Một số bài toán trong tích phân có vận dụng phương trình hàm

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG TÍCH PHÂN CÓ VẬN DỤNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM Thầy Nguyễn Ngọc Chi Trường THPT Kinh Môn – Hải Dương Trong chương trình SGK giải tích lớp 12, các dạng tích phân được tính bằng các tính chất của tích phân và tính chất của hàm số hay tích phân thông qua giả thiết là các dạng phương trình hàm xuất hiện rất ít, chính vì vậy khả năng thực hành tính toán của học sinh còn nhiều hạn chế hay chưa nói đến là gặp rất nhiều khó khăn. Trước đây, trong các kì thi từ thi tốt nghiệp THPT đến các kỳ thi Đại học, Cao đẳng hay ngay trong quá trình dạy hầu như không xuất hiện các dạng tích phân cho dưới dạng phương trình hàm, vì vậy sự quan tâm của giáo viên và học sinh về vấn đề này là không có. Từ khi Bộ GD&ĐT chuyển hình thức thi môn Toán từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm thì dạng tích phân này đã có trong đề thi đã xuất hiện và khi dạy học vấn đề này cũng được các thầy cô và các em học sinh quan tâm hơn. Từ những lý do trên tôi đã mạnh dạn viết bài nhở này để nói về một số bài toán tích phân có sử dụng phương trình hàm và cách giải của chúng với mục tiêu dẫn dắt học sinh biết vận dụng những kiến thức cơ bản, kết hợp các phương pháp được tiếp cận từ sách giáo khoa để tạo được một thói quen mới, một phương pháp mới cho dạng toán Tích phân. b f (x )dx nhưng chưa cho biết Nội dung chung của các bài toán dạng này là yêu cầu tính tích phân a hàm số f (x ) mà chỉ biết f (x ) thỏa mãn một phương trình hàm cho trước. Phương pháp chung: Cách 1: Sử dụng các kiến thức về phương trình hàm để tìm hàm số f (x ) . b g(x )dx . Cách 2: Biểu diễn hàm f (x ) qua hàm g(x ) mà ta có thể tính được a Dạng 1. Tích phân liên quan đến biểu thức u(x ).f (x ) u (x ).f (x ) g(x ) Phương pháp: Ta có u(x ).f (x ) u (x ).f (x ) g(x ) [u(x ).f (x )] tìm được f (x ) . https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc g(x ) . Suy ra u(x ).f (x ) g(x )dx . Từ đó NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Ví dụ 1. Cho f ( x) có đạo hàm trên 0;1 thỏa mãn f (1) = 1 và 2018 2018 f ( x) + x. f ( x) = 2 x 2018 với 1 x  0;1 .Tính tích phân I =  f ( x)dx 0 A. I 1 2018.2019 B. I 1 2019 C. I 1 2018 D. I 1 1 2019 Nhận xét : trước hết ta đi tìm biểu thức u( x) . Ta có  ln u( x) =  2018 dx  ln u( x) = 2018ln x + c  ln u( x) = ln x 2018 + c x nên ta chọn u ( x) = x 2018 , khi đó ta có lời giải như sau: Lời giải  Ta có  x2018 . f ( x) = 2018×2017 f ( x) + x 2018 f ( x) = x 2017 2018 f ( x) + xf ( x)  = x 2017 . 2 x 2018  = 2 x 4035  2018 4035 2018 Khi đó x f ( x) = 2 x dx x f ( x) = 2018  c = 0  x f ( x) = x 4036 + c , do f (1) = 1  1 = 1 + c 2018 2018 2018 2018 x 4036 x 2018  f ( x) = 2018 2018 1  x 2019  x 2018 1 dx =  khi đó I =  f ( x)dx =   = 2018  2019.2018  0 2018.2019 0 0 1 1 Ví dụ 2. Cho hàm số f (x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1]. Biết (x 1).f (x ) 1 1 . Tính tích phân I f (1) f (x )dx . 0 A. I 4 3 4 ln 2. B. I C. I 4 3 4 ln 2. D. I 3 4 4 3 Lời giải Ta có (x 1)f (x ) f (x ) 3x 2 2x [(x 1)f (x )] https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 3x 2 4 ln 2. 