Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên – Tạ Văn Đức

Giới thiệu Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên – Tạ Văn Đức

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên – Tạ Văn Đức.

Tài liệu ôn thi vào 10 môn Toán và hướng dẫn giải các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất nhé.

Tài liệu Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên – Tạ Văn Đức

Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm về môn Toán nhé.

Text Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên – Tạ Văn Đức
Chuyªn ®Ò: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn ———————————————————– A. Më ®Çu I. Lý do chän chuyªn ®Ò: Trong ch−¬ng tr×nh to¸n THCS th× ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn vÉn lu«n lµ mét ®Ò tµi hay vµ khã ®èi víi häc sinh. C¸c bµi to¸n nghiÖm nguyªn th−êng xuyªn cã mÆt t¹i c¸c k× thi lín nhá trong n−íc vµ ngoµi n−íc. Tuy nhiªn l¹i kh«ng cã nhiÒu tµi liÖu viÕt riªng vÒ néi dung nµy, do vËy ®Ó phôc vô gi¶ng d¹y cña b¶n th©n, ®Æc biÖt lµ c«ng t¸c båi d−ìng häc ®éi tuyÓn häc sinh giái vµ båi d−ìng häc sinh thi vµo c¸c tr−êng chuyªn líp chän nªn t«i ®; viÕt chuyªn ®Ò nµy. Trong chuyªn ®Ò nµy t«i chØ míi ®Ò cËp ®Õn vÊn ®Ò nghiÖm nguyªn ( cô thÓ lµ c¸c d¹ng vµ ph−¬ng ph¸p gi¶i) chø kh«ng ®i s©u v× vèn hiÓu biÕt cßn cã h¹n. II. Ph¹m vi vµ môc ®Ých cña chuyªn ®Ò: 1. Ph¹m vi cña chuyªn ®Ò: – Áp dông víi ®èi t−îng häc sinh kh¸- giái c¸c khèi 8- 9 2. Môc ®Ých chuyªn ®Ò: – Trao ®æi víi ®ång nghiÖp vµ häc sinh mét sè ph−¬ng ph¸p còng nh− lµ mét sè bµi to¸n gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn trong ch−¬ng tr×nh båi d−ìng häc sinh kh¸- giái c¸c líp 8, 9 – Gióp häc sinh biÕt vËn dông c¸c ph−¬ng ph¸p trªn mét c¸ch linh ho¹t trong viÖc gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ nghiÖm nguyªn tõ dÔ ®Õn khã. ———————————————————— 2 Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c Chuyªn ®Ò: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn B- Néi dung. Ph−¬ng ph¸p 1: ¸p dông tÝnh chia hÕt. Các tính chất thường dùng : – Nếu a ⋮ m và a ± b ⋮ m thì b ⋮ m. – Nếu a ⋮ b, b ⋮ c thì a ⋮ c. – Nếu ab⋮ c mà ƯCLN(b , c) = 1 thì a⋮ c. – Nếu a⋮ m, b⋮ n thì ab⋮ mn. – Nếu a⋮ b, a⋮ c với ƯCLN(b , c) = 1 thì a⋮ bc. – Trong m số nguyên liên tiÕp, bao giê cũng tồn tại một số là bội của m. 1. Ph−¬ng tr×nh d¹ng ax + by =c. vÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: 2x + 25y = 8 (1) Gi¶i: Cã thÓ dÔ dµng thÊy r»ng y ch½n. §Æt y =2t ph−¬ng tr×nh (1) trë thµnh: x + 25t = 4 Tõ ®ã ta cã nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh.  x = 4 − 25t   y = 2t t ∈ Z  Chó ý: ta cßn cã c¸ch thø hai ®Ó t×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn. §ã lµ ph−¬ng ph¸p t×m nghiÖm riªng ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn. Ta dùa vµo ®Þnh lý sau: NÕu ph−¬ng tr×nh ax + by =c. víi (a;b) = 1 cã nghiÖm lµ ( x0; y0) th× mäi nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh nhËn tõ c«ng thøc.  x = x0 + bt   y = y0 − at t ∈ Z  §Þnh lý nµy chøng minh kh«ng khã ( b»ng c¸ch thÕ trùc tiÕp vµo ph−¬ng tr×nh) dùa vµo ®Þnh lý nµy ta chØ cÇn t×m mét nghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh ax + by =c. §èi víi c¸c ph−¬ng tr×nh cã hÖ sè a,b,c nhá th× viÖc t×m nghiÖm riªng kh¸ ®¬n gi¶n xong víi ph−¬ng tr×nh cã c¸c hÖ sè a,b,c lín th× kh«ng dÔ dµng chót nµo, do ®ã ta ph¶i dïng ®Õn thuËt to¸n ¥clÝt. 3 Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c Chuyªn ®Ò: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 2.§−a vÒ ph−¬ng tr×nh −íc sè: VÝ dô2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: 2 x + 5 y + 3xy = 8 Gi¶i: (2) (2) ⇔ x ( 2 + 3 y ) + 5 y = 8 ⇔ 3  x ( 2 + 3 y ) + 5 y  = 24 ⇔ 3 x ( 2 + 3 y ) + 15 y = 24 ⇔ 3 x ( 2 + 3 y ) + 15 y + 10 = 34 ⇔ 3 x ( 2 + 3 y ) + 5(2 + 3 y ) = 34 ⇔ ( 2 + 3 y ) (3 x + 5) = 34 V× 34=17.2=34.1=(-17).(-2) = (-1).(-34) nªn ta cã b¶ng kÕt qu¶: -34 -1 2 17 3x + 5 2 + 3y -1 -34 17 2 x -13 -2 -1 4 y -1 -12 5 0 2 2 VÝ dô3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: x + 2 y + 3xy − 2 x − y = 6 (3) Gi¶i: 2 2 ( a lµ mét sè ch−a biÕt ®−îc x¸c ®Þnh sau). ( 3) ⇔ x + x ( 3 y − 2 ) + 2 y − y + a = 6 + a XÐt ph−¬ng tr×nh; x 2 + ( 3 y − 2 ) .x + 2 y 2 − y + a = 0 Cã ∆ = ( 3 y − 2 ) − 4 ( 2 y 2 − y + a ) = y 2 − 8 y + 4 − 4a Chän a = -3 2 Ta cã ∆ = y 2 − 8 y + 16 = ( y − 4 ) ⇒ x1 = − y − 1; x2 = −2 y + 3 tõ ®ã ta cã ph−¬ng tr×nh −íc sè: 2 ( x + y + 1)( x + 2 y − 3) = 3 Suy ra kÕt qu¶: ( x; y ) ∈ {( −6; 6 ) , ( 0; 2 ) , ( −4; 2 ) , ( −10;6 )} 3.T¸ch gi¸ trÞ nguyªn. VÝ dô 4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: xy − x − y = 2 (4) Gi¶i: ( 4 ) ⇔ x ( y − 1) = y + 2 Ta cã y = 1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Víi y ≠ 1 ta cã: x = y+2 3 ⇔ x = 1+ ⇒ y − 1 ∈¦ (3) = {−3; −1;1;3} y −1 y −1 ⇔ y ∈ {−2; 0; 2; 4} ⇒ ( x; y ) ∈ {( 0; −2 ) , ( −2;0 ) , ( 4; 2 ) , ( 2; 4 )} 4 Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c Chuyªn ®Ò: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Ph−¬ng ph¸p 2: Ph−¬ng ph¸p lùa chän Modulo ( hay cßn gäi lµ xÐt sè d− tõng vÕ) Tr−íc tiªn ta cã c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n sau: Mét sè chÝnh ph−¬ng khi chia cho 3 d− 0;1. chia cho 4 d− 0;1. chia cho 8 d− 0;1;4. vv.. 1. XÐt sè d− hai vÕ. VÝ dô 5: T×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh: 9 x + 2 = y 2 + y (*) Gi¶i: 2 Ta cã: VT = 9 x + 2 ≡ 2 ( mod 3) ⇒ VP = y + y ≡ 2 ( mod 3) ⇔ y ( y + 1) ≡ 2 ( mod 3) ⇒ y ≡ 1( mod 3) ( v× nÕu y=3k hoÆc y = 3k+2 th× VP ≡ 0 ( mod 3) ). ⇒ y = 3k + 1 (trong ®ã k ∈ Z ) thay vµo pt(*) ta cã : 9 x + 2 = ( 3k + 1) + ( 3k + 1) ⇔ 9 x = 9k 2 + 9k ⇔ x = k 2 + k 2 x = k 2 + k  VËy  y = 3k + 1 k ∈ Z  VÝ dô 6: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn kh«ng ©m sau: (2 x )( )( )( ) + 1 2 x + 2 2 x + 3 2 x + 4 − 5 y = 11879 Gi¶i: Ta cã 2 ; 2 + 1; 2 + 2; 2 + 3; 2 + 4 lµ 5 sè tù nhiªn liªn tiÕp 2 x ( 2 x + 1)( 2 x + 2 )( 2 x + 3)( 2 x + 4 )⋮ 5 x x x x x MÆt kh¸c ¦CLN( 2 x ;5) = 1 nªn ( 2 x + 1)( 2 x + 2 )( 2 x + 3)( 2 x + 4 )⋮ 5 Víi y ≥ 1 th× VT = ( 2 x + 1)( 2 x + 2 )( 2 x + 3)( 2 x + 4 ) − 5 y ⋮ 5 cßn VP = 11879 ≡ 4 ( mod 5) suy ra ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm. Víi y =0 ta cã : (2 x + 1)( 2 x + 2 )( 2 x + 3)( 2 x + 4 ) − 50 = 11879 ⇔ ( 2 x + 1)( 2 x + 2 )( 2 x + 3)( 2 x + 4 ) = 11880 ⇔ ( 2 x + 1)( 2 x + 2 )( 2 x + 3)( 2 x + 4 ) = 9.10.11.12 ⇒ 2 x + 1 = 9 ⇔ 2 x = 8 ⇔ 2 x = 23 ⇔ x = 3 VËy ph−¬ng tr×nh ®; cho cã nghiÖm duy nhÊt ( x; y ) = ( 3;0 ) VÝ dô 7: T×m x, y nguyªn d−¬ng tho¶ m;n : 3x + 1 = ( y + 1) Gi¶i: 2 x x 3 + 1 = ( y + 1) ⇔ 3 = y ( y + 2 ) (**) 2 x Ta cã VT = 3 ≡ 1( mod 2 ) ⇒ VP = y ( y + 2 ) ≡ 1( mod 2 ) Suy ra y lµ sè lÎ mµ y vµ y+2 lµ hai sè lÎ liªn tiÕp  y = 3m  Tõ pt(**) ⇒  y + 2 = 3n m + n = x  5 Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c Chuyªn ®Ò: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Ta cã y +2 > y ⇒ n > m ≥ 1 NÕu m > 1 th× y vµ y+ 2 ®Òu chia hÕt cho 3 ( v« lÝ v× ( y; y+2) =2 ) VËy m =1 ⇒ n = 0 ⇒ x=1 ⇒ y =1 2.Sö dông sè d− ®Ó chØ ra ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm. VÝ dô 8: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau: 19 x + 5 y + 1890 = 19754 + 2013 30 Gi¶i: Ta cã x ,y nguyªn d−¬ng ⇒ 5 ⋮ 5; 1890⋮ 5 ⇒ VT = 19 x + 5 y + 1890 ≡ 19 x ( mod 5 ) MÆt kh¸c: 19 ≡ −1( mod 5) ⇒ 19 x ≡ (−1) x ( mod 5) NÕu x ch¨n th× 19 x ≡ 1( mod 5 ) ; nÕu x lÎ th× 19 x ≡ −1( mod 5) ≡ 4 ( mod 5 ) ⇒ VT ≡ 1; 4 ( mod 5 ) cßn VP ≡ 3 ( mod 5 ) Do ®ã ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm. VÝ dô 9: T×m c¸c sè nguyªn d−¬ng x, y biÕt: x 2 + x − 1 = 32 y +1 Gi¶i: 2 y +1 Ta cã: VP = 3 ≡ 0 ( mod 3) (*) NÕu x =3k ( k ∈ N * ) th× VT = x 2 + x − 1 ≡ 2 ( mod 3) NÕu x =3k +1 ( k ∈ N ) th× VT = x 2 + x − 1 ≡ 1( mod 3) NÕu x =3k +2 ( k ∈ N ) th× VT = x 2 + x − 1 ≡ 1( mod 3) VËy víi ∀x ∈ Z + th× VT = x 2 + x − 1 ≡ 1; 2 ( mod 3) (**) Tõ (*) vµ (**) suy ra kh«ng tån t¹i c¸c sè nguyªn d−¬ng x, y tho¶ m;n bµi to¸n. y Chó ý: NhiÒu bµi to¸n thi v« ®Þch c¸c n−íc ®«i khi ph¶i xÐt ®Õn Modulo kh¸ lín VD ( IMO n¨m 1999). VÝ dô 10: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: m2 = n5 − 4 Gi¶i: 2 5 m ≡ 0;1;3; 4;5;9 ( mod11) cßn n − 4 ≡ 6; 7;8 ( mod11) suy ra ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm. Chó ý: §èi víi c¸c ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn cã sù tham gia cña c¸c sè lËp ph−¬ng th× Modulo th−êng dïng lµ Mod9 V× x3 ≡ 0;1;8 ( mod 9 ) VÝ dô 11: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: x3 + y 3 + z 3 = 2011 ( 8) Gi¶i: 3 Dùa vµo nhËn xÐt trªn: Ta cã x ≡ 0;1;8 ( mod 9 ) ; y 3 ≡ 0;1;8 ( mod 9 ) z 3 ≡ 0;1;8 ( mod 9 ) ⇒ VT = x3 + y 3 + z 3 ≡ 0;1; 2;3; 6; 7;8 ( mod 9 ) Cßn VP = 2011 ≡ 4 ( mod 9 ) nªn ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm 6 Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c Chuyªn ®Ò: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Ph−¬ng ph¸p 3: Dïng bÊt ®¼ng thøc. 1. §èi víi c¸c ph−¬ng tr×nh mµ c¸c biÕn cã vai trß nh− nhau th× ng−êi ta th−êng dïng ph−¬ng ph¸p s¾p thø tù c¸c biÕn. VÝ dô 12: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau: x + y + z = 3 xyz Gi¶i. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö 1 ≤ x ≤ y ≤ z ⇒ 3 xyz = x + y + z ≤ 3 z ⇒ xy ≤ 1 ⇒ x = 1; y = 1 ⇒ z = 1 VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ (x;y;z)= ( 1;1;1). Chó ý: §èi víi ph−¬ng tr×nh nghÞch ®¶o c¸c biÕn ta còng cã thÓ dïng ph−¬ng ph¸p nµy ( nÕu vai trß c¸c biÕn còng nh− nhau). Ta cã c¸ch gi¶i kh¸c cña vÝ dô 9: Chia c¶ hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh cho xyz ta cã: 1 1 1 + + =3 xy zx yz Gi¶i: Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö 1 ≤ x ≤ y ≤ z ⇒ 1 1 1 3 + + = 3 ≤ 2 ⇒ x2 ≤ 1 ⇒ x = 1 xy zx yz x Suy ra: y = 1; z =1. VÝ dô 13: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau: 1 1 1 + + =1 x y z Gi¶i: 1 x 1 y 1 z 3 x Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö 1 ≤ x ≤ y ≤ z ⇒ + + = 