dx    b  x  f   x  dx   b  a  f  a   Áp dụng công thức tính nhanh (1*) cho câu 4 b b  a 0 f  x  dx    b  x  g  x  dx   b  a  f  a      x  cos x.cos 2 2 xdx    0  0   a 242 255 HƯỚNG DẪN PHẦN ĐỀ PHÁT TRIỂN Câu 5. [TRẦN BÌNH TRỌNG–KHÁNH HÒA-2020] Cho hàm số f  x  có f  3  f  x  9 và 2 3 x3  x 2  1 , x  1. Tính I   f  x  dx . x2  x  x  1 0 A. I   29 6 B. I   101 6 C. I  43 6 D. I  52 . 6 Lời giải Chọn C Cách 1: PP tự luận (chọn hằng số C) u  f  x   du  f   x  dx Đặt    dv  dx v  x  C Khi đó: 3 3  f  x  dx  f  x  .  x  C | 0 0 3 3 0 0    x  C  f   x  dx  f  3 3  C   f  0  .C    x  C  f   x  dx Chọn C  0 3 9 x3  x 2  1 43 dx  Suy ra I  .3   x. 2 . 2 6 x  x  x 1 0 Cách 2: PP tính nhanh Cho hàm số f  x  có biết f  a  và f   x   g  x  , x   . b Khi đó  a b f  x  dx    b  x  g  x  dx   b  a  f  a  (1*) – công thức tính nhanh. a Áp dụng công thức (1*) ta có 3  0 0 0  f  x  dx    f  x  dx      0  x  f   x  dx   0  3 f  3  3 3  3    x  0 x3  x 2  1 9 43 dx  3.  2 2 6 x  x  x 1 (Chú ý gt cho f  a   f  3  Câu 6. 9 vậy ta cần đổi cận trên thành cận dưới). 2 Cho hàm số y  f  x  có f  ln 3  4 và f   x   A. 2 B. 38 3 C. ex e 1 x , x  . Khi đó 76 3 D. ln8  e f  x  dx bằng: x ln 3 136 . 3 Lời giải Chọn C. Cách 1: PP tự luận ex f  x  e 1 x , x    f  x    f   x dx  2  d  e x  1  2 ex  1  C 2 e 1 x f  ln 3  4  4  C  4  C  0 ln8 x  e f  x  dx  ln 3 ln8 e 2 x e x  1dx  ln 3 76 3 Cách 2: PP tự luận (chọn hằng số C) u  f  x   du  f   x  dx Đặt   x x  dv  e dx v  e  C ln8 Khi đó  e x f  x  dx  f  x   e x  C |  ln 8 ln 3 ln 3  f  ln 8   e ln 8  C   f  ln 3  e ln 3  C   ln8  e x  C  f   x  dx ln 3 ln 8  e x  C  f   x  dx ln 3  f  ln 8 8  C   f  ln 3 3  C   ln8  e x  C  f   x  dx ln 3 ln 8 Chọn C   8 suy ra  e f  x  dx  4.  3  8   x ln 3 Câu 7. ln8  e x  8 ln 3 ex e 1 x  76 . 3 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f 1  1 và 1 xf 1  x 3   f   x   x 7  x  2, x   . Tính tích phân I   f  x  dx . 0 A. 2 . 3 B. 5 . 9 C. 5 . 9 D. 2 3 Lời giải Chọn D Cách 1: PP tự luận: Từ xf 1  x 3   f   x   x 7  x  2, x    x 2 f 1  x3   xf   x   x8  x 2  2 x, x   1 1 1   x 2 f 1  x 3 dx   xf   x dx    x 8  x 2  2 x  dx 0 0 0 Đặt t  1  x  dt  3 x dx 3 2 1   x 2 f 1  x3 dx   0 Vậy ta có 0 1 1 1 1 1 f  t dt   f  t dt   f  x dx  31 30 30 1 1 1 0 0 0 2 3 8 2  x f 1  x dx   xf   x dx    x  x  2 x  dx  1 1 1 1   5 1 5 1 1  f x dx  xf x dx   f x dx  xf x |  f  x dx            0     30 9 30 0 0   9  2 5 5 4 2 f  x dx     f 1  0. f  0       1  0. f  0     f  x dx   3 0 9 9 9 3 0 1 1 Cách 2: PP chọn hàm đại diện Từ đẳng thức xf 1  x 3   f   x   x 7  x  2, x   suy ra chọn đặt hàm số f  x  là hàm số bậc 2 dạng f ( x )  ax 2  bx  c với a, b, c   . Ta có xf 1  x 3   f ( x )  x 7  x  2 2  x  a 1  x3   b 1  x 3   c   2ax  b  x 7  x  2  a  1; b  2; c  0 .    f ( x )  x 2  2 x thỏa mãn f (1)  1 . 1 1 0 0 Từ đó ta có I   f  x  dx    x 2  2 x  dx  Câu 8. 2 . 3 Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên  và thỏa mãn 4 xf ( x 2 )  6 f (2 x )  4  f ( x)dx bằng 0 A. 52 . 25 B. 52. C. Lời giải Chọn A Cách 1: PP tự luận 48 . 25 D. 48. 