2x 4 ln 2. f (x ) 3x 2 2x và NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Suy ra (x 1)f (x ) Vì f (1) 1 nên x2 x 2 1 1 Vậy I 1 f (x )dx 0 13 12 x3 x2 x 0 x 2 2x x2 C. C . Suy ra C 4 ln x 1 2 x2 dx 1 2x 4 3 1 p(x )dx Phương pháp: Nhân hai vế của ( ) với e Suy ra f (x ).e x 1 dx 4 ln 2. Dạng 2. Tích phân liên quan đến biểu thức f (x ) p (x )dx 4 2 0 0 f (x ).e 2. . 1 x3 3 x3 2x )dx (1 1)f (1) x3 Do đó f (x ) (3x 2 p(x ).e p(x )dx p (x )dx g(x ) ( ) ta được .f (x ) p(x )dx e p(x ).f (x ) e p (x )dx f (x ).e .g(x ) e p (x )dx .g(x ) . .g(x )dx . Từ đó tìm được f (x ) . và thỏa mãn f (x ) Ví dụ 1. Cho hàm số f (x ) liên tục trên p (x )dx f (x ) (2x 1)ex , x và f (1) 1 Tính tích phân I f (x )dx . 0 A. I B. I 1. C. I e. 0. D. I 2. (2x 1)e2x . Lời giải Ta có f (x ) f (x ) x Suy ra e .f (x ) Vì f (1) Do đó (2x e nên f (x ) e1 f (1) 1 (2x 2 1)e 2x dx 1.e2 1)e 2x C . Suy ra C 1 x f (x )dx 0 ex f (x ) ex f (x ) x .e dx 0 x .e x 1 0. 0 1 e x dx ex (2x 1 2x e 2 xex . 1 Vậy I 1)ex (2x 1. 0 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C 1)ex x .e 2x [ex f (x )] C. e. NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM . Biết (x 2 Ví dụ 2. Cho hàm số f (x ) có đạo hàm liên tục trên 1)f (x ) xf (x ) x và f (0) 3 Tính tích phân I xf (x )dx . 0 5 . 2 A. I 3 . 2 B. I 3 . 2 C. I D. I 1 . 2 Lời giải Ta có (x 2 1)f (x ) xf (x ) Nhân hai vế của (1) với e x2 1.f (x ) Suy ra: x2 Vì f (0) x x 2 1 Do đó f (x ) 1 x 1 0 f (x ) x 02 x 2 1.f (0) 1 x2 1 1 x 2 1 dx x x 1 2 1 1 2 x .f (x ) d(x 2 1) x2 1 x2 x dx 2 x2 1 (1) 1 x2 1 ta được: x 1.f (x ) x 1 dx 02 2 e x .f (x ) x x2 1 e x 3 Vậy I p (x )dx 1.f (x ) 2 nên x 2 1 . C. 1 C . Suy ra C 1. . dx 5 . 2 Ví dụ 3. Cho f ( x) liên tục và có đạo hàm trên R −1;0 thỏa mãn x( x + 1) f ( x) + f ( x) = x + x với 2 2 x  R −1;0 và f (1) = −2ln 2 , tính tích phân I =  xf ( x)dx . 1 A. I 31 12 9 ln 3 2 2 ln 2 B. I 31 12 9 ln 3 2 2 ln 2 C. I 31 12 9 ln 3 2 2 ln 2 D. I 31 12 9 ln 3 2 2 ln 2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 2. NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Nhận xét : Trước hết ta đi tìm biểu thức u( x) . Ta có  ln u ( x) =  1 1  x 1 dx  ln u ( x) =   − + c , nên ta chọn u( x) = x , khi dx  ln u ( x) = x( x + 1) x x + 1 x + 1 x +1   đó ta có lời giải như sau: Lời giải  Ta có  x . f ( x)  =  x +1  1 1 x . f ( x) = . f ( x) + x( x + 1) f ( x)  f ( x) + 2 ( x + 1) ( x + 1)2 x +1 1 x x x  x   x  2   . f ( x)  = . . ( ) . f ( x) =  x x f x dx  +  =  2     x +1 x +1 x +1  x +1  ( x + 1)  x +1   x 1  x  . f ( x) =  1 − . f ( x) = x − ln x + 1 + c . Do  dx  x +1 x +1  x +1  f (1) = −2ln 2  1 .(−2ln 2) = 1 − ln 2 + c  c = −1 2 x 2 − 1 − ( x + 1).ln x + 1 x  . f ( x) = x − ln x + 1 − 1  f ( x) = . Khi đó x +1 x 2 2  x3  4 I =  xf ( x)dx =  ( x − 1 − ( x + 1).ln ( x + 1) ).dx =  − x  −  ( x + 1).ln ( x + 1) .dx = − I1 3  3 1 1 1 1 2 2 2 1  du = dx  u = ln( x + 1)  x +1 Với I1 =  ( x + 1).ln ( x + 1) .dx ; đặt   2 dv = ( x + 1)dx v = x + x + 1 = 1 x + 1 2 1 ( )   2 2 2 2 2  9 1  x2 9 5 1 1   I1 =  ( x + 1)2 .ln( x + 1)  −  ( x + 1) dx  I1 = ln 3 − 2 ln 2 −  + x  = ln 3 − 2 ln 2 − 2 2 2 4 2 1 2 1 1 2 2 Khi đó I = 2 4 4 9 5  31 9 − I1 = −  ln 3 − 2 ln 2 −  = − ln 3 + 2 ln 2 3 3 2 4  12 2 Dạng 3. Phương trình hàm liên quan đến hàm hợp v(x ), trong đó u(x ) là hàm đơn điệu trên Cho hàm số f (x ) thỏa mãn f (u(x )) . Tính tích phân b I f (x )dx . a Phương pháp: Đặt t u(x ) Đổi cận: t dt a u (x )dx x ; t và f (t ) b x https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc v(x ). ( vì u(x ) là hàm đơn điệu trên ). NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM b b Do đó I f (x )dx f (t )dt a u (x ).v(x )dx . a thỏa mãn f (x Ví dụ 1. Cho hàm số f (x ) liên tục trên 3 2x 3x 2) 1. Tính tích phân 10 I f (x )dx . 