1 ≤ ⇒ x ≤ 3 LÇn l−ît thö x = 1 th× ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn. XÐt x = 2 ta cã 1 1 1 1 1 1 2 + + =1⇔ + = ≤ ⇒ y ≤ 4 2 y z y z 2 y MÆt kh¸c y ≥ x = 2 ⇒ y ∈ {2;3; 4} ta thö lÇn l−ît c¸c gi¸ trÞ cña y: y= 2 ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn. y=3 ⇒ z=6 y=4 ⇒ z=4 1 1 1 1 1 2 2 + + =1⇔ + = ≤ ⇒ y ≤ 3 3 y z y z 3 y MÆt kh¸c y ≥ x = 3 ⇒ y = 3 ⇒ z = 3 xÐt x =3ta cã: VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ: ( x; y; z ) ∈ {( 2;3;6 ) , ( 2; 4; 4 ) , ( 3;3;3)} 7 Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c Chuyªn ®Ò: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn VÝ dô 14: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau: x! + y! = (x+y)! (*) Gi¶i: V× vai trß cña x, y nh− nhau nªn kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö 1 ≤ x ≤ y Ta cã: (x+y)! =x! + y! ≤ 2.y! ⇒ x ≤ 1 v× nÕu x > 1 th× 2.y! ≥ (y+2)! 2.y! ≥ y! (y+1)(y+2) ⇔ 2 ≥ ( y + 1)( y + 2) ( v« lÝ v× y ≥ 1) VËy x = 1 Thay vµo PT (*) ta cã 1+y! = (y+1)! ⇔ 1 + y ! = y !( y + 1) ⇔ y. y ! = 1 ⇒ y = 1 VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = y = 1 2.¸p dông bÊt ®¼ng thøc cæ ®iÓn. Ví dô 15 Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn phương trình : (x 2 + 1)(x 2 + y 2 ) = 4x 2 y Giải : Áp dụng bất ñẳng thức Cô–si ta có : x 2 + 1 ≥ 2x , dấu bằng xÈy ra khi x = 1. x 2 + y 2 ≥ 2xy , dấu bằng xÈy ra khi x = y. Vì x, y nguyên dương nên nhân các bất ñẳng thức trên vế theo vế ta ñược : (x 2 + 1)(x 2 + y 2 ) ≥ 4x 2 y , dấu bằng có khi và chỉ khi x = y = 1. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = y = 1. 2 VÝ dô 16: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: ( x + y + 1) = 3 ( x 2 + y 2 + 1) Gi¶i: 2 ¸p dông B§T Bunhiacopski ta cã ( x + y + 1) ≤ (1 + 1 + 1) ( x 2 + y 2 + 1) DÊu b»ng xÈy ra khi 1 1 1 = = = 1 hay x = y = 1 x y 1 VËy Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = y = 1 VÝ dô 17: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau: ( x 6 + z 3 − 15 x 2 z = 3 x 2 y 2 z − y 2 + 5 ) 3 Gi¶i: ( x 6 + z 3 − 15 x 2 z = 3x 2 y 2 z − y 2 + 5 ( ) +(y ⇔ x2 3 2 ) 3 ( ) 3 + 5 + z 3 = 3x 2 z y 2 + 5 ) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si cho 3 sè ta cã : ( x 2 ) + ( y 2 + 5) + z 3 ≥ 3x 2 z ( y 2 + 5) DÊu = x©y ra khi x 2 = y 2 + 5 = z Tõ ph−¬ng tr×nh x 2 = y 2 + 5 ⇒ ( x − y )( x + y ) = 5 ⇒ x = 3; y = 2 ⇒ z = 9 V©y nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ ( x;y;z) = ( 3;2;9). 3 3 8 Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c Chuyªn ®Ò: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Ghi chó: ViÖc ¸p dông bÊt ®¼ng thøc vµo gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn rÊt Ýt dïng v× Èn ý dïng bÊt ®¼ng thøc rÊt dÔ bÞ lé . Tuy nhiªn còng cã mét vµi tr−êng hîp dïng bÊt ®¼ng thøc kh¸ hay nh− vÝ dô sau: VÝ dô 18.1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau: 3( x 4 + y 4 + x 2 + y 2 + 2) = 2( x 2 − x + 1)( y 2 − y + 1) Gi¶i: ( x + 1) Ta cã 2 ( ) ≥ 0 ⇔ 2 x + 4x + 2 ≥ 0 ⇔ 3 x2 + x + 1 ≥ x2 − x + 1 2 ( ) ( 2 )( ) x4 + x2 + 1 = x2 + 1 − x2 = x2 + x + 1 x2 − x + 1 ≥ Do y4 + y2 + 1 ≥ T−¬ng tù ta còng cã ( ) ( ) 1 2 y − y +1 3 2 ( ) 1 2 x − x +1 3 2 (*) (**) Céng theo vÕ cña (*) vµ (**) ta cã ( ) 2 2 1 2 1 x − x +1 + y2 − y +1 3 3 2 2 1 1 ⇔ x 4 + y 4 + x 2 + y 2 + 2 ≥  x 2 − x + 1 + y 2 − y + 1  ≥ .2 x 2 − x + 1 y 2 − y + 1    3 3 x4 + y 4 + x2 + y 2 + 2 ≥ ( ( ⇔ 3 x4 + y 4 + x2 + y 2 ) ( + 2 ) ≥ 2 ( x − x + 1)( y 2 ) 2 ( )( ) ) − y +1 DÊu “=” xÈy ra khi x = y= 1 VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ x = y= 1. VÝ dô 18.2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau víi x, y, z lµ c¸c sè ®«i mét kh¸c 2 nhau. x3 + y 3 + z 3 = ( x + y + z ) Gi¶i: x3 + y3 + z 3  x + y + z  ¸p dông bÊt ®¼ng thøc ≥  3 3   ⇒ x + y + z = (x + y + z) 3 3 3 2 (x + y + z) ≥ 9 3 3 ⇒ x+ y+z ≤9 V× x, y, z ®«i mé kh¸c nhau suy ra x + y + z ≥ 1 + 2 + 3 = 6 ⇒ x + y + z ∈ {6; 7;8} LÇn l−ît thö c¸c gi¸ trÞ cña x + y + z ta t×m ®−îc (x;y;z)= (1;2;3) vµ c¸c ho¸n vÞ cña nã. 9 Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c Chuyªn ®Ò: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 3. ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña tõng vÕ: Ta chØ ra mét hoÆc mét vµi gi¸ trÞ cña biÕn tho¶ m;n ph−¬ng tr×nh råi chøng minh ®ã lµ nghiÖm duy nhÊt. VÝ dô 19: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau: 3x + 4 x = 5 x Gi¶i: x x 3 4 Chia c¶ hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh cho 5x ta cã:   +   = 1 5 5 Thö víi x = 1 ta thÊy kh«ng ph¶i lµ nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh. Víi x = 2 ta cã VT =VP = 1 tho¶ m;n bµi to¸n. x 2 x 2 x x 2 2 3 4 3 4 3 3 4 4 Víi x ≥ 3 ⇒   <   vµ   <   suy ra   +   <   +   = 1 5  5 5  5 5 5 5 5 VËy Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 2. Tõ vÝ dô 19: suy ra c¸ch lµm bµi tËp sau: T×m sè tù nhiªn x sao cho ( 3) + ( 4) = ( 5) x x x §èi víi ph−¬ng tr×nh trªn ta cßn cã bµi to¸n tæng qu¸t h¬n. T×m c¸c sè nguyªn d−¬ng x; y; z tho¶ mHn 3x + 4 y = 5z . ®¸p sè: x = y = z = 2 nh−ng c¸ch gi¶i trªn v« t¸c dông víi bµi nµy. (§Ógi¶i bµi nµy th× h÷u hiÖu nhÊt lµ xÐt Modulo). 