3 3 x  4 . Giá trị 5 2 4 xf ( x 2 )  6 f (2 x)  2 3 3 3  x  4    4 xf ( x 2 )  6 f (2 x )  dx    x 3  4  dx 5 5  0 0 2 2 4 4 52 52  2  f ( x )d( x )  3 f (2 x)d(2 x)   2  f (t )dt  3 f (u )du  5 5 0 0 0 0 2 2 4 4 4 4 52 52 52  2  f ( x )dx  3 f ( x)dx   5 f ( x)dx    f ( x)dx  5 5 25 0 0 0 0 Cách 2: PP khác (xin đề nghị Quý độc giả đề xuất). Câu 9. Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  3 x   x. f  x 2  2   5 x5  18 x3  45 x 2  11x  1, x   . Khi đó A. 96 . B. 64 . 3  f  x dx bằng 3 C. 192 . Lời giải D. 32 . Chọn A Cách 1: PP tự luận Ta có : f  3 x   x. f  x 2  2   5 x 5  18 x 3  45 x 2  11x  1 1 . Thay x bởi x vào (1) ta có : f  3x   x. f  x 2  2   5 x 5  18 x 3  45 x 2  11x  1  2  . Cộng (1) và (2) vế với vế ta được: 1 1 1 1 f 3x   f 3x  90 x  2   f 3xdx   f 3x dx  64 . 2 1 Xét  1 f 3x dx . Đặt t  3 x  dt  3dx . Đổi cận: x   1  t   3; x  1  t  3 . 1 Khi đó  3 1 1 Tương tự ta có  1 3 Vậy 3 1 1 f 3x  dx   f t  dt   f  x  dx . 3 3 3 3 3 1 f 3x dx   f  x dx . 3 3 3 3 1 1 f  xdx   f  x dx  64   f  x dx  96 .  3 3 3 3 3 Cách 2: PP khác (xin đề nghị Quý độc giả đề xuất). Câu 10. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn f  0   1 và  f  x  2  4  6 x 2  1 f  x   40 x 6  44 x 4  32 x 2  4, x   0;1 . Tích phân 1  f  x  dx bằng 0 A. 23 . 15 B.  17 . 15 13 . 15 Lời giải C. D.  7 . 15 Chọn D Cách 1: PP tự luận Lấy tích phân hai vế đẳng thức trên đoạn  0;1 ta có: 1   f   x  0 2 1 1 0 0 dx  4   6 x 2  1 f  x  dx    40 x 6  44 x 4  32 x 2  4  dx  376 . 105 Theo công thức tích phân từng phần có: 1 1 1 1 2 3 3 6 x  1 f x d x  f x d 2 x  x  2 x  x f x             0    2 x 3  x  f   x  dx 0  0 0  1 1 0 0 2 3   6 x  1 f  x  dx  1    2 x  x  f   x  dx . Thay lại đẳng thức trên ta có  1  376 2 3  f x d x  4    1    2 x  x  f   x  dx   0   0  105 1 1 2 44    f   x   dx  4   2 x 3  x  f   x  dx  0  105 0 0 1 1   f  x  2 2x 3   x  dx  0 2 0  f   x   2  2 x  x  , x   0;1  f  x   x  x  C . 4 3 2 Mặt khác f 1  1  C  1  f  x   x 4  x 2  1  1  0 1 f  x  dx    x 4  x 2  1 dx  0 13 . 15 Cách 2: PP chọn hàm đại diện Từ đẳng thức  f   x    4  6 x 2  1 f  x   40 x 6  44 x 4  32 x 2  4, x   0;1 suy ra chọn đặt 2 hàm số f  x  là hàm số bậc 4 trùng phương dạng f ( x )  ax 4  bx 2  c với a, b, c   . Khi đó ta có  4ax 3  2bx   4  6 x 2  1 ax 4  bx 2 c   40 x 6  44 x 4  32 x 2  4, x  0;1 2  40a  40 16ab  24b  4a  44 a  c  1   Đồng nhất hai vế ta có  2 b  1  4b  24c  4b  32  4c  4 1 1 0 0 Vậy f  x   x 4  x 2  1   f  x  dx    x 4  x 2  1 dx  13 15 Câu 11. [SỞ HÀ NỘI LẦN 1 – CÂU 31 – 2020] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , 1 thỏa mãn  1 f  x  dx  3 và f 1  4 . Tích phân  xf   x  dx có giá trị là 0 0 1 A.  . 2 B. 1 . 2 D. 1 . C. 1. Lời giải Chọn C Cách 1: PP tự luận: u  x  du  dx Đặt    dv  f ‘  x  dx v  f  x   C 1 1 Khi đó I   xf   x  dx   f  x   C  x|    f  x   C  dx 1 0 0 1 1 0 0 0 I   f 1  C    f  x  dx  C  dx  4  C  3  C  1 Cách 2: PP chọn hàm đại diện 1 Ta có hàm số f  x  có hai giả thiết  f  x  dx  3 và f 1  4 nên dự kiến chọn đặt hàm số là 0 1 y  f  x   ax  b   0 1  ax 2  a f  x  dx  3    ax  b  dx  3    bx   3   b  3 1 . 2  2 0 0 1 a  2 f 1  4  a  b  4  2  . Từ 1 ,  2  suy ra:   y  f  x  2x  2  f ‘ x   2 . b  2 1 1 0 0  xf   x  dx   2 xdx  1 . Câu 12. [LAM SƠN – THANH HÓA – CÂU 40 – 2020] Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;10  10 thỏa mãn  f  x  dx  7, 0 A. P  6 . 10  2 1 f  x  dx  1 . Tính P   f  2 x  dx . 