1 135 . 4 A. I 87111 . 4 B. I 133 . 4 C. I 131 . 4 D. I Lời giải Đặt x3 t 2x Đổi cận: t 2 x 1 10 Do đó I dt 1; t (3x 2 2)dx và x 10 10 f (x )dx 1 f (t ) 3x 1. 2. 2 f (t )dt 1)(3x 2 (3x 1 135 . 4 2)dx 1 Ví dụ 2. Cho hàm số f (x ) liên tục trên {1} thỏa mãn f x x 1 1 x 3, x 1. Tính tích phân 3 I f (x )dx . 2 A. I 4 C. I 2 ln 2. 4 2 ln 2. B. I 4 2 ln 2. D. I 4 2 ln 3. Lời giải Đặt t x x Đổi cận t 1 1 x 2 1)2 (x 3; t 3 Do đó I 2 dt 3 3 f (x )dx 2 dx và f (t ) x 3. 2. 2 f (t )dt 2 x (x 3 2 3) dx (x 1)2 Cách khác: Ta tìm hàm số f (x ). f x x 1 1 x 3, x 1 (1). https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 3 2 2 1 x 4 1 (x 1)2 dx 4 2 ln 2. NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Đặt t x x 1 1 t t x 3 4x 2 . Vậy I x 1 Do đó f (x ) t t 1 . Từ (1) suy ra f (t ) 1 Dạng 4: Đổi vai trò của biến 3 2 4t 2 . t 1 3 3 4x 2 dx x 1 f (x )dx 2 1 1 4 2 2 x 1 dx 4 2 ln 2 . và y x G(f (x )), trong đó G(t ) là hàm đơn điệu trên Cho hàm số f (x ) thỏa mãn x . b Tính tích phân I f (x )dx . a Phương pháp: Đặt y f (x ) x Đổi cận: x a x b G(y ) G(y) dx a G(y) b G (y )dy . y ; y b Do đó I f (x )dx yG (y )dy . a 2 Ví dụ 1. Cho hàm số f (x ) liên tục trên thỏa mãn 3 f (x ) f (x ) x. Tính I f (x )dx . 0 A. I 5 . 4 B. I C. I 14. D. I 0. 3 . 4 Lời giải Đặt y y3 f (x ) Đổi cận: x 0 x 2 y3 y3 2 Do đó I x và dx y y y 2 y 1)dy . 0; y 1. 1 1 y(3y 2 f (x )dx 0 0 (3y 2 0 (3y 3 1)dy y )dy 0 5 . 4 Ví dụ 2. Biết mỗi số thực t  0 phương trình 4 x3 + tx − 4 = 0 có nghiệm dương duy nhất x = x(t ) , với x(t ) là hàm số liên tục theo t trên 0;+) . Tính tích phân 7 I =   x(t ) dt 2 0 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM A. I 31 . 4 31 16 B. I 31 . 32 C. I D. I 31 . 8 Lời giải t = 0  4 x3 − 4 = 0  x = 1   1 3 t = 7  4 x + 7 x − 4 = 0  x =  2 4 − 4 x3 8 x3 + 4 t =  dt = − dx , đổi cận : Đặt x x2 1 2 1 8 x3 + 4 31 3 4 dx = 8 x + 4 dx = 2 x + 4 x ( ) ( ) Ta có I = −  x . 1 = 2  x 8 1 2 1 1 2 2 và thỏa mãn mf (x ) Dạng 5: Cho hàm số f (x ) liên tục trên nf (a b x) g(x ), x . b Tính tích phân I f (x )dx . a Phương pháp: Đặt t a b Đổi cận: x x a dx t b; x b Do đó I dt . b t a. a f (x )dx b f (a a b t )( dt ) a b f (a b x )]dx a Vậy I b t )dt f (a b a g(x )dx . a b g(x )dx . a Ví dụ 1. (Trích đề minh họa của Bộ GD&ĐT năm 2017) Cho hàm số f (x ) liên tục trên và thỏa mãn 3 2 f (x ) f ( x) 2 2 cos 2x , x . Tính tích phân I f (x )dx . 3 2 A. I B. I 6. C. I 0. Lời giải Đặt x Đổi cận x t dx 3 2 dt . t x )dx . b [ f (x ) 1 2 f (a b Suy ra 2I b 3 ; x 2 3 2 t 3 . 2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 2. D. I 6. NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 3 2 3 2 Do đó: I f (x )dx 3 2 f ( t )( dt ) 3 2 f ( x )dx . 3 2 3 2 3 2 ( f (x ) 3 2 f ( x ))dx 2 2 cos 2x dx cos x dx 2 3 2 3 2 Vậy I f ( t )dt 3 2 3 2 Suy ra 2I 3 2 12 . 3 2 6. và thỏa mãn f (x ) Ví dụ 2. Cho hàm số f (x ) liên tục trên f 2 x sin 2x , x . Tính tích phân 2 I f (x )dx . 0 A. I 1 . 2 B. I C. I 1. D. I 0. 