4. Dïng ®iÒu kiÖn ∆ ≥ 0 hoÆc ∆ ' ≥ 0 ®Ó ph−¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm. VÝ dô 20: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: x 2 + 2 y 2 = 2 xy + 2 x + 3 y Gi¶i: 2 2 2 2 x + 2 y = 2 xy + 2 x + 3 y ⇔ x − 2 x ( y + 1) + 2 y − 3 y = 0 ta cã: ∆ ' = ( y + 1) − ( 2 y 2 − 3 y ) = − y 2 + 5 y + 1 ≥ 0 ⇔ 2 5 − 29 5 + 29 ≤ y≤ 2 2 V× y nguyªn nªn y ∈ {0;1; 2;3; 4;5} Thay lÇn l−ît c¸c gi¸ trÞ cña y vµo ph−¬ng tr×nh vµ t×m x t−¬ng øng ta ®−îc: ( x; y ) ∈ {( 0;0 ) ; ( 2; 0 )} NhËn xÐt:Nãi chung ph−¬ng ph¸p nµy ®−îc dïng khi f(x ; y) cã d¹ng tam thøc bËc hai f(z) = az2 + bz + c trong ®ã a <0 . cßn khi a > 0 th× dïng ph−¬ng ph¸p ®a nãi trong vÝ dô 3 ®Ó ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh −íc sè mét c¸ch nhanh chãng. 10 Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c Chuyªn ®Ò: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Ph−¬ng ph¸p 4:Ph−¬ng ph¸p chÆn hay cßn gäi lµ ph−¬ng ph¸p ®¸nh gi¸. Chñ yÕu dùa vµo hai nhËn xÐt sau: 2 • Kh«ng tån t¹i n ∈ Z tháa m·n a 2 < n 2 < ( a + 1) víi a lµ mét sè nguyªn. • NÕu a 2 < n 2 < ( a + 2 ) víi a; n ∈ Z th× n = a + 1. Ta cã vÝ dô sau: 2 VÝ dô 21: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: x 4 + x 2 + 1 = y 2 Gi¶i: XÐt hiÖu ( x 2 + 1) − y 2 = x 2 ≥ 0 ⇒ ( x 2 + 1) ≥ y 2 XÐt hiÖu y 2 − x 4 = x 2 + 1 > 0 ⇒ y 2 > x 4 2 2 Suy ra: ( x 2 ) < y 2 ≤ ( x 2 + 1) ⇒ y 2 = ( x 2 + 1) ThÕ vµo ph−¬ng tr×nh ban ®Çu ta cã: x2 =0 ⇔ x = 0 2 2 2 NhËn xÐt trªn cã thÓ më réng víi sè lËp ph−¬ng ta cã vÝ dô sau: VÝ dô 22: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: x3 − y 3 = 2 y 2 + 3 y + 1 Gi¶i: 3 3 B»ng c¸ch biªn ®æi nh− vÝ dô trªn ta cã: ( y − 1) < x3 ≤ ( y + 1) ⇒ x = y; x = y + 1. LÇn l−ît xÐt c¸c tr−êng hîp x = y vµ x = y +1 ta t×m ®−îc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: ( x; y ) ∈ {( −1; −1) ; (1; 0 )} . Ph−¬ng ph¸p 5: Dïng tÝnh chÊt cña sè chÝnh ph−¬ng. Các tính chất thưêng dùng : – Số chính phương không tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. – Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2 . – Số chính phương khi chia cho 3, cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. – Số chính phương chia cho 5, cho 8 thì số dư chỉ có thể là 0, 1 hoặc 4. – Số chính phương lẻ chia cho 4, 8 thì số dư ñều là 1. – Lập phương của mét số nguyên chia cho 9 chỉ có thể dư 0, 1 hoặc 8. … 11 Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c Chuyªn ®Ò: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn D¹ng 1: sö dông mÖnh ®Ò 1 sau: x = k 2  víi x, y, z nguyªn vµ xy = z2 víi (x;y) = 1 th×  y = t 2 voi k , t ∈ Z kt = z  ThËt vËy ta chøng minh b»ng ph−¬ng ph¸p ph¶n chøng: Gi¶ sö x, y kh«ng lµ sè chÝnh ph−¬ng nªn trong ph©n tÝch thµnh sè nguyªn tè cña x hoÆc y tån t¹i mét sè chøa Ýt nhÊt mét sè nguyªn tè p víi sè mò lÎ.( sè p víi sè mò lÎ tr¸i víi ®iÒu kiÖn z2 lµ sè chÝnh ph−¬ng) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. VÝ dô 23: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: 2 x 4 + 3x 2 + 1 − y 2 = 0 Gi¶i: ( )( ) 2 x 4 + 3x 2 + 1 − y 2 = 0 ⇔ 2 x 2 + 1 x 2 + 1 = y 2 Ta cã: ( 2 x 2 + 1; x 2 + 1) = 1  x 2 + 1 = t 2 Suy ra:  2 2  2 x + 1 = z Tõ ph−¬ng tr×nh x 2 + 1 = t 2 ⇔ ( x − t )( x + t ) = −1 ⇒ x = 0 ⇒ y = 1 x = 0 y =1 VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ:  D¹ng 2: sö dông mÖnh ®Ò 2 sau: NÕu n; t lµ c¸c sè nguyªn tho¶ mHn n( n+1) = t2 th× hoÆc n = 0 hoÆc n+1 =0. Chøng minh: Gi¶ sö n ≠ 0; n + 1 ≠ 0 ⇒ t ≠ 0 VËy n 2 + n = t 2 ⇔ 4n 2 + 4n =4t 2 ⇔ ( 2n + 1) =4t 2 + 1 ⇔ ( 2n + 1) - 4t 2 =1 ⇔ ( 2n + 1 − 2t )( 2n + 1 + 2t ) = 1 2 2 V× n; t lµ c¸c sè nguyªn nªn tõ ph−¬ng tr×nh −íc sè trªn suy ra n=0 hoÆc n =-1 ⇒ ( Dpcm ) ¸p dông mÖnh ®Ò trªn ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn trong vÝ dô sau: VÝ dô 24: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: x 2 + 2 xy + y 2 + 5 x + 5 y = x 2 y 2 − 6 Gi¶i: x 2 + 2 xy + y 2 + 5 x + 5 y = x 2 y 2 − 6 ⇔ ( x + y + 2 )( x + y + 3) = x 2 y 2 ⇒ x + y + 2 = 0 hoÆc x + y + 3 = 0 tõ ®ã t×m ®−îc nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh. Ph−¬ng tr×nh nµy vÉn cßn cã nh÷ng c¸ch gi¶i kh¸c nh−ng viÖc dïng mÖnh ®Ò trªn gióp cho lêi gi¶i bµi to¸n trë nªn ng¾n gän h¬n. 12 Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c Chuyªn ®Ò: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Ph−¬ng ph¸p 6: Ph−¬ng ph¸p lïi v« h¹n. ( hay cßn gäi lµ ph−¬ng ph¸p xuèng thang). Ph−¬ng ph¸p nµy dïng ®Ó chøng minh mét ph−¬ng tr×nh f(x,y,z,…) nµo ®ã ngoµi nghiÖm tÇm th−êng x = y = z = 0 th× kh«ng cßn nghiÖm nµo kh¸c. Ph−¬ng ph¸p nµy ®−îc diÔn gi¶i nh− sau: B¾t ®Çu b»ng viÖc gi¶ sö ( x0 ; y0 ; z0 ,...) lµ nghiÖm cña f(x,y,z,…). Nhê nh÷ng biÕn ®æi, suy luËn sè häc ta t×m ®−îc mét bé nghiÖm kh¸c ( x1 ; y1 ; z1 ;...) sao cho c¸c nghiÖm quan hÖ víi bé