0 B. P  6 . C. P  3 . Lời giải Chọn C Cách 1: PP tự luận: 2 Ta có  f  x  dx  F  2   F  0     F 10   F  2    F 10   F  0 0 10 10 2 0    f  x  dx   f  x  dx  1  7  6. D. P  12 . Đổi biến: x  2t , dx  2dt . Đổi cận: x  0  t  0; x  2  t  1 . 2 1 1 0 0 0 Khi đó 6   f  x  dx   2 f  2t  dt   f  2t  dt  3 , hay 1  f  2 x  dx  3 . 0 Cách 2: PP chọn hàm đại diện 10 10 0 2 Giả thiết cho hai điều kiện  f  x  dx  7, Khi đó 10 và  2 10 10 0 0  f  x  dx  1 nên chọn đặt f  x   ax  b .  f  x  dx    ax  b  dx  50a  10b  7 10 f  x  dx    ax  b  dx  48a  8b  1 . 2 23   a  40 50a  10b  7 23 143 Suy ra hệ  . Do đó f  x   .  x 40 40  48a  8b  1 b  143  40 1 1 143   23 P   f  2 x  dx    x  dx  3 . 20 40  0 0 Câu 13. [CHUYÊN SP HÀ NỘI – CÂU 40 – 2020] Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên tập số thực thỏa mãn f ( x)  (5 x  2). f  5 x 2  4 x   50 x3  60 x 2  23x  1, x  R . 1 Giá trị của biểu thức  f ( x)dx bằng 0 A. 2 . B. 1. C. 3 . Lời giải D. 6 . Chọn A Cách 1: PP tự luận: 1  0 1 1 1 0 0 f ( x)dx   (50 x3  60 x 2  23x  1)dx   (5x  2) f (5x 2  4 x)dx  3   (5 x  2) f (5 x 2  4 x)dx (1) 0 1 Xét tích phân  (5 x  2) f (5 x 2  4 x)dx : 0 Đặt t  5x  4 x thì dt  (5.2 x  4)dx  2(5 x  2)dx 2 Khi x  1 thì t  1 ; Khi x  0 thì t  0 1 Suy ra:  (5 x  2) f (5x 2  4 x) dx  0 1 Thay vào (1) ta được:  0 1 1 1 1 f (t )dt   f ( x) dx  20 20 1 1 1 1 3 f ( x)dx  3   f ( x)dx   f ( x)dx  3   f ( x)dx  2 20 20 0 Cách 2: PP chọn hàm đại diện Từ công thức f ( x)  (5x  2). f  5 x 2  4 x   50 x3  60 x 2  23x  1, x   ta dự đoán hàm số là bậc nhất dạng f ( x)  ax  b , thay vào điều kiện ta được ax  b  (5 x  2)  a (5 x 2  4 x)  b   50 x 3  60 x 2  23x  1  ax  b  (5 x  2)(5ax 2  4ax  b)  50 x3  60 x 2  23 x  1  25ax 3  30ax 2  (9a  5b) x  b  50 x3  60 x 2  23 x  1 25a  50 30a  60 a  2    (9a  5b)  23 b  1 b  1 1  Do vậy f ( x)  2 x  1 suy ra 0 1 f ( x)dx   (2 x  1)dx  2 . 0 Câu 14. [CHUYÊN BIÊN HÒA – HÀ NAM – CÂU 42- 2020] Cho hàm số f  x  liên tục trên R và 1 thỏa mãn  f  x  dx  9 . Tính tích phân 5 2   f 1  3x   9  dx . 0 A. 15 . B. 27 . D. 21 . C. 75 . Lời giải Chọn D Cách 1: PP tự luận: Đặt t  1  3x  dt  3dx . Với x  0  t  1 và x  2  t  5 . 2 Ta có 2 2 0 0   f 1  3 x   9  dx   f 1  3 x  dx   9dx 0 5 dt    f  t    9 x 3 1 2 0 1  1 1  f  x   dx  18  .9  18  21 .  3 3 5 Cách 2: PP chọn hàm đại diện 1 Giả thiết cho một điều kiện  f  x  dx  9 nên dự kiến chọn hàm dạng f  x   ax . 5 1 Khi đó  5 2 Vậy 1 3 3 f  x  dx   axdx  12a  9  a   . Do đó f  x   x. 4 4 5 2 Câu 15. [CHUYÊN THÁI BÌNH – CÂU 37 – 2020] Biết 3  f  x  dx. 0 2 33   3  9 0  f 1  3 x   9  dx  0   4 1  3x   9  dx  0  4 x  4  dx  21 . 1 2 0 1  f  x  dx  1 và  f  2 x  1 dx  3. Tính A. 5. B. 2. C. 7. Lời giải D. 4. Chọn A Cách 1: PP tự luận: Ta đặt : t  2 x  1  dt  2dx. 2 3 1 3 1 f  2 x  1 dx  2  1 f  t  dt  3  1 f  x  dx  6 3 1 3 0 0 1  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  1  6  5. Mà Cách 2: PP chọn hàm đại diện Đặt f  x   ax  b . Khi đó và a  f  x  dx    ax  b  dx  2  b  1 1 1 0 0 2  f  2 x  1 dx   1  a  2 x  1  b  dx    2ax  a  b  dx  2a  b  3 . 1 1 2 2 8  a a  8 7   b  1  3 . Do đó Suy ra hệ  2  f  x  x  . 3 3  2a  b  3 b   7  3 Vậy 3 3 0 0  f  x  dx   7 8  x   dx  5 . 