2. Lời giải Đặt t 2 Đổi cận: x x dx 0 t dt. 2 ; x 2 Do đó I t 2 2 2 f (x )dx I f 0 0 2 2 Suy ra 2I t ( 2 f dt ) 0 2 t dt I f 0 2 x dx . 2 f (x ) 0 Vậy I 0. f 2 x dx sin2xdx 1. 0 1 . 2 Ví dụ 3. Cho hàm số y f (x ) liên tục trên đoạn [ 3; 3] và thỏa mãn 3 f (x ) 3 phân I f (x )dx . 3 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 4f ( x ) 1 9 x2 . Tính tích NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM A. I 6 B. I . C. I . 40 42 D. I . 41 . Lời giải Từ giả thiết, thay x bằng 3 f (x ) Do đó ta có hệ x Vậy I 1 7 f (x )dx 3 Đặt x tan t, t 4 1 7 Do đó I 9 1 4f ( x ) 3f ( x ) 3 ta được 3f ( x ) 9 4 f (x ) 3 ; 2 2 12 f ( x ) 16 f (x ) . Đổi cận: x 1 3 . dt 9 tan2 t cos2 t 3 f (x )dx 3 1 21 4 dt 1 4f ( x ) 1 3 3 3 x 9 1 42 x dx t 3 t dt . 3 3 3 3; x 3 f (t )dt Vậy I f (x )dx 3 4I I 3 3 dx 9 x2 3 3. 3 f (t )dt 3 1 3 ; x 3 t . 1 1 3 9 x2 f (x ) 2 4 f ( x ) dx . x2 9 f ( x )dx . Đặt t Do đó J x2 4 9 x2 9 4 3 Đổi cận: x 3 4 Cách khác: Ta có 3 f (x ) Xét J 12 f ( x ) t 3 4 Khi đó: I . I f (x ) dx . x2 9 x2 9 9 f (x ) 2 x2 9 1 3 1 x 1 4 f (x ) 1 7 3 dx 9 x2 3 42 . https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 4f ( x) . 4 . 1 7(9 x 2) . NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Ví dụ 4. Cho hàm số f (x ) liên tục trên [0;1] và thỏa mãn 2 f (x ) 3 f (1 x) x 2 . Tính tích phân 1 1 I f (x )dx . 0 A. I 20 B. I . 16 C. I . 6 D. I . 4 . Lời giải Từ giả thiết, thay 1 5 Vậy I x ta được 2 f (1 x ) bằng 1 2 f (x ) Do đó ta có hệ Suy ra f (x ) x 3 f (1 x) 2 f (1 x) 3 f (x ) 3 2x x2 2 1 x2 1 2x x2 5 3 f (x ) x2 x2 . 2x 4 f (x ) 6 f (1 x) 2 1 9 f (x ) 6 f (1 x) 3 2x x2 x2 . 1 x2 3 2x 2 1 x 2 dx 20 0 Cách khác: Từ 2 f (x ) 3 f (1 1 Khi đó I 1 2 f (x )dx 0 x) . 1 1 x2 2 x 2 , suy ra f (x ) 1 1 3 f (1 x ) . 1 2 x dx 1 f (1 3 0 x )dx 0 1 Xét J f (1 x )dx . Đặt t x 1 dt dx . 0 0 Đổi cận: x 1; x t 0 1 t 0 . Khi đó: J 1 f (t )dt f (t )dt 1 1 2 Vậy I 1 1 2 x dx 3I . Suy ra I 0 Ví dụ 5. Cho hàm số f (x ) liên tục trên 2 I 1 2 1 5 1 0 f (x )dx 0 1 1 x 2 dx 0 1 ;2 và thỏa mãn f (x ) 2 f (x ) dx . x https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 20 . 2f 1 x 3x . Tính tích phân I. NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 1 . 2 A. I B. I 3 . 2 5 . 2 C. I 7 . 2 D. I Lời giải Từ giả thiết, thay f (x ) 1 x 2f 1 f x bởi x 3x 2 f (x ) 3 x 2 f (x ) 2 1 2 1 2 Cách khác: Từ f (x ) 2 1 2 1 x f Xét J x 1 2 1 x t 1 dx 2 x 3 2 t 2I . Suy ra I 1 2 2 x 1 2 3x 1 2 Ví dụ 6. Cho hàm số f (x ) liên tục trên f 2 1 2 1 2 1 dx x2 1 . Khi đó J 2 dx 1 . x 2f 2 dx 3 x. 3 . 2 2 1 , suy ra dt x 2 dx 3 6 x 1 x 2 dx x 2 Vậy I 1 2f x 2 x . Suy ra f (x ) f 1 2 2; x 3x 3x suy ra f (x ) 2 dx . Đặt t 1 2 Đổi cận : x 2f f (x ) dx x Khi đó I 2 x2 3 . Do đó ta có hệ x 2 f (x ) 1 x 2f 4 f (x ) f (x ) dx x Khi đó I 2 1 1 ta được f x x 1 x dx . x t 2 dx 1 2 1 dt t2 tf (t ) 2 1 dt . t2 dx 2 1 2 f (t ) dt t 2 1 2 f (x ) dx x 3 . 2 1 thỏa mãn f (x 2 1) 3f x 1 1 2x 1 2x , x 2 f (x )dx Biết a b ln 3 I. c ln 5 với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a 1 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc b c bằng 1 . 2 NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 1 . 2 A. B. 1. C. 5 . 16 D. 11 . 