nghiÖm ®Çu tiªn bëi mét tû sè k nµo ®ã. VÝ dô: x0 = kx1 ; y0 = ky1 ; z0 = kz1 ;... Råi l¹i tõ bé ( x2 ; y2 ; z2 ;...) sao cho c¸c nghiÖm quan hÖ víi bé nghiÖm ( x1 ; y1 ; z1 ;...) bëi mét tû sè k nµo ®ã. VÝ dô: x1 = kx2 ; y1 = ky2 ; z1 = kz2 ;... Qu¸ tr×nh tiÕp tôc dÉn ®Õn x0 ; y0 ; z0 ,... chia hÕt cho ks víi s lµ mét sè tù nhiªn tuú ý ®iÒu nµy xÈy ra khi vµ chØ khi x = y = z =…= 0. §Ó râ rµng h¬n ta xÐt vÝ dô sau: VÝ dô 25: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: x 2 + y 2 = 3 z 2 Gi¶i: Gäi ( x0 ; y0 ; z0 ) lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn. XÐt theo mod3 ta chøng minh x0 ; y0 chia hÕt cho 3. ThËt vËy: râ rµng vÕ ph¶i chia hÕt cho 3 suy ra: x02 + y02 ⋮ 3 ta cã: x02 ≡ 0;1( mod 3) ; y02 ≡ 0;1( mod 3) do ®ã: x02 + y02 ⋮ 3 ⇒ x0 ⋮ 3; y0 ⋮ 3 ®Æt x0 = 3x1 ; y0 = 3 y1 ; z0 = 3z1 thÕ vµo vµ rót rän ta ®−îc 3 ( x12 + y12 ) = z02 ⇒ z0 ⋮ 3 ⇒ z0 = 3 z1 ThÕ vµo vµ rót gän ta ®−îc. x12 + y12 = 3 z12 do ®ã nÕu ( x0 ; y0 ; z0 ) lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn th× ( x1 ; y1 ; z1 ) còng lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn. tiÕp tôc qu¸ tr×nh suy luËn trªn dÉn ®Õn x0 ; y0 ; z0 ⋮ 3k ®iÒu ®ã chØ xÈy ra khi. x0 = y0 = z0 = 0 . VÝ dô 26: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: x 2 + y 2 + z 2 = 2 xyz Gi¶i: Gi¶ sö ( x0 ; y0 ; z0 ) lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn. x0 2 + y0 2 + z0 2 = 2 x0 y0 z0 ⇒ x0 2 + y0 2 + z0 2 ch½n ( do 2 x0 y0 z0 ch½n) nªn cã hai tr−êng hîp xÈy ra. Tr−êng hîp 1: Cã hai sè lÎ, mét sè ch½n. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö x0,y0 lÎ; z0 ch½n. XÐt theo mod4 ta cã: x0 2 + y0 2 + z0 2 ≡ 2 ( mod 4 ) cßn 2 x0 y0 z0 ⋮ 4 ( do z0 ch½n) ⇒ v« lý Tr−êng hîp 2: c¶ 3 sè ®Òu ch½n. §Æt x0 = 2 x1 ; y0 = 2 y1 ; z0 = 2 z1 thÕ vµo vµ rót gän ta cã: x12 + y12 + z12 = 4 x1 y1 z1 lËp lu©n nh− trªn ta ®−îc x1 ; y1 ; z1 ch½n Qu¸ tr×nh l¹i tiÕp tôc ®Õn x0 ; y0 ; z0 ⋮ 2k víi k ∈ N * ®iÒu ®ã xÈy ra khi x0 = y0 = z0 = 0 Tãm l¹i nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ ( x0 ; y0 ; z0 ) = ( 0; 0;0 ) 13 Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c Chuyªn ®Ò: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Ph−¬ng ph¸p 7: Nguyªn t¾c cùc h¹n ( hay cßn gäi lµ nguyªn lÝ khëi ®Çu cùc trÞ) VÒ mÆt h×nh thøc th× ph−¬ng ph¸p nµy kh¸c víi ph−¬ng ph¸p lïi v« h¹n nh−ng vÒ ý t−ëng sö dông thi nh− nhau. ®Òu chøng minh ph−¬ng tr×nh ngoµi nghiÖm tÇm th−êng kh«ng cã nghiÖm nµo kh¸c. Ph−¬ng ph¸p b¾t ®Çu b»ng viÖc gi¶ sö ( x0 ; y0 ; z0 ,...) lµ nghiÖm cña f(x;y;z;…) víi ®iÒu kiÖn rµng buéc víi bé ( x0 ; y0 ; z0 ,...) . VÝ dô nh− x0 nhá nhÊt hoÆc x0 + y0 + z0 + ... nhá nhÊt… B»ng nh÷ng phÐp biÕn ®æi sè häc ta t×m ®−îc mét bé nghiÖm kh¸c ( x1 ; y1 ; z1 ;...) tr¸i víi ®iÒu kiÖn rµng buéc trªn. VÝ dô khi chän bé ( x0 ; y0 ; z0 ,...) víi x0 nhá nhÊt ta l¹i t×m ®−îc bé ( x1; y1; z1;...) tho¶ m;n x1 < x0 tõ ®ã dÉn ®Õn ph−¬ng tr×nh ®; cho cã nghiÖm ( x0 ; y0 ; z0 ) = ( 0; 0;0 ) . Ta xÐt vÝ dô sau: VÝ dô 27: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: 8 x 4 + 4 y 4 + 2 z 4 = t 4 . Gi¶i: Gi¶ sö ( x0 ; y0 ; z0 , t0 ) lµ nghiÖm cña 8 x 4 + 4 y 4 + 2 z 4 = t 4 víi ®iÒu kiÖn x0 nhá nhÊt Tõ ph−¬ng tr×nh suy ra t ch¨n. §Æt t = 2.t1 thÕ vµo vµ rót gän ta ®−îc: 4 x0 4 + 2 y0 4 + z0 4 = 8t14 Râ rµng z0 ch½n. §¨t z0 = 2.z1 ⇒ 2 x04 + y04 + 8 z14 = 4t14 ⇒ y0 ch½n. §¨t y0 = 2. y1 ⇒ x04 + 8 y14 + 4 z14 = 2t14 ⇒ x0 ch½n. §¨t x0 = 2.x1 ⇒ 8 x14 + 4 y14 + 2 z14 = t14 ⇒ ( x1 ; y1 ; z1 ; t1 ) còng lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn vµ dÔ thÊy x1 < x0 (v« lý do ta chän x0 nhá nhÊt). Do ®ã ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm duy nhÊt. ( x; y; z; t ) = ( 0; 0; 0;0 ) . Chó ý trong vÝ dô trªn ta còng cã thÓ chän x0 + y0 + z0 nhá nhÊt lý luËn nh− trªn ta còng dÉn ®Õn x1 + y1 + z1 < x0 + y0 + z0 tõ ®ã còng dÉn ®Õn kÕt luËn cña bµi to¸n. 14 Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c Chuyªn ®Ò: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Ph−¬ng ph¸p 8: Sö dông mÖnh ®Ò c¬ b¶n cña sè häc. Tr−íc tiªn ta ®Õn víi bµi to¸n nhá sau. Cho p lµ sè nguyªn tè cã d¹ng p = k .2t + 1 víi t nguyªn d−¬ng; k lµ sè tù nhiªn lÎ. CMR nÕu x 2 + y 2 ⋮ p th× x ⋮ p; y ⋮ p. Chøng minh. p −1 Gi¶ sö x ⋮ p ⇒ y ⋮ p. theo Ferma nhá x ≡ 1( mod p ) ; y p −1 ≡ 1( mod p ) ; p = k .2t + 1 nªn t t  x k .2 ≡ 1( mod p )  k .2t  y ≡ 1( mod p ) t ⇒ x 2 + y 2 ≡ 2 ( mod p ) t t ( ) MÆt kh¸c do k lÎ nªn theo h»ng ®¼ng thøc a 2 n +1 + b2 n +1 ta cã: x k .2 + y k .2 = x 2 + y 2 . A t t t t ( A lµ mét sè nµo ®ã). (do gi¶ thiÕt x 2 + y 2 ⋮ p ) Râ rµng x k .2 + y k .2 ≡ 0 ( mod p ) Do ®ã theo vÝ dô 20, vÝ dô 21 th× ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. XÐt tr−êng hîp nhá cña bµi to¸n trªn: Khi t= 1; v× k lÎ nªn k = 2s+1 ⇒ p = 4s+3 lóc ®ã ta cã mÖnh ®Ò sau: P lµ sè nguyªn tè cã d¹ng p = 4s+3. Khi ®ã nÕu x 2 + y 2 ⋮ p th× x ⋮ p; y ⋮ p. MÖnh ®Ò hÕt søc ®¬n gi¶n nµy l¹i lµ mét c«ng cô v« cïng hiÖu qu¶ víi nhiÒu