3 3  Câu 16. [CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH – CÂU 40 – 2020] Cho f  x  là hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và f 1   1 , 18 1 1  xf   x dx  36 . Giá 0 1 trị của  f  x dx bằng 0 A.  1 . 12 B. 1 . 36 1 . 12 Lời giải C. Chọn A Cách 1: PP tự luận: u  x du  dx  Đặt:  dv  f   x  dx v  f  x  1 Ta có: 1 1 1  xf x dx  x . f x  f x dx  f 1            f  x dx . 0 0 0 0 D.  1 . 36 1 Theo giả thiết: 1 1  xf   x dx  36 , f 1   18 0 1 1 1 1 1 1 1     f  x dx    f  x dx      . 18 0 36 0 18 36 12 Cách 2: PP chọn hàm đại diện Đặt f  x   ax  b . 1 21 1 x a 1 1 1   a  . Khi đó f 1  a  b   và  xf   x dx   axdx  a 2 2 36 18 18 0 0 0 1 1    a  b   18  a  18 1 1 Suy ra hệ  . Do đó f  x   x  .  18 9 a  1 b   1   18 9  1 Vậy  0 1 1 1  1 f  x dx    x  dx   . 18 9 12  0 Câu 17. Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện f  x   2 f 1  x   3 x 2  6 x ,  x   0;1 . Tính I  1  f 1  x  dx 2 0 A. I  4 . 15 B. I  1 . C. I   2 . 15 D. I  2 . 15 Lời giải Chọn C Bài toán: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0; c  thỏa mãn điều kiện mf  x   nf  c  x   g ( x ),  x   0; c  ; m   n và m, n    f ( x)  mg ( x)  ng  c  x  m2  n2 Chứng minh Đặt t  c  x  x  c  t . Do x   0; c  nên t   0; c  . Thay x  c  t vào mf  x   nf  c  x   g ( x ),  x   0; c  (1*) ta có mf  c  t   nf  t   g (c  t )  2 *  thay tiếp t  x vào (2*) ta có nf  x   mf  c  x   g ( c  x ) (3*) Từ (1*) và (2*) ta có hệ 2  mf  x   nf  c  x   g ( x)  m f  x   nmf  c  x   mg ( x )    2  nf  x   mf  c  x   g (c  x )  n f  x   nmf  c  x   ng (c  x )  4 *  5 * Trừ tương ứng từng vế của (4*) và (5*) ta có m2 f  x   n2 f  x   mg ( x)  ng  c  x  .  f ( x)  mg ( x)  ng  c  x  m2  n2 (công thức tính nhanh). Cách 1: PP tính nhanh f  x   2 f 1  x   3x 2  6 x, x   0;1  f  x   3x 2 2  6 x   2 3 1  x   6 1  x   3x 2  6 x  6    x2  2 x  2 2 2 3 1 2 Khi đó f 1  x 2   1  x 2   2 1  x 2   2  x 4  4 x 2  1 2 1   1   2 4 2 Suy ra I   f 1  x dx   x  4 x  1 dx   0 0 2 . 15 Cách 2: PP chọn hàm đại diện Từ f  x   2 f 1  x   3 x 2  6 x , x   0;1 Ta dự kiến chọn hàm đại diện là f  x   ax 2  bx  c thì ta có f  x   2 f 1  x   ax 2  bx  c  2  a 1  x   b 1  x   c   3ax 2   4a  b  x  2a  2b  3c.   Đồng nhất thức hệ số ta có 3a  3 a  1   2  4a  b  6  b  2 . Suy ra f  x   x  2 x  2 .  2a  2b  3c  0  c  2   2 1   1  2 Dó đó I   f 1  x dx    1  x  0 0 2  2 2  2 1  x2   2 dx   .  15 Cách 3: Tự luận Đặt t  1  x ,  x   0;1  t   0;1 . 2 Ta có f  x   2 f 1  x   3x  6 x  f  x   2 f 1  x   3 1  x   3 2  f 1  t   2 f  t   3t 2  3  2 f  x   f 1  x   3 x 2  3 Ta có hệ phương trình  f  x   2 f 1  x   3x 2  6 x  f  x   2 f 1  x   3 x 2  6 x   2 2 2 f  x   f 1  x   3x  3 4 f  x   2 f 1  x   6 x  6 3x 2  6 x  6  3 f  x   3×2  6 x  6  f  x    x2  2x  2 3 Khi đó f 1  x 2   1  x 2   2 1  x 2   2  x 4  4 x 2  1 2 1   1   2 4 2 Suy ra I   f 1  x dx   x  4 x  1 dx   0 0 2 . 15 Câu 18. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  0   3 và f  x   f  2  x   x 2  2 x  2; x   . Tích phân 2  xf ( x)dx bằng 0 4 A.  . 3 B.  10 . 3 2 . 3 C. 5 3 D. Lời giải Chọn B Cách 1: Tự luận Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có: 2 2 0 0 2  xf   x dx  xf  x  |0   f  x dx . Từ f  x   f  2  x   x 2  2 x  2; x   (1*) Thay x  0 vào (1*) ta được f  0   f  2   2  f  2   2  f  0   2  3  f  2   1 . 