16 Lời giải Đặt x 1 1 2x y y x 1 2y Suy ra f 1 y 2y 1 3 f (y 1) Suy ra f x 1 1 2x 3 f (x 1) f (x Do đó x 1 1 2x f Suy ra 8 f (x 3 f (x 1 1 8 Suy ra f (x ) f (x )dx 1 1 , b 2 Suy ra a Vậy 2a b c 2x 1 , y 1 2 , x 1 2 1 1) 2x 1 f (x 2x 1 3 , c 16 1) 1 8 2x 1 3 2x 1 3 2x 1 dx 1 x 8 x 2 3 ln 2x 2 1) u.v + u.v = ( uv ) 3) u = 2 u 2 1 1 1 2 3 ln 3 16 1. Chủ yếu biến đổi để sử dụng các công thức đạo hàm uv − uv  u  =  v2 v 1 2 3 . 16 Dạng 6: Tích phân liên quan đến phương trình hàm có dạng u(x ).f (x ) 2) , x 1 . 2 , x 2 1 1 2 1 2 , x 3 1 2x 1 1 y . 2y 1 1 2x , x 1 2x 1 8 1 1 3 2x 2 Khi đó I 2y 1 2x 1) 1 1 x 1 1 2x 3f 1) x ( u ) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc v(x ).f (x ) 3 ln 5 . 16 NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Việc còn lại là lấy tích phân hai vế để đi đến kết quả Ví dụ 1. Cho hàm số f (x ) có đạo hàm liên tục trên (0; f (x ) a 0 với mọi x f (x ) (2x 3)f 2(x ) 0, 2 1 và 6 0, f (1) ) , biết f (x )dx a ln 2 b ln 3 với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của 1 b bằng A. 1. C. 2. 1. B. D. 3. Lời giải Ta có: f (x ) 3)f 2 (x ) (2x f (x ) dx f 2 (x ) Suy ra: Suy ra f (x ) x Suy ra f (x ) (2x 1 3x 2 2 2 f (x )dx 1 Suy ra a x 1 x 2 1 2 . Vậy a 3; b 1 1 x 1 x2 1 nên C 6 1 x 3) (do f (x ) 1 f (x ) 1 2 (2x 3)dx . Vì f (1) C 1 3x x2 Do đó I f (x ) f 2 (x ) 0 dx 2 b 3x 0 ). C. 2. . 3 ln 2 2 ln 3 . 1. Ví dụ 2. Cho hàm số f (x ) liên tục trên [0;6] thỏa mãn f (x ) 1 với mọi x [0;6], f (0) 0 và 6 f (x ) x 2 1 2x f (x ) f (x )dx bằng 1 . Khi đó 0 A. 9. D. 66. C. 78. B. 72. Lời giải f (x ) Từ giả thiết suy ra Suy ra f (x ) f (x ) f (x ) 1 dx 2x x2 1 2x x 2 1 1 dx . 2 f (x ) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 1 2 x2 1 C. NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 6 6 x 2dx f (x )dx Vậy x2 . 0 . Suy ra f (x ) 0 nên C Vì f (0) 0 72 . 0 Ví dụ 3. Cho hàm số f (x ) có đạo hàm và liên tục trên [1; 4], đồng biến trên [1; 4] , thỏa mãn x 2 2xf (x ) A. I [ f (x )] với mọi x 1186 . 45 1187 . 45 B. I 4 3 , tính tích phân I 2 [1; 4] . Biết rằng f (1) C. I f (x )dx . 1 1188 . 45 D. I 9 . 2 Lời giải Nhận xét: Do f (x ) đồng biến trên [1; 4] nên f (x ) Từ giả thiết ta có x[1 2f (x )] [ f (x )]2 . Suy ra f (x ) x. 1 Do đó 2 f (x ) 1 Suy ra f (x ) 2 f (x ), x 2 x x 3 2 x x 3 f (x )dx Ví dụ 4. Cho hàm số y A. I 1 1 2 3 x 9 2 f (x ) 2 f (x ) x 2 f (x ) 2 1 2 f (x ) 2 1 dx x dx . 4 . 3 3 nên C 2 2 3 x 9 8 x x 9 8 x x 9 7 dx 18 7 . 18 1186 . 45 f (x ) có đạo hàm trên [0;3] , thỏa mãn 1 . Tính tích phân I 2 1 . 2 [1; 4] . 2 4 3 4 1 f (0) C . Vì f (1) 2 4 Vậy I [1; 4] . Suy ra 0, x B. I 3 0 [1 f (3 f (x ) x ).f (x ) 1 1 với mọi x [0; 3] và xf (x ) dx . f (3 x )]2 .f 2 (x ) C. I 1. Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 3 . 2 D. I 5 . 2 NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Từ giả thiết f (3 x ).f (x ) 3 (vì f (3 1 ). Do đó I x ).f (x ) 0 3 3 x 1 f (x ) 0 3 Tính J 0 1 dx 1 f (x ) t 1 dx 1 f (x ) 3 Suy ra 2J 0 Suy ra J 0 3 1 dx 1 f (x ) 1 3 0 xd 0 f (3 x )]2.f 2(x ) [1 f (x )]2 1 1 f (x ) J. 3 1 f (3 1 f (3 1 2. Ta có: [1 3 xf (x ) dx [1 f (x )]2 1 0 3 x 1 suy ra f (3) 2 f (0) 1 và t) dt 0 1 f (3 1 3 t) dt 0 1 1 f (3 x) dx . 3 x) dx 1dx 3 (vì f (3 x ).f (x ) 1 ). 0 1 . 