bµi to¸n khã. VÝ dô28: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: x 2 − y3 = 7 ( ®©y lµ ph−¬ng tr×nh nhá cña ph−¬ng tr×nh Mordell) ph−¬ng tr×nh Mordell lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng x2 +k = y3 ( k; x; y∈Z) Gi¶i: Tr−íc tiªn ta cã bæ ®Ò sau: Mäi sè nguyªn tè d¹ng A = 4t+ 3 ®Òu cã Ýt nhÊt mét −íc nguyªn tè d¹ng p = 4s +3. Chøng minh: Gi¶ sö A kh«ng cã −íc sè nµo cã dang p = 4s +3 A = ( 4t1 + 1)( 4t2 + 1) = 4 ( 4t1t2 + t1 + t2 ) + 1 = 4h + 1 ( v« lý) Do ®ã A cã mét −íc d¹ng 4t1 +3; NÕu 4t1 +3 th× bæ ®Ò ®−îc chøng minh. NÕu 4t1 +3 lµ hîp sè lý luËn t−¬ng tù ta l¹i cã 4t1 +3 cã mét −íc sè d¹ng 4t2 +3. NÕu 4t2 +3 lµ hîp sè ta l¹i tiÕp tôc. V× qu¸ tr×nh trªn lµ h÷u h¹n nªn ta cè ®iÒu ph¶i chøng minh. Quay l¹i bµi to¸n. x 2 = y 3 + 7 xÐt y ch½n ⇒ y 3 + 7 ≡ 7 ( mod 8 ) ⇒ x 2 ≡ 7 ( mod 8 ) v« lý do x 2 ≡ 0;1; 4 ( mod 8) ) xÐt y lÎ viÕt l¹i ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng x 2 + 1 = y 3 + 8 ⇒ x 2 + 1 = ( y + 2 ) ( y 2 − 2 y + 4 ) nÕu y = 4k + 1 ⇒ y + 2 = 4k + 3 2 nÕu y = 4k + 3 ⇒ y 2 − 2 y + 4 = ( 4k + 3) − 2. ( 4k + 3) + 4 = 4h + 3 do ®ã y lu«n cã mét −íc d¹ng 4n + 3 vµ theo bæ ®Ò trªn th× 4n + 3 lu«n cã Ýt nhÊt mét −íc nguyªn tè p = 4s +3 ⇒ x 2 + 1⋮ p = 4s + 3 theo mÖnh ®Ò trªn x ⋮ p; y ⋮ p. ( v« lÝ ) Do ®ã ph−¬ng tr×nh trªn v« nghiÖm. 15 t t Ng−êi thùc hiÖn: t t T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c Chuyªn ®Ò: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn VÝ dô 29: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: x2 +5= y3 Gi¶i 3 2 XÐt y ch½n ⇒ y ≡ 0 ( mod 8) ⇒ x + 5 ≡ 0 ( mod 8) ⇒ x 2 ≡ 3 ( mod 8) V« lý v× x 2 ≡ 0;1; 4 ( mod 8) . XÐt y lÎ nÕu y = 4k+ 3 ⇒ y 3 ≡ 3 ( mod 4 ) ⇒ x 2 + 5 ≡ 3 ( mod 4 ) ⇒ x 2 ≡ 2 ( mod 4 ) ( v« lÝ v× x 2 ≡ 0;1( mod 4 ) ) NÕu y = 4k+1 vݪt ph−¬ng tr×nh d¹ng x 2 + 4 = y 3 − 1 ⇒ x 2 + 4 = ( y − 1) ( y 2 + y + 1) Râ rµng y 2 + y + 1 = ( 4k + 1) + ( 4k + 1) + 1 = 4t + 3 Do ®ã y 3 − 1 cã Ýt nhÊt mét −íc nguyªn tè p = 4s +3. ⇒ x 2 + 4⋮ p = 4 s + 3 ⇒ 4⋮ p ⇒ p = 2 ( v« lý do ®ã ph−¬ng trªn v« nghiÖ× cuèi cïng ®Ó thÊy thªm sù hiÖu qu¶ cu¶ mÖnh ®Ò nµy ta ®Õn víi bµi to¸n Euler. 2 VÝ dô 30: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: 4 xy − x − y = z 2 Gi¶i: C¸ch 1: Lêi gi¶i cña Euler Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm ( x; y; z ) = ( a; b; c ) víi c lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña z. Suy ra: 4ab − a − b = c 2 ⇒ 16ab − 4a − 4b = 4c 2 ⇒ (16ab − 4a ) − ( 4b − 1) − 1 = 4c 2 (*) Céng vµo hai vÕ cña (*) 4 ( 4a − 1) − 8 ( 4a − 1) .c ta cã: 2 ( 4a − 1)( 4b − 1) − ( 4b − 1) − 1 + [4(4a − 1)2 − 8(4a − 1).c] = 4c 2 + [4(4a − 1)2 − 8(4a − 1).c] ⇒ ( 4a − 1)  4 ( b + 4a − 1 − 2c ) − 1 = 4 c − ( 4a − 1)  2 (**) VËy nÕu ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm lµ (a;b;c) th× ph−¬ng tr×nh (*) còng cã nghiÖm lµ (a;b+4a-1-2c;c-4a+1) 2 V× c lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña z suy ra z = c − ( 4a − 1) > c 2 ⇒ 4 c − ( 4a − 1)  = ( 4a − 1)  4b − 1 + 4 ( 4a − 1) − 8c  > 4c 2 = ( 4a − 1)( 4b − 1) − 1 2 ⇒ 4b − 1 + 4 ( 4a − 1) − 8c > ( 4b − 1) ⇒  4b − 1 + 4 ( 4a − 1) − 8c  > ( 4b − 1) ⇒ 4 ( 4a − 1) − 8c > 0 ⇒ 4a − 1 > 2c (1) V× a vµ b cã vai trß nh− nhau nªn ta cã 4b − 1 > 2c (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: 4a − 1 ≥ 2c + 1; 4b − 1 ≥ 2c + 1 2 PT (*): 4c2 = ( 4a − 1)( 4b − 1) ≥ ( 2c + 1) − 1 ⇒ 4c 2 ≥ 4c 2 + 4c ⇒ c ≤ 0 v« lÝ Suy ra ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm. C¸ch 2: dïng mÖnh ®Ò trªn. 16 Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c Chuyªn ®Ò: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 4 xy − x − y = z 2 ⇔ 4 ( 4 xy − x − y ) = 4 z 2 ⇔ 16 xy − 4 x − 4 y = 4 z 2 ⇔ ( 4 x − 1)( 4 y − 1) = 4 z 2 + 1 ⇔ ( 4 x − 1)( 4 y − 1) = ( 2 x ) + 12 2 Râ rµng 4 x − 1; 4 y − 1 ®Òu cã d¹ng 4t + 3 ThËt vËy: 4x-1 = 4(x-1)+3; 4y-1 = 4(y-1)+3. Do ®ã ( 4 x − 1)( 4 y − 1) cã it nh©t mét −íc nguyªn tè p = 4s +3. ⇒ z 2 + 1⋮ p = 4s + 3 ⇒ 1⋮ p v« lý do ®ã ph−¬ng tr×nh trªn v« nghiÖm. C¸c d¹ng c¬ b¶n cña ph−¬ng tr×nh v« ®Þnh nghiÖm nguyªn ®; giíi thiÖu víi c¸c b¹n ë trªn. ViÖc s¾p xÕp c¸c d¹ng, ph−¬ng ph¸p lµ chñ ý cña t«i nªn Ýt nhiÒu sÏ sai sãt. Sau ®©y lµ phÇn nãi thªm vÒ mét sè ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn kh¸c. Mét sè d¹ng bµi tËp kh¸c. 1)Ph−¬ng tr×nh d¹ng mò: ( th−êng sö dông ph−¬ng ph¸p xÐt modulo nh−ng kh«ng ph¶i lµ lu«n lu«n). VÝ dô 31: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: 2 x + 7 = y 2 ( x, y ∈ Z ) Gi¶i: x = 0 ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn x = 1 ⇒ y = ±3 xÐt x ≥ 2 ⇒ 2 x ≡ 0 ( mod 4 ) ⇒ 2 x + 7 ≡ 3 ( mod 4 ) ⇒ y 2 ≡ 3 ( mod 4 ) v« lÝ v× y 2 ≡ 0;1( mod 4 ) vËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ( x; y ) ∈ {(1;3) ; (1; −3)} . VÝ dô 32: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: 2 x + 21 = y 2 ( x, y ∈ Z ) Gi¶i: k XÐt x lÎ, ®Æt x= 2k +1 ⇒ 2 x = 2.4k = 2 ( 3 + 1) ≡ 2 ( mod 3) ⇒ 2 x + 21 ≡ 2 ( mod 3) (V« lÝ) v× y 2 ≡ 0;1( mod 