Một số công thức tính bán kính mặt cầu – Trần Lê Quyền

Giới thiệu Một số công thức tính bán kính mặt cầu – Trần Lê Quyền

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Một số công thức tính bán kính mặt cầu – Trần Lê Quyền CHƯƠNG MẶT NÓN – MẶT TRỤ – MẶT CẦU.

Một số công thức tính bán kính mặt cầu – Trần Lê Quyền

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Một số công thức tính bán kính mặt cầu – Trần Lê Quyền

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Một số công thức tính bán kính mặt cầu – Trần Lê Quyền
Trần Lê Quyền Trần Lê Quyền1 — Casiotuduy Một số công thức tính bán kính mặt cầu 25–04–2017 Nhận xét 1. Xét hình chóp S.ABC , đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O và bán kính Rd . Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC , ta có các trường hợp sau: (1) Nếu SA⊥(ABC) thì r R= SA2 + Rd2 4 (1) (2) Nếu SA = SB = SC thì R= SA2 2SO (2) (3) Nếu (SAB)⊥(ABC) và bán kính đường tròn ngoại tiếp 4SAB bằng Rb thì R= q d(O, AB)2 + Rb2 . (3) Chứng minh. (1) và (2) đơn giản. (3) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB . Ta có IO⊥(ABC) và IK⊥(SAB). Xét tam giác IAK , ta có q p 2 2 IA = IK + AK = d(O, AB)2 + Rb 2 . Để ý rằng OI k (SAB) nên IK = d(O, (SAB)) = d(O, AB). Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a, BC = 2a. √ Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a 3. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . Giải. Để áp dụng (1), chỉ cần tính được bánqkính đáy Rd . Vì đáy là tam giác vuông tại B nên Rd = BC 2 = √ a 5 2 . Vậy bán kính cần tìm bằng SA2 4 √ + Rd2 = a 2. Ví dụ 2. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A0 B 0 C 0 có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng 2a. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho 1 Nhận luyện thi theo nhóm khu vực Q6, TP.HCM 01226678435 1 0122 667 8435 Trần Lê Quyền Giải. Mặt cầu đã cho cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A0 .ABC , nên với A0 A⊥(ABC) ta có thể áp dụng s r R= A0 A2 + Rd2 = 4  a2 + 2a √ 3 2 √ a 21 = . 3 28πa2 . 3 Diện tích mặt cầu là 4πR2 = Ví dụ 3. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Biết rằng OA = a, OB = b, OC = c, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC . Giải. Ta có AO⊥(OBC) nên có có thể áp dụng (1), r R= 1p OA2 + Rd2 = OA2 + OB 2 + OC 2 . 4 2 Công thức này cho phép xây dựng một số bài toán thú vị liên quan đến tứ diện vuông. Chẳng hạn BT 1. Cho tứ diện OABC có A, B, C thay đổi nhưng luôn thỏa mãn OA, OB, OC đôi một vuông góc và 2OA + OB + OC = 3. Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp OABC là √ 3 3 C. 8 √ 2 B. 2 √ 6 A. 4 D. 3 4 BT 2. Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi C là điểm cố định trên Oz , đặt OC = 1; các điểm AB , thay đổi trên OxOy , sao cho OA + OB = OC . Tìm giá trị bé nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC . √ 6 A. 3 B. √ √ √ 6 C. 4 6 D. 6 2 Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a √ . 3 Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC . Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD. Giải. Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC , ta có SH⊥(ABC). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD bằng AH = √a3 . Trong khi ta có DH = 2AH , thế nên H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Vậy có thể áp dụng (1), r R= √ SH 2 a 21 2 + Rd = . 4 6 Như vậy, có thể ‘nới rộng’ điều kiện áp dụng của (1), đó là khi hình chiếu của đỉnh S 2 0122 667 8435 Trần Lê Quyền ‘rơi’ trên đường tròn ngoại tiếp đáy. Ví dụ 5. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Giải. Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Vì các hình chóp S.ABCD và S.ABC có cùng mặt cầu ngoại tiếp nên với SA = SB = SC ta có thể áp dụng (2) để có R= Ta có SO = √ SA2 − OA2 = q thể tích khối cầu bằng 43 πR3 = SA2 2SO a2 − a2 2 √ πa3 2 3 . = √a 2 suy ra R = √a . 2 Vậy Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1. Hình chiếu của đỉnh S lên mặt đáy trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Biết rằng bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng 23 . Tính thể tích khối chóp. Giải. Vì S cách đều A, B, C nên có thể áp dụng (2). Ta có các liên hệ  1  SA2 = SO + 3 2 2 SA   = 2SO 3 Giải hệ này thu được SO = 1, vậy thể tích khối chóp đã cho là √ 3 12 . Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng BC tạo với (SAC) một góc 30◦ . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . Giải. Áp dụng (3), ta cần tính bán kính Rb của đường tròn ngoại tiếp 4SAB và d(O, AB) với O là trung điểm của BC . Vì 4SAB đều nên có ngay Rb = √13 (cho a = 1). Gọi H là trung điểm cạnh AB , theo giả thiết ta có SH⊥(ABC). Dễ √ 3 có d(B, (SAC)) = 2d(H, (SAC)) = 2 và √ d(B; (SAC)) = BC sin 30◦ ⇒ BC = 3. √ √1 Từ đây suy ra AC = 2 và do đó d(O; AB) = AC 2 = 2 . Vậy bán kính cần tìm r q 5 R = Rb2 + d(O, AB)2 = . 6 Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AC = a. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm 3 0122 667 8435 Trần Lê Quyền của cạnh BC và E là điểm đối xứng của D qua A. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABE . √ a 21 A. 6 a 3 2a 3 B. √ C. √ D. a 2 Giải. Gọi H là trung điểm của cạnh AB , vì (SAB)⊥(ABC) nên ta có SH⊥(ABC). Đối với hình chóp S.ABE , ta có thể áp dụng (3), q R = Rb2 + d(O, (AB))2 . • Với O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác EAB , tuy nhiên không cần thiết xác định vị trí của O, vì ta có √ !2 2 a 5 a AB = − = a. d(O, AB)2 = Rd2 − 4 2 4 • Rb là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều SAB , tức là Rb = √a3 . Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABE là 2a √ . 3 Như vậy trong tình huống khó xác định được vị trí của tâm O, ta có thể dùng (2) dưới dạng (2’) như sau: r R= Rb2 + Rc2 − AB 2 . 4 Ví dụ 9. Cho tứ diện ABCD có ABD là tam giác đều cạnh a, CD = a và (ABC)⊥(ABD). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a. √ a 3 A. 6 B. a 2 2a 3 C. √ a 3 D. √ Giải. Vì (ABC)⊥(ABD) nên ta có DH⊥(ABC) với H là trung điểm của cạnh AB . Vì D cách đều A, B, C nên H trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , tức là d(O, AB) = 0. Như vậy trong trường hợp này, (3) trở thành R = Rb = √a3 . Nhận xét 2. Cho hình chóp S.ABC , đường tròn nội tiếp đáy ABC có tâm I , bán kính rd , SI⊥(ABC) và SI = h. Khi đó, bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC thỏa mãn 0 < r < h và đồng thời 2 hr2 + 2rd2 r − rd2 h = 0. 4 (4) 0122 667 8435 Trần Lê Quyền Chứng minh. Gọi J là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC . Kẻ IM ⊥AB tại M thì ta có AB⊥(SIM ). Kẻ tiếp JH⊥SM tại H , kết hợp với AB⊥JH ta được JH⊥(SAB). Vậy JH là bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC . Đặt JH = JI = r vì M SHJ ∼M SIM nên q SH JH = ⇔ SI IM (h − r)2 − r2 = r rd h  hr2 + 2r 2 r − r 2 h = 0 d d ⇔ h 0 < r < 2 [ = 60◦ . Hình Ví dụ 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC chiếu của S lên mặt đáy trùng với giao điểm O của AC và BD. Cho biết SO = a4 , tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD. √ A. 3−1 a 4 √ 2− 3 B. a 2 √ 2 3+3 C. a 4 √ 2 3−3 D. a 4 Giải. Vì O chính là tâm đường tròn nội tiếp hình thoi ABCD và SO⊥(ABCD) nên có thể áp dụng nhận xét 2. Vậy chỉ cần tính thêm rd , ta có √ a 3 rd = d(O, AB) = . 4 Bán kính r của mặt cầu thỏa phương trình hr2 + 2rd2 r − hrd2 = 0, thử các phương án chọn D. Ví dụ 11. Cho một mặt cầu có bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu √ A. 4 3 √ √ B. 8 3 C. 9 3 √ D. 16 3 Giải. Đặt x, h lần lượt là độ dài cạnh đáy và chiều cao của hình chóp tam giác đều ngoại tiếp √ x 3 mặt cầu bán kính 1. Khi đó, bán kính đường tròn nội tiếp đáy là 6 . Ta có theo (4), h.12 + 2 Thể tích khối chóp √ !2 x 3 .1 − 6 √ !2 x 3 2x2 h=0⇒h= 2 . 6 x − 12 √ 1 x2 3 2x2 V = . . . 3 4 x2 − 12 5 0122 667 8435 Trần Lê Quyền Khảo sát hàm số trên √ √  12; +∞ cho thấy V ≥ 8 3. Chọn B. Sau cùng là một số bài tập. BT 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = 2a, AD = 5a, SA⊥(ABCD) và SA = a. Trên BC lấy điểm E sao cho CE = a. Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SADE . √ a 26 A. 2 √ a 26 B. 3 √ 2a 26 C. 3 √ a 26 D. 4 BT 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B , AB = BC = 2a và [ = 1200 . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Tính theo a bán kính ABC mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . √ a 17 A. 5 √ a 17 B. 2 √ a 17 C. 3 √ a 17 D. 4 √ BT 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B 0 C 0 có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 2a 3. Đường chéo BC 0 tạo với mặt phẳng AA0 C 0 C một góc 60◦ . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng A. a 2 B. a C. 3a D. 2a BT 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AC = 4a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của đoạn AC . Góc giữa cạnh bên SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60◦ . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . √ 11 3 A. 6 √ 4 3 B. 6 √ 4 3 C. 3 √ 11 3 D. 3 BT 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tạiA, AB = a. Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . √ a 21 A. 6 √ a 21 B. 4 √ a 11 C. 4 √ a 11 D. 6 b=D b = 900 , AB = AD = a BT 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác với B √ và CB = CD = a 2. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy, mặt bên (SBC) hợp với đáy một góc 45◦ . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 20πa3 A. V = 3 √ 4π 2a3 B. V = 3 4πa3 C. V = 3 6 √ 4 3πa3 D. V = 3 0122 667 8435 Trần Lê Quyền √ a 6 và (SBC)⊥(ABC). BT 9. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = AB = AC = a, SC = 3 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . A. 6πa2 B. 48πa2 7 C. 12πa2 7 D. 24πa2 BT 10. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = AC = BD = 2a, AD = 3a và (ACD)⊥(BCD). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. A. 64a2 π 3 B. 64a2 π 9 C. 64a2 3 D. 64πa2 . BT 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AB k CD). Biết AD = a, √ AC = a 3, AD⊥AC và SA = SB = SC = SD = 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. BT 12. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, tính tỉ số thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và thể tích của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện ABCD. [ = 60◦ . Hai mặt BT 13. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, ABC phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Cạnh SB tạo với mặt đáy góc 60◦ . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABD bằng A. 7π B. 13π 3 C. 13π D. 10π BT 14. Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a. 5 3 A. πa2 B. 11 2 πa 3 C. 2πa2 4 3 D. πa2 BT 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là A. 5πa2 3 B. 5πa2 6 C. πa2 3 D. 5πa2 12 √ BT 16. Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C , CA = a, SA = a 3, √ √ SB = a 5 và SC = a 2. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC là √ a 11 A. 6 √ a 11 B. 2 √ a 11 C. 3 7 √ a 11 D. 4 0122 667 8435 Trần Lê Quyền Giải. Độ dài các cạnh cho thấy tam giác SAC vuông tại C . Kết hợp với giả thiết AC⊥BC ta có AC⊥(SBC). Vậy có thể áp dụng (1). √ BT 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AC = 7a, SA = a 7 và SA⊥(ABCD). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. √ A. a 56 √ √ B. a 14 C. a 7 D. 7a 2 BT 18. Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3a, AC = 4a. Hình chiếu H của S trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Biết SA = 2a, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là √ 118 A. 4 √ 118 B. 2 √ C. 118 8 D. √ 118 √ √ BT 19. Cho tứ diện S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, BC = a 3 và SA = a 2, √ √ SB = a 2, SC = a 5. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC . √ a 259 A. 7 √ a 259 B. 14 √ a 259 C. 2 √ a 37 D. 14 BT 20. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = 3, BC = 4 . Hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết SC hợp với ABC góc 45◦ . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp S.ABC là √ 5π 3 A. 2 √ 25π 2 B. 3 √ 125π 3 C. 3 √ 125π 2 D. 3 BT 21. Cho mặt cầu (S) tâm I có bán kính R không đổi . Gọi các điểm A, B, C, D thuộc mặt cầu (S) thỏa mãn DA = DB = DC , khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABC) bằng R2 và đồng thời D, I thuộc cùng phía đối với mặt phẳng (ABC) . Giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABCD là √ √ 3R3 3 9R3 3 C. D. 32 32   BT 22. Nghiệm dương của phương trình x + 21006 21008 − e−x = 22018 . 3R3 A. 8 R3 B. 8 A. 15.21006 B. 2017 C. 5 D. 21011 BT 23. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy ABC là tam 8 0122 667 8435
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top