2 3 . Vậy I 2 1 Ví dụ 5. Cho hàm số f ( x )  0 , liên tục trên đoạn 1;2 và thỏa mãn f (1) = x 2 . f ( x) = 1 − 2 x 2 . f 2 ( x) 3 ( ) 2 với x  1;2 . Tính tích phân I =  f ( x)dx 1 A. I B. I ln 3 C. I ln 3 1 ln 3 2 D. I Lời giải ( ) 2 2 2 Ta có x . f ( x) = 1 − 2 x . f ( x)  −  f ( x) 1 − 2 x 2 1  1 =  −   = 2 −2 f 2 ( x) x2  f ( x)  x 1 1 1 1  =   2 − 2 .dx  − = − − 2 x + c , do f (1) = 1  c = 0 f ( x) f ( x) x 3 x  1 2 x2 + 1 x =  f ( x) = 2 Nên ta có  f ( x) x 2x +1 2 Khi đó I =  1 x 1 d (1 + 2 x 2 ) 1 f ( x)dx =  dx = = ln 1 + 2 x 2 2 2  1+ 2x 4 1 1+ 2x 4 1 2 2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 2 = 1 1 1 ( 2 ln 3 − ln 3) = ln 3 4 4 1 ln 3 4 NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Ví dụ 6. Cho hàm số f ( x) liên tục, không âm trên R và thỏa mãn f ( x). f ( x) − 2 x. f 2 ( x) + 1 = 0 với 1 x  R và f (0) = 0 . Tính tích phân I =  f ( x)dx 0 A. I 1 3 3 3 C. I 3 3 2 2 2 2 B. I 1 3 3 3 D. I 3 3 2 2 2 2 Lời giải 2 Ta có f ( x). f ( x) − 2 x. f ( x) + 1 = 0   f 2 ( x) + 1 =  2 xdx  f ( x). f ( x) f 2 ( x) + 1 = 2x  ( )  f 2 ( x) + 1 = 2 x f 2 ( x) + 1 = x 2 + c . Do f (0) = 0  c = 1 nên ta có f 2 ( x) + 1 = x 2 + 1  f 2 ( x) + 1 = ( x 2 + 1)  f 2 ( x) = x 2 ( x 2 + 2 )  f ( x) = x 2 1 1 0 0 (vì f ( x) không âm trên R ). Khi đó I =  f ( x)dx =  x 1 1 x2 + 2 1 x 2 + 2dx =  x x 2 + 2dx 0 ( 1 1 2 1 =  x 2 + 2d ( x 2 + 2) = . ( x 2 + 2 ) x 2 + 2  = 3 3 − 2 2  20 2 3 3 0 ) b [ f (x ) g x ]2dx Dạng 7. Một số bài toán liên quan đến hằng đẳng thức tích phân 0 và sử a dụng công thức tích phân từng phần để tính toán. b b + Công thức tích phân từng phần:  u ( x)v( x)dx = ( u ( x)v( x) ) a −  v( x)u ( x)dx (trong đó u , v có đạo hàm b a a liên tục trên K và a, b là hai số thuộc K ) + Tính chất: Nếu f ( x)  0 với x   a; b thì b  f ( x)dx  0 , dấu “=” xảy ra  f ( x) = 0, x  a; b a b + Hệ quả: f 2 ( x)dx = 0  f ( x) = 0 với x   a; b . a + Bất đẳng thức Holder: Cho hai hàm số f (x ) và g(x ) liên tục trên đoạn [a;b ] . Khi đó https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 2 b b b 2 f (x ).g(x )dx g 2 (x )dx . f (x )dx . a a Đẳng thức xảy ra a f (x ) kg(x ), k . 1 1 (x Ví dụ 1. Cho hàm số f (x ) thỏa mãn 1)f (x )dx 10 và 2f (1) 2 . Tính I f (0) 0 A. I B. I 12. f (x )dx . 0 C. I 8. D. I 12. 8. Lời giải 1 (x Xét tích phân 1)f (x )dx 0 Đặt u x dv du 1 f (x )dx v dx f (x ) . Khi đó 1 (x 10 1)f (x )dx (x 1)f (x ) 0 1 1 1 f (x )dx 0 2 f (1) 1 f (x )dx f (0) 0 0 f (x )dx . 2 0 1 f (x )dx Suy ra 8. 0 e2 4 Ví dụ 2. Cho hàm số f (x ) liên tục trên 2 tan x .f (cos x )dx và thỏa mãn e 0 2 tích phân I 1 4 A. I 1, f (ln2 x ) dx x ln x 1 . Tính f (2x ) dx x B. I 1. C. I 2. D. I 3. 4. Lời giải 4 tan x .f (cos2 x )dx Xét A 1 0 Đặt t cos2 x. Suy ra Đổi cận: x 0 t dt 1; x 2 sin x cos xdx 4 t 2 cos2 x tan xdx 1 . Khi đó: 2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 2t tan xdx tan xdx dt 2 NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 1 2 A 1 1 2 1 Suy ra 1 2 f (t ) dt t 1 1 2 1 1 2 e2 f (x ) dx x 2 . Xét B e Đặt u ln x . Suy ra du Đổi cận: x 4 Suy ra 1 e u 1 2 B f (u) du u 1 f (x ) dx x Xét tích phân cần tính I 1 4 2x, suy ra 1 4 Đổi cận: x 4 Khi đó I 1 2 4 1 1. dx x ln x 2u dx x ln x du . 2u 4. f (x ) dx x 2. 2 Đặt v 1 2 f (x ) dx . x 2 ln2 x dx x ln x u 1 2 1 f (ln2 x ) dx x ln x e2 1; x 4 1 2 2 ln x dx x 2 Khi đó 1 f (t ) dt t f (v ) dv v v 2 1 dv, x 2 dx v f (2x ) dx x 1 ; x 2 4 1 2 v 2 f (x ) dx x 4. 1 1 2 f (x ) dx x 4 1 f (x ) dx x 2 2 4.  −1  Ví dụ 3. Cho f ( x) là hàm số chẵn liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn f   = 4 và  2  1 2  f ( x)dx = 3 . 