3) ⇒ y 2 ≡ 2 ( mod 3) XÐt x ch½n, ®Æt x= 2k ⇒ 22 k + 21 = y 2 ⇒ y 2 − 22 k = 21 ⇒ ( y − 2k )( y + 2k ) = 21 lµ ph−¬ng tr×nh −íc sè nªn ta dÔ dµng t×m ®−îc ( x; y ) ∈ {( 2;5 ) ; ( 2; −5 )} VÝ dô 33: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau: 2 x + 2 y + 2 z = 2336 víi x < y < z . Gi¶i: x y z x y−x z−x 2 + 2 + 2 = 2336 ⇔ 2 (1 + 2 + 2 ) = 2336 = 25.73 ta cã 1 + 2 y − x + 2 z − x lµ sè lÎ 2 x = 25 VËy  y−x z−x 1 + 2 + 2 = 73 (1) ( 2) Tõ (1) suy ra x = 5 thay vµo (2) ta cã 1 + 2 y −5 + 2 z −5 = 73 ⇔ 2 y −5 + 2 z −5 = 72 ⇔ 2 y −5 + 2 z −5 = 23.9 ⇔ 2 y −5 (1 + 2 z − y ) = 23.9 17 Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c Chuyªn ®Ò: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 1 + 2 z − y = 9 2 z − y = 23 ⇔  y −5 ⇔  y −5 3 3  2 = 2 2 = 2 VËy ( x; y; z ) = ( 5;8;11) z − y = 3  y = 8 ⇔ ⇔ y −5 = 3  z = 11 Chó ý: Víi c¸ch gi¶i trªn ta cã thÓ gi¶i ®−îc bµi to¸n sau: t×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh 2 x + 2 y + 2 z = 2n ( x ≤ y ≤ z; n ∈ Z ) KQ: ( x; y; z ) = ( n − 2; n − 2; n − 1) VÝ dô 34: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau 5 x3 = 3 y + 317 Gi¶i: Trong ph−¬ng tr×nh nµy cã sù tham gia cña sè lËp ph−¬ng vµ nh− ®; nãi ë phÇn ph−¬ng ph¸p lùa chän modulo th× trong bµi nµy ta lùa chon mod9 Ta cã: víi y =1 suy ra x = 4. Víi y ≥ 2 ⇒ 3 y ≡ 0 ( mod 9 ) ⇒ 5 x3 = 3 y + 317 ≡ 2 ( mod 9 ) v« lý v× 5 x3 ≡ 0; 4;5 ( mod 9 ) Suy ra ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt ( x;y) = ( 4;1). Ta ®Õn víi bµi to¸n khã h¬n. VÝ dô 35: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau x y = y x Gi¶i: Râ rµng x = y lµ mét nghiÖm. y xÐt x ≠ y kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö x t do x ≥ 2 nªn ta chØ viÖc chøng minh 2t −1 > t ta chøng minh b»ng quy n¹p theo t. ta cã: t = 3 ®óng. Gi¶ sö kh¼ng ®Þnh ®óng víi t = k tøc lµ 2k −1 > k ta chøng minh kh¼ng ®Þnh ®óng víi t = k+1 Tøc lµ 2k ≻ k + 1 ThËt vËy: theo gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã: 2k −1 > k ⇒ 2k > 2k > k + 1 ( v× k >1) Do ®ã ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm víi t ≥ 3 VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn lµ: ( x; y ) ∈ {( a; a ) ; ( 2; 4 ) ; ( 4; 2 )} víi a ∈ Z . VÝ dô 36: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn kh«ng ©m sau: 2 x − 3 y = 1 Gi¶i: XÐt theo mod3 Ta cã: 2 x − 1 = 3 y xÐt víi y = 0 suy ra x = 1. xÐt y ≥ 1 ⇒ 3 y ≡ 0 ( mod 3) ⇒ 2 x − 1 ≡ 0 ( mod 3) mÆt kh¸c 2 x − 1 = ( 3 − 1) − 1 ≡ ( −1) − 1( mod 3) ⇒ x ch½n v× x ch½n th× ( −1) − 1 ≡ 0 ( mod 3) §Æt x = 2k ta cã 22 k − 1 = 3 y ⇔ ( 2k − 1)( 2k + 1) = 3 y x x x 18 Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c Chuyªn ®Ò: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 2k + 1 = 3u  k v k k u v v u 2 − 1 = 3 ⇒ 2 + 1 − 2 − 1 = 2 = 3 − 3 ⇒ 3 + 2 = 3 u + v = y  NÕu u = 0 suy ra 3v =-1 v« lý. ( ) ( ) x = 1 y = 2 NÕu u ≥ 1 ⇒ 3u ≡ 0 ( mod 3) ⇒ 3v + 2 ≡ 0 ( mod 3) ⇒ v = 0 ⇒ u = 1 ⇒  VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: ( x; y ) ∈ {(1;0 ) ; ( 2;1)} 2)Bµi to¸n víi c¸c nghiÖm nguyªn tè: VÝ dô 37: T×m n ∈ N ®Ó: a) n 4 + n 2 + 1 lµ sè nguyªn tè. b) n5 + n + 1 lµ sè nguyªn tè c) n 4 + 4n lµ sè nguyªn tè Gi¶i: 4 2 2 2 a) ta cã n + n + 1 = ( n + n + 1)( n − n + 1) lµ sè nguyªn tè khi n2 − n + 1 = 1 ⇒ n = 1 b) n5 + n + 1 = ( n 2 + n + 1)( n3 − n2 + 1) lµ sè nguyªn tè khi n3 − n2 + 1 = 1 ⇒ n = 1 c) Chó ý lµ n lÎ ⇒ n + 1⋮ 2 n +2 −2 2 n n +1 2 n +1 n +1  2  2  n n 2 ⇒ n + 4 =  n + 2 + 2  n + 2 − 2 2  lµ sè nguyªn tè khi    4 n =1 ⇒ n=1 VÝ dô 38: T×m c¸c sè nguyªn tè x ;y ;z tho¶ m;n x y + 1 = z 2 Gi¶i y 2 Víi x lÎ ⇒ x + 1 = z ch½n ⇒ z ch½n mµ l¹i lµ sè nguyªn tè nªn z = 2 ⇒ x y = 3 ( kh«ng tån t¹i x; y tho¶ m;n). XÐt x ch½n: ⇒ x = 2 vËy x y + 1 = z 2 ⇔ 2 y + 1 = z 2 NÕu y lÎ ®Æt y = 2k + 1: ⇒ 2 y = 2.4k ≡ 2 ( mod 3) ⇒ 2 y + 1 ≡ 0 ( mod 3) ⇒ z 2 ⋮ 3 ⇒ z = 3 ⇒ y = 3 NÕu y ch½n ⇒ y = 2 ⇒ 5 = z 2 v« lý vËy ph−¬ng tr×nh ®; cho cã nghiÖm: ( x; y, z ) = ( 2;3;3) Víi c¸ch lµm t−¬ng tù ta cã thÓ gi¶i quyÕt ®−îc bµi to¸n sau: T×m c¸c sè nguyªn tè x ;y ;z tho¶ mHn x y + 1 = z . 3)C¸c ph−¬ng tr×nh chøng minh cã v« sè nghiÖm: VÝ dô 39: Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh x3 + y 3 = z 4 cã v« sè nghiÖm. Gi¶i: 3 3 x y Ta x©y dùng nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh nµy. x + y = z ⇔   +   = z z z x y ®¨t = a; = b ⇒ x = az; y = bz thÕ vµo ph−¬ng tr×nh ta ®−îc z z z 3 ( a 3 + b3 ) = z 4 ⇒ z = a 3 + b3 ⇒ x = az = a ( a 3 + b3 ) ; y = bz = b ( a 3 + b3 ) 3 3 4 VËy ph−¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm d¹ng: ( x; y; z ) = ( a ( a 3 + b3 ) ; b ( a 3 + b3 ) ; a 3 + b3 ) . 