2 Xét I   f  x dx . Đặt t  1  x  x  1  t  dx   dt 0 Đổi cận: x  0  t  2; x  2  t  0 2 0 2 2 0 2 0 0 Khi đó I   f  x dx    f 1  t dt   f 1  t dt   f 1  x dx Do đó ta có 2 2 2 2 2 8 4 0  f  x   f  2  x dx   0  x  2x  2   20 f  x dx  0  x  2 x  2   3  0 f  x dx  3 (2*) 2 2 2 2 0 0 Vậy  xf   x dx  xf  x  |02  2 f  2    f  x dx  2  1  4 10  3 3 Bài toán dùng để tính nhanh (2*): Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0; c  thỏa mãn điều kiện c c 0 0 mf  x   nf  c  x   g ( x ),  x   0; c  ; m  n  0 ; và I   f  x dx   g  x mn dx . Chứng minh c 0 c 0 c 0 Đặt t  c  x  x  c  t . Ta có I   f  x dx    f  c  t dt   f  c  x dx mf  x   nf  c  x   g ( x ),  x   0; c  ; m  n  0 c c 0 0  ( m  n )  f  x dx   g  x dx  I  c  f  x dx  0 c g  x  m  n dx 0 Áp dụng: Biết f  x   f  2  x   x  2 x  2; x   2 2 Áp dụng công thức tính nhanh ta có   0 f  x dx  2 1 1 8 4 x 2  2 x  2   .  (2*)   20 2 3 3 Cách 2: PP chọn hàm đại diện Từ f  x   f  2  x   x 2  2 x  2; x   * ta dự kiến chọn hàm số f  x   ax 2  bx  c thay vào đk (*) ta có f  x   f  2  x   ax 2  bx  c  a  2  x   b  2  x   c 2  2 ax 2  4 ax  4 a  2b  2 c.  2a  1 1   a  Đồng nhất hệ số ta có  4a  2  2 .  4a  2b  2c  2 b  c  0  1 2 x  3 x  3; f ‘  x   x  3 . 2 Do f  0   3  c  3; b  3 . Suy ra f  x   2 2 0 0 10  xf ‘  x  dx   x  x  3 dx   3 . Vậy Cách 3: PP tính nhanh Do x  [0; 2] : f  x   f  2  x   x 2  2 x  2  m  n  1 Không dùng được công thức tính nhanh sau đây: m, n    f ( x)  mg ( x)  ng  c  x  m2  n2 Câu 19. [THTT-L1-2017-2018] Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục và dương trên  0; e  , thỏa mãn và f  x  . f  e  x   1; x   0; e  . Tích phân e 1  1  f  x dx  0 dương và be trong đó b, c là hai số nguyên c b là phân số tối giản. Khi đó b  c có giá trị là c A. 3 . B. 4 . C. 5 . Lời giải D. 6 Chọn A Cách 1: PP tính nhanh Bài toán: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục và dương trên  0; a  , thỏa mãn và f  x  . f  a  x   1; x   0; a  thì tích phân a 1 a  1  f  x dx  2 0 Chứng minh: Đặt t  a  x ta có a 0 a a a 1 1 1 1 f (t ) dx   dt  dt  dt  0 1  f  x  a 1  f  a  t  0 1  f  a  t  0 0 1  f  t dt 1 1 f (t ) a a a a f  x 1 f  x 1 1 dx   dx   dx   dx   dx  a 1 f  x 1 f  x 1 f x 1 f  x 0 0 0 0 0 a  2 a  1 a  1  f  x   2  * 0 e Áp dụng công thức (*) vào bài toán ta có 1 e  1 f  x  2 0 nguyên dương và  eb b 1   , do b, c là hai số c c 2 b là phân số tối giản  c  2, b  1  b  c  3 . c Cách 2: PP chọn hàm đại diện Do f  x  . f  e  x   1; x   0; e  chọn hàm đại diện f  x   k (là hàm hằng) Ta có f  x  . f  e  x   1; x   0; e   k 2  1  k  1 . Vậy ta chọn hàm đại diện f  x   1  e b eb 1 eb e b 1  dx  1     , do b, c là hai số nguyên dương và là phân số c c 1  f  x c 2 c 2 0 tối giản  c  2, b  1  b  c  3  Câu 20. Cho f  x  là hàm liên tục trên  thỏa f 1  1 và A. I  4 . 3 B. I  2 . 3 1  0 2 1 f  t  dt  , tính I   sin 2 x. f   sin x  dx . 3 0 C. I  1 . 3 D. I   2 . 3 Lời giải Chọn A Cách 1: PP tự luận: Đặt sin x  t  dt  cos xdx . Đổi cận: khi x  0  t  0 ; x   2  t  1 . Từ đó ta có   2 2 1 0 0 0 I   sin 2 x. f   sin x  dx   2 sin x.cos x. f   sin x  dx  2  t. f   t  dt u  t du  dt Đặt:  .  dv  f   t  dt v  f  t    1 1  1 4 I  2  t. f  t     f  t  dt   2  1    . 