0 0 Tính tích phân I =  sin 2 xf (sin x)dx − 6 A. I 2 B. I C. I 2 Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 1 D. I 1 NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 0 Ta có I = 2  sin x cos x. f (sin x)dx , đặt t = s inx  dt = cos xdx − 6 − −1  0 0 x= t =  Đổi cận :  6 2 khi đó I = 2  tf (t )dt  I = 2  xf ( x)dx −1 −1  x = 0  t = 0 2 2   0 0 0 u = x du = dx   Đặt:  ta có I = 2 ( xf ( x) ) −1 −  f ( x)dx  = 4 − 2  f ( x)dx  2 −1 dv = f ( x)dx v = f ( x) −1   2 2 1 2 0 1 2  f ( x)dx = f ( x)dx . Khi đó I = 4 − 2 f ( x)dx = 4 − 6 = −2 Do f ( x) là hàm số chẵn nên −1 2 0 0 Ví dụ 4. ( Trích đề tham khảo của Bộ GD&ĐT năm 2018) Cho hàm số f (x ) có đạo hàm liên tục trên 1 1 đoạn [0;1] thỏa mãn f (1) 2 [ f (x )] dx 0, 7 . 5 x f (x )dx 7 và 0 0 A. 1 . Tích phân 3 2 B. 1. C. 7 . 4 1 f (x )dx bằng 0 D. 4. Lời giải 1 x 2 f (x )dx Xét tích phân 0 Đặt u dv 1 3 du f (x ) f (x )dx 3 x 2 dx x 3 v 1 1 x 3 f (x ) 3 0 2 x f (x )dx 0 x f (x )dx ( do f (1) 1 3 x f (x )dx 0 ). Suy ra 0 1 . Tìm k sao cho 0 1 1 3 2 [ f (x ) kx ] dx 0 [ f (x )] dx x f (x )dx k 2 0 x 6dx 7 2k ( 1) 0 1 [ f (x ) Do đó 7x 3 ]2dx 0 f (x ) 7x 3 0 f (x ) 7x 3 . 0 Suy ra f (x ) 7 4 x 4 C . Vì f (1) 0 nên C kx 3 ]2dx 1 3 2k 0 [ f (x ) 0 0 1 2 x3 f (x )dx 3 0 1 3 Ta có 1 1 1 . Khi đó: 3 7 . Do đó f (x ) 4 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 7 4 x 4 7 . 4 k 2. 1 7 0 k 7. NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 1 1 7 4 x 4 f (x )dx Vậy 0 0 7 dx 4 7 . 5 1 x 3 f (x )dx Cách khác: Ta có 1 . Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có 0 7.( 1)2 7 1 2 1 0 0 1 x f (x )dx f (x ) 0 7 4 x 4 7x 3 . Suy ra f (x ) 1 7 4 x 4 f (x )dx 0 0 k . Suy ra k 7 x 6dx k 0 1 Vậy 3 x .kx dx 0 Do đó 1 3 1 7. . (f (x ))2dx 7 0 1 (f (x ))2dx . 0 . 1 3 1 Ta có 0 f (x ) kx 3 với k Đẳng thức xảy ra 1 2 7 (x ) dx . (f (x )) dx . x 3 f (x )dx 7 1 3 2 7 dx 4 7. 0 nên C C . Vì f (1) 7 . Do đó f (x ) 4 7 4 x 4 7 . 5 Ví dụ 5. Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn 1;2 . Biết f (0) = 1 , 2  f ( x)dx = 2 và 1 2 2   f ( x) 2 1 A. I dx = 4 . Tính tích phân I =   f ( x) dx 3 1 B. I 68 34 C. I D. I 17 Nhận xét : Giả thiết chứa  f ( x)  và f ( x) nên ta tạo bình phương dạng  f ( x) − a  2 Ta chọn 2 a sao cho   f ( x) − a2 dx = 0   ( f ( x)2 − 2af ( x) + a 2 )dx = 0 2 2 2 1 1 2 2 1 1    f ( x) dx − 2a  f ( x)dx + a 2  dx = 0  4 − 4a + a2 = 0  a = 2 .Từ đó ta có lời giải 2 1 Lời giải 2 Ta có   f ( x) − 2 2 1 2 dx = 0   1 ( f ( x) 2 ) 2 2 2 1 1 − 4 f ( x) + 4 dx =   f ( x) dx − 4 f ( x)dx + 4 dx 2 1 = 4 − 8 + 4 = 0  f ( x) = 2  f ( x) = 2 x + c , mà f (0) = 1  c = 1 nên f ( x) = 2 x + 1 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 136 7 . 4 NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM 2 2 ( 2 4 3 2 Khi đó I =   f ( x) dx =  ( 2 x + 1) dx =  (8×3 + 12 x 2 + 6 x + 1) dx = 2 x + 4 x + 3x + x 3 3 1 1 1 ) 2 1 = 68 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho hàm số f ( x) đồng biến, có đạo hàm trên đoạn 1;4 và thoản mãn 4 2 x + 2 x. f ( x) =  f ( x)  với x  1;4 . Biết f (1) = 3 , tính I =  f ( x)dx 2 1 Câu 2: Cho hàm số f ( x) đồng biến, có đạo hàm cấp hai trên đoạn  0; 2 và thỏa mãn 2  f ( x)  − f ( x). f ( x) +  f ( x)  = 0 với x  0;2 . Biết 2 2 f (0) = 1, f (2) = e6 , tính tích 0 I =  (2 x + 1). f ( x)dx −2 Câu 3: f Cho f ( x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn 3 f ( x).e Biết f (0) = 1 , tính tích phân I = 3 ( x ) − x 2 −1 − 2x = 0 với x  R . f 2 ( x) 7  x. f ( x)dx 0 Câu 4: Cho f ( x) có đạo hàm trên 0;1 thỏa mãn f ( x) + ( x + 1) . f ( x) = 1 với x  0;1 . 