19 Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c Chuyªn ®Ò: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Chó ý c«ng thøc trªn ch−a ch¾c ®a quÐt hÕt nghiÖm cña bµi to¸n xong ta chØ cÇn nh− vËy ®Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n nµy. VÝ dô 40: Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh x 4 + y 3 = z 7 cã v« sè nghiÖm. Gi¶i: a a y = 2 3 ta cã: x 4 + y 3 = 2a + 2a = 2a +1 chän z = 2 §¨t x = 2 4 ; Ta cã 2a + 2a = 2a+1 a ⋮ 3 nguyªn nªn a ⋮ 4 ⇔ a = 84t + 48 a + 1⋮ 7  a +1 7 do x;y;z ( t ∈ Z ) VËy ph−¬ng tr×nh ®; cho cã v« sè nghiÖm d¹ng ( x; y; z ) = ( 221t +12 ; 228t +16 ; 212 t +7 ) . C¸c bµi tËp vËn dông: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau trªn Z. 1) 2) 3x + 7 y = 9 25 x + 7 y = 16 3) 4) 5) x 2 + 3 xy − y 2 + 2 x − 3 y = 5 2 x 2 + 3 y 2 + xy − 3 x − 3 = y x14 + x24 + x34 + … + x144 = 1599 6) 7) x 2 + y 2 = 16 z + 6 x !+ y ! = z ! 8) x !+ y ! = ( x + y ) ! 9) 19 x3 − 17 y 3 = 50 10) 5 x 3 + 11y 3 + 13 z 3 = 0 11) x 2 = y 2 + 16 12) x2 + y2 = 6 z 2 + t 2 13) xy − 2 y − 3 x + x = 3 14) 5 x 2 + y 2 + xy = 7 ( x + 2 y ) 15) x − y − xy = 15 16) x 2 + xy + y 2 = x + y 17) 1 + x + x 2 + x3 = y 2 18) x3 + y 3 = ( x + y ) 19) y 3 − x3 = 2 x + 1 20) x4 + x2 + 4 = y 2 − y 21) x2 + y2 = 7 z 2 22) x 2 = y 3 + 16 23) x + y + z = x .y ( ) 2 ( 3 2 ) 3 2 2 (GVG tØnhVP n¨m 2001) 2 (HSG 9 tØnh Thanh Hãa 2009) 2 2 20 Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c Chuyªn ®Ò: Mét ( sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn ) 24) 6 6 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 5t 2 25) 26) 19 x + 28 y = 2001 x 2 + xy + y 2 = 2 x + y 2 2 27) x2 .y2 = z2 ( z 2 − x2 − y2 ) 28) n 4 + 2n 3 + 2n 2 + 2n + 1 = y 2 29) x3 .z 2 + ( y 3 − 2 xy ) z + x ( x − y ) = 0 30) x 4 + x 2 − y 2 + y + 10 = 0 (AM- 2005) 2 ( x + y + z ) + 9 = 3 xyz 31) C¸c bµi to¸n víi sè nguyªn tè. 33) t×m x ∈ N ; x 4 + 4 x lµ sè nguyªn tè. 1 1 2 + = ( x, y ∈ Z ; p ∈ P ) x y p 35) ( p − 1)!+ 1 = p n (n ∈ N , p lµ sè nguyªn tè) 34) 36) p ( p + 1) + q ( q + 1) = n ( n + 1) ( p; q; n) lµ c¸c sè nguyªn tè) 37) p 2 = 8q + 1 ( p; q lµ c¸c sè nguyªn tè). C¸c bµi to¸n khã. 38) (APMO) T×m n nguyªn d−¬ng ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm. xn + ( 2 − x ) + ( 2 + x ) n n 39) (Brazil 1990) Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh sau cã v« sè nghiÖm a 3 + 1990b3 = c 4 40) T×m x; y nguyªn d−¬ng ®Ó : 1!+ 2!+ 3!+ … + x ! = y z 2x x = y y + z z 41)T×m c¸c sè nguyªn d−¬ng x,y,z biÕt: (Nga 2008) 42) (IMO 2006). T×m c¸c sè nguyªn d−¬ng x; y ®Ó: 1 + 2 x + 22 x +1 = y 2 43) T×m c¸c sè nguyªn x;y;z tho¶ mHn 28 x = 19 y + 87 z 44) T×m c¸c sè nguyªn d−¬ng n vµ k tho¶ mHn k = n + 1 − n − 1 45) T×m x;y;z biÕt x 4 + y 4 = z 4 ( x; y; z ∈ Z ) + 21 Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c Chuyªn ®Ò: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn C. KÕt luËn. Tæng hîp c¸c d¹ng to¸n vµ ph−¬ng ph¸p gi¶i cho mét néi dung to¸n häc nµo ®ã lµ mét viÖc lµm rÊt cÇn thiÕt trong c«ng viÖc d¹y häc to¸n nãi chung, d¹y häc vµ båi d−ìng häc sinh giái nãi riªng. Nã gióp cho c¸c em tù tin h¬n khi lµm c¸c d¹ng bµi tËp trong mét chñ ®Ò ®ã, ®Æc biÖt lµ khi tham gia c¸c k× thi chän häc sinh giái. Trong chuyªn ®Ò nµy t«i chØ míi ®Ò cËp ®Õn vÊn ®Ò nghiÖm nguyªn ( cô thÓ lµ c¸c d¹ng vµ ph−¬ng ph¸p gi¶i) chø kh«ng ®i s©u v× vèn hiÓu biÕt cßn cã h¹n. Trªn ®©y lµ suy nghÜ vµ tæng hîp cña b¶n th©n vÒ mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn, xin ®−îc trao ®æi cïng c¸c b¹n ®ång nghiÖp. RÊt mong nhËn ®−îc sù gãp ý cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó chuyªn ®Ò ®−îc hoµn thiÖn h¬n. Ch©n thµnh c¶m ¬n! KÝ duyÖt cña tæ tr−ëng Ng−êi viÕt chuyªn ®Ò T¹ V¨n §øc 22 Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c Chuyªn ®Ò: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Phô lôc Tµi liÖu tham kh¶o. 1) NÇng cao vµ ph¸t triÓn to¸n 6,7,8,9 – Vò H÷u B×nh – NXB GD 2) 1001 bµi to¸n s¬ cÊp BD HSG to¸n THCS – Lª Hång §øc – §µo ThiÖn Kh¶i. 3) Tæng hîp to¸n tuæi th¬ n¨m 2009- NXB GD 4) TuyÓn chän c¸c bµi thi HSG To¸n THCS – Lª Hång §øc. 5) Ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn – Vò H÷u B×nh. 6) T¹p chÝ To¸n häc tuæi trÎ. – NXB GD 7) C¸c ®Ò thi vµo tr−êng chuyªn líp chän trong vµ ngoµi tØnh. 8) C¸c chuyªn ®Ò båi d−ìng häc sinh giái to¸n THCS – Lª §øc ThÞnh. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c t¸c gi¶. 23 Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c Chuyªn ®Ò: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Môc lôc. Trang A- Më ®Çu – Lý do chän chuyªn ®Ò. – Ph¹m vi vµ môc ®Ých cña chuyªn ®Ò. B- Néi dung. 2 Ph−¬ng ph¸p 1: ¸p dông tÝnh chia hÕt 3 Ph−¬ng ph¸p 2: Ph−¬ng ph¸p lùa chän Modulo ( hay cßn gäi lµ xÐt sè d− tõng vÕ) 5 Ph−¬ng ph¸p 3: Dïng bÊt ®¼ng thøc 7 Ph−¬ng ph¸p 4: 4: Ph−¬ng ph¸p chÆn hay cß gäi lµ ph−¬ng ph¸p ®¸nh gi¸. Ph−¬ng ph¸p 5: Dïng TÝnh chÊt cña sè chÝnh ph−¬ng 11 11 Ph−¬ng ph¸p 6: 6 Ph−¬ng ph¸p lïi v« h¹n. ( hay cßn gäi lµ ph−¬ng ph¸p xuèng thang). 13 Ph−¬ng ph¸p 7: Nguyªn t¾c cùc h¹n ( hay cßn gäi lµ nguyªn lÝ khëi ®Çu cù trÞ) Ph−¬ng ph¸p 8: sö dông mÖnh ®Ò c¬ b¶n cña sè häc. 14 15 Mét sè d¹ng bµi tËp kh¸c. kh¸c 17 C¸c bµi tËp vËn dông: C. KÕt luËn. Phô lôc Môc lôc 20 22 23 24 24 Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top