0 0  3 3   Cách 2: PP chọn hàm đại diện Phân tích có hai giả thiết, ta tìm hàm f  x  thỏa hai điều kiện, chọn f  x   ax  b Khi đó: f 1  1  a  b  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 f  t  dt   f  x  dx    ax  b  dx  a  xdx+  bdx=  a  b  3 2 3 0 0 0 0  0 2 4  a a  b  1   3 Từ 1 ,  2 ta có hệ  1 1 a  b   2 b   1 3 3  Ta được f  x   4 1 4 4 x  ; f ‘  x   , do đó f ‘  sin x   3 3 3 3   2 2 4 4 Vậy I   sin 2 x. f   sin x  dx   sin 2 x. dx  . 3 3 0 0 Câu 21. Cho hàm số liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa điều kiện 1 1 0 0 1   f  x  2 0 dx  21 và   x  1 f  x  dx  7 . Tính I   e f  x  dx . A. e . x B. 2e . C. 3e . Lời giải D. 4e . Chọn C Cách 1: PP chọn hàm đại diện Nhận xét: Giả thiết có 2 điều kiện cho trước là 1   f  x  0 2 1 dx  21 và   x  1 f  x  dx  7 , tìm 0 hàm số f  x  bằng cách dựa vào tỷ số  f  x   21   f  x   3  x  1  x  1 f  x  7 2 1 1 0 0 Ta có I   e x f  x  dx  3 e x  x  1 dx  3e Cách 2: PP chọn hàm đại diện Đặt f  x   ax  b dựa vào giả thiết tìm hệ số a; b . Cách 3: PP chọn hàm đại diện Nhắc lại bất đẳng thức Holder tích phân như sau: 2 b b  b 2 f x g x dx  f x dx . g 2  x  dx           a a  a Dấu bằng xảy ra khi f  x   k .g  x  ,  x   a; b  , k    1 Đặt g ( x)  x  1 ; ta có   x  1 f  x  dx  7 0 suy ra 1 1 0 0  g  x  f  x  dx  7 ;   f  x  2 dx  21 ; 1   x  1 0 2 dx  7 3 Vì  1 0 g  x  f  x  dx     f  x  dx.  g  x dx 2 1 1 2 0 2 0 Dấu bằng xảy ra khi f  x   kg  x   f  x   3 g  x   3  x  1 1 1 0 0 Vậy I   e x f  x  dx  3 e x  x  1 dx  3e .  1  1  x  f  x  dx  10 2 2 Câu 22. Cho 0 A. I  5 . . Tính I   cos3 xf  sin x  dx 0 B. I  10 . . C. I  10 . Lời giải D. I  5 . Chọn C Cách 1: Tự luận   2 2 0 0 I   cos3 xf  sin x  dx   1  sin 2 x  . f  sin x  .cosxdx . Đặt t  sin x  dt  cos xdx và x  0  t  0; x  1    t 1. 2  2 Khi đó I   1  t f  t dt  10 . 0 Cách 2: PP chọn hàm đại diện 1 Giả thiết cho một điều kiện  1  x  f  x  dx  10 nên nghĩ đến chọn f  x   a . 2 0 1 Ta có 1 2  1  x  f  x  dx  10   1  x  adx  10  3 a  10  a  2 2 0 0 Suy ra f  x   30 . 2 30 . 2   2 2 30 cos 3 xdx  10 . 2 0 Ta có: I   cos3 xf  sin x  dx   0  1 Câu 23. Cho hàm số liên tục trên đoạn  0;  và thỏa điều kiện  3 4 f 1  f  0   2020 . Tính A. 1 . 9 1   3x  1 f ( x)dx  2019 và 0 1 3 0  f  3x  dx . B. 3 . C. 1 . 3 Lời giải Chọn A Cách 1: PP tự luận Áp dụng tích phân từng phần tính 1   3x  1 f ( x)dx 0 1  3x 1 0  301 f  x  dx 1 Ta có 0  3x  1 f ( x)dx  f x D. 1. 1 1 0 0 2019  4 f 1  f  0   3 f  x  dx   f  x  dx  1 3 0 1 3 1 1 1 1 1 f  t  dt  .  .   0 3 3 3 9 Cách 2: PP chọn hàm đại diện Vậy f  3x  dx  Giả thiết có 2 điều kiện cho trước là 1   3x  1 f ( x)dx  2019 và 4 f 1  f  0   2020 ta chọn 0 đặt f  x   ax  b  f   x   a . 4038 5 2020  4a Mặt khác 4 f 1  f  0   2020  4  a  b   b  2020  b  . 3 1 1 0 0 Ta có   3 x  1 f ( x)dx  2019  a   3 x  1 dx  2019  a  Vậy 1 3 0  4 Câu 24. Cho  0 1 1 f  3x  dx   3  3ax  b  dx  . 0 9 2 f ( x)dx  16 . Tính I   f (2 x )dx 0 A. I  32 . B. I  8 . C. I 16 . Lời giải D. I  4 Chọn B Cách 1: PP tự luận dt Đặt t  2x  =dx . Đổi cận x  0  t  2 ; x  2  t  4 2 2 Khi đó ta có I   f (2 x ) dx  0 1 4 1 4 f (t ) dt   f ( x )dx 8  2 0 2 0 Cách 2: PP casio Phương pháp casio nhanh: m Nếu có  f  x dx  M thì n   f  ax  b dx   M ; n  a.  b, m  a.  b a Áp dụng . 