1 Biết f (5) = 7 , tính tích phân I =  f ( x)dx 6 Câu 5: 0 Cho f ( x) có đạo hàm trên 1;2 thỏa mãn ( x + 1) f ( x) + x. f ( x) = 2e với x  1;2 . x 2 Biết f (1) = e , tính tích phân I =  x. f ( x)dx 1 Câu 6: Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và thỏa mãn f ( x) + f (− x) = cos x với x  R . 4 Tính tích phân I =  2  f ( x)dx − 2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Câu 7: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn  0; 2 và thỏa mãn 3 f ( x) − 4 f (2 − x) = − x − 12 x + 16 2 2 với x  0;2 . Tính tích phân I =  f ( x)dx 0 Câu 8: 2  Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn  ;1 và thỏa mãn 2 f ( x) + 3 f ( 2 ) = 5x với 3x 3  1 2  x   ;1 . Tính tích phân I =  f ( x)dx x 3  2 3 Câu 9: Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và thỏa mãn f ( x) = 4 xf ( x ) + 2 x + 1 với x  R . 2 1 Tính tích phân I =  f ( x)dx 0 Câu 10: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn 4 xf ( x 2 ) + 3 f (1 − x) = 1 − x 2 với 1 x  0;1 . Tính tích phân I =  f ( x)dx 0 Câu 11: Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và thỏa mãn f ( x + 2 x − 2) = 3 x − 1 với x  R . 3 10 Tính tích phân I =  f ( x)dx 1 Câu 12: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn  −1;5 và thỏa mãn  f ( x)  2019 + f ( x) + 2 = x với 4 x   −1;5 . Tính tích phân I =  f ( x)dx 0 Câu 13: Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn f ( 3) = 3 và 3  f ( x)dx và thỏa 0 3 Tính tích phân I =  hàm số =1 . ) ( f ( x) ln x + 1 + x 2 dx 0 Câu 14: Cho 1 + x2 f ( x) liên tục, có đạo hàm trên 2 1 0 0 R  (1 − 2 x ) f ( x)dx = 3 f (2) + f (0) = 2016 . Tính tích phân I =  f (2 x)dx https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc mãn NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Câu 15: Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn 1;3 thỏa mãn f (3) = f (1) = 3 và 3 xf ( x) f ( x) + ln x . Tính tích phân dx = 0 I = 1 x + 1 1 ( x + 1)2 dx 3 Câu 16: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn 1 2  ( f ( x) + x ) .ln(1 + x )dx = 2 ln 2 − 1 . Tính tích phân 0 Câu 17: Cho hàm số 0;1 thỏa f (1) = mãn 1 2 và 1 xf ( x) dx 1 + x2 0 I = f ( x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn 0;1 . 1 Biết  xf ( x)dx = 1 và 0 1 1   f ( x) dx = 3 . Tính tích phân I =   f ( x) 2018 2 dx 0 0 1 Câu 18: Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn 0;1 . Biết   f ( x) dx = 2 0 1 1  1 và 5 x . f ( x )dx = 0 Câu 19: Cho hàm số  f ( x) 2 2 . Tính tích phân I =  f ( x)dx 5 0 f ( x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn 0; 2 . Biết f (2) = 7 và 2 = 21x 4 − 12 x − 12 xf ( x) với x  0;2 . Tính tích phân I =  f ( x)dx 0 Câu 20: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 1  0 1 1 13 3 0  f ( x) dx = 3 . Tính tích phân I = 0  f ( x) dx 2 Tài liệu tham khảo. [1] Tạp chí Toán học và tuổi tre – Số tháng 2/2021 [2] Tuyển tập các đề thi thử các trường trong cả nước năm 2017-2021. https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 1 f ( x)dx = 2 , 7  xf ( x)dx = 6 0 và