9 Câu 25. Cho  4 1 f  x dx  10 . Tính tích phân J   f  5 x  4 dx . A. J  2 . 0 B. J  10 . C. J  50 . D. J  4 . Lời giải Chọn A Cách 1: PP casio Phương pháp casio nhanh:  m Nếu có  f  x dx  M n thì  f  ax  b dx   M ; n  a.  b, m  a.  b a Áp dụng . Câu 26. Giả sử hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0; 2 thỏa mãn 2  f  x dx  6 . Tính tích phân 0  2 I   f  2 sin x  cos xdx. 0 A. 3 . B. 3 . D. 6 . C. 6 . Lời giải Chọn A Cách 1: PP casio . Câu 27. Cho hàm số f  x  thỏa mãn 1   x  1 f   x  dx  10 và 2 f 1  f  0  2 . Tính 0 A. I  12 . B. I  8 . C. I  1 . Lời giải 1  f  x  dx . 0 D. I  8 Chọn D Cách 1: PP tự luận 1 u  x  1 du  dx 1  . Khi đó I   x  1 f  x  0   f  x  dx 0 dv  f   x  dx v  f  x  Đặt  1 1 0 0 Suy ra 10  2 f 1  f  0    f  x  dx   f  x  dx  10  2  8 . Vậy 1  f  x  d x  8 . 0 Cách 2: PP casio Phương pháp casio nhanh: Nếu hàm số f  x  thỏa mãn    ax  b  f   x  dx  K và   a  b  . f      a  b  f    P  thì  f  x  dx   PK . a Áp dụng . Câu 28. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  và thỏa mãn 1   2 x  1 f   x  dx  10 , 3 f 1  f  0  12 . 0 1 Tính I   f  x  dx . 0 A. I  1 . B. I   2 . C. I  2 . Lời giải D. I   1 . Chọn A Phương pháp casio nhanh: Nếu hàm số f  x  thỏa mãn    ax  b  f   x  dx  K và   a  b . f      a  b  f    P thì   f  x  dx   PK . a Áp dụng: 2 Câu 29. Biết rằng  6x 1 8x  5 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a,b,c là các số thực. Tính P  a 2  b 2  3c  7x  2 2 A. 1. B. 2. C. 3. Lời giải D. 4. Chọn D Cách 1: PP tự luận 2 2 2 9x  5 2(3 x  2)  (2 x  1) 1 2   Ta có  2 dx   dx   ln 2 x  1  ln 3x  2   ln 2  ln 3  ln 5 6x  7x  2 (2 x  1)(3 x  2) 3 3  1 1 1 Do đó a  1; b  1; c  2  P  a 2  b 2  3c  4. 3 Cách 2: PP casio B1: Tính  2 1 8x  5 dx và gán cho biến A 6x  7x  2 2 B2: Ta có A  a ln 2  b ln 3  c ln 5  A  ln  2a.3b.5c   e A  2a.3b.5c  enA  2na.3nb.5nc với n  * B3. Tính enA sao cho enA là 1 số hữu tỉ ( thường n = 1,2,3,4…). Ta có e3 A  200  200.27 1  23.52.33 (1) 27 Mà e3 A  23a.33b.53c (2)  a  1 3a  3   Từ (1) và (2) suy ra 3b  3  b  1  P  a 2  b2  3c  4 . 3c  2  2  c  3  6 Câu 30. Biết  2 x3 x 2 2 a 24 ; a , b  . Mệnh đề nào sau đây là đúng? b dx  B. a  b  7. A. a  b  7. C. a  b  15. Lời giải Chọn A Cách 1: PP tự luận 6 Tính I   2 Đổi cận x3 x 2 2 dx . Đặt t  x 2  2  t 2  x 2  2  tdt  xdx D. a  b  9. Suy ra I   I  x3 6 x2  2 2 dx   6 x 2 .x 2 x2  2  t3 2 2 t  2 dt     3  2t |2   2 2 2 2 dx   2 2 2  t2  2 tdt t 4 24 3 Suy ra: a = 4, b = 3. Vậy a + b = 7 Cách 2: PP casio 6 B1: Tính I   2 B2: A  x3 x2  2 dx và gán cho biến A a 24 a 24 b b A Đặt x  a  b  F  x  B3: Mode 7 (dùng Table) Nhập F  x   x 24 A Star -9 End 9 Step 1 Ta dò được F(x) = 3 suy ra x = 4 Suy ra: a = 4, b = 3 Vậy a + b = 7. Câu 31. [CHUYÊN NGUYỄN TRÃI – HẢI DƯƠNG – CÂU 37 – 2020] 3 Cho x 2 1 x3 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a , b, c là các số hữu tỉ. Tính S  a 2  b2  c 2 .  3x  2 A. S  5 . B. S  3 . C. S  4 . Lời giải D. S  6 . Chọn D Cách 1: PP tự luận 3 3 3 x3 x3 1   2 dx  dx  1 x 2  3x  2 1  x  1 x  2 1  x  1  x  2 dx   2 ln x  1  ln x  2  1 3 Ta có  2 ln 4  ln 5  2 ln 2  ln 3  2 ln 2  ln 3  ln 5 Suy ra a  2; b  1; c  1  S  6 . Cách 2: PP casio 3 Bước 1: Tính tích phân x 1 2 x3 dx sau đó gán thành biến A .  3x  2 Nhấn SHIFT STO (-) để được Bước 2: Tính phép toán lũy thừa ekA với k  1, 2,3, 4,5,… là các số nguyên mục tiêu là ta được kết quả trên máy là một số hữu tỷ. Bước 3: Ta dễ dàng phân tích được 12 22.3   22.31.51 5 5 do 12  ln(2 2.31.51 )  2 ln 2  ln 3  ln 5 suy ra a  2, b  1, c  1 từ đây a 2  b2  c 2  6 . 5 Chú ý: Quá trình bấm máy có thể nhanh hơn so với tốc độ ghi tự luận nhiều. A  ln e Câu 32. Cho I   x ln xdx  1 a.e 2  b với a , b , c   . Tính T  a  b  c . c A. 5 . B. 3 . C. 4 . Lời giải Chọn D Cách 1: PP tự luận 1  du  d x  u  ln x  x Ta có:  nên  . 2 dv  xdx v  x  2 a  1 e e x2 1  e2  1  b  1 . ln x   xdx  I   x ln xdx  2 21 4 c  4 1 1  e Vậy T  a  b  c  6 . Cách 2: PP casio D. 6 . vậy + Thử C=1,2,3,4,5,6. giải hệ tìm a,b nguyên. . 2 Câu 33. Biết  2 x ln  x  1 dx  a.ln b , với a , b   * , b là số nguyên tố. Tính 6a  7b . 0 A. 33 . B. 25 . C. 42 . Lời giải Chọn.D. Cách 1: PP tự luận 2 Xét I   2 x ln  x  1 dx  6 . 0 1  u  ln  x  1 dx  du   Đặt  x 1 .  dv  2 xdx  v  x 2  1 2 Ta có: I   x 2  1 ln  x  1   2 0 0 x2 1 dx x 1 2 2  x2   3ln 3    x  1 dx  3ln 3    x   3ln 3 . 0  2 0 Vậy a  3 , b  3  6a  7b  39 . Cách 2: PP casio Ta có a.ln b  ln ba Bước 1. Bước 2. A  ln ba  ba  e A . Bước 3. Bấm Shift + FACT D. 39 . Vậy a  3 , b  3  6a  7b  39 . 1 1  Câu 34. Cho   2  dx  a ln 2  b ln 3 với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào đúng? x  3 x  2  0 A. a  2b  0 . B. a  2b  0 . C. a  b  2 . Lời giải D. a  b  2 . Chọn A Cách 1: PP casio . e Câu 35. Cho biết  1 thức ln x  3 a dx   b 3 , với a , b là các số nguyên. Giá trị của biểu x 3 1  log 2 a bằng 2b A. -1. B. 7 . 2 C. 8. Lời giải Chọn C Cách 1: PP casio . A  a Aa:3 b 3  b  3 3 1 . Solve nghiệm nguyên: 2 A  x:3 3  log 2 x D. 6. . Thử từ đáp án. Thấy ngay A thỏa mãn vì phương trình có nghiệm nguyên. 4 Câu 36. Biết I   3 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 , trong đó a , b, c   . Tính giá trị của T  a  b  c . x x 2 B. T  3 . A. T  2 . C. T   1 . Lời giải D. T  5 . Chọn A Cách 1: PP casio 4 .Ta có: e . Nhập dx  x2  x 3  ea ln 2 b ln 35ln c  2a.3b.5c . 16  2 4.31.51  2 a.3b.5c  a  4; b  1; c  1. . 15 2 Câu 37. Biết  2 x ln 1  x  dx  a.ln b , với a, b* , b là số nguyên tố. Tính 3a  4b . 0 A. 42 . B. 2 1 . C. 12 . Lời giải D. 32 . Chọn B Cách 1: PP casio 2  2 x ln 1 x dx . Ta có: e 0  ba Shift FACT . Vậy a  3 , b  3  3a  4b  21 . 3 Câu 38. Cho ln x   x  1 2 1 dx  a a tối giản. Giá trị của  ln 3  c  ln 2 với a, b, c   * và phân số b b a  b  c bằng A. 8 . B. 7 . C. 6 . Lời giải D. 9 . Chọn A Cách 1: PP casio . Chú ý: c=x, a  f  x  , bài toán có điều kiện a, b, c   * b . Do đó a  b  c  8 . ln 6 Câu 39. Biết  1 ex 0 ex  3 dx  a  b ln 2  c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Tính T  a  b  c . A. T  1 . B. T  0 . C. T  2 . Lời giải D. T  1 . Chọn B Cách 1: PP casio . A  a  b ln 2  c ln 3  e A  a  2 b.3c . Suy ra a  2 , b  4 , c  2 nên T  a  b  c  0 . 1 Câu 40. Cho biết x x 2  1 dx  0 A.  5 . a 2 1 với a , b là các số tự nhiên. Giá trị của a 2  b 2 bằng b B. 5. C. 2. Lời giải Chọn A Cách 1: PP casio . Với b  x; a  f  x   a  2 , b  3 . . Vậy a 2  b 2  5 . D. 7.
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top